Grundlagen der Strömungsmechanik: Eine Einführung in die Theorie der Strömung von Fluiden

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Author: Franz Durst

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Franz Durst Grundlagen der Strömungsmechanik

Franz Durst

Grundlagen der Strömungsmechanik Eine Einführung in die Theorie der Strömungen von Fluiden Mit 349 Abbildungen, davon 8 farbig

123

Professor Dr. Dr. h.c. Franz Durst Universität Erlangen-Nürnberg Lehrstuhl Strömungsmechanik Cauerstr. 4 91058 Erlangen E-Mail: [email protected]

Bibliografische Information der Deutschen Bibliothek Die Deutsche Bibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.ddb.de abrufbar.

ISBN-10 3-540-31323-0 Springer Berlin Heidelberg New York ISBN-13 978-3-540-31323-6 Springer Berlin Heidelberg New York Dieses Werk ist urheberrechtlich geschützt. Die dadurch begründeten Rechte, insbesondere die der Übersetzung, des Nachdrucks, des Vortrags, der Entnahme von Abbildungen und Tabellen, der Funksendung, der Mikroverfilmung oder der Vervielfältigung auf anderen Wegen und der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen, bleiben, auch bei nur auszugsweiser Verwertung, vorbehalten. Eine Vervielfältigung dieses Werkes oder von Teilen dieses Werkes ist auch im Einzelfall nur in den Grenzen der gesetzlichen Bestimmungen des Urheberrechtsgesetzes der Bundesrepublik Deutschland vom 9. September 1965 in der jeweils geltenden Fassung zulässig. Sie ist grundsätzlich vergütungspflichtig. Zuwiderhandlungen unterliegen den Strafbestimmungen des Urheberrechtsgesetzes. Springer ist ein Unternehmen von Springer Science+Business Media springer.de © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2006 Printed in The Netherlands Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, daß solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Satz: Vorlage des Autors und St. Wagener, Ladenburg Herstellung: LE-TEX Jelonek, Schmidt & Vöckler GbR, Leipzig Umschlaggestaltung: design & production, Heidelberg Gedruckt auf säurefreiem Papier

56/3100/YL - 5 4 3 2 1 0

Dieses Buch ist meiner Frau Heidi gewidmet und meinen Söhnen Bode André und Heiko Brian und deren Familien.

Vorwort

Einige mit der Str¨ omungsmechanik vertraute Leser, die das vorliegende Buch in die Hand nehmen, werden sich fragen, weshalb erneut ein Lehrbuch u ¨ ber die Grundlagen der Str¨ omungsmechanik geschrieben wurde, wo doch der Markt auf diesem Gebiet schon mehr als ges¨ attigt scheint. Nun, ich bin mir dieser Situation bewusst und meine dennoch, dass eine Berechtigung f¨ ur dieses Buch vorliegt, da es Besonderheiten aufweist, welche die existierenden Lehrb¨ ucher der Str¨ omungsmechanik gegenw¨ artig nur bedingt besitzen. Besieht man sich die auf dem Markt angebotenen und in das Gebiet der Str¨ omungsmechanik einf¨ uhrenden Lehrb¨ ucher, so stellt man fest, dass es kaum ein Lehrbuch gibt, das das gesamte mathematische Wissen von Studenten nutzt und das die Zusammenh¨ ange zwischen dem in Grundlagenvorlesungen der Technischen Mechanik und Physik erhaltenen Wissen und der modernen Str¨ omungsmechanik gezielt aufzeigt. Es wird auch nicht versucht, dieses Wissen zu aktivieren, um es in der Ausbildung im Fachgebiet Strömungsmechanik zu nutzen. Dieses Buch versucht daher, gezielt die zwischen den oben genannten Gebieten bestehenden Zusammenhänge aufzuzeigen und zudem allgemeinverst¨ andlich so darzustellen, dass klar wird, dass die Bewegungen von Fluidelementen mit denselben Gesetzen beschrieben werden können, wie die Bewegungen von festen K¨ orpern in der Technischen Mechanik bzw. der Physik. Die Tensorschreibweise wird zur Darstellung der Grundgesetze in Gleichungsform gew¨ ahlt und es wird aufgezeigt, welche Vorteile sie bietet. Das vorliegende Buch u omungsmechanik unternimmt den Versuch, ¨ ber Str¨ eine einf¨ uhrende strukturierte Darstellung des Fachgebietes zu geben, die weit u ¨ ber potentialtheoretische Betrachtungen bzw. Anwendungen der BernoulliGleichung hinausgeht, die oftmals die Darstellungen in Lehrb¨ uchern der Str¨ omungsmechanik u ¨berlasten. Die Zeiten, in denen Potentialtheorie und Energiebetrachtungen auf der Basis der Bernoulli-Gleichung im Zentrum der str¨ omungsmechanischen Ausbildung von Studenten zu stehen hatten, sind vorbei. Entwicklungen moderner Mess- und Berechnungsverfahren, die im letzten Quartal des zwanzigsten Jahrhunderts bis zur vollen Einsatzreife entwickelt wurden, erlauben heute detaillierte Str¨ omungsuntersuchungen, f¨ ur die es Studenten auszubilden gilt. Aufbauend auf der in der Mathematik und Physik erhaltenen Grundausbildung strebt das vorliegende Buch eine Einf¨ uhrung in die Strömungsmecha-

VIII

Vorwort

nik an, derart, dass jedes Kapitel des Buches geeignet ist, den Stoff einer einw¨ ochigen bzw. zweiw¨ ochigen Vorlesung bereitzustellen, je nach Ausbildungsund Wissensstand der Studenten. Dem sich in das Fach einarbeitenden Studierenden wird durch die gew¨ ahlte Struktur des Buches geholfen, den Stoff zu erkennen, den er vorlesungsbegleitend durcharbeiten sollte, um sich, Kapitel f¨ ur Kapitel, in das gesamte Gebiet der Strömungsmechanik einzuarbeiten. Dar¨ uber hinaus ist die gew¨ ahlte Darstellung auch f¨ ur ein Selbststudium der Str¨ omungsmechanik geeignet. Jedes Kapitel stellt eine Einf¨ uhrung in ein Teilgebiet der Str¨ omungsmechanik dar. Hat man sich den Stoff eines Kapitels erarbeitet, ist es leichter, vertiefende B¨ ucher zu demselben Teilgebiet zu lesen bzw. eine Weiterbildung durch das Lesen von Tagungs- und Journalbeiträgen vorzunehmen. Bei der Behandlung der f¨ ur die Str¨ omungsmechanik wichtigsten Grundeigenschaft von Fluiden, der Viskosit¨ at, wird großer Wert darauf gelegt, dass deren physikalische Ursache klar verstanden wird. Der molek¨ ulbedingte Impulstransport, der zu den τij − Termen in den strömungsmechanischen Grundgleichungen f¨ uhrt, wird analog zu der molek¨ ulbedingten Wärmeleitung und der Diffusion von Stoffen behandelt. Viskosität mit interner Fluidrei” bung“ zu erl¨ autern, ist physikalisch falsch und wird somit in diesem Buch nicht in dieser Form behandelt. Dies soll dazu beitragen, dass der sich in die Str¨ omungsmechanik einarbeitende Leser an physikalisch korrekt behandelten Str¨ omungsvorg¨ angen einen schnellen Zugang zu dem Fachgebiet verschafft. Das vorliegende Buch basiert auf Vorlesungen, die ich an der Universität Erlangen-N¨ urnberg als Einf¨ uhrung in die Strömungsmechanik halte. Viele Studenten haben durch Hinweise auf Unklarheiten im Vorlesungsmanuskript zur Zusammenstellung des vorliegenden Buches einen großen Beitrag geleistet. Daf¨ ur m¨ ochte ich mich bedanken. Mein Dank gilt aber auch den Mitarbeitern des Lehrstuhls f¨ ur Str¨ omungsmechanik, die mich bei der Zusammenstellung und Enddurchsicht des Buches unterst¨ utzt haben und ohne die mir die Fertigstellung nicht m¨ oglich gewesen wäre. Herzlich danken möchte ich Herrn Dr.-Ing. C. Bartels, Herrn Dipl.-Ing. A. Schneider, Herrn Dipl.-Ing. M. Gl¨ uck f¨ ur das intensive Lesen des Buches und vor allem Frau I. V. Paulus, ohne deren Hilfe die Endform des Buches nicht vollendet worden wäre, geb¨ uhrt mein besonderer Dank.

Erlangen, Februar 2006

Durst Franz

Inhaltsverzeichnis

1

Bedeutung und Entwicklung der Str¨ omungsmechanik . . . . . 1 1.1 Str¨ omungsvorg¨ ange und ihre Bedeutung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Teilgebiete der Str¨ omungsmechanik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3 Geschichtliche Entwicklung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.4 Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2

Mathematische Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1 Einleitung und Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Tensoren nullter Ordnung (Skalare Größen) . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Tensoren erster Ordnung (Vektorielle Größen) . . . . . . . . . . . . 2.4 Tensoren zweiter Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Feldgr¨ oßen und mathematische Operationen . . . . . . . . . . . . . . 2.6 Substantielle Gr¨ oßen und substantielle Ableitung . . . . . . . . . . 2.7 Gradient-, Divergenz-, Rotation- und Laplaceoperator . . . . . . 2.8 Kurven-, Fl¨ achen- und Volumenintegrale . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.9 Integrals¨ atze von Stokes und Gauß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.10 Differentialoperatoren in krummlinigen Koordinaten . . . . . . . 2.11 Komplexe Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.11.1 Axiomatische Einf¨ uhrung komplexer Zahlen . . . . . . . . 2.11.2 Graphische Darstellung komplexer Zahlen . . . . . . . . . . 2.11.3 Gaußsche Zahlenebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.11.4 Trigonometrische Darstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.11.5 Stereographische Projektion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.11.6 Elementare Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.12 Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17 17 18 19 24 25 29 30 32 34 35 40 40 42 42 43 45 45 52

3

Physikalische Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1 Festk¨ orper und Fluide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Molek¨ uleigenschaften und Gr¨ oßen der Kontinuumsmechanik 3.3 Transportvorg¨ ange in Newtonschen Fluiden . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1 Allgemeine Betrachtungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.2 Druck in Gasen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.3 Molek¨ ulbedingter Impulstransport . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.4 Molek¨ ulbedingter W¨ arme- und Stofftransport in Gasen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

53 53 56 60 60 64 68 70

X

Inhaltsverzeichnis

3.4 3.5 3.6 3.7

Viskosit¨ at von Fluiden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bilanzbetrachtungen und Erhaltungssätze . . . . . . . . . . . . . . . . Thermodynamische Betrachtungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

75 79 83 88

Grundlagen der Str¨ omungskinematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1 Allgemeine Betrachtungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Substantielle Ableitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Bewegung von Fluidelementen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.1 Bahnlinien von Fluidelementen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.2 Streichlinien lokal zugef¨ uhrter Tracermaterialien . . . . 4.4 Kinematische Gr¨ oßen von Str¨ omungsfeldern . . . . . . . . . . . . . . 4.4.1 Stromlinien eines Geschwindigkeitsfeldes . . . . . . . . . . . 4.4.2 Stromfunktion und Stromlinien zweidimensionaler Str¨ omungsfelder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.3 Divergenz eines Str¨ omungsfeldes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5 Translation, Deformation und Rotation von Fluidelementen . 4.6 Relativbewegungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.7 Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

91 91 92 93 94 98 102 102

5

Grundgleichungen der Str¨ omungsmechanik . . . . . . . . . . . . . . . 5.1 Allgemeine Betrachtungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Massenerhaltung(Kontinuit¨ atsgleichung) . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Zweites Newtonsches Gesetz (Impulsgleichungen) . . . . . . . . . . 5.4 Die Navier-Stokes-Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5 Mechanische Energiegleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.6 Thermische Energiegleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.7 Grundgleichungen in verschiedenen Koordinatensystemen . . 5.7.1 Kontinuit¨ atsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.7.2 Navier-Stokes-Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.8 Spezielle Formen der Grundgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.8.1 Transportgleichung f¨ ur Wirbelstärke . . . . . . . . . . . . . . 5.8.2 Bernoulli-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.8.3 Crocco-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.8.4 Weitere Formen der Energiegleichung . . . . . . . . . . . . . . 5.9 Transportgleichung f¨ ur chemische Spezies . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.10 Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

123 123 126 129 134 139 141 145 145 147 154 154 156 157 159 162 164

6

Hydrostatik und Aerostatik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1 Hydrostatik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Kommunizierende Gef¨ aße und Druckmessgeräte . . . . . . . . . . . 6.2.1 Kommunizierende Gef¨ aße . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.2 Druckmessger¨ ate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3 Freie Fl¨ ussigkeitsoberfl¨ achen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.1 Oberfl¨ achenspannung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

165 165 176 176 179 181 181

4

107 110 112 116 121

Inhaltsverzeichnis

6.3.2 Steigh¨ ohen in Rohren und zwischen Platten . . . . . . . . 6.3.3 Blasenbildung an D¨ usen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aerostatik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4.1 Druck in der Atmosph¨ are . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4.2 Rotierender Beh¨ alter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4.3 Aerostatischer Auftrieb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4.4 Bedingung f¨ ur Aerostatik: Stabile Schichtungen . . . . . Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

186 190 197 197 202 203 206 207

¨ Ahnlichkeitstheorie ....................................... 7.1 Einf¨ uhrung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2 Dimensionslose Form der Differentialgleichungen . . . . . . . . . . 7.2.1 Generelle Bemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.2 Dimensionslose Form der Differentialgleichungen . . . . 7.2.3 Betrachtungen bei Vorliegen geometrischer und ¨ kinematischer Ahnlichkeit ........................ 7.2.4 Bedeutung viskoser Geschwindigkeits-, Zeit- und L¨ angenmaße . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3 Dimensionsanalyse und π−Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4 Symmetrie von Differentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.5 Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

209 209 213 213 215

Integralformen der Grundgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.1 Integralform der Kontinuit¨ atsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2 Die Integralform der Impulsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3 Integralform der mechanischen Energiegleichung . . . . . . . . . . . 8.4 Integralform der thermischen Energiegleichung . . . . . . . . . . . . 8.5 Anwendungen der Integralform der Grundgleichungen . . . . . . 8.5.1 Ausfluss aus Gef¨ aßen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.5.2 Austrittsgeschwindigkeit aus D¨ usen . . . . . . . . . . . . . . . 8.5.3 Impuls auf eine senkrechte ebene Platte . . . . . . . . . . . 8.5.4 Impuls auf eine schr¨ ag angestellte ebene Platte . . . . . 8.5.5 Strahlablenkung an einer Kante . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.5.6 Mischvorgang in einer Leitung konstanten Querschnitts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.5.7 Kraft auf eine Turbinenschaufel einer viskosit¨ atsfreien Fl¨ ussigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.5.8 Kraft auf ein periodisches Schaufelgitter . . . . . . . . . . . 8.5.9 Eulersche Turbinengleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.5.10 Leistung von Str¨ omungsmaschinen . . . . . . . . . . . . . . . . 8.5.11 Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

247 247 250 252 254 257 257 258 259 261 263

6.4

6.5 7

8

XI

222 225 230 237 246

265 266 268 270 272 276

XII

9

Inhaltsverzeichnis

Stromfadentheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.1 Allgemeine Betrachtungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2 Ableitungen der Grundgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2.1 Kontinuit¨ atsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2.2 Impulsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2.3 Bernoulligleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2.4 Die Gesamtenergiegleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3 Inkompressible Str¨ omung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3.1 Hydromechanische D¨ usenströmung . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3.2 Pl¨ otzliche Querschnittserweiterung . . . . . . . . . . . . . . . . 9.4 Inkompressible Str¨ omungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.4.1 Einfluss von Fl¨ achen¨ anderungen auf Strömungen . . . . 9.4.2 Druckgetriebene Ausgleichsströmungen durch konvergierende D¨ usen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.5 Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

277 277 279 279 281 283 284 285 285 287 288 288

10 Potentialstr¨ omungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.1 Potential- und Stromfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2 Potentialstr¨ omungen und komplexe Funktionen . . . . . . . . . . . 10.3 Gleichf¨ ormige Str¨ omung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.4 Ecken- und Sektorstr¨ omung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.5 Quellen- bzw. Senkenstr¨ omung und Potentialwirbel . . . . . . . . 10.6 Dipolstr¨ omung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.7 Potentialstr¨ omung um einen Zylinder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.8 Zylinderumstr¨ omung mit Zirkulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.9 Zusammenfassung wichtiger Potentialströmungen . . . . . . . . . . 10.10 Str¨ omungskr¨ afte auf K¨ orper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.11 Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

303 303 309 311 313 317 320 322 325 329 331 336

11 Wellenbewegungen in viskosit¨ atsfreien Fluiden . . . . . . . . . . . . 11.1 Allgemeine Betrachtungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Longitudinalwellen: Schallwellen in Gasen . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3 Transversalwellen: Oberfl¨ achenwellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3.1 Genereller L¨ osungsansatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.4 Ebene, stehende Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.5 Ebene, fortschreitende Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.6 Hinweise auf sonstige Wellenbewegungen . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.7 Literaturhinweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

337 337 341 346 346 351 353 358 358

12 Einf¨ uhrung in die Gasdynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.1 Einleitende Betrachtungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.2 Machsche Linien und Machscher Kegel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.3 Nichtlineare Wellenausbreitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.4 Alternative Formen der Bernoulli-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . 12.5 Str¨ omung mit W¨ arme¨ ubertragung (Rohrströmung) . . . . . . . .

359 359 363 367 370 373

292 302

Inhaltsverzeichnis

12.6 12.7 12.8

XIII

Rayleigh- und Fanno-Beziehungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379 Senkrechter Verdichtungsstoß (Rankine-Hugoniot-Gleichung) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384 Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388

13 Str¨ omungen inkompressibler Fluide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.1 Allgemeine Betrachtungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.2 Ableitungen der Grundgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.2.1 Ebene Str¨ omungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.2.2 Zylinderf¨ ormige Str¨ omungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.3 Ebene Couette Str¨ omung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.4 Ebene Str¨ omung zwischen Platten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.5 Ebene Filmstr¨ omung auf geneigter Platte . . . . . . . . . . . . . . . . 13.6 Axialsymmetrische Filmstr¨ omung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.7 Rohrstr¨ omung (Hagen-Poiseuilleströmung) . . . . . . . . . . . . . . . 13.8 Axiale Str¨ omung zwischen zwei Zylindern . . . . . . . . . . . . . . . . 13.9 Geschichtete Filmstr¨ omungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.10 Geschichtete, ebene Kanalstr¨ omung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.11 Literaturhinweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

389 389 392 392 394 395 397 400 405 408 412 415 417 420

14 Zeitabh¨ angige Str¨ omungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.1 Allgemeine Betrachtungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.2 Beschleunigte und verz¨ ogerte Str¨ omungen . . . . . . . . . . . . . . . . 14.2.1 Erstes Stokessches Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.2.2 Diffusion einer Wirbelschicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.2.3 Durch Plattenbewegung induzierte Kanalströmung . . 14.2.4 Durch Rohrwandbewegung induzierte Rohrströmung 14.3 Oszillierende Str¨ omungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.3.1 Zweites Stokessches Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.4 Druckgradientengetriebene Str¨ omungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.4.1 Einsetzende Kanalstr¨ omung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.4.2 Einsetzende Rohrstr¨ omungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.5 Literaturhinweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

421 421 425 425 427 430 435 442 442 445 445 451 456

15 Str¨ omungen kleiner Reynolds-Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.1 Allgemeine Betrachtungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.2 Schleichende Str¨ omung zwischen zwei Platten . . . . . . . . . . . . . 15.3 Ebene Gleit- und Schmierfilme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.4 Theorie der Schmierung in Gleitlagern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.5 Die langsame Drehbewegung einer Kugel . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.6 Die langsame Translationsbewegung der Kugel . . . . . . . . . . . . 15.7 Die langsame Rotationsbewegung eines Zylinders . . . . . . . . . . 15.8 Die langsame Translationsbewegung eines Zylinders . . . . . . . . 15.9 Diffusions- und Konvektionseinfl¨ usse auf Strömungsfelder . . . 15.10 Literaturhinweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

457 457 459 461 466 471 474 479 481 487 490

XIV

Inhaltsverzeichnis

16 Str¨ omungen großer Reynoldszahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.1 Allgemeine Betrachtungen und Ableitungen . . . . . . . . . . . . . . 16.2 L¨ osungen der Grenzschichtgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.3 Plattengrenzschicht (L¨ osung nach Blasius) . . . . . . . . . . . . . . . . 16.4 Integrale Eigenschaften von Wandgrenzschichten . . . . . . . . . . 16.5 Die laminare, ebene, zweidimensionale freie Scherschicht . . . . 16.6 Der ebene, zweidimensionale, laminare Freistrahl . . . . . . . . . . 16.7 Die ebene, zweidimensionale Nachlaufströmung . . . . . . . . . . . 16.8 Grenzschicht der konvergierenden Kanalströmung . . . . . . . . . 16.9 Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

491 491 496 499 503 508 510 515 518 521

17 Instabile Str¨ omungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.1 Allgemeine Betrachtungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.2 Ursachen von Str¨ omungsinstabilit¨ aten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.2.1 Stabilit¨ at atmosph¨ arischer Temperaturschichtungen . 17.2.2 Gravitationsverursachte Instabilität geschichteter Fluide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.2.3 Rotationsverursachte Instabilitäten in Ringspalten . . 17.3 Verallgemeinerte Instabilit¨ atsbetrachtungen . . . . . . . . . . . . . . . 17.4 Klassifikationen von Instabilit¨ aten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.5 Transitionale Grenzschichtstr¨ omungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.6 Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

523 523 527 531

18 Turbulente Str¨ omungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.1 Allgemeine Betrachtungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.2 Statistische Beschreibung turbulenter Strömungen . . . . . . . . . 18.3 Statistische Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.3.1 Grundregeln der Zeitmittelung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.3.2 Grundregeln der Wahrscheinlichkeitsdarstellungen . . 18.3.3 Charakteristische Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.4 Korrelationen, Spektren und Zeitmaßstäbe der Turbulenz . . 18.5 Zeitgemittelte Grundgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.5.1 Die Kontinuit¨ atsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.5.2 Die Reynolds-Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.5.3 Mechanische Energiegleichung f¨ ur das mittlere Str¨ omungsfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.5.4 Energiegleichung f¨ ur kinetische Energie der Turbulenz 18.6 Maßst¨ abe turbulenter Str¨ omungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.7 Turbulenzmodelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.7.1 Allgemeine Betrachtungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.7.2 Allgemeine Betrachtungen zu Wirbelviskosit¨ atsmodellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.7.3 Nullgleichungs-Wirbelviskositäts-Modelle . . . . . . . . . . 18.7.4 Eingleichungs-Wirbelviskositäts-Modelle . . . . . . . . . . . 18.7.5 Zweigleichungs-Wirbelviskositäts-Modelle . . . . . . . . . .

534 537 542 546 549 552 553 553 557 558 558 560 566 569 573 573 574 577 580 584 587 587 591 596 603 606

Inhaltsverzeichnis

18.8 18.9

XV

Turbulente Wandgrenzschichten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 608 Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 616

19 Numerische L¨ osungen der str¨ omungsmechanischen Grundgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19.1 Allgemeine Betrachtungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19.2 Allgemeine Transportgleichung und Diskretisierung ... . . . . . . 19.3 Diskretisierung mittels Finiter Differenzen . . . . . . . . . . . . . . . . 19.4 Finite-Volumen-Diskretisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19.4.1 Allgemeine Betrachtungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19.4.2 R¨ aumliche Diskretisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19.4.3 Diskretisierung der zeitlichen Ableitung . . . . . . . . . . . . 19.4.4 Behandlung der Quellterme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19.5 Berechnung laminarer Str¨ omungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19.6 Berechnungen turbulenter Str¨ omungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19.6.1 Zu l¨ osende Str¨ omungsgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . 19.6.2 Randbedingungen f¨ ur die turbulente Strömung . . . . . 19.7 Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

617 617 622 625 628 628 630 642 644 645 648 648 652 658

20 Str¨ omungen mit W¨ arme¨ ubertragung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20.1 Allgemeine Betrachtungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20.2 Station¨ are, vollentwickelte Kanalströmung . . . . . . . . . . . . . . . . 20.3 Nat¨ urliche Konvektionsstr¨ omung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20.4 Instation¨ are freie Konvektionsstr¨ omung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20.5 Ebene Plattengrenzschicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ¨ 20.6 Ahnlichkeitsl¨ osung f¨ ur Plattengrenzschicht . . . . . . . . . . . . . . . . 20.7 Vertikale Plattengrenzschichtstr¨ omung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ¨ 20.8 Ahnlichkeitsgr¨ oßen ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20.9 Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

659 659 663 666 669 674 677 680 682 684

21 Einf¨ uhrung in die Str¨ omungsmesstechnik . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.1 Einf¨ uhrende Betrachtungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Messungen statischer Dr¨ ucke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3 Messungen dynamischer Dr¨ ucke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.4 Anwendungen von Staudrucksonden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.5 Grundlagen der Hitzdrahtanemometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.5.1 Messprinzip und Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.5.2 Eigenschaften der Hitzdr¨ ahte und Einsatzprobleme . . 21.5.3 Hitzdrahtsonden und Halterungen . . . . . . . . . . . . . . . . 21.5.4 Abk¨ uhlgesetze f¨ ur Sensoren und Hitzdrahtsonden . . . 21.5.5 Statische Eichung von Hitzdrahtsonden . . . . . . . . . . . . 21.6 Turbulenzmessungen ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.7 Laser-Doppler-Anemometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.7.1 Theorie der Laser-Doppler Anemometrie . . . . . . . . . . . 21.7.2 Optische Systeme f¨ ur Laser-Doppler-Messungen . . . .

685 685 688 692 694 696 696 700 705 709 714 719 729 729 736

XVI

Inhaltsverzeichnis

21.8

21.7.3 Elektronische Systeme f¨ ur Laser-Doppler-Messungen 741 21.7.4 Durchf¨ uhrung von LDA-Messungen: Eindimensionale LDA-Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 751 Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 753

Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 755

1 Einleitung: Bedeutung und Entwicklung der Str¨ omungsmechanik

1.1 Str¨ omungsvorg¨ ange und ihre Bedeutung Str¨ omungen treten in allen Bereichen unserer nat¨ urlichen und technischen Umwelt auf, und jeder, der mit offenen Augen seine Umgebung wahrnimmt und ihre Bedeutung f¨ ur sich und seine Mitmenschen abschätzt, kann sich von den weitreichenden Auswirkungen von Str¨ omungsvorgängen u ¨berzeugen. Ohne sie w¨ are Leben, so wie wir es kennen, auf der Erde nicht möglich, noch k¨ onnten technische Prozesse in der uns bekannten Form ablaufen und zu der Vielzahl von Produkten f¨ uhren, welche den hohen Lebensstandard bestimmen, den wir heute als selbstverst¨ andlich ansehen. Ohne Strömungen w¨ are unsere nat¨ urliche und technische Welt eine andere, eventuell gäbe es

Abbildung 1.1: Str¨ omungsvorg¨ ange in unserer nat¨ urlichen Umwelt treten vielf¨ altig auf

2

1 Bedeutung und Entwicklung der Str¨ omungsmechanik

sie gar nicht. Str¨ omungen sind somit lebensnotwendig im wahrsten Sinne des Wortes. Es sind str¨ omungsbedingte Transportvorg¨ ange, u ¨ ber die unserem Körper der lebenswichtige Sauerstoff zugef¨ uhrt wird. In den Blutbahnen des menschlichen K¨ orpers werden durch Str¨ omungen wichtige Nährstoffe transportiert und so den Zellen zugef¨ uhrt, wo sie u ¨ber komplexe chemische Reaktionen zum ¨ Aufbau und zur Energieversorgung des K¨ orpers beitragen. Ahnlich der Bedeutung von Str¨ omungsvorg¨ angen f¨ ur den menschlichen Körper, kommt der Vielfalt von Str¨ omungen in der gesamten Tier- und Pflanzenwelt eine ebenso lebenswichtige Bedeutung zu (vgl. Abb. 1.1). Ohne diese Strömungen gäbe es kein Wachstum in der Natur und der Mensch wäre seiner nat¨ urlichen“ ” Nahrungsmittel beraubt. Das Leben in der Natur ist folglich von Strömungsvorg¨ angen abh¨ angig und deren Verst¨ andnis ist ein wichtiger Bestandteil der Allgemeinbildung eines Menschen. Als weitere lebenswichtige Vorg¨ ange unserer nat¨ urlichen Umwelt sind Str¨ omungen in Fl¨ ussen, Seen und Meeren zu nennen, sowie atmosphärische Str¨ omungsvorg¨ ange, deren Einfluss auf das Wetter und damit auf das Klima ganzer Regionen wohlbekannt ist (vgl. Abb. 1.2). Die Wirkung von Windfeldern, die den Transport von Wolken“ unter Ber¨ ucksichtigung topographi” scher Gegebenheiten verursachen, ist oftmals die Ursache f¨ ur Niederschläge, die z. B. in Landstrichen vor Gebirgsz¨ ugen verstärkt auftreten. Strömungsvorg¨ ange in der Atmosph¨ are entscheiden somit dar¨ uber, ob bestimmte Gegenden landwirtschaftlich genutzt werden k¨ onnen, da sie ausreichend mit Niederschl¨ agen versorgt sind, oder ob ganze Landstriche veröden, da der Niederschlag nicht zur Bodennutzung ausreicht. In Extremfällen kommt es zur Ausbildung von W¨ ustengebieten mit teilweise beträchtlichem Ausmaß, deren landwirtschaftliche Nutzung nur durch k¨ unstliche Bewässerung möglich wird. Andere negative Auswirkungen in unserer nat¨ urlichen Umwelt sind die verheerenden Verw¨ ustungen, die Hurrikane und Wirbelst¨ urme verursachen k¨ onnen. Verlassen Fl¨ usse, Seen oder Meere ihre nat¨ urlichen Berandungen, so k¨ onnen Str¨ omungsvorg¨ ange auftreten, deren vernichtende Gewalten uns allen ¨ von vielen Uberschwemmungskatastrophen bekannt sind. Dies verdeutlicht, dass der Mensch nicht nur von vielen Str¨ omungsvorgängen im positiven Sinne abh¨ angt, sondern dass er auch lernen muss, mit den Auswirkungen solcher Str¨ omungsvorg¨ ange zu leben, die seine Umwelt vernichten bzw. beschädigen k¨ onnen. Verl¨ asst man die nat¨ urliche Umwelt des Menschen und wendet sich seiner technischen Umgebung zu, so findet man auch hier eine Vielzahl von Str¨ omungsvorg¨ angen, die in Ger¨ aten, Instrumenten, Maschinen und Anlagen ablaufen, um z. B. W¨ arme- und Stoff¨ ubertragungsvorgänge zu kontrollieren, Energie zu u afte zu erzeugen, Verbrennungs¨bertragen, Auftriebskr¨ vorg¨ ange ablaufen zu lassen oder Kontrollfunktionen einzuleiten. Es sind z. B. Str¨ omungsvorg¨ ange gekoppelt mit chemischen Reaktionen, welche die Verbrennung in Kolbenmotoren in der gew¨ unschten Weise ablaufen lassen und so-

1.1 Str¨ omungsvorg¨ ange und ihre Bedeutung

3

Abbildung 1.2: Auswirkungen von Str¨ omungen auf das Klima ganzer Regionen

mit den Antrieb liefern, der in Personenwagen, Lastwagen, Schiffen und Flugzeugen genutzt wird. Ein Großteil der im Verbrennungsmotor eines Personenwagens gewonnenen Energie wird verwendet, besonders bei hoher Geschwindigkeit der Fahrzeuge, um den Energieverlust infolge des Strömungswiderstandes zu u ¨berwinden, den das Fahrzeug aufgrund des Impulsverlustes der Str¨ omung und auftretender Str¨ omungsabl¨ osungen an der Karosserie erfährt. Der Reduktion dieses Widerstandes durch strömungsmechanische Optimierung der Fahrzeugkarosserie kommt, in Anbetracht der Verringerung unserer nat¨ urlichen Energieressourcen und der damit eng verbundenen hohen Treibstoffkosten, eine große Bedeutung zu. Auf diesem Gebiet konnte Vortreffliches im Bereich der Str¨ omungsmechanik geleistet werden (vgl. Abb. 1.3), so z. B. in der Flugzeugaerodynamik, wo neue Tragfl¨ ugelprofile und -geometrien sowie Fl¨ ugelrumpf¨ uberg¨ ange entwickelt wurden, die minimale Reibungs- und Stoßverluste unter Beibehaltung der in der Flugzeugaerodynamik notwendigen hohen Auftriebsbeiwerte aufweisen. Das im Rahmen aerodynamischer Untersuchungen gewonnene Wissen wird heute auch in vielen Bereichen der Konsumg¨ uter erzeugenden Industrie genutzt, um strömungsmechanisch optimierte Produkte herzustellen und so neue Märkte zu erschließen, wie das bei der Herstellung von Ventilatoren zur Bel¨ uftung von Räumen oder bei der Optimierung von Haartrocknern der Fall ist. Nicht zuletzt soll hier auf die Bedeutung der Strömungsmechanik im Bereich des Chemieingenieurwesens hingewiesen werden, wo in vielen Bereichen W¨ arme- und Stoff¨ ubertragungsvorg¨ ange, Mischprozesse, chemische Reaktionen etc. durch Str¨ omungsvorg¨ ange stark beeinflusst bzw. erst ermöglicht werden. Auf diesem Gebiet des Ingenieurwesens wird besonders deutlich, dass viele der in den Naturwissenschaften gewonnenen Erkenntnisse technisch erst dadurch genutzt werden k¨ onnen, dass es gelingt, Vorgänge stationär und kon-

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Abbildung 1.3: Str¨ omungsvorg¨ ange werden in unserer technischen Umwelt vielf¨ altig eingesetzt

trolliert ablaufen zu lassen. In vielen Bereichen des Chemieingenieurwesens werden Str¨ omungen eingesetzt, die diese Stationarität von Prozessen ermöglichen und die Kontrollierbarkeit von Anlagen gewährleisten, d.h. Strömungen werden vielerorts in der Prozessf¨ uhrung genutzt. Oftmals ist es notwendig, zur Optimierung von Prozessen Strömungsmedien einzusetzen, deren Eigenschaften von denen newtonscher Medien stark abweichen, d. h. es kommt zum Einsatz nichtnewtonscher Fluide bzw. von mehrphasigen Fluiden. Die Wahl komplexerer Eigenschaften des strömenden Fluids in technischen Anlagen f¨ uhrt im allgemeinen zu komplexeren Str¨ omungsvorg¨ angen, deren effizienter Einsatz ohne Detailkenntnisse auf dem Gebiet der Str¨ omungsmechanik einfacher Fluide, d.h. solchen mit newtonschen Eigenschaften, nicht m¨ oglich ist. In einigen wenigen Darstellungen der vorliegenden Einf¨ uhrung in die Str¨ omungsmechanik wird auf die Eigenheiten nichtnewtonscher Medien eingegangen und interessante Aspekte der Str¨ omungen dieser Fluide aufgezeigt. Das Hauptgewicht des vorliegenden Buches liegt jedoch auf dem Gebiet der Str¨ omungen newtonscher Medien. Da diesen in vielen Anwendungen eine große Bedeutung zukommt, ist ihre besondere Behandlung in dem vorliegenden Buch gerechtfertigt.

1.2 Teilgebiete der Str¨ omungsmechanik

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1.2 Teilgebiete der Str¨ omungsmechanik Die Str¨ omungsmechanik ist eine Wissenschaft, die sich der Grundgesetze der Mechanik und Thermodynamik bedient, um mit Hilfe dieser Gesetzmäßigkeiten die Bewegungen von Fluiden zu beschreiben. Hierbei werden Fluide als all die Medien verstanden, die nicht eindeutig den Festkörpern zugeordnet werden k¨ onnen, ganz gleichg¨ ultig, ob ihre Eigenschaften durch einfache oder komplizierte Stoffgesetze beschreibbar sind. Gase, Fl¨ ussigkeiten und viele plastische Materialien sind Fluide, deren Bewegungen in der Strömungsmechanik erfasst werden. Fluide im Ruhezustand werden als Sonderfall strömender Medien behandelt, d. h. die Gesetzm¨ aßigkeiten f¨ ur ruhende Fluide werden dadurch abgeleitet, dass die Geschwindigkeit in den Grundgleichungen der Str¨ omungsmechanik zu Null gesetzt wird. Die Str¨ omungsmechanik begn¨ ugt sich jedoch nicht damit, die Gesetzmäßigkeiten anzugeben, denen Fluidbewegungen unterliegen, sondern sie bem¨ uht sich dar¨ uber hinaus, L¨ osungen f¨ ur Str¨ omungsprobleme, d. h. f¨ ur vorgegebene Anfangs- und Randbedingungen zu finden. Hierzu bedient sich die Str¨ omungsmechanik dreierlei Methoden: (a) Analytische L¨ osungsmethoden (Analytische Strömungsmechanik): Analytische Methoden der angewandten Mathematik lassen sich f¨ ur die L¨ osung der Grundgleichungen unter Ber¨ ucksichtigung der das Problem beschreibenden Randbedingungen nutzen. (b) Numerische L¨ osungsmethoden (Numerische Strömungsmechanik): Numerische Methoden der angewandten Mathematik werden f¨ ur Strömungssimulationen auf elektronischen Rechenanlagen herangezogen und f¨ uhren so zu L¨ osungen der Grundgleichungen der Strömungsmechanik. (c) Experimentelle L¨ osungsmethoden (Experimentelle Strömungsmechanik): Dieses Teilgebiet der Str¨ omungsmechanik nutzt allgemein g¨ ultige Ge¨ setzm¨ aßigkeiten f¨ ur die Ubertragbarkeit von strömungsmechanischen Erkenntnissen aus Modellstr¨ omungsuntersuchungen. Das in Modellströmungen durch Messungen gewonnene Wissen wird mittels der Konstanz von Kenngr¨ oßen eines Str¨ omungsfeldes auf das eigentlich interessierende Str¨ omungsfeld u ¨ bertragen. Diese oben genannten Methoden haben, trotz beachtlicher Entwicklungen in den letzten 50 Jahren, bis heute nur teilweise den Entwicklungsstand erreicht, der erforderlich ist, um str¨ omungsmechanische Probleme f¨ ur viele praktische Str¨ omungsprobleme hinreichend genau beschreiben bzw. lösen zu k¨ onnen. So sind die heute bekannten analytischen Methoden oftmals nur auf Str¨ omungsprobleme mit einfachen Randbedingungen anwendbar. Der Einsatz numerischer Verfahren erm¨ oglicht zwar die Erfassung komplizierter Str¨ omungsberandungen, jedoch sind m¨ ogliche Lösungen von praktischen Str¨ omungsproblemen ohne Modellannahmen, insbesondere im Falle turbulenter Str¨ omungen bei hohen Reynoldszahlen, nur eingeschränkt erreichbar. Die-

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Abbildung 1.4: Experimentelle Untersuchung von Fl¨ ussigkeitsfilmen

se Einschr¨ ankungen sind durch die limitierte Speicherkapazität und Rechengeschwindigkeit der heute zur Verf¨ ugung stehenden Computer gegeben. Sie werden als begrenzende Faktoren f¨ ur die numerische Lösung von Strömungsproblemen noch lange bestehen bleiben, so dass eine Reihe praktisch relevanter Str¨ omungen nur mittels experimenteller Methoden verlässlich untersucht werden kann. Aber auch f¨ ur experimentelle Untersuchungen können, trotz der heute bereitgestellten verfeinerten experimentellen Methoden, nicht immer alle str¨ omungsmechanisch interessanten Gr¨ oßen bestimmt werden. Es fehlt an geeigneten Messverfahren, um alle wichtigen Strömungsgrößen erfassen zu k¨ onnen, so z. B. f¨ ur Untersuchungen d¨ unner Fl¨ ussigkeitsfilme, wie sie in Abb. 1.4 gezeigt sind. Daher erfordern effiziente L¨ osungen praktischer Strömungsprobleme erfahrungsgem¨ aß den kombinierten Einsatz der oben vorgestellten analytischen, numerischen und experimentellen Methoden der Strömungsmechanik. Den verschiedenen aufgef¨ uhrten Teilgebieten kommt somit eine gleichberechtigte Bedeutung zu, und die Beherrschung der verschiedenen Methoden der Str¨ omungsmechanik ist in der Praxis oftmals unerlässlich. Sind analytische L¨ osungen f¨ ur Str¨ omungsprobleme möglich, so sind diese den oftmals aufwendigen numerischen und experimentellen Untersuchungen vorzuziehen. Leider zeigt die Erfahrung, dass die als nichtlineares, partielles Differentialgleichungssystem vorliegenden Grundgleichungen der Strömungsmechanik nur dann analytische L¨ osungen zulassen, wenn bez¨ uglich der


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Gleichungen und der die eigentlichen Str¨ omungsprobleme bestimmenden Anfangs- und Randbedingungen beachtliche Vereinfachungen getroffen werden. Die G¨ ultigkeit dieser Vereinfachungen ist stets f¨ ur das jeweils zu lösende Str¨ omungsproblem nachzuweisen, indem Vergleiche der analytisch erhaltenen Ergebnisse mit entsprechenden experimentellen Werten vorgenommen werden. Nur wenn diese Vergleiche zu akzeptabel kleinen Differenzen zwischen den analytisch bestimmten und experimentell erhaltenen Geschwindigkeitsfeldern f¨ uhren, k¨ onnen die getroffenen Annahmen f¨ ur das zu lösende Str¨ omungsproblem als gerechtfertigt angesehen werden. Ist der Vergleich mit experimentellen Daten nicht m¨ oglich, so empfiehlt es sich, die getroffenen Vereinfachungen durch Gr¨ oßenbetrachtungen theoretisch zu rechtfertigen, um so den Nachweis zu erbringen, dass die z. B. in Lösungsansätzen vernachlässigten Terme in den Grundgleichungen klein gegen¨ uber den Termen sind, die f¨ ur die Ableitung der L¨ osung beibehalten werden.

Abbildung 1.5: Numerische Berechnung der Str¨ omung um einen Zug bei Seitenwind

¨ Ahnlich muss man auch bei der numerischen Lösung von Strömungsproblemen vorgehen. Die G¨ ultigkeit der L¨ osung ist durch Vergleiche der mit Finiten-Volumen- bzw. Finiten-Elementen-Methoden erhaltenen Ergebnisse mit entsprechenden experimentellen Daten nachzuweisen. Liegen solche Daten nicht vor, was f¨ ur Str¨ omungsprobleme der Fall sein kann, wie sie in den Abb. 1.5 und 1.6 aufgezeigt sind, k¨ onnen durch den Vergleich von drei auf unterschiedlich feinen Gittern berechneten numerischen Lösungen Aussagen u osung gemacht werden. Mit diesem ¨ ber die Genauigkeit der erhaltenen L¨ Wissen u onnen dann aus numerischen Ergebnissen einer ¨ ber Genauigkeit k¨ Str¨ omungsberechnung f¨ ur die Praxis relevante Strömungsinformationen gewonnen werden. Numerische L¨ osungen ohne Kenntnisse der numerisch er-

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reichten Genauigkeit der L¨ osung sind ungeeignet, um verlässliche Aussagen u omungsvorg¨ ange zu gewinnen. ¨ ber ablaufende Str¨ ¨ Werden experimentelle Daten zur Uberpr¨ ufung analytischer oder numerischer Ergebnisse herangezogen, so ist es sehr wichtig, dass nur solche Daten zur Anwendung kommen, die als Messungen mit einer f¨ ur Vergleiche ausreichenden Genauigkeit eingestuft werden k¨ onnen. Dies setzt voraus, dass die Messdaten mit Verfahren ermittelt werden, die genaue Strömungsmessungen zulassen und zudem erlauben, Messwerte störungsfrei zu bestimmen. Optische Messverfahren erf¨ ullen im allgemeinen die an die Genauigkeit und St¨ orungsfreiheit gestellten Anforderungen, so dass diese Verfahren in heutiger Zeit verst¨ arkt in der experimentellen Strömungsmechanik Anwendung finden (vgl. Abb. 1.6). In diesem Zusammenhang kommt der LaserDoppler-Anemometrie eine besondere Bedeutung zu. Sie hat sich zu einer verl¨ asslichen und leicht anwendbaren Messmethode der Strömungsmechanik entwickelt, die lokale Geschwindigkeitsinformationen in laminaren und turbulenten Str¨ omungen zu messen vermag.

Abbildung 1.6: Anemometers

Str¨ omungsuntersuchung

mit

Hilfe

eines

Laser-Doppler-

Obgleich in den obigen Abschnitten die Gleichrangigkeit der verschiedenen, nach der eingesetzten Methodik aufgezeigten Teilgebiete der Strömungsmechanik angedeutet wurde, soll der analytischen Strömungsmechanik f¨ ur eine einf¨ uhrende Darstellung der Methoden zur Lösung von Strömungsproblemen, in diesem Buch der Vorzug gegeben werden. Erfahrungsgemäß ist es besser, analytische L¨ osungen von str¨ omungsmechanischen Problemen heranzuziehen, um u omungsphysikalische Verständnis bei Stu¨ ber diese das str¨ denten zu wecken bzw. zu vertiefen. In der Regel sind die bei Lösungen von Str¨ omungsproblemen eingesetzten analytischen Methoden dem Studenten aus Vorlesungen der angewandten Mathematik bekannt. Dadurch brin-


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gen die Studierenden das Handwerkszeug“ f¨ ur analytische Lösungen von ” Str¨ omungsproblemen mit. Dieser Umstand ist f¨ ur numerische bzw. experimentelle Methoden nicht unbedingt gegeben. Das ist der Grund, weshalb in diesem einf¨ uhrenden Buch den Methoden der analytischen Strömungsmechanik eine besondere Bedeutung zugemessen wird. In Teilen des Buches wird einf¨ uhrend sowohl auf numerische L¨ osungen eingegangen als auch auf Ergebnisse experimenteller Untersuchungen. Dadurch soll erreicht werden, dass dem Studenten in dieser Einf¨ uhrung auch die Bedeutung der numerischen und experimentellen Str¨ omungsmechanik u ¨bermittelt werden. Der Inhalt dieses Buches befasst sich schwerpunktmäßig mit Lösungen von Str¨ omungsproblemen, die durch vereinfachte Formen der allgemeing¨ ultigen Grundgleichungen der Str¨ omungsmechanik beschrieben werden. Dieser Einsatz vereinfachter Gleichungen f¨ ur die L¨ osung von Strömungsproblemen zeigt eine hohe Systematik auf. Die verst¨ andliche Einf¨ uhrung von Studenten in das allgemeine Vorgehen f¨ ur die Erarbeitung von Lösungen von Strömungsproblemen mittels reduzierter Str¨ omungsgleichungen wird dadurch erreicht, dass die Grundgleichungen abgeleitet und als partielle Differentialgleichungen f¨ ur sogenannte newtonsche Fluide (z. B. Luft oder Wasser) angegeben werden. Aus ihnen lassen sich die vereinfachten Formen der Strömungsgleichungen allgemein verst¨ andlich ableiten, beispielsweise durch die Einf¨ uhrung der Annahme, dass Fluide viskosit¨ atsfrei sind. Fluide dieser Art werden als strö” mungsmechanisch ideal“ bezeichnet. Die aus dem allgemeinen Gleichungssystem abgeleiteten Grundgleichungen dieser idealen Fluide stellen eine wesentliche Vereinfachung dar, durch die analytische Lösungen von Strömungsproblemen m¨ oglich werden. Weitere Vereinfachungen lassen sich durch die Annahme der Inkompressibilit¨ at des betrachteten Fluides erreichen, die zu den klassischen Gleichungen der Hydrodynamik f¨ uhren. Treten jedoch Gasströmungen mit hohen Geschwindigkeiten auf, so ist die Annahme der Inkompressibilität des Str¨ omungsmediums nicht mehr gerechtfertigt. F¨ ur Strömungsuntersuchungen m¨ ussen dann die f¨ ur gasdynamische Str¨ omungen geltenden Grundgleichungen zur Anwendung kommen. Um diese abzuleiten, wird die Annahme eingef¨ uhrt, dass Gase in Str¨ omungsfeldern thermodynamische Zustandsänderungen erfahren, wie sie f¨ ur ideale Gase bekannt sind. Die Lösung der gasdynamischen Grundgleichungen gelingt f¨ ur eine Reihe von eindimensionalen Strömungsvorg¨ angen. Diese werden im Buch geb¨ uhrend behandelt. Sie gewähren einen Einblick in die starken Wechselwirkungen, die zwischen der kinetischen Energie eines Fluidelements und der inneren Energie eines kompressiblen Fluids vorliegen k¨ onnen. Die daraus resultierenden Strömungserscheinungen sind geeignet, das physikalische Verst¨ andnis f¨ ur gasdynamische Strömungsvorgänge zu wecken und dieses dann f¨ ur zweidimensionale Strömungen zu nutzen. Einige zweidimensionale Str¨ omungsprobleme werden daher ebenfalls im vorliegenden Buch angesprochen. Dem physikalischen Verständnis der sich abspielenden Str¨ omungsvorg¨ ange wird in den Betrachtungen besondere Bedeutung

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beigemessen. Aber es wird auch Wert darauf gelegt, dass die Grundlagen der eingesetzten analytischen Methoden f¨ ur den Studenten verständlich dargestellt und nachvollziehbar werden.

1.3 Geschichtliche Entwicklung Auf den nachfolgenden Seiten wird die geschichtliche Entwicklung der Strömungsmechanik skizzenhaft anhand der wichtigsten Beiträge verschiedener Wissenschaftler dargestellt. Diese geschichtliche Betrachtung erhebt keinen Anspruch auf Vollst¨ andigkeit. Diese kann allein schon aufgrund der gewählten K¨ urze der Darstellungen nicht erreicht werden. Ziel der gewählten Betrachtungen soll es vielmehr sein, die Entwicklung u ¨ber Jahrhunderte hinweg allgemein verst¨ andlich aufzuzeichnen. Zusammenfassend kann gesagt werden, dass bereits am Anfang des 19. Jahrhunderts die Grundgleichungen bekannt waren, mit denen str¨ omungsmechanische Vorgänge verlässlich beschrieben werden k¨ onnen. L¨ osungen dieser Gleichungen waren mangels geeigneter L¨ osungsmethoden f¨ ur Ingenieurprobleme nicht möglich, so dass sich neben dem Gebiet der grundlagenorientierten Str¨ omungsmechanik die technische Hydraulik entwickelte. In diesem Gebiet bediente man sich der bekannten Zusammenh¨ ange f¨ ur die Str¨ omung idealer Fluide und der Einfluss von Reibungseffekten wurde durch empirisch bestimmte Verlustbeiwerte ber¨ ucksich¨ tigt. F¨ ur geometrisch komplexe Probleme wurden auf Ahnlichkeitsgesetzen basierende Methoden angewandt, um experimentell erhaltene Strömungsergebnisse zu verallgemeinern. Analytische Methoden erlaubten nur die Lösung von akademischen Problemen, die f¨ ur die praktische Anwendung keine Relevanz hatten. Erst die Methodenentwicklungen in der zweiten Hälfte des 20. Jahrhunderts haben dazu gef¨ uhrt, dass heute numerische Methoden zur Verf¨ ugung stehen, welche die Grundgleichungen der Strömungsmechanik f¨ ur praktisch relevante Str¨ omungsprobleme zu l¨ osen erlauben. Parallel zu der Entwicklung der numerischen Methoden wurde auch die Entwicklung von experimentellen Techniken vorangetrieben, so dass heute Messverfahren bereitstehen, welche str¨ omungsmechanische Informationen experimentell zu erhalten erlauben, die f¨ ur praktische Str¨ omungsprobleme interessant sind. Einige technische Entwicklungen waren und sind auch heute noch eng mit der L¨ osung str¨ omungsmechanischer Probleme verbunden bzw. mit der vorteilhaften Nutzung von Str¨ omungsvorg¨ angen. Hierzu sei auf die Entwicklung der Schifffahrt hingewiesen, die schon in den altägyptischen Geschichtsepochen mit windgetriebenen Schiffen aufwarten konnte. Weiterentwicklungen bis zur heutigen Zeit haben zu Transportsystemen mit großer wirtschaftlicher und gesellschaftspolitischer Bedeutung gef¨ uhrt. In j¨ ungster Zeit wurde die Schifffahrt von atemberaubenden Entwicklungen in der Luftfahrt und der Automobiltechnik u ¨ bertroffen. Diese nutzen wiederum Strömungsvorgänge, um die Sicherheit und den Komfort zu gew¨ ahrleisten, die wir heute bei den be-

1.3 Geschichtliche Entwicklung

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reitgestellten Transportsystemen als selbstverständlich ansehen. Strömungsmechanische Entwicklungen haben diese Sicherheit und den Komfort oft erst in der uns bekannten Form m¨ oglich gemacht. Eine kontinuierliche wissenschaftliche Entwicklung der Strömungsmechanik setzte mit Leonardo da Vinci (1452-1519 n. Chr.) ein. Durch seine genialen Arbeiten wurden Methoden aufgezeigt, die f¨ ur strömungsmechanische Untersuchungen allgemeiner Art geeignet waren. Davor liegende Bem¨ uhungen von Archimedes (287-212 v. Chr.) Fluidbewegungen zu verstehen, f¨ uhrten zwar zu dem Verst¨ andnis des hydromechanischen Auftriebs und der Stabilit¨ at schwimmender K¨ orper, sie blieben jedoch ohne weitere Auswirkungen auf die Entwicklung der Str¨ omungsmechanik in den nach Archimedes fol¨ genden Jahrhunderten. Ahnliches gilt auch f¨ ur die Arbeiten von Sextus Julius Frontius (40-103 n. Chr.), der das Grundverständnis f¨ ur die Methoden bereitstellte, welche im R¨ omischen Reich eingesetzt wurden, um die Volumenstr¨ ome in den r¨ omischen Wasserversorgungsnetzen zu messen. Auch die Arbeiten von Sextus Julius Frontius blieben Einzelleistungen. Ihnen folgten f¨ ur mehr als ein Jahrtausend weder wesentliche strömungsmechanische Erkenntnisse, noch wurden Beitr¨ age zum Verst¨ andnis von Strömungsvorgängen bekannt. Die Str¨ omungsmechanik entwickelte sich als Wissensgebiet erst nach den Arbeiten von Leonardo da Vinci. Betrachtungen der Arbeiten von Leonardo da Vinci f¨ uhren zu der Erkenntnis, dass er die Grundlagen f¨ ur das Kontinuumsprinzip f¨ ur strömungsmechanische Betrachtungen legte und durch viele Skizzen von Strömungsvorg¨ angen zu der Entwicklung der Methodik beitrug, u ¨ ber die Sichtbarmachung str¨ omungsmechanische Erkenntnisse zu gewinnen. Seine geniale Ingenieurskunst erm¨ oglichte es ihm, erste str¨ omungsmechanisch angetriebene Anlagen zu erdenken und Skizzen von technischen Problemlösungen auf der Basis von Str¨ omungsprozessen zu hinterlassen. Den Arbeiten von Leonardo da Vinci folgten die von Galileo Galilei (1564-1642) und von Evangelista Torricelli (1608-1647). W¨ ahrend Galileo Galilei wesentliche Impulse f¨ ur die experimentelle Hydraulik gab und das Konzept des Vakuums, das von Aristoteles eingef¨ uhrt wurde, neu u ¨berarbeitete, erkannte Evangelista Torricelli den Zusammenhang zwischen dem Gewicht der Atmosphäre und dem barometrischen Druck. Er brachte die Form eines horizontal ausgestoßenen Fl¨ ussigkeitsstrahls mit den Gesetzen des freien Falls in Verbindung. Damit leisteten Torricellis Arbeiten einen wichtigen Beitrag zu den Gesetzmäßigkeiten des Ausfließens aus Gef¨ aßen unter Schwerkrafteinfluss. Blaise Pascal (1623-1662) besch¨ aftigte sich ebenfalls mit Hydrostatik und formulierte als erster den Satz von der allseitigen Druckfortpflanzung. Isaac Newton (1642-1727) legte die Grundlagen zur theoretischen Beschreibung von Str¨ omungsvorg¨ angen. Er erkannte als erster, dass der molek¨ ulbedingte Impulstransport, den er als Strömungsreibung interpretierte und einf¨ uhrte, proportional zum Geschwindigkeitsgradienten normal zur Str¨ omungsrichtung ist. Von ihm sind auch verschiedene weitere Beiträge zur

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Ermittlung des Str¨ omungswiderstandes geleistet worden. Zur Strahlkontraktion beim Ausfließen von Fl¨ ussigkeiten aus Gefäßen stellte er umfassende, wenn auch nicht in allen Phasen korrekte Betrachtungen an. Henri de Pitot (1665-1771) leistete wichtige Beitr¨ age zum Verständnis des Staudruckes, der sich in einer Str¨ omung in Staupunkten aufbaut. Er war einer der ersten, der sich bem¨ uhte, durch Konstruktion doppelwandiger Messgeräte Strömungsgeschwindigkeiten durch Differenzdruckmessungen zu ermöglichen. Durch Daniel Bernoulli (1700-1782) wurden die Grundlagen der Hydromechanik gelegt, indem auf der Basis einfacher Energieprinzipien ein Zusammenhang zwischen Druck und Geschwindigkeit hergestellt wurde. Wesentliche Beiträge zur Druckmessung, zur Manometertechnik und zu hydromechanischen Antrieben wurden von ihm geleistet. Leonhard Euler (1707-1783) formulierte die Grundlagen der Strömungsgleichungen einer idealen Fl¨ ussigkeit. Er leitete aus der Erhaltungsgleichung f¨ ur den Impuls das zuvor schon von Johann Bernoulli (1667-1748) aus Energieprinzipien abgeleitete Bernoulli-Theorem her. Er unterstrich die Bedeutung des Druckes f¨ ur das gesamte Gebiet der Strömungsmechanik und erl¨ auterte unter anderem die in Anlagen auftretenden Kavitationserscheinungen. Das Grundprinzip von Turbomaschinen wurde von ihm erkannt und beschrieben. Eulers Arbeiten zur Formulierung der Grundgleichungen wurden durch Jean le Rond D’Alembert (1717-1783) ergänzt. Er leitete die Kontinuit¨ atsgleichung in Differentialform ab und f¨ uhrte die Verwendung komplexer Zahlen in die Potentialtheorie ein. Er leitete zudem die Beschleunigungskomponente eines Fluidelementes in Feldgr¨ oßen ab und äußerte die nach ihm benannte (und von Euler zuvor bewiesene) Vermutung, dass ein von einem idealen Fluid umstr¨ omter K¨ orper keinen Str¨ omungswiderstand besitzt. Dieser als D’Alembertsches Paradoxon bekannte Sachverhalt f¨ uhrte zu langen Diskussionen u ¨ber den Sinn der Gleichungen der Strömungsmechanik, da die aus ihnen abgeleiteten Ergebnisse nicht mit Ergebnissen experimenteller Untersuchungen u ¨bereinstimmten. In diesen Diskussionen wurde oftmals unber¨ ucksichtigt gelassen, dass das D’Alembertsche Paradoxon mit den Annahmen zu tun hatte und nicht mit den Gleichungen. Die Grundgleichungen der Str¨ omungsmechanik erfuhren weitere Behandlungen durch Joseph de Lagrange (1736-1813), durch Louis Marie Henri Navier (1785-1836) und durch Barré de Saint-Venant (1797-1886). Da jedoch L¨ osungen der Gleichungen f¨ ur praktische Probleme nicht gelangen, entwickelte sich, parallel zu der Entwicklung der Theorie der Grundgleichungen der Str¨ omungsmechanik, die praktische Hydraulik. Antoine Chezy (1718¨ 1798) formulierte Ahnlichkeitsparameter, um Ergebnisse von Strömungsuntersuchungen in einem Str¨ omungskanal auf einen zweiten Kanal zu u ¨ bertra¨ gen. Aufbauend auf Ahnlichkeitsgesetzen wurden umfangreiche experimentelle Untersuchungen von Giovanni Battista Venturi (1746-1822) durchgef¨ uhrt sowie experimentelle Untersuchungen zu Druckverlustmessungen in Strömungen durch Gotthilf Heinrich Ludwig Hagen (1797-1884) und zu hydrodyna-


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mischen Widerst¨ anden durch Jean-Louis Poiseuille (1799-1869). Es folgten Arbeiten durch Henri Philibert Gaspard Darcy (1803-1858) zur Filtration, d. h. zur Bestimmung des Druckverlustes in Porenkörpern. Im Bereich des Bauingenieurwesens folgten Arbeiten von Julius Weißbach (1806-1871), der die Grundlagen der Hydraulik in Ingenieur¨ uberlegungen einf¨ uhrte und durch systematische Experimente dimensionslose Strömungskoeffizienten festlegte, mit denen Ingenieuranlagen ausgelegt werden konnten. Arbeiten von William Froude (1810-1879) zur Entwicklung von Towing-Tank-Techniken leiteten Modelluntersuchungen an Schiffen ein und Robert Manning (1816-1897) erarbeitete viele Formeln f¨ ur Widerstandsgesetze von Körpern in offenen ¨ Wasserkan¨ alen. Ahnliche Entwicklungen wurden durch Ernst Mach (18381916) f¨ ur die kompressible Aerodynamik eingeleitet. Er gilt als Pionier der ¨ Uberschallaerodynamik, mit der Bereitstellung wesentlicher Erkenntnisse zur ¨ Nutzung des Wissens u omungen in denen Anderungen der Dichte eines ¨ ber Str¨ Fluids von Bedeutung sind. Neben der praktischen Hydromechanik entwickelte sich im 19. Jahrhundert auch die analytische Str¨ omungsmechanik um analytisch handhabbare Probleme zu l¨ osen. Georg Gabriel Stokes (1816-1903) leistete analytische Beitr¨ age zur Str¨ omungsmechanik viskoser Medien, insbesondere zur Wellenmechanik und zum viskosen Widerstand von Körpern. Auf ihn geht das Stokessche Gesetz f¨ ur in Fl¨ ussigkeit fallende Kugeln zur¨ uck. John William Strutt, Lord Rayleigh (1842-1919) f¨ uhrte eine Vielzahl von Untersuchungen ¨ zur dynamischen Ahnlichkeit sowie zur hydrodynamischen Instabilität durch. Ableitungen der Grundlagen f¨ ur Wellenbewegungen, Blasen- und Tropfeninstabilit¨ aten, Instabilit¨ aten von Fl¨ ussigkeitsstrahlen etc. folgten, mit klaren Hinweisen, wie lineare Instabilit¨ atsbetrachtungen in der Strömungsmechanik durchzuf¨ uhren sind. Vincenz Strouhal (1850-1922) erarbeitete die Grundlagen der Schwingungsanregung von K¨ orpern durch ablösende Wirbel. Viele andere Wissenschaftler w¨ aren hier zu nennen, die aufzeigten, dass die angewandte Mathematik wichtige Beitr¨ age zur analytischen Lösung von Strömungsproblemen liefern kann. Nach den bahnbrechenden Arbeiten von Ludwig Prandtl (1875-1953), der das Grenzschichtkonzept in die Strömungsmechanik einf¨ uhrte, folgten analytische L¨ osungen zu den Grundgleichungen, wie z. B. Lösungen der Grenzschichtgleichungen von Paul Richard Heinrich Blasius (18831970). Mit Osborne Reynolds (1832-1912) wurde ein neues Kapitel der Strömungsmechanik aufgeschlagen. Er f¨ uhrte wegweisende Experimente in vielen Bereichen der Str¨ omungsmechanik durch, insbesondere Grundlagenuntersuchungen f¨ ur verschiedene turbulente Str¨ omungen. Er zeigte auf, dass es möglich ist, die Navier-Stokesschen Gleichungen in zeitlich gemittelter Form anzugeben, um damit turbulente Transportvorg¨ ange zu beschreiben. Wesentliche Arbeiten in diesem Bereich folgten durch Ludwig Prandtl (1875-1953) verbunden mit grunds¨ atzlichen Erkenntnissen im Bereich der Grenzschichttheorie. Theodor von K´ arm´ an (1881-1963) leistete Beiträge zu vielen Teilgebieten

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der Str¨ omungsmechanik gefolgt von einer Vielzahl von Wissenschaftlern, die sich um Probleml¨ osungen in der Str¨ omungsmechanik bem¨ uhten. Zu nennen w¨ aren hier, ohne den Anspruch auf Vollst¨ andigkeit zu erheben, Pei-Yuan Chou (1902-1993) und Andrei Nikolaevich Kolmogorov (1903-1987) f¨ ur ihre Beitr¨ age zur Turbulenztheorie und Hermann Schlichting (1907-1982) f¨ ur seine Arbeiten auf dem Gebiet des laminar-turbulenten Umschlages, f¨ ur die Zusammenf¨ uhrung des str¨ omungsmechanischen Wissens seiner Zeit und die Umsetzung in praktische L¨ osungen von Str¨ omungsproblemen.

Abbildung 1.7: Zusammenfassende Darstellung der Epochen und Wissenschaftler mit Beitr¨ agen zur Entwicklung der Str¨ omungsmechanik

Der zeitliche Ablauf der in den obigen Abschnitten angegebenen Beitr¨ age zur Entwicklung der Str¨ omungsmechanik lässt sich gut in einem Diagramm angeben, das nachfolgend aufgef¨ uhrt ist, siehe Abb. 1.7. Genauere Betrachtungen zeigen, dass das 16. und 17. Jahrhundert durch die Entwicklung des Verst¨ andnisses wichtiger Grundlagen der Strömungsmechanik gekennzeichnet waren. Im Zuge der Entwicklung der Mechanik konnten im 18. Jahrhundert die Grundgleichungen der Str¨ omungsmechanik abgeleitet und vollst¨ andig angegeben werden. Diese Gleichungen umfassten alle auf Fluidelemente einwirkenden Kr¨ afte und wurden f¨ ur substantielle Größen (Lagrangsche Betrachtungsweise) und f¨ ur Feldgr¨ oßen (Eulersche Betrachtungsweise) angegeben. Mangels geeigneter L¨ osungsmethoden beschränkten sich die im 19. Jahrhundert und Anfang des 20. Jahrhunderts angestrebten theoretischen L¨ osungen der str¨ omungsmechanischen Grundgleichungen auf analytische Ergebnisse f¨ ur einfache Randbedingungen. Praktische Strömungs-


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probleme entzogen sich der theoretischen L¨ osung und es entwickelte sich deshalb eine Ingenieur-Hydromechanik“, die strömungsmechanische Pro” bleml¨ osungen u ¨ber experimentell gewonnene Erkenntnisse suchte. Untersuchungen an geometrisch ¨ ahnlichen Modellen wurden angestrebt, unter Ein¨ ¨ haltung str¨ omungsmechanischer Ahnlichkeitsanforderungen, um die Uber¨ tragung der experimentell gewonnenen Erkenntnisse u ¨ber Ahnlichkeitsgesetze auf Großausf¨ uhrungen zu erm¨ oglichen. Erst die seit Mitte des 20. Jahrhunderts einsetzende Entwicklung numerischer Methoden zur Lösung der Grundgleichungen der Str¨ omungsmechanik hat M¨ oglichkeiten geschaffen, auch theoretische (numerische) L¨ osungen f¨ ur praktische Strömungsprobleme herbeizuf¨ uhren. Parallel dazu laufende messtechnische Entwicklungen haben dazu gef¨ uhrt, dass komplement¨ are experimentelle und numerische Lösungen praktischer Str¨ omungsprobleme m¨ oglich wurden. Man kann so mit Recht sagen, dass die zweite H¨ alfte des 20. Jahrhundert der Strömungsmechanik die Mess- und Berechnungsmethoden gebracht hat, die zur Lösung praktischer Str¨ omungsprobleme ben¨ otigt werden. Der kombinierte Einsatz der heute zur Verf¨ ugung stehenden experimentellen und numerischen Methoden wird im 21. Jahrhundert str¨ omungsmechanische Untersuchungen zulassen, die bis zur heutigen Zeit, mangels geeigneter Methoden nicht möglich waren. Die experimentellen Methoden, die in der zweiten Hälfte des 20. Jahrhunderts besonders zur steilen Fortentwicklung der experimentellen Strömungsmechanik beigetragen haben, waren die Hitzdraht- und Laser-Doppler-Anemometrie. Diese Messmethoden haben heute einen Entwicklungsstand erreicht, der ihren Einsatz f¨ ur lokale Geschwindigkeitsmessungen in laminaren und turbulenten Str¨ omungen zul¨ asst. Dabei findet die Hitzdrahtanemometrie in Gasstr¨ omungen Anwendung, die arm an Verunreinigungen sind, so dass die erforderliche Kalibrierung des eingesetzten Hitzdrahtes u ¨ ber eine lange Messzeit aufrecht erhalten werden kann. Messungen sind bis 10 % an Turbulenzgrad m¨ oglich. Str¨ omungen mit dar¨ uberliegenden Turbulenzgraden bed¨ urfen des Einsatzes der Laser-Doppler-Anemometrie. Die Messmethode eignet sich vor allem f¨ ur Messungen in verunreinigten Gas- und Fl¨ ussigkeitsströmungen. Abschließend soll auch noch auf die rapiden Fortschritte hingewiesen werden, die in den letzten Jahrzehnten im Bereich der numerischen Strömungsmechanik erreicht werden konnten. Beachtliche Entwicklungen konnten in der angewandten Mathematik durchgef¨ uhrt werden, um partielle Differentialgleichungen numerisch zu l¨ osen. Verbunden mit hohen Steigerungen der Rechenleistung moderner Hochleistungscomputer, konnten Computerprogramme bereitgestellt werden, die praktische Str¨ omungsprobleme numerisch zu l¨ osen erlauben. Die numerische Str¨ omungsmechanik ist dadurch zu einem wichtigen Teilgebiet des Gesamtgebietes Str¨ omungsmechanik geworden. Ihre Bedeutung wird in der Zukunft noch weiter zunehmen. Insbesondere sind neue Ans¨ atze in der Entwicklung von Turbulenzmodellen zu erwarten, welche Invarianten von Tensoren ui uj , ij , etc. nutzen, um Grenzen turbulenter Eigenschaften von Str¨ omungen bei der Turbulenzmodellierung zu ber¨ ucksich-

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tigen. Dies ist in Abb. 1.8 angedeutet. Diese Abbildung zeigt auf, dass die Turbulenzgr¨ oßen, die sich als Tensoren zweiter Ordnung darstellen lassen, nicht beliebige Werte annehmen k¨ onnen. Alle Turbulenzen der Welt f¨ uhren zu Anisotropieinvarianten, die in dem segelartigen Gebiet liegen, das in Abb. 1.8 angedeutet ist. Informationen dieser Art lassen sich f¨ ur die Turbulenzmodellierung nutzen.

Abbildung 1.8: Darstellung der Turbulenzanisotropie durch die Invarianten des Anisotropietensors

1.4 Literaturverzeichnis 1.1 Bell ET (1936)Men of Mathematics. Simon & Schuster, New York 1.2 Rouse H (1952)Present-Day Trends in Hydraulics. Applied Mechanics Reviews 5: 2 1.3 Bateman H, Dryden HL, Murnaghan FP (1956) Hydrodynamics. Dover, New York 1.4 Van Dyke M (1964) Perturbation Methods in Fluid Mechanics. Academic, New York 1.5 Rouse H, Ince S (1980) History of Hydraulics. The University of Iowa, Inst. of Hydraulic Research, Ames 1.6 Sˇzabo I (1987) Geschichte der mechanischen Prinzipien und ihrer wichtigsten Anwendungen. Birkh¨ auser, Basel

2 Mathematische Grundlagen

2.1 Einleitung und Definitionen Die Str¨ omungsmechanik befaßt sich mit Transportvorgängen, insbesondere mit dem str¨ omungs- und molek¨ ulbedingten Impulstransport in Fluiden. Deren thermodynamische Zustandsgr¨ oßen wie Druck, Dichte, Temperatur, innere Energie etc. gehen in die str¨ omungsmechanischen Betrachtungen ein. Die thermodynamischen Zustandsgr¨ oßen eines Fluids sind skalare Größen und lassen sich als solche in die Gleichungen zur mathematischen Beschreibung von Str¨ omungsvorg¨ angen einf¨ uhren. Neben Skalaren sind jedoch auch andere Gr¨ oßen f¨ ur die Beschreibung von Str¨ omungsvorgängen notwendig. In den nachfolgenden Kapiteln wird gezeigt, daß strömungsmechanische Betrachtungen in Erhaltungsgleichungen f¨ ur Masse, Impuls, Energie und chemische Spezies resultieren, die skalare, vektorielle und tensorielle“ Größen umfas” sen. Oftmals werden prinzipielle Unterscheidungen zwischen solchen Größen vorgenommen, ohne zu beachten, daß die Gr¨ oßen alle als Tensoren mit verschiedenen Ordnungen darstellbar sind: Skalare Gr¨ oßen = Tensoren nullter Ordnung ; {a} → a Vektorielle Gr¨ oße = Tensoren erster Ordnung ; {ai } → ai Tensorielle Gr¨ oßen = Tensoren zweiter Ordnung ; {aij } → aij Dabei kennzeichnet die Anzahl der in der Tensordarstellung gewählten Indizes die Ordnung des Tensors. Durch die oben angedeutete Einf¨ uhrung tensorieller Gr¨ oßen sind Erweiterungen in der Darstellung von Strömungsvorg¨ angen mittels noch komplexerer Gr¨ oßen, falls sie zur Beschreibung strömungsmechanischer Sachverhalte erforderlich werden sollten, als Tensoren dritter Ordnung und noch h¨ oherer Ordnung möglich. Diese Erweiterbarkeit und die oben erw¨ ahnte einheitliche Darstellung haben dazu gef¨ uhrt, die angedeutete tensorielle Schreibweise physikalischer Größen in dem vorliegenden Buch zu w¨ ahlen. Dabei entscheidet die Anzahl der Indizes i, j, k, l, m, n, wie obenstehend erw¨ ahnt, u ¨ ber die Ordnung eines Tensors. Tensoren mit beliebiger Ordnung sind mathematische Größen, mit denen mathematische Operationen“ wie das Addieren, Subtrahieren, Multi” plizieren, Dividieren etc. durchgef¨ uhrt werden können. Diese sind dem Leser oftmals bekannt, werden jedoch untenstehend noch einmal zusammengefasst

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dargestellt. Falls die K¨ urze der Darstellung dem mit der Tensordarstellung unvertrauten Leser nicht erlaubt, sich in die Materie einzuarbeiten, wird auf die entsprechende mathematische Literatur verwiesen, siehe Kapitel 2.12. Viele der Ableitungen lassen sich jedoch mit einfachen Grundkenntnissen der Mathematik durchf¨ uhren, ohne dass Details der vollständigen Tensorrechnung bekannt sein m¨ ussen. Dies wird aus den nachfolgenden Erläuterungen verst¨ andlich.

2.2 Tensoren nullter Ordnung (Skalare Gr¨ oßen) Skalare Gr¨ oßen werden zur Beschreibung der Zustandsgrößen von Fluiden wie Druck, Dichte, Temperatur, innere Energie, etc. herangezogen oder beschreiben andere physikalische Gr¨ oßen, die durch Angabe eines Betrages (bzw. Zahlenwertes) und einer Einheit eindeutig angegeben werden können. Als Beispiele seien genannt: N kg 6 3 P = 7, 53 · 10 , T = 893, 2 K , ρ = 1, 5 · 10 etc., m2 m3 Betrag Betrag Betrag Einheit

Einheit

Einheit

(2.1) Physikalische Gr¨ oßen, welche die gleiche Einheit haben, können addiert und subtrahiert werden, wobei nur die Betr¨ age in die Additions- und Subtraktionsoperationen einbezogen werden und die gemeinsame Einheit beibehalten wird. N α=1

aα =

N α=1

|aα |

a

Betrag Einheit

a±b = (|a| ± |b|) a oder b , wobei a = b Betrag

Einheit

(2.2) Gr¨ oßen mit unterschiedlichen Einheiten d¨ urfen nicht addiert bzw. subtrahiert werden. Auf zul¨ assige Additionen und Subtraktionen skalarer Größen können die unten angegebenen mathematischen Gesetzm¨ aßigkeiten zur Anwendung gebracht werden. Der Betrag von a ist eine reelle Zahl, d.h. |a| ist eine reelle Zahl, falls a ∈ R. Er ist definiert durch |a|: = +a, falls a ≥ 0 ist, und |a| := −a, falls a < 0 ist. Die folgenden Rechenregeln f¨ ur Betr¨ age ergeben sich unmittelbar aus der Definition:

a |a|

(falls b = 0) . −|a| ≤ a ≤ |a|, | − a| = |a|, |ab| = |a||b|, = b |b| Und es gilt ferner: |a| ≤ b ⇔ −b ≤ a ≤ b.

2.3 Tensoren erster Ordnung (Vektorielle Gr¨ oßen)

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Aus −|a| ≤ a ≤ |a| und − |b| ≤ b ≤ |b| folgt − (|a| + |b|) ≤ a+ b ≤ (|a| + |b|) . Also gilt f¨ ur alle a, b ∈ R: |a + b| ≤ |a| + |b|

(Dreiecksungleichung).

Die Kommutativ- und Assoziativgesetze der Addition und Multiplikation skalarer Gr¨ oßen sind im allgemeinen bekannt und bed¨ urfen hier keiner weiteren Behandlung. F¨ uhrt man mit skalaren physikalischen Größen Multiplikationen bzw. Divisionen aus, so entstehen neue physikalische Größen, die wieder Skalare sind, mit Betr¨ agen, die sich aus der Multiplikation bzw. Division der Betr¨ age der Ausgangsgr¨ oßen ergeben. Die Einheit der neuen skalaren physikalischen Gr¨ oße entsteht aus der Multiplikation bzw. Division der Basiseinheiten der skalaren Gr¨ oßen. a · b = (|a| · |b|) [a] · [b] Betrag

bzw.

Einheit

a = b

|a| [a] |b| [b]

(2.3)

Betrag Einheit

Am Beispiel des Produktes aus dem Druck P und dem Volumen V soll gezeigt werden, dass eine neue physikalische Einheit entsteht. N 3 P V = |P | |V | m = |P | |V | Nm (2.4) m2 [J=Nm] Die neue physikalische Gr¨ oße hat die Einheit J = Joule, d. h. die Einheit einer Energie. Wird der Druckverlust mit dem Volumenstrom multipliziert, so entsteht eine Verlustleistung ∆P V˙ = |∆P | |V˙ |

N m3 Nm ˙ = |∆P | |V | m2 s s

(2.5)

[W= Nm s ]

Die Verlustleistung hat die Einheit W = Watt.

2.3 Tensoren erster Ordnung (Vektorielle Gr¨ oßen) Die vollst¨ andige Darstellung einer vektoriellen Größe erfordert die Angabe des Betrages, der Richtung und einer Einheit. Kraft, Geschwindigkeit, Impuls, Drehimpuls etc. sind Beispiele f¨ ur vektorielle Größen. Graphisch werden Vektoren durch Pfeile repr¨ asentiert, deren L¨ ange den Betrag und deren Lage zusammen mit Pfeilausgangspunkt und der Pfeilspitze die Richtung angibt. Die daraus ableitbare analytische Darstellung vektorieller Größen bedient

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a a

2

3

a 1

Abbildung 2.1: Darstellung von Vektoren in einem kartesischen Koordinatensystem

sich der Angabe der auf die Achse eines kartesischen Koordinatensystems projizierten Komponenten des Vektors, und die Richtungsangabe erfolgt durch die Vorzeichen der resultierenden Vektorkomponenten. F¨ ur die Darstellung des Geschwindigkeitsvektors {Ui } in einem karte i = Uiei mit den sischen Koordinatensystem ergeben sich Komponenten U Koordinaten Ui (i = 1, 2, 3), wobei e1 , e2 , e3 die Einheitsvektoren in die Koordinatenrichtungen x1 , x2 und x3 darstellen.      U1   cos α1  m m = {Ui } = U2 = |U | cos α2 U ; Ui = ± |U | · | cos αi |  s    s U3 cos α3 Richtung Betrag

Einheit

(2.6) und Dies ist in Abb. 2.1 skizziert. αi bezeichnet den Winkel zwischen U dem Einheitsvektor ei . Geeignete Darstellungen von Vektoren sind auch in anderen Koordinatensystemen m¨ oglich. In dem vorliegenden Buch werden kartesische Koordinaten bevorzugt. Vektorielle Gr¨ oßen, welche die gleiche Einheit haben, können vektoriell addiert bzw. subtrahiert werden. Hierbei kommen Gesetzmäßigkeiten zur Anwendung, die in der Addition bzw. Subtraktion der Komponenten auf den Achsen eines kartesischen Koordinatensystems resultieren: a ± b = {a1 } ± {b1 } = {(ai ± bi )} = {(a1 ± b1 ), (a2 ± b2 ), (a3 ± b3 )}T Addition bzw. Subtraktion der Komponenten Vektorielle Gr¨ oßen mit unterschiedlichen Einheiten d¨ urfen nicht vektoriell addiert bzw. subtrahiert werden. F¨ ur die Addition und Subtraktion vektorieller Größen (mit gleichen Einheiten) gelten die folgenden Rechenregeln:


21

a + 0 = {ai } + {0} = a (Neutrales Element 0) a + (−a) = {ai } + {−ai } = 0 (zu a inverses Element −a) a + b = b + a, d.h. {ai } + {bi } = {bi } + {ai } = {(ai + bi )} (Kommutativgesetz) a + (b + c) = (a + b) + c, d.h. {ai } + {(bi + ci )} = {(ai + bi )} + {ci } (Assoziativgesetz) Mit (α · a) entsteht ein skalares Vielfaches von a, wenn α ∈ R+ \0 und α keine eigene Einheit hat, d. h. (α · a) bezeichnet den Vektor, der dieselbe Richtung wie a hat, aber den α-fachen Betrag. F¨ ur den Fall α < 0 setzt man (α · a) := −(|α| · a). F¨ ur α = 0 resultiert das Neutrale Element (Nullvektor) 0 : 0 · a = 0. Bei der Multiplikation von Vektoren sind zwei Möglichkeiten zu unterscheiden: Das Skalarprodukt a · b der Vektoren a und b ist definiert durch |a| · |b| · cos(a, b) , falls a = 0 und b = 0 a · b := (2.7) 0 , falls a = 0 oder b = 0 wobei die folgenden Rechenregeln gelten: a · b = b · a (αa) · b = a · (αb) = α(a · b) (a + b) · c = a · c + b · c

a · b = 0√ ⇔ |a| : = a · a

a orthogonal zu b

(2.8) Mit Hilfe der Koordinatendarstellung der Vektoren a und b bzgl. einer kartesischen Basis ergeben sich einfache Rechenregeln f¨ ur das Skalarprodukt (a ·b) und f¨ ur cos(a, b): |a| = a21 + a22 + a23 , (2.9) a · b = a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 , a · b a1 b 1 + a2 b 2 + a3 b 3 cos(a, b) = = 2 a1 + a22 + a23 b21 + b22 + b23 |a||b|

(2.10)

falls a, b = 0. Insbesondere errechnet sich der Richtungscosinus ai |ai | cos(a, ei ) = 2 bzw. | cos(a, ei )| = 2 a1 + a22 + a23 a1 + a22 + a23       1 0 0 e1 = 0 , e2 = 1 , e3 = 0 .       0 0 1

i = 1, 2, 3 (2.11)

f¨ ur die Basisvektoren

(2.12)

Das Vektorprodukt a × b der Vektoren a und b hat die nachfolgend aufgef¨ uhrten Eigenschaften:

22


Abbildung 2.2: Das Vektorprodukt graphisch erl¨ autert

a × b ist ein Vektor = 0, wenn a = 0 und b = 0 und a nicht parallel zu b ist. |a × b| = |a| · |b| sin(a, b) (Fl¨ acheninhalt des von a und b aufgespannten Parallelogramms) a × b ist ein Vektor, der senkrecht auf a und b steht und mit (a, b, a × b) ein Rechtssystem“ darstellt. Dies ist in Abb. 2.2 skizziert. Es ist leicht ersicht” lich, dass a × b = 0, falls a = 0 oder b = 0 oder a parallel zu b verläuft. Beachtet man, dass f¨ ur das Vektorprodukt das Assoziativgesetz im allgemeinen nicht gilt: a × (b × c) = (a × b) × c, so lassen sich folgende Rechenregeln angeben: a × a = 0, a × b = −(b × a), α(a × b) = (αa) × b = a × (αb) (f¨ ur α ∈ R), a × (b + c) = a × b + a × c (a + b) × c = a × c + b × c (Distributivgesetze), a × b = 0 ⇔ a = 0 oder b = 0 oder a, b parallel (Parallelitätstest), |a × b|2 = |a|2 · |b|2 − (a · b)2 . W¨ ahlt man die Koordinatendarstellung der Vektoren a und b bzgl. einer kartesischen Basis ei , so ergibt sich folgende Rechenregel:

     

 a1   b1 

e1 a1 b1

 a2 b3 − a3 b2  a2 × b2 = e2 a2 b2

= a3 b1 − a1 b3 (2.13)     

 a3 b3 e3 a3 b3

a1 b 2 − a2 b 1 Der in Abschnitt 2.5 einzuf¨ uhrende Tensor 3. Ordnung ijk := ei · (ej × ek ) erlaubt zudem eine Berechnung nach {ai } × {bj } := ijk · ai · bj

1

(2.14)


23

Eine Kombination von Skalarprodukt und Vektorprodukt f¨ uhrt zu dem aus drei Vektoren gebildeten Spatprodukt a, b, c = a · (b × c) (2.15) Die Eigenschaften dieses Produktes dreier Vektoren sind der untenstehenden Skizze zu entnehmen. Das Spatprodukt der Vektoren a, b, c f¨ uhrt zum sechsfachen Volumen eines Tetraeders, der von den Vektoren a, b und c aufgespannt wird.

b x h =

a . ( b x ½ b x

c

c ) c ½

b

a c

Abbildung 2.3: Spatprodukt von drei Vektoren graphisch erl¨ autert

Das Spatprodukt errechnet sich aus dem Wert einer dreireihigen Determinante

a1 b1 c1

(2.16) a, b, c =

a2 b2 c2

a 3 b 3 c3

1 1 VSpat = a, b, c 6 6 Es ist leicht zu zeigen, dass f¨ ur das Spatprodukt gilt: VTet =

a · (b × c) = b · (c × a) = c · (a × b)

(2.17)

(2.18)

F¨ ur das Dreifach-Vektorprodukt a × b × c gelten zudem die Beziehungen a × (b × c) = (a · c) · b − (a · b) · c

(2.19)

Weitere wichtige Beziehungen sind in B¨ uchern u ¨ ber Vektoranalysis, siehe Kapitel 2.12, angegeben.

1

siehe hierzu Abschnitt 2.5

24


2.4 Tensoren zweiter Ordnung In den vorausgegangenen zwei Kapiteln wurden Tensoren nullter Ordnung (skalare Gr¨ oßen) und Tensoren erster Ordnung (vektorielle Größen) eingef¨ uhrt. In diesem Kapitel erfolgen zusammenfassende Betrachtungen zu Tensoren zweiter Ordnung, die sich je als eine Matrix mit neun Elementen angeben lassen:    a11 a12 a13  (2.20) {aij } = a21 a22 a23 = aij   a31 a32 a33 Die Zeilen dieser Matrix sind mit dem Index i und die Spalten mit dem Index j angegeben, wobei die Elemente mit i = j die Diagonale der Matrix bestimmen. Ein Tensor zweiter Ordnung heißt symmetrisch, wenn aij = aji gilt. Der Einheitstensor ist das Kroneckersymbol:   1 0 0 +1 wenn i = j (2.21) δij = 0 1 0 , d.h. δij = 0 wenn i = j   001 Der transponierte Tensor von {aij } wird durch Vertauschen der Zeilen und Spalten des Tensors gebildet: {aij }T = {aji }. Dabei ist ersichtlich, dass der transponierte Einheitstensor zweiter Ordnung wieder der Einheitstensor ist, T d.h. es gilt δij = δji = δij . Als die Summe bzw. Differenz zweier Tensoren zweiter Ordnung wird der Tensor zweiter Ordnung definiert, dessen Elemente aus der Summe bzw. Differenz der korrespondierenden ij-Elemente der Ausgangtensoren hervorgehen:    a11 ± b11 a12 ± b12 a13 ± b13  {aij } + {bij } = {aij ± bij } = a21 ± b21 a22 ± b22 a23 ± b23 (2.22)   a31 ± b31 a32 ± b32 a33 ± b33 Bei der folgenden Darstellung von Tensorprodukten wird häufig die sogenannte Einsteinsche Summenkonvention“ angewendet. Darunter versteht man ” das stillschweigende ¨ ber gleiche Indizes eines Produktes, bei3Summieren“ u ” spielsweise ai bi := i=1 ai bi = a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 . Bei der Produktbildung von Tensoren unterscheidet man das äußere Pro” dukt“ und das innere Produkt“. Das ¨ außere Produkt ist wiederum ein Ten” sor, bei dem jedes Element des ersten Tensors mit jedem Element des zweiten Tensors multipliziert ein Element des neuen Tensors ergibt. So ergibt das Produkt aus einem Skalar und einem Tensor zweiter Ordnung wieder einen Tensor zweiter Ordnung, bei dem jedes Element aus dem Ausgangstensor zweiter Ordnung durch Skalarmultiplikation hervorgeht:    α · a11 α · a12 α · a13  (2.23) α · {aij } = {α · aij } = α · a21 α · a22 α · a23   α · a31 α · a32 α · a33

2.5 Feldgr¨ oßen und mathematische Operationen

25

Das ¨ außere Produkt eines Vektors (Tensor 1. Ordnung) und eines Tensors 2. Ordnung ergibt einen Tensor dritter Ordnung mit insgesamt 27 Elementen. Dagegen kann das innere Produkt von Tensoren in einer Kontraktion der Ordnung resultieren. Als Beispiele seien die Produkte aij · bj und bTi · aij genannt:       a11 a12 a13   b1   a11 b1 + a12 b2 + a13 b3  b2 = a21 b1 + a22 b2 + a23 b3 (2.24) {aij } · {bj } = a21 a22 a23      a31 a32 a33 b3 a31 b1 + a32 b2 + a33 b3 und

  T   a11 a12 a13   b1 a11 + b2 a21 + b3 a31  {bi }T · {aij } = {b1 , b2 , b3 } · a21 a22 a23 = b1 a12 + b2 a22 + b3 a32     a31 a32 a33 b1 a13 + b2 a23 + b3 a33 (2.25) Zusammenfassend kann geschrieben werden

bzw.

{aij } · {bj } = {(aij bj )} = {(ab)i }

(2.26)

{bi }T · {aij } = {(bi aij )} = {(ab)j }

(2.27)

Ber¨ ucksichtigt man die obigen Produktregeln, so ergibt sich {δij } · {bj } = {bi } und {bi }T · {δij } = {bj }T

(2.28)

und die Multiplikation eines Tensors zweiter Ordnung mit dem Einheitstensor zweiter Ordnung, d. h. dem Kroneckersymbol ergibt den Ausgangstensor zweiter Ordnung      1 0 0   a11 a12 a13  {δij } · {aij } = 0 1 0 · a21 a22 a23 = {aij } (2.29)     a31 a32 a33 001 Weitere Produkte lassen sich angeben, so auch Kreuzprodukte zwischen Vektoren und Tensoren zweiter Ordnung {bij } × {ak } = jkl bij ak

2

(2.30)

doch sind diese f¨ ur Darstellungen von Gesetzmäßigkeiten in der Strömungsmechanik nicht von besonderer Bedeutung.

2.5 Feldgr¨ oßen und mathematische Operationen In der Str¨ omungsmechanik ist es u ¨ blich, Zustandsgrößen von Fluiden, wie die Dichte ρ, den Druck P , die Temperatur T , die innere Energie e etc., als Funktionen von Ort und Zeit darzustellen, wobei u ¨ blicherweise ein kartesisches Koordinatensystem zur Anwendung kommt. Jedem Punkt P(x1 , x2 , x3 ) = P(xi ) 2

bzgl. ijk siehe Ableitungen in Abschnitt 2.5

26


wird somit ein Wert ρ(xi , t), P (xi , t), T (xi , t), e(xi , t) etc. zugeordnet, d.h. die gesamten Fluideigenschaften werden als Feldgrößen dargestellt und sind somit Funktionen von Ort und Zeit. Dabei wird angenommen, dass an jedem Ort die thermodynamischen Zusammenh¨ ange zwischen den Zustandsgrößen gelten, so z. B. die Zustandsgleichungen, die sich f¨ ur thermodynamisch ideale Fluide wie folgt angeben lassen: ρ

= const (Zustandsgleichung der thermodynamisch idealen Fl¨ ussigkeit)

P/ρ = RT

(Zustandsgleichung des thermodynamisch idealen Gases)

Ganz analog lassen sich auch die Eigenschaften der Strömungen beschreiben, indem die Geschwindigkeitsvektoren bzw. deren Komponenten als Funktionen von Ort und Zeit, d.h. als Vektorfelder, eingef¨ uhrt werden. Ferner lässt sich die lokale Rotation des Str¨ omungsfeldes als Feldgröße in Betrachtungen einbringen, die f¨ ur eine Str¨ omung angestellt werden, sowie auch die lokal auf das Fluid einwirkenden Massenkr¨ afte und -beschleunigungen. Damit sind = Uj (xi , t), die Rotation ω = {ωj (xi , t)}, die Kraft die Geschwindigkeit U = {Kj (xi , t)} und die Beschleunigung g = {gj (xi , t)} als Feldgrößen anK gebbar und k¨ onnen in den nachfolgenden Betrachtungen als solche Größen verwendet werden.

p ( x i ,t) P ( x i ,t) T ( x i ,t) ( x i ) e ( x ,t) i · a 2 (x 2 ) a 1 x 1 a 3 (x 3 ) (x 1 ) x

x

2

3

Abbildung 2.4: Skalarfelder ordnen jedem Punkt im Raum eine skalare Gr¨ oße zu

Analog lassen sich auch Felder f¨ ur Tensoren zweiter und höherer Ordnung einf¨ uhren. So gibt τij (xi , t) den an dem Ortspunkt P(xi ) zur Zeit t vorliegenden molek¨ ulbedingten j-Impulstransport f¨ ur die Uj -Komponente in xi -Richtung an. Ferner stellt ij (xi , t) die durch Gradienten des Geschwindigkeitsfeldes bedingten Fluidelementdeformationen an dem Ort P(xi ) und zur Zeit t dar. Die in den obigen Darstellungen f¨ ur Tensoren nullter Ordnung (skalare Gr¨ oßen), Tensoren erster Ordnung (vektorielle Größen) und Tensoren zweiter Ordnung eingef¨ uhrten Feldgr¨ oßen werden in der Strömungsmechanik herangezogen, um Betrachtungen in einer nach Euler (1707-1783) benannten

2.5 Feldgr¨ oßen und mathematische Operationen

27

Abbildung 2.5: Vektorfelder ordnen jedem Punkt des Raumes eine vektorielle Gr¨ oße zu

Darstellung von Str¨ omungen durchzuf¨ uhren. Dabei werden alle in die Darstellungen von str¨ omungsmechanischen Sachverhalten einfließenden Größen als Funktionen von Ort und Zeit behandelt. Auf diese Größen angewandte mathematische Operationen wie Addition, Subtraktion, Division, Multiplikation, Differentiation, Integration etc. unterliegen den bekannten Gesetzmäßigkeiten der Mathematik. F¨ ur die Differentiation einer skalaren Gr¨ oße, so z. B. die Dichte ρ, nach der Zeit gilt: dρ =

∂ρ ∂t

· dt +

∂ρ ∂x1

· dx1 +

∂ρ ∂x2

· dx2 +

∂ρ ∂x3

· dx3

dx2 dx3 ∂ρ ∂ρ · · + + ∂x2 dt ∂x3 dt 3 ∂ρ ∂ρ dxi dxi ∂ρ ∂ρ + + · = = ∂t i=1 ∂xi dt ∂t ∂xi dt

dρ ∂ρ ∂ρ = + · dt ∂t ∂x1

dx1 dt

(2.31)

(2.32)

3 In dem letzten Ausdruck wurde das Summationszeichen i=1 weggelassen und die EinsteinscheSummenkonvention“ zur Anwendung gebracht, wonach ” ∂ρ dxi eine Summation u der Doppelindex i in ∂x ¨ber drei Terme i = 1, 2, 3 dt i vorschreibt, d.h. es gilt: 3 ∂ρ dxi dxi ∂ρ = ∂xi dt ∂xi dt i=1

(2.33)

Die Betrachtungen zur Differentiation von Vektoren ergeben die unten aufgef¨ uhrten Gesetzm¨ aßigkeiten

28


dU = dt

dU1 , dt

dU2 , dt

dU3 dt

T ⇒

dUi , dt

i = 1, 2, 3

(2.34)

d. h. jede Komponente des Vektors wird in die Differentiation einbezogen. Da nun der betrachtete Geschwindigkeitsvektor vom Ort und der Zeit abhängt, gilt die folgende Differentiationsregel: dUj ∂Uj ∂Uj dxi = + (2.35) dt ∂t ∂xi dt Wendet man den Nabla-Operator ∇=

∂ , ∂x1

∂ , ∂x2

∂ ∂x3

T =

∂ ∂xi

,

i = 1, 2, 3

(2.36)

auf eine skalare Feldgr¨ oße an, so ergibt sich: ∇a =

∂a , ∂x1

∂a , ∂x2

∂a ∂x3

T

= grad a =

∂a ∂xi

,

i = 1, 2, 3 (2.37)

Aus der skalaren Feldgr¨ oße a entsteht ein Vektorfeld, das Gradientenfeld. Die einzelnen Komponenten des resultierenden Vektors werden aus den jeweiligen partiellen Ableitungen des Skalarfeldes in die xi -Richtungen gebildet. Das Produkt des ∇-Operators mit einem Vektor ergibt f¨ ur das Skalarprodukt: ∂a2 ∂a3 ∂ai ∂a1 + + = div a = (2.38) ∇ · a = ∂x1 ∂x2 ∂x3 ∂xi wobei in ∂ai /∂xi der Doppelindex i wiederum die Summation u ¨ ber alle drei Terme angibt, d.h. 3 ∂ai ∂ai =⇒ ∂xi ∂xi i=1

(Einsteinsche Summenkonvention)

(2.39)

Das Vektorprodukt des ∇-Operators mit dem Vektor a ergibt entsprechend:

 

 ∂a3

∂ ∂a2  



e1 a −  

∂x1 1  ∂x2 ∂x3    

∂ ∂a1 ∂a3 

= rot a (2.40) ∇ × a = e2 a = −

∂x2 2  ∂x3 ∂x1    

  ∂a2 ∂a1 

e ∂ a  

3 ∂x 3  ∂x − ∂x  3

oder auch ∇ × a = rot a = −ijk

1

2

∂ai ∂aj = ijk ∂xj ∂xi

wobei das Levi-Civita-Symbol ijk wie folgt definiert ist:

(2.41)

2.6 Substantielle Gr¨ oßen und substantielle Ableitung

ijk =

0 : falls zwei der drei Indizes gleich sind +1 : falls ijk = 123, 231 oder 312 −1 : falls ijk = 132, 213 oder 321

29

(2.42)

Bei den oben aufgef¨ uhrten Produkten des ∇-Operators gilt das Distributivgesetz, aber nicht die Kommutativ- und Assoziativgesetze. Wendet man den ∇-Operator auf das Gradientenfeld einer Skalarfunktion an, so entsteht der Laplace-Operator ∇2 (alternative Schreibweise ∆), der angewandt auf a wie folgt geschrieben werden kann: ∆a = ∇2 a = (∇ · ∇)a =

∂2a ∂2a ∂2a ∂2a + 2+ 2 = 2 ∂x1 ∂x2 ∂x3 ∂xi ∂xi

(2.43)

Der Laplace-Operator kann auch komponentenweise auf Vektorfelder angewandt werden:  2 2 2  ∂ U1 ∂ U1 ∂ U1  2   ∂x2 + ∂x2 + ∂x2   2 1 2 2 2 3  ∇ U1  ∂ U2 ∂ U2 ∂ U2  2 2    (2.44) ∇ U = ∇ U2 =  + +   2 2 2 ∂x ∂x ∂x 2   1 2 3 ∇ U3 2 2 2  ∂ U3 ∂ U3 ∂ U3  + + ∂x21 ∂x22 ∂x23

2.6 Substantielle Gr¨ oßen und substantielle Ableitung Eine weitere Betrachtungsweise str¨ omungsmechanischer Vorgänge ist f¨ ur die Ableitungen von Grundgleichungen wichtig. Sie wird im allgemeinen nach Lagrange (1736-1813) benannt und basiert auf Betrachtungen der Eigenschaften von Fluidelementen, deren Zustandsgr¨ oßen wie die Dichte ρ , Druck P , ur die Darstellung von Gesetzmäßigkeiten verTemperatur T , Energie e f¨ wendet werden. Will man diese Eigenschaften eines Fluidelements messen oder beschreiben, so muss man sich mit dem Element mitbewegen, d. h. man folgt der Bahnlinie " T (Ui ) dt (2.45) (xi ),T = (xi ),0 + 0

Da die Bahnlinien von Fluidelementen nur eine Funktion der Zeit t, und einer onnen die substantiellen Größen, d.h. die Anfangskoordinate (xi ),0 sind, k¨ Zustandsgr¨ oßen eines Fluidelements, auch nur noch eine Funktion der Zeit sein. Damit sind zeitliche Ableitungen aller substantiellen Größen wie folgt angebbar, wobei an dieser Stelle auf Gleichung (2.32) verwiesen wird: dxi ∂a ∂a dxi da = + wobei = (Ui ) (2.46) dt ∂t ∂xi dt dt

30


Die mit (dxi /dt) benannte Gr¨ oße gibt die Lageänderung des Fluidelements

mit der Zeit an, also die substantielle Geschwindigkeit“ eines Teilchens in ” die i-Richtung. Befindet sich ein Fluidelement zur Zeit t an dem Ort xi , so ist (Ui ) = (Ui ) und hieraus resultiert die substantielle Ableitung einer Feldgröße Da/Dt: Da ∂a da ∂a = = + Ui dt Dt ∂t ∂xi

(2.47)

Diese Beziehung resultiert auch aus Identit¨ atsbeziehungen, die f¨ ur eine widerspruchsfreie Darstellung von Str¨ omungsvorgängen in den Eulerschen und den Lagrangeschen Darstellungen folgendes fordert: a (t) = a(xi , t) wenn (xi ) = xi zur Zeit t so dass gilt: ∂a ∂a ∂a da ∂a Da = + (Ui ) + Ui = = dt ∂t ∂xi ∂t ∂xi Dt Damit ist ersichtlich, dass der Operator folgt geschrieben werden kann:

D Dt

(2.48)

(= substantielle Ableitung) wie

D ∂ ∂ ∂ · ∇) = + Ui + (U = Dt ∂t ∂xi ∂t

(2.49)

Diese Beziehung ist f¨ ur die nachfolgenden Ableitungen der Grundgleichungen sehr wichtig, da sie die Angabe der Grundgleichungen in Lagrange-Variablen zul¨ asst und eine nachfolgende Transformation in Euler-Variablen. In dieser Endform, d.h. ausgedr¨ uckt in Euler-Variablen, eignen sich die Gleichungen f¨ ur die L¨ osung praktischer Str¨ omungsprobleme.

2.7 Gradient-, Divergenz-, Rotation- und Laplaceoperatoren Stellt a(xi , t) ein Skalarfeld dar, d.h., es ist als Funktion des Raumes und der Zeit definiert bzw. gegeben, so l¨ asst sich, bei gegebener Stetigkeit und partieller Differenzierbarkeit, jedem Punkt im Raum ein Gradientenfeld zuordnen:    ∂a/∂x1  ∂a = grad a = ∂a/∂x2 ; grad(a) = f (xi , t) (2.50) a(xi , t) =⇒   ∂xi ∂a/∂x3 Damit ist der Operator grad( ) wie folgt definiert:

2.7 Gradient-, Divergenz-, Rotation- und Laplaceoperator

grad() =

∂() ∂xi

=

∂() ∂() ∂() , , ∂x1 ∂x2 ∂x3

31

T ,

(2.51)

d.h. grad(a) ist ein Vektorfeld, dessen Komponenten durch den Index i gekennzeichnet sind. Die grad(a)-Vektoren besitzen Richtungen, die senkrecht zu den Niveaulinien des Skalarfeldes, d.h. senkrecht zu a(xi , t) = const verlaufen. Ferner kann jedem Skalarfeld a(xi , t), der Laplace-Operator ∆a(xi , t) (P.S. Laplace (1749-1827)) zugeordnet werden. Dabei ist ∆a(xi , t) ein Skalarfeld, bei dem jedem Raumpunkt ∆(a) zugeordnet ist, mit ∆a(xi , t) =

∂2a ∂2a ∂2a ∂2a = + + ∂xi ∂xi ∂x21 ∂x22 ∂x23

(2.52)

Unter Anwendung des unten definierten Divergenzoperators ergibt sich: ∂a ∂2a ∂2a = (2.53) = ∆a(xi , t) = div(grad a) = div ∂xi ∂xi ∂xi ∂x2i F¨ ur die mathematische Behandlung von Str¨ omungsproblemen sind zudem die Operatoren div( ) und rot () von Bedeutung, die auf Vektorfelder v (xi , t) anwendbar und wie folgt definiert sind: (xj , t) = ∂U1 + ∂U2 + ∂U3 = ∂Ui div U ∂x1 ∂x2 ∂x3 ∂xi und

  ∂U3 ∂U2     −      ∂x2 ∂x3      ∂U ∂U ∂U ∂U i j 1 3 rot U (xj , t) = −ijk = +ijk = −  ∂xj ∂xi ∂x ∂x1      ∂U3   ∂U   2 1   −   ∂x1 ∂x2

(2.54)

(2.55)

ein dem Vektorfeld U (xi , t) zugeordnetes Skalarfeld und rot Dabei ist div U , wobei U ein GeschwinU ein zugeordnetes Vektorfeld. Dabei l¨ asst sich div U digkeitsfeld darstellt, als ein Wert verstehen, der angibt, wie groß die relative ¨ zeitliche Anderung des Volumens δV 3 eines Fluidelements mit konstanter Masse δm ist, d.h. es gilt: ∂U 1 d(δV ) i = div U (2.56) = ∂xi δV dt ) auch als die Massenquelldichte des Gilt f¨ ur die Dichte ρ = const kann div(ρU die WirPunktes xi zur Zeit t verstanden werden. Entsprechend stellt rot U = 0, beldichte des Geschwindigkeitsfeldes im Punkt xi zur Zeit t dar. Ist rot U 3

bzgl. der Gr¨ oßen δV und δm siehe Kapitel 5

32


so erf¨ ahrt ein Fluidelement im Punkt xi zur Zeit t keinen Beitrag zu seiner = 0 zur Zeit t am Punkt xi erfährt ein Fluidelement an Rotation. F¨ ur rot U dem betrachteten Punkt folglich einen Beitrag zu seiner Rotationsbewegung. Zusammenfassend lassen sich die oben behandelten Operatoren wie folgt angeben: ∂a grad(a) = ∇a = (2.57) ∂xi = ∇·U j = δij ∂Uj = ∂Ui (2.58) div U ∂xi ∂xi ∂a ∂ ∂2a (2.59) ∆(a) = ∇2 (a) = ∇ · ∇a = = ∂xi ∂xi ∂xi ∂xi ∂ui ∂uj = +ijk (2.60) rot (u) = ∇ × u = −ijk ∂xj ∂xi Diese Operatoren werden zur Ableitung der Grundgleichungen der Strömungsmechanik und bei der Behandlung von Str¨ omungsproblemen Anwendung finden.

2.8 Kurven-, Fl¨ achen- und Volumenintegrale Das Kurvenintegral einer skalaren Funktion a(xi , t) entlang einer Kurve S ist wie folgt definiert: " Is (t) = a ds zum Zeitpunkt t (2.61) S

Kurvenintegrale dieser Art werden in der Str¨ omungsmechanik benötigt, um die Lage von Linienschwerpunkten zu bestimmen. Ihre Berechnung erfolgt in den unten angegebenen drei Schritten f¨ ur t = const: 1. Das betrachtete Kurvenst¨ uck wird parametrisiert S : s(γ) = {si (γ)},

α≤γ≤β

2. Das Bogenelement ds wird durch Differentiation bestimmt #

2

dsi (γ)

dsi (γ)

dγ = ds =

dγ dγ

dγ 3. Berechnung des bestimmten Integrals von γ = α bis γ = ß # 2 " ß dsi Is = a(si (γ)) dγ ; Is bestimmt dγ α

(2.62)

(2.63)

(2.64)

2.8 Kurven-, Fl¨ achen- und Volumenintegrale

33

Die Anwendung der obigen Schritte zur Berechnung des bestimmten Integrals f¨ uhrt f¨ ur a ≡ 1 auf die L¨ ange der betrachteten Kurve s(γ) zwischen γ = α und γ = ß. Analog zu den obigen Betrachtungen l¨ asst sich die Integration eines Vektorfeldes entlang einer Kurve durchf¨ uhren: " " ß dsi (γ) dγ zum Zeitpunkt t (2.65) Isi (t) = ai dsi = ai (sj (γ)) dγ α S Berechnungen der zu leistenden Arbeit in Kr¨ aftefeldern, der Zirkulation von Str¨ omungsfeldern und des Massenflusses im Falle von zweidimensionalen Str¨ omungsfeldern erfolgen u ¨ ber solche bestimmte Integrationen von Vektorfeldern entlang von Raumkurven. Analog zu den Integralen entlang von Kurven bzw. u ¨ ber Kurvensegmente lassen sich auch Fl¨ achenintegrale f¨ ur Skalar- und Vektorfelder definieren und entsprechend der unten aufgef¨ uhrten Rechenregeln berechnen: " IF (t) = a df zum Zeitpunkt t (2.66) F

Ist f = F die Oberfl¨ ache eines betrachteten Fluidelements und a(xi , t) ein auf der Oberfl¨ ache stetiges Skalarfeld, so wird das obige Integral als das Oberfl¨ achenintegral von a auf F genannt. Der oberflächengemittelte Wert von a berechnet sich als: " 1 adf (Oberfl¨ achenmittelwert) (2.67) a ˜= F F

F¨ ur das Fl¨ achenintegral eines Vektorfeldes gilt: " " I$F (t) = ai dfi = ai ni df zum Zeitpunkt t F

(2.68)

F

F¨ ur den Fall ai = Ui , d.h. der Durchf¨ uhrung einer Flächenintegration u ¨ ber das Geschwindigkeitsfeld, resultiert ein Integralwert, der dem momentanen Volumenstrom durch die Fl¨ ache F entspricht: " $˙ (2.69) Q(t) = Ui dfi (Volumenstrom durch F zur Zeit t) F

Analog errechnet sich der Massenstrom durch F als: " % ˙ (t) = ρUi dfi (Massenstrom durch F zur Zeit t) M F

Die mittlere Massenstromdichte ist durch

(2.70)

34


1 $˙ m(t) = F

" ρUi dfi

(2.71)

F

gegeben. Die obigen Integrationen lassen sich auf Volumenintegrale erweitern, die wiederum f¨ ur Skalar- und Vektorfelder angegeben werden können. Bezeichnet V das Volumen eines regul¨ aren r¨ aumlichen Bereiches und a(xi , t) ein in dem Bereich gegebenes stetiges Skalarfeld (Belegungsfunktion), so errechnet sich die Gesamtbelegung des Bereiches wie folgt: " IV (t) = a dV ( Gesamtbelegung von V durch a zum Zeitpunkt t) (2.72) V

Die Masse eines regul¨ aren Bereiches mit der Dichteverteilung ρ(xi , t) ergibt sich als das unten angegebene Dreifachintegral: """ %(t) = M (2.73) ρ(xi , t)dx1 dx2 dx3 V

Dabei werden mit $ die fl¨ achen- und volumengemittelten Größen in diesem Buch angegeben. Zur praktischen Durchf¨ uhrung von Fl¨ achen und Volumenintegrationen ist es oftmals vorteilhaft, die Guldinschen Regeln zur Anwendung zu bringen: 1. Regel von Guldin (1577-1643): Die Oberfläche eines in Bezug auf eine & Achse rotationssymmetrischen K¨ orpers beträgt s 2πr(s)ds, wobei r(s) den Drehachsenabstand des Schwerpunkts und ds die Länge des Oberfl¨ achenelements angibt. 2. Regel von Guldin (1577-1643): Das Volumen & eines in bezug auf eine Achse rotationssymmetrischen K¨ orpers betr¨ agt F 2πrs (f )df , wobei rs (f ) den Drehachsenabstand des Schwerpunktes des Flächenelements df angibt.

2.9 Integrals¨ atze von Stokes und Gauß Der nach Stokes (1819 - 1903) benannte Integralsatz besagt " ' a · ds = rot a · df s

(2.74)

0s

dass das Linienintegral eines Vektors ai u ¨ ber den gesamten Rand einer Fläche gleich dem Oberfl¨ achenintegral der Rotation des Vektors u ¨ ber die Fläche ist. Somit stellt der Integralsatz von Stokes eine Verallgemeinerung des Satzes von Green (1793 - 1841), der f¨ ur ebene Fl¨ achen formuliert wurde, f¨ ur räum” liche Fl¨ achen“ dar. Spannt man u ¨ ber einer Randkurve der Fläche S zwei unterschiedliche Fl¨ achen auf, so gilt infolge des Stokesschen Satzes:

2.10 Differentialoperatoren in krummlinigen Koordinaten

35

"

" rot a · df = 0S1

rot a · df

(2.75)

0S2

wenn S gleich der Schnittmenge von OS1 und OS2 . F¨ uhrt man durch Γ = ( entlang eines Rans den Begriff der Zirkulation eines Vektorfeldes U S U d des S ein, dann ergibt sich unter Anwendung des Mittelwertsatzes der Integralrechnung aus dem rot-Integral f¨ ur ein Geschwindigkeitsfeld Ui u ¨ber eine acheninhalt F und der Randkurve S Fl¨ ache OS mit der Normalen n, dem Fl¨ : im Grenzfall f → 0 die Zirkulation des Vektorfeldes U Γ

' ' 1 Γ = n · rot U = lim U ds = lim dΓ s→0 s s→0 s

s

Diese Beziehung verdeutlicht, dass der Rotationseffekt auf ein Fluidelement -Vektors am gr¨ oßten ist, wenn die Oberfl¨ achennormale n in Richtung des rot U zeigt. Der nach Gauß (1777-1855) benannte Integralsatz lässt sich wie untenstehend aufgef¨ uhrt formulieren: " " "" " ∂ai div a dV = dV = a · df = (2.76) ai dfi ∂xi V

V

0V

0V

Damit ist der Fluss des Vektorfeldes a(xi , t) durch die Oberfläche eines regul¨ aren Bereiches, d.h. der Fluss von innen nach außen“, gleich dem Vo” lumenintegral der Divergenz u ¨ ber dem Bereich. Mit dem Mittelwertsatz der Integralrechnung gilt f¨ ur V → 0 und unter Betrachtung eines Geschwindigkeitsfeldes Ui " · df = ∂Ui = lim 1 U (2.77) div U V →0 V ∂xi 0V

Die Divergenz eines Geschwindigkeitsfeldes misst somit den aus der Volumeneinheit heraustretenden Fluss, d.h. sie ist die Quelldichte von Ui im Punkt xi zur Zeit t.

2.10 Differentialoperatoren in krummlinigen orthogonalen Koordinaten Der bisherigen Zusammenstellung wichtiger Formeln und Definitionen der Vektoranalysis lag das kartesische Koordinatensystem zugrunde. Eine große Zahl von Problemen l¨ asst sich jedoch einfacher in einem der speziellen Geometrie angepassten krummlinigen Koordinatensystem behandeln. Als Beispiele seien hier die schleichende Str¨ omung um eine Kugel oder die Strömung

36


durch ein Rohr mit kreisf¨ ormigem Querschnitt genannt, die sich zweckmäßig in Kugel- bzw. Zylinderkoordinaten beschreiben lassen. Zusätzlich lässt sich oft durch Ausnutzen von Symmetrieeigenschaften der Problemstellung die L¨ osung einer Aufgabe in einem der Geometrie angepassten krummlinigen Koordinatensystem wesentlich vereinfachen. In diesem Abschnitt soll lediglich an einige häufig verwendete Beziehungen f¨ ur die Differentialoperatoren in krummlinigen orthogonalen Koordinatensystemen, ohne strenge Herleitungen, erinnert werden. F¨ ur eine ausf¨ uhrlichere und mathematisch pr¨ azisere Darstellung wird auf entsprechende Literatur verwiesen, beispielsweise auf [2.3], [2.4] und [2.5], an deren Darstellung sich dieser Abschnitt orientiert. Allgemeine krummlinige Koordinaten (x1 , x3 , x3 ) lassen sich aus kartesischen Koordinaten (x, y, z) durch (lokal) eindeutig umkehrbare Beziehungen berechnen: x1 = x1 (x, y, z) x2 = x2 (x, y, z) x3 = x3 (x, y, z)

(2.78)

Umgekehrt h¨ angen die kartesischen von den krummlinigen Koordinaten ab: x = x(x1 , x2 , x3 ) y = y(x1 , x2 , x3 ) z = z(x1 , x2 , x3 ) .

(2.79)

H¨ alt man zwei Koordinaten fest, so erh¨ alt man, mit der dritten Koordinate als freiem Parameter, eine Raumkurve, die sog. Koordinatenlinie, z.B.: r = r(x1 , x2 = a, x3 = b) .

(2.80)

¨ Uber die jeweiligen Tangentenvektoren ti = ∂r , ∂xi

i = 1, 2, 3

(2.81)

der Koordinatenlinien im Punkt P (x1 , x2 , x3 ) lassen sich mit der Definition der sogenannten metrischen Koeffizienten

∂r

i = 1, 2, 3 (2.82) hi :=

, ∂xi 1 die Einheitsvektoren ei = ti , i = 1, 2, 3 (2.83) hi bestimmen, welche die Basisvektoren f¨ ur ein lokales Bezugssystem im Punkt P bilden. Hervorzuheben ist hier der lokale Charakter dieses Bezugssystems f¨ ur allgemeine krummlinige Koordinaten, da die Basisvektoren selbst von den Koordinaten abh¨ angen k¨ onnen, im Gegensatz zu den koordinatenunabhängigen Basisvektoren (ex , ey , ez ) des kartesischen Koordinatensystems. Stehen


37

die Koordinatenlinien an jedem Punkt paarweise aufeinander senkrecht, d.h. gilt ei · ej = δij , (2.84) so bezeichnet man das Koordinatensystem als krummlinig–orthogonales Koordinatensystem. Krummlinig–orthogonale Koordinatensysteme sind der Gegenstand dieses Abschnittes. Der an allgemeinen krummlinigen Koordinatenystemen interessierte Leser sei z.B. auf das Buch von R. Aris verwiesen, siehe Abschnitt 5.12. Betrachtet man zwei (infinitesimal) eng benachbarte Punkte ur die Differenz P1 (x1 , x2 , x3 ) und P2 (x1 + dx1 , x2 + dx2 , x3 + dx3 ), so gilt f¨ ihrer Ortsvektoren r1 = r(x1 , x2 , x3 ) und r2 = r(x1 + dx1 , x2 + dx2 , x3 + dx3 ) in niedrigster Ordnung (Taylorentwicklung): dr = r2 − r1 =

3 ∂r dxi . ∂x i i=1

(2.85)

Die L¨ ange des Abstandsvektors dr, das sogenannte Linienelement ds, ist unter Verwendung der Definition f¨ ur die metrischen Koeffizienten gegeben durch 2

ds = dr

2

=

3

h2i dx2i .

(2.86)

i=1

Ein Vektorfeld f wird durch seine Komponenten in krummlinigen Koordinatensystemen dargestellt: f = f1e1 + f2e2 + f3e3 .

(2.87)

Ohne Ableitung werden die folgenden Beziehungen f¨ ur Differentialoperatoren in krummlinig–orthogonalen Koordinaten angegeben: –

– –

Oberfl¨ achenelemente: * ) ∂ r ∂ r = × dxi dxj , dS ∂xi ∂xj Volumenelement

(2.88)

dV = h1 h2 h3 dx1 dx2 dx3

(2.89)

Gradient eines Skalarfeldes Φ: grad Φ = ∇Φ =

–

i = j = 1, 2, 3

Divergenz: div f = ∇ · f =

1 h1 h2 h3

3 1 ∂Φ ei , hi ∂xi i=1

∂h2 h3 f1 ∂h1 h3 f2 ∂h1 h2 f3 + + ∂x1 ∂x2 ∂x3

(2.90)

(2.91)

38

–

–


Rotation:

h1e1 h2e2 h3e3

∂ ∂ ∂

1

rot f = ∇ × f = h1 h2 h3

∂x1 ∂x2 ∂x3

h f h f h f

1 1 2 2 3 3

(2.92)

Laplace–Operator: ∆Φ = ∇ · ∇Φ = div grad Φ = 1 ∂ h2 h3 ∂Φ h1 h3 ∂Φ h1 h2 ∂Φ ∂ ∂ + + h1 h2 h3 ∂x1 h1 ∂x1 ∂x2 h2 ∂x2 ∂x3 h3 ∂x3 (2.93)

Bei der Anwendung von Differentialoperatoren in krummlinigen Koordinaten ist grunds¨ atzlich auch die Abh¨ angigkeit der (lokalen) Einheitsvektoren und metrischen Koeffizienten von den Koordinaten zu ber¨ ucksichtigen! Beispiel 1: Zylinderkoordinaten (r, ϕ, z) –

Umrechnung in kartesische Koordinaten: x = r cos ϕ y = r sin ϕ

(2.94)

z=z (0 ≤ r < ∞, –

0 ≤ ϕ ≤ 2π,

−∞ < z < ∞)

Ortsvektor: r = x(r, ϕ, z)ex + y(r, ϕ, z)ey + z(r, ϕ, z)ez = rrρ (ϕ) + zez

–

(2.95)

Lokale Einheitsvektoren: er = cos ϕ ex + sin ϕ ey eϕ = − sin ϕ ex + cos ϕ ey

(2.96)

ez = ez –

Metrische Koeffizienten: hr = 1,

–

Gradient: grad Φ =

hϕ = r,

hz = 1

1 ∂Φ ∂Φ ∂Φ er + eϕ + ez ∂r r ∂ϕ ∂z

(2.97)

(2.98)


39

Abbildung 2.6: Zylinderkoordinaten (r, ϕ, z) und kartesisches Koordinatensystem

Beispiel 2: Kugelkoordinaten (r, θ, φ) –

Umrechnung in kartesische Koordinaten: x = r sin θ cos φ y = r sin θ sin φ z = r cos θ

–

(0 ≤ r < ∞, 0 ≤ θ ≤ π, Metrische Koeffizienten:

(2.99)

0 ≤ φ ≤ 2π)

hr = 1,

hθ = r,

x

hφ = r sin θ

(2.100)

3

r . q F

x

x

x 3

x 1

x 2

2

1

Abbildung 2.7: Kugelkoordinaten (r, θ, φ) und kartesisches Koordinatensystem

40


2.11 Komplexe Zahlen Das Einf¨ uhren der komplexen Zahlen l¨ asst Verallgemeinerungen mathematischer Grundoperationen zu, so z.B. des Wurzelziehens, so dass die erweiterten Zahlen wie folgt angegeben werden k¨ onnen:

( n a tü rlic h e Z a h le n )

Durch Erweiterungen auf komplexe Funktionen werden zudem mathematisch interessante Darstellungen technischer Teilgebiete möglich, so z.B. das gesamte Gebiet der Potentialstr¨ omungen, siehe Kapitel 10. Komplexen Zahlen und komplexen Funktionen kommt somit eine f¨ ur das Gebiet der Strömungsmechanik wichtige Bedeutung zu. Wie sich zeigen wird, lassen sich Potentialstr¨ omungen durch Funktionen komplexer Zahlen sehr leicht behandeln. Es ist deshalb wichtig, dass eine Einf¨ uhrung in die Theorie der komplexen Zahlen hier zusammenfassend gegeben wird. 2.11.1 Axiomatische Einf¨ uhrung komplexer Zahlen Eine komplexe Zahl kann formal als ein geordnetes Paar reeller Zahlen (a, b) eingef¨ uhrt werden, wobei die Gleichheit zweier komplexer Zahlen z1 = (a, b) und z2 = (c, d) wie folgt definiert wird: Gleichheit: z1 = (a, b) = (c, d) = z2

genau dann, wenn a = c und b = d gilt, wobei a, b, c, d ∈ R sind.

Die erste Komponente eines Paares (a, b) heißt Realteil, die zweite Komponente Imaginärteil der komplexen Zahl. F¨ ur b = 0 identifiziert man die komplexe Gr¨ oße z = (a, 0) mit der reellen Zahl a, so dass die reellen Zahlen eine Teilmenge der komplexen Zahlen sind. Bei der Festlegung arithmetrischer Grundoperationen wird man daher darauf achten, dass Operationen mit komplexen Zahlen zu denselben Ergebnissen f¨ uhren, wie in der Arithmetik der reellen Zahlen, sofern sich die Operationen auf reelle Zahlen in obigem Sinne, d.h. z = (a, 0) beschränken. Wird eine Addition und eine Multiplikation durch die Gleichungen

2.11 Komplexe Zahlen

Addition: (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) Multiplikation: (a, b) · (c, d) = (ac − bd, ad + bc)

41

(2.101)

eingef¨ uhrt, so gilt: (a, 0) + (c, 0) = (a + c, 0) = a + c (a, 0) · (c, 0) = (ac, 0) = ac

(2.102)

d.h., es entsteht kein Widerspruch zu den Rechenregeln mit reellen Zahlen. Die Menge der komplexen Zahlen (im folgenden mit C bezeichnet) ist abgeschlossen bez¨ uglich Addition und Multiplikation, d.h. mit z1 , z2 ∈ C folgt z3 = z1 + z2 ∈ C z3 = z1 · z2 ∈ C

(2.103)

Außerdem kann gezeigt werden, dass die oben eingef¨ uhrten Operationen der Addition und der Multiplikation den folgenden Gesetzen gen¨ ugen: Kommutativit¨ at bez¨ uglich der Addition z1 + z2 = z2 + z1 Kommutativit¨ at bez¨ uglich der Multiplikation z1 z2 = z2 z1 Assoziativit¨ at bez¨ uglich der Addition Assoziativit¨ at bez¨ uglich der Multiplikation

(z1 + z2 ) + z3 = z1 + (z2 + z3 ) (z1 z2 )z3 = z1 (z2 z3 )

Distributivit¨ at:

(z1 + z2 )z3 = z1 z3 + z2 z3

Analog wie im Fall der reellen Zahl wird eine sogenannte rein imaginäre Zahl eingef¨ uhrt: Eine komplexe Zahl z = (a, b) heißt imagin¨ ar, falls a = 0 und b = 0 gilt. Außerdem setzt man abk¨ urzend i = (0, 1) und nennt i imaginäre Einheit. Gem¨ aß der auf der Menge der komplexen Zahlen eingef¨ uhrten multiplikativen Verkn¨ upfung, kommt dieser komplexen Zahl i, d.h. dem Paar (0, 1) eine besondere Bedeutung zu. Es gilt n¨ amlich i2 = (0, 1) · (0, 1) = (−1, 0) = −1

(2.104)

d.h., die Multiplikation der imagin¨ aren Einheit mit sich selbst ergibt die reelle Zahl -1. Hierauf beruht die Bezeichnungsweise √ i = −1 (2.105) wobei die Eindeutigkeit der Wurzelfunktion noch besondere Betrachtungen erfordert, die hier nicht aufgef¨ uhrt sind. Wegen z = (a, b) = (a, 0) + (0, b) = (a, 0) + (0, 1) · (b, 0) = a + ib

(2.106)

42


l¨ asst sich nun also jede komplexe Zahl z = (a, b) als Summe einer reellen Zahl a und einer rein imagin¨ aren Zahl ib schreiben. Subtraktion und Division werden als Umkehrung der Addition bzw. Mulur die tiplikation eingef¨ uhrt, d.h., z1 − z2 ist diejenige komplexe Zahl z3 , f¨ gilt: (2.107) z2 + z3 = z1 In Anlehnung an obige Schreibweise ergibt sich mit z1 = (a, b), z2 = (c, d) z1 − z2 = (a − c , b − d) ac + bd z1 bc − ad , = z2 (c2 + d2 ) (c2 + d2 )

(2.108) (2.109)

In den obigen Darstellungen wurden elementare mathematische Operationen auf der Menge C der komplexen Zahlen eingef¨ uhrt. Alle anderen Eigenschaften der komplexen Zahlen folgten durch Anwendung dieser Definitionen. 2.11.2 Graphische Darstellung komplexer Zahlen Zur Veranschaulichung der oben angegebene Eigenschaften“ komplexer Zah” len werden oftmals graphische Darstellungen gegeben, die untenstehend zusammengefasst sind. Es werden mehrere Darstellungen gewählt, um eventuell die f¨ ur den Leser verst¨ andlichste mit aufzuf¨ uhren.

iy

G a u s c h e Z a h le n e b e n e

J e d e r P u n k t in d e r Z a h le n e b e n e e n ts p ric h t e in e r k o m p le x e n Z a h l

iy

x

z = x + iy x

Abbildung 2.8: Graphische Darstellung einer komplexen Zahl in der Gaußschen Zahlenebene

2.11.3 Gaußsche Zahlenebene Da die komplexe Zahl z = x + iy ein geordnetes Zahlenpaar repräsentiert, empfiehlt sich eine Darstellung in einem rechtwinkeligen Koordinatensystem,


43

iy

z 3= z 1+ z 2 z4= z1- z2

.z 3

z 2.

D ie R e c h e n o p e ra tio n e n e rfo lg e w ie fü r V e k to re n in e in e r E b e n e

.z 1

x

-

.z

z 2.

4

Abbildung 2.9: Graphische Darstellung der Addition und Subtraktion komplexer Zahlen in der Gaußschen Zahlenebene

im dem eine reelle Achse f¨ ur x“ und eine imaginäre Achse f¨ ur iy“ definiert ” ” wird. Die komplexe Zahl z = x+iy ist dann als Punkt in dieser Ebene definiert bzw. als Vektor z“ vom Ursprung des Koordinatensystems zum Punkt z mit ” den Koordinaten (x, iy). Dies ist in der obigen Darstellung verdeutlicht, wo auch die Addition und Subtraktion komplexer Zahlen graphisch angegeben sind. 2.11.4 Trigonometrische Darstellung Beachtet man die in Abb. 2.8 angegebene graphische Darstellung, so lassen sich folgende aus der Trigonometrie bekannte Beziehungen angeben: x = r cos ϕ und y = r sin ϕ mit

r =| z |

(2.110)

Damit l¨ asst sich eine komplexe Zahl auch wie folgt schreiben: z = r cos ϕ + i(r sin ϕ) = r(cos ϕ + i sin ϕ) oder unter Einbeziehung der e-Funktion“. ” z = reiϕ

(2.111)

(2.112)

Der Zusammenhang zwischen der Exponentialfunktion und den trigonometrischen Funktionen folgt sofort durch eine Reihenentwicklung der Exponentialfunktion und einer anschließenden Umordnung der Reihe, d.h. ∞ (iϕ)k

∞

∞

ϕ2k ϕ2k+1 +i = cos ϕ + i sin ϕ (−1)k k! (2k)! (2k + 1)! k=0 k=0 k=0 (2.113) Damit lassen sich f¨ ur die Multiplikation bzw. Division komplexer Zahlen folgende Beziehungen ableiten: eiϕ =

=

(−1)k

44


z1 z2 = r1 r2 ei(ϕ1 +ϕ2 ) = r1 r2 (cos(ϕ1 + ϕ2 ) + i sin(ϕ1 + ϕ2 )) (2.114) r1 i(ϕ1 −ϕ2 ) r1 z1 = e = (cos(ϕ1 − ϕ2 ) + i sin(ϕ1 − ϕ2 )) (2.115) z2 r2 r2 Aus diesen Beziehungen folgen wiederum die in den nachfolgenden Abbildungen aufgef¨ uhrten graphischen Darstellungen der Multiplikation und Division.

iy r

r ·

1

·

2

j

1

1

r

1

z ·

r

j

. r 2 e x p [i (j1 + j 2 ) 1

[

z3 = r

z ·

2

2

(j 1 + j 2) 2

x

Abbildung 2.10: Graphische Darstellung der Multiplikation komplexer Zahlen

iy

1

z3 = ·

·

j 1

j 2

z

r

r

e x p [i (j1 - j 2) 1

2

[

z ·

2

(j 1- j 2

)

x

Abbildung 2.11: Graphische Darstellung der Division komplexer Zahlen

An dieser Stelle empfiehlt es sich eine Diskussion u ¨ber das Radizieren komplexer Zahlen anzuschließen. Es wird erl¨ autert, wie der mathematische Operator n () auf eine komplexe Zahl anzuwenden ist. √ Man vereinbart: n z (n ∈ N = Menge der nat¨ urlichen Zahlen) ist die Menge all derjenigen Zahlen, die in die n-te Potenz erhoben die Zahl z ergeben. Setzt man daher


z = r(cos ϕ + i sin ϕ)

45

(2.116)

so gilt offenbar: √ √ ϕ+2kπ n z = n r cos ϕ+2kπ + i sin n n =

√ n

re

2kπ i( ϕ n+ n )

(2.117) k = 0, 1, 2, . . . , n − 1,

√ n

d.h., z ist eine Menge komplexer Zahlen, bestehend aus n Werten, die sich in der komplexen Ebene geometrisch als Eckpunkte eines regelm¨ aßigen √ n−Ecks interpretieren lassen, das in einen Kreis mit Radius n r um den Nullpunkt einbeschrieben ist. Speziell f¨ ur k = 0 ergibt sich z.B.: √ √ ϕ ϕ √ ϕ n = n rei n z = n r cos + i sin (2.118) n n 2.11.5 Stereographische Projektion Die oben angegebenen Darstellungen komplexer Zahlen bedienten sich der Ebene der analytischen Geometrie und zus¨ atzlicher trigonometrischer Beziehungen. F¨ ur viele Zwecke erweist es sich als g¨ unstiger, die Punkte in der x, iy−Ebene als Projektionen von Punkten zu verstehen, die auf einer Einheitskugel liegen, deren Pole auf der Achse senkrecht zu der aufgespannten komplexen Ebene liegen. Einer der Pole der Kugel liegt im Null-Punkt, w¨ ahrend der andere die Lagekoordinaten (0, 0, 1) einnimmt. Vom letztgenannten Pol aus werden nun stereographische Projektionen durchgef¨ uhrt, wie sie in Abb. 2.12 angedeutet sind. Dadurch entspricht jedem Punkt der Ebene genau ein von N verschiedener Punkt der Kugel und umgekehrt, d.h. die Kugelfl¨ ache ist, abgesehen von dem Ausgangspunkt der Projektion, umkehrbar eindeutig auf die komplexe Ebene abgebildet. Die Abbildung ist kreisverwandt und winkeltreu: –

–

Die Eigenschaft der kreisverwandten Abbildung deutet an, dass jeder Kreis auf der Kugel auf einen Kreis oder eine Gerade der Ebene abgebildet wird (und umgekehrt). Die winkeltreue Abbildung bedeutet, dass zwei beliebige Kreise (und allgemein irgend zwei Kurven auf der Kugel) sich unter demselben Winkel schneiden, wie ihre stereographischen Projektionen in der Ebene (und umgekehrt).

2.11.6 Elementare Funktion Komplexe Funktionen werden ganz analog der Einf¨ uhrung reeller Funktionen wie folgt definiert:

46


N

K

iy E

S

x

. A

z ( x ,iy )

Abbildung 2.12: Darstellung der stereographischen Projektion (Riemannsche Zahlenkugel)

Ist C eine beliebige Menge komplexer Zahlen, so lässt sich C als der Wertebereich der komplexen Ver¨ anderlichen oder Variablen z bezeichnen. Ordnet man nun jeder komplexen Variablen z innerhalb des Wertebereichs C eine komplexe Gr¨ oße F (z) zu, so wird F als die Funktion der komplexen Variablen z bezeichnet. Da F (z) wiederum eine komplexe Gr¨ oße darstellt, gilt: F (z) = Φ + iΨ

(2.119)

Hierbei ist zu beachten, dass im allgemeinen die Größen Φ und Ψ wiederum von x und y, d.h. den Koordinaten der Größe z abhängen. W¨ ahrend bei der Definition einer komplexen Funktion, zum Verständnis, entsprechende Betrachtungen im Reellen herangezogen werden können, fällt f¨ ur die Differentation im komplexen ein tiefgehender Unterschied gegen¨ uber reellen Funktionen auf: W¨ ahrend bei reellen Funktionen f (x) aus der Existenz einer Ableitung f (x) nichts u ¨ ber die Existenz der etwaigen höheren Ableitungen gesagt werden kann, zeigt sich bei Funktionen F (z) einer komplexen Ver¨ anderlichen, dass aus der Existenz einer ersten Ableitung ganz von selbst die Existenz aller h¨ oheren Ableitungen folgt, d.h. es gilt: Ist eine Funktion F (z) in einem Gebiet G ∈ C holomorph (d.h. komplex differenzierbar), so besitzt die Funktion dort neben F (z) auch alle h¨ oheren Ableitungen F (z), F (z), . . . . Anstelle von holomorph wird h¨ aufig auch der Begriff analytisch verwendet. Die Darstellung F (z) wird oftmals auch als konforme Abbildung behandelt. Der Grund hierf¨ ur liegt in der Tatsache, dass die Funktion F (z) jedem Punkt P in der z−Ebene einen Punkt Q in einer Bildebene W zugeordnet. Um diese eindeutige Zuordnung zu erhalten, wird oftmals ein Zweig einer mehrdeutigen Funktion als der Hauptzweig eingef¨ uhrt und nur mit diesem


47

gerechnet. Die wichtigsten komplexen Funktionen“ sind untenstehend ange” geben: Polynome n-ten Grades Als Polynom n-ten Grades einer komplexen Zahl gilt: F (z) = a0 + a1 z + a2 z 2 + · · · + an z n

(2.120)

wobei a0 , a1 , . . . , an komplexe Konstanten sind und n eine positive ganze Zahl ist. Die Transformation F (z) = az + b wird im allgemeinen als lineare Transformation bezeichnet. Rationale algebraische Funktion Als rationale algebraische Funktion wird definiert: F (z) =

P (z) Q(z)

(2.121)

In obiger Beziehung sind P (z) und Q(z) Polynome beliebigen Grades. Der besondere Fall az + b F (z) = (2.122) cz + d wobei ad−bc = 0 ist, wird oftmals als gebrochen-lineare Funktion bezeichnet. Exponentialfunktion Als Exponentialfunktion gilt: F (z) = ez = exp(z)

(2.123)

wobei e = 2, 71828 . . . die Basis des (reellen) nat¨ urlichen Logarithmus darstellt. Komplexe Exponentialfunktionen haben Eigenschaften, die ähnlich denen f¨ ur reelle Exponentialfunktionen sind. Zum Beispiel gilt: ez1 · ez2 = e(z1 +z2 )

(2.124)

ez1 /ez2 = e(z1 −z2 )

(2.125)

Trigonometrische Funktion Die trigonometrischen Funktionen f¨ ur komplexe Zahlen sind wie folgt definiert:

48


eiz + e−iz eiz − e−iz cos z = 2i 2

(2.126)

1 2 2i 1 = iz = iz csc z = −iz cos z e +e sin z e − e−iz

(2.127)

sin z = sec z =

tan z =

sin z eiz − e−iz cos z i(eiz + e−iz ) = cot z = = (2.128) cos z i(eiz + e−iz ) sin z eiz − e−iz

Viele der Eigenschaften der oben angegebenen Funktionen sind ähnlich denen reeller trigonometrischer Funktionen. So kann gezeigt werden, dass gilt: sin2 z + cos2 z = 1; 1 + tan2 z = sec2 z; 1 + cot2 z = csc2 z sin(−z) = − sin z

cos(−z) = cos z

tan(−z) = − tan z

(2.129) (2.130)

sin(z1 ± z2 ) = sin z1 cos z2 ± cos z1 sin z2

(2.131)

cos(z1 ± z2 ) = cos z1 cos z2 ∓ sin z1 sin z2

(2.132)

tan(z1 ± z2 ) =

tan z1 ± tan z2 1 ∓ tan z1 tan z2

(2.133)

Hyperbolische Funktionen Die hyperbolischen Funktionen sind im Komplexen wie folgt definiert: ez − e−z ez + e−z cosh z = 2 2

(2.134)

sech z =

1 2 2 1 = z = z csch z = −z cosh z e +e sinh z e − e−z

(2.135)

tanh z =

ez − e−z ez + e−z sinh z cosh z = z = coth z = cosh z e + e−z sinh z ez − e−z

(2.136)

sinh z =

F¨ ur diese Funktionen gelten die nachtr¨ aglich aufgef¨ uhrten Beziehungen: cosh2 z − sinh2 z = 1; 1 − tanh2 z = sech2 z; coth2 z − 1 = csch2 z (2.137) sinh(−z) = − sinh z cosh (−z) = cosh z tanh(−z) = − tanh z

(2.138)

sinh(z1 ± z2 ) = sinh z1 cosh z2 ± cosh z1 sinh z2

(2.139)

cosh (z1 ± z2 ) = cosh z1 cosh z2 ± sinh z1 sinh z2

(2.140)

tanh(z1 ± z2 ) =

tanh z1 ± tanh z2 1 ± tanh z1 tanh z2

(2.141)


49

Aus den oben angegebenen Beziehungen f¨ ur trigonometrische Funktionen und hyperbolische Funktionen lassen sich folgende Zusammenhänge angeben. sin iz = i sinh z cos iz = cosh z tan iz = i tanh z

(2.142)

sinh iz = i sin z cosh iz = cos z tanh iz = i tan z

(2.143)

Logarithmische Funktionen Wie im reellen ist auch der nat¨ urliche Logarithmus die inverse Funktion der Exponentialfunktion, d.h. es gilt: k = 0, ±1, ±2, . . .

F (z) = ln z = ln r + i(ϕ + 2kπ)

(2.144)

urliche Logarithmus eine nicht wobei z = reiϕ gilt. Es zeigt sich, dass der nat¨ eindeutige Funktion darstellt. Durch Einschr¨ ankung auf den sog. Hauptwert der Funktion l¨ asst sich eine Eindeutigkeit herstellen. Hier ist eine gewisse Willk¨ ur gegeben. Sie kann dadurch beseitigt werden, dass ein speziell gew¨ unschter Zweig, auf dem die Eindeutigkeit gewährleistet ist, mit angeur jede geben wird, z.B. durch (ln z)0 . Die logarithmische Funktion kann f¨ beliebige reelle Basis definiert werden, also auch f¨ ur Werte, die sich von e unterscheiden. Dies bedeutet, dass folgendes angegeben werden kann: F (z) = loga z

⇔

z = aF

(2.145)

wobei f¨ ur a“ gelten muss: ” sowie a = 0

a>0

und a = 1

(2.146)

Inverse trigonometrische Funktionen Es lassen sich auch zu den trigonometrischen Funktionen inverse Funktionen angeben, die sich wie folgt errechnen lassen. Auch diese Funktionen sind nicht eindeutig definiert, sondern zeigen eine Periodizität auf: ) * √ 2−1 1 i + z 1 sin−1 z = (2.147) ln iz + 1 − z 2 ; csc−1 z = ln i i z

−1

cos

) * √ 1 1 + 1 − z2 1 −1 2 (2.148) z= ln z + z − 1 ; sec z = ln i i z

−1

tan

1 ln z= 2i

1 + iz 1 − iz

−1

; cot

1 z = − ln 2i

iz + 1 iz − 1

(2.149)

50


Inverse hyperbolische Funktionen Analog zu den Betrachtungen der trigonometrischen Funktionen lassen sich auch die inversen Funktionen der Hyperbelfunktionen angeben. Diese sind wiederum nachstehend aufgef¨ uhrt: ) * √ 1 + z2 + 1 −1 −1 2 sinh z = ln z + z + 1 csch z = ln (2.150) z −1

cosh

z = ln z + z 2 − 1 sech−1 z = ln

tanh−1 z =

1 ln 2

1+z 1−z

coth−1 z =

)

1 ln 2

1+

* √ 1 − z2 (2.151) z

z+1 z−1

(2.152)

Differentiation komplexer Funktionen (Cauchy-Riemann-Gleichungen) Falls die Funktion F (z) in einem Gebiet G ∈ C definiert ist, und der Grenzwert F (z + ∆z) − F (z) (2.153) F (z) = lim ∆z→0 ∆z unabh¨ angig von der Art der Ann¨ aherung ∆z → 0 ist, so wird die Funktion F (z) im Gebiet G als analytisch bezeichnet. Eine notwendige Bedingung daf¨ ur, dass die Funktion F (z) = Φ+iΨ eine in G ∈ C analytische Funktion darstellt, wird durch die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen gegeben: ∂Ψ ∂Φ = ∂x ∂y

∂Ψ ∂Φ =− ∂y ∂x

(2.154)

Sind die partiellen Ableitungen der Cauchy-Riemannschen Gleichungen in G außerdem stetig, dann sind die Cauchy-Riemannschen Gleichungen eine hinreichende Bedingung, dass F (z) analytisch im Gebiet G ist. Aus den Cauchy-Riemannschen Beziehungen lässt sich durch Differentiation ableiten, dass die komplexen und imagin¨ aren Anteile der Funktion F (z), d.h. die Gr¨ oßen Φ(x, y) und Ψ (x, y) die Laplace-Gleichung erf¨ ullen, d.h. es gilt: ∂ 2 Φ ∂ 2Φ + =0 (2.155) ∂x2 ∂y 2 ∂ 2Ψ ∂2Ψ + =0 ∂x2 ∂y 2

(2.156)


51

Differentiationen komplexer Funktionen Falls F (z), G(z) und H(z) analytische Funktionen der komplexen Variablen z sind, ergeben sich die Differentiationsregeln der Funktionen wie untenstehend angegeben. Es ist leicht zu sehen, dass sie den Funktionen reeller Variablen entsprechen. d d d [F (z) + G(z)] = F (z) + G(z) = F (z) + G (z) (2.157) dz dz dz d d d [F (z) − G(z)] = F (z) − G(z) = F (z) − G (z) (2.158) dz dz dz d d [cF (z)] = c F (z) = cF (z) mit c als beliebige Konstante (2.159) dz dz d d d [F (z)G(z)] = F (z) G(z) + G(z) F (z) = F (z)G (z) + G(z)F (z) dz dz dz (2.160) d dz

F (z) G(z)

d F (z) − F (z) dz G(z) 2 [G(z)] G(z)F (z) − F (z)G (z) = G(z) = 0 [G(z)]2

=

G(z)

d dz

(2.161)

Ist W = F (ζ) und ζ = G(z) so gilt: dW dW dζ dζ = = F (ζ) = F [G(z)]G (z) dz dζ dz dz

(2.162)

Nachstehend ist eine Tabelle wichtiger Ableitungen wichtiger komplexer Funktionen angegeben: d dz

(c) = 0

d dz

z n = nz n−1

d dz

ez = ez

d dz

az = az ln a

d dz

sin z = cos z

d dz

cos z = − sin z

d dz

tan z = sec2 z

d dz

cot z = − csc2 z

d dz

sec z = sec z tan z

d dz

csc z = − csc z cot z

d dz

loge z =

d dz

loga z =

d dz

sin−1 z =

√ 1 1−z 2

d dz

cos−1 z =

√ −1 1−z 2

d dz

tan−1 z =

1 1+z 2

d dz

cot−1 z =

−1 1+z 2

d dz

sec−1 z =

√1 z z 2 −1

d dz

csc−1 z =

√−1 z z 2 −1

d dz

sinh z = cosh z

d dz

cosh z = sinh z

d dz

tanh z = sech2 z

d dz

ln z =

1 z

1 z ln a

52

2 Mathematische Grundlagen d dz

coth z = − csch2 z

d dz

sech z = − sech z tanh z

d dz

csch z = − csch z coth z

d dz

sinh−1 z =

√ 1 1+z 2

d dz

cosh−1 z =

√ 1 z 2 −1

d dz

tanh−1 z =

1 1−z 2

d dz

coth−1 z =

1 1−z 2

d dz

sech−1 z =

√−1 z 1−z 2

d dz

csch−1 z =

√−1 z z 2 +1

Die oben aufgef¨ uhrten Ableitungen wichtiger komplexer Funktionen lassen sich in der Behandlung von Potentialstr¨ omungen nutzen.

2.12 Literaturverzeichnis 2.1 Richter EW, Joos G (1978) H¨ ohere Mathematik f¨ ur den Praktiker. Barth, Leipzig 2.2 Gradshteyn IS, Ryzhik IM (1980) Table of Integrals, Series, and Products. Academic Press, San Diego 2.3 Großmann S (1988) Mathematischer Einf¨ uhrungskurs f¨ ur die Physik. Teubner, Stuttgart 2.4 Aris R (1989) Vectors, Tensors and the Basic Equations of Fluid Mechanics. Dover, New York 2.5 Meyberg K, Vachenauer T (1989) H¨ ohere Mathematik 1 und 2. SpringerVerlag, Berlin 2.6 Dallmann H, Elster KH (1991) Einf¨ uhrung in die höhere Mathematik I-III. Gustav Fischer Verlag, Jena 2.7 Rade L, Westergren B (2000) Springers Mathematische Formeln. 3. Auflage, Springer Verlag, Berlin

3 Physikalische Grundlagen

3.1 Festk¨ orper und Fluide Alle Stoffe unserer nat¨ urlichen und technischen Umwelt lassen sich, gemäß ihres Aggregatzustandes, in feste, fl¨ ussige und gasförmige Medien unterteilen. Diese Unterteilung wird in vielen Bereichen des Ingenieurwesens gewählt, um auf wichtige Unterschiede in den Stoffeigenschaften hinzuweisen. Eine solche Unterteilung von Stoffen ließe sich auch in der Strömungsmechanik anwenden, sie w¨ are jedoch nicht sonderlich vorteilhaft. Vielmehr empfiehlt es sich str¨ omungsmechanische Gesichtspunkte anzuwenden, um zu einer f¨ ur die Behandlung von Str¨ omungsvorg¨ angen sinnvollen Unterteilung von Stoffen zu kommen. Daf¨ ur wird der Begriff des Fluids eingef¨ uhrt, zur Kennzeichnung all jener Stoffe, die nicht eindeutig den Feststoffen zugeordnet werden können. Aus Sicht der Str¨ omungsmechanik lassen sich somit alle Medien in Festkörper und Fluide unterteilen, wobei der Unterschied zwischen beiden Gruppen dadurch gekennzeichnet ist, dass Festk¨ orper Elastizität als eine wichtige Eigenschaft besitzen, w¨ ahrend Fluide Viskosit¨ at als charakteristische Eigenschaft aufweisen. Von außen auf einen Festk¨ orper aufgeprägte Scherbeanspruchungen f¨ uhren zu inneren elastischen Scherkr¨ aften, die irreversible Lageänderungen Atomen bzw. Molek¨ ulen des Festk¨ orpers verhindern. Werden dagegen auf Fluide externe Scherbeanspruchungen aufgepr¨ agt, so reagieren sie mit dem ” Aufbau von Geschwindigkeitsgradienten“, wobei der Aufbau des Gradienten durch den molek¨ ulbedingten Impulstransport, d.h. durch die Fluidviskosität, in einer f¨ ur Fluide sehr charakteristischen Art und Weise erfolgt. Damit sind Elastizit¨ at (Festk¨ orper) und Viskosit¨ at (Fluide) die Eigenschaften, die in der Str¨ omungsmechanik zur Unterteilung von Stoffen herangezogen werden. Von dieser Einteilung der Medien in Feststoffe und Fluide sind nur wenige Stoffe ausgenommen, so z.B. einige, die in der Rheologie behandelt werden und die ,,gemischte Eigenschaften” aufweisen. Diese besitzen bei kleinen Deformationen Eigenschaften von Festk¨ orpern und weisen bei großen das Verhalten von Fluiden auf. Es ist charakteristisch f¨ ur ein Fluid, dass es bereits kleinsten äußeren Scherbeanspruchungen durch einsetzende Str¨ omungen auszuweichen“ ver” sucht. Jede in einem ruhenden Fluid liegende Fläche kann daher nur Normalkr¨ afte erfahren. Aus diesem Grund ist der Schluss zulässig, daß ein Fluid, das

54


sich in Ruhe befindet, durch einen Spannungszustand gekennzeichnet ist, der frei von ¨ außeren Scherbeanspruchungen ist. Treten in einem ruhenden Medium Schubspannungen auf, so ist dieses Medium den Feststoffen zuzuordnen. Die in einem Fluid bei extern aufgepr¨ agten Bewegungen beobachteten Viskosit¨ atskr¨ afte“ sind nicht mit den elastischen Kräften in Festkörpern zu ” verwechseln. Viskose Kr¨ afte sind nicht einmal analog zu elastischen Kräften zu behandeln. Dieser Hinweis gilt im allgemeinen f¨ ur alle Fl¨ ussigkeiten und Gase, die an solchen Fluidstr¨ omungen beteiligt sind, denen sich das vorliegende Buch widmet. Fluide lassen sich f¨ ur die nachfolgenden Behandlungen von Str¨ omungsvorg¨ angen dadurch von Festk¨ orpern unterscheiden, dass sie schlechthin Medien darstellen, die schubspannungsfrei sind. Die oftmals in Behandlungen von Str¨ omungen von g¨ angigen Fl¨ ussigkeiten und Gasen eingef¨ uhrten ,,Schubspannungen” stellen in Wirklichkeit molek¨ ulbedingte Impulstransportterme dar. Benachbarte Schichten eines strömenden Fluids, das einen Geschwindigkeitsgradienten aufweist, treten nicht durch ,,Schubspannungen” miteinander in Wechselwirkung, sondern durch einen infolge der Molek¨ ulbewegung bedingten Impulsaustausch. Dies lässt sich schon sehr leicht durch vereinfachte, auf das physikalische Verständnis der Vorgänge abzielende Ableitungen erl¨ autern, wie sie im nachfolgenden Abschnitt angegeben sind. Die Ableitungen werden f¨ ur ein ideales Gas durchgef¨ uhrt, da sie f¨ ur dieses besonders anschaulich dargestellt werden können. Die aus den zur Viskosit¨ at durchgef¨ uhrten Betrachtungen erhaltenen Ergebnisse sind daher nicht in allen Einzelheiten auf Fluide mit komplexeren Eigenschaften u ¨ bertragbar. Zur weiteren Unterteilung der Fluide empfiehlt es sich, ihre Reaktion auf Normalspannungen, d.h. ihre Reaktion auf den Druck heranzuziehen. Reagiert ein Fluid auf Druck¨ anderungen mit Volumen- bzw. Dichteänderungen, so wird das Fluid als kompressibel bezeichnet. Treten bei Druckänderungen keine Volumen- bzw. Dichte¨ anderungen auf, so gilt das Fluid als inkompressibel. Obgleich es streng genommen keine inkompressiblen Fluide gibt, ist eine solche Unterteilung dennoch sinnvoll und dar¨ uberhinaus auch n¨ utzlich, wie die nachfolgenden Ableitungen der str¨ omungsmechanischen Grundgleichungen zeigen werden. Diese k¨ onnen somit getrennt f¨ ur Fl¨ ussigkeiten und Gase angegeben werden. Fluide werden im allgemeinen in Fl¨ ussigkeiten und Gase unterteilt. Fl¨ ussigkeiten (und einige plastische Materialien) zeichnen sich durch sehr kleine Expansionskoeffizienten aus (typische Werte f¨ ur die isobare Expansion ahrend Gase sehr viel größere Expansionskoeffiziensind βP = 10·10−6/K), w¨ ten besitzen (typische Werte sind βP = 1000 ·10−6/K). Ein Vergleich der Expansionskoeffizienten beider Untergruppen von Fluiden zeigt, dass Fl¨ ussigkeiten mit einer f¨ ur die meisten Str¨ omungsprobleme ausreichenden Genauigkeit die Bedingung der Inkompressibilit¨ at erf¨ ullen. Unter dieser Annahme lassen sich, wie die nachfolgenden Ableitungen zeigen, die Grundgleichungen der Str¨ omungsmechanik vereinfachen; insbesondere wird die Anzahl der benötigten Gleichungen zur allgemeinen Beschreibung von Strömungsvorgängen von

3.1 Festk¨ orper und Fluide

55

6 auf 4 reduziert. Die f¨ ur inkompressible Medien zulässigen Vereinfachungen der Grundgleichungen erlauben eine wesentliche Reduktion der Komplexität der L¨ osungen von Str¨ omungsproblemen, sowohl in einfachen als auch in komplexen Geometrien, da man, bei Problemen ohne Wärme¨ ubertragung, die Energiegleichung nicht mitzul¨ osen hat. Die f¨ ur inkompressible Medien angebbaren vereinfachten Grundgleichungen der Str¨ omungsmechanik lassen sich gelegentlich auch auf Strömungen kompressibler Fluide anwenden, n¨ amlich dann, wenn die zu beschreibenden Str¨ omungsvorg¨ ange so geartet sind, dass die im gesamten Strömungsfeld auftretenden Dichtevariationen klein gegen¨ uber der Fluiddichte sind. Auf diesen Punkt wird noch einmal gesondert in Kapitel 12 eingegangen, wo Bedingungen abgeleitet werden, unter denen Dichte¨ anderungen in Gasen f¨ ur die Behandlung von Str¨ omungsvorg¨ angen vernachl¨ assigt werden können. Strömungen in Gasen sind unter den dort angegebenen Bedingungen wie inkompressible Str¨ omungen zu behandeln. Zur weiteren Charakterisierung eines Fluids sei auf die bekannte Tatsache hingewiesen, dass Feststoffe ihre Form beibehalten, während ein Fluidvolumen keine eigene Form besitzt, sondern die Form des Gefäßes annimmt, in das es eingebracht wird. Fl¨ ussigkeiten unterscheiden sich von Gasen insofern, als dass der von den Fl¨ ussigkeiten eingenommene Raum nur einen Teil eines Beh¨ alters ausmachen kann, w¨ ahrend der restliche Teil nicht gef¨ ullt ist oder ein Gas enth¨ alt. Zwischen der Fl¨ ussigkeit und dem u ber ihr liegenden ¨ gasgef¨ ullten Raum befindet sich eine freie Oberfläche. Eine solche Oberfläche liegt nicht vor, wenn das Gef¨ aß nur mit einem Gas gef¨ ullt ist. Das Gas breitet sich u ber das gesamte Gef¨ a ßvolumen aus. ¨ Abschließend sei darauf hingewiesen, dass es eine Reihe von Medien gibt, die nur bedingt in die obige Klassifizierung eingeordnet werden können. Es sind dies z.B. Medien, die aus Zweiphasengemischen bestehen. Diese besitzen Eigenschaften, die sich nicht so einfach klassifizieren lassen. Dasselbe gilt auch f¨ ur eine Reihe anderer Medien, die nach der obigen Klassifizierung weder den Feststoffen, noch den Fluiden zugeordnet werden können und nur ab einem bestimmten Schwellwert“ der Schubspannung“ zu fließen beginnen. ” ” Medien dieser Art sollen aus den Behandlungen in diesem Buch ausgeschlossen werden, so dass die oben angegebenen Klassifizierungen von Medien in rein elastische Feststoffe und rein viskose Fluide ihre G¨ ultigkeit behalten. Weitere Einschr¨ ankungen der Fluideigenschaften, die bei der Behandlung von Str¨ omungsproblemen in diesem Lehrbuch vorgenommen werden, sind in den jeweiligen Abschnitten klar angegeben. Dadurch sollen Fehler vermieden werden, die oftmals entstehen, wenn Gleichungen, die f¨ ur vereinfachte Fluideigenschaften und/oder vereinfachte Str¨ omungsrandbedingungen abgeleitet werden, als allgemein g¨ ultig angesehen und unter dieser Annahme falsch verstanden bzw. angewandt werden.

56


3.2 Moleku oßen der ¨leigenschaften und Gr¨ Kontinuumsmechanik Da alle Materie aus Molek¨ ulen oder Agglomerationen von Molek¨ ulen besteht, k¨ onnen alle makroskopischen Eigenschaften der Materie durch Molek¨ uleigenschaften beschrieben werden. Somit ist es strenggenommen möglich, alle Ei¨ genschaften von Fluiden, die f¨ ur Uberlegungen in der Strömungsmechanik von Bedeutung sind, auf Eigenschaften von Molek¨ ulen zur¨ uckzuf¨ uhren. Eine solche Beschreibung der Zust¨ ande von Stoffsystemen w¨ urde zwar mit unseren heutigen Vorstellungen u ¨ ber die Beschaffenheit von Stoffen konform gehen, sie w¨ are jedoch aufgrund des notwendigen Formalismus u ¨ beraus aufwendig und auch un¨ ubersichtlich, so dass die angestrebten Erkenntnisse u ¨ ber essentielle Eigenschaften str¨ omungsmechanischer Vorg¨ ange darunter leiden w¨ urden. Eine molekulartheoretische Darstellung von Fluideigenschaften ist also möglich, sie w¨ urde jedoch kaum dazu geeignet sein, f¨ ur den Ingenieur n¨ utzliche praxisbezogene str¨ omungsmechanische Informationen in leicht verständlicher (und auch anwendbarer) Form zu liefern. Es ist aus diesem Grunde vorteilhafter, zur Beschreibung von Fluideigenschaften Größen der Kontinuumsmechanik einzuf¨ uhren. Der Zusammenhang zwischen den in strömungsmechanische Betrachtungen eingef¨ uhrten kontinuumsmechanischen Größen und den Molek¨ uleigenschaften sollte jedoch bekannt sein, um die wichtigsten Verkn¨ upfungen zwischen den zwei verschiedenen Betrachtungs- und Darstellungsweisen von Fluideigenschaften zu verstehen. Einige der f¨ ur die Beschreibung str¨ omungsmechanischer Vorgänge erforderlichen Zustandsgr¨ oßen wie die Dichte ρ, der Druck P , die Temperatur T etc. sind nachfolgend f¨ ur ideale Gase in Molek¨ ulgrößen ausgedr¨ uckt. Aus den Ableitungen geht hervor, dass die ,,Auswirkungen” von Molek¨ ulen und Molek¨ uleigenschaften auf Fluidelemente bzw. Kontrollvolumina durch das Einf¨ uhren der Gr¨ oßen Dichte ρ, Druck P , Temperatur T , Viskosität µ etc. in einer f¨ ur str¨ omungsmechanische Betrachtungen ausreichenden integralen ” Form“ ber¨ ucksichtigt werden. Kontinuumsmechanische Betrachtungen vernachl¨ assigen somit nicht die molekulare Struktur der Fluide, sondern ber¨ ucksichtigen diese in integraler Form, d.h. u ulen ge¨ ber eine Vielzahl von Molek¨ mittelt. Als die spezifische Dichte ρ eines Stoffes wird die Masse pro Volumeneinheit bezeichnet. F¨ ur ein Fluidelement kann diese Größe sowohl von seiner angen, als auch von der Zeit t, Lage im Raum, d.h. von xi = (x1 , x2 , x3 ) abh¨ so dass allgemein gilt: ρ(xi , t) =

lim

∆V →δV

δm 1 ∆M = . ∆V δV

(3.1)

Dabei wird mit δm die Masse eines Fluidelements bezeichnet und mit δV das entsprechende Volumen. Die Gr¨ oße ist so zu wählen, dass δm = const 1

bzgl. der Gr¨ oßen δm und δV wird auf Kapitel 5 verwiesen

3.2 Molek¨ uleigenschaften und Gr¨ oßen der Kontinuumsmechanik

57

,t )

[ k g

/ m

3

]

Abbildung 3.1: Zur Definition der Fluiddichte ρ(xi , t)

1 0

-3 0

1 0

-2 0

1 0

-1 8

1 0

-1 0

[ m

23

]

Abbildung 3.2: Fluktuationen bei der Dichtebestimmung von Fluiden

f¨ ur str¨ omungsmechanische Betrachtungen trotz der molekularen Natur der Materie ausreichend genau erf¨ ullt ist. Bezeichnet man mit n die mittlere Anzahl der pro Volumeneinheit vorhandenen Molek¨ ule und mit m die pro Molek¨ ul vorliegende Masse, so gilt folgender Zusammenhang: ρ(xi , t) = mn(xi , t).

