Grundlagen der Grenzschicht-Meteorologie: Einführung in die Physik der Atmosphärischen Grenzschicht und in die Mikrometeorologie

Helmut Kraus · Grundlagen der Grenzschicht-Meteorologie

Helmut Kraus

Grundlagen der GrenzschichtMeteorologie Einführung in die Physik der Atmosphärischen Grenzschicht und in die Mikrometeorologie

Mit 103 Abbildungen

Autor:

Prof. Dr. Helmut Kraus Meteorologisches Institut der Universität Bonn Auf dem Hügel 20 53121 Bonn E-Mail: [email protected]

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Vorwort

Der untere Rand der Atmosphäre ist die Erdoberfläche, ausgebildet als festes Land, Wasser oder Eis. Hier findet sich ein Übergang von einem Stoff (Luft) zum anderen (z. B. Gestein). Ebenso hören an dieser Fläche die für die Atmosphäre typischen Prozesse auf, und es gibt andere, nämlich die charakteristischen Vorgänge für festes Land, Wasser oder Eis. Das feste Land kann sehr unterschiedlich ausgebildet sein, z. B. als Gestein, Sand oder Ackerboden. Auch das Eis besitzt viele verschiedene Erscheinungsformen, z. B. festes, hartes, blaues Gletschereis oder lockerer, weicher, strahlendweißer Neuschnee. Auf dem Land gibt es vielfach eine dicke Vegetationsschicht, die in die Atmosphäre hineinragt, also von atmosphärischer Luft durchströmt wird. Dadurch erscheint der Übergang von der Atmosphäre zum von Vegetation bestandenen Boden besonders kompliziert. Die Prozesse an diesem unteren Rand der Atmosphäre sind von der Art, dass die Atmosphäre die Vegetations-, Boden-, Wasser- und Eisschichten beeinflusst (Steuerung, engl. control), andererseits aber diese Schichten auf die Atmosphäre zurückwirken (Rückwirkung, feedback). Man spricht von einer Wechselwirkung (interaction). So handelt dieses Buch von der Wechselwirkung zwischen der Atmosphäre und den ihre untere Begrenzung bildenden Medien Boden, Wasser, Eis und Vegetation. Den untersten Teil der Atmosphäre, der in dieser Weise vom Rand her beeinflusst und in seinen Eigenschaften geprägt wird, nennt man die Atmosphärische Grenzschicht. Sie gehört zur unmittelbaren Umwelt der meisten Lebewesen (Mensch, Tier, Pflanzenwelt) und erhält dadurch und durch viele ihr eigene Prozesse und Eigenschaften eine besondere Bedeutung innerhalb der Umweltforschung. So hat sich auch ein eigenes Teilgebiet der Meteorologie, die Grenzschicht-Meteorologie, entwickelt. Dieses Buch versucht, die wesentlichen Grundlagen dieser Disziplin zusammenzustellen und zu erläutern. Das bedeutet den Verzicht auf eine eingehende Behandlung von so manchem interessanten Spezialgebiet, so z. B. der numerischen Modellierung der Grenzschicht und der Messtechnik, über die es eigene umfangreiche Darstellungen gibt. Voraussetzung für das Verständnis des hier Dargebotenen sind Wissen und Denkansätze, die üblicherweise in Büchern und Vorlesungen zur Einführung in die Meteorologie vermittelt werden. Hier beziehen wir uns speziell auf das Buch „Die Atmosphäre der Erde – Eine Einführung in die Meteorologie“ von H. Kraus (2004). Wir werden die dort ausführlich behandelten Inhalte hier nicht wiederholen, sondern auf sie verweisen. Ferner übernehmen wir die dort benutzten Zeichen für die physikalischen Größen und verweisen mit dem Kürzel AE auf Kapitel, Abschnitte, Bilder und Tabellen dieses Werkes, zum Beispiel bedeutet (AE 9.4) den Hinweis auf den Abschn. 9.4. In dem genannten Werk ist an vielen Stellen bereits die Rede von der Atmosphärischen Grenzschicht, dies jedoch eingeordnet in das Konzept einer einführenden Darstellung.

VI

Das hier vorliegende Buch ist gegliedert in zwei Teile und insgesamt 14 Kapitel. Teil I behandelt die Physik der Atmosphärischen Grenzschicht, wobei die gesamte Schicht bis hinauf zur Freien Atmosphäre, ihre Unterteilungen und verschiedene Grenzschichttypen betrachtet werden. Teil II befasst sich mit der klassischen Mikrometeorologie, die sich den untersten Dekametern und so den bodennächsten Vorgängen, Wirkungen und Anwendungen widmet. Die aufeinander aufbauenden Kapitel beginnen mit der Erläuterung des Grenzschicht-Begriffs (Kap. 1) in der allgemeinen Strömungslehre und in der Meteorologie. Es folgen theoretisch-physikalisch orientierte Ausführungen über die turbulenten Flussdichten (Kap. 2) als stets im Mittelpunkt der Betrachtung stehende Größen, die hydrodynamischen Grundgleichungen (Kap. 3) und die Haushaltsgleichungen von Größen, die die Turbulenz beschreiben (Kap. 4). Um die hydrodynamischen Grundgleichungen für die turbulente Grenzschicht mit einem erträglichen Aufwand lösen zu können, bedarf es Schließungsbedingungen, d. h. der Parametrisierung (Kap. 5) von durch den Turbulenzansatz entstehenden Unbekannten. Diese wird in Kap. 6 (Dynamik der Ekman-Schicht) praktisch angewendet. Dabei lässt sich ein Grundtypus der Atmosphärischen Grenzschicht, die rein dynamische Grenzschicht, einführen und der Begriff der Ekman-Schicht erläutern. Diese grenzt oben an die Freie Atmosphäre, beschreibt aber die Verhältnisse in den untersten Dekametern nur sehr unbefriedigend. Dieses untere Höhenintervall – die Prandtl-Schicht (Kap. 7) – korrekt zu behandeln, gelingt mit Hilfe der Ähnlichkeitstheorie von Monin und Obukhov, während die Rossby-ZahlÄhnlichkeitstheorie (Kap. 8) Gesetze für die gesamte Atmosphärische Grenzschicht liefert. In Ergänzung zu dem in Kap. 6 behandelten Grenzschicht-Typ werden in den Kap. 9 und 10 zwei weitere Grundtypen behandelt, die konvektive Grenzschicht und die stabile Grenzschicht. Teil II (Mikrometeorologie) wendet sich ausführlich den Phänomenen der bodennahen Luftschicht (≈ Prandtl-Schicht) zu. In dieser spielt – so nahe an der Grenzfläche – die Energiebilanz an der Erdoberfläche (Kap. 11) eine zentrale Rolle. In Kap. 12 (Mikroklimate) schließt sich eine Betrachtung der bodennahen Klimasysteme und so der Wechselwirkung zwischen Atmosphäre, Boden, Vegetation, Wasser und Eis an. Als besonders verbreitetes und bedeutendes Mikroklima wird in Kap. 13 das Bestandsklima behandelt. Bei den sehr unterschiedlichen Oberflächenarten sind auch Schnee und Eis von großem Interesse. Deshalb behandelt Kap. 14 die Mikrometeorologie über Schnee- und Eisoberflächen. Dieses Buch möchte Leser ansprechen, die an der Meteorologie und vor allem an der bodennahen Atmosphäre interessiert sind. Darüber hinaus wendet es sich an alle, die die Herausforderung sehen, sich mit der oben beschriebenen Wechselwirkung auseinanderzusetzen, so an Bodenkundler, Pflanzenökologen, Landund Forstwirte, Geographen, Glaziologen und Umweltwissenschaftler. Danken möchte ich Herrn Dr. Thomas Burkhardt, Herrn Prof. Dr. Günther Heinemann, Herrn Prof. Dr. Michael Kerschgens und Frau Helga Kraus für sorgfältiges Lesen des Manuskriptes und mannigfaltige Bemerkungen und Anregungen. Der Bibliothek des Meteorologischen Instituts der Universität Bonn, Frau Lucia Hallas und Frau Monika Stehle, gebührt mein Dank für umfangreiche Hilfe, vor allem bei der Beschaffung älterer Literatur. Die Zusammenarbeit mit dem Springer-Verlag und dem für den Satz zuständigen Büro Stasch gestaltete sich wieder höchst erfreulich.

Vorwort

Inhaltsverzeichnis

Teil I · Physik der Atmosphärischen Grenzschicht 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5

1.6 1.7 1.8 2 2.1 2.2

3 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7

.......................

1

Der Grenzschicht-Begriff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Die Atmosphärische Grenzschicht, der unterste Teil der Troposphäre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Der Grenzschicht-Begriff in der allgemeinen Strömungslehre . . . . . . . . . 4 Anwendung der Bewegungsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Gedanklicher Übergang zur Atmosphärischen Grenzschicht . . . . . . . . . 10 Skalenanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.5.1 Beispiel 1: Thermische Diffusion bei vorgegebener charakteristischer Länge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.5.2 Beispiel 2: Höhe einer stationären Laborgrenzschicht . . . . . . . . 13 1.5.3 Beispiel 3: Höhe einer stationären Atmosphärischen Grenzschicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Dimensionsanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Unterschiedliche Definitionen der Grenzschichthöhe δ aus dem Profilverlauf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 Typen der Atmosphärischen Grenzschicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 Flussdichten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Turbulenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Formulierung von Flussdichten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Die transportierte Eigenschaft ist ein Skalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2 Die transportierte Eigenschaft ist die Komponente eines Vektors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.3 Der molekulare Impulstransport . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17 17 19 20

Die hydrodynamischen Grundgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Die Komponentenschreibweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Die Kontinuitätsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Die Gasgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Skalenanalyse von mit Fluktuationsgrößen gebildeten Termen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Die Bewegungsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Die Haushaltsgleichungen für die fühlbare Wärme und den Wasserdampf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Die Randbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25 25 26 26

22 24

26 29 30 32

VIII

4 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5

Inhaltsverzeichnis

Haushaltsgleichungen von Größen, die die Turbulenz beschreiben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Die Haushaltsgleichung für die turbulente kinetische Energie . . . . . . . Weitere Gleichungen für kinetische Energien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Allgemeines über Haushaltsgleichungen für Momente zweiter Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Spektraler Transfer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Quantitative Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35 35 41 43 44 46

Die Parametrisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Das Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Die Schließung erster Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.1 Der K-Ansatz und die Theorie des Mischungsweges . . . . . . . . . . 5.2.2 Der Differenzen-Ansatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Schließungen höherer Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

49 49 51 51 54 55 57 57 57 59 60 60 66 66 68

6.3

Dynamik der Ekman-Schicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Die Ekman-Spirale in der Atmosphäre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.1 Die Ekman-Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.2 Lösung der Ekman-Gleichungen mit KM = const. . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.3 Lösung der Ekman-Gleichungen mit höhenabhängigem KM . . 6.1.4 Darstellung und Interpretation der Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Die vertikale Struktur der Atmosphärischen Grenzschicht . . . . . . . . . . . . 6.2.1 Die Höhe der Prandtl-Schicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.2 Die Höhe der dynamischen Grenzschicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.3 Das Gesamtbild der Struktur der horizontal homogenen dynamischen Grenzschicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Die Ekman-Spirale im Ozean . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7 7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6 7.7 7.8 7.9 7.10

Die Prandtl-Schicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Das logarithmische Windprofil bei neutraler Schichtung . . . . . . . . . . . . . . Überlegungen zum diabatischen Windprofil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Stabilitätsbetrachtungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Das Turbulenzkriterium von L.F. Richardson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Die Ähnlichkeitstheorie von Monin und Obukhov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Das aus der Ähnlichkeitstheorie folgende Windprofil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Allgemeine Formulierung der Profilbeziehungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Die Bestimmung der Funktionen ϕ (ζ) und j (ζ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Die Bulk-Transportkoeffizienten oder -widerstände . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Weitere Gesetzmäßigkeiten der Prandtl-Schicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

75 75 81 82 86 87 89 91 91 94 96

8 8.1 8.2 8.3

Die Rossby-Zahl-Ähnlichkeitstheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 Die Widerstandsgesetze der AGS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 Einfache Modelle für die gesamte AGS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

9 9.1 9.2

Die konvektive Grenzschicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 Einordnung in die Grundtypen der AGS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 Ähnlichkeitsbetrachtungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

5 5.1 5.2

5.3 6 6.1

6.2

69 70

Inhaltsverzeichnis

IX

9.3 9.4

Die beobachtete Struktur der konvektiven Grenzschicht . . . . . . . . . . . . . . Konzeptionelle Modelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.4.1 Die Grundstruktur der konvektiven Grenzschicht . . . . . . . . . . . . 9.4.2 Die trockene konvektive Grenzschicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.4.3 Die konvektive Grenzschicht mit Wolken (feuchte CBL) . . . .

