Grenzen der Mathematik: Eine Reise durch die Kerngebiete der mathematischen Logik

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Author: Dirk W. Hoffmann

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Grenzen der Mathematik

Dirk W. Hoffmann

Grenzen der Mathematik Eine Reise durch die Kerngebiete der mathematischen Logik

Autor Prof. Dr. Dirk W. Hoffmann Hochschule Karlsruhe Fakultät für Informatik und Wirtschaftsinformatik Moltkestraße 30 76133 Karlsruhe www.dirkwhoffmann.de

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Springer ist ein Unternehmen von Springer Science+Business Media springer.de © Spektrum Akademischer Verlag Heidelberg 2011 Spektrum Akademischer Verlag ist ein Imprint von Springer 11 12 13

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Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlages unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Planung und Lektorat: Dr. Andreas Rüdinger, Bianca Alton Redaktion: Dr. Michael Zillgitt Satz: Autorensatz Herstellung: Crest Premedia Solutions (P) Ltd, Pune, Maharashtra, India Umschlaggestaltung: SpieszDesign, Neu-Ulm Titelfotografie: © Nasa ISBN 978-3-8274-2559-1

Vorwort

Das Unmögliche zu erkennen, ist eine intellektuelle Leistung, die den Menschen einzigartig macht. In der Physik haben uns die Einstein’sche Relativitätstheorie oder die Heisenberg’sche Unschärferelation Grenzen aufgezeigt, die wir niemals überwinden werden. Die Ergebnisse sind negativ, und gerade deshalb verbreiten sie eine unwiderstehliche Faszination. Es ist das Unmögliche, das uns noch stärker zu fesseln vermag als das Mögliche. Auch die Mathematik ist von ähnlichen Negativresultaten betroffen. Die mathematische Logik des zwanzigsten Jahrhunderts hat fundamentale Erkenntnisse hervorgebracht, die uns die Grenzen dieser präzisen Wissenschaft in aller Klarheit vor Augen führen. So wissen wir heute, dass sich der Begriff der Wahrheit selbst für so einfache Theorien wie die Zahlentheorie nicht in Einklang mit dem Begriff der Beweisbarkeit bringen lässt. Es ist unmöglich, die Mathematik in einem formalen System einzufangen, in dem alle wahren mathematischen Aussagen bewiesen werden können. Dieses Buch entführt Sie auf eine Reise durch die Kerngebiete der mathematischen Logik. Es ist mein erklärtes Ziel, die Konzepte, Methoden und Ergebnisse dieser Disziplin in verständlicher Form offenzulegen, ohne einen Verlust an Tiefe zu erleiden. Wo immer es möglich ist, habe ich versucht, die Definitionen und Sätze mit Beispielen zu motivieren und durch zahlreiche Querbezüge in ihren sachlichen und historischen Kontext einzuordnen. Beweise von Sätzen, die nur am Rand eine Rolle spielen, sind bewusst nur skizzenhaft aufgenommen oder es wird darauf hingewiesen, wo ein Beweis nachgeschlagen werden kann. In diesem Sinn kann das vorliegende Buch die formal präzise Literatur aus dem Bereich der mathematischen Logik nicht an jeder Stelle ersetzen – und will es auch gar nicht. Allem anderen voran möchte ich die Faszination transportieren, die dieses Teilgebiet der Mathematik unzweifelhaft ausstrahlt. Sie, liebe Leser, müssen beurteilen, inwieweit mir dies gelungen ist. Für Hinweise zu Verbesserungsmöglichkeiten oder Fehlern bin ich jedem aufmerksamen Leser dankbar. An dieser Stelle möchte ich all denen meine Verbundenheit aussprechen, die mich während der Durchführung dieses ehrgeizigen Projekts unterstützt und damit zum Gelingen dieses Buchs beigetragen haben. Karlsruhe, im Oktober 2010

Dirk W. Hoffmann

Symbolwegweiser Definition Satz, Lemma, Korollar

Leichte Übungsaufgabe

Mittelschwere Übungsaufgabe

Schwere Übungsaufgabe

Lösungen zu den Übungsaufgaben In wenigen Schritten erhalten Sie die Lösungen zu den Übungsaufgaben: 1. Gehen Sie auf die Webseite www.dirkwhoffmann.de/GM 2. Geben Sie den neben der Aufgabe abgedruckten Webcode ein. 3. Die Musterlösung wird als PDF-Dokument angezeigt. Alternativ können Sie ein PDF-Dokument abrufen, das alle Musterlösungen gesammelt enthält.

Inhaltsverzeichnis

1 Historische Notizen 1.1 Wahrheit und Beweisbarkeit . . . . . . . . . . . 1.2 Der Weg zur modernen Mathematik . . . . . . . 1.2.1 Rätsel des Kontinuums . . . . . . . . 1.2.2 Auf den Spuren der Unendlichkeit . . 1.2.3 Macht der Symbole . . . . . . . . . . 1.2.4 Aufbruch in ein neues Jahrhundert . . 1.2.5 Grundlagenkrise . . . . . . . . . . . . 1.2.6 Axiomatische Mengenlehre . . . . . . 1.2.7 Hilberts Programm und Gödels Beitrag 1.2.8 Grenzen der Berechenbarkeit . . . . . 1.2.9 Auferstanden aus Ruinen . . . . . . . 1.3 Übungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . .

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2 Formale Systeme 2.1 Definition und Eigenschaften . . . . 2.2 Entscheidungsverfahren . . . . . . . 2.3 Aussagenlogik . . . . . . . . . . . . 2.3.1 Syntax und Semantik . . . 2.3.2 Aussagenlogischer Kalkül . 2.4 Prädikatenlogik erster Stufe . . . . . 2.4.1 Syntax und Semantik . . . 2.4.2 Prädikatenlogischer Kalkül 2.5 Prädikatenlogik mit Gleichheit . . . 2.6 Prädikatenlogik höherer Stufe . . . . 2.6.1 Syntax und Semantik . . . 2.6.2 Henkin-Interpretation . . . 2.7 Übungsaufgaben . . . . . . . . . . .

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3 Fundamente der Mathematik 3.1 Peano-Arithmetik . . . . . . . . . . 3.1.1 Syntax . . . . . . . . . . . 3.1.2 Semantik . . . . . . . . . . 3.1.3 Axiome und Schlussregeln

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VIII

3.2

3.3

Inhaltsverzeichnis

Axiomatische Mengenlehre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre . . . . . . . . . . . . . 3.2.1.1 ZF-Axiome . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1.2 Das Auswahlaxiom . . . . . . . . . . . . . 3.2.1.3 Mengenlehre als Fundament der Mathematik 3.2.1.4 Einbettung der natürlichen Zahlen . . . . . 3.2.2 Ordinalzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2.1 Definition und Eigenschaften . . . . . . . . 3.2.2.2 Der Unendlichkeit entgegen . . . . . . . . . 3.2.2.3 Ordnungstypen und Wohlordnungen . . . . 3.2.2.4 Transfinite Induktion . . . . . . . . . . . . 3.2.3 Kardinalzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Übungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4 Beweistheorie 4.1 Gödel’sche Unvollständigkeitssätze . . . . . 4.2 Der erste Unvollständigkeitssatz . . . . . . 4.2.1 Arithmetisierung der Syntax . . . . 4.2.2 Primitiv-rekursive Funktionen . . . 4.2.3 Arithmetische Repräsentierbarkeit 4.2.4 Gödels Diagonalargument . . . . . 4.2.5 Rossers Beitrag . . . . . . . . . . 4.3 Der zweite Unvollständigkeitssatz . . . . . . 4.4 Gödels Sätze richtig verstehen . . . . . . . 4.5 Der Satz von Goodstein . . . . . . . . . . . 4.6 Übungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . .

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5 Berechenbarkeitstheorie 5.1 Berechnungsmodelle . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.1 Turing-Maschinen . . . . . . . . . . . . . . 5.1.1.1 Erweiterungen des Basismodells 5.1.1.2 Alternative Beschreibungsformen 5.1.1.3 Universelle Turing-Maschine . . 5.1.2 Registermaschinen . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Die Church’sche These . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Grenzen der Berechenbarkeit . . . . . . . . . . . . . 5.3.1 Das Halteproblem . . . . . . . . . . . . . . 5.3.2 Der Satz von Rice . . . . . . . . . . . . . . Folgen für die Mathematik . . . . . . . . . . . . . . 5.4 5.4.1 Unentscheidbarkeit der PL1 . . . . . . . . . 5.4.2 Unvollständigkeit der Arithmetik . . . . . . 5.4.3 Hilberts zehntes Problem . . . . . . . . . .

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IX

Inhaltsverzeichnis

5.5

5.4.3.1 Diophantische Repräsentierbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292 5.4.3.2 Codierung von Registermaschinen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294 Übungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305

6 Algorithmische Informationstheorie 6.1 Algorithmische Komplexität . . . . 6.2 Die Chaitin’sche Konstante . . . . . 6.3 Unvollständigkeit formaler Systeme 6.4 Übungsaufgaben . . . . . . . . . . .

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7 Modelltheorie 7.1 Meta-Resultate zur Prädikatenlogik . . . . . . . 7.1.1 Modellexistenzsatz . . . . . . . . . . 7.1.2 Kompaktheitssatz . . . . . . . . . . . 7.1.3 Satz von Löwenheim-Skolem . . . . . 7.2 Nichtstandardmodelle von PA . . . . . . . . . . 7.2.1 Abzählbare Nichtstandardmodelle . . . 7.2.2 Überabzählbare Nichtstandardmodelle 7.3 Das Skolem-Paradoxon . . . . . . . . . . . . . 7.4 Boolesche Modelle . . . . . . . . . . . . . . . 7.4.1 Definition und Eigenschaften . . . . . 7.4.2 Ein einfacher Unabhängigkeitsbeweis . 7.5 Übungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Literaturverzeichnis

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Namensverzeichnis

399

Sachwortverzeichnis

403

1 Historische Notizen

„Mathematics takes us still further from what is human, into the region of absolute necessity, to which not only the world, but every possible world, must conform.“ Bertrand Russell [156]

1.1

Wahrheit und Beweisbarkeit

Wenige Dinge fesseln den Wissenschaftler so sehr wie die Rätsel der Natur. Von der Neugier getrieben, sind wir fortwährend auf der Suche nach Regeln und Strukturen in einer Welt, die mehr Fragen aufwirft als Antworten zulässt. Und trotzdem: Fassen wir die Entwicklungen der letzten Jahrhunderte zusammen, so blicken wir auf eine beachtliche Erfolgsbilanz zurück. Immer wieder ist es Wissenschaftlern gelungen, komplexe Sachverhalte auf einfachere, weniger komplexe Zusammenhänge zu reduzieren und auf diese Weise einer adäquaten Erklärung zuzuführen. Damit hat die Wissenschaft nicht nur unser tägliches Leben massiv verändert, sondern gleichsam die Grundlage geschaffen, auf der wir unser neuzeitliches Weltbild haben errichten können. Dass die Natur elementaren Regeln folgt, wurde bis zu Beginn des zwanzigsten Jahrhunderts von niemandem ernsthaft in Zweifel gezogen. Schließlich entspricht es sowohl unserer Intuition als auch unserer Erfahrung, dass jeder Wirkung eine Ursache vorausgeht und nichts in der Welt ohne Grund geschieht. Dieses Prinzip des zureichenden Grunds (lat. principium rationis sufficientis oder franz. principe de la raison suffisante) ist die unausgesprochene Grundannahme aller Naturwissenschaften. Ohne sie wäre die wissenschaftliche Methode ein stumpfes Schwert. Das Prinzip des zureichenden Grunds findet seine Personifizierung in Gottfried Wilhelm Leibniz, dem wahrscheinlich letzten Universalgelehrten der Welt (Abbildung 1.1). In Form eines metatheoretischen Grundsatzes ist das Prinzip eine tragende Säule in der Leibniz’schen Philosophie. Nach ihr ist die Welt, in der wir leben, die perfektest mögliche, eine Welt der vollständigen Harmonie, in der nicht nur jeder einzelne physikalische Vorgang eine Ursache, sondern auch jede metaphy-

„Im Sinne des zureichenden Grundes finden wir, dass keine Tatsache als wahr oder existierend und keine Aussage als wahr betrachtet werden kann, ohne dass ein zureichender Grund vorhanden wäre, warum es so ist und nicht anders“ [109]

Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 – 1716) Abbildung 1.1: Gottfried Wilhelm Leibniz gehört zu den berühmtesten und außergewöhnlichsten Gelehrten des ausgehenden 17. und beginnenden 18. Jahrhunderts. Seine universelle Begabung war einzigartig. Zahllose Publikationen und Schriftwechsel aus den Bereichen der Philosophie, der Mathematik, den Naturwissenschaften sowie der Geschichts- und Rechtskunde bilden einen beispiellosen Nachlass.

2


sische Wahrheit eine Begründung besitzt. Demnach sind Aussagen niemals grundlos wahr und lassen sich stets durch andere Aussagen rechtfertigen, deren Wahrheit bereits bewiesen wurde.

Characteristica universalis

Calculus ratiocinator

Falsch

Wahr

Abbildung 1.2: Sein Leben lang war Leibniz von der Idee gefesselt, eine Universalsprache (Characteristica universalis) zu ersinnen, in der sich die Objekte, Konzepte und Beziehungen der realen Welt symbolisch erfassen lassen. Er war davon überzeugt, dass für diese Kunstsprache ein Regelwerk (Calculus ratiocinator) erschaffen werden könne, mit dem sich der Wahrheitsgehalt einer Aussage im Sinne einer mechanischen Prozedur systematisch berechnen lässt.

Mit seinem visionären Denken war Leibniz seiner Zeit weit voraus. Er träumte von einer Characteristica universalis, einer universellen Sprache, in der sich alle Facetten der menschlichen Erkenntnis in präziser Form erfassen lassen. Seine Sprache war nicht als Lautsprache konzipiert. Stattdessen hatte er eine symbolische Notation im Sinn, in der einzelne Alphabetzeichen Objekte oder Konzepte der realen Welt repräsentieren und die Beziehungen, die zwischen den Objekten oder Konzepten bestehen, auf der symbolischen Ebene sichtbar werden. Aufgrund der formalen Natur seiner Sprache war Leibniz überzeugt, dass der Wahrheitsgehalt von Aussagen durch die Anwendung eines festen Regelwerks, des Calculus ratiocinator, auf systematische Weise berechnet werden kann (Abbildung 1.2). Leibniz wusste um das Ausmaß seines ehrgeizigen Projekts und unternahm zu keiner Zeit den Versuch, sein großes Ziel allein zu erreichen. Nichtsdestotrotz hielt er konkrete Pläne für dessen Umsetzung bereit. In einem ersten Schritt galt es eine Enzyklopädie zu erstellen, die das gesamte bis dato verfügbare Menschheitswissen in sich vereint. Im zweiten Schritt war eine formale Sprache zu definieren, mächtig genug, um alle Konzepte und Beziehungen der erarbeiteten Wissensbasis zu beschreiben. Im letzten Schritt galt es, die logischen Schlussregeln auf die symbolische Ebene zu übertragen. Hierdurch wäre der formale Schlussapparat geschaffen, mit dem sich wahre Aussagen auf mechanische Weise erzeugen und verifizieren ließen. Leibniz war der festen Überzeugung, das Projekt mit einer Gruppe ausgewählter Wissenschaftler in rund fünf Jahren verwirklichen zu können. Zu Lebzeiten wurde ihm die Chance nie geboten, und so verblieb die Characteristica universalis im Reich der Träume. Als vielleicht größter Visionär seiner Zeit starb Gottfried Wilhelm Leibniz am 14. November 1716 im Alter von 70 Jahren – und mit ihm sein ehrgeiziges Projekt. Es sollte noch mehr als 200 Jahre dauern, bis sein Traum zumindest teilweise in Erfüllung ging. Im neunzehnten Jahrhundert führten die Fortschritte im Bereich der symbolischen Logik zu der Entwicklung formaler Systeme, die einer Characteristica universalis im Leibniz’schen Sinne in vielerlei Hinsicht nahe kommen. Heute sind wir mit der Aussagenlogik und der Prädikatenlogik im Besitz künstlicher Sprachen, mit denen wir mathematische Aussagen in symbolischer Form codieren und durch die Anwendung fest definierter Schlussregeln logische Folgerungen ableiten können. Beide Logiken sind Gegenstand von Kapitel 2. In Kapitel 3 werden wir auf der Prädikatenlogik die axiomatische Men-

1.1 Wahrheit und Beweisbarkeit

genlehre errichten. Diese wird sich als stark genug erweisen, um alle Gebiete der klassischen Mathematik zu beschreiben, und dient heute als formaler Unterbau für die gesamte moderne Mathematik. Mit der fortschreitenden Formalisierung der Mathematik rückten Fragestellungen in den Vordergrund, die sich nicht mit Theoremen befassten, die innerhalb eines formalen Systems abgeleitet werden konnten, sondern mit den Eigenschaften und Limitierungen der Systeme selbst. Zur Blüte reifte dieser Forschungszweig, den wir heute als Metamathematik bezeichnen, Anfang des zwanzigsten Jahrhunderts. Die seither gewonnenen Erkenntnisse sind gewaltig und zugleich verstörend. Bis in das zwanzigste Jahrhundert hinein zweifelte kaum ein Mathematiker ernsthaft daran, dass für jede mathematische Aussage ein Beweis oder ein Gegenbeweis gefunden werden kann, wenn nur lange genug danach gesucht wird. Dass Wahrheit und Beweisbarkeit in einem harmonischen Einklang stehen, war das ungeschriebene Dogma der Mathematik. Heute wissen wir, dass sich der Begriff der Wahrheit und der Begriff der Beweisbarkeit selbst für einfache Theorien wie die Zahlentheorie nicht in Kongruenz bringen lassen. Es ist unmöglich, die Mathematik in einem formalen System einzufangen, in dem alle wahren mathematischen Aussagen als solche bewiesen werden können. Die Erkenntnisse des zwanzigsten Jahrhundert haben unser mathematisches Weltbild von Grund auf verändert. Indem sie fundamentale Grenzen aufzeigen, die wir niemals werden überwinden können, haben sie in der Mathematik eine ganz ähnliche Bedeutung wie die Relativitätstheorie in der Physik. Heute wissen wir, dass ein Calculus ratiocinator nicht existieren kann. Die Leibniz’sche Vision einer mechanisierbaren Mathematik, so verlockend sie auch sein mag, ist ein Traum, der niemals Realität werden wird. Die Überlegungen, die zu diesem Ergebnis führen, sind der Inhalt dieses Buchs, und wir werden sie in den nächsten Kapiteln im Detail herausarbeiten. Soviel vorweg: Sie werden von so grundlegender Natur sein, dass es kein Entrinnen gibt; die Mathematik entzieht sich jedem formalen Korsett. An zwei Beispielen wollen wir demonstrieren, welche Auswirkungen sich für die gewöhnliche Mathematik ergeben. Vermutung 1.1 (Goldbach) Jede gerade natürliche Zahl n > 2 lässt sich als Summe zweier Primzahlen schreiben.

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4


y

Goldbach'sche Vermutung V

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10000

Abbildung 1.3: Nach der Goldbach’schen Vermutung lassen sich alle geraden Zahlen n > 2 als Summe zweier Primzahlen schreiben. In dem nebenstehenden Diagramm sind die geraden natürlichen Zahlen auf der x-Achse und die Anzahl der möglichen Zerlegungen auf der y-Achse aufgetragen. Die Goldbach’sche Vermutung ist genau dann wahr, wenn die xAchse frei von Datenpunkten bleibt. Auch wenn vieles für die Wahrheit der Vermutung spricht, steht ein formaler Beweis bis heute aus.

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4000

2000

0

Gerade natürliche Zahlen > 2 100000 200000 300000 400000 500000 600000 700000 800000

x

Die Goldbach’sche Vermutung gehört zu den ältesten und bedeutsamsten Problemen der Zahlentheorie (Abbildung 1.3). Benannt ist sie nach dem deutschen Mathematiker Christian Goldbach, der im Jahr 1742 in einem Brief an den Schweizer Mathematiker Leonhard Euler die These aufstellte, dass sich jede natürliche Zahl größer 2 als die Summe dreier Primzahlen1 schreiben lässt (Abbildung 1.4). Die hier formulierte Variante wird auch als starke Goldbach’sche Vermutung bezeichnet, da sich aus ihr die Gültigkeit der ursprünglich formulierten Variante ergibt. Das zweite Beispiel stammt ebenfalls aus dem Gebiet der Zahlentheorie und ist nicht weniger prominent: Vermutung 1.2 (Primzahlzwillinge) Es existieren unendlich viele Zahlen n mit der Eigenschaft, dass n und n + 2 Primzahlen sind. Tabelle 1.1 gibt eine Übersicht über die ersten 35 Primzahlzwillinge. Jede der beiden hier aufgeführten Vermutungen macht eine Aussage über die natürlichen Zahlen und ist entweder wahr oder falsch. Trotz1 In Goldbachs Definition ist die 1 ebenfalls eine Primzahl. Sonst wäre seine These bereits für den Fall n = 4 widerlegt.

5

1.1 Wahrheit und Beweisbarkeit

Aus dem Brief von Christian Goldbach an Leonhard Euler

Leonhard Euler (1707 – 1783) Abbildung 1.4: Im Jahr 1742 äußerte Christian Goldbach seine berühmte Vermutung in einem Brief an Leonhard Euler.

dem waren alle bisher getätigten Anstrengungen vergebens, sie zu beweisen oder zu widerlegen. Ob wir die Vermutungen mit den Mitteln der Zahlentheorie überhaupt beweisen oder widerlegen können, wissen wir nicht. Die Vehemenz, mit der sich beide einer Lösung bisher entzogen haben, mag den Verdacht der Unbeweisbarkeit nähren, Gewissheit liefert sie freilich nicht. Auch eine andere berühmte Vermutung der Zahlentheorie widersetzte sich über dreihundert Jahre lang allen Versuchen, sie zu beweisen. Im Jahr 1637 stellte der französische Mathematiker Pierre de Fermat die Behauptung auf, dass die Gleichung an + bn = cn für n > 2 keine Lösung in den ganzen Zahlen besitzt (Abbildung 1.5). Erst im Jahr 1995 konnte der Brite Andrew Wiles einen lückenlosen Beweis für die Taniyama-Shimura-Vermutung vorbringen, aus der sich der Fermat’sche Satz als Korollar ergibt [165, 195]. Ob für die Goldbach’sche Vermutung oder die Vermutung über die Existenz unendlich vieler Primzahlzwillinge doch noch ein Beweis gefunden werden wird, steht in den Sternen. Auch wenn sich die Anzeichen mehren [189, 191], herrscht bis heute Unsicherheit. Das Wissen über die Unvollständigkeit formaler Systeme ist die vielleicht größte Errungenschaft der mathematischen Logik des zwanzigsten Jahrhunderts und zweifelsfrei eine der verblüffendsten mathematischen Erkenntnisse überhaupt. In Kapitel 4 werden wir uns ausführ-

Primzahlzwillinge (3, 5) (5, 7) (11, 13) (17, 19) (29, 31) (41, 43) (59, 61) (71, 73) (101, 103) (107, 109) (137, 139) (149, 151) (179, 181) (191, 193) (197, 199) (227, 229) (239, 241) (269, 271) (281, 283) (311, 313) (347, 349) (419, 421) (431, 433) (461, 463) (521, 523) (569, 571) (599, 601) (617, 619) (641, 643) (659, 661) (809, 811) (821, 823) (827, 829) (857, 859) (881, 883) Tabelle 1.1: Die Primzahlzwillinge im Zahlenbereich zwischen 0 und 1000

6

Abbildung 1.5: Pierre de Fermat schrieb sein berühmtes lateinisches Zitat im Jahr 1637 an den Rand seiner Ausgabe der Arithmetica (siehe Abschnitt 1.2.1). Übersetzt lautet es wie folgt: „Es ist unmöglich, einen Kubus in zwei Kuben zu zerlegen oder ein Biquadrat in zwei Biquadrate oder allgemein irgendeine Potenz größer als die zweite in Potenzen gleichen Grades. Ich habe hierfür einen wahrhaft wunderbaren Beweis gefunden, doch ist der Rand hier zu schmal, um ihn zu fassen.“ Über 300 Jahre suchten Mathematiker erfolglos nach Fermats „wunderbarem Beweis“, und es gilt heute als sicher, dass kein kurzer Beweis für seine Vermutung existiert.


„Cubum autem in duos cubos, aut quadratoquadratum in duos quadratoquadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duos eiusdem nominis fas est dividere. Cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet.“

Pierre de Fermat (1607 – 1665)

lich mit dieser Thematik auseinandersetzen und die Schlüsselergebnisse sorgfältig herleiten. In Kapitel 5 werden wir noch einen Schritt weiter gehen und den Begriff der Beweisbarkeit um einen weiteren ergänzen. Die Rede ist von der Berechenbarkeit, einem Schlüsselbegriff, der für uns in zweierlei Hinsicht von Bedeutung ist. Zum einen wird er uns einen alternativen Weg aufzeigen, der uns einen schnelleren und eleganteren Zugang zu den Grenzen der Beweisbarkeit gewähren wird als jener, den wir in Kapitel 4 beschreiten. Zum anderen spielt er eine zentrale Rolle in der Informatik, wo sich die Grenzen der Berechenbarkeit ganz praktisch auswirken. Heute wissen wir, dass es unmöglich ist, einen Algorithmus zu formulieren, der für jedes vorgelegte Programm immer korrekt entscheidet, ob es eine gewisse funktionale Eigenschaft erfüllt oder nicht. Selbst so einfache Probleme wie die Frage nach der Existenz von Endlosschleifen liegen außerhalb des Berechenbaren. Genau dies ist der Grund, warum selbst die modernsten Compiler heute nicht viel mehr als eine syntaktische Prüfung der Quelltexte durchführen und nur wenige funktionale Fehler selbstständig erkennen. Auch hier sind wir mit einer ebenso grundlegenden wie unvermeidlichen Beschränkung konfrontiert, die wir nicht überwinden können.

1.2 Der Weg zur modernen Mathematik

1.2

7

Der Weg zur modernen Mathematik

Bevor wir uns voll und ganz den technischen Details der umrissenen Ideen widmen, wollen wir einen Rückblick auf die bewegte Geschichte der mathematischen Logik wagen. Nur so ist es möglich, die Ergebnisse adäquat einzuordnen und in ihrer gesamten Tragweite zu verstehen. Verlieren wir also keine Zeit!

1.2.1

Rätsel des Kontinuums

Wir beginnen unseren Streifzug durch die Geschichte der Mathematik im Griechenland des dritten Jahrhunderts. Dort entstand jenes dreizehnbändige Werk, das die Grundlagen der modernen Algebra schaffen sollte. Die Rede ist von der Arithmetica, einer Sammlung von über hundert algebraischen Rätseln und ihren Lösungen (Abbildung 1.6). Nur die Bände 1 bis 3 und 8 bis 10 sind heute noch im Original vorhanden. Für die Bände 4 bis 7 wurden arabische Übersetzung gefunden, die restlichen drei sind bis heute verschollen. Verfasst wurde die Arithmetica von Diophantos von Alexandria, von dessen Leben wir heute keine verlässliche Kenntnis haben. Lediglich ein Rätselvers aus der Zeit nach seinem Tod gibt uns zaghafte Hinweise über den Verlauf seines Lebens. In einer deutschen Übersetzung lautet er wie folgt [73]: „Wanderer, unter diesem Stein ruht Diophantos. Oh, großes Wunder, die Wissenschaft zeigt Dir die Dauer seines Lebens. Gott gewährte ihm die Gunst, den sechsten Teil seines Lebens jung zu sein. Ein Zwölftel dazu, und er ließ bei ihm einen schwarzen Bart sprießen. Ein Siebtel später war der Tag seiner Hochzeit, und im fünften Jahr ging aus dieser Verbindung ein Sohn hervor. Ach, bedauernswerter Jüngling: Er bekam die Kälte des Todes zu spüren, als er nur halb so alt war, wie sein Vater schließlich wurde. Vier Jahre danach fand dieser dann Trost für seinen Schmerz, und mit dieser Weisheit schied er aus dem Leben. Wie lange währte es?“ Bezeichnen wir das erreichte Alter des Diophantos mit x, so lässt sich der Rätselvers in die folgende Gleichung übertragen: x=

x x x x + + +5+ +4 6 12 7 2

Abbildung 1.6: Die Arithmetica ist ein dreizehnbändiges Werk, in dem Diophantos von Alexandria mehr als hundert algebraische Rätsel samt ihren Lösungen zusammentrug. Die allgemeine Lösbarkeit diophantischer Gleichungen ist Bestandteil des zehnten Hilbert’schen Problems, auf das wir in Abschnitt 5.4.3 im Detail zu sprechen kommen.

8


Die Multiplikation mit 84 eliminiert sämtliche Brüche: x

84x = 14x + 7x + 12x + 420 + 42x + 336

10 y

Damit können wir Diophantos’ Alter als die Lösung der Gleichung 370

x + y = 10 3

x + y3 = 370 Abbildung 1.7: Im vierten Band der Arithmetica stellte Diophantos die Aufgabe, die Seitenlängen x, y zweier Würfel so zu bestimmen, dass die Summe der Seitenlängen gleich 10 und die Summe der Würfelvolumina gleich 370 ist.

9x − 756 = 0

(1.1)

bestimmen und erhalten das Ergebnis x = 84. Ob Diophantos wirklich 84 Jahre alt wurde und den Schmerz verkraften musste, seinen eigenen Sohn sterben zu sehen? Wir werden es wahrscheinlich niemals mit Sicherheit wissen. Gleichung (1.1) ist ein einfaches Beispiel dessen, was wir heute als diophantische Gleichung bezeichnen. Im allgemeinen Fall hat eine solche Gleichung die Form p(x1 , x2 , . . . , xn ) = 0,

(1.2)

wobei p ist ein multivariables Polynom mit ganzzahligen Koeffizienten ist. Die Lösung einer diophantischen Gleichung ist die Menge der ganzzahligen Nullstellen von p. Wenn wir im Folgenden von diophantischen Gleichungen sprechen, werden wir, wo immer es sinnvoll erscheint, den Symbolvorrat geringfügig anpassen und z. B. x für x1 und y für x2 schreiben. Die Gleichung x1 3 + x2 3 + x1 + x2 − 380 = 0 liest sich dann beispielsweise so: x3 + y3 + x + y − 380 = 0

(1.3)

Gleichung (1.3) hat eine geometrische Bedeutung und löst ein Problem aus dem vierten Buch der Arithmetica. Wie in Abbildung 1.7 dargestellt, lassen sich x und y als die Seitenlängen zweier Würfel interpretieren, deren gemeinsames Volumen gleich 370 ist und die Summe ihrer Seitenlängen den Wert 10 ergibt. Mit x = 7, y = 3 und x = 3, y = 7 hat die Gleichung genau zwei Lösungen in den natürlichen Zahlen. Unendlich viele Lösungen besitzt z. B. die nachstehende diophantische Gleichung: x2 + y2 − z2 = 0

(1.4)

Sie beschreibt das im zweiten Buch der Arithmetica beschriebene Problem, ein Quadrat so in zwei Quadrate aufzuteilen, dass sich der Flächeninhalt nicht ändert. Die Lösungen dieser Gleichung sind die sogenannten pythagoreischen Tripel. Nach dem Satz des Pythagoras umfassen sie alle Dreiergruppen natürlicher Zahlen (x, y, z), die als Seitenlängen rechtwinkliger Dreiecke vorkommen (Abbildung 1.8).

9


Gleichung (1.4) können wir auf nahe liegende Weise verallgemeinern und erhalten mit x +y −z = 0 n

n

n

I Pythagoreische Tripel

x

(1.5)

jene legendäre Gleichung, die Pierre de Fermat zu seiner berühmten Vermutung veranlasste. Heute wissen wir, dass sie für n > 2 keine Lösung in den ganzen Zahlen besitzt. y

Beachten Sie, dass (1.5) keine gewöhnliche diophantische Gleichung ist, da die Variable n als Exponent auftaucht. Sie fällt in die größere Gruppe der exponentiellen diophantischen Gleichungen, die uns in Abschnitt 5.4.3 erneut begegnen wird. Dort werden wir uns ausführlich mit der Frage beschäftigen, ob sich die Lösbarkeit diophantischer Gleichungen durch ein systematisches Verfahren bestimmen lässt. Soviel vorweg: Wir werden eine verblüffende Antwort erhalten. Dass wir den Begriff der diophantischen Gleichungen heute ausschließlich dann verwenden, wenn wir Lösungen in den ganzen Zahlen suchen, wird seinem Namensgeber nur teilweise gerecht. Diophantos stellte den Leser der Arithmetica unter anderem vor das Problem, die pythagoreische Gleichung (1.4) für den Fall z2 = 16 zu lösen. Unter dieser Vor16 aussetzung hat die Gleichung mit 12 5 und 5 ausschließlich Lösungen in Q, der Menge der rationalen Zahlen. Genau wie die natürlichen Zahlen, die das Abzählen von Dingen ermöglichen, haben auch die rationalen Zahlen einen ganz praktischen Hintergrund: Sie entstehen immer dann, wenn zwei geometrische Längen p und q zueinander in Bezug gesetzt werden, und sind in diesem Sinne die algebraischen Grundbausteine der Geometrie. Wir wollen an dieser Stelle nicht vorschnell über die Tatsache hinweggehen, dass die Bruchschreibweise nur eine von mehreren Darstellungsmöglichkeiten ist. Beispielsweise können wir jede rationale Zahl qp auch in Form eines periodischen Dezimalbruchs schreiben: 1 8 1 3 1 1

= 0,125 = 0,1250 = 0,3333 . . . = 0, 3 = 1, 0 = 0, 9

Umgekehrt lässt sich jeder periodische Dezimalbruch systematisch in die Bruchdarstellung überführen. Um z. B. die Zahl x = 0,0238095 p q

(1.6)

in der Form darzustellen, wenden wir einen einfachen Trick an. Zunächst multiplizieren wir beide Seiten mit 1 000 000: 1 000 000x = 23809,5238095

z

Berechnen lassen sich pythagoreische Tripel über die Formeln x = m(u2 − v2 ) y = m(2uv) z = m(u2 + v2 ) Hierin sind m, u, v positive natürliche Zahlen mit u > v. I Beispiele

1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2

(m, u, v) 2 3 3 4 4 4 2 3 3 4 4 4

1 1 2 1 2 3 1 1 2 1 2 3

3 8 5 15 12 7 6 16 10 30 24 14

(x, y, z) 4 6 12 8 16 24 8 12 24 16 32 48

5 10 13 17 20 25 10 20 26 34 40 50

... Abbildung 1.8: Pythagoreische Tripel

10


1 4

3 4

2 4

Subtrahieren wir (1.6) von dieser Gleichung, so verschwindet der periodische Anteil: 999 999x = 23809,5

2 8

6 16

12 32

4 8

3 8

Damit erhalten wir für x die folgende Darstellung:

8 16

7 16

13 32

14 32

Abbildung 1.9: Da für zwei Zahlen x, y ∈ Q auch das arithmetische Mittel x+y 2 eine rationale Zahl ist, können wir jeden Punkt mit einer beliebigen Genauigkeit annähern.

1

x=

23809,5 238095 1 = = 999 999 9 999 990 42

Anders als die natürlichen Zahlen liegen die rationalen Zahlen dicht auf der Zahlengeraden. Das bedeutet, dass wir jeden Punkt beliebig genau durch eine Folge rationaler Zahlen annähern können. Dass die Approximation immer möglich ist, verdanken wir der Eigenschaft, dass für zwei beliebige Zahlen x, y ∈ Q auch das arithmetische Mittel x+y 2 eine rationale Zahl ist (Abbildung 1.9). Dennoch weist die Menge der rationalen Zahlen Lücken auf. So war bereits den Pythagoreern bekannt, dass die Länge der Diagonalen eines Quadrats mit der Seitenlänge 1 nicht durch eine rationale Zahl ausgedrückt werden kann (Abbildung 1.10). Was hat es mit dieser mysteriösen Diagonallänge auf sich? Von ihr wissen wir zunächst nur, dass √ sie mit sich selbst multipliziert das Ergebnis 2 liefert und deshalb als 2 √ geschrieben werden darf. Der Wert von 2 lässt sich mit √ 2 ≈ 1,41421356237309504880168872420969807856 ziemlich genau beziffern und kann durch die Angabe weiterer Nachkommastellen beliebig angenähert werden. Trotzdem wird es uns niemals gelingen, den √ Wert exakt niederzuschreiben. Schuld daran ist die Eigenschaft von 2, keine Bruchdarstellung zu besitzen. Ihre Dezimalbruchdarstellung ist nichtperiodisch und setzt sich aus unendlich vielen, unregelmäßig auftretenden Nachkommaziffern zusammen.

1

√2

Abbildung 1.10: Die rationalen Zahlen können den Zahlenstrahl nicht lückenlos überdecken. Beispielsweise lässt sich die Länge der Diagonalen eines Quadrats mit der Seitenlänge 1 nicht durch eine rationale Zahl ausdrücken.

Indem wir die Lücken zwischen den rationalen Zahlen schließen, erreichen wir die Menge der reellen Zahlen R, den wichtigsten Zahlenraum der gewöhnlichen Mathematik. Aufgrund ihrer Eigenschaft, den Zahlenstrahl lückenlos zu überdecken, wird die Menge der reellen Zahlen als das Kontinuum bezeichnet. √ Betrachten wir die Zahl 2 genauer, so tritt eine weitere wichtige Eigenschaft zum Vorschein. Sie ist eine reellwertige Lösung der algebraischen Gleichung x2 − 2 = 0

11


Allgemein heißt eine Zahl x algebraisch, wenn sie eine reellwertige Lösung einer Gleichung der Form an xn + an−1 xn−1 + . . . + a1 x + a0 = 0

(1.7)

ist, wobei die Koeffizienten ai allesamt aus der Menge der ganzen Zahlen stammen. Offensichtlich ist jede rationale Zahl sung der folgenden Gleichung ist:

p q

auch algebraisch, da sie die Lö-

q·x− p = 0 Jede algebraische Zahl ist auch eine reelle, aber gilt auch die Umkehrung? Ist jede reelle Zahl auch algebraisch? Sollte es tatsächlich Zahlen geben, die keine Lösung einer algebraischen Gleichung sind, so wären sie nicht einfach zu erfassen, da wir diese Zahlen weder als Dezimalbruch hinschreiben noch indirekt als Nullstelle eines algebraischen Terms charakterisieren können.

L=

∞

∑ 10−k!

k=1

Einer der Ersten, die fest an die Existenz solcher transzendenten Zahlen glaubten, war Leonhard Euler. Konkret hegte er die Vermutung, dass die √ Zahl a b für alle rationalen Zahlen a = 1 und alle natürlichen Zahlen b außerhalb der Menge der algebraischen Zahlen liegen müsse. Dennoch sollte es ihm zu Lebzeiten nicht gelingen, einen Beweis für seine Vermutung zu finden.

1! 3! 5! = 0,1100010 ... 010 ... 010 ... 2! 4!

Erst 1844 sollte Eulers Vermutung zur Gewissheit werden. In diesem Jahr gelang es dem französischen Mathematiker Joseph Liouville als erstem, die Existenz transzendenter Zahlen zweifelsfrei zu belegen [18]. Liouville führte den Beweis konstruktiv und konnte eine konkrete Zahl angeben, die sich der Beschreibung durch eine algebraischen Gleichung entzieht (Abbildung 1.11). Es ist die berühmte Zahl ∞

L :=

∑ 10−k! ,

k=1

die nach ihrem Entdecker heute als Liouville’sche Zahl bezeichnet wird. Ab dem Jahr 1844 war die Transzendenz nicht mehr länger eine pure Möglichkeit; sie war zur mathematischen Realität geworden. Liouvilles faszinierende Entdeckung blieb kein Einzelfall. 1873 bewies der französische Mathematiker Charles Hermite die Transzendenz der berühmten eulerschen Konstante e, der Basis des natürlichen Logarithmus. Im Jahr 1882 machte der deutsche Mathematiker Ferdinand von

Joseph Liouville (1809 – 1882) Abbildung 1.11: Im Jahr 1844 bewies der französische Mathematiker Joseph Liouville die Existenz transzendenter Zahlen.

12


Abbildung 1.12: Die reellen Zahlen lassen sich in rationale Zahlen und irrationale Zahlen einteilen. Jede rationale Zahl ist auch algebraisch, aber √ nicht umgekehrt. So lässt sich die Zahl 2 als Lösung einer algebraischen Gleichung darstellen, aber nicht als Bruch. Seit dem Jahr 1844 wissen wir, dass Zahlen existieren, die keine Lösung einer algebraischen Gleichung sind. Sie bilden zusammen die Menge der transzendenten Zahlen, der unter anderem die eulersche Konstante e und die Kreiszahl π angehören.

Ra tio Zah nale len

0, 1, 2, . . . 1 2 4 2, 3, 5,...

Irra ti Zah onale len

√ √ (1+√5) 2, 5, 2 , . . . e, π, . . .

che rais b e n Alg Zahle

te den zen n s n Tra Zahle

Lindemann eine weitere wichtige Entdeckung. Es gelang ihm zu beweisen, dass die Gleichung β1 eα1 + . . . + βn eαn = 0, in der α1 , . . . , αn und β1 , . . . , βn algebraische Zahlen sind, nur die triviale Lösung β1 = . . . = βn = 0 besitzt, falls alle αi paarweise verschieden sind. Dies ist die Aussage des berühmten Satzes von LindemannWeierstraß. Aus diesem Satz und der bekannten Beziehung eiπ = −1 folgt, dass auch die Kreiszahl π transzendent sein muss. Damit waren mit der eulerschen Konstante e und der Kreiszahl π gleich zwei der wichtigsten Konstanten der Mathematik als transzendent identifiziert (Abbildung 1.12).

d = r=1

Abbildung 1.13: Unter der Quadratur des Kreises wird die Aufgabe verstanden, zu einem gegebenen Kreis ein Quadrat mit dem gleichen Flächeninhalt zu konstruieren. Aus der Transzendenz der Kreiszahl π folgt, dass eine Konstruktion mit Zirkel und Lineal nicht möglich ist.

Lindemann hatte mit seinem Ergebnis zugleich eine der berühmtesten Fragen der Geometrie beantwortet. Die Rede ist von der Quadratur des Kreises, also der Aufgabe, zu einem gegebenen Kreis ein Quadrat mit dem gleichen Flächeninhalt zu konstruieren (Abbildung 1.13). Da sich jede mit Lineal und Zirkel konstruierbare Länge als Lösung einer algebraischen Gleichung formulieren lässt, folgt aus der Transzendenz von π die Unlösbarkeit des Quadraturproblems. Heute ist die „Quadratur des Kreises“ eine beliebte Metapher für ein unlösbares Problem. Schnell warf die Erkenntnis über die Existenz transzendenter Zahlen die Frage auf, wie viele dieser schwer greifbaren Zahlen tatsächlich existieren. Ist die Transzendenz eine seltene Eigenschaft ausgewählter Zahlen oder sollte sie gar das Kontinuum durchziehen, lautlos und für lange Zeit unbemerkt wie die hypothetische dunkle Materie unser Universum? Es ist das Wissen über die Unendlichkeit, das uns eine erstaunliche Antwort auf diese Frage liefern wird. Wir kommen gleich darauf zurück.


1.2.2

Auf den Spuren der Unendlichkeit

Die moderne Mathematik hat ihre Wurzeln im neunzehnten Jahrhundert, einem Jahrhundert des schier grenzenlosen Fortschritts, das nicht nur auf gesellschaftliche und politische Fragen neue Antworten geben konnte, sondern auch Wirtschaft und Wissenschaft revolutionieren sollte. Neue Erkenntnisse sorgten für eine Aufbruchstimmung in allen Bereichen der Ingenieurs- und Naturwissenschaften. Mendels Gesetze der Vererbung und Darwins Entdeckungen zur Entstehung der Arten ließen die Natur in einem neuen Licht erscheinen. Die Offenlegung des Periodensystems der Elemente legte den Grundstein der modernen Chemie. In der Physik revolutionierten die Maxwell’schen Gesetze das physikalische Weltbild, und mit der Entwicklung des ersten Impfstoffs durch Louis Pasteur nahm der Mensch todbringenden Krankheiten ihren Schrecken. Zur Jahrtausendwende wähnte sich die Wissenschaftsgemeinde an der Grenze der Allwissenheit, und für viele war es nur eine Frage der Zeit, bis auch das letzte Rätsel dieser Welt gelüftet sein würde. Allumfassende Theorien schienen in greifbarer Nähe. Auch die Mathematik stand im neunzehnten Jahrhundert ganz im Zeichen des Fortschritts. Die Infinitesimalrechnung wurde durch Cauchy und Weierstraß auf ein solides Fundament gestellt, und auch in anderen Bereichen wurden das unendlich Große und das unendlich Kleine von ihrer mystischen Aura befreit. Riemann und Gauß gaben der Geometrie durch den rigorosen Einsatz analytischer Methoden ein neues Gesicht, Dedekind und Kronecker lieferten wichtige Beiträge zur Zahlentheorie. Es war ein Jahrhundert der Spezialisierung, in dem das Interesse an erkenntnistheoretischen Fragen allmählich zu verblassen begann. Allen Fortschritten zum Trotz hatte die präziseste aller Wissenschaften eines nicht erreicht: die Schaffung einer einheitlichen Grundlage, auf der sich die Mathematik als Ganzes errichten lässt. Dass wir mit der Mengenlehre eine solche Grundlage heute unser eigen nennen, ist keine Selbstverständlichkeit, und wie so oft war es der Zufall, der die große Wende herbeiführen sollte. Es ist ein Kuriosum der Geschichte, dass ausgerechnet eine Frage der Analysis den Anstoß zur Begründung der Mengenlehre gab. Auslöser war die 1822 geäußerte Vermutung des französischen Mathematikers Jean Baptiste Fourier, dass sich jede beliebige Funktion in Form einer trigonometrischen Reihe darstellen lässt.2 Für stetige Funktionen war Fouriers Vermutung weitgehend bewiesen, und immer mehr Mathema2 Heute wissen wir, dass Fouriers Vermutung in ihrer ursprünglichen Form falsch ist. An ihrem wegbereitenden Charakter ändert dies jedoch nichts.