(3.2)

Die Dichte des Stoffes ist somit identisch mit der pro Volumeneinheit vorliegenden Anzahl von Molek¨ ulen, multipliziert mit der Masse eines Einzelmolek¨ uls. Dichte¨ anderungen im Raum und in der Zeit entsprechen somit räumli¨ chen und zeitlichen Anderungen der mittleren Anzahl der pro Volumeneinheit vorliegenden Molek¨ ule. Bei Ber¨ ucksichtigung der unter Normalbedingungen vorliegenden stochastischen, thermisch bedingten Molek¨ ulbewegungen, wird verständlich, dass

58


eine mittlere Molek¨ ulanzahl nur dann zu einem Zeitpunkt t ausreichend eindeutig angegeben werden kann, wenn die Betrachtungen an einem Fluidvolumen durchgef¨ uhrt werden, das eine große Anzahl von Molek¨ ulen umfasst. Volumina in der Gr¨ oßenordnung von 10−18 bis 10−20 m3 werden immer noch als ausreichend groß angesehen, um eindeutige Dichtedefinitionen zu erlangen, siehe Abb. 3.2. Da es bei vielen str¨ omungsmechanischen Betrachtungen ausreicht, Str¨ omungsvorg¨ ange mit gr¨ oßerer Volumenauflösung zu behandeln, ist die Angabe einer mittleren“ Molek¨ ulzahl zur Kennzeichnung der im be” trachteten Volumen vorhandenen Fluidmasse ausreichend, d.h. ausreichend zur Kennzeichnung der Dichte. Die lokale Dichte ρ(xi , t) beschreibt damit eine f¨ ur die Str¨ omungsmechanik wichtige Stoffeigenschaft mit einer fast immer ausreichenden Genauigkeit, d.h., die Lokalit¨ at der in der Strömungsmechanik durchzuf¨ uhrenden Betrachtungen ist gr¨ oßtenteils so, dass die Angabe einer lokalen Dichte den Anforderungen der str¨ omungsmechanisch durchzuf¨ uhren¨ den Uberlegungen, trotz der molekularen Grundstruktur der betrachteten Fluide, voll gen¨ ugt. ¨ Ahnliche Betrachtungen lassen sich auch f¨ ur den Druck angeben, der sich in einem in Ruhe befindenden Fluid einstellt und der als die pro Flächeneinheit wirkende Kraft (siehe Abb. 3.3)definiert ist, d.h. ∆Kj . (3.3) P (xi , t) = − lim ∆Fj →δFj ∆Fj Molekulartheoretisch wird die Druckwirkung als die pro Flächeneinheit auftretende zeitliche Impuls¨ anderung der Molek¨ ule definiert, d.h. als die Kraft, welche die Molek¨ ule bei ihrem elastischen Zusammenstoß mit der betrachteten Fl¨ ache erfahren bzw. auf sie aus¨ uben. Es gilt folgende Beziehung (s. Kap. 3.3.2): 1 1 (3.4) P = mnu2 = ρu2 . 3 3 In Gleichung (3.4) ist m die Molek¨ ulmasse, n die Anzahl der Molek¨ ule pro Volumeneinheit und u die thermische Geschwindigkeit der Molek¨ ule. Analog zu den obigen Volumenabmessungen lässt sich f¨ ur die Größe der betrachteten Fl¨ achen angeben, dass die meisten strömungsmechanischen Betrachtungen keine Fl¨ achenaufl¨ osungen erfordern, die 10−12 bis 10−13 m2 unterschreiten, siehe Abb. 3.4, so dass theoretische Ableitungen f¨ ur mittlere Molek¨ ulzahlen ausreichen, um die Kraftwirkung der Molek¨ ule auf die Flächen ur das zu erfassen. Dies entspricht jedoch der Angabe eines Druckes P (xi , t) f¨ Fluid. Dabei ist wichtig zu wissen, dass der Druck in einem Fluid als Kraft pro Fl¨ ache oder Energie pro Volumeneinheit angegeben werden kann, je nachdem ob man Impuls- oder Energiebetrachtungen durchf¨ uhrt. Entsprechend den oben eingef¨ uhrten kontinuumsmechanischen Größen ur die Temperatur T (xi , t), die inρ(xi , t) und P (xi , t) lassen sich auch f¨ nere Energie e(xi , t), der Enthalpie h(xi , t) etc. eines Fluids Betrachtungen ¨ wiederholen, die den oben angegebenen Uberlegungen zur Dichte und zum

3.2 Molek¨ uleigenschaften und Gr¨ oßen der Kontinuumsmechanik

R e s u ltie re n d e D ru c k k ra ft D K j= - P D F j a u f F lä c h e D F

D F j

59

g ib t L a g e d e r F lä c h e a n

j

P [ N

/ m

2

]

Abbildung 3.3: Zur Definition des Drucks im Fluid P (xi , t)

1 0

-1 5

1 0

-1 3

1 0

-1 2

1 0

-5

F [ m 2

]

Abbildung 3.4: Fluktuation bei der Druckbestimmung im Fluid

Druck entsprechen. Diese zeigen wiederum, dass es f¨ ur strömungsmechani¨ sche Uberlegungen ausreichend ist, die komplexen Molek¨ uleigenschaften zu vernachl¨ assigen und kontinuumsmechanische Größen in strömungsmechanische Ableitungen einzuf¨ uhren, die den Mittelwerten u ¨ber entsprechende Mo¨ lek¨ ulparameter entsprechen. Str¨ omungsmechanische Uberlegungen können somit auf der Basis kontinuumsmechanischer Größen durchgef¨ uhrt werden. Es gibt jedoch einige wichtige Gebiete der Strömungsmechanik, wo Kontinuumsbetrachtungen nicht angebracht sind, wie etwa das Gebiet der Str¨ omungen in hochverd¨ unnten Gassystemen. Dort lassen sich f¨ ur die Volumina und die Fl¨ achen, mit denen str¨ omungsmechanische Vorgänge aufzulösen sind, keine eindeutigen kontinuumsmechanischen Größen definieren, da die erforderliche r¨ aumliche Aufl¨ osung der str¨ omungsmechanischen Betrachtun-

60


gen nicht mehr sicherstellt, dass ausreichende Molek¨ ulzahlen zur notwendigen Mittelwertbildung bei der Einf¨ uhrung kontinuumsmechanischer Größen vorliegen. Bei der Behandlung solcher Str¨ omungsvorgänge muss den mole¨ kulartheoretischen Uberlegungen str¨ omungsmechanischer Vorgänge der Vorrang gegen¨ uber kontinuumsmechanischen Betrachtungen eingeräumt werden. In der vorliegenden Einf¨ uhrung in die Str¨ omungsmechanik viskoser Medien wird das Gebiet der Str¨ omungen hochverd¨ unnter Gase nicht behandelt, so dass alle erforderlichen Ableitungen in der Terminologie der Kontinuumsmechanik erfolgen k¨ onnen. In allen solchen Betrachtungen sind molekulare Einwirkungen, z.B. innerhalb der Erhaltungssätze f¨ ur Masse, Impuls und Energie in integraler Form erfasst, d.h. die molekulare Struktur der betrachteten Fluide wird nicht vernachl¨ assigt, sondern in Form integraler Größen ber¨ ucksichtigt.

3.3 Transportvorg¨ ange in Newtonschen Fluiden 3.3.1 Allgemeine Betrachtungen Bei der Behandlung von Str¨ omungen mit W¨ arme und Stofftransport treten molekulare Transportvorg¨ ange auf, die nicht vernachlässigt werden können und die damit in den allgemeinen Transportgleichungen zu beachten sind. Hierbei ist eine physikalisch korrekte Betrachtung der Transportvorgänge notwendig, die sich an den allgemeinen Darstellungen orientiert, die untenstehend aufgef¨ uhrt sind. Zur Erl¨ auterung wird auf die Abb. 3.5(a) bis 3.5(c) verwiesen. Diese Abbildungen zeigen Ebenen, die parallel zu der x1 − x3 −Ebene eines kartesischen Koordinatensystems liegen. In jeder dieser Ebenen ist die Temperatur T = const (a), die Konzentration c = const (b) und die Geucksichtigung der Steigerung schwindigkeit (Uj ) = const (c), so dass, bei Ber¨ der jeweils betrachteten Gr¨ oße in der x2 − Richtung = xi −Richtung, ein positiver Gradient jeder der Fluideigenschaften vorliegt. Es sind diese Gradienten, die zu den molekularen Transporten von Wärme, chemischen Spezies und Impuls f¨ uhren. Es gilt molekulare Transportvorg¨ ange in der Terminologie der Kontinuumsmechanik zu beschreiben. In Abb. 3.5 ist der infolge der thermischen Molek¨ ulbewegung auftretende W¨ armetransport durch das Fouriersche Gesetz der W¨ armeleitung angegeben und der analog dazu auftretende Massentransport durch das Ficksche Gesetz der Diffusion. Fouriersches Gesetz der W¨ armeleitung: q˙i = −λ

∂T ∂xi

λ= W¨ armeleitkoeffizient

(3.5)

D = Diffusionskoeffizient

(3.6)

Ficksches Gesetz der Diffusion: m ˙ i = −D

∂c ∂xi

3.3 Transportvorg¨ ange in Newtonschen Fluiden

x

= x 2

T

i

> T A

x B

- l ¶¶ T x

q i = ·

T 3

2

T ( x i + l ) i

x x

61

l l

1

x B

x 1

T ( x i- l ) 3

a ) D a rs te llu n g d e s W ä rm e tra n s p o rts x

= x i c A > 2

c

m ·

i

x B

- D ¶¶ xc =

c ( x i + l ) i

x x

c 3

2

}

l

l x

1

x B

3

1

c ( x i - l )

b ) D a rs te llu n g d e s T ra n s p o rts c h e m is c h e r S p e z ie s x

= x 2

(U

i

T

ij

=

j

)A > (U ¶ U

- m x

x 3

(U j

) B

) j

x B

U j

¶ x i

1

= x

j

2

( x i + l ) l

l x

1

j

x 3

U j

( x i - l )

c ) D a rs te llu n g d e s Im p u ls tra n s p o rts Abbildung 3.5: Analogie der molekular bedingten Transportvorg¨ ange f¨ ur (a) W¨ armetransport, (b) Stofftransport und (c) Impulstransport

Analog ist auch der molek¨ ulbedingte Impulstransport durch das Newtonsche Gesetz zu beschreiben, das bei Vorliegen von nur einer Geschwindigkeitskomponente Uj wie folgt angegeben werden kann, siehe dazu Bird et al. [3.1]. Newtonsches Gesetz des Impulstransports:

62


τij = −µ

∂Uj , ∂xi

(3.7)

wobei µ = dynamische Viskosit¨ at. In τij gibt die i-Richtung die molekulare Transportrichtung“ an, entspre” chend den Indizes von q˙i und m ˙ ij , j gibt die Komponente des Geschwindigkeitsvektors an, f¨ ur die Impulstransportbetrachtungen durchgef¨ uhrt werden. In Kapitel 5 wird gezeigt, dass die vollst¨ andige Gleichung f¨ ur τij , unter Vorliegen eines Newtonschen Mediums, wie folgt angegeben werden kann:2 ∂Uj ∂Ui 2 ∂Uk τij = −µ + + µδij (3.8) ∂xi ∂xj 3 ∂xk Als Impulstransport pro Zeit und Fl¨ acheneinheit stellt τij eine Span” nung“ dar, d.h. eine Kraft pro Fl¨ acheneinheit. Sie wird deshalb oftmals als Schubspannung“ bezeichnet und das Vorzeichen vor µ wird positiv gewählt. ” Dies gilt es bei Vergleichen von Darstellungen in diesem Buch mit korrespondierenden Angaben in anderen B¨ uchern zu beachten. Die bestehenden Unterschiede in den Betrachtungsweisen sollen durch die zwei untenstehenden Anmerkungen erl¨ autert werden. Anmerkung 1: Das folgende anschauliche Beispiel soll verdeutlichen, wie der in der Kontinuumsmechanik eingef¨ uhrte viskositätsbedingte Impulstransport durch die Bewegung von Molek¨ ulen zustandekommt. Zwei Personenz¨ uge m¨ ogen mit unterschiedlicher Geschwindigkeit nebeneinander herfahren. Auf jedem der Z¨ uge sollen Personen mitfahren, die Säcke mit sich f¨ uhren. Diese S¨ acke werden von den Leuten des einen Zuges denen im anderen Zug zugeworfen, siehe Abb. 3.6, so dass ein Impuls¨ ubertrag zustandekommt, wobei festzuhalten ist, dass sich die Massen mA und mB der Z¨ uge nicht ¨ andern. Dadurch, dass die Personen im schneller fahrenden Zug die S¨ acke auffangen, die ihnen aus dem langsamer fahrenden Zug zugeworfen werden, wird der schnellere Zug abgebremst. In analoger Weise wird der ¨ langsamer fahrende Zug beschleunigt. Es kommt also zu einer Ubertragung des Impulses in Fahrtrichtung, die durch einen Impulstransport“ senkrecht ” zur Fahrtrichtung erfolgt. Diese Vorstellung, u ¨bertragen auf den molekularbedingten Impulstransport in Fluiden, steht im Einklang mit den molek¨ ulbedingten Transportvorg¨ angen, die obenstehend angegeben wurden. Anmerkung 2: In der Kontinuumsmechanik wird die viskositätsbedingte Wechselwirkung zwischen Fluidschichten im allgemeinen so erklärt, dass Reibungskr¨ afte“ zwischen den Schichten postuliert werden. Dies w¨ urde in ” der oben beschriebenen Wechselwirkung von nebeneinander herfahrenden Z¨ ugen einem Abbremsen des schnelleren Zuges bzw. Beschleunigen des langsameren Zuges durch Reibungskr¨ afte entsprechen. Diese Einwirkung von Rei2

τij als molekularbedingter Impulstransport, wie hier eingef¨ uhrt, ist prinzipiell von der Schubspannung, die u afte in manchen B¨ uchern eingef¨ uhrt ¨ ber Reibungskr¨ wird, zu unterscheiden, siehe Abschnitt 3.3.3.


U D m

D m ·

63

B

·

B

U

A

A

A u s ta u s c h v o n M a s s e u n d Im p u ls e Abbildung 3.6: Anschauliche Erkl¨ arung von τij als Impulstransport

U U

B

A

R e ib u n g s e in w irk u n g Abbildung 3.7: Anschauliche Darstellung von τij als Reibungsterme

bungskr¨ aften kann etwa derart aufgebracht werden, dass die in den Z¨ ugen mitfahrenden Personen u ber Stangen, mit denen entlang der Waggonaußen¨ wandung Reibungskr¨ afte ausge¨ ubt werden, Einfluss auf die Bewegung des anderen Zuges nehmen, siehe Abb. 3.7. Diese Vorstellung, u ¨bertragen auf die Wechselwirkung zwischen Fluidschichten unterschiedlicher Geschwindigkeiten, entspricht nicht den physikalisch korrekten Vorstellungen u ¨ ber molek¨ ulbedingte Transportvorg¨ ange in Fluiden, (es gibt keine Molek¨ ule mit Stangen). Stellt man physikalisch korrekte Betrachtungen zum molek¨ ulbedingten ussen Ableitungen durchgef¨ uhrt werden, wie Impulstransport τij an, so m¨ sie in Abschnitt 3.3.3 f¨ ur Gase vorgestellt werden. Zudem werden auf den ¨ folgenden Seiten Uberlegungen zum Druck, zum Wärmeaustausch und zur Diffusion in Gasen angestellt, um den Zusammenhang zwischen molekularen und kontinuumsmechanischen Gr¨ oßen aufzuzeigen. Diese auf molekular-

64


¨ theoretischen Uberlegungen basierenden Vorstellungen sind wichtig f¨ ur das Verst¨ andnis diffusiver Transportvorg¨ ange in Fluiden. 3.3.2 Druck in Gasen Aus molekulartheoretischer Sicht ist der gasf¨ ormige Aggregatzustand eines Stoffes durch eine freie und ungeordnete Bewegung der Atome bzw. Molek¨ ule gekennzeichnet. Die Eigenschaften, die Stoffe in diesem Aggregatzustand annehmen, werden recht gut durch die Gesetzmäßigkeiten eines idealen Gases beschrieben. Diese Gesetzm¨ aßigkeiten resultieren aus Ableitungen, die auf mechanischen Grundgesetzen aufbauen und die von idealen, elastischen St¨ oßen ausgehen, mit denen die Molek¨ ule mit sich selbst und mit Berandungen, z.B. mit Gef¨ aßw¨ anden, in Wechselwirkung treten. Zwischen diesen St¨ oßen bewegen sich die Molek¨ ule frei und auf geradlinigen Bahnen. Das heißt, es wirken zwischen den Molek¨ ulen keine Kräfte außer bei den Zusammenst¨ oßen. Auch Gef¨ aßw¨ ande wirken weder anziehend noch abstoßend auf die Molek¨ ule und die Wechselwirkungen der Wände mit den sich bewegenden Molek¨ ulen beschr¨ anken sich auf den Moment des Zusammenstoßes. Die wichtigsten Eigenschaften eines idealen Gases lassen sich wie folgt angeben: a) Die Abmessungen der Molek¨ ule bzw. Atome ist verschwindend klein gegen¨ uber ihren gegenseitigen Abst¨ anden, so dass die Molek¨ ule als Massenpunkte angesehen werden k¨ onnen; b) die Molek¨ ule u ¨ ben, außer im Augenblick des Zusammenstoßes, weder anziehende noch abstoßende Kr¨ afte aufeinander aus; c) f¨ ur die Zusammenst¨ oße zwischen zwei Molek¨ ulen, oder eines Molek¨ uls mit einer Wand, gelten die Gesetze des vollkommen elastischen Stoßes. (Es finden ausschließlich Zusammenst¨ oße von zwei Molek¨ ulen statt.)

x 2

a a a

1

)a D t

}

(u

x

x 3

1

Abbildung 3.8: Kontrollvolumen f¨ ur Ableitungen zur Druckwirkung von Molek¨ ulen


65

Ber¨ ucksichtigt man die in den Punkten a) bis c) angegebenen charakteristischen Eigenschaften eines idealen Gases, so lassen sich die unten aufgef¨ uhrten Ableitungen angeben, um den Druck, der eine charakteristische kontinuumsmechanische Gr¨ oße des Gases darstellt, u ¨ ber molekulartheoretische Be¨ trachtungen abzuleiten. Die damit verbundenen Uberlegungen ber¨ ucksichtigen nur bekannte Grundgesetze der Mechanik, insbesondere Gesetzmäßigkeiten des elastischen Stoßes und die oben von a) bis c) aufgef¨ uhrten Eigenschaften. Um die Druckwirkung“ der Molek¨ ule auf eine Fläche infolge der Mo” lek¨ ulbewegung behandeln zu k¨ onnen, gehen die hierzu durchgef¨ uhrten Ableitungen von dem in Abb. 3.8 angegebenen Kontrollvolumen mit Kantenlänge a aus. In diesem Kontrollvolumen ist die senkrecht auf der x1 -Achse stehende Fl¨ ache schraffiert eingezeichnet. Alle Betrachtungen werden f¨ ur diese Fl¨ ache durchgef¨ uhrt. F¨ ur andere Fl¨ achen des Kontrollvolumens sind sie analog durchf¨ uhrbar, so dass die Betrachtungen f¨ ur die in Abb. 3.8 schraffierte Fl¨ ache als allgemeing¨ ultig angesehen werden können, siehe dazu Reif [3.2]. In dem in Abb. 3.8 angegebenen Kontrollvolumen sind insgesamt N Molek¨ ule vorhanden. Diese Anzahl l¨ asst sich durch Einf¨ uhrung der Anzahl der uldichte) n, wie folgt angeben: Molek¨ ule pro m3 (Molek¨ N = na3 .

(3.9)

Von den n Molek¨ ulen pro m3 m¨ ogen sich nα Molek¨ ule mit einer Geschwindigkeitskomponente (u1 )α in Richtung der x1 -Achse bewegen und mit der in Abb. 3.8 angegebenen schraffierten Fl¨ ache in Wechselwirkung treten. In der Zeit ∆t werden alle jene Molek¨ ule auf die schraffierte Wandfläche treffen, die von dieser den Abstand (u1 )α ∆t haben. Es sind dies: zα = nα a2 (u1 )α ∆t.

(3.10)

ule u Jedes der zα Molek¨ ¨ bt auf die Wand einen Impuls aus, der u ¨ ber die Gesetzm¨ aßigkeit des idealen elastischen Stoßes angegeben wird: (∆i1 )α = −m(∆u1 )α = 2m(u1 )α .

(3.11)

F¨ ur den durch die zα Molek¨ ule auf die Wand u ¨ bertragenen Gesamtimpuls gilt: (∆J1 )α = zα (∆i1 )α = nα a2 (u1 )α ∆t[2m(u1 )α ], (3.12) (∆J1 )α = 2ma2 ∆tnα (u21 )α .

(3.13)

Die Wand erf¨ ahrt die Kraft (K1 )α (K1 )α = oder den Druck

∆(J1 )α = 2ma2 nα (u21 )α ∆t

(3.14)

66


(P1 )α =

(K1 )α = 2mnα (u21 )α . a2

(3.15)

Der Gesamtdruck, der auf die schraffierte Fläche in der Abb. 3.8 ausge¨ ubt wird, fasst die Druckanteile (P1 )α aller unterschiedlichen Geschwindigkeiten (u1 )α zusammen. Will man den Gesamtdruck berechnen, so muss man u ¨ ber all diese Beitr¨ age summieren. Damit erh¨ alt man aus der obigen Gleichung: P1 =

Nx

(P1 )α = 2m

α=1

Nx

nα (u21 )α .

(3.16)

α=1

Dabei ist Nx die Anzahl der N -Molek¨ ule, die sich in x-Richtung bewegen. Die in der obigen Beziehung auftretende Summierung lässt sich durch die folgende Definition des Mittelwerts des Geschwindigkeitsquadrats u21 ersetzen: Nx

nα (u21 )α = nα (u21 ).

(3.17)

α=1

Hierbei ist nx die Gesamtzahl der sich im Mittel pro m3 in positive x1 −Richtung bewegenden Molek¨ ule, d.h. nx =

1 n, 6

(3.18)

wobei n die pro m3 vorhandene Anzahl der Molek¨ ule darstellt. u21 stellt das Quadrat des Effektivwertes“ der Molek¨ ulgeschwindigkeit dar, das nach den ” obigen Ableitungen wie folgt definiert ist: u21 =

Nx Nx 1 6 nα (u21 )α = nα (u21 )α . nx α=1 n α=1

(3.19)

Den thermodynamischen Druck P in einer freien Strömung definiert man u ucken in die jeweilige ¨ blicherweise als den Mittelwert der Summe aus den Dr¨ Raumrichtung: + 2, + 2, Ny Nx P = 13 (P1 + P2 + P3 ) = 13 mn α=1 nα u1 α + β=1 nβ u2 β + 2, z + N γ=1 nγ u3 γ = 13 mn

Nx Ny Nz α=1

β=1

γ=1 nαβγ

+

u21 + u22 + u23

, αβγ

= 13 mn(u2 ) Der auf die schraffierte Fl¨ ache aufgepr¨ agte Druck ist somit ebenfalls P =

1 mn(u2 ). 3

(3.20)


67

Da m die Masse eines Einzelmolek¨ uls ist und n die mittlere Anzahl der Molek¨ ule pro m3 , entspricht der Ausdruck (mn) der Dichte ρ in der Terminologie der Kontinuumsmechanik: 1 1 (3.21) P = mn(u2 ) = ρ(u2 ). 3 3 Also erh¨ alt man als Endbeziehung P =

1 ρ(u2 ). 3

(3.22)

Diese Beziehung enth¨ alt als Molek¨ ulgr¨ oße noch die mittlere Molek¨ ulgeschwindigkeit im Quadrat. Diese l¨ asst sich durch eine weitere Größe der Kontinuumsmechanik eliminieren, n¨ amlich die Temperatur T des idealen Gases, siehe dazu H¨ ofling [3.3]. Die mittlere kinetische Energie eines Molek¨ uls lässt sich nach dem Gleichverteilungssatz der statistischen Physik schreiben: ek =

1 3 m(u2 ) = kT 2 2

(3.23)

J wobei k = 1.380658 × 10−23 K die Boltzmannsche Konstante darstellt. Aus (3.22) und (3.23) folgt:

P =

k k 1 ρ(3 T ) = ρ T. 3 m m

(3.24)

Ber¨ ucksichtigt man ferner, dass gilt: k=

universelle Gaskonstante = , L Loschmidtsche Zahl

(3.25)

so l¨ asst sich angeben:

T ρ. (3.26) Lm M = Lm ist die Masse pro kmol eines idealen Gases, so dass mit υ = M/ρ geschrieben werden kann: P υ = T (3.27) P =

wobei υ das Gasvolumen pro kmol Gas darstellt, siehe dazu Bosnjakovic [3.4]. Streng genommen lassen sich die obigen Ableitungen nur f¨ ur ein einatomiges Gas unter der Annahme idealer Gaseigenschaften angeben. Sie lassen sich jedoch auf mehratomige Gase mit idealen Gaseigenschaften“ u ¨ bertra” gen, falls die in mehratomigen Gasen vorliegenden zusätzlichen Freiheitsgrade und die entsprechenden Anteile der inneren Energie eines Gases ber¨ ucksichtigt werden. Allgemein l¨ asst sich der Energieinhalt eines Gases wie folgt angeben: a (3.28) eges = kT 2 a gibt die Freiheitsgrade der Molek¨ ulbewegung an:

68


a = 3 bei einatomigen Gasen, a = 5 bei zweiatomigen Gasen, a = 6 bei drei- und mehratomigen Gasen, Die obigen Ableitungen haben gezeigt, dass sich Gesetzmäßigkeiten, die aus der Kontinuumsmechanik bekannt sind, durch molekulartheoretische ¨ Uberlegungen ableiten lassen. Dies bedeutet, dass die Gesetzmäßigkeiten der Kontinuumsmechanik, zumindest f¨ ur den hier abgeleiteten Druck, unter Einf¨ uhrung von Dichte und Temperatur konsistent sind mit den entsprechen¨ den Uberlegungen der mechanischen Theorie der Molek¨ ulbewegung. 3.3.3 Molek¨ ulbedingter Impulstransport Im Abschnitt 3.3.1 wurde einf¨ uhrend auf Transportvorgänge hingewiesen, die durch die thermische Bewegung der Molek¨ ule verursacht werden. Es wurde auf die Analogie zwischen Impulstransport und Wärme- bzw. Stofftransport hingewiesen und herausgestellt, dass die in str¨ omungsmechanischen Betrachtungen verwendeten τij -Terme nicht als durch Reibung verursacht“ zu ver” stehen sind, d.h. sie stellen physikalisch keine Schubspannung“ dar, sondern ” pro Fl¨ achen- und Zeiteinheit auftretende molek¨ ulbedingte Impulstransporte. Dabei stellt der Index i die betrachtete Transportrichtung dar und j die Richtung des betrachteten Impulses. Um eine Einf¨ uhrung in eine physikalisch korrekte Betrachtung des molek¨ ulbedingten Impulstransportes geben ¨ zu k¨ onnen, werden die unten aufgef¨ uhrten Uberlegungen f¨ ur ein ideales Gas angestellt, wobei nur ein x1 -Impulstransport in x2 -Richtung betrachtet wird, d.h. der Term τ21 . F¨ ur die folgenden Herleitungen werden vereinfachte, aber dennoch molekulartheoretisch korrekte Betrachtungen durchgef¨ uhrt. Es wird folgendes einfache Modell einer Molek¨ ulbewegung verwendet: Jeweils 1/6 aller Molek¨ ule bewegt sich mit Geschwindigkeiten (−¯ u, 0, 0), (¯ u, 0, 0) in die x1 -Richtung, u), (0, 0, u ¯) in die x3 (0, −¯ u, 0), (0, u ¯, 0) in die x2 -Richtung und mit (0, 0, −¯ Richtung, d.h. die mittlere Molek¨ ulgeschwindigkeit hat den Betrag u ¯ parallel zu den Koordinatenachsen. Geht man von einer Molek¨ ulkonzentration pro Volumeneinheit aus, d.h. von n Molek¨ ulen pro m3 , so bewegt sich im Mittel 1/3 von ihnen mit der Geschwindigkeit u ¯ in x2 -Richtung, und davon wieder im Mittel die Hälfte, also n/6 Molek¨ ule pro Volumeneinheit, jeweils in negativer und positiver x2 u) Richtung. Im Mittel durchqueren daher pro Zeit- und Flächeneinheit ( 13 n¯ Molek¨ ule die x2 =const Ebene, die in Abb. 3.9 schraffiert angedeutet ist. Die Molek¨ ule, welche die x2 = const Ebene in positiver x2 -Richtung durchqueren, sind im Mittel das letzte Mal im Abstand l mit Molek¨ ulen unterhalb der Ebene zusammengestoßen, wobei l die mittlere freie Weglänge der Molek¨ ulbewegung darstellt. Die von unten kommenden Molek¨ ule besitzen also die mittlere Geschwindigkeit, welche das strömende Medium in der


x 1

(x 2+ l )

2

D x 1

}

U

69

x 1

}

D x

} l } l

x

U 3

1

3

(x 2 - l )

Abbildung 3.9: Molekularbewegung und Schubspannung (Prinzipskizze zur Ableitung)

Ebene (x2 − l) besitzt. Infolgedessen transportieren die Molek¨ ule in positiver x2 -Richtung einen x1 -Impuls, der sich im Mittel wie folgt angeben lässt: ∆I1 =

1 n¯ u[mU1 (x2 − l)]∆t ∆x1 ∆x3 . 6

(3.29)

Dies ist mit einer pro Zeit- und Fl¨ acheneinheit angebbaren Kraftwirkung τ21 verbunden, d.h. mit einer Kraftwirkung, die infolge eines x1 -Impulses entsteht, der durch einen Molek¨ ulstrom in positiver x2 -Richtung zustande kommt: 1 ∆I1 1 + τ21 uU1 (x2 − l). = = mn¯ (3.30) ∆t ∆x1 ∆x3 6 Analog l¨ asst sich f¨ ur den Molek¨ ulstrom, der die Ebene x2 = const in negatiauft, ein x1 -Impulstransport angeben. F¨ ur diesen lässt ver x2 -Richtung durchl¨ sich eine Wirkung pro Fl¨ acheneinheit ausrechnen, die untenstehend angegeben ist: 1 − uU1 (x2 + l). = − mn¯ (3.31) τ21 6 Damit gilt f¨ ur den gesamten Impulseintrag pro Flächeneinheit, welcher durch die Ebene x2 = const erfolgt: + − + τ21 = τ21 = τ21

1 mn¯ u[U1 (x2 − l) − U1 (x2 + l)]. 6

(3.32)

F¨ ur die Geschwindigkeiten U1 (x2 − l) und U1 (x2 + l) lassen sich durch TaylorReihenentwicklungen angeben: ∂U1 U1 (x2 − l) = U1 (x2 ) − l + ··· , (3.33) ∂x2 ∂U1 l + ··· , (3.34) U1 (x2 + l) = U1 (x2 ) + ∂x2 damit erh¨ alt man τ21

∂U1 1 u −2 = mn¯ l , 6 ∂x2

(3.35)

70

d.h.


1 ul τ21 = − mn¯ 3

∂U1 ∂x2

= −µ

∂U1 ∂x2

.

(3.36)

Damit wurde u aherungsbetrachtungen mittels molekulartheoretischer ¨ ber N¨ Ans¨ atze die Proportionalit¨ at der auftretenden Kraftwirkung infolge Molek¨ ulbewegung mit dem vorliegenden Geschwindigkeitsgradienten des Strömungsfeldes abgeleitet. Die Ableitungen deuten an, dass man die Molek¨ ulbewegung als Ursache des Impulstransportes und damit der Kraftwirkung verstehen kann, wenn man dem Kontinuum die Viskosität µ als eine Materialeigenschaft zuschreibt. F¨ ur ein ideales Gas gilt: µ=

1 1 mn¯ ul = ρ¯ ul. 3 3

Ber¨ ucksichtigt man die folgende Beziehung: 1 8kT u¯ = ; l= √ . πm 2d2 πn

(3.37)

(3.38)

wobei d ein Maß f¨ ur den Molek¨ uldurchmesser darstellt, so erhält man: √ 2 mkT µ= . (3.39) 3π 3/2 d2 √ Diese Beziehung sagt f¨ ur ein ideales Gas aus, dass µ ∼ T ist, also mit zunehmender Temperatur anw¨ achst. Des Weiteren nimmt die Viskosität eines √ idealen Gases mit der Molek¨ ulmasse zu, µ ∼ m, während mit zunehmender Molek¨ ulgr¨ oße die Viskosit¨ at abnimmt, µ ∼ (1/d2 ). Die oben aufgef¨ uhrten Betrachtungen sind als Einf¨ uhrung in die Ableitungen von kontinuumsmechanischen Eigenschaften von Fluiden unter Benutzung mittlerer molekularer Gr¨ oßen durchgef¨ uhrt worden. Nur eine Transportrichtung wurde ber¨ ucksichtigt und nur der x1 −Impuls wurde in die Betrachtungen einbezogen. ur Newtonsche Medien u Der komplette τij -Term wird in Abschnitt 5 f¨ ¨ ber vollst¨ andige Betrachtungen zum Impulstransport in idealen Gasen abgeleitet. Es wird gezeigt, dass er im wesentlichen drei Terme umfasst, die alle physikalisch u ¨ ber Betrachtungen zum Impulstransport in idealen Gasen angegeben werden k¨ onnen. Eine Verallgemeinerung der Betrachtungen auf Impulstransportvorg¨ ange in Fl¨ ussigkeiten ist m¨ oglich, wird jedoch im Rahmen des vorliegenden Buches nicht vorgenommen. 3.3.4 Molek¨ ulbedingter W¨ arme- und Stofftransport in Gasen Ist die Temperatur in einem System r¨ aumlich nicht konstant, so ist dieses System nicht thermisch homogen und Energie (Wärme) wird aus Gebieten


71

ur h¨ oherer Temperatur in Gebiete mit niederer Temperatur u ¨bertragen“. F¨ ” das in Abb. 3.10 vorliegende eindimensionale Problem wird pro Flächen- und Zeiteinheit der W¨ armestrom q˙x2 = Q/(∆t∆x1 ∆x3 ) fließen, der proportional dem an der Position x2 = 0 vorliegenden Temperaturgradienten ist; dies ist aus Experimenten bekannt, d.h. es gilt. q˙x2 = q˙2 = −λ

x

(3.40)

2

D x 1

}

T (x 2+ l )

∂T . ∂x2

x 1

}

D x

} l } l

x 3

3

T (x 2 - l )

Abbildung 3.10: Von Molek¨ ulen verursachter W¨ armetransport durch eine Ebene (Prinzipskizze zur Ableitung)

Die Proportionalit¨ atskonstante λ wird als die Wärmeleitfähigkeit des Fluids (des Stoffes) bzw. als der W¨ armeleitkoeffizient des Fluids bezeichnet. In dem vorliegenden Abschnitt sollen Betrachtungen angestellt werden, die geeignet sind, die physikalischen Ursachen der Wärmeleitung vom Standpunkt der Molekulartheorie der Materie zu verstehen. Gezeigt werden soll dies wiederum f¨ ur das Modell des idealen Gases, das wegen seiner Einfachheit der Darstellung der Molek¨ ulbewegung f¨ ur die angestrebten Ableitungen am besten geeignet ist. Betrachtet man eine Ebene x2 = const in einem idealen Gas, in dem ein Temperaturgradient, angebbar als Ableitung von T (x2 ) vorliegt, so lässt sich die W¨ armeleitung durch die Ebene x2 = const dadurch erklären, dass Molek¨ ule in beiden Richtungen die Ebene durchqueren und hierbei Wärme” energie“ mit sich f¨ uhren. Ist (∂T /∂x2 ) > 0, so haben die Molek¨ ule, welche die Ebene von oben nach unten durchqueren, eine größere mittlere Energie als die Molek¨ ule, welche die Ebene in entgegengesetzter Richtung durchlaufen. Der W¨ armestrom durch die Ebene x2 = const lässt sich nun als Differenz der Energietransporte erl¨ autern, welche von den gegenläufigen Molek¨ ulströmen herr¨ uhren. Es lassen sich folgende Gleichungen angeben: Energiefluss in positiver x2 -Richtung: q˙2+ =

1 n¯ ue(x2 − l) 6

(3.41)

72


Hierbei ist n die Anzahl der Molek¨ ule, die pro Volumeneinheit vorliegt, u¯ die Molek¨ ulgeschwindigkeit und ( 16 n¯ u) die Molek¨ ulanzahl, die pro Flächenund Zeiteinheit die betrachtete Fl¨ ache in positiver x2 -Richtung im Mittel u ule hatten, im Mittel, zuletzt Kontakt mit anderen ¨ berquert. Diese Molek¨ Molek¨ ulen in einer Ebene, die von der betrachteten x2 -Ebene die Distanz der mittleren freien Wegl¨ ange der Molek¨ ule besitzt. Bez¨ uglich des Energieinhal” ule tes“ des Molek¨ ulstroms durch x2 = const ist zu sagen, dass die Molek¨ dort die Energie innehaben, welche an der Stelle (x2 − l) den Elementen eines idealen Gases zu eigen ist, d.h. die Energie e(x2 − l). Analog gilt f¨ ur den Energiestrom durch die Ebene x2 = const in negativer x2 -Richtung, siehe Reif [3.8]: 1 ue(x2 + l) q˙2− = − n¯ 6

(3.42)

Der W¨ armefluss ergibt sich als die Differenz der molek¨ ulbedingten Energiestr¨ ome, d.h. es gilt: q˙2 = q˙2+ − q˙2− =

1 n¯ u[e(x2 − l) − e(x2 + l)] 6

(3.43)

Durch Taylor-Reihenentwicklungen erh¨ alt man f¨ ur die ersten Glieder: ∂e 1 ∂2e 2 e(x2 − l) = e(x2 ) − (3.44) l+ l − ··· ∂x2 2 ∂x22 ∂e 1 ∂2e 2 e(x2 + l) = e(x2 ) + (3.45) l+ l + ··· ∂x2 2 ∂x22 F¨ ur die Differenz e(x2 − l) − e(x2 + l) erh¨ alt man in erster Näherung: ∂e e(x2 − l) − e(x2 + l) = −2l + ··· (3.46) ∂x2 und damit f¨ ur den W¨ armefluss: ∂e ∂e ∂T 1 1 ul ul = − n¯ q˙2 = − n¯ 3 ∂x2 3 ∂T ∂x2

(3.47)

Aus den in Abschnitt 3.3.2 angegebenen Ableitungen gilt f¨ ur die Wärme” energie“ eines Molek¨ uls: e = ek =

3 kT 2

∂e 3 = k = cv ∂T 2

(3.48)

Die Boltzmann-Konstante k ist somit als ein Maß der Wärmekapazität cv eines Molek¨ uls zu verstehen. Ber¨ ucksichtigt man wieder 1 8kT ; l= √ (3.49) u ¯= πm 2d2 πn


73

so erh¨ alt man mit (3.40) und (3.47) 1 λ= 2 d

# 3 k T π m

(3.50)

Analog zur Viskosit¨ at nimmt die W¨ armeleitf¨ ahigkeit mit steigender Tempe√ ulgr¨ o ße ab λ ∼ (1/d2 ). Sie nimmt jedoch ratur zu, λ ∼ T und mit der Molek¨ √ auch mit der Molek¨ ulmasse ab, λ ∼ (1/ m). ¨ ¨ Ahnlich den Uberlegungen zur W¨ armeleitung, bei der molek¨ ulbedingte W¨ armetransportvorg¨ ange zu Temperaturausgleichsvorgängen f¨ uhren, bewirken r¨ aumlich unterschiedliche Konzentrationen einer bestimmten Teilchensorte Konzentrationsausgleichsvorg¨ ange, die mit dem Begriff Diffusion“ be” zeichnet werden. Um solche Vorg¨ ange zu verfolgen, könnten von einer Gassorte einige Teilchen radioaktiv markiert sein. Im Gleichgewicht sind diese markierten Teilchen gleichm¨ aßig u ugung stehende Volumen ¨ ber das zur Verf¨ verteilt. Ist die Konzentration der markierten Teilchen aber ortsabhängig wobei die Gesamtzahl der Teilchen pro Volumeneinheit konstant sein soll - so stellt dieser Zustand ein Nichtgleichgewicht dar, das sich im Laufe der Zeit durch Diffusion ausgleichen wird. Erm¨ oglicht wird dieser Ausgleich durch die thermische Bewegung der Molek¨ ule. Es zeigt sich, dass zur mathematischen Beschreibung von Diffusionsvorg¨ angen die Gleichung ∂c (3.51) m ˙ 2 = −D ∂x2 verwendet werden kann, das sogenannte Ficksche Gesetz. Dabei ist m ˙ 2 der Massenstrom, der pro Zeit- und Flächeneinheit parallel zur x2 -Richtung durch eine Ebene x2 = const fließt, D die Diffusionskonstante und c die ortsabh¨ angige Konzentration der markierten Substanz. Das Minuszeichen bringt zum Ausdruck, dass sich die Teilchen vom Ort höherer Konzentration zum Ort niederer Konzentration bewegen. Analog zu den mo-

x

D x 1

}

c (x 2+ l )

2

x 1

}

D x

} l } l

x 3

3

c (x 2 - l )

Abbildung 3.11: Transport von markierten Molek¨ ulen durch eine Ebene (Prinzipskizze zur Ableitung)

74


lekulartheoretischen Betrachtungen der W¨ armeleitung f¨ uhren die untenste¨ henden Uberlegungen zu einer Ableitung der Diffusionsgleichung und zu einer Beziehung, welche die Diffusionskonstante in Molek¨ ulgrößen angibt. Wiederum gilt, dass sich der Gesamtstrom der Teilchen durch eine Ebene x2 = const als Differenz der Teilstr¨ ome in positiver bzw. negativer x2 -Richtung darstelache ∆x1 ∆x3 der betrachteten len l¨ asst. In positiver x2 -Richtung wird die Fl¨ Ebene von den Teilchen durchquert, deren Abstand nicht größer als u ¯∆t von der Ebene ist, also von 16 ∆x1 ∆x3 u ¯∆tc(x2 ) Teilchen. Betrachtet man den Teilchenstrom in positiver x2 -Richtung pro Zeit- und Fl¨ acheneinheit, so gilt, siehe Reif [3.8]: 1 u ¯c(x2 − l). (3.52) 6 Relevant ist die Teilchenkonzentration, die in der Entfernung l von der betrachteten Ebene vorliegt. Entsprechend gilt f¨ ur den Strom in negativer x2 -Richtung: 1 ¯c(x2 + l). m ˙− (3.53) 2 = − u 6 Mit den folgenden Taylorreihenentwicklungen: ∂c c(x2 − l) = c(x2 ) − l + ··· (3.54) ∂x2 ∂c c(x2 + l) = c(x2 ) + l + ··· (3.55) ∂x2 ergibt sich f¨ ur die gesuchte Gr¨ oße m ˙+ 2 =

m ˙2=m ˙+ ˙− 2 +m 2

(3.56)

1 ∂c ¯l m ˙2=− u (3.57) 3 ∂x2 Der Vergleich mit der Diffusionsgleichung zeigt, dass die Diffusionskonstante D zu 1 D= u ¯l (3.58) 3 bestimmt wurde. Setzt man wiederum 1 8kT ; l= √ , (3.59) u ¯= πm 2d2 πn so erh¨ alt man kT 2 1 . (3.60) D= 3 nd2 π 3 m Dieser Gleichung kann entnommen werden, dass die Diffusion mit der Tem√ peratur zunimmt, D ∼ T und auch mit abnehmender Molek¨ ulmasse, D ∼ √ ulgröße vor, D ∼ (1/d2 ) 1/ m. Dagegen liegt eine Abnahme mit der Molek¨ und auch mit der Dichte des Gases ρ = nm, D ∼ (1/ρ).

3.4 Viskosit¨ at von Fluiden

75

3.4 Viskosit¨ at von Fluiden Der molekular bedingte Impulstransport in str¨ omenden newtonschen Fluiden l¨ asst sich allgemein angeben:3 ∂Uj ∂Uk ∂Ui τij = −µ + . (3.61) − µ δij ∂xi ∂xj ∂xk Die auftretende Stoffgr¨ oße µ wird als dynamische Scherviskosität eines Newtonschen Mediums bzw. als der Scherviskosit¨ atskoeffizient des Fluids bezeichnet. Der zweite Koeffizient µ wird dynamischer Expansionsviskositätskoeffizient genannt und erweist sich f¨ ur ein Newtonsches Medium als wie folgt angebbar: 2 (3.62) µ = − µ, 3 wobei die Einheiten identisch sind, [µ] = [µ ]. Die dynamische Scherviskosit¨ at ist eine thermodynamische Eigenschaft des Fluids und ist somit im Allgemeinen temperatur- und druckabh¨ angig. F¨ ur ein Newtonsches Medium ∂U i erweist sich µ als unabh¨ angig von ij = 12 ∂xij + ∂U ∂xj , d.h. τij ist linear mit den in einer Str¨ omung auftretenden Geschwindigkeitsgradienten bzw. mit den lokalen Fluidelementdeformationen verbunden. Ist der Zusammenhang τij (ij ) nichtlinear, so spricht man von nichtnewtonschen Fluidviskositäten. Abb. 3.12 skizziert einige dieser m¨ oglichen nichtnewtonschen Fluideigenschaften. Fluide k¨ onnen pseudoplastisches Verhalten zeigen, d.h. mit zunehmender Scherrate neigt das Fluid zu geringeren Viskositäten. Dilatante Fluide weisen dagegen eine Erh¨ ohung der Viskosit¨ at mit Vergrößerung der Deformationsrate auf, und man bezeichnet sie deshalb als shear thickening fluids“. In dem ” Diagramm ist ein Bingham-Fluid mit eingezeichnet, das sich durch einen Grundwert von |τij | auszeichnet, ab dem es erst zu fließen beginnt. Da sich das vorliegende Buch auf die Behandlung Newtonscher Medien konzentriert, dienen die in der Abb. 3.12 angedeuteten nichtnewtonschen Fluideigenschaften nur dem Hinweis, dass es Fluide mit komplexeren Fluideigenschaften gibt als die Fluideigenschaften Newtonscher Medien, die in dem vorliegenden Buch behandelt werden. Auch f¨ ur Fl¨ ussigkeiten h¨ angt die dynamische Viskosität eines Newtonschen Fluids indirekt mit den molekularen Interaktionen zusammen und kann daher als eine thermodynamische Eigenschaft angesehen werden, die mit der Temperatur und mit dem Druck variiert. Eine komplette Theorie dieser Viskosit¨ at als Transporteigenschaft in Gasen und Fl¨ ussigkeiten befindet sich noch in der Entwicklung, wie in dem Buch von Hirschfelder et al. [3.5] nachgelesen werden kann. F¨ ur eine ganze Klasse von Fluiden kann die Funktion µ[T, p] in einer Darstellung angegeben werden, die von Kennard (1941), siehe [3.6] vorgestellt wurde, und die sich einer normierten Darstellung bedient, 3

siehe Abschnitt 5

76


t t B in g h a m

P la s tis c h

Z u n a h m e m it d e r Z e it = R h e o p e k tis c h

Z e itu n a b h ä n g ig

P se u d o p la s tis c h

D ila ta n t A b n a h m e m it d e r Z e it = T h ix o tro p is c h N e w to n is c h

e t

= D e fo rm a tio n s ra te = M o le k u la re Im p u ls ra te p ro F lä c h e n e in h e it

e

U n te rs u c h u n g e n w e rd e n u n te r k o n s ta n te r D e fo rm a tio n s ra te e d u rc h g e fü h rt

e

Abbildung 3.12: Eigenschaften Newtonscher und nichtnewtonscher Fluide

derart, dass alle Werte u ¨ ber die korrespondierenden Größen beim kritischen Zustand normiert werden, d.h. es erfolgt eine Darstellung: T P µ =f , . (3.63) µc Tc Pc Diese Darstellung ist in Abb. 3.13 gegeben. Sie zeigt auf, dass die Viskosit¨ at stets mit dem Druck zunimmt. Die Viskosität von Fl¨ ussigkeiten nimmt mit der Temperatur ab, und f¨ ur Gase, unter atmosphärischen Bedingungen, ergibt sich im allgemeinen eine Zunahme der Viskosität mit der Temperatur. F¨ ur Gase ergibt sich zudem nur eine sehr schwache Abhängigkeit der Viskosit¨ at vom Druck, der u ¨ blicherweise bei der Behandlung von gasdynamischen Betrachtungen vernachl¨ assigt wird. Zusammenfassend lässt sich aus Abb. 3.13 ableiten: – – – –

Die Viskosit¨ at von Fl¨ ussigkeiten nimmt rapide mit steigender Temperatur des Fluids ab. Die Viskosit¨ at von Gasen nimmt mit steigender Temperatur f¨ ur zumindest moderate Druckwerte zu. Die Viskosit¨ at nimmt f¨ ur alle Fl¨ ussigkeiten mit dem Druck zu. Die Druckabh¨ angigkeit der Viskosit¨ at f¨ ur Gase und Fl¨ ussigkeiten ist vernachl¨ assigbar.

Die oben zuletzt genannte Eigenschaft basiert auf dem Sachverhalt, dass f¨ ur die meisten Fluide der kritische Druck h¨ oher als 10 atm liegt und damit bei atmosph¨ arischen Dr¨ ucken die oben angegebene Bedingung sehr gut erf¨ ullt ist. Was die Theorie der Stoffeigenschaften von Gasen unter Druckbedingungen P < Pc anbetrifft, so ist diese sehr gut entwickelt und auf der Basis von

3.4 Viskosit¨ at von Fluiden

1 0 ,0

77

F lü s s ig k e its v e rh a lte n

8 ,0

m

m

c

Z u n a h m e d e r V is k o s itä t m it d e m D ru c k

m r=

5 ,0

D ic h te fü r G a se

Z w e ip h a se n g e b ie t

2 5 1 0

2 ,0 5

K ritis c h e r P u n k t

1 ,0

·

0 ,8

P r

V is k o s itä ts e rh ö h u n g fü r G a se m (T ) 3

1

0 ,5

0 ,5

2

= 0 ,2 G re n z e n ie d e re r D ic h te

0 ,2 0 ,4

0 ,6 0 ,8

1 ,0

2 ,0

T

5 ,0 r

= T

8 ,0 1 0 ,0

T c

Abbildung 3.13: Normierte Viskosit¨ at als Funktion der mit den kritischen Werten normierten Druck- und Temperaturwerte aus Bird et al. [3.1]

Maxwell (1831 - 1879) bis heute weiterentwickelt worden, siehe Hirschfelder et al. [3.6] und Present [3.3]. All diese Theorien basieren auf Vorstellungen, wie sie in Abschnitt 3.3 erl¨ autert wurden. Danach geht die gemessene dynamische Viskosit¨ at eines Fluids aus dem statistischen Mittel des molek¨ ulbedingten Transportes des Impulses der Fluidbewegung hervor. F¨ ur Gase ergibt sich f¨ ur die dynamische Viskosit¨ at: µ=

2 ρlc 3

(3.64)

Dabei ist ρ die Fluiddichte, l die mittlere freie Weglänge der Molek¨ ulbewegung und c = Schallgeschwindigkeit des Gases. F¨ ur Gase unter Normaldruck-

78


bedingungen ist ρl ≈ const. Genauere Betrachtungen zeigen jedoch, dass ρl geringf¨ ugig mit der Temperatur zunimmt. Diese Eigenschaft kann durch das sogenannte Kollisionsintegral Ωs beschrieben werden. Nach Chapman & Cowling [3.5] ergibt sich: √ 210−3 M T (3.65) µ= σ 2 Ωs In dieser Formel ist M = Molekulargewicht des Gases, T = absolute Temperatur, σ = Stoßquerschnitte der Molek¨ ule und Ωs = 1 f¨ ur nur beim Stoß interagierende Molek¨ ule. Liegen komplexere Molek¨ ulinteraktionen vor, so gilt es, Ωs nach der untenstehenden Formel zu berechnen: Ωs ≈ 1.147

T Tc

−0,145 +

T + 0, 5 Tc

−2,0 (3.66)

Tab 3.1: Angaben f¨ ur Stockmayer Stoßintegralwerte zur Viskosit¨ atsbestimmung von Gasen T ∗ = T /Tc

Ωs

Ωs Gl. (3.66)

0.3

2.840

2.928

1.0

1.593

1.591

3.0

1.039

1.060

10.0

0.8244

0.8305

30.0

0.7010

0.7015

100.0

0.5887

0.5884

400.0

0.4811

0.4811

Die aus dem Stockmayerpotential ermittelten Werte, siehe Bird et al. [3.4], sind in Tabelle 3.1 mit den Werten aus der obigen Approximationsbeziehung verglichen. F¨ ur Routineberechnungen l¨ asst sich verwenden n T µ ≈ (3.67) µ0 T0 Dabei sind µ0 und T0 korrespondierende Referenzwerte, die aus Messungen oder aus Berechnungen erhalten wurden. F¨ ur den Exponenten n ergibt sich ein Wert, der etwa bei 0, 7 liegt. Genauere Werte von n sind in Tabelle 3.2 f¨ ur verschiedene Gase enthalten.

3.5 Bilanzbetrachtungen und Erhaltungss¨ atze

79

Weitergehende Betrachtungen wurden von Sutherland angegeben, dessen Betrachtungen auf einem intermolekularen Kr¨ aftepotential mit anziehendem Anteil basierten. Die daraus resultierende Sutherland-Formel lautet: 32 T µ T0 + S (3.68) ≈ µ0 T0 T +S In dieser Beziehung ist S eine effektive Temperatur, die sogenannte Suther” land Konstante“. Diese ist in Tabelle 3.2 mit angegeben. Tab 3.2: Werte zur Berechnung der dynamischen Viskosit¨ at von Gasen nach der Sutherland-Formel (3.68) Gas

T0 µ0 n [K] [m P a ∗ s]

Fehler Temperatur[%] bereich [K]

S [K]

Temperaturbereich f¨ ur ±2% Fehler [K]

Luft

887.65 0.01716

0.666 ± 4 745.65-4548.15 521.90 648.15-4548.15

Ar

887.65 0.02125

0.72

± 3 723.15-3648.15 598.15 548.15-3648.15

CO2

887.65 0.01370

0.79

± 5 744.4 -4098.15 773.15 700.65-4098.15

CO

887.65 0.01657

0.71

± 2 790.65-3648.15 579.40 565.65-3648.15

N2

887.65 0.01663

0.67

± 3 773.15-3648.15 513.15 498.15-3648.15

O2

887.65 0.01919

0.69

± 2 790.65-4773.15 585.65 691.90-4773.15

H2

887.65 0.008411

0.68

± 2 453.15-2748.15 490.65 778.15-2748.15

1.04

± 3 903.15-3648.15 2210.65 1085.65-3648.15

Wasserdampf 1210.65 0.01703

3.5 Bilanzbetrachtungen und Erhaltungss¨ atze Bevor Detailbetrachtungen str¨ omungsmechanischer Vorgänge erfolgen, sind einige Bemerkungen zur Informationsgewinnung in der Strömungsmechanik erforderlich, insbesondere der Informationsgewinnung in der analytischen Str¨ omungsmechanik, die in diesem Buch vorrangig behandelt wird. Ausgehend von Erhaltungss¨ atzen, setzt die analytische Strömungsmechanik deduktive Methoden ein, um anstehende Probleme zu lösen, d.h. um Aussagen u ¨ ber vorliegende Str¨ omungsprobleme machen zu k¨ onnen. Hierbei bedient man sich abgeleiteter Beziehungen, die auf Bilanzbetrachtungen aufbauen, wie sie dem Leser aus anderen Gebieten der Natur- und Ingenieurwissenschaften oder ¨ auch aus allt¨ aglichen Uberlegungen bekannt sind. In vielen Bereichen des t¨ aglichen Lebens gewinnt man, ausgehend von intuitivem Wissen u ¨ ber die

80


Existenz von Erhaltungss¨ atzen, aus Bilanzbetrachtungen n¨ utzliche Informationen, die man u ¨ ber definierte Gebiete, Bereiche, Zeiten, etc. anstellt, inner¨ halb derer interessierende Gr¨ oßen Variationen erfahren. Wie die Anderungen im Detail erfolgen, ist oftmals nicht von Interesse, sondern es interessieren nur die Anfangs- und Endzust¨ ande“ der betrachteten Größen. Diese ändern ” sich infolge von Zu- und Abfl¨ ussen“, und es lassen sich Beziehungen zwischen ” ¨ Anderungen innerhalb der betrachteten Gebiete, Bereiche und Zeiträume und den erfolgenden Zu- und Abfl¨ ussen“ angeben. So stellt man z.B. Betrach” tungen u ogensverh¨ altnisse an, indem man Bilanzen u ¨ ber Verm¨ ¨ ber Einnahmen und Ausgaben aufstellt, um u ¨ber diese Informationen Aussagen u ¨ ber den Verlauf der finanziellen Lage von Betrieben bzw. Personen zu gewinnen. Es ließen sich noch viele Beispiele dieser Art angeben, welche die Bedeutung von Bilanzen zur Informationsgewinnung im t¨ aglichen Leben verdeutlichen. Das Aufstellen von Bilanzen u oßen wie z.B. Masse, Impuls, Ener¨ ber Gr¨ gie, etc. finden wir in fast allen Bereichen der Natur- und Ingenieurwissen¨ schaften. Uber diese Bilanzen werden, mit Hilfe vorliegender Erhaltungssätze, Grundgleichungen aufgestellt, deren L¨ osung zu den gew¨ unschten Informationen u oßen, bei vorgegebenen Anfangs- und Randbedingungen, f¨ uhrt. ¨ ber Gr¨ Um eindeutige Ergebnisse zu erhalten, m¨ ussen die Bilanzbetrachtungen nicht nur auf g¨ ultigen Erhaltungss¨ atzen aufbauen (Massenerhaltung, Energieerhaltung, Impulserhaltung, etc.), sondern auch auf eindeutig spezifizierte Gebiete angewandt werden. Das Gebiet bzw. der Bereich, u ¨ ber den Bilanzen aufgestellt werden, muss genau definiert sein, um die Eindeutigkeit der abgeleiteten Grundgesetze zu gew¨ ahrleisten. Eine Beziehung, die durch Betrachtungen eines Bereiches abgeleitet wurde, ist im allgemeinen nicht anwendbar wenn Bereichs¨ anderungen stattgefunden haben und diese in die Beziehungen nicht eingearbeitet wurden. Die Str¨ omungsmechanik baut auf den Grundgesetzen der Mechanik und der Thermodynamik auf, und verwendet in den Ableitungen zudem Zustandsgleichungen, um Zusammenh¨ ange zwischen den Zustandsgrößen des Str¨ omungsfluids zu beschreiben. Diese Zustandsgrößen variieren im Laufe der Zeit bzw. ¨ andern sich im Raum, doch erfolgen die Zustandsänderun¨ gen in Ubereinstimmung mit den entsprechenden Zustandsgleichungen unter Einhaltung der Erhaltungss¨ atze. Zur Ableitung der strömungsmechanischen Grundgleichungen stehen folgende physikalischen Grundgesetze zur Verf¨ ugung: – – – – –

Massenerhaltungsgesetz Impulserhaltungsgesetz Energieerhaltungsgesetz Erhaltungsgesetze f¨ ur chemische Spezies Zustandsgleichungen

3.5 Bilanzbetrachtungen und Erhaltungss¨ atze

81

Die oben aufgef¨ uhrten Grundgesetze lassen sich nun auf verschiedene Bi” lanzbereiche“ anwenden. Dabei ist die Gr¨ oße des Bilanzraumes im allgemeinen unwichtig, und es k¨ onnen infinitesimal kleine Bilanzbereiche herangezogen werden (Differentialbetrachtungen) oder endliche Volumina (Integralbetrachtungen). Des Weiteren k¨ onnen die Bereiche in verschiedenen Koordinatensystemen liegen und selbst Eigenbewegungen ausf¨ uhren (Lagrangesche und Eulersche Betrachtungsweise). Im allgemeinen ist es u ¨ blich, einen einmal gew¨ ahlten Bilanzbereich beizubehalten, doch ist dies nicht unabwendbar not¨ wendig. Anderungen k¨ onnen zugelassen werden, solange diese bekannt sind und in den durchzuf¨ uhrenden Betrachtungen ber¨ ucksichtigt werden können. In der Str¨ omungsmechanik macht man im allgemeinen nur bei integralen Betrachtungen, d.h. bei der Aufstellung von Bilanzen u ¨ ber große Bilanzräume von der M¨ oglichkeit Gebrauch, diese Bilanzen u ¨ ber verschiedene, möglichst g¨ unstige Bereiche aufzustellen. Bei differentiellen Betrachtungen findet man ¨ im allgemeinen nur Uberlegungen zu Bilanzen mit bewegten Fl¨ ussigkeitselementen (Lagrangesche Betrachtungsweise) oder raumfesten Elementen (Eulersche Betrachtungsweise). Beide sind streng zu unterscheiden, und Bilanzen sollten stets nur f¨ ur den Lagrangeschen Bilanzraum und den Eulerschen Bilanzraum getrennt angestellt werden. Gemischte Betrachtungen f¨ uhren im allgemeinen zu Fehlern, doch sind Transformationen der Endgleichungen m¨ oglich. So ist es in der Str¨ omungsmechanik u ur ein Fluidelement ¨ blich, die f¨ abgeleiteten Bilanzbeziehungen auf raumfeste Koordinatensysteme zu transformieren und dadurch Bilanzbeziehungen f¨ ur konstante Volumina zu erhalten. Die Zusammenh¨ ange zwischen Betrachtungen in bewegten Fluidelementen und raumfesten Koordinatensystemen werden angegeben und die f¨ ur die Transformation erforderlichen Gleichungen abgeleitet. Besonderer Wert wird hierbei auf das physikalische Verst¨ andnis der prinzipiellen Zusammenhänge gelegt, so dass Vor- und Nachteile der verschiedenen Betrachtungsweisen klar werden. Die Vorteile der Eulerschen Form“ der Grundgleichungen werden ” im Hinblick auf die f¨ ur L¨ osungen aufzupr¨ agenden Randbedingungen herausgestellt. Dagegen erlauben die Lagrangeschen Betrachtungen, physikalisches Wissen u orper auf strömungsmechanische Be¨ber die Mechanik bewegter K¨ trachtungen zu u ¨bertragen. Gibt man die Grundgleichungen in Lagrangeschen Variablen an, so ergeben sich f¨ ur ein Fluidelement folgende Gleichungen: 1 • Massenerhaltung :

d(δm) =0 dt

• 2. Newtonsches Gesetz :

d [(δm) (Uj ) ] = (Mj ) + (∆I˙j ) + (Oj ) dt

1

Die Ableitung dieser Gleichungen erfolgt in Abschnitt 5. Sie werden hier vorab angegeben, um physikalische Grundkenntnisse zu erl¨ autern, die aus der Physik u ¨ bernommen werden.

82


• Energieerhaltung :

1 d(δV ) d d (e) = (q) ˙ − P + φdiss dt dt δV dt

• Zustandsgleichungen : e = f (P , T ) und P = f (ρ , T ) Die obigen zusammenfassenden Darstellungen machen deutlich, dass generell in str¨ omungsmechanische Betrachtungen auch Gesetzmäßigkeiten eingehen, die u ¨blicherweise in der Thermodynamik behandelt werden, z.B. die Energiegleichung (1. Hauptsatz der Thermodynamik) und Zustandsgleichungen von Fl¨ ussigkeiten und Gasen. Wie in Kapitel 5 gezeigt wird, lassen sich die obigen Gleichungen auch in Feldgr¨ oßen ausdr¨ ucken, derart, dass der untenstehende Satz von Differentialgleichungen f¨ ur die Dichte ρ, den Druck P , die Temperatur T , die innere Energie e und die drei Geschwindigkeitskomponenten Uj (j = 1, 2, 3) erhalten wird:2 ∂ρ ∂(ρUi ) =0 + ∂t ∂xi ∂Uj ∂P ∂τij ∂Uj • 2. Newtonsches Gesetz : ρ =− − + ρgj + Ui ∂t ∂xi ∂xj ∂xi 2 ∂Ui ∂Uj ∂Uk + µδij mit τij = −µ + ∂xi ∂xj 3 ∂xk

• Massenerhaltung :

• Energieerhaltung : mit

ρ

∂e ∂e ∂Uj ∂Uj ∂qi + Ui −P − τij =− ∂t ∂xi ∂xi ∂xj ∂xi

q˙i = −λ

∂T ∂xi

• Zustandsgleichungen : e = f (P, T ) und P = f (ρ, T ) Es liegen somit 7 Differentialgleichungen vor, wenn man τij und q˙i in die jeweils zuvorstehenden Gleichungen einsetzt, f¨ ur insgesamt 7 Unbekannte. Damit ist obenstehend ein geschlossenes System von Differentialgleichungen gegeben, das f¨ ur vorgegebene Anfangs- und Randbedingungen im Prinzip gel¨ ost werden kann. Aber Str¨ omungen unterliegen diesen Gesetzen und es sind somit die jeweiligen Anfangs- und Randbedingungen, die ein gegebenes Str¨ omungsproblem definieren, d.h. die physikalischen Grundgesetze sind f¨ ur alle Str¨ omungsprobleme identisch. Sie umfassen allerdings auch Erhaltungsund Zustandsgleichungen, die u ¨ blicherweise in der Thermodynamik behandelt werden, so dass Wiederholungen thermodynamischer Grundlagen angebracht sind, wie sie in Kapitel 3.6 zusammengefasst sind. 2

siehe Fußnote Abschnitt 5

3.6 Thermodynamische Betrachtungen

83

3.6 Thermodynamische Betrachtungen Die zur L¨ osung von Str¨ omungsproblemen oftmals mit herangezogenen thermodynamischen Zustandsgleichungen von Fluiden sind in dem vorliegenden Lehrbuch nur f¨ ur einfache Fluide“ interessant, d.h. f¨ ur homogene Fl¨ ussig” keiten und Gase, f¨ ur die sich deren thermodynamischer Zustand durch eine Beziehung zwischen Druck, Temperatur und Dichte angeben lässt. Die Angaben sind sowohl f¨ ur substantielle wie auch f¨ ur Feldgrößen möglich, d.h. es gilt: (3.69) P = f (T , ρ ) bzw. P = f (T, ρ) Als thermodynamische Zustandsgleichungen sind bekannt: P = RT ρ

(thermodynamisch ideales Gas)

ρ = const

(thermodynamisch ideale Fl¨ ussigkeit)

Bezeichnet man mit α = P , T , ρ , e , ... und mit α = P, T, ρ, e, ..., so gilt die nachfolgende Beziehung, wenn sich das Fluidelement zur Zeit t an der Stelle xi befindet, siehe Kap. 2.6: α (t) = α(xi , t) ;

∂α ∂α dα Dα = + Ui . = dt ∂t ∂xi Dt

(3.70)

¨ Der zweite Teil der Gleichung (3.70) gibt an, wie sich zeitliche Anderungen substantieller, thermodynamischer Gr¨ oßen aus der substantiellen Ableitung der entsprechenden Feldgr¨ oße berechnen lassen. Neben den oben eingef¨ uhrten thermodynamischen Zustandsgrößen P , T , ρ , e , ... lassen sich andere Zustandsgrößen definieren, deren ¨ Einf¨ uhrung bei bestimmten thermodynamischen Uberlegungen mit Vorteilen verbunden ist. Einige davon sind: • spezifisches Volumen : υ = 1/ρ • Enthalpie :

h = e + P υ

• freie Energie :

f = e − T s (Helmholtzsches Potential)

• freie Enthalpie :

g = h − T s (Gibbsches Potential)

Danach ist es m¨ oglich, zul¨ assige mathematische Operatoren zur Anwendung zu bringen, um neue“ thermodynamische Größen zu definieren. Ihre ” Einf¨ uhrung macht jedoch nur Sinn, wenn durch die Einf¨ uhrung in den mit den ¨ neuen Gr¨ oßen durchzuf¨ uhrenden thermodynamischen Uberlegungen Vorteile resultieren. In einigen der obigen Definitionen f¨ ur thermodynamische Potentiale wurde die Entropie verwendet, deren Definition durch eine Differentialbeziehung gegeben ist:

84


T ds = de + P dυ Integriert erh¨ alt man:

"

s = s()0 +

e

(e )0

(Gibbssche Relation)

1 de + T

"

υ

(υ )0

(3.71)

P dυ . T

(3.72)

Die obigen Beziehungen (3.71) und (3.72) k¨ onnen als identische Definitionsgleichungen f¨ ur die Entropie s eines Fluidelements verstanden werden. Unter Anwendung der Beziehung (3.70) erh¨ alt man mit ds Ds = dt Dt

de De = dt Dt

dυ ∂Ui = υ dt ∂xi

4

(3.73)

die folgende Beziehung: T

de ds dυ = + P dt dt dt

;

T

Ds De 1 ∂Ui = +P Dt Dt ρ ∂xi

oder umgeschrieben: ∂s ∂e ∂s ∂e P ∂Ui T + Ui + Ui = + . ∂t ∂xi ∂t ∂xi ρ ∂xi

(3.74)

(3.75)

Wendet man die Massenerhaltungsgleichung aus dem Satz von Differentialgleichungen (3.69) an, so l¨ asst sich (3.74) weiter umformen: ∂Ui 1 Dρ =− aus Massenerhaltungsgleichung (3.76) ∂xi ρ Dt in (3.74) eingesetzt ergibt: T

De P Dρ Ds = − 2 Dt Dt ρ Dt

(3.77)

Aus dieser Beziehung lassen sich weitere f¨ ur strömungsmechanische Betrachtungen wichtige Beziehungen ableiten, z.B. f¨ ur s = const: De P Dρ (3.78) = 2 Dt s ρ Dt F¨ ur ρ = const bzw. v = const gilt: Ds De T = Dt ρ Dt ρ Ferner gilt f¨ ur e = const: Ds P Dρ T =− 2 Dt e ρ Dt e

(3.79)

;

P = −T ρ2

∂s ∂ρ

(3.80) e

An weiteren wichtigen aus der Thermodynamik bekannten Beziehungen werden nachfolgend ben¨ otigt: 4

zur Ableitung dieser Gleichung siehe Kap. 2.6


–

–

–

–

spez. W¨ armekapazit¨ at eines Fluids bei konstantem Volumen ∂e ∂s = T cv = ∂T v ∂T v spez. W¨ armekapazit¨ at eines Fluids bei konstantem Druck ∂h ∂s = T cp = ∂T P ∂T P wobei h = e + P v . isothermer Kompressibilit¨ atskoeffizient ∂v ∂ρ 1 1 = α=− v ∂P T ρ ∂P T thermischer Expansionskoeffizient ∂ρ 1 1 ∂v =− β= v ∂T P ρ ∂T P

Beachtet man, dass folgende Beziehung gilt: ∂ρ ∂ρ dT + dP dρ = ∂T P ∂P T

85

(3.81)

(3.82)

(3.83)

(3.84)

(3.85)

so l¨ asst sich f¨ ur alle Fluide, unter Hinzunahme von (3.83) und (3.84), folgende Beziehung angeben: 1 dρ = αdP − βdT (3.86) ρ oder umgeschrieben in Feldgr¨ oßen: DP DT 1 Dρ =α −β . ρ Dt Dt Dt

(3.87)

Diese Beziehung erlaubt die Aussage, dass alle Fluide konstanter Dichte, d.h. Fluide mit der Eigenschaft ρ = const bzw. (Dρ/Dt) = 0, als inkompressibel bezeichnet werden k¨ onnen. Sie reagieren weder auf Druckeinfl¨ usse (α = 0) noch auf Temperatureinfl¨ usse (β = 0) mit Volumen- bzw. Dichteänderungen. F¨ ur beliebige Fluide ergibt sich f¨ ur die Differenz der Wärmekapazitäten: ∂P ∂P ∂v T T β 2 =− β = T . (3.88) (cp − cv ) = ρ α ρ ∂T ρ ∂T ρ ∂T P Die obigen allgemeinen Beziehungen k¨ onnen nun angewandt werden, um die speziellen Beziehungen abzuleiten, die f¨ ur die zwei thermodynamisch idealen

86


Fluide gelten, die in diesem Lehrbuch besondere Beachtung finden, nämlich das ideale Gas und die ideale Fl¨ ussigkeit. F¨ ur ein ideales Gas gilt: P = RT ρ

bzw. auch

P =RT ρ

(3.89)

und zudem auch: (∂e /∂v )T = (∂e /∂P )T = 0 und cv = const, d.h. die innere Energie eines idealen Gases ist eine reine Funktion der Temperatur. F¨ ur den isothermen Kompressibilit¨ atskoeffizienten α und den thermischen Expansionskoeffizienten β ergibt sich: 1 1 1 1 ∂ρ = = α= ρ ∂P T ρ RT P ∂ρ P 1 1 1 − = β=− =− 2 ρ ∂T P ρ RT T und damit f¨ ur die Differenz der spezifischen Wärmekapazitäten: cp − cv =

T 1 P P = = R. ρ T2 ρ T

(3.90)

Des Weiteren l¨ asst sich f¨ ur die Dichte¨ anderung eines idealen Gases angeben: dρ dP dT = − . ρ P T

(3.91)

Als ein weiteres wichtiges Fluid f¨ uhren wir die thermodynamisch ideale Fl¨ ussigkeit ein, die sich durch α = 0 und β = 0 auszeichnet, d.h. durch dρ =0 ρ

(Fluid konstanter Dichte)

F¨ ur die Differenz der W¨ armekapazit¨ aten errechnet sich f¨ ur (3.88): ∂P T cp − cv = − β bei β = 0 ; cp = cv . ρ ∂T ρ

(3.92)

(3.93)

Zieht man die Gibbssche Relation (3.71) heran, so ergibt diese f¨ ur dρ = 0 bzw. dv = 0: ∂s 1 = . (3.94) ∂e ρ T Wegen s = s (ρ ) wird der Druck in einer idealen Fl¨ ussigkeit nicht als thermodynamische Gr¨ oße ber¨ ucksichtigt. Er existiert als mechanische Größe, ist aber f¨ ur ein ideales Fluid nicht Bestandteil einer thermodynamischen Zustandsgleichung. Eine weitere physikalische Eigenschaft eines Fluides, der bei der Behandlung einiger der in diesem Buch vorgestellten Strömungsprobleme Bedeutung


87

zukommt, ist die Ausbreitungsgeschwindigkeit kleiner Druckstörungen, die sogenannte Schallgeschwindigkeit: ∂P c2 = . (3.95) ∂ρ s Diese Gr¨ oße ist als Druck¨ anderung infolge auftretender Dichteänderungen definiert, wobei die Entropie konstant gehalten wird, d.h. die Ausbreitung kleiner akustischer St¨ orungen erfolgt isentrop. Beachtet man die folgende Beziehung f¨ ur die aufgef¨ uhrte Folge partieller Ableitungen ∂e ∂s ∂T (3.96) 1= ∂e ρ ∂s ρ ∂T ρ und ber¨ ucksichtigt man T =

∂e ∂s

cv = ρ

so gilt:

cv = T

∂s ∂T

∂e ∂T

(3.97) ρ

.

(3.98)

ρ

Beachtet man die Maxwell-Beziehung ∂T 1 ∂P = 2 ∂ρ s ρ ∂s ρ und zudem

∂ρ ∂s

=

−ρ2

T

∂T ∂P

(3.99)

(3.100) ρ

so l¨ asst sich angeben: ∂s ∂T ∂ρ = −1 ∂T ρ ∂ρ s ∂s T und gleichzeitig f¨ ur die Gr¨ oße cv ∂ρ ∂s cv = −T . ∂T s ∂ρ T

(3.101)

(3.102)

¨ Ahnlich l¨ asst sich ableiten: cP = −T

∂P ∂T

s

∂s ∂P

. T

F¨ ur das Verh¨ altnis der W¨ armekapazit¨ aten l¨ asst sich angeben

(3.103)

88


∂s ∂P ∂T s ∂P T ∂P ∂ρ cP κ= = = . ∂ρ ∂s cv ∂ρ s ∂P T ∂T s ∂ρ T

(3.104)

Unter Ber¨ ucksichtigung der Definitionsgleichungen f¨ ur die Schallgeschwindigkeit und f¨ ur die isothermen Kompressibilit¨ atskoeffizienten erhält man: ∂P κ c2 = κ . (3.105) = ∂ρ T ρ α F¨ ur das ideale Gas mit α = Gasgleichung:

1 P

ergibt sich unter Ber¨ ucksichtigung der idealen (3.106) c = κR T .

F¨ ur eine ideale Fl¨ ussigkeit mit α → 0 gilt: c→∞

(3.107)

d.h. f¨ ur ein Fluid mit konstanter Dichte ergibt sich eine unendlich große Schallgeschwindigkeit. Es gibt viele Anwendungsgebiete der Str¨ omungsmechanik in denen thermodynamische und str¨ omungsmechanische Kenntnisse erforderlich sind. Dieses Gebiet ist vor allem das Gebiet der Thermofluiddynamik, ein Gebiet, das sich mit kombinierten Impuls- und Wärme¨ ubertragungsproblemen besch¨ aftigt. In diesem Gebiet ist es unerlässlich, dass Studenten der Str¨ omungsmechanik gute Kenntnisse der Thermodynamik besitzen. Deshalb ist es erforderlich, Teilgebiete der Thermodynamik in der Strömungsmechanik zu wiederholen. Die obige Zusammenfassung wichtiger thermodynamischer Beziehungen dient der Auffrischung der thermodynamischen Kenntnisse der Studenten der Str¨ omungsmechanik.

3.7 Literaturverzeichnis 3.1 Sutherland W (1905) Phil. Mag., 9, 781-785 3.2 Kennard EH (1938) Kinetic Theory of Gases, McGraw-Hill, New York 3.3 Present RD (1958) Kinetic Theory of Gases. McGraw-Hill Book Company, New York 3.4 Bird RB, Stewart WE, Lightfoot EN (1960) Transport Phenomena. John Wiley & Sons Inc., New York 3.5 Chapman S, Cowling TG (1960) The Mathematical Theory of Nonuniform Gases. Cambridge at the University Press 3.6 Hirschfelder JO, Curtiss CF, Bird RB (1963) Molecular Theory of Gases and Liquids. John Wiley & Sons, New York

3.7 Literaturverzeichnis

89

3.7 Bosnjakovic F (1965) Technische Thermodynamik. Theodor Steinkopf Verlag, Dresden 3.8 Reif F (1976) Physikalische Statistik und Physik der Wärme. Walter De Gruyter & Co., Berlin 3.9 H¨ ofling O (1994) Physik: Lehrbuch f¨ ur Unterricht und Selbststudium. D¨ ummler Verlag, Bonn

4 Grundlagen der Str¨ omungskinematik

4.1 Allgemeine Betrachtungen Die vorausgegangenen Kapitel befaßten sich mit den f¨ ur die Strömungsmechanik wichtigsten Grundkenntnissen der Mathematik und der Physik. Diese Kenntnisse werden ben¨ otigt, um Str¨ omungsvorgänge zu beschreiben und um die Grundgleichungen der Str¨ omungsmechanik abzuleiten bzw. diese heranzuziehen, um Str¨ omungsprobleme zu l¨ osen. Dabei ist es wichtig zu wissen, daß die Str¨ omungsmechanik prim¨ ar an dem sich, f¨ ur vorgegebene Anfangsund Randbedingungen, einstellenden Geschwindigkeitsfeld Uj (xi , t) interessiert ist und an dem zugeh¨ origen Druckfeld P (xi , t), d.h. die Strömungsmechanik bem¨ uht sich gr¨ oßtenteils um eine Darstellung strömungsmechanischer Vorg¨ ange in Feldgr¨ oßen. Diese Darstellung resultiert in der Eu” lerschen Betrachtungsweise“ von Str¨ omungsvorgängen. Diese ist am besten f¨ ur die L¨ osung von Str¨ omungsproblemen geeignet und findet somit in der experimentellen, analytischen und numerischen Strömungsmechanik Anwendung. Durch das Einf¨ uhren von Feldgr¨ oßen f¨ ur die thermodynamischen Eigenschaften eines Fluids, wie z.B. den Druck P (xi , t), die Temperatur T (xi , t), die Dichte ρ(xi , t), die innere Energie e(xi , t) sowie auch f¨ ur die molekularen Transportgr¨ oßen, wie die dynamische Viskosität µ(xi , t), die Wärmeleitf¨ ahigkeit λ(xi , t) und den Diffusionskoeffizienten D(xi , t) gelingt eine geschlossene mathematische Darstellung der Strömungsmechanik. Unter Hinzunahme diffusiver Transportgr¨ oßen, d.h. dem molekularen Wärmetransport ˙ i (xi , t) und dem molekularen q˙i (xi , t), dem molekularen Massentransport m ur Masse, Impuls Impulstransport τij (xi , t) kann man die Erhaltungssätze f¨ und Energie allgemein anwendbar formulieren. Die Grundgleichungen der Str¨ omungsmechanik sind, wie in Kapitel 5 gezeigt, lokal formulierbar und gelten f¨ ur alle Str¨ omungsprobleme in gleicher Form. Die Unterschiede in den L¨ osungen resultieren aus den unterschiedlichen Anfangs- und Randbedingungen, welche die eigentlichen Str¨ omungsprobleme definieren und die durch die Integration lokal formulierter Grundgleichungen in die Lösungen eingehen. Die Erfahrung zeigt, dass die Ableitung der strömungsmechanischen Grundgesetze am einfachsten dadurch gelingt, dass man Betrachtungen an Fluidelementen durchf¨ uhrt, d.h. die Lagrangesche Betrachtungsweise“ f¨ ur ” die Ableitung der Gleichungen heranzieht. Die Lagrangesche Betrachtungs”

92


weise“ geht davon aus, dass ein Fluid zu einem festen Zeitpunkt t = 0, in markierte Elemente“ mit der Masse δm , dem Druck P , der Temperatur ” T , der Dichte ρ , der inneren Energie e etc. aufgeteilt werden kann. Das Element mit dem Index besitzt auch eine Geschwindigkeit (Uj ) , die als Lagrange-Geschwindigkeit bezeichnet wird und die stets mit dem einmal mit

markierten Fluidelement verbunden ist, wie auch mit allen anderen mit

indizierten Gr¨ oßen. In der Str¨ omungsmechanik werden diese auch als substantielle Gr¨ oßen bezeichnet und stets herangezogen, um leicht verständlich die Grundgesetze der Str¨ omungsmechanik abzuleiten. Wie die nachfolgenden Betrachtungen zeigen, l¨ asst sich das in der Physik erhaltene Grundwissen der Mechanik am einfachsten in die Str¨ omungsmechanik u uhren, wenn ¨ berf¨ es gelingt, durch Lagrangesche Betrachtungen, die Grundgleichungen u ¨ ber Betrachtungen an Fluidelementen einzuf¨ uhren.

4.2 Substantielle Ableitungen Bezeichnet man mit α allgemein eine substantielle Größe, so interessiert bei der Ableitung der str¨ omungsmechanischen Grundgesetze oftmals das totale Differential: ∂α ∂α ∂α ∂α dt + (dx1 ) + (dx2 ) + (dx3 ) (4.1) ∂t ∂x1 ∂x2 ∂x3 Die Fluidelementbewegung im Raum l¨ asst sich wie folgt beschreiben: dα =

(dx1 ) = (U1 ) dt = U1 dt (dx2 ) = (U2 ) dt = U2 dt (dx3 ) = (U3 ) dt = U3 dt

(4.2)

¨ Der Ubergang von substationellen Geschwindigkeiten (Ui ) zu der Feldgr¨ oße Ui in Gleichung (4.2) ist zul¨ assig, da zum Zeitpunkt t gilt (xi ) = xi und damit (Uj ) (t) = Uj (xi , t). Damit gilt allgemein: x 2

F lu id e le m e n t z u r Z e it t

F lu id e le m e n t z u r Z e it t + d t x

x

1

3

Abbildung 4.1: Bewegung eines Fluidelements im Raum im Zeitintervall dt

4.3 Bewegung von Fluidelementen

dα =

∂α ∂α ∂α ∂α dt + U1 dt + U2 dt + U3 dt ∂t ∂x1 ∂x2 ∂x3

93

(4.3)

bzw. f¨ ur die substantielle Ableitung nach der Zeit mit α (t) = α(xi , t) wenn x = xi zur Zeit t gilt: Dα ∂α ∂α dα =: = + Ui dt ∂t ∂xi Dt

(4.4)

Dabei ist (Dα/Dt) die substantielle Ableitung der Feldgröße α(xi , t) nach der Zeit und der Operator: D ∂ ∂ := + Ui (4.5) Dt ∂t ∂xi gibt an, wie die substantielle Ableitung f¨ ur eine Feldgröße zu ermitteln ist. Der Operator D/Dt darf nur auf Feldgr¨ oßen angewandt werden. Wendet man D/Dt auf das Geschwindigkeitsfeld Uj (xi , t) an, so resultiert die substantielle Beschleunigung, d.h. die lokale Beschleunigung, die ein Fluidelement in einem Str¨ omungsfeld an dem Ort erf¨ ahrt, an dem Uj (xi , t) vorliegt. ∂Uj ∂Uj DUj = + Ui Dt ∂t ∂xi

(4.6)

Die substantielle Ableitung spielt bei der Herleitung der Impulsgleichung der Str¨ omungsmechanik in Eulerschen Variablen eine wichtige Rolle. Im Beschleunigungsterm in Eulerschen Gr¨ oßen treten pro Impulsrichtung, d. h. j = 1, 2, 3, vier partielle Ableitungsterme auf, einer nach der Zeit und drei nach den Raumkoordinaten x1 , x2 und x3 wobei die räumlichen Ableitungen (∂Uj /∂xi ) mit Ui multipliziert in der substantiellen Beschleunigung auftreten. Diese nichtlinearen Terme in den resultierenden Impulsgleichungen f¨ uhren zu den oftmal heraus gestellten mathematischen Problemen bei der L¨ osung von Str¨ omungsproblemen. Sie verhindern die Anwendung des Superpositionsprinzips von L¨ osungen, resultieren in Lösungsbifurkationen, d. h. in Mehrfachl¨ osungen f¨ ur Str¨ omungsprobleme f¨ ur gleiche Anfangs- und Randbedingungen und in korrelierten Geschwindigkeitsfluktuationen, z. B. in turbulenten Str¨ omungen. Der Behandlung dieser nichtlinearen Terme wird in diesem Buch eine besondere Beachtung geschenkt. Es ist wichtig, dass ihre Bedeutung als Teil des Beschleunigungsterms von Fluidelementen im De¨ tail verstanden wird. Es sind nicht nur die zeitlichen Anderungen des Geschwindigkeitsfeldes, die zu Beschleunigungen von Fluidelementen f¨ uhren, sondern auch die Bewegung des Fluidelements in einem nicht gleichförmigen Geschwindigkeitsfeld.

4.3 Bewegung von Fluidelementen Str¨ omungskinematik ist ein weites Gebiet und eine umfassende Behandlung u uhrung in verschiede¨ bersteigt den Rahmen dieses Buches, das nur eine Einf¨ ne Teilgebiete der Str¨ omungsmechanik, so auch in die Strömungskinematik,

94


geben soll. Zu einer solchen Einf¨ uhrung geh¨ ort die Behandlung von Bahnlinien von Teilchen, d.h. die Berechnung der Raumkurven entlang derer sich markierte Fluidelemente in einer Str¨ omung bewegen. Ferner ist die Berechnung von Streichlinien zu behandeln, d.h. die markierte Bahn“ zu berechnen, ” die ein ortsfest injizierter Tracer in einem Str¨ omungsfeld hinterlässt. Beides, die Berechnung von Bahnlinien und von Streichlinien, ist f¨ ur die gesamte experimentelle Str¨ omungsmechanik von Bedeutung, wo oftmals versucht wird, durch Beobachtungen bzw. auch durch quantitative Messungen der zeitlichen Lage¨ anderungen von Str¨ omungsmarkierungen“ einen Einblick in den ” Ablauf von Str¨ omungen zu erhalten. Die Grundlagen zur Auswertung solcher Messungen sind in dem vorliegenden Kapitel aufgef¨ uhrt. 4.3.1 Bahnlinien von Fluidelementen Unterteilt man zum Zeitpunkt t = 0 den gesamten interessierenden Bereich eines str¨ omenden Fluids in Fluidelemente und gibt man die Raumkoordinaten der Massenschwerpunkte der einzelnen Elemente in einem Koordinatensystem zum Zeitpunkt t = 0 an, so erh¨ alt man ein markiertes Fluidgebiet derart, dass einem Fluidteilchen der Lagevektor: {xi },0 = {xi (t = 0)}

(4.7)

zugeordnet ist. Jedes der durch die Unterteilung entstandenen, markierten und f¨ ur −∞ < t < +∞ sich bewegenden Fluidteilchen wird als ein Fluidelement mit der Masse δm bezeichnet, das seine Identitität f¨ ur alle Zeiten 0 ≤ t < ∞ beibeh¨ alt. Bei kinematischen Betrachtungen interessieren nun die Bewegungen der einzelnen Fluidelemente. Diese Betrachtungen resultieren f¨ ur jedes der Fluidelemente in einer separaten, f¨ ur das markierte Element charakteristischen Bahnlinie. Die Berechnung dieser Bahnlinien soll nachfolgend erläutert werden. Hierbei soll davon ausgegangen werden, dass das die Fluidelementbewegungen bestimmende Str¨ omungsfeld bekannt ist. Da die Geschwindigkeit eines Fluidelements nur zeitabhängig ist, d. h. {x1 } = f (t) folgt aus d{xi } /dt = {Ui } , dass als Bahnlinie eines Fluidelements die Ortskurve: " t {xi (t)} = {xi },0 + {Ui (t )} dt (4.8) 0

zu verstehen ist. Der so f¨ ur jeden Zeitpunkt t definierte Ortsvektor enthält als Parameter den zum Zeitpunkt t = 0 festgelegten Lagevektor des Teilchens at {Ui } = {Ui } in die Betrachtungen

, d.h. {xi },0 . Es kann nun die Identit¨ eingef¨ uhrt werden, d.h. es gilt zu einem bestimmten Zeitpunkt t: d{xi } = {Ui } = {Ui } dt

(4.9)


95

Das Gleichheitszeichen zwischen der substantiellen Geschwindigkeit {Ui } und {Ui } deutet an, dass die zum Zeitpunkt t vorliegende Identität {xi } = {xi } die Gleichsetzung der substantiellen Geschwindigkeit {Ui } mit der ur die Komponenten {xi } der TeilchenbeweFeldgr¨ oße {Ui } berechtigt. F¨ gung gilt somit: d{xi } = {Ui } dt

oder

d(xi ) = Ui dt

(4.10)

Diese Differentialgleichungen m¨ ussen f¨ ur i = 1, 2, 3 zur Bestimmung der Bahnlinien von Fluidelementen gel¨ ost werden. Der Differentialquotient in der Beziehung (4.10) gibt an, dass als L¨ osung der obigen Differentialgleichung die Bahnlinie eines Fluidelements erhalten wird, dessen Lage zur Zeit t = 0 mit {xi },0 festgelegt wurde. Die generelle Vorgehensweise bei der Bestimmung von Bahnlinien soll durch das unten aufgef¨ uhrte Beispiel erl¨ autert und verdeutlicht werden. Gegeben seien die Komponenten des Str¨ omungsgeschwindigkeitsfeldes: U1 = x1 (1 + t),

U2 = −x2

und

U3 = −x3 t

(4.11)

Setzt man diese Angaben u ¨ ber das Geschwindigkeitsfeld in die oben angegebenen Differentialgleichungen f¨ ur die Bahnlinie eines Fluidelements ein, so erh¨ alt man: d(x1 ) = x1 (1 + t), dt

d(x2 ) = −x2 , dt

und

d(x3 ) = −x3 t. dt

(4.12)

Dieser Satz von Differentialgleichungen l¨ asst sich nun lösen und resultiert in folgenden, f¨ ur die Bahnlinien aller Fluidelemente geltenden Lösungen: t2 (x1 (t)) = C1 exp t + , 2 (4.13) (x2 (t)) = C2 exp [−t] , 2 t (x3 (t)) = C3 exp − . 2 Betrachtet man nun als ein interessierendes Fluidelement dasjenige, das zur Zeit t = 0 die Lagekoordinaten (1, 1, 1) hatte, so ergeben sich aus den Anfangsbedingungen f¨ ur jede der Gleichungen in 4.13 die eingef¨ uhrten Cα Konstanten einheitlich als: C1 = C2 = C3 = 1,

(4.14)

d.h. f¨ ur den hier betrachteten Fall sind alle Integrationskonstanten gleich. F¨ ur die Bahnlinien dieses Fluidelements ergibt sich: 2 t2 t x1 (t) = exp t + , x2 (t) = exp [−t] , x3 (t) = exp − . (4.15) 2 2

96


x 2

P ro je k tio n in d ie c 1 - c 2 - E b e n e

P ro je k tio n in d ie c 1 - c 2 - E b e n e

B a h n lin ie

( 1 ,1 ,1 ) P ro je k tio n in d ie c 1 - c 3 - E b e n e

x 3

Abbildung 4.2: R¨ aumliche Bahnlinie des betrachteten Fluidelements

Diese Bahnlinie ist in Abb. 4.2 r¨ aumlich dargestellt, zusammen mit ihren Projektionen in die Koordinatenebenen. W¨ ahlt man ein Teilchen, dessen Lage zur Zeit t = 0 andere Lagekoordinaten aufwies, so a ¨ndern sich die Integrationskonstanten C1 , C2 , C3 entsprechend, und es resultiert eine andere Bahnlinie. Damit ist die Bahnlinie eine individuelle“ Eigenschaft eines Fluidelements, die in den resultierenden ” Gleichungen durch das Str¨ omungsfeld und die Lage des Fluidelements zur Zeit t = 0 bestimmt ist. Die allgemeine L¨ osung f¨ ur die Lagekoordinaten (xi ),0 , die ein Fluidelement zur Zeit t = 0 einnimmt, erh¨ alt man, wenn man diese Koordinaten zur Bestimmung der Integrationskonstanten Cα (α = 1,2,3) in die allgemeinem L¨ osungen f¨ ur die Bahlinienkoordinaten einsetzt. Dies resultiert in: Cα = (xi ),0

(4.16)

und damit in den allgemeinen L¨ osungen f¨ ur die Bahnlinienkoordinaten: t2 (x1 (t)) = (x,0 )1 exp t + , 2 (4.17) (x2 (t)) = (x,0 )2 exp [−t] , 2 t (x3 (t)) = (x,0 )1 exp − . 2 Diese geben die Raumkurven an, mit der Zeit t als Parameter, welche die einzelnen Kurvenpunkte der Bahnlinien von Fluidelementen darstellen. Zur weiteren Erl¨ auterung soll auch noch das nachfolgende zweidimensionale Geschwindigkeitsfeld betrachtet werden.1 1

Es ist darauf hinzuweisen, dass dieses Str¨ omungsfeld nicht quellenfrei ist, also gegen Forderungen der Kontinuit¨ atsgleichung verst¨ oßt. F¨ ur die hier angegebenen rein kinematischen Betrachtungen ist dies jedoch bedeutungslos.


U1 = x1 ,

U2 = x2 (1 + 2t) und U3 = 0.

97

(4.18)

achst das Volumen des Fluidelements mit Da aber (∂U2 /∂x2 ) = 2(1+t) gilt, w¨ der Zeit t. Dennoch, mit diesen Angaben l¨ asst sich der folgende Satz von Differentialgleichungen f¨ ur die Koordinaten der Bahnlinien von Fluidelementen aufstellen: d(x2 ) = x2 (1 + 2t), dt

d(x1 ) = x1 , dt

d(x3 ) = 0. dt

(4.19)

Die L¨ osung der dritten Differentialgleichung resultiert in einer Konstanten, die angibt, in welcher Ebene x3 = const die zweidimensionalen Strömungsbetrachtungen durchgef¨ uhrt werden. F¨ ur die Bahnlinienkoordinaten x1 (t) und x2 (t) errechnet sich: (x1 ) = C1 exp[t],

(x2 ) = C2 exp[t + t2 ],

(x3 ) = C3

(4.20)

Berechnet man die Bahnlinie des Fluidelements, das zur Zeit t = 0 die Koordinaten (1,1,0) einnahm, so ergibt sich: (x1 ) = exp[t],

(x2 ) = exp[t(t + 1)],

(x3 ) = 0

(4.21)

L¨ ost man die f¨ ur (x1 ) erhaltene Gleichung nach der Zeit auf, so ergibt sich: t = ln(x1 )

(4.22)

ur zweidimensionale BahnliDies in die L¨ osung f¨ ur (x2 ) eingesetzt, ergibt f¨ nien in der x1 − x2 −Ebene folgenden funktionellen Zusammenhang zwischen (x1 ) und (x2 ) : (1+ln(x1 ) ) (x2 ) = (x1 ) (4.23) Diese Bahnlinie ist in Abb. 4.3 dargestellt. 2 .0

x 2

1 .0

0 .0

( 1 ,1 )

0 .0

1 .0

x 1

2 .0

Abbildung 4.3: Bahnlinie der parallel zur x1 − x2 −Ebene ablaufenden Str¨ omung

98


4.3.2 Streichlinien lokal zugef¨ uhrter Tracermaterialien Wie schon erw¨ ahnt, ist es in der experimentellen Strömungsmechanik u ¨ blich, dadurch einen qualitativen Einblick in einen Strömungsverlauf zu erhalten, dass man an einer ortsfesten Stelle eine kontinuierliche Fluidmarkierung vornimmt. Diese f¨ uhrt zu einem markierten Fluidfaden“ (einer sogenannten ” Streichlinie), der mit der Str¨ omung mitgef¨ uhrt wird und so den Verlauf der Str¨ omung kennzeichnet. Interessiert der genaue Verlauf der Strömung, so sind quantitative Auswertungen der Ortskoordinaten von Streichlinien lokal zugef¨ uhrter Tracermaterialien erforderlich. Diese Auswertungen können, aufbauend auf den unten aufgef¨ uhrten Ableitungen, mit Methoden der Str¨ omungskinematik durchgef¨ uhrt werden. Ein mit einem Tracer markiertes Fluidteilchen, z.B. ein mit Rauch markiertes Luft- bzw. ein beliebiges anderes Gasteilchen, oder ein mit Farbe versehenes Wasser- oder Fl¨ ussigkeitsteilchen, das sich zum Zeitpunkt t an der Stelle {xi } = {xi (t)} befindet, muss zu einem Zeitpunkt (t − τ ), die Injektionsstelle f¨ ur den Tracer passiert haben, um nun als markiertes Teilchen an der Stelle {xi } vorzuliegen, d.h. es gilt2 : {xi (t)},0 = {xi (t − τ )}S

(4.24)

Demnach l¨ asst sich der bis zur Zeit t von einem markierten Fluidelement zur¨ uckgelegte Weg als die Bahnline des Elements berechnen, das die Bedingung (4.24) erf¨ ullt, d.h. eine Bahnlinie mit der Anfangsbedingung, dass f¨ ur t = τ das Fluidelement die Lagekoordinaten der Injektionsstelle einnahm. Die Streichlinie setzt sich somit aus der Summe der Bahnlinien einzelner Teilchen zusammen. Es wird f¨ ur jedes einzelne markierte Teilchen einer Streichlinie ein Parameter τ eingef¨ uhrt, der f¨ ur 0 ≤ τ ≤ t alle Teile einer Streichlinie erfasst. Es gilt somit, den Parameter τ in den L¨ osungsgleichungen zu variieren, um die gesamte Streichlinie zu erhalten. Die obigen, kurzen Erl¨ auterungen sollen wiederum anhand eines Beispiels verdeutlicht werden, das unter Zugrundelegung des oben verwendeten dreidimensionalen Geschwindigkeitsfeldes behandelt wird: U1 = x1 (1 + t),

U2 = −x2

und

U3 = −x3 t

(4.25)

Dieses Geschwindigkeitsfeld ergibt f¨ ur die Bewegung eines Fluidelements im Raum den Satz von Differentialgleichungen: d(x1 )S = x1 (1 + t), dt

d(x2 )S = −x2 , dt

d(x3 )S = −x3 t. dt

(4.26)

Als L¨ osung erh¨ alt man f¨ ur die Komponenten (x1 )S , (x2 )S und (x3 )S nach (4.13): 2

Der Index s bedeutet, dass die Lagekoordinate der Streichlinie gemeint ist.


t (x1 )S = C1 exp t(1 + ) , 2

99

2

t . 2 (4.27) Setzt man nun die Anfangsbedingungen ein, dass (x1 )S = (x1 )t=τ = 1, (x2 )S = (x2 )t=τ = 1, (x3 )S = (x3 )t=τ = 1 f¨ ur t = τ vorgelegen hat, d.h. dass die Stelle (1,1,1) als Zugabestelle der Tracer dient, so erhält man: 2 τ τ C1 = exp −τ (1 + ) ; C2 = exp [τ ] und C3 = exp . (4.28) 2 2 (x2 )S = C2 exp [−t] ,

(x3 )S = C3 exp −

Eingesetzt in die L¨ osungen f¨ ur (x1 )S , (x2 )S und (x3 )S ergibt die Gleichung der als Streichlinie bezeichneten Ortskurve f¨ ur alle Zeiten3 : τ t (x1 )S = exp t(1 + ) − τ (1 + ) , 2 2 (x2 )S = exp [−(t − τ )] , (4.29) 1 2 (x3 )S = exp − (t − τ 2 ) . 2 Will man den Verlauf einer Streichlinie zu einem Zeitpunkt t (teilweise) sichtbar machen, so gilt es, den Wert von t in die obige Gleichung einzusetzen, um so die Gleichung einer Raumkurve zu erhalten, mit τ als Parameter. Dabei wird τ durch den Zeitabschnitt [τ1 , τ2 ] der Tracerzugabe in (1, 1, 1) bestimmt mit −∞ < τ1 < τ2 < t. F¨ ur τ1 → −∞, τ2 → t und t = 0 ergibt sich: τ (x1 )S = exp −τ (1 + ) , 2 (x2 )S = exp [τ ] , −∞ < τ < 0 (4.30) 2 τ (x3 )S = exp . 2 Der Verlauf dieser Raumkurve ist in Abb. 4.4 gezeigt. Sie gibt die zum Zeitpunkt t = 0 vorliegende (von τ = −∞ bis τ = 0 sichtbar gemachte) Streichlinie an. In der Abbildung sind die Projektionen der Streichlinie in die Hauptebene des kartesischen Koordinatensystems mit eingef¨ uhrt. Vergleicht man die Gleichung f¨ ur die durch den Raumpunkt (1, 1, 1) fixierte Streichlinie mit den f¨ ur das gleiche Str¨ omungsfeld angegebenen Gleichungen f¨ ur die Bahnlinie eines Fluidelements, so erkennt man, dass Bahnlinien und Streichlinien f¨ ur instation¨ are Str¨ omungen nicht identisch sind. Nur f¨ ur den Fall eines station¨ aren Str¨ omungsfeldes sind Bahnlinien und Streichlinien gleich, wie sich leicht durch die folgenden Betrachtungen zeigen lässt. 3

Da es sich hierbei um eine Raumkurve handelt, ist die Angabe in x1 , x2 , x3 Koordinaten angebracht. Die Bezeichnung xS deutet an, dass die Lagekoordinaten einer Streichlinie gemeint sind.

100


x 2

Z u g a b e

x 1 -x 2 - P ro je k tio n d e r S tre ic h lin ie

x 2 -x 3 - P ro je k tio n d e r S tre ic h lin ie

( 1 ,1 ,1 )

x 1

S tre ic h lin ie

x

x 1 -x 3- P ro je k tio n d e r S tre ic h lin ie 3

Abbildung 4.4: Streichlinie f¨ ur den Zeitpunkt t = 0 bei Fluidmarkierungszugabe zwischen τ = −∞ und τ = 0 an der Stelle (1,1,1)

Betrachtet man das station¨ are Geschwindigkeitsfeld: U1 = 2x1 ,

U2 = −x2 ,

U3 = −x3

(4.31)

so erh¨ alt man f¨ ur die Bahnlinie eines Fluidelements folgende Differentialgleichung: d(x1 ) d(x2 ) d(x3 ) (4.32) = 2x1 , = −x2 , = −x3 dt dt dt F¨ ur t = 0 soll (x1 ) = (x2 ) = (x3 ) = 1 angenommen werden, so dass in der L¨ osung: (x1 ) = C1 exp [2t] ,

(x2 ) = C2 exp [−t] ,

(x3 ) = C3 exp [−t]

(4.33)

gilt und damit die Bahnlinie wie folgt angegeben wird: (x1 ) = exp [2t] ,

(x2 ) = exp [−t] ,

(x3 ) = exp [−t]

(4.34)

mit −∞ < t < ∞. Zur Berechnung der Streichlinien lässt sich wiederum die L¨ osung (4.27) heranziehen und C1 , C2 , C3 so berechnen, dass gefordert wird, dass zur Zeit t = τ gilt: (x1 (t = τ ))S = 1, Damit gilt:

(x2 (t = τ ))S = 1,

C1 = exp [−2τ ] ,

C2 = exp [τ ] ,

(x3 (t = τ ))S = 1

(4.35)

C3 = exp [τ ]

(4.36)

oder als Gleichung f¨ ur die Streichlinie: (x1 )S = exp [2(t − τ )] ,

(x2 )S = exp [−(t − τ )] ,

(x3 )S = exp [−(t − τ )] (4.37)


101

womit t festgelegt ist, und der Wertebereich von τ durch den Zeitraum der Tracerzugabe bestimmt wird. Falls zu allen Zeiten Tracersubstanz zugegeben wird, d.h. −∞ < τ < ∞, so geben (4.34) und (4.37) genau dieselbe Kurve. Ist die Tracerzugabe zeitlich beschr¨ ankt, so erh¨ alt man als sichtbare Streichlinie (4.37) einen entsprechenden Teil der Bahnlinie (4.34). Wiederholt man die obigen Ableitungen f¨ ur das in Abschnitt 4.3.1 gleichfalls angegebene, zweidimensionale Geschwindigkeitsfeld: U1 = x1 ,

U2 = x2 (1 + 2t) und

U3 = 0

(4.38)

d(x3 ) =0 dt

(4.39)

das zu den Differentialgleichungen (4.19) f¨ uhrt: d(x2 ) = x (1 + 2t), dt

d(x1 ) = x , dt mit den L¨ osungen: (x1 ) = C1 exp [t] ,

(x2 ) = C2 exp [t(t + 1)] ,

(x3 ) = C3

(4.40)

Verlangt man wiederum, dass sich das zur Zeit t im Punkt x1 , x2 , x3 befindende Teilchen zum Zeitpunkt τ die Zugabestelle (1,1,0) eines Tracers passierte, so lassen sich die Integrationskonstanten C1 , C2 und C3 aus folgenden Bestimmungsgleichungen erhalten: C1 exp [τ ] = 1,

C2 exp [τ (τ + 1)] = 1,

C3 = 0

(4.41)

Diese Konstanten“ k¨ onnen nun wieder in Gleichung (4.40) eingesetzt ” werden, wobei C3 = 0 bedeutet, dass die Streichlinie in der x1 -x2 -Ebene, auft und dort durch folgende Gleichungen f¨ ur d.h. in der Ebene x3 = 0, verl¨ die Lagekoordinaten (x1 )S und (x2 )S beschrieben ist: 2 ,0 x 2

1 ,0

0 ,0

0 ,0

1 ,0

x 1

2 ,0

Abbildung 4.5: Streichlinie in der x1 − x2 −Ebene (ausgezogener Teil entspricht τ ≤ 0, unterbrochene Linie entspricht 0 ≤ τ < ∞)

102


(x1 )S = exp [t − τ ] , (x2 )S = exp [t(t + 1) − τ (τ + 1)]

(4.42)

F¨ ur den Zeitpunkt t = 0 ergibt sich der Verlauf der Streichlinie als: (x1 )S = exp [−τ ] , exp [−τ (τ + 1)] (x2 )S = im Bereich−∞ < τ < ∞. Aus der Gleichung f¨ ur (x1 )S folgt: τ = − ln(x1 )S

(4.43)

(4.44)

In die Gleichung f¨ ur (x2 )s eingesetzt, ergibt sich der zur Zeit t = 0 vorliegende Verlauf der durch Zugabe von Tracermaterial in −∞ < τ < ∞ sichtbaren Streichlinie in der x1 − x2 −Ebene: (1−ln(x1 )S )

(x2 )S = (x1 )S

im Bereich 0 < (x1 )S < ∞

1−ln(x1 )s ) (x2 )s = [(x1 )s ](

(4.45)

4.4 Kinematische Gr¨ oßen von Str¨ omungsfeldern 4.4.1 Stromlinien eines Geschwindigkeitsfeldes Von den in Abschnitt 4.3 f¨ ur Fluidelemente durchgef¨ uhrten Betrachtungen ¨ zur Berechnung von Bahnlinien und Streichlinien sind Uberlegungen zur Bestimmung der Stromlinien eines Str¨ omungsfeldes streng zu trennen. Zwar sind f¨ ur stationäre Str¨ omungen Stromlinien, Bahnlinien und Streichlinien identisch, doch rechtfertigt dies nicht die prinzipiellen Unterschiede zu vernachl¨ assigen oder gar anzunehmen, dass die prinzipiellen Unterschiede nicht existieren. Erst durch eine klare Trennung der Betrachtungen wird im allgemeinen verst¨ andlich, warum unter der Bedingung der Stationarität eines Str¨ omungsfeldes die oben angegebenen Identitäten von Stromlinien, Bahnlinien und Streichlinien existieren. Betrachtet man das instation¨ are Str¨ omungsfeld Uj (xi , t), so lassen sich f¨ ur dieses Feld zu jedem Zeitpunkt t Stromlinien definieren, und zwar derart, dass als Stromlinien solche Raumkurven definiert werden, deren Tangente in jedem Punkt parallel zum Geschwindigkeitsvektor verlaufen. Betrachtet man zun¨ achst ein zweidimensionales Str¨ omungsfeld, f¨ ur das alle Geschwindigkeitsuhrt die oben angegebene vektoren parallel zur x1 -x2 -Ebene liegen, dann f¨ Definition der Stromlinie zu folgender Definitionsgleichung: U2 d(x2 )ψ = d(x1 )ψ U1

f¨ ur die Zeit t = const

(4.46)

4.4 Kinematische Gr¨ oßen von Str¨ omungsfeldern

103

Die Beziehung besagt, dass die Steigung der Stromlinie gleich dem Tangens des zum Zeitpunkt t vom Geschwindigkeitsvektor mit der x1 -Achse gebildeten Winkels ist, siehe Abb. 4.6. Der in die Gleichung aufgenommene Index ψ deutet an, dass die angegebenen x1 -x2 -Koordinaten die Stromlinie ψ beschreiben. x 2

x 3 = c o n st G e s c h w in d ig k e its v e k to r

(x 1 )

U 2

y y

d (x 1 )y U

d (x 2 )y

(x 2 )

1

S tro m lin ie

y

x 1

Abbildung 4.6: Skizze zur Verdeutlichung der Definitionsgleichung f¨ ur die Stromlinie eines Str¨ omungsfeldes

Betrachtet man die Definitionsgleichung (4.46) f¨ ur die Stromlinie eines zweidimensionalen Str¨ omungsfeldes, so wird verständlich, dass im allgemeinen f¨ ur jeden Zeitpunkt t der Quotient aus U2 und U1 eine Funktion von x1 und x2 ist. Die so resultierende Differentialgleichung gilt es zu lösen, um die Gleichung f¨ ur die Stromlinie zu erhalten. Damit kann die Gleichung (4.46) heran gezogen werden, um die Kennlinien eines Strömungsfeldes zu bestimmen. Dies soll anhand eines Beispiels erl¨ autert werden, das von dem folgenden zweidimensionalen Geschwindigkeitsfeld ausgeht: U1 = x1 (1 + 2t);

U2 = x2

und

U3 = 0

(4.47)

In die Definitionsgleichung (4.46) f¨ ur die Stromlinie eingef¨ uhrt, erhält man:

oder

d(x2 )ψ U2 x2 = = d(x1 )ψ U1 x1 (1 + 2t)

(4.48)

d(x2 )ψ d(x1 )ψ 1 = x2 x1 1 + 2t

(4.49)

Durch Integration ergibt sich: ln(x2 )ψ = C +

1 ln(x1 )ψ 1 + 2t

(4.50)

104

4 Grundlagen der Str¨ omungskinematik 1

=⇒ (x2 )ψ = c˜ [(x1 )ψ ] 1−2t , definiert nur bei t > − 12 . Betrachtet man die Stromlinie, die zum Zeitpunkt t = 0 auch den Punkt (1, 1, 0) passiert, so ergibt sich C = 0 und damit: 1 (x2 )ψ = [(x1 )ψ ]( 1+2t )

(4.51)

F¨ ur den Fall, dass ein dreidimensionales Geschwindigkeitsfeld vorliegt, lassen ¨ sich die obigen Uberlegungen, die f¨ ur die Projektion der Stromlinien in die x1 ur die Projektion in die x2 -Ebene angegeben wurden, analog u ¨ bernehmen. F¨ x1 -x3 - und x2 -x3 -Ebene ergeben sich zur Definitionsgleichung (4.46) analoge Beziehungen: U3 d(x3 )ψ = (4.52) d(x1 )ψ U1 d(x3 )ψ U3 = d(x2 )ψ U2

(4.53)

Damit lassen sich die Definitionsgleichungen der Stromlinien eines Geschwindigkeitsfeldes wie folgt angeben: d(x1 )ψ d(x2 )ψ = , U1 U2

d(x1 )ψ d(x3 )ψ = , U1 U3

d(x2 )ψ d(x3 )ψ = U2 U3

(4.54)

oder umgeschrieben: d(x1 )ψ d(x2 )ψ d(x3 )ψ = = = λ(s) ds U1 U2 U3

(4.55)

Gleichung (4.55) sagt aus, dass zum Zeitpunkt t eine Fluidbewegung entlang der Stromlinie erfolgt. Diese Differentialbeziehungen f¨ ur die Stromlinie eines Geschwindigkeitsfeldes gelten zu jedem Zeitpunkt t. Ihre Lösung f¨ uhrt zu einer Beziehung (x3 )ψ = ψ(x1 , x2 ), welche eine Raumkurve beschreibt, die dreidimensionale Stromlinie. Der wohl einfachste Weg, den Satz von Differentialgleichungen (4.55) zu l¨ osen, wird durch Aufsuchen einer Parameterl¨ osung (x1 )ψ = x1 (s) beschritten. Hierbei ist s ein Parameter, dessen Wert an einem bestimmten Referenzpunkt der Stromlinie gleich Null ist und der entlang der Stromlinie und in Str¨ omungsrichtung zunehmende Werte annimmt. Werden alle Werte −∞ < s < ∞ durchlaufen, so erh¨ alt man eine Darstellung der gesamten Stromlinie. Durch Einf¨ uhren von s erh¨ alt man: d(xj )ψ = Uj (xi , t) ds

f¨ ur t = const und j = s

(4.56)

eine Beziehung, die f¨ ur jede Koordinate (xj )ψ eine Differentialgleichung j = 1, 2, 3 darstellt, welche f¨ ur t = const die Stromlinien im Raum beschreiben. Wird die zum Zeitpunkt t durch den Raumpunkt [x0 ]j laufende


105

Stromlinie gesucht, so wird nach erfolgter Integration der drei Differentialgleichungen s = 0, wenn xj (t) = xj,0 ist. Hieraus resultiert dann das gesamte Stromlinienfeld als: (4.57) (xj )ψ = ψj (x0,j , t, s) Zur Demonstration der Vorgehensweise bei der Bestimmung dreidimensionaler Stromlinienfelder soll wiederum das folgende Geschwindigkeitsfeld betrachtet werden: U1 = x1 (1 + t),

U2 = −x2

U3 = −x3 t

und

(4.58)

Damit ergibt sich ein Satz von Differentialgleichungen f¨ ur die Stromlinien dieses Geschwindigkeitsfeldes: d(x1 )ψ = x1 (1 + t), ds

d(x2 )ψ = −x2 , ds

d(x3 )ψ = −x3 t. ds

(4.59)

Die Integration dieser Gleichungen ergibt: (x1 )ψ = C1 exp [(1 + t)s] , (x2 )ψ = C2 exp [−s] ,

(4.60)

(x3 )ψ = C3 exp [−ts] . Sucht man die Stromlinie, die durch den Punkt (1, 1, 1) geht, so kann man diesen Punkt als Referenzpunkt w¨ ahlen und s = 0 f¨ ur (xi )ψ = 1 setzen. Daraus ergibt sich f¨ ur die Integrationskonstanten: C1 = C2 = C3 = 1

(4.61)

Damit erh¨ alt man: (x1 )ψ = exp [(1 + t)s] ,

(x2 )ψ = exp [−s] ,

(x3 )ψ = exp [−t · s] .

(4.62)

F¨ ur die Zeit t = 0 ergibt sich ein Stromlinienverlauf: (x1 )ψ = exp [s] ,

(x2 )ψ = exp [−s] ,

(x3 )ψ = 1

(4.63)

Man erh¨ alt also eine Stromlinie, die in der Ebene x3 = 1 verläuft und dort durch die Beziehung 1 (x2 )ψ = (4.64) (x1 )ψ beschrieben wird. Das gesamte Stromlinienfeld erh¨ alt man, wenn man f¨ ur s = 0 beliebige Lagekoordinaten (x0,i ) einf¨ uhrt, so dass f¨ ur die Lagekoordinaten gilt:

106


(x1 )ψ = (x1 )ψ,0 exp [(1 + t)s] , (x2 )ψ = (x2 )ψ,0 exp [−s] , (x3 )ψ = (x3 )ψ,0 exp [−ts] .

(4.65)

Dieser Satz von Gleichungen gibt zu jeder Zeit t die Stromlinien an, die durch den Punkt {xj }ψ,0 gehen. Dort hat der Parameter s den Wert s = 0 und f¨ ur alle anderen Punkte der Stromlinie einen Wert ungleich Null. Es entsteht so eine eindeutige Zuordnung, die sicherstellt, dass Stromlinien sich niemals schneiden, da sonst in diesem Schnittpunkt gleichzeitig zwei Geschwindigkeiten vorhanden sein w¨ urden. Dies ist durch das Vorliegen eindeutiger Geschwindigkeitsfelder (bis auf Staupunkte und Singularitäten) ausgeschlossen.

x 2

B a h n lin ie

x 1

S tre ic h lin ie

Abbildung 4.7: Vergleich von Stromlinien, Bahnlinien und Streichlinien

Im vorausgegangenen Abschnitt war herausgestellt worden, dass im allgemeinen Stromlinien, Bahnlinien und Streichlinien nicht identisch sind und die durchgerechneten Beispiele haben dies verdeutlicht. F¨ ur stationäre Strömungen sind alle drei Linien identisch, d.h. –

omungsfelder bewegen sich markierte Fluidelemente entf¨ ur station¨ are Str¨ lang von Stromlinien, d.h. Stromlinien sind gleich den Bahnlinien


–

107

f¨ ur station¨ are Str¨ omungsfelder k¨ onnen Stromlinien durch lokal zugegebene Tracerteilchen sichtbar gemacht werden, d.h. Stromlinien sind gleich den Streichlinien

omungen sind, im allgemeinen, Stromlinien, Bahnlinien F¨ ur instation¨ are Str¨ und Streichlinien unterschiedliche Raumkurven. 4.4.2 Stromfunktion und Stromlinien zweidimensionaler Str¨ omungsfelder F¨ ur zweidimensionale inkompressible Geschwindigkeitsfelder {Uj } = asst sich die Stromfunktion als eine Feldgröße einf¨ uhren. Sie ist {U1 , U2 , 0} l¨ wie folgt definiert: U1 =

∂ψ ∂x2

und

U2 = −

∂ψ ∂x1

(4.66)

und errechnet sich aus dem Geschwindigkeitsfeld u ¨ ber die folgenden Linienintegrale: "x2 U1 dx2 f¨ ur x1 = const (4.67) ψ − ψ0 = x2,0

oder auch:

"x1 ψ − ψ0 = −

U2 dx1

f¨ ur x2 = const

(4.68)

x1,0

Die obigen Gleichungen zeigen, dass die zwischen zwei Stromfunktionswerten vorliegende Differenz ein Maß f¨ ur den Volumenstrom des Fluids ist,

x 2

y x 1 = c o n st

y 0

x 2 = c o n st x 1

Abbildung 4.8: Erl¨ auterung der Definitionsgleichungen der Stromfunktion

108


der zwischen zwei Linien mit je konstantem Stromfunktionswert fließt, wobei eine Tiefe der betrachtete Fl¨ ache der L¨ angeneinheit 1 senkrecht zur x1 -x2 Ebene betrachtet wird. Danach ergeben die in den Gleichungen (4.67) und (4.68) aufgef¨ uhrten Integrationen entlang der in Abb. 4.8 eingezeichneten Linie x1 = const und x2 = const identische Volumenstromwerte, wenn die ahlt werden, dass die Differenz oberen Integrationsgrenzen x1 und x2 so gew¨ ψ − ψ0 in beiden Integralen gleich groß ist. F¨ ur ein Fluid mit ρ = const, d.h. f¨ ur eine thermodynamisch ideale Fl¨ ussigkeit, stellt die Identität der Integrale eine Massenerhaltungsbeziehung dar. F¨ uhrt man die in den Gleichungen (4.67) und (4.68) angegebenen Integrationen entlang einer Linie ψ = const aus, d.h. f¨ ur dψ = 0, so erh¨ alt man: U1 d(x2 )ψ = U2 d(x1 )ψ

(4.69)

d(x1 )ψ d(x2 )ψ = U1 U2

(4.70)

oder umgeschrieben:

Aus der oben angegebenen Beziehung (4.70) ergibt sich, durch einen Vergleich mit der in Gleichung (4.46) angegebenen Definitionsgleichung f¨ ur die Stromlinie, dass die f¨ ur zweidimensionale Str¨ omungsfelder definierte Stromfunktion ψ f¨ ur ψ = const Stromlinien ergibt. W¨ ahrend man bei den kinematischen Betrachtungen in den vorausgegangenen Abschnitten des Kapitels 2 beliebige mathematische Ansätze f¨ ur das Geschwindigkeitsfeld verwenden konnte, erfordert die Einf¨ uhrung der Stromfunktion eine Einschr¨ ankung der Betrachtungen auf solche Geschwindigkeitsfelder, die physikalische Bedingungen zu erf¨ ullen haben. Betrachtungen im nachfolgenden Abschnitt 5 zeigen, dass physikalisch mögliche Strömungsfelder das Massenerhaltungsgesetz erf¨ ullen m¨ ussen, das sich f¨ ur ideale Fl¨ ussigkeiten (ρ = const) wie folgt formulieren l¨ asst: ∂U1 ∂U2 ∂U3 ∂Ui = + + =0 ∂xi ∂x1 ∂x2 ∂x3

(4.71)

Dass eine Stromfunktion das Massenerhaltungsgesetz f¨ ur zweidimensionale Str¨ omungen, d. h. f¨ ur ∂U3 /∂x3 = 0 automatisch erf¨ ullt, kann man durch Einsetzen der Definition in Gleichung (4.66) leicht u ufen, wobei der Satz ¨ berpr¨ von Schwarz anzuwenden ist. Erf¨ ullt ein Str¨ omungsfeld nicht das Massenerhaltungsgesetz, so resultieren die nach den Gleichungen (4.67) und (4.68) durchzuf¨ uhrenden Integrationen in sich widersprechenden L¨ osungen. Dies l¨ asst sich f¨ ur das in Abschnitt 4.3.1 verwendete zweidimensionale Str¨ omungsfeld zeigen, das nicht das Massenerhaltungsgesetz (d.h. die Kontinuit¨ atsgleichung) erf¨ ullt: U1 = x1 ;

U2 = x2 (1 + 2t) und

U3 = 0

(4.72)


109

F¨ uhrt man dennoch die in Gleichung (4.67) aufgef¨ uhrte Integration aus, so ergibt sich aus den Definitionsgleichungen f¨ ur die Stromfunktion, d.h. aus den Beziehungen (4.66): ∂ψ = x1 ∂x2

und

∂ψ = −x2 (1 + 2t) ∂x1

(4.73)

Durch Integration dieser Gleichungen erh¨ alt man f¨ ur die Stromfunktion: ψ = −x1 x2 (1 + 2t) + G(x2 , t)

ψ = x1 x2 + F (x1 , t)

(4.74)

oder anders ausgedr¨ uckt:

oder

x1 x2 + F (x1 , t) = −x1 x2 (1 + 2t) + G(x2 , t)

(4.75a)

2(t + 1)x1 x2 = G(x2 , t) − F (x1 , t)

(4.75b)

Ein Vergleich der Ergebnisse der beiden Integrationen (4.73), die in den Gleichungen (4.74) resultieren, zeigt den sich f¨ ur die Stromfunktion ergebenden Widerspruch. Dies resultiert aus dem Sachverhalt, dass das nach (4.72) angegebene Geschwindigkeitsfeld zwar mathematisch eindeutig definiert ist, aber physikalisch nicht existieren kann; das Geschwindigkeitsfeld (4.72) erf¨ ullt nicht die durch das Massenerhaltungsgesetz f¨ ur ρ = const bestimmten Anforderungen. Betrachtet man dagegen das Geschwindigkeitsfeld: U1 = exp [x1 (1 + t)] ,

U2 = −x2 (1 + t) exp [x1 (1 + t)] ,

U3 = 0

(4.76)

∂U1 ∂U2 = (1 + t) exp [x1 (1 + t)] und = −(1 + t) exp [x1 (1 + t)] ∂x1 ∂x2

(4.77)

f¨ ur das die Beziehung (4.71) erf¨ ullt ist, da gilt:

2

2

∂ ψ ∂ ψ ∂U2 1 alt man aus den Definioder aber auch ∂U ∂x2 + ∂x2 = ∂x1 ∂x2 − ∂x2 ∂x1 so erh¨ tionsgleichungen f¨ ur die Stromfunktion (4.66):

∂ψ ∂ψ = exp [x1 (1 + t)] und = x2 (1 + t) exp [x1 (1 + t)] ∂x2 ∂x1

(4.78)

die folgende L¨ osung f¨ ur die Stromfunktion ψ: ψ = x2 exp [x1 (1 + t)] + C

(4.79)

Kennt man den Wert der Stromfunktion f¨ ur x1,0 und x2,0 , so gilt ψ0 = x2,0 exp [x1,0 (1 + t)] + C

(4.80)

ψ − ψ0 = x2 exp [x1 (1 + t)] − x2,0 exp [x1,0 (1 + t)]

(4.81)

Das erhaltene Ergebnis l¨ asst sich auch f¨ ur x1 = x1,0 = const aus der Beziehung (4.66) errechnen:

110


ψ − ψ0 = (x2 − x2,0 ) exp [x1,0 (1 + t)]

f¨ ur

x1 = x1,0

(4.82)

Dies gibt die ψ(x2 )-Verteilung an der Stelle x1,0 an. Will man den Verlauf aller Stromlinien in der x1 − x2 −Ebene ermitteln, so gilt es, ψ als einen Parameter in Gleichung (4.81) zu betrachten und die x2 − x1 −Beziehung f¨ ur diesen Parameter aus Gleichung (4.81) abzuleiten. Dabei sind ψ0 , x1,0 und x2,0 frei w¨ ahlbare Konstanten.

4.4.3 Divergenz eines Str¨ omungsfeldes In dem vorliegenden Abschnitt sollen aus der Vektoranalysis bekannte und auf Str¨ omungsfelder anwendbare, mathematische Operatoren erläutert und ihre Ableitungen wiederholt und hinsichtlich ihrer physikalischen Bedeutung betrachtet werden. : Divergenz des Str¨ omungsfeldes div U ∂Ui ∂U1 ∂U2 ∂U3 = + + ∂xi ∂x1 ∂x2 ∂x3

(4.83)

Die oben definierte Divergenz eines Str¨ omungsfeldes ist als ein Skalarfeld anzusehen, das bei Vorliegen eines stetigen Geschwindigkeitsfeldes in jedem Raumpunkt definiert ist und aus dem als bekannt anzusehenden Geschwindigkeitsfeld berechnet werden kann. Will man die physikalische Bedeutung des auf das Geschwindigkeitsfeld Ui angewandten Operators ∂/∂xi erkennen, empfiehlt sich die Betrachtung eines Fluidelements, wie es in Abb. 4.9 prismenförmig angegeben ist. Die Kantenl¨ angen ∆xi sind als sehr klein angenommen, so dass den Flächen je ein

x 2

H G

U 1

Q

( x i) x

A 3

D x C

D

U P

D x 1

B

D x

1

(x i + D x i ) x

F E

2

1

3

Abbildung 4.9: Fluidelement zur Erl¨ auterung der physikalischen Bedeutung des Gradienten (∂Ui /∂xi )


111

Geschwindigkeitsvektor derart zugeordnet werden kann, dass dieser Vektor angibt, mit welcher Geschwindigkeit sich die betrachtete Fläche des Fluidelements bewegt. Danach bewegt sich die Fl¨ ache AEHD in der x1 -Richtung mit der Geschwindigkeitskomponente des in Punkt Q vorliegenden Geschwindigkeitsfeldes, d.h. mit U1 (xi ) = U1 (x1 , x2 , x3 ). Die Fläche BFGC bewegt sich dagegen mit der in Punkt P vorliegenden Geschwindigkeitskomponente U1 (xi + ∆xi , x2 , x3 ). Diese Geschwindigkeitskomponente lässt sich durch eine Taylorreihenentwicklung wie folgt ausdr¨ ucken: ∂U1 1 ∂ 2 U1 U1 (x1 + ∆x1 , x2 , x3 ) = U1 (x1 ) + ∆x1 + ∆x21 + . . . (4.84) ∂x1 2 ∂x21 Die Differenzgeschwindigkeit zwischen den Flächen AEHD und BFGC errechnet sich somit als: ∂U1 1 ∂ 2 U1 ∆U1 (xi , ∆xi ) = (4.85) ∆x1 + ∆x21 + . . . ∂x1 2 ∂x21 Infolge dieser Geschwindigkeitsdifferenz kommt es zu einer Volumenvergrößerung oder einer Volumenverkleinerung, je nachdem welche Vorzeichen die Ableitungen des Geschwindigkeitsfeldes aufweisen, die sich durch Multiplikation mit der Fl¨ ache ∆x2 ∆x3 , unter Vernachlässigung der Glieder zweiter und h¨ oherer Ordnung in ∆x1 , wie folgt in erster Näherung angeben lässt: ∂U1 d (δV1 ) = ∆U1 (xi )(∆x2 ∆x3 ) = ∆x1 (∆x2 ∆x3 ) (4.86) dt ∂x1 Aufgrund von gleichzeitig vorliegenden Gradienten des Geschwindigkeitsfeldes in der x2 - und x3 -Richtung ergeben sich zusätzlich in der Zeiteinheit auftretende Volumen¨ anderungen, die wiederum in erster Näherung wie folgt angebbar sind: d ∂U2 (δV2 ) = ∆x2 (∆x1 ∆x3 ) dt ∂x2

d ∂U3 (δV3 ) = ∆x3 (∆x1 ∆x2 ) dt ∂x3 (4.87) so dass die gesamte, in einem Str¨ omungsfeld f¨ ur ein Fluidelement in der Zeiteinheit zu erwartende Volumen¨ anderung wie folgt angegeben werden kann: und

3 d d ∂Ui (δV ) = (δVα ) = (δV ) dt dt ∂xi α=1

(4.88)

oder umgeschrieben: 1 d ∂Ui (δV ) = (4.89) ∂xi δV dt Diese Beziehung verdeutlicht die physikalische Bedeutung der Divergenz eines Geschwindigkeitsfeldes 4 . Demnach gibt die Divergenz eines Geschwindigkeitsfeldes in einem Raumpunkt an, wie groß die pro Zeit- und Volumeneinheit auftretende Volumen¨ anderung eines Fluidelements an einer bestimmten 4

Die Beziehung (4.88) verdeutlicht, dass die Summation f¨ ur i = 1 bis 3 durch den andlich angegeben ist Doppelindex in ∂Ui /∂xi ausreichend verst¨

112


Position in einem Str¨ omungsfeld ist. An solchen Stellen des Strömungsfeldes, an denen die Divergenz des Geschwindigkeitsvektors Null ist, liegt lokal keine zeitliche Volumen¨ anderung f¨ ur ein sich im Geschwindigkeitsfeld bewegendes Fluidelement vor. Errechnet sich die Divergenz in Teilbereichen des Geschwindigkeitsfeldes als negativ, so erf¨ ahrt ein Fluidelement in diesen Bereichen Volumenverkleinerungen. F¨ uhrt man Betrachtungen zur physikalischen Bedeutung der Divergenz eines Geschwindigkeitsfeldes an einem ortsfesten Volumenelement eines Fluids durch, so kommt es aufgrund des vorliegenden Geschwindigkeitsfeldes zu Zuund Abfl¨ ussen durch die Oberfl¨ achen des betrachteten Volumens, derart, dass das pro Zeiteinheit zugeflossene Volumen angegeben werden kann: V˙ Zufluss = Ui ∆xj ∆xk

i = j, k

(4.90)

F¨ ur das abfließende Volumen l¨ asst sich in erster Näherung berechnen: ∂Ui ˙ VAbfluss = Ui + i = j, k (4.91) ∆xj ∆xk ∂xi Die Differenz der Zu- und Abfl¨ usse errechnet sich unter Ber¨ ucksichtigung von ∆V = ∆x1 ∆x2 ∆x3 als: ∂Ui ∆V˙ = V˙ Zufluss − V˙ Abfluss = − ∆V ∂xi

(4.92)

Diese Beziehung verdeutlicht, dass das Vorliegen einer positiven Divergenz des Geschwindigkeitsfeldes einer Quelle im Volumen gleichkommt, da mehr Fluidvolumen“ abfließt als zufließt. Ist die Divergenz des Geschwindigkeits” feldes dagegen negativ, so liegt eine Senke vor, da dann der Zufluss an Vo” lumen“ gr¨ oßer sein muss als der Abfluss.

4.5 Translation, Deformation und Rotation von Fluidelementen Analog zu Betrachtungen in der Festk¨ orpermechanik interessieren bei einigen str¨ omungsmechanischen Betrachtungen die infolge vorliegender Geschwindigkeitsgradienten auftretenden Deformationen von Fluidelementen. Nimmt man zu den Fluidelementdeformationen die Translationsbewegung und die Rotation eines Fluidelements mit hinzu, so lässt sich der gesamte lokale Bewegungs- und Deformationszustand eines Fluidelements durch vier geometrisch einfach separierbare“ Teilzust¨ ande angeben. Die in Abb. 4.10 ” skizzierte reine Translationsbewegung f¨ uhrt zu einer Lageänderung des mit

markierten Fluidelements, derart, dass gilt: d(xj ) = (Uj ) dt = Uj dt

(4.93)

4.5 Translation, Deformation und Rotation von Fluidelementen

113

Diese Beziehung bringt zum Ausdruck, dass das lokal vorliegende Geschwindigkeitsfeld f¨ ur die Translationsbewegung eines Fluidelements verantwortlich ist, d.h. Fluidelemente bewegen sich zu jedem Zeitpunkt mit dem lokal vorliegenden Geschwindigkeitsvektor. ¨ Uberlagert man den in Abb. 4.10 skizzierten reinen Translationsbewegungen eines Fluidelements eine Fluidelementrotation, so entsteht das in Abb. 4.11 skizzierte Bild. Um die Rotation eines Fluidelements anzugeben bzw. zu berechnen, gilt es, die beiden Winkel ∆Θ1 und ∆Θ2 zu beschreiben: . / ∂U2 ∂U2 ∂x1 (∆x1 ) ∆t ∆t (4.94) ∆Θ1 = tan = (∆x1 ) ∂x1 / . ∂U1 ∂U1 ∂x2 (∆x2 ) ∆t =− ∆Θ2 = tan ∆t (4.95) (∆x2 ) ∂x2 Als Rotationsgeschwindigkeit des Fluidelements wird nun die pro Zeiteinheit erfolgende positive Winkel¨ anderung der Diagonale des Elements definiert:

U 2

D t

j

(D x 2) Â

}

x 2= x

(D x 1)Â

} U 1

D t

x 2= x i

Abbildung 4.10: Rein translatorische Bewegung; Betrachtungen der Projektion in die x1 − x2 −Ebene

x 2 = x

¶ U ¶ x

( D x 2 )Â D t 1

2

j

D Q 2

D Q 1

¶ U ¶ x

D Q

1

=

2

D Q

1

(D x 1 ) Â

D t

2

b e i re in e r R o ta tio n x 1 = x i

Abbildung 4.11: Translation und Rotation eines Fluidelements in einem Str¨ omungsfeld

114


R Θ˙ 21 =

dΘR dt

1 = 2

dΘ2 dΘ1 + dt dt

1 = 2

∂U2 ∂U1 − ∂x1 ∂x2

(4.96)

Allgemein lassen sich damit die Komponenten des Rotationsgeschwindigkeitsur die lokale pro Zeiteinheit erfolgende Rotation eines Fluidvektors {ωk } f¨ elements wie folgt angeben: ∂Uj ∂Ui R = ijk ∂Uj = 2ωk = 2Θ˙ ji = − rot U ∂xi ∂xi ∂xj

(4.97)

Die Gr¨ oße ωk gibt die in positiver Richtung erfolgende doppelte Rotationsgeschwindigkeit der Achse des Fluidelements an. Die zweite Diagonale des betrachteten Fluidelementes dreht sich mit der selben Winkelgeschwindigoße des Geschwindigkeitsfeldes. keit. {ωk } ist eine wichtige kinematische Gr¨ Sie wird als Wirbelst¨ arke bezeichnet und errechnet sich als die halbe Rotation des Geschwindigkeitsfeldes. Sie ist somit selbst eine Feldgröße, ωk (xi , t), f¨ ur die gilt: ωk (xi , t) = 0 wenn ein Str¨ omungsfeld rotationsfrei ist. omungen vor, deren RotationsIst ωk (xi , t) = 0, so liegen wirbelbehaftete Str¨ eigenschaften am besten theoretischen Behandlungen zugänglich sind, wenn man die Erhaltungsgesetze f¨ ur Masse, Impuls und Energie in ωk ausdr¨ uckt. Betrachtet man als n¨ achstes die in Abb. 4.12 aufgezeigte Winkeldeformation eines Fluidelements, so ist ersichtlich, dass f¨ ur die Winkeldeformation gilt: dΘ2 1 dΘ1 D − Θ˙ 21 = Deformationswinkelgeschwindigkeit 2 dt dt

x 2 = x

¶ U ¶ x

1 2

(D x 2 )

D t Â

j

D Q D x

2

D Q 2

D x 1

¶ U ¶ x

1 2 1

(D x 1 )

x 1 = x

D t

i

Abbildung 4.12: Translation und Winkeldeformation eines Fluidelements in einem Str¨ omungsfeld infolge Geschwindigkeitsgradienten

4.5 Translation, Deformation und Rotation von Fluidelementen

Damit gilt allgemein f¨ ur die Winkeldeformation in der x1 -x2 -Ebene 1 ∂U2 ∂U1 D Θ˙ 21 = + 2 ∂x1 ∂x2 oder allgemein: 1 D Θ˙ ij = 2

∂Uj ∂Ui + ∂xi ∂xj

115

(4.98)

i = j

(4.99)

Analog zu Betrachtungen in der Festk¨ orpermechanik gilt die Symmetrie des Deformationstensors: D D = Θ˙ ji (4.100) Θ˙ ij Als letztes gilt es, die Dilatation eines Fluidelements zu betrachten, das infolge des in einem Str¨ omungsfeld vorliegenden Geschwindigkeitsgradienten Dehngeschwindigkeiten erf¨ ahrt, wie dies in Abb. 4.13 aufgezeigt ist. Die infolge eines in x1 -Richtung vorliegenden Geschwindigkeitsgradienten erfolgende L¨ angen¨ anderung l¨ asst sich wie folgt angeben: ∂U1 ∂U1 (δx1 ) ∆t dl1 = lim = (4.101) (δx1 ) ∆t→0 dt ∂x1 ∆t ∂x1 Hieraus errechnet sich die pro L¨ angen- und Zeiteinheit erfolgende L¨ angen¨ anderung nach Abb. 4.13: ∂U1 1 d(l1 ) = (∆x1 ) dt ∂x1

(4.102)

Multipliziert man die L¨ angen¨ anderung mit der Querfläche (δF1 ) , so ergibt sich die zugeh¨ orige Volumen¨ anderung: ∂U1 d(δV1 ) = (4.103) (δV1 ) dt ∂x1

x 2

¶ U ¶ x

1 2

(D x 1 ) l1

D F (D x 1 )

D t Â

1

Â

x 1 = x i

Abbildung 4.13: L¨ angung eines Volumenelements infolge Geschwindigkeitsgradienten im Str¨ omungsfeld

116


Aufsummiert u ur die gesamte ¨ ber alle drei Achsenrichtungen erhält man f¨ Volumen¨ anderung pro Zeiteinheit: ∂Ui 1 d(δV ) = (δV ) dt ∂xi

(4.104)

d.h., die Divergenz des Geschwindigkeitsfeldes gibt an, wie sich das Volumen eines Fluidelementes an einem Punkt im Raum mit der Zeit ändert. Dies wurde bereits in Kapitel 4.3 gezeigt. Es ist nun in der Literatur u ¨ blich, Elongationen von Fluidelementen und deren Winkeldeformationen zu einem Deformationstensor zusammenzufassen, derart, dass gilt: 1 ∂Uj ∂Ui + f¨ ur i = j (4.105) εij = 2 ∂xi ∂xj so dass f¨ ur den Deformationstensor gilt:    ε11 ε12 ε13  {εij } = ε21 ε22 ε23 und εij = εji   ε31 ε32 ε33

(4.106)

Aus den obigen Betrachtungen resultiert die folgende Beziehung, die auch bei i = j gilt: ∂Uj 1 ∂Uj ∂Ui ∂Ui 1 ∂Uj = + − + (4.107) ∂xi 2 ∂xi ∂xj 2 ∂xi ∂xj d.h. es gilt: R dΘij ∂Uj ∂Uj 1 = εij + ijk = εij + ∂xi dt 2 ∂xi

(4.108)

Die in Geschwindigkeitsfeldern vorliegenden Gradienten sind mit Deformationen und Rotationen von Fluidelementen verbunden, wobei die Gradi¨ enten Deformationsraten (normierte Anderungen pro Zeiteinheit) und Rotationswinkelgeschwindigkeiten anzugeben erlauben. Dies gilt es zu beachten, wenn man die Analogie zwischen Festk¨ orpermechanik und Strömungsmechanik heranzieht, um die in der Festk¨ orpermechanik durchgef¨ uhrten Betrachtungen zu Deformationen elastischer K¨ orper auf die in der Strömungsmechanik auftretenden Deformationsraten von Fluidelementen, infolge vorliegender Gradienten des Str¨ omungsfeldes zu u ¨ bertragen.

4.6 Relativbewegungen Betrachtungen der Geschwindigkeiten an zwei um (δxi ) separierten Punkten resultieren in folgender Beziehung:

4.6 Relativbewegungen

Uj (xi + δxi , t) = Uj (xi , t) +

∂Uj δxi + · · · ∂xi

117

(4.109)

oder umgeschrieben Rotation ∂Ui 1 ∂Uj ∂Ui 1 ∂Uj δxi + δxi − + Uj (xi + δxi , t) = Uj (xi , t) + 2 ∂xi ∂xj 2 ∂xi ∂xj Translation Deformation (4.110) Diese Beziehung macht deutlich, dass sich die Geschwindigkeit am Nachbarpunkt xi + δxi aus der Translationsgeschwindigkeit des Punktes P (xi ), einer Rotationsgeschwindigkeit um diesen Punkt und einer Deformationsgeschwindigkeit in diesem Punkt zusammensetzt. Die Komponenten lauten f¨ ur j = 1, 2, 3: . ∂U1 1 ∂U1 ∂U2 δx1 + − j = 1 : U1 (xi + δxi , t) = U1 + δx2 ∂x1 2 ∂x2 ∂x1 / 1 ∂U1 ∂U3 1 ∂U1 ∂U2 1 ∂U1 ∂U3 + − + + δx3 + δx2 + δx3 2 ∂x3 ∂x1 2 ∂x2 ∂x1 2 ∂x3 ∂x1 (4.111) .

∂U2 1 ∂U2 ∂U3 δx2 + − δx3 ∂x2 2 ∂x3 ∂x2 / 1 ∂U2 ∂U1 1 ∂U2 ∂U3 1 ∂U2 ∂U1 + − + + δx1 + δx3 + δx1 2 ∂x1 ∂x2 2 ∂x3 ∂x2 2 ∂x1 ∂x2 j = 2 : U2 (xi + δxi , t) = U2 +

(4.112) .

∂U3 1 ∂U3 ∂U1 j = 3 : U3 (xi + δxi , t) = U3 + δx3 + − δx1 ∂x3 2 ∂x1 ∂x3 / 1 ∂U3 ∂U2 1 ∂U3 ∂U1 1 ∂U3 ∂U2 + − + + δx2 + δx1 + δx2 2 ∂x2 ∂x3 2 ∂x1 ∂x3 2 ∂x1 ∂x3 (4.113) Mit den obigen Gleichungen lassen sich nun die allgemeinsten Bewegungen von Fluidelementen beschreiben, d.h., die Geschwindigkeit in jedem Punkt eines Fluidelements ist angebbar als die Summe aus Translationsgeschwindigkeit eines Bezugspunktes, einer Rotationsbewegung um diesen Punkt, d.h. der daraus resultierenden Geschwindigkeit, und einer u ¨ berlagerten Deformationsgeschwindigkeit.

118


x 2

P (x i ) U

j

(x i , t) U j ( ( x i+ d x i ) , t ) P ( x i+ d x i )

(d x i ) d x

x

3

d x 1

x 1

3

Abbildung 4.14: Relativbewegung in einem Fluidelement

Die einzelnen Summanden der Gleichungen (4.111) bis (4.113) lassen sich wie folgt umgruppieren: / . ∂U1 1 ∂U1 ∂U2 1 ∂U1 ∂U3 δx1 + + + δx2 + δx3 j = 1 : U1 (xi ) + ∂x1 2 ∂x2 ∂x1 2 ∂x3 ∂x1 1 ∂U1 ∂U2 1 ∂U1 ∂U3 − − + δx2 + δx3 (4.114) 2 ∂x2 ∂x1 2 ∂x3 ∂x1 .

/ ∂U2 1 ∂U2 ∂U1 1 ∂U2 ∂U3 δx2 + + + δx1 + δx3 j = 2 : U2 (x2 ) + ∂x2 2 ∂x1 ∂x2 2 ∂x3 ∂x2 0 1 ∂U2 ∂U1 1 ∂U2 ∂U3 + − − (4.115) δx1 + δx3 2 ∂x1 ∂x2 2 ∂x3 ∂x2 .

/ ∂U3 1 ∂U3 ∂U2 1 ∂U3 ∂U1 δx3 + + + j = 3 : U3 (x3 ) + δx2 + δx1 ∂x3 2 ∂x2 ∂x3 2 ∂x1 ∂x3 0 1 ∂U3 ∂U2 1 ∂U3 ∂U1 + − − (4.116) δx2 + δx1 2 ∂x2 ∂x3 2 ∂x1 ∂x3 Die vor den rechteckigen Klammern stehenden Ausdr¨ ucke stellen die Translation dar, die durch den folgenden Geschwindigkeitsvektor gegeben ist: Uj (xi , t) = {U1 , U2 , U3 }

(4.117)

In den eckigen Klammern ist das Produkt aus dem Deformationstensor:

4.6 Relativbewegungen

 ∂U1      ∂x   1 ∂U 1 2 Dij (xi , t) = +  2 ∂x  1   1 ∂U3   +  2 ∂x1

119

 ∂U2 1 ∂U1 ∂U3  1 ∂U1  + +   ∂x1 2 ∂x3 ∂x1   2 ∂x2 ∂U2 1 ∂U2 ∂U1 ∂U3  + ∂x2 ∂x2 ∂x2   2 ∂x3   ∂U3 ∂U1 1 ∂U3 ∂U2   +  ∂x3 2 ∂x2 ∂x3 ∂x3 (4.118)

und dem Abstandsvektor“ ” {δxi } = {δx1 , δx2 , δx3 }

(4.119)

aufgef¨ uhrt. W¨ ahrend in den geschwungenen Klammern das Vektorprodukt aus (4.120) {δxi } = {δx1 , δx2 , δx3 } und

2ωk =

∂U3 ∂U2 − ∂x2 ∂x3

;

∂U1 ∂U3 − ∂x3 ∂x1

;

∂U2 ∂U1 − ∂x1 ∂x2

(4.121)

aufgef¨ uhrt ist. Damit l¨ asst sich schreiben: Uj (x + dxi , t) = Uj (xi , t) + Dij (xi , t) δxi + εijk ωk (xi , t) δxi

(4.122)

Diese Beziehung bringt wiederum zum Ausdruck, dass sich die Gesamtbewegung eines Punktes P (xi + dxi ) aus der Translationsbewegung des Punktes P (xi ) verstehen l¨ asst, u ¨berlagert von Deformations- und Rotationsbewegungen um P (xi ). Die einzelnen Teile Translation, Deformation und Rotation können der Sequenz eines Fluidelements entnommen werden, die in Abb. 4.15 aufgezeigt ist. F¨ ur den zweidimensionalen Fall mit U1 = u und U2 = v sowie x1 = x

R o ta tio n

W in k e ld e fo rm a tio n L ä n g u n g

} T ra n s la tio n m it D e fo rm a tio n

Abbildung 4.15: Veranschaulichung der Translationsbewegung, der Deformation und der Rotation eines Fluidelements

120


y R '

(v +

¶ v

¶ y

R

q

d x

2

Q ' a

d y )d t P '

v d t

d y P

-d

d

q 1

(v +

¶ v

¶ x

d x )d t

Q (u + u d t

¶ u

¶ x

d x )d t

x

Abbildung 4.16: Translation, Deformation und Rotation eines Fluidelements infolge der Geschwindigkeitskomponenten u und v

und x2 = y sind die Betrachtungen zu den einzelnen Themen noch einmal in Abb. 4.16 aufgef¨ uhrt. Die Skizzen in Abb. 4.3 machen deutlich, wie Geschwindigkeitsgradienten, die in einem Str¨ omungsfeld vorliegen, f¨ ur die Deformation von Fluidelementen verantwortlich sind. Solche Deformationen sind rein kinematische Vorg¨ ange und wurden hier durch entsprechende geometrische Betrachtungen abgeleitet. Das Geschwindigkeitsfeld wurde, im Grunde genommen, stets als gegeben angesehen, und die daraus folgenden Konsequenzen f¨ ur die Translation eines Fluidelements, dessen Rotation oder dessen Deforma¨ tion, konnten durch einfache geometrische Uberlegungen erhalten werden. Auch wurde darauf hingewiesen, dass die in der Fluidkinematik betrachteten Str¨ omungsfelder, im Prinzip, keine Erhaltungssätze erf¨ ullen m¨ ussen. Es wurde aber auch aufgezeigt, dass Str¨ omungsfelder, welche die Massenerhaltung bzw. die Impulserhaltung nicht erf¨ ullen, zu widerspr¨ uchlichen Aussagen bzgl. einiger kinematischer Gr¨ oßen kommen können. Es ist deshalb wichtig, die in den nachfolgenden Kapiteln abgeleiteten Grundgleichungen der Str¨ omungsmechanik heranzuziehen, um vor der Durchf¨ uhrung kinematischer Betrachtungen sicherzustellen, dass das in die Betrachtung einbezogene Str¨ omungsfeld physikalisch existent ist, d.h. die Grundgleichungen, wie die Massenerhaltung und die Impulserhaltung, der Strömungsmechanik erf¨ ullt. Die Durchf¨ uhrung kinematischer Betrachtungen ist in vielen Bereichen der experimentellen Str¨ omungsmechanik von großer Bedeutung. Dort werden oftmals Stromlinien, Bahnlinien und Streichlinien im Rahmen von Strömungs-


121

sichtbarmachungen aufgenommen. Die quantitative Auswertung der aufgezeichneten Stromlinien, Bahnlinien und Streichlinien f¨ uhrt zu Informationen u ur verlässliche Auswertungen sind ¨ ber das gesuchte Geschwindigkeitsfeld. F¨ detaillierte Kenntnisse der Str¨ omungskinematik erforderlich. Die in diesem ¨ Kapitel erl¨ auterten Uberlegungen stellen eine Einf¨ uhrung in das Gesamtgebiet der Str¨ omungskinematik dar, die dem Leser Zugang zu umfassenden Darstellungen des Fachgebiets in der Literatur geben sollen.

4.7 Literaturverzeichnis 4.1 Brodkey RS (1967) The Phenomena of Fluid Motions. Dover Publications Inc., New York 4.2 Currie IG (1974) Fundamental Mechanics of Fluids. Mei Ya Publications, McGraw-Hill Book Company, New York 4.3 Rutherford A (1974) Vectors, Tensors and the Basic Equations of Fluid Mechanics. Mei Ya Publications, Mc Graw-Hill Book Company, New York 4.4 Hutter K (1995) Fluid- und Thermodynamik: Eine Einf¨ uhrung. Springer Verlag, Berlin 4.5 Spurk JH (1996) Str¨ omungslehre: Einf¨ uhrung in die Theorie der Strömungen. Springer Verlag, Berlin

5 Grundgleichungen der Str¨ omungsmechanik

5.1 Allgemeine Betrachtungen Str¨ omungsmechanische Betrachtungen werden in vielen Gebieten durchgef¨ uhrt, insbesondere in Gebieten des Ingenieurwesens. Untenstehend ist eine Auflistung gegeben, welche die weitreichende Anwendung von strömungsmechanischem Wissen verdeutlicht. Diese ist geeignet, die Bedeutung der Str¨ omungsmechanik im gesamten Ingenieurbereich aufzuzeigen. Während es in der Vergangenheit u ¨ blich war, spezielle strömungsmechanische Betrachtungen zu jedem der unten aufgef¨ uhrten Gebiete anzustellen, strebt man heute verst¨ arkt an, generalisierte Betrachtungsweisen zu entwickeln und einzuf¨ uhren, die uneingeschr¨ ankt auf alle unten angegebenen Gebiete anwendbar sind. Dies macht es erforderlich, die f¨ ur die Anwendung zur Lösung von Str¨ omungsproblemen formulierten Grundgesetze so allgemein abzuleiten, dass sie der in der untenstehenden Auflistung angedeuteten Forderung nach breitester Anwendbarkeit gerecht werden. Ziel der Ableitungen in diesem Abschnitt ist es, die Erhaltungss¨ atze f¨ ur Masse, Impuls, Energie, chemischer Spezies etc. so zu formulieren, dass sie auf alle in den nachfolgend aufgelisteten Gebieten auftretenden Str¨ omungsprobleme angewandt werden k¨ onnen. Diese unterscheiden sich dann nur in den Randbedingungen: – – – – – – – – – – – –

W¨ armetauscher-, K¨ uhlungs- und Trocknungstechnik Reaktionstechnik und Reaktorauslegung Aerodynamik von Fahrzeugen und Flugzeugen Halbleiterkristallherstellung, D¨ unnschichttechnologie, Gasphasenabscheidungsprozesse Auslegung und Optimierung von Pumpen, Ventilen, D¨ usen Einsatz von Str¨ omungsaggregaten wie Kr¨ ummern, Verzweigungen etc. Entwicklung von Messger¨ aten und Herstellung von Sensoren Ventilations-, Heizungs- und Klimatechnik, Funktion von Laborabz¨ ugen Probleml¨ osungen bei der Dachhinterl¨ uftung und Gebäudeumströmung Herstellung elektronischer Bauelemente, Mikrosystemtechnik Auslegung von R¨ uhrsystemen, Propellern und Turbinen Teilgebiete der Biomedizin und Medizintechnik

124

– – – – –


Auslegung von Back- und Schmelz¨ ofen sowie sonstiger Feuerungsstellen Entwicklung von Motoren, Katalysatoren und Abgassystemen Verbrennungs- und Explosionsvorg¨ ange, Energieerzeugung, Umwelttechnik Sprays, Zerst¨ aubertechnik und Beschichtungstechnik etc.

Zur Formulierung der Grundgleichungen der Strömungsmechanik ist es am einfachsten, die Erhaltungsgleichungen f¨ ur Masse, Impuls, Energie und chemische Spezies f¨ ur ein Fluidelement zu formulieren, d.h. die Lagrange-Form“ ” der Gleichungen abzuleiten. In dieser Form lassen sich die Ableitungen leicht verst¨ andlich darstellen und es kann f¨ ur die Ableitungen auf Grundkenntnissen der Physik aufgebaut werden. An die Ableitungen der Grundgleichungen in Lagrangescher Form schließen sich u ¨ blicherweise Transformationsbetrachtungen an, deren Ziel es ist, lokale Formulierungen der Erhaltungsgleichungen anzugeben und Feldgr¨ oßen in die mathematischen Darstellungen einzuf¨ uhren, d.h. die Euler-Form“ der Erhaltungsgleichungen wird f¨ ur Lösun” gen str¨ omungsmechanischer Probleme angestrebt. Damit wird es erforder¨ ¨ lich, zeitliche Anderungen substantieller Gr¨ oßen als zeitliche Anderungen von Feldgr¨ oßen auszudr¨ ucken. Dies macht es notwendig, die in Kapitel 2 aufgef¨ uhrten Betrachtungen in diesem Abschnitt teilweise zu wiederholen bzw. vertiefend zu erg¨ anzen.

Abbildung 5.1: Aufteilung eines Fluids in Fluidelemente der Masse δm

Die durchzuf¨ uhrenden Betrachtungen gehen davon aus, dass zu einem bestimmten Zeitpunkt t = 0 die Masse eines Fluids in Fluidelemente der Masse δm unterteilt wird, d.h. δm M=

Dabei ist δm f¨ ur jedes Fluidelement so groß zu wählen, dass die Annahme δm = const trotz der molekularen Struktur der Materie ausreichend genau m¨ oglich ist, und die Zuordnung von beliebigen thermodynamischen und str¨ omungsmechanischen Eigenschaften α (x (t), t) = α (t) eindeutig ¨ und mit einer f¨ ur str¨ omungsmechanische Uberlegungen zufriedenstellenden Genauigkeit erreicht werden kann.

5.1 Allgemeine Betrachtungen

125

Die Angabe α (x , t), mit x = x (t), bringt zum Ausdruck, dass die thermodynamische oder str¨ omungsmechanische Eigenschaft, die dem betrachteten Fluidelement zugeordnet wird und so eine substantielle Größe darstellt, nur eine Funktion der Zeit ist. Diese Eigenschaft des Elements ändert sich mit der Zeit, auch infolge der Bewegung des Fluidelements, und zur Be¨ schreibung dieser Anderung ist es wichtig, dass man der Masse δm folgt, d.h. x (t) kennt und in den Ableitungen auch als bekannt ber¨ ucksichtigt. Es wird angenommen, dass diese Teilchenbewegung kontinuierlich und eindeutig ist, d.h. das betrachtete Fluidelement teilt sich während der Betrachtungen seiner Bewegung nicht auf. Das Fluid das dem betrachteten Fluidelement zum Zeitpunkt t = 0 angeh¨ ort, ist auch zu allen späteren Zeiten Bestandteil des betrachteten Elements. Dies bedeutet auch, dass es nicht möglich ist, dass zwei unterschiedliche Fluidelemente zu einer beliebigen Zeit denselben ur = L. Raumpunkt“ einnehmen: x (t) = xL (t) f¨ ” Befindet sich ein Fluidelement zur Zeit t an der Position xi , d.h. xi = (x (t))i zur Zeit t, so ist die substantielle thermodynamische bzw. strömungsmechanische Eigenschaft α (t) gleich der Feldgröße α an der Stelle xi zur Zeit t, d.h. es gilt: α (t) = α(xi , t)

wenn (x (t))i = xi

zum Zeitpunkt t

(5.1)

¨ F¨ ur die zeitliche Anderung einer Gr¨ oße α (t) ergibt sich (siehe hierzu auch Kapitel 2 und 3): ∂α ∂α dxi dα = + (5.2) dt ∂t ∂xi dt Mit ( dxi /dt) = (Ui ) = Ui gilt: Dα ∂α ∂α dα = = + Ui dt Dt ∂t ∂xi

(5.3)

Der auf die Feldgr¨ oße α(xi , t) angewandte Operator D/Dt = ∂/∂t + Ui ∂/∂xi wird oftmals als die substantielle Ableitung bezeichnet und wird in den nachfolgenden Ableitungen angewandt werden. Dabei gilt es zu ber¨ ucksichtigen, dass gilt: ¨ mit der Zeit bei festem Ort, ∂/∂t = (∂/∂t)xi = Anderung partielle Differentiation nach der Zeit ¨ d/dt = Totale Anderung mit der Zeit (f¨ ur ein Fluidelement), totale Differentiation nach der Zeit Ist z.B. f¨ ur ein Fluid α = ρ = const, d.h. die Dichte konstant, so gilt: dρ Dρ = =0 dt Dt

oder

∂ρ ∂ρ = −Ui · ∂t ∂xi

(5.4)

Ist an einem bestimmten Punkt im Raum ∂α/∂t = 0 so spricht man von station¨ aren Bedingungen, d.h. die Feldgr¨ oße α(xi , t) ist stationär und weist somit keine zeitliche Abh¨ angigkeit auf. Ist dagegen d(α )/ dt = Dα/Dt = 0, so ist α (t) = α(xi , t) = const.

126


5.2 Massenerhaltung(Kontinuit¨ atsgleichung) F¨ ur str¨ omungsmechanische Betrachtungen l¨ asst sich stets ein geschlossenes ” Fluidsystem“ finden, d.h. ein System f¨ ur dessen Gesamtmasse M = const gilt. Dies ist leicht f¨ ur die Fluidmasse einzusehen, die in einem Behälter untergebracht ist. Aber auch f¨ ur Str¨ omungsanlagen, wie sie in Abb. 5.2 skizziert sind, lassen sich stets Systemgrenzen finden, innerhalb derer die Systemgesamtmasse als konstant angegeben werden kann. Wenn notwendig, können diese Systemgrenzen die ganze Erde umfassen. Unterteilt man die Fluidmasse innerhalb des betrachteten Systems in Flui¨ ur die zeitliche Anderung der delemente mit den Teilmassen δm , so gilt f¨ Gesamtmasse: 0=

d dM d = (δm ) (δm ) = dt dt dt

G e b lä s e m it A n s a u g u n g u n d A u s la s s

A q u a riu m m it k o n s ta n te r W a sse rm e n g e Ñ

m

M

= c o n st m

. e in

M

(5.5)

.

U m s trö m u n g e in e s T ra g flü g e ls

a u s

= c o n st M

= c o n st

Abbildung 5.2: Aquarium, Str¨ omungsanlage und Flugzeugfl¨ ugel mit Systemgrenzen, innerhalb derer M = const ist

Diese Gleichung bringt zum Ausdruck, dass die Massenerhaltung im Gesamtfluidsystem erhalten bleibt, wenn jedes einzelne Fluidelement seine Masse δm = const h¨ alt. Damit l¨ asst sich die Bilanzgleichung f¨ ur die Massenerhaltung in Lagrangescher Schreibweise wie folgt angeben: d (δm ) =0 dt

(5.6a)

Damit diese Beziehung, trotz der molekularen Grundstruktur der Materie und der damit verbundenen thermischen Molek¨ ulbewegung, uneingeschränkt erf¨ ullt werden kann, ist es erforderlich, dass δm → 0 als nicht zulässig angesehen wird. Die in diesem Buch durchgef¨ uhrten Betrachtungen erfordern somit, dass alle δm als endlich aber dennoch sehr klein angesehen werden.

5.2 Massenerhaltung(Kontinuit¨ atsgleichung)

127

An Fluidelementen werden Betrachtungen angestellt und in Abb. 5.3 ist ein Fluidelement mit Lagekoordinaten (xi ) aufgezeigt. 1 Um eine Absch¨ atzung f¨ ur δm angeben zu k¨ onnen, wird auf Betrachtungen verwiesen, die im Kapitel 3 aufgef¨ uhrt sind und die aufzeigen, welche Abmessungen ein Volumen eines idealen Gases haben muss, um z.B. eine Dichte des Gases innerhalb des Volumens ausreichend eindeutig“ zu definieren. Die ” dort angestellten Betrachtungen w¨ aren hier zu wiederholen, um δm = const, trotz der molekularen Struktur der Materie, zu gewährleisten. Mit der Wahl von δm = const sind die Voraussetzungen geschaffen, kontinuumsmechanische Betrachtungen f¨ ur Fluidbewegungen anzustellen, obgleich die Fluide eine molekulare Struktur aufweisen. In diesem Zusammenhang wird oftmals auf die Kontinuumsbetrachtungen ¨ hingewiesen, in der u angestellt ¨ blicherweise fluidmechanische Uberlegungen werden. Genau genommen bedeutet dies, dass die Eigenschaften der Molek¨ ule, insbesondere ihre Transporteigenschaften, nur in integraler Form in ¨ str¨ omungsmechanische Uberlegungen eingef¨ uhrt werden.

Abbildung 5.3: δm = const, Bedingung f¨ ur Masse eines Fluidelements

Aufgrund der obigen Erl¨ auterungen ist die Massenerhaltung in den folgenden Darstellungen wie folgt angebbar: dM = 0 und dt

dδm =0 dt

(5.6b)

Die durchgef¨ uhrten Betrachtungen haben bestätigt, dass es sehr einfach ist, das Massenerhaltungsgesetz in Lagrangeschen Variablen zu formulieren. Das praktische Arbeiten mit dem Gesetz der Massenerhaltung erfordert jedoch seine Darstellung in Feldgr¨ oßen, d.h. die Lagrange-Form des Massenerhaltungsgesetzes muss in die Euler-Form gebracht werden. 1

Siehe hierzu die in Kapitel 3.2 durchgef¨ uhrten Betrachtungen.