106 109 109 110 112

10 Die stabile Grenzschicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 10.1 Das Phänomen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 10.2 Der nächtliche Grenzschicht-Strahlstrom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 ...................................................

125

11 11.1 11.2 11.3 11.4 11.5 11.6

Die Energiebilanz an der Erdoberfläche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Die Strahlungsbilanz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Der Bodenwärmestrom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Die Energiebilanzterme über wirklichen Oberflächen . . . . . . . . . . . . . . . . . Zusammenhänge zwischen den Energiebilanztermen . . . . . . . . . . . . . . . . . Messung der Energiebilanzterme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

127 127 129 136 138 140 144

12 12.1 12.2 12.3

Mikroklimate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Interne Grenzschichten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

145 145 146 154

13 Das Bestandsklima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.1 Eigenschaften einer Vegetationsdecke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.2 Die Verdunstung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.2.1 Photosynthese und Respiration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.2.2 Die potentielle Verdunstung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.2.3 Die aktuelle Verdunstung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.3 Boden-Vegetation-Atmosphäre-Wechselwirkung (SVAT) . . . . . . . . . . . . .

161 161 163 163 165 168 170

14 Mikrometeorologie über Schnee- und Eisoberflächen . . . . . . . . . . . . . . 14.1 Problematik und einige Phänomene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.2 Freie und bedeckte Ablation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.2.1 Grundlagen für ein einfaches Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.2.2 Freie Ablation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.2.3 Bedeckte Ablation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.2.4 Ablationsdiagramme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

177 177 179 179 181 182 183

........

189

.............................................................

199

...................................................................

205

Teil II · Mikrometeorologie

Anhang · Zur Geschichte der Grenzschicht-Meteorologie Literaturverzeichnis Sachverzeichnis

Teil I Physik der Atmosphärischen Grenzschicht Die physikalischen Gesetze, nach denen die Vorgänge in der Atmosphäre ablaufen, sind die der Hydrodynamik und Thermodynamik. Eine Monographie über die Atmosphärische Grenzschicht muss diese Gesetzmäßigkeiten in den Vor-

dergrund der Betrachtung stellen. Teil I dieses Buches tut dies und zeigt, welche speziellen Auswirkungen sie in dem Teil der Atmosphäre besitzen, der direkt von der Erdoberfläche beeinflusst wird.

Kapitel 1 Der Grenzschicht-Begriff

1.1

Die Atmosphärische Grenzschicht, der unterste Teil der Troposphäre

Bei der vertikalen Gliederung der Atmosphäre unterscheidet man (von unten nach oben) die Troposphäre, die Stratosphäre, die Mesosphäre, die Thermosphäre und die Exosphäre (AE 10.1). Als Kriterium für die genaue Einteilung und die Grenzen der einzelnen Sphären, das sind die Tropopause, die Stratopause, die Mesopause und die Thermopause, wird der Temperaturverlauf mit der Höhe benutzt. So ist die Troposphäre dadurch charakterisiert, dass die Lufttemperatur von der Erdoberfläche bis in die Tropopausen-Höhe von 11 km linear um 0,65 °C / 100 m abnimmt, wobei diese Daten die mittlere Struktur kennzeichnen (AE 10.1.2). An dem Merkmal des Temperaturverlaufs hängen viele besondere Eigenschaften jeder dieser Schichten. Höchst bedeutsam bei dieser Vertikalgliederung ist der Umstand, dass die Erdoberfläche eine feste (Landoberflächen, Eis) oder flüssige (Ozeane, Seen) Grenzfläche der gasförmigen Atmosphäre bildet, einen unteren Rand. Dieser besitzt nicht nur die Eigenschaft, dass die Luftbewegung dort gebremst wird und direkt am Rand gleich Null wird. Der Übergang vom atmosphärischen Gas zu den die Oberfläche bildenden festen oder flüssigen Stoffen und der damit verbundene Sprung bei den physikalischen und chemischen Materialeigenschaften macht diesen Rand zu einer Energie- und Stoffumsatzfläche, zu einem Gebiet von Quellen und Senken von Energie und Stoffen. Von hier aus wird z. B. die Luft erwärmt oder abgekühlt, ihr Wasserdampf zugeführt oder entzogen. Das Verschwinden der Windstärke – das ist ja spezifischer Impuls – am Rand bedeutet, dass dieser als Impulssenke wirkt. Vom Rand aus nimmt die Windstärke nach oben zu, bis sie den Wert der von der Oberfläche freien Strömung erreicht. Die vom Boden ausgehende täg-

liche Erwärmung oder Abkühlung erfasst auch nur eine begrenzt dicke Schicht, sagen wir einmal – um überhaupt eine Zahl im Kopf zu haben – von 1 km. Diese Schicht ist der unterste Teil der Troposphäre, man nennt sie die Atmosphärische Grenzschicht. Wegen der Vielzahl der dynamischen und thermischen Erscheinungen, die sich aus den Eigenschaften des unteren Randes und den Wechselwirkungsprozessen mit der darüber liegenden Atmosphäre ergeben, hat sich im Gesamtgebiet der Meteorologie ein eigenes Teilgebiet (AE 3) entwickelt, die Grenzschicht-Meteorologie. Nach oben koppelt die Grenzschicht an die Freie Atmosphäre an und ist so die Wechselwirkungsschicht zwischen Freier Atmosphäre und Erdoberfläche. Sie liegt in dem Teil unseres Planeten, in dem das irdische Leben konzentriert ist; hier leben die Menschen, hier finden sich Vegetation und Fauna der Landoberflächen. Damit besitzen die Prozesse in der Atmosphärischen Grenzschicht einen großen Stellenwert in der Betrachtung unserer Umwelt. Wir definieren in dieser ersten Betrachtung die Atmosphärische Grenzschicht als den unteren Teil der Troposphäre, in der der Einfluss ihres unteren Randes, der Erdoberfläche, direkt wahrnehmbar ist. Nach oben schließt sich die Freie Atmosphäre an, wir betrachten sie als frei von unmittelbaren Einflüssen der Untergrenze. Der Randeinfluss ist direkt wahrnehmbar, wenn sich z. B. eine bodennahe Nebelschicht als Folge der Abkühlung der Erdoberfläche bildet oder wenn vom Boden aufgewirbelter Staub eine Lufttrübung bis zu einer oft scharfen Obergrenze an einer abgehobenen Inversion verursacht. Vor allem stellen sich wegen des Randes für jede Situation charakteristische Vertikalprofile von Windgeschwindigkeit, Lufttemperatur und Luftfeuchte ein.

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Teil I · Physik der Atmosphärischen Grenzschicht

Kapitel 1 · Der Grenzschicht-Begriff

Wichtig ist nun, dass diese Profile bzw. die so vorhandenen vertikalen Gradienten von Windstärke, Lufttemperatur und Luftfeuchte mit vertikalen Flüssen oder Flussdichten der entsprechenden Eigenschaften Impuls, fühlbare Wärme und latente Wärme des Wasserdampfes verbunden sind. Dies sind in der Atmosphärischen Grenzschicht nahezu immer turbulente Flüsse. Sie gehen vom Boden aus oder enden dort und verschwinden an der Obergrenze der Grenzschicht. Man kann sie als die eigentlichen Träger der Wechselwirkung zwischen der Freien Atmosphäre und der Erdoberfläche betrachten. Vertikale turbulente Flussdichten von Impuls, fühlbarer Wärme und latenter Wärme des Wasserdampfes spielen so in der Grenzschicht-Meteorologie eine zentrale Rolle (s. dazu auch Abschn. 1.4).

1.2

Der Grenzschicht-Begriff in der allgemeinen Strömungslehre

Der Grenzschicht-Begriff stammt aus der Technischen Strömungslehre (Technische Hydrodynamik). Er spielt dort bei der Umströmung oder Durchströmung von festen Körpern (z. B. bei der Überströmung von Tragflügeln oder der Rohrdurchströmung) und bei der Wärme- und Stoffübertragung zwischen einem strömenden Fluid (Flüssigkeit oder Gas) und einer festen Wand (z. B. über einer parallel angeströmten ebenen Platte oder in einem Rohr) eine zentrale Rolle. Der Leser sei hier auf die Lehrbücher zur Strömungslehre verwiesen, z. B. auf Eckert (1959), Schlichting (1965), Gröber et al. (1981), Prandtl et al. (1984) oder Baehr und Stephan (2004). Der Grenzschicht-Begriff wurde von Ludwig Prandtl 1904 eingeführt. Wir wollen ihn hier über einige experimentelle Befunde erläutern. Die Gedanken und Formulierungen von L. Prandtl (1904) werden weiter unten vorgestellt. a Bei der Strömung eines Fluids (Gas oder Flüssigkeit) über eine feste Oberfläche unter dem Einfluss eines senkrecht zur Wand konstanten Druckgradienten stellt sich unmittelbar über der Begrenzung (Wand, Rand, Bodenoberfläche) ein Strömungsprofil ein, wie es Bild 1.1 zeigt. Darin ist u die Strömungs- oder Geschwindigkeitskomponente parallel zu der als eben angenommenen Oberfläche und z die Höhe über dem Rand. Der experimentelle Befund ist folgender:

Bild 1.1. Schema einer Strömungsgrenzschicht

Die Geschwindigkeit in der Nähe der Wand wächst innerhalb einer dünnen Schicht der Dicke δ u vom Wert 0 an der Wand auf den Wert der durch die Wand ungestörten Strömung uK an. Man bezeichnet uK auch als Kernströmung. Die Schicht zwischen z = 0 und z = δu nennt man Strömungs-Grenzschicht, δu Dicke der Strömungs-Grenzschicht. Das Profil ist charakterisiert durch die Randbedingungen u = 0 in z = 0, man spricht von einer no-slip Bedingung, die Strömung haftet an der Wand, und u = uK in z ≥ δu, also an der Obergrenze und oberhalb der Grenzschicht. b Bei der Strömung eines homogenen Fluids über eine Grenzfläche einer anderen Temperatur T (z. B. eine Heizplatte) stellt sich unmittelbar über der Grenzfläche ein Temperaturprofil ein, wie es Bild 1.2 zeigt:

1.2 · Der Grenzschicht-Begriff in der allgemeinen Strömungslehre

Die Temperatur in der Nähe der Wand ändert sich innerhalb einer dünnen Schicht der Dicke δT vom Wert T0 an der Wand auf den Wert der durch die Wand ungestörten Temperatur TK. TK ist die einheitliche Temperatur des homogenen Fluids, unbeeinflusst von der wärmeren Oberfläche. Die Schicht zwischen z = 0 und z = δT nennt man Temperatur-Grenzschicht,

Bild 1.2. Schema einer Temperaturgrenzschicht mit T0 > TK Bild 1.3. Entwicklung der Dicke der Strömungsgrenzschicht über einer parallel angeströmten ebenen Platte in Strömungsrichtung x. Die Strömungsprofile u(z) bei festen Werten von x (x1, x2, x3) und vor der Platte sind durch dick ausgezogene Funktionsverläufe und durch Windpfeile dargestellt, die Grenzschichthöhe durch die dick ausgezogene Kurve δ (x)

