Hierarchie de modeles en optique quantique: De Maxwell-Bloch a Schrodinger non-lineaire (Mathematiques et Applications) (French Edition)

´ MATH EMATIQUES & APPLICATIONS Directeurs de la collection : G. Allaire et M. Bena¨ım 49 M AT H E´ M AT I Q U E S &...

Author: Brigitte Bidegaray-Fesquet

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´ MATH EMATIQUES & APPLICATIONS Directeurs de la collection : G. Allaire et M. Bena¨ım

49

M AT H E´ M AT I Q U E S

& A P P L I C AT I O N S

Comité de Lecture / Editorial Board G R E´ GOIRE A LLAIRE ´ CMAP, Ecole Polytechnique, Palaiseau [email protected]

D OMINIQUE P ICARD Proba. et Mod. Aléatoires, Univ. Paris 7 [email protected]

M ICHEL B ENAÏ M Mathématiques, Univ. de Neuchâtel [email protected]

ROBERT ROUSSARIE Topologie, Univ. de Bourgogne, Dijon [email protected]

T HIERRY C OLIN Mathématiques, Univ. de Bordeaux 1 [email protected]

C LAUDE S AMSON INRIA Sophia-Antipolis [email protected]

M ARIE -C HRISTINE C OSTA CEDRIC, CNAM, Paris [email protected]

B ERNARD S ARAMITO Maths Appl., Univ. de Clermont 2 [email protected]

G E´ RARD D EGREZ Inst. Von Karman, Louvain [email protected]

A NNICK S ARTENAER Mathématique, Univ. de Namur [email protected]

J EAN D ELLA -D ORA LMC, IMAG, Grenoble [email protected]

Z HAN S HI Probabilités, Univ. Paris 6 [email protected]

JACQUES D EMONGEOT TIMC, IMAG, Grenoble [email protected]

S YLVAIN S ORIN Equipe Comb. et Opt., Univ. Paris 6 [email protected]

F R E´ D E´ RIC D IAS CMLA, ENS Cachan [email protected]

J EAN -M ARIE T HOMAS Maths Appl., Univ. de Pau [email protected]

N ICOLE E L K AROUI ´ CMAP, Ecole Polytechnique Palaiseau [email protected]

A LAIN T ROUV E´ CMLA, ENS Cachan [email protected]

M ARC H ALLIN Stat. & R.O., Univ. libre de Bruxelles [email protected]

J EAN -P HILIPPE V IAL HEC, Univ. de Genève [email protected]

L AURENT M ICLO LATP, Univ. de Provence laurent :[email protected]

B ERNARD Y CART Maths Appl., Univ. Paris 5 [email protected]

H UYEN P HAM Proba. et Mod. Aléatoires, Univ. Paris 7 [email protected]

E NRIQUE Z UAZUA Matemáticas, Univ. Autonóma de Madrid [email protected]

VAL E´ RIE P ERRIER LMC, IMAG, Grenoble [email protected]

Directeurs de la collection :

G. A LLAIRE et M. B ENAÏ M Instructions aux auteurs : Les textes ou projets peuvent eˆ tre soumis directement a` lun des membres du comité de lecture avec ´ copie a` G. A LLAIRE OU M. B ENAÏ M. Les manuscrits devront eˆ tre remis a` l’Editeur sous format LATEX 2e.

Brigitte Bidégaray-Fesquet

Hiérarchie de modèles en optique quantique De Maxwell–Bloch a` Schrödinger non-linéaire

Brigitte Bidégaray-Fesquet Laboratoire de Modélisation et de Calcul Université Grenoble I IMAG Tour IRMA B.P. 53 38 041 Grenoble Cedex 9 France [email protected]

Library of Congress Control Number : 2005930230

Mathematics Subject Classification (2000) : 35L45, 35Q55, 35Q60, 65M06, 65M12, 81V10, 81V80

ISSN 1154-483X ISBN-10 3-540-27238-0 Springer Berlin Heidelberg New York ISBN-13 978-3-540-27238-0 Springer Berlin Heidelberg New York Tous droits de traduction, de reproduction et d’adaptation réservés pour tous pays. La loi du 11 mars 1957 interdit les copies ou les reproductions destinées a` une utilisation collective. Toute représentation, reproduction intégrale ou partielle faite par quelque procédé que ce soit, sans le consentement de l’auteur ou de ses ayants cause, est illicite et constitue une contrefaçon sanctionnée par les articles 425 et suivants du Code pénal. Springer est membre du Springer Science+Business Media c Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2006 springeronline.com Imprimé en Pays-Bas Imprimé sur papier non acide

41/SPI - 5 4 3 2 1 0 -

A Laurent, Iris et Clara

Avant-propos

Les applications des mathématiques à la mécanique sont maintenant classiques. Qu’il s’agisse de mécanique des fluides, des solides ou plus récemment d’interaction fluide–solide, des modèles bien établis sont étudiés depuis plusieurs décennies. Souvent les nouvelles avancées consistent actuellement à améliorer les théorèmes existants en faisant intervenir de moins en moins de régularité à tous les niveaux ou a` affiner les méthodes numériques pour traiter de problèmes de plus en plus raides ou de régimes de plus en plus chaotiques. En ce qui concerne les applications a` la physique comme la physique des semi-conducteurs, des plasmas ou ici l’optique, le défrichage est beaucoup plus récent ou reste à faire. Nombre de modèles ne font pas l’unanimité ou restent a définir. Une collaboration entre physiciens et mathématiciens doit se mettre ` en place, laquelle n’est pas toujours facile en raison de la différence de culture et de langage. Ce document présente l’état de l’art de l’apport des mathématiques en optique quantique. On mettra en évidence certains aspects auxquels ce point de vue permet de donner un éclairage nouveau. Ce domaine d’application est suffisamment récent pour que l’on puisse prétendre a` une relative exhaustivité. Des travaux sur ce sujet sont actuellement en cours en France notamment à Bordeaux, Grenoble, Rennes et Toulouse. L’auteur espère donner aux étudiants auxquels est destiné ce cours, des étudiants de Master Recherche ou des doctorants en mathématiques appliquées, le goˆ ut des applications, c’est-` a-dire traiter de problèmes issus de la physique en prenant soin que tout ou partie des résultats puisse effectivement servir aux physiciens. Cet ouvrage est constitué de quatre parties. La partie I est consacrée à la présentation du modèle de Maxwell–Bloch. Après une description de quelques phénomènes physiques dont ce modèle rend compte, on en donne différentes versions suivant les dimensions des variables et le modèle de relaxation choisi. Une discussion des propriétés physiques des solutions est suivie des résultats sur le problème de Cauchy associé. Des résultats de simulations numériques

VIII

Avant-propos

sont alors présentés pour illustrer les phénomènes physiques annoncés et motiver la dérivation de modèles simplifiés. La partie II traite des autres modèles pour le milieu (via des descriptions quantiques ou classiques) et pour l’onde (équations d’enveloppe). Dans la mesure du possible, une dérivation heuristique est donnée à partir du modèle de Maxwell–Bloch ainsi qu’une revue des résultats asymptotiques rigoureux. La partie III présente les modèles numériques utilisés pour résoudre les équations de Maxwell–Bloch et les modèles classiques qui en sont issus. Un accent particulier est mis sur le problème de la stabilité de ces schémas. Enfin la dernière partie, beaucoup plus restreinte que les trois précédentes, donne des indications sur les domaines de recherche actuellement actifs autour de ces problèmes ainsi que ceux qui mériteraient de l’être dans les années à venir. L’auteur tient tout d’abord a` remercier ceux sans qui ce livre n’aurait pas pu exister et, en tout premier lieu, Jean-Claude Saut pour lui avoir donné la première occasion de s’intéresser aux modèles de l’optique quantique et pour son constant soutien. Le laboratoire Mathématiques pour l’Industrie et la Physique (MIP) a` Toulouse a été le cadre de la quasi-totalité des études et des recherches bibliographiques qui sont présentées ici. Au sein de ce laboratoire, Pierre Degond a été particulièrement moteur pour promouvoir ce thème de recherche et rendre possible la collaboration fructueuse avec le CEA et notamment Antoine Bourgeade. Cet ouvrage a bénéficié des remarques constructives de diverses personnes, parmi lesquelles se trouvent Fran¸cois Castella, Eric Dumas, Marguerite Gisclon et Judith Vatteville. Les nombreuses explications de Thierry Colin et la clarté aussi bien orale qu’écrite de David Lannes est pour beaucoup dans la rédaction du chapitre concernant les asymptotiques. L’auteur remercie enfin le laboratoire Technique de l’Informatique et de la Microélectronique pour l’Architecture (TIMA) à travers ses membres qui l’ont accueillie à maintes reprises lors de la préparation de ces notes, ainsi que le Laboratoire de Modélisation et de Calcul (LMC) qui a vu les finitions de cet ouvrage.

Brigitte Bidégaray-Fesquet Grenoble, le 23 février 2005

Table des mati` eres

Partie I Le mod` ele de Maxwell–Bloch 1

Contexte physique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1 L’optique non linéaire et quantique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Phénomènes en optique non linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Effets non linéaires du second ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2 Effet Kerr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.3 Effet laser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.4 Diffusions Raman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 3 3 3 4 4 5

2

Mod` ele physique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1 Les équations de Bloch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Vecteur d’état, équation de Schr¨ odinger . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2 Formalisme de la matrice densité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.3 L’approximation dipolaire électrique . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.4 Les équations de Bloch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.5 Symétries, propriétés de positivité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.6 Modèles de relaxation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Le système de Maxwell–Bloch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ 2.2.1 Equations de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2 Couplage via la polarisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.3 Modes de polarisation de l’onde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Modèle à deux niveaux d’énergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 Variables de Bloch a` deux niveaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2 Couplage via la polarisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.3 Un modèle unidimensionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7 7 7 8 9 10 10 12 15 15 15 16 17 17 18 18

3

Analyse math´ ematique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1 Le modèle complet et la terminologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Propriétés mathématiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 Conservation de la trace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21 21 21 22

X

4

Table des matières

3.2.2 Positivité des populations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.3 Majoration des cohérences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.4 Positivité de la matrice densité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Problème de Cauchy local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Estimations a priori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.1 Estimation L∞ de la matrice densité . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.2 Définition d’une énergie physique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.3 Premières estimations L2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.4 Majoration de l’énergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5 Problème de Cauchy global . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.1 Modèle à deux niveaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.2 Modèle à N niveaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23 24 25 27 31 32 32 33 33 34 34 35

Simulations num´ eriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1 Transparence auto-induite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Génération de seconde harmonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Transfert de cohérence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4 Effet Raman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37 37 41 43 45

Litt´ erature de la partie I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 Partie II Une hi´ erarchie de mod` eles 5

´ Equations de taux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1 Dérivation heuristique des équations de taux . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Analogie avec les équations d’Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Dérivation rigoureuse des équations de taux . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ 5.4 Etats d’équilibre des équations de taux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.1 Hypothèses et notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.2 Cas de la relaxation de Pauli seule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.3 Dimension du noyau de Ψ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.4 Calcul de l’état d’équilibre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.5 Définition d’une température . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.6 Négativité de l’opérateur de taux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

53 53 55 56 57 57 58 58 59 61 61

6

Expressions classiques de la polarisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1 Modèles linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.1 Modèle de Debye . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.2 Modèle de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.3 Optique linéaire instantanée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Modèles non linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3 Autres développements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

63 63 64 64 66 66 67

Table des matières

7

´ Equations d’enveloppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1 Approche heuristique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.1 Suppression du déplacement magnétique . . . . . . . . . . . . . 7.1.2 Approximation paraxiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.3 Suppression de l’échelle rapide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.4 Transparence auto-induite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2 Adimensionnement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.1 Cas de l’interaction forte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.2 Cas des champs faibles se propageant dans des milieux peu excités. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.3 Cas proche de la résonnance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3 Asymptotiques rigoureuses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3.1 Optiques géométrique et diffractive . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3.2 Présentation de la méthode dans le cadre de l’optique de Descartes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3.3 Généralisations a` d’autres phénomènes . . . . . . . . . . . . . . . 7.3.4 Application a` des systèmes concrets . . . . . . . . . . . . . . . . . .

XI

69 69 69 70 70 71 72 72 73 75 76 77 77 79 82

Litt´ erature de la partie II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 Partie III Consid´ erations num´ eriques 8

Discr´ etisation des ´ equations de Bloch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.1 La méthode de Crank–Nicolson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.1.1 Présentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.1.2 Défaut de positivité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.1.3 Erreur de trace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2 Une méthode de splitting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2.1 Principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2.2 Réalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3 Illustration numérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

89 89 89 90 92 92 92 93 97

9

Discr´ etisation des ´ equations de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 9.1 Un schéma aux différences finies : le schéma de Yee . . . . . . . . . . 99 9.1.1 Schéma de Yee unidimensionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 9.1.2 Schéma de Yee bidimensionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 9.2 Stabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 9.2.1 Stabilité linéaire classique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 9.2.2 Stabilité non linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 9.3 Schémas aux volumes finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 9.3.1 Polarisation TE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 9.3.2 Polarisation TM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

XII

Table des matières

10 Couplage Maxwell–Bloch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 10.1 Expressions de la polarisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 10.1.1 Formulation via le calcul de P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 10.1.2 Formulation via le calcul de J . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 10.2 Couplage fort avec le schéma de Yee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 10.3 Couplage faible avec le schéma de Yee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 10.3.1 Méthode de Crank–Nicolson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 10.3.2 Méthode du splitting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 10.3.3 Méthode de la relaxation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 10.4 Illustration numérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 10.4.1 Précision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 10.4.2 Stabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 10.5 Schéma aux volumes finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 10.5.1 Discrétisation en espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 10.5.2 Discrétisation en temps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 11 Mod` eles classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 11.1 Modèles discrets de type Yee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 11.1.1 Principes des méthodes numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 11.1.2 Modèle de Debye . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 11.1.3 Modèle de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 11.1.4 Permittivité numérique des schémas . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 11.1.5 Stabilité des méthodes par intégration directe . . . . . . . . . 133 11.2 Schémas aux éléments finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 ´ 11.3 Equations d’enveloppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 Litt´ erature de la partie III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 Tendances pour l’avenir Simplification du mod` ele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 Enrichissements du mod` ele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 Appendices A

Constantes physiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 A.1 Préfixes et symboles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 A.2 Le système MKS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 A.3 Constantes universelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 A.4 Unités des variables en optique non linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

Table des matières

XIII

B

Mesures physiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 B.1 Longueurs d’ondes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 B.2 Temps caractéristiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 B.3 Valeurs de n0 et n2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 B.4 Temps de relaxation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 B.5 Modèle de Debye . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 B.6 Modèle de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

C

Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

Litt´ erature de la conclusion et des appendices . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 Liste des figures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

1 Contexte physique

1.1 L’optique non lin´ eaire et quantique L’invention des lasers en 1960 a rendu caduque une partie des approximations jusqu’alors utilisées en optique. En effet, les lasers mettent en jeu de telles puissances que l’ordre de grandeur de l’énergie de cohésion des électrons dans les atomes (ou les molécules) est atteint. L’approximation linéaire n’est alors plus valable et il faut faire appel a` l’optique non linéaire. On peut rendre compte de certains des phénomènes avec des modèles classiques non linéaires (effet Kerr, mélange à trois ou quatre ondes, etc.). Cependant, d’autres effets (diffusions Raman spontanées ou stimulées, Brillouin ou Rayleigh, effet laser, absorption a` deux photons, etc.) nécessitent un modèle semi-classique, c’esta-dire un champ classique couplé avec un milieu quantique. Un tel modèle ` est a priori le plus précis et doit permettre de mettre en évidence la totalité des phénomènes et donc leurs éventuelles interactions. Ce n’est pas le cas des modèles classiques qui supposent une certaine échelle de phénomènes et occultent les autres. Avant de présenter le modèle semi-classique de Maxwell–Bloch (cf. chapitre 2) et certains modèles asymptotiques (cf. partie II), nous introduisons quelques exemples de phénomènes physiques couramment observés en optique non linéaire et qui seront illustrés numériquement. Le but de cette partie est uniquement heuristique et nous nous bornons ici a` une description purement phénoménologique car les ingrédients d’explication et de notation permettant une description précise seront donnés ultérieurement.

1.2 Exemples de ph´ enom` enes en optique non lin´ eaire 1.2.1 Effets non lin´ eaires du second ordre Les effets non linéaires du second ordre font intervenir trois fréquences, ω1 , ω2 et ω3 , vérifiant la relation ω3 = ω1 + ω2 ou ω3 = ω1 − ω2 . On peut considérer

4

1 Contexte physique

deux cas, selon que le milieu est résonnant ou non avec une de ces fréquences. Dans le cas non résonnant, on distingue les sous-cas suivants : ω3 ω1 ω1 ω1 ω3 ω1 ω1

= ω1 + ω 2 : = ω2 = ω , = ω , ω2 = 0 , = ω2 , = ω1 − ω 2 : = ω2 = ω , = ω2 ,

génération de seconde harmonique, effet électro-optique linéaire (Pockels), génération de fréquence somme (ultraviolet), redressement optique, génération de fréquence différence (infrarouge).

Ces phénomènes se classent parmi les mélanges à trois ondes et sont parfaitement descriptibles par l’optique non linéaire classique. Il faut cependant faire appel a` la théorie quantique et aux symétries des matériaux pour expliquer le fait que de tels phénomènes ne peuvent avoir lieu que dans certains types de milieux, qui sont nécessairement non centro-symétriques. C’est le cas par exemple des cristaux de KDP (KH2 PO4 , phosphate diacide de potassium) qui servent couramment comme doubleurs de fréquence. 1.2.2 Effet Kerr L’effet non linéaire prépondérant dans des milieux ne présentant pas de phénomènes du second ordre est l’effet Kerr. Cet effet est dˆ u a` un mélange à quatre ondes faisant apparaˆıtre une fréquence triple de la fréquence incidente. Par ailleurs, l’indice de réfraction du matériau devient affine en l’intensité de l’onde électromagnétique. L’effet Kerr est très bien modélisé par l’équation de Schr¨ odinger non linéaire cubique. La propagation solitonique dans les fibres optiques découle de cet effet qui met en balance les effets de la non linéarité de l’interaction et de la dispersion du matériau. Nous renvoyons le lecteur au livre de A.C. Newell et J.V. Moloney [19] ou pour les aspects liés aux solitons a` celui de M. Remoissenet [22]. Le modèle de Maxwell–Bloch permet également de rendre compte de l’effet Kerr comme le prouvent les simulations de transparence auto-induite (cf. paragraphes 4.1 et 7.1.4). 1.2.3 Effet laser L’effet laser est dˆ u a` la combinaison de trois phénomènes d’interaction entre la lumière et la matière. Pour l’expliquer, il faut considérer la description corpusculaire de la matière (des photons) et quantique de la matière (un matériau dont les électrons peuvent avoir un nombre quantifié d’énergies). Ces trois phénomènes sont – l’émission spontanée : un atome excité se désexcite et l’énergie devient un photon dont les caractéristiques (direction du vecteur d’onde) sont quelconques,

1.2 Phénomènes en optique non linéaire

5

– l’absorption : un photon transfère son énergie à un atome qui devient excité (ou plus excité), – l’émission stimulée : un photon transfère de l’énergie à un atome excité. Cet atome se désexcite pour générer deux photons : le photon initial et un deuxième photon qui a les mêmes caractéristiques. C’est l’émission stimulée, combinée à un système de miroirs formant une cavité, qui permet après de multiples allers-retours dans cette cavité d’avoir une lumière cohérente, c’est-à-dire dont tous les photons sont de mêmes caractéristiques. Remarque 1.1. Il ne faut pas confondre cette notion de cohérence avec la cohérence de deux états quantiques définie au paragraphe 2.1.2. La prise en compte de l’effet d’émission spontanée dans le modèle de Bloch est une des raisons de l’étude de l’introduction de termes de relaxation traitée du point de vue continu aux paragraphes 2.1.6 et 3.2 ainsi que du point de vue discret au chapitre 8. 1.2.4 Diffusions Raman Ph´ enom´ enologie Une faible partie de la lumière est diffusée dans toutes les directions. Si l’onde incidente est monochromatique de fréquence ω0 , cette fréquence principale (appelée fréquence de Rayleigh) est la plus représentée et correspond à la diffusion élastique des photons. D’autres fréquences caractéristiques apparaissent dans le spectre, celles de fréquences inférieures à ω0 sont dites raies de Stokes et celles de fréquences supérieures à ω0 sont dites raies d’anti-Stokes. Ces raies sont dues a` la diffusion Raman qui est une diffusion inélastique des photons. Une première caractéristique est que – la différence ωr , appelée fréquence de Raman, entre la fréquence de Rayleigh ω0 et la fréquence de Stokes ωS (resp. la fréquence d’anti-Stokes ωAS ) ne dépend pas de ω0 mais uniquement du matériau : ωS = ω0 − ωr ,

ωAS = ω0 + ωr .

Dans le cas o` u l’intensité de l’onde incidente est faible, on observe la diffusion Raman spontanée pour laquelle une autre caractéristique est que – la raie Stokes est beaucoup plus intense que la raie anti-Stokes et cette différence est d’autant plus accentuée que la température est basse. En présence d’une intensité incidente plus importante, on peut observer des raies Stokes et anti-Stokes d’intensités comparables ainsi que des diffusions multiples (ω0 ± qωr , q ∈ N). C’est le cadre de la diffusion Raman stimulée. Enfin, si le système a été préparé et qu’une transition résonnante a été rendue cohérente (par excitation Raman par exemple, cf. D. Suter [25]) l’intensité des raies Stokes et anti-Stokes dépend de l’intensité de l’onde incidente. Ce phénomène est la diffusion Raman cohérente et peut également donner lieu a` des diffusions multiples.

6

1 Contexte physique

Interpr´ etation quantique Les raies Stokes sont dues à l’excitation des électrons du matériau lorsque le photon incident perd de l’énergie au profit du matériau. Le photon diffusé est alors moins énergétique de la quantité ωr . Les raies anti-Stokes correspondent a` l’effet inverse o` u le photon incident récupère de l’énergie provenant du matériau excité. Lorsque l’onde incidente est de faible intensité, le milieu est à l’état d’équilibre thermodynamique dans lequel l’état fondamental est majoritairement peuplé et ce d’autant plus que la température est basse. Ce sont donc les raies Stokes qui sont les plus intenses. Une intensité plus forte de l’onde incidente permet de mettre le milieu hors d’état d’équilibre principalement si il y a résonnance avec une fréquence du matériau. Le matériau est alors excité en partie et les raies anti-Stokes peuvent prendre plus d’ampleur jusqu’` a dépasser les raies Stokes. Des résultats quantitatifs peuvent être trouvés dans le cours de R. Frey [9]. La simulation numérique de cet effet est présentée au paragraphe 4.4. Remarque 1.2. Dans tout ce livre, on appelle fréquence ce qui habituellement s’appelle pulsation. La notation ω utilisée est d’ailleurs celle des pulsations. Le rapport entre les deux est un facteur 2π. Alors que l’unité naturelle des fréquences est le hertz, nous donnons les fréquences (qui sont des pulsations) en rad s−1 .

2 Mod` ele physique

La matière de ce chapitre peut se trouver dans différents livres qui traitent d’optique quantique comme ceux de R.W. Boyd [3], J.R. Lalanne, A. Ducasse et S. Kielich [17], R. Loudon [18], R.H. Pantell et H.E. Puthoff [20], M.O. Scully et M.S. Zubairy [23] ou Y.R. Shen [24], cette liste ne prétendant pas a` l’exhaustivité. Dans ces références, la dérivation n’est présentée parfois que dans le cas d’atomes à deux niveaux d’énergie.

2.1 Les ´ equations de Bloch 2.1.1 Vecteur d’´ etat, ´ equation de Schr¨ odinger La variable qui permet de décrire un système en mécanique quantique est le vecteur d’état ψ. Pour simplifier les écritures, nous allons adopter la notation de Dirac, dans laquelle on définit deux vecteurs bra ψ| et ket |ψ. De manière u ∗ générale, le produit scalaire ψ1 |ψ2 représente l’intégrale ψ1∗ ψ2 dr, o` désigne le complexe conjugué et r le vecteur position local. On normalise le vecteur d’état par la convention ψ|ψ = 1. L’évolution temporelle du vecteur |ψ est régie par l’équation de Schr¨ odinger i∂t |ψ = H|ψ .

(2.1)

Si le système est non perturbé alors l’hamiltonien H se résume à un hamiltonien non perturbé, noté H0 . Les perturbations extérieures au système induisent une modification de l’hamiltonien qui se traduit par une contribution supplémentaire, dite hamiltonien d’interaction V et ainsi H = H0 + V. La détermination du vecteur d’état est d’une part impossible car ce n’est pas un observable au sens quantique du terme et il n’est donc pas accessible à la mesure expérimentale. Par ailleurs, elle n’est pas nécessaire pour l’explication des phénomènes physiques observés. En revanche, l’hamiltonien non perturbé peut être décrit par ses éléments propres : les vecteurs propres

8

2 Modèle physique

sont les états quantiques |j et les valeurs propres associées sont les niveaux d’énergie Ej = ωj . On dispose alors de dispositifs expérimentaux permettant de déterminer les niveaux d’énergie jusqu’` a une certaine précision. C’est pourquoi on recherche des modèles ne faisant intervenir que ces énergies sans nécessiter de connaissance des états propres. Dans cette optique, on projette habituellement l’équation de Schr¨ odinger (2.1) sur la base orthonorm´ ee des états propres |j, donnant ainsi la décomposition unique |ψ = aj |j et l’équation d’évolution pour les coefficients dans cette base i∂t aj = ak j|H|k , (2.2) k

car j|

k

ak |k = aj j|j = aj .

2.1.2 Formalisme de la matrice densit´ e Les coefficients aj ne sont pas plus observables que le vecteur |ψ. C’est pourquoi, on introduit un observable qui est la matrice densité ρ. Une description au niveau microscopique de la matière consisterait à choisir un unique électron comme système, auquel cas la matrice densité est définie par ρ = |ψψ|. Mais, en général, on n’a pas accès à un unique électron mais à un certain nombre (de l’ordre de 10 ou 100) de systèmes microscopiques tous localisés dans une petite portion d’espace que l’on appelle la sphère de Lorentz. Le modèle devient alors mésoscopique et la matrice densité est définie u S est un ensemble statistique et pS la probabilité par ρ = S pS |ψ S ψ S | o` pour les systèmes microscopiques constituant le système mésoscopique d’être caractérisés par la fonction ψ S . Remarque 2.1. L’introduction de cette probabilité est due à un manque de connaissance du système et ne doit pas être confondue avec la probabilité de présence ρjj définie ci-dessous (cf. R.H. Pantell et H.E. Puthoff [20]). En utilisant la décomposition sur la base des états propres |j, on obtient ∗ ρjk = pS aSj aSk . (2.3) S

Sous l’hypothèse que la statistique est stationnaire, l’évolution temporelle de la matrice ρ est alors régie par l’équation de Liouville i∂t ρ = [H, ρ] ,

(2.4)

o` u [·, ·] désigne le commutateur de deux opérateurs, a` savoir [H, ρ] = Hρ − ρH . Le terme de matrice a été utilisé de manière impropre dans la mesure o` u il y a un nombre infini de niveaux. On se restreint en pratique a` un nombre

2.1 Les équations de Bloch

9

fini de niveaux en ne gardant que ceux qui interviennent dans le phénomène considéré. Pour cela, on remarque que la trace de ρ est égale à 1 : k|ρ|k = pS k|ψ S ψ S |k = pS ψ S |kk|ψ S Trρ = k

=

S

k,S

S

S

pS ψ |Id|ψ =

k,S

S

S

S

pS ψ |ψ =

pS = 1 .

S

On garde un nombre N de niveaux qui continue a` assurer que Trρ = 1 et la matrice ρ devient une matrice de dimension N × N . On peut donner une interprétation des coefficients de cette matrice. Ses éléments diagonaux sont appelés populations. La population du niveau j (c’est-à-dire ρjj ) est la probabilité de présence du système dans l’état |j. Les termes extra-diagonaux sont appelés cohérences. La cohérence ρjk entre les niveaux j et k est un nombre complexe. Son module peut être interprété comme une probabilité conditionnelle de transition entre les niveaux j et k, conditionnée par le fait que ces niveaux soient peuplés. Moyenne d’un observable. Cette matrice densité sert en particulier a` exprimer la valeur moyenne d’un observable O < O > = Tr(ρO) . Deux cas particuliers de la valeur moyenne nous intéressent ici. La propriété de trace vue ci-dessus calcule la moyenne de l’opérateur identité < Id > = 1. La polarisation est également la moyenne associée au moment dipolaire électrique (cf. paragraphe 2.2.2). 2.1.3 L’approximation dipolaire ´ electrique Il nous faut maintenant décrire l’hamiltonien d’interaction V. Celui-ci est dˆ u ` la présence d’un champ électromagnétique extérieur au système considéré. a Dans notre contexte, nous nous restreignons aux moments dipolaires électriques, qui dominent les moments d’ordre supérieurs. On fait l’hypothèse que le champ électrique macroscopique E varie peu a` l’échelle de l’atome (et même a l’échelle de la sphère de Lorentz). Ainsi, le champ E dépend d’un vecteur ` position macroscopique R, et on peut écrire la perturbation d’interaction sous la forme V(R, t) = −eE(R, t) · r o` u e est la charge de l’électron et r le vecteur position local. On note p l’opérateur dipolaire électrique défini par p = er, d’o` u V(R, t) = −E(R, t) · p . A l’ordre supérieur, l’hamiltonien d’interaction s’écrit

10

2 Modèle physique

V(R, t) = −E(R, t) · p − q : ∇E(R, t) −

e2 e H(R, t) · l + r ∧ H(R, t) , 2me c 8me c2

o` u q = err/2 est l’opérateur quadrupolaire électrique, l = r ∧ p0 est le moment orbital, p0 étant l’impulsion du système non perturbé, me la masse de l’électron et c la vitesse de la lumière dans le vide. Dans le premier terme, on reconnaˆıt l’approximation dipolaire électrique. Le deuxième terme est l’approximation quadrupolaire électrique. Les deux derniers termes sont respectivement les termes paramagnétique et diamagnétique et font intervenir le champ magnétique H. 2.1.4 Les ´ equations de Bloch La base |j a été choisie de telle manière que la quantité [H0 , ρ]jk soit simple. L’expression de l’opérateur dipolaire électrique p dans cette base est une matrice appelée matrice des moments dipolaires, à valeur vectorielle, que l’on note également p. Ses coefficients sont pjk = k|p|j et permettent de donner également une forme agréable à l’expression [V, ρ]jk . On a alors i i ∂t ρjk = − [H0 , ρ]jk − [V, ρ]jk i i = − (Ej ρjk − ρjk Ek ) + E · [p, ρ]jk i = −i(ωj − ωk )ρjk + E · [p, ρ]jk . De plus, on note ωjk = ωj − ωk , la fréquence associée à la transition du niveau k vers le niveau j. On obtient alors la forme brute des équations de Bloch i E · [p, ρ]jk , (2.5) dans laquelle on remarque qu’il n’est plus nécessaire de connaˆıtre les états propres |j. Dans les cas o` u il n’est pas nécessaire de distinguer les rôles de E et p, comme la dérivation des équations de taux (cf. chapitre 5) ou l’écriture de schémas numériques pour les équations de Bloch (cf. chapitre 8), on notera V = E · p/ pour alléger les écritures, cette notation étant choisie car V joue plus ou moins le rˆ ole d’un potentiel dans l’équation de Bloch. ∂t ρjk = −iωjk ρjk +

2.1.5 Sym´ etries, propri´ et´ es de positivit´ e Matrice densit´ e La construction des matrices ρ et p induit immédiatement certaines propriétés de symétrie. On déduit d’abord de l’expression (2.3) que ρ est hermitienne positive. En effet, si X = t (X1 . . . Xn ) est un vecteur de CN alors

2.1 Les équations de Bloch t

XρX =

jk

=

S

Xj∗

∗ pS aSj aSk

S

pS Y

2CN

Xk =

S

pS

11

∗

Xj∗ aSj aSk Xk

jk

≥0

avec Yj = Xj∗ aSj . Deux sous-cas de cette propriété sont particulièrement intéressants. Si X a tous ses coefficients nuls sauf le jème, alors ceci nous donne que ρjj ≥ 0. Le fait que la trace de ρ vaut 1 donne alors que, pour tout j, 0 ≤ ρjj ≤ 1, ce qui est raisonnable pour une probabilité. Un autre cas particulier est fourni dans le cas o` u seuls les jème et kème coefficients sont non nuls. On obtient alors |ρjk |2 ≤ ρjj ρkk . Ceci veut dire que la cohérence entre deux niveaux est majorée par les populations respectives de ces deux niveaux. Ces propriétés sont dérivées de la formule (2.3) et, si l’on peut préparer la donnée initiale de l’équation de Bloch sous cette forme, rien ne permet d’affirmer que la solution aura cette forme a` tout temps t. Reconstruire cette forme reviendrait même à dire que aj est un observable, ce qui est faux. En pratique, on perd les informations sur les phases en passant au formalisme de la matrice densité. La forme hamiltonienne des équations de Bloch (2.5) permet néanmoins d’assurer que les propriétés sont conservées au cours du temps. La manière la plus simple de montrer ceci est de remarquer que la solution de l’équation de Bloch (2.5) est t i i t H(τ ) dτ ρ(0) exp H(τ ) dτ . ρ(t) = exp − 0 0 (Cette forme sera également utilisée pour la dérivation des schémas numériques au chapitre 8). On a alors t i t t H(τ ) dτ X . Xρ(t)X = Y ρ(0)Y avec Y = exp 0 L’ajout de termes de relaxation qui est l’objet du paragraphe 2.1.6 ne permettra pas de vérifier automatiquement cette propriété et ce problème sera analysé au paragraphe 3.2. Matrice des moments dipolaires La matrice p est également hermitienne par construction. La parité de r implique que si |j et |k sont de même parité alors le coefficient pjk est nul. En particulier, les éléments diagonaux pjj sont tous nuls. Pour les mêmes raisons, il est impossible dans un matériau centro-symétrique que les coefficients p12 , p13 et p23 soient tous non nuls.

12

2 Modèle physique

2.1.6 Mod` eles de relaxation Pourquoi introduire des termes de relaxation ? Lors de la dérivation de l’équation de Liouville, nous avons supposé que la statistique était stationnaire. Non seulement cela n’est pas le cas mais en plus il n’y a aucune fa¸con d’accéder à cette statistique. Il nous faut donc traiter cette approximation de manière phénoménologique et ceci se traduit par un terme de type relaxation dans les équations de Bloch. D’autres phénomènes donnent lieu a` des termes de relaxation tels que les collisions et les perturbations thermiques (dans des fluides), les vibrations dans les réseaux cristallins, etc. L’introduction de ces relaxations a aussi l’avantage de permettre de modéliser l’émission spontanée, ce qui est impossible avec le modèle brut de Bloch (2.5). On écrit donc ∂t ρjk = −iωjk ρjk +

i E · [p, ρ]jk + Q(ρ)jk .

(2.6)

Il existe différents modèles de relaxation dans la littérature physique mais pas de terminologie pour les distinguer. La terminologie donnée ici n’est donc pas classique. Si parfois deux modèles coexistent dans une référence, leurs liens rigoureux, voire les limites de validité, ne sont jamais donnés. C’est pourquoi la détermination d’un bon modèle de relaxation est nécessaire. On appelle relaxations transverses les termes affectant les cohérences Q(ρ)jk avec j = k, et relaxations longitudinales ceux qui affectent les populations Q(ρ)jj . Parmi les phénomènes cités ci-dessus, certains ne donnent de contribution qu’aux relaxations transverses (comme les collisions) alors que d’autres donnent lieu a` des relaxations des deux types. Physiquement, les relaxations transverses dominent les relaxations longitudinales, et ce souvent de plusieurs ordres de grandeur. Relaxations transverses La complexité des phénomènes entrant en jeu dans les relaxations transverses est telle que le modèle choisi pour ces termes est paradoxalement plus simple car plus phénoménologique que ceux introduits pour les relaxations longitudinales. Ainsi, pour j = k, on introduit le taux de relaxation γjk > 0 et Q(ρ)jk s’écrit Q(ρ)jk = −γjk ρjk . En l’absence de champ électromagnétique, on a ∂t ρjk = −(iωjk + γjk )ρjk et ainsi limt→+∞ ρjk (t) = 0. Les cohérences ont un état d’équilibre nul. Par ailleurs, il est clair que le caractère hermitien de la matrice densité ne peut être assuré que si γjk = γkj .

2.1 Les équations de Bloch

13

Relaxations longitudinales — Mod` ele uni-niveau Un modèle très largement présent dans la littérature [3, 12, 18, 24] est celui que nous appelons uni-niveau puisqu’il ne fait intervenir qu’un seul niveau :

o` u

Q(ρ)jj = −γjj (ρjj − ρejj ) ,

ρejj

(2.7)

est l’état d’équilibre du niveau j. La solution de l’équation ∂t ρjj = Q(ρ)jj (évolution sans champ électromagnétique) est alors t ρjj (t) = e−γjj t ρjj (0) + e−γjj (t−τ ) γjj ρejj (τ ) dτ , 0

ce qui donne pour trace t −γjj (t−τ ) e −γjj t Tr(ρ(t)) = e γjj ρjj (τ ) dτ . e ρjj (0) + 0

j

Les seules solutions pour assurer la conservation de la trace sont alors de choisir tous les taux de relaxation γjj égaux ou de faire dépendre les états d’équilibre du temps. Ces deux solutions sont peu physiques. Si ce modèle décrit bien le phénomène de dépeuplement d’un niveau lorsque celui-ci est trop peuplé par rapport a` son état d’équilibre, il décrit moins bien la situation inverse (qui est réalisée pour au moins un niveau si le système n’est pas à l’équilibre). En effet, le peuplement est alors fonction de la population des autres niveaux et de l’intensité de l’onde électromagnétique excitatrice et non de la population du niveau considéré (cf. équations de taux, chapitre 5). Ce défaut est pallié par les modèles qui suivent. Relaxations longitudinales — Mod` ele en cascade Un modèle plus précis consiste ainsi à faire dépendre les apports a` un niveau de la population des autres niveaux. On écrit donc le modèle en cascade, décrit par exemple dans [3, 25], Γlj (ρjj − ρejj ) . Γjl (ρll − ρell ) − Q(ρ)jj = l<j

l>j

Pour que ce modèle soit cohérent, il faut que l’état d’équilibre soit solution de Q(ρe ) = 0. On trouve aussi souvent une formulation dont on a supprimé les états d’équilibre pour écrire Γjl ρll − Γj ρjj . (2.8) Γlj ρjj = Γjl ρll − Q(ρ)jj = l>j

l<j

l>j

On voit alors que ce modèle n’autorise que des relaxations vers le niveau inférieur, d’o` u le nom que nous lui avons donné. Ici Γjk est le taux de relaxation du niveau l vers le niveau j et Γj = l<j Γlj est le taux de relaxation global du niveau j. La cohérence de ce modèle sera étudiée à la lumière du modèle suivant.