128


Umgeformt in Euler-Variablen (d.h. in Feldgrößen), erhält man aus (5.6a) f¨ ur die Massenerhaltungsgleichung: 0=

d (δV ) d (ρ ) d d (δm ) = (ρ δV ) = ρ + δV . dt dt dt dt I

(5.7)

II

F¨ ur den Term I in Gleichung (5.7) ergibt sich (nach Gleichung (4.89)) unter Verwendung von ρ = ρ wenn (x (t))i = xi zur Zeit t: ρ

d (δV ) ∂Ui = ρδV . dt ∂xi

(5.8)

F¨ ur den Term II erh¨ alt man, da ρ(xi , t) als Feldgröße existiert, siehe Gleichung (5.3): ∂ρ d (ρ ) ∂ρ δV = δV + Ui . (5.9) dt ∂t ∂xi Bei den obigen Ableitungen konnte f¨ ur d (ρ ) /dt die substantielle Ableitung der entsprechenden Feldgr¨ oße ρ, d. h. Dρ/Dt zur Anwendung gebracht wer¨ den, um den Ubergang von der substantiellen Größe ρ (t) auf die Feldgröße ρ(xi , t) zu erreichen. Dasselbe Vorgehen ist bei d (δV ) /dt nicht möglich, da es keine Volumenfelder gibt, d. h. ein Volumen kann als Punktgröße nicht exi¨ stieren. Aus Abschnitt 4, Gleichung (4.89), ist jedoch f¨ ur die zeitliche Anderung eines Fluidelements infolge der Divergenz des Geschwindigkeitsfeldes bekannt: d (δV ) ∂Ui = δV ρ . (5.10) dt ∂xi Es ist diese Beziehung, die f¨ ur Term I in Gleichung (5.7) zur Anwendung gebracht wurde. Setzt man die Gleichungen (5.8) und (5.9) in (5.7) ein, so erhält man: ∂ρ ∂Ui ∂ρ +ρ δV + Ui = 0, (5.11) ∂t ∂xi ∂xi Da δV = 0 folgt f¨ ur die Kontinuit¨ atsgleichung in allgemeinster Form: ∂ρ ∂Ui ∂p ∂ρ ∂(ρUi ) +ρ + + Ui = = 0. ∂t ∂xi ∂xi ∂t ∂xi

(5.12)

Die Gleichung l¨ asst sich allerdings auch schreiben: ∂ρ ∂Ui ∂ρ ∂Ui Dρ + Ui +ρ +ρ = = 0. ∂t ∂xi ∂xi Dt ∂xi

(5.13)

Diese Form der Kontinuit¨ atsgleichung ist zur Lösung von Strömungsproblemen nicht sehr n¨ utzlich. Sie eignet sich jedoch sehr gut zur Darstellung der

5.3 Zweites Newtonsches Gesetz (Impulsgleichungen)

129

str¨ omungsmechanischen Grundgleichungen auf verschiedene Weise, um besondere physikalische Sachverhalte herauszuarbeiten. Als Beispiel sei hier die Sonderform der Kontinuit¨ atsgleichung f¨ ur ρ = const genannt, d.h. Dρ/Dt = 0, so dass f¨ ur diese aus Gleichung (5.13) folgt: ∂Ui = 0, ∂xi

(5.14)

d.h. f¨ ur Fluide mit konstanter Dichte gilt die Divergenzfreiheit des Geschwindigkeitsfeldes. Da bei Divergenzfreiheit des Geschwindigkeitsfeldes auch die Volumenkonstanz f¨ ur das Fluidelement gilt, siehe Gleichung (5.10), erhält man unter Verwendung der Gleichungen (3.90) und (3.93): 1 ∂ρ 1 ∂ρ ∂Ui DT DP 1 dρ 1 Dρ = + =− (5.15) ρ dt ρ Dt ρ ∂T Dt ρ ∂P Dt ∂xi P T −β

+α

Diese Beziehung bringt zum Ausdruck, dass ein Fluid, das der f¨ ur ρ =const reduzierten Kontinuit¨ atsgleichung gehorcht, im thermodynamischen Sinne inkompressibel sein muss, d.h. es gilt 1 Dρ ∂Ui DT DP =− −β =0=α ρ Dt ∂xi Dt Dt wobei gilt: 1 ∂v α = − = v ∂P T β

=

1 v

∂v ∂T

=− P

1 ρ 1 ρ

∂ρ ∂P ∂ρ ∂T

mit

α=0

und β = 0

(5.16)

= isothermer Kompressibilitätskoeffizient T

= thermischer Expansionskoeffizient P

Damit gilt die Kontinuit¨ atsgleichung in einer der beiden unten aufgef¨ uhrten Formen: ∂ρ ∂(ρUi ) + =0 ∂t ∂xi ∂Ui =0 ∂xi

(kompressible Strömungen) (inkompressible Strömungen)

(5.17) (5.18)

5.3 Zweites Newtonsches Gesetz (Impulsgleichungen) Die Ableitungen der Impulsgleichungen, f¨ ur die drei Koordinatenrichtungen j = 1, 2, 3 erfolgen in der Str¨ omungsmechanik oftmals unter Anwendung

130


des zweiten Newtonschen Gesetzes auf ein Fluidelement, d.h. die LagrangeFormulierung der Impulsgleichung wird gew¨ ahlt. Es wird f¨ ur ein Fluidele¨ ment angegeben, dass die zeitliche Anderung des Impulses in die j-Richtung gleich der Summe der in dieser Richtung wirkenden externen Kräfte auf das Fluidelement darstellt, plus des molek¨ ulbedingten Eintrags an Impuls pro Zeiteinheit. Die Kr¨ afte lassen sich als durch Gravitationskräfte bzw. elektroafte (δMj ) angeben sowie durch magnetische Kr¨ afte2 verursachte Massenkr¨ druckverursachte Oberfl¨ achenkr¨ afte (δOj ) . Hinzu kommt eine durch die molekulare Bewegung eingetragene zeitliche Impulsänderung, so dass sich die Bewegungsgleichung wie folgt formulieren l¨ asst: d d(δIj ) (5.19) (δOj ) + = (δMj ) + (δIM )j dt dt Massenkr¨ afte Oberfl¨ achenkr¨ afte Molek¨ ulbedingter Impulseintrag Dabei ist, wie in Abb. 5.4 skizziert, (δIj ) = δm (Uj )

x 2

( U j) Â

( d I j) Â

x

x

d m

1

Â

3

Abbildung 5.4: Zur Ableitung der Impulsgleichungen angegebene Skizze

Genauso wie ein starrer K¨ orper wird ein Fluidelement seinen Bewegungszustand, d.h. seinen Impuls, nicht a ¨ndern, wenn auf das Fluidelement keine Massen- bzw. Oberfl¨ achenkr¨ afte wirken und ein molek¨ ulbedingter Impulseintrag ausbleibt. Liegen jedoch Kr¨ afte vor, oder kommt es zu einem Impulseinoder Impulsaustrag, so a ¨ndert das Fluidelement seinen Impuls entsprechend der oben angegebenen Beziehung (5.19). Diese stellt die Lagrangesche Form der Impulsgleichungen (j=1,2,3) der Str¨ omungsmechanik dar. Um die Eulersche Form der Impulsgleichung zu erhalten, gilt es, jeden der in Gleichung (5.19) aufhaltenen Terme in Feldgrößen auszudr¨ ucken. F¨ ur die linke Seite der Gleichung gilt: 2

(letztere bleiben im folgenden unber¨ ucksichtigt)


d(δIj ) d ((Uj ) ) d ((δm) ) d = [δm (Uj ) ] = δm + (Uj ) dt dt dt dt

131

(5.20)

Wegen der geltenden Massenerhaltung, in der Formulierung (5.6a), ist der letzte Term in Gleichung (5.20) gleich Null, so dass gilt: d(δIj ) ∂Uj d ((Uj ) ) ∂Uj ) = δm = δm ( + Ui dt dt ∂t ∂xi

(5.21)

Dies l¨ asst sich wie folgt schreiben: δm = ρ δV = ρδV unter Verwendung von ρ = ρ wenn: (x (t))i = xi zur Zeit t, d(δIj ) ∂Uj ∂Uj = ρδV ( + Ui ) dt ∂t ∂xi

(5.22)

Durch die obigen Ableitungen gelang es, die linke Seite der Impulsgleichung (5.19)in Feldgr¨ oßen anzugeben. F¨ ur die rechte Seite lassen sich die unten auf¨ gef¨ uhrten Uberlegungen anstellen. Die Massenkräfte lassen sich durch den Beschleunigungsvektor {gj }, d.h. durch dessen Komponenten gj leicht darstellen. 2

M a s s e n k rä fte :

d m

{ g j

Â

{

x

x x

1

3

Abbildung 5.5: Massenkraft auf ein Fluidelement

(δMj ) = Massenkr¨ afte auf ein Fluidelement

Auf ein Fluidelement einwirkende Massenkr¨ afte lassen sich mittels der pro Masseneinheit wirkenden Beschleunigung {gj } = {g1 , g2 , g3 } angeben, so dass die auf ein Fluidelement in j-Richtung wirkende Massenkraft wie folgt formuliert werden kann: (δMj ) = (δm ) gj = ρδV gj

(5.23)

Selbst wenn nur die Erdbeschleunigung vorliegt, können je nach Lage des Koordinatensystems mehrere Komponenten von gj ungleich Null sein. (δOj ) = Oberfl¨ achenkr¨ afte auf Fluidelement

132


O b e rflä c h e n k rä fte :

Abbildung 5.6: Betrachtungen zur Oberfl¨ achenkraft auf ein Fluidelement

Fluide, wie sie in diesem Buch behandelt werden, d.h. Fl¨ ussigkeiten (z.B. Wasser) und Gase (z.B. Luft), sind dadurch charakterisiert, dass sie nur durch den molekularen Druck Oberfl¨ achenkräfte auf ein Fluidelement aufbringen k¨ onnen. Die auf ein Fluidelement wirkende Druckkraft errechnet sich als Differenz der Kr¨ afte, die auf die Fl¨ achen wirken, die senkrecht auf den betrachteten Achsen stehen. Es gilt P = −P dF . dK Die f¨ ur die Bewegung des Fluidelements resultierende Oberflächenkraft in j−Richtung ist die Summe der angreifenden“ j−Kräfte ” (δOj ) = −P (xj )(−|δFj |) − P (xj + δxj )(|δFj |)

(5.24a)

F¨ uhrt man nun f¨ ur P (xi + δxj ) eine Taylorreihenentwicklung durch, so erhält man: (δOj ) = +P (xj )(|δFj |) − [P (xj ) +

∂P δxj + · · · ](|δFj |) ∂xj

(5.24b)

Hieraus resultiert f¨ ur die Oberfl¨ achenkraft auf ein Fluidelement unter Vernachl¨ assigung aller Glieder 2. und h¨ oherer Ordnung: (δOj ) = −

∂P δV ∂xj

(5.25)

d (δIM )j = molek¨ ulbedingter Impulseintrag pro Zeiteinheit dt Bezeichnet man den in i-Richtung pro Zeit und Flächeneinheit eingetragenen j-Impuls mit τij , so errechnet sich der den j-Impuls eines Fluidelements beeinflussende Eintrag als Eintrag an der Stelle xi und Austrag an der Stelle (xi + ∆xi ), d.h. es gilt: (δIM )j = −τij δFi (5.26)

oder entsprechend Abb. 5.7:


x 2 = x 1

- t

ij

( x i + d x i) d F

x 1 = x x

- t 3

ij

( x i) ( - d F i

133

i Â

)

j Â

Abbildung 5.7: Betrachtungen zum molek¨ ulbedingten Impulseintrag

d(δIM )j dt

= −τij (xi )(−|δFj |) − τij (xi + ∆xi )(|δFi |)

(5.27a)

j

Durch eine Taylorreihenentwicklung erh¨ alt man f¨ ur den Term τij (xi + δxi ) : d(δIM )j ∂τij = +τij (xi )(|δFi |) − [τij (xi ) + δxi · · · ](δFi ) (5.27b) dt ∂xi Hieraus resultiert:

d(δIM )j dt

=−

∂τij δV ∂xi

(5.28)

Setzt man nun all diese abgeleiteten Beziehungen (5.22), (5.23), (5.25) und (5.28) in (5.19) ein, so resultiert, nach einer Division durch δV , die Impulsgleichung der Str¨ omungsmechanik in j-Richtung, d.h. f¨ ur j = 1, 2, 3 resultieren 3 Gleichungen: ∂Uj ∂Uj ∂P ∂τij + Ui − (5.29) = ρgj − ρ ∂t ∂xi ∂xj ∂xi Da in dieser Gleichung das in allen Termen auftretende Volumen des Fluidelements δV eleminiert wurde, entsteht die pro Volumeneinheit geltende Impulsgleichung. F¨ ur die drei Koordinatenrichtungen ausgeschrieben ergibt sich: ∂U1 ∂U1 ∂U1 ∂U1 ∂τ11 ∂τ21 ∂τ31 ∂P + U1 + U2 + U3 − − − + ρg1 =− ρ ∂t ∂x1 ∂x2 ∂x3 ∂x1 ∂x1 ∂x2 ∂x3 ∂U2 ∂U2 ∂U2 ∂U2 ∂τ12 ∂τ22 ∂τ32 ∂P + U1 ρ + U2 + U3 − − − + ρg2 =− ∂t ∂x1 ∂x2 ∂x3 ∂x2 ∂x1 ∂x2 ∂x3 ∂U3 ∂U3 ∂U3 ∂U3 ∂τ13 ∂τ23 ∂τ33 ∂P + U1 ρ + U2 + U3 − − − + ρg3 =− ∂t ∂x1 ∂x2 ∂x3 ∂x3 ∂x1 ∂x2 ∂x3 (5.30) ur strömungsmechaF¨ ur Fluide ist im allgemeinen in Str¨ omungen τij = 0. F¨ nisch ideale Fluide ist τij = 0. Daraus resultieren die folgenden Formen der Impulsgleichungen:

134


ρ

∂Uj ∂τij ∂P ∂Uj + Ui − + ρgj =− ∂t ∂xi ∂xj ∂xi ∂Uj ∂Uj ∂P ρ + Ui + ρgj =− ∂t ∂xi ∂xj

(viskose Fluide)

(ideale Fluide)

(5.31)

(5.32)

5.4 Die Navier-Stokes-Gleichungen In der obigen Gleichung (5.31) ist der pro Fl¨ achen- und Zeiteinheit auftretende molek¨ ulbedingte Impulseintrag τij eine Unbekannte, d.h. er wurde in die Ableitungen formal eingef¨ uhrt, ohne dass Details betrachtet wurden, wie er sich f¨ ur verschiedene Fluide formulieren lässt. Ber¨ ucksichtigt man die Symmetrie des τij -Terms, d.h. es gilt |τij | = |τji |, so stellt man fest, dass man die folgenden Unbekannten in den Gleichungen hat: U1 , U2 , U3 , P, τ11 , τ12 , τ13 , τ22 , τ23 , τ33 = 10 Unbekannte

Abbildung 5.8: Impulseintrag infolge Str¨ omung durch Fl¨ ache δFj

Diesen Unbekannten stehen nur vier partielle Differentialgleichungen gegen¨ uber, die Kontinuit¨ atsgleichung und drei Impulsgleichungen, d.h. es liegt ein nicht geschlossenes Gleichungssystem vor, das somit keine Lösung von Str¨ omungsproblemen zul¨ asst. Es ist deshalb erforderlich, Zusatzgleichungen undet, als Funkanzugeben, d.h. die unbekannten τij -Terme, physikalisch begr¨ tionen von ∂Uj /∂xi -Termen auszudr¨ ucken. Dies erfolgt untenstehend f¨ ur ideale Gase, da deren Eigenschaften aus Betrachtungen in der Physik weitgehend bekannt sind. Es resultieren aus den untenstehend angegebenen Abur nicht ideale Gase leitungen Beziehungen f¨ ur τij = f (∂Uj /∂xi ), die auch f¨ gelten und f¨ ur eine ganze Klasse von Fl¨ ussigkeiten, deren molekulare Impulstransporteigenschaften als newtonisch“ eingestuft werden. Damit gelten ” die abgeleiteten τij -Beziehungen weit u ¨ ber ideale Gase hinaus und stellen in diesem Buch die Grundgleichungen dar, um den molek¨ ulbedingten Impulstransport in newtonischen Fluiden zu beschreiben.

5.4 Die Navier-Stokes-Gleichungen

135

Betrachtet man ein Fluidelement, wie es in Abb. 5.8 skizziert ist, so ist ersichtlich, dass der durch ein Geschwindigkeitsfeld in i- Richtung eingetragene j-Impuls wie folgt angegeben werden kann. ˆj δFi î U I˙ij = ρU

(5.33)

Nimmt man an, dass sich die momentanen Geschwindigkeitskomponenten aus dem Geschwindigkeitsanteil der Fluidstr¨ omung Ui und dem Anteil der alt man: Molek¨ ulbewegung ui zusammensetzen, so erh¨ ρUî Uˆj = ρ(Ui + ui )(Uj + uj ) (5.34) = ρ(Ui Uj + ui Uj + uj Ui + ui uj ) Durch eine zeitliche Mittelung erh¨ alt man f¨ ur die zeitlich gemittelte Gesamtimpuls¨ anderung des Fluidelements: ρUî Uˆj = ρ[Ui Uj + ui Uj + uj Ui + ui uj ] I

II

III

(5.35)

IV

Der Gesamtimpulseintrag besteht aus vier Termen, die sich wie folgt physikalisch deuten lassen: Term I:

j-Impulseintrag in i-Richtung infolge des Geschwindigkeitsfeldes des Fluids. Term II: j-Impulseintrag in i-Richtung infolge der Molek¨ ulbewegung in i-Richtung. Term III: j-Impulseintrag in i-Richtung infolge der Molek¨ ulbewegung in j-Richtung. Term IV: F¨ ur i = j ist ui uj = 0 da die Molek¨ ulbewegungen in den drei Koordinaten- richtungen nicht korreliert sind; f¨ ur i = j ergibt sich der in Kapitel 3 behandelte Druck. Da die Molek¨ ulbewegung durch das Vorliegen freier Weglängen mit endlichen Abmessungen, d.h. l = 0, ausgezeichnet ist, sind die Zeitmittelwerte ui Uj und uj Ui ungleich Null. Um diese Beitr¨ age zu τij zu berechnen, empfehlen sich Betrachtungen zum molek¨ ulbedingten Impulstransport in idealen Gasen. F¨ ur die Anzahl der Molek¨ ule, die sich in xi -Richtung bewegen und in der Zeit ∆t die Ebene A in Abb. 5.9 passieren, lässt sich schreiben, wenn δx1 = δx2 = δx3 = a ist: 1 zi = na2 u¯i ∆t (5.36) 6 Dabei ist n gleich der Anzahl der Molek¨ ule pro Volumeneinheit, a2 der Fl¨ acheninhalt der Fl¨ ache δFi und u¯i die mittlere Geschwindigkeit der Molek¨ ule in i-Richtung. Verbunden mit zi ist ein Massentransport durch δFi , der sich wie folgt angeben l¨ asst: mzi =

1 (mn) a2 u¯i ∆t 6 ρ

(5.37)

136


Abbildung 5.9: j-Impulseintrag in xi -Richtung durch ui -Molek¨ ulgeschwindigkeit

wobei m die Masse eines Molek¨ uls darstellt und somit mn = ρ gesetzt werden kann. Betrachtet man nun die in der Abb. 5.9 zu δFi in Abstand ±l gelegenen, f¨ ur die Ableitungen eingef¨ uhrten Hilfsebenen, in denen das mittlere Str¨ omungsfeld die Geschwindigkeitskomponenten Uj (xi + l) und Uj (xi − l) besitzt, so lassen sich die in positiver und negativer i−Richtung erfolgenden molek¨ ulbedingten j-Impulseintr¨ age wie folgt angeben: i+ ¨ber Fläche δFi ij = +zi mUj (xi − l) Impulseintrag u i− ¨ ber Fläche δFi ij = −zi mUj (xi + l) Impulsaustrag u

(5.38)

So dass sich als Summe von molek¨ ulbedingtem Eintrag und Austrag ergibt: ∆iij = zi m[Uj (xi − l) − Uj (xi + l)]

(5.39)

oder mit zi aus Gleichung (5.36) eingesetzt: ∆iij =

1 (mn) a2 u ¯i ∆t[Uj (xi − l) − Uj (xi + l)] 6 ρ

(5.40)

F¨ ur den Impulsfluss pro Zeit- und Fl¨ acheneinheit erhält man, wenn man gleichzeitig f¨ ur die Uj -Terme in der Klammer Taylorreihenentwicklungen vornimmt und nach den Termen mit den ersten Ableitungen abbricht: 1 1 ∆iij ∂Uj ∂Uj = ρ¯ ui Uj (xi ) − τijII = 2 l − Uj (xi ) − l , (5.41) a ∆t 6 ∂xi ∂xi so dass sich f¨ ur den Term II in Gleichung (5.35) ergibt: 1 ∂Uj ∂Uj ui l = −µ . τijII = − ρ¯ ∂xi 3 ∂xi µ

(5.42)

¨ uhren, wobei f¨ ur zj geAnalog lassen sich die Uberlegungen zu τijIII durchf¨ schrieben werden kann:

5.4 Die Navier-Stokes-Gleichungen

137

Abbildung 5.10: Impulseintrag in xj −Richtung durch uj −Molek¨ ul- und Ui Fluidgeschwindigkeit

zj =

1 2 na u¯j ∆t 6

(5.43)

Entsprechend des Terms III in Gleichung(5.35) ergibt sich ein j-Impulseintrag, der sich wie folgt angeben l¨ asst: i+ ij = zj mUi (xj − l) i− ij = −zj mUi (xj + l) bzw.

∆iij = zj m[Ui (xj − l) − Ui (xj + l)]

(5.44) (5.45)

Analog zu den Ableitungen in den Gleichungen (5.39) bis (5.42) ergibt sich: 1 ∂Ui ∂Ui uj l) τijIII = − (ρ¯ = −µ 3 ∂x ∂x j j µ

(5.46)

Aus Symmetriegr¨ unden ist |τij | = |τji |, so dass ui = uj gelten muss, d. h. das mittlere Geschwindigkeitsfeld der Molek¨ ule ist isotrop (keine bevorzugte Geschwindigkeitsrichtung), so dass geschrieben werden kann: ∂Ui ∂Uj II III + f¨ ur i = j (5.47) τij = τij + τij = −µ ∂xi ∂xj Dies ist der Gesamtimpulseintrag τij f¨ ur ρ = const, d.h. wenn d/dt(δV ) = 0 als die thermodynamische Zustandsgleichung f¨ ur eine ideale Fl¨ ussigkeit angenommen wird. F¨ ur ρ = const ergibt sich noch ein Zusatzterm, der durch Vergr¨ oßerung des Volumens eines Fluidelements bedingt ist. F¨ ur die Volumenvergr¨ oßerung eines Fluidelements gilt am Punkt xi zur Zeit t, (siehe Abschnitt 4): d(δV ) ∂Ui = (δV ) (5.48) dt ∂xi F¨ ur die entsprechende Oberfl¨ achenvergr¨ oßerung gilt:

138


d(δF ) 2 ∂Ui = (δF ) dt 3 ∂xi

(5.49)

Mit der Oberfl¨ achenvergr¨ oßerung tritt auch ein erhöhter Impulseintrag auf: 2 ∂Uk τij = +µ δij 3 ∂xk

(5.50)

Dieser Term ist noch mit hinzuzunehmen, um die allgemeine Formeln zu erhalten, so dass der Gesamtimpulseintrag pro Zeit und Flächeneinheit f¨ ur ideale Gase wie folgt angegeben werden kann: ∂Uj ∂Ui ∂Uk 2 + (5.51) + δij µ τij = −µ ∂xi ∂xj 3 ∂xk Ber¨ ucksichtigt man diese Beziehung f¨ ur τij , so lassen sich die Grundgleichungen der Str¨ omungsmechanik wie folgt angeben: Kontinuit¨ atsgleichung: ∂ρ ∂(ρUi ) + =0 (5.52) ∂t ∂xi Impulsgleichungen (j = 1, 2, 3): ∂Uj ∂Uj ∂τij ∂P + Ui ρ − + ρgj =− ∂t ∂xi ∂xj ∂xi F¨ ur newtonsche Medien gilt zudem: ∂Uj ∂Ui ∂Uk 2 + τij = −µ + δij µ ∂xi ∂xj 3 ∂xk

(5.53)

(5.54)

ur die 6 Unbekannten τij −Terme in Mit τij aus (5.54) liegen Gleichungen f¨ den Impulsgleichungen vor. Die vier Gleichungen, eine Kontinuitätsgleichung und drei Navier-Stokes-Gleichungen, enthalten f¨ unf Unbekannte: P, ρ, Uj , mit j = 1, 2, 3, so dass ein immer noch nicht geschlossenes System partieller Differentialgleichungen vorliegt. Mit Hilfe der thermischen Energiegleichung und der f¨ ur das betrachtete Fluid geltenden thermodynamischen Zustandsgleichung gelingt es jedoch, ein geschlossenes System von partiellen Differentialgleichungen zu erhalten, das allgemeine L¨ osungen f¨ ur Strömungsprobleme zul¨ asst, wenn Anfangs- und Randbedingungen vorliegen. 2 F¨ ur ρ = const und µ = const l¨ asst sich unter Verwendung von ∂ Ui = ∂xi ∂xj ∂Ui = 0 angeben: ∂ 2 Ui = ∂ ∂xj ∂xi ∂xj ∂xi ∂Ui Kontinuit¨ atsgleichung: =0 (5.55) ∂xi

5.5 Mechanische Energiegleichung

139

Navier-Stokes-Gleichungen (j = 1,2,3): ∂Uj ∂ 2 Uj ∂P ∂Uj ρ + Ui +µ + ρgj =− ∂t ∂xi ∂xj ∂x2i Dieses Gleichungssystem umfasst vier Gleichungen f¨ ur die vier Unbekannten asst sich im Prinzip, bei Vorgabe geeigneter Anfangs- und P , U1 , U2 , U3 . Es l¨ Randbedingungen, f¨ ur alle zu untersuchenden Strömungsprobleme lösen. F¨ ur thermodynamisch ideale Fl¨ ussigkeiten, d. h. ρ = const, liegt mit der Kontinuit¨ atsgleichung und den Impulsgleichungen ein geschlossenes System von partiellen Differentialgleichungen vor, das f¨ ur Lösungen von Strömungsproblemen Anwendung finden kann.

5.5 Mechanische Energiegleichung In vielen Bereichen, in denen str¨ omungsmechanische Betrachtungen angestellt werden, findet die mechanische Energiegleichung Anwendung, die sich aus der j-Impulsgleichung ableiten l¨ asst. Zu diesem Zweck multipliziert man Gleichung (5.53) mit Uj : ∂Uj ∂Uj ∂P ∂τij + Ui Uj ρ Uj − Uj + Uj ρgj (5.56) = −Uj ∂t ∂xi ∂xj ∂xi Diese Gleichung l¨ asst sich wie folgt umschreiben: ∂ 1 2 ∂Uj ∂(τij Uj ) 1 2 ∂(P Uj ) ∂ ∂Uj U U ρ +P − + τij + Ui =− ∂t 2 j ∂xi 2 j ∂xj ∂xj ∂xi ∂xi +ρgj Uj (5.57) Diese Gleichung gibt an, wie sich die kinetische Energie eines Fluidelements, aufgrund von Energieproduktions- und Dissipationstermen, die auf der rechten Seite der obigen Gleichung (5.57) auftreten, an einem Ort ändert. Um die Bedeutung der einzelnen Terme zu diskutieren, wird folgende Modifikation des letzten Terms, unter Einf¨ uhrung eines Potentials G aus dem sich die Schwerkraft ableitet, vorgenommen: ∂G ∂G ; ρgj Uj = −ρ Uj (5.58) gj = − ∂xj ∂xj Damit gilt unter Verwendung von ∂G = 0 : ∂t ∂G ∂G DG + Uj ρgj Uj = −ρ = −ρ ∂t ∂xj Dt

(5.59)

¨ Die Gleichungen (5.57) und (5.59) kombiniert ergeben f¨ ur die zeitliche Anderung der kinetischen und potentiellen Energie eines Fluidelements:

140


D ρ Dt

∂(P Uj ) ∂Uj ∂(τij Uj ) ∂Uj 1 2 U +G =− +P − + τij 2 j ∂xj ∂xj ∂xi ∂xi I

II

III

(5.60)

IV

wobei den Termen I bis IV folgende physikalische Bedeutungen zukommen: Term I:

Dieser Term beschreibt die Differenz zwischen Eintrag und Austrag an Druckenergie. Dabei wird auf die Betrachtungen f¨ ur ideale Gase hingewiesen, in deren Rahmen gezeigt wurde, dass P = 13 ρu¯2 , d.h. eine Energie pro Volumeneinheit ausdr¨ uckt. Folgendes kann somit ausgef¨ uhrt werden: (P Uj (xi )) = Eintrag an Druckenergie pro Fl¨ acheneinheit −(P Uj (xi + ∆xi )) = Austrag an Druckenergie pro Fl¨ acheneinheit Taylor-Reihenentwicklung und Differenzbildung ergibt f¨ ur die Energie pro Volumeneinheit:

(∂P Uj ) (∂P Uj ) + ··· − P Uj (xi ) − P Uj (xi ) + ∂xj ∂xj Term II:

(5.61)

Unter Ber¨ ucksichtigung von: ∂Uj 1 d(δV ) = ∂xj δV dt

(5.62)

erweist sich der Term: P

∂Uj P d(δV ) = ∂xj δV dt

(5.63)

als die pro Volumeneinheit auftretende Expansionsarbeit. Term III:

Ber¨ ucksichtigt man, dass τij den pro Flächen- und Zeiteinheit in ein Fluidelement eingetragenen molek¨ ulbedingten Impulstransport darstellt, so ergibt: −

Term IV:

∂(τij Uj ) = Differenz aus molek¨ ulbedingtem Ein- und ∂xj Austrag an kinetischer Energie des Fluids.

∂Uj beschreibt die Dissipation mechanischer ∂xi Energie in W¨ arme.

Der Term τij

Die obigen Darstellungen zeigen, dass sich die mechanische Energiegleichung aus der j-Impulsgleichung durch Multiplikation mit Uj ableiten lässt. Sie

5.6 Thermische Energiegleichung

141

ist damit keine unabh¨ angige Gleichung und sollte nicht gemeinsam mit der Impulsgleichung zur L¨ osung str¨ omungsmechanischer Probleme herangezogen werden. Eine Sonderform der mechanischen Energiegleichung stellt die BernoulliGleichung dar, die sich aus der allgemeinen Form der mechanischen Energiegleichung ableiten l¨ asst: ∂P ∂τij D 1 2 Uj − Uj (5.64) U +G =− ρ Dt 2 j ∂xj ∂xi F¨ ur τij = 0 und ∂P ∂t = 0, sowie ρ = const. gilt: D 1 2 ∂ (P/ρ) D (P/ρ) ∂ (P/ρ) Uj + G = −ρ + Uj ρ = Dt 2 ∂t ∂xj Dt D 1 2 P 1 P ρ Uj + + G = 0 ; Uj2 + + G = const. Dt 2 ρ 2 ρ

(5.65) (5.66)

Diese Form der mechanischen Energiegleichung lässt sich in vielen ingenieurm¨ aßigen Anwendungen zur u ¨berschlagsmäßigen Berechnung von Strömungsvorg¨ angen anwenden.

5.6 Thermische Energiegleichung Die Ableitungen in Kapitel 5.5 zeigten, dass die mechanische Energiegleichung aus der Impulsgleichung ableitbar ist, so dass beide Gleichungen als nicht unabh¨ angig voneinander angesehen werden m¨ ussen. Aus den Ableitungen ergab sich die Gleichung in der folgenden Form: D 1 2 ∂Uj ∂Uj ∂(τij Uj ) ∂(P Uj ) Uj +P − + τij + ρgj Uj (5.67) ρ =− Dt 2 ∂xj ∂xj ∂xi ∂xi Stellt man nun die Gleichung f¨ ur die Gesamtenergiebilanz auf, so ergibt sich die untenstehende Betrachtung, die von der gesamten inneren, kinetischen und potentiellen Energie eines Fluidelements ausgeht und dessen zeitliche ¨ Anderung betrachtet d 1 d dδm [. . . ] + [. . . ] = δm δm Uj2 + e + G dt 2 dt dt Gesamtenergie

¨ Damit ergibt sich f¨ ur die zeitliche Anderung der Gesamtenergie eines d Fluidelements mit δm = const, d.h. dt (δm ) = 0: d 1 2 D 1 2 U +e+G = δm δm Uj + e + G dt 2 Dt 2 j

142


Dies ist die Gesamtenergie¨ anderung, die es zur Ableitung der Gesamtenergiegleichung zu betrachten gilt. ¨ Beitr¨ age zur Anderung der Gesamtenergie des Fluidelements können von der W¨ armeleitung herr¨ uhren, die folgende Eintr¨ age abz¨ uglich der Austräge an W¨ arme ergibt: −

∂ q˙i δV = Energieeintrag pro Zeiteinheit durch Wärmeleitung ∂xi

Ferner kann durch den konvektiven Transport von Druckenergie herr¨ uhren: −

∂ (P Uj )δV = Druckenergieeintrag durch Konvektion ∂xj

oder durch den Eintrag an kinetischer Energie aufgrund von molekularem Transport in das Fluidelement erfolgen: ∂ (τij Uj )δV = molek¨ ulbedingter Eintrag an kinetischer Energie ∂xi Es ergibt sich somit folgende Gesamtenergiebilanz: D 1 2 ∂ q˙i ∂(P Uj ) ∂ (τij Uj ) ρδV Uj + e + G = − δV − δV − δV , (5.68) Dt 2 ∂xi ∂xj ∂xi −

da δV = 0 folgt: D 1 2 ∂ q˙i ∂(P Uj ) ∂ (τij Uj ) ρ Uj + G =− − − . e+ Dt 2 ∂xi ∂xj ∂xi

(5.69)

Zieht man hiervon den f¨ ur die mechanisch abgeleiteten Anteile ab, d.h. man bildet die Differenz aus Gleichung (5.69) und der nachfolgend noch einmal angegebenen Gleichung f¨ ur die mechanische Energie: D 1 2 ∂Uj ∂(P Uj ) ∂Uj ∂ (τij Uj ) ρ U +G =− +P − + τij , (5.70) Dt 2 j ∂xj ∂xj ∂xi ∂xi so erh¨ alt man die thermische Energiegleichung: De ∂Uj ∂ q˙i ∂Uj ρ =− −P − τij Dt ∂x ∂x ∂x i j i I

II

III

(5.71)

IV

¨ : Zeitliche Anderung der inneren Energie eines Fluids pro Volumeneinheit Term II : W¨ armezufuhr pro Zeit- und Fl¨ acheneinheit. Term III : Geleistete Volumenarbeit pro Volumen- und Zeiteinheit. ¨ Term IV : Irreversible Uberf¨ uhrung von mechanischer Energie in Wärme, pro Volumen- und Zeiteinheit. Unter Ber¨ ucksichtigung der Energiegleichung aus der technischen Thermodynamik Term I

5.6 Thermische Energiegleichung

dq = de + P dv − dldiss

143

(5.72)

und der in der technischen Thermodynamik u ¨ blichen Vorzeichenkonvention, dass die von einem Fluidelement zu dissipierende Energie negativ zu betrachten ist, ergibt sich: dldiss dq 1 ∂ q˙i 1 ∂Uj 1 ∂Uj dv =− = P = τij ; P und dt ρ ∂xi dt ρ ∂xj dt ρ ∂xi (5.73) Die obigen Ableitungen f¨ uhren somit zu der in der Thermodynamik verwendeten Form der Energiegleichung, allerdings werden Leistungsterme betrachtet. F¨ ur die thermische Energiegleichung sind die unterschiedlichsten Formen bekannt bzw. aus Beziehung (5.71) ableitbar. So ist es z.B. f¨ ur die meisten ¨ str¨ omungsmechanischen Berechnungen vorteilhaft, die Anderung der inneren Energie de durch den Druck und die Temperatur zu ersetzen, wobei die folgenden Beziehungen zur Anwendung kommen. Allgemein kann f¨ ur thermodynamisch einfache Systeme (Fluide) geschrieben werden: ∂e ∂e ∂e dυ + dT = dυ + cυ dT (5.74) de = ∂υ T ∂T υ ∂υ T De de = ; dt Dt

Unter Ber¨ ucksichtigung der Maxwell-Beziehungen der Thermodynamik lässt sich schreiben: ∂e ∂P = −P + T (5.75) ∂υ T ∂T υ so dass gilt:

. / ∂P DT De ∂Ui = −P + T + ρcυ ρ Dt ∂T ρ ∂xi Dt Die thermische Energiegleichung l¨ asst sich somit schreiben: ∂ q˙i ∂P DT ∂Ui ∂Uj =− ρcυ −T − τij Dt ∂xi ∂T ρ ∂xi ∂xi + , P ∂T F¨ ur ideales Gas ergibt sich wegen ∂P ∂T ρ = T und q˙i = −λ ∂xi ρcυ

∂2T DT ∂Uj ∂Ui =λ 2 −P − τij Dt ∂xi ∂xi ∂xi

F¨ ur eine ideale Fl¨ ussigkeit gilt wegen ρcp

∂Ui ∂xi

(5.76)

(5.77)

(5.78)

= 0 und cυ = cp

∂2T DT ∂Uj = λ 2 − τij Dt ∂xi ∂xi

(5.79)

¨ Abschließend soll noch die Gleichung f¨ ur die Anderung der Gesamtenergie durch Addition der Gleichungen f¨ ur die mechanische und die thermische Energie bestimmt werden: Gleichung f¨ ur mechanische Energie:

144

D ρ Dt


∂ ∂Uj ∂ ∂Uj 1 2 U +G =− (P Uj ) + P − (τij Uj ) + τij 2 j ∂xj ∂xj ∂xi ∂xi

(5.80)

Gleichung f¨ ur thermische Energie: ρ

∂ q˙i De ∂Ui ∂Uj =− −P − τij Dt ∂xi ∂xi ∂xi

Gleichung f¨ ur Gesamtenergie: ∂ q˙i ∂ ∂ D 1 2 U +G+e = − − (P Uj ) − (τij Uj ) ρ Dt 2 j ∂xi ∂xj ∂xi 2 ∂ ∂ ∂ T (P Uj ) − (τij Uj ) =λ 2 − ∂xi ∂xj ∂xi

(5.81)

(5.82)

Aus dieser Endbeziehung l¨ asst sich die oftmals bei strömungsmechanischen Betrachtungen verwendete Bernoulli-Gleichung wie folgt ableiten: Ideale Fl¨ ussigkeit:

(ρ = const): keine W¨ armeleitung und Vernachlässigung der viskosen Dissipation

D ρ Dt

∂P ∂P 1 2 Uj + G = −Uj = −Ui 2 ∂xj ∂xi

(5.83)

F¨ ur station¨ are Str¨ omung gilt: =0

1 2 ∂ ∂P ∂ 1 2 Uj + G +Ui Uj + G = −Ui ρ ∂t 2 ∂xi 2 ∂xi Wegen ρ = const und

∂Ui ∂xi

(5.84)

= 0 gilt:

∂ Ui ∂xi

1 2 P U +G+ 2 j ρ

=0

oder nach erfolgter Integration: P 1 2 Uj + G + = const. 2 ρ Ideales Gas:

D ρ DT

(5.85)

P/ρ = RT , keine W¨ armeleitung und Vernachlässigung der viskosen Dissipation sowie der potentiellen Energie

1 2 U +e 2 j

=−

∂ ∂ (P Uj ) = − (P Ui ) ∂xj ∂xi

F¨ ur station¨ are Str¨ omungen ergibt sich:

(5.86)

5.7 Grundgleichungen in verschiedenen Koordinatensystemen

ρUi

∂ ∂xi

1 2 U +e 2 j

=−

∂ ∂Ui ∂P (P Ui ) = −P − Ui ∂xi ∂xi ∂xi

145

(5.87)

Aus der Kontinuit¨ atsgleichung folgt f¨ ur stationäre Strömung ρ

∂ρ ∂Ui = −Ui ∂xi ∂xi

eingesetzt ergibt sich unter Ber¨ ucksichtigung von e = cυ T ∂ ∂ P ∂ρ ∂P 1 2 1 2 ∂T Uj + e = ρ Uj + ρcυ ρ = − ∂xi 2 ∂xi 2 ∂xi ρ ∂xi ∂xi ∂ ∂xi F¨ uhrt man ein:

∂ ∂xi

1 2 U 2 j

1 2 U 2 j

=

(5.88)

(5.89)

∂T 1 ∂P P ∂ρ − − cυ 2 ρ ∂xi ρ ∂xi ∂xi

P ∂ρ 1 ∂P ∂T =− 2 + ∂xi Rρ ∂xi Rρ ∂xi

(5.90)

P cυ 1 ∂P cυ κ ∂ P ∂ρ 1+ 1+ − =− = 2 ρ ∂xi R ρ ∂xi R κ − 1 ∂xi ρ (5.91)

P P ∂ 1 2 κ κ 1 2 Uj + = 0 ⇒ Uj + = const ∂xi 2 κ−1 ρ 2 κ−1 ρ

(5.92)

5.7 Grundgleichungen in verschiedenen Koordinatensystemen 5.7.1 Kontinuit¨ atsgleichung Die durchgef¨ uhrten Ableitungen f¨ ur die Kontinuitätsgleichung in kartesischen Koordinaten resultieren in: ∂ρ ∂(ρUi ) + =0 ∂t ∂xi

(5.93)

∂ρ ∂(ρU1 ) ∂(ρU2 ) ∂(ρU3 ) + + + =0 ∂t ∂x1 ∂x2 ∂x3

(5.94)

oder ausgeschrieben:

F¨ ur ρ = const:

∂U1 ∂U2 ∂U3 + + =0 ∂x1 ∂x2 ∂x3

146


In Zylinderkoordinaten (r, ϕ, z) ergibt sich mit (Ur , Uϕ , Uz ) die folgende Gleichung: ∂ρ ∂(ρUr ) 1 ∂(ρUϕ ) ∂(ρUz ) ρUr + + + + =0 (5.95) ∂t ∂r r ∂ϕ ∂z r und f¨ ur ρ = const ergibt sich folgende reduzierte Gleichung: ∂Ur 1 ∂Uϕ ∂Uz Ur + + + =0 ∂r r ∂ϕ ∂z r

(5.96)

asst sich die Kontinuitätsgleichung wie untenIn Kugelkoordinaten (r, θ, φ) l¨ stehend f¨ ur (Ur , Uθ , Uφ ) angegeben: ∂ρ 1 ∂ ∂ ∂ 1 1 + 2 (ρr2 Ur ) + (ρUθ sin θ) + (ρUφ ) = 0 ∂t r ∂r r sin θ ∂θ r sin θ ∂φ

(5.97)

Dabei fanden die untenstehenden Koordinatenangaben in den Ableitungen der Beziehungen Anwendung. Die Anwendung von Zylinderkoordinaten in den Ableitungen der Grundgleichungen ergibt die in Abschnitt 2.10 eingef¨ uhrten metrischen Koeffizienten f¨ ur die Transformation der Gleichungen hr = 1;

hϕ = r;

hz = 1

f¨ ur die allgemeine Kontinuit¨ atsgleichung: ∂(ρUi ) 1 ∂ 1 ∂ ∂(ρUz ) (rρUr ) + (ρUϕ ) + , = ∂xi r ∂r r ∂ϕ ∂z

(5.98)

oder f¨ ur die Kontinuit¨ atsgleichung mit ρ = const: ∂Ur 1 ∂Uϕ ∂Uz Ur + + + =0 ∂r r ∂ϕ ∂z r

(5.99)

Analog zu den obigen Ableitungen der Kontinuitätsgleichung in Zylinderkoordinaten erh¨ alt man f¨ ur Kugelkoordinaten: hr = 1;

hθ = r;

hφ = r sin θ

(5.100)

und damit f¨ ur ∂ ∂(ρUi ) 1 ∂ 1 ∂ 1 (ρUθ sin θ) + (ρUφ )(5.101) = 2 (ρr2 Ur ) + ∂xi r ∂r r sin θ ∂θ r sin θ ∂φ so dass sich f¨ ur die Kontinuit¨ atsgleichung in Kugelkoordinaten mit ρ = const ergibt: +

∂ 1 ∂ 2 1 ∂ 1 (r Ur ) + (Uθ sin θ) (Uφ ) = 0 2 r ∂r r sin θ ∂θ r sin θ ∂φ

(5.102)


147

Z y lin d e rk o o rd in a te n

Abbildung 5.11: Koordinatensysteme und Transformationsgleichungen f¨ ur Zylinderkoordinaten

K u g e lk o o rd in a te n

Q F

Abbildung 5.12: Koordinationssysteme und Transformationsgleichungen f¨ ur Kugelkoordinaten

5.7.2 Navier-Stokes-Gleichungen Analog zu den Transformationen der Kontinuitätsgleichung in Zylinder- und Kugelkoordinatensystemen lassen sich auch die einzelnen Terme der NavierStokes-Gleichungen transferieren, die sich in kartesischen Koordinaten wie folgt f¨ ur Newtonsche Fluide angeben lassen: ∂Uj ∂Uj DUj =ρ + Ui (5.103) ρ= Dt ∂t ∂xi ∂Uj ∂Uk ∂P ∂ ∂Ui 2 = − + + µ − µδij + ρgj ∂xj ∂xi ∂xi ∂xj 3 ∂xk

148


Ausgeschrieben ergibt sich f¨ ur j = 1, 2, 3: ∂P ∂ 2 DU1 ∂U1 ) =− (5.104) + − µ(∇ · U ρ 2µ Dt ∂x1 ∂x1 ∂x1 3 ∂ ∂U1 ∂U3 ∂U2 ∂U1 ∂ + + + µ + µ + ρg1 ∂x2 ∂x2 ∂x1 ∂x3 ∂x3 ∂x1

ρ

ρ

∂U2 ∂P DU2 ∂ ∂U1 =− + + µ (5.105) Dt ∂x2 ∂x1 ∂x1 ∂x2 ∂ 2 ∂U2 + ∂ µ ∂U3 + ∂U2 + − µ(∇ · U) 2µ + ρg2 ∂x2 ∂x2 3 ∂x3 ∂x3 ∂x1 ∂U3 ∂P DU3 ∂ ∂U1 =− + + µ (5.106) Dt ∂x3 ∂x1 ∂x1 ∂x3 ∂U2 ∂U3 ∂ ∂U3 2 ∂ ) + ρg3 + − µ(∇ · U µ + 2µ + ∂x2 ∂x2 ∂x3 ∂x3 ∂x3 3

= wobei gilt ∇ · U –

∂Uk ∂xk

Impulsgleichungen in kartesischen Koordinaten - Impulsgleichungen mit τij −Termen:

∂U1 ∂U1 ∂U1 ∂U1 ∂P + U1 + U2 + U3 =− ∂t ∂x1 ∂x2 ∂x3 ∂x1 ∂τ11 ∂τ21 ∂τ31 − + + + ρg1 ∂x1 ∂x2 ∂x3 (5.107)



x1 −Komponente: ρ




-

149

Navier-Stokes-Gleichungen f¨ ur ρ und µ gleich konstant:

∂U1 ∂U1 ∂U1 ∂U1 ∂P + U1 + U2 + U3 =− ∂t ∂x1 ∂x2 ∂x3 ∂x1 2 ∂ U1 ∂ 2 U1 ∂ 2 U1 +µ + + + ρg1 ∂x21 ∂x22 ∂x23 (5.110) ∂U2 ∂U2 ∂U2 ∂U2 ∂P + U2 + U2 + U3 x2 −Komponente: ρ =− ∂t ∂x1 ∂x2 ∂x3 ∂x2 2 ∂ U2 ∂ 2 U2 ∂ 2 U2 +µ + + + ρg2 ∂x21 ∂x22 ∂x23 (5.111) ∂U3 ∂U3 ∂U3 ∂U3 ∂P + U1 + U2 + U3 =− x3 −Komponente: ρ ∂t ∂x1 ∂x2 ∂x3 ∂x3 2 ∂ U3 ∂ 2 U3 ∂ 2 U3 + ρg3 +µ + + ∂x21 ∂x22 ∂x23 (5.112)


–

Impulsgleichungen in Zylinderkoordinaten - Impulsgleichungen mit τij −Termen: * Uϕ2 Uϕ ∂Ur ∂P ∂Ur ∂Ur ∂Ur + Ur + − + Uz =− r−Komponente: ρ ∂t ∂r r ∂ϕ r ∂z ∂r 1 ∂ τϕϕ ∂τrz 1 ∂τrϕ − (rτrr ) + − + + ρgr r ∂r r ∂ϕ r ∂z (5.113) ∂Uϕ ∂Uϕ Uϕ ∂Uϕ Ur Uϕ ∂Uϕ + Ur + + + Uz ϕ−Komponente: ρ ∂t ∂r r ∂ϕ r ∂z 1 ∂ 2 ∂τϕz 1 ∂τϕϕ 1 ∂P − (r τrϕ ) + + + ρgϕ =− r ∂ϕ r2 ∂r r ∂ϕ ∂z (5.114) ∂Uz Uϕ ∂Uz ∂Uz ∂Uz ∂P + Ur + + Uz z−Komponente: ρ =− ∂t ∂r r ∂ϕ ∂z ∂z 1 ∂ ∂τzz 1 ∂τϕz (rτrz ) + + − + ρgz r ∂r r ∂ϕ ∂z (5.115) )

150


-

Navier-Stokes-Gleichungen f¨ ur ρ und µ gleich konstant: )

* Uϕ2 Uϕ ∂Ur ∂Ur ∂Ur ∂Ur + Ur + − + Uz r−Komponente: ρ ∂t ∂r r ∂ϕ r ∂z ∂P ∂ 1 ∂ 1 ∂ 2 Ur 2 ∂Uϕ =− +µ (rUr ) + 2 − 2 2 ∂r ∂r r ∂r r ∂ϕ r ∂ϕ ∂ 2 Ur + (5.116) + ρgr ∂z 2

ϕ−Komponente:

∂Uϕ ∂Uϕ Uϕ ∂Uϕ Ur Uϕ ∂Uϕ + Ur + + + Uz ∂t ∂r r ∂ϕ r ∂z 2 ∂ 1 ∂ 1 ∂ Uϕ 2 ∂Ur 1 ∂p + µ[ (rUϕ ) + 2 + 2 =− r ∂ϕ ∂r r ∂r r ∂ϕ2 r ∂ϕ ∂ 2 Uϕ (5.117) + ρgϕ + ∂z 2 ρ

∂Uz ∂Uz ∂Uz Uϕ ∂Uz + Ur + + Uz z−Komponente: ρ ∂t ∂r r ∂ϕ ∂z 1 ∂ ∂ 2 Uz ∂P ∂Uz 1 ∂ 2 Uz +µ + =− r + 2 ∂z r ∂r ∂r r ∂ϕ2 ∂z 2 +ρgz (5.118) –

Impulsgleichungen in Kugelkoordinaten - Impulsgleichungen mit τij −Termen ∂Ur Uθ ∂Ur Uφ ∂Ur ∂Ur r−Komponente: ρ + Ur + + ∂t ∂r r ∂θ r sin θ ∂φ * Uθ2 + Uφ2 1 ∂ 2 ∂P 1 − (r τrr ) + =− − 2 r ∂r r ∂r r sin θ ∂ τθθ + τθθ 1 ∂τrφ (τrθ sin θ) + − + ρgr ∂θ r sin θ ∂φ r (5.119)

θ−Komponente:

∂Uθ Uθ ∂Uθ Uφ ∂Uθ Ur Uθ ∂Uθ + Ur + + + ∂t ∂r r ∂θ r sin θ ∂φ r * 2 Uφ cot θ 1 ∂ 2 1 ∂p ∂ 1 =− − (r τrθ ) + − 2 r r ∂θ r ∂r r sin θ ∂θ τrθ cot θ 1 ∂τθφ .+ − τφφ + ρgθ (τθθ sin θ) + r sin θ ∂φ r r (5.120) ρ


151

Uθ ∂Uφ Uφ ∂Uφ Uφ Ur ∂Uφ ∂Uφ + Ur + + + ∂t ∂r r ∂θ r sin θ ∂φ r 1 ∂ + 2 , 1 ∂p Uθ Uφ cot θ = − − r τrφ + r r sin θ ∂φ r2 ∂r 1 ∂τθφ 1 ∂τφφ τrφ 2 cot θ + + + + τθφ + ρgφ r ∂θ r sin θ ∂φ r r (5.121)

φ−Komponente: ρ

–

Navier-Stokes-Gleichungen f¨ ur ρ und µ gleich konstant * Uθ2 + Uφ2 Uθ ∂Ur Uφ ∂Ur ∂Ur ∂Ur + Ur + + − r−Komponente: ρ ∂t ∂r r ∂θ r sin θ ∂φ r 2 ∂P 2 2 ∂Uθ + µ ∇2 Ur − 2 Ur − 2 − 2 Uθ cot θ =− ∂r r r ∂θ r 2 ∂Uφ (5.122) − 2 + ρgr r sin θ ∂φ )

∂Uθ Uθ ∂Uθ Uφ ∂Uθ Ur Uθ ∂Uθ + Ur + + + ∂t ∂r r ∂θ r sin θ ∂φ r * 2 Uφ cot θ 1 ∂P 2 ∂Ur − + µ ∇2 Uθ + 2 =− r r ∂θ r ∂θ Uθ 2 cos θ ∂Uφ − 2 2 − 2 2 (5.123) + ρgθ r sin θ r sin θ ∂φ

θ−Komponente: ρ

φ−Komponente:

∂Uφ Uφ ∂Uφ Uφ ∂Uφ Uφ Ur ∂Uφ + Ur + + + ∂t ∂r r ∂θ r sin θ ∂φ r 1 ∂P Uθ Uφ Uφ cot θ = − + µ ∇2 Uφ − 2 2 + r r sin θ ∂φ r sin θ 2 cos θ ∂Uθ ∂Ur 2 . + 2 2 + 2 2 (5.124) + ρgφ r sin θ ∂φ r sin θ ∂φ ρ

In diesen Gleichungen ist: 2 ∂ ∂ 1 ∂ 1 ∂ 1 2 2 ∂ ∇ = 2 (5.125) r + 2 sin θ + 2 2 r ∂r ∂r r sin θ ∂θ ∂θ r sin θ ∂φ2

152

–


Komponenten des molekularen Impulstransporttensors in kartesischen Koordinaten:

τ11 τ22 τ33

∂U1 2 = −µ 2 − (∇ · U) ; ∂x1 3 ∂U2 2 = −µ 2 − (∇ · U) ; ∂x2 3 ∂U3 2 = −µ 2 − (∇ · U) . ∂x3 3

(5.126)

τ12 = τ21 τ23 = τ32 τ31 = τ13

∂U1 ∂U2 = −µ + ; ∂x2 ∂x1 ∂U2 ∂U3 = −µ + ; ∂x3 ∂x2 ∂U3 ∂U1 = −µ + . ∂x1 ∂x3

(5.127)

wobei oben verwendet wurde ) = ∂U1 + ∂U2 + ∂U3 = ∂Uk (∇ · U ∂x1 ∂x2 ∂x3 ∂xk –

(5.128)

Komponenten des molekularen Impulstransporttensors in Zylinderkoordinaten: 2 ∂Ur − (∇ · U ) ; τrr = −µ 2 ∂r 3 1 ∂Uϕ Ur 2 + τϕϕ = −µ 2 − (∇ · U ) ; r ∂ϕ r 3 ∂Uz 2 ) . τzz = −µ 2 (5.129) − (∇ · U ∂xz 3 ∂ Uϕ 1 ∂Ur τrϕ = τϕr = −µ r + ; ∂r r r ∂ϕ ∂Uϕ 1 ∂Uz + τϕz = τzϕ = −µ ; ∂z r ∂ϕ ∂Ur ∂Uz + . τzr = τrz = −µ ∂r ∂z

(5.130)

wobei verwendet wurde ) = 1 ∂ (rUr ) + 1 ∂Uϕ + ∂Uz (∇ · U r ∂r r ∂ϕ ∂z

(5.131)


–

Komponenten des molekularen Impulstransporttensors in Kugelkoordinaten: 2 ∂Ur − (∇ · U ) (5.132) τrr = −µ 2 ∂r 3 τθθ

τφφ

= −µ 2

τθφ

1 ∂Uθ Ur 2 + = −µ 2 − (∇ · U ) r ∂θ r 3 1 ∂Uφ Ur Uθ cot θ + + r sin θ ∂φ r r

2 − (∇ · U ) 3

∂ Uθ 1 ∂Ur τrθ = τθr = −µ r + ∂r r r ∂θ sin θ ∂ Uφ 1 ∂Uθ = τφθ = −µ + r ∂θ sin θ r sin θ ∂φ 1 ∂Ur ∂ Uφ +r τφr = τrφ = −µ r sin θ ∂φ ∂r r

(∇ · U ) = –

153

∂ 1 1 ∂Uφ 1 ∂ 2 (r Ur ) + (Uθ sin θ) + 2 r ∂r r sin θ ∂θ r sin θ ∂φ

(5.133)

(5.134)

(5.135)

(5.136)

(5.137)

(5.138)

∂U

Dissipationsfunktion τij ∂xij = µΦµ : Kartesische Koordinaten: . 2 2 2 / 2 ∂U1 ∂U2 ∂U3 ∂U2 ∂U1 Φµ = 2 + + + + ∂x1 ∂x2 ∂x3 ∂x1 ∂x2 2 2 2 ∂U3 ∂U1 ∂U2 ∂U3 2 ∂U1 ∂U2 ∂U3 + + + + − + + ∂x2 ∂x3 ∂x3 ∂x1 3 ∂x1 ∂x2 ∂x3 (5.139) Zylinderkoordinaten: . 2 / 2 2 ∂Ur 1 ∂Uϕ ∂Uz Ur + Φµ = 2 + + ∂r r ∂ϕ r ∂xz 2 2 2 1 ∂Uz ∂Ur ∂ Uϕ ∂Uϕ ∂Uz 1 ∂Uz + r + + + + + ∂r r r ∂ϕ r ∂ϕ ∂xz ∂xz ∂r 2 ∂Uz 2 1 ∂ 1 ∂Uϕ (rUr ) + + − (5.140) 3 r ∂r r ∂ϕ ∂xz

154


Kugelkoordinaten: . 2 2 2 / ∂Ur 1 ∂Uθ 1 ∂Uφ Ur Ur Uθ cot θ + + + + Φµ = 2 ∂r r ∂θ r r sin θ ∂φ r r 2 2 sin θ ∂ Uφ ∂ Uθ 1 ∂Ur 1 ∂Uθ + + r + + ∂r r r ∂θ r ∂θ sin θ r sin θ ∂φ 2 1 ∂Ur ∂ Uφ +r + r sin θ ∂φ ∂r r 2 2 1 ∂ 2 1 ∂ 1 ∂Uφ (r Ur ) + (Uθ sin θ ) + − 3 r2 ∂r r sin θ ∂θ r sin θ ∂φ (5.141) Die obigen Gleichungen k¨ onnen, in Verbindung mit den die eigentlichen Str¨ omungsprobleme beschreibenden Anfangs- und Randbedingungen gelöst werden.

5.8 Spezielle Formen der Grundgleichungen Aufgrund der Vielf¨ altigkeit str¨ omungsmechanischer Betrachtungen haben sich Sonderformen der in den vorausgegangenen Kapiteln behandelten Gleichungen herauskristallisiert, von denen einige in dem vorliegenden Kapitel abgeleitet und behandelt werden sollen. Es sind dies die schon zuvor behandelte Wirbelst¨ arkengleichung, die Bernoulli-Gleichung und die CroccoGleichung. Die Ableitungen werden zudem das Kelvinsche Theorem behandeln als Basis von Erl¨ auterungen seiner physikalischen Bedeutung. Ziel der Betrachtungen ist es, die Voraussetzungen klar herauszuarbeiten unter denen die Sonderformen der Grundgleichungen ihre G¨ ultigkeit haben. Nur so ist sichergestellt, dass die mit den Sonderformen der Gleichungen angestrebten vereinfachten Behandlungen von Str¨ omungsproblemen auch zu gesicherten Ergebnissen f¨ uhren. 5.8.1 Transportgleichung f¨ ur Wirbelst¨ arke Die Wirbelst¨ arke ωi ist eine Eigenschaft des Strömungsfeldes die bei Betrachtungen von rotationsbehafteten Fluidbewegungen vorteilhaft eingesetzt werden kann. Sie ist wie folgt aus dem Geschwindigkeitsfeld berechenbar. = −ijk ∂Uj = ∂Uj − ∂Ui ωk = ∇ × U (5.142) ∂xi ∂xi ∂xj F¨ ur ein Fluid mit den Eigenschaften ρ = const und µ = const lässt sich die Navier-Stokes-Gleichung wie folgt schreiben:

5.8 Spezielle Formen der Grundgleichungen

ρ

∂Uj ∂Uj + Ui ∂t ∂xi

=−

∂ 2 Uj ∂P +µ + ρgj ∂xj ∂x2i

oder in Vektorform: . ∂U

/ 1 + ρg + U · ∇ U = − ∇P + ν∇2 U ∂t ρ

155

(5.143)

(5.144)

Beachtet man, dass diese Vektorform der Navier-Stokes-Gleichung auch geschrieben werden kann: 1 ∂U + g ρ × ∇×U = − 1 ∇P + ν∇2 U (5.145) +∇ U ·U −U ∂t 2 ρ Wendet man den Operator ∇ × (. . . ) auf jeden der in der obigen Gleichung auftretenden Terme an, so erh¨ alt man: ∂ ω × − ∇ × (U ω ) = ν∇2 ω ∂t

(5.146)

Nutzt man die f¨ ur Vektoren geltende Beziehung: × (∇ · ) − (U · ∇)ω + (ω · ∇)U ∇ × (U ω) = U ω) − ω (∇ · U wobei ∇ · ω = 0 ist, da die Divergenz der Rotation eines jeden Vektors gleich Null ist, und gleichzeitig wegen der Kontinuitätsgleichung f¨ ur ρ = = 0 gilt. F¨ const ∇ · U uhrt man all dies in die obigen Ableitungen ein, so lautet die Transportgleichung f¨ ur die Wirbelstärke: ∂ ω ∇) + ν∇2 ω + (U ω = ( ω ∇)U ∂t

(5.147)

oder in Tensorschreibweise: Dωj ∂ωj ∂ωj ∂Ui ∂ 2 ωj = + Ui = ωj +ν Dt ∂t ∂xi ∂xj ∂x2i

(5.148)

Die oben angegebene Gleichung (5.148) enth¨ alt nicht den Druck. Damit ist ersichtlich, dass das Wirbelst¨ arkenfeld ohne Kenntnisse der Druckverteilung ermittelt werden kann. Um den Druck berechnen zu können, bildet man die Divergenz“ der Navier-Stokes-Gleichung und erhält f¨ ur gj = 0: ” ∂2 P ∂ 2 Uj 1 ∂ 2 Uj2 2 + U − (5.149) = ω j j ∂x2i ρ ∂x2i 2 ∂x2i Damit ergibt sich f¨ ur die Berechnung des Drucks eine Poisson-Gleichung. F¨ ur zweidimensionale Str¨ omungen, f¨ ur die der Wirbelstärkenvektor senkrecht = 0 und damit lautet die Transauf der Str¨ omungsebene steht, gilt ( ω · ∇)U portgleichung f¨ ur die Wirbelst¨ arke: ∂ωj ∂ωj ∂ 2 ωj + Ui =ν ∂t ∂xi ∂x2i

(5.150)

156


5.8.2 Bernoulli-Gleichung Zur Ableitung der Bernoulli-Gleichung werden die allgemeinen Impulsgleichungen unter der Annahme eines str¨ omungsmechanisch idealen Fluids, d.h. uhrt: τij = 0 in die Eulergleichungen u ¨ bergef¨ DUj ∂Uj ∂Uj ∂P ρ =ρ + Ui + ρgj (5.151) =− Dt ∂t ∂xi ∂xj ur dissipationsMultipliziert man diese Gleichung mit Uj , so erhält man die f¨ freie Str¨ omungsvorg¨ ange geltende mechanische Energiegleichung: ∂ 1 2 1 2 D 1 2 ∂ ∂P =ρ + Ui = −Uj + ρgj Uj . ρ U U U Dt 2 j ∂t 2 j ∂xi 2 j ∂xj (5.152) F¨ uhrt man zur Darstellung von gj das Potentialfeld G ein, so dass gilt: gj = −

∂G ∂xj

(5.153)

und ber¨ ucksichtigt man, dass allgemein g¨ ultig ist: ∂G ∂G DG +ρ , = −ρ ∂xj Dt ∂t

ρgj Uj = −ρUj so erh¨ alt man f¨ ur

∂G ∂t

(5.154)

= 0: ρ

D Dt

1 2 U 2 j

∂P . + G = −Uj ∂xj

Ber¨ ucksichigt man dass gilt: P ∂ D P ∂ P ρ =ρ + ρUj Dt ρ ∂t ρ ∂xj ρ und dass zudem folgende Umformungen m¨ oglich sind: P ∂ρ ∂P ∂ P − , = ρ ∂t ρ ∂t ρ ∂t P ∂ ∂P ∂ρ P ρUj − Uj , = Uj ∂xj ρ ∂xj ρ ∂xj

(5.155)

(5.156)

(5.157)

(5.158)

so l¨ asst sich schreiben: ρ

D Dt

P ρ

=

∂P P Dρ ∂P + Uj . − ∂t ∂xj ρ Dt

(5.159)


Damit l¨ asst sich angeben: P Dρ ∂P D D P 1 2 ∂P Uj + G = −Uj − , ρ = −ρ + Dt 2 ∂xj Dt ρ ∂t ρ Dt oder nach Umstellung einiger Terme: D ∂P P Dρ 1 2 P ρ Uj + + G = − , Dt 2 ρ ∂t ρ Dt oder

D ρ Dt

1 2 U 2 j

∂P ∂Uj P + P. + +G = ρ ∂t ∂xj

157

(5.160)

(5.161)

(5.162)

F¨ ur station¨ are Druckfelder gilt ∂P ur ρ = const die Bernoulli∂t = 0, so dass f¨ Gleichung wie folgt angegeben werden kann: 1 2 P 1 P U + + G = Uj2 + − xj gj = const 2 j ρ 2 ρ

(5.163)

Die obigen Ableitungen verdeutlichen, unter welchen Bedingungen die bekannte Bernoulli-Gleichung (5.163) G¨ ultigkeit hat. Unter Ber¨ ucksichtigung der oben durchgef¨ uhrten Ableitungen lässt sich die mechanische Energiegleichung auch allgemein f¨ ur dissipative Strömungsfelder schreiben:

ρ

D 1 2 P ∂P ∂Uj ∂Uj ∂ Uj + + G = +P + (τij Uj ) − τij Dt 2 ρ ∂t ∂xj ∂xi ∂xi

(5.164)

In dieser Form enth¨ alt die allgemeine Form der mechanische Energiegleichung, auf der linken Seite, alle Terme der Bernoulli-Gleichung. 5.8.3 Crocco-Gleichung Die Croccosche Gleichung ist eine Sonderform der Impulsgleichung, die in eindrucksvoller Weise aufzeigt, wie rein str¨ omungsmechanische Betrachtungen durch thermodynamische Erkenntnisse erg¨ anzt werden können. Die Crocco Gleichung verbindet die Wirbelst¨ arke eines Str¨ omungsfeldes mit der Entropie des betrachteten Fluids und zeigt auf, dass unter bestimmten, unten abgeleiteten Bedingungen isentrope Str¨ omungen rotationsfrei sind und vice versa. Erkennt man also ein Str¨ omungsfeld als isentrop, so lassen sich die vereinfachten Betrachtungen f¨ ur rotationsfreie Str¨ omungsfelder anwenden. Zur Ableitung der Crocco-Gleichung geht man von der Navier-Stokesschen Gleichung aus, wie sie in Gleichung (5.145) angegeben ist, ergänzt durch ν = 0, d.h. man f¨ uhrt in die Betrachtungen ein ideales Fluid ein, so dass unter Vernachl¨ assigung von Massenkr¨ aften gilt

158


∂U +∇ ∂t

1 U ·U 2

× ∇×U = − 1 ∇P −U ρ

(5.165)

In Abschnitt 3.6 wurde gezeigt, dass gilt: T · ds = de + P · dυ = de + P d

1 ρ

Mit e = hn − P /ρ gilt folgende Beziehung: P 1 dh − d = −P d + T ds ρ ρ wegen d Pρ = P · d ρ1 + ρ1 · dP gilt: −

1 dP = T ds − dh ρ

(5.166)

(5.167)

(5.168)

Diese Beziehung l¨ asst sich auch schreiben: 1 ∇P = T ∇s − ∇h ρ

(5.169)

(5.169) in (5.165) eingesetzt ergibt: ∂U +∇ ∂t

1 U ·U 2

× ∇×U = T ∇s − ∇h −U

(5.170)

F¨ ur station¨ are adiabate Prozesse gilt die thermische Energiegleichung in der folgenden Form: DP Dh = (5.171) ρ Dt Dt Ferner folgt aus der Impulsgleichung: D 1 U U = −U∇P (5.172) ρ Dt 2 Somit gilt: D ρ Dt

DP 1 ∇P −U h + UU = 2 Dt D DP 1 ρ U = h+ U Dt 2 Dt

(5.173)

(5.174)

(5.174) in (5.165) eingesetzt ergibt f¨ ur station¨ are Strömungsbedingungen: 1 U ×ω + T ∇s = ∇ h + U U (5.175) 2


159

Betrachtet man nun die Str¨ omung entlang einer Stromlinie, so ist ∇(h + U ) ein Vektor senkrecht zur betrachteten Stromlinie. U ×ω ist gleichfalls 1/2U· ein Vektor und liegt auch senkrecht zur Stromlinie. Damit liegt auch T ∇s senkrecht zur Fluidbewegung entlang einer Stromlinie, so dass gilt: d ds 1 = (5.176) h + UU Un ωn + T dn dn 2 U eine Konstante des gesamten Strömungsfeldes, so gilt Ist nun h + 12 U d 1 h + UU = 0 dn 2 und es gilt somit: ds =0 (5.177) dn F¨ ur ωn = 0 ist ds/ dn = 0, somit sind rotationsfreie Strömungen isentrop und vice versa, wenn die Str¨ omungen station¨ ar sind, und die Annahme der Viskosit¨ atsfreiheit gilt, sowie keine Massenkr¨ afte auftreten. Un ωn + T

5.8.4 Weitere Formen der Energiegleichung Die enge Verbindung zwischen Str¨ omungsmechanik und Thermodynamik wird in den verschiedensten Formen der Energiegleichung deutlich, die untenstehend zusammengefasst sind, wie sie von Bird, Steward & Lightfoot eingef¨ uhrt werden. Eine Anpassung auf die in diesem Buch angegebene Notation wurde nachfolgend vorgenommen. Die nachfolgenden verschiedenen Formen der Energiegleichung deuten an, wie die Einf¨ uhrung unterschiedlicher Notationen, sowie das Aufprägen von Zusatzbedingungen zu einer Vielzahl von Darstellungen des Sachverhaltes f¨ uhren k¨ onnen, dass die Energieerhaltung durch die Gleichungen gefordert ist. Gleichzeitig machen die nachfolgenden Darstellungen auch deutlich, dass es unerl¨ asslich ist, die Ableitungen der Gleichungen zu verstehen, um so jede Form der Gleichung hinsichtlich ihrer G¨ ultigkeit u ufen zu können. Nur ¨berpr¨ so l¨ asst sich ein hoher Grad an Sicherheit in die berechtigte Anwendung der einen oder anderen Form der Energiegleichung bringen. Vergleicht man die nachfolgende Energiegleichung mit Formen, wie sie in der technischen Thermodynamik angewandt werden, so stellt man fest, dass die Gleichungen in der Str¨ omungsmechanik Leistungsgleichungen darstellen, ¨ d. h. die Anderungen der Energie pro Zeit- und Volumeneinheit werden u ¨ blicherweise betrachtet. Zudem wird die Energiegleichung, in welcher Form auch immer, als eine Gleichung f¨ ur Feldgr¨ oßen formuliert, d. h. sie gilt lokal. Dies bedeutet, dass str¨ omungsmechanische Betrachtungen der Energiegleichung, lokales thermodynamisches Gleichgewicht annehmen. Dieser Sachverhalt ist zu ber¨ ucksichtigen, wenn Vergleiche mit Energiebetrachtungen in der technischen Thermodynamik angestellt werden.

160


Symbole

cp

Erl¨ auterung

Dimension

L2 /(T t2 )

W¨ armekapazit¨ at bei konstantem Druck, pro Masseneinheit

cv

W¨ armekapazit¨ at bei konstantem Volumen,

L2 /(T t2 )

pro Masseneinheit etotal

M L2 /t2

Gesamtenergie des Fluids, pro Masseneinheit

e g, gi

M L2 /t2

Innere Energie, pro Masseneinheit

L/t2

Externe Massenbeschleunigung

G

Potentielle Energie, Potential von G

M L2 /t2

h

Enthalpie

M L2 /t2

P

Druckfeld

M/(Lt2 )

˙ q˙i q,

M/t3

W¨ armefluss pro Fl¨ acheneinheit

T

Absolute Temperatur

T

, Ui U

Geschwindigkeitsfeld

L/t

V

Volumen

L3

xi

Kartesische Koordinaten

L

β

Thermischer Expansionskoeffizient

ρ

Fluid Dichtefeld

τ , τij

1/T M/L3 M/(Lt2 )

Molekularer Impulstransport

Massenerhaltung (Kontinuitätsgleichung) Gleichungen in Vektor- und Tensornotation

Dρ Dt

) = −ρ(∇ · U

Dρ Dt

i = −ρ ∂U ∂xi

Anmerkungen

f¨ ur

Dρ Dt

= 0 gilt (∇ · u) = 0 oder

∂Ui ∂xi

=0


161

Bewegungsgleichung (Impulsgleichung) Spezielle Form

Aufgepr¨ agte Konvektion

Gleichungen in Vektor- und Tensornotation

U ρ DDt = −∇P − [∇ · τ ] + ρg

ρ

Freie Konvektion

Anmerkungen

DUj Dt

∂P = − ∂x − j

∂τij ∂xi

F¨ ur τ = 0 erhält man Euler-Gleichungen

+ ρgj

U ρ DDt = −[∇ · τ ] − ρβ g ∆T

ρ

DUj Dt

Diese Gleichung umfasst Näherung durch BoussinesqueAnnahmen

∂τ

= − ∂xiji − ρβgj ∆T

Energiegleichungen Spezielle Gleichungen in Vektor- und Tensornotation Form

Anmerkungen

geschrieben total ) − (∇ · [τ · U ]) Nur exakt, f¨ ur ρ DeDt = −(∇ · q ) − (∇ · ρU etotal = e+ wenn G zeit∂(τij Uj ) ∂(P Ui ) ∂ q˙i Detotal 1 2 + 2 U + G ρ Dt = − ∂xi − ∂xi − ∂xi unabhängig 2

ρ 2 e + 12 U

) D(e+ 12 U Dt

) = −(∇ · q ) − (∇ · ρU ]) + ρ(U · g ) −(∇ · [τ · U

D(e+ 12 Ui2 ) ∂(τij Uj ) Ui ) ∂ q˙i = − ∂x − ∂(P − ∂x Dt ∂xi i i 1 2 D2U · ∇P ) − (U · [∇ · τ ]) ρ Dt = −(U

ρ

1 2U

· g ) +ρ(U

2

ρ

D 12 Ui2 Dt

∂τ

∂P = −Ui ∂x − Ui ∂xijj + ρUi gi i

+ ρUi gi

162


Spezielle Gleichungen in Vektor- und Form Tensornotation

e

Anmerkungen

) − (τ : ∇U ) Der P enthaltende ρ De q ) − P (∇ · U Dt = −(∇ · Term ist Null ∂ q˙i ∂Ui ∂Ui ρ De = − − P − τ f¨ ur Dρ ij Dt ∂xi ∂xi ∂xj Dt = 0 )+ ρ Dh q ) − (τ : ∇U Dt = −(∇ ·

DP Dt

h ∂ q˙i ∂Ui ρ Dh Dt = − ∂xi − τij ∂xj +

DP Dt

geschrieben f¨ ur ρcv DT q ) − T ( ∂P Dt = −(∇ · ∂T )ρ (∇ · U ) −(τ : ∇U ) cv und T ∂ q˙i ∂Ui ∂Ui ∂P ρcv DT Dt = − ∂xi − T ( ∂T )ρ ( ∂xi ) − τij ∂xj geschrieben ∂ ln V DP f¨ ur ρcp DT Dt = −(∇ · q ) + ( ∂ ln T )ρ Dt ) −(τ : ∇U cp und T ∂ q˙i ∂Ui ∂ ln V DP ρcp DT Dt = − ∂xi + ( ∂ ln T )ρ Dt − τij ∂xj

F¨ ur ein ideales Gas ( ∂P ∂T )ρ =

P T

F¨ ur ein ideales V Gas ( ∂∂ ln ln T )ρ = 1

5.9 Transportgleichung fu ¨r chemische Spezies In vielen Bereichen der Ingenieurwissenschaften sind Untersuchungen von Str¨ omungen mit chemischen Reaktionen erforderlich, die Erweiterungen der bisher durchgef¨ uhrten Betrachtungen notwendig machen. Es gilt die Grundgleichungen der Str¨ omungsmechanik f¨ ur die einzelnen chemischen Komponenten anzugeben: ¨ – lokale Anderung der Masse der chemischen Komponente A ∂ρA ρV ∂t

5.9 Transportgleichung f¨ ur chemische Spezies

163

¨ – Anderung der Masse der Komponente A durch Zu- und Abfluss −

∂ ρA (UA )i δV ∂xi

– Produktion der chemischen Komponente A durch chemische Reaktion rA δV Damit ergibt sich eine Massenbilanz: ∂ρA ∂ δV = − [ρA (UA )i ] δV + rA δV ∂t ∂xi

(5.178)

und die Gleichung f¨ ur die Massenerhaltung f¨ ur die chemische Komponente A eines Fluids ergibt sich als: ∂ ∂ρA + [ρA (UA )i ] = rA ∂t ∂xi

(5.179)

¨ F¨ ur eine chemische Komponente B ergibt sich infolge gleicher Uberlegungen: ∂ ∂ρB + [ρB (UB )i ] = rB ∂t ∂xi

(5.180)

Die Addition dieser Gleichungen ergibt: ∂ (ρUi ) ∂ρ + =0 ∂t ∂xi

(5.181)

d. h. die Gesamtmassenerhaltungsgleichung f¨ ur ein Gemisch aus verschiedenen Komponenten ist gleich der Kontinuit¨ atsgleichung f¨ ur ein Fluid, das nur aus einer chemischen Komponente besteht. Unter Ber¨ ucksichtigung des Fickschen Gesetzes l¨ asst sich angeben: ∂ ∂ (cA /c) ∂ρA ∂ + (ρA Ui ) = (5.182) ρDAB + rA ∂t ∂xi ∂xi ∂xi F¨ ur ρ = const und DAB = const erh¨ alt man: =0

∂ρA ∂Ui ∂ρA ∂ 2 ρA + ρA +Ui = DAB + rA ∂t ∂xi ∂xi ∂xi uckt: oder in Konzentration cA ausgedr¨ ∂cA DcA ∂cA ∂ 2 cA = + Ui + RA = DAB Dt ∂t ∂xi ∂xi 2 mit rA = A · RA , siehe hierzu Bird, Stewart, Lightfoot.

(5.183)

(5.184)

164


5.10 Literaturverzeichnis 5.1 Bird RB, Stewart WE and Lightfoot EN (1960) Transport Phenomena. John Wiley & Sons Inc., New York 5.2 Brodkey RS (1967) The Phenomena of Fluid Motions. Dover Publications, Inc., New York 5.3 Schlichting H (1968) Boundary Layer Theory. 6 Edition, McGraw Hill Book Company, New York 5.4 Sherman FS (1990) Viscous Flow. McGraw-Hill Book Co., Singapore 5.5 Spurk JH (1996) Str¨ omungslehre - Einf¨ uhrung in die Theorie der Str¨ omungen. Springer Verlag, Berlin, 4. Aufl.

6 Hydrostatik und Aerostatik

6.1 Hydrostatik Die Hydrostatik besch¨ aftigt sich mit den Gesetzmäßigkeiten, denen Fluide unterworfen sind, welche in dem Koordinatensystem, in dem die Betrachtungen durchgef¨ uhrt werden, keine Bewegungen (Strömungen) aufweisen, d.h. die in dem bei den Betrachtungen verwendeten Koordinatensystem in Ruhe sind. Da die im vorausgegangenen Kapitel abgeleiteten Beziehungen allgemeine Gesetzm¨ aßigkeiten darstellen, die auch auf den Fall des ruhenden Fluids anwendbar sind, m¨ ussen aus ihnen auch die Gesetzmäßigkeiten hervorgehen, denen bewegungsfreie, d.h. nichtstr¨ omende Fluide, unterworfen sind. So läßt sich aus der Kontinuit¨ atsgleichung ∂ ∂ρ + (ρUi ) = 0 ∂t ∂xi

(6.1)

zeigen, daß f¨ ur ρ = const. und Ui = f (xi ) die Kontinuitätsgleichung erf¨ ullt ist: ∂ρ ∂ρ ∂Ui + Ui +ρ = 0. (6.2) ∂t ∂xi ∂x i Dρ/Dt=0

=0

Ferner l¨ aßt sich ableiten, daß f¨ ur Ui = 0 die einfache partielle Differentialgleichung gilt ∂ρ =0 (6.3) ∂t deren allgemeine L¨ osung wie folgt angegeben werden kann: ρ = F (xi ).

(6.4)

Die Dichte ρ ist damit in einer ruhenden Fl¨ ussigkeit nur eine Funktion der ¨ Raumkoordinaten xi . Treten in einem Fluid zeitliche Anderungen der Dichte auf, so f¨ uhren diese aufgrund des durch die Kontinuitätsgleichung gegebenen Zusammenhangs zwischen Str¨ omungs- und Dichtefeld, siehe Gleichung (6.1), unweigerlich zu Bewegungen innerhalb des Fluids. Die allgemeinen Impulsgleichungen, die f¨ ur j = 1, 2, 3 gelten,

166


∂Uj ∂Uj + Ui ρ ∂t ∂xi

=−

∂τij ∂P − + ρgj ∂xj ∂xi

(6.5)

vereinfachen sich f¨ ur ein ruhendes Fluid (Uj = 0 und den molek¨ ulbedingten Impulstransport (∂τij /∂xi ) = 0) zu dem folgenden System partieller Differentialgleichungen, das die Grundgleichungen der Hydrostatik und Aerostatik darstellt: ∂P = ρgj (j = 1, 2, 3) (6.6) ∂xj oder ausgeschrieben: ∂P = ρg1 , ∂x1

∂P = ρg2 , ∂x2

∂P = ρg3 . ∂x3

(6.7)

In diesem Abschnitt soll die durch das Schwerefeld bedingte Druckverteilung in einem Fluid einer n¨ aheren Betrachtung unterzogen werden, wobei hinsichtlich der m¨ oglichen Fluideigenschaften eine Einschränkung vorgenommen wird; das Fluid wird als inkompressibel, d.h. ρ = const, angenommen. Diese Eigenschaft wird im allgemeinen von Fl¨ ussigkeiten recht gut erf¨ ullt, so dass die nachfolgenden Ableitungen als f¨ ur Fl¨ ussigkeiten g¨ ultig angesehen werden k¨ onnen. Zur Ableitung der Druckverteilung in ruhenden Fl¨ ussigkeiten wird ein rechtwinkliges kartesisches Koordinatensystem eingef¨ uhrt, dessen Lage so gew¨ ahlt wird, dass die durch das Schwerefeld bedingte Massenbeschleunigung {gi } nur eine Komponente in negativer x2 -Richtung aufweist, d.h. es gilt (6.8) {gi } = {0, −g, 0}. Dann lassen sich die in (6.7) allgemein angegebenen Differentialgleichungen f¨ ur den Druck wie folgt schreiben: ∂P = 0, ∂x1

∂P = −ρg, ∂x2

∂P = 0. ∂x3

(6.9)

∂P ∂P Aus ∂x = 0 folgt P = f (x2 , x3 ) und aus ∂x = 0 folgt P = f (x1 , x2 ). Damit 1 3 ergibt ein Vergleich P = f (x2 ) und dies bringt zum Ausdruck, dass der Druck einer Fl¨ ussigkeit innerhalb einer Ebene konstant ist, wenn diese senkrecht zur Richtung des Schwerefeldes liegt. Die freie Oberfläche einer in einem Behälter gelagerten Fl¨ ussigkeit ist somit eine Ebene konstanten Druckes. Alle zu ihr parallelen Ebenen sind gleichfalls Ebenen konstanten Druckes. Der Druck erh¨ oht sich in der Richtung, die von dem Vektor gi vorgegeben wird.

6.1 Hydrostatik

x D x

p (x 2 + D x 2) 2

D x 1

{ g } x

167

2

i

D x p (x 2 ) x

3

1

3

Abbildung 6.1: Koordinatensystem zur Ableitung der Druckverteilung in Fl¨ ussigkeiten

Es ist f¨ ur das physikalische Verst¨ andnis der Hydrostatik noch wichtig zu erkennen, dass in Gleichung (6.9) ausgedr¨ uckt wird, dass die Druckzunahme in negativer x2 -Richtung durch das Gewicht des in Abb. 6.1 eingezeichneten Fluidelementes verursacht wird, d.h. ∆V

∆A

∆A

∂P ∆x2 ) ∆x1 ∆x3 = 0. −ρg ∆x1 ∆x2 ∆x3 +P ∆x1 ∆x3 −(P + ∂x2

(6.10)

Unter Anwendung der obigen Erkenntnisse und Gleichungen lassen sich f¨ ur ein in einem Beh¨ alter befindliches Fluid konstanter Dichte folgende Angaben machen (Abb. 6.2). Falls das Schwerefeld in negativer x2 −Richtung wirkt: g1 = 0,

g2 = −g,

g3 = 0

(6.11)

gelten wieder die in (6.9) angegebenen Differentialgleichungen mit der Lösung P = f (x2 ). ∂P in (6.9) als totales Differential Damit l¨ asst sich das partielle Differential ∂x 2 schreiben und man erh¨ alt f¨ ur Fl¨ ussigkeiten (ρ =const): dP = −ρg −→ P = −ρgx2 + C dx2

(6.12)

oder umgeschrieben P + gx2 = C. ρ Diese Beziehung bringt zum Ausdruck, dass die Summe aus Druckenergie“ ” P/ρ und potentieller Energie (gx2 = −gj xj ) in jedem Punkt einer ruhenden Fl¨ ussigkeit eine Konstante ist. Da in allen Punkten der Fl¨ ussigkeit die einzelnen Fluidelemente dieselbe Gesamtenergie besitzen, fehlt das treibende Element f¨ ur eine Bewegung. Es liegen somit auch energetisch gesehen die Voraussetzungen f¨ ur hydrostatische Gegebenheiten vor.

168


L u ftra u m ü b e r F lü s s ig k e it P 0

x 2

h R u h e n d e F lü s s ig k e it x x

1

3

Abbildung 6.2: Ruhende Fl¨ ussigkeit in einem Beh¨ alter

Hat die Fl¨ ussigkeit in der H¨ ohe h eine freie Oberfläche, auf die in allen Punkten ein gleich großer Druck P0 wirkt, so stellt diese, wegen der Beziehung asst sich zur Bestimmung von C P = f (x2 ), eine Ebene x2 = const, d.h. sie l¨ nutzen. ur F¨ ur die Druckverteilung erh¨ alt man mit der Randbedingung P = P0 f¨ x2 = h ; C = P0 + ρgh P = P0 + ρg(h − x2 )

0 ≤ x2 ≤ h.

(6.13)

Diese Beziehung dr¨ uckt das bekannte hydrostatische Gesetz aus, wonach der Druck in einer Fl¨ ussigkeit linear mit der Tiefe unterhalb der freien Oberfläche anw¨ achst. Schreibt man die Gleichung (6.13) um, so erhält man: P P0 + gh = + gx2 = const ρ ρ

(6.14)

Die Gesetze der Hydrostatik sind oftmals auch auf Fl¨ ussigkeiten in bewegten Gef¨ aßen anwendbar, wenn man diese als beschleunigte Bezugssy” steme“ behandelt. Die extern aufgepr¨ agten Beschleunigungskräfte sind dann als Tr¨ agheitskr¨ afte einzuf¨ uhren. Abb. 6.3 zeigt als Beispiel einen mit einer Fl¨ ussigkeit gef¨ ullten Container-Lastwagen“, der zur Zeit t < t0 in Ruhe ist ” und in der Zeit t ≥ t0 seine Geschwindigkeit linear erhöht, also eine konstante Beschleunigung b erf¨ ahrt. Im Ruhezustand oder bei gleichf¨ ormiger Bewegung bildet die Fl¨ ussigkeitsoberfl¨ ache im Beh¨ alter eine horizontale Ebene. Erfährt nun der Behälter eine konstante Beschleunigung b, so wird die Fl¨ ussigkeitsoberfläche eine neue Gleichgewichtslage einnehmen, sofern man von den anfangs erfolgenden

6.1 Hydrostatik

x

h

3

.

x 3 = h b

169

- b x 1 , x 1

g

x

x 2

2

Abbildung 6.3: Lage des Fl¨ ussigkeitsspiegels bei konstanter Beschleunigung

Schwabbelbewegungen“ absieht. Will man nun die neue Lage der Fl¨ ussig” keitsoberfl¨ ache berechnen, so empfiehlt sich die Einf¨ uhrung eines mit dem Beh¨ alter fest verbundenen Koordinatensystems xi , in dem die hydrostatischen Grundgleichungen wie folgt lauten: ∂P = 0; ∂x1

∂P = −ρb; ∂x2

∂P = −ρg. ∂x3

(6.15)

Hieraus resultiert die allgemeine L¨ osung: ∂P =0 ∂x1 ∂P = − ρb ∂x2 ∂P = − ρg ∂x3

P = f1 (x2 , x3 ),

(6.16a)

P = −ρbx2 + f2 (x1 , x3 ),

(6.16b)

P = −ρgx3 + f3 (x1 , x2 ).

(6.16c)

Durch Vergleich der L¨ osungen erh¨ alt man, da die f1 , f2 , f3 nur die durch partielle Integration erhaltenen Funktionen plus einer Konstanten sein können: P = C − ρ(bx2 + gx3 ).

(6.17)

Entlang der freien Oberfl¨ ache herrscht der Druck P = P0 und damit lautet die Gleichung der Ebene, in der die freie Oberfläche liegt: b 1 x3 = − x2 + (C − P0 ) g gρ

f¨ ur

− ∞ < x1 < +∞.

(6.18)

Die Integrationskonstante C bestimmt sich aus der Forderung, dass das Fl¨ ussigkeitsvolumen vor und nach Einsetzen der Beschleunigung dasselbe ist. Es gilt daher f¨ ur die Bestimmung von C das gleiche Fl¨ ussigkeitsvolumen wie f¨ ur den Beh¨ alter mit der ruhenden Fl¨ ussigkeit C = gρh + P0 .

(6.19)

170


Damit lautet die Gleichung f¨ ur die Ebene der freien Oberfläche: b x3 = h − x2 g

f¨ ur

− ∞ < x1 < +∞.

(6.20)

Da die L¨ osung des Problems unabh¨ angig von der Lage des gewählten Koordinatensystems sein muss, l¨ asst sich ein Koordinatensystem ξi einf¨ uhren, das gegen¨ uber dem xi -System derart gedreht ist, dass gilt: ξ1 = x1 (Drehachse), 1 (gx2 + bx3 ), ξ2 = b2 + g 2 und

(6.21)

1 ξ3 = (−bx2 + gx3 ). 2 b + g2

Dies uhrung einer resultierenden Beschleunigung vom Betrag kommt der Einf¨ b2 + g 2 in Richtung ξ3 gleich. Damit lauten die hydrostatischen Grundgleichungen: ∂P = 0; ∂ξ1

∂P = 0; ∂ξ2

∂P = − b2 + g 2 ρ. ∂ξ3

(6.22)

Damit gilt P = F (ξ3 ) und P = C − ρ b2 + g 2 ξ3 . Die Integrationskonstante C ergibt sich aus der Randbedingung: P = P0 + gρh f¨ ur ξ3 = 0   # 2 b ξ3  . P = P0 + ρg h − 1 + g

(6.23) (6.24)

Alle weiteren Angaben zu dem Problem des beschleunigten Fl¨ ussigkeitsbeh¨ alters lassen sich auch im ξi -Koordinatensystem angeben. Entlang der freien Oberfl¨ ache gilt P = P0 und h 2 = const. b 1+ g

ξ3 = #

(6.25)

ist somit die Gleichung der Ebene, die in der freien Oberfläche liegt. Durch die oben angegebene Behandlung wird deutlich, dass es möglich ist, die hydrostatischen Grundgesetze auch in beschleunigten Referenzsystemen anzuwenden, sofern in diesen die auf die externen Bewegungen zur¨ uckzuf¨ uhrenden Tr¨ agheitskr¨ afte ber¨ ucksichtigt werden. Die auftretenden Beschleunigungen (Tr¨ agheits- und Erdbeschleunigung) sind zu einer Gesamtbeschleunigung vektoriell zu addieren, um die Richtung und den Betrag der

6.1 Hydrostatik

171

Gesamtbeschleunigung zu erhalten. Die freie Oberfläche stellt sich senkrecht zum Vektor der Gesamtbeschleunigung ein. In die Gruppe der Beispiele, die mittels der Grundgesetze der Hydrostatik behandelt werden k¨ onnen, l¨ asst sich auch das in Abb. 6.4 angegebene Beispiel einordnen. Diese Abbildung zeigt einen Wasserbehälter, der eine schiefe Ebene mit dem Neigungswinkel α gegen¨ uber der Horizontalen hinabgleitet. Der ruhende Beh¨ alter zeigt eine Wasseroberfl¨ ache auf, die horizontal ist, da nur die Erdbeschleunigung als Massenkraft pro kg Fluid auftritt. Wird der Fl¨ ussigkeitsbeh¨ alter losgelassen und ist die nach unten, parallel zur Ebene gerichtete Beschleunigung |a| = g sinα, so setzt sich der Körper in Bewegung und erf¨ ahrt so eine Beschleunigung parallel zur schiefen Ebene. Die auf das Fluid wirkende resultierende Beschleunigungskomponente setzt sich aus der nach oben gerichteten Komponente mit |b| = g sinα und der nach unten gerichteten Komponente mit µr g cos α zusammen. Hierbei ist µr der Reibungskoeffizient, der die Wechselwirkung zwischen der Behälterunterfläche und der Oberfl¨ ache der schiefen Ebene kennzeichnet. Behandelt man zun¨ achst das Problem mit der auf der schiefen Ebene nach unten erfolgenden, beschleunigten Bewegung ohne Reibung, so erhält man in dem in Abb. 6.4 angegebenen Koordinatensystem folgenden Satz von hydrostatischen Grundgleichungen: ∂P = 0, ∂x1 ∂P = − ρg sin α cos α, ∂x2 ∂P = − ρg(1 − sin2 α). ∂x3

(6.26a) (6.26b) (6.26c)

Die Lage f¨ ur die Druckverteilung in dem in Abb. 6.4 nach unten gleitenden Beh¨ alter und somit auch die L¨ osung f¨ ur die Lage der Fl¨ ussigkeitsoberfläche l¨ asst sich durch L¨ osung der Gleichungen in (6.26) erhalten. ∂P = 0 folgt wiederum P = f (x2 , x3 ) und damit gilt: Aus ∂x 1 x

½

a ½

= g s in a

g s in a m

r

g c o s a

3

x

b 2

g

b r

a

a

Abbildung 6.4: Auf einer schiefen Ebene gleitender Wasserbeh¨ alter. Bewegung mit und ohne Reibung

172


∂P 1 1 = − ρg sin(2α) −→ P = f1 (x3 ) − ρg sin(2α)x2 , ∂x2 2 2

(6.27a)

∂P = −ρg cos2 α −→ P = f2 (x2 ) − ρg(cos2 α)x3 . ∂x3

(6.27b)

und

Durch Vergleich der L¨ osungen erh¨ alt man: 1 P = C − ρg(sin(2α)x2 + 2(cos2 α)x3 ). 2

(6.28)

Entlang der freien Oberfl¨ ache gilt P = P0 und damit erhält man als Lösung f¨ ur die Lage der freien Oberfl¨ ache: x3 = −(tan α)x2 +

1 (C − P0 ) ρg cos2 α

f¨ ur

− ∞ < x1 < +∞.

(6.29)

Da auch der Koordinatenursprung auf der freien Oberfläche liegt, folgt C = P0 und damit gilt f¨ ur die Ebene, in der die freie Oberfläche liegt: x3 = −(tan α)x2

f¨ ur

− ∞ < x1 < +∞.

(6.30)

Diese Gleichung zeigt, dass f¨ ur reibungsfreies Gleiten entlang der schiefen Ebene die freie Oberfl¨ ache parallel zur betrachteten schiefen Ebene liegt, entlang welcher der Beh¨ alter gleitet. Dies l¨ asst sich auch durch Betrachtungen des linken Beschleunigungsdiagramms in Abb. 6.4 ableiten, in dem zu sehen ist, dass die resultierende Beschleunigung b“ senkrecht auf der schiefen ” Ebene steht. Nimmt man nun noch f¨ ur die nach unten erfolgende Bewegung die auftretende Reibungskraft mit hinzu, so erh¨ alt man folgenden Satz von hydrostatischen Grundgleichungen: ∂P = 0, ∂x1

(6.31a)

∂P = − ρg(sin α − µr cos α) cos α, ∂x2

(6.31b)

∂P = − ρg[1 − (sin α − µr cos α) sin α]. ∂x3

(6.31c)

Damit lautet die der Gleichung (6.28) entsprechende Lösung: P = C−ρg[(sin α−µr cos α) cos α]x2 −ρg[1−(sin α−µr cos α) sin α]x3 . (6.32) Setzt man wiederum f¨ ur die freie Oberfl¨ ache P = P0 , so erhält man die Gleichung f¨ ur die Ebene, in der die freie Oberfläche liegt. Ber¨ ucksichtigt man

6.1 Hydrostatik

173

ferner, dass wiederum der Koordinatenursprung auf der freien Oberfläche liegt, d.h. C = P0 , so erh¨ alt man als Endgleichung der freien Oberfläche: (sin α − µr cos α) cos α (6.33) x3 = − x2 . 1 − (sin α − µr cos α) sin α F¨ ur diesen allgemeinen Fall der entlang der schiefen Ebene erfolgenden, rei” bungsbehafteten Bewegung“ des in Abb. 6.4 gezeigten Fl¨ ussigkeitsbehälters, stellt sich eine freie Oberfl¨ ache ein, die gegen¨ uber der Horizontalen weniger geneigt ist als die schiefe Ebene. Zu beachten ist jedoch, dass die Ableitunur µr ≥ tan α erhält man den gen nur gelten, wenn µr ≤ tan α vorliegt. F¨ Grenzfall des ruhenden Beh¨ alters. Als letztes Beispiel, das die Anwendung hydrostatischer Gesetzmäßigkeiten in beschleunigten Bezugssystemen zeigen soll, wird das in Abb. 6.5 dargestellte Problem gew¨ ahlt. Es deutet einen rotierenden, oben und unten geschlossenen Zylinder an, der teilweise mit einer Fl¨ ussigkeit gef¨ ullt ist. Befindet sich der Zylinder in Ruhe, so nimmt die freie Oberfläche dieser Fl¨ ussigkeit eine horizontale Lage in der H¨ ohe h ein, da die einzelnen Fl¨ ussigkeitsteilchen als Massenkr¨ afte nur die Erdbeschleunigung erfahren. Wird der Zylinder in Rotation versetzt, so stellt man eine Deformation der Fl¨ ussigkeitsoberfläche fest, die fortschreitet, bis als Endform ein Paraboloid entsteht, wie dieses in Abb. 6.5 skizziert ist. Wird nun dieser Rotationsbewegung eine zusätzliche, beschleunigte Vertikalbewegung u ¨berlagert, so stellt man fest, dass das sich einstellende Hyperboloid unterschiedliche Formen annehmen kann, je nachdem welche Größe die vertikale Beschleunigung erf¨ ahrt und in welcher Richtung sie erfolgt. Im nachfolgenden soll gezeigt werden, dass die Frage nach der Form des Hyperboloids auf der Basis der Grundgleichungen der Hydrostatik ermittelt werden kann. Hierzu wird ein Koordinatensystem gew¨ ahlt, das fest mit den Wandungen des rotierenden und vertikal beschleunigten Zylinders verbunden ist und das damit sowohl die Rotationsbewegung als auch die beschleunigte, vertikale Bewegung mit ausf¨ uhrt. Die oben angegebenen Beispiele haben gezeigt, dass die hydrostatischen Grundgleichungen anwendbar sind, sofern in dem betrachteten Koordinatensystem keine Fluidbewegungen auftreten und die gegen¨ uber einem Inertialsystem erfolgenden Beschleunigungen als Trägheitskräfte ber¨ ucksichtigt werden. In dem in Abb. 6.5 angegebenen Beschleunigungsdiagramm ist aufgezeigt, dass f¨ ur die unten erfolgenden Ableitungen die horizontal auftretende Zentrifugalbeschleunigung ω 2 r, sowie die der externen vertikalen Beschleunigung entgegengerichtete Tr¨ agheitsbeschleunigung“ b, eingef¨ uhrt wurden. ” Betrachtet man die Vorg¨ ange im Fl¨ ussigkeitskörper des in Abb. 6.5 skizzierten Problems in dem mit dem Zylinder mitbewegten Koordinatensystem (r, ϕ, z), so stellt man fest, dass sich alle Fl¨ ussigkeitsteilchen, nach Erreichen des stabilen Endzustandes der Bewegung, in Ruhe befinden. Damit ist, in Bezug auf das gew¨ ahlte Koordinatensystem, die Voraussetzung zur Anwendung

174


z h z

b

0

r

w g

r ´ g

w 2

a

b Abbildung 6.5: Behandlung der Str¨ omungsvorg¨ ange“ in einem rotierenden, ver” tikal bewegten, teilweise gef¨ ullten Zylinder

der hydrostatischen Grundgleichungen erf¨ ullt, welche in Zylinderkoordinaten die unten angegebene Form annehmen: ∂P = ρgr ; ∂r

1 ∂P = ρgϕ ; r ∂ϕ

∂P = ρgz . ∂z

(6.34)

F¨ ur gr = rω 2 , gϕ = 0 und gz = −(g + b) erhält man f¨ ur das zu behandelnde Problem folgenden Satz von Grundgleichungen und deren allgemeine L¨ osungen: ∂P = ρrω 2 ∂r 1 ∂P =0 r ∂ϕ ∂P = − ρ(g + b) ∂z

1 2 2 ρω r + f1 (ϕ, z), 2

−→

P =

−→

P = f2 (r, z),

(6.35b)

−→

P = −ρ(g + b)z + f3 (r, ϕ).

(6.35c)

Durch Vergleich der L¨ osungen ergibt sich:

(6.35a)

6.1 Hydrostatik

ρ P = C + ω 2 r2 − ρ(g + b)z 2

0 ≤ ϕ ≤ 2π.

f¨ ur

175

(6.36)

F¨ uhrt man auf der Achse, r = 0, f¨ ur die Lage des Parabelscheitelpunktes z = z0 ein, so gilt P = P0 an der Stelle r = 0, z = z0 . F¨ ur die Integrationskonstante ergibt sich damit C = P0 + ρ(g + b)z0 . Somit lautet die Gleichung f¨ ur die Druckverteilung im Fl¨ ussigkeitskörper: ρ P = P0 + ω 2 r2 − ρ(g + b)(z − z0 ) 2

f¨ ur

0 < ϕ < 2π.

(6.37)

Entlang der freien Oberfl¨ ache der Fl¨ ussigkeit gilt P = P0 , so dass man diese Fl¨ ache, unter Anwendung von (6.37), wie folgt darstellen kann: z = z0 +

ω2 r2 2(g + b)

f¨ ur

0 ≤ ϕ ≤ 2π.

(6.38)

Die eingef¨ uhrte Scheitellage z0 l¨ asst sich durch die Bedingung errechnen, dass die Fl¨ ussigkeitsmenge vor Einsetzen der Rotation, d.h. πR2 h, gleich der Fl¨ ussigkeitsmenge sein muss, die bei Rotation zwischen der freien Oberfläche der Fl¨ ussigkeit und den Zylinderwandungen liegen muss. Damit gilt: " R " R ω2 2 2 πR h = 2π r dr rz dr = 2π r z0 + (6.39) 2(g + b) 0 0 R 1 2 1 2 ω2 1 ω2 R h= z0 r + r4 R2 = R 2 z0 + 2 2 8(g + b) 2 4(g + b) 0

(6.40)

ω2 R2 . 4(g + b)

(6.41)

ω2 (R2 − 2r2 ). 4(g + b)

(6.42)

z0 = h − (6.41) eingesetzt in (6.38) ergibt: z =h−

Anhand der oben angef¨ uhrten Beziehung (6.42) lassen sich nun die verschiedenen Formen angeben, welche die Fl¨ ussigkeitsoberfläche einnehmen kann. Einige typische F¨ alle sind in Abb. 6.6 dargestellt. Diese sollen nachfolgend anhand der oben erfolgten Ableitungen und der abgeleiteten Endbeziehung diskutiert werden. Es wird erhofft, dass dadurch dem Leser verdeutlicht werden kann, wie durch Ableitungen auf der Basis der strömungsmechanischen Grundgleichungen, physikalische Informationen erhalten werden können, z.B. die Form der freien Oberfl¨ ache von Fl¨ ussigkeit in Behältern. Die in Abbildung 6.6 angedeuteten Lagen der Wasseroberflächen lassen sich durch die angegebenen Beziehungen zwischen b und g angeben:

176


Abbildung 6.6: Beispiele m¨ oglicher Formen der Fl¨ ussigkeitsoberfl¨ ache in einem rotierenden, vertikal beschleunigten Zylinder

b > −g :

Erfolgt die vertikale Beschleunigung des Behälters nach oben mit 0 > b > −g, so ist nach Gleichung (6.42) die ¨ Offnung der Parabel“ positiv. Die Fl¨ ussigkeit ber¨ uhrt die ” Boden- und Seitenfl¨ achen des Behälters.

b = −g:

Erfolgt die Vertikalbeschleunigung des Behälters nach unten mit b = −g, so ruht die gesamte Fl¨ ussigkeit an der Seitenwand des Beh¨ alters.

b < −g:

Erfolgt die vertikale Beschleunigung des Behälters nach un¨ ten mit b < −g, so ist nach Gleichung (6.42) die Offnung ” der Parabel“ negativ. Die Fl¨ ussigkeit ber¨ uhrt die Deckenund Seitenfl¨ achen des Beh¨ alters.

Die oben aufgef¨ uhrten Ableitungen zeigen auf, dass die allgemeinen Grundgleichungen der Hydrostatik geeignet sind, Gravitationseffekte auf die Fl¨ ussigkeitsverteilung zu untersuchen, wenn zusätzliche Beschleunigungsterme auf die Fl¨ ussigkeit einwirken. Wichtig ist es, dass f¨ ur die Behandlung der Ph¨ anomene mit den Grundgleichungen der Hydrostatik, in dem Koordinatensystem, in dem die Betrachtungen durchgef¨ uhrt werden, keine Fluidstr¨ omungen auftreten.

6.2 Kommunizierende Gef¨ aße und Druckmessger¨ ate 6.2.1 Kommunizierende Gef¨ aße In vielen Bereichen des Ingenieurwesens hat man es mit Fluidsystemen zu tun, die durch Querleitungen miteinander verbunden sind. Spezielle Systeme sind solche, in denen sich der Fluidinhalt in Ruhe befindet, d.h. in denen das

6.2 Kommunizierende Gef¨ aße und Druckmessger¨ ate

177

Fluid nicht str¨ omt. Abb. 6.7 zeigt schematisch ein solches System, das aus zwei Beh¨ altern mit ruhenden Fl¨ ussigkeiten“ besteht, die durch eine Leitung ” mit Abstellhahn miteinander verbunden sind.

B e h ä lte r 1 P

Ñ P H

B e h ä lte r 2

1

0 1

V e n til

Ñ

P

0 2

P 1

H

1

h

h

2

2

1

Abbildung 6.7: Skizze zur Erl¨ auterung der Druckverh¨ altnisse an kommunizierenden Beh¨ altern

Wird der Hahn ge¨ offnet, so k¨ onnen diese beiden Systeme miteinander in Wechselwirkung treten, derart, dass eine Str¨ omung von dem Behälter höheren Drucks am Eingang der Verbindungsleitung in den Behälter tieferen Drucks erfolgt. Bleibt diese Ausgleichsstr¨ omung aus, so liegt auf beiden Seiten des Hahns derselbe Fluiddruck vor, d.h. es gilt: P01 + ρ1 g (H1 − h1 ) = P02 + ρ2 g (H2 − h2 ) .

(6.43)

Befindet sich in beiden Beh¨ altern die gleiche Fl¨ ussigkeit, so gilt ρ1 = ρ2 = ρ und damit: (6.44) P02 − P01 = ρg [(H1 − H2 ) − (h2 − h1 )] . F¨ ur die in Abb. 6.8 gezeigten, nach oben offenen Behälter gilt:

h

Abbildung 6.8: Kommunizierende Beh¨ alter mit schr¨ agem Verbindungsrohr

178


P02 = P01 = P0

(6.45)

(H1 − h1 ) = (H2 − h2 ),

(6.46)

und damit: d.h. in offenen kommunizierenden Beh¨ altern, die mit derselben Fl¨ ussigkeit gef¨ ullt sind, nehmen die Fl¨ ussigkeitsspiegel“ dieselbe Höhe ein. ” Dies ist das Grundprinzip, nach dem einfache F¨ ullstandsanzeiger arbeiten, die an Fl¨ ussigkeitsbeh¨ altern angebracht sind. Sie bestehen aus einem mit dem Beh¨ alter verbundenen vertikalen Rohr, in dem die im Behälter eingef¨ ullte Fl¨ ussigkeit gleichfalls hochsteigt. Die im Steigrohr angezeigte Fl¨ ussigkeitsh¨ ohe zeigt den Fl¨ ussigkeitsstand im Beh¨ alter an. Als letztes Beispiel sollen offene Beh¨ alter betrachtet werden, die u ¨ ber ein schr¨ ag nach oben gerichtetes Rohr miteinander verbunden sind. Auch hier stellt man fest, dass die Fl¨ ussigkeitsoberfl¨ achen in beiden Behältern das selbe Niveau einnehmen. Liegt dieser Endzustand (Gleichgewichtszustand) vor, so erfolgt zwischen den Beh¨ altern keine Ausgleichsströmung, obgleich der Druck am tiefer liegenden Rohrende einen h¨ oheren hydrostatischen Druck an der Verbindungsstelle aufweist. Die Gr¨ unde f¨ ur das Ausbleiben einer Ausgleichsstr¨ omung, trotz h¨ oheren hydrostatischen Druckes am tiefer liegenden Rohrende, wurden in Abschnitt 6.1 gegeben. Die dort durchgef¨ uhrten Energiebetrachtungen zeigen, dass die Gesamtenergien der Fluidteilchen an beiden Rohrenden gleich sind, und somit die Grundvoraussetzung f¨ ur das Einsetzen von Fluidstr¨ omungen fehlt.

¨ Abbildung 6.9: Skizze zur Uberlegung der Einwirkung auf ruhende Fl¨ ussigkeiten

Das Verhalten kommunizierender Beh¨ alter, die mit ruhenden Fl¨ ussigkeiten gef¨ ullt sind, l¨ asst sich oftmals leicht dadurch verstehen, dass man sich verdeutlicht, dass die Druckwirkung einer Fl¨ ussigkeit auf Wandungen in jedem Punkt identisch ist mit der Druckwirkung auf Fl¨ ussigkeitselemente, die man anstelle der Wandungen anbringt. So sind z.B. die Druckverteilungen in dem in Abb. 6.9 gezeigten Fl¨ ussigkeitsbehälter identisch mit denen des selben Beh¨ alters, wenn Einbauten angebracht werden, um zwei miteinander

6.2 Kommunizierende Gef¨ aße und Druckmessger¨ ate

179

verbundene Teilbeh¨ alter zu erhalten, falls die Fl¨ ussigkeitsoberflächen auf der selben H¨ ohe wie die Ausgangsh¨ ohe gehalten werden. Durch die eingebrachten Wandungen ¨ andern sich die Druckverhältnisse im rechten Beh¨ alter im Vergleich zum linken Behälter nicht. Die links eingebrachten Beh¨ alterfl¨ achen ersetzen nun die Druckwirkung der durch die Wandungen ausgesparten“ Fluidteilchen. ” 6.2.2 Druckmessger¨ ate Die in Abschnitt 6.2.1 gewonnenen Erkenntnisse basieren auf Aussagen, die u ur kommunizierende Syste¨ ber Druckbeziehungen gewonnen wurden, die f¨ me angegeben werden k¨ onnen. Aus den Ausagen, die u ucke in den ¨ber die Dr¨ Beh¨ altern gemacht wurden, ließen sich Beziehungen zwischen den Fl¨ ussigkeitsh¨ ohen ableiten. Umgekehrt ist es nun m¨ oglich, falls die sich einstellenden Fl¨ ussigkeitspegel bekannt sind, die in Abschnitt 6.1 angegebenen Druckbeziehungen heranzuziehen, um Aussagen u ¨ ber die in den Behältern auftretenden Dr¨ ucke zu erhalten.

Ñ

P

P

0 A

0

g H

h A

1

h

D h 1

P A

M e s s flü s s ig k e it Abbildung 6.10: Skizze zur Erl¨ auterung des Grundprinzips der Druckmessung durch kommunizierende Systeme

Dies ist in Abb. 6.10 angedeutet, die eine Skizze zur Erläuterung des Grundprinzips zeigt, nach dem Druckmessungen durch kommunizierende Systeme durchgef¨ uhrt werden. Zu messen ist der Druck im Punkt A des Behälters, an dem ein U-Rohr” Manometer“ angeschlossen ist. Dieses ist mit einer Messfl¨ ussigkeit gef¨ ullt (gepunkteter Teil des U-Rohres), sowie teilweise auch mit Fl¨ ussigkeit, die aus dem Beh¨ alter in das U-Rohr eindringt. F¨ ur die Trennfläche zwischen beiden Fl¨ ussigkeiten gilt folgendes Druckgleichgewicht: PA + ρA g∆h = P0 + ρF gh.

(6.47)

180


Daraus folgt f¨ ur den zu messenden Druck in Punkt A: PA = P0 + ρF gh − ρA g∆h.

Ñ

P

P

0 A

(6.48)

0

g H

h A

1

h 1

D h P A

M e s s flü s s ig k e it Abbildung 6.11: Fl¨ ussigkeitss¨ aulen im U-Rohr-Manometer f¨ ur Unterdruck

Diese Gleichung verdeutlich, dass es m¨ oglich ist, den Druck an der Stelle A im Beh¨ alter durch Messungen von h und ∆h zu bestimmen, wenn die Fluiddichten ρF und ρA bekannt sind. Dabei wurde in Abb. 6.10 angenommen, dass ¨ der Druck im Beh¨ alter gegen¨ uber dem Umgebungsdruck p0 einen Uberdruck aufweist. Besteht im Beh¨ alter ein Unterdruck, so werden f¨ ur die Fl¨ ussigkeitsspiegel im U-Rohr-Manometer die in Abb. 6.11 dargestellten Verhältnisse vorliegen. Damit gilt f¨ ur das Druckgleichgewicht an der Trennfläche beider Fl¨ ussigkeiten: (6.49) PA − ρA g∆h = P0 − ρF gh. Man erh¨ alt dann f¨ ur den Druck in Punkt A folgende Beziehung: PA = P0 − ρF gh + ρA g∆h.

(6.50)

Auf der Basis kommunizierender Beh¨ alter lassen sich auch Messeinrichtungen schaffen, mit deren Hilfe es m¨ oglich ist, den Luftdruck zu messen, d.h. barometrische Messungen durchzuf¨ uhren. Ein solches System l¨ asst sich prinzipiell wie folgt herstellen: a) Ein mehr als 1 m langes Glasrohr, an dessen unterstem Ende eine kugelf¨ ormige Erweiterung des Rohrquerschnittes angebracht ist, wird mit Quecksilber bis zum obersten Rand gef¨ ullt. b) Das mit Quecksilber gef¨ ullte Glasrohr wird, ohne dass Quecksilber ausfließt, in eine mit Quecksilber gef¨ ullten Beh¨ alter gest¨ ulpt, wie dies in Abb. 6.12 gezeigt ist.

6.3 Freie Fl¨ ussigkeitsoberfl¨ achen

V a k u u m P

0 1

181

= 0

Ñ r F

h P 0

Ñ F lä c h e A Abbildung 6.12: Grundprinzip barometrischer Messungen

c) Die H¨ ohe der Quecksilbers¨ aule im Glasrohr u ¨ ber der Oberfläche des Quecksilbers im Außenbeh¨ alter ist ein Maß f¨ ur den barometrischen Druck P0 = ρF gh.

(6.51)

Ein Barometer, wie es in Abb. 6.12 angedeutet ist, kann z.B. eingesetzt werden, um die in Abschnitt 6.4.1 angegebenen Druckverteilungen in der Atmosph¨ are experimentell zu verifizieren.

6.3 Freie Flu achen ¨ ssigkeitsoberfl¨ 6.3.1 Oberfl¨ achenspannung In Kapitel 1 des vorliegenden Manuskripts wurde als ein besonderes Charakteristikum von Fl¨ ussigkeiten herausgestellt, dass diese, abweichend von Festk¨ orpern, keine eigene Form besitzen, sondern stets die Form des Behälters einnehmen, in dem sie untergebracht sind. Hierbei bildet sich eine freie Oberfl¨ ache aus, und es wurde in Kapitel 6.1 gezeigt, dass diese eine Lage aufweist, die senkrecht zum Vektor der Erdbeschleunigung ist. Es wurden so die Fl¨ ussigkeitseigenschaften formuliert, die man aus Erscheinungen des täglichen Lebens kennt. Hierbei wurde jedoch stets davon ausgegangen, dass die zur Verf¨ ugung stehende Fl¨ ussigkeit ein Gesamtvolumen besitzt, das in

182


der selben Gr¨ oßenordnung liegt, wie der zur Verf¨ ugung stehende größere Beh¨ alter. Sind diese Voraussetzungen nicht erf¨ ullt, so gelten auch die oben aufgef¨ uhrten Aussagen nicht mehr. Dies ist durch Beobachtungen kleiner Fl¨ ussigkeitsmengen bekannt, die bei Aufbringen auf Oberflächen Tropfen bilden, wie sie in Abb. 6.13 angedeutet sind. Es zeigt sich, dass verschiedene Tropfenformen entstehen k¨ onnen, je nachdem welche Oberfläche und welche Fl¨ ussigkeit zur Tropfenbildung verwendet wird. Genauere Betrachtungen zeigen zudem, dass auch das die Fl¨ ussigkeit und die feste Unterlage umgebende Gas einen Einfluss auf die sich ausbildende Tropfenform hat. Letzteres wird oftmals vernachl¨ assigt, und man unterscheidet bei Betrachtungen von Fl¨ ussigkeits-Feststoff-Kombinationen bez¨ uglich ihrer Benetzbarkeit, je nachdem, ob der sich einstellende Grenzwinkel zwischen Fl¨ ussigkeitsoberfläche und fester Oberfl¨ ache kleiner als 90o oder größer ist, ob diese hydrophob oder hydrophil sind.

g

g

g r

g r

b )

a )

Abbildung 6.13: a) Tropfenform bei nichtbenetzenden Fl¨ ussigkeitsoberfl¨ achen; b) Tropfenform bei benetzenden Fl¨ ussigkeitsoberfl¨ achen

Die Oberfl¨ ache wird, wenn γgr > π/2

(6.52)

gilt, als durch die Fl¨ ussigkeit nichtbenetzend (hydrophob) eingestuft. Des Weiteren gilt, dass f¨ ur (6.53) γgr < π/2 die Oberfl¨ ache als durch die Fl¨ ussigkeit benetzend (hydrophil) eingestuft wird. Als Beispiele f¨ ur durch Wasser nichtbenetzende Oberflächen sind mit einer Fettschicht versehene Oberfl¨ achen bekannt. Gereinigte Glasflächen sind f¨ ur viele Fl¨ ussigkeiten als benetzend einzuordnen. Die obigen Erscheinungen sind dadurch erklärbar, dass an Fl¨ ussigkeitsele¨ menten verschiedene Kraftwirkungen“ auftreten können. Aquivalente phy” sikalische Betrachtungen sind auch durch die Oberflächenenergie, die freien ¨ Fl¨ ussigkeitsoberfl¨ achen zugeordnet werden k¨ onnen, anstellbar. Die Aquivalenz von Kr¨ aften und Energiebetrachtungen in mechanischen Systemen ist in Abschnitt 5.4 erl¨ autert. Befindet sich ein Fl¨ ussigkeitselement in einer Schicht, die fern einer freien Fl¨ ussigkeitsoberfl¨ ache liegt, so ist es von allen Seiten von gleichartigen Fl¨ ussigkeitsmolek¨ ulen umgeben und man kann davon ausgehen,


183

dass sich die zwischen den Molek¨ ulen auftretenden Kohäsionskräfte aufheben. Dies ist jedoch nicht mehr der Fall, wenn man Fl¨ ussigkeitselemente in der N¨ ahe von freien Oberfl¨ achen betrachtet. Da die von Gasmolek¨ ulen auf das Wasserteilchen ausge¨ ubten Kr¨ afte gegen¨ uber den Kohäsionskräften der Fl¨ ussigkeit vernachl¨ assigbar sind, erf¨ ahrt ein an der freien Oberfläche liegendes Teilchen eine Kraftwirkung in Richtung der Fl¨ ussigkeit. Es wirken auch Seitenkr¨ afte“ auf das Fl¨ ussigkeitselement, und dieses befindet sich damit ” in seiner Phasengrenzfl¨ ache in einem Spannungszustand, welcher der freien Oberfl¨ ache besondere Merkmale zukommen l¨ asst. So ist es z.B. möglich, auf freien Oberfl¨ achen sorgf¨ altig aufgebrachte, flache Metallteile aufzulegen, ohne dass diese in die Fl¨ ussigkeit dringen. Das Tragen von Rasierklingen auf Wasseroberfl¨ achen ist ein Versuch, der oftmals in Grundkursen der Physik vorgef¨ uhrt wird. In der Natur nutzen “Wasserläufer“ diese besondere Eigenschaft der Wasseroberfl¨ ache aus, um geschickt und flink T¨ umpel und Teiche zu u berqueren. ¨ Kommt ein Fl¨ ussigkeitstropfen mit einer festen Unterlage in Verbindung, so treten zus¨ atzlich zu den internen Koh¨ asionskräften auch Adhäsionskräfte auf. Sind diese Adh¨ asionskr¨ afte st¨ arker als die f¨ ur die Fl¨ ussigkeit typischen Koh¨ asionskr¨ afte, so liegt eine benetzende Oberfläche vor, und es bilden sich Wassertropfen aus, wie sie in Abb. 6.13 b) angedeutet sind. Sind dagegen die Koh¨ asionskr¨ afte st¨ arker, so haben wir es mit einer nichtbenetzenden Oberfl¨ ache zu tun, und die Tropfenformen entsprechen denen in Abb. 6.13 a).

Abbildung 6.14: Drahtb¨ ugelversuch zum Nachweis der Kraftwirkung infolge der Oberfl¨ achenspannung

Genauere Betrachtungen der Vorg¨ ange in der Nähe der freien Oberfläche ¨ einer Fl¨ ussigkeit zeigen, dass wir es dort mit einem komplizierten Ubergangsbereich (mit endlicher Ausdehnung senkrecht zur Fl¨ ussigkeitsoberfläche) von einem Fl¨ ussigkeitsraum in einen Gasraum zu tun haben. Es gen¨ ugt aber f¨ ur viele in der Str¨ omungsmechanik anzustellende Betrachtungen, die Oberfl¨ ache als eine Schicht mit der Dicke δ → 0 einzuf¨ uhren. Dieser werden die ¨ Eigenschaften zugeordnet, die die komplexen Ubergangsschichten zwischen Fl¨ ussigkeit und Gas beinhalten. Die f¨ ur die hier durchzuf¨ uhrenden Betrachtungen besonders wichtige Eigenschaft ist die Oberflächenspannung. Diese

184


l¨ asst sich dadurch nachweisen, dass man einen Drahtb¨ ugel, wie in Abb. 6.14 gezeigt, in eine Fl¨ ussigkeit eintaucht. Zieht man den Drahtb¨ ugel durch die freie Oberfl¨ ache nach oben, so stellt man fest, dass dies eine Kraftwirkung erfordert, die proportional dem Abstand zwischen den B¨ ugelarmen ist. Die Proportionalit¨ atskonstante, die diesen Sachverhalt wiedergibt wird als Oberfl¨ achenkonstante bezeichnet. Die Oberfl¨ achenspannung stellt somit eine Kraftwirkung der freien Oberfl¨ ache pro L¨ angeneinheit dar. Sie kann auch eingef¨ uhrt werden, als die Energie, die ben¨ otigt wird, um den Fl¨ ussigkeitsfilm in Abb. 6.14 zu spannen. Beide Einf¨ uhrungen sind identisch, da sich auf beiden Seiten der so formulierten Energiegleichung, die L¨ ange des Fl¨ ussigkeitsfilms in der Richtung, in der der B¨ ugel gezogen wird, aus dem Energieansatz herausk¨ urzt. Dies verdeutlicht, dass beide M¨ oglichkeiten der Einf¨ uhrung der Oberflächenspannung, einmal als Kraftwirkung pro L¨ angeneinheit und einmal als Energie pro Flächeneinheit, identisch sind.

d d s D

d s

d d s

2

C d s

1

b 1

b

d d s

1

1

B A

d d s

R 2

R

2

a R

2

R 1

1

b Abbildung 6.15: Schematische Darstellung eines gekr¨ ummten Oberfl¨ achenelements

Abschließend zu diesen einf¨ uhrenden Betrachtungen, soll die Wirkung der Oberfl¨ achenspannung auf die R¨ aume oberhalb und unterhalb einer freien Oberfl¨ ache untersucht werden. Aus Beobachtungen freier Oberflächen in der Mitte großer Beh¨ alter kann man schließen, dass dort die Oberflächenspannung keinen Einfluss auf die Fl¨ ussigkeit und den dar¨ uber liegenden Gasraum aus¨ ubt, da sich die freie Oberfl¨ ache senkrecht zu dem Schwerefeld der Erde einstellt, wie dies in Abschnitt 6.1 angegeben wurde. Daraus folgt allgemein: Betrachtungen von Fl¨ ussigkeiten mit freien Oberflächen können fern von Fl¨ ussigkeitsberandungen (Beh¨ alterwandungen) ohne Ber¨ ucksichtigung der Oberfl¨ acheneffekten durchgef¨ uhrt werden.


185

Betrachtet man ein gekr¨ ummtes Oberfl¨ achenelement, wie es in Abb. 6.15 gezeigt ist, so wird verst¨ andlich, dass infolge der auftretenden Oberflächenspannungen Kraftwirkungen auftreten, die auf die Seite der Oberfläche gerichtet sind, auf der die Mittelpunkte der Kr¨ ummungskreise“ liegen. Die ” entlang der Seiten AD und BC des Oberfl¨ achenelements angreifenden Kräfte errechnen sich f¨ ur jedes Linienelement ds1 und die durch sie resultierende Kraftwirkung in Richtung der Mittelpunkte der Kr¨ ummungskreise ist: ds2 dK1 = 2σ ds1 sin β = 2σ ds1 2R1 σ σ dK1 = ds1 ds2 = dO. R2 R1

(6.54)

Entsprechend errechnet sich die Kraftwirkung dK2 als: dK2 =

σ σ ds2 ds1 = dO. R2 R2

(6.55)

Dies zeigt, dass infolge der Oberfl¨ achenspannung, durch gekr¨ ummte Oberfl¨ achen, Druckwirkungen entstehen, die in Richtung der Mittelpunkte der Kr¨ ummungskreise gerichtet sind. Diese Druckwirkung errechnet sich als Kraft pro Fl¨ acheneinheit, d.h. es resultiert ein durch die Oberflächenspannung verursachter Differenzdruck zwischen unterhalb und oberhalb der gekr¨ ummten Oberfl¨ ache: 1 dK 1 =σ ∆Pσ = + . (6.56) dO R1 R2 Dabei liegt der h¨ ohere Druck auf der Seite der freien Oberfläche auf der die Mittelpunkte der Kr¨ ummungsradien von R1 und R2 liegen.

Ñ

P

g 0

h 0

r d P g

c

P

0 g b

g

Abbildung 6.16: Skizze zur Druckbetrachtung an Blasen

Liegt eine Kugeloberfl¨ ache vor, so gilt: R1 = R2 = R

−→

∆Pσ =

2σ . R

(6.57)

186


Diese Beziehung besagt, dass der Gasdruck in einer kugelförmigen Blase gr¨ oßer ist als der von außen aufgepr¨ agte Fl¨ ussigkeitsdruck: PF +

2σ = Pg . R

(6.58)

F¨ ur sehr kleine Blasen kann dieser Druckunterschied sehr groß sein. Betrachtet man den Gleichgewichtszustand eines Oberflächenelements einer Blase, so l¨ asst sich f¨ ur den Druck im oberen Scheitelpunkt der Blase folgende Beziehung schreiben: 2 (6.59) = Pg,0 . P0 + ρF gh0 + σ R0 F¨ ur ein Oberfl¨ achenelement in beliebiger H¨ ohe gilt folgendes Druckgleichgewicht: 1 1 P0 + ρF g (h0 + y) + σ + (6.60) = Pg,0 + ρg gy. R1 R2 Bildet man nun die Differenz dieser Druckbeziehungen, so erhält man eine Bestimmungsgleichung f¨ ur die Form einer freien Oberfläche: 1 1 1 2 + + (ρF − ρg ) gy = 0. (6.61) − R1 R2 R0 σ Damit ist eine Kenngr¨ oße zur Normierung der Gleichung (6.61) einf¨ uhrbar: # 2σ . (6.62) a= g (ρF − ρg ) die als Laplace-Konstante oder Kapillarit¨ atskonstante bekannt ist. Sie hat die Dimension einer L¨ ange und gibt gr¨ oßenordnungsmäßig an, bei welchen Abmessungen eines Beh¨ alters ein bemerkbarer Einfluss der Oberflächenspannung auf die Oberfl¨ achengestalt eines Mediums vorliegt. Es gilt: –

–

Ist die Laplace-Konstante einer freien Oberfläche einer Fl¨ ussigkeit vergleichbar mit den Abmessungen des Fl¨ ussigkeitskörpers, so ist ein Einfluss der Oberfl¨ achenspannung auf die Fl¨ ussigkeitsgestalt zu erwarten. In der N¨ ahe von Fl¨ ussigkeitsberandungen (Behälterwandungen) ist ein Einfluss der Oberfl¨ achenspannung auf die Gestalt der Fl¨ ussigkeitsober” fl¨ ache“ in Bereichen zu erwarten, die in der Größenordnung der LaplaceKonstanten liegen.

6.3.2 Steigh¨ ohen in Rohren und zwischen Platten Aus den Endaussagen des vorausgegangenen Abschnitts 6.3.1 ergeben sich Konsequenzen f¨ ur Steigh¨ ohenbetrachtungen von Fl¨ ussigkeiten. Solche Betrachtungen wurden in Abschnitt 6.2 bereits durchgef¨ uhrt, allerdings blieben


P

d 0

R

g 0

2 r z

187

g r

z 0 · · ·

0

P i

Abbildung 6.17: Skizze f¨ ur Steigh¨ ohenbetrachtungen in Rohren und zwischen Platten

hierbei Einfl¨ usse der Grenzfl¨ achen zwischen fl¨ ussigen, festen und gasförmigen Medien unber¨ ucksichtigt, d.h. der Einfluss der Grenzflächen- oder Oberfl¨ achenspannung blieb unbeachtet. Beachtet man die in Abschnitt 6.3.1 gewonnenen Erkenntnisse, so zeigt sich, dass die f¨ ur kommunizierende Systeme ¨ in Abschnitt 6.2 angegebenen Uberlegungen nur dann G¨ ultigkeit haben, wenn die Abmessungen der Verbindungsleitungen der Systeme groß sind gegen¨ uber der Laplace-Konstante der Fl¨ ussigkeitsgrenzfl¨ achen. Des Weiteren gelten die Betrachtungen nur fern von Fl¨ ussigkeitsberandungen. In unmittelbarer Nähe der Berandung liegt ein Einfluss der Oberfl¨ achenspannung vor, der in den ¨ Uberlegungen des Abschnitts 6.2 unber¨ ucksichtigt blieb. Die sich in Fl¨ ussigkeitsbeh¨ altern kleiner Dimensionen abspielenden Vorg¨ ange lassen sich am einfachsten behandeln, wenn man eine Aufteilung der Wandungen der Beh¨ alter vornimmt, in solche, die als benetzend“ und in sol” che, die als nichtbenetzend“ gelten. F¨ uhrt man die Betrachtungen zunächst ” f¨ ur benetzende Wandungen durch, so zeigen Experimente, dass f¨ ur solche Oberfl¨ achen, in kleinen Rohren und zwischen Platten mit kleinen Abständen, die Fl¨ ussigkeit im Rohr bzw. zwischen den Platten eine Höhe einnimmt, die u ohe der Oberfl¨ ache eines gr¨ oßeren Behälters liegt. Dieser Sachver¨ ber der H¨ halt ist in Abb. 6.17 angedeutet.

188


Aus Gleichgewichtsbetrachtungen folgt: Druck zwischen Platten

P0 −

σ = PF = Pi − ρF gz0 , R0

(6.63a)

P0 −

2σ = PF = Pi − ρF gz0 R0

(6.63b)

z0 =

1 σ (Pi − P0 ) + , ρF g ρF gR0

(6.64a)

Druck in Rohren oder umgeschrieben: Steigh¨ ohe Platten

zwischen

Steigh¨ ohe im Rohr

z0 =

1 ρF g

(Pi − P0 ) +

2σ . ρF gR0

(6.64b)

Hierbei ist der Kr¨ ummungsradius R0 als Unbekannte anzusehen, f¨ ur die es zwei M¨ oglichkeiten der Bestimmung gibt. Zur Vereinfachung der Ableitungen kann mit einer f¨ ur die Praxis ausreichenden Genauigkeit angenommen werden, dass die im Steigrohr sich einstellende Oberfläche die Form einer Teilkugel f¨ ur das Rohr, bzw. eines Teilzylinders f¨ ur den Plattenspalt annimmt. Hierbei gilt f¨ ur den Grenzwinkel zwischen Fl¨ ussigkeitsoberfläche und Rohrbzw. Plattenwand der Grenzwinkel, der aus Angaben u ¨ber die Benetzbarkeit bekannt sein muss. Bezeichnet man diesen Winkel mit γgr , so erhält man folgende Beziehung: r = R0 cos γgr . (6.65) Damit gilt f¨ ur die Endbeziehung f¨ ur die Steigh¨ ohe z0 f¨ ur die Platten und das Rohr: Platte

z0 =

Rohr

z0 =

1

σ cos γgr , ρF gr

(6.66a)

1 2σ (Pi − P0 ) + cos γgr . ρF g ρF gr

(6.66b)

ρF g

(Pi − P0 ) +

Diese Endbeziehung zeigt nun, dass selbst bei Druckgleichheit, d.h. pi = p0 , die Steigh¨ ohe endliche Werte annimmt, falls γgr < π2 . Diese Tatsache muss beim Einsatz von kommunizierenden Systemen f¨ ur Steigh¨ ohenmessungen ber¨ ucksichtigt werden und bei Druckmessungen Beachtung finden. Die zweite M¨ oglichkeit, die Steigh¨ ohe z0 zu berechnen, ist dadurch gegeben, dass es experimentell m¨ oglich ist, wenn auch mit einer größeren Ungenauigkeit, die Gr¨ oße δ anhand der unten aufgef¨ uhrten Betrachtungen zu bestimmen 2

r2 + (R0 − δ) = R02 ;

R0 =

r2 + δ 2 . 2δ

(6.67)


189

Die Steigh¨ ohe z0 errechnet sich hieraus wie folgt: z0 =

1 4σδ . (Pi − P0 ) + ρF ρF g (r2 + δ 2 )

P

(6.68)

0

P 0

Abbildung 6.18: Betrachtungen der Steigh¨ ohe in Rohren und zwischen Platten f¨ ur nicht benetzende Oberfl¨ achen

Es zeigt sich, dass f¨ ur σ = 0 keine durch Oberflächeneffekte erhöhte Steigh¨ ohen z0 in Rohren bzw. zwischen Platten zu erwarten sind. Unter solchen Bedingungen f¨ ur die Benetzbarkeit der Oberfläche gelten die im Abschnitt 6.2 abgeleiteten Beziehungen auch f¨ ur kleine Rohrdurchmesser und kleine Plattenabst¨ ande. Liegen nichtbenetzende Oberfl¨ achen vor, so zeigt sich, dass die Fl¨ ussigkeit im Innern eines Steigrohres bzw. eines Plattenspaltes nicht die Höhe erreicht, welche die Fl¨ ussigkeit außerhalb des Rohres bzw. des Plattenspaltes einnimmt. Dieser Sachverhalt ist in Abb. 6.18 angezeigt. Analog zu den ¨ vorausgegangenen Uberlegungen f¨ ur benetzende Fl¨ ussigkeiten lässt sich bei Druckgleichheit angeben: z0 = −

2σ R0 ρF g

(6.69)

wobei R0 wiederum, wie oben angezeigt, eingef¨ uhrt werden kann. Die so erhaltene Beziehung deutet an, dass die f¨ ur benetzende Oberflächen abgeleiteten Endbeziehungen auch oft auf nichtbenetzende Medien angeuckwandt werden k¨ onnen, falls man das Vorzeichen von cos γgr und δ ber¨ sichtigt. So ist z.B. δ f¨ ur benetzende Fl¨ ussigkeiten, in den oben abgeleiteten Beziehungen, positiv einzuf¨ uhren, w¨ ahrend f¨ ur nichtbenetzende Oberflächen δ negativ eingesetzt werden muss.

190


6.3.3 Blasenbildung an D¨ usen Das Einblasen von Gasen in Fl¨ ussigkeiten f¨ ur chemische Reaktionen oder f¨ ur einen Stoffaustauschvorgang stellt einen Prozess dar, der in vielen Gebieten der Verfahrenstechnik angewandt wird. Somit ist die Blasenbildung an D¨ usen als einleitender Vorgang f¨ ur diese Prozesse von Interesse. Dar¨ uber hinaus stellt die Simulation von Siedeprozessen, bei der die Dampfblasen durch Gasblasen ersetzt werden, ein weiteres Gebiet dar, auf dem genaue Kenntnisse u ¨ber die Blasenbildung notwendig sind.

P

h

P 0

P D

0

h

P

P s G

Abbildung 6.19: Kr¨ aftegleichgewicht an einer Blase (A Auftriebskraft, G Schweruse von der Fl¨ ussigkeitsoberfl¨ ache, h0 Abstand des Blakraft, hD Abstand der D¨ achenkr¨ afte, KP Druckkr¨ afte, senscheitels von der Fl¨ ussigkeitsoberfl¨ ache, KO Oberfl¨ ussigkeitsoberfl¨ ache) Ph hydrostatischer Druck, P0 Luftdruck auf die Fl¨

Bei der Ausbildung von Gasblasen an D¨ usen während des Begasens von Fl¨ ussigkeiten ¨ andert sich der Druck im Blaseninnern. F¨ ur die theoretisch erfassbare statische Blasenbildung ist dies auf verschiedene Kr¨ ummungen der Blasengrenzfl¨ ache, die w¨ ahrend der Ausbildung der Blasen durchlaufen wer¨ den, und damit auf Anderungen des Kapillardrucks zur¨ uckzuf¨ uhren. Diesen sind Druck¨ anderungen u ¨ berlagert, die ihren Grund in der während der Formung stattfindenden Aufw¨ artsbewegung des Blasenscheitels haben. Bei der dynamischen Blasenbildung sind zus¨ atzliche, sich ändernde Druckwirkungen zu erwarten, die im wesentlichen auf Beschleunigungs- und Reibungskräften beruhen.


191

Unter statischer Blasenbildung versteht man die Formung von Blasen unter Druckbedingungen, die es erlauben, die auf Beschleunigungs- und Reibungskr¨ afte zur¨ uckzuf¨ uhrenden Druckwirkungen auf ein Element der Phasengrenzfl¨ ache zu vernachl¨ assigen. Obgleich dies in der Praxis meist nur sehr bedingt der Fall ist, kommt der statischen Blasenbildung einige Bedeutung zu. Da sie theoretisch erfassbar ist, k¨ onnen aus ihr einige wichtige Grundkenntnisse gewonnen werden, die zum allgemeinen Verständnis der Blasenbildung beitragen. Ferner sind Kenntnisse u ¨ber die statische Blasenbildung notwendig, um die Einfl¨ usse der Beschleunigungs- und Reibungskräfte im Falle der dynamischen Ausbildung der Blasen zu erforschen. Die wesentlichen Grundgleichungen der statischen Blasenbildung können aus den Gleichgewichtsbedingungen f¨ ur die Druckkräfte an einem Grenzfl¨ achenelement abgeleitet werden. F¨ ur das Druckgleichgewicht an einem Element der Phasengrenzfl¨ ache gilt nach Abb. 6.19, dass der Gasdruck in der Blase PG gleich der Summe aus hydrostatischem Druck Ph und Kapillardruck ∆Pσ sein muss: 1 1 + (6.70) PG = ∆Pσ + Ph = σ + p0 + ρF g (h0 + y) . R1 R2 Dabei ist der Gasdruck: PG = PG,0 + ρG gy.

(6.71)

Ber¨ ucksichtigt man die Definitionen f¨ ur Kr¨ ummungsradien, so kann mit a ¯ j = Rj /a, r¯ = r/a sowie y¯ = y/a die folgende als Laplace-Konstante und R Differentialgleichung abgeleitet werden: 1 y¯ y¯ + = 2 ¯ − y¯ . (6.72) 3/2 1/2 R0 (1 + y¯ 2 ) r¯ (1 + y¯ 2 ) Durch die Substitution: y¯ z¯ = = sin ϑ 1 + y¯ 2

(6.73)

l¨ asst sich die Differentialgleichung zweiter Ordnung durch ein System von zwei Differentialgleichungen erster Ordnung ersetzen: 1 d (¯ r z¯) = 2¯ r ¯ − y¯ , (6.74) d¯ r R0 z¯ d¯ y =√ = tan ϑ, d¯ r 1 − z¯2

(6.75)

die zur Integration verwendet werden. Das gesuchte Blasenvolumen V¯ erhält man in dimensionsloser Form durch die nachfolgende partielle Integration:

192


"y¯

"y¯ r¯ d¯ y = π¯ r y¯ − 2π

V¯ = π

2

0

2

r¯y¯ d¯ r

(6.76)

0

und unter Verwendung von Gleichung (6.74) 1 ¯ V = π¯ r z¯ + r¯ y¯ − ¯ . R0

(6.77)

F¨ uhrt man wieder dimensionsbehaftete Gr¨ oßen ein, so lässt sich Gleichung (6.77) schreiben: r a r y V , (6.78) = π − z ¯ + a3 a a a R0 r a2 V = a2 πr z¯ + 2 y − . (6.79) a R0 Mit a und Gleichung (6.73) wird das Blasenvolumen V : r 2σ 2σ πr sin ϑ + g (ρF − ρG ) y − . V = g (ρF − ρG ) 2σ g (ρF − ρG ) R0 (6.80) Gleichung (6.80) stellt eine Integralform des Differentialgleichungssystem (6.74) und (6.75) dar, die Kr¨ aftegleichgewichtsbetrachtungen an Blasen zul¨ asst. F¨ ur die an einer Blase wirkenden Kr¨ afte, Abb. 6.19, kann die Gleichgewichtsbedingung in der Form: 2 2σ − g (ρF − ρG ) y = 2πrσ sin ϑ (6.81) V gρF − V gρG + πr R0 geschrieben werden, wobei die ersten beiden Glieder die Auftriebskraft bzw. das Gewicht der Blase darstellen, und das dritte Glied der linken Seite die Druckkraft auf den Blasenquerschnitt πr2 in der Höhe y bedeutet. Die Oberfl¨ achenkr¨ afte sind auf der rechten Seite aufgef¨ uhrt. Gleichung (6.81) sollte in solchen F¨ allen verwendet werden, in denen das Blasenvolumen aus Bedingungen des Kr¨ aftegleichgewichts errechnet werden soll. F¨ ur die Berechnung der Druck¨ anderungen kann durch Umformen der Gleichungen (6.70) und (6.71) der Druck im Blasenscheitel, wie unten aufgef¨ uhrt, ausgedr¨ uckt werden: PG,0 =

2σ + P0 + F g (hD − ys ) ; R0

(6.82)

f¨ ur den Druck an der D¨ usenm¨ undung gilt nach Gleichung (6.71) unter Ber¨ ucksichtigung von Gleichung (6.82)


PG,D =

2σ + P0 + F ghD − g (F − g ) ys . R0

193

(6.83)

Gleichung (6.83) kann in dimensionsloser Form geschrieben werden: 1 1 ∆P¯D = [PG,D − P0 − F ghD ] = − y¯s . R0 2gσ (F − G )

(6.84)

Obgleich das Differentialgleichungssystem (6.74) und (6.75) die Berechnung aller Blasenformen der statischen Blasenbildung erlaubt und mittels der Gleichungen (6.77) und (6.84) die entsprechenden Blasenvolumina und Druckdifferenzen als wichtige Gr¨ oßen der Blasen erhalten werden können, ist das Problem hinsichtlich der Einzelschritte der Blasenbildung unbestimmt. Die L¨ osung der Gleichungen erlaubt nur die Berechnung einer einparametrigen Kurvenschar, wobei in die Ableitungen der Scheitelradius R0 als Parameter eingef¨ uhrt wurde. Sie erlaubt nicht vorauszusagen, in welcher Reihenfolge die verschiedenen Werte des Parameters durchlaufen werden. Dies muss als zus¨ atzliche Information in die Betrachtungen eingef¨ uhrt werden, um einen Satz von Blasenformen zu erhalten, die im Verlauf der Blasenbildung durchlaufen werden. Theoretisch ist es nun m¨ oglich, jede beliebige endliche, geordnete Menge ahlen und f¨ ur diese die entsprechenden Blasenformen zu von R0,i -Werten zu w¨ berechnen. Praktische Bedeutung kommt jedoch nur einer R0,i -Variation zu, die durch die meisten Experimentalbedingungen gegeben ist und f¨ ur welche die nachfolgenden Berechnungen wie folgt formuliert wurden: a) Alle Blasen formen sich u use mit dem Radius r¯D . ¨ ber einer D¨ ¯ 0,i = ∞. Als Anfangspunkt der statischen Blasenbildung wird die horib) R zontale Lage der Phasengrenzfl¨ ache u use gewählt. ¨ ber der D¨ Alle weiteren Scheitelradien werden nach der Bedingung 1 2 ¯ 0,i+1 ≥ V¯D [R0,i ] c) V¯D R ausgew¨ ahlt. Dies bedeutet, dass sich die theoretischen Untersuchungen auf die Blasenbildung beschr¨ anken, die durch langsame, kontinuierliche Gaszufuhr durch D¨ usen mit Radius r¯D zustande kommt. Gasr¨ uckfl¨ usse durch die D¨ usen, und damit eine Abnahme des Blasenvolumens mit steigendem Scheitelradius, wie sie die Gleichung (6.77) oder (6.79) ermöglichen w¨ urden, sind durch die Beziehung c) aus den Betrachtungen ausgeschlossen. Die konsequente Anwendung dieser Beziehung f¨ uhrt zur Ausbildung eines maximalen Blasenvolumens. Dieses muss als Volumen der Blase beim Beginn des Ablösevorgangs angesehen werden, d.h. + , d) V¯A = V¯D max . In den Berechnungen wurde das Differentialgleichungssystem (6.74) und ¯ 0 unter Beachtung der genannten Be(6.75) f¨ ur verschiedene Scheitelradien R dingungen numerisch gel¨ ost, und so die Blasenform ermittelt. Die Ergebnisse

194


der Berechnungen sind in Abb. 6.20 bis 6.25 wiedergegeben. Sie können zum Verstehen der statischen Blasenbildung an D¨ usen in Fl¨ ussigkeiten herangezogen werden. Abb. 6.20 zeigt Blasenformen, die verschiedene Stadien der Blasenbildung bei langsamer Gaszufuhr durch D¨ usen darstellen. Die Ergebnisse sind f¨ ur usenradius von rD ≈ 1, 6 r¯D = 0, 4 wiedergegeben, dies entspricht einem D¨ mm im Falle von Luftblasen in Wasser.

Abbildung 6.20: Durch Integration des Gleichungssystems (6.74) und (6.75) ermittelte Blasenformen der statischen Blasenbildung f¨ ur r¯D = 0, 4

¨ Abb. 6.21 zeigt die Anderung des Blasenvolumens während der Ausbildung von Gasblasen an D¨ usen verschiedener Radien r¯D , wobei zur Kennzeich¯ 0 gewählt wurnung des jeweiligen Ausbildungsstadiums der Scheitelradius R de. Diesem Diagramm kann - f¨ ur gr¨ oßere D¨ usenradien - die wichtige Eigenschaft entnommen werden, dass ein großer Teil der Blase sich bei annähernd konstantem Scheitelradius ausbildet. F¨ ur kleinere D¨ usenradien sind während ¨ der Ausbildung der Gasblasen st¨ arkere Anderungen des Scheitelradius zu erwarten. In Abb. 6.22 wurde die Druckdifferenz ∆P¯D als Funktion des Scheitelradi¯ 0 f¨ us R ur verschiedene D¨ usenradien r¯D dargestellt. Dieser Darstellung kann entnommen werden, dass zur statischen Blasenbildung an D¨ usen zunächst ein kontinuierlicher Druckanstieg an der D¨ usenm¨ undung notwendig ist. Nach Erreichen eines f¨ ur alle D¨ usenradien deutlich ausgeprägten Maximums fällt der Druck wieder ab. Diese, f¨ ur die statische Blasenbildung erforderliche, kontinuierlich zunehmende und dann abnehmende Druckänderung macht es


B la s e n v o lu m e n V

1 ,6

195

L a g e d e r V o lu m e n m a x im a G re n z k u rv e d e r B la s e n b ild u n g

1 ,2

r D = 0 ,6

0 ,5

0 ,8

0 ,4 0 ,3

0 ,4 0 ,2

0

0 ,2

0 ,4

0 ,6

0 ,8

1 ,0

1 ,2

S c h e ite lra d iu s R

1 ,4 0

¯ 0 f¨ Abbildung 6.21: Blasenvolumen V¯ als Funktion des Scheitelradius R ur verschiedene D¨ usenradien r¯D

schwierig, die statische Ausbildung von Gasblasen an D¨ usen in Fl¨ ussigkeiten experimentell zu untersuchen, falls nicht v˙ = const gewählt wird. Die Abbildungen 6.23 und 6.24 zeigen f¨ ur verschiedene D¨ usenradien die ¨ Anderung des Scheitelabstandes von der D¨ use während der Blasenbildung. In Abb. 6.23 wurde der Scheitelradius zur Kennzeichnung des jeweiligen Stadiums der Blasenbildung gew¨ ahlt, w¨ ahrend in Abb. 6.24 das Blasenvolumen herangezogen wurde. Abb. 6.25 stellt die dimensionslose Druckdifferenz ∆P¯D als Funktion des Blasenvolumens f¨ ur verschieden D¨ usenradien r¯D dar. Die Endpunkte der einzelnen Kurven sind durch die Existenz eines maximalen Blasenvolumens gegeben. Wie Abb. 6.22 entnommen werden kann, ist die sich u use ¨ ber einer D¨ formende Blase maximalen Volumens nicht identisch mit der Blase minimalen Druckes. Es sei jedoch darauf hingewiesen, dass letztere aufgrund der Definition der statischen Blasenbildung aus den möglichen Blasenformen ausgeschlossen ist, da sie nur durch Gasr¨ uckfluss in die D¨ usen verifiziert werden k¨ onnte. Zum allgemeinen Verst¨ andnis der Problematik der statischen Blasenbildung sei noch auf zwei Gegebenheiten hingewiesen: a) F¨ ur die statische Blasenbildung existiert ein Grenzradius r¯D,gr = 0, 648, der die statische Blasenbildung in zwei verschiedene Gebiete trennt. Theoretische Untersuchungen f¨ ur D¨ usenradien r¯D ≥ r¯D,gr wurden hier nicht angestellt, da sie f¨ ur die hier vorgesehene Einf¨ uhrung der Ergebnisse zum besseren Verst¨ andnis der Blasenbildung nicht von Bedeutung sind.


4 ,0

D ru c k d iffe re n z D p

D

196

1 / R

3 ,2

0

(G re n z k u rv e )

r D = 0 ,2 0 ,3

2 ,4

0 ,4

1 ,6

0 ,5 0 ,6

0 ,8

L a g e d e r D ru c k m a x im a G re n z k u rv e d e r B la s e n b ild u n g

L a g e d e r D ru c k m in im a

0 0

0 ,2

0 ,4

0 ,6

0 ,8

1 ,0

1 ,4

1 ,6

S c h e ite lra d iu s R 0

¯ 0 f¨ Abbildung 6.22: Druckdifferenz ∆P¯D als Funktion des Scheitelradius R ur verschiedene D¨ usenradien r¯D

2 ,0 y

L a g e d e r S c h e ite la b s ta n d s m a x im a s

G re n z k u rv e d e r B la s e n b ild u n g

1 ,6 r

1 ,2

D

= 0 ,6

0 ,5 0 ,3

0 ,8

0 ,4 0 ,2

0 ,4 0

0 ,1

0 ,3

0 ,5

0 ,7

0 ,9

1 ,1

S c h e ite lra d iu s R

1 ,3 D

Abbildung 6.23: Abstand des Blasenscheitels y¯s von der D¨ usenoberkante als ¯ 0 f¨ ur verschiedene D¨ usenradien r¯D Funktion des Scheitelradius R

b) Das Differentialgleichungssystem (6.74) und (6.75) erlaubt die Berechnung von Blasenketten, wie sie in Abb. 6.26 dargestellt sind. Diese Blasenketten wurden nicht weiter untersucht, da sie mit der oben angegebenen Definition der Luftzuf¨ uhrung f¨ ur die untersuchte statische Blasenbildung nicht im Einklang stehen.

6.4 Aerostatik

1 ,8

0 ,5

y s 1 ,6

197

r D = 0 ,6

0 ,4

1 ,4

0 ,2

1 ,2

0 ,3

1 ,0 0 ,8 0 ,6 0 ,4 0 ,2 0 0

0 ,2

0 ,4

0 ,6 0 ,8

1 ,0 1 ,2 1 ,4

1 ,6 1 ,8

B la s e n v o lu m e n V Abbildung 6.24: Abstand des Blasenscheitels y¯s von der D¨ usenoberkante als Funktion des Blasenvolumens V¯ f¨ ur verschiedene D¨ usenradien r¯D

W¨ ahrend die statische Blasenbildung im wesentlichen mit einfachen mathematischen Mitteln theoretisch erfasst werden kann, bestehen f¨ ur ähnliche Untersuchungen der dynamischen Blasenbildung erhebliche Schwierigkeiten. Dies ist im wesentlichen darauf zur¨ uckzuf¨ uhren, dass sich kein Koordinatensystem finden ließ, in dem die dynamische Blasenbildung als stationärer Vorgang beschrieben werden konnte. Zudem ist f¨ ur die dynamische Blasenbildung der Druck auf ein Element der Phasengrenzfläche von den Fl¨ ussigkeitsbewegungen w¨ ahrend der Blasenbildung abh¨ angig und ist damit nur durch L¨ osung der instation¨ aren Navier-Stokesschen Gleichung berechenbar. Diese sind jedoch nur unter Schwierigkeiten mit hohem Rechenaufwand lösbar.

6.4 Aerostatik 6.4.1 Druck in der Atmosph¨ are Die Aerostatik unterscheidet sich von der Hydrostatik dadurch, dass zur Kennzeichnung des Fluids, auf das die aus den Navier-Stokesschen Gleichungen abgeleiteten partiellen Differentialgleichungen f¨ ur ruhende Fluide Anwendung finden, nicht die Zustandsgleichung einer idealen Fl¨ ussigkeit ρ = const, sondern die des idealen Gases eingef¨ uhrt wird: P = RT. ρ

(6.85)

Die Dichte¨ anderungen mit dem Druck gilt es bei der Lösung aerostatischer Probleme zu ber¨ ucksichtigen. Damit lauten die in der Aerostatik g¨ ultigen partiellen Differentialgleichungen:

198


D ru c k d iffe re n z D p

D

5 ,0 4 ,5 4 ,0 3 ,5 r

3 ,0

D

= 0 ,2

2 ,5

0 ,3

2 ,0

0 ,4

1 ,5

0 ,5

0 ,6

1 ,0 0 ,5 0 0

0 ,2

0 ,4

0 ,6

0 ,8

1 ,0

1 ,2

1 ,4

1 ,6

B la s e n v o lu m e n V Abbildung 6.25: Druckdifferenz ∆P¯D als Funktion des Blasenvolumens f¨ ur verschiedene D¨ usenradien r¯D

0 ,2 y

0

r

0 ,2

0 ,2

0 ,4 0 ,2

0 ,4

y 1 ,8 2 ,0

0 ,6

2 ,2

0 ,8

2 ,4

0

r

0 ,2

y

0 ,4

0 ,2

0

r

0 ,2

3 ,0 3 ,2 3 ,4

1 ,0 1 ,2 Abbildung 6.26: Aus dem Differentialgleichungssystem (6.74) und (6.75) ermit¯ 0 = 1, 60 telte Blasenketten R

∂P P gˆj = ρˆ gj = ∂xj RT

(6.86)

oder ausgeschrieben f¨ ur j = 1, 2, 3: ∂P P gˆ1 , = ∂x1 RT

∂P P gˆ2 , = ∂x2 RT

∂P P gˆ3 . = ∂x3 RT

(6.87)

6.4 Aerostatik

199

E b e n e x 3 = c o n st x

h o riz o n ta le E b e n e in M e e re s h ö h e 3

x

x

2

1

Abbildung 6.27: Koordinatensystem zur Ableitung der Babinetschen N¨ aherungsformel f¨ ur den Atmosph¨ arendruck u ache ¨ ber der Erdoberfl¨

Dieser Satz partieller Differentialgleichungen lässt sich nun zur Berechnung der Druckverteilung in solchen Fluiden anwenden, deren Zustandskenn¨ zeichnung mit einer f¨ ur die anzustellenden Uberlegungen ausreichenden Genauigkeit durch die ideale Gasgleichung m¨ oglich ist. Dies soll an einigen Beispielen verdeutlicht werden. Betrachtet man die Atmosph¨ are der Erde als aus einem ruhenden, kompressiblen Fluid bestehend, dessen Zustand durch die ideale Gasgleichung mit einer f¨ ur die vorliegenden Ableitungen ausreichenden Genauigkeit beschreibbar ist, so l¨ asst sich eine angen¨ aherte Beziehung zwischen der Höhe u ache und dem Atmosph¨ arendruck in einer betrachteten ¨ ber der Erdoberfl¨ H¨ ohe H angeben, die allgemein als barometrische Höhenformel bezeichnet wird. Im Besonderen soll hier die als Babinetsche Näherungsformel bekannte Beziehung abgeleitet werden. Verwendet man das in Abb. 6.27 angegebene Koordinatensystem, in dem ache in H¨ ohe der Meeresoberfläche bildet, die x1 , x2 -Ebene eine horizontale Fl¨ so lassen sich die oben angegebenen partiellen Differentialgleichungen (6.87) wie folgt schreiben. Differentialgleichungen f¨ ur R → ∞, wobei R der Radius der Erde ist: ∂P = 0 ; P = f (x2 , x3 ) ∂x1

(6.88)

∂P = 0 ; P = f (x1 , x3 ) ∂x2 d.h. P = f (x3 ) und damit gilt

∂P ∂x3

−→

dP dx3 :

dP P gˆ. =− dx3 RT

(6.89)

200


Die Differentialgleichung, die es zu l¨ osen gilt, lässt sich wie folgt schreiben: dP P gˆ =− dx3 RT

dP 1 =− gˆdx3 P RT

(6.90)

mit der allgemeinen L¨ osung: ln

P2 1 =− P1 R

"

(x3 )2 (x3 )1

gˆ dx3 . T

(6.91)

Das in der obigen Gleichung auftretende Integral lässt sich nur lösen, wenn bekannt ist, wie sich die Erdbeschleunigung g u ¨ ber der Höhe ändert und wenn ferner die Temperaturvariation als Funktion von x3 angegeben werden kann. So ist f¨ ur die Erdbeschleunigung g bekannt, dass sich diese mit der Höhe x3 umgekehrt proportional dem Quadrat des Abstandes vom Erdmittelpunkt a ¨ndert. Dieses folgt unmittelbar aus dem Newtonschen Gravitationsgesetz, wenn der Einfluss der Erddrehung vernachl¨ assigt wird. Bezeichnet man den Radius der Erde mit R und ist g die Erdbeschleunigung an der Meeresoberfl¨ ache, so gilt folgende Beziehung: 1 gˆ = g . x3 2 1+ R

(6.92)

Ber¨ ucksichtigt man die oftmals in der Atmosphäre vorliegende lineare Abnahme der Temperatur mit der H¨ ohe, d.h. f¨ uhrt man ein: T = T0 (1 − αx3 )

(6.93)

so erh¨ alt man die folgende Endbeziehung PH g ln =− P0 RT0

"H 0

dx3 . x3 2 (1 − αx3 ) 1 + R

(6.94)

Trifft man nun Einschr¨ ankungen bez¨ uglich der Höhe, u ¨ber der die oben aufgef¨ uhrte Integration erfolgen soll, und w¨ ahlt diese so, dass folgende Beziehungen gelten: x3 1 (6.95) α x3 1 R So kann man durch Potenzreihenentwicklung erhalten: PH g ln =− P0 RT0

"H

2x3 + . . . dx3 (1 + αx3 + . . . ) 1 − R

(6.96)

0

bzw. die N¨ aherungsformel durch Vernachl¨ assigung der Glieder höherer Ordnung:

6.4 Aerostatik

ln

PH g =− P0 RT0

"H

2 1+ α− x3 dx3 . R

201

(6.97)

0

Durch die L¨ osung dieser Gleichung ergibt sich f¨ ur die Druckverteilung in der unteren Atmosph¨ are die folgende Endbeziehung: gH 1 2 PH = P0 exp − 1+ α− H . (6.98) RT0 2 R Wie Abb. 6.28 zeigt, beschreibt diese Druckbeziehung mit guter Genauigkeit die in der Atmosph¨ are vorliegende Normdruckverteilung. Die von Babinet angegebene N¨ aherungsformel f¨ ur die Druckverteilung in der Atmosph¨ are l¨ asst sich aus der allgemeinen Differentialgleichung: gˆ dP =− dx3 P RT

(6.99)

durch Einf¨ uhren der folgenden Annahmen ableiten: P =

PH + P0 = const 2

gˆ = g = const (6.100)

T0 + TH T = = const. 2 F¨ uhrt man diese Vereinfachungen ein, so ergibt sich die folgende Lösung der Differentialgleichung (6.99): 2 (PH − P0 ) = − PH + P0

"H

g dx3 RT

(6.101)

0

oder aufgel¨ ost:

PH − P0 gH =− PH + P0 R (T0 + TH )

und f¨ ur H: H =−

R TH PH − P0 T0 1 + . g T0 PH + P0

Stellt man diese Gleichung nach P0 um, so ergibt sich: TH R −H g T0 1 + T0 . PH = P0 TH R +H g T0 1 + T0

(6.102)

(6.103)

(6.104)

Die Abb. 6.28 zeigt den Verlauf der beiden Beziehungen (6.98) und (6.104) im Vergleich zu der als Normatmosph¨ are eingef¨ uhrten Druckverteilung.