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δT Dicke der Temperatur-Grenzschicht. Im Allgemeinen ist δT ≠ δu. Das Profil ist charakterisiert durch die Randbedingungen T = T0 in z = 0 und T = TK in z ≥ δT also an der Obergrenze und oberhalb der Grenzschicht. Genauso lassen sich auch Grenzschichten der Luftfeuchtigkeit und von spezifischen Luftbeimengungen definieren. In jedem Falle sind derartige Grenzschichten durch die oberflächennormalen (vertikalen) Gradienten der betrachteten Eigenschaften (hier u, T, Feuchte, Luftbeimengungen) und die damit verbundenen Flussdichten gekennzeichnet. c Der hier zu erwähnende Befund bringt horizontale Gradienten dieser Eigenschaften ins Spiel. Bei einer parallel angeströmten ebenen Platte wächst die Grenzschichtdicke von δ = 0 am Plattenanfang in Strömungsrichtung ständig an, s. Bild 1.3. Es gelten die Randbedingungen von Fall a), jedoch hängt nun, auch bei einem homogenen Wert der Kernströmung uK, die Grenzschicht-Strömung u nicht allein von z, sondern auch von x ab; es gilt also u = u(x,z) in 0 < z < δu(x). Gleichermaßen wachsen auch die Temperatur- und Feuchtegrenzschichten mit x an. d Übergang zur Turbulenz. Man unterscheidet zwei grundsätzlich unterschiedliche Arten der Strömung (type of flow), die laminare und die turbulente. Bei ersterer bewegen sich die Flüssigkeitsteilchen geordnet und ohne Vermischung auf parallel zueinander verlaufenden Stromlinien. Bei der anderen gibt es Unordnung durch

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Teil I · Physik der Atmosphärischen Grenzschicht

Bild 1.4. Schema des Übergangs von einer laminaren zu einer turbulenten Grenzschicht bei der parallel angeströmten ebenen Platte. Die in Richtung x angeströmte Platte beginnt bei x = 0. Die Stelle xkr bezeichnet man als Umschlagspunkt. Unter der turbulenten Grenzschicht bleibt eine laminare Randschicht erhalten

Zusatzbewegungen in alle Richtungen (turbulente Bewegungen sind immer dreidimensional), woraus auch eine intensive Vermischung resultiert. Dieser Unterschied beeinflusst bei Überschreiten gewisser kritischer Werte das Bild der parallel angeströmten ebenen Platte, wie wir es unter c) und Bild 1.3 behandelt haben. Bei zunächst laminarer Strömung kann bei größerem x ein Umschlag in eine turbulente Grenzschichtströmung erfolgen, wie es in Bild 1.4 gezeigt wird. Die Lage des Umschlagspunktes xkr hängt von verschiedenen Faktoren ab, so von der mit x gebildeten Reynoldsschen Kennzahl Rex = uK xkr / ν (ν = kinematische Zähigkeit des Fluids, Näheres s. Abschn. 1.3, 1.5 und 1.6), der Rauigkeit der Platte und davon, wie viel Strömungsunruhe bereits in der Anströmung bei x = 0 vorhanden ist. Unter der sich für x > xkr bildenden turbulenten Grenzschicht bleibt noch eine laminare Randschicht erhalten. In Bild 1.4 und der dazu gehörenden Erläuterung wurde ein sehr wichtiger Begriff eingeführt, die Turbulenz. Wir definieren ihn hier vorläufig, ehe wir ihn in Kap. 2 ausführlicher behandeln: Turbulenz innerhalb eines als Kontinuum (AE 6.1) betrachteten Fluids ist die Bewegung von viel kleinerer Längenskala Lturb als die der charakteristischen Länge L des behandelten Problems. Bewegungsformen der Skala Lturb können z. B. kleine, in die Gesamtströmung eingelager-

Kapitel 1 · Der Grenzschicht-Begriff

te Wirbel sein. Bei der Skala L kann es sich um die Länge der angeströmten Platte oder den Durchmesser einer umströmten Kugel handeln. Die Brownsche Molekularbewegung besitzt eine noch viel kleinere Längenskala als Lturb. Diese liegt weit unterhalb der Skalen, die in der Kontinuums-Hydrodynamik vorkommen. Um die Turbulenz bzw. den Charakter einer turbulenten Strömung anzudeuten, sind kleine Wirbel oder kleine willkürliche unregelmäßige Bewegungen in Bild 1.4 eingezeichnet. Sie sind der skaligen Bewegung (diese orientiert sich an L) überlagert und werden als subskalig bezeichnet (AE 6.4). Das Wort turbulent kommt aus dem Lateinischen und heißt so viel wie stürmisch, ungestüm, lärmend. Man kann die kleinskaligen turbulenten Zusatzbewegungen analog zum Lärm in akustischen und elektromagnetischen Spektren betrachten. Eine Strömung ohne derartige Zusatzbewegungen nennt man laminar (lat. lamina = Blatt, Schicht). Formal beschreibt man die turbulente Bewegung einer Flüssigkeit dadurch, dass man eine ihren Zustand beschreibende Größe in einen skaligen und einen subskaligen Anteil zerlegt, also z. B. die aktuelle Geschwindigkeitskomponente u in ihren zeitlich gemittelten Anteil 2 und die Zusatzbewegung u', so dass u = 2 + u' gilt. Bei der laminaren Strömung ist u = 2. Näheres dazu folgt in Abschn. 2.1. Bilder, auf denen laminare und turbulente Strömungen sichtbar gemacht sind, findet man in vielen Veröffentlichungen und z. B. auch in dem „Album on fluid motion“ von Van Dyke (1982).

1.3

Anwendung der Bewegungsgleichung

Wir wenden nun die Bewegungsgleichung (AE 17) auf die Strömungsgrenzschicht einer parallel angeströmten ebenen Platte an. Als Haushaltsgleichung für den Impuls ermöglicht sie ein tieferes Verständnis der ablaufenden Vorgänge. In der Vorstellung von Bild 1.3 nehmen wir an, dass es keine Änderungen senkrecht zur Zeichenebene gibt. In diese Richtung weist die y-Achse, es gilt also ∂/∂y = 0. Zudem sei die Strömung stationär; mit der Zeitkoordinate t heißt das ∂/∂t = 0. Da das Fluid in x-Richtung strömt, interessiert hier das Gesetz für den x-Impuls u; das ist mit den genannten Vorausset-

1.3 · Anwendung der Bewegungsgleichung

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zungen, der vertikalen Strömungskomponente w, dem Druck p, der Dichte ρ und der kinematischen Zähigkeit ν (1.1) Bei ∂u / ∂t = 0 (linke Seite) verschwindet die rechts stehende Summe aus Advektion, Druckgradientkraft und Reibungskraft. Für letztere wurde ein Ansatz entsprechend AE 17.2C gewählt. Neben der u-Komponente des Strömungsvektors tritt auch die Vertikalkomponente w auf. Es gilt ferner die Kontinuitätsgleichung (AE 16.1) (1.2) Der Druckgradient ∂p / ∂x wird als höhenkonstant (die Höhe ist z) angenommen, damit das u-Profil, also ∂u/∂z, allein vom Randeffekt abhängt. Wird der Druckgradient vorgegeben, so enthalten die beiden Gleichungen nur zwei unabhängige Variablen, u und w. Man erhält sie durch die Lösung des Systems der beiden Differentialgleichungen. Der nichtlineare Charakter der Advektionsterme verhindert aber eine analytische Lösung, so bleibt nur der Weg über ein numerisches Verfahren. Auch der Reibungsterm bereitet Probleme. Bei dieser Überlegung setzt nun der Gedankengang von Ludwig Prandtl in seiner Arbeit aus dem Jahre 1904 ein, in der er den Grenzschicht-Begriff einführte. Wegen der unangenehmen Eigenschaften der Differentialgleichung zerlegt er die Behandlung eines wandnahen Strömungsvorganges, in der die eng miteinander verknüpften Prozesse der Advektion und der Reibung eine Rolle spielen, in zwei Teile: einerseits die „freie Flüssigkeit“, die als reibungsfrei und vielfach auch als advektionsfrei behandelt werden kann, und andererseits die „Übergangsschichten an den festen Grenzen“. Er schreibt außerdem: Den physikalischen Vorgängen in der Grenzschicht zwischen Flüssigkeit und festem Körper wird man in genügender Weise gerecht, wenn man annimmt, daß die Flüssigkeit an den Wänden hafte, daß also dort die Geschwindigkeit überall gleich Null bzw. gleich der Körpergeschwindigkeit sei.

In diesem Satz prägt Prandtl den Begriff „Grenzschicht“. Mit der Idee der Aufteilung in unterschied-

liche Gebiete der Strömung können wandnahe Flüssigkeitsströmungen einfacher behandelt werden: die freie Strömung mit reibungsfreien Ansätzen und die Grenzschicht z. B. mit Hilfe von Annahmen über die Profilfunktionen der spezifischen Eigenschaften (z. B. u(x, z)). Wir studieren nun die Terme von Gl. (1.1) in dem in Bild 1.3 skizzierten Miteinander von freier Strömung und Grenzschicht. In der freien Strömung gibt es ein stationäres und räumlich homogenes Feld der Geschwindigkeit u = uK , was nur mit ∂p/∂x = 0 möglich ist. Da wir ∂p/∂x als höhenkonstant angenommen haben, also in dem Sinne, dass die freie Strömung der Grenzschicht ihre horizontale Druckänderung aufprägt, gilt auch in der Grenzschicht ∂p/∂x = 0. Damit erhält man als Bewegungsgleichung für die Grenzschicht (1.3) Die so beschriebene Grenzschicht zeigt sich als ein Strömungstyp (type of flow), in dem Reibungskraft und Advektion die entscheidenden Rollen spielen. Das ist ganz anders als etwa beim geostrophischen Wind (AE 17.4 und 18.2), bei dem diese beiden vernachlässigbar sind, dafür aber Druckgradient- und Corioliskraft in den Vordergrund treten. In Abschn. 6.1 werden wir allerdings einen Grenzschichttyp studieren, in dem Druckgradientund Corioliskraft zusammen mit der Reibung die Hauptrollen spielen. In Gl. (1.3) kompensieren Reibungskraft und Advektion einander. In Bild 1.5 ist der so beschriebene Haushalt des u-Impulses skizziert. Multipliziert man Gl. (1.3) mit der Dichte ρ , dann erhält man als Reibungsterm mit µ = ρν = dynamische Zähigkeit (1.4) Die Schubspannung τ = µ(∂u/∂z) kann auch als Impulsflussdichte mit der Einheit (kg m s–1) (m2 s)–1 = [Impuls] (m2 s)–1 aufgefasst werden. Ihre Änderung mit z ist demnach die Divergenz dieser Flussdichte mit der Höhe. τ besitzt direkt am Rand den größten nach unten gerichteten, positiv gerechneten Wert und verschwindet an der Obergrenze der

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Teil I · Physik der Atmosphärischen Grenzschicht

Kapitel 1 · Der Grenzschicht-Begriff

Bild 1.5. Zum Haushalt des spezifischen Impulses u nach Gl. (1.3) für das eingezeichnete Volumen innerhalb einer Impulsgrenzschicht mit der Dicke δu(x). Die Verhältnisse in y-Richtung, d. h. senkrecht zur Zeichenebene, sind homogen (∂ / ∂y = 0). In diese Richtung gibt es keine Flüsse, die Ausdehnung des Volumens in diese Richtung ist nicht gezeichnet. Nach unten (Index u) fließt mehr x-Impuls τu heraus als von oben (Index o) als τo hinein. Über die Impulsflussdichte ρ u1u1 wird mehr x-Impuls u in das Volumen hineintransportiert als durch ρ u2u2 hinausgeht. Infinitesimal heißt das –ρ u ∂u / ∂x > 0. Über die Impulsflussdichte ρ wouo wird mehr x-Impuls aus dem Volumen heraustransportiert, als durch ρ wuuu hineingeht. Infinitesimal heißt das –ρ w ∂u / ∂z < 0. Die Länge der Pfeile ist qualitativ. Entsprechend Gl. (1.3) muss der Haushalt ausgeglichen sein

