Funktionentheorie erkunden mit Maple

Springer-Lehrbuch Wilhelm Forst · Dieter Hoffmann Funktionentheorie erkunden mit Maple R Zweite, überarbeitete und...

Author: Wilhelm Forst; Dieter Hoffmann

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Springer-Lehrbuch

Wilhelm Forst · Dieter Hoffmann

Funktionentheorie erkunden mit Maple R

Zweite, überarbeitete und aktualisierte Auflage

Prof. Dr. Wilhelm Forst Universität Ulm Deutschland

ISSN 0937-7433 ISBN 978-3-642-29411-2 DOI 10.1007/978-3-642-29412-9

Prof. Dr. Dieter Hoffmann Universität Konstanz Deutschland

ISBN 978-3-642-29412-9 (eBook)

Mathematics Subject Classification (2010): 97-01, 30-02, 32-01 Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.d-nb.de abrufbar. Springer Spektrum c Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2012 Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung, die nicht ausdrücklich vom Urheberrechtsgesetz zugelassen ist, bedarf der vorherigen Zustimmung des Verlags. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Bearbeitungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften.

Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier Springer Spektrum ist eine Marke von Springer DE. Springer DE ist Teil der Fachverlagsgruppe Springer Science+Business Media www.springer-spektrum.de

F¨ ur unsere Enkelkinder ´ Mat´ıas, Louise, Luca, Nicolas, Gabriel, Etienne und Léon

Inhaltsverzeichnis Vorwort zur ersten Auf lage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XI Vorwort zur zweiten Auf lage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .XVIII . 1

Die komplexen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.1 Historisches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.2 Definition und Modelle komplexer Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

Arithmetische Einf¨ uhrung der komplexen Zahlen . . . . .

4

Die komplexen Zahlen als Unterring der 2×2-Matrizen

5

Die komplexen Zahlen als Restklassenring . . . . . . . . . . .

6

Geometrische Einf¨ uhrung der komplexen Zahlen . . . . . .

6

1.3 Elementare Operationen und Regeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.4 Argument, geometrische Veranschaulichung . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.5 Wurzeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.6 Riemannsche Zahlenkugel und stereographische Projektion . . . 12 Maple Worksheets zu Kapitel 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2

Topologische Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.1 Konvergenz von Folgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.2 Topologische Begriffe f¨ ur Mengen und Punkte . . . . . . . . . . . . . . 41 2.3 Stetigkeit und Grenzwert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 Grundeigenschaften stetiger Abbildungen . . . . . . . . . . . . 44 Grenzwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 Satz von Weierstraß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.4 Reihen und Potenzreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 Potenzreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 Maple Worksheets zu Kapitel 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

VIII 3

Inhaltsverzeichnis Komplexe Differenzierbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 3.1 Definition und Grundregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 3.2 Differentiation von Potenzreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 3.3 Zusammenhang zwischen komplexer und reeller Differenzierbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen, Holomorphie 75 Konforme Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 3.4 Exponentialfunktion und Logarithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 Allgemeine Potenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 cosh, sinh, tanh, tan und Umkehrfunktionen . . . . . . . . . 81 Maple Worksheets zu Kapitel 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

4

Kurven, Kurvenintegrale und Hauptsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 4.1 Kurven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 4.2 Kurvenintegrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 4.3 Hauptsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 Hauptsatz (Cauchyscher Integralsatz, 1. Fassung) . . . . . 106 Fundamentalsatz der Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 Hauptsatz (Cauchyscher Integralsatz, 2. Fassung) . . . . . 114 Maple Worksheets zu Kapitel 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

5

Cauchysche Integralformel und Folgerungen . . . . . . . . . . . . . . 129 5.1 Integralformel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 5.2 Potenzreihenentwicklung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 5.3 Holomorphiekriterien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 Satz von Morera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 Identit¨ atssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 5.4 Integralformel f¨ ur die Ableitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 Absch¨ atzung f¨ ur Ableitungen und Koeffizienten . . . . . . 136 Satz von Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Satz von Weierstraß II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Satz u ¨ ber Gebietstreue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Prinzip vom Maximum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Differentiation unterm Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

137 138 139 140 141

Maple Worksheets zu Kapitel 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

Inhaltsverzeichnis 6

IX

Der globale Hauptsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 6.1 Umlaufzahl, Zyklen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 6.2 Der Hauptsatz f¨ ur nullhomologe Zyklen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 Maple Worksheets zu Kapitel 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

7

Laurent-Reihen, isolierte Singularit¨ aten, Residuensatz . . . . 181 7.1 Laurent-Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 7.2 Isolierte Singularit¨ aten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 Satz von Casorati-Weierstraß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 Berechnungsmethoden f¨ ur Residuen . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 7.3 Residuensatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 Berechnung von Integralen mit Hilfe von Residuen . . . . 190 7.4 Argumentprinzip und Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 Logarithmisches Residuum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 Satz von Rouché . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 Routh-Kriterium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 Maple Worksheets zu Kapitel 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

8

Konforme Abbildungen und ihre Anwendungen . . . . . . . . . . . 235 8.1 M¨ obius-Transformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235 8.2 Joukowski-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245 8.3 Harmonische Funktionen und das Dirichlet-Problem . . . . . . . . 247 Komplexe Potentiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249 Mittelwerteigenschaft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251 Prinzip vom Maximum, Poissonsche Integralformel . . . 252 Verpflanzungsprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254 Maple Worksheets zu Kapitel 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257

9

Die Γ-Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281 9.1 Zur Γ-Funktion im Reellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281 9.2 Die Gammafunktion im Komplexen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286 9.3 Stirling-Formel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290 Maple Worksheets zu Kapitel 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293

X

Inhaltsverzeichnis

10 Anhang zu Maple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299 10.1 Ein erster Einstieg in Maple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299 10.2 Der Befehl interface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306 10.3 Die Initialisierungsdatei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307 10.4 Der Befehl transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308 10.5 Eigene Pakete definieren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311 Symbolverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315 Namen- und Sachverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317 Index zu Maple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323 Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327

Vorwort zur ersten Auf lage

Es gibt viele gute und auch sehr gute B¨ ucher zur Funktionentheorie. Das vorliegende Buch versucht keineswegs, allein die Zahl solcher B¨ ucher zu erh¨ ohen; das Hauptziel wird aus dem Untertitel deutlich: mit Maple er” kunden“. Die Kombination einer soliden und ausgefeilten Einf¨ uhrung in die Funktionentheorie und zugeh¨ origer Arbeitsbl¨ atter mit Maple vom Feinsten macht den besonderen Reiz dieses Buches aus. Maple wird so mit den Inhalten der Funktionentheorie verkn¨ upft, daß der Schwerpunkt auf Erklärung und Visualisierung liegt, nicht als bloßes Anhängsel. Wir wollen Lernende, Lehrende und Praktiker gewinnen, ein solches Computeralgebrasystem im Alltag‘ intensiv einzusetzen. Anwender können stärker ’ f¨ ur Themen wie Funktionentheorie gewonnen werden, wenn Verbindungen zur praktischen Rechnung erkennbar sind. Das dauernde Wechselspiel zwischen Text und Maple-Worksheets‘, kurz MWSs, f¨ uhrt zu einer wesentlich ’ besseren Durchdringung des Stoffes. Wir hoffen, daß etwas von unserer Begeisterung auf die Leser u ¨ berspringt, und Lehrende neue Impulse f¨ ur die Gestaltung ihrer Vorlesungen mitnehmen. Es wird eine allgemeine Einf¨ uhrung in die Funktionentheorie gegeben f¨ ur Mathematiker, Physiker und Ingenieure — und allgemeiner f¨ ur Studierende mit Mathematik als Nebenfach. Dabei haben wir durchaus auch BachelorStudiengänge im Auge. T. Needham schreibt in [Nee], daß Mathematik oft so dargeboten werde wie Musik, bei der man nur Partituren liest, also sie weder spielt noch hört. Er betont die Kraft der Visualisierung gerade bei der Funktionentheorie. Bei uns wird zus¨ atzlich gezeigt, wie man solche Dinge relativ leicht selbst machen kann. In der Funktionentheorie ist dies besonders geboten: Der Verlauf einer reellwertigen Funktion einer reellen Variablen kann gut durch den Graphen in der (x, y)-Ebene (R2 ) veranschaulicht werden. Bei einer komplexwertigen Funktion f einer komplexen Variablen z ist dies nicht ohne weiteres möglich, da dies uhren w¨ urde. Man behilft sich meist damit, daß man zwei Ebenen auf den R4 f¨ — eine z-Ebene und eine w-Ebene — heranzieht. In der ersten markiert man Punkte z, in der zweiten die zugeordneten Punkte w = f (z). Insbesondere durch die Bilder charakteristischer Kurven‘, die z durchläuft, bekommt man ’ so eine gute Vorstellung von f . Unser Buch kann gewinnbringend f¨ ur alle Studiengänge nach einer zweisemestrigen Einf¨ uhrung in die Analysis, also ab dem 3. Studiensemester herangezogen werden. Dem Lernenden werden mathematisch saubere‘ und ’

XII


leistungsf¨ ahige Methoden an die Hand gegeben, was die praktische Arbeit wesentlich erleichtert. Der Lehrende findet ein solides und ansprechendes Buch, das er zur Orientierung oder als Begleittext ohne Vorbehalte empfehlen kann. Gleich zu Beginn sei ausdr¨ ucklich gesagt: Vokabeln wie etwa Leser‘ sollten ’ stets als Leserin und Leser‘ verstanden werden. Sprachliche Spielereien wie ’ ¨ LeserInnen‘ oder der (die) Leser(in)‘ und Ahnliches finden wir unschön und ’ ’ wenig sinnvoll. Auch wenn wir das nicht fortw¨ ahrend betonen: Die weiblichen Leser des Buches sind uns herzlich willkommen. Das vorliegende Buch kann den Lernenden von Beginn an begleiten und Grundlage oder Erg¨ anzung zu der Einf¨ uhrung in die Funktionentheorie im Grundstudium bieten. Es vermittelt eine gute Basis f¨ ur die Beschäftigung mit weiterf¨ uhrenden oder allgemeineren Themen und vor allem f¨ ur die vielfältigen Anwendungen. Das Buch kann dem Lehrenden, der die zu präsentierenden Themen und Methoden st¨ arker heutigen computerunterst¨ utzten Möglichkeiten anpassen will, eine gute Hilfe und zuverl¨ assiger Wegweiser sein. Wir haben uns immer wieder bem¨ uht, dem Leser die Ideen nahezubringen, ihn zum Mitmachen zu animieren. Dies hat die Darstellung stark geprägt. Zu allen Themen finden sich im Text zahlreiche, meist vollständig durchgerechnete und mit Bedacht ausgew¨ ahlte Beispiele. Die große F¨ ulle der ausgef¨ uhrten Beispiele zeigt ausgiebig das Wie“, der sonstige Text erläutert ” das Warum“. Die MWSs zeigen dann, wie man die Dinge mit einem Com” puteralgebrasystem umsetzen kann. Sie geben vielfältige Anregungen zum selbst¨ andigen Experimentieren. Instruktive und sorgf¨ altig ausgew¨ ahlte Abbildungen tragen — auch schon im Textteil — zur Veranschaulichung des Stoffes bei und erleichtern so das Verst¨ andnis. Manche der Graphiken sind dabei von ästhetischem Reiz. Auf ein detailliertes Durchgehen der Gliederung des Buches verzichten wir. ¨ Das ausf¨ uhrlich gehaltene Inhaltsverzeichnis gibt vorweg gen¨ ugend Ubersicht. Ein erstes Durchbl¨ attern d¨ urfte zur Lekt¨ ure des gesamten Buches verf¨ uhren. Es seien nur einige Besonderheiten des Textes erwähnt: • Anders als in vielen sonstigen Lehrb¨ uchern f¨ ur das dritte Studiensemester wird der Stoff an dem orientiert, was in einem guten halben Semester — meist neben einer Einf¨ uhrung in die Gew¨ ohnlichen Differentialgleichungen — machbar ist. • Exemplarisch werden Anwendungsbeispiele aus dem Ingenieurbereich unter verschiedenen Aspekten angesprochen. ¨ • Der Satz von Rouch´ e wird durch ausf¨ uhrliche Uberlegungen zum RouthKriterium erg¨ anzt.


XIII

• M¨ obius-Transformationen werden nicht als Selbstzweck behandelt, sondern mit dem Ziel, auch ihre Einsatzm¨ oglichkeit bei der Lösung des Dirichlet-Problems aufzuzeigen. • Als weitere konforme Abbildung gehen wir kurz auf die JoukowskiTransformation ein. Zur inhaltlichen und didaktischen Konzeption ist folgendes zu sagen: Es soll den Lernenden ab dem dritten Semester begleiten und wird sicher auch sp¨ ater noch zuverl¨ assiger Ratgeber und Nachschlagemöglichkeit sein. Es ist durchaus auch zum Selbststudium geeignet; denn es ermuntert fortwährend zu aktivem Mitdenken und eigenem Tun. Dabei ist die mathematische Darstellung durch die Computerrealisierung begleitet, dennoch sauber von ihr getrennt. Die Darstellung ist weit entfernt davon, eine bloße Sammlung von Kochrezepten zu sein. Gerade die mathematisch strenge Herleitung zentraler Ideen und durchgehend pr¨ azise Formulierung und Darstellung fördern entscheidend Verst¨ andnis und Durchblick und geben so erst die gew¨ unschte Sicherheit bei der Anwendung. An wenigen Stellen, wo ein vollständiger strenger Beweis uns nicht ratsam schien, wird ein Literaturverweis gegeben. Einige Routine¨ uberlegungen und Erg¨ anzungen sind nur beispielhaft ausgef¨ uhrt oder auch ganz ohne Beweis notiert, damit die Darstellung nicht langatmig wird. Zu Maple Computeralgebrasysteme wie Maple k¨ onnen mit innovativen Ansätzen Lehre, Lernen und den Gebrauch von Mathematik nachhaltig reformieren oder gar revolutionieren. Wir stehen erst am Anfang einer rasanten Entwicklung. Der Stoff kann effizienter und weniger fehleranfällig erarbeitet werden, als dies allein mit Bleistift und Papier bzw. Kreide und Tafel möglich ist. Vor allem k¨ onnen viel komplexere Beispiele bearbeitet und visualisiert werden. Die ausgef¨ uhrten und didaktisch aufbereiteten Worksheets geben Vorschläge und Anregungen, die selbst¨ andig erg¨ anzt und modifiziert werden können. Maple ist dabei sicher kein Rundum-Sorglos-Paket. Wir haben an manchen Stellen deshalb auch auf Schw¨ achen kritisch hingewiesen. Wie bei vielen Dingen im Computerbereich, w¨ unschten sich die Nutzer auch hier ruhigere und ur deutlich ausgereiftere Produkt-Zyklen‘. Neben faszinierenden Dingen daf¨ ’ stehen auch solche, bei denen man sich die Haare rauft. Wir nutzen Maple nicht nur, wie oft zu sehen, sondern gestalten damit und setzen Ideen um, hier speziell der Funktionentheorie. Wir sind u ¨ berzeugt, mit diesem Buch einen neuen Qualitätsmaßstab zu setzen, was f¨ ur die Akzeptanz von Computeralgebrasystemen im Hochschulbereich — auch ausbauf¨ ahig in Richtung e-learning — förderlich sein wird.

XIV


Nat¨ urlich soll niemand m¨ uhsam Maple-Code abtippen. Diesen findet man — sp¨ ater auch mit Aktualisierungen — u ¨ ber http://www.springer.com/mathematics/analysis/book/978-3-642-29411-2 . An die Lehrenden Das Konzept des Buches basiert auf unseren langjährigen Erfahrungen mit recht verschiedenartigen Veranstaltungen aus dem Gesamtspektrum der Analysis. Neben vielen Vorlesungen f¨ ur Mathematik- und Physikstudenten der Anfangssemester bis hin zum Aufbaustudium an den Universitäten Konstanz und Ulm haben wir beide oft auch Serviceveranstaltungen abgehalten und so Gesp¨ ur daf¨ ur entwickelt, was außerhalb des Elfenbeinturms‘ benötigt wird. ’ Gerade durch die Anforderung, Mathematik auf sehr verschiedenen Niveaus bei unterschiedlichen Ausrichtungen und zum Teil noch deutlich auseinander liegenden Eingangsvoraussetzungen zu lehren, ist im Laufe der Zeit vieles mehrfach u attet, verbessert und ergänzt worden und ¨ berarbeitet, gegl¨ auf diese Weise ein — mathematisch und didaktisch — u ¨ berzeugendes und bew¨ ahrtes Konzept entstanden. Leistungsf¨ ahige und zugkräftige Methoden erwachsen in dieser Darstellung aus dem Zusammenspiel zwischen mathematisch richtiger‘ Sichtweise, die Eleganz und Transparenz nach sich zieht, und ’ Anwendungsorientierung. Was die Kombination der Funktionentheorie mit Maple angeht, wird von uns Neuland beschritten, wo sich viele noch unwohl f¨ uhlen oder auch u ¨ berhaupt nicht auskennnen. Die Skepsis mancher Kollegen ist auch uneingestandene Angst vor dem Unbekannten und noch nicht Vertrauten. Wir wollen besonders auch diejenigen Kollegen ansprechen, sie ermuntern und ihnen Hilfen geben, die bisher dem Einsatz von Computeralgebrasystemen auch in der Lehre eher skeptisch und distanziert gegen¨ uberstehen. Die Möglichkeiten, das Lernen und Begreifen von Mathematik durch ein solches System zu unterst¨ utzen, sind faszinierend — nur wissen das viele Kollegen noch gar nicht und verschanzen sich deshalb hinter Beckmesserei. Wir sind u ¨ berzeugt, daß unser Buch langfristig neben den Klassikern der Funktionentheorie einen festen und besonderen Platz im Angebot einnehmen wird. Im Vergleich etwa zu Fischer/Lieb, Conway oder Ahlfors liegen mathematisches Niveau und Stoffumfang hier etwas niedriger. Es ist kein Buch allein f¨ ur die Kollegen, sondern vor allem f¨ ur die Lernenden, aber sicher kein N¨ urnberger Trichter. Die Lernenden werden von uns ein St¨ uck des Weges an der Hand gef¨ uhrt, sie bekommen die Schönheiten am Wegesrand gezeigt, sie werden allerdings nicht in einer Sänfte getragen! Da sich das Buch nicht ausschließlich an Studierende der Mathematik oder auch Physik und sicher nicht an Spezialisten wendet, hat es — in Umfang, Tiefe und Stoffauswahl — deutlich andere und wesentlich bescheidenere


XV

Ziele als etwa die Darstellungen von Freitag/Busam, Remmert, Behnke/Sommer oder auch Hurwitz/Courant. Diese empfehlen wir interessierten Studenten, insbesondere auch wegen der bewundernswerten F¨ ulle der Geschichtsbez¨ uge und Anwendungen, zur ergänzenden und weiterf¨ uhrenden Lekt¨ ure. F¨ ur den Gebrauch zu und neben Vorlesungen haben wir insgesamt einen realistischen Zeitplan im Auge und mußten uns so beschränken! An die Lernenden Mathematik lernt man — wie fast alles im Leben — vor allem durch eigenes Tun. Man sollte beim Durcharbeiten eines Mathematikbuches Bleistift, Papier und einen (großen) Papierkorb — und in diesem speziellen Fall einen Computer mit Maple — parat haben und fleißig nutzen. Ausdr¨ ucklich sei gesagt: Die L¨ ange der Darstellung eines einzelnen Themas in der Vorlesung oder in einem Buch entspricht nur selten dem zeitlichen Aufwand, der f¨ ur das Durcharbeiten bis zum wirklichen Verständnis erforderlich ist. Zum Gebrauch des Buches

√ soll das Ende eines Beweises optisch hervorheben. Mit “ haben wir ge” ¨ legentlich Routine-Uberlegungen abgehakt‘. Manche Dinge haben wir grau ’ oder farbig eingerahmt, um sie optisch st¨ arker hervorzuheben. Nat¨ urlich geh¨ ort etwa bei Symbolen oder Notierungsweisen der Rahmen nicht dazu. In Beweisen haben wir linke Seite‘ und rechte Seite‘ mit .S.‘ bzw. r.S.‘ ’ ’ ’ ’ abgek¨ urzt. Œ‘ steht f¨ ur Ohne Einschränkung“. ’ ” H¨ aufig haben wir einzelne W¨ orter oder Formulierungen mit einfachen Anf¨ uhrungsstrichen versehen: Dabei handelt es sich meist um eigentlich noch zu pr¨ azisierende Dinge. Die Beispiele im Text sind abschnittsweise numeriert. Bemerkungen, Sätze und Folgerungen sind gemeinsam kapitelweise numeriert. Es kann also eine Bemerkung 3 auftreten, ohne daß es Bemerkung 1 und 2 gibt. Innerhalb eines Kapitels zitieren wir mit der jeweiligen Nummer. Mit Satz n.m hingegen zitieren wir Satz m aus Kapitel n aus einem anderen Kapitel oder den MWSs heraus. Animationen, die im Buch nur auszugsweise zu sehen sind, haben wir am Rande durch das Symbol gekennzeichnet. Durch die Daumenindizes k¨ onnen die einzelnen Kapitel schnell aufgefunden werden. Wenn wir z = x + i y f¨ ur z ∈ C schreiben, meinen wir implizit x, y ∈ R, ohne das an allen Stellen zu vermerken. Ebenso bedeutet ν ≥ N f¨ ur N ∈ N0 automatisch‘ auch ν ∈ N0 . ’

XVI


Zum Maple-Layout Da die recht einfache Darstellung u ¨ber Export LATEX‘ unter Maple bei uns ’ doch viele W¨ unsche — f¨ ur eine Buchwiedergabe — offenließ, haben wir einen eigenen, uns voll befriedigenden Stil f¨ ur die Ein- und Ausgabe von Maple gew¨ ahlt und dabei das m¨ ogliche Zusammenspiel Maple-LATEX-PostScript genutzt. Um ein besseres Schriftbild zu erhalten, haben wir manche Ausgaben geringf¨ ugig gesch¨ ont‘, z. B. Klammern weggelassen oder hinzugef¨ ugt, manch’ mal etwa ϕ statt Φ oder P1 statt P 1 geschrieben. Um Platz zu sparen, sind oft Maple-Ausgaben (auch Graphiken) nebeneinander plaziert. Titel von Graphiken wurden durchgehend im Text gesetzt. Dank Gern benutzen wir diese Gelegenheit, um noch einmal all denen zu danken, die uns bei der Erstellung des Buches unterst¨ utzt haben. Nur einige davon wollen wir namentlich besonders erw¨ ahnen: Das gesamte Manuskript (Text und MWSs) haben durchgesehen Markus Sigg und Matthias S¨ ohn. Jochen Fischer hat den gesamten Textteil Korrektur gelesen. Sie waren uns mit ihrer Sorgfalt eine große Hilfe, gelegentlich sehr kritisch und mahnend, immer der Sache dienend. Die Verantwortung f¨ ur eventuell noch verbliebene Fehler liegt nat¨ urlich allein bei uns. Gerlinde Adam und Natalia Fibich haben insbesondere Symbol-, Namenund Sachverzeichnis vorbereitet. Simon Huhn hat u. a. verschiedene wwwPr¨ asentationen selbst¨ andig erstellt. Daniel Fleischer hat schöne Ideen eingebracht und D.H. einige Arbeiten abgenommen und diese sehr selbständig ausgef¨ uhrt. nne ler nter rne ich r le k le hte en ati k leic er lern em ati leicht en aaththemmatik lern r MM athe matik leichte M the Ma Mathematik leichter lernen Ma thematik M at M leic he M ath m hter lern ath em atik en em ati leicht ati k leic er lern en k le hte r le ich rne ter nler ne n-

Unser Projekt Mathematik leichter lernen — mit Maple“, ” nne ler nter rne ich r le k le hte ati k leic em ati aaththem MM

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bei dem wir uns langfristig vorstellen, große Teile des Grundstudiums durch Vorlesungstexte abzudecken, die mit Maple begleitet, aufbereitet und wesentlich vertieft werden, hat schon vielf¨ altige Anerkennung gefunden: W.F. hat von der Universit¨ at Ulm einen Lehrbonus f¨ ur hervorragende Leistungen in der Lehre (Einsatz von Maple) erhalten. D.H. hat drei Jahre lang Projektmittel vom Ausschuß f¨ ur Lehrfragen und Weiterbildung (Alw) und dem Senat der Universit¨ at Konstanz f¨ ur innovative Initiativen in der Lehre erhalten. Rainer Janßen verdankt D.H. als gutem Freund Anregungen, Ermutigung und manchen Rat, was das Arbeitsumfeld angeht.


XVII

Besonderen Dank schuldet er noch Matthias S¨ ohn, der mit Umsicht, Sachkenntnis und selbst¨ andig ihm Dinge wie Computerauswahl, Konfigurierung und viele ¨ ahnliche Arbeiten abgenommen hat. In der Endphase hat uns noch Matthias Auer unterst¨ utzt. Ein Buch-Projekt wie dieses ist nicht ohne gute Computer-Arbeitsbedingungen zu realisieren. Hierf¨ ur danken wir unserem Ulmer Kollegen Franz Schweiggert sowie den Mitarbeitern seiner Abteilung. Von diesen sei Andreas Borchert namentlich erw¨ ahnt. Er hat bei der Computerverbindung Konstanz-Ulm bereitwillig und mit bewundernswerter Sachkenntnis Starthilfe gegeben und uns immer wieder mit Rat und Tat unterst¨ utzt. Wir danken Sabine Bormann-Seyffart und Thomas Richard von der Firma Scientific Computers GmbH f¨ ur wertvolle Unterst¨ utzung bei der Arbeit mit Maple 7. Nicht zuletzt gilt unser besonderer Dank beim Springer-Verlag Clemens Heine (Editor Mathematics and Computing), der unserem Projekt von Beginn an aufgeschlossen gegen¨ uberstand, das Buch in das Verlagsprogramm aufgenommen und dabei die farbliche Gestaltung ermöglicht hat. Unterst¨ utzt wurde er von Agnes Herrmann und Claudia Kehl. Wir danken unseren Ehefrauen, die besonders in der langen Schlußphase der Bucherstellung viel Geduld mit ihren gestreßten und nur noch eingeschränkt alltagstauglichen M¨ annern aufbringen mußten. ´ D.H. dankt noch L´ eon und Etienne, die ihm nachdr¨ ucklich zeigten — durch Weinen und Lachen —, daß es ungleich wichtigere Dinge im Leben gibt als ein noch so sch¨ ones Mathematikbuch. Zum Schluß m¨ ochten wir allgemein, besonders aber auch den Fachleuten und Kennern, sagen: Wir w¨ urden uns u onliche Reaktionen sehr freuen. ¨ ber pers¨ Verbesserungsvorschl¨ age, Hinweise auf Fehler(chen), Anregungen und konstruktive Kritik sind willkommen — aber auch Lob nehmen wir gerne entgegen! Getr¨ ostet haben wir uns bei der scheinbar nicht enden wollenden Arbeit am Manuskript mit: So eine Arbeit wird eigentlich nie fertig, man muß ” sie f¨ ur fertig erklären, wenn man nach Zeit und Umständen das möglichste getan hat.“ J. W. von Goethe, Italienische Reise, 16. März 1787

Ulm Konstanz 3. Januar 2002

Wilhelm Forst Dieter Hoffmann

Vorwort zur zweiten Auf lage

Das mathematische und didaktische Konzept der ersten Auflage dieses Buches ist insgesamt freundlich aufgenommen und von vielen Seiten sehr gelobt worden. Besonderen Gefallen an unserer Darstellung haben all die Lernenden und Lehrenden gefunden, die die zu behandelnden Themen und Methoden stärker heutigen computerunterst¨ utzten M¨ oglichkeiten anpassen wollen und dabei sch¨ atzen, wie man auch schwierige Dinge mit dem Computer relativ einfach begreifbar‘ machen kann. Die Akzeptanz von Computeralgebrasyste’ men im deutschsprachigen Hochschulbereich ist aber sicher noch ausbaufähig. Nun ist eine Neuauflage notwendig geworden. In ihr wurde die Gesamtkonzeption nicht ver¨ andert, insbesondere das Bem¨ uhen, dass Studenten auch eine Idee davon vermittelt bekommen, wie komplexe Funktionen aussehen‘. ’ Die enge Verzahnung mit dem Computeralgebrasystem Maple als mächtigem Werkzeug bietet vielf¨ altige Vorteile f¨ ur den Lernprozess. Es wurden fast alle Abbildungen sorgf¨ altig u ¨ berarbeitet oder neu erstellt. Durch die Umstellung von Maple 7 auf Maple 15 waren die Maple-Worksheets‘ ’ zu aktualisieren. Das neue Druckverfahren hat zudem zu einer weitgehenden Umgestaltung des Layouts gef¨ uhrt. Wir danken Sabine Bormann, Maplesoft Europe GmbH, f¨ ur die Bereitstellung von Maple 15 und Thomas Richard als kompetentem Ansprechpartner f¨ ur wertvolle Unterst¨ utzung bei der Arbeit mit Maple 15. Wer an unserer Darstellung Gefallen findet, sei auch auf [Fo/Ho] hingewiesen.

Ulm Konstanz 1. M¨ arz 2012

Wilhelm Forst Dieter Hoffmann

Kapitel 1

Die komplexen Zahlen 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6

Historisches Definition und Modelle komplexer Zahlen Elementare Operationen und Regeln Argument, geometrische Veranschaulichung Wurzeln Riemannsche Zahlenkugel und stereographische Projektion

1.1 Historisches Ein wichtiger Ausgangspunkt f¨ ur die Entwicklung der komplexen Zahlen war das Auftreten des Symbols √ −1 in dem Werk Ars Magna“ (1545) von Geronimo Cardano (1501–1576). ” Das Problem war, zwei (reelle?) Zahlen x1 , x2 mit x1 +x2 = 10, x1 ·x2 = 40 zu finden, d. h. die quadratische√Gleichung x2 − 10x + 40 = 0 zu lösen. Formales √ Ausrechnen ergab √ x1,2 = 5± −1 15, wobei Cardano Schwierigkeiten hatte, dem Symbol −1 eine konkrete Bedeutung zu geben. Auch bei der L¨ osung kubischer Gleichungen, reduziert auf die spezielle Form √ x3 + px + q = 0 , trat −1 auf. Die Substitution x = u + v ergibt u3 + v 3 + (3uv + p)(u + v) + q = 0 . Diese Gleichung ist sicher erf¨ ullt, wenn u3 + v 3 = −q, 3uv = −p gilt. Wegen 3 3 2 3 3 2 3 3 (u − v ) = (u + v ) − 4u v folgt dann q 2 p 3 + u3 − v 3 = 2 2 3 bzw. q 2 p 3 q 2 p 3 q q 3 3 u = − + + , v = − − + . 2 2 3 2 2 3

W. Forst, D. Hoffmann, Funktionentheorie erkunden mit Maple, Springer-Lehrbuch, DOI 10.1007/978-3-642-29412-9_1, © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2012

2

Kapitel 1

Die komplexen Zahlen

Kennt man eine L¨ osung u bzw. v dieser beiden Gleichungenmit u v√ = −p/3, √ so erh¨ alt man mit Hilfe der dritten Einheitswurzel ω := 12 − 1 + −1 3 durch die sogenannten Cardanischen Formeln x1 = u + v , x2 = u ω + v ω 2 , x3 = u ω 2 + v ω die L¨ osungen x1 , x2 , x3 der kubischen Gleichung. Rafael Bombelli (1526–1572) fand so f¨ ur die Gleichung x3 − 15x − 4 = 0 auf dem Umweg u ¨ ber die komplexen Zahlen √ √ √ √ 3 3 2 + 11 −1 = 2 + −1 , v = 2 − 11 −1 = 2 − −1 u = die reellen L¨ osungen x1 = 4, x2 = −2 −

√ √ 3, x3 = −2 + 3 .

Leonhard Euler (1707–1783) f¨ uhrte f¨ ur die imaginäre Einheit heute u ¨bliche Schreibweise i

√ −1 die

ein und stellte im Jahre 1748 u ¨ ber die Beziehung eix = cos x + i sin x einen Zusammenhang zwischen den wichtigsten elementaren Funktionen her. Dies alles f¨ orderte eine zunehmende Akzeptanz der komplexen Zahlen. Man rechnete mit ihnen, ohne dass die Rechenregeln begr¨ undet waren, wie mit den reellen Zahlen und begn¨ ugte sich damit, die Ergebnisse nachträglich zu verifizieren. Caspar Wessel (1745–1818) und Jean-Robert Argand (1768–1822) brachten im Jahre 1797 bzw. 1806 erste Begr¨ undungen auf geometrischem Wege f¨ ur das Rechnen mit komplexen Zahlen. Unabhängig davon f¨ uhrte Carl Friedrich Gauss (1777–1855) im Jahre 1811 die nach ihm benannte Gaußsche Zahlenebene ein. Endg¨ ultige Anerkennung fanden die komplexen Zahlen durch die rein arithmetische Begr¨ undung als geordnete Paare reeller Zahlen durch William Rowan Hamilton (1805–1865) im Jahre 1835, wie man sie heute — als einfache konkrete mathematische Objekte — meist schon in den Grundvorlesungen im ersten Semester kennenlernt. Die Schwierigkeiten, die die Mathematiker fr¨ uher mit den komplexen Zahlen hatten, zeigen sich noch in den Bezeichnungen komplex“ und imaginär“. ” ” Man vergleiche hierzu etwa Euler, Vollst¨ andige Anleitung zur Algebra“, ” Kapitel 13: Weil nun alle möglichen Zahlen, die man sich nur immer vorstellen mag, ” entweder größer oder kleiner als 0, oder etwa 0 selbst sind, so ist klar, daß die Quadratwurzeln von Negativzahlen nicht einmal zu den möglichen Zahlen gerechnet werden können. Folglich m¨ ussen wir sagen, daß dies unmögli-

1.2

Definition und Modelle komplexer Zahlen

3

che Zahlen sind. Und dieser Umstand leitet uns auf den Begriff von solchen Zahlen, welche ihrer Natur nach unmöglich sind, und gewöhnlich imaginäre oder eingebildete Zahlen genannt werden, weil sie bloß in der Einbildung vorhanden sind.“ Auch in die nicht-mathematische Literatur hat dies vielfältig Eingang gefunden. Ein Beispiel dazu aus Robert Musil, Die Verwirrungen des Zöglings ” Törleß“: . . . Ja. Das ist doch gar nicht so schwer. Man muß nur festhalten, daß ” die Quadratwurzel aus negativ Eins die Rechnungseinheit ist.“ Das ist es aber gerade. Die gibt es doch gar nicht. Jede Zahl, ob sie nun ” positiv ist oder negativ, gibt zum Quadrat erhoben etwas Positives. Es kann daher gar keine wirkliche Zahl geben, welche die Quadratwurzel von etwas Negativem wäre.“ Ganz recht ; aber warum sollte man nicht trotzdem versuchen, auch bei ” einer negativen Zahl die Operation des Quadratwurzelziehens anzuwenden ? Nat¨ urlich kann dies dann keinen wirklichen Wert ergeben, und man nennt doch auch deswegen das Resultat nur ein imaginäres. Es ist so, wie wenn man sagen w¨ urde: hier saß sonst immer jemand, stellen wir ihm also auch heute einen Stuhl hin ; und selbst wenn er inzwischen gestorben wäre, so tun wir doch, als ob er käme.“ ........................ Wie soll ich das ausdr¨ ucken ? Denk doch nur einmal so daran : In solch ” einer Rechnung sind am Anfang ganz solide Zahlen, die Meter oder Gewichte oder irgend etwas anderes Greifbares darstellen können und wenigstens wirkliche Zahlen sind. Am Ende der Rechnung stehen ebensolche. Aber diese beiden hängen miteinander durch etwas zusammen, das es gar nicht gibt. Ist das nicht wie eine Br¨ ucke, von der nur Anfangs– und Endpfeiler vorhanden sind und die man dennoch so sicher u ¨berschreitet, als ob sie ganz dast¨ unde? F¨ ur mich hat so eine Rechnung etwas Schwindliges: als ob es ein St¨ uck des Weges weiß Gott wohin ginge. Das eigentlich Unheimliche ist mir aber die Kraft, die in solch einer Rechnung steckt und einen so festhält, daß man doch wieder richtig landet.“ Schnell stellte sich — nach dem z¨ ogernden Beginn — heraus, dass das Rechnen mit komplexen Zahlen sehr oft auch wertvolle reelle Ergebnisse lieferte, und zwar sowohl neue als auch schon bekannte, letztere oft auf eleganterem Weg; zudem wurde manche reelle Aussage erst durch die Einbeziehung komplexer Zahlen wirklich‘ verstanden. ’

1.2 Definition und Modelle komplexer Zahlen Im Folgenden werden wir verschiedene Modelle f¨ ur komplexe Zahlen kennenlernen. Mithin ist es zun¨ achst nicht korrekt, von den komplexen Zahlen zu

4

Kapitel 1


sprechen. Diese Modelle stimmen jedoch im wesentlichen u ¨berein. Genauer bedeutet dies: Ein K¨ orper der komplexen Zahlen ist ein kommutativer Körper, der die reellen Zahlen R als Teilk¨ orper enth¨ alt, in dem ein Element i mit i2 = −1 existiert, und dessen Elemente sich alle in der Form a + ib mit reellen Zahlen a, b schreiben lassen. F¨ ur Mathematiker: Ein (kommutativer) Körper C = (C, +, ·) heißt genau dann Körper der komplexen Zahlen“, wenn: ” (1) R ⊂ C , pr¨ aziser bis auf Isomorphie‘ ’ (2) Es existiert i ∈ C mit i2 = −1 . (3) C = {a + ib : a, b ∈ R} =: R + iR Bis auf Isomorphie‘ bedeutet: Es existiert ϕ : R −→ C injektiv mit: ’ ϕ(a + b) = ϕ(a) + ϕ(b) und ϕ(a · b) = ϕ(a) · ϕ(b) (a, b ∈ R). ( Einbettung“) ” Es folgen offenbar ϕ(0) = 0 und ϕ(1) = 1 .

Elemente aus C heißen komplexe Zahlen“. ” Mit dieser Definition ist nat¨ urlich noch nichts u ¨ ber die Existenz eines Körpers der komplexen Zahlen gesagt! Es gibt nun verschiedene Möglichkeiten, die‘ ’ komplexen Zahlen einzuf¨ uhren und damit den Existenznachweis zu f¨ uhren. Darum geht es im Folgenden: Arithmetische Einf¨ uhrung der komplexen Zahlen Wir erinnern an die u uhrung in der Analysis (man vergleiche dazu ¨ bliche Einf¨ z. B. [Wa I, S. 166]): In C := R2 betrachten wir die beiden Operationen (x, y) + (u, v) := (x + u, y + v) (x, y) · (u, v) := (xu − yv, xv + yu)

( Addition“) , ” ( Multiplikation“) . ” Dann ist (C, +, ·) ein (kommutativer) Körper mit Nullelement (0, 0) und Einselement (1, 0). Alle Regeln, die man in der Analysis f¨ ur die reellen Zahlen allein mit Hilfe der K¨ orperaxiome herleitet, gelten daher auch in C . Definitionen und Bezeichnungen k¨ onnen so entsprechend u ¨bernommen werden. Hier ist die Einbettung durch die Abbildung ϕ : R a −→ (a, 0) ∈ C gegeben. Daher k¨ onnen wir die reelle Zahl a mit der komplexen Zahl ϕ(a) = (a, 0) identifizieren‘, d. h. ϕ(a) und a werden nicht mehr unterschieden. In die’ sem Sinne ist R Teilkörper von C . Mit i := (0, 1) hat man dann i2 = (0, 1) · (0, 1) = (−1, 0) = −1 . folgt f¨ ur a, b ∈ R: (a, b) = (a, 0) + (0, b) = (a, 0) + (0, 1)(b, 0) = a + ib .