202

6 Hydrostatik und Aerostatik 1 2 5 N o rm d ru c k G le ic h u n g ( 6 .9 8 ) G le ic h u n g ( 6 .1 0 4 )

D ru c k PH / 1 0 [m b a r]

1 0 0 7 5 5 0 2 5 0 0

2 0 0

4 0 0

6 0 0 8 0 0 H ö h e H / 1 0 [m ]

1 0 0 0

Abbildung 6.28: Normdruckverteilung in der Atmosph¨ are und aufgrund von N¨ aherungsformeln errechnete Verteilungen

6.4.2 Rotierender Beh¨ alter Als ein weiteres Beispiel f¨ ur die Anwendung der aerostatischen Grundgleichungen soll das in Abb. 6.29 angedeutete Problem behandelt werden. Durch eine einzige Druckmessung im oberen Mittelpunkt der Zylinderdeckenfläche und durch Anwendung der partiellen Differentialgleichung der Aerostatik, soll die gesamte Druckbelastung auf der Mantelfl¨ ache des mit einem kompressiblen Medium gef¨ ullten, rotierenden Zylinders bestimmt werden. Entgegen des in Abschnitt 6.1 behandelten Beispiels, soll hier der Zylinder nur eine reine Rotationsbewegung erfahren, so dass die partiellen Differentialgleichungen der Aerostatik f¨ ur T = const wie folgt geschrieben werden können: ω2 2 P ∂P = rω 2 −→ ln P = r + F (ϕ, z) , ∂r RT 2RT 1 ∂P = 0 −→ P = F (r, z) , r ∂ϕ P g ∂P =− g −→ ln P = − z + F (r, ϕ) . ∂z RT RT

(6.105) (6.106) (6.107)

Durch Vergleich der L¨ osungen erh¨ alt man: ln P = C +

ω2 2 g r − z. 2RT RT

(6.108)

Der im Koordinatenursprung gemessene Druck P0 , erlaubt die Bestimmung der Integrationskonstanten C als: C = ln P0 .

(6.109)

6.4 Aerostatik

203

h r = R

P

w P

D ie D ro tie r k o m p k a n n

h = L

ru c k v e r e n d e n B re s s ilb le se h r k o m

te ilu n g in e h ä lte rn m it n F lu id e n p le x w e rd e n

Abbildung 6.29: Rotierender Zylinder mit kompressiblem Medium

Daraus errechnet sich: P = P0 exp

g ω2 2 r − z . 2RT RT

(6.110)

Entlang der Bodenfl¨ ache z = −L errechnet sich die Druckverteilung als: 2 gL ω P (r, z = −L) = P0 exp r2 + . (6.111) 2RT RT Entlang der vertikalen Mantelfl¨ ache r = R gilt: 2 ω g 2 R − z . P (r = R, z) = P0 exp 2RT RT

(6.112)

6.4.3 Aerostatischer Auftrieb In der Anwendung aerostatischer Gesetzm¨ aßigkeiten werden oftmals Fehler dadurch begangen, dass zum Allgemeinwissen gehörende Beziehungen bei ¨ Uberlegungen Einsatz finden, deren G¨ ultigkeit strenggenommen nur in der Hydrostatik gegeben ist. Als Beispiel sei an dieser Stelle der Auftrieb von K¨ orpern genannt, der sich nach Abb. 6.30 als Differenz der Druckkräfte auf die Unter- und Oberseite eines eingetauchten Körpers berechnet. Die Grundgleichungen f¨ ur diese Berechnungen sind in Abb. 6.30 angegeben. Sie f¨ uhren zu der allgemein bekannten Beziehung, die zum Ausdruck bringt, dass die von einem in einem Fluid eingetauchten K¨ orper erfahrene Auftriebskraft gleich der Gewichtskraft des vom K¨ orper verdr¨ angten Fluids ist. Die Ableitungen

204


auf der Basis von Abb. 6.30 verdeutlichen, dass die Beziehung nur f¨ ur Fl¨ ussigkeiten mit ρ = const gilt. F¨ ur die Auftriebskraft an einem K¨ orperelement gilt: ∆Ai = ∆Pi ∆Fi ,

∆Pi = ρF ghi (x1 ) . Damit gilt f¨ ur die Auftriebskraft: A=

N

ρF ghi (x1 ) ∆Fi = ρF gV.

i1

Abbildung 6.30: Erl¨ auterungen zum hydrostatischen Auftrieb von eingetauchten K¨ orpern

Will man die von K¨ orpern in Gasen erfahrenen Auftriebskräfte berechnen, so sind die Gesetzm¨ aßigkeiten der Aerostatik anzuwenden, d.h. die in Abb. 6.30 angezeigten Ableitungen sind wie folgt zu modifizieren. Wendet man die Grundgleichungen (6.87) auf eine isotherme Atmo” sph¨ are“ an, in der die x3 -Achse eines rechtwinklig, kartesischen Koordinatensystems senkrecht nach oben zeigt, so erh¨ alt man: dP P g. =− dx3 RT Setzt man g = const und T = T0 = const, so erhält man

(6.113)

6.4 Aerostatik

205

g dP =− dx3 P RT0

(6.114)

P g =− x3 , P0 RT0

(6.115)

oder integriert: ln

wobei in dieser Beziehung der Druck P0 in der Höhe x3 = 0 vorherrscht. F¨ ur den Druckverlauf in einer isothermen Atmosphäre lässt sich somit schreiben: g x3 . P = P0 exp − (6.116) RT0 Wendet man nun wieder die Beziehung f¨ ur den an einem Körperelement auftretenden Auftrieb an: (6.117) ∆Ai = ∆Pi ∆Fi und schreibt man unter Anwendung von (6.116) gx3i g ∆Pi = P0 exp − (x3i + hi ) , − P0 exp − RT0 RT0 d.h.

gx3i g hi , ∆Pi = P0 exp − 1 − exp − RT0 RT0

(6.118)

(6.119)

so wird sehr leicht ersichtlich, dass f¨ ur den Gesamtauftrieb nicht die einfache f¨ ur ρ = const angegebene Beziehung f¨ ur die Gesamtauftriebskraft entsteht. Durch Taylorreihenentwicklung l¨ asst sich f¨ ur Pi schreiben: ∆Pi =

∂P 1 ∂2P 2 1 ∂3P 3 hi + h + h + ... ∂x3 2 ∂x23 i 6 ∂x33 i

P0 g gx3 P0 g 2 gx3 =− exp − exp − hi + h2i − RT0 RT0 2R2 T02 RT0 . ∆Pi ≈ ρ (x3 ) ghi

1 ghi + 1− 2RT0 6

ghi RT0

2

(6.120)

(6.121)

/ − +... .

Damit erh¨ alt man f¨ ur die Auftriebskraft: . / N gh2i ∆Fi A ρ (x3 ) g V − + −... . 2RT0 i=1

(6.122)

(6.123)

Der erste Term des Ausdruckes (6.123) entspricht der Auftriebskraft der Hydrostatik. Der zweite Term erfasst die Kompressibilität des hier betrachteten Gases.

206


6.4.4 Bedingung f¨ ur Aerostatik: Stabile Schichtungen Ein Fluid kann sich im mechanischen Gleichgewicht befinden (d.h. keine makroskopische Bewegung zeigen), ohne dass es dabei im thermischen Gleichgewicht ist. Die Gleichungen (6.7), welche die Bedingungen f¨ ur das mechanische Gleichgewicht darstellen, k¨ onnen auch dann erf¨ ullt sein, wenn die Temperatur im Fluid nicht konstant ist. Dabei taucht aber die Frage auf, ob ein solches Gleichgewicht stabil ist. Es zeigt sich, dass das Gleichgewicht nur unter einer bestimmten Bedingung die geforderte Stabilität aufweist. Ist diese Bedingung nicht erf¨ ullt, dann ist der statische Zustand des Fluids instabil, und in dem Fluid treten ungeordnete Str¨ omungen auf, die die Fl¨ ussigkeit so zu vermischen bestrebt sind, dass in ihr eine konstante Temperatur erreicht wird. Diese Bewegung wird als freie Konvektion bezeichnet. Die Stabilitätsbedingung f¨ ur das mechanische Gleichgewicht ist, mit anderen Worten, die Bedingung f¨ ur das Fehlen der Konvektion. Sie kann folgendermaßen abgeleitet werden. Wir betrachten ein Fluid in der H¨ ohe z und mit dem spezifischen Volumen V (P, s); dabei sind P und s der Gleichgewichtsdruck und die -entropie der Fl¨ ussigkeit in dieser H¨ ohe. Wir nehmen an, dass ein betrachtetes Fl¨ ussigkeitselement um die kleine Strecke ξ adiabatisch nach oben verschoben ist. Sein spezifisches Volumen wird dabei V (P , s), wobei P der Druck in der H¨ ohe z + ξ ist. F¨ ur die Stabilit¨ at des gew¨ ahlten Gleichgewichtzustandes ist es notwendig (wenn auch im allgemeinen nicht hinreichend), dass die dabei auftretende Kraft bestrebt ist, das Element in die Ausgangslange zur¨ uckzutreiben. Das betrachtete Volumenelement muss demnach schwerer sein als die von ihm in der neuen Lage verdr¨ angte“ Fl¨ ussigkeit. Das spezifische Vo” lumen der letzteren ist V (P , s ); darin ist s die Gleichgewichtsentropie der Fl¨ ussigkeit in der H¨ ohe z + ξ. Somit haben wir als Stabilitätsbedingung V (P , s ) − V (P , s) > 0. Diese Differenz entwickeln wir nach Potenzen von s − s = ∂V ∂s > 0. ∂s P ∂z

ds dz

ξ und erhalten (6.124)

Nach thermodynamischen Beziehungen gilt wegen T ds = dh − v dP ∂V ∂V T = ; ∂s P cp ∂T P cp ist die spezifische W¨ arme bei konstantem Druck. Die spezifische Wärme cp ist wie die Temperatur T immer positiv, deshalb können wir (6.124) umformen in ∂V ds > 0. (6.125) ∂T P dz


207

, + Die meisten Stoffe dehnen sich bei Erw¨ armung aus, d.h., es ist ∂V ∂T p > 0. Die Bedingung f¨ ur das Fehlen der Konvektion reduziert sich dann auf die Ungleichung ds > 0, (6.126) dz d.h., die Entropie muss mit der H¨ ohe zunehmen. Hieraus kann man leicht eine Bedingung f¨ ur den Temperaturgradienten ∂T /∂z finden. Wir bilden die Ableitung ds/ dz und schreiben ∂s ∂s ∂V ds cp dT dT dP dP = + = − > 0. dz ∂T P dz ∂p T dz T dz ∂T P dz Schließlich setzen wir nach (6.7) dP/ dz = −ρg ein und erhalten dT gT ρ ∂V >− . dz cp ∂T P

(6.127)

Konvektion wird dann auftreten, wenn die Temperatur in Richtung von unten nach + ,oben abnimmt und der Gradient dabei betragsmäßig größer als ρgT ∂V ∂T P /cp ist. Untersucht man das Gleichgewicht + , einer Gassäule und kann das Gas dabei atsbedingung f¨ ur als ideal annehmen, so ist VT ∂V ∂T P = 1, und die Stabilit¨ das Gleichgewicht lautet einfach dT g >− . dz cp

(6.128)

Wird diese Stabilit¨ atsforderung in der Atmosphäre nicht erf¨ ullt, so ist die vorliegende Temperaturschichtung instabil und sie wird, bei auftreten kleinster St¨ orungen, in eine konvektive Temperaturausgleichsströmung umschlagen.

6.5 Literaturverzeichnis 6.1 Bergmann L, Schaefer C-L (1961) Lehrbuch der Experimentalphysik I: Mechanik-, Akustik-, W¨ armelehre. Walter de Gruyter, Berlin-New York 6.2 Yuan SW (1971) Foundations of Fluid Mechanics. Prentice-Hall, Inc., Taiwan 6.3 Potter MC, Foss JF (1975) Fluid Mechanics. John Wiley & Sons, Inc., New York 6.4 Schade H, Kunz E (1989) Str¨ omungslehre. Walter de Gruyter, Berlin-New York 6.5 Pnueli D, Gutfinger C (1992) Fluid Mechanics. Cambridge University Press, Cambridge

208


6.6 H¨ ofling O (1994) Physik. Ferd. D¨ ummlers Verlag, Bonn 6.7 Hutter K (1995) Fluid- und Thermodynamik. Springer-Verlag, BerlinHeidelberg 6.8 Spurk JH (1996) Str¨ omungslehre. Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg

¨ 7 Ahnlichkeitstheorie

7.1 Einfu ¨hrung ¨ Die Ahnlichkeitstheorie findet in vielen Bereichen der Natur- und Ingenieurwissenschaften Anwendung, so auch in der Strömungsmechanik, wo ¨ ahnlichkeitstheoretische Uberlegungen oftmals zur Lösung von Problemen ¨ und zur Verallgemeinerung von Ergebnissen herangezogen werden. Die Basis ¨ der Ahnlichkeitstheorie beruht auf Erkenntnissen, die aussagen, dass es ¨ m¨ oglich ist, aus der Ahnlichkeit von Gegebenheiten und Vorgängen wichtige neue Einsichten zu gewinnen, ohne dass man daf¨ ur direkte Lösungen gestellter Probleme anstreben muss. Dies ist den meisten Lesern dieses Buches aus der Geometrie bekannt, wo geometrisch a¨hnliche Figuren und K¨ orper, z. B. a uhrt und f¨ ur weiterf¨ uhrende ¨hnliche Dreiecke, eingef¨ Betrachtungen herangezogen werden. So kann z. B. die Höhe eines Turmes bzw. die Breite eines Flusses, im Rahmen typischer Aufgabenstellungen der ¨ Geometrie, mittels Ahnlichkeitsbetrachtungen bestimmt werden, ohne dass die H¨ ohe des Turmes bzw. die Breite des Flusses direkt gemessen werden ¨ muss. Aus Ahnlichkeitsbetrachtungen in der Geometrie ist bekannt, dass es f¨ ur das Vorliegen geometrisch ¨ ahnlicher Dreiecke, Vierecke etc. ausreicht, die Gleichheit entsprechender Winkel zu fordern bzw. die Gleichheit der Verh¨ altnisse entsprechender Seiten, d. h. es gilt: f¨ ur ¨ ahnliche Dreiecke, siehe Abb. 7.1: L2 L3 L1 = = = const. l1 l2 l3

(7.1)

L1 H L2 D = = const. = = l1 l2 d h

(7.2)

f¨ ur Kanal und Stufe:

¨ Die geometrische Ahnlichkeit der Str¨ omungsberandungen wird in der Ström¨ ungsmechanik immer als eine wichtige Annahme weiterf¨ uhrender Ahnlich¨ keitsbetrachtungen angesetzt, d.h. die geometrische Ahnlichkeit ist Bestandteil der in diesem Kapitel behandelten Thematik.

210

¨ 7 Ahnlichkeitstheorie Ä h n lic h e D re ie c k e

Ä h n lic h e z u rü c k s p rin g e n d e S tu fe n

¨ Abbildung 7.1: Erl¨ auterung der geometrischen Ahnlichkeit

¨ Die oben f¨ ur das Gebiet der Geometrie angegebenen Ahnlichkeitsbeziehungen lassen sich auch auf andere Bereiche der Mathematik und Physik u onnen in die Ingenieurwissenschaften mit dem Ziel ein¨ bertragen und k¨ ¨ gef¨ uhrt werden, Ahnlichkeitsbetrachtungen, ahnlich wie in der Geometrie, ¨ osungen von Problemen zu erreizur Anwendung zu bringen, um indirekte L¨ chen. So lassen sich f¨ ur den Bereich der Str¨ omungsmechanik Betrachtungen ¨ zur kinematischen Ahnlichkeit von Str¨ omungen durchf¨ uhren, die dann als gegeben angesehen wird, wenn z. B. zwei Fl¨ ussigkeitsströme a¨hnliche räumliche Bewegungen ausf¨ uhren. ¨ Dies setzt im allgemeinen die Ahnlichkeit der auf einzelne Fluidelemente ¨ einwirkenden Kr¨ afte voraus, d. h. das Vorliegen der dynamischen Ahnlich¨ keit ist eine Voraussetzung daf¨ ur, dass sich eine kinematische Ahnlichkeit von Fluidbewegungen einstellt. Genauere Betrachtungen zeigen zudem, dass ¨ eine weitere Voraussetzung f¨ ur das Auftreten der kinematischen Ahnlichkeit ¨ von Fluidbewegungen die geometrische Ahnlichkeit der Strömungsgeometrien darstellt bzw. das Vorliegen ¨ ahnlicher Randbedingungen. ¨ Erweitert man die Ahnlichkeitsbetrachtungen auch auf Wärmetransport¨ einzuf¨ uhren. Wiederprobleme, so macht es Sinn, die thermische Ahnlichkeit um lassen sich ¨ ahnliche Temperaturfelder nur erwarten, wenn in den betrachteten Temperaturfeldern ¨ ahnliche W¨ armestr¨ ome vorliegen, d. h. die kalorische ¨ Ahnlichkeit der betrachteten W¨ armetransportprobleme gegeben ist. Dabei ist ¨ es wichtig, die thermische und kalorische Ahnlichkeit prinzipiell voneinander zu trennen. ¨ In Ahnlichkeitsbetrachtungen k¨ onnen streng genommen nur physikalisch gleiche Gr¨ oßen, d. h. solche mit gleichen physikalischen Einheiten, einbezogen werden. Die aus ihnen durch Quotientenbildung errechneten, dimensi”

7.1 Einf¨ uhrung

211

onslosen Proportionalit¨ atsfaktoren“ der einzelnen Terme einer physikalischen ¨ Beziehung werden als Ahnlichkeitszahlen bezeichnet bzw. als dimensionslose Kennzahlen des physikalischen Problems. Physikalische Vorgänge aller Art lassen sich somit nur dann als ¨ ahnlich einstufen, wenn die korrespondierenden, das physikalische Problem bestimmenden dimensionslosen Kennzahlen ¨ gleich sind, geometrische Ahnlichkeit vorliegt und f¨ ur die betrachteten Pro¨ bleme auch ¨ ahnliche Randbedingungen bestehen. Der Ahnlichkeitsbegriff ist somit nur auf physikalische Vorg¨ ange der gleichen Art anwendbar, d. h. auf armetransportprozesse. Stellt man gewisse ZuStr¨ omungsvorg¨ ange oder W¨ sammenh¨ ange fest, die sowohl f¨ ur Str¨ omungsvorgänge als auch auf Wärmetransportvorg¨ ange zutreffen, so spricht man von einer Analogie zwischen diesen Vorg¨ angen. Die oben aufgef¨ uhrten allgemeinen Betrachtungen zu ähnlichkeitstheore¨ tischen Uberlegungen in der Str¨ omungsmechanik machen deutlich, dass es in der Str¨ omungsmechanik zwei grundlegend verschiedene Vorgehensweisen zur L¨ osung von Str¨ omungsproblemen gibt: –

–

L¨ osungen konkreter Str¨ omungsprobleme unter Einsatz dimensionsbehafteter physikalischer Gr¨ oßen, um z. B. die Dimensionierung von Strömungsaggregaten zu erm¨ oglichen, um so die ger¨ atetechnische Voraussetzung zur L¨ osung des konkreten Str¨ omungsproblems zu schaffen. Verallgemeinerung von L¨ osungen von Strömungsproblemen, um unter Einsatz dimensionsloser Kennzahlen, die f¨ ur ein konkretes Strömungsproblem erhaltene L¨ osung als allgemein g¨ ultige Lösung f¨ ur a¨hnliche Strömungen darzustellen.

In Kapitel 2 wurden physikalische Gr¨ oßen eingef¨ uhrt, die aus einem Vorzeichen, einem Betrag (Zahlenwert) und einer Einheit bestanden. Es wurde deutlich gemacht, dass je nach gew¨ ahltem System von Basiseinheiten, der Betrag einer betrachteten physikalischen Größe unterschiedliche Werte annehmen kann. W¨ ahlt man als Basis von Einheiten [m, kg, s] f¨ ur mechanische Gr¨ oßen, so ergeben sich andere Zahlenwerte f¨ ur den Betrag einer betrachteten Gr¨ oße, als wenn die Basiseinheiten [cm, g, s], wie manchmal noch u blich, eingef¨ uhrt w¨ urden. Mehr und mehr setzt sich jedoch das ¨ internationale System von Basiseinheiten durch, das folgende Einheiten umfasst: – L¨ ange L [m = Meter] – Masse M [kg = Kilogramm] – Zeit t [s = Sekunde] – Temperatur T [K = Kelvin] – Stoffmenge N [mol = Mol] – Stromstärke I [A = Ampere] – Lichtst¨ arke s [cd = Candela] Durch die Einf¨ uhrung einer internationalen Basis von Einheiten wird die Kommunikation physikalischer Vorg¨ ange vereinfacht und vor allem wird eine Vereinfachung des Vergleichs analytischer, numerischer und experimenteller Ergebnisse erreicht. Dennoch gibt es prinzipiell eine Vielzahl von unterschied-

212


lichen Basissystemen f¨ ur Einheiten, die zur Darstellung ein- und derselben physikalischen Gr¨ oße herangezogen werden k¨ onnen. Mit jedem System von Einheiten hat die betrachtete physikalische Größe eine andere Maßzahl“, d. ” h. der Betrag der physikalischen Gr¨ oße ¨ andert seinen Zahlenwert entsprechend des gew¨ ahlten Systems von Einheiten. Tab 7.1: Dimensionen und Einheiten wichtiger physikalischer Gr¨ oßen der Str¨ omungsmechanik

¨ GROSSE, Bezeichnung

DIMENSIONEN F, L, t, T M, L, t, T

EINHEITEN

L¨ ange Kraft Masse Zeit Temperatur

L F F L−1 t2 t T

L M Lt−2 M t T

Meter, m Newton, N Kilogramm, kg Sekunde, s Kelvin, K

Geschwindigkeit Massenstrom m ˙ Volumenstrom Druck, Spannung Moment, Arbeit, Energie Leistung, Energiestrom Dichte ρ dyn. Viskosit¨ at µ kin. Viskosit¨ at ν therm. Expansionskoeffizient β Kompressibilit¨ atskoeffizient α spez. W¨ arme cp , cv W¨ armeleitf¨ ahigkeit λ Oberfl¨ achenspannung σ Temperaturleitf¨ ahigkeit a = λ/ρcp W¨ arme¨ ubergangszahl α spezielle Gaskonstante R Entropie s

Lt−1 F L−1 t L3 t−1 F L−2 FL F Lt−1 F L−4 t2 F L−2 t L2 t−1 T −1 F −1 L2 L2 t−2 T −1 F t−1 T −1 F L−1

Lt−1 M t−1 L3 t−1 M L−1 t−2 M L2 t−2 M L2 t−3 M L−3 M L−1 t−1 L2 t−1 T −1 M −1 Lt2 L2 t−2 T −1 M Lt−3 T −1 M t−2

m/s kg/s m3 /s Pascal, Pa=N/m2 Joule, J=Ws=Nm Watt, W=N m/s kg/m3 Pas=N s/m2 m2 /s 1/K 1/Pa = ms2 /kg J/kg K W/m K N/m

L2 t−1 F L−1 t−1 T −1 L2 t−2 T −1 L2 t−2 T −1

L2 t−1 M t−3 T −1 L2 t−2 T −1 L2 t−2 T −1

m2 /s W/m2 K J/kg K J/kg K

Dies macht die Bedeutung der obenstehend aufgef¨ uhrten Tabelle von Dimensionen und Einheiten der in der Str¨ omungsmechanik wichtigsten physi-

7.2 Dimensionslose Form der Differentialgleichungen

213

kalischen Gr¨ oßen deutlich. Gleichzeitig weist die Tabelle auf die prinzipiellen Unterschiede zwischen den Dimensionen und den Einheiten physikalischer Gr¨ oßen hin. In den Darstellungen zur Str¨ omungsmechanik, wie sie in dem vorliegenden Buch behandelt werden, interessieren vor allem Transportprozesse, die durch Molek¨ ulbewegungen (diffusive Transporte) bzw. von Strömungen ¨ (konvektive Transporte) vorgenommen werden können. Um Ahnlichkeiten zwischen den Transportprozessen sicherzustellen, werden unterschiedliche dimensionslose Kennzahlen herangezogen, die untenstehend in vier Gruppen unterteilt sind: I

¨ Ahnlichkeit molekularer Transportvorgänge

Pr = ν/a = (µcp /λ) = Prandtl-Zahl Sc = ν/D = µ/(ρD) = Schmidt-Zahl II

¨ Ahnlichkeit von Str¨ omungsvorg¨ angen

Re = U L/ν = Reynolds-Zahl Fr = U 2 /gL = Froude-Zahl Ma = U/c = Mach-Zahl III

¨ Ahnlichkeit von W¨ armetransportvorg¨ angen

Pe = Re Pr = U L/a = Peclet-Zahl IV

Eu = ∆P/ρU 2 = Euler-Zahl St = Lf /U = Strouhal-Zahl Gr = L3 gβρ2 ∆T /µ2 = Grashof-Zahl

Ec = U 2 /cp ∆T = Eckert-Zahl

¨ Ahnlichkeit integraler W¨ arme- und Stoff¨ ubertragungen

Nu = αL/λ = Nusselt-Zahl

Sh = βL/D = Sherwood-Zahl

wobei α als W¨ arme¨ ubertragungskoeffizient und β als Stoff¨ ubertragungskoeffizient eingef¨ uhrt sind. Es empfiehlt sich, diese Gruppierungen in Erinnerung zu behalten, wenn ¨ in den nachfolgenden Abschnitten Teilgebiete der Ahnlichkeitstheorie und ihre Anwendung in der Str¨ omungsmechanik behandelt werden.

7.2 Dimensionslose Form der Differentialgleichungen 7.2.1 Generelle Bemerkungen In Kapitel 5 wurde aufgezeigt, dass die Str¨ omungsmechanik ein Fachgebiet darstellt, dessen physikalische Grundlagen nicht nur vollständig vorliegen,


214

sondern auch als ein geschlossener Satz von partiellen Differentialgleichungen formuliert werden k¨ onnen. In die Schließungsansätze wurden molekulare Transporteigenschaften von Fluiden mit aufgenommen, d.h. die molekulare Struktur der Materie wurde in ihrer integralen Auswirkung auf den Impuls-, W¨ arme- und Stofftransport erfasst. Es entstand so ein Satz von Transportgleichungen, der untenstehend zusammengefasst f¨ ur newtonsche Fluide angegeben ist: –

Kontinuit¨ atsgleichung: ∂ρ ∂(ρUi ) + = 0. ∂t ∂xi

(7.3)

–

Impulsgleichungen (j = 1, 2, 3): ∂Uj ∂Uj ∂Uj ∂ ∂Ui ∂Uk ∂P 2 + Ui ρ + + =− µ − δij µ + ρgj ∂t ∂xi ∂xj ∂xi ∂xi ∂xj 3 ∂xk (7.4) oder f¨ ur ρ =const. und µ =const.: ∂Uj ∂Uj ∂ 2 Uj ∂P + Ui ρ +µ + ρgj . (7.5) =− ∂t ∂xi ∂xj ∂x2i

–

Energiegleichung f¨ ur ρ =const., µ =const. und λ = const.: ∂T ∂T ∂2T ρcp + Ui = λ 2 + µΦµ ∂t ∂xi ∂xi mit

–

.

(7.6)

2 2 / . 2 ∂U2 ∂U3 ∂U1 ∂U2 Φµ = 2 + + + (7.7) + ∂x2 ∂x3 ∂x2 ∂x1 2 2 / ∂U2 ∂U3 ∂U3 ∂U1 + + + + . ∂x3 ∂x2 ∂x1 ∂x3 ∂U1 ∂x1

2

Zustandsgleichungen: P = RT ρ

(ideales Gas) und ρ = const.

(ideale Fl¨ ussigkeit)

(7.8)

Durch den oben angegebenen Satz partieller Differentialgleichungen liegen f¨ ur alle Bereiche der Str¨ omungsmechanik exzellente Voraussetzungen f¨ ur die ¨ Durchf¨ uhrung von Ahnlichkeitsbetrachtungen vor. Dabei können die Diffe¨ rentialgleichungen in verschiedenster Weise in Ahnlichkeitsbetrachtungen eingebracht werden, je nachdem welche Aufgabenstellung vorliegt und welche L¨ osung man sucht bzw. welchen L¨ osungsweg man beschreiten möchte. Dies ist in den nachfolgenden Abschnitten 7.2.2 bis 7.2.4 beispielhaft erläutert.


215

Besieht man sich den obigen Satz partieller Differentialgleichungen, so erfordert dessen L¨ osung die Vorgabe von Anfangs- und Randbedingungen. ¨ Bei der Durchf¨ uhrung von Ahnlichkeitsbetrachtungen m¨ ussen auch f¨ ur die¨ se strenge Ahnlichkeitsforderungen erf¨ ullt sein. Die Voraussetzung geome¨ trischer Ahnlichkeit der Str¨ omungsberandungen ist eine wichtige Forderung, um L¨ osungen der obigen Differentialgleichungen ähnliche Randbedingun” gen“ aufzupr¨ agen. Wie die sp¨ ateren Betrachtungen zeigen werden, lässt sich die Kontinuit¨ atsgleichung heranziehen, um die Voraussetzungen zu for¨ mulieren, wie charakteristische zeitliche Anderungen von Strömungsfeldern mit den charakteristischen Abmessungen von Strömungsgeometrien und cha¨ rakteristischen Fluidgeschwindigkeiten zu koppeln sind, um die Ahnlichkeit von L¨ osungen der str¨ omungsmechanischen Grundgleichungen sicherzustellen. ¨ Uber die Impulsgleichungen f¨ ur alle drei Komponenten, die als Gleichungen der auf ein Fluidelement (mit Einheitsvolumen) einwirkenden Kräfte formuliert sind, lassen sich strenge Aussagen u ur ¨ber Anforderungen angeben, die f¨ ¨ die dynamische Ahnlichkeit von Str¨ omungen vorliegen m¨ ussen. Weiter ist ¨ die dynamische Ahnlichkeit eine Voraussetzung f¨ ur das Vorliegen der kine¨ matischen Ahnlichkeit von Str¨ omungsfeldern, die oftmals notwendig ist, um Erkenntnisse u ¨ ber Strukturbeobachtungen in einer Strömung auf eine andere u bertragen zu k¨ onnen. ¨ Zuletzt sei noch darauf hingewiesen, dass mit der oben angegebenen lokal formulierten Energiegleichung alle Informationen vorliegen, um die Voraussetzungen abzuleiten, die gegeben sein m¨ ussen, damit bei Wärmetransport¨ problemen die Voraussetzungen f¨ ur kalorische Ahnlichkeit vorliegen. Diese ¨ ist wiederum die Voraussetzung f¨ ur das Vorliegen thermischer Ahnlichkeit. Unter Einbeziehung der Zustandsgleichungen lassen sich dann auch noch die Bedingungen ableiten, die vorliegen m¨ ussen, damit z.B. das Temperaturfeld einer Gasstr¨ omung auf das Temperaturfeld einer Fl¨ ussigkeitsströmung u ¨ bert¨ ragen werden kann. All diese M¨ oglichkeiten u ¨ ber Ahnlichkeitsbetrachtungen aus einem speziellen Str¨ omungs- bzw. Temperaturfeld weiterreichendes, oft¨ mals allgemeing¨ ultiges Wissen zu erhalten, machen die Ahnlichkeitstheorie zu einem wichtigen Teilgebiet der Str¨ omungsmechanik. Die nachfolgenden ¨ Abschnitte zeigen auf, wie man die u gewonne¨ ber Ahnlichkeitsbetrachtungen nen Erkenntnisse, die aus Betrachtungen der Differentialgleichungen erhalten werden, in unterschiedlichen Anwendungen in der Strömungsmechanik nutzt. 7.2.2 Dimensionslose Form der Differentialgleichungen ¨ Die in Abschnitt 7.1 durchgef¨ uhrten Uberlegungen haben gezeigt, dass Er¨ kenntnisse u ¨ber das Vorliegen von Ahnlichkeiten dadurch erreicht werden konnten, dass feste Verh¨ altnisse aus Impuls¨ anderungen pro Zeiteinheit und zugeh¨ origen Krafteinwirkungen gebildet werden. Hieraus entstehen dimensionslose Kennzahlen, die als Grundlage angestrebter Verallgemeinerungen von str¨ omungsmechanischen Erkenntnissen herangezogen werden. Solches Wissen

216


l¨ asst sich auch gewinnen, wenn man die in Abschnitt 7.2.1 zusammenfassend aufgef¨ uhrten partiellen Differentialgleichungen von ihrer dimensionsbehafteten in eine dimensionslose Form u uhrt. Dazu f¨ uhrt man charakteristische ¨ berf¨ ” Gr¨ oßen“ ein, die untenstehend mit dem Index c“ gekennzeichnet sind. Alle ” mit ( )* versehenen Gr¨ oßen sind dimensionslos. Uj = Uc Uj∗ ;

t = tc t∗ ;

ρ = ρc ρ∗ ; xi = Lc x∗i

P = ∆Pc P ∗ ; µ = µc µ∗

τij = τc τij∗ ;

gj = gc g ∗ ;

etc.

Setzt man die so normierten Gr¨ oßen in die Kontinuitätsgleichung (7.3) ein, so erh¨ alt man: ρc ∂ρ∗ ρc Uc ∂(ρ∗ Ui∗ ) ∂ρ ∂(ρUi ) = + =0 + ∗ ∂t ∂xi tc ∂t Lc ∂x∗i

(7.9)

oder umgeschrieben: ∂ρ∗ Lc ∂(ρ∗ Ui∗ ) + = 0. t U ∂t∗ ∂x∗i c c St = Strouhal-Zahl

(7.10)

Die obigen Ableitungen machen deutlich, dass ähnliche Lösungen f¨ ur Strömungsprobleme aus der Kontinuit¨ atsgleichung nur dann folgen können, wenn die Strouhal-Zahlen f¨ ur zwei Probleme A und B, auf welche die Kontinuitätsgleichung angewandt wird, gleich sind, d.h. wenn gilt: Lc Lc = . (7.11) tc U c A tc U c B Normiert man in ¨ ahnlicher Weise auch die Impulsgleichungen, so erhält man: Uc ∂Uj∗ Uc2 ∗ ∂Uj∗ τc ∂τij∗ ∆Pc ∂P ∗ ρc ρ∗ + U − + ρc gc ρ∗ gj∗ (7.12) =− i ∗ ∗ ∗ tc ∂t Lc ∂xi Lc ∂xj Lc ∂x∗i oder wiederum umgeschrieben:    L ∂U ∗ ∂Uj∗  ∆Pc ∂P ∗ τc ∂τij∗ gc Lc ∗ ∗  c  j ∗ ρ∗  = − + U − + 2 ρ gj . (7.13)  i  tc Uc ∂t∗ ∂x∗i  ρc Uc2 ∂x∗j ρc Uc2 ∂x∗i U c St Eu 1/Re 1/Fr Aus Gleichung (7.13) ist ersichtlich, dass drei neue dimensionslose Kennzahlen durch die Normierung der Impulsgleichung entstanden sind; aus der Kontinuit¨ atsgleichung und Impulsgleichung lassen sich somit vier dimensionslose Kennzahlen f¨ ur Str¨ omungsprobleme ableiten:


St = Lc /tc Uc

lokale Beschleunigungskr¨ afte = Strouhal-Zahl = räumliche Beschleunigungskr¨ afte

Eu = ∆Pc /ρc Uc2 = Euler-Zahl Re = ρc Uc2 /τc

217

Druckkr¨ afte = Beschleunigungskr¨ afte

afte = Reynolds-Zahl = Beschleunigungskr¨ mol. Impulstransport

Fr = Uc2 /(gc Lc ) = Froude-Zahl

afte = Beschleunigungskr¨ Massenkr¨ afte

(7.14) Will man somit durch L¨ osungen der Impulsgleichung f¨ ur verschiedene Strömungsprobleme eine einheitliche L¨ osung der Gleichung (7.13) erhalten, so ist es erforderlich, dass die oben aufgef¨ uhrten dimensionslosen Kennzahlen der betrachteten Str¨ omungsprobleme gleich sind. Dabei ist dies nat¨ urlich nur eine notwendige, aber nicht eine hinreichende Forderung f¨ ur die Existenz einer ein¨ heitlichen L¨ osung f¨ ur betrachtete Str¨ omungsprobleme. Ahnlichkeit der Randbedingungen muss gleichfalls noch vorliegen, und dies setzt im allgemeinen ¨ auch die geometrische Ahnlichkeit f¨ ur das Einbringen der Randbedingungen voraus. Zieht man in die Betrachtungen auch die f¨ ur newtonsche Medien geltende Beziehung: ∂Uj ∂Uk ∂Ui 2 + (7.15) + µδij τij = −µ ∂xi ∂xj 3 ∂xk mit ein, so erh¨ alt man durch das Einf¨ uhren dimensionsloser Größen: . / ∂Uj∗ 2 τc Lc ∗ ∂U ∗ ∂Ui∗ ∗ + µ∗ δij ∗k . τij = −µ + (7.16) ∗ ∗ µc Uc ∂xi ∂xj 3 ∂xk µc Uc Uc L c µc , so erh¨ alt man Re = mit νc = , d.h. es Lc νc ρc gilt f¨ ur newtonsche Medien: Setzt man nun τc =

Re =

ρc Uc2 Uc L c µc Uc = = Reynolds-Zahl, oder Lc = τc νc τc

(7.17)

Die oben in (7.14) angegebenen dimensionslosen Kennzahlen geben an, un¨ ter welchen Bedingungen die dynamische Ahnlichkeit zwischen Strömungen gegeben ist. Sie liegt dann vor, wenn die als Kräfteverhältnisse eingef¨ uhrten ¨ dimensionslosen Kennzahlen, bei Vorliegen geometrischer Ahnlichkeit und a hnlicher Randbedingungen, d.h. f¨ u r a hnliche Str¨ o mungsprobleme, gleiche ¨ ¨ Werte annehmen, d.h. es muss gelten ReA = ReB , StA = StB , EuA = EuB und FrA = FrB . So lassen sich z.B. horizontale, stationäre Rohrströmungen von Gasen und Fl¨ ussigkeiten in all ihren Str¨ omungseigenschaften vergleichen, wenn gleiche Reynolds-Zahlen vorliegen. Die in den Rohrströmungen auftretenden Druckverluste, lassen sich als: cf =

∆Pc = 2Eu = f (Re) (ρc /2)Uc2

(7.18)

218


allgemein auftragen. Damit k¨ onnen cf −Werte, die f¨ ur eine Luftströmung gemessen wurden, zur Berechnung von Druckverlusten von Strömungen be¨ liebiger newtonscher Medien, z.B. Wasser, Olen etc., herangezogen werden. Beachtet man auch noch den Einfluss der Sandrauhigkeit“ ks auf die Druck” verluste, so ergibt sich das Diagramm in Abb. 7.2 f¨ ur Druckverluste in glatten und rauhen Rohren, mit λ = 4cf : 1 2 1 0 0 l

1 0 8 6 4 1

R = 5 0 7 k s 2 5 2 1 2 6 6 0 3 0 ,6 1 5

2 ,0

1 ,0 4

6

8

1 0 3

}

2

2

N ik u ra d s e (sa n d ro u g h n e ss)

4

6 8

R

= 1 3 0 0 G a la v ic s (c o m m e rc ia lly ro u g h ) k

1 0 4

2

4

6

8

1 0 5

2 R e =

4 U ´ d v

6

8

1 0 6

2

Abbildung 7.2: Druckverlustbeiwerte f¨ ur glatte und rauhe Rohre f¨ ur newtonsche Fluide. Die dimensionslose Darstellung erm¨ oglicht die Verallgemeinerung von Messwerten.

¨ Erweitert man die obigen Ahnlichkeitsbetrachtungen auch auf die Energiegleichung, so erh¨ alt man: ∗ ∗ ∂T 1 ∂T ∗ ∂ ∗ ∂T ∗ = St ∗ + Ui ∗ λ ∂t ∂x∗i Re Pr ∂x ∂x∗i i Pe ∂P ∗ 1 ∗ ∂P ∗ Φ . + +Ec St ∗ + Ui∗ (7.19) ∂t ∂xi Re ¨ Uber die Normierung der Energiegleichung kommen somit folgende neue dimensionslose Kennzahlen in die f¨ ur Impuls- und Wärmetransporte g¨ ulti¨ gen Ahnlichkeitsbetrachtungen mit hinzu. Diese lauten wie folgt, wenn man uhrt wird: wieder ber¨ ucksichtigt, dass ∆Tc = Tc − T∞ zur Normierung eingef¨


νc µc (cp )c = = Prandtl-Zahl ac λc Uc L c Uc Lc νc = = Peclet-Zahl Pe = Re Pr = νc ac ac Uc2 Ec = = Eckert-Zahl (cp )c (Tc − T∞ )

219

Pr =

(7.20)

Etwas aus der Distanz betrachtet, erweisen sich die oben eingef¨ uhrten dimensionslosen Kennzahlen gruppierbar, wie dies im Abschnitt 7.1 angedeutet wurde: ¨ Ahnlichkeit molekularer Transportvorg¨ ange: Pr, (Sc), ... I ¨ Ahnlichkeit von Str¨ omungsvorg¨ angen: St, Re, Eu, Fr, (Gr) II ¨ III Ahnlichkeit von Energietransportvorg¨ angen: Pe, Ec, ... ¨ Als letztes im Rahmen dieser allgemeinen Betrachtungen zur Ahnlichkeit von Impuls- und W¨ armetransportvorg¨ angen gilt es, dimensionslose Kennzahlen zu betrachten, die aus Zusammenh¨ angen von experimentellen und theoretischen Erkenntnissen zu W¨ arme¨ ubertragungsvorgängen resultieren. Erweiterungen lassen sich sehr leicht auf Stoff¨ ubertragungsvorgänge vornehmen. All diese Betrachtungen resultieren in der Einf¨ uhrung der Nusselt-Zahl Nu f¨ ur den W¨ arme¨ ubergang und in der Einf¨ uhrung der Sherwood-Zahl Sh f¨ ur den Stoff¨ ubergang. Die Betrachtungen sollen sich an dieser Stelle auf die Nusselt-Zahl beschr¨ anken.

D ie G k e n n z u n d d k e it U

r ö ß e n r , m , l , c p .... e ic h n e n d a s F lu id e s s e n G e s c h w in d ig ¥

Abbildung 7.3: W¨ arme¨ ubertragungsbetrachtungen f¨ ur zweidimensionalen Zylinder mit Anstr¨ omung

|U∞ |; |ρ|; |µ|; |L|; |D|; (Parameter des W¨ arme¨ ubergangsproblems) ˙ ∞ , L, D, Fluid)-Messungen (Abh¨ ˙ Q(U angigkeiten von Q) Messungen des W¨ arme¨ ubergangs: Q˙ = W¨ armezuf¨ uhrung ist gleich Q˙ = W¨ armeabf¨ uhrung am Zylinder Gesucht wird: Methode zur Reduktion der Anzahl der Messungen. Oh¨ ne Ahnlichkeitsbetrachtungen gilt es, viele Messungen durchzuf¨ uhren, um ˙ andig zu erhalten. Q(U∞ , L, D, Fluid) vollst¨ Die Einf¨ uhrung der Nusselt-Zahl ist auf unterschiedlichste Weisen ¨ m¨ oglich, bedingt durch die Vielzahl der M¨ oglichkeiten, Ahnlichkeitsbetrach-

220


tungen in die Str¨ omungsmechanik mit W¨ arme¨ ubertragung einzuf¨ uhren. Die hier favorisierte Einf¨ uhrung geht von folgenden Vorstellungen aus, die sich an W¨ arme¨ ubergangsbetrachtungen an einem Zylinder, siehe Abb. 7.3, orientieren. Bei experimentellen Untersuchungen werden pro Flächeneinheit W¨ arme¨ ubergangswerte gemessen, die sich u ubergangskoeffi¨ ber einen Wärme¨ zienten α und eine Temperaturdifferenz zwischen Oberfläche und Umgebung angeben lassen: Q˙ = α(πD)(TD − T∞ ) (7.21) L wobei Q˙ die u arme darstellt, L die Länge des Zylinders, D den ¨ bertragene W¨ Zylinderdurchmesser, TD die Temperatur des Zylinders und T∞ die Temperatur des ankommenden Fluids, weit weg vom Zylinder. α wird aus Experimenten bestimmt und m¨ usste ohne Anwendung ähnlichkeitstheoretischer Erkenntnisse f¨ ur alle Durchmesser D, f¨ ur alle interessierenden Fluide und als Funktion der Anstr¨ omgeschwindigkeit U∞ bestimmt werden. Eine Verallgemeinerung der u ur ein einzi¨ ber eine Messreihe, d.h. f¨ ges Fluid, erhaltenen Informationen l¨ asst sich dadurch erreichen, dass man ber¨ ucksichtigt, dass die dem Zylinder in Abb. 7.3 zugef¨ uhrte Wärmemenge ˙ Q/L gleich der an der Zylinderoberfl¨ ache durch Wärmeleitung abgef¨ uhrten W¨ arme " ∂T dF Q˙ = − λD (7.22) L ∂r r=R L F

gesetzt werden kann. Damit gilt nach (7.21) und (7.22) die Beziehung: " ∂T dF α(πD)(TD − T∞ ) = − λD . (7.23) ∂r r=R L F

F¨ uhrt man zur Ableitung der dimensionslosen Form dieser Beziehung folgende Gr¨ oßen ein: T = (TD − T∞ )T ∗ ;

dF = (πR) dϕ∗ ; L

r = Rr∗ ;

ϕ = 2πϕ∗

so erh¨ alt man:

  1 ∗ " ∂T 1 α(πD)(TD − T ) = λD (TD − T∞ )(πR) − λ∗ dϕ∗  (7.24) R ∂r∗ r∗ =1 0

oder umgeschrieben: αD Nu = =− λD

"1

∗

λ 0

∂T ∗ ∂r∗

r ∗ =1

dϕ∗ .

(7.25)


D ia m e te r

lo g N u

3

0 .0 1 8 9 m m 0 .0 2 4 5 0 .0 0 5 0 0 .0 9 9 0 .5 0 0 1 .0 0 0 2 .9 9 0 2 5 .0 0 4 4 .0 0 9 0 .0 0 1 5 0 .0

2

1

0

221

0

1

2

3 4

lo g R e d

5

6

Abbildung 7.4: Gemessene Nu-Zahlen f¨ ur den W¨ arme¨ ubergang bei der Zylinderumstr¨ omung als Funktion der Re-Zahl

Dies macht deutlich, dass sich W¨ arme¨ ubertragungsprobleme durch Einf¨ uhrung der Nusseltzahl Nu verallgemeinern lassen. Der aus einer einzigen Messreihe, f¨ ur ein einziges Fluid erhaltene Wärmeu asst sich u ¨ bergang, l¨ ¨ ber eine Nu(Re)-Auftragung generell nutzbar darstellen. R. Hilpert f¨ uhrte Experimente in einer Luftstr¨ omung durch und konnte dabei einen Re-Bereich von nahezu 106 abdecken. Aus Gleichung (7.25) erh¨ alt man die Erkenntnis, dass Wärme¨ ubergangsmessungen dann eine verallgemeinerte Anwendung finden können, wenn die Nu-Zahl als Messergebnis aufgetragen wird und nicht der gemessene W¨ arme¨ ubergangskoeffizient α. F¨ ur das in Abb. 7.3 betrachtete Wärme¨ ubergangsproblem ergibt sich Nu = f (Re), eine Korrelation der Messergebnisse, wie sie in Abb. 7.4 dargestellt ist. Aus einer einzigen Messreihe f¨ ur eine Luftstr¨ omung konnte eine f¨ ur alle W¨ arme¨ ubergänge an Zylindern geltende Gesetzm¨ aßigkeit abgeleitet werden, unabh¨ angig vom Fluid und vom Zylinderdurchmesser. Analog zur Einf¨ uhrung der Nu-Zahl lassen sich Betrachtungen zur Stoffu uhren, die zur Einf¨ uhrung der Sherwood-Zahl f¨ uhren, so ¨ bertragung durchf¨ dass als vierte Gruppe von dimensionslosen Kennzahlen zu nennen ist: ¨ IV Ahnlichkeit integraler W¨ arme- bzw. Stoff¨ ubertragung: Nu, Sh, . . . Die so vervollst¨ andigte Klassifizierung von dimensionslosen Kennzahlen stellt die Basis von Betrachtungen dar, die in der Str¨ omungsmechanik durchgef¨ uhrt werden, um allgemein g¨ ultige Gesetzm¨ aßigkeiten aus Experimenten, analytischen und numerischen Berechnungen abzuleiten, die f¨ ur spezielle Fluide, einzelne Str¨ omungsgeschwindigkeiten und einen begrenzten Satz geometrischer

222


Parameter durchgef¨ uhrt werden. Die dimensionslose Darstellung von Ergebnissen, die z. B. f¨ ur ein Fluid und eine Str¨ omungsgeometrie durch Variation der Str¨ omungsgeschwindigkeit erhalten wurden, lassen sich so auf andere Fluide und andere Abmessungen ¨ ahnlicher Str¨ omungsgeometrien u ¨ bertragen. 7.2.3 Betrachtungen bei Vorliegen geometrischer und ¨ kinematischer Ahnlichkeit Bei der L¨ osung str¨ omungsmechanischer Aufgaben erhebt sich oftmals die Frage, unter welchen Bedingungen die in einer Messstrecke erhaltenen Ergebnisse von Str¨ omungsuntersuchungen auf eine zweite Strömung mit einem anderen Fluid in einer geometrisch ¨ ahnlichen Messstrecke u ¨bertragen werden k¨ onnen. Betrachtet man hierzu die in Abb. 7.5 skizzierten, geometrisch ¨ ahnlichen Messstrecken f¨ ur Stufenstr¨ omungen und postuliert man station¨ are Str¨ omungsverh¨ altnisse, so ergibt sich aus der geforderten geometri¨ schen Ahnlichkeit, dass das Verh¨ altnis korrespondierender Abmessungen der Messstrecken einen konstanten Wert ergibt: DA hA ξ1 ξ2 dA = = = = dB DB hB x1 x2 x

(U c )A d

A

2

}h x

(U c )B d

B

(7.26)

D A

A

A

x 1

}

2

h B

B D

B

x 1

¨ Abbildung 7.5: Skizze f¨ ur Ahnlichkeitsbetrachtungen an einer Stufenstr¨ omung

Die Normierung besagt, dass das Verh¨ altnis korrespondierender Abmessungen zwischen zwei Messstrecken eine Konstante sein muss, damit ei¨ ne geometrische Ahnlichkeit vorliegt. Betrachtet man als charakteristisches L¨ angenmaß der Str¨ omung die Stufenh¨ ohe (Lc )A = hA bzw. (Lc )B = hB und die korrespondierenden charakteristischen Strömungsgeschwindigkeiten (Uc )A = (U1 )A und (Uc )B = (U1 )B , so erh¨ alt man f¨ ur die dimensionslose Impulsgleichung unter der Annahme station¨ arer Strömungsbedingungen die unten angegebene dimensionslose Form:


ρ∗ Ui∗

∂Uj∗ ∆P ∂P ∗ νc ∂ ∗ ∂Uj∗ Lc gc ∗ ∗ = − + µ + ρ gj ∗ ∗ ∗ 2 ∂xi ρc Uc ∂xj Uc Lc ∂xi ∂xi Uc2

223

(7.27)

¨ d. h. f¨ ur die dynamische Ahnlichkeit ist es erforderlich, dass die folgenden dimensionslosen Kennzahlen f¨ ur beide Str¨ omungen gleich sind: Eu =

Uc2 Uc L c ∆P und F r = ; Re = . ρc Uc2 ν Lc gc

(7.28)

Damit ist f¨ ur ¨ ahnliche Str¨ omungen zu fordern: ∆PA ∆PB = ; ρA (U1 )2A ρB (U1 )2B

(U1 )A hA (U1 )B hB = ; νA νB

(U1 )2B (U1 )2A = . (7.29) hA g hB g

F¨ ur große Froude-Zahlen, d. h. f¨ ur hohe (U1 )2A - bzw. (U1 )2B -Werte und kleine Werte von dA bzw. dB , ergibt sich, f¨ ur stationäre Strömungen, eine reine Abh¨ angigkeit aller Str¨ omungsgr¨ oßen von der Reynoldszahl. F¨ ur (Re)A = ucke (Re)B lassen sich z. B. die in einer Messstrecke erhaltenen Differenzdr¨ wie folgt von einer Messstrecke auf die andere u bertragen: ¨ f¨ ur

ξ1 x1 = dA dB

gilt

∆PA ∆PB = . ρA UA2 ρB UB2

(7.30)

F¨ ur die in den beiden Messstrecken gemessenen Geschwindigkeitsprofile gilt: ξ2 x2 U1 U1 dA A dB B ξ1 x1 = f¨ ur = . (7.31) (U1 )A (U1 )B dA dB Die in beiden Messstrecken erhaltenen Geschwindigkeitsprofile sind somit ¨ ahnlich, wenn sie an nach Ahnlichkeitsbetrachtungen korrespondierenden Po¨ sitionen gemessen werden und die Messungen bei gleichen Reynolds-Zahlen in Messstrecken erfolgten, die streng geometrisch ähnlich sind. Dies gilt nat¨ urlich nicht nur f¨ ur Ergebnisse aus experimentellen Untersuchungen, sondern auch f¨ ur Resultate aus numerischen Str¨ omungsberechnungen. Die f¨ ur eine pl¨ otzliche Kanalerweiterung in Abb. 7.6 dargestellten Stromlinien, der f¨ ur verschiedene Re-Zahlen errechneten Str¨ omungsfelder, sind f¨ ur alle newtonsche Fluide der Welt und f¨ ur große und kleine Kanalabmessungen identisch, so lange stets nur die entsprechende Re-Zahl vorliegt. F¨ ahrt man z. B. die in Abb. 7.6 durch ihre Stromlinien f¨ ur Re = 610 dargestellte Str¨ omung an, so ergibt sich ein zeitlicher Verlauf der Stromlinien, wie er in Abb. 7.7 dargestellt ist. Dabei ist die Zeit bis zum Erreichen des station¨ aren Endzustandes der Str¨ omung ein Vielfaches der charakteristischen c aren Zeit der Str¨ omung, d. h. tstat ∼ tc ∼ L Uc . Will man also den station¨ Zustand der Str¨ omung schnell erreichen, so muss man, zur Einstellung einer bestimmten Re-Zahl, kleine Abmessungen und große Geschwindigkeiten w¨ ahlen.

224


Abbildung 7.6: Stromlinien f¨ ur das Str¨ omungsfeld der pl¨ otzlichen Kanalerweiterung als Funktion der Re-Zahl

¨ Abbildung 7.7: Zeitliche Anderung der Stromlinien bei Anfahren der Str¨ omung in einer pl¨ otzlichen Kanalerweiterung f¨ ur Re = 610


225

Inwiefern eine numerisch berechnete Str¨ omung auch stabil ist, hängt von dem Einfluss von St¨ orungen ab, die man der Strömung aufprägen kann, ohne dass sie ihren station¨ aren Endzustand ¨ andert. Die so festgelegte Stabilität der Str¨ omungen f¨ ur die pl¨ otzliche Kanalerweiterung f¨ ur Re=70 und Re=610 ist in der Abb. 7.8 verdeutlicht. Aufgepr¨ agte Störungen im Einlass der Mess¨ strecke durch zeitliche Anderungen der Einstr¨ omungsgeschwindigkeitsvertei¨ lung f¨ uhren zu starken zeitlichen Anderungen der räumlichen Abmessungen der Abl¨ osegebiete hinter den Stufen der pl¨ otzlichen Kanalerweiterung. Nach dem Abstellen der St¨ orungen stellen sich jedoch wieder die Ablöselängen ein, die in Abb. 7.6 gezeigt sind.

R e = 6 1 0

R e = 7 0

h h

x 4

x 1

x 3

x 2

Abbildung 7.8: Zeitvariation der L¨ ange von Abl¨ osegebieten in der Kanalstr¨ omung mit pl¨ otzlicher Erweiterung infolge aufgepr¨ agter St¨ orungen. Die Str¨ omung ist stabil, da sie nach Abklingen der St¨ orung immer den gleichen Zustand annimmt.

7.2.4 Bedeutung viskoser Geschwindigkeits-, Zeit- und L¨ angenmaße In der Str¨ omungsmechanik gibt es, außerhalb des Bauingenieurwesens, eine Vielzahl von Problemen, bei denen Gravitationskräfte ohne Bedeutung sind. Dies ist ¨ aquivalent mit der Aussage, dass große Froude-Zahlen vorliegen und somit die normierte Impulsgleichung (7.13) wie folgt geschrieben werden kann:   St Eu 1/Re ∗ ∗  L ∂U ∗ ∗ ∂Uj  ∆Pc ∂P τc ∂τij  c j + Ui∗ ∗  = − − . (7.32) ρ∗   tc Uc ∂t∗ ∂xi  ρc Uc2 ∂x∗j ρc Uc2 ∂x∗i Erg¨ anzt man diese Gleichung durch die Angabe des dimensionslosen, molekularbedingten Impulstransports aus Gleichung (7.16)

226

¨ 7 Ahnlichkeitstheorie C

. / ∂Uj∗ τc Lc ∗ ∂Ui∗ 2 ∂U ∗ ∗ τij = −µ + + µ∗ δij ∗k , ∗ ∗ µc Uc ∂xi ∂xj 3 ∂xk

(7.33)

so erh¨ alt man eine Abh¨ angigkeit der L¨ osungen von Strömungsproblemen von den folgenden dimensionslosen Kennzahlen: St =

Lc = Strouhal-Zahl tc U c

Eu =

∆Pc = Euler-Zahl ρc Uc2

ρc Uc2 τc Lc Re = = Reynolds-Zahl C = τc µc Uc

(7.34)

Betrachtet man diese dimensionslosen Kennzahlen, so ist es einsichtig, dass die Grundgleichungen der Str¨ omungsmechanik auch dann einheitliche Lösungen liefern, wenn man die charakteristischen Größen von Strömungsproblemen, welche die obigen Kennzahlen definieren, so wählt, dass alle dimensionslosen Kennzahlen den Wert 1 ergeben. Somit gilt: τc ρc Uc2 = 1 ; Uc = = uτ (7.35) Re = τc ρc Eu =

∆Pc =1 ρc Uc2

St =

Lc = 1 und tc U c

Mit den Gr¨ oßen:

;

∆Pc = τc

(7.36)

τc Lc µc Uc

(7.37)

C=

erh¨ alt man die folgenden charakteristischen Zeit- und Längenmaße tc =

µc νc = 2 τc Uc

L c = tc U c =

νc . Uc

(7.38)

Diese so eingef¨ uhrten, f¨ ur Str¨ omungsvorg¨ ange charakteristischen Größen schlagen vor, dass sich Str¨ omungsvorg¨ ange in unterschiedlichen Geometrien einer einheitlichen Darstellung von Str¨ omungsergebnissen zuf¨ uhren lassen. So sind die Str¨ omungseigenschaften durch den folgenden von dimensionslosen Kennzahlen freien Satz von Differentialgleichungen beschreibbar: Kontinuit¨ atsgleichung: ∂(ρ∗ Ui∗ ) ∂ρ∗ + =0 (7.39) ∗ ∂t ∂x∗i Impulsgleichungen (j=1,2,3): ∗ ∂τij∗ ∂Uj∗ ∂Uj ∂P ∗ ∗ ∗ ρ + U − = − i ∗ ∗ ∂t∗ ∂xi ∂xj ∂x∗i

(7.40)


227

Molekularer Impulstransport: . τij∗

/ ∂Uj∗ ∂Ui∗ ∂U ∗ 2 = −µ + ∗ + µ∗ δij ∗k ∗ ∂xi ∂xj 3 ∂xk ∗

(7.41)

Die Abh¨ angigkeit von Str¨ omungsergebnissen von den dimensionslosen Kennzahlen erfolgt in den L¨ osungen der Gleichungen (7.39) bis (7.41) u ¨ ber die aufgepr¨ agten Randbedingungen. So ergibt sich jedoch f¨ ur alle Strömungen in Abb. 7.9 in Wandn¨ ahe eine einheitliche Darstellung von Messergebnissen. All diese Str¨ omungen sind durch den f¨ ur sie charakteristischen Impulsverlust an die Wand gekennzeichnet. Dieser wird im allgemeinen mit τw bezeichnet.

u +

Es ist eine verallgemeinerte Darstellung der Daten, d.h. der Geschwindigkeitsprofile, durch Normierungen mit einer Schubspannungsgeschwindigkeit uτ und der kinematischen Viskosit¨ at ν m¨ oglich.

Abbildung 7.9: Wandnahe normierte Str¨ omungsprofile als Funktion des normierten Wandabstandes f¨ ur Kanal-, Rohr-, Film- und Plattengrenzschichtstr¨ omungen

228


Die obigen Darstellungen haben gezeigt, dass in wandgebundenen Str¨ omungen, f¨ ur newtonsche Medien, das Auftreten von Geschwindigkeitsgradienten mit dem Vorliegen von charakteristischen viskosen Geschwindigkeits-, Zeit- und L¨ angenmaßen verbunden ist. Diese lassen sich f¨ ur τc = τw , ρc = ρ und µc = µ wie folgt angeben: τw ν ν ; tτ = 2 und Lτ = uτ = . (7.42) ρ uτ uτ Wendet man diese charakteristischen Gr¨ oßen an, so ergibt sich die in Abb. 7.9 angedeutete allgemeine Darstellung von Geschwindigkeitsprofilen in turbulenten Wandgrenzschichtstr¨ omungen. Dabei sind: u+ =

U1 (y) uτ

y+ =

yuτ ν

dargestellt, wobei y den Wandabstand angibt. Die Bedeutung der Gr¨ oßen in Gleichung (7.42) wird auch verständlich, wenn man einige typische Str¨ omungsprobleme zu lösen versucht, so z.B. das eindimensionale Diffusionsproblem, das in Abb. 7.10 skizziert ist und das durch folgende Differentialgleichung beschrieben wird: ρ

x

∂ 2 U1 ∂U1 =µ . ∂t ∂x22

(7.43)

2

U

o b e re W a n d 0

M o le k u la re r Im p u ls tra n s p o rt D

t

u n te re W a n d

x 1

Abbildung 7.10: Betrachtungen des molekularbedingten Impulstransports in Fluidstr¨ omungen

Normiert l¨ asst sich die Gleichung schreiben: 2 ∗ ρc L2c ∂U1∗ ∗ ∂ U1 = µ µc ∂t∗ ∂x∗2 2

(7.44)

Danach ergibt sich f¨ ur die Zeit, die von den Molek¨ ulen benötigt wird, um den Impulseintrag an der Stelle x1 = 0 u ¨ ber die Distanz D zu transportieren:


tDiff =

D2 . ν

229

(7.45)

Bildet man nun das Verh¨ altnis tDiff /tτ = (D2 /ν)/(ν/u2τ ), so erhält die Diffusionszeit ausgedr¨ uckt als ein Vielfaches viskoser Zeiteinheiten:

2 2 DU0 uτ ν U02 cf Re2 d.h. es gilt f¨ ur das in Abb. 7.10 skizzierte Impulsdiffusionsproblem: tDiff D2 U 2 D2 u2τ = 2 02 u2τ = = tτ ν ν ν U0

tDiff = Re2 cf = Re2 (2 Eu) tτ

(7.46)

(7.47)

Diese Beziehung macht deutlich, dass sich die dimensionslosen Kennzahlen auch als Verh¨ altnisse von charakteristischen Zeiten verstehen lassen, z.B.: Re =

U0 D 1 D2 tDiff Diffusionszeit = = = ν (D/U0 ) ν tKonv Konvektionszeit

(7.48)

In analoger Weise erfolgt auch der molek¨ ulbedingte Wärmetransport, wie dies in Abb. 7.11 dargestellt ist: Danach ergibt sich f¨ ur die zeitliche Ausbildung des Temperaturprofils zwischen den Ebenen x2 = 0 und x2 = D 2 ∗ cp ρD2 ∂T ∗ 1 ∗∂ T = λ (7.49) (tDiff )T λ ∂t∗ ∂x∗2 2 und die Diffusionszeit ergibt sich somit f¨ ur das Temperaturausbreitungsproblem: D2 D2 (tDiff )T = = (7.50) λ a ρcp

wobei a die thermische Diffusionskonstante (Temperaturleitfähigkeit) darstellt. Die obigen Darstellungen zeigen, dass die Impuls- und Wärmediffusionsprozesse in Fluiden analog erfolgen. F¨ ur die resultierenden Diffusionszeiten ergibt sich: D2

a (tDiff )T µcp ν = Pr = + D2 , = = (tDiff )u a λ ν

(7.51)

F¨ ur Prandtl-Zahlen gr¨ oßer 1 ist somit die resultierende lineare Temperaturverteilung zwischen den Platten bei x1 = 0 und x1 = H in Abb. 7.11 langsamer ausgebildet als die analoge lineare Geschwindigkeitsverteilung in Abb. 7.10. Umgekehrt ist f¨ ur Prandtl-Zahlen kleiner 1 die Vollendung des linearen Temperaturprofils schneller erreicht als die des Geschwindigkeitsprofils.

230


x 2

D T H

o b e re W a n d

M o le k u la re r W ä rm e tra n s p o rt D

t

u n te re W a n d

x 1

Abbildung 7.11: Betrachtungen des molek¨ ulbedingten W¨ armetransports in Fluidstr¨ omungen

7.3 Dimensionsanalyse und π−Theorem ¨ In den vorausgegangenen Abschnitten wurden Ahnlichkeitsbetrachtungen unter der Annahme durchgef¨ uhrt, dass die entsprechenden Transportglei¨ chungen bekannt sind. Damit waren Ahnlichkeitsbetrachtungen möglich. Ein weiteres formelles Arbeitswerkzeug der in den vorangegangenen Abschnitten ¨ vielfach illustrierten Ahnlichkeitstheorie ist das der Dimensionsanalyse. Ihre besondere Bedeutung liegt darin, dass sie sich auch anwenden lässt, wenn die physikalischen Beziehungen zwischen Gr¨ oßen gar nicht bekannt sind. Die Dimensionsanalyse stellt sich dar als eine allgemein g¨ ultige Methode, um die Informationsstruktur in den Beziehungen zwischen physikalischen Größen pr¨ azise und u ¨ bersichtlich zu erkennen. Dabei geht sie von der Gegebenheit aus, dass in der quantitativen Naturwissenschaft die Beschreibungsgrößen, wie schon zuvor illustriert, mit Dimensionen behaftet sind und im Sinne dieser Dimensionen sich einteilen lassen in Grundgrößen und abgeleitete Größen. Im Rahmen der Str¨ omungsmechanik könnte man Länge, Zeit und Masse als (dimensionale) Grundgr¨ oßen ansehen und etwa Fläche, Volumen, Geschwindigkeit, Beschleunigung, Druck (oder Scherspannung), Energie, aber auch Dichte, (dynamische wie kinematische) Viskosität im Bezug auf sie als abgeleitete Gr¨ oßen. Diese Einteilung hat zur wichtigen Folge, dass die Einheiten, in denen die Grundgr¨ oßen gemessen werden, unabhängig gew¨ ahlt werden k¨ onnen, die der abh¨ angigen Größen jedoch durch diese Wahl festgelegt werden. So wird durch die Einheiten Meter (m), Sekunde (s), Kilogramm (kg) f¨ ur die Grundgr¨ oßen, die der angef¨ uhrten abgeleiteten Gr¨ oßen festgelegt auf: Fl¨ ache: Volumen: Geschwindigkeit:

m2 m3 m/s

7.3 Dimensionsanalyse und π−Theorem

Beschleunigung: Druck (oder Scherspannung): Energie: Dichte: dynamische Viskosit¨ at: kinematische Viskosit¨ at:

231

m/s2 kg/(m/s2 ) kg m2 /s2 kg/m3 kg/(m s) m2 /s

¨ Insbesondere wird dadurch die Regel festgelegt, nach der eine Anderung ¨ der Einheiten der Grundgr¨ oßen auch eine Anderung der Einheiten der abgeleiteten Gr¨ oßen nach sich zieht. Diese Regel bestimmt formell die Dimensionen der abgeleiteten Gr¨ oßen aus den Dimensionen Länge (L), Zeit (t), Masse (M ) der Grundgr¨ oßen. Die Dimensionen der oben angef¨ uhrten abgeleiteten Gr¨ oßen etwa sind: Fl¨ ache: Volumen: Geschwindigkeit: Beschleunigung: Druck (oder Scherspannung): Energie: Dichte: dynamische Viskosit¨ at: kinematische Viskosit¨ at:

L2 L3 Lt−1 Lt−2 M L−1 t−2 M L2 t−2 M L−3 M L−1 t−1 L2 t−1

Jede physikalische Gr¨ oße wird quantitativ charakterisiert durch ihre Einheit ¨ und den Zahlenwert bezogen auf diese Einheit. Andert man die Einheit um einen Faktor λ, so ¨ andert sich der Zahlenwert um den inversen Faktor λ−1 . Die vielfach an Beispielen dargestellten Abhängigkeitsbeziehungen zwischen physikalischen Gr¨ oßen beziehen sich auf ihre Zahlenwerte. Die der Dimensionsanalyse zugrunde liegende allgemein g¨ ultige Aussage ist, dass die Abh¨ angigkeitsbeziehungen zwischen physikalischen Gr¨ oßen dimensionshomogen sind, d.h. dass sie unabh¨ angig von der Wahl der Einheiten g¨ ultig sind. Etwas abge¨ andert l¨ asst sich dieser Sachverhalt auch ausdr¨ ucken: die Beziehungen sind invariant gegen¨ uber allen Einheitenänderungen, d.h. Skalenänderungen der Grundgrößen, obwohl die einzelnen darin auftretenden Größen durchaus einheiten-, d.h. skalenbehaftet sind. Die ganze Tragweite dieser Aussage erhellt sich durch eine Feststellung mathematischer Art: Die Menge aller Skalen¨ anderungen der Grundgrößen erf¨ ullt die hier nicht n¨ aher zu beschreibenden Bedingungen des (mathematischen) Gruppenbegriffs. Dieser wird oft mit dem Begriff der Symmetrie assoziiert: die Elemente der Gruppe sind dabei Operationen auf einen bestimmten Gegenstand, die diesen Gegenstand nicht ändern. Wie etwa die Spiegelungen eines Kreises an einem seiner Durchmesser den Kreis unverändert (invariant) lassen, damit Symmetrie-Operationen des Kreises sind, so las-

232


sen sich alle Skalentransformationen der physikalischen Grundgrößen, da sie Abh¨ angigkeitsbeziehungen nicht ¨ andern, als Symmetrie-Operationen dieser Beziehungen auffassen. Die formelle Aufgabe der Dimensionsanalyse ist es, diese Umst¨ ande in ihrer Konsquenz herauszuarbeiten. Inhaltlich lautet diese Konsequenz: Die skaleninvarianten Beziehungen zwischen skalenbehafteten physikalischen Gr¨ oßen lassen sich darstellen in der Form von Beziehungen zwischen skaleninvarianten Gr¨ oßen. Die unmittelbare Aufgabe der Dimensionsanalyse ist es, die Methodik zu entwickeln, um aus einer gegebenen Beziehung heraus die Anzahl und die Form der skaleninvarianten Gr¨ oßen, der sog. Kennzahlen, zu bestimmen, auf die diese Beziehung zur¨ uckgef¨ uhrt werden kann. Diese Aufgabe wird im π-Theorem zusammengefasst. Der tiefere Grund der Auseinandersetzung mit der Dimensionsanalyse, die sich in ihrem Kern im π-Theorem darstellt, liegt in dem daraus zu ziehenden Nutzen. Der praktische Nutzen der Dimensionsanalyse f¨ ur den Str¨ omungsmechaniker liegt in der M¨ oglichkeit der Maßstabs¨ ubertragung. Die Dimensionsanalyse hat ihren Ausgang in der Vielfalt der (passiven) Betrachtungen ein und derselben physikalischen Situation, gegeben durch die M¨ oglichkeiten der Skalenwahl der Einheiten und der Zahlenwerte der Grundgr¨ oßen. Weil jedoch in die physikalischen Abhängigkeitsbeziehungen wegen der Dimensionshomogenit¨ at nur die Zahlenwerte der physikalischen Gr¨ oßen eingehen, k¨ onnen deren Skalierungen von denen der Einheiten dieser Gr¨ oßen losgel¨ ost werden. Die Dimensionsanalyse kann deshalb auch als Skalierung der Zahlenwerte bei festen Einheiten, d.h. als Instrument einer (aktiven) Maßstabs¨ ubertragung betrachtet werden. Die Dimensionsanalyse sichert aber zu, dass physikalische Beziehungen stets auf Beziehungen zur¨ uckgef¨ uhrt werden, die nur dimensionslose Größen (sog. Kennzahlen) umfassen. Stellt sich eine physikalische Beziehung als Differentialgleichung dar, so kann die in Abschnitt 7.2 illustrierte Methode Anwendung finden und durch Normierung der Gleichung ein Satz von Kennzahlen bestimmt werden. Liegt diese Gleichungsform der physikalischen Beziehung nicht vor, so ist auf das π-Theorem zur¨ uckzugreifen, um einen das physikalische Problem beschreibenden Satz von Kennzahlen zu bestimmen. Dieses Theorem macht eine Aussage u ¨ ber die Anzahl der Kennzahlen: Sie ist gleich der Variablenzahl minus dem Maximum der Variablenanzahl mit denen sich keine dimensionslose Kennzahl bilden lässt. Auch gibt das Theorem ein Rezept zur Konstruktion der Kennzahlen. Zu beiden Aspekten wird die sogenannte Dimensionsmatrix herangezogen, die sich aus den Größen des Problems bilden l¨ asst. Durch diese Matrix ausgedr¨ uckt ist: Die Zahl der dimensionslosen Kennzahlen eines physikalischen Problems, f¨ ur das ein vollst¨ andiger Satz von dimensionsbehafteten Gr¨ oßen vorliegt, ist gleich der Gesamtzahl


233

der dimensionsbehafteten Gr¨ oßen minus der Zahl, die den Rang der Dimensionsmatrix angibt. Das Aufstellen der Dimensionsmatrix sei untenstehend f¨ ur einige typische Beispiele aufgezeigt. Dabei sei von folgenden (mechanischen) Basisgrößen f¨ ur die Str¨ omungsmechanik ausgegangen: M = Masse [kg];

L = L¨ ange [m];

T = Zeit [s]

Dabei sind in [. . . ] die gew¨ ahlten Einheiten angegeben. Jede mechanische Gr¨ oße l¨ asst sich nun in ihrer Dimension auf die oben aufgef¨ uhrten Basisgrößen Masse, L¨ ange und Zeit, zur¨ uckf¨ uhren, so dass gilt: [Q] = M α1 Lα2 T α3

(7.52)

H¨ angt ein mechanisches Problem von den Gr¨ oßen Q1 , Q2 , Q3 . . . Qk . . . Qn−1 , Qn ab, so gilt: [Qk ] = M α1k Lα2k T α3k (7.53) Damit l¨ asst sich f¨ ur dieses physikalische Problem folgende Dimensionsmatrix angeben: Q1 M α11 L α21 T α31

Q2 α12 α22 α32

Q3 α13 α23 α33

Qk Qn−2 α1k α1(n−2) α2k α2(n−2) α3k α3(n−2)

Qn−1 α1(n−1) α2(n−1) α3(n−1)

Qn α1n α2n α3n

Diese Matrix mit Rang r = 3 und n Einflussgrößen ergibt die Anzahl von π−Zahlen: π = (n − r). Die unten aufgef¨ uhrten Beispiele sollen diesen Sachverhalt erl¨ autern und auch helfen, dem Leser eine Einf¨ uhrung in die Anwendung der Dimensionsanalyse zu geben. Beispiel 1: Ausfluss aus einem Gef¨ aß

Ñ h

r , g , m A

m

Die Gesamtzahl der das Problem bestimmenden Größen lautet Q1 Q2 Q3 Q4 Q5 Q6 m ˙ ρ g h A µ

n = 6 Einflussgr¨ oßen, d.h. m ˙ = f (ρ, g, h, A, µ) Mit der obigen Festlegung von den f¨ ur den Ausfluss aus einem Gefäß relevanten Gr¨ oßen l¨ asst sich folgende Dimensionsmatrix aufstellen:

234


m ˙ A g ρ h M 1 0 0 1 0 L 0 2 1 -3 1 T -1 0 -2 0 0

µ 1 -1 -1

Aus den nachfolgenden Betrachtungen mit Rang r = 3 ergeben sich folgende dimensionslose Kennzahlen. W¨ ahlt man als erste Bestimmungsvariable m, ˙ so erh¨ alt man: α [µ]β = (M T −1 )(Lα )(M β L−β T −β ) = M 0 L0 T 0 [m][h] ˙

(7.54)

d.h. (1 + β) = 0; (−1 − β) = 0; α − β = 0 oder aber β = −1 und α = β ; und somit gilt:

π1 =

m ˙ hµ

(7.55)

W¨ ahlt man als zweite Bestimmungsvariable A, so erhält man: [A][h]α = (L2 )(h)α = M 0 L0 T 0

d.h. (2 + α) = 0 ; α = −2 ; und somit gilt:

(7.56)

π2 =

A h2

(7.57)

W¨ ahlt man als dritte Bestimmungsvariable g, so lässt sich angeben: [g][h]α [µ]β [ρ]γ = 1

(7.58)

d.h. (β + γ) = 0; 1 + α − β − 3γ = 0; −2 − β = 0. Damit erh¨ alt man: α = 3; β = −2; γ = 2 ; und somit gilt:

π3 =

gh3 ν2

(7.59)

kg m · s 1 m ˙ = = Re (π1 , ist die Re-Zahl des Problems) hµ s kg m (7.60) 1 2 1 A π2 = 2 = m2 (7.61) h m2 gh3 π3 = 2 damit ist darstellbar: π1 = f (π2 , π3 ) (7.62) ν π1 =

Damit l¨ asst sich eine allgemeine Darstellung von Messergebnissen f¨ ur m ˙ = f (ρ, g, h, A, µ) dadurch erreichen, dass man π1 aufträgt und π2 , π3 als Parameter w¨ ahlt.


235

Beispiel 2: Str¨ omung durch rauhe Rohre

U

~

e

r ,m D

x

Anzahl der Variablen

d P d x

Q1 Q2 Q3 Q4 Q5 Q6 ˜ D ρ µ dP/dx U

Dabei stellt die Rohrrauhigkeit dar. Die zur Darstellung des Problems der Str¨ omung durch rauhe Rohre relevanten Parameter wurden obenstehend festgelegt. Damit lässt sich die Dimensionsmatrix bestimmen: ˜ dP/dx U M 0 0 1 L 1 1 -2 T -1 0 -2

D 0 1 0

ρ µ 1 1 -3 -1 r=3 und n=6 0 -1

˜ , so erhält man W¨ ahlt man als erste Bestimmungsvariable U ˜ ] [D] [ρ] [µ] = (LT −1 )(Lα )(M β L−3β )(M γ L−γ T −γ ) = M 0 L0 T 0 (7.63) [U α

β

γ

d.h. (β + γ) = 0; (1 + α − 3β − γ) = 0; (−1 − γ) = 0 Damit erh¨ alt man: γ = −1; β = 1; α = 1; und somit gilt: π1 =

˜ Dρ U µ

(7.64)

W¨ ahlt man als zweite Bestimmungskonstante dP/dx, so lässt sich angeben: + + , ,+ , dP α β γ [D] [ρ] [µ] = M T −2 L−1 (L∞ ) M β L−3β M γ L−γ T −γ (7.65) dx d.h. es gilt: 1 + β + γ = 0; −2 + α − 3β − γ = 0; −2 − γ = 0; Somit l¨ asst sich errechnen: α = 3; β = 1; γ = −2; π2 =

;

(dP/dx)D3 ρ µ2

(7.66)

W¨ ahlt man als dritte Bestimmungsvariable , so ergibt sich: [] [D] [ρ] [µ] = (Lα )(M β L−3β )(M γ L−γ T −γ )(L) = 0 α

β

γ

(7.67)

236


d.h. es gilt: (α − 3β − γ + 1) = 0; β + γ = 0; (−γ) = 0 Somit ergibt sich: γ = 0; β = 0; α = −1; ; π3 =

D

(7.68)

kg ms U Dρ m π1 = = [m] (7.69) = Re ist die Re-Zahl des µ s m3 kg Problems dP D3 ρ dx π2 = = Druckabfallzahl (7.70) µ2 1 = [m] π3 = = Relative Rauhigkeit“ π2 = f (π1 , π3 ) (7.71) ” D m Es kann aber durchaus, anstatt der Kennzahl π2 das Produkt D3 ρ dP D dP µ2 π2 dx dx = · = ˜ 2 ρ2 ˜2 π12 µ2 D2 U ρU verwendet werden, wie dies in Abb. 7.2 pr¨ asentiert wurde. Beispiel 3: Pumpleistung f¨ ur ein inkompressibles Fluid Q1 Q2 Q3 Q4 Q5 Q6 Q7 Q8 PE η gH ρ ω D V˙ µ Da die elektrische Pumpleistung von besonderem Interesse ist, wurde sie in die Liste der relevanten Parameter mit aufgenommen. Somit lässt sich die Dimensionsmatrix wie folgt aufstellen. PE M 1 L 2 T -3

η 0 0 0

gH 0 2 -2

ρ ω D 1 0 0 -3 0 1 0 -1 0

V˙ µ 0 1 3 -1 r=3 und n=8 -1 -1

Eine konsequente Anwendung der in den Beispielen 1 und 2 angedeuteten Methode f¨ uhrt zu den Kennzahlen:

π1 =

PE ; ρω 3 D5

π2 = η;

π3 =

gH ; ω 2 D2

π4 =

V˙ ; ωD3

π5 =

ρωD2 µ (7.72)

7.4 Symmetrie von Differentialgleichungen

237

Die f¨ ur eine Pumpe wichtigen zu ermittelnden Größen, wie Leistung PE , Wirkungsgrad η und F¨ orderh¨ ohe gH , lassen sich u ¨ ber folgende Kennzahlen darstellen: * ) ρωD2 PE V˙ = π1 = f1 ; (7.73) 3 5 3 ρω D ωD µ * ) V˙ ρωD2 η = f2 = π2 ; (7.74) ωD3 µ * ) gH V˙ ρωD2 = π3 = ; (7.75) ω 2 D2 ωD3 µ Diese Kennzahlen sind von den verbliebenen Kennzahlen π4 und π5 abhängig. Aus Experimenten ist jedoch bekannt, dass die Abhängigkeit der normierten Pumpeneigenschaften nicht von π5 = (ρωD2 )/µ abhängt oder die Abhängigkeit nur sehr gering ist. Damit kann endg¨ ultig angegeben werden: ) * ) * ) * V˙ V˙ V˙ PE gH ; η = f2 ; (7.76) = f1 = f3 ρω 3 D5 ωD3 ωD3 ω 2 D2 ωD3 Die experimentellen Ergebnisse von Pumpenuntersuchungen werden auch u ¨ blicherweise wie oben angegeben aufgetragen, in Diagrammen mit V˙ /(ωD3 ) als Abszisse.

7.4 Symmetrie von Differentialgleichungen ¨ Die Ahnlichkeitstheorie umfasst auch andere Formen der Symmetrieanalyse, neben der Dimensionsanalyse. Hier sei auf ein solches weiteres Gebiet ¨ der Ahnlichkeitstheorie eingegangen, das in der Strömungsmechanik Anwendung findet, n¨ amlich auf die Symmetriebetrachtungen der Grundgleichungen der Str¨ omungsmechanik. Diese Gleichungen sind erwartungsgemäß dimensionshomogen, erf¨ ullen also den Bestand einer Symmetrie in dem durch die Dimensionsanalyse gegebenen Rahmen. F¨ ur eine Strömungssituation ist aber die Frage gestattet, ob diese Gleichungen nicht eine reichere (größere) Symmetrie zulassen, als es die Dimensionsanalyse zusichert. Um darauf eine Antwort zu geben, ist folgendes zu klären: 1. Der Begriff der Symmetrie(gruppe), auf den im Rahmen der Dimensionsanalyse nicht ausdr¨ ucklich und n¨ aher eingegangen werden musste, ist zu pr¨ azisieren. 2. Es ist ein (rechnerisches) Werkzeug bereitzustellen, mit dessen Hilfe zu erkennen ist, ob die Grundgleichungen in einer gegebenen Situation eine Symmetrie in dem pr¨ azisierten Sinne zulassen.

238


3. Es sind (rechnerische) Werkzeuge bereitzustellen, um ggf. die Lösungen der Grundgleichungen zu finden, die eine solche Symmetrie der Gleichung ¨ u osungen sind Ahnlichkeitsl¨ osungen im Sinne dieser ¨ bernehmen. Solche L¨ Symmetrie. Im engeren Sinne werden jene Lösungen der Grundgleichun¨ gen Ahnlichkeitsl¨ osungen genannt, die Skalensymmetrien dieser Gleichungen u ¨ bernehmen. ¨ Die obigen Betrachtungen deuten an, dass die Ahnlichkeitstheorie das Auffinden von Symmetrien der Grundgleichungen und der ihnen entsprechenden L¨ osungen zum Ziel hat. Die physikalische Interpretation dieser Lösungen ist eine nachtr¨ aglich zu l¨ osende Aufgabe. ¨ Die Ahnlichkeitstheorie, die sich im Rahmen einer Symmetrie-Analyse der Grundgleichungen der Str¨ omungsmechanik darstellt, liefert nicht nur ausgezeichnete L¨ osungen der Str¨ omungsgleichungen. Sie bringt mit dem Symme¨ triebegriff auch einen Uberblick und Sicherheit in den Sprachgebrauch, etwa bei der Charakterisierung von vollentwickelten Strömungen. Dies soll in der Folge n¨ aher erl¨ autert werden. Der Begriff der Symmetrie ist an den mathematischen Begriff der Gruppe gebunden. Als Gruppe wird eine Menge (von Elementen) betrachtet, die ein sog. Kompositionsgesetz besitzt, nach dem jedem Paar von Elementen (unter Ber¨ ucksichtigung der Reihenfolge) wieder ein Element zugeordnet wird. Die Gruppe besitzt ein neutrales Element, dessen Komposition mit jedem Element dieses unver¨ andert l¨ asst. Jedes Element besitzt ein Inverses, mit der Eigenschaft, dass Komposition eines Elemente mit seinem Inversen das neutrale Element ergibt. Die Gruppen (Gh, 0), “G”= Menge und “0” = Verkn¨ upfung besitzen weitere Eigenschaften, die untenstehend gegeben sind: – – – – –

∀a, b ∈ G : a ◦ b = b ◦ a (Kommutative Gruppe) ∀a, b ∈ G : a ◦ b ∈ G (Abgeschlossenheit) ∃ a ∈ G zu jedem a ∈ G mit a ◦ a = e (Inverses Element) ∃ e ∈ G mit : a ◦ e = a; a ∈ G (Neutrales Element) ∀a, b, c ∈ G : a ◦ (b ◦ c) = (a ◦ b) ◦ c (Assoziativität)

Gruppen treten oft als Transformationsgruppen auf, d.h. als Wirkungen auf geometrische Objekte. Drei einfache Beispiele mögen dies illustrieren: Translationsgruppe: Der Wirkungsraum R sei die reelle Achse. Die Gruppe G sei die Gesamtheit der (konstanten) Verschiebungen a (−∞ < a < +∞) Ta : x → x + a

(7.77)


239

der Punkte (Vektoren) x (−∞ < x < +∞) auf der Achse. Das Kompositionsgesetz (a1 , a2 ) zweier Verschiebungen a1 und a2 ergibt sich aus der aufeinander folgenden Anwendung der Formel (7.77) f¨ ur a1 und a2 : Ta1 : x → x + a1

Ta2 : (x + a1 ) → (x + a1 ) + a2 = x + a1 + a2 (7.78)

als (a1 , a2 ) = a1 + a2 ,

(7.79)

woraus auch ersichtlich ist, dass es hier nicht auf die Reihenfolge ankommt: (a1 , a2 ) = (a2 , a1 ). Diese letzte Eigenschaft charakterisiert sog. kommutative oder Abelsche Gruppen. Das neutrale Element der Translationsgruppe ist durch die Verschiebung Null gegeben: (a, 0) = (0, a) = a, und das Inverse zu einem Element a ist durch −a gegeben: (a, −a) = (−a, a) = 0. Es sei nun eine (glatte) Funktion f (x) auf der ganzen Achse −∞ < x < +∞ definiert. Diese Funktion ist invariant gegen¨ uber den Translationen (7.77) der Gruppe, wenn f¨ ur alle Werte von x (−∞ < x < +∞) und a(−∞ < a < +∞) gilt: f (x + a) = f (x) . (7.80) Dies kann nur f¨ ur konstante Funktionen, f (x) = const., die nicht von x abh¨ angen, erf¨ ullt werden. Die Wirkung f (x) → f (x + a) einer Verschiebung a auf die Funktion f (x) kann mit Hilfe der Taylor-Reihenentwicklung gezeigt werden. f (x + a) = f (x) + a

a2 d2 f an dn f df + + ···+ + ··· 2 dx 2! dx n! dxn

Damit stellt sich die Invarianzbedingung (7.80) dar als df a d2 f an−1 dn f + + ··· + + ··· = 0 a dx 2! dx2 n! dxn

(7.81)

(7.82)

bzw., wegen a = 0, als a d2 f an−1 dn f df + + ···+ + ··· = 0 2 dx 2! dx n! dxn

(7.83)

Nach dem Grenz¨ ubergang a → 0 bleibt daraus df =0 dx

(7.84)

als ’infinitesimale’ Ausdrucksweise der Translationsinvarianz von f (x) u ¨brig. Um mit diesen Begriffen zur Str¨ omungsmechanik zur¨ uckzukehren, soll allgemein eine ’vollentwickelte’ Str¨ omung in einem geraden Rohr betrachtet werden. Zuerst sei diese ’vollentwickelte’ Str¨ omung im Sinne des Symmetriebegriffes erl¨ autert: Das gerade Rohr hat eine (gerade) Achse, die man

240


als eine der Achsen (etwa die x3 -Achse) eines rechtwinkligen Koordinatensystems ansehen kann. Damit kann man von Verschiebungen (Translationen) in Richtung dieser Achse sprechen, sowie von einer Translationsgruppe. Deshalb kann man umformulieren: Die vollentwickelte Strömung im 1 , x2 , x3 ) geraden Rohr ist eine Str¨ omung, deren Geschwindigkeitsfeld U(x uber den = (U1 (x1 , x2 , x3 ), U2 (x1 , x2 , x3 ), U3 (x1 , x2 , x3 )) invariant ist gegen¨ Translationen in Richtung der Rohrachse. Dies legt zuerst dem Str¨ omungsgebiet selbst die Bedingung der Invarianz gegen¨ uber diesen Translationen auf: Alle Rohrquerschitte gehen durch Verschieben in Richtung der Achse ineinander u ¨ ber und sind deshalb gleich. Dann folgt aus (7.84), dass das Geschwindigkeitsfeld nur mehr von den Querkoordi =U (x1 , x2 ) = U1 (x1 , x2 ), U2 (x1 , x2 ), U3 (x1 , x2 ). angt: U naten x1 und x2 abh¨ Lassen die Grundgleichungen der Str¨ omungsmechanik dies u ¨berhaupt zu? Die Anwendung der Operation (7.84), bezogen auf die Koordinate x3 , auf die Gleichungen ergibt als Bedingung daf¨ ur ∂ ∂P = 0, ∂x3 ∂xj

(j = 1, 2, 3) .

(7.85)

Aus der Gleichung f¨ ur j = 3 folgt zun¨ achst der Ausdruck P (x1 , x2 , x3 ) = C(x1 , x2 )x3 + p(x1 , x2 )

(7.86)

f¨ ur den Druck P (x1 , x2 , x3 ), wobei C(x1 , x2 ) und p(x1 , x2 ) zwei noch unbestimmte Funktionen sind. Die Gleichungen f¨ ur j = 2 und j = 3 ergeben ∂C = 0 und ∂x1

∂C = 0. ∂x2

(7.87)

Deshalb ist die Funktion C(x1 , x2 ) eine Konstante und der Druckverlauf der vollentwickelten Str¨ omung“ ” (7.88) P (x1 , x2 , x3 ) = C x3 + p(x1 , x2 ) . Der axiale Druckabfall in einer ’vollentwickelten’ Rohrströmung ist also u ¨ ber den Rohrquerschnitt konstant. Allerdings ist ein Druckgefälle u ¨ber den Rohrquerschnitt m¨ oglich. Dies gilt ohne n¨ ahere Angabe u ¨ber die Querschnittsform des Rohres und ohne n¨ ahere Angaben u ¨ ber die Strömung. Damit sei zu einem weiteren Beispiel einer Symmetriegruppe zur¨ uckgekehrt, zu der Drehgruppe (Rotationsgruppe) der Ebene, die im 3dimensionalen Raum der axialen Symmetrie zugeordnet ist: Es sei die mit den rechtwinkeligen Koordinaten (x1 , x2 ) beschriebene Ebene betrachtet. Wird die Ebene um einen Winkel φ gedreht, so wird dadurch ein Punkt (x1 , x2 ) u uhrt in den Punkt (x1 , x2 ) der Koordinaten ¨ bergef¨ x1 =

x1 cos φ + x2 sin φ ,

x2 = −x1 sin φ + x2 cos φ .

(7.89)


241

Die Werte der Winkel liegen im Intervall −π ≤ φ ≤ π (wobei die Drehungen um φ = π und um φ = −π identifiziert werden). Der Rotation (7.89) kann die Matrix cos φ sin φ R(φ) = (7.90) − sin φ cos φ zugeordnet werden. Wird zuerst eine Rotation um einen Winkel φ1 und darauf eine Rotation um einen Winkel φ2 durchgef¨ uhrt so entspricht dieser Komposition das Produkt R(φ2 )R(φ1 ) der entsprechenden Matrizen: cos(φ1 + φ2 ) sin(φ1 + φ2 ) (7.91) (= R(φ2 + φ1 )) . − sin(φ1 + φ2 ) cos(φ1 + φ2 ) Da R(φ2 + φ1 ) = R(φ1 + φ2 ) gilt, die Reihenfolge der Operationen im Kompositionsgesetz nicht von Belang ist, ist auch diese Gruppe kommutativ. Dem neutralen Element entspricht die Drehung um den Winkel Null (φ = 0); ihm ist die Einheitsmatrix zugeordnet: 10 R(0) = . (7.92) 01 Die Inverse einer Drehung um φ ist die Drehung um −φ, die zugeordnete Matrix ist cos φ − sin φ (7.93) (= R−1 (φ) = R(−φ)) . sin φ cos φ Es sei nun eine (glatte) Funktion f (x1 , x2 ) in der Ebene (x1 , x2 ). Diese Funktion ist invariant gegen¨ uber den Rotationen (7.90) der Gruppe, wenn f¨ ur alle −π ≤ φ ≤ π und alle Punke x1 , x2 der Ebene gilt: f (cos φx1 + sin φx2 , − sin φx1 + cos φx2 ) = f (x1 , x2 ) .

(7.94)

Diese Beziehung sagt aus, dass die Funktion f (x1 , x2 ) in allen Punkten (x1 , x2 ), auf die sich der Punkt (x1 , x2 ) durch eine Rotation R(φ) abbildet, den gleichen Wert haben muss. Die Menge aller Punkte {x1 , x2 }−π≤φ≤π bilden einen Kreis mit Zentrum im Ursprung des Koordinatensystems, der durch den Punkt (x1 , x2 ) geht. Die Funktion f (x1 , x2 ) hat also konstante Werte auf allen konzentrischen Kreisen um den Koordinatenursprung; ihre Werte h¨ angen nur von den Radien (x21 + x22 )1/2 der Kreise ab: f (x1 , x2 ) = F (x21 + x22 )

(7.95)

Es sei nun wieder danach gefragt, wie sich die Rotationsinvarianz einer Funktion f (x1 , x2 ) im ’Kleinen, Infinitesimalen’ erkennen lässt. Dazu sei, in Anlehnung an das vorherige Beispiel, die Taylor-Entwicklung der Funktion f (cos φx1 + sin φx2 , − sin φx1 + cos φx2 ) = f (x1 , x2 ) in (7.94) f¨ ur kleine Winkel φ durchgef¨ uhrt und weiter in gleicher Weise vorgegangen. Das Ergebnis uckt sich aus in der Bedingung ist: die Rotationsinvarianz von f (x1 , x2 ) dr¨

242


x2

∂f ∂f − x1 = 0, ∂x1 ∂x2

(7.96)

der Erf¨ ullung einer linearen partiellen Differentialgeichung erster Ordnung. Die L¨ osung dieser Gleichung wird u osung des Differentialsystems ¨ ber die L¨ dx1 dx2 =− x2 x1

(7.97)

x1 dx1 + x2 dx2 = 0 ,

(7.98)

x21 + x22 = const. ,

(7.99)

f (x1 , x2 ) = F (x21 + x22 ),

(7.100)

bzw. u osung von ¨ ber die L¨

die offensichtlich ist, erhalten als wie nach der obigen Argumentation ja erwartet, wobei F eine nicht näher spezifizierte Funktion einer Variablen ist. Die zwei Beispiele belegen eine allgemeine Situation: Ein kontinuierlicher Symmetrie-Parameter in einer Gruppe reduziert die Anzahl der Argumente der gegen¨ uber der (diesem Parameter) entsprechenden Symmetriegruppe invarianten Funktionen um eines. Die Invarianzeigenschaft (7.94) bezieht sich auf eine Größe, die sich gegen¨ uber den Drehungen in der (x1 , x2 )-Ebene wie ein Skalar verhält. Dies der Fluidschließt den Druck P und auch die Komponente U3 des Vektors U geschwindigkeit in einer Str¨ omung ein. Es gilt also f¨ ur diese Gr¨ oßen bei axialsymmetrischen Strömungen um die x3 -Achse: P (x1 , x2 , x3 ) = Q(x21 + x22 , x3 ), (7.101) U3 (x1 , x2 , x3 ) = H(x21 + x22 , x3 ) ,

(7.102)

mit unbestimmten Funktionen Q und H. Die geometrische Voraussetzung f¨ ur eine axialsymmetrische Str¨ omung ist nat¨ urlich, dass als Querschnitte des Str¨ omungsgebietes senkrecht zur x3 -Achse konzentrische Kreise um diese Achse sind, deren Radien sich aber noch durchaus mit der x3 -Koordinate a onnen. ¨ndern k¨ Es stellt sich nat¨ urlich auch die Frage, wie sich die axiale Symmetrie der Str¨ omung auf die in der (x1 , x2 )-Ebene liegenden Komponenten U1 und U2 der Fluidgeschwindigkeit auswirkt. Auf sie wirkt sich aus, dass des Vektors U sind. sie Komponenten des Vektors U = Die Bedingung der axialen Rotationssymmetrie des Vektors U uber den Drehungen (U1 , U2 , U3 ), d.h. seiner Invarianz gegen¨








cos φ x1  x2  =  sin φ x3 0

− sin φ cos φ 0



243



0 x1 0   x2  x3 1

kurz: xi = Rij xj

(7.103)

stellt sich dar als Ui (x1 , x2 , x3 ) = Rij Uj (x1 , x2 , x3 ) .

(7.104)

Auf infinitesimale Drehungen bezogen ergeben sich daraus die Differentialgleichungen ∂U1 ∂U1 − x1 = U2 , x2 ∂x1 ∂x2 x2

∂U2 ∂U2 − x1 = −U1 , ∂x1 ∂x2

(7.105)

∂U3 ∂U3 − x1 = 0. ∂x1 ∂x2 Die letzte dieser Gleichungen best¨ atigt das ’skalare’ Verhalten von U3 bei diesen Drehungen und die Form (7.102) dieser Komponente. Die Lösungen der zwei ersten dieser Gleichungen ergeben die Form der Komponenten U1 und U2 des axialsymmetrischen Geschwindigkeitsfeldes: x2

U1 (x1 , x2 , x3 ) = x1 F (x21 + x22 , x3 ) + x2 G(x21 + x22 , x3 ) (7.106) U2 (x1 , x2 , x3 ) = x2 F (x21 + x22 , x3 ) − x1 G(x21 + x22 , x3 ) Jetzt kann man auch einen Schritt weitergehen und nach dem Geschwindigkeits- und Druckfeld einer Str¨ omung fragen, die sowohl vollentwickelt (translationsinvariant) ist in x3 -Richtung als auch axialsymmetrisch (rotationsinvariant) gegen¨ uber der x3 -Achse. Das Strömungsgebiet dazu ist ein gerades rundes Rohr von konstantem Querschnitt. Aus den zwei Symmetriebedingungen ergibt sich U1 (x1 , x2 , x3 ) = x1 F (x21 + x22 ) + x2 G(x21 + x22 ) U2 (x1 , x2 , x3 ) = x2 F (x21 + x22 ) − x1 G(x21 + x22 ) U3 (x1 , x2 , x3 ) =

H(x21

+

(7.107)

x22 )

und P (x1 , x2 , x3 ) = Cx3 + p(x21 + x22 ) .

(7.108)

Aus (7.108) ergeben sich der lineare Druckabfall in axialer Richtung und die konzentrischen Isobaren im Rohrquerschnitt. Es sei jetzt aber noch eine Frage nachgeschoben, nämlich: Kann das Geschwindigkeitsfeld (7.107) einem inkompressiblen Fluid zugeordnet werden?

244


Zur Beantwortung werde seine Divergenz ausgerechnet: ∂Ui = 2F − 2(x21 + x22 )F . ∂xi

(7.109)

Diese verschwindet, wenn F =

Q 1 , 2π x21 + x22

(7.110)

mit einer Konstanten Q. Das dieser Funktion entsprechende Geschwindigkeitsfeld entspricht einer vollentwickelten radialen Strömung mit der x3 -Achse als Quelle, von einem Volumenstrom Q pro Längeneinheit des Rohres. F¨ ur eine quellfreie vollentwickelte axialsymmetrische Strömung eines inkompressiblen Fluides (Q = 0) ergibt sich als Form des Geschwindigkeitsfeldes U1 (x1 , x2 , x3 ) = +x2 G(x21 + x22 ) U2 (x1 , x2 , x3 ) = −x1 G(x21 + x22 )

(7.111)

U3 (x1 , x2 , x3 ) = H(x21 + x22 ) . Durch Einsetzen der Formen (7.108) und (7.111) in die Impulsgleichungen (j = 1, 2, 3) ergeben sich drei gewöhnliche Differentialgleichungen f¨ ur die Funktionen G, H, P , die von einer einzigen Variablen abhängen. Durch eine 2-parametrige Symmetrie ist hier, als Illustration des allgemeinen Sachverhalts der Reduzierung der Variablen um eine Einheit durch jeden (kontinuierlichen) Symmetrieparameter, f¨ ur vollentwickelte axialsymmetrische Strömungen (inkompressibler Fluide) die L¨ osung der urspr¨ unglichen partiellen Differentiagleichungen f¨ ur Funktionen von drei Variablen auf die Lösung von Differentialgleichungen f¨ ur Funktionen einer einzigen Variablen zur¨ uckgef¨ uhrt worden. Dies ist an die Existenz einer (kontinuierlichen) Symmetrie gebunden, nicht an eine bestimmte Form der Symmetrie. Zuletzt sei noch eine dritte Form der Symmetrie zur Illustration herangezogen, die der Dilatation oder der Skalentransformation. Es sei in einem (abstrakten) n-dimensionalen Raum der Koordinaten x1 , . . . , xn die Skalentransformation x1 → λ1 x1 ............. (7.112) xn → λ1 xn definiert. Dieser ist die (Diagonal-)Matrix   λ1 0 0 . . . 0 0  0 λ2 0 . . . 0 0   D(λ1 , . . . , λn ) =   ...............  0 0 0 . . . 0 λn

(7.113)


245

zugeordnet. Die Skalentransformationen bilden eine n-parametrige kontinuierliche Gruppe, wobei das Kompositionsgesetz der Multiplikation der Matrizen D entspricht. Das neutrale Element der Gruppe entspricht der Einheitsmatrix D(1, . . . , 1). Das zu D(λ1 , . . . , λn ) inverse Element entspricht −1 D(λ−1 1 , . . . , λn ). Die Untersuchung der gegen¨ uber den Skalentransformationen der Dimensionsanalyse invarianten Funktionen f¨ uhrt auf das π-Theorem und ordnet die Dimensionsanalyse in die Symmetrieanalyse ein. Die Durchf¨ uhrung ist recht aufwendig und soll deshalb in der Allgemeinheit hier unterlassen werden. Zur Illustration soll aber die einparametrige Gruppe der Skalentransformationen im 1-dimensionalen Raum: x → λx veranschaulicht werden. Es sei dazu eine Funktion von m Variablen: f (y1 , . . . , ym ) betrachtet, mit der Voraussetzung, dass die Skalentransformation von x auch Skalentransformationen der Argumente dieser Funktion induziert: y1 → λp1 y1 ................ ym → λpm ym .

(7.114)

Es sei nun wieder gefragt, welche Konsequenz f¨ ur die Funktion f (y1 , . . . , ym ) eine Invarianz gegen¨ uber den Skalentransformationen (7.114) ihrer Argumente hat. In Anwendung des in Verbindung mit den vorangegangenen Beispielen beschriebenen allgemeinen Sachverhaltes ist bei der 1-parametrigen Symmetrie zu erwarten, dass die Funktion f infolge ihrer Invarianz f (λp1 y1 , . . . , λpm ym ) = f (y1 , . . . , ym )

(7.115)

nur von m − 1 Argumenten abh¨ angt. Die Bedingung (7.115) im ’Infinitesimalen’ dargestellt ergibt die partielle Differentialgleichung ∂f ∂f + . . . pm y m =0 ∂y1 ∂ym mit dem assoziierten Differentialsystem p1 y 1

dy1 dym = ··· = , p1 y 1 pm y m

(7.116)

(7.117)

und seiner L¨ osung

p1 y2p1 ym = c , . . . , = cm−1 . (7.118) 1 y1p2 y1pm Daraus ergibt sich in Beantwortung der Fragestellung die allgemeine Form der gegen¨ uber der Skalentransformation (7.114) invarianten Funktion f (y1 , . . . , ym ) als p1 p1 y2 ym , . . . , (7.119) f (y1 , . . . , ym ) = F y1p2 y1pm

Der Bezug zum π-Theorem wird hier bereits deutlich und soll nicht weiter verfolgt werden.

246


7.5 Literaturverzeichnis ¨ 7.1 Zierep J (1991) Ahnlichkeitsgesetze und Modellregeln der Strömungslehre. Braun Verlag, Karlsruhe, 3. u ¨ berarb. Auflage 7.2 Zlokarnik M (1991) Dimensional Analysis and Scale-Up in Chemical Engineering, Springer Verlag, Berlin 7.3 Spurk JH (1992) Dimensionsanalyse in der Strömungslehre. Springer Verlag, Berlin 7.4 Hutter K (1995) Fluid- und Thermodynamik: Eine Einf¨ uhrung. Springer Verlag, Berlin

8 Integralformen der Grundgleichungen

In Kapitel 5 wurden die Grundgleichungen der Strömungsmechanik in einer f¨ ur alle Str¨ omungsprobleme geltenden Form abgeleitet. Um eine allgemeing¨ ultige Form der Gleichungen zu erhalten, die f¨ ur alle Strömungen g¨ ultig ist, wurden diese als Differentialgleichungen f¨ ur Feldgrößen formuliert. Sie stellen lokale Formulierungen der Massen-, Impuls- und Energieerhaltung dar. Wendet man diese Gleichungen auf spezielle Strömungsprobleme an, so ist es vorteilhaft und oftmals geradezu erforderlich, die Integralformen der Gleichungen abzuleiten und anzuwenden. Diese leiten sich u ¨ber die in Kapitel 5 f¨ ur Raumpunkte angegebenen, d.h. lokal formulierten, pro Volumeneinheit geltenden Grundgleichungen durch Integration u ¨ ber vorgegebene Kon” trollvolumina“ ab. In den vorliegenden Kapiteln erfolgen diese Ableitungen gesondert f¨ ur die Kontinuit¨ atsgleichung, die Impulsgleichung in j−Richtung und die mechanischen und kalorischen (thermischen) Formen der Energiegleichung. In den nachfolgenden Kapiteln erfolgen dann beispielhafte Anwendungen, um die Applikationen der abgeleiteten Integralformen der strömungsmechanischen Grundgleichungen zu verdeutlichen. Es soll so aufgezeigt werden, wie es m¨ oglich ist, str¨ omungsmechanische Probleme zu lösen, die eine gewisse Ingenieurbedeutung haben. Da in diesem Buch nur eine Einf¨ uhrung in die L¨ osungen von Problemen vorgesehen ist, werden im Lösungsverlauf vereinfachende Annahmen getroffen, auf die hingewiesen wird, um sicherzustellen, dass dem Leser die G¨ ultigkeitsgrenzen der abgeleiteten Ergebnisse bewusst sind. Basierend auf den beispielhaften Anwendungen, sollten eigenständige L¨ osungen weiterf¨ uhrender Aufgabenstellungen möglich werden. Je nach Fragestellung kann dabei die Integralform der Impuls- oder mechanischen Energiegleichung zur Anwendung kommen.

8.1 Integralform der Kontinuit¨ atsgleichung In Abschnitt 5.2 wurde die Kontinuit¨ atsgleichung, d.h. die Massenerhaltungsgleichung, in lokaler Formulierung, ausgedr¨ uckt in Feldvariablen, siehe Gleichung (5.17), wie folgt angegeben:

248


∂ρ ∂(ρUi ) + = 0. ∂t ∂xi

(8.1)

& Wendet man auf die Gleichung (8.1) den Integraloperator V () dV an, d. K h. integriert man diese Gleichung u ¨ ber ein vorgegebenes Kontrollvolumen V = VK , so erh¨ alt man: " " ∂ρ ∂(ρUi ) dV = 0. (8.2) dV + ∂t ∂xi VK

VK

Dabei stellt VK ein beliebiges Kontrollvolumen dar, das zur Lösung von Str¨ omungsproblemen so zu w¨ ahlen ist, dass einfache Lösungswege f¨ ur sich stellende Str¨ omungsprobleme gefunden werden. Ber¨ ucksichtigt man, dass die auf (∂ρ/∂t) angewandte Integration und die f¨ ur ρ ausgef¨ uhrte partielle Differentiation in beliebiger Sequenz ausgef¨ uhrt werden k¨ onnen, so erh¨ alt man: ∂ ∂t

(

" ρ dV

)+

VK

"

∂(ρUi ) ∂xi

dV = 0.

(8.3)

VK

Wendet man nun auf den zweiten Term der obigen Gleichung den Gaußschen Integralsatz an, siehe Abschnitt 2.9, so ergibt sich: ∂ ∂t

(

" ρ dV

)+

VK

" ρUi dFi = 0.

(8.4)

OK

Dabei ist nun das zweite Integral u ¨ ber die gesamte Oberfläche des Kontrollvolumens auszuf¨ uhren, wobei die Richtung von dFi vom Inneren des Volumens nach außen gerichtet als positiv anzuwenden ist. In Gleichung (8.2) wurde folgende Betrachtung durchgef¨ uhrt: "

∂ (ρUi ) dV ∂xi

VK

–

–

Gaußscher ⇐⇒ Integralsatz

" VK

ρU

" dF ⇐⇒

ρUi dFi OK

In dieser Beziehung stellt der Oberfl¨ achenvektor dFi eine gerichtete Größe dar, d.h. sie beinhaltet den Normalenvektor n des Flächenelements mit Betrag | dFi |. Aufgrund des Doppelindex liegt ein Skalarprodukt des Geschwindigkeitsachenvektor dFi vor. vektors Ui mit dem Fl¨

In der Gleichung (8.4) haben die resultierenden Integrale folgende Bedeutung: " ρ dV = Gesamtmasse im Kontrollvolumen, M= VK

8.1 Integralform der Kontinuit¨ atsgleichung

249

"

Differenz der Massenab- und -zufl¨ usse u ¨ ber die Oberfläche des Kontrollvolumens. OK (8.5) Damit ergibt die Integralform der Kontinuit¨ atsgleichung: ∂M ∂M =m ˙ ein − m ˙ aus = (8.6) ∂t ∂t xi =const m ˙ aus − m ˙ ein =

ρUi dFi

=

F¨ ur den Volumenstrom durch eine Fl¨ ache mit der Geschwindigkeitskompoache ergibt sich aufgrund der obigen Vorzeinente Ui normal zu dieser Fl¨ chenkonvention f¨ ur den Fl¨ achenvektor dFi (¨ außere Flächennormale) f¨ ur das Einstr¨ omen in das bzw. Ausstr¨ omen aus dem Kontrollvolumen: " " V˙ ein = − |Ui || dFi | V˙ aus = + |Ui || dFi |. (8.7) F

F

Die fl¨ achengemittelte Str¨ omungsgeschwindigkeit errechnet sich somit f¨ ur jeden Zeitpunkt zu: " ˙ ˜ = Vein = 1 Ui dFi . (8.8) U |F | |F | F

Ber¨ ucksichtigt man noch, dass f¨ ur die fl¨ achengemittelte Dichte ρ˜ gilt: " 1 ρ˜ = ρ | dFi | , (8.9) |F | F

so l¨ asst sich der Massenfluss durch eine Fl¨ ache auch schreiben ˜F |m| ˙ = ρ˜U

mit

F = |F |.

(8.10)

F¨ ur moderate Geschwindigkeiten, bei denen sich ρ nur wenig ändert, ist somit f¨ ur interne Str¨ omungen eine Fl¨ achenabnahme mit einer Geschwindigkeitszunahme verbunden. Die obigen Ableitungen haben gezeigt, dass der physikalische Sachverhalt der Massenerhaltung, je nach Bedarf bei der Durchf¨ uhrung von Betrachtungen in der Str¨ omungsmechanik, die unten aufgef¨ uhrten mathematischen Darstellungen einnehmen kann. Differentialform:

∂ρ ∂(ρUi ) + =0 ∂t ∂xi

(8.11)

∂M =m ˙ ein − m ˙ aus ∂t

(8.12)

Integralform:

250


Innenstr¨ omungen: ∂M ˜ F = const =0;m ˙ = ρ˜U ∂t Aus (8.13) l¨ asst sich zudem durch Differenzieren ableiten:

(8.13)

˜ dF d ˜ d˜ ρ dU d + (m) ˙ = (˜ ρU F ) = 0 ; + =0 ˜ dx dx ρ˜ F U

(8.14)

Alle oben angegebenen Gleichungen stellen verschiedene Formen der Massenerhaltungsgleichung dar, die bei der L¨ osung von Strömungsproblemen Anwendung finden k¨ onnen. Welche Form angewendet wird, hängt von dem zu l¨ osenden Problem ab.

8.2 Die Integralform der Impulsgleichung In Abschnitt 5.3 wurde die Impulsgleichung f¨ ur lokale Betrachtungen formuliert und f¨ ur jede j-Komponente des Impulses wie folgt abgeleitet: ∂Uj ∂Uj ∂τij ∂P + Ui ρ − + ρgj . (8.15) =− ∂t ∂xi ∂xj ∂xi Z¨ ahlt man zu dieser Gleichung die mit Uj multiplizierte Kontinuitätsgleichung, in der Form (8.1), hinzu, d.h. addiert man die folgenden Terme: Uj

∂ρ ∂(ρUi ) + Uj = 0, ∂t ∂xi

(8.16)

so erh¨ alt man: ∂P ∂τij ∂(ρUj ) ∂(ρUi Uj ) + =− − + ρgj . ∂t ∂xi ∂xj ∂xi

(8.17)

Integriert man (8.17) u d. h. wendet ¨ ber ein vorgegebenes Kontrollvolumen, & man auf alle Terme der Gleichung den Operator V () dV an, so erhält man K die Integralform der j−Komponente der Impulsgleichung der Strömungsmechanik: " " " " " ∂(ρUj ) ∂(ρUi Uj ) ∂P ∂τij dV + dV = − dV − dV + ρgj dV ∂t ∂xi ∂xj ∂xi VK

VK

VK

+

VK

Kj

VK

(8.18)

ussen all Der Term Kj kommt als Integrationskonstante“ hinzu, d. h. es m¨ ” jene Kr¨ afte in j-Richtung mit erfasst werden, die als externe Kräfte auf die Berandungen des gew¨ ahlten Kontrollvolumens wirken. Ber¨ ucksichtigt man,

8.2 Die Integralform der Impulsgleichung

251

dass die Integration und Differentiation in ihrer Sequenz vertauschbare mathematische Operationen darstellen und wendet man den Gaußschen Integrationssatz an, so l¨ asst sich die folgende Form des integralen Impulssatzes ableiten: " " " " " ∂ ρUj dV + ρUi Uj dFi = − P dFj − τij dFi + ρgj dV ∂t VK OK OK OK VK I

II

+

III

Kj .

IV

V

(8.19a)

VI

Diese Gleichung umfasst 6 Terme, deren physikalische Bedeutung untenstehend angegeben ist: ¨ I: Zeitliche Anderung des j−Impulses im Inneren eines Kontrollvolumens. II: Summe der pro Zeiteinheit erfolgenden Zu- und Abfl¨ usse an Strömungsimpuls in j−Richtung, aufsummiert u ¨ ber die gesamte, das betrachtete Kontrollvolumen umgebende Oberfl¨ ache. III:Resultierende Druckkraft in j−Richtung, aufsummierte Druckverteilung u ¨ber die gesamte, das betrachtete Kontrollvolumen umgebende Oberfl¨ ache. IV: Summe der pro Zeiteinheit durch molekularen Impulstransport u ¨ ber die gesamte Oberfl¨ ache des Kontrollvolumens erfolgenden j−Impulszu- und -abfl¨ usse. V: j−Komponente der auf das Kontrollvolumen einwirkenden Massenkraft. VI: Summe aller in j−Richtung wirkenden externen (nicht strömungsbedingten) Kr¨ afte, die auf die Berandung des Kontrollvolumens wirken. Es gilt damit: " " & & & ∂ ρUj dV + ρUi Uj dFi = − P dFj − τij dFi + ρgj dV ∂t OK OK VK VK OK (8.19b) + Kj Diese Integralform der Impulsgleichung l¨ asst sich f¨ ur eine Vielzahl von Problemen der Str¨ omungsmechanik heranziehen, um durch Fluidbewegungen verursachte Krafteinwirkungen auf Wandungen, Strömungsaggregate etc. zu ermitteln. Ihre Anwendung wird in den Beispielen erläutert, die in den Abschnitten 8.5.1 bis 8.5.9 behandelt werden. Anhand von ausgewählten Darstellungen soll verdeutlicht werden, wie die oben abgeleitete Integralform der Impulsgleichung f¨ ur beispielhaft behandelte Strömungsprobleme zur Anwendung zu bringen ist. Es ist dabei wichtig, die Allgemeing¨ ultigkeit der Integralform der Impulsgleichung zu erkennen, um so ihre generelle Nutzung f¨ ur L¨ osungen von Str¨ omungsproblemen, u ¨ ber die betrachteten Beispiele hinaus, sicherzustellen.

252


8.3 Integralform der mechanischen Energiegleichung In Kapitel 5.5 wurde gezeigt, dass sich die j−Impulsgleichung: ∂Uj ∂Uj ∂τij ∂P ρ + Ui − + ρgj , =− ∂t ∂xi ∂xj ∂xi

(8.20)

durch Multiplikation mit Uj , in die mechanische Energiegleichung u uhren ¨ berf¨ l¨ asst, siehe (5.56): . + + , ,/ ∂ 12 Uj2 ∂ 12 Uj2 ∂Uj ∂Uj ∂(τij Uj ) ∂(P Uj ) + Ui +P − + τij ρ =− ∂t ∂xi ∂xj ∂xj ∂xi ∂xi +ρgj Uj

(8.21) .

Multipliziert man die Kontinuit¨ atsgleichung mit ( 12 Uj2 ), so ergibt sich:

1 2 U 2 j

∂ρ + ∂t

1 2 U 2 j

∂(ρUi ) = 0, ∂xi

(8.22)

die zu (8.21) addiert werden kann, so dass man erhält: ∂ 1 2 1 2 ∂Uj ∂(τij Uj ) ∂ ∂(P Uj ) ρU +P − + ρUi Uj = − ∂t 2 j ∂xi 2 ∂xj ∂xj ∂xi ∂Uj +τij + ρgj Uj (8.23) ∂xi Integriert man diese Gleichung u ¨ ber ein vorgegebenes Kontrollvolumen, so erh¨ alt man unter Anwendung des Gaußschen Integralsatzes und unter Ber¨ ucksichtigung der mathematisch m¨ oglichen Umkehrung der Sequenz von Integration und Differentiation: " " " " " ∂ 1 2 1 2 ∂Uj ρU dV + ρUi Uj dFi = − P Uj dFj + P dV − τij Uj dFi ∂t 2 j 2 ∂xj VK OK OK VK OK I II III IV V " " ∂Uj E˙ + τij dV + ρgj Uj dV + ∂xi VK VK VI

VII

VIII

(8.24a) Diese Gleichung umfasst 8 Terme, denen die unten aufgef¨ uhrten physikalischen Bedeutungen zukommen: ¨ I: Zeitliche Anderung der gesamten kinetischen Energie innerhalb der das Kontrollvolumen festlegenden Grenzen.

8.3 Integralform der mechanischen Energiegleichung

253

II: Abfluss minus Zufluss pro Zeiteinheit an kinetischer Energie des Fluids, u ache des betrachteten Kontrollvolumens. ¨ ber die gesamte Oberfl¨ III: Zufluss minus Abfluss an Druckenergie“ pro Zeiteinheit u ¨ ber die gesamte ” Oberfl¨ ache des betrachteten Kontrollvolumens. IV: Expansionsarbeit pro Zeiteinheit, die vom gesamten Kontrollvolumen geleistet wird. V: Molek¨ ulbedingter Eintrag an kinetischer Energie pro Zeiteinheit des betrachteten Fluids u ache des Kontrollvolumens. ¨ ber die gesamte Oberfl¨ VI: Die im gesamten Kontrollvolumen dissipierte kinetische Energie pro Zeiteinheit, die in W¨ arme umgewandelt wird. VII: Potentielle Energie pro Zeiteinheit der Gesamtmasse im gesamten Kontrollvolumen. ¨ VIII: Uber die Oberfl¨ ache des Kontrollvolumens eingetragene Energie pro Zeiteinheit, bzw. durch Str¨ omungsmaschinen dem Fluid zugef¨ uhrte Leistungen. Somit gilt: " " " & 1 2 ∂Uj ∂ 1 2 ρUj dV + ρUi Uj dFi = − P Uj dFj + P dV ∂t 2 2 ∂xj OK VK OK " VK & & ∂Uj E˙ − τij Uj dFi + τij dV + ρgj Uj dV + ∂xi OK VK VK

(8.24b) Es ist im Abschnitt 5.5 darauf hingewiesen worden, dass die Differentialform der j−Impulsgleichung und die Differentialform der mechanischen Energiegleichung, keine unabh¨ angigen Gleichungen darstellen, da letztere aus der ersten durch Multiplikation mit Uj , gefolgt von diversen mathematischen Umstellungen der einzelnen Terme, hervorging. Diese Aussage gilt nur noch eingeschr¨ ankt f¨ urdie Integralform der Grundgleichungen. Durch ˙ HinzukomE in (8.24a) men des Terms Kj in Gleichung (8.19a) und des Terms ist es m¨ oglich, dass unabh¨ angige Formen der Impuls- und der mechanischen Energiegleichung entstehen. Dies ist aus der Behandlung von Stößen von Kugeln aus der Mechanik bekannt, f¨ ur die sich die bekannten Impuls- und Energiegleichungen aus den Gleichungen (8.15) bzw. (8.19a) und (8.20) bzw. (8.24a) wie folgt ableiten lassen: –

Die linke Seite der Gleichung (8.15) ergibt, f¨ ur ρ = const, f¨ ur eine Integration u ¨ ber das gesamte Kugelvolumen: " " " ∂Uj D ∂Uj D ρ dV = ρUj dV, (8.25) + ρUi (ρUj ) dV = ∂t ∂xi Dt Dt VK

VK

und somit

D Dt

VK

" ρUj dV = VK

d (mK Uj ). dt

(8.26)

254

–


Mit (8.25) und (8.26) l¨ asst sich (8.15) f¨ ur die Kugeln 1 und 2 schreiben: d (mK Uj )1 = (Kj )1 dt

und

d (mK Uj )2 = (Kj )2 , dt

(8.27)

oder umgeschrieben, wegen (Kj )1 = −(Kj )2 : 2 d 1 (mK Uj )1 + (mK Uj )2 = 0 ; (mK Uj )1 + (mK Uj )2 = const (8.28) dt –

Die linke Seite von (8.21) ergibt f¨ ur ρ = const " " ∂ 1 2 1 2 ∂ D 1 Uj + ρUi Uj ρ dV = ρ Uj2 ∂t 2 ∂xi 2 Dt 2 VK VK " 1 D ρ Uj2 dV, (8.29) = Dt 2 VK

und somit

" d 1 1 D ρ Uj2 dV. mK Uj2 = dt 2 Dt 2

(8.30)

VK

–

Mit (8.29) und (8.30) ergibt Gleichung (8.20) f¨ ur die Kugeln: 1 1 d d = E˙ und = E˙ , mK Uj2 mK Uj2 dt 2 dt 2 1 2 1 2 oder umgeschrieben wegen E˙ + E˙ = 0: 1

(8.31)

2

d 1 1 = 0, = E˙ + E˙ mK Uj2 + mK Uj2 dt 2 2 1 2 1 2 1 1 = const mK U j + mK U j 2 2 1 2

(8.32)

(8.33)

Die unter Anwendung der Formeln (8.28) und (8.33) erhaltenen Erkenntnisse u ¨ ber den elastischen Stoß sind in Abb. 8.1 skizziert. Die Darstellungen sind f¨ ur unterschiedliche Massenverh¨ altnisse der Kugeln angegeben. Es resultieren somit aus den Integralformen der Grundgleichungen der Strömungsmechanik die Stoßgesetze f¨ ur Kugeln, die aus Mechanikvorlesungen der Physik bekannt sind. Dies verdeutlicht die generelle Anwendbarkeit der in Gleichung (8.24a) aufgef¨ uhrten Integralform der mechanischen Energiegleichung.

8.4 Integralform der thermischen Energiegleichung Im Abschnitt 5.6 wurde die thermische Energiegleichung abgeleitet und in Gleichung (5.77) wie folgt f¨ ur ein ideales Gas angegeben:

8.4 Integralform der thermischen Energiegleichung

m

> m 1

U 2

m m

< m 1

m

m 1

< < m

m

2

m

m 1

m 2

m 1

U m U 2

1

m 1

m

m 1

m

m

m

= 0 2

V m 1

m 2

1

m 1

2

2

V V

= U m

m 1

= 0 1

2

1

2

V m

V

2

2

1

2

= 0 2

1

m

V

2

V 1

1

= 0 2

1

U

m

1

U 2

V

2

U U

2

= m 1

= 0 2

1

m m

U 1

255

2

= U 1

2 2

= 0

1

1

m 2

Abbildung 8.1: Betrachtungen der m¨ oglichen Kugelbewegungen beim elastischen Stoß

ρcv

DT Dt

=λ

∂Uj ∂Ui ∂2T −P − τij . ∂x2i ∂xi ∂xi

(8.34)

F¨ ur eine thermodynamisch ideale Fl¨ ussigkeit wurde mit Gleichung (5.78) angegeben: DT ∂Uj ∂2T . (8.35) ρcv = λ 2 − τij Dt ∂xi ∂xi W¨ ahlt man die Gleichung (8.34) f¨ ur die weiteren Betrachtungen, so lässt sich diese Gleichung auch schreiben: ∂T ∂T ∂Uj ∂Ui ∂ q˙i ρcv + Ui −P − τij . (8.36) =− ∂t ∂xi ∂xi ∂xi ∂xi Addiert man zu Gleichung (8.36) die mit cv T multiplizierte Kontinuitätsgleichung hinzu: ∂ρ ∂(ρUi ) + cv T = 0, ∂t ∂xi so erh¨ alt man die Ausgangsgleichung f¨ ur die Ableitung der Integralform der thermischen Energiegleichung: cv T

∂(ρcv T ) ∂(ρcv T Ui ) ∂Uj ∂ q˙i ∂Ui + =− −P − τij . ∂t ∂xi ∂xi ∂xi ∂xi

(8.37)

Mit cv T = e (innere Energie) erh¨ alt man: ∂(ρe) ∂(ρeUi ) ∂Uj ∂ q˙i ∂Ui + =− −P − τij . ∂t ∂xi ∂xi ∂xi ∂xi

(8.38)

256


Integration der Gleichung (8.38) u ¨ber ein Kontrollvolumen ergibt: " " " " " ∂(ρe) ∂(ρeUi ) ∂ q˙i ∂Uj ∂Ui dV + dV = − dV − P dV − τij dV ∂t ∂xi ∂xi ∂xi ∂xi VK

VK

VK

˙ + (Q˙ + E)

VK

VK

.

(8.39)

Umgeschrieben, unter Ber¨ ucksichtigung des Gaußschen Integralsatzes und der Umkehrbarkeit der Sequenz von Integration und Differentiation, erhält man: " " " " " ρUj ∂ ∂Ui ρe dV + ρeUi dFi = − q˙i dFi − P dV − τij dV ∂t ∂xi ∂xi VK OK OK VK VK I

II

III

+

IV

V

˙ (Q˙ + E)

(8.40a)

VI

Die Terme der resultierenden Gleichung lassen sich wie folgt interpretieren: ¨ I: Zeitliche Anderung der inneren Energie innerhalb des Kontrollvolumens VK . II: Konvektiver Ab- und Zufluss pro Zeiteinheit an innerer Energie u ¨ ber die Oberfl¨ ache OK des Kontrollvolumens. III: Molekularer W¨ armefluss pro Zeiteinheit, d.h. die Summe aus Ab- und Zufluss, u ache OK des Kontrollvolumens. ¨ ber die Oberfl¨ IV: Die vom Gesamtvolumen pro Zeiteinheit geleistete Expansionsarbeit. V: Die im Gesamtvolumen pro Zeiteinheit dissipierte mechanische Energie. VI: Externe W¨ arme- und Energiestr¨ ome pro Zeiteinheit, die dem Gesamtvolumen zugef¨ uhrt werden. F¨ ur eine ideale Fl¨ ussigkeit gilt die obige Gleichung gleichfalls, allerdings ist Term IV identisch Null, da wegen ρ = const keine Expansionsarbeit geleistet werden kann. Somit gilt f¨ ur die Integralform der thermischen Energiegleichung die nachfolgende Beziehung: " " " " " ∂Ui ρUj ∂ ρe dV + ρeUi dFi = − q˙i dFi − P dV − τij dV ∂t ∂xi ∂xi VK

OK

OK

+

VK

˙ (Q˙ + E)

VK

(8.40b)

Diese Gleichung wird gleichfalls f¨ ur die nachfolgenden Problemlösungen angewandt.

8.5 Anwendungen der Integralform der Grundgleichungen

257

8.5 Anwendungen der Integralform der Grundgleichungen Die Bedeutung der Integralformen der Grundgleichungen der Strömungsmechanik wird durch Anwendungen deutlich, die untenstehend beispielhaft angegeben sind. Viele Lehrb¨ ucher u ¨ ber die Grundlagen der Strömungsmechanik behandeln Str¨ omungsaufgaben dieser Art, so dass die in den nachfolgenden ¨ Kapiteln durchgef¨ uhrten Uberlegungen kurz gefasst werden können. Es werden typische Beispiele behandelt, die deutlich machen, dass die abgeleiteten Integralformen der Grundgleichungen die Basis f¨ ur eine Vielzahl von Probleml¨ osungen darstellen, wobei zu beachten ist, dass oftmals Lösungen nur unter Anwendung von Vereinfachungen abgeleitet werden können. Auf diese Vereinfachungen und deren Implikationen f¨ ur die erhaltenen Lösungen wird im Rahmen der Ableitungen hingewiesen. Um den Leser in die methodisch korrekte Handhabung der Integralform der Gleichungen einzuf¨ uhren, wird jedes der unten behandelten Probleme so gel¨ ost, indem von der jeweils angewandten allgemeinen Form der Grundgleichung ausgegangen wird. Es werden dann die Terme in der Integralform der verwendeten Grundgleichung herausgestrichen, die f¨ ur das behandelte Problem gleich Null sind. Zus¨ atzlich werden durch die Einf¨ uhrung von Vereinfachungen Terme entfernt, die einen sehr geringen Einfluss auf das behandelte Problem haben, so dass leicht verst¨ andliche Lösungen erhalten werden. Es wird empfohlen, dieses Vorgehen auch bei weiteren Problemlösungen beizubehalten. 8.5.1 Ausfluss aus Gef¨ aßen

Abbildung 8.2: Skizze zur Behandlung des Ausflusses aus Gef¨ aßen

In Abb. 8.2 ist ein einfaches Gef¨ aß skizziert, das den Durchmesser D hat, teilweise mit einer Fl¨ ussigkeit gef¨ ullt ist und oben als geschlossen angenommen wird. Zwischen der Fl¨ ussigkeitsoberfl¨ ache und dem Deckel des Gefäßes

258


befindet sich ein Gas mit dem Druck PH . Die Fl¨ ussigkeitshöhe beträgt H ¨ und am Boden des Gef¨ aßes befindet sich eine Offnung mit dem Durchmesser d. Gesucht wird die Ausstr¨ omgeschwindigkeit aus dem Behälter, d.h. die Geschwindigkeit Ud zum Zeitpunkt t. Aus Abb. 8.2 ist ersichtlich, dass sich die Wasseroberfläche mit der Geussigkeit, schwindigkeit UD nach unten bewegt, infolge des Ausfließens der Fl¨ ¨ die mit Ud aus der Ausstr¨ om¨ offnung austritt. Uber die Integralform der Kontinuit¨ atsgleichung gilt: 2 ˜ F = const ; ρUD π D2 = ρUd π d2 ; UD = d Ud ρ˜U 4 4 D2

(8.41)

Durch Anwendung der Bernoulli-Gleichung zwischen den Punkten (A) und (B) erh¨ alt man: 1 2 1 PH P0 U + + gH = Ud2 + . (8.42) 2 D ρ 2 ρ Damit ergibt sich: 1 2 1 2 1 U = UD + gH + (PH − P0 ) , 2 d 2 ρ oder nach Einsetzen von (8.41): 1 2 1 d4 1 Ud = Ud2 + gH + (PH − P0 ) , 4 2 2 D ρ 9 : 2gH + 2 (P − P ) /ρ : H 0 Ud = ; 4 1 − (d/D)

π und damit m ˙ = ρUd d2 . 4

(8.43)

(8.44)

(8.45)

8.5.2 Austrittsgeschwindigkeit aus D¨ usen In der Str¨ omungsmechanik ist es notwendig, indirekt arbeitende Messverfahren (Staudrucksonden, Hitzdrahtanemometer, etc.) in Strömungsfeldern zu ¨ kalibrieren, in denen die Str¨ omungsgeschwindigkeit bekannt ist. Uber sogenannte D¨ usenausstr¨ omungen kann erreicht werden, dass am D¨ usenaustritt die zur Kalibrierung notwendige Str¨ omungsgeschwindigkeit, u ¨ ber den Druck im Zulauf der D¨ use, eingestellt werden kann. Mit den in Kapitel 8.1 gemachten Angaben gilt die Integralform der Kontinuit¨ atsgleichung in der folgenden Form: ˜ F = const m ˙ = ρ˜U d.h. man kann f¨ ur UA schreiben:

;

π π ρUA D2 = ρUB d2 , 4 4

(8.46)


259

Abbildung 8.3: Skizze einer D¨ usenkalibrierstrecke f¨ ur Geschwindigkeitsmesssonden

UA =

d2 UB . D2

(8.47)

Die Geschwindigkeit UA wird u ¨ ber UB und die Flächenverhältnisse ausgedr¨ uckt. F¨ ur die Ebenen (A) und (B) l¨ asst sich infolge der Bernoulli-Gleichung schreiben: 1 1 d4 2 1 2 PA PB PA UA + = UB2 + = . (8.48) U + 2 ρ 2 ρ 2 D4 B ρ Daraus folgt:

9 : 2 (P − P ) : A B . UB = ; 4 ρ 1 − (d/D)

W¨ ahlt man D d, so erh¨ alt man f¨ ur UB , in guter Näherung: 2 2 (PA − PB ) = (PA − P0 ). UB = ρ ρ

(8.49)

(8.50)

Durch Einstellung von unterschiedlichen PA −Werten lässt sich der gesamte f¨ ur die Kalibrierung von Messsonden notwendige Geschwindigkeitsbereich einstellen.

8.5.3 Impuls auf eine senkrechte ebene Platte Wenn str¨ omende Fluidstrahlen abgebremst werden, treten Kräfte auf, die in vielen Bereichen der Technik genutzt werden. F¨ ur das in Abb. 8.4 skizzierte Str¨ omungsproblem erhebt sich die Frage nach der Kraft, die in der x1 −Richtung aufzubringen ist, um die Auslenkung der Platte, infolge des

260


H B

A

H C

Abbildung 8.4: Skizze zur Betrachtung des Impulses auf eine senkrechte Platte

Impulses des Fl¨ ussigkeitsflachstrahles, zu verhindern. Der Flachstrahl hat in der x2 −Richtung die Dicke H und in der x3 −Richtung die Breite B. Die Strahlgeschwindigkeit weit weg von der Platte ist bekannt und soll mit UA angegeben werden. Die Dichte ρ ist bekannt und f¨ ur g1 gilt g1 = 0, da die x1 −Achse horizontal gelegen ist. Unter Anwendung der Integralform der Kontinuitätsgleichung ergibt sich: ρUA HB = ρUC HC B + ρUB HB B.

(8.51)

Aus der Bernoulli-Gleichung erh¨ alt man: 1 2 PA 1 PB U + = UB2 + 2 A ρ 2 ρ

und

PA = PB = P0

(8.52)

und damit UA = UB . Analoge Betrachtungen ergeben UA = UC . Infolge der Symmetrie des Problems erh¨ alt man: H = 2HC = 2HB ;

d.h.

HC = HB .

Zur L¨ osung des Problems kann die integrale Form der Impulsgleichung herangezogen werden, wie sie in Gleichung (8.19a) angegeben ist: " " " " " ∂ ρUj dV + ρUi Uj dFi = − P dFj − τij dFi + ρgi dV + Kj . ∂t VK

OK

OK

OK

VK

(8.53) F¨ ur das vorliegende Problem gelten folgende Vereinfachungen dieser allgemein g¨ ultigen Gleichung:


∂ ∂t

261

" ρUj dV = 0, station¨ ares Str¨ omungsproblem, V &K

P dFj

OK

&

= 0, da P = P0 auf alle Fl¨ achen des gewählten Kontrollvolumens, (8.54)

τij dFi

= 0, Viskosit¨ atsfreiheit des Fluids,

OK

&

ρgj dV

= 0, Gravitationsterm hier gj = g1 = 0.

V˙

Damit gilt f¨ ur die vereinfachte Form der Gleichung: " ρUi Uj dFi = Kj

(8.55)

OK

und damit erh¨ alt man durch Integration f¨ ur j = 1: K1 = −ρUA2 HB.

(8.56)

Das Ergebnis der obigen Ableitungen zeigt, dass K1 in die negative x1 Richtung wirken muss, um die Auslenkung der ebenen Platte durch den aufgepr¨ agten Fl¨ ussigkeitsflachstrahl zu verhindern. Dies macht an einem Beispiel deutlich, welcher Art die in Gleichung (8.19a) auftretenden Kraftterme Kj sind. Es werden alle Kr¨ afte erfasst, die auf das betrachtete Kontrollvolumen wirken. 8.5.4 Impuls auf eine schr¨ ag angestellte ebene Platte Trifft ein Fl¨ ussigkeitsstrahl nicht senkrecht auf eine ebene Platte auf, so ergibt sich das in Abb. 8.5 skizzierte Strahlverhalten. Infolge der Neigung der Platte, deren Senkrechte mit der Achse des ankommenden Fl¨ ussigkeitsflachstrahls den Winkel α einschließt, teilt sich der Strahl in zwei Strahlen ungleicher H¨ ohen auf. Der dickere Strahl geht nach oben und hat die Höhe HB = εHA . Der d¨ unnere Strahl geht nach unten und hat die Höhe HC = (1 − ε)HA . Dies resultiert aus der Kontinuit¨ atsgleichung. UA = UB = UC ergibt sich, wegen g = 0 aus der Anwendung der Bernoulli-Gleichung. Wendet man die Kontinuit¨ atsgleichung in Integralform an, d. h. ber¨ ucksichtigt man, dass f¨ ur die Probleml¨ osung die Massenerhaltung herangezogen werden kann, so folgt: ρUA HA B = ρUB HB B + ρUC HC B,

(8.57)

oder aber wegen UA = UB = UC aus der Bernoulli-Gleichung U A HA = U B HB + U C HC

;

HA = H B + H C .

(8.58)

262


b

H

H w e g e n Abbildung 8.5: Skizze zur Erl¨ auterung der Unabh¨ angigkeit der Betrachtungen vom Koordinatensystem

F¨ ur die beiden auf der Platte sich ausbildenden Teilstrahlen kann somit angegeben werden: HB = εHA

und

HC = (1 − ε) HA .

(8.59)

Wendet man die integrale Impulsgleichung an: " " " " " ∂ ρUj dV + ρUi Uj dFi = − P dFj − τij dFi + ρgj dV + Kj . ∂t VK

OK

OK

OK

VK

(8.60) F¨ ur die in Abb. (8.5) skizzierte Problemstellung lassen sich folgende Vereinfachungen einf¨ uhren: " ∂ ρUj dV = 0, station¨ ares Str¨ omungsproblem, ∂t V &K P dFj = 0, da P = PO auf alle Fl¨ achen des gewählten OK Kontrollvolumens, (8.61) & τij dFi = 0, Viskosit¨ atsfreiheit des Fluids, OK

&

ρgj dV

= 0, unbedeutender Term oder gj = 0

VK

Damit gilt f¨ ur die vereinfachte Form der obigen integralen Impulsgleichung: " ρUi Uj dFi = Kj . (8.62) 0K


263

W¨ ahlt man ein mit der Platte ausgerichtetes Koordinatensystem, so ergeben sich f¨ ur die Kraft Kp entlang der Platte durch Integration u ¨ ber die Ebenen (A), (B) und (C) drei Beitr¨ age, die untenstehend angegeben sind: KP = −ρUA2 HA B sin α + ρUA2 εHA B − ρUA2 (1 − ε)HA B.

(8.63)

Da in der vorliegenden Aufgabenstellung µ = 0 gesetzt wurde, ergibt sich f¨ ur die entlang der angestr¨ omten Platte wirkenden Kraft KP = 0. Hieraus resultiert aus Gleichung (8.63) −1 − sin α + 2ε = 0, 1 oder f¨ ur erh¨ alt man: ε = (1 + sin α). 2 F¨ ur die senkrecht zur Platte wirkende Kraft KS errechnet sich: KS = ρUA2 HA B cos α.

(8.64) (8.65)

(8.66)

Es ist offensichtlich, dass die oben durchgef¨ uhrten Betrachtungen unabhängig vom gew¨ ahlten Koordinatensystem sein m¨ ussen. Wählt man das in Abb. 8.6 ur K1 die unten gelegene Koordinatensystem mit x1 und x2 , so erhält man f¨ aufgef¨ uhrten Beitr¨ age durch Integration u ber die Ebenen (A), (B) und (C): ¨ K1 = −ρUA2 HA B + ρUA2 εHA B sin α − ρUA2 (1 − ε)HA B sin α.

(8.67)

F¨ ur die Kraft K2 ergibt sich: K2 = ρUA2 εHA B cos α − ρUA2 (1 − ε)HA B cos α.

(8.68)

Da wegen µ = 0 die auf die Platte aus K1 und K2 resultierende Gesamtkraft K senkrecht auf die Platte wirken muss gilt: tan α =

K sin α 2ε cos α − cos α K2 = . = −K1 K cos α 1 − 2ε sin α + sin α

(8.69)

Hieraus errechnet sich 2ε cos2 α − cos2 α = sin α − 2ε sin2 α + sin2 α oder f¨ ur ε: 1 (8.70) ε = (1 + sin α), 2 das selbe Ergebnis wie in (8.65). 8.5.5 Strahlablenkung an einer Kante Trifft ein Fl¨ ussigkeitsstrahl (H¨ ohe H, Breite B) mit einem Teil seiner Querschnittsfl¨ ache auf eine zum Strahl senkrecht stehende Platte auf, so wird die ankommende Fl¨ ussigkeit in zwei Teilstrahlen aufgeteilt. Einer der beiden Teilstrahlen l¨ auft senkrecht zur urspr¨ unglichen Strahlrichtung entlang der Platte nach unten, der andere Teilstrahl wird um den Winkel α gegen¨ uber

264


Abbildung 8.6: Strahlablenkung an einer Kante

der urspr¨ unglichen Strahlrichtung nach oben abgelenkt. Unter Vernachlässigung von Viskosit¨ ats- und Gravitationskr¨ aften ergibt sich mit der Annahme eines konstanten Umgebungsdruckes aus der Bernoulli-Gleichung, dass die beiden Teilstrahlen jeweils die gleiche Geschwindigkeit haben, die gleich der Geschwindigkeit der Fl¨ ussigkeit im urspr¨ unglichen Strahl ist. Aufgrund der Kontinuit¨ atsgleichung haben die beiden Teilstrahlen die Strahlhöhen εH und (1 − ε)H. In der Impulsgleichung: " " " " " ∂ ρUj dV + ρUi Uj dFi = − P dFj − τij dFi + ρgj dV + Kj ∂t VK

OK

OK

OK

VK

(8.71) lassen sich folgende Vereinfachungen vornehmen: " ∂ ρUj dV = 0, station¨ ares Problem, ∂t V &K P dFj = 0, konstanter Druck entlang der Oberfläche des OK Kontrollvolumens, &

τij dFi

= 0, Viskosit¨ atskr¨ afte werden vernachlässigt,

ρgj dV

= 0, Gravitation wird vernachlässigt.

(8.72)

OK

&

OK

Es resultiert folgende vereinfachte Impulsgleichung: " ρUi Uj dFi = Kj . OK

(8.73)


265

Die auf die Fl¨ ussigkeit ausge¨ ubte Kraft l¨ asst sich mit der Gleichung f¨ ur die x1 −Komponente ermitteln: −ρU U (BH) + ρ(U cos α)U (εBH) = K1 .

(8.74)

K1 = −ρU 2 BH(1 − ε cos α)

(8.75)

Der negative Wert der Kraft K1 resultiert aus dem Sachverhalt, dass die auf die Platte ausge¨ ubte Kraft errechnet wird, d. h. die Kraft, die notwendig ist, um die Platte in Position zu halten. Aus der Gleichung f¨ ur K2 ρU (1 − )HB(−U ) + ρU εBH(U sin α) = 0,

(8.76)

ergibt sich f¨ ur K2 = 0 der Zusammenhang zwischen dem Ablenkwinkel α und dem Teilungsverh¨ altnis ε: −ρU 2 BH [(1 − ε) − ε sin α] = 0,

(8.77)

1 . (8.78) 1 + sin α Damit l¨ asst sich die Aufteilung des Strahles in Abb. 8.6 aus der Ablenkung des Strahles aus der horizontalen Lage bestimmen, d.h. durch Messen des Winkels α liegt fest, wieviel nach unten abstr¨ omt und wieviel u ¨ ber die Plattenkante str¨ omt. ε=

8.5.6 Mischvorgang in einer Leitung konstanten Querschnitts

H 1

H

U

B

A

U

A

2

U C

B

Abbildung 8.7: Skizze zur Erl¨ auterung des Mischvorgangs

In einem ebenen Kanal werden zwei Str¨ ome mit jeweils konstanter Geschwindigkeit (UA , UB ) miteinander vermischt (µ = 0). Der Druck P1 an der Stelle 1 und die Teilfl¨ achen AA und AB seien gegeben, gesucht ist der Druck P2 an der Stelle 2, wo sich eine u ¨ ber den Leitungsquerschnitt gleichmäßige Geschwindigkeit UC eingestellt hat. Aus der Integralform der Kontinuitätsgleichung erh¨ alt man: B(−ρHA UA − ρHB UB + ρ(HA + HB )UC ) = 0,

(8.79)

266


der nach UC aufgel¨ ost: UC =

U A HA + U B HB . HA + H B

(8.80)

Die Impulsgleichung " " " " " ∂ ρUj dV + ρUi Uj dFi = − P dFj − τij dFi + ρgj dV + Kj ∂t VK

OK

OK

OK

VK

(8.81) kann folgendermaßen vereinfacht werden: " ∂ ρUj dV = 0, station¨ ares Str¨ omungsproblem, ∂t &VK τij dFi = 0, µ = 0, d.h. Annahme der Viskositätsfreiheit, OK

&

ρgj dV

= 0,

keine Komponente der Schwerkraft in horizontaler Richtung,

= 0,

es wirken keine ¨ außeren Kräfte auf das Kontrollvolumen

VK

Kj

Daraus folgt:

"

" ρUi Uj dFi = − OK

(8.82)

P dFj .

(8.83)

OK

Bezogen auf das vorliegende Problem ergibt sich: −ρUA2 HA − ρUB2 HB + ρUC2 (HA + HB ) = (P1 − P2 )(HA + HB ).

(8.84)

Setzt man nun den obigen Ausdruck f¨ ur UC ein und löst die Gleichung nach P2 auf, erh¨ alt man: P2 = P1 + ρ(UA − UB )2

HA HB . (HA + HB )2

(8.85)

Der Druck nimmt somit, infolge der Vermischung beider Ströme, von der Position (1) nach Position (2) zu. 8.5.7 Kraft auf eine Turbinenschaufel einer viskosit¨ atsfreien Fl¨ ussigkeit Im Bereich der Str¨ omungsmaschinen werden Schaufelräder eingesetzt, um den Impuls von Fluidstrahlen f¨ ur Antriebszwecke zu nutzen. Ein Strahl aus einer rechteckigen D¨ use (Flachstrahl mit H¨ ohe H, Breite B) trifft auf eine


K

267

1

Abbildung 8.8: Skizze zur Erl¨ auterung der Kraft auf eine Turbinenschaufel und Abbildung einer Pelton-Turbine

feststehende Schaufel, die den Strahl symmetrisch nach zwei Seiten um den Winkel 180◦ ± β auslenkt (Abb. 8.8). Die Abmaße der zuund abfließenden Fluidstr¨ ome sind vorgegeben. Der Druck entlang der Oberfläche des eingezeichneten Kontrollvolumens ist u ¨berall gleich dem Umgebungsdruck, so dass die Integralform der Impulsgleichung: " " " " " ∂ ρUj dV + ρUi Uj dFi = − P dFj − τij dFi + ρgj dV + Kj ∂t VK

OK

OK

OK

VK

folgendermaßen vereinfacht werden kann, wobei die Schwerkraft vernachl¨ assigbar sei. " ∂ ρUj dV = 0, station¨ ares Str¨ omungsproblem, ∂t V &K P dFj = 0, da P = P0 auf allen Flächen des OK Kontrollvolumens, (8.86) & τij dFi = 0, da µ = 0 gesetzt wurde, OK

&

ρgj dV

= 0,

da Schwerkraft vernachlässigbar.

VK

Somit ergibt sich:

" ρUi Uj dFi =

Kj .

(8.87)

OK

Da das Problem symmetrisch ist, muss nur die horizontale Komponente j = 1 betrachtet werden, d.h. in j = 2 tritt keine resultierende Kraft auf, so dass

268


sich der Impulssatz wie folgt schreiben l¨ asst: 1 −ρHBU 2 + 2 ρHBU (−U cos β) = K1 . 2

(8.88)

Die resultierende Kraft auf die Schaufel ergibt sich somit zu KS = −K1 = ρHBU 2 (1 + cos β).

(8.89)

Die Formel macht deutlich, dass man durch die Umlenkung der Strahlen in Richtung der Anstr¨ omung, eine Erh¨ ohung der auf die Turbinenschaufel wirkenden Kraft K1 erhalten kann. 8.5.8 Kraft auf ein periodisches Schaufelgitter ur Schaufelgitterproblem Annahmen: gj = 0, µ = 0 f¨ Zweidimensionale Schaufelgitter werden in Strömungsmaschinen verwendet,

K 2

K 1

B re ite B s e n k re c h t z u r Z e ic h e n e b e n e S c h a u fe l

Abbildung 8.9: Skizze zur Erl¨ auterung der Wirkung von Schaufelgittern

um str¨ omungsverursachte Kr¨ afte f¨ ur Antriebszwecke zu nutzen, z.B. in Turbinen zum Antrieb mechanischer Aggregate. Abb. 8.9 zeigt ein solches in der x1 -x2 -Ebene periodisch angeordnetes Schaufelgitter, das station¨ ar von einem viskositätsfreien Fluid angeströmt A = {(U1 )A , (U2 )A , 0} umfasst zwei wird. Die Anstr¨ omgeschwindigkeit U Komponenten, d.h. die U3 -Komponente des Strömungsfeldes ist Null. Infolge


269

der Umlenkung der Str¨ omung durch das Schaufelgitter unterscheidet sich die Abstr¨ omgeschwindigkeit von der Anstr¨ omgeschwindigkeit, so dass gilt: B = {(U1 )B , (U2 )B , 0} = U A. U

(8.90)

A und U B , f¨ Die Angaben f¨ ur U ur die stets (U3 )A = (U3 )B = 0 gilt, verdeutlichen, dass das Str¨ omungsfeld bidimensional“ bleibt und auch zwei Kom” ponenten aufweist. Damit l¨ asst sich f¨ ur die An- und Abströmung aus der Kontinuit¨ atsgleichung folgende Gleichung (8.91) ableiten wobei B die Breite des Schaufelgitters in x3 −Richtung darstellt: ρ(U1 )A tB = ρ(U1 )B tB.

(8.91)

F¨ ur die An- und Abstr¨ omung ergeben sich somit die selben Geschwindigkeitskomponenten in x1 -Richtung. Die Aufgabe von Schaufelgittern ist es somit, die Geschwindigkeitskomponente (U2 )A der Anströmung zu ändern. Zur Berechnung der Kraft auf eine Schaufel des Gitters wird ein Kontrollvolumen (a, b, c, d) gew¨ ahlt, wie es in Abb. 8.7 skizziert ist. In x2 −Richtung werden als Abgrenzung des Kontrollvolumens zwei Stromlinien gewählt, die entlang (a − b) und (d − c) mit dem Abstand des Schaufelgitters t gelegen sind. Damit erfolgen Zu- und Abfluss zum gewählten Kontrollvolumen nur u achen (d − a)B und (c − d)B. ¨ ber die Fl¨ Vernachl¨ assigt man Gravitationseffekte, so liefert die Bernoulli-Gleichung folgenden Zusammenhang: PA 1 2 2 + (U1 )A + (U2 )A ρ 2

=

gesamte kinetische Energie in (A)

PB 1 2 2 + (U1 )B + (U2 )B . ρ 2

(8.92)

gesamte kinetische Energie in (B)

F¨ ur die Kr¨ afteberechnung auf die Schaufel steht die Integralform der Impulsgleichung zur Verf¨ ugung: " " " " " ∂ ρUj dV + ρUi Uj dFi = − P dFj − τij dFi + ρgj dV + Kj . ∂t VK

OK

OK

OK

VK

(8.93) Mit den Annahmen erh¨ alt man aus (8.86): " ∂ ρUj dV = 0, da station¨ are Str¨ omung, ∂t &VK τij dFi = 0, da viskosit¨ atsfreies Fluid, O&K ρgj dV = 0, da Gravitationskr¨ afte vernachlässigbar, VK

resultiert die Impulsgleichung in der vereinfachten Beziehung

(8.94)

270


"

" ρUi Uj dFi = − OK

"

P dFj +

OK

Kj =

Kj

"

ρUi Uj dFi + OK

oder

P dFj

(8.95)

OK

Damit ergeben sich f¨ ur die Kr¨ afte in die Richtungen j = 1 und j = 2: K1 = m ˙ [(U1 )B − (U1 )A ] + (PB − PA ) Bt = (PB − PA ) Bt,

(8.96)

=0

K2 = m ˙ [(U2 )B − (U2 )A ] .

(8.97)

Aus der Bernoulli-Gleichung (8.92) erh¨ alt man: (PB − PA ) =

2 ρ1 (U2 )2A − (U2 )2B . 2

(8.98)

Damit ergibt sich f¨ ur K1 : K1 =

2 ρ 1 Bt (U2 )2A − (U2 )2B , 2

(8.99)

oder mit den An- und Abstr¨ omwinkeln ausgedr¨ uckt: K1 =

2 ρ 1 2 Bt UA sin2 αA − UB2 sin2 αB , 2

(8.100)

und K2 = −ρUA cos αA Bt [UA sin αA − UB sin αB ] .

(8.101)

Dabei sind K1 und K2 die auf das Kontrollvolumen wirkenden Kräfte. Die auf die Schaufel wirkenden Kr¨ afte sind: 2 ρ 1 (K1 )s = −K1 = − Bt UA2 sin2 αA − UB2 sin2 αB , (8.102) 2 (K2 )s = −K2 = ρUA cos αBt [UA sin αA − UB sin αB ] .

(8.103)

Die Schaufel erf¨ ahrt somit eine Kraft (K1 )s in die negative x1 −Richtung und eine Kraft (K2 )s in die positive x2 −Richtung. 8.5.9 Eulersche Turbinengleichung Die in Abschnitt 8.5.8 durchgef¨ uhrten Betrachtungen bezogen sich auf ein in einer Ebene angeordnetes Schaufelgitter, das sich in einer ebenen Strömung befindet. Ordnet man die Schaufelgitter radial auf einem rotierenden Laufrad an, wie dies in Abb. 8.10 skizziert ist, so erh¨ alt man die Grundanordnung einer Radialturbine. Dabei kennzeichnet der erste Teil der Turbinenbezeichnung,


271

d.h. das Wort Radial“, die Hauptstr¨ omungsrichtung, in der die Turbinen” schaufeln durchstr¨ omt werden, n¨ amlich radial von innen nach außen. Wendet man die Kontinuit¨ atsgleichung an, so erh¨ alt man: ρ(Ur )A (2πrA )bA = ρ(Ur )B (2πrB )bB

(8.104)

Oder umgeschrieben ergibt sich die Forderung nach Massenerhaltung: (Ur )B =

bA rA (Ur )A . bB rB

(8.105)

Aus der Bernoulli-Gleichung ergibt sich: 2 PB 2 PA 11 11 + (Ur )2A + (Ut )2A = + (Ur )2B + (Ut )2B . ρ 2 ρ 2

(8.106)

Aus der Integralform der Impulsgleichung l¨ asst sich f¨ ur die Kraft in radialer Richtung ermitteln: Kr = m ˙ [(Ur )B − (Ur )A ] + 2π(rB PB − rA PA )b.

U

(8.107)

U t

U r

w

r

b

A

r

A

r

b

B

B

Abbildung 8.10: Skizze der Str¨ omung durch ein Radialrad

Ferner gilt f¨ ur die Kraft in tangentialer Richtung: ˙ [(Ut )B − (Ut )A ] . Kt = m

(8.108)

F¨ ur das durch das Laufrad auf das Kontrollvolumen aufgeprägte Moment ergibt sich:

272


Mt = m ˙ [rB (Ut )B − rA (Ut )A ] .

(8.109)

Der damit verbundene mechanische Leistungsaustrag u ¨ ber die Turbine betr¨ agt: ˙ [rB (Ut )B − rA (Ut )A ] PTurb = −Mt ω = −mω

(8.110)

Sowohl Gleichung (8.109) als auch Gleichung (8.110) werden in der Literatur als die Eulersche Turbinengleichung bezeichnet. Hierbei wird f¨ ur rA = re = der Einstr¨ omradius“ des Schaufelkranzes angenommen und f¨ ur rB = ra = ” der Ausstr¨ omradius“. ”

Abbildung 8.11: Skizze des Str¨ omungsverlaufs durch Axialturbine

Die resultierende Gleichung gilt nicht nur f¨ ur Turbinen, sondern generell f¨ ur Str¨ omungsmaschinen, wie Verdichter (Kompressoren), Gebläse (Ventilatoren), Pumpen etc. Dabei unterscheiden sich z.B. Pumpen und Turbinen, in ¨ den hier durchgef¨ uhrten Uberlegungen nur durch das Vorzeichen des Energieaustausches zwischen Laufrad und str¨ omendem Fluid. In einer Turbine wird der Fluidstr¨ omung Energie entzogen, so dass man an der Welle dieser Kraftmaschine ein Nutzmoment abnehmen kann bzw. die korrespondierende Energie zur Verf¨ ugung steht. In einer Pumpe wird dagegen der Fl¨ ussigkeitsstr¨ omung u uhrt, d.h. u ¨ber das Laufrad“ Energie zugef¨ ¨ ber die Welle wird ” ein Drehmoment zum Antrieb der Maschine aufgeprägt. Damit wird die zum Pumpen erforderliche Energie zugef¨ uhrt. Abschließend sei noch erw¨ ahnt, dass die Eulersche Turbinenformel auch auf axial durchstr¨ omte Str¨ omungsmaschinen angewandt werden kann, wie sie Abb. 8.11 und 8.12 zeigen. 8.5.10 Leistung von Str¨ omungsmaschinen In Abb. 8.13 ist eine typische Anwendung einer Strömungsmaschine, in dem gew¨ ahlten Fall die Anwendung einer Pumpe, beispielhaft skizziert. Diese saugt auf der Saugseite eine bestimmte Wassermenge m ˙ an, um diese auf


273

R a d ia lp u m p e 1 2 s

d

A x ia lp u m p e 1

d 2

s c

d 1

Abbildung 8.12: Schematische Darstellung von Radial- und Axialpumpen

der Druckseite nach oben zu f¨ ordern. Dabei bestehen zwischen der Saugseite und der Druckseite der Pumpe Unterschiede in den Rohrdurchmessern. Die Ansaugung der gepumpten Fl¨ ussigkeit erfolgt aus einem Behälter (A) und die F¨ orderung in einen Beh¨ alter (B), wie dies in der nebenstehenden Abbildung skizziert ist. Alle auf der Saugseite gelegenen Größen des betrachteten Problems werden mit Index A bezeichnet, auf der Druckseite der Pumpe gelegene Gr¨ oßen mit Index B. Aus der Integralform der Kontinuit¨ atsgleichung ergibt sich f¨ ur das betrachtete Problem: π 2 ˜ π 2 ˜ U A = ρB D B UB (8.111) ρA D A 4 4 F¨ ur ρA = ρB = ρ = const ergibt sich: 4 4m ˙ 2 ˜ 2 ˜ UA = DB UB = = V˙ DA πρ π

(8.112)

F¨ ur die Leistungsberechnung der Pumpe empfiehlt es sich, die Integralform der mechanischen Energiegleichung heranzuziehen, wie sie in Gleichung (8.24a) angegeben ist:

274


B

Abbildung 8.13: Skizze zur Berechnung der Pumpleistung

"

∂ ∂t

1 2 ρU dV + 2 j

VK

" ρUi

1 2 U 2 j

" dFi = −

OK

"

OK

" −

∂Uj dV ∂xj

τij

∂Uj dV ∂xi

VK

"

τij Uj dFi +

OK

VK

"

+

P

P Uj dFj +

ρgj 4j dV +

˙ E.

(8.113)

VK

Reduziert man diese Gleichung durch Annahmen, die auf das vorliegende Problem zutreffen: " ∂ 1 2 ρU dV = 0 station¨ are Pumpbedingungen, (8.114) ∂t 2 j VK

" P

∂Uj dV ∂xj

= 0 keine Expansionsarbeit, da ρ = const und somit

VK

∂Uj = 0, ∂xj

(8.115)

und vernachl¨ assigt man die τij -Terme in der obigen integralen Energiegleichung, so gilt:


ρUi

1 2 U 2 j

dFi = −

OK

P Uj dFj +

OK

ρgj Uj dV +

E˙

275

(8.116)

VK

beziehungsweise 1 ˜2 1 ˜2 −m ˙ UA UB = V˙ A PA − V˙ B PB + ρg V˙ HC + Pm , 2 2

(8.117)

wobei Pm die von der Pumpe in das Fluid eingebrachte Leistung darstellt. F¨ ur die Leistung der Pumpe gilt somit: ρ

˜B2 + PB + ρgHC − ρ U Ã2 + PA . Pm = V˙ U (8.118) 2 2 Betrachtet man nun PB und PA genauer, so gilt: PB = P0 sowie ρ PA = P0 + ρgHA − U02 , 2 ˜0 ≈ 0 und mit Annahme U UA =

V˙ FA

sowie UB =

V˙ , FB

so dass man folgende Beziehung erh¨ alt:   2   ρ V˙ 2 2 ˙ ˙ V ρ V Pm = V˙ − 2 − ρgHA + ρgHC , 2   2 FB FA 2 FA

(8.119)

oder zusammengefasst: Pm

ρ = 2

V˙ 3 FB2

+ ρg (HC − HA ) V˙ .