Reibungsschicht. Da τ mit der Höhe abnimmt, fließt an der Unterseite eines gedachten Volumens mehr τ aus diesem heraus als von oben nachfließt. In unserem stationären Modell erfolgt der Ausgleich des Haushaltes durch die Advektionsterme. Einem negativen ∂τ /∂z stehen in der hier (Bild 1.5) betrachteten Grenzschicht bei positiven u, w und ∂u/∂z und negativem ∂u/∂x ein positiver Wert von –ρ u ∂u/∂x und ein negativer von –ρ w ∂u/∂z zur Seite. Ein infinitesimal kleines Volumen innerhalb der Grenzschicht verliert also u-Impuls durch ∂τ / ∂z und –ρ w ∂u/∂z. Der Verlust wird durch einen Gewinn über –ρu∂u/∂x ausgeglichen. Eine Möglichkeit, die Bewegungsgleichung für die Grenzschicht näherungsweise zu lösen, ist ein Integralverfahren, das auf von Kármán (1921) und Pohlhausen (1921) (siehe dazu auch Eckert 1959; Schlichting 1965; Baehr und Stephan 2004) zurückgeht. Dies soll hier für die parallel angeströmte ebene Platte ausführlich behandelt werden. Es ist ein sehr schönes Beispiel für die Nützlichkeit der von Prandtl eingeführten getrennten Behandlung der Prozesse in der freien Strömung und der Grenzschicht. Ferner lassen sich so an einem Beispiel eine ganze Reihe für die Grenzschicht bedeutsamer typischer Größen wie die Grenzschichtdicke, die Schubspannung, vertikale Temperatur- und Strömungsprofile und die Advektionsterme als Funk-

tionen der Anströmlänge x und der freien Strömung uK berechnen. Diesen Größen werden wir dann immer wieder begegnen. Dieses Beispiel bedeutet so einen weiteren Schritt, die Grenzschichtprozesse zu verstehen. Wir benutzen hier drei der hydrodynamischen Grundgleichungen als Basisgleichungen zur Behandlung unseres Grenzschichtproblems: die oben bereits erläuterte Bewegungsgleichung (1.3) als Haushaltsgleichung für den x-Impuls (1.5a) die Kontinuitätsgleichung (1.2) (1.5b) und die Energiegleichung als Haushaltsgleichung für die Enthalpie cpT; sie lautet unter Weglassen der spezifischen Wärme bei konstantem Druck cp (1.5c) T ist die Temperatur und a die Temperaturleitzahl. Es gelten die gleichen Voraussetzungen wie

1.3 · Anwendung der Bewegungsgleichung

9

bei den Gl. (1.2) und (1.3), also stationäre Verhältnisse ∂/∂t = 0 und Homogenität in y-Richtung ∂/∂y = 0. In (1.5c) treten keine Wärmequellen auf. Die Variablen kennzeichnen eine laminare Strömung mit molekularer Viskosität ν und Temperaturleitzahl a. Die hier zu erläuternde Integralmethode (anstelle einer numerischen Lösung) basiert auf der Integration der Gln. (1.5) zwischen der Oberfläche (z = 0) und der Obergrenze der Grenzschicht (z = δ ). Dadurch wird δ in die Gleichungen eingeführt und kann so ermittelt werden. Das Integral über die Kontinuitätsgleichung (1.5b)

plizierten integralen Advektionsterm (linke Seite) ersetzt. Die Größen τ0 und δ lassen sich nun ermitteln, wenn man das Geschwindigkeitsfeld u(x, z) kennt. Nach von Kármán (1921) und Pohlhausen (1921) wählen wir den Polynom-Ansatz (1.7) mit den dimensionslosen Variablen u/uK und z/ δ . Da die Grenzschichthöhe δ von x, der Entfernung vom Rand der angeströmten Platte, abhängt, beschreibt (1.7) u in Abhängigkeit von x und z. Mit den dem Problem angepassten Randbedingungen u(z = 0) = 0 ; u(z = δ ) = uK ;

führt mit w(z = 0) = 0 zu

(1.8) (letztere wegen (1.5a) mit u = 0 und w = 0 in z = 0) erhält man

(s. dazu auch AE 16.1). Die Impulsgleichung (1.5a) lässt sich durch Addition der mit u multiplizierten Kontinuitätsgleichung (1.5b) umschreiben in

Beachtet man ferner

und u(δ ) = uK = const., dann gelangt man zur (integrierten) Impulsgleichung der Strömungsgrenzschicht

gültig im Bereich 0 ≤ z ≤ δ

(1.9)

Die u / u K-Kurve bei festem δ (x) zeigt kein asymptotisches Verhalten beim Übergang von der Grenzschicht zur Kernströmung. Das kubische Polynom erreicht bei z = δ den Wert 1 (u = uK) und verliert darüber seine Gültigkeit. Für die hier gesuchte Näherung und den Zweck der Erläuterung des Grenzschicht-Begriffes genügt dieses Verhalten jedoch. Einsetzen von (1.9) in die Impulsgleichung (1.6) und Integration führt zu einer Beziehung, die angibt, wie die Grenzschichtdicke δ in Abhängigkeit von ν und uK mit dem Abstand x vom Plattenrand zunimmt: (1.10)

(1.6) Die vertikale Impulsflussdichte τ0 / ρ = ν (∂u/∂z)0 an der Oberfläche (rechte Seite) beschreibt den xImpuls, der aus der Grenzschicht nach unten herausfließt. An der Obergrenze (in z = δ ) ist τ (δ ) = 0. Dieser Impulsverlust wird durch einen etwas kom-

Die zweite Gleichung ist die dimensionslose Form der ersten, wobei die Reynoldssche Kennzahl Rex benutzt wird. Die in ihr verwendete charakteristische Länge ist der in unserem Problem so bedeutende Abstand vom Plattenrand. Näheres s. Abschn. 1.5 und 1.6.

10

Teil I · Physik der Atmosphärischen Grenzschicht

Kapitel 1 · Der Grenzschicht-Begriff

Wir können nun noch weitere für die Charakterisierung der Grenzschicht wichtige Größen berechnen: – Die Wandschubspannung = die Impulsflussdichte an der Oberfläche

(1.11) – Der lokale Widerstandsbeiwert cf , definiert aus (1.12) – Der mittlere Widerstandsbeiwert cfm, definiert aus

(1.13) In derselben Weise, wie wir in (1.6) die Impulsgleichung der Strömungsgrenzschicht hergeleitet haben, lässt sich mit Hilfe der Energiegleichung (1.5c) und der Kontinuitätsgleichung (1.5b) auch eine Energiegleichung der Temperaturgrenzschicht gewinnen. Aus (1.5c) und (1.5b) folgt (1.14) Integration von der Oberfläche (z = 0) bis zur Obergrenze der Temperaturgrenzschicht (z = δ T) und Beachtung von

(1.15) Die vertikale Flussdichte ρ cpa(∂T/∂z)0 an der Oberfläche (rechte Seite) beschreibt die Enthalpie, die aus der Grenzschicht nach unten herausoder dort in sie hineinfließt. An der Obergrenze (in z = δ T) ist dieser Fluss gleich Null. Dieser Enthalpieverlust oder -gewinn wird durch einen etwas komplizierten integralen Advektionsterm (linke Seite) ersetzt. Energiefluss und Dicke der Temperaturgrenzschicht δT lassen sich nun in derselben Weise wie oben ermitteln, wenn man das Temperaturfeld T(x, z) und das Geschwindigkeitsfeld u(x, z) kennt, s. die Ausführungen bei Baehr und Stephan (2004, Abschn. 3.7.1). Auch für die turbulente Grenzschicht lassen sich derartige Rechnungen durchführen, wenn man die obigen Grundgleichungen (1.5) für skalige Größen 2, 3 und R schreibt und anstelle der Viskosität ν und der Temperaturleitzahl a die viel größeren turbulenten Diffusionskoeffizienten einführt. Wegen des komplizierteren Aufbaus der turbulenten Grenzschicht, bei der unmittelbar an der Oberfläche noch eine laminare Randschicht auftritt (s. Bild 1.4), sind dabei aber weitere Annahmen notwendig (s. dazu auch Eckert 1959). Auch dies wird hier nicht weiter verfolgt, weil wir mit den bisherigen Überlegungen in diesem Abschnitt bereits das Ziel eines weiteren Beitrags zum Verständnis des Grenzschicht-Begriffs und der dabei wichtigen Größen erreicht haben. Betrachtungen, wie sie hier dargestellt sind, treten auch in der Grenzschicht-Meteorologie auf, so z. B. in einfachen Modellen der konvektiven Grenzschicht (Kap. 9) und bei der Behandlung der internen Grenzschichten (Abschn. 12.3).

1.4 und T(δT) = TK = const., führt zur (integrierten) Energiegleichung der Temperaturgrenzschicht

Gedanklicher Übergang zur Atmosphärischen Grenzschicht

Von Bild 1.3 und 1.4 ausgehend, können wir uns vorstellen, dass sich bei den langen Strömungswegen auf der Erde turbulente Grenzschichten von ganz erheblicher Dicke in der Größenordnung von 1 000 m ausbilden. Man gelangt damit zu einer den

1.5 · Skalenanalyse

ganzen Planeten umfassenden Grenzschicht, weshalb man die Atmosphärische Grenzschicht (AGS) (engl. atmospheric boundary layer = ABL) auch als Planetarische Grenzschicht (engl. planetary boundary layer = PBL) bezeichnet. Jedoch sollten wir bei einer solchen Vorstellung bedenken, dass die Verhältnisse auf der Erdkugel ganz anderer Natur sind als bei einer parallel angeströmten ebenen Platte. Die Erdkugel wird nicht von außen angeströmt. In der Atmosphäre entwickeln sich die dynamischen Prozesse in einem höchst komplexen thermodynamischen System, und da gibt es eben diesen Rand der Erdoberfläche, an dem sich die AGS entwickelt. Zudem handelt es sich um ein rotierendes System. Bei allen größerskaligen Strömungsvorgängen spielt die Corioliskraft eine bedeutsame Rolle. So ist zu erwarten, dass sie auch die Grenzschichtprozesse und dabei auch die Höhe der AGS mitbestimmt (s. dazu die Abschn. 1.5.3 und 6.2). Wie auf den rechten Seiten der Haushaltsgleichungen (1.6) und (1.15) spielen auch in der AGS die Flussdichten unterschiedlicher Eigenschaften an der Erdoberfläche als Quellen und Senken eine bedeutende Rolle. Über diese Flussdichten in z = 0 hinaus ist ihre Änderung mit z von Interesse, wie es auch die Gln. (1.5a) und (1.5c) zeigen. Fließt z. B. mehr x-Impuls τu unten aus einer Schicht heraus als an der Oberseite als τo hinein (s. z. B. Bild 1.5), dann verliert die Schicht x-Impuls durch den mit τ verbundenen Reibungseffekt. Fließt durch a ∂T/∂z mehr Wärme von unten hinein als nach oben heraus, dann bewirkt dies eine Erwärmung in den betreffenden Volumina. In diesem Sinne spielen Flussdichten und ihre Divergenzen in der AGS eine große Rolle. Im Unterschied zu den Darstellungen in Abschn. 1.3 handelt es sich aber durchwegs um turbulente Flüsse. Tabelle 1.1 stellt einige der so wirksamen Größen für den turbulen-

11

ten Transport zusammen. Diese Überlegungen für die AGS schließen also nahtlos an die in Abschn. 1.3 an. Wir sehen aus Tabelle 1.1, dass wir in den folgenden Kapiteln sehr viel tun müssen, um die hier genannten Größen sauber zu fassen, wobei die hydrodynamischen Grundgleichungen die wichtigste Basis sind.