13

14


rz 6 Jan 3 M

Der deutsche Mathematiker Georg Cantor wurde am 3. März 1845 in Sankt Petersburg geboren. Sein Studium absolvierte er von 1862 bis 1867 in Zürich, Göttingen und Berlin, wo er berühmte Größen wie Karl Weierstraß, Ernst Eduard Kummer oder Leopold Kronecker zu seinen Lehrern zählen durfte. 1867 wurde ihm von der Universität Berlin die Doktorwürde verliehen. Danach wechselte er nach Halle, wo er zuerst als Privatdozent, danach als Extraordinarius und schließlich als ordentlicher Professor lehrte und forschte. Cantor gehört zu den bedeutendsten Mathematikern des späten neunzehnten und frühen zwanzigsten Jahrhunderts. Er gilt als der Begründer der Mengenlehre und legte mit dem Begriff der Kardinalität den Grundstein für den Umgang mit der Unendlichkeit. Der Begriff der Abzählbarkeit geht genauso auf Cantor zurück wie die Diagonalisierungsmethode, auf die wir gleich an mehreren Stellen dieses Buchs zurückgreifen werden.

1845 1918

Georg Cantor (1845 – 1918) Abbildung 1.14: Georg Cantor war der Begründer der modernen Mengenlehre. Mit zahlreichen Beiträgen zur Untersuchung des Unendlichen führte er die Mathematik in die Moderne.

Cantor schreckte nie davor zurück, neue Wege zu beschreiten. Dennoch sollte das hohe Maß an Unverständnis, Misstrauen und Feindseligkeit, das ihm auf seinem einsamen Weg entgegenschlug, tiefe Furchen in seiner Psyche hinterlassen. Es ist ein tragischer Aspekt in seinem Leben, dass vor allem sein Lehrer Leopold Kronecker gegen ihn rebellierte und ihn mit blinder Wut zu bekämpfen versuchte. Kronecker, der in ihm einen „Verderber der Jugend“ sah, nutzte seinen Einfluss geschickt aus, um einen Wechsel Cantors an die ehrwürdige Universität Berlin zu verhindern [198]. Halle sollte für Cantor die erste und zugleich letzte Station seiner wissenschaftlichen Laufbahn sein. Im Alter von 39 Jahren erkrankte Cantor an manischer Depression – ein Leiden, das ihn bis zu seinem Lebensende begleiten sollte. Kurz nach seinem siebzigsten Geburtstag wurde er nach einem erneuten Krankheitsausbruch in die Universitätsklinik Halle eingewiesen. Dort starb Georg Cantor am 6. Januar 1918 im Alter von 72 Jahren.

tiker gingen dazu über, die Ergebnisse auf den unstetigen Fall zu übertragen. Der deutsche Mathematiker Georg Cantor war einer davon (Abbildung 1.14). Cantor verfolgte den Plan, die Annahme der Stetigkeit schrittweise abzuschwächen, um sie schließlich ganz zu eliminieren. Seine Arbeit sollte schon bald Früchte tragen. In einem ersten Schritt gelang es ihm zu zeigen, dass Fouriers Vermutung auf Funktionen zutrifft, die endlich viele Unstetigkeitsstellen besitzen. Von seinem Anfangserfolg beflügelt, ging er daran, seine Ergebnisse auf Funktionen mit unendlich vielen Unstetigkeitsstellen zu übertragen. Cantor gelang dies nicht uneingeschränkt, sondern nur dann, wenn die Verteilung der Unstetigkeitsstellen bestimmten Eigenschaften genügte. Indem er die Unstetigkeitsstellen in Mengen (Mannigfaltigkeiten) zusammenfasste, konnte er zeigen, dass sich die Verteilungseigenschaften auf strukturelle Eigenschaften der konstruierten Mengen übertragen ließen. Noch wurden Cantors Mannigfaltigkeiten von vielen Mathematikern als befremdliche Obskuritäten empfunden, die so gar nicht zu den bis dato üblichen Begriffen passten. Bis sich die Mengenlehre als akzeptierte Grundlage der gesamten Mathematik etablieren konnte, war es noch ein langer Weg. Das Instrumentarium, das Cantor für seine Untersuchungen geschaffen hatte, war von so allgemeiner Natur, dass er sowohl endliche als auch unendliche Mengen in der gleichen Weise untersuchen konnte. Der Schlüssel für den Umgang mit dem Unendlichen liegt in der Be-

15


trachtung der Mächtigkeit (Kardinalität) einer Menge M. Sie wird mit |M| bezeichnet und entspricht für endliche Mengen schlicht der Anzahl ihrer Elemente. Zum Beispiel gelten die folgenden Beziehungen: M1 = 0/ M2 = {, ♦, ◦} M3 = {2, 3, 5}

I Bijektive Abbildung von N+ nach N

⇒

3

4

5

6

7

...

1

2

3

4

5

6

7

...

|M3 | = 3 0

♦ → 3,

2

⇒ |M1 | = 0 ⇒ |M2 | = 3

Die Mengen M2 und M3 sind gleichmächtig, da sie die gleiche Anzahl an Elementen enthalten. In diesem und nur in diesem Fall sind wir in der Lage, die Elemente beider Mengen eindeutig einander zuzuordnen. Für unser Beispiel könnte die Zuordnung folgendermaßen aussehen: → 2,

1

◦ → 5

I Bijektive Abbildung von 2N nach N

0

2

4

6

...

Stimmt die Anzahl der Elemente nicht überein, so kann eine derartige Zuordnung nicht gelingen. Damit sind wir in der Lage, den Begriff der Mächtigkeit an die Existenz einer entsprechenden Abbildung zu knüpfen:

0

|M1 | = |M2 |

2

3

4

5

6

7

...

I Bijektive Abbildung von Z nach N

Definition 1.1 (Mächtigkeit) Mit M1 und M2 seien zwei beliebige Mengen gegeben. M1 und M2 heißen gleichmächtig, geschrieben als

1

−1 0 0

1

−2 2 1

3

−3 4 2

5

6 3

−4

...

7

... ...

wenn eine bijektive Abbildung f : M1 → M2 existiert. Wir schreiben |M1 | ≤ |M2 | wenn eine injektive Abbildung f : M1 → M2 existiert. Zwei unendliche Mengen sind per Definition genau dann gleichmächtig, wenn sich ihre Elemente jeweils umkehrbar eindeutig einander zuordnen lassen. Auf den ersten Blick erscheint die Herangehensweise als unnatürlich und unnötig umständlich. Auf den zweiten Blick wird deutlich, dass die Definition darauf verzichtet, die Elemente einer Menge explizit zu zählen. Damit sind wir in der Lage, auch dann die Kardinalität zweier Mengen zu vergleichen, wenn diese unendlich viele Elemente enthalten. Hieraus ergeben sich überraschende Konsequenzen. Als Erstes betrachten wir die Menge N der natürlichen Zahlen und die Menge N+ der

Abbildung 1.15: Die Existenz einer bijektiven Abbildung zwischen den natürlichen, den positiven, den geraden und den ganzen Zahlen beweist die Gleichmächtigkeit dieser Mengen.

16

1 Historische Notizen positiven ganzen Zahlen. Obwohl die Menge N+ eine echte Teilmenge von N ist, lässt sie sich mit der folgenden Zuordnungsvorschrift bijektiv auf die natürlichen Zahlen abbilden (Abbildung 1.15 oben): f : x → (x − 1) In ähnlicher Weise können wir eine Abbildung zwischen 2N, der Menge der geraden nichtnegativen Zahlen, und N herstellen (Abbildung 1.15 Mitte): f : x →

x 2

Ebenso können wir die ganzen Zahlen, wie in Abbildung 1.15 (unten) gezeigt, bijektiv auf die Menge der natürlichen Zahlen abbilden. Die folgende Zuordnung ist eine von – Sie werden es ahnen – unendlich vielen Möglichkeiten: −2x − 1 falls x < 0 f : x → 2x falls x ≥ 0 Die Mengen der natürlichen und der ganzen Zahlen erweisen sich in der Tat als gleichmächtig. Doch damit nicht genug. Auch die Menge Q der rationalen Zahlen lässt sich bijektiv auf N abbilden. Abbildung 1.16 zeigt, wie eine passende Abbildung konstruiert werden kann. Alle Elemente von Q sind in einer Matrix angeordnet, die sich unendlich weit nach rechts und nach unten ausbreitet. Fassen wir x als Spaltennummer und y als Zeilennummer auf, so können wir jedem Bruch xy ∈ Q ein Element der Matrix zuordnen. Ein Element (x, y) können wir mit einer eindeutigen Zahl πN (x, y) ∈ N versehen, indem wir links oben, bei (0,0), beginnen und uns anschließend diagonal durch die Matrix bewegen. Die entstehende Abbildung πN : N2 → N heißt Cantor’sche Paarungsfunktion und lässt sich über die nachstehende Formel direkt berechnen: x+y

πN (x, y) = y + ∑ i = y + i=0

(x + y)(x + y + 1) 2

Über die Existenz einer bijektiven Zuordnung zwischen N und Q haben wir gezeigt, dass beide Mengen die gleiche Mächtigkeit besitzen. Mithilfe der Cantor’schen Paarungsfunktion lassen sich weitere Mengen als gleichmächtig identifizieren. Durch die rekursive Anwendung sind wir z. B. in der Lage, nicht nur jedem Paar (x, y) ∈ N2 , sondern auch jedem Tripel (x, y, z) ∈ N3 ein eindeutiges Element in N zuzuordnen. Diesen Zweck erfüllt die Funktion πN3 : N3 → N mit πN3 (x, y, z) := πN (πN (x, y), z)

17


3

6

10

15

21

2

4

7

11

16

22

29

5

8

12

17

23

30

9

13

18

24

31

14

19

25

32

20

26

33

27

34

28

...

...

1

...

0

... ...

... ...

...

35

...

...

Abbildung 1.16: Die abgebildete Paarungsfunktion ordnet jedem Tupel (x, y) ∈ N2 eine Zahl πN (x, y) ∈ N zu. Die Abbildung ist bijektiv und beweist, dass N2 und N gleichmächtig sind.

Führen wir den Gedanken in dieser Richtung fort, so erhalten wir mit πN1 (x1 ) := x1 πNn+1 (x1 , . . . , xn , xn+1 )

:=

πN (πNn (x1 , . . . , xn ), xn+1 )

(1.8) (1.9)

eine bijektive Abbildung von Nn auf N. Damit ist bewiesen, dass der ndimensionale Zahlenraum Nn stets die gleiche Mächtigkeit besitzt wie die Grundmenge N selbst – unabhängig davon, wie groß wir die Dimension n ∈ N auch wählen. In einer berühmten Arbeit aus dem Jahr 1874 publizierte Cantor, wie sich auch die Menge der algebraischen Zahlen bijektiv auf die Menge der natürlichen Zahlen abbilden lässt [19]. Hierzu ordnete er jeder algebraischen Gleichung der Form (1.7) zunächst eine Höhe N zu, die sich wie folgt berechnet: N := n − 1 + |an | + . . . + |a3 | + |a2 | + |a1 | + |a0 | Für jeden Wert von N existieren nur endlich viele algebraische Gleichungen, und jede dieser Gleichungen kann maximal N Lösungen besitzen. Damit sind wir in der Lage, die algebraischen Zahlen der Reihe nach aufzuzählen, und erhalten so eine eindeutige Zuordnung zu den natürlichen Zahlen.

18

Cantors Arbeit aus dem Jahr 1874 trägt den unscheinbaren Titel „Über eine Eigenschaft des Inbegriffs aller reellen algebraischen Zahlen“. Die Frage, warum Cantor einen Titel wählte, der dem Leser keinerlei Hinweis auf sein erzieltes Hauptergebnis, die Überabzählbarkeit der reellen Zahlen, gibt, ist in Historikerkreisen umstritten. Zum einen gibt es Anlass für die Vermutung, dass Cantor das eigentlich Revolutionäre seiner Arbeit zur Zeit der Veröffentlichung selbst nicht gesehen hat und ausschließlich an einem alternativen Beweis des Liouville’schen Satzes interessiert war. Hinweise darauf finden sich in einem Brief Cantors an Richard Dedekind vom 2.12.1873: [129] „Übrigens möchte ich hinzufügen, dass ich mich nie ernstlich mit ihr [der Frage nach der Abzählbarkeit des Kontinuums] beschäftigt habe, weil sie kein besonderes praktisches Interesse für mich hat und ich trete Ihnen ganz bei, wenn Sie sagen, dass sie aus diesem Grund nicht zu viel Mühe verdient. Es wäre nur schön, wenn sie beantwortet werden könnte; z.B., vorausgesetzt dass sie mit nein beantwortet würde, wäre damit ein neuer Beweis des Liouville’schen Satzes geliefert, dass es transzendente Zahlen gibt.“ Dagegen ist der Cantor-Biograph Joseph Dauben davon überzeugt, dass die Titelwahl politisch motiviert war und nur dazu dienen sollte, seinen Erzfeind Kronecker nicht auf die Arbeit aufmerksam zu machen [36]. „Had Cantor been more direct with a title like ’The set of real numbers is nondenumerably infinite’ or ’A new and independent proof of the existence of transcendental numbers’, he could have counted on a strongly negative reaction from Kronecker. After all, when Lindemann later established the transcendence of π in 1882, Kronecker asked what value the result could possibly have, since irrational numbers did not exist.“


Cantors wesentlich bedeutsamere Entdeckung war aber eine andere. In der gleichen Arbeit, in der er die Gleichmächtigkeit von N und der Menge der algebraischen Zahlen zeigte, bewies er, dass sich das Kontinuum einer entsprechenden Zuordnung entzieht. Offenbar scheint die Anzahl der reellen Zahlen jene der natürlichen Zahlen so sehr zu übersteigen, dass es unmöglich ist, eine Eins-zu-eins-Zuordnung zwischen beiden Mengen herzustellen. Damit hatte Cantor gezeigt, dass die Menge der natürlichen Zahlen und die Menge der reellen Zahlen stellvertretend für verschiedene Unendlichkeiten stehen. Begrifflich bringen wir den Unterschied wie folgt zum Ausdruck: Definition 1.2 (Abzählbarkeit, Überabzählbarkeit) Eine Menge M heißt I

abzählbar, falls |M| = |N|,

I

höchstens abzählbar, falls |M| ≤ |N|, und

I

überabzählbar, falls |M| ≤ |N|.

In Worten ausgedrückt ist eine Menge M höchstens abzählbar, wenn sie endlich oder abzählbar ist. Cantors erster Überabzählbarkeitsbeweis Um die Überabzählbarkeit der reellen Zahlen zu zeigen, führte Cantor einen klassischen Widerspruchsbeweis. Zunächst nahm er an, dass sich die reellen Zahlen vollständig in Form einer unendlich langen Liste aufzählen lassen: ω1 , ω2 , ω3 , . . .

(1.10)

Jedes Element ωi bezeichnet eine reelle Zahl, und für jede reelle Zahl x existiert per Annahme ein Index i mit ωi = x. Cantor gelang es zu zeigen, dass in jedem nichtleeren Intervall (α1 , β1 ) dennoch mindestens eine reelle Zahl ν existieren muss, die nicht in der Liste (1.10) auftaucht. Den Widerspruch leitete er her, indem er das Startintervall (α1 , β1 ) zu einer Intervallfolge der folgenden Bauart ergänzte: (α1 , β1 ), (α2 , β2 ), (α3 , β3 ), . . . Um das Folgeintervall (αi+1 , βi+1 ) zu bestimmen, wird die aufgestellte Liste der reellen Zahlen von links nach rechts durchsucht, bis zwei

19


Zahlen gefunden werden, die innerhalb des Intervalls (αi , βi ) liegen. Die kleinere von beiden bildet die linke Grenze und die größere die rechte Grenze des neuen Intervalls (Abbildung 1.17). Anschließend unterschied Cantor die nachstehenden Fälle: I

I

Fall 1: Die Anzahl der geschachtelten Intervalle ist endlich (Abbildung 1.18 oben). Dann gäbe es ein letztes Intervall (αν , βν ), und ν ν und αν +β zwei Zahlen vor uns, von denen wir hätten mit αν +β 2 3 mindestens eine nicht in (1.10) vorkommt. Fall 2: Die Anzahl der geschachtelten Intervalle ist unendlich. Aus der Tatsache, dass die Intervallgrenzen αi und βi beschränkt und gleichzeitig streng monoton steigend bzw. fallend sind, müssen beide Folgen einem Grenzwert zustreben, den Cantor als α∞ bzw. β∞ ∞ bezeichnet. Wäre α∞ < β∞ , so könnten wir mit α∞ +β erneut eine 2 Zahl konstruieren, die in (1.10) nicht vorkommt (Abbildung 1.18 Mitte). Aber auch die letzte Alternative, α∞ = β∞ , führt zu einem Widerspruch (Abbildung 1.18 unten). Einerseits ist der Grenzwert in jedem der gebildeten Intervalle enthalten. Andererseits stellt die Konstruktionsvorschrift sicher, dass jedes ωi ab einem gewissen Index j nicht mehr in (α j , β j ) liegt. Damit kann der Grenzwert nicht in (1.10) auftauchen.

Offensichtlich gibt es kein Entrinnen! Die entstehenden Widersprüche bringen unsere Annahme zu Fall, dass eine bijektive Abbildung zwischen den reellen und den natürlichen Zahlen existieren kann. Aus den von Cantor erzielten Teilergebnissen ergibt sich eine weitreichende Konsequenz für die Menge der transzendenten Zahlen. Da die Menge der algebraischen Zahlen abzählbar und die Menge der reellen Zahlen überabzählbar ist, kann keine Abbildung der transzendenten Zahlen auf die natürlichen Zahlen gelingen. Genau wie das Kontinuum ist auch die Menge der transzendenten Zahlen überabzählbar. Waren in der Mitte des neunzehnten Jahrhunderts nur eine Handvoll transzendenter Zahlen bekannt, so wissen wir heute, dass die Transzendenz alles andere als eine exotische Eigenschaft ausgewählter Zahlen ist. Bis auf eine kleine Teilmenge sind sämtliche Elemente des Kontinuums transzendent! Cantor hatte für diese Behauptung einen wahrhaft eleganten Beweis geliefert. Die inhaltliche Aussage seines Satzes war jedoch nicht neu; Liouville hatte bereits ein paar Jahre zuvor ein ähnliches Ergebnis erzielt. Der historisch bedeutende Teil in Cantors Arbeit ist in einem sei-

3

4

9

2

10 11

8 6 1 = 2

7

5 1

1 = 1

1

1 2 = 4

2 = 5

1 2

2 1

3 = 8 1 2

3 = 6 3 3

2 1

...

Abbildung 1.17: Cantors erster Beweis der Überabzählbarkeit des Kontinuums. Ausgehend von einer Aufzählung ωi der reellen Zahlen konstruierte Cantor zunächst eine Intervallfolge der Form (α1 , β1 ), (α2 , β2 ), (α3 , β3 ), . . .

I Fall 1 α1 α2 ...

αν βν ...

β2 β1

I Fall 2 α1 α2 ...

α∞ β∞ ...

β2 β1

oder α1 α2 ...

α∞

...

β2 β1

β∞

Abbildung 1.18: Gleichgültig, wie die Konstruktion der Intervallfolge verlaufen wird: Sämtliche Möglichkeiten führen zu einem Widerspruch.

20

f (1) =

0

,

5

4

9

0

0

7

5

8

...

f (2) =

0

,

7

1

4

4

5

6

6

3

...

f (3) =

0

,

7

4

3

9

6

1

4

2

...

f (4) =

0

,

2

3

1

1

1

7

4

5

...

f (5) =

0

,

2

7

9

7

7

4

0

0

...

f (6) =

0

,

3

8

6

4

8

7

2

8

...

f (7) =

0

,

5

6

0

6

9

3

7

4

...

f (8) =

0

,

2

1

3

4

4

9

9

9

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

Abbildung 1.19: Das Diagonalisierungsargument. Gäbe es eine bijektive Abbildung von den natürlichen auf die reellen Zahlen, so müsste sich die (unendlich lange) Ziffernfolge jeder reellen Zahl in einer Zeile der Zuordnungsmatrix wiederfinden lassen. Unabhängig von der gewählten Zuordnung sind wir immer im Stande, die Ziffernfolge einer reellen Zahl zu konstruieren, die nicht in der Matrix vorkommt. Diese können wir erzeugen, indem wir uns entlang der Hauptdiagonalen von links oben nach rechts unten bewegen und die vorgefundene Ziffer um eins erhöhen oder erniedrigen. Die konstruierte Ziffernfolge kommt nirgends in der Matrix vor, da sie sich von jener der iten Zeile per Konstruktion in der i-ten Ziffer unterscheidet. Die Überlegung zeigt, dass eine bijektive Zuordnung der Elemente aus R zu den Elementen aus N nicht möglich ist. Kurzum: Die Menge der reellen Zahlen ist nicht abzählbar.


ner Teilergebnisse versteckt: Es ist der Beweis der Überabzählbarkeit der reellen Zahlen.

Cantors zweiter Überabzählbarkeitsbeweis Drei Jahre später bewies Cantor seine Aussage erneut – diesmal auf verblüffend einfache Weise. Den Kern des Beweises bildet das von ihm entwickelte Diagonalisierungsargument, eine genauso leistungsfähige wie intuitive Methode, um eine Menge als überabzählbar zu identifizieren. Cantor stellte die folgende Überlegung an: Wenn die beiden Mengen N und R gleichmächtig wären, dann müsste eine bijektive Abbildung f : N → R existieren, die jedes Element x ∈ N eineindeutig auf ein Element f (x) ∈ R abbildet. Listen wir die Nachkommaanteile von f (1), f (2), f (3), . . . von oben nach unten auf, so entsteht eine Matrix, wie sie in Abbildung 1.19 skizziert ist. Formal entspricht das Element in Spalte x und Zeile y der x-ten Nachkommaziffer der Dezimalbruchdarstellung von f (y). Natürlich können wir nur einen winzigen Ausschnitt der entstehenden Matrix zeichnen, da die Funktion f für unendlich viele Werte y ∈ N definiert ist und sich die Dezimalbruchdarstellung der reellen Zahlen f (y) über unendlich viele Ziffern erstreckt.

21

Erneut hat uns der Cantor’sche Zugang zur Unendlichkeit eine verblüffende Eigenschaft von Zahlenmengen offengelegt. Die Gleichmächtigkeit von R und R2 bedeutet, dass eine Gerade in der Ebene gleich viele Punkte besitzt wie die Ebene selbst (Abbildung 1.21). Wir sind damit in der Lage, die Punkte der Ebene verlustfrei auf die Punkte einer Geraden abzubilden. Ebenso ist es möglich, die Ebene lückenlos mit den Punkten einer Geraden zu belegen.

πR1 (x1 )

:= x1

πRn+1 (x1 , . . . , xn , xn+1 ) := πR (πRn (x1 , . . . , xn ), xn+1 ) Am Beispiel der reellen Zahlen haben wir gesehen, dass eine Unendlichkeit existiert, die mächtiger ist als jene der natürlichen Zahlen. Das Ergebnis wirft die Frage auf, ob es eine weitere Unendlichkeit gibt, die

0 , 1 4 3 2 5 1 5 0 0 0 8 7 4 5 0 9 7 ... 0 ,

4

2

1

0

0

7

5

9

...

Abbildung 1.20: Im Reißverschlussverfahren lassen sich zwei reelle Zahlen zu einer einzigen reellen Zahl verschmelzen. Auf diese Weise lässt sich eine bijektive Abbildung von R2 auf R konstruieren und damit die Gleichmächtigkeit der beiden Mengen zeigen.

...

...

...

Kombinieren wir die Aufrufe von πR wieder rekursiv miteinander, so entsteht für jede natürliche Zahl n ∈ N eine Abbildung πRn , die den ndimensionalen Zahlenraum Rn bijektiv auf R reduziert. Formal ist die Abbildung πRn , in Analogie zu den Gleichungen (1.8) und (1.9), wie folgt definiert:

8

0

5

5

3

0 ,1

0

4

...

Trotzdem gelten einige der Eigenschaften, die wir für die Menge N herausgearbeitet haben, auch in der Menge der reellen Zahlen. So sind wir auch hier in der Lage, ein Tupel (x, y) ∈ R2 bijektiv auf die Menge R abzubilden. Abbildung 1.20 skizziert die zugrunde liegende Konstruktionsidee. Die beiden reellen Zahlen x ∈ R und y ∈ R werden zu einer gemeinsamen reellen Zahl πR (x, y) ∈ R verschmolzen, indem die Vor- und Nachkommaziffern reißverschlussartig miteinander verschränkt werden.

7

Mithilfe des Diagonalisierungsarguments können wir zeigen, dass die Matrix nie vollständig sein kann. Unabhängig von der konkreten Wahl von f existieren reelle Zahlen, die nicht in der Matrix enthalten sind und damit die Bijektivität von f ad absurdum führen. Wir konstruieren eine solche Zahl, indem wir uns entlang der Hauptdiagonalen von links oben nach rechts unten bewegen und die vorgefundenen Ziffern jeweils um eins erhöhen oder erniedrigen. Die entstehende Ziffernfolge interpretieren wir als die Nachkommaziffern einer reellen Zahl r. Wäre f eine bijektive Abbildung von N auf R, so müsste auch die Zahl r in irgendeiner Zeile vorkommen. Aufgrund des gewählten Konstruktionsschemas ist jedoch sichergestellt, dass sich die reelle Zahl der i-ten Zeile in der i-ten Ziffer von r unterscheidet. Die Annahme, eine bijektive Zuordnung zwischen N und R könnte existieren, führt zu einem unmittelbaren Widerspruch. Folgerichtig ist jeder Versuch, die reellen Zahlen nacheinander durchzunummerieren, zum Scheitern verurteilt.

...


...

...

Abbildung 1.21: Die zweidimensionale Ebene und die eindimensionale Gerade beinhalten die gleiche „Anzahl“ reeller Punkte. Jeder Punkt des einen geometrischen Objekts lässt sich eindeutig auf einen Punkt des anderen abbilden.

22


wiederum mächtiger ist als jene der reellen Zahlen. Der folgende Satz von Cantor beantwortet diese Frage positiv: Satz 1.1 (Satz von Cantor) Für jede Menge M ist die Potenzmenge 2M mächtiger als M.

Wir können diese Aussage beweisen, indem wir ein ähnliches Diagonalisierungsargument verwenden, mit dem wir bereits die Überabzählbarkeit der reellen Zahlen zeigen konnten. Auch hier gehen wir wieder von der Existenz einer bijektiven Abbildung f : M → 2M aus und führen die Annahme zu einem Widerspruch. Sei f eine Funktion, die M bijektiv auf die Menge 2M abbildet. Für jedes Element x ∈ M können wir zwei Fälle unterscheiden: Entweder ist x im Bildelement f (x) enthalten (x ∈ f (x)) oder nicht (x ∈ f (x)). Alle Elemente, auf die Letzteres zutrifft, fassen wir in der Menge T zusammen: T := {x ∈ M | x ∈ f (x)} Da f bijektiv und damit insbesondere auch surjektiv ist, muss ein Urbild xT existieren mit f (xT ) = T . Wie für alle Elemente aus M gilt auch für das Element xT entweder die Eigenschaft xT ∈ T oder xT ∈ T . Beide Fälle führen jedoch unmittelbar zu einem Widerspruch: f (xT ) ⇒ xT ∈ T xT ∈ T ⇒ xT ∈ xT ∈ T ⇒ xT ∈ f (xT ) ⇒ xT ∈ T Damit haben wir gezeigt, dass es eine bijektive Funktion f : M → 2M nicht geben kann. Aus dem Cantor’schen Satz ergeben sich zwei wichtige Konsequenzen. Zum einen zeigt er, dass es keine maximale Unendlichkeit gibt, d. h., wir sind nicht in der Lage, eine Universalmenge zu konstruieren, die mächtiger ist als alle anderen Mengen. Es scheint, als ob es die Unendlichkeit abermals schafft, sich jeglichen Grenzen zu entziehen. Zum anderen bringt der Satz eine hierarchische Ordnung in die unendliche Menge der verschiedenen Unendlichkeiten: N

2N

|N| < |2N | < |22 | < |22 | < |22

22

N

| < ...

Cantor verwendete den hebräischen Buchstaben Aleph (ℵ), um die Mächtigkeit einer unendlichen Menge zu beschreiben. Die kleinste Unendlichkeit wird mit der Kardinalzahl ℵ0 bezeichnet; sie entspricht der

23


Kardinalität der natürlichen Zahlen. Eine kleinere Unendlichkeit als |N| kann es nicht geben, da sich alle unendlichen Teilmengen von N bijektiv auf N abbilden lassen. Die nächstgrößere Unendlichkeit wird durch die Kardinalzahl ℵ1 beschrieben und so fort. Besitzt eine Menge M die Kardinalität ℵn , so bezeichnen wir die Kardinalität der Potenzmenge 2M mit 2ℵn . An dieser Stelle wollen wir mit dem berühmten Cantor-SchröderBernstein-Theorem (CSB-Theorem) ein wichtiges Hilfsmittel einführen, mit dem sich die Gleichmächtigkeit vieler Mengen bequem beweisen lässt. Um die Aussage des Theorems zu verstehen, werfen wir erneut einen Blick auf Definition 1.1. Dort haben wir die Schreibweise |M1 | ≤ |M2 | eingeführt, um auszudrücken, dass sich die Menge M1 injektiv in die Menge M2 abbilden lässt. Bildlich gesprochen bedeutet dies, dass sich die Elemente von M1 in die Menge M2 einbetten lassen, ohne ein Element von M2 doppelt zu belegen. Da jede bijektive Abbildung auch injektiv ist, folgt aus |M1 | = |M2 | immer auch |M1 | ≤ |M2 | und |M2 | ≤ |M1 |. Das Cantor-Schröder-Bernstein-Theorem besagt nun, dass dieser Schluss sogar in der umgekehrten Richtung gilt: Satz 1.2 (Cantor-Schröder-Bernstein-Theorem)

I Injektionen f und g

(−1;1)

[−1;1]

1

1

1/2

1/2

1/4

1/4

1/8

1/8 ...

0

0

−1/8

−1/8

−1/4

−1/4

−1/2

−1/2

Für zwei beliebige Mengen M1 und M2 gilt: Aus |M1 | ≤ |M2 | und |M2 | ≤ |M1 | folgt |M1 | = |M2 |. −1

Einen Beweis dieses Satzes finden Sie beispielsweise in [46] oder [196]. An zwei Beispielen wollen wir demonstrieren, wie sich das CantorSchröder-Bernstein-Theorem einsetzen lässt. Als erstes wollen wir es dazu verwenden, um das offene Intervall (−1; 1) und das geschlossene Intervall [1; 1] als gleichmächtig zu identifizieren. Zunächst halten wir fest, dass sich die Menge (−1; 1) über die identische Abbildung f : x → x auf triviale Weise injektiv in die Menge [1; 1] einbetten lässt. Andersherum existiert mit g : x → 2x auch eine injektive Abbildung des geschlossenen Intervalls in das offene. Damit sind wir schon am Ziel. Aus dem CSB-Theorem folgt die Gleichmächtigkeit der beiden Intervalle. Unbestritten stellt das Ergebnis unsere Intuition erneut auf eine harte Probe, da das geschlossene Intervall [−1; 1] zwei Elemente mehr zu enthalten scheint als sein offenes Pendant (−1; 1). Abbildung 1.22 beseitigt die Zweifel, ob hier alles mit rechten Dingen zugeht. Sie zeigt, wie eine bijektive Abbildung zwischen den beiden Intervallen konkret aussehen kann.

g

f

−1

I Bijektion h : (−1; 1) → [−1; 1]

⎧ (−)1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ (−) 12 ⎪ ⎪ ⎨ (−) 14 h : x → ⎪ 1 ⎪ ⎪ (−) 8 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ x

falls falls

x = (−) 12 x = (−) 14

falls

x = (−) 18

falls ... sonst

1 x = (−) 16

Abbildung 1.22: Lässt sich eine Menge injektiv in eine andere Menge abbilden und umgekehrt, so kann durch die geschickte Kombination der beiden Abbildungen eine Bijektion zwischen den Mengen hergestellt werden. Dies ist die Aussage des berühmten Cantor-Schröder-BernsteinTheorems, hier demonstriert am Beispiel der Intervalle (−1; 1) und [−1; 1].

24

... 0 0 0 3 4 8 6 0 7 , 5 7 3 0 0 9 1 2 ...


Auf die gleiche Art und Weise können wir zeigen, dass sich die Menge der reellen Zahlen bijektiv auf das Einheitsintervall [0; 1] abbilden lässt. Eine injektive Einbettung von [0; 1] in R ist trivial. Umgekehrt können wir durch die Zuordnung ∞

∑

i=−∞

0 , 7 5 0 7 6 3 8 0 4 0 3 9 0 1 0 2 0 ...

Abbildung 1.23: Durch die Umsortierung der Ziffernfolge lassen sich alle reellen Zahlen injektiv in das Intervall [0; 1] einbetten.

∞ bi 10i → b0 10−1 + ∑ b−i 10−2i + bi 10−2i−1 i=1

jede reellen Zahl in das Intervall [0; 1] abbilden, ohne ein Element der Zielmenge doppelt zu belegen (Abbildung 1.23). Damit haben wir erneut die Voraussetzungen des CSB-Theorems erfüllt und die Gleichmächtigkeit von [0; 1] und R bewiesen. Dass sich die reellen Zahlen bijektiv auf das Intervall [0; 1] abbilden lassen, bringt eine entscheidende Vereinfachung mit sich, die wir in den nachfolgenden Kapiteln mehrfach ausnutzen werden. Anstatt die reellen Zahlen als Ganzes zu behandeln, ist es völlig ausreichend, unsere Betrachtungen auf die reellen Zahlen mit dem Vorkommaanteil 0 zu beschränken. Jetzt sind wir gewappnet, um einen wichtigen Zusammenhang zwischen den reellen Zahlen und der Potenzmenge der natürlichen Zahlen herzustellen. Schreiben wir eine reelle Zahl x aus dem Intervall [0; 1] im Binärsystem auf, so besitzt sie die folgende Form: ∞

x = ∑ bi 2−i i=1

Die Koeffizienten bi bilden aneinandergereiht eine unendlich lange Folge von Nullen und Einsen. Damit können wir x eindeutig eine Teilmenge der natürlichen Zahlen zuordnen, indem wir die Zahl n ∈ N genau dann in die Teilmenge aufnehmen, wenn die n-te Nachkommastelle von x gleich 1 ist: ∞

∑ bi 2−i

→ {n ∈ N | bn = 1}

(1.11)

i=1

Umgekehrt können wir jede Teilmenge von N injektiv in das Intervall [0; 1] einbetten: {n1 , n2 , . . .} →

∑ 2−2ni −1

(1.12)

i

Das CSB-Theorem liefert uns das Ergebnis, nach dem wir gesucht haben. Es zeigt, dass die Menge der reellen Zahlen die gleiche Mächtigkeit besitzt wie die Potenzmenge der natürlichen Zahlen: |R| = |2N | = 2ℵ0

(1.13)

25


Cantor beschäftigte sich intensiv mit der Frage, ob sich zwischen den Mengen N und R weitere Unendlichkeiten verbergen. Schon früh hegte er die Vermutung, dass es keine Menge geben kann, die bezüglich ihrer Kardinalität zwischen den natürlichen und den reellen Zahlen liegt. Demnach befänden sich die reellen Zahlen an zweiter Position (ℵ1 ) in der unendlich langen Liste der Unendlichkeiten. Genau dies ist der Inhalt der berühmten Kontinuumshypothese, die in ihrer symbolischen Form wie folgt lautet: ?

|R| = ℵ1

(1.14)

Aufgrund der oben herausgearbeiteten Äquivalenz (1.13) können wir Gleichung (1.14) auch in der Form 2ℵ0 = ℵ1 ?

schreiben und in naheliegender Weise verallgemeinern: 2ℵn = ℵn+1 ?

(1.15)

Die in Gleichung (1.15) geäußerte Vermutung heißt allgemeine Kontinuumshypothese. Plakativ besagt sie, dass die Potenzmengenoperation, während sie uns von einer Unendlichkeit zur nächsten führt, keine Unendlichkeiten überspringt. Die Kontinuumshypothese sollte Cantor bis zu seinem Lebensende beschäftigen. Einige Male glaubte er sich im Besitz eines Beweises, andere Male dachte er, die Hypothese widerlegt zu haben. Doch immer wieder tauchten Fehler auf, die seinen schon sicher geglaubten Erfolg zunichte machten. So sehr er sich auch bemühte, es blieb ihm zu Lebzeiten verwehrt, dieses große Rätsel des Kontinuums zu lüften. Cantor konnte nicht wissen, wie sehr er zum Scheitern verdammt war. Dass Cantors Mengenbegriff von vielen seiner Zeitgenossen abgelehnt und von einigen sogar heftig bekämpft wurde, lässt sich nur im historischen Kontext verstehen. Cantor schuf seinen Mengenbegriff in einer Zeit, in der die Diskussion um das Wesen der Unendlichkeit in vollem Gange war. Zwei Begriffe standen im Mittelpunkt des Diskurses: Die potenzielle Unendlichkeit und die aktuale Unendlichkeit. Den Unterschied zwischen diesen beiden Begriffen wollen wir am Beispiel der natürlichen Zahlen 0, 1, 2, 3, . . .

Über die Zuordnungsvorschrift (1.11) haben wir es geschafft, die reellen Zahlen aus dem Intervall [0; 1] injektiv in die Menge 2N einzubetten. Die Abbildung haben wir über die Binärdarstellung einer reellen Zahl definiert, und genau hier laufen wir in eine technische Schwierigkeit hinein, die auf den ersten Blick gern übersehen wird. Ausgelöst wird sie durch die Eigenschaft mancher reeller Zahlen, mehrere Binärdarstellungen zu besitzen. Beispielsweise besitzt die Zahl 12 die beiden Darstellungen 0,1 und 0,0111 . . .. Das bedeutet, dass die Vorschrift (1.11) der Zahl 12 sowohl die Menge {1} als auch die Menge {2, 3, 4, . . .} zuordnet und damit streng genommen gar keine Abbildung definiert. Glücklicherweise lässt sich dieses Problem einfach lösen. Die Mehrdeutigkeit verschwindet, wenn wir per Definition immer diejenige Darstellung mit der geringsten Anzahl Einsen zugrunde legen. Bei der Einbettung von 2N in [0; 1] müssen wir ebenfalls vorsichtig sein. Würden wir z. B. die Abbildungsvorschrift {n1 , n2 , . . .} →

∑ 2−n −1 i

i

verwenden, so wäre die Abbildung nicht mehr injektiv. Beispielsweise würden die Mengen {0} und {1, 2, 3, . . .} beide der Zahl 12 zugeordnet. Genau dies ist der Grund, weshalb ni in Gleichung (1.12) mit 2 multipliziert wird. Erst durch diesen Trick wird die Zuordnung injektiv, d. h., verschiedene Teilmengen der natürlichen Zahlen werden auf verschiedene reelle Zahlen abgebildet.

26


sichtbar machen. Außer der 0 wird jedes Element in dieser unendlich langen Liste durch die Anwendung der Nachfolgeroperation aus seinem Vorgänger gewonnen. Mit diesem Prozess können wir fortwährend neue Zahlen generieren, ohne dass die Anzahl der Iterationen nach oben beschränkt ist. Wir sagen, die Anzahl der Iterationen ist potenziell unendlich. Diese Art der Unendlichkeit birgt keinerlei Risiken in sich. Auch wenn die Anzahl der Iterationen keiner Grenze unterliegt, erreichen wir jede natürliche Zahl nach endlich vielen Schritten und müssen die Nachfolgeroperation daher niemals unendlich oft anwenden.

„So protestiere ich gegen den Gebrauch einer unendlichen Größe als einer Vollendeten, welches in der Mathematik niemals erlaubt ist.“ [60]

Carl Friedrich Gauß (1777 – 1855) Abbildung 1.24: Der deutsche Mathematiker Carl Friedrich Gauß zählt zu den genialsten Mathematikern des ausgehenden achtzehnten und beginnenden neunzehnten Jahrhunderts. Gauß hat in verschiedenen Gebieten der Mathematik, Astronomie und Physik Bahnbrechendes geleistet und führte die Göttinger Mathematik zu Weltruhm. Eine Gedenkmünze, die ein Jahr nach seinem Tod ausgegeben wurde, ehrt den brillanten Mathematiker mit dem Titel „Mathematicorum Principi“ (lat. „Dem Fürsten der Mathematiker“).

Reden wir stattdessen von den Zahlen, die sich durch die endliche Iteration der Nachfolgeroperation erzeugen lassen, als Ganzes, so haben wir den Sprung von der potenziellen Unendlichkeit in die aktuale Unendlichkeit vollzogen. Das besagte Ganze ist in diesem Fall nichts anderes als die Menge der natürlichen Zahlen selbst und besitzt unendlich viele Elemente. Ob wir die natürlichen Zahlen tatsächlich als ein abgeschlossenes Ganzes betrachten können oder lediglich das potenziell Unendliche als alleinige Grundlage akzeptieren dürfen, wurde in der Vergangenheit kontrovers diskutiert. Schon Aristoteles gehörte zu den Kritikern der aktualen Unendlichkeit [155]. Befeuert wurde die Kritik durch die scheinbaren Widersprüche, die sich im Umgang mit der Unendlichkeit ergeben. Weiter oben haben wir herausgearbeitet, dass eine Eins-zu-eins-Zuordnung zwischen den ganzen Zahlen Z und den natürlichen Zahlen N besteht, obwohl uns die Inklusionsbeziehung N ⊂ Z das Gegenteil suggeriert. In analoger Weise lässt sich zeigen, dass jede unendliche Teilmenge von N die gleiche Mächtigkeit besitzt wie die natürlichen Zahlen selbst. Einige Wissenschaftler, wie der namhafte Astronom Galileo Galilei, sahen hierin die Bestätigung dafür, dass Größenvergleiche zwischen unendlichen Mengen unzulässig sind und nur im Falle endlicher Mengen einen Sinn ergeben [58, 104]. Andere Wissenschaftler, wie der berühmte Mathematiker Carl Friedrich Gauß, lehnten den Umgang mit unendlichen Mengen als in sich geschlossene Größen vollständig ab (Abbildung 1.24). Für Cantor waren die angeblichen Paradoxien nichts weiter als Eigenschaften unendlicher Mengen. Er sah, dass die augenscheinlichen Widersprüche lediglich von der unbegründeten Annahme herrühren, dass unendliche Mannigfaltigkeiten die gleichen Eigenschaften besitzen müssen, wie die uns vertrauten endlichen Mengen. Einen Fürsprecher fand Cantor in Richard Dedekind. Genau wie er sah Dedekind in dem, was andere als Paradoxie bezeichneten, eine definierende Eigenschaft unendlicher Mengen. Offensichtlich hat eine Menge genau dann unendlich viele Elemente, wenn eine echte Teilmenge mit der gleichen Mächtigkeit existiert.


27

„[Cantors] Widerlegung der Bedenken gegen das Unendliche scheint mir im Ganzen wohlgelungen und treffend zu sein. Die Bedenken entstehen dadurch, dass dem Unendlichen Eigenschaften beigelegt werden, die ihm nicht zukommen, indem entweder Eigenschaften des Endlichen auf das Unendliche wie selbstverständlich übertragen werden oder eine Eigenschaft, die nur dem Absolutunendlichen zukommt, auf alles Unendliche übertragen wird. Auf die Unterschiede im Unendlichen nachdrücklich hinzuweisen, ist ein Verdienst dieser Schrift.“ [51]

Gottlob Frege (1848 – 1925)

„Das Unendliche wird sich in der Arithmetik doch schließlich nicht leugnen lassen, und andererseits ist es mit jener erkenntnistheoretischen Richtung unvereinbar. Hier ist, wie es scheint, das Schlachtfeld, wo eine große Entscheidung fallen wird.“ [51]

Abbildung 1.25: Der deutsche Mathematiker Gottlob Frege begründete mit dem Logizismus eine neue Denkrichtung. Auch er schreckte nicht vor dem aktual Unendlichen zurück; wie Cantor sah er darin den Schlüssel zu einer modernen Mathematik.

Obgleich das hohe Maß an Unverständnis, Misstrauen und Feindseligkeit tiefe Furchen in Cantors Psyche hinterließ, hielt er Kurs. Unbeirrt steuerte er in Richtung einer neuen Mathematik, die das aktual Unendliche zum Protagonisten erheben und damit ein für allemal von seiner Statistenrollen befreien sollte. Noch ahnte Cantor nicht, dass sein Gedankengerüst schon bald ins Wanken geraten würde.

1.2.3

Macht der Symbole

Genau wie Cantor war auch der drei Jahre später geborene Gottlob Frege ein Verfechter des aktual Unendlichen (Abbildung 1.25). Frege sah früh voraus, dass sich der Umgang mit der Unendlichkeit zu einer Grundsatzfrage der gesamten Mathematik entwickeln würde, die kontrovers genug war, um die Wissenschaftsgemeinde für lange Zeit zu spalten. Nichtsdestotrotz war er davon überzeugt, dass sich das aktual Unendliche über kurz oder lang als akzeptiertes Instrument in der Mathematik etablieren würde. Genau wie Cantor sah er die Mathematik von einer „mächtigen akademisch-positivistischen Skepsis“ [51] beherrscht, die den Fortschritt zwar verzögern konnte, aber nicht im Stande war, ihn dauerhaft aufzuhalten. Im Jahr 1879 publizierte Gottlob Frege sein wichtigstes Werk, die Begriffsschrift. In der Rückschau markiert das knapp hundertseitige Buch

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v 8 No 26 Jul


Friedrich Ludwig Gottlob Frege wurde am 8. November 1848 im mecklenburgischen Wismar geboren. 1869 schrieb er sich an der Universität Jena ein, wo er in Ernst Abbe, dem Direktor der Carl-Zeiss-Werke, einen einflussreichen Lehrer und lebenslangen Unterstützer fand. Wahrscheinlich war es ein Vorschlag Abbes, der Frege bewog, nach vier Semestern an die renommierte mathematische Fakultät der Universität Göttingen zu wechseln. Dort promovierte er im Jahr 1873 auf dem Gebiet der Geometrie. Zurück in Jena reichte er 1874 seine Habilitationsschrift ein. Nach einigen Jahren der Privatdozentur wurde er 1879 zum Extraordinarius und 1896 schließlich zum ordentlichen Professor berufen. Frege zählt zu den Begründern der mathematischen Logik und der analytischen Philosophie. Im Jahr 1879 schuf er mit mit seiner berühmten Begriffsschrift einen axiomatischen Zugang zur Logik [57], der weit über die bereits bekannte

1848 1925

Aussagenlogik von George Boole hinausging. Mit den eingeführten Begriffen und Konzepten schuf er die Grundlage der modernen Prädikatenlogik. Die meiste Zeit seines Lebens vertrat Frege die Auffassung, dass die Mathematik ein Teil der Logik sei, und war damit ein überzeugter Verfechter des Logizismus. Nach Frege müssen sich alle Wahrheiten auf eine Menge von Axiomen zurückführen lassen, die nach seinen Worten „eines Beweises weder fähig noch bedürftig“ seien. Er stand damit in einer Gegenposition zu anderen Mathematikern seiner Zeit, von denen viele die Logik als isoliertes Teilgebiet der Mathematik begriffen. Frege zog sich nach der niederschmetternden Entdeckung der Russell’schen Antinomie weitgehend aus der Wissenschaft zurück und sollte keine bedeutenden Arbeiten mehr publizieren. Die Trümmer seines logizistischen Programms vor Augen, starb Frege als verbitterter Mann am 26. Juli 1925 im Alter von 76 Jahren.

einen Meilenstein in der Geschichte der mathematischen Logik und gehört zu den wichtigsten Einzelpublikation in diesem Bereich. In seinem Werk schuf Frege das, was wir heute als symbolische Logik bezeichnen. Ihm gelang es, eine künstliche Sprache zu ersinnen, die ausdrucksstark genug ist, um die gesamte gewöhnliche Mathematik zusammen mit ihrem logischen Schlussapparat zu formalisieren. Dennoch wurde die Bedeutung, die Freges Werk für die Mathematik haben sollte, zur Zeit der Drucklegung gemeinhin verkannt. Mehrheitlich trat man seiner Arbeit mit Gleichgültigkeit entgegen oder stand seinen Ideen gar abweisend gegenüber. Auch Cantor hielt die Begriffsschrift für weitgehend bedeutungslos. Aber was war es genau, das Freges Arbeit so besonders machte? Schon ein paar Jahre zuvor hatte George Boole mit der Aussagenlogik das Grundgerüst erschaffen, um logische Relationen zwischen Elementaraussagen mithilfe symbolischer Operatoren auszudrücken [10, 11]. Freges Ansatz ging jedoch weit über die boolesche Logik hinaus. Er erkannte, dass sich die logischen Direktiven nicht nur dazu verwenden ließen, um die Zusammenhänge zwischen elementaren Aussagen zu beschreiben; sie entpuppten sich als stark genug, um die Struktur der Elementaraussagen selbst zu formalisieren. Damit hob Frege eine wichtige Einschränkung der booleschen Logik auf, die streng zwischen der Ebene der Elementaraussagen (Boolesche Variablen, primary propositions) und der Ebene der logischen Relationen (Aussagenlogische Ausdrücke, secondary propositions) unterschied.