Damit

1.2


5

Das Rechnen mit komplexen Zahlen l¨ asst sich damit — im Gegensatz zu Cardanos Zeiten jetzt wohlbegr¨ undet — zur¨ uckf¨ uhren auf das Rechnen mit reellen Zahlen und i unter Beachtung von i2 = −1 . Die komplexen Zahlen als Unterring der 2×2-Matrizen

a −b In C := : a, b ∈ R nehmen wir als + und · die Addition und b a Multiplikation von Matrizen (linear-algebraische Einf¨ uhrung). Aufgrund von

a −b c −d a + c −(b + d) + = und b a d c b+d a+c

a −b c −d ac − bd −(ad + bc) · = b a d c ad + bc ac − bd f¨ uhren diese beiden Operationen nicht aus C heraus; C ist also zunächst ein Unterring der reellen 2×2-Matrizen. Die Kommutativität der Multiplikation in C best¨ atigt man durch scharfes Hinsehen‘. Wegen ’

a −b det = a2 + b 2 b a

a −b a −b ist f¨ ur

= 0 — also a = 0 oder b = 0 — invertierbar b a b a und

−1

1 a −b a b = 2 ∈ C. b a a + b2 −b a

1 0 Da gerade auch Eins‘ in C ist, hat man: (C, +, ·) ist ein Körper. 0 1 ’

Hier liefert ϕ : R a −→

a 0 0 a

∈C

die Einbettung; identifiziert man wieder a mit ϕ(a) , dann gelten mit

0 −1 i := ∈C 1 0 i und

2

=

0 −1 1 0

a −b b a

=

a 0 0 a

0 −1 1 0

+

=

0 −1 1 0

−1 0 0 −1

b 0 0 b

= −1

= a + ib .

6

Kapitel 1


Die komplexen Zahlen als Restklassenring ¨ Die skizzierten Uberlegungen in diesem kurzen Teilabschnitt haben etwas den Charakter akademischer Spielerei. Diese sechs Zeilen k¨ onnen Sie getrost u ¨ berschlagen.

R ist nicht algebraisch abgeschlossen‘; zum Beispiel hat das Polynom x2 + 1 ’ keine Nullstelle in R, es ist irreduzibel‘. Faktorisiert‘ man den Polynomring‘ ’ ’ ’ R[x] nach dem von x2 + 1 erzeugten Ideal‘ (x2 + 1), dann erhält man mit ’ C := R[x] (x2 + 1) einen komplexen Zahlk¨ orper, wobei i als die zu x gehörige Restklasse‘ ’ gew¨ ahlt werden kann (algebraische Einf¨ uhrung). Geometrische Einf¨ uhrung der komplexen Zahlen C ist eine Ebene — auch Gauß sche Zahlenebene genannt —, in der 0 und 1 als zwei verschiedene Punkte festgelegt sind. Komplexe Zahlen sind Vektoren in der Ebene. Die Addition komplexer Zahlen wird definiert als gewöhnliche Vektoraddition.

z2

Addition:

z

+ 1

z2

z1

Wie die Multiplikation geometrisch eingef¨ uhrt werden kann, wird im Kontext von Abschnitt 1.4 verst¨ andlich. Der Nachweis der Körperaxiome erfolgt dann ¨ durch elementargeometrische Uberlegungen.

1.3 Elementare Operationen und Regeln Man u ¨ berlegt sich leicht: Je zwei Körper der komplexen Zahlen sind (als Körper) isomorph. Daher sprechen wir im Folgenden von dem K¨ orper der komplexen Zahlen. Es sei nun C = (C, +, ·) ein K¨ orper der komplexen Zahlen mit der imagin¨ aren Einheit i . Insbesondere gilt dann:

1.3

Elementare Operationen und Regeln

Bemerkung 1 a) b)

7

a + ib = c + id ⇐⇒ a = c ∧ b = d

(a, b, c, d ∈ R)

F¨ ur z ∈ C : z 2 = −1 ⇐⇒ z ∈ {i, −i}

F¨ ur z = x + iy mit x, y ∈ R definieren wir: Realteil“ von z (Re z, Re z) ” y Imaginärteil“ von z (Im z, Im z) ” z rein imaginär“ : ⇐⇒ Re z = 0 ” z := x − iy = x + i(−y) konjugiert komplexe Zahl“ (zu z) ” 2 2 1/2 |z| := (x + y ) Betrag“ ( Länge“) von z ” ” x

Der Betrag komplexer Zahlen liefert so f¨ ur reelle Zahlen den dort definierten Betrag. Offenbar gelten

Re z = 12 (z + z), Im z =

1 2i (z

− z) .

Wir erinnern noch einmal an die — f¨ ur z, z1 , z2 ∈ C — u ¨ blicherweise schon aus einer Analysis-Vorlesung bekannten Regeln a) z · z = |z |2 ,

z = z,

b) z1 ± z2 = z1 ± z2 ,

|z | = | z | z1 · z2 = z1 · z2

c) Re(z1 ± z2 ) = Re(z1 ) ± Re(z2 ) d) Im(z1 ± z2 ) = Im(z1 ) ± Im(z2 ) z , ( z )−1 = z −1 |z |2 f ) z ∈ R ⇐⇒ z = z ⇐⇒ Im(z) = 0 ⇐⇒ Re(z) = z

e) F¨ ur z = 0 :

z −1 =

g) |Re(z)|, |Im(z)| ≤ |z| ≤ |Re(z)| + |Im(z)| Die Abbildung C z −→ z ∈ C ist also ein Automorphismus (Involution). Auch die folgenden Eigenschaften des Betrages auf C sollten vertraut sein: [B0]

|z | ≥ 0

[B1]

|z | = 0 ⇐⇒ z = 0

[B2]

|z1 + z2 | ≤ |z1 | + |z2 |

[B3]

|z1 · z2 | = |z1 | · |z2 |

|z1 |

z1 f¨ ur z2 = 0

z = |z2 | 2

[B4]

( Positivität“) ” ( Definitheit“) ” ( Dreiecksungleichung“) ”

8

Kapitel 1

[B5]

|z1 − z2 | = |z2 − z1 |

[B6]

| |z1 | − |z2 | | ≤ |z1 − z2 | ≤ |z1 | + |z2 |

[B7]

|z1 − z2 | ≤ |z1 − z| + |z − z2 |


( Symmetrie“) ”

Bemerkung 2

n Nicht-reelle Nullstellen von Polynomen P (z) = ν=0 aν z ν mit reellen Koeffizienten aν (ν = 0, . . . , n) treten paarweise (konjugiert komplex) auf, d. h. mit P (α) = 0 f¨ ur α ∈ C ist auch P (α ) = 0 . ¨ Achtung: Beim Ubergang von R zu C geht die Ordnungsstruktur‘ verloren: ’ Die Anordnung von R l¨ asst sich nicht so auf C fortsetzen, dass C angeord’ neter K¨ orper‘ ∗ ist (die Eigenschaften (A 10), (A 11) und (A 12 ) aus [Wa I, S. 7] gelten zus¨ atzlich): Wegen i2 = −1 ist i = 0 . W¨ are i > 0, so folgte −1 = i2 > 0 ; im Falle i < 0 h¨ atte man −i > 0 und so −1 = (−i)2 > 0 : Widerspruch! Stetigkeit‘ der Grundoperationen (a, b, x, y ∈ C :) ’ (1)

|(x + y) − (a + b)| ≤ |x − a| + |y − b|

(1’)

|(x − y) − (a − b)| ≤ |x − a| + |y − b|

(2)

|(x · y) − (a · b)| ≤ |a| · |y − b| + |b| · |x − a| + |x − a| |y − b|

|a|

1 1

≤ 2 · |x − a|, falls a = 0 und |x − a| ≤

x − a 2 |a|2

|x| − |a| ≤ |x − a|

(3) (4)

Diese Regeln d¨ urften aus der Analysis bekannt sein (man vergleiche etwa [Ho, S. 52 ff]). Sie zeigen die Stetigkeit von Summen-, Differenz-, Produkt-, Betrags- und Quotientenbildung quantitativ. Aus ihnen folgen unmittelbar z. B. ganz einfach die Grundregeln f¨ ur die Konvergenz von Folgen, Reihen, Funktionen und die f¨ ur (lokale und globale) Stetigkeit.

1.4 Argument, geometrische Veranschaulichung In der Analysis definiert man meist die Exponentialfunktion gleich f¨ ur komplexes Argument durch die (¨ uberall absolut konvergente) Reihe exp(z) := ∗

∞ zn n! n=0

(z ∈ C) .

Man kann zwar die Ordnung‘ von R auf C erweitern (z. B. lexikographisch); ’ jedoch geht die Vertr¨ aglichkeit mit der Multiplikation dabei verloren!

1.4

Argument, geometrische Veranschaulichung

9

Auch die trigonometrischen Funktionen sin und cos können (¨ uber die Reihendarstellung) gleich f¨ ur komplexe Argumente definiert werden. Man erhält so ganz einfach u. a. die (z ∈ C) .

exp(iz) = cos(z) + i sin(z)

Euler-Formel

F¨ ur n ∈ N und z = exp(iϕ) mit einem ϕ ∈ R ist z n = exp(inϕ); so hat man die de Moivre-Formel∗

(cos ϕ + i sin ϕ)n = cos nϕ + i sin nϕ .

Aus der Analysis kennt man schon die Polardarstellung : Ist z = x + i y ∈ C \ {0} (mit x, y ∈ R), dann existieren eindeutig −π < ϕ ≤ π und 0 < r < ∞ mit (∗)

z = r (cos ϕ + i sin ϕ) = r exp(i ϕ)

Dabei gelten: r = |z|, x = r cos ϕ = Re z und y = r sin ϕ = Im z .

Imaginare Achse

9z =

y r

|

'

z

r cos '

r sin '

x

Reelle Achse

Jedes ϕ ∈ R, das (∗) erf¨ ullt, nennen wir ein Argument von z“ und notieren ” arg z := {ϕ ∈ R : ϕ Argument von z}. Das eindeutig bestimmte ϕ ∈ arg z ∩ ]− π, π] notieren wir als Arg z ( Haupt” wert des Arguments von z“). Offenbar gilt dann arg z = {Arg z + 2kπ : k ∈ Z} ; arg z ist also eine Restklasse‘ in R/2πZ . ’ H¨ aufig schreibt man (und das machen wir gelegentlich auch) lax ϕ = arg z ∗

Abraham de Moivre (1667–1754)

statt

ϕ ∈ arg z .

10

Kapitel 1


F¨ ur A, B ⊂ C notieren wir A + B := {a + b : a ∈ A ∧ b ∈ B} und entsprechend auch −A, A − B, A · B. Damit gelten f¨ ur z, z1 , z2 ∈ C \ {0}:

Im z z

a) arg( 1z ) = arg(z) = − arg z

ϕ

b) arg(z1 · z2 ) = arg(z1 ) + arg(z2 )

Re z

−ϕ

z Denn offensichtlich gilt arg(z) = − arg z , und mit z1 = |z|z 2 ergibt sich die Gleichung arg( 1z ) = arg(z) ; damit ist a) gezeigt. F¨ ur b) u ¨ berlegt man: Mit der Funktionalgleichung der exp-Funktion folgt, dass die r. S. Teilmenge der l. S. ist; mit a) erh¨ alt man dann die Gleichheit. Anmerkung: Die b) entsprechende Aussage gilt nicht f¨ ur die Hauptwerte! Die geometrische Einf¨ uhrung der Addition — als Vektoraddition — hatten wir schon in Abschnitt 1.2 erw¨ ahnt. Die Multiplikation kann u ¨ ber ähnliche Dreiecke eingef¨ uhrt werden. Man beachte dazu die Graphik:

z1 z2

y

j

z1 z

2j

2 j

z2

'1

'2

z2

j

j

z 1j '1

z1 1

1

x

1.5

Wurzeln

11 |z | |z1 z2 | = 1 |z2 | 1 ahnlich. Durch eine Drehstreckung‘ ¨ ’

Es seien z1 = r1 exp(i ϕ1 ) und z2 = r2 exp(i ϕ2 ) . Wegen sind die beiden Dreiecke Δ1 und Δ2 ergibt sich z1 z2 .

1.5 Wurzeln Definition: F¨ ur a ∈ C und n ∈ N heißt z ∈ C mit z n = a eine n-te ” Wurzel aus a“ ; speziell f¨ ur a = 1 auch n-te Einheitswurzel“, ” f¨ ur n = 2 (und beliebigem a) auch Wurzel aus a“. ” Es seien a, z ∈ C \ {0} mit a = exp(i ψ) und z = r exp(i ϕ) . Dann gilt: z n = a ⇐⇒ rn exp(i (nϕ)) = exp(i ψ) ⇐⇒ rn = ∧ nϕ = ψ + 2kπ (f¨ ur ein k ∈ Z) ψ + 2kπ =: zk (f¨ ur ein k ∈ Z) ⇐⇒ z = 1/n exp i n Unter diesen zk sind die f¨ ur k = 0, . . . , n − 1 paarweise verschieden. Da die Abbildung R t −→ exp(it) ∈ C die Periode 2π hat, erhalten wir so schon alle Werte, also: Bemerkung 3

Durch

1/n

ψ + 2kπ exp i n

(k = 0, . . . , n − 1)

sind gerade alle n-ten Wurzeln aus a gegeben. Die n-ten Wurzeln liefern die Eckpunkte eines regelmäßigen n-Ecks. Speziell gilt somit: Bemerkung 4

Durch

2kπ exp i n

(k = 0, . . . , n − 1)

sind alle n-ten Einheitswurzeln gegeben. Wir notieren

√ n a := {z ∈ C : z n = a},

und schreiben gelegentlich lax √ √ z = n a statt z ∈ n a

bzw. z =

√ √ a := 2 a √ a

statt z ∈

√ a.

Die Gleichung z n = 1 heißt Kreisteilungsgleichung“. Dies wird durch Bei” spiele der folgenden Art plausibel:

12

Kapitel 1

Beispiel n = 3 :

1 2


p 1 + i 3 = z1

z0

1 2

=1

p 1 + i 3 = z2

1.6 Riemannsche Zahlenkugel und stereographische Projektion Dem ber¨ uhmten Mathematiker Bernhard Riemann (1826–1866) verdanken wir — neben epochemachenden Leistungen — u. a. auch ein Modell der komplexen Zahlen, welches sehr leicht eine Veranschaulichung des Punktes ∞ erlaubt: ¨ Die komplexen Zahlen C werden dabei mit den Punkten der Aquatorebene‘ ’ (ξ3 = 0) des R3 identifiziert. Punkte z = x + iy ∈ C mit x, y ∈ R werden auf die Einheitskugel∗ 3 S := (ξ1 , ξ2 , ξ3 ) ∈ R3 : ξν2 = 1 ν=1

im R3 abgebildet, indem man den Schnittpunkt Z von S mit der Geraden

durch den Nordpol N= berechnet. ∗

0 0 1

und P =

x y 0

genauer: Einheitssph¨ are oder Rand der Einheitskugel

1.6

Riemannsche Zahlenkugel und stereographische Projektion

Einsetzen von

Z =

ξ1 ξ2 ξ3

= λ

x y 0

+ (1 − λ)

0 0 1

13

(R λ > 0)

in die Gleichung ξ12 + ξ22 + ξ32 = 1 der Einheitssphäre ergibt λ =

2 . x2 + y 2 + 1

Wir erhalten so durch ξ1 =

z+z 2x = , x2 + y 2 + 1 zz + 1 ξ3 =

ξ2 =

i(z − z) 2y = , x2 + y 2 + 1 zz + 1

zz − 1 x2 + y 2 − 1 = x2 + y 2 + 1 zz + 1

die stereographische Projektion τ von C auf S \ {N } und durch x=

ξ1 , 1 − ξ3

y=

ξ2 , 1 − ξ3

also z =

ξ1 + iξ2 , 1 − ξ3

deren Umkehrabbildung. Nach Konstruktion wird bei der stereographischen Projektion das Innere des ¨ Einheitskreises von C auf die S¨ ud-Halbkugel‘ und entsprechend das Außere ’ auf die Nord-Halbkugel‘ abgebildet. Die Punkte auf dem Rand des Einheits’ kreises werden auf sich selbst abgebildet (Fixpunkte von τ ). Ferner strebt der Bildpunkt Z = τ (z) gegen den Nordpol N f¨ ur |z| −→ ∞. Erweitert man C durch den unendlich fernen Punkt‘ ∞ zur erweiterten ’ (abgeschlossenen) komplexen Zahlenebene (Ein-Punkt-Kompaktifizierung) C := C ∪ {∞} , so l¨ asst sich die stereographische Projektion durch die Zuordnung ∞ −→ N fortsetzen zu einer bijektiven Abbildung von C auf die Riemannsche Zahlenkugel S. Diese fortgesetzte Abbildung notieren wir wieder mit dem gleichen Symbol τ . Mit Hilfe der Riemannschen Zahlenkugel lassen sich Aussagen u ¨ ber das Verhalten komplexer Funktionen in der Umgebung von ∞ besser verstehen, da auf ihr der Punkt ∞ (= N ) keine Ausnahmestellung hat. Rechenregeln‘ in C ’ An vielen Stellen, so zum Beispiel f¨ ur den Abschnitt 8.1 u obius¨ ber M¨ Transformationen, ist es zweckm¨ aßig, die Rechenregeln‘ in C wie folgt auf ’ C auszudehnen:

14

Kapitel 1


F¨ ur a ∈ C und b ∈ C \ {0} seien: a+∞ ∞+∞ ∞·b a/∞ b/0

:= ∞ + a := ∞ := ∞ := b · ∞ := ∞ := 0 := ∞

Diese Festlegungen f¨ uhren zu keinem Widerspruch zu den Gesetzen in C. Hingegen sind Terme wie 0·∞ , ∞−∞ und ∞/∞ allgemein nicht sinnvoll zu definieren. Sie k¨ onnen — wie im Reellen — in Spezialfällen durch Stetigkeitsbzw. Konvergenzbetrachtungen ausgewertet werden.

MWS zu Kapitel 1

Die komplexen Zahlen Wichtige Maple-Befehle dieses Kapitels: interface, z. B. interface(imaginaryunit=i) alias, macro LinearAlgebra-Paket: Matrix, Add, Equal, Multiply, MatrixInverse Re, Im, abs, conjugate, polar, argument pointplot, textplot, complexplot, coordplot, conformal, display plottools-Paket: arc, arrow, disk, line, transform radnormal frontend, op, map, cat

1.1 Historisches Von der Erfindung‘ der komplexen Zahlen ’ > restart: with(plots): interface(imaginaryunit=i): aßig vordeDurch die interface-Anweisung imaginaryunit √ = i wird das standardm¨ finierte Symbol I f¨ ur die imagin¨ are Einheit −1 deaktiviert und durch i ersetzt.

Folgendes Beispiel stammt aus Geronimo Cardanos Ars Magna. Gesucht sind (reelle?) Zahlen x1 und x2 mit x1 + x2 = 10 und x1 · x2 = 40 . Nach dem Vietaschen Wurzelsatz lassen sich x1 und x2 als die Lösungen einer quadratischen Gleichung auffassen. Die dazu n¨ otigen Umformungs- und Lösungsschritte f¨ uhren wir — zur Ein¨ ubung — mit einfachen Maple-Anweisungen durch: > eq1 := x[1]+x[2]=10; eq2 := x[1]*x[2]=40;

eq1 := x1 + x2 = 10 ,

eq2 := x1 x2 = 40

Wir l¨ osen die erste Gleichung nach x2 auf und setzen das Ergebnis in die zweite Gleichung ein:

16

MWS zu Kapitel 1


{ x2 = 10 − x1 }

> solve(eq1,{x[2]});

> eq3 := subs(%,eq2);

eq3 := x1 (10 − x1 ) = 40 Substituieren wir x1 durch z, so ist folgende quadratische Gleichung zu lösen: > eq4 := subs(x[1]=z,eq3);

eq4 := z (10 − z) = 40 > expand(-eq4);

z 2 − 10 z = −40

> eq5 := lhs(%)-rhs(%) = 0;

eq5 := z 2 − 10 z + 40 = 0 Durch die linke Seite dieser Gleichung ist — f¨ ur reelle z — eine Parabel definiert, deren Nullstellen gesucht sind. Wir veranschaulichen den Funktionsverlauf: > plot(lhs(eq5),z=0..10,color=black,view=[0..10,0..40],thickness=2);

Sp¨ atestens damit ist klar, dass die Parabel keine reelle Nullstelle besitzt. Mit Hilfe des Maple-Kommandos completesquare aus dem student-Paket l¨ asst sich dies nat¨ urlich auch durch ganz einfache algebraische Umformung einsehen:

1.1

Historisches

> with(student):

(MWS)

17

eq6 := completesquare(eq5,z);

eq6 := (z − 5)2 + 15 = 0 Maple kennt die komplexen Zahlen und kann uns somit die Lösungen explizit angeben: √ 5 + i 15 ,

> solve(eq6,z);

5−i

√ 15

Auf genau diese Form ist Cardano durch formales Lösen der quadratischen √ Gleichung gekommen, wobei er Schwierigkeiten hatte, dem Symbol i := −1 eine konkrete Bedeutung zu geben. In der Bezeichnung imaginäre Einheit lebt dies fort. Durchs Imagin¨ are zur¨ uck ins Reelle > restart: interface(imaginaryunit=i): macro(I=i): √ Wie oben vereinbaren wir mittels der interface-Anweisung f¨ ur −1 die von Euler eingef¨ uhrte Bezeichnung i . Die Neudefinition von I durch den macro-Befehl I=i bewirkt dann, dass ein eingegebenes I als imagin¨ are Einheit interpretiert und stets als i ausgegeben wird.

Beachten: i kann dann z. B. nicht als Laufvariable benutzt werden! (Das gilt nat¨ urlich auch schon auf Seite 15.) Das folgende Beispiel einer kubischen Gleichung geht auf Rafael Bombelli zur¨ uck. > eq := z^3+p*z+q; p := -15; q := -4;

eq := z 3 + p z + q ,

p := −15 ,

q := −4

¨ Die folgenden Rechenschritte orientieren sich an unseren Uberlegungen aus Abschnitt 1.1 des Textes. Zur Vereinfachung eines Ausdrucks mit Wurzeltermen muss dabei statt simplify oder normal das Maple-Kommando radnormal verwendet werden. > A := -q/2+sqrt((q/2)^2+(p/3)^3): u := radnormal(A^(1/3)); v := -p/3/u; omega := (-1+I*sqrt(3))/2;

u := 2 + i ,

v := 2 − i ,

√ ω := −1/2 + 1/2 i 3

Mit den Cardanischen Formeln ergibt sich:

18

MWS zu Kapitel 1

> z1 = u+v; u*omega+v*omega^2: u*omega^2+v*omega:


z2 = simplify(%); z3 = simplify(%);

z1 = 4 ,

z2 = −2 −

√ 3,

z3 = −2 +

√

3

Maple findet nat¨ urlich die gleichen L¨ osungen auch direkt: > solve(eq,z);

4,

−2 +

√ 3,

−2 −

√ 3

1.2 Definition und Modelle komplexer Zahlen Arithmetische Einf¨ uhrung der komplexen Zahlen > restart: with(LinearAlgebra):

Die komplexen Zahlen als Zahlenpaare F¨ ur das Rechnen mit Zahlenpaaren benutzen wir als Addition die standardm¨ aßig vorhandene komponentenweise Addition (Vektoraddition). > [x[1],y[1]] + [x[2],y[2]];

x2 + x1 , y2 + y1

Die Multiplikation definieren wir mittels eines neutralen Operators“, d. h. ” einer Prozedur folgenden Typs: > ‘&.‘ := proc(u,v) # Multiplikation eval([u[1]*v[1]-u[2]*v[2],u[1]*v[2]+u[2]*v[1]]) end proc:

Mit dieser Prozedur kann die Multiplikation auf zwei verschiedene Arten ausgef¨ uhrt werden: > &. ( [x[1],y[1]],[x[2],y[2]] );

x1 x2 − y1 y2 , x1 y2 + y1 x2 > [x[1],y[1]] &. [x[2],y[2]];

x1 x2 − y1 y2 , x1 y2 + y1 x2 Aufgrund der Regeln f¨ ur neutrale Operatoren bindet die Operation &.“ st¨ arker als ” die Addition. Im Zweifelsfalle setze man passende Klammern!

1.2


> alias(i=[0,1]):

(MWS)

19

# i = imagin¨ are Einheit

Wir best¨ atigen die Beziehung i2 = −1 : > i &. i;

[−1, 0]

Maple kennt nat¨ urlich die u ¨ blichen Rechenregeln. Wir verzichten jedoch darauf, diese alle zu verifizieren. Beispielhaft u ufen wir nur die Existenz ¨ berpr¨ eines inversen Elementes f¨ ur [x, y] = 0 : > [x,y] &. [u,v] = [1,0];

[x u − y v, x v + y u] = [1, 0] > lhs(%)-rhs(%): eq := convert(%,set);

eq := {−1 + x u − y v, x v + y u} In der folgenden Maple-Anweisung interpretiert solve“ die beiden Terme aus ” eq“ als homogene Gleichungen und l¨ ost diese nach den Unbekannten u, v ” auf. > solve(eq,{u,v});

u =

x , x + y2 2

v = −

y x + y2

2

Die komplexen Zahlen als Unterring der 2 × 2-Matrizen Jetzt benutzen wir als Operationen + und ∗ die u ¨ bliche Matrixaddition bzw. -multiplikation. Mittels folgender Zuordnung bilden wir geordnete Paare reeller Zahlen in 2 × 2-Matrizen ab: > Phi := z -> Matrix(2,2,[z[1],-z[2],z[2],z[1]]);

Φ := z → Matrix 2, 2, [z1 , −z2 , z2 , z1 ] > ’Phi([x,y])’ =

Phi([x,y]);

x −y Φ([x, y]) = y x

Φ ist vertr¨ aglich mit der Addition und der Multiplikation. Wir u ufen ¨ berpr¨ dies mittels Verwendung des Maple-Befehls frontend(p,x) , wobei p eine Prozedur und x eine Argumentliste f¨ ur p bedeuten. Die Prozedur wird angewendet auf die eingefrorenen“ Argumente, welche im Ergebnis durch ihre ” urspr¨ unglichen Werte ersetzt werden.

20

MWS zu Kapitel 1


> A := Phi([x[1],y[1]]): B := Phi([x[2],y[2]]): eq := Phi([x[1],y[1]] + [x[2],y[2]]) = A + B: if Equal(lhs(eq),rhs(eq)) then A + B = frontend(Add,[A,B]) end if:

x2 + x1 −y2 − y1 y2 + y1 x2 + x1

=

x1 −y1 x2 −y2 + y1 x1 y2 x2

> eq := Phi([x[1],y[1]] &. [x[2],y[2]]) = A . B: if Equal(lhs(eq),rhs(eq)) then A . B = frontend(Multiply,[A,B]) end if:

x1 x2 − y1 y2 −x1 y2 − y1 x2 x1 y2 + y1 x2 x1 x2 − y1 y2

=

x1 −y1 y1 x1

x2 −y2 y2 x2

Die Abbildung Φ ist zudem injektiv und somit ein Isomorphismus auf die Bildmenge der geordneten Paare. Dies ist eine Teilmenge der 2 × 2-Matrizen, die bez¨ uglich + und ∗ die K¨ orperaxiome erf¨ ullt. Nullelement ist in diesem Falle die Nullmatrix, Einselement die Einheitsmatrix. Das inverse Element ¨ zu [x, y] = 0 liest man aus den folgenden Uberlegungen ab: > A := Phi([x,y]): B := MatrixInverse(A): frontend(Multiply,[A,B]) = simplify(A . B);

x −y y x

⎡

⎤ y x 2 2 2 +y x +y ⎥ ⎢ ⎣ ⎦ = MATRIX [[1, 0], i] x y − 2 x + y 2 x2 + y 2 x2

Maple liefert hier als Ergebnis die Einheitsmatrix in einer sehr verschl¨ usselten Form. Diese wird dargestellt als Liste der beiden Zeilenvektoren [1, 0] und i = [0, 1] . > alias(j=Phi([0,1])): j, j . j;

# j = imagin¨ are Einheit im Unterring # j^2 = -1

j,

−1 0 0 −1

Geometrische Einf¨ uhrung der komplexen Zahlen

5

> restart: with(plots): with(plottools): x := 4: y := 3: z := [x,y]: Pfeil := arrow([0,0],z,0.04,0.15,0.06,color=black): hLinie := line([0,y],z,color=black): # horizontale Linie vLinie := line([x,0],z,color=black): # vertikale Linie Texte := [x+0.3,y+0.2,"z=x+iy"],[x+0.2,y/2,"iy"],[x/2,y+0.2," x"]: tplot := textplot([Texte]): # Beschriftung display({Pfeil,hLinie,vLinie,tplot},tickmarks=[4,3], scaling=constrained, title="Die GAUSSsche Zahlenebene");

1.2


(MWS)

21

Die Gaußsche Zahlenebene

Hier tritt zum ersten Mal eine etwas komplexere Abbildung auf. Diese setzt sich zusammen aus vier sogenannten Graphikobjekten, bei deren Benennung wir uns um m¨ oglichst suggestive Namen bem¨ uht haben. Sie heißen Pfeil, hLinie, vLinie sowie tplot. Wir werden uns diese gleich im einzelnen etwas genauer anschauen. Zuvor sollten Sie jedoch den Maple-Befehl >

with(plottools);

[arc, arrow , circle, cone, cuboid , curve, cutin, cutout, cylinder , disk , . . .] ausf¨ uhren. Dieses Programm-Paket wurde oben (vor der Erzeugung der Abbildung) geladen. Man kann damit einfache Graphikobjekte, wie z. B. arc (Kreisbogen), arrow (Pfeil), disk (Kreisscheibe), line (Strecke), erzeugen. Mit Befehlen wie z. B. translate (Verschieben), scale (Skalieren), rotate (Drehen) und transform k¨ onnen Graphikstrukturen transformiert werden. Nach Anklicken eines Befehls aus dem Plottools-Paket kann man sich mit Help dar¨ uber genauer informieren. Mit arrow([x1, y1], [x2, y2], B1, B2, V ) erzeugt man einen Pfeil der L¨ ange L von [x1, y1] nach [x2, y2] . B1 ist die Pfeilbreite, B2 die Breite der Pfeilspitze und V das Verhältnis der Länge der Pfeilspitze zur Gesamtl¨ ange L . line([x1, y1], [x2, y2]) ergibt die Strecke von [x1, y1] nach [x2, y2] . Mit der Option color lassen sich die einzelnen Graphikobjekte wie u arben. Die Beschriftung innerhalb der Graphik ¨ blich f¨ erfolgt mit dem Kommando textplot aus dem plots-Paket. An drei Stellen soll hier ein Text ausgegeben werden. Die Textangabe erfolgt jeweils in der uglich Form [x, y, ”text”] , wobei text sowohl horizontal als auch vertikal bez¨ des Punktes [x, y] zentriert wird. Die Folge Texte oben enthält drei solcher Textangaben, die in der Form [Texte] als Textliste durch textplot ausgegeben werden. Die Gesamtausgabe unserer Graphikbausteine erfolgt mittels display. Auf einfache Art kann man dabei die Graphik durch die Option title ¨ noch mit einer Uberschrift versehen. Die Addition komplexer Zahlen wird definiert als Vektoraddition:

22

5

10

MWS zu Kapitel 1


> x1 := 3: y1 := 1: x2 := -2: y2 := 3: z1 := [x1,y1]: z2 := [x2,y2]: z := z1+z2: Pfeil1 := arrow([0,0],z1,0.05,0.2,0.09,color=gray): Pfeil2 := arrow([0,0],z2,0.05,0.2,0.08,color=gray): Pfeil3 := arrow([0,0],z,0.06,0.2,0.08,color=black): Linien := plot([[z1,z],[z2,z]],color=black): Texte := [x1+0.2,y1,typeset(‘ z‘[1])],[x2,y2+0.2,typeset(‘ z‘[2])], [op(z+[0.2,0.2]),typeset(‘ z‘=‘ z‘[1]+‘ z‘[2])]: tplot := textplot([Texte]): display({Pfeil1,Pfeil2,Pfeil3,Linien,tplot},scaling=constrained, title="Addition komplexer Zahlen");

Addition komplexer Zahlen

z = z1 + z2 z2

z1

Der Text dieser Graphik ist mittels der Option typeset gestaltet worden. N¨ aheres hier¨ uber liefert die Maple-Hilfe nach Eingabe von ?plot, typesetting . Wie die Multiplikation geometrisch eingef¨ uhrt werden kann, wird im Kontext von Abschnitt 1.4 verst¨ andlich. Der Nachweis der Körperaxiome erfolgt dann ¨ durch elementargeometrische Uberlegungen.

1.3 Elementare Operationen und Regeln Symbolisches Rechnen mit komplexen Zahlen > restart: interface(imaginaryunit=i): macro(I=i): I; I^2;

i,

−1

> for k from 1 to 2 do z[k] := x[k]+I*y[k] end do:

1.3

Elementare Operationen und Regeln

(MWS)

23

Summe, Produkt, Quotient (Inverse) komplexer Zahlen > ’z[1]+z[2]’ = evalc(z[1]+z[2]);

z1 + z2 = x1 + x2 + i y1 + y2 > ’z[1]*z[2]’ = evalc(z[1]*z[2]);

z1 z2 = x1 x2 − y1 y2 + i x1 y2 + y1 x2 > ’z[1]/z[2]’ = evalc(z[1]/z[2]);

z1 x1 x2 y1 y2 = 2 + 2 +i 2 z2 x2 + y2 x2 + y22 > z := x + I*y:

y1 x2 x1 y2 − 2 2 2 x2 + y2 x2 + y22

’1/z’ = evalc(1/z);

x 1 −i y = 2 + 2 z x + y2 x + y2 Real- und Imagin¨ arteil > ’Re(z)’ = evalc(Re(z)); ’Im(z)’ = evalc(Im(z));

Re (z) = x ,

Im (z) = y

Durch Auswerten mittels der logischen Funktion evalb erhalten wir: > eq := ’Re(z)’ = ’(z+conjugate(z))/2’: evalc(%): if evalb(%) then eval(eq,1) end if;

Re(z) =

1 1 z+ z 2 2

> eq := ’Im(z)’ = (1/(2*I))*’(z-conjugate(z))’: evalc(%): if evalb(%) then eval(eq,1) end if;

Im (z) =

−1 i z−z 2

Konjugation und Betrag > ’conjugate(z)’ = evalc(conjugate(z));

z = x−iy > ’abs(z)’ = evalc(abs(z)); z := ’z’:

24

MWS zu Kapitel 1 |z| =


x2 + y 2

¨ Uberpr¨ ufen einiger Rechenregeln > eq := ’conjugate(z[1]+z[2])’ = ’conjugate(z[1])+conjugate(z[2])’: evalc(%): if evalb(%) then eval(eq,1) end if;

z1 + z2 = z1 + z2 > eq := ’conjugate(z[1]*z[2])’ = ’conjugate(z[1])*conjugate(z[2])’: evalc(%): if evalb(%) then eval(eq,1) end if;

z1 z2 = z1 z2 > eq := ’z*conjugate(z)’ = ’abs(z)^2’: evalc(%): if evalb(%) then eval(eq,1) end if; 2

zz = |z| Beispiele

> restart: interface(imaginaryunit=i): macro(I=i): u := 2-5*I; v := 4+I;

u := 2 − 5 i ,

v := 4 + i

Summe, Differenz, Produkt und Quotient komplexer Zahlen > u+v; u-v; u*v; u/v;

6−4i,

−2 − 6 i ,

13 − 18 i ,

22 3 − i 17 17

Eine 4-stellige N¨ aherung f¨ ur das vorangehende Resultat ergibt sich dann so: > evalf(u/v,4);

0.1765 − 1.294 i Real- und Imagin¨ arteil, Konjugation und Betrag > Re(u); Im(v); conjugate(u); abs(u);

2,

1,

2+5i,

√ 29

1.4


(MWS)

25

Komplexe Zahlen zeichnen

5

> with(plots): Linien := complexplot([u,0,conjugate(u)],thickness=2,color=black): Punkte := complexplot([u,conjugate(u)],style=point,symbol=circle, symbolsize=20,color=black): display(Linien,Punkte,labels=["Re","Im"],thickness=2);

Wir lernen hier den Maple-Befehl complexplot kennen. Analog zu plot kann man durch complexplot([z1, z2, z3]) eine Liste [z1, z2, z3] komplexer Zahlen in der angegebenen Reihenfolge geradlinig verbinden. Durch die Option style=point werden die aufgelisteten Zahlen nur als Punkte ausgegeben. Mit der Option symbolsize kann deren Gr¨ oße ver¨ andert werden.

1.4 Argument, geometrische Veranschaulichung Eulersche Formel > restart: interface(imaginaryunit=i): macro(I=i): exp(x+I*y) = evalc(exp(x+I*y));

ex+i y = ex cos(y) + i ex sin(y) > exp(I*x) = evalc(exp(I*x)); Re(exp(I*x)) = evalc(Re(exp(I*x))); Im(exp(I*x)) = evalc(Im(exp(I*x)));

ei x = cos(x) + i sin(x) ,

Re(ei x ) = cos(x) ,

Im (ei x ) = sin(x)

26

MWS zu Kapitel 1


Polardarstellung komplexer Zahlen Wie bei Vektoren im R2 kann man komplexe Zahlen mittels der Polardarstellung durch ihren Betrag r und ihr Argument ϕ beschreiben.