14

2 Modèle physique

Relaxations longitudinales — Mod` ele de l’´ equation maˆıtresse de Pauli Il restait pour être complet à autoriser les transitions vers des niveaux supérieurs. Ceci donne lieu au modèle de l’équation maˆıtresse de Pauli Q(ρ)jj = Wjl ρll − Wlj ρjj = Wjl ρll − Γj ρjj , (2.9) l=j

l=j

l=j

o` u maintenant Γj = l=j Wlj . On peut trouver ce modèle dans [2, 5, 9, 20, 24]. L’état d’équilibre, qui n’apparaˆıt pas explicitement, est en fait caché dans la relation entre les taux de relaxation Wjl = Wlj eβ(El −Ej ) ,

(2.10)

o` u β = 1/κT , et κ est la constante de Boltzmann et T la température. L’état d’équilibre vérifie alors pour tout j

Wjl ρell − Wlj ρejj = Wlj ρell eβ(El −Ej ) − ρejj 0= l=j

=

l=j

l=j

Wlj ρell eβEl − ρejj e

l=j

βEj

.

Il suffit alors de prendre tous les ρejj eβEj égaux et d’utiliser la contrainte Tr(ρe ) = 1 pour obtenir e−βEj ρejj = −βE . l le

D’après l’équation (2.10), le modèle en cascade peut alors être interprété comme une version à température nulle du modèle de l’équation maˆıtresse de Pauli. Le seul état d’équilibre alors possible est celui o` u l’état fondamental ´ est entièrement peuplé. Etant donné les valeurs numériques typiques des taux de relaxation et les temps sur lesquels on regarde les phénomènes, la notion de température nulle est plutˆ ot une température pas trop élevée, typiquement inférieure a` la température ambiante. Ce qui précède suppose implicitement l’unicité de l’état d’équilibre. Ce point est discuté ultérieurement (cf. paragraphe 5.4) dans le cadre plus général des équations de taux. S’il est important de comparer les différents modèles de relaxation d’un point de vue théorique pour aboutir au meilleur modèle possible, ceci peut être d’un intérêt pratique parfois moindre. En effet, une grande partie des cas tests numériques que nous avons effectués concernent des régimes purement transitoires et sont très peu sensibles au modèle de relaxation longitudinale utilisé car celui-ci correspond à une constante de temps grande devant la durée de ces régimes transitoires. Néanmoins, nous pouvons discriminer ces modèles (cf. paragraphe 3.2) du point de vue de leurs propriétés physiques et mathématiques.

2.2 Le système de Maxwell–Bloch

15

2.2 Le syst` eme de Maxwell–Bloch ´ 2.2.1 Equations de Maxwell Nous considérons les équations de Maxwell macroscopiques sous l’hypothèse de l’absence de charges et de courants de charge : ⎧ ∂t B = − rot E , (Faraday) ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ∂ D = rot H , (Ampère) t (2.11) ⎪∇·B=0, (Gauss) ⎪ ⎪ ⎩ ∇·D=0. (Poisson)

Ces équations doivent être fermées par des lois constitutives qui dépendent du matériau. Dans les milieux qui nous intéressent la partie magnétique ne donne pas lieu a` un phénomène particulier et le déplacement magnétique B s’exprime simplement en fonction du champ magnétique par B = µ0 H, o` u µ0 est la perméabilité du vide. En revanche, on écrit de manière classique le déplacement électrique D en fonction du champ électrique et de la polarisation u ε0 est la perP dont l’expression peut être complexe : D = ε0 ε∞ E + P o` mittivité du vide et ε∞ est la permittivité relative à fréquence infinie. Ainsi, la polarisation constitue une perturbation de la loi constitutive par rapport a la loi linéaire à fréquence infinie. Cette polarisation traduit l’influence du ` matériau sur le champ électromagnétique. En pratique, l’équation d’Ampère se réécrit 1 ε 0 ε∞ ∂ t E = rot B − J , avec J = ∂t P , µ0 que l’on peut multiplier par µ0 pour faire apparaˆıtre la vitesse de la lumière √ dans le matériau a` la fréquence infinie c∞ = c/ ε∞ : 1 ∂t E = rot B − µ0 J . c2∞ La fermeture de ce système est réalisée à travers l’expression de la polarisation P ou de la densité de courant J, ce qui est équivalent du point de vue des équations continues (et nous utiliserons P et ∂t P dans ce contexte). Cette expression est donnée au paragraphe 2.2.2 pour obtenir le système de Maxwell–Bloch et au chapitre 6 pour les systèmes de Maxwell–Debye et Maxwell–Lorentz. Le choix de discrétiser P ou J peut en revanche s’avérer crucial lors de la réalisation de schémas numériques (cf. chapitres 10 et 11). 2.2.2 Couplage via la polarisation La polarisation qui intervient dans l’expression des lois constitutives du milieu pour fermer les équations de Maxwell est l’expression macroscopique de l’opérateur microscopique p. A ce titre, elle s’exprime sous la forme

16

2 Modèle physique

P = Na Tr(pρ) = Na < p > , o` u Na est la densité volumique des éléments actifs. 2.2.3 Modes de polarisation de l’onde Il convient de ne pas confondre le vecteur polarisation P avec la polarisation de l’onde électromagnétique. On considère en effet souvent que les inconnues du problème ne dépendent que d’une ou de deux variables d’espace. Dans ces deux cas, le système de Maxwell se découple en deux polarisations appelées respectivement transverse électrique (TE) et transverse magnétique (TM) qui peuvent néanmoins rester liées via l’expression de la polarisation P, voire de la permittivité relative ε∞ si celle-ci est un tenseur non diagonal dans cette base (voir la conclusion). On suppose dans ce paragraphe que ε∞ est scalaire. ´ Equations de Maxwell unidimensionnelles Le cadre unidimensionnel est celui de la totalité des résultats numériques présentés dans cet ouvrage. On suppose que les inconnues ne dépendent que de la variable d’espace z. On peut alors séparer les modes TE et TM qui vérifient respectivement les équations ⎧ ⎧ ∂t By + ∂z Ex = 0 , ∂t Bx − ∂z Ey = 0 , ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎨ 1 1 ∂z Bx = −Jy , ∂z By = −Jx , ε0 ε ∞ ∂ t E x + ε0 ε∞ ∂t Ey − ⎪ ⎪ µ µ 0 0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎩ Jy = ∂t Py , Jx = ∂t Px , alors que d’autres équations ε0 ε∞ ∂t Ez = −Jz , ∂t Bz = 0 , Jz = ∂t Pz , ∂z Bz = 0 ,

ε0 ε∞ ∂z Ez = ρc , ρc = −∂z Pz ,

ne nécessitent pas de calcul particulier. Dans ce contexte unidimensionnel, on fait généralement (sauf dans un de nos cas test de génération de seconde harmonique) l’hypothèse supplémentaire que p = (px , 0, 0). Ceci impose aussi la direction de P = (Px , 0, 0) et ainsi seul le système ⎧ ∂t By + ∂z Ex = 0 , ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ 1 ∂z By = −Jx , ε0 ε∞ ∂t Ex + ⎪ µ 0 ⎪ ⎪ ⎩ Jx = ∂t Px ,

doit être étudié. On simplifie alors les notations en posant E = Ex , B = By , P = Px , J = Jx et p = px .

2.3 Modèle ` a deux niveaux d’énergie

17

´ Equations de Maxwell bidimensionnelles La littérature présente certaines simulations bidimensionnelles [21, 27]. Comme le but est alors d’exhiber des phénomènes multidimensionnels, il n’est plus possible de faire la deuxième hypothèse et p a a priori plusieurs coordonnées non nulles. On suppose néanmoins que la dépendance spatiale des inconnues est en x et en y. Ceci découple également le système et en

= (Ex , Ey ) et E = Ez ainsi que des notations similaires pour les posant E autres inconnues, on écrit deux systèmes découplés régissant les modes T Ez et T Mz respectivement : ⎧ ⎧ →

=0,

+− ∂t B + rot E ∂t B rot E = 0 , ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎨ 1 →

− 1 −

= −J , ε0 ε∞ ∂ t E rot B = −J , rot B ε0 ε∞ ∂ t E − ⎪ ⎪ µ µ 0 0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎩

·E

= ρc ,

·B

=0, ε0 ε∞ ∇ ∇ →

= −∂y Vx + ∂x Vy et − o` u rot V rot φ = (∂y φ, −∂x φ). On clˆ ot le système grâce

· P . aux relations J = ∂t P , J = ∂t P et ρc = −∇ Ces deux systèmes sont couplés par les polarisations P = Na Tr( pρ) et P = Na Tr(pρ) qui font toutes deux intervenir la matrice densité ρ dont le

et E. calcul utilise E

2.3 Mod` ele ` a deux niveaux d’´ energie Le cas des atomes à deux niveaux d’énergie est celui le plus largement traité dans la littérature, voire le seul cas envisagé dans nombre de références. On utilise alors classiquement d’autres variables pour les équations de Bloch et donc une autre expression du couplage. 2.3.1 Variables de Bloch ` a deux niveaux Dans la mesure o` u ρ11 + ρ22 vaut toujours 1, il est inutile de considérer les populations séparément. Seule la valeur de ρ22 −ρ11 peut suffire à reconstruire les deux grandeurs. Malheureusement, ce type de variable est aussi souvent utilisé avec des modèles de relaxation qui ne garantissent pas la conservation de la trace (par exemple, on prend γ11 = 0 (réservoir à l’état fondamental) et γ22 = 0 (état excité)). Dans le cas de la conservation, on a clairement Q(ρ)11 = −Q(ρ)22 , ainsi 2iE · (p21 ρ12 − p12 ρ21 ) + 2Q(ρ)22 . (2.12) De même, comme la matrice ρ est hermitienne, il n’y a qu’une seule cohérence a calculer, laquelle est régie par l’équation ` ∂t (ρ22 − ρ11 ) =

∂t ρ12 = −(γ12 + iω12 )ρ12 +

iE · p12 (ρ22 − ρ11 ) .

(2.13)

18

2 Modèle physique

2.3.2 Couplage via la polarisation L’expression de la polarisation se simplifie en P = Na (p21 ρ12 + p12 ρ21 ) .

(2.14)

2.3.3 Un mod` ele unidimensionnel Au vu des équations (2.12)–(2.13)–(2.14), il est clair qu’écrire un modèle à deux niveaux est écrire un modèle unidimensionnel. En effet, le champ E n’apparaˆıt dans les équations de Bloch qu’` a travers la quantité E · p12 . Le matériau ne “voit” que la composante du champ E selon la direction du vecteur p12 . Par ailleurs, la polarisation P est créée dans la direction de ce même vecteur. Dans le plan vectoriel orthogonal a` p12 , les champs E et B sont donc régis par les équations de Maxwell classiques (pas de couplage avec le milieu). Le modèle de Maxwell–Bloch n’est donc utile que dans la direction de p12 . D´ erivation d’´ equations sans phase Notons p12 le module de p12 et ϑ son argument. Si on multiplie l’équation (2.13) par exp(−iϑ) et l’on note E la composante de E selon p12 , on obtient ∂t ρ12 exp(−iϑ) = −(γ12 + iω12 )ρ12 exp(−iϑ) +

iEp12 (ρ22 − ρ11 ) .

En outre, les équations (2.12) et (2.14) peuvent s’écrire 2iEp12 (ρ12 exp(−iϑ) − ρ21 exp(iϑ)) + 2Q(ρ)22 , P = Na p12 (ρ12 exp(−iϑ) + ρ12 exp(iϑ)) .

∂t (ρ22 − ρ11 ) =

On remarque que les équations de Bloch et la polarisation s’écrivent en n’utilisant que deux variables, le nombre d’inversion N = Na (ρ22 − ρ11 ) , et l’amplitude dipolaire A = Na ρ12 p12 exp(−iϑ) . Si on refait les mêmes calculs que précédemment en autorisant le champ E a être complexe (ce dans l’optique des développements asymptotiques, cf. ` chapitre 7), on obtient les équations de Bloch a` deux niveaux ∂t A = −(γ12 + iω12 )A + ∂t N =

iEp212 N ,

2i ∗ (E A − EA∗ ) + Q(N ) ,

2.3 Modèle ` a deux niveaux d’énergie

19

o` u Q(N ) = Na (W21 − W12 ) − (W12 + W21 )N . On remarque que la phase de p12 a complètement disparu des équations. Le couplage via la polarisation s’écrit alors P = 2 Re(A) . ´ Equations ` a deux niveaux classiques Plus classiquement, les équations a` deux niveaux sont écrites en utilisant la variable P telle que A = p12 P, on obtient ainsi ∂t P = −(γ12 + iω12 )P + ∂t N =

iEp12 N ,

2ip12 ∗ (E P − EP ∗ ) + Q(N ) ,

(2.15) (2.16)

et P = 2p12 Re(P) . Ce changement de variables confère une certaine symétrie au système. Mod` ele sans relaxation Reprenons les équations (2.15)–(2.16) pour les atomes a` deux niveaux. On se place à l’échelle de temps des variations du champ, que l’on suppose beaucoup plus rapide que les phénomènes de relaxation. On suppose de plus que le champ est réel. On a alors les équations simplifiées ∂t P = −iω12 P + ∂t N =

iEp12 N ,

2ip12 E(P − P ∗ ) .

(2.17) (2.18)

En dérivant par rapport au temps, on trouve i∂t Ep12 E 2 p2 Eω12 p12 2 N+ N − 2 212 (P − P ∗ ) , ∂t2 P + ω12 P= 2 2Ep p 2ip 2ω 12 12 12 12 ∂t2 N + N = ∂t E(P − P ∗ ) + E(P + P ∗ ) . On trouve alors des équations qui ressemblent au modèle de Lorentz que nous verrons au chapitre 6.

3 Analyse math´ ematique

3.1 Le mod` ele complet et la terminologie Pour effectuer l’étude mathématique, il faut récapituler la totalité des équations ` étudier, ce qui n’apparaˆıt jamais dans la littérature physique. a ⎧ 1 ⎪ ⎪ ε0 ε ∞ ∂ t E = rot B − ∂t P , ⎪ ⎪ µ ⎪ 0 ⎨ ∂t B = − rot E , (3.1) ⎪ P = Na Tr(pρ) , ⎪ ⎪ ⎪ i ⎪ ⎩ ∂t ρjk = −iωjk ρjk + E · [p, ρ]jk + Q(ρ)jk . Seul le livre de A.C. Newell et J.V. Moloney [19], qui a` bien des égards est un livre de mathématiques, présente des modèles complets dans le cadre de l’approximation paraxiale (cf. paragraphe 7.1). Le nom de modèle de Maxwell– Bloch y est donné au couplage de l’équation de Schr¨ odinger pour l’enveloppe du champ électromagnétique avec les équations de Bloch. P. Donnat et J. Rauch [6] donnent par exemple ce même nom aux équations de Maxwell– Lorentz linéaires (cf. paragraphe 6.1.2) aussi appelé modèle de l’oscillateur harmonique, ou non linéaires (ou modèle de l’oscillateur anharmonique). J.L. Joly, G. Métivier et J. Rauch [14, 16] font une revue de quelques modèles de type Maxwell–Bloch avec des passerelles entre eux dans le cas de milieux a deux niveaux, passerelles qui paraissent difficiles a` généraliser à un nombre ` plus élevé de niveaux. L’introduction de relaxations, principalement longitudinales, met également à mal la dérivation de ces modèles. Ce chapitre est uniquement consacré à l’analyse mathématique du système de Maxwell–Bloch (3.1). La description des modèles asymptotiques évoqués ci-dessus sera l’objet de la partie II.

3.2 Propri´ et´ es math´ ematiques des ´ equations de Bloch Des propriétés de symétrie et de positivité de la matrice densité ont été mises en évidence au paragraphe 2.1.5 avant l’introduction de termes de

22

3 Analyse mathématique

relaxation. Il convient d’établir des conditions sur l’opérateur de relaxation Q pour lesquelles ceci reste vrai. Ce point est l’un des objets de l’article [1] et les résultats y sont donnés pour le modèle de l’équation maˆıtresse de Pauli qui, comme nous l’avons déjà vu, est le plus consistant du point de vue physique. Nous donnons ici les résultats pour les trois modèles de relaxation définis au paragraphe 2.1.6. La formule de Trotter–Kato nous permet de restreindre l’étude a` l’équation de relaxation pure uniquement : ∂t ρ = Q(ρ) .

(3.2)

Lemme 3.1 (Formule de Trotter–Kato). Si ρ est solution de l’équation ∂t ρ = Lρ + Qρ alors tL tQ

n . ρ(t) = et(L+Q) ρ(0) = lim e n e n ρ(0) n→∞

i On applique ce lemme avec Lρjk = −iωjk ρjk − [V, ρ]jk . On sait déj` a que pour l’équation ∂t ρ = Lρ, la matrice ρ conserve ses propriétés de positivité et de symétrie initiales. Grˆ ace à la formule de Trotter–Kato, il suffit de la vérifier pour l’équation (3.2) seule. 3.2.1 Conservation de la trace Th´ eor` eme 3.2. Les modèles en cascade (2.8) et de Pauli (2.9) conservent la trace. Preuve. Si on suppose que la trace est unité au temps initial, il suffit de vérifier que ∂t Tr(ρ(t)) = Tr(∂t ρ(t)) = Tr(Q(ρ(t))) = 0 . Pour le modèle en cascade (2.8) Tr(Q(ρ)) = Γjl ρll − Γlj ρjj j

=

j

j

l>j

l>j

Γjl ρll −

l<j

l

Γjl ρll = 0 .

j 0, soit t0 = 0 et pour t > 0, petit, ρjj (t) > 0 ; soit t0 = 0 et il est impossible que ρjj (t0 ) = 0. Ainsi, si W est une matrice dont les coefficients (extra-diagonaux) sont strictement positifs, alors ρjj (t) est strictement positif pour tout t > 0. De plus, comme la fonction ρ(t) est continue par rapport au coefficient matriciel W , si W est seulement positive ρjj (t) reste positive pour tout temps t > 0. Comme, de plus, on a la propriété de trace, ceci démontre la condition 3.3. Mod` ele en cascade. Dans le cas du modèle de Pauli, il est difficile de se passer de l’argument de continuité et de démontrer directement des inégalités larges. Il serait donc difficile également de traiter directement le modèle en cascade. Heureusement, on bénéficie des efforts précédents et au même titre que le modèle en cascade est un cas particulier du modèle de Pauli, la condition de positivité découle de la précédente. ⊓ ⊔ La condition 3.3 est triviale pour les physiciens a` qui il ne viendrait jamais à l’idée de prendre ces coefficients négatifs. 3.2.3 Majoration des coh´ erences Condition 3.4. Sous la condition 3.3, une condition nécessaire et suffisante pour que la majoration (3.4) |ρjk (t)| ≤ ρjj (t)ρkk (t)

soit vraie pour tout temps t ≥ 0 est – mod` ele uni-niveau : 2γjk − γjj − γkk > 0 (condition uniquement suffisante), – mod` ele en cascade : 2γjk ≥ Γj + Γk , – mod` ele de Pauli : 2γjk ≥ Γj + Γk − Wjk Wkj .

Preuve. Posons maintenant f (t) ≡ ρjj (t)ρkk (t) − ρjk (t)ρkj (t) et supposons que f (t0 ) s’annule en t0 . Le cas o` u ρjj (t0 )ρkk (t0 ) = 0, et donc ρjk (t0 ) = 0, ne nous intéresse pas car alors ρjk ≡ 0 pour tout temps. On remarque de plus que ρjj (t)ρkk (t) ≥ 0 est une conséquence de la condition 3.3. Mod` ele uni-niveau. Si on calcule f ′ pour un temps t quelconque f ′ (t) = −2γjk f (t) + (2γjk − γjj − γkk )ρjj (t)ρkk (t) +γjj ρejj ρkk (t) + γkk ρekk ρjj (t) . Si 2γjk − γjj − γkk > 0, le même type d’arguments que ci-dessus prouve que f (t) est strictement positif pour tout temps. Un argument de continuité fournit la condition suffisante.

3.2 Propriétés mathématiques

25

Mod` ele de Pauli. De même que précédemment f ′ (t) = −2γjk f (t) + (2γjk − Γj − Γk )ρjj (t)ρkk (t) +ρjj (t) Wkl ρll (t) + ρkk (t) Wjl ρll (t) l=k

l=j

= 2γjk f (t) + (2γjk − Γj − Γk + Wjk Wkj )ρjj (t)ρkk (t) +(Wjk ρkk (t) − Wkj ρjj (t))2 +ρjj (t) Wkl ρll (t) + ρkk (t) Wjl ρll (t) . l=j,k

l=j,k

Si 2γjk − Γj − Γk + Wjk Wkj > 0, la quantité f (t) est strictement positive pour tout temps. Pour montrer que cette condition est nécessaire, on suppose que ρll = 0 pour l = j, k. Mod` ele en cascade. Dans le cas du modèle en cascade, les calculs sont identiques mais la quantité Γjk Γkj , qui est l’équivalent de Wjk Wkj , est toujours nulle. ⊓ ⊔ La condition 3.4 est physique (voir par exemple R. Loudon [18]) dans la mesure o` u, comme nous l’avons déjà vu, les relaxations transverses ont les mêmes origines que les relaxations longitudinales plus d’autres origines. On coll coll , o` u γjk ≥ 0. écrit ainsi souvent γjk sous la forme γjk = 21 (Γj + Γk ) + γjk coll Dans de nombreux contextes physiques, on a même γjk ≫ Γj + Γk . De plus, coll on choisit très souvent une relaxation de collision γjk qui ne dépend pas de j et k. Des ordres de grandeur de temps caractéristiques de phénomènes pris en compte dans les termes de relaxation sont donnés à l’appendice B. 3.2.4 Positivit´ e de la matrice densit´ e La condition 3.4 clˆ ot le débat sur la positivité de la matrice ρ dans le cas des atomes à deux niveaux. En revanche, garder une forme générale de γjk pour l’étude de la positivité de la matrice densité pour plus de deux niveaux aboutit a` une impasse car les conditions mises en évidence ne recouvrent souvent aucun jeu de coefficients admissibles. C’est pourquoi on se donne une forme particulière pour les coefficients de relaxation transverse : γjk =

1 (Γj + Γk ) + γjcoll + γkcoll − Aj · Ak , 2

(3.5)

o` u γjcoll ∈ R et Aj ∈ RN . On remplace Γj par γjj dans le cas du modèle uniniveau. Une telle hypothèse n’est pas restrictive du point de vue des exemples de la littérature physique. Le coefficient Aj a comme rôle de rendre la condition un peu plus générale mais est toujours nul dans les exemples concrets.

26


Condition 3.5. Sous les conditions 3.3 et 3.4, et sous l’hypothèse (3.5) sur les taux de relaxation collisionnels et pour tous les modèles de relaxation étudiés ici, une condition suffisante de positivité de la matrice ρ pour tout temps est γjcoll ≥ 12 |Aj |2 pour tout j. La quantité |Aj |2 désigne la somme des carrés des coordonnées de Aj . Les notations pour les différentes normes se trouvent à l’appendice C. Preuve. Soit X = t (x1 , . . . , xN ) ∈ CN et f (t) = X ∗ ρ(t)X. On suppose que t0 est le premier temps pour lequel f (t0 ) = 0. A ce temps, ρ(t0 ) est une matrice hermitienne positive, ce qui assure que ρ(t0 )X = 0 et X ∗ ρ(t0 ) = 0. Mod` ele uni-niveau f ′ (t) = − γjj (ρjj − ρejj )|xj |2 − γjk x∗j ρjk xk j

j,k,j =k

=−

j

γjj (ρjj −

ρejj )|xj |2

+

j

(2γjcoll + γjj − |Aj |2 )ρjj |xj |2

1 1 ( γjj + γjcoll )x∗j ( − ( γkk + γkcoll ) ( ρjk xk ) − x∗j ρjk ) xk 2 2 j j k k =0

+

j

k

=

j

+

k

γjj ρejj |xj |2 +

l

≥0

j

=0

(alj xj )∗ ρjk (alk xk )

j

(2γjcoll − |Aj |2 )ρjj |xj |2

(alj xj )∗ ρjk (alk xk ) .

k

≥0

Mod` ele de Pauli f ′ (t) = Wjk ρkk |xj |2 − Γj ρjj |xj |2 − γjk x∗j ρjk xk j

=

j

− =

k=j

2

Wjk ρkk |xj | −

γjk x∗j ρjk xk +

k=j

2

Wjk ρkk |xj | +

j,k,j =k

Γj ρjj |xj |


j

j

j,k

j

j

k=j

2

(2γjcoll + Γj − |Aj |2 )x∗j ρjj xj

j

1 1 − ( Γj + γjcoll )x∗j ( ρjk xk ) − x∗j ρjk ) xk ( Γk + γkcoll ) ( 2 2 j j k k =0

=0

3.3 Problème de Cauchy local

+

(alj xj )∗ ρjk (alk xk ) j

k

=

j

27

k=j

k

≥0

Wjk ρkk |xj |2 +

j


+ (alj xj )∗ ρjk (alk xk ) . j

l

k

≥0

Dans les deux cas calculés ci-dessus, et bien sˆ ur dans le cas du modèle en cascade qui est analogue, une condition suffisante pour que f (t) soit strictement positive est que γjcoll > 21 |Aj |2 pour tout j. Cette condition se relaxe en la ⊓ ⊔ condition γjcoll ≥ 21 |Aj |2 pour que f (t) soit positive. On remarque que la condition 3.5 est plus large que la condition 3.4. Résumons les conditions de positivité pour le modèle de l’équation maˆıtresse de Pauli que nous utilisons ultérieurement. Th´ eor` eme 3.6. Le modèle de Pauli assure la conservation de la trace sans restriction sur ses coefficients. Il assure aussi la positivit´ e des populations (ρjj ∈ [0, 1]) et la majoration des cohérences (|ρjk |2 ≤ ρjj ρkk ) sous la condition nécessaire et suffisante Wjk ≥ 0, 2γjk ≥ Wlj + Wlk − Wjk Wkj . l

l

Par ailleurs, si les coefficients γjk sont de la forme γjk =

1 1 Wlj + Wlk + γjcoll + γkcoll − Aj · Ak , 2 2 l

l

o` u γjcoll ∈ R et Aj ∈ RN alors une condition suffisante de positivité de l’opérateur densité ρ est que γjcoll ≥ 21 |Aj |2 .

3.3 Probl` eme de Cauchy local Pour l’étude mathématique et la description des schémas numériques (cf. chapitre 8), il est pratique de regrouper la relaxation et la nutation en un seul opérateur que nous notons Rn : Rn(ρ)jk = −iωjk ρjk + Q(ρ)jk .

(3.6)

L’équation de Bloch peut alors s’écrire de fa¸con compacte sous forme matricielle

28


i E · [p, ρ] = Rn(ρ) + i[V, ρ] . (3.7) Comme l’état d’équilibre de la matrice densité est non nul, il est illusoire de pouvoir effectuer une étude directe de cette équation dans les espaces de Sobolev. C’est pourquoi on introduit une nouvelle inconnue σ = ρ − ρe . L’état d’équilibre ρe est solution de Rn(ρe ) = 0, ses termes extra-diagonaux sont nuls, et comme les coefficients diagonaux de p sont nuls Tr(pρe ) = 0. Ainsi le système (3.1) peut aussi s’écrire ⎧ 1 ⎪ ⎪ ε0 ε ∞ ∂ t E = rot B − ∂t P , ⎪ ⎪ µ ⎪ 0 ⎨ ∂t B = − rot E , (3.8) ⎪ P = Na Tr(pσ) , ⎪ ⎪ ⎪ i i ⎪ ⎩ ∂t σ = Rn(σ) + E · [p, σ] + E · [p, ρe ] . ∂t ρ = Rn(ρ) +

Pour étudier le problème de Cauchy, on se donne les nouvelles inconnues Dj = σjj , Rs(j,k) = Re σjk , Is(j,k) = Im σjk ,

j = 1, . . . , N , 1 ≤ j = k ≤ N ,

1 ≤ j = k ≤ N ,

o` u les s(j, k) sont des entiers tous différents allant de 1 a` N (N − 1), ce qui permet d’ordonner les éléments de la matrice σ. Avec ces notations, les équations (3.8) peuvent s’écrire comme une équation régissant la variable U = t (E, B, D, R, I) ∈ RdU avec dU = 2d + 2N 2 − N (en dimension d’espace d) d Aµ ∂µ U + F (U ) , (3.9) ∂t U = µ=1

o` u les matrices Aµ sont symétriques et la fonction F (U ) est un polynˆ ome qui ne contient que des monômes de degré un et deux et qui donc s’annule en U = 0. On peut alors énoncer le théorème suivant. Th´ eor` eme 3.7. Soit un réel s > d/2 et U (0, ·) ∈ H s (Rd )dU , alors il existe un temps t∗ ∈]0, ∞] tel que l’équation (3.9) avec pour donnée de Cauchy U (0, ·) admette une unique solution U ∈ C([0, t∗ [; H s (Rd )dU ). De plus, cette solution est continue par rapport aux données initiales. Preuve. La preuve découle de considérations classiques de la théorie hyperbolique semi-linéaire que nous détaillons ici dans ce cas particulier. La théorie générale et l’application a` d’autres équations peut se trouver par exemple dans le livre de T. Cazenave et L. Haraux [4]. Opérateur linéaire unitaire Associons à l’équation hyperbolique (3.9) l’équation linéaire

3.3 Problème de Cauchy local

∂t U =

d

Aµ ∂µ U .

29

(3.10)

µ=1

Si on multiplie l’équation (3.10) par U et que l’on intègre sur RdU , on obtient

RdU

∂t U · U =

d

RdU µ=1

Aµ ∂µ U · U .

d 2 d dU Comme l’opérateur (les µ=1 Aµ ∂µ est anti-adjoint sur l’espace L (R ) valeurs a` l’infini sont nulles),

d

RdU µ=1

Ainsi

Aµ ∂µ U · U = 0 .

1 ∂t U 2L2 (Rd )dU = 2

RdU

∂t U · U = 0 .

Notons S(t) le semi-groupe associé à l’équation d’évolution linéaire (3.10). Ceci signifie que U (t), solution de (3.10), s’écrit U (t) = S(t)U0 , en notant U0 la donnée initiale du problème de Cauchy. Le calcul ci-dessus montre que cet opérateur est unitaire dans L2 (Rd )dU : S(t)U0 2L2 (Rd )dU = U0 2L2 (Rd )dU . De même, en multipliant (−∆)s/2 (3.10) par (−∆)s/2 U , et en utilisant le fait d que l’opérateur µ=1 Aµ ∂µ est anti-adjoint sur tout espace de Sobolev, le semi-groupe S(t) associé à l’équation d’évolution (3.10) est également unitaire dans H s (Rd )dU : S(t)U0 2H s (Rd )dU = U0 2H s (Rd )dU . Estimation de la partie non linéaire Par ailleurs, pour s > d/2, l’espace de Sobolev H s (Rd )dU est une algèbre et F (U ) est localement lipschitzienne sur H s (Rd )dU . Ainsi, il existe une constante LR telle que si U appartient a` la boule de rayon R de l’espace H s (Rd )dU (U H s (Rd )dU ≤ R) alors F (U )H s (Rd )dU ≤ LR U H s (Rd )dU . Formulation de Duhamel La formulation intégrale, dite également formulation de Duhamel, de l’équation (3.9) est donnée par t S(t − τ )F (U (τ )) dτ . (3.11) U (t) = S(t)U0 + 0

30


Position de la méthode de point fixe Avec les ingrédients précédents, une méthode de point fixe permet de conclure. En effet, on suppose que la donnée initiale U0 appartient a` l’espace de Sobolev H s (Rd )dU , on note R = U0 H s (Rd )dU . Par ailleurs, on définit l’application T par t

T (U )(t) = S(t)U0 +

0

S(t − τ )F (U (τ )) dτ .

Cette application envoie clairement H s (Rd )dU dans lui-même. Nous allons montrer que T est une contraction dans la boule de rayon 2R. Le lemme du point fixe de Schauder permet alors d’assurer que T admet un unique point fixe, qui est alors solution de la formulation intégrale (3.11) et donc de l’équation (3.9). T envoie la boule de rayon 2R de H s (Rd )dU dans elle-même On suppose donc que U (t) ∈ H s (Rd )dU et U (t)H s (Rd )dU ≤ 2R. t S(t − τ )F (U (τ ))H s (Rd )dU dτ T (U )(t)H s (Rd )dU ≤ S(t)U0 H s (Rd )dU + 0 t F (U (τ ))H s (Rd )dU dτ = U0 H s (Rd )dU + 0 t U (τ ))H s (Rd )dU dτ = R + L2R 0

≤ R + 2RL2R t = R(1 + 2L2R t) .

Il existe t1 (R) = 1/2L2R > 0 tel que (1 + 2L2R t) ≤ 2 pour tout temps t ≤ t1 (R). Alors T (U )(t)2H s (Rd )dU ≤ 2R pour tout t ≤ t1 (R) et T envoie la boule de rayon 2R de H s (Rd )dU dans elle-même. T est une contraction de la boule de rayon 2R de H s (Rd )dU On considère deux solutions U1 et U2 du problème de Cauchy, qui ont la même donnée initiale U0 . Alors t T (U1 )(t) = S(t)U0 + S(t − τ )F (U1 (τ ))dτ , 0 t S(t − τ )F (U2 (τ ))dτ , T (U2 )(t) = S(t)U0 + 0

d’o` u, de même que précédemment, si t < t1 (R), T (U1 )(t) − T (U2 )(t)H s (Rd )dU ≤ L2R

0

t

U1 (τ ) − U2 (τ )H s (Rd )dU dτ .

3.4 Estimations a priori

31

Prenons le suprémum en temps sur un intervalle [0, t] ⊂ [0, t1 (R)], T (U1 ) − T (U2 )L∞ (0,t;H s (Rd )dU ) ≤ L2R tU1 − U2 L∞ (0,t;H s (Rd )dU ) . Pour tout t ≤ t∗ (R) < min(t1 (R), 1/L2R ) suffisamment petit, T est une contraction de la boule de rayon 2R de L∞ (0, t; H s (Rd )dU ). Continuité par rapport aux données initiales ˜0 dans la boule de rayon R On se donne deux conditions initiales U0 et U s d dU de H (R ) . Sur l’intervalle de temps d’existence commune des solutions de (3.9) associées à ces deux données initiales, on a U (t) = S(t)U0 + ˜ (t) = S(t)U ˜0 + U

t

S(t − τ )F (U (τ ))dτ ,

0

0

t

˜ (τ ))dτ . S(t − τ )F (U

De même que précédemment, on obtient ˜ (t) s d dU ≤ U0 −U ˜0 s d dU +L2R U (t)−U H (R ) H (R )

t

0

˜ (τ ) s d dU dτ. U (τ )−U H (R )

On utilise alors le lemme de Gronwall pour obtenir ˜0 s d dU exp(L2R t) . ˜ (t) s d dU ≤ U0 − U U (t) − U H (R ) H (R ) On en déduit la continuité par rapport aux données initiales sur l’intervalle ⊓ ⊔ de temps [0, t∗ (R)], ce qui achève la preuve du théorème.

3.4 Estimations a priori Obtenir des estimations a priori est intéressant à au moins deux égards. Tout d’abord, cela constitue le premier pas vers le problème de Cauchy global en temps. De plus, la preuve de stabilité non linéaire des schémas numériques décrits au chapitre 10 utilise de telles estimations. Il est impossible d’obtenir des estimations L2 pour la matrice densité. En revanche, la variable σ d’écart à l’équilibre est a` nouveau appropriée. Comme la polarisation s’écrit P = Na Tr(pσ), celle-ci a également toutes les chances de pouvoir s’annuler a` l’infini. Dans les démonstrations qui suivent, on utilisera souvent le lemme de cancellation suivant dont la preuve est immédiate. Lemme 3.8. Soit V1 , V2 ∈ MN,N (C), alors Tr([V1 , V2 ]V1 ) = 0. Les conventions pour les écritures de normes sont données à l’appendice C.

32


3.4.1 Estimation L∞ de la matrice densit´ e Les propriétés de positivité étudiées ci-dessus concernent déjà un encadrement des populations, qui appartiennent a` l’intervalle [0, 1]. Par ailleurs, un des corollaires de la propriété (3.4) et de la propriété de trace est la majoration des cohérences : |ρjk | ≤ 1/2. On peut cependant montrer un résultat parfois plus fort portant sur tous les termes de la matrice. Estimation 3.9. 1 1 ≤ Tr(ρ2 ) ≤ 1 et Tr(ρ2 ) − 2 + ≤ Tr(σ 2 ) ≤ Tr(ρ2 ) + 1 . N N Preuve. Une autre conséquence de la condition (3.4) est ⎞2 ⎛ ρjj ⎠ = 1 . ρkk ρjj = ⎝ |ρjk |2 ≤ Tr(ρ2 ) = j,k

j,k

j

Cette estimation est optimale car Tr(ρ2 ) = 1 si, pour tout j, k, on a exacte√ ment ρjk = ρjj ρkk . Le minimum de 1/N est également atteint dans la configuration o` u les cohérences sont nulles et toutes les populations sont égales à 1/N . L’égalité Tr(σ 2 ) = Tr(ρ2 ) − 2Tr(ρρe ) + Tr(ρe 2 ) donne l’estimation correspondante sur σ qui est a priori moins fine.