29


I Negation („nicht A“)

In der Frege’schen Logik wird beispielsweise die Aussage

A

„Alle Menschen sind sterblich“

I Implikation („Aus B folgt A“)

in der folgenden Implikationsform dargestellt:

A

„Für alle x gilt: Wenn x ein Mensch ist, dann ist x sterblich.“ In ähnlicher Weise lässt sich die Aussage

B

A B

auf die Und-Verknüpfung (Konjunktion) zurückführen:

B∧A

I Disjunktion („B oder A“)

„Für ein x gilt: x ist ein Mensch und x ist reich.“

A

Die von Frege eingeführte Darstellungsform ist die Grundlage der modernen Prädikatenlogik. Legen wir die heute gebräuchliche Schreibweise zugrunde, so lassen sich die oben formulierten Aussagen in der Form

B

x

(1.16) (1.17)

A

∀x A

I Existenzquantifikation („Für ein x ...“) x

(1.18) (1.19)

B∨A

I Allquantifikation („Für alle x ...“)

oder kürzer als ∀ x (M(x) → S(x)) ∃ x (M(x) ∧ R(x))

B→A

I Konjunktion („B und A“)

„Manche Menschen sind reich“

∀ x (Mensch(x) → Sterblich(x)) ∃ x (Mensch(x) ∧ Reich(x))

¬A

A

∃x A

Abbildung 1.26: Die Notation in Freges Begriffsschrift und die Schreibweise der modernen Prädikatenlogik im Vergleich

ausdrücken. Der Allquantor ‚∃‘ und der Existenzquantor ‚∀‘ werden verwendet, um quantitative Aussagen über die Elemente der Grundmenge (hier die Menge aller Menschen) zu machen. Gelesen wird ∀ x als „Für alle x gilt ...“ und ∃ x als „Es existiert ein x, für das gilt: ...“. Die Zeichen ‚→‘ und ‚∧‘ sind die heute üblichen Symbole für die logische Wenn-DannBeziehung (Implikation) und die Und-Verknüpfung (Konjunktion). Obwohl sich der konzeptionelle Kern der Begriffsschrift kaum von jenem der modernen Prädikatenlogik unterscheidet, könnten ihre Erscheinungsformen kaum unterschiedlicher sein. Verantwortlich hierfür ist die komplizierte zweidimensionale Notation, in der Frege seine Formeln niederschrieb (Abbildung 1.26). Die Art der Darstellung hat nicht nur die Zunft der Buchdrucker vor neue Herausforderungen gestellt; sie ist ebenso dafür verantwortlich, dass wir Freges Buch heute nur nach einer gründlichen Einarbeitung lesen können. Um einen plastischeren Eindruck von der Notation zu erhalten, zeigt Abbildung 1.27, wie sich die Formeln (1.18) und (1.19) in Freges Notation ausdrücken lassen.

I „Alle Menschen sind sterblich“ x

S(x)

∀ x (M(x) → S(x))

M(x) I „Manche Menschen sind reich“ x

R(x)

∃ x (M(x) ∧ R(x))

M(x) Abbildung 1.27: Zusammengesetzte Ausdrücke in Freges Notation

30


Mit der Begriffsschrift war es Frege gelungen, das logische Denken auf eine symbolische Ebene zu heben. Doch seine eigentlichen Ambitionen gingen deutlich weiter. Im Gegensatz zu vielen seiner Zeitgenossen, zu denen auch Cantor und Boole gehörten, sah er die Logik nicht als Teil der Mathematik, sondern umgekehrt die Mathematik als Teil der Logik an. Mit Vehemenz verfolgte er das Ziel, sämtliche mathematischen Begriffe und Konzepte auf elementare Begriffe der Logik zurückzuführen und auf diese Weise die gesamte Mathematik mit einem soliden Unterbau zu versehen. Mit seinem ambitionierten Projekt begründete Frege eine neue philosophische Denkrichtung, die wir heute als Logizismus bezeichnen. Einen wichtigen Teilerfolg erzielte Frege im Jahr 1884 mit der Publikation der Grundlagen der Arithmetik [56]. In diesem Werk unternahm er den Versuch, den Zahlenbegriff formal zu definieren, und erläuterte den Plan für die Durchführung seines logizistischen Programms. Anders als die Begriffsschrift war sein neues Werk eine rein umgangssprachliche Abhandlung. Frege hatte sein Ziel klar vor Augen und sollte die nächsten zwanzig Jahre seines Lebens fast vollständig der Formalisierung seiner Ideen widmen. Die Früchte seiner Arbeit waren die Grundgesetze der Arithmetik, ein zweibändiges Buch, das wir neben der Begriffsschrift als das zweite Hauptwerk Freges ansehen dürfen (Abbildung 1.28) [53, 54]. Um die Arithmetik logisch zu begründen, stellte Frege einen Zusammenhang zwischen dem Begriff der Zahl und dem Begriff der Menge her. Betrachten wir beispielsweise die Menge aller Wochentage, die Menge aller Weltwunder oder die Menge aller Siegel eines unverständlichen Buchs, so zählen wir in jedem Fall 7 Elemente. Wüssten wir noch nichts über die Zahl 7, so könnten wir zumindest feststellen, dass alle genannten Mengen gleich viele Elemente enthalten. Die Erkenntnis, dass wir über die Gleichmächtigkeit von Mengen sprechen können, ohne die konkrete Anzahl ihrer Elemente zu benennen, ermöglicht es, den Zahlenbegriff auf eine Mengeneigenschaft zurückzuführen. Frege tat genau dies. Im Sinne seiner Logik wird die Zahl 7 mit der Menge aller Mengen identifiziert, die sich bijektiv auf eine der genannten Beispielmengen abbilden lassen. Genau wie Cantor war auch Frege von der Korrektheit seiner Arbeit überzeugt. Noch waren die Wolken außer Sichtweite, die sich hinter dem Horizont zusammenzogen und den strahlend blauen Himmel der neu geschaffenen Mathematik schon bald verdunkeln sollten.


31

Abbildung 1.28: Auszug aus dem 1. Band der Grundgesetze der Arithmetik. Gottlob Frege schrieb das zweibändige Werk als Teil seines logizistischen Programms. Es war der erste umfassende Versuch, die Mathematik auf die Logik zurückzuführen.

1.2.4

Aufbruch in ein neues Jahrhundert

In der Nacht zum 1.1.1900 begrüßten die Menschen das neue Jahrhundert voller Euphorie. Die wissenschaftlichen Erkenntnisse des neunzehnten Jahrhunderts hatten die Allmachtsphantasie der Menschen befeuert, und auch die Mathematik wähnte sich dank der errungenen Erfolge auf dem richtigen Pfad. Vor diesem Hintergrund verwundert es nicht, dass die Eröffnungsrede des 2. internationalen Kongresses der Mathematiker in Paris nicht, wie üblich, aus einem Rückblick auf das Gewesene, sondern einem Ausblick auf das kommende Jahrhundert bestand. Die Rede begann mit den folgenden Worten: „Wer von uns würde nicht gern den Schleier lüften, unter dem die Zukunft verborgen liegt, um einen Blick zu werfen auf die bevorstehenden Fortschritte unserer Wissenschaft

32


n 14 Feb

David Hilbert wurde am 23.1.1862 in Königsberg als ältestes Kind einer ostpreußischen Juristenfamilie geboren. Die in seiner Heimatstadt ansässige Albertus-Universität (Albertina) bot ihm optimale Voraussetzungen, um seine Talente zu entwickeln. Das Studium der Mathematik beendete er 1884 mit der Promotion, 1886 folgte die Habilitation. Nach einigen Jahren der Privatdozentur wurde er 1892 von der Albertina zum Professor berufen. 1895 folgte Hilbert einem Ruf an die mathematische Fakultät der Universität Göttingen. Es waren Größen wie Gauß, Dirichlet und Riemann, die der Göttinger Mathematik einst zu großem Ruhm verhalfen. Gegen Ende des neunzehnten Jahrhunderts drohte dieser aufgrund mangelnder Nachfolger allmählich zu verblassen. Die Berufung Hilberts war Teil eines Neuanfangs, der die Göttinger Mathematik zu neuer Blüte führen sollte.

23 Ja

1862 1943

Hilbert war nicht nur ein außerordentlich begabter, sondern auch ein ungewöhnlich vielseitiger Mathematiker. Im Laufe seiner akademischen Karriere hat er seinen Forschungsschwerpunkt mehrfach gewechselt und nicht nur im Bereich der mathematischen Logik, sondern auch in der Geometrie, der Zahlentheorie, der Analysis und der theoretischen Physik seine Spuren hinterlassen. Wie kein anderer beeinflusste Hilbert die Mathematik des beginnenden zwanzigsten Jahrhunderts. Im Jahr 1900 hielt er auf dem internationalen Kongress der Mathematiker in Paris seine berühmte Jahrhundertrede, in der er 23 ungelöste Probleme vortrug, die Mathematiker für Jahrzehnte beschäftigen sollten. Noch heute sind einige Probleme offen. Hilbert starb am 14.2.1943 im Alter von 81 Jahren. Ein unauffälliger Grabstein auf dem Göttinger Stadtfriedhof erinnert leise und bescheiden an einen der größten Visionäre seiner Zeit. In Stein gemeißelt trägt er seine berühmten Worte: „Wir müssen wissen. Wir werden wissen.“

und in die Geheimnisse ihrer Entwicklung während der künftigen Jahrhunderte! Welche besonderen Ziele werden es sein, denen die führenden mathematischen Geister der kommenden Geschlechter nachstreben? Welche neuen Methoden und neuen Tatsachen werden die neuen Jahrhunderte entdecken – auf dem weiten und reichen Felde mathematischen Denkens?“ [84] Der Redner auf dem Podium war der erst 38 jährige David Hilbert (Abbildung 1.29). Trotz seines ungewöhnlichen Alters war der junge Mathematiker kein Unbekannter. Durch zahlreiche Erfolge auf verschiedenen Gebieten der Mathematik stieg er früh in den Olymp der bedeutendsten Mathematiker auf.

David Hilbert (1862 – 1943) Abbildung 1.29: Der deutsche Mathematiker David Hilbert zählt zu den berühmtesten und einflussreichsten Mathematikern der vorigen Jahrhundertwende. Im Jahr 1900 hielt er auf dem internationalen Kongress der Mathematiker in Paris eine wegweisende Rede, an der sich die weitere Stoßrichtung der gesamten Mathematik über Jahrzehnte hinweg orientieren sollte.

In Hilbert fand die axiomatische Methode einen genauso berühmten wie prominenten Fürsprecher, und es ist eines seiner Verdienste, dass sie Ende des neunzehnten Jahrhunderts in den Mittelpunkt des Interesses rückte. Für ihn war sie die einzige adäquate Antwort auf die jahrzehntelang geführte Diskussion über das Wesen der mathematischen Grundelemente. Anders als Frege hielt Hilbert nichts von dem Versuch, die natürlichen Zahlen durch die Rückführung auf andere Begriffe zu erklären; die verwendeten Begriffe waren für ihn kaum einsichtiger als der Begriff der natürlichen Zahlen selbst. Ebensowenig teilte er die Ansicht des prominenten Zahlentheoretikers Leopold Kronecker, die „natürlichen Zahlen


habe der liebe Gott geschaffen“ [187], so dass sich jede Definition derselben als genauso überflüssig wie sinnlos erweisen müsse. Hilberts Weg aus dem Dilemma war ein formalistischer. Anstatt die mathematischen Grundelemente ihrem Wesen nach zu erklären, beschränkte er sich auf die Benennung der logischen Beziehungen, die zwischen den betrachteten Objekten bestehen. Mit seiner Vorgehensweise konnte er im Jahr 1899 mit der Neuformulierung der euklidischen Geometrie einen durchschlagenden Erfolg erzielen. Aus insgesamt 20 Axiomen, eingeteilt in 5 Axiomengruppen, lassen sich alle Sätze der euklidischen Geometrie ableiten, ohne die verwendeten Symbole mit einer speziellen Interpretation zu versehen [80]. Mit dieser Arbeit wies Hilbert den Weg, auf dem ihn viele Mathematiker über Jahre hinweg begleiten sollten. In der Folgezeit wurden weite Bereiche der Mathematik in der gleichen Art und Weise axiomatisiert und damit einer präzisen Betrachtung zugänglich gemacht. In diesem modernen Sinn wird die Mathematik zu einem symbolischen Spiel, in dem die Regeln und nicht die Bedeutungen der Figuren die Partie bestimmen. Hilberts formalistische Methode bringt das Maß an Ehrlichkeit und Klarheit mit sich, nach dem Mathematiker von jeher streben: Sie ist frei von Interpretationsspielräumen jeglicher Art. In seiner Pariser Eröffnungsrede adressierte Hilbert 23 Probleme, die für die Mathematik von immenser Wichtigkeit, aber bis dato eben ungelöst waren. Nur die ersten 10 Probleme wurden vorgetragen, die letzten 13 sind nur in der schriftlichen Ausarbeitung der Rede enthalten. Hilbert war sich bewusst, welche wegweisende Rolle der Unendlichkeitsbegriff für die Zukunft der Mathematik haben würde, und so avancierte die Klärung der Kontinuumshypothese an die erste Stelle. „[...]. Die Untersuchungen von Cantor über solche Punktmengen machen einen Satz sehr wahrscheinlich, dessen Beweis jedoch trotz eifrigster Bemühungen bisher noch niemanden gelungen ist; dieser Satz lautet: Jedes System von unendlich vielen reellen Zahlen, d. h. jede unendliche Zahlen- (oder Punkt)menge ist entweder der Menge der ganzen natürlichen Zahlen 1, 2, 3, ... oder der Menge sämtlicher reellen Zahlen und mithin dem Kontinuum, d. h. etwa den Punkten einer Strecke äquivalent; im Sinne der Äquivalenz gibt es hiernach nur zwei Zahlenmengen, die abzählbare Menge und das Kontinuum.“ [84] An zweiter Stelle forderte Hilbert dazu auf, einen Beweis für die Widerspruchsfreiheit der arithmetischen Axiome zu liefern.

33

34


„[...]. Vor allem aber möchte ich unter den zahlreichen Fragen, welche hinsichtlich der Axiome gestellt werden können, dies als das wichtigste Problem bezeichnen, zu beweisen, dass dieselben untereinander widerspruchslos sind, d.h., dass man aufgrund derselben mittelst einer endlichen Anzahl von logischen Schlüssen niemals zu Resultaten gelangen kann, die miteinander in Widerspruch stehen.“ [84] Konkret handelt es sich um eine Reihe von Axiomen, die nach dem italienische Mathematiker Giuseppe Peano benannt sind. Wenn wir heute von den Peano-Axiomen reden, so sind die fünf Axiome 1, 6, 7, 8 und 9 aus Abbildung 1.30 gemeint. Sie drücken jene fünf Eigenschaften aus, über die sich die Ordnungsstruktur der natürlichen Zahlen eindeutig charakterisieren lässt.3 Ihren Ursprung haben die Axiome in der berühmten Abhandlung Was sind und was sollen die Zahlen von Richard Dedekind aus dem Jahr 1888 [45]. Dort waren sie noch umgangssprachlich formuliert und wurden von Peano ein Jahr später in eine symbolische Formelsprache gebracht [131] (aus dem lateinischen übersetzt in [72]). In Abschnitt 3.1 werden wir die Axiome in einer leicht modernisierten Form wieder aufgreifen und in die moderne Prädikatenlogik übersetzen. Der von Hilbert eingeforderte Widerspruchsfreiheitsbeweis für die arithmetischen Axiome ist von tragender Bedeutung für die gesamte Mathematik, da nahezu alle ihre Teilbereiche auf der Theorie der Zahlen aufbauen. Solange die Widerspruchsfreiheit nicht garantiert werden kann, besteht die Möglichkeit, dass sich sowohl die Gleichung 1 + 1 = 2 als auch die Gleichung 1 + 1 = 2 aus den Axiomen ableiten lässt. Die Auswirkungen wären von fatalem Ausmaß für alle Bereiche der Mathematik. Hilbert war fest davon überzeugt, dass sich die Widerspruchsfreiheit axiomatischer Systeme beweisen lässt, und seine Anfangserfolge schienen ihm Recht zu geben. Im Rahmen seiner Neuformulierung der Geometrie konstruierte er einen speziellen Zahlenbereich derart, dass jede beweisbare Beziehung zwischen den geometrischen Objekten einer beweisbaren Beziehung zwischen den Elementen dieses Zahlenbereichs entspricht und umgekehrt. Folgerichtig würde jeder Widerspruch, der sich aus den geometrischen Axiomen ergibt, als Widerspruch in der 3 Dass Peano die natürlichen Zahlen mit der 1 beginnen ließ und nicht, wie heute üblich mit der 0, spielt nur eine untergeordnete Rolle, schließlich haben wir in Abschnitt 1.2.2 gezeigt, dass sich die Mengen {0, 1, 2, . . .} und {1, 2, 3, . . .} bijektiv aufeinander abbilden lassen.


35

Giuseppe Peano (1858 – 1932) Abbildung 1.30: Auszug aus der übersetzten Originalarbeit von 1889, in der Giuseppe Peano die erste formale Axiomatisierung der natürlichen Zahlen publizierte. Das nach links geöffnete C verwendete Peano für die logische Implikation. Später wurde es als ⊃ geschrieben und entspricht dem heute gebräuchlichen Implikationsoperator →.

Arithmetik sichtbar werden. Mit anderen Worten: Vertrauen wir der Arithmetik, so folgt daraus die Widerspruchsfreiheit der geometrischen Axiome. Was Hilbert vollbrachte, war ein relativer Widerspruchsbeweis. Er hatte die Widerspruchsfreiheit der Geometrie erfolgreich auf die Widerspruchsfreiheit der Arithmetik reduziert. Für die Arithmetik selbst forderte Hilbert dagegen einen absoluten Beweis, der ohne die Annahme der Widerspruchsfreiheit eines anderen Systems auskommt. Ganz im Sinne des Henne-Ei-Problems würde jeder relative Beweis die Frage nach der Widerspruchsfreiheit lediglich auf ein anderes Axiomensystem verschieben. Im Augenblick seiner Rede stand für Hilbert außer Zweifel, dass ein absoluter Widerspruchsfreiheitsbeweis für die Arithmetik existiert. Noch war es für ihn lediglich eine Frage der Zeit, bis er gefunden werden würde. An zehnter Stelle forderte Hilbert dazu auf, ein Lösungsverfahren für diophantische Gleichungen zu erarbeiten (Abbildung 1.31).

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x2 + y2 z2 = 0

„Eine diophantische Gleichung mit irgend welchen Unbekannten und mit ganzen rationalen Zahlenkoeffizienten sei vorgelegt: man soll ein Verfahren angeben, nach welchem sich mittelst einer endlichen Anzahl von Operationen entscheiden lässt, ob die Gleichung in ganzen rationalen Zahlen lösbar ist.“ [84] Wie in Abschnitt 1.2.1 dargelegt, hat eine diophantische Gleichung die Form p(x1 , x2 , . . . , xn ) = 0

Unlösbar

Lösbar

Abbildung 1.31: An zehnter Stelle seiner Jahrhundertrede forderte Hilbert dazu auf, ein allgemeines Lösungsverfahren für diophantische Gleichungen zu erarbeiten.

wobei p ein multivariables Polynom mit ganzzahligen Koeffizienten ist. Die Lösung einer diophantischen Gleichung ist die Menge der ganzzahligen Nullstellen von p. Was Hilbert damals als Verfahren bezeichnete, würden wir heute Algorithmus nennen. Zum Zeitpunkt seiner Rede war der Computer noch in weiter Ferne, und es herrschte nur eine vage Vorstellung davon, was unter einem Verfahren im Hilbert’schen Sinne genau zu verstehen sei. In der Tat sollten noch mehr als 30 Jahre vergehen, bis der Berechenbarkeitsbegriff durch Alan Turing und Alonzo Church in eine mathematisch präzise Form gebracht werden konnte. In Kapitel 5 werden wir im Detail auf die Berechenbarkeitstheorie zu sprechen kommen und zeigen, warum jeder Versuch, das von Hilbert eingeforderte Verfahren zu konstruieren, von Grund auf zum Scheitern verurteilt ist.

1.2.5

Grundlagenkrise

Das neue Jahrhundert war noch jung, als Gottlob Frege im Juni 1902 einen Brief des britischen Mathematikers und Philosophen Bertrand Russell erhielt (Abbildung 1.32). Was Frege las, sollte nicht nur seine eigene Arbeit im Mark erschüttern, sondern die gesamte Mathematik in die größte Krise ihrer mehrere tausend Jahre alten Geschichte stürzen. Frege erreichte der Brief just zu der Zeit, als er den zweiten Band der Grundgesetze der Arithmetik fertigstellte. Viele Jahre seines Lebens hatte er auf diese Arbeit verwendet und sah sie auf einen Schlag in Trümmern liegen. Für größere Änderungen war es ohnehin zu spät, und so schließt der zweite Band mit dem folgenden Nachwort [52, 55]: „Einem wissenschaftlichen Schriftsteller kann kaum etwas Unerwünschteres begegnen, als dass ihm nach Vollendung einer Arbeit eine der Grundlagen seines Baues erschüttert wird. In diese Lage wurde ich durch einen Brief des Herrn

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ai 2 Feb

Bertrand Arthur William Russell war der Enkel des zweimaligen britischen Premierministers Lord John Russell und wurde am 18. Mai 1872 als drittes Kind einer liberalen Aristokratenfamilie geboren. Als er 2 Jahre alt war, fielen Mutter und Schwester der Diphtherie zum Opfer. Als er 1876 auch noch seinen Vater verlor, erstritten seine Großeltern das Sorgerecht. Zwei Jahre später verstarb sein Großvater, und seine Großmutter übernahm allein die Erziehung. Schon in frühen Jahren wurde Russells einzigartige Begabung für Mathematik und Philosophie sichtbar. Zunächst wurde er privat und später am renommierten Trinity College in Cambridge unterrichtet. In den Jahren 1890 bis 1894 widmete er sich dem Studium der Mathematik und lernte in dieser Zeit seinen Lehrer und späteren Freund Alfred North Whitehead kennen. Nach seinem Studium nutzte er bis 1901 die ihm gebotene Möglich-

18 M

1872 1970

keit, in Cambridge ohne Lehrverpflichtungen zu forschen, und wurde 1908 in die Royal Society aufgenommen. Eine einschneidende Veränderung erfuhr sein Leben durch den ersten Weltkrieg. Im Jahr 1916 wurde er aufgrund wiederholter pazifistischer Aktivitäten zu einer Geldstrafe verurteilt und seiner Anstellung am Trinity College enthoben [70]. Zwei Jahre später wurde ihm erneut der Prozess gemacht und eine zweijährige Gefängnisstrafe auferlegt. In der Folgezeit verfasste er eine Vielzahl bedeutender Werke über philosophische und gesellschaftliche Themen und wurde im Jahr 1950 mit dem Literaturnobelpreis geehrt. Durch seine literarische Arbeit gelangte er zu Weltruhm, und etliche Menschen verbinden seinen Namen heute ausschließlich mit seinem philosophischen Werk. Viele wissen nicht, dass sich hinter dem berühmten Philosophen Bertrand Russell zugleich einer der größten Mathematiker des zwanzigsten Jahrhunderts verbirgt.

Bertrand Russell versetzt, als der Druck dieses Bandes sich seinem Ende näherte.“ Was konnte Freges Arbeit so grundlegend erschüttern, dass er sein gesamtes Lebenswerk gefährdet sah? Die Antwort ist in der Proposition V, seinem fünften Grundgesetz, verborgen. Aus diesem Gesetz lässt sich das allgemeine Komprehensionsaxiom ableiten, das in moderner Schreibweise so lautet: ∃ y ∀ x ((x ∈ y) ↔ ϕ(x)) Hierin ist ϕ eine frei wählbare Formel, in der die Variable y nicht vorkommt. In Worten liest sich das allgemeine Komprehensionsaxiom wie folgt: Es existiert eine Menge y, die genau diejenigen Elemente x enthält, auf die die Eigenschaft ϕ zutrifft. Beschreibt ϕ beispielsweise die Eigenschaft, eine Primzahl zu sein, so sichert uns das Komprehensionsaxiom zu, von der Menge aller Primzahlen reden zu dürfen. Das Axiom wird häufig auch als Separationsaxiom bezeichnet, da die Bedingung ϕ diejenigen Elemente, die in y enthalten sind, von jenen separiert, die nicht in y enthalten sind. Es ist ein entscheidendes Merkmal der Frege’schen Logik, dass die Formel ϕ keinerlei Einschränkungen unterliegt. Russell erkannte die Gefahr dieser Freiheit und traf die folgende Wahl: ϕ(x) := (x ∈ x)

Bertrand Russell (1872 – 1970) Abbildung 1.32: Dem britischen Mathematiker und Philosophen Bertrand Russell gelang es, die Logik der naiven Mengenlehre als widersprüchlich zu entlarven. Seine Entdeckung stürzte die Mathematik in die größte Krise ihrer mehrere tausend Jahre alten Geschichte.

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BARBIER -PARADOXON „You can define the barber as ’one who shaves all those, and those only, who do not shave themselves’. The question is, does the barber shave himself?“ [157] Fall 1: Der Barbier rasiert sich selbst. Hieraus folgt...

Die Formel beschreibt eine harmlos erscheinende Eigenschaft: Sie trifft auf alle Mengen x zu, die sich nicht selbst als Element enthalten. ϕ ist für die meisten Mengen wahr. So ist die Menge aller Menschen selbst kein Mensch und auch die Menge aller Primzahlen selbst keine Primzahl. Dagegen ist ϕ für die Menge aller Mengen falsch. Da sie selbst eine Menge ist, enthält sie sich auch selbst als Element. Mit der getätigten Wahl von ϕ garantiert uns das Komprehensionsaxiom die Existenz einer Menge y mit der folgenden Eigenschaft: ∀ x ((x ∈ y) ↔ (x ∈ x)) In Worten: Die Menge y ist die Menge aller Mengen, die sich nicht selbst als Element enthalten. Jetzt können wir über die sogenannte Instanziierungsregel den Allquantor eliminieren, indem wir x durch ein beliebiges Element ersetzen. Wählen wir für x die besagte Menge y, so erhalten wir den Widerspruch, dass sich die Menge y genau dann selbst enthält, wenn sie sich nicht selbst enthält: (y ∈ y) ↔ (y ∈ y)

Fall 2: Der Barbier rasiert sich nicht selbst. Hieraus folgt...

X

Abbildung 1.33: Der besagte Barbier rasiert genau diejenigen Männer, die sich nicht selbst rasieren. Die Frage, ob sich der Barbier selbst rasiert oder nicht, führt zu demselben Zirkelschluss, der auch der Russell’schen Antinomie zugrunde liegt.

Sowohl in der Frege’schen Logik als auch in der Cantor’schen Mengenlehre ist das allgemeine Komprehensionsaxiom eine tragende Säule. Durch ihr Wegbrechen stand die neue Mathematik mit einem Schlag auf wackligen Füßen. Die Russell’sche Antinomie macht deutlich, dass sowohl Frege als auch Cantor im Umgang mit dem aktual Unendlichen zu unvorsichtig waren. So harmlos das allgemeine Komprehensionsaxiom auch wirken mag – es lässt uns Mengen konstruieren, die wir nicht als abgeschlossenes Ganzes ansehen dürfen. Betrachten wir die Menge aller Mengen, die sich nicht selbst als Element enthalten, tatsächlich als aktual existent, so sind die entstehenden Widersprüche unausweichlich. Heute wird der Zirkelschluss der Russell’sche Antinomie gern am Beispiel des Barbier-Paradoxons erklärt (Abbildung 1.33). Russell selbst griff auf dieses Paradoxon zurück, um seine Antinomie mit Begriffen des Alltags einem größeren Leserkreis nahe zu bringen. Der hohe Bekanntheitsgrad der Russell’schen Antinomie täuscht häufig darüber hinweg, dass der Mengenbegriff schon vorher für Ungereimtheiten gesorgt hatte. So bemerkte Cantor im Jahr 1897, dass die Menge aller Kardinalzahlen ihre eigene Kardinalzahl nicht umfassen kann. Zwei Jahre später stieß er auf das Burali-Forti-Paradoxon, auf das wir in Abschnitt 3.2.2 zurückkommen werden. Benannt ist es nach dem italienischen Mathematiker Cesare Burali-Forti, der schon 1897 entdeckt

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hatte, dass die Definition der Menge aller Ordinalzahlen zu Widersprüchen führt. Cantor hat die Entdeckung der Antinomien niemals publiziert, und wir wissen von seinen Erkenntnissen ausschließlich aus Briefwechseln mit Hilbert und Dedekind. Auch sie hielten die Antinomien wohl eher für Kuriositäten, die aus dem unzulässigen, weil informellen Gebrauch verschiedener Begriffe herrührten. Die Russell’sche Antinomie war anders. Zum einen war sie so elementar, dass alle Bereiche der Mathematik betroffen waren, die in irgendeiner Form auf den Begriff der Menge zurückgriffen. Zum anderen hatte Russell nicht nur gezeigt, dass die Menge aller Mengen, die sich nicht selbst enthalten, zu Widersprüchen führt, sondern auch, dass diese Menge innerhalb der Logik formal konstruiert werden kann. Anders als die Antinomien der Ordinal- oder Kardinalzahltheorien, die als kuriose Begleiterscheinungen am Rande eines ansonsten intakten mathematischen Kerns gewertet wurden, ließ sich die Russell’sche Antinomie nicht ignorieren. Was Russell entdeckte, war eine tektonische Verwerfung riesigen Ausmaßes, mitten im Herzen der Mathematik. Frege empfand die Entdeckung der Antinomie als schweren Schlag, der sein Lebenswerk wie eine Seifenblase zerplatzen ließ. Als zwei Jahre später seine Frau Margarete verstarb, verfiel er in eine tiefe Depression, von der er sich zeitlebens nicht mehr erholen sollte. Bertrand Russell teilte den Frege’schen Pessimismus nicht. Er erkannte, dass die entdeckten Antinomien durch die Konstruktion von Mengen entstehen, die „zu groß“ sind, um als abgeschlossenes Ganzes einen Sinn zu ergeben. Nach Russells Ansicht musste es durch die geschickte Abwandlung der zugrunde gelegten Axiome möglich sein, genügend Kontrolle über den Mengenbegriff zu erlangen, um die Mathematik von ihren Widersprüchen zu befreien. Zusammen mit dem britischen Mathematiker Alfred North Whitehead (Abbildung 1.34) versuchte er, Freges Traum doch noch zu verwirklichen. Es war der zweite Anlauf, ein widerspruchsfreies Fundament zu errichten, auf dem die Mathematik für alle Zeiten einen sicheren Halt finden sollte.

Alfred North Whitehead (1861 – 1947)

Nach zehn Jahren intensiver Arbeit war das Ergebnis greifbar: Die Principia Mathematica, erschienen in den Jahren 1910 bis 1913, waren fertiggestellt (Abbildung 1.35). Russell und Whitehead schufen ein monumentales Werk, das in Umfang und Tiefe weit über die Frege’sche Arbeit hinausgeht. Auf über 1800 Seiten, verteilt auf 3 Bände, unternahmen die Autoren den Versuch, alle mathematischen Erkenntnisse aus einer kleinen Menge von Axiomen systematisch herzuleiten. Auch

Abbildung 1.34: Der britische Mathematiker Alfred North Whitehead war der zweite Autor der Principia Mathematica. Genau wie sein Schüler und langjähriger Freund Bertrand Russell verabschiedete sich Whitehead in späteren Jahren von der reinen Mathematik und wandte sich verstärkt philosophischen Themen zu.

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Abbildung 1.35: Principia Mathematica. Dieses monumentale Werk von Russell und Whitehead ist für uns nicht leicht zu lesen, da sich die Notation von der heute gebräuchlichen unterscheidet und in einigen Aspekten unglücklich gewählt wurde. So besitzt der Punkt in der Principia eine Doppelbedeutung. In Abhängigkeit von seiner Position wird er für die konjunktive Verknüpfung oder zum Klammern von Teilausdrücken verwendet. Die Abbildung zeigt drei Formeln aus der Originalausgabe der Principia Mathematica sowie deren Übersetzung in die heute übliche Schreibweise.


I

Drei Formeln der Principia . . .

I

und deren moderne Schreibweise

(2.03) (2.15) (2.16) (2.17)

(p → ¬q) → (q → ¬p) (¬p → q) → (¬q → p) (p → q) → (¬q → ¬p) (¬q → ¬p) → (p → q)

heute noch zählen die Principia Mathematica zu den berühmtesten mathematischen Werken unserer Geschichte. An Russells und Whiteheads monumentalem Werk werden sowohl die Vor- als auch die Nachteile einer vollständig formalisierten Mathematik sichtbar. Zum einen machen die Principia deutlich, dass sich nahezu alle Bereiche der gewöhnlichen Mathematik mit einer Präzision erfassen lassen, die in keiner anderen Wissenschaft vorhanden ist. Alle Beweise sind bis ins Detail ausgearbeitet und werden durch die Anwendung fest definierter Schlussregeln aus den Axiomen hergeleitet. Auf der anderen Seite fordert die erreichte Präzision ihren Tribut in einer gewaltig anwachsenden Komplexität. In Abbildung 1.36 ist die vielleicht berühmteste Passage der Principia zu sehen. Sie zeigt den Abschluss des formalen Beweises für die arithmetische Beziehung 1 + 1 = 2. Vor dem historischen Hintergrund wird deutlich, warum ein großer Teil der Principia der Typentheorie gewidmet ist. Hierbei handelt es sich um eine spezielle Form der Mengenlehre, in der sich die Widersprüche der Frege’schen Logik nicht reproduzieren lassen. Um die Antinomien zu umgehen, verfolgte Russell den Ansatz, Mengen hierarchisch zu ordnen. Auf der untersten Stufe befinden sich die Typ-1-Mengen, die lediglich Objekte des Individuenbereichs umfassen. Auf der nächsten Stufe befinden sich die Typ-2-Mengen, die ausschließlich Typ-1-Mengen als Elemente enthalten. Dann folgen die Typ-3-Mengen, die aus Typ2-Mengen bestehen, und so fort. Da eine Typ-n-Menge niemals selbst ein Element vom Typ n besitzen darf, kann sich eine Menge in der Typentheorie der Principia niemals selbst enthalten. Durch die Einführung dieser Mengenhierarchie war es Russell und Whitehead gelungen, jene


Abbildung 1.36: Formaler Beweis der arithmetischen Beziehung 1 + 1 = 2 im System der Principia Mathematica

Art von Selbstbezug zu vermeiden, die wenige Jahre zuvor die Mathematik in ihre tiefste Krise stürzte. Dennoch hat die Typentheorie die Zeit nicht überdauert, was im Wesentlichen an zwei Gründen liegt. Zum einen schränkt sie den Begriff der Menge so stark ein, dass sich etliche als harmlos geltende Mengen nicht mehr bilden lassen. Zum anderen führt ihre klobige Hierarchie dazu, dass viele Beweise im System der Principia deutlich umständlicher geführt werden müssen als beispielsweise in der Frege’schen Logik.

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1.2.6

Axiomatische Mengenlehre

Die moderne Mengenlehre ist durch den formalen axiomatischen Aufbau von Ernst Zermelo und Abraham Fraenkel geprägt [50, 202]. Den Grundstein legte der deutsche Mathematiker Ernst Zermelo 1907 (Abbildung 1.37). Seine Mengenlehre bestand aus insgesamt 7 Axiomen, die zu dieser Zeit noch umgangssprachlich formuliert waren [202] (Abbildung 1.38). Erst im Jahr 1929 wurde sie von Thoralf Skolem in der Prädikatenlogik formal niedergeschrieben [168]. Obwohl die ZermeloMengenlehre einen deutlichen Fortschritt gegenüber dem Typensystem von Russell und Whitehead darstellt, ist sie ebenfalls zu konservativ ausgelegt. Beispielsweise ist es unmöglich, die (gutartige) Menge aller n-elementigen Mengen zu bilden, so dass selbst der widerspruchsfreie Kern der Frege’schen Logik nicht innerhalb der Zermelo-Mengenlehre nachgebildet werden kann. In den Folgejahren bewegte sich die Mathematik auf einem schmalen Grat. Einerseits galt es, die Zermelo-Axiome in einem Maß zu verändern, dass möglichst alle gutartigen Mengen innerhalb der Logik dargestellt werden können. Andererseits mussten Antinomien um jeden Preis ferngehalten werden, so dass die Erweiterung der Axiome sehr konservativ zu geschehen hatte. Im Zuge dieser Entwicklung wurde die Zermelo-Mengenlehre 1922 von Abraham Fraenkel um das Ersetzungsaxiom und 1930 von Zermelo um das Fundierungsaxiom ergänzt [50, 203] (Abbildung 1.38). Dafür ließ Zermelo in seiner Fassung von 1930 das Unendlichkeitsaxiom „als nicht zur allgemeinen Mengenlehre gehörig“ vorübergehend wegfallen, und auch das Auswahlaxiom war nicht mehr enthalten. Heute setzt sich die Zermelo-FraenkelMengenlehre, kurz ZF, aus den folgenden 9 Axiomen zusammen:

Ernst Friedrich Ferdinand Zermelo (1871 – 1953) [93] Abbildung 1.37: Mit 7 umgangssprachlich formulierten Axiomen legte der deutsche Mathematiker Ernst Zermelo den Grundstein der axiomatischen Mengenlehre.

I

Axiom der Bestimmtheit (Zermelo, 1908)

I

Axiom der leeren Menge (Zermelo, 1908)

I

Axiom der Paarung (Zermelo, 1908)

I

Axiom der Vereinigung (Zermelo, 1908)

I

Axiom der Aussonderung (Zermelo, 1908)

I

Axiom des Unendlichen (Zermelo, 1908)

I

Axiom der Potenzmenge (Zermelo, 1908)

I

Axiom der Ersetzung (Fraenkel, 1922)

I

Axiom der Fundierung (Zermelo, 1930)

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I Axiom I (Axiom der Bestimmtheit)

„Ist jedes Element einer Menge M gleichzeitig Element von N und umgekehrt, ist also gleichzeitig M ⊂ N und N ⊂ M, so ist immer M = N. Oder kürzer: Jede Menge ist durch ihre Elemente bestimmt.“ I Axiom II (Axiom der Elementarmenge)

„Es gibt eine (uneigentliche) Menge, die ‚Nullmenge‘ 0, / welche gar keine Elemente enthält. Ist a irgend ein Ding des Bereichs, so existiert eine Menge {a}, welche a und nur a als Element enthält; sind a, b irgend zwei Dinge des Bereichs, so existiert immer eine Menge {a, b}, welche sowohl a als [auch] b, aber kein von beiden verschiedenes Ding x als Element enthält. “ I Axiom III (Axiom der Aussonderung)

„Ist die Klassenaussage Φ(x) definit für alle Elemente einer Menge M, so besitzt M immer eine Untermenge MΦ , welche alle diejenigen Elemente x von M, für welche Φ(x) wahr ist, und nur solche als Elemente enthält.“ I Axiom IV (Axiom der Potenzmenge)

„Jeder Menge T entspricht eine zweite Menge U (die ‚Potenzmenge‘ von T ), welche alle Untermengen von T und nur solche als Elemente enthält.“ I Axiom V (Axiom der Vereinigung)

„Jeder Menge T entspricht eine Menge ST (die ‚Vereinigungsmenge‘ von T ), welche alle Elemente der Elemente von T und nur solche als Elemente enthält.“ I Axiom VI (Axiom der Auswahl)

„Ist T eine Menge, deren sämtliche Elemente von 0/ verschiedene Mengen und untereinander elementfremd sind, so enthält ihre Vereinigung ∪T mindestens eine Untermenge S1 , welche mit jedem Element von T ein und nur ein Element gemein hat.“ I Axiom VII (Axiom des Unendlichen)

„Der Bereich enthält mindestens eine Menge Z, welche die Nullmenge als Element enthält und so beschaffen ist, dass jedem ihrer Elemente a ein weiteres Element der Form {a} entspricht, oder welche mit jedem ihrer Elemente a auch die entsprechende Menge {a} als Element enthält.“

I Axiom der Bestimmtheit (B)

„Jede Menge ist durch ihre Elemente bestimmt, sofern sie überhaupt Elemente besitzt.“ I Axiom der Aussonderung (A)

„Durch jede Satzfunktion f(x) wird aus jeder Menge m eine Untermenge mf ausgesondert, welche alle Elemente x umfasst, für die f(x) wahr ist. Oder: Jedem Teil einer Menge entspricht selbst eine Menge, welche alle Elemente dieses Teils enthält.“ I Axiom der Paarung (P)

„Sind a, b irgend zwei Elemente, so gibt es eine Menge, welche beide als Element enthält.“ I Axiom der Potenzmenge (U)

„Jeder Menge m entspricht eine Menge Um, welche alle Untermengen von m als Elemente enthält, einschließlich der Nullmenge und m selbst. An die Stelle der ‚Nullmenge‘ tritt hier ein beliebig ausgewähltes ‚Urelement‘ u0 .“ I Axiom der Vereinigung (V)

„Jeder Menge m entspricht eine Menge Sm, welche die Elemente ihrer Elemente enthält.“ I Axiom der Ersetzung (E)

„Ersetzt man die Elemente x einer Menge m eindeutig durch beliebige Elemente x des Bereiches, so enthält dieser auch eine Menge m , welche alle diese x zu Elementen hat.“ I Axiom der Fundierung (F)

„Jede (rückschreitende) Kette von Elementen, in welcher jedes Glied Element des vorangehenden ist, bricht mit endlichem Index ab bei einem Urelement. Oder, was gleichbedeutend ist: Jeder Teilbereich T enthält wenigstens ein Element t0 , das kein Element t in T hat.“ I Optional: Axiom der Auswahl (AC)

„Ist T eine Menge, deren sämtliche Elemente von 0/ verschiedene Mengen und untereinander elementfremd sind, so enthält ihre Vereinigung ∪T mindestens eine Untermenge S1 , welche mit jedem Element von T ein und nur ein Element gemein hat.“

Abbildung 1.38: Links: Zermelo-Mengenlehre in der Formulierung von Ernst Zermelo aus dem Jahr 1908 [202]. Rechts: Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre in der Formulierung von Ernst Zermelo aus dem Jahr 1930 [203]

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Wird das System zusätzlich um das Auswahlaxiom (axiom of choice) erweitert, so sprechend wir von der ZFC-Mengenlehre (Zermelo-Fraenkel with Choice). In Abschnitt 3.2 werden wir uns ausführlich mit der Zermelo-FraenkelMengenlehre befassen. Dort werden wir die Bedeutung der einzelnen Axiome im Detail besprechen und zeigen, wie sich die umgangssprachlichen Formulierungen mithilfe der Prädikatenlogik formal ausdrücken lassen. Die Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre ist zum Rückgrat der modernen Mathematik geworden. Zum einen wurde mit ihr ein logisches Fundament geschaffen, das stark genug ist, um alle Begriffe und Konzepte der gewöhnlichen Mathematik zu formalisieren. Zum anderen ist es bis zum heutigen Tag niemand gelungen, einen Widerspruch innerhalb von ZF oder ZFC herzuleiten. Aber können wir daraus schließen, dass die Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre tatsächlich frei von Widersprüchen ist? Können wir auf ihr wirklich die Mathematik errichten, ohne Gefahr zu laufen, dass unser Gedankengerüst eines Tages einstürzen wird wie das Frege’sche Kartenhaus um die Jahrhundertwende? Mit letzter Sicherheit wissen wir es nicht, und in Abschnitt 4.3 werden wir zu der erstaunlichen Erkenntnis gelangen, dass wir es niemals wissen werden.

1.2.7

Hilberts Programm und Gödels Beitrag

Durch die zunehmende Beschäftigung mit den verschiedensten formalen Systemen entstand im Laufe der Zeit eine Meta-Mathematik, die sich nicht mit der Ableitung von Sätzen innerhalb des Systems beschäftigt, sondern mit Sätzen, die Aussagen über das System treffen. In das Zentrum des Interesses rückten vor allem drei Fragestellungen vor: I

Vollständigkeit Ein formales System heißt vollständig, wenn jede wahre Aussage, die in der betrachteten Logik formuliert werden kann, innerhalb des Systems beweisbar ist. Mit anderen Worten: Für jede wahre Aussage ϕ muss es eine endliche Kette von Regelanwendungen geben, die ϕ aus den Axiomen deduziert. Beachten Sie, dass ein vollständiges formales System nicht preisgeben muss, wie eine solche Kette zu finden ist. Die Vollständigkeit garantiert lediglich deren Existenz.

