´ MATH EMATIQUES & APPLICATIONS Directeurs de la collection : G. Allaire et M. Bena¨ım
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M AT H E´ M AT I Q U E S
& A P P L I C AT I O N S
Comit´e de Lecture / Editorial Board G R E´ GOIRE A LLAIRE ´ CMAP, Ecole Polytechnique, Palaiseau
[email protected] D OMINIQUE P ICARD Proba. et Mod. Al´eatoires, Univ. Paris 7
[email protected] M ICHEL B ENA¨I M Math´ematiques, Univ. de Neuchˆatel
[email protected] ROBERT ROUSSARIE Topologie, Univ. de Bourgogne, Dijon
[email protected] T HIERRY C OLIN Math´ematiques, Univ. de Bordeaux 1
[email protected] C LAUDE S AMSON INRIA Sophia-Antipolis
[email protected] M ARIE -C HRISTINE C OSTA CEDRIC, CNAM, Paris
[email protected] B ERNARD S ARAMITO Maths Appl., Univ. de Clermont 2
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[email protected] A NNICK S ARTENAER Math´ematique, Univ. de Namur
[email protected] J EAN D ELLA -D ORA LMC, IMAG, Grenoble
[email protected] Z HAN S HI Probabilit´es, Univ. Paris 6
[email protected] JACQUES D EMONGEOT TIMC, IMAG, Grenoble
[email protected] S YLVAIN S ORIN Equipe Comb. et Opt., Univ. Paris 6
[email protected] F R E´ D E´ RIC D IAS CMLA, ENS Cachan
[email protected] J EAN -M ARIE T HOMAS Maths Appl., Univ. de Pau
[email protected] N ICOLE E L K AROUI ´ CMAP, Ecole Polytechnique Palaiseau
[email protected] A LAIN T ROUV E´ CMLA, ENS Cachan
[email protected] M ARC H ALLIN Stat. & R.O., Univ. libre de Bruxelles
[email protected] J EAN -P HILIPPE V IAL HEC, Univ. de Gen`eve
[email protected] L AURENT M ICLO LATP, Univ. de Provence laurent :
[email protected] B ERNARD Y CART Maths Appl., Univ. Paris 5
[email protected] H UYEN P HAM Proba. et Mod. Al´eatoires, Univ. Paris 7
[email protected] E NRIQUE Z UAZUA Matem´aticas, Univ. Auton´oma de Madrid
[email protected] VAL E´ RIE P ERRIER LMC, IMAG, Grenoble
[email protected] Directeurs de la collection :
G. A LLAIRE et M. B ENA¨I M Instructions aux auteurs : Les textes ou projets peuvent eˆ tre soumis directement a` lun des membres du comit´e de lecture avec ´ copie a` G. A LLAIRE OU M. B ENA¨I M. Les manuscrits devront eˆ tre remis a` l’Editeur sous format LATEX 2e.
Brigitte Bid´egaray-Fesquet
Hi´erarchie de mod`eles en optique quantique De Maxwell–Bloch a` Schr¨odinger non-lin´eaire
Brigitte Bid´egaray-Fesquet Laboratoire de Mod´elisation et de Calcul Universit´e Grenoble I IMAG Tour IRMA B.P. 53 38 041 Grenoble Cedex 9 France
[email protected] Library of Congress Control Number : 2005930230
Mathematics Subject Classification (2000) : 35L45, 35Q55, 35Q60, 65M06, 65M12, 81V10, 81V80
ISSN 1154-483X ISBN-10 3-540-27238-0 Springer Berlin Heidelberg New York ISBN-13 978-3-540-27238-0 Springer Berlin Heidelberg New York Tous droits de traduction, de reproduction et d’adaptation r´eserv´es pour tous pays. La loi du 11 mars 1957 interdit les copies ou les reproductions destin´ees a` une utilisation collective. Toute repr´esentation, reproduction int´egrale ou partielle faite par quelque proc´ed´e que ce soit, sans le consentement de l’auteur ou de ses ayants cause, est illicite et constitue une contrefac¸on sanctionn´ee par les articles 425 et suivants du Code p´enal. Springer est membre du Springer Science+Business Media c Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2006 springeronline.com Imprim´e en Pays-Bas Imprim´e sur papier non acide
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A Laurent, Iris et Clara
Avant-propos
Les applications des math´ematiques `a la m´ecanique sont maintenant classiques. Qu’il s’agisse de m´ecanique des fluides, des solides ou plus r´ecemment d’interaction fluide–solide, des mod`eles bien ´etablis sont ´etudi´es depuis plusieurs d´ecennies. Souvent les nouvelles avanc´ees consistent actuellement `a am´eliorer les th´eor`emes existants en faisant intervenir de moins en moins de r´egularit´e `a tous les niveaux ou a` affiner les m´ethodes num´eriques pour traiter de probl`emes de plus en plus raides ou de r´egimes de plus en plus chaotiques. En ce qui concerne les applications a` la physique comme la physique des semi-conducteurs, des plasmas ou ici l’optique, le d´efrichage est beaucoup plus r´ecent ou reste `a faire. Nombre de mod`eles ne font pas l’unanimit´e ou restent a d´efinir. Une collaboration entre physiciens et math´ematiciens doit se mettre ` en place, laquelle n’est pas toujours facile en raison de la diff´erence de culture et de langage. Ce document pr´esente l’´etat de l’art de l’apport des math´ematiques en optique quantique. On mettra en ´evidence certains aspects auxquels ce point de vue permet de donner un ´eclairage nouveau. Ce domaine d’application est suffisamment r´ecent pour que l’on puisse pr´etendre a` une relative exhaustivit´e. Des travaux sur ce sujet sont actuellement en cours en France notamment `a Bordeaux, Grenoble, Rennes et Toulouse. L’auteur esp`ere donner aux ´etudiants auxquels est destin´e ce cours, des ´etudiants de Master Recherche ou des doctorants en math´ematiques appliqu´ees, le goˆ ut des applications, c’est-` a-dire traiter de probl`emes issus de la physique en prenant soin que tout ou partie des r´esultats puisse effectivement servir aux physiciens. Cet ouvrage est constitu´e de quatre parties. La partie I est consacr´ee `a la pr´esentation du mod`ele de Maxwell–Bloch. Apr`es une description de quelques ph´enom`enes physiques dont ce mod`ele rend compte, on en donne diff´erentes versions suivant les dimensions des variables et le mod`ele de relaxation choisi. Une discussion des propri´et´es physiques des solutions est suivie des r´esultats sur le probl`eme de Cauchy associ´e. Des r´esultats de simulations num´eriques
VIII
Avant-propos
sont alors pr´esent´es pour illustrer les ph´enom`enes physiques annonc´es et motiver la d´erivation de mod`eles simplifi´es. La partie II traite des autres mod`eles pour le milieu (via des descriptions quantiques ou classiques) et pour l’onde (´equations d’enveloppe). Dans la mesure du possible, une d´erivation heuristique est donn´ee `a partir du mod`ele de Maxwell–Bloch ainsi qu’une revue des r´esultats asymptotiques rigoureux. La partie III pr´esente les mod`eles num´eriques utilis´es pour r´esoudre les ´equations de Maxwell–Bloch et les mod`eles classiques qui en sont issus. Un accent particulier est mis sur le probl`eme de la stabilit´e de ces sch´emas. Enfin la derni`ere partie, beaucoup plus restreinte que les trois pr´ec´edentes, donne des indications sur les domaines de recherche actuellement actifs autour de ces probl`emes ainsi que ceux qui m´eriteraient de l’ˆetre dans les ann´ees `a venir. L’auteur tient tout d’abord a` remercier ceux sans qui ce livre n’aurait pas pu exister et, en tout premier lieu, Jean-Claude Saut pour lui avoir donn´e la premi`ere occasion de s’int´eresser aux mod`eles de l’optique quantique et pour son constant soutien. Le laboratoire Math´ematiques pour l’Industrie et la Physique (MIP) a` Toulouse a ´et´e le cadre de la quasi-totalit´e des ´etudes et des recherches bibliographiques qui sont pr´esent´ees ici. Au sein de ce laboratoire, Pierre Degond a ´et´e particuli`erement moteur pour promouvoir ce th`eme de recherche et rendre possible la collaboration fructueuse avec le CEA et notamment Antoine Bourgeade. Cet ouvrage a b´en´efici´e des remarques constructives de diverses personnes, parmi lesquelles se trouvent Fran¸cois Castella, Eric Dumas, Marguerite Gisclon et Judith Vatteville. Les nombreuses explications de Thierry Colin et la clart´e aussi bien orale qu’´ecrite de David Lannes est pour beaucoup dans la r´edaction du chapitre concernant les asymptotiques. L’auteur remercie enfin le laboratoire Technique de l’Informatique et de la Micro´electronique pour l’Architecture (TIMA) `a travers ses membres qui l’ont accueillie `a maintes reprises lors de la pr´eparation de ces notes, ainsi que le Laboratoire de Mod´elisation et de Calcul (LMC) qui a vu les finitions de cet ouvrage.
Brigitte Bid´egaray-Fesquet Grenoble, le 23 f´evrier 2005
Table des mati` eres
Partie I Le mod` ele de Maxwell–Bloch 1
Contexte physique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1 L’optique non lin´eaire et quantique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Ph´enom`enes en optique non lin´eaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Effets non lin´eaires du second ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2 Effet Kerr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.3 Effet laser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.4 Diffusions Raman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 3 3 3 4 4 5
2
Mod` ele physique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1 Les ´equations de Bloch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Vecteur d’´etat, ´equation de Schr¨ odinger . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2 Formalisme de la matrice densit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.3 L’approximation dipolaire ´electrique . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.4 Les ´equations de Bloch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.5 Sym´etries, propri´et´es de positivit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.6 Mod`eles de relaxation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Le syst`eme de Maxwell–Bloch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ 2.2.1 Equations de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2 Couplage via la polarisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.3 Modes de polarisation de l’onde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Mod`ele `a deux niveaux d’´energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 Variables de Bloch a` deux niveaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2 Couplage via la polarisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.3 Un mod`ele unidimensionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7 7 7 8 9 10 10 12 15 15 15 16 17 17 18 18
3
Analyse math´ ematique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1 Le mod`ele complet et la terminologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Propri´et´es math´ematiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 Conservation de la trace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21 21 21 22
X
4
Table des mati`eres
3.2.2 Positivit´e des populations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.3 Majoration des coh´erences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.4 Positivit´e de la matrice densit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Probl`eme de Cauchy local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Estimations a priori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.1 Estimation L∞ de la matrice densit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.2 D´efinition d’une ´energie physique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.3 Premi`eres estimations L2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.4 Majoration de l’´energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5 Probl`eme de Cauchy global . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.1 Mod`ele `a deux niveaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.2 Mod`ele `a N niveaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23 24 25 27 31 32 32 33 33 34 34 35
Simulations num´ eriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1 Transparence auto-induite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 G´en´eration de seconde harmonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Transfert de coh´erence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4 Effet Raman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37 37 41 43 45
Litt´ erature de la partie I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 Partie II Une hi´ erarchie de mod` eles 5
´ Equations de taux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1 D´erivation heuristique des ´equations de taux . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Analogie avec les ´equations d’Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 D´erivation rigoureuse des ´equations de taux . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ 5.4 Etats d’´equilibre des ´equations de taux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.1 Hypoth`eses et notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.2 Cas de la relaxation de Pauli seule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.3 Dimension du noyau de Ψ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.4 Calcul de l’´etat d’´equilibre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.5 D´efinition d’une temp´erature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.6 N´egativit´e de l’op´erateur de taux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53 53 55 56 57 57 58 58 59 61 61
6
Expressions classiques de la polarisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1 Mod`eles lin´eaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.1 Mod`ele de Debye . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.2 Mod`ele de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.3 Optique lin´eaire instantan´ee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Mod`eles non lin´eaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3 Autres d´eveloppements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
63 63 64 64 66 66 67
Table des mati`eres
7
´ Equations d’enveloppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1 Approche heuristique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.1 Suppression du d´eplacement magn´etique . . . . . . . . . . . . . 7.1.2 Approximation paraxiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.3 Suppression de l’´echelle rapide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.4 Transparence auto-induite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2 Adimensionnement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.1 Cas de l’interaction forte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.2 Cas des champs faibles se propageant dans des milieux peu excit´es. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.3 Cas proche de la r´esonnance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3 Asymptotiques rigoureuses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3.1 Optiques g´eom´etrique et diffractive . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3.2 Pr´esentation de la m´ethode dans le cadre de l’optique de Descartes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3.3 G´en´eralisations a` d’autres ph´enom`enes . . . . . . . . . . . . . . . 7.3.4 Application a` des syst`emes concrets . . . . . . . . . . . . . . . . . .
XI
69 69 69 70 70 71 72 72 73 75 76 77 77 79 82
Litt´ erature de la partie II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 Partie III Consid´ erations num´ eriques 8
Discr´ etisation des ´ equations de Bloch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.1 La m´ethode de Crank–Nicolson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.1.1 Pr´esentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.1.2 D´efaut de positivit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.1.3 Erreur de trace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2 Une m´ethode de splitting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2.1 Principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2.2 R´ealisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3 Illustration num´erique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
89 89 89 90 92 92 92 93 97
9
Discr´ etisation des ´ equations de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 9.1 Un sch´ema aux diff´erences finies : le sch´ema de Yee . . . . . . . . . . 99 9.1.1 Sch´ema de Yee unidimensionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 9.1.2 Sch´ema de Yee bidimensionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 9.2 Stabilit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 9.2.1 Stabilit´e lin´eaire classique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 9.2.2 Stabilit´e non lin´eaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 9.3 Sch´emas aux volumes finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 9.3.1 Polarisation TE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 9.3.2 Polarisation TM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
XII
Table des mati`eres
10 Couplage Maxwell–Bloch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 10.1 Expressions de la polarisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 10.1.1 Formulation via le calcul de P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 10.1.2 Formulation via le calcul de J . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 10.2 Couplage fort avec le sch´ema de Yee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 10.3 Couplage faible avec le sch´ema de Yee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 10.3.1 M´ethode de Crank–Nicolson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 10.3.2 M´ethode du splitting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 10.3.3 M´ethode de la relaxation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 10.4 Illustration num´erique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 10.4.1 Pr´ecision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 10.4.2 Stabilit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 10.5 Sch´ema aux volumes finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 10.5.1 Discr´etisation en espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 10.5.2 Discr´etisation en temps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 11 Mod` eles classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 11.1 Mod`eles discrets de type Yee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 11.1.1 Principes des m´ethodes num´eriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 11.1.2 Mod`ele de Debye . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 11.1.3 Mod`ele de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 11.1.4 Permittivit´e num´erique des sch´emas . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 11.1.5 Stabilit´e des m´ethodes par int´egration directe . . . . . . . . . 133 11.2 Sch´emas aux ´el´ements finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 ´ 11.3 Equations d’enveloppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 Litt´ erature de la partie III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 Tendances pour l’avenir Simplification du mod` ele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 Enrichissements du mod` ele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 Appendices A
Constantes physiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 A.1 Pr´efixes et symboles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 A.2 Le syst`eme MKS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 A.3 Constantes universelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 A.4 Unit´es des variables en optique non lin´eaire . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
Table des mati`eres
XIII
B
Mesures physiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 B.1 Longueurs d’ondes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 B.2 Temps caract´eristiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 B.3 Valeurs de n0 et n2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 B.4 Temps de relaxation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 B.5 Mod`ele de Debye . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 B.6 Mod`ele de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
C
Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
Litt´ erature de la conclusion et des appendices . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 Liste des figures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
1 Contexte physique
1.1 L’optique non lin´ eaire et quantique L’invention des lasers en 1960 a rendu caduque une partie des approximations jusqu’alors utilis´ees en optique. En effet, les lasers mettent en jeu de telles puissances que l’ordre de grandeur de l’´energie de coh´esion des ´electrons dans les atomes (ou les mol´ecules) est atteint. L’approximation lin´eaire n’est alors plus valable et il faut faire appel a` l’optique non lin´eaire. On peut rendre compte de certains des ph´enom`enes avec des mod`eles classiques non lin´eaires (effet Kerr, m´elange `a trois ou quatre ondes, etc.). Cependant, d’autres effets (diffusions Raman spontan´ees ou stimul´ees, Brillouin ou Rayleigh, effet laser, absorption a` deux photons, etc.) n´ecessitent un mod`ele semi-classique, c’esta-dire un champ classique coupl´e avec un milieu quantique. Un tel mod`ele ` est a priori le plus pr´ecis et doit permettre de mettre en ´evidence la totalit´e des ph´enom`enes et donc leurs ´eventuelles interactions. Ce n’est pas le cas des mod`eles classiques qui supposent une certaine ´echelle de ph´enom`enes et occultent les autres. Avant de pr´esenter le mod`ele semi-classique de Maxwell–Bloch (cf. chapitre 2) et certains mod`eles asymptotiques (cf. partie II), nous introduisons quelques exemples de ph´enom`enes physiques couramment observ´es en optique non lin´eaire et qui seront illustr´es num´eriquement. Le but de cette partie est uniquement heuristique et nous nous bornons ici a` une description purement ph´enom´enologique car les ingr´edients d’explication et de notation permettant une description pr´ecise seront donn´es ult´erieurement.
1.2 Exemples de ph´ enom` enes en optique non lin´ eaire 1.2.1 Effets non lin´ eaires du second ordre Les effets non lin´eaires du second ordre font intervenir trois fr´equences, ω1 , ω2 et ω3 , v´erifiant la relation ω3 = ω1 + ω2 ou ω3 = ω1 − ω2 . On peut consid´erer
4
1 Contexte physique
deux cas, selon que le milieu est r´esonnant ou non avec une de ces fr´equences. Dans le cas non r´esonnant, on distingue les sous-cas suivants : ω3 ω1 ω1 ω1 ω3 ω1 ω1
= ω1 + ω 2 : = ω2 = ω , = ω , ω2 = 0 , = ω2 , = ω1 − ω 2 : = ω2 = ω , = ω2 ,
g´en´eration de seconde harmonique, effet ´electro-optique lin´eaire (Pockels), g´en´eration de fr´equence somme (ultraviolet), redressement optique, g´en´eration de fr´equence diff´erence (infrarouge).
Ces ph´enom`enes se classent parmi les m´elanges `a trois ondes et sont parfaitement descriptibles par l’optique non lin´eaire classique. Il faut cependant faire appel a` la th´eorie quantique et aux sym´etries des mat´eriaux pour expliquer le fait que de tels ph´enom`enes ne peuvent avoir lieu que dans certains types de milieux, qui sont n´ecessairement non centro-sym´etriques. C’est le cas par exemple des cristaux de KDP (KH2 PO4 , phosphate diacide de potassium) qui servent couramment comme doubleurs de fr´equence. 1.2.2 Effet Kerr L’effet non lin´eaire pr´epond´erant dans des milieux ne pr´esentant pas de ph´enom`enes du second ordre est l’effet Kerr. Cet effet est dˆ u a` un m´elange `a quatre ondes faisant apparaˆıtre une fr´equence triple de la fr´equence incidente. Par ailleurs, l’indice de r´efraction du mat´eriau devient affine en l’intensit´e de l’onde ´electromagn´etique. L’effet Kerr est tr`es bien mod´elis´e par l’´equation de Schr¨ odinger non lin´eaire cubique. La propagation solitonique dans les fibres optiques d´ecoule de cet effet qui met en balance les effets de la non lin´earit´e de l’interaction et de la dispersion du mat´eriau. Nous renvoyons le lecteur au livre de A.C. Newell et J.V. Moloney [19] ou pour les aspects li´es aux solitons a` celui de M. Remoissenet [22]. Le mod`ele de Maxwell–Bloch permet ´egalement de rendre compte de l’effet Kerr comme le prouvent les simulations de transparence auto-induite (cf. paragraphes 4.1 et 7.1.4). 1.2.3 Effet laser L’effet laser est dˆ u a` la combinaison de trois ph´enom`enes d’interaction entre la lumi`ere et la mati`ere. Pour l’expliquer, il faut consid´erer la description corpusculaire de la mati`ere (des photons) et quantique de la mati`ere (un mat´eriau dont les ´electrons peuvent avoir un nombre quantifi´e d’´energies). Ces trois ph´enom`enes sont – l’´emission spontan´ee : un atome excit´e se d´esexcite et l’´energie devient un photon dont les caract´eristiques (direction du vecteur d’onde) sont quelconques,
1.2 Ph´enom`enes en optique non lin´eaire
5
– l’absorption : un photon transf`ere son ´energie `a un atome qui devient excit´e (ou plus excit´e), – l’´emission stimul´ee : un photon transf`ere de l’´energie `a un atome excit´e. Cet atome se d´esexcite pour g´en´erer deux photons : le photon initial et un deuxi`eme photon qui a les mˆemes caract´eristiques. C’est l’´emission stimul´ee, combin´ee `a un syst`eme de miroirs formant une cavit´e, qui permet apr`es de multiples allers-retours dans cette cavit´e d’avoir une lumi`ere coh´erente, c’est-`a-dire dont tous les photons sont de mˆemes caract´eristiques. Remarque 1.1. Il ne faut pas confondre cette notion de coh´erence avec la coh´erence de deux ´etats quantiques d´efinie au paragraphe 2.1.2. La prise en compte de l’effet d’´emission spontan´ee dans le mod`ele de Bloch est une des raisons de l’´etude de l’introduction de termes de relaxation trait´ee du point de vue continu aux paragraphes 2.1.6 et 3.2 ainsi que du point de vue discret au chapitre 8. 1.2.4 Diffusions Raman Ph´ enom´ enologie Une faible partie de la lumi`ere est diffus´ee dans toutes les directions. Si l’onde incidente est monochromatique de fr´equence ω0 , cette fr´equence principale (appel´ee fr´equence de Rayleigh) est la plus repr´esent´ee et correspond `a la diffusion ´elastique des photons. D’autres fr´equences caract´eristiques apparaissent dans le spectre, celles de fr´equences inf´erieures `a ω0 sont dites raies de Stokes et celles de fr´equences sup´erieures `a ω0 sont dites raies d’anti-Stokes. Ces raies sont dues a` la diffusion Raman qui est une diffusion in´elastique des photons. Une premi`ere caract´eristique est que – la diff´erence ωr , appel´ee fr´equence de Raman, entre la fr´equence de Rayleigh ω0 et la fr´equence de Stokes ωS (resp. la fr´equence d’anti-Stokes ωAS ) ne d´epend pas de ω0 mais uniquement du mat´eriau : ωS = ω0 − ωr ,
ωAS = ω0 + ωr .
Dans le cas o` u l’intensit´e de l’onde incidente est faible, on observe la diffusion Raman spontan´ee pour laquelle une autre caract´eristique est que – la raie Stokes est beaucoup plus intense que la raie anti-Stokes et cette diff´erence est d’autant plus accentu´ee que la temp´erature est basse. En pr´esence d’une intensit´e incidente plus importante, on peut observer des raies Stokes et anti-Stokes d’intensit´es comparables ainsi que des diffusions multiples (ω0 ± qωr , q ∈ N). C’est le cadre de la diffusion Raman stimul´ee. Enfin, si le syst`eme a ´et´e pr´epar´e et qu’une transition r´esonnante a ´et´e rendue coh´erente (par excitation Raman par exemple, cf. D. Suter [25]) l’intensit´e des raies Stokes et anti-Stokes d´epend de l’intensit´e de l’onde incidente. Ce ph´enom`ene est la diffusion Raman coh´erente et peut ´egalement donner lieu a` des diffusions multiples.
6
1 Contexte physique
Interpr´ etation quantique Les raies Stokes sont dues `a l’excitation des ´electrons du mat´eriau lorsque le photon incident perd de l’´energie au profit du mat´eriau. Le photon diffus´e est alors moins ´energ´etique de la quantit´e ωr . Les raies anti-Stokes correspondent a` l’effet inverse o` u le photon incident r´ecup`ere de l’´energie provenant du mat´eriau excit´e. Lorsque l’onde incidente est de faible intensit´e, le milieu est `a l’´etat d’´equilibre thermodynamique dans lequel l’´etat fondamental est majoritairement peupl´e et ce d’autant plus que la temp´erature est basse. Ce sont donc les raies Stokes qui sont les plus intenses. Une intensit´e plus forte de l’onde incidente permet de mettre le milieu hors d’´etat d’´equilibre principalement si il y a r´esonnance avec une fr´equence du mat´eriau. Le mat´eriau est alors excit´e en partie et les raies anti-Stokes peuvent prendre plus d’ampleur jusqu’` a d´epasser les raies Stokes. Des r´esultats quantitatifs peuvent ˆetre trouv´es dans le cours de R. Frey [9]. La simulation num´erique de cet effet est pr´esent´ee au paragraphe 4.4. Remarque 1.2. Dans tout ce livre, on appelle fr´equence ce qui habituellement s’appelle pulsation. La notation ω utilis´ee est d’ailleurs celle des pulsations. Le rapport entre les deux est un facteur 2π. Alors que l’unit´e naturelle des fr´equences est le hertz, nous donnons les fr´equences (qui sont des pulsations) en rad s−1 .
2 Mod` ele physique
La mati`ere de ce chapitre peut se trouver dans diff´erents livres qui traitent d’optique quantique comme ceux de R.W. Boyd [3], J.R. Lalanne, A. Ducasse et S. Kielich [17], R. Loudon [18], R.H. Pantell et H.E. Puthoff [20], M.O. Scully et M.S. Zubairy [23] ou Y.R. Shen [24], cette liste ne pr´etendant pas a` l’exhaustivit´e. Dans ces r´ef´erences, la d´erivation n’est pr´esent´ee parfois que dans le cas d’atomes `a deux niveaux d’´energie.
2.1 Les ´ equations de Bloch 2.1.1 Vecteur d’´ etat, ´ equation de Schr¨ odinger La variable qui permet de d´ecrire un syst`eme en m´ecanique quantique est le vecteur d’´etat ψ. Pour simplifier les ´ecritures, nous allons adopter la notation de Dirac, dans laquelle on d´efinit deux vecteurs bra ψ| et ket |ψ. De mani`ere u ∗ g´en´erale, le produit scalaire ψ1 |ψ2 repr´esente l’int´egrale ψ1∗ ψ2 dr, o` d´esigne le complexe conjugu´e et r le vecteur position local. On normalise le vecteur d’´etat par la convention ψ|ψ = 1. L’´evolution temporelle du vecteur |ψ est r´egie par l’´equation de Schr¨ odinger i∂t |ψ = H|ψ .
(2.1)
Si le syst`eme est non perturb´e alors l’hamiltonien H se r´esume `a un hamiltonien non perturb´e, not´e H0 . Les perturbations ext´erieures au syst`eme induisent une modification de l’hamiltonien qui se traduit par une contribution suppl´ementaire, dite hamiltonien d’interaction V et ainsi H = H0 + V. La d´etermination du vecteur d’´etat est d’une part impossible car ce n’est pas un observable au sens quantique du terme et il n’est donc pas accessible `a la mesure exp´erimentale. Par ailleurs, elle n’est pas n´ecessaire pour l’explication des ph´enom`enes physiques observ´es. En revanche, l’hamiltonien non perturb´e peut ˆetre d´ecrit par ses ´el´ements propres : les vecteurs propres
8
2 Mod`ele physique
sont les ´etats quantiques |j et les valeurs propres associ´ees sont les niveaux d’´energie Ej = ωj . On dispose alors de dispositifs exp´erimentaux permettant de d´eterminer les niveaux d’´energie jusqu’` a une certaine pr´ecision. C’est pourquoi on recherche des mod`eles ne faisant intervenir que ces ´energies sans n´ecessiter de connaissance des ´etats propres. Dans cette optique, on projette habituellement l’´equation de Schr¨ odinger (2.1) sur la base orthonorm´ ee des ´etats propres |j, donnant ainsi la d´ecomposition unique |ψ = aj |j et l’´equation d’´evolution pour les coefficients dans cette base i∂t aj = ak j|H|k , (2.2) k
car j|
k
ak |k = aj j|j = aj .
2.1.2 Formalisme de la matrice densit´ e Les coefficients aj ne sont pas plus observables que le vecteur |ψ. C’est pourquoi, on introduit un observable qui est la matrice densit´e ρ. Une description au niveau microscopique de la mati`ere consisterait `a choisir un unique ´electron comme syst`eme, auquel cas la matrice densit´e est d´efinie par ρ = |ψψ|. Mais, en g´en´eral, on n’a pas acc`es `a un unique ´electron mais `a un certain nombre (de l’ordre de 10 ou 100) de syst`emes microscopiques tous localis´es dans une petite portion d’espace que l’on appelle la sph`ere de Lorentz. Le mod`ele devient alors m´esoscopique et la matrice densit´e est d´efinie u S est un ensemble statistique et pS la probabilit´e par ρ = S pS |ψ S ψ S | o` pour les syst`emes microscopiques constituant le syst`eme m´esoscopique d’ˆetre caract´eris´es par la fonction ψ S . Remarque 2.1. L’introduction de cette probabilit´e est due `a un manque de connaissance du syst`eme et ne doit pas ˆetre confondue avec la probabilit´e de pr´esence ρjj d´efinie ci-dessous (cf. R.H. Pantell et H.E. Puthoff [20]). En utilisant la d´ecomposition sur la base des ´etats propres |j, on obtient ∗ ρjk = pS aSj aSk . (2.3) S
Sous l’hypoth`ese que la statistique est stationnaire, l’´evolution temporelle de la matrice ρ est alors r´egie par l’´equation de Liouville i∂t ρ = [H, ρ] ,
(2.4)
o` u [·, ·] d´esigne le commutateur de deux op´erateurs, a` savoir [H, ρ] = Hρ − ρH . Le terme de matrice a ´et´e utilis´e de mani`ere impropre dans la mesure o` u il y a un nombre infini de niveaux. On se restreint en pratique a` un nombre
2.1 Les ´equations de Bloch
9
fini de niveaux en ne gardant que ceux qui interviennent dans le ph´enom`ene consid´er´e. Pour cela, on remarque que la trace de ρ est ´egale `a 1 : k|ρ|k = pS k|ψ S ψ S |k = pS ψ S |kk|ψ S Trρ = k
=
S
k,S
S
S
pS ψ |Id|ψ =
k,S
S
S
S
pS ψ |ψ =
pS = 1 .
S
On garde un nombre N de niveaux qui continue a` assurer que Trρ = 1 et la matrice ρ devient une matrice de dimension N × N . On peut donner une interpr´etation des coefficients de cette matrice. Ses ´el´ements diagonaux sont appel´es populations. La population du niveau j (c’est-`a-dire ρjj ) est la probabilit´e de pr´esence du syst`eme dans l’´etat |j. Les termes extra-diagonaux sont appel´es coh´erences. La coh´erence ρjk entre les niveaux j et k est un nombre complexe. Son module peut ˆetre interpr´et´e comme une probabilit´e conditionnelle de transition entre les niveaux j et k, conditionn´ee par le fait que ces niveaux soient peupl´es. Moyenne d’un observable. Cette matrice densit´e sert en particulier a` exprimer la valeur moyenne d’un observable O < O > = Tr(ρO) . Deux cas particuliers de la valeur moyenne nous int´eressent ici. La propri´et´e de trace vue ci-dessus calcule la moyenne de l’op´erateur identit´e < Id > = 1. La polarisation est ´egalement la moyenne associ´ee au moment dipolaire ´electrique (cf. paragraphe 2.2.2). 2.1.3 L’approximation dipolaire ´ electrique Il nous faut maintenant d´ecrire l’hamiltonien d’interaction V. Celui-ci est dˆ u ` la pr´esence d’un champ ´electromagn´etique ext´erieur au syst`eme consid´er´e. a Dans notre contexte, nous nous restreignons aux moments dipolaires ´electriques, qui dominent les moments d’ordre sup´erieurs. On fait l’hypoth`ese que le champ ´electrique macroscopique E varie peu a` l’´echelle de l’atome (et mˆeme a l’´echelle de la sph`ere de Lorentz). Ainsi, le champ E d´epend d’un vecteur ` position macroscopique R, et on peut ´ecrire la perturbation d’interaction sous la forme V(R, t) = −eE(R, t) · r o` u e est la charge de l’´electron et r le vecteur position local. On note p l’op´erateur dipolaire ´electrique d´efini par p = er, d’o` u V(R, t) = −E(R, t) · p . A l’ordre sup´erieur, l’hamiltonien d’interaction s’´ecrit
10
2 Mod`ele physique
V(R, t) = −E(R, t) · p − q : ∇E(R, t) −
e2 e H(R, t) · l + r ∧ H(R, t) , 2me c 8me c2
o` u q = err/2 est l’op´erateur quadrupolaire ´electrique, l = r ∧ p0 est le moment orbital, p0 ´etant l’impulsion du syst`eme non perturb´e, me la masse de l’´electron et c la vitesse de la lumi`ere dans le vide. Dans le premier terme, on reconnaˆıt l’approximation dipolaire ´electrique. Le deuxi`eme terme est l’approximation quadrupolaire ´electrique. Les deux derniers termes sont respectivement les termes paramagn´etique et diamagn´etique et font intervenir le champ magn´etique H. 2.1.4 Les ´ equations de Bloch La base |j a ´et´e choisie de telle mani`ere que la quantit´e [H0 , ρ]jk soit simple. L’expression de l’op´erateur dipolaire ´electrique p dans cette base est une matrice appel´ee matrice des moments dipolaires, `a valeur vectorielle, que l’on note ´egalement p. Ses coefficients sont pjk = k|p|j et permettent de donner ´egalement une forme agr´eable `a l’expression [V, ρ]jk . On a alors i i ∂t ρjk = − [H0 , ρ]jk − [V, ρ]jk i i = − (Ej ρjk − ρjk Ek ) + E · [p, ρ]jk i = −i(ωj − ωk )ρjk + E · [p, ρ]jk . De plus, on note ωjk = ωj − ωk , la fr´equence associ´ee `a la transition du niveau k vers le niveau j. On obtient alors la forme brute des ´equations de Bloch i E · [p, ρ]jk , (2.5) dans laquelle on remarque qu’il n’est plus n´ecessaire de connaˆıtre les ´etats propres |j. Dans les cas o` u il n’est pas n´ecessaire de distinguer les rˆoles de E et p, comme la d´erivation des ´equations de taux (cf. chapitre 5) ou l’´ecriture de sch´emas num´eriques pour les ´equations de Bloch (cf. chapitre 8), on notera V = E · p/ pour all´eger les ´ecritures, cette notation ´etant choisie car V joue plus ou moins le rˆ ole d’un potentiel dans l’´equation de Bloch. ∂t ρjk = −iωjk ρjk +
2.1.5 Sym´ etries, propri´ et´ es de positivit´ e Matrice densit´ e La construction des matrices ρ et p induit imm´ediatement certaines propri´et´es de sym´etrie. On d´eduit d’abord de l’expression (2.3) que ρ est hermitienne positive. En effet, si X = t (X1 . . . Xn ) est un vecteur de CN alors
2.1 Les ´equations de Bloch t
XρX =
jk
=
S
Xj∗
∗ pS aSj aSk
S
pS Y
2CN
Xk =
S
pS
11
∗
Xj∗ aSj aSk Xk
jk
≥0
avec Yj = Xj∗ aSj . Deux sous-cas de cette propri´et´e sont particuli`erement int´eressants. Si X a tous ses coefficients nuls sauf le j`eme, alors ceci nous donne que ρjj ≥ 0. Le fait que la trace de ρ vaut 1 donne alors que, pour tout j, 0 ≤ ρjj ≤ 1, ce qui est raisonnable pour une probabilit´e. Un autre cas particulier est fourni dans le cas o` u seuls les j`eme et k`eme coefficients sont non nuls. On obtient alors |ρjk |2 ≤ ρjj ρkk . Ceci veut dire que la coh´erence entre deux niveaux est major´ee par les populations respectives de ces deux niveaux. Ces propri´et´es sont d´eriv´ees de la formule (2.3) et, si l’on peut pr´eparer la donn´ee initiale de l’´equation de Bloch sous cette forme, rien ne permet d’affirmer que la solution aura cette forme a` tout temps t. Reconstruire cette forme reviendrait mˆeme `a dire que aj est un observable, ce qui est faux. En pratique, on perd les informations sur les phases en passant au formalisme de la matrice densit´e. La forme hamiltonienne des ´equations de Bloch (2.5) permet n´eanmoins d’assurer que les propri´et´es sont conserv´ees au cours du temps. La mani`ere la plus simple de montrer ceci est de remarquer que la solution de l’´equation de Bloch (2.5) est t i i t H(τ ) dτ ρ(0) exp H(τ ) dτ . ρ(t) = exp − 0 0 (Cette forme sera ´egalement utilis´ee pour la d´erivation des sch´emas num´eriques au chapitre 8). On a alors t i t t H(τ ) dτ X . Xρ(t)X = Y ρ(0)Y avec Y = exp 0 L’ajout de termes de relaxation qui est l’objet du paragraphe 2.1.6 ne permettra pas de v´erifier automatiquement cette propri´et´e et ce probl`eme sera analys´e au paragraphe 3.2. Matrice des moments dipolaires La matrice p est ´egalement hermitienne par construction. La parit´e de r implique que si |j et |k sont de mˆeme parit´e alors le coefficient pjk est nul. En particulier, les ´el´ements diagonaux pjj sont tous nuls. Pour les mˆemes raisons, il est impossible dans un mat´eriau centro-sym´etrique que les coefficients p12 , p13 et p23 soient tous non nuls.
12
2 Mod`ele physique
2.1.6 Mod` eles de relaxation Pourquoi introduire des termes de relaxation ? Lors de la d´erivation de l’´equation de Liouville, nous avons suppos´e que la statistique ´etait stationnaire. Non seulement cela n’est pas le cas mais en plus il n’y a aucune fa¸con d’acc´eder `a cette statistique. Il nous faut donc traiter cette approximation de mani`ere ph´enom´enologique et ceci se traduit par un terme de type relaxation dans les ´equations de Bloch. D’autres ph´enom`enes donnent lieu a` des termes de relaxation tels que les collisions et les perturbations thermiques (dans des fluides), les vibrations dans les r´eseaux cristallins, etc. L’introduction de ces relaxations a aussi l’avantage de permettre de mod´eliser l’´emission spontan´ee, ce qui est impossible avec le mod`ele brut de Bloch (2.5). On ´ecrit donc ∂t ρjk = −iωjk ρjk +
i E · [p, ρ]jk + Q(ρ)jk .
(2.6)
Il existe diff´erents mod`eles de relaxation dans la litt´erature physique mais pas de terminologie pour les distinguer. La terminologie donn´ee ici n’est donc pas classique. Si parfois deux mod`eles coexistent dans une r´ef´erence, leurs liens rigoureux, voire les limites de validit´e, ne sont jamais donn´es. C’est pourquoi la d´etermination d’un bon mod`ele de relaxation est n´ecessaire. On appelle relaxations transverses les termes affectant les coh´erences Q(ρ)jk avec j = k, et relaxations longitudinales ceux qui affectent les populations Q(ρ)jj . Parmi les ph´enom`enes cit´es ci-dessus, certains ne donnent de contribution qu’aux relaxations transverses (comme les collisions) alors que d’autres donnent lieu a` des relaxations des deux types. Physiquement, les relaxations transverses dominent les relaxations longitudinales, et ce souvent de plusieurs ordres de grandeur. Relaxations transverses La complexit´e des ph´enom`enes entrant en jeu dans les relaxations transverses est telle que le mod`ele choisi pour ces termes est paradoxalement plus simple car plus ph´enom´enologique que ceux introduits pour les relaxations longitudinales. Ainsi, pour j = k, on introduit le taux de relaxation γjk > 0 et Q(ρ)jk s’´ecrit Q(ρ)jk = −γjk ρjk . En l’absence de champ ´electromagn´etique, on a ∂t ρjk = −(iωjk + γjk )ρjk et ainsi limt→+∞ ρjk (t) = 0. Les coh´erences ont un ´etat d’´equilibre nul. Par ailleurs, il est clair que le caract`ere hermitien de la matrice densit´e ne peut ˆetre assur´e que si γjk = γkj .
2.1 Les ´equations de Bloch
13
Relaxations longitudinales — Mod` ele uni-niveau Un mod`ele tr`es largement pr´esent dans la litt´erature [3, 12, 18, 24] est celui que nous appelons uni-niveau puisqu’il ne fait intervenir qu’un seul niveau :
o` u
Q(ρ)jj = −γjj (ρjj − ρejj ) ,
ρejj
(2.7)
est l’´etat d’´equilibre du niveau j. La solution de l’´equation ∂t ρjj = Q(ρ)jj (´evolution sans champ ´electromagn´etique) est alors t ρjj (t) = e−γjj t ρjj (0) + e−γjj (t−τ ) γjj ρejj (τ ) dτ , 0
ce qui donne pour trace t −γjj (t−τ ) e −γjj t Tr(ρ(t)) = e γjj ρjj (τ ) dτ . e ρjj (0) + 0
j
Les seules solutions pour assurer la conservation de la trace sont alors de choisir tous les taux de relaxation γjj ´egaux ou de faire d´ependre les ´etats d’´equilibre du temps. Ces deux solutions sont peu physiques. Si ce mod`ele d´ecrit bien le ph´enom`ene de d´epeuplement d’un niveau lorsque celui-ci est trop peupl´e par rapport a` son ´etat d’´equilibre, il d´ecrit moins bien la situation inverse (qui est r´ealis´ee pour au moins un niveau si le syst`eme n’est pas `a l’´equilibre). En effet, le peuplement est alors fonction de la population des autres niveaux et de l’intensit´e de l’onde ´electromagn´etique excitatrice et non de la population du niveau consid´er´e (cf. ´equations de taux, chapitre 5). Ce d´efaut est palli´e par les mod`eles qui suivent. Relaxations longitudinales — Mod` ele en cascade Un mod`ele plus pr´ecis consiste ainsi `a faire d´ependre les apports a` un niveau de la population des autres niveaux. On ´ecrit donc le mod`ele en cascade, d´ecrit par exemple dans [3, 25], Γlj (ρjj − ρejj ) . Γjl (ρll − ρell ) − Q(ρ)jj = l<j
l>j
Pour que ce mod`ele soit coh´erent, il faut que l’´etat d’´equilibre soit solution de Q(ρe ) = 0. On trouve aussi souvent une formulation dont on a supprim´e les ´etats d’´equilibre pour ´ecrire Γjl ρll − Γj ρjj . (2.8) Γlj ρjj = Γjl ρll − Q(ρ)jj = l>j
l<j
l>j
On voit alors que ce mod`ele n’autorise que des relaxations vers le niveau inf´erieur, d’o` u le nom que nous lui avons donn´e. Ici Γjk est le taux de relaxation du niveau l vers le niveau j et Γj = l<j Γlj est le taux de relaxation global du niveau j. La coh´erence de ce mod`ele sera ´etudi´ee `a la lumi`ere du mod`ele suivant.