⊓ ⊔

3.4.2 D´ efinition d’une ´ energie physique Bien que cela ne soit d’aucune utilité pour les démonstrations mathématiques, il est plus satisfaisant d’utiliser des estimations L2 portant sur des quantités correspondant a` une énergie physique. Conformément aux usages, l’énergie potentielle électrostatique est donnée par 1 ε0 ε∞ |E(t, x)|2 dx 2 Rd et l’énergie potentielle magnétostatique par 1 1 |B(t, x)|2 dx . 2 Rd µ0 Ces deux quantités s’expriment a priori en Joule (cf. appendice A). Comme la matrice densité n’a pas de dimension, nous pouvons alors définir l’énergie 1 1 2 2 2 |B(t, x)| + Na ωc Tr(σ )(t, x) dx , ε0 ε∞ |E(t, x)| + E(t) = 2 Rd µ0 o` u ωc est une fréquence caractéristique. Au paragraphe 7.2, on présente différents choix de fréquences caractéristiques en fonction du type de phénomène étudié. Dans nos exemples fortement résonnants, il s’agit le plus souvent de la fréquence de Rabi.

3.4 Estimations a priori

33

3.4.3 Premi` eres estimations L2 Une conséquence immédiate des estimations 3.9 est le lemme suivant. Lemme 3.10. Il existe six constantes C1 , C2 , C3 , C4 , C5 et C6 telles que 1 E2 + Ec σ2 ) , Ec |Tr(Rn(σ)σ)| ≤ C2 ωc Tr(σ 2 ) , 1 Tr([p · E, ρe ]σ)1 ≤ C3 pc ( E2 + Ec σ2 ) , Ec Tr(pRn(σ))2 ≤ C4 p2c ωc2 σ2 , Tr(p · ERn(σ)1 ≤ C1 pc ωc (

Tr(pE · [p, σ])2 ≤ C5 p4c E2 , Tr(E · [p, ρe ]σ)2 ≤ C6 p2c (E2 + Ec2 σ2 ) .

Les coefficients qui interviennent dans ces estimations ont pour but d’assurer que les constantes C1 , C2 , C3 , C4 , C5 et C6 sont sans dimension. Ainsi, pc est un moment dipolaire caractéristique et Ec un champ électrique caractéristique. 3.4.4 Majoration de l’´ energie La majoration L2 que nous obtenons ci-après ne prétend pas à l’optimalité mais elle est suffisante pour une utilisation ultérieure dans les preuves de stabilité numérique. Estimation 3.11 (Majoration de l’´ energie.). Il existe une constante C qui ne dépend que des coefficients du système telle que E(t) ≤ eCωc t E(0) . Preuve. On multiplie scalairement les équations de Faraday et d’Ampère par B et E respectivement. En utilisant la relation rot B · E = rot E · B − div(E ∧ B) , on a immédiatement 1 1 1 1 ε0 ε∞ ∂t |E|2 + ∂t |B|2 + div(E ∧ B) = −∂t P · E . 2 2 µ0 µ0

(3.12)

De par la définition de E(t), on a : 1 ∂t E(t) = −∂t P · E + Na ωc ∂t Tr(σ 2 ) dx . 2 Rd Le lemme de cancellation 3.8, utilisé avec les matrices V1 = p · E et V2 = σ ou ρe , donne

34


∂t P · E = Na Tr(p · E∂t σ) = Na Tr(p · ERn(σ)) . Ainsi

1 2 ∂t E(t) = Na −Tr(p · ERn(σ)) + ωc ∂t Tr(σ ) dx . 2 Rd On remarque que notre choix de pondération de l’énergie rend la variation de l’énergie proportionnelle a` la densité du milieu quantique. On utilise ensuite le lemme 3.8 une nouvelle fois avec V1 = σ et V2 = p · E pour obtenir ⎛ ⎞ 1 ∂t Tr(σ 2 ) = Re ⎝ ∂t σjk σkj ⎠ 2 jk ⎞ ⎛ =− γjk |σjk |2 + Wjk σkk ⎠ σjj ⎝

j

jk

−i Re

avec la convention γjj = ∂t E(t) = Na

Rd

pjk · E

k=j

jk

[ρejj − ρekk ]σkj ,

+ ωc

σjj

j

≤ Cωc E(t)

(3.13)

Wkj . On a donc finalement

− Tr(p · ERn(σ)) − ωc

k=j

k=j

jk

γjk |σjk |2 e

Wjk σkk + ωc Im Tr([p · E, ρ ]σ) dx

grˆ ace au lemme 3.10 et au théorème de Cauchy–Schwarz. La constante C est sans dimension et dépend de C1 , C2 , C3 , des grandeurs caractéristiques et de . Ceci prouve l’estimation 3.11. ⊓ ⊔

3.5 Probl` eme de Cauchy global 3.5.1 Mod` ele ` a deux niveaux Les travaux de J.-L. Joly, G. Métivier et J. Rauch [13] et de P. Donnat et J. Rauch [6] permettent de donner des résultats d’existence globale. Mais contrairement a` ce que le titre de ce deuxième article semble indiquer, ils ne traitent pas des équations de Maxwell–Bloch mais des équations de Maxwell– Lorentz sous diverses formes. En effet, le modèle étudié est un modèle à deux niveaux qui est dérivé par R.H. Pantell et H.E. Puthoff dans [20] : 1 2 ∂t P + ω12 P = CP EN , γ′ 1 ∂t N + (N − N e ) = −CN ∂t PE . γ

∂t2 P +

3.5 Problème de Cauchy global

35

Les coefficients γ et γ ′ sont respectivement les taux de relaxation longitudinale (modèle uni-niveau) et transverse. La valeur a` l’équilibre du nombre d’inversion est notée N e et les coefficients de couplage CP et CN . Ce modèle est algébriquement très différent du modèle de Maxwell–Bloch qui nous intéresse et des symétries spécifiques à ce cas permettent d’avoir des estimations a priori fines dans L2 et dans H 1 (ce qui nous manque cruellement) ce qui permet d’obtenir des solutions globales dans H 1 . L’extension de ces résultats au système de Maxwell–Bloch n’est pas immédiate. 3.5.2 Mod` ele ` a N niveaux Dans [7, 8], E. Dumas étudie le problème de Cauchy global pour le modèle de Maxwell–Bloch avec un nombre quelconque de niveaux mais sans relaxations longitudinales. Par contre, des relaxations transverses peuvent être incluses dans le modèle. La preuve est inspirée de celle réalisée par J.-L. Joly, G. Métivier et J. Rauch [15] dans le cadre du couplage des équations de Maxwell avec un modèle de milieu ferromagnétique. Existence Le problème de l’existence peut se traiter en prenant E ∈ L2 , B ∈ L2 et ρ ∈ L2 ∩ L∞ . Le fait de ne pas avoir de relaxations longitudinales permet d’assurer que la norme L2 de ρ est bornée par sa donnée initiale (et même égale s’il n’y a également pas de relaxations transverses). On construit une suite de problèmes régularisés dans lesquels on a opéré une troncature en fréquence pour les différentes variables. Cette troncature permet d’avoir une injection continue de l’espace des fonctions L2 à fréquence bornée dans L∞ . Ces problèmes régularisés admettent une unique solution globale. Dans un premier temps, on peut trouver une limite faible aux solutions de ces problèmes régularisés lorsque la fréquence de troncature tend vers l’infini. On montre ensuite que cette convergence est en fait forte, en décomposant le champ E en deux contributions, une de rotationnel nul – directement reliée à ρ – et une à divergence nulle qui vérifie une équation des ondes. Le passage à la limite dans les termes quadratiques se fait grâce à un argument de compensation par compacité en utilisant des outils développés par P. Gérard [10] et L. Tartar [26]. Unicit´ e L’unicité s’obtient dans un espace un peu plus petit, a` savoir que, outre les régularités déjà requises pour l’existence, on suppose que les rotationnels de E et de B sont également dans L2 . Une estimation de type Strichartz due a J.-L. Joly, G. Métivier et J. Rauch [15] (pour les estimations de Strichartz ` classiques, voir J. Ginibre et G. Vélo [11]) permet pour des fréquences bornées de mesurer le défaut de l’injection de H 1 dans L2 .

4 Simulations num´ eriques

Les simulations numériques permettent de vérifier que tel ou tel phénomène est bien pris en compte par le modèle considéré. Leur réalisation est souvent compliquée par – le manque de données expérimentales sur les coefficients du modèle, – le fait que la plupart des variables calculées ne sont pas mesurables, – la superposition de plusieurs effets et donc la difficulté de déterminer un jeu de paramètres pour lequel un phénomène est prédominant. Par ailleurs, pour valider la modélisation par le modèle de Maxwell–Bloch et les schémas numériques décrits au chapitre 8, nous avons essayé de mettre en œuvre des cas tests – qui mettent en évidence l’intérêt du modèle complet et ne pourraient être réalisés avec un modèle approché, – que l’on peut juger du point de vue quantitatif. Les résultats présentés ici sont réalisés avec le schéma de splitting faiblement couplé au schéma de Yee (couplage de (9.1) pour l’équation de Faraday, (10.4) pour l’équation d’Ampère et du schéma de splitting décrit au paragraphe 10.3.2).

4.1 Transparence auto-induite Intérêt du cas test La transparence auto-induite est un phénomène que l’on peut mettre en évidence avec des modèles beaucoup plus simples tels l’équation de Schr¨ odinger non linéaire cubique. Il est également relativement simple car il ne met en jeu que deux niveaux d’énergie. C’est le cas test utilisé par R. Ziolkowski, J.M. Arnold et D.M. Gogny [28] pour tester le premier code Maxwell–Bloch. Outre son intérêt historique, il permet d’une part de juger quantitativement

38

4 Simulations numériques

du résultat, et d’autre part de comparer des schémas sans pollution par des problèmes qui apparaissent pour plus de deux niveaux (non conservation de la trace, de la positivité, cf. paragraphes 8.1.2 et 8.3). Principe Le principe est le suivant. On éclaire un milieu par une onde incidente calibrée pour que son intensité et son temps d’interaction avec le milieu permette un nombre entier d’inversions de population complètes. L’onde transmet de l’énergie au milieu qui le lui restitue intégralement. Elle ressort du milieu inchangée, d’o` u le terme de transparence. C’est l’intensité de l’onde qui transforme l’indice du milieu, ce qui permet de combattre sa dispersion naturelle. C’est donc la présence de l’onde qui rend le milieu transparent, d’o` u le terme d’auto-induite. Le cas test se réalise dans un milieu unidimensionnel et, en pratique, on injecte un paquet d’onde de la forme Ex (t, z = 0) = E0 sin(ω0 t)/ ch(t/τp ) . Si cette onde se propage sans changer de forme, son aire est alors égale à ωRabi τp π (cf. [28]). Si cette aire est un multiple entier de 2π, il y a un nombre entier k = 21 ωRabi τp d’inversions totales du milieu. Le paquet d’onde associé est appelé un kπ-pulse. L’explication de ce phénomène se trouve dans le livre de R.W. Boyd [3]. Nous la reportons au paragraphe 7.1.4 comme application de la notion d’enveloppe. Résultats A l’instant initial, tous les atomes du milieu sont dans le même état (typiquement l’état fondamental). Par ailleurs, la propagation n’affecte pas l’onde. Le milieu va ainsi subir les mêmes modifications en chaque point du milieu avec uniquement un décalage temporel. Il est donc équivalent de représenter les variables (le champ Ex et la population ρ22 ) en un point pendant la durée de la simulation ou en un temps donné en tout point de l’espace. Nous choisissons arbitrairement la première solution. Le premier résultat (figure 4.1) décrit l’évolution temporelle du champ électromagnétique et de ρ22 en deux points du milieu. On peut effectivement vérifier que le phénomène se produit exactement de la même fa¸con en tout point du milieu avec uniquement un décalage en temps. On a ici un 4π-pulse avec quatre inversions totales du milieu. Ces inversions ont lieu pendant la durée du passage de l’onde. Pour montrer cette simultanéité, nous avons tracé le champ et la matrice densité sur la même courbe, ce qui nécessite de normaliser l’amplitude du champ électrique (trait plein) a` 1 alors que la population du niveau fondamental (tirets) est en valeurs réelles.

4.1 Transparence auto-induite

39

Entrée du milieu 1 E ρ

11

0,5

0

−0,5

−1

1

1,5

2 temps

2,5 −13

x 10

Milieu du milieu 1 E ρ

11

0,5

0

−0,5

−1

1

1,5

2 temps

2,5 x 10

−13

Fig. 4.1. Effet de transparence. Variation temporelle du champ électrique (trait plein) et de la population du niveau excité (tirets) : l’onde se propage sans changer de forme

Les résultats suivants (figures 4.2 et 4.3) mettent en évidence la dépendance en l’intensité |E0 |2 et la durée d’impulsion τp . L’intensité entre en effet dans la définition de la fréquence de Rabi, au même titre que la polarisabilité. Il est plus logique de faire changer l’amplitude de l’onde et la durée d’impulsion, qui sont des paramètres d’entrée de l’expérience que l’on peut imaginer faire varier plus facilement que la polarisabilité qui est liée au matériau ` la figure 4.1 nous avions obtenu un 4π-pulse en utilisant un considéré. A maximum d’amplitude de E0 = 8, 537 109 V m−1 et une durée d’impulsion de τp = 10−13 s. Le nombre d’inversions totales est à la fois proportionnel a` l’amplitude E0 et à la durée d’impulsion τp . La figure 4.2 présente, pour une valeur constante de τp = 10−13 s, l’évolution de la population ρ11 et du champ électromagnétique Ex au cours du temps au point situé à 30% du milieu et pour trois valeurs de l’amplitude E0 égales respectivement à 8, 537 109 V m−1 , 4, 2685 109 V m−1 et 2, 13425 109 V m−1 . On montre ainsi qu’en divisant l’intensité par 2 puis a` nouveau par 2, on

40

4 Simulations numériques 1 ρ11 (4π)

0,5

E (4π)

0 −0,5 −1

0

1

2

3 −13

x 10

1 ρ

11

0,5

(2π)

E (2π)

0 −0,5 −1

0

1

2

3 −13

x 10

1 ρ

11

0,5

(π)

E (π)

0 −0,5 −1

0

1

2 temps

3 x 10

−13

Fig. 4.2. Génération de 4π, 2π et π pulses par variation de l’amplitude E0 . Variation temporelle du champ électrique (trait plein) et de la population du niveau excité (tirets)

obtient a` partir d’un 4π-pulse, un 2π-pulse puis un π-pulse. Sur chacune des sous-figures, ni l’étalement, ni la vitesse du pulse ne diffèrent, seule l’amplitude (mais cela ne se voit pas puisque la représentation de l’amplitude est normalisée à 1). La figure 4.3 présente, pour une valeur constante de E0 = 8, 537 109 V m−1 , l’évolution de la population ρ11 et du champ électromagnétique Ex au cours du temps au point situé à 30% du milieu et pour trois valeurs de la longueur d’impulsion τp égales respectivement à 10−13 s, 0, 5 10−13 s et 0, 25 10−13 s. On obtient a` nouveau un 4π-pulse, un 2π-pulse et un π-pulse, en divisant successivement la longueur d’impulsion par 2. Cette fois, l’amplitude est toujours la même, mais la vitesse et l’étalement du pulse sont affectés par la modification de τp .

4.2 Génération de seconde harmonique

41

1 ρ11 (4π) 0,5

E (4π)

0 −0,5 −1

0

1

2

3 −13

x 10

1 ρ

11

0,5

(2π)

E (2π)

0 −0,5 −1

0

1

2

3 x 10

1 ρ

11

0,5

−13

(π)

E (π)

0 −0,5 −1

0

1

2 temps

3 −13

x 10

Fig. 4.3. Génération de 4π, 2π et π pulses par variation de la longueur d’impulsion τp . Variation temporelle du champ électrique (trait plein) et de la population du niveau excité (tirets)

4.2 G´ en´ eration de seconde harmonique Intérêt La génération de seconde harmonique est également un phénomène qui peut s’observer avec des modèles asymptotiques. L’apparition de la fréquence double dans le spectre de l’onde sortante suffit a` juger du résultat. Principe Physiquement, l’onde de fréquence double ne peut apparaˆıtre que dans une polarisation différente de l’onde incidente pour des raisons d’annulations nécessaires de coefficients de la matrice des moments dipolaires. Numériquement, on peut se permettre de violer ces contraintes et de faire apparaˆıtre

42


la fréquence double dans la même polarisation que la fréquence incidente et donc d’utiliser un code unidimensionnel et a` une seule polarisation. Résultats La figure 4.4 présente le résultat d’une simulation non physique : p12 , p13 et p23 sont choisis égaux et non nuls. L’onde incidente a pour fréquence 1, 256 1015 rad s−1 et la fréquence double et même les harmoniques supérieures sont visibles, ainsi que des effets de diffusion Raman également illustrés au paragraphe 4.4. Les mêmes valeurs ont été utilisées dans un code à deux polarisations (mais toujours unidimensionnel) et les résultats sont représentés sur la figure 4.5. Cette fois-ci, le cas test est physique car il respecte la parité des fonctions d’ondes d’un milieu centro-symétrique. L’onde incidente de fréquence 1, 256 1015 rad s−1 dans la polarisation Ex induit une onde dans la polarisation orthogonale Ey de fréquence double. On observe aussi sur cette même 0

10

log(FFT(E )) x

−1

10

10

10

−2

−3

−4

10

−4

−3

−2

−1

0 fréquence

1

2

3

4 15

x 10

Fig. 4.4. Génération de seconde harmonique – une polarisation. Transformée de Fourier du champ après la traversée du milieu

4.3 Transfert de cohérence

43

100 log(FFT(Ex)) log(FFT(Ey))

10−1

10−2

10−3

10−4 −4

−3

−2

−1

0 fréquence

1

2

3

4 15

x 10

Fig. 4.5. Génération de seconde harmonique – deux polarisations. Transformée de Fourier des deux polarisations du champ après la traversée du milieu

courbe et également dans la polarisation orthogonale Ey , le phénomène de redressement optique, qui est le jumeau du doublage de fréquence, puisqu’il consiste en la soustraction de deux fréquences identiques (la fréquence de l’onde incidente dans la polarisation Ex ) pour obtenir une onde de fréquence nulle.

4.3 Transfert de coh´ erence Intérêt Comme son nom l’indique, le transfert de cohérence est un phénomène qui met en jeu de manière non accessoire les cohérences. Contrairement aux deux effets précédents, il ne peut pas être mis en évidence avec un modèle simplifié, la première étape de toutes les dérivations de modèles asymptotiques consistant a supprimer la description des cohérences (cf. partie II). La réalisation d’un ` tel cas test (correspondant à une réalité physique, décrite par exemple par

44


D. Suter [25]) justifie donc pleinement le développement d’un code Maxwell– Bloch complet. Principe

.. ⌣

|3

.. ⌣

|3

Contrairement au choix habi .. .. .. tuel, l’état initial est un état pré.. .. ⌣ ⌣ ⌣ ⌣ ⌣ |2 |2 paré à trois niveaux dans lequel les deux premiers niveaux sont .. .. .. ⌢ ⌢ ⌢ peuplés et sont cohérents (c’est|1 |1 (b) (a) à-dire ρ12 = 0). Si le moment dipolaire p23 est non nul, on Fig. 4.6: Transfert de cohérence. Principe. ´ ´ initial, (b) Etat final peut alors transférer de la cohé- (a) Etat rence entre les niveaux 2 et 3. Résultats Les courbes d’évolution des populations (figure 4.7) montrent bien le dépeuplement du niveau 1 au profit du niveau 3, le niveau intermédiaire ne voyant

0,5

0,4 ρ11 ρ 22 ρ33

0,3

0,2

0,1

0

1,9

2

2,1

2,2

2,3 temps

2,4

2,5

2,6

2,7 −13

x 10

Fig. 4.7. Transfert de cohérence. Variation temporelle des trois populations

4.4 Effet Raman

45

qu’une légère modification de son peuplement. On se situe ici a` des échelles de temps o` u la relaxation longitudinale n’a pas eu le temps de jouer un rˆ ole. La figure 4.8 montre que l’amplitude initiale de la cohérence entre les niveaux 1 et 2 est transférée à la cohérence entre les niveaux 2 et 3 avec une contribution transitoire a` la troisième cohérence. On arrive donc bien a` simuler le transfert de cohérence. Nous ne disposons pas de mesures physiques permettant de juger de l’aspect quantitatif de ces résultats.

4.4 Effet Raman Intérêt L’effet Raman est un phénomène en général indésirable car une part de l’énergie initialement dans des fréquences utiles aux expérimentations se trouve capturée dans les fréquences de Stokes et d’anti-Stokes. Il s’ensuit des pertes de rendement. Il est utile de pouvoir modéliser ce phénomène de manière à pouvoir trouver des paramètres qui rendent l’amplitude des raies

ρ 12 ρ 13 ρ

0,25

23

0,2 0,15 0,1 0,05 0 −0,05 −0,1 −0,15 −0,2 −0,25

1,6

1,8

2

2,2

2,4

2,6 temps

2,8

3

3,2

3,4

3,6 −13

x 10

Fig. 4.8. Transfert de cohérence. Variation temporelle des trois cohérences

46


non désirées les plus faibles possibles. Ici, nous avons au contraire cherché des paramètres rendant le phénomène bien visible. Par ailleurs, ce cas test met clairement en évidence l’intérêt de considérer des équations dans les variables temporelles. Les approximations d’enveloppe se font en sélectionnant a priori une ou plusieurs fréquences utiles. Une méthode temporelle permet de tenir compte de toutes les fréquences. Le résultat présenté ci-dessous met en évidence de la diffusion Raman multiple. Il aurait été difficile de prédire la valeur de la fréquence de Raman ωr et d’écrire des équations d’enveloppe tenant compte des fréquences ω0 , ω0 +ωr et ω0 −ωr . Par ailleurs, la symétrie des raies est un résultat vérifié par les simulations sans qu’il ait été introduit a priori dans les équations. Le phénomène de triplage de fréquence ou génération de troisième harmonique (première harmonique dans les milieux centro-symétriques) vient en outre se combiner à la diffusion Raman. La reproduction de ce cas test avec des systèmes d’équations d’enveloppe aurait nécessité le couplage d’un grand nombre d’équations.

log(FFT(Ex)) 100 entrée 1,3µ m 50% 1,3µ m entrée 1,5µ m 50% 1,5µ m

10−1

10−2

10−3

0

0,5

1

1,5 fréquence

2

2,5

3 15

x 10

Fig. 4.9. Constance de la fréquence Raman. Transformée de Fourier du champ électrique ` a l’entrée et au milieu du matériau pour deux fréquences incidentes

4.4 Effet Raman

47

Le principe physique du phénomène de diffusion Raman a déj` a été discuté au paragraphe 1.2.4. Résultat L’onde incidente choisie ici est une onde monochromatique de fréquence ω0 . Le premier résultat (figure 4.9) présente des simulations pour des longueurs d’ondes de 1, 5 µm (qui est extrêmement proche de la résonnance avec le matériau) et de 1, 3 µm. Ne pas trop s’éloigner de la fréquence de résonnance permet de mieux observer les phénomènes qui sont d’intensité plus forte. Comme seule la fréquence de l’onde incidente change et non le matériau, la fréquence de Raman ωr doit être la même pour les deux simulations et ceci est bien vérifié. Un deuxième résultat (figure 4.10) est obtenu avec un milieu 10 fois plus dense et pour des longueurs de propagation plus importantes. Ceci a pour premier effet d’intensifier les raies. Par ailleurs, le triplage de fréquence a log(FFT(Ex)) 100 entrée 30% 50% 70%

ω

0

ω +ω 0

10−1

r

ω0− ωr 3ω0 10−2 ω +2ω 0

r

3ω +ω 0

3ω0− ωr

r

ω0+3ωr

10−3

0

0,5

1

1,5

2

2,5 fréquence

3

3,5

4

4,5

5 15

x 10

Fig. 4.10. Diffusions Raman multiples et triplage de fréquence. Transformée de Fourier du champ électrique en différents points du matériau

48


le temps d’avoir lieu et de générer lui-même des raies Stokes et anti-Stokes. Enfin, la diffusion multiple a également le temps de se mettre en place. On peut ainsi identifier de nombreuses raies prévues par la théorie, sans toutefois les imposer en début de calcul.

5 Expression quantique de la polarisation : ´ equations de taux

Les équations de Bloch constituent bien sˆ ur déjà une expression quantique de la polarisation. Tout en restant dans le domaine de l’approximation quantique, une simplification de ce modèle est donnée par les équations de taux qui décrivent l’évolution des populations et ne traitent pas des cohérences. Dans ce chapitre, nous allons rencontrer pour la première fois la notation ε qui va désigner des choses diverses dans cette partie, mais fera toujours référence à une quantité petite (longueur d’onde, force du couplage, etc ...). L’obtention d’un modèle simplifié se fait alors en écrivant des développements limités des inconnues en ε et en identifiant les équations obtenues a` l’ordre dominant en ε. Nous présenterons à la fois des démarches heuristiques et des démarches rigoureuses qui permettent en outre de majorer le reste du développement et d’assurer que l’ordre dominant est bien représentatif de l’évolution.

5.1 D´ erivation heuristique des ´ equations de taux Les équations de taux sont dérivées dans le cas particulier o` u l’action de l’onde est faible par rapport aux effets de relaxation. Pour présenter cette approche de manière heuristique, considérons un modèle unidimensionnel a` deux niveaux. Choisissons le modèle de relaxation uni-niveau (2.7) avec un taux de relaxation longitudinale γ et un taux de relaxation transverse γ ′ . C’est la forme sous laquelle les équations de Bloch sont peut-être les plus représentées dans la littérature physique (voir [23], par exemple). En supposant l’éclairement monochromatique, E(t) = E0 eiωt , et en utilisant la notation V = E0 p12 /, le système s’écrit ∂t ρ11 = −γ(ρ11 − ρe11 ) + iV eiωt ρ21 − iV ∗ e−iωt ρ12 ,

∂t ρ22 = −γ(ρ22 − ρe22 ) + iV ∗ e−iωt ρ12 − iV eiωt ρ21 , ∂t ρ12 = −(γ ′ + iω12 )ρ12 + iV eiωt (ρ22 − ρ11 ) .

54

´ 5 Equations de taux

L’intensité de l’onde est faible dans la mesure o` u l’on suppose que V ≪ γ ′ . On pose V = εv et on cherche des solutions ρ sous la forme ρ = ρ(0) + ερ(1) + ε2 ρ(2) + . . . Plus précisément, nous cherchons l’approximation d’ordre dominant pour chacune des inconnues. On suppose de plus que l’état d’équilibre est l’état fondamental (ρe11 = 1 et ρe22 = 0) et que cet état est également l’état initial du système (au temps −∞). Ordre 0. Les équations a` l’ordre 0 sont alors (0)

(0)

∂t ρ11 = −γ(ρ11 − 1) , (0)

(0)

∂t ρ22 = −γρ22 , (0)

(0)

∂t ρ12 = −(γ ′ + iω12 )ρ12 ,

qui, compte tenu des données initiales choisies, se résolvent en ρ(0) (t) = ρe . Ceci donne l’approximation d’ordre dominant pour ρ11 : ρ11 ∼ 1. Ceci est logique dans la mesure o` u on part de l’état d’équilibre pour y retourner après une perturbation de taille ε. Ordre 1. (1)

(1)

A l’ordre 1, nous nous intéressons aux équations régissant ρ22 et ρ12 . Celle-ci s’écrivent (1)

(0)

(0)

(1)

(1)

∂t ρ22 = −γρ22 + iv ∗ e−iωt ρ12 − iveiωt ρ21 = −γρ22 , (1)

(1)

(0)

(0)

(1)

∂t ρ12 = −(γ ′ + iω12 )ρ12 + iveiωt (ρ22 − ρ11 ) = −(γ ′ + iω12 )ρ12 − iveiωt , (1)

avec la donnée initiale est ρ(1) (−∞) = 0, d’o` u ρ22 (t) = 0 et l’ordre dominant pour la cohérence est t ′ iveiωt (1) ρ12 (t) = −i e−(γ +iω12 )(t−τ ) veiωτ dτ = − . i(ω12 + ω) + γ ′ −∞ Ordre 2. (2)

Enfin, a` l’ordre 2, il nous reste a` étudier ρ22 : (2)

(2)

(1)

(1)

∂t ρ22 = −γρ22 + iv ∗ e−iωt ρ12 − iveiωt ρ21

iveiωt iv ∗ e−iωt iωt − ive i(ω12 + ω) + γ ′ −i(ω12 + ω) + γ ′ ′ γ (2) . = −γρ22 + 2|v|2 (ω12 + ω)2 + γ ′ 2 (2)

= −γρ22 − iv ∗ e−iωt

5.2 Analogie avec les équations d’Einstein

55

Pour la donnée initiale ρ(2) (−∞) = 0, la solution de cette équation différentielle est alors t 2|v|2 γ ′ /γ 2γ ′ (2) −γ(t−τ ) 2 e |v| dτ = . ρ22 (t) = 2 (ω21 + ω)2 + γ ′ −∞ (ω21 + ω)2 + γ ′ 2 Cette solution est valable pour des temps t ∼ 1/γ (que l’on peut supposer ≫ 1/γ ′ ), les calculs aux ordres précédents ne supposant aucune hypothèse sur γ, qui pourrait tout aussi bien être nul. Sur cette échelle de temps, on a ainsi les valeurs à l’ordre dominant ρ11 (t) ∼ 1 ,

2|V |2 γ ′ /γ , (ω21 + ω)2 + γ ′ 2 iV eiωt ρ12 (t) ∼ − . i(ω12 + ω) + γ ′ ρ22 (t) ∼

Dans le cadre des équations de taux, on ne s’intéresse plus qu’à la valeur de ρ22 et le calcul de la cohérence ne sert que de manière intermédiaire. Il n’est pas possible de coupler cette approche directement avec la formulation quantique du vecteur polarisation dans le cas scalaire, car le couplage se fait via les cohérences. Cependant, dans le cas vectoriel, on peut imaginer effectuer le couplage grˆ ace à l’équation ∂t P = −iNa

E · Tr(p[p, ρ]) .

Le calcul de la polarisation a` partir de la matrice densité n’a de toutes fa¸cons un intérêt que dans le cas o` u on veut calculer l’effet du milieu sur l’onde. Ceci sort du cadre de la dérivation heuristique que nous avons présentée dans la mesure o` u on a supposé le champ connu. Une dérivation asymptotique rigoureuse dans ce cas général est actuellement l’objet de travaux en cours.

5.2 Analogie avec les ´ equations d’Einstein L’analogie avec les équations phénoménologiques d’Einstein est flagrante [18, 23, 25]. On se donne une intensité d’onde I et trois coefficients A21 , B21 et B12 qui sont respectivement des taux d’émission spontanée, d’émission stimulée et d’absorption. Les équations d’Einstein s’écrivent alors ∂t ρ11 = B21 Iρ22 + A21 ρ22 − B12 Iρ11 ,

∂t ρ22 = −∂t ρ11 = −B21 Iρ22 − A21 ρ22 + B12 Iρ11 . Ces équations sont valables a priori dans toutes les circonstances. Si on se restreint au cas de faible inversion et de faible intensité et que l’on supprime

56


le terme d’émission stimulée qui se trouve être d’ordre supérieur, on obtient l’équation ∂t ρ22 = −A21 ρ22 + B12 Iρ11 qui doit être comparée avec (2)

(2)

∂t ρ22 = −γρ22 + 2|v|2

γ′ , (ω12 + ω)2 + γ ′ 2 2

sachant que ρ11 = 1. On identifie alors A21 = γ et B12 = 2γ ′ /((ω12 +ω)2 +γ ′ ).

5.3 D´ erivation rigoureuse des ´ equations de taux La dérivation rigoureuse des équations de taux est effectuée dans [1]. On suppose comme pour la dérivation heuristique que l’intensité de l’onde est d’ordre ε. Par ailleurs, on cherche une équation valable, après changement d’échelle, sur des temps de l’ordre de l’inverse des relaxations longitudinales. La technique employée ne dépend pas du modèle de relaxation longitudinale utilisé. On écrit donc les équations sous la forme ε2 ∂t ρjk = −(iωjk + γjk )ρjk + iε[V (t/ε2 ), ρ]jk + ε2 Q(ρ)jk . Dans la suite, on note ρd un vecteur uniquement constitué des populations. On montre alors qu’` a la limite ε → 0, les populations vérifient une équation linéaire de Boltzmann de la forme ∂t ρd j = Ψjk (ρd k − ρd j ) + Q(ρd )j . k

Les coefficients Ψjk qui dépendent du champ et des autres coefficients de l’équation sont symétriques. Pour obtenir ce résultat, il faut se placer dans le cadre o` u les relaxations transverses sont uniformément minorées : ′ inf γjk =: γmin >0.

j =k

Dans le cadre de [1] qui étend le modèle de Bloch à nombre infini de niveaux, cette condition est plus forte qu’une simple condition de non annulation des relaxations transverses. Différents cas sont envisagés pour l’onde. Celui qui permet d’assurer le meilleur taux de convergence (à savoir O(ε)) est celui o` u le champ est périodique ou quasi-périodique. En revanche, si l’onde est seulement presque périodique, on ne peut pas obtenir un meilleur taux de convergence que o(1). Dans le cas o` u le spectre est continu, l’équation de taux obtenue est triviale (∂t ρd = 0). Cependant, si le spectre est seulement légèrement étalé autour d’une fréquence ω, on retrouve les résultats du cas presque périodique. Dans le cas o` u les relaxations transverses sont plus petites, à savoir d’ordre ες avec 0 < ς < 1/2, on obtient une convergence en O(ες ) vers la solution d’une équation de taux.

´ 5.4 Etats d’équilibre des équations de taux

57

Nous ne détaillons pas ici les preuves qui sont assez longues. On commence tout d’abord par se ramener a` une équation fermée qui ne fait intervenir que les populations. Ceci est une technique classique lorsque l’on veut dériver des équations de Boltzmann dans d’autres cadres applicatifs (cf. [5, 4, 6, 7] par exemple). On simplifie alors l’équation obtenue en utilisant des arguments de moyennisation pour les équations différentielles ordinaires et en spécifiant des formes particulières pour le champ. Dans le cas particulier d’un champ monochromatique E = E0 cos(ωt) (et avec ς = 0), on peut obtenir le même résultat en utilisant des asymptotiques a deux échelles de temps. On suppose pour cela que la matrice densité dépend ` du temps rapide t et du temps lent ε2 t. Le résultat obtenu est alors une équation de taux en temps lent, de coefficients 1 1 1 2 Ψjk = |Vjk | γjk + Wjk . 2 + (ω − ω )2 + γ 2 + (ω + ω )2 2 γjk jk jk jk Comparons a` nouveau avec le résultat obtenu de manière heuristique : (2)

(2)

∂t ρ22 = −γρ22 + 2|v|2

γ′ . (ω12 + ω)2 + γ ′ 2

Il n’y pas pas lieu de comparer la partie liée aux relaxations longitudinales puisque les deux modèles choisis ne sont pas les mêmes. Pour la partie d’interaction, on ne considère qu’une seule fréquence ω dans le cas heuristique et deux (±ω) dans l’analyse asymptotique. Le facteur 2 qui différencie l’exponentielle du cosinus fournit l’explication du facteur 4 final. Il y a donc adéquation entre les résultats obtenus par les deux méthodes dans le cas monochromatique. Seule la méthode de [1] fournit cependant des estimations des restes.

´ 5.4 Etats d’´ equilibre des ´ equations de taux Le comportement en temps long des équations de taux est la convergence vers un état d’équilibre. Nous allons maintenant montrer que, a` donnée initiale fixée, cet état d’équilibre est toujours unique. 5.4.1 Hypoth` eses et notations Dans ce qui suit, nous nous intéressons au cas général, o` u l’équation de taux est donnée par ∂t ρd j = Ψjk ρd k − Ψkj ρd j , (5.1) k=j

k=j

o` u Ψjk ≥ 0 pour tout j, k. En notant

Ψjj = −

k=j

Ψkj ,

(5.2)

58


l’équation (5.1) s’écrit matriciellement ∂t ρd = Ψ ρd . L’équation maˆıtresse de Pauli est de cette forme ainsi que l’équation de taux obtenue par la méthode asymptotique. Dans les cas physiques que nous avons considérés, nous avons à la fois une contribution de type équation maˆıtresse de Pauli et une contribution due a` l’interaction avec le champ. Les coefficients Ψjk en résultant sont a` nouveau positifs, mais on pourrait imaginer qu’il existe des colonnes identiquement nulles. Les relations thermodynamiques pour la première contribution et de symétrie pour la deuxième, impliquent alors que les lignes correspondantes sont également nulles. Ici, nous ne supposons pas de relation particulière outre le fait que Ψjk = 0 si et seulement si Ψkj = 0. (Ceci exclut le modèle en cascade, mais pour ce modèle, l’état d’équilibre est bien évidemment l’état fondamental.) La définition (5.2) implique le fait que la somme selon les colonnes des coefficients de la matrice Ψ est nulle, propriété que nous exploitons dans la suite. 5.4.2 Cas de la relaxation de Pauli seule Dans le cas o` u l’équation de taux ne contient que des termes provenant de l’équation maˆıtresse de Pauli : Wjk ρd k − Wkj ρd j ∂t ρd j = k=j

k=j

avec Wjk = Wkj eβ(Ek −Ej ) . Nous avons déjà vu au paragraphe 2.1.6 que e−βEj ρd j = −βE k ke

est un état d’équilibre, qui est l’état d’équilibre thermodynamique. 5.4.3 Dimension du noyau de Ψ Le fait que la somme des coefficients selon les colonnes soit nulle permet d’assurer que 0 est toujours valeur propre de la matrice Ψ . Cela permet également de donner le vecteur (1 . . . 1) comme vecteur propre à gauche. Dans le cas le plus général, cette direction propre n’est pas toujours unique. Définissons un cadre dans lequel on peut assurer l’unicité. Pour cela, on décompose RN en sous-espaces stables par Ψ . Au sein de ces sous-espaces, tous les niveaux sont en interaction, directe ou non, via Ψ . Dans chacun de ces sous-espaces, 0 est a nouveau valeur propre. ` Soit X un vecteur propre a` gauche associé à la valeur propre 0 dans l’un de ces sous-espaces, défini par les numéros des lignes k ∈ IL . Il vérifie pour tout k ∈ IL


0=

Xj Ψjk =

j =k,j∈IL

j∈IL

Xj Ψjk −

59

Xk Ψjk ,

j =k,j∈IL

ce qui peut se réécrire Xk =

j =k,j∈IL

Xj Ψjk

j =k,j∈IL

Ψjk

,

et j =k,j∈IL Ψjk = 0, sauf si le sous-espace est de dimension 1. Les coefficients Ψjk sont positifs. Une telle équation assure donc que Xk est barycentre sur la droite réelle des Xj avec des poids tous positifs. La valeur Xk appartient ainsi a l’enveloppe des autres Xj . Comme ceci est valable pour tout k, les Xk sont ` tous nécessairement égaux et on retrouve un vecteur proportionnel au vecteur propre a` gauche (1 . . . 1) déj` a annoncé. Le noyau restreint a` chaque sous-espace est donc de dimension 1, ce qui nous amène à énoncer le premier lemme. Lemme 5.1. La valeur propre 0 a pour multiplicité le nombre de sous-espaces propres de taille minimale stables par Ψ .