I

Widerspruchsfreiheit Ein formales System heißt widerspruchsfrei, wenn für eine Aussage ϕ niemals gleichzeitig ϕ und die Negation von ϕ (geschrieben


als ¬ϕ) abgeleitet werden kann. Erfüllt ein formales System diese Eigenschaft nicht, so könnte es kaum wertloser sein. Es würde uns gestatten, jede beliebige Aussage zu beweisen. I

Entscheidbarkeit Ein formales System heißt entscheidbar, wenn ein systematisches Verfahren existiert, mit dem für jede Aussage entschieden werden kann, ob sie innerhalb des Kalküls beweisbar ist. Hinter der Eigenschaft der Entscheidbarkeit verbirgt sich nichts Geringeres als der Wunsch nach einer mechanisierten Mathematik. Wäre z. B. die Zahlentheorie vollständig und entscheidbar, so ließe sich für jede wahre zahlentheoretische Aussage auf maschinellem Wege ein Beweis konstruieren. Der Traum vieler Mathematiker würde wahr.

Hilbert war überzeugt, dass eine vollständige, widerspruchsfreie und entscheidbare Axiomatisierung der Mathematik gefunden werden kann. Seine Bemühungen, die mathematische Methode mit einem sicheren Fundament zu versehen, konkretisierte er in den zwanziger Jahren. Hilbert hatte im Sinn, die gewöhnliche Mathematik in ein formales System zu überführen, das alle gebräuchlichen Beweismethoden umfasst. Von innen betrachtet wäre dieses System eine formale Variante der gewöhnlichen Mathematik. Von außen betrachtet erschiene es als eine Ansammlung von Axiomen und Schlussregeln. Gelänge es sicherzustellen, dass durch die Anwendung der Schlussregeln keine Widersprüche aus den Axiomen abgeleitet werden können, so wäre die Korrektheit aller innerhalb des Systems verankerten Beweismethoden gesichert. Zugegebenermaßen wäre wenig gewonnen, wenn der Beweis der Widerspruchsfreiheit mit den gleichen umstrittenen Beweismethoden geführt würde, die im Inneren des Systems vorhanden sind. Hilbert hatte im Sinn, die Widerspruchsfreiheit der Mathematik ausschließlich mit finiten Mitteln zu führen. Grob gesprochen fasste dieser Begriff all jene Beweismittel zusammen, deren Korrektheit außer Frage stand. Ausgeschlossen waren Beweismethoden, die den Begriff des Unendlichen strapazieren. Ebenfalls ausgeschlossen waren nichtkonstruktive Schlussweisen wie der indirekte Beweis (reductio ad absurdum), der auf dem Satz vom ausgeschlossenen Dritten beruht (tertium non datur). Der Ausschluss dieser Methoden war ein Tribut an den Intuitionismus, eine philosophische Strömung in der Mathematik, die zu Beginn des zwanzigsten Jahrhunderts zunehmend an Popularität gewann und eine konstruktive Mathematik einforderte. Würde Hilberts Vorhaben gelingen, so wäre ein für alle Mal geklärt, dass das Fundament, auf dem wir die moderne Mathematik errichtet

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Der Intuitionismus war neben dem Logizismus und dem Formalismus die dritte philosophische Strömung in der Mathematik des zwanzigsten Jahrhunderts. Er wurde im Jahr 1907 von dem niederländischen Mathematiker Luitzen Egbertus Jan Brouwer begründet und fand in Arend Heyting, Stephen Kleene, und Michael Dummett prominente Fürsprecher. Nach Brouwer baut die Mathematik auf intuitiv einsichtigen Begriffen auf, die keiner Definition bedürfen. Beispiele sind die natürlichen Zahlen oder die kontinuierlich verstreichende Zeit. Als existent akzeptierte er ausschließlich Objekte, die sich gedanklich konstruieren lassen. Brouwer setzte die Wahrheit einer Aussage mit deren Beweisbarkeit gleich. Das bedeutet, dass beispielsweise eine Aussage der Form ϕ ∨ ψ nur dann als wahr angesehen wird, wenn ein Beweis für ϕ oder ein Beweis für ψ konstruiert werden kann. Damit ist die Aussage ϕ ∨ ¬ϕ in der intuitionistischen Logik nicht allgemeingültig; sie ist nur dann wahr, wenn es gelingt, einen Beweis für ϕ oder einen Beweis für ¬ϕ zu entwickeln. Altbewährte Grundannahmen wie der Satz vom ausgeschlossenen Dritten (Tertium non datur) und der daraus resultierende Beweis durch Widerspruch verlieren hierdurch ihre Gültigkeit. In [82] äußerte sich Hilbert wie folgt über die intuitionistische Strömung: „Das Tertium non datur dem Mathematiker zu nehmen, wäre etwa, wie wenn man dem Astronomen das Fernrohr oder dem Boxer den Gebrauch der Fäuste untersagen wollte.“ Heute spielt der Intuitionismus fast nur noch im Bereich der mathematischen Philosophie eine Rolle. Aus der Schulmathematik wurde die intuitionistische Denkweise gegen Ende des zwanzigsten Jahrhunderts nahezu vollständig verdrängt, als die Auseinandersetzung mit philosophischen Fragestellungen allmählich zu verblassen begann.

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haben, ein sicheres ist. Vor einem tektonischen Beben, wie es Jahre zuvor die Frege’sche Logik ereilte, bräuchten wir uns dann nicht mehr zu fürchten. Nebenbei hätte Hilbert auch auf einem anderen Schauplatz einen Kantersieg errungen. Dem Intuitionismus, den Hilbert zeitlebens zu bekämpfen versuchte, käme das Gelingen des Programms einem finalen Dolchstoß gleich. Zu Beginn verlief das Programm wie geplant. Zunächst gelang es zwei von Hilberts Schülern, Wilhelm Ackermann und John von Neumann, einen finiten Widerspruchsbeweis für eine abgeschwächte Variante der Peano-Arithmetik zu finden. Noch schien es nur eine Frage der Zeit zu sein, bis die technischen Probleme überwunden und der Beweis auf die gesamte Peano-Arithmetik übertragen werden könnte. Die Hoffnung auf ein schnelles Gelingen erfüllte sich nicht; stattdessen folgte ein gescheiterter Versuch dem nächsten. Es schien, als sei die PeanoArithmetik von einer unsichtbaren Wand umgeben, die alle Beweisversuche von sich abprallen ließ. Im Jahr 1929 wurden Hilberts Hoffnungen durch die Arbeiten des jungen Mathematikers Kurt Gödel zusätzlich genährt, als dieser in seiner Promotionsschrift die Vollständigkeit des engeren Funktionenkalküls4 bewies (Abbildung 1.39) [62]. Es war also möglich, ein formales System zu konstruieren, in dem sich jede allgemeingültige prädikatenlogische Formel erster Stufe in endlich vielen Schritten aus den Axiomen ableiten lässt. Damit hatte Gödel bewiesen, dass der logische Schlussapparat stark genug war, um als Grundlage für die Verwirklichung des Hilbert’schen Programms zu dienen. In diesen Tagen glaubte man das Programm auf einem guten Weg, und es schien nur eine Frage der Zeit zu sein, bis aus Hilberts Vision Wirklichkeit werden würde. 1930 war das Jahr, in dem die Entwicklung eine abrupte Kehrtwende nehmen sollte. Am 8. September bekräftigte Hilbert vor der Versammlung Deutscher Naturforscher und Ärzte in seiner Heimatstadt Königsberg seine tiefe Überzeugung, dass es in der Wissenschaft keine unlösbaren Probleme gebe. Ein Auszug aus seiner Rede wurde als Radioansprache ausgestrahlt (Abbildung 1.40).

(1906 – 1978) [92] Abbildung 1.39: Kurt Gödel ging als einer der größten Logiker aller Zeiten in die Geschichte ein. Seine bahnbrechenden Entdeckungen haben dazu geführt, dass wir unser Verständnis der mathematischen Methode von Grund auf überdenken mussten.

Zum Zeitpunkt seiner Rede wusste Hilbert noch nichts von den Ereignissen, die sich am Vortag an anderer Stelle in Königsberg abspielten. Es war die Tagung der exakten Erkenntnislehre, die die Mathematik für immer verändern sollte. Abgehalten wurde die dreitägige Konferenz von 5. bis zum 7. September 1930 von der Berliner Gesellschaft 4 Der Begriff des engeren Funktionenkalküls wurde durch die Hilbert’sche Schule geprägt und beschreibt im Wesentlichen das, was wir heute als Prädikatenlogik erster Stufe bezeichnen.

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„Das Instrument, welches die Vermittlung bewirkt zwischen Theorie und Praxis, zwischen Denken und Beobachten, ist die Mathematik; sie baut die verbindende Brücke und gestaltet sie immer tragfähiger. Daher kommt es, dass unsere ganze gegenwärtige Kultur, soweit sie auf der geistigen Durchdringung und Dienstbarmachung der Natur beruht, ihre Grundlage in der Mathematik findet. Schon Galilei sagt: ‚Die Natur kann nur der verstehen, der ihre Sprache und die Zeichen kennengelernt hat, in der sie zu uns redet; diese Sprache aber ist die Mathematik, und ihre Zeichen sind die mathematischen Figuren‘. Kant tat den Ausspruch: ‚Ich behaupte, dass in jeder besonderen Naturwissenschaft nur so viel eigentliche Wissenschaft angetroffen werden kann, als darin Mathematik enthalten ist‘. In der Tat: Wir beherrschen nicht eher eine naturwissenschaftliche Theorie, als bis wir ihren mathematischen Kern herausgeschält und völlig enthüllt haben. Ohne Mathematik ist die heutige Astronomie und Physik unmöglich; diese Wissenschaften lösen sich in ihren theoretischen Teilen geradezu in Mathematik auf. Diese wie die zahlreichen weiteren Anwendungen sind es, denen die Mathematik ihr Ansehen verdankt, soweit sie solches im weiteren Publikum genießt.

Trotzdem haben es alle Mathematiker abgelehnt, die Anwendungen als Wertmesser für die Mathematik gelten zu lassen. Gauß spricht von dem zauberischen Reiz, den die Zahlentheorie zur Lieblingswissenschaft der ersten Mathematiker gemacht habe, ihres unerschöpflichen Reichtums nicht zu gedenken, woran sie alle anderen Teile der Mathematik so weit übertrifft. Kronecker vergleicht die Zahlentheoretiker mit den Lotophagen, die, wenn sie einmal von dieser Kost etwas zu sich genommen haben, nie mehr davon lassen können. Der große Mathematiker Poincaré wendet sich einmal in auffallender Schärfe gegen Tolstoi, der erklärt hatte, dass die Forderung ‚die Wissenschaft der Wissenschaft wegen‘ töricht sei. Die Errungenschaften der Industrie, zum Beispiel, hätten nie das Licht der Welt erblickt, wenn die Praktiker allein existiert hätten und wenn diese Errungenschaften nicht von uninteressierten Toren gefördert worden wären. ‚Die Ehre des menschlichen Geistes‘, so sagte der berühmte Königsberger Mathematiker Jacobi, ‚ist der einzige Zweck aller Wissenschaft‘. Wir dürfen nicht denen glauben, die heute mit philosophischer Miene und überlegenem Tone den Kulturuntergang prophezeien und sich in dem Ignorabimus gefallen. Für uns gibt es kein Ignorabimus, und meiner Meinung nach auch für die Naturwissenschaft überhaupt nicht. Statt des törichten Ignorabimus heiße im Gegenteil unsere Losung: Wir müssen wissen, wir werden wissen.“

Abbildung 1.40: Aus der Radioansprache von David Hilbert aus dem Jahr 1930 [83, 146]

für empirische Philosophie. Der erste Tag begann mit mehrstündigen Vorträgen über die drei philosophischen Hauptströmungen der Mathematik. Der Logizismus wurde von Rudolf Carnap, der Intuitionismus von Arend Heyting, einem Schüler Brouwers, und der Formalismus von John von Neumann vertreten. Zu den Rednern des zweiten Tags gehörte auch Kurt Gödel, der in einem zwanzigminütigen Kurzvortrag über den in seiner Dissertation erarbeiteten Vollständigkeitsbeweis referierte. Die Bombe platzte am dritten Tag, als sich Gödel während der abschließenden Podiumsdiskussion zu Wort meldete. Zunächst gab er zu bedenken, dass die Widerspruchsfreiheit eines formalen Systems, wie das der Principia Mathematica, nicht garantieren könne, dass alle abgeleiteten Theoreme wahre Aussagen sind. Selbst wenn die Widerspruchsfreiheit der Principia bewiesen sei, wäre nicht auszuschließen, dass sich innerhalb des Systems eine Aussage über die natürlichen Zahlen ableiten lie-

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pr 14 Jan

Kurt Gödel wurde am 28. April 1906 im österreichisch-ungarischen Brünn geboren. Seine Geburtsstadt wurde 1918 Teil der neu gegründeten Tschechoslowakischen Republik, die er stets als Exil empfand. Im Alter von 17 Jahren nahm er die österreichische Staatsbürgerschaft an und zog ein Jahr später nach Wien, um das Studium der theoretischen Physik zu beginnen. Die legendäre Vorlesung über Zahlentheorie von Philipp Furtwängler lenkte Gödels Interesse aber schon bald auf die Grundlagen der Mathematik. Gödel war von dem gesellschaftlichen und kulturellen Leben Wiens angetan. Unter anderem trat er dem Wiener Kreis bei, einem akademischen Zirkel um Moritz Schlick, der sich mit wissenschaftsphilosophischen Fragen beschäftigte. Es war die Zeit in Wien, in der Gödel die beiden Unvollständigkeitssätze entdeckte, die unser mathematisches Weltbild so grundlegend verändert haben.

28 A

1906 1978

Obwohl sich die Verhältnisse in Wien nach der Machtergreifung Hitlers sukzessive verschärften, war sich Gödel des Ausmaßes der Gefahr nicht bewusst. Erst im Jahr 1940 nutzte er die wahrscheinlich letzte Möglichkeit zur Flucht in die USA. Sein Ziel war das Institute for Advanced Study in Princeton, an dem er zuvor mehrere Gastaufenthalte absolviert hatte. Aufgrund seines speziellen Charakters und seiner ausgeprägten Neigung zur Hypochondrie war Gödel nicht unumstritten, und es dauerte bis zum Jahr 1953, bis ihn das IAS zum Professor ernannte. Einen treuen Fürsprecher fand er in Albert Einstein, mit dem ihm eine lebenslange Freundschaft verband. Gödels geistiger Zustand war seit seiner Kindheit labil und sollte sich mit zunehmendem Alter kontinuierlich verschlimmern. Von starker Hypochondrie, Paranoia und Depression gezeichnet, starb Kurt Gödel am 14. Januar 1978 an den Folgen einer selbst herbeigeführten Unterernährung.

ße, die sich außerhalb des Systems betrachtet als falsch erweist. Dann folgte der entscheidende Satz: „Man kann – unter Voraussetzung der Widerspruchsfreiheit der klassischen Mathematik – sogar Beispiele für Sätze (und zwar solche von der Art des Goldbach’schen oder Fermat’schen) angeben, die zwar inhaltlich richtig, aber im formalen System der klassischen Mathematik unbeweisbar sind.“ [164] Dies ist die erste öffentliche Formulierung des ersten Gödel’schen Unvollständigkeitssatzes. Die Bombe war geplatzt, und doch schien niemand ihre seismischen Wellen zu spüren. Wir wissen nicht, ob sein zurückhaltendes Auftreten oder die Vermessenheit seiner Aussage dazu führte, dass niemand im Saal Gödels Beitrag kommentierte. Es ist wahrscheinlich, das kaum einer der Anwesenden richtig verstand, wovon der junge Mathematiker überhaupt sprach. Der einzige, der Gödel nach der Podiumsdiskussion um eine Unterredung bat, war der ungarische Mathematiker John von Neumann (Abbildung 1.41). Wie Gödel war auch von Neumann ein mathematisches Ausnahmetalent, und seine rasche Auffassungsgabe war bereits zu Lebzeiten legendär. Als einziger im Saal schien er in vollem Umfang zu verstehen, welche Auswirkungen sich aus der Unvollständigkeit für die

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gesamte Mathematik ergeben. Entscheidend war, dass Gödels Ergebnisse von so allgemeiner Natur sind, dass sie auf jedes axiomatische System angewendet werden können, das ausdrucksstark genug ist, um die Zahlentheorie zu formalisieren. Damit war nicht nur gezeigt, dass der logische Apparat der Principia Mathematica unvollständig war, sondern auch, dass jeder Versuch, die Principia oder ein ähnliches System zu vervollständigen, von Grund auf zum Scheitern verurteilt ist. Gödel wies damit nicht nur den logischen Apparat der Principia Mathematica, sondern die gesamte formale Methode in ihre Grenzen. Seit seiner Entdeckung wissen wir, dass kein formales System jemals in der Lage sein wird, die Mathematik vollständig zu erfassen. Von Gödels Ergebnissen berauscht, setzte sich von Neumann in den Folgewochen intensiv mit den Konsequenzen des ersten Unvollständigkeitssatzes auseinander. Was von Neumann nach nur wenigen Wochen entdeckte, war von so frappierender Natur, dass er sich umgehend an Gödel wandte. Sein Brief vom 20.11.1930 beginnt mit den folgenden Worten: „Lieber Herr Gödel! Ich habe mich in der letzten Zeit wieder mit Logik beschäftigt, unter Verwendung der Methoden, die Sie zum Aufweisen unentscheidbarer Eigenschaften so erfolgreich benützt haben. Dabei habe ich ein Resultat erzielt, das mir bemerkenswert erscheint. Ich konnte nämlich zeigen, dass die Widerspruchsfreiheit der Mathematik unbeweisbar ist. Dies ist genauer so: In einem formalen System, das die Arithmetik umfasst, lässt es sich, in Anlehnung an Ihre Betrachtungen, aussprechen, dass die Formel 1 = 2 nicht Endformel eines von den Axiomen dieses Systems ausgehenden Beweises sein kann – und zwar ist diese Formulierung eine Formel des genannten formalen Systems. [...]“ [164] Der Brief kam zu spät. Was von Neumann beschrieb, ist der Inhalt des zweiten Gödel’schen Unvollständigkeitssatzes, den Gödel unabhängig entdeckt und zusammen mit seinem ersten Unvollständigkeitssatz bereits zur Publikation eingereicht hatte (Abbildung 1.42). Seine Arbeit trägt den unscheinbaren Namen „Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I“. Der Hauptteil seiner Publikation beschäftigt sich mit der Herleitung des ersten Unvollständigkeitssatzes; dagegen wird der Beweis des zweiten Unvollständigkeitssatzes nur skizziert. Gödel hatte vor, seine Beweisskizze in

John von Neumann (1903 – 1957) Abbildung 1.41: John von Neumann zählte zu den führenden Mathematikern des zwanzigsten Jahrhunderts. Geboren wurde er unter dem Namen Neumann János Lajos im österreichisch-ungarischen Budapest. Später nannte er sich Johann von Neumann und nahm nach seiner Emigration in die USA schließlich den Namen John von Neumann an. Zu seinem wissenschaftlichen Vermächtnis gehören zahlreiche Arbeiten aus den verschiedensten Gebieten der Mathematik. Rückblickend wird sein Name vor allem mit der Von-NeumannArchitektur verbunden. Sie ist auch heute noch das vorrangige Organisationsprinzip moderner Computersysteme.

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Abbildung 1.42: 1931 publizierte Kurt Gödel seine beiden Unvollständigkeitssätze, die unser mathematisches Grundverständnis für immer verändern sollten [64]. Gödels Sätze manifestieren, dass sich die Begriffe der Beweisbarkeit und der Wahrheit nicht in Kongruenz bringen lassen; sie zeigen der mathematischen Methode Grenzen auf, die wir niemals überwinden werden.

einer Folgepublikation ausführlich darzulegen, aber dazu kam es nie. Bereits seine erste Arbeit stieß auf so viel Akzeptanz, dass er keine Notwendigkeit mehr sah, einen zweiten Teil zu veröffentlichen. Erst später wurde ein formaler Beweis des zweiten Unvollständigkeitssatzes von David Hilbert und Paul Bernays ausgearbeitet [86]. Was bedeutet der zweite Unvollständigkeitssatz für die Mathematik? Gödel und von Neumann hatten gezeigt, dass der Beweis der Widerspruchsfreiheit eines formalen Systems, das die Zahlentheorie umfasst, nicht mit den Mitteln des Systems selbst geführt werden kann. Hieraus folgt unmittelbar, dass sich die Widerspruchsfreiheit der Mathematik nicht mit den Mitteln der gewöhnlichen Mathematik selbst beweisen lässt. Aber genau das war der Plan, den Hilbert seit Jahren so vehement verfolgte. Der zweite Gödel’sche Satz versetzte dem Hilbert’schen Programm einen schweren Schlag, von dem es sich nie erholen sollte. Anders als von Neumann sah Gödel das Hilbert’sche Programm keinesfalls als gescheitert an. Auch wenn die Widerspruchsfreiheit der ge-


wöhnlichen Mathematik nicht mit den Mitteln der gewöhnlichen Mathematik selbst bewiesen werden kann, ist es nicht vollständig ausgeschlossen, dass trotzdem ein einfacheres System existiert, in dem sich ein entsprechender Widerspruchsbeweis durchführen lässt. In seiner Arbeit wies Gödel ausdrücklich darauf hin, „dass Satz XI [der zweite Unvollständigkeitssatz] (und die entsprechenden Resultate über M, A) in keinem Widerspruch zum Hilbert’schen formalistischen Standpunkt stehen. Denn dieser setzt nur die Existenz eines mit finiten Mitteln geführten Widerspruchsfreiheitsbeweises voraus, und es wäre denkbar, dass es finite Beweise gibt, die sich in P (bzw. M, A) nicht darstellen lassen.“5 [64] Doch wie sollte ein derartiges System aussehen, mit dem sich die Widerspruchsfreiheit der gewöhnlichen Mathematik beweisen lassen könnte? Zunächst müsste es neue Beweismittel umfassen, die in der gewöhnlichen Mathematik heute nicht enthalten sind. Des Weiteren müssten die neuen Beweismittel zu den finiten Mitteln zählen, d. h., sie müssten aus offensichtlichen Überlegungen heraus korrekt sein. Auch wenn die Existenz durch die Gödel’schen Unvollständigkeitssätze nicht ausgeschlossen wird, hat noch niemand ein solches System bisher gefunden, geschweige denn eine Vorstellung davon, wie es aufgebaut sein könnte. Nur wenige Experten sind der Meinung, dass ein solches System existiert. Unbestritten gehören die Gödel’schen Unvollständigkeitssätze zu den wichtigsten Erkenntnissen der Mathematik des zwanzigsten Jahrhunderts, und dem berühmten Philosophen Karl Popper schien sie „der wichtigste Beitrag zur Logik zu sein, seit sie durch Aristoteles geschaffen wurde“ [188]. In Kapitel 4 werden wir uns detailliert mit den Unvollständigkeitssätzen beschäftigen und zeigen, warum sie unser mathematisches Grundverständnis dramatisch verändert haben. Von Hilbert ist überliefert, dass er auf die Unvollständigkeitssätze zunächst mit Zorn reagierte [200]. Dennoch verschloss er sich der Realität nicht auf Dauer und akzeptierte Gödels Ergebnisse schon bald als unumstößliche Tatsachen. Für John von Neumann sollte die Logik dagegen nie mehr dieselbe sein. Er hielt zwar mehrere Vorlesungen über die Unvollständigkeitssätze, wandte sich aber bald danach anderen Tätigkeitsfeldern zu. Als wissenschaftlicher Berater begleitete er den Bau 5 P, M und A sind die Bezeichnungen Gödels für die formalisierte Peano-Arithmetik, die Mengenlehre bzw. die gesamte klassische Mathematik.

51

52


Abbildung 1.43: Der ENIAC (Electronic Numerical Integrator And Computer) war die erste voll funktionsfähige Rechenmaschine, die nahezu allen Definitionen des modernen Computer-Begriffs standhält und daher von vielen Experten als der erste wirkliche Computer der Welt angesehen wird. Der Rechnerkoloss wurde an der Moore School of Electrical Engineering der University of Pennsylvania unter der Leitung von J. Presper Eckert und John W. Mauchly gebaut und beeindruckte schon aufgrund seiner schieren Größe. Der ENIAC bestand aus insgesamt 30 Einheiten, die U-förmig über den gesamten Raum verteilt angeordnet waren. Die gesamte Konstruktion kam auf ein Gesamtgewicht von knapp 30 Tonnen.

des ENIAC, den wir rückblickend als den ersten universellen Computer der Welt ansehen dürfen (Abbildung 1.43). Im Jahr 1946 publizierte von Neumann ein wegweisendes Konzept für die Organisation von Mikrorechnern und auch heute noch ist die Von-Neumann-Architektur die Grundlage für den Bau vieler moderner Computersysteme [127]. Auch Bertrand Russell zog sich in den Folgejahren fast vollständig von der Logik zurück. Rückblickend ist es schwer zu ermessen, welche intellektuelle Leistung das Verfassen der Principia Mathematica erfordert haben muss. Fest steht, dass die zehnjährige Arbeit an diesem epochalen Werk auch in Russells brillantem Geist Spuren hinterließ (Abbildung 1.44). Andere Mathematiker reagierten mit Ignoranz auf die Unvollständigkeitssätze. Um eine wahre und zugleich unbeweisbare Aussage zu erhalten, konstruierte Gödel eine komplizierte Formel, die im Grunde genommen über sich selbst behauptet, nicht beweisbar zu sein. Viele seiner Kritiker waren der Meinung, dass der vorhandene Selbstbezug eine notwendige Bedingung ist, um eine unbeweisbare Aussage zu erhalten. In ihren Augen waren die von Gödel konstruierten Formeln nichts weiter als seltsame Kuriositäten am Rande eines intakten mathematischen Kerns – und wurden weitgehend ignoriert. Ist die von Gödel entdeckte Unvollständigkeit wirklich nur eine Laune der Logik, die in der gewöhnlichen Mathematik so gut wie keine Rolle spielt? In der zweiten Hälfte des zwanzigsten Jahrhunderts

53


wurde auch diese Hoffnung zerstört. Im Jahr 1977 gelang es den Mathematikern Jeff Paris und Leo Harrington, eine Variante des RamseyTheorems zu finden, die sich innerhalb der Peano-Arithmetik formulieren, aber nicht innerhalb der Peano-Arithmetik beweisen lässt. Das Ramsey-Theorem ist ein mathematisches Problem aus der Kombinatorik, benannt nach dem britischen Mathematiker Frank Plumpton Ramsey [145]. Äußerlich unterscheidet es sich eklatant von den trickreich konstruierten Formeln, mit denen Gödel die Unvollständigkeitssätze bewies. Das Ramsey-Theorem ist frei von Selbstbezügen jeglicher Art, und trotzdem ist es eine unbeweisbare Formel im Gödel’schen Sinne. Heute wissen wir, dass die Aussage der von Paris und Harrington gefundenen Variante äquivalent zur Widerspruchsfreiheit der PeanoArithmetik ist. Damit ergibt sich die Unbeweisbarkeit als zwangsläufige Folgerung aus dem zweiten Gödel’schen Unvollständigkeitssatz.

„[...]I always found myself hoping that perhaps Principia Mathematica would be finished some day. Moreover the difficulties appeared to me in the nature of a challenge, which it would be pusillanimous not to meet and overcome. So I persisted, and in the end the work was finished, but my intellect never quite recovered from the strain. I have been ever since definitely less capable of dealing with difficult abstractions than I was before. This is part, though by no means the whole, of the reason for the change in the nature of my work.“ [158]

In Abschnitt 4.5 werden wir mit dem Satz von Goodstein ein ebenso harmlos anmutendes Theorem der Zahlentheorie besprechen, das der englische Logiker Reuben Louis Goodstein im Jahr 1944 mit den Mitteln der Mengenlehre bewies [68]. Auch hier handelt es sich um einen wahren Satz, der sich innerhalb der Peano-Arithmetik formulieren, aber nicht innerhalb der Peano-Arithmetik beweisen lässt. Dies ist das erstaunliche Ergebnis einer Arbeit von Laurie Kirby und Jeff Paris aus dem Jahr 1982 [101]. Beide Beispiele zeigen, dass die von Gödel entdeckte Unvollständigkeit alles andere ist als eine kuriose Eigenschaft pathologisch konstruierter Aussagen; sie ist ein allgegenwärtiges Phänomen der Mathematik, das wir genauso akzeptieren müssen wie die Naturgesetze der Physik.

1.2.8

Grenzen der Berechenbarkeit

Gödels Arbeit verwies die Mathematik zweifelsohne in ihre Grenzen; unmissverständlich machte sie klar, dass ein widerspruchsfreier und zugleich vollständiger Kalkül für die Theorie der natürlichen Zahlen nicht existieren kann. Dennoch blieb die Hoffnung, dass zumindest die Frage nach der Entscheidbarkeit positiv beantwortet werden könnte. Die Unvollständigkeitssätze schließen nicht aus, dass ein systematisches Verfahren existiert, das für jede Aussage bestimmt, ob sie innerhalb des Systems beweisbar ist oder nicht. Um eine mathematisch exakte Lösung für das Entscheidungsproblem herbeizuführen, war es unumgänglich, den diffusen Begriff des systematischen Verfahrens zu präzisieren. Heute ist unser algorithmisches

Bertrand Russell (1872 – 1970) Abbildung 1.44: In hohem Alter verfasste Bertrand Russell seine dreibändige Autobiographie, die in den Jahren 1967 bis 1969 erschien.

54


Abbildung 1.45: 1936 gelang es Alan Turing, eine endgültige Klärung für das Hilbert’sche Entscheidungsproblem herbeizuführen [180]. Mit der Turing-Maschine schuf er ein abstraktes Maschinenmodell, auf dem weite Teile der modernen Berechenbarkeitstheorien beruhen.

Denken durch den täglichen Umgang mit dem Computer gut geschult. In den dreißiger Jahren war der Computer dem Reisbrett noch nicht entsprungen, und es herrschte nur eine vage Vorstellung davon, was es bedeutet, etwas „zu berechnen“. Übersprungen wurde diese Hürde im Jahr 1936, als der britische Mathematiker Alan Turing seine grundlegende Arbeit „On computable numbers, with an application to the Entscheidungsproblem“ der Öffentlichkeit präsentierte (Abbildung 1.45). Um den Begriff der Berechenbarkeit formal zu erfassen, konstruierte Turing ein abstraktes Maschinenmodell, das dem Funktionsprinzip moderner Computer sehr nahe kommt. In der Originalarbeit motivierte Turing die Konzeption seiner Maschine, die wir heute als Turing-Maschine bezeichnen, mit den folgenden Worten:

55


„Computing is normally done by writing certain symbols on paper. We may suppose this paper is divided into squares like a child’s arithmetic book.“

I

Zeichen ersetzen

...

1

0

0

...

1

0

...

0

...

Band 1 TuringMaschine

Das Zitat zeigt die Unbefangenheit, die sich durch Turings gesamte Arbeit zieht. Er startete seine Überlegungen über die Berechenbarkeit mit dem, was er seit seiner Kindheit zum Rechnen verwendete: einem leeren Stück karierten Papier. Unmittelbar danach nahm Turing dann doch eine erste Abstraktion vor. Er sah, dass die zweidimensionale Gestalt des Rechenpapiers im Grunde genommen keine Rolle spielt. Alle Berechnungen, die wir per Hand auf Papier durchführen können, sind auch auf einem eindimensionalen Band möglich – wenngleich nicht immer mit der gleichen Eleganz.

I

Kopf bewegen ...

1

Band

„We may suppose that there is a bound B to the number of symbols or squares which the computer can observe at one moment. [...] We will also suppose that the number of states of mind which will be taken into account is finite.“ Anschließend definiert Turing eine Menge von Elementaroperationen, aus denen sich komplexe Berechnungen zusammensetzen. Diese erlauben, das Symbol des aktuell betrachteten Felds auszutauschen und die Aufmerksamkeit auf eines der Nachbarfelder zu lenken: „The simple operations must therefore include: (a) Changes of the symbol on one of the observed squares. (b) Changes of one of the squares observed to another square within L squares of one of the previously observed squares.“ Beide Aktionen werden durch einen möglichen Wechsel des internen Zustands begleitet:

I

Zustand wechseln ...

1

1

Band TuringMaschine

Turing lässt weitere Annahmen folgen. Zunächst geht er davon aus, dass es nur endlich viele Symbole gibt, mit denen die Felder seines Bandes gefüllt werden können. Er ging außerdem davon aus, dass sich das menschliche Gehirn im Zuge einer Berechnung zu jedem Zeitpunkt in einem von endlich vielen Zuständen befindet.

TuringMaschine

„[...] I think that it is agreed that the two-dimensional character of paper is no essential of computation. I assume then that the computation is carried out on onedimensional paper, i.e. on tape divided into squares.“

Abbildung 1.46: Turing definierte wenige primitive Elementaroperationen, aus denen komplexe Berechnungen erwachsen. In jedem Bearbeitungsschritt kann eine TuringMaschine das aktuell betrachtete Symbol durch ein anderes ersetzen und das Betrachtungsfenster (observed square) verschieben. Die ausgeführten Aktionen gehen mit einem potenziellen Wechsel des inneren Zustands (state of mind) einher.

56


„The machine is to have the four m-configurations ’b’, ’c’, ’f’, ’e’ and is capable of printing ’0’ and ’1’. The bevahiour of the machine is described in the following table in which ’R’ means ’the machine moves so that it scans the square immediately on the right of the one it was scanning previously’. Similarly for ’L’. ’E’ means ’the scanned symbol is erased’ and ’P’ stands for ’prints’.“ [180] Configuration m-config. symbol b None c None e None f None

Behaviour operations final m-config. P0, R c R e P1, R f R b Alan Mathison Turing (1912 – 1954)

Abbildung 1.47: Das erste Beispiel einer Turing-Maschine. In seiner Arbeit aus dem Jahr 1936 bezeichnete sie Turing noch schlicht als computing machine. Der Begriff der Turing-Maschine wurde 1937 durch Alonzo Church geprägt [78].

„It may be that some of these changes necessarily involve a change of state of mind. The most general single operation must therefore be taken to be one of the following: (A) A possible change (a) of symbol together with a possible change of state of mind. (B) A possible change (b) of observed squares, together with a possible change of state of mind.“ Abbildung 1.46 fasst die erwähnten Elementaroperationen bildlich zusammen. Turing ersann seine Maschine, um die Menge der berechenbaren Zahlen zu charakterisieren. Was er hierunter im Detail verstand, wollen wir am Beispiel der in Abbildung 1.47 beschriebenen Turing-Maschine herausarbeiten. Konkret handelt es sich um das erste Beispiel aus seiner Originalarbeit. Die Maschine besitzt die vier Zustände b, c, e, f und wird in Zustand b (begin) auf einem leeren Band gestartet. Wie sie sich im Detail verhält, verrät ihre Instruktionstabelle. Direkt nach dem Start führt sie die Aktion P0, R aus. P0 steht für „Print 0“ und sorgt dafür, dass eine 0 auf das Band geschrieben wird. R steht für „Right“ und weist die Maschine an, den Schreib-Lese-Kopf ein Feld nach rechts zu bewegen. Danach wird der Zustand b verlassen und der Folgezustand c eingenommen. In

57


I

Start ...

Configuration m-config. symbol b None c None e None f None I

Schritt 1 ...


Schritt 2 ...

Configuration m-config. symbol b None c None e None f None

I

Behaviour operations final m-config. P0, R c R e P1, R f R b 0


...


Schritt 4

...


...

I

Schritt 3

...

Schritt 5 ...

...

Behaviour operations final m-config. P0, R c R e P1, R f R b


Abbildung 1.48: Die erste Beispielmaschine aus Turings Originalarbeit in Aktion

diesem Zustand wird das Band nicht verändert; die Maschine bewegt den Schreib-Lese-Kopf lediglich ein Feld nach rechts und wechselt in den Zustand e. Jetzt schreibt die Maschine eine 1 auf das Band, bewegt den Schreib-Lese-Kopf erneut nach rechts und nimmt den Zustand f ein. Nach einer weiteren Rechtsbewegung wird wieder der Startzustand b erreicht (Abbildung 1.48). Indem die Maschine diesen Zyklus konti-

0

1

...


1

...


1

0

...

Behaviour operations final m-config. P0, R c R e P1, R f R b

58


n 7 Jun

Alan Mathison Turing wurde am 23. Juni 1912 in London-Paddington geboren. Zusammen mit seinem älteren Bruder wuchs Alan in England bei Freunden der Familie auf, während seine Mutter und sein Vater, ein Staatsdiener des britischen Empire, die meiste Zeit im indischen Chatrapur verbrachten. Bereits in seiner frühen Jugend wurde Turings außerordentliche mathematische Begabung sichtbar, genauso wie sein Unvermögen, sich gesellschaftlichen Normen und staatlichen Autoritäten zu beugen. Turing begann seine Ausbildung in einer Ganztagsschule in St. Michaels und wechselte im Alter von 14 Jahren an das bekannte Sherborne-Internat in Dorset. Nach seinem Schulabschluss schrieb er sich als Mathematikstudent am King’s College in Cambridge ein. Für Turing war dies nur die zweite Wahl; das renommiertere Trinity-College blieb ihm aufgrund motivationsbedingter schlechter Noten in den nichtnaturwissenschaftlichen Fächern verwehrt. Bereits ein Jahr nach seinem Abschluss gelang ihm der wissenschaftliche Durchbruch. 1936 publizierte er mit „On computable numbers, with an application to the Entscheidungsproblem“ eine der historisch wichtigsten Arbeiten auf dem Gebiet der mathematischen Logik.

23 Ju

1912 1954

Danach diktierte der zweite Weltkrieg den Lauf der Dinge. Turing begab sich nach Bletchley Park, wo er zusammen mit anderen Wissenschaftlern im Geheimen daran arbeitete, den Verschlüsselungscode der deutschen Wehrmacht zu brechen. In dieser Zeit entstand mit der Colossus eine Rechenmaschine, mit der sich der feindliche Funkverkehr in wenigen Stunden entschlüsseln ließ. Für Turing hatte ihr Bau eine ganz besondere Bedeutung. Obwohl sich die Colossus in wichtigen Punkten von seiner theoretisch ersonnenen computing machine unterschied, wurden viele Aspekte seiner Idee dennoch real. Nach dem zweiten Weltkrieg wandte sich Turing wieder vermehrt theoretischen Themen zu. Im Jahr 1950 schlug er mit dem Turing-Test ein Verfahren vor, mit dem sich der Intelligenzbegriff auf Maschinen übertragen lässt [182]. Im Jahr 1952 sollte Turings Karriere ein abruptes Ende finden. Als die Polizei sein Haus nach einem Einbruch untersuchte, gestand er eine homosexuelle Beziehung ein. Das prüde England der Fünfzigerjahre reagierte erbarmungslos und sprach Turing in einem Strafverfahren der sexuellen Perversion schuldig. Die angeordnete Zwangstherapie machte aus ihm einen gebrochenen Mann. Zwei Jahre später wurde er, kurz vor seinem 42ten Geburtstag, neben den Resten eines vergifteten Apfels tot aufgefunden.

nuierlich wiederholt, produziert sie den folgenden Bandinhalt: ...

0

1

0

1

0

...

Die geschriebenen Ziffern werden als die Nachkommaziffern einer reellen Zahl interpretiert, in unserem Fall als die Nachkommaziffern der Zahl 0,0101010101010101 . . . Die zwischen den Ziffern freigelassenen Bandstellen spielen für den dargestellten Zahlenwert keine Rolle. In Turings Maschinendefinition ist es ausdrücklich erlaubt, Felder leer zu lassen oder mit beliebigen Symbolen zu beschreiben, die keine Ziffern sind. Dennoch ist es kein Zufall, dass die betrachtete Maschine jedes zweite Feld leer lässt. In vielen seiner Maschinen nutzt Turing die Freistellen als temporäre Ablage für Hilfssymbole, die zur Steuerung des Programmablaufs benötigt werden, für den berechneten Zahlenwert aber keine Rolle spielen. Mit dem entwickelten Begriffsgerüst gelang Turing eine bemerkenswerte Gratwanderung. Zum einen erfüllt die Turing-Maschine in jeder Hin-


59

sicht die Anforderungen eines formalen Modells, so dass sie mathematisch präzise Aussagen über den Berechenbarkeitsbegriff erlaubt. Zum anderen ist sie von einer inneren Einfachheit und Klarheit geprägt, die einen überraschend intuitiven Zugang zu dieser komplexen Materie eröffnet. Im Gegensatz zu rein mathematischen Ansätzen, zu denen z. B. der zeitgleich von Alonzo Church entwickelte Lambda-Kalkül [29, 30] oder die in Abschnitt 4.2.2 vorgestellte Theorie der primitiv-rekursiven Funktionen gehören [48], erscheint die Turing-Maschine zum Anfassen nah. Die Popularität, die der Begriff der Turing-Maschine heute genießt, lässt häufig vergessen, dass das Maschinenmodell nur Mittel zum Zweck war. Turing hatte die Klärung des Entscheidungsproblems im Sinn und war hierfür gezwungen, den Berechenbarkeitsbegriff mathematisch präzise zu erfassen. Nachdem er mit der Turing-Maschine das nötige Instrumentarium geschaffen hatte, war er in der Lage, die folgenden beiden Hauptresultate zu beweisen: I

Es ist unmöglich, ein Verfahren zu konstruieren, das für jede TuringMaschine korrekt entscheidet, ob sie eine 0 auf das Band schreiben wird oder nicht. Gäbe es ein solches Verfahren, so ließe sich eine Turing-Maschine konstruieren, die eine andere Turing-Maschine in codierter Form entgegennimmt und die Antwort stets korrekt berechnet. Dass die Annahme über die Existenz einer solchen Maschine zu Widersprüchen führt, lässt sich mit der gleichen Diagonalisierungsmethode zeigen, mit der Cantor die Überabzählbarkeit des Kontinuums bewies.

I

Eine Turing-Maschine lässt sich in eine prädikatenlogische Formel erster Stufe übersetzen, die genau dann allgemeingültig ist, wenn die übersetzte Maschine irgendwann eine 0 ausgibt. Nach dem Gödel’schen Vollständigkeitssatz ist jede allgemeingültige prädikatenlogische Formel erster Stufe beweisbar. Hätte das Hilbert’sche Entscheidungsproblem eine Lösung, gäbe es also ein Verfahren, mit dem wir für jede prädikatenlogische Formel bestimmen könnten, ob sie beweisbar ist, so könnten wir für jede Turing-Maschine entscheiden, ob sie eine 0 ausgibt oder nicht. Aber genau dies ist nach dem oben Gesagten unmöglich.

Mit seinem bahnbrechenden Ergebnis zog Turing den Schlussstrich unter die langjährige Jagd nach einem Entscheidungsverfahren. Heute wissen wir: Es war eine Jagd nach dem mathematischen Perpetuum Mobile, die aus fundamentalen Überlegungen heraus nicht gelingen

Turings erstes Hauptresultat ist im Wesentlichen das, was wir heute als die Unlösbarkeit des Halteproblems bezeichnen. Dass der Begriff Halteproblem in seiner Originalarbeit nicht ein einziges Mal vorkommt, hat einen einfachen Grund. Die von Turing gegebene Definition seines Maschinenmodells entspricht in wenigen, aber wesentlichen Punkten nicht mehr dem heute verwendeten. Weil Turings computable machines für die Berechnung von reellen Zahlen konzipiert waren, schreiben sie eine unendliche Folge von Ziffern auf das Band und halten unter normalen Umständen niemals an. Erst im Jahr 1958 wurde das Maschinenmodell von Martin Davis in seine heutige Form gebracht und das Halteproblem das erste Mal erwähnt [39]. Konkret verbirgt sich dahinter die Frage, ob mithilfe eines systematischen Verfahrens für eine vorgelegte Turing-Maschine stets korrekt entschieden werden kann, ob sie für eine bestimmte Eingabe terminieren wird oder nicht. Die Tatsache, dass sich diese Frage mit exakt denselben Mitteln negativ beantworten lässt, mit denen Turing sein erstes Hauptresultat erzielte, ist die Legitimation für die regelmäßig geäußerte Behauptung, Turing hätte die Unentscheidbarkeit des Halteproblems bewiesen, obwohl der Begriff erst vier Jahre nach seinem Tod geprägt wurde. In Abschnitt 5.1.1 werden wir uns ausführlich mit dem Aufbau und der Funktionsweise von Turing-Maschinen in ihrer modernen Form beschäftigen.

60


konnte. Der Leibniz’sche Traum von einer mechanisierten Mathematik war ausgeträumt. Die von Turing begründete Berechenbarkeitstheorie ist insbesondere für die Informatik von unschätzbarem Wert. Zum einen ermöglicht sie, den zentralen Begriff des Algorithmus mathematisch präzise zu erfassen. Zum anderen macht sie deutlich, dass Probleme existieren, die sich nicht mithilfe systematischer Verfahren lösen lassen. Aber auch in ganz anderer Hinsicht ist die Berechenbarkeitstheorie von Bedeutung. Durch sie erhalten wir einen alternativen Zugang zur Beweistheorie, der uns erlauben wird, viele Beweise kürzer zu führen, als es vorher möglich war. So werden wir in Abschnitt 5.4.2 herausarbeiten, wie über die Arithmetisierung von Turing-Maschinen ein genauso eleganter wie kurzer Beweis für den ersten Gödel’schen Unvollständigkeitssatz gewonnen werden kann. Emil Leon Post (1897 – 1954) Abbildung 1.49: Emil Post verdanken wir wichtige Erkenntnisse auf dem Gebiet der Berechenbarkeitstheorie. Heute wird sein Name vor allem mit dem Post’schen Korrespondenzproblem verbunden, einem der wichtigsten unentscheidbaren Probleme.