1.5

Skalenanalyse

Im Folgenden sollen zwei Werkzeuge erläutert werden, die in der Hydrodynamik und in der Meteorologie von großem Wert sind, die Skalenanalyse und die Dimensionsanalyse (Abschn. 1.6). Die hier folgenden Darstellungen sind dem generellen Ziel von Kap. 1 untergeordnet, das Verständnis des Grenzschicht-Begriffs zu vertiefen. Mit Hilfe der Skalenanalyse (Skala = Größenordnung, s. AE 2) lässt sich die Größenordnung der einen physikalischen Prozess bestimmenden Terme auf einfache Weise bestimmen. Dabei wird keine spezifische Lösung einer den Prozess beschreibenden Differentialgleichung gesucht, sondern nur die Größenordnung einzelner Terme auf der Basis einer derartigen Gleichung abgeschätzt. Von diesem Verfahren wurde z. B. in AE 17.4 Gebrauch gemacht, um zur geostrophischen und hydrostatischen Approximation der Bewegungsgleichung zu gelangen. Hier betrachten wir auch den Unterschied zwischen molekularer und turbulenter Diffusion, weil diesem in der Grenzschicht besonderes Interesse zukommt. 1.5.1

Beispiel 1: Thermische Diffusion bei vorgegebener charakteristischer Länge

Wir stellen uns ein Luftvolumen mit einer charakteristischen Höhe Lz vor, das vom Boden her geheizt

Tabelle 1.1. Turbulente vertikale Flussdichten verschiedener spezifischer Eigenschaften und ihre Abhängigkeit von der Höhe z in der Atmosphärischen Grenzschicht

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Teil I · Physik der Atmosphärischen Grenzschicht

Kapitel 1 · Der Grenzschicht-Begriff

wird. Die Differentialgleichung dieses Prozesses ist die Wärmeleitungsgleichung

hung kennzeichnet. U ist die charakteristische Geschwindigkeit der Luftbewegung. Wir erhalten nun statt (1.17)

(1.16) mit T = Temperatur, t = Zeit, z = Höhe und a = Temperaturleitzahl = λ /(ρ c), λ = Wärmeleitfähigkeit, ρ = Dichte der Luft und cp deren spezifische Wärme bei konstantem Druck. Wir fragen: Nach welcher charakteristischen Zeit ∆t wird eine vom Boden ausgehende Erwärmung, ausgedrückt durch eine charakteristische Temperaturdifferenz ∆T, in der charakteristischen Höhe Lz spürbar? Mit dem Wort charakteristisch meinen wir dabei Größenordnungen. Zunächst soll der Wärmetransport nur durch molekulare Diffusion erfolgen. Strahlungsübertragung wird ausgeschlossen, das zeigt schon die Natur der obigen Gleichung. Aus (1.16) folgt als Beziehung zwischen den Größenordnungen (als Vergleichszeichen wird dabei „~“, nicht „=“ benutzt) (1.17) Daraus errechnet sich mit der molekularen Temperaturleitzahl für Luft a = 2 · 10–5 m2 s–1 und Lz = 5 m eine charakteristische Zeit ∆tmol ~ 1,25 · 106 s = 347 h. Gibt es in dem betrachteten Luftvolumen eine horizontale Luftbewegung (Wind) der Geschwindigkeit u und erzeugt diese Turbulenz, dann erfolgt der vertikale Transport mit einem turbulenten Diffusionskoeffizienten K (anstelle von a in (1.16)). Die Variable T ist dann eine skalige bzw. mittlere Temperatur (s. dazu Abschn. 1.2, 1.3 und 2.1). Aus einer Einheitenanalyse mit [a] = m2 s–1 = m m s–1 folgt, dass man den Diffusionskoeffizienten als Produkt aus einer Länge und einer Geschwindigkeit darstellen kann. Wir setzen so K ~ 0,1LzU, wobei der Faktor 0,1 die Größenordnung der BezieTabelle 1.2. Temperaturleitzahl a, kinematische Zähigkeit ν und Prandtl-Zahl Pr =ν / a trockener Luft bei einem Druck von 1 013 hPa

(1.18) und somit bei U ~ 1 m s–1 eine Zeit von ∆tturb ~ 50 s. Beim Wärmetransport ist also die molekulare Diffusion im Vergleich zur turbulenten sehr wenig effizient. Ein Vergleich der ausgerechneten charakteristischen Zeiten lässt sich ausdrücken durch den Quotienten ∆tmol /∆tturb ~ 347 h/50 s = 25 000. Denselben Wert erhalten wir aus dem Verhältnis K/a ~ 0,1LzU/a. Formal ausgedrückt, ergibt sich mit der kinematischen Zähigkeit ν (1.19) Dies ist eine Beziehung, in der lauter dimensionslose Quotienten auftreten. Das sind dimensionslose Kennzahlen, die in der Hydrodynamik eine große Rolle spielen als Reynolds-Zahl Re

Peclet-Zahl Pe

,

und

Prandtl-Zahl Pr Die Reynoldssche Kennzahl ist uns bereits in den Abschn. 1.2 und 1.3 begegnet. Reynolds- und PecletZahl sind hier mit der Länge Lz gebildet. Beide sind ein Produkt aus charakteristischer Länge und charakteristischer Geschwindigkeit dividiert durch einen Diffusionskoeffizienten ν bzw. a. Sie unter-

1.6 · Dimensionsanalyse

13

scheiden sich durch das Verhältnis ν /a, also durch die Prandtl-Zahl. Da dieser Quotient aber in der Größenordnung von 1 liegt, unterscheiden sich Re und Pe nicht stark. Einige genaue Werte von ν und a enthält Tabelle 1.2. Die Reynolds-Zahl kann in verschiedener Weise gedeutet werden: – primär als Verhältnis von Advektionsterm U(U/L) zum Reibungsterm ν (U/L2) in der Bewegungsgleichung bei gleicher charakteristischer Länge in beiden Termen, aber auch – als Verhältnis der molekularen zur turbulenten Zeitskala bei derselben charakteristischen Länge und – als Verhältnis des turbulenten zum molekularen Diffusionskoeffizienten.

1.5.3

Beispiel 3: Höhe einer stationären Atmosphärischen Grenzschicht

Wieder gehen wir von der stationären Bewegungsgleichung aus, können aber nun weder Druckgradientkraft noch Corioliskraft vernachlässigen. Die Strömung sei turbulent, den turbulenten Diffusionskoeffizienten im Reibungsterm bezeichnen wir mit K. Dieser Fall ist in AE 18.6 näher beschrieben. Wir übernehmen die dortige in Vektornotation geschriebene Gl. (3) (1.21) Hier ist < der horizontale Windvektor, q2 Wasserdampf von unten nach oben transportiert. Man könnte das Bild auch für ganz viele Teilchen, die auf- und absteigen, zeichnen und so den turbulenten Austauschprozess sichtbar machen. Man kann dieses Bild auf sehr unterschiedlich große Mittelungsflächen anwenden und sich auch vorstellen, dass es sich um Teilchen auf einer von links nach rechts verlaufenden Zeitachse handelt.

(2.9) Der gesamte Transport besitzt also einen ersten, mit dem mittleren Vertikalwind 3 verbundenen Anteil, und einen zweiten, der durch die Kovarianz g=k= bestimmt wird. Nahe am Erdboden und auch im unteren Teil der Atmosphärischen Grenzschicht ist 3 bei entsprechender Mittelung gleich Null, weil es ja keinen Massenfluss durch die Erdoberfläche gibt. Die mittlere vertikale Flussdichte des Wasserdampfes und auch der anderen Eigenschaften erweist sich so dort als ein rein turbulenter Transport. Der erste Term ist ein Produkt aus einer skaligen Windgeschwindigkeit und einer skaligen Eigenschaft, der zweite ein Produkt aus zwei subskaligen Größen, über das gemittelt wird. Dieser Mittelwert, also die Tabelle 2.1. Der Beitrag der Einzelmessungen der Fluktuationen w' und q' zur Kovarianz g=k=

Bild 2.3. Zur Erläuterung des turbulenten Vertikaltransportes. Es sind nur zwei anstelle von vielen Teilchen gezeichnet. Der Austausch der Luftteilchen durch die Fläche F bedeutet einen Massentransport in beide Richtungen. Gleicht dieser sich in dem Sinne aus, dass der mittlere (hier gemittelt über die Fläche F) vertikale Massenstrom durch diese Fläche verschwindet, so findet dennoch ein mittlerer Feuchtetransport statt, wenn die spezifische Feuchte der von oben kommenden Teilchen sich von der von unten kommenden unterscheidet

22

Teil I · Physik der Atmosphärischen Grenzschicht

Tabelle 2.1 systematisiert die Beiträge der Kovarianz g=k= für eine zeitliche Mittelung über Messungen von w und q am gleichen Ort. Wir nennen ρg=k= oder exakt zÈgy=k= die vertikale Komponente der turbulenten Flussdichte des Wasserdampfes oder einfacher turbulenter vertikaler Wasserdampf-Fluss und bezeichnen ihn mit Wz oder einfach W. Multipliziert mit der Verdampfungswärme L ergibt sich der turbulente vertikale Fluss der latenten Wärme des Wasserdampfes Ez oder einfach E (s. AE 8.2). Für alle Komponenten gilt

(2.10a)

(2.10b) Wk und Ek werden positiv gerechnet, wenn der betreffende Fluss in die positive Koordinatenrichtung verläuft. Positives Wz =: W und Ez =: E sind so nach oben, von der Erdoberfläche weg, gerichtet. Beim Transport fühlbarer Wärme ist die mit der potentiellen Temperatur gebildete Enthalpie cpΘ die transportierte spezifische Eigenschaft. Den turbulenten Transport fühlbarer Wärme beschreiben wir analog zu (2.10a und b) durch

Kapitel 2 · Flussdichten

(2.12) und speziell die der turbulenten vertikalen Flussdichten W, E und H, also ∂W/∂z, ∂E/∂z und ∂H/∂z. Wir kommen darauf in Abschn. 3.6 zurück, wo wir sie als wichtige Terme in den Haushaltsgleichungen für den Wasserdampf und die fühlbare Wärme kennen lernen. Wendet man den in diesem Abschnitt beschriebenen Formalismus auf die spezifische Eigenschaft Enthalpie h = cpT an, so muss man sich dessen bewusst sein, dass diese, und gleichermaßen auch die als „fühlbare Wärme“ bezeichnete Größe cpΘ, eine Sonderstellung unter den spezifischen Eigenschaften einnehmen. Zwar ist die Enthalpieänderung dh, wie sie im Ersten Hauptsatz der Thermodynamik auftritt, eindeutig definiert, nicht aber ihr Integral h. So können wir die Eigenschaften cpT und cpΘ jeweils nur bis auf eine Konstante, aber nicht absolut, angeben (s. z. B. Hofmann 1960). Ausdrücke wie cp∆Θ und cpΘ' sind also eindeutig, nicht aber cpΘ und cpª. Anders verhält es sich beim spezifischen Impuls < oder einer spezifischen Stoffmenge (z. B. der spezifischen Feuchte q), bei denen es einen eindeutig definierten Nullpunkt gibt. 2.2.2

Die transportierte Eigenschaft ist die Komponente eines Vektors

Ist die transportierte Eigenschaft e der spezifische Impuls, dann gilt (2.13)

(2.10c) wobei H nun die turbulente vertikale Flussdichte der fühlbaren Wärme bezeichnet. Wie Wk und Ek = LWk wird auch Hk positiv gerechnet, wenn der Fluss in die positive Koordinatenrichtung verläuft. Mit der Näherung ρ' ≈ 0, die wir bereits bei (2.8) und (2.9) benutzt haben, gilt für die vertikalen turbulenten Flussdichten fühlbarer und latenter Wärme

Die unterschiedlichen Indizes k und i sind notwendig, um zwischen dem transportierenden Wind (Index k, siehe auch Abschn. 2.2.1) und dem transportierten Impuls (Index i) zu unterscheiden. Kompliziert wird diese Impulsflussdichte einmal dadurch, dass transportierender und transportierter Impuls nicht unabhängig voneinander sind, dann aber vor allem, dass es nun neun Komponenten gibt (2.14)

(2.11a,b) Von großer Bedeutung sind die Änderungen dieser Flussdichten mit den Ortskoordinaten, also ihre Divergenzen (s. Abschn. 1.4 und 1.8)

In der Vektornotation bezeichnet man dies als dyadisches Produkt. Die Impulsflussdichte ist ein Tensor. Beispielsweise kann der x-Impuls (ui = u) in alle drei