(8.120)

F¨ ur die elektrische Leistung Pe der Pumpe ergibt sich mit η als dem Wirkungsgrad: 1 1 ρV˙ 3 ˙ Pe = Pm = + ρg V (HC − HA ) . (8.121) η η 2FB2

276


F¨ ur die Pumpleistung ergibt sich, dass die angegebene elektrische Leistung ben¨ otigt wird, um die pro Zeiteinheit das Rohr verlassende kinetische Energie des Fluids einzubringen, zuz¨ uglich der pro Zeiteinheit benötigten Leistung zur ¨ Uberwindung des hydrostatischen Druckniveaus. Analog zu den obigen Betrachtungen lassen sich Energie¨ uberlegungen zu anderen Problemen der Str¨ omungsmechanik anwenden. 8.5.11 Literaturverzeichnis 8.1 Potter MC, Foss JF (1975) Fluid Mechanics. John Wiley & Sons Inc., New York 8.2 Becker E (1986) Technische Str¨ omungslehre. 6. u ¨ berarb. Auflage, B.G. Teubner Stuttgart 8.3 Zierep J, B¨ uhler K (1991) Str¨ omungsmechanik. Springer-Verlag Berlin Heidelberg 8.4 Spurk JH (1993) Str¨ omungslehre - Einf¨ uhrung in die Theorie der Str¨ omungen. 3. u berarb. Auflage, Springer-Verlag Berlin Heidelberg ¨ 8.5 Hutter K (1995) Fluid- und Thermodynamik - Eine Einf¨ uhrung. Springer Verlag Berlin Heidelberg

9 Stromfadentheorie

9.1 Allgemeine Betrachtungen Die vorausgegangenen Betrachtungen zur Ableitung der Integralform der Grundgleichungen k¨ onnen auch vorteilhaft genutzt werden,um vereinfachte, auf sogenannte Stromf¨ aden anwendbare Gleichungen abzuleiten und f¨ ur die L¨ osung von Str¨ omungsproblemen zur Anwendung zu bringen. Dabei geht man bei den Betrachtungen von Stromlinien, die als Linien eines Strömungsgebietes eingef¨ uhrt werden, davon aus, dass diese zu einem bestimmten Zeitpunkt, in jedem Punkt des Str¨ omungsfeldes die Richtung der Strömung besitzen. Aus einem B¨ undel solcher Stromlinien kann man sich einen Stromfaden aufgebaut denken und man kann eine Unterteilung des gesamten Strömungsfeldes in eine Vielzahl von Stromf¨ aden vornehmen. Des weiteren ist es möglich Stromf¨ aden zu b¨ undeln um Stromr¨ ohren zu erhalten, wie dies in Abb. 9.1 angedeutet ist. Dabei gilt es zu beachten, daß sich auf Stromfäden angewandte ¨ Uberlegungen zu Eigenschaften von Str¨ omungen nur dann vorteilhaft anbringen lassen, wenn die jeder Fl¨ ache des Stromfadens zugeordneten Strömungsgr¨ oßen als konstant u ¨ber die Stromfadenquerschnittsfläche angesehen werden k¨ onnen. Dies macht es gelegentlich notwendig, die Querschnittsflächen eines Stromfadens ausreichend klein zu w¨ ahlen, so daß f¨ ur das betrachtete Problem die Annahme einheitlicher Zustands- und Strömungsgrößen u ¨ ber den Stromfadenquerschnitt ausreichend genau erf¨ ullt werden kann. F¨ ur die station¨ are Stromfadentheorie ergibt sich, daß die einem Stromfaden angeh¨ orenden Fluidelemente dauernd diesem Stromfaden angehören. Fluidteilchen, die zu einem bestimmten Zeitpunkt außerhalb eines Stromfadens liegen, k¨ onnen nie Bestandteile des betrachteten Fadens werden. Allerdings geh¨ ort jedes Fluidteilchen eines stationären Strömungsgebietes einem bestimmten Stromfaden an, so daß es gelingt, die Eigenschaften des Str¨ omungsgebietes durch die Eigenschaften der betrachteten Stromfäden zu beschreiben. Zur Vereinfachung der Betrachtungen von Stromfäden werden die untenstehenden Annahmen zu Stromf¨ aden eingef¨ uhrt: –

Ein Stromfaden ist stets vollst¨ andig mit dem Fluid gef¨ ullt, f¨ ur das Str¨ omungsbetrachtungen durchgef¨ uhrt werden.

278

9 Stromfadentheorie

S tro m lin ie

S tro m fa d e n

S tro m lin ie

S tro m rö h re

S tro m fa d e n

Abbildung 9.1: Stromlinie, Stromfaden und Stromr¨ ohre als Grundlage vereinfachter Str¨ omungsbetrachtungen

x 2= z

S trö m u n g s ric h tu n g

s

a g n

x

g n

N o rm a le z u r S trö m u n g s ric h tu n g x 1

3

Abbildung 9.2: Stromfaden mit eingef¨ uhrtem n − s−Koordinatensystem

– –

Die entlang eines Stromfadens zul¨ assigen Querschnittsänderungen sind stets als klein anzusehen. Ein Stromfaden wird als in Str¨ omungsrichtung schwach gekr¨ ummt angenommen.

Obgleich die oben f¨ ur Stromf¨ aden eingef¨ uhrten Annahmen beachtliche Einschr¨ ankungen darstellen, zeigen die in den nachfolgenden Abschnitten aufgef¨ uhrten Ableitungen, dass das Einf¨ uhren von Stromfäden in strömungsmechanische Betrachtungen zu Gleichungen f¨ uhrt, u ¨ ber die sich physikalisch anschauliche L¨ osungen von Str¨ omungsproblemen angeben lassen.

9.2 Ableitungen der Grundgleichungen

279

Die anhand von Stromf¨ aden durchgef¨ uhrten Betrachtungen zeigen, dass man in einigen F¨ allen die Eigenschaften ganzer Strömungsfelder durch die Ei¨ genschaften von Stromf¨ aden beschreiben kann. Andern sich Strömungsgrößen nur wenig u ¨ber die ganzen Querschnitte von Innenströmungen, so lassen sich die f¨ ur Stromf¨ aden kleiner Abmessungen abgeleiteten Grundgleichungen auch anwenden, um die wichtigsten Eigenschaften von Innenströmungen durch eine eindimensionale Str¨ omungstheorie zu erfassen. Die Innenströmung wird f¨ ur diesen Zweck als eine einzige Stromr¨ ohre behandelt. Die Berechtigung hierf¨ ur ist jedoch nur gegeben, wenn Viskosit¨ atseinfl¨ usse gering sind bzw. f¨ ur erste Betrachtungen von Str¨ omungen vernachlässigt werden können.

9.2 Ableitungen der Grundgleichungen 9.2.1 Kontinuit¨ atsgleichung Die Ableitung der Kontinuit¨ atsgleichung f¨ ur einen Stromfaden baut auf der Differentialform der Massenerhaltung auf, wie sie in Abschnitt 5.2 abgeleitet wurde und die nach einer Integration u ¨ber ein Kontrollvolumen, nach Anwendung des Gaußschen Integralsatzes, wie untenstehend aufgef¨ uhrt, angegeben werden kann: " " ∂ρ ∂ (ρUi ) ∂ρ + =0 → (9.1) dV + ρUi dFi = 0 ∂t ∂xi ∂t Vc

Oc

Dabei ist Vc gleich dem Volumen des betrachteten Kontrollvolumens und Oc dessen Oberfl¨ ache. Vertauscht man im ersten Term der oben angegebenen Gleichung (9.1) die Integration und Differentiation, so erhält man: " " " ∂Mc ∂ = − ρUi dFi ρdV + ρUi dFi = 0 ; (9.2) ∂t ∂t Vc

Oc

Oc

Wendet man die Form der Massenerhaltung auf einen Stromfaden an, und ber¨ ucksichtigt man, dass nur die Querschnittsflächen des Stromfadens durchc = 0 (stationäre Strömungsbedingunstr¨ omt werden, so ergibt sich f¨ ur ∂M ∂t gen), dass die Massenzu- und Massenabfl¨ usse f¨ ur einen Stromfaden gleich sind. " " ρUi dfi = ρUi dfi ; ρA FA Us,A = ρB FB Us,B (9.3) FA

FB

wobei die Ebene der Fl¨ ache F senkrecht zur Strömungsrichtung s steht. Damit ergibt sich, dass der Massenfluss m ˙ = ρFs Us entlang eines Stromfadens konstant ist. In den oben durchgef¨ uhrten Betrachtungen wurde bereits eingef¨ uhrt, dass aufgrund kleiner Stromfadenquerschnittsfl¨ achen Fs , ρ und Us als u ¨ ber Fs

280

9 Stromfadentheorie

x n

n 3

F (s )= c o n s t ( F s )A

F (s) s

s

( F s ) B D ü s e n s trö m u n g

R o h rs trö m u n g

F (s) ( F s )A

s

F (s) s

( F s ) B D iffu s o rs trö m u n g

S trö m u n g s u m le n k u n g

Abbildung 9.3: Str¨ omungen die sich n¨ aherungsweise eindimensional berechnen lassen

gleich konstant angesetzt werden k¨ onnen. Will man die Betrachtung auch auf Stromr¨ ohren anwenden, wie sie in Abb. 9.3 skizziert sind, so m¨ ussen die Betrachtungen verfeinert durchgef¨ uhrt werden. Diese m¨ ussen ber¨ ucksichtigen, dass die Annahme konstanter Dichte und Geschwindigkeit, beim Vorliegen großer Querschnittsfl¨ achen, nur bedingt gegeben ist. Das Einf¨ uhren querschnittsgemittelter Gr¨ oßen in die durchgef¨ uhrten Betrachtungen ist erforderlich, wie dies untenstehend gezeigt wurde. F¨ uhrt man, unter Anwendung des Mittelwertsatzes der Integralrechnung, folgende Mittelung durch: " 1 > ρUs = − ρUs dfs Fs Fs

so l¨ asst sich f¨ ur station¨ are Str¨ omungsbetrachtungen angeben: =0

" ∂Mc = − ρUi dFi ∂t

;

>s ρU

A

>s FA = ρU FB

(9.4)

B

Vc

Diese Beziehung f¨ ur die Massenfl¨ usse wird in der Stromfadentheorie oftmals >s = ρ˜U ˜s angenommen wird, d.h. die Beziehung weiter vereinfacht, indem ρU (9.4) wird wie folgt angewendet: ˜s,A FA = ρ˜B U ˜s,B FB = ρUs Fs ρÃ U

(9.5)


˜s,A und U ˜s,B wie folgt definiert sind: wobei ρÃ und ρ˜B , sowie U " " 1 ˜s = 1 Us df ρdf und U ρÃ = Fs Fs Fs

281

(9.6)

fs

Die obigen Ableitungen machen deutlich, dass die Anwendung der verein˜s Fs = const nur f¨ ur solche fachten Integralform der Kontinuit¨ atsgleichung ρ˜U Str¨ omungen berechtigt ist, die keine starken Variationen der Dichte oder der Geschwindigkeit u omungsquerschnitt einer Stromröhre aufweisen. ¨ber den Str¨ Unter dieser Annahme findet die Gleichung (9.5) in den nachfolgenden Abschnitten Anwendung. Da nun starke Variationen der Größen ρ und Us u ¨ ber den Querschnitt ausgeschlossen werden, liegt auch die Berechtigung vor, lokale Gr¨ oßen in die obige Beziehung (9.5) als Näherung einzuf¨ uhren. In der Str¨ omungsmechanik treten eine Reihe von Fragestellungen auf, ¨ die darauf abzielen infinitesimale Anderungen einer thermodynamischen ¨ Zustands- oder einer Str¨ omungsgr¨ oße zu erfassen, wenn infinitesimale Anderungen anderer Parameter vorliegen. Daf¨ ur eignet sich die Anwendung der Kontinuit¨ atsgleichung in einer Form, wie sie untenstehend abgeleitet wird. Durch Differentiation der Gleichung (9.5) erh¨ alt man: ˜s + ρ˜U ˜s dFs = 0 ˜s Fs d˜ ρ + ρ˜Fs dU U

(9.7)

Divison der Gleichung (9.7) durch (9.5) f¨ uhrt zu einer weiteren Form der Kontinuit¨ atsgleichung, die in den nachfolgenden Abschnitten zur Anwendung kommt: ˜s d˜ ρ dU dFs + + =0 (9.8) ˜s ρ˜ Fs U Die Gleichung bringt zum Ausdruck, wie sich z.B. die Geschwindigkeit eines ¨ Fluids relativ ¨ andern wird, wenn gemeinsame relative Anderungen von Dichte und Querschnittsfl¨ ache auftreten. 9.2.2 Impulsgleichung L¨ osungen von Str¨ omungsproblemen auf der Basis der Stromfadentheorie erfordern die Einbeziehung der Impulsgleichungen, doch m¨ ussen diese auf die Stromfadenkoordinaten umgeschrieben werden. Ausgehend von den allgemeinen Impulsgleichungen ∂Uj ∂Uj ∂τij ∂P ρ + Ui − + ρgj (9.9) =− ∂t ∂xi ∂xj ∂xi ergibt sich unter Vernachl¨ assigung der molekularen Impulstransportterme f¨ ur die s−Richtung des Stromfadens die folgende Form der Impulsgleichungen: ∂Us ∂Us ∂P + Us + ρgs mit gs = −g cos α (9.10) ρ =− ∂t ∂s ∂s

282

9 Stromfadentheorie

mit cos α =

dz , so dass gilt: ds ∂Us dz ∂Us ∂P ρ + Us − ρg =− ∂t ∂s ∂s ds

x 2= z

(9.11)

S trö m u n g s ric h tu n g

s

a g n

x

N o rm a le z u r S trö m u n g s ric h tu n g

g

x n

1

3

Abbildung 9.4: Betrachtungen zur Impulsgleichung f¨ ur den Stromfaden

Analog l¨ asst sich in n−Richtung angeben ρ

∂P dz Us2 =− −g , R ∂n dn

(9.12)

wobei z in der negativen Richtung des Gravitationsfeldes zu wählen ist. Diese Gleichung bringt zum Ausdruck, dass f¨ ur gerade, nicht gekr¨ ummte Stromf¨ aden, d.h. R → ∞ die Druckvariation senkrecht zur Strömungsrichtung alleine durch die Gravitation gegeben ist. Sind die Gravitationskräfte vernachl¨ assigbar, so ist der Druck u umm¨ ber den Querschnitt eines nichtgekr¨ ten Stromfadens konstant. Geht man von der allgemeinen Impulsgleichung in Eulerform aus, d.h. man vernachl¨ assigt die molekularen Impulstransportterme ∂(ρUi Uj ) ∂P ∂(ρUj ) + =− + ρgj ∂t ∂xi ∂xj

(9.13)

und integriert man diese u ¨ber ein Kontrollvolumen, das den Gesamtraum eines Stromfadens entspricht, so erh¨ alt man f¨ ur stationäre Strömungsbedingungen: " " " ρUi Uj dfi = − Fc

P dfj + Fc

ρgj dV. Vc

(9.14)


283

F¨ ur die speziellen Einstr¨ om- und Ausstr¨ ombedingungen an den Flächen FA und FB eines Stromfadens l¨ asst sich somit angeben: " dz 2 2 (Ads) (9.15) FA + ρUs,B FB = +PA FA − PB FB − ρg −ρA Us,A ds V

oder umgeschrieben f¨ ur g = 0, d.h. unter Vernachlässigung der Gravitation: ρUs2 Fs + P Fs = const

(9.16)

Diese Form der Impulsgleichung findet bei vielen Problemlösungen in der Str¨ omungsmechanik Anwendung. 9.2.3 Bernoulligleichung Oftmals interessieren bei der Durchf¨ uhrung str¨ omungsmechanischer Betrachtungen der Druck und der Geschwindigkeitsverlauf in Strömungsrichtung. ¨ Solche Anderungen lassen sich, falls sie allein aus mechanischen Energieänderungen resultieren, aus der mechanischen Energiegleichung“ ermitteln. Diese ” Gleichung l¨ asst sich im allgemeiner Form wie folgt angeben, siehe Kapitel 5.5: D 1 2 ∂Uj ∂(P Uj ) ∂Uj ∂(τij Uj ) ρ U +G =− +P − + τij (9.17) Dt 2 j ∂xj ∂xj ∂xi ∂xi F¨ uhrt man Betrachtungen unter Vernachl¨ assigung der molekularbedingten Impulstransportterme durch, d.h. f¨ ur τij = 0, so erhält man f¨ ur ρ = const und damit ∂Uj /∂xj = 0 ∂P D 1 2 ∂(P Uj ) Uj + G = − ρ = −Uj (9.18) Dt 2 ∂xj ∂xj Bei Vorliegen station¨ arer Druckfelder gilt: DP ∂P ∂P ∂P = +Ui = Ui , Dt ∂xi ∂xi ∂t

(9.19)

=0

so dass unter diesen Bedingungen gilt: DP D 1 2 Uj + G = − ρ Dt 2 Dt F¨ ur G = −xj gj l¨ asst sich somit schreiben: D 1 2 P Uj + − xj gj = 0, ρ Dt 2 ρ was f¨ ur j = s zu der Aussage der Bernoulli-Gleichung f¨ uhrt:

(9.20)

(9.21)

284

9 Stromfadentheorie

1 2 P U + − gs s = const 2 s ρ

(9.22)

Ber¨ ucksichtigt man, dass −gs s = gh so erh¨ alt man die Endform 1 2 P U + + gh = const 2 s ρ

(9.23)

Diese Gleichung l¨ asst sich physikalisch so interpretieren, dass die in einem Stromfaden pro Zeiteinheit einfliessende Masse m, ˙ die kinetische Energie m ˙ 12 Us2 , die Druckenergie mP ˙ υ = m ˙ Pρ und die potentielle Energie mgh ˙ als Gesamtenergie einbringt, deren Summe sich entlang des Stromfadens nicht andern kann, d.h. die Gesamtenergie ist entlang des Stromfadens konstant. ¨ Da gleichfalls m ˙ = const gilt, resultiert hieraus die Gleichung (9.23). 9.2.4 Die Gesamtenergiegleichung Die obigen Betrachtungen zur Bernoulligleichung m¨ ussen Erweiterungen erfahren, wenn man Energiebetrachtungen f¨ ur kompressible Medien durchf¨ uhrt. ¨ Unter Ber¨ ucksichtigung der Uberlegungen in Abschnitt 5 muss anstelle der oben behandelten mechanischen Energiegleichung die Gleichung f¨ ur die Gesamtenergie Anwendung finden, die nach Gleichung (5.68) wie folgt angegeben werden kann. ∂ q˙j ∂(P Uj ) (τij Uj ) 1 2 D − − (9.24) e + Uj + G = − ρ Dt 2 ∂xi ∂xj xi Unter Vernachl¨ assigung des molekularbedingten Wärme- und Impulstransur g ≈ 0: ports, d.h. q˙i = 0 und τij = 0, ergibt sich f¨ ∂ ∂ 1 ∂ 1 (P Uj ) (9.25) Ui ρe + ρUj2 = ρe + ρUj2 + ∂t 2 ∂xi 2 ∂xj F¨ ur station¨ are Str¨ omungsvorg¨ ange gilt dann: P ∂ 1 ρUi e + Uj2 + =0 ∂xi 2 ρ

(9.26)

F¨ uhrt man die Enthalpie h = e + P/ρ ein, so erhält man f¨ ur die Energiegleichung f¨ ur station¨ are Str¨ omungen kompressibler Medien: 1 2 (9.27) h + Uj = const 2 ¨ F¨ uhrt man die obigen Uberlegungen f¨ ur Stromröhren durch, so erhält man gleichfalls die in Gleichung (9.27) angegebene Beziehung, allerdings f¨ ur fl¨ achengemittelte Gr¨ oßen:

9.3 Inkompressible Str¨ omung

˜ + 1U ˜ 2 = const h 2 j

285

(9.28)

Die Summe aus fl¨ achengemittelter Enthalpie eines strömenden Fluids und der pro kg des Fluids vorliegenden fl¨ achengemittelten kinetischen Energie ist f¨ ur viskosit¨ atsfreie, adiabate Str¨ omungen in Stromröhren eine Konstante, wenn Gravitationseinfl¨ usse vernachl¨ assigbar sind. Damit ergeben sich folgende Gleichungen f¨ ur die Berechnung von Strömungen in Stromröhren. Str¨ omungen inkompressibler Fluide: ˜s = const (9.29) ρ˜F˜s U

– Massenerhaltung: – Impulserhaltung:

– Mechanische Energiegleichung:

˜ 2 Fs + P Fs = const (9.30) ρ˜U s 0 1 ˜ 2 P˜ ˜ U + + g h = const (9.31) 2 s ρ˜

Str¨ omungen kompressibler Fluide: – Massenerhaltung:

˜s = const (9.32) ρ˜F˜s U

– Impulserhaltung:

˜ 2 Fs + P Fs = const (9.33) ρ˜U s 1 ˜2 ˜ U + h = const (9.34) 2 s

– Energiegleichung:

Diese Gleichungen gilt es bei Probleml¨ osungen anzuwenden.

9.3 Inkompressible Str¨ omung 9.3.1 Hydromechanische D¨ usenstr¨ omung Das in Abb. 9.5 skizzierte Str¨ omungsproblem lässt sich unter Vernachlässigung von Reibungskr¨ aften mit Hilfe der Stromfadentheorie lösen, um so einen ¨ ersten Uberblick u ¨ber die sich abspielenden Strömungsvorgänge zu erhalten. Setzt man eindimensionale Str¨ omungsberechnungen an, so lässt sich f¨ ur die Str¨ omung in Querschnitt A eine u ¨ber den gesamten Rohrdurchmesser konstante Geschwindigkeit angeben. UD =

m ˙ 1 ρ π4 D2

(9.35)

Aufgrund der Kontinuit¨ atsgleichung gilt: π π 2 D UD = d2 Ud 4 4

;

Aus der Bernoulli-Gleichung ergibt sich:

Ud =

D2 UD d2

(9.36)

286

9 Stromfadentheorie

K o n tro llv o lu m e n

F /2

D

r

m

.

P0

P0 A x 1

d

m = 0 PD B F /2 Abbildung 9.5: D¨ usenstr¨ omung am Ende eines Rohres

1 1 1 PD Pd P0 + UD2 = + Ud2 = + Ud2 ρ 2 ρ 2 ρ 2 Hieraus errechnet sich PD als: 2 ρ1 2 ρ PD = P0 + Ud − UD2 = P0 + 2 2

.

D d

4

(9.37) /

− 1 UD2

(9.38)

Die Flanschkraft F auf das Kontrollvolumen in Abb. 9.5 errechnet sich aus der integralen Impulsgleichung wie folgt: π π π π −ρUD2 D2 + ρUd2 d2 −PD D2 + P0 D2 = F 4 4 4 4

(9.39)

2 −π 4 D (PD −P0 )

oder nach erfolgter Umstellung unter Ber¨ ucksichtigung von (9.38) ρπ 2 2 d2 Ud2 π 2 ρ D2 D UD 2 − 2 2 2 − D − − 1 UD2 = F 24 D UD 4 2 d4

(9.40a)

und nach erneuter Umstellung: −

2 ρπ 2 2 D2 D UD 1 − 2 =F 24 d

(9.40b)

Setzt man die entsprechenden Beziehungen UD aus (9.35)ein, so erhält man f¨ ur die Flanschkraft F : 2 m ˙2 D2 F =− π 2 1− 2 (9.41) ρ2D d Die auf den untersuchten D¨ usenteil von der Flansch aufgebrachte Kraft erweist sich als positiv, so dass die Auflagefl¨ ache des Flansches mit einer negativen Kraft F beaufschlagt wird. Die Schrauben im Flansch können somit als kr¨ aftefrei angesehen werden.

9.3 Inkompressible Str¨ omung

287

9.3.2 Pl¨ otzliche Querschnittserweiterung

A b lö s e g e b ie t

r

m

.

m = 0

d

B A

D

A b lö s e g e b ie t

D P verl

{

.

PB PA P

P id e a l re a l

W a n d d ru c k v e rla u f

Abbildung 9.6: Carnotscher Stoßdiffusor zur Erl¨ auterung von Stoßverlusten bei Erweiterungen von Querschnitten

In der Str¨ omungspraxis werden oftmals Rohre unterschiedlicher Querschnitte aneinandergereiht und durchstr¨ omt. Es entstehen so, in Strömungsrichtung betrachtet, interne Str¨ omungen, die pl¨ otzlichen Querschnittserweiterungen ausgesetzt sind, wie dies in Abb. 9.6 skizziert ist. Es entstehen so Ablösege¨ biete, deren Einfluss auf die Str¨ omung durch die unten aufgef¨ uhrten Uberlegungen verst¨ andlich gemacht werden soll. F¨ uhrt man Strömungsbetrachtungen zwischen den Ebenen A und B der Rohrströmung durch, so ergibt sich aus der Kontinuit¨ atsgleichung: π π m ˙ = Ud d2 = UD D2 ρ 4 4

(9.42)

Damit sind die Geschwindigkeiten Ud und UD bekannt, sie sind durch den vorgegebenen Massenstrom bestimmt. Bei verlustfreier Durchstr¨ omung der Messstrecke w¨ urde sich zwischen A und B folgende Druckdifferenz ergeben, die sich aus der Bernoulligleichung errechnen l¨ asst: ρ 2 d4 (9.43) ∆Pideal = (PB − PA )ideal = Ud 1 − 4 2 D Unter realen Bedingungen, wie sie in Abb. 9.6 durch das Auftreten der Abl¨ osegebiete angedeutet sind, l¨ asst sich durch Anwendung des Impulssatzes folgende resultierende Kraft ermitteln:

288

9 Stromfadentheorie

F = ρUd2

π π π π − ρUD2 D2 + PA d2 − PB D2 4 4 4 4

(9.44)

Vernachl¨ assigt man Beitr¨ age zur Kraft F durch Impulsverluste an den Rohrwandungen, so errechnet sich die Kraft F als die Druckkraft auf die Ringfläche nach der pl¨ otzlichen Erweiterung, d.h. als , π+ 2 F = PA (9.45) D − d2 4 Somit erh¨ alt man f¨ ur die Druckdifferenz ∆Preal = (PA − PB )real =

ρUd2

d2 D2

d2 1− 2 , D

(9.46)

so dass sich ein Druckverlust (Carnotscher Stoßverlust) wie folgt ermitteln l¨ asst: , ρ 2 d4 ρ+ 2 ∆PVerl. = ∆Pideal − ∆Preal == Ud 1 − 4 = (9.47) U − UD2 2 D 2 d F¨ ur D → ∞ ergibt sich als Maximalwert f¨ ur ∆PVerl. = ρ/2 Ud2 , der Ausstr¨ omungsdruckverlust.

9.4 Inkompressible Str¨ omungen 9.4.1 Einfluss von Fl¨ achen¨ anderungen auf Str¨ omungen In dem vorliegenden Abschnitt sollen allgemeine Betrachtungen angestellt werden, die dar¨ uber Auskunft geben, wie sich Querschnittänderungen in Str¨ omungskan¨ alen auf Str¨ omungsvorg¨ ange auswirken, d.h. wie Flächenänderungen die Geschwindigkeits-, Druck-, Dichte- und Temperaturverteilung entlang des Kanals bestimmen. Bei der Untersuchung kommen die Gleichungen zur Anwendung, die im Abschnitt 9.2 abgeleitet wurden, d.h. die Kontinuit¨ atsgleichung lautet: ˜1 F = const (9.48) ρ˜U Die Gleichung (9.48) l¨ asst sich in Differentialform schreiben: ˜1 dF d˜ ρ dU + + =0 ˜ F ρ˜ U1

(9.49)

¨ Laut der Uberlegungen in Abschnitt (9.2) kann die Variation der Geschwindigkeit in Str¨ omungsrichtung in erster N¨ aherung durch die f¨ ur eindimensionale Str¨ omungen reduzierte Eulergleichung beschrieben werden, d.h. es gilt: ) * ˜ ˜ ˜1 d P d P d˜ ρ d U ˜1 ρ˜U =− =− (9.50) dx1 dx1 d˜ ρ dx1

9.4 Inkompressible Str¨ omungen

289

Aufgrund der Energiegleichung f¨ ur reversible adiabate Strömungsvorgänge, die f¨ ur fl¨ achengemittelte Gr¨ oßen wie folgt gilt: P˜ = const ρ˜κ

(9.51)

ist die Druckableitung nach der Dichte unter adiabaten Bedingungen durchzuf¨ uhren. Da jedoch gilt: * ) dP˜ 2 c˜ = , (9.52) d˜ ρ ad

l¨ asst sich die Gleichung (9.52) auch wie folgt schreiben: ˜1 ρ˜U

dU˜1 d˜ ρ = −˜ c2 . dx1 dx1

(9.53)

F¨ uhrt man die Mach-Zahl Ma der Str¨ omung ein als ˜ % = U1 , Ma c˜

(9.54)

so l¨ asst sich Gleichung (9.53) schreiben: 2 ˜ d˜ ρ % dU1 = −Ma ˜1 ρ˜ U

(9.55)

Setzt man das Ergebnis (9.55) in (9.49) ein, so erhält man: ˜ 2 ˜ dF % dU1 + dU1 = 0 − Ma ˜ ˜ F U1 U1 oder

˜1 dU = ˜1 U

−1

dF 2 F % (1 − Ma )

(9.56)

(9.57)

% < 1 und Uber¨ Ber¨ ucksichtigt man, dass Unterschallstr¨ omungen durch Ma % schallstr¨ omungen durch Ma > 1 gegeben sind, so bringt die obige Beziehung zum Ausdruck: –

–

% < 1) ist eine in Beim Vorliegen einer Unterschallstr¨ omung (Ma Str¨ omungsrichtung vorliegende Abnahme der Querschnittsfläche eines Str¨ omungskanals mit einer Zunahme der Strömungsgeschwindigkeit verbunden. Eine Zunahme der Kanalquerschnittsfläche in Strömungsrichtung omungsgeschwindigkeit. resultiert in einer Abnahme der Str¨ % > 1) ist eine in Strömungs¨ Beim Vorliegen einer Uberschallstr¨ omung(Ma richtung vorliegende Abnahme der Querschnittsfläche eines Strömungskanals mit einer Abnahme der Str¨ omungsgeschwindigkeit verbunden. Eine omungsquerschnitts in Strömungsrichtung resultiert in Zunahme des Str¨ einer Zunahme der Str¨ omungsgeschwindigkeit.

290

9 Stromfadentheorie

~

~

x

M a < 1

U 1

A U U

~

~

U A

l

~ B

x

M a > 1

A B

u~

~

U B

~

U A

l x

~ U

1

~

U A

l

~

x B

1

U

B ~

U A

U B

l x

~

l

~

x B

A ~

U A

U B

l x

~ U

1

B

u~

1

¨ Abbildung 9.7: Einfluss der Anderung des Str¨ omungsquerschnittes auf eine Unterschallstr¨ omung

U A

A

u~

1

~

l

U A

~ B

B

u~ B

~ A

1

l x 1

¨ Abbildung 9.8: Einfluss der Anderung des Str¨ omungsquerschnittes auf ¨ eine Uberschallstr¨ omung

¨ Neben den durch Querschnittsfl¨ achen¨ anderungen hervorgerufenen Ande¨ rungen der Str¨ omungsgeschwindigkeit interessieren auch die Anderungen des Drucks, der Dichte und der Temperatur des strömenden Fluids. Aus Gleichung (9.50) ist ersichtlich, dass die relative Dichteänderung stets das entgegengesetzte Vorzeichen der Geschwindigkeits¨ anderung besitzt, d.h. die Dichte steigt in Str¨ omungsrichtung an, wenn die Geschwindigkeit in Strömungsrichtung abf¨ allt und umgekehrt. Im Gebiet der Unterschallströmung ist die lokal vorliegende, relative Dichte¨ anderung kleiner als die lokale relative Geschwin¨ digkeits¨ anderung. Im Bereich der Uberschallstr¨ omung ist die lokal vorliegende relative Dichte¨ anderung gr¨ oßer als die relative Geschwindigkeitsänderung. Bez¨ uglich der Abh¨ angigkeit von den Querschnittsflächenänderungen des Str¨ omungskanals ergibt sich f¨ ur die Dichteänderung: 2

% Ma dF d˜ ρ = 2 F ρ˜ % ) (1 − Ma

(9.58)

¨ Bez¨ uglich der Druckvariation lassen sich folgende Uberlegungen anstellen. Aus der Adiabatengleichung folgt: dP˜ =

P˜ P˜ (κ−1) ρ, κ˜ ρ d˜ ρ = κ d˜ κ ρ˜ ρ˜

(9.59)

wobei κ = cp /c0 ist. Damit gilt f¨ ur die lokale relative Druckänderung 2 ˜ dP˜ % dU1 = κMa ˜ ˜1 P U

(9.60)

¨ oder bez¨ uglich der lokalen relativen Anderung der Strömungsquerschnittsfl¨ ache:


291

2

% κMa dF dP˜ = 2 F ˜ P % ) (1 − Ma

(9.61)

Als letztes gilt es die Temperaturvariationen zu betrachten. Dazu wird die Zustandsgleichung f¨ ur ideale Gase differenziert. −P˜

d˜ ρ dP˜ dF = RdT˜ , + 2 ρ˜ ρ˜ F

(9.62)

oder umgeschrieben: dT˜ d˜ ρ dP˜ + = ρ˜ P˜ T˜ Damit folgt aus den vorausgegangenen Beziehungen −

2 ˜ dT˜ % dU1 = −(κ − 1)Ma ˜ ˜1 T U

(9.63)

(9.64)

Die lokal auftretende, relative Temperatur¨ anderung hat das entgegengesetzte Vorzeichen der lokalen, relativen Geschwindigkeitsänderung. Die auftretenden, relativen Temperatur¨ anderungen sind schwächer als die entsprechenden relativen Dichte¨ anderungen. Bez¨ uglich der relativen Flächenänderung des Str¨ omungsquerschnitts ergibt sich: 2

% dF (κ − 1)Ma dT˜ = 2 T˜ % ) F (1 − Ma

(9.65)

¨ Die f¨ ur die Str¨ omungsgeschwindigkeitsvariation in Uberschallund Unter¨ schallstr¨ omungen angegebenen Uberlegungen, die in den Abbildungen 9.7 und 9.8 skizziert sind, k¨ onnen anhand der obigen Gleichungen auch f¨ ur die Druck-, Dichte- und Temperaturvariationen angestellt werden. Eine weitere wichtige Betrachtung l¨ asst sich durch Umstellung der oben abgeleiteten Beziehungen angeben, derart, dass gilt: 2 dF F % ) = (1 − Ma ˜ ˜ U1 dU1

(9.66)

Diese Beziehung bringt zum Ausdruck, dass die Bedingung f¨ ur das Erreichen % = 1 gegeben ist. Da f¨ der Schallgeschwindigkeit durch dF = 0, d.h. Ma ur die zweite Ableitung gilt: , d2 F F + (9.67) = 2 1 + Ma2 2 ˜ U1 dU1 % = 1 ein Minimum des Str¨ liegt f¨ ur Ma omungsquerschnitts vor.

292

9 Stromfadentheorie

9.4.2 Druckgetriebene Ausgleichsstr¨ omungen durch konvergierende D¨ usen In vielen technischen Anlagen treten Str¨ omungen von Gasen auf, die in die große Gruppe der Ausgleichsstr¨ omungen einzuordnen sind, die zwischen Beh¨ altern mit unterschiedlichen Druckniveaus ablaufen können. So werden zum Beispiel Gase oftmals unter hohem Druck in großen Vorratsbehältern ¨ gespeichert, um bei Bedarf u mit ¨ ber entsprechend ausgelegte Offnungen Anschlussaggregaten und Entnahmeleitungen ihrem Verwendungszweck zugef¨ uhrt zu werden. Diese Entnahme kann idealisiert als eine Ausgleichsstr¨ omung zwischen zwei Beh¨ altern bzw. zwei Räumen verstanden werden, von denen der eine den unter Druck stehenden Vorratsbehälter präsentiert, w¨ ahrend die Umgebung den zweiten Beh¨ alter darstellt. In den nachfolgenden Betrachtungen wird angenommen, dass beide Behälter sehr groß sind, so dass w¨ ahrend der gesamten untersuchten Ausgleichsströmung konstante Beh¨ alterbedingungen vorliegen. Diese werden als bekannt angenommen und sind durch den Druck PH , die Temperatur TH etc. im Hochdruckbehälter ur den Niederdruckbehälter. gegeben, sowie durch den Druck PN bzw. TN f¨ Die Ausgleichsstr¨ omung soll u ber eine stetig konvergierende D¨ use erfolgen, ¨ wie sie in Abb. 9.9 angedeutet ist, deren gr¨ oßter Querschnitt somit die Austritts¨ offnung des Hochdruckbeh¨ alters angibt, darstellt, während der kleinste D¨ usenquerschnitt die Eintritts¨ offnung in den Niederdruckbehälter darstellt. Will man die sich bei der obigen Ausgleichsströmung abspielenden Str¨ omungsvorg¨ ange n¨ aher untersuchen, bieten sich die im Abschnitt 9.2 abgeleiteten Endgleichungen f¨ ur Str¨ omungen durch Kanäle, Rohre, etc. an: ˜1 F = const ρ˜U ˜ + 1U ˜ 2 = const; h 2 1 P˜ = RT˜ ρ˜

P˜ = const ρ˜κ

(9.68) (9.69) (9.70)

Damit liegt eine ausreichende Anzahl von Gleichungen vor, um den Verlauf der fl¨ achengemittelten Geschwindigkeit und der flächengemittelten thermodynamischen Zustandsgr¨ oßen des str¨ omenden Gases beim Ablauf der Ausgleichsstr¨ omung, d.h. entlang der in Abb. 9.9 angegebenen x1 −Achse zu be˜1 , ρ˜, T˜, P˜ an jeder Stelle x1 stimmen. Bei vorgegebener Fl¨ ache k¨ onnen z. B. U bestimmt werden. Damit ist der Str¨ omungszustand in jedem Querschnitt der D¨ use berechenbar. Er wird allerdings von PN und PH bestimmt. Ber¨ ucksichtigt man, dass - aufgrund der Annahmen eines großen Beh¨ alters, im Inneren des Hochdruckbeh¨ alters der konstante Druck PH und die Geschwindigkeit (U1 )H = 0 vorliegen, so l¨ asst sich f¨ ur die Geschwindigkeit use folgende Beziehung angeben: U1 an jeder Stelle x1 der D¨


B e h ä lte r 2

B e h ä lte r 1

P T

r

H

H

H

293

x1= 0

P

F (x1 ) x 1

x1= L

r

T

N N N

Abbildung 9.9: Ausgleichsstr¨ omung zwischen zwei Beh¨ altern durch konvergierende D¨ use

˜ + 1U ˜ 2 = hH h 2 1

(9.71)

Ber¨ ucksichtigt man, dass die Enthalpie f¨ ur ein ideales Gas als cP T angegeben werden kann und dass zudem die ideale Gasgleichung (9.70) gilt, so lässt sich die obige Beziehung (9.71) wie folgt umschreiben: cP

P˜ 1 ˜2 1 ˜2 κ P˜ κ PH + U + U 1 = 1 = R˜ ρ 2 κ − 1 ρ˜ 2 κ − 1 ρH

(9.72)

Die Geschwindigkeit U1 (x1 ) ist somit mit dem Druckverlauf entlang der Achse der D¨ use wie folgt verkn¨ upft: 9 ) * : : 2κ ˜ P P H ˜1 = ; U (9.73) − κ − 1 ρH ρ˜ Die obige Gleichung deutet an, dass sich f¨ ur P˜ = 0, d.h. f¨ ur Ausströmung in ein Vakuum,eine maximale Str¨ omungsgeschwindigkeit einstellt, die allein durch den ,,Kesselzustand” im Hochdruckbeh¨ alter gegeben ist: # 2κ PH Umax = = 2cP TH (9.74) κ − 1 ρH Normiert man die an einer Stelle x1 vorliegende Strömungsgeschwindigkeit U1 mit Umax , so erh¨ alt man: # ˜1 P˜ ρH U (9.75) = 1− Umax PH ρ˜

294

9 Stromfadentheorie

oder mittels der idealen Gasgleichung umgeschrieben # ˜1 T˜ U = 1− Umax TH

(9.76)

Die Verkn¨ upfung der Adiabatengleichung (9.69) mit der Zustandsgleichung (9.70) f¨ uhrt zu folgenden Beziehungen: T˜ = TH

)

ρ˜ ρH

*κ−1 und

T˜ = TH

)

P˜ PH

Damit gelten die folgenden Gleichungen: # κ−1 ˜1 U = 1 − ρ˜/ρH Umax und

9. / : κ−1 : ˜ U1 κ = ; 1 − P˜ /PH Umax

* κ−1 κ (9.77)

(9.78)

(9.79)

˜1 /Umax ) als Parameter f¨ ur die W¨ ahlt man die normierte Geschwindigkeit (U Darstellung der Str¨ omung in der D¨ use, so lassen sich Druck-, Dichte- und Temperaturverlauf wie folgt angeben: κ 2 κ−1 P˜ ˜ = 1 − U1 /Umax (9.80) PH 1 2 κ−1 ρ˜ ˜ = 1 − U1 /Umax (9.81) ρH 2 T˜ ˜ = 1 − U1 /Umax (9.82) TH ˜1 /Umax ) angegeDiese Beziehungen sind in Abb. 9.10 als Funktion von (U ˜1 /Umax )−Achse, die entsprechende ben. Mit aufgef¨ uhrt ist, entlang der (U Mach-Zahl der Str¨ omung, die sich unter Ber¨ ucksichtigung der Beziehung √ c = ( dP/ dρ)ad = κRT wie folgt berechnen lässt: ) * ˜ ˜ 2 κRT˜ ˜2 2κ − 1 T U U 1 1 % = (9.83) = Ma 1 2 Umax 2cP TH κRT˜ 2 TH Ber¨ ucksichtigt man die oben f¨ ur (T /TH ) abgeleitete Beziehung, Gleichung (9.77), so erh¨ alt man f¨ ur die zu bestimmende Mach-Zahl: 9   : 2 : ˜ : 2  U1 /Umax   % =:  Ma (9.84) :   2 ;κ − 1 ˜ 1 − U1 /Umax


295

Somit ist jeder Angabe einer fl¨ achengemittelten, mit der Maximalgeschwindigkeit normierten Geschwindigkeit eine Mach-Zahl der Strömung zuzuordnen. Alle Gr¨ oßen, die in den obigen Gleichungen (9.80) bis (9.82) angege% geschrieben werden, ben sind, k¨ onnen auch als Funktion der Mach-Zahl Ma die wiederum als eine fl¨ achengemittelte, den Strömungsverlauf entlang der x1 −Achse beschreibende Str¨ omungsgr¨ oße zu betrachten ist.

Abbildung 9.10: Verlauf des Druckes, der Dichte, der Temperatur und der Massenstromdichte bei Druckausgleichsstr¨ omungen

Zur Ableitung der in Abb. 9.10 dargestellten Abhängigkeit des Drucks, der Dichte und der Temperatur von der Mach-Zahl der Strömung wird die Gleichung (9.71) wie folgt geschrieben: 1 ˜2 = cP T H cP T˜ + U 2 1

(9.85)

alt man: Durch Division mit cP T˜ erh¨ ˜ 2 κR U TH κ−1 %2 1 =1+ =1+ Ma1 ˜ ˜ κR 2 T 2cP T

(9.86)

oder f¨ ur den Kehrwert: 2 T˜ = >2 TH 2 + (κ − 1)Ma 1

(9.87)

Diese Gleichung verdeutlicht, dass eine Beziehung zwischen der flächengemittelten Temperatur entlang der x1 −Achse und der an derselben Stelle vorliegenden Mach-Zahl der Str¨ omung gegeben ist.

296

9 Stromfadentheorie

Damit l¨ asst sich f¨ ur jede x1 −Stelle die Temperatur berechnen, wenn der Kesselzustand gegeben und die Mach-Zahl der Strömung bekannt ist. Unter Ber¨ ucksichtigung der Adiabatengleichung ergibt sich f¨ ur das Verh¨ altnis von Druck und Beh¨ alterdruck: * κ / κ ) . κ−1 κ−1 T˜ P˜ 2 = = (9.88) PH TH 2 + (κ − 1)M a2 1

und ρ˜ = ρH

)

T˜ TH

*

.

1 κ−1

=

/

2

1 κ−1

>2 2 + (κ − 1)Ma 1

(9.89)

Die Abb. 9.11 enth¨ alt auch den Verlauf der Massenstromdichte θ = ˜1 , d.h. die Angabe der pro Fl¨ m/F ˙ = ρ˜U achen- und Zeiteinheit durch einen Str¨ omungsquerschnitt fließenden Masse. Der Verlauf dieser Größe lässt sich ˜1 und ρ˜ wie folgt schreiben: unter Anwendung der Beziehungen f¨ ur U 1 2 κ−1 ˜ ˜ ˜1 ρ˜1 U1 = ρH 1 − U1 /Umax U

oder f¨ ur die normierte Massenstromdichte: 1 2 κ−1 ˜1 ˜1 U ρ˜1 U ˜ = 1 − U1 /Umax ρH Umax Umax

(9.90)

(9.91)

Die oben f¨ ur die Massenstromdichte angegebene Beziehung verdeutlicht, dass f¨ ur U1 = 0, θ = 0 erreicht wird. Die Massenstromdichte nimmt jedoch auch f¨ ur U1 = Umax den Wert Null an, da bei Einstellen der maximal möglichen Geschwindigkeit, die in der Massenstromdichte mit enthaltene Dichte des Fluids auf ρ˜ = 0 abgefallen ist. Zwischen diesen beiden Minimalwerten muss die Massenstromdichte ein Maximum durchlaufen, das sich durch Differentiation der obigen Funktion und durch Nullsetzen der Ableitung errechnen l¨ asst. Der durch L¨ osen der resultierenden Gleichung erhaltene Wert muss f¨ ur ˜1 /Umax ) in die obige Gleichung f¨ ur die Massenstromdichte eingesetzt wer(U den, um den Maximalwert zu erhalten. Es errechnet sich: θmax = ρH Umax

κ−1 κ+1

2 κ+1

1 κ−1

wobei f¨ ur den Geschwindigkeitswert erhalten wird: ˜1 U κ−1 f¨ ur θ = θmax = Umax κ+1

(9.92)

(9.93)

Damit l¨ asst sich die mit dem Maximalwert normierte Massenstromdichte wie folgt schreiben:


θ θmax

=

˜1 κ+1 U κ − 1 Umax

.

κ+1 2

)

˜12 U 1− Umax

*/

297

1 κ−1

(9.94)

˜1 /Umax ist in Abb. 9.10 gleichfalls dargestellt. Der Verlauf dieser Gr¨ oße mit U Auf die Bedeutung des Maximums der Massenstromdichte f¨ ur den Ablauf von Ausgleichsstr¨ omungen wird untenstehend noch näher eingegangen. Sein Auftreten verhindert die stetige Steigerung des Massendurchsatzes mit der Steigerung der Druckdifferenz zwischen Druckbehältern, wenn die Ausgleichsstr¨ omung u usen erfolgt. ¨ber stetig konvergierende D¨ Eine oftmals als einfacher angesehene Darstellung der Ausgleichsströmungen durch konvergierende D¨ usen wird dadurch erreicht, dass man die die Str¨ omung kennzeichnenden Gr¨ oßen auf die entsprechenden Größen des kri” tischen Zustandes“ bezieht, der durch M a = 1 gekennzeichnet ist. Diesem % 1 = 1, sonZustand entspricht nicht nur eine bestimmte Mach-Zahl, d.h. Ma dern auch bestimmte Werte der thermodynamischen Zustandsgrößen: Diese lassen sich aus den Gleichungen (9.87) bis (9.89) bestimmen, indem man % 1 = 1 setzt. Daraus resultieren die folgenden Werte f¨ Ma ur die thermodyna% 1 = 1: mischen Zustandsgr¨ oßen des Fluids im kritischen Zustand, d.h. f¨ ur Ma κ−1 P˜ ∗ 2 = PH κ+1 κ

ρ˜∗ = ρH

2 κ+1

T˜ ∗ 2 = TH κ+1

(9.95)

1 κ−1

(9.96)

(9.97)

Mit diesen Gleichungen k¨ onnen Druck, Dichte und Temperatur eines strömenden Mediums in dem Querschnitt einer konvergierenden D¨ use bestimmt werden, in dem sich die Schallgeschwindigkeit einstellt. Nach den am Ende des ¨ Abschnitts 9.4.1 angestellten Uberlegungen muss an dieser Stelle ein Minimum des Querschnitts vorliegen. Da an dieser Stelle die Mach-Zahl den Wert % 1 = 1 annimmt, l¨ Ma asst sich Gleichung (9.83) wie folgt schreiben: ) * ˜ ∗2 κ − 1 T˜ κ−1 U 1 (9.98) = = 2 Umax 2 TH κ+1 ˜1 /Umax) der Beziehungen (9.98) und (9.93), so Vergleicht man die Werte f¨ ur (U stellt man fest, dass sie identisch sind, d.h. die maximale Massenstromdichte kann nur im engsten Querschnitt einer D¨ use auftreten, wo sich dann auch die Schallgeschwindigkeit einstellt. Nach den oben gegebenen Ableitungen der Grundgleichungen f¨ ur Druckausgleichsstr¨ omungen zwischen großen Beh¨ altern soll die Strömung diskutiert

298

9 Stromfadentheorie

werden, die sich in einer stetig konvergierenden D¨ use einstellt, wie sie in Abb. 9.7 skizziert ist. Die Betrachtungen sollen so gef¨ uhrt werden, dass der Massenstrom berechnet wird, der sich bei Einstellen eines bestimmten Druckverhältaltern ergibt. Hierbei sind zwei Druckbenisses (PN /PH ) zwischen den Beh¨ reiche von Interesse: PN P∗ > PH PH

Das Verh¨ altnis der Beh¨ alterdr¨ ucke ist größer als das kritische Druckverhältnis.

PN P∗ < PH PH

Das Verh¨ altnis der Beh¨ alterdr¨ ucke ist kleiner als das kritische Druckverhältnis.

Abbildung 9.11: Verlauf des Druckes, der Dichte, der Temperatur und der Massenstromdichte f¨ ur konvergierende D¨ usen

Abbildung 9.12: Bestimmung der Druckverteilung entlang der D¨ usenachse f¨ ur (PN /PH ) > (PN∗ /PH )

Ist das Druckverh¨ altnis gr¨ oßer als der kritische Wert, f¨ uhrt eine stetige Abnahme des Verh¨ altnisses der Kesseldr¨ ucke zu einer stetigen Zunahme der Massenstromdichte, wie in dem Diagramm 9.11 angedeutet ist. Dies stellt einen Teil des in Abb. 9.10 angegebenen Gesamtdiagramms f¨ ur die Variation der Zustandsgr¨ oßen dar und zwar f¨ ur den Druck und die Massenstromdichte. Unter der Annahme, dass sich im engsten Querschnitt der stetig konvergierten D¨ use der Druck des Niederdruckbeh¨ alters einstellt, kann mit bekannten ¨ altnis (PN /PH ) bestimmt werden. Uber PN und PH −Werten das Druckverh¨ dieses l¨ asst sich auf die unten angegebene Weise die Massenstromdichte in diesem Querschnitt bestimmen und damit auch die Gesamtmasse, die durch die D¨ use str¨ omt: ˜1 )N ρU (9.99) m ˙ N = FN θÑ = FN (˜ Aus Kontinuit¨ atsgr¨ unden ist dieser Gesamtmassenstrom in allen Querschnittsebenen der D¨ use konstant, so dass gilt:


m ˙N =m ˙

d.h.

FN θÑ = Fx1 θ˜x1

299

(9.100)

Geht man davon aus, dass die entlang der x1 −Achse vorgegebene Verteilung der Querschnittsfl¨ ache der D¨ use bekannt ist, so lässt sich die Massenstrom¨ dichteverteilung entlang der x1 −Achse bestimmen. Uber diese lässt sich dann, wie in Abb. 9.12 angedeutet, die Druckverteilung entlang der D¨ use berechnen, bzw. die resultierenden Verteilungen der Dichte und der Temperatur, aber auch der Mach-Zahl und der Str¨ omungsgeschwindigkeit. Das Vorgehen bei der in der obigen Abbildung angedeuteten Bestimmung der Druckverteilung entlang der D¨ use l¨ asst sich analog auch auf die Bestimmung der Dichteverteilung und der Temperaturverteilung u ur ¨ bertragen. F¨ die Bestimmung der Verteilung der Mach-Zahl und der Geschwindigkeit, gilt das in Abb. 9.12 angedeutete Vorgehen. Aus den obigen Betrachtungen folgt, dass die Geschwindigkeit (U1 )0 im Eintrittsquerschnitt der in Abb. 9.7 angedeuteten D¨ use endlich ist und dass dort die Massenstromdichte: FN ˜ ρ˜U1 (9.101) θ˜0 = F0 N vorliegt. Damit ist auch gesagt, dass in diesem Querschnitt ein Druck, eine Dichte und eine Temperatur vorherrschen, die nicht den Werten im Hochdruckbeh¨ alter entsprechen. Dies gilt es bei Berechnungen von Ausgleichsstr¨ omungen durch D¨ usen stets zu ber¨ ucksichtigen. Die im D¨ useneintritt vorliegenden, die Str¨ omung kennzeichnenden Größen sind u ur den Eintrittsquerschnitt ¨ ber die vorstehenden Diagramme aus der f¨ errechneten Massenstromdichte zu bestimmen. F¨ uhrt man die oben angegebenen Berechnungen zur Bestimmung der Str¨ omungsgr¨ oßen und thermodynamischen Gr¨ oßen aus, so zeigt es sich, dass mit einer Abnahme des Druckverh¨ altnisses (PN /PH ) eine Zunahme der Massenstromdichte in jedem Querschnitt der D¨ use verbunden ist, solange das Druckverh¨ altnis gr¨ oßer als der kritische Wert ist. Wird der kritische Wert selbst erreicht, d.h.: κ κ−1 2 P∗ PN → = (9.102) PH κ+1 PH erreicht die Massenstromdichte ihren Maximalwert. Dieser Wert kann bei einer weiteren Erniedrigung des Druckverhältnisur alle Druckverhältnisse die ses (PN /PH ) nicht u ¨ berschritten werden, d.h. f¨ kleiner als der kritische Wert sind: κ κ−1 2 PN P∗ < = (9.103) PH PH κ+1 stellt sich in der stetig konvergierenden D¨ use eine Strömung ein, die f¨ ur alle Druckverh¨ altnisse identisch ist. Im Austrittsquerschnitt der D¨ use, d.h. im

300

9 Stromfadentheorie

Abbildung 9.13: Bestimmung der Mach-Zahl und Geschwindigkeitsverteilung entlang einer konvergierenden D¨ use f¨ ur (PN /PH ) > (PN∗ /PH )

Eintrittsquerschnitt zum Niederdruckbeh¨ alter, stellt sich nun nicht mehr der Druck PN ein. Vielmehr wird in diesem Querschnitt die maximale Massenstromdichte erreicht: # θ˜max = ρH

2κ PH = κ − 1 ρH

oder θ˜max = ρH

-

2κ PH ρH κ−1

2cP TH

(9.104)

(9.105)

Der Gesamtmassenstrom errechnet sich damit: m ˙ =m ˙ max = FN θ˜max

(9.106)

Geht man wiederum davon aus, dass die D¨ usenform bekannt ist, so lässt sich die entlang der x1 −Achse vorliegende Massenstromverteilung u ¨ ber die Kontinuit¨ atsgleichung berechnen. Ist diese Verteilung bekannt, so lassen sich die entsprechenden Verteilungen des Drucks, der Dichte, der Temperatur, der Mach-Zahl und der Str¨ omungsgeschwindigkeit wie oben angegeben bestimmen. Wichtig ist, dass sich f¨ ur alle Druckverhältnisse (PN /PH ), die gleich oder kleiner als das kritische Verh¨ altnis sind, in der D¨ use ein- und dieselbe Str¨ omung einstellt. Im Austrittsquerschnitt der D¨ use liegt f¨ ur: κ κ−1 P˜ ∗ 2 PN < = (9.107) PH PH κ+1 ein fl¨ achengemittelter Druck vor, der gr¨ oßer ist als der im Niederdruckbeh¨ alter vorliegende Druck PN . Der Druckausgleich erfolgt u ¨ber Strömungsvorg¨ ange, die sich in der Freistrahlstr¨ omung ausbilden, welche sich von der


301

D¨ usenm¨ undung in das Innere des Niederdruckbehälters erstreckt. Der im ¨ D¨ usenaustritt vorliegende Uberdruck wird u ¨ ber eine Kaskade von Stößen“ ” abgebaut, wie sie in Abb. 9.14 gezeigt sind. Diese Nachexpansion der Str¨ omung f¨ uhrt zu wellenartigen Deformationen des Strahlrandes, die mittels experimenteller Methoden sichtbar gemacht werden können.

Abbildung 9.14: Druckausgleich am D¨ usenaustritt u oße ¨ ber Verdichtungsst¨

Abschließend sei noch auf einen wichtigen Sachverhalt hingewiesen, der dem Verst¨ andnis der sich einstellenden Ausgleichsströmung dienen soll. Die obigen Darstellungen gingen von dem in der Praxis oftmals gegebenen Zustand aus, dass Ausgleichsstr¨ omungen u ¨ ber Druckdifferenzen zwischen Beh¨ altern kontrolliert werden. Dies bedeutet, dass angenommen wurde, dass PH , ρH bzw. TH bekannt und konsant sind und sich auch auf die Ausbildung der Str¨ omung auswirken. Im Niederdruckbeh¨ alter wurde nur angenommen, dass PN vorgegeben und im engsten Querschnitt der D¨ use der Strömung aufgezwungen“ werden kann (f¨ ur (PN /PH ) größer als der kritische Wert ” (P ∗ /PH )). Die sich f¨ ur diese Verh¨ altnisse im Austrittsquerschnitt der D¨ use einstellende Dichte des str¨ omenden Gases bzw. die sich einstellende Temperatur sind nicht mit den entsprechenden Werten des Fluids im Niederdruckbeh¨ alter identisch. Ein Ausgleich dieser Werte und der entsprechenden Niederdruckbehälterwerte erfolgt in der sich an die D¨ usenstr¨ omung anschließenden Freistrahlstr¨ omung. F¨ ur Druckverh¨ altnisse P∗ PN < = PH PH

2 κ+1

κ κ−1

(9.108)

erfolgt der Ausgleich zwischen dem Druck im D¨ usenaustrittsquerschnitt und dem Druck im Niederdruckbeh¨ alter gleichfalls in der sich an die D¨ usenstr¨ omung anschließenden Freistrahlstr¨ omung. Die behandelten Gasstr¨ omungen in diesem Kapitel gehören zu einem Teilgebiet der Str¨ omungsmechanik, das oftmals als Gasdynamik bezeichnet wird.

302

9 Stromfadentheorie

Es ist h¨ aufig mit der Behandlung von Str¨ omungen höherer Geschwindigkeiten verbunden.

9.5 Literaturverzeichnis 9.1 Oswatitsch K (1952) Gasdynamik. Springer-Verlag Wien 9.2 Yuan SW (1971) Foundations of Fluid Mechanics. Civil Engineering and Mechanics Series, Mei Ya Publications, Inc. Taipei, Taiwan 9.3 Becker E (1985) Technische Thermodynamik. Teubner Studienb¨ ucher Mechanik, B.G. Teubner Stuttgart 9.4 Hutter K (1995) Fluid- und Thermodynamik - Eine Einf¨ uhrung. Springer Verlag, Berlin 9.5 Spurk JH (1996) Str¨ omungslehre. 4. Auflage, Springer Verlag, Berlin

10 Potentialstr¨ omungen

10.1 Potential- und Stromfunktion Um mit einfachen mathematischen Mitteln eine Integration des partiellen Differentialgleichungssystems der Str¨ omungsmechanik zu ermöglichen, ist die Einf¨ uhrung der Rotationsfreiheit des Str¨ omungsfeldes erforderlich. Die Rotationsfreiheit ist f¨ ur die Berechnung von Str¨ omungsfeldern mit einfachen Mitteln von Bedeutung, da vereinfachte Methoden verwendet werden können. In Kapitel 5.8.1 war eine zur Impulsgleichung ¨ aquivalente Transportgleichung f¨ ur die Wirbelst¨ arke abgeleitet worden, die sich f¨ ur viskositätsfreie Strömungen auf die einfache Form Dω/Dt = 0 reduziert. Aus dieser Gleichung folgt zweierlei. Einerseits wird deutlich, daß rotationsfreie Fluide automatisch eine vereinfachte Form der Impulsgleichung erf¨ ullen. Andererseits ergibt sich sofort das Kelvinsche Theorem, nach dem alle Strömungen viskositätsfreier Fluide rotationsfrei sind, wenn zu irgend einem Zeitpunkt die Rotationsfreiheit des Str¨ omungsfeldes festgestellt wurde. Dies lässt sich anschaulich so verstehen, dass alle auf ein Fl¨ ussigkeitselement wirkenden Oberflächenkräfte normal zur Oberfl¨ ache angreifen und resultierend durch den Massenschwerpunkt des Fluidelements gehen. Gleichzeitig greifen auch die Massenkräfte im Schwerpunkt an, so dass kein resultierendes Moment entsteht, das zu einer Rotation f¨ uhren kann. Damit ist die Schlussfolgerung möglich, dass rotierende Teilchen durch die in idealen Fluiden einwirkenden Druck- und Massenkräfte keine zus¨ atzliche Rotation erhalten k¨ onnen. Dies ist in Abb. 10.1 angedeutet. Zus¨ atzlich zur oben erw¨ ahnten Forderung nach Rotationsfreiheit soll jetzt noch eine weitere Einschr¨ ankung hinsichtlich der Eigenschaften der Strömungen gemacht werden, die in diesem Kapitel behandelt werden, nämlich die ausschließliche Betrachtung zweidimensionaler Strömungen. Diese Einschr¨ ankung ist nicht durch die Forderung nach Rotationsfreiheit bedingt; man kann sich im Gegenteil sehr wohl dreidimensionale Strömungen viskosit¨ atsfreier Fluide vorstellen, die rotationsfrei sind. F¨ ur zweidimensionale, rotationsfreie Str¨ omungen besteht jedoch eine sehr elegante Lösungsmethode, die auf der Anwendung komplexer, analytischer Funktionen beruht und die in der Folge ausschließlich verwendet wird. Besch¨ aftigt man sich mit zweidimensionalen Strömungsfeldern, dann lautet die einzige verbleibende Komponente des Rotationsvektors:

304


Abbildung 10.1: Anschauliche Darstellung der physikalischen Ursache f¨ ur Rotationsfreiheit idealer Str¨ omungen (Kelvinsches Theorem)

ω3 =

1 2

∂U2 ∂U1 − ∂x1 ∂x2

(10.1)

Setzt man die Rotationsfreiheit zweidimensionaler Strömungsfelder voraus, so gilt ω3 = 0 oder: ∂U1 ∂U2 = (10.2) ∂x2 ∂x1 Diese Bedingung gilt es bei L¨ osungen f¨ ur zweidimensionale Strömungsprobleme zu erf¨ ullen. Sieht man von Singularit¨ aten ab, so muss f¨ ur rotationsfreie Strömungsfelder die obige Beziehung in allen Punkten des Strömungsfeldes erf¨ ullt sein. Dies ist gleichbedeutend mit der Aussage, dass f¨ ur zweidimensionale, rotationsfreie Str¨ omungen ein die Str¨ omung treibendes Geschwindigkeitspotential Φ(x1 , x2 ) existiert, derart, dass folgende Beziehungen gelten: U1 =

∂Φ ∂x1

und

U2 =

∂Φ . ∂x2

(10.3)

Gleichung (10.3) in (10.2) eingesetzt f¨ uhrt zu den folgenden Beziehungen ∂U1 ∂2Φ ∂U2 ∂2Φ = = = , ∂x2 ∂x1 ∂x2 ∂x1 ∂x1 ∂x2

(10.4)

welche f¨ ur rotationsfreie Str¨ omungsfelder, d.h. f¨ ur ω3 = 0 (siehe (10.1), das sinnvolle Einf¨ uhren eines das Geschwindigkeitsfeld treibenden Potentials best¨ atigt. Setzt man die Beziehungen (10.3) in die zweidimensionale Kontinuit¨ atsgleichung (5.18) f¨ ur ρ = const ein, so erhält man f¨ ur das Geschwindigkeitspotential die Laplace-Gleichung

10.1 Potential- und Stromfunktion

∂2Φ ∂2Φ + = 0. ∂x21 ∂x22

305

(10.5)

F¨ ur die Bestimmung zweidimensionaler Potentialfelder ist es ausreichend, die Gleichungen (10.3) und (10.5) zu l¨ osen, d.h. zur Bestimmung des Geschwindigkeitsfeldes ist es nicht erforderlich, die in Geschwindigkeitstermen formulierten Navier-Stokes-Gleichungen zu l¨ osen. Diese Gleichungen bzw. andere in Kapitel 5.8.1 abgeleitete Gleichung m¨ ussen jedoch herangezogen werden, um das Druckfeld zu bestimmen. Die L¨ osung der partiellen Differentialgleichungen (10.5) f¨ ur das Geschwindigkeitspotential erfordert an der Str¨ omungsberandung die Randbedingung ∂Φ = 0, ∂n

(10.6)

wobei n der Normaleneinheitsvektor an jedem Punkt der Strömungsberandung ist. Ist das Geschwindigkeitspotential oder Potentialfeld Φ als Lösung der Gleichung (10.5) erhalten worden, lassen sich die Geschwindigkeitskomponenten U1 und U2 durch partielle Differentiationen, entsprechend den Beziehungen (10.3) f¨ ur jeden Punkt des Str¨ omungsfeldes bestimmen. Danach erfolgt die Druckbestimmung u ¨ ber die Euler-Gleichungen, d.h. u ¨ ber die Energiegleichung f¨ ur viskosit¨ atsfreie Fluide. Die Druckbestimmung kann jedoch auch u ¨ ber die integrierte Form der Euler-Gleichungen erfolgen, die zur instati” on¨ aren Bernoulli-Gleichung“ f¨ uhrt. Die obigen Darstellungen verdeutlichen, dass die Einf¨ uhrung der Rotationsfreiheit des Str¨ omungsfeldes zu wesentlichen Vereinfachungen der L¨ osungsans¨ atze f¨ ur die Grundgleichungen f¨ ur Strömungsprobleme gef¨ uhrt hat. Die Gleichungen, die es f¨ ur das Str¨ omungsfeld zu lösen gilt, sind linear, und sie k¨ onnen, entkoppelt vom Druckfeld, gelöst werden. Die Linearit¨ at der zu l¨ osenden Gleichungen ist eine wichtige Eigenschaft, da sie die Superposition von Einzell¨ osungen der Gleichungen zulässt, um auch Lösungen komplexer Str¨ omungsfelder zu erhalten. Dieses Lösungsprinzip wird in den nachfolgenden Abschnitten ausf¨ uhrlich angewandt werden. In den Ableitungen der obigen Gleichungen f¨ ur zweidimensionale Potentialstr¨ omungen wurde die Potentialfunktion so eingef¨ uhrt, dass die Rotationsfreiheit des Str¨ omungsfeldes identisch erf¨ ullt war. Die Einf¨ uhrung der Potentialfunktion Φ in die Kontinuit¨ atsgleichung f¨ uhrte dann zur zweidimensionalen Laplace-Gleichung; nur solche Funktionen Φ, welche diese Gleichung erf¨ ullen, sind als L¨ osungen der Grundgleichungen rotationsfreier Strömungen anzusehen. ¨ Uber ein zu dem oben angegebenen Vorgehen zur Einf¨ uhrung der Potentialfunktion Φ ¨ ahnliches Verfahren ist es möglich, f¨ ur zweidimensionale Str¨ omungen inkompressibler Fluide eine zweite wichtige Funktion einzuf¨ uhren, die sogenannte Stromfunktion Ψ . Diese wird so definiert, dass durch

306


die Stromfunktion die zweidimensionale Kontinuitätsgleichung automatisch erf¨ ullt ist, d.h.: ∂Ψ ∂Ψ U1 = und U2 = − . (10.7) ∂x2 ∂x1 Diese Beziehung in die Kontinuit¨ atsgleichung eingesetzt, zeigt direkt, dass die nach (10.7) eingef¨ uhrte Stromfunktion Ψ diese Gleichung erf¨ ullt; per Definitionem ist dies f¨ ur rotationsbehaftete und rotationsfreie zweidimensionale Str¨ omungsfelder der Fall. Will man die Stromfunktion einer rotationsfreien Strömung, einer Potentialstr¨ omung, analytisch bzw. numerisch bestimmen, so muss Ψ eine Lösung der Laplace-Gleichung ∂2Ψ ∂ 2Ψ + =0 (10.8) ∂x21 ∂x22 sein, wie sich durch Einsetzen der Gleichungen (10.7) in die Bedingung f¨ ur die Drehungsfreiheit ∂U2 ∂U1 − =0 ∂x1 ∂x2 ableiten l¨ asst. Die Stromfunktion Ψ f¨ ur zweidimensionale Potentialströmungen erf¨ ullt die zweidimensionale Laplace-Gleichung, ¨ ahnlich der Potentialfunktion Φ. Die Stromfunktion hat eine Reihe von Eigenschaften, die sich n¨ utzlich f¨ ur die Behandlung von zweidimensionalen Str¨ omungsproblemen erweisen. So sind Linien konstanter Stromfunktionswerte Bahnlinien des Strömungsfeldes, wenn station¨ are Str¨ omungsbedingungen vorliegen. Dies lässt sich ableiten, indem man das totale Differential von Ψ angibt: dΨ =

∂Ψ ∂Ψ dx1 + dx2 . ∂x1 ∂x2

F¨ ur Ψ = const ist dΨ = 0 und damit ergibt sich: dx2 U2 (∂ψ/∂x1 ) = =− . dx1 Ψ =const (∂Ψ/∂x2 ) U1

(10.9)

(10.10)

Dies ist die Beziehung f¨ ur die Steigung der Tangente der betrachteten Stromlinie, aber auch f¨ ur die Steigung der Bahnlinie eines Fluidelementes. Danach wird die gesamte Schar von Stromlinien eines Geschwindigkeitsfeldes durch alle m¨ oglichen Ψ −Werte beschrieben. Eine weitere wichtige Eigenschaft der Stromfunktion wird durch die Tatsache deutlich, dass die Differenz der Stromfunktionswerte zweier Stromlinien den Volumenstrom angibt, der zwischen den Stromlinien fließt. Dies lässt sich anhand der Abb. 10.2 ableiten, die zwei Stromlinien zeigt, welche durch eine Kontrolllinie AB miteinander verbunden sind.

10.1 Potential- und Stromfunktion

307

Abbildung 10.2: Schematische Darstellung der Str¨ omung zwischen Stromlinien

Berechnet man den Volumenstrom, der die Kontrollfläche in Strömungsrichtung f¨ ur eine Fl¨ ache AB mit der Tiefe 1 passiert, so erhält man: "B

"B U1 dx2 −

Q˙ = A

"B U2 dx1 = (U1 dx2 − U2 dx1 ).

A

(10.11)

A

Es gilt jedoch: dΨ = U1 dx2 − U2 dx1 , so dass geschrieben werden kann: "B "B Q˙ = (U1 dx2 − U2 dx1 ) = dΨ = ΨB − ΨA . A

(10.12)

A

Es sei erw¨ ahnt, dass aus der Aussage Linien Ψ = const sind Stromlinien des Str¨ omungsfeldes nat¨ urlich sofort die Bedingung folgt, dass feste Wände tangential zu Linien Ψ = const verlaufen m¨ ussen. Aus der im folgenden Abschnitt ¨ gezeigten Orthogonalit¨ at von Aquipotentialund Stromlinien ergibt sich da¨ mit sofort, dass Aquipotentiallinien immer senkrecht auf festen Wänden stehen m¨ ussen. Betrachtet man die f¨ ur zweidimensionale Potentialströmungen angebbaren Stromlinien im Zusammenhang mit den Potentiallinien des selben Str¨ omungsfeldes, d.h. Linien mit Φ = const, so stellt man fest, dass diese orthogonal zueinander liegen. Dies l¨ asst sich zeigen, indem man das totale Differential dΦ angibt, dΦ =

∂Φ ∂Φ dx1 + dx2 , ∂x1 ∂x2

(10.13)

bzw. dieses unter Ber¨ ucksichtigung von Gleichung (10.3) wie folgt schreibt: dΦ = U1 dx1 + U2 dx2 .

(10.14)

308


Die Linien Φ = const sind somit gegeben durch dx2 U1 =− . dx1 Φ=const U2 Ein Vergleich der Beziehungen (10.10) und (10.15) ergibt: dx2 1 = − dx2 dx1 Φ dx1 Ψ

(10.15)

(10.16)

¨ Da die Steigung der Aquipotentiallinien gleich dem negativen Reziprokwert der Steigung der Stromlinien ist, bilden diese Linien ein orthogonales Netz. Die Geschwindigkeit entlang einer Stromlinie lässt sich berechnen als: ∂Φ Us = (10.17) ∂s Ψ Diese Beziehung findet oftmals bei Untersuchungen von Strömungsfeldern ¨ Anwendung, f¨ ur die Werte von Stromlinien und Aquipotentiallinien errechnet wurden bzw. aus Messungen erhaltene Werte vorliegen. Aus den obigen Ableitungen ist verst¨ andlich, dass eine Stromfunktion Ψ berechenbar ist, falls die Potentialfunktion Φ bekannt ist und dass auch umgekehrt die Potentialfunktion Φ beim Vorliegen der Stromfunktion Ψ ermittelt werden kann. Die Vorgehensweise zur Ermittlung der einen Funktion aus der anderen ist entsprechend der unten aufgef¨ uhrten Einzelschritte f¨ ur die Ermittlung der Stromfunktion zu sehen. – – –

An der bekannten Potentialfunktion Φ(x, y) wird zunächst u uft, ob ¨berpr¨ sie eine L¨ osung der Gleichung (10.5) darstellt. Durch partielles Ableiten nach x1 und x2 werden die Geschwindigkeitskomponenten U1 und U2 bestimmt, entsprechend den Beziehungen (10.3). Daraus l¨ asst sich die Steigung der Equipotentiallinien bestimmen, siehe (10.15) dx2 U1 =− dx1 Φ U2

–

Aus (10.16) folgt f¨ ur die Steigung der Stromlinien: U2 dx2 = dx1 Ψ U1

–

Durch Integration dieser Beziehung wird der Verlauf der Stromlinien erhalten. Diese sind Linien konstanter Ψ −Werte.

10.2 Potentialstr¨ omungen und komplexe Funktionen

309

10.2 Potentialstr¨ omungen und komplexe Funktionen Die Darstellungen im Abschnitt 10.1 haben gezeigt, dass die Geschwindigkeiten U1 und U2 f¨ ur rotationsfreie, zweidimensionale Strömungen inkompressibler und viskosit¨ atsfreier Fluide als partielle Ableitungen der Stromfunktion und der Potentialfunktion angegeben werden können: U1 =

∂Φ ∂Ψ = ∂x1 ∂x2

(10.18)

U2 =

∂Φ ∂Ψ =− . ∂x2 ∂x1

(10.19)

und

Aufgrund ihrer Definition gen¨ ugen die Strom- und Potentialfunktion den Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen ∂Φ ∂Ψ = , ∂x1 ∂x2

(10.20)

∂Φ ∂Ψ =− . ∂x2 ∂x1

(10.21)

Dies bringt zum Ausdruck, dass eine komplexe, analytische Funktion F (z) (s. Kap. 2.11.6) angegeben werden kann, in der Φ(x, y) den Realteil und Ψ (x, y) den Imagin¨ arteil der Funktion darstellen. F (z) wird als das komplexe Potential des Geschwindigkeitsfeldes bezeichnet F (z) = Φ(x, y) + iΨ (x, y),

(10.22)

wobei x = x1 und y = x2 zu sehen ist und z = x + iy einen Punkt in der komplexen Zahlenebene angibt. Umgekehrt kann gesagt werden, dass f¨ ur jede analytische Funktion gilt, dass ihr Realteil automatisch das Potential eines Str¨ omungsfeldes darstellt, dessen Stromlinien durch den Imagin¨ arteil der komplexen Funktion beschrieben werden. Konsequenterweise ergibt sich, dass jeder Realteil einer analytischen Funktion und auch der Imagin¨ arteil, jeder f¨ ur sich, die zweidimensionale Laplace-Gleichung erf¨ ullen. Analytische Funktionen, wie sie in der Funktionstheorie behandelt werden, k¨ onnen somit zur Beschreibung von Potentialströmungen herangezogen werden. Setzt man ihren Realteil (x, y) gleich der Potentialfunktion Φ(x, y) und den Imagin¨ arteil Im(x, y) gleich der Stromfunktion Ψ (x, y), so sind die ¨ Aquipotentialund die Stromlinien angebbar. Durch dieses Vorgehen werden L¨ osungen zu Str¨ omungsproblemen erhalten, ohne dass partielle Differentialgleichungen gel¨ ost werden m¨ ussen. Die dabei angestrebte inverse Vorgehensweise zur L¨ osung von Str¨ omungsproblemen, nämlich eine bekannte Lösung der Potentialgleichung als Str¨ omung zu interpretieren, wird aufgrund der offensichtlichen Vorteile dieser Vorgehensweise als erstrebenswert angesehen.

310


Aus einem komplexen Potential F (z) l¨ asst sich durch Differentiation eine komplexe Geschwindigkeit ableiten. Da F (z) eine analytische Funktion darstellt, also stetig und stetig ableitbar ist, muss die Ableitung unabhängig von der Richtung sein in der sie bestimmt wird, wie im folgenden gezeigt wird. Da aufgrund der Stetigkeit von F (z) gilt dF = dz

lim ∆z→0

∆F ∆F = lim ∆z→0 (z + ∆z) − z ∆z = lim

∆z→0

∆F (x + ∆x) + i(y + ∆y) − (x + iy)

und man frei ist, den Weg zu w¨ ahlen, auf dem ∆z gegen Null geht (die Ableitung muss unabh¨ angig von dem gew¨ ahlten Weg sein), können auch folgende speziellen Wege in Betracht gezogen werden: ∆y = 0 :

dF dz

= lim

∆x = 0 :

dF dz

= lim

∆x→0

∂F ∆F ∆F = lim = (x + ∆x) + iy − (x + iy) ∆x→0 ∆x ∂x

∆F ∆F = lim x + i(y + ∆y) − (x + iy) ∆y→0 i∆y ∂F ∂F = −i = i∂y ∂y ∆y→0

Die Ableitung des komplexen Potentials F (z) lautet damit f¨ ur x = x1 : w(z) =

∂Φ dF (z) ∂Ψ = +i dz ∂x1 ∂x1

(10.23)

oder in Geschwindigkeitskomponenten ausgedr¨ uckt: w(z) = U1 − iU2 .

(10.24)

¨ Es gilt aufgrund der obigen Uberlegungen ebenfalls w(z) =

dF (z) ∂Φ ∂Ψ = +i dz i∂x2 i∂x2

(10.25)

oder nach Umformung unter Ber¨ ucksichtigung von i2 = −1 w(z) =

∂Ψ ∂Φ −i = U1 − iU2 . ∂x2 ∂x2

(10.26)

Die oben angegebenen Beziehungen werden in den nachfolgenden Abschnitten genutzt, um diverse Potentialstr¨ omungen zu untersuchen. Hierbei kommt gelegentlich zur Anwendung, dass die komplexe Zahl z auch in Zylinderkoordinaten (r, ϕ) angegeben werden kann:

10.3 Gleichf¨ ormige Str¨ omung

z = re(iϕ) = r cos ϕ + ir sin ϕ.

311

(10.27)

Zwischen den Geschwindigkeitskomponenten in kartesischen Koordinaten und in Zylinderkoordinaten gelten die bekannten Beziehungen: U1 = Ur cos ϕ − Uϕ sin ϕ

(10.28)

U2 = Ur sin ϕ + Uϕ cos ϕ

(10.29)

Damit ergibt sich f¨ ur die komplexe Geschwindigkeit: dF (z) = U1 − iU2 = (Ur cos ϕ − Uϕ sin ϕ) (10.30) dz −i(Ur sin ϕ + Uϕ cos ϕ) = Ur (cos ϕ − i sin ϕ) − iUϕ (cos ϕ − i sin ϕ)

w(z)=

w(z) = (Ur − iUϕ )e(−iϕ) .

(10.31)

10.3 Gleichfo ¨rmige Stro ¨mung Die wohl einfachste analytische Funktion F (z), wenn man von einer Konstanten absieht, ist die Funktion, die direkt zu z proportional ist und deren Proportionalit¨ atskonstante eine reelle Zahl ist: F (z) = U0 z = U0 (x + iy)

(10.32)

Diese analytische Funktion beschreibt eine Str¨ omung mit folgender Potentialund Stromfunktion: Φ(x, y) = U0 x

und

Ψ (x, y) = U0 y.

(10.33)

¨ Uber die komplexe Geschwindigkeit erh¨ alt man: w(z) =

dF (z) = U0 = U1 − iU2 dz

(10.34)

oder U1 = U0 und U2 = 0 d.h. das komplexe Potential F (z) in Gleichung (10.32) beschreibt eine gleichf¨ ormige Str¨ omung parallel zur x1 −Achse bzw. x−Achse. Diese Str¨ omung ist in Abb. (10.3a) skizziert, derart dass die Stromlinien der Str¨ omung gezeigt sind. Bez¨ uglich des Geschwindigkeitsfeldes gilt, dass in jedem Punkt des Str¨ omungsgebietes die Geschwindigkeit den Wert U1 = U0 und U2 = 0 besitzt. Die Abbildung 10.3 zeigt die Stromlinien Ψ = const, wobei die Pfeile die Geschwindigkeitsrichtung angeben. Die Potentiallinien Φ = const sind in der Abbildung nicht aufgef¨ uhrt. Sie stellen Linien parallel zur x2 -Achse dar. Ist die Proportionalit¨ atskonstante in (10.32) imaginär, d.h. es gilt:

312


Abbildung 10.3: Gleichf¨ ormige Str¨ omung in (a) x1 −Richtung, (b) x2 −Richtung und (c) in Richtung des Winkels α relativ zur x1 −Richtung

F (z) = iV0 z = V0 (−y + ix)

(10.35)

so erh¨ alt man f¨ ur die Potential- und Stromfunktionen: Φ(x, y) = −V0 y

und

Ψ (x, y) = V0 x

(10.36)

F¨ ur die komplexe Geschwindigkeit errechnet sich: w(z) = iV0 = U1 − iU2

(10.37)

oder U1 = 0 und U2 = −V0 d.h. in diesem Fall beschreibt das komplexe Potential eine zur x2 −Achse bzw. y−Achse parallele Strömung, die in Richtung der negativen Achse erfolgt, siehe Abb. 10.3b. Liegt eine Str¨ omung in der in Abb. 10.3c angedeuteten Richtung vor, so lautet das komplexe Potential: F (z) = (U0 − iV0 )z = (U0 − iV0 )(x + iy).

(10.38)

Es ergeben sich hieraus folgende Beziehungen f¨ ur Φ(x, y) und Ψ (x, y): Φ(x, y) = U0 x + V0 y

und

Ψ (x, y) = U0 y − V0 x

¨ Uber die komplexe Geschwindigkeit errechnet sich:

10.4 Ecken- und Sektorstr¨ omung

w(z) = U0 − iV0 = U1 − iU2

313

(10.39)

U1 = U0 und U2 = V0 , ein Geschwindigkeitsfeld, das in Abb. 10.3c skizziert ist.

10.4 Ecken- und Sektorstr¨ omung Potentialstr¨ omungen um Ecken oder in Sektoren von Winkeln werden durch ur ein komplexes Potential beschrieben, das proportional zu z n ist, wobei f¨ n ≤ 1 Str¨ omungen um Kanten beschrieben werden, während f¨ ur n ≥ 1 Str¨ omungen in Sektoren von Winkeln πn erhalten werden. Dies soll in den nachfolgenden Betrachtungen abgeleitet und erläutert werden. Die Ableitungen bauen auf dem folgenden komplexen Potential auf: F (z) = Cz n .

(10.40)

Ersetzt man z durch z = re(iϕ) und teilt das komplexe Potential nach Realund Imagin¨ arteil auf, so erh¨ alt man F (z) = C [rn cos(nϕ) + irn sin(nϕ)] .

(10.41)

Danach lassen sich Potential- und Stromfunktionen wie folgt angeben: Φ(r, ϕ) = Crn cos(nϕ)

und Ψ (r, ϕ) = Crn sin(nϕ).

(10.42)

Abbildung 10.4: Allgemeine Bezeichnung f¨ ur Ecken- und Kantenstr¨ omungen

Die resultierende Beziehung f¨ ur die Stromfunktion in (10.42) verdeutlicht, dass Ψ (r, ϕ) die Werte Ψ = 0 f¨ ur ϕ = 0 und f¨ ur ϕ = π/n annimmt. Dies

314


bedeutet, dass die Linien ϕ = 0 und ϕ = π/n die Stromlinie Ψ = 0 darstellen, und hier als Wandungen des Str¨ omungsfeldes betrachtet werden. Dazwischen sind die Stromlinien f¨ ur Ψ = rn sin(nϕ) = const angegeben. Diese resultieren in Stromlinienverl¨ aufen, wie sie in Abb. 10.4 angegeben sind. Die diesem Str¨ omungsfeld zuzuordnenden Geschwindigkeitskomponenten lassen sich in Zylinderkoordinaten wie folgt ausdr¨ ucken: w(z) =

dF (z) = nCz (n−1) = nCr(n−1) e{i(n−1)ϕ} dz

(10.43)

oder umgeschrieben: w(z) = nCr(n−1) (cos(nϕ) + i sin(nϕ)) e(−iϕ) ,

(10.44)

so dass angegeben werden kann (s. Gleichung (10.31)): Ur = nCr(n−1) cos(nϕ)

und

Uϕ = −nCr(n−1) sin(nϕ).

(10.45)

alt man Str¨ omungsvorg¨ ange, wie sie in Abb. 10.5a und F¨ ur 12 < n < 1 erh¨ 10.5b skizziert sind. Es handelt sich um Str¨ omungen um Kanten, die im allgemeinen als Eckenumstr¨ omungen bezeichnet werden. F¨ ur 23 < n < 1 werden Umstr¨ omungen stumpfwinkeliger Ecken durch (10.40) beschrieben und f¨ ur 1 2 < n ≤ erfolgt eine Darstellung, welche die Umstr¨ o mung spitzwinkeliger 2 3 Ecken umfasst.

Abbildung 10.5: (a) Umstr¨ omung spitzwinkeliger Ecken und (b) Umstr¨ omung stumpfwinkeliger Ecken

F¨ ur 1 < n < ∞ resultieren aus dem komplexen Potential F (z) = Cz n Str¨ omungen in Winkelsektoren, wie sie in Abb. 10.6a f¨ ur stumpfwinkelige

10.4 Ecken- und Sektorstr¨ omung

315

Abbildung 10.6: (a) Str¨ omung im stumpfwinkeligen Winkelsektor und (b) Str¨ omung im spitzwinkeligen Winkelsektor

(1 < n < 2) und f¨ ur spitzwinkelige (2 ≤ n ≤ ∞) Winkelsektoren in Abb. 10.6b skizziert sind. Da f¨ ur 0 < ϕ < (π/2n) Ur stets positiv ist, während Uϕ in diesem Bereich negative Werte annimmt und da f¨ ur (π/2n) < ϕ < (π/n), Ur negativ wird und Uϕ negativ bleibt, ergeben sich die in Abb. 10.6 skizzierten Verl¨ aufe der Strom- und Potentiallinien. Die Ebenen ϕn = 0 und ϕn = π/n stellen eine Stromlinie dar. Entlang dieser Stromlinie gibt es keine Geschwindigkeitskomponente in Richtung der Normalen. Die Geschwindigkeit ¨ andert sich allerdings entlang der Berandungsstromlinie. Die Str¨ omung in einem Winkelsektor mit spitzem Winkel unterscheidet sich von der Str¨ omung in einem stumpfwinkeligen Strömungsbereich nur durch den Exponenten n im komplexen Geschwindigkeitspotential. Aus den obigen Ableitungen ist ersichtlich, dass das komplexe Potential (10.40) f¨ ur n = 1 auch die in Abschnitt 10.3 behandelte, gleichförmige Str¨ omung einschließt. Ein weiterer wichtiger Sonderfall ist die Umströmung einer d¨ unnen Platte, die als Umstr¨ omung einer Kante mit dem Winkel 360o behandelt werden kann, d.h. durch das komplexe Potential 1

F (z) = Cz ( 2 )

(10.46)

beschrieben wird. Die Proportionalit¨ atskonstante ist reell, und der von der Str¨ omung eingenommene Winkelbereich ist 0 ≤ ϕ ≤ 2π. In Zylinderkoordinaten l¨ asst sich das komplexe Potential wie folgt schreiben: 1

ϕ

F (z) = Cr( 2 ) e(i 2 ) .

(10.47)

316


Die Potential- und Stromfunktionen lassen sich wie folgt angeben: ϕ ϕ 1 1 Φ(r, ϕ) = Cr 2 cos und Ψ (r, ϕ) = Cr 2 sin . 2 2

(10.48)

Von der Beziehung f¨ ur die Stromfunktion ist ableitbar, dass die Linien ϕ = 0 und ϕ = 2π der Stromlinie Ψ = 0 entsprechen. Die Stromlinien f¨ ur andere ϕ−Werte werden durch die Stromfunktion in (10.48) beschrieben und sind in ¨ Abb. 10.7 skizziert. Mit aufgef¨ uhrt sind die Aquipotentiallinien, die gleichfalls nach (10.44) berechenbar sind. Durch Ableitung des komplexen Potentials wird die komplexe Strömungsgeschwindigkeit erhalten: ϕ C C dF (z) = ( 1 ) = ( 1 ) e(−i 2 ) dz 2z 2 2r 2

(10.49)

ϕ ϕ C cos + i sin e(−iϕ) . 1 ) ( 2 2 2 2r

(10.50)

w(z) = oder umgeschrieben w(z) =

Damit errechnen sich die Geschwindigkeitskomponenten wie folgt: ϕ ϕ C C cos sin = − Ur = und U . ϕ 1 1 2 2 2r( 2 ) 2r( 2 )

x

iy

(10.51)

2

y r x

j

j n

n

= 0 x

= 2 p

1

x

Abbildung 10.7: Potentialstr¨ omung um die Kante einer unendlich d¨ unnen Platte

Diese Beziehungen verdeutlichen, dass die Geschwindigkeitskomponente Uϕ f¨ ur 0 < ϕ < 2π negativ ist, w¨ ahrend Ur f¨ ur 0 < ϕ < π positiv und f¨ ur π < ϕ < 2π negativ ist. Dies f¨ uhrt zu dem in Abb. 10.7 angegebenen Strömungsverlauf.

10.5 Quellen- bzw. Senkenstr¨ omung und Potentialwirbel

317

Als ein wichtiges Ergebnis der obigen Ableitungen kann erhalten werden, dass das Geschwindigkeitsfeld im Ursprung eine Singularität besitzt. Diese wird durch die Umstr¨ omung der Plattenkante verursacht. Sie zeichnet sich durch Extremwerte des Geschwindigkeitsfeldes aus. Die Beträge beider Geschwindigkeitskomponenten streben f¨ ur r → 0 dem Wert ∞ zu.

10.5 Quellen- bzw. Senkenstro ¨mung und Potentialwirbel W¨ ahlt man ein komplexes Potential F (z), das proportional dem nat¨ urlichen Logarithmus von z ist, so erh¨ alt man bei der Wahl einer reellen Proportionalit¨ atskonstanten, je nach Wahl eines positiven bzw. negativen Vorzeichens, das komplexe Potential einer Quellen- bzw. einer Senkenströmung: F (z) = ±C ln z

(10.52)

F (z) = ±C [ln r + iϕ] = Φ + iΨ.

(10.53)

bzw. mit z = re(iϕ)

F¨ ur die Potential- und Stromfunktionen erh¨ alt man somit: Φ(r, ϕ) = ±C ln r Φ(x, y) = ±C ln

Ψ (r, y) = ±Cϕ

x2 + y 2 Ψ (x, y) = ±C arctan

y x

(10.54)

¨ Diese Gleichungen zeigen, dass die Aquipotentiallinien Kreise mit r = const darstellen, w¨ ahrend die Stromlinien Radiallinien mit ϕ = const. präsentieren. Berechnet man die komplexe Geschwindigkeit: w(z) =

1 (x − iy) dF (z) = ±C = ±C 2 , dz z x + y2

(10.55)

so erh¨ alt man f¨ ur die Geschwindigkeitskomponenten: w(z) = oder: U1 =

±C (x − iy) = U1 − iU2 x2 + y 2

±Cx x2 + y 2

und

U2 =

±Cy . x2 + y 2

(10.56)

(10.57)

In Gleichung (10.55) kann w(z) auch geschrieben werden: w(z) =

±C C = ± e(−iϕ) . z r

Ein Vergleich von (10.58) mit (10.31) zeigt, dass gilt:

(10.58)

318

10 Potentialstr¨ omungen c o n st

c o n st

Abbildung 10.8: Darstellung der Potential- und Stromlinien f¨ ur Quellenstr¨ omungen

Ur = ±

C r

und Uϕ = 0.

(10.59)

Die Geschwindigkeitskomponente Ur nimmt mit 1/r ab, hat jedoch im Ursprung r = 0 eine Singularit¨ at. Es entsteht so eine Str¨ omung, die in Abb. 10.8 f¨ ur die Quellenströmung angegeben ist und die rein radial ist. Der pro Zeiteinheit und Einheitstiefe der Quelle freigesetzte Volumenstrom, der die St¨ arke der Quelle kennzeichnet, ist gegeben durch: "2π Q˙ =

Ur r dϕ = C2π,

(10.60)

0

so dass das komplexe Potential f¨ ur die Quellen- bzw. Senkenströmung, wie folgt geschrieben werden kann: F (z) = ±

Q˙ ln z 2π

(+) = Quellenströmung (−) = Senkenströmung

(10.61)

Liegt die Quelle bzw. Senke nicht im Ursprung des Koordinatensystems, sondern im Punkt z0 , so erh¨ alt man: F (z) = ±

Q˙ ln(z − z0 ). 2π

(10.62)

10.5 Quellen- bzw. Senkenstr¨ omung und Potentialwirbel

319

Betrachtet man ein dem nat¨ urlichen Logarithmus von z proportionales Potential F (z), in dem die Proportionalit¨ atskonstante imaginär ist, so erhält man F (z) eines Potentialwirbels: F (z) = iC ln z = C(−ϕ + i ln r).

(10.63)

F¨ ur die Potential- und Stromfunktion l¨ asst sich hieraus angeben: Φ(r, ϕ) = −Cϕ

und Ψ (r, ϕ) = C ln r

bzw. Φ(x, y) = −C arctan

y x

und

Ψ (x, y) = C ln

x2 + y 2

(10.64)

(10.65)

¨ Diese Beziehungen zeigen, dass die Aquipotentiallinien radiale Linien ϕ = const darstellen, w¨ ahrend die Stromlinien Kreise mit r = const sind. F¨ ur die komplexe Geschwindigkeit l¨ asst sich angeben: w(z) =

1 C dF (z) = iC = i e(−iϕ) . dz z r

(10.66)

Durch Vergleich der Gleichungen (10.66) und (10.31) ergibt sich Ur = 0

und

Uϕ = −

C . r

(10.67)

Das resultierende Str¨ omungsfeld ist das eines Potentialwirbels mit der charakteristischen Abnahme der Umfangsgeschwindigkeit mit dem Abstand vom Wirbelkern. Kennzeichnet man die St¨ arke des Potentialwirbels durch die Zirkulation Γ , so gilt: ' Γ =

"2π Uϕ r dϕ = −2πC

Us ds =

(10.68)

0

Damit l¨ asst sich der in mathematisch positive Richtung drehende Potentialwirbel (Γ ist positiv), wie folgt, durch sein komplexes Potential angeben: F (z) = −

Γ i ln z 2π

(10.69)

Bei positivem Vorzeichen ergibt sich ein in mathematisch negative Richtung drehender Potentialwirbel mit der Zirkulation. Der Potentialwirbel ist streng von Wirbelbewegungen zu unterscheiden, deren Str¨ omungsfelder rotationsbehaftet sind, wie z.B. Wirbel, bei denen sich das gesamte Str¨ omungsfeld analog einer Festkörperrotation ausbildet. Das Str¨ omungsfeld des Potentialwirbels ist rotationsfrei. Die gesamte Zirkulation ist auf die Wirbelkernlinie beschr¨ ankt, wo die gesamte Rotation lokalisiert ist.

320


G > 0

G
(4πU0 R) gilt, kann sich der Staupunkt der Str¨ omung nicht mehr entlang der Zylindermantelfl¨ ache ausbilden; es kommt zur Ausbildung eines freien Staupunktes“ ” im Str¨ omungsfeld. Die Lage dieses Punktes kann f¨ ur Ur = 0 und Uϕ = 0 aus den obigen Gleichungen f¨ ur die Geschwindigkeitskomponenten errechnet werden, d.h. aus: R2 (10.101) U0 1 − 2 cos ϕs = 0 rs und

Γ R2 U0 1 + 2 sin ϕs = − . rs 2πrs

(10.102)

Da rs = R, d.h. die Ausbildung des freien Staupunktes auf der Mantelfläche wird ausgeschlossen, kann die erste der beiden obigen Gleichungen nur f¨ ur 3 erf¨ ullt werden. Damit lautet die zweite Bestimmungsgleiϕs = π2 oder 2π chung f¨ ur die Lagekoordinaten des freien Staupunktes“: ” R2 Γ U0 1 + 2 = ± (10.103) rs 2πrs Da Γ > 0 in der obigen Gleichung anzunehmen ist, und die linke Seite der Gleichung nur positive Werte annehmen kann, ergibt nur das positive Vorzeichen der obigen Gleichung mit den Anforderungen an die Strömung vertr¨ agliche Werte, d.h. die Bestimmungsgleichung f¨ ur rs lautet:

328


R2 Γ U0 1 + 2 = rs 2πrs

(10.104)

oder umgeschrieben rs2 −

Γ rs + R2 = 0. 2πU0

Als L¨ osung dieser Gleichung erh¨ alt man: # 2 Γ Γ rs = ± − R2 . 4πU0 2πU0

(10.105)

(10.106)

Damit ergeben sich die Lagekoordinaten des freien Staupunktes als:   # 2 rs Γ R 3π 2πU 0 1 + 1 − . und = ϕs = (10.107) 2 R 4πU0 R Γ Das negative Vorzeichen der Wurzel in der L¨ osung f¨ ur rs wurde in der Angabe der Lagekoordinaten f¨ ur den freien Staupunkt weggelassen, da dieses zu einem Radius f¨ uhren w¨ urde, der innerhalb der Zylindermantelfläche liegt. Da nur die Zylinderumstr¨ omung interessiert, ist diese zweite Lösung der quadratischen Gleichung f¨ ur rs nicht von Interesse. Des Weiteren wurde von der L¨ osung f¨ ur die Lagekoordinaten des freien ur π/2 beStaupunktes ausgeschlossen, dass der Winkel ϕs auch eine Lösung f¨ sitzt. Die Begr¨ undung hierf¨ ur liegt in der Tatsache, dass f¨ ur Γ/(2πU0 R) = 1 der Staupunkt nur im unteren Scheitelpunkt der Zylindermantelfläche als L¨ osung auftritt. Ein Einbeziehen der L¨ osung f¨ ur ϕs = π/2 w¨ urde bedeuten, dass eine kleine Erh¨ ohung der Zirkulation, derart dass die normierte Zirkulation einen Wert gr¨ oßer als 1 erh¨ alt, zu einem Sprung des Staupunktes vom unteren zum oberen Scheitelpunkt f¨ uhren w¨ urde. Betrachtungen zur Stabilit¨ at der Lage der Staupunkte zeigen allerdings, dass nur der untere osung existieren kann. Staupunkt, d.h. ϕs = (3π)/2 als stabile L¨ ¨ Durch die Uberlagerung der Zylinderumstr¨ omung mit einem Potentialwirbel ist ein Str¨ omungsfeld entstanden, das wiederum bez¨ uglich der y−Achse symmetrisch ist. Damit ist wiederum festgelegt, dass die Zylindermantelfläche durch die Umstr¨ omung keine in Str¨ omungsrichtung wirkende resultierende Kraft erh¨ alt, d.h. es tritt keine Widerstandskraft durch die Strömung auf. Durch die Zirkulation ist jedoch eine asymmetrische Strömung in Bezug auf die x−Achse entstanden und dies f¨ uhrt zu einer Auftriebskraft, d.h. zu einer nach oben gerichteten resultierenden Kraft auf den Zylinder. Da die Geschwindigkeitskomponenten auf der oberen Seite des Zylinders größer als auf der Unterseite sind, ergibt sich durch die Bernoulli-Gleichung ein auf der ¨ Unterseite vorherrschender Uberdruck, der eine nach oben gerichtete resultierende Str¨ omungskraft bewirkt. Die quantitative Bestimmung dieser Kraft erfordert Integralbeziehungen, wie sie im Abschnitt 10.10 angegeben werden.

10.9 Zusammenfassung wichtiger Potentialstr¨ omungen

329

10.9 Zusammenfassung wichtiger Potentialstr¨ omungen In den vorausgegangenen Darstellungen wurden eine Reihe von Potentialstr¨ omungen behandelt, die als Grundstr¨ omungen bekannt sind, und deren Behandlung einen Einblick in die sich abspielenden Strömungsvorgänge gibt. In der nachfolgend angegebenen Tabelle sind neben den bereits ausf¨ uhrlich diskutierten Beispielen weitere analytische Funktionen angegeben, die sich f¨ ur Ableitungen von Potential- und Stromfunktionen und den entsprechenden Geschwindigkeitsfeldern von Potentialströmungen nutzen lassen. Durch Gleichsetzen der angegebenen Potential- oder Stromfunktionswerte ¨ mit einer Konstanten lassen sich Aquipotentialoder Stromlinien der Potentialstr¨ omung angeben. Die Vorgehensweise bei den Ableitungen strömungsmechanisch interessanter Gr¨ oßen soll hier nochmals kurz anhand der der Tabelle entnommenen Quellen-Senken-Str¨ omung dargestellt werden. Beispiel:

F (z) =

Q˙ Q˙ ln z = (ln r + iϕ) ; 2π 2π

z = x + iy = reiϕ

Potential:

Φ=

Q˙ Q˙ ln r = ln x2 + y 2 2π 2π

Stromfunktion:

Ψ=

Q˙ Q˙ y ϕ= arctan 2π 2π x

Geschwindigkeit:

u=

Q˙ x ∂Φ ∂Ψ = = ∂x 2π x2 + y 2 ∂y

Q˙ y ∂Ψ ∂Φ = =− 2 2 ∂y 2π x + y ∂x # Q˙ Q˙ x2 + y 2 = c = u2 + v 2 = 2π (x2 + y 2 )2 2πr 2π ¨ Aquipotentiallinien Φ = KΦ : y = e c ·KΦ − x2 v=

Stromlinien Ψ = KΨ :

y = x tan

2π Q˙

KΨ

330


10.10 Str¨ omungskr¨ afte auf K¨ orper

331

10.10 Str¨ omungskr¨ afte auf K¨ orper Bereits in den Abschnitten 10.1 und 10.2 ist die Möglichkeit angedeutet worden, die durch Potentialstr¨ omungen auf K¨ orper wirkenden Kräfte aus der Druckverteilung entlang der K¨ orperkontur zu berechnen. Hat man, entsprechend der vorausgegangenen Abschnitte, das Geschwindigkeitsfeld einer Potentialstr¨ omung ermittelt, so liegt die Geschwindigkeitsverteilung auch entlang der K¨ orperkontur vor, die ja eine Stromlinie des Strömungsfeldes darstellt. In jedem Punkt der Str¨ omung gilt die Bernoullische Gleichung in der folgenden Form: ρ (10.108) P + (Us2 + Un2 ) = const 2 F¨ ur die Stromlinie und damit die K¨ orperkontur gilt Un = 0, also: ρ P + Us2 = const 2

(10.109)

Die Gr¨ oße Us2 l¨ asst sich aus U1 und U2 bzw. Ur und Uϕ wie folgt berechnen: Us2 = U12 + U22 = Ur2 + Uϕ2

(10.110)

Entlang der Kontur eines Str¨ omungsk¨ orpers können die folgenden Integrationen durchgef¨ uhrt werden ' ' ' ' K1 = − P cos ϕds = − P dx2 und K2 = − P sin ϕds = − P dx1 , (10.111) um die Str¨ omungskr¨ afte in die x1 - bzw. x2 -Richtung eines kartesischen Koordinatensystems zu erhalten (ϕ ist dabei der Winkel zwischen Körperkontur und x2 −Achse).

Abbildung 10.13: Str¨ omungsk¨ orper und umliegendes Kontrollvolumen

332


Bezieht man die Kr¨ afte auf die Anstr¨ omrichtung und wählt man diese so, dass sie mit der x1 −Richtung identisch ist, so resultiert K1 in der Widerstandskraft auf den K¨ orper, w¨ ahrend K2 die Auftriebskraft ergibt. Im vorliegenden Abschnitt soll der Versuch unternommen werden, u ¨ ber Berechnungsans¨ atze, welche die komplexe Geschwindigkeit verwenden, die Kr¨ afte direkt zu erhalten. Zu diesem Zweck wird ein Kontrollvolumen um den Str¨ omungsk¨ orper mit der H¨ ohe 1 senkrecht zur Strömung angenommen, wie dies in Abb. 10.13 angegeben ist. Es entsteht so ein Kontrollraum, der durch eine innere und eine äußere Kontur festgelegt ist. Die im Schwerpunkt des Strömungskörpers und in Richtung der x1 - und x2 -Achse angreifenden Strömungskräfte sind gleichfalls angegeben. Mit aufgef¨ uhrt ist das Moment, das ein Körper durch auftretende Str¨ omungskr¨ afte erhalten kann. Wendet man nun auf den in Abb. 10.13 angegebenen Kontrollraum die Impulsgleichungen in integraler Form an, wie sie in Abschnitt 8 behandelt wurden, so l¨ asst sich in Worten ausdr¨ ucken, dass die Zunahme an x1 − bzw. x2 −Impuls der Str¨ omung nur durch die in x1 − bzw. x2 −Richtung am Körper angreifenden Str¨ omungskr¨ afte verursacht werden kann. In x1 −Richtung ergibt sich: ' ' (10.112) −K1 − P dx2 = ρU1 (U1 dx2 − U2 dx1 ). C0

C0

Diese Beziehung ber¨ ucksichtigt, dass die innere Kontur des Kontrollraumes die Oberfl¨ ache eines Str¨ omungsk¨ orpers darstellt, also nicht vom Fluid durchstr¨ omt wird. Die auf die innere Kontur Ci wirkenden Druckkräfte in x1 Richtung wurden zur resultierenden Kraft K1 zusammengefasst. Die Kraft wirkt in positiver Richtung auf den K¨ orper und damit in negativer Richtung auf das Fluid; dies erkl¨ art das negative Vorzeichen vor K1 . Eine ¨ ahnliche Beziehung l¨ asst sich f¨ ur die x2 -Richtung anschreiben: ' ' −K2 + P dx1 = ρU2 (U1 dx2 − U2 dx1 ). (10.113) C0

C0

L¨ ost man die beiden Gleichungen nach den Kräften auf und formt um, so erh¨ alt man: ' 1 2 −(P + ρU12 )dx2 + ρU1 U2 dx1 (10.114) K1 = C0

'

und K2 =

1

2 (P + ρU22 )dx1 − ρU1 U2 dx2 .

(10.115)

C0

Setzt man nun die Bernoulli-Gleichung an: ρ P + (U12 + U22 ) = const 2

(10.116)


und ber¨ ucksichtigt, dass die Linienintegrale

(

(const)dx1 und

C0

(

333

(const)dx2

C0

beide gleich Null entlang einer geschlossenen Kontur sind, so erhält man f¨ ur ucke: die Kr¨ afte in x1 − und x2 −Richtung folgende Ausdr¨ ' 1 K1 = ρ U1 U2 dx1 − (U12 − U22 )dx2 (10.117) 2 C0

' K2 = −ρ

1 2 2 U1 U2 dx2 + (U1 − U2 )dx1 . 2

C0

Betrachtet man nun die Gr¨ oße: ' ' ρ ρ 2 w (z)dz = i (U1 − iU2 )2 (dx + idy) i 2 2 C0

(10.118)

C0

so erh¨ alt man: ' ' ρ 1 2 2 2 i w (z)dz = ρ U1 U2 dx1 − (U1 − U2 )dx2 2 2 C0 C0 1 2 2 + i U1 U2 dx2 + (U1 − U2 )dx1 . 2

(10.119)

Diese Gleichung zeigt, dass die Str¨ omungskr¨ afte in x1 - und x2 -Richtung, die auf einen K¨ orper einwirken, wie folgt berechnet werden können: ' ρ w2 (z)dz = K1 − iK2 . (10.120) i 2 C0

¨ Uber diese Beziehung, das Blasius-Integral f¨ ur die Strömungskräfte, lassen sich die Str¨ omungskr¨ afte auf in Potentialstr¨ omungen liegende Körper einfach berechnen. Wendet man die obige Beziehung an, um die resultierenden Kraftkomponenten auf den Zylinder mit Zirkulation zu berechnen, so erhält man, beginnend mit dem komplexen Potential: z R2 Γ ln (10.121) F (z) = U0 z + +i z 2π R f¨ ur die komplexe Geschwindigkeit: dF (z) R2 iΓ = U0 1 − 2 + . w(z) = dz z 2πz F¨ ur w2 (z) errechnet sich:

(10.122)

334


w2 (z) = U02 −

iU0 Γ R2 2U02 R2 U02 R4 iU0 Γ Γ2 − + + − z2 z4 πz πz 3 4π 2 z 2

(10.123)

oder umgeschrieben: 2

w (z) =

U02

U 2 R4 1 + 04 − 2 z z

U0 Γ R 2 Γ2 U0 Γ 2 2 − 2U0 R + 2 − i . (10.124) 4π πz 3 πz

In die Beziehung f¨ ur die Komponenten K1 und K2 der Strömungskraft eingesetzt, erh¨ alt man f¨ ur die Integration entlang der Zylindermantelfläche: ' ' ρ ρ U02 R4 1 Γ 2 2 2 2 w (z)dz = i U0 + K1 − iK2 = i − 2 2U0 R + 2 2 2 z4 z 4π 2 U0 Γ U0 Γ R − −i dz. (10.125) 3 πz πz ucksichtigt, dass f¨ ur die F¨ uhrt man in dieses Integral z = re(iϕ) ein und ber¨ Zylindermantelfl¨ ache gilt r = R so kann die Integration durchgef¨ uhrt werden und f¨ uhrt zu dem Ergebnis: K1 − iK2 = −iρU0 Γ

(10.126)

oder K1 = 0 und K2 = ρU0 Γ . Dies ist das Kutta-Joukowskische Gesetz. Dieses Gesetz besagt, dass die bei der Potentialströmung um einen Zylinder auftretende Str¨ omungskraft gleich Null ist, wenn keine Zirkulation vorliegt.

U oo

Abbildung 10.14: Richtungsbestimmung f¨ ur die Auftriebskr¨ afte

Bei vorliegender Zirkulation tritt keine Widerstandskraft auf, aber eine Auftriebskraft, die pro L¨ angeneinheit proportional der Fluiddichte der Anstr¨ omgeschwindigkeit und der Zirkulation ist:


K2 = ρU0 Γ.

335

(10.127)

Da das Vorzeichen dieser Kraft positiv ist, liegt eine Auftriebskraft vor. Die f¨ ur die Richtung der Auftriebskraft geltende Regel ist in Abb. 10.14 angegeben. Die Anstr¨ omrichtung, die Drehrichtung des Wirbels und die Richtung der resultierenden Auftriebskraft stellen die Richtungen der Achsen eines rechtsorientierten, rechtwinkeligen Koordinatensystems dar. Die positive Kraft im Fall der Zylinderumströmung mit Zirkulation entsteht infolge der mathematisch positiven Drehrichtung des Potentialwirbels im Ursprung des Koordinatensystems. Auf K¨ orper wirkende Str¨ omungskr¨ afte k¨ onnen auch zu Drehmomenten f¨ uhren, deren Berechnung wiederum konventionell erfolgen kann, d. h. durch Integration der durch Druckwirkungen auf Flächenelemente erzeugten Momentbeitr¨ age. Nimmt man wiederum das Moment, das auf den Körper wirkt, als positiv an, so gilt f¨ ur das auf das Fluid wirkende Moment die folgende Gleichung: ' (10.128) M + [P x1 dx1 + P x2 dx2 +ρU1 x2 (U1 dx2 − U2 dx1 ) C0

−ρU2 x1 (U1 dx2 − U2 dx1 )] = 0. L¨ ost man nach M auf, so erh¨ alt man: ' M = − [P x1 dx1 + P x2 dx2 +ρ(U12 x2 dx2 + U22 x1 dx1

(10.129)

C0

−U1 U2 x2 dx1 − U1 U2 x1 dx2 ) ] . Eliminiert man den Druck u ¨ ber die Bernoulli-Gleichung ρ P + (U12 + U22 ) = const 2 und ber¨ ucksichtigt man, dass die ( (const)x2 dx2 = 0 sind, so erh¨ alt man:

Integrale

(10.130) (

(const)x1 dx1

=

C0

C0

M=

ρ 2

'

1 2 2 (U1 − U22 )(x1 dx1 − x2 dx2 ) + 2U1 U2 · (x1 dx2 + x2 dx1 )

C0

(10.131) und es l¨ asst sich zeigen, dass folgendes gilt (2. Blasiussches Integral):   ' ρ (10.132) M = Re  zw2 (z)dz  . 2 C0

336


Eine Auswertung des Integrals ergibt:   ' ρ M = Re  (x + iy)(U1 − iU2 )2 (dx + idy) 2

(10.133)

c0

unter Ber¨ ucksichtigung, dass x1 = x und x2 = y ist, erhält man: ' 2 ρ 1 2 M = Re { (U1 − U22 )(x1 dx1 − x2 dx2 ) + 2U1 U2 · (x1 dx2 + x2 dx1 ) 2 2 1 +i (U12 − U22 )(x1 dx2 + x2 dx1 ) − 2U1 U2 (x1 dx1 − x2 dx2 ) } (10.134) Der Realteil von Gleichung (10.134) entspricht dem Ausdruck (10.131), was zu beweisen war. Wendet man die Beziehung (10.131) auf die Zylinderumströmung mit Zirkulation an, so erh¨ alt man:   ' 2 2 2 4 2 2 U iU ρ R R Γ Γ R 2U iU Γ 0 0 0 + 03 + − M = Re  − 2 U02 z − dz  2 z z π πz 2 4π z C0

(10.135) Setzt man f¨ ur z = re(iϕ) und r = R in Gleichung (10.135) ein, erhält man als L¨ osung M = 0. Die Zylinderumstr¨ omung liefert kein hydrostatisches Moment auf den Zylinder, selbst wenn die Str¨ omung Zirkulation besitzt.

10.11 Literaturverzeichnis 10.1 Yuan SW (1967) Foundations of Fluid Mechanics. Mei Ya Publications Inc, Taipei, Taiwan 10.2 Allen T Jr, Ditsworth RL (1972) Fluid Mechanics. McGraw-Hill Book Company, New York 10.3 Schade H, Kunz E (1989) Str¨ omungslehre mit einer Einf¨ uhrung in die Str¨ omungsmeßtechnik von Jorg-Dieter Vagt. 2. Auflage, Walter de Greyter & Co, Berlin 10.4 Zierep J (1997) Grundz¨ uge der Str¨ omungslehre. 6. Auflage, SpringerVerlag Berlin Heidelberg 10.5 Siekmann HE (2001) Str¨ omungslehre f¨ ur den Maschinenbau. SpringerVerlag Berlin Heidelberg 10.6 Spurk JH (2004) Str¨ omungslehre. 5. Auflage, Springer-Verlag Berlin Heidelberg

11 Wellenbewegungen in viskosit¨ atsfreien Fluiden

11.1 Allgemeine Betrachtungen In den Kapiteln 9 und 10 wurden Str¨ omungsvorgänge betrachtet, deren analytische Behandlungen dadurch m¨ oglich wurden, daß vereinfachte Formen der allgemeing¨ ultigen Grundgleichungen der Strömungsmechanik Anwendungen fanden. Die daf¨ ur notwendigen L¨ osungsmethoden sind bekannt, d. h. sie stehen zur Verf¨ ugung, und ihre Anwendbarkeit ist bekannt. So wurde z.B. in Kapitel 10 die Anwendung von Methoden aufgezeigt, die Lösungen der Grundgleichungen der Str¨ omungsmechanik zulassen, um Informationen u ¨ ber ein- und zweidimensionale Str¨ omungen zu erhalten. Im besonderen wurden in Kapitel 10 Potentialstr¨ omungen behandelt, deren vorgegebene Eigenschaften so gew¨ ahlt wurden, daß Methoden der Funktionentheorie zur Anwendung kommen konnten, um zweidimensionale, rotationsfreie Strömungsprobleme analytisch zu behandeln. Die besonderen Eigenschaften von Potentialstr¨ omungen machten es m¨ oglich, ein voll entwickeltes Gebiet der Mathematik in die Str¨ omungsmechanik zu u ¨ bernehmen und anzuwenden, um Potential- und Stromlinienfelder zu berechnen. Aus diesen Feldern konnten Geschwindigkeitsfelder der behandelten Str¨ omungen abgeleitet werden und die Anwendung der mechanischen Energiegleichung, bzw. ihrer Integralform, f¨ uhrte schließlich zu Druckverteilungen in den betrachteten Strömungsfeldern. Letzteres wiederum f¨ uhrte zur Kr¨ afte- und Momentenberechnung f¨ ur Kontrollvolumina, die zur L¨ osung von Ingenieuraufgaben von besonderem Interesse sind. Vereinfachungen der Str¨ omungseigenschaften durch Einf¨ uhren der Zweidimensionalit¨ at und Rotationsfreiheit haben somit eine geschlossene Behandlung von Str¨ omungsaufgaben mit bekannten mathematischen Methoden zugelassen. Ein ¨ ahnliches Vorgehen wird in diesem Kapitel angestrebt, das eine Einf¨ uhrung in die Behandlung von Wellenbewegungen in Fluiden vorsieht. Wie bei allen mechanischen Wellenbewegungen handelt es sich dabei um Bewegungen, die um eine mittlere Ruhelage erfolgen, d.h. die an der Wellenbewegung beteiligten Fluidteilchen erfahren im zeitlichen Mittel keine Lage¨ anderung. Somit pflanzt sich bei Wellenbewegungen in Fluiden nur der eine Welle kennzeichnende Schwingungszustand fort und nicht das Fluid selbst. Dies gilt unabh¨ angig davon, ob sich bei den Wellenbewegungen in Fluiden

338


Longitudinal- oder Transversalwellen ausbilden. Abb. 11.1 zeigt die Schwingungsbewegung von Fluidteilchen f¨ ur beide Wellenarten. Den Darstellungen in Abb. 11.1 ist zu entnehmen, dass die betrachteten Wellenbewegungen sowohl r¨ aumlich als auch zeitlich periodisch sind. Dagegen sind Schwingungen entweder zeitlich oder r¨ aumlich periodisch. F o rtp fla n z u n g s ric h tu n g d e r W e lle W e lle n lä n g e

V e rd ic h tu n g

V e rd ü n n u n g

L o n g id u d in a lw e lle

V e rd ic h tu n g

F o rtp fla n z u n g s ric h tu n g d e r W e lle

T ra n s v e rs a lw e lle

W e lle n lä n g e

Abbildung 11.1: Momentanbild einer fortschreitenden Longitudinal- und Transversalwelle

Es ist aus Abb. 11.1 ersichtlich, dass mechanische Longitudinalwellen, die durch Verdichtungen und Verd¨ unnungen gekennzeichnet sind, d.h. durch spezifische Volumen- bzw. durch Dichte¨ anderungen, in allen Stoffen existieren k¨ onnen, die Volumenelastizit¨ at“ besitzen, die also bei auftretenden Volu” men¨ anderungen mit elastischen Gegenkr¨ aften reagieren. Solche Gegenkräfte bilden sich in Gasen aus, da Volumen¨ anderungen mit Druckänderungen gekoppelt sind, so dass f¨ ur ein ideales Gas bei T = const gilt P dv = −v dP,

(11.1)

und somit in isothermen Gasen Longitudinalwellen auftreten können, die in thermodynamisch idealen Fl¨ ussigkeiten, wegen ρ = 1/v = const., nicht m¨ oglich sind. Abb. 11.1 verdeutlicht auch, dass die Ausbildung von Transversalwellen auf das Vorliegen von Schubkr¨ aften“ angewiesen ist, d.h. Querkräften, um ” die Wellenbewegung von Teilchen“ quer zur Ausbreitungsrichtung zuzulas” sen. Damit treten mechanische Transversalwellen nur in festen Stoffen auf, die elastische Querkr¨ afte bei entsprechender Beanspruchung, aufbauen können. In rein viskosen Fluiden sind keine Transversalwellen möglich. Diese Aussage erscheint auf den ersten Blick ein Widerspruch zu Beobachtungen von Wasserwellen zu sein, deren Entstehung und Ausbreitung leicht beobachtbar ist, wenn man einen Gegenstand in einen Wasserbehälter wirft. Es ensteht eine Transversalwelle, die sich jedoch als eine Wellenbewegung erweist, die sich


339

auf einen kleinen Bereich an der Wasseroberfl¨ ache beschränkt. Im Inneren der Fl¨ ussigkeit ist die Wellenbewegung nicht beobachtbar. Zudem zeigt sich, dass sich die beobachtete Welle an der Oberfl¨ ache nicht infolge von Scherkräften“ ” ausbildet, sondern dass das Vorliegen der Schwerkraft bzw. das Auftreten von Oberfl¨ achenspannungen f¨ ur die Wellenbewegung verantwortlich sind.

x

Abbildung 11.2: Skizze einer ebenen Welle und Angaben zur Nomenklatur

In Fluiden sind unterschiedlichste Wellenbewegungen möglich, deren Initiierung bzw. Aufrechterhaltung mit einem Energieeintrag in das Fluid verbunden ist. Zur Erzeugung einer Welle und zu deren Aufrechterhaltung ist ein bestimmter Arbeitsaufwand notwendig, der sich dann als Energie der Welle im Raum fortpflanzt. Dabei ist es essentiell f¨ ur mögliche Wellenbewegungen, dass zwei unterschiedliche Energiearten notwendig sind und auch auftreten, zwischen denen, in periodischer Folge, ein Austausch von Energie erfolgen kann. Dieser Sachverhalt l¨ asst zu, dass es ein wesentliches Merkmal einer Wellenbewegung in einem Fluid ist, dass Energie transportiert wird, ohne dass ein Massentransport erfolgt. Je nach Form der Wellenströmungen, d.h. der Form der Quelle der Wellenbewegung unterscheidet man unterschiedliche Wellenarten, n¨ amlich ebene Wellen, Kugelwellen und Zylinderwellen. F¨ ur das Geschwindigkeitsfeld solcher Wellen l¨ asst sich angeben: x t ∓ u (x, t) = uA sin 2π Ebene Wellen: T λ Ebene Wellen sind f¨ ur die Betrachtungen in diesem Kapitel von besonderer Bedeutung. Bei einer ebenen Welle ist die mittlere Energiedichte konstant, da sich eine betrachtete Oberfl¨ ache einer Welle, entlang der Ausbreitungsrichtung x nicht a ndert. In der obigen Beziehung sind T die Schwindungsdau¨ er der Wellenbewegung und λ die Wellenl¨ ange. Die Periodizität der ebenen Welle in der Ausbreitungsrichtung x und der Zeit t ist aus dem Sinusterm ersichtlich. t r uA sin 2π ∓ u (x, t) = Kugelwelle: r T λ Bei Kugelwellen in Fluiden nimmt die Energiedichte mit dem Quadrat des Abstandes von Punkt r = 0 ab, da die Fl¨ ache mit dem Quadrat des Abstandes zunimmt. Im Punkt r = 0 sitzt der Erreger der Kugelwelle, an dieser

340


r r

Abbildung 11.3: Skizze einer Kugelwelle und Angaben zur Nomenklatur

Abbildung 11.4: Skizze einer Zylinderwelle und Angaben zur Nomenklatur

Stelle wird die gesamte Energie der Welle eingebracht. Dabei gilt die oben angegebene Gleichung der Welle nur f¨ ur r = 0. Das auftretende Minuszeichen vor dem r/λ-Term gibt eine divergierende Welle an, die vom Erregerzentrum wegl¨ auft und das Pluszeichen eine konvergierende Welle, die auf das Erregerzentrum zul¨ auft. t r uA ∓ u (x, t) = √ sin 2π Zylinderwelle: T λ r Zylinderwellen breiten sich von der im Zentrum, d.h. f¨ ur r = 0, liegenden Erregerlinie radial aus, derart, dass die Wellenfläche linear mit dem Abstand r anw¨ achst. Damit nimmt die Erregerdichte linear mit der Entfernung r ab. Damit ist also die Amplitude der Welle umgekehrt proportional der Wurzel aus dem Abstand r von der Erregerlinie. Wiederum gibt das Minuszeichen vor dem r/λ-Term eine von der Erregerlinie in positiver r−Richtung laufende Welle an, w¨ ahrend das positive Vorzeichen eine Welle beschreibt, die auf die Erregerlinie zul¨ auft. Viele aus der Physik bekannten allgemeinen Eigenschaften von Wellenbewegungen lassen sich auf Wellenausbreitungen in Fluiden u ¨bertragen. Dennoch sind in einem Buch zur Einf¨ uhrung in die Strömungsmechanik gesonderte Betrachtungen notwendig, insbesondere gilt es das tiefere Verständnis f¨ ur die Ursachen der jeweils betrachteten Wellenbewegungen zu wecken und ihre Behandlung auf der Basis der Navier-Stokes-Gleichungen aufzuzeigen. In den nachfolgenden Abschnitten werden typische Wellenbewegungen in Fluiden betrachtet. Die Ableitungen von Eigenschaften dieser Wellenbewegungen sollen verdeutlichen, wie in der Str¨ omungsmechanik vorgegangen wird, um die Eigenschaften von Wellenbewegungen aus den Grundgleichungen der Str¨ omungsmechanik abzuleiten. Ziel der Darstellungen ist somit nicht eine breite Betrachtung verschiedener Wellenbewegungen in Fluiden nachfolgend zu geben, sondern eine Einf¨ uhrung in die mathematische Behandlung von Longitudinal- und Transversalwellen in Fluiden.

11.2 Longitudinalwellen: Schallwellen in Gasen

341

11.2 Longitudinalwellen: Schallwellen in Gasen Um die Eigenschaften von longitudinalen Schallwellen in idealen Gasen theoretisch behandeln zu k¨ onnen, stehen die in Abschnitt 5 abgeleiteten Grundgleichungen der Str¨ omungsmechanik zur Verf¨ ugung. Diese lassen sich f¨ ur ein ideales Gas wie folgt angeben: Kontinuit¨ atsgleichung: ∂ρ ∂(ρUi ) + =0 ∂t ∂xi

(11.2)

Impulsgleichungen: (j = 1, 2, 3) ρ


=−

∂τij ∂P − + ρgj ∂xj ∂xi

(11.3)

Thermische Energiegleichung: ρcv

∂T ∂T ∂Uj ∂Ui ∂qi + Ui −P − τij =− ∂t ∂xi ∂xi ∂xi ∂xi

(11.4)

Zustandsgleichung: P = RT ρ

und e = cv T

(11.5)

Das obige System partieller Differentialgleichungen und thermodynamischer Zustandsgleichungen umfasst 7 Unbekannte, n¨ amlich U1 , U2 , U3 , P , ρ, e und T , zu deren Bestimmung 7 Gleichungen zur Verf¨ ugung stehen. Es liegt somit ein geschlossenes Gleichungssystem vor, das bei ausreichenden Anfangs- und Randbedingungen prinzipiell l¨ osbar ist, also Fluidbewegungen zu behandeln erlaubt und damit auch Wellenbewegungen in Fluiden. Das oben angegebene Gleichungssystem wird wesentlich vereinfacht, wenn man den molek¨ ulbedingten W¨ arme- und Impulstransport vernachlässigt, so dass alle mit q˙i und τij versehenen Terme der Impuls- und Energiegleichung entfallen und Massenkr¨ afte vernachl¨ assigt werden. Behält man die Tensorschreibweise bei, so lassen sich die Gleichungen nach Einf¨ uhren dieser Vernachl¨ assigungen wie folgt schreiben: Kontinuit¨ atsgleichung: ∂ρ ∂(ρUi ) + =0 ∂t ∂xi

(11.6)

Impulsgleichungen: (j = 1, 2, 3) DUj ∂P ∂Uj ∂Uj ρ =− =ρ + Ui Dt ∂t ∂xi ∂xj

(11.7)

342


Energiegleichung: ∂T DT ∂T De ∂Ui = ρcv + Ui ρ = ρcv = −P Dt Dt ∂t ∂xi ∂xi

(11.8)

Zustandsgleichung: P = RT ρ

und e = cv · T

(11.9)

Beachtet man, dass sich die Kontinuit¨ atsgleichung wie folgt schreiben lässt: ∂ρ ∂Ui ∂ρ ∂Ui Dρ + Ui +ρ +ρ = =0 ∂t ∂xi ∂xi Dt ∂xi

(11.10)

so gilt folgende Beziehung: ∂Ui 1 Dρ =− ∂xi ρ Dt

(11.11)

Setzt man (11.11) in die Energiegleichung (11.8) ein und ber¨ ucksichtigt die Zustandsgleichung (11.9), so l¨ asst sich die Energiegleichung in folgender Form umschreiben: P 1 Dρ D ρcv =P (11.12) Dt ρR ρ Dt oder:

P Dρ 1 DP P Dρ − 2 = ρ Dt ρ Dt ρ Dt R + cv 1 Dρ 1 DP = P Dt cv ρ Dt

ρcv R

(11.13) (11.14)

oder unter Ber¨ ucksichtigung von R = (cP − cv ) und κ = (cP /cv ) umgeschrieben: 1 Dρ 1 DP =κ (11.15) P Dt ρ Dt Gleichung (11.15) erlaubt folgende allgemeing¨ ultige Lösung: D D (ln P ) = (ln ρκ ) Dt Dt oder:

D P =0 ln Dt ρκ

→

P = const . ρκ

(11.16)

(11.17)

Die obige Beziehung bringt zum Ausdruck, dass die Energiegleichung, unter der Annahme, dass kein molek¨ ulbedingter Wärme- und Impulstransport erfolgt, unter Ber¨ ucksichtigung der Kontinuit¨ atsgleichung und der Zustandsgleichung f¨ ur ideale Gase, auf die Adiabatengleichung der Thermodynamik reduziert werden kann. Entlang einer Stromlinie der Strömung ist somit f¨ ur die angegebenen Bedingungen die folgende Beziehung g¨ ultig:


P = const. ρκ

343

(11.18)

Es gibt nun eine Reihe str¨ omungsmechanischer Vorgänge in kompressiblen Medien, die mittels Gleichungen behandelt werden können, die durch weitere Vereinfachungen aus den obigen Gleichungen resultieren. Nimmt man an, dass es Str¨ omungsvorg¨ ange gibt, die bevorzugt so ablaufen, dass das Geschwindigkeitsfeld nur noch von einer Ortskoordinate abhängt, so gilt U1 = U1 (x1 ), U2 = U2 (x1 ) sowie U3 = U3 (x1 ). Zudem soll gelten, dass (∂U2 /∂x1 ) (∂U1 /∂x1 ) und (∂U3 /∂x1 ) (∂U1 /∂x1 ) ist, so dass folgende Gleichungen angebbar sind: Kontinuit¨ atsgleichung:

Impulsgleichung:

∂ ∂ρ + (ρU1 ) = 0 ∂t ∂x1

(11.19)

∂U1 ∂U1 ∂P + U1 ρ =− ∂t ∂x1 ∂x1

(11.20)

Energiegleichung: P = const. (11.21) ρκ Diese Gleichungen sollen genutzt werden, um Schallwellen als Longitudinalwellen zu behandeln. Unter Schallwellen versteht man die Ausbreitung von kleinen Störungen in Gasen. Die Schallgeschwindigkeit ist die Ausbreitungsgeschwindigkeit, mit der sich kleine St¨ orungen in einem ruhenden Fluid ausbreiten. Während f¨ ur ein inkompressibles Fluid eine unendlich große Ausbreitungsgeschwindigkeit f¨ ur kleine St¨ orungen resultiert, ergibt sich f¨ ur kompressible Fluide, z.B. Gase, eine endliche, durch die Art des Gases und dessen Temperatur definierte Ausbreitungsgeschwindigkeit. Die quantitative Bestimmung der Ausbreitungsgeschwindigkeit kleiner St¨ orungen in ruhenden Fluiden lässt sich mittels der Gleichungen (11.19) bis (11.21), die f¨ ur instationäre, eindimensionale Str¨ omungen viskosit¨ atsfreier, kompressibler Fluide gelten, wie unten aufgef¨ uhrt ableiten. Errechnet man unter Ber¨ ucksichtigung von Gleichung (11.21) die Druckalt man unter der Annahme adiabater Bedingunvariation (∂P/∂x1 ), so erh¨ gen: dP ∂ρ ∂P = , (11.22) ∂x1 dρ ad ∂x1 da der Druck bei Vorgabe adiabater Bedingungen nur noch eine Funktion einer thermodynamischen Gr¨ oße, etwa der Dichte ist. Die Ableitung (dP/dρ) ist f¨ ur die von Gleichung (11.21) geforderte adiabate Systembedingung zu bilden. Die Kontinuit¨ atsgleichung und die Impulsgleichung lassen sich somit f¨ ur eindimensionale Str¨ omungsvorg¨ ange schreiben:

344


∂ρ ∂ρ ∂U1 + U1 +ρ =0 ∂t ∂x1 ∂x1 ∂U1 ∂ρ ∂U1 1 dP + U1 + = 0. ∂t ∂x1 ρ dρ ad ∂x1

(11.23) (11.24)

Damit liegen zwei Bestimmungsgleichungen f¨ ur die beiden Unbekannten U1 und ρ vor, deren analytische L¨ osung unter der Annahme angestrebt wird, dass kleine Druck- und Dichteschwankungen vorliegen, d.h. dass gilt: U1 = 0 + u (x1 , t)

P = P0 + p (x1 , t)

ρ = ρ0 + ρ (x1 , t)

(11.25)

Diese Beziehung in die obigen Bestimmungsgleichungen eingesetzt f¨ uhrt zu: ∂ ∂ ∂u (ρ0 + ρ ) + u (ρ0 + ρ ) + (ρ0 + ρ ) =0 ∂t ∂x1 ∂x1 dP ∂ ∂u 1 ∂u + (ρ0 + ρ ) = 0 +u ∂t ∂x1 dρ ad (ρ0 + ρ ) ∂x1

(11.26) (11.27)

Ber¨ ucksichtigt man, dass die St¨ orgr¨ oßen ρ und u von Ort und Zeit abhängen, w¨ ahrend die Gr¨ oßen P0 und ρ0 weder von Ort noch Zeit abhängig sind, so ergibt sich unter der Annahme, dass Produkte von Schwankungsgrößen gegen¨ uber linearen Gliedern vernachl¨ assigbar sind, das folgende partielle Differentialgleichungssystem: dP ∂u 1 ∂ρ ∂ρ ∂u + ρ0 + =0 und =0 (11.28) ∂t ∂x1 ∂t dρ ad ρ0 ∂x1 Dies sind nun zwei Bestimmungsgleichungen f¨ ur ρ und u , die einer Lösung zugef¨ uhrt werden k¨ onnen. Um diese L¨ osung f¨ ur die Ausbreitung von Schallwellen zu erhalten, wird die erste der beiden obigen Gleichungen nach der Zeit t abgeleitet: ∂ 2 ρ ∂ 2 u =0 (11.29) + ρ 0 ∂t2 ∂x1 ∂t Die zweite Gleichung mit ρ0 multipliziert und nach der Ortskoordinate x1 differenziert ergibt: dP ∂ 2 u ∂ 2 ρ + ρ0 =0 (11.30) ∂x1 ∂t dρ ad ∂x21 Subtraktion der Gleichungen (11.30) von (11.29) resultiert in der Bestimmungsgleichung f¨ ur die Dichteschwankung ρ : dP ∂ 2 ρ ∂ 2 ρ − =0 (11.31) ∂t2 dρ ad ∂x21 Des Weiteren ergibt die Ableitung der Gleichung (11.28) nach x1


∂ 2 ρ ∂ 2 u + ρ0 2 = 0, ∂t∂x1 ∂x1

345

(11.32)

und Multiplikation der Gleichung (11.28) mit (ρ0 /( dP dρ )ad ) und Differentiation nach t f¨ uhrt zu: ∂ 2 ρ ∂ 2 u ρ0 + =0 (11.33) dP ∂t∂x1 ∂t2 dρ

ad

Subtraktion der Gleichung (11.32) von (11.33) und Multiplikation mit 1 dP resultiert in ρ dρ ad

∂ 2 u − ∂t2

dP dρ

ad

∂ 2 u = 0, ∂x21

(11.34)

der Bestimmungsgleichung f¨ ur die Geschwindigkeitsschwankung u . Vergleicht man die Bestimmungsgleichungen f¨ ur ρ und u , so erkennt man, dass beide durch ein und dieselbe Form der Bestimmungsgleichung beschrieben werden, d.h. ρ und u werden dieselbe Abhängigkeit von Ort und Zeit aufweisen. Die L¨ osung wird durch die eindimensionale Wellengleichung angegeben: 2 ∂2y 2∂ y − c =0 ∂t2 x21 d.h. es liegt eine Ausbreitungsgeschwindigkeit einer Welle vor, mit einer Ausbreitungsgeschwindigkeit die allgemein lautet: # # # √ dP P P κ−1 c= = κρ = κ = κRT (11.35) κ dρ ad ρ ρ Die allgemeinen L¨ osungen der Differentialgleichungen f¨ ur ρ (x1 , t) und u (x1 , t) k¨ onnen wie folgt angegeben werden: ρ = fρ (x1 − ct) + gρ (x1 + ct) und u = fu (x1 − ct) + gu (x1 + ct) (11.36) fρ,u (x1 − ct) stellt die jeweilige Welle dar, die sich ausgehend von der Quelle, in positiver x1 −Richtung ausbreitet und gρ,u (x1 + ct) die Welle, die in die auft. negative x1 −Richtung l¨ Weitere Betrachtungen zur Ausbreitung von Störungen in ruhenden, kompressiblen Medien k¨ onnen nun anhand der obigen Ergebnisse angestellt werden. Hierf¨ ur errechnet man aus der allgemeinen Lösung f¨ ur u (Welle in positiver x1 −Richtung): ∂f ∂u = −c (11.37) mit η = x1 − ct ∂t ∂η und

346


∂u ∂u = −c ∂t ∂x1

(11.38)

∂u c2 ∂ρ ∂u =− = −c ∂t ρ0 ∂x1 ∂x1

(11.39)

Aus der Impulsgleichung folgt:

oder umgeschrieben c ∂ρ ∂u = ∂x1 ρ0 ∂x1

=⇒

ρ u = c ρ0

(11.40)

Liegt nun als St¨ orung eine Kompressionswelle vor, d.h. ρ > 0, so ist auch u > 0, und dies bedeutet, dass die Fluidpartikel beim Auftreten einer Kompressionsst¨ orung in Richtung der St¨ orung laufen. Liegt dagegen eine Expansionsst¨ orung vor, d.h. ρ < 0, so ist auch u < 0, und in diesem Fall bewegen sich die Fluidteilchen entgegengesetzt zur Richtung der St¨ orungsausbreitung. Als wichtigstes Ergebnis der obigen Ableitungen wurde erhalten, dass sich kleine St¨ orungen in ruhenden, nicht-viskosen und kompressiblen Fluiden mit der Schallgeschwindigkeit ausbreiten, die sich wie folgt berechnen lässt: # √ dP = κRT (11.41) c= dρ ad Diese Beziehung wird in den Ableitungen in Kapitel 12 umfassende Anwendung finden.

11.3 Transversalwellen: Oberfl¨ achenwellen 11.3.1 Genereller L¨ osungsansatz An freien Oberfl¨ achen von Fl¨ ussigkeiten, kann es zu Wellenerscheinungen kommen, d.h. zur Ausbreitung von Transversalwellen infolge eingebrachter St¨ orungen. Diese k¨ onnen zwei- oder dreidimensional sein, doch konzentriert sich die hier dargestellte analytische Behandlung von Oberflächenwellen auf zweidimensionale Oberfl¨ achen. Durch Linearisierung der in Potentialform geschriebenen Grundgleichungen erh¨ alt man die u ur Oberflächen¨ blicherweise f¨ wellen gel¨ osten partiellen Differentialgleichungen. Diese deuten an, dass das Gebiet der Ausbreitung von Oberfl¨ achenwellen zur Potentialtheorie gehört. Ihre Behandlung erfolgt hier dennoch separat, also nicht in Kapitel 10, das Potentialstr¨ omungen behandelt, da eine besondere Problematik, d.h. eine besondere Klasse von Str¨ omungserscheinungen vorliegt, deren Behandlung auch

11.3 Transversalwellen: Oberfl¨ achenwellen

347

einer besonderen Methodik bedarf. Diese ist untenstehend in einer einf¨ uhrenden Form aufgezeigt. Die nachfolgend angegebenen Beziehungen lassen sich wiederum aus den Grundgleichungen ableiten, die sich f¨ ur ein str¨ omungsmechanisch ideales, d.h. viskosit¨ atsfreies Fluid wie folgt angeben lassen: ∂Uj 1 ∂P ∂U + Ui =− + gj ∂t ∂xi ρ ∂xj

(11.42)

Integriert man diese Gleichung u ¨ber einen Zeitabschnitt τ , so erhält man "τ "τ "τ ∂Uj 1 ∂ ¯ Uj + Ui dt = − P dt + gj dt ∂xi ρ ∂xj 0

0

(11.43)

0

"τ Diese Gleichung l¨ asst sich nun mit Π =

P dt als dem Druckimpuls während 0

des Zeitintervalls τ , f¨ ur kleine Zeitintervalle τ , wie folgt f¨ ur ρ =const interpretieren: ¯j = − ∂ P U ∂xj ρ

mit

"τ ∂Uj Ui dt ≈ 0 und ∂xi 0

"τ gj dt ≈ 0

(11.44)

0

Somit wird die infolge von Druckimpulsen auf freie Oberflächen erzeugte ¯j = Fluidbewegung durch ein Geschwindigkeitspotential beschrieben, mit U Uj : P ¯j = − ∂φ U (11.45) mit φ = ∂xj ρ Die infolge eines Druckimpulses resultierende Bewegung ist also rotationsfrei. All dies gilt, wie nachfolgend gesehen werden kann, strenggenommen nur an der freien Oberfl¨ ache und die Bestimmung von φ im gesamten Strömungsgebiet bedarf noch weiterer Betrachtungen. Die Kontinuit¨ atsgleichung l¨ asst sich wie folgt f¨ ur φ schreiben. ∂2φ ∂2φ ∂2φ ∂2φ =0= + + ∂xj ∂xj ∂x1 2 ∂x2 2 ∂x3 2

(11.46)

Die Impulsgleichung (11.42) l¨ asst sich wie unten aufgef¨ uhrt schreiben: 1 ∂P DUj + gj =− Dt ρ ∂xj

(11.47)

ur ρ = const wie folgt umschreiben. bzw. nach Multiplikation mit Uj und f¨ 1 DP D 1 2 ∂P U − (11.48) =− + g j Uj Dt 2 j ρ Dt ∂t

348


Nach (5.154) gilt: gj Uj = −ρ

∂G DG +ρ Dt ∂t

(11.49a)

∂G DG Mit gj Uj = −ρ f¨ ur = 0, siehe auch Gleichungen (5.57) und (5.58) Dt ∂t ergibt sich: D 1 2 1 ∂P DG 1 DP U + − (11.49b) =− Dt 2 j ρ Dt ρ ∂t Dt oder umgeschrieben und f¨ ur ρ = const: ∂φ P 1 + + Uj2 + G = F (t) ∂t ρ 2

(11.50)

Die durch die Integration eingebrachte Funktion F(t) kann in das Potential φ aufgenommen werden, so dass gilt: ∂φ P 1 + + Uj2 + G = 0 ∂t ρ 2

(11.51)

Abb. 11.5 stellt eine zweidimensionale Oberfl¨ achenwelle dar, deren Auslenkung, von der Ruhelage x2 = 0 aus gemessen, wie folgt angegeben werden kann: x2 = y = η(x1 , t) = η(x, t)

v

Abbildung 11.5: Zweidimensionale Oberfl¨ achenwelle mit (∂/∂x3 )(· · · ) = 0

Die kinematische Randbedingung des zu l¨ osenden Strömungsproblems lässt sich somit wie folgt angeben: y = η(x, t) = 0

(11.52)

Dies besagt, dass ein Fluidteilchen, das der Fl¨ ussigkeitsoberfläche zu einem Zeitpunkt t angeh¨ orte, immer der freien Oberfläche angehören wird. Aus

11.3 Transversalwellen: Oberfl¨ achenwellen

349

Gleichung (11.52) ergibt sich mit ui als Fluidgeschwindigkeit der betrachteten Wellenbewegung: D ∂ ∂ (y − η) = 0 (y − η) = 0 = (y − η) + ui Dt ∂t ∂xi

(11.53)

oder die Ableitungen ausgef¨ uhrt: −

∂η ∂η ∂η − u1 + u2 − u3 =0 ∂t ∂x1 ∂x3

(11.54)

F¨ uhrt man nun die Potentialfunktion φ ein, mit u1 =

∂φ , ∂x1

u2 =

∂φ ∂x2

und u3 =

∂φ ∂x3

(11.55)

so ergibt sich folgende Beziehung f¨ ur die freie Oberfläche mit x1 = x, x2 = y und x3 = z: ∂φ ∂η ∂φ ∂η ∂φ ∂η = + + (11.56) ∂y ∂t ∂x ∂x ∂z ∂z Im gesamten Gebiet der Str¨ omung erf¨ ullt die Potentialfunktion die Kontinuit¨ atsgleichung, die sich somit in zweidimensionaler Form wie folgt angeben asst l¨ ∂2φ ∂2φ + =0 (11.57) 2 ∂x ∂y 2 Unter der Voraussetzung der Viskosit¨ atsfreiheit lässt sich die BernoulliGleichung in der durch Gleichung (11.51) angegebenen Form anwenden. Dies ist ¨ aquivalent der Annahme, dass typischerweise der Druck entlang der freien Oberfl¨ ache konstant ist, und dem Luftdruck u ¨ ber der Oberfläche entspricht. Nimmt man nun noch den festen Boden in einer bestimmten Position y = −h mit hinzu, so erh¨ alt man an dieser Stelle als Randbedingung: ∂φ = 0 f¨ ur ∂y

y = −h

(11.58)

Somit enth¨ alt man folgenden Satz von Gleichungen, die es zu erf¨ ullen gilt, um die Ausbreitung von Wellen auf freien Oberfl¨ achen analytisch zu behandeln. ∂2φ ∂2φ + 2 ∂x ∂y 2 ∂η ∂φ ∂η ∂φ ∂η + + ∂t ∂x ∂x ∂z ∂z P 1 2 ∂φ + + Uj + gη ∂t ρ 2 ∂φ ∂y

=0 =

∂φ ∂y

f¨ ur y = η (11.59)

=0

f¨ ur y = η

=0

f¨ ur y = −h

350


Dabei sind die letzten Gleichungen als Randbedingungen zu verstehen. Damit wird deutlich, dass die Problematik bei der L¨ osung von Wellenproblemen f¨ ur Fl¨ ussigkeiten mit freien Oberfl¨ achen durch das Aufprägen der kinematischen und dynamischen Randbedingungen gekennzeichnet ist. Dabei erweist sich als Besonderheit, dass die Hauptproblematik bei der Lösung von Problemen zur Wellenbewegung in Fl¨ ussigkeiten mit freien Oberflächen im Einbringen der Randbedingungen liegt und nicht in der Lösung der die Fluidbewegung beschreibenden Differentialgleichungen. Wesentliche Vereinfachungen des Gleichungssystems ergeben sich noch f¨ ur die Annahme von Oberfl¨ achenwellen kleiner Amplitude. Unter der Annahme, dass die Amplitude der Welle kleiner ist als alle anderen Längenabmessungen des Problems, d.h. kleiner als die Wassertiefe h und die Wellenlänge λ, ergibt sich, dass η klein ist und auch ∂η/∂x klein angenommen werden kann. Letzteres ist die Steigung des Verlaufs der Wasseroberfläche. Ferner gilt, dass ∂φ/∂x auch deshalb klein angenommen werden kann, da Oberflächenwellen keine hohen Frequenzen aufweisen und die Annahme kleiner Amplituden ¨ auch in Bezug auf die auftretenden zeitlichen Anderungen greift. Damit gilt f¨ ur 2-dimensionale Wellen. ∂φ ∂η = ∂t ∂y

f¨ ur y = η

(11.60)

Diese Gleichung enth¨ alt immer noch die Problematik, dass die ihr f¨ ur Oberfl¨ achenwellen zugrundeliegende Randbedingung an der Stelle y = η aufgepr¨ agt werden muss. Entwickelt man jedoch ∂φ/∂y in eine Taylorreihe

∂2φ ∂φ ∂φ (x, y, t)

(x, 0, t) + η = (x, 0, t) + · · · (11.61) ∂y ∂y ∂y 2 y=η so ist ersichtlich, dass man den zweiten Term auf der rechten Seite wegen den angenommenen kleinen η−Werten vernachl¨ assigen kann. Analog gilt P (x, t) ∂φ (x, η, t) + + gη(x, t) = F (t) ∂t ρ

(11.62)

und f¨ ur kleine Geschwindigkeiten die folgende Beziehung: ∂φ P (x, t) (x, 0, t) + + gη(x, t) = 0 ∂t ρ

(11.63)

(wobei die Funktion F (t) in das Potential φ(x, y, z) aufgenommen wurde:) Differentiation von 11.63 nach t ergibt: ∂η ∂2φ ∂φ ∂ 2 φ 1 ∂P 1 ∂P (x, z) + g = +g (x, 0, z) = 0 (11.64) + (x, 0, z) + ∂t2 ρ ∂t ∂t ∂t2 ρ ∂t ∂y so dass man folgenden vereinfachten Satz von Gleichungen f¨ ur die Behandlung von Oberfl¨ achen kleiner Amplituden erh¨ alt:

11.4 Ebene, stehende Wellen

∂2φ ∂2φ + =0 ∂x2 ∂y 2 ∂η ∂φ (x, 0, t) = (x, t) ∂y ∂t ∂φ ∂2φ 1 ∂P (x, t) +g (x, 0, t) = 0 (x, 0, t) + 2 ∂t ρ ∂t ∂y ∂φ (x, −h, t) = 0 ∂y

351

(f¨ ur y = η) (f¨ ur y = η) (f¨ ur y = −h)

(11.65) Mit den oben aufgef¨ uhrten Gleichungen lassen sich Gravitationswellen und Kapillarwellen behandeln, die u ¨ blicherweise Wellen kleiner Amplitude darstellen.

11.4 Ebene, stehende Wellen Betrachtet man Wellenbewegungen, bei denen sich die Fluidteilchen nur parallel zur x1 − x2 −Ebene bewegen, d.h. der Druck P und die Geschwindigangig von x3 sind, so dass die Fluidbewegungen in allen zur keit Uj unabh¨ x1 −x2 −Ebene parallelen Fl¨ achen in gleicher Weise erfolgt, so ergibt sich eine ebene Wellenbewegung mit folgendem Potential φ(x, y, t) = φ(x, y) cos(ϕt + )

(11.66)

F¨ ur den in diesem Abschnitt zu behandelnden Fall einer stehenden Welle l¨ asst sich angeben: P (y) sin [k(x − ξ)] (11.67) φ(x, y) = ρ (Das Potential φ erf¨ ullt die Laplace-Gleichung.) Aus der Laplace-Gleichung f¨ ur φj : ∂2φ ∂2φ + = 0, (11.68) ∂x2 ∂y 2 2

2

erh¨ alt man mit ρ ∂∂xφ2 = −P (y)k 2 sin[k(x − ξ)] und ρ ∂∂yφ2 = folgende Differentialgleichung:

d2 P dy 2

sin[k(x − ξ)]

d2 P − k2 P = 0 dy 2

(11.69)

P (y) = C1 exp(ky) + C2 exp(−ky)

(11.70)

deren L¨ osung wie folgt lautet:

Die Integrationskonstante C2 ergibt sich bei genaueren Betrachtungen als C2 = 0, da sonst f¨ ur große Tiefen y =→ −∞ der P (y)−Term sehr groß werden w¨ urde, so dass also die L¨ osung

352


fü r - ¥ £ y

C

y £ 0 - ¥ £ + x £ + ¥ C

2

1

C C 1

2

e x p (-k y )

e x p (k y ) x

Abbildung 11.6: Erl¨ auterung des Abklingens f¨ ur y → −∞

φ(x, y) =

C1 exp(ky) sin[k(x − ξ)] ρ

erhalten werden kann, bzw. C1 exp(ky) sin[k(x − ξ)] cos(ϕt + ) φ(x, y, t) = ρ

(11.71)

(11.72)

Geht man davon aus, dass die sich einstellende Fluidbewegung langsam ist, so l¨ asst die Gleichung ∂φ P 1 + + Uj2 + gη = 0 f¨ ur y = η (11.73) ∂t ρ 2 wie folgt schreiben: ∂φ P + + gη = 0 f¨ ur y = η ∂t ρ

(11.74)

Ableitung nach der Zeit ergibt die unten aufgef¨ uhrte Beziehung, da sich der Druck entlang der freien Oberfl¨ ache nicht ¨ andert: ∂2φ ∂η ∂2φ = + g + gu2 = 0 ∂t2 ∂t ∂t2 Mit u2 =

∂φ ∂y

(11.75)

ergibt sich: ∂2φ ∂φ = −g 2 ∂t ∂y

(11.76)

Wendet man (11.76) auf (11.72) an, so erh¨ alt man:

und

∂2φ C1 exp(ky) sin[k(x − ξ)]ϕ2 cos(ϕ + ) =− ∂t2 ρ

(11.77)

C1 ∂φ = + k exp(ky) sin[k(x − ξ)] cos(ϕ + ) ∂y ρ

(11.78)

ϕ2 = kg

(11.79)

Damit ist also f¨ ur die weiteren Betrachtungen die folgende Fluidbewegung zu untersuchen, die der Einfachheit halber f¨ ur ξ = 0 und = 0 betrachtet wird.

11.5 Ebene, fortschreitende Wellen

φ(x, y, t) =

C1 exp(ky) sin(kx) cos(εt) ρ

353

(11.80)

F¨ ur die freie Oberfl¨ ache errechnet sich aus Gleichung (11.75): η=−

1 ∂ 1 ∂φ =− φ(x, 0, t) g ∂t g ∂t

oder η=

C1 ϕ sin(kx) sin(ϕt) g

(11.81)

(11.82)

C1 ϕ sin(ϕt) gilt: η = A sin(kx) ρg F¨ ur x = mπ/k ergeben sich f¨ ur m = 0, ±1, ±2, ± · · · Knotenpunkte einer stehenden Welle. In der Mitte zwischen diesen Knoten liegen die Bäuche“ ” der Wellenbewegung. Die Wellenl¨ ange der sinusförmigen Fluidbewegung errechnet sich als: 2π λ= (11.83) k C1 ϕ sin(ϕt) = A, wobei f¨ ur die Die Amplitude der Wellenbewegung ist g Frequenz der Wellenbewegung gilt: 1 ϕ = (11.84) f= 2π T Unter Ber¨ ucksichtigung von (11.79), (11.83) und (11.84) erhält man: Mit A =

T =

1 2π = √ f λg

bzw. λ=

bzw. λ =

gT 2 2π

g 2πf 2

(11.85)

(11.86)

Die obigen Beziehungen zeigen, dass die Wellenlänge von stehenden Fluidwellen mit zunehmender Frequenz der Bewegung abnimmt.

11.5 Ebene, fortschreitende Wellen F¨ ur die unten aufgef¨ uhrten Betrachtungen wird angenommen, dass das betrachtete Fluid, den Raum wie folgt einnimmt: −∞ ≤ y ≤ 0 und

− ∞ ≤ x ≤ +∞

und an der Stelle y = 0 eine freie Oberfl¨ ache einnimmt, die f¨ ur die vorgenommenen Betrachtungen eine endliche Oberflächenspannung besitzt. Die zur Behandlung ebener, fortschreitender Wellen erforderlichen Gleichungen lassen sich wie folgt angeben:

354


∂2φ ∂2φ + =0 ∂x2 ∂y 2

(11.87)

Mit y = η(x1 , t) f¨ ur die freie Oberfl¨ ache gilt: ∂ D ∂ (y − η) = 0 ; u2 = + u1 η Dt ∂t ∂x1

(11.88)

Unter Vernachl¨ assigung des Terms zweiter Ordnung ergibt sich ∂φ ∂η = ∂y ∂t

(11.89)

F¨ ur den Druck an der freien Oberfl¨ ache l¨ asst sich angeben: 1 1 P = −σ + R1 R2

(11.90)

ummungsradien der gestörten Oberfläche darwobei R1 und R2 die Hauptkr¨ stellen und σ die Oberfl¨ achenspannung angibt. Linearisiert lässt sich schreiben ∂2η P = −σ (11.91) ∂x2 wobei der Druck u ache mit P = 0 angesetzt wird. Sonst ¨ ber der freien Oberfl¨ ist P durch (P = P0 ) zu ersetzen. F¨ ur ebene, fortschreitende Wellen l¨ asst sich das folgende Potential angeben: φ(x, y, t) = C exp(ky) cos [k (x − ct)]

(11.92)

mit φ = 0 f¨ ur y = −∞. Der Ansatz f¨ ur φ erf¨ ullt die Kontinuitätsgleichung in der Form (11.80). Die Bernoulli-Gleichung l¨ asst sich wie folgt angeben: P ∂φ = − − gy. ∂t ρ

(11.93)

∂φ P σ ∂2η = − − gη = − gη. ∂t ρ ρ ∂x2

(11.94)

Oder umgeschrieben:

Hieraus folgt: ∂2φ σ ∂2 = 2 ∂t ρ ∂x2

∂η ∂t

−g

∂η . ∂t

und unter Ber¨ ucksichtigung von (11.89) σ ∂2 ∂φ ∂2φ = −g 2 2 ∂t ρ ∂x ∂g

(11.95)

(11.96)


355

F¨ ur die linke Seite von (11.96) l¨ asst sich mit (11.92) schreiben: ∂2φ = −Ck 2 c2 exp(ky) cos [k(x − ct)] = −k 2 c2 φ ∂t2

(11.97)

∂φ σ ∂2 k c φ= g− ρ ∂x2 ∂y

(11.98)

so dass gilt:

2 2

Mit ∂φ/∂y = kφ und ∂ 2 φ/∂x2 = −k 2 φ ergibt sich aus (11.98) f¨ ur die Geschwindigkeit der fortschreitenden Welle c2 =

kσ g + k ρ

(11.99)

Mit k = 2π asst sich ersehen, dass f¨ ur lange Wellen der Einfluss der Graviλ l¨ tation dominiert: g Schwerewellen (11.100) c= k F¨ ur Wellen mit kleinen Wellenl¨ angen dominieren Kapillareffekte: # kσ c= Kapillarwellen ρ

(11.101)

Oftmals interessieren bei Wellenbewegungen auch die Bahnkurven der Fluidteilchen, die sich an der Wasseroberfl¨ ache einstellen, bzw. in bestimmten Tie¨ fen unter der Wasseroberfl¨ ache. Dazu lassen sich folgende Uberlegungen anuhrt werden, welche stellen, wobei x0 und y0 als die Koordinaten eingef¨ ux =

dx ∂φ = = Ck exp(ky) sin [k(x − ct)] ∂x dt

(11.102)

uy =

dy ∂φ = = Ck exp(ky) cos [k(x − ct)] ∂y dt

(11.103)

Hieraus resultieren:

+1 ck −1 y = y0 + Ck exp(ky) sin [k(x − ct)] ck

x = x0 + Ck exp(ky) cos [k(x − ct)]

(11.104) (11.105)

Oder umgeschrieben: (x − x0 )2 + (y − y0 )2 =

C c

2 exp(2ky0 )

(11.106)

Die Bahnkurven der Fl¨ ussigkeitsteilchen errechnen sich als Kreise, deren Radius mit zunehmender Wassertiefe kleiner wird. F¨ ur die Wasseroberfläche

356


ist der Radius der Kreisbahn gleich der Amplitude der Oberflächenwelle, w¨ ahrend er in einer Tiefe von einer Wellenl¨ ange bereits auf das 1/535zigstel der Wellenamplitude an der Wasseroberfl¨ ache abgenommen hat. Dies macht deutlich, dass die betrachtete Wellenbewegung auf einen Bereich in unmittelbarer N¨ ahe der Wasseroberfl¨ ache beschr¨ ankt bleibt. y

x a e q

k y 0

x

Abbildung 11.7: Kreisbahnen der Fluidteilchenbewegung

Die Abb. 11.7 zeigt die von Fluidteilchen beschriebenen Kreisbahnen. Diese werden in einer dem Uhrzeigersinn entgegengesetzten Richtung durchlaufen, so dass gilt (11.107) (x − x0 ) = a exp(ky0 ) sin Θ (y − y0 ) = −a exp(ky0 ) cos Θ

(11.108)

Θ = kx0 + kct cos(yt + )

(11.109)

so dass f¨ ur Θ gilt: ¨ Was die Anderung der Bewegungen der Fluidteilchen mit der Wassertiefe anbetrifft, so sind diese in Abb. 11.8 skizziert. Dabei wurde die starke Abnahme des Radius mit der Fluidtiefe nicht in Betracht gezogen. Um nun Schwerewellen mit freien Oberfl¨ achen in Fl¨ ussigkeiten mit endlicher Tiefe h untersuchen zu k¨ onnen, wird wieder eine mittlere Oberflächenposition an der Stelle y = 0 angenommen. An der Position y = −h wird eine Wand als gegeben angesehen, so dass eine mittlere Fl¨ ussigkeitsfilmdicke mit der H¨ ohe h entsteht. Um nun die Kontinuit¨ atsgleichung: ∂2φ ∂2φ + =0 2 ∂x ∂y 2

(11.110)

durch eine Welle mit der Wellenzahl k zu erf¨ ullen, wird folgender Potentialansatz vorgenommen φ = C cosh k(y + h) cos k(x − ct)

(11.111)

der nicht nur die Kontinuit¨ atsgleichung erf¨ ullt, sondern gleichzeitig auch die Randbedingung am Boden der Fl¨ ussigkeitsschicht zu erf¨ ullen zulässt:


357

y

x

Abbildung 11.8: Bahnlinien in einer ebenen Schwerewelle

∂φ =0 ∂y

f¨ ur y = −h

(11.112)

Das Vorgehen zur Ableitung der erforderlichen Beziehungen ist nun ähnlich, wie das in Abbschnitt 11.5. Es ergibt sich dann eine Bedinung f¨ ur die freie Oberfl¨ ache, die wie untenstehend angegeben werden kann: k2 T 2 kc cosh kh = g + sinh kh, (11.113) ρ Oder nach der Wellengeschwindigkeit aufgel¨ ost erhält man: k 2 T tanh kh . c2 = g + ρ k

(11.114)

F¨ ur langwellige Wellen, d.h. f¨ ur kleine Werte der Wellenzahl k ist, erhält man f¨ ur die Wellengeschwindigkeit: c2 = gh.

(11.115)

Die sich mit dieser Geschwindigkeit fortbewegenden Wellen sind im wesentlichen Gravitationswellen, da die Oberfl¨ achenkr¨ ummung so klein ist, dass die Einfl¨ usse der Oberfl¨ achenspannung an der Wellenbewegung nicht wahrgenommen werden. F¨ ur sehr kurze Wellen, d.h. f¨ ur große Werte der Wellenzeit k erhält man dagegen: kT (11.116) c2 = ρ Dies ist die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Kapillarwellen, die diese Gleichung f¨ ur die Geschwindigkeit der Kapilarwellen zeigt, so dass deren Ausbreitungsgeschwindigkeit nicht durch die H¨ ohe der Fl¨ ussigkeitsschicht beeinflusst wird.

358


11.6 Hinweise auf sonstige Wellenbewegungen Die in den vorausgegangenen Kapiteln 11.1 bis 11.5 behandelten Wellenbewegungen stellen einf¨ uhrende Betrachtungen dar, die in einschlägigen Lehrb¨ uchern, mit Schwerpunkten zu Wellenbewegungen, Erweiterungen erfahren, e. g. siehe Yih [11.6]. Dennoch fehlt es in Lehrb¨ uchern an generellen Betrachtungen zu Wellenbewegungen in Fluiden, d.h. die Behandlung von Wellenbewegungen ist stets auf die Behandlung ganz spezieller Wellenbewegungen beschr¨ ankt. So werden z. B. in [11.6] folgende Wellenbewegungen in Fluiden behandelt. – Gerstner-Wellen – Solitar-Wellen – Rossby-Wellen

– Stokes-Wellen – Cnoidal-Wellen – Axisymmetrische Wellen

Will man somit die einf¨ uhrende Literatur zu der in der Natur beobachteten Wellenbewegung finden, so gilt es die physikalischen Ursachen der betrachteten Wellenbewegung zu erkennen. So beobachtet man zum Beispiel, dass ein langer K¨ orper, der quer zu seiner L¨ angenausdehnung in der Nähe einer freien Oberfl¨ ache bewegt wird, Wellen vor allem in seinem Nachlauf ausbildet. Vor dem K¨ orper beobachtet man von der Amplitude her kleinere Oberflächenwellen, wenn die Abmessungen des K¨ orpers in Strömungsrichtung kleiner sind im Vergleich zu (σ/ρg)1/2 . Sonst dominieren die nach dem Körper vorliegenden Schwerewellen und die vor dem K¨ orper beobachtbaren Kapillarwellen sind vernachl¨ assigbar. Hat man also die Natur der beobachteten Wellenbewegung erkannt, so l¨ asst sich die zugeh¨ orige analytische Behandlung in den Lehrb¨ uchern finden, die unter Abschnitt 11.7 aufgef¨ uhrt sind.