14
2 Mod`ele physique
Relaxations longitudinales — Mod` ele de l’´ equation maˆıtresse de Pauli Il restait pour ˆetre complet `a autoriser les transitions vers des niveaux sup´erieurs. Ceci donne lieu au mod`ele de l’´equation maˆıtresse de Pauli Q(ρ)jj = Wjl ρll − Wlj ρjj = Wjl ρll − Γj ρjj , (2.9) l=j
l=j
l=j
o` u maintenant Γj = l=j Wlj . On peut trouver ce mod`ele dans [2, 5, 9, 20, 24]. L’´etat d’´equilibre, qui n’apparaˆıt pas explicitement, est en fait cach´e dans la relation entre les taux de relaxation Wjl = Wlj eβ(El −Ej ) ,
(2.10)
o` u β = 1/κT , et κ est la constante de Boltzmann et T la temp´erature. L’´etat d’´equilibre v´erifie alors pour tout j
Wjl ρell − Wlj ρejj = Wlj ρell eβ(El −Ej ) − ρejj 0= l=j
=
l=j
l=j
Wlj ρell eβEl − ρejj e
l=j
βEj
.
Il suffit alors de prendre tous les ρejj eβEj ´egaux et d’utiliser la contrainte Tr(ρe ) = 1 pour obtenir e−βEj ρejj = −βE . l le
D’apr`es l’´equation (2.10), le mod`ele en cascade peut alors ˆetre interpr´et´e comme une version `a temp´erature nulle du mod`ele de l’´equation maˆıtresse de Pauli. Le seul ´etat d’´equilibre alors possible est celui o` u l’´etat fondamental ´ est enti`erement peupl´e. Etant donn´e les valeurs num´eriques typiques des taux de relaxation et les temps sur lesquels on regarde les ph´enom`enes, la notion de temp´erature nulle est plutˆ ot une temp´erature pas trop ´elev´ee, typiquement inf´erieure a` la temp´erature ambiante. Ce qui pr´ec`ede suppose implicitement l’unicit´e de l’´etat d’´equilibre. Ce point est discut´e ult´erieurement (cf. paragraphe 5.4) dans le cadre plus g´en´eral des ´equations de taux. S’il est important de comparer les diff´erents mod`eles de relaxation d’un point de vue th´eorique pour aboutir au meilleur mod`ele possible, ceci peut ˆetre d’un int´erˆet pratique parfois moindre. En effet, une grande partie des cas tests num´eriques que nous avons effectu´es concernent des r´egimes purement transitoires et sont tr`es peu sensibles au mod`ele de relaxation longitudinale utilis´e car celui-ci correspond `a une constante de temps grande devant la dur´ee de ces r´egimes transitoires. N´eanmoins, nous pouvons discriminer ces mod`eles (cf. paragraphe 3.2) du point de vue de leurs propri´et´es physiques et math´ematiques.
2.2 Le syst`eme de Maxwell–Bloch
15
2.2 Le syst` eme de Maxwell–Bloch ´ 2.2.1 Equations de Maxwell Nous consid´erons les ´equations de Maxwell macroscopiques sous l’hypoth`ese de l’absence de charges et de courants de charge : ⎧ ∂t B = − rot E , (Faraday) ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ∂ D = rot H , (Amp`ere) t (2.11) ⎪∇·B=0, (Gauss) ⎪ ⎪ ⎩ ∇·D=0. (Poisson)
Ces ´equations doivent ˆetre ferm´ees par des lois constitutives qui d´ependent du mat´eriau. Dans les milieux qui nous int´eressent la partie magn´etique ne donne pas lieu a` un ph´enom`ene particulier et le d´eplacement magn´etique B s’exprime simplement en fonction du champ magn´etique par B = µ0 H, o` u µ0 est la perm´eabilit´e du vide. En revanche, on ´ecrit de mani`ere classique le d´eplacement ´electrique D en fonction du champ ´electrique et de la polarisation u ε0 est la perP dont l’expression peut ˆetre complexe : D = ε0 ε∞ E + P o` mittivit´e du vide et ε∞ est la permittivit´e relative `a fr´equence infinie. Ainsi, la polarisation constitue une perturbation de la loi constitutive par rapport a la loi lin´eaire `a fr´equence infinie. Cette polarisation traduit l’influence du ` mat´eriau sur le champ ´electromagn´etique. En pratique, l’´equation d’Amp`ere se r´e´ecrit 1 ε 0 ε∞ ∂ t E = rot B − J , avec J = ∂t P , µ0 que l’on peut multiplier par µ0 pour faire apparaˆıtre la vitesse de la lumi`ere √ dans le mat´eriau a` la fr´equence infinie c∞ = c/ ε∞ : 1 ∂t E = rot B − µ0 J . c2∞ La fermeture de ce syst`eme est r´ealis´ee `a travers l’expression de la polarisation P ou de la densit´e de courant J, ce qui est ´equivalent du point de vue des ´equations continues (et nous utiliserons P et ∂t P dans ce contexte). Cette expression est donn´ee au paragraphe 2.2.2 pour obtenir le syst`eme de Maxwell–Bloch et au chapitre 6 pour les syst`emes de Maxwell–Debye et Maxwell–Lorentz. Le choix de discr´etiser P ou J peut en revanche s’av´erer crucial lors de la r´ealisation de sch´emas num´eriques (cf. chapitres 10 et 11). 2.2.2 Couplage via la polarisation La polarisation qui intervient dans l’expression des lois constitutives du milieu pour fermer les ´equations de Maxwell est l’expression macroscopique de l’op´erateur microscopique p. A ce titre, elle s’exprime sous la forme
16
2 Mod`ele physique
P = Na Tr(pρ) = Na < p > , o` u Na est la densit´e volumique des ´el´ements actifs. 2.2.3 Modes de polarisation de l’onde Il convient de ne pas confondre le vecteur polarisation P avec la polarisation de l’onde ´electromagn´etique. On consid`ere en effet souvent que les inconnues du probl`eme ne d´ependent que d’une ou de deux variables d’espace. Dans ces deux cas, le syst`eme de Maxwell se d´ecouple en deux polarisations appel´ees respectivement transverse ´electrique (TE) et transverse magn´etique (TM) qui peuvent n´eanmoins rester li´ees via l’expression de la polarisation P, voire de la permittivit´e relative ε∞ si celle-ci est un tenseur non diagonal dans cette base (voir la conclusion). On suppose dans ce paragraphe que ε∞ est scalaire. ´ Equations de Maxwell unidimensionnelles Le cadre unidimensionnel est celui de la totalit´e des r´esultats num´eriques pr´esent´es dans cet ouvrage. On suppose que les inconnues ne d´ependent que de la variable d’espace z. On peut alors s´eparer les modes TE et TM qui v´erifient respectivement les ´equations ⎧ ⎧ ∂t By + ∂z Ex = 0 , ∂t Bx − ∂z Ey = 0 , ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎨ 1 1 ∂z Bx = −Jy , ∂z By = −Jx , ε0 ε ∞ ∂ t E x + ε0 ε∞ ∂t Ey − ⎪ ⎪ µ µ 0 0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎩ Jy = ∂t Py , Jx = ∂t Px , alors que d’autres ´equations ε0 ε∞ ∂t Ez = −Jz , ∂t Bz = 0 , Jz = ∂t Pz , ∂z Bz = 0 ,
ε0 ε∞ ∂z Ez = ρc , ρc = −∂z Pz ,
ne n´ecessitent pas de calcul particulier. Dans ce contexte unidimensionnel, on fait g´en´eralement (sauf dans un de nos cas test de g´en´eration de seconde harmonique) l’hypoth`ese suppl´ementaire que p = (px , 0, 0). Ceci impose aussi la direction de P = (Px , 0, 0) et ainsi seul le syst`eme ⎧ ∂t By + ∂z Ex = 0 , ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ 1 ∂z By = −Jx , ε0 ε∞ ∂t Ex + ⎪ µ 0 ⎪ ⎪ ⎩ Jx = ∂t Px ,
doit ˆetre ´etudi´e. On simplifie alors les notations en posant E = Ex , B = By , P = Px , J = Jx et p = px .
2.3 Mod`ele ` a deux niveaux d’´energie
17
´ Equations de Maxwell bidimensionnelles La litt´erature pr´esente certaines simulations bidimensionnelles [21, 27]. Comme le but est alors d’exhiber des ph´enom`enes multidimensionnels, il n’est plus possible de faire la deuxi`eme hypoth`ese et p a a priori plusieurs coordonn´ees non nulles. On suppose n´eanmoins que la d´ependance spatiale des inconnues est en x et en y. Ceci d´ecouple ´egalement le syst`eme et en
= (Ex , Ey ) et E = Ez ainsi que des notations similaires pour les posant E autres inconnues, on ´ecrit deux syst`emes d´ecoupl´es r´egissant les modes T Ez et T Mz respectivement : ⎧ ⎧ →
=0,
+− ∂t B + rot E ∂t B rot E = 0 , ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎨ 1 →
− 1 −
= −J , ε0 ε∞ ∂ t E rot B = −J , rot B ε0 ε∞ ∂ t E − ⎪ ⎪ µ µ 0 0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎩
·E
= ρc ,
·B
=0, ε0 ε∞ ∇ ∇ →
= −∂y Vx + ∂x Vy et − o` u rot V rot φ = (∂y φ, −∂x φ). On clˆ ot le syst`eme grˆace
· P . aux relations J = ∂t P , J = ∂t P et ρc = −∇ Ces deux syst`emes sont coupl´es par les polarisations P = Na Tr( pρ) et P = Na Tr(pρ) qui font toutes deux intervenir la matrice densit´e ρ dont le
et E. calcul utilise E
2.3 Mod` ele ` a deux niveaux d’´ energie Le cas des atomes `a deux niveaux d’´energie est celui le plus largement trait´e dans la litt´erature, voire le seul cas envisag´e dans nombre de r´ef´erences. On utilise alors classiquement d’autres variables pour les ´equations de Bloch et donc une autre expression du couplage. 2.3.1 Variables de Bloch ` a deux niveaux Dans la mesure o` u ρ11 + ρ22 vaut toujours 1, il est inutile de consid´erer les populations s´epar´ement. Seule la valeur de ρ22 −ρ11 peut suffire `a reconstruire les deux grandeurs. Malheureusement, ce type de variable est aussi souvent utilis´e avec des mod`eles de relaxation qui ne garantissent pas la conservation de la trace (par exemple, on prend γ11 = 0 (r´eservoir `a l’´etat fondamental) et γ22 = 0 (´etat excit´e)). Dans le cas de la conservation, on a clairement Q(ρ)11 = −Q(ρ)22 , ainsi 2iE · (p21 ρ12 − p12 ρ21 ) + 2Q(ρ)22 . (2.12) De mˆeme, comme la matrice ρ est hermitienne, il n’y a qu’une seule coh´erence a calculer, laquelle est r´egie par l’´equation ` ∂t (ρ22 − ρ11 ) =
∂t ρ12 = −(γ12 + iω12 )ρ12 +
iE · p12 (ρ22 − ρ11 ) .
(2.13)
18
2 Mod`ele physique
2.3.2 Couplage via la polarisation L’expression de la polarisation se simplifie en P = Na (p21 ρ12 + p12 ρ21 ) .
(2.14)
2.3.3 Un mod` ele unidimensionnel Au vu des ´equations (2.12)–(2.13)–(2.14), il est clair qu’´ecrire un mod`ele `a deux niveaux est ´ecrire un mod`ele unidimensionnel. En effet, le champ E n’apparaˆıt dans les ´equations de Bloch qu’` a travers la quantit´e E · p12 . Le mat´eriau ne “voit” que la composante du champ E selon la direction du vecteur p12 . Par ailleurs, la polarisation P est cr´e´ee dans la direction de ce mˆeme vecteur. Dans le plan vectoriel orthogonal a` p12 , les champs E et B sont donc r´egis par les ´equations de Maxwell classiques (pas de couplage avec le milieu). Le mod`ele de Maxwell–Bloch n’est donc utile que dans la direction de p12 . D´ erivation d’´ equations sans phase Notons p12 le module de p12 et ϑ son argument. Si on multiplie l’´equation (2.13) par exp(−iϑ) et l’on note E la composante de E selon p12 , on obtient ∂t ρ12 exp(−iϑ) = −(γ12 + iω12 )ρ12 exp(−iϑ) +
iEp12 (ρ22 − ρ11 ) .
En outre, les ´equations (2.12) et (2.14) peuvent s’´ecrire 2iEp12 (ρ12 exp(−iϑ) − ρ21 exp(iϑ)) + 2Q(ρ)22 , P = Na p12 (ρ12 exp(−iϑ) + ρ12 exp(iϑ)) .
∂t (ρ22 − ρ11 ) =
On remarque que les ´equations de Bloch et la polarisation s’´ecrivent en n’utilisant que deux variables, le nombre d’inversion N = Na (ρ22 − ρ11 ) , et l’amplitude dipolaire A = Na ρ12 p12 exp(−iϑ) . Si on refait les mˆemes calculs que pr´ec´edemment en autorisant le champ E a ˆetre complexe (ce dans l’optique des d´eveloppements asymptotiques, cf. ` chapitre 7), on obtient les ´equations de Bloch a` deux niveaux ∂t A = −(γ12 + iω12 )A + ∂t N =
iEp212 N ,
2i ∗ (E A − EA∗ ) + Q(N ) ,
2.3 Mod`ele ` a deux niveaux d’´energie
19
o` u Q(N ) = Na (W21 − W12 ) − (W12 + W21 )N . On remarque que la phase de p12 a compl`etement disparu des ´equations. Le couplage via la polarisation s’´ecrit alors P = 2 Re(A) . ´ Equations ` a deux niveaux classiques Plus classiquement, les ´equations a` deux niveaux sont ´ecrites en utilisant la variable P telle que A = p12 P, on obtient ainsi ∂t P = −(γ12 + iω12 )P + ∂t N =
iEp12 N ,
2ip12 ∗ (E P − EP ∗ ) + Q(N ) ,
(2.15) (2.16)
et P = 2p12 Re(P) . Ce changement de variables conf`ere une certaine sym´etrie au syst`eme. Mod` ele sans relaxation Reprenons les ´equations (2.15)–(2.16) pour les atomes a` deux niveaux. On se place `a l’´echelle de temps des variations du champ, que l’on suppose beaucoup plus rapide que les ph´enom`enes de relaxation. On suppose de plus que le champ est r´eel. On a alors les ´equations simplifi´ees ∂t P = −iω12 P + ∂t N =
iEp12 N ,
2ip12 E(P − P ∗ ) .
(2.17) (2.18)
En d´erivant par rapport au temps, on trouve i∂t Ep12 E 2 p2 Eω12 p12 2 N+ N − 2 212 (P − P ∗ ) , ∂t2 P + ω12 P= 2 2Ep p 2ip 2ω 12 12 12 12 ∂t2 N + N = ∂t E(P − P ∗ ) + E(P + P ∗ ) . On trouve alors des ´equations qui ressemblent au mod`ele de Lorentz que nous verrons au chapitre 6.
3 Analyse math´ ematique
3.1 Le mod` ele complet et la terminologie Pour effectuer l’´etude math´ematique, il faut r´ecapituler la totalit´e des ´equations ` ´etudier, ce qui n’apparaˆıt jamais dans la litt´erature physique. a ⎧ 1 ⎪ ⎪ ε0 ε ∞ ∂ t E = rot B − ∂t P , ⎪ ⎪ µ ⎪ 0 ⎨ ∂t B = − rot E , (3.1) ⎪ P = Na Tr(pρ) , ⎪ ⎪ ⎪ i ⎪ ⎩ ∂t ρjk = −iωjk ρjk + E · [p, ρ]jk + Q(ρ)jk . Seul le livre de A.C. Newell et J.V. Moloney [19], qui a` bien des ´egards est un livre de math´ematiques, pr´esente des mod`eles complets dans le cadre de l’approximation paraxiale (cf. paragraphe 7.1). Le nom de mod`ele de Maxwell– Bloch y est donn´e au couplage de l’´equation de Schr¨ odinger pour l’enveloppe du champ ´electromagn´etique avec les ´equations de Bloch. P. Donnat et J. Rauch [6] donnent par exemple ce mˆeme nom aux ´equations de Maxwell– Lorentz lin´eaires (cf. paragraphe 6.1.2) aussi appel´e mod`ele de l’oscillateur harmonique, ou non lin´eaires (ou mod`ele de l’oscillateur anharmonique). J.L. Joly, G. M´etivier et J. Rauch [14, 16] font une revue de quelques mod`eles de type Maxwell–Bloch avec des passerelles entre eux dans le cas de milieux a deux niveaux, passerelles qui paraissent difficiles a` g´en´eraliser `a un nombre ` plus ´elev´e de niveaux. L’introduction de relaxations, principalement longitudinales, met ´egalement `a mal la d´erivation de ces mod`eles. Ce chapitre est uniquement consacr´e `a l’analyse math´ematique du syst`eme de Maxwell–Bloch (3.1). La description des mod`eles asymptotiques ´evoqu´es ci-dessus sera l’objet de la partie II.
3.2 Propri´ et´ es math´ ematiques des ´ equations de Bloch Des propri´et´es de sym´etrie et de positivit´e de la matrice densit´e ont ´et´e mises en ´evidence au paragraphe 2.1.5 avant l’introduction de termes de
22
3 Analyse math´ematique
relaxation. Il convient d’´etablir des conditions sur l’op´erateur de relaxation Q pour lesquelles ceci reste vrai. Ce point est l’un des objets de l’article [1] et les r´esultats y sont donn´es pour le mod`ele de l’´equation maˆıtresse de Pauli qui, comme nous l’avons d´ej`a vu, est le plus consistant du point de vue physique. Nous donnons ici les r´esultats pour les trois mod`eles de relaxation d´efinis au paragraphe 2.1.6. La formule de Trotter–Kato nous permet de restreindre l’´etude a` l’´equation de relaxation pure uniquement : ∂t ρ = Q(ρ) .
(3.2)
Lemme 3.1 (Formule de Trotter–Kato). Si ρ est solution de l’´equation ∂t ρ = Lρ + Qρ alors tL tQ
n . ρ(t) = et(L+Q) ρ(0) = lim e n e n ρ(0) n→∞
i On applique ce lemme avec Lρjk = −iωjk ρjk − [V, ρ]jk . On sait d´ej` a que pour l’´equation ∂t ρ = Lρ, la matrice ρ conserve ses propri´et´es de positivit´e et de sym´etrie initiales. Grˆ ace `a la formule de Trotter–Kato, il suffit de la v´erifier pour l’´equation (3.2) seule. 3.2.1 Conservation de la trace Th´ eor` eme 3.2. Les mod`eles en cascade (2.8) et de Pauli (2.9) conservent la trace. Preuve. Si on suppose que la trace est unit´e au temps initial, il suffit de v´erifier que ∂t Tr(ρ(t)) = Tr(∂t ρ(t)) = Tr(Q(ρ(t))) = 0 . Pour le mod`ele en cascade (2.8) Tr(Q(ρ)) = Γjl ρll − Γlj ρjj j
=
j
j
l>j
l>j
Γjl ρll −
l<j
l
Γjl ρll = 0 .
j 0, soit t0 = 0 et pour t > 0, petit, ρjj (t) > 0 ; soit t0 = 0 et il est impossible que ρjj (t0 ) = 0. Ainsi, si W est une matrice dont les coefficients (extra-diagonaux) sont strictement positifs, alors ρjj (t) est strictement positif pour tout t > 0. De plus, comme la fonction ρ(t) est continue par rapport au coefficient matriciel W , si W est seulement positive ρjj (t) reste positive pour tout temps t > 0. Comme, de plus, on a la propri´et´e de trace, ceci d´emontre la condition 3.3. Mod` ele en cascade. Dans le cas du mod`ele de Pauli, il est difficile de se passer de l’argument de continuit´e et de d´emontrer directement des in´egalit´es larges. Il serait donc difficile ´egalement de traiter directement le mod`ele en cascade. Heureusement, on b´en´eficie des efforts pr´ec´edents et au mˆeme titre que le mod`ele en cascade est un cas particulier du mod`ele de Pauli, la condition de positivit´e d´ecoule de la pr´ec´edente. ⊓ ⊔ La condition 3.3 est triviale pour les physiciens a` qui il ne viendrait jamais `a l’id´ee de prendre ces coefficients n´egatifs. 3.2.3 Majoration des coh´ erences Condition 3.4. Sous la condition 3.3, une condition n´ecessaire et suffisante pour que la majoration (3.4) |ρjk (t)| ≤ ρjj (t)ρkk (t)
soit vraie pour tout temps t ≥ 0 est – mod` ele uni-niveau : 2γjk − γjj − γkk > 0 (condition uniquement suffisante), – mod` ele en cascade : 2γjk ≥ Γj + Γk , – mod` ele de Pauli : 2γjk ≥ Γj + Γk − Wjk Wkj .
Preuve. Posons maintenant f (t) ≡ ρjj (t)ρkk (t) − ρjk (t)ρkj (t) et supposons que f (t0 ) s’annule en t0 . Le cas o` u ρjj (t0 )ρkk (t0 ) = 0, et donc ρjk (t0 ) = 0, ne nous int´eresse pas car alors ρjk ≡ 0 pour tout temps. On remarque de plus que ρjj (t)ρkk (t) ≥ 0 est une cons´equence de la condition 3.3. Mod` ele uni-niveau. Si on calcule f ′ pour un temps t quelconque f ′ (t) = −2γjk f (t) + (2γjk − γjj − γkk )ρjj (t)ρkk (t) +γjj ρejj ρkk (t) + γkk ρekk ρjj (t) . Si 2γjk − γjj − γkk > 0, le mˆeme type d’arguments que ci-dessus prouve que f (t) est strictement positif pour tout temps. Un argument de continuit´e fournit la condition suffisante.
3.2 Propri´et´es math´ematiques
25
Mod` ele de Pauli. De mˆeme que pr´ec´edemment f ′ (t) = −2γjk f (t) + (2γjk − Γj − Γk )ρjj (t)ρkk (t) +ρjj (t) Wkl ρll (t) + ρkk (t) Wjl ρll (t) l=k
l=j
= 2γjk f (t) + (2γjk − Γj − Γk + Wjk Wkj )ρjj (t)ρkk (t) +(Wjk ρkk (t) − Wkj ρjj (t))2 +ρjj (t) Wkl ρll (t) + ρkk (t) Wjl ρll (t) . l=j,k
l=j,k
Si 2γjk − Γj − Γk + Wjk Wkj > 0, la quantit´e f (t) est strictement positive pour tout temps. Pour montrer que cette condition est n´ecessaire, on suppose que ρll = 0 pour l = j, k. Mod` ele en cascade. Dans le cas du mod`ele en cascade, les calculs sont identiques mais la quantit´e Γjk Γkj , qui est l’´equivalent de Wjk Wkj , est toujours nulle. ⊓ ⊔ La condition 3.4 est physique (voir par exemple R. Loudon [18]) dans la mesure o` u, comme nous l’avons d´ej`a vu, les relaxations transverses ont les mˆemes origines que les relaxations longitudinales plus d’autres origines. On coll coll , o` u γjk ≥ 0. ´ecrit ainsi souvent γjk sous la forme γjk = 21 (Γj + Γk ) + γjk coll Dans de nombreux contextes physiques, on a mˆeme γjk ≫ Γj + Γk . De plus, coll on choisit tr`es souvent une relaxation de collision γjk qui ne d´epend pas de j et k. Des ordres de grandeur de temps caract´eristiques de ph´enom`enes pris en compte dans les termes de relaxation sont donn´es `a l’appendice B. 3.2.4 Positivit´ e de la matrice densit´ e La condition 3.4 clˆ ot le d´ebat sur la positivit´e de la matrice ρ dans le cas des atomes `a deux niveaux. En revanche, garder une forme g´en´erale de γjk pour l’´etude de la positivit´e de la matrice densit´e pour plus de deux niveaux aboutit a` une impasse car les conditions mises en ´evidence ne recouvrent souvent aucun jeu de coefficients admissibles. C’est pourquoi on se donne une forme particuli`ere pour les coefficients de relaxation transverse : γjk =
1 (Γj + Γk ) + γjcoll + γkcoll − Aj · Ak , 2
(3.5)
o` u γjcoll ∈ R et Aj ∈ RN . On remplace Γj par γjj dans le cas du mod`ele uniniveau. Une telle hypoth`ese n’est pas restrictive du point de vue des exemples de la litt´erature physique. Le coefficient Aj a comme rˆole de rendre la condition un peu plus g´en´erale mais est toujours nul dans les exemples concrets.
26
3 Analyse math´ematique
Condition 3.5. Sous les conditions 3.3 et 3.4, et sous l’hypoth`ese (3.5) sur les taux de relaxation collisionnels et pour tous les mod`eles de relaxation ´etudi´es ici, une condition suffisante de positivit´e de la matrice ρ pour tout temps est γjcoll ≥ 12 |Aj |2 pour tout j. La quantit´e |Aj |2 d´esigne la somme des carr´es des coordonn´ees de Aj . Les notations pour les diff´erentes normes se trouvent `a l’appendice C. Preuve. Soit X = t (x1 , . . . , xN ) ∈ CN et f (t) = X ∗ ρ(t)X. On suppose que t0 est le premier temps pour lequel f (t0 ) = 0. A ce temps, ρ(t0 ) est une matrice hermitienne positive, ce qui assure que ρ(t0 )X = 0 et X ∗ ρ(t0 ) = 0. Mod` ele uni-niveau f ′ (t) = − γjj (ρjj − ρejj )|xj |2 − γjk x∗j ρjk xk j
j,k,j =k
=−
j
γjj (ρjj −
ρejj )|xj |2
+
j
(2γjcoll + γjj − |Aj |2 )ρjj |xj |2
1 1 ( γjj + γjcoll )x∗j ( − ( γkk + γkcoll ) ( ρjk xk ) − x∗j ρjk ) xk 2 2 j j k k =0
+
j
k
=
j
+
k
γjj ρejj |xj |2 +
l
≥0
j
=0
(alj xj )∗ ρjk (alk xk )
j
(2γjcoll − |Aj |2 )ρjj |xj |2
(alj xj )∗ ρjk (alk xk ) .
k
≥0
Mod` ele de Pauli f ′ (t) = Wjk ρkk |xj |2 − Γj ρjj |xj |2 − γjk x∗j ρjk xk j
=
j
− =
k=j
2
Wjk ρkk |xj | −
γjk x∗j ρjk xk +
k=j
2
Wjk ρkk |xj | +
j,k,j =k
Γj ρjj |xj |
(2γjcoll − |Aj |2 )ρjj |xj |2
j
j
j,k
j
j
k=j
2
(2γjcoll + Γj − |Aj |2 )x∗j ρjj xj
j
1 1 − ( Γj + γjcoll )x∗j ( ρjk xk ) − x∗j ρjk ) xk ( Γk + γkcoll ) ( 2 2 j j k k =0
=0
3.3 Probl`eme de Cauchy local
+
(alj xj )∗ ρjk (alk xk ) j
k
=
j
27
k=j
k
≥0
Wjk ρkk |xj |2 +
j
(2γjcoll − |Aj |2 )ρjj |xj |2
+ (alj xj )∗ ρjk (alk xk ) . j
l
k
≥0
Dans les deux cas calcul´es ci-dessus, et bien sˆ ur dans le cas du mod`ele en cascade qui est analogue, une condition suffisante pour que f (t) soit strictement positive est que γjcoll > 21 |Aj |2 pour tout j. Cette condition se relaxe en la ⊓ ⊔ condition γjcoll ≥ 21 |Aj |2 pour que f (t) soit positive. On remarque que la condition 3.5 est plus large que la condition 3.4. R´esumons les conditions de positivit´e pour le mod`ele de l’´equation maˆıtresse de Pauli que nous utilisons ult´erieurement. Th´ eor` eme 3.6. Le mod`ele de Pauli assure la conservation de la trace sans restriction sur ses coefficients. Il assure aussi la positivit´ e des populations (ρjj ∈ [0, 1]) et la majoration des coh´erences (|ρjk |2 ≤ ρjj ρkk ) sous la condition n´ecessaire et suffisante Wjk ≥ 0, 2γjk ≥ Wlj + Wlk − Wjk Wkj . l
l
Par ailleurs, si les coefficients γjk sont de la forme γjk =
1 1 Wlj + Wlk + γjcoll + γkcoll − Aj · Ak , 2 2 l
l
o` u γjcoll ∈ R et Aj ∈ RN alors une condition suffisante de positivit´e de l’op´erateur densit´e ρ est que γjcoll ≥ 21 |Aj |2 .
3.3 Probl` eme de Cauchy local Pour l’´etude math´ematique et la description des sch´emas num´eriques (cf. chapitre 8), il est pratique de regrouper la relaxation et la nutation en un seul op´erateur que nous notons Rn : Rn(ρ)jk = −iωjk ρjk + Q(ρ)jk .
(3.6)
L’´equation de Bloch peut alors s’´ecrire de fa¸con compacte sous forme matricielle
28
3 Analyse math´ematique
i E · [p, ρ] = Rn(ρ) + i[V, ρ] . (3.7) Comme l’´etat d’´equilibre de la matrice densit´e est non nul, il est illusoire de pouvoir effectuer une ´etude directe de cette ´equation dans les espaces de Sobolev. C’est pourquoi on introduit une nouvelle inconnue σ = ρ − ρe . L’´etat d’´equilibre ρe est solution de Rn(ρe ) = 0, ses termes extra-diagonaux sont nuls, et comme les coefficients diagonaux de p sont nuls Tr(pρe ) = 0. Ainsi le syst`eme (3.1) peut aussi s’´ecrire ⎧ 1 ⎪ ⎪ ε0 ε ∞ ∂ t E = rot B − ∂t P , ⎪ ⎪ µ ⎪ 0 ⎨ ∂t B = − rot E , (3.8) ⎪ P = Na Tr(pσ) , ⎪ ⎪ ⎪ i i ⎪ ⎩ ∂t σ = Rn(σ) + E · [p, σ] + E · [p, ρe ] . ∂t ρ = Rn(ρ) +
Pour ´etudier le probl`eme de Cauchy, on se donne les nouvelles inconnues Dj = σjj , Rs(j,k) = Re σjk , Is(j,k) = Im σjk ,
j = 1, . . . , N , 1 ≤ j = k ≤ N ,
1 ≤ j = k ≤ N ,
o` u les s(j, k) sont des entiers tous diff´erents allant de 1 a` N (N − 1), ce qui permet d’ordonner les ´el´ements de la matrice σ. Avec ces notations, les ´equations (3.8) peuvent s’´ecrire comme une ´equation r´egissant la variable U = t (E, B, D, R, I) ∈ RdU avec dU = 2d + 2N 2 − N (en dimension d’espace d) d Aµ ∂µ U + F (U ) , (3.9) ∂t U = µ=1
o` u les matrices Aµ sont sym´etriques et la fonction F (U ) est un polynˆ ome qui ne contient que des monˆomes de degr´e un et deux et qui donc s’annule en U = 0. On peut alors ´enoncer le th´eor`eme suivant. Th´ eor` eme 3.7. Soit un r´eel s > d/2 et U (0, ·) ∈ H s (Rd )dU , alors il existe un temps t∗ ∈]0, ∞] tel que l’´equation (3.9) avec pour donn´ee de Cauchy U (0, ·) admette une unique solution U ∈ C([0, t∗ [; H s (Rd )dU ). De plus, cette solution est continue par rapport aux donn´ees initiales. Preuve. La preuve d´ecoule de consid´erations classiques de la th´eorie hyperbolique semi-lin´eaire que nous d´etaillons ici dans ce cas particulier. La th´eorie g´en´erale et l’application a` d’autres ´equations peut se trouver par exemple dans le livre de T. Cazenave et L. Haraux [4]. Op´erateur lin´eaire unitaire Associons `a l’´equation hyperbolique (3.9) l’´equation lin´eaire
3.3 Probl`eme de Cauchy local
∂t U =
d
Aµ ∂µ U .
29
(3.10)
µ=1
Si on multiplie l’´equation (3.10) par U et que l’on int`egre sur RdU , on obtient
RdU
∂t U · U =
d
RdU µ=1
Aµ ∂µ U · U .
d 2 d dU Comme l’op´erateur (les µ=1 Aµ ∂µ est anti-adjoint sur l’espace L (R ) valeurs a` l’infini sont nulles),
d
RdU µ=1
Ainsi
Aµ ∂µ U · U = 0 .
1 ∂t U 2L2 (Rd )dU = 2
RdU
∂t U · U = 0 .
Notons S(t) le semi-groupe associ´e `a l’´equation d’´evolution lin´eaire (3.10). Ceci signifie que U (t), solution de (3.10), s’´ecrit U (t) = S(t)U0 , en notant U0 la donn´ee initiale du probl`eme de Cauchy. Le calcul ci-dessus montre que cet op´erateur est unitaire dans L2 (Rd )dU : S(t)U0 2L2 (Rd )dU = U0 2L2 (Rd )dU . De mˆeme, en multipliant (−∆)s/2 (3.10) par (−∆)s/2 U , et en utilisant le fait d que l’op´erateur µ=1 Aµ ∂µ est anti-adjoint sur tout espace de Sobolev, le semi-groupe S(t) associ´e `a l’´equation d’´evolution (3.10) est ´egalement unitaire dans H s (Rd )dU : S(t)U0 2H s (Rd )dU = U0 2H s (Rd )dU . Estimation de la partie non lin´eaire Par ailleurs, pour s > d/2, l’espace de Sobolev H s (Rd )dU est une alg`ebre et F (U ) est localement lipschitzienne sur H s (Rd )dU . Ainsi, il existe une constante LR telle que si U appartient a` la boule de rayon R de l’espace H s (Rd )dU (U H s (Rd )dU ≤ R) alors F (U )H s (Rd )dU ≤ LR U H s (Rd )dU . Formulation de Duhamel La formulation int´egrale, dite ´egalement formulation de Duhamel, de l’´equation (3.9) est donn´ee par t S(t − τ )F (U (τ )) dτ . (3.11) U (t) = S(t)U0 + 0
30
3 Analyse math´ematique
Position de la m´ethode de point fixe Avec les ingr´edients pr´ec´edents, une m´ethode de point fixe permet de conclure. En effet, on suppose que la donn´ee initiale U0 appartient a` l’espace de Sobolev H s (Rd )dU , on note R = U0 H s (Rd )dU . Par ailleurs, on d´efinit l’application T par t
T (U )(t) = S(t)U0 +
0
S(t − τ )F (U (τ )) dτ .
Cette application envoie clairement H s (Rd )dU dans lui-mˆeme. Nous allons montrer que T est une contraction dans la boule de rayon 2R. Le lemme du point fixe de Schauder permet alors d’assurer que T admet un unique point fixe, qui est alors solution de la formulation int´egrale (3.11) et donc de l’´equation (3.9). T envoie la boule de rayon 2R de H s (Rd )dU dans elle-mˆeme On suppose donc que U (t) ∈ H s (Rd )dU et U (t)H s (Rd )dU ≤ 2R. t S(t − τ )F (U (τ ))H s (Rd )dU dτ T (U )(t)H s (Rd )dU ≤ S(t)U0 H s (Rd )dU + 0 t F (U (τ ))H s (Rd )dU dτ = U0 H s (Rd )dU + 0 t U (τ ))H s (Rd )dU dτ = R + L2R 0
≤ R + 2RL2R t = R(1 + 2L2R t) .
Il existe t1 (R) = 1/2L2R > 0 tel que (1 + 2L2R t) ≤ 2 pour tout temps t ≤ t1 (R). Alors T (U )(t)2H s (Rd )dU ≤ 2R pour tout t ≤ t1 (R) et T envoie la boule de rayon 2R de H s (Rd )dU dans elle-mˆeme. T est une contraction de la boule de rayon 2R de H s (Rd )dU On consid`ere deux solutions U1 et U2 du probl`eme de Cauchy, qui ont la mˆeme donn´ee initiale U0 . Alors t T (U1 )(t) = S(t)U0 + S(t − τ )F (U1 (τ ))dτ , 0 t S(t − τ )F (U2 (τ ))dτ , T (U2 )(t) = S(t)U0 + 0
d’o` u, de mˆeme que pr´ec´edemment, si t < t1 (R), T (U1 )(t) − T (U2 )(t)H s (Rd )dU ≤ L2R
0
t
U1 (τ ) − U2 (τ )H s (Rd )dU dτ .
3.4 Estimations a priori
31
Prenons le supr´emum en temps sur un intervalle [0, t] ⊂ [0, t1 (R)], T (U1 ) − T (U2 )L∞ (0,t;H s (Rd )dU ) ≤ L2R tU1 − U2 L∞ (0,t;H s (Rd )dU ) . Pour tout t ≤ t∗ (R) < min(t1 (R), 1/L2R ) suffisamment petit, T est une contraction de la boule de rayon 2R de L∞ (0, t; H s (Rd )dU ). Continuit´e par rapport aux donn´ees initiales ˜0 dans la boule de rayon R On se donne deux conditions initiales U0 et U s d dU de H (R ) . Sur l’intervalle de temps d’existence commune des solutions de (3.9) associ´ees `a ces deux donn´ees initiales, on a U (t) = S(t)U0 + ˜ (t) = S(t)U ˜0 + U
t
S(t − τ )F (U (τ ))dτ ,
0
0
t
˜ (τ ))dτ . S(t − τ )F (U
De mˆeme que pr´ec´edemment, on obtient ˜ (t) s d dU ≤ U0 −U ˜0 s d dU +L2R U (t)−U H (R ) H (R )
t
0
˜ (τ ) s d dU dτ. U (τ )−U H (R )
On utilise alors le lemme de Gronwall pour obtenir ˜0 s d dU exp(L2R t) . ˜ (t) s d dU ≤ U0 − U U (t) − U H (R ) H (R ) On en d´eduit la continuit´e par rapport aux donn´ees initiales sur l’intervalle ⊓ ⊔ de temps [0, t∗ (R)], ce qui ach`eve la preuve du th´eor`eme.
3.4 Estimations a priori Obtenir des estimations a priori est int´eressant `a au moins deux ´egards. Tout d’abord, cela constitue le premier pas vers le probl`eme de Cauchy global en temps. De plus, la preuve de stabilit´e non lin´eaire des sch´emas num´eriques d´ecrits au chapitre 10 utilise de telles estimations. Il est impossible d’obtenir des estimations L2 pour la matrice densit´e. En revanche, la variable σ d’´ecart `a l’´equilibre est a` nouveau appropri´ee. Comme la polarisation s’´ecrit P = Na Tr(pσ), celle-ci a ´egalement toutes les chances de pouvoir s’annuler a` l’infini. Dans les d´emonstrations qui suivent, on utilisera souvent le lemme de cancellation suivant dont la preuve est imm´ediate. Lemme 3.8. Soit V1 , V2 ∈ MN,N (C), alors Tr([V1 , V2 ]V1 ) = 0. Les conventions pour les ´ecritures de normes sont donn´ees `a l’appendice C.
32
3 Analyse math´ematique
3.4.1 Estimation L∞ de la matrice densit´ e Les propri´et´es de positivit´e ´etudi´ees ci-dessus concernent d´ej`a un encadrement des populations, qui appartiennent a` l’intervalle [0, 1]. Par ailleurs, un des corollaires de la propri´et´e (3.4) et de la propri´et´e de trace est la majoration des coh´erences : |ρjk | ≤ 1/2. On peut cependant montrer un r´esultat parfois plus fort portant sur tous les termes de la matrice. Estimation 3.9. 1 1 ≤ Tr(ρ2 ) ≤ 1 et Tr(ρ2 ) − 2 + ≤ Tr(σ 2 ) ≤ Tr(ρ2 ) + 1 . N N Preuve. Une autre cons´equence de la condition (3.4) est ⎞2 ⎛ ρjj ⎠ = 1 . ρkk ρjj = ⎝ |ρjk |2 ≤ Tr(ρ2 ) = j,k
j,k
j
Cette estimation est optimale car Tr(ρ2 ) = 1 si, pour tout j, k, on a exacte√ ment ρjk = ρjj ρkk . Le minimum de 1/N est ´egalement atteint dans la configuration o` u les coh´erences sont nulles et toutes les populations sont ´egales `a 1/N . L’´egalit´e Tr(σ 2 ) = Tr(ρ2 ) − 2Tr(ρρe ) + Tr(ρe 2 ) donne l’estimation correspondante sur σ qui est a priori moins fine.