In den Folgejahren entwickelte sich die Berechenbarkeitstheorie zu einem leistungsfähigen Instrument, mit dem sich eine Vielzahl von Fragestellungen als formal unentscheidbar identifizieren ließ. Die Hoffnung wuchs, auch hartnäckige Probleme einer Lösungen zuzuführen, die bis dato jedem Angriffsversuch stand hielten. In diesem Zusammenhang rückte auch das zehnte Hilbert’sche Problem erneut in den Mittelpunkt des Interesses. Im Jahr 1944 äußerte sich der Mathematiker Emil Leon Post mit den folgenden Worten (Abbildung 1.49): „One of the problems posed by Hilbert in his Paris address of 1900 is the problem of determining for an arbitrary diophantine equation with rational integral coefficients whether it has, or has not, a solution in rational integers. [...]. The above problem of Hilbert begs for an unsolvability proof.“ [135] Einer der ersten, die sich der Herausforderung annahmen, war Posts Schüler Martin Davis. Im Jahr 1953 erreichte er ein wichtiges Zwischenresultat [38], das er 1961 zusammen mit Hilary Putnam und Julia Robinson zu einem fast vollständigen Beweis für die Unentscheidbarkeit des zehnten Hilbert’schen Problems erweitern konnte [42]. In dieser Arbeit bewiesen die Autoren, dass kein Entscheidungsverfahren für exponentielle diophantische Gleichungen existieren kann. Hier dürfen Variablen, im Gegensatz zu gewöhnlichen diophantischen Gleichungen, auch als Exponent verwendet werden. Die verbleibende Beweislücke wurde 1970 durch Yuri Matijaseviˇc geschlossen (Abbildung 1.50) [116]. Der junge russische Mathematiker

61


zeigte, dass sich exponentielle diophantische Gleichungen auf gewöhnliche diophantische Gleichungen reduzieren lassen. Das bedeutet, dass ein Entscheidungsverfahren für gewöhnliche diophantische Gleichungen dazu verwendet werden kann, um auch den exponentiellen Fall zu lösen. Damit war klar, dass das von Hilbert gesuchte Entscheidungsverfahren nicht existieren kann. Das Rätsel um Hilberts zehntes Problem war gelöst, wenn auch nicht in seinem ursprünglich zugedachten Sinne. Im Jahr 1984 publizierten James Jones und Yuri Matijaseviˇc einen neuen Beweis, der die Unlösbarkeit des zehnten Hilbert’schen Problems auf verblüffend einfache Weise belegt [94]. Im Kern steht die Idee, Registermaschinen so in diophantische Gleichungen zu übersetzen, dass die übersetzte Maschine genau dann terminiert, wenn die generierte Gleichung eine Lösung in den ganzen Zahlen besitzt. Würde das von Hilbert gesuchte Verfahren für die Lösung diophantischer Gleichungen tatsächlich existieren, so wäre das Unmögliche geschafft: Wir hätten einen Weg gefunden, das Halteproblem für Registermaschinen zu entscheiden, und könnten auf diesem Weg auch das Halteproblem für Turing-Maschinen lösen. Damit hat Turings fundamentaler Beweis aus dem Jahr 1936 nicht nur das Hilbert’sche Entscheidungsproblem zu Fall gebracht; er liefert uns zugleich eine plausible Begründung für die Unlösbarkeit des zehnten Hilbert’schen Problems.

1.2.9

Auferstanden aus Ruinen

Die Arbeiten von Gödel und Turing waren ein Frontalangriff auf die Grundfesten der Mathematik. Ende der dreißiger Jahre lag das Hilbert’sche Programm in Trümmern, genauso wie die Vision einer mechanisierbaren Mathematik. Und dennoch sollten die Erkenntnisse des zwanzigsten Jahrhunderts einen Bereich der Mathematik ganz besonders beflügeln: die Mengenlehre. Kurt Gödel begann Ende der dreißiger Jahre, sich intensiv mit mengentheoretischen Problemen auseinanderzusetzen, und schon bald war er in der Lage, die ersten Früchte seiner Arbeit zu ernten. In den Mittelpunkt seines Interesses rückten relative Beweise der Widerspruchsfreiheit. In einem solchen Beweis wird die Widerspruchsfreiheit eines Systems B nicht direkt gezeigt; es wird lediglich bewiesen, dass sich die Widerspruchsfreiheit eines Systems A auf das System B überträgt. Am Beispiel der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre (ZF) und der PeanoArithmetik (PA) wollen wir skizzieren, wie sich ein relativer Widerspruchsbeweis führen lässt. Im Vorgriff auf Abschnitt 3.2.2 halten wir

Yuri Matijaseviˇc (geb. 1947) [115] Abbildung 1.50: Im Jahr 1970 gelang es dem russischen Mathematiker Yuri Matijaseviˇc, die letzte Lücke im Beweis der Unlösbarkeit des zehnten Hilbert’schen Problems zu schließen.

62


I Konstruktionsschema

0

:=

0/

n+1

:=

n ∪ {n}

fest, dass jede natürliche Zahl in Form einer speziell konstruierten Mengen dargestellt werden kann (Abbildung 1.51) [124, 126]. Damit dürfen wir PA ruhigen Gewissens als ein Teilsystem von ZF ansehen und können jede zahlentheoretische Aussage aus PA in eine entsprechende mengentheoretische Aussage aus ZF übersetzen. Beispielsweise lässt sich eine arithmetische Aussage der Form

I Beispiele

1 2 3

=

{0}

=

{0} /

=

{0, 1}

=

{0, / {0}} /

=

{0, 1, 2}

=

{0, / {0}, / {0, / {0}}} /

„Für alle Zahlen x gilt ...“ wie folgt innerhalb von ZF darstellen: „Für alle Mengen x, falls x eine Zahl repräsentiert, gilt: ...“

Abbildung 1.51: Mengendarstellung der natürlichen Zahlen

φ1 φ2

ψ3

ψ2 ¬ψ1

ψ1

ψ5 ψ4

Zermelo-FraenkelMengenlehre (ZF)

Einbettung von PA in ZF

¬φ1

PeanoArithmetik (PA)

Widerspruch in PA

Widerspruch in ZF

Abbildung 1.52: Relativer Beweis der Widerspruchsfreiheit. Jede Formel ϕi der Peano-Arithmetik (PA) wird so auf eine Formel ψi der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre (ZF) abgebildet, dass ϕi genau dann in PA beweisbar ist, wenn ψi in ZF beweisbar ist. Jeder Widerspruch innerhalb von PA wäre jetzt auch in ZF sichtbar, so dass aus der Widerspruchsfreiheit von ZF die Widerspruchsfreiheit von PA folgt.

Gelingt die Übersetzung derart, dass jede in PA beweisbare Aussage zu einer in ZF beweisbaren Aussage wird, so sind wir am Ziel. Jeder Widerspruch, der sich innerhalb von PA ableiten ließe, würde zugleich einen Widerspruch in ZF ergeben (Abbildung 1.52). Mit anderen Worten: Aus der Widerspruchsfreiheit von ZF folgt die Widerspruchsfreiheit von PA. Durch eine ähnliche Konstruktion gelang es Gödel, die relative Widerspruchsfreiheit zwischen der ZF- und der ZFC-Mengenlehre (ZermeloFraenkel-Mengenlehre mit Auswahlaxiom) zu zeigen [65]. Hierzu orientierte er sich an einer Idee von John von Neumann, Mengen hierarchisch anzuordnen [124]. Analog zur Neumann’schen Mengenhierarchie V definierte Gödel eine Hierarchie L, die ausschließlich aus Mengen besteht, die sich durch die wiederholte Anwendung bestimmter Bildungsregeln erzeugen lassen. Gödel bezeichnete diese Mengen als konstruktible Mengen. Da jede konstruktible Menge eine Menge ist, gilt offensichtlich die Beziehung L ⊆ V . Gödel interessierte sich für die Konsequenzen, die sich aus der Annahme ergeben, ausnahmslos jede Menge sei konstruktibel. Er tat dies, indem er den ZF-Axiomen das Konstruktibilitätsaxiom, kurz (V =L), hinzufügte. Durch eine trickreiche Konstruktion gelang es ihm, die Theorie ZF+(V =L) so in ZF einzubetten, dass jede in ZF+(V =L) beweisbare Aussage zu einer beweisbaren Aussage in ZF wird. Aufgrund dieser Konstruktion führt jeder Widerspruch, der sich in ZF+(V =L) ableiten lässt, auch zu einem Widerspruch in ZF. Ist also ZF widerspruchsfrei, so ist es auch ZF+(V =L). Jetzt kommt der entscheidende Schritt. In ZFC+(V =L) lässt sich das Auswahlaxiom als Theorem beweisen. Daraus folgt, dass das Auswahlaxiom mit den Axiomen von ZFC+(V =L) und damit erst recht mit den Axiomen von ZF verträglich ist. Mit anderen Worten: Ist die ZF-Mengenlehre selbst frei von Widersprüchen, so lässt sich das Auswahlaxiom widerspruchsfrei als weiteres Axiom hinzufügen. In der gleichen Weise gelang es Gödel, zu zeigen, dass sich ne-

63


pr 23 Mrz 2 A

Paul Joseph Cohen wurde am 2. April 1934 in Long Branch, New Jersey, geboren. Schon in jungen Jahren galt Cohen als mathematisches Wunderkind. Nach zwei Jahren am Brooklyn College in New York wechselte er an die University of Chicago. Dort erhielt er im Jahr 1954 seinen Master-Abschluss, vier Jahre später folgte die Promotion. 1958 führte ihn sein Weg an das Massachusetts Institute of Technology. Die Zeit zwischen 1959 und 1961 verbrachte er am Institute for Advanced Study in Princeton. 1961 wechselte er an die Stanford University, die ihn 1964 zum Professor ernannte. In Kalifornien hatte Cohen eine neue Heimat gefunden, die er als weniger hektisch empfand als seine vorherigen Stationen an der Ostküste. In Stanford fand er die Ruhe, um sich intensiv mit den Grundlagenproblemen der Mengenlehre auseinanderzusetzen. Im Jahr 1963 war es soweit. Cohen

1934 2007

konnte als erster einen lückenlosen Beweis für die lang gehegte Vermutung vorlegen, dass sich sowohl das Auswahlaxiom als auch die Kontinuumshypothese im System der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre weder beweisen noch widerlegen lassen. 1966 wurde er für sein Werk mit der Fields-Medaille geehrt. Die alle vier Jahre verliehene Auszeichnung ist die höchste im Bereich der Mathematik und hat eine ähnliche Bedeutung wie der Nobelpreis in anderen Wissenschaftsdisziplinen. In den 70er Jahren setzte sich Cohen vermehrt mit Problemen aus der Zahlentheorie auseinander, und mit der Riemann’schen Vermutung sollte erneut eines der bedeutendsten ungelösten Probleme der Mathematik sein Interesse wecken. Mit großer Hingabe beschäftigte sich Cohen bis zu seinem Lebensende mit dieser Vermutung; ein Beweis sollte ihm aber nicht mehr gelingen. Paul J. Cohen starb am 23. März 2007 an den Folgen einer seltenen Lungenkrankheit.

ben dem Auswahlaxiom auch die Kontinuumshypothese widerspruchsfrei zu den ZF-Axiomen hinzufügen lässt. Hatte Gödel mit seinem erneuten Coup das geschafft, wonach Cantor bis zu seinem Lebensende trachtete? War es ihm tatsächlich gelungen, dem Kontinuum das letzte große, über lange Zeit so vehement gehütete Geheimnis endlich zu entlocken? Auch wenn Gödels Arbeit von unschätzbarem Wert ist, war sie nur ein Teilerfolg. Aus der Tatsache, dass die Kontinuumshypothese mit den ZF-Axiomen verträglich ist, folgt nicht, dass sie wahr ist. Gödel war längst davon überzeugt, dass auch die Negation zu den ZF-Axiomen hinzugefügt werden kann, ohne einen Widerspruch zu erzeugen. Sollte seine Überzeugung zur Gewissheit werden, so wäre die Kontinuumshypothese innerhalb der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre unentscheidbar, d. h., es gäbe innerhalb von ZF weder einen Beweis für ihre Wahrheit noch einen Beweis für ihre Falschheit. Mehre Male glaubte Gödel, einen Beweis für seine Unabhängigkeitsvermutung in Händen zu halten, doch bei genauerer Analyse fanden sich stets Fehler in seiner Beweisführung. Erst im Jahr 1963 sollte Gödels Vermutung zur Gewissheit werden, als Paul Cohen bewies, dass sowohl die Negation des Auswahlaxioms wie auch die Negation der Kontinuumshypothese widerspruchsfrei zu den ZF-Axiomen hinzugefügt werden können [32–34] (Abbildung 1.53). Aus Gödels und Cohens Ergebnissen folgt, dass sich das Auswahlaxiom und die Kontinuumshypothese innerhalb der Zermelo-FraenkelMengenlehre weder beweisen noch widerlegen lassen.

64


Abbildung 1.53: Im Jahr 1963 bewies der amerikanischen Mathematiker Paul Cohen, dass sich die Negation der Kontinuumshypothese widerspruchsfrei zu den Axiomen der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre hinzufügen lässt. Ab da war gewiss, dass sich die Kontinuumshypothese innerhalb der ZF-Mengenlehre weder beweisen noch widerlegen lässt.

Cohens Arbeit ist ein Meilenstein auf dem Weg zur modernen Mengenlehre. Um die Unabhängigkeit beider Axiome zu beweisen, führte er eine neue Methode namens Forcing ein. Mit ihr lassen sich spezielle Modelle konstruieren, aus deren Existenz die Widerspruchsfreiheit eines Axiomensystems folgt. Anders als Gödel, der mithilfe des Konstruktibilitätsaxioms (V =L) ein inneres Modell der Mengenlehre konstruierte, führte Cohen eine Modellerweiterung durch. Unter gewissen Voraussetzungen lassen sich in diesem größeren Modell gewisse Eigenschaften erzwingen, wie z. B. die Falschheit der Kontinuumshypothese. Auf diese Weise konnte Cohen zeigen, dass die negierte Kontinuumshypothese mit den ZF-Axiomen verträglich ist, d. h. widerspruchsfrei zu den Axiomen hinzugefügt werden kann. Cohens Forcing-Methode ist so allgemein, dass sie in der Folgezeit auch auf andere Eigenschaften angewandt werden konnte. Heute gehört sie zu den Standardinstrumenten,


die uns im Bereich der Mengenlehre für das Führen von Unabhängigkeitsbeweisen zur Verfügung stehen. Cohens Vorgehensweise ist eng verwandt mit der Methode der booleschen Modelle [8, 162]. Diese wurde in den sechziger Jahren von Dana Scott, Robert Solovay, and Petr Vopˇenka mit dem Ziel eingeführt, einen intuitiveren Zugang zur Forcing-Methode zu schaffen. In Abschnitt 7.4 werden wir die Grundidee umreißen, die sich hinter booleschen Modellen verbirgt. Für Gödel war das Rätsel der Kontinuumshypothese damit immer noch nicht gelöst. Lange bevor Cohen seinen Beweis veröffentlichte, hatte er ausdrücklich darauf verwiesen, dass der damals noch ausstehende Unentscheidbarkeitsbeweis die Kontinuumshypothese nicht klären würde. Was Gödels damals zum Ausdruck brachte, war Zeugnis seiner platonischen Weltauffassung. Für ihn waren Mengen real existierende Gebilde der Gedankenwelt, so dass die Kontinuumshypothese in einem absoluten Sinn entweder wahr oder falsch sein muss. Dementsprechend ist die Unentscheidbarkeit lediglich der Beweis dafür, dass die zugrunde liegenden Axiome zu schwach sind, um die Wahrheit oder Falschheit der Kontinuumshypothese zu belegen. Um eine endgültige Klärung herbeizuführen, war es nach Gödels Meinung unausweichlich, die Mengenlehre um weitere Axiome zu ergänzen. In einer Veröffentlichung aus dem Jahr 1947 bringt Gödel seine Ansicht wie folgt zum Ausdruck: „Es könnte Axiome mit so reichen überprüfbaren Konsequenzen geben, die so viel Licht auf eine ganze Disziplin werfen und so mächtige Werkzeuge zur Lösung bestehender Probleme zur Verfügung stellen, [...] dass sie im gleichen Sinn wie eine gut etablierte physikalische Theorie als wahr angesehen werden müssten.“ [66, 67] Seine Worte unterstreichen, welche Kehrtwende die axiomatische Methode im Laufe der Geschichte vollzogen hat. Galten die geometrischen Axiome der alten Griechen noch als objektive, offensichtliche Wahrheiten, die keinerlei Beweis bedürfen, so sind die Axiome der modernen Mengenlehre davon weit entfernt. Sie erhalten ihre Legitimation nicht durch ihre eigene Einsichtigkeit, sondern durch die Konsequenzen, die sich aus ihnen ergeben. In der Tat folgt die Mathematik an dieser Stelle dem Vorgehen in der modernen Physik. Auch hier strapazieren die Gesetze der Quantenphysik die menschliche Intuition auf das höchste, und

65

66

Der Positivismus und der Platonismus sind philosophische Denkrichtungen in der Wissenschaft, die auf völlig unterschiedlichen mathematischen und physikalischen Weltbildern beruhen. Der Positivismus koppelt den Existenzbegriff an das Beobachtbare. Dementsprechend wird einer Fragestellung überhaupt nur dann ein Sinn zugesprochen, wenn sie sich im Rahmen eines Experiments objektiv entscheiden lässt. Metaphysische Anschauungen oder Theorien gelten als bedeutungslos. Die Frage, ob z. B. die natürlichen Zahlen als Teil einer realen Gedankenwelt eigenständig existieren oder lediglich der menschlichen Phantasie entspringen, wird von einem Positivisten weder bejaht noch verneint; stattdessen wird sie als bedeutungsleer zurückgewiesen. Der Platonismus erkennt mathematische Begriffe und Zusammenhänge als reale Gedankengebilde an, die in einem objektiven Sinne existieren. Die Wahrheit oder die Falschheit einer Aussage ist damit eine Eigenschaft, die auch ohne das Vorhandensein eines Beweises oder Gegenbeweises existiert. Nicht nur in der Physik, sondern auch in der Mathematik sehen Platoniker den Wissenschaftler in der Rolle des Entdeckers und nicht des Schöpfers.


dennoch akzeptieren wir sie als ernstzunehmende Theorie. Wir akzeptieren sie deshalb, weil die Folgerungen, die sich aus ihnen ergeben, mit den Phänomenen der Natur in Einklang stehen. Doch welche Axiome sind die richtigen, um die Zermelo-FraenkelMengenlehre so zu erweitern, dass sie zum einen den Begriff der Menge adäquat beschreibt und zum anderen Auskunft über bisher ungeklärte Fragen liefert? Gödel vermutete die Antwort im Bereich der Unendlichkeitsaxiome. Durch die Hinzunahme eines solchen Axioms wird, grob gesprochen, die Existenz von sehr großen Zahlen postuliert – Zahlen, die so groß sind, dass sich deren Existenz innerhalb der ZermeloFraenkel-Mengenlehre weder beweisen noch widerlegen lässt. Anhand des „kleinsten“ Unendlichkeitsaxioms wollen wir einen Einblick gewähren, wie die Hinzunahme eines solchen Axioms die Ausdrucksstärke des entstehenden Systems verändert. Das besagte Axiom ist das Axiom des Unendlichen, das wir weiter oben schon kennen gelernt haben. Es ist bereits Bestandteil von ZF und fordert die Existenz einer Menge mit unendlich vielen Elementen. Die Theorie, die durch die Entnahme des Unendlichkeitsaxioms entsteht, sei mit ZF−ω bezeichnet. Zwischen ZF und ZF−ω besteht der erstaunliche Zusammenhang, dass sich die Widerspruchsfreiheit von ZF−ω innerhalb von ZF beweisen lässt. ZF−ω selbst ist aber stark genug, um die Zahlentheorie zu formalisieren, und kann nach dem ersten Gödel’schen Unvollständigkeitssatz ihre eigene Widerspruchsfreiheit nicht selbst beweisen. Das bedeutet, dass wir durch die Hinzunahme des Unendlichkeitsaxioms in der Lage sind, Theoreme zu beweisen, die in der alten Theorie unentscheidbar sind. Heute gehört die Erforschung von Unendlichkeitsaxiomen zu den aktiven Forschungsschwerpunkten der Mengenlehre. Viele Male konnten neue Axiome gefunden werden, mit denen sich die Zermelo-FraenkelMengenlehre zu immer stärkeren Theorien ausbauen lässt. Ob die Zahlen überhaupt existieren, die durch die Hinzunahme großer Unendlichkeitsaxiome postuliert wird, wissen wir nicht; die Existenz dieser Zahlen ist ohne das Axiom weder beweisbar noch widerlegbar. Aber dürfen wir eine große unendliche Zahl überhaupt als existent bezeichnen? Existieren diese Zahlen in einem platonisch absoluten Sinn, oder sind wir gezwungen, auf eine positivistische Sichtweise auszuweichen, die zwischen der Existenz und der Beweisbarkeit riesiger Zahlen nicht unterscheidet? Sie sehen, dass die Ergebnisse der modernen Mengenlehre nicht nur aus inhaltlicher Sicht interessant sind. Mit ihr scheint eine philosophische Auseinandersetzung in die Mathematik zurückzukehren, die der zunehmenden Formalisierung im zwanzigsten Jahrhundert fast vollständig zum Opfer viel. Hier schließt sich der Kreis.

67

1.3 Übungsaufgaben

1.3

Übungsaufgaben

Die nachstehende Formel stammt aus Freges berühmter Begriffsschrift: F(y) f (x, y)

Aufgabe 1.1 Webcode 1292

F(x) b

a

F(a) f (b, a)

F(b) F(y) f (x, y) a

F(a) f (x, a)

Versuchen Sie, die Formel in die moderne Notation zu übersetzen.

In Abschnitt 1.2.2 haben wir herausgearbeitet, wie Cantor in seiner 1874 publizierten Arbeit die Abzählbarkeit der algebraischen Zahlen bewies. Hierzu ordnete er jeder Gleichung der Form an xn + an−1 xn−1 + . . . + a1 x + a0 eine Höhe N zu, die sich wie folgt berechnet: N = n − 1 + |an | + . . . + |a3 | + |a2 | + |a1 | + |a0 | War Cantor gezwungen, die Definition in dieser komplizierten Form zu wählen, oder hätte er sie durch eine der nachstehenden, leicht vereinfachten Definitionen ersetzen können? a) N = n b) N = |an | + . . . + |a3 | + |a2 | + |a1 | + |a0 | c) N = n + |an | + . . . + |a3 | + |a2 | + |a1 | + |a0 |


68



In Abschnitt 1.2.1 wurde gezeigt, wie sich die periodische Dezimalzahl 0,0238095 in den 1 überführen lässt. Bruch 42 a) Beweisen Sie auf die gleiche Weise die Beziehung 1 = 0, 9. b) Hat der Trick, den wir zur Umwandlung verwendet haben, ein gewisses Unbehagen bei Ihnen ausgelöst? Falls ja, dann besitzen Sie bereits ein gutes Gespür für die Gefahren im Umgang mit dem aktual Unendlichen. Versuchen Sie, die Beziehung 1 = 0, 9 zu beweisen, indem Sie vermeiden, eine unendliche Folge von Nachkommaziffern als ein abgeschlossenes Ganzes zu interpretieren.

0

0

0

0

0

0

0

0 , 1

9

0

...

In Abbildung 1.20 haben wir gezeigt, wie sich zwei reelle Zahlen im Reißverschlussverfahren zu einer einzigen reellen Zahl verschmelzen lassen. Auf diese Weise hatten wir eine bijektive Abbildung zwischen R2 und R hergestellt und damit die Gleichmächtigkeit beider Mengen bewiesen. ...


0 , 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ... 0 ,

1

0

0

0

0

0 , 1 0 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 ... 0 ,

0

0

0

...

9

9

9

9

9

0 ,1

9

9

0

9

9

9

9

9

9

9

...

In Wirklichkeit haben wir an dieser Stelle ein wenig geschummelt, da die Dezimalbruchdarstellung einer reellen Zahl nicht immer eindeutig ist. Beispielsweise ist 0,11 = 0,109. Das bedeutet, dass die von uns konstruierte Abbildung von R2 auf R nicht injektiv und damit erst recht nicht bijektiv ist. Wie könnte man mit diesem Problem umgehen, ohne die Grundidee der Reißverschlusskonstruktion komplett aufzugeben? Aufgabe 1.5 Webcode 1367

Mit der Goldbach’schen Vermutung haben Sie eines der wichtigsten bis dato ungelösten Probleme der Zahlentheorie kennen gelernt. In ihrer starken Form lautet sie so: „Jede gerade natürliche Zahl n > 2 lässt sich als Summe zweier Primzahlen schreiben.“ Zeigen Sie, dass aus der starken Goldbach’schen Vermutung die folgende Aussage folgt: „Jede gerade natürliche Zahl n > 5 lässt sich als Summe dreier Primzahlen schreiben.“

69

1.3 Übungsaufgaben

In dieser Aufgabe geht es erneut um die Goldbach’sche Vermutung. a) Nehmen Sie an, die Vermutung sei falsch. Ließe sie sich dann mit den Mitteln der gewöhnlichen Arithmetik widerlegen?


b) Nehmen Sie an, die Goldbach’sche Vermutung sei mit den Mitteln der gewöhnlichen Mathematik unbeweisbar. Lässt das Ergebnis in diesem Fall einen Rückschluss auf die Wahrheit oder die Falschheit der Vermutung zu? c) Lässt sich das Ergebnis auf die Vermutung über die Existenz unendlich vieler Primzahlzwillinge übertragen? d) Ist die Fermat’sche Vermutung ein mathematischer Satz vom Goldbach’schen Typ?


Die Erd˝os-Straus-Vermutung besagt, dass die Gleichung 4 1 1 1 = + + n a b c für jede natürliche Zahl n > 1 eine Lösung in den natürlichen Zahlen besitzt. Könnten wir die Vermutung lösen, wenn wir im Besitz eines Entscheidungsverfahrens für diophantische Gleichungen wären?

Ergänzen Sie die nachstehenden Aussagen. Die Menge . . .

leer

endlich

abzählbar

überabzählbar

{M ∈ 2N | N ⊆ M} ist

{M ∈ 2N | |M| = |N|} ist {M ∈ 2N | |M| < |N|} ist {M ∈ 2N | |M| > |N|} ist


2 Formale Systeme „Wenn es sich darum handelt, die Grundlagen einer Wissenschaft zu untersuchen, so hat man ein System von Axiomen aufzustellen, welche eine genaue und vollständige Beschreibung derjenigen Beziehungen enthalten, die zwischen den elementaren Begriffen jener Wissenschaft stattfinden. Die aufgestellten Axiome sind zugleich die Definitionen jener elementaren Begriffe, und jede Aussage innerhalb des Bereiches der Wissenschaft, deren Grundlagen wir prüfen, gilt uns nur dann als richtig, falls sie sich mittelst einer endlichen Anzahl logischer Schlüsse aus den aufgestellten Axiomen ableiten lässt.“ David Hilbert [87]

2.1

Definition und Eigenschaften

In Kapitel 1 haben wir die axiomatische Methode als die Grundlage der modernen mathematischen Beweisführung identifiziert und gezeigt, wie sie das Bild der Mathematik im Laufe der Zeit verändert hat. Im modernen Sinne wird das Führen eines Beweises als der Prozess verstanden, Sätze durch die Anwendung wohldefinierter Schlussregeln aus einer kleiner Menge a priori festgelegter Grundannahmen, den Axiomen, abzuleiten. Erst durch den präzisen deduktiven Charakter dieser Vorgehensweise konnte sich die Mathematik zu der exakten Wissenschaft entwickeln, wie wir sie heute kennen. Formale Systeme wurden mit dem Ziel geschaffen, die axiomatische Methode in eine strenge Form zu bringen. Was wir darunter im Detail zu verstehen haben, wollen wir anhand eines konkreten Beispiels, des Beispielkalküls E, herausarbeiten. Der Begriff des Kalküls wird ab jetzt häufiger auftauchen; wir werden ihn im Rest des Buchs als Synonym für den Begriff des formalen Systems verwenden. Dem Kalkül E nähern wir uns in mehreren Schritten, in denen nacheinander die Syntax, die Axiome und Schlussregeln sowie die Semantik von E festgelegt werden.

72

Ab jetzt werden wir es fortwährend mit zwei verschiedenen Sprachebenen zu tun haben. Die eine ist die Ebene der Kalkülsprache, die andere die gewöhnliche Sprache der Mathematik. Letztere wird auch als Meta-Ebene bezeichnet, weil wir sie verwenden können, um über ein formales System zu sprechen. Auf dieser Ebene bewegen wir uns außerhalb des Systems und können unser volles mathematisches Instrumentarium einsetzen, um seine Axiome und Schlussregeln zu analysieren und auf bestimmte Eigenschaften hin zu untersuchen. Auf der Ebene der Kalkülsprache (Objektebene) besitzen wir diese Bewegungsfreiheit nicht. Die Syntax und die Semantik der formulierbaren Aussagen werden hier durch ein präzises Regelwerk in ein starres Korsett gepresst. Die Vermischung von Objekt- und MetaEbene ist eine häufige Ursache von Verständnisschwierigkeiten im Bereich der mathematischen Logik und zugleich der Ausgangspunkt vieler augenscheinlicher Paradoxa. Um eine klare Trennung beider Ebenen herbeizuführen, werden alle Formeln der Kalkülsprache in einer serifenlosen Schrift dargestellt (z. B. s(0) = s(0)). Insbesondere dann, wenn die betrachteten Kalküle einen mächtigen Sprachumfang besitzen, wird die unterschiedliche Schriftwahl helfen, gewöhnliche mathematische Aussagen von den Formeln des Kalküls zu unterscheiden. An verschiedenen Stellen dieses Buchs werden immer wieder Formeln in gemischter Schreibweise auftreten, in denen einzelne Formelbestandteile durch griechische Buchstaben ersetzt sind (z. B. s(s(0)) = σ ). Ein solcher Ausdruck heißt Formelschema und ist selbst keine Formel der Kalkülsprache. Erst durch die Substitution des Platzhalters σ durch einen passenden Teilausdruck entsteht eine wohlgeformte Zeichenkette (z. B. s(s(0)) = s(0)).

2 Formale Systeme

Syntax Die Syntax definiert, nach welchen Regeln die Ausdrücke (Formeln) aufgebaut sein müssen, die sich innerhalb des Kalküls erzeugen und manipulieren lassen. Eine Formel ist in diesem Stadium nichts weiter als eine Folge von bedeutungsleeren Symbolen, die in einer festgelegten Art und Weise miteinander kombiniert werden dürfen. In den Formeln des Beispielkalküls E werden ausschließlich die Symbole ‚0‘, ‚s‘, ‚=‘, ‚>‘, ‚(‘, ‚)‘ und ‚¬‘ vorkommen. Die Menge dieser Symbole ist das Alphabet von E. Natürlich entspricht nicht jede Sequenz von Alphabetzeichen einer Formel. Als Formeln gelten nur wohlgeformte Zeichenketten, d. h. Zeichenketten, die nach bestimmten Bildungsregeln aufgebaut sind. Die Menge aller Formeln heißt die Sprache von E. Für die Sprache des Beispielkalküls E vereinbaren wir die folgenden Bildungsregeln: I

0 ist ein Term.

I

Ist σ ein Term, dann ist es auch s(σ ).

I

Sind σ , τ Terme, so sind die folgenden Ausdrücke Formeln: (σ = τ), (σ > τ), ¬(σ = τ), ¬(σ > τ)

Terme sind die Grundbausteine der kalküleigenen Kunstsprache. In symbolischer Form repräsentieren sie die Objekte, über die wir in E sprechen können. Durch die wiederholte Anwendung der ersten beiden Bildungsregeln lassen sich die nachstehenden Terme erzeugen: 0, s(0), s(s(0)), s(s(s(0))), s(s(s(s(0)))), . . . Die dritte Bildungsregel definiert, wie Terme zu Formeln kombiniert werden können. Unter anderem gehören die folgenden Formeln zur Sprache von E: (0 = 0), (0 > 0), ¬(0 = 0), (s(s(0)) = 0), ¬(0 = s(0)), . . . Axiome und Schlussregeln Die Axiome und die Schlussregeln von E sind in Tabelle 2.1 zusammengefasst. Ausgehend von einem einzigen Axiom stehen 6 Schlussregeln zur Verfügung, die zur Ableitung neuer Theoreme genutzt werden

73

2.1 Definition und Eigenschaften

können. Für jede ableitbare Formel ϕ schreiben wir ϕ und nennen ϕ ein Theorem von E. Der Ausdruck ϕ ist damit nichts anderes als die symbolische Schreibweise für die Aussage: „ϕ ist in E beweisbar“. Beachten Sie bei der Betrachtung der Schlussregeln, dass die Variablen lediglich Platzhalter sind, die durch beliebige Terme substituiert werden können. So lassen sich aus dem Formelschema (s(σ ) > τ) unter anderem die folgenden Instanzen bilden: I

Substitution 1: S := [σ ← s(s(0)), τ ← 0] (s(σ ) > τ)S = (s(s(s(0))) > 0)

I

Substitution 2: S := [σ ← s(0), τ ← s(s(0))] (s(σ ) > τ)S = (s(s(0)) > s(s(0)))

Mit den geleisteten Vorarbeiten sind wir in der Lage, den Kalkül zum Leben zu erwecken und durch die systematische Anwendung von Schlussregeln neue Theoreme abzuleiten. I

Beispiel 1: Ableitung von (s(s(s(s(0)))) > s(s(0)))

1. 2. 3. 4. 5.

I

Beispiel 2: Ableitung von ¬(s(s(0)) = s(s(s(0))))

(0 = 0) (s(0) = s(0)) (s(s(0)) = s(s(0))) (s(s(s(0))) > s(s(0))) (s(s(s(s(0)))) > s(s(0)))

(A1) (S1, 1) (S1, 2) (S2, 3) (S3, 4)

1. (0 = 0) 2. (s(0) = s(0))

(A1) (S1, 1)

3. (s(s(0)) = s(s(0))) 4. (s(s(s(0))) > s(s(0))) 5. ¬(s(s(0)) = s(s(s(0))))

(S1, 2) (S2, 3) (S5, 4)

Beide Beispiele verdeutlichen den symbolischen Charakter, den Beweise in formalen Systemen besitzen. Dank der präzisen Ausformulierung der Axiome und der Schlussregeln ist es nunmehr möglich, Theoreme auf der syntaktischen Ebene abzuleiten, ohne den einzelnen Formelbestandteilen eine Bedeutung zuzumessen; das Führen eines Beweises kommt der symbolischen Manipulation von Zeichenketten gleich.

Axiome (Kalkül E) (0 = 0)

(A1)

Schlussregeln (Kalkül E) (σ = σ ) (s(σ ) = s(σ ))

(S1)

(σ = σ ) (s(σ ) > σ )

(S2)

(σ > τ) (s(σ ) > τ)

(S3)

(σ > τ) ¬(σ = τ)

(S4)

(σ > τ) ¬(τ = σ )

(S5)

(σ > τ) ¬(τ > σ )

(S6)

Tabelle 2.1: Axiome und Schlussregeln des Beispielkalküls E. Alle Schlussregeln sind nach einem einheitlichen Schema aufgebaut. Über dem Mittelstrich ist die Prämisse notiert. Sie beschreibt, auf welche Formeln die Schlussregel angewendet werden darf. Die unter dem Mittelstrich notierte Aussage ist die Konklusion, d. h. die Schlussfolgerung, die aus der Prämisse abgeleitet werden kann.

2 Formale Systeme

Unbeweisbare Aussagen

(s(s(s(s(0)))) > s(s(0)))

(0 > s(0))

¬(s(0) > s(0)) ¬(s(s(0)) = s(s(s(0))))

23 11

0>1

4>2 Wahre Aussagen

Jetzt ist der Weg frei, um den Begriff des Beweises mit mathematischer Präzision zu erfassen. Syntaktische Ebene

Beweisbare Aussagen

Semantische Ebene

Interpretation

74

Definition 2.1 (Beweis) Ein formaler Beweis ist eine Kette von Formeln ϕ1 , ϕ2 , . . . , ϕn , die nach den folgenden Konstruktionsregeln gebildet wird: I

ϕi ist ein Axiom oder

I

ϕi entsteht aus den vorangegangenen Gliedern der Beweiskette durch die Anwendung einer Schlussregel.

Die letzte Formel dieser Kette ist das bewiesene Theorem.

Falsche Aussagen

Semantik Abbildung 2.1: Eine Interpretation weist den Formeln eines Kalküls eine Bedeutung zu. In diesem Beispiel werden die Terme als natürliche Zahlen, das Zeichen ‚=‘ als die Gleichheit und das Zeichen ‚>‘ als die Größer-Relation auf den natürlichen Zahlen interpretiert. Das Symbol ‚¬‘ hat in allen Kalkülen die gleiche Bedeutung und steht für die logische Negation (Verneinung).

Nachdem wir die Sprache festgelegt und mit den Axiomen und den Schlussregeln die Grundlage für die Ableitung neuer Theoreme geschaffen haben, ist es Zeit, den Kalkül mit einer Semantik zu versehen. Die Semantik bestimmt, wie wir die einzelnen Bestandteile einer Formel zu interpretieren haben, und verleiht den Formeln hierdurch eine Bedeutung. Erst die Wahl einer konkreten Interpretation berechtigt uns dazu, von wahren und von falschen Formeln zu sprechen (Abbildung 2.1). Behalten Sie dabei stets im Auge, dass der Wahrheitswert der meisten Formeln von der gewählten Interpretation abhängt. Je nachdem, für welche Interpretation wir uns entscheiden, kann eine Formel einmal einer wahren und ein anderes Mal einer falschen Aussage entsprechen. Von besonderem Interesse sind Interpretationen, in denen alle Theoreme eines Kalküls wahre Aussagen sind. Eine solche Interpretation heißt Modell. In Kapitel 7 werden wir uns im Rahmen der Modelltheorie ausführlich mit dem Aufbau, den Eigenschaften und der systematischen Konstruktion von Modellen befassen. Bevor wir die Semantik für den Beispielkalkül E festlegen, vereinbaren wir die folgende Schreibweise: n := s(s(. . . s (0) . . .))

(2.1)

n-mal

Die nachstehenden Beispiele zeigen, dass sich die meisten Formeln von

75


E jetzt deutlich kompakter schreiben lassen: (4 > 2) steht für (s(s(s(s(0)))) > s(s(0))) ¬(2 = 3) steht für ¬(s(s(0)) = s(s(s(0)))) (0 > 1) steht für (0 > s(0)) Mithilfe der eingeführten Schreibweise legen wir die Interpretation der Formeln von E wie folgt fest: n) entspricht der natürlichen Zahl n ∈ N (n = m) entspricht der Aussage n = m (n > m) entspricht der Aussage n > m ¬(n = m) entspricht der Aussage n = m ¬(n > m) entspricht der Aussage n ≤ m Weiter oben haben wir mit der Beweisbarkeitsrelation ‚‘ eine Schreibweise eingeführt, mit der die Ableitbarkeit einer Formel ausgedrückt werden kann. In analoger Weise werden wir die Modellrelation ‚|=‘ verwenden, um die Wahrheit einer Aussage zu äußern. Offensichtlich gelten die folgenden Beziehungen: |= (4 > 2) |= ¬(2 = 3) |= (0 > 1) |= ¬(1 > 0) Allgemein lässt sich die Modellrelation ‚|=‘ wie folgt definieren: |= (n = m) :⇔ n = m |= (n > m) :⇔ n > m |= ¬ϕ :⇔ |= ϕ

(2.2) (2.3) (2.4)

Die Definition stellt sicher, dass für keine Formel ϕ gleichzeitig |= ϕ und |= ¬ϕ gelten kann. Diese Eigenschaft trägt der festen Semantik des Negationsoperators ‚¬‘ Rechnung und wird von jeder Modellrelation erfüllt. In unserem Beispiel gilt aber noch mehr. Die Beziehung (2.4) stellt sicher, dass für jede Formel ϕ immer entweder |= ϕ oder |= ¬ϕ gilt. Diese besondere Eigenschaft ist deshalb erfüllt, weil wir die Wahrheit und Falschheit einer Formel in unserem Beispiel bewusst an eine ganz bestimmte Interpretation der Symbole geknüpft haben. In dieser Standardinterpretation entspricht jede Formel ϕ einer arithmetischen Aussage, die entweder wahr oder falsch ist, so dass entweder |= ϕ oder

76

2 Formale Systeme

|= ¬ϕ gelten muss. In der später diskutierten Aussagenlogik und Prädikatenlogik wird dies nicht mehr der Fall sein, da wir die Untersuchung dort auf beliebige Interpretationen ausweiten werden. Mit |= ϕ werden wir dann ausdrücken, dass ϕ allgemeingültig ist, d. h., in jeder möglichen Interpretation wahr ist und nicht nur in einer ganz bestimmten. Ist eine Formel ϕ für manche Interpretationen wahr und für andere falsch, so gilt das gleiche auch für ¬ϕ. In diesem Fall ist keine der Formeln ϕ oder ¬ϕ allgemeingültig und es gilt weder |= ϕ noch |= ¬ϕ. Wir halten fest: Satz 2.1

Achten Sie darauf, die Negationsvollständigkeit nicht mit der Vollständigkeit und die Widerspruchsfreiheit nicht mit der Korrektheit zu verwechseln. Jeder Begriff beschreibt eine andere Eigenschaft formaler Systeme. In der angelsächsischen Literatur herrscht eine genauso scharfe Abgrenzung zwischen den Begriffen. Ein negationsvollständiger Kalkül wird dort als negation complete und ein vollständiger Kalkül als complete bezeichnet. Ein widerspruchsfreier Kalkül heißt consistent und ein korrekter Kalkül heißt sound. Sowohl in der deutschsprachigen als auch in der englischsprachigen Literatur wird die Negationsvollständigkeit mitunter als syntaktische Vollständigkeit und die Vollständigkeit als semantische Vollständigkeit bezeichnet. Wenn die Gefahr einer Verwechslung ausgeschlossen ist, wird gerne auf den Zusatz „syntaktisch“ und „semantisch“ verzichtet und dann nur noch von der Vollständigkeit eines Kalküls gesprochen. Achten Sie bei dem Begriff der Vollständigkeit also immer darauf, ob er sich auf die syntaktische oder auf die semantische Ebene bezieht. In beiden Fällen ist seine Bedeutung eine völlig andere.

I

Es gilt niemals gleichzeitig |= ϕ und |= ¬ϕ.

I

Aus |= ϕ folgt nicht in allen Logiken |= ¬ϕ.

Die Beweisbarkeitsrelation ‚‘ und die Modellrelation ‚|=‘ sind die Grundlage für die Definition wichtiger Kalküleigenschaften, die uns durch alle Kapitel dieses Buchs begleiten werden. Behalten Sie die Begriffe gut in Erinnerung! Definition 2.2 Ein formales System (Kalkül) heißt I

widerspruchsfrei, wenn aus ϕ stets ¬ϕ folgt,

I

negationsvollständig, wenn aus ¬ϕ stets ϕ folgt,

I

korrekt, wenn aus ϕ stets |= ϕ folgt,

I

vollständig, wenn aus |= ϕ stets ϕ folgt.

Demnach ist ein Kalkül genau dann widerspruchsfrei, wenn es nicht möglich ist, eine Formel ϕ zusammen mit ihrer Negation ¬ϕ abzuleiten. Negationsvollständig ist ein Kalkül genau dann, wenn für jede Formel immer mindestens eine der beiden Alternativen ϕ oder ¬ϕ deduziert werden kann. Von besonderem Interesse sind Kalküle, die sowohl widerspruchsfrei als auch negationsvollständig sind. Nur in diesen Kalkülen gilt, dass für jede Formel immer genau eine der beiden Alternativen ϕ oder ¬ϕ abgeleitet werden kann. Die Widerspruchsfreiheit und die Negationsvollständigkeit sind syntaktische Eigenschaften, da in ihrer Definition keinerlei Gebrauch von der


Bedeutung der einzelnen Symbolen gemacht wird. Im Gegensatz hierzu sind die Korrektheit und die Vollständigkeit semantische Eigenschaften; sie stellen einen Bezug zwischen der Beweisbarkeit und der Wahrheit einer Aussage her. Ein Kalkül ist korrekt, wenn alle seine Theoreme wahre Aussagen sind, und es ist vollständig, wenn jede wahre Aussage auch ein Theorem ist, d. h., wenn sich jede wahre Formel durch die Anwendung endlich vieler Schlussregeln aus den Axiomen ableiten lässt. Es entsteht der natürliche Wunsch, sowohl korrekte als auch vollständige Kalküle zu definieren, da nur in ihnen der Unterschied zwischen der Beweisbarkeit und der Wahrheit einer Aussage verschwindet. Zwischen den syntaktischen Begriffen der Widerspruchsfreiheit und der Negationsvollständigkeit sowie den semantischen Begriffen der Korrektheit und der Vollständigkeit lassen sich zwei wichtige Zusammenhänge herstellen: Satz 2.2 I

Ist ein Kalkül vollständig und gilt für alle Formeln immer entweder |= ϕ oder |= ¬ϕ, so ist er auch negationsvollständig.

I

Ist ein Kalkül korrekt, so ist er auch widerspruchsfrei.

Die erste Aussage folgt direkt aus der Tatsache, dass zu jeder Formel ϕ entweder ϕ selbst oder deren Negation ¬ϕ eine wahre Aussage ist (es gilt nach Voraussetzung entweder |= ϕ oder |= ¬ϕ). Damit ist in einem vollständigen Kalkül immer mindestens eine der beiden Formeln ableitbar und der Kalkül damit negationsvollständig. Die zweite Aussage folgt aus der Tatsache, dass sich in einem korrekten Kalkül nur wahre Aussagen beweisen lassen. Da immer nur eine der beiden Formeln ϕ und ¬ϕ wahr sein kann, ist immer auch nur eine der beiden Formeln ableitbar und der Kalkül damit widerspruchsfrei. Damit ist es an der Zeit, einen erneuten Blick auf das Beispielkalkül E zu werfen und zu untersuchen, welche der in Definition 2.2 eingeführten Eigenschaften erfüllt sind und welche nicht. Aus der genaueren Analyse der Axiome und der Schlussregeln lassen sich die nachstehenden Schlussfolgerungen ziehen: I

E ist korrekt und widerspruchsfrei. Die Korrektheit folgt aus der speziellen Bedeutung, die wir den Formeln aus E zugewiesen haben. Mit der vorgenommenen Interpretation wird das (einzige) Axiom (A1) zu einer wahren Aussage über

77

78

2 Formale Systeme

die natürlichen Zahlen, und die Schlussregeln sind so gestaltet, dass aus einer wahren Aussage wiederum eine wahre Aussage folgt. Nach Satz 2.2 ist der Kalkül damit erst recht widerspruchsfrei. I

E ist weder negationsvollständig noch vollständig. Negationsvollständig wäre der Kalkül nur dann, wenn sich für jede Formel ϕ mindestens eine der Formeln ϕ und ¬ϕ ableiten lässt. Es ist aber weder (0 > 0) noch ¬(0 > 0) ein Theorem von E. Damit ist der Kalkül negationsunvollständig und nach Satz 2.2 erst recht unvollständig.