5.4.4 Calcul de l’´ etat d’´ equilibre Conservation de la trace Avec la même preuve que pour l’équation maˆıtresse de Pauli, on montre que l’équation (5.1) conserve la trace, c’est-à-dire ici la somme des coordonnées du vecteur X. Notons par abus de langage Tr(X) cette trace. Les états d’équilibre correspondent a` ∂Xj /∂t = 0 pour tout j. La variable X est alors vecteur propre a` droite associé à la valeur propre 0 de la matrice Ψ . On utilise a` nouveau la décomposition par blocs définie pour calculer la dimension du noyau de Ψ . Dans chaque sous-espace stable, l’opérateur Ψ a un noyau de dimension un. Dans chacun de ces sous-espaces, la trace est constante. On peut néanmoins distinguer deux cas. Les sous-espaces de dimension 1 correspondent a` des niveaux qui n’interagissent avec aucun autre niveau. La ligne (et la colonne) correspondante est alors identiquement nulle et l’état d’équilibre final conserve les valeurs de la donnée initiale des coordonnées correspondant aux lignes nulles de Ψ . Les autres sous-espaces stables, de dimension supérieure a` 1, ont une dynamique plus complexe que nous traitons dans le paragraphe suivant. Cas des sous-espaces stables minimaux On se restreint maintenant au sous-espace stable minimal de Ψ défini par l’ensemble IL de ses indices.

60


Lemme 5.2. (i) Soit Y une ligne de la matrice des cofacteurs de Ψ , alors la quantité Y /Tr(Y ) ne dépend pas du choix de la ligne Y . (ii) Un état d’équilibre de l’équation (5.1) est donné par ρed =

Tr(X) Y . Tr(Y )

Preuve. On cherche X tel que pour tout j ∈ IL Ψjk Xk = 0 .

(5.3)

k∈IL

On définit Ψ˜jk ∈ M(#IL −1)(#IL −1) (R), le mineur de la matrice Ψ associé à l’élément Ψjk . Développons la formule pour le déterminant de Ψ par rapport a la jème ligne : ` 0 = det Ψ = Ψjk (−1)k+1 det Ψ˜jk . (5.4) k∈IL

On aimerait faire un parallèle entre les équations (5.3) et (5.4). Pour cela comparons det(Ψ˜jk ) et det(Ψ˜lk ). Pour les deux calculs, la kème colonne n’est pas prise en compte. Comme la somme des colonnes de Ψ est nulle, on peut remplacer la lème ligne par l’opposé de la somme des autres lignes. Par linéarité du déterminant, on obtient une somme de déterminants nuls du fait que deux de leurs lignes sont identiques, sauf un qui correspond a` la jème ligne qui n’intervient pas dans le calcul de det(Ψ˜jk ). On a alors plus précisément det(Ψ˜jk ) = (−1)j+l+1 det(Ψ˜lk ). Ainsi les vecteurs Y j , dont les coordonnées Ykj valent Ykj = (−1)j+k det(Ψ˜jk ) , sont tous colinéaires. On peut donc prendre une quelconque ligne de la matrice des cofacteurs comme vecteur propre de Ψ associé à la valeur propre 0. Par ailleurs, il faut conserver la trace. L’état d’équilibre est donc ρed = Tr(X)Y , o` u Y = Y j /Tr(Y j ) ne dépend plus de la ligne j.

⊓ ⊔

Cas g´ en´ eral Comme nous l’avons déjà vu une partie de l’état d’équilibre ne dépend que de la donnée initiale. Ce sont les coordonnées correspondant aux lignes nulles de Ψ . Les autres coordonnées sont données, dans chaque sous-espace stable minimal, par les lignes (normalisées par la somme des coordonnées initiales correspondantes) de la matrice des cofacteurs de la sous-matrice non nulle de Ψ . En particulier, on remarque que même si la valeur propre 0 n’est pas simple, l’état d’équilibre est unique.


61

Lemme 5.3. L’état d’équilibre du problème de Cauchy associé a ` l’équation de taux (5.1) est unique.

Cas particulier sym´ etrique Le cas symétrique obtenu par asymptotique via l’interaction avec une onde n’exclut pas le cas des lignes (et colonnes) nulles et donc ne change rien à la possibilité de coordonnées égales à leur valeur initiale. En revanche, il n’est pas nécessaire de faire appel à la matrice des cofacteurs pour calculer les autres coordonnées, puisque le même argument d’équirépartition que pour les vecteurs propres a` gauche s’applique. Au sein de chaque bloc, on répartit donc la trace restante sur les niveaux qui restent a` déterminer. Illustrons ceci par un exemple en dimension 3. Soit la matrice Ψ de la forme ⎞ ⎛ −1 1 0 Ψ = ⎝ 1 −1 0 ⎠ . 0 0 0

Ceci décrit deux premiers niveaux qui interagissent et un troisième niveau qui n’interagit pas avec les deux premiers. Si on prend par exemple la donnée initiale ρd (t = 0) = t (0.8 0 0.2), l’état d’équilibre est alors ρed = t (0.4 0.4 0.2). 5.4.5 D´ efinition d’une temp´ erature

Le modèle de l’équation maˆıtresse de Pauli est déterminé d’une part par la donnée de N (N − 1)/2 coefficients indépendants (sous-matrice triangulaire supérieure ou inférieure de W ) et d’une température T (on suppose les fréquences propres du système données). Or l’état d’équilibre dépend uniquement de la température. Par ailleurs, dans le cas o` u on a un seul bloc, le modèle symétrique issu de l’interaction avec une onde correspond a` un état d’équilibre équiréparti entre les différents niveaux. Le modèle symétrique est donc un modèle à température infinie. En revanche, nous ignorons si on peut également associer une température a un modèle somme du modèle de l’équation maˆıtresse de Pauli et d’un modèle ` symétrique et obtenir ainsi une description thermodynamique de l’équation de taux (5.1). 5.4.6 N´ egativit´ e de l’op´ erateur de taux Pour qu’une solution de l’équation de taux tende vers son état d’équilibre, il faut que les valeurs propres non nulles soient négatives. Ce résultat découle du théorème de Gerschgorin–Hadamard, que, pour les besoins de la cause, nous énon¸cons ici pour des vecteurs propres à gauche.

62


Lemme 5.4. Soit λM une valeur propre de la matrice M et X M un vecteur propre a ` gauche associé. Soit j la plus grande coordonnée en module du vecteur ` savoir X M, a |XjM | = max{|XkM | / 1 ≤ k ≤ N } . Alors

|λM − Mjj | ≤

k=j

|Mkj | .

On applique ce théorème à la matrice de l’opérateur de taux, a` savoir Mjk = Ψjk , si j = k et Mjj = − k=j Ψkj . En rappelant que Ψjk ≥ 0, on déduit du théorème de Gerschgorin–Hadamard que Mkj = − Ψkj + Ψkj = 0 . λM ≤ Mjj + k=j

k=j

k=j

Les valeurs propres d’un opérateur de taux sont bien négatives et il y a donc bien “relaxation”.

6 Expressions classiques de la polarisation

6.1 Mod` eles lin´ eaires La relation constitutive du matériau s’écrit dans le cas linéaire sous la forme ∞ D(t, x) = ε0 ε∞ E(t, x) + ε0 E(τ, x)χ(1) (t − τ ) dτ (6.1) −∞

o` u χ(1) est la susceptibilité linéaire relative électrique. La quantité P(t, x) = D(t, x) − ε0 ε∞ E(t, x) est alors la polarisation linéaire. Nous nous intéressons ici plus particulièrement ` deux modèles de matériaux, qui sont les plus couramment utilisés : les a matériaux de Debye pour lesquels la polarisation est régie par une équation de retard et les matériaux de Lorentz pour lesquels la polarisation est un oscillateur harmonique. Ces modèles peuvent être exprimés de plusieurs fa¸cons équivalentes : – par la donnée de la susceptibilité χ(1) (t), – par la donnée de la permittivité relative εr (ω). – par une équation différentielle en temps régissant la polarisation ou le déplacement électrique. La permittivité relative se définit comme suit dans le domaine fréquentiel. On suppose que le champ E(t, x) est monochromatique de fréquence ω. Il s’écrit u k est appelé vecteur d’onde. Alors donc E(t, x) = E0 exp(i(ωt − k · x)), o` D(t, x) est donné par D(t, x) = ε0 εr (ω)E(t, x) . Pour que l’onde se propage dans le milieu, il doit y avoir, comme pour tous les modèles linéaires, un lien entre ω et k, appelé relation de dispersion. Celle-ci est de la forme εr (ω)ω 2 = c2 k · k.

64


6.1.1 Mod` ele de Debye Alors que la présence du champ électromagnétique a tendance a` aligner toutes les molécules d’un milieu pour rendre leur moment dipolaire parallèle au champ électrique, l’agitation thermique tend a` redistribuer de manière aléatoire ces molécules. La fréquence typique associée à ce phénomène s’échelonne suivant les matériaux entre un kilohertz et quelques gigahertz (cf. appendice B). Dans ce modèle, dit modèle de Debye, la susceptibilité est donnée par χ(1) (t) =

εs − ε∞ −t/tr h(t) , e tr

o` u εs est la permittivité relative statique (c’est-à-dire a` fréquence nulle), tr le temps de relaxation et h(t) est la fonction marche unité (aussi appelée fonction de Heaviside). On en déduit l’expression de la permittivité relative εr (ω) εr (ω) = ε∞ +

εs − ε∞ . 1 + iωtr

(6.2)

Si on veut maintenant écrire une équation pour la polarisation, ce modèle de matériau se traduit par une équation de retard tr ∂t P + P = ε0 (εs − ε∞ )E .

(6.3)

Certaines méthodes numériques utilisent une discrétisation de D au lieu de P. L’équation équivalente a` (6.3) est alors t r ∂ t D + D = t r ε 0 ε∞ ∂ t E + ε0 ε s E . 6.1.2 Mod` ele de Lorentz La compétition entre l’effet du champ électrique local qui tend a` décentrer le noyau de la sphère chargée et l’attraction coulombienne donne lieu a` l’apparition d’une polarisation sur des échelles de temps très rapides qui peuvent 10 Re(k) Im(k)

8 6 4 2 0 −2 −4

9

10

11

12 log(ω)

13

14

15

Fig. 6.1. Nombre d’onde en fonction de la fréquence pour un modèle de Debye. On a choisit les paramètres de l’eau : ε∞ = 1, 8, εs = 81 et tr = 9, 4 10−12 s

6.1 Modèles linéaires

65

entrer en résonnance avec les fréquences propres des atomes. Cet effet donne lieu au modèle de Lorentz, pour lequel la susceptibilité est donnée par ω12 (εs − ε∞ ) −ν1 t/2 (1) 2 2 χ (t) = 2 ω1 − ν1 /4t h(t) , sin e ω1 − ν12 /4

o` u ω1 est la fréquence de résonnance et ν1 le coefficient d’amortissement. La relation de dispersion fait maintenant intervenir une permittivité relative de la forme ω 2 (εs − ε∞ ) . (6.4) εr (ω) = ε∞ + 2 1 ω1 + iων1 − ω 2 L’équation pour la polarisation est celle d’un oscillateur harmonique ∂t2 P + ν1 ∂t P + ω12 P = ε0 (εs − ε∞ )ω12 E .

(6.5)

Comme pour le modèle de Debye, on peut écrire une équation qui relie E et D : ∂t2 D + ν1 ∂t D + ω12 D = ε0 ε∞ ∂t2 E + ε0 ε∞ ν1 ∂t E + ε0 εs ω12 E . Le matériau peut bien entendu présenter plusieurs fréquences de résonnance : ω1 , . . .ωnf . A chacune de ces fréquences ωp , on associe également un taux d’amortissement νp et la susceptibilité s’écrit εr (ω) = ε∞ +

nf ωp2 (εs − ε∞ ) . ω 2 + iωνp − ω 2 p=1 p

La polarisation linéaire se décompose alors en plusieurs contributions P1 , . . ., Pnf , nf Pp P= p=1

6 Re(k) Im(k)

4 2 0 −2 −4 −6

9

10

11

12 log(ω)

13

14

15

Fig. 6.2. Nombre d’onde pour un modèle de Lorentz. On a choisit les paramètres : ε∞ = 1, 5, εs = 3, ω1 = 10π 1010 rad s−1 et ν1 = 1010 rad s−1

66


qui sont solution des équations ∂t2 Pp + νp ∂t Pp + ωp2 Pp = ε0 (εs − ε∞ )ωp2 E .

6.1.3 Optique lin´ eaire instantan´ ee L’optique linéaire instantanée correspond à la convolution avec une masse de Dirac χ(1) (t) = χδ ˜ t=0 . On obtient alors D(t, x) = ε0 ε∞ E(t, x) + ε0 χE(t, ˜ x) . On fait un changement de variables pour définir une susceptibilité linéaire χ(1) qui contient toutes les déviations par rapport au cas du vide et D(t, x) = ε0 (1 + χ(1) )E(t, x) . Cette nouvelle variable permet de définir simplement l’indice de réfraction linéaire du milieu n0 = 1 + χ(1) et le champ électrique est alors régi par l’équation des ondes : c2 ∂t2 E − 2 ∆E = 0 . n0 Cette forme est largement suffisante pour de nombreuses applications o` u la lumière n’est pas intense et o` u il n’y a pas de résonnances avec le milieu.

6.2 Mod` eles non lin´ eaires De la même manière que dans le cas linéaire, on peut écrire une formulation non linéaire de la polarisation basée sur des convolutions : t 1 (1) χjk (t − τ )Ek (τ )dτ Pj (t) = ε0 −∞ t t (2) + χjkl (t − τ1 , t − τ2 )Ek (τ1 )El (τ2 )dτ1 dτ2 −∞ −∞

+

t t t

−∞ −∞ −∞

(3)

χjklm (t − τ1 , t − τ2 , t − τ3 )Ek (τ1 )El (τ2 )Em (τ3 )dτ1 dτ2 dτ3

+ ... Les susceptibilités à chaque ordre peuvent être de chacun des types précédents. Par exemple, R.W. Ziolkowski [27] présente un modèle o` u P = PL + PNL . La L polarisation linéaire P est régie par un modèle de Lorentz et la polarisation

6.3 Autres développements

67

non linéaire PNL est la somme d’un effet Raman (que nous avons décrit au NL chapitre 1 et d’un effet Kerr instantané à savoir PNL = PNL Raman +PKerr . La non linéarité Raman se traduit par une équation du type oscillateur anharmonique pour une fraction de la susceptibilité non linéaire ∂t2 χNL + Γr ∂t χNL + ωr2 χNL = εr ωr2 |E|2 , NL o` u Γr est un taux de relaxation relatif a` l’effet Raman et PNL E. Raman = ε0 χ La non linéarité Kerr instantanée est donnée par Kerr PNL |E|2 E . Kerr = ε0 χ

Cette formulation suppose que l’on connaˆıt la valeur de la fréquence Raman. C’est le problème de tous les modèles classiques, qui supposent pour les écrire que l’on connaisse a priori les fréquences en sortie de dispositif. Gilles et al. [13, 14] proposent un modèle similaire. On peut imaginer tous autres types de configuration en fonction des conditions d’expérience, la dérivation rigoureuse de ces équations a` partir le système de Maxwell-Bloch en identifiant clairement les hypothèses sur les paramètres étant un champ d’études largement vierge. Le milieu de type Kerr le plus classique est celui o` u il n’y a qu’une non u n2 est l’indice de linéarité Kerr instantanée et o` u PNL = ε0 n2 |E|2 E, o` réfraction non linéaire. C’est ce contexte, associé à une formulation d’enveloppe pour l’onde, qui aboutit a` l’équation de Schr¨ odinger non linéaire cubique.

6.3 Autres d´ eveloppements Les développements classiques présentés ci-dessus et amplement décrits dans toute la littérature physique (voir par exemple [2, 3, 18, 24, 26]) sont basés sur des développements limités de la polarisation en le champ électrique E. La courbe 6.3 présente la population ρ11 et la valeur absolue renormalisée du champ électrique (dans le cas test de la transparence auto-induite mais ce phénomène a lieu dans tous les cas test). Le modèle utilisé est celui de Maxwell–Bloch. On voit que l’évolution de la population comporte des plateaux. Il n’est peut-être pas fondamental d’élaborer un modèle simplifié qui en rende compte mais on remarque que ces plateaux ont lieu aux points d’annulation des dérivées temporelles de E. On peut donc imaginer écrire des expressions de la polarisation P qui font intervenir les dérivées spatiales et temporelles de E (voire de B). Dans [28], on donne un contexte d’une telle dépendance en la dérivée temporelle de E. Par ailleurs, en reprenant les calculs du paragraphe 2.3.3 (modèle unidimensionnel a` deux niveaux), on voit qu’aux temps o` u E s’annule, ∂t E atteint un extrémum local et les équations pour P et N s’écrivent

68

6 Expressions classiques de la polarisation 1 champ population

0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0

1,1

1,2

1,3

1,4

1,5

1,6

1,7

1,8

temps

1,9

2

2,1 −13

x 10

Fig. 6.3. Détails de l’évolution temporelle des populations dans une expérience de transparence auto-induite

i∂t Ep12 N , 2ip12 ∂t2 N = ∂t E(P − P ∗ ) .

2 ∂t2 P + ω12 P=

Le milieu est alors fortement influencé par la dérivée temporelle du champ. Par contre, la polarisation (qui vaut P = 2 Re(P)) n’en dépend pas.

7 ´ Equations d’enveloppe

Au vu des résultats numériques du chapitre 4, on remarque que, même à l’échelle de temps courte utilisée pour les simulations (quelques femtosecondes), il existe plusieurs échelles de phénomènes : celle correspondant à la fréquence des ondes et celle correspondant à l’enveloppe. Le cas test de la transparence auto-induite a été présenté sous cette forme, l’enveloppe étant donnée par E0 / ch((t − z/v)/τp ) et la fréquence rapide par ω0 . Pour certains phénomènes ne faisant principalement intervenir qu’un nombre fini de fréquences, on peut développer des modèles d’équations d’enveloppe, aussi appelées équations d’amplitude. Nous présentons ici deux approches. La première est une approche heuristique utilisée par les physiciens qui permet d’aborder le problème sans toutefois garantir la qualité de l’approximation. La deuxième approche fait appel a` l’optique géométrique et permet de contrˆ oler l’erreur commise au prix d’une théorie relativement ardue que nous ne ferons qu’évoquer. Il s’agit ici plutˆ ot de donner des outils utilisés dans des contextes proches, que de traiter du problème général pour les équations de Maxwell–Bloch, ce problème restant très largement à défricher et étant l’objet de travaux en cours.

7.1 Approche heuristique 7.1.1 Suppression du d´ eplacement magn´ etique Le calcul du déplacement magnétique B n’intervient dans le modèle ci-dessus que comme intermédiaire. Il ne joue en particulier aucun rˆ ole dans le couplage avec le milieu car nous nous pla¸cons dans le cadre de l’approximation dipolaire. C’est pourquoi nous allons écrire une équation qui ne porte que sur la partie électrique (champ et polarisation). Pour ce faire, on dérive formellement en temps l’équation d’Ampère

70

´ 7 Equations d’enveloppe

ε0 ε∞ ∂t2 E =

1 rot ∂t B − ∂t2 P , µ0

et on tient compte de l’équation de Faraday ε0 ε∞ ∂t2 E = −

1 rot rot E − ∂t2 P . µ0

En utilisant la célèbre relation rot rot = ∇ div −∆ et la relation constitutive E = (D − P)/ε0 ε∞ , on obtient l’équation des ondes ∆E −

1 1 ε∞ 2 ∇ div P . ∂ E= ∂2P − c2 t ε0 c2 t ε0 ε∞

(7.1)

7.1.2 Approximation paraxiale On se place ensuite dans le cadre dit de l’approximation paraxiale, qui suppose une forme particulière des solutions. Celles-ci sont décrites comme une perturbation d’une onde plane de fréquence ω et de vecteur d’onde k = kz uz , polarisée dans la direction du vecteur unitaire u (qui ne peut pas avoir de composante selon la direction de propagation z : u · uz = 0). La perturbation est donnée par une enveloppe A qui dépend de toutes les variables de l’espace-temps : le vecteur position x et le temps t. E = A(t, x) exp(i(kz z − ωt)) u + c.c. On fait l’hypothèse que la polarisation a les mêmes caractéristiques de polarisation que le champ électrique et on note Π son enveloppe : P = Π(t, x) exp(i(kz z − ωt)) u + c.c. Le calcul de ∇ div P montre que ce terme couple les différentes polarisations et dans ce cadre l’hypothèse de même polarisation pour P et E n’est pas vraiment viable. Ce genre de développement pour le système de Maxwell–Bloch n’existe pas dans la littérature mais mériterait d’être étudié. Nous nous pla¸cons donc pour la suite dans le cadre classique o` u la polarisation est proportionnelle a` E auquel cas ∇ div P = 0. Alors l’équation des ondes (7.1) se réécrit ε∞ 2 ∂t A − 2iω∂t A − ω 2 A 2 c 1 2 ∂t Π − 2iω∂t Π − ω 2 Π . = 2 ε0 c

∆A + 2ikz ∂z A − kz2 A −

7.1.3 Suppression de l’´ echelle rapide Cette dernière formulation n’apporte rien par rapport a` la formulation initiale. Elle serait même plus difficile à discrétiser numériquement car du second ordre. Cependant l’Ansatz effectué sur les solutions a pour but de pouvoir séparer

7.1 Approche heuristique

71

l’évolution rapide (l’onde plane) de l’évolution lente (l’enveloppe). Ceci se traduit mathématiquement par les hypothèses de l’approximation de l’enveloppe lentement variable : ∂t2 A ≪ ω∂t A ≪ ω 2 A et ∂z2 A ≪ kz ∂z A ≪ kz2 A . De plus, si l’onde plane se propage dans le milieu, c’est que la relation de dispersion ε∞ kz2 = 2 ω 2 c est vérifiée. Ces simplifications mènent a` une équation de type Schr¨ odinger i ikz 1 ∂t A − ∆⊥ A = Π, ∂z A + √ ε∞ c 2kz 2ε0 ε∞ o` u ∆⊥ désigne le laplacien selon les variables transverses x et y. L’échelle de variation en temps de cette équation est maintenant celle de l’enveloppe. On peut donc espérer utiliser ce modèle pour des simulations sur de plus grandes distances de propagation. √ On peut effectuer le changement de variable z ′ = z et t′ = t − z/ ε∞ c pour obtenir i ikz ∂z′ A − ∆⊥ A = Π. 2kz 2ε0 ε∞ Remarque 7.1. La variable d’évolution naturelle correspond a` un repère qui se déplace avec l’onde dans la direction longitudinale. Il faut faire attention lors de couplages avec des modèles pour le milieu qui sont en général statiques.

7.1.4 Transparence auto-induite En négligeant les effets transverses, l’équation de Schr¨ odinger non linéaire devient une équation de transport ∂z A + √

1 ikz ∂t A = Π. ε∞ c 2ε0 ε∞

On couple ceci avec les équations pour les milieux a` deux niveaux (2.15)–(2.16) dans lesquelles on néglige les effets de relaxation : ∂t Π = −i(ω12 − ω)Π + i ∂t N =

Ap212 N ,

2i ∗ (A Π − AΠ ∗ ) .

On se place à la fréquence de résonnance du système ω = ω12 . Comme on a de plus supprimé la dimension transverse, on voit sur ces équations qu’il n’y

72


a plus lieu de supposer que l’enveloppe est complexe. La polarisation est alors imaginaire pure et le nouveau système s’écrit ∂z A + √

1 ikz ∂t A = Π, ε∞ c 2ε0 ε∞ Ap212 N , 4i ∂t N = AΠ . ∂t Π = i

On peut vérifier aisément que ce système admet pour solution t − z/v , A(t, z) = A0 sech τp t − z/v t − z/v th , Π(t, z) = iΠ0 sech τp τp t − z/v N (t, z) = Na −1 + sech2 , τp avec les relations de compatibilité A0 =

Na , 2p12 τp

Π0 = Na2 p12

et

√ p212 ωτp2 Na c ε∞ =1+ . v 2ε0

L’onde qui se propage dans le milieu ne voit ainsi pas de modification de son enveloppe. De même, les variations subies par la matrice densité sont les mêmes en tout point du milieu modulo un décalage en temps.

7.2 Adimensionnement Il n’y a clairement pas unicité de l’adimensionnement. En fonction des applications visées, nous utilisons différents types de renormalisations qui donneront lieu a` des équations d’enveloppe ou des développements asymptotiques différents. Nous ne visons pas ici l’exhaustivité dans la mesure o` u ce domaine est en pleine expansion et o` u chaque nouvelle application émergente demande de reconsidérer ce point. 7.2.1 Cas de l’interaction forte Les illustrations numériques du modèle de Maxwell–Bloch que nous avons présentées se placent toutes dans le cadre de l’interaction forte. En effet, le milieu est toujours fortement affecté par l’onde (inversions de population importantes voire totales) et l’onde est toujours modifiée par l’apparition de nouvelles fréquences. Le cas de la transparence auto-induite est à cet égard un

7.2 Adimensionnement

73

peu particulier mais l’interaction est également forte car la non transformation de l’onde résulte d’échanges d’énergie importants avec le milieu. Pour obtenir des effets aussi marqués, il faut en général avoir un laser très intense de fréquence en rapport avec une fréquence propre du matériau. Par très intense, on entend le fait que la fréquence de Rabi, ωRabi = Ec pc /, est de l’ordre de grandeur des fréquences du milieu et/ou de l’onde. Dans cette expression, comme dans les estimations de stabilité, Ec et pc sont des valeurs caractéristiques du champ électrique E et du moment dipolaire p. Dans ce contexte, on choisirait ωc = ωRabi pour les estimations a priori des paragraphes 3.4 et 10.4.2, ce qui induit quelques simplifications, que nous n’explicitons pas. Ce choix permet de rendre sans dimension (et approximativement du même ordre) tous les temps et toutes les fréquences. L’espace est rendu sans dimension en tenant compte de la vitesse de la lumière dans le matériau c∞ . Le déplacement magnétique caractéristique vaut Bc = Ec /c∞ et la polarisation caractéristique vaut Pc = ε0 ε∞ Ec . On ne modifie pas la matrice densité dans cette opération. En gardant les mêmes notations pour les variables sans dimension, nous obtenons, a` partir de l’équation (3.1), les équations sans dimension : ∂t E = rot B − ∂t P , ∂t B = − rot E , (7.2) P = ηTr(pρ) , ∂t ρjk = −iωjk ρjk + iE · [p, ρ]jk + Q(ρ)jk ,

le paramètre η = Na pc /ε0 ε∞ Ec étant dans nos cas tests de l’ordre de 10−4 . On remarque que tous les termes dans l’équation de Bloch sont du même ordre de grandeur : relaxation–nutation et interaction avec le champ sont en concurrence. Cependant, nous verrons qu’il peut y avoir différentes tailles de coefficients au sein de l’opérateur Q (qui a aussi été renormalisé puisqu’il a la dimension d’une fréquence) et que ceci a son importance dans le choix de la méthode de splitting pour des simulations sur des longs temps (cf. paragraphe 8.2, ’Raideur’). 7.2.2 Cas des champs faibles se propageant dans des milieux peu excit´ es.

Les articles d’optique géométrique traitent (` a l’heure actuelle) du cas o` u les champs sont faibles et les milieux peu excités. Un milieu peu excité est un milieu o` u l’état fondamental est majoritairement peuplé, on a donc ρ11 ∼ 1. Il reste ainsi peu de place pour les autres niveaux dont les populations vont être d’ordre O(ε2α ). En vertu de la rela√ tion |ρjk | ≤ ρjj ρkk , les cohérences sont alors d’ordre O(εα ). Une version plus précise de ce raisonnement est présentée par J.-L. Joly, G. Métivier et J. Rauch [16, 17] o` u sont prises en compte les possibles dégénérescences des niveaux. Dans ces références, on part d’équations déjà sans dimension

74


∂t E = rot B − ∂t P , ∂t B = − rot E , P = Tr(pρ) , ε∂t ρjk = −iωjk ρjk + iE · [p, ρ]jk ,

et sans termes de relaxation. Les deux premières équations sont obtenues en introduisant un temps caractéristique tc et une valeur caractéristique d’espace zc = c∞ tc . Par ailleurs, on garde les relations Bc = Ec /c∞ et Pc = ε0 ε∞ Ec utilisées dans la section précédente. L’équation de la polarisation implique que E c ε 0 ε ∞ = Na p c . Par ailleurs, l’équation de Bloch impose que tc ωc =

1 Ec p c et =1. ε ωc

La place du petit paramètre ε dans l’équation de Bloch implique que pour que l’onde et le milieu soient en résonnance, il faut que la longueur d’onde caractéristique soit d’ordre ε. Ce sera ce type de solutions oscillantes que nous étudierons aux paragraphes suivants. L’analyse asymptotique se réalise sous la forme hyperbolique symétrique. u le système C’est pourquoi on utilise la variable sans dimension J = ε∂t P, d’o` ε∂t E − ε rot B = −J , ε∂t B + ε rot E = 0 , ε∂t P = J , P = Tr(pρ) , ε∂t ρjk = −iωjk ρjk + iE · [p, ρ]jk . Dans ce contexte, c’est souvent le cas scalaire et d’un milieu à deux niveaux sans relaxations qui est considéré, à savoir les équations (2.17)–(2.18) qui s’adimensionnent en ε∂t P = −iω12 P + iEp12 N , ε∂t N = 2ip21 E(P − P ∗ ) . Les systèmes hyperboliques traitent de variables réelles. Il nous faut ainsi séparer la partie réelle et la partie imaginaire de P : ε∂t Re P = ω12 Im P , ε∂t Im P = −ω12 Re P + Ep12 N , ε∂t N = −4p21 E Im P . La formule pour la polarisation devient P = 2p12 Re P et donc J = ε∂t P = 2p12 ω12 Im P .

7.2 Adimensionnement

75

Pour simplifier les constantes, on note R = 2p12 Re P et I = 2p12 ω12 Im P. Enfin, comme on suppose que l’inversion est faible, on utilise l’état d’équilibre ˜ = N − N e , d’o` u le système N e pour définir l’écart à cet état d’équilibre εN final ε∂t E − ε rot B = −I , ε∂t B + ε rot E = 0 , ε∂t R = I , 2 ˜ , R + p12 ω12 EN e − p12 ω12 E N ε∂t I = −ω12 2 ˜ ε∂t N = − ω21 EI .

Ceci est un exemple des systèmes dispersifs considérés par P. Donnat et J. Rauch [12] (cf. paragraphe 7.3.1). 7.2.3 Cas proche de la r´ esonnance

Dans [9], T. Colin et B. Nkonga étudient un régime asymptotique particulier. Il s’agit d’écrire un modèle en vue de simulations numériques de séparation d’isotopes de l’uranium sur de longues distances. La fréquence ω de l’onde incidente est supposée accordée exactement avec la fréquence propre de l’uranium 235. Celui-ci est très minoritaire par rapport a` l’uranium 238 dont la fréquence de transition ω21 (le modèle est supposé à deux niveaux) est légèrement différente, d’o` u un désaccord ∆ = ω − ω21 . Le modèle choisi est bidimensionnel (fonction de la variable longitudinale z et d’une variable transverse x) et fait intervenir un champ scalaire E et un

(polarisation TM). Par ailleurs, un modèle à deux niveaux champ vectoriel B du type des équations (2.17)–(2.18) est choisi, dans lequel on néglige les termes de relaxation. Le modèle obtenu est alors →

+− rot E = 0 , ∂t B

= −µ0 c2∞ ∂t P , ∂t E − c2∞ rot B

P = Na p21 (P + P ∗ ) , iEp21 N , ∂t P = iω21 P + 2iEp21 ∂t N = (P − P ∗ ) .

˜, On fait de plus a` nouveau l’hypothèse de faible inversion, ainsi N = 1 − N ˜ o` u N est a priori petit. De même que précédemment, on choisit des grandeurs caractéristiques. Le temps caractéristique tc est celui de la durée de l’impulsion laser. On en déduit la longueur caractéristique zc dans la direction longitudinale, par la relation zc = c∞ tc . Cette longueur caractéristique est beaucoup plus grande que la longueur caractéristique xc dans le sens transverse et on notera le rapport ε1 = xc /zc . Dans cette asymptotique, la fréquence de Rabi, supposée connue a priori, joue a` nouveau un rˆ ole. Elle ne sert cette fois-ci pas à déterminer les

76


temps et fréquences caractéristiques mais le champ électrique caractéristique, ur Bc = Ec /c∞ . Il reste à via la relation Ec = ωRabi /p21 . On prend bien sˆ ˜c . Dans nos variables, la majodéterminer les tailles caractéristiques Pc et N ˜ . On choisit donc 2Pc2 = N ˜c . ration |ρ12 |2 ≤ ρ11 ρ22 se réécrit 2|P|2 ≤ N L’ordre de grandeur pour P est choisi pour respecter la propriété de presque résonnance. En effet, E est censé osciller à la fréquence ω et P à la fréquence ω21 . Pour que les deux enveloppes soient proportionnelles a` O(1) près en ε = 1/∆tc , il faut choisir Pc = ωRabi /δ (nous renvoyons a` [9] pour le détail du calcul). Nous avons déjà défini deux petits paramètres ε et ε1 , qui s’avèrent être tous les deux d’ordre 10−3 pour les applications, mais il ressort de cet adimensionnement un autre petit paramètre ν = 1/ωtc , qui est clairement beaucoup plus petit que ε et vaut 10−8 dans les applications. Deux autres paramètres α1 et α2 de taille 1 sont également définis. On obtient le système sans dimension 1 ∂x E = 0 , ε1 ∂t Bx − ∂z E = 0 , 1 ∂t E − (∂z Bx − ∂x Bz ) = −2iα2 (P − P ∗ ) , ε1 i i ˜, ∂t P = P − P + iα1 E N ν ε ˜ = i E(P − P ∗ ) . ∂t N ε ∂t Bz +

7.3 Asymptotiques rigoureuses Des asymptotiques rigoureuses peuvent être démontrées grâce à la méthode BKW (introduite par Brillouin, Kramers et Wentzel). La synthèse qui suit est largement inspirée de la thèse de D. Lannes [20]. Ce type de méthode a été utilisé pour la première fois pour des systèmes hyperboliques par P. Lax [22]. Les premières dérivations formelles sur les équations de Maxwell–Bloch se trouvent dans la thèse de Ph. Donnat [10] et le régime standard en optique géométrique pour ces équations est traité par Ph. Donnat et J. Rauch [12]. Malheureusement dans cette asymptotique tous les termes non linéaires sont en fait nuls et l’équation d’enveloppe obtenue est de ce fait linéaire. C’est ce que l’on appelle le phénomène de transparence. Pour obtenir des termes non linéaires, il faut considérer des solutions de plus grande amplitude. Ceci est réalisé par J.-L. Joly, G. Métivier et J. Rauch [16, 17]. Dans ce qui suit nous présentons le cadre général de l’optique géométrique et diffractive pour un modèle simplifié. Nous exposons ensuite les résultats spécifiques aux équations de Maxwell–Bloch et à des modèles classiques sans introduire les outils supplémentaires nécessaires.