⊓ ⊔
3.4.2 D´ efinition d’une ´ energie physique Bien que cela ne soit d’aucune utilit´e pour les d´emonstrations math´ematiques, il est plus satisfaisant d’utiliser des estimations L2 portant sur des quantit´es correspondant a` une ´energie physique. Conform´ement aux usages, l’´energie potentielle ´electrostatique est donn´ee par 1 ε0 ε∞ |E(t, x)|2 dx 2 Rd et l’´energie potentielle magn´etostatique par 1 1 |B(t, x)|2 dx . 2 Rd µ0 Ces deux quantit´es s’expriment a priori en Joule (cf. appendice A). Comme la matrice densit´e n’a pas de dimension, nous pouvons alors d´efinir l’´energie 1 1 2 2 2 |B(t, x)| + Na ωc Tr(σ )(t, x) dx , ε0 ε∞ |E(t, x)| + E(t) = 2 Rd µ0 o` u ωc est une fr´equence caract´eristique. Au paragraphe 7.2, on pr´esente diff´erents choix de fr´equences caract´eristiques en fonction du type de ph´enom`ene ´etudi´e. Dans nos exemples fortement r´esonnants, il s’agit le plus souvent de la fr´equence de Rabi.
3.4 Estimations a priori
33
3.4.3 Premi` eres estimations L2 Une cons´equence imm´ediate des estimations 3.9 est le lemme suivant. Lemme 3.10. Il existe six constantes C1 , C2 , C3 , C4 , C5 et C6 telles que 1 E2 + Ec σ2 ) , Ec |Tr(Rn(σ)σ)| ≤ C2 ωc Tr(σ 2 ) , 1 Tr([p · E, ρe ]σ)1 ≤ C3 pc ( E2 + Ec σ2 ) , Ec Tr(pRn(σ))2 ≤ C4 p2c ωc2 σ2 , Tr(p · ERn(σ)1 ≤ C1 pc ωc (
Tr(pE · [p, σ])2 ≤ C5 p4c E2 , Tr(E · [p, ρe ]σ)2 ≤ C6 p2c (E2 + Ec2 σ2 ) .
Les coefficients qui interviennent dans ces estimations ont pour but d’assurer que les constantes C1 , C2 , C3 , C4 , C5 et C6 sont sans dimension. Ainsi, pc est un moment dipolaire caract´eristique et Ec un champ ´electrique caract´eristique. 3.4.4 Majoration de l’´ energie La majoration L2 que nous obtenons ci-apr`es ne pr´etend pas `a l’optimalit´e mais elle est suffisante pour une utilisation ult´erieure dans les preuves de stabilit´e num´erique. Estimation 3.11 (Majoration de l’´ energie.). Il existe une constante C qui ne d´epend que des coefficients du syst`eme telle que E(t) ≤ eCωc t E(0) . Preuve. On multiplie scalairement les ´equations de Faraday et d’Amp`ere par B et E respectivement. En utilisant la relation rot B · E = rot E · B − div(E ∧ B) , on a imm´ediatement 1 1 1 1 ε0 ε∞ ∂t |E|2 + ∂t |B|2 + div(E ∧ B) = −∂t P · E . 2 2 µ0 µ0
(3.12)
De par la d´efinition de E(t), on a : 1 ∂t E(t) = −∂t P · E + Na ωc ∂t Tr(σ 2 ) dx . 2 Rd Le lemme de cancellation 3.8, utilis´e avec les matrices V1 = p · E et V2 = σ ou ρe , donne
34
3 Analyse math´ematique
∂t P · E = Na Tr(p · E∂t σ) = Na Tr(p · ERn(σ)) . Ainsi
1 2 ∂t E(t) = Na −Tr(p · ERn(σ)) + ωc ∂t Tr(σ ) dx . 2 Rd On remarque que notre choix de pond´eration de l’´energie rend la variation de l’´energie proportionnelle a` la densit´e du milieu quantique. On utilise ensuite le lemme 3.8 une nouvelle fois avec V1 = σ et V2 = p · E pour obtenir ⎛ ⎞ 1 ∂t Tr(σ 2 ) = Re ⎝ ∂t σjk σkj ⎠ 2 jk ⎞ ⎛ =− γjk |σjk |2 + Wjk σkk ⎠ σjj ⎝
j
jk
−i Re
avec la convention γjj = ∂t E(t) = Na
Rd
pjk · E
k=j
jk
[ρejj − ρekk ]σkj ,
+ ωc
σjj
j
≤ Cωc E(t)
(3.13)
Wkj . On a donc finalement
− Tr(p · ERn(σ)) − ωc
k=j
k=j
jk
γjk |σjk |2 e
Wjk σkk + ωc Im Tr([p · E, ρ ]σ) dx
grˆ ace au lemme 3.10 et au th´eor`eme de Cauchy–Schwarz. La constante C est sans dimension et d´epend de C1 , C2 , C3 , des grandeurs caract´eristiques et de . Ceci prouve l’estimation 3.11. ⊓ ⊔
3.5 Probl` eme de Cauchy global 3.5.1 Mod` ele ` a deux niveaux Les travaux de J.-L. Joly, G. M´etivier et J. Rauch [13] et de P. Donnat et J. Rauch [6] permettent de donner des r´esultats d’existence globale. Mais contrairement a` ce que le titre de ce deuxi`eme article semble indiquer, ils ne traitent pas des ´equations de Maxwell–Bloch mais des ´equations de Maxwell– Lorentz sous diverses formes. En effet, le mod`ele ´etudi´e est un mod`ele `a deux niveaux qui est d´eriv´e par R.H. Pantell et H.E. Puthoff dans [20] : 1 2 ∂t P + ω12 P = CP EN , γ′ 1 ∂t N + (N − N e ) = −CN ∂t PE . γ
∂t2 P +
3.5 Probl`eme de Cauchy global
35
Les coefficients γ et γ ′ sont respectivement les taux de relaxation longitudinale (mod`ele uni-niveau) et transverse. La valeur a` l’´equilibre du nombre d’inversion est not´ee N e et les coefficients de couplage CP et CN . Ce mod`ele est alg´ebriquement tr`es diff´erent du mod`ele de Maxwell–Bloch qui nous int´eresse et des sym´etries sp´ecifiques `a ce cas permettent d’avoir des estimations a priori fines dans L2 et dans H 1 (ce qui nous manque cruellement) ce qui permet d’obtenir des solutions globales dans H 1 . L’extension de ces r´esultats au syst`eme de Maxwell–Bloch n’est pas imm´ediate. 3.5.2 Mod` ele ` a N niveaux Dans [7, 8], E. Dumas ´etudie le probl`eme de Cauchy global pour le mod`ele de Maxwell–Bloch avec un nombre quelconque de niveaux mais sans relaxations longitudinales. Par contre, des relaxations transverses peuvent ˆetre incluses dans le mod`ele. La preuve est inspir´ee de celle r´ealis´ee par J.-L. Joly, G. M´etivier et J. Rauch [15] dans le cadre du couplage des ´equations de Maxwell avec un mod`ele de milieu ferromagn´etique. Existence Le probl`eme de l’existence peut se traiter en prenant E ∈ L2 , B ∈ L2 et ρ ∈ L2 ∩ L∞ . Le fait de ne pas avoir de relaxations longitudinales permet d’assurer que la norme L2 de ρ est born´ee par sa donn´ee initiale (et mˆeme ´egale s’il n’y a ´egalement pas de relaxations transverses). On construit une suite de probl`emes r´egularis´es dans lesquels on a op´er´e une troncature en fr´equence pour les diff´erentes variables. Cette troncature permet d’avoir une injection continue de l’espace des fonctions L2 `a fr´equence born´ee dans L∞ . Ces probl`emes r´egularis´es admettent une unique solution globale. Dans un premier temps, on peut trouver une limite faible aux solutions de ces probl`emes r´egularis´es lorsque la fr´equence de troncature tend vers l’infini. On montre ensuite que cette convergence est en fait forte, en d´ecomposant le champ E en deux contributions, une de rotationnel nul – directement reli´ee `a ρ – et une `a divergence nulle qui v´erifie une ´equation des ondes. Le passage `a la limite dans les termes quadratiques se fait grˆace `a un argument de compensation par compacit´e en utilisant des outils d´evelopp´es par P. G´erard [10] et L. Tartar [26]. Unicit´ e L’unicit´e s’obtient dans un espace un peu plus petit, a` savoir que, outre les r´egularit´es d´ej`a requises pour l’existence, on suppose que les rotationnels de E et de B sont ´egalement dans L2 . Une estimation de type Strichartz due a J.-L. Joly, G. M´etivier et J. Rauch [15] (pour les estimations de Strichartz ` classiques, voir J. Ginibre et G. V´elo [11]) permet pour des fr´equences born´ees de mesurer le d´efaut de l’injection de H 1 dans L2 .
4 Simulations num´ eriques
Les simulations num´eriques permettent de v´erifier que tel ou tel ph´enom`ene est bien pris en compte par le mod`ele consid´er´e. Leur r´ealisation est souvent compliqu´ee par – le manque de donn´ees exp´erimentales sur les coefficients du mod`ele, – le fait que la plupart des variables calcul´ees ne sont pas mesurables, – la superposition de plusieurs effets et donc la difficult´e de d´eterminer un jeu de param`etres pour lequel un ph´enom`ene est pr´edominant. Par ailleurs, pour valider la mod´elisation par le mod`ele de Maxwell–Bloch et les sch´emas num´eriques d´ecrits au chapitre 8, nous avons essay´e de mettre en œuvre des cas tests – qui mettent en ´evidence l’int´erˆet du mod`ele complet et ne pourraient ˆetre r´ealis´es avec un mod`ele approch´e, – que l’on peut juger du point de vue quantitatif. Les r´esultats pr´esent´es ici sont r´ealis´es avec le sch´ema de splitting faiblement coupl´e au sch´ema de Yee (couplage de (9.1) pour l’´equation de Faraday, (10.4) pour l’´equation d’Amp`ere et du sch´ema de splitting d´ecrit au paragraphe 10.3.2).
4.1 Transparence auto-induite Int´erˆet du cas test La transparence auto-induite est un ph´enom`ene que l’on peut mettre en ´evidence avec des mod`eles beaucoup plus simples tels l’´equation de Schr¨ odinger non lin´eaire cubique. Il est ´egalement relativement simple car il ne met en jeu que deux niveaux d’´energie. C’est le cas test utilis´e par R. Ziolkowski, J.M. Arnold et D.M. Gogny [28] pour tester le premier code Maxwell–Bloch. Outre son int´erˆet historique, il permet d’une part de juger quantitativement
38
4 Simulations num´eriques
du r´esultat, et d’autre part de comparer des sch´emas sans pollution par des probl`emes qui apparaissent pour plus de deux niveaux (non conservation de la trace, de la positivit´e, cf. paragraphes 8.1.2 et 8.3). Principe Le principe est le suivant. On ´eclaire un milieu par une onde incidente calibr´ee pour que son intensit´e et son temps d’interaction avec le milieu permette un nombre entier d’inversions de population compl`etes. L’onde transmet de l’´energie au milieu qui le lui restitue int´egralement. Elle ressort du milieu inchang´ee, d’o` u le terme de transparence. C’est l’intensit´e de l’onde qui transforme l’indice du milieu, ce qui permet de combattre sa dispersion naturelle. C’est donc la pr´esence de l’onde qui rend le milieu transparent, d’o` u le terme d’auto-induite. Le cas test se r´ealise dans un milieu unidimensionnel et, en pratique, on injecte un paquet d’onde de la forme Ex (t, z = 0) = E0 sin(ω0 t)/ ch(t/τp ) . Si cette onde se propage sans changer de forme, son aire est alors ´egale `a ωRabi τp π (cf. [28]). Si cette aire est un multiple entier de 2π, il y a un nombre entier k = 21 ωRabi τp d’inversions totales du milieu. Le paquet d’onde associ´e est appel´e un kπ-pulse. L’explication de ce ph´enom`ene se trouve dans le livre de R.W. Boyd [3]. Nous la reportons au paragraphe 7.1.4 comme application de la notion d’enveloppe. R´esultats A l’instant initial, tous les atomes du milieu sont dans le mˆeme ´etat (typiquement l’´etat fondamental). Par ailleurs, la propagation n’affecte pas l’onde. Le milieu va ainsi subir les mˆemes modifications en chaque point du milieu avec uniquement un d´ecalage temporel. Il est donc ´equivalent de repr´esenter les variables (le champ Ex et la population ρ22 ) en un point pendant la dur´ee de la simulation ou en un temps donn´e en tout point de l’espace. Nous choisissons arbitrairement la premi`ere solution. Le premier r´esultat (figure 4.1) d´ecrit l’´evolution temporelle du champ ´electromagn´etique et de ρ22 en deux points du milieu. On peut effectivement v´erifier que le ph´enom`ene se produit exactement de la mˆeme fa¸con en tout point du milieu avec uniquement un d´ecalage en temps. On a ici un 4π-pulse avec quatre inversions totales du milieu. Ces inversions ont lieu pendant la dur´ee du passage de l’onde. Pour montrer cette simultan´eit´e, nous avons trac´e le champ et la matrice densit´e sur la mˆeme courbe, ce qui n´ecessite de normaliser l’amplitude du champ ´electrique (trait plein) a` 1 alors que la population du niveau fondamental (tirets) est en valeurs r´eelles.
4.1 Transparence auto-induite
39
Entrée du milieu 1 E ρ
11
0,5
0
−0,5
−1
1
1,5
2 temps
2,5 −13
x 10
Milieu du milieu 1 E ρ
11
0,5
0
−0,5
−1
1
1,5
2 temps
2,5 x 10
−13
Fig. 4.1. Effet de transparence. Variation temporelle du champ ´electrique (trait plein) et de la population du niveau excit´e (tirets) : l’onde se propage sans changer de forme
Les r´esultats suivants (figures 4.2 et 4.3) mettent en ´evidence la d´ependance en l’intensit´e |E0 |2 et la dur´ee d’impulsion τp . L’intensit´e entre en effet dans la d´efinition de la fr´equence de Rabi, au mˆeme titre que la polarisabilit´e. Il est plus logique de faire changer l’amplitude de l’onde et la dur´ee d’impulsion, qui sont des param`etres d’entr´ee de l’exp´erience que l’on peut imaginer faire varier plus facilement que la polarisabilit´e qui est li´ee au mat´eriau ` la figure 4.1 nous avions obtenu un 4π-pulse en utilisant un consid´er´e. A maximum d’amplitude de E0 = 8, 537 109 V m−1 et une dur´ee d’impulsion de τp = 10−13 s. Le nombre d’inversions totales est `a la fois proportionnel a` l’amplitude E0 et `a la dur´ee d’impulsion τp . La figure 4.2 pr´esente, pour une valeur constante de τp = 10−13 s, l’´evolution de la population ρ11 et du champ ´electromagn´etique Ex au cours du temps au point situ´e `a 30% du milieu et pour trois valeurs de l’amplitude E0 ´egales respectivement `a 8, 537 109 V m−1 , 4, 2685 109 V m−1 et 2, 13425 109 V m−1 . On montre ainsi qu’en divisant l’intensit´e par 2 puis a` nouveau par 2, on
40
4 Simulations num´eriques 1 ρ11 (4π)
0,5
E (4π)
0 −0,5 −1
0
1
2
3 −13
x 10
1 ρ
11
0,5
(2π)
E (2π)
0 −0,5 −1
0
1
2
3 −13
x 10
1 ρ
11
0,5
(π)
E (π)
0 −0,5 −1
0
1
2 temps
3 x 10
−13
Fig. 4.2. G´en´eration de 4π, 2π et π pulses par variation de l’amplitude E0 . Variation temporelle du champ ´electrique (trait plein) et de la population du niveau excit´e (tirets)
obtient a` partir d’un 4π-pulse, un 2π-pulse puis un π-pulse. Sur chacune des sous-figures, ni l’´etalement, ni la vitesse du pulse ne diff`erent, seule l’amplitude (mais cela ne se voit pas puisque la repr´esentation de l’amplitude est normalis´ee `a 1). La figure 4.3 pr´esente, pour une valeur constante de E0 = 8, 537 109 V m−1 , l’´evolution de la population ρ11 et du champ ´electromagn´etique Ex au cours du temps au point situ´e `a 30% du milieu et pour trois valeurs de la longueur d’impulsion τp ´egales respectivement `a 10−13 s, 0, 5 10−13 s et 0, 25 10−13 s. On obtient a` nouveau un 4π-pulse, un 2π-pulse et un π-pulse, en divisant successivement la longueur d’impulsion par 2. Cette fois, l’amplitude est toujours la mˆeme, mais la vitesse et l’´etalement du pulse sont affect´es par la modification de τp .
4.2 G´en´eration de seconde harmonique
41
1 ρ11 (4π) 0,5
E (4π)
0 −0,5 −1
0
1
2
3 −13
x 10
1 ρ
11
0,5
(2π)
E (2π)
0 −0,5 −1
0
1
2
3 x 10
1 ρ
11
0,5
−13
(π)
E (π)
0 −0,5 −1
0
1
2 temps
3 −13
x 10
Fig. 4.3. G´en´eration de 4π, 2π et π pulses par variation de la longueur d’impulsion τp . Variation temporelle du champ ´electrique (trait plein) et de la population du niveau excit´e (tirets)
4.2 G´ en´ eration de seconde harmonique Int´erˆet La g´en´eration de seconde harmonique est ´egalement un ph´enom`ene qui peut s’observer avec des mod`eles asymptotiques. L’apparition de la fr´equence double dans le spectre de l’onde sortante suffit a` juger du r´esultat. Principe Physiquement, l’onde de fr´equence double ne peut apparaˆıtre que dans une polarisation diff´erente de l’onde incidente pour des raisons d’annulations n´ecessaires de coefficients de la matrice des moments dipolaires. Num´eriquement, on peut se permettre de violer ces contraintes et de faire apparaˆıtre
42
4 Simulations num´eriques
la fr´equence double dans la mˆeme polarisation que la fr´equence incidente et donc d’utiliser un code unidimensionnel et a` une seule polarisation. R´esultats La figure 4.4 pr´esente le r´esultat d’une simulation non physique : p12 , p13 et p23 sont choisis ´egaux et non nuls. L’onde incidente a pour fr´equence 1, 256 1015 rad s−1 et la fr´equence double et mˆeme les harmoniques sup´erieures sont visibles, ainsi que des effets de diffusion Raman ´egalement illustr´es au paragraphe 4.4. Les mˆemes valeurs ont ´et´e utilis´ees dans un code `a deux polarisations (mais toujours unidimensionnel) et les r´esultats sont repr´esent´es sur la figure 4.5. Cette fois-ci, le cas test est physique car il respecte la parit´e des fonctions d’ondes d’un milieu centro-sym´etrique. L’onde incidente de fr´equence 1, 256 1015 rad s−1 dans la polarisation Ex induit une onde dans la polarisation orthogonale Ey de fr´equence double. On observe aussi sur cette mˆeme 0
10
log(FFT(E )) x
−1
10
10
10
−2
−3
−4
10
−4
−3
−2
−1
0 fréquence
1
2
3
4 15
x 10
Fig. 4.4. G´en´eration de seconde harmonique – une polarisation. Transform´ee de Fourier du champ apr`es la travers´ee du milieu
4.3 Transfert de coh´erence
43
100 log(FFT(Ex)) log(FFT(Ey))
10−1
10−2
10−3
10−4 −4
−3
−2
−1
0 fréquence
1
2
3
4 15
x 10
Fig. 4.5. G´en´eration de seconde harmonique – deux polarisations. Transform´ee de Fourier des deux polarisations du champ apr`es la travers´ee du milieu
courbe et ´egalement dans la polarisation orthogonale Ey , le ph´enom`ene de redressement optique, qui est le jumeau du doublage de fr´equence, puisqu’il consiste en la soustraction de deux fr´equences identiques (la fr´equence de l’onde incidente dans la polarisation Ex ) pour obtenir une onde de fr´equence nulle.
4.3 Transfert de coh´ erence Int´erˆet Comme son nom l’indique, le transfert de coh´erence est un ph´enom`ene qui met en jeu de mani`ere non accessoire les coh´erences. Contrairement aux deux effets pr´ec´edents, il ne peut pas ˆetre mis en ´evidence avec un mod`ele simplifi´e, la premi`ere ´etape de toutes les d´erivations de mod`eles asymptotiques consistant a supprimer la description des coh´erences (cf. partie II). La r´ealisation d’un ` tel cas test (correspondant `a une r´ealit´e physique, d´ecrite par exemple par
44
4 Simulations num´eriques
D. Suter [25]) justifie donc pleinement le d´eveloppement d’un code Maxwell– Bloch complet. Principe
.. ⌣
|3
.. ⌣
|3
Contrairement au choix habi .. .. .. tuel, l’´etat initial est un ´etat pr´e.. .. ⌣ ⌣ ⌣ ⌣ ⌣ |2 |2 par´e `a trois niveaux dans lequel les deux premiers niveaux sont .. .. .. ⌢ ⌢ ⌢ peupl´es et sont coh´erents (c’est|1 |1 (b) (a) `a-dire ρ12 = 0). Si le moment dipolaire p23 est non nul, on Fig. 4.6: Transfert de coh´erence. Principe. ´ ´ initial, (b) Etat final peut alors transf´erer de la coh´e- (a) Etat rence entre les niveaux 2 et 3. R´esultats Les courbes d’´evolution des populations (figure 4.7) montrent bien le d´epeuplement du niveau 1 au profit du niveau 3, le niveau interm´ediaire ne voyant
0,5
0,4 ρ11 ρ 22 ρ33
0,3
0,2
0,1
0
1,9
2
2,1
2,2
2,3 temps
2,4
2,5
2,6
2,7 −13
x 10
Fig. 4.7. Transfert de coh´erence. Variation temporelle des trois populations
4.4 Effet Raman
45
qu’une l´eg`ere modification de son peuplement. On se situe ici a` des ´echelles de temps o` u la relaxation longitudinale n’a pas eu le temps de jouer un rˆ ole. La figure 4.8 montre que l’amplitude initiale de la coh´erence entre les niveaux 1 et 2 est transf´er´ee `a la coh´erence entre les niveaux 2 et 3 avec une contribution transitoire a` la troisi`eme coh´erence. On arrive donc bien a` simuler le transfert de coh´erence. Nous ne disposons pas de mesures physiques permettant de juger de l’aspect quantitatif de ces r´esultats.
4.4 Effet Raman Int´erˆet L’effet Raman est un ph´enom`ene en g´en´eral ind´esirable car une part de l’´energie initialement dans des fr´equences utiles aux exp´erimentations se trouve captur´ee dans les fr´equences de Stokes et d’anti-Stokes. Il s’ensuit des pertes de rendement. Il est utile de pouvoir mod´eliser ce ph´enom`ene de mani`ere `a pouvoir trouver des param`etres qui rendent l’amplitude des raies
ρ 12 ρ 13 ρ
0,25
23
0,2 0,15 0,1 0,05 0 −0,05 −0,1 −0,15 −0,2 −0,25
1,6
1,8
2
2,2
2,4
2,6 temps
2,8
3
3,2
3,4
3,6 −13
x 10
Fig. 4.8. Transfert de coh´erence. Variation temporelle des trois coh´erences
46
4 Simulations num´eriques
non d´esir´ees les plus faibles possibles. Ici, nous avons au contraire cherch´e des param`etres rendant le ph´enom`ene bien visible. Par ailleurs, ce cas test met clairement en ´evidence l’int´erˆet de consid´erer des ´equations dans les variables temporelles. Les approximations d’enveloppe se font en s´electionnant a priori une ou plusieurs fr´equences utiles. Une m´ethode temporelle permet de tenir compte de toutes les fr´equences. Le r´esultat pr´esent´e ci-dessous met en ´evidence de la diffusion Raman multiple. Il aurait ´et´e difficile de pr´edire la valeur de la fr´equence de Raman ωr et d’´ecrire des ´equations d’enveloppe tenant compte des fr´equences ω0 , ω0 +ωr et ω0 −ωr . Par ailleurs, la sym´etrie des raies est un r´esultat v´erifi´e par les simulations sans qu’il ait ´et´e introduit a priori dans les ´equations. Le ph´enom`ene de triplage de fr´equence ou g´en´eration de troisi`eme harmonique (premi`ere harmonique dans les milieux centro-sym´etriques) vient en outre se combiner `a la diffusion Raman. La reproduction de ce cas test avec des syst`emes d’´equations d’enveloppe aurait n´ecessit´e le couplage d’un grand nombre d’´equations.
log(FFT(Ex)) 100 entrée 1,3µ m 50% 1,3µ m entrée 1,5µ m 50% 1,5µ m
10−1
10−2
10−3
0
0,5
1
1,5 fréquence
2
2,5
3 15
x 10
Fig. 4.9. Constance de la fr´equence Raman. Transform´ee de Fourier du champ ´electrique ` a l’entr´ee et au milieu du mat´eriau pour deux fr´equences incidentes
4.4 Effet Raman
47
Le principe physique du ph´enom`ene de diffusion Raman a d´ej` a ´et´e discut´e au paragraphe 1.2.4. R´esultat L’onde incidente choisie ici est une onde monochromatique de fr´equence ω0 . Le premier r´esultat (figure 4.9) pr´esente des simulations pour des longueurs d’ondes de 1, 5 µm (qui est extrˆemement proche de la r´esonnance avec le mat´eriau) et de 1, 3 µm. Ne pas trop s’´eloigner de la fr´equence de r´esonnance permet de mieux observer les ph´enom`enes qui sont d’intensit´e plus forte. Comme seule la fr´equence de l’onde incidente change et non le mat´eriau, la fr´equence de Raman ωr doit ˆetre la mˆeme pour les deux simulations et ceci est bien v´erifi´e. Un deuxi`eme r´esultat (figure 4.10) est obtenu avec un milieu 10 fois plus dense et pour des longueurs de propagation plus importantes. Ceci a pour premier effet d’intensifier les raies. Par ailleurs, le triplage de fr´equence a log(FFT(Ex)) 100 entrée 30% 50% 70%
ω
0
ω +ω 0
10−1
r
ω0− ωr 3ω0 10−2 ω +2ω 0
r
3ω +ω 0
3ω0− ωr
r
ω0+3ωr
10−3
0
0,5
1
1,5
2
2,5 fréquence
3
3,5
4
4,5
5 15
x 10
Fig. 4.10. Diffusions Raman multiples et triplage de fr´equence. Transform´ee de Fourier du champ ´electrique en diff´erents points du mat´eriau
48
4 Simulations num´eriques
le temps d’avoir lieu et de g´en´erer lui-mˆeme des raies Stokes et anti-Stokes. Enfin, la diffusion multiple a ´egalement le temps de se mettre en place. On peut ainsi identifier de nombreuses raies pr´evues par la th´eorie, sans toutefois les imposer en d´ebut de calcul.
5 Expression quantique de la polarisation : ´ equations de taux
Les ´equations de Bloch constituent bien sˆ ur d´ej`a une expression quantique de la polarisation. Tout en restant dans le domaine de l’approximation quantique, une simplification de ce mod`ele est donn´ee par les ´equations de taux qui d´ecrivent l’´evolution des populations et ne traitent pas des coh´erences. Dans ce chapitre, nous allons rencontrer pour la premi`ere fois la notation ε qui va d´esigner des choses diverses dans cette partie, mais fera toujours r´ef´erence `a une quantit´e petite (longueur d’onde, force du couplage, etc ...). L’obtention d’un mod`ele simplifi´e se fait alors en ´ecrivant des d´eveloppements limit´es des inconnues en ε et en identifiant les ´equations obtenues a` l’ordre dominant en ε. Nous pr´esenterons `a la fois des d´emarches heuristiques et des d´emarches rigoureuses qui permettent en outre de majorer le reste du d´eveloppement et d’assurer que l’ordre dominant est bien repr´esentatif de l’´evolution.
5.1 D´ erivation heuristique des ´ equations de taux Les ´equations de taux sont d´eriv´ees dans le cas particulier o` u l’action de l’onde est faible par rapport aux effets de relaxation. Pour pr´esenter cette approche de mani`ere heuristique, consid´erons un mod`ele unidimensionnel a` deux niveaux. Choisissons le mod`ele de relaxation uni-niveau (2.7) avec un taux de relaxation longitudinale γ et un taux de relaxation transverse γ ′ . C’est la forme sous laquelle les ´equations de Bloch sont peut-ˆetre les plus repr´esent´ees dans la litt´erature physique (voir [23], par exemple). En supposant l’´eclairement monochromatique, E(t) = E0 eiωt , et en utilisant la notation V = E0 p12 /, le syst`eme s’´ecrit ∂t ρ11 = −γ(ρ11 − ρe11 ) + iV eiωt ρ21 − iV ∗ e−iωt ρ12 ,
∂t ρ22 = −γ(ρ22 − ρe22 ) + iV ∗ e−iωt ρ12 − iV eiωt ρ21 , ∂t ρ12 = −(γ ′ + iω12 )ρ12 + iV eiωt (ρ22 − ρ11 ) .
54
´ 5 Equations de taux
L’intensit´e de l’onde est faible dans la mesure o` u l’on suppose que V ≪ γ ′ . On pose V = εv et on cherche des solutions ρ sous la forme ρ = ρ(0) + ερ(1) + ε2 ρ(2) + . . . Plus pr´ecis´ement, nous cherchons l’approximation d’ordre dominant pour chacune des inconnues. On suppose de plus que l’´etat d’´equilibre est l’´etat fondamental (ρe11 = 1 et ρe22 = 0) et que cet ´etat est ´egalement l’´etat initial du syst`eme (au temps −∞). Ordre 0. Les ´equations a` l’ordre 0 sont alors (0)
(0)
∂t ρ11 = −γ(ρ11 − 1) , (0)
(0)
∂t ρ22 = −γρ22 , (0)
(0)
∂t ρ12 = −(γ ′ + iω12 )ρ12 ,
qui, compte tenu des donn´ees initiales choisies, se r´esolvent en ρ(0) (t) = ρe . Ceci donne l’approximation d’ordre dominant pour ρ11 : ρ11 ∼ 1. Ceci est logique dans la mesure o` u on part de l’´etat d’´equilibre pour y retourner apr`es une perturbation de taille ε. Ordre 1. (1)
(1)
A l’ordre 1, nous nous int´eressons aux ´equations r´egissant ρ22 et ρ12 . Celle-ci s’´ecrivent (1)
(0)
(0)
(1)
(1)
∂t ρ22 = −γρ22 + iv ∗ e−iωt ρ12 − iveiωt ρ21 = −γρ22 , (1)
(1)
(0)
(0)
(1)
∂t ρ12 = −(γ ′ + iω12 )ρ12 + iveiωt (ρ22 − ρ11 ) = −(γ ′ + iω12 )ρ12 − iveiωt , (1)
avec la donn´ee initiale est ρ(1) (−∞) = 0, d’o` u ρ22 (t) = 0 et l’ordre dominant pour la coh´erence est t ′ iveiωt (1) ρ12 (t) = −i e−(γ +iω12 )(t−τ ) veiωτ dτ = − . i(ω12 + ω) + γ ′ −∞ Ordre 2. (2)
Enfin, a` l’ordre 2, il nous reste a` ´etudier ρ22 : (2)
(2)
(1)
(1)
∂t ρ22 = −γρ22 + iv ∗ e−iωt ρ12 − iveiωt ρ21
iveiωt iv ∗ e−iωt iωt − ive i(ω12 + ω) + γ ′ −i(ω12 + ω) + γ ′ ′ γ (2) . = −γρ22 + 2|v|2 (ω12 + ω)2 + γ ′ 2 (2)
= −γρ22 − iv ∗ e−iωt
5.2 Analogie avec les ´equations d’Einstein
55
Pour la donn´ee initiale ρ(2) (−∞) = 0, la solution de cette ´equation diff´erentielle est alors t 2|v|2 γ ′ /γ 2γ ′ (2) −γ(t−τ ) 2 e |v| dτ = . ρ22 (t) = 2 (ω21 + ω)2 + γ ′ −∞ (ω21 + ω)2 + γ ′ 2 Cette solution est valable pour des temps t ∼ 1/γ (que l’on peut supposer ≫ 1/γ ′ ), les calculs aux ordres pr´ec´edents ne supposant aucune hypoth`ese sur γ, qui pourrait tout aussi bien ˆetre nul. Sur cette ´echelle de temps, on a ainsi les valeurs `a l’ordre dominant ρ11 (t) ∼ 1 ,
2|V |2 γ ′ /γ , (ω21 + ω)2 + γ ′ 2 iV eiωt ρ12 (t) ∼ − . i(ω12 + ω) + γ ′ ρ22 (t) ∼
Dans le cadre des ´equations de taux, on ne s’int´eresse plus qu’`a la valeur de ρ22 et le calcul de la coh´erence ne sert que de mani`ere interm´ediaire. Il n’est pas possible de coupler cette approche directement avec la formulation quantique du vecteur polarisation dans le cas scalaire, car le couplage se fait via les coh´erences. Cependant, dans le cas vectoriel, on peut imaginer effectuer le couplage grˆ ace `a l’´equation ∂t P = −iNa
E · Tr(p[p, ρ]) .
Le calcul de la polarisation a` partir de la matrice densit´e n’a de toutes fa¸cons un int´erˆet que dans le cas o` u on veut calculer l’effet du milieu sur l’onde. Ceci sort du cadre de la d´erivation heuristique que nous avons pr´esent´ee dans la mesure o` u on a suppos´e le champ connu. Une d´erivation asymptotique rigoureuse dans ce cas g´en´eral est actuellement l’objet de travaux en cours.
5.2 Analogie avec les ´ equations d’Einstein L’analogie avec les ´equations ph´enom´enologiques d’Einstein est flagrante [18, 23, 25]. On se donne une intensit´e d’onde I et trois coefficients A21 , B21 et B12 qui sont respectivement des taux d’´emission spontan´ee, d’´emission stimul´ee et d’absorption. Les ´equations d’Einstein s’´ecrivent alors ∂t ρ11 = B21 Iρ22 + A21 ρ22 − B12 Iρ11 ,
∂t ρ22 = −∂t ρ11 = −B21 Iρ22 − A21 ρ22 + B12 Iρ11 . Ces ´equations sont valables a priori dans toutes les circonstances. Si on se restreint au cas de faible inversion et de faible intensit´e et que l’on supprime
56
´ 5 Equations de taux
le terme d’´emission stimul´ee qui se trouve ˆetre d’ordre sup´erieur, on obtient l’´equation ∂t ρ22 = −A21 ρ22 + B12 Iρ11 qui doit ˆetre compar´ee avec (2)
(2)
∂t ρ22 = −γρ22 + 2|v|2
γ′ , (ω12 + ω)2 + γ ′ 2 2
sachant que ρ11 = 1. On identifie alors A21 = γ et B12 = 2γ ′ /((ω12 +ω)2 +γ ′ ).
5.3 D´ erivation rigoureuse des ´ equations de taux La d´erivation rigoureuse des ´equations de taux est effectu´ee dans [1]. On suppose comme pour la d´erivation heuristique que l’intensit´e de l’onde est d’ordre ε. Par ailleurs, on cherche une ´equation valable, apr`es changement d’´echelle, sur des temps de l’ordre de l’inverse des relaxations longitudinales. La technique employ´ee ne d´epend pas du mod`ele de relaxation longitudinale utilis´e. On ´ecrit donc les ´equations sous la forme ε2 ∂t ρjk = −(iωjk + γjk )ρjk + iε[V (t/ε2 ), ρ]jk + ε2 Q(ρ)jk . Dans la suite, on note ρd un vecteur uniquement constitu´e des populations. On montre alors qu’` a la limite ε → 0, les populations v´erifient une ´equation lin´eaire de Boltzmann de la forme ∂t ρd j = Ψjk (ρd k − ρd j ) + Q(ρd )j . k
Les coefficients Ψjk qui d´ependent du champ et des autres coefficients de l’´equation sont sym´etriques. Pour obtenir ce r´esultat, il faut se placer dans le cadre o` u les relaxations transverses sont uniform´ement minor´ees : ′ inf γjk =: γmin >0.
j =k
Dans le cadre de [1] qui ´etend le mod`ele de Bloch `a nombre infini de niveaux, cette condition est plus forte qu’une simple condition de non annulation des relaxations transverses. Diff´erents cas sont envisag´es pour l’onde. Celui qui permet d’assurer le meilleur taux de convergence (`a savoir O(ε)) est celui o` u le champ est p´eriodique ou quasi-p´eriodique. En revanche, si l’onde est seulement presque p´eriodique, on ne peut pas obtenir un meilleur taux de convergence que o(1). Dans le cas o` u le spectre est continu, l’´equation de taux obtenue est triviale (∂t ρd = 0). Cependant, si le spectre est seulement l´eg`erement ´etal´e autour d’une fr´equence ω, on retrouve les r´esultats du cas presque p´eriodique. Dans le cas o` u les relaxations transverses sont plus petites, `a savoir d’ordre ες avec 0 < ς < 1/2, on obtient une convergence en O(ες ) vers la solution d’une ´equation de taux.
´ 5.4 Etats d’´equilibre des ´equations de taux
57
Nous ne d´etaillons pas ici les preuves qui sont assez longues. On commence tout d’abord par se ramener a` une ´equation ferm´ee qui ne fait intervenir que les populations. Ceci est une technique classique lorsque l’on veut d´eriver des ´equations de Boltzmann dans d’autres cadres applicatifs (cf. [5, 4, 6, 7] par exemple). On simplifie alors l’´equation obtenue en utilisant des arguments de moyennisation pour les ´equations diff´erentielles ordinaires et en sp´ecifiant des formes particuli`eres pour le champ. Dans le cas particulier d’un champ monochromatique E = E0 cos(ωt) (et avec ς = 0), on peut obtenir le mˆeme r´esultat en utilisant des asymptotiques a deux ´echelles de temps. On suppose pour cela que la matrice densit´e d´epend ` du temps rapide t et du temps lent ε2 t. Le r´esultat obtenu est alors une ´equation de taux en temps lent, de coefficients 1 1 1 2 Ψjk = |Vjk | γjk + Wjk . 2 + (ω − ω )2 + γ 2 + (ω + ω )2 2 γjk jk jk jk Comparons a` nouveau avec le r´esultat obtenu de mani`ere heuristique : (2)
(2)
∂t ρ22 = −γρ22 + 2|v|2
γ′ . (ω12 + ω)2 + γ ′ 2
Il n’y pas pas lieu de comparer la partie li´ee aux relaxations longitudinales puisque les deux mod`eles choisis ne sont pas les mˆemes. Pour la partie d’interaction, on ne consid`ere qu’une seule fr´equence ω dans le cas heuristique et deux (±ω) dans l’analyse asymptotique. Le facteur 2 qui diff´erencie l’exponentielle du cosinus fournit l’explication du facteur 4 final. Il y a donc ad´equation entre les r´esultats obtenus par les deux m´ethodes dans le cas monochromatique. Seule la m´ethode de [1] fournit cependant des estimations des restes.
´ 5.4 Etats d’´ equilibre des ´ equations de taux Le comportement en temps long des ´equations de taux est la convergence vers un ´etat d’´equilibre. Nous allons maintenant montrer que, a` donn´ee initiale fix´ee, cet ´etat d’´equilibre est toujours unique. 5.4.1 Hypoth` eses et notations Dans ce qui suit, nous nous int´eressons au cas g´en´eral, o` u l’´equation de taux est donn´ee par ∂t ρd j = Ψjk ρd k − Ψkj ρd j , (5.1) k=j
k=j
o` u Ψjk ≥ 0 pour tout j, k. En notant
Ψjj = −
k=j
Ψkj ,
(5.2)
58
´ 5 Equations de taux
l’´equation (5.1) s’´ecrit matriciellement ∂t ρd = Ψ ρd . L’´equation maˆıtresse de Pauli est de cette forme ainsi que l’´equation de taux obtenue par la m´ethode asymptotique. Dans les cas physiques que nous avons consid´er´es, nous avons `a la fois une contribution de type ´equation maˆıtresse de Pauli et une contribution due a` l’interaction avec le champ. Les coefficients Ψjk en r´esultant sont a` nouveau positifs, mais on pourrait imaginer qu’il existe des colonnes identiquement nulles. Les relations thermodynamiques pour la premi`ere contribution et de sym´etrie pour la deuxi`eme, impliquent alors que les lignes correspondantes sont ´egalement nulles. Ici, nous ne supposons pas de relation particuli`ere outre le fait que Ψjk = 0 si et seulement si Ψkj = 0. (Ceci exclut le mod`ele en cascade, mais pour ce mod`ele, l’´etat d’´equilibre est bien ´evidemment l’´etat fondamental.) La d´efinition (5.2) implique le fait que la somme selon les colonnes des coefficients de la matrice Ψ est nulle, propri´et´e que nous exploitons dans la suite. 5.4.2 Cas de la relaxation de Pauli seule Dans le cas o` u l’´equation de taux ne contient que des termes provenant de l’´equation maˆıtresse de Pauli : Wjk ρd k − Wkj ρd j ∂t ρd j = k=j
k=j
avec Wjk = Wkj eβ(Ek −Ej ) . Nous avons d´ej`a vu au paragraphe 2.1.6 que e−βEj ρd j = −βE k ke
est un ´etat d’´equilibre, qui est l’´etat d’´equilibre thermodynamique. 5.4.3 Dimension du noyau de Ψ Le fait que la somme des coefficients selon les colonnes soit nulle permet d’assurer que 0 est toujours valeur propre de la matrice Ψ . Cela permet ´egalement de donner le vecteur (1 . . . 1) comme vecteur propre `a gauche. Dans le cas le plus g´en´eral, cette direction propre n’est pas toujours unique. D´efinissons un cadre dans lequel on peut assurer l’unicit´e. Pour cela, on d´ecompose RN en sous-espaces stables par Ψ . Au sein de ces sous-espaces, tous les niveaux sont en interaction, directe ou non, via Ψ . Dans chacun de ces sous-espaces, 0 est a nouveau valeur propre. ` Soit X un vecteur propre a` gauche associ´e `a la valeur propre 0 dans l’un de ces sous-espaces, d´efini par les num´eros des lignes k ∈ IL . Il v´erifie pour tout k ∈ IL
´ 5.4 Etats d’´equilibre des ´equations de taux
0=
Xj Ψjk =
j =k,j∈IL
j∈IL
Xj Ψjk −
59
Xk Ψjk ,
j =k,j∈IL
ce qui peut se r´e´ecrire Xk =
j =k,j∈IL
Xj Ψjk
j =k,j∈IL
Ψjk
,
et j =k,j∈IL Ψjk = 0, sauf si le sous-espace est de dimension 1. Les coefficients Ψjk sont positifs. Une telle ´equation assure donc que Xk est barycentre sur la droite r´eelle des Xj avec des poids tous positifs. La valeur Xk appartient ainsi a l’enveloppe des autres Xj . Comme ceci est valable pour tout k, les Xk sont ` tous n´ecessairement ´egaux et on retrouve un vecteur proportionnel au vecteur propre a` gauche (1 . . . 1) d´ej` a annonc´e. Le noyau restreint a` chaque sous-espace est donc de dimension 1, ce qui nous am`ene `a ´enoncer le premier lemme. Lemme 5.1. La valeur propre 0 a pour multiplicit´e le nombre de sous-espaces propres de taille minimale stables par Ψ .