2.2 · Formulierung von Flussdichten

23

Koordinatenrichtungen k transportiert werden. Um einen skaligen Impulsfluss zu gewinnen, mitteln wir analog zum Vorgehen in Abschn. 2.2.1 und erhalten (2.15) Der mittlere Impulsstrom setzt sich also aus zwei Teilen zusammen, aus dem mit dem mittleren Massenstrom verbundenen Impulsstrom (erster Term rechts) und dem turbulenten Impulsstrom (zweiter Term rechts). Hier und auch im gesamten Buch nennen wir die Größen, die exakt als Flussdichten zu bezeichnen wären, vielfach einfach Fluss oder Strom, sagen also statt Impulsflussdichte oft Impulsfluss oder Impulsstrom. Für den turbulenten Impulsstrom benutzt man die Kurzbezeichnung τki, also

als Schubspannung, wirkt. Der in (2.16) dargestellte turbulente Impulsstrom τki wird auch Reynoldsscher Spannungstensor genannt. In diesem Sinne bezeichnet der erste Index von τki (also k) die Fläche, auf die die Schubspannung ausgeübt wird, der zweite (i) die Richtung , in die sie wirkt. Es bedeutet also:

τki Transport von i-Impuls in negative k-Richtung oder Schubspannung in Richtung i auf die Fläche k, z. B. τzx Transport von x-Impuls in negative z-Richtung oder Schubspannung in Richtung x auf die positive z-Fläche. Von größter Bedeutung ist die Änderung der Impulsstromdichte mit den Ortskoordinaten, genauer die Divergenz dieses Flusses, also eine der Größen

(2.16) Man beachte das Vorzeichen: positiver transportierter x-Impuls u'i = u' > 0 verbunden mit einem transportierenden negativen Vertikalwind uk' = w' < 0 liefert einen positiven Beitrag zu τki. Der vertikale turbulente Impulsstrom wird positiv gerechnet, wenn er zur Erdoberfläche gerichtet ist. Das ist eine Konvention, die im Widerspruch steht zu der Verabredung zum Vorzeichen der Flüsse fühlbarer und latenter Wärme (s. o.). Eine ähnliche Inkonsistenz gibt es im Zusammenhang mit Strahlungsflussdichten. Da man die auf die Erde auftreffende Sonnenstrahlung gerne als positiv betrachtet, rechnet man die vertikalen Strahlungsflussdichten generell positiv, wenn sie zur Erdoberfläche gerichtet sind (s. dazu AE 9.4 und Abschn. 11.1). Impulsstromdichte kann auch als Spannung in der Bedeutung von negativem Druck aufgefasst werden. Das zeigt die Einheitengleichung

(2.18) Bild 2.4 schematisiert den Fall, dass ein nach unten gerichteter Fluss von x-Impuls, also ein negativer Fluss (ρ wu), betragsmäßig mit der Höhe abnimmt. In der Höhe z1 fließt mehr Impuls nach unten heraus als in z2 von oben nachfließt, die Schicht z2–z1 verliert also x-Impuls. Die Änderung des Impulses wird durch die Bewegungsgleichung beschrieben. In ihr treten die in (2.18) genannten Terme auf. Es bedeuten dann der dritte Term negative Advektion von Impuls und der letzte turbulente Reibung. In Kap. 3 wird dies näher erläutert.

(2.17) Dabei unterscheidet man zwischen Tangential(k ≠ i) und Normalspannungen (k = i), wobei erstere auch als Schubspannungen bezeichnet werden. Man kann sich beispielsweise vorstellen, wie bei einem nach unten gerichteten vertikalen Fluss (k = 3) von x-Impuls (i = 1) oberhalb einer festen Oberfläche dieser x-Impuls von oben der Oberfläche aufgeprägt wird und dies als schiebende Kraft in x-Richtung, somit

Bild 2.4. Zur Erläuterung der Divergenz des vertikalen Impulsstromes. Näheres s. Text

24

Teil I · Physik der Atmosphärischen Grenzschicht

Kapitel 2 · Flussdichten

In der im Folgenden meist benutzten Komponentenschreibweise gilt die Summationskonvention: wenn in einem Term derselbe Index zweimal auftritt, dann stellt dieser Term die Summe über alle möglichen Werte dieses Index dar. Bei i = 1 (ui = u) erhält man also

wirksam (s. Abschn. 1.5). Er tritt nur auf, wenn es turbulente Zusatzgeschwindigkeiten und Schwankungen der transportierten Eigenschaften gibt. Diese sind an die vielen im turbulenten Fluid vorhandenen Turbulenzelemente (Turbulenzwirbel, eddies) geknüpft. Der molekulare Transport durch die Brownsche Molekularbewegung der Luftmoleküle ist um viele Größenordnungen kleiner und spielt beim mittleren atmosphärischen Transport keine Rolle. Er ist aber bei der Dissipation von turbulenter kinetischer Energie von Bedeutung. Deshalb sei der Formalismus, mit dessen Hilfe er beschrieben wird, hier notiert: Der molekulare Spannungstensor lautet mit der dynamischen Zähigkeit µ

(2.19) Dies ist der Reibungsterm der Bewegungsgleichung für die u-Komponente. Hier werden räumliche Änderungen von skaligen Werten beschrieben. Bei horizontaler Homogenität dieser Mittelwerte bleibt als Reibungsterm nur die vertikale Änderung des vertikalen turbulenten Transportes von x-Impuls ∂τzx /∂z übrig. Der Impulsstromtensor τki ist nur dann symmetrisch (also τki = τik), wenn ρ = ½ und so τki = –½i=xi=v, aber nicht in der allgemeinen Form (2.16). Wir haben soeben gesagt, dass der vertikale turbulente Impulsfluss in der Atmosphärischen Grenzschicht, also auch unmittelbar an der Erdoberfläche, im Allgemeinen positiv ist, also von oben zur festen oder flüssigen Erdoberfläche hin fließt. Wir fragen nun, wo bleibt der Impuls? Bei Wasseroberflächen wird eine Schubspannung ausgeübt, die Strömungen und Wellen erzeugt. Bei festen Oberflächen hat es den Anschein, als ob der Impuls einfach im Boden „versickert“. Global und klimatologisch betrachtet, führt diese Frage zum Drehimpulshaushalt des Systems Erde-Atmosphäre. Westwinde üben eine nach Osten, Ostwinde eine nach Westen gerichtete Schubspannung auf die Erdoberfläche aus. Beide müssen sich im Integral über die ganze Erdoberfläche so ausgleichen, dass der Nettobetrag der ausgeübten Kraft verschwindet. Dies ist eine Bedingung, nach der sich die Allgemeine Zirkulation der Atmosphäre einstellt. Näheres dazu s. AE 21, insbesondere AE 21.2.2. 2.2.3

Der molekulare Impulstransport

Der turbulente Transport erfolgt mit Hilfe von großen Luftteilchen der Skala mm bis km und ist sehr

(2.20) Das Kronecker-Symbol δik ist gleich 1 für i = k und gleich 0 für i ≠ k. Damit gibt es sechs molekulare Schubspannungen

(2.21) und drei molekulare Normalspannungen

(2.22) Mit Mik = Mki ist der molekulare Spannungstensor symmetrisch. Die molekulare Reibungskraft für die i-te Komponente der Bewegungsgleichung ist ∂/∂xk Mik (vergleiche dies mit (2.19)). Wir werden die in diesem Abschnitt eingeführten Größen in den Abschn. 3 und 4 benutzen und zwar in der Bewegungsgleichung und bei der Dissipation von kinetischer Energie in Wärme.

Kapitel 3 Die hydrodynamischen Grundgleichungen

Die hydrodynamischen Grundgleichungen (AE 17.3) besitzen in der Atmosphärischen Grenzschicht – wie in der gesamten Meteorologie – eine zentrale Bedeutung. Anders als bei großskaligen Vorgängen, weit weg von der Erdoberfläche, etwa bei geostrophischen Strömungen, spielen in der AGS die etwas unbequemen Reibungs- und Advektionsterme eine große Rolle. Hinzu kommt, dass wir zwar meist an skaligen Größen interessiert sind, dass aber die Berücksichtigung der subskaligen Einflüsse unerlässlich ist. In den Grundgleichungen treten deshalb Größen unterschiedlicher Skalen auf, im Allgemeinen räumliche und zeitliche Mittelwerte und Fluktuationen. Beides, die Berücksichtigung der Reibungs- und Advektionsterme und das gleichzeitige Auftreten von Mittelwerten und Zusatzwerten, führt dazu, dass die hydrodynamischen Grundgleichungen in der Grenzschichtmeteorologie häufig eine recht komplexe Form besitzen. In diesem Kapitel werden diese etwas umfangreichen Formalismen aufgeschrieben bzw. abgeleitet und physikalisch interpretiert.

3.1

Die Komponentenschreibweise

Die Windgeschwindigkeit und die in Kap. 2 erläuterten Flussdichten sind Vektoren. Für ihre Darstellung verwenden wir hier in der Regel nicht Vektorsymbole in der Form fetter Buchstaben oder mit einem Pfeil versehener Zeichen. Vielmehr bedienen wir uns der Komponentenschreibweise: Den dreidimensionalen Vektor a oder 8 mit den Komponenten ax = a1, ay = a2, az = a3 notieren wir als ai mit dem Zusatz i = 1, 2, 3, die Windgeschwindigkeit < mit den Komponenten u = u1, v = u2, w = u3 als ui (s. dazu auch Abschn. 2.2). Natürlich können auch andere Buchstaben zur Kennzeichnung des Index verwendet werden, so vornehmlich j, k und l. Werden mehrere Vektoren miteinander multipliziert, dann tre-

ten verschiedene Indizes (z. B. i und k) jeweils einzeln oder mehrfach auf. Dabei ist dann zu beachten: ■

■

Die Einsteinsche Summationskonvention: Wenn bei der Komponentenschreibweise derselbe Index zweimal auftritt, dann stellt dieser Term die Summe über alle möglichen Werte dieses Index dar. Das Tensorsymbol εijk: εijk = 1, wenn die ijk alle verschieden und in zyklischer Ordnung sind εijk = –1, wenn die ijk alle verschieden und nicht in zyklischer Ordnung sind εijk = 0, wenn mindestens zwei der ijk gleich sind

Beispiel 1: skalares Produkt

Beispiel 2: Vektorprodukt (mit den Einheitsvektoren ;1 = ;x, ;2 = ;y, ;3 = ;z

26

Teil I · Physik der Atmosphärischen Grenzschicht

3.2

Kapitel 3 · Die hydrodynamischen Grundgleichungen

Die Kontinuitätsgleichung

(3.3)

Die Kontinuitätsgleichung (AE 16.1) lautet ■

in Vektornotation (3.1a)

■

in der Komponentenschreibweise

(3.4) (3.1b)

■

Gemittelt ergibt sich (3.1c)

■

Diese Gleichung zeigt uns, wie die Schwankungen p', ρ' und T' zusammenhängen. Diese Beziehung kann man auch ganz einfach durch logarithmische Differentiation der Gasgleichung (3.2a) gewinnen:

und somit für die Zusatzwerte (Fluktuationen) (3.1d)

Deutet man nun dp als p' und p als , und verfährt ebenso bei ρ und T, dann ergibt sich obige Gl. (3.3). Für feuchte Luft steht in der Gasgleichung (3.2a) an Stelle der Temperatur T die virtuelle Temperatur Tv (AE 8.1.7), wobei ρ die Dichte der feuchten Luft und p der Gesamtluftdruck ist. Dasselbe gilt auch für alle Gln. (3.2) bis (3.4). Für die spezifische Gaskonstante RL wird aber auch dann der Wert für trockene Luft verwendet.