5

10

> restart: interface(imaginaryunit=i): macro(I=i): with(plots): with(plottools): x := 3: y := 2: z := x+y*I: phi := argument(z): Pfeil := arrow([0,0],[x,y],0.03,0.1,0.055,color=black): hLinie := line([0,y],[x,y],color=black): vLinie := line([x,0],[x,y],color=black): Arcus := arc([0,0],1,0..phi,color=black,thickness=2): # Kreisbogen Texte := [2/3*x,2/3*y+0.2,"r"],[x+0.1,y+0.15," z"], [0.7*cos(phi/2),0.7*sin(phi/2),typeset(‘ϕ‘)], [x/2,y+0.15,typeset("r cos(",‘ϕ‘,")")], [x+0.5,y/2, typeset("r sin(",‘ϕ‘,")")]: tplot := textplot([Texte]): display({Pfeil,hLinie,vLinie,Arcus,tplot},scaling=constrained, tickmarks=[3,3],title="Polardarstellung komplexer Zahlen");

Polardarstellung komplexer Zahlen

r und ϕ lassen sich so berechnen: > ’z’ = z; phi := argument(z); r := abs(z);

z = 3+2i,

2 , ϕ := arctan 3

r :=

√ 13

> ’phi’ = evalf(%%,6);

ϕ = 0.588003 Wir u ufen, dass dies wirklich die Polardarstellung von z liefert: ¨ berpr¨ > ’r’*exp(I*’phi’) = radnormal(evalc(r*exp(I*phi)));

1.4


(MWS)

27

r ei ϕ = 3 + 2 i r und ϕ erh¨ alt man auch so: > convert(z,polar);

√ 2 polar 13 , arctan 3

. . . oder so: > polar(z);

√ 2 polar 13 , arctan 3

> r := op(1,%); phi := op(2,%%);

r :=

√ 13 ,

2 ϕ := arctan 3

Rechnen mit der Polardarstellung > r := ’r’: phi := ’phi’: polar(r,phi): % = evalc(%); polar(r,phi)*polar(s,psi): % = simplify(%); 1/polar(r,phi): % = simplify(%); polar(r,phi)^3: % = simplify(%);

polar(r, ϕ) polar(r, ϕ) polar(s, ψ) 1 polar(r, ϕ) polar(r, ϕ)3

= r cos(ϕ) + i r sin(ϕ) , = polar(r s, ϕ + ψ) , 1 = polar , −ϕ , r = polar(r3 , 3 ϕ)

Wir machen uns zum Schluss klar, dass argument(z) der Hauptwert des Argumentes von z ist: > ’argument(-1)’ = argument(-1);

argument(−1) = π > Limit(argument(-1+I*t),t=0,left): % = value(%); Limit(argument(-1+I*t),t=0,right): % = value(%);

lim argument(−1 + i t) = −π ,

t→0−

lim argument(−1 + i t) = π

t→0+

28

MWS zu Kapitel 1


Veranschaulichung der Konjugation

5

10

15

> restart: with(plots): with(plottools): x := 3: y := 2: z := x+I*y: phi := argument(z): Pfeil1 := arrow([0,0],[x,y], 0.04,0.12,0.07,color=black): Pfeil2 := arrow([0,0],[x,-y],0.04,0.12,0.07,color=gray): Arcus1 := arc([0,0],0.9,0..phi,color=black,thickness=2): Arcus2 := arc([0,0],0.9,-phi..0,color=gray,thickness=2): hLinie := line([0,y],[x,y],color=black): vLinie := line([x,-y],[x,y],color=black): Texte := [x+0.2,y+0.15,"x+iy"],[x+0.2,-y-0.1,"x-iy"], [x/2,y+0.15," x"],[x+0.2,y/2," y"],[x+0.2,-y/2,"-y"], [0.65*cos(phi/2),0.6*sin(phi/2),typeset( ‘ϕ‘)], [0.6*cos(phi/2),-0.6*sin(phi/2),typeset(-‘ϕ‘)]: tplot := textplot([Texte]): display({Pfeil1,Pfeil2,Arcus1,Arcus2,hLinie,vLinie,tplot}, tickmarks=[3,3],scaling=constrained,labels=["Re","Im"], title="Konjugation komplexer Zahlen");

Konjugation komplexer Zahlen

Veranschaulichung der Multiplikation

5

> restart: with(plots): with(plottools): x1 := 3/2: y1 := 1/2: z1 := x1+I*y1: phi1 := argument(z1): x2 := 1: y2 := 3/2: z2 := x2+I*y2: phi2 := argument(z2): z := z1*z2: x := Re(z): y := Im(z): Pfeil1 := arrow([0,0],[x1,y1],0.03,0.10,0.10,color=gray):

1.5

10

15

Wurzeln

Pfeil2 Pfeil3 Arcus1 Arcus2 Arcus3 Linien Texte

(MWS)

29

:= := := := := := :=

arrow([0,0],[x2,y2],0.03,0.09,0.10,color=gray): arrow([0,0],[x,y], 0.035,0.10,0.06,color=black): arc([0,0],0.8,0..phi1,color=gray,thickness=2): arc([0,0],0.8,phi2..phi2+phi1,color=gray,thickness=2): arc([0,0],0.4,0..phi2,color=black,thickness=1): plot([[[1,0],[x1,y1]],[[x2,y2],[x,y]]],color=black): [x1+0.1,y1,typeset(‘ z‘[1])],[x2+0.1,y2,typeset(‘ z‘[2])], [x+0.2,y,typeset(‘ z‘[1],‘ z‘[2])]: tplot := textplot([Texte]): display(Pfeil1,Pfeil2,Pfeil3,Arcus1,Arcus2,Arcus3,Linien,tplot, tickmarks=[3,3], scaling=constrained, title="Multiplikation komplexer Zahlen");

Multiplikation komplexer Zahlen

z1 z2

z2

z1

1.5 Wurzeln Beispiel > restart: interface(imaginaryunit=i): macro(I=i):

Es sollen die dritten Wurzeln von w = 2 + 11 i berechnet werden, d. h. wir suchen komplexe Zahlen z mit z 3 = w , die im Beispiel von Rafael Bombelli (siehe Seite 2) auftraten. > w := 2+11*I;

w := 2 + 11 i

> solve(z^3=w); Loesungen := map(evalc,[%]);

30

MWS zu Kapitel 1


1 1 √ 1 1 √ (2 + i) − + i 3 , (2 + i) − − i 3 , 2 + i 2 2 2 2 1 √ 1 √ 1√ 1√ Loesungen := −1− 3+i − + 3 , −1+ 3+i − − 3 , 2+i 2 2 2 2 Wir erhalten drei L¨ osungen, die in der folgenden Abbildung veranschaulicht sind:

5

> with(plots): dots := complexplot(Loesungen,style=point,color=black, symbol=solidcircle,symbolsize=16): Kreis:= plot(abs(Loesungen[1]),coords=polar,color=black,thickness=2): display(dots,Kreis,scaling=constrained);

Symbolische Berechnung n-ter Wurzeln > restart: interface(imaginaryunit=i): macro(I=i): assume(r > 0): a := r*exp(I*psi);

a := r ei ψ F¨ ur eine komplexe Zahl a mit der Polardarstellung a = r ei ψ berechnen wir die n-ten Wurzeln: > solve(z^n=a,z): evalc(%): simplify(%);

ψ

ψ + i sin r cos n n 1 n

Maple liefert symbolisch rechnend zun¨ achst nur eine Lösung, obwohl es n L¨ osungen gibt. Wenn wir alle Lösungen haben wollen, m¨ ussen wir zuvor eine Umgebungsvariable geeignet setzen:

1.5

Wurzeln

(MWS)

31

> _EnvAllSolutions := true: solve(z^n=a,z): evalc(%): simplify(%);

ψ + 2 π Z1

ψ + 2 π Z1 + i sin z := r cos n n 1 n

Wir wissen schon: Das sind nur scheinbar unendlich viele Lösungen. Unter diesen sind die f¨ ur die Parameterwerte Z1 = 0 , 1, . . . , n − 1 paarweise verschieden. Im Falle a = 1 bezeichnet man die n-ten Wurzeln als Einheitswurzeln. Sie sind die L¨ osungen der Kreisteilungsgleichung z n = 1 und liefern die Eckpunkte eines regelm¨ aßigen n-Ecks. Beispiel > n := readstat("Geben Sie eine nat¨ urliche Zahl ein: "):

Geben Sie eine nat¨ urliche Zahl ein:

5

10

3;

> W := [seq(2*Pi/n*k,k=0..n-1)]: # Winkel P := [seq(exp(I*phi),phi=W)]: # komplexe Punkte Q := map(z -> [Re(z),Im(z)],P): # kartesische Darstellungen von P with(plots): with(plottools): Kreis := plot(1,coords=polar,color=black,thickness=2): dots := seq(disk(z,0.03,color=black),z=Q), disk([0,0],0.02,color=black): Text := textplot([seq([op(evalf(1.2*z,3)),z[1]+I*z[2]],z=Q)]): display(Kreis,dots,Text,axes=none,scaling=constrained, title=cat(n,". Einheitswurzeln"));

3. Einheitswurzeln √ −1 + i 3 /2

1

√ − 1 + i 3 /2 ¨ Nach der Eingabe einer beliebigen nat¨ urlichen Zahl und deren Ubergabe an die Variable n wird obige Abbildung erzeugt, welche die n-ten Einheitswurzeln veranschaulicht. Die hierzu ausgef¨ uhrte Anweisungsgruppe wollen

32

MWS zu Kapitel 1


wir ein wenig erl¨ autern und zugleich daran deutlich machen, dass MapleCode recht kompakt und dennoch u ¨ bersichtlich sein kann. Die Liste P enth¨ alt alle n-ten Einheitswurzeln; deren Winkel (im Bogenmaß) sind in der Liste W aufgez¨ ahlt. Wir weisen an dieser Stelle auf die Anweisung seq(exp(I*phi), phi=W) hin, die gewiss eleganter ist als die Formulierung seq(exp(I*W[k]), k=1..n) in der herk¨ ommlichen Art. Die sehr wichtige MapleFunktion map bildet mittels z → Re(z), Im(z) die komplexen Zahlen der Liste P auf die entsprechenden reellen Zahlenpaare der Liste Q ab. Nat¨ urlich hätten wir ebensogut P := map(phi -> exp(I*phi),W): Q := [seq([Re(z),Im(z)],z=P)]:

schreiben k¨ onnen; welche Formulierung man bevorzugt, ist reine Geschmacksache. Nach diesen Vorbereitungen werden die Graphikstrukturen Kreis, dots und Text definiert. Kreis ist offensichtlich der Einheitskreis, und dots stellt mit Hilfe des Kommandos disk aus dem Plottools-Paket die Einheitswurzeln sowie den Ursprung als fette‘ Punkte dar. Alternativ kann man auch einfacher ’ z. B. dots:=plot(Q, style=point, symbol=circle, symbolsize=18); schreiben. Text schließlich liefert mit Hilfe von textplot die Beschriftung durch eine Liste von Textangaben. Auf den ersten Blick wirkt der entsprechende Teil der Maple-Anweisung etwas kryptisch; wir empfehlen deshalb, folgende Anweisung separat auszuf¨ uhren: > seq([op(evalf(1.2*z,3)),z[1]+I*z[2]],z=Q);

[1.2, 0., 1] ,

1 1 √ 1 1 √ − 0.600, 1.04, − + i 3 , − 0.600, −1.04, − − i 3 2 2 2 2

Dann d¨ urfte klar werden, was im einzelnen passiert. Der Faktor 1.2 soll u ¨ brigens bewirken, dass die Beschriftung vom Einheitskreis etwas abgesetzt wird. Und noch etwas sei an einem Beispiel erl¨ autert: > Q[2]; evalf(1.2*Q[2],3); op(%):

−1 1 √ , 3 , 2 2

[−0.600 , 1.04]

Hier wird also das geordnete Paar Q[2] mit dem Faktor 1.2 multipliziert und anschließend mittels evalf( · , 3) auf drei Stellen gerundet, was im Rahmen der Zeichengenauigkeit ausreicht. Mit op(%) schließlich greift man auf die beiden Komponenten des geordneten Paares zu; dies sind genau die Koordinaten, welche in die zweite Textangabe oben eingesetzt worden sind. Die Ausgabe dieser drei Plotstrukturen erfolgt — wie so oft — mit display. Die ¨ Uberschrift der Abbildung wird mittels der Option title erzeugt. Hier lernen wir erstmals die Maple-Funktion cat kennen, die n und . Einheitswurzel“ ” zu einem String verkn¨ upft.

1.6

Riemannsche Zahlenkugel

(MWS)

33

1.6 Riemannsche Zahlenkugel und stereographische Projektion Bernhard Riemann verdanken wir ein Modell der komplexen Zahlen, welches sehr leicht eine Veranschaulichung des Punktes ∞ erlaubt. Die komplexen Zahlen werden dabei mit der (x1 , x2 )-Ebene des dreidimensionalen Raumes identifiziert. Punkte z = x + i y der komplexen Zahlenebene werden auf die Einheitssph¨ are S := (x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 | x21 + x22 + x23 = 1 abgebildet, indem man den Schnittpunkt Z = (x1 , x2 , x3 ) von S mit der Geraden durch den Nordpol N = (0, 0, 1) und P = (x, y, 0) berechnet. Man erh¨ alt so die folgende Abbildung: x1 =

x2

2x , + y2 + 1

x2 =

x2

2y , + y2 + 1

x3 =

x2 + y 2 − 1 x2 + y 2 + 1

F¨ ur z = 2 + i wird die stereographische Projektion durch die Abbildung auf Seite 12 veranschaulicht. Diese wurde folgendermaßen mit Maple erzeugt:

5

10

> restart: with(plots): with(plottools): f := transform((x,y) -> [2*x,2*y,x^2+y^2-1]/(1+x^2+y^2)): g := transform((x,y) -> [x,y,0]): Punkt := pointplot([2,1],symbol=circle,symbolsize=16,color=black): Ebene := plot3d(0,x=-1.3..2.2,y=-1.3..1.3,style=patchnogrid, color=gray): Gitter:= plot3d(0,x=-1.3..2.2,y=-1.3..1.3,style=wireframe, color=white,numpoints=100): Kugel := plot3d(1,theta=0..2*Pi,phi=0..Pi,coords=spherical, style=wireframe,color=black): Gerade:= line([2,1,0],[0,0,1],color=black,thickness=3): p := display(f(Punkt),g(Punkt),Kugel,Ebene,Gerade): display(p,Gitter,title="stereographische Projektion", scaling=constrained,orientation=[-10,75]);

Auf Einzelheiten der Graphikbausteine Punkt, Ebene, Gitter, Kugel und Gerade gehen wir nicht mehr n¨ aher ein; wir empfehlen jedoch, diese zum besseren Verst¨ andnis einzeln auszugeben und eventuell Optionen zur Oberfl¨ achengestaltung wie z. B. style = patchnogrid oder style = wireframe zu ¨ andern oder gar wegzulassen. Besondere Beachtung verdient der Befehl transform aus dem Plottools-Paket. Die damit definierten Graphiktransformationen f und g wandeln hier 2D- in 3D-Graphikstrukturen. Näheres hierzu ist im Anhang zu finden. Mittels der Option orientation = [−90, 90] erhalten wir folgende Seitenansicht:

34

MWS zu Kapitel 1


> display(p,axes=framed,orientation=[-90,90],tickmarks=[3$3], scaling=constrained,labels=[" "$3]);

1

0

–1

–1

0

1

2

Jetzt soll das Abbildungsverhalten der stereographischen Projektion an komplexeren Graphikstrukturen verdeutlicht werden. Wir wählen ein Polargitter, das sehr einfach mit dem Kommando coordplot erzeugt werden kann. Wir erl¨ autern die vier wichtigsten Parameter: polar ist der Name des gew¨ unschten Koordinatensystems. Es folgt eine Liste von zwei Bereichen, die in der Parameterebene das Rechteck [0.2, 4] × [0, 2 π] beschreiben; wegen grid = [12, 20] muss man sich dieses durch ein rechteckiges Gitter von 12 (schwarzen) vertikalen bzw. 20 (roten) horizontalen Linien u ¨ berzogen denken. Durch view schließlich wird im kartesischen Koordinatensystem des Bildbereiches ein Fenster f¨ ur das Bildgitter festgelegt. > p := coordplot(polar,[0.2..4,0..2*Pi],view=[-4..4,-4..4], grid=[12,20],linestyle=1,color=[red,black]): display(p,axes=framed,scaling=constrained); 4

2

0

–2

–4

–2

0

2

4

1.6


(MWS)

35

Zur besseren Visualisierung unterlegen wir die Plots durch die grau schattierte Riemannsche Zahlenkugel: > Kugel1 := plot3d(1,theta=0..2*Pi,phi=0..Pi,shading=zgrayscale, style=patchnogrid,coords=spherical,scaling=constrained): display(Kugel1,f(p),axes=framed,tickmarks=[3$3]);

1

0

-1 -1

-1 0

0 1

1

Als zweites Beispiel w¨ ahlen wir ein Rechteckgitter (kartesisches Gitter) und gehen analog vor: > c := coordplot(cartesian,[-6..6,-6..6],view=[-6..6,-6..6], grid=[15,15],linestyle=1,color=[red,black]): display(c,axes=framed,scaling=constrained); display(Kugel1,f(c),axes=framed,tickmarks=[3$3]);

6

1

4

0

2 0

-1 -1

-2 -4 -6

-1 0

0 -4

-2

0

2

4

6

Und weil’s so sch¨ on ist, noch zwei weitere Beispiele:

1 1

36

MWS zu Kapitel 1


> sq := conformal(z^2,z=-2-2*I..2+2*I,grid=[21,21],numxy=[150,150], color=[black,red]): display(sq,view=[-5..5,-5..5],axes=framed,scaling=constrained);

Wir erl¨ autern die Bedeutung der drei wichtigsten Parameter: Durch z = - 2 - 2∗I .. 2 + 2∗I wird in der komplexen Zahlenebene das (quadratische) Rechteck [−2, 2] × [−2, 2] beschrieben. Dieses wird wegen grid = [21, 21] — ¨ ahnlich wie bei coordplot — durch ein Raster von je 21 (roten) horizontalen bzw. (schwarzen) vertikalen Gitterlinien u ¨ berzogen. Durch die komplexe Abbildung z −→ z 2 — aufgefasst als reelle Abbildung (x, y) −→ [x2 − y 2 , 2 x y] des R2 in sich — entsteht dann das Bildgitter. Es folgt die stereographische Projektion dieser 2D-Grafik: > display(Kugel1,f(sq),axes=framed,tickmarks=[3,3,3]);

1

4 2

0

0 -1 -1

-2

-1 0

0

-4 -4

-2

0

2

4

1

1

Wir beschließen den Reigen sch¨ oner Maple-Graphiken: > s := plot([t,t^1.5,t^2],t=0..2*Pi,coords=polar,tickmarks=[3,3], color=[red,black],thickness=2): display(s,axes=framed,scaling=constrained);

0

-10

-20 0

20

40

> display(Kugel1,f(s),axes=framed,title="Gusti, Lili und Modche ...", tickmarks=[3$3]);

1.6


(MWS)

37

Gusti, Lili und Modche . . .

1

0

-1 -1

-1

0

0

1

1

Das Bild dieser drei Kurven auf der Riemannschen Zahlenkugel assoziiert Erinnerungen an Gusti, Lili und Modche aus Ephraim Kishons Satire Tagebuch eines Haarspalters. Leser, die sich u ¨ber den nur auf der Kugel sichtbaren Kurvenschnittpunkt wundern, sollten in der Anweisung f¨ ur die 2D-Graphikstruktur s den Bereich t = 0 .. 2∗Pi etwa durch t = 0 .. 1.1 ersetzen.

Kapitel 2

Topologische Grundlagen 2.1 Konvergenz von Folgen 2.2 Topologische Begriffe f¨ ur Mengen und Punkte 2.3 Stetigkeit und Grenzwert 2.4 Reihen und Potenzreihen Wir geben in diesem Kapitel eine recht knappe Zusammenstellung von Grundbegriffen sowie Schlussfolgerungen, die normalerweise bereits in einer Analysis-Grundvorlesung behandelt werden.

Es seien n ∈ N fest und irgendeine Norm auf dem Cn , zum Beispiel z := z2 :=

n

1/2 |zν |

2

(euklidische Norm)

ν=1

f¨ ur z = (z1 , . . . , zn ) ∈ Cn . F¨ ur a ∈ Cn und ε > 0 heißt dann Uaε := {z ∈ Cn : z − a < ε}

”

ε-Umgebung von a“.

U0a := {Uaε : ε > 0} liefert eine Umgebungsbasis (von a)“, ” Ua := {U ⊂ Cn : ∃ ε > 0 Uaε ⊂ U } das Umgebungssystem (von a)“. ” Elemente von Ua heißen Umgebungen (von a)“. ”

2.1 Konvergenz von Folgen F¨ ur eine Folge (zk ) in Cn und a ∈ Cn definieren wir: zk −→ a

(k → ∞)

: ⇐⇒

zk − a −→ 0 (k → ∞) ;

dies bedeutet ∀ε > 0 ∃K ∈ N ∀k ≥ K

zk − a < ε


40

Kapitel 2

Topologische Grundlagen

beziehungsweise ∀ε > 0 ∃K ∈ N ∀k ≥ K

zk ∈ Uaε .

Als alternative Sprech- und Notierungsweisen sind hierf¨ ur auch gebräuchlich: zk −→ a (d. h. (k → ∞)“ weglassen), lim zk = a, (zk ) konvergiert gegen a ” k→∞ (f¨ ur k → ∞), a ist Grenzwert“ bzw. Limes“ der Folge (zk ). ” ” Man bezeichnet eine Folge (zk ) kurz als konvergent, wenn ein a ∈ Cn mit zk −→ a existiert. Auf Folgen (zk ) mit Werten in Cn u ¨ bertragen wir ferner die folgenden beiden Begriffe: (zk )

”

Cauchy-Folge“ : ⇐⇒ ∀ ε > 0 ∃ K ∈ N ∀ k, ≥ K

zk − z < ε

beschränkt“ : ⇐⇒ ∃ M ∈ [0, ∞[ ∀ k ∈ N zk ≤ M ” Offensichtlich ist jede konvergente Folge eine Cauchy-Folge, und jede CauchyFolge ist beschr¨ ankt. (zk )

Wir erinnern an die folgenden Resultate aus der Analysis. Da C mit R2 identifiziert werden konnte, kann Cn mit R2n identifiziert werden; daher können ¨ die meisten topologischen Uberlegungen aus den vertrauten Resultaten der Analysis unmittelbar abgelesen werden: 1. Eindeutigkeit des Grenzwertes: zk −→ a ∧ zk −→ a =⇒ a = a zk + wk −→ a + b 2. Linearit¨ at: zk −→ a ∧ wk −→ b ∧ α ∈ C =⇒ α zk −→ α a 3. Wir bezeichnen die durch z = (ζ1 , . . . , ζn ) −→ ζν definierte Abbildung ¨ ur gilt die folgende Aquivalenz Pν : Cn −→ C als ν-te Projektion“; hierf¨ ” von Konvergenz und komponentenweiser Konvergenz: zk −→ a ⇐⇒ ∀ ν ∈ {1, . . . , n} Pν (zk ) −→ Pν (a) 4. zk −→ a =⇒ zk −→ a 5. Speziell f¨ ur die komplexen Zahlen — d. h. n = 1 — gelten: ± zk −→ a ∧ wk −→ b =⇒ zk ± · wk −→ a · b zk a∗ −→ zk −→ a ∧ wk −→ b ∧ b = 0 =⇒ wk b zk −→ a ⇐⇒ Re zk −→ Re a ∧ Im zk −→ Im a zk −→ a ⇐⇒ zk −→ a 6. Satz von Bolzano-Weierstraß∗∗ : Jede beschränkte Folge (zk ) besitzt eine konvergente Teilfolge, d. h. es existieren ϕ : N −→ N streng isoton und a ∈ Cn mit zϕ(k) −→ a. ∗ ∗∗

F¨ ur hinreichend große k ist wk = 0. Die richtige‘ Schreibweise ist nat¨ urlich Weierstraß. ’

2.2

Topologische Begriffe f¨ ur Mengen und Punkte

41

7. Alle Normen auf Cn sind äquivalent, d. h.: Zu je zwei Normen und 0 existieren positive Konstanten γ1 und γ2 mit ur alle z ∈ Cn . γ1 z ≤ z0 ≤ γ2 z f¨ 8.

n C , ist vollständig“, d. h.: Jede Cauchy-Folge (in Cn ) ist konver” gent (gegen ein Element von Cn ).

2.2 Topologische Begriffe fu ¨ r Mengen und Punkte F¨ ur Teilmengen O von Cn definieren wir: O offen“ : ⇐⇒ ∀ z ∈ O ” ⇐⇒ ∀ z ∈ O

∃ ε > 0 Uzε ⊂ O O ∈ Uz

O := {M ⊂ Cn : M offen} heißt System der offenen Mengen des Cn“. ” ¨ Aufgrund der Norm-Aquivalenz ist diese Definition unabhängig von der speziellen Norm auf dem Cn. Das System O hat folgende Eigenschaften: (O 1) Die leere Menge ist offen. Die Vereinigung beliebig vieler offener Mengen ist offen. (O 2) Cn ist offen. Der Durchschnitt endlich vieler offener Mengen ist offen. Eine Menge M ⊂ Cn heißt genau dann abgeschlossen“, wenn ihr Komple” ! := Cn \ M offen ist. ment M (O 1), (O 2) u ¨ bersetzen sich zu: (A1) Cn ist abgeschlossen. Der Durchschnitt beliebig vieler abgeschlossener Mengen ist abgeschlossen. (A2) Die leere Menge ist abgeschlossen. Die Vereinigung endlich vieler abgeschlossener Mengen ist abgeschlossen. Sind M eine Teilmenge von Cn und a ∈ Cn , so definieren wir: a Häufungspunkt zu M“ : ⇐⇒ ∀ U ∈ Ua U \ {a} ∩ M = ∅ ” a ist also genau dann ein H¨ aufungspunkt zu M , wenn in jeder Umgebung von a ein von a verschiedener Punkt aus M liegt. Damit liegen in jeder solchen Umgebung unendlich viele Punkte aus M . M˙ := {z ∈ Cn : z H¨ aufungspunkt zu M } innerer Punkt von M“ : ⇐⇒ M ∈ Ua ⇐⇒ ∃ ε > 0 Uaε ⊂ M ” M := {z ∈ Cn : z innerer Punkt von M } (⊂ M ) : Inneres von M“ ” a

◦

42

Kapitel 2


Ber¨ uhrungspunkt zu M“ : ⇐⇒ ∀ U ∈ Ua U ∩ M = ∅ ” Die Menge der Ber¨ uhrungspunkte zu M heißt abgeschlossene H¨ ulle zu M“ ” und wird mit M bezeichnet. ! = ∅ a Randpunkt zu M“ : ⇐⇒ ∀ U ∈ Ua U ∩ M = ∅ ∧ U ∩ M ” ∂M := {z ∈ Cn : z Randpunkt zu M } heißt Rand zu M“. ” H¨ aufungs- und Randpunkte einer Menge sind offensichtlich auch Ber¨ uhrungspunkte. a

Wir halten einige wichtige Eigenschaften fest: 1. M abgeschlossen ⇐⇒ M˙ ⊂ M ◦

2. M ist die gr¨ oßte offene Teilmenge von M . ◦

M offen ⇐⇒ M = M 3. M ist die kleinste abgeschlossene Obermenge von M . M abgeschlossen ⇐⇒ M = M

◦

! = M !. Letzteres ergibt sich direkt aus 2. mit M 4. M = M˙ ∪ M !, 5. ∂M = ∂ M ◦

!, ∂M = M ∩ M

M = M ∂M,

◦

∂M ist abgeschlossen. Damit gelten: ◦

! Cn = M ∂M M

∗

6. a ist genau dann H¨ aufungspunkt zu M , wenn eine Folge (zk ) in M \ {a} mit zk −→ a existiert. a ist genau dann Ber¨ uhrungspunkt zu M , wenn eine Folge (zk ) in M mit zk −→ a existiert. Definition: Eine Teilmenge M des Cn heißt genau dann kompakt“, wenn ” ¨ zu jeder beliebigen Uberdeckung‘ von M durch offene Mengen eine endliche ’ Teil¨ uberdeckung existiert ( Heine-Borel-Eigenschaft“). ” ¨ von M , wenn Ein System O1 ⊂ O heißt dabei (offene) Uberdeckung " O M⊂ O∈O1

gilt. Hier wird also gefordert, dass zu jedem solchen System O1 eine endliche Teilmenge O2 von O1 existiert, die M u ¨ berdeckt, also: " O M⊂ O∈O2 ∗

Mit notieren wir eine disjunkte Vereinigung.

2.3

Stetigkeit und Grenzwert

Satz 1

43

F¨ ur M ⊂ Cn sind äquivalent:

a) M ist kompakt b) Zu jeder Folge (zk ) in M existieren a ∈ M und ω : N −→ N streng isoton mit zω(k) −→ a ( folgenkompakt“); in anderen Worten: ” Jede Folge in M hat eine konvergente Teilfolge mit Grenzwert in M . c) M ist beschränkt∗ und abgeschlossen. Wir verzichten auf den allgemeineren Begriff des Zusammenhangs von Mengen, da sich dieser hier bei offenen Mengen durch den anschaulicheren Begriff ¨ des Wegzusammenhangs beschreiben l¨ asst, was f¨ ur die folgenden Uberlegungen ausreicht: Definition: Ein Weg“ (in Cn ) ist eine stetige Abbildung ” g : [a, b] −→ Cn, wobei a, b ∈ R mit a < b . Eine nicht-leere Teilmenge M des Cn heißt genau dann wegzusammenhän” gend“, wenn sich je zwei Punkte von M durch einen Weg verbinden lassen, der ganz in M verl¨ auft, d. h.: Zu je zwei Punkten u und v aus M existiert ur alle ein Weg g : [a, b] −→ Cn mit g(a) = u, g(b) = v und g(t) ∈ M f¨ t ∈ [a, b]. Bezeichnung: Eine nicht-leere offene und wegzusammenhängende Teilmenge des Cn heißt Gebiet“. ” Topologie auf C asst sich einfach eine Topologie‘ einf¨ uhren, die mit Auf C := C ∪ {∞} l¨ ’ der auf C vertr¨ aglich‘ ist. Dazu betrachtet man f¨ ur z ∈ C und ε > 0 ’ Obermengen in C von Uzε als Umgebungen von z und Obermengen von ε U∞ := {z ∈ C : |z| > 1/ε} ∪ {∞}

als Umgebungen von ∞.

2.3 Stetigkeit und Grenzwert Annahmen: Es seien n, k ∈ N; D ⊂ Cn , a ∈ D und f : D −→ Ck . Definition: f

stetig in a“ ” : ⇐⇒ ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 ∀ z ∈ D z − a < δ =⇒ f (z) − f (a) < ε ⇐⇒ ∀ V ∈ Uf (a) ∃ U ∈ Ua f (U ∩ D) ⊂ V ∗

das heißt: Es existiert ein L ∈ [0, ∞[ derart, dass z ≤ L f¨ ur alle z ∈ M gilt.

44

Kapitel 2


Wir notieren hier und im Folgenden die (beliebigen) Normen in Cn und Ck mit dem gleichen Symbol . ur jede Folge (zk ) in D, Bemerkung 2 f ist genau dann stetig in a,wenn f¨ die gegen a konvergiert, die Bildfolge f (zk ) gegen f (a) konvergiert. ur eine Teilmenge D1 von D definiert man: Bezeichnung: F¨ f stetig in D1“ : ⇐⇒ ∀ a ∈ D1 : f stetig in a ” f ( global‘) stetig“ : ⇐⇒ f stetig in D ’ ” Grundeigenschaften stetiger Abbildungen f ist genau dann stetig in a, wenn alle Koordinatenfunktionen dort stetig sind. Folgende Abbildungen sind stetig: – Kompositionen (Hintereinanderausf¨ uhrungen) stetiger Abbildungen – Einschränkungen stetiger Abbildungen – Lineare Abbildungen A : Cn −→ Ck , insbesondere also die Projektionen Pν : Cn −→ C , – Normabbildungen : Cn −→ [0, ∞[ F¨ ur k = 1 gilt noch erg¨ anzend: Die Abbildungen Re, Im : C −→ R und Summe, Differenz, Produkt und Quotient stetiger Funktionen sind stetig. Satz 3 Sind D kompakt und f stetig, so ist f (D) kompakt, insbesondere also beschränkt, und f ist gleichmäßig stetig. Dabei heißt f genau dann gleichmäßig stetig“, wenn ” ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 ∀ v, w ∈ D v − w < δ =⇒ f (v) − f (w) < ε Durch scharfes Hinsehen‘ erkennt man: ’ Bemerkung 4 Stetige Abbildungen bilden wegzusammenhängende Mengen wieder in solche ab. Da in R die wegzusammenh¨ angenden Mengen gerade die Intervalle sind, verallgemeinert diese Bemerkung den Zwischenwertsatz. Grenzwerte Es seien noch zus¨ atzlich M ⊂ D, b ∈ Ck und a ∈ M˙ .

2.3


f (z) −→ b (M z −→ a) : ⇐⇒ : ⇐⇒ ∀ ε > 0

∃δ > 0

45

lim f (z) = b ∀ z ∈ M \ {a} z − a < δ =⇒ f (z) − b < ε Mz→a

Wie in der reellen Analysis benutzen wir die Sprechweisen: f (z) konvergiert (strebt) gegen b, falls z aus M gegen a konvergiert, b ist Grenzwert‘ von f (z) ’ f¨ ur z aus M gegen a und ¨ ahnlich. Die einfache Zur¨ uckf¨ uhrung des Grenzwertes auf Stetigkeit oder Beschreibung ¨ durch Folgenkonvergenz erlaubt die automatische Ubertragung von Grundregeln, die man aber auch unmittelbar aus der Stetigkeit der Grundoperationen abliest. Satz von Weierstraß F¨ ur Abbildungen fn , f : D −→ Ck (n ∈ N) gilt: Sind alle fn stetig in a, und konvergiert die Folge fn gleichmäßig∗ gegen f , fn (z) =⇒ f (z) , D

so ist auch f stetig in a. Wir erinnern an die Standard-Schlussweise, die oft durch das Stichwort ε/3” Argument“ beschrieben wird: Zu ε > 0 existiert ein n ∈ N mit fn (z) − f (z) < ε/3 f¨ ur alle z in D. Zu einem derartigen n (fest!) w¨ ahlt man ein δ > 0 mit fn (z) − fn (a) < ε/3 f¨ ur z in D mit z − a < δ. F¨ ur solche z erh¨ alt man: f (z) − f (a) ≤ f (z) − fn (z) + fn (z) − fn (a) + fn (a) − f (a) < ε Offenbar gen¨ ugt sogar die lokale‘ (das heißt auf einer Umgebung von a) ’ gleichm¨ aßige Konvergenz. ¨ Oft ziehen wir (ohne besondere Erw¨ ahnung) die folgende einfache Uberle¨ gung heran, deren Beweis wir dem interessierten Leser als Ubungsaufgabe u ¨berlassen: Ist A ⊂ C abgeschlossen und K ⊂ C kompakt mit A ∩ K = ∅ , so ist der Abstand‘ der beiden Mengen positiv, d. h. es existiert ein α > 0 mit ’ |a − z| ≥ α f¨ ur a ∈ A und z ∈ K . Speziell liefert dies: Liegt f¨ ur ein a ∈ C und ε > 0 die Umgebung Uaε in einer offenen Menge O , so gilt noch Uaδ ⊂ O mit einem geeigneten δ > ε . ∗

Das heißt: sup fn (z) − f (z) : z ∈ D −→ 0 f¨ ur n −→ ∞

46

Kapitel 2


2.4 Reihen und Potenzreihen Wir beschr¨ anken uns hier auf C-wertige Reihen, obwohl die Verallgemeinerung auf Cn -wertige — und noch wesentlich allgemeinere Situationen — ohne weiteres ¨ m¨ oglich w¨ are. Wir erinnern nur kurz an die wohl schon vertrauten Uberlegungen:

Jeder Folge a = (an ) komplexer Zahlen nkann ihre Summenfolge (sn ), definiert durch die Partialsummen sn := ν=0 aν (n ∈ N0 ), zugeordnet werden. Die Folge dieser Partialsummen bezeichnet man als Reihe (der aν ), die einzelnen aν als Summanden bzw. Glieder der Reihe. Hier wird davon ausgegangen, dass die Indizes der betrachteten Folgen bei 0 beginnen. Nat¨ urlich k¨ onnen beliebige andere Startindizes‘ auftreten! ’ Ist (sn ) konvergent (mit Grenzwert σ), dann notiert man dies als ∞

aν konvergent

∞

bzw.

ν=0

aν = σ

ν=0

∞ konverund benutzt daf¨ ur auch Sprechweisen wie: Die Reihe‘ ν=0 aν ist ’ ∞ gent (mit Wert σ). Falls (sn ) divergent ist, sagt man: Die Reihe‘ ν=0 aν ’ ist divergent. ¨ Aus den Uberlegungen f¨ ur Folgen u agt sich unmittelbar die Eindeutig¨ bertr¨ keit und dann die Linearität des Grenzwertes von Reihen: ∞ Es ν=0 aν und ∞seien N ∈ N0 , α, β ∈ C, (an ), (bn ) C-wertige Folgen mit b konvergent. Dann gelten: ν=0 ν ⎧ ⎨ konvergent ∞ ∞ ∞ (α aν + β bν ) ⎩= α aν + β bν ν=0 ν=0 ∞ ν=0

aν =

N ν=0

∞

aν +

ν=0

aν

ν=N +1

F¨ ur komplexe Folgen (an ) gelingt die Zur¨ uckf¨ uhrung auf Konvergenz in R durch: ∞ ∞ ∞ ν=0 aν ist genau dann konvergent, wenn ν=0 Re(aν ) und ν=0 Im(aν ) konvergent sind. Im Falle der Konvergenz gilt f¨ ur die Grenzwerte: ∞ ν=0

aν =

∞

Re (aν ) + i

ν=0

∞

Im (aν )

ν=0

Entsprechend gilt: ∞ ∞ ν=0 aν ist genau dann konvergent, wenn ν=0 aν konvergent ist. Im Falle der Konvergenz hat man: ∞ ν=0

aν =

∞ ν=0

aν .

2.4

Reihen und Potenzreihen

47

Der direkte Konvergenznachweis u uhsam; ¨ber die Definition ist oft relativ m¨ hilfreich sind deshalb die zahlreichen Konvergenzkriterien f¨ ur Reihen: Aus dem Cauchy-Konvergenzkriterium f¨ ur Folgen erhält man — durch Anwendung auf die Partialsummen — unmittelbar das folgende Cauchy-Kriterium f¨ ur Reihen: ∞ aν ist genau dann konvergent, wenn gilt: Die Reihe ν=0

n+k ∀ ε > 0 ∃ N ∈ N ∀ n ≥ N ∀ k ∈ N0

aν

< ε ν=n Lax bedeutet dies: Die Partialsummen werden beliebig klein, wenn nur der Startindex‘ hinreichend groß ist. Das Cauchy-Kriterium f¨ ur Reihen u ¨ber’ setzt lediglich die Vollst¨ andigkeit von C. Unmittelbar folgt daraus als notwendiges Kriterium: ∞ Ist aν konvergent, so ist (an ) eine Nullfolge. ν=0

Weiter ergibt sich sofort die Konvergenz absolut konvergenter Reihen. Dabei ∞ heißt eine Reihe ν=0 aν genau dann absolut konvergent, wenn die Reihe ∞ |a | konvergent ist. ν ν=0 Ist die Reihe

∞

aν absolut konvergent, so ist sie konvergent, und es gilt

ν=0

∞ ∞

≤ a |aν | . ν

ν=0

ν=0

Deshalb ist der Nachweis von absoluter Konvergenz hilfreich. Aus dem Monotoniekriterium f¨ ur Folgen liest man unmittelbar ab: Eine Reihe ist genaudann absolut konvergent, wenn die Folge (sn ) der Parn tialsummen sn := ν=0 |aν | beschränkt ist. Ein einfaches Kriterium f¨ ur absolute Konvergenz ist das Majorantenkriterium durch Vergleich mit schon bekannten konvergenten Reihen. Eine Reihe ∞ ur die mit einem N ∈ N0 ν=0 bν , f¨ |aν | ≤ bν

f¨ ur ν ≥ N

gilt, deren Glieder also schließlich‘ die Glieder gegebenen Reihe der ’ ∞ betraglich majorisieren, heißt Majorante zu ν=0 aν .

∞ ν=0

aν

Majoranten-Kriterium Besitzt eine gegebene Reihe eine konvergente Majorante, so ist sie selbst absolut konvergent und damit konvergent.

48

Kapitel 2


Auf einem Vergleich mit der geometrischen Reihe beruhen Wurzelkriterium und Quotientenkriterium: Wurzelkriterium ∞ Gilt lim sup n |an | < 1, so ist die Reihe ν=0 aν absolut konvergent. Aus n→ ∞ lim sup n |an | > 1 folgt die Divergenz. n→∞

Gilt die erste Bedingung, so existiert ein q mit lim sup n |an | < q < 1 ; daher hat man n |an | ≤ q f¨ ur hinreichend großes n und somit |an | ≤ q n . Die n zweite Bedingung, die abgeschw¨ acht werden kann zu |an | ≥ 1 unendlich ” oft“, ergibt, dass die Summanden keine Nullfolge bilden. Quotientenkriterium | < 1 , so ist die Reihe Gilt lim sup |a|an+1 n| n→∞

absolut konvergent. Aus lim inf n→∞

|an+1 | |an |

∞ ν=0

aν mit aν = 0 f¨ u r ν ∈ N0

> 1 folgt die Divergenz.