5.4.4 Calcul de l’´ etat d’´ equilibre Conservation de la trace Avec la mˆeme preuve que pour l’´equation maˆıtresse de Pauli, on montre que l’´equation (5.1) conserve la trace, c’est-`a-dire ici la somme des coordonn´ees du vecteur X. Notons par abus de langage Tr(X) cette trace. Les ´etats d’´equilibre correspondent a` ∂Xj /∂t = 0 pour tout j. La variable X est alors vecteur propre a` droite associ´e `a la valeur propre 0 de la matrice Ψ . On utilise a` nouveau la d´ecomposition par blocs d´efinie pour calculer la dimension du noyau de Ψ . Dans chaque sous-espace stable, l’op´erateur Ψ a un noyau de dimension un. Dans chacun de ces sous-espaces, la trace est constante. On peut n´eanmoins distinguer deux cas. Les sous-espaces de dimension 1 correspondent a` des niveaux qui n’interagissent avec aucun autre niveau. La ligne (et la colonne) correspondante est alors identiquement nulle et l’´etat d’´equilibre final conserve les valeurs de la donn´ee initiale des coordonn´ees correspondant aux lignes nulles de Ψ . Les autres sous-espaces stables, de dimension sup´erieure a` 1, ont une dynamique plus complexe que nous traitons dans le paragraphe suivant. Cas des sous-espaces stables minimaux On se restreint maintenant au sous-espace stable minimal de Ψ d´efini par l’ensemble IL de ses indices.
60
´ 5 Equations de taux
Lemme 5.2. (i) Soit Y une ligne de la matrice des cofacteurs de Ψ , alors la quantit´e Y /Tr(Y ) ne d´epend pas du choix de la ligne Y . (ii) Un ´etat d’´equilibre de l’´equation (5.1) est donn´e par ρed =
Tr(X) Y . Tr(Y )
Preuve. On cherche X tel que pour tout j ∈ IL Ψjk Xk = 0 .
(5.3)
k∈IL
On d´efinit Ψ˜jk ∈ M(#IL −1)(#IL −1) (R), le mineur de la matrice Ψ associ´e `a l’´el´ement Ψjk . D´eveloppons la formule pour le d´eterminant de Ψ par rapport a la j`eme ligne : ` 0 = det Ψ = Ψjk (−1)k+1 det Ψ˜jk . (5.4) k∈IL
On aimerait faire un parall`ele entre les ´equations (5.3) et (5.4). Pour cela comparons det(Ψ˜jk ) et det(Ψ˜lk ). Pour les deux calculs, la k`eme colonne n’est pas prise en compte. Comme la somme des colonnes de Ψ est nulle, on peut remplacer la l`eme ligne par l’oppos´e de la somme des autres lignes. Par lin´earit´e du d´eterminant, on obtient une somme de d´eterminants nuls du fait que deux de leurs lignes sont identiques, sauf un qui correspond a` la j`eme ligne qui n’intervient pas dans le calcul de det(Ψ˜jk ). On a alors plus pr´ecis´ement det(Ψ˜jk ) = (−1)j+l+1 det(Ψ˜lk ). Ainsi les vecteurs Y j , dont les coordonn´ees Ykj valent Ykj = (−1)j+k det(Ψ˜jk ) , sont tous colin´eaires. On peut donc prendre une quelconque ligne de la matrice des cofacteurs comme vecteur propre de Ψ associ´e `a la valeur propre 0. Par ailleurs, il faut conserver la trace. L’´etat d’´equilibre est donc ρed = Tr(X)Y , o` u Y = Y j /Tr(Y j ) ne d´epend plus de la ligne j.
⊓ ⊔
Cas g´ en´ eral Comme nous l’avons d´ej`a vu une partie de l’´etat d’´equilibre ne d´epend que de la donn´ee initiale. Ce sont les coordonn´ees correspondant aux lignes nulles de Ψ . Les autres coordonn´ees sont donn´ees, dans chaque sous-espace stable minimal, par les lignes (normalis´ees par la somme des coordonn´ees initiales correspondantes) de la matrice des cofacteurs de la sous-matrice non nulle de Ψ . En particulier, on remarque que mˆeme si la valeur propre 0 n’est pas simple, l’´etat d’´equilibre est unique.
´ 5.4 Etats d’´equilibre des ´equations de taux
61
Lemme 5.3. L’´etat d’´equilibre du probl`eme de Cauchy associ´e a ` l’´equation de taux (5.1) est unique.
Cas particulier sym´ etrique Le cas sym´etrique obtenu par asymptotique via l’interaction avec une onde n’exclut pas le cas des lignes (et colonnes) nulles et donc ne change rien `a la possibilit´e de coordonn´ees ´egales `a leur valeur initiale. En revanche, il n’est pas n´ecessaire de faire appel `a la matrice des cofacteurs pour calculer les autres coordonn´ees, puisque le mˆeme argument d’´equir´epartition que pour les vecteurs propres a` gauche s’applique. Au sein de chaque bloc, on r´epartit donc la trace restante sur les niveaux qui restent a` d´eterminer. Illustrons ceci par un exemple en dimension 3. Soit la matrice Ψ de la forme ⎞ ⎛ −1 1 0 Ψ = ⎝ 1 −1 0 ⎠ . 0 0 0
Ceci d´ecrit deux premiers niveaux qui interagissent et un troisi`eme niveau qui n’interagit pas avec les deux premiers. Si on prend par exemple la donn´ee initiale ρd (t = 0) = t (0.8 0 0.2), l’´etat d’´equilibre est alors ρed = t (0.4 0.4 0.2). 5.4.5 D´ efinition d’une temp´ erature
Le mod`ele de l’´equation maˆıtresse de Pauli est d´etermin´e d’une part par la donn´ee de N (N − 1)/2 coefficients ind´ependants (sous-matrice triangulaire sup´erieure ou inf´erieure de W ) et d’une temp´erature T (on suppose les fr´equences propres du syst`eme donn´ees). Or l’´etat d’´equilibre d´epend uniquement de la temp´erature. Par ailleurs, dans le cas o` u on a un seul bloc, le mod`ele sym´etrique issu de l’interaction avec une onde correspond a` un ´etat d’´equilibre ´equir´eparti entre les diff´erents niveaux. Le mod`ele sym´etrique est donc un mod`ele `a temp´erature infinie. En revanche, nous ignorons si on peut ´egalement associer une temp´erature a un mod`ele somme du mod`ele de l’´equation maˆıtresse de Pauli et d’un mod`ele ` sym´etrique et obtenir ainsi une description thermodynamique de l’´equation de taux (5.1). 5.4.6 N´ egativit´ e de l’op´ erateur de taux Pour qu’une solution de l’´equation de taux tende vers son ´etat d’´equilibre, il faut que les valeurs propres non nulles soient n´egatives. Ce r´esultat d´ecoule du th´eor`eme de Gerschgorin–Hadamard, que, pour les besoins de la cause, nous ´enon¸cons ici pour des vecteurs propres `a gauche.
62
´ 5 Equations de taux
Lemme 5.4. Soit λM une valeur propre de la matrice M et X M un vecteur propre a ` gauche associ´e. Soit j la plus grande coordonn´ee en module du vecteur ` savoir X M, a |XjM | = max{|XkM | / 1 ≤ k ≤ N } . Alors
|λM − Mjj | ≤
k=j
|Mkj | .
On applique ce th´eor`eme `a la matrice de l’op´erateur de taux, a` savoir Mjk = Ψjk , si j = k et Mjj = − k=j Ψkj . En rappelant que Ψjk ≥ 0, on d´eduit du th´eor`eme de Gerschgorin–Hadamard que Mkj = − Ψkj + Ψkj = 0 . λM ≤ Mjj + k=j
k=j
k=j
Les valeurs propres d’un op´erateur de taux sont bien n´egatives et il y a donc bien “relaxation”.
6 Expressions classiques de la polarisation
6.1 Mod` eles lin´ eaires La relation constitutive du mat´eriau s’´ecrit dans le cas lin´eaire sous la forme ∞ D(t, x) = ε0 ε∞ E(t, x) + ε0 E(τ, x)χ(1) (t − τ ) dτ (6.1) −∞
o` u χ(1) est la susceptibilit´e lin´eaire relative ´electrique. La quantit´e P(t, x) = D(t, x) − ε0 ε∞ E(t, x) est alors la polarisation lin´eaire. Nous nous int´eressons ici plus particuli`erement ` deux mod`eles de mat´eriaux, qui sont les plus couramment utilis´es : les a mat´eriaux de Debye pour lesquels la polarisation est r´egie par une ´equation de retard et les mat´eriaux de Lorentz pour lesquels la polarisation est un oscillateur harmonique. Ces mod`eles peuvent ˆetre exprim´es de plusieurs fa¸cons ´equivalentes : – par la donn´ee de la susceptibilit´e χ(1) (t), – par la donn´ee de la permittivit´e relative εr (ω). – par une ´equation diff´erentielle en temps r´egissant la polarisation ou le d´eplacement ´electrique. La permittivit´e relative se d´efinit comme suit dans le domaine fr´equentiel. On suppose que le champ E(t, x) est monochromatique de fr´equence ω. Il s’´ecrit u k est appel´e vecteur d’onde. Alors donc E(t, x) = E0 exp(i(ωt − k · x)), o` D(t, x) est donn´e par D(t, x) = ε0 εr (ω)E(t, x) . Pour que l’onde se propage dans le milieu, il doit y avoir, comme pour tous les mod`eles lin´eaires, un lien entre ω et k, appel´e relation de dispersion. Celle-ci est de la forme εr (ω)ω 2 = c2 k · k.
64
6 Expressions classiques de la polarisation
6.1.1 Mod` ele de Debye Alors que la pr´esence du champ ´electromagn´etique a tendance a` aligner toutes les mol´ecules d’un milieu pour rendre leur moment dipolaire parall`ele au champ ´electrique, l’agitation thermique tend a` redistribuer de mani`ere al´eatoire ces mol´ecules. La fr´equence typique associ´ee `a ce ph´enom`ene s’´echelonne suivant les mat´eriaux entre un kilohertz et quelques gigahertz (cf. appendice B). Dans ce mod`ele, dit mod`ele de Debye, la susceptibilit´e est donn´ee par χ(1) (t) =
εs − ε∞ −t/tr h(t) , e tr
o` u εs est la permittivit´e relative statique (c’est-`a-dire a` fr´equence nulle), tr le temps de relaxation et h(t) est la fonction marche unit´e (aussi appel´ee fonction de Heaviside). On en d´eduit l’expression de la permittivit´e relative εr (ω) εr (ω) = ε∞ +
εs − ε∞ . 1 + iωtr
(6.2)
Si on veut maintenant ´ecrire une ´equation pour la polarisation, ce mod`ele de mat´eriau se traduit par une ´equation de retard tr ∂t P + P = ε0 (εs − ε∞ )E .
(6.3)
Certaines m´ethodes num´eriques utilisent une discr´etisation de D au lieu de P. L’´equation ´equivalente a` (6.3) est alors t r ∂ t D + D = t r ε 0 ε∞ ∂ t E + ε0 ε s E . 6.1.2 Mod` ele de Lorentz La comp´etition entre l’effet du champ ´electrique local qui tend a` d´ecentrer le noyau de la sph`ere charg´ee et l’attraction coulombienne donne lieu a` l’apparition d’une polarisation sur des ´echelles de temps tr`es rapides qui peuvent 10 Re(k) Im(k)
8 6 4 2 0 −2 −4
9
10
11
12 log(ω)
13
14
15
Fig. 6.1. Nombre d’onde en fonction de la fr´equence pour un mod`ele de Debye. On a choisit les param`etres de l’eau : ε∞ = 1, 8, εs = 81 et tr = 9, 4 10−12 s
6.1 Mod`eles lin´eaires
65
entrer en r´esonnance avec les fr´equences propres des atomes. Cet effet donne lieu au mod`ele de Lorentz, pour lequel la susceptibilit´e est donn´ee par ω12 (εs − ε∞ ) −ν1 t/2 (1) 2 2 χ (t) = 2 ω1 − ν1 /4t h(t) , sin e ω1 − ν12 /4
o` u ω1 est la fr´equence de r´esonnance et ν1 le coefficient d’amortissement. La relation de dispersion fait maintenant intervenir une permittivit´e relative de la forme ω 2 (εs − ε∞ ) . (6.4) εr (ω) = ε∞ + 2 1 ω1 + iων1 − ω 2 L’´equation pour la polarisation est celle d’un oscillateur harmonique ∂t2 P + ν1 ∂t P + ω12 P = ε0 (εs − ε∞ )ω12 E .
(6.5)
Comme pour le mod`ele de Debye, on peut ´ecrire une ´equation qui relie E et D : ∂t2 D + ν1 ∂t D + ω12 D = ε0 ε∞ ∂t2 E + ε0 ε∞ ν1 ∂t E + ε0 εs ω12 E . Le mat´eriau peut bien entendu pr´esenter plusieurs fr´equences de r´esonnance : ω1 , . . .ωnf . A chacune de ces fr´equences ωp , on associe ´egalement un taux d’amortissement νp et la susceptibilit´e s’´ecrit εr (ω) = ε∞ +
nf ωp2 (εs − ε∞ ) . ω 2 + iωνp − ω 2 p=1 p
La polarisation lin´eaire se d´ecompose alors en plusieurs contributions P1 , . . ., Pnf , nf Pp P= p=1
6 Re(k) Im(k)
4 2 0 −2 −4 −6
9
10
11
12 log(ω)
13
14
15
Fig. 6.2. Nombre d’onde pour un mod`ele de Lorentz. On a choisit les param`etres : ε∞ = 1, 5, εs = 3, ω1 = 10π 1010 rad s−1 et ν1 = 1010 rad s−1
66
6 Expressions classiques de la polarisation
qui sont solution des ´equations ∂t2 Pp + νp ∂t Pp + ωp2 Pp = ε0 (εs − ε∞ )ωp2 E .
6.1.3 Optique lin´ eaire instantan´ ee L’optique lin´eaire instantan´ee correspond `a la convolution avec une masse de Dirac χ(1) (t) = χδ ˜ t=0 . On obtient alors D(t, x) = ε0 ε∞ E(t, x) + ε0 χE(t, ˜ x) . On fait un changement de variables pour d´efinir une susceptibilit´e lin´eaire χ(1) qui contient toutes les d´eviations par rapport au cas du vide et D(t, x) = ε0 (1 + χ(1) )E(t, x) . Cette nouvelle variable permet de d´efinir simplement l’indice de r´efraction lin´eaire du milieu n0 = 1 + χ(1) et le champ ´electrique est alors r´egi par l’´equation des ondes : c2 ∂t2 E − 2 ∆E = 0 . n0 Cette forme est largement suffisante pour de nombreuses applications o` u la lumi`ere n’est pas intense et o` u il n’y a pas de r´esonnances avec le milieu.
6.2 Mod` eles non lin´ eaires De la mˆeme mani`ere que dans le cas lin´eaire, on peut ´ecrire une formulation non lin´eaire de la polarisation bas´ee sur des convolutions : t 1 (1) χjk (t − τ )Ek (τ )dτ Pj (t) = ε0 −∞ t t (2) + χjkl (t − τ1 , t − τ2 )Ek (τ1 )El (τ2 )dτ1 dτ2 −∞ −∞
+
t t t
−∞ −∞ −∞
(3)
χjklm (t − τ1 , t − τ2 , t − τ3 )Ek (τ1 )El (τ2 )Em (τ3 )dτ1 dτ2 dτ3
+ ... Les susceptibilit´es `a chaque ordre peuvent ˆetre de chacun des types pr´ec´edents. Par exemple, R.W. Ziolkowski [27] pr´esente un mod`ele o` u P = PL + PNL . La L polarisation lin´eaire P est r´egie par un mod`ele de Lorentz et la polarisation
6.3 Autres d´eveloppements
67
non lin´eaire PNL est la somme d’un effet Raman (que nous avons d´ecrit au NL chapitre 1 et d’un effet Kerr instantan´e `a savoir PNL = PNL Raman +PKerr . La non lin´earit´e Raman se traduit par une ´equation du type oscillateur anharmonique pour une fraction de la susceptibilit´e non lin´eaire ∂t2 χNL + Γr ∂t χNL + ωr2 χNL = εr ωr2 |E|2 , NL o` u Γr est un taux de relaxation relatif a` l’effet Raman et PNL E. Raman = ε0 χ La non lin´earit´e Kerr instantan´ee est donn´ee par Kerr PNL |E|2 E . Kerr = ε0 χ
Cette formulation suppose que l’on connaˆıt la valeur de la fr´equence Raman. C’est le probl`eme de tous les mod`eles classiques, qui supposent pour les ´ecrire que l’on connaisse a priori les fr´equences en sortie de dispositif. Gilles et al. [13, 14] proposent un mod`ele similaire. On peut imaginer tous autres types de configuration en fonction des conditions d’exp´erience, la d´erivation rigoureuse de ces ´equations a` partir le syst`eme de Maxwell-Bloch en identifiant clairement les hypoth`eses sur les param`etres ´etant un champ d’´etudes largement vierge. Le milieu de type Kerr le plus classique est celui o` u il n’y a qu’une non u n2 est l’indice de lin´earit´e Kerr instantan´ee et o` u PNL = ε0 n2 |E|2 E, o` r´efraction non lin´eaire. C’est ce contexte, associ´e `a une formulation d’enveloppe pour l’onde, qui aboutit a` l’´equation de Schr¨ odinger non lin´eaire cubique.
6.3 Autres d´ eveloppements Les d´eveloppements classiques pr´esent´es ci-dessus et amplement d´ecrits dans toute la litt´erature physique (voir par exemple [2, 3, 18, 24, 26]) sont bas´es sur des d´eveloppements limit´es de la polarisation en le champ ´electrique E. La courbe 6.3 pr´esente la population ρ11 et la valeur absolue renormalis´ee du champ ´electrique (dans le cas test de la transparence auto-induite mais ce ph´enom`ene a lieu dans tous les cas test). Le mod`ele utilis´e est celui de Maxwell–Bloch. On voit que l’´evolution de la population comporte des plateaux. Il n’est peut-ˆetre pas fondamental d’´elaborer un mod`ele simplifi´e qui en rende compte mais on remarque que ces plateaux ont lieu aux points d’annulation des d´eriv´ees temporelles de E. On peut donc imaginer ´ecrire des expressions de la polarisation P qui font intervenir les d´eriv´ees spatiales et temporelles de E (voire de B). Dans [28], on donne un contexte d’une telle d´ependance en la d´eriv´ee temporelle de E. Par ailleurs, en reprenant les calculs du paragraphe 2.3.3 (mod`ele unidimensionnel a` deux niveaux), on voit qu’aux temps o` u E s’annule, ∂t E atteint un extr´emum local et les ´equations pour P et N s’´ecrivent
68
6 Expressions classiques de la polarisation 1 champ population
0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
temps
1,9
2
2,1 −13
x 10
Fig. 6.3. D´etails de l’´evolution temporelle des populations dans une exp´erience de transparence auto-induite
i∂t Ep12 N , 2ip12 ∂t2 N = ∂t E(P − P ∗ ) .
2 ∂t2 P + ω12 P=
Le milieu est alors fortement influenc´e par la d´eriv´ee temporelle du champ. Par contre, la polarisation (qui vaut P = 2 Re(P)) n’en d´epend pas.
7 ´ Equations d’enveloppe
Au vu des r´esultats num´eriques du chapitre 4, on remarque que, mˆeme `a l’´echelle de temps courte utilis´ee pour les simulations (quelques femtosecondes), il existe plusieurs ´echelles de ph´enom`enes : celle correspondant `a la fr´equence des ondes et celle correspondant `a l’enveloppe. Le cas test de la transparence auto-induite a ´et´e pr´esent´e sous cette forme, l’enveloppe ´etant donn´ee par E0 / ch((t − z/v)/τp ) et la fr´equence rapide par ω0 . Pour certains ph´enom`enes ne faisant principalement intervenir qu’un nombre fini de fr´equences, on peut d´evelopper des mod`eles d’´equations d’enveloppe, aussi appel´ees ´equations d’amplitude. Nous pr´esentons ici deux approches. La premi`ere est une approche heuristique utilis´ee par les physiciens qui permet d’aborder le probl`eme sans toutefois garantir la qualit´e de l’approximation. La deuxi`eme approche fait appel a` l’optique g´eom´etrique et permet de contrˆ oler l’erreur commise au prix d’une th´eorie relativement ardue que nous ne ferons qu’´evoquer. Il s’agit ici plutˆ ot de donner des outils utilis´es dans des contextes proches, que de traiter du probl`eme g´en´eral pour les ´equations de Maxwell–Bloch, ce probl`eme restant tr`es largement `a d´efricher et ´etant l’objet de travaux en cours.
7.1 Approche heuristique 7.1.1 Suppression du d´ eplacement magn´ etique Le calcul du d´eplacement magn´etique B n’intervient dans le mod`ele ci-dessus que comme interm´ediaire. Il ne joue en particulier aucun rˆ ole dans le couplage avec le milieu car nous nous pla¸cons dans le cadre de l’approximation dipolaire. C’est pourquoi nous allons ´ecrire une ´equation qui ne porte que sur la partie ´electrique (champ et polarisation). Pour ce faire, on d´erive formellement en temps l’´equation d’Amp`ere
70
´ 7 Equations d’enveloppe
ε0 ε∞ ∂t2 E =
1 rot ∂t B − ∂t2 P , µ0
et on tient compte de l’´equation de Faraday ε0 ε∞ ∂t2 E = −
1 rot rot E − ∂t2 P . µ0
En utilisant la c´el`ebre relation rot rot = ∇ div −∆ et la relation constitutive E = (D − P)/ε0 ε∞ , on obtient l’´equation des ondes ∆E −
1 1 ε∞ 2 ∇ div P . ∂ E= ∂2P − c2 t ε0 c2 t ε0 ε∞
(7.1)
7.1.2 Approximation paraxiale On se place ensuite dans le cadre dit de l’approximation paraxiale, qui suppose une forme particuli`ere des solutions. Celles-ci sont d´ecrites comme une perturbation d’une onde plane de fr´equence ω et de vecteur d’onde k = kz uz , polaris´ee dans la direction du vecteur unitaire u (qui ne peut pas avoir de composante selon la direction de propagation z : u · uz = 0). La perturbation est donn´ee par une enveloppe A qui d´epend de toutes les variables de l’espace-temps : le vecteur position x et le temps t. E = A(t, x) exp(i(kz z − ωt)) u + c.c. On fait l’hypoth`ese que la polarisation a les mˆemes caract´eristiques de polarisation que le champ ´electrique et on note Π son enveloppe : P = Π(t, x) exp(i(kz z − ωt)) u + c.c. Le calcul de ∇ div P montre que ce terme couple les diff´erentes polarisations et dans ce cadre l’hypoth`ese de mˆeme polarisation pour P et E n’est pas vraiment viable. Ce genre de d´eveloppement pour le syst`eme de Maxwell–Bloch n’existe pas dans la litt´erature mais m´eriterait d’ˆetre ´etudi´e. Nous nous pla¸cons donc pour la suite dans le cadre classique o` u la polarisation est proportionnelle a` E auquel cas ∇ div P = 0. Alors l’´equation des ondes (7.1) se r´e´ecrit ε∞ 2 ∂t A − 2iω∂t A − ω 2 A 2 c 1 2 ∂t Π − 2iω∂t Π − ω 2 Π . = 2 ε0 c
∆A + 2ikz ∂z A − kz2 A −
7.1.3 Suppression de l’´ echelle rapide Cette derni`ere formulation n’apporte rien par rapport a` la formulation initiale. Elle serait mˆeme plus difficile `a discr´etiser num´eriquement car du second ordre. Cependant l’Ansatz effectu´e sur les solutions a pour but de pouvoir s´eparer
7.1 Approche heuristique
71
l’´evolution rapide (l’onde plane) de l’´evolution lente (l’enveloppe). Ceci se traduit math´ematiquement par les hypoth`eses de l’approximation de l’enveloppe lentement variable : ∂t2 A ≪ ω∂t A ≪ ω 2 A et ∂z2 A ≪ kz ∂z A ≪ kz2 A . De plus, si l’onde plane se propage dans le milieu, c’est que la relation de dispersion ε∞ kz2 = 2 ω 2 c est v´erifi´ee. Ces simplifications m`enent a` une ´equation de type Schr¨ odinger i ikz 1 ∂t A − ∆⊥ A = Π, ∂z A + √ ε∞ c 2kz 2ε0 ε∞ o` u ∆⊥ d´esigne le laplacien selon les variables transverses x et y. L’´echelle de variation en temps de cette ´equation est maintenant celle de l’enveloppe. On peut donc esp´erer utiliser ce mod`ele pour des simulations sur de plus grandes distances de propagation. √ On peut effectuer le changement de variable z ′ = z et t′ = t − z/ ε∞ c pour obtenir i ikz ∂z′ A − ∆⊥ A = Π. 2kz 2ε0 ε∞ Remarque 7.1. La variable d’´evolution naturelle correspond a` un rep`ere qui se d´eplace avec l’onde dans la direction longitudinale. Il faut faire attention lors de couplages avec des mod`eles pour le milieu qui sont en g´en´eral statiques.
7.1.4 Transparence auto-induite En n´egligeant les effets transverses, l’´equation de Schr¨ odinger non lin´eaire devient une ´equation de transport ∂z A + √
1 ikz ∂t A = Π. ε∞ c 2ε0 ε∞
On couple ceci avec les ´equations pour les milieux a` deux niveaux (2.15)–(2.16) dans lesquelles on n´eglige les effets de relaxation : ∂t Π = −i(ω12 − ω)Π + i ∂t N =
Ap212 N ,
2i ∗ (A Π − AΠ ∗ ) .
On se place `a la fr´equence de r´esonnance du syst`eme ω = ω12 . Comme on a de plus supprim´e la dimension transverse, on voit sur ces ´equations qu’il n’y
72
´ 7 Equations d’enveloppe
a plus lieu de supposer que l’enveloppe est complexe. La polarisation est alors imaginaire pure et le nouveau syst`eme s’´ecrit ∂z A + √
1 ikz ∂t A = Π, ε∞ c 2ε0 ε∞ Ap212 N , 4i ∂t N = AΠ . ∂t Π = i
On peut v´erifier ais´ement que ce syst`eme admet pour solution t − z/v , A(t, z) = A0 sech τp t − z/v t − z/v th , Π(t, z) = iΠ0 sech τp τp t − z/v N (t, z) = Na −1 + sech2 , τp avec les relations de compatibilit´e A0 =
Na , 2p12 τp
Π0 = Na2 p12
et
√ p212 ωτp2 Na c ε∞ =1+ . v 2ε0
L’onde qui se propage dans le milieu ne voit ainsi pas de modification de son enveloppe. De mˆeme, les variations subies par la matrice densit´e sont les mˆemes en tout point du milieu modulo un d´ecalage en temps.
7.2 Adimensionnement Il n’y a clairement pas unicit´e de l’adimensionnement. En fonction des applications vis´ees, nous utilisons diff´erents types de renormalisations qui donneront lieu a` des ´equations d’enveloppe ou des d´eveloppements asymptotiques diff´erents. Nous ne visons pas ici l’exhaustivit´e dans la mesure o` u ce domaine est en pleine expansion et o` u chaque nouvelle application ´emergente demande de reconsid´erer ce point. 7.2.1 Cas de l’interaction forte Les illustrations num´eriques du mod`ele de Maxwell–Bloch que nous avons pr´esent´ees se placent toutes dans le cadre de l’interaction forte. En effet, le milieu est toujours fortement affect´e par l’onde (inversions de population importantes voire totales) et l’onde est toujours modifi´ee par l’apparition de nouvelles fr´equences. Le cas de la transparence auto-induite est `a cet ´egard un
7.2 Adimensionnement
73
peu particulier mais l’interaction est ´egalement forte car la non transformation de l’onde r´esulte d’´echanges d’´energie importants avec le milieu. Pour obtenir des effets aussi marqu´es, il faut en g´en´eral avoir un laser tr`es intense de fr´equence en rapport avec une fr´equence propre du mat´eriau. Par tr`es intense, on entend le fait que la fr´equence de Rabi, ωRabi = Ec pc /, est de l’ordre de grandeur des fr´equences du milieu et/ou de l’onde. Dans cette expression, comme dans les estimations de stabilit´e, Ec et pc sont des valeurs caract´eristiques du champ ´electrique E et du moment dipolaire p. Dans ce contexte, on choisirait ωc = ωRabi pour les estimations a priori des paragraphes 3.4 et 10.4.2, ce qui induit quelques simplifications, que nous n’explicitons pas. Ce choix permet de rendre sans dimension (et approximativement du mˆeme ordre) tous les temps et toutes les fr´equences. L’espace est rendu sans dimension en tenant compte de la vitesse de la lumi`ere dans le mat´eriau c∞ . Le d´eplacement magn´etique caract´eristique vaut Bc = Ec /c∞ et la polarisation caract´eristique vaut Pc = ε0 ε∞ Ec . On ne modifie pas la matrice densit´e dans cette op´eration. En gardant les mˆemes notations pour les variables sans dimension, nous obtenons, a` partir de l’´equation (3.1), les ´equations sans dimension : ∂t E = rot B − ∂t P , ∂t B = − rot E , (7.2) P = ηTr(pρ) , ∂t ρjk = −iωjk ρjk + iE · [p, ρ]jk + Q(ρ)jk ,
le param`etre η = Na pc /ε0 ε∞ Ec ´etant dans nos cas tests de l’ordre de 10−4 . On remarque que tous les termes dans l’´equation de Bloch sont du mˆeme ordre de grandeur : relaxation–nutation et interaction avec le champ sont en concurrence. Cependant, nous verrons qu’il peut y avoir diff´erentes tailles de coefficients au sein de l’op´erateur Q (qui a aussi ´et´e renormalis´e puisqu’il a la dimension d’une fr´equence) et que ceci a son importance dans le choix de la m´ethode de splitting pour des simulations sur des longs temps (cf. paragraphe 8.2, ’Raideur’). 7.2.2 Cas des champs faibles se propageant dans des milieux peu excit´ es.
Les articles d’optique g´eom´etrique traitent (` a l’heure actuelle) du cas o` u les champs sont faibles et les milieux peu excit´es. Un milieu peu excit´e est un milieu o` u l’´etat fondamental est majoritairement peupl´e, on a donc ρ11 ∼ 1. Il reste ainsi peu de place pour les autres niveaux dont les populations vont ˆetre d’ordre O(ε2α ). En vertu de la rela√ tion |ρjk | ≤ ρjj ρkk , les coh´erences sont alors d’ordre O(εα ). Une version plus pr´ecise de ce raisonnement est pr´esent´ee par J.-L. Joly, G. M´etivier et J. Rauch [16, 17] o` u sont prises en compte les possibles d´eg´en´erescences des niveaux. Dans ces r´ef´erences, on part d’´equations d´ej`a sans dimension
74
´ 7 Equations d’enveloppe
∂t E = rot B − ∂t P , ∂t B = − rot E , P = Tr(pρ) , ε∂t ρjk = −iωjk ρjk + iE · [p, ρ]jk ,
et sans termes de relaxation. Les deux premi`eres ´equations sont obtenues en introduisant un temps caract´eristique tc et une valeur caract´eristique d’espace zc = c∞ tc . Par ailleurs, on garde les relations Bc = Ec /c∞ et Pc = ε0 ε∞ Ec utilis´ees dans la section pr´ec´edente. L’´equation de la polarisation implique que E c ε 0 ε ∞ = Na p c . Par ailleurs, l’´equation de Bloch impose que tc ωc =
1 Ec p c et =1. ε ωc
La place du petit param`etre ε dans l’´equation de Bloch implique que pour que l’onde et le milieu soient en r´esonnance, il faut que la longueur d’onde caract´eristique soit d’ordre ε. Ce sera ce type de solutions oscillantes que nous ´etudierons aux paragraphes suivants. L’analyse asymptotique se r´ealise sous la forme hyperbolique sym´etrique. u le syst`eme C’est pourquoi on utilise la variable sans dimension J = ε∂t P, d’o` ε∂t E − ε rot B = −J , ε∂t B + ε rot E = 0 , ε∂t P = J , P = Tr(pρ) , ε∂t ρjk = −iωjk ρjk + iE · [p, ρ]jk . Dans ce contexte, c’est souvent le cas scalaire et d’un milieu `a deux niveaux sans relaxations qui est consid´er´e, `a savoir les ´equations (2.17)–(2.18) qui s’adimensionnent en ε∂t P = −iω12 P + iEp12 N , ε∂t N = 2ip21 E(P − P ∗ ) . Les syst`emes hyperboliques traitent de variables r´eelles. Il nous faut ainsi s´eparer la partie r´eelle et la partie imaginaire de P : ε∂t Re P = ω12 Im P , ε∂t Im P = −ω12 Re P + Ep12 N , ε∂t N = −4p21 E Im P . La formule pour la polarisation devient P = 2p12 Re P et donc J = ε∂t P = 2p12 ω12 Im P .
7.2 Adimensionnement
75
Pour simplifier les constantes, on note R = 2p12 Re P et I = 2p12 ω12 Im P. Enfin, comme on suppose que l’inversion est faible, on utilise l’´etat d’´equilibre ˜ = N − N e , d’o` u le syst`eme N e pour d´efinir l’´ecart `a cet ´etat d’´equilibre εN final ε∂t E − ε rot B = −I , ε∂t B + ε rot E = 0 , ε∂t R = I , 2 ˜ , R + p12 ω12 EN e − p12 ω12 E N ε∂t I = −ω12 2 ˜ ε∂t N = − ω21 EI .
Ceci est un exemple des syst`emes dispersifs consid´er´es par P. Donnat et J. Rauch [12] (cf. paragraphe 7.3.1). 7.2.3 Cas proche de la r´ esonnance
Dans [9], T. Colin et B. Nkonga ´etudient un r´egime asymptotique particulier. Il s’agit d’´ecrire un mod`ele en vue de simulations num´eriques de s´eparation d’isotopes de l’uranium sur de longues distances. La fr´equence ω de l’onde incidente est suppos´ee accord´ee exactement avec la fr´equence propre de l’uranium 235. Celui-ci est tr`es minoritaire par rapport a` l’uranium 238 dont la fr´equence de transition ω21 (le mod`ele est suppos´e `a deux niveaux) est l´eg`erement diff´erente, d’o` u un d´esaccord ∆ = ω − ω21 . Le mod`ele choisi est bidimensionnel (fonction de la variable longitudinale z et d’une variable transverse x) et fait intervenir un champ scalaire E et un
(polarisation TM). Par ailleurs, un mod`ele `a deux niveaux champ vectoriel B du type des ´equations (2.17)–(2.18) est choisi, dans lequel on n´eglige les termes de relaxation. Le mod`ele obtenu est alors →
+− rot E = 0 , ∂t B
= −µ0 c2∞ ∂t P , ∂t E − c2∞ rot B
P = Na p21 (P + P ∗ ) , iEp21 N , ∂t P = iω21 P + 2iEp21 ∂t N = (P − P ∗ ) .
˜, On fait de plus a` nouveau l’hypoth`ese de faible inversion, ainsi N = 1 − N ˜ o` u N est a priori petit. De mˆeme que pr´ec´edemment, on choisit des grandeurs caract´eristiques. Le temps caract´eristique tc est celui de la dur´ee de l’impulsion laser. On en d´eduit la longueur caract´eristique zc dans la direction longitudinale, par la relation zc = c∞ tc . Cette longueur caract´eristique est beaucoup plus grande que la longueur caract´eristique xc dans le sens transverse et on notera le rapport ε1 = xc /zc . Dans cette asymptotique, la fr´equence de Rabi, suppos´ee connue a priori, joue a` nouveau un rˆ ole. Elle ne sert cette fois-ci pas `a d´eterminer les
76
´ 7 Equations d’enveloppe
temps et fr´equences caract´eristiques mais le champ ´electrique caract´eristique, ur Bc = Ec /c∞ . Il reste `a via la relation Ec = ωRabi /p21 . On prend bien sˆ ˜c . Dans nos variables, la majod´eterminer les tailles caract´eristiques Pc et N ˜ . On choisit donc 2Pc2 = N ˜c . ration |ρ12 |2 ≤ ρ11 ρ22 se r´e´ecrit 2|P|2 ≤ N L’ordre de grandeur pour P est choisi pour respecter la propri´et´e de presque r´esonnance. En effet, E est cens´e osciller `a la fr´equence ω et P `a la fr´equence ω21 . Pour que les deux enveloppes soient proportionnelles a` O(1) pr`es en ε = 1/∆tc , il faut choisir Pc = ωRabi /δ (nous renvoyons a` [9] pour le d´etail du calcul). Nous avons d´ej`a d´efini deux petits param`etres ε et ε1 , qui s’av`erent ˆetre tous les deux d’ordre 10−3 pour les applications, mais il ressort de cet adimensionnement un autre petit param`etre ν = 1/ωtc , qui est clairement beaucoup plus petit que ε et vaut 10−8 dans les applications. Deux autres param`etres α1 et α2 de taille 1 sont ´egalement d´efinis. On obtient le syst`eme sans dimension 1 ∂x E = 0 , ε1 ∂t Bx − ∂z E = 0 , 1 ∂t E − (∂z Bx − ∂x Bz ) = −2iα2 (P − P ∗ ) , ε1 i i ˜, ∂t P = P − P + iα1 E N ν ε ˜ = i E(P − P ∗ ) . ∂t N ε ∂t Bz +
7.3 Asymptotiques rigoureuses Des asymptotiques rigoureuses peuvent ˆetre d´emontr´ees grˆace `a la m´ethode BKW (introduite par Brillouin, Kramers et Wentzel). La synth`ese qui suit est largement inspir´ee de la th`ese de D. Lannes [20]. Ce type de m´ethode a ´et´e utilis´e pour la premi`ere fois pour des syst`emes hyperboliques par P. Lax [22]. Les premi`eres d´erivations formelles sur les ´equations de Maxwell–Bloch se trouvent dans la th`ese de Ph. Donnat [10] et le r´egime standard en optique g´eom´etrique pour ces ´equations est trait´e par Ph. Donnat et J. Rauch [12]. Malheureusement dans cette asymptotique tous les termes non lin´eaires sont en fait nuls et l’´equation d’enveloppe obtenue est de ce fait lin´eaire. C’est ce que l’on appelle le ph´enom`ene de transparence. Pour obtenir des termes non lin´eaires, il faut consid´erer des solutions de plus grande amplitude. Ceci est r´ealis´e par J.-L. Joly, G. M´etivier et J. Rauch [16, 17]. Dans ce qui suit nous pr´esentons le cadre g´en´eral de l’optique g´eom´etrique et diffractive pour un mod`ele simplifi´e. Nous exposons ensuite les r´esultats sp´ecifiques aux ´equations de Maxwell–Bloch et `a des mod`eles classiques sans introduire les outils suppl´ementaires n´ecessaires.
7.3 Asymptotiques rigoureuses
77
7.3.1 Optiques g´ eom´ etrique et diffractive En regroupant toutes les variables dans un vecteur uε ∈ RdU comme nous l’avons fait pour ´etudier le probl`eme de Cauchy, on consid`ere un syst`eme hyperbolique dispersif semi-lin´eaire sous la forme d L0 Aµ ∂µ + uε = F (uε ) , (7.3) ∂t + ε µ=1 o` u les matrices Aµ sont sym´etriques r´eelles et l’op´erateur L0 est r´eel antisym´etrique. On cherche une solution approch´ee de uε sous la forme uε = εα U ε (εx, x, β · x/ε) ≡ εα U ε (X, x, θ) , o` u U ε est appel´e profil. La variable x = (t, y) (resp. X = (T, Y)) d´esigne `a la fois le temps t (resp. T ) et toutes les variables d’espace y (resp. Y). La variable θ permet de d´ecrire les ph´enom`enes oscillatoires, la variable x les ph´enom`enes propagatifs et la variable X les ph´enom`enes diffractifs. Dans notre technique heuristique, nous nous int´eressions d´ej`a aux deux plus grandes ´echelles. On s’int´eresse typiquement a` des solutions sur des ´echelles de temps t d’ordre O(1) (auquel cas on parle d’optique g´eom´etrique et on peut ne pas tenir compte de X, d’ordre O(ε)) ou d’ordre O(1/ε) (optique diffractive). La taille typique des solutions recherch´ees est εα pour un α ≥ 0. C’est celle qui permet a priori d’avoir des non lin´earit´es `a l’´echelle de temps consid´er´ee. 7.3.2 Pr´ esentation de la m´ ethode dans le cadre de l’optique de Descartes Pour pr´esenter la m´ethode, nous allons supposer que le syst`eme est lin´eaire (F ≡ 0) et nous placer dans le cadre de l’optique g´eom´etrique. On ´ecrit alors le syst`eme (7.3) Lε (∂x )uε = 0 , (7.4) avec la donn´ee initiale uε (t = 0, y) = u0 (y) exp(iη · y/ε) + c.c.