3.4 3.3

Die Gasgleichung

Die allgemeine Gasgleichung (s. AE 5.2) (3.2a) lautet in gemittelter Form (3.2b) und geht nach Aufteilung der in ihr enthaltenen Variablen in Mittelwert und Zusatzwert in (3.2c) und nach Ausmultiplizieren und einigen Umformungen in

Skalenanalyse von mit Fluktuationsgrößen gebildeten Termen

Terme, die Produkte von Fluktuationsgrößen enthalten, können oft als klein im Vergleich zu anderen Gliedern der entsprechenden Beziehung vernachlässigt werden. Meist sind es die Dichteschwankung ρ' und die Druckschwankung p', die den Term, in dem sie auftreten, vernachlässigbar machen. In jedem Falle sollte man eine derartige Vernachlässigung mit Hilfe einer Skalenanalyse rechtfertigen. Als Beispiel beziehen wir uns hier auf den Übergang von Gl. (2.7) auf Gl. (2.8). Wählt man dort als spezifische Eigenschaft die spezifische Feuchte q, dann gilt für die mittlere vertikale Flussdichte des Wasserdampfes

(3.5)

über. Vernachlässigen der Terme, in denen zwei Fluktuationsgrößen multipliziert werden, führt schließlich zu

Die Größenordnung der fünf rechts stehenden Terme lässt sich mit Hilfe der Korrelationskoeffizienten rab (a und b sind zwei beliebige Variable) und der darin auftretenden Streuungen σa und σb abschätzen:

3.4 · Skalenanalyse von mit Fluktuationsgrößen gebildeten Termen

27

Für die Terme der Gasgleichung gilt (3.6)

(3.9a,b)

Maximalwerte des Betrages der Kovarianzen erhält man für |rab| = 1. Die Streuung wird auch Standardabweichung (engl. standard deviation) genannt. Ihr Quadrat, also σ a2 = r=|, nennt man Varianz. Vielfach werden auch normierte Streuungen angegeben, z. B. σ a /%. Die normierten Streuungen der einzelnen Komponenten u, v und w der Windgeschwindigkeit (u = Komponente in Richtung des mittleren Horizontalwindes, w = vertikale Komponente) liegen in dem durch

Die Erklärung dazu: Die Schwankungen der Lufttemperatur T' können Werte von 1 K oder etwas mehr erreichen. Bei einem Absolutwert von T bzw. seinem Mittelwert von 300 K ist T' / R ~ 3 · 10–3, die Streuung σ T /R ~ 10–4···10–3 natürlich kleiner. Bei p' werden Maximalwerte von 0,1 hPa erreicht, was bei einem mittleren Luftdruck von 1 000 hPa zu p' / , ~ 10 –4 und zu (3.9b) führt. Schließlich liegt es nun nahe, die Beziehung (3.3) in der Form (3.10)

(3.7a,b) angegebenen Größenordnungsbereich. Wir verwenden hier das Zeichen „~“, um Größenordnungen in Beziehung zu setzen (s. auch Abschn. 1.5.1). Die Angaben (3.7) beruhen darauf, dass die Schwankungen der Horizontalwindkomponenten in der Atmosphäre Werte bis zur Größe des mittleren Horizontalwindes erreichen. Die statistische Größe der Streuung ist dann natürlich kleiner. Die Streuung des Vertikalwindes w besitzt dieselbe Größenordnung wie die von u und v (es ist also σu ~ σv ~ σw), da die Windstärkeschwankungen dreidimensional in alle Richtungen erfolgen. Aber 3 ist um 3 bis 4 Größenordnungen kleiner als der Horizontalwind. In der bodennahen Atmosphäre ist es meist besser, σu, σv, und σw nicht auf die mittleren Windgeschwindigkeitskomponenten, sondern auf die Schubspannungsgeschwindigkeit u* (s. Abschn. 7.1) zu beziehen. Damit steht an Stelle von (3.7) (3.8) Genauere Werte für die Prandtl-Schicht (die bodennächsten Dekameter, s. Kap. 7) sind aus Experimenten bestimmt worden. Für neutrale Schichtung gibt Garratt (1992) σu /u* = 2,4, σv /u* = 1,9 und σw /u* = 1,25 an. Diese Werte ändern sich wenig für stabile Schichtung, nehmen aber bei labilen Verhältnissen zu.

zu verwenden, wenn es sich um die Schwankungsgrößen ρ' und T' bei der Angabe von Größenordnungen handelt. Bei der Beziehung zwischen den Schwankungen der Lufttemperatur T und der potentiellen Temperatur Θ spielt auch der Luftdruck p eine Rolle. Mit κ = RL /cp (AE 7.5) gilt

(3.11a,b,c) und z. B. g=c= ~ g=s= . Die normierte Streuung der spezifischen Feuchte erreicht die Größenordnung von (3.12) Nun wenden wir uns der Abschätzung der Terme in (3.5) zu. Keinesfalls kann natürlich der erste Term rechts, der die skaligen Werte von ρ , w und q enthält, vernachlässigt werden. Wir können über ihn im Vergleich zu den anderen auch nur schwer etwas ausssagen, weil er einerseits selbst mit kleinen Werten von 3 schon recht groß werden kann, aber andererseits in Bodennähe mit 3 = 0 verschwindet. Die Glieder, die kein 3 enthalten, ergeben

28

Teil I · Physik der Atmosphärischen Grenzschicht

Kapitel 3 · Die hydrodynamischen Grundgleichungen

(3.13a)

Das, was wir hier erarbeitet haben, lässt sich kurz zusammenfassen unter der Bezeichnung Boussinesq-Approximation. Diese enthält zwei Aussagen:

(3.13b)

a In der ρ' beschreibenden Gasgleichung wird nur T' berücksichtigt, p' jedoch vernachlässigt. Mit der in Strenge für die feuchte Atmosphäre zu benutzenden virtuellen Temperatur schreibt man also (3.16)

(3.13c) Wir nehmen an, dass die Beträge der Korrelationskoeffizienten zwischen 0,1 und 1 liegen und sich größenordnungsmäßig nicht unterscheiden. Um den hier gesuchten betragsmäßigen Vergleich zu erleichtern, setzen wir sie in (3.13) einfach gleich 1. Als deutlich größter Term erweist sich das Produkt (3.13b) aus der mittleren Dichte mit der Kovarianz aus Vertikalwind und spezifischer Feuchte. Die dreifache Kovarianz (3.13c) ist um mehr als drei Größenordnungen kleiner, (3.13a) um zwei. Gegen das relativ große (3.13b) wird nun ¸ É=k= abgeschätzt. Wir vergleichen also

mit

(3.14a) (3.14b)

und so 3(10–4···10–3) mit u*. Der mittlere Vertikalwind müsste um drei bis vier Ordnungen größer sein als u* (also bei einem kleinen u* von 0,1 m s–1 sind das mehr als 100 m s–1), wenn der erste Term die gleiche Rolle spielen sollte wie der zweite. Das zeigt, dass im Vergleich zu (3.13b) nicht nur (3.13a und c) sehr klein sind, sondern dies auch für (3.14a) gilt. Damit kann man in der Formulierung von Gleichung (3.5) alle Terme, die die Dichteschwankung ρ' enthalten, vernachlässigen. In sehr guter Näherung gilt also (3.15)

b Alle Terme, die ρ' enthalten, werden vernachlässigt, außer in den Fällen, in denen ρ' zusammen mit der Schwerebeschleunigung g auftritt (s. Abschn. 4.1(1)). Führt man die Abschätzung in (3.13) und (3.14) nicht mit q, sondern mit den Eigenschaften Enthalpie cpT oder fühlbare Wärme cpΘ durch, dann ist zu bedenken, dass diese nur bis auf eine willkürliche Konstante bzw. einen willkürlichen Nullpunkt T0 bzw. Θ0 bestimmt sind. Letztere ist dem zu behandelnden Problem anzupassen. Davon war bereits in Abschn. 2.2.1 die Rede. Die zu betrachtende Eigenschaft Enthalpie geht deshalb in der Form cp(T–T0) in die betreffenden, die Flussdichte beschreibenden Gleichungen ein. Für T – T0 ~ 10 K und, wenn die Werte von T' Werte bis zu 1 K erreichen können, wird σ T /(R – R0) ~ 10–2···10–1. Was die Vernachlässigung der einzelnen Terme angeht, gelangen wir so zu den gleichen Ergebnissen wie bei der obigen Abschätzung mit der spezifischen Feuchte q. Die in der Gasgleichung stehende absolute Temperatur T besitzt aber einen eindeutigen Nullpunkt bei 0 K. Beziehungen, die direkt aus der Gasgleichung folgen, also die in Abschn. 3.3 und die Gln. (3.9), (3.10), (3.11) und (3.16), gelten in der dort angegebenen Form. Obacht geben muss man immer dann, wenn es um die Enthalpie und ihren Transport geht. Beachtet man dies nicht und berechnet den vertikalen Enthalpietransport einfach dadurch, dass man in (3.5) q durch cpT ersetzt, dann erhält man nicht nur einen sehr großen Term ½3cpR, sondern mit Hilfe von (3.10) auch eine Beziehung ½ g=s= = –R É=g=, also eine Neutralisierung des wichtigen Kovarianzterms ½ g=s= , und das unsinnige Ergebnis cp Égs ≅ cp » Ÿ ¯.

3.5 · Die Bewegungsgleichung

3.5

29

Die Bewegungsgleichung

Die Bewegungsgleichung (AE 17.3) lautet in Vektornotation

Nun bilden wir die Impulsstromform der Bewegungsgleichung. Das geschieht durch Addition der mit ui multiplizierten Kontinuitätsgleichung (3.1b) (3.20)

(3.17) zu (3.18). Man erhält Auf der linken Seite steht die totale Änderung des Geschwindigkeitsvektors, die sich zerlegen lässt in die lokale und die konvektive (AE 6.3) Änderung. Letztere wird auch Advektionsterm (AE 6.5) genannt. Rechts stehen die Druckgradient-, die Schwere- und die Coriolisbeschleunigung und der Reibungsterm 5R (AE 17.2C und Abschn. 2.2.2 und 2.2.3). Dabei ist : der Vektor der Schwerebeschleunigung (AE 5.4) mit den Komponenten (0, 0, –g) und Ω die Winkelgeschwindigkeit der Erdrotation (AE 17.2E, F und G). Dies ist die Haushaltsgleichung für den spezifischen Impuls 0 (das Teilchen ist

4.1 · Die Haushaltsgleichung für die turbulente kinetische Energie

schwerer als die Umgebung) und w' < 0 (das Teilchen bewegt sich nach unten) entsprechen. Die Arbeit der Schwerebeschleunigung an diesem Term bewirkt eine Verstärkung der entsprechenden Vertikalbewegungen, also eine Auftriebsbeschleunigung dw/dt (AE 12.1E) und eine Zunahme der kinetischen Fluktuationsenergie. Mit den Indizes T für Teilchen und U für Umgebung gilt mit (4.5)

37

menhängt, nämlich ob der vertikale turbulente Fluss fühlbarer Wärme H positiv oder negativ ist. Man fragt sich, ob sich È=g= in H bzw. c=g= umrechnen lässt. Aus ■

Gasgleichung (4.7)

■

für die zeitliche Änderung der kinetischen Energie des einzelnen Teilchens

Poisson-Gleichung (4.8)

■

und der Gleichung für die virtuelle Temperatur

(4.6) letzteres, wenn man ρ ' = ρT – ρU und w' = wT – wU mit wU = 0 benutzt. Betrachtet man viele Teilchen, so gelangt man zu der in der betreffenden Raumund/oder Zeitskala (diese wird durch den Mittelungsstrich gekennzeichnet) stattfindenden Erzeugung von kinetischer Energie –È=g=g. Diese nennt man deshalb die durch Auftriebskräfte bewirkte Erzeugung bzw. Vernichtung (bei anderem Vorzeichen) von TKE und engl. buoyant production of turbulent kinetic energy. Man möge beachten, dass dieser Produktionsterm nur wirkt, wenn bereits Turbulenz vorhanden ist, d. h. wenn g an einem vorhandenen È=g= angreifen kann. Bei labiler Schichtung sind die einzelnen Produkte ρ 'w' vorwiegend negativ, bei stabiler Schichtung positiv, also

Auch letzteres ist leicht zu verstehen: die Teilchen werden durch g abgebremst, verlieren also ihre TKE. Dies ist ein bedeutsamer Prozess bei stabiler Schichtung. Sieht man das Vorzeichen von È=g= als Kriterium für statische Stabilität an, so liegt es nahe, dass damit auch ein anderes Stabilitätskriterium zusam-