Die erste Bedingung kann quotientenfrei geschrieben werden: ur ein 0 ≤ q < 1 und hinreichend großes k. |ak+1 | ≤ q |ak | f¨ Eine Reihe heißt genau dann unbedingt konvergent, wenn jede ihrer Umordnungen mit gleichem Reihenwert konvergiert. Eine konvergente Reihe, die nicht unbedingt konvergent ∞ ist, heißt bedingt konvergent. Entstehen ∞ die Glieder bn einer Reihe n=0 bn aus einer gegebenen Reihe n=0 an durch Umordnung, d. h. bn = aω(n) (n ∈ N0 ) miteiner geeigneten bijektiven ∞ Abbildung ω : N0 −→ N0 , so bezeichnet man n=0 bn als Umordnung von ∞ ur Reihen mit Werten in C hat man: n=0 an . F¨ Die unbedingt konvergenten Reihen sind genau die absolut konvergenten Reihen. In der Richtung von absoluter Konvergenz zu unbedingter Konvergenz wird diese Aussage gelegentlich als Kleiner Umordnungssatz zitiert. Satz u ¨ber Cauchy-Produkte ∞ ∞ aν und bν zwei absolut konvergente Reihen mit ReihenwerEs seien ν=0

ν=0

ten α bzw. β. Dann ist die durch dn :=

n

an−ν bν

= an b0 + an−1 b1 + · · · + a0 bn

ν=0

(Anordnung nach Schrägzeilen) definierte Cauchy-Produktreihe konvergent, und es gilt: ∞ dn = α · β n=0

2.4


49

Die angegebene Produktbildung von Reihen ist f¨ ur viele Anwendungen interessant, insbesondere bei der Multiplikation von Potenzreihen. ∞ ∞ Der Satz gilt nicht, wenn die beiden Reihen ν=0 aν und ν=0 bν nur bedingt konvergieren. Eine Versch¨ arfung der obigen Aussage u ¨ber die Konvergenz der Cauchy-Produktreihe liefert der — wenig bekannte — Satz von Mertens (siehe [Kab I, S. 253]). Sind die Summanden einer Reihe Funktionen (mit einem gemeinsamen Definitionsbereich), so spricht man von einer Funktionenreihe. Die zentrale Aussage u ¨ ber die Konvergenz solcher Reihen macht das Majoranten-Kriterium von Weierstraß Es seien

∞

fk (z) eine Reihe von Funktionen fk : D −→ C und

k=0

∞

αk

k=0

eine konvergente Reihe mit nicht-negativen Summanden αk . Gilt auf einer ∞ fk (z) in M Teilmenge M von D die Abschätzung |fk (z)| ≤ αk , so ist k=0

absolut gleichmäßig konvergent. Beweis:

Nach dem Majoranten-Kriterium gilt f¨ ur z ∈ M : & ∞ absolut konvergent, fk (z) =: s(z) k=0

F¨ ur K ∈ N kann man daher absch¨ atzen:

∞

K

s(z) −

fk (z) = fk (z)

≤

k=0

k=K+1

∞ k=K+1

|fk (z)| ≤

∞

αk ;

also

k=K+1

streben die Ausdr¨ ucke auf der linken Seite gleichmäßig auf M gegen 0 .

Potenzreihen Wichtige Funktionenreihen ganz spezieller Struktur sind Potenzreihen: Es seien (ak ) eine Folge komplexer Zahlen und a ∈ C. F¨ ur z ∈ C heißt die ∞ formale Reihe der Form ak (z − a)k k=0

”

Potenzreihe“ um den Entwicklungspunkt“ a mit Koeffizienten“ ak . Mit ” ” −1 hier: 0−1 := ∞, ∞−1 := 0 R := lim sup k |ak | k→∞

( Konvergenzradius“) gilt: ”

50

Kapitel 2


Satz 5 ∞

ak (z − a)k konvergiert f¨ ur jedes 0 ≤ r < R abso lut gleichmäßig aufder abgeschlossenen Kreisscheibe z ∈ C : |z − a| ≤ r und divergiert auf z ∈ C : |z − a| > R . Die durch Eine Potenzreihe

k=0

f (z) :=

∞

ak (z − a)k

k=0

gegebene Grenzfunktion f ist stetig in UaR . Beweis: F¨ ur z ∈ C mit |z − a| ≤ r < R hat man r < 1 lim sup k |ak (z − a)k | = lim sup k |ak | |z − a| ≤ R k→∞ k→∞ ∞ und damit die absolute Konvergenz der Reihe. Speziell ist somit k=0 |ak |rk konvergent; mit dem Majoranten-Kriterium von Weierstraß folgt aus |ak (z − a)k | ≤ |ak |rk dann die gleichm¨ aßige Konvergenz und daraus mit dem Satz von Weierstraß (Seite 45) die Stetigkeit. Ist |z − a| > R, dann folgt lim sup k |ak (z − a)k | = lim sup k |ak | |z − a| > 1 , k→∞

also |ak (z − a)k | > 1 unendlich oft.

k→∞

Entweder ist die o. a. Potenzreihe f¨ ur alle z ∈ C absolut konvergent, sie wird dann auch beständig konvergent genannt, oder es existiert ein 0 ≤ R < ∞ derart, dass sie f¨ ur z ∈ C mit |z − a| < R absolut konvergent und f¨ ur z ∈ C mit |z − a| > R divergent ist. Man u ¨ berschaut also den Konvergenzbereich einer Potenzreihe weitgehend, wenn man den Konvergenzradius kennt. Die einzigen Punkte, in denen keine allgemeinen Aussagen u ¨ber das Konvergenzverhalten gemacht werden k¨ onnen, sind — falls 0 < R < ∞ — die Randpunkte‘ z mit |z − a| = R . ’

MWS zu Kapitel 2

Topologische Grundlagen Wichtige Maple-Befehle dieses Kapitels: limit, Limit, sum, Sum animate, display(. . . , insequence=true), display(Array . . . ) inequal, setoptions Optionen: linestyle, filled, optionsopen, -closed, -feasible, -excluded plottools-Paket: circle, ellipticArc, pieslice, rectangle, scale, translate ListTools-Paket: FlattenOnce remove; unapply

H¨ aufig benutzte Maple-Befehle und Voreinstellungen wie z. B. die bereits in Kapitel 1 des ¨ ofteren vorgenommene Um- und Neudefinition der imaginären Einheit mittels > interface(imaginaryunit=i):

macro(I=i):

werden ab diesem Kapitel in die Initialisierungsdatei von Maple ausgelagert.∗ Beim Start von Maple werden die Anweisungen dieser Datei ausgef¨ uhrt. Einzelheiten zum Aussehen der von uns verwendeten Initialisierungsdatei sind im Anhang zu finden.

2.1 Konvergenz von Folgen Veranschaulichung der Konvergenz > restart: with(plots): with(plottools): read "../verdi.txt":

Unser Paket verdi enth¨ alt ver schiedene Dienstleistungsprogramme, die recht hilfreich sind und daher h¨ aufig benutzt werden. Der Einfachheit halber wird ∗

Wer die Standardbezeichnung I von Maple bei der Ein- und Ausgabe bevorzugt, ben¨ otigt nat¨ urlich keinen derartigen Eintrag in eine solche Datei.

52

MWS zu Kapitel 2


verdi als Textdatei mittels des Befehls read "../verdi.txt": bereitgestellt. Die darin enthaltenen Prozeduren werden im Anhang beschrieben. Zwei davon sind c2p und p2c (complex to pair bzw. pair to complex), die komplexe Zahlen in Paare reeller Zahlen wandeln und umgekehrt. Der vielen mathematischen Begriffen innewohnende dynamische Charakter wird mittels Visualisierung hier am Beispiel der Folgenkonvergenz herausgearbeitet. Dazu wählen wir:

5

> z := n -> I+1/sqrt(3*n+1)*exp(I*rand()); m := 30: # Anzahl der zu berechnenden Folgenglieder epsilon := 0.2: # Radius der vorgegebenen epsilon-Umgebung Z := seq(evalf(z(n)),n=1..m): Limit(’z’(n),n=infinity): eval(%,1)=value(%); lim := rhs(%):

ei rand() z := n → i + √ , 3n+1

lim z(n) = i

n→∞

F¨ ur die Animation unten berechnet Maple eine Folge von Bildern. Durch Anklicken der Graphik erscheint eine Men¨ uleiste. Ist Balloon-Help aktiviert, kann man leicht feststellen, welche Funktion die einzelnen Knöpfe haben, und damit das Ablaufen der Animation steuern. Wegen ihrer relativen Kompliziertheit muss die Animation mit Hilfe des display-Befehls und der insequence=true-Option realisiert werden. Die Animation zeigt bei ihrem Ablauf eine Bildfolge mit sukzessive neu hinzukommenden Folgengliedern, die schließlich in die vorgegebene ε-Umgebung hineinlaufen‘; das letzte Bild ’ blendet — mit dem Befehl remove — alle Folgenglieder aus, die außerhalb der ε-Umgebung liegen. Durch Ab¨ andern von ε und erneutes Laufenlassen der Animation kann man so auf spielerische Weise ein Gesp¨ ur‘ daf¨ ur entwickeln, ’ was Konvergenz bedeutet.

5

10

15

> Mitte := disk(c2p(lim),epsilon/25,color=black): Umgeb := disk(c2p(lim),epsilon,color=gray): Options := color=black,symbol=circle,symbolsize=15: dots := NULL: Bildfolge := NULL: for k to m do dots := dots,c2p(Z[k]); Bildfolge := Bildfolge,pointplot([dots],Options, title="Animation zur Folgenkonvergenz") end do: ausblenden := x -> is(abs(p2c(x)-lim) >= epsilon): Bildfolge := Bildfolge, pointplot(remove(ausblenden,[dots]),Options, title=cat("Folgenglieder in der ",sprintf("%03.1f",epsilon), "-Umgebung")): Animation := display(Bildfolge,insequence=true): display(Animation,Mitte,Umgeb,axes=framed,scaling=constrained, tickmarks=[3,3]);

2.1

Konvergenz von Folgen

(MWS)

53

Animation zur Folgenkonvergenz

Bei der hier betrachteten Folge l¨ asst sich zu vorgegebenem ε leicht das zuur n > N : geh¨ orige N = N (ε) berechnen mit |zn − lim| < ε f¨ > solve({abs(z(n)-lim) < epsilon,n > 0},{n}): N := ceil(lhs(op(1,%)));

N := 8 Koordinatenweise Konvergenz Das folgende Bild verdeutlicht, dass Konvergenz und koordinatenweise Konvergenz ¨ aquivalent sind: Aus |zn − a| < ε folgen |Re (zn ) − Re (a)| < ε und |Im (zn ) − Im (a)| < ε ; gelten umgekehrt |Re(zn ) − Re(a)| < √ε2 und |Im (zn ) − Im (a)| < √ε2 , so folgt |zn − a| < ε .

5

> restart: with(plots): with(plottools): epsilon := 1: eps := epsilon/sqrt(2): M := [0,0]: Mitte := disk(M,epsilon/30,color=black): Umgeb := circle(M,epsilon): Streifen := inequal({M[1]-eps<x,x<M[1]+eps,M[2]-eps restart: Limit((sqrt(n)+I*n)/(n+1),n=infinity): % = value(%); Limit(1/sqrt(2)^n*exp(I*Pi/4*n),n=infinity): % = value(%);

√ n+in = i, lim n→∞ n+1

lim

n→∞

e1/4 i π n √ =0 ( 2)n

Die beiden Folgen sind konvergent in C. > Limit(2^n,n=infinity): % = value(%);

lim 2n = ∞

n→∞

Diese Folge divergiert bestimmt gegen ∞ . Leichte Veränderung liefert das Ergebnis undefined : > Limit(sqrt(2)^n*exp(I*Pi/4*n),n=infinity): % = value(%);

√ lim ( 2)n e1/4 i π n = undefined

n→∞

Schreiben wir dieselbe Folge aber anders, so ergibt sich: > Limit((1+I)^n,n=infinity): % = value(%);

lim (1 + i)n = ∞

n→∞

> Limit(I^n,n=infinity): % = value(%);

lim in = lim in

n→∞

n→∞

Auch im letzten Fall hat Maple nichts herausgefunden. Es wäre nat¨ urlich sch¨ oner, wenn Maple die H¨ aufungswerte angeben w¨ urde, also 1, i, −1, −i . Und so sieht die Antwort aus, wenn Maple keinen Grenzwert findet, aber feststellen kann, dass alle H¨ aufungswerte in einem Rechteck‘ a .. b liegen. ’ a bedeutet dabei die linke untere, b die rechte obere Ecke des Rechtecks: > Limit(exp(I*Pi/4*n),n=infinity): % = value(%); Limit(1+(-1)^n,n=infinity): % = value(%);

lim e1/4 i π n = −1 − i .. 1 + i ,

n→∞

lim 1 + (−1)n = −i .. 2 + i

n→∞

2.2


(MWS)

55

2.2 Topologische Begriffe fu ¨ r Mengen und Punkte Beispiele f¨ ur offene, abgeschlossene, kompakte und zusammenhängende Mengen sollten aus den Grundvorlesungen hinreichend bekannt sein. Im Folgenden geht es nur um deren Umsetzung mit geeigneten Graphikwerkzeugen von Maple. F¨ ur die Darstellung von Mengen treffen wir die Vereinbarung, dass deren Inneres hellgrau gef¨ arbt wird. Soll ein Rand‘ zur Menge gehören, so ’ wird dieser als durchgezogene Linie, andernfalls gestrichelt gezeichnet. > restart: with(plots): with(plottools): setoptions(axes=framed,scaling=constrained,tickmarks=[3,3]): # Dies gilt als Voreinstellung f¨ ur diesen Abschnitt.

Kreise, Kreisringe, Kreissektoren Kreise bzw. Kreisscheiben sind im Zusammenhang mit Umgebungen aufgetreten und z¨ ahlen zu den einfachsten Beispielen f¨ ur Mengen. Sie begegnen ¨ uns z. B. auch als Konvergenzbereiche von Potenzreihen. Ahnlich verhält es sich mit Kreisringen als Konvergenzbereichen von Laurent-Reihen. > Kreis1 := disk([0,0],1,color=gray): Kreis2 := disk([0,0],1/2,color=white,numpoints=30): display(Kreis1,linestyle=3); display(Kreis2,Kreis1,linestyle=3);

Die oben mit Hilfe von disk erzeugten Mengen {z ∈ C : |z| < 1} bzw. {z ∈ C : 1/2 < |z| < 1} sind offene Mengen. Offensichtlich sind sie auch zusammenh¨ angend. Dies gilt nicht f¨ ur die nachfolgend gezeigte offene Menge {z ∈ C : |z| < 1 ∨ |z − (2 + i)| < 3/4} . > Kreis3 := disk([2,1],3/4,color=gray): display(Kreis1,Kreis3,linestyle=3,view=[-2..4,-2..3]);

56

MWS zu Kapitel 2


Durch leichte Modifikation erh¨ alt man mit Hilfe von pieslice folgende Varianten: > Sektor1 := pieslice([0,0],3,Pi/6..Pi/3,color=gray): Sektor2 := pieslice([2,1],2,-11*Pi/12..11*Pi/12,color=gray): Sektor3 := pieslice([2,1],1,-11*Pi/12..11*Pi/12,color=white): display(Sektor1); display(Sektor3,Sektor2,linestyle=3);

Der Kreissektor {z ∈ C : |z| ≤ 3 , π/6 ≤ arg(z) ≤ π/3} ist eine abgeschlossene, beschr¨ ankte Menge, und die rechts dargestellte Menge {z ∈ C : 1 < |z − (2 + i)| < 2 , | arg(z − (2 + i))| < 11π/12} ist ein Gebiet. Auch die folgende Graphik, welche ein etwas komplexeres Gebiet — n¨ amlich eines mit L¨ ochern‘— zeigt, ist mit Hilfe einfacher Gra’ phikbausteine erzeugt worden: > Kopf Nase Augen Mund 5

:= := := :=

ellipticArc([0,0],2,2.5,0..2*Pi,color=gray,filled=true): disk([0,-0.2],0.4,color=white): map(z->disk(z,0.2,color=white),[[-0.8,0.9],[0.8,0.9]]): plot([x^2-1.9,0.6*x^2-1.5],x=-1..1,color=black), plot(0.6*x^2-1.5,x=-1.1..1.1,color=gray,filled=true), plot(x^2-1.9,x=-1..1,color=white,filled=true): display(Nase,Augen,Mund,Kopf,view=[-3..3,-3..3]);

2.2


(MWS)

57

Konvexe Mengen, Sterngebiete Konvexe ∗ Gebiete spielen z. B. bei der Herleitung des Cauchyschen Integralsatzes eine wichtige Rolle. Deshalb interessieren wir uns f¨ ur ihre graphische Darstellung mit Maple. Konvexe Mengen, die sich durch Ungleichungssysteme beschreiben lassen, k¨ onnen auf sehr einfache Weise mit dem inequal -Befehl veranschaulicht werden. Hierzu ein Beispiel:

5

> inequal({1-x-y display(seq(Stern(n),n=3..10),insequence=true);

n = 5

n = 7

¨ Altere Maple-Versionen hatten Probleme, derartige Sterngebiete richtig zu färben. Dies lag daran, dass Maple ein Polygon mit den Ecken v1 , . . . , vn f¨ arbte, indem es f¨ ur j = 2, . . . , n − 1 die Dreiecke zu v1 , vj , vj+1 f¨ ullte. Diese hatten also stets v1 als Eckpunkt. Eine mögliche Lösung bestand darin, separat den Rand zu zeichnen und dann das Innere zu färben, indem der zus¨ atzliche Punkt (0, 0) — diesbez¨ uglich ist das Gebiet ja sternförmig — als erste Ecke eingef¨ ugt wurde. Dann lieferten die Dreiecke die richtige Färbung.

Sierpinski-Teppich Gebiete k¨ onnen eine recht verwickelte Struktur haben. Dies wollen wir am Beispiel des Sierpinski-Teppichs zeigen. Ausgangspunkt seiner Konstruktion ist das Quadrat [0, 1] × [0, 1]. Wir stauchen dieses Quadrat auf 1/3 seiner urspr¨ unglichen Gr¨ oße und kopieren es dann nach rechts oben:

> Quadrat:= rectangle([0,0],[1,1],color=gray): p1:= scale(Quadrat,1/3,1/3): p2:= translate(p1,1/3,2/3): display(p1,p2,view=[0..1,0..1]);

Das Zusammenf¨ ugen mit 6 weiteren Kopien f¨ uhrt zu folgender Graphik:

60

MWS zu Kapitel 2


> L := [[1,0],[2,0],[0,1],[0,2],[2,1],[1,2],[2,2]]/3: map(z -> translate(p1,op(z)),L): display(p1,%);

Auf die neu erzeugte Graphikstruktur kann das oben beschriebene Vorgehen erneut angewendet werden. Dieser iterative Prozess lässt sich mittels der Funktion Sierp durchf¨ uhren:

5

> Sierp := proc(Graphik) local p,L; p := scale(Graphik,1/3,1/3); L := [[1,0],[2,0],[0,1],[0,2],[2,1],[1,2],[2,2]]/3; map(z->translate(p,op(z)),L); display(p,op(%)) end proc: display(Array([seq((Sierp@@n)(Quadrat),n=0..2)]),axes=none);

Mit display kann man offensichtlich auch mehrere Graphiken nebeneinander plazieren. Dazu werden diese als Array an display u ¨ bergeben. Das darin auftretende Symbol Sierp@@n“ bedeutet die iterierte Zusammensetzung von Sierp, al” so etwa (Sierp@@2)(Quadrat) = Sierp(Sierp(Quadrat)). Man erkennt, dass Sierp die erwarteten Resultate liefert. Die Gitterlinien lassen sich durch die Option style=patchnogrid unterdr¨ ucken. F¨ ur n = 3 und n = 4 sehen die Gebiete dann so aus: > Quadrat := rectangle([0,0],[1,1],color=gray,style=patchnogrid): display(Array([seq((Sierp@@n)(Quadrat),n=3..4)]),axes=none);

2.3


(MWS)

61

2.3 Stetigkeit und Grenzwert Grenzwerte f¨ ur reellwertige Funktionen Der Grenzwert

lim f (z) =: w0

z→z0

einer komplexwertigen Funktion f (z) = u(x, y) + i v(x, y) mit z = x + i y und z0 = x0 + i y0 existiert genau dann, wenn die reellen Grenzwerte lim (x, y)→(x0 , y0 )

u(x, y) = u0

und

lim (x, y)→(x0 , y0 )

v(x, y) = v0

existieren und w0 = u0 + i v0 gilt. Es gen¨ ugt daher, reellwertige Funktionen, die von zwei Variablen abh¨ angen, zu untersuchen. Maple stellt Hilfsmittel bereit, die Existenz solcher Grenzwerte zu u ufen. ¨berpr¨ Beispiel 1: 3D-Test, Test mit Polarkoordinaten > restart: with(plots): u := (x,y) -> x*y/(x^2+y^2);

u := (x, y) →

x2

xy + y2

Wir testen, ob Maple mit Hilfe des multidirectional limit den Grenzwert im Punkte (0, 0) bestimmen kann: > limit(u(x,y),{x=0,y=0});

limit

xy , {y = 0, x = 0} x2 + y 2

Dieser Versuch ist also gescheitert. Dies sieht man nat¨ urlich z. B. auch sofort daran, dass u(x, 0) = 0 und u(x, x) = 1/2 f¨ ur x = 0 gelten. Wir testen nun mit Maple, ob die Limites l¨ angs der Koordinatenachsen existieren: > Limit(u(x,y),x=0): % = value(%);

lim

x→0 x2

xy =0 + y2

> Limit(Limit(u(x,y),x=0),y=0): % = value(%);

lim lim

y→0 x→0

xy =0 x2 + y 2

Aus Symmetriegr¨ unden gelten die entsprechenden Aussagen bei Vertauschung von x und y. Betrachten Sie folgendes Bild:

62

MWS zu Kapitel 2


> plot3d(u(x,y),x=-1..1,y=-1..1,grid=[40,40],axes=boxed, color=gray,orientation=[110,60]);

0.4

0 –1 –0.4

0 y 1 0x

–1

1

Der unruhige Faltenwurf des Funktionsgraphen bei (0, 0) legt die Vermutung nahe, dass der Grenzwert im Nullpunkt nicht existiert. Es fällt auf, dass der Graph l¨ angs der Winkelhalbierenden y = x die obere Begrenzung der Box mit z = 1/2 ber¨ uhrt. Entsprechend wird längs der Winkelhalbierenden y = −x die untere Begrenzung der Box mit z = −1/2 ber¨ uhrt. Um dies zu klären, werden die Grenzwerte l¨ angs Geraden durch (0, 0) bestimmt und dazu Polarkoordinaten eingef¨ uhrt: > subs({x=r*cos(t),y=r*sin(t)},u(x,y)): % = simplify(%); Limit(’u’(r*cos(t),r*sin(t)),r=0): eval(%,1) = simplify(value(%));

r2

r2 cos(t) sin(t) cos(t)2 + r2 sin(t)2

= cos(t) sin(t)

lim u(r cos(t), r sin(t)) = cos(t) sin(t)

r→0

In diesem speziellen Fall h¨ atten wir uns nat¨ urlich die letzte Befehlszeile auch sparen k¨ onnen. Da dieser Grenzwert vom Winkel t abhängt, wird auch auf diesem Wege klar, dass der Grenzwert von u(x, y) f¨ ur (x, y) −→ (0, 0) nicht existiert. Beispiel 2: Visueller Test mittels 2D-Animation > restart: with(plots): u := (x,y) -> x*y^2/(x^2+y^4);

u := (x, y) −→

x y2 + y4

x2

2.3


(MWS)

63

Ist u stetig erg¨ anzbar in (0, 0)? Offensichtlich kann man dieses Beispiel durch uckf¨ uhren. Mitdie Substitution y 2 = t auf das vorangehende Beispiel zur¨ hin existiert der gesuchte Grenzwert nicht. Lässt sich das auch an der 3DDarstellung erkennen? Wir bilden dazu zwei unterschiedliche Ansichten derselben Graphik nebeneinander ab. Deren Ausrichtung kann sehr leicht durch Anklicken der Graphik mit der Maus ver¨ andert werden. > p := plot3d(u(x,y),x=-1..1,y=-1..1,grid=[40,40],color=gray): q := display(p,orientation=[130,60]): display(Array([q,p]),title="Visueller Test auf Stetigkeit");

Visueller Test auf Stetigkeit

Um eine optische T¨ auschung‘ ausschließen zu können, veranschaulichen wir ’ den Funktionsgraphen mittels einer 2D-Animation. Dabei fungiert die yVariable — f¨ ur y = 0 — als Scharparameter der Schnitte‘ und läuft von ’ −1 bis −0.1, also bis unmittelbar vor die Singularität. > animate(u(x,y),x=-1..1,y=-1..-0.1,tickmarks=[4,4],numpoints=300, color=black,thickness=2);

Visueller Test auf Stetigkeit mittels Animation 0.4

0.2

–1

–0.5

0 –0.2

–0.4

0.5

1

64

MWS zu Kapitel 2


Unsere Beobachtungen lassen sich auch leicht analytisch bestätigen. Wir untersuchen u f¨ ur festes y = 0 auf Extrema: > solve(D[1](u)(x,y),{x});

{x = −y 2 } ,

{x = y 2 }

> ’u’(y^2,y): eval(%,1) = value(%); ’u’(-y^2,y): eval(%,1) = value(%);

u(y 2 , y) =

1 , 2

u(−y 2 , y) =

−1 2

Grenzwerte f¨ ur komplexwertige Funktionen Beispiel 1 > restart: f := z -> (z^5-2*z^4+z^3+z^2/2-z+1/2)/(z^2-2*z+1);

f := z →

1 2 1 z −z+ 2 2 z2 − 2 z + 1

z5 − 2 z4 + z3 +

> f(1);

Error, (in f) numeric exception: division by zero f ist in z0 = 1 nicht definiert. Jedoch der Grenzwert f¨ ur z −→ z0 existiert: > Limit(’f(z)’,z=1): eval(%,1) = value(%);

lim f (z) =

z→1

3 2

> simplify(f(z));

z3 +

1 2

> p := unapply(%,z);

p := z −→ z 3 +

1 2

f ist in z0 = 1 stetig erg¨ anzbar: Definiert man f (1) := 3/2 , so stimmt f u ¨berall mit der Polynomfunktion p u ¨berein, die man mit Hilfe des MapleBefehls unapply aus dem Ausdruck z 3 + 1/2 erhält.

2.4


(MWS)

65

Beispiel 2 Bei komplexen Unstetigkeitsstellen muss man vorsichtig sein: > restart: f := z -> 1/(z-I);

f := z −→

1 z−i

> Limit(f(z),z=I): % = value(%);

lim

z→i

1 = undefined z−i

> Limit(f(z),z=I,complex): % = value(%);

lim z→i,complex

1 = ∞ − ∞i z−i

Beispiel 3 Interessant ist auch folgendes Beispiel: > restart: f := z -> exp(-1/(z-I)^2);

f := z −→ e

1 − (z−i) 2

> Limit(f(z),z=I): % = value(%);

lim e

1 − (z−i) 2

z→i

= 0

> Limit(f(z),z=I,complex): % = value(%);

lim

z→i,complex

e

1 − (z−i) 2

=

lim

z→i,complex

e

1 − (z−i) 2

Hieran wird deutlich, dass der limit-Befehl ohne Option complex den beidseitigen reellen Grenzwert, das heißt im Argument z = i + t mit t ∈ R, berechnet.

2.4 Reihen und Potenzreihen Absolut konvergente Reihen ∞ Reihen k=0 bk mit nicht-negativen Summanden ∞ werden herangezogen zum Konvergenznachweis f¨ ur komplexe Reihen k=0 ak . Wie im reellen Fall er ∞ gibt sich deren (absolute) Konvergenz, wenn ∞ k=0 bk eine konvergente Majorante ist, bzw. deren Divergenz, wenn k=0 bk eine divergente Minorante

66

MWS zu Kapitel 2


ist. Wurzel- und Quotientenkriterium basieren dabei auf dem Vergleich mit der geometrischen Reihe. Beispiel 1:

∞ k2 2k k=0

> restart: a := k -> k^2/2^k;

a := k −→

k2 2k

Quotientenkriterium: > Limit(’a’(k+1)/’a’(k),k=infinity):

lim

k→∞

eval(%,1) = value(%);

1 a(k + 1) = a(k) 2

Wurzelkriterium: > Limit(’a’(k)^(1/k),k=infinity):

eval(%,1) = value(%); 1

lim a(k) k =

k→∞

1 2

Maple liefert f¨ ur diese Reihe den Wert > Sum(a(k),k=0..infinity):

% = value(%); ∞ k2 = 6 2k k=0

Beispiel 2:

∞ zk k!

k=0

> restart: b := k -> abs(z)^k/k!;

b := k →

|z|k k!

Quotientenkriterium: > Limit(’b’(k+1)/’b’(k),k=infinity): eval(%,1) = simplify(%); erg := convert(value(%%),string): print(cat(‘Dieser Grenzwert ist gleich ‘, erg,‘ .‘));

lim

k→∞

b(k + 1) |z| = lim . Dieser Grenzwert ist gleich 0 . k→∞ k + 1 b(k)

Diese Reihe ist also f¨ ur jedes z absolut konvergent. Das sieht man auch mit dem Wurzelkriterium:

2.4


(MWS)

> Limit(’b’(k)^(1/k),k=infinity):

67

eval(%,1) = value(%); 1

lim b(k) k = 0

k→∞

Maple kennt‘ nat¨ urlich die Exponentialfunktion und berechnet als Reihen’ wert: > Sum(z^k/k!,k=0..infinity):

% = value(%); ∞ zk k=0

k!

= ez

Die Feinheit, ez und exp(z) zu unterscheiden (vgl. S. 81), u ¨ berfordert Maple! Beispiel 3:

∞ 1 k k=1

> restart: c := k -> 1/k;

c := k −→ > Limit(’c’(k+1)/’c’(k),k=infinity):

lim k→∞

1 k

eval(%,1) = value(%);

c(k + 1) =1 c(k)

> Limit(’c’(k)^(1/k),k=infinity):

eval(%,1) = value(%); 1

lim c(k) k = 1 k→∞

F¨ ur dieses Beispiel liefern folglich weder Quotienten- noch Wurzelkriterium eine Antwort. Maple erkennt dennoch, dass diese Reihe divergiert: > Sum(1/k,k=1..infinity): % = value(%); ∞ 1 =∞ k k=1

Majorantenkriterium von Weierstraß, gleichm¨ aßige Konvergenz Es sei M eine Teilmenge von C. Besitzt eine Folge (fk ) von Funktionen ∞ fk : M −→ C eine konvergente Majorante ur alle k=0 αk mit |fk (z)| ≤ αk f¨ ∞ z ∈ M , so ist die Reihe k=0 fk (z) auf M (absolut) gleichmäßig konvergent. Wir veranschaulichen dies — im Reellen — an der geometrischen Reihe:

68

MWS zu Kapitel 2


> restart: with(plots): f := z -> 1/(1-z);

f := z →

1 1−z

> epsilon := 0.2: r := 0.7: rest := sum(r^k,k=n+1..infinity): solve(rest=epsilon,n): N := ceil(%);

N := 7

5

> Bild1 := plot(f(z)+epsilon,z=-r..r,color=gray,filled=true): Bild2 := plot(f(z)-epsilon,z=-r..r,color=white,filled=true): Folge := seq(plot(sum(z^k,k=0..n),z=-r..r,color=black,thickness=2, title=cat(n,". Partialsumme")),n=1..2*N): Bild3 := display(Folge,insequence=true): display(Bild3,Bild2,Bild1,tickmarks=[3,3]);

4. Partialsumme

F¨ ur dieses Beispiel kann man zeigen, dass zu beliebig vorgegebenem positiven ε und 0 < r < R ( = 1) eine nat¨ urliche Zahl N so existiert, dass die n k z f¨ u r n ≥ N und |z| ≤ r ganz im ε-Schlauch um f Partialsummen k=0 verlaufen. Der ,Rest’ ist n¨ amlich: 1 1 − z n+1 z n+1 1 − − = =: n (z) zk = 1−z 1−z 1−z 1−z n

k=0

N +1

r zeigt dann die gleichm¨ aßige Konvergenz in {z ∈ C : |z| ≤ r} . | n (z)| ≤ (1−r) Dass die gleichm¨ aßige Konvergenz nicht im ganzen Bereich {z ∈ C : |z| < R} gilt, belegt — schon im Reellen — der Grenz¨ ubergang z −→ R bei festem n f¨ ur n (z) .

2.4


(MWS)

69

Maple im Umgang mit Reihen Mit folgender Reihe wussten ¨ altere Versionen von Maple nichts‘ anzufangen: ’ > restart: Sum((1+I*n*(-1)^(n+1))/n^2,n=1..infinity): % = value(%); ∞ ∞ 1 + i n (−1)n+1 1 + i n (−1)n+1 = 2 n n2 n=1 n=1

Ganz anders ist die Reaktion bei neueren Maple-Versionen: > Sum((1+I*n*(-1)^(n+1))/n^2,n=1..infinity):: % = value(%); ∞ 1 + i n (−1)n+1 1 = π 2 + i ln(2) 2 n 6 n=1

Schauen wir uns die geometrische Reihe an: > Sum(2^n,n=0..infinity): % = value(%); ∞

2n = ∞

n=0

> Sum(2^n,n=0..infinity): % = evalf(%); ∞

2n = −1.000000000

!

n=0

> Sum((-2)^n,n=0..infinity): % = value(%); ∞ n=0

(−2)n =

∞

(−2)n

n=0

> Sum((1-I)^n/sqrt(2)^n,n=0..infinity): % = value(%); ∞ ∞ (1 − i)n (1 − i)n √ √ = ( 2)n ( 2)n n=0 n=0

In den beiden letzten Beispielen liefert Maple kein vern¨ unftiges‘ Ergebnis. √ ’ In fr¨ uheren Versionen setzte Maple locker −2 bzw. (1 − i)/ 2 in die — nur ∞ n z = 1/(1 − z) ein! Ersetzt man value f¨ ur |z| < 1 g¨ ultige — Formel n=0 durch evalf, so geschieht dies auch unter Maple 15 noch:

70

MWS zu Kapitel 2


> Sum((-2)^n,n=0..infinity): % = evalf(%,3); Sum((1-I)^n/sqrt(2)^n,n=0..infinity): % = evalf(%,3); ∞ n=0

(−2)n = 0.333 ,

∞ (1 − i)n √ = 0.500 − 1.21 i ( 2)n n=0

!

Das erste dieser beiden Maple-Ergebnisse werden wohl alle Nutzer als falsch erkennen. Bei dem zweiten aber werden einzelne das Ergebnis vielleicht gedankenlos hinnehmen. Auf den ersten Blick wirken die unterschiedlichen Antworten verwirrend: value liefert eine andere Antwort als evalf, divergente Reihen konvergieren angeblich, eine Reihe mit positiven Summanden soll sogar einen negativen Reihenwert besitzen. Machen wir weitere Tests mit folgenden wohlbekannten Reihen: > Sum(1/n^2,n=1..infinity): % = value(%); ∞ 1 1 = π2 2 n 6 n=1

> Sum(1/n^3,n=1..infinity): % = value(%); erg := convert(evalf(%%),string): print(cat(‘Dieser Wert ist ungef¨ ahr gleich ‘, erg,‘ .‘)); ∞ 1 = ζ(3) . Dieser Wert ist ungefähr gleich 1.202056903 . 3 n n=1

> Sum(1/n^(1/2),n=1..infinity):

% = value(%);

∞ 1 √ =∞ n n=1

> Sum(1/n^(1/2),n=1..infinity): % = evalf(%); ∞ 1 √ = −1.460354509 n n=1

Der Hinweis auf der Help-Seite, dass Sum u. a. auch Summierungsverfahren kennt‘ und anwendet, d¨ urfte die meisten Anwender u ¨ berfordern! Er bestätigt ’ den oben gewonnenen Eindruck, dass Maple ein umfangreiches Arsenal unterschiedlicher Methoden einsetzt. Man sollte es sich deshalb zur Gewohnheit machen, eine Reihe auf Konvergenz zu untersuchen, bevor man mit Maple den Reihenwert zu berechnen versucht. Denn höchstens dann liefert Maple sinnvolle Ergebnisse.

Kapitel 3

Komplexe Differenzierbarkeit 3.1 3.2 3.3 3.4

Definition und Grundregeln Differentiation von Potenzreihen Zusammenhang zwischen komplexer und reeller Differenzierbarkeit Exponentialfunktion und Logarithmus

Differenzierbarkeit wird wie im Reellen eingef¨ uhrt, erweist sich jedoch als ungleich leistungsf¨ ahiger, was sich aber großenteils erst in den folgenden Kapiteln zeigen wird.

3.1 Definition und Grundregeln Zun¨ achst stellen wir kurz und ohne Beweise einige Dinge zusammen, die man heute meist schon in der Analysis I gleich f¨ ur den Körper C (statt nur f¨ ur R ) mitbehandelt. Dabei verzichten wir hier auf mögliche Abschwächungen der Annahmen. ◦

Annahmen: Es seien Df := D ⊂ C, f : D −→ C und a ∈ D . Definition: f differenzierbar in a“ : ⇐⇒ ∃ A ∈ C ”

f (z) − f (a) −→ A z−a

(D z −→ a)

Es wird also die Existenz des Grenzwertes des Differenzenquotienten“ ” f¨ ur den Grenz¨ ubergang D z −→ a gefordert.

f (z)−f (a) z−a

Falls f differenzierbar in a ist, notieren wir: Df (a) := f (a) :=

lim

Dz→a

f (z) − f (a) z−a

Dieser (eindeutige) Grenzwert heißt Ableitung von f an der Stelle a“. Er ” df wird gelegentlich auch als dz (a) notiert.


72

Kapitel 3

Komplexe Differenzierbarkeit

F¨ ur eine Teilmenge M von D heißt f genau dann differenzierbar in M“, ” ◦ wenn M ⊂ D und f f¨ ur alle z ∈ M differenzierbar in z ist. f heißt differenzierbar“ genau dann, wenn f in D differenzierbar ist. (Dann ” ist D insbesondere offen.) ◦ D(f ) := z ∈ D : f differenzierbar in z f : D(f ) z −→ f (z) ∈ C Satz 1

”

(erste) Ableitung von f“

¨ Aquivalent sind:

α) f ist differenzierbar in a. β) Es existiert h : D −→ C stetig in a mit f (z) = f (a) + h(z)(z − a)

(z ∈ D) .

γ) Es existieren A ∈ C, r : D −→ C stetig in a mit r(a) = 0 derart, dass f (z) = f (a) + A(z − a) + r(z)(z − a) Zusatz

(z ∈ D) .

Gilt β), so ist h(a) = f (a); hat man γ), so folgt A = f (a).

Bemerkung

Ist f differenzierbar in a, dann ist f stetig in a.

Dass die Umkehrung nicht gilt, zeigt beispielsweise die stetige Abbildung Re : C −→ C, die an keiner Stelle differenzierbar ist, was wir erst weiter unten begr¨ unden werden. Unter den zusätzlichen Voraussetzungen ◦

Dg ⊂ C, g : Dg −→ C, a ∈ Dg und f, g differenzierbar in a erh¨ alt man die Grundregeln 1. f + g ist differenzierbar in a und (f + g) (a) = f (a) + g (a) . 2. αf ist differenzierbar in a und (αf ) (a) = αf (a)

(α ∈ C) .