(7.5)
Une solution approch´ee de (7.4)–(7.5) est recherch´ee sous la forme uε (x) = [U0 (x) + εU1 (x)] exp(iβ · x/ε) + c.c. , avec β = (τ, η). Cette solution est approch´ee au sens o` u l’on veut que la quantit´e Lε (∂x )uε soit la plus petite possible. Quand elle l’est suffisamment, une m´ethode de point fixe – que nous ne pr´esentons pas ici – permet de montrer l’existence d’une solution exacte uε de l’´equation (7.4) sur un intervalle de
78
´ 7 Equations d’enveloppe
temps ind´ependant de ε, et proche de uε . On d´eveloppe donc l’expression de uε en puissances de ε : Lε (∂x )uε =
o` u
1 [(iL(β)U0 )(x) exp(iβ · x/ε) + c.c.] ε + ε0 [(iL(β)U1 + L1 (∂x )U0 )(x) exp(iβ · x/ε) + c.c.] + ε [L1 (∂x )U1 (x) exp(iβ · x/ε) + c.c.] ,
(7.6)
L(β) = τ Id + µ Aµ η µ + L0 /i , L1 (∂x ) = ∂t + µ Aµ ∂µ .
Pour rendre petite l’expression (7.6), nous allons annuler les coefficients de 1/ε et ε0 . Ceci fournit deux ´equations : L(β)U0 = 0 , iL(β)U1 + L1 (∂x )U0 = 0 .
(7.7) (7.8)
Vari´ et´ e caract´ eristique Si la matrice L(β) est inversible, il est clair que l’unique solution de (7.7) est U0 = 0 et en cons´equence, on d´eduit ´egalement de l’´equation (7.8) que U1 = 0. La solution approch´ee obtenue est alors la solution nulle. Il est clair que ce cas n’est pas tr`es int´eressant, car il ne donne pas lieu a` une solution oscillante et n’est pas compatible avec la donn´ee initiale. On se place dans le cas oppos´e, et on appelle vari´et´e caract´eristique associ´ee `a Lε , et on note CL , l’ensemble CL = {β ∈ R1+d / det L(β) = 0} . Lorsque β ∈ CL , l’espace ker L(β) n’est pas r´eduit a` {0}. On remarque de plus que, comme l’op´erateur L(β) est sym´etrique, il est possible (et int´eressant) de d´efinir π(β), le projecteur orthogonal sur ker L(β). Par ailleurs, L(β) admet un inverse partiel d´efini sur l’image de L(β) par L(β)−1 L(β) = L(β)L(β)−1 = Id − π(β) , et not´e abusivement L(β)−1 . Son noyau est ker L(β). Si pour deux vecteurs U 0 et U 1 de RdU on a l’´equation L(β)U 0 = U 1 , ceci est ´equivalent aux deux conditions π(β)U 1 = 0 et (Id − π(β))U 0 = L(β)−1 U 1 . Ainsi les ´equations (7.7) et (7.8) se r´e´ecrivent π(β)U0 = U0 , π(β)L1 (∂x )U0 = 0 , (Id − π(β))U1 = iL(β)−1 L1 (∂x )U0 .
La premi`ere de ces trois ´equations s’appelle la condition de polarisation.
7.3 Asymptotiques rigoureuses
79
´ Equation de propagation Si on impose que la donn´ee initiale u0 soit polaris´ee de telle fa¸con que π(β)u0 = u0 , alors le terme principal U0 de la solution approch´ee est solution de l’´equation π(β)L1 (∂x )π(β)U0 = 0 , U0 (t = 0, y) = u0 (y) .
Seule la partie (1 − π(β))U1 du correcteur, qui est polaris´ee dans les directions orthogonales, est alors d´etermin´ee par les ´equations obtenues. On suppose donc arbitrairement que π(β)U1 = 0 et on a U1 = (Id − π(β))U1 = iL(β)−1 L1 (∂x )U0 .
A l’´echelle de l’optique g´eom´etrique, c’est-`a-dire sur des temps de taille O(1), le reste Lε (∂x )uε est petit car en O(ε). L’´equation obtenue pour U0 est une ´equation de propagation au sens de l’optique de Descartes. En effet, les hypoth`eses d’hyperbolicit´e effectu´ees sur le syst`eme de d´epart (7.4) nous permettent d’assurer que l’´equation polynˆ omiale en τ qui d´efinit la vari´et´e caract´eristique CL peut ˆetre param´etr´ee par η ∈ Rd au moyen d’un nombre fini de fonctions τµ (η) a` valeurs r´eelles. On appelle points singuliers de la vari´et´e caract´eristique CL , les points o` u les graphes de ces fonctions se coupent. Par opposition, on appelle point lisse, un point qui n’est pas singulier. Si β = (τ, η) est un point lisse de CL , a` savoir qu’il existe un unique µ tel que τ = τµ (η), alors π(β)L1 (∂x )π(β) = (∂t + v · ∂y )π(β) , o` u v est la vitesse de groupe v = −τµ′ (η). Le comportement asymptotique de uε est donc donn´e par uε (x) ∼ u0 (y − vt) exp(iβ · x/ε) , lorsque β est un point lisse de la vari´et´e caract´eristique. 7.3.3 G´ en´ eralisations ` a d’autres ph´ enom` enes La m´ethode que nous avons pr´esent´ee ci-dessus permet de mod´eliser d’autres ph´enom`enes optiques `a condition d’introduire d’autres d´ependances ou des termes non lin´eaires. Nous donnons ci-dessous quelques exemples. Diffraction de Fresnel lin´ eaire Lorsque l’on prolonge la propagation selon les rayons sur des temps d’ordre sup´erieur a` O(1), typiquement O(1/ε), apparaissent des ph´enom`enes de diffraction connus depuis Fresnel. On peut rendre compte de ceux-ci en introduisant une d´ependance en X = εx qui aura des effets cumulatifs visibles sur des
80
´ 7 Equations d’enveloppe
temps en O(1/ε). Pour cela, on applique la mˆeme technique que pr´ec´edemment en introduisant, outre le correcteur U1 , un correcteur d’ordre sup´erieur U2 . En plus de la condition de polarisation et de l’´equation de propagation, on obtient π(β)L1 (∂X )π(β)U0 + iπ(β)L1 (∂x )L(β)−1 L1 (∂x )π(β)U0 = 0 . En un point lisse, cette ´equation est de type Schr¨ odinger. La variable de temps correspond au temps lent et les variables d’espace sont transverses `a la vitesse de groupe. Ceci constitue une correction a` l’optique g´eom´etrique de Descartes. Optique g´ eom´ etrique non lin´ eaire D`es que l’on aborde le probl`eme des non lin´earit´es se pose la question de l’amplitude des solutions pour que les ph´enom`enes non lin´eaires aient bien lieu a` l’´echelle de temps consid´er´ee. Nous supposons ici que le temps est en O(1). Par ailleurs, on ne peut plus supposer que la phase des oscillations reste constante car il y a possibilit´e de g´en´eration d’harmoniques. C’est pourquoi on suppose que uε est sous la forme uε (x) = U(ε, x, β · x/ε) + c.c. o` u U(ε, x, θ) est p´eriodique en θ. Ceci n´ecessite d’´etendre la d´efinition du proa des polynˆ omes trigonom´etriques jecteur π(β) et du pseudo-inverse L(β)−1 ` si la non lin´earit´e F est polynˆ o miale et ` a des s´ e ries trigonom´ etriques sinon. Ainsi, pour un polynˆ ome p = q pq exp(iqθ), on d´efinit Π(β)p =
π(qβ)pq exp(iqθ) ,
q
L(β)p =
L(qβ)pq exp(iqθ) ,
q
L(β)−1 p =
L(qβ)−1 pq exp(iqθ) .
q
Pour avoir des termes non lin´eaires `a l’´echelle de l’optique g´eom´etrique et dans le cas semi-lin´eaire, il faut prendre une amplitude en O(1) et on cherche donc U sous la forme U(ε, x, θ) = U0 (x, θ) + εU1 (x, θ). Les profils U0 et U1 sont alors des polynˆ omes (ou des s´eries) trigonom´etriques et on a l’´equation de propagation non lin´eaire Π(β)L1 (∂x )Π(β)U0 + Π(β)F (U0 ) = 0 . Cette p´eriodicit´e permet de d´efinir les coefficients de Fourier de U0 et U1 . Notons U0q le qi`eme coefficient de Fourier de U0 , a` savoir U0q (x) exp(iqθ) . U0 (x, θ) = q∈Z
7.3 Asymptotiques rigoureuses
81
Pour r´esoudre l’´equation de polarisation, il faut alors supposer, qu’outre β un nombre fini de qβ appartiennent a` la vari´et´e caract´eristique, c’est-`a-dire que L(qβ) est inversible sauf pour un nombre fini de q ∈ Z. C’est ce nombre fini de fr´equences qui apparaˆıt dans l’´equation de polarisation. En effet, on aura U0q = 0
si L(qβ) est inversible, U0q = π(qβ)U0q
sinon.
Optique diffractive non lin´ eaire et redressement On peut ´egalement consid´erer le mˆeme probl`eme du point de vue de l’optique diffractive, mais cette fois-ci on veut que la non lin´earit´e apparaisse `a l’ordre O(1/ε) en temps, c’est-`a-dire dans l’´equation de type Schr¨ odinger. Pour cela, si la non lin´earit´e est d’ordre J, il faudra consid´erer des solutions d’amplitude ε1/(J−1) . Ce cadre a ´et´e ´etudi´e par P. Donnat, J.-L. Joly, G. M´etivier et J. Rauch [11]. Un probl`eme suppl´ementaire peut alors venir se greffer : parmi les ph´enom`enes de g´en´eration d’harmonique se situe le redressement optique, c’est-`adire la g´en´eration d’un mode non oscillant [15]. En g´en´eral 0 appartient a` la vari´et´e caract´eristique et on appelle mode moyen, le mode U00 . Le ph´enom`ene de redressement optique provient de l’interaction entre ce mode moyen et des modes oscillants. Pour que cet effet soit visible, il faut que l’interaction ait lieu pendant relativement longtemps et donc que les ondes mises en jeu aient la mˆeme vitesse de groupe. Dans [20] et [17], on voit que ceci ne peut avoir lieu qu’en une seule dimension d’espace. Puis en consid´erant successivement les mod`eles d´ecrits ci-dessus, on se rend compte que les non lin´earit´es alors obtenues sont nulles. Il n’y a donc pas redressement mais ce que l’on appelle transparence, notion introduite dans [10]. Pour obtenir des termes non lin´eaires, il faut donc augmenter soit le temps d’observation soit l’amplitude des ondes. C’est ce qui est r´ealis´e dans [21], o` u D. Lannes et J. Rauch prolongent des solutions d’optique g´eom´etrique sur des temps O(ln(1/ε)) interm´ediaires entre ceux √ de l’optique g´eom´etrique et l’optique diffractive. Des amplitudes en O( ε) sont ´egalement ´etudi´ees par T. Colin et D. Lannes [8] et dans [17]. Cas dispersif La derni`ere situation que nous d´ecrivons est celle des syst`emes dispersifs. Ceux-ci incluent une d´ependance de l’op´erateur en la variable uε , Lε (uε , ∂x )uε + F (uε ) = 0 , en se limitant toutefois au cas quasi-lin´eaire Lε (·, ∂x ) =
d
1 Aµ (·)∂µ + L0 , ε µ=0
82
´ 7 Equations d’enveloppe
o` u Aµ est r´eguli`ere et `a valeurs dans l’espace des matrices hermitiennes r´eelles. Par ailleurs, A0 (U ) (associ´ee `a ∂0 = ∂t ) est suppos´ee d´efinie positive pour tout U ∈ RdU +1 et le syst`eme conservatif : L∗0 = −L0 . L’extension des concepts d´ecrits pr´ec´edemment au cas dispersif a ´et´e trait´ee par D. Lannes [19]. Nous en donnons des applications ci-dessous. 7.3.4 Application ` a des syst` emes concrets Pour entrer dans le cadre conservatif ci-dessus, on doit se restreindre a` des syst`emes sans terme d’amortissement. Ces mod`eles ont d´ej`a ´et´e d´ecrits dans les chapitres pr´ec´edent mais il nous faut introduire correctement le petit param`etre ε, qui rappelons-le est de l’ordre de la longueur d’onde. Les ´equations de Maxwell (variables E, B, P et J) sont dans la forme donn´ee au paragraphe 7.2.2 et il suffit d’´ecrire une ´equation d’´evolution pour J. Enfin, pour classer chaque mod`ele, il faut l’´ecrire sous forme sym´etris´ee. Mod` ele de Lorentz Le mod`ele de Lorentz sans amortissement s’´ecrit ε2 ∂t2 P + ω12 P = ε0 (εs − ε∞ )ω12 E . L’´equation pour J est alors ε∂t J = −ω12 P + ε0 (εs − ε∞ )ω12 E . Le mod`ele de Maxwell–Lorentz est lin´eaire `a coefficients constants. Mod` ele de l’oscillateur anharmonique Pour obtenir le mod`ele de l’oscillateur anharmonique, on ajoute dans l’´equation de Lorentz un terme cubique en P : ε2 ∂t2 P + ω12 P − αanh |P|2 P = ε0 (εs − ε∞ )ω12 E . L’´equation pour J est alors ε∂t J = −ω12 P + αanh |P|2 P + ε0 (εs − ε∞ )ω12 E . Le couplage des ´equations de Maxwell avec le mod`ele de l’oscillateur anharmonique est semi-lin´eaire cubique. Mod` ele non lin´ eaire instantan´ e Le mod`ele non lin´eaire instantan´e est construit sur la base du mod`ele de Lorentz en ajoutant un terme cubique en E directement dans l’´equation d’Amp`ere, qui devient : ε∂t E − ε rot B = −J − εαnli ∂t (|E|2 E) . Le couplage des ´equations de Maxwell avec le mod`ele non lin´eaire instantan´e est quasi-lin´eaire.
7.3 Asymptotiques rigoureuses
83
Mod` ele de Bloch ` a deux niveaux Les ´equations de Maxwell–Bloch sont semi-lin´eaires quadratiques. Par contre le mod`ele `a plusieurs niveaux sans termes de relaxation ne rentre pas dans le cadre donn´e ici car il est non conservatif et non fortement hyperbolique. Ces difficult´es sont palli´ees dans [17] en utilisant des approximations BKW avec des composantes d’amplitudes diff´erentes (populations et coh´erences) et un changement de variable non lin´eaire donn´e pour se ramener au cadre standard. En effet, avec les notations du paragraphe 7.2.2, on pose ¯ =N ˜+ N
1 2 2 2 2 N e (I + ω12 R ) , p12 ω12
ce qui donne l’´equation 2 2 2 2 2 ¯ =ε ∂t N (I + ω R ) IE , − 12 3 (N e )2 ω12 N e p12 ω12 qui a perdu un ordre (sans induire un probl` eme dans l’´equation pour I et peut ¯ est maintenant se traiter avec les techniques asymptotiques. La variable N d’ordre O(1), et le nouveau syst`eme `a r´esoudre peut s’´ecrire sous la forme Lε (∂x )uε = εF (uε ). La g´en´eralisation de ce changement de variables dans le contexte des atomes `a un nombre quelconque de niveaux est d´ecrit dans [16]. Dans tous les contextes, il est issu d’une conservation d’une norme de type L2 du syst`eme complet (sans relaxations). Cas proche de la r´ esonnance Nous avons d´ej`a d´ecrit l’adimensionnement effectu´e dans [9] au paragraphe 7.2.3. L’analyse asymptotique rigoureuse est ensuite effectu´ee selon la variable ε, mais on supprime les deux autres petits param`etres auparavant. Pour avoir a ν par la relation ε1 = ν/2L, une approximation paraxiale, on rattache ε1 ` ce qui introduit le rapport de longitudinalit´ e L. Ensuite, on ne garde que les termes d’ordre dominant en ν. A l’ordre dominant, on obtient alors le syst`eme (∂t + ∂z + iL∂x2 )E = −iβP , i ˜ , ∂t P + (P + E) = iαE N ε ˜ = 2 Im(EP ∗ ) . ∂t N ε Ce syst`eme est raide et ne peut pas donner lieu a` des simulations num´eriques satisfaisantes. C’est pourquoi on utilise a` nouveau le changement de variable non lin´eaire en remarquant que 1 − 1 − 2αε|P|2 ˜ N = , αε
84
´ 7 Equations d’enveloppe
d’o` u (∂t + ∂z + iL∂x2 )E = −iβP , 1 − 1 − 2αε|P|2 i ∂t P + (P + E) = iE , ε ε qui n’est plus raide et se prˆete `a l’impl´ementation num´erique. C’est un sch´ema de splitting qui est alors choisi.
8 Discr´ etisation des ´ equations de Bloch
Deux points de vue peuvent ˆetre adopt´es pour la discr´etisation des ´equations de Bloch : 1. utiliser un sch´ema g´en´eraliste relativement robuste, 2. utiliser un sch´ema d´edi´e sp´ecifiquement `a cette ´equation. Bien que, dans des contextes non extrˆemes, le premier point de vue donne des r´esultats relativement satisfaisants, nous allons montrer les avantages des sch´emas d´edi´es (et un en particulier) pour la r´ealisation de simulations gardant un sens physique. Dans tout ce chapitre, nous n’exprimons pas la d´ependance en espace qui n’intervient que comme param`etre via l’hamiltonien d’interaction.
8.1 La m´ ethode de Crank–Nicolson 8.1.1 Pr´ esentation C’est l’approche du sch´ema g´en´eraliste qui a ´et´e mise en œuvre dans les premiers codes Maxwell–Bloch r´ealis´es par l’´equipe de R.W. Ziolkowski a` l’Universit´e de Tucson [34, 35, 36]. La m´ethode utilis´ee est le sch´ema centr´e de Crank–Nicolson qui est d’ordre deux. On se donne un pas de temps δt et ρn est alors une approximation de ρ(nδt). Pour l’´equation de Bloch (3.7), le sch´ema de Crank–Nicolson s’´ecrit n+1 1 ρ ρn+1 + ρn + ρn ρn+1 − ρn = Rn( ) + i[V n+ 2 , ], δt 2 2 1
o` u V n+ 2 est une approximation de V = E · p/ au temps (n + 21 )δt que nous pr´eciserons ult´erieurement.
90
8 Discr´etisation des ´equations de Bloch
8.1.2 D´ efaut de positivit´ e Dans le contexte des atomes `a deux niveaux, il est difficile de mettre en d´efaut le sch´ema de Crank–Nicolson. Cependant, ce sch´ema ne conserve pas la positivit´e, mais le probl`eme n’apparaˆıt qu’` a partir de trois niveaux d’´energie. Ce r´esultat est annonc´e dans [7] et d´emontr´e dans la th`ese de D. Reignier [23]. Positivit´ e et diagonalisation de l’op´ erateur continu Les termes de relaxation ne sont pas en cause dans la perte de positivit´e du sch´ema de Crank–Nicolson. Nous ne consid´erons donc que l’´equation hamiltonienne ∂t ρ = i[V, ρ] , o` u V peut contenir des termes dus `a l’interaction et a` la relaxation–nutation. La solution de cette ´equation est, comme sous l’avons vu au paragraphe 2.1.5, t t V (τ ) dτ . V (τ ) dτ ρ(0) exp −i ρ(t) = exp i 0
0
Sous cette forme, nous avons d´ej`a vu que la matrice ρ conservait sa positivit´e pour tout temps. Dans la suite, consid´erons que V est constante (par rapport au temps). Ceci correspond `a ce que l’on suppose sur un pas de temps pour le sch´ema num´erique puisque l’on consid`ere la valeur de V au demi-pas de temps interm´ediaire. Comme V est hermitienne, il existe une base dans laquelle elle est diagonale. Dans cette base, V = diag(λ1 , . . . , λN ) et ρjk (t) = exp(iλj t)ρjk (0) exp(−iλk t) . L’´el´ement ρjk se d´ecompose en le produit d’un terme qui ne d´epend que de j et d’un terme qui ne d´epend que de k. C’est cette propri´et´e qui donne la positivit´e. En effet, t yj∗ ρjk (0)yk , x∗j exp(iλj t)ρjk (0) exp(−iλk t)xk = Xρ(t)X = j,k
j,k
o` u yj = exp(−iλj t)xj . Diagonalisation de l’op´ erateur discret Dans la mˆeme base, la m´ethode de Crank–Nicolson s’´ecrit n ρn+1 jk − ρjk
δt
= i(λj − λk )
n ρn+1 jk + ρjk
2
ce qui permet d’expliciter ρn+1 en fonction de ρnjk : jk
,
8.1 La m´ethode de Crank–Nicolson
ρn+1 jk =
91
1 + 2i (λj − λk )δt n ρjk = Gjk ρnjk . 1 − 2i (λj − λk )δt
Sous cette forme, nous ne pouvons plus s´eparer comme pr´ec´edemment une contribution en j et une autre en k. La positivit´e de ρn+1 ne d´ecoule plus de celle de ρn . Si on pose θjk = (λj − λk )δt/2, alors Gjk = exp(2i Arctan θjk ). Positivit´ e pour deux niveaux Pour ´etudier la positivit´e, il suffit de montrer que les d´eterminants des sousmatrices principales sont de d´eterminant positif. Ceci est clair pour la matrice principale d’ordre un car par hypoth`ese ρn11 ≥ 0. Le d´eterminant de matrice `a l’ordre deux permet de traiter le cas des deux niveaux. Par hypoth`ese ρ11 ρ22 − ρ12 ρ21 ≥ 0. Or det ρn+1 = ρn11 ρn22 − ρn12 exp(2i Arctan θ12 )ρn21 exp(2i Arctan θ21 ) = ρn11 ρn22 − ρn12 ρn21 ≥ 0.
La positivit´e de ρn implique donc celle de ρn+1 pour le mod`ele `a deux niveaux. Non positivit´ e` a partir de trois niveaux Il suffit de se placer dans un cadre particulier qui est celui o` u ρnjk = aj a∗k . Comme nous l’avons vu, c’est la forme qui d´ecoule de la d´erivation de la matrice densit´e et c’est donc une donn´ee physiquement admissible, qui de plus est clairement positive. Il nous reste `a montrer que le d´eterminant d’ordre trois est dans ce cas n´egatif. ρ11 G12 ρ12 G13 ρ13 det ρn+1 = G21 ρ21 ρ22 G23 ρ23 G31 ρ31 G32 ρ32 ρ33 = ρ11 ρ22 ρ33 + G12 G23 G31 ρ12 ρ23 ρ31 + G21 G13 G32 ρ21 ρ13 ρ32 −G23 G32 ρ11 ρ23 ρ32 − G13 G31 ρ13 ρ22 ρ31 − G12 G21 ρ12 ρ21 ρ33 .
Or G23 G32 = G13 G31 = G12 G21 = 1, donc det ρn+1 = |a1 |2 |a2 |2 |a3 |2 × × − 2 + exp(2i(Arctan θ12 + Arctan θ23 + Arctan θ31 )) + exp(2i(Arctan θ13 + Arctan θ32 + Arctan θ21 )) . Cette quantit´e ne peut ˆetre positive que si
exp(2i(Arctan θ12 + Arctan θ23 + Arctan θ31 )) = 1 , ce qui, compte tenu du fait que θ31 = −θ12 − θ23 , ´equivaut a`
92
8 Discr´etisation des ´equations de Bloch
Arctan θ12 + Arctan θ23 = Arctan(θ12 + θ23 ) [π] . En prenant la tangente de cette expression, on obtient imm´ediatement que les solutions sont θ12 = 0 ou θ23 = 0 ou θ12 +θ23 = θ13 = 0. En regardant la forme des θjk , cela revient `a dire que deux au moins des λj doivent ˆetre ´egaux. Dans le cas o` u V ne concerne que l’hamiltonien d’interaction, cela veut dire que les trois niveaux ne peuvent pas ˆetre non d´eg´en´er´es. En conclusion, le sch´ema de Crank–Nicolson n’est positif a` partir de trois niveaux que si certains des niveaux sont d´eg´en´er´es. Cette conclusion est obtenue sans faire d’hypoth`ese sur le pas de temps. Il n’y a pas de borne sup´erieure sur le pas de temps en de¸ca de laquelle le sch´ema de Crank–Nicolson serait positif. 8.1.3 Erreur de trace Le sch´ema de Crank–Nicolson pr´eserve th´eoriquement la trace. Mais en pratique son utilisation n´ecessite la r´esolution d’un point fixe et ainsi l’introduction d’une erreur a` chaque it´eration. Comme les cas tests physiques utilisent un grand nombre d’it´erations, cette erreur devient facilement pr´epond´erante. Ce probl`eme a d´ej`a lieu avec deux niveaux d’´energie mais le choix de variables effectu´e (`a savoir ρ1 = ρ22 − ρ11 , ρ2 = Re ρ12 et ρ3 = Im ρ12 ) pour impl´ementer le sch´ema ne permet pas de d´etecter ce probl`eme, sans toutefois l’´eliminer. Lorsque les erreurs se sont accumul´ees, la reconstruction de ρ11 et ρ22 ` a partir de ρ1 n’a plus de sens et, par couplage, la coh´erence a ´egalement toutes les chances d’ˆetre entach´ee d’erreur.
8.2 Une m´ ethode de splitting Les d´efauts de la m´ethode pr´ec´edente proviennent donc de deux facteurs. Comme c’est une m´ethode g´en´eraliste, elle ne prend pas en compte les propri´et´es sp´ecifiques des ´equations. Par ailleurs, elle est implicite, ce qui lui conf`ere de bonnes propri´et´es math´ematiques, mais rend sa r´esolution coˆ uteuse, principalement si on la couple avec la r´esolution d’un mod`ele pour le champ ´electromagn´etique (cf. chapitre 10). La m´ethode de splitting que nous d´ecrivons ici pallie ces probl`emes. En effet, elle conserve toutes les propri´et´es physiques que nous avons discut´ees (positivit´e, conservation de la trace). En outre, son caract`ere explicite rend l’impl´ementation efficace sans nuire `a la stabilit´e en couplage avec les ´equations de Maxwell (cf. paragraphe 10.4.2). 8.2.1 Principe En g´en´eral, on utilise des m´ethodes de splitting lorsque diff´erentes parties de l’´equation se r´esolvent naturellement avec des m´ethodes (voire des variables
8.2 Une m´ethode de splitting
93
ou des inconnues) diff´erentes. C’est pour cette raison que ce type de m´ethode est souvent adopt´e en optique non lin´eaire pour r´esoudre des ´equations d’enveloppe (cf. paragraphe 11.3). Ici, la m´ethode pour r´esoudre les deux parties est essentiellement la mˆeme, mais en revanche nous connaissons la solution exacte de chaque ´equation. Ainsi l’´equation (3.7) est d´ecompos´ee en une ´evolution de relaxation–nutation (8.1) ∂t ρ = Rn(ρ) , et une ´evolution d’interaction avec le champ ´electromagn´etique ∂t ρ = i[V, ρ] .
(8.2)
L’op´erateur de relaxation–nutation est lin´eaire et invariant en temps. La solution de l’´equation (8.1) est donc ρ(t) = exp(Rnt)ρ(0) . En revanche, le potentiel V d´epend en g´en´eral du temps (et de l’espace comme param`etre ici) et la solution exacte de l’´equation d’interaction (8.2) est t t ρ(t) = exp i V (τ ) dτ . (8.3) V (τ ) dτ ρ(0) exp −i 0
0
Pour le sch´ema num´erique, on effectue ces deux ´etapes alternativement avec un agencement qui d´epend de l’ordre d´esir´e mais aussi de crit`eres de raideur. 8.2.2 R´ ealisation D´ efinition des semi-groupes d’´ evolution Dans nos cas test, il n’y a pas lieu de choisir des pas de temps variables. Une fois le pas de temps fix´e, on peut calculer une fois pour toutes exp(Rnδt) (ou exp(Rnδt/2) pour le sch´ema d’ordre 2, cf. ci-dessous). On d´efinit le semigroupe d’´evolution SR (δt) par SR (δt)ρ = exp(Rnδt)ρ .
(8.4)
Le semi-groupe d’´evolution S˜H (E)(δt) qui correspond a` l’interaction avec l’onde ´electromagn´etique est δt δt S˜H (E)(δt)ρ = exp i V (τ ) dτ . (8.5) V (τ ) dτ ρ exp −i 0
0
Cependant, il n’est pas raisonnable d’envisager le calcul a` chaque pas de temps des exponentielles qui interviennent dans l’´equation (8.5). Pour cela, on utilise t une approximation de 0 V (τ ) dτ au demi-temps t/2 et une approximation du second ordre de l’exponentielle
94
8 Discr´etisation des ´equations de Bloch
−1 t i i Id − tV (t/2) . V (τ ) dτ ≃ Id + tV (t/2) exp i 2 2 0 On d´efinit un dernier semi-groupe d’´evolution SH (E)(δt) par SH (E)(δt)ρ =
i Id + δtV 2
−1 i ρ× Id − δtV 2 −1 i i × Id − δtV Id + δtV , 2 2
(8.6)
o` u V = E · p/. L’inversion de la matrice Id − iδtV /2 peut ˆetre r´ealis´ee de mani`ere tr`es efficace par la formule de Fadeev (qui est bas´ee sur le calcul de son polynˆ ome caract´eristique) d´ecrite dans [7] dans ce cas pr´ecis. Il faut cependant choisir une valeur de δt suffisamment petite pour assurer que les matrices Id±iδtV /2 sont bien inversibles. Le choix du pas de temps δt est alors subordonn´e `a des grandeurs propres de l’op´erateur V qui sont susceptibles d’´evoluer au cours du temps, ce qui a priori pose un probl`eme, mais ne semble pas en poser en pratique. La m´ethode de Fadeev est tr`es facile `a impl´ementer pour un faible nombre de niveaux dans le contexte unidimensionnel. Il suffit en effet a` chaque it´eration en temps de calculer V = Ep/ et d’´evaluer un polynˆ ome en V de degr´e N . Le coˆ ut de chaque it´eration est alors du mˆeme ordre que pour la m´ethode de Crank–Nicolson. Dans le cadre multidimensionnel, le calcul de V est plus long et on est souvent amen´es `a regarder des ph´enom`enes mettant en œuvre un plus grand nombre de niveaux (´eventuellement d´eg´en´er´es, c’est-`a-dire de mˆeme ´energie). La m´ethode de Fadeev devient alors un peu plus coˆ uteuse, sans toutefois que son coˆ ut devienne r´edhibitoire, et le sch´ema de Crank–Nicolson redevient concurrentiel. Dans le cadre multidimensionnel, il faut donc en pratique choisir entre pr´ecision (trace conserv´ee) et temps de calcul. Estimations des semi-groupes Pour les d´emonstrations de stabilit´e, nous aurons besoin des estimations suivantes. Lemme 8.1. Il existe une constante CR ne d´ependant que de W et des constantes C˜H et CH ne d´ependant que de p et ρe telles que SR (δt)σ2 ≤ exp(CR ωc δt)σ2 ,
δtωc E2 ) , Ec2 δtωc SH (E)(δt)σ2 ≤ exp(CH ωc δt)(σ2 + 2 E2 ) . Ec S˜H (δt)σ2 ≤ exp(C˜H ωc δt)(σ2 +
8.2 Une m´ethode de splitting
95
Preuve. Op´erateur de relaxation–nutation Supposons que σ est solution de ∂t σ = Rn(σ). On reprend l’´equation (3.13), o` u on a pos´e E ≡ 0, ⎞ ⎛ Wjk σkk ⎠ . ∂t Tr(σ 2 ) = −2 γjk |σjk |2 + 2 σjj ⎝ j
j,k
k=j
Il existe ainsi une constante CR , qui ne d´epend que de W , telle que ⎞ ⎛ |∂t Tr(σ 2 )| ≤ 2 Wjk σkk ⎠ ≤ CR ωc Tr(σ 2 ) . σjj ⎝ j
k=j
Ainsi en utilisant une formulation de Duhamel et un lemme de Gronwall δt Tr((SR (τ )σ 2 ) dτ Tr((SR (δt)σ 2 ) ≤ Tr(σ 2 ) + CR ωc 0
≤ exp(CR ωc δt)Tr(σ 2 ) .
En int´egrant en espace, on trouve bien la premi`ere estimation SR (δt)σ2 ≤ exp(CR ωc δt)σ2 . Op´erateur d’interaction continu Supposons maintenant que σ est solution de ∂t σ = i[V, σ] + i[V, ρe ]. Toujours d’apr`es l’´equation (3.13) mais en prenant cette fois-ci les coefficients de relaxation nuls, on a ∂t Tr(σ 2 ) = −2i Re
pjk · E jk
[ρejj − ρekk ]σkj .
De mˆeme que pr´ec´edemment, il existe une constante C˜H qui ne d´epend que de p et ρe telle que δt 1 2 2 2 2 ˜ ˜ ˜ SH (E)(δt)σ ≤ σ + ωc E + CH SH (E)(τ )σ dτ E2 0 c δtωc 2 2 ˜ ≤ exp(CH ωc δt) σ + 2 E . Ec Op´erateur d’interaction discret La quantit´e SH (E)(δt)ρ est la valeur au temps δt de la fonction continue en u E est constante. Si on d´erive par rapport au temps, ρ(t) = SH (E)(t)ρ, o` temps l’expression de SH (E)(t)ρ, on obtient
96
8 Discr´etisation des ´equations de Bloch
−1 −1 iV i i ρ(t) + ρ(t) Id + tV (t/2) Id − tV (t/2) 2 2 2 −1 −1 i iV i iV −ρ(t) Id − tV (t/2) − ρ(t) Id + tV (t/2) 2 2 2 2 −1 −1 i i i i V Id + tV (t/2) V Id − tV (t/2) = ,ρ + ,ρ . 2 2 2 2
iV ∂t ρ(t) = 2
En la variable σ, on a de mani`ere imm´ediate −1 −1 i i i i V Id + tV (t/2) V Id − tV (t/2) ,σ + ,σ ∂t σ(t) = 2 2 2 2 −1 −1 i i i i e e V Id − tV (t/2) ,ρ + ,ρ . + V Id + tV (t/2) 2 2 2 2 ` nouveau, des cancellations donnent A
−1 i e ,ρ σ ∂t Tr(σ (t)) = iTr V Id + tV (t/2) 2 −1 i e +iTr V Id + tV (t/2) ,ρ σ . 2 2
Il existe une constante CH telle que δt 1 2 2 SH (E)(δt)σ2 ≤ σ2 + ωc E + C S (E)(τ )σ dτ H H Ec2 0 δtωc ≤ exp(CH ωc δt) σ2 + 2 E2 . Ec Ceci ach`eve la d´emonstration des trois estimations.
⊓ ⊔
Ordre On veut donc r´esoudre sur un pas de temps δt le probl`eme ∂t ρ = L1 ρ + L2 ρ, o` u L1 et L2 sont deux op´erateurs lin´eaires. La solution exacte est ρ(δt) = e(L1 +L2 )δt ρ(0) . La formule de splitting d’ordre un, dite de Lie, consiste `a ´ecrire ρ(δt) ≃ eL1 δt eL2 δt ρ(0) , alors que la formule de splitting d’ordre deux, dite de Strang, consiste `a ´ecrire
8.3 Illustration num´erique
97
ρ(δt) ≃ eL1 δt/2 eL2 δt eL1 δt/2 ρ(0) . Si on cherche a` monter a` des ordres sup´erieurs, on risque fortement d’avoir des probl`emes de conservation de positivit´e car alors les formules de splitting font intervenir des coefficients n´egatifs (cf. M. Schatzman [26]). On ne s’int´eresse donc qu’` a l’ordre un et deux, les couplages avec les champs ´electromagn´etiques ´etant de toutes fa¸con ´egalement d’ordre deux. Raideur A priori, les ´equations de Bloch ne sont pas raides dans les cas tests que nous effectuons. Le choix de l’adimensionnement pr´esent´e au paragraphe 7.2.1 a pour but de rendre tous les coefficients d’ordre O(1). Cependant, on est confront´e lors des simulations `a un probl`eme de raideur en temps long. En effet, tous les coefficients sont d’ordre O(1) lorsque le champ ´electromagn´etique est de l’ordre de sa valeur maximale. Apr`es le passage du paquet d’onde, le terme d’interaction devient n´egligeable et la relaxation–nutation bien que d’ordre un devient raide en temps long. Dans le cas de terme raide, le choix de l’ordre des op´erateurs dans une m´ethode de splitting n’est pas anodin (cf. B. Sportisse [27]) et il convient de finir chaque ´etape par le terme le plus raide. On choisit donc pour l’op´erateur L1 ci-dessus la relaxation–nutation, SR , et l’interaction avec l’onde ´electromagn´etique, SH (E), pour l’op´erateur L2 . Ainsi, on calcule dans la pratique ρ(t + δt) = SR (δt/2)SH (E(t +
δt ))(δt)SR (δt/2)ρ(t) . 2
(8.7)
8.3 Illustration num´ erique Nous n’avons d´efini pour l’instant que la discr´etisation en temps. Ceci est suffisant pour valider deux points qui sont la conservation de la trace et la positivit´e. D’autres comparaisons de ces sch´emas auront lieu en liaison avec la discr´etisation en espace. Dans le cas o` u la trace est conserv´ee, la positivit´e et le fait de rester inf´erieur a` 1 sont deux propri´et´es ´equivalentes. Nous mettons ici en d´efaut le deuxi`eme point ainsi que la conservation de la trace avec le sch´ema de Crank–Nicolson, alors que le sch´ema de splitting se comporte bien, comme le pr´edit l’´etude th´eorique. Les d´efauts majeurs s’installent au bout d’un certain nombre d’it´erations. Ceci est particuli`erement clair pour la conservation de la trace dans la mesure o` u il s’agit de l’accumulation d’erreurs de points fixes. Par ailleurs, les erreurs de positivit´e ont d’autant plus lieu qu’il n’y a pas de ph´enom`enes de relaxation. C’est pourquoi on utilise un mod`ele sans relaxation ici. La figure 8.1 repr´esente l’´evolution temporelle des populations et de la trace pour un milieu a` trois niveaux qui sont repr´esent´es respectivement en trait pointill´e, trait plein et
98
8 Discr´etisation des ´equations de Bloch Méthode de Crank−Nicolson
Trace (Crank−Nicolson)
1,2
1,3
1
1,25
0,8
1,2
0,6
1,15
0,4
1,1
0,2
1,05
0
1 1,92
1,94
1,96
1,98
1,92
Méthode de splitting
1,94
1,96
1,98
Trace (Splitting)
1,2
1,3
1
1,25
0,8
1,2
0,6
1,15
0,4
1,1
0,2
1,05
0
1 1,92
1,94
1,96
1,98
1,92
1,94
1,96
1,98
´ Fig. 8.1. Conservation de la trace et positivit´e. Evolution des populations et de la trace en fonction du temps (en ps)
trait tiret-point. La population ´egale `a 1 est mat´erialis´ee par une ligne en tiret et on voit que deux des populations violent cette condition pour la m´ethode de Crank–Nicolson. La trace a ´et´e repr´esent´ee `a la mˆeme ´echelle pour les deux m´ethodes mais il convient de pr´eciser que sa valeur est de 1 `a la pr´ecision machine pr`es pour le sch´ema de splitting.
9 Discr´ etisation des ´ equations de Maxwell sur grilles d´ ecal´ ees
9.1 Un sch´ ema aux diff´ erences finies : le sch´ ema de Yee Dans la cat´egorie des sch´emas aux diff´erences fin+1 nies, le sch´ema qui s’impose pour les ´equations e de Maxwell est celui de Yee [30]. L’id´ee de ce sch´ema repose sur une localisation particuli`ere u n des variables dans l’espace–temps qui refl`ete bien les propri´et´es de sym´etrie de l’´equation de Maxℓ+1 ℓ well, et fournit un sch´ema d’ordre deux car Fig. 9.1: Sch´ema de Yee centr´e et cependant explicite. La figure 9.1 repr´esente le cas de la dimension un, qui est le cas des exemples que nous donnons dans ce document. Dans le cas o` u le milieu a une g´eom´etrie simple (typiquement rectangulaire) et o` u on n’a pas de raison de mailler de mani`ere non uniforme, ce sch´ema est le plus indiqu´e par son efficacit´e et sa simplicit´e de mise en œuvre. L’´ecriture de ce sch´ema est un peu fastidieuse en dimension trois, si on explicite les indices spatiaux. C’est pourquoi, nous ne donnons ci-dessous que des versions uni- et bidimensionnelles dans la polarisation TEz d´ecrite au paragraphe 2.2.3. 9.1.1 Sch´ ema de Yee unidimensionnel Comme le montre la figure 9.1, le champ ´electrique E = Ex est pris aux points entiers et le d´eplacement magn´etique B = By aux points demin+ 1
entiers, c’est-`a-dire que Eℓn ≃ E(nδt, ℓδz) et Bℓ+ 12 ≃ B((n + 12 )δt, (ℓ + 12 )δz). 2
L’´equation de Faraday est discr´etis´ee en (nδt, (ℓ + 21 )δz)) et celle d’Amp`ere en ((n + 12 )δt, ℓδz)). Le sch´ema s’´ecrit alors
100
9 Discr´etisation des ´equations de Maxwell n+ 1
n− 1
Bℓ+ 12 − Bℓ+ 12 2
=−
2
δt
n Eℓ+1 − Eℓn , δz
(9.1)
n+ 1
n+ 1
Bℓ+ 12 − Bℓ− 12 1 Eℓn+1 − Eℓn n+ 1 2 2 = − − µ0 Jℓ 2 . 2 c∞ δt δz
(9.2)
Sous cette forme apparaˆıt l’avantage majeur de ce sch´ema : il est explicite. 9.1.2 Sch´ ema de Yee bidimensionnel Dans le cadre bidimensionnel, les variables pertinentes sont Ex , Ey et Ez que l’on discr´etise de la mani`ere suivante : 1 n ≃ Ex (nδt, (ℓ + )δx, mδy) , Ex,ℓ+ 1 2 ,m 2 1 n Ex,ℓ,m+ )δy) , 1 ≃ Ey (nδt, ℓδx, (m + 2 2 1 1 1 1 n+ Bz,ℓ+2 1 ≃ Bz ((n + )δt, (ℓ + )δx, (m + )δy) . 2 2 2 2 Le sch´ema de Yee s’´ecrit alors z,n− 1
n+ 1
Bz,ℓ+2 1 ,m+ 1 − Bz,ℓ+ 12,m+ 1 2
2
2
2
δt
=
n n Ex,ℓ+ − Ex,ℓ+ 1 1 ,m+1 ,m 2
2
δy
−
n n Ey,ℓ+1,m+ 1 − E y,ℓ,m+ 1 2
2
δx
n+ 21
,
(9.3)
n+ 21
n+1 n Bz,ℓ+ 1 ,m+ 1 − Bz,ℓ− 1 ,m− 1 1 Ex,ℓ+ 12 ,m − Ex,ℓ+ 12 ,m 2 2 2 2 = c2∞ δt δy n+ 1
−µ0 Jx,ℓ+2 1 ,m ,
(9.4)
2
n+ 1
n+ 1
n+1 n Bz,ℓ+2 1 ,m+ 1 − Bz,ℓ−2 1 ,m+ 1 1 Ey,ℓ,m+ 21 − Ey,ℓ,m+ 12 2 2 2 2 = − c2∞ δt δx n+ 1
2 −µ0 Jy,ℓ,m+ 1 .