11.7 Literaturhinweise 11.1 Lamb H (1945) Hydrodynamics. Dover Publications, New York 11.2 Bergmann L, Schaefer C (1961) Lehrbuch der Experimentalphysik. Band I, 6, Walter de Gruyter & Co, Berlin 11.3 Batchelor GK (1970) An Introduction to Fluid Dynamics. Cambridge University Press, Cambridge 11.4 Yuan SW (1971) Foundations of Fluid Mechanics. Prentice-Hall, Inc., Englewwood Cliffs, N.J. 11.5 Currie IG (1974) Fundamental Mechanics of Fluids. McGraw-Hill Book Company, New York 11.6 Yih CS (1979) Fluid Mechanics - A Concise Introduction to the Theory. West River Press, Ann Arbor, Michigan 11.7 Spurk JH (1996) Str¨ omungslehre. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York

12 Einfu ¨ hrung in die Gasdynamik

12.1 Einleitende Betrachtungen Die Gasdynamik ist ein Teilgebiet der Str¨ omungsmechanik welches sich mit der Bewegung von Gasen bei hohen Geschwindigkeiten beschäftigt. Gravitationskr¨ afte und ihre Einwirkung auf Str¨ omungen sind hier zumeist vernachl¨ assigbar. Daß dies gerechtfertigt ist, zeigen Betrachtungen der durch Gravitationskr¨ afte in Gasstr¨ omungen zu erwartenden Druckdifferenzen: ∆P = −ρgj xj = ρg∆z,

(12.1)

die f¨ ur ein ideales Gas (P = ρRT ) u ¨ ber folgende Beziehung ermittelbar sind: ∆P ∆z ∆z m m · s2 K =g ≈ 9, 81 (12.2) P RT 287T s2 m2 K Setzt man T ≈ 293◦K ein, so zeigt sich, daß die gravitationsbedingten relativen Druck¨ anderungen erst dann Werte um die 1 % annehmen, wenn vertikale Verschiebungen von etwa 100 m vorliegen. Da sich gasdynamische Betrachtungen u ¨blicherweise auf Anlagen mit weitaus kleineren Abmessungen beschr¨ anken, liegt die Berechtigung vor, die strömungsmechanischen Grundgleichungen, f¨ ur Betrachtungen in der Gasdynamik, durch Vernachlässigung der Gravitationskr¨ afte zu vereinfachen. F¨ ur viele str¨ omungsmechanische Betrachtungen ist es zulässig, auch gasf¨ ormige Fluide als inkompressibel anzusehen, wenn die auftretenden Fluidgeschwindigkeiten klein gegen¨ uber der Schallgeschwindigkeit des Fluids sind. Dies kann durch die folgende Betrachtung f¨ ur eine Staupunktströmung erl¨ autert werden: U2 (12.3) PS = P∞ + ρ ∞ mit ρ = const 2 Falls die Kompressibilit¨ at eines Fluids zu ber¨ ucksichtigen ist, z.B. f¨ ur ein ideales Gas bei hohen Str¨ omungsgeschwindigkeiten, gilt f¨ ur den Staudruck unter adiabaten Bedingungen, siehe Kap. 9, wo im Rahmen der Stromfadentheorie bereits gasdynamische Betrachtungen angestellt wurden: κ κ − 1 ρ∞ 2 κ−1 PS = P∞ 1 + U (12.4) 2κ P∞ ∞

360

12 Einf¨ uhrung in die Gasdynamik

oder als Reihenentwicklung geschrieben: / . 2 2 1 ρ∞ U ∞ ρ∞ 2 PS = P∞ 1 + U + + ··· 2P∞ ∞ 2κ 2P∞

(12.5)

Hieraus folgt, dass f¨ ur κ ≈ 1, 4 und T ≈ 293, Geschwindigkeiten im Bereich von 70 m/s vorliegen m¨ ussen, bevor sich die Staudr¨ ucke inkompressibler und kompressibler Fluide um etwa 2 % unterscheiden. Da nun die Gasdynamik die Lehre von kompressiblen Str¨ omungsvorg¨ angen ist, behandelt sie somit Str¨ omungen mit hohen Geschwindigkeiten bei denen die Fluidkompressibilit¨ at in die Betrachtungen einbezogen werden muss. Solche Strömungen sind durch die Mach-Zahl, Ma, charakterisiert, so dass die Kompressibilität eines Fluides erst ab: U U ≥ 0, 2 (12.6) = √ Ma = c κRT zu ber¨ ucksichtigen ist. Da die Schallgeschwindigkeit c(T ) f¨ ur ein ideales Gas durch das Temperaturfeld vorgegeben ist und f¨ ur T ≈ 300K, Geschwindigkeiten von c ≈ 350m/s vorliegen, m¨ ussen gasdynamische Aspekte bei Str¨ omungsvorg¨ angen erst bei Bahngeschwindigkeiten und damit auch oftmals hohen Reynolds-Zahlen ber¨ ucksichtigt werden. Damit ist es zulässig, die Viskosit¨ atsterme in den Impulsgleichungen zu vernachlässigen. Damit lassen sich die Grundgleichungen der Str¨ omungsmechanik f¨ ur gasdynamische Betrachtungen wie unten aufgef¨ uhrt angeben. In diese Gleichungen wurden die f¨ ur ideale Gase geltenden Beziehungen f¨ ur die innere Energie: e = cv T und cv =const eingef¨ uhrt: ∂(ρUi ) ∂ρ + = 0, ∂t ∂xi Impulsgleichungen (j = 1, 2, 3) ρ ∂Uj + U ∂Uj = − ∂P , i ∂t ∂xi ∂xj ∂T ∂Uj ∂T Energiegleichung ρcv = −P , + Ui ∂t ∂xi ∂xj

Kontinuit¨ atsgleichung

(12.7) (12.8) (12.9)

wobei die Energiegleichung (12.9) f¨ ur adiabate Strömungsvorgänge angegeben ist. Zusammen mit der Zustandsgleichung f¨ ur ideale Gase liegt ein geschlossenes System von Differentialgleichungen vor, das f¨ ur vorgegebene Randbedingungen gel¨ ost werden kann. Gasdynamische Probleme sind damit prinzipiell l¨ osbar. Die m¨ oglichen L¨ osungen erfordern jedoch besonderer Betrachtungen, da das Auftreten hoher Str¨ omungsgeschwindigkeiten mit spezifischen Erscheinungen verbunden ist, welche die Gasdynamik scharf von anderen Teilgebieten der Str¨ omungsmechanik unterscheidet. Wie die nachfolgenden Betrachtungen zeigen f¨ uhrt das Vorliegen hoher Machzahlen, Ma = U/c, zum Entstehen von Unstetigkeitsfl¨ achen“ (Verdichtungsstößen) in ” denen der Druck (und andere Str¨ omungsgr¨ oßen), einen Sprung erfahren. Dies

12.1 Einleitende Betrachtungen

361

erfordert ein besonderes Vorgehen beim L¨ osen von Strömungsproblemen, da die Anwendung der Differentialform der Grundgleichungen gewöhnlich erfordert, dass die eine Str¨ omung beschreibenden Größen im Strömungsgebiet stetig sind. Hinzu kommt, dass bei der Behandlung von Strömungsvorgängen bei hohen Mach-Zahlen, Vorg¨ ange auftreten, die mit unterschiedlichen Zeitskalen verbunden sind. Dies sind die Zeitskalen der Diffusion ∆tDiff , der Konvektion ∆tKonv und der Schallausbreitung ∆tSchall : ∆tDiff =

L2c ; νc

∆tKonv =

Lc ; Uc

∆tSchall =

Lc . c

(12.10)

F¨ ur ∆tKonv ∆tDiff ergibt sich: Re =

∆tDiff Uc L c 1 = ∆tKonv ν

(12.11)

d.h. in der Zeit, in der eine Str¨ omung eine bestimmte Strecke zur¨ uckgelegt hat, gelingt dem molekularen Transport, bei hohen Strömungsgeschwindig¨ keiten, nur das Uberwinden einer vernachl¨ assigbaren Strecke, d.h. es kommt bei hohen Re-Zahlen zum Ausbilden d¨ unner Grenzschichten. Diese werden bei den hier vorgestellten einf¨ uhrenden Betrachtungen vernachlässigt. Aus der Sicht charakteristischer Zeiten ergibt sich analog f¨ ur die Mach-Zahl: Ma =

∆tSchall Uc , = ∆tKonv c

(12.12)

d.h. die Mach-Zahl zeigt an, wie schnell Str¨ omungen in Fluiden ablaufen, relativ zu der charakteristischen Geschwindigkeit der Ausbreitung kleiner St¨ orungen, d. h. der Schallgeschwindigkeit c. In Kap. 9 wurde gezeigt, dass c von der thermodynamischen Zustands¨ anderung abhängt und wie folgt angegeben werden kann:

c=

κ = cp /cv = Verh¨ altnis der Wärmekapazitäten √ κRT R = spezifische Gaskonstante T = absolute Temperatur

(12.13)

Dieser Zusammenhang zwischen der Schallgeschwindigkeit und den thermodynamischen Zustandsgr¨ oßen Druck und Dichte lässt sich folgendermaßen darstellen: Betrachtet wird die Ausbreitung einer kleinen (d.h. isentropen) St¨ orung mit der Geschwindigkeit c in einem ruhenden Fluid. Dies ist ein instation¨ arer Vorgang, der sich durch den Wechsel des Bezugssystems (der Beobachter bewegt sich mit der St¨ orung mit) in ein stationäres Problem wandeln l¨ asst, wie dies in Abb. 12.1 dargestellt ist. Jetzt kann der Impulssatz 12.8 als Kr¨ aftebilanz an einem Kontrollvolumen um die Störung angesetzt werden: F [P − (P + dP )] = ρF c[(c + dU ) − c]

(12.14)

wobei die Fl¨ ache F in Abb. 12.1 skizziert ist. Aus Gleichung (12.14) ergibt sich die folgende Beziehung:

362


F

Abbildung 12.1: Ausbreitung einer St¨ orung in einem kompressiblen Fluid

−dP = ρcdU

(12.15)

F¨ ur die Massenerhaltung l¨ asst sich angeben: ρF c = (ρ + dρ)(c + dU )F so dass gilt: Somit gilt ebenfalls:

dρ = −ρ dP = c2 = dρ

dU c

∂P ∂ρ

(12.16) (12.17)

(12.18) ad

da kein W¨ armeaustausch in die vorliegenden Betrachtungen einbezogen wird. Die Schallgeschwindigkeit ist somit eine lokale Größe, d.h. sie hängt von den lokalgegebenen Druck¨ anderungen ab. Mit dem lokalen Wert c(xi , t) lässt sich in jedem Punkt eines Str¨ omungsfeldes Uj (xi , t), die lokale Mach-Zahl berechnen, so dass dem Str¨ omungsfeld das korrespondierende Mach-Zahl-Feld zugeordnet werden kann, d.h. Ma(xi , t). Diese lokale Ma-Zahl sagt im wesentlichen aus, wie schnell sich in jedem Punkt des Strömungsfeldes, Störungen relativ zu der vorliegenden Str¨ omungsggeschwindigkeit ausbreiten. Aus historischer Sicht ist interessant, dass Newton der erste Wissenschaftler war, der die Schallgeschwindigkeit f¨ ur Gase berechnete, allerdings unter der Annahme eines isothermen Prozesses, bei dem durch die Schallausbreitung keine Temperatur¨ anderungen auftreten. Er erhielt damit bei # seinen Betrachtungen: √ P = RT < c (12.19) cNewton = ρ Erst ein volles Jahrhundert sp¨ ater korrigierte Marquis de Laplace das Ergebnis der Newtonschen Berechnungen, indem er erkannte, dass die durch Schallst¨ orungen produzierten Temperaturschwankungen und auch die damit verbundenen Temperaturgradienten sehr klein sind. Laplace erkannte, dass es damit nicht m¨ oglich ist, die durch die Kompression einer Druckstörung erzeugte W¨ arme, etwa durch √ W¨ armeleitung, an die Umgebung abzuf¨ uhren. uhrt Die von Laplace eingef¨ uhrte κ−Korrektur der Newtonschen Formel f¨

12.2 Machsche Linien und Machscher Kegel

363

zu der korrekten Ausbreitungsgeschwindigkeit von Schallwellen in idealen Gasen: √ (12.20) c = κRT ¨ Uber diese Formel ist, darauf sei noch einmal hingewiesen, jedem Temperaturfeld T (xi , t) eines idealen Gases auch ein Schallgeschwindigkeitsfeld c(xi , t) zugeordnet.

12.2 Machsche Linien und Machscher Kegel Betrachtet man eine von einer Punktquelle im Ursprung eines Koordinatensystems ausgehende St¨ orung, so wird sich diese, falls die Punktquelle keine Bewegung ausf¨ uhrt, radial mit der Geschwindigkeit c ausbreiten, d.h. die St¨ orfl¨ achen gleicher Phase stellen Kugelfl¨ achen dar, falls die Ausbreitung in einem Feld konstanter Temperatur erfolgt. Liegt dagegen ein Temperaturfeld mit Temperaturvariationen vor, so spiegeln sich diese Variationen als Deformationen der in der Abb. 12.2 dargestellten Kugelflächen wieder. Die Ausbreitung erfolgt schneller in der Richtung hoher Temperaturen, wie dies durch Gleichung 12.20 vorhergesagt wird. M¨ ogliche Temperaturverteilungen beeintr¨ achtigen somit die Symmetrie der Ausbreitung von Schallwellen. x 2

c (3 D t)

c (2 D t)

c (D t)

x

x 1

3

Abbildung 12.2: Ausbreitung von St¨ orungen bei station¨ arer St¨ orquelle

Erweitert man nun die Betrachtungen der Ausbreitung von Störungen auf bewegte St¨ orquellen kleiner Abmessungen, so ergeben sich Ausbreitungserscheinungen, wie sie in Abb. 12.3 f¨ ur U < c, d.h. Ma < 1 und U > c, d.h. Ma > 1, skizziert sind. Durch die Bewegung der Störquelle mit einer Geschwindigkeit kleiner als die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Störung, wie

364

12 Einf¨ uhrung in die Gasdynamik x

x 2

2

c (3 D t) c (3 D t)

c (2 D t)

c (2 D t)

c (D t)

c (D t)

U < c

· ·

·

x

U (D t)

·

·

1

a

U < c

·

a

x 1

U (2 D t) U (D t)

a) U < c

;

Ma < 1

U (D t)

b) U < c

U (D t)

;

Ma > 1

Abbildung 12.3: Ausbreitung von St¨ orungen bei bewegter St¨ orquelle f¨ ur Ma < 1 und Ma > 1

in Abb. 12.3a skizziert, entsteht ein Ausbreitungsbild, das nicht mehr die in Abb. 12.2 angegebene symmetrische Ausbreitung der Störungen“ auf” zeigt. In der Ausbreitungsrichtung der St¨ orquelle erfolgt eine Konzentrierung der ausgesandten St¨ orwellen, d.h. ein in positiver x1 −Richtung stehender Beobachter wird gegen¨ uber der Ausgangsfrequenz der Störquelle eine Frequenzerh¨ ohung der St¨ orung registrieren. Dagegen erfolgt in entgegengesetzter Richtung eine Abnahme der Frequenz gegen¨ uber der ausgesandten Störung. Berechnet man diese Frequenz¨ anderung f¨ ur die Frequenzzunahme in ur Ma < 1: positiver x1 −Richtung, so ergibt sich nach Abb. 12.4 f¨

c is t d ie A u s b re itu n g s g e s c h w in d ig k e it d e r e m ittie rte n W e lle n [ c - U^ i l i ] l ' = ¦ f f ' = S 1 [ 1 - c U^ i l i ]

c t ( c - U^ i l i ) t U i

B e w e g te Q u e lle

l

S ta tio n ä re r B e o b a c h te r

i

f ' - f = D v =

v c

U^ i l i

[ 1 - 1c U ^ i l i ]

Abbildung 12.4: Frequenz¨ anderung durch Bewegung der St¨ orquelle (DopplerEffekt durch bewegte Quelle)

12.2 Machsche Linien und Machscher Kegel

365

c − Ui "i (c − U1 ) , oder mit Ui "i = U1 wobei λ = und "i den Einheitsf f vektor in Ausbreitungsrichtung angibt (f = Frequenz der Störung). Damit gilt f¨ ur f : f f = (12.21) f = 1 − Ui "i /c 1 − (U1 /c) In positiver Richtung gilt: λ =

f =

f c f = = λ 1 − U1 /c 1 − Ma

(12.22)

In negativer x1 −Richtung errechnet sich: f =

f f = 1 + U/c 1 + Ma

(12.23)

Damit erweist sich die Ma-Zahl als eine wichtige Größe, um Wellenausbreitungen in Fluiden zu charakterisieren. Tritt nun der Fall ein, dass die Geschwindigkeit der sich bewegenden St¨ orquelle gleich der Ausbreitungsgeschwindigkeit der Störung ist, so ergibt sich, dass die Ausbreitung der St¨ orungen nur noch in der Halbebene, in Bezug auf die St¨ orquelle, m¨ oglich ist aus der heraus die Bewegung der Quelle erfolgt, siehe Abb. 12.5. x 2

c (3 D t) c (2 D t)

o

x

1

o 2

c (D t)

o

3

o

U = c 4

x 1

3

U (D t)

Abbildung 12.5: St¨ orungsausbreitung bei Ma = 1

F¨ ur den Fall, dass nun die Geschwindigkeit der Störquelle die Ausbreitungsgeschwindigkeit der St¨ orungen u ¨ berschreitet, stellt sich ein Ausbrei-

366


tungsbild ein, das in Abb. 12.3b skizziert ist. Dieses verdeutlicht, dass sich die Ausbreitung der St¨ orungen, in Bezug auf die sich bewegende Störquelle, innerhalb eines Kegels vollzieht, dem sogenannten Machschen Kegel. Vor dem Kegel ergibt sich ein st¨ orungsfreies Gebiet, das streng von dem Gebiet ¨ mit St¨ orungen innerhalb des Machschen Kegels getrennt ist. Als halber Off¨ nungswinkel α des Kegels ergibt sich, durch Uberlegungen, die in Abb. 12.6 skizziert sind, der Winkel des sogenannten Machschen Kegels: sin α =

c∆t 1 = U ∆t Ma x

wobei α = halber Winkel des Machschen Kegels ist. (12.24) 2

.

s in a =

c D t

c D t U D t =

c U

=

1 M a

A u s s trö m u n g s ric h tu n g S trö m u n g s ric h tu n g

a

x 1

U D t D e r W in k e l a h ä n g t v o n d e r M a -Z a h l a b ¨ Abbildung 12.6: Offnungswinkel des Machschen Kegels

Die obige Formel leitet sich aus folgenden Größen unter Anwendung von Abb. 12.6 ab: c∆t = Ausbreitung der St¨ orung in Zeit ∆t U ∆t = Weg der St¨ orquelle in Zeit ∆t Werden Betrachtungen im Zweidimensionalen durchgef¨ uhrt, so stellt der Machsche Kegel zwei sich kreuzende Ebenen dar, die in der x1 − x2 −Ebene als Linien zu sehen sind und die man als Mach-Linien bzw. Mach-Wellen ¨ bezeichnet. Die oben f¨ ur r¨ aumliche Bewegungen angegebenen Uberlegungen, lassen sich ohne weiteres auch auf zweidimensionale Probleme anwenden. Sie zeigen auf, dass sich Ausbreitungen von zweidimensionalen Störungen in Form ebener Wellen vollziehen. Die Ausbreitung erfolgt senkrecht zu den Wellenebenen. Durch die oben durchgef¨ uhrten Betrachtungen lassen sich Beobachtun¨ gen erl¨ autern, die man in Verbindung mit dem Flug von Uberschallflugzeugen machen kann, siehe Abb. 12.7. Flugzeuge dieser Art zeigen ein Gebiet, in dem das Flugzeug nicht geh¨ ort werden kann, d.h. ein Beobachter kann

12.3 Nichtlineare Wellenausbreitung

367

L in ie d e s M a c h s c h e n K e g e ls a G e b ie t m it L ä rm w a h rn e h m u n g

a

G e b ie t o h n e L ä rm w a h rn e h m u n g

Abbildung 12.7: Erl¨ auterung zur Wahrnehmung von Flugzeugen

¨ ein im Uberschall auf ihn zufliegendes Flugzeug, weit eher mit dem Auge wahrnehmen als er es h¨ oren kann. Erst wenn sich der Beobachter innerhalb des Machschen Kegel befindet, gelingt es ihm das Flugzeug zu sehen und zu h¨ oren.

12.3 Nichtlineare Wellenausbreitung, Ausbildung von Stoßwellen Die in den Kapiteln 12.1 und 12.2 durchgef¨ uhrten Betrachtungen haben sich auf St¨ orungen kleiner Amplitude konzentriert, die sich als Störungen durch linearisierte Gleichungen behandeln lassen, wie dies auch in Kapitel 9 gezeigt wurde. Dort wurde ausgef¨ uhrt, dass kleine St¨ orungen der Fluideigenschaften omungsgeschwindigkeit u , durch Linearisierungen der ρ , P , T bzw. der Str¨ Grundgleichungen der Str¨ omungsmechanik behandelt werden können. Unter diesen Annahmen ergab sich eine konstante Wellengeschwindigkeit und eine Ausbreitung bei der sich eine vorgegebene Wellenform nicht ändert. Diese Eigenschaften sind f¨ ur Wellenbewegung mit gr¨ oßeren Amplituden nicht mehr gegeben, so dass sich Wellengeschwindigkeiten einstellen, die sich von Ort zu Ort ¨ andern und Wellenfronten entstehen, die sich bei der Ausbreitung deformieren. Um solche Vorg¨ ange verstehen zu können, betrachtet man am besten die eindimensionale Form der Kontinuitäts- und der Impulsgleichung mit U = U1 , x = x1 : Kontinuit¨ atsgleichung:

∂ρ ∂ρ ∂U +U +ρ =0 ∂t ∂x ∂x

(12.25)

Impulsgleichung:

∂U ∂U 1 ∂P +U =− ∂t ∂x ρ ∂x

(12.26)

Aus 12.25 ergibt sich f¨ ur ρ = ρ(U1 ) die folgende Beziehung: dρ ∂U dρ ∂U ∂U +U +ρ =0 dU ∂t dU ∂x ∂x

(12.27)

368


Analog l¨ asst sich Gleichung 12.26 schreiben: ∂U 1 dP ∂U dρ ∂U +U + =0 ∂t ∂x ρ dρ dU ∂x

(12.28)

Multipliziert man Gleichung (12.28) mit (dρ/dU ) und subtrahiert man sie von (12.27) erh¨ alt man: 2 ∂U 1 dP dρ ∂U ρ = (12.29) ∂x ρ dρ dU ∂x oder umgeschrieben: # # dP ∂P dU 1 1 (12.30) =± =± dρ ρ dρ ρ ∂ρ ad Diese Gleichung l¨ asst sich nun integrieren: "U1 "ρ# dP dρ dU = ± dρ ρ

(12.31)

ρ∞

0

Unter Ber¨ ucksichtigung von P/ρκ = const l¨ asst sich (12.31) integrieren: U =±

"ρ √

ρ∞

ρ 2 κ−1 dρ =± κρ const ρ κ−1 ρ∞ 2 (a − c) U =± (κ − 1)

κconstρ

κ−1 2

(12.32)

Damit ergibt sich f¨ ur die Ausbreitungsgeschwindigkeit einer Welle mit großer Amplitude: (κ − 1) U (12.33) a=c± 2 eine Ausbreitungsgeschwindigkeit a“, die von der lokalen Strömungsge” schwindigkeit abh¨ angt. Dabei ist c die f¨ ur das ungestörte Fluid errechnete Schallgeschwindigkeit. Setzt man die Gleichung (12.30) in (12.28) ein, so erhält man die folgende Beziehung: # ∂U ∂U dP ∂U +U ± =0 (12.34) ∂t ∂x dρ ∂x

oder umgeschrieben:

∂U ∂U + (U ± a) =0 ∂t ∂x

(12.35)

Aus der Kontinuit¨ atsgleichung erh¨ alt man: ∂ρ ∂ρ + (U ± a) =0 ∂t ∂x

(12.36)

12.3 Nichtlineare Wellenausbreitung

369

so dass sich f¨ ur ρ folgende allgemeine L¨ osung der Differentialgleichung (12.36) angeben l¨ asst: κ+1 U1 t ρ = Fρ (x1 − (U1 ± a) t) = Fρ x1 − c ± (12.37) 2 ur die Geschwinwobei Fρ () eine beliebige Funktion darstellt. Analog gilt f¨ digkeit: κ+1 U1 t U1 = Fu (x1 − (U1 ± a) t) = Fu x1 − c ± (12.38) 2

B

A

fo rts c h re ite n d e Z e it

c c b

c A

r c

b A

a

b

r A

b

2

a a B

r a

A B

r

Abbildung 12.8: Wellendeformationen und Ausbildung von Verdichtungsst¨ oßen

Die Beziehungen (12.37) und (12.38) erlauben die Ausbreitung einer St¨ orung mit einer Ausbreitungsgeschwindigkeit von c ± κ+1 autern. 2 U1 zu erl¨ Aufgrund dieser von der lokalen Str¨ omungsgeschwindigkeit abhängigen Ausbreitungsgeschwindigkeit kommt es zu Wellendeformationen, wie sie in Abb. 12.8 angedeutet sind. Betrachtet man den propagierenden Anteil mit dem (+)−Zeichen, so lassen sich charakteristische Positionsänderungen zu Zeiten t wie folgt angeben:

370


xA = ctω ;

xB = xA + cta +

κ+1 U ta ; 2

xC = xB + ctb .

(12.39)

Die einsetzende und fortschreitende Deformation der Welle ist ersichtlich. Es kommt so zur Ausbildung von Verdichtungsst¨ oßen. uhrte lokale Mehrdeutigkeit der Dichte Die in Abbildung 12.8 f¨ ur tn aufgef¨ kann nat¨ urlich nicht auftreten. Wenn die Wellenfront sich derart aufgebaut hat, dass alle thermodynamischen Gr¨ oßen des Fluids und auch die Geschwin¨ digkeit pl¨ otzliche Anderungen erfahren, ist die maximal mögliche Deformation der sich ausbreitenden Str¨ omung erreicht. Ein Verdichtungsstoß hat sich aufgebaut.

12.4 Alternative Formen der Bernoulli-Gleichung Im Abschnitt 9.4.2 wurden, zur Einf¨ uhrung der Stromfadentheorie in die Behandlung von Str¨ omungsvorg¨ angen, eindimensionale, isentrope Strömungen unter Anwendung der Bernoulli-Gleichung f¨ ur inkompressible Strömungen behandelt: κ PH 1 2 κ P U + = (12.40) 2 1 (κ − 1) ρ (κ − 1) ρH Als thermodynamisch maximal m¨ ogliche Geschwindigkeit wurde ermittelt, f¨ ur (P/ρ) → 0: 2κ PH 2κ 2 RTH (Umax ) = = (12.41) (κ − 1) ρH (κ − 1) so dass gilt:

κ P 1 2 1 2 U1 = Umax − 2 2 (κ − 1) ρ

(12.42)

Da die Ma-Zahl eine fundamentale Gr¨ oße in der Behandlung gasdynamischer Str¨ omungsprobleme darstellt, l¨ asst sich schreiben: 2 2 Umax Umax 1 2κ RT 2 − = − (12.43) 1= U1 (κ − 1) U12 U1 (κ − 1) Ma2 oder umgeschrieben: 1 κ−1 2 = 2 Ma

.

Umax U1

/

2 −1

(12.44)

Den oben aufgef¨ uhrten Betrachtungen lag eine Expansionsströmung zugrunde, wie sie in Abb. 12.9 angedeutet ist. F¨ ur diese Strömung ergibt sich der sogenannte kritische Zustand, wenn U1 = c = Uc erreicht ist, d.h. wenn folgende Beziehung gilt: c2H Uc2 1 2 Uc + = 2 (κ − 1) (κ − 1)

Uc2 =

2κ RTH (κ + 1)

(12.45)

12.4 Alternative Formen der Bernoulli-Gleichung

371

D ü se n e n d e

g ro ß e s R e s e rv o ire

x 1 = 0

x 1 = L

Abbildung 12.9: Ausgleichstr¨ omung zwischen zwei Druckbeh¨ altern

F¨ ur den kritischen Druck errechnet sich nach (12.40) unter Ber¨ ucksichtigung von (12.45):   κ−1 κ P 2κ c  = 2κ RTH RTH 1 − (12.46) Uc2 = (κ − 1) P (κ + 1) κ (κ−1) P∗ 2 Pc = = PH PH (κ + 1)

(12.47)

Unter Anwendung der Beziehungen f¨ ur isentrope Dichte und Temperatur¨ anderungen erh¨ alt man:

ρc ρH

= Tc TH

ρ∗ = ρH

P∗ PH

T∗ = = TH

1/κ = P∗ PH

2 (κ + 1)

κ−1 κ =

1 (κ−1)

2 (κ + 1)

(12.48)

(12.49)

Die Mach-Zahl l¨ asst sich nun heranziehen, um die infolge der BernoulliGleichung f¨ ur kompressible Medien m¨ oglichen Druck-, Temperatur- und Dichte¨ anderungen als Funktion der Mach-Zahl auszudr¨ ucken: c2 TH c2H κ−1 1 2 U1 + = ; Ma2 + 1 = 2 (κ − 1) (κ − 1) 2 T −1 T (κ − 1) oder umgeschrieben: Ma2 = 1+ TH 2

(12.50) (12.51)

F¨ ur die Dichte- und Druckvariationen lassen sich folgende Beziehungen ableiten: 1 −1 (κ−1) ρ T κ−1 (κ − 1) 2 Ma = 1+ (12.52) = ρH TH 2 κ −κ (κ−1) T (κ−1) P (κ − 1) 2 Ma = 1+ (12.53) = PH TH 2

372


F¨ ur das Schallgeschwindigkeitsverh¨ altnis c/cH ergibt sich: c = cH

T TH

12

−2 κ−1 M a2 = 1+ 2

(12.54)

, c c H

1 ,0

P

P , r , T r H T H

H

k = 1 ,4

0 ,8

c

0 ,6

c H

0 ,4 P

0 ,2 0 ,0

0 ,0

1 ,0

P

r H

2 ,0

T

r

T H

H

3 ,0

4 ,0

M a

5 ,0

Abbildung 12.10: Diagramm zur Darstellung der Parametervariationen in der Bernoulli-Gleichung

Die oben aufgef¨ uhrten Beziehungen sind in Abb. 12.10 eingezeichnet. Jede der aufgef¨ uhrten Kurven stellt die Bernoulli-Gleichung dar, die zum Ausdruck bringt, wie sich die Schallgeschwindigkeit, die Temperatur, der Druck und die Dichte jeweils normiert mit den entsprechenden Werten im Hochdruckbeh¨ alter ¨ andern, wenn die Machzahl¨ anderungen bekannt sind. Dieses Diagramm entspricht dem Diagramm 9.9 in Kapitel 9, wo als Parameter der Darstellung die Temperatur-, Dichte- und Druckvariationen (U1 /Umax) angewandt wurden. Es ist eine Eigenart kompressibler Str¨ omungen, dass der lokale Staudruck einer Str¨ omung κP 1 2 1 1 1 ρU1 = ρc2 Ma2 = ρ (12.55) Ma2 = κP Ma2 2 2 2 ρ 2 vom lokal vorliegenden Druck und der lokalen Mach-Zahl abhängt. F¨ ur die normierte Druckdifferenz gilt: PH − P PH 2 2 PH − P = −1 = 1 2 P κMa2 κMa2 P 2 ρU1

(12.56)

12.5 Str¨ omung mit W¨ arme¨ ubertragung (Rohrstr¨ omung)

Mit (PH /P ) aus (12.53) erh¨ alt man: / . κ (κ−1) PH − P 2 κ−1 2 Ma = −1 1+ 1 2 2 κMa2 2 ρU1 Durch eine Reihenentwicklung f¨ ur Ma2
0: Unterschallstr¨ omung: dU > 0; die Str¨ omungsgeschwindigkeit nimmt bei Wärmezufuhr zu. U dρ dP < 0 und < 0; die Dichte und der Druck nehmen bei Wärmezufuhr ρ P ab. dT 1 > 0; die Temperatur nimmt bei W¨ armezufuhr zu f¨ ur Ma < . T κ

376


dT 1 < 0; die Temperatur nimmt trotz W¨ armezufuhr ab, f¨ ur Ma > . T κ dMa2 > 0; die lokale Ma-Zahl nimmt bei W¨ armezufuhr zu. Ma2 Die obigen Beziehungen geben an, dass trotz Wärmezuf¨ uhrung, eine Abnahme der Temperatur f¨ ur 1/κ < Ma < 1 vorliegt. ¨ Uberschallstr¨ omung: dU < 0; die Str¨ omungsgeschwindigkeit nimmt bei Wärmezufuhr ab. U dρ dP > 0 und > 0; Dichte und Druck nehmen bei Wärmezufuhr zu. ρ P dT > 0; die Temperatur nimmt bei W¨ armezuf¨ uhrung zu. T dMa2 < 0; die lokale Ma-Zahl nimmt bei W¨ armezufuhr ab. Ma2 ¨ Die Anderung str¨ omungsmechanischer und thermodynamischer Zustands¨ gr¨ oßen erfolgt in einer Rohrstr¨ omung im Uberschallbereich grundsätzlich anders als im Unterschallbereich. Betrachtet man zur Vertiefung des physikalischen Verständnisses die sich abspielenden Vorg¨ ange im T-s-Diagramm f¨ ur ein ideales Gas, so erhält man: ∂T T = (12.80) ( dq)v = cv dTv = T dsv ; ∂s v cv ∂T T ( dq)P = cp dTP = T dsP ; = (12.81) ∂s P cp Aus (12.76) erh¨ alt man f¨ ur die Temperatur¨ anderung in einer Rohrströmung mit W¨ armezufuhr: dT (1 − κMa2 ) ( dq) (1 − κMa2 ) T dsR = = 2 T (1 − Ma ) h (1 − Ma2 ) cp T Daraus errechnet sich: ∂T ∂T T (1 − κMa2 ) = = ∂s Rohr cp (1 − Ma2 ) ∂s R

(12.82)

(12.83)

F¨ uhrt man nun eine effektive W¨ armekapazit¨ at cRohr = cR ein, so gilt: ∂T T ( dq)R = cR dTR = T dsR ; = (12.84) ∂s R cR und cR errechnet sich als:

12.5 Str¨ omung mit W¨ arme¨ ubertragung (Rohrstr¨ omung)

cR = cp

Mit κ =

(1 − Ma2 ) 1 2 =T ∂T (1 − κMa ) ∂s R

cp l¨ asst sich auch schreiben: cv (1 − Ma2 ) 1 , cR = cv + 1 2 = T ∂T κ − Ma ∂s R

377

(12.85)

(12.86)

Somit gilt:

∂T ∂T T T − − ∂s P ∂s R c cR cR − cp cv = p = T T ∂T ∂T cR − cv cp − − c c ∂s c ∂s R v R

und weiter umgeschrieben: cR −1 c 1 − Ma2 − 1 + κMa2 (κ − 1)Ma2 = p = Ma2 = cR (κ − 1) κ − κMa2 − 1 + κMa2 −1 κ cp

(12.87)

(12.88)

Damit gilt f¨ urM a2 : Ma = 2

∂T ∂s ∂T ∂s

−

p

− v

∂T ∂s ∂T ∂s

R =

A B

(12.89)

R

In Abb. 12.11 sind die durch Gleichung (12.89) ausgedr¨ uckten Verhältnisse graphisch dargestellt. Dabei bedeutet (∂T /∂s)p die Steigung der Isobaren im T-s-Zustandsdiagramm und (∂T /∂s)v die Steigung der Isochoren und (∂T /∂s)R die Zustands¨ anderungslinie der Rohrströmung mit Wärmezufuhr. Es l¨ asst sich nun zeigen, dass die Gleichung (12.89) allgemein gilt, nicht nur f¨ ur die in der Gasdynamik im allgemeinen behandelten Strömungen idealer Gase, sondern auch f¨ ur Str¨ omungen realer Gase. Abschließend soll noch bemerkt werden, dass die Beziehungen f¨ ur dU U 2 dP dT dMa (12.74), dρ (12.75), (12.76), (12.76) und (12.78) f¨ u r Ma = 1 ihre 2 ρ P T Ma G¨ ultigkeit verlieren, wenn (dq) = 0 ist. Will man eine Unterschallströmung ¨ durch W¨ armezufuhr auf Schallgeschwindigkeit und danach auf Uberschall bringen, so muss an der Stelle Ma = 1 die W¨ armezufuhr (dq) = 0 sein. Danach gilt es die Str¨ omung zu k¨ uhlen, um eine weitere Mach-Zahl-Steigerung zu erhalten.

12 Einf¨ uhrung in die Gasdynamik s

T v

(c (

( cc v = c o n st

T

s

T p

(

378

d T d s

B

p = c o n st A

G T

c

c p

c v

l s

R

Abbildung 12.11: Zustands¨ anderung im T-s-Diagramm f¨ ur Rohrstr¨ omung mit W¨ armezufuhr

Erweiterte Betrachtungen zeigen, dass die Wärmezuf¨ uhrung im Unter¨ schallbereich dazu f¨ uhrt, die Str¨ omung zu beschleunigen und im Uberschallbereich dazu, die Str¨ omung zu verz¨ ogern. F¨ ur Rohrströmungen mit einem Radius R = const, kann eine Unterschallstr¨ omung, durch eine stetige Wärme¨ zufuhr, nicht in eine Uberschallstr¨ omung u uhrt werden. ¨ bergef¨ Betrachtet man den Verlauf der effektiven Wärmekapazität der Rohrstr¨ omung so ergibt sich der in Abb. 12.12 aufgezeigte Verlauf cR (Ma2 − 1) = cv (Ma2 − 1/κ)

(12.90)

Die effektive spezifische W¨ arme ist demnach ur 0 ≤ Ma < 1/κ positiv f¨ und 1 ≤ Ma < ∞. In dem Ma-Zahlbereich 1/κ < Ma < 1 ist dieeffektive W¨ armekapazit¨ at negativ. Bei Ma = 1/κ geht cR → ∞. Bei Ma = 1/κ besitzt die lokale Str¨ omungsgeschwindigkeit den Wert der isothermen Schallgeschwindigkeit. Wegen der Beziehung (12.88) f¨ ur die effektive Wärmekapazität ¨ ur die Entwicklungen der Unterschall- und UberschallcR /cv ergeben sich f¨ str¨ omungen in beheizten und gek¨ uhlten Rohrströmungen die in Abb. 12.13 skizzierten thermodynamischen Zustandsverl¨ aufe bei gleichem thermodynamischen Ausgangszustand. Vom Zustand A ausgehend gelangt man durch Heizung vom Zustand A bis zum Zustand C, um danach durch K¨ uhlung bis zum Zustand B zu kommen, in ¨ ¨ dem eine Uberschallstr¨ omung vorherrscht. Heizt man dagegen bei Uberschall uhlung auf, so kommt man vom Zustandspunkt A bis C , um danach mit K¨ in den Zustandspunkt B zu gelangen, wo Unterschallströmung vorherrscht.

12.6 Rayleigh- und Fanno-Beziehungen

379

4 3

-2 -3

ko n s t. ko n st .

p A

v

M 1

1

ko n s t.

=

A

p

A

C

=

T

´

T

v

B

C b is A o n g v a ll h c zi t u n s te r H e U n im

B

2

´

v o n C b is B K ü h lu n g

1 1 is o th e rm e S c h a llg e s c h w in d ig k e it

x

Ü b e rs c h a ll

is e n tro p e S c h a llg e s c h w in d ig k e it

0

T

C

1

U ltra s c h a ll

v

´

M ´ 1

c = c

T

=

v e rb o te n e s G e b ie t 1

-1

p

Av

x

v e rb o te n e r B e re ic h

ko n st .

c = c

C ´ p bi B = s B U n ´ K te r üh sc lu ha ng ll

2

vo n

v

im

c

c

B A

s

Abbildung 12.12: Verlauf der effek- Abbildung 12.13: Thermodynamische tiven W¨ armekapazit¨ at eines Gases bei Zustands¨ anderungen bei Unterschall¨ W¨ armezufuhr in einer Rohrstr¨ omung bzw. Uberschallrohrstr¨ omungen, nach Boˇsnjaković

12.6 Rayleigh- und Fanno-Beziehungen Die im vorausgegangenen Abschnitt durchgef¨ uhrten Betrachtungen konzen¨ trierten sich auf die Untersuchung infinitesimaler Anderungen strömungsmechanischer und thermodynamischer Zustandsgrößen in Rohrströmungen, ¨ d.h. auf Anderungen bei Vorliegen einer infinitesimalen Wärmezugabe an das Fluid, aber unter der Annahme, dass keine dissipativen Vorgänge auftreten. F¨ ur die auftretenden Druck- und Machzahl¨ anderungen wurde abgeleitet: dP −κMa2 ( dq) = P (1 − Ma2 ) h

und

dMa2 (1 + κMa2 ) ( dq) 2 = Ma (1 − Ma2 ) h

(12.91)

Daraus ergibt sich der folgende Zusammenhang zwischen der relativen Druckund der Machzahl¨ anderung f¨ ur die als Rayleighströmung bezeichnete Rohrstr¨ omung: κMa2 dP ( dMa2 ) =− (12.92) 2 P (1 + κMa ) Ma2 Diese Differentialgleichung l¨ asst sich zwischen zwei Zustandspunkten 1 und 2 der dissipationsfreien Rohrstr¨ omung mit W¨ armezufuhr integrieren: "2 1

dP =− P

"2 1

κMa2 dMa2 2 (1 + κMa ) Ma2

;

ln

P2 P1

= ln

1 + κMa21 1 + κMa22

(12.93)

380


oder f¨ ur das Druckverh¨ altnis l¨ asst sich angeben: 2

1 + κ(Ma)1 P2 = , etc. 02 P1 1 + κ(Ma)2

(12.94)

Nach Gleichung (12.53) ergibt sich ein thermodynamisch errechenbarer H¨ ochstdruck PH : κ (κ−1) κ−1 2 Ma (12.95) PH = P 1 + 2 Damit errechnet sich das Verh¨ altnis der Kesselzustände“ f¨ ur die Zustands” punkte 1 und 2: (PH )B (1 = (PH )A (1



2 + κMaA ) 2 + κMaB )



1+ 1+

 κ 2 (κ−1) (κ−1) 2 MaB  2 (κ−1) 2 MaA

(12.96)

Analog l¨ asst sich f¨ ur das Temperaturverh¨ altnis T2 /T1 ableiten 2

T2 (Ma)2 = 2 T1 (Ma)1

)

2

1 + κ(Ma)1

*2 (12.97)

2

1 + κ(Ma)2

und f¨ ur das entsprechende Verh¨ altnis der Hochdruckkesseltemperaturen   2 2 ) 2 *2 Ma 1 + (κ−1) (TH )B MaB 1 + κMaA B 2  = (12.98) 2 2 2 (κ−1) (TH )A Ma 1 + κMa 1+ Ma A

B

A

2

F¨ ur das Dichte- und Geschwindigkeitsverh¨ altnis ergibt sich: 2 ) 2 * UA PB TA MaA 1 + κMaB ρB = = = 2 2 ρA UB PA TB Ma 1 + κMa B

(12.99)

A

Zuletzt l¨ asst sich noch die folgende Beziehung angeben: 1 − Ma2 d(Ma2 ) ds = cp 1 + κMa2 Ma2

(12.100)

um die Entropie¨ anderung des str¨ omenden Gases in der Rohrströmung mit W¨ armezuf¨ uhrung zu berechnen:  s2 − s 1 =

2 κR  (Ma)2 · ln  2 (κ − 1) (Ma)1

cp

)

1+ 1+

2 κ(Ma)1 2 κ(Ma)2

* (κ+1) κ

  

(12.101)


381

Die oben abgeleiteten Gleichungen lassen sich nun anwenden, um z.B. in einem T −s−Diagramm, die Lagepunkte bestimmter Mach-Zahlen f¨ ur die Rayleighstr¨ omung zu berechnen. Ausgegangen wird dabei von einem Zustandspunkt 1, f¨ ur den T1 und s1 bekannt sind, sowie auch U1 und somit auch (Ma)1 . F¨ ur jeden Wert (Ma)2 lassen sich T2 und s2 berechnen und somit die Rayleighkurve, wie in Abb. 12.14 skizziert, punktweise darstellen. F¨ ur den direkten Zusammenhang zwischen s und T erhält man: s2 − s1 = ln cp

T2 T1

κ+1 2κ

M

T - °R

7 0 0

= 1 .0

g un eh i z ll f ha A u sr c te U n l h al c s er n g Ü b iz u e fh A u

6 0 0 5 0 0 4 0 0 3 0 0 2 0 0 0

0 .1

0 .2

0 .3

0 .4

0 .5

0 .6

0 .7

s2 - s c p

0 .8 1

Abbildung 12.14: Skizze der Rayleigh-Linien im T-s-Diagramm

Der Abb. 12.14 ist zu entnehmen, dass f¨ ur den Unterschallteil der RayleighKurve, die Temperatur zunimmt, verbunden mit einer Zunahme der Ma-Zahl bis zu Ma = 1/κ. Danach nimmt die Temperatur ab bis zu Ma = 1. Bewegt ¨ man sich auf dem Ast der Uberschallstr¨ omung, so nimmt die Ma-Zahl mit zunehmender Entropie ab bis Ma = 1 erreicht ist. Es ist in der Gasdynamik auch u ur die normierte ¨ blich als Bezugsgrößen f¨ ur (Ma)1 = 1 heranzuziehen, Darstellung von P , PH , T , TH und ρ die Werte f¨ die u ur diese Darstellungsvariante ¨ blicherweise mit ()∗ bezeichnet werden. F¨ der obigen Ergebnisse gilt: P 1+κ = ; P∗ 1 + κMa2

T (1 + κ)2 Ma2 = T∗ (1 + κMa2 )2

(12.102)

382


1 + κMa2 ρ 1 = = ρ∗ (U1 /U1∗ ) (1 + κ)Ma2

(12.103)

Eine Verallgemeinerung der oben durchgef¨ uhrten Betrachtungen auf Strömungen in Rohren mit Querschnitts¨ anderung, die zudem extern aufgeprägten Kr¨ aften ausgesetzt sind, f¨ uhrt zu den unten angegebenen Beziehungen f¨ ur die in kompressiblen Str¨ omungen hervorgerufenen strömungsmechanischen und thermodynamischen Zustands¨ anderungen: Kontinuit¨ atsgleichung: dU dF dρ + + =0 ρ U F

(12.104)

ρU dU = − dP + dΠ

(12.105)

Impulsgleichung: Hierbei ist (dΠ) ein extern angepr¨ agter Druckgradient, der durch einen Kompressor der Str¨ omung aufgezwungen werden kann. Die Energiegleichung lässt sich f¨ ur die vorgesehenen erweiterten Betrachtungen wie folgt angeben: cp dT + U dU1 = dq

(12.106)

Durch eine Division mit P und nach Einf¨ uhrung von c2 = κ Pρ lässt sich die Impulsgleichung (12.105) wie folgt schreiben: κMa2

dP dΠ dU + = U P P

(12.107)

F¨ ur die Energiegleichung sind folgende Umstellungen möglich: dT U dU dq + = T cp T cp T

(12.108)

dT dq dU + (κ − 1)Ma2 = T U cp T

(12.109)

oder umgeschrieben:

Als letzte Gleichung wird nun f¨ ur die durchzuf¨ uhrenden Betrachtungen die Zustandsgleichung f¨ ur ideale Gase herangezogen: P = RT ρ

;

dP dρ dT − − =0 P ρ T

(12.110)

Der obige Satz von Gleichungen kann nun herangezogen werden, um die Gr¨ oßen ( dU/U ), ( dρ/ρ), ( dT /T ), etc. als Funktionen der lokalen MachZahl und der lokalen relativen Fl¨ achen¨ anderung ( dF/F ), der zugef¨ uhrten W¨ arme ( dq/h) und der aufgepr¨ agten externen Kräfte (dΠ/P ) auszudr¨ ucken:


1 dU1 = 2 U1 (Ma − 1)

dΠ dq dF + − F P h

383

(12.111)

κMa2 dF 1 + (κ − 1)Ma2 dΠ κMa2 dq dP =− − + P P (Ma2 − 1) F (Ma2 − 1) (Ma2 − 1) h

(12.112)

dT (κ − 1)Ma2 dF (κ − 1)Ma2 dΠ (κMa2 − 1) dq =− − + T (Ma2 − 1) F (Ma2 − 1) P (Ma2 − 1) h

(12.113)

Aus den obigen allgemeinen Gleichungen lassen sich nun die vorausgegangenen Ableitungen, die sich allein auf die Einwirkung von Flächenänderungen bezogen, siehe Kapitel 9, f¨ ur ( dΠ/P ) = 0 und ( dq/h) = 0 ableiten. Des Weiteren erh¨ alt man f¨ ur ( dF/F ) = 0 und ( dΠ/P ) = 0 die am Anfang dieses Kapitels f¨ ur beheizte Rohre abgeleiteten Beziehungen. Setzt man nun ( dF/F ) = 0 und ( dq/h) = 0, so erh¨ alt man: dP 1 + (κ − 1)Ma2 dΠ =− P P (Ma2 − 1)

1 dU dΠ = ; 2 U (Ma − 1) P und zuletzt auch:

dT (κ − 1)Ma2 dΠ =− T (Ma2 − 1) P

(12.114)

(12.115)

Betrachtet man nun f¨ ur eine viskose Str¨ omung den molekularen Impulstransport als eine externe Krafteinwirkung ( dΠR /P ) < 0, so erkennt man, dass damit folgende Temperatur¨ anderungen verbunden sind: dT > 0 f¨ ur Ma < 1 (12.116) T R bzw.

dT T

< 0 f¨ ur Ma > 1

(12.117)

R

Analog zu den Betrachtungen, die auf den Gleichungen (12.91) und (12.92) aufbauten, lassen sich nun alle Ableitungen, die zu den Beziehungen f¨ ur die Rayleigh-Str¨ omung f¨ uhrten, d.h. f¨ ur die Str¨ omung durch Rohre mit konstantem Querschnitt unter W¨ armezuf¨ uhrung, f¨ ur Rohrströmung unter Reibungseinfluss ohne W¨ armezufuhr wiederholen. Aus den Ableitungen resultieren dann ¨ ahnliche Beziehungen, wie sie in (12.94) bis (12.102) f¨ ur die Rayleigh-Str¨ omung angegeben sind, allerdings ist f¨ ur die in den Beziehun¨ gen auftretenden Mach-Zahl-Anderung nicht eine Wärmezuf¨ uhrung sondern eine auf die Str¨ omung einwirkende externe Krafteinwirkung verantwortlich. Im T-s-Diagramm resultiert hieraus die Fanno-Linie“, welche somit den T-s” Verlauf der thermodynamischen Zustands¨ anderung angibt, die sich bei adiabater Rohrstr¨ omung unter interner Reibungseinwirkung einstellt. Dagegen repr¨ asentiert die Rayleigh-Linie“ im T-s-Diagramm die thermodynamische ” Zustands¨ anderung, die sich bei reibungsfreier Strömung eines idealen Gases

384


in einem Rohr bei W¨ armezufuhr einstellt. Damit gibt die Fanno-Linie“ den ” Einfluss der Reibung in einer Rohrstr¨ omung mit konstantem Querschnitt an, w¨ ahrend die Rayleigh-Linie“ den Einfluss der Wärmezuf¨ uhrung zeigt. ”

12.7 Senkrechter Verdichtungsstoß (Rankine-Hugoniot-Gleichung) Im Abschnitt 12.3 wurde die Ausbildung von Verdichtungsstössen als Erscheinung von Wellenbewegungen mit zustandsabh¨ angiger Wellengeschwindigkeit erl¨ autert. Die sich so ausbildende Unstetigkeitsfläche weist eine Dicke auf, die in der Gr¨ oßenordnung der freien Wegl¨ ange der Molek¨ ule eines idealen Gases angesehen werden kann. Es ist somit innerhalb der in diesem Buch gew¨ ahlten Betrachtungsweise m¨ oglich, den in Abb. 12.15 skizzierten Verdichtungsstoß in einem ruhenden Medium, durch die strömungsmechanischen und thermodynamischen Zustandsgr¨ oßen vor und nach dem Verdichtungsstoß zu beschreiben. Bewegt sich dieser in einem vor dem Verdichtungsstoß ruhenden Fluid mit den thermodynamischen Zustandsgrößen P1 , ρ1 , T1 , e1 , s1 und ist die Geschwindigkeit des Stoßes Us , so liegt hinter dem Nachlauf des Stoßes eine Gasgeschwindigkeit Ug vor, sowie ein thermodynamischer Zu¨ stand, der durch PB , ρB , TB , eB , sB gegeben ist. Um nun die Anderungen

y U

U A

= 0

U

s

= U B

A

- U g

x

h U s

U g

x Abbildung 12.15: Skizzierte senkrechte Verdichtungsst¨ oße und Wahl von Koordinationssystemen

der str¨ omungsmechanischen und thermodynamischen Zustände u ¨ ber den Verdichtungsstoß hinweg analytisch behandeln zu können, wird ein mit dem Verdichtungsstoß bewegtes Koordinatensystem gewählt, so dass gilt: UA = Us

12.7 Senkrechter Verdichtungsstoß (Rankine-Hugoniot-Gleichung)

385

und ferner UB = (UA − Ug ). Die mit diesen Angaben formuliert integralen Erhaltungss¨ atze lauten: ρA UA = ρB (UA − Ug ) = ρB UB

(12.118)

ρA UA2 + PA = ρB UB2 + PB

(12.119)

ρA UA (UA − UB ) = PB − PA

(12.120)

oder umgeschrieben:

Ferner gilt die Energiegleichung: 1 PB 1 2 PA + cv TA = UB2 + + cv T B U + 2 A ρA 2 ρB

(12.121)

Die linke Seite von (12.121) l¨ asst sich in den Größen P , ρ und U der Massenerhaltungs- und Impulsgleichungen wie folgt beschreiben: PA 1 κ PA κ PH 1 2 PA U + + cv = UA2 + = 2 A ρA RρA 2 (κ − 1) ρA (κ − 1) ρH

(12.122)

Aus der Impulsgleichung und den Kontinuit¨ atsgleichungen folgt: (UA − UB ) =

PB PA − ρB U B ρA U A

(12.123)

Multiplikation mit (UA + UB ) ergibt: PB PA 2 2 − UA − UB = (UA + UB ) ρB U B ρA U A PB PA PA PB + − − UA2 − UB2 = ρA ρB ρB ρA

(12.124)

(12.125)

Oder umgeschrieben:

UA2

−

UB2

1 1 = (PB − PA ) + ρA ρB

(12.126)

Aus der Energiegleichung folgt: UA2

−

UB2

2κ = κ−1

PB PA − ρB ρA

(12.127)

Die obigen Gleichungen (12.125) und (12.126) gleich gesetzt ergeben: 1 PB 1 PA 2κ + − (PB − PA ) = (12.128) ρA ρB κ − 1 ρB ρA Hieraus resultiert die folgende Beziehung:

386


PB PA

(κ + 1) ρB ρB (κ + 1) − =1− ρA (κ − 1) ρA (κ − 1)

(12.129)

Somit gilt: (κ + 1) ρB −1 2 ρ A = (κ − 1) ρB 1− −1 2 ρA

(κ + 1) PB −1 PB ρB 2κ P A = bzw. (κ − 1) PB PA ρA 1+ −1 2κ PA (12.130) Die obigen Beziehungen PA /PB = f (ρB /ρA ) bzw. (ρB /ρA ) = g(PB /PA ) sind als die Rankine-Hugoniot-Gleichungen bekannt. Diese geben die Druckund Dichte¨ anderungen u ¨ ber den senkrechten Verdichtungsstoß an. Da der Verdichtungsstoß mit einer Dissipation mechanischer Energie in Wärme verbunden ist, ist der Verdichtungsstoß ein nicht isentroper Prozess. Etwas anders geartete Ableitungen aus der Energiegleichung ergeben: 1+

und

1+

UA +

PA PH 2κ 2κ = (κ − 1) ρA UA (κ − 1) ρH · UA

(12.131)

UB +

2κ 2κ PB PH = (κ − 1) ρB UB (κ − 1) ρH · UB

(12.132)

Daraus ergibt sich: (UA − UB ) +

2κ (κ − 1)

1 PA PB 2κ PH 1 − = − ρA U A ρB U B (κ − 1) ρH UA UB

UB −UA

(12.133) 2κ 2c2H UB − UA (UA − UB ) = (UA − UB ) − (κ − 1) (κ − 1) UA UB 1−

2c2H 2κ =− (κ − 1) (κ − 1)UA UB

(12.134) (12.135)

Hieraus errechnet sich die Prandtl-Stoßbeziehung UA UB =

2c2H ; (κ + 1)

2 (κ + 1)

(12.136)

1 2 U + cp T B = cp T H 2 B

(12.137)

(Ma)A,H (Ma)B,H =

Aus der Energiegleichung ergibt sich: 1 2 U + cp T A = cp · T H 2 A Hieraus folgt:

(κ − 1) +

bzw.

2 2cp TH = (κ − 1) (Ma)2A UA2

(12.138)

12.7 Senkrechter Verdichtungsstoß (Rankine-Hugoniot-Gleichung)

(κ − 1) +

2 (Ma)2B

=

2cp TH (κ − 1) UB2

(12.139)

Beide Gleichungen multipliziert ergibt: 2 4c2p TH 2 2 (κ − 1)2 (κ − 1) + = (κ − 1) + (Ma)2A (Ma)2B UA2 UB2 Mit UA UB =

κ−1 2

387

(12.140)

2κRTH ergibt sich: (κ + 1)

1 + (Ma)2A

κ−1 2

1 + (Ma)2B

(κ + 1) = 2

2 (12.141)

Es ist u oßen nach dem senkrechten Verdichtungsstoß, ¨blich die Zustandsgr¨ normiert mit der entsprechenden Gr¨ oße vor dem Stoß, als Funktion der Machzahl vor dem Stoß auszudr¨ ucken. Diese Gr¨ oßen lassen sich wie folgt ableiten: 2κ (κ − 1) PB (Ma)2A − = PA (κ + 1) (κ + 1)

;

, PB 2κ + 2 = 1+ MaA − 1 (12.142) PA κ+1

ρB (κ + 1)(Ma)2A = ρA (κ − 1)(Ma)2A + 2

(12.143)

21 2 1 TB PB ρA 1 = = 2κ(Ma)2A − (κ − 1) (κ − 1)(Ma)2A + 2 TA PA ρB (κ + 1)2 (Ma)2A (12.144) Zudem l¨ asst sich f¨ ur die Mach-Zahl nach dem Verdichtungsstoß angeben: 1 2 (κ − 1)(Ma)2A + 2 2 (12.145) (Ma)B = [(2(Ma)2A − 1)κ + 1] und f¨ ur die Druckdifferenz ∆p/pA als Maß f¨ ur die Stärke des Verdichtungsstoßes 2 (PB − PA ) 2κ 1 = (12.146) (Ma)2A − 1 PA (κ + 1) F¨ ur die mit dem Stoß verbundene Entropie¨ anderung errechnet sich: κ 2κ κ − 1 (κ − 1)(Ma)2A + 2 (Ma)2A − sB − sA = cv ln (12.147) κ+1 κ+1 (κ + 1)(Ma)2A ¨ Die Anderungen sind in der Abb. 12.17 angegeben, wobei als Abzisse die Mach-Zahl vor dem Stoß gew¨ ahlt wurde. Das Diagramm 12.16 zeigt ferner, dass das Fluid komprimiert wird wenn es durch den Verdichtungsstoß str¨ omt. Der Druck, die Dichte und die Temperatur nehmen beim Durchtritt durch den Verdichtungsstoß zu, d.h. es gilt:

388


2 0 R a n k in e -H u g o n io t S to s s v o rg a n g

p p

B A

Is e n tro p e

1 0

0 0

x - 1 x + 1

v

0 .5

v

1 .0 B A

Abbildung 12.17: Entropie¨ anderung Abbildung 12.16: Zustands¨ anderungen infolge senkrechter Verdichtungsst¨ oße f¨ ur den senkrechten Verdichtungsstoß in einem idealen Gas mit κ = 1, 4

PB ≥ 1; PA

ρB ≥ 1 und ρA

TB ≥1 TA

Betrachtet man den Verlauf von (sB − sA ) nach Gleichung (12.46) so ist ersichtlich, siehe Abb. 12.17, dass (sB − sA ) nur f¨ ur MA ≥ 1 größer Null sein kann. Dies bringt zum Ausdruck, dass Verd¨ unnungsstöße in idealen Gasen nicht auftreten k¨ onnen, da sie durch den 2. Hauptsatz der Thermodynamik nicht zugelassen sind, der (sB − sA ) ≥ 0 fordert.

12.8 Literaturverzeichnis 12.1 Oswatitsch K (1952) Gasdynamik. Springer-Verlag, Wien 12.2 Boˇsnjaković F (1960) Technische Thermodynamik I. Verlag von Theodor Steinkopff, Dresden und Leipzig 12.3 Yuan SW (1971) Foundations of Fluid Mechanics. Prentice-Hall, Inc., Englewwood Cliffs, N.J. 12.4 Currie IG (1974) Fundamental Mechanics of Fluids. McGraw-Hill Book Company, New York 12.5 Becker E (1985) Technische Thermodynamik. Teubner Studienb¨ ucher, Mechanik, Stuttgart 12.6 Spurk JH (1996) Str¨ omungslehre. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York, 4. Aufl.

13 Station¨ are, eindimensionale Str¨ omungen inkompressibler, viskoser Fluide

13.1 Allgemeine Betrachtungen In diesem Kapitel werden Str¨ omungen viskoser Fluide (µ = 0) betrachtet, die station¨ ar und zweidimensional sind, eine konstante Dichte aufweisen und zudem in Str¨ omungsrichtung ein vollentwickeltes Strömungsfeld besitzen. Die f¨ ur solche Str¨ omungen aus den allgemeinen Grundgleichungen der Strömungsmechanik abgeleiteten, die Str¨ omung bestimmenden, vereinfachten Gleichungen sind eindimensional. Sie sind zudem, f¨ ur eine Reihe von Randbedingungen, analytischen L¨ osungen zug¨ anglich und eignen sich somit, Studenten der Natur- und Ingenieurwissenschaften eine Einf¨ uhrung in die Strömungsmechanik viskoser Medien zu geben. Die so erworbenen Grundkenntnisse können dann, z.B. in Spezialvorlesungen, derart vertieft werden, dass ein Wissen u omungen viskoser Fluide zustande kommt, das zur Lösung prakti¨ ber Str¨ scher Probleme Einsatz finden kann. Wie unten aufgezeigt, sind die in diesem Kapitel behandelten Probleme deshalb analytischen L¨ osungen zug¨ anglich, weil ihre strömungsphysikalischen Eigenschaften mit wenigen Termen der Navier-Stokesschen Gleichungen beschrieben werden k¨ onnen und einfache Randbedingungen vorliegen. Es wird zudem bei den in diesem Kapitel behandelten Strömungen angenommen, dass Stationarit¨ at f¨ ur alle Str¨ omungsgr¨ oßen gegeben ist und, wie oben bereits erw¨ ahnt, Fluide mit konstanter Dichte zur Anwendung kommen, d.h. Fluide mit ρ = const. Diese Eigenschaft gilt f¨ ur thermodynamisch ideale Fl¨ ussigkeiten, aber auch, wie im Kapitel 12.1 gezeigt wurde, f¨ ur thermodynamisch ideale Gase, wenn diese mit moderaten Geschwindigkeiten strömen. ¨ Einfache Uberlegungen zeigen, dass Gasströmungen mit Mach-Zahlen M a ≤ 0, 2 mit einer f¨ ur die Praxis ausreichenden Genauigkeit strömungsmechanisch als imkompressibel, d.h. als Fluide konstanter Dichte, behandelt werden k¨ onnen. F¨ ur solche Fluide gelten die Grundgleichungen in der unuhrt ten aufgef¨ uhrten Form, wenn f¨ ur newtonsche Medien τij wie folgt eingef¨ wird: τij = −µ


∂Uk 2 + δij µ 3 ∂xk =0 wegen ρ=const

(13.1)

390

13 Str¨ omungen inkompressibler Fluide

Kontinuit¨ atsgleichung:

∂U1 ∂U2 ∂U3 + + =0 ∂x1 ∂x2 ∂x3

(13.2)

Impulsgleichungen: x1 -Komponente: 2 ∂ U1 ∂U1 ∂U1 ∂U1 ∂U1 ∂ 2 U1 ∂ 2 U1 ∂P + U1 + U2 + U3 +µ + + =− ∂t ∂x1 ∂x2 ∂x3 ∂x1 ∂x21 ∂x22 ∂x23 +ρg1 (13.3) x2 -Komponente: 2 ∂U2 ∂ U2 ∂U2 ∂U2 ∂U2 ∂ 2 U2 ∂ 2 U2 ∂P ρ + U1 + U2 + U3 +µ + + =− ∂t ∂x1 ∂x2 ∂x3 ∂x2 ∂x21 ∂x22 ∂x23 +ρg2 (13.4) x3 -Komponente: 2 ∂U3 ∂ U3 ∂U3 ∂U3 ∂U3 ∂ 2 U3 ∂ 2 U3 ∂P + U1 ρ + U2 + U3 +µ + + =− ∂t ∂x1 ∂x2 ∂x3 ∂x3 ∂x21 ∂x22 ∂x23 +ρg3 (13.5)

ρ

Ebene Str¨ omungen Als weitere Vereinfachung wird in den nachfolgenden Betrachtungen die Zweidimensionalit¨ at des Str¨ omungsfeldes vorausgesetzt, d.h. es gilt f¨ ur alle Größen der Geschwindigkeits- und Druckfelder [∂(· · · )/∂x3 ] = 0. Des Weiteren wird angenommen, dass in die x3 −Richtung keine Strömungskomponente vorliegt bzw. dass es stets m¨ oglich ist, ein Koordinatensystem so einzuf¨ uhren, dass nur in den Richtungen der zwei Koordinatenachsen x1 und x2 Geschwindigkeitskomponenten auftreten. Somit erh¨ alt man die Endgleichungen f¨ ur zweidimensionale Str¨ omungsprobleme, die bei den nachfolgenden analytischen Lösungen Anwendung finden: ∂U2 ∂U1 + =0 (13.6) ∂x1 ∂x2 2 ∂ U1 ∂U1 ∂U1 ∂U1 ∂U1 ∂P + U1 + U2 +µ + (13.7) =− + ρg1 ρ ∂t ∂x1 ∂x2 ∂x1 ∂x21 ∂x22 2 ∂U2 ∂ U2 ∂U2 ∂U2 ∂U2 ∂P + U1 ρ + U2 +µ + (13.8) =− + ρg2 ∂t ∂x1 ∂x2 ∂x2 ∂x21 ∂x22 Die oben angegebenen Gleichungen werden in den nachfolgenden Abschnitten angewandt, um Str¨ omungsvorg¨ ange analytisch zu berechnen. Dabei wird angenommen, dass die str¨ omungsverursachenden Wirkungen bekannt sind und dass diese die f¨ ur die oben angegebene vereinfachte Form der Grundgleichungen getroffenen Annahmen erf¨ ullen.


391

Weitere Einschr¨ ankungen, die hinsichtlich der nachfolgend behandelten Str¨ omungsprobleme vorgenommen werden, sind in Bezug auf die Randbedingungen zu erw¨ ahnen. Es wird angenommen, dass diese Randbedingungen bekannt sind und die Bedingung der Stationarität erf¨ ullen, d.h. zeitliche ¨ Anderungen treten nicht auf. Aufgrund einer weiteren Einschränkung werden nachfolgend nur L¨ osungen der oben angegebenen Gleichungen aufgef¨ uhrt, die laminar sind. Die in der Praxis auf Str¨ omungen einwirkenden Störungen stellen, im allgemeinen, zeitlich abh¨ angige Randbedingungen dar, die zudem als unbekannt angesehen werden m¨ ussen. Ihre Auswirkungen auf Strömungen werden somit in den nachfolgenden Betrachtungen dieses Abschnitts nicht erfasst. Zylinderf¨ ormige Str¨ omungen F¨ ur eine Vielzahl von Str¨ omungsproblemen liegen Randbedingungen vor, die von axialsymmetrischen Str¨ omungsgeometrien herr¨ uhren und die einfacher in L¨ osungen der str¨ omungsmechanischen Grundgleichungen eingebracht werden k¨ onnen, wenn diese Gleichungen in Zylinderkoordinaten angegeben werden. In diesen Koordinaten lauten die Gleichungen f¨ ur ρ =const und µ = const: Kontinuit¨ atsgleichung: 1 ∂ ∂ρ 1 ∂ ∂ +ρ (rUr ) + (Uϕ ) + (Uz ) = 0 ∂t r ∂r r ∂ϕ ∂z

(13.9)

Impulsgleichungen: r−Komponente / . Uϕ2 Uϕ ∂Ur ∂Ur ∂Ur ∂Ur + Ur + − + Uz = (13.10) ρ ∂t ∂r r ∂ϕ r ∂z ∂ 1 ∂(rUr ) ∂P ∂ 2 Ur 2 ∂Uϕ 1 ∂ 2 Ur − +µ + − 2 + ρgr + 2 ∂r ∂r r ∂r r ∂ϕ2 r ∂ϕ ∂z 2 ϕ−Komponente ∂Uϕ Uϕ ∂Uϕ Ur Uϕ ∂Uϕ ∂Uϕ + Ur + + + Uz ρ = (13.11) ∂t ∂r r ∂ϕ r ∂z ∂ 1 ∂(rUϕ ) ∂ 2 Uϕ 2 ∂Ur 1 ∂P 1 ∂ 2 Uϕ +µ + + 2 + ρgϕ − + 2 r ∂ϕ ∂r r ∂r r ∂ϕ2 r ∂ϕ ∂z 2 z−Komponente

392


Uϕ ∂Uz ∂Uz ∂Uz ∂Uz + Ur + + Uz ρ = ∂t ∂r r ∂ϕ ∂z 1 ∂ ∂ 2 Uz ∂Uz 1 ∂ 2 Uz ∂P +µ + + ρgz r + 2 − ∂z r ∂r ∂r r ∂ϕ2 ∂z 2

(13.12)

Setzt man Axialsymmetrie voraus, d.h. ∂(· · · )/∂ϕ = 0 und nimmt des weiteren an, dass Uϕ = 0 gilt, d.h. die betrachteten Strömungen keine Drallkomponente besitzen, so erh¨ alt man f¨ ur station¨ are, inkompressible Strömungen (ρ = const) newtonscher Medien (µ = const) die folgenden Endgleichungen: 1 ∂(rUr ) ∂Uz + =0 (13.13) r ∂r ∂z ∂ 1 ∂(rUr ) ∂Ur ∂Ur ∂P ∂ 2 Ur ρ Ur + Uz +µ + ρgr (13.14) =− + ∂r ∂z ∂r ∂r r ∂r ∂z 2 1 ∂ ∂Uz ∂Uz ∂P ∂Uz ∂ 2 Uz + ρgz (13.15) ρ Ur + Uz +µ =− r + ∂r ∂z ∂z r ∂r ∂r ∂z 2 Die Gleichungen k¨ onnen f¨ ur L¨ osungen von Strömungsproblemen f¨ ur axialsymmetrische Str¨ omungen mit Uϕ = 0 angewandt werden.

13.2 Ableitungen der Grundgleichungen fu ¨r voll entwickelte Str¨ omungen 13.2.1 Ebene Str¨ omungen Die Grundgleichungen f¨ ur station¨ are, zweidimensionale, vollentwickelte Strömungsvorg¨ ange lassen sich aus den in Abschnitt 13.1 aufgef¨ uhrten Gleichungen f¨ ur station¨ are, zweidimensionale Str¨ omungen inkompressibler newtonscher Medien f¨ ur vollentwickelte Str¨ omungen unter der Annahme ableiten, dass die sich einstellende Str¨ omung in x1 −Richtung folgende Beziehung erf¨ ullt ist, d.h.: ∂U1 ∂U2 = 0 und =0 (13.16) ∂x1 ∂x1 Damit reduziert sich die Kontinuit¨ atsgleichung auf: ∂U1 ∂U2 + =0 ∂x1 ∂x2

;

∂U2 = 0 und daraus folgt U2 = f (x1 ) ∂x2

(13.17)

=0

Aufgrund der Annahme einer vollentwickelten Strömung gilt die Beziehung (13.16) und damit folgt aus (13.17) U2 = 0 gilt f¨ ur Fluidströmungen U2 = 0 U2 = const (13.18) mit impermeablen Wandungen


393

d.h. station¨ are, inkompressible und interne Strömungen sind unidirektional. Sie fließen nur in x1 −Richtung, d.h. es existiert nur eine U1 −Komponente des Str¨ omungsfeldes. Dies ist eine Aussage u omungsfeld, die aus der Kontinuitätsglei¨ ber das Str¨ chung f¨ ur Str¨ omungen gewonnen wurde, die in Strömungsrichtung x1 voll ” entwickelt sind“. Die Impulsgleichungen vereinfachen sich f¨ ur diese Klasse von Str¨ omungen wie folgt: x1 −Richtung: x2 −Richtung:

∂ 2 U1 ∂P +µ + ρg1 . ∂x1 ∂x2 2 ∂P 0=− + ρg2 . ∂x2

0=−

(13.19) (13.20)

Aus der zweiten Gleichung erh¨ alt man als allgemeine Lösung f¨ ur das Druckfeld: P = ρg2 x2 + Π(x1 ). (13.21) Das Druckfeld P (x1 , x2 ) umfasst eine beliebige Druckfunktion Π(x1 ), die entlang von x1 aufgepr¨ agt werden kann. Dieses Aufprägen“ erfolgt in u ¨ bli” cher Weise mit Pumpen und Gebl¨ asen. F¨ uhrt man diese allgemeine Druckbealt man unter Ber¨ ucksichtigung ziehung in die x1 −Impulsgleichung ein, so erh¨ von U1 (x2 ): d2 U1 dΠ +µ + ρg1 (13.22) 0=− dx1 dx2 2 d.h. eine Differentialgleichung f¨ ur das unbekannte Strömungsfeld U1 (x2 ). Dies ist die Grundgleichung, die f¨ ur inkompressible, stationäre und eindimensionale, d.h. vollentwickelte Str¨ omungen g¨ ultig ist, falls das Strömungsmedium newtonsche Eigenschaften besitzt, als inkompressibel angesehen werden und die Viskosit¨ at als konstant gelten kann. Physikalisch lässt sich die Gleichung dahingehend interpretieren, dass der extern in x1 −Richtung aufgepr¨ agte Druckgradient durch Viskosit¨ ats- und Massenkräfte des Strömungsfeldes abgebaut wird: d2 U1 dΠ =µ + ρg1 (13.23) dx1 dx2 2 Hierbei ist wichtig, dass der Druckgradient nach Gleichung (13.21) einen beliebig extern aufgepr¨ agten Wert annehmen kann, der f¨ ur die hier behandelten Str¨ omungsprobleme nur von x1 abh¨ angen darf. Betrachtet man jedoch (13.23) und l¨ asst nur konstante Massenkr¨ afte zu, d.h. g1 = const, so ist die rechte Seite der Gleichung (13.23) nur eine Funktion von x2 . Π1 darf aber nach Gleiangen. Damit nimmt der Druckgradient in die chung (13.21) nur von x1 abh¨ x1 −Richtung bei station¨ aren, inkompressiblen und ein-dimensionalen Strömungen einen konstanten Wert an.

394


13.2.2 Zylinderf¨ ormige Str¨ omungen Analog zu den oben erfolgten Ableitungen f¨ ur ebene Strömungen, lassen sich die Ableitungen der Grundgleichungen f¨ ur stationäre, eindimensionale Str¨ omungen auch f¨ ur axialsymmetrische Str¨ omungsfälle durchf¨ uhren. Dazu wird angenommen, dass in z−Richtung die Strömung voll entwickelt ist, d.h. alle Ableitungen der Geschwindigkeitskomponenten in z−Richtung sind Null, wie nachfolgend aufgef¨ uhrt: ∂Ur = 0, ∂z

∂Uz =0 ∂z

(13.24)

Mit diesen Annahmen erh¨ alt man aus der Kontinuitätsgleichung: ∂ (rUr ) = 0 ; ρrUr = const ∂r

(13.25)

und wegen der Annahme von f¨ ur das Fluid impermeablen Wänden, siehe (13.18), erh¨ alt man: f¨ ur das Vorliegen von inpermeablen Wandungen Ur = 0 (13.26) f¨ ur die betrachtete Fluidströmung und damit die Impulsgleichungen: ∂P + ρgz 0=− ∂z 1 ∂ ∂P ∂Uz +µ 0=− r + ρgz ∂z r ∂r ∂r

(13.27) (13.28)

oder durch Integration von P (r, z) = ρgz r + Π(z),

d.h.

dΠ ∂P = ∂z dz

(13.29)

Damit ergibt sich: 1 ∂ dΠ ∂Uz +µ 0=− r + ρgz dz r ∂r ∂r

(13.30)

Diese letzte Gleichung stellt die Bestimmungsgleichung f¨ ur das Geschwindigkeitsfeld dar, die es bei L¨ osungen eindimensionaler (vollentwickelter) Str¨ omungsprobleme in axialsymmetrischen Geometrien anzuwenden gilt. Wiederum ist dΠ/dz = const f¨ ur die Str¨ omungen, die in diesem Kapitel behandelt werden

13.3 Ebene Couette Str¨ omung

395

13.3 Ebene Couette Str¨ omung In der chemischen Verfahrenstechnik werden oftmals Beschichtungen von Blechen, Folien, Platten etc. mit Anlagen vorgenommen, die sich stark idealisiert, wie in Abb. 13.1 angegeben, darstellen lassen. Diese Abbildung zeigt, dass das einer Vorkammer zugef¨ uhrte Beschichtungsmaterial, durch das zu beschichtende, bewegte Substrat“ einem Spalt zugef¨ uhrt wird, an dessen Ende ” sich eine Auslaufkammer anschließt. Hier wird die Beschichtungsstärke durch zwei beidseitig angebrachte Wandungen“ auf den erforderlichen Endwert ge” bracht. Das abgestreifte Beschichtungsmaterial wird in der Auslaufkammer gesammelt und u uhrsystem f¨ ur das Be¨ber eine Abflussleitung in das Zuf¨ schichtungsmaterial zur¨ uckgeleitet. A u s la u fk a m m e r

V o rk a m m e r

z u b e s c h ic h te n d e s M a te ria l

D

A u fg e b ra c h te S c h ic h t

L

2 d

C o u e tte -S trö m u n g

A b s tre ife r

e rfo rd e rlic h e s B e s c h ic h tu n g s flu id

Q a

Q z

A b flu ß a n R e s tm a te ria l

Abbildung 13.1: Schematische Darstellung einer Beschichtungsanlage

Die sich in den Spalten zwischen der Vorkammer und der Auslaufkammer, nach einer gewissen Anlaufstrecke, einstellende Strömung, wird als CouetteStr¨ omung bezeichnet. Sie ist dadurch gekennzeichnet, dass keine Druckgradienten zum Antrieb“ der Str¨ omung aufgewendet werden, d.h. f¨ ur die Couette ” Str¨ omung gilt: d2 U1 dΠ = 0 und somit 0 = µ + ρg1 dx1 dx2 2

(13.31)

Des Weiteren wirken, bei horizontaler Str¨ omungsrichtung im Schwerefeld der Erde, keine Massenkr¨ afte, welche die Str¨ omung antreiben“ könnten, da die ” ur x1 −Richtung senkrecht zur Richtung der Erdbeschleunigung liegt, d.h. f¨ die Couette Str¨ omung in Abb. 13.1 gilt: g1 = 0

(13.32)

Damit reduziert sich die im Abschnitt 13.2 aufgef¨ uhrte Grundgleichung f¨ ur ebene Str¨ omungen wie untenstehend angegeben: −

d2 U1 dΠ +µ + ρg1 = 0 dx1 dx22 =0 =0

=⇒

∂ 2 U1 = 0. ∂x2 2

(13.33)

396


x

G e s c h w in d ig k e its p ro fil 2

D

x

U 1

0

Abbildung 13.2: Grundgeometrie des oberen Spaltes in der in Abb. 13.1 angegebenen Beschichtungsanlage (Breite des Spaltes in x3 −Richtung ist B)

Aus der sich ergebenden Bestimmungsgleichung f¨ ur U1 ist ersichtlich, dass das im Spalt sich einstellende Geschwindigkeitsprofil U1 (x2 ) unabhängig von der Viskosit¨ at ist. Damit ist auch die ben¨ otigte Menge an Beschichtungsmaterial unabh¨ angig von der Viskosit¨ at des Beschichtungsmediums; eine Eigenschaft, die f¨ ur Beschichtungsanlagen oftmals als w¨ unschenswert angesehen wird. Die Anlagen werden damit f¨ ur alle Fluideigenschaften gleich nutzbar und f¨ uhren zu Schichten, die unabh¨ angig von den Fluideigenschaften sind. Ber¨ ucksichtigt man, dass f¨ ur die getroffenen Voraussetzungen die Geschwindigkeit U1 nur noch von der Koordinate x2 abhängen kann, so lässt sich die Endgleichung wie folgt schreiben: d2 U1 =0 dx2 2

;

U1 = C1 x2 + C2 .

(13.34)

F¨ ur die durch den Betrieb der Beschichtungsanlage gegebenen Randbedingungen ergeben sich die Integrationskonstanten C1 und C2 wie folgt: x2 = 0 : U1 = U0 = C1 0 + C2 ; C2 = U0 x2 = D : U1 = 0 = C1 D + C2 ; C1 = −U0 /D

(13.35)

Damit ergibt sich f¨ ur das Geschwindigkeitsprofil U1 =

U0 (D − x2 ) D

f¨ ur

0 ≤ x2 ≤ D.

(13.36)

Die erforderliche Menge (Volumen) Beschichtungsmaterial, die pro Zeiteinheit zugef¨ uhrt werden muss, ergibt sich durch Integration u ¨ ber den Gesamtspalt mit der Breite B in x3 −Richtung, d.h. u ¨ ber beide Spaltöffnungen oben und unten. F¨ ur die Anlage in Abb. 13.1 ergibt sich das zu beschichtende Material.

13.4 Ebene Str¨ omung zwischen Platten

D "D U0 B 1 U1 dx2 = 2 Dx2 − x22 D 2 0 0 U0 B 1 2 =2 D D 2

Q˙ ges = 2Q˙ = 2B

397

(13.37)

(13.38)

oder als Endbeziehung:

1 Q˙ = BU0 D. 2 Die im Spalt auf das Band ausge¨ ubte Kraft beträgt: K = BLτw = −BLµ

dU1 U0 = BLµ . dx2 D

(13.39)

(13.40)

Abschließend sei noch darauf hingewiesen, dass sich die Couette Strömung dadurch auszeichnet, dass im gesamten Str¨ omungsfeld der selbe molekularbedingte Impulstransport erfolgt. Sie wird aus diesem Grunde oftmals als Str¨ omung f¨ ur Grundlagenuntersuchungen angestrebt, um experimentell den Einfluss der Schubspannungen“ auf Fluideigenschaften nichtnewtonscher ” Medien zu untersuchen.

13.4 Ebene Str¨ omung zwischen Platten Im Abschnitt 13.2 wurde die allgemein g¨ ultige Grundgleichung f¨ ur eine inkompressible (ρ = const), station¨ are und eindimensionale (vollentwickelte) Str¨ omung eines newtonschen Mediums mit konstanter Viskosität (µ = const) abgeleitet. Diese Gleichung dΠ d2 U1 =µ + ρg1 dx1 dx2 2

(13.41)

gilt auch f¨ ur die Str¨ omung zwischen zwei ebenen, unendlich ausgedehnten Platten, wie sie in Abb. 13.3 angedeutet sind. Diese Abbildung zeigt zwei Platten, die in den Abständen x2 = +D und x2 = −D mit Ebenen x3 =const angebracht sind. Die Strömung erfolgt zwischen diesen beiden Platten und die Str¨ omungsgeschwindigkeit ist an den Plattenoberfl¨ achen gleich Null (Haftbedingungen). W¨ ahlt man x1 senkrecht zum auftretenden Schwerefeld, so reduziert sich die Gleichung (13.41) auf die folgende Formel: dΠ d2 U1 =µ dx1 dx2 2

(13.42)

Diese Beziehung bringt zum Ausdruck, dass die sich zwischen den Platten einstellende Str¨ omung durch einen aufgepr¨ agten Druckgradienten hervorgerufen, d. h. angetrieben wird. Druck- und Viskositätskräfte halten sich an einem Fluidelement das Gleichgewicht.


x

.

2

x 1

2 D

398

Abbildung 13.3: Str¨ omung zwischen zwei ebenen Platten

Da die Druckverteilung dΠ/dx1 nur eine Funktion von x1 sein kann, siehe Abschnitt 13.2, und die rechte Seite der obigen Gleichung nur von x2 abhängt, d.h. U1 (x2 ), muss ( dΠ/ dx1 ) konstant sein. Es liegt somit eine einfache lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung vor, die es f¨ ur die Plattenströmung zu l¨ osen gilt. Durch einmalige Integration erh¨ alt man: 1 dΠ dU1 = (13.43) x2 + C1 . dx2 µ dx1 Diese Differentialgleichung hat als allgemeine Lösung: 1 dΠ x22 + C1 x2 + C2 . U1 = 2µ dx1 Durch die unten angegebenen Randbedingungen: 1 dΠ D2 + C1 D + C2 , x2 = +D −→ U1 = 0 = 2µ dx1 1 dΠ x2 = −D −→ U1 = 0 = D2 − C1 D + C2 , 2µ dx1 erh¨ alt man die Werte f¨ ur die Integrationskonstanten: 1 dΠ C1 = 0 und C2 = − D2 , 2µ dx1

(13.44)

(13.45) (13.46)

(13.47)

und damit die L¨ osung f¨ ur die Geschwindigkeitsverteilung zwischen den Platten: x 2 1 dΠ 2 2 D 1− f¨ ur − D ≤ x ≤ D. (13.48) U1 = − 2µ dx1 D

13.4 Ebene Str¨ omung zwischen Platten

399

Diese Beziehung f¨ ur die Str¨ omungsgeschwindigkeit U1 bringt zum Ausdruck, dass das Geschwindigkeitsprofil zwischen den Platten eine Parabel darstellt. Das Geschwindigkeitsmaximum liegt in der Kanalmitte. An den Plattenoberfl¨ achen ist die Geschwindigkeit Null. 1 2 U1 ist positiv. Da | x2 |≤ D gilt, ist 1 − (x2 /D)2 stets positiv. Jedoch ist der Druckgradient in x1 −Richtung fallend, d.h. negativ, so dass die Geschwindigkeit U1 in x1 -Richtung, nach Gleichung (13.48), positiv ist. Geht man davon aus, dass die Platten in x3 −Richtung die Breite B haben, so lässt sich der Volumendurchsatz pro Zeiteinheit wie folgt berechnen: Q˙ = 2B

D "D 1 3 2B dΠ 2 x − D x2 . U1 dx2 = 2µ dx1 3 2 0

(13.49)

0

˜: Damit ergibt sich f¨ ur den Durchfluss Q˙ und die mittlere Geschwindigkeit U Q˙ 1 dΠ B dΠ 2 3 ˜ ˙ D =− −→ U = (13.50) Q=− D2 µ dx1 3 2DB 3µ dx1 F¨ ur Umax gilt: Umax = U (x2 = 0) = −

1 2µ

dΠ dx1

D2

;

˜ = 2 Umax U 3

˙ Aus Q˙ erh¨ alt man zudem: dΠ = ∆P = 3µQ dx1 ∆L 2BD3

(13.51)

(13.52)

Daraus ist ersichtlich, dass der pro L¨ angeneinheit erfolgende Druckabfall direkt proportional zur dynamischen Viskosit¨ at und zum Volumendurchsatz ist und umgekehrt proportional der dritten Potenz der halben Kanalhöhe. Die Kraftwirkung auf die Platte infolge molek¨ ulbedingten Impulseintrags ergibt sich aus dem Produkt der Schubspannung an der Wand“ τw und der ” benutzten Fl¨ ache dU1 (13.53) τw = −µ dx2 x2 =xw dΠ dU1 1 dΠ = (x2 )w ; (x2 )w = D; τw = − D. (13.54) dx2 w µ dx1 dx1 Auf die Platte mit der L¨ ange L und der Breite B wirkt die Kraft dΠ DLB. K = τw F = dx1

(13.55)

Als eine weitere Gr¨ oße, die in der Str¨ omungsmechanik häufig Anwendung findet, ist der Reibungskoeffizient der Str¨ omung zu berechnen, der wie folgt definiert ist:

400


τw ρ ˜2 2U

cf =

Mit τw =

dΠ dx1

=

µ 2

τ 2D w ˜ 2D U µ/ρ

D,

˜= und U

erh¨ alt man cf =

12 Re

mit

˜ U

=

1 4Dτw . ˜ Re µU

(13.56)

1 dΠ Q˙ = D2 2DB 3µ dx1

(13.57)

˜ U2D . ν

(13.58)

Re =

Tr¨ agt man den Reibungskoeffizienten u ¨ber der Reynoldszahl in einem Diagramm mit doppellogarithmischen Skalen auf, so erhält man eine Gerade mit der Steigung -1.

13.5 Ebene Filmstr¨ omung auf geneigter Platte In diesem Abschnitt sollen Str¨ omungen betrachtet werden, die man im allgemeinen als Filmstr¨ omungen bezeichnet und die in vielen Bereichen des Chemie-Ingenieur-Wesens auftreten. Solche Strömungen können u ¨beraus komplex sein, wenn die Str¨ omungsberandungen Unregelmässigkeiten bzw. ¨ Welligkeiten aufweisen. Zur Vereinfachung der hier durchzuf¨ uhrenden Uberlegungen, werden nur glatte Oberfl¨ achen betrachtet. Zudem werden die Betrachtungen wiederum nur f¨ ur inkompressible Medien mit konstanter Viskosit¨ at durchgef¨ uhrt. Des Weiteren werden in die Ableitungen die Annahmen der Zweidimensionalit¨ at der Str¨ omung eingef¨ uhrt und diese durch die Voraussetzung vollentwickelter Filmstr¨ omungen auf Eindimensionalität der Str¨ omung erweitert, so dass als str¨ omungsmechanische Grundgleichung gilt: dΠ d2 U1 + ρg1 . (13.59) 0=− +µ dx1 dx2 2 In den unten angegebenen Beispielen wird die Filmbewegung von den in Str¨ omungsrichtung auftretenden Massenkr¨ aften angetrieben und nicht, wie im Fall der Plattenstr¨ omung, von einem extern aufgeprägten Druckgradienten, d.h. f¨ ur die Filmstr¨ omung gilt: dΠ = 0, dx1

(13.60)

so dass sich die folgende einfache Grundgleichung f¨ ur diese Strömungen ergibt: d2 U1 + ρg1 = 0 (13.61) µ dx2 2 Bei Filmstr¨ omungen, die durch Massenkr¨ afte auf das Fluid verursacht werden, halten sich Massen- und Viskosit¨ atskräfte an einem Fluidelement

13.5 Ebene Filmstr¨ omung auf geneigter Platte

x

401

U

2

x1

F ilm o b e rflä c h e

1

g

1

= g c o s b

N e ig u n g s w in k e l

d

b

g

P la tte n o b e rflä c h e

Abbildung 13.4: Schematische Darstellung eines Fl¨ ussigkeitsfilms auf einer ebenen, schr¨ agstehenden Wand

das Gleichgewicht. Die schematische Darstellung in Abb. 13.4 zeigt eine Filmstr¨ omung, die untenstehend behandelt wird. Als Beispiel f¨ ur Filmstr¨ omungen, die in der Praxis des Chemieingenieurwesens auftreten, seien an dieser Stelle diverse Beschichtungsverfahren genannt, die in der Industrie Anwendung finden, um photographisches Papier und Folien aller Art zu beschichten. G¨ angige Beschichtungsverfahren sind in den Abb. 13.5 und 13.6 schematisch dargestellt. Diese Darstellungen zeigen, dass die u ¨blichen Beschichtungsverfahren dadurch gekennzeichnet sind, dass das zur Beschichtung verwendete Material in Fl¨ ussigkeitsfilmen zugef¨ uhrt wird. Der in den Filmen zugef¨ uhrte Fluidvolumenstrom wird, bei vorgegebener Geometrie der Begießungsapparatur, allein durch den zugef¨ uhrten Volumenstrom kontrolliert. Damit kontrolliert der zugef¨ uhrte Volumenstrom Q˙ die Filmdicke δ und u ¨ ber diese auch die Geschwindigkeitsverteilung im Film. Zur Auslegung von den in den Abb. 13.5 und 13.6 schematisch dargestell˙ zu kennen. ten Beschichtungsanlagen ist es wichtig, den Zusammenhang δ(Q) Dieser l¨ asst sich durch L¨ osung der obigen Differentialgleichung f¨ ur die Randbedingungen der Filmstr¨ omung ermitteln. Dar¨ uberhinaus gibt die Lösung auch Details des Geschwindigkeitsfeldes wieder, das im Fl¨ ussigkeitsfilm vorherrscht. In der in Abb. 13.7 dargestellten einfachen Beschichtungsanlage wird das Beschichtungsmaterial durch eine Spalt¨ offnung auf eine ebene schrägstehende Fl¨ ache aufgebracht, wo sich, infolge der Gravitation, eine Filmströmung ausbildet. Der nach unten str¨ omende Film wird an das zu beschichtende Material heran gebracht, das u ussigkeitsfilm aufnimmt. ¨ ber Rollen bewegt, den Fl¨

402


E in s c h ic h te n g ie ß e r B e s c h ic h tu n g s film

F ü h ru n g s ro lle

d

T e m p e rie ru n g s k a n ä le Ü b e rla u f

z u b e s c h ic h te n d e s M a te ria l S p e rrv a k u u m

Abbildung 13.5: Schematische Darstellung einer Filmbeschichtungsanlage f¨ ur eine Einzelschicht

D re is c h ic h te n g ie ß e r (M itte n s c h n itt) z u b e s c h ic h te n d e s M a te ria l

B a h n d d ¥x

G ie ß w a lz e

T e m p e rie ru n g s k a n ä le Ü b e rla u f S p e rrv a k u u m Abbildung 13.6: Schematische Darstellung einer Filmbeschichtungsanlage f¨ ur mehrere Schichten

In den dargestellten Beschichtungsanlagen bilden sich, nach Austritt auf die dargestellte schiefe Ebene, durch die Erdbeschleunigung angetriebene Fl¨ ussigkeitsfilme aus, die analytisch erfasst werden können. Nach einer kurzen Anlaufstrecke liegen die Voraussetzungen f¨ ur eine stationäre, vollentwickelte Filmstr¨ omung vor. Die in x1 −Richtung wirkende Komponente der Schwerkraft betr¨ agt:

13.5 Ebene Filmstr¨ omung auf geneigter Platte

403

F lü s s ig k e its film

d

F ilm -V o rh a n g

a u fg e b ra c h te B e s c h ic h tu n g

U 0

Abbildung 13.7: Film-Vorhang-Beschichtungsverfahren

g1 = g cos β

(13.62)

Somit lautet die das Str¨ omungsfeld beschreibende Differentialgleichung: ρg cos β d2 U1 . =− dx2 2 µ

(13.63)

Durch eine einmalige Integration erh¨ alt man aus der obigen Differentialgleichung: dU1 ρg cos β x2 + C1 =− (13.64) dx2 µ und durch nochmalige Integration ergibt sich die Endbeziehung f¨ ur die Geschwindigkeitsverteilung im Film: ρg cos β 2 x2 + C1 x2 + C2 . (13.65) U1 = − 2µ Als Randbedingung stehen zur Verf¨ ugung, siehe Abb. 13.4: x2 = 0 :

dU1 = 0, d.h. C1 = 0 wegen freier Oberfläche, dx x2 = −δ :

U1 = 0,

d.h. C2 =

ρg cos β 2 δ 2µ

Damit ergibt sich f¨ ur die Geschwindigkeitsverteilung im Film: x 2 ρg cos βδ 2 2 U1 = . 1− 2µ δ

(13.66) (13.67)

(13.68)

Diese Gleichung beschreibt das f¨ ur Filmstr¨ omungen charakteristische parabolische Geschwindigkeitsprofil mit der maximalen Geschwindigkeit an der

404


Filmoberfl¨ ache, d.h. f¨ ur das in Abb. 13.4 gewählte Koordinatensystem, an der Stelle x2 = 0. Liegt das Geschwindigkeitsprofil im Fl¨ ussigkeitsfilm fest, so lässt sich der Volumenstrom Q˙ durch folgende Integration berechnen, wobei B die Breite der Filmebene darstellt: "0 x 2 ρg cos βδ 2 2 U1 dx2 = B 1− dx2 , 2µ δ −δ 0 −δ ρg cos βδ 2 1 Q˙ = B x2 − 2 x32 2µ 3δ −δ "0

Q˙ = B

Daraus errechnet sich:

(13.69) (13.70)

3

ρg cos βδ . Q˙ = B 3µ

(13.71)

Der in einem Fl¨ ussigkeitsfilm fließende Volumenstrom ist umgekehrt proportional der dynamischen Viskosit¨ at und direkt proportional der dritten Potenz der Filmdicke. Die mittlere Geschwindigkeit ergibt sich als: 2 ˙ ˜ = Q = ρg cos βδ . U Bδ 3µ

(13.72)

Ist die auf die Filmauflagefl¨ ache in x1 −Richtung wirkende Kraft von Interesse, so l¨ asst sich diese f¨ ur eine Fl¨ ache mit den Dimensionen L und B, wie folgt berechnen: dU1 LB = −δLBρg cos β. (13.73) K1 = τB LB = −µ dx2 x2 =−δ Dies entspricht im Betrag der in x1 −Richtung wirkenden Komponente der Gewichtskraft des Gesamtfilms. Dieses Endergebnis bringt zum Ausdruck, dass der Film als Ganzes an der Platte haftet und von ihr getragen wird“. ” Im Zusammenhang mit der Bewegung des ebenen Fl¨ ussigkeitsfilms soll die Energiedissipation in viskosen Medien etwas näheren Betrachtungen unterzogen werden. In einem Fl¨ ussigkeitsfilm, wie er in Abb. 13.4 schematisch dargestellt ist, wird ein Fluidvolumen (LBdx2 ) mit der Masse (ρLBdx2 ) in der Zeiteinheit um die Strecke U1 cos β in Richtung der Erdbeschleunigung gesenkt. Dadurch wird folgende potentielle Leistung“ (potentielle Energie ” pro Zeiteinheit) frei: dE˙ pot = ρLBdx2 U1 cos βg.

(13.74)

F¨ ur den gesamten Fl¨ ussigkeitsfilm ergibt sich: "0 E˙ pot =

ρLB −δ

x 2 ρg cos βδ 2 2 cos βgdx2 , 1− 2µ δ

(13.75)

13.6 Axialsymmetrische Filmstr¨ omung

0 ρ2 g 2 cos2 βδ 2 x3 E˙ pot = LB , x2 − 22 2µ 3δ −δ ρ2 g 2 cos2 βδ 3 E˙ pot = LB . 3µ

405

(13.76) (13.77)

Diese pro Zeiteinheit durch die Schwerkraft entlang der Strecke L freiwerdende Energie dissipiert infolge der Viskosit¨ at des Strömungsmediums. Die auf die Zeiteinheit und Volumeneinheit bezogene dissipierende Energie Ediss betr¨ agt f¨ ur eine Fl¨ ussigkeitsschicht mit der Dicke 1: dEdiss =µ dV

dU1 dx2

2

1 = ρ2 g 2 cos2 βx22 . µ

(13.78)

Die f¨ ur das betrachtete Volumen dissipierte Energie pro Zeiteinheit errechnet sich durch Integration "0 ρ2 g 2 cos2 β E˙ diss = LB x22 dx2 , (13.79) µ −δ

E˙ diss

ρ2 g 2 cos2 β 3 δ . = −LB 3µ

(13.80)

Es gilt somit E˙ pot + E˙ diss = 0, d.h. die gesamte umgesetzte potentielle Energie des fallenden Films wird infolge der Viskosität dissipiert, d.h. in Wärme u uhrt. Aufgrund der im allgemeinen sehr hohen Wärmekapazität von ¨ bergef¨ Fl¨ ussigkeiten bedeutet dies, z.B. f¨ ur Wasser, nur eine sehr geringe Steigerung der Fl¨ ussigkeitstemperatur.

13.6 Axialsymmetrische Filmstr¨ omung Neben der in Kapitel 13.5 beschriebenen ebenen Filmströmung interessieren in Gebieten wie dem Chemie-Ingenieur-Wesen auch Fl¨ ussigkeitsfilme, die sich an axialsymmetrischen Fl¨ achen ausbilden. Als ein Beispiel ist in Abb. 13.8 ein Film skizziert, der an der Außenseite eines zylindrischen Körpers abl¨ auft. Der f¨ ur den station¨ aren Fl¨ ussigkeitsfilm erforderliche Volumenstrom wird im Innenraum des zylinderf¨ ormigen K¨ orpers nach oben gefördert, läuft an der Oberkante nach außen und bildet dort, nach einer kurzen Anlaufstrecke, einen axialsymmetrischen, station¨ aren, in Strömungsrichtungen vollentwickelten Fl¨ ussigkeitsfilm. Das pro Zeiteinheit in dem Rieselfilm ablaufende Volumen entspricht dem im Zylinderinnenraum nach oben geförderten Volumenstrom. Anlagen, wie sie in Abb. 13.8 schematisch angedeutet sind, werden im Chemieingenieurwesen oftmals zur Fl¨ ussigkeitsbegasung angewandt. Der nach unten laufende Fl¨ ussigkeitsfilm besitzt eine große Oberfläche, die mit

406


R

fe s te W a n d r z

Q

. U z = 0 d U z = 0 d r

F ilm d ic k e d

D ie R a n d b e d in g u n g e n la u te n :

L u fts tro m

. Q

r = R r = R + d

d

z u g e fü h rte r F lü s s ig k e its s tro m a )

fe s te W a n d

: U z = 0 : d U z = 0 d r

b )

Abbildung 13.8: a) Fallender Film an Außenwand eines Zylinders; b) Wichtige Gr¨ oßen zur L¨ osung der Differentialgleichung f¨ ur die Geschwindigkeit des Fl¨ ussigkeitsfilms

¨ einem einzubringenden Gas in Ber¨ uhrung steht. Uber die gesamte Kontaktfl¨ ache von Fl¨ ussigkeit und Gas findet die Begasung statt, bis der gesamte Fl¨ ussigkeitsfilm ges¨ attigt ist. Nachdem der Film in Abb. 13.8a eine kurze Anlaufstrecke durchlaufen hat, erreicht er einen vollentwickelten Zustand, d.h. die str¨ omungsmechanischen Vorg¨ ange k¨ onnen durch die folgende Differentialgleichung f¨ ur eindimensionale, axialsymmetrische Strömungen von Fluiden mit konstanter Dichte und konstanter Viskosität beschrieben werden: 1 d dUz dΠ (13.81) +µ r + ρgz = 0. − dz r dr dr Der extern aufgepr¨ agte Druckgradient (dΠ/dz) ist f¨ ur Filmströmungen identisch Null, so dass mit gz = g gilt: d dUz ρg (13.82) r = − r. dr dr µ Nach einmaliger Integration erh¨ alt man: dUz ρg C1 =− r+ dr 2µ r

(13.83)

und durch weitere Integration Uz = −

ρg 2 r + C1 ln r + C2 . 4µ

(13.84)

13.6 Axialsymmetrische Filmstr¨ omung

407

Mit den in Abb. 13.8b angegebenen Randbedingungen erhält man: ρg 0 = − R2 + C1 ln R + C2 , (13.85) r = R; Uz = 0 : 4µ r = (R + δ);

dUz =0 dr

:

0=−

ρg 1 (R + δ) + C1 , 2µ (R + δ)

ρg (R + δ)2 2µ ρg ρg (R + δ)2 ln R. C2 = + R2 − 4µ 2µ Damit ergibt sich f¨ ur das Geschwindigkeitsprofil: . 2 / r 2 ρg 2 δ r R 1− Uz = +2 1+ ln . 4µ R R R C1 = +

(13.86) (13.87) (13.88)

(13.89)

Das im Film abfließende Fluidvolumen l¨ asst sich durch folgende Integration berechnen: R+δ R+δ 2 / " " . r 2 πρg δ r 2 R r dr, 2πrUz dr = +2 1+ ln 1− Q˙ = 2µ R R R R R . 2 2 /

R+δ 2 4 πρg r 1 r δ r r

Q˙ = R2 − +2 1+ . ln −

2µ 2 4R2 R 2 R 2 R (13.90) Damit ergibt sich f¨ ur Q˙ die folgende Endbeziehung: . 2 4 / πρgR4 δ δ 1 δ 3 ˙ Q= 2 1+ − + 1+ 2 ln 1 + − . 4µ R 2 R R 2 (13.91) F¨ ur die maximale Geschwindigkeit der Filmströmung ergibt sich: . 2 2 / R+δ R+δ ρgR2 δ 1− +2 1+ ln (Uz )max = , (13.92) 4µ R R R . 2 / 2 δ δ ρgR2 δ δ −2 +2 1+ ln 1 + (Uz )max = − . (13.93) 4µ R R R R Abschließend sollte zu den Filmstr¨ omungen noch erwähnt werden, dass diese nur f¨ ur kleine Reynoldszahlen laminar bleiben, also sich so verhalten, wie oben angegeben. Die obigen Formeln sind nur f¨ ur kleine Filmdicken und Medien mit relativ großen kinematischen Viskositäten anwendbar. In Gebieten wie dem Chemieingenieurwesen treten eine Reihe von Filmströmungen auf, die diese Voraussetzungen erf¨ ullen. Damit lassen sich die oben abgeleiteten Beziehungen heranziehen, um wichtige Eigenschaften von Filmströmungen zu verstehen.

408


13.7 Rohrstr¨ omung (Hagen-Poiseuillestr¨ omung) Die laminare vollentwickelte Rohrstr¨ omung stellt eine weitere wichtige Str¨ omung dar, die als station¨ are, eindimensionale Strömung behandelt werden kann, d.h. durch L¨ osung der Differentialgleichung: 1 d dΠ dUz +µ (13.94) − r + ρgz = 0. dz r dr dr Betrachtet man die horizontale Rohrstr¨ omung, wie sie in Abb. 13.9 angedeutet ist, so gilt, da gz = 0 ist, folgende vereinfachte Differentialgleichung: d dUz 1 dΠ r = r. (13.95) dr dr µ dz Diese Gleichung bringt wiederum zum Ausdruck, dass die durch einen externen Druckgradienten dem Fluid aufgepr¨ agten Druckkräfte durch Viskosit¨ atskr¨ afte im Gleichgewicht gehalten werden, so dass eine nichtbeschleunigte Str¨ omung entsteht.

r

R o h rw a n d

R z

p a ra b o lis c h e s S trö m u n g s p ro fil Abbildung 13.9: Laminare Str¨ omung in einem Rohr mit Innenradius R

Randbedingungen:

r = 0;

dUz = 0; r = R; Uz = 0 dr

Die in dem in Abb. 13.9 angedeuteten zylindrischen Rohr erfolgende Str¨ omung erfordert im ausgebildeten Zustand einen Druckgradienten ( dΠ/∂z), d.h. diese Gr¨ oße muss extern aufgebracht werden, damit es zur Ausbildung einer Rohrstr¨ omung kommt. F¨ ur diese Strömung erhält man folgende Differentialgleichung: dUz 1 dΠ d r = r. (13.96) dr dr µ dz

13.7 Rohrstr¨ omung (Hagen-Poiseuillestr¨ omung)

Durch einmalige Integration von (13.96) ergibt sich: 1 dΠ C1 dUz = . r+ dr 2µ dz r

409

(13.97)

Durch eine zweite Integration erh¨ alt man: dπ 1 Uz = r2 + C1 ln r + C2 . 4µ dz

(13.98)

¨ Uber die Randbedingungen: r → 0;

dUz → 0 und r = R : Uz = 0 dr

lassen sich C1 und C2 bestimmen: 1 C1 = 0 und C2 = − 4µ

dπ dz

(13.99)

R2

(13.100)

Damit lautet die Gleichung f¨ ur die Geschwindigkeitsverteilung Uz (r) f¨ ur die laminare Rohrstr¨ omung: r 2 R2 dΠ Uz = − (13.101) 1− 4µ dz R Das Geschwindigkeitsprofil ist parabolisch und Uz ist positiv; das Minuszeichen ber¨ ucksichtigt das Vorliegen eines negativen Druckgradienten in zRichtung, d.h. der Druck nimmt in z-Richtung ab und in diese Richtung str¨ omt damit das Fluid. Der durch das Rohr fließende Volumenstrom (Volumen pro Zeiteinheit) l¨ asst sich wie folgt berechnen. "R πR4 dΠ Q˙ = 2πrUz dr = − (13.102) 8µ dz 0 8µQ˙ ∆p dΠ (13.103) =− = oder umgeschrieben: dz ∆z πR4 Bei einer laminaren Rohrstr¨ omung ist der Druckabfall pro Längeneinheit proportional der dynamischen Z¨ ahigkeit des str¨ omenden Fluids und dem Volumendurchsatz, sowie umgekehrt proportional der vierten Potenz des Rohrradiuses. F¨ ur die mittlere Geschwindigkeit ergibt sich: Q˙ R2 dΠ ˜ U= = . (13.104) πR2 8µ dz Der obige Zusammenhang zwischen dem Volumenstrom, dem Innenradius R des Rohres, der Viskosit¨ at des Str¨ omungsmediums und dem anliegenden

410


Druckgradienten, ist als das Hagen-Poiseuillesche Gesetz bekannt. Es wurde von Hagen im Jahre 1839 und von Poiseuille im Jahre 1840/41 unabhängig voneinander u ¨ber experimentelle Untersuchungen gefunden. Diese experimentelle Best¨ atigung der oben abgeleiteten Beziehungen unterstreicht die G¨ ultigkeit der f¨ ur die Rohrstr¨ omung getroffenen Annahmen und dar¨ uber hinaus die G¨ ultigkeit der Navier-Stokesschen Gleichungen f¨ ur die Beschreibung von Str¨ omungsvorg¨ angen newtonscher Medien. Die f¨ ur die laminare, vollentwickelte Rohrströmung auftretende Wandschubspannung errechnet sich als: dU 1 dΠ = τw = −µ R. (13.105) dr w 2 dz Der Reibungskoeffizient kann somit wie folgt angegeben werden: dΠ R(2R) τw 2τw (2R) 16 dt ) * = 2 , cf = ρ = = 2 Re R dΠ ˜ ˜ U2R U Re ˜µ U 2 8 dz ν

(13.106)

˜ 2R U 16 f¨ ur Re = . (13.107) Re ν Die Darstellung des Reibungskoeffizienten als Funktion der Reynoldszahl ergibt in einem Diagramm, mit doppellogarithmischen Achsen, eine Gerade mit der Steigung −1. Ein vertiefender Einblick in die sich in viskosen Medien abspielenden Vorg¨ ange kann noch dadurch gewonnen werden, dass man sich die bei der Rohrstr¨ omung durch die Wirkung der Fluidviskosität dissipierte Energie berechnet. Aufbauend auf der allgemeinen Beziehung f¨ ur die pro Volumeneinheit in einem Newtonschen Fluid dissipierte Energie: . 2 2 2 / ∂Ur 1 ∂U ϕ ∂Uz Ur dEdiss = 2µ + + + + dV ∂r r ∂ϕ r ∂z 2 2 1 ∂Uz ∂ Uϕ 1 ∂Ur ∂Uϕ +µ µ r + + ∂r r r ∂ϕ r ∂ϕ ∂z 2 ∂Ur ∂Uz +µ . + ∂z ∂r (13.108) Beachtet man all die Vereinfachungen, die zur Ableitung der Gleichung (13.94) eingef¨ uhrt wurden, so l¨ asst sich die oben angegebene allgemeine Beziehung f¨ ur die Energiedissipation einer viskosen Rohrströmung, wie folgt schreiben: 2 2 ∂Uz dUz dEdiss =µ =µ . (13.109) dV ∂r dr d.h.

cf =

13.7 Rohrstr¨ omung (Hagen-Poiseuillestr¨ omung)

411

F¨ uhrt man ein: dV = 2πr dz dr, so erh¨ alt man: dEdiss = µ

dUz dr

2 2πr dz dr.

(13.110)

F¨ ur ( dUz / dr) l¨ asst sich schreiben: 1 dUz =− dr 2µ

dΠ dz

r.

(13.111)

Damit gilt f¨ ur die pro Rohrl¨ angeneinheit dissipierte Energie: π dEdiss = dz 2µ

dΠ dz

2 r3 dr.

(13.112)

Integriert man diese Gleichung, so erh¨ alt man die pro Rohrlänge dz dissipierte Energie: π dEdiss = dz 2µ

dΠ dz

2 "R 2 dΠ π 3 r dr = R4 . 8µ dz

(13.113)

0

D.h., der pro L¨ angeneinheit des Rohres aufzubringende Druckgradient dient dazu, die pro L¨ angeneinheit in W¨ arme dissipierte mechanische Energie“ der ” Fluidbewegung zuzuf¨ uhren. Ber¨ ucksichtigt man πR4 dΠ Q˙ = , (13.114) 8µ dz so l¨ asst sich (13.113) schreiben: dEdiss = Q˙ dz

dΠ dz

.

(13.115)

Diese Beziehung bringt zum Ausdruck, dass der pro Rohrlängeneinheit aufzubringende Druckgradient der pro Rohrl¨ angeneinheit und Volumenstromeinheit dissipierten Energie entspricht: 1 dEdiss dΠ = . dz Q˙ dz

(13.116)

Die G¨ ultigkeit der oben abgeleiteten Beziehungen f¨ ur die Rohrströmung ist jedoch auf laminare Str¨ omungen beschr¨ ankt, d.h. auf Reynoldszahlen, die ur Rohrströmunkleiner als Rekrit liegen. Diese kritische Reynoldszahl liegt f¨ gen im Bereich von Rekrit =

˜ 2R U < 2, 3 bis 2, 5 · 103 . ν

(13.117)

412


Ist die Reynoldszahl einer Rohrstr¨ omung gr¨ oßer als dieser kritische Wert, und werden keine besonderen Vorkehrungen getroffen, um Strömungsstörungen von der Rohrstr¨ omung fernzuhalten, so schl¨ agt die Strömung im Bereich der kritischen Reynoldszahl von laminar auf turbulent um. In diesem Fall liegt keine gerichtete Str¨ omung mehr vor, wie sie durch die obenstehenden Beziehungen beschrieben wurde. Die Str¨ omung im Rohr weist dann, u ¨berlagert zu einem mittleren Str¨ omungsfeld, stochastische Geschwindigkeitsfluktuationen auf, die zu einem zus¨ atzlichen Impulstransport quer zur Strömungsrichtung f¨ uhren. Dieser ist durch die obigen Grundgleichungen nicht erfasst. Im Kapitel 18 werden die wichtigsten Eigenschaften turbulenter RohrKanalstr¨ omungen angegeben und Hinweise auf Abweichungen von der hier behandelten laminaren Rohrstr¨ omung gegeben.

13.8 Axiale Str¨ omung zwischen zwei Zylindern Im Chemieingenieurwesen gibt es eine Vielzahl von axialsymmetrischen Apparaturen, in denen Str¨ omungen auftreten, die man als stationäre, vollentwickelte Str¨ omungen behandeln kann und die damit durch die folgende partielle Differentialgleichung beschrieben werden: 1 ∂ ∂Uz dΠ +µ (13.118) r + ρgz = 0. − dz r ∂r ∂r Randbedingungen: r = R1 : Uz = 0 r = R2 : Uz = 0

R 1

R 2

A u ß e n w a n d

In n e n w a n d

A c h se r = 0

G e s c h w in d ig k e its p ro fil

z r

m

.

Abbildung 13.10: Aufw¨ artsstr¨ omung f¨ ur einen zylinderf¨ ormigen Ringspalt

13.8 Axiale Str¨ omung zwischen zwei Zylindern

413

Als ein interessantes Beispiel soll hier die Strömung in einem zylinderf¨ ormigen Ringspalt behandelt werden, die in Abb. 13.10 skizziert ist. Der Ringspalt wird durch zwei axial gelegene R¨ ohren mit den Radien R1 und R2 gebildet. Zur weiteren Vereinfachung der Ableitung werden eingef¨ uhrt: K = R1 /R2 ,

Π ∗ = Π + ρgz.

(13.119)

Unter Ber¨ ucksichtigung des in Abb. 13.10 angegebenen Koordinatensystems gilt: gz = −g und damit erh¨ alt man folgende Form der die Strömung beschreibenden Differentialgleichung: ∂Π ∗ 1 ∂ ∂Uz ∂ (Π + ρgz) = . (13.120) µ r = r ∂r ∂r ∂z ∂z ∂ Unter Beachtung der Annahmen ∂z (· · · ) = 0 f¨ ur das Strömungsfeld, d.h. unter der Annahme einer vollentwickelten Strömung, lassen sich die obigen partiellen Differentiale als totale Differentiale schreiben. Damit gilt: d dUz 1 dΠ ∗ r. (13.121) r = dr dr µ dz

Im Abschnitt 13.6 wurde gezeigt, dass diese Gleichung folgende allgemeine L¨ osung besitzt: 2 1 dΠ ∗ 1 2 r + C1 ln r + C2 . Uz = (13.122) 4µ dz ¨ Uber die in Abb. 13.9 angegebenen Randbedingungen lassen sich die Integrationskonstanten C1 und C2 f¨ ur die Str¨ omung in einem zylindrischen Ringspalt u ¨ ber die nachfolgend angegebenen Gleichungen bestimmen (13.123) und (13.124). Aus der Randbedingung: r = R1 ; Uz = 0 ergibt sich als erste Gleichung f¨ ur die Berechnung der Integrationskonstanten C1 und C2 : 0 = R12 + C1 ln R1 + C2 .

(13.123)

alt man: Ber¨ ucksichtigt man: r = R2 ; Uz = 0, so erh¨ 0 = R22 + C1 ln R2 + C2 ,

(13.124)

die zweite Beziehung f¨ ur die Berechnung der Integrationskonstanten C1 und C2 . . 2 / Somit erh¨ alt man: R1 1 2 , C1 = R2 1 − (13.125) R1 R2 ln R2 oder unter Ber¨ ucksichtigung von K = R1 /R2 :

414


1 2 1 . C1 = R22 1 − K 2 ln K / ). + * , 2 F¨ ur C2 ergibt sich: − 1 K ln R2 − 1 . C2 = R22 ln K Damit ergibt sich f¨ ur die Geschwindigkeitsverteilung: .) 2 * / 2 1 r K r dπ ∗ − 1 Uz = − . 1− + ln R22 4µ dt R2 ln K R2

(13.126) (13.127)

(13.128)

Die obige Gleichung zeigt, dass f¨ ur K → 0 die Geschwindigkeitsverteilung f¨ ur die vollentwickelte Rohrstr¨ omung erhalten wird. Die Lage der maximalen Geschwindigkeit errechnet sich als: # 1 − K2 . (13.129) r = f¨ ur (uz = umax ) = R 2 ln(1/K) Die maximale Geschwindigkeit errechnet sich somit aus der Gleichung f¨ ur Uz : 1 − K2 dΠ ∗ 1 − K2 1 (Uz )max = − R22 1 − 1 − ln . 4µ dz 2 ln(1/K) 2 ln(1/K) (13.130) F¨ ur den Volumenstrom ergibt sich: , (1 − K 2 )2 π ∗ dΠ ∗ 4 + 4 ˙ R2 1 − K − (13.131) Q=− 8µ dz ln (1/K) und f¨ ur die mittlere Geschwindigkeit: Q˙ 1 − K4 1 dΠ ∗ 1 − K2 2 ˜z = = − U R 2 π (R22 − R12 ) 8µ dz 1 − K2 ln (1/K) F¨ ur den molekularen Impulstransport errechnet sich: r 1 − K2 R2 1 dΠ ∗ − τr,z = R2 2 dz R2 2 ln (1/K) r

(13.132)

(13.133)

urlich an der Stelle dUz / dr = 0, d.h. bei Uz = Umax , Die Gr¨ oße τr,z ist nat¨ gleich Null, so dass man aus (13.133) erh¨ alt: # 1 − K2 r (τr,z = 0) = R2 (13.134) 2 ln (1/K) Auch f¨ ur die Ringspaltstr¨ omung gilt, dass die obigen Beziehungen nur f¨ ur laminare Str¨ omungen Anwendung finden können. Die in turbulenten Str¨ omungen auftretenden zus¨ atzlichen Impulstransporte durch die turbulenten Geschwindigkeitsschwankungen, wurden in den obigen Gleichungen nicht ber¨ ucksichtigt. Somit k¨ onnen die abgeleiteten Gleichungen dieses Abschnitts nur dann angewandt werden, wenn sichergestellt ist, dass die Strömung in dem betrachteten Ringspalt laminar verl¨ auft.

13.9 Geschichtete Filmstr¨ omungen

415

13.9 Geschichtete Filmstr¨ omungen Die in den vorausgegangenen Kapiteln behandelten Probleme stationärer, zweidimensionaler und vollentwickelter Str¨ omungen inkompressibler Fluide lassen sich auf Str¨ omungsvorg¨ ange erweitern, die mehrere, nicht mischbare Fluide umfassen. Die abgeleiteten Grundgleichungen f¨ ur voll entwickelte Str¨ omungen m¨ ussen, bei Vorliegen mehrerer Fluide, f¨ ur jede Fluidströmung gel¨ ost werden und die in den Zwischenschichten der Fluide gegebenen Randbedingungen gehen in die L¨ osungen ein. Dies ist untenstehend gezeigt. In der Beschichtungstechnik ist es u ¨blich, u ¨ bereinander gelagerte Filmstr¨ omungen nicht mischbare Fl¨ ussigkeiten einzusetzen, um mehrere Filme in einem Prozessschritt auf ein Substrat aufzutragen. Bis zu 20 Schichten k¨ onnen so simultan mit hoher Genauigkeit aufgetragen werden. Beschränkt man sich auf zwei Schichten, so entstehen auf den die Filmschichten formenden Gießern“ Str¨ omungskonfigurationen, wie eine in Abb. 13.11 skizziert ist. ” Die Abbbildung zeigt zwei u ¨bereinander liegende Filmströmungen, die durch die Gravitation entlang einer ebenen, geneigten Wand bewegt werden.

b

. m

x B

m

.

2

d A

d

B

A

x 1

Abbildung 13.11: Str¨ omung zweier Fl¨ ussigkeitsfilme u ¨ ber eine ebene, geneigte Wand

Str¨ omungen dieser Art werden durch die unten aufgef¨ uhrten Differentialgleichungen beschrieben: d2 U1A 0 = µA + ρA g 1 (13.135) dx2 2 und 0 = µB

d2 U1B + ρB g 1 dx2 2

(13.136)

mit g1 = g cos β und νA,B = (µA,B /ρA,B ), so dass man durch Integration erh¨ alt: g cos β A U1 = − (13.137) x22 + C1A x2 + C2A 2νA

416


und U1B = −

g cos β 2νB

x22 + C1B x2 + C2B

(13.138)

Durch die Integration wurden in die obigen Beziehungen vier Integrationskonstanten eingef¨ uhrt, die es nun durch geeignete Randbedingungen zu bestimmen gilt. ;

x2 = 0

U1A = 0 (Haftbedingung) ;

x2 = δA + δB x2 = δA

;

; C2A = 0

(13.139)

dU1B = 0 (Freie Oberfläche) dx2

(13.140)

dU1A dU1B = µB dx2 dx2

(13.141)

U1A = U1B und µA

Aus der Randbedingung f¨ ur die freie Oberfl¨ ache ergibt sich: C1B =

g cos β (δA + δB ) νB

(13.142)

Die Gleichheit der lokalen Filmgeschwindigkeiten in der gemeinsamen Fläche zwischen den Filmen ergibt: −

g cos β 2 g cos β g cos β 2 δ + C1A δA = − δ + (δA + δB ) δA + C2B 2νA A 2νB A νB

(13.143)

Ferner ergibt die Gleichheit der lokalen Impulstransportterme in der gemeinsamen Fl¨ ache zwischen den Filmen: −δA g cos βδA + C1A = −ρB g cos βδA + ρB g cos β(δA + δB )

(13.144)

Hieraus ergibt sich: C1A = (ρA δA + ρB δB )g cos β und f¨ ur

C2B

(13.145)

erh¨ alt man:

νA + νB 2 g cos β δ + (ρA δA + ρB δB ) g cos β − (δA + δB ) δA 1νA νB A νB (13.146) Somit erh¨ alt man f¨ ur die Geschwindigkeitsverteilungen U1A und U1B g cos β A U1 = − (13.147) x22 + [(ρA δA + ρB δB ) β] x2 2νA C2B = −g cos β

und

g cos β 2νB

g cos β νA + νB 2 (δA + δB ) x2 − g cos β δ 2νb 2νA νB A g cos β + (ρA δA + ρB δB ) g cos β − (δA + δB ) δA (13.148) νB

U1B = −

x22 +

13.10 Geschichtete, ebene Kanalstr¨ omung

417

F¨ ur m ˙ A und m˙B l¨ asst sich schreiben: "δA m ˙ A = ρA B U1A (x2 ) dx2

(δA"+δB )

und

U1B (x2 ) dx2

m ˙ B = ρB B

0

(13.149)

δA

Durch die Integration erh¨ alt man: 3 δ2 g cos β δA + C1A A m ˙ A = ρA B − (13.150) 2νA 3 2 . / 3 3 2 g cos β (δA + δA ) − δA B δA δB + δB B + C1 + C2 δB − m ˙ B = ρB B 2νB 3 2 (13.151) ˙ B und bei Bekanntsein der Damit lassen sich, unter Vorgabe von m ˙ A und m Eigenschaften der Beschichtungsfluide, die Schichtdicken δA und δB bestimmen.

13.10 Geschichtete, ebene Kanalstr¨ omung In Abb. 13.12 ist eine ebene Kanalstr¨ omung skizziert, welche sich aus der Str¨ omung zweier u bereinander liegender, nicht mischbarer Fluide zusammen¨ setzt, d.h. die Fluide A und B fließen gleichzeitig durch einen aus zwei ebenen Platten gebildeten Kanal. Das die Schicht mit der Dicke δA bildende Fluid A hat die Dichte ρA und die Viskosit¨ at µA sowie den Massenstrom m ˙ A . Das dar¨ uber liegende Fluid hat die Dichte ρB , die Viskosität µB und den Massenstrom m ˙ B . F¨ ur beide Fluide gelten die folgenden Differentialgleichungen f¨ ur den molekularen Impulstransport τ21 . A dτ21 dΠ =− dx2 dx1

Mit τ21 = −µ

dU1 dx2

und

B dτ21 dΠ =− dx2 dx1

(13.152)

ergibt sich f¨ ur das Geschwindigkeitsfeld:

d2 U1A 1 dΠ = 2 dx2 µA dx1

und

d2 U1B 1 dΠ = 2 dx2 µB dx1

(13.153)

Die Integration der Gleichung (13.152) ergibt f¨ ur beide Fluide A τ21 =−

dΠ x2 + C1A dx1

(13.154)

B τ21 =−

dΠ x2 + C1B dx1

(13.155)

und

418


s k iz z ie r te G e s c h w in d ig k e its v e r te ilu n g L e ic h te re s F lu id

S c h e r fr e ie E b e n e F r e ie O b e r flä c h e

D ic h te re s F lu id Im p u ls flu s s v e rte ilu n g

Abbildung 13.12: Ebene Kanalstr¨ omung mit zweigeschichteten Str¨ omungen, L¨ osung wird f¨ ur δ = 0 angegeben

F¨ uhrt man nun die Randbedingungen ein, dass der Impulstransport durch A die gemeinsame Fl¨ ache A und B gleich ist, so erhält man τ21 (x2 = δ) = B τ21 (x2 = δ) −

dΠ dΠ δ + C1A = − δ + C1B dx1 dx1

;

C1A = C1B = C1

(13.156)

F¨ uhrt man die Integration f¨ ur die Geschwindigkeitsfelder U1A und U1B aus, so erh¨ alt man: 1 dΠ 2 C1 x + x2 + C2A (13.157) U1A = 2µA dx1 2 µA und U1B =

1 dΠ 2 C1 x + x2 + C2B 2µB dx1 2 µB

(13.158)

Das in Abb. 13.12 eingezeichnete Koordinatensystem wurde so gewählt, dass die x2 -Richtung positive Werte f¨ ur δ ergibt, d.h. die Fläche zwischen den beiden Fluiden liegt oberhalb der Ebene x2 = 0. Damit ergibt die zweite in der Phasengrenzfl¨ ache aufzupr¨ agende Randbedingung: U1A = (x2 = δ) = U1B (x2 = δ)

;

C2A = C2B

(13.159)

d. h. es gilt: δ 2 dΠ C1 δ δ 2 dΠ C1 δ + + C2A = + + C2B 2µA dx1 µA 2µB dx1 µB

(13.160)

Nur f¨ ur δ = 0 ergibt sich eine Reduktion des Aufwandes C2A und C2B zu bestimmen. Dieser Sonderfall ist untenstehend behandelt. F¨ ur δ = 0 ergibt

13.10 Geschichtete, ebene Kanalstr¨ omung

419

sich C2A = C2B = C2 . Die verbleibenden Integrationskonstanten lassen sich durch folgende Randbedingungen ermitteln. x2 = −D

;

U1A = 0 :

0=

dΠ 1 C1 D D2 − + C2 dx1 2µA µA

(13.161)

x2 = +D

;

U1B = 0 :

0=

dΠ 1 C1 D D2 + + C2 dx1 2µB µB

(13.162)

Somit erh¨ alt man f¨ ur die Geschwindigkeitsverteilungen in den Fluiden A und B: µA − µB x2 x2 2 D2 dΠ 2µA A + − U1 = − + (13.163) 2µA dx1 (µA + µB ) µA + µB D D und U1B

D2 dΠ =− 2µB dx1

2µB + + (µA + µB )

µA − µB µA + µB

x2 x2 2 − D D

(13.164)

F¨ ur die Verteilung des molekularbedingten Impulstransports ergibt sich: dΠ x2 1 µA − µB τ21 = −D − (13.165) dx1 D 2 µA + µB W¨ ahlt man in den obigen Beziehungen µA = µB , so erhält man: x 2 −D2 dΠ 2 U1 = 1− 2µA dx1 D

(13.166)

und

dΠ x2 (13.167) dx1 D ein parabolisches Geschwindigkeitsprofil mit dem Scheitelpunkt in der Mitte des Kanals und eine lineare τ21 -Verteilung mit τ21 = 0 auf der Kanalachse. F¨ ur µA = µB errechnet sich die Lage des Geschwindigkeitsmaximums mit τ21 = 0 aus Gleichung (13.163): δ 1 µA − µB = (13.168) D 2 µA + µB τ21 = −D

Der Impulstransport in die obere Wand ergibt: dΠ µA + 3µB A τW = − D dx1 µA + µB In die untere Wand ergibt der Impulstransport: 3µA + µB dΠ B τW = − D dx1 µA + µB

(13.169)

(13.170)

420


Die mittleren Geschwindigkeiten der Teilstr¨ ome A und B errechnen sich als 7µA + µB D2 dΠ A ˜ U1 = − (13.171) 12µA dx1 µA + µB und

2 ˜ B = − D dΠ U 1 12µB dx1

µA + 7µB µA + µB

(13.172)

Die zugeh¨ origen Massenstr¨ ome errechnen sich als: ˜1A m ˙ A = BDU

und zudem

˜1B m ˙ B = BDU

(13.173)

13.11 Literaturhinweise 13.1 Bird RB, Stuart WE, Lightfood EN (1960) Transport phenomena. John Wiley and Sons Inc., New York 13.2 Potter MC, Voss JF (1975) Fluid Mechanics. John Wiley and Sons Inc., New York 13.3 Schlichting H (1979) Boundary Layer Theory. Macgraw Hill Book Company, New York, Series in Mechanical Engineering 13.4 Pnoeli D, Gutfinger C (1992) Fluid Mechanics. Cambridge University Press, Cambridge 13.5 Hutter K (1995) Fluid- und Thermodynamik- eine Einf¨ uhrung. Springer Verlag Berlin Heidelberg

14 Zeitabh¨ angige, eindimensionale Str¨ omungen viskoser Fluide

14.1 Allgemeine Betrachtungen Die in Kapitel 13 behandelten Str¨ omungsprobleme f¨ ur viskose Fluide waren, unter anderem dadurch gekennzeichnet, dass sie die Bedingung der Stationarit¨ at erf¨ ullten, d. h. die untersuchten Str¨ omungen waren nicht zeitabhängig. L¨ asst man diese Einschr¨ ankung in den in Kapitel 13 durchgef¨ uhrten Ableitungen fallen, so lassen sich all die Betrachtungen, die zur Ableitung der Grundgleichung (13.22) in Kapitel 13 f¨ uhrten, erneut anstellen, nur wird die zeitliche Ableitung nicht mehr gleich Null gesetzt, so dass man als Grundgleichung f¨ ur zeitabh¨ angige eindimensionale Str¨ omungen viskoser Fluide erhält: ρ

∂Π ∂ 2 U1 ∂U1 =− +µ + ρg1 ∂t ∂x1 ∂x2 2

(14.1)

Wobei nun U1 (x2 , t) und auch Π(x1 , t) als Funktionen von Ort und Zeit anzusehen sind. Schreibt man diese Gleichung wie folgt um ∂ 2 U1 1 ∂Π ∂U1 =ν − − g1 (14.2) ∂t ∂x2 2 ρ ∂x1 zeitabh¨ angige Diffusion

Quellterm

so erh¨ alt man eine f¨ ur Behandlungen von Transportvorgängen wohl bekannte Gleichung. Ohne den in (14.2) aufgef¨ uhrten Quellterm, stellt die Gleichung die Fundamentalgleichung dar, die sich bei allen instationären, eindimensionalen Diffusionsproblemen ergibt, so z. B. f¨ ur instationäre, eindimensionale W¨ armeleitprobleme: ∂2T ∂T =a ∂t ∂x2 2

mit a =

λ ρcp

(14.3)

Analog zu W¨ armeleitproblemen lassen sich nun eine Reihe von instation¨ aren, eindimensionalen Str¨ omungsproblemen mit Hilfe analytischer Methoden l¨ osen. Dabei ist es n¨ utzlich, zun¨ achst die dimensionslose Form der Gleichung (14.2) ohne den aufgef¨ uhrten Quellterm zu betrachten, d. h. die nachfolgende Gleichung, die f¨ ur den molekularen Impulstransport alleine gilt:

422

14 Zeitabh¨ angige Str¨ omungen

∂ 2 U1 ∂U1 =ν ∂t ∂x2 2

;

∂U1∗ νc tc ∗ ∂ 2 U1∗ = ν ∂t∗ "2c ∂x∗2 2

(14.4)

In dieser Gleichung entspricht der Term (νc tc )/"2c dem Kehrwert des Produktes aus Reynolds- und Strouhal-Zahl, Re = ("c Uc )/νc und St = "c /(Uc tc ). Er ist mit der Fourier-Zahl Fo = (ac tc /"2c ) zu vergleichen, die bei der allgemeinen Behandlung von zeitabh¨ angigen W¨ armeleitproblemen u ¨ blicherweise eingef¨ uhrt wird. F¨ ur die in diesem Kapitel zu behandelnden zeitabhängigen, eindimensionalen Str¨ omungsprobleme f¨ ur viskose Fluide l¨ asst sich eine Verallgemeinerung der Betrachtungen dadurch erreichen, dass man Fo =

νc tc 1 = 2 =1 ReSt "c

(14.5)

setzt, und die charakteristischen Zeit-, L¨ angen- und Geschwindigkeitsmaße f¨ ur rein diffusive Str¨ omungsprobleme einf¨ uhrt: tc =

"2c νc

"c =

√ νc tc

uc =

νc "c

(14.6)

Wird nun eine Str¨ omung in einem Fluid durch eine konstante Strömungsur den Fall geschwindigkeit U0 erzeugt, so lassen sich diese Eigenschaften, f¨ der Eindimensionalit¨ at, durch folgenden L¨ osungsansatz x2 U1 x2 √ =F = F (η) mit η = √ (14.7) U0 2 νt 2 νt aus Gleichung (14.4) ableiten. Mit dem Ansatz (14.7) lassen sich alle Terme der Gleichung (14.4) wie folgt ableiten: η dF dF ∂η dF η ∂U1 = U0 = U0 (14.8) − = −U0 ∂t dη ∂t dη 2t 2t dη

∂ 2 U1 ∂x2 2

∂U1 dF ∂η dF 1 √ (14.9) = U0 = U0 ∂x2 dη ∂x2 dη 2 νt . / 2 dF ∂η ∂η dF ∂ 2 η d2 F ∂ = U0 = U0 + ∂x2 dη ∂x2 dη2 2 ∂x2 dη ∂x2 2 (14.10) ∂ 2 U1 d2 F 1 (14.11) = U0 ∂x2 2 dη 2 4νt

Setzt man diese partiellen Ableitungen, (14.8) und (14.11) in die zu lösende partielle Differentialgleichung (14.4) ein, so erhält man eine gewöhnliche Differentialgleichung zweiter Ordnung f¨ ur die Funktion F (η): −2η

dF d2 F = dη dη 2

(14.12)


423

F¨ uhrt man eine neue Funktion G(η) ein: G(η) =

dF dη

(14.13)

so erh¨ alt man aus Gleichung (14.12): dG = −2ηG dη

dG = −2η dη G

;

(14.14)

Durch einmalige Integration erh¨ alt man: ln G = −η 2 + ln C1

;

G(η) = C1 exp(−η 2 ).

(14.15)

Damit errechnet sich die Funktion dF = C1 exp(−η 2 ) G(η) = dη

;

F (η) =

C1

"η exp(−η 2 ) dη + C2 . (14.16) 0

F¨ uhrt man f¨ ur das oben angef¨ uhrte Integral ein: 2 erf(η) = √ π

"η exp[−η 2 ] dη,

(14.17)

0

so erh¨ alt man als allgemeine L¨ osung f¨ ur eindimensionale, instationäre Str¨ omungen inkompressibler Fluide. √ π (14.18) F (η) = C1 erf(η) + C2 mit C1 = C1 2 Damit ergibt sich f¨ ur U1 : U1 = U0 [C1 erf (η) + C2 ] .

(14.19)

In den nachfolgenden Abschnitten wird die obige allgemeine Lösung angewandt, um spezifische L¨ osungen f¨ ur vorgegebene Anfangs- und Randbedingungen zu finden. Eine Reihe von eindimensionalen, instationären Strömungsproblemen inkompressibler, viskoser Fluide l¨ asst sich einfacher in Zylinderkoordinaten behandeln. Die Grundgleichung hierf¨ ur l¨ asst sich in diesen Koordinaten angeben. Die Ableitungen gehen wiederum von den zweidimensionalen Gleichungen aus, die in Kapitel 5 auch in Zylinderkoordinaten abgeleitet bzw. angegeben wurden. Diese Gleichungen lauten: ∂Uz 1 ∂ (rUr ) + =0 r ∂r ∂z

(14.20)

424

ρ


∂Ur ∂Ur ∂Ur + Ur + Uz ∂t ∂r ∂z

∂P +µ =− ∂r +ρgr ,

∂ ∂r

1 ∂ (rUr ) r ∂r

∂ 2 Ur + ∂z 2

(14.21) 1 ∂ ∂P ∂Uz ∂ 2 Uz +µ ρ =− r + ∂z r ∂r ∂r ∂z 2 +ρgz , (14.22) F¨ uhrt man in diese Beziehungen die Forderung nach Eindimensionalität der ¨ Str¨ omung ein, d.h. keine Anderung des Str¨ omungsfeldes in der z-Richtung:

∂Uz ∂Uz ∂Uz + Ur + Uz ∂t ∂r ∂z

∂Ur =0 ∂z

und

∂Uz =0 ∂z

(14.23)

so folgt aus der Kontinuit¨ atsgleichung (14.20): 1 ∂ (rUr ) = 0 r ∂r

;

rUr = F (z, t)

(14.24)

∂Ur = 0 gilt: F (z, t) = F (t). Wegen Ur = 0 an der Wand gilt: die Wegen ∂z eindimensionale, instation¨ are Str¨ omung inkompressibler viskoser Medien ist unidirektional, d. h. es tritt nur eine Geschwindigkeitskomponente Uz (v, t) auf. Damit lassen sich aus den Gleichungen (14.20) bis (14.22) ableiten: ∂P + ρgr , ∂r 1 ∂ ∂P ∂Uz ∂Uz =− +µ ρ r + ρgz . ∂t ∂z r ∂r ∂r 0=−

(14.25) (14.26)

Durch Integration der Gleichung (14.25) erh¨ alt man: P = ρgr r + Π(z, t)

(14.27)

und damit die der partiellen Differentialgleichung (14.26) in Zylinderkoordianten entsprechende Gleichung 1 ∂ ∂Uz ∂Uz 1 ∂Π =ν r − gz (14.28) − ∂t r ∂r ∂r ρ ∂z Diese allgemeing¨ ultige Gleichung wird nachfolgend gleichfalls Anwendung finden, um instation¨ are, eindimensionale Str¨ omungen inkompressibler, viskoser Fluide zu behandeln.

14.2 Beschleunigte und verz¨ ogerte Str¨ omungen

425

14.2 Beschleunigte und verz¨ ogerte Str¨ omungen 14.2.1 Erstes Stokessches Problem Stokes [1851] war einer der ersten, der eine analytische Lösung f¨ ur ein instation¨ ares, eindimensionales Str¨ omungsproblem angab, nämlich die Lösung f¨ ur die pl¨ otzliche einsetzende Plattenbewegung und der damit verbundenen Impulsdiffusion in ein u ¨ ber der Platte liegendes, unendlich ausgedehntes Fluid. Um diese auch in der Praxis beobachtete induzierte Fl¨ ussigkeitsbewegung besser verstehen zu k¨ onnen, werden in diesem und nachfolgenden Unterabschnitten Str¨ omungsvorg¨ ange behandelt, die sich in Fl¨ ussigkeiten infolge aufgepr¨ agter Wandbewegungen einstellen, d. h. um Strömungen, die durch aufgepr¨ agte Wandbewegungen in einem Fluid induziert werden. Das in diesem Kapitel zu diesem Thema behandelte Beispiel betrifft die Bewegung der ebenen Platte. Die gewonnenen, generellen, physikalischen Erkenntnisse sind jedoch nicht auf die Platte begrenzt, sondern auch auf axialsymmetrische Str¨ omungen u ¨ bertragbar.

x

F ü r x 2 ¥ F lu id v o r 2

lie g t

Z u n a h m e v o n t B e w e g te P la tte x

U

1

U 0

0

Abbildung 14.1: Schematische Darstellung der pl¨ otzlich in Bewegung gesetzten ebenen Wand

Abb. 14.1 gibt schematisch die Geschwindigkeitsverteilung an, die sich in einem Fluid infolge einer mit der Geschwindigkeit U0 bewegten Wand einstellt. Die einsetzende Str¨ omung infolge der Plattenbewegung lässt sich wie folgt mathematisch ausdr¨ ucken: F¨ ur t < 0 : U1 (x2 , t) = 0 F¨ ur t ≥ 0 : U1 (x2 = 0, t) = U0 U1 (x2 → ∞, t) = 0

(14.29)

426


Infolge der Fluidviskosit¨ at (molekularer Impulstransport) wird der Impuls der mit der Platte mitbewegten plattennächsten Fluidschicht auf die weiter entfernten Schichten u ¨ bertragen. Mit fortschreitender Zeit werden die weiter von der bewegten Wand entfernt liegenden Schichten erfasst. Die diese Vorg¨ ange beschreibende Differentialgleichung lautet: ∂ 2 U1 ∂U1 =ν ∂t ∂x2 2

(14.30)

F¨ ur diese Gleichung, siehe Gleichung wurde die folgende allgemeine √(14.19), , + L¨ osung mit den Ans¨ atzen η = x2 /2 νt und (U1 /U0 ) = F (η) gefunden: U1 = U0 (C1 erf (η) + C2 )

(14.31)

F¨ ur das Problem der induzierten Plattenbewegung ergeben sich folgende Randbedingungen f¨ ur 0 < t < ∞: x2 = 0,

d.h. η = 0

U1 = U0

(14.32)

x2 → ∞, d.h. η → ∞ U1 = 0

(14.33)

Aus der allgemeinen L¨ osung (14.31) und den Randbedingungen (14.32) und (14.33) folgt: 1 = C1 erf(0) + C2 = C2 ,

(14.34)

0 = C1 erf(∞) + C2 = C1 + C2

(14.35)

d.h. die Integrationskonstanten errechnen sich als: C1 = −1

und

C2 = +1.

(14.36)

Damit lautet die L¨ osung: x2 √ U1 = U0 [1 − erf (η)] = U0 1 − erf . 2 νt

(14.37)

Diese Beziehung zeigt, dass die Bewegung der Platte erst mit fortschreitender Zeit dem Fluid aufgepr¨ agt wird. Ist ν = 0, so gilt f¨ ur alle t und alle ule, der in einer endlix2 : U1 = 0, d.h. ohne den Impulstransport der Molek¨ chen Viskosit¨ at zum Ausdruck kommt, gelingt es nicht, eine Fl¨ ussigkeitsbewegung durch die Plattenbewegung zu verursachen. Der durch die Plattenussigkeit u bewegung vorliegende Impuls in x1 -Richtung muss der Fl¨ ¨ber Molek¨ ulbewegungen mitgeteilt“ werden. Je gr¨ oßer ν ist, desto schneller werden ” plattenferne Fl¨ ussigkeitsschichten von der Plattenbewegung erfasst, d.h. in Bewegung gesetzt. F¨ ur das physikalische Verst¨ andnis ist es von Wichtigkeit, dass die f¨ ur die Bewegung erforderliche Plattenkraft pro Fl¨ acheneinheit berechnet wird:


τw = −µ F¨ ur

∂U1 ∂x2

427

(14.38) x2 =0

∂U1 l¨ asst sich errechnen: ∂x2

, + dF (η) ∂η U0 ∂U1 = U0 = −√ exp −η 2 . ∂x2 dη ∂x2 πνt ∂U1 U0 Damit ist = −√ und mithin ∂x2 x2 =0 πνt τw = U0

µρ . πt

(14.39)

(14.40)

Diese Beziehung verdeutlicht, dass die erforderliche Kraft pro Flächeneinheit mit zunehmender Viskosit¨ at und Dichte des in Bewegung zu setzenden Fluids anw¨ achst und mit zunehmender Zeit abnimmt. Zum Zeitpunkt t = 0 ergibt ¨ sich eine unendlich große Kraft. Aufgrund der Ahnlichkeitsbeziehung x2 η= √ 2 νt

(14.41)

in der die Zeit im Nenner steht, ist die Beziehung f¨ ur t = 0 nicht definiert. Damit ist auch die obige Aussage bez¨ uglich der erforderlichen, unendlich großen Zugkraft nicht zul¨ assig. Die Kraft nimmt jedoch mit zunehmender ur alle x2 . Zeit ab. F¨ ur t → ∞ errechnet sich τw → 0 und U1 = U0 f¨ 14.2.2 Diffusion einer Wirbelschicht Das in Kapitel 14.2.1 behandelte 1. Stokes Problem lässt sich auch mit Hilfe der Wirbelst¨ arkengleichung behandeln, die sich f¨ ur ω3 wie folgt schreiben l¨ asst: 2 ∂ 2 ω3 ∂ ω3 ∂ω3 ∂ω3 ∂ω3 + U1 + U2 =ν + (14.42) ∂t ∂x1 ∂x2 ∂x1 2 ∂x2 2 Mit ω3 = ω und U2 = 0 sowie

∂ω3 = 0 erh¨ alt man: ∂x1 ∂2ω ∂ω =ν ∂t ∂x2 2

(14.43)

Diese Gleichung beschreibt, wie die an der Platte durch die Plattenbewegung kontinuierlich produzierte Wirbelst¨ arke, durch molekulare Diffusion in das u ur ω lässt sich angeben: ¨ ber der Platte liegende Fluid transportiert wird. F¨ ω=−

∂U1 ∂x2

(14.44)

428


−1/2 ¨ Damit gilt ωc = Uc /"c = U0 (νt) , so dass f¨ ur ω der folgende Ahnlichkeitsansatz gilt: x2 (14.45) ω(η, t) = U0 (νt)−1/2 f (η) mit η = √ νt

F¨ ur die partiellen Ableitungen von η nach x2 und t ergeben sich ∂η = (νt)−1/2 ∂x2

und

η ∂η =− ∂t 2t

(14.46)

Damit erh¨ alt man: ∂η 1 ∂ω U0 −1/2 −1/2 = U0 (νt) (νt) [f (η) + ηf (η)] − f (η) + f (η) =− ∂t 2t ∂t 2t (14.47) ∂ω ∂η −1/2 −1 = U0 (νt) f (η) = U0 f (η) (νt) (14.48) ∂x2 ∂x2 ∂2ω ∂η = U0 f (η) = U0 (νt)−3/2 f (η) ∂x2 2 ∂x2

(14.49)

Setzt man die obigen Gleichungen (14.47) bis (14.49) in die partielle Differentialgleichung (14.43) ein, so erh¨ alt man folgende gewöhnliche Differentialgleichung f¨ ur f (η): 2f + ηf + f = 2f + (ηf ) = 0

(14.50)

Durch eine erste Integration erh¨ alt man: 2f + ηf = C1

(14.51)

Die Wirbelst¨ arkenverteilung ist symmetrisch in Bezug auf x2 , d.h. f (η = asst sich (14.51) wie folgt schreiben: 0) = 0 und damit gilt C1 = 0. Damit l¨ 2 η df η df = −ηf ; = − dη = − d 2 (14.52) dη f 2 4 Als L¨ osung ergibt sich somit: 2 η f (η) = C exp − 4

(14.53)

"∞ "∞ ∂U1 ω dx2 = − dx2 = U0 ∂x2

(14.54)

Mit folgender Integration:

0

0

l¨ asst sich der Zusammenhang zwischen der ω-Verteilung und U0 herstellen. Setzt man ω in das obige Integral ein, so erh¨ alt man

14.2 Beschleunigte und verz¨ ogerte Str¨ omungen −1/2

C = (π)

429

(14.55)

2 und damit als L¨ osung: x −1/2 ω(x2 , t) = U0 (πνt) exp − 2 νt Diese L¨ osung entspricht: x2 x2 √ √ = U0 erfc U1 (x2 , t) = U0 1 − erf 2 νt 2 νt

(14.56)

(14.57)

Die durch die Gleichungen (14.56) ausgedr¨ uckte Diffusion der Wirbelstärke ist in Abb. 14.2 normiert skizziert und die zugehörige normierte Geschwindigkeitsverteilung ist daneben aufgetragen.

*

u

x

2

x *

(a ) G e s c h w in d ig k e it, w *= ( W /U )( 4 n d t )

x 2

*

*

(b ) G e s c h w in d ig k e it,

1 /2

= x 2 ( 4

2

n

u *= ( u /U )

t 0

)

-1 /2

Abbildung 14.2: Wirbelst¨ arkendiffusion und Impulstransport im Fluid infolge bewegter ebener Platte

F¨ ur die in Abb. 14.2 aufgezeigte Str¨ omung lassen sich die unten aufgef¨ uhrten integralen Parameter berechnen: –

Wirbelst¨ arkendiffusionsradius δω =

2U0 = (πνt)1/2 Ωmax

(14.58)

430

–


Verdr¨ angungsdicke der Str¨ omung 2 δ1 = U0

1/2 "∞ νt (U0 − U1 ) dx2 = π

(14.59)

0

–

Impulsverlustdicke der Str¨ omung +∞ " + 2 , δ2 = U0 − U12 dx2 = −∞

1 4U02

νt 8π

1/2 (14.60)

14.2.3 Durch Plattenbewegung induzierte Kanalstr¨ omung In dem vorliegenden Abschnitt soll ein eindimensionales, instationäres Str¨ omungproblem eines inkompressiblen Fluids behandelt werden, das nicht mit der in Abschnitt 14.1 abgeleiteten allgemeinen Lösung“ angegangen wer” den kann, da diese L¨ osung nicht die das Str¨ omungsproblem kennzeichnenden Randbedingungen zu erf¨ ullen vermag. Diese Tatsache erfordert die Ableitung einer weiteren Partikularl¨ osung f¨ ur die das Problem kennzeichnende partielle Differentialgleichung, die zudem in der Lage ist, die f¨ ur das vorliegende Problem gegebenen Randbedingungen zu erf¨ ullen. Hierzu wird ein Lösungsweg beschritten, der u atze zu erhalten ist, wie sie in der Theorie ¨ ber Fourier-Ans¨ der W¨ armeleitung Anwendung finden. Das in diesem Abschnitt behandelte Str¨ omungsproblem soll somit als Beispiel dienen, die Anwendung dieser bekannten Methode der W¨ armeleitung in der Strömungsmechanik aufzuzeigen. x

2 D

P la tte 1 2

x 1

t

in d u z ie rte F lu id s trö m u n g

U

U

0

0

P la tte 2 Abbildung 14.3: Durch die Bewegung zweier Platten induzierte Fluidstr¨ omung in einem ebenen Kanal

Abb. 14.3 gibt schematisch das zu l¨ osende Strömungsproblem an. Dargestellt sind zwei Wandungen, die in ein Fluid eingebracht sind und die zwischen sich einen ebenen Kanal bilden. F¨ ur t < 0 befinden sich beide Wandungen in Ruhe, w¨ ahrend beide f¨ ur t ≥ 0 die Geschwindigkeit U0 entlang der x1 -Achse


431

einnehmen. Aufgrund dieser Bewegung kommt es zu induzierten Fluidbewe¨ gungen, die an beiden Plattenseiten beginnen und deren Ubertragung auf das Fluid infolge der Fluidviskosit¨ at zustande kommt. F¨ ur das in diesem Abschnitt behandelte Problem soll die zwischen den Platten induzierte Fluidstr¨ omung und deren zeitlicher Verlauf behandelt werden. F¨ ur die L¨ osung des Str¨ omungsproblems der platteninduzierten Kanalstr¨ omung empfiehlt sich die Einf¨ uhrung folgender dimensionsloser Größen: U0 − U1 dimensionslose Geschwindigkeit, U x2 0 = dimensionslose Ortskoordinate, D νt = 2 dimensionslose Zeit. D

U∗ = η τ

Die das Str¨ omungsproblem beschreibende, partielle Differentialgleichung ∂ 2 U1 ∂U1 =ν ∂t ∂x2 2

(14.61)

l¨ asst sich somit schreiben: −

U0 ∂ 2 U ∗ νU0 ∂U ∗ = −ν 2 2 D ∂τ D ∂η 2

oder

∂ 2U ∗ ∂U ∗ = . ∂τ ∂η 2

(14.62)

Als Anfangsbedingung ergibt sich: τ = 0,

U ∗ (η) = 1

(14.63)

und als Randbedingungen: U ∗ (η = ±1) = 0

η = ±1,

(14.64)

und gleichfalls die Forderung nach Symmetrie: η = 0,

∂U ∗ =0 ∂η

(14.65)

F¨ ur die L¨ osung der partiellen Differentialgleichung (14.61) gibt es einen klassischen L¨ osungsweg, der auf der Methode der Separation der Variablen aufbaut, d.h. es wird folgender L¨ osungsansatz gewählt:

Daraus folgt:

und

U ∗ (η, τ ) = f (η)g(τ ).

(14.66)

∂U ∗ dg =f ∂τ dτ

(14.67)

432


∂2U ∗ d2 f = g ∂η 2 dη 2

(14.68)

Die Ableitungen (14.67) und (14.68) in die partielle Differentialgleichung eingesetzt ergibt: 1 dg 1 d2 f = (14.69) g dτ f dη 2 Da die linke Seite dieser gew¨ ohnlichen Differentialgleichung nur von der Variablen τ und die rechte Seite nur von der Variablen η abhängt, ist die Gleichung nur dadurch zu erf¨ ullen, dass beide Seiten gleich einer Konstanten uhrt wird. Folgende gewöhnliche Diffegesetzt werden, die mit (−λ2 ) eingef¨ rentialgleichungen resultieren somit aus (14.69):

und

dg = −λ2 g dτ

(14.70)

d2 f = −λ2 f dη 2

(14.71)

Die allgemeinen L¨ osungen dieser Differentialgleichungen lauten: g = A exp(−λ2 τ ),

(14.72)

f = B(cos λη) + C(sin λη),

(14.73)

wobei A, B, C Integrationskonstanten sind. Wendet man die in (14.65) geforderte Symmetrie der L¨ osung auf die obigen Teillösungen an, so erhält man C = 0, da die Sinusfunktion die geforderte Symmetrie nicht zu erf¨ ullen vermag. Unter Anwendung der zweiten Randbedingung (14.64) erhält man: B(cos λ) = 0

(14.74)

Um nun eine von Null verschiedene L¨ osung des Strömungsproblems zuzulassen, muss B = 0 sein, d.h. die eingef¨ uhrte Größe λ kann nur feste Werte annehmen, derart, dass die obige Beziehung (14.74) die Randbedingungen erf¨ ullt. Damit gilt: 1 λ= n+ π f¨ ur n = 0, ±1, ±2, ±3 . . . (14.75) 2 Damit ergibt sich als allgemeine, die Anfangs- und Randbedingungen erf¨ ullende L¨ osung des Problems: ) . / 2 * 1 1 π 2 τ cos n + Un∗ = An Bn exp − n + πη (14.76) 2 2 Da das obige Differentialgleichungssystem linear ist, erhält man die allgemeinste L¨ osung als die Summe der in (14.76) angegebenen Teillösungen:

14.2 Beschleunigte und verz¨ ogerte Str¨ omungen ∗

U =

+∞ n→−∞

)

. / 2 * 1 1 π 2 τ cos n + An Bn exp − n + πη 2 2

433

(14.77)

Unter Ber¨ ucksichtigung der Symmetrie aller n-Funktionen in der Summe (14.77), l¨ asst sich schreiben: . / 2 +∞ 1 1 ∗ 2 Dn exp − n + π τ cos n + πη (14.78) U = 2 2 n=0 , + In diesem Ausdruck ist Dn = An Bn + A−(n+1) B−(n+1) eine Integrationskonstante, die f¨ ur jeden Wert von n einen anderen Wert einnimmt. Diese Werte lassen sich aus der Anfangsbedingung (14.63) bestimmen: 1 Dn cos n + 1= πη 2 n=0 +∞

(14.79)

Multipliziert man die obige Gleichung (14.79) mit 1 cos m + πη dη 2 und integriert beide Seiten von η = −1 bis η = +1; d.h. man f¨ uhrt folgende Integration durch: "+1 1 cos m + πη dη = 2 ∞ −1

"+1 1 1 Dn cos m + πη · cos n + πη dη 2 2 n=0 −1

(14.80) so erh¨ alt man f¨ ur die auf der rechten Seite, f¨ ur alle n-Werte durchzuf¨ uhrende Integration, stets den Wert Null, wenn m = n ist. F¨ ur m = n ergibt die Integration auf beiden Seiten die nachfolgende Bestimmungsgleichung f¨ ur Dm . . . + /+1 + + , /+1 , , 1 sin m + 12 πη m + 12 πη + 14 sin m + 12 2πη 2 + , + , = Dm m + 12 π m + 12 π −1 −1 m n 2 (−1) 2 (−1) , = Dn = + , Dm = + m + 12 π n + 12 π (14.81) Mit dieser Bestimmungsgleichung f¨ ur Dn erh¨ alt man die Endbeziehung f¨ ur die sich einstellende, platteninduzierte Kanalströmung / . 2 +∞ n (−1) 1 1 ∗ 2 + , π τ cos n + exp − n + U =2 πη (14.82) 2 2 n + 12 π n=0

434


oder f¨ ur die dimensionsbehafteten Gr¨ oßen: / . 2 ∞ 1 (−1)n νt x2 1 2 + , exp − n + U1 = U0 − 2U0 π 2 cos n + π 2 D 2 D n + 12 π n=0 (14.83) Die obige unendliche Reihe hat die Eigenschaft, dass sie sehr schnell konvergiert, wenn die dimensionslose Zeit (νt/D2 ) groß ist. Dagegen ist die Konvergenz langsam, wenn (νt/D2 ) klein ist. Ber¨ ucksichtigt man, dass die Lösung (14.83) f¨ ur (νt/D2 ) → 0, durch die Anwendung der Laplace-Transformation in die im Abschnitt 4.3.2 angegebene L¨ osung der platteninduzierten Fl¨ ussigkeitsbewegung u uhrt werden kann, so empfiehlt sich f¨ ur kleine dimensi¨ bergef¨ onslose Zeiten die Anwendung der Gleichung (14.37) zur Berechnung der Geschwindigkeitsverteilung im Kanal. Diese Beziehung ist auf beide Kanalhälften anzuwenden und die unterschiedlichen Lagen der Koordinatensysteme in den Abb. 14.1 und 14.3 sind zu beachten. t =

n

t

0 .0 2

D = 1 .0 0 .2

0 .6

U * =

U

- U 0

U

1

0

0 .4

0 .4

0 .6 0 .2 0 .8 0 .1 0 .0

0 .0 4 0 .2

0 .0 1 0 .4

0 .6

0 .8

h = x 2 /D

1 .0

1 .0

Abbildung 14.4: Berechneter Verlauf der Str¨ omung als Funktion von Ort und Zeit

In Abb. 14.4 ist eine graphische Darstellung der durch die Endgleichung (14.83) beschriebenen Geschwindigkeitsverteilung gegeben. Diese Darstellung zeigt, dass f¨ ur kleine dimensionslose Zeiten (νt/D2 ) nur die wandnahen Fluidschichten zwischen den ebenen Platten der Abb. 14.3 bewegt werden und nur f¨ ur eine dimensionslose Zeit (νt/D2 )≥0,04 wird auch eine merkliche Bewegung des Fluids in der Kanalmitte erreicht. F¨ ur (νt/D2 ) ≥ 1 hat beinahe die gesamte Fl¨ ussigkeit im Zwischenraum der ebenen Platten die Plattenge-


435

schwindigkeit U0 erreicht. F¨ ur (νt/D2 ) → ∞ bewegt sich das gesamte Fluid zwischen den Platten mit der Geschwindigkeit U0 . Betrachtet man den f¨ ur (νt/D2 ) → ∞ erreichten Endzustand“ der plat” teninduzierten Kanalstr¨ omung, so erkennt man, dass dieser nicht mehr von der Zeit abh¨ angt, d.h. er m¨ usste auch durch Lösung der partiellen Differentialgleichung f¨ ur station¨ are, eindimensionale Strömungen zu errechnen sein. Die partielle Gleichung und ihre L¨ osung lauten: µ

∂ 2 U1 =0 ∂x2 2

;

U1 = C1 x2 + C2

(14.84)

Wendet man die Randbedingungen U1 = U0 f¨ ur x2 = ±D auf diese Lösung an, so erh¨ alt man: C1 = 0 und C2 = U0 (14.85) und damit U1 = U0 f¨ ur die durch die Bewegung der ebenen platteninduzierten Kanalstr¨ omung f¨ ur (νt/D2 ) → ∞. Diese L¨ osung zeigt an, dass sich f¨ ur diesen Grenzwert alle Fluidteilchen mit der konstanten Plattengeschwindigkeit bewegen; das Fluid wird von den Platten mitgerissen“. ” 14.2.4 Durch Rohrwandbewegung induzierte Rohrstr¨ omung Analog zu der in Kapitel 14.2.3 behandelten Strömung zwischen zwei Platten, die durch die Plattenwandungen induziert wurde, lässt sich auch die Rohrstr¨ omung behandeln, die durch die Bewegung der Rohrwand zustande kommt, wie in Abb. 14.5 skizziert. Als Grundgleichung ergibt sich hierf¨ ur die als Gleichung (14.28) abgeleitete partielle Differentialgleichung, wobei nur der erste Term auf der rechten Seite beachtet wird: 1 ∂ ∂Uz ∂Uz =ν r (14.86) ∂t r ∂r ∂r Dabei l¨ asst sich das gestellte Str¨ omungsproblem durch folgende Anfangs- und Randbedingungen definieren: Anfangsbedingung Uz (r, t = 0) = 0

f¨ ur 0 ≤ r ≤ R

(14.87)

Randbedingung

Uz (R, t) = U0 Bewegte Wand (14.88) ∂Uz (0, t) = 0 Symmetrie (14.89) ∂r Analog zu der Behandlung der durch die Plattenbewegung induzierten Kanalstr¨ omung f¨ uhrt man folgende dimensionslose Größen ein: U0 − Uz dimensionslose Geschwindigkeit U0 r dimensionslose Ortskoordinaten η= R νt τ= 2 dimensionslose Zeit R

U∗ =

(14.90) (14.91) (14.92)

436


r U

0

U z ( r ,¥ ) z t U 0

Abbildung 14.5: Durch Rohrwandungen induzierte Fluidstr¨ omungen in einem Rohr

Damit l¨ asst sich die Differentialgleichung (14.86) wie folgt in dimensionslosen Gr¨ oßen schreiben: 1 ∂Uz∗ U0 ∂ 2 Uz∗ U0 ∂Uz∗ = −ν 2 + (14.93) −ν 2 R ∂τ R η ∂η ∂η 2 1 ∂Uz∗ ∂ 2 Uz∗ ∂Uz∗ = + (14.94) ∂τ η ∂η ∂η 2 Als Anfangsbedingung ergibt sich in den dimensionslosen Größen: τ =0 Als Randbedingungen: und

η=1 η=0

U ∗ (η) = 1

(14.95)

U∗ = 0 ∂U ∗ =0 ∂η

(14.96) (14.97)

Wiederum l¨ asst sich der klassische L¨ osungsweg wählen, der von der Separierbarkeit der Variablen ausgeht: U ∗ (η, τ ) = f (η)g(τ )

(14.98)

Mit diesem Ansatz erh¨ alt man f¨ ur die Differentialgleichung (14.94) f

dg g df d2 f = +g 2 dτ η dη dη

(14.99)

Damit ergibt sich durch Separation, da g nur von τ und f nur von η abhängt: 1 dg = −λ2 g dτ 1 1 df 1 d2 f + = −λ2 η f dη f dη 2

(14.100) (14.101)


437

Die L¨ osung der Differentialgleichung (14.100) ergibt: g = C1 exp(−λ2 τ )

(14.102)

Zur Bestimmung der L¨ osung der Differentialgleichung f¨ ur f (η) lässt sich Gleichung (14.101) wie folgt schreiben: 1 df d2 f + λ2 f = 0 + dη 2 η dη

(14.103)

Es resultiert eine Besselsche Differentialgleichung: η2

d2 f df + λ2 η 2 f = 0 +η 2 dη dη

und mit Einf¨ uhrung von α:

α = λη

(14.104) (14.105)

erh¨ alt man folgende Differentialgleichung: α2

d2 f df + α2 λ2 f = 0 +α 2 dα dα

(14.106)

Damit ergibt sich als L¨ osung: f (α) = C2 J0 (α) + C3 Y0 (α)

(14.107)

Diese L¨ osung resultiert aus der Besselschen Differentialgleichung x2 y (x) + xy (x) + (x2 − p2 )y(x) = 0

(14.108)

die in vielen Teilgebieten der Physik eine wesentliche Rolle spielt und als L¨ osung besitzt: Jp (x) =

x 2n+p (−1)n Γ (n + 1) Γ (n + p + 1) 2 n=0 ∞

(14.109)

wobei die Γ -Funktion wie folgt definiert ist "∞ Γ (n) = exp (−x) xn−1 dx f¨ ur n > 0

(14.110)

0

und auch f¨ ur nicht-ganzzahlige Argumente bestimmt werden kann. Die Funktion Jp (x) wird als Besselfunktion 1. Art und der Ordnung p bezeichnet. Die zweite zur vollst¨ andingen L¨ osung der Besselschen Differentialgleichung nullter Ordnung (14.106) erforderliche Funktion ist die Bessel Funktion 2. Art, aber auch nullter Ordnung, Y0 (α). Diese Funktion wird oftmals auch als Neumann“- oder Weber“-Funktion bezeichnet. Somit setzt sich ” ”

438


J n ( a ) 1 ,0

J 0 ( a )

0 ,5

J 1( a )

a

0 ,0 - 0 ,5 - 1 ,0 0

2

4

6

8

1 0

1 2

Abbildung 14.6: Besselfunktionen der ersten Art

Y n ( a ) 0 ,5

Y 1( a )

0 ,0 Y 0 ( a )

a

- 0 ,5 - 1 ,0 - 1 ,5 0

2

4

6

8

1 0

1 2

Abbildung 14.7: Besselfunktionen der zweiten Art

der L¨ osungsansatz (14.107) aus J0 (α) und Y0 (α), den Besselfunktionen der ersten und zweiten Art und nullter Ordnung zusammen. Mit den Gleichungen (14.102) und (14.107) ergibt sich folgende L¨ osung, wenn man alle möglichen uhrt. L¨ osungsanteile der Besselfunktionen in (14.107) zulässt, d.h. λn einf¨


U ∗ (η, τ ) =

∞ exp(−λ2n τ ) (An J0 (λn η) + Bn Y0 (λn η))

439

(14.111)

n=1

Betrachtet man den Verlauf der Besselfunktionen J0 (α) und Y0 (α) und ber¨ ucksichtigt man dass f¨ ur η = 0 auch λn η = 0 sein muss und damit Y0 (η) ⇒ −∞ wird, so erkennt man, dass alle Werte Bn = 0 sein m¨ ussen, um U ∗ auf der Achse der induzierten Fluidströmung endlich zu halten. Damit verbleibt f¨ ur die L¨ osung: U ∗ (η, τ ) =

∞

exp(−λ2n τ )An J0 (λn η)

(14.112)

n=1

Die genauen Werte f¨ ur J0 (α), J1 (α) sowie Y0 (α) und Y1 (α) können den nachfolgenden Tabellen entnommen werden. Tab 14.1: Diskrete Werte der Besselfunktionen erster Art

440

14 Zeitabh¨ angige Str¨ omungen Tab 14.2: Diskrete Werte der Besselfunktionen zweiter Art

Um die Randbedingungen einf¨ ugen zu k¨ onnen, gilt es ferner die Ableitung ur die Ableitung gilt: ( dU ∗ / dη) zu bilden. Dazu gilt es zu wissen, dass f¨

Somit gilt:

dJ0 (α) dα = −J1 (α) dx dx

(14.113)

∞ + , dU ∗ =− An exp −λ2n τ λn J1 (λn η) dη n=1

(14.114)

Es k¨ onnen nun die Randbedingungen implementiert werden: η=1

;

U∗ = 0

;

J0 (λn ) = 0

(14.115)

und damit lassen sich die folgenden λn -Werte bestimmen λn = 2.405, 5.520, 8.654, 11.792, 14.931, 18.071, 21.212, 24.353, 27.494 (14.116)


441

F¨ ur die Anfangsbedingung ergibt sich: τ =0

;

U ∗ (η, 0) = 1 =

∞

An J0 (λn η)

(14.117)

n=1

d. h. es existiert kein λn=0 und man erh¨ alt somit: U ∗ (η, 0) = 1 = A1 J0 (λ1 η) + A2 J0 (λ2 η) + · · · An J0 (λn η) + · · ·

(14.118)

Zur Bestimmung der konstanten An ben¨ utzt man eine besondere Eigenschaft der Besselfunktionen "x xJn (ax)Jn (bx) dx = 0

wenn a = b

(14.119)

"x xJn2 (ax) dx = 0 d. h. wenn a = b

(14.120)

0

aber

0

Damit lassen sich die Koeffizienten A1 , A2 · · · An . · · · in Gleichung 14.118 durch eine sukzessive Multiplikation mit ηJ0 (λn η) und die nachfolgend aufgef¨ uhrte Integration bestimmen. "1

"1 An ηJ02 (λn η) dη

ηJ0 (λn η) dη = 0

(14.121)

0

Damit ergibt sich f¨ ur jeden der Koeffizienten An : &1 An =

0 &1

ηJ0 (λn η) dη (14.122) ηJ02

(λn η) dη

0

Die Integration teilweise ausgef¨ uhrt ergibt: 2 An = 2 [J0 (λn ) + J12 (λn )]

"1 ηJ0 (λn η) dη

(14.123)

0

Durch weitere Integration erh¨ alt man: An =

J1 (λn ) 2 λn [J02 (λn ) + J12 (λn )]

Damit ergibt sich f¨ ur die Geschwindigkeitsverteilung nach (14.112)

(14.124)

442


U ∗ (η, τ ) =

∞ + , 2 J1 (λn ) exp −λ2n τ J0 (λn η) 2 2 λ [J0 (λn ) + J1 (λn )] n=1 n

(14.125)

F¨ ur den Gradient des Geschwindigkeitsprofiles erhält man nach der Gleichung (14.114) ∞ + 2 , ∂U ∗ J1 (λn ) (η, τ ) = − 2 2 2 (λ )] exp −λn τ J1 (λn η) ∂η [J (λ ) + J n n 0 1 n=1

(14.126)

dJ0 (λn η) = −J1 (λn η) λn , so lässt sich, undη ter Anwendung obiger Ableitungsergebnisse, die Schubspannungsverteilung ermitteln: U0 dU ∗ dUz µU0 dU ∗ = −µ − (14.127a) τ21 = −µ = dr R dη R dη

Ber¨ ucksichtigt man, dass gilt

und damit τ21 = −

∞ + , 2J1 (λn ) µU0 exp −λ2n τ J1 (λn η) R n=1[J02 (λn ) + J12 (λn )]

(14.127b)

F¨ ur den Wert an der Rohrwand, d.h. bei η = 1, erhält man: τ21 (R, t) = −µ

∞ U0 νt 2 exp (−λn ) 2 2 R n=11 + [J0 (λn ) /J1 (λn )] R

(14.128)

d. h. einen endlichen Wert, selbst f¨ ur die Zeit t = 0.