3. f g ist differenzierbar in a und (f g) (a) = f (a)g(a) + f (a)g (a) . 1. und 2. beschreiben die Linearität der Differentiation in a. Die Aussage 3. heißt Produktregel“. ” Schon bekannte Beispiele sind: (B1) b ∈ C, f (z) := b (z ∈ C): f ist differenzierbar mit f (a) = 0 (B2) n ∈ N, f (z) := z n (z ∈ C): f ist differenzierbar mit f (a) = nan−1 (a ∈ C).

(a ∈ C).

3.2

Differentiation von Potenzreihen

73

(B3) f (z) = exp(z) (z ∈ C): f ist differenzierbar mit f = f . m (B4) m ∈ N 0 ; αμ ∈ C (μ = 0, . . . , m); P (z) := αμ z μ ( Polynom‘) ’ μ=0 m P ist differenzierbar mit P (a) = μαμ aμ−1 (a ∈ C). μ=1

Quotientenregel Unter den zus¨ atzlichen Voraussetzungen ◦

Dg ⊂ C, g : Dg −→ C, a ∈ Dg , g(a) = 0 , f und g differenzierbar in a gilt: f ist differenzierbar in a mit g

f f (a)g(a) − f (a)g (a) (a) = g (g(a))2

Dabei ist zu beachten: Die Differenzierbarkeit von g in a impliziert die Stetigkeit von g in a. Da g(a) verschieden von Null ist, existiert ein δ > 0 derart, dass ◦ g(z) = 0 f¨ ur alle z ∈ Uaδ ∩ Dg gilt, also a ∈ Df /g .

Kettenregel Unter den zus¨ atzlichen Voraussetzungen ◦

Dg ⊂ C, g : Dg −→ C, b := f (a) ∈ Dg , f differenzierbar in a, g differenzierbar in b ist g ◦ f differenzierbar in a mit

(g ◦ f ) (a) = g (f (a))f (a) .

(B5) Nach der Quotientenregel und (B4) sind alle rationalen Funktionen differenzierbar. (B6) cos und sin sind differenzierbar mit cos = − sin und sin = cos.

3.2 Differentiation von Potenzreihen Im Anschluss an den Satz u ¨ ber Potenzreihen (Seite 50) zeigen wir mit den dortigen Bezeichnungen (im nicht-trivialen Fall R > 0 ): Satz 2 f ist differenzierbar in UaR mit

f (z) =

∞

k ak (z − a)k−1

f¨ ur z ∈ UaR .

k=1

Folgerung Potenzreihen können also — in UaR — gliedweise differenziert‘ werden. Die ’ zugehörige Funktion ist beliebig oft differenzierbar. Die Koeffizienten in einer Potenzreihenentwicklung sind somit eindeutig bestimmt. Eine Potenzreihe ist gerade die Taylor-Reihe der durch sie dargestellten Funktion.

74

Kapitel 3


∞ Beweis: Œ a = 0 (sonst u√:= z − a betrachten): k=1 k ak z k−1 hat auch den Konvergenzradius R da k k −→ 1 f¨ ur k → ∞ . Daher ist ∞ k−1 k |a |r konvergent f¨ u r 0 < r < R. (1) k k=1 Es sei nun b ∈ U0R fest; dazu w¨ ahlt man r so, dass |b| < r < R . F¨ ur k ∈ N sei ⎫ ⎧ k k−1 ⎨ z − bk ⎬ , z = b = z k−1−κ bκ ; hk (z) := z−b ⎭ ⎩ k−1 κ=0 kb , z=b f¨ ur |z| ≤ r hat man daf¨ ur: |hk (z)| ≤

k−1

|z|k−1−κ |b|κ ≤ k rk−1

(2)

κ=0

Nun ist f¨ ur z ∈ U0R : f (z) − f (b) =

∞

ak (z k − bk ) = (z − b)

k=1

∞

ak hk (z)

(3)

k=1

Nach Majoranten-Kriterium von Weierstraß ist die Reihe ∞ (1), (2) und dem r aßig konvergent. Nach dem Satz von k=1 ak hk (z) in U0 absolut gleichm¨ Weierstraß (Seite 45) ist die dadurch definierte Funktion stetig in b. Nach (3) folgt damit: f ist differenzierbar in b und f (b) =

∞ k=1

ak hk (b) =

∞

kak bk−1

k=1

3.3 Zusammenhang zwischen komplexer und reeller Differenzierbarkeit Eine Abbildung f : C −→ C definiert in kanonischer Weise eine Abbildung F : R2 −→ R2 . Hier fragen wir nach dem Zusammenhang zwischen komplexer Differenzierbarkeit von f und reeller Differenzierbarkeit von F : ϕ : R2 ( xy ) −→ x + iy ∈ C ist R-linear, bijektiv und erf¨ ullt x x |ϕ ( y ) | = ( y )2 . In den Worksheets tritt ϕ als Prozedur p2c (pair-to-complex) und die Umkehrabbildung ϕ−1 als c2p (complex-to-pair) auf. ◦

Annahmen: Es seien C ⊃ D, f : D −→ C und a = ϕ ( αβ ) ∈ D. Die letzte ◦

Aussage ist mit E := ϕ−1 (D) ⊂ R2 äquivalent zu ( αβ ) ∈ E.

3.3

Zusammenhang zwischen komplexer und reeller Differenzierbarkeit 75

Bezeichnung: F := ϕ−1 ◦ f ◦ ϕ : E −→ R2 ist definiert durch x

Re f (x+iy) u( y ) x ( y ) −→ Im f (x+iy) =: . x v( y ) Satz 3 Die Funktion f ist genau dann (komplex) differenzierbar in a = α + iβ, Cauchy-Riemannwenn F (reell) differenzierbar in ( α β ) ist und die ” Differentialgleichungen“, kurz CR-DGLn“, ” ux = vy , uy = −vx erf¨ ullt sind. α α α Dann gilt f (a) = ux ( α β ) + i vx ( β ) = vy ( β ) − i uy ( β ) .

Dabei gilt nat¨ urlich: F ist genau dann differenzierbar in ( α β ), wenn die beiden Komponentenfunktionen u und v dort differenzierbar sind. Beweis (des Satzes): Die Differenzierbarkeit von f in a besagt, dass f (z) = f (a) + h(z)(z − a) mit einer in a stetigen Abbildung h gilt. Dabei ist h(a) = f (a) . Dies ist aquivalent zu ¨ x x h1 ( y ) −h2 ( y ) x−α , F ( xy ) = F ( αβ ) + · x x y−β h2 ( y ) h 1 ( y ) wobei h(z) = h1 ( xy )+i h2 ( xy ) mit in ( α β ) stetigen reellwertigen Funktionen h1 und h2 . Daraus liest man alles ab. Wir zeigen damit — wie auf Seite 72 schon behauptet — C z −→ Re z ∈ R ⊂ C ist in keinem a ∈ C differenzierbar! Beweis: Mit obigen Bezeichnungen gilt hier: u ( xy ) = x, v ( xy ) = 0 . Dies ullt. liefert vy = 0, ux = 1 . Die CR-DGLn sind also nicht erf¨ Bezeichnung:

∗

F¨ ur eine offene Teilmenge M von D und f : D −→ C: f holomorph in M“ genau dann, wenn f differenzierbar in M ist. ” f holomorph“ : ⇐⇒ f holomorph in D (D ist also dann offen.) ” Andere Bezeichnungen sind: analytisch“, regulär“, regulär-analytisch“; ” ” ” dabei wird meist noch M als Gebiet vorausgesetzt. ∗

Der Begriff holomorph“ ist f¨ ur die Funktionentheorie zentral. Das Wort besteht ” aus den beiden altgriechischen Bestandteilen holos (ganz, v¨ ollig, unversehrt) und morphe (Gestalt, Form, Aussehen).

76

Kapitel 3


Folgerung 4 Ist f : G −→ C holomorph auf einem Gebiet G ⊂ C mit f (z) = 0 f¨ ur alle z ∈ G , dann ist f konstant. Beweis: Nach obigem Satz sind u, v : ϕ−1 (G) −→ R differenzierbar mit ux = uy = 0. Mit G ist offenbar auch ϕ−1 (G) Gebiet. Nach dem entsprechenden Satz der mehrdimensionalen Analysis ist u konstant. Ebenso ist v konstant. Satz 5 (Differentiation von Umkehrfunktionen)∗∗ Es seien O und O offene Teilmengen von C, a ∈ O, f : O −→ O bijektiv, f in a differenzierbar mit f (a) = 0 . Die Umkehrfunktion h := f −1 sei stetig in b := f (a) . 1 . Dann ist h in b differenzierbar mit h (b) = f (a) Beweis:

F¨ ur z ∈ O und w := f (z) (∈ O ) gelten: z =

a ⇐⇒ w = b w −→ b =⇒ z −→ a; damit hat man f¨ ur w = b: z−a 1 h(w) − h(b) = −→ w−b f (z) − f (a) f (a)

(w −→ b)

und

Konforme Abbildungen ¨ Die folgenden Uberlegungen dienen zur geometrischen Deutung komplexer Differenzierbarkeit. F¨ ur z ∈ C \ {0} entspricht arg(z) (genauer ein Element aus der Menge arg(z)) dem orientierten‘ Winkel zwischen der positiven reellen Achse und ’ z, aufgefasst als Ortsvektor in der komplexen Zahlenebene. In Anlehnung daran verallgemeinern wir: F¨ ur a, b ∈ C \ {0} heißt jedes Element von b (a, b) := arg a ein orientierter Winkel‘ von a nach b. ’ Es seien z0 ∈ C und Z1 , Z2 : [0, 1] −→ C differenzierbare Wege mit Z1 (0) = Z2 (0) = z0 und Z2 (t) − z0

= 0 . A := lim t→0 Z1 (t) − z0 Dann heißt (Z1 , Z2 )z0 := arg A ∗∗

Es handelt sich hier um eine spezielle Fassung des Satzes, da die Stetigkeit von f −1 vorausgesetzt wird, was jedoch im Folgenden ausreicht.

3.4

Exponentialfunktion und Logarithmus

77

orientierter Winkel‘ von Z1 nach Z2 in z0 . Sind Z1 (0) und Z2 (0) ungleich ’ Null, so gilt Z (0) 2 (Z1 , Z2 )z0 = arg . Z1 (0) Ist O eine offene Teilmenge von C und f : O −→ C holomorph in z0 ∈ O ur w0 := f (z0 ) und die Bildwege Wj := f ◦ Zj : mit f (z0 ) = 0 , so gilt f¨ lim

t→0

W2 (t) − w0 f (Z2 (t)) − f (z0 ) = A; = lim t→0 W1 (t) − w0 f (Z1 (t)) − f (z0 )

denn der letzte Quotient l¨ asst sich mit der existierenden stetigen Abbildung h, die f (z) = f (z0 ) + h(z)(z − z0 ) erf¨ ullt — also h(z0 ) = f (z0 ) = 0 — Z2 (t)−z0 h(Z2 (t)) umformen zu Z1 (t)−z0 · h(Z1 (t)) . Dieses Verhalten von f in z0 bezeichnet man als lokal-konform“. Es be” schreibt, dass f dort winkeltreu mit Erhalt der Orientierung ist. Gilt dies an jeder Stelle des Definitionsbereiches, so heißt f konform. Auf wichtige Typen konformer Abbildungen, ihre Eigenschaften und Anwendungen gehen wir in Kapitel 8 ein.

3.4 Exponentialfunktion und Logarithmus F¨ ur x, y ∈ R und z := x + iy ∈ C ist exp(z) = exp(x) exp(iy); mit | exp(iy)| = 1 erh¨ alt man: | exp(z)| = eRe z und Im z ∈ arg exp(z) (1) Daraus liest man ab:

exp(z) : z ∈ C

= C \ {0}

Aus der Analysis I d¨ urfte bekannt sein: exp(z) = 1 ⇐⇒ z ∈ 2πi Z : ⇐⇒ ∃ k ∈ Z z = 2πi k ; somit gilt f¨ ur z1 , z2 ∈ C : exp(z1 ) = exp(z2 ) ⇐⇒ exp(z1 − z2 ) = 1 ⇐⇒ z1 − z2 ∈ 2πi Z Veranschaulichung der Abbildung

C z −→ w = exp(z) ∈ C :

(2)

78

Kapitel 3


z-Ebene

w-Ebene

Definition: log w := {z ∈ C : exp(z) = w}

( Logarithmus von w“) ”

w ∈ C \ {0}

H¨ aufig wird wieder lax notiert z = log w statt z ∈ log w . Aus (1) und (2) liest man ab: w ∈ C \ {0}

log w = ln |w| + i arg w

Hier steht links eine Menge, ln |w| ist der reelle (nat¨ urliche) Logarithmus, arg w ist wieder eine Menge. Offenbar gelten: exp(log w) = {w} und log(exp(z)) = z + 2πi Z Den speziellen Wert Log w := ln |w| + i Arg w

Arg w ∈ ] − π, π]

bezeichnet man als Hauptwert des Logarithmus“ und notiert daf¨ ur auch ” HW log w . Beispiel: log i = ln 1 + i arg(i) = Log i = i

π ; 2

π + 2kπ : k ∈ Z i 2

Log|]0,∞[ = ln;

Log(−1) = iπ

Bemerkung 6 Arg und Log sind in G := GE := C \ {z ∈ R : z ≤ 0}

( Geschlitzte Ebene‘) ’ stetig; in {z ∈ R : z < 0} ( negative reelle Achse‘) sind ’ beide unstetig (Sprungstellen der Höhe‘ 2π bzw. 2π i). ’

3.4

Exponentialfunktion und Logarithmus

79

Definition: Ein Paar (f, G) heißt genau dann (stetiger) Zweig von log“, wenn G Gebiet ” in C \ {0} und f : G −→ C eine stetige Abbildung ist mit f (z) ∈ log z f¨ ur alle z ∈ G. Beispiele: a)

Log, C \ {0} ist kein Zweig von log .

b) f := Log|GE :

(siehe oben)

(f, GE) ist Zweig von log mit

f : GE −→ {z ∈ C : | Im z| < π} bijektiv.

Auf andere Zweige und eine Idee der zugeh¨ origen Riemannschen Fl¨ ache‘ gehen ’ wir hier nicht ein.

Mit Bemerkung 6 liefert der Satz u ¨ber die Differentiation von Umkehrfunktionen: Satz 7 Ist (f, G) Zweig von log, so ist f holomorph mit f (z) =

Satz 8

Log(1 + z) =

∞

(−1)n

n=0

1 f¨ ur alle z ∈ G. z

z ∈ U01

z n+1 n+1

Beweis: π . 2 β) Setzt man h(z) := Log(1 + z) (z ∈ U01 ), so ist h holomorph mit

α) F¨ ur z ∈ U01 gilt | Arg(1 + z)|
0 mit ζ = z f¨ ur alle (ζ, z) ∈ U(ζ , damit 0 ,z0 ) ist g trivialerweise in (ζ0 , z0 ) stetig.

Im Falle ζ0 = z0 existiert zu ε > 0 ein r > 0 derart, dass Uzr0 ⊂ G und |f (v) − f (z0 )| < ε f¨ ur v ∈ Uzr0 . F¨ ur ζ, z ∈ Uzr0 betrachten wir t ∈ [0, 1] ; ϕ(t) := (1 − t)z + tζ ∈ Uzr0 damit gilt

,1

g(ζ, z) − g(ζ0 , z0 ) =

f (ϕ(t)) − f (z0 ) dt,

also

0

g(ζ, z) − g(ζ0 , z0 ) ≤ ε .

Damit ist g stetig. Wir definieren nun , h0 (z) := g(ζ, z) dζ

(z ∈ G) .

K

Zu zeigen ist also h0 = 0 : F¨ ur festes ζ ∈ G ist die Abbildung G z −→ g(ζ, z) holomorph (vgl. z. B. Satz 5.5); unter Beachtung von (2) und des Satzes u ¨ber die Differentiation unterm Integral ist daher h0 holomorph. Wir betrachten nun N := {z ∈ C \ (K) : u(K, z) = 0} . N ist offen, da u(K, z) stetig und ganzzahlig ist. Da K nullhomolog ist, folgt G ∪ N = C. F¨ ur z ∈ N definieren wir , f (ζ) h1 (z) := dζ ; ζ −z K

dann ist auch h1 holomorph, und f¨ ur z ∈ G ∩ N gilt nach Definition von N & h0 (z) = h1 (z). Durch h0 (z) , z∈G h(z) := h1 (z) , z∈N ist somit eine ganze Funktion h definiert. Integralabsch¨ atzung zeigt mit der Eigenschaft d) von S. 166 f¨ ur z ∈ N: h(z) = h1 (z) −→ 0 |z| −→ ∞ Jetzt liefert der Satz von Liouville: h = 0 , speziell h0 = 0 , das ist die Behauptung (1).

170

Kapitel 6

Der globale Hauptsatz

Einfach-zusammenh¨ angende Gebiete An manchen Stellen sind f¨ ur Gebiete die Begriffe konvex und sternförmig, ¨ die f¨ ur viele Uberlegungen (lokal) durchaus ausreichen, doch etwas einschr¨ ankend. Wir erinnern noch einmal an deren Bedeutung: Ein Gebiet G ist genau dann konvex, wenn zu je zwei Punkten aus G die Verbindungsstrecke ganz in G verl¨ auft (vgl. Seite 57). Sternförmig bedeutet, dass es einen ausgezeichneten Punkt a gibt, von dem aus man alle anderen Punkte des Gebietes sehen‘ ’ kann, d. h. f¨ ur beliebiges z ∈ G die Verbindungsstrecke [a, z] im Gebiet liegt (vgl. Seite 58). ur VerallgemeinerunDie folgende Eigenschaft erweist sich als angemessen∗ f¨ gen: Definition: Ein Gebiet G in C heißt genau dann einfach-zusammenhängend, wenn jeder Zyklus K in G nullhomolog ist. Trivialerweise ist jedes konvexe Gebiet sternf¨ ormig. Dass ein (bez¨ uglich a) sternf¨ ormiges Gebiet G einfach-zusammenh¨ angend ist, sieht man wie folgt: F¨ ur z ∈ C \ G ist die Umlaufzahl u(K, z) auf der wegzusammenhängenden Teilmenge {a+t(z −a) : t ∈ [1, ∞[} (Halbstrahl) von C\(K) konstant (Seite 166, Eigenschaft c)). Mit Integralabsch¨ atzung (f¨ ur große |z|) folgt dann, dass sie Null ist. Bemerkung 2 Jede holomorphe Funktion auf einem einfach-zusammenhängenden Gebiet hat eine Stammfunktion. Beweis: In solchen Gebieten gilt nach dem Hauptsatz dieses Kapitels , f (z) dz = 0 K

f¨ ur jede holomorphe Funktion f und jeden Zyklus K . Daraus folgt — mit ¨ naheliegender Modifikation der Uberlegungen von Seite 113 — die Existenz einer Stammfunktion.

∗

Wir setzen den Begriff einfach-zusammenh¨ angend allerdings nur an zwei Stellen (Kapitel 8) ein.

MWS zu Kapitel 6

Der globale Hauptsatz Wichtige Maple-Befehle dieses Kapitels: discont (=true, false) unapply, piecewise indets sort

6.1 Umlaufzahl, Zyklen Umlaufzahl Zur Formulierung des globalen Cauchyschen Integralsatzes wird der Begriff der Umlaufzahl herangezogen. Auch ohne genaue mathematische Beschreibung verbindet man damit intuitiv eine gewisse Vorstellung: Denken wir z. B. an die durch die Parameterdarstellung g : t −→ a + r exp(i ν t) (t ∈ [0, 2 π]) gegebene Kurve C (Kreis um a mit Radius r), so wird man f¨ ur ν ∈ N0 sagen, dass C den Punkt a im mathematisch positiven Sinne ν-mal umläuft; analog uml¨ auft C f¨ ur ganzzahliges ν < 0 den Punkt a |ν|-mal im negativen Sinne. Es liegt also in diesem Falle nahe, das Umlaufverhalten von C um a durch die Umlaufzahl u(C, a) := ν auszudr¨ ucken. Beobachtet man, dass ϑ(t) := ν t ein Argument von g(t) − a ist, so kann man u(C, a) auch als die (relative) Argument¨ anderung ϑ(2 π) − ϑ(0) /2 π deuten. F¨ ur unser Beispiel leuchtet ein, dass dann u(C, a) = ν auch f¨ ur nicht ganzzahliges reelles ν — in diesem Falle ist C nicht geschlossen — einen Sinn ergibt. In diesem Abschnitt werden wir uns nun allgemeiner mit Umlaufzahlen f¨ ur stetige, nicht notwendigerweise geschlossene Kurven beschäftigen und dabei vorgehen wie beispielsweise Henrici in [Hen, S. 230–234]. Es seien a ein Punkt der komplexen Zahlenebene und C eine Kurve mit der stetigen Parameterdarstellung g : [α, β] −→ C \ {a} . Dann existiert

172

MWS zu Kapitel 6


eine stetige Funktion ϑ : [α, β] −→ R mit g(t) = a + |g(t) − a| exp (i ϑ(t)) , und die Funktion ϑ ist bis auf eine additive Konstante der Form 2 π N mit ganzzahligem N eindeutig bestimmt. Durch u(C, a) := ϑ(β) − ϑ(α) /2 π kann man die Umlaufzahl von C bez¨ uglich a definieren. u(C, a) erweist sich als unabh¨ angig von der speziellen stetigen Argumentfunktion ϑ sowie der speziellen Parameterdarstellung von C . Der Einfachheit halber sei a = 0 . Ist λ ein Argument von g(α) , und gilt 0 ≤ Re g(t)/g(α) f¨ ur t ∈ [α, β] , so können wir die gesuchte stetige Argumentfunktion ϑ sofort angeben: ϑ(t) = λ + Arg g(t)/g(α) . Den allgemeinen Fall kann man auf den eben erwähnten Spezialfall zur¨ uckf¨ uhren, indem man das Intervall [α, β] in geeigneter Weise zerlegt und die Konstruktion von ϑ schrittweise durchf¨ uhrt. Beispiel > restart: with(plots): with(plottools):

Wir betrachten folgende Polynomfunktion, auf die wir später im Zusammenhang mit dem Satz von Rouch´ e zur¨ uckkommen werden: > f := z -> z^3-z^2+2;

f := z −→ z 3 − z 2 + 2

Hierf¨ ur erh¨ alt man folgende Nullstellen: > Nullstellen := [solve(f(z))];

Nullstellen := [−1, 1 − i, 1 + i] Offensichtlich liegen diese drei Nullstellen im Inneren des positiv durchlaufenen Kreises K um 0 mit Radius r = 2 : > a := 0:

r := 2:

g := t -> a+r*exp(I*t):

# t=0..2*Pi

Die Bildkurve C := f (K) mit der Parameterdarstellung w = f (g(t)) f¨ ur t ∈ [0, 2 π] verl¨ auft also nicht durch den Ursprung der w-Ebene.

5

> read "../verdi.txt": h := unapply(f(g(t)),t): Startp := disk(c2p(h(0)),0.3,color=black): # Startpunkt Kurve := complexplot(h,0..2*Pi,tickmarks=[3,3],thickness=2, color=black,title="Bildkurve C = f(K)"): Pfeile := seq(pfeil(h,v,1.2,black), v=[0.26,1.57,2.36,3.11,3.875,4.655,5.96]): display(Pfeile,Kurve,Startp,scaling=constrained); Die Zahlenwerte der Pfeilpositionen oben sind durch St¨ oren‘ aus π/12, π/2, 3 π/4, ’ π, 5 π/4, 3 π/2, 23 π/12 hervorgegangen; an diesen lassen sich gewisse Symmetrien‘ ’ erkennen.

6.1

Umlaufzahl, Zyklen

(MWS)

173

Bildkurve C = f (K)

Wir wollen nun u(C, 0) berechnen und konstruieren dazu eine stetige Argumentfunktion ϑ mit f (g(t)) = |f (g(t))| exp (i ϑ(t)) f¨ ur t ∈ [0, 2 π]. Wie oben schon gesagt, verl¨ auft die Konstruktion in Teilschritten: > s[0] := 0; theta[0] := 0;

s0 := 0 ,

ϑ0 := 0

> expr[0] := combine(evalc(Re(h(t)/h(s[0]))));

expr 0 :=

2 1 4 + cos(3 t) − cos(2 t) 3 3 3

Wir suchen das maximale s1 mit s0 < s1 ≤ 2 π und 0 ≤ Re f (g(t))/f (g(s0 )) f¨ ur alle t aus dem Intervall [s0 , s1 ] und dazu die Nullstellen von expr 0 . In diesem speziellen Beispiel w¨ urde man von Hand‘ wohl wie folgt rechnen: ’ ¨ Uber cost(3 t) = 4 cos(t)3 − 3 cos(t) und cost(2 t) = 2 cos(t)2 − 1 wird aus 3 expr 0 mit τ := cos(t): > expand(3*expr[0]); pol := subs(cos(t)=tau,%);

3 + 16 cos(t)3 − 12 cos(t) − 4 cos(t)2 ,

pol := 3 + 16 τ 3 − 12 τ − 4 τ 2 √ √ Die Nullstellen von pol bestimmt man zu 1/4, 3/2 und − 3/2 . Die zugeh¨ origen arccos-Werte im Intervall [0, π] sind arccos(1/4), π/6 und 5 π/6 . Mit Maple w¨ urde man diese spezielle Rechnung etwa wie folgt machen: > ‘Nullstellen von pol

‘ = [solve(pol)];

Nullstellen von pol

=

1 1√ 1√ , 3, − 3 4 2 2

174

MWS zu Kapitel 6

> ‘Zugeh¨ orige t-Werte


‘ = map(arccos,rhs(%));

Zugehörige t-Werte =

arccos

5 1 1 , π, π 4 6 6

Wir wollen aber den allgemeiner brauchbaren Weg gehen: > alias(Arc = arccos(1/4)): _EnvAllSolutions := true: M := [solve(expr[0],t)];

π π 5π 5π − M := Arc − 2Arc B1 + 2π Z1 , − B1 + 2π Z1 , B1 + 2π Z1 6 3 6 3

B1 ist eine binäre Variable, nimmt also die Werte 0 und 1 an, Z1 ist ganzzahlig. Uns interessieren davon die L¨ osungen aus dem Intervall [0, 2 π] . Diese erh¨ alt man f¨ ur { B1 =0, Z1 =0} und { B1 =1, Z1 =1}. Um diese Werte den Unbestimmten zuweisen zu k¨ onnen, ben¨ otigt man den Maple-Befehl indets : > with(ListTools): sol := FlattenOnce([subs({indets(M)[1]=0,indets(M)[2]=0},M), subs({indets(M)[1]=1,indets(M)[2]=1},M)]);

5 11 7 1 π, π sol := Arc, π, π, −Arc + 2 π, 6 6 6 6

indets(M) liefert als Ergebnis die Menge { B1, Z1} , also eine ungeordnete Datenstruktur. Da beiden Variablen hier die gleichen Werte zugewiesen werden, kommt es nicht auf die Reihenfolge an.

Dies ist die L¨ osungsmenge von Re f (g(t))/f (g(s0 ))) = 0 im Intervall [0, 2 π] : > LoesMenge := select(tau -> is(s[0] < tau),sol);

5 11 7 1 π, π LoesMenge := Arc, π, π, −Arc + 2 π, 6 6 6 6

> s[1] := min(LoesMenge[]); theta[1] := evalc(theta[0]+argument(h(s[1])/h(s[0])));

s1 :=

1 π, 6

ϑ1 :=

1 π 2

Die Bestimmung der L¨ osungsmenge mittels select ist hier — da s0 = 0 — u ussig; es soll nur das allgemeine Vorgehen verdeutlicht werden! ¨ berfl¨ Schritte dieser Art m¨ ussten nun 11-mal wiederholt werden. Das ist auf die Dauer langweilig und un¨ ubersichtlich, obwohl man das nat¨ urlich mit einer Prozedur in einer Schleife abhandeln kann. Wir listen nachfolgend nur die wichtigsten Ergebnisse auf:

6.1

Umlaufzahl, Zyklen

(MWS)

175

> s[2] := arccos((1+sqrt(17))/8): s[3] := arccos(1/4): s[4] := arccos((1-sqrt(17))/8): s[5] := 5/6*Pi: s[6] := Pi: for j from 7 to 12 do s[j] := 2*Pi-s[12-j] end do: for j from 2 to 12 do theta[j] := j*Pi/2 end do:

Bei diesem Beispiel lassen sich alle Schritte symbolisch rechnend durchf¨ uhren. Wenn in anderen F¨ allen bei der Anwendung von solve Probleme auftreten, kann man stattdessen mittels fsolve unter Angabe eines Startwertes eine numerische L¨ osung berechnen. Die gesuchte Argumentfunktion lässt sich nun mit dem Maple-Befehl piecewise (auf den 12 Teilintervallen) so in kompakter Form definieren > seq([t TICKS := [spacing(Pi),spacing(2*Pi)]: plot(Theta,0..2*Pi,tickmarks=TICKS,color=black,thickness=2, title="Graph der Argumentfunktion");

Graph der Argumentfunktion

Die Umlaufzahl von C um 0 ist: > u(C,0) = (Theta(2*Pi)-Theta(0))/(2*Pi);

u(C , 0 ) = 3 Aber auch f¨ ur Teilkurven kann man so die entsprechenden Umlaufzahlen berechnen: > (Theta(Pi)-Theta(0))/(2*Pi): evalc(%); (Theta(3/2*Pi)-Theta(0))/(2*Pi): evalc(%), evalf(%,3); (Theta(Pi/2)-Theta(0))/(2*Pi): evalc(%), evalf(%,3);

176

MWS zu Kapitel 6

3 , 2

2π +

1 arctan 2 π

4 3

,

2.15 ,


1 3 π + arctan 4 2 π

3 4

,

0.850

Versucht man, die Argumentfunktion auf folgendem Wege zu berechnen, so erh¨ alt man eine unstetige Funktion; mittels der Option discont=true unterdr¨ ucken wir die Senkrechten an den Sprungstellen: > evalc(argument(h(t))): Theta2 := unapply(%,t): TICKS2 := [spacing(Pi/2),spacing(Pi)]: plot(Theta2,0..2*Pi,discont=true,thickness=2,tickmarks=TICKS2, color=black,view=[0..6.3,-3.2..3.2]);

Dieser Graph der unstetigen Argumentfunktion (Hauptwert) gibt nun einen Hinweis, wie man die stetige Argumentfunktion mit wesentlich weniger Zerlegungspunkten konstruieren kann. Wir berechnen dazu die Sprungstellen dieser Funktion im Intervall [0, 2 π] und erwarten nat¨ urlich die alten Bekannten √ s2 = arccos((1 + 17)/8), s6 = π und s10 = 2 π − s2 : > F := h(t):

IF := factor(evalc(Im(F)));

IF := 8 sin(t) 3 cos(t)2 − sin(t)2 − cos(t) > IF_1 := op(2,IF); M_1 := solve(IF_1,t); IF_2 := simplify(op(3,IF),trig);

IF 1 := sin(t) ,

M 1 := π Z2 ,

IF 2 := 4 cos(t)2 − cos(t) − 1

Mit √ τ := cos(t) ist also√die Gleichung 4 τ 2 − τ − 1 = 0 mit den Lösungen (1 + 17)/8 und (1 − 17)/8 zu betrachten: > alias(Arc2 = s[2],Arc3 = s[4]): _EnvAllSolutions := false: solve(IF_2,t): M_2 := [min(%),max(%)];

6.1

Umlaufzahl, Zyklen

(MWS)

177

M 2 := [Arc2 , Arc3 ] Dies sind die beiden Nullstellen von IF 2 im Intervall [0, π] ; insgesamt hat Im ◦ F damit in [0, 2 π] die folgenden (einfachen) Nullstellen: > M := FlattenOnce([[0,Pi,2*Pi],M_2,map(t->2*Pi-t,M_2)]);

1 1√ M := 0, π, 2 π, Arc2 , Arc3 , 2 π − Arc2 , π + arccos − + 17 8 8 Dies sind gerade die Werte s2 ν f¨ ur ν von 0 bis 6. F¨ ur die gesuchten Sprungstellen muss noch Re ◦ F kleiner als 0 sein: > select(tau->is(subs(t=tau,evalc(Re(F))) sol := sort(%,(x,y)->is(x s[1] := sol[1]; theta[1] := evalc(theta[0]+argument(h(s[1]))); s[2] := sol[2]; theta[2] := theta[1]+2*Pi; s[3] := sol[3]; theta[3] := theta[2]+2*Pi;

s1 := Arc2 , ϑ1 := π ,

5

10

s2 := π , ϑ2 := 3 π ,

s3 := 2 π − Arc2 , ϑ3 := 5 π

Theta3 := piecewise(t restart: with(plots): with(plottools): read "../verdi.txt": setoptions(tickmarks=[3,3],thickness=2,scaling=constrained): g := t -> evalf((2-cos(t))*exp(I*3*Pi/2*sin(t))): t1 := arcsin(2/3): bogen := proc(r::range,f,L) complexplot(g,r,color=f,linestyle=L) end proc:

6.1

Umlaufzahl, Zyklen

(MWS)

179

Die durch g := t −→ (2 − cos(t)) e3/2 π i sin(t) f¨ ur t ∈ [0, 2 π] beschriebene Kurve C ist unten im linken Bild dargestellt durch die schwarz bzw. grau gef¨ arbten Teilkurven, welche sukzessive durchlaufen werden. Im rechten Bild ist C als Zyklus dreier geschlossener Kurven veranschaulicht. Hieraus ergeben sich direkt die Umlaufzahlen: Im Inneren der punktiert gezeichneten Kurve haben alle Punkte die Umlaufzahl 0 , im Inneren der grauen Kurve die Umlaufzahl -2 ; alle u ¨ brigen Punkte im Inneren der großen schwarzen Kurve, die nicht auf C liegen, haben die Umlaufzahl -1 .

5

10

> Startp := disk(c2p(g(0)),0.08,color=black): # Anfangspunkt der Kurve Kurve1 := bogen(t1..Pi-t1,gray,1),bogen(Pi-t1..Pi+t1,black,1), bogen(2*Pi-t1..2*Pi,black,2): Pfeile := pfeil(g,0.31,0.4,black),pfeil(g,1.95,0.4,gray), pfeil(g,2.65,0.4,black),pfeil(g,3.3,0.4,black), pfeil(g,4.28,0.4,gray),pfeil(g,5.9,0.4,black): # linke Graphik Kurve2 := bogen(0..t1,black,1),bogen(Pi+t1..2*Pi-t1,gray,3): p := display(Pfeile,Kurve1,Kurve2,Startp,axes=frame): # rechte Graphik Kurve2 := bogen(0..t1,black,2),bogen(Pi+t1..2*Pi-t1,gray,1): tplot := textplot([[-2,0,"-2"],[2,0,"-1"],[0,0,"0"]]): q := display(Pfeile,Kurve1,Kurve2,Startp,tplot,axes=frame): display(Array([p,q]));

Zerlegung von C in Teilkurven

C als Zyklus

Die Zahlenwerte der Pfeilpositionen sind wieder durch St¨ oren‘ entstanden, n¨ amlich ’ aus τ, π/2 + τ, π − 3/2 τ, π + τ /2, 3/2π − τ, 2 π − τ mit τ := arcsin(1/3) .

Als zweites Beispiel betrachten wir den aus Abschnitt 4.1 bekannten Pochhammer-Weg. In naheliegender Weise kann man diesen Weg als Zyklus von vier einfach geschlossenen Kurven auffassen; und zwar besteht dieser aus der grauen Kurve, der schwarzen Kurve, erg¨ anzt um die orientierte Strecke [A, C], der gestrichelten grauen Kurve, erg¨ anzt um die orientierte Strecke

180

MWS zu Kapitel 6


[B, A] , sowie dem positiv orientierten Rand des Dreiecks zu A, B, C . Im Bild sind zudem die Umlaufzahlen im Innenbereich angegeben. Auf eine Wiedergabe des Maple-Codes verzichten wir und verweisen auf die Netzversion‘ ’ unserer Worksheets. Die Umlaufzahlen beim Pochhammer-Weg

6.2 Der Hauptsatz fu ¨ r nullhomologe Zyklen Der Cauchysche Hauptsatz wurde bisher nur f¨ ur geschlossene Kurven in konvexen Gebieten, die Cauchyschen Integralformeln nur f¨ ur Kreise hergeleitet. Manchmal war der Hauptsatz nicht direkt anwendbar, aber er hat dennoch ausgereicht, wichtige Resultate zu beweisen. In diesem Abschnitt wird bei vorgegebenem Gebiet G die Frage untersucht, f¨ ur welche in G verlaufenden geschlossenen Kurven C der Cauchysche Hauptsatz gilt. Offensichtlich ist daf¨ ur notwendig, dass C nullhomolog in G ist, d. h. es gilt u(C, z) = 0 f¨ ur alle z ∈ C \ G — kein gebietsfremder Punkt wird umlaufen. Der sogenannte globale Hauptsatz zeigt, dass diese Bedingung auch hinreichend ist. Wir kn¨ upfen an Abschnitt 6.1 an und zeigen zwei nicht-triviale Beispiele f¨ ur Gebiete mit nullhomologen Kurven. Auch diesmal verzichten wir auf eine Wiedergabe des Maple-Codes. Kreisring

Zweifach gelochtes Rechteckgebiet

Kapitel 7

Laurent-Reihen, isolierte Singularit¨ aten, Residuensatz 7.1 7.2 7.3 7.4

Laurent-Reihen Isolierte Singularit¨ aten Residuensatz Argumentprinzip und Anwendungen

Nach dem etwas spr¨ oden Kapitel 6, in dem der Apparat‘ verbessert wurde, fahren ’ wir in diesem relativ umfangreichen Kapitel nun reiche Ernte ein: Neben Potenzreihen spielt ein neuer, allgemeinerer Typ von Reihen, LaurentReihen, eine wesentliche Rolle. Eine in einem Kreisring holomorphe Funktion ist dort in eine solche Reihe entwickelbar. Umgekehrt stellt jede konvergente LaurentReihe eine in einem Kreisring holomorphe Funktion dar. Mit Hilfe dieser Reihen lassen sich isolierte Singularit¨ aten holomorpher Funktionen einfach klassifizieren. Isolierte Singularit¨ aten sind eng mit dem Residuenkalk¨ ul verbunden. Ein zentrales Ergebnis ist der Residuensatz, der den Hauptsatz aus Kapitel 4 verallgemeinert auf den Fall, dass der Integrand im Inneren‘ der betrachteten Kurve (Kette) endlich ’ viele isolierte Singularit¨ aten besitzt. Ein Anwendungsbereich des Residuensatzes ist die einfache Berechnung großer Klassen reeller Integrale. Theoretische Konsequenzen sind das Prinzip vom Argument mit dem Satz von Rouch´ e als Folgerung. ´ — noch auf das Als Besonderheit gehen wir abschließend — via Satz von Rouche Routh-Kriterium ein, das bei Stabilit¨ atsuntersuchungen gew¨ ohnlicher Differentialgleichungen, speziell etwa bei der Untersuchung von Schwingungen mechanischer oder elektrischer Systeme, wichtig ist.