(9.5)
2
9.2 Stabilit´ e 9.2.1 Stabilit´ e lin´ eaire classique Une ´etude de stabilit´e lin´eaire est suffisante dans le cadre de syst`emes lin´eaires. Une telle d´emonstration se fait classiquement en ´etudiant les valeurs propres de la matrice d’amplification associ´ee au sch´ema. Dans ce
9.2 Stabilit´e
101
qui suit, nous donnons le principe de l’analyse pour les syst`emes lin´eaires puis n+ 1 l’application au syst`eme (9.1)–(9.2) dans le cas o` u Jℓ 2 = 0 en dimension 1 et 2. Polynˆ omes de Schur et de von Neumann La description compl`ete de cette th´eorie se trouve dans l’ouvrage de J.C. Strikwerda [28]. On d´efinit des familles particuli`eres de polynˆ omes : les polynˆomes de von Neumann, les polynˆ omes de von Neumann simples et les polynˆomes de Schur. Definition 9.1. Un polynˆ ome de von Neumann est un polynˆ ome dont toutes les racines sont de module ≤ 1.
Definition 9.2. Un polynˆ ome de von Neumann simple est un polynˆ ome dont toutes les racines sont de module ≤ 1 et dont celles de module exactement ´egal a 1 sont simples. `
Definition 9.3. Un polynˆ ome de Schur est un polynˆ ome dont toutes les racines sont de module < 1. Il est alors clair qu’un polynˆ ome de Schur est un cas particulier de polynˆ ome de von Neumann simple. Lorsqu’un polynˆ ome a un degr´e suffisamment ´elev´e et/ou des coefficients suffisamment compliqu´es, il est difficile de d´ecider si un polynˆ ome est de von Neumann simple ou non, ou de Schur. La th´eorie des polynˆ omes de Schur et de von Neumann fournit une technique d’abaissement de degr´e qui permet de r´esoudre ces probl`emes. Pour cela, on d´efinit tout d’abord la notion de polynˆ ome conjugu´e. Si le polynˆ ome ϕ est donn´e par ϕ(Z) = c0 + c1 Z + · · · + cD Z D ,
son polynˆ ome conjugu´e est d´efini par
ϕ† (Z) = c∗D + c∗D−1 Z + · · · + c∗0 Z D = (ϕ(Z ∗ −1 ))∗ Z D .
´ Etant donn´e un polynˆ ome ϕ0 (Z), on d´efinit de mani`ere r´ecursive une suite de polynˆ omes par la relation 1 ϕj+1 (Z) = (ϕ†j (0)ϕj (Z) − ϕj (0)ϕ†j (Z)) . Z On voit imm´ediatement que cette suite est de degr´e strictement d´ecroissant. On a alors les deux th´eor`emes, d´emontr´es dans [28]. Th´ eor` eme 9.4. Le polynˆ ome ϕj est un polynˆ ome de Schur de degr´e exactement D si ϕj+1 est polynˆ ome de Schur de degr´e exactement D − 1 et |ϕj (0)| < |ϕ†j (0)|. Th´ eor` eme 9.5. Le polynˆ ome ϕj est un polynˆ ome de von Neumann simple si ome de von Neumann simple et |ϕj (0)| < |ϕ†j (0)|, ϕj+1 est polynˆ ou ϕj+1 est identiquement nul et ϕ′j est un polynˆ ome de Schur.
102
9 Discr´etisation des ´equations de Maxwell
Stabilit´ e Comme on s’int´eresse `a un probl`eme lin´eaire, on peut le traiter dans le domaine fr´equentiel. On suppose que le syst`eme r´egit une variable Uℓn dont la d´ependance spatiale est donn´ee par Uℓn = U n eiξℓ . La matrice G de pasa U n+1 s’appelle matrice d’amplification : U n+1 = GU n . Si G ne sage de U n ` d´epend pas du pas de temps, on a U n = Gn U 0 . On trouve dans [28] diff´erentes conditions de stabilit´e, dont les deux suivantes. Proposition 9.6. Une condition n´ecessaire de stabilit´e pour un sch´ema est que le polynˆ ome caract´eristique de la matrice d’amplification soit un polynˆ ome de von Neumann. Proposition 9.7. Une condition suffisante de stabilit´e pour un sch´ema est que le polynˆ ome caract´eristique de la matrice d’amplification soit un polynˆ ome de von Neumann simple. La condition n´ecessaire et suffisante est en fait que la suite (Gn )n∈N soit born´ee, mais ceci n’est pas toujours facile `a v´erifier sur un cas concret. La proposition 9.6 est claire. Dans le cas contraire, un vecteur propre de G correspondant a` une valeur propre de module sup´erieur a` 1 croˆırait de mani`ere exponentielle au cours des it´erations. La proposition 9.7 n´ecessite une petite explication. Certaines matrices ayant 1 (par exemple) comme racine double donnent lieu a` des it´er´ees non born´ees : n 1n 11 . = 01 01 D’autres peuvent avoir des it´er´ees born´ees (|a| < 1) ⎛ ⎞n ⎛ ⎞ n 10 0 100 n 10 10 ⎠. ou ⎝ 0 1 1 ⎠ = ⎝ 0 1 1−a = 1−a 01 01 n 00a 00 a
Il est en pratique n´ecessaire et suffisant que tous les sous-espaces stables minimaux associ´es `a des valeurs propres de module 1 soient de dimension 1 (et bien sˆ ur qu’il n’y ait pas de valeurs propres de module sup´erieur a` 1).
Sch´ ema de Yee unidimensionnel Proposition 9.8. La condition de stabilit´e lin´eaire pour le syst`eme (9.1)– n+ 12
(9.2) avec Jℓ
= 0 est c∞ δt/δz < 1.
Preuve. On d´efinit la nouvelle variable Uℓn =
t
n− 1
(c∞ Bℓ+ 12 , Eℓn ) dont on sup2
pose que la d´ependance spatiale est de la forme Uℓn = U n eiξℓ . On r´e´ecrit les ´equations pour qu’elles soient explicites en cette variable, a` savoir
9.2 Stabilit´e n+ 1
n− 1
c∞ Bℓ+ 12 = c∞ Bℓ+ 12 − 2
Eℓn+1
2
103
c∞ δt n (Eℓ+1 − Eℓn ) , δz
c∞ δt n+ 1 n+ 1 (c∞ Bℓ+ 12 − c∞ Bℓ− 12 ) = − 2 2 δz 1 1 δt c2 δt2 n c n− n− ∞ n (c∞ Bℓ+ 12 − c∞ Bℓ− 12 ) + ∞ 2 (Eℓ+1 − 2Eℓn + Eℓ−1 ). = Eℓn − 2 2 δz δz Eℓn
Ainsi, en notant λ = c∞ δt/δz, le rapport de Courant-Friedrichs-Lewy (CFL), 1 −λ(eiξ − 1) n+1 U = Un . −λ(1 − e−iξ ) 1 + λ2 (eiξ − 2 + e−iξ ) La matrice d’amplification pour le sch´ema de Yee ne d´epend pas explicitement des pas de temps et d’espace mais uniquement de leur rapport. Elle a pour polynˆ ome caract´eristique ξ ϕ0 (Z) = Z 2 − 2(1 − 2λ2 sin2 )Z + 1 . 2 Ses deux valeurs propres g− et g+ v´erifient ξ g− g+ = 1 , et g− + g+ = 2(1 + λ2 (cos ξ − 1)) = 2(1 − 2λ2 sin2 ) . 2 Ces deux valeurs propres sont conjugu´ees et de module 1. Ceci n’est possible que si pour tout ξ ξ −2 ≤ g− + g+ = 2(1 − 2λ sin2 ) ≤ 2 , 2 ce qui est clairement ´equivalent a` λ ≤ 1. Sous cette premi`ere condition, les deux valeurs propres sont de la forme ξ ξ 2 ξ 2 ± i2λ sin λ± = 1 − 2λ sin 1 − λ2 sin2 . 2 2 2 Deux cas d’´egalit´e se pr´esentent : – si sin ξ/2 = 0, alors 1 est valeur propre double. Cela correspond a` une matrice d’amplification qui est l’identit´e, ce qui ne g´en`ere pas de probl`eme d’instabilit´e ; – si sin ξ/2 = ±1 et λ = 1 alors la matrice d’amplification a des it´er´ees lin´eairement croissantes. Ce cas est `a proscrire car il g´en`ere des instabilit´es. La condition de stabilit´e est donc λ < 1. ⊓ ⊔ Sch´ ema de Yee bidimensionnel Proposition 9.9. La condition de stabilit´e lin´eaire pour le syst`eme (9.3)– 2 2 2 2 n 2 2 n = 0 et Jy,ℓ,m+ < 1. (9.4)–(9.5) avec Jx,ℓ+ 1 = 0 est c∞ δt /δx +c∞ δt /δy 1 ,m 2
2
104
9 Discr´etisation des ´equations de Maxwell
Preuve. Nous ne d´etaillons pas a` nouveau le raisonnement fait ci-dessus dans le cas unidimensionnel mais n’en donnons que les points essentiels. On ´etudie, cette fois-ci, l’amplification du vecteur n− 1
n n n Uℓ,m = t (c∞ Bz,ℓ+2 1 ,m+ 1 , Ex,ℓ+ 1 ,m , Ey,ℓ,m+ 1 ) , 2
2
2
2
n et on se place dans l’espace des fr´equences en supposant que Uℓ,m est de la n n i(ξℓ+ζm) forme Uℓ,m = U e . On se donne deux rapports de stabilit´e (un pour chaque direction) : λx = δtc∞ /δx et λy = δtc∞ /δy. En rendant explicite le sch´ema de Yee pour la variable U n , on obtient la matrice d’amplification ⎞ ⎛ 1 λy (eiζ − 1) −λx (eiξ − 1) G = ⎝ λy (1 − e−iζ ) 1 + λ2y (eiζ − 2 + e−iζ ) −λx λy (eiξ − 1)(1 − e−iζ ) ⎠ . λx (1 − e−iξ ) −λx λy (eiζ − 1)(1 − e−iξ ) 1 + λ2x (eiξ − 2 + e−iξ )
On voit imm´ediatement que 1 est valeur propre de cette matrice. En effet, si l’on soustrait la matrice identit´e, les deux derni`eres lignes sont clairement proportionnelles. Notons les deux autres valeurs propres g− et g+ . Cellesci sont n´ecessairement complexes conjugu´ees et en calculant la trace et le d´eterminant de la matrice d’amplification, on a 1 + g− + g+ = 3 − 4λ2x sin2
ξ ζ − 4λ2y sin2 , 2 2
g− g+ = 1 . Nous avons vu pr´ec´edemment qu’il suffisait d’´etudier la partie r´eelle de g± pour trouver la condition de stabilit´e. Celle-ci vaut Re g± = 1 − 2λ2x sin2
ξ ζ − 2λ2y sin2 . 2 2
Le cas sin ξ/2 = sin ζ/2 = 0 donne a nouveau lieu a` une matrice d’amplification unit´e. Pour les autres fr´equences, une condition n´ecessaire et suffisante pour que | Re g± | < 1 est λ2x + λ2y < 1, ce qui prouve la proposition. ⊓ ⊔ Si ce programme de preuve est simple `a r´ealiser pour le sch´ema de Yee, il peut s’av´erer ardu d`es que l’on aborde des couplages fussent-ils lin´eaires. Dans [22], P.G. Petropoulos effectue une analyse de stabilit´e lin´eaire pour des sch´emas par int´egration directe d´ecrits au chapitre 11. Plus particuli`erement, il traite du sch´ema (11.4) pour le syst`eme de Maxwell–Debye et des sch´emas (11.6) et (11.7.a)–(11.7.d) pour le syst`eme de Maxwell–Lorentz. Le calcul des ´equations caract´eristiques est effectu´e de mani`ere rigoureuse, mais la fin de l’´etude est effectu´ee `a l’aide de calculs num´eriques dans des cas particuliers. Nous proposerons des d´emonstrations compl`etes et rigoureuses de stabilit´e pour deux de ces sch´emas au chapitre 11.
9.2 Stabilit´e
105
9.2.2 Stabilit´ e non lin´ eaire Notre objectif est de pouvoir traiter les cas fortement non lin´eaires o` u lin´eariser autour de l’´etat d’´equilibre n’aurait pas beaucoup de sens. C’est le cas, par exemple, si il y a des inversions totales dans le contexte du couplage avec les ´equations de Bloch. Il faut donc se rabattre sur une m´ethode d’´energie qui fournit uniquement une condition suffisante de stabilit´e non lin´eaire. Nous pr´esentons ici le d´ebut du calcul qui est commun a` tous les couplages. L’application aux diff´erents couplages est donn´ee ult´erieurement. L’estimation d’´energie est r´ealis´ee aux temps demi-entiers et on d´efinit 1 dans ce but En+ 2 = 21 (En+1 + En ). Par ailleurs, on commence par travailler uniquement sur la semi-discr´etisation en temps : 1
1
Bn+ 2 − Bn− 2 = − rot En , δt 1 1 1 En+1 − En = rot Bn+ 2 − µ0 Jn+ 2 . 2 c∞ δt
(9.6) (9.7)
En pond´erant de la mˆeme fa¸con qu’au paragraphe 3.4, on d´efinit l’´energie du syst`eme au temps (n + 21 )δt et `a la fr´equence infinie par n+ 12
E∞
=
1 2
1 1 1 1 c2 δt2 1 Bn+ 2 2 + ε0 ε∞ En+ 2 2 − ∞ rot Bn+ 2 2 . µ0 4 µ0
Proposition 9.10. Soit h le pas minimal du maillage, h = min(δx, δy, δz). √ n+ 1 L’´energie E∞ 2 est positive sous la condition CFL, c∞ δt ≤ h/ 2. Preuve. La formule de la discr´etisation par le sch´ema de Yee de rot B donne rot B2 ≤
8 B2 . h2
Ainsi B2 −
c2∞ δt2 c2 δt2 8 rot B2 ≥ B2 − ∞ B2 = 4 4 h2
1−
2c2∞ δt2 h2
B2 ,
d’o` u le r´esultat annonc´e. Dans le cas unidimensionnel, on a une condition CFL un peu moins contraignante (c∞ δt ≤ h) car rot B ≤
2 B . h ⊓ ⊔
106
9 Discr´etisation des ´equations de Maxwell 1
1
Proposition 9.11. Si (En+1 , Bn+ 2 , Jn+ 2 ) v´erifie le syst`eme (9.6)–(9.7), alors
1 1 1 δt n+ 1 n+ 1 n− 1 E 2 + En− 2 , Jn+ 2 + Jn− 2 E∞ 2 = E∞ 2 − 4
1 1 1 1 c2∞ δt2 − rot Bn+ 2 + rot Bn− 2 , Jn+ 2 − Jn− 2 . 8 Preuve. La preuve est purement calculatoire. On multiplie scalairement (9.6) 1 1 par 12 (Bn+ 2 + Bn− 2 ) et on int`egre en espace : 1 n+ 21 2 n− 12 2 n 1 n+ 21 n− 12 [B − B ] = − rot E , (B +B ) 2δt 2 1 1 1 = − En , rot (Bn+ 2 + Bn− 2 ) 2 1 1 = − 2 En , (En+1 − En−1 ) c∞ 2δt 1 1 1 − µ0 En , (Jn+ 2 + Jn− 2 ) , 2 formule qu’il convient de comparer a` l’´equation (3.12) pour le mod`ele continu. Ainsi 1 1 1 1 Bn+ 2 2 + 2 En , En+1 = Bn− 2 2 + 2 En−1 , En c∞ c∞
1 1 n −µ0 δt E , Jn+ 2 + Jn− 2 ,
o` u on a utilis´e la relation ε0 ε∞ µ0 c2∞ = 1. Or
En+1 + En En , En+1 = 2
n+ 21
E∞
−
δt2 4
En+1 − En δt
2
1 1 2 δt2 2 c∞ rot Bn+ 2 − µ0 c2∞ Jn+ 2 4 2 1 1 2 δt2 4 c∞ rot Bn+ 2 = En+ 2 − 4
δt2 1 1 1 δt2 4 c∞ µ0 rot Bn+ 2 , Jn+ 2 − c4∞ µ20 Jn+ 2 + 2 4 1
= En+ 2
On a donc
2
2
−
1 δt n n+ 1 E , J 2 + Jn− 2 2
" 1 1 1 1 c2∞ δt2 ! − rot Bn+ 2 , Jn+ 2 − rot Bn− 2 , Jn− 2 4 $ # 2 1 2 1 2 c δt2 . + ∞ µ0 Jn+ 2 − Jn− 2 8 n− 21
= E∞
−
2
.
9.2 Stabilit´e
107
Rempla¸cons maintenant En dans l’expression pr´ec´edente par 1 1 n+ 1 1 1 (E 2 + En− 2 ) − (En+1 − En ) + (En − En−1 ) 2 4 4
1 1 1 1 1 2 1 = (En+ 2 + En− 2 ) − δtc∞ rot Bn+ 2 − δtc2∞ µ0 Jn+ 2 2 4
1 1 2 n− 21 + − δtc2∞ µ0 Jn− 2 δtc∞ rot B 4 1 1 1 1 1 n+ 1 = (E 2 + En− 2 ) − δtc2∞ (rot Bn+ 2 − rot Bn− 2 ) 2 4 1 1 2 n+ 21 − Jn− 2 ) , + δtc∞ µ0 (J 4
En =
(9.8)
d’o` u n+ 21
E∞
1 1 1 δt n+ 1 E 2 + En− 2 , Jn+ 2 + Jn− 2 4
1 1 1 1 c2∞ δt2 + rot Bn+ 2 − rot Bn− 2 , Jn+ 2 + Jn− 2 8 # $ 1 2 1 2 c2∞ δt2 µ0 Jn+ 2 − Jn− 2 − 8
" 2 1 1 1 1 c δt2 ! − ∞ rot Bn+ 2 , Jn+ 2 − rot Bn− 2 , Jn− 2 4 # $ 1 2 1 2 c2∞ δt2 µ0 Jn+ 2 − Jn− 2 + 8
1 1 1 δt n+ 1 n− 21 = E∞ − E 2 + En− 2 , Jn+ 2 + Jn− 2 4
1 1 1 1 c2∞ δt2 − rot Bn+ 2 + rot Bn− 2 , Jn+ 2 − Jn− 2 . 8 n− 21
= E∞
−
⊓ ⊔
n+ 21
La d´emonstration de stabilit´e n´ecessite une expression pour J qui bien sˆ ur d´epend du mod`ele consid´er´e. Dans le cas de l’optique lin´eaire classique o` u la permittivit´e vaut ε0 ε∞ ind´ependamment de la fr´equence, ceci donne une condition n´ecessaire et suffisante de stabilit´e et la d´emonstration pr´esent´ee est une alternative aux d´emonstrations classiques de stabilit´e lin´eaire. 1
Th´ eor` eme 9.12. Si Jn+ 2 = 0 pour tout n, alors le sch´ema de Yee est stable n+ 1 d`es que l’´energie E∞ 2 est positive pour tout n. Ceci est assur´e par la condition de CFL de la proposition 9.10. 1
n+ 21
Preuve. Dans le cas o` u Jn+ 2 = 0 pour tout n, on a exactement E∞
n− 21
= E∞
. ⊓ ⊔
On remarque qu’en dimension un la condition de stabilit´e prouv´ee ici revient exactement `a λ ≤ 1 alors qu’en dimension sup´erieure, on a λ2 ≤ 1/2.
108
9 Discr´etisation des ´equations de Maxwell
Si on consid`ere des pas d’espaces ´egaux, les conditions obtenues par les deux m´ethodes (analyse de stabilit´e lin´eaire classique et analyse de stabilit´e non lin´eaire par m´ethode d’´energie) donnent les mˆemes r´esultats. n+ 21
Pour les autres mod`eles, on ne peut obtenir que des estimations de E∞ et donc des conditions suffisantes de stabilit´e.
9.3 Sch´ emas aux volumes finis Il est possible de d´efinir un sch´ema volumes finis bas´e sur le mˆeme principe des grilles d´ecal´ees. Nous utilisons ici les notations donn´ees au paragraphe 2.2.3 pour les polarisations TE et TM. On consid`ere deux maillages duaux (cf. figure 9.2), un maillage de Delaunay constitu´e de triangles et un maillage de Vorono¨ı. Diff´erents choix d’associations des variables `a certains points du maillage sont possibles. Nous d´ecrivons ici la m´ethode dite “duale” (E et B constants sur les polygones duaux, i.e. de Delaunay) qui est celle utilis´ee pour le couplage avec les ´equations de Bloch par D. Reignier [23]. Ce choix ´etait alors guid´e par des raisons pratiques (disponibilit´e d’un code) et non de qualit´e car les m´ethodes primale (E et B constants sur les polygones primaux, i.e. de Vorono¨ı) et duale sont ´equivalentes de ce point de vue. 9.3.1 Polarisation TE On obtient la formulation volumes finis en int´egrant l’´equation de Faraday sur les polygones de Delaunay, l’´equation d’Amp`ere sur les arˆetes de polygones de Vorono¨ı, et l’´equation de Poisson sur les polygones de Vorono¨ı.
Fig. 9.2. Maillage de Delaunay-Vorono¨ı. Triangles de Delaunay (traits gras) et polygones de Vorono¨ı (traits fins)
9.3 Sch´emas aux volumes finis
109
Rappelons les ´equations pour la polarisation TE :
=0, ∂t B + rot E 1 →
− c2 − J, ∂t E ∞ rot B = − ε 0 ε∞
·E
= 1 ρc . ∇ ε0 ε∞ Soit D un polygone de Delaunay qui a ND cˆot´es (en pratique ND = 3), not´es ∂Dk , avec 1 ≤ k ≤ ND . On note ν k la normale unitaire sortante a` D `a travers ∂Dk et τ k la tangente unitaire correspondant au sens trigonom´etrique (cf. figure 9.3). En int´egrant l’´equation de Faraday sur D, on obtient ∂t
B+
D
ND
k=1
∂Dk
· τ k = 0 . E
mais uniquement On voit que l’on n’a pas besoin pour ´evaluer B du vecteur E de sa composante tangentielle. La projection de l’´equation d’Amp`ere sur τ k vaut
· τ k + c2∞ ν k · ∇B = − 1 J · τ k . ∂t E ε 0 ε∞ On suppose alors que le champ B est constant sur les polygones de Delaunay
est constante sur les arˆetes des (de valeur BD ) et la partie tangentielle de E polygones de Vorono¨ı et lin´eaire sur les arˆetes des polygones de Delaunay (de
D · τ k ). On note AD l’aire de D et Lk la longueur de l’arˆete ∂Dk . moyenne E D Cette arˆete admet une arˆete perpendiculaire d’un polygone de Vorono¨ı dont egrales se simplifient en on note la longueur Lk,⊥ D (cf. figure 9.3). Les int´ • Lk,⊥ D
ν k τ D
k
Dk LkD ∂D k
• Fig. 9.3. Maillage de Delaunay-Vorono¨ı – notations
110
9 Discr´etisation des ´equations de Maxwell
AD ∂t BD +
nD
k=1
D · τ k + ∂t E
c2∞
Lk,⊥ D
D · τ k = 0 , LkD E
(BDk − BD ) = −
1 k J · τ , ε0 ε ∞
o` u Dk est le polygone de Delaunay voisin de D par l’arˆete ∂Dk . Enfin, comme pour la m´ethode de Yee, on discr´etise le champ B `a des demi-pas de temps
` et E a des pas de temps entiers : n+ 21
BD
n− 12
= BD
−
nD δt n
D LkD E · τ k , AD k=1
n · τ k −
n+1 · τ k = E E D D
δtc2∞ Lk,⊥ D
n+ 1
n+ 21
(BDk 2 − BD
)−
δt n+ 1 k J 2 · τ . ε0 ε ∞
Dans ces ´ecritures, on se r´eserve le droit de faire encore des choix sur la 1 localisation spatiale de J n+ 2 en fonction du couplage. 9.3.2 Polarisation TM On obtient la formulation volumes finis en int´egrant l’´equation d’Amp`ere sur les polygones de Delaunay, l’´equation de Faraday sur les arˆetes de polygones de Vorono¨ı, et l’´equation de Gauss sur les polygones de Vorono¨ı. Les ´equations pour la polarisation TM s’´ecrivent : →
+− rot E = 0 , ∂t B
=− 1 J, ∂t E − c2∞ rot B ε0 ε∞
·B
=0. ∇ On suppose alors que le champ E est constant sur les polygones de Delaunay
est constante sur les arˆetes des polygones de et la partie tangentielle de B Vorono¨ı et lin´eaire sur les arˆetes des polygones de Delaunay. De mˆeme que pour la polarisation TE, on obtient 1 1 n
n+ 2 · τ k = B
n− 2 · τ k + δt (E n k − ED B ), D D D Lk,⊥ D nD 1 1 δt c2∞ δt n+1 k n k n+ 2 ED = ED + J n+ 2 . LD BD · τ − AD ε0 ε ∞ D
k=1
` nouveau, on se r´eserve le droit de faire encore des choix sur la localisation A 1 spatiale de J n+ 2 en fonction du couplage, c’est pourquoi on garde l’int´egrale spatiale pour cette variable.
10 Couplage Maxwell–Bloch
Comme pour les ´equations de Bloch, la premi`ere approche d’un couplage Maxwell–Bloch est due `a l’´equipe de R.W. Ziolkowski. Les premiers r´esultats correspondent a` un mod`ele unidimensionnel a` deux niveaux [36]. C’est le sch´ema de Crank–Nicolson qui est utilis´e pour les ´equations de Bloch. Sur les cas tests pr´esent´es, les d´efauts inh´erents `a ce sch´ema n’apparaissent pas : pas de probl`emes de positivit´e car seuls deux niveaux entrent en jeu, et pas de probl`eme av´er´e de trace (qu’il est impossible de v´erifier avec leur impl´ementation) car les temps de calculs ne sont pas suffisamment long pour que la d´eviation soit importante. Le type de couplage avec les ´equations de Maxwell est celui qui est d´esign´e ci-apr`es par couplage fort, qui est inutilement coˆ uteux en temps de calcul. R. Ziolkowski pr´esente aussi des r´esultats bidimensionnels pour la mod´elisation de r´eseaux [35]. Pour tenir compte de g´eom´etries plus complexes, on pourrait r´ealiser des sch´emas aux ´el´ements finis mais ceci n’a encore jamais ´et´e mis en œuvre (contrairement aux ´equations de Maxwell–Lorentz et Maxwell–Debye, cf. chapitre 11). En revanche, un sch´ema aux volumes finis a ´et´e d´evelopp´e par D. Reignier [23] dans le contexte bidimensionnel et ce sch´ema permet ´egalement de bien rendre compte des sym´etries naturelles (cf. paragraphe 10.5).
10.1 Expressions de la polarisation Par rapport aux ´equations de Maxwell seules, il faut discr´etiser de plus P ou J = ∂t P dans l’´equation d’Amp`ere. La litt´erature pr´esente diff´erents choix de variables a` discr´etiser et de temps de discr´etisations qui n’ont pas toutes la mˆeme efficacit´e. 10.1.1 Formulation via le calcul de P Dans le cas de l’´equation de taux (cf. A.S. Nagra et R.A. York [21]) et de l’´equation de Maxwell–Bloch bidimensionnelle [23], on effectue une
112
10 Couplage Maxwell–Bloch
discr´etisation de ∂t P au temps demi-entiers (n + 21 )δt. Comme ces r´ef´erences d´efinissent les variables P et ρ aux temps entiers, on a Pn = Na Tr(pρn ), la d´eriv´ee temporelle de la polarisation s’approche naturellement par 1
(∂t P)n+ 2 ≃ (Pn+1 − Pn )/δt . Ce choix m`ene n´ecessairement aux m´ethodes fortement coupl´ees d´ecrites cidessous. 10.1.2 Formulation via le calcul de J Comme c’est la densit´e de courant J qui apparaˆıt naturellement dans l’´equation d’Amp`ere, il n’y a aucune raison de passer par une discr´etisation de la polarisation P. On a naturellement J = Na Tr(p∂t ρ) et on dispose de l’´equation de Bloch (3.7) pour exprimer ∂t ρ en fonction de ρ. L’expression obtenue est ind´ependante du mod`ele de relaxation longitudinal choisi (cf. [7]) car p est `a diagonale nulle : J = Na Tr(pRn(ρ)) +
i Na Tr(p[E · p, ρ]) .
Dans le cas particulier de la dimension un, on utilise une simplification qui est une application du lemme de cancellation 3.8 et J = Na Tr(pRn(ρ)) . Cette cancellation a ´et´e utilis´ee dans le cas g´en´eral par D. Reignier [23] et dans le cas `a deux niveaux par R. Ziolkowski [33, 34, 36]. Cette simplification prend tout son int´erˆet quand on utilise un couplage faible d´ecrit ci-dessous. Cette mˆeme probl´ematique du choix des variables a` discr´etiser se retrouve pour les mod`eles de Maxwell–Debye et Maxwell–Lorentz (cf. chapitre 11). Elle se pose ´egalement de mani`ere plus aigu¨e lors de la mise en place de sch´emas multidimensionnels pour les ´equations de Maxwell–Bloch lorsque la direction de propagation n’est pas un des axes principaux du mat´eriau (si celui-ci est anisotrope).
10.2 Couplage fort avec le sch´ ema de Yee Le couplage fort consiste `a discr´etiser ρ aux mˆemes points en espace–temps que E. En dimensions sup´erieures, il faudrait faire un choix car la localisation spatiale de toutes les composantes du champ ´electrique E n’est pas la mˆeme. Mais l’espace ne joue pas de rˆole dans le pr´esent discours et c’est le fait de discr´etiser aux temps entiers qui rend le couplage fort. Ainsi R.W. Ziolkowski et D. Reignier choisissent ρnℓ ≃ ρ(nδt, ℓδz). Prenons comme exemple le sch´ema de Crank–Nicolson pour les ´equations de Bloch coupl´e avec l’´equation d’Amp`ere en utilisant le calcul de ∂t P = ∂t Px . Celui-ci s’´ecrit
10.3 Couplage faible avec le sch´ema de Yee
ρn+1 + ρnℓ ρn+1 + ρnℓ ρn+1 − ρnℓ i Eℓn+1 + Eℓn ℓ = Rn( ℓ )+ [p, ℓ ], δt 2 2 2 n+ 1
113
(10.1)
n+ 1
2 2 Eℓn+1 − Eℓn ρn+1 + ρnℓ 1 Bℓ+ 21 − Bℓ− 21 ε 0 ε∞ =− − Na Tr(pRn( ℓ )) . (10.2) δt µ0 δz 2
Nous voyons sur ces formules qu’il faut effectuer une r´esolution par point fixe sur l’ensemble des ´equations de Bloch et d’Amp`ere et que cela a comme effet suppl´ementaire de coupler l’´evolution par les ´equations de Bloch des diff´erents points alors que la matrice densit´e ne voit qu’un champ local.
10.3 Couplage faible avec le sch´ ema de Yee Le choix de la localisation de la variable ρ expos´e n+1 ci-dessus est tout `a fait arbitraire. On peut tout ♥ e aussi bien discr´etiser la matrice densit´e ρ aux u n mˆemes temps que le d´eplacement magn´etique B et cela a pour effet de d´ecoupler les ´equations. Pour effectuer un couplage faible, on choisit ℓ+1 ℓ n+ 1 Fig. 10.1: Sch´ema de Yee ρℓ 2 ≃ ρ((n + 12 )δt, ℓδz). pour Maxwell–Bloch
10.3.1 M´ ethode de Crank–Nicolson A nouveau, si on utilise le sch´ema de Crank–Nicolson, cela donne n+ 21
ρℓ
n+ 12
n− 12
− ρℓ δt
= Rn(
ρℓ
n− 21
+ ρℓ 2
n+ 1
n+ 21
ρ i ) + Eℓn [p, ℓ
n− 12
+ ρℓ 2
] , (10.3)
n+ 1
2 2 E n+1 − Eℓn 1 Bℓ+ 21 − Bℓ− 12 n+ 1 ε0 ε ∞ ℓ =− − Na Tr(pRn(ρℓ 2 )) . δt µ0 δz
(10.4)
Les effets de couplage des ´equations entre elles et de couplage des diff´erents points pour les ´equations de Bloch disparaissent. De plus, le lien entre ρ et E est explicite (les parties implicites au sein de chaque ´equation sont lin´eaires) et aucun point fixe n’est n´ecessaire. Le gain en temps de calcul est naturellement important et cela ne se fait pas au d´etriment de la stabilit´e (cf. paragraphe 10.4.2). 10.3.2 M´ ethode du splitting Le mˆeme d´ecouplage, avec les mˆemes avantages, est obtenu en utilisant un sch´ema de splitting pour l’´equation de Bloch : n+ 21
ρℓ
n− 12
= SR (δt/2)SH (Eℓn )(δt)SR (δt/2)ρℓ
.
114
10 Couplage Maxwell–Bloch
10.3.3 M´ ethode de la relaxation La m´ethode de la relaxation a ´et´e introduite dans [6, 7]. C’est un autre d´ecouplage du champ et de la matrice densit´e qui consiste `a calculer les diff´erents ´el´ements de la matrice densit´e `a des temps diff´erents. On note ρd la partie diagonale de ρ et ρnd la partie extradiagonale de ρ. On calcule alors n+ 21
ρnd ℓ
n− 21
− ρnd ℓ δt
n+ 21
= Rn(
ρnd ℓ
n− 12
+ ρnd ℓ 2 n+ 21
ρnd ℓ i + Eℓn [p,
) n− 12
+ ρnd ℓ 2
+ ρd nℓ ] , n+ 21
ρd n+1 + ρd nℓ − ρd nℓ ρnd ℓ ρd n+1 i n+ 1 ℓ = Rn( ℓ ) + Eℓ 2 [p, δt 2
n− 21
+ ρnd ℓ 2
].
Dans [7], on montre que cela ne donne pas de bon r´esultats en temps long sur le cas test pour les ´equations de Bloch seules propos´e au paragraphe 8.3. On peut supposer que cela est dˆ u au fait qu’il est physiquement aberrant de dissocier les populations des coh´erences.
10.4 Illustration num´ erique 10.4.1 Pr´ ecision Nous comparons les m´ethodes pour la pr´ecision de leurs r´esultats sur le cas test de la transparence auto-induite qui a l’avantage de ne pas ˆetre pollu´e par les probl`emes de positivit´e. Pour 100 points de discr´etisation par longueur d’onde, les r´esultats pour les diff´erents sch´emas de Crank–Nicolson et pour le sch´ema de splitting sont tr`es proches comme le montre la figure 10.2. Ceci ne va pourtant pas de soi car d’autres m´ethodes peuvent donner de tr`es mauvais r´esultats. C’est le cas de la m´ethode de la relaxation et dont le r´esultat est ´egalement pr´esent´e `a la figure 10.2. Les diff´erences entre les autres m´ethodes sont de l’ordre de quelques pourcents. On distingue mal les courbes sur la figure et il est impossible de discriminer entre elles car nous ne disposons pas de mesures. La m´ethode de Crank–Nicolson avec couplage fort et calcul de ∂t P est celle utilis´ee dans [36]. La limitation de 100 points par longueur d’onde est donn´ee dans cet article et on peut effectivement v´erifier que la qualit´e des r´esultats se d´egrade si moins de points sont utilis´es. Un avantage suppl´ementaire de la m´ethode de splitting est qu’elle n´ecessite moins de points. Utiliser cette m´ethode avec 20 points par longueur d’onde (figure 10.3) suffit a` obtenir la mˆeme qualit´e de r´esultats et ceci paraˆıt un minimum absolu dans la mesure o` u les ondes de fr´equences triples jouent un rˆ ole non n´egligeable et pour ces ondes, il n’y a plus que 6 points par longueur d’onde. Nous ne sommes pas capables d’expliquer pourquoi la m´ethode de splitting est sup´erieure aux autres a` cet
10.4 Illustration num´erique
115
Populations 1 Crank (faible, P) Crank (fort ∂tP) Crank (faible ∂tP)
0,8
Relaxation Split-step
0,6 0,4 0,2 0
1
1,5
2 temps
2,5 −13
x 10
Cohérences 0,5
0
−0,5
1
1,5
2 temps
2,5 x 10
−13
Fig. 10.2. Comparaison des m´ethodes num´eriques pour 100 points par longueur ´ d’onde. Evolution temporelle de la population du niveau excit´e et de la coh´erence
´egard mais ceci vient s’ajouter `a ses nombreux autres avantages et contribue a diminuer le temps de calcul. ` 10.4.2 Stabilit´ e Th´ eor` eme 10.1. Les sch´emas de Crank–Nicolson et de splitting pour les ´equations de Bloch faiblement coupl´es avec le sch´ema de Yee sont non lin´eairement L2 -stables pour δt ≤ δt0 et λ ≡ c∞ δt/δz ≤ λ0 < 1 o` u δt0 et λ0 ne d´ependent que des coefficients des ´equations. Remarque 10.2. Cette condition CFL est du type (1 + Chωc λ/c∞ )λ2 < 1/2 et n’est donc pas beaucoup plus restrictive que celle obtenue pour le sch´ema de Yee, `a savoir λ ≤ 1/2. Pour d´emontrer le th´eor`eme 10.1, on utilise les variables σ introduites au paragraphe 3.4. On peut ainsi b´en´eficier des estimations L2 du lemme 3.10. Preuve. Le couplage faible avec les ´equations de Bloch correspond a` l’expres1 sion suivante de Jn+ 2 :
116
10 Couplage Maxwell–Bloch Populations
1 Crank (faible, P) Crank (fort ∂tP) Crank (faible ∂tP)
0,8
Split-step
0,6 0,4 0,2 0
1
1,5
2 temps
2,5 −13
x 10
Cohérences 0,5
0
−0,5
1
1,5
2 temps
2,5 x 10
−13
Fig. 10.3. Comparaison des m´ethodes num´eriques pour 20 points par longueur d’onde
1
1
Jn+ 2 = Na Tr(pRn(σ n+ 2 )) +
1 1 i Na Tr(pEn+ 2 · [p, σ n+ 2 ])
1 i + Na Tr(pEn+ 2 · [p, ρe ]) .
(10.5)
Nous rappelons qu’il nous faut estimer deux quantit´es :
1 1 1 δt n+ 1 E 2 + En− 2 , Jn+ 2 + Jn− 2 , 4
2 1 1 1 1 c δt2 E2n = − ∞ rot Bn+ 2 + rot Bn− 2 , Jn+ 2 − Jn− 2 . 8
E1n = −
Il y a un facteur δt dans l’expression de E1n , nous allons donc effectuer la majoration en donnant des poids du mˆeme ordre en δt aux diff´erentes quantit´es. 1 δt n+ 12 n− 12 2 n+ 12 n− 21 2 n ε0 ε∞ ωc E +E + J +J |E1 | ≤ 8 ε0 ε ∞ ω c
10.4 Illustration num´erique
1 1 δt ε0 ε∞ ωc En+ 2 2 + En− 2 2 ≤ 4
1 1 1 Jn+ 2 2 + Jn− 2 2 + ε0 ε ∞ ω c
117
.
La majoration effectu´ee n’est bien sˆ ur qu’un exemple d’une telle majoration et on pourrait si n´ecessaire augmenter la contribution de tel ou tel terme pour amoindrir celle d’un autre terme. Or, d’apr`es l’´equation (10.5) et les estimations du lemme 3.10, 1
1
Jn+ 2 2 ≤ 3Na2 Tr(pRn(σ n+ 2 ))2 + 3
1 1 Na2 Tr(pEn+ 2 · [p, σ n+ 2 ])2 2
1 Na2 Tr(pEn+ 2 · [p, ρe ])2 2 1 1 N2 ≤ 3C4 Na2 p2c ωc2 σ n+ 2 2 + 6C5 2a p4c En+ 2 2 ,
+3
d’o` u
|E1n |
ωc δt ≤ 4
ε0 ε∞ + 6C5
Na2 p4c 2 ε0 ε∞ ωc2
1
1
En+ 2 2 + En− 2 2
1 1 N 2 p2 + 3C4 a c σ n+ 2 2 + σ n− 2 2 ε 0 ε∞
.