14.3 Oszillierende Str¨ omungen 14.3.1 Zweites Stokessches Problem Zur weiteren Vertiefung des physikalischen Verständnisses der durch Impulsdiffusion induzierten Fluidbewegungen soll in diesem Unterkapitel die Str¨ omung behandelt werden, die sich infolge einer oszillierenden Platte einstellt. Dabei liegt ein durch die Plattenbewegung induziertes Strömungsproblem derart vor, dass die durch die cosinusf¨ ormige Plattenbewegung erzeugte Fluidbewegung dem u ¨ ber der Platte liegendem Fluid per Diffusion mitgeteilt wird. Die Bewegung des Fluids u ¨ ber der Platte wird durch die folgende Differentialgleichung beschrieben, da alle durch die Plattenbewegung und Randbedingungen vorgegebenen Voraussetzungen erf¨ ullt sind, um diese instationäre, eindimensionale Diffusionsgleichung anzuwenden: ∂ 2 U1 ∂U1 =ν ∂t ∂x2 2

(14.129)

14.3 Oszillierende Str¨ omungen

443

Die Anfangs- und Randbedingungen des Problems lassen sich wie folgt angeben: f¨ ur alle Zeiten t ≤ 0 : x2 ≥ 0

U1 (x2 , t) = 0

f¨ ur alle Zeiten t > 0 : x2 = 0 U1 (0, t) = U0 cos(ωt) x2 → ∞ U1 (∞, t) = 0

(14.130) (14.131) (14.132)

Es wird wiederum eine L¨ osung gesucht, die sich durch folgenden Ansatz, d. h. durch Separation der Variablen ermitteln l¨ asst: U1 (x2 , t) = f (x2 )g(t)

(14.133)

In Gleichung (14.129) eingesetzt erh¨ alt man mittels (14.133): f

dg d2 f = νg dt dx2 2

(14.134)

Durch Separation der Variablen erh¨ alt man: 1 d2 f 1 dg = = ±iλ2 νg dt f dx2 2

(14.135)

In Gleichung √ (14.135) wurde die auf der rechten Seite auftretende Konstante ucksichtigt den Sachverhalt, dass laut Gleimit i = −1 angesetzt. Dies ber¨ chung (14.131) eine periodische Anregung der Fluidbewegung vorliegt. Damit werden Cosinus- und Sinusterme in der L¨ osung erwartet, die sich durch komplexe Terme in der Exponentialfunktion ausdr¨ ucken lassen. Damit gilt es folgende Differentialgleichungen zu l¨ osen: + , dg − ±iλ2 νg = 0 (14.136) dt , + d2 f − ±iλ2 f = 0 2 dx2

(14.137)

Die L¨ osung dieser beiden Differentialgleichungen ergibt f¨ ur U1 (x2 , t) √ U1 (x2 , t) = C ∗ exp ±iλ2 νt ± λ ±ix2 (14.138) Aufgrund der Kombination von positiven und negativen Vorzeichen ergeben sich 4 L¨ osungen: λ λ U1A = A exp − √ x2 + i λ2 νt − √ x2 (14.139) 2 2 λ λ (14.140) U1B = B exp − √ x2 − i λ2 νt − √ x2 2 2 λ λ U1C = C exp + √ x2 + i λ2 νt − √ x2 (14.141) 2 2 λ λ U1D = D exp + √ x2 − i λ2 νt − √ x2 (14.142) 2 2

444


Die beiden zuletzt genannten Teill¨ osungen stellen aufgrund der Forderung (14.132) keine physikalisch sinnvollen L¨ osungen dar, da sie f¨ ur x2 → ∞ f¨ ur die Geschwindigkeit U1 (∞, t) → ∞ ergeben. Damit ergibt sich als Lösungsansatz:

d. h.

U1 (x2 , t) = U1A (x2 , t) + U1B (x2 , t) U1 (x2 , t) = exp − √λ2 x2 A∗ exp i λ2 νt − √λ2 x2 +B ∗ exp −i λ2 νt − √λ2 x2

(14.143) (14.144)

Die Ausdr¨ ucke in den eckigen Klammern lassen sich als cos- und sinFunktionen schreiben: λ λ λ U1 (x2 , t) = exp − √ x2 A cos λ2 νt − √ x2 + B sin λ2 νt − √ x2 2 2 2 (14.145) Unter Anwendung der Randbedingung (14.131) erhält man (14.146) U1 (0, t) = U0 cos(ωt) = A cos(λ2 νt) + B sin(λ2 νt) und damit B = 0, A = U0 und λ = ω/ν so dass als Lösung erhalten wird: ω ω U1 (x2 , t) = U0 exp − x2 cos ωt − x2 (14.147) 2ν 2ν Diese Gleichung beschreibt die f¨ ur bestimmte ωt-Werte in Abb. 14.8 angegebenen Geschwindigkeitsverteilungen, die im Fluid u ¨ber der Platte vorliegen. , 2π in Abb. 14.8 angegeben. Werte sind f¨ ur ωt = 0, π2 , π, 3π 2 Die in Abb. 14.8 angegebenen Geschwindigkeitsverteilungen zeigen, dass die Fluidbewegung in wandfernen Fluidschichten der Plattenbewegung stets nacheilt. Die Amplitude der Fluidbewegung nimmt mit wachsendem Abstand von der Platte ab. An der Platte selbst folgt die Fluidbewegung der Plattenbewegung, d. h. die aufgrund der Randbedingungen vorliegenden Vorgaben sind erf¨ ullt. Entfernt von der Platte zeigt die Fluidbewegung gegen¨ uber der Plattenbewegung eine Phasenverschiebung. Die oben erw¨ ahnte Phasenverschiebung ist oftmals von großem Interesse. F¨ ur praktische Zwecke kann man angeben, dass eine merkliche Fluidbewegung nur f¨ ur: √ ν (14.148) x2 ≤ 2π 2 ω beobachtet werden kann. Je gr¨ oßer die kinematische Viskosität des Fluids ist, desto dicker ist diese Schicht. Zudem besagt die Näherungsbeziehung (14.148), dass hochfrequente Oszillationen weniger tief in das Fl¨ ussigkeitsinnere dringen k¨ onnen als niederfrequente. Dies sind auch wichtige Erkenntnisse, die sich bei Betrachtungen vieler induzierter Strömungsvorgänge vorteilhaft nutzen lassen.

14.4 Druckgradientengetriebene Str¨ omungen

445

6 5 4

h

3

3 p / 2 2 1

p / 2

0

p

0 , 2 p

-1

- 0 .5

U

0 1

0 .5

/ U

1

0

Abbildung 14.8: Geschwindigkeitsprofile, zu festen Zeiten, u ¨ber einer oszillierenden ebenen Platte

14.4 Druckgradientengetriebene Str¨ omungen 14.4.1 Einsetzende Kanalstr¨ omung Um den Einfluss der Viskosit¨ at auf die infolge Gravitationskräften einsetzende Kanalstr¨ omung zu untersuchen, werden die untenstehenden Betrachtungen durchgef¨ uhrt. Es wird angenommen, dass das gesamte Fluid in dem Kanal in Abb. 14.9 in Ruhe ist. Zur Zeit t = 0 wird das Fluid in Bewegung gesetzt und zwar durch die Gravitation g, so dass die instationäre Fluidbewegung durch die folgende Differentialgleichung beschrieben wird: ρ

∂ 2 U1 ∂U1 =µ + ρg ∂t ∂x2 2

(14.149)

Die obige Differentialgleichung l¨ asst sich umschreiben: ∂ 2 U1 ∂U1 =g+ν ∂t ∂x2 2

(14.150)

Diese Gleichung gilt es f¨ ur die unten aufgef¨ uhrten Anfangs- und Randbedingungen zu l¨ osen: Anfangsbedingung: f¨ ur t ≤ 0 :

U1 (x2 , t) = 0

(14.151)

f¨ ur t > 0 : ; U1 = 0 f¨ ur − D < x2 < +D

(14.152)

446


U 1 (x 2

,o )

g

x 2

U 1 (x 2 ,oo )

t x 1

Abbildung 14.9: Einsetzende Kanalstr¨ omung

Die Randbedingungen lauten: U1 = 0 f¨ ur x2 = ±D

(14.153)

Zur L¨ osung der partiellen Differentialgleichung (14.150) empfiehlt es sich, die folgenden dimensionslosen Variablen einzuf¨ uhren: U∗ =

U1 dimensionslose Geschwindigkeit gD2 /2ν

η=

x2 = x∗2 D

τ=

νt = t∗ dimensionslose Zeit D2

dimensionslose Ortskoordinate

(14.154) (14.155) (14.156)

Setzt man diese dimensionslosen Gr¨ oßen in Gleichung (14.150) ein, so erhält man die partielle Differentialgleichung, der die oben eingef¨ uhrte dimensionslose Geschwindigkeit U ∗ gen¨ ugen muss: ∂ 2U ∗ ∂U ∗ =2+ ∂τ ∂η 2

(14.157)

mit den Anfangs- und Randbedingungen: Anfangsbedingungen: τ ≤ 0 : Randbedingungen:

U ∗ = 0 f¨ ur − 1 < η < +1,

ur alle τ > 0, η = +1 : U ∗ = 0 f¨ η = −1 : U ∗ = 0 f¨ ur alle τ > 0.

(14.158)


447

Sucht man eine L¨ osung der partiellen Differentialgleichung (14.157) derart, ∗ dass man diese in die f¨ ur τ → ∞ auftretende stationäre Lösung U∞ und ∗ einen instation¨ aren Anteil Ut aufspaltet, so gilt allgemein: ∗ − Ut∗ U ∗ = U∞

(14.159)

∗ die folgende partielle DifferentiWegen der Stationarit¨ at erh¨ alt man f¨ ur U∞ algleichung: ∗ ∂ 2 U∞ , (14.160) 0=2+ ∂η 2 ∗ erf¨ ullen muss. welche die station¨ are L¨ osung U∞ Unter Ber¨ ucksichtigung der obigen Randbedingungen ergibt sich: ∗ = (1 − η 2 ). U∞

(14.161)

F¨ uhrt man U ∗ = (1 − η 2 ) − Ut∗ in die Differentialgleichung ein, so erhält man osende Differentialgleichung die f¨ ur Ut∗ zu l¨ ∂ 2 Ut∗ ∂Ut∗ = ∂τ ∂η 2

(14.162)

mit der ge¨ anderten Anfangsbedingung“ und der Randbedingung: ”

Durch den Ansatz erh¨ alt man:

∗ τ = 0 : Ut∗ = U∞

(14.163)

ur η = ±1 τ > 0 : Ut∗ = 0 f¨

(14.164)

Ut∗ = f (η)g(τ )

(14.165)

dg ∂Ut∗ =f ∂τ dτ

und

∂ 2 Ut∗ d2 f = g ∂η 2 dη 2

(14.166)

und durch Einsetzen in (14.162): 1 dg 1 d2 f = g dτ f dη 2

(14.167)

Da diese Gleichung links nur eine Funktion von τ und rechts nur von η sein kann, ist sie nur dadurch zu erf¨ ullen, dass die beiden Seiten gleich einer Konstanten gesetzt werden. 1 2 1 dg = −λ2 ; g = A exp −λ2 τ g dτ 1 d2 f = −λ2 ; f = B cos(λη) + C sin(λη) f dη 2

(14.168) (14.169)

448


- 1 ,5

-1

- 0 ,5

h

0 ,5 0

U *

1

1 ,5

0 ,1 0 ,2 0 ,3

t =

0 ,1

0 ,4

t =

0 ,2

0 ,5 0 ,6 0 ,7

t = t =

0 ,3 0 ,5

0 ,8 0 ,9 1

¥ t t =

1

Abbildung 14.10: Einsetzende Str¨ omung zwischen zwei ebenen Platten nach Gleichung (14.187)

A, B und C sind die bei der Integration eingef¨ uhrten Konstanten. Beachtet man das in Abb. 14.9 angegebene Koordinatensystem und die zur x2 -Achse symmetrischen Randbedingungen, so wird man eine in Bezug auf η symmetrische L¨ osung suchen, d. h. es ist C = 0 zu setzen. Die Randbedingung (14.163) angewandt auf (14.169), unter Ber¨ ucksichtigung von C = 0, ergibt: 0 = B cos(λ) (14.170) ullt, Diese Beziehung ist f¨ ur λn = (n+1/2)π mit n = 0, ±1, ±2, ±3, · · ·±∞ erf¨ so dass man als allgmeinsten Ausdruck f¨ ur die Lösung von U ∗ erhält: . / ) 2 * +∞ 1 1 ∗ 2 π τ cos n + An Bn exp − n + Ut = πη . (14.171) 2 2 n=−∞ Ber¨ ucksichtigt man die Symmetrie aller n Teilfunktionen, so lässt sich schreiben, wobei Dn = 2An Bn gesetzt wird: . / 2 +∞ 1 1 ∗ 2 Dn exp − n + π τ cos n + Ut = πη . (14.172) 2 2 n=0 Unter Ber¨ ucksichtigung der Anfangsbedingungen erhält man:


1 − η2 =

+∞ 1 Dn cos n + πη . 2 n=0

Multipliziert man beide Teile dieser Gleichung mit 1 πη dη, cos m + 2 so erh¨ alt man durch Integration von (−1) bis (+1): " 1 + , 1 2 1 − η cos m+ πη dη = Dm 2 −1

449

(14.173)

(14.174)

(14.175)

Beziehungsweise mit den folgenden Schritten der Integration: " 1 " 1 1 1 cos m+ η 2 cos m+ πη dη − πη dη = Dm 2 2 −1 −1 (14.176) , , ++ 2 sin m + 12 π 1 + , cos m+ πη dη = 2 m + 12 π −1

"

1

" " 1 m+ πη dη = u dv = uv − v du 2

(14.178)

, , ++ . . . dv =,cos, m + 12 πη dη u = η 2 ⇒ d(u) = 2 ∗ η dη,++ sin m + 12 πη + , ⇒v= m + 12 π

(14.179)

"

1

η 2 cos −1

"

1

η 2 cos

m+

−1

"

(14.177)

1 2

η cos −1

1 2

1 m+ 2

, , ++ sin m + 12 πη 1 2 + , , −+ dη = η 2 1 m + 12 π m + π −1 2 " 1 1 η sin m+ πη dη 2 −1 (14.180)

, + 2 sin m + 12 π 2 , , −+ dη = + 1 1 m + 2 π m+ 2 π " 1 1 η sin m + πη dη 2 −1

πη

πη

(14.181)

450


" 1 η sin m + πη dη = u dv 2 −1 1 u=η dv = sin m + πη dη 2 , , ++ cos m + 12 πη + , du = dη v=− m + 12 π "

"

1

(14.182)

+ , , + " cos m + 12 πη η cos m + 12 πη 1 1 , + , dη η sin m + + πη dη = − + 2 m+ + 12 π, m + 12 ,π −1 −1 + 2 sin m + 12 π sin m + 12 πη 1 = = 0 + 1+ , 2 1+ , 22 2 m + 12 π m + 12 π −1 (14.183) 1

Dm

+ + + , , , 2 sin m + 12 π 2 sin m + 12 π 4 sin m + 12 π , , − + + 1+ = + , 23 m + 12 π m + 12 π m + 12 π

1 sin m+ π = (−1)m 2

und

ergibt sich:

(14.184)

1 cos m+ π =0 2 n

4 (−1) Dm ⇒ Dn = + ,3 n + 12 π 3

(14.185)

oder als L¨ osung f¨ ur Ut∗ : Ut∗ = 4

+∞ n=0(n

n

(−1)

3

+ 1/2) π 3

2 exp − (n + 1/2) π 2 τ cos [(n + 1/2) πη] (14.186)

F¨ ur die Gesamtl¨ osung ergibt sich U ∗ = (1 − η 2 ) − 4

+∞ n=0(n

n

(−1)

+ 1/2)3 π 3

exp − (n + 1/2)2 π 2 τ cos [(n + 1/2) πη] (14.187)

oder in dimensionsbehafteten Gr¨ oßen: U1 =

gD2 2ν

+∞ x 2 (−1)n 2 2 2 νt exp − (n + 1/2) π −4 1− 3 3 D D2 n=0(n + 1/2) π x2 cos (n + 1/2) π D (14.188)


451

Vergleicht man die obigen Ableitungen mit denen, die in Abschnitt 14.2.3 durchgef¨ uhrt wurden, so ist leicht zu sehen, dass sich die Ableitungen entsprechen. Es ist nun ohne weiteres nachzuvollziehen, dass sich auch die obigen Ableitungen f¨ ur die einsetzende Kanalstr¨ omung auf den Strömungsvorgang u omung nicht durch die Scherkraft ¨ bertragen lassen, bei dem die Kanalstr¨ verursacht wird, sondern durch einen Druckgradienten. Ersetzt man die Massenkraft ρg in den Ableitungen durch den Druckgradienten − ( dΠ/ dx), so lassen sich alle Ableitungen auf die druckgetriebene Kanalströmung u ¨ bertragen. 14.4.2 Einsetzende Rohrstr¨ omungen Ein weiteres instation¨ ares Str¨ omungsproblem, dem auch eine gewisse praktische Bedeutung zukommt, stellt die einsetzende Rohrströmung dar. Diese soll in dem vorliegenden Abschnitt f¨ ur die Bedingungen behandelt werden, dass sich f¨ ur t < 0 ein viskoses Fluid in einem unendlich langen Rohr befindet. Zur Zeit t = 0 und f¨ ur alle Zeiten t ≥ 0 wird dem Fluid ein konstanter Druckgradient aufgepr¨ agt, d.h. es wird − (∂Π/∂z) entlang des gesamten Rohres erzeugt. Die dadurch hervorgerufene Str¨ omung wird durch die partielle Differentialgleichung: 1 ∂Π 1 ∂ ∂Uz ∂Uz =− +ν r (14.189) ∂t ρ ∂z r ∂r ∂r beschrieben, die f¨ ur eindimensonale, instationäre Strömungen, inkkompressibler, viskoser Medien mit konstanter Viskosität abgeleitet wurde. Die Anfangs- und Randbedingungen f¨ ur die einsetzende Rohrströmung lauten wie folgt: ur 0 ≤ r ≤ R Anfangsbedingungen: t = 0 : ; Uz (r, t) = 0 f¨

(14.190)

Randbedingungen: r = 0 : ; Uz = endlich f¨ ur alle t > 0 (14.191) r = R : ; Uz = 0 f¨ ur alle t > 0

(14.192)

Die L¨ osung der betrachteten Str¨ omungsprobleme erhält man durch Einf¨ uhren der folgenden dimensionslosen Variablen: Uz 2 dimensionslose Geschwindigkeit (14.193) Uz∗ = R ∂Π − ∂z 4µ η= τ=

r R

µt ρR2

dimensionslose Ortskoordinate (14.194) dimensionslose Zeit

(14.195)

452


so dass man die folgende Differentialgleichung zu lösen hat: 1 ∂ ∂Uz∗ ∂Uz∗ =4+ η ∂τ η ∂η ∂η

(14.196)

Die gleichfalls zu transformierenden Anfangs- und Randbedingungen lauten: Anfangsbedingungen: τ = 0 : ; U ∗ = 0 f¨ ur 0 ≤ η ≤ 1

(14.197)

Randbedingungen: η = 0 : ; U ∗ = endlich f¨ ur τ > 0 (14.198) ur τ > 0 η = 1 : ; U ∗ = 0 f¨

(14.199)

Zur L¨ osung der obigen Differentialgleichung bedient man sich des Sachverhaltens, dass die betrachtete Str¨ omung f¨ ur τ → ∞ der stationären Rohrströmung zustrebt. Diese wird im L¨ osungsansatz als gesonderte Teillösung eingef¨ uhrt ∗ geschrieben wird. wobei Uz∗ = U∞ Damit lautet der gew¨ ahlte L¨ osungsansatz: ∗ U ∗ (η, τ ) = U∞ (η) − Ut∗ (η, τ )

(14.200)

∗ Den station¨ aren Anteil“ der L¨ osung, d. h. U∞ (η), erhält man durch Lösung ” der folgenden Differentialgleichung. ∗ 1 d dU∞ 0=4+ η (14.201) η dη dη

die sich aus der obigen partiellen Differentialgleichung (14.196) dadurch ab∗ ur τ → ∞ gesetzt wird. Durch Integration erhält leiten l¨ asst, dass ∂U ∂τ = 0 f¨ man: ∗ (η) = −η 2 + C1 ln η + C2 (14.202) U∞ Unter Anwendung der Randbedingungen erh¨ alt man f¨ ur die Integrationskonstanten C1 = 0 und C2 = 1 und somit: ∗ U∞ (η) = 1 − η 2

(14.203)

die Hagen-Poiseuillesche Geschwindigkeitsverteilung der vollentwickelten Rohrstr¨ omung. ∗ Setzt man nun U∞ = 1 − η 2 in die obige Differentialgleichung (14.200) ein, so erh¨ alt man: U ∗ (η, τ ) = (1 − η 2 ) − Ut∗ (η, τ )

(14.204)

Durch Einsatz dieser Beziehung in die instationäre Differentialgleichung (14.196) ergibt sich die f¨ ur Ut∗ zu l¨ osende Differentialgleichung. , ∂Ut∗ 1 ∂ 1 ∂ ∂ + ∂Ut∗ 2 − =4+ 1−η − η η (14.205) ∂τ η ∂η ∂η η ∂η ∂η


oder nach Ausf¨ uhrung der Differentiationen: ∂Ut∗ 1 ∂ ∂Ut∗ = η ∂τ η ∂η ∂η

453

(14.206)

Diese Differentialgleichung gilt es nun f¨ ur die folgenden Anfangs- und Randbedingungen zu l¨ osen: ur 0 ≤ η ≤ 1 (14.207) Anfangsbedingungen: τ = 0 : ; Ut∗ (η, 0) = U∞ (η) f¨ Randbedingungen: η = 0 : ; Ut∗ = endlich f¨ ur alle τ > 0 η = 1 : ; Ut∗ = 0 f¨ ur alle τ > 0

(14.208) (14.209)

Wiederum findet f¨ ur die L¨ osung der Differentialgleichung f¨ ur Ut∗ ein Separationsansatz f¨ ur die Variablen η und τ Anwendung: Ut∗ = f (η)g(τ )

(14.210)

Dieser Ansatz f¨ uhrt mit der Differentialgleichung (14.201) zu folgender Beziehung: 11 ∂ 1 dg df = (14.211) η = −λ2 g dτ f η ∂η dη Damit gilt es die folgenden Differentialgleichungen f¨ ur g und f zu lösen: dg = −λ2 g dτ und

1 d η dη

df η + λ2 f = 0 dη

(14.212)

(14.213)

Dies sind in der instation¨ aren Str¨ omungsmechanik bekannte Differentialgleichungen, deren L¨ osungen bekannt sind und wie folgt angegeben werden k¨ onnen: (14.214) g = A exp(−λ2 τ ) f = BJ0 (λη) + CY0 (λη)

(14.215)

In diesen allgemeinen Teill¨ osungen der Differentialgleichungen (14.214) und (14.215) sind J0 (λη) und Y0 (λη) Besselfunktionen der ersten und zweiten Art sowie nullter Ordnung und A, B und C sind Integrationskonstanten, die es durch die Anfangs- und Randbedingungen f¨ ur Ut∗ (η, τ ) zu bestimmen gilt. Wendet man die erste Randbedingung (14.208) an, d. h. η = 0 ; Ut∗ endlich, so ergibt sich C = 0, da Y0 (0) = −∞. Damit ergibt sich f¨ ur Ut∗ : Ut∗ = A exp(−λ2 τ )BJ0 (λη)

(14.216)

454


Fordert man nun das Erf¨ ullen der zweiten Randbedingung (14.209), d. h. Ut∗ = 0 f¨ ur η = 1, so muss J0 (λ) = 0 sein und nur solche λ-Werte sind zulässig, die diese Bedingung erf¨ ullen. Die folgenden Werte lassen sich ermitteln: λ1 = 2, 405; λ2 = 5, 520; λ3 = 8, 654; etc.,

(14.217)

d. h. es gibt eine Vielzahl diskreter Str¨ omungen, die aufsummiert die allgemeine L¨ osung ergeben: Ut∗

∞ = An exp(−λ2n τ )J0 (λn η)

(14.218)

n=1

Diese allgemeine L¨ osung erf¨ ullt nun die das Str¨ omungsproblem beschreibende partielle Differentialgleichung und die kennzeichnenden Randbedingungen. Die Erf¨ ullung der Str¨ omungsbedingung kann nun dazu dienen, die noch nicht festgelegte Integrationskonstante An zu bestimmen. F¨ ur τ → 0 gilt: (1 − η 2 ) =

∞ An J0 (λn η)

(14.219)

n=1

Multipliziert man beide Seiten dieser Gleichung mit J0 (λm η)η dη

(14.220)

und integriert von 0 bis 1, d. h. f¨ uhrt man folgende Rechenoperationen in der nachfolgenden Gleichung aus. "1 "1 ∞ 2 J0 (λm η)(1 − η )η dη = An J0 (λn η)J0 (λm η)η dη n=1

0

(14.221)

0

dann erh¨ alt man aufgrund der Orthogonalit¨ at der Bessel-Funktionen nur dann Werte der rechten Seite die von Null verschieden sind, wenn m = n ist. Indem man bekannte Beziehungen f¨ ur Bessel-Funktionen anwendet, erhält man: 4J1 (λn ) 1 2 = An [J1 (λn )] (14.222) 3 λn 2 oder umgeschrieben: Am =

8 λ3m J1 (λm )

(14.223)

Damit ergibt sich: Ut∗ und als Gesamtl¨ osung

∞ 2 1 J0 (λn η) =8 exp −λ2n τ 3 J (λ ) λ n n=1 n 1

(14.224)

14.4 Druckgradientengetriebene Str¨ omungen U z U m ax

R o h rm itte

n t = R 2

1 .0

¥

0 .2 0 .1 5 0 .1

0 .4

0 .0 5

0 .2 0

R o h rw a n d

0 .5 0 .4 0 .3

0 .8 0 .6

455

1 .0

0 .8

0 .6

0 .4

0 .2 0

0 .2

0 .4

0 .6

0 .8

1 .0

r / R

Abbildung 14.11: Geschwindigkeitsverteilung im Rohr f¨ ur eine einsetzende laminare Rohrstr¨ omung ∞ 1 , + 2 J0 (λn η) exp −λ2n τ U ∗ = 1 − η2 − 8 3 J (λ ) λ n n=1 n 1

(14.225)

Die nach (14.225) berechneten Geschwindigkeitsverteilungen sind in Abb. 14.11 aufgezeigt. Dieser Darstellung ist die Entwicklung des Geschwindigkeitsprofils zu entnehmen. Wiederum, f¨ ur (νt/R2 ) = 1 hat die Strömung mit einer f¨ ur die Praxis ausreichenden Geschwindigkeit den stationären Zustand der vollentwickelten laminaren Rohrstr¨ omung erreicht. Die L¨ osung (14.225), die f¨ ur die einsetzende Rohrströmung erhalten wurde, l¨ asst sich nun nutzen, um die Frage nach der Einlauflänge der einsetzenden Rohrstr¨ omung zu beantworten. Der erste Teil der Lösung, d. h. derTerm omung dar und damit der zweite (1 − η 2 ) stellt die vollentwickelte Rohrstr¨ Term die davon zu einer Zeit τ an der Stelle η noch vorliegende Abweichung! Betr¨ agt diese Abweichung an der Stelle η = 0, d. h. auf der Achse des Rohres, 1% des Endwertes 1, so ist die Stelle erreicht, die man u ¨ blicherweise als Einlaufl¨ ange der sich entwickelnden Rohrstr¨ omung angibt. Somit gilt nach (14.225): ∞ 1 2 J0 (λn η) exp −λ2n τ (14.226) 0.01 ≈ 8 3 λ J (λn ) n=1 n 1 Dies ergibt τ ≈ 0.5920999 und damit "≈

Re 2

Dieser Wert wird von Experimenten gut best¨ atigt.

(14.227)

456


14.5 Literaturhinweise 14.1 Stokes GG (1851) On the Affect of the Internal Friction of Fluids on the Motion of Pendulums. Cambridge Philosophical Transactions IX, 8 14.2 Stokes GG (1901) Mathematical and Physical Papers. Cambridge Philosophical Transactions III, 1-141 14.3 Bird RB, Stewart WE and Lightfoot EN (1960) Transport Phenomena. John Wiley & Sons Inc., New York 14.4 Bosnjakovic R (1965) Technische Thermodynamik. Theodor Steinkopf Verlag, Dresden 14.5 Eckert ERG, Drake Jr. RM (1972) Analysis of Heat and Mass Transfer. McGraw-Hill Kogakusha Ltd, Tokyo 14.6 Sherman FS (1990) Viscous Flow. McGraw-Hill Publishing Company, Singapore

15 Str¨ omungen kleiner Reynolds-Zahlen

15.1 Allgemeine Betrachtungen Wie in den vorausgegangenen Kapiteln dieses Buches aufgezeigt, gelingt die Integration der in Differentialform angegebenen, allgemein g¨ ultigen Grundgleichungen der Str¨ omungsmechanik nur dann mittels analytischer Methoden, wenn Vereinfachungen hinsichtlich der Dimensionalität der betrachteten Str¨ omungen gemacht und zudem Transportprobleme mit sehr einfachen Randbedingungen behandelt werden. Diese Randbedingungen entsprechen somit einfachen Str¨ omungsproblemen, die oftmals als so einfach einzustufen sind, dass die aus den L¨ osungen resultierenden Erkenntnisse nur von geringem praktischem Interesse sind. Umgekehrt bedeutet dies, omungsprobleme nicht durch analytische Lösundass praktisch relevante Str¨ gen der allgemein g¨ ultigen str¨ omungsmechanischen Grundgleichungen erhalten werden k¨ onnen. Die den L¨ osungen aufzuprägenden Randbedingungen sind f¨ ur praktisch interessante Str¨ omungen meistens derart komplex, dass sie in analytische L¨ osungen nur bedingt implementierbar sind. Somit bleibt dem an analytischen L¨ osungen praktischer Str¨ omungsprobleme interessierten Str¨ omungsmechaniker nur die M¨ oglichkeit, nach solchen Strömungsproblemen zu suchen, f¨ ur die sich die Grundgleichungen vereinfachen lassen. Oftmals bedeutet deren L¨ osung immer noch, die Betrachtungen auf Strömungen mit einfachen Geometrien zu beschr¨ anken, wie z.B. auf die Kugelumströmung bzw. die Umstr¨ omung von Zylindern. Die Betrachtungen gehen dabei von den allgemeinen Grundgleichungen aus, die mit der Anströmungsgeschwindigkeit U∞ , einer geometrischen Abmessung D, der Fluiddichte ρ, der Fluidviskosität µ etc. dimensionslos gemacht wurden, derart, dass gilt: ∂Uj∗ ∂ 2 Uj∗ D ∂U ∗ µ gD ∆Pc ∂P ∗ ∗ µ∗ + U + + 2 ρ∗ gj∗ , ρ∗ =− 2 i ∗ ∗ ∗ tc U∞ ∂t ∂xi ρU∞ ∂xj ρU∞ D U∞ ∂x∗i 2 (15.1) 2 ) (Euler-Zahl), oder mit St = D/(tc U∞ ) (Strouhal-Zahl), Eu = ∆P/(ρU∞ 2 Re = (U∞ D)/ν (Reynolds-Zahl) und Fr = U∞ /(gD) (Froude-Zahl) umgeschrieben: ∂Uj∗ ∂Uj∗ 1 ∗ ∂ 2 Uj∗ 1 ∂P ∗ ∗ ∗ ρ St µ + U + + ρ∗ gj∗ . (15.2) = −Eu i ∗ ∗ ∂t∗ ∂xi ∂xj Re Fr ∂x∗i 2

458


F¨ ur station¨ are Str¨ omungen, die nicht von Gravitationskräften beeintr¨ achtigt werden und bei denen die Viskositätskräfte gegen¨ uber den Beschleunigungskr¨ aften dominieren, d.h. f¨ ur Re 1, lässt sich die folgende N¨ aherungsform der Impulsgleichung zur Anwendung bringen: Eu

1 ∂ 2 Uj∗ ∂2P ∗ µ + =0 ∂x∗j 2 Re ∂x∗i 2

;

0=−

∂P ∂ 2 Uj +µ ∂xj ∂xi 2

(j = 1, 2, 3) (15.3)

Diese Vereinfachung der Impulsgleichung kann f¨ ur Strömungen mit den unten aufgef¨ uhrten Eigenschaften erreicht werden, d. h. es sind Strömungen: – – –

mit kleinen geometrischen Abmessungen der umströmten Körper bzw. der durchstr¨ omten Kan¨ ale, mit sehr kleinen Str¨ omungsgeschwindigkeiten (schleichende Strömungen), in Fluiden mit großen Koeffizienten der kinematischen Zähigkeit.

Liegen die oben aufgef¨ uhrten Voraussetzungen gemeinsam vor, so kommt man zu den Voraussetzungen f¨ ur das Vorliegen kleinster Re-Zahlen, d.h. zu Str¨ omungen, in denen die Str¨ omungsvorg¨ ange durch viskose Längen-, Zeitund Geschwindigkeitsmaße bestimmt bzw. gekennzeichnet sind. Dies wird am Ende des vorliegenden Kapitels erl¨ autert. Die in (15.3) aufgef¨ uhrten, f¨ ur Re → 0 vereinfachten Differentialgleichungen, die aus den Navier-Stokesschen Gleichungen abgeleitet wurden, ergänzt um die Kontinuit¨ atsgleichung f¨ ur ρ = const ergeben: ∂Ui = 0 und ∂xi

0=−

∂P ∂ 2 Uj +µ ∂xj ∂xi 2

(15.4)

und werden als die Stokesschen Gleichungen gezeichnet. Sie sind f¨ ur zweidimensionale, vollentwickelte Str¨ omungen identisch mit dem in Kapitel 13 behandelten Gleichungen, wenn gj = 0 gesetzt wird. Insofern sind einige der in diesem Kapitel behandelten Str¨ omungen artverwandt mit denen in Kapitel 13. Auf diesen Sachverhalt wird an geeigneter Stelle hingewiesen. Durch die angestrebte Behandlung vereinfachter Formen der Grundgleichungen lassen sich in die analytische Behandlung von Strömungen, mehrdimensionale Str¨ omungsprobleme einbeziehen. Dies soll in den Kapiteln 15.2 bis 15.8 an Beispielen gezeigt werden. Die Beispiele wurden derart ausgewählt, dass sie zum einen die durch die Vereinfachungen erreichte Mehrdimensionalit¨ at der m¨ oglichen Berechnungen demonstrieren und zum anderen Anwendungen der Grundgleichungen auf praktische Strömungsprobleme kleiner Reynoldszahlen verdeutlichen. Betrachtungen zur Strömungsmechanik von Gleitlagern werden angestellt. Zus¨ atzlich werden die rotierende Zylinderstr¨ omung und die rotierende Kugelstr¨ omung in viskosen Medien behandelt. F¨ ur beide Geometrien werden zudem auch die translatorischen Bewegungen betrachtet, um so Detail¨ uberlegungen zu den viskosen Strömungen kleiner

15.2 Schleichende Str¨ omung zwischen zwei Platten

459

Re-Zahlen um Zylinder und Kugeln durchzuf¨ uhren, bis hin zu Kräfteberechnungen. Letztere erfordern Angaben zu den an den Körperoberflächen vorliegenden Druckverteilungen und zudem die Berechnungen der lokalen Impulsverluste der Str¨ omungen an die Wandungen. Die gewählten Beispiele sind geeignet eine Einf¨ uhrung in die Behandlung von Strömungen bei kleinen Reynoldszahlen zu geben. Dar¨ uber hinausgehende Lösungen anderer Beispiele von Str¨ omungen kleiner Re-Zahlen sind leicht möglich und oftmals in B¨ uchern zur Str¨ omungsmechanik umfassend beschrieben.

15.2 Schleichende Str¨ omung zwischen zwei Platten Nachfolgend wird die Str¨ omung einer z¨ ahen Fl¨ ussigkeit zwischen zwei parallelen Platten betrachtet, deren Abstand D als sehr klein angesehen werden kann. Ist auch die mittlere Str¨ omungsgeschwindigkeit: " ˜= 1 U Ui dFi , Fi = Querschnittsfläche (15.5) F F

klein, so liegen die Voraussetzungen f¨ ur die Anwendung der folgenden Differentialgleichungen vor. Wenn ρ = const ist, gilt nach (15.3): ∂Ui =0 ∂xi

(15.6)

∂ 2 Uj ∂P =µ , ∂xj ∂xi 2

(15.7)

d. h. die Stokesschen Differentialgleichungen können Anwendung finden, um die Str¨ omung zwischen parallelen Platten zu behandeln. Dieser Satz von Differentialgleichungen lautet ausgeschrieben f¨ ur j = 1, 2, 3: ∂U1 ∂U2 ∂U3 + + =0 ∂x1 ∂x2 ∂U3 j=1:

∂P =µ ∂x1

j=2:

∂P =µ ∂x2

j=3:

∂P =µ ∂x3

∂ 2 U1 ∂ 2 U1 ∂ 2 U1 + + 2 2 ∂x1 ∂x2 ∂x3 2 ∂ 2 U2 ∂ 2 U2 ∂ 2 U2 + + 2 2 ∂x1 ∂x2 ∂x3 2 ∂ 2 U3 ∂ 2 U3 ∂ 2 U3 + + ∂x1 2 ∂x2 2 ∂x3 2

(15.8) (15.9) (15.10) (15.11)

Die obigen Gleichungen gelten innerhalb der Grenzen −∞ < x1 , x2 < +∞ und 0 ≤ x3 ≤ D. Ferner soll die Str¨ omung in den x1 − und x2 −Richtungen

460


x x

D 3

2

x

.

1

Abbildung 15.1: Skizze der Platten und des Koordinatensystems f¨ ur Plattenstr¨ omung

voll entwickelt sein, d.h. ∂Uj /∂x1 = 0 und ∂Uj /∂x2 = 0, so dass aus der Kontinuit¨ atsgleichung folgt ∂U3 =0 ∂x3

;

U3 = const.

(15.12)

Wegen U3 = 0 f¨ ur x3 = 0 und U3 = 0 f¨ ur x3 = D ist, gilt im gesamten Str¨ omungsgebiet. Wegen des Vorliegens vollentwickelter Str¨ omungsbedingungen in die x1 − und x2 −Richtungen gelten folgende Differentialgleichungen: ∂P ∂ 2 U1 =µ ; ∂x1 ∂x3 2

∂P ∂ 2 U2 =µ ; ∂x2 ∂x3 2

∂P = 0. ∂x3

(15.13)

Aus diesen Gleichungen folgt: U1 =

1 µ

U2 =

1 µ

und f¨ ur U2 :

∂P ∂x1 ∂P ∂x2

x23 + C1 x3 + C2 2

(15.14)

x23 + C3 x3 + C4 2

(15.15)

Die Integrationskonstanten C1 und C2 lassen sich aus den Randbedingungen ermitteln D ∂P ur x3 = 0 und x3 = D ; C2 = 0 und C1 = − U1 = 0 f¨ 2µ ∂x1 ∂P 1 U = − (D − x ) (15.16) x Somit gilt: 1 3 3 2µ ∂x1 und genauso l¨ asst sich ermitteln: 1 U2 = − 2µ

∂P ∂x2

x3 (D − x3 )

(15.17)

15.3 Ebene Gleit- und Schmierfilme

461

Die Gleichungen f¨ ur U1 und U2 zeigen, dass sich die Geschwindigkeiten nur infolge der in x1 - und x2 -Richtung aufgepr¨ agten Druckgradienten unterscheiden. Anhand der obigen L¨ osungen sollen nun noch einige interessante Betrachtungen angestellt werden, die sich auf den mittleren Geschwindigkeiten abst¨ utzen, die nach Gleichung (15.5) wie folgt ermittelt werden können: 2 ∂P ∂P D2 ˜1 (x1 , x2 ) = − D , U˜2 (x1 , x2 ) = − (15.18) U 12µ ∂x1 12µ ∂x2 F¨ uhrt man in die Betrachtungen ein das mittlere Strömungsfeld treibendes Potential φ(x1 , x2 ) ein, derart dass gilt: −→ φ(x1 , x2 ) = −(D2 /12µ)P (x1 , x2 ), so lassen sich folgende Beziehungen angeben: ˜1 = ∂φ U ∂x1

˜2 = ∂φ und U ∂x2

(15.19)

Diese Beziehungen zwischen den Komponenten des mittleren Strömungsfeldes und dem Potential bringen zum Ausdruck, dass die flächengemittelte Fl¨ ussigkeitsstr¨ omung, die im wesentlichen als eine Strömung mit Blockprofil betrachtet werden kann, analog verl¨ auft, wie die wirbelfreie Strömung einer idealen Fl¨ ussigkeit (Potentialstr¨ omung).

15.3 Ebene Gleit- und Schmierfilme Schon die t¨ agliche Erfahrung zeigt, dass ein zwischen zwei Platten liegender Fluidfilm positive Eigenschaften bez¨ uglich des Gleitens der Platten besitzt, d.h. es liegt die Erkenntnis vor, dass die f¨ ur den Gleitprozess erforderlichen l

h (x 1 )

F lü s s ig k e its film

u n te re P la tte Abbildung 15.2: Betrachtungen zur Filmstr¨ omung zwischen Platten (Grundlagen der Tripologie), UP = Geschwindigkeit der bewegten unteren Platte, α = Neigungswinkel der Platten

462


Kr¨ afte auf zwei gleitende Feststofffl¨ achen durch Gleit- bzw. Schmierfilme reduziert werden k¨ onnen. Desweiteren stellt man fest, dass ein zwischen zwei Platten eingebrachter Fl¨ ussigkeitsfilm in der Lage ist, beachtliche Kräfte aufzunehmen. All diese Beobachtungen machen verständlich, weshalb Fl¨ ussigkeitsfilme in sogenannten Gleitlagern in technischen Anlagen genutzt werden, um tragende, gleitende und auch rotierende Maschinenelemente bereitzustellen. Um deren prinzipielle Funktion und auch ihre Eigenschaften zu verstehen, soll die Str¨ omung in einem sehr d¨ unnen Film untersucht werden, der sich zwischen zwei gleitenden Platten einstellt. Ein solcher Film ist in Abb. 15.2 skizziert, der sich unter einer Platte mit der L¨ ange l einstellt, die am Anfang uhrt. Durch h2 = h1 entund Ende der Platte zu den Filmdicken h1 und h2 f¨ steht der Neigungswinkel α, mit dem die obere Platte gegen¨ uber der unteren geneigt ist. Die Filmdicke h(x1 ) ist damit durch die Geometrieangaben in Abb. 15.2 bestimmt. Zudem bewegt sich die untere Platte mit der Geschwinuber der oberen. digkeit UP gegen¨ F¨ ur die Str¨ omung zwischen den geneigten Platten, induziert durch UP in Abb. 15.2, gelten die Gleichungen (15.9) bis (15.12) in folgender Form, wegen U3 = 0: ∂U1 ∂U2 0= + (15.20) ∂x1 ∂x2 2 ∂ 2 U1 ∂ U1 ∂P =µ + (15.21) ∂x1 ∂x1 2 ∂x2 2 2 ∂ U2 ∂ 2 U2 ∂P =µ + (15.22) ∂x2 ∂x1 2 ∂x2 2 Absch¨ atzungen der Gr¨ oßenordnungen der Terme in Gleichung (15.20) ergeben:

∂U2 U2

∂U1 UP

∂U1 UP

≈

=

= und nach (15.20)

=

∂x1

∂x2

h ∂x1

l l (15.23) h U2 ≈ UP l ¨ unner Schmierfilm). Ahnliche Betrachtungen Wegen (h/l) 1 ist U2 UP (d¨ f¨ ur die Terme in den Gleichungen (15.21) und (15.22) ergeben: ∂ 2 U1 UP = 1.-Term ≈ 2 2 ∂x1 l UP h ∂ 2 U2 = 3.-Term ≈ 3 ∂x1 2 l

∂ 2 U1 UP = 2.-Term ≈ 2 . 2 ∂x2 h

;

;

∂ 2 U2 UP . = 4.-Term ≈ ∂x2 2 lh

(15.24)

(15.25)

Ein Vergleich der Terme 1 bis 4 ergibt, dass der Term 2 dominiert und dass damit folgende vereinfachte Formen der Gleichungen (15.21) und (15.22) die in Abb. 15.2 angedeutete Filmstr¨ omung zwischen zwei Platten beschreiben:


∂P ∂ 2 U1 =µ ∂x1 ∂x2 2

und

∂P = 0, ∂x2

463

(15.26)

wobei folgende Randbedingungen gelten: x2 = 0

:

U1 (x1 , 0) = UP

und x2 = h(x1 )

:

U1 (x1 , h) = 0. (15.27)

∂P/∂x2 = 0 integriert ergibt P = Π(x1 ), so dass f¨ ur das Geschwindigkeitsfeld gilt: dΠ dΠ 1 ∂ 2 U1 ; U1 (x1 , x2 ) = =µ x22 + C1 x2 + C2 (15.28) dx1 ∂x2 2 2µ dx1 Mit den Randbedingungen (15.27) errechnen sich die beiden Integrationskonstanten in (15.28) wie folgt: 1 dΠ UP − (15.29) h(x1 ) und C2 = UP . C1 = − h(x1 ) 2µ dx1 Damit ergibt sich: −1 U1 (x1 , x2 ) = 2µ

dΠ dx1

x2 [h (x1 ) − x2 ] + UP

h (x1 ) − x2 h (x1 )

Durch Integration errechnet sich der konstante Volumenstrom: "h dΠ −1 1 ˙ V = U1 dx2 = h3 (x1 ) + UP h(x1 ). 12µ dx1 2

.

(15.30)

(15.31)

0

Damit errechnet sich der durch V˙. aufgepr¨ agte / Druckgradient wie folgt ˙ dΠ UP 2V = 6µ − 3 = f (x1 ). (15.32) dx1 h2 h Diese Beziehung zeigt, dass die Plattenbewegung und der Durchfluss V˙ zu angigen Druckgradienten f¨ uhren. Um den Druck P (x1 ) zu einem von x1 abh¨ berechnen, f¨ uhren wir folgende Integration durch, wobei P (x1 = 0) = P1 = P0 gesetzt wurde: P"(x1 )

"x1 "x1 ˙ V dΠ UP dx1 − 12µ dx1 . dx1 = 6µ 2 3 dx1 h (x1 ) h (x1 )

P0

0

0

Die geometrischen Verkn¨ upfungen: h2 − h1 h(x1 ) = h1 − x1 = h1 − tan αx1 l ergibt dh = − tan αdx1 ≈ −αdx1 , so dass gilt:

(15.33)

(15.34)

464


1 6µ 1 1 1 ˙ − P (x1 ) − P0 = − 2 −V . UP α h h1 h2 h1

(15.35)

Da die Enden des Gleitlagers in das selbe Fl¨ ussigkeitsgefäß m¨ unden, gilt auch P (x1 = l) = P0 , so dass aus (15.35) folgt: h1 h2 V˙ = UP . (15.36) h1 + h2 Diese Beziehung in Gleichung (15.32) eingesetzt ergibt f¨ ur den Druckgradienten in der Fl¨ ussigkeit dP 6µUP 2h1 h2 . = (h − h0 ) mit h0 = dx1 h3 (h1 + h2 ) Hieraus folgt: dP > 0 an der Stelle h = h1 ; dx1

(15.37)

dP < 0 an der Stelle h = h2 ; dx1

dP = 0 an der Stelle h = h0 ; dx1 d.h. der Druckverlauf zeigt ein Maximum. F¨ ur den Druckverlauf selbst gilt: 6µUP (h1 − h)(h − h2 ) P − P0 = (15.38) α h2 (h1 + h2 ) Mit den obigen Beziehungen (15.36), (15.37) und (15.38) lassen sich der Volumenstrom und der Druckverlauf in dem Film berechnen, falls die Relativbewegung der bewegten Ebenen gegeben ist und auch die gesamte geometrische Anordnung der Ebenen als bekannt angesehen werden kann. Die Anwendung der Gleichung (15.38) ergibt P > P0 , d.h. der in Abb. 15.2 skizzierte Film erzeugt durch die angedeutete Relativbewegung der Ebenen ¨ einen Uberdruck. Der Film ist damit in der Lage Kräfte aufzunehmen, die auf die obere Platte wirken. Es stellt sich ein Druckmaximum ein, an dem sich der Wert des Druckes wie folgt rechnen l¨ asst: 3 h1 − h2 . (15.39) Pmax − P0 = µUP l 2 h1 h2 (h1 + h2 ) Die resultierende Druckkraft auf die Plattenflächen lässt sich wie folgt berechnen: "l 6µUP (h1 − h2 ) h1 KP = (P − P0 ) dx = −2 ln (15.40) α2 h2 (h1 + h2 ) 0

Die tangentiale Kraft auf die untere Platte errechnet sich wie folgt: "l h1 ∂U1 2µUP (h1 − h2 ) − 2 ln dx1 = (15.41) (Kτ )low = µ 3 ∂z z=0 α (h1 + h2 ) h2 0


465

und f¨ ur die obere Platte "l h1 ∂U1 2µUP (h1 − h2 ) − ln (Kτ )up = − µ = dx1 (15.42) 3 ∂z z=h α (h1 + h2 ) h2 0

P - P o P m

x l

o b e re P la tte

U (x 1 , x 2)

u n te re P la tte l

U p

Abbildung 15.3: Stromlinien und Geschwindigkeitsprofile in Gleitlagerstr¨ omung

Die auf die beiden Oberfl¨ achen der Platten wirkenden Tangentialkräfte sind nicht gleich, da die Str¨ omung zwischen den Platten zum Teil geschleppt wird. Die in der Filmstr¨ omung sich einstellenden Stromlinien sind in Abb. 15.3 aufgezeigt, zusammen mit skizzierten lokalen Geschwindigkeitsprofilen. Die Profile ergeben sich aus (15.30) unter Hinzunahme von (15.37). Die obigen Betrachtungen wurden f¨ ur ebene Str¨ omungen angestellt, da es in den durchgef¨ uhrten Ableitungen um eine Einf¨ uhrung in die Theorie tribologischer Str¨ omungen ging. Gleitlagerstr¨ omungen m¨ ussen u ¨ blicherweise als rotierende Zylinderstr¨ omungen mit exzentrischer Lagerung des inneren Zylinders relativ zum ¨ außeren behandelt werden. Dies ist in Abb. 15.4 skizziert, welche zudem die sich einstellende Druckverteilung aufzeigt. Charakteristisch ist, dass die Richtung des Druckmaximums nicht in der Richtung der wirkenden Kraft

466


(Last) liegt. Details zu dieser Str¨ omung werden im nachfolgenden Kapitel behandelt. Sie stellen die Grundlagen dar, um rotierende Gleitlager verstehen zu k¨ onnen. N e ig u n g d e r L a g e ra c h se

K ra ft G e s c h w in d ig k e it U i

e R i

D ru c k P in te g rie rt, trä g t d ie L a s t

Abbildung 15.4: Druckverteilung in rotierenden Gleitlagern

15.4 Theorie der Schmierung in Gleitlagern Ein Gleitlager umfasst das nicht rotierende Lager und den mit der Winkelgeschwindigkeit ω rotierenden Zapfen. Die zugehörige Doppelzylinderanordnung ist in Abb. 15.5 skizziert. Die L¨ osung der Gleichungen f¨ ur die Fluidbewegung, die f¨ ur die Schmierung in Gleitlagern wichtig ist, d.h. die rotierende Fluidbewegung, die sich zwischen Zapfen und Lager einstellt, stellt die technisch wohl wichtigste Anwendung der Stokesschen Gleichungen dar. Durch diese Fluidbewegung in einem d¨ unnen Film stellen sich Lagerreibungsgesetze ein, die sich drastisch von der Trockenreibung unterscheiden. Um dies aufzuzeigen, wird die in Abb. 15.5 skizzierte Bewegung des inneren Zylinders (Zapfen) mit dem Radius r = R1 betrachtet, der sich mit der Winkelgeschwindigkeit ω dreht, während sich der ¨ außere Zylinder (Lager) mit Radius R2 in Ruhe befindet. Der innere rotierende Zylinder weist somit eine Umfangsgeschwindigkeit U = R1 ω auf. Der Darstellung in Abb. 15.5 ist zu entnehmen, dass die Lage des Lagers mit ur die hier durchr = R1 + h angegeben werden kann. Dabei gilt mit einer f¨ gef¨ uhrten Betrachtungen ausreichenden Genauigkeit h = δ + e(1 + cos ϕ). ussigkeit Dabei ist δ die bei ϕ = 180o vorliegende Filmdicke der Schmierfl¨ und e die Exzentrizit¨ at des Mittelpunktes des Lagers in Bezug auf die Lage des Mittelpunktes des Zapfens.

15.4 Theorie der Schmierung in Gleitlagern

R

R 1 2

= R a d iu s d e s Z a p fe n s = R a d iu s d e s L a g e rs

R

d

2

R

L a g e r Z a p fe n

e 1

j

e c o s j

x = h : U j

j

x R

R

x = 0 : U

467

x = 0 1

x

= U = 0

l

2

r = R + x

x = h x 2

Abbildung 15.5: Lager-Zapfen-Anordnung f¨ ur betrachtetes Gleitlager

Es gelten somit folgende geometrische Gegebenheiten: R1 + h ≈ R2 + e cos ϕ; R2 = R1 + e + δ; h ≈ δ + e(1 + cos ϕ) Diese Beziehungen lassen sich leicht durch geometrische Betrachtungen ableiten. F¨ uhrt man in die Betrachtungen ein, dass die Filmdicke δ sehr klein gegen¨ uber dem Zapfenradius ist, d.h. es gilt δ/R1 1, so ergibt sich, dass ∂Uϕ /∂r 1/r∂Uϕ /∂ϕ ist. Gr¨ oßenbetrachtungen der restlichen Glieder in der Impulsgleichung (5.115) ergeben, dass folgende Differentialgleichung zur Behandlung der Filmstr¨ omung in Gleitlagern herangezogen werden kann: ∂ 2 Uϕ 1 ∂P =µ . r ∂ϕ ∂r2

(15.43)

Da die im Str¨ omungsfeld des Filmes auftretenden r-Werte nicht stark variieren, gilt infolge r ≈ R1 folgende N¨ aherung: ∂ 2 Uϕ 1 ∂P . =µ R1 ∂ϕ ∂r2

(15.44)

Durch diese Vereinfachung gelingt eine Behandlung des Problems rotierender Gleitlager, die dem des ebenen Gleitlagers sehr nahe kommt. Zur Integration der Differentialgleichung (15.44) kann man wie folgt vorgehen. Die Einf¨ uhrung der Variablen ξ ergibt:

468


r = R1 + ξ

;

dr = dξ

(15.45)

Die Integration von (15.44) ergibt somit: dP 1 Uϕ = ξ 2 + C1 ξ + C2 2R1 µ dϕ

(15.46)

Mit den Randbedingungen ξ=0

:

Uϕ = U

und ξ = h

:

Uϕ = 0

lassen sich C1 und C2 bestimmen, so dass gilt: ∂P 1 U (h − ξ) Uϕ = ξ (ξ − h) + 2R1 µ ∂ϕ h

(15.47)

(15.48)

F¨ ur den Volumenstrom ergibt sich R+h "

"h Uϕ dr = Uϕ dξ = −

V˙ =

1 12R1 µ

∂P ∂ϕ

h3 +

Uh 2

(15.49)

0

R

Durch Einf¨ uhrung einer mittleren Filmdicke h0 mit U h0 V˙ = 2

(15.50)

und somit l¨ asst sich aus (15.50) berechnen: ∂P 6R1 µU (h − h0 ) = , ∂ϕ h3

(15.51)

oder durch Integration:  P (ϕ) = P (0) + 6R1 µU 

"ϕ

dϕ − h0 h2

0

"ϕ

 dϕ  . h3

(15.52)

0

Wegen P (2π) = P (0) (= P0 ) muss nach (15.52) gelten: , & 2π + "2π "2π 1/h2 dϕ dϕ dϕ 0 = h0 −→ h0 = & 2π 3 h2 h3 0 (1/h ) dϕ 0

(15.53)

0

Mit h ≈ δ + e(1 + cos ϕ) aus Abb. 15.5 ergibt sich f¨ ur: h(ϕ) = e (α + cos ϕ) , α = Unter Ber¨ ucksichtigung von:

δ + 1. e

(15.54)

15.4 Theorie der Schmierung in Gleitlagern

"π dϕ dϕ = 2 (α + cos ϕ)n (α + cos ϕ)n

469

"2π 0

(15.55)

0

und aufgrund von "ϕ J1 = 0

2 dϕ =√ arctan (α + cos ϕ) α2 − 1

)-

ϕ α−1 tan α+1 2

* (15.56)

erh¨ alt man f¨ ur J1 (ϕ = π), J2 (ϕ = π) etc.:

, + π 2α2 + 1 πα dJ1 1 dJ2 J1 = = = ; J3 = − . ; J2 = − dα 2 dα 3 5 (α2 − 1) (α2 − 1) 2 (α2 − 1) (15.57) Damit errechnet sich aus (15.50): , + 2eα α2 − 1 J2 . (15.58) = h0 = e J3 (2α2 + 1) π

F¨ ur die Druckverteilung zwischen Zapfen und Lager errechnet sich:  ϕ  , "ϕ + " 2eα α2 − 1 dϕ dϕ 6R1 µU   P (ϕ) − P0 = 2 − 3 e2 (2α2 + 1) (α + cos ϕ) (α + cos ϕ) 0

0

(15.59) ∂P Aus Gleichung (15.51) ist ersichtlich, dass = 0 f¨ ur h = h0 . ∂ϕ Bezeichnet man mit dem Winkel ϕ0 die Winkellage, wo der Druck ein Extremum aufweist, so erh¨ alt man aus (15.54:) , + 2eα α2 − 1 e (α + cos ϕ0 ) = , (15.60) (2α2 + 1) 3α (< 0) . (15.61) 2α2 + 1 Damit ist aufgezeigt, dass die Stellen des gr¨ oßten und kleinsten Druckes auf der Zapfenh¨ alfte liegen, die den engsten Film umfassen. Die errechnete Druckverteilung l¨ asst sich nutzen, um den aus den Druckwirkungen resultierenden Anteil der Zapfenkraft zu berechnen. Durch Integration erh¨ alt man: cos ϕ0 = −

KP =

12πµR12 U √ . e2 (2α2 + 1) α2 − 1

(15.62)

Zur Ermittlung der Reibungskraft l¨ asst sich der Impulsverlust infolge der Zapfenbewegung wie folgt angeben:

470


τrϕ = −µ

∂Uϕ Uϕ 1 ∂Ur + − r ∂ϕ ∂r r

(15.63)

und wegen Uϕ = U und Ur = 0 auf der Zapfenoberfläche r = R1 gilt: / . Uµ Uµ h ∂P ∂Uϕ U + + ≈ − (15.64) τrϕ = −µ ∂ξ R 2R ∂ϕ h R1 1 1 ξ=0 Mit (∂P/∂ϕ) = 6RµU (h − h0 )/h3 und h0 aus Gleichung (15.58) eingesetzt ergibt sich: ∂P 1 6R1 µU 1 2α(α2 − 1) = − , (15.65) ∂ϕ e2 (α + cos ϕ)2 (2α2 + 1) (α + cos ϕ)3

τrϕ = µ

U (4h − 3h0 ) 2µU = 2 h e

3α(α2 − 1) 1 2 − , (α + cos ϕ) (2α2 + 1) (α + cos ϕ)

so dass sich das Drehmoment errechnen l¨ asst als: "2π 2π(α2 + 2) 2µU R12 √ . M = τrϕ R12 dϕ = e (2α2 + 1) α2 − 1

(15.66)

0

In der Praxis lassen sich die obigen Formeln wie folgt anwenden: –

Kennt man KP , µ, U, R, δ, so l¨ asst sich mittels (15.62) die Exentrität der Zapfenlage bzw auch α bestimmen.

Mit (15.66) l¨ asst sich ein Reibungsbeiwert einf¨ uhren als: + 2 , M δ+e α +2 f= = KP R1 R1 3α

(15.67)

Da δ ≈ e in der Praxis, gilt: f0 ≈

2δ ; M ≈ f0 KP R1 . R1

(15.68)

Mit diesem Wert lassen sich f¨ ur die Praxis ausreichend Reibungsmomente ausrechnen. F¨ ur große Werte von α gilt: M=

2πµU R12 . e+δ

(15.69)

Die obigen Ableitungen haben beispielhaft gezeigt, dass es mit Hilfe der Stokesschen Gleichungen gelingt, technisch relevante Strömungsvorgänge so zu behandeln, dass nicht nur technisch interessante Erkenntnisse aus den Ableitungen resultieren, sondern auch quantitative Angaben, zu technisch wichtigen Gr¨ oßen der Gleitlagerbewegung.

15.5 Die langsame Drehbewegung einer Kugel

P (

471

j )

-

0 0 '

P (= 0 )

+

P (

j )

Abbildung 15.6: Verteilung des Normaldrucks auf den Zapfen eines Gleitlagers

15.5 Die langsame Drehbewegung einer Kugel Betrachtet man die Str¨ omung in einer z¨ ahen Fl¨ ussigkeit, die durch die langsame Drehung einer kleinen Kugel hervorgerufen wird, so lässt sich deren Re-Zahl wie folgt ermitteln: Re =

ωR2 Uc R = ; ν ν

(15.70)

dabei ist ω die Winkelgeschwindigkeit der Rotation der Kugel um die x3 Achse. Wendet man nun auf die Bewegungsgleichungen in sphärischen Koordinaten die Bedingungen an, die durch die in Abb. 15.7 skizzierte Bewegung einer Kugel vorliegen, so gilt f¨ ur Uφ = Uφ (r, θ)

(15.71)

die unten angegebene Differentialgleichung, die eine Gleichung 2. Ordnung darstellt, die sich aus den allgemeinen Bewegungsgleichungen in Kugelkoordinaten f¨ ur die Kugelrotationsbewegung ableiten lässt: 1 ∂ 1 1 ∂ ∂Uφ 1 1 ∂ 2 Uφ 2 ∂Uφ 0= 2 r + 2 sin θ + 2 r ∂r ∂r r sin θ ∂θ ∂θ r sin2 θ ∂φ2 ∂Ur 2 cos θ ∂Uθ Uφ 2 + 2 2 − 2 2 + 2 . (15.72) r sin θ r sin θ ∂φ r sin θ ∂φ Wegen der gew¨ ahlten Rotationssymmetrie sind die folgenden Terme identisch Null:

472


∂Ur 2 = 0; 2 r sin θ ∂φ

2 cos θ ∂Uθ r2 sin2 θ ∂φ

und

1 1 ∂ 2 Uφ r2 sin2 θ ∂φ2

(15.73)

Somit gilt f¨ ur die zu l¨ osende Differentialgleichung: 0=

∂ 2 Uφ 1 ∂ 2 Uφ Uφ 2 ∂Uφ 1 ∂Uφ + 2 − 2 2 + + 2 cot θ 2 ∂r r ∂r r ∂θ2 r ∂θ r sin θ

(15.74)

Als Randbedingung gelten: Uφ (R, θ) = Rω sin θ und Uφ (∞, θ) = 0. Ziel der L¨ osung des Problems ist es nun, eine Funktion Uφ (r, θ) zu finden, welche die Differentialgleichung (15.74) erf¨ ullt und gleichzeitig die angegebenen Randbedingungen zu erf¨ ullen vermag. Als eine solche Funktion erweist sich: (15.75) Uφ = A(r) sin θ. Eingesetzt in (15.74) erh¨ alt man: d2 A A A 1 2 dA A cos2 θ sin θ − − 2 =0 sin θ + sin θ + 2 2 2 dr r dr r r sin θ r sin θ

(15.76)

und als zu l¨ osende Differentialgleichung: d2 A 2A 2 dA − 2 = 0. + 2 dr r dr r

(15.77)

Die Integration dieser Differentialgleichung ergibt: A(r) = C1 r +

C2 . r2

(15.78)

Wegen Uφ (r → ∞, θ) = 0 muss C1 = 0 sein. Aus Uφ (R, θ) = Rω sin θ = C2 sin θ folgt C2 = ωR3 und damit erh¨ alt man als Lösung f¨ ur das GeschwinR2 digkeitsfeld des Fluids: ωR3 (15.79) Uφ = 2 sin θ. r Zur Aufrechterhaltung dieser von der rotierenden Kugel dem Fluid aufgepr¨ agten Str¨ omung, muss ein Moment kontinuierlich aufgeprägt werden, das sich wie folgt berechnen l¨ asst. Aus 1 ∂Ur ∂ Uφ τr,φ = −µ +r (15.80) r sin θ ∂φ ∂r r folgt f¨ ur die Impulsabgabe an das Fluid: ∂Uφ Uφ − = 3µω sin θ τR,φ = −µ ∂r r r=R und f¨ ur das Moment:

(15.81)

15.5 Die langsame Drehbewegung einer Kugel

w x

x

3

473

3

.

r .

Q

R

f

Q f

x 2

R

x 2

.

1

U

8

. x

x

r

1

Abbildung 15.7: Str¨ omung in z¨ aher Fl¨ ussigkeit infolge Kugelrotation um x3 −Achse

Abbildung 15.8: Umstr¨ omung einer Kugel mit kartesischen und sph¨ arischen Koordinaten

"π + , M = − (3µω sin θ) (R sin θ) 2πR2 sin θ dθ,

(15.82)

0

"π M = −6πµωR sin3 θdθ = −8µπR3 ω. 3

(15.83)

0

Ganz analog zu der obigen L¨ osung des Problems der Fluidbewegung um eine rotierende Kugel, l¨ asst sich auch die schleichende Fluidbewegung zwischen zwei konzentrisch gelagerten rotierenden Kugeln mit den Radien R2 und R1 und den Winkelgeschwindigkeiten ω2 und ω1 behandeln. Die Rotation soll wiederum um die in Abb. 15.7 gezeigte x3 −Achse erfolgen. Man erhält wiederum: Uφ = A(r) sin θ mit (15.84) C2 A(r) = C1 r + r2 . Mit den Randbedingungen A(R2 ) = ω2 R2 und A(R1 ) = ω1 R1 erhält man: Uφ (r, θ) =

1 + , + ,2 sin θ ω2 R23 r3 − R13 − ω1 R13 r3 − R23 . 3 − R1 )

r2 (R23

(15.85)

F¨ ur das Drehmoment erh¨ alt man: M = −8πµ(ω2 − ω1 )

R23 R13 . (R13 − R23 )

(15.86)

474


Bei der obigen L¨ osung wurde davon ausgegangen, dass die sich eventuell einstellenden St¨ orungen auf die Str¨ omung durch Viskositätseffekte gedämpft werden, d.h. die errechnete L¨ osung somit stabil ist. Aufgrund der Behandlung schleichender Str¨ omungen, d.h. kleinster Re-Zahlen, ist diese Annahme berechtigt, so dass die oben analytisch erhaltenen Ergebnisse auch in Experimenten sehr gut f¨ ur kleine Re-Zahnlen erhalten werden.

15.6 Die langsame Translationsbewegung der Kugel Als eine wichtige schleichende Str¨ omung gilt die Umströmung einer Kugel, die durch die geradlinige und gleichf¨ ormige Bewegung der betrachteten Kugel in einem Fluid induziert wird. Was die zu l¨ osenden Gleichungen anbetrifft, ist das Problem ¨ aquivalent der station¨ aren Umströmung einer Kugel in einer z¨ ahen Fl¨ ussigkeit. Die Bewegung ist durch den Kugelradius R, die Fluidgeschwindigkeit U∞ , die Dichte ρ und die dynamische Viskosität µ gekennzeichnet. Hieraus errechnet sich mit ν = µ/ρ: Re =

RU∞ 1. ν

(15.87)

Stokes (1851) l¨ oste als erster das Problem der Translationsbewegung einer Kugel in einer z¨ ahen Fl¨ ussigkeit, indem er nur die Druck- und Viskositätsterme in den Navier-Stokes-Gleichungen ber¨ ucksichtigte und alle anderen Terme in den Bewegungsgleichungen vernachl¨ assigte. Das selbe Vorgehen ist unten¨ stehend aufgezeigt. Dabei wird in den nachfolgenden Uberlegungen eine ruhende Kugel, im Mittelpunkt eines kartesischen Koordinatensystems gelegen, angenommen. Als Randbedingungen gelten: ur r = R, U1 = U2 = U3 = 0 f¨ mit r = x21 + x22 + x23 , wie in Abb. 15.8 aufgezeigt. Diese Abbildung zeigt die Kugel, deren Mittelpunkt im Ursprung eines kartesischen Koordinatensystems liegt. Relativ zu diesem System sind auch die Kugelkoordinaten r, φ, θ angegeben, die nachfolgend zur Behandlung der Kugelumströmung herangezogen werden. Mit r = R ist die Kugeloberfl¨ ache angegeben. Wegen dieser Angabe der Str¨ omungsberandung ist es vorteilhaft, die Grundgleichungen der Str¨ omungsmechanik f¨ ur die L¨ osung der Str¨ omung um eine Kugel in Kugelkoordinaten anzugeben. Damit lassen sich die durch die Präsenz der Kugel der Str¨ omung aufgepr¨ agten Randbedingungen wesentlich leichter in die Lösung des Str¨ omungsproblems einbringen, als wenn die Behandlung der Strömung in kartesischen Koordinaten angestrebt w¨ urde. Die unten aufgef¨ uhrten Betrachtungen orientieren sich an der Skizze in Abb. 15.8. Im Unendlichen, d.h. r → ∞, liegen folgende Werte f¨ ur die Geschwindigkeitskomponenten vor:

15.6 Die langsame Translationsbewegung der Kugel

U1 = 0, U2 = 0, U3 = U∞ f¨ ur r → ∞

475

(15.88)

Wie bereits erw¨ ahnt, bietet sich f¨ ur die L¨ osung der Grundgleichungen an, um die Randbedingungen leicht in die L¨ osung einbringen zu können, die Gleichungen in sph¨ arischen Koordinaten anzugeben. Ber¨ ucksichtigt man die f¨ ur kleine Re-Zahlen relevanten Terme, so erh¨ alt man, unter Vernachlässigung von Drall, d.h. Uφ = 0, die unten angegebenen Gleichungen. Diese leiten sich aus den Grundgleichungen unter Verwendung sphärischer Koordinaten ab. Die resultierenden Gleichungen lauten wie folgt: ∂Ur 1 ∂Uθ 2Ur Uθ cot θ + + + =0 ∂r r ∂θ r r

∂ 2 Ur cot θ ∂Ur 2 ∂Uθ 1 ∂ 2 Ur 2 ∂Ur + 2 − 2 + 2 + 2 ∂r r ∂θ2 r ∂r r ∂θ r ∂θ 2 cot θ 2Ur Uθ − 2 − r r2 2 ∂ Uθ cot θ ∂Uθ 2 ∂Ur 1 ∂P 1 ∂ 2 Uθ 2 ∂Uθ =µ + 2 + 2 + 2 + 2 2 r ∂θ ∂r r ∂θ r ∂r r ∂θ r ∂θ Uθ − 2 2 . r sin θ ∂P =µ ∂r

(15.89)

(15.90)

(15.91)

In sph¨ arischen Koordinaten lassen sich die Randbedingungen wie folgt angeben: (15.92) r = R : Ur (R, θ) = 0 und Uθ (R, θ) = 0 r→∞:

Ur → U∞ cos θ und Uθ → −U∞ sin θ.

(15.93)

Wiederum legen die Randbedingungen nahe, mit folgenden Lösungsansätzen die oben aufgef¨ uhrten Differentialgleichungen zu lösen: Ur (r, θ) = B(r) cos θ und f¨ ur den Druck:

Uθ (r, θ) = −A(r) sin θ

P (r, θ) = µC(r) cos θ.

(15.94) (15.95)

Setzt man diese Ansatzfunktionen (15.94) und (15.95) in die obigen Differentialgleichungen (15.89) bis (15.91) ein, so erh¨ alt man: dB 2(B − A) + =0 dr r

(15.96)

dC d2 B 4(B − A) 2 dB = − + dr dr2 r dr r2

(15.97)

C d2 A 2(B − A) 2 dA = + + (15.98) 2 r dr r dr r2 Dabei ergeben sich aus den Randbedingungen f¨ ur die Kugelumströmungen folgende Randbedingungen f¨ ur die Funktion A, B und C.

476


A(R) = 0, B(R) = 0, A(∞) = U∞

und B(∞) = U∞

(15.99)

Die L¨ osungsschritte f¨ ur die Differentialgleichungen (15.95) bis (15.96) lassen sich wie folgt angeben. Aus Gleichung (15.96) folgt: A=

1 dB r +B 2 dr

(15.100)

Eingesetzt in Gleichung (15.98) ergibt: C=

1 2 d3 B d2 B dB r + 3r +2 3 2 2 dr dr dr

(15.101)

Diese Differentialgleichung nach r abgeleitet und in Gleichung (15.97) eingesetzt ergibt: d4 B d3 B d2 B dB =0 (15.102) r3 4 + 8r2 3 + 8r 2 − 8 dr dr dr dr Diese resultierende Eulersche Differentialgleichung lässt sich durch Integration l¨ osen mit partikul¨ aren L¨ osungen in der Form B = crk . Eingesetzt in die obige Differentialgleichungen ergibt f¨ ur k eine Gleichung vierten Grades. k(k − 1)(k − 2)(k − 3) + 8k(k − 1)(k − 2) + 8k(k − 1) − 8k = 0 oder vereinfacht geschrieben: k(k − 2)(k + 3)(k + 1) = 0

(15.103)

so dass sich als L¨ osung ergeben: k = 0, k = 2, k = −3 und k = −1

(15.104)

Somit ergibt sich f¨ ur B(r) folgende allgemeine Lösung: B(r) =

C2 C1 + C3 + C4 r2 + r3 r

(15.105)

Aus den Gleichungen f¨ ur A(r) und C(r) erh¨ alt man: A(r) = −

C1 C2 + C3 + 2C4 r2 + 2r3 2r

(15.106)

C2 + 10C4 r (15.107) r2 Setzt man f¨ ur A(r), B(r) und C(r) die Randbedingungen (15.99) ein, so lassen sich die Integrationskonstanten C1 , C2 , C3 und C4 bestimmen: C(r) =

C1 =

1 U∞ R 3 ; 2

3 C2 = − U∞ R; 2

C3 = U∞ ;

C4 = 0.

(15.108)

15.6 Die langsame Translationsbewegung der Kugel

477

Damit ergeben sich f¨ ur Ur (r, θ), Uθ (r, θ) und P (r, θ) die folgenden Lösungen: 3 R 1 R3 + Ur (r, θ) = U∞ cos θ 1 − (15.109) 2r 2 r3 3 R 1 R3 − (15.110) Uθ (r, θ) = −U∞ sin θ 1 − 4r 4 r3 3 U∞ R (15.111) P (r, θ) = − µ 2 cos θ 2 r Damit liegt die L¨ osung f¨ ur das Geschwindigkeits- und Druckfeld f¨ ur die Kugelumstr¨ omung vor, allerdings erhalten durch die Lösung eines Satzes von Differentialgleichungen, der als reduzierter Satz aus den Navier-Stokes- Gleichungen, durch Vernachl¨ assigung der Beschleunigungsterme, erhalten wurde. Die erhaltene L¨ osung gilt somit nur f¨ ur Re 1. Besieht man sich die einzelnen Impulstransportterme τrr und τrθ des hier behandelten Str¨ omungsproblems, so erh¨ alt man f¨ ur ρ =const: 1 ∂Ur ∂Uθ Uθ ∂Ur und τr,θ = −µ + − τrr = −2µ . (15.112) ∂r r ∂θ ∂r r Daraus ergibt sich f¨ ur r = R, wegen Ur = Uθ = 0 und damit auch (∂Ur /∂θ) = 0 und (∂Uθ /∂θ) = 0 sowie mit (∂Ur /∂r) = 0, so dass an der Kugeloberfläche gilt: P =

3 µU∞ cos θ 2 R

(wirkt an jeder Stelle senkrecht auf die Kugeloberfläche)

(15.113)

und zudem τrr = 0, τr,θ = −µ

3µU∞ ∂Uθ =− sin θ. (wirkt an jeder Stelle tangential ∂r 2R zur Kugeloberfläche) (15.114)

Die Widerstandskraft W errechnet sich somit: "" W = (P cos θ − τr,θ sin θ) dF

(15.115)

F

"π W =−

+ , 3 µU∞ 3µU∞ 2 2 cos θ + sin θ 2πR2 sin θ dθ 2 R 2R

(15.116)

0

oder umgeschrieben und integriert: /π "π W = − 3πµU∞ R(sin θ)dθ = −3πµU∞ R (− cos θ) 0

0

(15.117)

478


W = −6πµU∞ R Die Integration u ache wirkenden Druck und den ¨ber den auf die Kugeloberfl¨ Impulsverlust ergibt die Stokesche Widerstandskraft W. Dabei ist interessant, dass der vom Druck herr¨ uhrende Kraftanteil: "π "π 2 WP = − P cos θ2πR sin θdθ = −3πµU∞ R cos2 θ sin θdθ 0

(15.118)

0

mit WP = −2πµU∞ R nur 13 des Gesamtwiderstandes ausmacht, d. h. 23 der Widerstandskraft r¨ uhren somit vom molekularen Impulseintrag an die Kugeloberfl¨ ache her. Dies unterstreicht die Bedeutung, die den Viskositätstermen in den Navier-Stokes-Gleichungen f¨ ur die L¨ osung praktischer Strömungsprobleme bei kleinen Re-Zahlen zukommt. Um nun die Geschwindigkeitskomponenten in kartesischen Koordinaten uhrten zu erhalten, d.h. U1 , U2 und U3 zu bestimmen, werden die unten aufgef¨ Formeln f¨ ur Koordinatentransformationen zur Anwendung gebracht. x3 = r cos θ ; U3 = Ur cos θ − Uθ sin θ (15.119) x1 = r sin θ cos φ ; U1 = Ur sin θ cos φ + Uθ cos θ cos φ − Uφ sin φ (15.120) x2 = r sin θ sin φ ; U2 = Ur sin θ sin φ + Uθ cos θ sin φ + Uφ cos φ (15.121) Mit diesen Formeln erh¨ alt man: 3 R 1 R3 3 U∞ x21 R2 − U3 = U∞ 1 − − 1− 2 , 4r 4 r3 4 r2 r 2 3 U∞ x1 x3 R , 1− 2 U1 = − 4 r2 r 3 U∞ x2 x3 R2 1− 2 . U2 = − 4 r2 r

(15.122) (15.123) (15.124)

F¨ ur die L¨ osung der Stokesschen Umstr¨ omung der Kugel wurden obenstehend vereinfachte str¨ omungsmechanische Gleichungen (15.89) bis (15.91) zur Anwendung gebracht. Um nun absch¨ atzen zu k¨ onnen, wie groß die vernachlässigten Terme gegen¨ uber den in der L¨ osung ber¨ ucksichtigen Termen sind, wird die Beschleunigung: 2 3R 3ρ U∞ R2 R3 ∂Ur DU1 1− = ρ Ur = R 1− 2 + 3 ρ Dt θ=0 ∂r θ=0 2 r2 r 2r 2r (15.125) mit dem Druckterm: ∂P U∞ R = 3µ 3 (15.126) ∂r θ=0 r

15.7 Die langsame Rotationsbewegung eines Zylinders

verglichen, d.h. zueinander ins Verh¨ altnis gesetzt: DU1 ρ Dt θ=0 R3 U∞ r 3R R2 + 3 . = 1− 1− 2 ∂P 2ν r 2r 2r ∂r θ=0

479

(15.127)

F¨ ur große Werte f¨ ur r ergibt sich, dass die obige Lösung nur dann G¨ ultigur große Werte von r ist keit haben sollte, wenn U∞ r/2ν < 1 gilt, d.h. f¨ dies nicht erf¨ ullt. Da jedoch f¨ ur solch große Werte f¨ ur r, die oben zum Vergleich herangezogenen Terme beide sehr klein werden, liegt die Berechtigung vor anzunehmen, dass das Geschwindigkeits- und Druckfeld in unmittelbarer N¨ ahe der Kugel nicht von der Verletzung der Voraussetzung f¨ ur die G¨ ultigkeit der erhaltenen L¨ osung beeintr¨ achtigt wird. Um dies verlässlich zu erreichen muss jedoch (U∞ R)/ν 1 angenommen werden. Es ist aufgrund solcher ¨ Uberlegungen anzunehmen, dass die Stokessche Lösung bereits f¨ ur die Kugelumstr¨ omung nicht mehr G¨ ultigkeit besitzt, wenn f¨ ur Re ≈ 1 gilt, d.h. wenn Re = (U∞ R/ν) ≈ 1 ist.

15.7 Die langsame Rotationsbewegung eines Zylinders Entsprechend der Behandlung der langsam rotierenden Kugelströmung in Kapitel 15.5 sollen in diesem Kapitel die rotierende Zylinderströmung behandelt werden. Dabei soll die Str¨ omung untersucht werden, die sich im Ringspalt zwischen zwei konzentrisch rotierenden Zylindern mit den Radien R1 und R2 einstellt. Diese Str¨ omung wird durch die Gleichungen beschrieben, die untenstehend angegeben sind und die sich aus den allgemeinen Grundgleichungen in Zylinderkoordinaten unter den Annahmen:

ableiten lassen als: und

∂Uϕ = 0 und Uϕ = Uϕ (r) ∂ϕ Uϕ2 ∂P dP ρ = = r ∂r dr 2 Uϕ d Uϕ d + =0 dr2 dr r

(15.128) (15.129) (15.130)

Dies sind die Bestimmungsleichungen f¨ ur den Druck P und die Strömungsgeschwindigkeit Uϕ . Aus Gleichung (15.130) erhält man durch Integration: dUϕ Uϕ 1 d + = C1 bzw. (rUϕ ) = C1 . dr r r dr

(15.131)

Aus der nochmaligen Integration erh¨ alt man: Uϕ = C1 r +

C2 r

(15.132)

480


mit den Integrationskonstanten C1 und C2 , die sich aus den Randbedingungen bestimmen lassen: ;

r = R1

Uϕ = ω1 R1

und

C2 R1

und

r = R2

;

Uϕ = ω2 R2

(15.133)

d. h. es gilt: ω1 R1 = C1 R1 +

ω2 R2 = C2 R2 +

C2 R2

(15.134)

und damit C1 =

ω2 R22 − ω1 R22 R22 − R12

(15.135a)

C2 =

(ω1 − ω2 ) R12 R22 (R22 − R12 )

(15.135b)

Eingesetzt in Gleichung (15.132) erh¨ alt man: , + 1 R12 R22 2 2 Uϕ = (ω R − ω R − ω ) r − ω 2 2 1 1 2 1 (R22 − R12 ) r

(15.136)

Mittels Gleichung (15.136) erh¨ alt man aus Gleichung (15.129) f¨ ur die Druckverteilung im Ringspalt durch Integration: + , r2 − R12 ρ 2 2 2 ω2 R2 − ω1 R1 P (r) = P1 + − 2R12 R22 (ω2 − ω1 ) 2 2 (R22 − R12 ) , + 1 r R4 R4 1 ω2 R22 − ω1 R12 ln − 1 2 (ω2 − ω1 ) − R1 2 r2 R12 (15.137) Der Druck am Innenzylinder wurde in (15.137) mit P1 eingef¨ uhrt, um die aus der Integration der Gleichung (15.129) resultierende Konstante zu bestimmen. F¨ ur den Druck am a üßeren Zylinder errechnet sich aus (15.137) + , R22 − R12 ρ 2 2 2 ω R − ω R P (R2 ) = P1 + 2 2 1 1 2 2 (R22 − R12 ) , + R R4 R4 2 − 1 2 (ω2 − ω1 ) −2R12 R22 (ω2 − ω1 ) ω2 R22 − ω1 R12 ln R1 2 1 1 − 2 R22 R1 (15.138) F¨ ur den molekularen Impulstransport gilt: Uϕ d τrϕ = −µ r . (15.139) dr r Mittels der L¨ osung (15.136) f¨ ur Uϕ errechnet sich:

15.8 Die langsame Translationsbewegung eines Zylinders

τrϕ =

R12 R22 −2µ (ω2 − ω1 ) . (R22 − R12 ) r2

481

(15.140)

Der molekularbedingte Impulseintrag in die Wandung beträgt f¨ ur den inneren Zylinder: −2µ R2 (ω2 − ω1 ) τrϕ (r = R1 ) = (15.141) (R22 − R12 ) 2 und f¨ ur den a¨ ußeren Zylinder: τrϕ (r = R2 ) =

−2µ R2 (ω2 − ω1 ) . (R22 − R12 ) 1

(15.142)

Die auf die Zylinder wirkenden Umfangskr¨ afte errechnen sich wie folgt: Kϕ (r = R1 ) = τrϕ (r = R1 ) 2πR1 L = K1 , Kϕ (r = R2 ) = τrϕ (r = R2 ) 2πR2 L = K2 .

(15.143)

Aus den Kr¨ aftebeziehungen sieht man, dass die resultierenden Umfangskräfte direkt proportional der Viskosit¨ at sind, eine Tatsache die bei der Erstellung von Viskosimetern genutzt wird.

15.8 Die langsame Translationsbewegung eines Zylinders ¨ Die am Ende des Kapitels 14.4 angedeuteten Uberlegungen zeigen auf, dass die Durchf¨ uhrung von Str¨ omungsberechnungen unter Anwendung vereinfachter Grundgleichungen zu L¨ osungen f¨ uhren kann, f¨ ur die in manchen Teilgebieten des Str¨ omungsfeldes die f¨ ur Vereinfachungen getroffenen Annahmen nicht mehr g¨ ultig sind. Dieser Sachverhalt hat sich bei der Stokesschen Lösung f¨ ur die Kugelumstr¨ omung in Gebieten ergeben, in denen U∞ r/ν ≥ 1 war, d.h. in Gebieten fern der umstr¨ omten Kugel. Dort erwiesen sich die in dem Stokesschen L¨ osungsansatz vernachl¨ assigten Beschleunigungen gegen¨ uber den ber¨ ucksichtigten Drucktermen als nicht mehr klein. Im Grunde unbefriedigende Argumentationen mussten herangezogen werden, um die G¨ ultigkeit der erhaltenen L¨ osung zu rechtfertigen und streng genommen konnten nur experimentelle Untersuchungen zur Ermittlung der Widerstandskraft auf Kugeln die Richtigkeit der Argumentation best¨ atigen. Die f¨ ur die Kugelumstr¨ omung aufgezeigte Problematik wird noch deutlicher, wenn man sich das korrespondierende ebene Problem besieht, d.h. die zweidimensionale Umstr¨ omung eines Zylinders. Es zeigt sich nämlich, dass sich f¨ ur die ebene Umstr¨ omung eines Zylinders durch eine viskose Fl¨ ussigkeit u osung durch Anwendung der Differentialgleichungen (15.6) ¨ berhaupt keine L¨ und (15.7) bzw. (15.8) bis (15.11) finden l¨ asst. Es ist somit sehr problematisch, bei der L¨ osung von Str¨ omungsproblemen nicht den vollständigen Satz an Grundgleichungen anzuwenden, sondern reduzierte Sätze von Differentialgleichungen anzubringen. Letzteres wird jedoch oftmals deshalb notwendig,

482


S tro m lin ie n

x 2

A n s trö m u n g

x 1

Z y lin d e r Abbildung 15.9: Skizze der Umstr¨ omung eines Zylinders

weil analytische L¨ osungen f¨ ur den vollst¨ andigen Satz der strömungsmechanischen Grundgleichungen nicht zur Verf¨ ugung stehen. F¨ ur die in Abb. 15.9 skizzierte Umstr¨ omung eines Zylinders gelten die folgenden Differentialgleichungen, wenn man von einer Str¨ omung mit kleiner Reynoldszahl ausgeht, d.h. die G¨ ultigkeit der Stokesschen Gleichungen postuliert: ∂U2 ∂U1 + =0 ∂x1 ∂x2 2 ∂ 2 U1 ∂ U1 ∂P =µ + ∂x1 ∂x1 2 ∂x2 2 2 ∂ U2 ∂P ∂ 2 U2 =µ + ∂x2 ∂x1 2 ∂x2 2

(15.144) (15.145) (15.146)

mit den Randbedingungen: ur r = R U1 = U2 = 0 f¨

(15.147)

U1 = U∞ , U2 = 0 f¨ ur r → ∞

(15.148)

Die nun f¨ ur die obigen Differentialgleichungen ermittelbare analytische L¨ osung erweist sich als derartig, dass die f¨ ur r = R und r → ∞ eingebrachten Randbedingungen zu zwei sich widersprechenden Lösungen f¨ uhren. Damit gelingt also die L¨ osung der vereinfachten Str¨ omungsgleichungen (15.144) bis (15.146) nicht, in denen ja die Beschleunigungsterme vernachlässigt wurden, f¨ ur die unter (15.147) und (15.148) angegebenen Randbedingungen. Diese Erkentnisse legen nahe, die Beschleunigungsterme in den Grundgleichungen zu belassen. F¨ ur das ebene Str¨ omungsproblem der Zylinderumströmung f¨ ur ρ =const und station¨ are Str¨ omungsbedingungen erhält man somit folgenden Satz an Differentialgleichungen:


ρ U1 ρ U1

∂U1 ∂U1 + U2 ∂x1 ∂x2 ∂U2 ∂U2 + U2 ∂x1 ∂x2

∂U1 ∂U2 + =0 ∂x1 ∂x2 2 ∂ U1 ∂ 2 U1 ∂P +µ + =− ∂x1 ∂x1 2 ∂x2 2 2 ∂ U2 ∂ 2 U2 ∂P +µ + =− ∂x2 ∂x1 2 ∂x2 2

483

(15.149) (15.150) (15.151)

Mit U1 = U∞ + u1 und U2 = u2 ergibt sich unter der Annahme U∞ u1 der Satz der verallgemeinerten Stokesschen Gleichungen:

ρU∞

∂u1 ∂x1

ρU∞

∂u2 ∂x2

∂u2 ∂u1 + =0 ∂x1 ∂x2 2 ∂ u1 ∂P ∂ 2 u1 =− +µ + ∂x1 ∂x1 2 ∂x2 2 2 ∂ u2 ∂P ∂ 2 u2 =− +µ + ∂x2 ∂x1 2 ∂x2 2

(15.152) (15.153) (15.154)

∂ 2φ = 0 erhält man ∂xi 2 nach einem von Lamb (1911) vorgeschlagenem Lösungsweg folgende Ansätze f¨ ur u1 und u2 :

Unter Einbeziehung der Potentialfunktion φ(x1 , x2 ) mit

u1 =

∂φ 1 ∂χ + −χ ∂x1 2k ∂x1

und u2 =

∂φ 1 ∂χ + ∂x2 2k ∂x2

(15.155)

wobei die beiden Gr¨ oßen φ und χ folgende Differentialgleichungen erf¨ ullen: ∂2φ ∂φ + =0 ∂x1 2 ∂x2

und

∂2χ ∂2χ ∂χ + − 2k =0 2 ∂x1 ∂x2 2 ∂x1

(15.156)

Die obigen Gleichungen (15.152) bis (15.154) sind alle erf¨ ullt, wenn f¨ ur den Druck eingesetzt wird: ∂φ (15.157) P = P∞ − ρU∞ ∂x1 F¨ ur φ(x1 , x2 ) l¨ asst sich folgender Ansatz finden, um die Differentialgleichung (15.156) zu erf¨ ullen: φ = A0 ln r + A1

∂ ln r ∂ 2 ln r + A2 + ··· ∂x1 ∂x1 2

(15.158)

uhrt man ein: F¨ ur χ(x1 , x2 ) f¨ χ = ψ exp(kx1 )

(15.159)

so dass sich f¨ ur die Bestimmung von ψ die folgende Differentialgleichung ergibt:

484


∂2ψ ∂2ψ + − k2 ψ = 0 ∂x1 2 ∂x2 2

(15.160)

oder in Zylinderkoordinaten: ∂2ψ 1 ∂2ψ 1 ∂ψ + 2 + − k2 ψ = 0 2 ∂r r ∂r r ∂ϕ2

(15.161)

Sucht man nur die von r abh¨ angige L¨ osung dieser Gleichung so erhält man die folgende gew¨ ohnliche Differentialgleichung: d2 φ 1 dφ − k2 φ = 0 + dr2 r dr

(15.162)

Diese Differentialgleichung wird durch die Besselfunktion K0 (kr) und deren Ableitung bestimmt, so dass folgender Ansatz vern¨ unftig erscheint: ∂K0 (kr) ∂ 2 K0 (kr) + B2 + ··· χ = −U∞ + exp(kx) B0 K0 (kr) + B1 ∂x1 ∂x1 2 (15.163) ∂ 2 ln r ∂(ln r) x1 cos ϕ cos 2θ und wegen = 2 = =− 2 (15.164) ∂x1 r r ∂x1 2 r l¨ asst sich angeben: φ = A0 ln r + A1

cos ϕ cos 2ϕ − A2 r r2

(15.165)

F¨ ur die Funktion χ gilt unter Einf¨ uhrung der Mascheronischen Konstante γ = 1,7811 bzw. ln γ = 0,57722: γ γ cos ϕ kr + kr cos ϕ ln kr − B1 (15.166) χ = −U∞ − B0 ln 2 2 r so dass sich f¨ ur das zylindernahe Geschwindigkeitsfeld angeben lässt: 1 A1 cos ϕ 1 A0 − + cos ϕ (15.167) Ur (r, ϕ) = + U cos ϕ − B ∞ 0 r r2 2kr 2 γ 1 cos ϕ kr + B1 − cos ϕ ln 2 2 2kr2 sin ϕ γ B1 sin ϕ A1 sin ϕ ln kr + Uϕ (r, ϕ) = − − U sin ϕ − B (15.168) ∞ 0 r2 2 2 2kr2 Bezieht man nun die Randbedingungen f¨ ur r = R ein, so erhält man: B0 A0 B0 − =0 ; A0 = R 2kR 2k A1 γ B1 B0 1 − ln kR + + U∞ − =0 2 R 2 k 2kR2

(15.169) (15.170)


B1 A1 B0 γ ln kR + − U − =0 ∞ R2 2 2 2kR2 Damit ergeben sich f¨ ur die Integrationskonstanten: −

2U∞ 4ν ,2 = 1 + ,2 + k 1 − 2 ln γ2 kR 1 − 2 ln γ2 kR 4U∞ + ,2 B0 = 1 1 − 2 ln γ2 kR A0 = 1

A1 −

−U∞ R2 B1 ,2 + = 1 2k 1 − 2 ln γ2 kR

485

(15.171)

(15.172) (15.173) (15.174)

Damit ergibt sich f¨ ur die Geschwindigkeitskomponenten in Zylindernähe: Ur (r, ϕ) = 1

r U∞ cos ϕ R2 + γ ,2 −1 + 2 + 2 ln r R 1 − 2 ln 2 kR

(15.175)

r R2 −U∞ sin ϕ + γ ,2 1 − 2 + 2 ln r R 1 − 2 ln 2 kR

(15.176)

Uϕ (r, ϕ) = 1

ur die GeschwindigF¨ ur große Entfernungen gelten folgende Gleichungen f¨ keitskomponenten: Ur (r, ϕ) =

1 A0 + B0 exp (kr cos ϕ) [K0 (kr) − cos ϕK0 (kr)] r 2

(15.177)

1 B0 exp (kr cos ϕ) K0 (kr) sin ϕ (15.178) 2 Wobei f¨ ur große Argumente (kr) die folgenden asymptotischen Beziehungen gelten: π exp(−kr) (15.179) K0 (kr) ≈ 2kr Uϕ (r, ϕ) =

-

und K0 (kr)

≈−

π exp(−kr) 2kr

(15.180)

F¨ ur den Druck errechnet sich: P = P∞ − ρU∞ A0

cos ϕ cos 2ϕ + ρU∞ A1 r r2

(15.181)

F¨ ur die Widerstandskraft ergibt sich: W = 2πρU∞ A0

(15.182)

ur die Widerstandskraft pro A0 eingesetzt ergibt die Lambsche Formel f¨ L¨ angeneinheit eines Zylinders:

486


W = 1

8πµU∞ ,2 + 1 − 2 ln γ2 kR

(15.183)

Trotz der Ber¨ ucksichtigung der Beschleunigungsterme ist die oben aufgef¨ uhrte Beziehung f¨ ur W , d.h Gleichung (15.183), nur f¨ ur kleine Werte f¨ ur R Re = U∞ anwendbar. ν Will man die obigen Einschr¨ ankungen bez¨ uglich der Lösung von Str¨ omungsproblemen nicht haben, d.h. will man die Lösung f¨ ur die Zylinderumstr¨ omung ohne jegliche Einschr¨ ankungen, d.h. f¨ ur die vollständigen Str¨ omungsgleichungen erhalten, so muss man diese Gleichungen numerisch l¨ osen. Solche L¨ osungen sind heute f¨ ur Re ≤ 10.000 durch direkte Lösungen der Kontinuit¨ ats- und der Re-Gleichungen m¨ oglich. Sie f¨ uhren zu Ergebnissen, wie sie nebenstehend aufgezeigt sind. In Abb. 15.10 sind Lösungen f¨ ur kleine Re-Zahlen dargestellt. Aus den numerischen Berechnungen lassen sich

Abbildung 15.10: Stromlinienbilder f¨ ur Zylinderumstr¨ omungen bei verschiedenen Re-Zahlen

auch die Widerstandsbeiwerte ermitteln, wie sie in Abb. 15.11 zu sehen sind. Experimentelle Untersuchungen best¨ atigen die numerischen Berechnungen. Dies betrifft nicht nur die Widerstandsbeiwerte, die im oben aufgef¨ uhrten Diagramm 15.11 aufgezeigt sind, sondern auch die Details der Strömung, so z.B. die L¨ ange des Gebietes mit rezirkulierender Strömung nach dem Zylinder. In der Abbildung 15.12 sind experimentelle Ergebnisse aufgezeigt, die dem Buch An Album of Fluid Motion entnommen sind.

15.9 Diffusions- und Konvektionseinfl¨ usse auf Str¨ omungsfelder C

487

2 2 .0 D

T o m o tik a a n d A o T a m a d a e t. a l. 1 9 K e lle r a n d W a rd R e s u lts o f L a n g e T ritto n 1 9 5 9 (e x p H u n e r a n d H u sse

2 0 .0 1 8 .0 1 6 .0 1 4 .0

l 1 9 5 1 8 3 1 9 9 6 e t.a l. 1 9 9 8 e r .) y 1 9 7 7 ( e x p e r .)

1 2 .0

C

W ie s e ls b e rg e r 1 9 2 T ritto n 1 9 5 9 Ja y a w e e ra a n d M a N is h io k a a n d S a to H u n e r a n d H u sse y R e s u lts o f L a n g e e

D

1 0 1

1 0 0

1 0 .0

3 so n 1 9 6 5 1 9 6 5 1 9 7 7 t.a l.1 9 9 8

8 .0 6 .0 4 .0 2 .0

0 .0

1 .0

2 .0

3 .0

4 .0

R e

5 .0

6 .0

1 0 0

1 0 1

R e

1 0 2

Abbildung 15.11: Widerstandsbeiwerte f¨ ur die Zylinderumstr¨ omung

R = 13,1

R = 41,0

Abbildung 15.12: Rezirkulationsgebiete nach dem Zylinder aus experimentellen Untersuchungen, entnommen dem Buch An Album of Fluid Motion von Van Dyke [15.8]

15.9 Diffusions- und Konvektionseinflu ¨sse auf Stro mungsfelder ¨ In den Abschnitten 3 und 5 dieses Buches wird die Analogie der Wärmeleitung und des molekularen Impulstransports unterstrichen und um die Bedeutung dieser Analogie herauszustellen wird die allgemeine Form der Impulsgleichungen umgeschrieben in die Transportgleichung f¨ ur Wirbelstärke ωj , siehe Kapitel 5: ∂ωj ∂ωj ∂Uj ∂ 2 ωj + Ui +µ (15.184) = −ρωj ρ ∂t ∂xi ∂xi ∂xi 2

488


F¨ ur die zweidimensionale Str¨ omung um einen Zylinder ist ω3 = ω die einzige Komponente die ungleich Null ist und dieser Sachverhalt erlaubt die Wirbelst¨ arkengleichung als Skalargleichung zu schreiben. Diese Gleichung lautet wegen ρωi (∂Uj /∂xi ) = 0: ∂ω ∂ω ∂2ω + Ui (15.185) =µ ρ ∂t ∂xi ∂xi 2 Vergleicht man diese Gleichung mit der W¨ arme- oder Stofftransportgleichung f¨ ur konvektiven und diffusiven Transport, ∂c ∂T ∂T ∂c ∂2T ∂2c ρcv + Ui + Ui und ρ , (15.186) =λ =D 2 ∂t ∂xi ∂xi ∂t ∂xi ∂xi 2 so sieht man, dass man den Einfluss von K¨ orpern auf Strömungen so verstehen kann, dass an der K¨ orperberandung die Wirbelstärke ω produziert wird, die von dem K¨ orper durch molekulare Diffusion in das Fluid gelangt, um dann konvektiv wegtransportiert zu werden.

A u s b re itu n g v o n W ä rm e 2 R l ~ r lc p

D t

R m2 ~ n D t

Abbildung 15.13: Rein diffusiver Transport von W¨ arme bzw. Wirbelst¨ arke von einem Zylinder

Um nun die Wechselwirkung zwischen Konvektion und Diffusion zu verstehen, ist es somit m¨ oglich den diffusiven und konvektiven Wärmetransport zu betrachten und die dabei gewonnenen Erkenntnisse auf die Wirbelstärke, sprich das Str¨ omungsfeld zu u ¨ bertragen. Betrachtet man einen beheizten Zylinder mit kleinem Durchmesser, bei einer pl¨ otzlichen Temperaturerh¨ ohung, so zeigt sich, dass sich, in einer Zeit ∆t, eine W¨ armefront durch W¨ armeleitung wie folgt ausbreitet:

15.9 Diffusions- und Konvektionseinfl¨ usse auf Str¨ omungsfelder

Rλ2 = const mit a =

λ ρcp

λ ρcp

489

∆t

(15.187)

Temperaturleitf¨ ahigkeit

Analog gilt f¨ ur die Wirbelst¨ arke: Rµ2 = const(ν)∆t

mit ν = µ/ρ

(15.188)

F¨ ur die Ausbreitungsgeschwindigkeit ergibt sich somit in Abständen Rλ und Rµ vom Ursprung: λ 1 Rλ = const uλ = (15.189) ∆t Rλ ρcv bzw. analog f¨ ur den Impulstransport uµ =

1 Rµ = const ν ∆t Rµ

(15.190)

Bewegt sich nun ein Fluid mit einer kleinen Strömungsgeschwindigkeit

x G r e n z e d e s B e r e ic h e s ,in d e m d ie V is k o s itä t u n d T e m p e ra tu re in flü s s e b e m e rk b a r s in d .

K ö rp e r

g 1 d n u n r O r e d U d v o n

U n g e s tö rte A n s trö m u n g 2

.

x 1

( x 1 )l

n

Abbildung 15.14: Endliches Gebiet f¨ ur die Ausbreitung von W¨ arme bzw. Wirbelst¨ arke f¨ ur kleine Re-Zahlen

U1 = U∞ , so ergibt sich der in Abb. 15.14 skizzierte Zustand, der dadurch gekennzeichnet ist, dass sich ein Punkt auf der x1 -Achse finden lässt, an dem die Ausbreitungsgeschwindigkeit Uµ = U∞ ist, so dass gilt: λ 1 (x1 )λ = Rλ = const (15.191) U∞ ρcv bzw.

ν . (15.192) U∞ Damit ist verst¨ andlich, dass sich bei Vorliegen einer Anströmung der Einfluss des Zylinders auf das Temperatur- bzw. Geschwindigkeitsfeld nur in einem (x1 )µ = Rµ = const

490


begrenzten Gebiet auswirken kann, wie Abb. 15.14 zeigt. Rechts von dem Punkt (x1 )µ gibt es keinerlei Informationen u ¨ber den in Abb. 15.14 liegenden K¨ orper. Die in Abb. 15.14 erl¨ auterten Erkenntnisse sind wichtig, wenn man im Anstr¨ ombereich eines Zylinders das Gebiet finden muss, in dem von dem Zylinder ungest¨ orte Anstr¨ ombedingungen aufgeprägt werden m¨ ussen. Nach (15.192) erh¨ alt man: x 1

D bzw.

x 1

D

> const λ

> const µ

ν U∞ D

const ν = U∞ D Re

λ µcv

= const

1 . ReP r

(15.193)

(15.194)

Gleichung (15.193) zeigt, dass mit abnehmender Re-Zahl das Integrationsgebiet zunimmt, das man, bei der Anwendung numerischer Integrationsverfahren mit einem numerischen Gitter abzudecken hat, um die im Unendlichen geltenden Randbedingungen anzubringen. Eine zusätzliche Erweiterung des Rechengebietes ergibt sich f¨ ur Peclet-Zahlen Pe = (RePr) < 1, d.h. f¨ ur Pr < 1, wenn das Temperaturfeld einer Zylinderumströmung gleichfalls berechnet werden muss.

15.10 Literaturhinweise 15.1 Lamb H (1911) On the Uniform Motion of a Sphere Through a Viscous Fluid. Phil. Mag. 21, p. 120 15.2 Lamb H (1945) Hydrodynamics. Dover Publications, New York 15.3 Bird RD, Stewart WE, Lightfoot EN (1960) Transport Phenomena. John Wiley & Sons Inc., New York 15.4 Schlichting H (1968) Boundary Layer Theory. 6 Edition, McGraw Hill Book Company, New York 15.5 Yuan SW (1971) Foundations of Fluid Mechanics. Civil. Engineering and Mechanics Series, Mei Ya Publications, Inc. Taipei, Taiwan 15.6 Yih CS (1979) Fluid Mechanics - A Concise Introduction to the Theory, West River Press, Ann Arbor, Michigan 15.7 Van Dyke, M (1982) An Album of Fluid Motion. The Parabolic Press, Stanford, California 15.8 Sherman FS (1990) Viscous Flow. Mc-Graw Hill, New York

16 Str¨ omungen großer Reynoldszahlen (Grenzschichtstr¨ omungen)

16.1 Allgemeine Betrachtungen und Ableitungen Im vorausgegangenen Kapitel 15 wurden Betrachtungen zu Strömungen angestellt, die durch kleine Reynolds-Zahlen (Re-Zahlen) gekennzeichnet waren, d.h. Str¨ omungsvorg¨ ange, bei denen die Diffusion dominierte und die Konvektion eine untergeordnete Rolle spielte. Dies l¨ asst sich durch kleine Re-Zahlen ausdr¨ ucken, etwa in der Form, dass die Re-Zahl als Kräfteverhältnis betrachtet wird: Re =

Beschleunigungskraft dρc Uc2 Uc L c = = νc µc (Uc /Lc ) Viskositätskraft

(16.1)

Hierbei stellen ρc und µc die ein Fluid kennzeichnende Dichte und Viskosität dar, Uc eine charakteristische Geschwindigkeit und Lc eine das Strömungsgebiet kennzeichnende L¨ ange. ¨ Aquivalente Betrachtungen zur Bedeutung der Re-Zahl können allerdings auch u ur Diffusions- und Konvektionsvorgänge typischen Zeiten zum ¨ ber die f¨ Ausdruck gebracht werden: Re =

Diffusionszeit (L2c /νc ) Uc L c = = νc (Lc /Uc ) Konvektionszeit

(16.2)

oder aber u ur die Diffusions- und Konvektionsvorgänge typischen ¨ber die f¨ Geschwindigkeiten: Re =

Uc L c Konvektionsgeschwindigkeit dUc = = νc (νc /Lc) Diffusionsgeschwindigkeit

(16.3)

Betrachtet man nun Str¨ omungen mit großen Re-Zahlen, d.h. Strömungen, in denen die Beschleunigungskr¨ afte gegen¨ uber den Viskositätskräften dominieren, bzw. die Diffusionszeiten gegen¨ uber den Konvektionszeiten groß sind, oder aber die Konvektionsgeschwindigkeiten groß gegen¨ uber den Diffusionsgeschwindigkeiten sind, so l¨ asst sich zeigen, dass z.B. die Einwirkungen von Wandungen auf Str¨ omungen auf kleine Bereiche in Wandnähe beschränkt sind. Dies ist in Abb. 16.1 skizziert, welche die Umströmung einer ebenen

492

16 Str¨ omungen großer Reynoldszahlen U n g e s tö rte A n s trö m u n g W a n d n a h e r B e re ic h fü r g ro ß e R e -Z a h le n

U d n >> 1

U d ~ n ~ 1 Abbildung 16.1: Bereichsbegrenzungen f¨ ur Diffusionsvorg¨ ange bei der Plattenumstr¨ omung f¨ ur Re ≈ 1 sowie Re 1

Platte zeigt und hier den kleinen Bereich in Wandnähe angibt, in dem f¨ ur große Re-Zahlen Viskosit¨ atseinfl¨ usse zu beobachten sind. Der Inhalt dieser ¨ Abbildung resultiert aus der Erweiterung der Uberlegungen, die am Ende des Kapitels 15 durchgef¨ uhrt wurden. Wendet man die aus Kapitel 15.9 gewonnenen Erkenntnisse auf die Umstr¨ omung einer ebenen Platte an, so ergibt sich f¨ ur Re ≈ 1 ein großer Bereich, in dem Diffusionsvorgänge Informationen u asenz der umstr¨ omten Platte in dem strömenden Fluid bemerkbar ¨ ber die Pr¨ werden lassen. Liegen dagegen Verh¨ altnisse vor, die durch Re 1 gekennzeichnet sind, so bleibt der Einfluss der Diffusion auf ein kleines Gebiet in der Plattenn¨ ahe beschr¨ ankt. Dort kommt es zur Ausbildung einer sogenannten Plattengrenzschicht. Grenzschichten dieser Art sind somit die charakteristischen Eigenschaften von Str¨ omungen hoher Re-Zahlen. Solche Strömungen lassen sich somit in k¨ orpernahe Gebiete unterteilen, in denen Viskositätseinfl¨ usse auf Str¨ omungen zu beachten sind, und in wandferne Gebiete, die als frei von Viskosit¨ atseinfl¨ ussen, d.h. frei von den Impulsverlusten an die Wand, angesehen werden k¨ onnen. ¨ Die obigen Betrachtungen machen deutlich, dass es besonderer Uberlegungen bedarf, um die Gleichungen abzuleiten, die als Näherungen der NavierStokesschen Gleichungen f¨ ur Re 1 zur L¨ osung von Strömungsproblemen herangezogen werden k¨ onnen. Ableitungen anzustreben, in denen die Viskosit¨ atsterme, wegen Re 1, in den die Str¨ omung beschreibenden Differentialgleichungen vollst¨ andig vernachl¨ assigt werden, sind unzulässig, da dieses Vorgehen in den Eulergleichungen resultieren w¨ urde: normierte Eulergleichung

⇒0

wegen

Re⇒∞

∗ ∗ 2 ∗ ∗ ∂U ∂ U ∂U L ν ∂P ∆P c c c j j j · + Ui∗ + =− ρ∗ tc · Uc ∂t∗ ∂x∗i ρc Uc2 ∂x∗j Uc Lc ∂x∗i 2

(16.4)

16.1 Allgemeine Betrachtungen und Ableitungen

493

¨ Vielmehr gilt es zur Ableitung der Grenzschichtgleichungen Uberlegungen zur Anwendung zu bringen, wie sie von Prandtl, (1904) & (1905), vorgeschlagen wurden. Diese basieren auf Gr¨ oßenbetrachtungen der Terme in den Navier-Stokes-Gleichungen unter Ber¨ ucksichtigung der Unterschiede in den Zeiten bzw. Geschwindigkeiten bei Diffusions- und Konvektionstransportvorg¨ angen. W¨ urde man die viskosen Terme vernachl¨ assigen, so käme dies einer Reduktion der Ordnung der die Str¨ omung beschreibenden Grundgleichungen gleich. Damit w¨ are es nicht m¨ oglich, alle eine Strömung kennzeichnenden Randbedingungen zu implementieren und Str¨ omungen, die so aus den Grundgleichungen als L¨ osungen resultieren, w¨ urden beachtliche Defizite aufweisen. ¨ Der somit in Abb. 16.1 angedeutete Ubergang von den allgemein g¨ ultigen Navier-Stokes-Gleichungen auf die Grenzschichtgleichungen ist ein essentieller Schritt, den es zu ber¨ ucksichtigen gilt, um nur solche Vereinfachungen der Navier-Stokesschen-Gleichungen zuzulassen, die noch in physikalisch sinnvollen L¨ osungen der Gleichungen resultieren.

x 1 = y R a n d p u n k t

d L

x 2 = x

P la tte n a n fa n g

Abbildung 16.2: Grenzschichtdicke entlang einer ebenen Platte

x1 = x

wobei x = Grenzschichtkoordinate in Strömungsrichtung ist

x2 = y

wobei y = Grenzschichtkoordinate senkrecht zur Strömungsrichtung ist

W¨ ahlt man L als eine Abmessung in Str¨ omungsrichtung entlang der in Abb. 16.2 angedeuteten Plattenstr¨ omung, so ist δ die zugehörige Grenzschichtdicke, wobei nach Abb. 16.1 ersichtlich ist, dass δ L f¨ ur große Re-Zahlen gilt. Betrachtet man die Zeiten: ∆tc = dL/U∞ ∆tD = dδ 2 /ν

Konvektionszeit Diffusionszeit

so erh¨ alt man, da ∆tc = ∆tD f¨ ur den Randpunkt δ(L)ist: δ 1 δ2 L ; = = U∞ ν L (U∞ δ/ν)

(16.5)

494

16 Str¨ omungen großer Reynoldszahlen

Die Grenzschichtdicke δ, normiert mit der Lauflänge“ L, ist proportional ” dem Kehrwert der mit der Außengeschwindigkeit und der Grenzschichtdicke gebildeten Reynoldszahl: (δ/L) = 1/Reδ . Beachtet man den in Gleichung (16.3) gegebenen Zusammenhang, so ergibt sich f¨ ur die in y-Richtung erur die folgende Diffusionsgeschwindigkeit: UD = Uy ≈ ν/δ, so dass sich f¨ Gr¨ oßenordnungsbetrachtungen folgende Normierungen angeben lassen: P P∞ (16.6) F¨ uhrt man nun diese Normierungen in die zweidimensionalen Navier-StokesGleichungen mit konstanten Fluideigenschaften ein: x∗ =

x ; L

y∗ =

y ; δ

Ux∗ =

Ux ; U∞

Uy∗ =

Uy ; (ν/δ)

t∗ =

t ; (L/U∞ )

P∗ =

∂U2 ∂U1 + =0 (16.7) ∂x1 ∂x2 2 ∂ U1 ∂U1 ∂U1 ∂U1 ∂ 2 U1 ∂P + U1 + U2 +µ + ρ =− (16.8) ∂t ∂x1 ∂x2 ∂x1 ∂x1 2 ∂x2 2 ρ

∂U2 ∂U2 ∂U2 + U1 + U2 ∂t ∂x1 ∂x2

=−

∂P +µ ∂x2

∂ 2 U2 ∂ 2 U2 + 2 ∂x1 ∂x2 2

(16.9)

so lassen sich die unten aufgef¨ uhrten Ableitungen durchf¨ uhren. F¨ ur die Kontinuit¨ atsgleichung ergibt sich: ν ∂Uy∗ U∞ ∂Ux∗ + =0 L ∂x∗ δ 2 ∂y ∗

;

∂Ux∗ νL ∂Uy∗ + = 0. ∂x∗ U δ 2 ∂y ∗ ∞

(16.10)

≈1

Dabei ist der Term (νL)/(U∞ δ 2 ) = (L/U∞ )/(δ 2 /ν) das Verhältnis der Konvektions- und Diffusionszeiten. Nach Gleichung (16.5) sind beide Terme gleich, so dass beide Gradienten in der Kontinuitätsgleichung von der selben Gr¨ oßenordnung sind, also in den Grenzschichtgleichungen mitgef¨ uhrt werden m¨ ussen. Damit lautet die Gleichung f¨ ur Grenzschichtströmungen: Kontinuit¨ atsgleichung: ∂Uy ∂Ux + =0 (16.11) ∂x ∂y F¨ ur die Impulsgleichung in x-Richtung ergibt die Normierung: 2 2 ∗ U∞ νU∞ ∗ ∂Ux∗ U∞ ∂Ux∗ P∞ ∂P ∗ ∗ ∂Ux U + + U + ρ = − x y L ∂t∗ L ∂x∗ δ2 ∂y ∗ L ∂x∗ U∞ ∂ 2 Ux∗ U∞ ∂ 2 Ux∗ + 2 µ L2 ∂x∗ 2 δ ∂y ∗ 2

(16.12)

16.1 Allgemeine Betrachtungen und Ableitungen

495

2 Dividiert man die gesamte Gleichung mit (ρU∞ /L), so erhält man:

∂Ux∗ ∂Ux∗ ∂Ux∗ νL P∞ ∂P ∗ + Ux∗ + Uy∗ =− 2 + ∗ ∗ 2 ∗ ∂t ∂x U δ ∂y ρU∞ ∂x∗ ∞ ≈1

∂ 2 Ux∗ νL ∂ 2 Ux∗ + U∞ L ∂x∗ 2 U δ 2 ∂y ∗ 2 ∞ ν

(16.13)

≈1

δ/(LReδ )

Mit (δ/L) ≈ (1/Reδ ) ergibt sich f¨ ur den ersten der beiden Viskositätsterme auf der rechten Seite von (16.13), dass dieser mit (1/Re2δ ) zu multiplizieren assigbar angesehen werden kann. ist, so dass er f¨ ur Reδ 1 als vernachl¨ Damit gilt f¨ ur die Grenzschichtform der x-Impulsgleichung: ρ

∂Ux ∂Ux ∂Ux + Ux + Uy ∂t ∂x ∂y

=−

∂ 2 Ux ∂P +µ ∂x ∂y 2

(16.14)

Analoge Ableitungen ergeben f¨ ur die zweidimensionale y-Impulsgleichung: νU∞ ∂Uy∗ U∞ ν ∗ ∂Uy∗ ν 2 ∗ ∂Uy∗ P∞ ∂P ∗ U + + U = − ρ δL ∂t∗ δL x ∂x∗ δ 3 y ∂y ∗ δ ∂y ∗ . / (16.15) ν ∂ 2 Uy∗ ν ∂ 2 Uy∗ +µ + 3 δL2 ∂x∗ 2 δ ∂y ∗ 2 2 /L), so ergibt sich: Dividiert man auch diese Gleichung mit (δU∞

∂Uy∗ ∂Uy∗ ν ∂Uy∗ νL ν ν P∞ L ∂P ∗ + Ux∗ + Uy∗ =− 2 ∗ ∗ 2 ∗ δU∞ ∂t δU∞ ∂x U∞ δ U∞ δ ∂y ρU∞ δ ∂y ∗ ≈1 2 ν ν ∂ 2 Uy∗ L ∂ 2 Uy∗ ν + + U∞ δ U∞ L ∂x∗ 2 U∞ δ δ ∂y ∗ 2 (16.16) oder umgeschrieben: ∂Uy∗ ∂Uy∗ ∂Uy∗ P∞ 1 ∂P ∗ ∗ ∗ = − + U + U Re + δ x y 2 Reδ ∂t∗ ∂x∗ ∂y ∗ ρU∞ ∂y ∗ . / (16.17) 1 ∂ 2 Uy∗ 1 ∂ 2 Uy∗ + Reδ ∂y ∗ 2 Re3δ ∂x∗ 2 Damit ergibt sich, dass in der Gleichung (16.17) alle Beschleunigungs- und Viskosit¨ atsterme vernachl¨ assigt werden k¨ onnen. Sie sind, wegen Reδ 1, sehr klein gegen¨ uber den entsprechenden Termen in der x-Impulsgleichung (16.14). Somit resultiert die y-Impulsgleichung in folgender Gleichung:

496


∂P =0 ∂y

(16.18)

Diese Gleichung besagt, dass sich der Druck in einer Grenzschicht, senkrecht zu einer Berandung, nicht ¨ andert. Die Grenzschicht erfährt somit, bis an die Wand, die in x-Richtung aufgepr¨ agte Druck¨ anderung der Außenströmung. Dies bedeutet f¨ ur viele Probleml¨ osungen, dass die Druckverteilung P (x, y) = P∞ (x) bekannt ist, so dass u ¨ ber die Grenzschichtgleichungen zur Lösung von Str¨ omungsproblemen nur die Geschwindigkeitskomponenten Ux und Uy zu bestimmen sind. Die zweidimensionalen Grenzschichtgleichungen lassen sich aufgrund der obigen Gr¨ oßenordnungsbetrachtungen wie folgt angeben: ∂Uy ∂Ux + =0 ∂x ∂y ∂Ux ∂ 2 Ux ∂Ux ∂Ux ∂P ρ + Ux + Uy +µ =− ∂t ∂x ∂y ∂x ∂y 2 ∂P =0 ∂y

(16.19a) (16.19b) (16.19c)

Die Gleichungen (16.19) sind, wie sich leicht zeigen lässt, ein Satz parabolischer Differentialgleichungen. Diese lassen sich, mit den entsprechenden Randbedingungen, f¨ ur einige Str¨ omungsgeometrien lösen und erlauben so die Geschwindigkeitsverteilungen in Grenzschichtströmungen zu berechnen.

16.2 L¨ osungen der Grenzschichtgleichungen Im vorausgegangenen Abschnitt wurden die Grenzschichtgleichungen abgeleitet: ∂Uy ∂Ux + =0 ∂x ∂y ∂Ux ∂ 2 Ux ∂Ux ∂Ux ∂P + Ux + Uy +µ ρ =− ∂t ∂x ∂y ∂x ∂y 2 ∂P =0 ∂y

(16.20a) (16.20b) (16.20c)

F¨ ur die Außenstr¨ omung, wo keine Viskosit¨ atseffekte auftreten, lässt sich die Druckverteilung u ¨ ber die Eulerform der Impulsgleichung bestimmen: ∂U∞ 1 ∂P ∂U∞ + U∞ =− ∂t ∂x ρ ∂x

(16.21)

Wegen (16.20c) l¨ asst sich die Impulsgleichung (16.20b), aufgrund Gleichung (16.21) wie folgt schreiben:

16.2 L¨ osungen der Grenzschichtgleichungen

∂U∞ ∂ 2 Ux ∂Ux ∂Ux ∂Ux ∂U∞ + Ux + Uy = + U∞ +ν ∂t ∂x ∂y ∂t ∂x ∂y 2

497

(16.22)

Diese Gleichung gilt es mit Gleichung (16.20a) zusammen zu lösen, um Grenzschichtstr¨ omungen zu berechnen. Dabei ist die G¨ ultigkeit dieser Gleichung, streng genommen, nur f¨ ur kartesische Koordinaten nachgewiesen. Hier soll jedoch darauf hingewiesen werden, dass sie auch f¨ ur gekr¨ ummte Koordinaten g¨ ultig ist, wenn der Kr¨ ummungsradius der Stromlinien groß gegen¨ uber der Grenzschichtdicke δ ist. Um nun die Grenzschichtgleichungen zu lösen, empfiehlt es sich, die Stromfunktion Ψ einzuf¨ uhren, so dass die Kontinuitätsgleichung eleminiert wird: U1 =

∂Ψ ∂Ψ = Ux = ∂x2 ∂y

U2 = −

∂Ψ ∂Ψ = Uy =− ∂x1 ∂x

(16.23)

Damit ergibt sich nach Gleichung (16.22) die folgende partielle Differentialgleichung f¨ ur die als Unbekannte eingef¨ uhrte Stromfunktion Ψ : ∂2Ψ ∂Ψ ∂ 2 Ψ ∂Ψ ∂ 2 Ψ ∂3Ψ ∂U∞ ∂U∞ + − + U + ν = ∞ ∂t∂y ∂y ∂x∂y ∂x ∂y 2 ∂t ∂x ∂y 3

(16.24)

Es liegt somit eine partielle Differentialgleichung 3. Ordnung vor, die es f¨ ur die Stromfunktion Ψ (x, y, t) zu l¨ osen gilt und diese Lösung bedarf der Angabe von drei Randbedingungen und geeigneter Anfangsbedingungen. Dabei ist zu beachten, dass die unterschiedlichen Grenzschichtströmungen durch die entsprechenden Rand- und Anfangsbedingungen gegeben sind. Die sich in den Grenzschichten abpielenden Transportvorg¨ ange sind alle durch die Differentialgleichung f¨ ur Ψ beschrieben. Beim station¨ arer Str¨ omungsbedingungen ergibt sich aus (16.24) Vorliegen ∂ ∂Ψ = 0: f¨ ur ∂t ∂y ∂Ψ ∂ 2 Ψ ∂Ψ ∂ 2 Ψ ∂3Ψ dU∞ − + ν = U ∞ ∂y ∂x∂y ∂x ∂y 2 dx ∂y 3

(16.25)

Diese Gleichung wurde von Blasius (1908) f¨ ur den Fall der Strömung u ¨ ber eine ebene Platte mit U∞ =const angegeben und auch gelöst. F¨ ur den Fall station¨ arer Grenzschichtstr¨ omungen hat v. Mises 1927 die Grenzschichtgleichungen auf eine nichtlineare partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung zur¨ uckgef¨ uhrt, die dem Gleichungstyp der Wärmeleitungsgleichung entsprach. Die wesentlichen Punkte der Ableitung der Misesschen Differentialgleichung lassen sich wie unten aufgef¨ uhrt zusammenfassen. Die von v. Mises vorgeschlagenen Ableitungen gehen gleichfalls von der Stromfunktion Ψ aus, die jedoch als unabh¨ angige Variable in die Ableitungen eingef¨ uhrt wird, so dass gilt: Ux (x, y) = Vx (x, Ψ ) und Uy (x, y) = Vy (x, Ψ )

(16.26)

498


Damit lassen sich die folgenden Beziehungen angeben: ∂Ux ∂Vx ∂Vx ∂Ψ ∂Vx ∂Vx = + = − Uy ∂x ∂x ∂Ψ ∂x ∂x ∂Ψ

(16.27)

∂Ux ∂Vx ∂Ψ ∂Vx ∂Vx = = Ux = Vx ∂y ∂Ψ ∂y ∂Ψ ∂Ψ

(16.28)

F¨ ur die zweite Ableitung nach y erh¨ alt man durch folgende Zwischenrechnung: 2 ∂Vx ∂Vx ∂ 2 ∂Vx + Ux = Ux = Ux ∂y ∂Ψ ∂Ψ ∂Ψ . 2 / ∂Vx ∂Vx ∂ ∂Vx + = Ux Ux = Ux Vx ∂Ψ ∂Ψ ∂Ψ ∂Ψ (16.29)

∂ 2 Ux ∂ = 2 ∂y ∂y

∂Ux ∂y

Damit gilt: ∂ ∂ 2 Ux = Ux 2 ∂y ∂Ψ

∂ ∂Ψ

1 2 V 2 x

= Vx

∂2 ∂Ψ 2

1 2 V 2 x

(16.30)

Setzt man (16.27) bis (16.30) in die Grenzschichtform der stationären Impulsgleichung ein, so ergibt sich: 2 Vx ∂Vx dU∞ ∂2 = U∞ + νVx Vx (16.31) 2 ∂x dx ∂Ψ 2 oder umgeschrieben 2 dU∞ ∂2 + 2, ∂Vx2 = + νVx Vx ∂x dx ∂Ψ 2

(16.32)

F¨ uhrt man nun eine neue Funktion ein: 2 − Vx2 V(x, Ψ ) = U∞

(16.33) 2 − V, so nimmt die Differentialgleichung (16.32) die so dass gilt: Vx = U∞ Misessche Form an: ∂V ∂2V 2 −V = ν U∞ (16.34) ∂x ∂Ψ 2 Die Misessche Differentialgleichung muss den Randbedingungen gen¨ ugen: Ψ =0:

Ux = 0,

2 d.h. V = U∞

Ψ → ∞ : Ux → U∞ , d.h. V = 0

(16.35)

Die obigen allgemeinen L¨ osungsans¨ atze f¨ ur die Grenzschichtgleichungen werden in den nachfolgenden Abschnitten auf konkrete Strömungen angewandt.

16.3 Plattengrenzschicht (L¨ osung nach Blasius)

499

16.3 Plattengrenzschicht (L¨ osung nach Blasius) Die in Abb. 16.3 skizzierte Str¨ omung entlang einer ebenen Platte, stellt die Str¨ omung eines Fluids mit konstanten Fluideigenschaften dar und mit einer konstanten Anstr¨ omgeschwindigkeit. Diese Anströmung trifft im Ursprung des x-y-Koordinatensystems auf eine zur Zeichenebene gelegene, unendlich ausgedehnte, ebene Platte, so dass sich entlang der ebenen Platte eine Grenzschichtstr¨ omung ausbildet. F¨ ur diese gelten die Grenzschichtgleichungen (16.20a - 16.20c) mit den Vereinfachungen nach (16.21): U

U

0 0

d

0 0

{ x U x ( y ) fü r x = c o n s ta n t

Abbildung 16.3: Ausbildung einer Plattengrenzschicht mit

∂P ∂x

= 0 bzw.

∂P =0 ∂x

dU∞ dx

=0

(16.36)

bzw.

dU∞ = 0, dx so dass die Grenzschichtgleichungen wie folgt gelten: Ux

∂ 2 Ux ∂Ux ∂Ux + Uy =ν ∂x ∂y ∂y 2 ∂Uy ∂Ux + =0 ∂x ∂y

(16.37)

(16.38) (16.39)

mit den Randbedingungen: y = 0 : Ux = Uy = 0;

y → ∞ : Ux → U∞

(16.40)

F¨ uhrt man nun zur Elimination der Kontinuit¨ atsgleichung die Stromfunktion Ψ ein: ∂Ψ ∂Ψ und Uy = − (16.41) Ux = ∂y ∂x

500


so erh¨ alt man folgende Differentialgleichung ∂Ψ ∂ 2 Ψ ∂Ψ ∂ 2 Ψ ∂3Ψ − =ν 3. 2 ∂y ∂x∂y ∂x ∂y ∂y ¨ F¨ ur diese gab Blasius eine Ahnlichkeitsl¨ osung an, derart dass er eine in der Form als Ansatz w¨ ahlte: U∞ Ux = F (η) mit η = y U∞ νx √ y νx Dieser Ansatz ber¨ ucksichtigt, dass η ≈ mit δ ≈ νt = δ U∞ werden kann. F¨ ur die Stromfunktion l¨ asst sich angeben: " y " η νx Ψ= Ux dy = U∞ F (η) dη = U∞ νxf (η) U∞ 0 0

(16.42) Lösung

(16.43) gesetzt

(16.44)

F¨ ur die einzelnen Terme in den Gleichungen (16.38) und (16.39) lassen sich somit folgende Beziehungen ableiten: df dΨ ∂η ∂Ψ = = U∞ = U∞ f (η) ∂y dη ∂y dη . / 1 U∞ ν ∂Ψ ∂η ∂Ψ =− f (η) + Uy = − ∂x 2 x ∂η ∂x 1 νU∞ η =− f (η) − U∞ νx − f (η) 2 x 2x

Ux =

oder umgeschrieben:

1 Uy = 2

-

νU∞ (ηf (η) − f (η)) x

(16.45)

(16.46)

F¨ ur die weiteren Terme in den Gleichungen (16.38) und (16.39) lässt sich angeben: ∂Ux ∂2Ψ U∞ η = =− f (η) (16.47) ∂x ∂x∂y 2 x ∂2Ψ ∂Ux U∞ = f (η) = U∞ (16.48) 2 ∂y ∂y νx ∂ 2 Ux ∂3Ψ U2 = = ∞ f (η) 2 3 ∂y ∂y νx

(16.49)

F¨ uhrt man alle abgeleiteten Terme in Gleichung (16.42) ein, so erhält man: −

2 U∞ U2 U2 ηf f + ∞ [ηf − f ] f = ν ∞ f 2x 2x xν

oder nach erfolgter Umstellung:

(16.50)

16.3 Plattengrenzschicht (L¨ osung nach Blasius)

1 .6

501

f

1 .4 1 .2

f "

1 .0 0 .8 0 .6 0 .4 0 .2

f "

0 1

2

3

5 4

6 7

h

8

9

Abbildung 16.4: Numerische L¨ osung der Blasiusschen Grenzschichtgleichung ergibt die oben aufgef¨ uhrten Werte f (η), f (η), f (η)

U

U c

0 0

= f ´(h

1 .0 ) 0 .8

d

U

1

0 .8 0 0

Uv y U 00

n x

0 .6

U

0 0

n

x 0 .4

0 .4 1 .7 3

0 .2 1

2

3

4

5

6

h = y

U 00 n x

7 1

2

3

4

5 h = y

6 U 00 n x

Abbildung 16.5: Longitudinale und transversale Geschwindigkeiten in einer Grenzschicht

f f + 2f = 0

(16.51)

Dies ist die von Blasius in seiner G¨ ottinger Dissertation angegebene gewöhnliche Differentialgleichung, die sich numerisch integrieren lässt. Diese Integration, mit den unten angegebenen Randbedingungen: η=0:

f = 0; f = 0 und

η→∞:

f → 1

(16.52)

ergibt die in Abb. 16.4 angegebenen L¨ osungen f¨ ur f, f und f . Diese Funktionswerte k¨ onnen an jeder werden, um Ux /U∞ = f (η) Stelle η herangezogen und Uy /U∞ = (1/2U∞ ) νU∞ /x(ηf −f ) zu berechnen. Der Verlauf Ux /U∞ U

y U∞ x ist in Abb. 16.5a und der Verlauf U∞ in Abb. 16.5b aufgezeigt. Dieν se beiden Abbildungen zeigen die Geschwindigkeitsverläufe an, wie sie auch in experimentellen Untersuchungen gefunden werden. Dies ist in Abb. 16.6 gezeigt.

502


Die oben aufgef¨ uhrten Betrachtungen haben gezeigt, dass es durch Einf¨ uhren der Grenzschichtgleichungen gelungen ist, eine wichtige Strömung theoretisch zu behandeln, n¨ amlich die viskose Strömung u ¨ ber eine ebene Platte. Es ist interessant aus Abb. 16.4 zu sehen, dass die Uy -Geschwindigkeitskomponente am Rand der Grenzschicht, d.h. f¨ ur η → ∞ den Wert annimmt ν (16.53) (Uy )∞ = 0, 8604U∞ xU∞ Diese aus der Grenzschicht hinaus gerichtete Geschwindigkeitskomponente r¨ uhrt daher, dass mit zunehmender Laufl¨ ange und damit zunehmender Grenzschichtdicke das Fluid von der Wand verdrängt“ wird. ” Tab. 16.1: L¨ osungswerte der Blasius-Gleichung nach L. Howarth Ux U∞ Ux U∞ η=y f f = f η=y f f = f νx U νx U∞ ∞ 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

0 0,00664 0,02656 0,05974 0,10611 0,16557

0 0,06641 0,13277 0,19894 0,26471 0,32979

0,33206 0,33199 0,33147 0,33008 0,32739 0,32301

1,2 1,4 1,6 1,8 2,0

0,23795 0,32298 0,42032 0,52952 0,65003

0,39378 0,45627 0,51676 0,57477 0,62977

0,31659 0,30787 0,29667 0,28293 0,26675

2,2 2,4 2,6 2,8 3,0

0,78120 0,92230 1,07252 1,23099 1,39682

0,68132 0,72899 0,77246 0,81152 0,84605

0,24835 0,22809 0,20646 0,18401 0,16136

3,2 3,4 3,6 3,8 4,0

1,56911 1,74696 1,92954 2,11605 2,30576

0,87609 0,90177 0,92333 0,94112 0,95552

0,13913 0,11788 0,09809 0,08013 0,06424

4,2 4,4

2,49806 0,96696 0,05052 2,69238 0,97587 0,03897

4,6 4,8 5,0

2,88826 0,98269 0,02948 3,08534 0,98779 0,02187 3,28329 0,99155 0,01591

5,2 5,4 5,6 5,8 6,0

3,48189 3,68094 3,88031 4,07990 4,27964

0,99425 0,99616 0,99748 0,99838 0,99898

0,01134 0,00793 0,00543 0,00365 0,00240

6,2 6,4 6,6 6,8 7,0

4,47948 4,67938 4,87931 5,07928 5,27926

0,99937 0,99961 0,99977 0,99987 0,99992

0,00155 0,00098 0,00061 0,00037 0,00022

7,2 7,4 7,6 7,8 8,0

5,47925 5,67924 5,87924 6,07923 6,27923

0,99996 0,99998 0,99999 1,00000 1,00000

0,00013 0,00007 0,00004 0,00002 0,00001

8,2 8,4 8,6 8,8

6,47923 6,67923 6,87923 7,07923

1,00000 1,00000 1,00000 1,00000

0,00001 0,00000 0,00000 0,00000

Weitere Werte zu den Geschwindigkeitsverläufen in der Plattengrenzschicht lassen sich der Tabelle 16.1 entnehmen, in der f (η), f (η) und f (η)

16.4 Integrale Eigenschaften von Wandgrenzschichten

503

angegeben sind. Diese Tabellen k¨ onnen zur Bestimmung aller Eigenschaften der Plattengrenzschicht herangezogen werden. Die errechneten Werte stimmen gut mit Experimenten u ¨ berein, wie Abb. 16.6 zu entnehmen ist.

U

U ¥

1 ,2 1 ,0 0 ,8 0 ,6 0 ,4 0 ,2 0 0

T h e o re tis c h e W e rte n a c h B la s iu s E x p e r. E rg e b n is s e , M e s s u n g e n m itte ls L D A

1

2

3

4

5

6

7 h = y

8

Ö

9

1 0

U ¥ v x

¨ Abbildung 16.6: Ubereinstimmung von Experiment und Theorie f¨ ur Plattengrenzschicht

16.4 Integrale Eigenschaften von Wandgrenzschichten In den vorausgegangenen Betrachtungen zur Grenzschichtdicke wurde mit einer Gr¨ oße δ argumentiert, die jedoch nicht genau definiert wurde. Sie wurde √ aus Betrachtungen zur molekularen Impulsdiffusion als δ ≈ νtD mit tD = uhrt, so dass gilt: tc = (x/U∞ ) in die Betrachtungen eingef¨ νx δ≈ (16.54) U∞ Eine etwas genauere Angabe gelingt u ¨ ber die Definition der Verdrängungsdicke δ1 , die angibt, um wieviel die urspr¨ unglich mit U∞ ankommende Str¨ omung von der Platte, aufgrund der sich ausbildenden Grenzschicht der Str¨ omung verdr¨ angt wurde (Integralsatz): "∞ δ1 U∞ = (U∞ − Ux ) dy 0

(16.55)

504


Oder nach δ1 aufgel¨ ost und integriert "∞ δ1 = 0

Ux 1− U∞

dy =

νx U∞

"∞ νx [1 − f (η)] dη = 1, 73 U∞

(16.56)

0

W¨ ahlt man nun als Dicke der Grenzschicht, wie von Prandtl vorgeschlagen, δ = 3δ1 , so erh¨ alt man einen Wert: νx δ = 5, 2 (16.57) U∞ der nach der Tabelle 16.1 eine Abweichung der Geschwindigkeit von der Außengeschwindigkeit U∞ um etwa 12 % aufweist. Analog zu der oben berechneten Verdr¨ angungsdicke, die als Massenver” lustdicke der Grenzschicht“ definiert und berechnet wurde, lässt sich auch die Impulsverlustdicke definieren und berechnen: 2 δ2 ρU∞

"∞ = ρ Ux (U∞ − Ux ) dy

(16.58)

0

ost und integriert ergibt: Nach δ2 aufgel¨ "∞ "∞ Ux Ux νx νx f [1 − f ] dy = 0, 664 δ2 = 1− dy = U∞ U∞ U∞ U∞ 0

(16.59)

0

Damit ist δ2 = 0, 384δ1 = 0, 128δ. Es ist wichtig zu ber¨ ucksichtigen, dass die Grenzschichtgleichungen erst von einer gewissen Distanz x von der Plattenvorderkante ihre G¨ ultigkeit erhalten, d.h. die Grenzschichtgleichungen gelten erst ab einer bestimmten Rex -Zahl, mit Rex = U∞ x/ν. Dies wird deutlich, wenn man δ1 (x)- und δ2 (x)-Werte mit korrespondierenden Werten aus Messungen vergleicht. F¨ ur kleinere Werte von Rex m¨ ussen die vollen Navier-Stokes-Gleichungen herangezogen werden, um das Geschwindigkeitsfeld zu berechnen. Lösungen dieser Gleichungen m¨ ussen zudem ber¨ ucksichtigen, dass die Plattenvorderkante eine Singularit¨ at darstellt, die bei Durchf¨ uhrung numerischer Lösungen besonderer Beachtung bedarf, siehe C. F. Courier und C. C. Liu [3], B. A. Boley und M. B. Friedmann [2], Durst, Shi und Breuer [7], etc. Eine weitere Gr¨ oße, die aus den L¨ osungen der Blasiusschen Grenzschichtgleichung abgeleitet werden kann, ist der Reibungsbeiwert cf (friction coefficient), der wie folgt definiert ist: |τw | cf = ρ 2 2 U∞ |τw | = Lokaler Impulsverlust an die Wand 1 2 omung 2 ρU∞ = Staudruck der Außenstr¨


Der lokale Impulsverlust |τw | errechnet sich als: ∂Ux µU∞ f (0) 0, 332 2 = =√ ρU |τw | = µ ∂y y=0 Rex ∞ νx/U∞

505

(16.60)

und f¨ ur cf gilt somit: 0, 664 cf = √ Rex

(16.61)

y

d d d

1

2

U x ( y ) Abbildung 16.7: Skizzen zur Veranschaulichung der Verdr¨ angungsdicke δ1 und Impulsverlustdicke δ2

Oftmals ist es f¨ ur die Grenzschichtstr¨ omungen ausreichend ihre integralen Eigenschaften anzugeben, wie sie in den Gleichungen (16.56), (16.57) und (16.59) angegeben sind, d.h. die Gr¨ oßen νx Grenzschichtdicke δ = 5, 2 U -∞ νx Verdr¨ angungsdicke δ1 = 1, 73 -U∞ νx δ2 = 0, 664 Impulsverlustdicke U∞ dienen zur Angabe integraler Eigenschaften von Grenzschichtströmungen. Generelle Betrachtungen zur Integralform der Grenzschichtgleichungen, die auf den Gleichungen (16.38) und (16.39) aufbauen, gehen auf von Karman zur¨ uck. Dieser schlug vor, die Gleichung: ∂Ux 1 dP ∂ 2 Ux ∂Ux ∂Ux +U + Uy =− +ν ∂t ∂x ∂y ρ dx ∂y 2

(16.62)

506


von y = 0 bis y = δ(x) zu integrieren, wobei (16.62) mit Hilfe der Kontinuit¨ atsgleichung wie folgt umgeschrieben werden kann: ∂Ux ∂(Ux2 ) ∂(Ux Uy ) 1 dP µ ∂ 2 Ux + + =− + ∂t ∂x ∂y ρ dx ρ ∂y 2

(16.63)

bevor die Integration ausgef¨ uhrt wird. Wendet man nun die Integration von 0 bis δ an, so erh¨ alt man: ∂ ∂t

"δ "δ "δ µ ∂ 2 Ux ∂(Ux2 ) 1 dP δ dy + [Ux Uy ]0 = − δ+ Ux dy + dy ∂x ρ dx ρ ∂y 2 0

"δ f¨ ur 0

0

(16.64)

0

∂(Ux2 ) dy gilt: ∂x "δ

d ∂(Ux2 ) dy = ∂x dx

0

"δ 2 dδ Ux2 dy − U∞ dx

(16.65)

0

"δ

∂Ux dy und umgeschrieben: ∂x 0 "δ "δ ∂Ux d 2 dδ dy = U∞ , Ux dy − U∞ U∞ ∂x dx dx δ

Ferner gilt f¨ ur [Ux Uy ]0 = −U∞

0

so dass mit

µ ρ

"δ

(16.66)

0

∂ 2 Ux τw (x) die folgende Gleichung angegeben werden dy = − ∂y 2 ρ

0

kann: ∂ ∂t

"δ "δ "δ d 1 dP τw d 2 Ux dy + Ux dy − U∞ Ux dy = − δ− dx dx ρ dx ρ 0

0

0

F¨ ur station¨ are Str¨ omungen gilt, unter Ber¨ ucksichtigung von − U∞

(16.67) 1 dP ρ dx

=

dU∞ : dx d dx

"δ "δ τw d dU∞ 2 =− Ux dy − U∞ Ux dy − U∞ δ dx dx ρ 0

(16.68)

0

oder etwas umgeschrieben: d dx

"δ "δ "δ "δ d dU∞ dU∞ τw Ux2 dy − U∞ Ux dy + Ux dy − U∞ dy = − dx dx dx ρ 0

0

0

0

(16.69)


507

so dass die folgende Gleichung angegeben werden kann: d dx

"δ "δ dU∞ τw Ux (U∞ − Ux ) dy + (U∞ − Ux ) dy = + dx ρ 0

(16.70)

0

Da sich außerhalb von δ, d.h. f¨ ur δ → ∞ nichts mehr im Geschwindigkeitsverlauf ¨ andert, gilt auch: d dx

"∞ "∞ dU∞ τw Ux (U∞ − Ux ) dy + (U∞ − Ux ) dy = + dx ρ 0 0 2 δ U∞ 2

Somit gilt:

(16.71)

U∞ δ1

d + 2 , dU∞ τw U ∞ δ2 + (U∞ δ1 ) = dx dx ρ

(16.72)

oder in der nachfolgenden Form: dδ2 τw 1 dU∞ cf + (2δ2 + δ1 ) = = 2 dx U∞ dx ρU∞ 2

(16.73)

F¨ ur die Blasiussche Grenzschicht reduziert sich diese Gleichung, so dass gilt: dδ2 cf = dx 2

(16.74)

was sich einfach durch Einsetzen der Beziehungen (16.60) und (16.62) in (16.74) nachvollziehen l¨ asst. Die grundlegende Idee, die sich hinter der Karmanschen Integralbetrachtung der Grenzschichtgleichungen verbirgt, liegt in dem Sachverhalt, dass man zur Ermittelung integraler Eigenschaften von Grenzschichtströmungen nicht den exakten Verlauf von Ux /U∞ = f (η) benötigt. Wird durch eine vorgegebene Funktion Ux /U∞ = g(y/δ) der allgemeine Charakter von Grenzschichtstr¨ omungen erfasst, so lassen die Karmanschen Integralgleichungen gute N¨ aherung f¨ ur δ(x) und cf (x) ermitteln. Um dies zu demonstrieren, sei angenommen: Ux = A + Bη + Cη 2 + Dη 3 (16.75) U∞ mit η = y/δ und den Randbedingungen: y = 0 : Ux = 0 y = δ : Ux = U∞

∂ 2 Ux =0 ∂y 2 ∂Ux =0 und ∂y und

(16.76)

508


Mit diesen Werten l¨ asst sich f (η) = 32 η − 12 η 3 bestimmen und die Werte angeben: νx νx 1, 293 δ = 4, 641 ; cf = √ ; δ1 = 1, 74 (16.77) U∞ U∞ Rex Diese Werte stimmen recht gut mit den Werten aus der Blasius-Lösung f¨ ur die Plattengrenzschicht u ¨berein.

16.5 Die laminare, ebene, zweidimensionale freie Scherschicht L¨ asst man zwei parallele Str¨ omungen identischer Fluide, die sich durch unterschiedliche Fluidgeschwindigkeiten unterscheiden, miteinander wechselwirken, so entsteht eine Str¨ omung, die man als laminare, ebene, zweidimensionale, freie Scherschicht bezeichnet. Eine solche Strömung ist in Abb. 16.8 skizziert, die aufzeigt, dass entlang der Str¨ omung ein Impulsausgleich erfolgt. Der Geschwindigkeitsgradient in der Scherschicht wird mit fortschreitender Str¨ omung durch den molek¨ ulbedingten Impulsaustauch abgebaut, d. h. dies erfolgt durch einen Impulstransport aus dem Bereich hoher Geschwindigkeit in den Bereich niedriger Geschwindigkeit, wie dies in Abb. 16.8 angedeutet ist. y

( U x )A

( U x )A

( U x )A

S c h e rs c h ic h tb e re ic h x

( U x )B

( U x )B

( U x )B

Abbildung 16.8: Entstehung einer laminaren, freien Scherschicht durch Impulsdiffusion

Die in der Abb. 16.8 skizzierte Str¨ omung besitzt Eigenschaften, die f¨ ur die Ableitungen der Grenzschichtgleichungen f¨ ur Strömungen herangezogen wurden.

16.5 Die laminare, ebene, zweidimensionale freie Scherschicht

–

In Str¨ omungsrichtung liegt ein konvektionsdominanter Impulstransport vor.

Gleichfalls besitzt die Str¨ omung keine Druckgradienten, d.h. so dass ferner gilt: –

509

∂P ∂x

=

∂P ∂y

= 0,

Die f¨ ur die Plattengrenzschicht von Blasius reduzierte Form der Grenzschichtgleichungen gilt auch f¨ ur die laminare, ebene, zweidimensionale freie Scherschicht.

Damit muss Gleichung (16.42) zur Anwendung gebracht werden, d. h. man erh¨ alt die L¨ osung durch folgende Differentialgleichung: ∂Ψ ∂ 2 Ψ ∂3Ψ ∂Ψ ∂ 2 Ψ − = ν ∂y ∂x∂y ∂x ∂y 2 ∂y 3

h = y

(U c

) A

(U y

c

)

(U A

n c

c

(U c

) B

(U

A

l = I

II

)

(16.78)

(U

c

) B

c

) A

x

(U c

) B

U (U c

c

) A

Abbildung 16.9: Geschwindigkeitsverteilungen in laminaren, ebenen, zweidimensionalen freien Scherschichten

Mit den Ans¨ atzen η = y (Ux )A /νx und Ψ = ν (Ux )A xf (η) resultiert wiederum die zu l¨ osende, gew¨ ohnliche Differentialgleichung

510


f f + 2f = 0,

(16.79)

die es f¨ ur folgende Randbedingungen zu l¨ osen gilt: η = +∞ : f = 1 η = −∞ : f = λ =

(Ux )B (Ux )A

(16.80)

η=0: f =0 Diese L¨ osung muss wiederum numerisch erfolgen, ähnlich der Blasiusschen L¨ osung f¨ ur die ebene Platte, da es keine analytische Lösung der Gleichung (16.79) gibt. Die von Lock [16.6] angegebene Lösung ist in Abb. 16.9 f¨ ur λ = 0, d. h. (U∞ )B = 0 und f¨ ur λ = 0, 5 angegeben.

16.6 Der ebene, zweidimensionale, laminare Freistrahl In dem hier vorliegenden Kapitel soll eine weitere Strömung mit Grenzschichtcharakter untersucht werden. Diese Str¨ omung wird als zweidimensionaler Freistrahl bezeichnet und ist in Abb. 16.10 skizziert.

y

G e s c h w in d ig k e its p ro file a n v e rs c h ie d e n e n x - P o s itio n e n

( U x )A

x

Abbildung 16.10: Skizze des betrachteten ebenen, zweidimensionalen, laminaren Freistrahls

Betrachtet wird nachfolgend ein zweidimensionaler Freistrahl, der in der Ebene x = 0 durch eine Str¨ omung aus einem engen in der x-y-Ebene gelegenen Schlitz erzeugt wurde. Der Strahl breitet sich in x-Richtung aus und

16.6 Der ebene, zweidimensionale, laminare Freistrahl

511

die Ausbreitung ist derart, dass die x-Achse Symmetrieachse ist. Da die in y-Richtung auftretende Ausbreitung klein im Vergleich zu der Ausbreitung in Str¨ omungsrichtung ist und zudem station¨ are Strö+mungsverh¨ altnisse betrach, = 0 zur Anwendung tet werden, kann die Grenzschichtgleichung f¨ ur dP dx gebracht werden: ∂Ψ ∂ 2 Ψ ∂Ψ ∂ 2 Ψ ∂3Ψ − = ν (16.81) ∂y ∂x∂y ∂x ∂y 2 ∂y 3 Dies ist die Grenzschichtgleichung, wie sie auch f¨ ur den Fall der gleichförmigen Str¨ omung l¨ angs einer ebenen Platte Anwendung fand und auch bei der Behandlung ebener Scherschichten eingesetzt wurde. Der Unterschied zur Plattenstr¨ omung tritt durch die Randbedingungen auf, die f¨ ur die Freistrahlstr¨ omung wie folgt lauten. y = 0 : Uy = 0 und (∂Ux /∂y) = 0, da Symmetrieachse omung vorhanden ist. y = ∞ : Ux → 0 da keine Grundstr¨

(16.82)

F¨ ur den Freistrahl gilt, dass der Gesamtimpuls: Iges

+∞ +∞ " " 2 = ρUx dy = 2 ρUx2 dy = 2ρ (Ux )2A b −∞

(16.83)

0

entlang der x-Achse konstant ist. Dies geht aus Gleichung (16.68) hervor, die wie folgt f¨ ur den Freistrahl gilt:

d dx

+∞ " Ux2 dy − U∞

=0

=0

=0 +∞ +∞ " " 2 µ dU∞ ∂ Ux d = Ux dy − U∞ δ dy, dx dx ρ ∂y 2

0

0

(16.84)

0

so dass gilt: d dx

+∞ " Ux2 dy = 0 0

;

Iges = 2

+∞ " ρUx2 dy = const

(16.85)

0

¨ Zur Bestimmung der Ahnlichkeitsl¨ osung der Grenzschichtgleichung wird angesetzt: (16.86) η = xα y und Ψ = xβ f (η) Hieraus l¨ asst sich f¨ ur die einzelnen Terme der Grenzschichtgleichung wie folgt angeben: ∂Ψ Ux = = x(α+β) f (16.87) ∂y Uy = −

∂Ψ = −x(β−1) (αηf + βf ) ∂x

(16.88)

512


∂2Ψ ∂Ux = = x(2α+β) f ∂y ∂y 2

(16.89)

∂2Ψ = x(α+β−1) (αηf + αf + βf ) ∂x∂y

(16.90)

∂3Ψ = x(3α+β) f ∂y 3

(16.91)

Die Grenzschichtgleichung (16.81) nimmt durch das Einsetzen der Ausdr¨ ucke (16.87) bis (16.91) die folgende Form an: x(2α+2β−1) (α + β) f 2 − βf f = νx(3α+β) f (16.92) Diese Gleichung wird zu einer Bestimmungsgleichung f¨ ur f (η) wenn die Potenzen der x-Terme gleich sind: 2α + 2β − 1 = 3α + β

;

β =α+1

(16.93)

Ferner l¨ asst sich u ¨ ber den Gesamtimpuls: Iges

+∞ +∞ " " 2 (α+2β) = 2 ρUx dy = 2ρx f 2 dη = const 0

(16.94)

0

als zus¨ atzliche Forderung f¨ ur α und β angeben α + 2β = 0

(16.95)

So dass aus (16.93) erhalten werden kann α=−

2 3

und β =

1 3

(16.96)

¨ d.h. es gelten folgende Ahnlichkeitsans¨ atze 2

η = yx− 3

1

und Ψ = x 3 f (η)

(16.97)

Mittels dieser Ans¨ atze geht die Differentialgleichung in folgende Bestimmungsgleichung f¨ ur f (η) u ¨ ber: (f ) + f f + 3νf = 0 2

(16.98)

mit den aus (16.82) kommenden Randbedingungen: η = 0 : f = 0 und f = 0 η → ∞ : f → 0

(16.99) (16.100)

Um nun auch noch den (3ν)- Faktor aus der Differentialgleichung (16.98) zu eliminieren, um so eine allgemeing¨ ultige Bestimmungsgleichung f¨ ur f (η) zu erhalten, werden folgende Ans¨ atze gew¨ ahlt.