7.3 Asymptotiques rigoureuses

77

7.3.1 Optiques g´ eom´ etrique et diffractive En regroupant toutes les variables dans un vecteur uε ∈ RdU comme nous l’avons fait pour étudier le problème de Cauchy, on considère un système hyperbolique dispersif semi-linéaire sous la forme d L0 Aµ ∂µ + uε = F (uε ) , (7.3) ∂t + ε µ=1 o` u les matrices Aµ sont symétriques réelles et l’opérateur L0 est réel antisymétrique. On cherche une solution approchée de uε sous la forme uε = εα U ε (εx, x, β · x/ε) ≡ εα U ε (X, x, θ) , o` u U ε est appelé profil. La variable x = (t, y) (resp. X = (T, Y)) désigne à la fois le temps t (resp. T ) et toutes les variables d’espace y (resp. Y). La variable θ permet de décrire les phénomènes oscillatoires, la variable x les phénomènes propagatifs et la variable X les phénomènes diffractifs. Dans notre technique heuristique, nous nous intéressions déjà aux deux plus grandes échelles. On s’intéresse typiquement a` des solutions sur des échelles de temps t d’ordre O(1) (auquel cas on parle d’optique géométrique et on peut ne pas tenir compte de X, d’ordre O(ε)) ou d’ordre O(1/ε) (optique diffractive). La taille typique des solutions recherchées est εα pour un α ≥ 0. C’est celle qui permet a priori d’avoir des non linéarités à l’échelle de temps considérée. 7.3.2 Pr´ esentation de la m´ ethode dans le cadre de l’optique de Descartes Pour présenter la méthode, nous allons supposer que le système est linéaire (F ≡ 0) et nous placer dans le cadre de l’optique géométrique. On écrit alors le système (7.3) Lε (∂x )uε = 0 , (7.4) avec la donnée initiale uε (t = 0, y) = u0 (y) exp(iη · y/ε) + c.c.

(7.5)

Une solution approchée de (7.4)–(7.5) est recherchée sous la forme uε (x) = [U0 (x) + εU1 (x)] exp(iβ · x/ε) + c.c. , avec β = (τ, η). Cette solution est approchée au sens o` u l’on veut que la quantité Lε (∂x )uε soit la plus petite possible. Quand elle l’est suffisamment, une méthode de point fixe – que nous ne présentons pas ici – permet de montrer l’existence d’une solution exacte uε de l’équation (7.4) sur un intervalle de

78


temps indépendant de ε, et proche de uε . On développe donc l’expression de uε en puissances de ε : Lε (∂x )uε =

o` u

1 [(iL(β)U0 )(x) exp(iβ · x/ε) + c.c.] ε + ε0 [(iL(β)U1 + L1 (∂x )U0 )(x) exp(iβ · x/ε) + c.c.] + ε [L1 (∂x )U1 (x) exp(iβ · x/ε) + c.c.] ,

(7.6)

L(β) = τ Id + µ Aµ η µ + L0 /i , L1 (∂x ) = ∂t + µ Aµ ∂µ .

Pour rendre petite l’expression (7.6), nous allons annuler les coefficients de 1/ε et ε0 . Ceci fournit deux équations : L(β)U0 = 0 , iL(β)U1 + L1 (∂x )U0 = 0 .

(7.7) (7.8)

Vari´ et´ e caract´ eristique Si la matrice L(β) est inversible, il est clair que l’unique solution de (7.7) est U0 = 0 et en conséquence, on déduit également de l’équation (7.8) que U1 = 0. La solution approchée obtenue est alors la solution nulle. Il est clair que ce cas n’est pas très intéressant, car il ne donne pas lieu a` une solution oscillante et n’est pas compatible avec la donnée initiale. On se place dans le cas opposé, et on appelle variété caractéristique associée à Lε , et on note CL , l’ensemble CL = {β ∈ R1+d / det L(β) = 0} . Lorsque β ∈ CL , l’espace ker L(β) n’est pas réduit a` {0}. On remarque de plus que, comme l’opérateur L(β) est symétrique, il est possible (et intéressant) de définir π(β), le projecteur orthogonal sur ker L(β). Par ailleurs, L(β) admet un inverse partiel défini sur l’image de L(β) par L(β)−1 L(β) = L(β)L(β)−1 = Id − π(β) , et noté abusivement L(β)−1 . Son noyau est ker L(β). Si pour deux vecteurs U 0 et U 1 de RdU on a l’équation L(β)U 0 = U 1 , ceci est équivalent aux deux conditions π(β)U 1 = 0 et (Id − π(β))U 0 = L(β)−1 U 1 . Ainsi les équations (7.7) et (7.8) se réécrivent π(β)U0 = U0 , π(β)L1 (∂x )U0 = 0 , (Id − π(β))U1 = iL(β)−1 L1 (∂x )U0 .

La première de ces trois équations s’appelle la condition de polarisation.


79

´ Equation de propagation Si on impose que la donnée initiale u0 soit polarisée de telle fa¸con que π(β)u0 = u0 , alors le terme principal U0 de la solution approchée est solution de l’équation π(β)L1 (∂x )π(β)U0 = 0 , U0 (t = 0, y) = u0 (y) .

Seule la partie (1 − π(β))U1 du correcteur, qui est polarisée dans les directions orthogonales, est alors déterminée par les équations obtenues. On suppose donc arbitrairement que π(β)U1 = 0 et on a U1 = (Id − π(β))U1 = iL(β)−1 L1 (∂x )U0 .

A l’échelle de l’optique géométrique, c’est-à-dire sur des temps de taille O(1), le reste Lε (∂x )uε est petit car en O(ε). L’équation obtenue pour U0 est une équation de propagation au sens de l’optique de Descartes. En effet, les hypothèses d’hyperbolicité effectuées sur le système de départ (7.4) nous permettent d’assurer que l’équation polynˆ omiale en τ qui définit la variété caractéristique CL peut être paramétrée par η ∈ Rd au moyen d’un nombre fini de fonctions τµ (η) a` valeurs réelles. On appelle points singuliers de la variété caractéristique CL , les points o` u les graphes de ces fonctions se coupent. Par opposition, on appelle point lisse, un point qui n’est pas singulier. Si β = (τ, η) est un point lisse de CL , a` savoir qu’il existe un unique µ tel que τ = τµ (η), alors π(β)L1 (∂x )π(β) = (∂t + v · ∂y )π(β) , o` u v est la vitesse de groupe v = −τµ′ (η). Le comportement asymptotique de uε est donc donné par uε (x) ∼ u0 (y − vt) exp(iβ · x/ε) , lorsque β est un point lisse de la variété caractéristique. 7.3.3 G´ en´ eralisations ` a d’autres ph´ enom` enes La méthode que nous avons présentée ci-dessus permet de modéliser d’autres phénomènes optiques à condition d’introduire d’autres dépendances ou des termes non linéaires. Nous donnons ci-dessous quelques exemples. Diffraction de Fresnel lin´ eaire Lorsque l’on prolonge la propagation selon les rayons sur des temps d’ordre supérieur a` O(1), typiquement O(1/ε), apparaissent des phénomènes de diffraction connus depuis Fresnel. On peut rendre compte de ceux-ci en introduisant une dépendance en X = εx qui aura des effets cumulatifs visibles sur des

80


temps en O(1/ε). Pour cela, on applique la même technique que précédemment en introduisant, outre le correcteur U1 , un correcteur d’ordre supérieur U2 . En plus de la condition de polarisation et de l’équation de propagation, on obtient π(β)L1 (∂X )π(β)U0 + iπ(β)L1 (∂x )L(β)−1 L1 (∂x )π(β)U0 = 0 . En un point lisse, cette équation est de type Schr¨ odinger. La variable de temps correspond au temps lent et les variables d’espace sont transverses à la vitesse de groupe. Ceci constitue une correction a` l’optique géométrique de Descartes. Optique g´ eom´ etrique non lin´ eaire Dès que l’on aborde le problème des non linéarités se pose la question de l’amplitude des solutions pour que les phénomènes non linéaires aient bien lieu a` l’échelle de temps considérée. Nous supposons ici que le temps est en O(1). Par ailleurs, on ne peut plus supposer que la phase des oscillations reste constante car il y a possibilité de génération d’harmoniques. C’est pourquoi on suppose que uε est sous la forme uε (x) = U(ε, x, β · x/ε) + c.c. o` u U(ε, x, θ) est périodique en θ. Ceci nécessite d’étendre la définition du proa des polynˆ omes trigonométriques jecteur π(β) et du pseudo-inverse L(β)−1 ` si la non linéarité F est polynˆ o miale et ` a des s´ e ries trigonom´ etriques sinon. Ainsi, pour un polynˆ ome p = q pq exp(iqθ), on définit Π(β)p =

π(qβ)pq exp(iqθ) ,

q

L(β)p =

L(qβ)pq exp(iqθ) ,

q

L(β)−1 p =

L(qβ)−1 pq exp(iqθ) .

q

Pour avoir des termes non linéaires à l’échelle de l’optique géométrique et dans le cas semi-linéaire, il faut prendre une amplitude en O(1) et on cherche donc U sous la forme U(ε, x, θ) = U0 (x, θ) + εU1 (x, θ). Les profils U0 et U1 sont alors des polynˆ omes (ou des séries) trigonométriques et on a l’équation de propagation non linéaire Π(β)L1 (∂x )Π(β)U0 + Π(β)F (U0 ) = 0 . Cette périodicité permet de définir les coefficients de Fourier de U0 et U1 . Notons U0q le qième coefficient de Fourier de U0 , a` savoir U0q (x) exp(iqθ) . U0 (x, θ) = q∈Z


81

Pour résoudre l’équation de polarisation, il faut alors supposer, qu’outre β un nombre fini de qβ appartiennent a` la variété caractéristique, c’est-à-dire que L(qβ) est inversible sauf pour un nombre fini de q ∈ Z. C’est ce nombre fini de fréquences qui apparaˆıt dans l’équation de polarisation. En effet, on aura U0q = 0

si L(qβ) est inversible, U0q = π(qβ)U0q

sinon.

Optique diffractive non lin´ eaire et redressement On peut également considérer le même problème du point de vue de l’optique diffractive, mais cette fois-ci on veut que la non linéarité apparaisse à l’ordre O(1/ε) en temps, c’est-à-dire dans l’équation de type Schr¨ odinger. Pour cela, si la non linéarité est d’ordre J, il faudra considérer des solutions d’amplitude ε1/(J−1) . Ce cadre a été étudié par P. Donnat, J.-L. Joly, G. Métivier et J. Rauch [11]. Un problème supplémentaire peut alors venir se greffer : parmi les phénomènes de génération d’harmonique se situe le redressement optique, c’est-àdire la génération d’un mode non oscillant [15]. En général 0 appartient a` la variété caractéristique et on appelle mode moyen, le mode U00 . Le phénomène de redressement optique provient de l’interaction entre ce mode moyen et des modes oscillants. Pour que cet effet soit visible, il faut que l’interaction ait lieu pendant relativement longtemps et donc que les ondes mises en jeu aient la même vitesse de groupe. Dans [20] et [17], on voit que ceci ne peut avoir lieu qu’en une seule dimension d’espace. Puis en considérant successivement les modèles décrits ci-dessus, on se rend compte que les non linéarités alors obtenues sont nulles. Il n’y a donc pas redressement mais ce que l’on appelle transparence, notion introduite dans [10]. Pour obtenir des termes non linéaires, il faut donc augmenter soit le temps d’observation soit l’amplitude des ondes. C’est ce qui est réalisé dans [21], o` u D. Lannes et J. Rauch prolongent des solutions d’optique géométrique sur des temps O(ln(1/ε)) intermédiaires entre ceux √ de l’optique géométrique et l’optique diffractive. Des amplitudes en O( ε) sont également étudiées par T. Colin et D. Lannes [8] et dans [17]. Cas dispersif La dernière situation que nous décrivons est celle des systèmes dispersifs. Ceux-ci incluent une dépendance de l’opérateur en la variable uε , Lε (uε , ∂x )uε + F (uε ) = 0 , en se limitant toutefois au cas quasi-linéaire Lε (·, ∂x ) =

d

1 Aµ (·)∂µ + L0 , ε µ=0

82


o` u Aµ est régulière et à valeurs dans l’espace des matrices hermitiennes réelles. Par ailleurs, A0 (U ) (associée à ∂0 = ∂t ) est supposée définie positive pour tout U ∈ RdU +1 et le système conservatif : L∗0 = −L0 . L’extension des concepts décrits précédemment au cas dispersif a été traitée par D. Lannes [19]. Nous en donnons des applications ci-dessous. 7.3.4 Application ` a des syst` emes concrets Pour entrer dans le cadre conservatif ci-dessus, on doit se restreindre a` des systèmes sans terme d’amortissement. Ces modèles ont déjà été décrits dans les chapitres précédent mais il nous faut introduire correctement le petit paramètre ε, qui rappelons-le est de l’ordre de la longueur d’onde. Les équations de Maxwell (variables E, B, P et J) sont dans la forme donnée au paragraphe 7.2.2 et il suffit d’écrire une équation d’évolution pour J. Enfin, pour classer chaque modèle, il faut l’écrire sous forme symétrisée. Mod` ele de Lorentz Le modèle de Lorentz sans amortissement s’écrit ε2 ∂t2 P + ω12 P = ε0 (εs − ε∞ )ω12 E . L’équation pour J est alors ε∂t J = −ω12 P + ε0 (εs − ε∞ )ω12 E . Le modèle de Maxwell–Lorentz est linéaire à coefficients constants. Mod` ele de l’oscillateur anharmonique Pour obtenir le modèle de l’oscillateur anharmonique, on ajoute dans l’équation de Lorentz un terme cubique en P : ε2 ∂t2 P + ω12 P − αanh |P|2 P = ε0 (εs − ε∞ )ω12 E . L’équation pour J est alors ε∂t J = −ω12 P + αanh |P|2 P + ε0 (εs − ε∞ )ω12 E . Le couplage des équations de Maxwell avec le modèle de l’oscillateur anharmonique est semi-linéaire cubique. Mod` ele non lin´ eaire instantan´ e Le modèle non linéaire instantané est construit sur la base du modèle de Lorentz en ajoutant un terme cubique en E directement dans l’équation d’Ampère, qui devient : ε∂t E − ε rot B = −J − εαnli ∂t (|E|2 E) . Le couplage des équations de Maxwell avec le modèle non linéaire instantané est quasi-linéaire.


83

Mod` ele de Bloch ` a deux niveaux Les équations de Maxwell–Bloch sont semi-linéaires quadratiques. Par contre le modèle à plusieurs niveaux sans termes de relaxation ne rentre pas dans le cadre donné ici car il est non conservatif et non fortement hyperbolique. Ces difficultés sont palliées dans [17] en utilisant des approximations BKW avec des composantes d’amplitudes différentes (populations et cohérences) et un changement de variable non linéaire donné pour se ramener au cadre standard. En effet, avec les notations du paragraphe 7.2.2, on pose ¯ =N ˜+ N

1 2 2 2 2 N e (I + ω12 R ) , p12 ω12

ce qui donne l’équation 2 2 2 2 2 ¯ =ε ∂t N (I + ω R ) IE , − 12 3 (N e )2 ω12 N e p12 ω12 qui a perdu un ordre (sans induire un probl` eme dans l’équation pour I et peut ¯ est maintenant se traiter avec les techniques asymptotiques. La variable N d’ordre O(1), et le nouveau système à résoudre peut s’écrire sous la forme Lε (∂x )uε = εF (uε ). La généralisation de ce changement de variables dans le contexte des atomes à un nombre quelconque de niveaux est décrit dans [16]. Dans tous les contextes, il est issu d’une conservation d’une norme de type L2 du système complet (sans relaxations). Cas proche de la r´ esonnance Nous avons déjà décrit l’adimensionnement effectué dans [9] au paragraphe 7.2.3. L’analyse asymptotique rigoureuse est ensuite effectuée selon la variable ε, mais on supprime les deux autres petits paramètres auparavant. Pour avoir a ν par la relation ε1 = ν/2L, une approximation paraxiale, on rattache ε1 ` ce qui introduit le rapport de longitudinalit´ e L. Ensuite, on ne garde que les termes d’ordre dominant en ν. A l’ordre dominant, on obtient alors le système (∂t + ∂z + iL∂x2 )E = −iβP , i ˜ , ∂t P + (P + E) = iαE N ε ˜ = 2 Im(EP ∗ ) . ∂t N ε Ce système est raide et ne peut pas donner lieu a` des simulations numériques satisfaisantes. C’est pourquoi on utilise a` nouveau le changement de variable non linéaire en remarquant que 1 − 1 − 2αε|P|2 ˜ N = , αε

84


d’o` u (∂t + ∂z + iL∂x2 )E = −iβP , 1 − 1 − 2αε|P|2 i ∂t P + (P + E) = iE , ε ε qui n’est plus raide et se prête à l’implémentation numérique. C’est un schéma de splitting qui est alors choisi.

8 Discr´ etisation des ´ equations de Bloch

Deux points de vue peuvent être adoptés pour la discrétisation des équations de Bloch : 1. utiliser un schéma généraliste relativement robuste, 2. utiliser un schéma dédié spécifiquement à cette équation. Bien que, dans des contextes non extrêmes, le premier point de vue donne des résultats relativement satisfaisants, nous allons montrer les avantages des schémas dédiés (et un en particulier) pour la réalisation de simulations gardant un sens physique. Dans tout ce chapitre, nous n’exprimons pas la dépendance en espace qui n’intervient que comme paramètre via l’hamiltonien d’interaction.

8.1 La m´ ethode de Crank–Nicolson 8.1.1 Pr´ esentation C’est l’approche du schéma généraliste qui a été mise en œuvre dans les premiers codes Maxwell–Bloch réalisés par l’équipe de R.W. Ziolkowski a` l’Université de Tucson [34, 35, 36]. La méthode utilisée est le schéma centré de Crank–Nicolson qui est d’ordre deux. On se donne un pas de temps δt et ρn est alors une approximation de ρ(nδt). Pour l’équation de Bloch (3.7), le schéma de Crank–Nicolson s’écrit n+1 1 ρ ρn+1 + ρn + ρn ρn+1 − ρn = Rn( ) + i[V n+ 2 , ], δt 2 2 1

o` u V n+ 2 est une approximation de V = E · p/ au temps (n + 21 )δt que nous préciserons ultérieurement.

90

8 Discrétisation des équations de Bloch

8.1.2 D´ efaut de positivit´ e Dans le contexte des atomes à deux niveaux, il est difficile de mettre en défaut le schéma de Crank–Nicolson. Cependant, ce schéma ne conserve pas la positivité, mais le problème n’apparaˆıt qu’` a partir de trois niveaux d’énergie. Ce résultat est annoncé dans [7] et démontré dans la thèse de D. Reignier [23]. Positivit´ e et diagonalisation de l’op´ erateur continu Les termes de relaxation ne sont pas en cause dans la perte de positivité du schéma de Crank–Nicolson. Nous ne considérons donc que l’équation hamiltonienne ∂t ρ = i[V, ρ] , o` u V peut contenir des termes dus à l’interaction et a` la relaxation–nutation. La solution de cette équation est, comme sous l’avons vu au paragraphe 2.1.5, t t V (τ ) dτ . V (τ ) dτ ρ(0) exp −i ρ(t) = exp i 0

0

Sous cette forme, nous avons déjà vu que la matrice ρ conservait sa positivité pour tout temps. Dans la suite, considérons que V est constante (par rapport au temps). Ceci correspond à ce que l’on suppose sur un pas de temps pour le schéma numérique puisque l’on considère la valeur de V au demi-pas de temps intermédiaire. Comme V est hermitienne, il existe une base dans laquelle elle est diagonale. Dans cette base, V = diag(λ1 , . . . , λN ) et ρjk (t) = exp(iλj t)ρjk (0) exp(−iλk t) . L’élément ρjk se décompose en le produit d’un terme qui ne dépend que de j et d’un terme qui ne dépend que de k. C’est cette propriété qui donne la positivité. En effet, t yj∗ ρjk (0)yk , x∗j exp(iλj t)ρjk (0) exp(−iλk t)xk = Xρ(t)X = j,k

j,k

o` u yj = exp(−iλj t)xj . Diagonalisation de l’op´ erateur discret Dans la même base, la méthode de Crank–Nicolson s’écrit n ρn+1 jk − ρjk

δt

= i(λj − λk )

n ρn+1 jk + ρjk

2

ce qui permet d’expliciter ρn+1 en fonction de ρnjk : jk

,

8.1 La méthode de Crank–Nicolson

ρn+1 jk =

91

1 + 2i (λj − λk )δt n ρjk = Gjk ρnjk . 1 − 2i (λj − λk )δt

Sous cette forme, nous ne pouvons plus séparer comme précédemment une contribution en j et une autre en k. La positivité de ρn+1 ne découle plus de celle de ρn . Si on pose θjk = (λj − λk )δt/2, alors Gjk = exp(2i Arctan θjk ). Positivit´ e pour deux niveaux Pour étudier la positivité, il suffit de montrer que les déterminants des sousmatrices principales sont de déterminant positif. Ceci est clair pour la matrice principale d’ordre un car par hypothèse ρn11 ≥ 0. Le déterminant de matrice à l’ordre deux permet de traiter le cas des deux niveaux. Par hypothèse ρ11 ρ22 − ρ12 ρ21 ≥ 0. Or det ρn+1 = ρn11 ρn22 − ρn12 exp(2i Arctan θ12 )ρn21 exp(2i Arctan θ21 ) = ρn11 ρn22 − ρn12 ρn21 ≥ 0.

La positivité de ρn implique donc celle de ρn+1 pour le modèle à deux niveaux. Non positivit´ e` a partir de trois niveaux Il suffit de se placer dans un cadre particulier qui est celui o` u ρnjk = aj a∗k . Comme nous l’avons vu, c’est la forme qui découle de la dérivation de la matrice densité et c’est donc une donnée physiquement admissible, qui de plus est clairement positive. Il nous reste à montrer que le déterminant d’ordre trois est dans ce cas négatif. ρ11 G12 ρ12 G13 ρ13 det ρn+1 = G21 ρ21 ρ22 G23 ρ23 G31 ρ31 G32 ρ32 ρ33 = ρ11 ρ22 ρ33 + G12 G23 G31 ρ12 ρ23 ρ31 + G21 G13 G32 ρ21 ρ13 ρ32 −G23 G32 ρ11 ρ23 ρ32 − G13 G31 ρ13 ρ22 ρ31 − G12 G21 ρ12 ρ21 ρ33 .

Or G23 G32 = G13 G31 = G12 G21 = 1, donc det ρn+1 = |a1 |2 |a2 |2 |a3 |2 × × − 2 + exp(2i(Arctan θ12 + Arctan θ23 + Arctan θ31 )) + exp(2i(Arctan θ13 + Arctan θ32 + Arctan θ21 )) . Cette quantité ne peut être positive que si

exp(2i(Arctan θ12 + Arctan θ23 + Arctan θ31 )) = 1 , ce qui, compte tenu du fait que θ31 = −θ12 − θ23 , équivaut a`

92


Arctan θ12 + Arctan θ23 = Arctan(θ12 + θ23 ) [π] . En prenant la tangente de cette expression, on obtient immédiatement que les solutions sont θ12 = 0 ou θ23 = 0 ou θ12 +θ23 = θ13 = 0. En regardant la forme des θjk , cela revient à dire que deux au moins des λj doivent être égaux. Dans le cas o` u V ne concerne que l’hamiltonien d’interaction, cela veut dire que les trois niveaux ne peuvent pas être non dégénérés. En conclusion, le schéma de Crank–Nicolson n’est positif a` partir de trois niveaux que si certains des niveaux sont dégénérés. Cette conclusion est obtenue sans faire d’hypothèse sur le pas de temps. Il n’y a pas de borne supérieure sur le pas de temps en de¸ca de laquelle le schéma de Crank–Nicolson serait positif. 8.1.3 Erreur de trace Le schéma de Crank–Nicolson préserve théoriquement la trace. Mais en pratique son utilisation nécessite la résolution d’un point fixe et ainsi l’introduction d’une erreur a` chaque itération. Comme les cas tests physiques utilisent un grand nombre d’itérations, cette erreur devient facilement prépondérante. Ce problème a déjà lieu avec deux niveaux d’énergie mais le choix de variables effectué (à savoir ρ1 = ρ22 − ρ11 , ρ2 = Re ρ12 et ρ3 = Im ρ12 ) pour implémenter le schéma ne permet pas de détecter ce problème, sans toutefois l’éliminer. Lorsque les erreurs se sont accumulées, la reconstruction de ρ11 et ρ22 ` a partir de ρ1 n’a plus de sens et, par couplage, la cohérence a également toutes les chances d’être entachée d’erreur.

8.2 Une m´ ethode de splitting Les défauts de la méthode précédente proviennent donc de deux facteurs. Comme c’est une méthode généraliste, elle ne prend pas en compte les propriétés spécifiques des équations. Par ailleurs, elle est implicite, ce qui lui confère de bonnes propriétés mathématiques, mais rend sa résolution coˆ uteuse, principalement si on la couple avec la résolution d’un modèle pour le champ électromagnétique (cf. chapitre 10). La méthode de splitting que nous décrivons ici pallie ces problèmes. En effet, elle conserve toutes les propriétés physiques que nous avons discutées (positivité, conservation de la trace). En outre, son caractère explicite rend l’implémentation efficace sans nuire à la stabilité en couplage avec les équations de Maxwell (cf. paragraphe 10.4.2). 8.2.1 Principe En général, on utilise des méthodes de splitting lorsque différentes parties de l’équation se résolvent naturellement avec des méthodes (voire des variables

8.2 Une méthode de splitting

93

ou des inconnues) différentes. C’est pour cette raison que ce type de méthode est souvent adopté en optique non linéaire pour résoudre des équations d’enveloppe (cf. paragraphe 11.3). Ici, la méthode pour résoudre les deux parties est essentiellement la même, mais en revanche nous connaissons la solution exacte de chaque équation. Ainsi l’équation (3.7) est décomposée en une évolution de relaxation–nutation (8.1) ∂t ρ = Rn(ρ) , et une évolution d’interaction avec le champ électromagnétique ∂t ρ = i[V, ρ] .

(8.2)

L’opérateur de relaxation–nutation est linéaire et invariant en temps. La solution de l’équation (8.1) est donc ρ(t) = exp(Rnt)ρ(0) . En revanche, le potentiel V dépend en général du temps (et de l’espace comme paramètre ici) et la solution exacte de l’équation d’interaction (8.2) est t t ρ(t) = exp i V (τ ) dτ . (8.3) V (τ ) dτ ρ(0) exp −i 0

0

Pour le schéma numérique, on effectue ces deux étapes alternativement avec un agencement qui dépend de l’ordre désiré mais aussi de critères de raideur. 8.2.2 R´ ealisation D´ efinition des semi-groupes d’´ evolution Dans nos cas test, il n’y a pas lieu de choisir des pas de temps variables. Une fois le pas de temps fixé, on peut calculer une fois pour toutes exp(Rnδt) (ou exp(Rnδt/2) pour le schéma d’ordre 2, cf. ci-dessous). On définit le semigroupe d’évolution SR (δt) par SR (δt)ρ = exp(Rnδt)ρ .

(8.4)

Le semi-groupe d’évolution S˜H (E)(δt) qui correspond a` l’interaction avec l’onde électromagnétique est δt δt S˜H (E)(δt)ρ = exp i V (τ ) dτ . (8.5) V (τ ) dτ ρ exp −i 0

0

Cependant, il n’est pas raisonnable d’envisager le calcul a` chaque pas de temps des exponentielles qui interviennent dans l’équation (8.5). Pour cela, on utilise t une approximation de 0 V (τ ) dτ au demi-temps t/2 et une approximation du second ordre de l’exponentielle

94


−1 t i i Id − tV (t/2) . V (τ ) dτ ≃ Id + tV (t/2) exp i 2 2 0 On définit un dernier semi-groupe d’évolution SH (E)(δt) par SH (E)(δt)ρ =

i Id + δtV 2

−1 i ρ× Id − δtV 2 −1 i i × Id − δtV Id + δtV , 2 2

(8.6)

o` u V = E · p/. L’inversion de la matrice Id − iδtV /2 peut être réalisée de manière très efficace par la formule de Fadeev (qui est basée sur le calcul de son polynˆ ome caractéristique) décrite dans [7] dans ce cas précis. Il faut cependant choisir une valeur de δt suffisamment petite pour assurer que les matrices Id±iδtV /2 sont bien inversibles. Le choix du pas de temps δt est alors subordonné à des grandeurs propres de l’opérateur V qui sont susceptibles d’évoluer au cours du temps, ce qui a priori pose un problème, mais ne semble pas en poser en pratique. La méthode de Fadeev est très facile à implémenter pour un faible nombre de niveaux dans le contexte unidimensionnel. Il suffit en effet a` chaque itération en temps de calculer V = Ep/ et d’évaluer un polynˆ ome en V de degré N . Le coˆ ut de chaque itération est alors du même ordre que pour la méthode de Crank–Nicolson. Dans le cadre multidimensionnel, le calcul de V est plus long et on est souvent amenés à regarder des phénomènes mettant en œuvre un plus grand nombre de niveaux (éventuellement dégénérés, c’est-à-dire de même énergie). La méthode de Fadeev devient alors un peu plus coˆ uteuse, sans toutefois que son coˆ ut devienne rédhibitoire, et le schéma de Crank–Nicolson redevient concurrentiel. Dans le cadre multidimensionnel, il faut donc en pratique choisir entre précision (trace conservée) et temps de calcul. Estimations des semi-groupes Pour les démonstrations de stabilité, nous aurons besoin des estimations suivantes. Lemme 8.1. Il existe une constante CR ne dépendant que de W et des constantes C˜H et CH ne dépendant que de p et ρe telles que SR (δt)σ2 ≤ exp(CR ωc δt)σ2 ,

δtωc E2 ) , Ec2 δtωc SH (E)(δt)σ2 ≤ exp(CH ωc δt)(σ2 + 2 E2 ) . Ec S˜H (δt)σ2 ≤ exp(C˜H ωc δt)(σ2 +

8.2 Une méthode de splitting

95

Preuve. Opérateur de relaxation–nutation Supposons que σ est solution de ∂t σ = Rn(σ). On reprend l’équation (3.13), o` u on a posé E ≡ 0, ⎞ ⎛ Wjk σkk ⎠ . ∂t Tr(σ 2 ) = −2 γjk |σjk |2 + 2 σjj ⎝ j

j,k

k=j

Il existe ainsi une constante CR , qui ne dépend que de W , telle que ⎞ ⎛ |∂t Tr(σ 2 )| ≤ 2 Wjk σkk ⎠ ≤ CR ωc Tr(σ 2 ) . σjj ⎝ j

k=j

Ainsi en utilisant une formulation de Duhamel et un lemme de Gronwall δt Tr((SR (τ )σ 2 ) dτ Tr((SR (δt)σ 2 ) ≤ Tr(σ 2 ) + CR ωc 0

≤ exp(CR ωc δt)Tr(σ 2 ) .

En intégrant en espace, on trouve bien la première estimation SR (δt)σ2 ≤ exp(CR ωc δt)σ2 . Opérateur d’interaction continu Supposons maintenant que σ est solution de ∂t σ = i[V, σ] + i[V, ρe ]. Toujours d’après l’équation (3.13) mais en prenant cette fois-ci les coefficients de relaxation nuls, on a ∂t Tr(σ 2 ) = −2i Re

pjk · E jk

[ρejj − ρekk ]σkj .

De même que précédemment, il existe une constante C˜H qui ne dépend que de p et ρe telle que δt 1 2 2 2 2 ˜ ˜ ˜ SH (E)(δt)σ ≤ σ + ωc E + CH SH (E)(τ )σ dτ E2 0 c δtωc 2 2 ˜ ≤ exp(CH ωc δt) σ + 2 E . Ec Opérateur d’interaction discret La quantité SH (E)(δt)ρ est la valeur au temps δt de la fonction continue en u E est constante. Si on dérive par rapport au temps, ρ(t) = SH (E)(t)ρ, o` temps l’expression de SH (E)(t)ρ, on obtient

96


−1 −1 iV i i ρ(t) + ρ(t) Id + tV (t/2) Id − tV (t/2) 2 2 2 −1 −1 i iV i iV −ρ(t) Id − tV (t/2) − ρ(t) Id + tV (t/2) 2 2 2 2 −1 −1 i i i i V Id + tV (t/2) V Id − tV (t/2) = ,ρ + ,ρ . 2 2 2 2

iV ∂t ρ(t) = 2

En la variable σ, on a de manière immédiate −1 −1 i i i i V Id + tV (t/2) V Id − tV (t/2) ,σ + ,σ ∂t σ(t) = 2 2 2 2 −1 −1 i i i i e e V Id − tV (t/2) ,ρ + ,ρ . + V Id + tV (t/2) 2 2 2 2 ` nouveau, des cancellations donnent A

−1 i e ,ρ σ ∂t Tr(σ (t)) = iTr V Id + tV (t/2) 2 −1 i e +iTr V Id + tV (t/2) ,ρ σ . 2 2

Il existe une constante CH telle que δt 1 2 2 SH (E)(δt)σ2 ≤ σ2 + ωc E + C S (E)(τ )σ dτ H H Ec2 0 δtωc ≤ exp(CH ωc δt) σ2 + 2 E2 . Ec Ceci achève la démonstration des trois estimations.

⊓ ⊔

Ordre On veut donc résoudre sur un pas de temps δt le problème ∂t ρ = L1 ρ + L2 ρ, o` u L1 et L2 sont deux opérateurs linéaires. La solution exacte est ρ(δt) = e(L1 +L2 )δt ρ(0) . La formule de splitting d’ordre un, dite de Lie, consiste à écrire ρ(δt) ≃ eL1 δt eL2 δt ρ(0) , alors que la formule de splitting d’ordre deux, dite de Strang, consiste à écrire

8.3 Illustration numérique

97

ρ(δt) ≃ eL1 δt/2 eL2 δt eL1 δt/2 ρ(0) . Si on cherche a` monter a` des ordres supérieurs, on risque fortement d’avoir des problèmes de conservation de positivité car alors les formules de splitting font intervenir des coefficients négatifs (cf. M. Schatzman [26]). On ne s’intéresse donc qu’` a l’ordre un et deux, les couplages avec les champs électromagnétiques étant de toutes fa¸con également d’ordre deux. Raideur A priori, les équations de Bloch ne sont pas raides dans les cas tests que nous effectuons. Le choix de l’adimensionnement présenté au paragraphe 7.2.1 a pour but de rendre tous les coefficients d’ordre O(1). Cependant, on est confronté lors des simulations à un problème de raideur en temps long. En effet, tous les coefficients sont d’ordre O(1) lorsque le champ électromagnétique est de l’ordre de sa valeur maximale. Après le passage du paquet d’onde, le terme d’interaction devient négligeable et la relaxation–nutation bien que d’ordre un devient raide en temps long. Dans le cas de terme raide, le choix de l’ordre des opérateurs dans une méthode de splitting n’est pas anodin (cf. B. Sportisse [27]) et il convient de finir chaque étape par le terme le plus raide. On choisit donc pour l’opérateur L1 ci-dessus la relaxation–nutation, SR , et l’interaction avec l’onde électromagnétique, SH (E), pour l’opérateur L2 . Ainsi, on calcule dans la pratique ρ(t + δt) = SR (δt/2)SH (E(t +

δt ))(δt)SR (δt/2)ρ(t) . 2

(8.7)

8.3 Illustration num´ erique Nous n’avons défini pour l’instant que la discrétisation en temps. Ceci est suffisant pour valider deux points qui sont la conservation de la trace et la positivité. D’autres comparaisons de ces schémas auront lieu en liaison avec la discrétisation en espace. Dans le cas o` u la trace est conservée, la positivité et le fait de rester inférieur a` 1 sont deux propriétés équivalentes. Nous mettons ici en défaut le deuxième point ainsi que la conservation de la trace avec le schéma de Crank–Nicolson, alors que le schéma de splitting se comporte bien, comme le prédit l’étude théorique. Les défauts majeurs s’installent au bout d’un certain nombre d’itérations. Ceci est particulièrement clair pour la conservation de la trace dans la mesure o` u il s’agit de l’accumulation d’erreurs de points fixes. Par ailleurs, les erreurs de positivité ont d’autant plus lieu qu’il n’y a pas de phénomènes de relaxation. C’est pourquoi on utilise un modèle sans relaxation ici. La figure 8.1 représente l’évolution temporelle des populations et de la trace pour un milieu a` trois niveaux qui sont représentés respectivement en trait pointillé, trait plein et

98

8 Discrétisation des équations de Bloch Méthode de Crank−Nicolson

Trace (Crank−Nicolson)

1,2

1,3

1

1,25

0,8

1,2

0,6

1,15

0,4

1,1

0,2

1,05

0

1 1,92

1,94

1,96

1,98

1,92

Méthode de splitting

1,94

1,96

1,98

Trace (Splitting)

1,2

1,3

1

1,25

0,8

1,2

0,6

1,15

0,4

1,1

0,2

1,05

0

1 1,92

1,94

1,96

1,98

1,92

1,94

1,96

1,98

´ Fig. 8.1. Conservation de la trace et positivité. Evolution des populations et de la trace en fonction du temps (en ps)

trait tiret-point. La population égale à 1 est matérialisée par une ligne en tiret et on voit que deux des populations violent cette condition pour la méthode de Crank–Nicolson. La trace a été représentée à la même échelle pour les deux méthodes mais il convient de préciser que sa valeur est de 1 à la précision machine près pour le schéma de splitting.