Wir wollen versuchen, den Kalkül E um zusätzliche Schlussregeln anzureichern. Hierzu sind in Tabelle 2.2 drei Kalkülerweiterungen zusammengefasst, die wir jetzt nacheinander untersuchen werden. Unsere besondere Aufmerksamkeit werden wir darauf richten, in welcher Weise sich die eingeführten Kalküleigenschaften verändert haben. Wir beginnen mit der Diskussion des Kalküls E2 , das sich von E lediglich durch die Hinzunahme der Schlussregel (S7) unterscheidet (Tabelle 2.2 links). Auf den ersten Blick geht durch die neue Regel die Eigenschaft der Korrektheit verloren, da wir (S7) verwenden können, um aus der Prämisse ¬(n > n) die Konklusion (n > n) abzuleiten. Über den natürlichen Zahlen interpretiert, repräsentiert die erste Formel eine wahre Aussage, die zweite aber ganz offensichtlich eine falsche. Wir wollen nun versuchen, den Widerspruch innerhalb von E2 sichtbar zu machen. Um mithilfe der Regel (S7) eine falsche Aussage herzuleiten, müssen wir für eine beliebige natürliche Zahl n zunächst die Formel ¬(n > n) beweisen. Anschließend können wir mit der Schlussregel (S7) das Theorem (n > n) ableiten und hätten damit eine Formel ϕ gefunden, für die sich sowohl ϕ als auch ¬ϕ beweisen lassen. Der Kalkül E2 wäre hierdurch als widersprüchlich entlarvt. Ein gezielter Blick auf die Schlussregeln zeigt, dass wir die Formel ¬(n > n) aber gar nicht innerhalb von E2 ableiten können. Die immer noch nicht vorhandene Negationsvollständigkeit verhindert hier, dass sich eine falsche Aussage beweisen lässt. Damit bleibt E2 trotz der Hinzunahme der semantisch inkorrekten Schlussregel (S7) korrekt und nach Satz 2.2 auch widerspruchsfrei. Als nächstes betrachten wir den Kalkül E3 , der aus E2 durch die erneute Hinzunahme einer Schlussregel entsteht (Tabelle 2.2 Mitte). Durch die neue Regel (S8) wird E3 in der Tat vollständig, d. h., jede wahre Aussage, die sich in der begrenzten Sprache unserer Beispielkalküle

79


Axiome (Kalkül E2 ) (0 = 0)

Axiome (Kalkül E3 ) (A1)

Schlussregeln (Kalkül E2 )

(0 = 0)

Axiome (Kalkül E4 ) (A1)


(0 = 0)

(A1)


(σ = σ ) (s(σ ) = s(σ ))

(S1)

(σ = σ ) (s(σ ) = s(σ ))

(S1)

(σ = σ ) (s(σ ) = s(σ ))

(S1)

(σ = σ ) (s(σ ) > σ )

(S2)

(σ = σ ) (s(σ ) > σ )

(S2)

(σ = σ ) (s(σ ) > σ )

(S2)

(σ > τ) (s(σ ) > τ)

(S3)

(σ > τ) (s(σ ) > τ)

(S3)

(σ > τ) (s(σ ) > τ)

(S3)

(σ > τ) ¬(σ = τ)

(S4)

(σ > τ) ¬(σ = τ)

(S4)

(σ > τ) ¬(σ = τ)

(S4)

(σ > τ) ¬(τ = σ )

(S5)

(σ > τ) ¬(τ = σ )

(S5)

(σ > τ) ¬(τ = σ )

(S5)

(σ > τ) ¬(τ > σ )

(S6)

(σ > τ) ¬(τ > σ )

(S6)

(σ > τ) ¬(τ > σ )

(S6)

¬(σ > τ) (τ > σ )

(S7)

¬(σ > τ) (τ > σ )

(S7)

(σ = τ) ¬(σ > τ)

(S8)

(σ = τ) ¬(σ > τ)

(S8)

Tabelle 2.2: Axiome und Schlussregeln der Kalküle E2 , E3 und E4

formulieren lässt, ist ein Theorem von E3 . Nach Satz 2.2 ist E3 damit automatisch auch negationsvollständig. Gleichzeitig hat E3 durch die Hinzunahme von (S8) die nötige Ausdrucksstärke erlangt, um den oben geschilderten Widerspruch innerhalb des Kalküls nachvollziehen zu können. Der folgende Beweis demonstriert, wie sich mit ¬(0 > 0) und (0 > 0) ein komplementäres Formelpaar ableiten lässt: 1. (0 = 0) 2. ¬(0 > 0) 3. (0 > 0)

(A1) (S8, 1) (S7, 2)

80

2 Formale Systeme

E3 ist somit widersprüchlich und nach Satz 2.2 erst recht inkorrekt.

Axiome (Kalkül E5 ) ¬(0 = 0)

(A1’)

Schlussregeln (Kalkül E5 ) ¬(σ = σ ) ¬(s(σ ) = s(σ ))

(S1’)

¬(σ = σ ) ¬(s(σ ) > σ )

(S2’)

¬(σ > τ) ¬(s(σ ) > τ)

(S3’)

¬(σ > τ) (σ = τ)

(S4’)

¬(σ > τ) (τ = σ )

(S5’)

¬(σ > τ) (τ > σ )

(S6’)

Entfernen wir die problematische Schlussregel (S7), so gelangen wir auf direktem Weg zu E4 (Tabelle 2.2 rechts). Obwohl dieser Kalkül eine Regel weniger besitzt, bleibt die Vollständigkeit erhalten; dafür sind alle Widersprüche verschwunden. Mit E4 haben wir genau das vor uns, wonach wir gesucht haben: Einen vollständigen und korrekten Kalkül, in dem sich jede wahre Aussage durch die Anwendung von endlich vielen Schlussregeln aus den Axiomen ableiten lässt. Als vorletztes Beispiel betrachten wir den Kalkül E5 , dessen Axiome und Schlussregeln in Tabelle 2.3 zusammengefasst sind. Von dem korrekten und vollständigen Kalkül E4 unterscheidet er sich dadurch, dass alle Prämissen und Konklusionen negiert auftauchen. E5 verhält sich hierdurch vollständig komplementär zu E4 , d. h., eine Aussage ϕ lässt sich in E5 genau dann ableiten, wenn seine Negation in E4 ableitbar ist. Der Kalkül ist der perfekte Lügner; jedes seiner Theoreme entspricht einer falschen Aussage, und jede falsche Aussage ist zudem ein Theorem. Damit ist E5 weder korrekt noch vollständig, besitzt aber weiterhin die syntaktischen Eigenschaften der Widerspruchsfreiheit und Negationsvollständigkeit. E5 ist der Beweis dafür, dass die Schlussrichtungen in Satz 2.2 nicht umgekehrt werden dürfen. Satz 2.3

¬(σ = τ) (σ > τ)

(S8’)

Tabelle 2.3: Axiome und Schlussregeln des Kalküls E5

I

Nicht jeder negationsvollständige Kalkül ist vollständig.

I

Nicht jeder widerspruchsfreie Kalkül ist korrekt.

Alle formalen Systeme basieren auf demselben Kerngedanken, Theoreme durch die Anwendung fest definierter Schlussregeln aus den Axiomen herzuleiten. Erst aus der Nähe betrachtet werden die großen Unterschiede in ihren Erscheinungsformen sichtbar. Einige Kalküle, zu denen auch die bisher besprochenen gehören, besitzen wenige Axiome und erlangen ihre Aussagekraft durch ein umfangreiches Repertoire an Schlussregeln. Andere sind reich an Axiomen und kommen dafür mit wenigen Schlussregeln aus. Nicht selten verfügen solche Kalküle über unendlich viele Axiome, die aus einem oder mehreren Axiomenschemata erzeugt werden. Was wir darunter im Detail zu verstehen haben, klärt ein Blick auf Tabelle 2.4. Der dargestellte Kalkül E6 verfügt neben dem bekannten Axiom (A1) über sieben Schemata, aus denen eine unendliche Anzahl weiterer Axiome gewonnen werden kann. Dagegen gibt es mit dem Modus

81


ponens (MP) nur noch eine einzige Schlussregel. Ein direkter Vergleich zwischen E6 und dem vollständigen und korrekten Kalkül E4 zeigt, dass zwischen beiden zwar ein struktureller, aber kein inhaltlicher Unterschied besteht. In beiden Kalkülen lassen sich ausnahmslos die gleichen Theoreme ableiten. I

Beispiel 1: Ableitung von (s(s(s(s(0)))) > s(s(0)))

1. 2. 3. 4.

(0 = 0) (0 = 0) → (s(0) = s(0)) (s(0) = s(0)) (s(0) = s(0)) → (s(s(0)) = s(s(0)))

5. (s(s(0)) = s(s(0))) 6. (s(s(0)) = s(s(0))) → (s(s(s(0))) > s(s(0))) 7. (s(s(s(0))) > s(s(0))) 8. (s(s(s(0))) > s(s(0))) → (s(s(s(s(0)))) > s(s(0))) 9. (s(s(s(s(0)))) > s(s(0))) I

Beispiel 2: Ableitung von ¬(s(s(0)) = s(s(s(0))))

1. 2. 3. 4. 5.

(0 = 0) (0 = 0) → (s(0) = s(0)) (s(0) = s(0)) (s(0) = s(0)) → (s(s(0)) = s(s(0))) (s(s(0)) = s(s(0)))

6. (s(s(0)) = s(s(0))) → (s(s(s(0))) > s(s(0))) 7. (s(s(s(0))) > s(s(0))) 8. (s(s(s(0))) > s(s(0))) → ¬(s(s(0)) = s(s(s(0)))) 9. ¬(s(s(0)) = s(s(s(0))))

(A1) (A2) (MP, 1,2) (A2) (MP, 3,4) (A3) (MP, 5,6) (A4) (MP, 7,8)

Axiome (Kalkül E6 ) (0 = 0)

(A1)

(σ = σ ) → (s(σ ) = s(σ )) (A2) (σ = σ ) → (s(σ ) > σ )

(A3)

(σ > τ) → (s(σ ) > τ)

(A4)

(σ > τ) → ¬(σ = τ)

(A5)

(σ > τ) → ¬(τ = σ )

(A6)

(σ > τ) → ¬(τ > σ )

(A7)

(σ = τ) → ¬(τ > σ )

(A8)

Schlussregeln (Kalkül E6 ) (A1) (A2) (MP, 1,2) (A2) (MP, 3,4) (A3) (MP, 5,6) (A6) (MP, 7,8)

In der Tat sind die meisten Kalküle, die wir später kennen lernen werden, in dieser Form gestaltet. Die Beziehungen zwischen den untersuchten Objekten werden in den Axiomen codiert sein und nicht in den Schlussregeln. Der gewählte Ansatz besticht vor allem durch seine Allgemeinheit. Gleichgültig, ob wir es später mit der Zahlentheorie, der Mengenlehre oder einem anderen Gebiet der Mathematik zu tun haben werden: Der formale Schlussapparat bleibt stets der gleiche. Um welche Schlussregeln es sich hierbei im Detail handelt, werden wir in den Abschnitten 2.3 und 2.4 herausarbeiten. Dort werden wir mit der

σ,σ → τ τ

(MP)

Tabelle 2.4: Axiome und Schlussregeln des Kalküls E6

82

2 Formale Systeme

Aussagenlogik und der Prädikatenlogik den Standardapparat des formalen logischen Schließens ausführlich besprechen. An dieser Stellen wollen wir den Begriff des formalen Systems noch um einen wichtigen Baustein ergänzen. Die Rede ist von Annahmen, die in der klassischen Mathematik in den verschiedensten Formen gemacht werden und nicht notwendigerweise selbst wahr sein müssen. Um auch Aussagen der Form „Unter der Annahme, dass M gilt, folgt . . . “ mithilfe eines formalen Systems modellieren zu können, erlauben wir, einen Beweis um eine Menge von Voraussetzungen zu ergänzen. In diesem erweiterten Kalkül ist ein Beweis eine Kette von Formeln ϕ1 , ϕ2 , . . . , ϕn , die nach den folgenden Konstruktionsregeln gebildet wird: I


I

ϕi ist eine Voraussetzung oder

I


Bezeichnet M die Menge der Voraussetzungen, so schreiben wir M ϕ, falls sich die Formel ϕ mit den beschriebenen Konstruktionsregeln ableiten lässt. Mit dieser Notation können wir den weiter oben eingeführten Ausdruck ϕ als abkürzende Schreibweise für 0/ ϕ auffassen. Offenbar gelten die folgenden Beziehungen: Satz 2.4 I

{ϕ} ∪ M ϕ

I

Aus M ⊂ N und M ϕ folgt N ϕ

I

Aus M ϕ1 , . . . , M ϕn und {ϕ1 , . . . , ϕn } ϕ folgt M ϕ

I

M ϕ ⇔ für eine endliche Teilmenge M ⊆ M gilt M ϕ

Die Korrektheit der ersten drei Aussagen folgt unmittelbar aus den oben genannten Konstruktionsregeln. Einzig die letzte Aussage verdient unsere Beachtung. Sie gilt, da jeder Beweis aus einer endlichen Kette von Formeln besteht. Das bedeutet, dass wir M ganz einfach aus einem vorliegenden Beweis konstruieren können, indem wir alle verwendeten Voraussetzungen aufsammeln. Die endliche Anzahl von Beweisschritten stellt dann sicher, dass auch M endlich ist.

2.2 Entscheidungsverfahren

2.2

83

Entscheidungsverfahren „Das Entscheidungsproblem ist gelöst, wenn man ein Verfahren kennt, das bei einem vorgelegten logischen Ausdruck durch endlich viele Operationen die Entscheidung über die Allgemeingültigkeit bzw. Erfüllbarkeit erlaubt. [...] Das Entscheidungsproblem muss als das Hauptproblem der mathematischen Logik bezeichnet werden“ David Hilbert, Wilhelm Ackermann (Abb. 2.2) [85]

In Abschnitt 2.1 haben wir anhand mehrerer Beispiele die elementaren Eigenschaften formaler Systeme herausgearbeitet. Wie die Sprache, die Axiome oder die Schlussregeln eines Kalküls prinzipiell aussehen dürfen, haben wir bisher noch nicht exakt festgelegt und müssen es auch gar nicht. Für alle Betrachtungen, die nun folgen werden, ist es völlig ausreichend, wenn die untersuchten Kalküle die folgenden Minimaleigenschaften erfüllen: I

Die Anzahl der verwendeten Alphabetzeichen ist endlich.

I

Für jede Zeichenkette lässt sich entscheiden, ob sie eine Formel ist.

I

Für jede Formelfolge lässt sich entscheiden, ob sie ein Beweis ist.

Es bedarf einer gehörigen Portion destruktiven Scharfsinns, um ein formales System zu ersinnen, das diese Eigenschaften nicht erfüllt. Ausgeschlossen werden lediglich pathologische Konstrukte, in denen z. B. unendlich lange Beweisketten zugelassen sind oder ein endliches Symbolalphabet nicht ausreicht, um alle Formeln niederzuschreiben. Mit der getroffenen Vereinbarung sind wir gerüstet, um auf ein zentrales Problem des Hilbert’schen Programms zurückzukommen: Wilhelm Friedrich Ackermann (1896 – 1962)

Definition 2.3 (Entscheidungsproblem, syntaktisch) Die syntaktische Variante des Entscheidungsproblems lautet: I

Gegeben: ein Kalkül K und eine Formel ϕ

I

Gefragt: Gilt ϕ ?

Abbildung 2.2: Der deutsche Mathematiker Wilhelm Ackermann gehörte zu den bekanntesten Schülern von David Hilbert. Heute wird sein Name vor allem mit der Ackermann-Funktion verbunden, die uns in Kapitel 4 beschäftigen wird.

84

2 Formale Systeme

Ist die Formel φ = (s(s(0)) > s(0)) beweisbar?

(0 = 0)

(s(0) = s(0))

Um das Entscheidungsproblem zu lösen, müssen wir ein systematisches Verfahren ersinnen, das für jede Formel ϕ immer korrekt beantworten kann, ob ϕ ein Theorem ist, d. h., ob sich ϕ durch die Anwendung endlich vieler Schlussregeln aus den Axiomen ableiten lässt. Ein solches Verfahren heißt Entscheidungsverfahren. Für Hilbert war die Suche nach einem Entscheidungsverfahren ein zentraler Baustein seines Programms. In Kapitel 5 werden wir zeigen, warum Hilberts Traum für weite Teile der Mathematik niemals Realität werden konnte, doch bevor wir dieses negative Resultat im Detail diskutieren, wollen wir ein positives vorausschicken: Satz 2.5

(0 = 0)

(s(0) > 0)

(s(s(0)) = s(s(0))) (s(0) = s(0)) (0 = 0)

(s(s(0)) > s(0)) (s(s(0)) > 0) ¬(s(0) = 0) (s(0) > 0) ¬(0 = s(0)) ¬(0 > s(0))

Abbildung 2.3: Bottom-up-Entscheidungsverfahren für negationsvollständige und widerspruchsfreie Kalküle. Ausgehend von den Axiomen werden durch die sukzessive Anwendung der Ableitungsregeln so lange neue Theoreme erzeugt, bis ϕ oder ¬ϕ darunter ist.

Jeder widerspruchsfreie, negationsvollständige Kalkül besitzt ein Entscheidungsverfahren. Ob eine vorgelegte Formel ϕ in einem widerspruchsfreien und negationsvollständigen Kalkül bewiesen werden kann, kann auf ganz unterschiedlichem Wege entschieden werden. Abhängig von der Vorgehensweise sprechen wir von einem Bottom-up-Verfahren oder von einem Top-down-Verfahren: I

Bottom-up-Entscheidungsverfahren (Abbildung 2.3) Um zu entscheiden, ob eine Formel ϕ bewiesen werden kann, prüfen wir zunächst, ob sich ϕ oder ¬ϕ unter den Axiomen befindet. Ist dies nicht der Fall, erzeugen wir durch die Anwendung der Schlussregeln neue Theoreme. Wenden wir die Regeln in jedem Schritt auf ausnahmslos alle der bisher generierten Formeln an, so erhalten wir nach dem n-ten Schritt exakt diejenigen Theoreme, die in höchstens n Ableitungsschritten aus den Axiomen deduziert werden können. Die geschilderte Prozedur führen wir nun so lange durch, bis entweder die Formel ϕ oder die Formel ¬ϕ unter den Theoremen auftaucht. Da in einem negationsvollständigen Kalkül mindestens eine dieser Formeln abgeleitet werden kann, terminiert das Verfahren nach endlich vielen Schritten. Das Bottom-up-Verfahren scheint uns auf direktem Weg zum Ziel zu führen, und für Kalküle mit einer endlichen Axiomenmenge und einer endlichen Anzahl von Schlussregeln ist dies auch tatsächlich der Fall. Für diese Kalküle haben wir ein einfaches Verfahren zur Hand, mit dem wir in endlicher Zeit entscheiden können, ob eine Formel ϕ beweisbar ist oder nicht. Komplizierter wird die Situation dann,

85

2.2 Entscheidungsverfahren

wenn die Axiome als Schemata ausgelegt sind, die mit beliebigen Teilausdrücken instanziert werden dürfen. In diesem Fall müssten wir mit einer unendlichen Anzahl an Axiomen beginnen. Ebenfalls denkbar ist, dass die Schlussregeln schematisch definiert sind. Dann wäre es möglich, dass in einem einzigen Schritt unendlich viele neue Theoreme entstehen. Für solche Kalküle könnten wir das geschilderte Verfahren zunächst nicht anwenden. Dennoch lassen sich auch solche Kalküle entscheiden, z. B. mit dem Top-Down-Verfahren. Dieses ist so allgemein gehalten, dass es ohne Nachdenken auf jeden Kalkül anwendbar ist, der die oben formulierten Minimaleigenschaften erfüllt. I

Ist die Formel φ = (s(s(0)) > s(0)) beweisbar?

φ = (s(s(0)) > s(0)) Nein

Erzeuge eine neue Zeichenkette aus den Symbolen der Kalkülsprache

Top-down-Entscheidungsverfahren (Abbildung 2.4) Um zu entscheiden, ob eine Formel ϕ beweisbar ist, gehen wir folgendermaßen vor:

• Alle Zeichenketten, die mit Symbolen der Kalkülsprache aufgebaut sind, werden der Reihe nach aufgezählt. Eine einfache Möglichkeit besteht darin, zunächst die Zeichenketten der Länge 1 aufzuzählen, danach die Zeichenketten der Länge 2 und so fort. Da wir nur endlich viele Alphabetzeichen zulassen, muss jede Zeichenkette irgendwann in der Aufzählung erscheinen.

• Alle Zeichenketten, die keiner Formelfolge entsprechen, werden

wird geprüft, ob die letzte Formel gleich ϕ oder gleich ¬ϕ ist. Im ersten Fall ist bewiesen, dass ϕ ein Theorem ist, im zweiten Fall, dass ϕ kein Theorem ist. Die Negationsvollständigkeit stellt sicher, dass für mindestens eine der beiden Formeln ein Beweis existiert und der Algorithmus damit für jede Eingabe terminiert.

Die Forderung der Widerspruchsfreiheit ist essentiell für das Funktionieren beider Verfahren, da wir in einem widersprüchlichen Kalkül aus der Ableitbarkeit von ¬ϕ nicht auf die Nichtableitbarkeit von ϕ schließen können. Das bedeutet, dass wir in einem potenziell widersprüchlichen Kalkül nicht abbrechen dürfen, wenn ein Beweis für ¬ϕ gefunden wurde. Es wäre durchaus möglich, dass zu einem späteren Zeitpunkt auch ein Beweis für ϕ auftaucht. ϕ wäre dann ebenfalls ein Theorem.

Ist die Zeichenkette ein Beweis? Ja Ist die letzte Formel gleich φ ?

Ja

Nein Ist die letzte Formel gleich ¬ φ ?

φ

⊥

• Für jede gefundene Zeichenkette, die einem Beweis entspricht,

Ja

⊥

verworfen. Das gleiche gilt für Formelfolgen, die keine Beweise sind. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig gebildete Zeichenkette diese Überprüfungsschritte übersteht, ist denkbar gering. Dennoch stellt die systematische Aufzählung sicher, dass jeder Beweis, unabhängig von seiner Komplexität, irgendwann einmal erscheinen wird.

Ist die Zeichenkette eine Formelfolge?

φ

Ja

Abbildung 2.4: Top-down-Entscheidungsverfahren für negationsvollständige und widerspruchsfreie Kalküle

86

2 Formale Systeme

An dieser Stelle wollen wir ein wenig Sand in unser Begriffsgetriebe streuen und das Eingangszitat von Hilbert und Ackermann betrachten. Ist Ihnen aufgefallen, dass der Begriff der Beweisbarkeit dort an keiner Stelle erwähnt wird? Tatsächlich haben Hilbert und Ackermann das Entscheidungsproblem gar nicht auf der syntaktischen, sondern auf der semantischen Ebene definiert. Definition 2.4 (Entscheidungsproblem, semantisch) Die semantische Variante des Entscheidungsproblems lautet: I

Gegeben: eine Formel ϕ

I

Gefragt: Gilt |= ϕ ?

Diese Definition entspricht der historischen Formulierung. Beide Varianten des Entscheidungsproblems besagen inhaltlich etwas anderes, und wir tun im Allgemeinen gut daran, sie wohl voneinander zu unterscheiden. Eine Ausnahme liegt dann vor, wenn wir einen korrekten und vollständigen Kalkül vor uns haben. In diesem Fall gilt die Beziehung ϕ ⇔ |= ϕ, so dass wir jedes Entscheidungsverfahren für die syntaktische Ebene ohne Änderung einsetzen können, um das semantische Entscheidungsproblem zu lösen. Satz 2.6 Mit einem korrekten und vollständigen Kalkül lässt sich das semantische Entscheidungsproblem lösen.

Wir haben gesehen, dass die Unterschiede zwischen der syntaktischen und der semantischen Ebene verschwinden, wenn wir einen korrekten und vollständigen Kalkül vor uns haben. Ein Kalkül, auf den das zutrifft, ist die Prädikatenlogik erster Stufe, die wir in Abschnitt 2.4 behandeln werden, und auf genau diesen Kalkül bezieht sich auch der Originalwortlaut von Hilbert und Ackermann. Hier spielt es keine Rolle, ob wir das Entscheidungsproblem auf der semantischen oder auf der syntaktischen Ebene formulieren. Dies ist der Grund, warum wir ab jetzt nur noch ganz allgemein von dem (Hilbert’schen) Entscheidungsproblem sprechen werden.

87

2.3 Aussagenlogik

2.3

Aussagenlogik

Die Aussagenlogik (PL0) beschäftigt sich mit atomaren Aussagen, die entweder wahr oder falsch sein können, und den Beziehungen, die zwischen solchen Aussagen bestehen („Es regnet“, „Die Straße ist nass“, „Wenn es regnet, dann ist die Straße nass“). Die Bedeutung der Aussagenlogik ist beträchtlich. Sie ist als Teilmenge in nahezu allen formalen Schlussapparaten enthalten und damit der kleinste gemeinsame Nenner, über den alle Logiken miteinander verbunden sind.

2.3.1

Syntax und Semantik

Genau wie im Fall der Beispielkalküle aus Abschnitt 2.1 nähern wir uns der Aussagenlogik in zwei Schritten. Wir beginnen mit der Definition der Syntax und legen im Anschluss daran die Semantik fest.

Definition 2.5 (Syntax der Aussagenlogik) Die Menge der aussagenlogischen Formeln über dem Variablenvorrat V = {A1 , A2 , A3 , . . .} ist rekursiv definiert: I

0 und 1 sind Formeln.

I

Jede Variable aus der Menge V ist eine Formel.

I

Sind ϕ und ψ Formeln, dann sind es auch

In Definition 2.5 haben wir die logischen Operatoren in der Schreibweise angegeben, die im deutschen Sprachraum heute üblich ist. Tabelle 2.5 zeigt, dass die verwendeten Symbole auf den deutschen Mathematiker Hans Hermes zurückgehen [79]. Es ist keine Besonderheit, dass sich die ursprünglich verwendete Notation im Laufe der Zeit weiterentwickelt hat, wohl aber die Geschwindigkeit, mit der sich die Veränderung vollzog. Die Gründe hierfür sind vielfältig. Zum einen betraten die Protagonisten der ersten Stunde unbeflecktes Neuland, und eine passende Notation stand nicht griffbereit zur Seite. Zum anderen waren viele Mathematiker der Überzeugung, ihre neuartigen Ideen nur in einer eigens dafür geschaffenen Sprache formulieren zu können. Die babylonische Sprachverwirrung macht uns das Leben heute nicht leicht. Auf frisch ausgebildete Mathematiker wirken die historischen Arbeiten aus dem Bereich der Logik oft fremdartig und sind ohne eine aufwendige Einarbeitung in die damals verwendete Nomenklatur kaum noch zu lesen.

∪

Russell

∼ϕ

∨

Hilbert

ϕ

∨

Hermes

¬ϕ

∨

Äquivalenz

−ϕ

Implikation

Peano

Konjunktion

Eine Formel, die lediglich aus einem Wahrheitswert oder einer aussagenlogischen Variablen besteht, heißt atomar. Sie besitzt die Eigenschaft, dass sie nicht weiter zerlegt werden kann. Eine Formel ϕ, die als Teil einer anderen Formel ψ vorkommt, bezeichnen wir als Teilformel von ψ und verwenden hierfür die etwas informelle Notation ϕ ∈ ψ. Ist ϕ keine Teilformel von ψ, so schreiben wir ϕ ∈ ψ. Variablen werden im Folgenden durchweg mit Großbuchstaben bezeichnet, allerdings

Disjunktion

Der Operator ‚¬‘ ist die Negation, ‚∧‘ die Konjunktion (UNDOperator), ‚∨‘ die Disjunktion (ODER-Operator) und ‚→‘ die Implikation. Ferner bezeichnen wir ‚↔‘ als Äquivalenz- und ‚‘ als Antivalenzoperator (XOR-Operator).

Negation

(¬ϕ), (ϕ ∧ ψ), (ϕ ∨ ψ), (ϕ → ψ), (ϕ ↔ ψ), (ϕ ψ)

∩

I

=

⊃

≡

&

→

∼

∧

→

↔

Tabelle 2.5: Alternative Schreibweisen der aussagenlogischen Operatoren [119]

88

2 Formale Systeme

I Bindungsregeln (Beispiele)

¬A ∧ B =

((¬A) ∧ B) A∨B∧C =

(A ∨ (B ∧ C)) A → C∨B =

(A → (C ∨ B)) A→BC =

((A → B) C) AB→C =

((A B) → C) I Kettenregeln (Beispiele)

¬¬A =

(¬(¬A)) A∧B∧C =

((A ∧ B) ∧ C) A∨B∨C =

((A ∨ B) ∨ C) A→B→C =

((A → B) → C) A↔B↔C =

((A ↔ B) ↔ C) ABC =

((A B) C)

Abbildung 2.5: Zur Vereinfachung der Schreibweise dürfen Klammerpaare weggelassen werden. Zweideutigkeiten werden mithilfe von Bindungs- und Kettenregeln beseitigt. Erstere teilen die Operatoren in schwächer bindende und stärker bindende Operatoren ein, Letztere regeln den Umgang mit Ausdrücken, in denen der gleiche Operator mehrmals hintereinander vorkommt.

werden wir von Fall zu Fall den Symbolvorrat anpassen und z. B. A, B, C anstelle von A1 , A2 , A3 verwenden. Ferner werden wir auf die Niederschrift des einen oder anderen Klammerpaars verzichten, wenn eine Formel hierdurch leichter lesbar wird. Wie in Abbildung 2.5 gezeigt, legen wir die übliche Konvention zugrunde, dass die Negation ‚¬‘ stärker bindet als die Konjunktion ‚∧‘ und diese wiederum stärker als die Disjunktion ‚∨‘. Die Operatoren ‚→‘, ‚↔‘ und ‚‘ binden am schwächsten; kommen sie in einem Ausdruck gemischt vor, so erfolgt die Klammerung linksassoziativ. Werden Teilterme mit demselben Operator verknüpft, so betrachten wir die entstehende Kette ebenfalls als linksassoziativ geklammert. Die einzige Ausnahme bildet der (einstellige) Negationsoperator, der rechtsassoziativ gruppiert wird. Die zweistelligen Operatoren ‚∧‘ und ‚∨‘ lassen sich zu mehrstelligen Operatoren verallgemeinern. Hierzu vereinbaren wir für die endlich vielen Formeln ϕ1 , . . . , ϕn die folgende Schreibweise: n

ϕi

:= ϕ1 ∧ . . . ∧ ϕn

i=1

n

ϕi

:= ϕ1 ∨ . . . ∨ ϕn

i=1

Nachdem wir den syntaktischen Aufbau einer Formel vollständig fixiert haben, wollen wir im nächsten Schritt die Semantik der Aussagenlogik festlegen. Hierzu werden wir vorab klären, was sich hinter dem bereits mehrfach zitierten Begriff der Interpretation genau verbirgt, und im Anschluss daran die Modellrelation ‚|=‘ definieren.

Definition 2.6 (Interpretation) Sei ϕ eine aussagenlogische Formel. A1 , . . . , An bezeichnen die in ϕ vorkommenden Variablen. Dann heißt jede Abbildung I : {A1 , . . . , An } → {0, 1} eine Interpretation von ϕ.

Eine Interpretation ordnet jeder Variablen einer aussagenlogischen Formel ϕ einen der beiden Wahrheitswerte 0 oder 1 zu und wird aufgrund dieser Eigenschaft auch als Belegung bezeichnet. Mit dem Begriff der Interpretation haben wir die Grundlage geschaffen, um die Semantik der Aussagenlogik formal zu definieren:

89

2.3 Aussagenlogik

Definition 2.7 (Semantik der Aussagenlogik) ϕ und ψ seien aussagenlogische Formeln und I eine Interpretation. Die Semantik der Aussagenlogik ist durch die Modellrelation ‚|=‘ gegeben, die induktiv über dem Formelaufbau definiert ist: I |= 1 I |= 0 I |= Ai I |= (¬ϕ) I |= (ϕ ∧ ψ) I |= (ϕ ∨ ψ) I |= (ϕ → ψ) I |= (ϕ ↔ ψ) I |= (ϕ ψ)

:⇔ :⇔ :⇔ :⇔ :⇔ :⇔ :⇔

I(Ai ) = 1 I |= ϕ I |= ϕ und I |= ψ I |= ϕ oder I |= ψ I |= ϕ oder I |= ψ I |= ϕ → ψ und I |= ψ → ϕ I |= (ϕ ↔ ψ)

Eine Interpretation I mit I |= ϕ heißt Modell für ϕ.

Abbildung 2.6 demonstriert den Semantikbegriff an einem konkreten Beispiel. Wir können jede aussagenlogische Formel ϕ mit n Variablen als eine boolesche Funktion f ϕ : {0, 1}n → {0, 1} auffassen, die für eine Belegung I genau dann den Funktionswert 1 annimmt, wenn I ein Modell für ϕ ist. Mit anderen Worten: Weist I den Variablen A1 , . . . , An die Wahrheitswerte a1 , . . . , an zu, dann ist der Funktionswert fϕ (a1 , . . . , an ) wie folgt gegeben: 1 falls I |= ϕ fϕ (a1 , . . . , an ) := 0 falls I |= ϕ Aufgrund des diskreten Definitionsbereichs lässt sich eine n-stellige boolesche Funktion als Wahrheitstabelle darstellen, in der alle möglichen Kombinationen der Argumente A1 , . . . , An zusammen mit dem zugeordneten Funktionswert zeilenweise aufgelistet sind (Abbildung 2.7). Wahrheitstabellen werden in der Literatur auch als Wahrheitstafeln oder Funktions(wert)tabellen bezeichnet. Abbildung 2.8 zeigt, wie sich Wahrheitstafeln für zusammengesetzte Ausdrücke erzeugen lassen. Ausgehend von den Elementaraussagen werden zunächst die Teilformeln und anschließend der Gesamtausdruck ausgewertet. Die drei Beispiele wurden ganz bewusst ausgewählt und

I 1. Interpretation: I(A) = 0, I(B) = 0

( A → B )→( B → A ) |= A |= B |= B |= A

|= A → B |= B → A

|= (A → B) → (B → A) I 2. Interpretation: I(A) = 0, I(B) = 1

( A → B )→( B → A ) |= A |= B |= B |= A

|= A → B |= B → A


( A → B )→( B → A ) |= A |= B |= B |= A

|= A → B |= B → A


( A → B )→( B → A ) |= A |= B |= B |= A

|= A → B |= B → A

|= (A → B) → (B → A) Abbildung 2.6: Eine Interpretation I ordnet jeder aussagenlogischen Variablen einen der beiden Wahrheitswerte 0 (falsch) oder 1 (wahr) zu, hier demonstriert am Beispiel der Formel ϕ = (A → B) → (B → A).

90

2 Formale Systeme

ϕ = ¬A ϕ A

ϕ = A∧B ϕ A B

ϕ = A∨B ϕ A B

0

1

0

0

0

0

0

0

1

0

0

1

0

0

1

1

1

0

0

1

0

1

1

1

1

1

1

1

Negation

Abbildung 2.7: Wahrheitstafeln der aussagenlogischen Operatoren

Konjunktion

Disjunktion

ϕ =A→B ϕ A B

ϕ =A↔B ϕ A B

ϕ =AB ϕ A B

0

0

1

0

0

1

0

0

0

0

1

1

0

1

0

0

1

1

1

0

0

1

0

0

1

0

1

1

1

1

1

1

1

1

1

0

Implikation

Äquivalenz

Antivalenz

stehen stellvertretend für drei wichtige Formelklassen. ϕ1 ist so beschaffen, dass sie genau dann wahr ist, wenn A wahr oder B falsch ist. In der Terminologie der Aussagenlogik wird ϕ1 als erfüllbare Formel bezeichnet. ϕ2 ist ebenfalls erfüllbar, besitzt aber im Gegensatz zu ϕ1 die Eigenschaft, dass sie unabhängig vom Wahrheitswert der Elementaraussagen immer wahr ist. Solche Formeln heißen allgemeingültig. In entsprechender Weise bezeichnen wir ϕ3 als unerfüllbare Formel, da sie niemals wahr werden kann. Formal halten wir das Gesagte in der folgenden Definition fest: Definition 2.8 (Erfüllbarkeit, Allgemeingültigkeit) Eine aussagenlogische Formel ϕ heißt I

erfüllbar, falls ϕ mindestens ein Modell besitzt,

I

unerfüllbar, falls ϕ kein Modell besitzt,

I

allgemeingültig, falls ¬ϕ unerfüllbar ist.

Eine allgemeingültige Formel bezeichnen wir auch als Tautologie. Abbildung 2.9 demonstriert, wie die unterschiedlichen Formelklassen zusammenhängen.

91

2.3 Aussagenlogik

Alle Begriffe aus Definition 2.8 lassen sich auf Mengen von aussagenlogischen Formeln erweitern. Eine Menge M = {ϕ1 , . . . , ϕn } heißt erfüllbar, wenn eine Interpretation I existiert, die für alle ϕi ∈ M ein Modell ist. Die Unerfüllbarkeit und Allgemeingültigkeit von Formelmengen definieren wir analog. M ist unerfüllbar, wenn ϕ1 , . . . , ϕn kein gemeinsames Modell besitzen. Ist dagegen jede Interpretation ein Modell für die Elemente von M, so nennen wir M allgemeingültig. Mit der Modellrelation in Händen sind wir gerüstet, um den Begriff der logischen Folgerung formal zu definieren:

I ϕ1 := (A → B) → (B → A)

ψ1

Seien ϕ1 , . . . , ϕn , ψ aussagenlogische Formeln. Wir schreiben {ϕ1 , . . . , ϕn } |= ψ, wenn jedes Modell von {ϕ1 , . . . , ϕn } auch ein Modell von ψ ist.

B

ψ1

ψ2

ϕ1

0

0

1

1

1

0

1

1

0

0

1

0

0

1

1

1

1

1

1

1

I ϕ2 := (A ∨ B) → (B ∨ A)

ψ4

A

B

ψ3

ψ4

ϕ2

0

0

0

0

1

0

1

1

1

1

1

0

1

1

1

1

1

1

1

1

I ϕ3 := (A ∨ ¬A) → (B ∧ ¬B)

ψ5

Vereinbaren wir zusätzlich die beiden Kurzschreibweisen |= ψ ϕ |= ψ

für 0/ |= ψ für {ϕ} |= ψ

ψ2

A

ψ3

Definition 2.9 (Logische Folgerung)

ψ6

A

B

ψ5

ψ6

ϕ3

0

0

1

0

0

0

1

1

0

0

1

0

1

0

0

1

1

1

0

0

so sind die folgenden Zusammenhänge offensichtlich: Abbildung 2.8: Wahrheitstafeln zusammengesetzter Formeln

I

|= ψ gilt genau dann, wenn ψ allgemeingültig ist.

I

ϕ |= ψ gilt genau dann, wenn ϕ → ψ allgemeingültig ist.

I

{ϕ1 , ϕ2 , . . . , ϕn } |= ψ gilt genau dann, wenn {ϕ2 , . . . , ϕn } |= ϕ1 → ψ. Spiegelachse

Erfüllbar

φ

Allgemeingültig (Tautologien)

ψ

¬ψ

Erfüllbar, aber nicht allgemeingültig

¬φ

Unerfüllbar

Abbildung 2.9: Das Spiegelungsprinzip visualisiert, wie sich die Eigenschaften der Formeln ϕ und ¬ϕ gegenseitig beeinflussen. Ist ϕ allgemeingültig, so ist ¬ϕ unerfüllbar. Ist ϕ nicht allgemeingültig, aber dennoch erfüllbar, so gilt das Gleiche für ¬ϕ. Damit ist die Allgemeingültigkeit eine exklusive Eigenschaft, die nur eine der beiden Formeln ϕ oder ¬ϕ erfüllen kann. Im Gegensatz hierzu können sowohl ϕ als auch ¬ϕ erfüllbar sein.

92

I

Kommutativgesetze ϕ ∧ψ ≡ ψ ∧ϕ ϕ ∨ψ ≡ ψ ∨ϕ

I

Distributivgesetze ϕ ∧ (ψ ∨ χ) ≡ (ϕ ∧ ψ) ∨ (ϕ ∧ χ) ϕ ∨ (ψ ∧ χ) ≡ (ϕ ∨ ψ) ∧ (ϕ ∨ χ)

I

Neutrale Elemente ϕ ∧1 ≡ ϕ ϕ ∨0 ≡ ϕ

I

Inverse Elemente ϕ ∧ ¬ϕ ≡ 0 ϕ ∨ ¬ϕ ≡ 1

I

Assoziativgesetze (ϕ ∧ ψ) ∧ χ ≡ ϕ ∧ (ψ ∧ χ) (ϕ ∨ ψ) ∨ χ ≡ ϕ ∨ (ψ ∨ χ)

I

Idempotenzgesetze ϕ ∧ϕ ≡ ϕ ϕ ∨ϕ ≡ ϕ

I

Absorptionsgesetze (ϕ ∧ ψ) ∨ ϕ ≡ ϕ (ϕ ∨ ψ) ∧ ϕ ≡ ϕ

I

De Morgan’sche Regeln ¬(ϕ ∧ ψ) ≡ ¬ϕ ∨ ¬ψ ¬(ϕ ∨ ψ) ≡ ¬ϕ ∧ ¬ψ

I

Eliminationsgesetze ϕ ∧0 ≡ 0 ϕ ∨1 ≡ 1

I

Doppelnegationsgesetz ¬¬ϕ ≡ ϕ

Abbildung 2.10: Grundlegende Äquivalenzen aussagenlogischer Ausdrücke

2 Formale Systeme

In den kommenden Betrachtungen wird der Begriff der Äquivalenz immer wieder auftauchen: Definition 2.10 (Äquivalenz) Seien ϕ und ψ zwei aussagenlogische Formeln. Die Relation ’≡’ ist wie folgt definiert: ϕ ≡ ψ :⇔ ϕ |= ψ und ψ |= ϕ Zwei Formeln ϕ und ψ mit ϕ ≡ ψ heißen äquivalent. In Worten ausgedrückt, sind zwei Formeln ϕ und ψ genau dann äquivalent, wenn sie exakt dieselben Modelle besitzen. In Abbildung 2.10 sind wichtige Äquivalenzen zusammengefasst, die sich durch das Aufstellen von Wahrheitstafeln leicht verifizieren lassen. Vielleicht haben Sie sich gewundert, dass Abbildung 2.10 ausschließlich Formeln enthält, in denen die aussagenlogischen Elementaroperatoren ‚¬‘, ‚∧‘ und ‚∨‘ vorkommen. Dies ist der Tatsache geschuldet, dass sich alle anderen auf diese drei zurückführen lassen. Es ist ϕ → ψ ≡ ¬ϕ ∨ ψ ϕ ↔ ψ ≡ (¬ϕ ∨ ψ) ∧ (ϕ ∨ ¬ψ) ϕ ψ ≡ (¬ϕ ∨ ¬ψ) ∧ (ϕ ∨ ψ) Genauso gut können wir uns aufgrund der Äquivalenzen ϕ ∧ ψ ≡ ¬(ϕ → ¬ψ) ϕ ∨ ψ ≡ ¬ϕ → ψ ϕ ∧ ψ ≡ ¬(¬ϕ ∨ ¬ψ) ϕ ∨ ψ ≡ ¬(¬ϕ ∧ ¬ψ) auf eine der Mengen {¬, →}, {¬, ∨} oder {¬, ∧} beschränken und die jeweils anderen Operatoren als syntaktische Abkürzungen für komplexere Formeln interpretieren. Im nächsten Abschnitt werden wir diesen Umstand ausnutzen und einen Kalkül vorstellen, in dem ausschließlich Operatoren aus der Menge {¬, →} genannt werden. Der Ausschluss der anderen logischen Verknüpfungen ist keine Beschränkung im eigentlichen Sinne, da wir gerade gezeigt haben, dass sich alle aussagenlogischen Operatoren auf die Negation und die Implikation zurückführen lassen.

93

2.3 Aussagenlogik

2.3.2

Aussagenlogischer Kalkül

In Abschnitt 2.3.1 haben wir die Semantik der Aussagenlogik über die Modellrelation ‚|=‘ festgelegt. Wir wollen nun ein formales System einführen, in dem sich alle allgemeingültigen Formeln, und nur diese, aus den Axiomen ableiten lassen. Wie wir es mittlerweile gewohnt sind, erfolgt die Ableitung ausschließlich auf der syntaktischen Ebene. Das bedeutet, dass wir zum Beweis einer Aussage nichts über Interpretationen, Modelle oder andere Begriffe wissen müssen, die sich mit den semantischen Eigenschaften von Formeln beschäftigen. Die Axiome und Schlussregeln des aussagenlogischen Kalküls sind in Tabelle 2.6 zusammengefasst. Das erste Axiom stellt sicher, dass aus jeder Aussage ϕ die schwächere Aussage ψ → ϕ gefolgert werden kann und wird aus diesem Grund als Abschwächungsregel bezeichnet. Das zweite Axiom drückt die Distributivitätseigenschaft des Implikationsoperators aus. Das dritte und letzte Axiom ist die logische Kontraposition – ein Schlussprinzip, das wir tagtäglich einsetzen. Es besagt, dass wir die logische Schlussrichtung umdrehen können, wenn wir die Argumente verneinen („Wenn es regnet, dann ist die Straße nass“ ist gleichbedeutend mit „Wenn die Straße nicht nass ist, dann regnet es nicht“). Innerhalb des Kalküls existiert mit dem Modus ponens eine einzige Schlussregel, mit der neue Sätze abgeleitet werden können. Diese Regel ist uns intuitiv vertraut. Sie garantiert, dass eine Aussage ψ wahr sein muss, wenn wir wissen, dass ϕ wahr ist und ψ aus ϕ gefolgert werden kann.

Axiome ϕ → (ψ → ϕ)

(A1)

(ϕ → (ψ → χ)) → ((ϕ → ψ) → (ϕ → χ))

(A2)

(¬ϕ → ¬ψ) → (ψ → ϕ)

(A3)

Schlussregeln ϕ, ϕ → ψ ψ

(MP) Tabelle 2.6: Axiome und Schlussregeln des aussagenlogischen Kalküls

94

Dass die hier gewählte Beispielformel A → A wahr ist, folgt sofort aus der Definition des Implikationsoperators ‚→‘. Warum haben wir uns dann die Mühe gemacht, sie so aufwendig zu beweisen? Der Grund ist, dass die Beweisbarkeit und die Wahrheit zwei völlig unterschiedliche Begriffe sind. Um zu zeigen, dass die Formel A → A ein Theorem ist, müssen wir ihre Beweisbarkeit demonstrieren. Im formalen Sinne bedeutet dies nicht, dass sie wahr ist, sondern lediglich, dass sie innerhalb des Kalküls aus den Axiomen hergeleitet werden kann. Kurzum: Die Beweisbarkeit einer Formel ist eine syntaktische Eigenschaft und die Wahrheit einer Formel eine semantische. Es ist der natürliche Wunsch der Mathematiker, beide Begriffe in Kongruenz zu bringen, so dass aus der Beweisbarkeit die Wahrheit und aus der Wahrheit die Beweisbarkeit einer Formel folgt. Doch genau dies ist, wie wir in den nächsten Kapiteln zeigen werden, für weite Teile der Mathematik unmöglich.