Dans E2n , il y a cette fois-ci un facteur δt2 , et nous allons donc effectuer la majoration en donnant les poids δt et 1/δt aux diff´erentes quantit´es.
|E2n |
c2 δt2 ≤ ∞ 16
1 1 1 1 δtωc µ0 rot Bn+ 2 + rot Bn− 2 2 + Jn+ 2 − Jn− 2 2 µ0 δtωc
1 1 c2 δt3 ωc rot Bn+ 2 2 + rot Bn− 2 2 ≤ ∞ 8µ0
1 1 δt Jn+ 2 2 + Jn− 2 2 + 8ωc ε0 ε∞
1 1 ωc δt c2∞ δt2 rot Bn+ 2 2 + rot Bn− 2 2 ≤ 8 µ0
1 1 N 2 p4 + 6C5 2 a c 2 En+ 2 2 + En− 2 2 ε0 ε ∞ ω c
Na2 p2c n+ 1 2 n− 12 2 2 σ + σ + 3C4 . ε0 ε ∞
118
10 Couplage Maxwell–Bloch
Ainsi n+ 1 E∞ 2
≤
n− 1 E∞ 2
ωc δt + 8
1 1 c2∞ δt2 rot Bn+ 2 2 + rot Bn− 2 2 µ0
1 18C5 Na2 p4c n+ 1 2 2 + En− 2 2 E + 2ε0 ε∞ + 2 ε0 ε∞ ωc2
1 9C4 Na2 p2c n+ 1 2 + . σ 2 + σ n− 2 2 ε0 ε∞
Le membre de droite est bien positif si δt est suffisamment petit. Nous affinerons ce point ult´erieurement. Pour la suite de la preuve, il faut pouvoir estimer 1 1 σ n+ 2 2 , ce qui d´epend clairement du sch´ema utilis´e. La quantit´e σ n+ 2 2 1 est aussi l’int´egrale spatiale de Tr(σ n+ 2 )2 .
Sch´ema de Crank–Nicolson 1 1 Si on note σ n = 21 (σ n+ 2 + σ n− 2 ), alors le sch´ema de Crank–Nicolson s’´ecrit 1 1 i Tr(σ n+ 2 )2 − Tr(σ n− 2 )2 = 2δtTr(Rn(σ n )σ n ) + 2 δtTr(En · [p, ρe ]σ n ) .
Pour obtenir cette expression nous b´en´eficions de l’annulation d’un terme en Tr([p, σ n ]σ n ) en vertu du lemme de cancellation 3.8. En int´egrant en espace, on obtient 1
1
1
1
2
σ n+ 2 2 ≤ σ n− 2 2 + 2δtωc C2 (σ n+ 2 + σ n− 2 )/2 2 1 2 n+ 21 n− 21 n 2 E + Ec (σ +σ )/2 + δtC3 pc Ec 1 pc ≤ σ n+ 2 2 + 2C3 δt En 2 Ec
1 pc Ec n+ 1 2 + C2 δtωc + C3 δt σ 2 + σ n− 2 2 . En utilisant l’identit´e (9.8), on a En ≤
1 1 1 1 1 n+ 1 E 2 + En− 2 + δtc2∞ rot Bn+ 2 − rot Bn− 2 2 4 1 1 1 + δtc2∞ µ0 Jn+ 2 − Jn− 2 , 4
10.4 Illustration num´erique
119
1 1 1 3 n+ 1 3 E 2 + En− 2 2 + δt2 c4∞ rot Bn+ 2 − rot Bn− 2 2 4 16 1 1 3 + δt2 c4∞ µ20 Jn+ 2 − Jn− 2 2 16
1 3 n+ 1 2 ≤ E 2 + En− 2 2 2
1 1 3 + δt2 c4∞ rot Bn+ 2 2 + rot Bn− 2 2 8
1 1 3 + δt2 c4∞ µ20 Jn+ 2 2 + Jn− 2 2 8
1 3 9 δt2 Na2 p4c n+ 1 2 E 2 + En− 2 2 + C5 2 2 2 ≤ 2 4 ε0 ε∞
1 1 3 2 4 + δt c∞ rot Bn+ 2 2 + rot Bn− 2 2 8
1 1 N 2 p2 9 + C4 δt2 ωc2 2a 2 c σ n+ 2 2 + σ n− 2 2 , 8 ε0 ε ∞
En 2 ≤
d’o` u une majoration de la matrice densit´e 1
1
σ n+ 2 2 ≤ σ n− 2 2
1 3 δt2 N 2 p4 n+ 1 2 E 2 + En− 2 2 1 + C5 2 2 a 2 c 2 ε0 ε ∞ 3 4
1 1 3 δt c∞ pc rot Bn+ 2 2 + rot Bn− 2 2 + C3 4 Ec 9 p c Ec δt3 ωc2 Na2 p3c + C3 C4 + C2 δtωc + C3 δt × 4 Ec ε20 ε2∞
1 1 × σ n+ 2 2 + σ n− 2 2 .
+3C3 δt
pc Ec
Nous d´efinissons une nouvelle ´energie qui tient compte de la matrice densit´e :
E
n+ 21
1 = 2
1 1 1 1 c2 δt2 Bn+ 2 2 − ∞ rot Bn+ 2 2 + ε0 ε∞ En+ 2 2 µ0 4µ0 1
+ Na ωc σ n+ 2 2
.
Nous regroupons finalement les estimations pr´ec´edentes pour obtenir une estimation sur cette ´energie sp´ecifique aux ´equations de Maxwell–Bloch :
120
10 Couplage Maxwell–Bloch 1
1
E n+ 2 ≤ E n− 2
1 1 ωc δt c2∞ δt2 Na c2∞ pc µ0 rot Bn+ 2 2 + rot Bn− 2 2 + 1 + 3C3 8 µ0 Ec Na p c N 2 p4 3 δt2 N 2 p4 + 2ε0 ε∞ + 18C5 2 a c 2 + 12C3 × 1 + C5 2 2 a 2 c ε0 ε ∞ ω c Ec 2 ε 0 ε∞
1 1 × En+ 2 2 + En− 2 2 9 δt2 ωc2 Na2 p3c N 2 p2 × + 9C4 a c + 4Na C2 ωc + C3 pc Ec + C3 C4 ε0 ε∞ 4 Ec ε20 ε2∞
n+ 12 2 n− 21 2 + σ × σ . De mani`ere condens´ee, il existe trois constantes sans dimension CB , CE (δt) et Cσ (δt) qui ne d´ependent que des coefficients du mod`ele telles que 1
1 1 1 c2∞ δt2 ωc δtCB rot Bn+ 2 2 + rot Bn− 2 2 2 4µ0
1 1 1 + ε0 ε∞ ωc δtCE (δt) En+ 2 2 + En− 2 2 2
1 1 1 (10.6) + Na ωc ωc δtCσ (δt) σ n+ 2 2 + σ n− 2 2 . 2 1
E n+ 2 ≤ E n− 2 +
Leur valeur exacte d´epend beaucoup des choix effectu´es pour les majorations. ome de degr´e 1 Par contre, leur forme g´en´erale, constante pour CB et polynˆ en δt2 pour CE (δt) et Cσ (δt), est g´en´erique. Avant de conclure, nous allons obtenir une majoration semblable a` (10.6) pour le sch´ema de splitting.
Sch´ema de splitting Nous traitons ici le cas du sch´ema d’ordre deux choisi pour des raisons de raideur, les autres sch´emas de splitting se traitant de mani`ere analogue : 1
1
σ n+ 2 = SR (δt/2)SH (En )(δt)SR (δt/2)σ n− 2 . On utilise les estimations obtenues au lemme 8.1. Ainsi : SR (δt/2)σ2 ≤ eCR ωc δt/2 σ2 , δtωc n 2 2 n 2 CH ωc δt SH (E )(δt)σ ≤ e σ + 2 E . Ec En composant ces estimations, on obtient
10.4 Illustration num´erique
121
1
1
σ n+ 2 2 ≤ eCR ωc δt/2 SH (En )(δt)SR (δt/2)σ n− 2 2 1 δtωc ≤ eCR ωc δt/2 eCH ωc δt SR (δt/2)σ n− 2 2 + 2 En 2 Ec 1 δtωc ≤ eCR ωc δt/2 eCH ωc δt eCR ωc δt/2 σ n− 2 2 + 2 En 2 Ec 1 δtω c ≤ e(CR +CH )ωc δt σ n− 2 2 + 2 e(CR /2+CH )ωc δt En 2 . Ec Si δt ≤ δt1 (que l’on peut choisir de mani`ere arbitraire), il existe deux constantes C˜σ et C˜E , ne d´ependant que de CR , CH et δt1 (c’est-`a-dire des param`etres de l’´equation de Bloch et de δt1 ) telles que 1 1 ωc δt σ n+ 2 2 ≤ (1 + C˜σ ωc δt)σ n− 2 2 + 2 (1 + C˜E ωc δt)En 2 . Ec
En combinant ceci aux estimations pr´ec´edentes, on trouve a` nouveau la majoration (10.6) mais avec cette fois-ci de nouvelles formes pour les coefficients : ome de degr´e 1 en δt et Cσ (δt) CB est toujours constante, CE (δt) est un polynˆ est constante. Conclusion Pour les deux types de sch´emas, nous pouvons maintenant r´e´ecrire l’´equation (10.6) sous la forme 1 1 1 1 c2 δt2 Bn+ 2 2 − (1 + ωc δtCB ) ∞ rot Bn+ 2 2 2µ0 2 4µ0 1 ε0 ε ∞ (1 − ωc δtCE (δt))En+ 2 2 + 2 1 Na ωc (1 − ωc δtCσ (δt))σ n+ 2 2 + 2 1 1 1 c2 δt2 1 ≤ Bn− 2 2 − (1 − ωc δtCB ) ∞ rot Bn− 2 2 2µ0 2 4µ0 1 ε0 ε ∞ (1 + ωc δtCE (δt))En− 2 2 + 2 1 Na ωc (1 + ωc δtCσ (δt))σ n− 2 2 . + 2
Soit δt0 le plus grand δt tel que (1 + ωc δtCB )
δt2 2 c /h2 < 1/2 , ωc δtCE (δt) ≤ 1 et ωc δtCσ (δt) ≤ 1 . 4 ∞
Alors, de mani`ere analogue a` la proposition 9.10, le membre de gauche de l’in´egalit´e pr´ec´edente est positif, si δt ≤ δt0 . Avec la notation λ = c∞ δt/h, la majoration de la proposition 9.10 implique que
122
10 Couplage Maxwell–Bloch
1 2λ2 δt2 2 n+ 21 2 n+ 21 2 c (1 − ω δtC ) B rot B − c B 2µ0 1 − 2λ2 4 ∞ 1 1 ε0 ε ∞ Na ωc + (1 − ωc δtCE (δt))En+ 2 2 + (1 − ωc δtCσ (δt))σ n+ 2 2 2 2 1 2λ2 δt2 2 1 n− 2 2 n− 12 2 c rot B ωc δtCB ) B − (1 + ≤ 2µ0 1 − 2λ2 4 ∞ 1 1 ε0 ε ∞ Na ωc + (1 + ωc δtCE (δt))|En− 2 2 + (1 + ωc δtCσ (δt))σ n− 2 2 . 2 2 Pour que les coefficients soient positifs, on suppose que λ2 ≤ λ20 ≡
1 ε∞ et ainsi ε′s > 1. Le polynˆ de degr´e 2. Enfin 1 † (ϕ (0)ϕ1 (Z) − ϕ1 (0)ϕ†1 (Z)) Z 1 ' ( = 4δ 2 (ε′s − 1)r(ξ) (4ε′s − (ε′s − 1)r(ξ))Z − (4ε′s − (ε′s + 1)r(ξ)) .
ϕ2 (Z) =
Le cas o` u ε′s = 1 donne lieu a` un polynˆ ome ϕ2 identiquement nul. On calcule alors ' ( ϕ′1 (Z) = 2δ 4Z + (−4 + 2r(ξ)) . Il est raisonnable de supposer que l’on n’obtiendra pas un meilleur r´esultat qu’avec le sch´ema de Yee seul (λ < 1) et donc r(ξ) ∈]0, 4[. Ainsi la racine de ϕ′1 est bien de module inf´erieur a` 1 et le polynˆ ome ϕ0 est de von Neumann simple. Dans le cas o` u ε′s > 1,
136
11 Mod`eles classiques
4 < 4ε′s − (ε′s − 1)r(ξ) < 4ε′s , et le polynˆ ome ϕ2 est bien de degr´e 1. La racine de ϕ2 est Z=
4ε′s − (ε′s + 1)r(ξ) . 4ε′s − (ε′s − 1)r(ξ)
Comme r(ξ) ∈]0, 4[, cette racine de ϕ2 est bien de module < 1 et ϕ0 est un polynˆ ome de Schur. Nous obtenons donc la stabilit´e sous la seule hypoth`ese λ < 1. ⊓ ⊔ Mod` ele de Maxwell–Lorentz Pour le mod`ele de Lorentz, Petropoulos compare les m´ethodes de Joseph et al. [16] et Kashiwa et al. [18]. Il dit que le sch´ema de Joseph et al. est toujours “faiblement instable” alors que celui de Kashiwa et al. est stable pour λ < √ 1/ 2. La proposition suivante donne un r´esultat rigoureux pour le sch´ema de Joseph et al. Proposition 11.2. Le sch´ema (11.1)–(11.2)–(11.6) pour les ´equations de Maxwell–Lorentz unidimensionnel est stable sous la condition √ δt < δx/ 2c∞ . Preuve. Pour le mod`ele de Joseph et al., les deux premi`eres ´equations (Faraday et Amp`ere) sont inchang´ees (par rapport au mod`ele de Maxwell–Debye). Par contre, la loi de comportement peut s’´ecrire dans un premier temps ν1 δt ε′s ω12 δt2 ν1 δt ε′s ω12 δt2 1+ + + Eℓn+1 = 2Eℓn − 1 − Eℓn−1 2 2 2 2 1 + (Dn+1 − 2Dℓn + Dℓn−1 ) ε0 ε∞ ℓ ν1 δt + (Dn+1 − Dℓn−1 ) 2ε0 ε∞ ℓ ω 2 δt2 + 1 (Dn+1 + Dℓn−1 ) . 2ε0 ε∞ ℓ En utilisant la formule explicite (calcul´ee au paragraphe pr´ec´edent et inchang´ee) pour calculer Dℓn+1 − Dℓn et la formule implicite d’origine pour calculer Dℓn − Dℓn−1 , on obtient 1 n n (Dn+1 − 2Dℓn + Dℓn−1 ) = λ2 (Eℓ+1 − 2Eℓn + Eℓ−1 ), ε 0 ε∞ ℓ 1 n− 1 n− 1 (Dℓn+1 − Dℓn−1 ) = −2λ(c∞ Bℓ+ 12 − c∞ Bℓ− 12 ) 2 2 ε0 ε∞ 2 n n n +λ (Eℓ+1 − 2Eℓ + Eℓ−1 ) , 1 2 n n (Dℓn+1 + Dℓn−1 ) = Dn + λ2 (Eℓ+1 − 2Eℓn + Eℓ−1 ). ε0 ε∞ ε0 ε∞ ℓ
11.1 Mod`eles discrets de type Yee
137
Ainsi
ν1 δt ε′s ω12 δt2 Eℓn+1 + 1+ 2 2 ν1 δt ω12 δt2 n n n + − 2Eℓn + Eℓ−1 ) =2Eℓ + 1 + λ2 (Eℓ+1 2 2 ν1 δt ε′s ω12 δt2 − 1− + Eℓn−1 2 2 1 n− 1 n− 1 − ν1 δtλ(c∞ Bℓ+ 12 − c∞ Bℓ− 12 ) + ω12 δt2 Dn . 2 2 ε0 ε ∞ ℓ
En couplant avec les ´equations d’Amp`ere et de Faraday, on obtient un sch´ema n− 1 explicite portant sur la variable Uℓn = t (c∞ Bℓ+ 12 , Eℓn , Eℓn−1 , Dℓn /ε0 ε∞ ). On 2 √ d´efinit deux temps renormalis´es δ = ν1 δt/2 et δ ′ = ω1 δt/ 2 et on conserve la d´efinition pr´ec´edente de r(ξ). La matrice d’amplification s’´ecrit ⎛ ⎞ 1 −λ(eiξ − 1) 0 0 ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ′2 ⎜ 2δλ(1 − e−iξ ) 2 − r(ξ)(1 + δ + δ ′ 2 ) 1 − δ + δ ′ 2 ε′s ⎟ 2δ ⎟ ⎜− − ⎜ 2 2 2 2 G = ⎜ 1 + δ + δ ′ ε′s 1 + δ + δ ′ ε′s 1 + δ + δ ′ ε′s 1 + δ + δ ′ ε′s ⎟ ⎟. ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎠ ⎝ 0 1 0 0 −λ(1 − e−iξ )
−r(ξ)
0
1
Son polynˆ ome caract´eristique est proportionnel a` 2
2
2
ϕ0 (Z) = (1 + δ + δ ′ ε′s )Z 4 + (−4 − 2δ − 2δ ′ ε′s + (1 + δ + δ ′ )r(ξ))Z 3 2
+(6 + 2δ ′ ε′s − 2r(ξ))Z 2 2
2
2
+(−4 + 2δ − 2δ ′ ε′s + (1 − δ + δ ′ )r(ξ))Z + (1 − δ + δ ′ ε′s ) .
Cas r(ξ) = 0 Le cas r(ξ) = 0 donne a` nouveau lieu a` une ´etude s´epar´ee. On a alors ' ( 2 ϕ0 (Z) = (Z − 1)2 (Z − 1)2 + δ(Z 2 − 1) + δ ′ ε′s (Z 2 + 1) . La matrice d’amplification correspondante est ⎛ 1 0 0 0 ⎜ ⎜ 2 2 ⎜ 2 2δ ′ 1 − δ + δ ′ ε′s ⎜0 − ⎜ G = ⎜ 1 + δ + δ ′ 2 ε′s 1 + δ + δ ′ 2 ε′s 1 + δ + δ ′ 2 ε′s ⎜ ⎜ ⎝0 1 0 0 0 0 0 1
⎞
⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟. ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
138
11 Mod`eles classiques
On remarque alors que si 1 est bien valeur propre double, on peut s´eparer l’espace des phases en deux sous-espaces stables, contenant chacun un des vecteurs propres associ´es `a la valeur propre 1. Ceci ne donne donc a priori pas lieu a` une instabilit´e, modulo le fait que l’on ´etablisse que le polynˆ ome restant est de Schur. Posons ainsi 2
ϕ˜0 (Z) = (Z − 1)2 + δ(Z 2 − 1) + δ ′ ε′s (Z 2 + 1) 2
2
= (1 + δ + δ ′ ε′s )Z 2 − 2Z + (1 − δ + δ ′ ε′s ) .
La condition |ϕ˜0 (0)| < |ϕ˜†0 (0)| est toujours assur´ee. On d´efinit alors par r´ecurrence 2 ϕ˜1 (Z) = 4δ((1 + δ ′ ε′s )Z − 1) , qui est bien un polynˆ ome de Schur, ce qui assure la stabilit´e dans le cas r(ξ) = 0. Cas r(ξ) = 0 On calcule successivement ' 2 2 2 ϕ1 (Z) = 2δ 2(1 + δ ′ ε′s )Z 3 + (−6 − 4δ ′ ε′s + (2 + δ ′ (1 + ε′s ))r(ξ))Z 2 ( 2 2 + (6 + 2δ ′ ε′s − 2r(ξ))Z + (−2 − δ ′ (ε′s − 1)r(ξ)) , 2' 2 2 ϕ2 (Z) = 4δ 2 δ ′ {4ε′s (2 + δ ′ ε′s ) − 4(ε′s − 1)r(ξ) − δ ′ (ε′s − 1)2 r(ξ)2 }Z 2 2
2
+ {−8ε′s (2 + δ ′ ε′s ) + 4((ε′s − 1) + ε′s (2 + δ ′ ε′s ))r(ξ) − 2(ε′s − 1)r(ξ)2 }Z
2
2
+ 4ε′s (2 + δ ′ ε′s ) − 4(ε′s − 1)(2 + δ ′ ε′s )r(ξ) 2
2
( 2 + (2 + δ ′ (1 + ε′s ))(ε′s − 1)r(ξ)2 ,
ϕ3 (Z) = 64δ 2 δ ′ (ε′s − 1)(1 + δ ′ ε′s )r(ξ)(−2 + r(ξ)) × ' 2 2 × {4ε′s (2 + δ ′ ε′s ) − (ε′s − 1)(6 + 2δ ′ ε′s )ε′s )r(ξ) + (ε′s − 1)(1 + δ ′2 )r(ξ)2 }Z
( 2 2 −(4ε′s (2 + δ ′ ε′s ) − 2((ε′s − 1) + (2 + δ ′ ε′s ))r(ξ) + (ε′s − 1)r(ξ)2 ) .
La racine de ϕ3 est
2
Z=
(2 − r(ξ))(2ε′s (2 + δ ′ ε′s ) − (ε′ − 1)r(ξ)) 2
(2 − r(ξ))(2ε′s (2 + δ ′ 2 ε′s ) − (ε′s − 1)r(ξ)) + 2(2 + δ ′ ε′s )r(ξ) 2 + (ε′s − 1)(1 + δ ′ )r(ξ)2
,
forme sous laquelle, on voit facilement que Z reste de module ≤ 1 si r(ξ) ∈]0, √2[, qui est la condition pour un sch´ema de Yee multidimensionnel (λ < 1/ 2). Il reste `a v´erifier les propri´et´es interm´ediaires. Tout d’abord, les
11.2 Sch´emas aux ´el´ements finis
139
polynˆ omes ϕ1 et ϕ2 sont bien de degr´e 3 et 2 respectivement. Le polynˆome ϕ3 est degr´e 1 `a condition que ε′s > 1. Si ε′s = 1, il est identiquement nul et ( 2 2 ' ϕ2 (Z) = 16δ 2 δ ′ (2 + δ ′ ) Z 2 + (−2 + r(ξ))Z + 1 , ( 2 2 ' ϕ′2 (Z) = 16δ 2 δ ′ (2 + δ ′ ) 2Z + (−2 + r(ξ)) . La racine de ϕ′2 est bien de module < 1 si r(ξ) ∈]0, 2[, le polynˆ ome ϕ2 est donc de von Neumann simple modulo la v´erification des estimations reliant 2
ϕ0 (0) = 1 − δ + δ ′ ε′s , 2
ϕ†0 (0) = 1 + δ + δ ′ ε′s , ' ( 2 ϕ1 (0) = 2δ − 2 − δ ′ (ε′s − 1)r(ξ) , ' ( 2 ϕ†1 (0) = 2δ 2(1 + δ ′ ε′s ) , 2' 2 2 ϕ2 (0) = 4δ 2 δ ′ 4ε′s (2 + δ ′ ε′s ) − 4(ε′s − 1)(2 + δ ′ ε′s )r(ξ) ( 2 + (2 + δ ′ (1 + ε′s ))(ε′s − 1)r(ξ)2 , ( 2' 2 2 ϕ†2 (0) = 4δ 2 δ ′ 4ε′s (2 + δ ′ ε′s ) − 4(ε′s − 1)r(ξ) − δ ′ (ε′s − 1)2 r(ξ)2 . Il est clair que pour r(ξ) ∈]0, 2[, on a |ϕ0 (0)| < |ϕ†0 (0)| et |ϕ1 (0)| < |ϕ†1 (0)|. Un simple calcul montre que ϕ2 (0) = 4δ 2 δ ′
2'
ϕ†2 (0) = 4δ 2 δ ′
2'
2
2
(2 − r(ξ))2 (2(1 + δ ′ )(ε′s − 1) + δ ′ (ε′s − 1)2 ) ( 2 2 + 8 + 4δ ′ + 4δ ′ (ε′s − 1)r(ξ) , (2 − r(ξ))(4(ε′s − 1) + δ ′2 (ε′s − 1)2 r(ξ)) ( 2 2 + 8 + 4δ ′ + 8δ ′ (ε′s − 1) .
Ces deux quantit´es sont donc positives. Par ailleurs 2
2
ϕ†2 (0) − ϕ2 (0) = 8δ 2 δ ′ (1 + δ ′ ε′s )(ε′s − 1)r(ξ)(2 − r(ξ)) > 0 . ome On a donc bien v´erifi´e toutes les hypoth`eses. Si ε′s = 1, alors on a un polynˆ de von Neumann simple et, si ε′s > 1, on a un polynˆ ome de Schur. ⊓ ⊔
11.2 Sch´ emas aux ´ el´ ements finis Huynh [13, 15] traite des mod`eles de Maxwell–Debye et Maxwell–Lorentz avec une non lin´earit´e Kerr a` la fois d’un point de vue plus th´eorique en montrant que les ´equations sont conservatives et des r´esultats de convergence. Par
140
11 Mod`eles classiques
ailleurs, il r´ealise l’int´egration du sch´ema r´ecursif dans un code qui discr´etise les ´equations de Maxwell par des ´el´ements finis conformes dans H0 (rot) pour E (´el´ement de N´ed´elec) et des ´el´ements finis conformes dans H(div) pour E (´el´ement de Raviart-Thomas-N´ed´elec).
´ 11.3 Equations d’enveloppe Contrairement aux couplages Maxwell–Bloch, Maxwell–Debye ou Maxwell– Lorentz, il existe une litt´erature tr`es abondante traitant de la discr´etisation des ´equations de Schr¨ odinger non lin´eaires, de couplages d’´equations de Schr¨ odinger (une pour chaque fr´equence et chaque direction de propagation consid´er´ees) ou de couplages bas´es sur des ´equations de Schr¨ odinger comme l’´equation d’Hazegawa [14], etc. Cette litt´erature est d’autant plus ´etendue que l’optique n’est pas le seul contexte de d´erivation d’´equations de type Schr¨ odinger, la m´ecanique des fluides fournissant aussi des couplages de ce type et on peut par exemple penser aux ´equations de Davey–Stewartson. Comme cela sort du pur cadre de l’optique quantique, nous ne donnons qu’une revue tr`es ´el´ementaire des m´ethodes utilis´ees. Les discr´etisations en espace rel`event de deux principaux types : les m´ethodes aux diff´erences finies et celles aux ´el´ements finis. Ces derni`eres sont d´evelopp´ees dans [1, 2]. Celles aux diff´erences finies butent sur une difficult´e `a traiter a` la fois la partie lin´eaire (comportant un laplacien) et la partie non lin´eaire. Ceci se traduit sur le sch´ema utilis´e en temps. Certains s´eparent deux parties pour former des m´ethodes de splitting (ou des pas fractionnaires) [29, 5]. Ceci permet de traiter ´eventuellement le laplacien dans le domaine fr´equentiel de mani`ere `a pouvoir utiliser une transform´ee de Fourier rapide, voire de s´eparer encore le traitement des diff´erentes directions, pour obtenir ce que l’on appelle une m´ethode de directions altern´ees. Si on ne veut pas s´eparer le traitement des diff´erents termes de l’´equation, la m´ethode de loin la plus courante est celle de Crank–Nicolson [10] qui est un centrage en temps de toutes les variables, mais on trouve aussi les m´ethodes de Runge–Kutta [2, 17], des m´ethodes symplectiques [24, 25] ou des m´ethodes de relaxation [3, 4].
Tendances pour l’avenir
Nous avons pr´esent´e les r´esultats math´ematiques sur les ´equations de Bloch et de Maxwell–Bloch ainsi qu’un certain nombre d’approximations de ces syst`emes qui sont souvent confondus dans la litt´erature physique avec les mod`eles initiaux. Si la pr´esentation est faite du point de vue du math´ematicien, le point important pour progresser de mani`ere utile dans ce domaine est de toujours essayer de rester le plus pr`es possible des int´erˆets des physiciens, par des collaborations nombreuses et vari´ees. Ces int´erˆets vont dans deux directions antagonistes : la simplification et l’enrichissement du mod`ele. Simplification, car il est difficile d’isoler des ph´enom`enes physiques sur le mod`ele complet ; simplification aussi, car les sch´emas num´eriques sont tr`es coˆ uteux a` mettre en œuvre sur le mod`ele complet, principalement si l’on consid`ere des d´ependances en toutes les variables d’espace. Les enrichissements, quant `a eux, consistent `a tenir compte d’une physique plus complexe : anisotropie, d´eg´en´erescences ou presque-d´eg´en´erescences, . . . Enfin, il se pose encore quelques probl`emes d’essence purement math´ematique. Nous d´ecrivons ci-apr`es quelques th´ematiques de recherche qui sont actuellement en cours.
Simplifications du mod` ele A la figure 11.1, on repr´esente les principaux mod`eles d´ecrits dans ce livre pour le champ et le milieu, allant de la gauche vers la droite sch´ematiquement du plus complexe au plus simple. Nous avons pr´esent´e dans cet ouvrage deux asymptotiques rigoureuses. La premi`ere permet de passer du mod`ele de Maxwell–Bloch a` l’´equation de Schr¨ odinger non lin´eaire [6]. C’est la transition la plus radicale sur la figure 11.1 et pour la r´ealiser il faut se placer dans des hypoth`eses restrictives : faible interaction, faible inversion, faible amplitude. La seconde asymptotique n’utilise que l’hypoth`ese de faible interaction mais est beaucoup plus modeste :
146
Tendances pour l’avenir
Schr¨ odinger
Maxwell
Champ
Polarisation
Bloch
Kerr
Milieu
taux
Lorentz
Debye
Fig. 11.1. Une hi´erarchie de mod`eles
elle consiste uniquement `a passer des ´equations de Bloch aux ´equations de taux avec un champ ´electrique prescrit [3]. Dans les deux cas, le gain est important en terme de coˆ ut de calcul : on supprime l’´echelle de temps la plus rapide, c’est-`a-dire celle correspondant aux fr´equences propres du mat´eriau en r´esonnance avec l’onde ´electromagn´etique. Cette ´echelle est en g´en´eral de l’ordre de grandeur de la femtoseconde, soit 10−15 s. Pour le mod`ele de Schr¨ odinger, la nouvelle ´echelle de temps est de la dur´ee d’impulsion qui est en g´en´eral plus ´elev´ee de plusieurs d´ecades. Lorsque la dur´ee d’impulsion est de l’ordre de la “fr´equence”, il faut utiliser des asymptotiques sp´ecifiques aux impulsions ultracourtes. Un premier travail sur ce sujet est r´ealis´e dans la th`ese de K. Barrailh-Laurioux [1]. Pour l’´equation de taux, l’´echelle de temps est celle du temps de relaxation a` savoir de l’ordre de la nanoseconde, soit 10−9 s, dans le pire des cas (voir l’appendice A). Il reste `a trouver le cadre qui permettrait d’avoir des mod`eles interm´ediaires dans la hi´erarchie. Une fois ces asymptotiques r´ealis´ees, se pose la question des limites de validit´e de chacun des mod`eles. Si le mod`ele le plus pr´ecis peut ˆetre utilis´e a priori dans toutes les situations, il s’av`ere d’un coˆ ut prohibitif pour la plupart des simulations num´eriques. Il serait donc souhaitable de pouvoir valider les mod`eles asymptotiques pour les plus grandes plages de param`etres possibles et de d´eterminer rigoureusement quel mod`ele minimal utiliser pour quel ph´enom`ene.
Enrichissements du mod` ele Des enrichissements du mod`ele de Maxwell–Bloch sont actuellement en cours d’´etude dans deux contextes particuliers : les milieux cristallins (pour les-
Tendances pour l’avenir
147
quels il faut prendre en compte le groupe de sym´etrie du cristal) et les milieux al´eatoires. Dans les deux cas, la th´eorie n’est jamais pr´esent´ee dans la litt´erature physique. En revanche, on dispose de mesures de certaines quantit´es macroscopiques du mat´eriau. Il s’agit donc de d´eterminer les caract´eristiques du mod`ele de Bloch. Milieux cristallins Alors que dans le cas de milieux isotropes, on peut faire intervenir un unique ´etat par niveau d’´energie, ce n’est plus le cas pour des milieux cristallins. Pour pouvoir d´ecrire un ph´enom`ene, il convient ainsi de d´eterminer le nombre de niveaux d’´energie utiles mais ´egalement le degr´e de d´eg´en´erescence de chacun des niveaux. Pour attaquer ce probl`eme, on dispose de mod`eles ph´enom´enologiques, telles les formules de Sellmeier [17], qui donnent les susceptibilit´es lin´eaires pour un grand nombre de cristaux utiles en optique comme le KDP. Ce cristal est couramment utilis´e comme doubleur de fr´equence dans les chaˆınes optiques, c’est donc un mat´eriau type qu’il faudrait savoir mod´eliser correctement au niveau quantique. Une m´ethodologie g´en´erale de d´erivation de mod`eles quantiques `a partir de ces mesures est d´efinie dans [2, 13, 14]. Les d´eg´en´erescences sont prises en compte dans les mod`eles de Maxwell– Bloch en optique g´eom´etrique [9]. L’influence des presque-d´eg´en´erescences dans l’asymptotique vers les ´equations de taux est le sujet de la r´ef´erence [4]. Par ailleurs, dans la relation D = ε0 ε∞ E + P, la susceptibilit´e relative ε∞ est un tenseur dans le cas des cristaux et ce tenseur n’est pas diagonal si l’onde incidente n’est pas polaris´ee selon les axes principaux du cristal, ce qui est g´en´eralement le cas pour avoir accord de phase. Ce point ne complexifie pas particuli`erement le mod`ele th´eorique, mais est source de difficult´es suppl´ementaires pour la simulation num´erique car les diff´erentes polarisations de l’onde se trouvent plus intimement coupl´ees. Milieux al´eatoires Dans la plupart des mat´eriaux optiques consid´er´es, les param`etres physiques tels les fr´equences de transition, les moments dipolaires, . . . sont des constantes, connues parfois de mani`ere imparfaite mais constantes. A partir de ces donn´ees, on cherche `a d´ecrire au mieux la propagation d’une onde ´electromagn´etique `a travers ce mat´eriau. Dans les milieux al´eatoires comme par exemple les boˆıtes quantiques dans les mat´eriaux semi-conducteurs. Ces grandeurs n’ont plus de valeur d´efinie et on esp`ere pouvoir reconstituer les statistiques de distribution de ces param`etres `a partir de mesures tr`es simples en sortie telles la polarisation de l’onde. Le probl`eme `a r´esoudre est donc un probl`eme inverse du point de vue de l’analyse math´ematique et un probl`eme d’identification de param`etres du point de vue de l’analyse num´erique. Nombre infini de niveaux Le nombre de niveaux d’´energie est a priori infini. L’´energie des niveaux est born´ee sup´erieurement par l’´energie d’ionisation. Pourtant, dans toute la litt´erature, la premi`ere simplification effectu´ee consiste a se ramener `a un nombre fini de niveaux. C’est ´egalement ce point de vue ` qui est adopt´e dans cet ouvrage. La raison habituellement invoqu´ee est que
148
Tendances pour l’avenir
l’onde n’interagit qu’avec un nombre fini de niveaux et qu’il suffit d’int´egrer les ´echanges possibles avec d’autres niveaux dans le terme de relaxation. Des travaux commencent `a porter sur le nombre infini de niveaux. C’est le cas de ceux traitant du passage des ´equations de Bloch a` l’´equation de taux dans le cas d´eg´en´er´e ou non [3, 4]. On peut ´egalement traiter le probl`eme de Cauchy pour les ´equations de Maxwell–Bloch avec un nombre infini de niveaux. Par ailleurs, sous des hypoth`eses de d´ecroissance, on peut d´eriver des ´equations de taux pour un nombre fini de niveaux, a` partir d’´equations de Bloch pour un nombre infini de niveaux. C’est une autre fa¸con de justifier la restriction a` un nombre fini de niveaux usuellement adopt´ee. Ceci est d’autant plus important qu’en analysant l’´equation de taux a` nombre infini de niveaux, on se rend compte que le comportement en grand temps n’est pas la convergence vers un ´etat d’´equilibre s’il y a une interaction avec l’onde (cela marche pour le mod`ele de Pauli seul). Il est probable que le mˆeme probl`eme se pose pour le mod`ele de Bloch complet.
A Constantes physiques
Pour pouvoir donner des ordres de grandeur fiables, il faut utiliser des unit´es coh´erentes. Diff´erents syst`emes coexistent (syst`eme gaussien, syst`eme MKS) et leurs liens sont par exemple d´ecrits dans [5]. Nous choisissons ici d’utiliser le syst`eme MKS.
A.1 Pr´ efixes et symboles 10−3 10−6 10−9 10−12 10−15 10−18
milli micro nano pico femto atto
103 106 109 1012 1015 1018
m µ n p f a
kilo mega giga tera peta exa
k M G T P E
A.2 Le syst` eme MKS Le nom de ce syst`eme provient des trois unit´es de base : le m`etre (m) pour les longueurs, le kilogramme (kg) pour les masses et la seconde (s) pour les temps. A partir de ces trois unit´es et en utilisant la deuxi`eme loi de Newton F=m
dv , dt
on en d´eduit une unit´e pour les forces, le Newton (N) qui ´equivaut a` kg m s−2 . L’unit´e d’´energie est alors le Joule (J) qui ´equivaut a` N m. Pour les besoins de l’´electromagn´etisme, on ajoute une unit´e de base aux trois unit´es pr´ec´edentes, l’unit´e de charge, le Coulomb (C), qui permet entre autres de donner la charge de l’´electron e (cf. infra). La loi de Lorentz F = e(E + v ∧ B) ,
150
A Constantes physiques
permet alors de d´eduire les unit´es pour les champs E et B. Pour les exprimer de mani`ere plus condens´ee, on a l’habitude d’introduire de nouvelles unit´es : – le Volt (V) qui ´equivaut a` J C−1 , – l’Amp`ere (A) qui ´equivaut a` C s−1 , – le Henry (H) qui ´equivaut a` V s A−1 , – le Farad (F) qui ´equivaut a` C V−1 . On exprime alors les champs E en V m−1 et B en V s m−2 . Nous utilisons aussi une unit´e de temp´erature, le Kelvin (K), qui est ´egalement une unit´e de base. Enfin, pour ˆetre complet, il existe encore deux autres unit´es de base qui ne nous servent pas dans ce document : l’unit´e de luminosit´e, le candela (cd) et l’unit´e de quantit´e de mati`ere, la mole (mol).