9 Discr´ etisation des ´ equations de Maxwell sur grilles d´ ecal´ ees

9.1 Un sch´ ema aux diff´ erences finies : le sch´ ema de Yee Dans la catégorie des schémas aux différences fin+1 nies, le schéma qui s’impose pour les équations e de Maxwell est celui de Yee [30]. L’idée de ce schéma repose sur une localisation particulière u n des variables dans l’espace–temps qui reflète bien les propriétés de symétrie de l’équation de Maxℓ+1 ℓ well, et fournit un schéma d’ordre deux car Fig. 9.1: Schéma de Yee centré et cependant explicite. La figure 9.1 représente le cas de la dimension un, qui est le cas des exemples que nous donnons dans ce document. Dans le cas o` u le milieu a une géométrie simple (typiquement rectangulaire) et o` u on n’a pas de raison de mailler de manière non uniforme, ce schéma est le plus indiqué par son efficacité et sa simplicité de mise en œuvre. L’écriture de ce schéma est un peu fastidieuse en dimension trois, si on explicite les indices spatiaux. C’est pourquoi, nous ne donnons ci-dessous que des versions uni- et bidimensionnelles dans la polarisation TEz décrite au paragraphe 2.2.3. 9.1.1 Sch´ ema de Yee unidimensionnel Comme le montre la figure 9.1, le champ électrique E = Ex est pris aux points entiers et le déplacement magnétique B = By aux points demin+ 1

entiers, c’est-à-dire que Eℓn ≃ E(nδt, ℓδz) et Bℓ+ 12 ≃ B((n + 12 )δt, (ℓ + 12 )δz). 2

L’équation de Faraday est discrétisée en (nδt, (ℓ + 21 )δz)) et celle d’Ampère en ((n + 12 )δt, ℓδz)). Le schéma s’écrit alors

100

9 Discrétisation des équations de Maxwell n+ 1

n− 1

Bℓ+ 12 − Bℓ+ 12 2

=−

2

δt

n Eℓ+1 − Eℓn , δz

(9.1)

n+ 1

n+ 1

Bℓ+ 12 − Bℓ− 12 1 Eℓn+1 − Eℓn n+ 1 2 2 = − − µ0 Jℓ 2 . 2 c∞ δt δz

(9.2)

Sous cette forme apparaˆıt l’avantage majeur de ce schéma : il est explicite. 9.1.2 Sch´ ema de Yee bidimensionnel Dans le cadre bidimensionnel, les variables pertinentes sont Ex , Ey et Ez que l’on discrétise de la manière suivante : 1 n ≃ Ex (nδt, (ℓ + )δx, mδy) , Ex,ℓ+ 1 2 ,m 2 1 n Ex,ℓ,m+ )δy) , 1 ≃ Ey (nδt, ℓδx, (m + 2 2 1 1 1 1 n+ Bz,ℓ+2 1 ≃ Bz ((n + )δt, (ℓ + )δx, (m + )δy) . 2 2 2 2 Le schéma de Yee s’écrit alors z,n− 1

n+ 1

Bz,ℓ+2 1 ,m+ 1 − Bz,ℓ+ 12,m+ 1 2

2

2

2

δt

=

n n Ex,ℓ+ − Ex,ℓ+ 1 1 ,m+1 ,m 2

2

δy

−

n n Ey,ℓ+1,m+ 1 − E y,ℓ,m+ 1 2

2

δx

n+ 21

,

(9.3)

n+ 21

n+1 n Bz,ℓ+ 1 ,m+ 1 − Bz,ℓ− 1 ,m− 1 1 Ex,ℓ+ 12 ,m − Ex,ℓ+ 12 ,m 2 2 2 2 = c2∞ δt δy n+ 1

−µ0 Jx,ℓ+2 1 ,m ,

(9.4)

2

n+ 1

n+ 1

n+1 n Bz,ℓ+2 1 ,m+ 1 − Bz,ℓ−2 1 ,m+ 1 1 Ey,ℓ,m+ 21 − Ey,ℓ,m+ 12 2 2 2 2 = − c2∞ δt δx n+ 1

2 −µ0 Jy,ℓ,m+ 1 .

(9.5)

2

9.2 Stabilit´ e 9.2.1 Stabilit´ e lin´ eaire classique Une étude de stabilité linéaire est suffisante dans le cadre de systèmes linéaires. Une telle démonstration se fait classiquement en étudiant les valeurs propres de la matrice d’amplification associée au schéma. Dans ce

9.2 Stabilité

101

qui suit, nous donnons le principe de l’analyse pour les systèmes linéaires puis n+ 1 l’application au système (9.1)–(9.2) dans le cas o` u Jℓ 2 = 0 en dimension 1 et 2. Polynˆ omes de Schur et de von Neumann La description complète de cette théorie se trouve dans l’ouvrage de J.C. Strikwerda [28]. On définit des familles particulières de polynˆ omes : les polynômes de von Neumann, les polynˆ omes de von Neumann simples et les polynômes de Schur. Definition 9.1. Un polynˆ ome de von Neumann est un polynˆ ome dont toutes les racines sont de module ≤ 1.

Definition 9.2. Un polynˆ ome de von Neumann simple est un polynˆ ome dont toutes les racines sont de module ≤ 1 et dont celles de module exactement égal a 1 sont simples. `

Definition 9.3. Un polynˆ ome de Schur est un polynˆ ome dont toutes les racines sont de module < 1. Il est alors clair qu’un polynˆ ome de Schur est un cas particulier de polynˆ ome de von Neumann simple. Lorsqu’un polynˆ ome a un degré suffisamment élevé et/ou des coefficients suffisamment compliqués, il est difficile de décider si un polynˆ ome est de von Neumann simple ou non, ou de Schur. La théorie des polynˆ omes de Schur et de von Neumann fournit une technique d’abaissement de degré qui permet de résoudre ces problèmes. Pour cela, on définit tout d’abord la notion de polynˆ ome conjugué. Si le polynˆ ome ϕ est donné par ϕ(Z) = c0 + c1 Z + · · · + cD Z D ,

son polynˆ ome conjugué est défini par

ϕ† (Z) = c∗D + c∗D−1 Z + · · · + c∗0 Z D = (ϕ(Z ∗ −1 ))∗ Z D .

´ Etant donné un polynˆ ome ϕ0 (Z), on définit de manière récursive une suite de polynˆ omes par la relation 1 ϕj+1 (Z) = (ϕ†j (0)ϕj (Z) − ϕj (0)ϕ†j (Z)) . Z On voit immédiatement que cette suite est de degré strictement décroissant. On a alors les deux théorèmes, démontrés dans [28]. Th´ eor` eme 9.4. Le polynˆ ome ϕj est un polynˆ ome de Schur de degré exactement D si ϕj+1 est polynˆ ome de Schur de degré exactement D − 1 et |ϕj (0)| < |ϕ†j (0)|. Th´ eor` eme 9.5. Le polynˆ ome ϕj est un polynˆ ome de von Neumann simple si ome de von Neumann simple et |ϕj (0)| < |ϕ†j (0)|, ϕj+1 est polynˆ ou ϕj+1 est identiquement nul et ϕ′j est un polynˆ ome de Schur.

102

9 Discrétisation des équations de Maxwell

Stabilit´ e Comme on s’intéresse à un problème linéaire, on peut le traiter dans le domaine fréquentiel. On suppose que le système régit une variable Uℓn dont la dépendance spatiale est donnée par Uℓn = U n eiξℓ . La matrice G de pasa U n+1 s’appelle matrice d’amplification : U n+1 = GU n . Si G ne sage de U n ` dépend pas du pas de temps, on a U n = Gn U 0 . On trouve dans [28] différentes conditions de stabilité, dont les deux suivantes. Proposition 9.6. Une condition nécessaire de stabilité pour un schéma est que le polynˆ ome caractéristique de la matrice d’amplification soit un polynˆ ome de von Neumann. Proposition 9.7. Une condition suffisante de stabilité pour un schéma est que le polynˆ ome caractéristique de la matrice d’amplification soit un polynˆ ome de von Neumann simple. La condition nécessaire et suffisante est en fait que la suite (Gn )n∈N soit bornée, mais ceci n’est pas toujours facile à vérifier sur un cas concret. La proposition 9.6 est claire. Dans le cas contraire, un vecteur propre de G correspondant a` une valeur propre de module supérieur a` 1 croˆırait de manière exponentielle au cours des itérations. La proposition 9.7 nécessite une petite explication. Certaines matrices ayant 1 (par exemple) comme racine double donnent lieu a` des itérées non bornées : n 1n 11 . = 01 01 D’autres peuvent avoir des itérées bornées (|a| < 1) ⎛ ⎞n ⎛ ⎞ n 10 0 100 n 10 10 ⎠. ou ⎝ 0 1 1 ⎠ = ⎝ 0 1 1−a = 1−a 01 01 n 00a 00 a

Il est en pratique nécessaire et suffisant que tous les sous-espaces stables minimaux associés à des valeurs propres de module 1 soient de dimension 1 (et bien sˆ ur qu’il n’y ait pas de valeurs propres de module supérieur a` 1).

Sch´ ema de Yee unidimensionnel Proposition 9.8. La condition de stabilité linéaire pour le système (9.1)– n+ 12

(9.2) avec Jℓ

= 0 est c∞ δt/δz < 1.

Preuve. On définit la nouvelle variable Uℓn =

t

n− 1

(c∞ Bℓ+ 12 , Eℓn ) dont on sup2

pose que la dépendance spatiale est de la forme Uℓn = U n eiξℓ . On réécrit les équations pour qu’elles soient explicites en cette variable, a` savoir

9.2 Stabilité n+ 1

n− 1

c∞ Bℓ+ 12 = c∞ Bℓ+ 12 − 2

Eℓn+1

2

103

c∞ δt n (Eℓ+1 − Eℓn ) , δz

c∞ δt n+ 1 n+ 1 (c∞ Bℓ+ 12 − c∞ Bℓ− 12 ) = − 2 2 δz 1 1 δt c2 δt2 n c n− n− ∞ n (c∞ Bℓ+ 12 − c∞ Bℓ− 12 ) + ∞ 2 (Eℓ+1 − 2Eℓn + Eℓ−1 ). = Eℓn − 2 2 δz δz Eℓn

Ainsi, en notant λ = c∞ δt/δz, le rapport de Courant-Friedrichs-Lewy (CFL), 1 −λ(eiξ − 1) n+1 U = Un . −λ(1 − e−iξ ) 1 + λ2 (eiξ − 2 + e−iξ ) La matrice d’amplification pour le schéma de Yee ne dépend pas explicitement des pas de temps et d’espace mais uniquement de leur rapport. Elle a pour polynˆ ome caractéristique ξ ϕ0 (Z) = Z 2 − 2(1 − 2λ2 sin2 )Z + 1 . 2 Ses deux valeurs propres g− et g+ vérifient ξ g− g+ = 1 , et g− + g+ = 2(1 + λ2 (cos ξ − 1)) = 2(1 − 2λ2 sin2 ) . 2 Ces deux valeurs propres sont conjuguées et de module 1. Ceci n’est possible que si pour tout ξ ξ −2 ≤ g− + g+ = 2(1 − 2λ sin2 ) ≤ 2 , 2 ce qui est clairement équivalent a` λ ≤ 1. Sous cette première condition, les deux valeurs propres sont de la forme ξ ξ 2 ξ 2 ± i2λ sin λ± = 1 − 2λ sin 1 − λ2 sin2 . 2 2 2 Deux cas d’égalité se présentent : – si sin ξ/2 = 0, alors 1 est valeur propre double. Cela correspond a` une matrice d’amplification qui est l’identité, ce qui ne génère pas de problème d’instabilité ; – si sin ξ/2 = ±1 et λ = 1 alors la matrice d’amplification a des itérées linéairement croissantes. Ce cas est à proscrire car il génère des instabilités. La condition de stabilité est donc λ < 1. ⊓ ⊔ Sch´ ema de Yee bidimensionnel Proposition 9.9. La condition de stabilité linéaire pour le système (9.3)– 2 2 2 2 n 2 2 n = 0 et Jy,ℓ,m+ < 1. (9.4)–(9.5) avec Jx,ℓ+ 1 = 0 est c∞ δt /δx +c∞ δt /δy 1 ,m 2

2

104


Preuve. Nous ne détaillons pas a` nouveau le raisonnement fait ci-dessus dans le cas unidimensionnel mais n’en donnons que les points essentiels. On étudie, cette fois-ci, l’amplification du vecteur n− 1

n n n Uℓ,m = t (c∞ Bz,ℓ+2 1 ,m+ 1 , Ex,ℓ+ 1 ,m , Ey,ℓ,m+ 1 ) , 2

2

2

2

n et on se place dans l’espace des fréquences en supposant que Uℓ,m est de la n n i(ξℓ+ζm) forme Uℓ,m = U e . On se donne deux rapports de stabilité (un pour chaque direction) : λx = δtc∞ /δx et λy = δtc∞ /δy. En rendant explicite le schéma de Yee pour la variable U n , on obtient la matrice d’amplification ⎞ ⎛ 1 λy (eiζ − 1) −λx (eiξ − 1) G = ⎝ λy (1 − e−iζ ) 1 + λ2y (eiζ − 2 + e−iζ ) −λx λy (eiξ − 1)(1 − e−iζ ) ⎠ . λx (1 − e−iξ ) −λx λy (eiζ − 1)(1 − e−iξ ) 1 + λ2x (eiξ − 2 + e−iξ )

On voit immédiatement que 1 est valeur propre de cette matrice. En effet, si l’on soustrait la matrice identité, les deux dernières lignes sont clairement proportionnelles. Notons les deux autres valeurs propres g− et g+ . Cellesci sont nécessairement complexes conjuguées et en calculant la trace et le déterminant de la matrice d’amplification, on a 1 + g− + g+ = 3 − 4λ2x sin2

ξ ζ − 4λ2y sin2 , 2 2

g− g+ = 1 . Nous avons vu précédemment qu’il suffisait d’étudier la partie réelle de g± pour trouver la condition de stabilité. Celle-ci vaut Re g± = 1 − 2λ2x sin2

ξ ζ − 2λ2y sin2 . 2 2

Le cas sin ξ/2 = sin ζ/2 = 0 donne a nouveau lieu a` une matrice d’amplification unité. Pour les autres fréquences, une condition nécessaire et suffisante pour que | Re g± | < 1 est λ2x + λ2y < 1, ce qui prouve la proposition. ⊓ ⊔ Si ce programme de preuve est simple à réaliser pour le schéma de Yee, il peut s’avérer ardu dès que l’on aborde des couplages fussent-ils linéaires. Dans [22], P.G. Petropoulos effectue une analyse de stabilité linéaire pour des schémas par intégration directe décrits au chapitre 11. Plus particulièrement, il traite du schéma (11.4) pour le système de Maxwell–Debye et des schémas (11.6) et (11.7.a)–(11.7.d) pour le système de Maxwell–Lorentz. Le calcul des équations caractéristiques est effectué de manière rigoureuse, mais la fin de l’étude est effectuée à l’aide de calculs numériques dans des cas particuliers. Nous proposerons des démonstrations complètes et rigoureuses de stabilité pour deux de ces schémas au chapitre 11.

9.2 Stabilité

105

9.2.2 Stabilit´ e non lin´ eaire Notre objectif est de pouvoir traiter les cas fortement non linéaires o` u linéariser autour de l’état d’équilibre n’aurait pas beaucoup de sens. C’est le cas, par exemple, si il y a des inversions totales dans le contexte du couplage avec les équations de Bloch. Il faut donc se rabattre sur une méthode d’énergie qui fournit uniquement une condition suffisante de stabilité non linéaire. Nous présentons ici le début du calcul qui est commun a` tous les couplages. L’application aux différents couplages est donnée ultérieurement. L’estimation d’énergie est réalisée aux temps demi-entiers et on définit 1 dans ce but En+ 2 = 21 (En+1 + En ). Par ailleurs, on commence par travailler uniquement sur la semi-discrétisation en temps : 1

1

Bn+ 2 − Bn− 2 = − rot En , δt 1 1 1 En+1 − En = rot Bn+ 2 − µ0 Jn+ 2 . 2 c∞ δt

(9.6) (9.7)

En pondérant de la même fa¸con qu’au paragraphe 3.4, on définit l’énergie du système au temps (n + 21 )δt et à la fréquence infinie par n+ 12

E∞

=

1 2

1 1 1 1 c2 δt2 1 Bn+ 2 2 + ε0 ε∞ En+ 2 2 − ∞ rot Bn+ 2 2 . µ0 4 µ0

Proposition 9.10. Soit h le pas minimal du maillage, h = min(δx, δy, δz). √ n+ 1 L’énergie E∞ 2 est positive sous la condition CFL, c∞ δt ≤ h/ 2. Preuve. La formule de la discrétisation par le schéma de Yee de rot B donne rot B2 ≤

8 B2 . h2

Ainsi B2 −

c2∞ δt2 c2 δt2 8 rot B2 ≥ B2 − ∞ B2 = 4 4 h2

1−

2c2∞ δt2 h2

B2 ,

d’o` u le résultat annoncé. Dans le cas unidimensionnel, on a une condition CFL un peu moins contraignante (c∞ δt ≤ h) car rot B ≤

2 B . h ⊓ ⊔

106

9 Discrétisation des équations de Maxwell 1

1

Proposition 9.11. Si (En+1 , Bn+ 2 , Jn+ 2 ) vérifie le système (9.6)–(9.7), alors

1 1 1 δt n+ 1 n+ 1 n− 1 E 2 + En− 2 , Jn+ 2 + Jn− 2 E∞ 2 = E∞ 2 − 4

1 1 1 1 c2∞ δt2 − rot Bn+ 2 + rot Bn− 2 , Jn+ 2 − Jn− 2 . 8 Preuve. La preuve est purement calculatoire. On multiplie scalairement (9.6) 1 1 par 12 (Bn+ 2 + Bn− 2 ) et on intègre en espace : 1 n+ 21 2 n− 12 2 n 1 n+ 21 n− 12 [B − B ] = − rot E , (B +B ) 2δt 2 1 1 1 = − En , rot (Bn+ 2 + Bn− 2 ) 2 1 1 = − 2 En , (En+1 − En−1 ) c∞ 2δt 1 1 1 − µ0 En , (Jn+ 2 + Jn− 2 ) , 2 formule qu’il convient de comparer a` l’équation (3.12) pour le modèle continu. Ainsi 1 1 1 1 Bn+ 2 2 + 2 En , En+1 = Bn− 2 2 + 2 En−1 , En c∞ c∞

1 1 n −µ0 δt E , Jn+ 2 + Jn− 2 ,

o` u on a utilisé la relation ε0 ε∞ µ0 c2∞ = 1. Or

En+1 + En En , En+1 = 2

n+ 21

E∞

−

δt2 4

En+1 − En δt

2

1 1 2 δt2 2 c∞ rot Bn+ 2 − µ0 c2∞ Jn+ 2 4 2 1 1 2 δt2 4 c∞ rot Bn+ 2 = En+ 2 − 4

δt2 1 1 1 δt2 4 c∞ µ0 rot Bn+ 2 , Jn+ 2 − c4∞ µ20 Jn+ 2 + 2 4 1

= En+ 2

On a donc

2

2

−

1 δt n n+ 1 E , J 2 + Jn− 2 2

" 1 1 1 1 c2∞ δt2 ! − rot Bn+ 2 , Jn+ 2 − rot Bn− 2 , Jn− 2 4 $ # 2 1 2 1 2 c δt2 . + ∞ µ0 Jn+ 2 − Jn− 2 8 n− 21

= E∞

−

2

.

9.2 Stabilité

107

Rempla¸cons maintenant En dans l’expression précédente par 1 1 n+ 1 1 1 (E 2 + En− 2 ) − (En+1 − En ) + (En − En−1 ) 2 4 4

1 1 1 1 1 2 1 = (En+ 2 + En− 2 ) − δtc∞ rot Bn+ 2 − δtc2∞ µ0 Jn+ 2 2 4

1 1 2 n− 21 + − δtc2∞ µ0 Jn− 2 δtc∞ rot B 4 1 1 1 1 1 n+ 1 = (E 2 + En− 2 ) − δtc2∞ (rot Bn+ 2 − rot Bn− 2 ) 2 4 1 1 2 n+ 21 − Jn− 2 ) , + δtc∞ µ0 (J 4

En =

(9.8)

d’o` u n+ 21

E∞

1 1 1 δt n+ 1 E 2 + En− 2 , Jn+ 2 + Jn− 2 4

1 1 1 1 c2∞ δt2 + rot Bn+ 2 − rot Bn− 2 , Jn+ 2 + Jn− 2 8 # $ 1 2 1 2 c2∞ δt2 µ0 Jn+ 2 − Jn− 2 − 8

" 2 1 1 1 1 c δt2 ! − ∞ rot Bn+ 2 , Jn+ 2 − rot Bn− 2 , Jn− 2 4 # $ 1 2 1 2 c2∞ δt2 µ0 Jn+ 2 − Jn− 2 + 8

1 1 1 δt n+ 1 n− 21 = E∞ − E 2 + En− 2 , Jn+ 2 + Jn− 2 4

1 1 1 1 c2∞ δt2 − rot Bn+ 2 + rot Bn− 2 , Jn+ 2 − Jn− 2 . 8 n− 21

= E∞

−

⊓ ⊔

n+ 21

La démonstration de stabilité nécessite une expression pour J qui bien sˆ ur dépend du modèle considéré. Dans le cas de l’optique linéaire classique o` u la permittivité vaut ε0 ε∞ indépendamment de la fréquence, ceci donne une condition nécessaire et suffisante de stabilité et la démonstration présentée est une alternative aux démonstrations classiques de stabilité linéaire. 1

Th´ eor` eme 9.12. Si Jn+ 2 = 0 pour tout n, alors le schéma de Yee est stable n+ 1 dès que l’énergie E∞ 2 est positive pour tout n. Ceci est assuré par la condition de CFL de la proposition 9.10. 1

n+ 21

Preuve. Dans le cas o` u Jn+ 2 = 0 pour tout n, on a exactement E∞

n− 21

= E∞

. ⊓ ⊔

On remarque qu’en dimension un la condition de stabilité prouvée ici revient exactement à λ ≤ 1 alors qu’en dimension supérieure, on a λ2 ≤ 1/2.

108


Si on considère des pas d’espaces égaux, les conditions obtenues par les deux méthodes (analyse de stabilité linéaire classique et analyse de stabilité non linéaire par méthode d’énergie) donnent les mêmes résultats. n+ 21

Pour les autres modèles, on ne peut obtenir que des estimations de E∞ et donc des conditions suffisantes de stabilité.

9.3 Sch´ emas aux volumes finis Il est possible de définir un schéma volumes finis basé sur le même principe des grilles décalées. Nous utilisons ici les notations données au paragraphe 2.2.3 pour les polarisations TE et TM. On considère deux maillages duaux (cf. figure 9.2), un maillage de Delaunay constitué de triangles et un maillage de Vorono¨ı. Différents choix d’associations des variables à certains points du maillage sont possibles. Nous décrivons ici la méthode dite “duale” (E et B constants sur les polygones duaux, i.e. de Delaunay) qui est celle utilisée pour le couplage avec les équations de Bloch par D. Reignier [23]. Ce choix était alors guidé par des raisons pratiques (disponibilité d’un code) et non de qualité car les méthodes primale (E et B constants sur les polygones primaux, i.e. de Vorono¨ı) et duale sont équivalentes de ce point de vue. 9.3.1 Polarisation TE On obtient la formulation volumes finis en intégrant l’équation de Faraday sur les polygones de Delaunay, l’équation d’Ampère sur les arêtes de polygones de Vorono¨ı, et l’équation de Poisson sur les polygones de Vorono¨ı.

Fig. 9.2. Maillage de Delaunay-Vorono¨ı. Triangles de Delaunay (traits gras) et polygones de Vorono¨ı (traits fins)

9.3 Schémas aux volumes finis

109

Rappelons les équations pour la polarisation TE :

=0, ∂t B + rot E 1 →

− c2 − J, ∂t E ∞ rot B = − ε 0 ε∞

·E

= 1 ρc . ∇ ε0 ε∞ Soit D un polygone de Delaunay qui a ND côtés (en pratique ND = 3), notés ∂Dk , avec 1 ≤ k ≤ ND . On note ν k la normale unitaire sortante a` D à travers ∂Dk et τ k la tangente unitaire correspondant au sens trigonométrique (cf. figure 9.3). En intégrant l’équation de Faraday sur D, on obtient ∂t

B+

D

ND

k=1

∂Dk

· τ k = 0 . E

mais uniquement On voit que l’on n’a pas besoin pour évaluer B du vecteur E de sa composante tangentielle. La projection de l’équation d’Ampère sur τ k vaut

· τ k + c2∞ ν k · ∇B = − 1 J · τ k . ∂t E ε 0 ε∞ On suppose alors que le champ B est constant sur les polygones de Delaunay

est constante sur les arêtes des (de valeur BD ) et la partie tangentielle de E polygones de Vorono¨ı et linéaire sur les arêtes des polygones de Delaunay (de

D · τ k ). On note AD l’aire de D et Lk la longueur de l’arête ∂Dk . moyenne E D Cette arête admet une arête perpendiculaire d’un polygone de Vorono¨ı dont egrales se simplifient en on note la longueur Lk,⊥ D (cf. figure 9.3). Les int´ • Lk,⊥ D

ν k τ D

k

Dk LkD ∂D k

• Fig. 9.3. Maillage de Delaunay-Vorono¨ı – notations

110


AD ∂t BD +

nD

k=1

D · τ k + ∂t E

c2∞

Lk,⊥ D

D · τ k = 0 , LkD E

(BDk − BD ) = −

1 k J · τ , ε0 ε ∞

o` u Dk est le polygone de Delaunay voisin de D par l’arête ∂Dk . Enfin, comme pour la méthode de Yee, on discrétise le champ B à des demi-pas de temps

` et E a des pas de temps entiers : n+ 21

BD

n− 12

= BD

−

nD δt n

D LkD E · τ k , AD k=1

n · τ k −

n+1 · τ k = E E D D

δtc2∞ Lk,⊥ D

n+ 1

n+ 21

(BDk 2 − BD

)−

δt n+ 1 k J 2 · τ . ε0 ε ∞

Dans ces écritures, on se réserve le droit de faire encore des choix sur la 1 localisation spatiale de J n+ 2 en fonction du couplage. 9.3.2 Polarisation TM On obtient la formulation volumes finis en intégrant l’équation d’Ampère sur les polygones de Delaunay, l’équation de Faraday sur les arêtes de polygones de Vorono¨ı, et l’équation de Gauss sur les polygones de Vorono¨ı. Les équations pour la polarisation TM s’écrivent : →

+− rot E = 0 , ∂t B

=− 1 J, ∂t E − c2∞ rot B ε0 ε∞

·B

=0. ∇ On suppose alors que le champ E est constant sur les polygones de Delaunay

est constante sur les arêtes des polygones de et la partie tangentielle de B Vorono¨ı et linéaire sur les arêtes des polygones de Delaunay. De même que pour la polarisation TE, on obtient 1 1 n

n+ 2 · τ k = B

n− 2 · τ k + δt (E n k − ED B ), D D D Lk,⊥ D nD 1 1 δt c2∞ δt n+1 k n k n+ 2 ED = ED + J n+ 2 . LD BD · τ − AD ε0 ε ∞ D

k=1

` nouveau, on se réserve le droit de faire encore des choix sur la localisation A 1 spatiale de J n+ 2 en fonction du couplage, c’est pourquoi on garde l’intégrale spatiale pour cette variable.

10 Couplage Maxwell–Bloch

Comme pour les équations de Bloch, la première approche d’un couplage Maxwell–Bloch est due à l’équipe de R.W. Ziolkowski. Les premiers résultats correspondent a` un modèle unidimensionnel a` deux niveaux [36]. C’est le schéma de Crank–Nicolson qui est utilisé pour les équations de Bloch. Sur les cas tests présentés, les défauts inhérents à ce schéma n’apparaissent pas : pas de problèmes de positivité car seuls deux niveaux entrent en jeu, et pas de problème avéré de trace (qu’il est impossible de vérifier avec leur implémentation) car les temps de calculs ne sont pas suffisamment long pour que la déviation soit importante. Le type de couplage avec les équations de Maxwell est celui qui est désigné ci-après par couplage fort, qui est inutilement coˆ uteux en temps de calcul. R. Ziolkowski présente aussi des résultats bidimensionnels pour la modélisation de réseaux [35]. Pour tenir compte de géométries plus complexes, on pourrait réaliser des schémas aux éléments finis mais ceci n’a encore jamais été mis en œuvre (contrairement aux équations de Maxwell–Lorentz et Maxwell–Debye, cf. chapitre 11). En revanche, un schéma aux volumes finis a été développé par D. Reignier [23] dans le contexte bidimensionnel et ce schéma permet également de bien rendre compte des symétries naturelles (cf. paragraphe 10.5).

10.1 Expressions de la polarisation Par rapport aux équations de Maxwell seules, il faut discrétiser de plus P ou J = ∂t P dans l’équation d’Ampère. La littérature présente différents choix de variables a` discrétiser et de temps de discrétisations qui n’ont pas toutes la même efficacité. 10.1.1 Formulation via le calcul de P Dans le cas de l’équation de taux (cf. A.S. Nagra et R.A. York [21]) et de l’équation de Maxwell–Bloch bidimensionnelle [23], on effectue une

112


discrétisation de ∂t P au temps demi-entiers (n + 21 )δt. Comme ces références définissent les variables P et ρ aux temps entiers, on a Pn = Na Tr(pρn ), la dérivée temporelle de la polarisation s’approche naturellement par 1

(∂t P)n+ 2 ≃ (Pn+1 − Pn )/δt . Ce choix mène nécessairement aux méthodes fortement couplées décrites cidessous. 10.1.2 Formulation via le calcul de J Comme c’est la densité de courant J qui apparaˆıt naturellement dans l’équation d’Ampère, il n’y a aucune raison de passer par une discrétisation de la polarisation P. On a naturellement J = Na Tr(p∂t ρ) et on dispose de l’équation de Bloch (3.7) pour exprimer ∂t ρ en fonction de ρ. L’expression obtenue est indépendante du modèle de relaxation longitudinal choisi (cf. [7]) car p est à diagonale nulle : J = Na Tr(pRn(ρ)) +

i Na Tr(p[E · p, ρ]) .

Dans le cas particulier de la dimension un, on utilise une simplification qui est une application du lemme de cancellation 3.8 et J = Na Tr(pRn(ρ)) . Cette cancellation a été utilisée dans le cas général par D. Reignier [23] et dans le cas à deux niveaux par R. Ziolkowski [33, 34, 36]. Cette simplification prend tout son intérêt quand on utilise un couplage faible décrit ci-dessous. Cette même problématique du choix des variables a` discrétiser se retrouve pour les modèles de Maxwell–Debye et Maxwell–Lorentz (cf. chapitre 11). Elle se pose également de manière plus aiguë lors de la mise en place de schémas multidimensionnels pour les équations de Maxwell–Bloch lorsque la direction de propagation n’est pas un des axes principaux du matériau (si celui-ci est anisotrope).

10.2 Couplage fort avec le sch´ ema de Yee Le couplage fort consiste à discrétiser ρ aux mêmes points en espace–temps que E. En dimensions supérieures, il faudrait faire un choix car la localisation spatiale de toutes les composantes du champ électrique E n’est pas la même. Mais l’espace ne joue pas de rôle dans le présent discours et c’est le fait de discrétiser aux temps entiers qui rend le couplage fort. Ainsi R.W. Ziolkowski et D. Reignier choisissent ρnℓ ≃ ρ(nδt, ℓδz). Prenons comme exemple le schéma de Crank–Nicolson pour les équations de Bloch couplé avec l’équation d’Ampère en utilisant le calcul de ∂t P = ∂t Px . Celui-ci s’écrit

10.3 Couplage faible avec le schéma de Yee

ρn+1 + ρnℓ ρn+1 + ρnℓ ρn+1 − ρnℓ i Eℓn+1 + Eℓn ℓ = Rn( ℓ )+ [p, ℓ ], δt 2 2 2 n+ 1

113

(10.1)

n+ 1

2 2 Eℓn+1 − Eℓn ρn+1 + ρnℓ 1 Bℓ+ 21 − Bℓ− 21 ε 0 ε∞ =− − Na Tr(pRn( ℓ )) . (10.2) δt µ0 δz 2

Nous voyons sur ces formules qu’il faut effectuer une résolution par point fixe sur l’ensemble des équations de Bloch et d’Ampère et que cela a comme effet supplémentaire de coupler l’évolution par les équations de Bloch des différents points alors que la matrice densité ne voit qu’un champ local.

10.3 Couplage faible avec le sch´ ema de Yee Le choix de la localisation de la variable ρ exposé n+1 ci-dessus est tout à fait arbitraire. On peut tout ♥ e aussi bien discrétiser la matrice densité ρ aux u n mêmes temps que le déplacement magnétique B et cela a pour effet de découpler les équations. Pour effectuer un couplage faible, on choisit ℓ+1 ℓ n+ 1 Fig. 10.1: Schéma de Yee ρℓ 2 ≃ ρ((n + 12 )δt, ℓδz). pour Maxwell–Bloch

10.3.1 M´ ethode de Crank–Nicolson A nouveau, si on utilise le schéma de Crank–Nicolson, cela donne n+ 21

ρℓ

n+ 12

n− 12

− ρℓ δt

= Rn(

ρℓ

n− 21

+ ρℓ 2

n+ 1

n+ 21

ρ i ) + Eℓn [p, ℓ

n− 12

+ ρℓ 2

] , (10.3)

n+ 1

2 2 E n+1 − Eℓn 1 Bℓ+ 21 − Bℓ− 12 n+ 1 ε0 ε ∞ ℓ =− − Na Tr(pRn(ρℓ 2 )) . δt µ0 δz

(10.4)

Les effets de couplage des équations entre elles et de couplage des différents points pour les équations de Bloch disparaissent. De plus, le lien entre ρ et E est explicite (les parties implicites au sein de chaque équation sont linéaires) et aucun point fixe n’est nécessaire. Le gain en temps de calcul est naturellement important et cela ne se fait pas au détriment de la stabilité (cf. paragraphe 10.4.2). 10.3.2 M´ ethode du splitting Le même découplage, avec les mêmes avantages, est obtenu en utilisant un schéma de splitting pour l’équation de Bloch : n+ 21

ρℓ

n− 12

= SR (δt/2)SH (Eℓn )(δt)SR (δt/2)ρℓ

.

114


10.3.3 M´ ethode de la relaxation La méthode de la relaxation a été introduite dans [6, 7]. C’est un autre découplage du champ et de la matrice densité qui consiste à calculer les différents éléments de la matrice densité à des temps différents. On note ρd la partie diagonale de ρ et ρnd la partie extradiagonale de ρ. On calcule alors n+ 21

ρnd ℓ

n− 21

− ρnd ℓ δt

n+ 21

= Rn(

ρnd ℓ

n− 12

+ ρnd ℓ 2 n+ 21

ρnd ℓ i + Eℓn [p,

) n− 12

+ ρnd ℓ 2

+ ρd nℓ ] , n+ 21

ρd n+1 + ρd nℓ − ρd nℓ ρnd ℓ ρd n+1 i n+ 1 ℓ = Rn( ℓ ) + Eℓ 2 [p, δt 2

n− 21

+ ρnd ℓ 2

].

Dans [7], on montre que cela ne donne pas de bon résultats en temps long sur le cas test pour les équations de Bloch seules proposé au paragraphe 8.3. On peut supposer que cela est dˆ u au fait qu’il est physiquement aberrant de dissocier les populations des cohérences.

10.4 Illustration num´ erique 10.4.1 Pr´ ecision Nous comparons les méthodes pour la précision de leurs résultats sur le cas test de la transparence auto-induite qui a l’avantage de ne pas être pollué par les problèmes de positivité. Pour 100 points de discrétisation par longueur d’onde, les résultats pour les différents schémas de Crank–Nicolson et pour le schéma de splitting sont très proches comme le montre la figure 10.2. Ceci ne va pourtant pas de soi car d’autres méthodes peuvent donner de très mauvais résultats. C’est le cas de la méthode de la relaxation et dont le résultat est également présenté à la figure 10.2. Les différences entre les autres méthodes sont de l’ordre de quelques pourcents. On distingue mal les courbes sur la figure et il est impossible de discriminer entre elles car nous ne disposons pas de mesures. La méthode de Crank–Nicolson avec couplage fort et calcul de ∂t P est celle utilisée dans [36]. La limitation de 100 points par longueur d’onde est donnée dans cet article et on peut effectivement vérifier que la qualité des résultats se dégrade si moins de points sont utilisés. Un avantage supplémentaire de la méthode de splitting est qu’elle nécessite moins de points. Utiliser cette méthode avec 20 points par longueur d’onde (figure 10.3) suffit a` obtenir la même qualité de résultats et ceci paraˆıt un minimum absolu dans la mesure o` u les ondes de fréquences triples jouent un rˆ ole non négligeable et pour ces ondes, il n’y a plus que 6 points par longueur d’onde. Nous ne sommes pas capables d’expliquer pourquoi la méthode de splitting est supérieure aux autres a` cet


115

Populations 1 Crank (faible, P) Crank (fort ∂tP) Crank (faible ∂tP)

0,8

Relaxation Split-step

0,6 0,4 0,2 0

1

1,5

2 temps

2,5 −13

x 10

Cohérences 0,5

0

−0,5

1

1,5

2 temps

2,5 x 10

−13

Fig. 10.2. Comparaison des méthodes numériques pour 100 points par longueur ´ d’onde. Evolution temporelle de la population du niveau excité et de la cohérence

égard mais ceci vient s’ajouter à ses nombreux autres avantages et contribue a diminuer le temps de calcul. ` 10.4.2 Stabilit´ e Th´ eor` eme 10.1. Les schémas de Crank–Nicolson et de splitting pour les équations de Bloch faiblement couplés avec le schéma de Yee sont non linéairement L2 -stables pour δt ≤ δt0 et λ ≡ c∞ δt/δz ≤ λ0 < 1 o` u δt0 et λ0 ne dépendent que des coefficients des équations. Remarque 10.2. Cette condition CFL est du type (1 + Chωc λ/c∞ )λ2 < 1/2 et n’est donc pas beaucoup plus restrictive que celle obtenue pour le schéma de Yee, à savoir λ ≤ 1/2. Pour démontrer le théorème 10.1, on utilise les variables σ introduites au paragraphe 3.4. On peut ainsi bénéficier des estimations L2 du lemme 3.10. Preuve. Le couplage faible avec les équations de Bloch correspond a` l’expres1 sion suivante de Jn+ 2 :

116

10 Couplage Maxwell–Bloch Populations

1 Crank (faible, P) Crank (fort ∂tP) Crank (faible ∂tP)

0,8

Split-step

0,6 0,4 0,2 0

1

1,5

2 temps

2,5 −13

x 10

Cohérences 0,5

0

−0,5

1

1,5

2 temps

2,5 x 10

−13

Fig. 10.3. Comparaison des méthodes numériques pour 20 points par longueur d’onde

1

1

Jn+ 2 = Na Tr(pRn(σ n+ 2 )) +

1 1 i Na Tr(pEn+ 2 · [p, σ n+ 2 ])

1 i + Na Tr(pEn+ 2 · [p, ρe ]) .