2 Formale Systeme

Die folgende Ableitung zeigt, wie die Tautologie ϕ = A → A aus den Axiomen abgeleitet werden kann: 1. 2. 3. 4. 5.

(A → ((A → A) → A)) → ((A → (A → A)) → (A → A)) (A2) A → ((A → A) → A) (A1) (A → (A → A)) → (A → A) (MP, 1,2) A → (A → A) (A1) A→A (MP, 3,4)

Die ersten beiden Glieder der Beweiskette sind Instanzen des Distributivitätsaxioms und des Abschwächungsaxioms. Das dritte Glied entsteht durch die Anwendung der Schlussregel auf die vorher erzeugten Formeln, und das vierte ist wiederum eine Instanz des Abschwächungsaxioms. Jetzt lässt sich ϕ aus den Gliedern 3 und 4 durch die erneute Anwendung der Modus-Ponens-Schlussregel ableiten. Am Ende von Abschnitt 2.1 haben wir die Schreibweise M ϕ eingeführt. Sie drückt aus, dass wir ϕ mit einer Formelkette ϕ1 , . . . , ϕn ableiten können, die nach dem folgenden Schema aufgebaut ist: I


I

ϕi ist eine Formel aus der Menge M oder

I


Am Ende der Formelkette steht die Formel ϕ, d. h., es ist ϕn = ϕ. Mithilfe der Menge M konnten wir einen Beweis um eine Reihe von Voraussetzungen ergänzen und auf diese Weise problemlos mit Aussagen der Form „Unter der Annahme, dass M gilt, folgt . . . “ umgehen. Vielleicht haben Sie sich die Frage gestellt, ob diese Erweiterung wirklich notwendig ist; schließlich sind wir in der Lage, beliebige Wenndann-Beziehungen mithilfe des Implikationsoperators zu formulieren. Der Unterschied zwischen beiden Konstrukten besteht darin, dass der Operator ‚→‘ innerhalb der Logik existiert, während die Folgerungsbeziehung M ϕ eine Aussage über die Beweisbarkeit der Aussage ϕ macht. Mit anderen Worten: M ϕ ist eine Meta-Aussage, die außerhalb der Logik steht. Nichtsdestotrotz existiert zwischen beiden Konstrukten ein enger Zusammenhang, den das nachstehende Theorem klar zum Ausdruck bringt:

95

2.3 Aussagenlogik

Satz 2.7 (Deduktionstheorem der Aussagenlogik) Für beliebige aussagenlogische Formeln ϕ, ϕ1 , . . . , ϕn und ψ gilt: {ϕ1 , . . . , ϕn } ∪ {ϕ} ψ

⇔

{ϕ1 , . . . , ϕn } ϕ → ψ

Alter Beweis

1 2 ... m 1

Beweis: Die Richtung von rechts nach links ist nahezu trivial. Gilt 1

{ϕ1 , . . . , ϕn } ϕ → ψ,

Die Schlussrichtung von links nach rechts erfordert etwas mehr Aufwand, folgt aber dem gleichen Schema. Ausgehend von einem Beweis für ψ aus {ϕ1 , . . . , ϕn } ∪ {ϕ} werden wir einen Beweis für ϕ → ψ aus {ϕ1 , . . . , ϕn } konstruieren. Das Grundschema des neuen Beweises ist in Abbildung 2.12 skizziert. Aus der vorhandenen Beweiskette χ1 , . . . , χm−1 , ψ erzeugen wir eine neue, in der nacheinander die Formeln ϕ → χi abgeleitet werden und am Ende die zu beweisende Behauptung ϕ → ψ steht. Damit ist die Grobstruktur festgelegt. Jetzt müssen wir noch überlegen, wie die verbleibenden Lücken in der Beweiskette geschlossen werden können. Wir unterscheiden drei Fälle:

1 2 ... m 1

... 1

χi

I

Abbildung 2.11: Beweisschema des Deduktionstheorems (Richtung von rechts nach links)

χi ist ein Axiom oder eine Voraussetzung χi → (ϕ → χi ) ϕ → χi

m 1

(A1) (MP)

Neuer Beweis

I

...

Alter Beweis

so existiert ein formaler Beweis, der ϕ → ψ aus {ϕ1 , . . . , ϕn } ableitet. Diese Schlusskette können wir auf einfache Weise zu einem Beweis verlängern, der ψ aus {ϕ1 , . . . , ϕn , ϕ} deduziert. Hierzu setzen wir ϕ zunächst als Instanz ein und leiten ψ anschließend durch die Modusponens-Schlussregel aus ϕ → ψ und ϕ ab (vgl. Abbildung 2.11).

Neuer Beweis

2

... 2 ... m 1

χi ist die Formel ϕ (ϕ → ((ϕ → ϕ) → ϕ)) → ((ϕ → (ϕ → ϕ)) → (ϕ → ϕ)) (A2) ϕ → ((ϕ → ϕ) → ϕ) (ϕ → (ϕ → ϕ)) → (ϕ → ϕ) ϕ → (ϕ → ϕ)

(A1) (MP) (A1)

ϕ →ϕ

(MP)

...

Abbildung 2.12: Beweisschema des Deduktionstheorems (Richtung von links nach rechts)

96

2 Formale Systeme

Ableitbare Theoreme I

Theorem T1 ϕ →ϕ

I

Theorem T6 (ϕ → ψ) → (¬ψ → ¬ϕ)

I

Theorem T11 ¬(ϕ → ψ) → ¬ψ

I

Theorem T2 (ϕ → ψ) → ((ψ → χ) → (ϕ → χ))

I

Theorem T7 ϕ → (¬ψ → ¬(ϕ → ψ))

I

Theorem T12 (ϕ → ¬ϕ) → ¬ϕ

I

Theorem T3 ϕ → ((ϕ → ψ) → ψ)

I

Theorem T8 ¬ϕ → (ϕ → ψ)

I

Theorem T13 (¬ϕ → ϕ) → ϕ

I

Theorem T4 ¬¬ϕ → ϕ

I

Theorem T9 ϕ → (ψ → (ϕ → ψ))

I

Theorem T14 (ϕ → ψ) → ((¬ϕ → ψ) → ψ)

I

Theorem T5 ϕ → ¬¬ϕ

I

Theorem T10 ¬(ϕ → ψ) → ϕ

I

Theorem T15 ¬(ϕ → ϕ) → ψ

Tabelle 2.7: Eine kleine Auswahl von Formeln, die sich im aussagenlogischen Kalkül ableiten lassen. Dem Theorem T8 kommt eine ganz besondere Bedeutung zu. Lässt es sich in einem Kalkül ableiten und steht der Modus ponens als Schlussregel zur Verfügung, so gilt das Folgende: Ist innerhalb des Kalküls ein einziger Widerspruch ableitbar, so ist ausnahmslos jede Formel ein Theorem. Warum dies so ist, lässt sich leicht einsehen. Nehmen wir an, die Formeln ϕ und ¬ϕ können beide aus den Axiomen hergeleitet werden. Aus dem Theorem ¬ϕ → (ϕ → ψ) lässt sich mithilfe des Modus ponens das Theorem ϕ → ψ deduzieren. Nach Voraussetzung ist ϕ ebenfalls ableitbar, so dass eine erneute Anwendung des Modus ponens das Theorem ψ hervorbringt. Da die Wahl von ψ keinen Einschränkungen unterliegt, können wir eine beliebige Aussage für ψ substituieren. Kurzum: In einem widersprüchlichen Kalkül lassen sich ausnahmslos alle Aussagen beweisen. Damit haben wir die Widerspruchsfreiheit als eine unabdingbare Eigenschaft des mathematischen Schließens entlarvt. Fehlt sie, so verkommt jedes formale System zu einem wertlosen Gedankengebilde.

I

χi wurde durch die Regel (MP) aus χ j und χ j → χi erzeugt. Dann wissen wir, dass weiter oben im Beweis die beiden Zeilen ϕ → χj ϕ → (χ j → χi ) vorkommen müssen und wir folgendermaßen verfahren können: (ϕ → (χ j → χi )) → ((ϕ → χ j ) → (ϕ → χi )) (ϕ → χ j ) → (ϕ → χi ) ϕ → χi

(A2) (MP) (MP)

Damit ist die Behauptung bewiesen. Für die praktische Beweisführung ist das Deduktionstheorem von unschätzbarem Wert. Zum einen erlaubt es uns, zwischen der Logik- und der Meta-Ebene nach Belieben hin- und herzuspringen. Zum anderen versetzt es uns in die Lage, Beweise deutlich platzsparender aufzuschreiben als es ohne das Theorem möglich wäre. Wir werden den Kalkül nun zum Leben erwecken und nacheinander die in Tabelle 2.7 genannten Theoreme beweisen. Sie stammen aus [118] und [117] und sollen einen plastischen Eindruck vermitteln, wie sich im aussagenlogischen Kalkül komplexere Beweise führen lassen.

97

2.3 Aussagenlogik

1. (ϕ → ((ϕ → ϕ) → ϕ)) → ((ϕ → (ϕ → ϕ)) → (ϕ → ϕ)) (A2) 2. ϕ → ((ϕ → ϕ) → ϕ) (A1) 3. (ϕ → (ϕ → ϕ)) → (ϕ → ϕ) 4. ϕ → (ϕ → ϕ)

(MP, 1,2) (A1)

5. ϕ → ϕ

(MP, 3,4)

Theorem T1 ϕ →ϕ

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

{ϕ → ψ, ψ → χ, ϕ} ϕ {ϕ → ψ, ψ → χ, ϕ} ϕ → ψ {ϕ → ψ, ψ → χ, ϕ} ψ {ϕ → ψ, ψ → χ, ϕ} ψ → χ {ϕ → ψ, ψ → χ, ϕ} χ {ϕ → ψ, ψ → χ} ϕ → χ {ϕ → ψ} (ψ → χ) → (ϕ → χ) (ϕ → ψ) → ((ψ → χ) → (ϕ → χ))

(Satz 2.4) (Satz 2.4) (MP, 1,2) (Satz 2.4) (MP, 4,5) (DT) (DT) (DT)

Theorem T2 (ϕ → ψ) → ((ψ → χ) → (ϕ → χ))

1. 2. 3. 4. 5.

{ϕ, ϕ → ψ} ϕ {ϕ, ϕ → ψ} ϕ → ψ {ϕ, ϕ → ψ} ψ {ϕ} (ϕ → ψ) → ψ ϕ → ((ϕ → ψ) → ψ)

(Satz 2.4) (Satz 2.4) (MP, 1,2) (DT) (DT)

Theorem T3 ϕ → ((ϕ → ψ) → ψ)

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

¬¬ϕ → (¬¬¬¬ϕ → ¬¬ϕ) {¬¬ϕ} ¬¬¬¬ϕ → ¬¬ϕ (¬¬¬¬ϕ → ¬¬ϕ) → (¬ϕ → ¬¬¬ϕ) {¬¬ϕ} ¬ϕ → ¬¬¬ϕ (¬ϕ → ¬¬¬ϕ) → (¬¬ϕ → ϕ) {¬¬ϕ} ¬¬ϕ → ϕ {¬¬ϕ} ϕ ¬¬ϕ → ϕ

(A1) (DT) (A3) (MP, 2,3) (A3) (MP, 4,5) (DT) (DT)

Theorem T4 ¬¬ϕ → ϕ

(T4)

Theorem T5 ϕ → ¬¬ϕ

1. ¬¬¬ϕ → ¬ϕ 2. (¬¬¬ϕ → ¬ϕ) → (ϕ → ¬¬ϕ) 3. ϕ → ¬¬ϕ

(A3) (MP, 1,2)

98

Theorem T6 (ϕ → ψ) → (¬ψ → ¬ϕ)

2 Formale Systeme

1. ¬¬ϕ → ϕ 2. {ϕ → ψ} ϕ → ψ

(T4) (Satz 2.4)

3. (¬¬ϕ → ϕ) → ((ϕ → ψ) → (¬¬ϕ → ψ)) 4. (ϕ → ψ) → (¬¬ϕ → ψ)

(T2) (MP, 1,3)

5. 6. 7. 8.

{ϕ → ψ} ¬¬ϕ → ψ (¬¬ϕ → ψ) → ((ψ → ¬¬ψ) → (¬¬ϕ → ¬¬ψ)) {ϕ → ψ} (ψ → ¬¬ψ) → (¬¬ϕ → ¬¬ψ) ψ → ¬¬ψ

9. {ϕ → ψ} ¬¬ϕ → ¬¬ψ 10. (¬¬ϕ → ¬¬ψ) → (¬ψ → ¬ϕ) 11. {ϕ → ψ} ¬ψ → ¬ϕ 12. (ϕ → ψ) → (¬ψ → ¬ϕ)

(MP, 2,4) (T2) (MP, 5,6) (T5) (MP, 8,9) (A3) (MP, 11,12) (DT)

Theorem T7 ϕ → (¬ψ → ¬(ϕ → ψ))

1. 2. 3. 4. 5.

ϕ → ((ϕ → ψ) → ψ) {ϕ} (ϕ → ψ) → ψ ((ϕ → ψ) → ψ) → (¬ψ → ¬(ϕ → ψ)) {ϕ} ¬ψ → ¬(ϕ → ψ) ϕ → (¬ψ → ¬(ϕ → ψ))

(T3) (DT) (T6) (MP, 3,4) (DT)

Theorem T8 ¬ϕ → (ϕ → ψ)

1. 2. 3. 4. 5.

¬ϕ → (¬ψ → ¬ϕ) {¬ϕ} ¬ψ → ¬ϕ (¬ψ → ¬ϕ) → (ϕ → ψ) {¬ϕ} (ϕ → ψ) ¬ϕ → (ϕ → ψ)

(A1) (DT) (A3) (MP, 2,3) (DT)

Theorem T9 ϕ → (ψ → (ϕ → ψ))

1. {ϕ} ψ → (ϕ → ψ) 2. ϕ → (ψ → (ϕ → ψ))

(A1) (DT)

Theorem T10 ¬(ϕ → ψ) → ϕ

1. ¬ϕ → (ϕ → ψ) 2. (¬ϕ → (ϕ → ψ)) → (¬(ϕ → ψ) → ¬¬ϕ)

(T8) (T6)

3. ¬(ϕ → ψ) → ¬¬ϕ 4. ¬¬ϕ → ϕ 5. (¬(ϕ → ψ) → ¬¬ϕ) →

(MP, 1,2) (T4)

99

2.3 Aussagenlogik

((¬¬ϕ → ϕ) → (¬(ϕ → ψ) → ϕ)) 6. (¬¬ϕ → ϕ) → (¬(ϕ → ψ) → ϕ)

(T2) (MP, 3,5)

7. ¬(ϕ → ψ) → ϕ

(MP, 4,6)

1. ψ → (ϕ → ψ) 2. (ψ → (ϕ → ψ)) → (¬(ϕ → ψ) → ¬ψ) 3. ¬(ϕ → ψ) → ¬ψ

(A1) (T6) (MP, 1,2)

Theorem T11 ¬(ϕ → ψ) → ¬ψ

(T7) (DT) (T5) (DT) (MP, 2,4) (DT) (T6) (MP, 6,7)

Theorem T12 (ϕ → ¬ϕ) → ¬ϕ

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

ϕ → (¬¬ϕ → ¬(ϕ → ¬ϕ)) {ϕ} ¬¬ϕ → ¬(ϕ → ¬ϕ) ϕ → ¬¬ϕ {ϕ} ¬¬ϕ {ϕ} ¬(ϕ → ¬ϕ) ϕ → ¬(ϕ → ¬ϕ) (ϕ → ¬(ϕ → ¬ϕ)) → (¬¬(ϕ → ¬ϕ) → ¬ϕ) ¬¬(ϕ → ¬ϕ) → ¬ϕ

9. (ϕ → ¬ϕ) → ¬¬(ϕ → ¬ϕ) 10. ((ϕ → ¬ϕ) → ¬¬(ϕ → ¬ϕ)) → ((¬¬(ϕ → ¬ϕ) → ¬ϕ) → ((ϕ → ¬ϕ) → ¬ϕ)) 11. ¬¬(ϕ → ¬ϕ) → ¬ϕ) → ((ϕ → ¬ϕ) → ¬ϕ 12. (ϕ → ¬ϕ) → ¬ϕ 1. {¬ϕ} ϕ → ¬¬ϕ 2. ¬ϕ → (ϕ → ¬¬ϕ) 3. 4. 5. 6. 7. 8.

(T5) (T2) (MP, 9,10) (MP, 8,11)

(T5) (DT)

(¬ϕ → (ϕ → ¬¬ϕ)) → ((¬ϕ → ϕ) → (¬ϕ → ¬¬ϕ)) (A2) (¬ϕ → ϕ) → (¬ϕ → ¬¬ϕ) (MP, 2,3) {¬ϕ → ϕ} (¬ϕ → ¬¬ϕ) (DT) (¬ϕ → ¬¬ϕ) → ¬¬ϕ (T12) {¬ϕ → ϕ} ¬¬ϕ (DT) ¬¬ϕ → ϕ (T4)

9. {¬ϕ → ϕ} ϕ 10. (¬ϕ → ϕ) → ϕ

(MP, 7,8) (DT)

Theorem T13 (¬ϕ → ϕ) → ϕ

100

Theorem T14 (ϕ → ψ) → ((¬ϕ → ψ) → ψ)

2 Formale Systeme

1. { ϕ → ψ } ϕ → ψ 2. (ϕ → ψ) → (¬ψ → ¬ϕ)

(Satz 2.4) (T6)

3. { ϕ → ψ } (¬ψ → ¬ϕ) 4. (¬ψ → ¬ϕ) → ((¬ϕ → ψ) → (¬ψ → ψ))

(MP, 1,2) (T2)

5. 6. 7. 8.

{ ϕ → ψ } (¬ϕ → ψ) → (¬ψ → ψ) {ϕ → ψ, ¬ϕ → ψ} ¬ψ → ψ (¬ψ → ψ) → ψ { ϕ → ψ, ¬ϕ → ψ } ψ

9. { ϕ → ψ } (¬ϕ → ψ) → ψ 10. (ϕ → ψ) → ((¬ϕ → ψ) → ψ)

Theorem T15 ¬(ϕ → ϕ) → ψ

1. 2. 3. 4. 5. 6.

{ ¬ψ } (ϕ → ϕ) (ϕ → ϕ) → ¬¬(ϕ → ϕ) { ¬ψ } ¬¬(ϕ → ϕ) ¬ψ → ¬¬(ϕ → ϕ) (¬ψ → ¬¬(ϕ → ϕ)) → (¬(ϕ → ϕ) → ψ) ¬(ϕ → ϕ) → ψ

(MP, 3,4) (DT) (T13) (MP, 7,8) (DT) (DT)

(T1) (T5) (MP, 1,2) (DT) (A3) (MP, 4,5)

Behalten Sie stets im Gedächtnis, dass die entwickelten Ableitungssequenzen keine echten formalen Beweise sind. Verantwortlich hierfür ist die Eigenschaft des Deduktionstheorems, eine Meta-Schlussregel zu sein, die Aussagen über Beweise macht und nicht innerhalb des Kalküls existiert. Dass wir die Ableitungssequenzen trotzdem als Beweise ansehen dürfen, verdanken wir unserer geleisteten Vorarbeit. Weiter oben haben wir gezeigt, wie sich jede mit (DT) markierte Ableitung durch eine äquivalente Sequenz ersetzen lässt, die ohne das Deduktionstheorem auskommt. In diesem Sinne können wir die gezeigten Ableitungssequenzen als Bauplan verstehen, aus dem sich systematisch eine echte Beweiskette erzeugen lässt. Abschließend wollen wir uns mit der Frage beschäftigen, wie es um die in Definition 2.2 fixierten Kalküleigenschaften bestellt ist. Die Korrektheit unseres Kalküls (aus ϕ folgt |= ϕ) liegt auf der Hand. Zunächst lässt sich zeigen, dass alle Axiome allgemeingültig sind. Ferner ist leicht nachzuvollziehen, dass die einzige Schlussregel des Kalküls – der Modus ponens – die Tautologieeigenschaft erhält. Damit ist der Kalkül korrekt und nach Satz 2.2 erst recht widerspruchsfrei.

101

2.3 Aussagenlogik

Tatsächlich ist der Kalkül sogar vollständig, d. h., alle allgemeingültigen Formeln lassen sich aus den Axiomen herleiten (aus |= ϕ folgt ϕ). Den vergleichsweise komplizierten Beweis wollen wir an dieser Stelle nicht führen. Eine detaillierte Ausarbeitung findet sich in beispielsweise in [97] oder [117]. Beachten Sie, dass der Kalkül nicht negationsvollständig ist, d. h., es existieren Formeln ϕ, für die weder ϕ noch ¬ϕ aus den Axiomen abgeleitet werden kann. Die Negationsunvollständigkeit ist kein Mangel des Kalküls; sie ist allein der Tatsache geschuldet, dass wir die Semantik aussagenlogischer Formeln nicht, wie in den Beispielen zuvor, an eine einzige Interpretation gekoppelt haben. In der Aussagenlogik drücken wir mit |= ϕ aus, dass ϕ allgemeingültig ist, d. h. unter jeder möglichen Interpretation wahr ist. In diesem Fall existieren viele Formeln ϕ, für die weder |= ϕ noch |= ¬ϕ gilt. Ein korrekter Kalkül für die Aussagenlogik kann daher niemals negationsvollständig sein. Abschließend sei bemerkt, dass die Wahl der Axiome unseres Kalküls bei weitem nicht eindeutig ist. Tabelle 2.8 fasst drei historisch wichtige Axiomatisierungen zusammen, die ebenfalls zu einem korrekten und vollständigen Kalkül für die Aussagenlogik führen.

Hilbert und Ackermann (1928) [85]

Kleene (1952) [103]

(ϕ ∨ ϕ) → ϕ

(A1)

ϕ → (ϕ ∨ ψ)

(A2)

(ϕ ∨ ψ) → (ψ ∨ ϕ)

(A3)

(ϕ → ψ) → ((χ ∨ ϕ) → (χ ∨ ψ))

(A4)

Rosser (1953) [153] ϕ → (ϕ ∧ ϕ)

(A1)

(ϕ ∧ ψ) → ϕ

(A2)

(ϕ → ψ) → (¬(ψ ∧ χ) → ¬(χ ∧ ϕ))

(A3)

ϕ → (ψ → ϕ)

(A1)

(ϕ → (ψ ∧ χ)) → ((ϕ → ψ) → (ϕ → χ))

(A2)

(ϕ ∧ ψ) → ϕ

(A3)

(ϕ ∧ ψ) → ψ

(A4)

ϕ → (ψ → (ϕ ∧ ψ))

(A5)

ϕ → (ϕ ∧ ψ)

(A6)

ψ → (ϕ ∧ ψ)

(A7)

(ϕ → ψ) → ((χ → ψ) → ((ϕ ∨ ψ) → χ))

(A8)

(ϕ → ψ) → ((ϕ → ¬ψ) → ¬ϕ)

(A9)

¬¬ϕ → ϕ

(A10)

Tabelle 2.8: Alternative Axiomatisierungen der Aussagenlogik [117]. Hilbert und Ackermann bauen ihre Logik auf den logischen Primitiven ‚¬‘ und ‚∨‘ auf und verwenden den Ausdruck ϕ → ψ als abkürzende Schreibweise für die Formel ¬ϕ ∨ ψ. Rosser beschränkt sich auf die logischen Primitive ‚¬‘ und ‚∧‘. Hier wird der Ausdruck ϕ → ψ ebenfalls als syntaktische Abkürzung verstanden, diesmal für die Formel ¬(ϕ ∧ ¬ψ). Kleene lässt neben ‚¬‘ und ‚∧‘ auch ‚∨‘ und ‚→‘ als primitive Operatoren zu, benötigt dafür aber eine größere Menge von Axiomen. Der Modus ponens ist die alleinige Schlussregel in allen drei Kalkülen.

102

I

2 Formale Systeme

2.4

Zu jedem ε > 0 existiert . . .

Prädikatenlogik erster Stufe

f(x)

Mit der Aussagenlogik haben wir das nötige Instrumentarium geschaffen, um logische Beziehungen zwischen elementaren Aussagen formal zu erfassen. Auch wenn sich viele Sachverhalte in der gezeigten Weise beschreiben lassen, sind die vorhandenen Ausdrucksmöglichkeiten bei weitem nicht stark genug, um als Grundlage für die Formalisierung der Mathematik zu dienen.

ε-Korridor

f(x0)+ε f(x0) f(x0)−ε

x

x0

I

. . . ein δ > 0 mit der Eigenschaft, . . .

Damit wir die Begriffe und Konzepte der gewöhnlichen Mathematik abbilden können, müssen wir die Aussagenlogik um mehrere Bausteine erweitern. Um welche es sich konkret handelt, wollen wir an einem wohlbekannten Beispiel aus der Analysis herausarbeiten: der Stetigkeit reellwertiger Funktionen [196] (Abbildung 2.13).

f(x)

Definition 2.11 (Stetigkeit) δ-Korridor

Die Funktion f : D → R ist stetig im Punkt x0 ∈ D, wenn zu jedem ε > 0 ein δ > 0 mit der folgenden Eigenschaft existiert:

ε-Korridor

f(x0)+ε f(x0)

x ∈ D ∧ |x − x0 | < δ ⇒ | f (x) − f (x0 )| < ε

f(x0)−ε

x0−δ

x0

x0+δ

x

Mithilfe der Quantoren ‚∀‘ („für alle“) und ‚∃‘ („es existiert“) können wir die Stetigkeitsbedingung wie folgt aufschreiben: ∀ (ε > 0) ∃ (δ > 0) ∀ (x ∈ D) (|x − x0 | < δ → | f (x) − f (x0 )| < ε)

I

. . . dass f (x) für alle x aus dem δ -Korridor innerhalb des ε-Korridors liegt.

Analysieren wir die Definition im Detail, so lassen sich neben den aussagenlogischen Verknüpfungen die folgenden Bestandteile isolieren:

f(x) δ-Korridor

I

f(x0)−ε

I

x0−δ

x0 x x0+δ

Variablen Mit x, x0 , ε und δ enthält die Formel vier Variablen. Jede Einzelne steht stellvertretend für ein Element des Individuenbereichs, der sich in unserem Beispiel über die Menge der reellen Zahlen erstreckt.

ε-Korridor

f(x0)+ε f(x) f(x0)

x

Abbildung 2.13: Eine reellwertige Funktion ist stetig an der Stelle x0 , wenn sie das Epsilon-Delta-Kriterium erfüllt.

Quantoren Variablen werden an Quantoren gebunden, um quantitative Aussagen über die Elemente des Individuenbereichs zu machen. In unserem Beispiel stehen die Variablen ε und x im Wirkungsbereich eines Allquantors, während δ durch einen Existenzquantor gebunden ist. x0 steht nicht im Wirkungsbereich eines Quantors; eine solche Variable heißt frei oder ungebunden.

2.4 Prädikatenlogik erster Stufe

I

103

Funktionen Mit f und | · | (Betragsfunktion) enthält die Formel zwei einstellige Funktionssymbole. Im Allgemeinen repräsentiert ein n-stelliges Funktionssymbol eine Abbildung, die n Elemente des Individuenbereichs auf ein anderes Element des Individuenbereichs abbildet.

I

Prädikate Die Formel enthält mit ‚∈ D‘ ein einstelliges und mit ‚ σ ) ϕ := ∃ ξ (ξ > σ ∧ ϕ) ∀ (ξ > σ ) ϕ := ∀ ξ (ξ > σ → ϕ) Eine analoge Definition gelte für die Operatoren ‚ x1 ) prime(x2 ) In Worten liest sich die Formel wie folgt: Für jede natürliche Zahl x1 existiert eine größere Zahl x2 , die eine Primzahl ist. Die Formel ist damit nichts anderes als die Formalisierung des berühmten Satzes von Euklid: „Es existieren unendlich viele Primzahlen“.

135

136

I

3 Fundamente der Mathematik

Satz von Euklid: „Es existieren unendlich viele Primzahlen.“ „Für jede Zahl x1 existiert eine größere Zahl x2 , die eine Primzahl ist.“

I

∀ x1 ∃ (x2 > x1 ) prime(x2 ) ∃ (x2 > x1 ) ϕ := ∃ x2 (x2 > x1 ∧ ϕ)

I

∀ x1 ∃ x2 (x2 > x1 ∧ prime(x2 )) prime(x2 ) := ¬(x2 = 1) ∧ ∀ x3 (x3 | x2 → (x3 = 1 ∨ x3 = x2 ))

I

∀ x1 ∃ x2 (x2 > x1 ∧ ¬(x2 = 1) ∧ ∀ x3 (x3 | x2 → (x3 = 1 ∨ x3 = x2 ))) x3 | x2 := ∃ x4 (x3 × x4 = x2 )

I

∀ x1 ∃ x2 (x2 > x1 ∧ ¬(x2 = 1) ∧ ∀ x3 (∃ x4 (x3 × x4 = x2 ) → (x3 = 1 ∨ x3 = x2 ))) x2 > x1 := ∃ x5 (x2 = x1 + x5 + 1)

I

∀ x1 ∃ x2 (∃ x5 (x2 = x1 + x5 + 1) ∧ ¬(x2 = 1) ∧ ∀ x3 (∃ x4 (x3 × x4 = x2 ) → (x3 = 1 ∨ x3 = x2 ))) 1 := s(0)

I

∀ x1 ∃ x2 (∃ x5 (x2 = x1 + x5 + s(0)) ∧ ¬(x2 = s(0)) ∧ ∀ x3 (∃ x4 (x3 × x4 = x2 ) → (x3 = s(0) ∨ x3 = x2 )))

Abbildung 3.3: Formalisierung des Satzes von Euklid in der Peano-Arithmetik

Vergessen Sie nicht, dass die neu eingeführten Operatoren lediglich den Stellenwert von syntaktischen Abkürzungen haben und die Ausdrucksstärke der Peano-Arithmetik nicht erhöhen. Auch wenn sie prinzipiell entbehrlich sind, erweisen sie uns wertvolle Dienste. Neben der Tatsache, dass wir mit den eingeführten Abkürzungen viele Formeln deutlich kompakter aufschreiben können, tragen Sie in großem Maße zu deren Verständnis bei. Als Beispiel zeigt Abbildung 3.3, welche Darstellung der Euklid’sche Satz besäße, wenn wir uns ausschließlich der syntaktischen Grundbausteine aus Definition 3.1 bedienten. Ihre wahre Bedeutung ist der entstandenen Formel kaum noch anzusehen. Zum Schluss führen wir mit dem erweiterten Existenzquantor ∃1 eine letzte Schreiberleichterung ein: ∃1 ξ ϕ(ξ ) := ∃ ξ (ϕ(ξ ) ∧ ∀ ζ (ϕ(ζ ) → ζ = ξ )) Mit der Formel ∃1 x ϕ(x) können wir auf kompakte Weise ausdrücken, dass ϕ(x) für genau eine Belegung von x wahr wird. Die Aussage ist stärker als jene der Formel ∃ x ϕ(x); diese besagt lediglich, dass mindestens eine derartige Belegung existieren muss.

137

3.1 Peano-Arithmetik

3.1.3

Axiome und Schlussregeln

0

Nachdem wir im vorigen Abschnitt die Syntax und die Semantik der Peano-Arithmetik festgelegt haben, wollen wir in diesem Abschnitt die Axiome und Schlussregeln ins Rampenlicht rücken. Um die tiefere Bedeutung der Axiome zu verstehen, wollen wir zunächst versuchen, die natürlichen Zahlen über ihre Eigenschaften zu charakterisieren.

1

2

3

4

...

...

Abbildung 3.4: Kettenförmige Struktur der natürlichen Zahlen

Die ersten beiden Axiome fließen wie von selbst aus der Feder: I

„0 ist eine natürliche Zahl.“

(P1)

(a)

I

„Jede Zahl x hat einen eindeutigen Nachfolger s(x).“

(P2)

0

2

(b)

2

0

1

3

Es scheint, als könnten wir die Struktur der natürlichen Zahlen aus Abbildung 3.4 treffend über diese beiden Eigenschaften beschreiben. Ein Blick auf die Beispiele in Abbildung 3.5 zeigt aber, dass auch solche Strukturen diese Eigenschaften erfüllen, die ganz und gar nicht unserer Vorstellung von den natürlichen Zahlen entsprechen. Die ungebetenen Gäste verschwinden erst dann, wenn wir zusätzlich die folgenden beiden Eigenschaften fordern: I

„0 ist nicht der Nachfolger irgendeiner Zahl.“

(P3)

I

„Verschiedene Zahlen haben verschiedene Nachfolger.“

(P4)

Die erste Eigenschaft eliminiert die Strukturen (a) und (c), die zweite die Strukturen (b) und (d). Auch wenn wir einer eindeutigen Charakterisierung der natürlichen Zahlen schon sehr nahe sind, bleibt ein schwerwiegendes Problem bestehen. Die formulierten Eigenschaften schließen nicht aus, dass neben dem Zahlenstrang der natürlichen Zahlen weitere Stränge mit der gleichen Struktur existieren (Abbildung 3.6). Um die Existenz solcher Schattenzahlen auszuschließen, müssen wir auf eine Eigenschaft zurückgreifen, die tiefgründiger ist als die bisher genannten. Die Lösung kommt in Form des Induktionsaxioms: I

„Enthält eine Menge M die Zahl 0 und folgt aus x ∈ M stets die Beziehung s(x) ∈ M, so enthält M alle natürlichen Zahlen.“

Da wir die Mengenzugehörigkeit einer Zahl x als Eigenschaft interpretieren und jede Eigenschaft in Form einer Mengenzugehörigkeit ausdrücken können, dürfen wir das Induktionsaxiom alternativ auch so formulieren:

3

(c)

0

1

2

3

...

1

2

3

4

...

(d)

0

Abbildung 3.5: Die Axiome (P1) und (P2) reichen nicht aus, um die Strukturen (a) bis (d) auszuschließen.

0

1

2

3

4

...

...

Abbildung 3.6: Die hier abgebildete Struktur erfüllt die Axiome (P1) bis (P4). Erst durch das Induktionsaxiom wird sie eliminiert.

138


Richard Dedekind (1831 – 1916)

Giuseppe Peano (1858 – 1932)

I

„0 ist eine natürliche Zahl.“

I

„Jede Zahl x hat einen eindeutigen Nachfolger s(x).“

I

„0 ist nicht der Nachfolger irgendeiner Zahl.“

I

∀ x ¬(0 = s(x))

I

„Verschiedene Zahlen haben verschiedene Nachfolger.“

I

∀ x ∀ y (s(x) = x(y) → x = y)

I

„Hat die Zahl 0 die Eigenschaft ϕ und folgt aus ϕ(x) stets ϕ(s(x)), so haben alle natürlichen Zahlen die Eigenschaft ϕ.“

I

ϕ(0) → (∀ x (ϕ(x) → ϕ(s(x))) → ∀ x ϕ(x))

Abbildung 3.7: Die Peano-Axiome, links in einer umgangssprachlichen Formulierung und rechts in der modernen Schreibweise der Peano-Arithmetik.

I

„Hat die Zahl 0 die Eigenschaft ϕ und folgt aus ϕ(x) stets ϕ(s(x)), so haben alle natürlichen Zahlen die Eigenschaft ϕ.“ (P5)

(P1) bis (P5) sind die berühmten Peano-Axiome, die im Jahr 1888 in ähnlicher Form von Richard Dedekind umgangssprachlich formuliert und ein Jahr später von Giuseppe Peano in eine formale Schreibweise übersetzt wurden. Die Beispiele in den Abbildungen 3.4 bis 3.6 haben gezeigt, dass wir auf kein Peano-Axiom verzichten können. Entfernen wir auch nur eines, so existieren neben den natürlichen Zahlen weitere Strukturen, die alle verbleibenden Axiome erfüllen. Die gegenteilige Fragestellung ist nicht weniger wichtig: Sind die natürlichen Zahlen durch die Peano-Axiome vollständig charakterisiert oder müssen wir weitere Axiome hinzufügen, um eine eindeutige Beschreibung zu erhalten? Der berühmte Isomorphiesatz von Richard Dedekind gibt eine beruhigende Antwort. Er besagt, dass die natürlichen Zahlen durch die Axiome (P1) bis (P5) bis auf Isomorphie eindeutig charakterisiert sind, d. h., bis auf die Art und Weise, wie wir die Zahlen benennen oder niederschreiben. Jetzt haben wir das nötige Wissen beisammen, um die Axiome und Schlussregeln der Peano-Arithmetik in ihrer ganzen Fülle zu verstehen. Zunächst zeigt Abbildung 3.7, wie die umgangssprachlich formulierten

139


Theorieaxiome

Logikaxiome

σ = τ → (σ = ρ → τ = ρ)

(S1)

ϕ → (ψ → ϕ)

(A1)

σ = τ → s(σ ) = s(τ)

(S2)

(ϕ → (ψ → χ)) → ((ϕ → ψ) → (ϕ → χ))

(A2)

¬(0 = s(σ ))

(S3)

(¬ϕ → ¬ψ) → (ψ → ϕ)

(A3)

s(σ ) = s(τ) → σ = τ

(S4)

∀ ξ ϕ → ϕ[ξ ← σ ] ([ξ ← σ ] kollisionsfrei) (A4)

σ +0 = σ

(S5)

∀ ξ (ϕ → ψ) → (ϕ → ∀ ξ ψ) (ξ ∈ ϕ)

σ + s(τ) = s(σ + τ)

(S6)

σ ×0 = 0

(S7)

σ × s(τ) = (σ × τ) + σ

(S8)

ϕ(0) → (∀ x (ϕ(x) → ϕ(s(x))) → ∀ x ϕ(x))

(S9)

(A5)

Schlussregeln ϕ, ϕ → ψ ψ ϕ ∀ξ ϕ

Tabelle 3.3: Alle Axiome der Peano-Arithmetik in der Übersicht

Axiome als arithmetische Formeln niedergeschrieben werden können. Alle drei Formeln fügen wir der Peano-Arithmetik als Theorieaxiome hinzu. Beachten Sie, dass wir die ersten beiden Axiome nicht übersetzen müssen; sie sind bereits dadurch formalisiert, dass 0 als Konstantensymbol und s als (einstelliges) Funktionssymbol in der Sprache der Peano-Arithmetik verankert ist. Die Peano-Axiome allein bilden noch keinen Kalkül. Um einen solchen zu erhalten, müssen wir sie um weitere Theorieaxiome ergänzen. Darüber hinaus dürfen wir nicht vergessen, die unentbehrlichen Logikaxiome hinzuzufügen. Im Ergebnis entsteht eine längere Liste von Axiomen und Schlussregeln, die in Tabelle 3.3 zusammengefasst sind. Die Theorieaxiome (S1) und (S2) drücken wichtige Eigenschaften des Gleichheitsoperators aus. (S3) und (S4) sind die Peano-Axiome (P3) und (P4). Die Axiome (S5) bis (S8) beschreiben die elementaren Eigenschaften der Addition und Multiplikation und verleihen den Operatoren ‚+‘ und ‚×‘ ihre Bedeutung. Es folgt mit (S9) das Induktionsaxiom, von dessen Notwendigkeit wir uns weiter oben überzeugt haben. In der rechten Tabellenhälfte sind die Logikaxiome und die Schlussregeln aufgeführt.

(MP)

(G)

140


Ableitbare Theoreme I

Theorem PA1 σ =σ

I

Theorem PA2 σ =τ →τ =σ

I

Theorem PA3 σ = τ → (τ = ρ → σ = ρ)

I

Theorem PA4 σ = τ → (ρ = τ → σ = ρ)

I

Theorem PA5 ∀ x (σ = τ → σ + x = τ + x)

I

Theorem PA6 ∀ x (x = 0 + x)

I

Theorem PA7 σ + 1 = s(σ )

I

Theorem PA8 σ ×1 = σ

Tabelle 3.4: Eine kleine Auswahl arithmetischer Formeln, die sich im formalen System der Peano-Arithmetik beweisen lassen.

Sie sind eins zu eins der Prädikatenlogik entnommen und machen die Peano-Arithmetik zu einer Theorie erster Stufe. Alle Axiome sind als Axiomenschemata ausgelegt. Hierin stehen die Platzhalter σ und τ für Terme, ϕ, ψ und χ für Formeln und ξ für eine Variable. Wir wollen kurz innehalten und unsere Aufmerksamkeit erneut auf das Induktionsaxiom lenken. Ein gezielter Blick auf die verschiedenen Formulierungen zeigt, dass die formalisierte Variante (S9) eine prädikatenlogische Formel erster Stufe, die umgangssprachliche Variante (P5) dagegen eine Aussage zweiter Stufe ist. Dass wir tatsächlich eine Aussage zweiter Stufe vor uns haben, ist leicht einzusehen. Indem das Induktionsaxiom eine Aussage über beliebige Eigenschaften der natürlichen Zahlen macht, quantifiziert es über Prädikate. In der Peano-Arithmetik wird der Sachverhalt dadurch nachgebildet, dass wir (S9) als Axiomenschema ausgelegt haben. Da wir den Platzhalter ϕ durch eine beliebige Formel ersetzen dürfen, gibt es in der Peano-Arithmetik nicht ein einziges Induktionsaxiom, sondern unendlich viele. Auf den ersten Blick scheint es uns mit diesem Trick tatsächlich gelungen zu sein, die umgangssprachliche Formulierung des Induktionsaxioms formal zu erfassen. Auf den zweiten Blick wird jedoch schnell deutlich, dass wir einer exakten Formalisierung lediglich sehr nahe kommen. Konkret stehen wir vor dem Problem, dass uns das Axiomenschema nicht die Gültigkeit des Induktionsprinzips für alle Eigenschaften garantiert, sondern lediglich für jene, die sich durch eine Formel beschreiben lassen. Da nur abzählbare viele Formeln existieren, kann das Schema nur einen Teil der überabzählbar vielen Eigenschaften erfassen. Für den Moment wollen wir diesen unscheinbaren Schönheitsfehler ignorieren. Zu gegebener Zeit, in Abschnitt 7.2, werden wir die Thematik wieder aufgreifen und zeigen, welch weitreichende Konsequenzen sich aus diesem Phänomen tatsächlich ergeben. Wir wollen unseren Kalkül nun zum Leben erwecken und nacheinander die in Tabelle 3.4 aufgeführten Theoreme beweisen. Sie werden feststellen, dass sich die Beweisführung kaum von jener aus Abschnitt 2.4 unterscheidet; schließlich verwendet die Peano-Arithmetik den gleichen logischen Schlussapparat wie die Prädikatenlogik erster Stufe. Damit dürfen wir nicht nur den Fundus bisher bewiesener Tautologien nutzen, sondern auch auf sämtliche Hilfsmitteln zurückgreifen, die wir im Zusammenhang mit dem prädikatenlogischen Kalkül erarbeitet haben. Allem voran wird uns auch hier das Deduktionstheorem treu zur Seite stehen. Calculemus – lasst uns rechnen!

141


1. σ + 0 = σ 2. σ + 0 = σ → (σ + 0 = σ → σ = σ ) 3. σ + 0 = σ → σ = σ 4. σ = σ

(S5) (S1)

Theorem PA1 σ =σ

(MP, 1,2) (MP, 1,3)

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

σ = τ → (σ = σ → τ = σ ) {σ = τ} σ = σ → τ = σ {σ = τ, σ = σ } τ = σ {σ = σ } σ = τ → τ = σ σ = σ → (σ = τ → τ = σ ) σ =σ σ =τ →τ =σ

(S1) (DT) (DT) (DT) (DT) (PA1) (MP, 5,6)

Theorem PA2 σ =τ →τ =σ

1. 2. 3. 4. 5.

τ = σ → (τ = ρ → σ = ρ) σ =τ →τ =σ {σ = τ} τ = σ {σ = τ} τ = ρ → σ = ρ σ = τ → (τ = ρ → σ = ρ)

(S1) (S1) (DT) (MP, 1,3) (DT)

Theorem PA3 σ = τ → (τ = ρ → σ = ρ)

1. σ = τ → (τ = ρ → σ = ρ) 2. {σ = τ} τ = ρ → σ = ρ

(PA3) (DT)

Theorem PA4 σ = τ → (ρ = τ → σ = ρ)

ρ =τ →τ =ρ {ρ = τ} τ = ρ {σ = τ, ρ = τ} σ = ρ {σ = τ} ρ = τ → σ = ρ σ = τ → (ρ = τ → σ = ρ)

(PA2) (DT) (MP, 2,4) (DT) (DT)

3. 4. 5. 6. 7.