A.3 Constantes universelles Nom
Symbole
Charge ´electronique Constante de Boltzmann Constante de Dirac Constante de Planck Perm´eabilit´e du vide Permittivit´e du vide Vitesse de la lumi`ere
e κ h µ0 ε0 c
Valeur (unit´es MKS) 1, 60218 × 10−19 C 1, 38066 × 10−23 J K−1 1, 05457 × 10−34 J s 6, 62618 × 10−34 J s 4π × 10−7 H m−1 8, 85419 × 10−12 F m−1 2, 997925 × 108 m s−1
A.4 Unit´ es des variables en optique non lin´ eaire Variable
E B P p Na e µ0 ε0 c J
unit´e usuelle
(m,J,s,C)
V m−1 V s m−2
J C−1 m−1 J C−1 m−2 s C m−2 Cm m−3 C Js J C−2 s2 m−1 C2 J−1 m−1 m s−1 C m−2 s−1
m−3 C Js H m−1 F m−1 m s−1
B Mesures physiques
B.1 Longueurs d’ondes La source du tableau ci-apr`es est [7] qui par ailleurs d´ecrit simplement et de mani`ere assez compl`ete le fonctionnement des lasers les plus courants. Nous donnons les longueurs d’ondes en unit´es S.I., `a savoir le m`etre et ses ´ sous-multiples. Etant donn´e le lien canonique entre les longueurs d’onde λ (en m), les fr´equences ω = c/λ (en rad s−1 ) et les niveaux d’´energie E = ω (en J), il n’est pas rare de trouver dans la litt´erature des ´energies de transition donn´ees en cm−1 ... Type de laser
lasers `a solides rubis : Cr+++ –(Al2 O3 ) n´eodyme holmium : Ho+++ –YAG erbium : Er+++ –YAG europium lasers `a gaz h´elium–n´eon argon ionis´e krypton ionis´e h´elium–cadmium gaz carbonique (CO2 , N2 ) protoxyde d’azote (N2 O) oxyde de carbone (CO) acide fluorhydrique (HF) acide cyanhydrique (HCN) vapeur d’eau
Longueurs d’ondes
0,6943 µm 1,06 µm 2,1 µm 2,94 µm 0,613 µm 3,39 µm, 1,15 µm, 0,6328 µm 0,4880 µm, 0,4965 µm, 0,5145 µm 0,6471 µm 0,325 µm 10,6 µm, 9,6 µm 10,8 µm 5,4 µm 3 µm 337 µm 118 µm, 28 µm
152
B Mesures physiques
lasers `a semi-conducteurs semi-conducteurs lasers `a colorants alexandrite : Cr+++ –BeAl2 O4 cobalt–fluorure de magn´esium titane–saphir : Ti+++ –Al2 O3 lasers param´etriques niobate de lithium : LiNbO3 masers NH3 H
accordables entre 0,6 µm et 30 µm accordable entre 0,7 µm et 0,8 µm accordable entre 1,75 µm et 2,5 µm accordable entre 0,7 µm et 1,1 µm 2,5 µm 1,25 cm 21,1 cm
B.2 Temps caract´ eristiques M´ecanisme physique
Temps caract´eristique
D´eformation des orbitales ´electroniques Vibration mol´eculaire R´eorientation mol´eculaire ´ Electrostriction Transferts thermiques
10−15 s 10−13 s 10−11 `a 10−12 s 10−8 `a 10−9 s 10−1 `a 1 s
B.3 Valeurs de n0 et n2 Lorsque plusieurs valeurs sont donn´ees, elles correspondent `a diff´erentes sources bibliographiques (dispositifs exp´erimentaux de d´etermination du n2 diff´erents) Mat´eriau
CS2 TiO2 Benz`ene Biph´enyl 8Cyanobiph´enyl (cristal liquide)
Valeurs de n0
1,763 1,49 1,59 1,52
Valeurs de n2 100 10−13 esu 10, 5 10−13 esu 27, 3 10−13 esu, 60 10−13 esu 76 10−13 esu 15, 3 10−13 esu
B.6 Mod`ele de Lorentz
B.4 Temps de relaxation Type de laser
Temps de relaxation
Colorants dans les liquides Gaz sous pression r´eduite Dopants dans les solides
10−9 a` 10−7 s 10−7 `a 10−5 s 10−4 `a 10−3 s
B.5 Mod` ele de Debye Mat´eriau ε∞ eau 1,8 muscle peau 5,51 1
εs 81 81 46,9 78,2
tr source 9,4 ps Young et al. [16], Luebbers et al. [11] 9,4 ps Young [15] 1,8 ns Huynh [8] 8,1 ps Petropoulos [12]
B.6 Mod` ele de Lorentz Mat´eriau ε∞ εs ω1 (rad s−1 ) ν1 (s−1 ) 1,5 3 2π × 5 1010 1010 10 1,5 3 2π × 2 10 4 109 10 2π × 5 10 10 109 12 1 101 2π × 4 10 2 109 16 1 2,25 4 10 0, 56 1016
source Young et al. [16] Young [15] Huynh [8] Joseph et al. [10]
153
C Notations
Chaque notation est suivie du num´ero de la page o` u elle est introduite pour la premi`ere fois (en gras italique), puis ´eventuellement des paragraphes o` u cette notation est utilis´ee quand son extension est limit´ee. Une partie des termes de cette table de notations font l’objet d’une entr´ee dans l’index. Normes et espaces Par convention et pour all´eger les notations, nous noterons de la mˆeme fa¸con des normes portant sur des objets de natures math´ematiques diff´erentes. Les normes dans des espaces assez compliqu´es, comme H s (Rd )dU , sont explicit´ees ( H s (Rd )dU par exemple). || 1 C Hs L2 L∞
|E|2 |σ|2
Symboles ·| |· [·, ·] ·∗ t
∂t ∂0
valeur absolue d’un nombre complexe somme des carr´es des composantes de E somme des carr´es des coefficients de σ (= Tr(σ 2 )) norme L2 norme L1 espace des fonctions continues 28 espace de Sobolev 28 §3.7 espace des fonctions de carr´e sommable 29 espace des fonctions presque partout born´ees 32
op´erateur bra de Dirac 7 §2.1 op´erateur ket de Dirac 7 §2.1 valeur moyenne d’un observable 9 commutateur 8 complexe conjugu´e 7 transposition 10 d´eriv´ee temporelle 7 d´eriv´ee temporelle 82 §7.3
156
C Notations
∂x , ∂y , ∂z ∆⊥
d´eriv´ees spatiales 16 laplacien selon les directions transverses x et y 71
Alphabet grec α α1 , α2 αanh αnli β β = (τ, η) γjj γ γjk
coll γjk γjcoll
γ′ ′ γmin
Γj Γjk Γr δ δ′ δt=0 ∆ δt δt0 , δt1 δx, δy, δz ∆En ε ε1 ε0 ε∞ εr εs ε′s
taille de la solution asymptotique 73 param`etres de taille 1 dans les mod`eles asymptotiques 76 §7.2.3 coefficient d’anharmonicit´e 82 §7.3.4 coefficient non lin´eaire instantan´e 82 §7.3.4 1/κT 14 fr´equence et vecteur d’onde 77 §7.3 taux de relaxation longitudinale (mod`ele uni-niveau) 13 taux de relaxation longitudinale (mod`ele simplifi´e) 35 §5 taux de relaxation transverse 12 taux de relaxation de collision 25 §3.2.3 taux de relaxation de collision li´e `a un niveau 25 §3.2.4 taux de relaxation transverse (mod`ele simplifi´e) 35 §5 minimum des relaxations transverses 56 §5.3 taux global de relaxation longitudinale (mod`eles en cascade et de Pauli) 13 taux de relaxation longitudinale (mod`ele en cascade) 13 taux d’amortissement Raman 67 §6.2 pas de temps renormalis´e (stabilit´e) 134 §11.1.5 pas de temps renormalis´e (stabilit´e) 137 §11.1.5 masse de Dirac 66 d´esaccord de fr´equence 75 pas de temps 89 pas de temps maximal de stabilit´e 115 pas d’espace dans les trois directions 99 variable de m´emoire (sch´ema r´ecursif) 128 §11.1.2 petit param`etre de d´eveloppement asymptotique 53 petit param`etre de d´eveloppement asymptotique 75 §7.2.3 permittivit´e du vide 15 permittivit´e relative a` fr´equence infinie 15 permittivit´e relative 63 permittivit´e relative a` fr´equence nulle 64 permittivit´e relative `a fr´equence nulle renormalis´ee (εs /ε∞ ) 134 §11.1.5
C Notations
εnum r ζ η η θ θjk ϑ κ λ λx , λ y λ0 λ1 , . . . , λN λM Λ µ µ0 ν νp
ν k ξ π(β) Π(β) Π Π0 ρ ρe ρjj ρd ρd ρnd ρed ρjk ρ(0) , ρ(1) , ρ(2) ρn 1 ρn+ 2 ρD
157
permittivit´e relative num´erique 131 §11.1.4 variable de Fourier (stabilit´e) 104 coefficient sans dimension de couplage des ´equations de Maxwell et Bloch 73 vecteur d’onde 77 §7.3 variable de temps lente (optique g´eom´etrique) 77 §7.3 argument du coefficient d’amplification du sch´ema de Crank–Nicolson 91 §8.1.2 argument de p12 18 §2.3.3 constante de Boltzmann 14 §2.1.6 rapport de stabilit´e (CFL) 103 rapport de stabilit´e dans chaque direction 104 rapport maximal de stabilit´e 115 valeurs propres de V 90 §8.1 valeur propre d’un op´erateur de taux M 62 §5.4 approximation de un (permittivit´e num´erique) 132 §11.1.4 indice de sommation en espace 28 perm´eabilit´e du vide 15 petit param`etre dans les mod`eles asymptotiques 76 §7.2.3 coefficient d’amortissement associ´e `a la fr´equence ωp (mod`ele de Lorentz) 65 vecteur normal unitaire a` travers ∂Dk 109 §9.3 variable de Fourier (stabilit´e) 102 projecteur orthogonal sur ker L(β) 78 §7.3.2 projecteur orthogonal sur ker L(β) 80 §7.3 enveloppe de la polarisation P 70 §7.1.2 amplitude de l’enveloppe de la polarisation P 72 §7.1.4 matrice densit´e 8 ´etat d’´equilibre de la matrice densit´e 13 population du niveau j 9 vecteur des populations 56 §5 partie diagonale de la matrice densit´e 114 §10.3.3 partie non diagonale de la matrice densit´e 114 §10.3.3 vecteur des populations a` l’´equilibre 60 §5.2 coh´erence des niveaux j et k 8 termes du d´eveloppement en s´erie de ρ 54 §5.1 discr´etisation de ρ aux temps nδt 89 discr´etisation de ρ aux temps (n + 1/2)δt 113 valeur de ρ sur le polygone de Delaunay D 122 §10.5.1
158
C Notations
ρc σ σn 1 σ n+ 2 ς τ τµ (β) τp
τ k φ ϕ ϕ† ϕ 0 , ϕ1 , . . . ϕ˜0 , ϕ˜1 , . . . χ χ ˜ χ(1) χ(2) χ(3) χN L χKerr χm ∆χm ψ ψS ψ1 , ψ 2 Ψ ω ω0 ω1 , ω2 , ω3 ωAS ωc ωj ωjk ωp ωr
densit´e de charge 16 §2.2.3 ´ecart de la matrice densit´e `a son ´etat d’´equilibre ρ − ρe 28 interpolation de σ aux temps nδt 118 discr´etisation de σ aux temps (n + 1/2)δt 115 taille des relaxations transverses 56 §5.3 variable muette d’int´egration temporelle 11 fr´equence 77 §7.3 param´etrisation de la vari´et´e caract´eristique CL 79 §7.3 dur´ee d’impulsion 38 vecteur tangent unitaire le long de ∂Dk 109 champ scalaire 17 §2.2.3 polynˆ ome 101 §9.2.1 polynˆ ome conjugu´e 101 suite de polynˆ omes de Schur 101 suite de polynˆ omes de Schur dans un cas simplifi´e 138 susceptibilit´e ˜ t=0 66 §6.1.3 susceptibilit´e instantan´ee χ1 (t) = χδ susceptibilit´e lin´eaire 63 susceptibilit´e quadratique 66 §6.2 susceptibilit´e cubique 66 §6.2 susceptibilit´e non lin´eaire 67 §6.2 coefficient de la nonlin´earit´e Kerr 67 §6.2 moyenne de la susceptibilit´e (sch´ema r´ecursif) 126 §11 variation de la moyenne de la susceptibilit´e (sch´ema r´ecursif) 126 §11 vecteur d’´etat 7 §2.1 vecteurs d’´etat 8 §2.1.2 vecteurs d’´etat 7 §2.1.1 op´erateur d’une ´equation de taux 56 §5 fr´equence 4 fr´equence centrale 38 fr´equence de Rayleigh 5 §1.2.4 fr´equences pour le m´elange d’onde 4 §1.2.1 fr´equence d’anti-Stokes 5 §1.2.4 valeur caract´eristique de la fr´equence 32 fr´equence propre de l’hamiltonien non perturb´e H0 8 fr´equence de transition 10 fr´equences de r´esonnance 65 fr´equence Raman 5
C Notations
ωRabi ωS Ω Alphabet latin aj aSj A A0 AD Aj Aµ A21 A B = (Bx , By , Bz ) Bc B
B 1 Bn+ 2
D BD , B b B12 B21 c c∞ c0 , . . .cD C C1 , C2 , . . . CP , CN CR , CH , CH˜ CB , CE , Cσ C˜E , C˜σ CL d
159
fr´equence de Rabi 38 fr´equence de Stokes 5 §1.2.4 fr´equence num´erique 131 §11.1.4 coefficient dans la base propre de l’hamiltonien non perturb´e H0 8 coefficient dans la base propre de l’hamiltonien non perturb´e H0 8 §2.1 enveloppe du champ ´electrique E 70 §7.1.2 amplitude de l’enveloppe du champ ´electrique E 72 §7.1.4 aire du polygone de Delaunay D 109 vecteur de RN 25 §3.2.4 matrice sym´etrique 28 taux d’´emission spontan´ee d’Einstein 55 §5.2 amplitude dipolaire 18 §2.3.3 d´eplacement magn´etique 15 valeur caract´eristique du d´eplacement magn´etique 73 §7.2 By en polarisation unidimensionnelle T Ez 16 Bz en polarisation bidimensionnelle T Ex,y 17 (Bx , By ) en polarisation bidimensionnelle T Mx,y 17 discr´etisation de B au temps (n + 1/2)δt 99 valeur de B sur le polygone de Delaunay D 109 §9.3 enveloppe de B dans le domaine fr´equentiel 131 §11.1.4 taux d’absorption d’Einstein 55 §5.2 taux d’´emission stimul´ee d’Einstein 55 §5.2 vitesse de la lumi`ere dans le vide 10 vitesse de la lumi`ere dans un mat´eriau a` fr´equence infinie 15 coefficients d’un polynˆ ome 101 §9.2.1 constante dans les estimations d’´energie 33 §3.11 constantes dans les estimations d’´energie 33 constantes dans le mod`ele deux niveaux 35 §3.5.1 constantes dans les estimations d’´energie des semigroupes 94 constantes dans les estimations d’´energie (Crank– Nicolson) 120 constantes dans les estimations d’´energie (splitting) 121 vari´et´e caract´eristique de Lε 78 §7.3.2 dimension de l’espace physique 28 §3.3
160
C Notations
dU D D Dn Dj D
∂Dk Dk
e E = (Ex , Ey , Ez ) E
E E0 , E0 Ec En 1 En+ 2
D ED , E r
r ED , E D e E(t)
1
E n+ 2 n+ 12
E∞ E1n E2n
Ej f F (U ) F g G g− , g+ Gjk h h(t)
dimension du vecteur r´eel des variables d’un syst`eme hyperbolique 28 degr´e d’un polynˆ ome 101 §9.2.1 d´eplacement ´electrique 15 discr´etisation de D au temps nδt 126 diagonale r´eelle de la matrice densit´e 28 §3.3 polygone de Delaunay 109 k`eme cˆot´e du polygone D 109 §9.3 polygone voisin de D par le cˆ ot´e ∂Dk 110 §9.3 charge de l’´electron 9 champ ´electrique 9 Ex en polarisation unidimensionnelle T Ez 16 Ez en polarisation bidimensionnelle T Mx,y 17 (Ex , Ey ) en polarisation bidimensionnelle T Ex,y 17 amplitude maximale du champ ´electrique 38 valeur caract´eristique du champ ´electrique 33 discr´etisation de E aux temps nδt 99 interpolation de E aux temps (n + 1/2)δt 105 valeur de E sur le polygone de Delaunay D 109 valeur reconstruite de E sur le polygone de Delaunay D 122 enveloppe de E dans le domaine fr´equentiel 131 §11.1.4 ´energie du syst`eme 32 discr´etisation de l’´energie du syst`eme aux temps (n+ 1/2)δt 119 discr´etisation de l’´energie du syst`eme `a fr´equence infinie aux temps (n + 1/2)δt 105 premi`ere correction de la discr´etisation de l’´energie du syst`eme aux temps nδt 116 deuxi`eme correction de la discr´etisation de l’´energie du syst`eme aux temps nδt 116 ´energie propre de l’hamiltonien non perturb´e H0 8 fonction positive 23 §3.2.2 partie non lin´eaire 28 force 149 §A.2 fonction d’int´egration directe 127 §11 matrice d’amplification 102 valeurs propres de la matrice d’amplification 103 §9.2.1 coefficient d’amplification du sch´ema de Crank– Nicolson 90 §8.1.2 pas minimal dans un maillage 105 fonction marche de Heaviside 64
C Notations
H 1
Hn+ 2 H i I Im
H0
Is(j,k) I IL Id J J = (Jx , Jy , Jz ) J J Jn 1 Jn+ 2 j, k, l |j k
k = (kx , ky , kz ) K ker ℓ l L L1 , L2 L0 Lε L(β) L1 L(β) LR LkD Lk,⊥ D L
161
constante de Dirac 7 champ magn´etique 10 §2.1.3 discr´etisation de H au temps (n + 1/2)δt hamiltonien total 7 §2.1 hamiltonien non perturb´e 7 §2.1 √ −1 7 intensit´e de l’onde 55 §5.2 partie imaginaire 28 extra-diagonale imaginaire pure de la matrice densit´e 28 §3.3 partie imaginaire de la coh´erence renormalis´ee d’un mod`ele `a deux niveaux 75 §7.2.2 ensemble des indices d’un sous-espace de RN 58 §5.4.3 op´erateur identit´e 9 ordre de la non lin´earit´e 81 §7.3.3 densit´e de courant 15 Jx en polarisation unidimensionnelle T Ez 16 Jz en polarisation bidimensionnelle T Mx,y 17 (Jx , Jy ) en polarisation bidimensionnelle T Ex,y 17 discr´etisation de J au temps nδt 130 discr´etisation de J au temps (n + 1/2)δt 99 niveau d’´energie 8 fonction d’onde associ´ee au j`eme niveau 8 §2.1 nombre d’inversions en transparence auto-induite 38 §4.1 indice de cˆot´e de polygone 109 §9.3 vecteur d’onde 63 vecteur d’onde num´erique 131 §11.1.4 noyau d’un op´erateur lin´eaire 78 §7.3 indice de discr´etisation en espace 99 moment orbital 10 §2.1.3 op´erateur lin´eaire de l’´equation de Bloch 22 §3.1 op´erateurs lin´eaires 96 §8.2.2 op´erateur lin´eaire anti-sym´etrique 77 §7.3 op´erateur lin´eaire du probl`eme asymptotique 77 §7.3 op´erateur lin´eaire dans l’espace des phases 78 §7.3 op´erateur de transport lin´eaire 78 §7.3 op´erateur lin´eaire dans l’espace des phases p´eriodiques 80 §7.3 constante de Lipschitz 29 §3.3 longueur de ∂Dk 109 §9.3 longueur l’arˆete perpendiculaire a` ∂Dk 109 §9.3 rapport de longitudinalit´e 83 §7.3.4
162
C Notations
m
me M M n n0 n2 N N
Na ND nf
Ne ˜ N ˜c N ¯ N
O p pjk p12
p pc p
p0 pS P = (Px , Py , Pz ) P P Pc
indice de discr´etisation en espace 100 §9 indice de sommation des pas de temps 126 §11.1.1 masse 149 §A.2 masse de l’´electron 10 §2.1.3 nombre de pas des sch´emas par int´egration directe 127 §11 matrice (th´eor`eme de Gerschgorin–Hadamard) 62 §5.4 indice de discr´etisation en temps 89 nombre d’it´erations d’un op´erateur 22 §3.1 indice de r´efraction lin´eaire 66 §6.1.3 indice de r´efraction non lin´eaire 67 §6.2 nombre de niveaux d’´energie pertinents 9 nombre d’inversion 18 nombre d’inversion a` l’´equilibre 35 ´ecart `a l’´equilibre du nombre d’inversion 75 §7.2.2 valeur caract´eristique de l’´ecart `a l’´equilibre du nombre d’inversion 76 §7.2.3 version non lin´eaire du nombre d’inversion 83 §7.3.4 densit´e volumique d’´el´ements actifs 16 nombre de cˆ ot´es du polygone D 109 nombre de fr´equences de r´esonnance (mod`ele de Lorentz) 65 §6.1.2 observable 9 §2.1.2 matrice des moments dipolaires, polarisabilit´e 9 polarisabilit´e de la transition du niveau j au niveau k 10 (p12 )x dans le cas de deux niveaux en polarisation unidimensionnelle T Ez 18 px en polarisation unidimensionnelle T Ez 16 pz en polarisation bidimensionnelle T Mx,y 17 (px , py ) en polarisation bidimensionnelle T Ex,y 17 valeur caract´eristique des moments dipolaires 33 num´ero d’une fr´equence de r´esonnance (mod`ele de Lorentz) 65 §6.1.2 polynˆ ome des harmoniques d’une asymptotique 80 §7.3 impulsion du syst`eme non perturb´e 10 §2.1.3 probabilit´e de l’´etat statistique ψ S 8 §2.1 polarisation 15 Px en polarisation unidimensionnelle T Ez 16 Pz en polarisation bidimensionnelle T Mx,y 17 (Px , Py ) en polarisation bidimensionnelle T Ex,y 17 valeur caract´eristique de la polarisation 73 §7.2
C Notations
Pn 1 Pn+ 2 L P PNL PNL Raman PNL Kerr Pp P
Pc
q q Q r(ξ) r R R Re Rs(j,k) R Rn s s(j, k) S S(t)
SR SH S˜H
t t0 tc tr t∗ (R), t1 (R) T T Tr u, ux , uy , uz
163
discr´etisation de P aux temps nδt 112 discr´etisation de P aux temps (n + 1/2)δt polarisation lin´eaire 66 §6.2 polarisation non lin´eaire 67 §6.2 polarisation non lin´eaire associ´ee `a la diffusion Raman 67 §6.2 polarisation non lin´eaire associ´ee `a l’effet Kerr 67 §6.2 polarisation associ´ee `a la fr´equence ωp (mod`ele de Lorentz) 65 §6.1.2 coh´erence `a deux niveaux 19 valeur caract´eristique de la coh´erence `a deux niveaux 76 §7.2.3 op´erateur quadrupolaire ´electrique 10 §2.1.3 num´ero d’harmonique 80 §7.3.3 multiplicit´e des diffusions Raman 5 §1.2.4 op´erateur de relaxation 12 coefficient dans l’´etude de stabilit´e 134 §11.1.5 vecteur position microscopique 7 §2.1 rayon de boule 29 §3.3 vecteur position macroscopique 9 §2.1.3 partie r´eelle 19 extra-diagonale r´eelle de la matrice densit´e 28 §3.3 partie r´eelle de la coh´erence renormalis´ee d’un mod`ele `a deux niveaux 75 §7.2.2 op´erateur de relaxation–nutation 27 r´egularit´e de Sobolev 28 §3.7 ordre sur les coefficients extra-diagonaux 28 §3.3 ensemble statistique de r´epartition des ´etats quantiques 8 §2.1 semi-groupe d’´evolution lin´eaire 29 §3.3 semi-groupe d’´evolution de relaxation–nutation 93 semi-groupe d’´evolution d’interaction approch´e 94 semi-groupe d’´evolution d’interaction exact 93 §8.2 temps 7 temps initial ou critique 23 §3.2.2 valeur caract´eristique du temps 74 §7.2 temps de relaxation (mod`ele de Debye) 64 temps d’existence 28 §3.7 temp´erature 14 §2.1.6 temps `a l’´echelle diffractive 77 §7.3 application contractante 30 §3.3 trace d’un op´erateur ou d’une matrice 9 vecteurs unitaires 70 §7.1.2
164
C Notations
U , U1 , U2 U0 ˜ U
ε
n U n , Uℓn , Uℓ,m
u uε u0 U0 U1 , U 2 v v v V1 , V2 V V v 1 V n+ 2
V Wjk x, y x x xc X X XM X Y y Y z zc Z
vecteur r´eel des variables d’un syst`eme hyperbolique 28 §3.3 donn´ee initiale du vecteur r´eel des variables d’un syst`eme hyperbolique 29 §3.3 vecteur r´eel des variables d’un syst`eme hyperbolique 31 §3.3 vecteur r´eel des variables (stabilit´e) 102 solution exacte d’un probl`eme asymptotique 77 §7.3 solution approch´ee d’un probl`eme asymptotique 77 §7.3 donn´ee initiale de la solution approch´ee d’un probl`eme asymptotique 77 §7.3 enveloppe du terme principal de la solution approch´ee d’un probl`eme asymptotique 77 §7.3 enveloppes des termes correctifs de la solution approch´ee d’un probl`eme asymptotique 77 §7.3 vitesse 149 §A.2 vitesse de groupe 79 §7.3 vitesse d’un paquet d’onde 69 §7 matrices de MN,N (C) 31 hamiltonien d’interaction 7 potentiel d’interaction E · p/ 10 potentiel d’interaction renormalis´e 54 §5.1 discr´etisation de V aux temps (n + 1/2)δt 89 champ vectoriel bidimensionnel 17 §2.2.3 taux de relaxation longitudinale (mod`ele de Pauli) 14 variables d’espace transverses vecteur position 32 vecteur temps–position 77 §7.3 valeur caract´eristique en espace dans la direction transverse 75 §7.2 vecteur temps–position a` l’´echelle diffractive 77 §7.3 vecteurs de Cn 10 vecteur propre d’un op´erateur de taux M 62 §5.4 fonction m´emoire du mat´eriau (sch´ema r´ecursif) 131 §11.1.4 vecteurs de Cn 11 §2.1.5 vecteur position 77 §7.3 vecteur position a` l’´echelle diffractive 77 §7.3 variable d’espace longitudinale 16 valeur caract´eristique en espace dans la direction longitudinale 75 §7.2 variable de polynˆ ome caract´eristique 101
Litt´ erature de la conclusion et des appendices
´ 1. K. Barrailh-Laurioux. Etude math´ ematique et num´ erique de mod` eles de propagation issus de l’optique non lin´eaire. Th`ese de doctorat, Universit´e Bordeaux I, septembre 2002. 2. C. Besse, B. Bid´egaray-Fesquet, A. Bourgeade, P. Degond, et O. Saut. A Maxwell–Bloch model with discrete symmetries for wave propagation in nonlinear crystals : an application to KDP. Mathematical Modelling and Numerical Analysis, 38(2) :321–344, 2004. 3. B. Bid´egaray-Fesquet, F. Castella, et P. Degond. From the Bloch model to the rate equations. Discrete and Continuous Dynamical Systems A, 11(1) :1–26, 2004. 4. B. Bid´egaray-Fesquet, F. Castella, E. Dumas, et M. Gisclon. From Bloch model to the rate equations II : the case of almost degenerate energy levels. Mathematical Models and Methods in Applied Sciences, 14(12) :1785–1817, 2004. 5. R.W. Boyd. Nonlinear Optics. Academic Press, 1992. 6. T. Colin et B. Nkonga. A numerical model for light interaction with two-level atoms medium. Physica D, 188(1–2) :92–118, 2004. 7. F. Hartmann. Les Lasers Que sais-je ? num´ero 1565. Presses Universitaires de France, 1991. ´ 8. P. Huynh. Etude th´eorique et num´erique de mod` eles de Kerr. Th`ese de doctorat, Universit´e Bordeaux I, septembre 1999. 9. J.-L. Joly, G. M´etivier, et J. Rauch. Transparent nonlinear geometric optics and Maxwell–Bloch equations. Journal of Differential Equations, 166(1) :175–250, 2000. 10. R.M. Joseph, S.C. Hagness, et A. Taflove. Direct time integration of Maxwell’s equations in linear dispersive media with absorption for scattering and propagation of femtosecond electromagnetic pulses. Optical Letters, 16(18) :1412–1414, 1991. 11. R. Luebbers, F.P. Hunsberger, K.S. Kunz, R.B. Standler, et M. Schneider. A frequency-dependent finite-difference time–domain formulation for dispersive materials. IEEE Transactions on Electromagnetic Compatibility, 32(3) :222– 227, 1990.
166
Litt´erature de la conclusion et des appendices
12. P.G. Petropoulos. Stability and phase error analysis of FD–TD in dispersive dielectrics. IEEE Transactions on Antennas and Propagation, 42(1) :62–69, 1994. 13. O. Saut. Etude num´ erique des nonlin´earit´es d’un cristal par r´ esolution des ´equations de Maxwell–Bloch. Th`ese de doctorat, INSA de Toulouse, d´ecembre 2003. 14. O. Saut. Computational modeling of ultrashort powerful laser pulses in an anisotropic crystal. Journal of Computational Physics, 197(2) :624–646, 2004. 15. J.L. Young. Propagation in linear dispersive media : Finite difference timedomain methodologies. IEEE Transactions on Antennas and Propagation, 43(4) :422–426, 1995. 16. J.L. Young, A. Kittichartphayak, Y.M. Kwok, et D. Sullivan. On the dispersion errors related to FD2 TD type schemes. IEEE Transactions on Antennas and Propagation, 43(8) :1902–1910, 1995. 17. F. Zernicke, Jr. Refractive indices of Ammonium Dihydrogen Phosphate and Potassium Dihydrogen Phosphate between 2000 ˚ A and 1.5µ. Journal of the Optical Society of America, 54(10) :1215–1220, 1964.
Liste des figures
4.1
4.2
4.3
4.4 4.5
4.6 4.7 4.8 4.9
4.10
6.1
6.2
Effet de transparence. Variation temporelle du champ ´electrique (trait plein) et de la population du niveau excit´e (tirets) : l’onde se propage sans changer de forme . . . . . . . . . . . . . G´en´eration de 4π, 2π et π pulses par variation de l’amplitude E0 . Variation temporelle du champ ´electrique (trait plein) et de la population du niveau excit´e (tirets) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . G´en´eration de 4π, 2π et π pulses par variation de la longueur d’impulsion τp . Variation temporelle du champ ´electrique (trait plein) et de la population du niveau excit´e (tirets) . . . . . . . G´en´eration de seconde harmonique – une polarisation. Transform´ee de Fourier du champ apr`es la travers´ee du milieu . G´en´eration de seconde harmonique – deux polarisations. Transform´ee de Fourier des deux polarisations du champ apr`es la travers´ee du milieu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ ´ Transfert de coh´erence. Principe. (a) Etat initial, (b) Etat final Transfert de coh´erence. Variation temporelle des trois populations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Transfert de coh´erence. Variation temporelle des trois coh´erences Constance de la fr´equence Raman. Transform´ee de Fourier du champ ´electrique `a l’entr´ee et au milieu du mat´eriau pour deux fr´equences incidentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Diffusions Raman multiples et triplage de fr´equence. Transform´ee de Fourier du champ ´electrique en diff´erents points du mat´eriau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
40
41 42
43 44 44 45
46
47
Nombre d’onde en fonction de la fr´equence pour un mod`ele de Debye. On a choisit les param`etres de l’eau : ε∞ = 1, 8, εs = 81 et tr = 9, 4 10−12 s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 Nombre d’onde pour un mod`ele de Lorentz. On a choisit les param`etres : ε∞ = 1, 5, εs = 3, ω1 = 10π 1010 rad s−1 et ν1 = 1010 rad s−1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
168
Liste des figures
6.3
D´etails de l’´evolution temporelle des populations dans une exp´erience de transparence auto-induite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
8.1
´ Conservation de la trace et positivit´e. Evolution des populations et de la trace en fonction du temps (en ps) . . . . . . . 98
9.1 9.2
Sch´ema de Yee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 Maillage de Delaunay-Vorono¨ı. Triangles de Delaunay (traits gras) et polygones de Vorono¨ı (traits fins) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 Maillage de Delaunay-Vorono¨ı – notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
9.3
10.1 Sch´ema de Yee pour Maxwell–Bloch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 10.2 Comparaison des m´ethodes num´eriques pour 100 points par ´ longueur d’onde. Evolution temporelle de la population du niveau excit´e et de la coh´erence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 10.3 Comparaison des m´ethodes num´eriques pour 20 points par longueur d’onde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 11.1 Une hi´erarchie de mod`eles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
Index
Absorption, 5, 55 ` a deux photons, 3 Adimensionnement, 72–76, 97 Amplitude dipolaire, 18 Approximation de l’enveloppe lentement variable, 71 dipolaire, 10, 69 paraxiale, 21, 70 quadrupolaire, 10 Champ ´electrique, 9, 15 Champ magn´etique, 10, 15 Coh´erence, 9, 11, 12, 24, 25, 27, 32, 43 Condition de CFL, 102–105, 107, 108, 115, 122, 130, 133–139 Condition de polarisation, 78 Conservation de la trace, 9, 11, 13, 14, 17, 22, 27, 32, 59–61, 92, 97, 98 D´eg´en´erescence, 73, 94, 147 D´eplacement ´electrique, 15, 63–66 D´eplacement magn´etique, 15, 69 Densit´e de courant, 15, 112 Diffraction de Fresnel, 79 Diffusion Brillouin, 3 multiple, 5, 46–48 Raman, 3, 5, 6, 42, 45–48, 67 coh´erente, 5 spontan´ee, 3, 5, 6 stimul´ee, 3, 5, 6 Rayleigh, 3 Dur´ee d’impulsion, 38–41, 146
Effet ´electro-optique, 4 Kerr, 3, 4, 67, 139 Pockels, 4 ´ Emission spontan´ee, 4, 5, 12, 55 stimul´ee, 5, 55 ´ Energie, 32–34, 105–108, 116–122 ´ Equation d’Amp`ere, 15, 69, 70, 108–112, 124–126 d’amplitude, 69 d’Einstein, 55, 56 d’enveloppe, 46, 69–84, 140 d’Hazegawa, 140 de Bloch, 5, 7–14, 21–27, 89–98, 112–114, 122–124, 146 de Faraday, 15, 70, 108–110, 125, 126 de Gauss, 15, 110 de Liouville, 8 de Maxwell, 15–17, 99, 100, 102–110 de Poisson, 15, 108 de propagation, 79 de Schr¨ odinger, 7, 8 de Schr¨ odinger non lin´eaire, 4, 37, 67, 71, 140, 145 de taux, 10, 13, 53–62, 111, 146 de transport, 71 des ondes, 70 hyperbolique semi-lin´eaire, 28–31, 74–84 Estimation a priori, 31–35, 94–96
170
Index
´ Etat d’´equilibre, 6, 12–14, 28, 54, 57–61, 75, 148 Excitation Raman, 5 Formulation de Duhamel, 29–31, 95 Formule de Fadeev, 94 de Lie, 96 de Sellmeier, 147 de Strang, 96, 97, 113, 120, 124 de Trotter–Kato, 22 Fr´equence d’anti-Stokes, 5, 6, 45, 47, 48 de r´esonnance, 65 de Rabi, 32, 38, 39, 73, 75, 76 de Raman, 5, 46, 47 de Rayleigh, 5 de Stokes, 5, 6, 45–48 de transition, 10, 75 Raman, 67 G´en´eration de fr´equence diff´erence, 4 de fr´equence somme, 4 de seconde harmonique, 4, 16, 41–43, 147 de troisi`eme harmonique, 46, 47, 114 Hamiltonien, 7 d’interaction, 7, 9, 10, 89 non perturb´e, 7 Indice de r´efraction, 66, 152 non lin´eaire, 67, 152 Intensit´e, 38–40, 55 Inversion de population, 38, 39, 73, 75, 145 KDP, 4, 147 Laser, 3–5, 151–153 Lemme de cancellation, 31, 33, 96, 112, 118, 124 de Gronwall, 31, 95 Loi constitutive, 15, 63, 125, 126 M´elange ` a quatre ondes, 3, 4 a trois ondes, 3, 4 `
Maillage de Delaunay, 108–110, 122–124 de Vorono¨ı, 108–110, 123 Matrice densit´e, 8–14, 25–27 Milieu al´eatoire, 147 centro-sym´etrique, 11, 46 cristallin, 146, 147 Mod`ele a deux niveaux, 17–19, 34, 35, 37–41, ` 53–57, 67, 68, 71, 72, 74–76, 83, 84, 111 asymptotique, 3, 21, 41, 145, 146 classique, 3, 63–68, 125–140 classique lin´eaire, 63–66, 125–139 classique non lin´eaire, 66, 67, 82, 140 de Debye, 63, 64, 127–129, 131, 132, 153 de l’´equation maˆıtresse de Pauli, 14, 22–27, 58–61 de l’oscillateur anharmonique, 21, 67, 82 de Lorentz, 19, 63–66, 82, 129–132, 153 de Maxwell–Bloch, 3, 4, 15–19, 21, 27–35, 37, 71–76, 83, 84, 111–124, 145–147 de Maxwell–Debye, 15, 112, 125, 133–136, 139 de Maxwell–Lorentz, 15, 21, 112, 125, 136–139 en cascade, 13, 22–25, 27 m´esoscopique, 8 microscopique, 8 semi-classique, 3 uni-niveau, 13, 23, 24, 26, 35, 53–56 Moment dipolaire, 9–11, 41, 42 Niveau d’´energie, 8, 13, 14, 56, 147, 148 Nombre d’inversion, 18, 35, 67, 68, 71, 72, 74–76, 83 Notation de Dirac, 7 Nutation, 27 Observable, 7–9, 11 Onde plane, 70 Optique de Descartes, 77–79
Index diffractive, 76, 77, 81 g´eom´etrique, 69, 73, 76–81, 147 Ordre des sch´emas, 89, 96, 99, 127 Oscillateur harmonique, 65 Permittivit´e num´erique, 130–132 Permittivit´e relative, 63–65 Point fixe, 30, 77, 97 Polarisation, 9, 15–19, 63–68, 111, 112 Polarisation de l’onde, 16, 17, 41–43, 70, 122, 147 transverse ´electrique, 16, 17, 99, 100, 108–110, 124 transverse magn´etique, 16, 17, 108, 110, 124 Polynˆ ome de Schur, 101, 135, 136, 138, 139 de von Neumann, 101, 135, 139 Population, 9, 11–14, 23, 24 Positivit´e, 10, 11, 21–27, 90–92, 97, 98, 114 Probl`eme de Cauchy, 27–31, 34, 35 Raideur, 97 Redressement optique, 4, 43, 81 Relation de dispersion, 63, 71, 131 Relaxation, 5, 11–14, 22–27, 74, 153 de collision, 12, 25–27 longitudinale, 12–14, 21–27, 35, 53–56 transverse, 12, 24–27, 35, 53–56 Sch´ema aux ´el´ements finis, 111, 125, 139, 140
171
aux diff´erences finies, 99–108, 111–122, 125–140 aux volumes finis, 108–111, 122–124 de Crank–Nicolson, 89–92, 97, 98, 111–115, 118–124, 140 de relaxation, 114 de splitting, 37, 73, 84, 92–98, 113–115, 120–124 de Yee, 37, 99, 100, 102–107, 112, 113, 125–139 faiblement coupl´e, 112–114 fortement coupl´e, 111–113 par int´egration directe, 125–130, 133–139 r´ecursif, 125–129, 131, 132, 140 Semi-groupe d’´evolution, 29–31, 93–96 Soliton, 4 Sph`ere de Lorentz, 8, 9 Stabilit´e, 31, 100–108, 113, 115–122, 133–139 Susceptibilit´e, 63–67, 126, 127, 129 Sym´etrie, 10, 11, 19, 21, 61 Th´eor`eme de Gerschgorin–Hadamard, 61, 62 Transfert de coh´erence, 43–45 Transparence auto-induite, 4, 37–41, 67–69, 71–73, 114–116 Vari´et´e caract´eristique, 78 Vecteur d’´etat, 7 Vecteur d’onde, 63, 70, 71, 131
D´ej`a parus dans la mˆeme collection
1. T. C AZENAVE , A. H ARAUX Introduction aux probl`emes d’´evolution semi-lin´eaires. 1990
17. G. BARLES Solutions de viscosit´e des e´ quations de Hamilton-Jacobi. 1994
2. P. J OLY Mise en œuvre de la m´ethode des e´ l´ements finis. 1990
18. Q. S. N GUYEN Stabilit´e des structures e´ lastiques. 1995
3/4. E. G ODLEWSKI , P.-A. R AVIART Hyperbolic systems of conservation laws. 1991 5/6. P H . D ESTUYNDER Mod´elisation m´ecanique des milieux continus. 1991 7. J. C. N EDELEC Notions sur les techniques d’´el´ements finis. 1992 8. G. ROBIN Algorithmique et cryptographie. 1992 9. D. L AMBERTON , B. L APEYRE Introduction au calcul stochastique appliqu´e. 1992 10. C. B ERNARDI , Y. M ADAY Approximations spectrales de probl`emes aux limites elliptiques. 1992 11. V. G ENON -C ATALOT, D. P ICARD El´ements de statistique asymptotique. 1993 12. P. D EHORNOY Complexit´e et d´ecidabilit´e. 1993 13. O. K AVIAN Introduction a` la th´eorie des points critiques. 1994 14. A. B OSSAVIT ´ Electromagn´ etisme, en vue de la mod´elisation. 1994 15. R. K H . Z EYTOUNIAN Mod´elisation asymptotique en m´ecanique des fluides newtoniens. 1994 16. D. B OUCHE , F. M OLINET M´ethodes asymptotiques en e´ lectromagn´etisme. 1994
19. F. ROBERT Les syst`emes dynamiques discrets. 1995 20. O. PAPINI , J. W OLFMANN Alg`ebre discr`ete et codes correcteurs. 1995 21. D. C OLLOMBIER Plans d’exp´erience factoriels. 1996 22. G. G AGNEUX , M. M ADAUNE -T ORT Analyse math´ematique de mod`eles non lin´eaires de l’ing´enierie p´etroli`ere. 1996 23. M. D UFLO Algorithmes stochastiques. 1996 24. P. D ESTUYNDER , M. S ALAUN Mathematical Analysis of Thin Plate Models. 1996 25. P. ROUGEE M´ecanique des grandes transformations. 1997 ¨ 26. L. H ORMANDER Lectures on Nonlinear Hyperbolic Differential Equations. 1997 27. J. F. B ONNANS , J. C. G ILBERT, ´ C. L EMAR E´ CHAL , C. S AGASTIZ ABAL Optimisation num´erique. 1997 28. C. C OCOZZA -T HIVENT Processus stochastiques et fiabilit´e des syst`emes. 1997 ´ PARDOUX , R. S ENTIS 29. B. L APEYRE , E. M´ethodes de Monte-Carlo pour les e´ quations de transport et de diffusion. 1998 30. P. S AGAUT Introduction a` la simulation des grandes e´ chelles pour les e´ coulements de fluide incompressible. 1998
D´ej`a parus dans la mˆeme collection
31. E. R IO Th´eorie asymptotique des processus al´eatoires faiblement d´ependants. 1999 32. J. M OREAU , P.-A. D OUDIN , P. C AZES (E DS .) L’analyse des correspondances et les techniques connexes. 1999 33. B. C HALMOND El´ements de mod´elisation pour l’analyse d’images. 1999 34. J. I STAS Introduction aux mod´elisations math´ematiques pour les sciences du vivant. 2000 35. P. ROBERT R´eseaux et files d’attente : m´ethodes probabilistes. 2000 36. A. E RN , J.-L. G UERMOND El´ements finis : th´eorie, applications, mise en œuvre. 2001 37. S. S ORIN A First Course on Zero-Sum Repeated Games. 2002 38. J. F. M AURRAS Programmation lin´eaire, complexit´e. 2002 39. B. Y CART Mod`eles et algorithmes Markoviens. 2002 40. B. B ONNARD , M. C HYBA Singular Trajectories and their Role in Control Theory. 2003
41. A. T SYBAKOV Introdution a` l’estimation non-param´etrique. 2003 42. J. A BDELJAOUED , H. L OMBARDI M´ethodes matricielles – Introduction a` la complexit´e alg´ebrique. 2004 43. U. B OSCAIN , B. P ICCOLI Optimal Syntheses for Control Systems on 2-D Manifolds. 2004 44. L. YOUNES Invariance, d´eformations et reconnaissance de formes. 2004 45. C. B ERNARDI , Y. M ADAY, F. R APETTI Discr´etisations variationnelles de probl`emes aux limites elliptiques. 2004 46. J.-P. F RANC¸ OISE Oscillations en biologie : Analyse qualitative et mod`eles. 2005 47. C. L E B RIS Syst`emes multi-´echelles : Mod´elisation et simulation. 2005 48. A. H ENROT, M. P IERRE Variation et optimisation de formes : Une analyse g´eom´etrique. 2005 49. B. B ID E´ GARAY-F ESQUET Hi´erarchie de mod`eles en optique quantique : De Maxwell-Bloch a` Schr¨odinger non-lin´eaire. 2005
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