7.1 Laurent-Reihen Ist eine komplexwertige Funktion f holomorph im offenen Kreis um den Punkt a mit Radius r > 0 , so besitzt sie dort eine Potenzreihenentwicklung: W. Forst, D. Hoffmann, Funktionentheorie erkunden mit Maple, Springer-Lehrbuch, DOI 10.1007/978-3-642-29412-9_7, © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2012

182

Kapitel 7

Laurent-Reihen, Singularitäten, Residuensatz

f (z) =

∞

an (z − a)n

n=0

f¨ ur alle z mit |z − a| < r . Diese Darstellung kann im allgemeinen nicht gelten, wenn f nur im Kreisring(-Gebiet) Ka (r, R) :=

z ∈ C : r < |z − a| < R

mit 0 ≤ r < R ≤ ∞ holomorph ist. Denn sonst wäre f — wegen der Darstellung als Potenzreihe — holomorph fortsetzbar in Uar . Eine solche Funktion kann jedoch durch eine Laurent-Reihe ∞

an (z − a)n :=

n=−∞

∞ n=1

∞ a−n + an (z − a)n (z − a)n n=0

dargestellt werden. Der erste Summand der rechten Seite heißt Hauptteil, der zweite Nebenteil der Laurent-Reihe. Die (komplexe) Koeffizientenfolge (an ) hat also ganze Zahlen als Indizes, d. h. (an ) ∈ CZ := c | c : Z −→ C . F¨ ur eine Folge (cn ) ∈ CZ definieren wir: ∞ n=−∞

cn

”

konvergent“ : ⇐⇒

∞

cn

konvergent ∧

n=0

∞

c−n

konvergent

n=1

∞ −1 −∞ Statt n=1 c−n notiert man auch n=−∞ cn oder n=−1 cn . ∞ Falls ur den Reihenwert: n=−∞ cn konvergent ist, schreiben wir auch f¨ ∞

cn :=

n=−∞

∞

cn +

n=0

∞

c−n

n=1

Entsprechend ist die absolute Konvergenz“ solcher Reihen erklärt und — ” bei Funktionenreihen — auch die (absolute) gleichmäßige Konvergenz“. ” ur welche z ∈ C ist die Zu gegebenem a ∈ C und (an ) ∈ CZ fragen wir: F¨ −1 n n bzw. zun¨ a chst konvergent? a (z − a) a Reihe ∞ n=−∞ n n=−∞ n (z − a) Dazu betrachten wir w := 1/(z − a) f¨ ur z ∈ C \ {a} und erhalten: −1 n=−∞

an (z − a)n =

∞ n=1

also mit r := lim sup n |a−n | ∈ [0, ∞] : n−→∞

a−n wn ,

7.1

Laurent-Reihen

183

F¨ ur |z − a| > r ist |w|
, a)n divergent. −1 ∈ [0, ∞] , falls r < R : Daher folgt mit R := lim sup n |an | F¨ ur z ∈ Ka (r, R) ist

n−→∞ ∞

an (z − a)n absolut konvergent; f¨ ur z ∈ C mit

n=−∞

0 < |z − a| < r oder |z − a| > R ist

∞

an (z − a)n divergent.

n=−∞

¨ Aus den Uberlegungen u ¨ ber Potenzreihen wissen wir: ∞ n aßig konvergent ∗ und n=−∞ an (z−a) ist in Ka (r, R) lokal absolut gleichm¨ stellt in Ka (r, R) eine differenzierbare Funktion dar; die Ableitung ergibt sich durch gliedweise Differentiation. Satz 1 ∗∗ F¨ ur 0 ≤ r < R ≤ ∞, a ∈ C, K := Ka (r, R) und eine holomorphe Funktion f : K −→ C gelten: 1) Es existieren eindeutige an ∈ C (n ∈ Z) mit f (z) =

∞

an (z − a)n

(z ∈ K) .

n=−∞

2)

∞

an (z − a)n ist lokal absolut gleichmäßig konvergent (in K).

n=−∞

3) F¨ ur eine geschlossene Kurve C im Kreisring K , die den Punkt a einmal umläuft, hat man: , f (ζ) 1 dζ (n ∈ Z) an = 2πi (ζ − a)n+1 C

Beweis: Wir betrachten ein festes z ∈ K und dazu r < r1 < |z−a| < r2 < R. Cν bezeichne den positiv orientierten Kreis um a mit Radius rν . ∗ ∗∗

Wir erinnern daran, dass dies bedeutet: In kompakten Teilmengen von Ka (r, R) ist die Reihe absolut gleichm¨ aßig konvergent. ¨ Diese Uberlegungen leiten wir nicht aus den entsprechenden Aussagen u ¨ ber Potenzreihen ab, sondern f¨ uhren — aus didaktischen Gr¨ unden — einen separaten ¨ Beweis. Man h¨ atte die Uberlegungen u ¨ ber Laurent-Reihen durchaus gleich zu Beginn durchf¨ uhren k¨ onnen. Auch dies haben wir — mit Bedacht — nicht gemacht!

184

Kapitel 7


Der Zyklus K := C2 − C1 ist nullhomolog (in K): Ferner gilt u(K, z) = 1 . Der Hauptsatz [(1) f¨ ur k = 0] liefert somit: , , , 1 f (ζ) 1 dζ = ··· − ··· f (z) = 2πi ζ −z 2πi K

C2

z r2

r1 a r

C1

F¨ r ζ ∈ (C2 ) ist |ζ − a| = r2 , also

zu− a

< 1 und daher ζ −a

C1 C 2

R

∞ 1 1 1 (z − a)n = · z−a = ζ−z ζ − a 1 − ζ−a (ζ − a)n+1 n=0

gleichm¨ aßig konvergent bez¨ uglich ζ; mit Bemerkung 5.2 folgt somit:

, , ∞ 1 f (ζ) f (ζ) 1 dζ = dζ (z − a)n n+1 2πi ζ−z 2πi (ζ − a) n=0 C2 C2 23 4 1 =: an

ζ − a

F¨ ur ζ ∈ (C1 ) ist |ζ − a| = r1 , also

< 1 ; man erhält analog: z−a

, , ∞ 1 1 f (ζ) k − dζ = f (ζ) (ζ − a) dζ (z − a)−(k+1) 2πi ζ −z 2πi C1

k=0

C1

, −1 1 f (ζ) = dζ (z − a)n n+1 2πi (ζ − a) n=−∞ C1 23 4 1 =: an

Eine geschlossene Kurve C im Kreisring K mit u(C, a) = 1 ist homolog zu onnen bei der Berechnung der an diese Kurven jeweils C1 bzw. C2 . Daher k¨ durch C ersetzt werden; so hat man f (z) =

∞

an (z − a)n

n=−∞

mit an gem¨ a ß 3) . Wir kommen nun zur Eindeutigkeit: Sind bn ∈ C (n ∈ Z) n (z ∈ K), dann ist nach den vorangestellten mit f (z) = ∞ n=−∞ bn (z − a) ∞ n ¨ Uberlegungen (Seite 183, oben) die Reihe n=−∞ bn (z − a) lokal absolut gleichm¨ aßig konvergent in K; speziell gilt also 2). ∞ f (ζ) n−m−1 F¨ ur m ∈ Z kann daher (ζ−a) = längs C m+1 n=−∞ bn (ζ − a) gliedweise integriert werden (vgl. Bemerkung 5.2):

7.2

Isolierte Singularitäten , C

f (ζ) dζ = (ζ − a)m+1

185 ∞

,

n=−∞

(ζ − a)n−m−1 dζ = 2πi bm

bn C

Dies zeigt die Eindeutigkeit in 1). Zusatz

Setzt man

f1 (z) := f2 (z) :=

∞

z ∈ UaR =: G1

an (z − a)n

n=0 −1

an (z − a)n

und

z ∈ G2 := {z ∈ C : |z − a| > r} ,

n=−∞

ur |z| −→ ∞ und dann sind f1 , f2 holomorph mit f2 (z) −→ 0 f¨ f (z) = f1 (z) + f2 (z) z ∈ G1 ∩ G2 = Ka (r, R) . Hat man andererseits gj : Gj −→ C holomorph (j = 1, 2) mit g2 (z) −→ 0 f¨ ur |z| −→ ∞ und f (z) = g1 (z) + g2 (z) (z ∈ G1 ∩ G2 ), dann gelten: g1 = f1 Beweis:

und

g2 = f2 .

fj ist holomorph in Gj : f2 (z) =

∞

a−n

n=1

1 n −→ 0 z−a

|z| −→ ∞

F¨ ur z ∈ G1 ∩ G2 gilt f1 (z) − g1 (z) = g2 (z) − f2 (z) ; &

durch h(z) :=

f1 (z) − g1 (z) g2 (z) − f2 (z)

(z ∈ G1 ) (z ∈ G2 )

wird eine ganze Funktion h definiert; wegen h(z) −→ 0 nach dem Satz von Liouville h = 0 .

(|z| −→ ∞) folgt

7.2 Isolierte Singularit¨ aten Annahmen: Es seien D ⊂ C, a ∈ C \ D und f : D −→ C. Definition: a heißt genau dann isolierte Singularität“ von f , wenn ein ” r ∈ ]0, ∞[ so existiert, dass Uar \ {a} = Ka (0, r) ⊂ D gilt und f auf Uar \ {a} r holomorph ist. Ua \ {a} heißt punktierte (r-)Umgebung (von a)“. ”

186

Kapitel 7


Im Folgenden sei a eine isolierte Singularität von f ; dazu werde r ∈ ]0, ∞[ ¨ wie oben gew¨ ahlt. Nach den Uberlegungen u ¨ ber Laurent-Reihen existiert dann eindeutig eine Folge (an ) ∈ CZ mit f (z) =

∞

an (z − a)n

z ∈ Uar \ {a} .

n=−∞

Wir sprechen hier von der Laurent-Entwicklung direkt‘ um a“. ” ’ −1 n an (z − a) heißt Hauptteil von f in a“. ”

n=−∞

Wir wissen schon, dass man Laurent-Reihen gliedweise differenzieren kann. Bei der Frage nach der gliedweisen Gewinnung einer Stammfunktion erh¨ alt man f¨ ur die Summanden 1 an (z − a)n+1 , n+1 also f¨ ur das Integral u ¨ ber einen kleinen‘ Kreis um a jeweils 0 . ’ ¨ Der einzige St¨ orenfried‘ dabei ist n = −1 . Der Rest‘ a−1 oder das Uberbleibsel‘ ’ ’ ’ heißt — etwas vornehmer und weniger diskriminierend —

Residuum von f in a“, notiert als Res (f ; a) . Nach Satz 1 (Seite 183) ” K (0,r) gilt f¨ ur C ∈ Kcl a mit u(C, a) = 1, also eine geschlossene Kurve in Ka (0, r), die den Punkt a einmal uml¨ auft:

Res (f ; a) := a−1 =

1 2πi

, f (ζ) dζ C

a−1 istan und f¨ ur sich wenig interessant, aber meist leicht zu berechnen. Das Integral C f (ζ) dζ interessiert in der Regel schon mehr, ist aber oft schwierig zu berechnen. Die obige Formel, die wir mit dem Residuensatz noch wesentlich ausgestalten werden, ergibt — wenn noch geeignete Hilfsmittel zur Berechnung von Residuen bereitgestellt sind — u. a. eine einfache Berechnung schwieriger Integrale. Dies f¨ uhrt zum Residuenkalk¨ ul.

Definition: a heißt genau dann hebbare Singularität (von f )“, wenn ein ” r ∈ ]0, ∞[ mit Uar \ {a} ⊂ D sowie eine holomorphe Funktion g : Uar −→ C existieren mit f (z) = g(z) f¨ ur z ∈ Uar \{a}. Wir sagen: f ist in a holomorph ” fortsetzbar“. Bemerkung 2

¨ Aquivalent sind:

α)

a ist eine hebbare Singularität von f.

β)

a−n = 0 f¨ ur n ∈ N, d. h. der Hauptteil von f in a ist Null.

γ)

(z − a)f (z) −→ 0

(z −→ a)

7.2

Isolierte Singularitäten

Beweis:

α) =⇒ γ) :

β) =⇒ α) : Setze g(z) :=

187

∞

an (z − a)n f¨ ur z ∈ Uar .

n=0

γ) =⇒ β) : F¨ ur n ∈ N und hinreichend kleines > 0 gilt: / 1 f (ζ) a−n = dζ , 2πi (ζ − a)−n+1 |ζ−a|=

also |a−n | ≤

n−1

· max |f (ζ)(ζ − a)| −→ 0 |ζ−a|=

( −→ 0)

Definition: F¨ ur k ∈ N heißt a genau dann Pol der Ordnung k (von f )“ ∗ , ” wenn a−k = 0 und a−n = 0 f¨ ur n > k . ur a heißt genau dann wesentliche Singularität (von f )“, wenn a−n = 0 f¨ ” unendlich viele n ∈ N gilt. Beispiel: (f¨ ur eine wesentliche Singularit¨ at) 1 C \ {0} z −→ exp z Bemerkung 3

F¨ ur k ∈ N sind äquivalent:

α) a ist ein Pol der Ordnung k von f . β) Es existiert ein offenes U ∈ Ua mit U \ {a} ⊂ D und dazu g : U −→ C holomorph mit g(a) = 0 und f (z)(z − a)k = g(z) f¨ ur z ∈ U \ {a} . γ) Es existiert ein offenes U ∈ Ua mit U \ {a} ⊂ D und dazu g, h : U −→ C holomorph mit: g(a) = 0, a ist (genau) k-fache Nullstelle von h und f (z) = g(z)/h(z) f¨ ur z ∈ U \ {a} . Beweis:

β) =⇒ γ) : h(z) := (z − a)k

(z ∈ U )

α) =⇒ β) : F¨ ur z ∈ Uar \ {a} ist f (z) = g(z) :=

∞

an (z − a)n+k =

∞

an (z − a)n ,

n=−k ∞

am−k (z − a)m z ∈ Uar =: U

m=0

n=−k

γ) =⇒ α) : Œ sei U = Uaε mit einem geeigneten ε > 0 . Dann gilt h(z) = ; h(z)(z − a)k mit ; h : U −→ C holomorph und ; h(a) = 0. ; Œ () gelte h(z) = 0 f¨ ur alle z ∈ U . Somit existieren ∞ h(z) = bn (z − a)n (z ∈ U ) und bn ∈ C (n ∈ N0 ) mit g(z)/; b0 = 0 . Jetzt gilt f (z) = (z − a)−k

n=0

∞

n=0 ∗

auch k-facher Pol“ usw. ”

bn (z − a)n =

∞ n=−k

bn+k (z − a)n .

188 Folgerung 4

Kapitel 7


a Pol von f ⇐⇒ |f (z)| −→ ∞

(z −→ a)

Beweis: =⇒“: nach γ) ” ⇐=“: Es existiert eine offene Umgebung U von a mit U \ {a} ⊂ D derart, ” dass f (z) = 0 f¨ ur z ∈ U \ {a} ; U \ {a} z → 1/f (z) ist holomorph und in a zu 0 stetig — und damit holomorph — erg¨ anzbar; daher existieren k ∈ N und eine holomorphe Funktion ϕ mit 1/f (z) = (z − a)k ϕ(z) und ϕ(a) = 0 ; mit g := 1/ϕ folgt nach β) die Behauptung. Satz 5 (Casorati-Weierstraß) Ist a eine wesentliche Singularität von f , so gilt: ∀ c ∈ C ∀ ε > 0 ∀ δ > 0 ∃ z ∈ D ∩ Uaδ \ {a}

|f (z) − c| < ε

Die untere Zeile bedeutet: f kommt in jeder Umgebung von a jedem Wert aus C beliebig nahe.∗ Beweis: Sonst existieren c ∈ C, ε > 0 und δ > 0 derart, dass |f (z) − c| ≥ ε f¨ ur alle z ∈ Uaδ \ {a} gilt (dabei Œ Uaδ \ {a} ⊂ D); also ist 1/(f (·) − c) beschr¨ ankt auf Uaδ \ {a} und damit in a stetig ergänzbar zu einem Wert A (Riemannscher Hebbarkeitssatz!). Ist A = 0 , so gilt |f (z) − c| −→ ∞ und damit |f (z)| −→ ∞ f¨ ur z −→ a. Dann ist a ein Pol von f : Widerspruch. Im Falle A = 0 hat man f (z) − c −→ 1/A (z −→ a), und so ist f in a holomorph erg¨ anzbar: Widerspruch. Berechnungsmethoden f¨ ur Residuen Im n¨ achsten Abschnitt werden Residuen vielf¨ altig herangezogen. Daher sehen wir uns einige M¨ oglichkeiten der Berechnung an:

(1) Res ( · ; a) ist offenbar linear. Annahmen: Es seien C ⊃ D, a ∈ C \ D, f : D −→ C, k ∈ N, Ua U offen mit U \ {a} ⊂ D und f auf U \ {a} holomorph. (2)∗∗ Es seien g, h : U −→ C holomorph, und h habe eine k-fache Nullstelle in a. Dann existiert ϕ : U −→ C holomorph mit ϕ(a) = 0 (somit Œ ϕ(z) = 0 f¨ ur z ∈ U ) und h(z) = (z − a)k ϕ(z) (z ∈ U ); damit gilt: (k−1) g 1 g ;a = (a) Res h (k − 1)! ϕ ∗

Eine weit dar¨ uber hinaus gehende Aussage macht ein Satz von Picard, auf den wir aber im Rahmen dieser einf¨ uhrenden Darstellung nicht eingehen.

7.2


189

(2’) Hat h — unter den obigen Voraussetzungen — eine einfache Nullstelle in a, so gilt speziell: g g(a) Res ;a = h h (a) (3) Ist a einfacher Pol von f , so hat man: Res (f ; a) = lim (z − a)f (z) z→a

(3’) Ist a einfacher Pol von f und g : U −→ C holomorph, dann gilt: Res (f g; a) = g(a) Res (f ; a) Beweise: (2) F¨ ur hinreichend kleines 0 < r < ∞ gilt: / g 1 g Res ;a = (ζ) dζ h 2πi h |ζ−a|=r

1 = 2πi

/

g ϕ (ζ)

|ζ−a|=r

(2’) Nach (2) f¨ ur k = 1: Res

g h

1 dζ = k (ζ − a) (k − 1)! ;a

=

(k−1) g (a) ϕ

g(a) g(a) = ϕ(a) h (a)

(3) Laut Bemerkung 3 existiert g : U −→ C holomorph mit g(a) = 0 und g(z) f (z) = f¨ ur z ∈ U \ {a} ; nach (2’) gilt also z−a Res (f ; a) = g(a) = lim (z − a)f (z). z→a

(3’) Falls g(a) = 0: (f g ist in a holomorph ergänzbar.) Sonst gilt: Res(f g; a) = lim (z−a)f (z)g(z) = g(a) lim (z−a)f (z) = g(a) Res(f ; a) (3) z→a

z→a

(3)

1 1 Beispiel: f (z) := z ∈ C \ {i, −i} : Res (f ; i) = 1 + z2 2i 1. Methode: Ablesen aus der Reihenentwicklung: 1 1 1 1 1 ; jetzt Potenzreihenentf (z) = · = · · z−i z − i (z − i) + 2 i z − i 2i 2i + 1 wicklung (geometrische Reihe!) f¨ ur den letzten Bruch. 1 1 1 2. Methode: f (z) = z+i ; nach (2’): Res (f ; i) = 2i = z−i 1 2i 1 1 3. Methode: (z − i)f (z) = −→ (z −→ i) (folgt aus (3)) z+i 2i 1 4. Methode: In (2’): g(z) := 1 , h(z) := 1 + z 2 : Res (f ; i) = 2i ∗∗

Zu (2): Oft ist es allerdings einfacher, den Anfang der Potenzreihenentwicklung g

von g und ϕ zu bestimmen und daraus Res ; a abzulesen‘. ’ h

190

Kapitel 7


7.3 Residuensatz Hilfssatz Es seien G ein Gebiet in C, M ⊂ G mit M˙ ∩ G = ∅ . Dann ist G \ M ein Gebiet, und f¨ ur jeden Zyklus K in G \ M , der nullhomolog in G ist, ist {a ∈ M : u(K, a) = 0} endlich. ¨ Den einfachen Beweis u ¨ berlassen wir dem interessierten Leser als Ubungsaufgabe. Satz 6 (Residuensatz) Es seien G ein Gebiet in C, M eine Teilmenge von G mit M˙ ∩ G = ∅ und f : G \ M −→ C eine holomorphe Funktion. F¨ ur jeden Zyklus K in G \ M , der nullhomolog in G ist, gilt dann: , f (z) dz = 2πi u(K, a) · Res (f ; a) a∈M

K

Beweis: Œ {a ∈ M : u(K, a) = 0} = ∅ ; nach dem vorangehenden Hilfssatz existieren dann n ∈ N und paarweise verschiedene aν ∈ C mit {a ∈ M : u(K, a) = 0} = {a1 , . . . , an } . F¨ ur ν ∈ {1, . . . , n} existiert ν ∈ ]0, ∞[ so, dass Uaνν \ {aν } ⊂ G \ M ; es sei Cν der positiv orientierte Kreis um aν mit Radius ν . Dann gilt: K

und

n

u(K, aν )Cν

sind homolog in

G \ M;

ν=1

daher hat man nach dem Hauptsatz: , f (z) dz = K

n ν=1

, u(K, aν )

f (z) dz = r. S.

Cν

Wir stellen theoretische Konsequenzen des Residuensatzes zur¨ uck und behandeln zuerst die Berechnung von Integralen mit Hilfe von Residuen.

7.3

Residuensatz

191

Trigonometrische Integranden ,2π R(cos t, sin t) dt 0

Hierbei sei R eine rationale Funktion von zwei Variablen derart, dass R(x, y) f¨ ur alle (x, y) ∈ R2 mit x2 + y 2 = 1 definiert (also Nenner = 0) ist. Mit z = exp(it): 1 1 1 1 z+ , sin t = z− cos t = 2 z 2i z / ,2π 1 1 1 1 1 1 dz R z+ , z− R(cos t, sin t) dt = i 2 z 23 2 i z z4 1 0 |z|=1 =: S(z) S ist eine rationale Funktion, die f¨ ur alle z ∈ C mit |z| = 1 definiert ist. a1 , . . . , an seien die paarweise verschiedenen isolierten Singularitäten von S in U01 ; mit dem Residuensatz hat man: ,2π R(cos t, sin t) dt = 2π i

n

Res (S; aν )

ν=1

0

Nat¨ urlich liefern h¨ ochstens die Pole von S (in U01 ) einen von Null verschiedenen Beitrag; dabei ist offenbar die Voraussetzung R rationale Funktion‘ nicht wesent’ aten lich; es gen¨ ugt, dass R in U01 keine wesentlichen oder nicht-isolierten Singularit¨ hat.

,π Beispiel: F¨ ur R c > 1 0

dt =: W c + cos t

1 Der Integrand ist gerade und 2π-periodisch, dies liefert: W = 2

2π 0

dt c + cos t

1 2 11 1 . Die (einfachen) = i z c + 12 (z + 1z ) i z 2 + 2 cz + 1 √ √ Nullstellen des Nenners sind z1 = −c + c2 − 1, z2 = −c − c2 − 1. Wegen z1 z2 = 1 und |z2 | > 1 liegt nur z1 in U01 . Nach (2’) (Seite 189) folgt:

Hier hat man: S(z) =

Res (S; z1 ) = π . Somit gilt W = √ 2 c −1

1 2 1 1 = √ 2 i 2z1 + 2 c i c −1

192

Kapitel 7


Uneigentliche Integrale mit rationalen und trigonometrischen Integranden Annahme: Es seien k ∈ N und b1 , . . . , bk paarweise verschiedene Punkte der oberen Halbebene ∗ OH := {z ∈ C : Im z > 0} und G ein Gebiet mit OH = {z ∈ C : Im z ≥ 0} ⊂ G ⊂ C sowie f : G \ {b1 , . . . , bk } −→ C eine holomorphe Funktion, die , f (z) dz −→ 0 (R −→ ∞) erf¨ ullt. Dann gilt: (A)

,R

−R,R

lim

R→∞ −R

f (x) dx = 2π i

k

Res (f ; bκ )

κ=1

Die Bedingung (A) ist z.B. erf¨ ullt, falls a): f = p/q mit Polynomen p und q, f¨ ur die gilt: q(t) = 0 (t ∈ R) und Grad p + 2 ≤ Grad q .∗∗ oder b): f (z) = exp(iαz) h(z) mit α > 0 und max |h(z)| : Im (z) ≥ 0 ∧ |z| = R} −→ 0 (R −→ ∞) Die Bedingung max |h(z)| : Im (z) ≥ 0 ∧ |z| = R} −→ 0 (R −→ ∞) ist zum Beispiel erf¨ ullt, falls h = p/q mit Polynomen p und q , f¨ ur die gilt: q(t) = 0 (t ∈ R) und Grad p + 1 ≤ Grad q : Beweise: Mit R > 0 so, dass b1 , . . . , bk ∈ U0R gilt, sei CR :

2π i

k

, Res(f ; bκ ) =

κ=1

,R f (z) dz =

CR

−R

−R R , f (x) dx + f (z) dz =⇒ Behauptung

(A)

−R,R

Zu a): Hier hat man: z 2 p(z)/q(z) konvergiert f¨ ur |z| −→ ∞, also existieren M, R0 ∈ ]0, ∞[ so, dass |f (z)| ≤ M/|z|2 , falls |z| ≥ R0 (hieraus folgt die Existenz des Integrals); f¨ ur R ≥ R0 gilt dann:

,

M

f (z) dz

≤ πR 2 −→ 0 (R −→ ∞)

R −R,R

∗ ∗∗

¨ Man hat nat¨ urlich ein Analogon dieser Uberlegungen f¨ ur die untere Halbebene. ∞ Hier existiert f (x) dx als absolut konvergentes uneigentliches R-Integral. −∞

7.3

Residuensatz

193

Zu b): F¨ ur −R,R ist die Parameterdarstellung durch [0, π] t −→ R exp(it) gegeben; damit kann abgesch¨ atzt werden:

,

f (z) dz

,π

= exp iαR exp(it) h(R exp(it)) i · R exp(it) dt

−R,R

≤

0

,π exp(−αR sin t) dt · max{|h(z)| : z ∈ OH ∧ |z| = R}

R

| exp(v)| = exp(Re v)

1

0

23

4

beschr¨ ankt (vgl. Seite 109)∗

,∞ Beispiel zu a): −∞

x2 π dx = √ 1 + x4 2

Die Nullstellen von 1 + z 4 sind z0 , z03 , z05 , z07 mit z0 := exp i π4 ; davon liegen in der oberen Halbebene: z0 und z03 . Dies sind Pole erster Ordnung von f (z) := z 2 /(1 + z 4 ) . ,∞ x2 Damit folgt dx = 2πi Res (f ; z0 ) + Res (f ; z03 ) . Nach (2’) der 4 1+x −∞

Berechnungsmethoden f¨ ur Residuen (vgl. Seite 189) hat man f¨ ur 2 1 a 1 a ∈ {z0 , z03 } : Res (f ; a) = = · 4a3 4 a 1 2 Wegen aa = |a| = 1 ist Res (f ; a) = a; damit folgt 4 −i 1 1 1 √ (1 − i) + (−1 − i) = √ = √ ; Res (f ; z0 ) + Res (f ; z03 ) = 4 2 2 2 2 2i dies liefert die Behauptung. Berechnung des Hauptwertes uneigentlicher Integrale Definition In physikalischen Anwendungen und bei gewissen Integraltransformationen treten gelegentlich Integrale‘ auf, bei denen Singularitäten auf dem Integra’ tionsweg liegen. Wir kommen daher noch zu einem solchen Typ von Integra’ len‘; dazu definieren wir zun¨ achst: F¨ ur m ∈ N, −∞ < c1 < · · · < cm < ∞ und eine stetige Funktion f : R \ {c1 , . . . , cm } −→ C : Falls ∗

Wir hatten sin t ≥

2 t π

f¨ ur 0 ≤ t ≤

π 2

ber¨ ucksichtigt.

194

Kapitel 7 * c, 1 −ε1

lim

c, 2 −ε2

f (x) dx +

R→∞

εν →0+

Laurent-Reihen, Singularitäten, Residuensatz cm,−εm

f (x) dx + · · · +

c1 +ε1

−R

f (x) dx +

cm−1 +εm−1

+

,R

f (x) dx

cm +εm

existiert, so heißt er Hauptwert“ des Integrals (von f von −∞ bis ∞) und ” wird folgendermaßen bezeichnet: ,∞ P

f (x) dx

−∞

Berechnungsmethode Es seien G ein Gebiet mit OH ⊂ G ⊂ C, k ∈ N0 , m ∈ N, b1 , . . . , bk paarweise verschiedene Punkte in der oberen Halbebene, c1 , . . . , cm paarweise verschiedene reelle Zahlen und f : G \ {b1 , . . . , bk , c1,, . . . , cm } −→ C holomorph mit f (z) dz −→ 0 (R −→ ∞).

einfachen Polen cμ (μ = 1, . . . , m) sowie

−R,R

Dann gilt: ,∞ P −∞

k

m 1 f (x) dx = 2π i Res (f ; bκ ) + Res (f ; cμ ) 2 μ=1 κ=1

L¨ asst man hier m = 0 zu, dann umfasst dieser Typ auch die zuvor behandelten ∞ R f (x) dx := lim f (x) dx setzt. Integrale, wenn man P R→∞ −R

−∞

Beweis: Wir integrieren u ur m = 2 — skizzierten Weg. (Dabei ¨ ber den — f¨ seien R > 0 hinreichend groß und ε1 , ε2 geeignet gewählt.)

−R

c1

c1 + ε 1

c2

c2 + ε 2

R

Mit Hilfe des nachstehenden Hilfssatzes liefert der Residuensatz dann die Behauptung.

7.3

Residuensatz

195

Hilfssatz Es seien c ∈ C, > 0 und f : Uc \ {c} −→ C eine holomorphe Funktion mit einfachem Pol c. Dann gilt , f (z) dz −→ π i Res (f ; c) f¨ ur ]0, [ ε −→ 0 .

c−ε,c+ε

Beweis: Aus der Laurentreihenentwicklung folgt die Existenz einer holomor (f ; c) + g(z) z ∈ Uc \{c} . phen Funktion g : Uc −→ C so, dass f (z) = Resz−c . . 1 g(z) dz −→ 0 zeigen die Behauptung. z−c dz = πi und

c−ε,c+ε

c−ε,c+ε

,∞ Beispiel:

P −∞

1 dx = 0 x(x − 1)

Hier sind: k = 0 , m = 2 , c1 = 0 , c2 = 1 ; mit f (z) := 1/(z(z − 1)) (z ∈ C \ {0, 1}) folgt: .S. = πi Res (f ; c1 ) + Res (f ; c2 ) 1 23 4 1 23 4 = −1 =1 Integranden mit Verzweigungsstellen Es seien 0 < α < 1 , p und q Polynome mit 1 + Grad p ≤ Grad q und q(x) = 0 f¨ ur x ∈ [0, ∞[ . Zu r := p/q mit den (paarweise verschiedenen) Polen b1 , . . . , bk betrachten wir z ∈ C \ [0, ∞[ ∪ {b1 , . . . , bk } f (z) := r(z) HW(−z)−α und erhalten: ,∞ 0

x−α r(x) dx =

k π Res (f ; bκ ) sin α π κ=1

196

Kapitel 7


Beweis: F¨ ur 0 < ε < < R < ∞ betrachten wir C = C1 + C2 + C3 + C4 = Cε,,R

gem¨ aß der nebenstehenden Skizze. Dabei seien ε, , R so, dass < |bκ | < R und ε < |Im (bκ )| (κ = 1, . . . , k); dann ergibt der Residuensatz: ,

k

f (z) dz = 2πi C

C3

R 0 C1

C2

}ε

C4

Res (f ; bκ )

κ=1

HW(−z)−α = exp[−α Log(−z)] = exp − α ln |z| = |z|−α

Es existieren 0 < M < ∞, 0 < 0 < R0 so, dass M |z| ≤ 0 . |r(z)| ≤ |z| ≥ R0 ∧ |r(z)| ≤ M |z| Unabh¨ angig von ε sch¨ atzen wir die Integrale u ¨ ber C1 und C3 wie folgt ab:

.

C1 : 0 < ≤ 0 : f (z) dz ≤ 2π · M · −α = 2πM 1−α −→ 0 ( −→ 0) C1

.

−α C3 : R0 ≤ R < ∞: f (z) dz ≤ 2πR · M = 2πM R−α −→ 0 (R −→ ∞) RR C3

ur z ∈ OH und x ∈ ]0, ∞[ : C2 : F¨ HW(−z)−α = exp − α ln |z| + i Arg(−z) −→ exp − α ln x + i(−π) = x−α exp(i α π) (z −→ x) F¨ ur festes und R ergibt der Grenz¨ ubergang ε −→ 0 : ,

,R f (z) dz −→ exp(i α π)

C2

x−α r(x) dx

ε

Man wendet dazu etwa den Integralsatz an auf: 0

R

F¨ ur das Integral u alt man ebenso‘: F¨ ur festes und R und den ¨ber C4 erh¨ ’ Grenz¨ ubergang ε −→ 0 : ,

,R f (z) dz −→ − exp(−iαπ)

C4

Zusammen hat man also

x−α r(x) dx

7.4

Argumentprinzip und Anwendungen ,

,

,R f (z) dz −→ 2 i sin(απ)

f (z) dz + C2

197

C4

x−α r(x) dx

(ε −→ 0)

und so die Behauptung. Beispiel: F¨ ur 0 < β < 1 ist: ,∞ 0

Mit α := 1 − β

Beweis:

,∞ . S. = 0

=

x−α

1 dx 1+x

=

π xβ−1 dx = 1+x sin(β π)

∈ ]0, 1[

erh¨ alt man:

π Res (f ; −1) sin(α π)

π π π π HW(−(−1))−α = = = sin(α π) sin(α π) sin(π − β π) sin(β π)

Wir belassen es bei diesen exemplarischen Typen von Integralen und verweisen f¨ ur Erg¨ anzungen und weitere Anwendungen des Residuensatzes auf reelle Fragestellungen auf die weitergehende Literatur.

7.4 Argumentprinzip und Anwendungen Wir behandeln in diesem Abschnitt einige funktionentheoretische Konsequenzen des Residuensatzes: ( logarithmisches Residuum“) ” Es seien f, g : G −→ C holomorphe Funktionen auf einem Gebiet G in C und f nicht konstant Null. Mit der Nullstellenmenge

Satz 7

N := {z ∈ G : f (z) = 0}∗ sei K ein nullhomologer Zyklus in G mit N ∩ (K) = ∅ . Dann gilt: , f (z) 1 g(z) dz = u(K, a)g(a) · vf (a) 2πi f (z) K

∗

a∈N

˙ ∩ G = ∅. Nach der Folgerung aus dem Identit¨ atssatz gilt N

198

Kapitel 7


Hierbei bezeichne vf (a) die Ordnung (Vielfachheit) der Nullstelle a (von f ) f¨ ur a ∈ N. Zu der Summe in der Behauptung sei angemerkt: Die Menge {a ∈ N : u(K, a) = 0} ist endlich (vgl. Hilfssatz, S. 190). Ein wichtiger Spezialfall ist: g(z) := 1 (z ∈ G) und u(K, a) ∈ {0, 1} f¨ ur alle a ∈ N. Man sagt dann: K ist (bez¨ uglich N) einfach“. ” Der Beweis ist mit dem Residuensatz unter Beachtung von (3’) (aus den Berechnungsmethoden f¨ ur Residuen (vgl. Seite 189)) gegeben; denn zu einer Nullstelle a von f existiert ein m ∈ N, ein δ > 0 mit Uaδ ⊂ G und eine holomorphe Funktion h : Uaδ −→ C mit f (z) = (z − a)m h(z) und h(a) = 0 . Dann ist Œ h(z) = 0 f¨ ur z ∈ Uaδ . m−1 h(z) + (z − a)m h (z) zeigt f (z) = m(z − a) m h (z) f (z) = + . f (z) z−a h(z) Daraus liest man Res (f /f ; a) = m = vf (a) ab.

Es k¨ onnen entsprechend auch Pole von f ber¨ ucksichtigt werden. Auf diese kleine Erg¨ anzung gehen wir aber nicht mehr ein.

Spezialf¨ alle dieses Satzes werden oft auch als Prinzip vom Argument“ ” ¨ bezeichnet; dem liegt folgende Uberlegung zugrunde: Hilfssatz ( Integraltransformation‘) ’ Es seien G und G1 Gebiete in C, f : G −→ G1 und g : G1 −→ C holomorphe Funktionen. Zu a, b ∈ G sei C ∈ KG (a, b), also eine Kurve, die innerhalb G von a nach b verläuft. Die — f¨ ur ein ϕ ∈ C — durch f ◦ ϕ gegebene Bildkurve‘, die offenbar inner’ halb G1 von f (a) nach f (b) verläuft, bezeichnen wir mit f (C). Dann gilt: , , g(w) dw = g(f (z))f (z) dz C

f (C)

f

G

b a

f(b)

f (G) C

f (C)

f(a)

7.4

Argumentprinzip und Anwendungen

199

Beim Beweis kann Œ von einer stetig differenzierbaren Parameterdarstellung ϕ : [α, β] −→ G von C ausgegangen werden. Dann ist auch die Parameterdarstellung f ◦ ϕ von f (C) stetig differenzierbar, und es gilt: ,β

, g(w) dw = f (C)

g (f ◦ ϕ)(t) (f ◦ ϕ) (t) dt

α

,β =

g f ϕ(t) f ϕ(t) ϕ (t) dt = r. S.

α

So gilt speziell:

1 2πi

, C

,

1 f (z) dz = f (z) 2πi

1 dw = u f (C), 0 w

f (C)

Hier steht rechts die Umlaufzahl von f (C) um 0 , die gerade die Argument¨ anderung beim Umlauf von f (C) um 0 beschreibt. Satz 8

(Satz von Rouch´ e)∗

Es seien G ein Gebiet in C und K ein nullhomologer Zyklus in G mit u(K, a) ∈ {0, 1} f¨ ur alle a ∈ G \ (K). F¨ ur zwei holomorphe Funktionen f, g : G −→ C mit |g(z)| < |f (z)| f¨ ur alle z ∈ (K) gilt dann: f und f + g haben in M := a ∈ G \ (K) | u(K, a) = 1 gleich viele Nullstellen (der Vielfachheit entsprechend gezählt); diese Anzahl ist endlich. Der Beweis l¨ asst unschwer erkennen, dass dieser Satz noch wesentlich verallgemeinert werden kann.