(10.5)

Nous rappelons qu’il nous faut estimer deux quantités :

1 1 1 δt n+ 1 E 2 + En− 2 , Jn+ 2 + Jn− 2 , 4

2 1 1 1 1 c δt2 E2n = − ∞ rot Bn+ 2 + rot Bn− 2 , Jn+ 2 − Jn− 2 . 8

E1n = −

Il y a un facteur δt dans l’expression de E1n , nous allons donc effectuer la majoration en donnant des poids du même ordre en δt aux différentes quantités. 1 δt n+ 12 n− 12 2 n+ 12 n− 21 2 n ε0 ε∞ ωc E +E + J +J |E1 | ≤ 8 ε0 ε ∞ ω c


1 1 δt ε0 ε∞ ωc En+ 2 2 + En− 2 2 ≤ 4

1 1 1 Jn+ 2 2 + Jn− 2 2 + ε0 ε ∞ ω c

117

.

La majoration effectuée n’est bien sˆ ur qu’un exemple d’une telle majoration et on pourrait si nécessaire augmenter la contribution de tel ou tel terme pour amoindrir celle d’un autre terme. Or, d’après l’équation (10.5) et les estimations du lemme 3.10, 1

1

Jn+ 2 2 ≤ 3Na2 Tr(pRn(σ n+ 2 ))2 + 3

1 1 Na2 Tr(pEn+ 2 · [p, σ n+ 2 ])2 2

1 Na2 Tr(pEn+ 2 · [p, ρe ])2 2 1 1 N2 ≤ 3C4 Na2 p2c ωc2 σ n+ 2 2 + 6C5 2a p4c En+ 2 2 ,

+3

d’o` u

|E1n |

ωc δt ≤ 4

ε0 ε∞ + 6C5

Na2 p4c 2 ε0 ε∞ ωc2

1

1

En+ 2 2 + En− 2 2

1 1 N 2 p2 + 3C4 a c σ n+ 2 2 + σ n− 2 2 ε 0 ε∞

.

Dans E2n , il y a cette fois-ci un facteur δt2 , et nous allons donc effectuer la majoration en donnant les poids δt et 1/δt aux différentes quantités.

|E2n |

c2 δt2 ≤ ∞ 16

1 1 1 1 δtωc µ0 rot Bn+ 2 + rot Bn− 2 2 + Jn+ 2 − Jn− 2 2 µ0 δtωc

1 1 c2 δt3 ωc rot Bn+ 2 2 + rot Bn− 2 2 ≤ ∞ 8µ0

1 1 δt Jn+ 2 2 + Jn− 2 2 + 8ωc ε0 ε∞

1 1 ωc δt c2∞ δt2 rot Bn+ 2 2 + rot Bn− 2 2 ≤ 8 µ0

1 1 N 2 p4 + 6C5 2 a c 2 En+ 2 2 + En− 2 2 ε0 ε ∞ ω c

Na2 p2c n+ 1 2 n− 12 2 2 σ + σ + 3C4 . ε0 ε ∞

118


Ainsi n+ 1 E∞ 2

≤

n− 1 E∞ 2

ωc δt + 8

1 1 c2∞ δt2 rot Bn+ 2 2 + rot Bn− 2 2 µ0

1 18C5 Na2 p4c n+ 1 2 2 + En− 2 2 E + 2ε0 ε∞ + 2 ε0 ε∞ ωc2

1 9C4 Na2 p2c n+ 1 2 + . σ 2 + σ n− 2 2 ε0 ε∞

Le membre de droite est bien positif si δt est suffisamment petit. Nous affinerons ce point ultérieurement. Pour la suite de la preuve, il faut pouvoir estimer 1 1 σ n+ 2 2 , ce qui dépend clairement du schéma utilisé. La quantité σ n+ 2 2 1 est aussi l’intégrale spatiale de Tr(σ n+ 2 )2 .

Schéma de Crank–Nicolson 1 1 Si on note σ n = 21 (σ n+ 2 + σ n− 2 ), alors le schéma de Crank–Nicolson s’écrit 1 1 i Tr(σ n+ 2 )2 − Tr(σ n− 2 )2 = 2δtTr(Rn(σ n )σ n ) + 2 δtTr(En · [p, ρe ]σ n ) .

Pour obtenir cette expression nous bénéficions de l’annulation d’un terme en Tr([p, σ n ]σ n ) en vertu du lemme de cancellation 3.8. En intégrant en espace, on obtient 1

1

1

1

2

σ n+ 2 2 ≤ σ n− 2 2 + 2δtωc C2 (σ n+ 2 + σ n− 2 )/2 2 1 2 n+ 21 n− 21 n 2 E + Ec (σ +σ )/2 + δtC3 pc Ec 1 pc ≤ σ n+ 2 2 + 2C3 δt En 2 Ec

1 pc Ec n+ 1 2 + C2 δtωc + C3 δt σ 2 + σ n− 2 2 . En utilisant l’identité (9.8), on a En ≤

1 1 1 1 1 n+ 1 E 2 + En− 2 + δtc2∞ rot Bn+ 2 − rot Bn− 2 2 4 1 1 1 + δtc2∞ µ0 Jn+ 2 − Jn− 2 , 4


119

1 1 1 3 n+ 1 3 E 2 + En− 2 2 + δt2 c4∞ rot Bn+ 2 − rot Bn− 2 2 4 16 1 1 3 + δt2 c4∞ µ20 Jn+ 2 − Jn− 2 2 16

1 3 n+ 1 2 ≤ E 2 + En− 2 2 2

1 1 3 + δt2 c4∞ rot Bn+ 2 2 + rot Bn− 2 2 8

1 1 3 + δt2 c4∞ µ20 Jn+ 2 2 + Jn− 2 2 8

1 3 9 δt2 Na2 p4c n+ 1 2 E 2 + En− 2 2 + C5 2 2 2 ≤ 2 4 ε0 ε∞

1 1 3 2 4 + δt c∞ rot Bn+ 2 2 + rot Bn− 2 2 8

1 1 N 2 p2 9 + C4 δt2 ωc2 2a 2 c σ n+ 2 2 + σ n− 2 2 , 8 ε0 ε ∞

En 2 ≤

d’o` u une majoration de la matrice densité 1

1

σ n+ 2 2 ≤ σ n− 2 2

1 3 δt2 N 2 p4 n+ 1 2 E 2 + En− 2 2 1 + C5 2 2 a 2 c 2 ε0 ε ∞ 3 4

1 1 3 δt c∞ pc rot Bn+ 2 2 + rot Bn− 2 2 + C3 4 Ec 9 p c Ec δt3 ωc2 Na2 p3c + C3 C4 + C2 δtωc + C3 δt × 4 Ec ε20 ε2∞

1 1 × σ n+ 2 2 + σ n− 2 2 .

+3C3 δt

pc Ec

Nous définissons une nouvelle énergie qui tient compte de la matrice densité :

E

n+ 21

1 = 2

1 1 1 1 c2 δt2 Bn+ 2 2 − ∞ rot Bn+ 2 2 + ε0 ε∞ En+ 2 2 µ0 4µ0 1

+ Na ωc σ n+ 2 2

.

Nous regroupons finalement les estimations précédentes pour obtenir une estimation sur cette énergie spécifique aux équations de Maxwell–Bloch :

120

10 Couplage Maxwell–Bloch 1

1

E n+ 2 ≤ E n− 2

1 1 ωc δt c2∞ δt2 Na c2∞ pc µ0 rot Bn+ 2 2 + rot Bn− 2 2 + 1 + 3C3 8 µ0 Ec Na p c N 2 p4 3 δt2 N 2 p4 + 2ε0 ε∞ + 18C5 2 a c 2 + 12C3 × 1 + C5 2 2 a 2 c ε0 ε ∞ ω c Ec 2 ε 0 ε∞

1 1 × En+ 2 2 + En− 2 2 9 δt2 ωc2 Na2 p3c N 2 p2 × + 9C4 a c + 4Na C2 ωc + C3 pc Ec + C3 C4 ε0 ε∞ 4 Ec ε20 ε2∞

n+ 12 2 n− 21 2 + σ × σ . De manière condensée, il existe trois constantes sans dimension CB , CE (δt) et Cσ (δt) qui ne dépendent que des coefficients du modèle telles que 1

1 1 1 c2∞ δt2 ωc δtCB rot Bn+ 2 2 + rot Bn− 2 2 2 4µ0

1 1 1 + ε0 ε∞ ωc δtCE (δt) En+ 2 2 + En− 2 2 2

1 1 1 (10.6) + Na ωc ωc δtCσ (δt) σ n+ 2 2 + σ n− 2 2 . 2 1

E n+ 2 ≤ E n− 2 +

Leur valeur exacte dépend beaucoup des choix effectués pour les majorations. ome de degré 1 Par contre, leur forme générale, constante pour CB et polynˆ en δt2 pour CE (δt) et Cσ (δt), est générique. Avant de conclure, nous allons obtenir une majoration semblable a` (10.6) pour le schéma de splitting.

Schéma de splitting Nous traitons ici le cas du schéma d’ordre deux choisi pour des raisons de raideur, les autres schémas de splitting se traitant de manière analogue : 1

1

σ n+ 2 = SR (δt/2)SH (En )(δt)SR (δt/2)σ n− 2 . On utilise les estimations obtenues au lemme 8.1. Ainsi : SR (δt/2)σ2 ≤ eCR ωc δt/2 σ2 , δtωc n 2 2 n 2 CH ωc δt SH (E )(δt)σ ≤ e σ + 2 E . Ec En composant ces estimations, on obtient


121

1

1

σ n+ 2 2 ≤ eCR ωc δt/2 SH (En )(δt)SR (δt/2)σ n− 2 2 1 δtωc ≤ eCR ωc δt/2 eCH ωc δt SR (δt/2)σ n− 2 2 + 2 En 2 Ec 1 δtωc ≤ eCR ωc δt/2 eCH ωc δt eCR ωc δt/2 σ n− 2 2 + 2 En 2 Ec 1 δtω c ≤ e(CR +CH )ωc δt σ n− 2 2 + 2 e(CR /2+CH )ωc δt En 2 . Ec Si δt ≤ δt1 (que l’on peut choisir de manière arbitraire), il existe deux constantes C˜σ et C˜E , ne dépendant que de CR , CH et δt1 (c’est-à-dire des paramètres de l’équation de Bloch et de δt1 ) telles que 1 1 ωc δt σ n+ 2 2 ≤ (1 + C˜σ ωc δt)σ n− 2 2 + 2 (1 + C˜E ωc δt)En 2 . Ec

En combinant ceci aux estimations précédentes, on trouve a` nouveau la majoration (10.6) mais avec cette fois-ci de nouvelles formes pour les coefficients : ome de degré 1 en δt et Cσ (δt) CB est toujours constante, CE (δt) est un polynˆ est constante. Conclusion Pour les deux types de schémas, nous pouvons maintenant réécrire l’équation (10.6) sous la forme 1 1 1 1 c2 δt2 Bn+ 2 2 − (1 + ωc δtCB ) ∞ rot Bn+ 2 2 2µ0 2 4µ0 1 ε0 ε ∞ (1 − ωc δtCE (δt))En+ 2 2 + 2 1 Na ωc (1 − ωc δtCσ (δt))σ n+ 2 2 + 2 1 1 1 c2 δt2 1 ≤ Bn− 2 2 − (1 − ωc δtCB ) ∞ rot Bn− 2 2 2µ0 2 4µ0 1 ε0 ε ∞ (1 + ωc δtCE (δt))En− 2 2 + 2 1 Na ωc (1 + ωc δtCσ (δt))σ n− 2 2 . + 2

Soit δt0 le plus grand δt tel que (1 + ωc δtCB )

δt2 2 c /h2 < 1/2 , ωc δtCE (δt) ≤ 1 et ωc δtCσ (δt) ≤ 1 . 4 ∞

Alors, de manière analogue a` la proposition 9.10, le membre de gauche de l’inégalité précédente est positif, si δt ≤ δt0 . Avec la notation λ = c∞ δt/h, la majoration de la proposition 9.10 implique que

122


1 2λ2 δt2 2 n+ 21 2 n+ 21 2 c (1 − ω δtC ) B rot B − c B 2µ0 1 − 2λ2 4 ∞ 1 1 ε0 ε ∞ Na ωc + (1 − ωc δtCE (δt))En+ 2 2 + (1 − ωc δtCσ (δt))σ n+ 2 2 2 2 1 2λ2 δt2 2 1 n− 2 2 n− 12 2 c rot B ωc δtCB ) B − (1 + ≤ 2µ0 1 − 2λ2 4 ∞ 1 1 ε0 ε ∞ Na ωc + (1 + ωc δtCE (δt))|En− 2 2 + (1 + ωc δtCσ (δt))σ n− 2 2 . 2 2 Pour que les coefficients soient positifs, on suppose que λ2 ≤ λ20 ≡

1 ε∞ et ainsi ε′s > 1. Le polynˆ de degré 2. Enfin 1 † (ϕ (0)ϕ1 (Z) − ϕ1 (0)ϕ†1 (Z)) Z 1 ' ( = 4δ 2 (ε′s − 1)r(ξ) (4ε′s − (ε′s − 1)r(ξ))Z − (4ε′s − (ε′s + 1)r(ξ)) .

ϕ2 (Z) =

Le cas o` u ε′s = 1 donne lieu a` un polynˆ ome ϕ2 identiquement nul. On calcule alors ' ( ϕ′1 (Z) = 2δ 4Z + (−4 + 2r(ξ)) . Il est raisonnable de supposer que l’on n’obtiendra pas un meilleur résultat qu’avec le schéma de Yee seul (λ < 1) et donc r(ξ) ∈]0, 4[. Ainsi la racine de ϕ′1 est bien de module inférieur a` 1 et le polynˆ ome ϕ0 est de von Neumann simple. Dans le cas o` u ε′s > 1,

136

11 Modèles classiques

4 < 4ε′s − (ε′s − 1)r(ξ) < 4ε′s , et le polynˆ ome ϕ2 est bien de degré 1. La racine de ϕ2 est Z=

4ε′s − (ε′s + 1)r(ξ) . 4ε′s − (ε′s − 1)r(ξ)

Comme r(ξ) ∈]0, 4[, cette racine de ϕ2 est bien de module < 1 et ϕ0 est un polynˆ ome de Schur. Nous obtenons donc la stabilité sous la seule hypothèse λ < 1. ⊓ ⊔ Mod` ele de Maxwell–Lorentz Pour le modèle de Lorentz, Petropoulos compare les méthodes de Joseph et al. [16] et Kashiwa et al. [18]. Il dit que le schéma de Joseph et al. est toujours “faiblement instable” alors que celui de Kashiwa et al. est stable pour λ < √ 1/ 2. La proposition suivante donne un résultat rigoureux pour le schéma de Joseph et al. Proposition 11.2. Le schéma (11.1)–(11.2)–(11.6) pour les équations de Maxwell–Lorentz unidimensionnel est stable sous la condition √ δt < δx/ 2c∞ . Preuve. Pour le modèle de Joseph et al., les deux premières équations (Faraday et Ampère) sont inchangées (par rapport au modèle de Maxwell–Debye). Par contre, la loi de comportement peut s’écrire dans un premier temps ν1 δt ε′s ω12 δt2 ν1 δt ε′s ω12 δt2 1+ + + Eℓn+1 = 2Eℓn − 1 − Eℓn−1 2 2 2 2 1 + (Dn+1 − 2Dℓn + Dℓn−1 ) ε0 ε∞ ℓ ν1 δt + (Dn+1 − Dℓn−1 ) 2ε0 ε∞ ℓ ω 2 δt2 + 1 (Dn+1 + Dℓn−1 ) . 2ε0 ε∞ ℓ En utilisant la formule explicite (calculée au paragraphe précédent et inchangée) pour calculer Dℓn+1 − Dℓn et la formule implicite d’origine pour calculer Dℓn − Dℓn−1 , on obtient 1 n n (Dn+1 − 2Dℓn + Dℓn−1 ) = λ2 (Eℓ+1 − 2Eℓn + Eℓ−1 ), ε 0 ε∞ ℓ 1 n− 1 n− 1 (Dℓn+1 − Dℓn−1 ) = −2λ(c∞ Bℓ+ 12 − c∞ Bℓ− 12 ) 2 2 ε0 ε∞ 2 n n n +λ (Eℓ+1 − 2Eℓ + Eℓ−1 ) , 1 2 n n (Dℓn+1 + Dℓn−1 ) = Dn + λ2 (Eℓ+1 − 2Eℓn + Eℓ−1 ). ε0 ε∞ ε0 ε∞ ℓ

11.1 Modèles discrets de type Yee

137

Ainsi

ν1 δt ε′s ω12 δt2 Eℓn+1 + 1+ 2 2 ν1 δt ω12 δt2 n n n + − 2Eℓn + Eℓ−1 ) =2Eℓ + 1 + λ2 (Eℓ+1 2 2 ν1 δt ε′s ω12 δt2 − 1− + Eℓn−1 2 2 1 n− 1 n− 1 − ν1 δtλ(c∞ Bℓ+ 12 − c∞ Bℓ− 12 ) + ω12 δt2 Dn . 2 2 ε0 ε ∞ ℓ

En couplant avec les équations d’Ampère et de Faraday, on obtient un schéma n− 1 explicite portant sur la variable Uℓn = t (c∞ Bℓ+ 12 , Eℓn , Eℓn−1 , Dℓn /ε0 ε∞ ). On 2 √ définit deux temps renormalisés δ = ν1 δt/2 et δ ′ = ω1 δt/ 2 et on conserve la définition précédente de r(ξ). La matrice d’amplification s’écrit ⎛ ⎞ 1 −λ(eiξ − 1) 0 0 ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ′2 ⎜ 2δλ(1 − e−iξ ) 2 − r(ξ)(1 + δ + δ ′ 2 ) 1 − δ + δ ′ 2 ε′s ⎟ 2δ ⎟ ⎜− − ⎜ 2 2 2 2 G = ⎜ 1 + δ + δ ′ ε′s 1 + δ + δ ′ ε′s 1 + δ + δ ′ ε′s 1 + δ + δ ′ ε′s ⎟ ⎟. ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎠ ⎝ 0 1 0 0 −λ(1 − e−iξ )

−r(ξ)

0

1

Son polynˆ ome caractéristique est proportionnel a` 2

2

2

ϕ0 (Z) = (1 + δ + δ ′ ε′s )Z 4 + (−4 − 2δ − 2δ ′ ε′s + (1 + δ + δ ′ )r(ξ))Z 3 2

+(6 + 2δ ′ ε′s − 2r(ξ))Z 2 2

2

2

+(−4 + 2δ − 2δ ′ ε′s + (1 − δ + δ ′ )r(ξ))Z + (1 − δ + δ ′ ε′s ) .

Cas r(ξ) = 0 Le cas r(ξ) = 0 donne a` nouveau lieu a` une étude séparée. On a alors ' ( 2 ϕ0 (Z) = (Z − 1)2 (Z − 1)2 + δ(Z 2 − 1) + δ ′ ε′s (Z 2 + 1) . La matrice d’amplification correspondante est ⎛ 1 0 0 0 ⎜ ⎜ 2 2 ⎜ 2 2δ ′ 1 − δ + δ ′ ε′s ⎜0 − ⎜ G = ⎜ 1 + δ + δ ′ 2 ε′s 1 + δ + δ ′ 2 ε′s 1 + δ + δ ′ 2 ε′s ⎜ ⎜ ⎝0 1 0 0 0 0 0 1

⎞

⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟. ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

138


On remarque alors que si 1 est bien valeur propre double, on peut séparer l’espace des phases en deux sous-espaces stables, contenant chacun un des vecteurs propres associés à la valeur propre 1. Ceci ne donne donc a priori pas lieu a` une instabilité, modulo le fait que l’on établisse que le polynˆ ome restant est de Schur. Posons ainsi 2

ϕ˜0 (Z) = (Z − 1)2 + δ(Z 2 − 1) + δ ′ ε′s (Z 2 + 1) 2

2

= (1 + δ + δ ′ ε′s )Z 2 − 2Z + (1 − δ + δ ′ ε′s ) .

La condition |ϕ˜0 (0)| < |ϕ˜†0 (0)| est toujours assurée. On définit alors par récurrence 2 ϕ˜1 (Z) = 4δ((1 + δ ′ ε′s )Z − 1) , qui est bien un polynˆ ome de Schur, ce qui assure la stabilité dans le cas r(ξ) = 0. Cas r(ξ) = 0 On calcule successivement ' 2 2 2 ϕ1 (Z) = 2δ 2(1 + δ ′ ε′s )Z 3 + (−6 − 4δ ′ ε′s + (2 + δ ′ (1 + ε′s ))r(ξ))Z 2 ( 2 2 + (6 + 2δ ′ ε′s − 2r(ξ))Z + (−2 − δ ′ (ε′s − 1)r(ξ)) , 2' 2 2 ϕ2 (Z) = 4δ 2 δ ′ {4ε′s (2 + δ ′ ε′s ) − 4(ε′s − 1)r(ξ) − δ ′ (ε′s − 1)2 r(ξ)2 }Z 2 2

2

+ {−8ε′s (2 + δ ′ ε′s ) + 4((ε′s − 1) + ε′s (2 + δ ′ ε′s ))r(ξ) − 2(ε′s − 1)r(ξ)2 }Z

2

2

+ 4ε′s (2 + δ ′ ε′s ) − 4(ε′s − 1)(2 + δ ′ ε′s )r(ξ) 2

2

( 2 + (2 + δ ′ (1 + ε′s ))(ε′s − 1)r(ξ)2 ,

ϕ3 (Z) = 64δ 2 δ ′ (ε′s − 1)(1 + δ ′ ε′s )r(ξ)(−2 + r(ξ)) × ' 2 2 × {4ε′s (2 + δ ′ ε′s ) − (ε′s − 1)(6 + 2δ ′ ε′s )ε′s )r(ξ) + (ε′s − 1)(1 + δ ′2 )r(ξ)2 }Z

( 2 2 −(4ε′s (2 + δ ′ ε′s ) − 2((ε′s − 1) + (2 + δ ′ ε′s ))r(ξ) + (ε′s − 1)r(ξ)2 ) .

La racine de ϕ3 est

2

Z=

(2 − r(ξ))(2ε′s (2 + δ ′ ε′s ) − (ε′ − 1)r(ξ)) 2

(2 − r(ξ))(2ε′s (2 + δ ′ 2 ε′s ) − (ε′s − 1)r(ξ)) + 2(2 + δ ′ ε′s )r(ξ) 2 + (ε′s − 1)(1 + δ ′ )r(ξ)2

,

forme sous laquelle, on voit facilement que Z reste de module ≤ 1 si r(ξ) ∈]0, √2[, qui est la condition pour un schéma de Yee multidimensionnel (λ < 1/ 2). Il reste à vérifier les propriétés intermédiaires. Tout d’abord, les

11.2 Schémas aux éléments finis

139

polynˆ omes ϕ1 et ϕ2 sont bien de degré 3 et 2 respectivement. Le polynôme ϕ3 est degré 1 à condition que ε′s > 1. Si ε′s = 1, il est identiquement nul et ( 2 2 ' ϕ2 (Z) = 16δ 2 δ ′ (2 + δ ′ ) Z 2 + (−2 + r(ξ))Z + 1 , ( 2 2 ' ϕ′2 (Z) = 16δ 2 δ ′ (2 + δ ′ ) 2Z + (−2 + r(ξ)) . La racine de ϕ′2 est bien de module < 1 si r(ξ) ∈]0, 2[, le polynˆ ome ϕ2 est donc de von Neumann simple modulo la vérification des estimations reliant 2

ϕ0 (0) = 1 − δ + δ ′ ε′s , 2

ϕ†0 (0) = 1 + δ + δ ′ ε′s , ' ( 2 ϕ1 (0) = 2δ − 2 − δ ′ (ε′s − 1)r(ξ) , ' ( 2 ϕ†1 (0) = 2δ 2(1 + δ ′ ε′s ) , 2' 2 2 ϕ2 (0) = 4δ 2 δ ′ 4ε′s (2 + δ ′ ε′s ) − 4(ε′s − 1)(2 + δ ′ ε′s )r(ξ) ( 2 + (2 + δ ′ (1 + ε′s ))(ε′s − 1)r(ξ)2 , ( 2' 2 2 ϕ†2 (0) = 4δ 2 δ ′ 4ε′s (2 + δ ′ ε′s ) − 4(ε′s − 1)r(ξ) − δ ′ (ε′s − 1)2 r(ξ)2 . Il est clair que pour r(ξ) ∈]0, 2[, on a |ϕ0 (0)| < |ϕ†0 (0)| et |ϕ1 (0)| < |ϕ†1 (0)|. Un simple calcul montre que ϕ2 (0) = 4δ 2 δ ′

2'

ϕ†2 (0) = 4δ 2 δ ′

2'

2

2

(2 − r(ξ))2 (2(1 + δ ′ )(ε′s − 1) + δ ′ (ε′s − 1)2 ) ( 2 2 + 8 + 4δ ′ + 4δ ′ (ε′s − 1)r(ξ) , (2 − r(ξ))(4(ε′s − 1) + δ ′2 (ε′s − 1)2 r(ξ)) ( 2 2 + 8 + 4δ ′ + 8δ ′ (ε′s − 1) .

Ces deux quantités sont donc positives. Par ailleurs 2

2

ϕ†2 (0) − ϕ2 (0) = 8δ 2 δ ′ (1 + δ ′ ε′s )(ε′s − 1)r(ξ)(2 − r(ξ)) > 0 . ome On a donc bien vérifié toutes les hypothèses. Si ε′s = 1, alors on a un polynˆ de von Neumann simple et, si ε′s > 1, on a un polynˆ ome de Schur. ⊓ ⊔

11.2 Sch´ emas aux ´ el´ ements finis Huynh [13, 15] traite des modèles de Maxwell–Debye et Maxwell–Lorentz avec une non linéarité Kerr a` la fois d’un point de vue plus théorique en montrant que les équations sont conservatives et des résultats de convergence. Par

140


ailleurs, il réalise l’intégration du schéma récursif dans un code qui discrétise les équations de Maxwell par des éléments finis conformes dans H0 (rot) pour E (élément de Nédélec) et des éléments finis conformes dans H(div) pour E (élément de Raviart-Thomas-Nédélec).

´ 11.3 Equations d’enveloppe Contrairement aux couplages Maxwell–Bloch, Maxwell–Debye ou Maxwell– Lorentz, il existe une littérature très abondante traitant de la discrétisation des équations de Schr¨ odinger non linéaires, de couplages d’équations de Schr¨ odinger (une pour chaque fréquence et chaque direction de propagation considérées) ou de couplages basés sur des équations de Schr¨ odinger comme l’équation d’Hazegawa [14], etc. Cette littérature est d’autant plus étendue que l’optique n’est pas le seul contexte de dérivation d’équations de type Schr¨ odinger, la mécanique des fluides fournissant aussi des couplages de ce type et on peut par exemple penser aux équations de Davey–Stewartson. Comme cela sort du pur cadre de l’optique quantique, nous ne donnons qu’une revue très élémentaire des méthodes utilisées. Les discrétisations en espace relèvent de deux principaux types : les méthodes aux différences finies et celles aux éléments finis. Ces dernières sont développées dans [1, 2]. Celles aux différences finies butent sur une difficulté à traiter a` la fois la partie linéaire (comportant un laplacien) et la partie non linéaire. Ceci se traduit sur le schéma utilisé en temps. Certains séparent deux parties pour former des méthodes de splitting (ou des pas fractionnaires) [29, 5]. Ceci permet de traiter éventuellement le laplacien dans le domaine fréquentiel de manière à pouvoir utiliser une transformée de Fourier rapide, voire de séparer encore le traitement des différentes directions, pour obtenir ce que l’on appelle une méthode de directions alternées. Si on ne veut pas séparer le traitement des différents termes de l’équation, la méthode de loin la plus courante est celle de Crank–Nicolson [10] qui est un centrage en temps de toutes les variables, mais on trouve aussi les méthodes de Runge–Kutta [2, 17], des méthodes symplectiques [24, 25] ou des méthodes de relaxation [3, 4].

Tendances pour l’avenir

Nous avons présenté les résultats mathématiques sur les équations de Bloch et de Maxwell–Bloch ainsi qu’un certain nombre d’approximations de ces systèmes qui sont souvent confondus dans la littérature physique avec les modèles initiaux. Si la présentation est faite du point de vue du mathématicien, le point important pour progresser de manière utile dans ce domaine est de toujours essayer de rester le plus près possible des intérêts des physiciens, par des collaborations nombreuses et variées. Ces intérêts vont dans deux directions antagonistes : la simplification et l’enrichissement du modèle. Simplification, car il est difficile d’isoler des phénomènes physiques sur le modèle complet ; simplification aussi, car les schémas numériques sont très coˆ uteux a` mettre en œuvre sur le modèle complet, principalement si l’on considère des dépendances en toutes les variables d’espace. Les enrichissements, quant à eux, consistent à tenir compte d’une physique plus complexe : anisotropie, dégénérescences ou presque-dégénérescences, . . . Enfin, il se pose encore quelques problèmes d’essence purement mathématique. Nous décrivons ci-après quelques thématiques de recherche qui sont actuellement en cours.

Simplifications du mod` ele A la figure 11.1, on représente les principaux modèles décrits dans ce livre pour le champ et le milieu, allant de la gauche vers la droite schématiquement du plus complexe au plus simple. Nous avons présenté dans cet ouvrage deux asymptotiques rigoureuses. La première permet de passer du modèle de Maxwell–Bloch a` l’équation de Schr¨ odinger non linéaire [6]. C’est la transition la plus radicale sur la figure 11.1 et pour la réaliser il faut se placer dans des hypothèses restrictives : faible interaction, faible inversion, faible amplitude. La seconde asymptotique n’utilise que l’hypothèse de faible interaction mais est beaucoup plus modeste :

146


Schr¨ odinger

Maxwell

Champ

Polarisation

Bloch

Kerr

Milieu

taux

Lorentz

Debye

Fig. 11.1. Une hiérarchie de modèles

elle consiste uniquement à passer des équations de Bloch aux équations de taux avec un champ électrique prescrit [3]. Dans les deux cas, le gain est important en terme de coˆ ut de calcul : on supprime l’échelle de temps la plus rapide, c’est-à-dire celle correspondant aux fréquences propres du matériau en résonnance avec l’onde électromagnétique. Cette échelle est en général de l’ordre de grandeur de la femtoseconde, soit 10−15 s. Pour le modèle de Schr¨ odinger, la nouvelle échelle de temps est de la durée d’impulsion qui est en général plus élevée de plusieurs décades. Lorsque la durée d’impulsion est de l’ordre de la “fréquence”, il faut utiliser des asymptotiques spécifiques aux impulsions ultracourtes. Un premier travail sur ce sujet est réalisé dans la thèse de K. Barrailh-Laurioux [1]. Pour l’équation de taux, l’échelle de temps est celle du temps de relaxation a` savoir de l’ordre de la nanoseconde, soit 10−9 s, dans le pire des cas (voir l’appendice A). Il reste à trouver le cadre qui permettrait d’avoir des modèles intermédiaires dans la hiérarchie. Une fois ces asymptotiques réalisées, se pose la question des limites de validité de chacun des modèles. Si le modèle le plus précis peut être utilisé a priori dans toutes les situations, il s’avère d’un coˆ ut prohibitif pour la plupart des simulations numériques. Il serait donc souhaitable de pouvoir valider les modèles asymptotiques pour les plus grandes plages de paramètres possibles et de déterminer rigoureusement quel modèle minimal utiliser pour quel phénomène.

Enrichissements du mod` ele Des enrichissements du modèle de Maxwell–Bloch sont actuellement en cours d’étude dans deux contextes particuliers : les milieux cristallins (pour les-


147

quels il faut prendre en compte le groupe de symétrie du cristal) et les milieux aléatoires. Dans les deux cas, la théorie n’est jamais présentée dans la littérature physique. En revanche, on dispose de mesures de certaines quantités macroscopiques du matériau. Il s’agit donc de déterminer les caractéristiques du modèle de Bloch. Milieux cristallins Alors que dans le cas de milieux isotropes, on peut faire intervenir un unique état par niveau d’énergie, ce n’est plus le cas pour des milieux cristallins. Pour pouvoir décrire un phénomène, il convient ainsi de déterminer le nombre de niveaux d’énergie utiles mais également le degré de dégénérescence de chacun des niveaux. Pour attaquer ce problème, on dispose de modèles phénoménologiques, telles les formules de Sellmeier [17], qui donnent les susceptibilités linéaires pour un grand nombre de cristaux utiles en optique comme le KDP. Ce cristal est couramment utilisé comme doubleur de fréquence dans les chaˆınes optiques, c’est donc un matériau type qu’il faudrait savoir modéliser correctement au niveau quantique. Une méthodologie générale de dérivation de modèles quantiques à partir de ces mesures est définie dans [2, 13, 14]. Les dégénérescences sont prises en compte dans les modèles de Maxwell– Bloch en optique géométrique [9]. L’influence des presque-dégénérescences dans l’asymptotique vers les équations de taux est le sujet de la référence [4]. Par ailleurs, dans la relation D = ε0 ε∞ E + P, la susceptibilité relative ε∞ est un tenseur dans le cas des cristaux et ce tenseur n’est pas diagonal si l’onde incidente n’est pas polarisée selon les axes principaux du cristal, ce qui est généralement le cas pour avoir accord de phase. Ce point ne complexifie pas particulièrement le modèle théorique, mais est source de difficultés supplémentaires pour la simulation numérique car les différentes polarisations de l’onde se trouvent plus intimement couplées. Milieux aléatoires Dans la plupart des matériaux optiques considérés, les paramètres physiques tels les fréquences de transition, les moments dipolaires, . . . sont des constantes, connues parfois de manière imparfaite mais constantes. A partir de ces données, on cherche à décrire au mieux la propagation d’une onde électromagnétique à travers ce matériau. Dans les milieux aléatoires comme par exemple les boˆıtes quantiques dans les matériaux semi-conducteurs. Ces grandeurs n’ont plus de valeur définie et on espère pouvoir reconstituer les statistiques de distribution de ces paramètres à partir de mesures très simples en sortie telles la polarisation de l’onde. Le problème à résoudre est donc un problème inverse du point de vue de l’analyse mathématique et un problème d’identification de paramètres du point de vue de l’analyse numérique. Nombre infini de niveaux Le nombre de niveaux d’énergie est a priori infini. L’énergie des niveaux est bornée supérieurement par l’énergie d’ionisation. Pourtant, dans toute la littérature, la première simplification effectuée consiste a se ramener à un nombre fini de niveaux. C’est également ce point de vue ` qui est adopté dans cet ouvrage. La raison habituellement invoquée est que

148


l’onde n’interagit qu’avec un nombre fini de niveaux et qu’il suffit d’intégrer les échanges possibles avec d’autres niveaux dans le terme de relaxation. Des travaux commencent à porter sur le nombre infini de niveaux. C’est le cas de ceux traitant du passage des équations de Bloch a` l’équation de taux dans le cas dégénéré ou non [3, 4]. On peut également traiter le problème de Cauchy pour les équations de Maxwell–Bloch avec un nombre infini de niveaux. Par ailleurs, sous des hypothèses de décroissance, on peut dériver des équations de taux pour un nombre fini de niveaux, a` partir d’équations de Bloch pour un nombre infini de niveaux. C’est une autre fa¸con de justifier la restriction a` un nombre fini de niveaux usuellement adoptée. Ceci est d’autant plus important qu’en analysant l’équation de taux a` nombre infini de niveaux, on se rend compte que le comportement en grand temps n’est pas la convergence vers un état d’équilibre s’il y a une interaction avec l’onde (cela marche pour le modèle de Pauli seul). Il est probable que le même problème se pose pour le modèle de Bloch complet.

A Constantes physiques

Pour pouvoir donner des ordres de grandeur fiables, il faut utiliser des unités cohérentes. Différents systèmes coexistent (système gaussien, système MKS) et leurs liens sont par exemple décrits dans [5]. Nous choisissons ici d’utiliser le système MKS.

A.1 Pr´ efixes et symboles 10−3 10−6 10−9 10−12 10−15 10−18

milli micro nano pico femto atto

103 106 109 1012 1015 1018

m µ n p f a

kilo mega giga tera peta exa

k M G T P E

A.2 Le syst` eme MKS Le nom de ce système provient des trois unités de base : le mètre (m) pour les longueurs, le kilogramme (kg) pour les masses et la seconde (s) pour les temps. A partir de ces trois unités et en utilisant la deuxième loi de Newton F=m

dv , dt

on en déduit une unité pour les forces, le Newton (N) qui équivaut a` kg m s−2 . L’unité d’énergie est alors le Joule (J) qui équivaut a` N m. Pour les besoins de l’électromagnétisme, on ajoute une unité de base aux trois unités précédentes, l’unité de charge, le Coulomb (C), qui permet entre autres de donner la charge de l’électron e (cf. infra). La loi de Lorentz F = e(E + v ∧ B) ,

150

A Constantes physiques

permet alors de déduire les unités pour les champs E et B. Pour les exprimer de manière plus condensée, on a l’habitude d’introduire de nouvelles unités : – le Volt (V) qui équivaut a` J C−1 , – l’Ampère (A) qui équivaut a` C s−1 , – le Henry (H) qui équivaut a` V s A−1 , – le Farad (F) qui équivaut a` C V−1 . On exprime alors les champs E en V m−1 et B en V s m−2 . Nous utilisons aussi une unité de température, le Kelvin (K), qui est également une unité de base. Enfin, pour être complet, il existe encore deux autres unités de base qui ne nous servent pas dans ce document : l’unité de luminosité, le candela (cd) et l’unité de quantité de matière, la mole (mol).