(4.9) folgt, wenn man in den Beziehungen zwischen den Fluktuationen entsprechend (3.9), (3.10) und (3.11) die p'-Terme vernachlässigt

(4.10) Die Kovarianz È=g= lässt sich also durch g=c= zusammen mit g=k=, d. h. durch die vertikalen turbulenten Flussdichten fühlbarer Wärme H = ½cp g=c= und latenter Wärme des Wasserdampfes E = ½Lg=k= ausdrücken. Mit den Vereinfachungen R ≈ Rv ≈ c und (1 + 0,61q) ≈ 1 im Produkt mit Θ'w' in (4.10) gilt

(4.11)

Das Auftreten von R, Rv und c und das ungefähre Gleichsetzen dieser Größen bedeutet kein

38

Teil I · Physik der Atmosphärischen Grenzschicht

Kapitel 4 · Haushaltsgleichungen

großes Problem. Sicher gehört in den Auftriebsterm g/Tv die virtuelle Temperatur, wenn man die Luftfeuchte bei der Dichte berücksichtigt. Aber die drei absoluten Temperaturen unterscheiden sich kaum im Verhältnis zu ihrer Größenordnung von ~300 K. Wird die durch Auftriebskräfte bewirkte Erzeugung von TKE nach (4.11) im Rahmen der für die untersten Dekameter der AGS geltenden MoninObukhov-Theorie (Abschn. 7.5) benutzt, so unterscheiden sich T und Θ um weniger als 1 K (ungefähr 3 ‰). Die virtuelle Temperatur Tv unterscheidet sich von T um den virtuellen Temperaturzuschlag T0,61q, der z. B. bei q = 10 · 10–3 und T = 280 K nur 1,7 K beträgt, was einer Differenz von 6 ‰ entspricht. Infolgedessen wird hier und im Folgenden der Einfachheit halber der Auftriebsterm immer als g/R geschrieben. Die durch Auftriebskräfte bewirkte Erzeugung von TKE kann man also nach (4.11) mit Hilfe der turbulenten Flussdichten H und E beschreiben. Mit cp = 1 004 J kg–1 K–1, L = 2,5 · 106 J kg–1 und R = 286 K ist

In (4.12) haben wir für den Koeffizienten von E die Größe c ≈ 7,0 % eingeführt. Mit der letzten Beziehung gelingt es, die TKE-Erzeugung durch Auftriebskräfte mit Hilfe einer einzigen Flussdichte auszudrücken, nämlich mit dem Stabilitätsfluss HΘv. Dieser ist ein Stabilitätsmaß, das den Einfluss des Wasserdampfes mit berücksichtigt.

(4.12) Während H voll in die Klammer der obigen Gleichung eingeht, trägt E nur mit 7 % zu der TKE-Erzeugung durch Auftriebskräfte bei. Weil so der Fluss fühlbarer Wärme die beherrschende Größe ist, spricht man auch von thermischer Erzeugung von TKE. Mit der virtuellen potentiellen Temperatur Θv = Θ(1 + 0,61q) definieren wir den Fluss von virtueller statischer Energie HΘv = Ècpg=c{=. Aus folgt

(4.13)

(2) Außer g leisten auch die in der Klammer stehenden Beschleunigungen Arbeit am turbulenten Massenstrom È=iv=. Der erste Term ist die lokale Änderung der mittleren Windgeschwindigkeit, der zweite die mit der mittleren Windgeschwindigkeit gebildete Coriolisbeschleunigung, beide in Richtung des turbulenten Massenstromes. Der Term kann als klein im Vergleich zu den anderen Gliedern der TKE-Gleichung vernachlässigt werden.

(3)

Dynamische Erzeugung von TKE

Dieser Term beschreibt die Erzeugung von TKE aus dem Zusammenwirken der turbulenten Schubund Normalspannungen mit der Windscherung. Dies ist ein rein dynamischer Prozess, deshalb wird dieser Term dynamische Erzeugung von TKE genannt. Nach der Einsteinschen Summationskonvention besteht er aus 9 zu addierenden Einzelgliedern. Für den einfachen Fall, dass die mittlere Windgeschwindigkeit nur eine Komponente in x-Richtung besitzt, die wir mit 2 bezeichnen, und dass diese sich nur mit der Vertikalkoordinate z ändert, dass also (4.15)

und mit C ≈ R entfallen acht der neun Einzelglieder und es bleibt nur (4.14a,b)

(4.16a)

4.1 · Die Haushaltsgleichung für die turbulente kinetische Energie

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führt. Ein Bild dieses Vorgangs liefert der Blick auf Wirbel im Uferbereich eines Flusses. Die Schubspannung erzeugt die Wirbel im Randbereich der Strömung. Wirbelerzeugung bedeutet Erzeugung von TKE. Wie beim thermischen Erzeugungsterm muss bei der dynamischen Erzeugung von TKE Turbulenz bereits vorhanden sein (also τki ≠ 0).

(4)

Dissipation

Hier wirken der subskalige molekulare Spannungstensor mit der subskaligen Windscherung zusammen. Mit Bild 4.1. Zur Deutung der dynamischen Erzeugung von TKE. Der aus ∂2 / ∂z entsprechend Gl. (4.16b) resultierende skalige Wirbel besitzt eine in positive y-Richtung (senkrecht zur Zeichenebene) weisende Achse. Die mit dicken Pfeilen eingezeichneten Schubspannungen an der Ober- und Unterseite der diesen Wirbel enthaltenden Luftschicht (s. dazu auch AE 17.2C) verstärken dessen Rotation

Die auftretende Windscherung lässt sich als Rotation des Windgeschwindigkeitsvektors in y-Richtung (Einheitsvektor 9) deuten: (4.16b) Hier wirken also die Schubspannung τzx und rot ^ zusammen, wie es Bild 4.1 zeigt. Die in einem Volumenelement vorhandene Windscherung ∂2 / ∂z kennzeichnet den skizzierten Wirbel, dessen Achse in y-Richtung zeigt. Der Wirbel und die ebenfalls eingezeichnete Schubspannung sind skalige Größen, die sich gegenseitig verstärken. Dieses Bild beinhaltet deshalb noch keine direkte Aussage über die Erzeugung von TKE. Die Wirkung auf die einzelnen Teilchen, wie man es bei der thermischen Erzeugung erkennen konnte, offenbart sich durch die Überlegung, dass die Schubspannung τzx (dies ist eine skalige Größe) auf den einzelnen Wirbel ∂u/∂z (hier also ohne Mittelwertstrich geschrieben) verstärkend wirkt, was im Mittel zu

ist die Vorstellung, was mit den einzelnen Teilchen passiert und wie sich dies dann über die Mittelung als skaliger Wert darstellt, ebenfalls schwierig. Wir wissen allerdings, dass über die molekulare Reibung (∂M'ki /∂xk ist der subskalige molekulare Reibungstensor, s. Abschn. 2.2.3) die Umwandlung kinetischer Energie in Wärme – das ist die Dissipation von kinetischer Energie – stattfindet und dass dieser Prozess nur in eine Richtung verläuft. Man kann nun zeigen, dass der Dissipationsterm positiv definit ist. Da er mit negativem Vorzeichen in die TKE-Gleichung eingeht, beschreibt er also Vernichtung von TKE über molekulare Reibung, also das, was wir hier als Dissipation bezeichnen. Diese vollzieht sich vor allem an sehr kleinen Wirbeln, bei denen M'ki und ∂u'i /∂xk relativ groß sind. Die Wirbelenergie gelangt in den hohen Frequenzbereich (große Wellenzahlen) des Turbulenzspektrums (s. Abschn. 4.4), indem sie, von den relativ großen Wirbeln des Erzeugungsbereichs (in der Mikroturbulenz von ~1 … 1 000 m) ausgehend, im Kaskadenbereich (inertial subrange) ohne Verlust an immer kleinere Wirbel weitergereicht wird, um schließlich im Dissipationsbereich (Wirbelgröße kleiner als 1 mm) durch den hier diskutierten Dissipationsterm aufgezehrt zu werden.

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Teil I · Physik der Atmosphärischen Grenzschicht

Vernachlässigt man nun alle Terme, die in der Diskussion als klein charakterisiert wurden, so bleibt von (4.4)

(5)

Dieser Term ist die räumliche Änderung der skaligen Arbeit, die der molekulare Spannungstensor M'ki an den Zusatzbewegungen ui' leistet. Man kann sich vorstellen, dass die Ableitungen der Mittelwerte viel kleiner sind als die der Fluktuationswerte. In der Tat zeigt eine genaue Analyse dieses Terms, dass er viel kleiner ist als die übrigen Glieder der TKE-Gleichung.

(6)

Kapitel 4 · Haushaltsgleichungen

Umwandlung von TKE in Wärme über Druckschwankungen

Dieser Term beschreibt die Arbeit des Gradienten der Schwankungen des statischen Druckes an der turbulenten Zusatzbewegung, das ist die Umwandlung von TKE in Wärme über Druckschwankungen. Da letztere klein sind (s. Gl. (3.9b)), wird er meist vernachlässigt. Der Zusammenhang mit dem Ersten Hauptsatz der Thermodynamik, also mit der Umsetzung in Wärme, ergibt sich, weil in diesem, also in

(4.18) Mit Gl. (4.11) und den Voraussetzungen, dass die mittlere Windgeschwindigkeit nur eine Komponente in x-Richtung besitzt, die wir mit 2 bezeichnen, und dass die Mittelwerte horizontal homogen verteilt sind, gilt

(4.19a) Mit den Abkürzungen ET für die TKE, ε für den Dissipationsterm und D für den Divergenzterm schreiben wir kürzer (4.19b)

(4.17a,b) ist. Bei Mittelung des zweiten Terms rechts in (4.17b) tritt der hier besprochene Umwandlungsterm auf.

(7)

Divergenz der mittleren Flussdichte von TKE

Terme der Form ∂/∂xk(ρ uke) (e ist hier eine beliebige spezifische Eigenschaft) treten in allen Haushaltsgleichungen auf (Abschn. 3.5 und 3.6). Sie repräsentieren wesentliche Anteile eines Haushaltes. Nimmt z. B. die Flussdichte (ρ ue) in x-Richtung zu, dann fließt aus dem Volumen, für das der Haushalt für e aufgestellt wird, auf der positiven Seite ein höherer Betrag der Eigenschaft hinaus als auf der negativen Seite hinein. Solche Terme nennen wir auch Advektionsterme (AE 6.5). So erscheint also hier die Divergenz der mittleren Flussdichte der turbulenten kinetischen Energie.

Die Terme der Gln. (4.19a und b) bezeichnen zeitliche Änderungen der Energie pro Volumeneinheit mit der SI-Einheit Wm–3. Der Bezug auf die Volumeneinheit entspricht der Betrachtung von Haushalten der Volumina. Den Bezug auf die Masseneinheit erhält man durch Division durch die Dichte. Unter Anwendung der Boussinesq-Approximation ergibt sich mit ρ = ½ = ρ0.

(4.19c)

oder abgekürzt mit (4.19d)

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4.2 · Weitere Gleichungen für kinetische Energien

Dabei besitzen die Terme nun die SI-Einheit m2 s–3. Die TKE-Gleichung lässt sich auch getrennt für die verschiedenen Anteile i = 1, 2, 3 schreiben. Man erhält also je eine Gleichung für

Man erkennt: ■

■

■

Um dies zu bewerkstelligen, wird in Gl. (4.4) jeweils ein festes i betrachtet und die Summenkonvention auf i nicht angewendet. Ohne die kleinen Anteile gilt dann ■

■

Die thermische Erzeugung (erster Term rechts) wirkt nur in der Vertikalen. Unter den einschränkenden Voraussetzungen des Gleichungssatzes (4.20b) gibt es dynamische Erzeugung (zweiter Term) nur für die TKE der x-Komponente. Die gesamte Dissipation ε = u=vxai=vÊafx verteilt sich mit unterschiedlichen Anteilen ax, ay, az auf die drei Komponenten. Nur im idealisierten Fall isotroper Turbulenz ist jeder dieser Anteile gleich Çε . Die Wechselwirkung zwischen den