Beweis durch vollständige Induktion Sei ψ(x) := (σ = τ → (σ + x = τ + x)) 1. σ + 0 = σ 2. τ + 0 = τ 3. σ + 0 = σ → (σ = τ → σ + 0 = τ) 4. σ = τ → σ + 0 = τ

Theorem PA5 ∀ x (σ = τ → σ + x = τ + x) (S5) (S5) (PA3) (MP, 1,3)

142


5. {σ = τ} σ + 0 = τ 6. σ + 0 = τ → (τ + 0 = τ → σ + 0 = τ + 0) 7. {σ = τ} τ + 0 = τ → σ + 0 = τ + 0 8. {σ = τ} σ + 0 = τ + 0 An dieser Stelle ist der Induktionsanfang bewiesen

An dieser Stelle ist der Induktionsschritt bewiesen

Theorem PA6 ∀ x (x = 0 + x)

(DT) (PA4) (MP, 5,6) (MP, 2,7)

9. σ = τ → σ + 0 = τ + 0 10. ψ(0)

(DT) (Definition)

11. {ψ(x)} σ = τ → (σ + x = τ + x) 12. {ψ(x), σ = τ} σ + x = τ + x 13. σ + s(x) = s(σ + x) 14. τ + s(x) = s(τ + x) 15. σ + x = τ + x → s(σ + x) = s(τ + x) 16. {ψ(x), σ = τ} s(σ + x) = s(τ + x) 17. σ + s(x) = s(σ + x) → (s(σ + x) = s(τ + x) → σ + s(x) = s(τ + x)) 18. s(σ + x) = s(τ + x) → σ + s(x) = s(τ + x) 19. {ψ(x), σ = τ} σ + s(x) = s(τ + x) 20. σ + s(x) = s(τ + x) →

(Satz 2.4) (DT) (S6) (S6) (S2) (MP, 12,15)

(τ + s(x) = s(τ + x) → σ + s(x) = τ + s(x)) 21. {ψ(x), σ = τ} τ + s(x) = s(τ + x) → σ + s(x) = τ + s(x) 22. {ψ(x), σ = τ} σ + s(x) = τ + s(x) 23. {ψ(x)} σ = τ → σ + s(x) = τ + s(x) 24. {ψ(x)} ψ(s(x)) 25. ψ(x) → ψ(s(x)) 26. ∀ x (ψ(x) → ψ(s(x))) 27. ψ(0) → (∀ x (ψ(x) → ψ(s(x))) → ∀ x ψ(x)) 28. ∀ x (ψ(x) → ψ(s(x))) → ∀ x ψ(x) 29. ∀ x ψ(x) 30. ∀ x (σ = τ → σ + x = τ + x)

(PA4)

Beweis durch vollständige Induktion Sei ψ(x) := (x = 0 + x) 1. 0 + 0 = 0 2. 0 + 0 = 0 → 0 = 0 + 0 3. 0 = 0 + 0

(PA3) (MP, 14,19) (MP, 18,20)

(MP, 19,20) (MP, 14,21) (DT) (Definition) (DT) (G) (S9) (MP, 10,27) (MP, 26,28) (Definition)

(S5) (PA2) (MP, 1,2)

143


4. ψ(0) 5. {ψ(x)} x = 0 + x 6. 0 + s(x) = s(0 + x) 7. x = 0 + x → s(x) = s(0 + x)

(Definition) Satz 2.4

An dieser Stelle ist der Induktionsanfang bewiesen

(S6) (S2)

8. {ψ(x)} s(x) = s(0 + x) (MP, 5,7) 9. s(x) = s(0 + x) → (0 + s(x) = s(0 + x) → s(x) = 0 + s(x)) (PA4) 10. {ψ(x)} 0 + s(x) = s(0 + x) → s(x) = 0 + s(x) (MP, 8,9) 11. {ψ(x)} s(x) = 0 + s(x) 12. {ψ(x)} ψ(s(x)) 13. ψ(x) → ψ(s(x)) 14. ∀ x (ψ(x) → ψ(s(x))) 15. ψ(0) → (∀ x (ψ(x) → ψ(s(x))) → ∀ x ψ(x)) 16. ∀ x (ψ(x) → ψ(s(x))) → ∀ x ψ(x) 17. ∀ x ψ(x) 18. ∀ x (x = 0 + x)

1. σ + s(0) = s(σ + 0) σ +0 = σ σ + 0 = σ → s(σ + 0) = s(σ ) s(σ + 0) = s(σ ) σ + s(0) = s(σ + 0) → (s(σ + 0) = s(σ ) → σ + s(0) = s(σ )) 6. s(σ + 0) = s(σ ) → σ + s(0) = s(σ ) 7. σ + s(0) = s(σ ) 8. σ + 1 = s(σ )

2. 3. 4. 5.

1. σ × s(0) = (σ × 0) + σ 2. σ × 0 = 0 3. ∀ x (σ × 0 = 0 → (σ × 0) + x = 0 + x) 4. ∀ x (σ × 0 = 0 → (σ × 0) + x = 0 + x) →

(MP, 6,10) (Definition) (DT) (G) (S9) (MP, 4,15) (MP, 14,16) (Definition)

(S6) (S5) (S2) (MP, 2,3)

An dieser Stelle ist der Induktionsschritt bewiesen

Theorem PA7 σ + 1 = s(σ )

(PA3) (MP, 1,5) (MP, 4,6) (Definition)

(S8) (S7) (PA5)

(σ × 0 = 0 → (σ × 0) + σ = 0 + σ ) 5. σ × 0 = 0 → (σ × 0) + σ = 0 + σ

(A4) (MP, 3,4)

6. (σ × 0) + σ = 0 + σ ) 7. σ × s(0) = (σ × 0) + σ →

(MP, 2,5)

Theorem PA8 σ ×1 = σ

144


((σ × 0) + σ = 0 + σ → σ × s(0) = 0 + σ ) 8. (σ × 0) + σ = 0 + σ → σ × s(0) = 0 + σ

(PA3) (MP, 1,7)

9. σ × s(0) = 0 + σ 10. ∀ x x = 0 + x

(MP, 6,8) (PA6)

11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18.

∀x x = 0+x → σ = 0+σ σ = 0+σ σ = 0+σ → 0+σ = σ 0+σ = σ σ × s(0) = 0 + σ → (0 + σ = σ → σ × s(0) = σ ) 0 + σ = σ → σ × s(0) = σ σ × s(0) = σ σ ×1 = σ

(PA6) (MP, 10,11) (PA2) (MP, 12,13) (PA3) (MP, 9,15) (MP, 12,14) (Definition)

Nach einer langer Reise sind wir endlich am Ziel: Es ist uns gelungen, sämtliche Theoreme aus Tabelle 3.4 im System der Peano-Arithmetik formal zu beweisen. Dass wir die Beispiele in dieser Ausführlichkeit durchexerziert haben, hat einen einfachen Grund. Die pure Auflistung der Axiome und Schlussregeln eines Kalküls vermittelt keinerlei Empfindung dafür, wie leicht oder wie schwer es ist, Theoreme tatsächlich abzuleiten. Um einen Kalkül in seiner vollen Tiefe zu verstehen, führt kein Weg daran vorbei, die Axiome und Schlussregeln zum Leben zu erwecken, und genau das haben wir mit dem Beweis der Beispieltheoreme auch getan. Bevor wir unseren Blick gänzlich von den bewiesenen Theoremen abwenden, wollen wir noch einen wichtigen Spezialfall betrachten. Substituieren wir in den Theoremen (PA7) und (PA8) den Platzhalter σ durch 1, so ergeben sich auf einen Schlag zwei der am häufigsten zitierten Weisheiten über die natürlichen Zahlen. Korollar 3.1 Die nachstehenden Formeln sind Theoreme der Peano-Arithmetik: 1+1 = 2

1×1 = 1

3.2 Axiomatische Mengenlehre

3.2

145

Axiomatische Mengenlehre

In diesem Abschnitt rücken wir mit der Mengenlehre eines der wichtigsten Teilgebiete der Mathematik in den Mittelpunkt unserer Betrachtung. Dass dem Begriff der Menge heute eine so große Bedeutung zukommt, geht vor allem auf seine Ausdrucksstärke zurück. Die Mengenlehre enthält nicht nur die Peano-Arithmetik als Untertheorie; sie erweist sich sogar als stark genug, um sämtliche Begriffe der gewöhnlichen Mathematik zu formalisieren. Zusätzlich haben die zu Beginn des zwanzigsten Jahrhunderts aufgetauchten Antinomien die Blicke vieler Forscher auf dieses Teilgebiet der Mathematik gelenkt. Sie haben der Mengenlehre nicht nur zu unfreiwilliger Popularität verholfen, sondern zugleich gezeigt, dass das Fundament der Mathematik ein fragiles ist, dem wir uns mit großer Sorgfalt nähern müssen. Unter dem Schirm der axiomatischen Mengenlehre versammeln sich heute viele Theorien, mit dem gemeinsamen Ziel, die Risse im Fundament der Mathematik zu schließen. Eine der ältesten ist die Typentheorie. Als Herzstück der Principia Mathematica ist sie integraler Bestandteil jenes monumentalen Werks, das von Russell und Whitehead als vermeintliches Allheilmittel gegen die Antinomien der Mengenlehre in Stellung gebracht wurde. Im Kern der Typentheorie steht der Gedanke, jeder Menge eine Hierarchiestufe, einen Typ, zuzuordnen. Indem nur solche Mengen als existent erachtet werden, die einen höheren Typ als ihre Elemente haben, sind selbstbezügliche Konstrukte wie die Menge aller Mengen a priori ausgeschlossen. Eine Vereinfachung hat die Typentheorie durch den amerikanischen Logiker Willard Van Orman Quine erfahren. Im Jahr 1937 publizierte er unter dem Namen New Foundations eine axiomatisierte Variante, die viele Defizite ihres Vorgängers beseitigt [141, 142]. Seitdem gilt die Typentheorie in ihrer ursprünglichen Form als überholt. Heute wird der Mengenbegriff zumeist mit Theorien erklärt, die sich einer der beiden folgenden Kategorien zuordnen lassen: I

Theorien über dem Mengenbegriff Theorien dieser Kategorie kennen ausschließlich den Begriff der Menge. Ihr bekanntester Vertreter ist die Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre, kurz ZF, sowie die um das Auswahlaxiom erweiterte Variante ZFC (Zermelo-Fraenkel with Choice). Beide sind Theorien erster Stufe und werden durch 9 bzw. 10 Axiome geformt, die von Ernst Zermelo und Abraham Fraenkel in den Jahren 1908 bis 1921 formuliert wurden. Ebenfalls zu dieser Kategorie zählt die weniger bekannte Kripke-Platek-Mengenlehre (KP) [69].

Die Darstellung der axiomatischen Mengenlehre unterscheidet sich von jener der Peano-Arithmetik in einem wichtigen Punkt. Anders als in Abschnitt 3.1 werden wir im Fall der Mengenlehre davon absehen, eine Standardinterpretation zu definieren. Dass wir unsere gewohnte Linie verlassen, hat einen triftigen Grund: War es in der Peano-Arithmetik vergleichsweise gefahrlos möglich, unsere intuitive Vorstellung von den natürlichen Zahlen in die Definition der Modellrelation ‚|=‘ umzusetzen, so ist dies in der Mengenlehre ungleich schwieriger. Um eine Standardinterpretation zu definieren, müssten wir uns zunächst auf einen bestimmten Individuenbereich festlegen. Für die Peano-Arithmetik war dies kein Problem: Dort entspricht der Individuenbereich schlicht der Menge der natürlichen Zahlen. Und in der Mengenlehre? Der Individuenbereich wäre, wir wagen es kaum auszusprechen, die Menge aller Mengen. Würden wir eine Standardinterpretation also tatsächlich auf diese naive Weise bilden, so hätten wir der Russell’schen Antinomie erneut Tür und Tor geöffnet. Sie sehen, wie vorsichtig wir im Falle der Mengenlehre tatsächlich agieren müssen, um Widersprüche zu vermeiden.

146


I

Theorien über dem Mengen- und dem Klassenbegriff Theorien dieser Kategorie unterscheiden zwischen Mengen und Klassen. Während z. B. die Russell’sche Menge aller Mengen in ZF und ZFC nicht existiert, ist sie in solchen Theorien in Form einer Klasse enthalten. Bildlich können wir uns eine Klasse als eine Ansammlung von Objekten vorstellen, die zu groß ist, um als abgeschlossenes Ganzes zu existieren. Antinomien werden in diesen Theorien also nicht durch den Ausschluss der strittigen Objekte überwunden; stattdessen werden sie von der Mengenwelt in die Klassenwelt verschoben. Klassen unterliegen dabei wichtigen Einschränkungen. Beispielsweise dürfen sie niemals ein Element einer anderen Mengen oder anderen Klasse sein.

Bei einem Blick in Zermelos Originalarbeit aus dem Jahr 1908 werden Sie feststellen, dass in seiner ursprünglichen Mengenlehre neben Mengen noch andere Objekte existieren. Diese anderen Objekte sind sogenannten Urelemente, die im Gegensatz zu Mengen selbst keine Elemente enthalten dürfen. In gewissem Sinne sind Urelemente und Klassen zwei komplementäre Begriffe. Während Klassen zu groß sind, um selbst Element einer anderen Menge oder Klasse zu sein, sind Urelemente zu klein, um eigenen Elemente zu enthalten. Urelemente entsprechen unserer intuitiven Vorstellung der Elemente einer Menge. Dennoch lassen sie sich auf einfache Weise durch andere Mengen repräsentieren und sind damit prinzipiell entbehrlich. Dies ist der Grund, weshalb wir auch die Zermelo-Mengenlehre zu jenen Theorien zählen dürfen, die ausschließlich Mengen als Objekte kennen. Konsequenterweise wurde die Unterscheidung in der später entwickelten ZermeloFraenkel-Mengenlehre dann auch fallen gelassen; hier wird der Begriff des Urelements nicht mehr erwähnt und nur noch von Mengen gesprochen.

Beispiele für Theorien dieser Art sind die Mengenlehre von Wilhelm Ackermann [3] sowie die weniger bekannte Morse-KelleyMengenlehre [100, 122]. Der bei weitem bekannteste Vertreter dieser Kategorie ist die um 1940 entstandene Neumann-Bernays-GödelMengenlehre, kurz NBG. Im Gegensatz zu ZF ist sie endlich axiomatisierbar, d. h., sie kommt ohne die Verwendung von Axiomenschemata aus. Trotz ihrer unterschiedlichen Ausrichtung sind ZF und NBG eng miteinander verflochten. Zum einen lassen sich sämtliche Theoreme von ZF auch in NBG beweisen. Zum anderen gilt auch die Umkehrung, wenn wir nur jene Theoreme betrachten, die ausschließlich Aussagen über Mengen tätigen. Sämtliche dieser NBGTheoreme sind auch in ZF beweisbar. In Abschnitt 3.2.1 werden wir unseren Blick auf die Zermelo-FraenkelMengenlehre richten, der wichtigsten Theorie aus dem Bereich der axiomatischen Mengenlehre. Unter anderem werden wir zeigen, dass sich die natürlichen Zahlen als spezielle Mengen interpretieren lassen und die Theorien ZF oder ZFC dazu benutzt werden können, zahlentheoretische Aussagen zu formalisieren. Der eingeschlagene Weg wird uns in Abschnitt 3.2.2 in das faszinierende Reich der Ordinalzahlen führen. Mit ihnen werden wir vertraute Grenzen überwinden und riesige Zahlen kennen lernen, die sich weit jenseits des Vorstellbaren befinden. Mit der Theorie der Ordinalzahlen in Händen werden wir in Abschnitt 3.2.3 schließlich in der Lage sein, den schon häufiger gefallenen Begriff der Kardinalität mathematisch präzise zu erklären. Damit ist es an der Zeit, hinter die Kulissen eines der spannendsten Gebiete der Mathematik zu blicken. Unbestritten ist der Weg, den wir gleich beschreiten, kein leichter. Doch seien Sie versichert: Durch die Erkenntnisse am Ende des Kapitels werden Sie für die Mühen reichlich belohnt.

147


3.2.1

Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre

Die Grundbausteine der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre führen wir in zwei Schritten ein. Zunächst legen wir fest, nach welchen Regeln mengentheoretische Formeln gebildet werden. Danach beschäftigen wir uns ausführlich mit den Axiomen dieser Theorie. Definition 3.3 (Syntax der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre) Die Menge der mengentheoretischen Formeln über dem Variablenvorrat {x1 , x2 , x3 , . . .} ist rekursiv definiert: I

Sind ξ und ν Variablen, dann sind (ξ = ν) und (ξ ∈ ν) Formeln.

I

Sind ϕ und ψ Formeln, dann sind es auch (¬ϕ), (ϕ ∧ ψ), (ϕ ∨ ψ), (ϕ → ψ), (ϕ ↔ ψ), (ϕ ψ)

I

Ist ϕ eine Formel, dann sind auch es auch ∀ ξ ϕ, ∃ ξ ϕ

mit

ξ ∈ {x1 , x2 , x3 , . . .}

Neben den aussagenlogischen Operatoren und den prädikatenlogischen Quantoren kennt die ZF-Mengenlehre mit ‚=‘ und ‚∈‘ nur zwei Prädikatsymbole. Die intuitive Bedeutung dieser Symbole liegt auf der Hand: x1 = x2 drückt die Gleichheit zwischen den Mengen x1 und x2 aus, während x1 ∈ x2 besagt, dass x1 ein Element von x2 ist. Wie bisher werden wir den Variablenvorrat von Zeit zu Zeit anpassen und z. B. x, y, z anstatt x1 , x2 , x3 schreiben. Ebenfalls werden wir in gewohnter Weise auf die Niederschrift des einen oder anderen Klammerpaars verzichten, sofern die Eindeutigkeit gewahrt bleibt. Zur weiteren Vereinfachung wollen die folgenden Schreiberleichterungen zulassen: x = y := ¬(x = y) x ∈ y := ¬(x ∈ y) x ⊆ y := ∀ z (z ∈ x → z ∈ y) x ⊂ y := x ⊆ y ∧ x = y ∀ (x ∈ y) ϕ := ∀ x (x ∈ y → ϕ) ∃ (x ∈ y) ϕ := ∃ x (x ∈ y ∧ ϕ)

In der Literatur werden mengentheoretische Formeln uneinheitlich notiert. Allem anderen voran unterscheiden sich die Schreibweisen der Variablen. Das Dilemma: In der Mathematik sind wir daran gewöhnt, Mengen durchweg mit Großbuchstaben zu bezeichnen, genauso wie wir in der Logik daran gewöhnt sind, für die Variablen einer Formel Kleinbuchstaben zu verwenden. In der axiomatischen Mengenlehre stehen Variablen für Mengen, so dass es gute Gründe dafür gibt, sie sowohl groß als auch klein zu schreiben. In diesem Buch orientieren wir uns an der prädikatenlogischen Konvention, Variablen klein zu schreiben. Einige Theorien, zu denen beispielsweise die NBG-Mengenlehre gehört, forcieren eine gemischte Schreibweise, um Mengen und Klassen bereits auf der syntaktischen Ebene zu unterscheiden. Beispielsweise wird in der NBG-Formel ∃X ∀y y ∈ X mit X eine Klasse und mit y eine Menge bezeichnet. Letztendlich erfüllt jede Notation ihren Zweck. Dennoch sollten Sie bei der Durchsicht fremder Literatur immer zunächst einen Blick auf die verwendete Schreibweise werfen, um Missverständnisse im Vorfeld zu vermeiden.

148


3.2.1.1

ZF-Axiome

In diesem Abschnitt werden wir uns ausführlich mit dem Inhalt der verschiedenen Theorieaxiome beschäftigen und die Zermelo-FraenkelMengenlehre so in ein helleres Licht rücken. Axiom der Bestimmtheit (auch Axiom der Extensionalität)

I

∀ x ∀ y (x = y ↔ ∀ z (z ∈ x ↔ z ∈ y)) „Ist jedes Element einer Menge M gleichzeitig Element von N und umgekehrt, ist also gleichzeitig M ⊂ N und N ⊂ M, so ist immer M = N. Oder kürzer: jede Menge ist durch ihre Elemente bestimmt.“

=

Ernst Zermelo, 1908 ∈ ∈ ∈ ∈

In der axiomatischen Mengenlehre gilt das Prinzip der Extensionalität. Es besagt, dass die Bedeutung eines Ausdrucks allein durch seinen Umfang bestimmt ist, d. h. durch die Objekte, die er benennt oder beschreibt. In Bezug auf die Mengenlehre folgt daraus, dass zwei Mengen x und y genau dann gleich sind, wenn sie die gleichen Elemente enthalten (aus z ∈ x folgt immer auch z ∈ y und umgekehrt). Legen wir die oben eingeführten Abkürzungen zu Grunde, so können wir das Bestimmtheitsaxiom auch in der folgenden Form schreiben: ∀ x ∀ y (x = y ↔ x ⊆ y ∧ y ⊆ x)

Axiom der leeren Menge

I

∃ x ∀ y y ∈ x „Es gibt eine (uneigentliche) Menge, die ‚Nullmenge‘ 0, / welche gar keine Elemente enthält.“ Ernst Zermelo, 1908

Dieses Axiom postuliert die Existenz der leeren Menge. Von den konstruktiven Axiomen ist es das einzige, das uns eine Menge aus dem Nichts heraus entstehen lässt. Alle anderen Axiome werden uns lediglich erlauben, neue Mengen aus bestehenden zu erzeugen. Zur Schreiberleichterung werden wir uns der gewöhnlichen mathematischen Notation bedienen und die leere Menge mit dem Symbol 0/ bezeichnen. Behalten Sie dabei stets im Auge, dass wir mit 0/ kein neues

149


Symbol in die Sprache der Mengenlehre integrieren, sondern lediglich eine syntaktische Abkürzung vereinbaren. Konkret steht jede Formel ϕ, in der das Symbol 0/ vorkommt, stellvertretend für den Ausdruck ∃ x (∀ y y ∈ x ∧ ϕ[0/ ← x]) Hierin sind x und y zwei Variablen, von denen x nicht in ϕ vorkommen darf. Ferner steht der Ausdruck ϕ[0/ ← x] für die Formel ϕ, in der jedes Vorkommen des Symbols 0/ durch die neu eingeführte Variable x ersetzt wurde. Wenden wir die Ersetzung beispielsweise auf den Ausdruck 0/ ∈ z an, so entsteht die Formel ∃ x (∀ y y ∈ x ∧ x ∈ z)

(3.1)

Der so entstandene Ausdruck macht deutlich, dass mengentheoretische Formeln ohne die Einführung neuer Symbole schnell zu unüberschaubaren Gebilden degradieren. Dass die Ersetzung von 0/ vergleichsweise viel Mühe bereitet, hat einen einfachen Grund: Während alle bisher eingeführten Abkürzungen den Stellenwert von Prädikaten hatten, führen wir mit 0/ ein künstliches Konstantensymbol ein. In der bereinigten Formel (3.1) wird die Konstante durch die neu eingeführte Variable x beschrieben, und mithilfe der Variablen y wird sichergestellt, dass x tatsächlich der leeren Menge entspricht. I

∀ x ∀ y ∃ z ∀ u (u ∈ z ↔ u = x ∨ u = y)

Axiom der Paarung

„Sind a, b irgend zwei Dinge des Bereichs, so existiert immer eine Menge {a, b}, welche sowohl a als [auch] b, aber kein von beiden verschiedenes Ding x als Element enthält.“ Ernst Zermelo, 1908 Für zwei beliebige Mengen x und y garantiert das Paarungsaxiom die Existenz einer Menge z, die ausschließlich x und y als Elemente enthält. In gewöhnlicher mathematischer Notation besagt es, dass wir aus zwei beliebigen Mengen x und y immer auch die Menge {x, y} konstruieren können. Ist x = y, so entsteht die Menge {x}.

150


Zusammen mit dem Axiom der leeren Menge erlaubt das Paarungsaxiom die Konstruktion einer gehörigen Anzahl von Mengen, die sich in gewöhnlicher mathematischer Notation wie folgt lesen: 0, / {0}, / {0, / {0}}, / {0, / {0, / {0}}}, / {{0}, / {0, / {0}}}, / {{0}}, / ...

Axiom der Vereinigung

I

∀ x ∃ y ∀ z (z ∈ y ↔ ∃ (w ∈ x) z ∈ w) „Jeder Menge T entspricht eine Menge ST (die ‚Vereinigungsmenge‘ von T ), welche alle Elemente der Elemente von T und nur solche als Elemente enthält.“ Ernst Zermelo, 1908

In gewöhnlicher mathematischer Notation besagt das Vereinigungsaxiom, dass für jede Menge x auch die Menge y =

x :=

w

w∈x

existiert. Beispielsweise garantiert das Axiom für x = { 0, / {0, / {0}}, / {{0}} / }, die Existenz der Menge y = 0/ ∪ {0, / {0}} / ∪ {{0}} / = {0, / {0}} / Bildlich gesprochen entsteht die Vereinigungsmenge aus x, indem wir die Mengenhierarchie durch das Auflösen der zweiten Klammernebene abflachen und doppelte Vorkommen streichen. Wie gewohnt werden wir die Vereinigungsmenge zweier Mengen mit dem Symbol ‚∪‘ bezeichnen. Enthält eine Formel ϕ den Ausdruck ξ ∪ ν, so betrachten wir sie als Abkürzung für die Formel ∃ x (∀ y (y ∈ x ↔ y ∈ ξ ∨ y ∈ ν) ∧ ϕ[ξ ∪ ν ← x])

(3.2)

Das Ersetzungsschema ist dem der leeren Menge sehr ähnlich. x und y sind zwei neue Variablen, von denen x nicht in ϕ vorkommen darf, und der Ausdruck ϕ[ξ ∪ ν ← x] steht für die Formel ϕ, in der jedes Vorkommen der Zeichenkette ξ ∪ν durch die neu eingeführte Variable x ersetzt wurde. Dass wir die zusätzliche Variable x tatsächlich benötigen, hat einen ähnlichen Grund wie im Fall der leeren Menge. Wir haben mit

151


‚∪‘ ein neues Funktionssymbol geschaffen und benötigen die Variable x, um den Funktionswert zu referenzieren. Neben dem Symbol ‚∪‘ werden wir auch das Symbol ‚∩‘ verwenden, um den Schnitt zweier Mengen zu beschreiben. Analog zu (3.2) können wir jede Formel, die den Ausdruck ξ ∩ ν enthält, folgendermaßen umschreiben: ∃ x (∀ y (y ∈ x ↔ y ∈ ξ ∧ y ∈ ν) ∧ ϕ[ξ ∩ ν ← x])

I

∀ x ∃ y ∀ z (z ∈ y ↔ z ∈ x ∧ ϕ(z))

Axiom der Aussonderung (auch Axiom der Separation)

„Durch jede Satzfunktion f(x) wird aus jeder Menge m eine Untermenge mf ausgesondert, welche alle Elemente x umfasst, für die f(x) wahr ist. Oder: Jedem Teil einer Menge entspricht selbst eine Menge, welche alle Elemente dieses Teils enthält.“ Ernst Zermelo, 1908 Dieses Axiom besagt, dass für jede Menge x und für jede Eigenschaft P, die sich durch eine Formel ϕ beschreiben lässt, auch die Menge y = {z ∈ x | P(z)} existiert. In der ausgesonderten Menge y sind genau jene Elemente von x enthalten, die P erfüllen. Das Axiom ist als Axiomenschema ausgelegt, in dem der Platzhalter ϕ die Eigenschaft P repräsentiert. ϕ darf durch eine beliebige Formel ersetzen werden, in der z frei vorkommt. I

∃ x (0/ ∈ x ∧ ∀ (y ∈ x) {y} ∈ x)

Axiom des Unendlichen

„Der Bereich enthält mindestens eine Menge Z, welche die Nullmenge als Element enthält und so beschaffen ist, dass jedem ihrer Elemente a ein weiteres Element der Form {a} entspricht.“ Ernst Zermelo, 1908 Das Axiom garantiert uns die Existenz einer Menge x, I

so dass die leere Menge ein Element von x ist 0/ ∈ x

...

152


I

...

und für jedes y ∈ x auch die Menge {y} in x enthalten ist. ∀ (y ∈ x) {y} ∈ x

Das bedeutet, dass die Elemente 0, / {0}, / {{0}}, / {{{0}}}, / {{{{0}}}}, / {{{{{0}}}}}, / ... allesamt in x enthalten sind. Der Name des Axioms trägt der Tatsache Rechnung, dass die geforderte Eigenschaft von keiner endlichen Menge erfüllt werden kann. Folgerichtig dürfen wir in der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre immer davon ausgehen, dass Mengen mit unendlich vielen Elementen existieren. Die Zermelo’sche Formulierung des Unendlichkeitsaxioms ist nicht die einzig mögliche. In moderneren Abhandlungen über die Mengenlehre wird das Axiom auch gerne so formuliert: I

∃ x (0/ ∈ x ∧ ∀ (y ∈ x) y ∪ {y} ∈ x)

In dieser Variante wird gefordert, I

dass die leere Menge ein Element von x ist 0/ ∈ x

I

und für jedes y ∈ x auch die Menge y ∪ {y} in x enthalten ist. ∀ (y ∈ x) y ∪ {y} ∈ x

Eine Menge mit dieser Eigenschaft ist z. B. x = {0, / {0}, / {0, / {0}}, / {0, / {0}, / {0, / {0}}}, / {0, / {0}, / {0, / {0}}, / {0, / {0}, / {0, / {0}}}}, / ... Beide Formulierungen des Unendlichkeitsaxioms sind gleichwertig. Mithilfe der anderen ZF-Axiome können wir aus der einen Variante die andere herleiten und umgekehrt. Warum die Formulierung des Unendlichkeitsaxioms im Laufe der Zeit geändert wurde, werden Sie in Abschnitt 3.2.1.4 verstehen, wenn wir die Zermelo’sche und die Neumann’sche Zahlenreihe besprechen. Beide Zahlenreihen geben uns alternative Möglichkeiten an die Hand, um die natürlichen Zahlen in Form von Mengen darzustellen. Dort wird klar werden, dass das Axiom der Unendlichkeit eine ganz intuitive Aussage tätigt. Es behauptet schlicht, dass die natürlichen Zahlen eine Menge bilden. Das erste Axiom trägt diese Behauptung in sich, wenn wir die Zermelo’sche Zahlenrepräsentation zugrunde legen, und das zweite, wenn wir den Neumann’schen Ansatz verfolgen.

153


I

∀ x ∃ y ∀ z (z ∈ y ↔ z ⊆ x)

Axiom der Potenzmenge

„Jeder Menge m entspricht eine Menge Um, welche alle Untermengen von m als Elemente enthält, einschließlich der Nullmenge und m selbst.“ Ernst Zermelo, 1908 Das Axiom garantiert, dass zu jeder Menge x auch die Menge aller Teilmengen, d. h. die Potenzmenge y = 2x , existiert. Für x = {x1 , x2 , x3 } liest sich die Potenzmenge beispielsweise wie folgt: y = {0, / {x1 }, {x2 }, {x3 }, {x1 , x2 }, {x1 , x3 }, {x2 , x3 }, {x1 , x2 , x3 }} I

(∀ (a ∈ x) ∃1 b ϕ(a, b)) → (∃ y ∀ b (b ∈ y ↔ ∃ (a ∈ x) ϕ(a, b))) „Ist M eine Menge und wird jedes Element von M durch ‚ein Ding des Bereichs B‘ ersetzt, so geht M wiederum in eine Menge über.“ Abraham Fraenkel, 1922

Das Axiom besagt, dass für jede Funktion f , die mit einer Formel ϕ beschrieben werden kann, und jede Menge x = {x1 , x2 , x3 , . . .} auch die Menge y = { f (x1 ), f (x2 ), f (x3 ), . . .} existiert. Das Axiom ist als Axiomenschema ausgelegt, in dem wir den Platzhalter ϕ durch eine beliebige Formel ersetzen dürfen, die a und b als freie Variable enthält. Der Teilausdruck ∀ (a ∈ x) ∃1 b ϕ(a, b) stellt dabei sicher, dass ϕ eine Funktion f modelliert, die jedem Element a ∈ x genau ein Bildelement b zuordnet. Abraham Fraenkel führte das Ersetzungsaxiom als Ersatz für das Aussonderungsaxiom von Ernst Zermelo ein. In der Tat können wir in ZF das Aussonderungsaxiom aus dem Ersetzungsaxiom ableiten, nicht aber umgekehrt. Kurzum: Zermelos Mengenlehre ist eine echte Untertheorie

Axiom der Ersetzung

154


der Zermelo-Fraenkel’schen. Das Aussonderungsaxiom ist damit prinzipiell entbehrlich und manche Bücher wie z. B. [196] führen die ZFMengenlehre konsequenterweise mit nur 8 Axiomen ein. In den meisten Darstellungen wird das Aussonderungsaxiom trotzdem als Axiom aufgeführt und auch wir wollen uns dieser Gepflogenheit nicht widersetzen. Axiom der Fundierung (auch Axiom der Regularität) ∉ ∉ ∉

y

∉

∉

I

∀ x (x = 0/ → ∃ (y ∈ x) x ∩ y = 0) / „Jede (rückschreitende) Kette von Elementen, in welcher jedes Glied Element des vorangehenden ist, bricht mit endlichem Index ab bei einem Urelement. Oder, was gleichbedeutend ist: Jeder Teilbereich T enthält wenigstens ein Element t0 , das kein Element t in T hat.“ Ernst Zermelo, 1930

∉

Das Axiom der Fundierung besagt, dass wir in jeder nichtleeren Menge x ein Element y vorfinden können, dessen Elemente allesamt von den Elementen von x verschieden sind ( x ∩ y = 0). / Die Auswirkungen des Fundierungsaxioms sind größer, als es der erste Blick erwarten lässt. Zunächst halten wir fest, dass keine Menge existieren kann, die sich selbst als Element enthält (Abbildung 3.8). Um dies einzusehen, nehmen wir an, es gäbe eine Menge x1 mit x1 ∈ x1 . Dann würde die Menge x = {x1 } unmittelbar gegen das Fundierungsaxiom verstoßen, da x und x1 ein gemeinsames Element besäßen (wegen x1 ∈ x1 gilt x ∩ x1 = {x1 } = 0). / Das Fundierungsaxiom verhindert die Selbstinklusion sogar dann, wenn sie in Form einer Ringinklusion vorkommt, die sich über mehrere Hierarchiestufen erstreckt. Gäbe es tatsächlich Mengen x1 , x2 , x3 , . . . xn mit x1 ∈ x2 ∈ x3 ∈ . . . ∈ xn ∈ x1 so würde die Menge x = {x1 , x2 , x3 , . . . , xn } die Forderung des Fundierungsaxioms verletzen; jedes Element dieser Menge enthielte ein Element, das in x ebenfalls enthalten ist. Gleichermaßen unterbunden werden unendlich absteigende Inklusionsketten der Form x1

x2

x3 . . .

In diesem Fall steht die Menge {x1 , x2 , x3 , . . .} im Widerspruch zur Aussage des Fundierungsaxioms. Beachten Sie, dass die Umkehrung in die-

155


sem Fall nicht gilt. Unendlich aufsteigende Folgen

I Selbstinklusion

x1 ∈ x2 ∈ x3 . . . sind mit dem Axiom durchaus verträglich. Damit haben wir die Bedeutung dieses vergleichsweise mysteriös anmutenden Axioms aufgedeckt. Mit ihm ist wurde ein schwer zu überwindendes Bollwerk gegen die verschiedenen Formen der Russell’schen Antinomie in Stellung gebracht. Ist das errichtete Bollwerk unüberwindbar? Auch wenn nur wenige Mathematiker daran zweifeln, werden wir dies niemals mit unumstößlicher Gewissheit behaupten können. Warum dies so ist, wird Kapitel 4 klären. Dort werden wir herausarbeiten, dass sich die Widerspruchsfreiheit der ZF-Mengenlehre nicht mit den Mitteln der gewöhnlichen Mathematik beweisen lässt. Ganz nebenbei demonstriert das Fundierungsaxiom auch, wie wichtig die eingeführten Schreiberleichterungen sind, um die Lesbarkeit von Formeln sicherzustellen. Abbildung 3.9 zeigt, in welchem Gewand das Fundierungsaxiom erscheinen würde, wenn wir auf sämtliche Schreiberleichterungen verzichteten. Die wahre Bedeutung des Axioms ist jetzt kaum noch zu erkennen und verschwindet fast vollständig im Nebel der formalen Nomenklatur.

I

Axiom der Fundierung

∈ I Ringinklusion

∈

∈ ∈

∈ ∈

∈

I Unendlicher Abstieg

∋

∋

∋

∋

...

Abbildung 3.8: Das Fundierungsaxiom verbietet uns, Mengen zu definieren, die sich unmittelbar oder mittelbar selbst enthalten oder eine endlos absteigende Inklusionskette bilden. Hierdurch gelingt es, jene Antinomien von der ZF-Mengenlehre fernzuhalten, die die Mathematik einst in ihre größte Krise stürzten.

Ernst Zermelo (1871 – 1953)

„Jeder Teilbereich T enthält wenigstens ein Element t0 , das kein Element t in T hat.“ I

∀ x (x = 0/ → ∃ (y ∈ x) x ∩ y = 0) / ϕ(0) / := ∃ e ((∀ z z ∈ e) ∧ ϕ(e))

I

∃ e ((∀ z z ∈ e) ∧ ∀ x (x = e → ∃ (y ∈ x) x ∩ y = e)) ∃ (y ∈ x) ϕ := ∃ y (y ∈ x ∧ ϕ)

I

∃ e ((∀ z z ∈ e) ∧ ∀ x (x = e → ∃ y (y ∈ x ∧ x ∩ y = e))) ϕ(x ∩ y) := ∃ c (∀ b (b ∈ c ↔ b ∈ x ∧ b ∈ y) ∧ ϕ(c))

I

∃ c (∀ b (b ∈ c ↔ b ∈ x ∧ b ∈ y) ∧ ∃ e ((∀ z z ∈ e) ∧ ∀ x (x = e → ∃ y (y ∈ x ∧ c = e)))) x ∈ y := ¬(x ∈ y), x = y = ¬(x = y)

I

∃ c (∀ b (b ∈ c ↔ b ∈ x ∧ b ∈ y) ∧ ∃ e ((∀ z ¬(z ∈ e)) ∧ ∀ x (¬(x = e) → ∃ y (y ∈ x ∧ c = e))))

Abbildung 3.9: Ohne die vereinbarten Schreiberleichterungen wird das Fundierungsaxiom zu einem wahren Monster.

156


3.2.1.2

Das Auswahlaxiom

Es ist an der Zeit, uns dem zehnten und letzten Axiom der ZermeloFraenkel-Mengenlehre zuzuwenden: Dem Auswahlaxiom (Axiom of Choice, kurz AC). In der Vergangenheit wurde kontrovers diskutiert, ob AC zu den anderen Axiomen der Mengenlehre überhaupt hinzugenommen werden soll oder nicht. Bis heute ist die Diskussion nicht vollständig verebbt, und so haben wir es streng genommen mit zwei unterschiedlichen Mengenlehren zu tun: der ZF-Mengenlehre, bestehend aus den 9 Axiomen aus Abschnitt 3.2.1.1, und der ZFC-Mengenlehre (Zermelo-Fraenkel with Choice), die zusätzlich das Auswahlaxiom umfasst. Bevor wir uns im Detail damit befassen, welche Konsequenzen sich aus der Hinzunahme dieses in mancher Hinsicht mysteriösen Axioms ergeben, wollen wir zunächst seinen Inhalt offen legen: Axiom der Auswahl

I

(∀ (u, v ∈ x) (u = v → u ∩ v = 0) / ∧ ∀ (u ∈ x) u = 0) / → ∃ y ∀ (z ∈ x) ∃1 (w ∈ z) w ∈ y „Ist T eine Menge, deren sämtliche Elemente von 0/ verschiedene Mengen und untereinander elementfremd sind, so enthält ihre Vereinigung ∪T mindestens eine Untermenge S1 , welche mit jedem Element von T ein und nur ein Element gemein hat.“ Ernst Zermelo, 1930

Das Auswahlaxiom macht eine Aussage über alle Mengen x, I

deren Elemente paarweise disjunkte Mengen sind ∀ (u, v ∈ x) (u = v → u ∩ v = 0) /

I

und keines dieser Elemente die leere Menge ist. ∀ (u ∈ x) u = 0/

Für solche Mengen garantiert uns das Auswahlaxiom, dass wir aus jeder Menge z ∈ x ein Element auswählen und die gewählten Elemente anschließend in einer neuen Menge y zusammenfassen können. ∃ y ∀ (z ∈ x) ∃1 (w ∈ z) w ∈ y

Beachten Sie, dass uns das Auswahlaxiom lediglich die Existenz einer Auswahlmenge zusichert, aber nicht erklärt, wie wir diese konstruieren können. Das Axiom ist nicht konstruktiv. Des Weiteren wirkt es

157


mehr wie ein Theorem denn wie ein Axiom. Mit seiner sehr speziellen Aussage erweckt es den Anschein, als müsse es sich aus den anderen Axiomen als Konsequenz ergeben. Dass dem nicht so ist, haben Sie bereits in Kapitel 1.1 erfahren. Das Auswahlaxiom ist von den anderen Axiomen unabhängig und in ZF daher weder beweisbar noch widerlegbar [32, 65]. Genau wie im Fall der Kontinuumshypothese können wir das Auswahlaxiom, oder alternativ auch dessen Negation, zu den anderen Axiomen hinzufügen, ohne einen Widerspruch zu erhalten. Seiner Unbeweisbarkeit zum Trotz scheint das Auswahlaxiom dennoch eine intuitive Wahrheit auszudrücken. Warum sollte es nicht möglich sein, aus nichtleeren Mengen Elemente herauszunehmen? An die Auswahl selbst haben wir ja keinerlei Bedingung geknüpft, so dass beliebige Elemente unseren Zweck erfüllen. Und wenn eine Menge unendlich viele Elemente enthält? Umso besser! Offensichtlich sind jetzt mehr als genug Elemente vorhanden, um eines davon zu entnehmen. Nun, manchmal ist es ratsam, der eigenen Intuition zu misstrauen, insbesondere dann, wenn wir dem Begriff der Unendlichkeit gefährlich nahe kommen. Wir wollen das Auswahlaxiom kurz beiseite stellen und einen bekannten Begriff der Mathematik rekapitulieren: Den Begriff der Ordnung (vgl. Abbildung 3.10 und Abbildung 3.11).

Definition 3.4 (Ordnungsbegriffe)

I Beispiel 1: (Z \ {0}, ≺)

Beispiel 1: mit x ≺ y :⇔ x < y ∧ |x| = |y| -1 < 1

-2 < 2

-3 < 3 ...

...

Ordnung: Totale Ordnung: Wohlordnung:

Ja Nein Nein

I Beispiel 2: (Z, β1 > . . . > βn , so lässt sich die Zahl ε0 ebenfalls in Cantor’scher Normalform notieren. Als Ergebnis erhalten wir dann die Fixpunktdarstellung ε0 = ω ε0 , die wir schon kennen. In diesem Fall bringt die Cantor’sche Normalform keine Vereinfachung mehr mit sich; insbesondere ist eine Darstellung von ε0 in der Form (3.4) nicht mehr möglich. Tatsächlich ist ε0 die kleinste Zahl, für die diese Eigenschaft verloren geht.

183


Cantor hatte Ordinalzahlen entsprechend ihrer Mächtigkeit zu Zahlklassen zusammengefasst, auf denen er später die Kardinalzahltheorie errichtete. Beispielsweise fallen alle endlichen Ordinalzahlen in die erste Zahlklasse und alle abzählbaren in die zweite. ω ist die kleinste Ordinalzahl der zweiten Zahlklasse. Cantor bemerkte schnell, dass die Addition, die Multiplikation und die Potenzierung aus der jeweiligen Zahlklasse nicht herausführen. Endliche Mengen werden durch diese Operationen auf endliche Mengen abgebildet, abzählbare auf abzählbare und so fort. Noch faszinierender ist aber, dass wir durch die Anwendung dieser Operationen nicht jedes Element der jeweiligen Klasse erreichen können. Ausgehend von ω bleiben wir durch die Anwendung endlich vieler Additionen, Multiplikationen und Potenzierungen stets innerhalb von ε0 . Dennoch ist leicht einzusehen, dass es jenseits von ε0 weitere abzählbare Ordinalzahlen geben muss. Indem wir einfach weiterzählen, erhalten wir mit ε0 + 1, ε0 + 2 genau solche Zahlen. Erliegen Sie nicht der Versuchung, sich diese Zahlen bildlich vorzustellen! Bereits die Menge ε0 sprengt unsere Vorstellungskraft, und wir wollen die weitere Reise daher nur noch schemenhaft skizzieren. Wie in Abbildung 3.32 dargestellt, existieren jenseits von ε0 eine ganze Reihe anderer ε-Zahlen, die ebenfalls eine Lösung der Fixpunktgleichung ω x = x sind. Auch diese Zahlen gehören zur zweiten Zahlklasse, d. h., sie sind immer noch abzählbare Mengen. Es lässt sich beweisen, dass jede εα -Zahl, deren ordinaler Index selbst abzählbar ist, wiederum eine abzählbare Menge ergibt. Bewegen wir uns weiter zu noch größeren Zahlen, so erreichen wir irgendwann ω1 , den kleinsten Repräsentanten der dritten Zahlklasse. Sie entsteht aus der Vereinigung aller abzählbaren Ordinalzahlen und erfüllt als erste die Eigenschaft der Überabzählbarkeit. Es folgen die Zahlen ω2 , ω3 , . . ., und so können wir immer weiter gehen. So unvorstellbar groß die Zahl ε0 auch ist, gegen die Zahlen, die uns am Horizont erwarten, wirkt sie wie ein einsamer Tropfen im Ozean der Unendlichkeit. Wir wollen unsere Vorstellungskraft nicht weiter strapazieren. Zu weit haben uns die Ordinalzahlen bereits in ihr Reich gelockt, um das Gesehene auch nur im Ansatz noch intuitiv erfassen zu können. Auch in anderer Hinsicht sind unsere Kräfte am Ende. Bereits zwischen ε0 und ω1 können Zahlen liegen, deren Existenz in der ZermeloFraenkel-Mengenlehre weder bewiesen noch widerlegt werden kann. Es scheint, als verlieren wir jenseits von ε0 den Halt; ohne Augenlicht wandeln wir in einer Welt, in der wir uns der Existenz der ertasteten Dinge nicht mehr sicher sein können. Von den bezirzenden Lockrufen der Unendlichkeit wollen wir uns nicht weiter verführen lassen und beenden an dieser Stelle unsere Reise.

Ω … ωωωω... , ωωωω... + 1, . . .

…

ωωω , ωωω + 1, . . .

…

ωω , ωω + 1, . . .

…

ω2 , ω2 + 1, . . .

…

ω1 , ω1 + 1, . . .

…

εεεω , εεεω + 1, . . .

…

εεε1 , εεε1 + 1, . . .

…

εεε0 , εεε0 + 1, . . .

…

εε1 , εε1 + 1, . . .

…

εε0 , εε0 + 1, . . .

…

εω ω , εω ω + 1, . . .

…

εω 2 , εω 2 + 1, . . .

…

εω · 2 , εω · 2 + 1, . . .

…

εω+1 , εω+1 + 1, . . .

…

εω , εω + 1, . . .

…

ε1 , ε1 + 1, . . .

…

ε0 + 1, . . .

ε0

Abbildung 3.32: Einige Ordinalzahlen jenseits von ε0

184


3.2.2.3

Ordnungstypen und Wohlordnungen

In Abschnitt 3.2.2.1 haben wir herausgearbeitet, dass sich Ordinalzahlen über die Elementrelation ‚∈‘ ordnen lassen. Konkret hatten wir die folgende Vereinbarung getroffen: α < β :⇔ α ∈ β Es ist ein wichtiges Ergebnis der Ordinalzahltheorie, dass diese Definition zu einer Wohlordnung führt. Warum dies so ist, wollen wir kurz begründen. Zunächst einmal ist die Ordnung total, da wir zwei Ordinalzahlen α und β aufgrund der Trichotomieeigenschaft stets vergleichen können. Des Weiteren enthält jede nichtleere Menge von Ordinalzahlen ein minimales Element. Dies folgt unmittelbar aus der Tatsache, dass wir jede unendlich absteigende Kette der Form α1 > α2 > α3 > α4 . . . in eine äquivalente Kette der Form α1

α2

α3

α4 . . .

umschreiben können. Die Wohlordnungseigenschaft ist damit eine unmittelbare Konsequenz aus dem Fundierungsaxiom, das die Konstruktion unendlich absteigender ∈-Ketten unterbindet. M1

x

In der Tat ist der Zusammenhang zwischen Wohlordnungen und Ordinalzahlen noch weit größer ist. Dies unterstreicht der folgende Satz, den wir ohne formalen Beweis akzeptieren wollen:

y

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