Beweis: F¨ ur α ∈ [0, 1] betrachten wir hα (z) := f (z) + α g(z) (z ∈ G) ; dann ist hα : G −→ C holomorph mit hα (z) = 0 f¨ ur z ∈ (K), da |g(z)| < |f (z)|. Die Abbildung , 1 hα (z) [0, 1] α −→ dz =: S(α) 2πi hα (z) K

∗

E. Rouch´ e (1832–1910)

200

Kapitel 7


ist stetig () und Z-wertig (nach dem Satz u ¨ber das logarithmische Residuum), also konstant. Daher folgt speziell S(0) = S(1), was die Behauptung liefert. ¨ Der Satz von Rouch´ e ist unter anderem auch f¨ ur numerische Uberlegungen n¨ utzlich; er gibt Informationen u ¨ ber die Lage von Nullstellen holomorpher Funktionen. Dazu ein einfaches

Beispiel: Es existiert eindeutig ein z ∈ U01 mit z 4 − 4z + 2 = 0 : Dazu wenden wir den Satz auf den positiv orientierten Kreis K um 0 mit Radius 1 und f (z) := −4z + 2, g(z) := z 4 (z ∈ G := C) an. F¨ ur z ∈ (K), also |z| = 1, hat man:

|g(z)| = 1 < 2 ≤ |f (z)| Nach dem Satz von Rouch´ e hat die Funktion f + g ebensoviele Nullstellen amlich eine. in U01 wie f , n¨ Wir sehen uns noch einen weiteren — jetzt besonders einfachen — Beweis des Fundamentalsatzes der Algebra (vgl. Seiten 106 und 137 f) an und verzichten dabei darauf, den Satz erneut zu formulieren. n−1 −→ 0 (|z| −→ ∞). Beweis: f (z) := an z n , g(z) := ν=0 aν z ν (z ∈ C); fg(z) (z) Somit existiert ein R ∈ ]0, ∞[ mit |g(z)| < |f (z)| |z| = R ; der Satz von Rouch´ e, angewendet auf G := C und K als positiv orientierten Kreis um 0 mit Radius R, liefert die Behauptung, da f in 0 eine n-fache Nullstelle hat. ´ ergibt sich noch die stetige Als einfache Folgerung aus dem Satz von Rouche ’ Abh¨ angigkeit der Nullstellen eines Polynoms von den Koeffizienten‘. Diese theoretische Aussage schließt jedoch nicht aus, dass geringf¨ ugige St¨ orungen‘ der Polynom’ ¨ koeffizienten zu dramatischen‘ Anderungen der Nullstellen f¨ uhren. Ein bekanntes ’ Beispiel von J. H. Wilkinson zeigt dies: p(z) :=

20

(z − k) , q(z) := p(z) − 2−23 z 19 ;

k=1

q hat f¨ unf Paare konjugiert komplexer Nullstellen mit Imagin¨ arteilen, die von ±0.64 bis ±2.81 variieren!

Routh-Kriterium Im Folgenden befassen wir uns mit der Frage, ob alle Nullstellen eines komplexen Polynoms pn (z) = an z n + (an−1 + i bn−1 )z n−1 + · · · + (a1 + i b1 )z + (a0 + i b0 )

7.4


201

mit aν , bν ∈ R, n ∈ N und an = 0 , also reellem Hauptkoeffizienten, in der linken Halbebene {λ ∈ C : Re (λ) < 0} liegen. Ein solches pn heißt stabil. Derartige Polynome haben Bedeutung bei Stabilitätsuntersuchungen gew¨ ohnlicher Differentialgleichungen, speziell etwa bei der Untersuchung von Schwingungen mechanischer oder elektrischer Systeme. Notwendige und hinreichende Bedingungen f¨ ur die Stabilit¨ at reeller Polynome stammen von A. Hurwitz, der 1895 ein Determinantenkriterium ver¨ offentlichte (vgl. etwa [Me/Va, Satz 9.10.4]). Bereits 1877 war von E. J. Routh ein dazu aquivalentes Kriterium hergeleitet worden. Routh hatte hierf¨ ur einen besonders ¨ ubersichtlichen Algorithmus entwickelt, der auf Sturmschen Ketten basierte. Das ¨ folgende Reduktionsverfahren geht auf I. Schur (ZAMM 1 (1921), 307–311) zur¨ uck und benutzt zum Beweis den Satz von Rouch´ e als Haupthilfsmittel. Dies hat den Vorzug, dass der Routhsche Algorithmus auch f¨ ur Polynome mit komplexen Koeffizienten seine G¨ ultigkeit beh¨ alt und zudem genauere Aussagen u ¨ ber die Anzahl der Nullstellen in einer Halbebene gewonnen werden k¨ onnen.

In diesem Zusammenhang ist die durch p∗n (z) := (−1)n pn (−z) definierte Parakonjugierte von pn“ von Interesse. ” Mit bn := 0 und αν := aν + i bν (ν = 0, . . . , n) gelten: n pn (z) = αν z ν und p∗n (z)

=

n

n+ν

(−1)

ν=0 ν

αν z

= an z n +

ν=0

n−1

(−1)n+ν αν z ν

ν=0

= an z n − (an−1 − i bn−1 )z n−1 + (an−2 − i bn−2 )z n−2 ∓ · · · + (−1)n (a0 − i b0 ) Die Linearfaktorzerlegung pn (z) = an (z − z1 ) (z − z2 ) · · · (z − zn ) geht u ¨ber in

p∗n (z) = an (z + z1 ) (z + z2 ) · · · (z + zn ) .

Die Nullstellen von p∗n erh¨ alt man also aus denen von pn durch Spiegelung an der imagin¨ aren Achse, was man nat¨ urlich auch unmittelbar aus der Definition von p∗n abliest. Mit pn und p∗n werden die Polynome qn und qn−1 definiert: qn (z) :=

n 1 1 αν + (−1)n+ν αν z ν pn (z) + p∗n (z) = 2 2 ν=0

= an z n + i bn−1 z n−1 + an−2 z n−2 + i bn−3 z n−3 + · · · 1 1 αν + (−1)n+ν+1 αν z ν pn (z) − p∗n (z) = 2 2 ν=0 n

qn−1 (z) :=

= an−1 z n−1 + i bn−2 z n−2 + an−3 z n−3 + i bn−4 z n−4 + · · ·

202

Kapitel 7


Sind alle Koeffizienten reell (d. h. bν = 0 auch f¨ ur ν = 0, . . . , n − 1), so bedeutet diese Aufteilung, dass das eine Polynom die geraden Anteile von alt. pn , das andere die ungeraden enth¨ Mit pn = qn + qn−1 folgt — wegen der speziellen Struktur von qn und qn−1 sind qn (i t) und qn−1 (i t) in dem Sinne orthogonal‘, dass ein Wert reell und ’ der andere rein-imagin¨ ar ist — leicht 2

2

|pn (i t)| = |qn (i t)| + |qn−1 (i t)|

2

(t ∈ R) .

(1 a)

n

zν = −αn−1 f¨ ur die — entsprechend Vielfachheiten gez¨ ahlten — Nullstellen zν von pn . Ist an−1 = 0 , so gilt also auch n Re (zν ) = 0 . Nach dem Satz von Vieta gilt an

ν=1

ν=1

F¨ ur mindestens ein ν ∈ {1, . . . , n} folgt somit Re (zν ) ≥ 0 ; pn ist daher nicht stabil. Ist man nur an der Entscheidung hier¨ uber interessiert, kann der Algorithmus schon hier stoppen. Im nicht-trivialen Fall n ≥ 2 und an−1 = 0 liefert Division mit Rest (Euklidischer Algorithmus) f¨ ur qn und qn−1 mit τ1 :=

an an−1

und

σ1 :=

bn−1 − τ1 bn−2 an−1

qn (z) = qn−1 (z) (τ1 z + i σ1 ) + qn−2 (z) .

(2)

L¨ ost man in (2) nach qn−2 auf, so sieht man: Das Restpolynom qn−2 hat die gleiche Struktur wie qn und qn−1 (mit Grad qn−2 ≤ n − 2), nämlich die Gestalt qn−2 (z) = cn−2 z n−2 + i cn−3 z n−3 + · · · mit reellen cν . Wir f¨ uhren nun das Polynom pn−1 := qn−1 + qn−2 ein. F¨ ur dessen Nullstellen wollen wir sp¨ ater einen Zusammenhang mit den Nullstellen von pn herstellen. Analog zu (1 a) gilt |pn−1 (i t)|2 = |qn−1 (i t)|2 + |qn−2 (i t)|2 Mit (2) (und pn = qn + qn−1 ) folgt

(t ∈ R) .

(1 b)

7.4


203

pn (z) = qn−1 (z)(i σ1 + τ1 z) + qn−2 (z) + qn−1 (z) = (1 + i σ1 + τ1 z)qn−1 (z) + qn−2 (z)

(3)

= (1 + i σ1 + τ1 z)pn−1 (z) − (i σ1 + τ1 z)qn−2 (z) und weiter pn (i t) = 0 ⇐⇒ pn−1 (i t) = 0

f¨ ur t ∈ R .

(4)

Beweis von (4): Aus . S. folgt nach (1 a): qn (it) = 0 = qn−1 (it). Mit (3) ergibt dies zun¨ achst qn−2 (it) = 0 und dann u ¨ber (1 b) r. S.. Aus r. S. folgt nach (1 b) qn−1 (it) = 0 = qn−2 (it) und so nach (3) . S.. Wir setzen f (z) := (1 + i σ1 + τ1 z)pn−1 (z) , g(z) := −(i σ1 + τ1 z)qn−2 (z) . Mit (3) erhalten wir damit eine Zerlegung von pn der Form pn = f + g , auf die wir den Satz von Rouch´ e anwenden werden. F¨ ur z auf der imagin¨ aren Achse i R gelten |i σ1 + τ1 z | < |1 + i σ1 + τ1 z| und — nach (1 b) — |qn−2 (z)| ≤ |pn−1 (z)| . Damit haben wir, sofern pn−1 (z) = 0 (bzw. pn (z) = 0) |g(z)| < |f (z)| . Nach Voraussetzung sind an−1 und τ1 von 0 verschieden. Mithin ist Grad f = n . Wegen Grad g ≤ n − 1 folgt so |g(z)| < |f (z)|

f¨ ur |z| = r

und hinreichend großes r . e auf Liegen auf i R keine Nullstellen von pn , so kann der Satz von Rouch´ die Kurve C gem¨ aß Zeichnung

r

0

-r

C

r

204

Kapitel 7


(positiv durchlaufener Halbkreis mit Radius r, geschlossen durch entsprechende Strecke auf i R ) angewendet werden und liefert: f und f + g (= pn ) haben im Inneren von C gleich viele Nullstellen (entsprechend den Vielfachheiten). Die Nullstelle von 1 + i σ1 + τ1 z hat den Realteil − τ11 . Im Falle τ1 < 0 ur hinreichend großes r) eine hat also f (und damit pn ) im Inneren von C (f¨ Nullstelle mehr als pn−1 . Im Falle τ1 > 0 sind diese beiden Anzahlen gleich. Haben pn und pn−1 (bzw. qn , qn−1 und qn−2 ) auf i R eine gemeinsame Nullstelle i ζ (mit ζ ∈ R), so kann man den Faktor z − i ζ ausklammern. ¨ Wichtig f¨ ur unsere Uberlegungen ist, dass danach bei den verbleibenden Polynomen q;n , q;n−1 und q;n−2 die spezielle Struktur erhalten bleibt, d. h. ihre Koeffizienten sind — beginnend mit reellem Hauptkoeffizienten — alternierend reell bzw. imagin¨ ar. So u ¨bertragen sich die Orthogonalitätsrelationen‘ ’ (1 a) und (1 b). Gegebenenfalls lassen sich weitere Linearfaktoren des Typs z − i ζ , ζ ∈ R, abspalten. Auf diese Weise wird klar, dass pn und pn−1 auf i R Nullstellen mit gleichen Vielfachheiten besitzen, d. h. es existiert ein gemeinsamer Faktor ψ(z) mit pn (z) = ψ(z) p;n (z) und pn−1 (z) = ψ(z) p;n−1 (z) derart, dass auf i R keine Nullstellen von p;n und p;n−1 liegen. Es gilt dann ur k = n − 2, n − 1, n. Mithin kann man nat¨ urlich auch qk (z) = ψ(z) q;k (z) f¨ ¨ die Uberlegungen von Seite 203 auch auf f;(z) := (1 + i σ1 + τ1 z) p;n−1 (z), g;(z) := −(i σ1 + τ1 z) q;n−2 (z) g anwenden. Zusammenfassend erhalten wir: mit p;n = f; + ; Satz 9 In der rechten Halbebene ist die Anzahl der Nullstellen (entsprechend Vielfachheiten) von pn gleich der von pn−1 , falls an und an−1 gleiches Vorzeichen haben; andernfalls ist sie um 1 größer. Auf der imaginären Achse haben beide Polynome die gleichen Nullstellen mit gleichen Vielfachheiten. Lässt sich der oben beschriebene Divisionsalgorithmus wiederholen und sukzessive auf pn−1 , . . . , p1 anwenden, so erhält man Polynome qn−k mit (k) reellen Hauptkoeffizienten an−k . qn und qn−1 sind direkt durch pn gegeben. Die u ¨ brigen Polynome qn−k entstehen daraus durch Division mit Rest (Euklidischer Algorithmus). • Gilt τk =

(k−1)

an−k+1 (k)

an−k

= 0 f¨ ur k = 1 , . . . , n (alle auftretenden Quotien-

tenpolynome i σk + τk z sind linear), dann besitzt das Polynom pn keine Nullstellen auf der imaginären Achse, und die Anzahl seiner Nullstellen in der rechten Halbebene ist gleich der Anzahl der negativen Elemente der Liste τ1 , . . . , τn .

7.4


205

• Bricht das Verfahren nach k Schritten mit qn−k−1 = 0 ab, so ist pn−k = qn−k der größte gemeinsame Teiler von pn und p∗n , dessen Nullstellen konjugiert symmetrisch zur imaginären Achse liegen, d. h. mit z ist auch −z Nullstelle von pn−k . Die Anzahl der Nullstellen von pn in der rechten Halbebene ist gleich der Summe der Anzahl der negativen Elemente der Liste τ1 , . . . , τk und der Anzahl der Nullstellen von pn−k in der rechten Halbebene. Anmerkungen • Falls pn auf i R eine Nullstelle hat, bricht der Divisionsalgorithmus ab, (k) d. h. es gilt an−k = 0 f¨ ur ein k ∈ {1 , . . . , n} . • Bricht der Divisionsalgorithmus ab, so hat pn eine Nullstelle z0 mit Re (z0 ) ≥ 0 (vgl. Seite 202). • Durch Nullstellenverschiebungen und Drehungen sind Nullstellentests in beliebigen Halbebenen und Winkelbereichen möglich. Diese f¨ uhren — auch ausgehend von reellen Polynomen — auf Polynome mit komplexen Koeffizienten. Wir rechnen vier Beispiele von Hand, um die Dinge einzu¨ uben und so zu vertiefen, aber auch um den Einstieg in das zugehörige Worksheet zu erleichtern: Beispiele: p3 (z) := z 3 + 2z 2 + 2z + 1

(B1)

Hier hat man q3 (z) = z 3 + 2z und q2 (z) = 2z 2 + 1 und rechnet nach dem Schema: z3 z2 z1 z0 1 · 2 · q3 1 τ1 = 2 ∗ 2 · 1 q2 τ2 = 43 ∗ ∗ 32 · q1 τ3 = 32 ∗ ∗ ∗ 1 q0 Das Routh-Schema bricht nicht vorzeitig ab; nach dem vorangehenden Satz liegen alle 3 Nullstellen in der linken Halbebene. Hier können wir das nat¨ urlich noch leicht best¨ atigen, indem wir die Nullstelle −1 sehen‘, dann (Horner!) ’ den Linearfaktor abspalten und die Faktorisierung p3 (z) = (z + 1)(z 2 + z + 1)

√ erhalten, aus der wir dann die beiden weiteren Nullstellen − 12 1 ± i 3 ablesen.

206

Kapitel 7


p6 (z) := z 6 + 2z 5 + 6z 4 + 10z 3 + 9z 2 + 8z + 4

(B2)

Hier hat man q6 (z) = z 6 + 6z 4 + 9z 2 + 4 und q5 (z) = 2z 5 + 10z 3 + 8z und rechnet: z6 z5 z4 z3 z2 z1 z0 1 · 6 · 9 · 4 q6 1 τ1 = 2 ∗ 2 · 10 · 8 · q5 τ2 = 2 ∗ ∗ 1 · 5 · 4 q4 ∗ ∗ ∗ 0 · 0 · q3 Das Routh-Schema bricht nach zwei Schritten mit q3 = 0 ab. Mit den Bezeichnungen von Seite 204 gilt ψ(z) = q4 (z) = (z 2 + 1) (z 2 + 4) sowie pk (z) = ψ(z) p;k (z) f¨ ur k = 5, 6 sowie qk (z) = ψ(z) q;k (z) f¨ ur k = 4, 5, 6 mit q;4 (z) = 1 , q;5 (z) = 2 z , q;6 (z) = z 2 + 1 sowie p;5 (z) = 2 z + 1 , p;6 (z) = z 2 + 2 z + 1 . Wegen τ1 = 1/2 , σ1 = 0 sind z z p;5 (z) und ; f;(z) = 1 + g(z) = − q;4 (z) . 2 2 g(z) . So hat dann p;6 in der linken Halbebene Ferner gilt p;6 (z) = f;(z) + ; eine Nullstelle mehr als p;5 . Nach Satz 9 folgt insgesamt: aren Nullstellen ±i, ±2 i . • p6 hat — wie p4 — die imagin¨ • p6 hat keine Nullstellen in der rechten Halbebene, folglich zwei Nullstellen in der linken Halbebene. p4 (z) := z 4 + 5z 3 + 10z 2 + 10z + c

(B3)

F¨ ur welche c ∈ R liegen alle Nullstellen in der linken Halbebene?

τ1 =

1 5

τ2 =

5 8

τ3 =

64 80−5 c

τ4 =

80−5 c 8c

z4 z3 z2 z1 · 1 · 10 ∗ 5 · 10 ∗ ∗ 8 · ∗ ∗ ∗ 10 − 58 c ∗ ∗ ∗ ∗

z0 c q4 · q3 c · c

q2 q1 q0

Damit τ3 und τ4 existieren, m¨ ussen nat¨ urlich 10 − 58 c = 0 , d. h. c = 16 , und c = 0 sein. Wir erhalten als Bedingung f¨ ur Stabilität 10 − 58 c > 0 ∧ c > 0 , also 16 > c > 0 .

7.4


207

p6 (z) := z 6 + z 5 + 3z 4 + 3z 3 + 3z 2 + 2z + 1 z6 z5 z4 z3 1 · 3 · τ1 = 1 ∗ 1 · 3 ∗ ∗ 0 ·

(B4)

z2 z1 z0 3 · 1 q6 · 2 · q5 1 · 1 q4 (2)

Das Routh-Schema bricht nach einem Schritt wegen a4 = 0 ab. Da man weder zu einem sinnvollen Ende kommt, noch die Rechnung fortgesetzt werden kann, bezeichnet man diesen Fall als Entartung. q4 (z) = z 2 + 1 p5 (z) = q5 (z) + q4 (z) = z 5 + 3z 3 + z 2 + 2z + 1 = (z 3 + 2z + 1)(z 2 + 1) p6 (z) = (z 4 + z 3 + 2z 2 + 2z + 1)(z 2 + 1) aren Nullstellen ±i . • p6 hat — wie p5 — die imagin¨ • p6 hat in der linken Halbebene eine Nullstelle mehr als p5 . • p6 und p5 haben in der rechten Halbebene gleich viele Nullstellen.

MWS zu Kapitel 7

Laurent-Reihen, isolierte Singularit¨ aten, Residuensatz Wichtige Maple-Befehle dieses Kapitels: Plot-Optionen: coords=cylindrical, labelfont, titlefont save, read convert(..., polynom) residue select; add degree, quo

7.1 Laurent-Reihen An drei einfachen Beispielen, die man noch leicht im Kopf nachvollziehen kann (Reihe der Exponentialfunktion und geometrische Reihe!), werden nun Laurent-Reihen, speziell ihr Approximationsverhalten, durch Darstellung des Absolutbetrages der komplexen Fehlerfunktion‘ veranschaulicht. ’ Beispiel 1 > restart: with(plots): f := z -> exp(1/z); 1

f := z −→ e z

Wir betrachten die Laurent-Reihe von f um 0 in K0 (0, ∞) und beschr¨ anken dabei die Graphik auf K0 (0, 1) :

5

> L := series(f(z),z=infinity): # Der Ausdruck rechts ist ¨ aquivalent zu: # subs(z=1/z,series(subs(z=1/z,f(z)),z=0)) convert(L,polynom): # Restterm weglassen L := unapply(%,z); Rest := f - L:

210

MWS zu Kapitel 7 L := z −→ 1 +

Laurent-Reihen, Singularitäten, Residuensatz 1 1 1 1 1 + + + + 2 3 4 z 2z 6z 24 z 120 z 5

Da wir mit der folgenden plot3d-Anweisung die Betragsfunktion von Rest‘ in ’ einem Kreis bzw. Kreisring darstellen wollen, verwenden wir hierzu Zylinder¨ koordinaten mittels der Option coords=cylindrical . Um die Uberlegungen in diesem Abschnitt noch mehrfach einsetzen zu können, schreiben wir gleich eine kleine Prozedur und speichern diese in einer Textdatei ab:

10

Differenz (betraglich) zwischen f und dem Anfangsteil der Laurent-Reihe L

3

Rest

5

> show := proc(r,R::realcons,Titel::string) global Rest; plot3d([rho,t,abs(evalf(Rest(rho*exp(I*t))))],rho=r..R,t=0..2*Pi, view=[-R..R,-R..R,0..3],coords=cylindrical,shading=zhue, grid=[50,50],style=patchcontour,contours=30,tickmarks=[3,3,3], axes=box,titlefont=[TIMES,ROMAN,14],labelfont=[TIMES,ITALIC,14], labels=["Realteil"," Imaginaerteil","Rest"],title=Titel, labeldirections=["horizontal","horizontal","vertical"]) end proc: save show, "show.txt": show(0,1,"Differenz (betraglich) zwischen f und dem Anfangsteil der Laurent-Reihe L");

2 1 –1

0 –1 0 Imaginaerteil

0

Realteil

1 1

Beispiel 2 > restart: with(plots): read "show.txt": f := z -> 3/((z+1)*(2-z));

f := z −→

3 (z + 1) (2 − z)

Wir interessieren uns f¨ ur die Laurent-Reihe(n) von f um 0 . Die Singularit¨ aten von f sind −1 und 2 . Wir beginnen mit der Laurent-Reihe in

7.1

Laurent-Reihen

(MWS)

211

K0 (0, 1). Da f in 0 holomorph ist, stimmt die Laurent-Reihe mit der Potenzreihe im Einheitskreis u ¨ berein. > series(f(z),z=0): L := unapply(convert(%,polynom),z); Rest := f - L: show(0,1,"(Rest zur) Laurent-Reihe in |z| < 1 (Potenzreihe von f um 0)");

L := z −→

9 3 3 15 3 33 4 63 5 − z + z2 − z + z − z 2 4 8 16 32 64

(Rest zur) Laurent-Reihe in |z| < 1 (Potenzreihe von f um 0)

Rest

3 2 1 –1 0 –1 0 Imaginaerteil

0

Realteil

1 1

Als n¨ achstes betrachten wir die Laurent-Reihe von f in K0 (1, 2) . Dazu berechnen wir die Partialbruchzerlegung von f und spalten f auf in die Summe der beiden Funktionen f1 : z → 1/(z + 1) und f2 : z → 1/(2 − z). Mittels series(f 1(z), z=infinity) erhalten wir die Laurent-Reihe von f1 in K0 (1, ∞) , und series(f 2(z), z=0) liefert die Laurent-Reihe von f2 in K0 (0, 2). > convert(f(z),parfrac,z);

1 1 − z + 1 −2 + z f_1 := unapply(1/(z+1),z); f_2 := unapply(-1/(-2+z),z);

f1 := z −→

1 , z+1

f2 := z −→ −

1 −2 + z

212

MWS zu Kapitel 7


Order := 10: series(f_1(z),z=infinity) + series(f_2(z),z=0): L := unapply(convert(%,polynom),z); Rest := f - L: show(1,2,"(Rest zur) Laurent-Reihe in 1 < |z| < 2");

L := z −→

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 − + − + − + − + + + z + z2 z z2 z3 z4 z5 z6 z7 z8 z9 2 4 8 1 3 1 4 1 5 1 6 1 7 1 8 1 z + z + z + z + z + z + z9 + 16 32 64 128 256 512 1024 (Rest zur) Laurent-Reihe in 1 < |z| < 2

Rest

3 2 1 –2 0 –2

–1 –1

Imaginaerteil

0 0

1

1

Realteil

2 2

Und so erh¨ alt man schließlich die Laurent-Reihe von f in K0 (2, ∞): > series(f_1(z),z=infinity,8) + series(f_2(z),z=infinity,8): L := unapply(convert(%,polynom),z): Rest := f - L: show(2,4,"(Rest zur) Laurent-Reihe von f in |z| > 2"); L;

(Rest zur) Laurent-Reihe von f in |z| > 2

Rest

3 2 1 –4 0 –4

–2 –2

Imaginaerteil

0 0

2

2 4 4

Realteil

7.1

Laurent-Reihen

(MWS)

L := z −→ −

213

3 3 9 15 33 63 − 3− 4− 5− 6 − 7 2 z z z z z z

Beispiel 3 In vielen Bereichen der Mathematik kommt die Funktion x −→ 1/(1 + x2 ) vor. Hieran sieht man, dass man die Gr¨ oße des Konvergenzradius einer entsprechenden Potenzreihenentwicklung oft nur nach Erweiterung ins Komplexe richtig versteht. Wir sehen uns dieses Beispiel noch kurz an: > restart: with(plots): read "show.txt": f := z -> 1/(1+z^2);

f := z −→

1 1 + z2

> series(f(z),z=0,12): L := unapply(convert(%,polynom),z); Rest := f- L: show(0,1,"(Rest zur) Laurent-Reihe in |z| < 1 (Potenzreihe von f um 0)");

f := z −→ 1 − z 2 + z 4 − z 6 + z 8 − z 10 (Rest zur) Laurent-Reihe in |z| < 1 (Potenzreihe von f um 0)

Rest

3 2 1 –1 –1 0 Imaginaerteil

0

Realteil

1 1

Wir sehen uns nur noch die Entwicklung in K0 (1, ∞) an: > series(f(z),z=infinity,12): unapply(convert(%,polynom),z);

z −→

1 1 1 1 1 − 4 + 6 − 8 + 10 z2 z z z z

214

MWS zu Kapitel 7


7.2 Isolierte Singularit¨ aten Beispiel f¨ ur eine nicht-isolierte Singularit¨ at > restart: with(plots): f := z -> 1/sin(Pi/z);

f := z −→

1 π sin z

> _EnvAllSolutions := true: solve(sin(Pi/z));

1 Z1 0 ist eine Singularit¨ at, die nicht isoliert ist; denn zn = 1/n definiert eine Nullfolge von Singularit¨ aten. > TICKS := [[seq(1.0/k=cat(‘ 1/‘,k),k=12..15)],[-4,-2,0,2,4]]: plot(f,1/16..1/12,-4..4,tickmarks=TICKS,color=black,thickness=2);

Klassifikation von isolierten Singularit¨ aten Beispiel 1: Hebbare Singularit¨ aten und Polstellen > restart: f := z -> z/(1-z)/sin(Pi*z);

f := z −→

z (1 − z) sin(π z)

f hat eine hebbare Singularit¨ at in 0, einen Pol zweiter Ordnung in 1 und Pole erster Ordnung in k f¨ ur alle anderen ganzen Zahlen k :

7.2


(MWS)

215

> _EnvAllSolutions := true: solve(denom(f(z)));

1, Z1 Z1 ist eine ganzzahlige Variable. Im ersten Moment gerät man ins Gr¨ ubeln u ber diese kryptische Beschreibung der ganzen Zahlen als L¨ o sungsmenge. f ¨ ist also holomorph in C \ Z. Betrachten wir die Singularität z0 = 0 , so gilt: > Limit(f(z),z=0): % = value(%);

lim

z−→0

1 z = (1 − z) sin(π z) π

at, und f kann durch f (0) := 1/π Mithin ist z0 = 0 eine hebbare Singularit¨ holomorph erg¨ anzt werden. F¨ ur die Potenzreihe um 0 liefert Maple die folgenden Anfangsterme: > series(f(z),z=0): convert(%,polynom);

1 2 2 1 2 3 1 4 1 2 2 π π π (6 + π 1 + 1 + 1 − + )π z z z4 z 1 6 6 120 36 + + + + π π π π π alt man F¨ ur die Singularit¨ at z0 = 1 erh¨ > Limit((z-1)^2*f(z),z=1): % = value(%);

1 (−1 + z)2 z = z−→1 (1 − z) sin(π z) π lim

f hat also in z0 = 1 einen Pol zweiter Ordnung. F¨ ur die Laurent-Reihe um z0 = 1 liefert Maple als Reihenanfang die Terme: > series(f(z),z=1): convert(%,polynom);

1 1 7 3 1 1 + π + π (−1 + z) + π (−1 + z)2 + π (−1 + z)2 π (−1 + z) 6 6 360 F¨ ur alle u aten z0 = k aus Z \ {0, 1} erhalten wir wegen ¨ brigen Singularit¨ > Limit((z-k)*f(z),z=k): % = factor(value(%)) assuming k::integer;

lim

z−→k

k (z − k) z =− (1 − z) sin(π z) (−1 + k) (−1)k π

einen Pol erster Ordnung mit dem Residuum (−1)k+1 k/((k − 1) π). F¨ ur k = −1 bzw. k = 2 stimmt dies mit Maples — u ¨ ber die Laurent-Reihe gewonnenen — Resultaten u ¨berein: > series(f(z),z=-1,5): convert(%,polynom);

216

MWS zu Kapitel 7 1 1 1 − − 2 π (z + 1) 4 π

8

Laurent-Reihen, Singularitäten, Residuensatz −

1 1 2 1 2 π (z + 1) + π (z + 1)2 12 16 24 − π π

> series(f(z),z=2,5): convert(%,polynom);

1 2 + + − π (z − 2) π

−1−

1 2 1 π (z − 2) 1 + π 2 (z − 2)2 3 6 + π π

Beispiel 2: Wesentliche Singularit¨ aten > restart: with(plots): f := z -> exp(1/z); 1

f := z −→ e z

Hierf¨ ur erhalten wir folgende Laurent-Reihe um z0 = 0 : > ’f(z)’ = subs(z=1/z,Sum(z^k/k!,k=0..infinity)); ∞

f (z) =

1 k

k=0

z k!

bzw. > ’f(z)’ = Sum(z^k/(-k)!,k=-infinity..0); 0

f (z) =

k=−∞

zk (−k)!

z0 = 0 ist also eine wesentliche Singularität von f . An diesem Beispiel lässt sich nun leicht die Aussage des Satzes von Casorati-Weierstraß verdeutlichen: > Limit(f(x),x=0,right): % = value(%); 1

lim e x = ∞

x−→0+

> Limit(f(x),x=0,left):

% = value(%); 1

lim e x = 0

x−→0−

> plot([f(x),1],x=-5..5,y=0..5,discont=true,color=[black,gray], thickness=[1,2],title="0 und ’infinity’ werden bei 0 durch Werte von f approximiert:");

7.2


(MWS)

217

0 und ∞ werden bei 0 durch Werte von f approximiert:

Es sei nun w eine beliebige komplexe Zahl ungleich 0 . Durch zn = 1/ log(|w|) + i arg(w) + n2 π i ist dann eine Nullfolge gegeben mit: > assume(n,posint,w,complex): z[n] := 1/(log(abs(w))+I*(argument(w)+n*2*Pi)): ’f(z[n])’ = f(z[n]); Limit(’z[n]’,n=infinity): eval(%,1) = value(%);

f (zn ) = eln(|w|)+i (argument(w)+2 n π) ,

lim zn = 0

n→∞

> simplify(rhs(%%%),exp);

|w| signum(0, w, 1) Man muss Maple mit convert(%,abs); etwas nachhelfen, diesen Ausdruck zu w zu vereinfachen. Offensichtlich ist f (zn ) = w , trivialerweise also auch limn−→∞ f (zn ) = w . Insgesamt existiert also zu jedem w aus der abgeschlossenen komplexen Zahlenebene C eine Nullfolge (zn ) mit limn−→∞ f (zn ) = w . Berechnungsmethoden f¨ ur Residuen Methode 1 Kennt man die Laurent-Reihe ∞

ck (z − a)k

k=−∞

von f um die isolierte Singularit¨ at a, so kann man das Residuum daraus direkt ablesen, n¨ amlich Res(f ; a) = c−1 .

218

MWS zu Kapitel 7


> restart: f := z -> sin(1/z);

1 f := z −→ sin z > series(f(z),z=infinity);

1 1 1 1 − + +O 6 3 5 z 6z 120 z z Es ist also Res sin( 1z ); 0 = 1 . Schauen wir uns noch an, was der MapleBefehl residue hier liefert: > residue(f(z),z=0);

1 ,z = 0 residue sin z Maple scheint also — an wesentlichen Singularitäten — u ¨ berfordert zu sein! Methode 2 Es sei g(z) = (z − a)k h(z) mit h holomorph in einer Umgebung von a und h(a) = 0 . Dann gilt (k−1) f 1 f Res ; a = (a) . g (k − 1)! h Im Falle k = 1 hat man h(a) = g (a) und somit f f (a) . Res ; a = g g (a) Beispiel 1

F (z) =

1 1 + z2

> restart: F := z -> 1/(1+z^2): solve(denom(F(z)));

i, −i > a := I:

Hier liefert Maple direkt: > Res(F,a) = residue(F(z),z=a);

Res(F ; i) = −

1 i 2

Mit der oben angegebenen Methode erh¨ alt man:

7.2


(MWS)

219

> f := z -> 1/(z+a); g := z -> z-a;

f := z −→ > ’f(z)/g(z)’:

1 , z+a

g := z −→ z − a

eval(%,1) = rationalize(%);

1 f (z) = g(z) 1 + z2 > Res(f/g,a) = f(a)/D(g)(a);

Res Beispiel 2

F (z) =

f g

;i

= −

1 i 2

1 (1 + z 2 )3

> restart: F := z -> 1/(1+z^2)^3: solve(denom(F(z)));

i, −i, i, −i, i, −i > a := I:

Hier liefert Maple direkt: > Res(F,a) = residue(F(z),z=a);

Res(F ; i) = −

3 i 16

Mit der oben angegebenen Methode erh¨ alt man: > f := z -> 1; g := z -> (z^2+1)^3;

f := z −→ 1 ,

g := z −→ (1 + z 2 )3

> ’f(z)/g(z)’: eval(%,1) = %;

1 f (z) = g(z) (1 + z 2 )3 >

h := z -> (z+a)^3: (z-a)^3*’h(z)’: eval(%,1) = factor(expand(%));

(z − i)3 h(z) = (1 + z 2 )3

220

MWS zu Kapitel 7


> Res(F,a) = 1/2!*(D@@2)(f/h)(a);

3 i 16

Res(F ; i) = − Methode 3

Es seien a ein k-facher Pol von f und g holomorph in einer Umgebung von a. Dann ist (k−1) 1 (z − a)k f (z) g(z) Res(f g; a) = (a) . (k − 1)! Im Spezialfall k = 1 gilt Res(f g; a) = g(a) Beispiel 1

F (z) =

lim (z − a) f (z) = g(a) Res(f ; a) .

z−→a

1 z2 + 1

> restart: F := z -> 1/(z^2+1): f := z -> 1/(z-I); g := z -> 1/(z+I);

f := z −→

1 , z−i

g := z −→

1 z+i

> ’f(z)*g(z)’: eval(%,1) = rationalize(%);

f (z) g(z) =

z2

1 +1

> Res(F,I) = g(I)*limit((z-I)*f(z),z=I);

Res(F ; i) = −

1 i 2

oder alternativ > Res(F,I) = g(I)*residue(f(z),z=I):

Beispiel 2

F (z) =

(z 2

1 + 1)3

> restart: F := z -> 1/(z^2+1)^3: f := z -> 1/(z-I)^3; g := z -> 1/(z+I)^3;

f := z −→

1 , (z − i)3

> simplify((z-I)^3*f(z)*g(z));

g := z −→

1 (z + i)3

7.3

Residuensatz

(MWS)

221 1 (z + i)3

> diff(%,z$2);

12 (z + i)5

> Res(F,I) = 1/2!*subs(z=I,%);

Res(F ; i) = −

3 i 16

So geht es auch: > Res(F,I) = 1/2!*limit(diff((z-I)^3*f(z)*g(z),z$2),z=I):

7.3 Residuensatz Bei der Berechnung von Integralen mit Hilfe von Residuen beschränken wir uns auf einige wichtige Typen.

Direkte Berechnung von Integralen mit dem Residuensatz > restart: with(plots): with(plottools): read "../verdi.txt":

Beispiel 1

. angs des Halbkreises C mit Mittelpunkt 0 Berechne das Integral C f (z) dz l¨ und Radius 2 in der oberen Halbebene. > f := z -> 1/(z^2+2); a := 0: R := 2: g := t -> a+R*exp(I*t):

f := z −→

1 z2 + 2

> sol := [solve(denom(f(z))=0)]; Z := select(z->is(abs(z-a)0),sol);

√ √ sol := i 2, −i 2 ,

√ Z := i 2

222

MWS zu Kapitel 7


> Kurve

5

:= complexplot(g,0..Pi,color=black,thickness=2), complexplot([-R,R],style=line,color=black,thickness=2): Punkte := seq(disk(c2p(z),0.05,color=black),z=Z): Pfeile := seq(pfeil(g,k*Pi/4,0.2,black),k=[1,3]), pfeil([-R,R],0.48,0.2,black): display(Kurve,Punkte,Pfeile,axes=frame,scaling=constrained);

> add(residue(f(z),z=zeta),zeta=Z): Int(f(z),z=C..‘‘) = simplify(2*Pi*I*%);

, C

z2

1 √ 1 dz = π 2 +2 2

Z ist hier einelementig. Wir verwenden add in dieser Form im Hinblick auf allgemeinere Situationen. Beispiel 2 Berechne das Integral Radius 2:

. C

f (z) dz l¨ angs des Kreises C um den Punkt 1 mit

> f := z -> 1/(4+z^4); a := 1: R := 2: g := t -> a+R*exp(I*t): # Parameterdarstellung von C

f := z −→

1 4 + z4

> sol := [solve(denom(f(z))=0)]; Z := select(z->is(abs(z-a) Kreis := complexplot(g,0..2*Pi,color=black): Punkte := seq(disk(c2p(z),0.05,color=black),z=Z): Pfeile := seq(pfeil(g,k*2*Pi/3,0.25,black),k=1..3): display(Kreis,Punkte,Pfeile,axes=frame,scaling=constrained);

7.3

Residuensatz

(MWS)

223

> add(residue(f(z),z=zeta),zeta=Z): Int(f(z),z=C..‘‘) = simplify(2*Pi*I*%);

, C

1 1 dz = − i π 4 + z4 4

Trigonometrische Integrale Es sei R(x, y) eine rationale Funktion in x und y, die auf dem Einheitskreis {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 = 1} definiert ist. F¨ ur

z + z1 z − 1z , R 2 2i f (z) := iz gilt

, 0

k R cos(t), sin(t) dt = 2 π i Res(f ; bκ ) ,

2π

κ=1

wenn b1 , . . . , bk die paarweise verschiedenen isolierten Singularitäten von f im Einheitskreis sind. , π 1 dt (c > 1) Beispiel 1 0 c + cos(t) > restart: R := t -> 1/(c+cos(t)); Integral := Int(R(t),t = 0 .. Pi):

R := t −→

1 c + cos(t)

224

MWS zu Kapitel 7


> Integral = Int(R(t),t = 0 .. 2*Pi)/2;

,

π

0

1 1 dt = c + cos(t) 2

,

2π

0

1 dt c + cos(t)

> subs(cos(t)=(z+1/z)/2,R(t)): normal(%/(I*z)): f := unapply(%,z);

f := z −→ −

2i 2 c z + z2 + 1

> assume(c>1): sol := [solve(denom(f(z)),z)]; Z := select(z->is(abs(z) add(residue(f(z),z=zeta),zeta=Z): Integral = simplify(2*Pi*I*%/2);

,

π

0

,

2π

Beispiel 2 0

π 1 dt = √ c + cos(t) c2 − 1

1 dt 1 + 3 cos(t)2

> restart: with(plots): with(plottools): read "../verdi.txt": R := t -> 1/(1+3*cos(t)^2);

R := t −→

1 1 + 3 cos(t)2

> subs(cos(t)=(z+1/z)/2,R(t)): normal(%/(I*z)): f := unapply(%,z);

f := z −→ −

4iz 10 z 2 + 3 z 4 + 3

> sol := [solve(denom(f(z)))]; Z := select(z->is(abs(z) g := t -> exp(I*t): # Einheitskreis Kreis := complexplot(g,0..2*Pi,color=black): Punkte := seq(disk(c2p(z),0.03,color=black),z=Z): Pfeile := seq(pfeil(g,k*2*Pi/3,0.15,black),k=1..3): display(Kreis,Punkte,Pfeile,axes=frame,scaling=constrained);

7.3

Residuensatz

(MWS)

225

> add(residue(f(z),z=zeta),zeta=Z): Int(R(t),t=0..2*Pi) = simplify(2*Pi*I*%);

,

2π 0

1 dt = π 1 + 3 cos(t)2

Uneigentliche Integrale mit rationalen Funktionen Es seien P und Q Polynome mit 2+Grad(P ) ≤ Grad(Q) und Q(x) ungleich Null f¨ ur alle x ∈ R. Sind b1 , . . . , bk die Nullstellen von Q in der oberen Halbebene, so gilt , ∞ k P P (x) dx = 2 π i ; bκ . Res Q −∞ Q(x) κ=1 Beispiel > restart: f := x -> x^2/(4+x^4);

f := x −→

x2 4 + x4

> sol := [solve(denom(f(z))=0)]; Z := select(z->is(Im(z)>0),sol);

sol := 1 − i, 1 + i, −1 − i, −1 + i ,

Z := 1 + i, −1 + i

> add(residue(f(z),z=zeta),zeta=Z): Int(f(x),x=-infinity..infinity) = 2*Pi*I*simplify(%);

,

∞

−∞

x2 1 dx = π 4 4+x 2

226

MWS zu Kapitel 7


Uneigentliche Integrale mit trigonometrischen Funktionen Es seien P und Q Polynome mit 1+Grad(P ) ≤ Grad(Q) und Q(x) ungleich Null f¨ ur alle x ∈ R. Mit einem α > 0 betrachten wir Integranden der Form f (z) :=

ei α z P (z) . Q(z)

Sind b1 , . . . , bk die Nullstellen von Q in der oberen Halbebene, so gilt ,

∞

f (x) dx = 2 π i −∞

,

∞

Beispiel −∞

k

Res(f ; bκ ) .