16.6 Der ebene, zweidimensionale, laminare Freistrahl

η˜ =

y

1 1 2

3ν x

Damit erh¨ alt man:

2 3

1

1

Ψ = ν 2 x 3 f˜ (˜ η)

und

f˜ 2 + f˜f˜ + f˜ = 0

513

(16.101)

(16.102)

Mit den folgenden Randbedingungen: y = 0 : ∂Ux /∂y = 0 und Uy = 0 ; η˜ = 0 : f˜ = 0 und f˜ = 0 ; η˜ → ∞ : f˜ = 0 y → ∞ : Ux = 0

(16.103)

Integriert man die Differentialgleichung (16.102) einmal, so erhält man: f˜f˜ + f˜ = C1

(16.104)

Die resultierende Integrationskonstante ergibt aus den Randbedingungen C1 = 0, da f¨ ur η˜ = 0 sowohl f˜ als auch f˜ gleich Null als Randbedingungen eingebracht werden k¨ onnen, so dass gilt: f˜f˜ + f˜ = 0

(16.105)

Zur L¨ osung dieser Differentialgleichung f¨ uhrt der Ansatz "F ξ= 0

1 (1 + F ) dF = ln = tanh−1 F (1 − F 2 ) 2 (1 − F )

Daraus folgt: F = tanh ξ = Aus (16.104) folgt

dF dξ

1 − exp(−2ξ) 1 + exp(−2ξ)

(16.106)

(16.107)

= 1 − tanh2 ξ und damit gilt f¨ ur Ux Ux =

, 2 2 −1 + A x 3 1 − tanh2 ξ 3

(16.108)

Die in dieser Gleichung enthaltene Konstante A wird u ¨ber die Konstanz des Gesamtimpulses des Freistrahls bestimmt: Iges

"∞ = 2 Ux2 ρ dy

;

Iges

1 4 = A3 ρν 2 3

0

Iges

"∞ + , 1 − tanh2 dξ 0

16 3 1 ρA ν 2 = 9

(16.109)

oder nach A aufgel¨ ost:

A = 0, 826

Iges

13

1

ρν 2

F¨ ur die Geschwindigkeitskomponenten erh¨ alt man somit:

(16.110)

514


) Ux = 0, 454 Uy = 0, 55

Iges ν ρx2 13

13

1

* 13

2 Iges ρ2 ν

+

, 1 1 − tanh2 ξ x 3

(16.111)

+ , 2 2ξ 1 − tanh2 ξ − tanh ξ

(16.112)

Iges y 2 . 2 ρν x3 Das sich aus den obigen Gleichungen errechnende Geschwindigkeitsprofil ist in Abb. 16.11 aufgezeigt.

und f¨ ur ξ = 0, 275

1 .0

U

.8

U m

0 .6 0 .4 z w e id im e n s io n a l

0 .2

-4

-3

-2

1

-1

2

3

x

4

Abbildung 16.11: Geschwindigkeitsprofil der ebenen Freistrahlstr¨ omung

Die Uy -Komponente des Geschwindigkeitsfeldes errechnet sich am Rand des Strahls: 1 Iges ν 3 Uy (ξ∞ ) = −0, 55 ρx2 Sie ist negativ und gibt an, dass der Freistrahl kontinuierlich Fluid von der Außenstr¨ omung ansaugt (Entrainment), so dass der Massenstrom des Freistrahls in Str¨ omungsrichtung zunimmt: Der Massenstrom errechnet sich an jeder Stelle x des Freistrahls: +∞ " m ˙ = ρ Ux dy

(16.113)

−∞

m ˙ = 3, 3

13 Iges νx ρ

(16.114)

16.7 Die ebene, zweidimensionale Nachlaufstr¨ omung

515

Der Fluideintrag in die Freistrahlstr¨ omung erfolgt aufgrund der in dem Fluid vorliegenden Viskosit¨ at, d.h. durch den molekularbedingten Impulseintrag.

16.7 Die ebene, zweidimensionale Nachlaufstr¨ omung Weitere f¨ ur die Praxis wichtige Str¨ omungen, die sich mit Hilfe der Grenzschichtgleichungen behandeln lassen, stellen Nachlaufströmungen dar, wie sie in Abb. 16.12 skizziert sind. Diese Abbildung zeigt eine ebene, zweidimensionale Nachlaufstr¨ omung, wie sie sich z. B. hinter einer ebenen Platte mit endlichen Abmessungen, oder einem Zylinder einstellt. Solche Strömungen sind durch ein Impulsdefizit gekennzeichnet, das dem Strömungswiderstand der u omten Platte bzw. des umstr¨ omten Zylinders entspricht. Dies lässt ¨berstr¨ sich durch Anwendung der Integralform der Impulsgleichung berechnen: "∞ Kw = 2ρB U1 (U∞ − U1 )dy

(16.115)

0

wobei U1 (y) das an einer bestimmten x-Position vorliegende Geschwindigkeitsprofil der Nachlaufstr¨ omung darstellt. B ist die Breite der Platte in zomungsrichtung. F¨ ur die ebene Platte Richtung und U∞ entspricht der Anstr¨ errechnet sich: 2 δ2 (16.116) Kw = 2ρBU∞ F¨ ur den Zylinder erh¨ alt man: ρ 2 d" K w = cw U ∞ 2

(16.117)

Obgleich die Str¨ omung in der N¨ ahe der umströmten Platte bzw. des umstr¨ omten Zylinders kompliziert sein kann, erweist sich die Strömung im Fernfeld als derart, dass sie unabh¨ angig von dem Körper wird, der die Nachlaufstr¨ omung erzeugte. In diesem Gebiet besitzt die Strömung Grenzschichtcharakter, da das Eintragen an Wirbelst¨ arke in den Nachlauf konvektiv erfolgt und die Querverteilung durch Diffusion aufgebaut wird. Zur Behandlung der in Abb. 16.12 skizzierten Nachlaufströmung wird die Geschwindigkeitsdifferenz u(x1 , x2 ) = U∞ − U1 (x1 , x2 )

(16.118)

in die Behandlung der Grenzschichtgleichungen eingef¨ uhrt. Beachtet man, dass der Druck im gesamten Str¨ omungsgebiet konstant ist und dass zudem wegen u(x1 , x2 ) 0) dy + dy + 9 : + : 1 + 4κ2 y +2 1 − y + + D dU1 1 : = − 2 +2 + : . ; dy + 2κ y 4κ4 y +4

(18.195) ∂U1+ ∂y +

gilt

(18.196)

(18.197)

A

oder umgeschrieben: √ √ − 2κ12 y2 + A 2κ12 y2 + A dU1+ = . √ 1 dy + + A

(18.198)

2κ2 y 2

ergibt: dU1+ dy +

-

= 1+

2 1−

y+ D+

1 + 4κ2 y +2 1 −

so dass U1+ wie folgt berechnet werden kann: + + y y " 2 1 − D+ # U1+ = 0

1+

1 + 4κ2 y +2

,

(18.199)

+ dy .

(18.200)

y+ D+

+

y 1− D +

Detaillierte Betrachtungen des Turbulenzverhaltens in Wandnähe ergaben, dass die in Wandn¨ ahe erfolgende D¨ ampfung der Turbulenz in dem von ¨ Prandtl vorgeschlagenen linearen Ansatz nicht ber¨ ucksichtigt wird. Uber Betrachtungen des Stokes-Problems einer viskosen Strömung, die parallel zu einer feststehenden Wand oszilliert, leitete Van Driest einen Dämpfungsfaktor ab, der in dem Ansatz f¨ ur den Prandtlschen Mischungsweg ber¨ ucksichtigt werden kann. Diese Ber¨ ucksichtigung f¨ uhrt zu der Gleichung:

602

18 Turbulente Str¨ omungen

. lvD = lP

y Uτ 1 − exp − ν+ A

0/ ,

(18.201)

wobei A+ = 26 von Van Driest aus experimentellen Ergebnissen bestimmt ahert sich der oben aufgef¨ uhrte Dämpwurde. F¨ ur große Werte von y + n¨ fungsfaktor dem Wert 1 und der Van Driestsche Mischungswegansatz und der Prandtlsche Ansatz gehen ineinander u ¨ ber. In Wandnähe erfolgt durch die viskose D¨ ampfung eine Reduktion der Mischungsweglänge, die in dem Exponentialterm des Van Driestschen Ansatzes ber¨ ucksichtig wird. ¨ Es empfehlen sich abschließend noch einige Uberlegungen zu dem Prandtlschen Mischungswegansatz und zu den abgeleiteten Endbeziehungen f¨ ur den turbulenten Impulstransport: ¯ ¯ ∂ U1 lP ∂ U1 2 = −uc . (18.202) −u1 u2 = −lP uc ∂x2 uc ∂x2 F¨ uhrt man die zwei Zeitmaßst¨ abe ein: τc =

charakteristisches Zeitmaß der Turbulenz:

lP , uc

charakteristisches Zeitmaß des mittleren Strömungsfeldes: τM =

1 ¯1 ∂U ∂x2

so gilt: −u1 u2 = −u2c

,

τc . τM

(18.203)

F¨ ur turbulente Str¨ omungen, f¨ ur welche die Turbulenz f¨ ur eine lange Zeit einem mittleren Str¨ omungsfeld mit konstanter Deformation ausgesetzt ist, stellt sich ein konstantes Verh¨ altnis des oben angegebenen Zeitmaßes ein, so dass dann gilt: u1 u2 = const · u2c (18.204) Aus diesem Grunde gilt u ¨ ber weite Bereiche solcher turbulenter Strömungen: u u R12 = 1 2 = const u12 u22

(18.205)

Trotz des Sachverhaltes, dass die konstante Deformationsrate in turbulenten Wandgrenzschichten nicht gew¨ ahrleistet ist und somit Turbulenzelemente bei ihrem Weg durch das Str¨ omungsfeld unterschiedliche Deformationsfelder erfahren, gilt die obige Beziehung auch u ¨ ber weite Bereiche solcher Grenzschichten. Dies ist in Abb. 18.17 angedeutet.

18.7 Turbulenzmodelle

R

603

0 .3 2 1 2

0 .2 4 0 .1 6 0 .0 8 0 .0 0

0 .0

0 .1

0 .2

0 .3

0 .4

0 .5

0 .6

0 .7

0 .8

0 .9

r / R

1 .0

Abbildung 18.17: Korrelationskoeffizient R12 f¨ ur turbulente Rohrstr¨ omungen

Wird die Turbulenzmodellierung nur f¨ ur eine Klasse von Strömungen angestrebt, z.B. turbulente Wandgrenzschichten, so kann auch aus Experimenur die expeten R12 als Funktion des Ortes angegeben werden. So gilt z.B. f¨ rimentell erhaltene Verteilung zu Abb. 18.17: R12 = f

r

u u u u ≈ 1 2. = 1 2 R k u12 u22

(18.206)

ur u1 u2 berechenbar und Kennt man k, so ist u ¨ber R12 der lokale Wert f¨ kann in der Impulsgleichung zur Berechnung des mittleren Strömungsfeldes herangezogen werden. 18.7.4 Eingleichungs-Wirbelviskosit¨ ats-Modelle Die im Abschnitt 18.6.3 behandelte Klasse von Turbulenzmodellen unternimmt den Versuch, die Impulstransporteigenschaften turbulenter Strömungen mit der Hilfe eines einzigen Parameters zu erfassen, nämlich der Prandtlschen Mischungsl¨ ange. Diese wird in die Betrachtungen geometriespezifisch eingebracht und in Form einer algebraischen Gleichung angegeben, wobei die f¨ ur die Turbulenz charakteristische Geschwindigkeit u ¨ ber den Mischungsweg und dem Gradienten des mittleren Geschwindigkeitsfeldes eingebracht wird. Um nun eine Modellerweiterung zu erreichen, wird die den turbulenten Impulstransport kennzeichnende charakteristische Geschwindigkeit wie folgt angesetzt: 1 1 mit k = ui ui . (18.207) uc = k 2 , 2 Mit dem f¨ ur Eingleichungsmodelle charakteristischen Längenmaß lc ergibt 1 sich somit νT = (lc )1 k 2 . Hierbei ist k die lokale turbulente kinetische Energie, die durch folgende Transportgleichung beschrieben wird:

604


)

*

∂uj 2 − , ∂xi (18.208) ¨ so dass sich die turbulenten Transporteigenschaften (18.208) mit den Anderungen der Turbulenz im Str¨ omungsfeld ¨ andern. Es ist in der Turbulenzmodellierung u ¨ blich, die obige Gleichung wie folgt umzuschreiben: ¯i ∂k = ∂ U ∂xi ∂xi

∂uj p u 1 − i + νuj − uj uj ui ρ ∂xi 2

¯j ∂U −ν ∂xi

ui uj

Diffusion

Produktion Dissipation ∂Di ∂k ¯i , = − + U P − ∂xi ∂xi wobei gilt:

)

∂uj p u 1 Di = − − i + νuj − uj uj ui ρ¯ ∂xi 2

(18.209)

* (18.210)

und

¯j ∂uj ∂uj ∂U =ν . (18.211) ∂xi ∂xi ∂xi Mit den in der heutigen Turbulenzmodellierung u ur Di , P ¨ blichen Ansätzen f¨ und ergibt sich folgende L¨ osung: ¯ 3 ¯j ¯i ∂ U ∂k ∂ Uj k2 ∂U νT ¯i ∂k = ∂ U + νT + − CD . ν+ ∂xi ∂xi σk ∂xi ∂xi ∂xj ∂xi (lc )1 P = −ui uj

Diffusion

Produktion

Dissipation

(18.212) Hierbei stellt der zweite Term auf der rechten Seite der Gleichung (18.212) die Produktion der Turbulenz durch das mittlere Strömungsfeld dar, der wie folgt angegeben wurde: ¯ ¯j ¯j ¯i ∂ U ∂ Uj ∂U ∂U = νT + . (18.213) −ui uj ∂xi ∂xi ∂xj ∂xi Der erste Term auf der rechten Seite umfasst σk , eine Größe, die angibt wie die turbulente Diffusion von k mit der Impulsdiffusion νT zusammenhängt, altnis von turbulenter Impuls- zu turbulenter Energied.h. σk gibt das Verh¨ dissipation an. Der dritte Term auf der rechten Seite der Gleichung (18.212) gibt die turbulente Dissipation an, f¨ ur die im Gleichgewicht gilt: u3 P ∼ c ∼ lc

3

;

k2 = CD . (lc )1

(18.214)

Die in ein Turbulenzmodell eingef¨ uhrten Konstanten m¨ ussen aus Experimenten bestimmt werden. Man bedient sich dazu der zweidimensionalen Form der k-Gleichung f¨ ur eine Grenzschichtstr¨ omung. ¯ 2 3 ∂k ∂ Ux ∂ ∂k ¯ ∂k k2 νT ¯ Ux + Uy = − cD . (18.215) ν+ + νT ∂x ∂y ∂y σT ∂y ∂y (lc )1


605

Im Gleichgewichtsbereich (inertial subrange) gilt nun P = , d.h. es lässt sich angeben: ¯ 2 3 dUx k2 = +CD . (18.216) νT dy (lc )1 Beachtet man, dass gilt: τxy = −ρνT Mit τw /ρ = u2τ erh¨ alt man: τw /ρ

¯x dU dy

¯x ∂U ∂y

≈ −τw .

= CD

l¨ asst sich angeben: k+ =

(18.217)

¯x k 1/2 k 3/2 ∂U ≈ und mit (lc )1 ∂y (lc )1

k −1 = CD 2 2 uτ

(18.218)

¨ Ahnlich wie in Abschnitt 18.6.3 wurden f¨ ur das Eingleichungs k-l-Modell auch Ans¨ atze gew¨ ahlt, welche in Wandgrenzschichten die Wandnähe ber¨ uckuhren, je nachsichtigen, die zu unterschiedlichen Ans¨ atzen f¨ ur (lc )1 -Werte f¨ dem ob man den Diffusions- oder den Dissipationsterm betrachtet: 1

(lc )1,ν = CD4 κy [1 − exp (−Aν RT )] mit Aν = 0, 016 und

(18.219)

1

(lc )1,D = CD4 κy [1 − exp (−AD RT )] mit AD = 0, 26

(18.220)

1

wobei RT =

k2y die Abstands-Re-Zahl darstellt: ν 1

(lc )1 = lP CD4 .

(18.221)

Aus Grenzschichtdaten ergibt sich CD ≈ 0,09. Mit diesem Wert ist es nun m¨ oglich die Reynoldsschen Gleichungen unter Anwendung des k-lEingleichungsturbulenzmodells zu integrieren. Zur Bestimmung des CD -Wertes wurde der Gleichgewichtsbereich (equilibrium region) einer Grenzschicht herangezogen. Die Abb. 18.18 zeigt auf, wo dieser Bereich in Bezug auf die k + –Verteilung und auf die U + –Verteilung gelegen ist. Es ist auch u ¨ blich, andere charakteristische Bereiche turbulenter Strömungen heranzuziehen, um die freien Konstanten“ in Turbulenzmodellen zu be” stimmen. Insgesamt stehen die unten angegebenen Bereiche zur Verf¨ ugung. Diese werden mit Bezeichnungen eingef¨ uhrt, wie sie im englischen Sprachgebrauch u ¨ blich sind.

606

18 Turbulente Str¨ omungen K

}

h

}

}

0

w a n d n a h e B e re ic h

G le ic h g e w ic h ts B e re ic h

y

K e rn b e re ic h

Abbildung 18.18: Bereiche der turbulenten Kanalstr¨ omung

Equilibrium Range: 0=P −

(18.222)

Decay Range: Ui

∂k = − ∂xi

(18.223)

Ui

∂k =P ∂xi

(18.224)

Rapid Distortion:

18.7.5 Zweigleichungs-Wirbelviskosit¨ ats-Modelle Praktische Erfahrungen mit Turbulenzmodellen zeigen, dass abz¨ uglich der allgemeinen Anwendbarkeit, das k-l-Eingleichungsmodell eine wesentliche Verbesserung im Vergleich zu den Nullgleichungsmodellen darstellt. Es gelingen jedoch nur dann sehr gute Berechnungen turbulenter Strömungen, wenn nur geringe Str¨ omungsbeschleunigungen bzw. Verzögerungen auftreten, d.h. Str¨ omungen mit starken Druckgradienten k¨ onnen nur sehr unbefriedigend mit k-l-Eingleichungsmodellen berechnet werden. Die Erfahrung zeigt, dass die Begrenzung der Anwendbarkeit von k-l-Eingleichungsmodellen in der algebraischen Form der l-Vorgabe liegt, die oftmals bedeutet, dass die Anwendbarkeit auf solche Str¨ omungen beschr¨ ankt bleibt, die zur Ableitung des k-l-Eingleichungsmodells Anwendung fanden. Dies ist der Grund f¨ ur die Einf¨ uhrung von Zweigleichungs-Wirbelviskositätsmodellen. Eines dieser


607

Modelle ist das k--Modell, das auf der L¨ osung der folgenden zwei Differentialgleichungen beruht: k-Gleichung: ∂uj ∂uj p ∂ uj uj ∂2k ∂k ∂k ∂Uj + Ui + = −ui uj − ui −ν +ν ∂t ∂xi ∂x ∂x 2 ρ ∂xi ∂xi ∂x ∂x i i i i Dk Dt

P

T

D

(18.225) P = Produktionsterm, T = Transportterm, = Dissipationsterm, D = Diffusionsterm -Gleichung: ∂uj ∂uj ∂Uk ∂ ∂ ∂ uj ∂uk ∂Uj + Ui = −2ν −2ν ∂t ∂xi ∂xi ∂xi ∂xk ∂xk ∂xi ∂xi P1

∂uj −2νuk ∂xi

∂ 2 Uj ∂xk ∂xi

P3

−

∂uj

P2

∂uj

∂uj ∂uj ∂uk ∂ −2ν νuk − ∂xi ∂xi ∂xk ∂x ∂x ∂xi k i 4 T P 2 − d&2C → 0 vortex stretching term

∂ 2 uj ∂ 2 uj ∂ 2ν ∂uk ∂p ∂2 − 2ν 2 +ν ∂x ρ ∂xi ∂xi ∂xi ∂xk ∂xi ∂xk ∂xk ∂xk k γ>0

M

D

(18.226) k 3/2 Die Wirbelviskosit¨ at l¨ asst sich mit k und , d. h. mit uc = k 1/2 und lc = wie folgt definieren: k2 νT = Cµ . Dabei werden k und aus den obigen modellierten Differentialgleichungen bestimmt. Hierbei ist gut zu wissen, dass in der Turbulenzmodellierung die obenstehende k-Gleichung als f¨ ur praktische Berechnungen ausreichend gut modelliert angesehen wird, w¨ ahrend ¨ ahnlich befriedigende Modellieransätze f¨ ur die -Gleichung nicht vorliegen. Die heute oftmals verwendeten Modellgleichungen lauten: k-Gleichung

∂Uj + ∂xi νt ∂ + ∂xi σK

∂k ∂k = νt + Ui ∂t ∂xi

∂Ui ∂xj ∂k ∂xi

∂Uj ∂xi −+ν

∂2k ; ∂xi ∂xi

(18.227)

608

18 Turbulente Str¨ omungen 2

k νt ∼ = 0.09 -Gleichung:

∂Uj ∂ νt ∂ 2 ∂2 −c2 f + +ν ∂xi k ∂xi σ ∂xi ∂xi ∂xi (18.228) Dabei beruht die Modellierung des letzten Termes in der -Gleichung auf dem Ansatz: 2 1 U 2 k2 . (18.229) = P ∼k ; ν lc λ2 k ∂ ∂ +Ui = c1 νt ∂t ∂xi R


F¨ ur die Grenzschichtformulierung der Reynolds- und k--Turbulenzmodellgleichungen gilt f¨ ur hohe Re-Zahlen: ∂Uy ∂Ux + = 0, ∂x ∂y ∂ 1 ∂P ∂Ux ∂Ux ∂Ux + Uy = Fx − + Ux (ν + νT ) , ∂x ∂y ρ ∂x ∂y ∂y 2 ∂Ux ∂k ∂ νT ∂k ∂k + = Ux − , + νT ∂x ∂y ∂y σk ∂y ∂y 2 ∂ νT ∂ ∂ ∂ νT ∂Ux 2 + Uy = Ux − C2 . + C1 ∂x ∂y ∂y σ ∂y k ∂y k

(18.230)

(18.231)

(18.232)

(18.233)

k2 = 1, 45, C2 = 2, 0

νT = Cµ Cµ = 0, 09, σk = 1, 0, σ = 1, 3, C1

¯ 2 U = ; cµ = Zur Bestimmung von cµ gilt wiederum der Ansatz νT ∂∂y 2 = 0, 09. Dies l¨ asst sich aus Messungen von Wandgrenzschichten cD = uk2 τ bestimmen.

18.8 Turbulente Wandgrenzschichten Turbulente Grenzschichtstr¨ omungen, deren wesentlichen Eigenschaften durch die Pr¨ asenz einer Wand bestimmt sind, nennt man Wandgrenzschichten. Als klassische Beispiele sind zu nennen: – –

Interne Str¨ omungen: Ebene Kanalstr¨ omung und Rohrströmung Externe Str¨ omungen: Ebene Plattenstr¨ omung und Filmströmung

18.8 Turbulente Wandgrenzschichten

609

E b e n e K a n a ls tr ö m u n g

R o h r s tr ö m u n g

N o rm ie ru n g d e r S trö m u n g s d a te n w ird w ie fo lg t m ö g lic h

A ll d ie s e S trö m u n g e n s in d d a d u rc h c h a ra k te ris ie rt, d a s s e in Im p u ls v e rlu s t a n d e r W a n d a u ftritt

F ilm s tr ö m u n g

W a n d g r e n z s c h ic h t

Abbildung 18.19: Beispiele von internen und externen Wandgrenzschichten

Diese Str¨ omungen sind in Abb. 18.19 skizziert. Ihr wesentliches Merkmal ist der allen Str¨ omungen eigene Impulsverlust an eine Wand, d. h. das in allen F¨ allen vorliegende τw . Ferner auch die Eigenschaften des Fluids, die Dichte ρ und die dynamische Viskosit¨ at µ. Um die Eigenschaften von turbulenten Grenzschichten einf¨ uhrend zu behandeln wird untenstehend die vollentwickelte, zweidimensionale, ebene, turbulente Kanalstr¨ omung genaueren Betrachtungen unterzogen. Aus den Reynoldschen Gleichungen, siehe Abschnitt 18.5.2, lassen sich, f¨ ur Kanalstr¨ omungen mit den oben aufgef¨ uhrten Eigenschaften, folgende reduzierte Gleichungen angeben: ¯1 U ∂P + dxd 2 µ ddx − ρu1 u2 (18.234) x1 − Impulsgleichung : 0 = − ∂x 1 2 2 ∂P d x1 − Impulsgleichung : ρu (18.235) 0 = − ∂x − 2 dx2 2 (18.236) x3 − Impulsgleichung : 0 = − dxd 2 u2 u3 Die letzte partielle Differentialgleichung (18.236) lässt sich integrieren und ergibt, wegen der Wandrandbedingung u2 u3 = 0, dass die Korrelation u2 u3 im genannten Gebiet zwischen den Platten des Kanals den Wert u2 u3 = 0 besitzt. Die Integration der zweiten Differentialgleichung (18.235) ergibt: P (x1 , x2 ) = Pw (x1 ) − ρu2 2

(18.237)

610


wobei ρu2 2 = f (x2 ) ist, da in x1 –Richtung die Strömung als vollentwickelt angenommen wurde. Dennoch, die oben angef¨ uhrte Beziehung bringt zum Ausdruck, dass sich der Druck in einer turbulenten Kanalströmung u ¨ber den ¨ Querschnitt ¨ andert. Die Anderung erweist sich jedoch als derart klein, dass sie f¨ ur praktische Betrachtungen der Eigenschaften vollentwickelter, zweidimensionaler, ebener, turbulenter Kanalstr¨ omungen vernachlässigt werden kann. Somit ergibt sich aus (18.237) f¨ ur den Druckgradienten ∂P dPw ≈ ∂x1 dx1

(18.238)

Eingesetzt in Gleichung (18.234) erh¨ alt man: ¯1 dPw d dτges dU = − ρu1 u2 = µ dx1 dx2 dx2 dx2

(18.239)

τges

F¨ uhrt man zur Skalierung der obigen Gleichungen die Geschwindigkeits- und L¨ angsskalen ein: x

2

y x

2 H

1

Abbildung 18.20: Ebene Kanalstr¨ omung mit Wandkoordinate y f¨ ur x1 = const.

uτ =

τw ρ

und

"e =

ν uτ

(18.240)

so l¨ asst sich die Impulsgleichung (18.239) wie folgt in allgemeiner Form schreiben: + dU1+ y+ u = 1 − + u (18.241) 1 2 dy + Reτ Dabei werden eingef¨ uhrt: y = H − x2 U1+ =

U1 ; uτ

y+ =

yuτ ; ν

Reτ =

Huτ ν

und

+ u u u1 u2 = 12 2 uτ

(18.242)

Mit diesen in (18.242) eingef¨ uhrten normierten Größen lässt sich aus (18.243) die Gleichung (18.241) ableiten. Die letztere Beziehung umfasst vier Terme, die sich alle in Abb. 18.21 eintragen lassen.


611

Abb. 18.21 umfasst die Horizontale mit dem Wert 1, die Größe −y + /Reτ und die Gr¨ oße −u1 u2 sowie du+ / dy + . Aus (18.239) erh¨ alt man: τw τw x2 = (H − y) H H so dass sich die einzelnen Terme in der Gleichung (18.242), wie in Abb. 18.21 aufgezeigt, angeben lassen. Es ist offensichtlich, dass der Term dU1+ / dy + u omung den kleinsten Wert in der normierten Im¨ ber weite Bereiche der Str¨ pulsgleichung (18.241) darstellt. τges =

Abbildung 18.21: Terme der Impulsgleichung f¨ ur 2-dimensionale Kanalstr¨ omung

Um Informationen u ur ebene Kanalströmungen zu erhal¨ber dU1+ / dy + f¨ ten, wurden am Lehrstuhl f¨ ur Str¨ omungsmechanik der Friedrich–Alexander– Universit¨ at Erlangen–N¨ urnberg Laser–Doppler– und Hitzdrahtmessungen durchgef¨ uhrt, um U1 (y)–Verteilungen experimentell zu erhalten. In Verbindung mit Schubspannungsmessungen wurde eine Auftragung der Messwerte in der Form: , + dU1+ (18.243) ln = f ln y + + dy erreicht und hieraus wurde ermittelt, dass f¨ ur hohe Re–Zahlen, die in Abb. 18.22 aufgetragenene mittleren Geschwindigkeitsmesswerte, wie folgt beschrieben werden k¨ onnen: dU1+ e ln (18.244) = − ln y + + 1 ≡ ln + + dy y

612


Daraus ergibt sich: U1+ = e ln y + + B, d. h. die normierte Geschwindigkeitsverteilung in einer ebenen Kanalstr¨ omung l¨ asst sich u ¨ ber einen weiten Bereich des Kanalquerschnitts durch eine logarithmische Geschwindigkeitsverteilung beschreiben: 1 κ = 1/e (18.245) U1+ = ln y + + B mit κ B = 10/e Diese Werte wurden durch die experimentellen Untersuchungen am LSTMErlangen gefunden. Abb. 18.22 zeigt, dass die doppellogarithmische Auftragung eine Gerade mit der Steigung −1 ergibt. In der Literatur finden sich eine Vielzahl von

Abbildung 18.22: Darstellungen experimenteller Untersuchungen zur Bestimmung des logarithmischen Wandgesetzes

Untersuchungen, die auf die Bestimmung von κ–Werten und Werten f¨ ur die additive Konstante B des logarithmischen Wandgesetzes abzielten. Untenstehend ist eine Zusammenfassung dieser Werte gegeben. Die große Streuung unter den Werten ist vorrangig auf den Einsatz von Messverfahren zur¨ uckzuf¨ uhren, die keine ausreichend lokalen Messungen der mittleren Geschwindigkeiten zulassen. Ferner wurden Effekte, die bei niederen Reynoldszahlen auftreten, in die Auswertungen einbezogen. Ber¨ ucksichtigt man all die Einfl¨ usse, d.h. l¨ asst man nur Hitzdraht und Laser-Doppler-Messungen zu, so erh¨ alt man die in (18.245) f¨ ur κ und B angegebenen Werte. Hat man verl¨ assliche Messungen f¨ ur dU1+ / dy + , so erlaubt die in (18.241) angegebene Beziehung die Bestimmung von (u1 u2 )+ –Werten f¨ ur turbulente Kanalstr¨ omungen. Verteilungen dieser normierten turbulenten Transportterme sind in Abb. 18.24 angegeben.


613

Abbildung 18.23: Streuung der κ– und B–Werte bei der experimentellen Bestimur Wandgrenzschichten mung von U1+ = f (y + ) f¨

Abbildung 18.24: Normierte turbulente Impulstransportterme (u1 u2 ) f¨ ur ebene Kanalstr¨ omungen

Mittels einer ebenen Kanalmessstrecke und dem Einsatz eines LDA– Geschwindigkeitsmesssystems konnten auch Informationen u ¨ ber die in Strömungsrichtung vorliegenden turbulenten Geschwindigkeitsschwankungen erhalten werden. Diese Informationen sind in Abb. 18.25 zusammenfassend dargestellt und mit korrespondierenden Ergebnissen numerischer Strömungsberechnungen verglichen. Die am LSTM–Erlangen durchgef¨ uhrten Detailuntersuchungen ebener Kanalstr¨ omungen haben zu interessanten neuen Erkenntnissen gef¨ uhrt. So haben die Messungen ergeben, dass die lokale Turbulenzin-

614

18 Turbulente Str¨ omungen 1 W 2 3 4

a s L D A T ra v Ü b e

s e rk a n -S y s te e rs ie ru rla u fb e

5

a l m n g h ä lte r 6 7 8

R a d A u s K o r C o r

ia fl re io

lp u s k t lis

u m s b u r -D

p e h v e u

1 e

ä lte r n til rc h flu s s m e s s g e rä t

0 .1

0 .0 1

7

3 1

2

0 .0 0 1

4

1

1 0

1 0 0

1 0 0 0

1 0

1 0 0

1 0 0 0

3

2

8 6

1

5 0 1

u c '/ U

Abbildung 18.25: Ebene Kanalstr¨ omung und LDA–System. Messergebnisse f¨ ur normierte, turbulente Geschwindigkeitsfluktuationen in Str¨ omungsrichtung

Abbildung 18.26: Turbulenzintensit¨ at Re–Zahl

y +

u1 2 /U1 in Wandn¨ ahe als Funktion der

tensit¨ at u1 2 /U1 einen konstanten Wandwert einnimmt. Dieser hängt jedoch von der Re–Zahl der Str¨ omung ab. Dies ist in Abb. 18.26 angegeben. Wiederum zeigen sich kleine Diskrepanzen zu den u ¨ ber numerische Untersuchungen erhaltenen Werten. Diese sind mit hoher Wahrscheinlichkeit auf Fehler in den numerischen Berechnungen zur¨ uckzuf¨ uhren, da die berechneten Werte keine Korrekturen f¨ ur das Vorliegen endlicher numerischer Gitterabstände erhalten haben. Die oben beschriebenen Untersuchungen sind auf solche Wandrauhigkeiten limitiert, f¨ ur die gilt:


615

δs u τ ≤ e = 2, 72 (18.246) ν d. h. die Werte κ = 1/e und B = 10/e sind nur f¨ ur Strömungen hoher Reynolds-Zahlen g¨ ultig und f¨ ur Wandungen, die man als hydraulisch glatt ansehen kann. F¨ ur rauhe Wandungen erweist sich eine Betrachtung f¨ ur notwendig, f¨ ur die gilt: y (18.247) U1 = f (y, ρ, µ, τw , δs ) ; U1+ = f s ¨ wobei δs die Sandrauhigkeit“ der Wand darstellt. Ahnlichkeitsbetrachtun” gen zeigen, dass folgendes logarithmisches Wandgesetz f¨ ur rauhe Kanalwände abgeleitet werden kann: + , 1 (18.248) U1+ = ln y + + B − ∆B δs+ κ Von Interesse ist der Punkt in der viskosit¨ atskontrollierten Unterschicht der Str¨ omung, bei der die Unterschicht U1+ = y + und die Schicht U1+ = 1/κ ln y + gleiche Werte und gleiche Steigungen haben: U1+ = y + =

1 ln y + κ

und

dU1+ 1 =1= dy + Ky +

(18.249)

¨ Abbildung 18.27: Anderung der additiven Konstanten des logarithmischen Wandgesetzes infolge Rauhigkeit

Daraus folgt y + = e und κ = 1/e, wie aus den Messungen am LSTM– Erlangen hervorging. F¨ ur das logarithmische Geschwindigkeitsprofil mit der

616


maximalen Rauhigkeit δs+ , f¨ ur die noch eine viskositätsbetonte Unterschicht existiert, ergibt sich: ∆B(δs+ ) = B = 10/e. Damit liegt eine konstante Darstellung der Geschwindigkeitsverteilungen f¨ ur hydromechanisch glatte und rauhe Kanalw¨ ande vor. Dennoch m¨ ussen noch viele Fragen zu Detailproblemen turbulenter Wandgrenzschichten beantwortet werden, die es mit Hilfe moderner Mess- und Berechnungsverfahren zu erforschen gilt. Insbesondere gilt es die hier f¨ ur vollentwickelte, zweidimensionale, ebene, turbulente Kanalstr¨ omungen erhaltenen Ergebnisse auf Rohrströmungen zu erweitern, sowie auf ebene Plattenstr¨ omungen und auf turbulente Filmströmungen.

18.9 Literaturverzeichnis 18.1 Tenekes H, Lumley JL (1972) A First Course in Turbulence. MIT Press, Cambridge MA 18.2 Townsend AA (1976) The Structure of Turbulent Shear Flows. Second Edition, Cambridge 18.3 Hinze JO (1975) Turbulence. Second Edition, McGraw-Hill Book Company, New York 18.4 Rodi W (1979) Turbulence Models and Their Application in Hydraulics. Int. Assoc. Hydr. Research, Delft, Netherlands 18.5 Schlichting H (1979) Boundary Layer Theory. McGraw-Hill Book Company, New York 18.6 Arpaci VS, Larsen PS (1984) Convection Heat Transfer. Central Book Company, Taipei, Taiwan 18.7 Wilcox DC (1993) Turbulence Modeling for CFD. DCW Industries Inc., La Canada 18.8 Biswas G, Eswaran V (2002) Turbulent Flows, Fundamentals, Experiments and Modeling. IIT Kanpur Series of Advanced Texts, Narosa Publishing House, New Delhi 18.9 White FM Viscous Fluid Flow, Kingsport Press, Inc., ISBN 0070697108

19 Numerische L¨ osungen der str¨ omungsmechanischen Grundgleichungen1

19.1 Allgemeine Betrachtungen Die Betrachtungen in den Kapiteln 13, 14, 15 und 16 zeigten, dass analytische L¨ osungen der str¨ omungsmechanischen Grundgleichungen oftmals nur dann gelingen, wenn vereinfachte Gleichungen f¨ ur vollentwickelte Strömungen bzw. kleine oder große Re-Zahlen abgeleitet werden und man sich zudem auf Str¨ omungsprobleme beschr¨ ankt, die durch einfache Randbedingungen gekennzeichnet sind. Selbst unter Einbeziehung dieser Vereinfachungen resultierten die durchgef¨ uhrten Ableitungen nicht f¨ ur alle zu lösenden Strömungsprobleme in analytischen L¨ osungen, sondern reduzierten lediglich den Satz von partiellen Differentialgleichungen zu einem Satz gewöhnlicher Differentialgleichungen. Letztere konnten in den vorausgegangenen Kapiteln mittels g¨ angiger analytischer Methoden gel¨ ost werden. Ferner konnten auch die das Str¨ omungsproblem kennzeichnenden Randbedingungen implementiert werden. Damit wurde aufgezeigt, dass die in der angewandten Mathematik bekannten Methoden zur L¨ osung gew¨ ohnlicher Differentialgleichungen ein wichtiges Werkzeug f¨ ur den theoretisch arbeitenden Strömungsmechaniker darstellen. Obgleich analytische Verfahren zur L¨ osung von Strömungsproblemen nicht mehr die Bedeutung haben, die ihnen in der Vergangenheit zukam, geh¨ ort es zu einer guten Ausbildung in der Strömungsmechanik, diese Methoden zu erlernen. Betrachtet man die in den vorausgegangenen Kapiteln behandelten partiellen Differentialgleichungen, so lassen sich alle in die nachfolgende allgemeine Form bringen: A

∂2Φ ∂Φ ∂2Φ ∂Φ ∂2Φ +C +E + F Φ = g(x, y) + 2B +D 2 ∂x ∂x∂y ∂y 2 ∂x ∂y

(19.1)

Bezeichnet man als Diskriminante der Differentialgleichung (19.1) d : = AC − B 2 1

(19.2)

Wichtige Beitr¨ age zu diesem Kapitel wurden von meinem Sohn Dr. Ing. B. Durst geleistet.

618

19 Numerische L¨ osungen der str¨ omungsmechanischen Grundgleichungen

so bezeichnet man die Differentialgleichung als parabolisch, hyperbolisch oder elliptisch wenn f¨ ur d gilt: Parabolische Differentialgleichung: d = 0 (einparametrige Charakteristiken) Hyperbolische Differentialgleichung: d < 0 (zweiparametrige Charakteristiken) Elliptische Differentialgleichung: d > 0 (keine reellen Charakteristiken)

Diese Klassifizierung der Differentialgleichung orientiert sich an den Gleichungen f¨ ur Parablen, Hyperbeln und Ellipsen der ebenen Geometrie, in der die Gleichung: (19.3) ax2 + 2bxy + cy 2 + dx + ey + f = 0 Parabeln (ac − b2 = 0), Hyperbeln (ac − b2 < 0) und Ellipsen (ac − b2 > 0) beschreibt. Danach ergeben sich f¨ ur die in vorausgegangenen Kapiteln behandelten Differentialgleichungen: Diffusionsgleichung:

Wellengleichung:

∂2U ∂U , d.h. es gilt A = ν, B = C = 0 = ν ∂t ∂x2 und somit ist d = 0. Die Diffusionsgleichung besitzt parabolische Eigenschaften“. ” 2 ∂2U 2 ∂ U = c ; d.h. es gilt A = c2 , B = 0, C = −1 ∂t2 ∂x2 und damit ist d = −c2 < 0. Die Wellengleichung ist hyperbolisch.

(a ) x 2

e llip tis c h e s E in flu ß g e b ie t

P x

x 1

x

(c ) 2

(b )

h y p e rb o lis c h e s E in flu ß g e b ie t

2

p a ra b o lis c h e s E in flu ß g e b ie t

P

x

P

x 1

1

Abbildung 19.1: Einflussgebiete f¨ ur Eigenschaften im Punkt P f¨ ur elliptische (a), parabolische (b) und hyperbolische (c) Differentialgleichungen


Potentialgleichung:

619

∂2Φ ∂2Φ + = 0, d.h. A = C = 1, B = 0 und somit ∂x2 ∂y 2 ist d > 0. Die Potentialgleichung zeigt elliptisches ” Verhalten“.

Die station¨ aren Grenzschichtgleichungen sind, so lässt sich zeigen, wenn man sie entsprechend den obigen Darstellungen analysiert, parabolische Differentialgleichungen. Solche Gleichungen haben eine f¨ ur die numerische Lösung wichtige Eigenschaft. Die an einer bestimmten Stelle eines Strömungsfeldes ermittelte L¨ osung der Differentialgleichung h¨ angt nicht von den Randbedingungen ab, die stromab gelegen sind. Dies ermöglicht eine Lösungsfindung f¨ ur das gesamte Str¨ omungsfeld durch Vorw¨ artsintegration“, d.h. die Lösung ” errechnet sich in einer bestimmten Ebene alleine aus den Werten der vorausgegangenen Ebene. Dies ist charakteristisch f¨ ur parabolische Differentialgleichungen, die somit mit Vorteilen bei numerischer Integration behaftet sind, welche die elliptischen Differentialgleichungen nicht besitzen. Dies wird deutlich wenn man sich Abb. 19.1 ansieht, die aufzeigt, welches Teilgebiet eines Str¨ omungsfeldes auf die Eigenschaften an einem Punkt P einwirkt, d.h. dessen Str¨ omungseigenschaften bestimmen. Um Differentialgleichungen numerisch l¨ osen zu können, ist es erforderlich, das Str¨ omungsgebiet mit einem numerischen Gitter“ zu versehen, wie z.B. ” in Abb. 19.2 f¨ ur ein spezielles Str¨ omungsprobleme angedeutet, wo ein strukturiertes Gitter gezeigt wird. Dieses ist u ¨ber einer ebenen Platte angebracht, die folgende Bewegung ausf¨ uhrt: U1 (x2 = 0, t < 0) = 0

Die Platte ruht f¨ ur

U1 (x2 = 0, t ≥ 0) = U0

x 2

t > 0

F l

P e < < 0

F

|P e | » 0

u

P l

c f (x 1) P

u

Abbildung 19.9: Abh¨ angigkeit des Verlaufs von Φ von der Massenstromdichte (Peclet-Zahl)

Betrachtet man die Abbildung sowie auch die Lösung der Gleichung, liegt es eigentlich nahe, auch im mehrdimensionalen Fall einen exponentiellen Verlauf von Φ zwischen den Gitterpunkten anzunehmen. Die Berechnung von Exponentialfunktionen auf Computern ist jedoch verglichen mit anderen Operationen sehr aufwendig und man neigt dazu, den tatsächlichen Verlauf durch Polynome zu approximieren. Die verschiedenen Approximationsansätze unterscheiden sich hier durch die Ordnung des verwendeten Polynoms. Im vorliegenden Kapitel werden wir Polynome nullter und erster Ordnung ber¨ ucksichtigen, die auf das sogenannte Upwind - bzw. Zentraldifferenzen-Verfahren f¨ uhren. Durch die Annahme einer linearen Verteilung von Φ zwischen den beiden Gitterpunkten kann die Ableitung f¨ ur den diffusiven Fluss näherungsweise ersetzt werden durch: Φu − Φl ∂Φ = . (19.51) ∂x cf δxcf Der Fluss durch die Kontrollvolumengrenzfl¨ ache cf lässt sich dann wie folgt approximieren: ∗ ∆Acf Γcf ∂Φ ∗ ∗ −Γcf ∆Acf = (Φl − Φu ) = Dcf (Φl − Φu ), (19.52) ∂x cf δxcf

636


und man erh¨ alt f¨ ur die einzelnen Kontrollvolumenseiten: ∂Φ ∗ ∗ cf = w, s, b : −Γcf ∆Acf = Dcf (ΦN b − ΦP ) ∂x cf ∂Φ ∗ ∗ ∆Acf = Dcf (ΦP − ΦN b ). cf = e, n, t : −Γcf ∂x cf

(19.53) (19.54)

wobei N b den jeweils in Richtung cf gelegenen Nachbarpunkt von P bezeichnet. Zur Approximation der konvektiven Fl¨ usse lassen sich nun unterschiedliche Approximationsbetrachtungen heranziehen, die untenstehend erläutert sind, so zum Beispiel das: Upwind-Verfahren Das Upwind-Verfahren approximiert den Verlauf von Φ zwischen zwei Gitterpunkten durch ein Polynom nullter Ordnung, d.h. eine Konstante. Betrachtet man Abb. 19.9, erkennt man schnell, dass diese Näherung f¨ ur betragsmäßig große Peclet-Zahlen, also f¨ ur Situationen in denen der konvektive Transport u ur diesen Fall weicht der Wert von Φ an der Grenz¨ berwiegt, gut ist. F¨ fl¨ ache nur wenig vom Wert am stromaufw¨ arts von cf gelegenen Gitterpunkt ab. Es ist dadurch auch klar, durch welchen konstanten Wert approximiert werden sollte, n¨ amlich immer den stromaufw¨ arts (upwind) von cf gelegenen. ur die neF¨ ur eine Str¨ omung in positiver Koordinatenrichtung ist dies Φl , f¨ gative Richtung ist es Φu . Es ist also notwendig, die Strömungsrichtung an der Kontrollvolumengrenzfl¨ ache feststellen zu können. Wir wollen hierzu den Massenstrom benutzen: (19.55) m∗cf = (ρu)∗cf ∆Acf . F¨ ur jede Kontrollvolumenseite muss die Richtung des Massenstromes anhand des Vorzeichens festgestellt werden. Es gilt daher: ΦN b f¨ ur m∗cf > 0 cf = w, s, b : Φcf = (19.56) ur m∗cf < 0 ΦP f¨ ΦP f¨ ur m∗cf > 0 cf = e, n, t : Φcf = . (19.57) ur m∗cf < 0 ΦN b f¨ Um nun alle m¨ oglichen Kombinationen der obigen Ausdr¨ ucke durch eine einheitliche Notation darstellen zu k¨ onnen, f¨ uhren wir eine Einheitssprungfunktion ein, die wie folgt definiert ist: 1 f¨ ur x ≥ 0 e(x) = . (19.58) 0 f¨ ur x < 0 Diese Funktion ist in Abb. 19.10 a. dargestellt. Eine Funktion, f¨ ur die der Sprung f¨ ur negative x vollzogen wird, ist:

19.4 Finite-Volumen-Diskretisierung

y

637

y 1

1 x

a .) e ( x )

x

b .) e ( - x )

y y x

x

-1

-1 c .) e ( - x ) - 1

d .) e ( x ) - 1

Abbildung 19.10: Einheitssprungfunktionen e(x), e(−x), e(−x) − 1 und e(x) − 1

y y 1

1

a .) e ( x )

x

x

b .) e ( - x )

y

y x

-1

-1

x

d .) e ( x ) - 1

c .) e ( - x ) - 1 Abbildung 19.11: Einheitssprungfunktionen

e(−x) =

0 f¨ ur x > 0 , 1 f¨ ur x ≤ 0

(19.59)

dargestellt in Abb. 19.10 b. Mit diesen beiden Funktionen lässt sich Gleichung (19.56) schreiben als: , , + + (19.60) cf = w, s, b : Φcf = e m∗cf ΦN b + e −m∗cf ΦP , + + ∗ , ∗ cf = e, n, t : Φcf = e −mcf ΦN b + e mcf ΦP . (19.61) Setzt man die Ausdr¨ ucke f¨ ur den konvektiven und auch den diffusiven Fluss in Gleichung (19.46) ein, erh¨ alt man:

638


∂ ∗ (ρ ΦP )∆V + (m∗e (e(−m∗e )ΦE + e(m∗e )ΦP ) + De∗ (ΦP − ΦE )) − ∂t P ∗ (m∗w (e(m∗w )ΦW + e(−m∗w )ΦP ) + Dw (ΦW − ΦP )) + (m∗n (e(−m∗n )ΦN + e(m∗n )ΦP ) + Dn∗ (ΦP − ΦN )) − (m∗s (e(m∗s )ΦS + e(−m∗s )ΦP ) + Ds∗ (ΦS − ΦP )) + (m∗t (e(−m∗t )ΦT + e(m∗t )ΦP ) + Dt∗ (ΦP − ΦT )) − (m∗b (e(m∗b )ΦB + e(−m∗b )ΦP ) + Db∗ (ΦB − ΦP )) = SP ∆V, (19.62) und mit ein wenig Rechenaufwand l¨ asst sich diese Gleichung umstellen und lautet dann: ρ∗P

∂ΦP ∆V + (m∗e (e(−m∗e )ΦE + (e(m∗e ) − 1)ΦP ) + De∗ (ΦP − ΦE )) − ∂t ∗ (m∗w (e(m∗w )ΦW + (e(−m∗w ) − 1)ΦP ) − Dw (ΦP − ΦW )) + (m∗n (e(−m∗n )ΦN + (e(m∗n ) − 1)ΦP ) + Dn∗ (ΦP − ΦN )) − (m∗s (e(m∗s )ΦS + (e(−m∗s ) − 1)ΦP ) − Ds∗ (ΦP − ΦS )) + (m∗t (e(−m∗t )ΦT + (e(m∗t ) − 1)ΦP ) + Dt∗ (ΦP − ΦT )) − (m∗b (e(m∗b )ΦB + (e(−m∗b ) − 1)ΦP ) − Db∗ (ΦP − ΦB )) +

∂ρ∗ ( P ∆V + m∗e − m∗w + m∗n − m∗s + m∗t − m∗b )ΦP = SP ∆V. ∂t =0 (19.63) Wie angedeutet, ist der Ausdruck u ¨ber der geschweiften Klammer die Kontinuit¨ atsgleichung in ihrer diskreten Form und verschwindet daher aufgrund von Gleichung (19.48). Voraussetzung hierf¨ ur ist jedoch, dass der Iterationsprozess nach jedem Iterationsschritt die Massenerhaltung sicherstellt. Die obige Gleichung enth¨ alt die Ausdr¨ ucke e(−m∗cf ) − 1 und e(m∗cf ) − 1. Diese Funktionen sind ebenfalls in Abb. 19.10 dargestellt und man erkennt, dass: e(x) − 1 = −e(−x)

and

e(−x) − 1 = −e(x).

(19.64)

Ber¨ ucksichtigt man dies, vereinfacht sich Gleichung (19.63) weiter: ρ∗P

∂ΦP ∆V + (−m∗e e(−m∗e ) + De∗ ) (ΦP − ΦE )− ∂t ∗ (−m∗w e(m∗w ) − Dw ) (ΦP − ΦW )+ (−m∗n e(−m∗n ) + Dn∗ ) (ΦP − ΦN )− (−m∗s e(m∗s ) − Ds∗ ) (ΦP − ΦS )+ (−m∗t e(−m∗t ) + Dt∗ ) (ΦP − ΦT )− (−m∗b e(m∗b ) − Db∗ ) (ΦP − ΦB ) = SP ∆V,

(19.65)


639

und man kann die Abk¨ urzung aN b f¨ ur die Koeffizienten von (ΦP − ΦN b ) einf¨ uhren: ∗ N b = W, S, B : aN b = Dcf + m∗cf e(m∗cf ) (19.66) ∗ N b = E, N, T : aN b = Dcf − m∗cf e(−m∗cf ). Die Ausdr¨ ucke, die nun noch die Einheitssprungfunktion beinhalten, können auch mit Hilfe der Funktion max[a,b] ausgedr¨ uckt werden, die in den meisten Programmiersprachen existiert und den gr¨ oßeren der beiden Werte liefert: ∗ + max[m∗cf , 0] N b = W, S, B : aN b = Dcf ∗ N b = E, N, T : aN b = Dcf + max[0, −m∗cf ].

(19.67)

Unter Verwendung dieser Koeffizienten wird aus Gleichung (19.65) ρ∗P

∂ΦP ∆V + aE (ΦP − ΦE ) + aW (ΦP − ΦW )+ ∂t aN (ΦP − ΦN ) + aS (ΦP − ΦS )+ aT (ΦP − ΦT ) + aB (ΦP − ΦB )

(19.68)

= SP ∆V

erhalten. Nach Einsetzen der Abk¨ urzung: a ˆ P = aE + aW + aN + aS + aT + aB =

aN b

(19.69)

Nb

ergibt sich schließlich: ρ∗P

∂ΦP ∆V + a ˆP ΦP − aN b ΦN b = SP ∆V. ∂t

(19.70)

Nb

Diese Gleichung ist das diskrete Analogon zu Gleichung (19.32) nach der Diskretisierung der r¨ aumlichen Ableitungen mit Hilfe des Upwind-Verfahrens. Die Koeffizienten berechnen sich nach Gleichung (19.67). Zentraldifferenzen-Verfahren Das Zentraldifferenzen-Verfahren approximiert den exponentiellen Verlauf von Φ zwischen zwei Gitterpunkten durch ein Polynom erster Ordnung. Dies entspricht der Annahme eines linearen Verlauf, was eine gute Näherung f¨ ur kleine Peclet-Zahlen darstellt. Der Verlauf von Φ wird daher umso besser durch dieses Verfahren approximiert, je mehr der diffusive Transport in der Str¨ omung u ¨ berwiegt. Ein linearer Verlauf von Φ zwischen zwei Gitterpunkten Pl und Pu lässt sich ausdr¨ ucken durch: Φ(x) = Φl +

Φu − Φl (x − xe ) δxcf

f¨ ur

xl ≤ x ≤ xu .

(19.71)

640


Stellt man δxcf durch die gespeicherten Koordinaten an den Gitterpunkten Pe Pu dar, ergibt sich: δxcf = (xu − xe ). (19.72) Die Grenzfl¨ ache befindet sich gerade an der Stelle x, so dass: Φu − Φl (xu − xe ) (xu − xe ) (x − xe ) = Φl + (Φu − Φl ) . (xu − xe )

Φcf = Φl +

(19.73)

Durch die Definition eines Interpolations-Koeffizienten: ηcf =

x − xe , xu − xe

(19.74)

l¨ asst sich eine Gleichung angeben f¨ ur die Interpolation der Grenzflächenwerte aus Werten der Nachbargitterpunkte Pe und Pu : Φcf = ηcf Φu + (1 − ηcf )Φl .

(19.75)

F¨ ur alle vorkommenden Kontrollvolumenseiten ergibt sich so: cf = w, s, b : Φcf = ηcf ΦP + (1 − ηcf )ΦN b

(19.76)

cf = e, n, t : Φcf = ηcf ΦN b + (1 − ηcf )ΦP .

(19.77)

Setzt man diese Ausdr¨ ucke und wieder die Approximationen f¨ ur die diffusiven Fl¨ usse (19.53) und (19.46) in Gleichung (19.46) ein, erhält man: ∂ ∗ (ρ ΦP )∆V + (m∗e (ηe ΦE + (1 − ηe )ΦP ) + De∗ (ΦP − ΦE )) − ∂t P ∗ (m∗w (ηw ΦP + (1 − ηw )ΦW ) + Dw (ΦW − ΦP )) + (m∗n (ηn ΦN + (1 − ηn )ΦP ) + Dn∗ (ΦP − ΦN )) − (m∗s (ηs ΦP + (1 − ηs )ΦS ) + Ds∗ (ΦS − ΦP )) + (m∗t (ηt ΦT + (1 − ηt )ΦP ) + Dt∗ (ΦP − ΦT )) − (m∗b (ηb ΦP + (1 − ηb )ΦB ) + Db∗ (ΦB − ΦP )) = SP ∆V, (19.78) aus der ebenfalls die finite Form der Kontinuitätsgleichung separiert werden kann:


ρ∗P

641

∂ΦP ∆V + (m∗e (ηe ΦE − ηe ΦP ) + De∗ (ΦP − ΦE )) − ∂t ∗ (m∗w ((ηw − 1)ΦP + (1 − ηw )ΦW ) − Dw (ΦP − ΦW )) + (m∗n (ηn ΦN − ηn ΦP ) + Dn∗ (ΦP − ΦN )) − (m∗s ((ηs − 1)ΦP + (1 − ηs )ΦS ) − Ds∗ (ΦP − ΦS )) + (m∗t (ηt ΦT − ηt ΦP ) + Dt∗ (ΦP − ΦT )) − (m∗b ((ηb − 1)ΦP + (1 − ηb )ΦB ) − Db∗ (ΦP − ΦB )) +

∂ρ∗ ( P ∆V + m∗e − m∗w + m∗n − m∗s + m∗t − m∗b )ΦP = SP ∆V. ∂t =0 (19.79) Geeignetes Umstellen der Terme f¨ uhrt auf die Form: ∂ΦP ∗ ∆V + (−m∗e ηe + De∗ ) (ΦP − ΦE ) − (m∗w (ηw − 1) − Dw ) (ΦP − ΦW )+ ∂t ∗ ∗ ∗ ∗ (−mn ηn + Dn ) (ΦP − ΦN ) − (ms (ηs − 1) − Ds ) (ΦP − ΦS )+ ρ∗P

(−m∗t ηt + Dt∗ ) (ΦP − ΦT ) − (m∗b (ηb − 1) − Db∗ ) (ΦP − ΦB ) = SP ∆V (19.80) und durch Einf¨ uhren der folgenden Koeffizienten: N b = W, S, B : N b = E, N, T :

∗ ∗ aN b = Dcf + Ccf (1 − fcf ) ∗ ∗ aN b = Dcf − Ccf fcf

(19.81) (19.82)

vereinfacht sich diese Gleichung zu: ρ∗P

∂ΦP ∆V + aE (ΦP − ΦE ) + aW (ΦP − ΦW )+ ∂t aN (ΦP − ΦN ) + aS (ΦP − ΦS )+ aT (ΦP − ΦT ) + aB (ΦP − ΦB )

(19.83)

= SP ∆V,

oder abgek¨ urzt: ρ∗P


(19.84)

Nb

Diese letzte Beziehung ist das diskrete Analogon zu Gleichung (19.32) bei Verwendung des Zentraldifferenzen-Verfahrens. Die Koeffizienten berechnen sich nun nach den Gleichungen (19.81) und (19.82). Auf den ersten Blick ist Gleichung (19.84) identisch mit (19.70), da f¨ ur die Bezeichnung der Koeffizienten die gleiche Notation verwendet wurde. Die obigen Ableitungen zeigen jedoch, dass in den Gleichungen unterschiedli¨ che Koeffizienten vorliegen. Die Ahnlichkeit beider Gleichungen wird sich im n¨ achsten Abschnitt als vorteilhaft herausstellen, da sie es erlaubt, beide

642


Gleichungen hinsichtlich der Diskretisierung der zeitlichen Ableitungen zusammen zu behandeln. Es existieren jedoch auch Verfahren, die es erlauben, beide Verfahren mit einem Gewichtungsfaktor zu mischen (Hybrid-Verfahren respektive deferred correction schemes). In solchen Fällen muss sehr wohl auch in der Notation zwischen den Koeffizienten der einzelnen Verfahren unterschieden werden. 19.4.3 Diskretisierung der zeitlichen Ableitung Um die nachfolgenden Betrachtungen der Diskretisierung der zeitlichen Ableitung zu vereinfachen, beschr¨ anken wir uns im weiteren auf inkompressible Fluide. Die Herleitung der analogen Gleichungen f¨ ur kompressible Fluide erfolgt nach demselben Schema. F¨ ur ein inkompressibles Fluid (ρ =const) gilt f¨ ur die Gleichungen (19.70) und (19.84): ρ


(19.85)

Nb

Wird diese Gleichung u ¨ ber einen Zeitschritt integriert, so resultiert: " " " " ∂ΦP ρ∆V dt+ a ˆP ΦP dt− aN b ΦN b dt = ∆V SP dt. (19.86) ∆t ∂t ∆t ∆t ∆t Nb

Das erste Integral dieser Gleichung l¨ asst sich berechnen zu: "

tα

tα−1

∂ΦP α−1 dt = Φα . P − ΦP ∂t

(19.87)

W¨ ahrend die u ¨brigen Integrale mit Hilfe des Mittelwertsatzes approximiert werden: " tα a ˆP ΦP dt = a ˆP ΦP ∆t ≈ a ˆτP ΦτP ∆t (19.88) tα−1

"

tα

tα−1

SP dt = S¯P ∆t ≈ SPτ ∆t,

(19.89)

wobei ΦτP den Wert von ΦP an einer Stelle in dem Intervall [tα−1 , tα ] bezeichnet. Mit diesen Approximationen schreibt sich Gleichung (19.86) als: ρ∆V α (ΦP − Φα−1 )+a ˆτP ΦτP − aτN b ΦτN b = SPτ ∆V. P ∆t

(19.90)

Nb

Im Allgemeinen werden sogenannte Two-Time-Level-Methoden verwendet, bei denen der Wert Φα P der neuen Zeitebene aus Werten ΦN b und ΦP der


643

neuen und/oder der alten Zeitebene berechnet wird. Komplexere Verfahren, die drei oder noch mehr Zeitebenen benutzen, bieten zwar eine höhere Genauigkeit, erfordern jedoch einen h¨ oheren numerischen Aufwand, da der Speicherplatzbedarf steigt und Verfahren niedrigerer Ordnung eingesetzt werden m¨ ussen, um die Berechnung bei den ersten Zeitschritten beginnen zu können. Die verschiedenen Verfahren zur Diskretisierung der Koordinate Zeit unterscheiden sich nur durch die Wahl von τ . In Anlehnung an die Art der Gleichungen, die sich durch verschiedene Werte von τ ergeben, werden die entsprechenden Verfahren als explizit oder implizit bezeichnet. ahlt und somit der gesuchte Wert Im expliziten Fall wird tτ = tα−1 gew¨ α ΦP nur aus Werten ΦN b und ΦP der alten Zeitebene berechnet. Gleichung (19.90) lautet damit: ρ∆V α α−1 α−1 (ΦP − Φα−1 )+a ˆα−1 Φα−1 − aα−1 ∆V, P P P N b ΦN b = SP ∆t

(19.91)

Nb

oder umarrangiert mit n = α und 0 = α − 1: ΦnP = ΦoP −

∆t (ˆ aoP ΦoP − aoN b ΦoN b − SPo ∆V ). ρ∆V

(19.92)

Nb

Dies ist eine explizite Gleichung f¨ ur Φα P , da bis auf den gesuchten Wert alle anderen aus dem vorangehenden Zeitschritt bekannt sind. Allgemein haben explizite Verfahren den Nachteil, dass die Gr¨ oße des Zeitschrittes beschränkt ¨ ist. Dies l¨ asst sich durch Uberlegungen zur numerischen Stabilität des Verfahrens begr¨ unden. Ein weiterer Nachteil ist, dass explizite Verfahren das zeitliche Verhalten der diffusiven Transportvorgänge nicht auf die gleiche Art beschreiben wie die Ausgangsgleichung. Wird ein explizites Verfahren ver¨ wendet, wird die Information u in den Randbedingungen ¨ber eine Anderung pro Zeitschritt nur um einen Gitterpunkt weitergetragen. Dies steht im Gegensatz zum tats¨ achlichen physikalischen Verhalten, da solche Informationen durch die Diffusion sofort auf das gesamte Berechnungsgebiet u ¨bertragen werden. In dieser Hinsicht sind implizite Verfahren oftmals besser geeignet, das tats¨ achliche physikalische Geschehen wiederzugeben, worin auch die höhere numerische Stabilit¨ at begr¨ undet ist. Implizite Methoden benutzen u. a. tτ = α t , womit aus Gleichung (19.90) das einfachste implizierte Verfahren erster Ordnung resultiert: ρ∆V α α α α (ΦP − Φα−1 )+a ˆα aα P ΦP − N b ΦN b = SP ∆V. P ∆t

(19.93)

Nb

Da nun auch Werte des neuen Zeitschrittes benutzt werden, können sich Ein¨ fl¨ usse durch Anderungen in den Randbedingungen innerhalb eines Zeitschrittes u ¨ ber das ganze Berechnungsgebiet ausbreiten. Die obige Beziehung stellt

644


jedoch eine implizite Gleichung f¨ ur Φα P dar, da hierin auch unbekannte Werte der benachbarten Gitterpunkte auftreten. Hier muss nun ber¨ ucksichtigt werden, dass in s¨ amtlichen Betrachtungen bis jetzt immer ein Gitterpunkt stellvertretend f¨ ur alle anderen betrachtet wurde. Die Einbeziehung aller Gitterpunkte liefert ebenso viele Gleichungen wie Unbekannte. Folglich ist das sich ergebende Gleichungssystem l¨ osbar. Werden die Koeffizienten von Φα P geeignet ausgeklammert und zu einem ρ∆V neuen Koeffizienten a ˇnP , mit a ˇα = a ˆα P P + ∆t , kombiniert, so resultiert die Beziehung: ρ∆V α−1 α α α aα , (19.94) a ˇα Φ P ΦP − N b ΦN b = SP ∆V + ∆t P Nb

die die finite Form von Gleichung (19.32) nach der Diskretisierung der zeitlichen Ableitung repr¨ asentiert. 19.4.4 Behandlung der Quellterme Im obigen Abschnitt wurde angesprochen, dass Gleichung (19.94) eine imosung ein plizite Bestimmungsgleichung f¨ ur Φα P darstellt und dass zu deren L¨ ganzes System von Gleichungen mit Hilfe eines entsprechenden Algorithmus zu l¨ osen ist. Hier werden meist iterative L¨ osungsalgorithmen angewendet, die als Konvergenzbedingung einen großen Koeffizienten aP des Zentralpunktes besitzen m¨ ussen (Diagonaldominanz der resultierenden Koeffizientenmatrix). F¨ ur jeden Punkt des L¨ osungsgebietes sollte daher a ˆP ≥ aN b (19.95) Nb

erf¨ ullt sein. Ohne den Quellterm Diskretisierung ist dies durch die bisherigeρ∆V a und a ˇ = a ˆ + automatisch erf¨ ullt, da a ˆP = P P Nb Nb ∆t ist. Bei der Diskretisierung des Quellterms sollten daher Schritte vermieden werden, die uhren. zu einer Verkleinerung von a ˆP f¨ Es ist m¨ oglich, dass der Quellterm S keine lineare Funktion von Φ ist, jedoch kann dieser Term durch Aufspaltung in einen unabhängigen und abh¨ angigen Teil linearisiert werden: α SPα = SPα Φα P + Sc ,

(19.96)

angt. SPα wobei Scα den Teil von SPα bezeichnet, der nicht explizit von Φα P abh¨ α ∗ kann dann durch SP ersetzt werden, das mit bekannten Werten von ΦP aus vorangegangenen Iterationen berechnet wird, wodurch die Linearisierung des Quellterms erreicht wird. Durch Einsetzen in Gleichung (19.94) resultiert: ∗

α α α a ˇα P ΦP − SP ΦP ∆V −

Nb

α α aα N b ΦN b = Sc ∆V +

ρ∆V α−1 Φ . ∆t P

(19.97)

19.5 Berechnung laminarer Str¨ omungen

645

Um die Diagonaldominanz der Koeffizientenmatrix nicht zu gefährden, muss ∗ SPα negativ sein. Kann diese Bedingung nicht eingehalten werden, ist es f¨ ur die Stabilit¨ at des iterativen Verfahrens besser, den gesamten Quellterm aus bekannten Werten zu berechnen und auf der rechten Seite der Gleichung zu belassen. ρ∆V α−1 α ∗ α ˇα gesetzt, Wird anschließend aα P = a P −SP ∆V und b = Sc ∆V + ∆t ΦP resultiert die vollst¨ andig diskretisierte Form der Gleichung (19.32): α α aα aα (19.98) P ΦP − N b ΦN b = b. Nb

19.5 Berechnung laminarer Stro ¨mungen Analysiert man die allgemeinen Navier-Stokes-Gleichungen und die Energiegleichung f¨ ur ein inkompressibles Fluid, d.h. die allgemeine Transportgleichung, so zeigt sich, dass ein Satz partieller Differentialgleichungen vorliegt, der ein parabolisches Zeitverhalten und ein elliptisches Raumverhalten aufzeigt. Aufgrund dieses Zeit- und Raumverhaltens sind Anfangsbedingungen zum Zeitpunkt t = 0 vorzugeben und die Randbedingungen sind entlang der gesamten Grenzen des Str¨ omungsgebietes festzulegen. Dabei ist es u ¨ blich, folgende Randbedingungen in numerische Berechnungen einzubringen: – – – –

Derichlet-Randbedingungen: Angabe der Werte aller Variablen entlang der Grenzen des Berechnungsgebietes. Neumann-Randbedingungen: Angabe der Gradienten (oder der diffusiven Fl¨ usse) der Variablen entlang der Grenzen des Berechnungsgebietes. Kombination von Derichlet- und Neumann-Randbedingungen. Periodische Randbedingungen

Damit ergeben sich f¨ ur praktische Berechnungen, spezifische Randbedingungen f¨ ur -

feste W¨ ande Symmetrieebenen Einstr¨ omebenen Ausstr¨ omebenen

die sich gesondert betrachten lassen, wobei das S-n-Koordinatensystem in Abb. 19.12 zur Anwendung kommt. Wandrandbedingungen An W¨ anden wird die Haftbedingung verwendet. F¨ ur impermeable Oberfl¨ achen werden beide Geschwindigkeiten auf Null gesetzt, d.h.:

646


S y m m e trie lin ie A u s s tro m ra n d

E in s tro m ra n d n y s x

n

F e s te W a n d s

Abbildung 19.12: Skizze zur Erl¨ auterung m¨ oglicher Randbedingungen

Us = Un = 0.

(19.99)

F¨ ur die Temperatur k¨ onnen entweder der Wandwert oder die Wandflusswerte spezifiziert werden: T = Tw

Pr ∂T = − qw . ∂n µcp

oder

(19.100)

Tw bezeichnet die Wandtemperatur und qw den Wandwärmefluss pro Fl¨ acheneinheit (W¨ armestromdichte). Symmetrieebenen Auf Symmetrieebenen sind die Normalgradienten (Fl¨ usse) der Tangentialgeschwindigkeit und s¨ amtlicher skalarer Variablen Null. Zusätzlich verschwindet die Normalgeschwindigkeit: ∂Us = 0; ∂n

Un = 0 und

∂T = 0. ∂n

(19.101)

Einstr¨ omebenen Normalerweise werden an Einstr¨ om-Ebenen die Profile von Us , Un und T durch Daten oder durch analytische Formeln vorgeschrieben. Ausstr¨ omebenen Falls die Ausstr¨ omebene derart sind, dass die Strömung parabolisches Verhalten aufzeigt und die Ebene gen¨ ugend weit entfernt ist, kann eine vollentwickelte Str¨ omung angenommen werden, d.h. Gradienten in Strömungsrichtung k¨ onnen vernachl¨ assigt werden: ∂Us = 0; ∂n

∂Un =0 ∂n

und

∂T = 0. ∂n

(19.102)

19.5 Berechnung laminarer Str¨ omungen

647

Die Vorgabe von Profilen f¨ ur Us , Un und T ist gleichfalls möglich. Mit Randbedingungen dieser Art lassen sich nun laminare Strömungen berechnen, wie sie in den Abb. 19.13 bis 19.15 dargestellt sind.

a)

b)

c)

Abbildung 19.13: Berechnungen von Str¨ omungen mit verschiedenen Re-Zahlen in einem zweidimensionalen Str¨ omungskanal mit eingebauter Stufe; (a) Re = 10−4 , (b) Re = 10, (c) Re = 100, Biswas et al. (2003)

a)

b)

c)

d)

Abbildung 19.14: Ergebnisse von Str¨ omungsberechnungen f¨ ur die Umstr¨ omung eines zweidimensionalen Zylinders mit quadratischer Querschnittsfl¨ ache; (a) Re = 1, (b) Re = 30, (c) Re = 60, (d) Re = 200, Breuer et al. (2000)

¨ Die obigen Abbildungen zeigen die Uberstr¨ omung einer zur¨ uckspringenden Stufe, Abb. 19.13, und die Umstr¨ omung eines Quaders, Abb. 19.14.

648


a)

b)

Abbildung 19.15: Ergebnisse laminarer Str¨ omungsberechnungen in einem R¨ uhrgef¨ aß mit eingebauter Rushton-Turbine; (a) Re = 1, (b) Re = 100, Breuer (2002)

19.6 Berechnungen turbulenter Str¨ omungen 19.6.1 Zu l¨ osende Str¨ omungsgleichungen Berechnungen turbulenter Str¨ omungen, bei Vorliegen hoher Re-Zahlen, erfordern die L¨ osung der Reynoldsschen Transportgleichungen, die in Kapitel 17 abgeleitet wurden und die sich f¨ ur zweidimensionale Strömungsgebiete wie folgt angeben lassen: Massenerhaltung (Kontinuit¨ ats-Gleichung): ∂(ρU ) ∂(ρV ) ∂ρ + + = 0, ∂t ∂x ∂y

(19.103)

Impulserhaltung in x-Richtung: ∂(ρU ) ∂ ∂ ∂P ∂τ11 ∂τ21 + (ρU 2 +ρu2 )+ (ρU V +ρuv) = − − − , (19.104) ∂t ∂x ∂y ∂x ∂x ∂y Impulserhaltung in y-Richtung: ∂(ρV ) ∂ ∂ ∂P ∂τ21 ∂τ22 + (ρU V +ρuv)+ (ρV 2 +ρv 2 ) = − − − . (19.105) ∂t ∂x ∂y ∂y ∂x ∂y F¨ ur turbulente Str¨ omungen m¨ ussen alle mit Großbuchstaben bezeichneten Variablen und die Fluideigenschaften als zeitgemittelt gedeutet werden. Fluktuierende Gr¨ oßen werden durch Kleinbuchstaben gekennzeichnet. Mittelwerte von Korrelationen der Fluktuation werden durch obere Querstriche angegeben. Die molek¨ ulbedingten Impulstransporte in den Impulsgleichungen

19.6 Berechnungen turbulenter Str¨ omungen

649

werden im folgenden vernachl¨ assigt, was durch die Annahme gerechtfertigt ist, dass hohe Reynolds-Zahlen vorliegen. Diese Annahme ist eine bei der Berechnung elliptischer turbulenter Str¨ omungen u ¨bliche Näherung. Die Beziehungen −ρu2 , −ρuv und −ρv 2 stellen den Impulstransport durch die turbulente fluktuierende Str¨ omung dar. Sie wirken wie Spannungen“ auf ” die Fluidelemente und werden daher als Reynolds-Spannungen bezeichnet. Diese Spannungen sind zus¨ atzliche Unbekannte in dem Gleichungssystem (19.103) – (19.105) und m¨ ussen u ¨ ber ein Turbulenz-Modell mit bekann” ten Gr¨ oßen“ in Bezug gebracht werden, um eine geschlossene Lösung der Str¨ omungsgleichungen zu erm¨ oglichen. Das k--Turbulenzmodell (Launder und Spalding, 1974), macht von der Wirbelviskosit¨ ats-Hypothese Gebrauch, welche die Reynolds-Spannungen zu den mittleren Deformationsraten in Bezug setzt: 2 ∂U − ρk, ∂x 3 ∂V 2 − ρk, −ρv 2 = 2µt ∂y 3 ∂U ∂V + −ρuv = µt . ∂y ∂x −ρu2 = 2µt

(19.106) (19.107) (19.108)

Der Proportionalit¨ atsfaktor µt ist die Wirbelviskosität. Die in den Gleichungen (19.106) und (19.107) auftretende Gr¨ oße k ist die turbulente kinetische Energie, die gleich der halben Summe der normalen Reynolds-Spannungen (geteilt durch die Dichte) ist: k=

1 2 u + v 2 + w2 . 2

(19.109)

w ist die Fluktuation der Geschwindigkeit in z-Richtung. Die Wirbelviskosität µt ist keine Fluideigenschaft, sondern h¨ angt vom örtlichen Strömungszustand ab. Schreibt man die obigen x − y−Impulsgleichungen in der Form, dass sie der allgemeinen Transportgleichung entsprechen, so erhält man: ∂ ∂U ∂U ∂(ρU ) ∂ ∂P ∗ + + SU , ρU 2 − µt + ρU V − µt =− ∂t ∂x ∂x ∂y ∂y ∂x (19.110) ∗ ∂ ∂(ρV ) ∂V ∂V ∂ ∂P + + SV ρU V − µt + ρV 2 − µt =− ∂t ∂x ∂x ∂y ∂y ∂y (19.111) mit den Quelltermen:

650


∂ SU = µt ∂x ∂ SV = µt ∂x

∂U ∂ + µt ∂x ∂y ∂U ∂ + µt ∂y ∂y

∂V , ∂x ∂V . ∂y

(19.112) (19.113)

Der durch Einbeziehung des zweiten Terms in den Gleichungen (19.106) und (19.107) ge¨ anderte Druck P ∗ ist gleich 2 P ∗ = P + ρk 3

(19.114)

In den meisten praktisch relevanten F¨ allen ist P 23 ρk, so dass P = P ∗ gesetzt werden kann. Die Erhaltung der zeit– (oder ensemble–) gemittelten Energie wird als Transportgleichung f¨ ur die Temperatur beschrieben durch: , , ∂ + ∂ + ∂(ρcp T ) + ρcp U T + ρcp ut + ρcp V T + ρcp vt = ST . ∂t ∂x ∂y

(19.115)

t ist der fluktuierende Wert von T ; −ρcp ut und −ρcp vt stellen die turbulenten Energieflusswerte dar. Die Terme f¨ ur den molekularen Transport wurden in Gleichung (19.115) bereits vernachl¨ assigt. F¨ ur Prandtl-Zahlen um 1 stimmt dies mit der Annahme u ¨ berein, die bei der Herleitung der Erhaltungsgleichungen f¨ ur turbulente Str¨ omungen getroffen wurde. Die turbulenten Fl¨ usse sind durch ein Wirbelausbreitungsvermögen (Diffusivit¨ at) auf die mittleren Temperatur–Gradienten bezogen: µt cp Prt µt cp −ρcp vt = Prt

−ρcp ut =

∂T , ∂x ∂T . ∂y

(19.116) (19.117)

Die Wirbelviskosit¨ at µt resultiert aus dem k--Turbulenzmodell. Prt , die turbulente Prandtl-Zahl, ist eine empirische Konstante, die im nächsten Abschnitt spezifiziert wird. Die Substitution der Gleichungen (19.116) in (19.115) ergibt die Temperaturgleichung: ∂ µt cp ∂T µt cp ∂T ∂(ρcp T ) ∂ + ρcp U T − + ρcp V T − = ST . ∂t ∂x Prt ∂x ∂y Prt ∂y (19.118) Die Bestimmung von µt erfolgt in vielen praktischen Fällen u ¨ ber das k − −Turbulenzmodell, wobei Dimensions¨ uberlegungen zu folgender Beziehung f¨ ur die Wirbelviskosit¨ at f¨ uhren:


k2 k = turb. kin. Energie

651

µt = ρcµ

(19.119)

∂ui ∂ui = turb. Dissipationsrate mit = r , ∂xk ∂xk ¨ worin cµ eine empirische Konstante ist, die unten angegeben wird. Ortliche Werte von k und werden durch L¨ osung der halb-empirischen Transportgleichungen f¨ ur k und gewonnen, die folgendermaßen lauten: ∂(ρk) ∂ µt ∂k ∂ µt ∂k + ρU k − + ρV k − = Pk − ρ, (19.120) ∂t ∂x σk ∂x ∂y σk ∂y ∂ ∂(ρ) µt ∂ ∂ µt ∂ + ρU − + ρV − = (c1 Pk − c2 ρ). ∂t ∂x σ ∂x ∂y σ ∂y k (19.121) ¨ Die Terme auf den linken Seiten der Gleichungen stellen die zeitliche Anderung von k und und ihren Transport durch die gemittelte und fluktuierende Bewegung dar; die rechten Seiten enthalten die Produktions- und Vernichtungsraten. In der k-Gleichung ist die k-Vernichtungsrate“ der mit der Dich” te multiplizierten Dissipationsrate gleich gesetzt. Die Produktionsrate Pk wird definiert als: 2 2 2 0 ∂U ∂V ∂U ∂V . (19.122) +2 + Pk = µt 2 + ∂x ∂y ∂y ∂x F¨ ur die empirischen Konstanten c1 , c2 , σk , σ und cµ werden u ¨ blicherweise die von Launder und Spalding (1974) vorgeschlagenen Standardwerte angenommen. F¨ ur wandbegrenzte bzw. freie Strömungen werden f¨ ur die turbulente Prandtl-Zahl Werte von 0,6 und 0,86 empfohlen. Die k − −Modellkonstanten sind in der untenstehenden Tabelle 19.2 zusammengefasst. Tab. 19.2: Empirische Konstanten des k--Turbulenz-Modells

cµ

c1 c2 σk σ

Prt

0.09 1.44 1.92 1.0 1.3 0.6. . . 0.86 Die obenstehend vorgestellten Transportgleichungen f¨ ur turbulente Strömungen k¨ onnen in einer allgemeinen Form wie folgt geschrieben werden: ∂(ρΦ) ∂ ∂Φ ∂Φ ∂ + (19.123) ρU Φ − ΓΦ + ρV Φ − ΓΦ = SΦ , ∂t ∂x ∂x ∂y ∂y worin Φ f¨ ur U , V , T , k oder steht. Die Diffusionskoeffizienten ΓΦ und die ur turbulente Str¨ omungen sind in der untenstehenden TabelQuellterme SΦ f¨ le zusammengestellt. F¨ ur laminare Str¨ omungen werden die Wirbelviskosität

652


und die turbulente Prandtl-Zahl durch die entsprechenden molekularen Werte ersetzt, und die k– und -Transportgleichungen brauchen nicht gelöst zu werden. Tab. 19.3: Diffusivit¨ aten und Quellterme f¨ ur allgemeine Transportgleichung (19.123)

Φ

ΓΦ

SΦ

U

µt

−∂P/∂x + ∂/∂x(µt ∂U/∂x) + ∂/∂y(µt ∂V /∂x)

V

µt

−∂P/∂y + ∂/∂x(µt ∂U/∂y) + ∂/∂y(µt ∂V /∂y)

T µt cp /P rt

ST

k

µt /σk

Pk − ρ

µt /σ

/k (c1 Pk − ρc2 )

19.6.2 Randbedingungen f¨ ur die turbulente Str¨ omung Wandrandbedingungen Zur Spezifikation der Wandrandbedingungen wird das Wandfunktionsverfahren (Launder und Spalding, 1974), das die viskosen wandnahen Bereiche mit empirischen Annahmen u uckt, u ¨ berbr¨ ¨ blicherweise verwendet. Wandfunktionen zu benutzen, anstatt die viskose Unterschicht aufzulösen, bietet zwei Vorteile: –

–

Computerrechenzeit und -speicherplatz wird eingespart, weil die hohen Gradienten der abh¨ angigen Ver¨ anderlichen in der Nähe der Wand nicht aufgel¨ ost zu werden brauchen, und einige der bei der Herleitung des k--Modells getroffenen Annahmen in der viskosit¨ ats-dominierten wandnahen Zone ihre G¨ ultigkeit verlieren (zur Diskussion siehe Patel et al., 1985).

F¨ ur das Wandfunktionsverfahren muss der erste von der Wand entfernte Gitterknoten in der voll turbulenten Region entsprechend der Skizze in Abb. 19.16 lokalisiert sein. Typische, dimensionslose Wandabstände, welche diesen Bereich kennzeichnen, werden nachstehend angegeben. Im Falle der Tangentialgeschwindigkeit sieht das Wandfunktionsverfahren eine Gleichung vor, welche die Wandschubspannung τw (d.h. den Impulsfluss durch das an die Wand angrenzende Kontrollvolumen) in Beziehung bringt zu der Geschwindigkeit am ersten von der Wand entfernten Gitterknoten Us,c und zu dem Abstand nc dieses Punktes zur Wand. Die Grundlage f¨ ur diese Formel ist das logarithmische Wandgesetz:


653

G itte rp u n k te 3 v o lltu rb u le n te r B e re ic h

K o n tro llv o lu m e n 2

n s 1

v is k o s e U n te rs c h ic h t

n c

W a n d Abbildung 19.16: Wandnahes Kontrollvolumen

√ √ nc ρτw nc ρτw U 1 1 s,c = ln +C = ln E . κ µ κ µ τw /ρ u+

(19.124)

y+

Werte f¨ ur die von-Karman-Konstante κ und den Rauhigkeitsparameter C sind in der untenstehenden Tabelle angegeben. Man beachte, dass der angegebene Wert f¨ ur C nur f¨ ur hydrodynamisch glatte Oberflächen gilt. F¨ ur rauhe W¨ ande werden andere Werte von C benötigt. Tab. 19.4: Konstanten im logarithmischen Wandgesetz

κ

C E = eκC

0.41 5.2 8.43171 Gleichung (19.124) ist in τw transzendent und wird an Ablösepunkten (wo τw → 0) singul¨ ar. Aufgrund dieser Probleme wird oftmals eine abgewandelte Form der Gleichung (19.124) benutzt. Die Erweiterung baut auf den folgenden drei Annahmen f¨ ur die Str¨ omung in den wandnahen Kontrollvolumina auf: – – –

es liegt in unmittelbarer Wandn¨ ahe eine Couette-Strömung vor, mit δ/δs = 0, und Un = 0, die Produktions- und Dissipationsraten sind im Gleichgewicht, d.h. örtliches Gleichgewicht der Turbulenz, und es liegt eine Schicht konstanter Spannung vor, mit −ρus un = τw .

Das logarithmische Wandgesetz und die drei oben genannten Annahmen gelten nicht in der N¨ ahe oder innerhalb von Abl¨ oseregionen. Nimmt man eine Couette-Str¨ omung an, so wird die Wirbelviskositätsbeziehung (19.108) zu: −ρus un = µt

∂Us k 2 ∂Us = ρcµ ∂n ∂n

(19.125)

654


und die ¨ ortliche Gleichgewichtsbedingung (Produktionsrate = Dissipationsrate) wird folgendermaßen ausgedr¨ uckt: −ρus un

∂Us = ρ. ∂n

(19.126)

Setzt man Gleichung (19.126) in Gleichung (19.125) ein, so ergibt sich: −us un k= √ , cµ

(19.127)

und die Annahme einer Schicht konstanter Spannung τw = −ρus un f¨ uhrt auf τw /ρ =

√ cµ k.

(19.128)

Aus der Gleichung (19.128) und dem logarithmischen Geschwindigkeitsgesetz (19.124) erh¨ alt man durch einfache algebraische Umformungen eine explizite Beziehung f¨ ur die Wandschubspannung: 1/4 1/2

τw =

ρκcµ kc Us,c ln(En∗c )

(19.129)

mit dem dimensionslosen Wandabstand: n∗c =

1/4 1/2

ρcµ kc nc . µ

(19.130)

Die Gleichungen (19.129) und (19.130) werden in Computerprogrammen verwendet. Sie gelten in einem Bereich von 30 < n∗c < 500.

(19.131)

Man sollte die Gitterknoten der wandnahen Kontrollvolumina daher in diesem Bereich sorgf¨ altig plazieren. Normalgeschwindigkeit Wie bei laminaren Str¨ omungen sind die Normalgeschwindigkeit an der Wand sowie ihr Gradient gleich Null. Temperatur ¨ Das Wandgesetz f¨ ur die Temperatur basiert auf Ahnlichkeitsargumenten f¨ ur die inneren Schichten (Bradshaw, 1976), woraus sich (f¨ ur niedrige MachZahlen) eine lineare Beziehung zwischen der Temperatur und der Geschwindigkeit ergibt. Das oftmals verwendete Temperaturgesetz lautet folgendermaßen:


655

1/4 1/2

(Tc − Tw )ρcp cµ kc P rt ln n∗c + CQ (P r). = (19.132) Qw κ Die additive Konstante CQ ist eine Funktion der molekularen Prandtl-Zahl Pr. Zu deren Bestimmung wird eine von Kader und Yaglom (1972) vorgeschlagene empirische Beziehung verwendet: CQ = 12.5Pr2/3 + 2.12 ln Pr − 5.3

f¨ ur Pr > 0.5,

(19.133)

+ 2.12 ln Pr − 1.5

f¨ ur Pr ≤ 0.5.

(19.134)

2/3

CQ = 12.5Pr

Gleichung (19.132) kann leicht nach dem Wandwärmefluss Qw aufgelöst werden, welcher f¨ ur die Implementierung in Finite-Volumen-Verfahren die interessierende Gr¨ oße ist. Turbulente kinetische Energie In der unmittelbaren N¨ ahe der Wand ver¨ andert sich die turbulente kinetische Energie k quadratisch mit dem Wandabstand, d.h. k ∝ n2c . Zugleich hat der diffusive Wandfluss von k den Wert Null: µt ∂k = 0. σk ∂n

(19.135)

Zus¨ atzlich zur Anwendung von Gleichung (19.135) werden die Produktions– und Dissipationsraten in den wandnahen Kontrollvolumina folgerichtig mit den Annahmen einer Couette-Str¨ omung, eines örtlichen Gleichgewichtes und einer konstanten Spannungsschicht, wie zuvor diskutiert, angenähert ermittelt. Dies wird nachfolgend beschrieben. Statt mit Gleichung (19.122) wird die Produktionsrate in den wandnahen Kontrollvolumina berechnet mit: Pk =

τw2 1/4 1/2

,

(19.136)

ρκcµ kc nc

wobei der Geschwindigkeitsgradient aus dem logarithmischen Gesetz (19.129) hergeleitet wird und die ¨ ortliche Scherspannung mit der Wandschubspannung gleichgesetzt wird. Die Dissipationsrate, die in der k-Gleichung (19.121) erscheint, wird durch Annahme einer linearen Abhängigkeit des wandnahen L¨ angenmaßstabs angen¨ ahert: L=

κ k 3/2 = 3/4 nc . cµ

(19.137)

Gleichung (19.137) gilt unter ¨ ortlichen Gleichgewichtsbedingungen und f¨ ur ein logarithmisches Geschwindigkeitsgesetz (siehe Rodi, 1993). Daraus folgt eine Gleichung f¨ ur im wandnahen Kontrollvolumen der Form 3/2

c = c3/4 µ

kc . κnc

(19.138)

656


Dissipationsrate Gem¨ aß der Praxis der Randbehandlung f¨ ur die Dissipationsrate wird ihr Wert an dem ersten von der Wand entfernten Knoten durch Anwendung der Gleichung (19.138) festgelegt. Symmetrieebenen Entlang der Symmetrieebenen (bzw. -linien) sind die Normalgradienten (diffusiven Fl¨ usse) der abh¨ angigen Variablen und die Normal-Geschwindigkeit Un gleich Null: ∂Us ∂k ∂ ∂T = Un = = = = 0. ∂n ∂n ∂n ∂n

(19.139)

Einstr¨ omebenen Gew¨ ohnlich werden Profile, die von experimentellen Daten oder aus anderen empirischen Informationen hergeleitet werden, an der Einströmung vorgeschrieben. Die Turbulenzgr¨ oßen beziehen sich oft auf die Einströmgeschwindigkeit Uin durch Spezifikation einer relativen Turbulenzintensität T u, definiert als u2 Tu = . (19.140) Uin Typische Werte f¨ ur T u liegen zwischen 1% und 20%. F¨ ur isotrope Turbulenz wird T u u ¨ ber 3 k = (T u Uin )2 (19.141) 2 auf k bezogen. An der Einstr¨ omebene k¨ onnen Dissipationsraten spezifiziert werden in der Annahme, dass die Gr¨ oße der großen Turbulenzwirbel proportional zu einem typischen L¨ angenmaßstab H des Str¨ omungsgebietes ist, d.h. k 3/2 . (19.142) aH Charakteristische Werte f¨ ur den Proportionalitätsfaktor a liegen in der Gr¨ oßenordnung von 0.01 bis 1. =

Ausstr¨ omebenen Die gleiche Praxis, wie sie im Abschnitt 19.5 beschrieben wurde, wird f¨ ur Ausstr¨ omebenen eingesetzt. Zus¨ atzlich zu den dort angegebenen Gleichungen werden die der Str¨ omungsrichtung zugeordneten Gradienten von k und zu Null gesetzt. Die oben aufgef¨ uhrten Gleichungen k¨ onnen nun f¨ ur zweidimensionale Str¨ omungen, unter Einbeziehen der angegebenen Randbedingungen, numerisch gel¨ ost werden. Zur Veranschaulichung von typischen Berechnungsergebnissen sind untenstehend verschiedene Str¨ omungsprobleme aufgef¨ uhrt.


657

Abbildung 19.17: Str¨ omungen um ein bodennahes Modellfahrzeug – Berechnungsergebnis – LDA-Messungen

Abbildung 19.18: Subkritische Umstr¨ omung um einen Kreiszylinder bei Re = 3.900, Breuer (2002)

a)

b)

Abbildung 19.19: Abgel¨ oste Str¨ omung um einen Tragfl¨ ugel bei Re = 20.000, (a) instation¨ are Wirbelst¨ arkenverteilung, (b) zeitlich gemittelte Stromlinien, Breuer (2002)

658


19.7 Literaturverzeichnis 19.1 Kader BA, Yaglom AM (1972) Heat and Mass Transfer Laws for Fully Turbulent Wall Flows. Int. J. Heat and Mass Transfer, 15:2329-2351 19.2 Launder BE, Spalding DB (1974) The Numerical Computation of Turbulent Flows. Comput. Meth. Appl. Mech. Eng., 3:269-289 19.3 Bradshaw P (1976) A Skin-friction Law for Compressible Boundary Layers Based on the Full van-Driest Transformation. IC-Aero-Report 7602 19.4 Peyret R, Taylor TD (1983) Computational Methods for Fluid Flow. Springer Series in Computational Physics, Springer-Verlag, New York 19.5 Cebeci T, Bradshaw P (1984) Physical and Computational Aspects of Convective Heat Transfer. Mei Ya Publications, Inc., Springer Verlag, New York, Berlin, Heidelberg, Tokyo 19.6 Patel VC, Rodi W und Scheuerer G (1985) Turbulence Models for Nearwall and Low-Reynolds Number Flows: A Review. AAIA-J., 23:1308-1319 19.7 Wilcox DC (1993) Turbulence Modeling. DCW Industries Inc.,Griffin Printing, Glendale CA 19.8 Sch¨ afer M (1999) Numerik im Maschinenbau. Springer Verlag, Berlin 19.9 Ferziger JL, Peric M (1999) Computational Methods for Fluid Dynamics. Springer-Verlag, 2nd rev. edition 19.10 Breuer M, Bernsdorf J, Zeiser T, Durst, F (2000) Accurate Computations of the Laminar Flow Past a Square Cylinder Based on Two Different Methods: Lattice-Boltzmann and Finite-Volume. Int. J. for Heat and Fluid Flow, Elsevier Science B.V., Amsterdam, vol. 21, no. 2 19.11 Breuer M (2002) Direkte Numerische Simulation und Large-Eddy Simulation turbulenter Str¨ omungen auf Hochleistungsrechnern. Habilitationsschrift, Universit¨ at Erlangen-N¨ urnberg, Berichte aus der Strömungstechnik, ISBN 2-8265-9958-6, Shaker Verlag, Aachen 19.12 Biswas G, Breuer M, Durst F (2003) Backward-Facing Step Flows for Various Expansion Ratios at Low and Moderate Reynolds Numbers. J. of Fluids Engineering 19.13 Rodi W (1993) Turbulence Models and Their Application in Hydraulics A State of the Art Review. 3rd Edition, IAHR Monograph, A.A. Balkema, Rotterdam

20 Str¨ omungen mit W¨ armeu ¨bertragung

20.1 Allgemeine Betrachtungen Die Ableitungen, die in Kapitel 5 zu den Grundgleichungen der Strömungsmechanik durchgef¨ uhrt wurden, umfassen auch Betrachtungen zum Energietransport und, basierend auf diesen Betrachtungen wurden verschiedene Formen der Energiegleichung abgeleitet. Hierbei konnte gezeigt werden, dass die lokale mechanische Energiegleichung, angegeben als Differentialgleichung f¨ ur ein Fluid, keine unabh¨ angige Gleichung darstellt, da sie aus der allgemein formulierten Impulsgleichung abgeleitet werden kann. Dies war der Anlass, diese Gleichung von der Gesamtenergiegleichung zu subtrahieren, um so die thermische Energiegleichung wie folgt zu erhalten: ∂e ∂Uj ∂Ui ∂ q˙i ∂e + Ui −P − τij . (20.1) =− ρ ∂t ∂xi ∂xi ∂xi ∂xi wobei ρ die Dichte des Fluids darstellt, e dessen innere Energie, t die Zeit, armefluss, P den Druck und τij den Ui die Fluidgeschwindigkeit, q˙i den W¨ molek¨ ulbedingten Impulstransport. Diese Gleichung lässt sich nun f¨ ur eine thermodynamisch ideale Fl¨ ussigkeit, d.h. f¨ ur ρ = const und somit f¨ ur ur: (∂Ui /∂xi ) = 0 sowie auch f¨ ∂Uj ∂T ∂Ui und τij = −µ + q˙i = −λ (20.2) ∂xi ∂xi ∂xj in der nachfolgenden Form f¨ ur W¨ armetransportberechnungen zur Anwenucksichtigt dung bringen, wobei cv = cp = c = const wegen ρ = const ber¨ wurde: 2 ∂T ∂Uj ∂T ∂2T + Ui ρc +µ . (20.3) =λ ∂t ∂xi ∂xi 2 ∂xi Gemeinsam mit der Kontinuit¨ atsgleichung: ∂Ui =0 ∂xi und den Impulsgleichungen f¨ ur j = 1, 2, 3:

(20.4)

660

20 Str¨ omungen mit W¨ arme¨ ubertragung

ρ


=−

∂ 2 Uj ∂P +µ + ρgj ∂xj ∂xi 2

(20.5)

erh¨ alt man ein System von f¨ unf Differentialgleichungen f¨ ur die f¨ unf Unbekannten U1 , U2 , U3 , P und T , das mit geeigneten Randbedingungen gelöst werden kann. Damit sind Str¨ omungsprobleme lösbar, die mit Wärme¨ ubert¨ ragungsproblemen gekoppelt auftreten, aber zu keinen beachtlichen Anderungen der Stoffwerte ρ, µ, c und λ f¨ uhren. Dies ist oftmals in technischen Anwendungen der Str¨ omungsmechanik der Fall, bei denen die eigentlichen str¨ omungsmechanischen Vorg¨ ange von senkundärer Bedeutung sind, da das Hauptinteresse der W¨ armezu- und W¨ armeabf¨ uhrung eines betrachteten Systems gilt. Diese Bedeutung der W¨ arme¨ ubertragung ist der eigentliche Anlass das vorliegende Kapitel in ein Buch u omungsmechanik aufzunehmen. ¨ ber Str¨ Es dient als eine Einf¨ uhrung der Studenten der Strömungsmechanik in ein wichtiges Anwendungsgebiet str¨ omungsmechanischen Wissens. F lü s s ig e M e ta lle

1 0

-3

1 0

G a se

-2

1 0

-1

V is k o s e Ö le

W a sse r

1 0

-0

1 0

1

1 0

2

1 0

3

1 0

4

P r P ra n d tl Z a h l

Abbildung 20.1: Bereiche der Prandtl-Zahlen f¨ ur verschiedene Fluide (Fl¨ ussigkeiten und Gase)

Um nun einige generelle Eigenschaften der Wärme¨ ubertragung, im Vergleich zur Impuls¨ ubertragung, leicht verst¨ andlich aufzuzeigen, werden die Gleichungen (20.3) und (20.5) etwas umgestellt: 2 ∂Uj λ ∂T λ ∂2T ν ∂T + Ui = (20.6) = + ν mit 2 ∂t ∂xi ρc ∂xi ∂xi Pr ρc und

∂Uj ∂Uj ∂ 2 Uj ∂P + Ui =ν + ρgj − ∂t ∂xi ∂xi 2 ∂xj

(20.7)

Dabei sind: ν = viskoser Diffusionskoeffizient und a = λ/ρc = thermischer Diffusionskoeffizient. Ihr Verh¨ altnis gibt die Prandtl-Zahl: Pr =

ν µ ρc µc = = , a ρ λ λ

die aufzeigt, wie sich der molek¨ ulbedingte Impulstransport zum molek¨ ulbedingten W¨ armetransport verh¨ alt. Die Prandtl-Zahl lässt sich somit heranzie-


661

hen, um aufzuzeigen, wie sich Impulstransport und Wärmetransport relativ zueinander verhalten. F¨ ur kleine Pr-Zahlen, z. B. f¨ ur fl¨ ussige Metalle, hat sich, bei gleicher Laufl¨ ange, die thermische Grenzschicht einer Plattenströmung stärker ausgebildet als die Geschwindigkeitsgrenzschicht“. Dies ist in Abb. 20.2 angedeu” tet. y

y y

d u

d u

U (y )

y

U (y )

y y

d T

d T

T (y ) P r

d u

U (y )

1

P r = 1

T (y )

T (y ) P r 1

Abbildung 20.2: Dicken von Temperaturgrenzschichten f¨ ur verschiedene PrandtlZahlen

Der in Abb. 20.2 aufgezeigte Sachverhalt l¨ asst sich auch in Lauflängen f¨ ur Impuls- und Temperaturgrenzschichten ausdr¨ ucken, derart dass f¨ ur δu = δT gilt: √ L LU ν L √T = √U ; = Pr = (20.8) a ν LT a Bei gleicher Laufl¨ ange ergibt sich: √ δU = Pr δT

(20.9)

Dies besagt, dass der molek¨ ulbedingte Impulstransport größer ist als der molek¨ ulbedingte W¨ armetransport, wenn die Prandtl-Zahl größer als 1 gilt, d. h. Pr > 1 ist, siehe Abb. 20.2. ¨ Erweitert man die Ahnlichkeitsbetrachtungen im Kapitel 7, wo sich aus den dimensionslosen Impuls- und τij -Transportgleichungen: . / ∂Uj∗ τw ∂τij∗ "c ∂Uj∗ ∆P ∂P ∗ ∗ ∗ + U − (20.10) = − ρ i Uc tc ∂t∗ ∂x∗j ρc Uc2 ∂x∗j ρc Uc2 ∂x∗i

662


τij∗

. ) * / ∂Uj∗ µc Uc ∂Ui∗ 2 ∗ ∂Uk∗ ∗ = + −µ + µ δij τw "c ∂x∗i ∂x∗j 3 ∂x∗k

(20.11)

die folgenden charakteristischen Gr¨ oßen einer Strömung ableiten lassen: τw ν ν , "c = uc = uτ = und tc = 2 (20.12) ρ uτ uτ F¨ uhrt man entsprechende Betrachtungen f¨ ur die Energiegleichung durch, so erh¨ alt man die unten aufgef¨ uhrten Ableitungen –

–

Betrachtete Form der Energiegleichung: ∂P ∂T T ∂P ∂Uj ∂qi + Ui + Ui + ρcp =− − τij ∂t xi ∂xi ∂t ∂xi ∂xi

(20.13)

Fouriersches Gesetz der W¨ armeleitung: qi = −λ

∂T ∂xi

(20.14)

–

Dimensionslose Form der Energiegleichung: ∗ "c ∂T ∗ ∂ q˙i∗ ∆Pc q˙c ∗ ∗ ∗ ∂T + U − ρ cp = − i ∗ tc Uc ∂t∗ ∂xi ρc (cp )c ∆Tc Uc ∂x∗i ρc (cp )c ∆Tc ∗ ∂Uj∗ "c ∂P ∗ τw ∗ ∂P ∗ + U τ − i ij tc Uc ∂t∗ ∂x∗i ρc cp,c ∆Tc ∂x∗i (20.15) – Charakteristische Temperaturdifferenz und charakteristischer Wärmetransport: τw und q˙c = τw Uc (20.16) ∆Tc = ρc (cp )c –

Charakteristische L¨ angen- und Zeitmaße q˙c qi∗

λc ∆Tc ∗ ∂T ∗ λc ∆Tc λc νc 1 =− λ ; "c = = = "c ∂x∗i q˙c µc (cp )c Uc Pr

νc uτ (20.17)

so dass gilt "T = "U /Pr und tT = tU /Pr. Diese Ableitungen zeigen die in Abb. 20.2 und in den Gleichungen (20.8) angegebenen Sachverhalt auf. Dieser wird sich auch in den Beispielen wiederfinden, die in den nachfolgenden Darstellungen von Str¨ omungen mit W¨ arme¨ ubertragung aufgef¨ uhrt sind.

20.2 Station¨ are, vollentwickelte Kanalstr¨ omung

663

20.2 Station¨ are, vollentwickelte Kanalstr¨ omung Eine einfache Str¨ omung mit W¨ arme¨ ubertragung stellt die stationäre, vollentwickelte Kanalstr¨ omung mit bewegter Wand dar. In Abb. 20.3 ist die Grundgeometrie der zweidimensionalen Ausf¨ uhrung dieser Strömung skizziert und die Randbedingungen wurden mit angegeben. F¨ ur diese Strömung gelten die unten aufgef¨ uhrten Grundgleichungen f¨ ur zweidimensionale Strömungen, angegeben f¨ ur ρ = const und konstante Viskosit¨ at und Wärmeleitfähigkeit: ∂U2 ∂U1 + =0 (20.18) ∂x2 ∂x2 2 ∂U1 ∂ U1 ∂U1 ∂U1 ∂ 2 U1 ∂P ρ + U1 + U2 +µ + =− + ρg1 ∂t ∂x1 ∂x2 ∂x1 ∂x1 2 ∂x2 2 2 (20.19) ∂U2 ∂ U2 ∂U2 ∂U2 ∂ 2 U2 ∂P ρ + U1 + U2 +µ + =− + ρg2 ∂t ∂x1 ∂x2 ∂x2 ∂x1 2 ∂x2 2 (20.20) . 2 2 2 ∂T ∂ T ∂U1 ∂T ∂T ∂ T ρc + U1 + U2 + + =λ +µ ∂t ∂x1 ∂x2 ∂x1 2 ∂x2 2 ∂x1 / 2 2 2 ∂U2 ∂U1 ∂U2 + + ∂x2 ∂x2 ∂x1 (20.21) Aufgrund der angenommenen Stationarit¨ at des Gesamtproblems gilt: ∂ (· · · ) = 0 f¨ ur alle Größen ∂t und zudem auch (∂Ui /∂x1 ) = 0 wegen vollentwickelter Strömung in x1 −Richtung und (∂T /∂x1 ) = 0, da auch das Temperaturfeld voll entwickelt angenommen wird. F¨ ur die Kontinuit¨ atsgleichung erh¨ alt man mit den obigen Annahmen: ∂U1 =0 ∂x1

;

∂U2 =0 ∂x2

;

U2 = 0

(20.22)

Die Gleichungen (20.19) und (20.20) reduzieren sich f¨ ur die in Abb. 20.3 skizzierte Str¨ omung auf die folgenden Formen: 0=−

∂P ∂ 2 U1 +µ ; ∂x1 ∂x2 2

0=−

∂P − ρg ∂x2

(20.23)

Aus (20.23) resultiert: P (x1 , x2 ) = −ρgx2 + Π(x1 ) und damit die Gleichung f¨ ur das Geschwindigkeitsfeld: 0=−

dΠ d2 U1 +µ dx1 dx2 2

(20.24)

664


x

x

x 2

2

= D

= -D

2

:

U

U

1

1

= U

= 0

0

u n d

= T

u n d

T

= T

T H

D x

1

D N

Abbildung 20.3: Ebene Kanalstr¨ omung mit bewegter Wand und Wandtemperaturen TH und TN .

Eine Normierung dieser Gleichung ergibt mit x∗2 = x2 /D und U1∗ = U1 /U0 : d2 U1∗ D2 dΠ = = −A µU0 dx1 dx∗2 2

(20.25)

F¨ ur die Energiegleichung (20.21) erh¨ alt man unter der Annahme der Stationarit¨ at und der Annahme eines vollentwickelten Temperaturfeldes: 2 dU1 d2 T 0=λ + µ (20.26) dx2 2 dx2 Diese Gleichung ergibt mit T ∗ = (T − TN )/(TH − TN ), mit TH = hohe Wandtemperatur und TN = niedere Wandtemperatur 2 d2 T ∗ dU1∗ µU02 = − (20.27) λ (TH − TN ) dx∗2 dx∗2 2 wobei der Normierungsfaktor auf der rechten Seite der Gleichung (20.27) die Brinkmann-Zahl darstellt: µc µU02 U02 Br = = = PrEc (20.28) λ (TH − TN ) λ c (TH − TN ) U02 µc (Prandtl-Zahl) und Ec = (Eckert-Zahl). λ c(TH − TN ) Die Integration der Gleichung (20.25) ergibt: mit Pr =

dU1∗ = −Ax∗2 + C1 dx∗2

;

A U1 = − x∗2 + C1 x∗2 + C2 2 2

(20.29)

20.2 Station¨ are, vollentwickelte Kanalstr¨ omung

665

Mit den Randbedingungen: x∗2 = −1, U1∗ = 0 und x∗2 = 1, U1∗ = 1 erhält man f¨ ur die Integrationskonstanten C1 = 12 und C2 = 12 (A + 1). Damit lautet die Gleichung f¨ ur die normierte Geschwindigkeitsverteilung: U1∗ =

+ 1

y *

, 1 1 + (1 + x∗2 ) + A 1 − x∗2 2 2 2

A = _ 2

0

_ 1 /2

_ 1 _ 1

0

+ 4

+ 2 0

1

u *

2

(20.30)

3

+ 7

4

Abbildung 20.4: Geschwindigkeitsprofile f¨ ur verschiedene Werte von A

Diese Gleichung bringt zum Ausdruck, dass sich die resultierende Geschwindigkeitsverteilung aus der durch die mit U0 bewegten Couette-Strömung 1 ∗ omung 12 A(1 − x∗2 2 ) zusam2 (1 + x2 ) und der druckgetriebenen Poiseuille-Str¨ mensetzt. Die lineare Differentialgleichung (20.25) lässt die Superposition der L¨ osungen f¨ ur die der Couette- und Poiseuille-Strömungen erwarten. Um die L¨ osung der normierten Temperaturgleichung zu erhalten, errechnet man zuerst den Geschwindigkeitsgradienten 1 dU1∗ = − Ax∗2 ∗ dx2 2

(20.31)

Mit Gleichung (20.27) erh¨ alt man folgende Bestimmungsgleichung f¨ ur die Temperaturverteilung: 1 d2 T ∗ ∗ 2 ∗2 − Ax2 + A x2 = −Br (20.32) 4 dx∗2 2 Integriert man diese Gleichung, so erh¨ alt man: 1 ∗2 A ∗3 A2 ∗4 ∗ x T = −Br x2 − x2 + + C1 x∗2 + C2 8 6 12 2

(20.33)

Mit den Randbedingungen x∗2 = −1, T ∗ = 0 und x∗2 = 1, T ∗ = 1 erhält man f¨ ur die Integrationskonstanten C1 und C2 : 1 A2 A 1 1 und C2 = + Br + C1 = − Br (20.34) 2 6 2 8 12

666


Gleichungen (20.34) in (20.33) eingesetzt ergibt nach einer Umstellung der Terme: T∗ =

, BrA + ∗ , BrA2 + , 1 Br + ∗3 (1 + x∗2 )+ 1 − x∗2 x 1 − x∗4 − . (20.35) − x 2 2 2 − 2 2 8 6 12

+ 1

y *

+ 1 0

0 _ 1 0

0 .5

+ 5

+ 2

1

t *

B r= P rE c = 1 0

y * 1 .5

2

B r= P rE c = 0 0 _ 1 0 4

0 .5

0 .2

8

t *

1 2

1 6

2 0

Abbildung 20.5: Temperaturprofile f¨ ur verschiedene Brinkmann-Zahlen

Die resultierende Temperaturverteilung weist einen ersten Term auf, welcher der reinen W¨ armeleitung entspricht, d. h. einen linearen Verlauf der Temperatur von TN an der unteren, nicht bewegten Wand auf TH an der ebenen, bewegten Wand. Der zweite Term resultiert aus der dissipativen Wärme infolge des linearen Geschwindigkeitsprofils der Couette-Strömung und die restlichen Terme aus den Dissipationsanteil, der durch das parabolische Geschwindigkeitsprofil der Poiseuille-Str¨ omung entsteht. Die aus den obigen Ableitungen hervorgegangenen Geschwindigkeits- und Temperaturprofile sind in den Abbildungen 20.4 und 20.5 f¨ ur verschiedene Parameter A und Br skizziert.

20.3 Natu omung zwischen ¨ rliche Konvektionsstr¨ vertikalen, ebenen Platten In den vorausgegangenen Kapiteln wurden Strömungen betrachtet f¨ ur die angenommen wurde, dass die Fluideigenschaften, wie die Dichte ρ, die dynamische Viskosit¨ at µ und die W¨ armeleitf¨ ahigkeit λ, konstant sind. Sie konnten damit als gegeben angesehen werden und gingen nicht als Unbekannte in die str¨ omungsmechanischen Betrachtungen der Größen des Strömungsproblems ein, die zu berechnen waren. Damit wurde die Komplexität der Lösungen von Str¨ omungsproblemen beachtlich reduziert, da mit konstanten Werten f¨ ur ρ, µ und λ, die starke Kopplung zwischen den Impulsgleichungen und der Energiegleichung gebrochen wurde. F¨ ur L¨ osungen von Strömungsproblemen reichte es somit, die Kontinuit¨ ats- und die Impulsgleichungen zu lösen, d. h. die Energiegleichung musste erst hinzugezogen werden, wenn zusätzlich zum

20.3 Nat¨ urliche Konvektionsstr¨ omung

667

Wissen u omungsfeld, Informationen u ¨ ber das Str¨ ¨ber das Temperaturfeld des Fluids ben¨ otigt wurden. In dem vorliegenden Kapitel soll nun ein Strömungsproblem betrachtet werden, f¨ ur das es nicht mehr zul¨ assig ist, auftretende Dichteänderungen zu vernachl¨ assigen. Einschr¨ ankend soll jedoch angenommen werden, dass nur kleine Dichte¨ anderungen auftreten, so dass gilt: ∂ρ 1 (20.36) ρ = ρ0 + ∆ρ ≈ ρ0 [1 − β0 (T − T0 )] mit β0 = − ρ0 ∂T P Damit lassen sich die str¨ omungsmechanischen Grundgleichungen wie folgt angeben: ∂Ui =0 (20.37) ∂xi ∂Uj ∂Uj ∂ 2 Uj ∂ + Ui ρ0 (P − ρ0 gj xj ) + µ + (ρ − ρ0 ) gj (20.38) =− ∂t ∂xi ∂xj ∂xi 2

(ρ − ρ0 ) = −ρ0 β0 (T − T0 ) 2 λ0 ∂ T ∂T ∂T + Ui = ∂t ∂xi ρ0 cp0 ∂xi 2

(20.39) (20.40)

Diese Gleichungen k¨ onnen herangezogen werden, um durch Dichteunterschiede getriebene Str¨ omungen zu untersuchen, d.h. nat¨ urliche Konvektionsstr¨ omungen lassen sich durch die obigen Gleichungen mathematisch beschreiben. Aus diesen Gleichungen erh¨ alt man f¨ ur zweidimensionale Strömungsbedingungen ∂/∂x3 (. . . ) = 0 und vollentwickelte Strömungen ∂/∂x2 (Uj ) = 0 die folgenden vereinfachten Gleichungen: Impulsgleichung: ρ

∂Π ∂ 2 U2 ∂U2 =− + ρgβ0 (T − T0 ) + µ ∂t ∂x2 ∂x1 2

(20.41)

Energiegleichung: ρcp

∂2T ∂T =λ +µ ∂t ∂x1 2

dU2 dx1

2 (20.42)

wobei bez¨ uglich der Achsenrichtungen das in Abb. 20.6 angegebene Koordinatensystem gew¨ ahlt wurde. Diese Gleichungen k¨ onnen nun f¨ ur station¨ are Strömungen vereinfacht werur solche den, die ohne externen Druckgradient, d.h. ∂Π/∂x2 = 0 ablaufen. F¨ Str¨ omungen gelten die Grundgleichungen wie folgt:

668

20 Str¨ omungen mit W¨ arme¨ ubertragung W a n d T

x

W a n d 2

T N

H

+

D T M

=

T H + T 2 N

x 1

A u fw ä rts g e ric h te te S trö m u n g T (x 1 ) A b w ä rts g e ric h te te S trö m u n g

Abbildung 20.6: Freie Konvektionsstr¨ omung zwischen vertikalen Platten

Impulsgleichung: 0 = ρgβ0 (T − T0 ) + µ Energiegleichung: λ d2 T ν 0= + 2 ρcp dx1 cp

d2 U2 dx1 2

dU2 dx1

(20.43)

2 (20.44)

F¨ ur die Konvektionsstr¨ omung zwischen zwei Platten ergibt sich f¨ ur die Impulsgleichung: d2 U2 + ρM gβM (T − TM ) (20.45) 0=µ dx1 2 und f¨ ur die Energiegleichung l¨ asst sich, bei Ber¨ ucksichtigung der obigen Annahme schreiben: 2 dU2 d2 T 0=λ + µ (20.46) dx1 2 dx1 wobei TM = 1/2(TH + TN ) ist und folgende Randbedingungen das Problem beschreiben (20.47) U2 (D) = U2 (−D) = 0 T (D) = TH ; T (−D) = TN

(20.48)

F¨ uhrt man nun den sogenannten Auftriebs-Viskositäts-Parameter A ein: A=

βM gµD λ

(20.49)

so lassen sich die Grundgleichungen wie unten aufgef¨ uhrt normieren, wobei folgende dimensionslose Gr¨ oßen eingef¨ uhrt werden:

20.4 Instation¨ are freie Konvektionsstr¨ omung

x∗1 = x1 /D

U2∗ =

ρDU2 µ

T∗ =

(T − TN ) (TH − TN )

669

(20.50)

Man erh¨ alt somit die folgenden dimensionslosen Gleichungen: d2 U2∗ d2 T ∗ A ∗ = −GrT und =− 2 Gr dx∗1 dx∗1 2

(20.51)

wobei Gr wie folgt aus den Ableitungen hervorgeht: Gr =

gρ2 D3 β (TH − TN ) µ2

Grashof-Zahl

(20.52)

Beachtet man, dass der Auftriebs-Viskosit¨ ats-Parameter A, f¨ ur die meisten Fluide, sehr kleine Werte annimmt und dass zudem Gr-Zahlen f¨ ur praktisch relevante Auftriebsstr¨ omungen große Werte annehmen, so gilt f¨ ur die normierte Temperaturverteilung mit guter N¨ aherung: d2 T ∗ =0 dx∗1 2

;

T ∗ = C1 x∗1 + C2

(20.53)

mit T ∗ = −1 f¨ ur x∗1 = −1 und T ∗ = 1 f¨ ur x∗1 = 1 erhält man C1 = 1 und C2 = 0 und somit: T ∗ = x∗1 (20.54) T ∗ in Gleichung (20.51) eingesetzt ergibt: d2 U2∗ = −Grx∗1 dx∗1 2

U2∗ = −

Gr ∗3 x + C1 x∗1 + C2 6 1

(20.55)

Mit den Randbedingungen: x∗1 = 1 ist U2∗ = 0 und x∗1 = −1 ist U2∗ = 0, erhält man C1 =Gr/6 und C2 =0 und damit: U2∗ =

, Gr + ∗ x1 − x∗3 1 6

(20.56)

Die resultierende Temperaturverteilung stellt sich als linear heraus. Es ergibt sich also die f¨ ur die reine W¨ armeleitung typische Verteilung. Dagegen wird die Geschwindigkeitsverteilung durch eine punktsymmetrische kubische Funktion beschrieben, wie dies in Abb. 20.6 skizziert ist. Entlang der Wand mit der h¨ oheren Temperatur entsteht eine nach oben gerichtete Strömung und auf der Seite der k¨ uhlen Wand eine Str¨ omung, die nach unten gerichtet ist. Str¨ omungen dieser Art k¨ onnen zwischen den Scheiben von IsolierglasFenstern auftreten, wenn diese falsch dimensioniert wurden.

20.4 Instation¨ are freie Konvektionsstr¨ omung an einer ebenen vertikalen Platte Das in diesem Kapitel behandelte Str¨ omungs- und Wärme¨ ubertragungsproblem befasst sich mit der Diffusion von W¨ arme von einer vertikalen, zur Zeit

670


t = 0 pl¨ otzlich beheizten Wand in ein in einer Halbebene unendlich ausgedehntes Fluid. Die mit der W¨ armediffusion verbundenen zeitlichen Temperatur¨ anderungen im Fluid resultieren in Dichte¨ anderungen und damit in Auftriebskr¨ aften und diese wiederum f¨ uhren zu einer Fluidbewegung, die sich als freie Konvektionsstr¨ omung analytisch behandeln lässt. Dazu lassen sich die im Kapitel 20.3 angegebenen, durch die Oberbeck/Boussinesq-Terme in den Impulsgleichungen erweiterten Grundgleichungen, wie unten aufgef¨ uhrt, als eindimensionales Gleichungssystem f¨ ur eine instationäre Strömung als Basis der L¨ osung angeben. Dabei wurde ber¨ ucksichtigt: –

–

omung in x2 -Richtung, erhält Wegen ∂U2 /∂x2 = 0, vollentwickelte Str¨ man aus der zwei-dimensionalen Kontinuitätsgleichung U1 = const. Da U1 = 0 an der Wand gegeben ist, d. h. f¨ ur x1 = 0 als Bestandteil des betrachteten Str¨ omungsgebietes gilt, erh¨ alt man U1 = 0 im gesamten Str¨ omungsgebiet. Mit den obigen Erkenntnissen reduziert sich die linke Seite der x2 Impulsgleichung auf den Term ρ0 (∂U2 /∂t) so dass folgendes Gleichungssystem gilt: - Impulsgleichung: ∂U2 ∂ 2 U2 ρ0 = µ0 + (ρ − ρ0 )g (20.57) ∂t ∂x1 2 -

Energiegleichung: ρ0 cp,0

∂T ∂2T = λ0 ∂t ∂x1 2

(20.58) 2

Der Dissipationsterm in der Energiegleichung µ ( dU2 / dx1 ) wurde dabei vernachl¨ assigt, aus Gr¨ unden, die in Kapitel 20.3 aufgef¨ uhrt sind. x 2

( T ( x 1,t) - T 0) U 2

( x 1,t) x 1

Abbildung 20.7: Instation¨ are freie Konvektionsstr¨ omung an einer ebenen, vertikalen Platte

Zur weiteren Festlegung des zu untersuchenden Problems soll f¨ ur alle Zeiten ur x1 ≥ 0, d. h. im gesamten t < 0 gelten: U2 (x1 , t) = 0 und T (x1 , t) = T0 f¨ mit Fluid gef¨ ullten Gebiet gibt es keine Str¨ omung und das Fluid hat u ¨berall die selbe Temperatur.


671

F¨ ur alle Zeiten t ≥ 0 soll gelten: U2 (0, t) = 0 (Haftbedingung an der Wand) und T (0, t) = TW (pl¨ otzliche Erh¨ ohung der Wandtemperatur). Desweiteren wird das zu untersuchende Str¨ omungsproblem f¨ ur x1 → ∞ durch U2 (∞, t) = 0 und T (∞, t) = T0 beschrieben. Die in Abb. 20.7 skizzierten Geschwindigkeits- und Temperaturfelder deuten an, welche Diffusionsprozesse ablaufen und wie diese dazu beitragen, eine Auftriebsstr¨ omung zu verursachen. Die molekulare Diffusion des Temperaturfeldes ist ersichtlich, verbunden mit der induzierten Fluidbewegung und dem Impulsverlust an die Wand. Wichtig f¨ ur die hier abzuleitenden quantitativen Informationen ist das Vorliegen einer analytischen Lösung des in Abb. 20.7 aufgef¨ uhrten Auftriebsstr¨ omungsproblems. Das oben aufgef¨ uhrte Str¨ omungsproblem ist als eindimensionale, instationäre ¨ freie Konvektionsstr¨ omung zu l¨ osen und zwar als Ahnlichkeitsl¨ osung des oben aufgef¨ uhrten Gleichungssystems (20.57) und (20.58). Dazu f¨ uhren wir die ¨ Ahnlichkeitsvariable x1 (20.59) η= √ 2 ν0 t ein und f¨ ur die abh¨ angigen Variablen U2 (x1 , t) und T (x1 , t) f¨ ur x1 ≥ 0, die ¨ Ahnlichkeitsans¨ atze U2 (x1 , t) = [β0 (TW − T0 ) gt] F (η)

(20.60)

T (x1 , t) = (TW − T0 ) G (η)

(20.61)

und Diese Ans¨ atze werden in dieser Form mit dem Ziel eingef¨ uhrt, dimensionslose Formen der das Problem beschreibenden Differentialgleichungen zu erhalten und zudem die partiellen Differentialgleichungen in gewöhnliche Differentialgleichungen u uhren. ¨berzuf¨ Die obigen Ans¨ atze (20.60) und (20.61) gelten f¨ ur Pr = 1 und werden untenstehend f¨ ur diesen Sonderfall gel¨ ost. Allgemeinere Lösungen f¨ ur Pr = 0 wurden von Illingworth (1950) angegeben und sind dort nachzulesen. Der hier behandelte Sonderfall reicht aus, um Studenten der Strömungsmechanik in das Gebiet der nat¨ urlichen Konvektionsstr¨ omungen einzuf¨ uhren. ¨ Mit den obigen Ahnlichkeitsans¨ atzen erh¨ alt man f¨ ur die Ableitungen in der Differentialgleichung f¨ ur U2 : ρ0

∂U2 ∂ = ρ0 β0 (TW − T0 ) g (tF (η)) ∂t ∂t

(20.62)

oder die Ableitung nach t ausgef¨ uhrt: ρ0

∂U2 1 = ρ0 β0 (TW − T0 ) g F − ηF ∂t 2

sowie f¨ ur die einfache Ableitung nach dem Ort:

(20.63)

672


µ0

∂U2 1 = µ0 β0 (TW − T0 ) gtF √ ∂x1 2 ν0 t

(20.64)

und damit f¨ ur die zweifache Ableitung: µ0

∂ 2 U2 1 = µ0 β0 (TW − T0 ) gtF ∂x1 2 4ν0 t

oder unter Ber¨ ucksichtigung von ν0 = (µ0 /ρ0 ) umgeschrieben: 1 ∂ 2 U2 F µ0 = ρ β (T − T ) g 0 0 W 0 ∂x1 2 4

(20.65)

(20.66)

F¨ ur den Gravitationsterm in der U2 -Differentialgleichung erhält man: (ρ − ρ0 )g = ρ0 β0 (T − T0 )g = ρ0 β0 (TW − T0 )gG(η)

(20.67)

Die obigen Beziehungen (20.63), (20.66) und (20.67) in die Impulsgleichung eingesetzt ergibt die folgende gew¨ ohnliche Differentialgleichung f¨ ur F (η): F + 2ηF − 4F + 4G = 0

(20.68)

F¨ ur die zeitliche Ableitung in der Energiegleichung (20.58) erhält man: ρ 0 c0

∂ ∂T = ρ0 c0 (Tw − T0 ) (G(η)) ∂t ∂t

(20.69)

und nach ausgef¨ uhrter Differentiation: ρ 0 c0

η ∂T = ρ0 c0 (TW − T0 ) G ∂t 2t

(20.70)

Die Durchf¨ uhrung der zweifachen Differentiation von T (x1 , z) in (20.58) nach x1 ergibt ∂2T ρ (TW − T0 ) = G λ0 (20.71) λ0 2 ∂x1 4µ0 t und f¨ ur Pr = 1 ∂2T 1 = G ρ0 c0 (TW − T0 ) (20.72) λ0 ∂x1 2 4t Die obigen Beziehungen (20.70) und (20.71) in die Energiegleichung (20.58) eingesetzt ergibt: (20.73) G − 2ηG = 0 Die Randbedingungen f¨ ur die L¨ osung der oben aufgef¨ uhrten Differentialgleichungen lauten: x1 = 0 : U2 (0, t) = 0 ; η = 0 : F (0) = 0 T (0, t) = TW ; G(0) = 1 x1 → ∞ : U2 (∞, t) = 0 ; η = 1 : F (1) = 0 T (∞, t) = T0 ; G(1) = 0


673

Als L¨ osung der Differentialgleichung (20.73) erhält man G(η) = (1 − erf(η))

(20.74)

Die L¨ osung der Differentialgleichung (20.68), mit G(η) eingesetzt, lässt sich als L¨ osung der homogenen Differentialgleichung f¨ ur F (η) erhalten F + 2ηF − 4F = 0

(20.75)

und mit der partikularen L¨ osung F (η) = erf(η) und der homogenen Lösung ergibt sich + , 2 F (η) = √ η exp −η 2 − 2η 2 erf(η). (20.76) π Damit lassen sich die L¨ osungen f¨ ur F und G, wie sie in Abb. 20.8 aufgezeigt werden, aus den obigen Beziehungen (20.74) und (20.76) ermitteln. Durch den Abfall von G mit zunehmendem η, wird der Abfall der Temperatur mit zunehmenden Wandabstand angegeben. Die F (η)-Verteilung gibt Geschwindigkeitsverteilungen f¨ ur die nat¨ urliche Konvektion wieder, die sich infolge von Auftriebskr¨ aften in der N¨ ahe der Wand einstellt. 1 .0

G ,F

0 .8 0 .6 0 .4

5 F G

0 .2 0 0

0 .5

1 .0

1 .5

h = 2

x

2 .0 1

n t

Abbildung 20.8: L¨ osungen F (η) und G(η) f¨ ur freie Konvektionsstr¨ omung entlang ebener, vertikaler Platte

¨ Die in Abb. 20.8 gezeigten Teile der Ahnlichkeitsl¨ osungen des Gleichungssystems (20.57) und (20.58) zeigen einmal das normierte Temperaturprofil G(η), das durch die Temperaturdiffusion von der aufgeheizten Wand in das Fluid entsteht, ferner das normierte Geschwindigkeitsprofil, das durch den Auftrieb verursacht wird und durch den molek¨ ulbedingten Impulsverlust an die Wand einen Einfluss erh¨ alt. Wegen der angenommenen vollentwickelten ur Str¨ omung in x2 -Richtung, entstehen so aus den Differentialgleichungen f¨

674


das Temperaturfeld (20.61) und das Geschwindigkeitsfeld (20.60) physikalisch einleuchtende L¨ osungen. Beide zusammen sollen als ein Beispiel der Auftriebsstr¨ omungen verstanden werden, die es in großer Vielfalt in der Natur gibt. F¨ ur eine nicht geringe Anzahl dieser, durch Temperaturfelder getriebenen Str¨ omungen, gibt es analytische L¨ osungen.

20.5 Ebene Plattengrenzschicht mit Plattenbeheizung bei kleinen Prandtl-Zahlen Im Kapitel 16 wurden aus den allgemeinen Navier-Stokes-Gleichungen, in einer von Prandtl vorgeschlagenen Vorgehensweise, die zweidimensionalen Grenzschichtgleichungen abgeleitet. Erweitert man diese Ableitungen auf Grenzschichtstr¨ omungen mit W¨ arme¨ ubertragung, so erhält man unter den folgenden Annahmen: x3 = Richtung mit ∂/∂x3 (· · · ) = 0

omungsrichtung x1 = Str¨

die folgenden Gleichungen f¨ ur x1 = x, x2 = y, U1 = U , U2 = V : Station¨ are kompressible Str¨ omungen (Grenzschichtgleichungen) ∂ ∂ (ρU ) + (ρV ) = 0 ∂x ∂x ∂U ∂U ∂ dP ∂U ρ U +V + =− µ + ρgx β (T − T∞ ) ∂x ∂y dx ∂y ∂y 2 ∂T ∂2T ∂U ∂T dP ρcp U +V +λ + µ =U ∂x ∂y dx ∂y 2 ∂y ρ = const oder

P = RT ρ

und µ = µ(T ), λ(T ), cp (T )

(20.77) (20.78) (20.79) (20.80)

Somit liegen 4 Differentialgleichungen f¨ ur U , V , P , ρ und T vor, die mit den das jeweilige Problem kennzeichnenden Randbedingungen gelöst werden k¨ onnen. Station¨ are, inkompressible Str¨ omungen (Grenzschichtgleichungen)

ρ∞

∂U ∂U +V U ∂x ∂y

∂V ∂U + =0 ∂x ∂y

=−

(20.81)

∂ 2U dP + µ∞ − ρ∞ gx β∞ (T − T∞ ) (20.82) dx ∂y 2

20.5 Ebene Plattengrenzschicht

675

2 ∂T ∂T ∂U ∂2T +V ρ∞ cp∞ U + µ + ρ∞ gx β∞ (T − T∞ ) =λ ∞ ∂x ∂y ∂y 2 ∂y (20.83) Dieses Gleichungssystem kann f¨ ur ρ = ρ∞ = const, λ = λ∞ = const, cp = cp∞ = const und µ = µ∞ = const gelöst werden, unter Hinzunahme der das Str¨ omungs- und W¨ arme¨ ubertragungsproblem kennzeichnenden Randbedingungen, um U , V und T zu berechnen. Der extern aufgeprägte Druckgradient ( dP/ dx) kann oftmals als gegeben angenommen werden. G e s c h w in d ig k e its v e rte ilu n g

y

T e m p e ra tu rv e rte ilu n g

T (y ) T ¥

d

U U ¥

d T

T T ¥

P la tte Abbildung 20.9: Thermische Grenzschicht und thermische Grenzschicht f¨ ur kleine Prandtl-Zahlen

Um nun die Gleichungen zu integrieren, empfiehlt es sich, den Einfluss der Prandtl-Zahl auf die L¨ osung in die Betrachtungen mit einfließen zu lassen. Dabei ist zu ber¨ ucksichtigen, dass die Prandtl-Zahlen, der in diesem Buch betrachteten Fluide, den weiten Bereich abzudecken vermögen, der in Abb. 20.1 angedeutet ist. F¨ ur Grenzschichtstr¨ omungen mit sehr kleinen Prandtl-Zahlen, d. h. Grenzschichten geschmolzener Metalle, ergeben sich thermische Grenzschichten, die ein vielfaches dicker sind, als die Str¨ omungsgrenzschichten, siehe Abb. 20.9. Es ist damit verst¨ andlich, dass es sich empfiehlt f¨ ur kleine PrandtlZahlen Grenzschichtstr¨ omung mit W¨ arme¨ ubertragung so zu behandeln, dass die Str¨ omungsgrenzschicht ganz vernachl¨ assigt wird, d. h. es folgt aus der Kontinuit¨ atsgleichung (20.81), dass die Gradienten von V in y–Richtung und U in x–Richtung wie folgt zusammenh¨ angen:

676


dU ∂V =− ∂y dx

(20.84)

und damit gilt: dU y (20.85) dx ¨ Es wird f¨ ur die analytischen Betrachtungen die Ahnlichkeitsvariable 1 U∞ η= y (20.86) 2 ax V =−

eingef¨ uhrt. Aus der Energiegleichung erh¨ alt man: Ux

dU ∂T ∂2T ∂T −y =a ∂x dx ∂y ∂y 2

(Pr ]2 (21.110) N →∞ N Diese gemittelten Gr¨ oßen lassen sich leicht bestimmen, da die f¨ ur die Mittelung notwendigen Einzelinformationen aus den Doppler-Messungen bekannt sind. Es gibt jedoch einen Unterschied zwischen den zeitgemittelten Gr¨ oßen, die in der Turbulenz von Bedeutung sind und den teilchengemittelten Str¨ omungsgr¨ oßen, die sich aus den Gleichungen (21.109) und (21.110) ermitteln lassen. Dies l¨ asst sich einfach anhand der Darstellung einer zeitlich hypothetischen Str¨ omung erkl¨ aren, die in Abb. 21.51 aufgef¨ uhrt ist. 2 >= lim < ∆fD

· ·

· · · · ·

U U

·

·

·

·

· · ·

D r

·

· · · · · ·

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M e ssp u n k t

· ·

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·

T e ilc h e n g e m itte lte G e s c h w in d ig k e it

· ·

·

·

·

·

· · ·

·

·

Z e itg e m itte lte G e s c h w in d ig k e it

U

Abbildung 21.51: Abh¨ angigkeit der Teilchenankunft im Messvolumen von der Str¨ omungsgeschwindigkeit

21.7 Laser-Doppler-Anemometrie

749

Diese Str¨ omung zeigt eine mittlere Bewegung, die durch den horizontal arbeitenden Kolben erzeugt wird. Auf diese Strömung werden durch die Bewegung des vertikal arbeitenden Kolbens Zusatzströmungen aufgeprägt, die einmal positiv und einmal negativ auftreten. Dies f¨ uhrt im Messpunkt zu einer konstanten mittleren Geschwindigkeit in treppenförmig u ¨ berlagernden oszillierenden Str¨ omungen. Geht man von einer gleichm¨ aßigen Verteilung der Streuteilchen aus, so ist ersichtlich, dass die Anzahl der Teilchen, die das Messvolumen passiert, von der eigentlichen Str¨ omungsgeschwindigkeit abhängt und zwar entsprechend der unten aufgef¨ uhrten Formel. N = cv | U⊥ || Av |

(21.111)

Die Anzahl der registrierten Teilchen ist proportional zu der Konzentration der Teilchen im Fluid, der auftretenden Strömungsgeschwindigkeit senkrecht zu der Fl¨ ache des Kontrollvolumens und nat¨ urlich auch proportional zur Fl¨ ache selbst. Dies macht verst¨ andlich, warum in der Abbildung 21.51 bei h¨ oheren Geschwindigkeiten mehr Teilchen auftreten, als bei niederen Geschwindigkeiten. Dieser Sachverhalt f¨ uhrt dazu, dass der Teilchen-Mittelwert h¨ oher liegt als der Zeit-Mittelwert. Dies ist in der Abb. 21.51 angedeutet. Dieser Sachverhalt wurde oftmals in der Laser-Doppler-Anemometrie als ein Biasing Error“ bezeichnet und als ein prinzipielles Problem der LDA” Messtechnik dargestellt. Die oben aufgef¨ uhrten Erläuterungen machen deutlich, dass dies nur damit zu tun hat, dass man Ensemble-Mittelwerte ermittelt hat, aufgrund ihrer einfachen Bestimmbarkeit aus den LDA-Signalen. Gew¨ unscht waren allerdings zeitliche Mittelwerte, die in der Turbulenzforschung von Bedeutung sind. Die Differenz zwischen Ensemble- und Zeitmittelwert stellt die Gewichtung dar (Biasing), die zu den Unterschieden zwischen zeitlichen und Teilchenmittelwerten f¨ uhren, die in der Abb. 21.51 angedeutet sind. In der Str¨ omungsmechanik ist es u ¨ blich, z. B. zur Bestimmung mittlerer Gr¨ oßen turbulenter Str¨ omungen, Zeitmittelwerte zu bestimmen, die wie folgt berechnet werden: 1 T →∞ T

"T

fD = lim

fD dt 0

1 T →∞ T

"T 2 ∆fD dt

2 = lim und ∆fD

(21.112)

0

wobei ∆fD = (fD (t) − fD ) ist. Die oben aufgef¨ uhrte Integration kann digital f¨ ur unregelmäßige Abtastintervalle ∆tk ausgef¨ uhrt werden, wie dies in der Abb. 21.52 skizziert ist. Dies f¨ uhrt zu den folgenden allgemeinen Gleichungen. F¨ ur den zeitlichen Mittelwert gilt f¨ ur ∆tk = const:

750

21 Einf¨ uhrung in die Str¨ omungsmesstechnik

Z e itin te rv a ll D tk k o n s ta n t

S ig n a lv e ra rb e itu n g m it e in e m

®

N

N

( fD )k D tk

k = 1

fD = lim

fD

Ù

fD ( t )

S

¥

S

N

k = 1

}

t

D tk tk S ig n a lv e ra rb e itu n g m it e in e m

fD = lim ®

N

k = 1

D tk

N ¥

1 S

N

k = 1

T = N D t

tk

D tk

N

Z e itin te rv a ll D tk k o n s ta n t

fD

Ù

fD ( t )

S

T =

D tk

( fD ) k

Abbildung 21.52: Bestimmung des zeitlichen Mittelwertes der Doppler-Frequenz f¨ ur ∆Tk = const und ∆tk = const N

fD = lim

k=1

(fD )k ∆tk N

N →∞

mit

T =

N

∆tk

(21.113)

k=1

∆tk

k=1 N 1 (fD )k N →∞ N

fD = lim

mit

T = N ∆t

(21.114)

k=1

und f¨ ur die Momente, welche die Abweichung vom Mittelwert beschreiben, ergibt die Integration: N 1 n ∆fD

= lim

N →∞

k=1

(fD )k − f¯D N

2n

∆tk .

(21.115)

∆tk

k=1

F¨ ur station¨ are Zufallsprozesse behalten die obigen Gleichungen zur Mittelwertbestimmung ihre G¨ ultigkeit f¨ ur alle Abtastintervalle ∆tk , solange der Abtastvorgang und die abgetastete Gr¨ oße (Doppler-Frequenz) nicht miteinander korreliert sind. Die Aufl¨ osung einer bestimmten Frequenz einer Strömung eruber dem zu erfassenden Zeitmaß fordert, dass die ∆tk -Werte klein sind gegen¨ der Str¨ omung. Falls die Abtastintervalle ∆tk als konstant gewählt werden, d. h. ∆tk = ∆t = const, vereinfachen sich die obigen Gleichungen zu:

21.7 Laser-Doppler-Anemometrie N

fD = lim

N →∞

k=1

(fD )k ∆tk

N 1 fD =< fD > N →∞ N

= lim

N

751

(21.116)

k=1

∆tk

k=1 N 1 n = lim ∆fD

N →∞

k=1

(fD )k − fD N

2n

∆tk

N 2n 1 1 n >. (fD )k − fD =< fD N →∞ N

= lim ∆tk

k=1

k=1

(21.117) Demgem¨ aß stimmen die zeitgemittelten und ensemblegemittelten Eigenschaften einer Str¨ omung miteinander f¨ ur den Spezialfall u ¨ berein, dass konstante Abtastintervalle gew¨ ahlt werden. Es gilt also die erhaltenen Doppler-Signale entsprechend zu verarbeiten, so dass jedem konstantem Zeitintervall ∆t ein entsprechendes Doppler-Signal zugeordnet wird. Die oben aufgef¨ uhrten Erl¨ auterungen des Auftretens von LDA-Signalen haben gezeigt, dass die Laser-Doppler-Signale mit unregelmäßigen Zeitabst¨ anden anfallen, also unregelm¨ aßige Abtastintervalle durch die Ankunft der Doppler-Signale gegeben sind. Ber¨ ucksichtigt man dies nicht, kann die zeitgemittelte Doppler-Frequenz und der entsprechende ensemblegemittelte Wert voneinander abweichen. Dies ist kein Fehler des Messtechnik sondern einer Eigenschaft des gew¨ ahlten Mittelverfahrens. Auftretende Unterschiede gehen aus den Definitionen der Ensemble- und Zeitmittelwerte hervor. 21.7.4 Durchf¨ uhrung von LDA-Messungen: Eindimensionale LDA-Systeme In den vorausgegangenen Abschnitten zur LDA-Signalverarbeitung wurden Geschwindigkeitsmessungen vorgestellt, ohne auf die durch die Auswertung erhaltenen Daten einzugehen, um so aus den gemessenen Doppler-Frequenzen die gew¨ unschten Informationen u omungsfeld zu erhalten. Es wurde ¨ ber das Str¨ gezeigt, dass Laser-Doppler-Anemometer lineare Geschwindigkeitsmesswertaufnehmer mit einem Frequenzgang sind, der durch folgende Beziehung gegeben ist: 1ˆ (21.118) f@D = U i ni . λ î dem Hierin entspricht λ der Wellenl¨ ange der gew¨ ahlten Laser-Strahlung, U momentanen Geschwindigkeitsvektor und (n)i dem Transformationsvektor“ ” des Anemometers. F¨ ur ein festes Koordinatensystem xi können die zwei Vektoren der obigen Gleichung in folgender Form ausgedr¨ uckt werden: ˆ = (U1 , U2 , U3 ) und (n) = 2 sin ϕ (cos α1 , cos α2 , cos α3 ) . (21.119) U i i

752


In dieser Gleichung bedeutet ϕ der halbe Winkel zwischen den Lichtstrahlen und α1 , α2 , α3 die Winkel, die der Vektor (n)i mit den Koordinatenachsen bildet. Die momentanen Geschwindigkeitskomponenten und die momentane Signalfrequenz lassen sich wie folgt ausdr¨ ucken: fˆD = fD + ∆fD .

ˆ i = Ui + u i , U

A u s w e rtu n g s g le ic h u n g :

Ù

1 { Ù U } i{ n }

fD = l

i

Ù

M o m e n ta n e r G e s c h w in d ig k e its v e k to r : { U }

U

{ k } Ù i

= U i

+ u i

i

i

= { U 1

, U

i

= 2 s in j { c o s a

M o m e n ta n e S ig n a lfre q u e n z :

, c o s a 1

2

, U 2

{ n }

{ l i}

{ m } E m p fin d lic h k e its v e k to r d e s A n e m o m e te rs : { n }

(21.120)

3

}

i

i

, c o s a 3} ×

Ù

fD = fD + D D

A u s w e rtu n g s g le ic h u n g : ( fD + D fD ) =

2 s in j [U l

1 c o s a 1 + U 2 c o s a 2 + U 3 c o s a 3 + + u 1 c o s a 1 + u 2 c o s a 2 + u 3 c o s a 3]

Abbildung 21.53: Wichtige Formeln zur Auswertung von LDA-Signalen bei Messungen mit eindimensionalen LDA-Messsystemen

Durch Kombination der obigen Gleichungen ergibt sich folgende Beziehung: , 2 sin ϕ + [U1 cos α1 + U2 cos α2 + U3 cos α3 + f¯D + ∆fD = λ u1 cos α1 + u2 cos α2 + u3 cos α3 ] .

(21.121)

Diese Gleichung stellt die Grundbeziehung f¨ ur die Auswertung von str¨ omungsmechanischen Gr¨ oßen aus Frequenzmessungen von Laser-DopplerSignalen dar. F¨ uhrt man f¨ ur die Gleichung (21.121) eine zeitliche Mittelung durch, so erh¨ alt man folgende Grundgleichung zur Bestimmung der drei Geschwindigkeitskomponenten U1 , U2 und U3 . Um alle drei Komponenten mit einem eindimensionalen LDA-System messen zu k¨ onnen, sind Messungen unter drei verschiedenen Richtungen α1 , α2 , α3 erforderlich. 2 sin ϕ f¯D = [U1 cos a1 + U2 cos a2 + U3 cos a3 ] . λ

(21.122)


753

Zieht man von der Gleichung (21.121) die Gleichung (21.122) ab, so erhält man die Gleichung f¨ ur die Abweichung der Frequenz von der gemittelten Frequenz. Damit l¨ asst sich eine Gleichung f¨ ur die Standardabweichung der 2 herleiten. Doppler-Frequenz ∆fD 2 ¯ 2 = 4 sin ϕ u¯2 cos2 a + u¯2 cos2 a + U¯2 cos2 a + ∆f 1 2 3 1 2 3 D λ2 +2 (u1¯u2 cos a1 cos a2 + u1¯u3 cos a1 cos a3 + u2¯u3 cos a2 cos a3 ) ] . (21.123) Die Messung der Standardabweichungen der Signalfrequenzen f¨ ur sechs verschiedene Richtungen des Empfindlichkeitsvektors (nj )i , (j = 1, 2, . . . 6) erm¨ oglicht die Auswertung aller Korrelationen ui uj zweiter Ordnung. ¨ Ahnliche Auswertungsgleichungen k¨ onnen f¨ ur Korrelationen höherer Ordnung abgeleitet werden: n 2 sin ϕ n = ∆fD [u1 cos a1 + u2 cos a2 + u3 cos a3 ]n . λ Die Komplexit¨ at der Auswertungsgleichungen reduziert sich, wenn f¨ ur die Transformationsvektoren“ (n)i Vorzugsrichtungen vorgegeben werden, z. B. ” parallel zur x1 -Achse: (n)i = (1, 0, 0): U1 =

λfD ; 2 sin ϕ

u21 =

¯ 2 λ2 ∆f D ; 4 sin2 ϕ

un1 =

n λn ∆fD n 2 sinn ϕ

(21.124)

Somit ist die Auswertung der Messungen, die mit einer eindimensionalen Optik durchgef¨ uhrt werden, ¨ ahnlich zu den Messungen mit einem Einzelhitzdraht. Jedoch sind Laser-Doppler-Anemometer durch ein genaues CosinusGesetz-Antwortverhalten ausgezeichnet und daher sind die Auswertungsgleichungen einfacher.

21.8 Literaturverzeichnis 21.1 Goldstein RJ, editor (1983) Fluid Mechanics Measurements, Hemisphere Publishing 21.2 Eckelmann H (1997) Einf¨ uhrung in die Strömungsmesstechnik, B. G. Teubner, Stuttgart 21.3 Hinze JO (1975) Turbulence, 2nd Edition, McGraw-Hill Book Company, New York 21.4 Hanson S (1976) Visualization of alignment errors and heterodyning constraints in laser Doppler velocimeters. Proceedings of the LDA Symp Copenhagen 1975, Tonsbakken 16-18, 2740 Skovlunde, Denmark, pp. 176182

754


21.5 Buchhave P, Delhaye JM, Durst F, George WK, Refslund K, Whitelaw JH, Eds. (1976) The Accuracy of Flow Measurements by Laser Doppler Methods, Proceedings of the LDA Symp Copenhagen 1975, Tonsbakken 16-18, 2740 Skovlunde, Denmark 21.6 Durst F, Stevenson WH (1979) Influence of Gaussian Beam Properties on Laser-Doppler Signals, Applied Optics, 18, pp. 516-524 21.7 Wiedemann J (1984) Laser-Doppler-Anemometrie, Springer Verlag, Berlin 21.8 Ruck B (1987) Laser-Doppler-Anemometrie, AT Fachverlag, Stuttgart 21.9 Durst F, Melling A, Whitelaw JH (1987) Theorie und Praxis der LaserDoppler-Anemometrie, Verlag G. Braun, Karlsruhe 21.10 Albrecht HE, Borys M, Damaschke N, Tropea C (2003) Laser Doppler and Phase Doppler Measurement Techniques, Springer-Verlag Berlin Heidelberg

Index

Aerostatik, 166, 197, 202, 204 Analytische Str¨ omungsmechanik, 5 Assoziativgesetz, 21 Atmosph¨ are, 2, 11, 181, 199–201, 204, 205, 207, 531–534 Bahnlinien von Fluidelementen, 29, 96, 97 Berechnungen turbulenter Str¨ omungen, 606, 648, 685 Bernoulli-Gleichung, 141, 144, 154, 156, 157, 258–261, 264, 269–271, 283, 285, 305, 328, 332, 335, 349, 354, 370–372 Bilanzbetrachtungen, 79, 80 Blasenbildung an D¨ usen, 190, 194 Bogenelement, 32 Crocco-Gleichung, 154, 157 Deformation, 117, 119, 120, 173, 370, 602 Differentiation, 27, 28, 32, 50, 125, 248, 251, 252, 256, 279, 281, 296, 310, 345, 350, 543, 672, 724, 726 Dimensionsanalyse, 230–233, 237, 245, 246 Dipolstr¨ omung, 320–323, 325 Diskretisierung, 620, 621, 624–627, 631, 632, 634, 639, 642–644 Dissipation, 140, 144, 386, 578, 579, 583–585, 594, 604, 623 Distributivgesetz, 29 Divergenz, 35, 110–112, 116, 128, 155, 244 Druckenergie, 140, 142, 167, 253, 284, 577, 580 Druckmessger¨ ate, 689, 693, 694

Druckverlust, 19, 288 Ebene Str¨ omungen, 390 Einheitsvektoren, 20, 38 Einsetzende Rohrstr¨ omung, 451, 455 Elastizit¨ at, 53 Energiegleichung, 55, 82, 138–143, 156–159, 184, 214, 215, 218, 247, 252–256, 274, 283–285, 289, 337, 341–343, 360, 373, 374, 382, 385, 386, 560, 577–579, 581–583, 591, 623, 645, 659, 662, 664, 666–668, 670, 672, 676–678, 683, 684 Enthalpie, 58, 83, 160, 284, 285, 293 Entropie, 83, 84, 87, 157, 207, 212, 380, 381, 387 Erhaltungsgleichungen, 17, 124, 650 Erhaltungss¨ atze, 60, 80, 91, 120, 123, 385, 543 Euler-Variablen, 30, 128 Experimentelle Str¨ omungsmechanik, 94 Exponentialfunktion, 43, 47, 49, 443 Festk¨ orper, 53 Filmstr¨ omung, 400–402, 405, 407, 462, 465, 467, 608 Fl¨ achen¨ anderungen, 288, 383 Fl¨ achenintegrale, 33 Fluide, 4, 5, 9, 10, 53–56, 58, 75, 76, 83, 85, 86, 127, 129, 132–134, 143, 147, 165, 197, 214, 220–223, 244, 285, 303, 305, 309, 343, 359, 360, 389, 415, 417, 421–424, 508, 534–537, 573–575, 577, 642, 669, 675, 682 Freistrahl, 510, 511, 514, 527 Froude-Zahl, 213, 217, 457 Geschichtliche Entwicklung, 10

756

Index

Geschwindigkeitsfeld, 31, 33, 35, 91, 93, 95, 96, 98, 100, 101, 103–105, 107–110, 112, 113, 120, 121, 135, 137, 154, 160, 240, 243, 244, 304, 313, 317, 324, 331, 339, 343, 394, 417, 463, 472, 484, 489, 504, 542, 588, 663, 674, 678, 685 Gleitlager, 466, 467 Gradient, 38, 60, 207, 442, 578, 654 Gradientenfeld, 28–30 Grenzschichtdicke, 493, 494, 497, 502, 503, 505 Grenzschichtgleichungen, 13, 493, 494, 496–499, 502, 504, 505, 507–509, 511, 512, 515, 518, 519, 619, 674, 677, 680 Grenzschichtstr¨ omung, 499, 604, 675, 680 Hitzdraht-Anemometrie, 596, 714 Hydrostatik, 11, 165–168, 171, 173, 176, 197, 203, 205 Hyperbelfunktionen, 50 Impulsaustausch, 54 Impulsgleichungen, 93, 129, 130, 133, 138, 139, 148–150, 156, 165, 214–216, 226, 244, 281, 332, 341, 360, 385, 390, 391, 393, 394, 487, 525, 538, 575, 648, 659, 666, 670, 679, 682, 685 Impulssatz, 268, 361 Impulsverlustdicke, 430, 504, 505 Instabilit¨ atsbetrachtungen, 13 Integralform der Impulsgleichung, 251, 271, 515 Integralform der Kontinuit¨ atsgleichung, 249, 258, 260, 273 Integralform der mechanischen Energiegleichung, 273 kinetische Energie der Turbulenz, 581 Kommutativgesetz, 21 Komplexe Funktionen, 45 Kontinuit¨ atsgleichung, 12, 96, 108, 129, 138, 139, 145–147, 155, 160, 163, 165, 215, 216, 226, 247, 249, 250, 252, 255, 258, 260, 261, 264, 265, 269, 271, 273, 279, 281, 285, 287,

288, 300, 304–306, 341–343, 347, 349, 354, 356, 360, 367, 368, 382, 390–394, 424, 458, 460, 494, 497, 499, 506, 538, 543, 560, 573–576, 581, 588, 591, 598, 622, 634, 638, 640, 659, 663, 670, 680 Kontinuumsmechanik, 56, 60, 62, 67, 68, 712 Korrelation, 221, 564, 566, 570, 578, 589, 594, 609 Kugelkoordinaten, 39, 146, 147, 150, 153, 154, 471, 474 Kugelumstr¨ omung, 457, 474, 477, 479, 481 Kurvenintegral, 32 Lagrange-Variablen, 30 Laminare Str¨ omungen, 411, 414, 523, 530, 647, 651 Laplace-Operator, 29, 31 Laser-Doppler-Anemometrie, 8, 15, 589, 590, 596, 685, 687, 736, 754 LDA-Messungen, 740 Longitudinalwellen, 338, 343 Mach-Zahl, 213, 289, 294–297, 299, 300, 360–362, 371, 372, 382, 387, 695 Massenerhaltung, 80–82, 120, 126, 127, 131, 160, 163, 249, 271, 279, 285, 362, 373, 648 Massenfluss, 249, 279 Mechanische Energiegleichung, 285 Molekuleigenschaften, 56, 59 Nabla-Operator, 28 Navier-Stokes-Gleichungen, 138, 139, 149–151, 305, 340, 474, 478, 493, 494, 504, 574, 575, 591, 592, 645, 674 Neutrales Element, 21, 238 Newtonische Fluide, 682 Numerische L¨ osungen, 9, 590, 592, 621, 622 Numerische Str¨ omungsmechanik, 622 Oberfl¨ achenspannung, 183–187, 212, 353, 354, 357, 534 Oberfl¨ achenwellen, 346, 350, 358 Parallelit¨ atstest, 22

Index Peclet-Zahl, 213, 219, 635 Plattengrenzschicht, 492, 502, 503, 508, 509, 551 Potential- und Stromfunktion, 319, 321, 322, 324 Potentialfunktion, 305, 306, 308, 309, 349, 483 Potentialstr¨ omungen, 40, 52, 305–307, 309, 310, 313, 320, 324, 325, 327, 329, 331, 333, 334, 337, 346, 461, 713 Potentialwirbel, 319, 325, 328 Prandtl-Zahl, 213, 219, 650–652, 655, 660, 661, 664, 675, 695 Quellen- und Senkenstr¨ omung, 321 Quellenstr¨ omung, 318 Quellterme, 626, 651, 652

757

Stromfadenquerschnitt, 277 Stromfadentheorie, 277, 280, 281, 285, 359, 370 Stromfunktion, 107–109, 305, 306, 308, 309, 311, 313, 316, 319, 321–325, 329, 497, 499, 500, 519, 546, 548, 680 Stromlinie, 102–106, 108, 159, 306, 308, 314–316, 325, 327, 331, 342 Str¨ omung mit W¨ arme¨ ubertragung, 662, 663 Str¨ omungsinstabilit¨ aten, 527, 528, 546, 548, 549, 551 Str¨ omungskr¨ afte auf K¨ orper, 324 Str¨ omungsmesstechnik, 596, 688, 692, 698, 702, 708 Substantielle Ableitung, 30, 93, 125, 128

Randbedingungen, 5, 14, 80–82, 91, 93, 123, 139, 154, 210, 211, 215, 217, 227, 341, 350, 360, 389, 391, 396, 398, 401, 407–409, 412, 413, 415, 416, 418, 419, 423, 426, 430–432, 435, 436, 440, 442–448, 451–454, 457, 460, 463, 468, 472–476, 480, 482, 484, 490, 493, 496–499, 501, 507, 510–513, 516, 519, 523, 525, 530, 537, 538, 540, 544, 545, 550, 598, 617, 619, 643, 645, 647, 656, 660, 663, 665, 668, 669, 672, 674–676, 678, 679, 681 Relativbewegung, 464 Reynoldssche Gleichungen, 598 Rohrstr¨ omung, 240, 287, 374–380, 383, 384, 408–412, 414, 435, 451, 452, 455, 608 Rotation, 26, 32, 34, 112–114, 117, 119, 120, 155, 173, 175, 241, 303, 319, 326, 471, 473, 541, 735, 736

Teilgebiete der Str¨ omungsmechanik, 5, 8, 93 Tensoren, 15–17, 24–26 Thermische Energiegleichung, 142, 143, 254, 341, 591, 659 Tracermaterialien, 98 Translation, 117–120 Translationsbewegung einer Kugel, 474 Transportgleichung, 155, 303, 487, 579, 594, 595, 603, 623, 624, 626, 628, 631, 645, 649, 650, 652 Transversalwellen, 338, 340, 346 Turbulente Str¨ omungen, 524, 553, 554, 556, 557, 560, 570, 578, 589, 592, 602, 648, 650, 651, 686 Turbulente Wandgrenzschichten, 603 Turbulenzmodelle, 588, 589, 594, 595

Schallgeschwindigkeit, 77, 87, 88, 291, 297, 343, 346, 359–362, 368, 372, 377, 378 Skalarfeld, 30, 31, 33, 34, 110 Skalarprodukt, 21, 23, 28, 248 Spatprodukt, 23 Staudrucksonden, 258, 688, 696 Staupunkt, 327, 328, 695

Vektorfeld, 28, 31 Vektorprodukt, 21, 23, 28, 119 Viskosit¨ at, 53, 54, 56, 62, 70, 73, 75–77, 79, 91, 212, 230, 231, 393, 396, 397, 399, 400, 404–406, 409, 417, 426, 427, 444, 445, 451, 474, 481, 491, 515, 525, 553, 578, 598, 609, 663, 666, 695, 711

¨ Uberschallstr¨ omung, 289, 290, 376, 378, 381 Unterschallstr¨ omung, 289, 290, 375, 377, 378

758

Index

Volumenintegrale, 34, 35 W¨ armeaustausch, 63, 362, 684 W¨ armekapazit¨ at, 72, 85, 160, 376, 378, 405 Wellenbewegungen, 13, 337–341, 351, 355, 358, 384 Widerstand, 13, 697, 699–701, 704 Wirbelviskosit¨ atsmodelle, 593

Zeitmittelung, 559, 560, 581, 591, 723 Zirkulation, 33, 35, 319, 325–328, 333–336 Zweidimensionale, freie Scherschicht, 508 Zylinderf¨ ormige Str¨ omungen, 391 Zylinderumstr¨ omung mit Zirkulation, 336

Grundlagen der Strömungsmechanik: Eine Einführung in die Theorie der Strömung von Fluiden

EcoDesign: Von der Theorie in die Praxis

Grundlagen der digitalen Informationsübertragung: Von der Theorie zu Mobilfunkanwendungen

Grundlagen einer Theorie der Materie

Grundlagen einer Theorie der Materie

Grundlagen einer Theorie der Materie

Strömungslehre. Eine Einführung in die Theorie der Strömungen

Einfuhrung in die Theorie der Gesellschaft german

Einfuhrung in die Theorie der lokalkonvexen Raume

Einfuehrung in die Theorie der endlichen Graphen

Einfuehrung in die Theorie der endlichen Graphen

Strömungslehre: Einführung in die Theorie der Strömungen

Strömungslehre: Einführung in die Theorie der Strömungen

Die neuen Grundlagen der Führung

Die Theorie der Kausalität in „Kants Kritik der reinen Vernunft”

Das affektive Leben der Gruppen. Eine Theorie der menschlichen Beziehung

Das affektive Leben der Gruppen. Eine Theorie der menschlichen Beziehung

Einführung in die Grundlagen der Nationalökonomie (Meilensteine der Nationalökonomie)

Bürokratietheorie: Einführung in eine Theorie der Verwaltung (Studienskripten zur Soziologie)

Theorie der juristischen Argumentation

Vorlesungen über die Theorie der Algebraischen Zahlen

Die Diebe von der Sol

Die Diebe von der SOL

Die Diebe von der SOL

Die Partisanen von der CREST

Die Partisanen von der CREST

Die Partisanen von der CREST

Theorie der Firma: interdisziplinär

Theorie der wirtschaftlichen Entwicklung

Grundlagen der Strömungsmechanik: Eine Einführung in die Theorie der Strömung von Fluiden

EcoDesign: Von der Theorie in die Praxis

Grundlagen der digitalen Informationsübertragung: Von der Theorie zu Mobilfunkanwendungen

Grundlagen einer Theorie der Materie

Grundlagen einer Theorie der Materie

Grundlagen einer Theorie der Materie

Strömungslehre. Eine Einführung in die Theorie der Strömungen

Einfuhrung in die Theorie der Gesellschaft german

Einfuhrung in die Theorie der lokalkonvexen Raume

Einfuehrung in die Theorie der endlichen Graphen

Einfuehrung in die Theorie der endlichen Graphen

Strömungslehre: Einführung in die Theorie der Strömungen

Strömungslehre: Einführung in die Theorie der Strömungen

Die neuen Grundlagen der Führung

Die Theorie der Kausalität in „Kants Kritik der reinen Vernunft”

Das affektive Leben der Gruppen. Eine Theorie der menschlichen Beziehung

Das affektive Leben der Gruppen. Eine Theorie der menschlichen Beziehung

Einführung in die Grundlagen der Nationalökonomie (Meilensteine der Nationalökonomie)

Bürokratietheorie: Einführung in eine Theorie der Verwaltung (Studienskripten zur Soziologie)

Theorie der juristischen Argumentation

Vorlesungen über die Theorie der Algebraischen Zahlen

Die Diebe von der Sol

Die Diebe von der SOL

Die Diebe von der SOL

Die Partisanen von der CREST

Die Partisanen von der CREST

Die Partisanen von der CREST

Theorie der Firma: interdisziplinär

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