A.3 Constantes universelles Nom

Symbole

Charge électronique Constante de Boltzmann Constante de Dirac Constante de Planck Perméabilité du vide Permittivité du vide Vitesse de la lumière

e κ h µ0 ε0 c

Valeur (unités MKS) 1, 60218 × 10−19 C 1, 38066 × 10−23 J K−1 1, 05457 × 10−34 J s 6, 62618 × 10−34 J s 4π × 10−7 H m−1 8, 85419 × 10−12 F m−1 2, 997925 × 108 m s−1

A.4 Unit´ es des variables en optique non lin´ eaire Variable

E B P p Na e µ0 ε0 c J

unité usuelle

(m,J,s,C)

V m−1 V s m−2

J C−1 m−1 J C−1 m−2 s C m−2 Cm m−3 C Js J C−2 s2 m−1 C2 J−1 m−1 m s−1 C m−2 s−1

m−3 C Js H m−1 F m−1 m s−1

B Mesures physiques

B.1 Longueurs d’ondes La source du tableau ci-après est [7] qui par ailleurs décrit simplement et de manière assez complète le fonctionnement des lasers les plus courants. Nous donnons les longueurs d’ondes en unités S.I., à savoir le mètre et ses ´ sous-multiples. Etant donné le lien canonique entre les longueurs d’onde λ (en m), les fréquences ω = c/λ (en rad s−1 ) et les niveaux d’énergie E = ω (en J), il n’est pas rare de trouver dans la littérature des énergies de transition données en cm−1 ... Type de laser

lasers à solides rubis : Cr+++ –(Al2 O3 ) néodyme holmium : Ho+++ –YAG erbium : Er+++ –YAG europium lasers à gaz hélium–néon argon ionisé krypton ionisé hélium–cadmium gaz carbonique (CO2 , N2 ) protoxyde d’azote (N2 O) oxyde de carbone (CO) acide fluorhydrique (HF) acide cyanhydrique (HCN) vapeur d’eau

Longueurs d’ondes

0,6943 µm 1,06 µm 2,1 µm 2,94 µm 0,613 µm 3,39 µm, 1,15 µm, 0,6328 µm 0,4880 µm, 0,4965 µm, 0,5145 µm 0,6471 µm 0,325 µm 10,6 µm, 9,6 µm 10,8 µm 5,4 µm 3 µm 337 µm 118 µm, 28 µm

152

B Mesures physiques

lasers à semi-conducteurs semi-conducteurs lasers à colorants alexandrite : Cr+++ –BeAl2 O4 cobalt–fluorure de magnésium titane–saphir : Ti+++ –Al2 O3 lasers paramétriques niobate de lithium : LiNbO3 masers NH3 H

accordables entre 0,6 µm et 30 µm accordable entre 0,7 µm et 0,8 µm accordable entre 1,75 µm et 2,5 µm accordable entre 0,7 µm et 1,1 µm 2,5 µm 1,25 cm 21,1 cm

B.2 Temps caract´ eristiques Mécanisme physique

Temps caractéristique

Déformation des orbitales électroniques Vibration moléculaire Réorientation moléculaire ´ Electrostriction Transferts thermiques

10−15 s 10−13 s 10−11 à 10−12 s 10−8 à 10−9 s 10−1 à 1 s

B.3 Valeurs de n0 et n2 Lorsque plusieurs valeurs sont données, elles correspondent à différentes sources bibliographiques (dispositifs expérimentaux de détermination du n2 différents) Matériau

CS2 TiO2 Benzène Biphényl 8Cyanobiphényl (cristal liquide)

Valeurs de n0

1,763 1,49 1,59 1,52

Valeurs de n2 100 10−13 esu 10, 5 10−13 esu 27, 3 10−13 esu, 60 10−13 esu 76 10−13 esu 15, 3 10−13 esu

B.6 Modèle de Lorentz

B.4 Temps de relaxation Type de laser

Temps de relaxation

Colorants dans les liquides Gaz sous pression réduite Dopants dans les solides

10−9 a` 10−7 s 10−7 à 10−5 s 10−4 à 10−3 s

B.5 Mod` ele de Debye Matériau ε∞ eau 1,8 muscle peau 5,51 1

εs 81 81 46,9 78,2

tr source 9,4 ps Young et al. [16], Luebbers et al. [11] 9,4 ps Young [15] 1,8 ns Huynh [8] 8,1 ps Petropoulos [12]

B.6 Mod` ele de Lorentz Matériau ε∞ εs ω1 (rad s−1 ) ν1 (s−1 ) 1,5 3 2π × 5 1010 1010 10 1,5 3 2π × 2 10 4 109 10 2π × 5 10 10 109 12 1 101 2π × 4 10 2 109 16 1 2,25 4 10 0, 56 1016

source Young et al. [16] Young [15] Huynh [8] Joseph et al. [10]

153

C Notations

Chaque notation est suivie du numéro de la page o` u elle est introduite pour la première fois (en gras italique), puis éventuellement des paragraphes o` u cette notation est utilisée quand son extension est limitée. Une partie des termes de cette table de notations font l’objet d’une entrée dans l’index. Normes et espaces Par convention et pour alléger les notations, nous noterons de la même fa¸con des normes portant sur des objets de natures mathématiques différentes. Les normes dans des espaces assez compliqués, comme H s (Rd )dU , sont explicitées ( H s (Rd )dU par exemple). || 1 C Hs L2 L∞

|E|2 |σ|2

Symboles ·| |· [·, ·] ·∗ t

∂t ∂0

valeur absolue d’un nombre complexe somme des carrés des composantes de E somme des carrés des coefficients de σ (= Tr(σ 2 )) norme L2 norme L1 espace des fonctions continues 28 espace de Sobolev 28 §3.7 espace des fonctions de carré sommable 29 espace des fonctions presque partout bornées 32

opérateur bra de Dirac 7 §2.1 opérateur ket de Dirac 7 §2.1 valeur moyenne d’un observable 9 commutateur 8 complexe conjugué 7 transposition 10 dérivée temporelle 7 dérivée temporelle 82 §7.3

156

C Notations

∂x , ∂y , ∂z ∆⊥

dérivées spatiales 16 laplacien selon les directions transverses x et y 71

Alphabet grec α α1 , α2 αanh αnli β β = (τ, η) γjj γ γjk

coll γjk γjcoll

γ′ ′ γmin

Γj Γjk Γr δ δ′ δt=0 ∆ δt δt0 , δt1 δx, δy, δz ∆En ε ε1 ε0 ε∞ εr εs ε′s

taille de la solution asymptotique 73 paramètres de taille 1 dans les modèles asymptotiques 76 §7.2.3 coefficient d’anharmonicité 82 §7.3.4 coefficient non linéaire instantané 82 §7.3.4 1/κT 14 fréquence et vecteur d’onde 77 §7.3 taux de relaxation longitudinale (modèle uni-niveau) 13 taux de relaxation longitudinale (modèle simplifié) 35 §5 taux de relaxation transverse 12 taux de relaxation de collision 25 §3.2.3 taux de relaxation de collision lié à un niveau 25 §3.2.4 taux de relaxation transverse (modèle simplifié) 35 §5 minimum des relaxations transverses 56 §5.3 taux global de relaxation longitudinale (modèles en cascade et de Pauli) 13 taux de relaxation longitudinale (modèle en cascade) 13 taux d’amortissement Raman 67 §6.2 pas de temps renormalisé (stabilité) 134 §11.1.5 pas de temps renormalisé (stabilité) 137 §11.1.5 masse de Dirac 66 désaccord de fréquence 75 pas de temps 89 pas de temps maximal de stabilité 115 pas d’espace dans les trois directions 99 variable de mémoire (schéma récursif) 128 §11.1.2 petit paramètre de développement asymptotique 53 petit paramètre de développement asymptotique 75 §7.2.3 permittivité du vide 15 permittivité relative a` fréquence infinie 15 permittivité relative 63 permittivité relative a` fréquence nulle 64 permittivité relative à fréquence nulle renormalisée (εs /ε∞ ) 134 §11.1.5

C Notations

εnum r ζ η η θ θjk ϑ κ λ λx , λ y λ0 λ1 , . . . , λN λM Λ µ µ0 ν νp

ν k ξ π(β) Π(β) Π Π0 ρ ρe ρjj ρd ρd ρnd ρed ρjk ρ(0) , ρ(1) , ρ(2) ρn 1 ρn+ 2 ρD

157

permittivité relative numérique 131 §11.1.4 variable de Fourier (stabilité) 104 coefficient sans dimension de couplage des équations de Maxwell et Bloch 73 vecteur d’onde 77 §7.3 variable de temps lente (optique géométrique) 77 §7.3 argument du coefficient d’amplification du schéma de Crank–Nicolson 91 §8.1.2 argument de p12 18 §2.3.3 constante de Boltzmann 14 §2.1.6 rapport de stabilité (CFL) 103 rapport de stabilité dans chaque direction 104 rapport maximal de stabilité 115 valeurs propres de V 90 §8.1 valeur propre d’un opérateur de taux M 62 §5.4 approximation de un (permittivité numérique) 132 §11.1.4 indice de sommation en espace 28 perméabilité du vide 15 petit paramètre dans les modèles asymptotiques 76 §7.2.3 coefficient d’amortissement associé à la fréquence ωp (modèle de Lorentz) 65 vecteur normal unitaire a` travers ∂Dk 109 §9.3 variable de Fourier (stabilité) 102 projecteur orthogonal sur ker L(β) 78 §7.3.2 projecteur orthogonal sur ker L(β) 80 §7.3 enveloppe de la polarisation P 70 §7.1.2 amplitude de l’enveloppe de la polarisation P 72 §7.1.4 matrice densité 8 état d’équilibre de la matrice densité 13 population du niveau j 9 vecteur des populations 56 §5 partie diagonale de la matrice densité 114 §10.3.3 partie non diagonale de la matrice densité 114 §10.3.3 vecteur des populations a` l’équilibre 60 §5.2 cohérence des niveaux j et k 8 termes du développement en série de ρ 54 §5.1 discrétisation de ρ aux temps nδt 89 discrétisation de ρ aux temps (n + 1/2)δt 113 valeur de ρ sur le polygone de Delaunay D 122 §10.5.1

158

C Notations

ρc σ σn 1 σ n+ 2 ς τ τµ (β) τp

τ k φ ϕ ϕ† ϕ 0 , ϕ1 , . . . ϕ˜0 , ϕ˜1 , . . . χ χ ˜ χ(1) χ(2) χ(3) χN L χKerr χm ∆χm ψ ψS ψ1 , ψ 2 Ψ ω ω0 ω1 , ω2 , ω3 ωAS ωc ωj ωjk ωp ωr

densité de charge 16 §2.2.3 écart de la matrice densité à son état d’équilibre ρ − ρe 28 interpolation de σ aux temps nδt 118 discrétisation de σ aux temps (n + 1/2)δt 115 taille des relaxations transverses 56 §5.3 variable muette d’intégration temporelle 11 fréquence 77 §7.3 paramétrisation de la variété caractéristique CL 79 §7.3 durée d’impulsion 38 vecteur tangent unitaire le long de ∂Dk 109 champ scalaire 17 §2.2.3 polynˆ ome 101 §9.2.1 polynˆ ome conjugué 101 suite de polynˆ omes de Schur 101 suite de polynˆ omes de Schur dans un cas simplifié 138 susceptibilité ˜ t=0 66 §6.1.3 susceptibilité instantanée χ1 (t) = χδ susceptibilité linéaire 63 susceptibilité quadratique 66 §6.2 susceptibilité cubique 66 §6.2 susceptibilité non linéaire 67 §6.2 coefficient de la nonlinéarité Kerr 67 §6.2 moyenne de la susceptibilité (schéma récursif) 126 §11 variation de la moyenne de la susceptibilité (schéma récursif) 126 §11 vecteur d’état 7 §2.1 vecteurs d’état 8 §2.1.2 vecteurs d’état 7 §2.1.1 opérateur d’une équation de taux 56 §5 fréquence 4 fréquence centrale 38 fréquence de Rayleigh 5 §1.2.4 fréquences pour le mélange d’onde 4 §1.2.1 fréquence d’anti-Stokes 5 §1.2.4 valeur caractéristique de la fréquence 32 fréquence propre de l’hamiltonien non perturbé H0 8 fréquence de transition 10 fréquences de résonnance 65 fréquence Raman 5

C Notations

ωRabi ωS Ω Alphabet latin aj aSj A A0 AD Aj Aµ A21 A B = (Bx , By , Bz ) Bc B

B 1 Bn+ 2

D BD , B b B12 B21 c c∞ c0 , . . .cD C C1 , C2 , . . . CP , CN CR , CH , CH˜ CB , CE , Cσ C˜E , C˜σ CL d

159

fréquence de Rabi 38 fréquence de Stokes 5 §1.2.4 fréquence numérique 131 §11.1.4 coefficient dans la base propre de l’hamiltonien non perturbé H0 8 coefficient dans la base propre de l’hamiltonien non perturbé H0 8 §2.1 enveloppe du champ électrique E 70 §7.1.2 amplitude de l’enveloppe du champ électrique E 72 §7.1.4 aire du polygone de Delaunay D 109 vecteur de RN 25 §3.2.4 matrice symétrique 28 taux d’émission spontanée d’Einstein 55 §5.2 amplitude dipolaire 18 §2.3.3 déplacement magnétique 15 valeur caractéristique du déplacement magnétique 73 §7.2 By en polarisation unidimensionnelle T Ez 16 Bz en polarisation bidimensionnelle T Ex,y 17 (Bx , By ) en polarisation bidimensionnelle T Mx,y 17 discrétisation de B au temps (n + 1/2)δt 99 valeur de B sur le polygone de Delaunay D 109 §9.3 enveloppe de B dans le domaine fréquentiel 131 §11.1.4 taux d’absorption d’Einstein 55 §5.2 taux d’émission stimulée d’Einstein 55 §5.2 vitesse de la lumière dans le vide 10 vitesse de la lumière dans un matériau a` fréquence infinie 15 coefficients d’un polynˆ ome 101 §9.2.1 constante dans les estimations d’énergie 33 §3.11 constantes dans les estimations d’énergie 33 constantes dans le modèle deux niveaux 35 §3.5.1 constantes dans les estimations d’énergie des semigroupes 94 constantes dans les estimations d’énergie (Crank– Nicolson) 120 constantes dans les estimations d’énergie (splitting) 121 variété caractéristique de Lε 78 §7.3.2 dimension de l’espace physique 28 §3.3

160

C Notations

dU D D Dn Dj D

∂Dk Dk

e E = (Ex , Ey , Ez ) E

E E0 , E0 Ec En 1 En+ 2

D ED , E r

r ED , E D e E(t)

1

E n+ 2 n+ 12

E∞ E1n E2n

Ej f F (U ) F g G g− , g+ Gjk h h(t)

dimension du vecteur réel des variables d’un système hyperbolique 28 degré d’un polynˆ ome 101 §9.2.1 déplacement électrique 15 discrétisation de D au temps nδt 126 diagonale réelle de la matrice densité 28 §3.3 polygone de Delaunay 109 kème côté du polygone D 109 §9.3 polygone voisin de D par le cˆ oté ∂Dk 110 §9.3 charge de l’électron 9 champ électrique 9 Ex en polarisation unidimensionnelle T Ez 16 Ez en polarisation bidimensionnelle T Mx,y 17 (Ex , Ey ) en polarisation bidimensionnelle T Ex,y 17 amplitude maximale du champ électrique 38 valeur caractéristique du champ électrique 33 discrétisation de E aux temps nδt 99 interpolation de E aux temps (n + 1/2)δt 105 valeur de E sur le polygone de Delaunay D 109 valeur reconstruite de E sur le polygone de Delaunay D 122 enveloppe de E dans le domaine fréquentiel 131 §11.1.4 énergie du système 32 discrétisation de l’énergie du système aux temps (n+ 1/2)δt 119 discrétisation de l’énergie du système à fréquence infinie aux temps (n + 1/2)δt 105 première correction de la discrétisation de l’énergie du système aux temps nδt 116 deuxième correction de la discrétisation de l’énergie du système aux temps nδt 116 énergie propre de l’hamiltonien non perturbé H0 8 fonction positive 23 §3.2.2 partie non linéaire 28 force 149 §A.2 fonction d’intégration directe 127 §11 matrice d’amplification 102 valeurs propres de la matrice d’amplification 103 §9.2.1 coefficient d’amplification du schéma de Crank– Nicolson 90 §8.1.2 pas minimal dans un maillage 105 fonction marche de Heaviside 64

C Notations

H 1

Hn+ 2 H i I Im

H0

Is(j,k) I IL Id J J = (Jx , Jy , Jz ) J J Jn 1 Jn+ 2 j, k, l |j k

k = (kx , ky , kz ) K ker ℓ l L L1 , L2 L0 Lε L(β) L1 L(β) LR LkD Lk,⊥ D L

161

constante de Dirac 7 champ magnétique 10 §2.1.3 discrétisation de H au temps (n + 1/2)δt hamiltonien total 7 §2.1 hamiltonien non perturbé 7 §2.1 √ −1 7 intensité de l’onde 55 §5.2 partie imaginaire 28 extra-diagonale imaginaire pure de la matrice densité 28 §3.3 partie imaginaire de la cohérence renormalisée d’un modèle à deux niveaux 75 §7.2.2 ensemble des indices d’un sous-espace de RN 58 §5.4.3 opérateur identité 9 ordre de la non linéarité 81 §7.3.3 densité de courant 15 Jx en polarisation unidimensionnelle T Ez 16 Jz en polarisation bidimensionnelle T Mx,y 17 (Jx , Jy ) en polarisation bidimensionnelle T Ex,y 17 discrétisation de J au temps nδt 130 discrétisation de J au temps (n + 1/2)δt 99 niveau d’énergie 8 fonction d’onde associée au jème niveau 8 §2.1 nombre d’inversions en transparence auto-induite 38 §4.1 indice de côté de polygone 109 §9.3 vecteur d’onde 63 vecteur d’onde numérique 131 §11.1.4 noyau d’un opérateur linéaire 78 §7.3 indice de discrétisation en espace 99 moment orbital 10 §2.1.3 opérateur linéaire de l’équation de Bloch 22 §3.1 opérateurs linéaires 96 §8.2.2 opérateur linéaire anti-symétrique 77 §7.3 opérateur linéaire du problème asymptotique 77 §7.3 opérateur linéaire dans l’espace des phases 78 §7.3 opérateur de transport linéaire 78 §7.3 opérateur linéaire dans l’espace des phases périodiques 80 §7.3 constante de Lipschitz 29 §3.3 longueur de ∂Dk 109 §9.3 longueur l’arête perpendiculaire a` ∂Dk 109 §9.3 rapport de longitudinalité 83 §7.3.4

162

C Notations

m

me M M n n0 n2 N N

Na ND nf

Ne ˜ N ˜c N ¯ N

O p pjk p12

p pc p

p0 pS P = (Px , Py , Pz ) P P Pc

indice de discrétisation en espace 100 §9 indice de sommation des pas de temps 126 §11.1.1 masse 149 §A.2 masse de l’électron 10 §2.1.3 nombre de pas des schémas par intégration directe 127 §11 matrice (théorème de Gerschgorin–Hadamard) 62 §5.4 indice de discrétisation en temps 89 nombre d’itérations d’un opérateur 22 §3.1 indice de réfraction linéaire 66 §6.1.3 indice de réfraction non linéaire 67 §6.2 nombre de niveaux d’énergie pertinents 9 nombre d’inversion 18 nombre d’inversion a` l’équilibre 35 écart à l’équilibre du nombre d’inversion 75 §7.2.2 valeur caractéristique de l’écart à l’équilibre du nombre d’inversion 76 §7.2.3 version non linéaire du nombre d’inversion 83 §7.3.4 densité volumique d’éléments actifs 16 nombre de cˆ otés du polygone D 109 nombre de fréquences de résonnance (modèle de Lorentz) 65 §6.1.2 observable 9 §2.1.2 matrice des moments dipolaires, polarisabilité 9 polarisabilité de la transition du niveau j au niveau k 10 (p12 )x dans le cas de deux niveaux en polarisation unidimensionnelle T Ez 18 px en polarisation unidimensionnelle T Ez 16 pz en polarisation bidimensionnelle T Mx,y 17 (px , py ) en polarisation bidimensionnelle T Ex,y 17 valeur caractéristique des moments dipolaires 33 numéro d’une fréquence de résonnance (modèle de Lorentz) 65 §6.1.2 polynˆ ome des harmoniques d’une asymptotique 80 §7.3 impulsion du système non perturbé 10 §2.1.3 probabilité de l’état statistique ψ S 8 §2.1 polarisation 15 Px en polarisation unidimensionnelle T Ez 16 Pz en polarisation bidimensionnelle T Mx,y 17 (Px , Py ) en polarisation bidimensionnelle T Ex,y 17 valeur caractéristique de la polarisation 73 §7.2

C Notations

Pn 1 Pn+ 2 L P PNL PNL Raman PNL Kerr Pp P

Pc

q q Q r(ξ) r R R Re Rs(j,k) R Rn s s(j, k) S S(t)

SR SH S˜H

t t0 tc tr t∗ (R), t1 (R) T T Tr u, ux , uy , uz

163

discrétisation de P aux temps nδt 112 discrétisation de P aux temps (n + 1/2)δt polarisation linéaire 66 §6.2 polarisation non linéaire 67 §6.2 polarisation non linéaire associée à la diffusion Raman 67 §6.2 polarisation non linéaire associée à l’effet Kerr 67 §6.2 polarisation associée à la fréquence ωp (modèle de Lorentz) 65 §6.1.2 cohérence à deux niveaux 19 valeur caractéristique de la cohérence à deux niveaux 76 §7.2.3 opérateur quadrupolaire électrique 10 §2.1.3 numéro d’harmonique 80 §7.3.3 multiplicité des diffusions Raman 5 §1.2.4 opérateur de relaxation 12 coefficient dans l’étude de stabilité 134 §11.1.5 vecteur position microscopique 7 §2.1 rayon de boule 29 §3.3 vecteur position macroscopique 9 §2.1.3 partie réelle 19 extra-diagonale réelle de la matrice densité 28 §3.3 partie réelle de la cohérence renormalisée d’un modèle à deux niveaux 75 §7.2.2 opérateur de relaxation–nutation 27 régularité de Sobolev 28 §3.7 ordre sur les coefficients extra-diagonaux 28 §3.3 ensemble statistique de répartition des états quantiques 8 §2.1 semi-groupe d’évolution linéaire 29 §3.3 semi-groupe d’évolution de relaxation–nutation 93 semi-groupe d’évolution d’interaction approché 94 semi-groupe d’évolution d’interaction exact 93 §8.2 temps 7 temps initial ou critique 23 §3.2.2 valeur caractéristique du temps 74 §7.2 temps de relaxation (modèle de Debye) 64 temps d’existence 28 §3.7 température 14 §2.1.6 temps à l’échelle diffractive 77 §7.3 application contractante 30 §3.3 trace d’un opérateur ou d’une matrice 9 vecteurs unitaires 70 §7.1.2

164

C Notations

U , U1 , U2 U0 ˜ U

ε

n U n , Uℓn , Uℓ,m

u uε u0 U0 U1 , U 2 v v v V1 , V2 V V v 1 V n+ 2

V Wjk x, y x x xc X X XM X Y y Y z zc Z

vecteur réel des variables d’un système hyperbolique 28 §3.3 donnée initiale du vecteur réel des variables d’un système hyperbolique 29 §3.3 vecteur réel des variables d’un système hyperbolique 31 §3.3 vecteur réel des variables (stabilité) 102 solution exacte d’un problème asymptotique 77 §7.3 solution approchée d’un problème asymptotique 77 §7.3 donnée initiale de la solution approchée d’un problème asymptotique 77 §7.3 enveloppe du terme principal de la solution approchée d’un problème asymptotique 77 §7.3 enveloppes des termes correctifs de la solution approchée d’un problème asymptotique 77 §7.3 vitesse 149 §A.2 vitesse de groupe 79 §7.3 vitesse d’un paquet d’onde 69 §7 matrices de MN,N (C) 31 hamiltonien d’interaction 7 potentiel d’interaction E · p/ 10 potentiel d’interaction renormalisé 54 §5.1 discrétisation de V aux temps (n + 1/2)δt 89 champ vectoriel bidimensionnel 17 §2.2.3 taux de relaxation longitudinale (modèle de Pauli) 14 variables d’espace transverses vecteur position 32 vecteur temps–position 77 §7.3 valeur caractéristique en espace dans la direction transverse 75 §7.2 vecteur temps–position a` l’échelle diffractive 77 §7.3 vecteurs de Cn 10 vecteur propre d’un opérateur de taux M 62 §5.4 fonction mémoire du matériau (schéma récursif) 131 §11.1.4 vecteurs de Cn 11 §2.1.5 vecteur position 77 §7.3 vecteur position a` l’échelle diffractive 77 §7.3 variable d’espace longitudinale 16 valeur caractéristique en espace dans la direction longitudinale 75 §7.2 variable de polynˆ ome caractéristique 101

Litt´ erature de la conclusion et des appendices

´ 1. K. Barrailh-Laurioux. Etude math´ ematique et num´ erique de mod` eles de propagation issus de l’optique non linéaire. Thèse de doctorat, Université Bordeaux I, septembre 2002. 2. C. Besse, B. Bidégaray-Fesquet, A. Bourgeade, P. Degond, et O. Saut. A Maxwell–Bloch model with discrete symmetries for wave propagation in nonlinear crystals : an application to KDP. Mathematical Modelling and Numerical Analysis, 38(2) :321–344, 2004. 3. B. Bidégaray-Fesquet, F. Castella, et P. Degond. From the Bloch model to the rate equations. Discrete and Continuous Dynamical Systems A, 11(1) :1–26, 2004. 4. B. Bidégaray-Fesquet, F. Castella, E. Dumas, et M. Gisclon. From Bloch model to the rate equations II : the case of almost degenerate energy levels. Mathematical Models and Methods in Applied Sciences, 14(12) :1785–1817, 2004. 5. R.W. Boyd. Nonlinear Optics. Academic Press, 1992. 6. T. Colin et B. Nkonga. A numerical model for light interaction with two-level atoms medium. Physica D, 188(1–2) :92–118, 2004. 7. F. Hartmann. Les Lasers Que sais-je ? numéro 1565. Presses Universitaires de France, 1991. ´ 8. P. Huynh. Etude théorique et numérique de mod` eles de Kerr. Thèse de doctorat, Université Bordeaux I, septembre 1999. 9. J.-L. Joly, G. Métivier, et J. Rauch. Transparent nonlinear geometric optics and Maxwell–Bloch equations. Journal of Differential Equations, 166(1) :175–250, 2000. 10. R.M. Joseph, S.C. Hagness, et A. Taflove. Direct time integration of Maxwell’s equations in linear dispersive media with absorption for scattering and propagation of femtosecond electromagnetic pulses. Optical Letters, 16(18) :1412–1414, 1991. 11. R. Luebbers, F.P. Hunsberger, K.S. Kunz, R.B. Standler, et M. Schneider. A frequency-dependent finite-difference time–domain formulation for dispersive materials. IEEE Transactions on Electromagnetic Compatibility, 32(3) :222– 227, 1990.

166

Littérature de la conclusion et des appendices

12. P.G. Petropoulos. Stability and phase error analysis of FD–TD in dispersive dielectrics. IEEE Transactions on Antennas and Propagation, 42(1) :62–69, 1994. 13. O. Saut. Etude num´ erique des nonlinéarités d’un cristal par r´ esolution des équations de Maxwell–Bloch. Thèse de doctorat, INSA de Toulouse, décembre 2003. 14. O. Saut. Computational modeling of ultrashort powerful laser pulses in an anisotropic crystal. Journal of Computational Physics, 197(2) :624–646, 2004. 15. J.L. Young. Propagation in linear dispersive media : Finite difference timedomain methodologies. IEEE Transactions on Antennas and Propagation, 43(4) :422–426, 1995. 16. J.L. Young, A. Kittichartphayak, Y.M. Kwok, et D. Sullivan. On the dispersion errors related to FD2 TD type schemes. IEEE Transactions on Antennas and Propagation, 43(8) :1902–1910, 1995. 17. F. Zernicke, Jr. Refractive indices of Ammonium Dihydrogen Phosphate and Potassium Dihydrogen Phosphate between 2000 ˚ A and 1.5µ. Journal of the Optical Society of America, 54(10) :1215–1220, 1964.

Liste des figures

4.1

4.2

4.3

4.4 4.5

4.6 4.7 4.8 4.9

4.10

6.1

6.2

Effet de transparence. Variation temporelle du champ électrique (trait plein) et de la population du niveau excité (tirets) : l’onde se propage sans changer de forme . . . . . . . . . . . . . Génération de 4π, 2π et π pulses par variation de l’amplitude E0 . Variation temporelle du champ électrique (trait plein) et de la population du niveau excité (tirets) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Génération de 4π, 2π et π pulses par variation de la longueur d’impulsion τp . Variation temporelle du champ électrique (trait plein) et de la population du niveau excité (tirets) . . . . . . . Génération de seconde harmonique – une polarisation. Transformée de Fourier du champ après la traversée du milieu . Génération de seconde harmonique – deux polarisations. Transformée de Fourier des deux polarisations du champ après la traversée du milieu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ ´ Transfert de cohérence. Principe. (a) Etat initial, (b) Etat final Transfert de cohérence. Variation temporelle des trois populations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Transfert de cohérence. Variation temporelle des trois cohérences Constance de la fréquence Raman. Transformée de Fourier du champ électrique à l’entrée et au milieu du matériau pour deux fréquences incidentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Diffusions Raman multiples et triplage de fréquence. Transformée de Fourier du champ électrique en différents points du matériau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

40

41 42

43 44 44 45

46

47

Nombre d’onde en fonction de la fréquence pour un modèle de Debye. On a choisit les paramètres de l’eau : ε∞ = 1, 8, εs = 81 et tr = 9, 4 10−12 s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 Nombre d’onde pour un modèle de Lorentz. On a choisit les paramètres : ε∞ = 1, 5, εs = 3, ω1 = 10π 1010 rad s−1 et ν1 = 1010 rad s−1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

168

Liste des figures

6.3

Détails de l’évolution temporelle des populations dans une expérience de transparence auto-induite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

8.1

´ Conservation de la trace et positivité. Evolution des populations et de la trace en fonction du temps (en ps) . . . . . . . 98

9.1 9.2

Schéma de Yee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 Maillage de Delaunay-Vorono¨ı. Triangles de Delaunay (traits gras) et polygones de Vorono¨ı (traits fins) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 Maillage de Delaunay-Vorono¨ı – notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

9.3

10.1 Schéma de Yee pour Maxwell–Bloch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 10.2 Comparaison des méthodes numériques pour 100 points par ´ longueur d’onde. Evolution temporelle de la population du niveau excité et de la cohérence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 10.3 Comparaison des méthodes numériques pour 20 points par longueur d’onde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 11.1 Une hiérarchie de modèles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

Index

Absorption, 5, 55 ` a deux photons, 3 Adimensionnement, 72–76, 97 Amplitude dipolaire, 18 Approximation de l’enveloppe lentement variable, 71 dipolaire, 10, 69 paraxiale, 21, 70 quadrupolaire, 10 Champ électrique, 9, 15 Champ magnétique, 10, 15 Cohérence, 9, 11, 12, 24, 25, 27, 32, 43 Condition de CFL, 102–105, 107, 108, 115, 122, 130, 133–139 Condition de polarisation, 78 Conservation de la trace, 9, 11, 13, 14, 17, 22, 27, 32, 59–61, 92, 97, 98 Dégénérescence, 73, 94, 147 Déplacement électrique, 15, 63–66 Déplacement magnétique, 15, 69 Densité de courant, 15, 112 Diffraction de Fresnel, 79 Diffusion Brillouin, 3 multiple, 5, 46–48 Raman, 3, 5, 6, 42, 45–48, 67 cohérente, 5 spontanée, 3, 5, 6 stimulée, 3, 5, 6 Rayleigh, 3 Durée d’impulsion, 38–41, 146

Effet électro-optique, 4 Kerr, 3, 4, 67, 139 Pockels, 4 ´ Emission spontanée, 4, 5, 12, 55 stimulée, 5, 55 ´ Energie, 32–34, 105–108, 116–122 ´ Equation d’Ampère, 15, 69, 70, 108–112, 124–126 d’amplitude, 69 d’Einstein, 55, 56 d’enveloppe, 46, 69–84, 140 d’Hazegawa, 140 de Bloch, 5, 7–14, 21–27, 89–98, 112–114, 122–124, 146 de Faraday, 15, 70, 108–110, 125, 126 de Gauss, 15, 110 de Liouville, 8 de Maxwell, 15–17, 99, 100, 102–110 de Poisson, 15, 108 de propagation, 79 de Schr¨ odinger, 7, 8 de Schr¨ odinger non linéaire, 4, 37, 67, 71, 140, 145 de taux, 10, 13, 53–62, 111, 146 de transport, 71 des ondes, 70 hyperbolique semi-linéaire, 28–31, 74–84 Estimation a priori, 31–35, 94–96

170

Index

´ Etat d’équilibre, 6, 12–14, 28, 54, 57–61, 75, 148 Excitation Raman, 5 Formulation de Duhamel, 29–31, 95 Formule de Fadeev, 94 de Lie, 96 de Sellmeier, 147 de Strang, 96, 97, 113, 120, 124 de Trotter–Kato, 22 Fréquence d’anti-Stokes, 5, 6, 45, 47, 48 de résonnance, 65 de Rabi, 32, 38, 39, 73, 75, 76 de Raman, 5, 46, 47 de Rayleigh, 5 de Stokes, 5, 6, 45–48 de transition, 10, 75 Raman, 67 Génération de fréquence différence, 4 de fréquence somme, 4 de seconde harmonique, 4, 16, 41–43, 147 de troisième harmonique, 46, 47, 114 Hamiltonien, 7 d’interaction, 7, 9, 10, 89 non perturbé, 7 Indice de réfraction, 66, 152 non linéaire, 67, 152 Intensité, 38–40, 55 Inversion de population, 38, 39, 73, 75, 145 KDP, 4, 147 Laser, 3–5, 151–153 Lemme de cancellation, 31, 33, 96, 112, 118, 124 de Gronwall, 31, 95 Loi constitutive, 15, 63, 125, 126 Mélange ` a quatre ondes, 3, 4 a trois ondes, 3, 4 `

Maillage de Delaunay, 108–110, 122–124 de Vorono¨ı, 108–110, 123 Matrice densité, 8–14, 25–27 Milieu aléatoire, 147 centro-symétrique, 11, 46 cristallin, 146, 147 Modèle a deux niveaux, 17–19, 34, 35, 37–41, ` 53–57, 67, 68, 71, 72, 74–76, 83, 84, 111 asymptotique, 3, 21, 41, 145, 146 classique, 3, 63–68, 125–140 classique linéaire, 63–66, 125–139 classique non linéaire, 66, 67, 82, 140 de Debye, 63, 64, 127–129, 131, 132, 153 de l’équation maˆıtresse de Pauli, 14, 22–27, 58–61 de l’oscillateur anharmonique, 21, 67, 82 de Lorentz, 19, 63–66, 82, 129–132, 153 de Maxwell–Bloch, 3, 4, 15–19, 21, 27–35, 37, 71–76, 83, 84, 111–124, 145–147 de Maxwell–Debye, 15, 112, 125, 133–136, 139 de Maxwell–Lorentz, 15, 21, 112, 125, 136–139 en cascade, 13, 22–25, 27 mésoscopique, 8 microscopique, 8 semi-classique, 3 uni-niveau, 13, 23, 24, 26, 35, 53–56 Moment dipolaire, 9–11, 41, 42 Niveau d’énergie, 8, 13, 14, 56, 147, 148 Nombre d’inversion, 18, 35, 67, 68, 71, 72, 74–76, 83 Notation de Dirac, 7 Nutation, 27 Observable, 7–9, 11 Onde plane, 70 Optique de Descartes, 77–79

Index diffractive, 76, 77, 81 géométrique, 69, 73, 76–81, 147 Ordre des schémas, 89, 96, 99, 127 Oscillateur harmonique, 65 Permittivité numérique, 130–132 Permittivité relative, 63–65 Point fixe, 30, 77, 97 Polarisation, 9, 15–19, 63–68, 111, 112 Polarisation de l’onde, 16, 17, 41–43, 70, 122, 147 transverse électrique, 16, 17, 99, 100, 108–110, 124 transverse magnétique, 16, 17, 108, 110, 124 Polynˆ ome de Schur, 101, 135, 136, 138, 139 de von Neumann, 101, 135, 139 Population, 9, 11–14, 23, 24 Positivité, 10, 11, 21–27, 90–92, 97, 98, 114 Problème de Cauchy, 27–31, 34, 35 Raideur, 97 Redressement optique, 4, 43, 81 Relation de dispersion, 63, 71, 131 Relaxation, 5, 11–14, 22–27, 74, 153 de collision, 12, 25–27 longitudinale, 12–14, 21–27, 35, 53–56 transverse, 12, 24–27, 35, 53–56 Schéma aux éléments finis, 111, 125, 139, 140

171

aux différences finies, 99–108, 111–122, 125–140 aux volumes finis, 108–111, 122–124 de Crank–Nicolson, 89–92, 97, 98, 111–115, 118–124, 140 de relaxation, 114 de splitting, 37, 73, 84, 92–98, 113–115, 120–124 de Yee, 37, 99, 100, 102–107, 112, 113, 125–139 faiblement couplé, 112–114 fortement couplé, 111–113 par intégration directe, 125–130, 133–139 récursif, 125–129, 131, 132, 140 Semi-groupe d’évolution, 29–31, 93–96 Soliton, 4 Sphère de Lorentz, 8, 9 Stabilité, 31, 100–108, 113, 115–122, 133–139 Susceptibilité, 63–67, 126, 127, 129 Symétrie, 10, 11, 19, 21, 61 Théorème de Gerschgorin–Hadamard, 61, 62 Transfert de cohérence, 43–45 Transparence auto-induite, 4, 37–41, 67–69, 71–73, 114–116 Variété caractéristique, 78 Vecteur d’état, 7 Vecteur d’onde, 63, 70, 71, 131

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