κ=1

cos(x) dx 4 + x4

> restart: f := z -> exp(I*z)/(4+z^4);

f := z −→ > evalc(Re(f(x)));

ei z 4 + z4

cos(x) 4 + x4

> sol := [solve(denom(f(z))=0)]; Z := select(z->is(Im(z)>0),sol);

sol := 1 − i, 1 + i, −1 − i, −1 + i ,

Z := 1 + i, −1 + i

> add(residue(f(z),z=zeta),zeta=Z): Int(evalc(Re(f(x))),x=-infinity..infinity) = (simplify@evalc@Re)(2*Pi*I*%);

,

∞

−∞

cos(x) 1 dx = π e−1 sin(1) + cos(1) 4 + x4 4

Berechnung des Hauptwertes uneigentlicher Integrale Es sei f := P/Q mit Polynomen P und Q sowie 2 + Grad(P ) ≤ Grad(Q) . b1 , . . . , bk seien die Polstellen von f in der oberen Halbebene, c1 , . . . , cm einfache Polstellen auf R. Dann gilt: ,

∞

P

f (x) dx = 2 π i −∞

k κ=1

Res(f ; bκ ) + π i

m μ=1

Res(f ; cμ )

7.3

Residuensatz ,

(MWS) ∞

P

Beispiel 1

−∞

227

1 dx x (x − 1)

> restart: f := z -> 1/(z*(z-1));

f := z −→

1 z (z − 1)

> sol := [solve(denom(f(z))=0)]; Z := select(z->is(Im(z)>0),sol); Zr:= select(z->is(Im(z)=0),sol);

sol := [0, 1] ,

Z := [ ] ,

Zr := [0, 1]

> add(residue(f(z),z=zeta),zeta=Z): add(residue(f(z),z=zeta),zeta=Zr): P*Int(f(x),x=-infinity..infinity) = simplify(2*Pi*I*%%+Pi*I*%);

, P

∞

1 dx = 0 −∞ x (x − 1)

Man kann den Hauptwert dieses Integrals auch direkt mit folgendem MapleBefehl berechnen: > int(f(x),x=-infinity..infinity,CauchyPrincipalValue):

, Beispiel 2

∞

P −∞

sin(x) dx (x − 1) (x2 + 4)

> restart: f := z -> exp(I*z)/((z-1)*(z^2+4));

f := z −→ > evalc(Im(f(x)));

ei z (z − 1) (z 2 + 4)

sin(x) (x − 1) (x2 + 4)

> sol := [solve(denom(f(z))=0)]; Z := select(z->is(Im(z)>0),sol); Zr:= select(z->is(Im(z)=0),sol);

sol := [1, 2 i, −2 i] ,

Z := [2 i] ,

Zr := [1]

> add(residue(f(z),z=zeta),zeta=Z): add(residue(f(z),z=zeta),zeta=Zr): P*Int(evalc(Im(f(x))),x=-infinity..infinity) = expand(Im(2*Pi*I*%%+Pi*I*%));

, P

∞

1 sin(x) 1 dx = − π e−2 + π cos(1) 2 5 5 −∞ (x − 1) (x + 4)

228

MWS zu Kapitel 7


Integranden mit Verzweigungspunkten Es seien P und Q Polynome mit Grad(P ) + 1 ≤ Grad(Q) und Q(x) ungleich Null f¨ ur alle x aus dem Intervall [0, ∞[ ; b1 , . . . , bk seien die (paarweise verschiedenen) Pole von P/Q . Mit 0 < α < 1 betrachten wir als Integranden f (z) := Dann gilt:

,

∞

0

(−z)−α P (z) . Q(z)

k π x−α P (x) dx = Res(f ; bκ ) Q(x) sin(α π) κ=1

Beispiel > restart: assume(alpha>0,alpha (-z)^(-alpha)/(1+z);

f := z −→

(−z)−α 1+z

> sol := [solve(denom(f(z))=0)];

sol := [−1] > Integral = Pi/sin(alpha*Pi)*add(residue(f(z),z=zeta),zeta=sol);

,

∞

0

π x−α dx = 1+x sin(α π)

7.4 Argumentprinzip und Anwendungen Satz von Rouch´ e Es seien f holomorph in einem Gebiet G der komplexen Zahlenebene und C eine geschlossene Kurve in G mit der Parameterdarstellung z = ϕ(t) f¨ ur t ∈ [α, β]. Ferner sei f (z) ungleich Null auf dem Träger (C) der Kurve C. Die Bildkurve f (C) hat dann die Parameterdarstellung f (ϕ(t)) t ∈ [α, β] , und f¨ ur die Umlaufzahl von f (C) um 0 gilt 1 u(f (C), 0) = 2πi

,

β

α

1 (f ◦ ϕ) (t) dt = f (ϕ(t)) 2πi

, C

f (z) dz . f (z)

7.4


(MWS)

229

Nach dem Satz vom logarithmischen Residuum ist also u(f (C), 0) gleich der Anzahl der Nullstellen im Inneren von C. Informationen u ¨ber die Lage von Nullstellen holomorpher Funktionen kann man auch mit dem Satz von Rouch´ e gewinnen: Beispiel 1 Wir greifen das Beispiel aus Abschnitt 6.1 auf und betrachten folgende Polynomfunktion: > restart: p := z -> z^3-z^2+2;

p := z −→ z 3 − z 2 + 2 K sei der positiv orientierte, einfach durchlaufene Kreis um 0 mit Radius r = 2: > phi := t -> 2*exp(I*t): # t=0..2*Pi

Setzen wir > f := z -> z^3: g := p-f: ’f(z)’ = f(z), ’g(z)’ = g(z);

f (z) = z 3 ,

g(z) = −z 2 + 2

so gilt f¨ ur z mit |z| = 2 : |g(z)| ≤ 6 < 8 = |f (z)|. Wir u ¨berzeugen uns davon durch folgende Abbildung: > with(plots): plot([0,abs(g(phi(t))),6,abs(f(phi(t)))],t=0..2*Pi, color=[white,black,gray,black],thickness=2, linestyle=[1,1,3,3],tickmarks=[spacing(Pi/2),5]);

f hat im Inneren des Kreises K drei Nullstellen. Mithin hat f + g = p dort ebenfalls drei Nullstellen. Bei diesem einfachen Beispiel kann man dies leicht u ufen: ¨ berpr¨ > solve(p(z));

230

MWS zu Kapitel 7

Laurent-Reihen, Singularitäten, Residuensatz −1, 1 − i, 1 + i

Dies steht im Einklang mit dem Ergebnis aus dem Abschnitt 6.1, wo wir u(p(K), 0) = 3 erhalten haben. Beispiel 2 F¨ ur die Polynomfunktion > restart: p := z -> z^4-4*z+2;

p := z −→ z 4 − 4 z + 2 wollen wir zeigen, dass sie im Einheitskreis genau eine Nullstelle besitzt. Wir setzen deshalb > phi := t -> exp(I*t): # t=0..2*Pi f := z -> -4*z+2: g := p-f: ’f(z)’ = f(z), ’g(z)’ = g(z);

f (z) = −4 z + 2 ,

g(z) = z 4

und schauen uns die Graphen von |f | (schwarz) und |g| (schwarz gestrichelt) auf dem Rand des Einheitskreises an: > with(plots): plot([0,abs(g(phi(t))),2,abs(f(phi(t)))],t=0..2*Pi, color=[white,black,gray,black],tickmarks=[spacing(Pi/2),4], linestyle=[1,3,3,1],thickness=2);

Die Ungleichung |g(z)| = 1 < 2 ≤ |f (z)| f¨ ur z mit |z| = 1 erhält man nat¨ urlich auch leicht mit Hilfe der Dreiecksungleichung. f hat im Inneren des Einheitskreises genau eine Nullstelle. Folglich hat f + g = p dort ebenfalls genau eine Nullstelle. Wir u ufen dies mittels fsolve : ¨ berpr¨ > fsolve(p(z)=0,z,complex): select(z->is(abs(z) restart: Routh := proc(expr,z) local p,pc,f_1,f_2,g; p := unapply(expr,z); pc := Rpc(p); f_1 := (p+pc)/2: f_2 := (p-pc)/2: tau-Werte = [RSF(f_1(z),f_2(z),z,’g’)], g end proc: Rpc := proc(f) # Routh/paraconjugate local e,z; e := evalc@conjugate; unapply((-1)^degree(f(z),z)*e(f(e(-z))),z) end proc: RSF := proc(num,den,z,g) # Routh/Stieltjes_Fraction local q,r; if den = 0 then # printf("num = %a, den = %a\n",num,den); g := ‘ ggT ‘ = factor(1/lcoeff(num,z)*num); NULL else q := quo(num,den,z,’r’); # printf("num = %a, den = %a, q = %a, r = %a\n",num,den,q,r); if degree(q,z)>1 then g := cat(‘ p_‘,degree(num,z)) = sort(num+den,z),

232

25

MWS zu Kapitel 7


‘ Routh-Schema entartet‘; NULL else evalc(lcoeff(q,z)),RSF(den,r,z,g) end if end if end proc:

Zu diesem ¨ außerst kompakt geschriebenen Maple-Code sind einige Erläuterungen angebracht: Im Hinblick auf die bessere Lesbarkeit des Programmtextes haben wir stillschweigend angenommen, dass nur symbolisch gerechnet wird. Treten Gleitpunktzahlen auf, so sind Rundungsfehler zu ber¨ ucksichtigen und Stellenausl¨ oschung m¨ oglich. Die Vergleiche in einigen der if-Abfragen sind dann in dieser Form nicht sinnvoll. Wir wollen hier nur die funktionentheoretische Komponente herauskristallisieren, nicht jedoch numerische Gesichtspunkte vertiefen. Die Prozedur Routh liefert bei der Ausgabe die Zeichenfolge τ -Werte . Dies funktioniert bei Maple nur mit einem u ¨blen Trick‘: Man bildet die Differenz ’ der beiden Variablen τ und Werte! Die Definition der Parakonjugierten in Rpc unterscheidet sich durch den Faktor (-1)^degree(f(z),z) von der des Paketes Hurwitz. F¨ ur geraden Grad f¨ uhrt dies bei Hurwitz zu einer Vertauschung von qn und qn−1 . Bei der erstmaligen Anwendung des Euklidischen Algorithmus liefert Hurwitz aus diesem Grunde das Nullpolynom als Quotienten. Kernst¨ uck der Prozedur RSF ist der Euklidische Algorithmus. Dabei entsteht als Wert von RSF eine rekursiv gebildete (Text-)Folge. Im Falle den=0 wird kein weiterer Text angeh¨ angt; deshalb liefert RSF NULL als (leeren) ¨ Wert; dasselbe passiert im Falle degree(q,z)>1 . Uber den (Ausgabe-) Parameter g erh¨ alt man zudem den ggT von pn und p∗n bzw. bei Entartung eine entsprechende Meldung. Noch ausf¨ uhrlichere Informationen dar¨ uber, was genau abl¨ auft, erh¨ alt man durch Aktivierung zweier auskommentierter PrintAnweisungen und den Vergleich des Outputs mit den Ergebnissen der Hand’ rechnung‘ im Textteil. Beispiel 1 > p_3 := z^3+2*z^2+2*z+1;

p3 := z 3 + 2 z 2 + 2 z + 1

> Routh(p_3,z);

τ -Werte =

1 4 3 , , , 2 3 2

ggT = 1

Das Routh-Schema bricht nicht vorzeitig ab. Da alle τ -Werte positiv sind, liegen alle drei Nullstellen in der linken Halbebene. Hier können wir zur Kontrolle noch leicht nachrechnen:

7.4


(MWS)

233

1 1 √ 1 1 √ −1, − − i 3, − + i 3 2 2 2 2

> solve(p_3);

Wir schauen uns an, was die Prozedur Hurwitz der Share Library hier leistet: > read "../hurwitz.txt": Hurwitz(p_3,z);

true Diese Antwort besagt, dass das Polynom p3 stabil ist, d. h. alle Nullstellen liegen in der linken Halbebene. Auf folgende Weise kann man genauere Informationen erhalten: > Hurwitz(p_3,z,Liste,ggT), Liste, ggT;

true ,

4 3 1 z, z, z , 2 3 2

1

Das Programm Hurwitz liefert jetzt zus¨ atzlich die Quotientenpolynome der Division mit Rest sowie den ggT. Beispiel 2 > p_6 := z^6+2*z^5+6*z^4+10*z^3+9*z^2+8*z+4;

p6 := z 6 + 2 z 5 + 6 z 4 + 10 z 3 + 9 z 2 + 8 z + 4 > Routh(p_6,z);

τ -Werte =

1 ,2 , 2

ggT = (z 2 + 4) (z 2 + 1)

Der Routh-Algorithmus bricht hier nach zwei Schritten (wegen q3 = 0 ) ab. p6 hat die imagin¨ aren Nullstellen i, −i, 2 i, −2 i ; in der rechten Halbebene liegt keine Nullstelle. Zwei Nullstellen liegen in der linken Halbebene. > Hurwitz(p_6,z,’Liste’,’ggT’), Liste, ggT;

false ,

[ ],

4 + z4 + 5 z2

Die Parameter Liste und ggT sind Ausgabeparameter. Beim Programmaufruf muss deshalb deren Name (und nicht wie u ¨ blich ihr aktueller Wert) u ¨bergeben werden. Aus diesem Grunde schreiben wir ’Liste’ bzw. ’ggT’ (verzögerte Evaluation!). In Beispiel 1 konnten wir noch auf diese Schreibweise verzichten, da ’Liste’ und ’ggT’ zu diesem Zeitpunkt noch ungebundene Variablen waren. > p_2 := quo(p_6,ggT,z);

p2 := z 2 + 2 z + 1

> Hurwitz(p_2,z,’Liste’,’ggT’), Liste, ggT;

234

MWS zu Kapitel 7


true ,

1 0, z, 2 z , 2

1

Die 0 am Anfang der oben ausgedruckten Liste r¨ uhrt daher, dass p2 geraden Grad hat und deshalb zu Beginn der Polynomdivision die Reihenfolge von q2 und q1 vertauscht war. (Man vergleiche hierzu die Anmerkungen zur Prozedur Rpc.) Beispiel 3 > p_4 := z^4+5*z^3+10*z^2+10*z+c;

p4 := z 4 + 5 z 3 + 10 z 2 + 10 z + c F¨ ur welche reellen c liegen die Nullstellen alle in der linken Halbebene? > Folge := Routh(p_4,z);

Folge := τ -Werte =

1 5 64 10 5 , ,− , − , 5 8 5 (−16 + c) c 8

ggT = 1

> solve({seq(T>0,T=rhs(Folge[1]))});

{0 < c, c < 16} Beispiel 4 > p_6 := z^6+z^5+3*z^4+3*z^3+3*z^2+2*z+1;

p6 := z 6 + z 5 + 3 z 4 + 3 z 3 + 3 z 2 + 2 z + 1 > Hurwitz(p_6,z,’Liste’,’ggT’), Liste, ggT;

false ,

[ ],

z2 + 1

> Routh(p_6,z);

τ -Werte = [1], p5 = z 5 + 3 z 3 + z 2 + 2 z + 1 , Routh − Schema entartet Der Routh-Algorithmus bricht nach einem Schritt ab. q4 ist gleich z 2 + 1 . (2) Da der Koeffizient a4 gleich 0 ist, kann die Rechnung nicht fortgesetzt werden. Dieser Fall wird als Entartung bezeichnet.

Kapitel 8

Konforme Abbildungen und ihre Anwendungen 8.1 8.2 8.3

M¨ obius-Transformationen Joukowski-Transformation Harmonische Funktionen und das Dirichlet-Problem

8.1 M¨ obius-Transformationen August M¨ obius (1790–1868) untersuchte einen sehr wichtigen Typ konformer Abbildungen. Man kann zeigen, dass diese — heute nach ihm benannten — Abbildungen gerade die bijektiven holomorphen Abbildungen von C in C sind. Sie spielen eine entscheidende Rolle in der mehr geometrisch orientierten Funktionentheorie und damit in vielen Anwendungen.

Definition: Eine Funktion f , gegeben durch f (z) :=

az + b cz + d

zu komplexen Zahlen a, b, c, d mit ad−bc = 0, heißt Möbius-Transformation“ ” oder linear gebrochene Transformation“. ” Der Definitionsbereich Df einer solchen Transformation besteht aus allen komplexen Zahlen z mit cz + d = 0 . Im Falle c = 0 ist Df = C \ {− dc } und der Wertebereich Wf = C \ { ac } , andernfalls Df = C und Wf = C . f kann zu einer bijektiven Abbildung f : C −→ C fortgesetzt werden durch d a f − im Falle c = 0 bzw. f (∞) := ∞ im Falle c = 0 . := ∞, f (∞) := c c Hierbei bezeichnet wieder C = C ∪ {∞} die erweiterte komplexe Zahlenebene. Wir bezeichnen noch M2 := A ∈ C2×2 : A nicht-singulär , W. Forst, D. Hoffmann, Funktionentheorie erkunden mit Maple, Springer-Lehrbuch, DOI 10.1007/978-3-642-29412-9_8, © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2012

236

Kapitel 8

Konforme Abbildungen und ihre Anwendungen

also die Menge der invertierbaren komplexen (2, 2)-Matrizen, und M := {f | f : C −→ C M¨ obius-Transformation} . Einer M¨ obius-Transformation f , gegeben durch f (z) := az+b cz+d , kann die Matrix A = ac db ∈ M2 zugeordnet werden. Diese ist, wie eine Routine¨ Ubungsaufgabe zeigt, bis auf einen von 0 verschiedenen konstanten Faktor eindeutig bestimmt. Der identischen M¨ obius-Transformation entspricht offenbar die Einheitsmatrix I = I2 . Wir bezeichnen die Abbildung, die jeder Matrix aus M2 die entsprechende M¨ obius-Transformation zuordnet, mit ω . Gruppenstruktur Bemerkung 1 Sind die beiden Möbius-Transformationen f und g durch die Matrizen A bzw. B aus M2 gegeben, so ist die zusammengesetzte Abbildung d −b f ◦ g durch AB und die inverse Abbildung f −1 durch A−1 = det1 A −c gegeben, also a ω(A) ◦ ω(B) = ω(AB) und (ω(A))−1 = ω(A−1 ). Dies zeigt, dass M eine (multiplikative) Gruppe∗ ist. Die Gruppenstruktur u agt sich also von M2 auf M. ¨ bertr¨ a b Beweis: Es seien A = c d und B = ge hf , also AB = ae+bg ce+dg F¨ ur f := ω(A) und g := ω(B) hat man f (v) = Dann gilt (f ◦ g)(z) = f (g(z)) =

ez+f +b gz+h ez+f c +d gz+h a

=

av+b cv+d

a(ez+f )+b(gz+h) c(ez+f )+d(gz+h)

=

af +bh cf +dh

und g(z) =

ez+f gz+h

. .

(ae+bg)z+(af +bh) (ce+dg)z+(cf +dh)

und somit ω(A) ◦ ω(B) = f ◦ g = ω(AB) . F¨ ur h := ω(A−1 ) gilt nach dem −1 gerade Gezeigten: f ◦ h = ω(A) ◦ ω(A ) = ω(AA−1 ) = ω(I), also (f ◦ h)(z) = z = (h ◦ f )(z) f¨ ur z ∈ C, d. h. h = f −1 . Es ist n¨ utzlich, sich das Ergebnis der Inversenbildung zu merken: Hauptdiagonalelemente vertauschen, Vorzeichenwechsel bei Nebendiagonalelementen. Erzeugung aus elementaren Transformationen Satz 2 Jede Möbius-Transformation lässt sich zusammensetzen aus Elementarabbildungen der folgenden Art: ∗

Der Kenner wird nat¨ urlich sagen: M ist isomorph zur Quotientengruppe von M2 nach den (von 0 verschiedenen) Vielfachen der Einheitsmatrix.

8.1

Möbius-Transformationen

237

a0 01

• Drehstreckung z −→ az

a ∈ C \ {0} mit A =

• Translation z −→ z + b

b ∈ C mit B =

• Inversion z −→

1 z

01 mit C = 10

1b 01

Drehstreckungen und Translationen zusammen liefern die ganzen linearen Funktionen. Eine Drehstreckung kann noch weiter zerlegt werden in • z −→ az

mit a ∈ C und |a| = 1

• z −→ rz

mit R r > 0

(Rotation)

und

(Streckung).

b a

a b

ab 1 d d 0 d d Beweis von Satz 2: 1) c = 0 : = = 01 0d 0 1 01

a bc−ad d

1 ab 1 c 01 0 1 c c2 2) c = 0 : = 0 1 c d 1 0 0 1 0 1 c 1 d

Kreistreue Bemerkung 3 Geraden und Kreise in C besitzen eine Darstellung der Form Az z + B z + B z + C = 0 mit A, C ∈ R und AC < |B|2 . Umgekehrt werden durch Darstellungen dieser Art Kreise und Geraden beschrieben. Beweis: Es sei mit α, β, γ ∈ R und (α, β) = (0, 0) zunächst die Gerade αx + βy + γ = 0 (x, y ∈ R) betrachtet. Mit z := x + iy f¨ uhrt dies u ¨ ber 1 1 (z − z) zu 12 α(z + z) + 2i β(z − z) + γ = 0, also x = 12 (z + z), y = 2i (α − iβ)z + (α + iβ)z + 2γ = 0 . Mit A := 0, B := α − iβ und C := 2γ ist die vorangehende Gleichung von der o. a. Form. Ein Kreis |z − a| = r mit a ∈ C und R r > 0 f¨ uhrt zu 2 2 0 = (z − a)(z − a) − r = zz − za − az + |a| − r2 . Also ist dies mit A := 1, B := −a und C := |a|2 − r2 von der o. a. Form. Umgekehrt: Ist A = 0, so erh¨ alt man mit B = α + i β, z = x + i y 0 = Bz + B z + C = 2 αx − 2βy + C mit (α, β) = (0, 0), also eine Geradengleichung. Im Fall A = 0 rechnet man |B|2 |B|2 B + C − z + z + 0 = Azz + Bz + B z + C = A zz + B 2 A A A A

2

|B|2 −AC B ⇐⇒ z + A = , erh¨ alt also eine Kreisgleichung. A2

238

Kapitel 8


Anmerkung: Geraden der komplexen Ebene können als Kreise in C durch ∞ aufgefasst werden. Wir sprechen im Folgenden in diesem Sinne von Krei’ sen‘, um Geraden und Kreise gemeinsam zu erfassen. Durch drei verschiedene Punkte z1 , z2 , z3 ∈ C geht genau ein Kreis‘. Im Falle ∞ ∈ {z1 , z2 , z3 } han’ delt es sich um eine Gerade. Satz 4 Möbius-Transformationen f¨ uhren Kreise‘ in Kreise‘ ¨ uber. ’ ’ (Geraden sind dabei in obigem Sinne spezielle Kreise‘.) ’ Beweis: F¨ ur Drehstreckungen und Translationen ist dies unmittelbar klar. Bei der Inversion ergibt sich aus der Kreisgleichung Az z + B z + B z + C = 0 mit w = z1 u ¨ber A w1 w1 + B w1 + B w1 + C = 0 unmittelbar A + B w + B w + Cw w = 0, somit eine Kreisgleichung in w. Nach Satz 2 ist damit schon alles gezeigt. Fixpunkte Satz 5 Eine von der Identität verschiedene Möbius-Transformation besitzt genau einen oder genau zwei Fixpunkte. Beweis: F¨ ur f (z) =

az+b cz+d

ist mit z ∈ C f (z) = z äquivalent zu

cz 2 − (a − d)z − b = 0. F¨ ur c = 0 also zu z(d − a) = b : d − a = 0 : z =

b d−a

und ∞ sind Fixpunkte,

d − a = 0 : b = 0 : ∞ ist einziger Fixpunkt, b = 0 : f ist die Identität. F¨ ur c = 0 existieren zwei (eventuell zusammenfallende) Fixpunkte.

Auf die Klassifizierung von M¨ obius-Transformationen nach Fixpunkten (parabolisch, elliptisch, hyperbolisch und loxodromisch) gehen wir nicht ein. Doppelverh¨ altnis Definiton: Unter dem Doppelverhältnis von vier paarweise verschiedenen Punkten z1 , z2 , z3 , z4 ∈ C versteht man den Ausdruck DV(z1 , z2 , z3 , z4 ) :=

z1 − z2 z3 − z2 : . z1 − z4 z3 − z4

Ist dabei ein zk = ∞, so ist der jeweils zugehörige Faktor der Form bzw. zzkk −u −v (mit u, v ∈ C) als 1 zu lesen.

u−zk v−zk

8.1


239

6-Punkte-Formel Satz 6 Zu jeweils drei verschiedenen Punkten z1 , z2 , z3 bzw. w1 , w2 , w3 in C gibt es genau eine Möbius-Transformation f mit f (zν ) = wν

(ν = 1, 2, 3) .

Man erhält sie durch Auflösen von DV(w, w1 , w2 , w3 ) = DV(z, z1 , z2 , z3 ) nach w , ausgeschrieben w − w1 w2 − w1 z − z1 z2 − z1 : = : . w − w3 w2 − w3 z − z3 z2 − z3 Beweis: Eindeutigkeit: Sind f und g M¨ obius-Transformationen mit f (zν ) = wν = g(zν ) (ν = 1, 2, 3), so ist g −1 ◦ f eine Möbius-Transformation mit den drei Fixpunkten z1 , z2 , z3 , also — nach Satz 5 — die Identität, d. h. f = g . Existenz: Durch h(z) := DV(z, z1 , z2 , z3 ) =

z − z1 z2 − z3 · z − z3 z2 − z1

ist eine M¨ obius-Transformation gegeben mit h(z1 ) = 0 , h(z2 ) = 1

und h(z3 ) = ∞ .

Entsprechend gilt f¨ ur die durch g(w) := DV(w, w1 , w2 , w3 ) definierte MöbiusTransformation g(w1 ) = 0 , g(w2 ) = 1 und g(w3 ) = ∞. Die MöbiusTransformation f := g −1 ◦ h leistet somit das Verlangte. Folgerung 7 Unter einer Möbius-Transformation bleibt das Doppelverhältnis invariant.∗ (B1) Die Punkte 1, i, −1 sollen (in dieser Reihenfolge) auf die Punkte 0, 1, ∞ abgebildet werden: w =

z−1 i−1 z−1 w−0 = : = −i =: f (z) 1−0 z+1 i+1 z+1

Der Rand des Einheitskreises (Kreis durch die Punkte 1, i, −1 ) wird also — nach Satz 4 — genau auf die x-Achse (Gerade durch 0, 1 , d. h. Kreis‘ durch 0, 1, ∞ ) abgebildet. ’ ∗

Wer sich in der Projektiven Geometrie auskennt, sieht sofort: M¨ obius-Transformationen sind Projektivit¨ aten des eindimensionalen projektiven Raumes C . Einige der oben gemachten Aussagen sind Spezialf¨ alle projektiv-geometrischer ¨ Uberlegungen.

240

Kapitel 8


Parametrisiert man den Einheitskreis durch ϕ(t) := exp(it) f¨ ur t ∈ ] − π, π], so erh¨ alt man mit f ◦ ϕ : ] − π, π] −→ R eine (stetige) injektive Abbildung, die nach einer Standard¨ uberlegung der Analysis streng monoton — hier durch die Reihenfolge der Bildpunkte 0 und 1 streng isoton — ist. Beim Durchlaufen des Einheitskreises von −1 u ¨ber 1 und i nach −1 (also gegen den Uhrzeigersinn) durchläuft also f gerade R von −∞ nach ∞. (B2) Die Punkte −1, i, 1 sollen (in dieser Reihenfolge) auf die Punkte −2i, 2, ∞ abgebildet werden: w + 2i z+1 i+1 z+1 = : = i 2 + 2i z−1 i−1 z−1 Damit folgt: w = f (z) := −2

z + (1 − 2i) z−1

Der Rand des Einheitskreises (Kreis durch die Punkte −1, i, 1 ) wird also — nach Satz 4 — genau auf die Gerade durch −2i, 2 , d. h. den Kreis‘ durch −2i, 2, ∞, abgebildet. Wie im ersten Beispiel ist durch ’ die Reihenfolge der Punkte auch wieder der Durchlaufungssinn∗ festgelegt. In beiden F¨ allen m¨ ochten wir mehr u ¨ ber das Abbildungsverhalten wissen. Zun¨ achst beachten wir dazu: Ein Kreis‘ (also ein Kreis oder eine Gerade) K ’ zerlegt C mit zwei Gebieten G1 und G2 (Zusammenhangskomponenten von C ) in der Form C = G1 K G2 . F¨ ur das Bild K = f (K) unter einer M¨ obius-Transformation f gilt entsprechend mit zwei Gebieten G1 und G2 C = G1 K G2 . Da f wegzusammenh¨ angende Mengen wieder in solche abbildet, muss zunächst f (G1 ) ⊂ G1 oder f (G1 ) ⊂ G2 gelten. Wegen der Bijektivität von f folgt dann f (G1 ) = G1 oder f (G1 ) = G2 . Welche der beiden Möglichkeiten auftritt, kann einfach durch einen Punkt aus G1 bestimmt werden. Im ersten Beispiel gilt mit f (0) = i : Das Innere des Einheitskreises wird auf die obere Halbebene OH = {z ∈ C : Im (z) > 0} , ¨ das Außere auf die untere Halbebene ∗

F¨ ur eine st¨ arker formale Beschreibung von Orientierung‘ sei etwa auf [Ahl] oder ’ [Con] verwiesen.

8.1


241

UH := {z ∈ C : Im (z) < 0} abgebildet. Weitere Aussagen u ¨ ber das Abbildungsverhalten liefern u. a. die folgenden Symmetrie¨ uberlegungen: Symmetrie Ist L eine Gerade und f eine M¨ obius-Transformation der speziellen Form f (z) = az + b (a = 0) (ganze M¨ obius-Transformation), so werden bez¨ uglich L symmetrische Punkte z1 , z2 (d. h. diese gehen durch Spiegelung an L ineinander u ¨ ber) in bzgl. der Geraden f (L) symmetrische Punkte abgebildet. F¨ ur beliebige Möbius-Transformationen gehen Geraden in Kreise‘, aber nicht notwendig speziell wieder ’ in Geraden, u ur die allgemeinere Situation anders ¨ ber. Symmetrie muss also f¨ definiert werden: Definition: Ist K ein Kreis um a mit Radius r, dann heißen z1 , z2 ∈ C symmetrisch

z2

r a

z1

bez¨ uglich K genau dann, wenn (z1 − a)(z2 − a) = r2 gilt. (z1 und z2 liegen auf dem gleichen vom Mittelpunkt a ausgehenden Halb’ strahl‘, und das Produkt ihrer Abst¨ ande von a ist r 2 .) Jeder Punkt auf K ist symmetrisch zu sich selbst. Zu z1 ∈ C \ {a} existiert eindeutig ein z2 ∈ C \ {a} derart, dass z1 und z2 symmetrisch bez¨ uglich K sind. Dieser Punkt kann elementar-geometrisch (Satz von Euklid) bestimmt werden: 1. Fall: z1 liegt im Inneren von K: Das Lot im Punkte z1 zur durch a und z1 bestimmten Geraden g trifft den Kreis in zwei Punkten P und P ; das Lot in P (bzw. P ) zur Geraden durch a und P (bzw. P ) (Tangente) trifft g in z2 . Der 2. Fall, dass z1 außerhalb von K liegt, d¨ urfte damit (Thales-Kreis) auch klar sein. Erg¨ anzend werden noch a und ∞ als symmetrisch bez¨ uglich K bezeichnet.

242

Kapitel 8


Satz 8 Bildet eine Möbius-Transformation einen Kreis K auf einen Kreis uber in bez¨ uglich L L ab, so gehen bez¨ uglich K symmetrische Punkte z1 , z2 ¨ symmetrische Punkte w1 , w2 . Beweis: Es seien K der Kreis um a ∈ C mit Radius r > 0 und z1 , z2 ∈ C symmetrisch zu K, also (z1 − a)(z2 − a) = r2 . Ferner sei das Bild von K unter einer M¨ obius-Transformation f ein Kreis L um b ∈ C mit Radius s > 0 . F¨ ur w1 := f (z1 ), w2 := f (z2 ) ist zu zeigen: (∗) (w1 − b)(w2 − b) = s2 Wegen Satz 2 gen¨ ugt es, folgende Spezialf¨ alle zu betrachten: • f (z) = αz mit α ∈ C \ {0}: F¨ ur b = f (a) = α a und s = |α|r gilt offenbar (∗). • f (z) = z + β mit β ∈ C : F¨ ur b = f (a) = a + β und s = r folgt (∗). • f (z) = 1z = w: Die Kreisgleichung (z −a)(z − a) = r2 geht u ¨ ber in ( w1 −a)( w1 − a) = r2 2 und nach Multiplikation mit w w in w w(r − |a|2 ) + aw + aw = 1 . F¨ ur r2 − |a|2 = 0 h¨ atte man eine Gerade in w; nach Voraussetzung soll aber L ein Kreis sein; folglich ist r2 − |a|2 = 0 . Dann gilt: a a aa r2 w w + w r2 −|a| 2 + w r 2 −|a|2 + (r 2 −|a|2 )2 = (r 2 −|a|2 )2 und damit:

2

a r2 a r = (r2 −|a|

w + r2 −|a| 2 2 )2 . Dies zeigt b = − r 2 −|a|2 und s = |r 2 −|a|2 | . Einsetzen liefert nun (∗). Den Fall z1 = a und z2 = ∞ (bzw. umgekehrt) u ¨berlassen wir dem noch nicht ¨ m¨ uden Leser als Ubungsaufgabe. So hat man insgesamt die Behauptung. (B3) Gesucht ist eine M¨ obius-Transformation, die den Einheitskreis in sich u uhrt und dabei vorgegebene Punkte z0 aus dem Inneren und z1 ¨berf¨ auf dem Rand in ebensolche Punkte w0 , w1 abbildet. Vorgegeben seien z0 ∈ C mit |z0 | < 1 , z1 := 1 und die zugehörigen Bildpunkte w0 := 0 , w1 := exp(iα) mit einem α ∈ [0, 2π[ . Bez¨ uglich des Einheitskreises symmetrisch zu z0 ist z2 := z10 ; dieser Punkt wird — nach Satz 8 — auf den zu w0 = 0 symmetrischen Punkt w2 := ∞ abgebildet. Die 6-Punkte-Formel liefert damit 1 z − z0 1 − z0 w−0 = · , exp(iα) − 0 z − z10 1 − z0

somit

z − z0 z0 − 1 z − z0 = exp(iϕ) · · z0 z − 1 1 − z0 z0 z − 1 mit einem geeigneten ϕ ∈ [0, 2π[ . Dabei wurde ber¨ ucksichtigt, dass der letzte Faktor in dem mittleren Ausdruck vom Betrage 1 ist, also in die Exponentialfunktion einbezogen werden kann. w = exp(iα) ·

8.1


243

(B4) Ein exzentrischer (nicht-konzentrischer) Kreisring soll auf einen konzentrischen Kreisring abgebildet werden (man vergleiche die Abbildungen in MWS 8 auf den Seiten 261 f): Dazu betrachten wir den Einheitskreis E := {z ∈ C : |z| ≤ 1} und darin um einen Punkt a mit 0 < |a| < 1 einen Kreis K, der noch ganz in E liegt, was durch einen Radius r > 0 mit |a|+r < 1 gesichert ist. Nach (B3) (mit ϕ := 0 und einem z0 ∈ C mit |z0 | < 1) erhält man durch z − z0 w(z) = z0 z − 1 eine M¨ obius-Transformation, die den Einheitskreis E (Urbildebene) in den Einheitskreis E (Bildebene) abbildet. Dabei ist nun z0 so zu bestimmen, dass der Kreis K auf einen (zu E ) konzentrischen Kreis K mit Radius r > 0 abgebildet wird. (Insbesondere ist dann z0 = 0 .) Die Punkte 0 und ∞ sind symmetrisch bez¨ uglich K und bez¨ uglich 1 uglich K und E . Mithin sind die Urbilder z0 und z0 symmetrisch bez¨ E. Folglich hat man

1 − a (z0 − a) = r2 , z0 somit u ¨ ber (1 − az0 )(z0 − a) = r2 z0 1 + |a|2 − r2 a2 az + = 0 und so 0 |a|2 |a|2 unter Verwendung des Wurzelterms W := (1 + |a|2 − r2 )2 − 4 |a|2 z02 −

z0 = a bzw.

1 + |a|2 − r2 − W 2 |a|2

1 1 + |a|2 − r2 + W = a . z0 2 |a|2

− z0 . Mit dem zu z0 symmetrischen Punkt z0∗ := 1 gilt w = z0∗ zz − z0∗ z0 Bezeichnet |z0 − a|2 r2 α := = , ∗ (Symmetrie!) |z − a|2 r2 0 so ergibt sich f¨ ur z ∈ C mit |z − a| = r : |z − z0 |2 = |(z − a) − (z0 − a)|2 = (1 + α)r2 − 2 Re (z0 − a) (z − a)

244

Kapitel 8


bzw., unter Beachtung von r2 1 Re (z0∗ − a)(z − a) = Re (z − a) = Re (z0 − a) (z − a) , z0 − a α |z − z0∗ |2 = |(z − a)−(z0∗ − a)|2 =

1 (1 + α)r2 −2 Re (z0 − a)(z − a) α

Hieraus folgt:

1 |z0 − a|2 |z0 |2 r2

|w|2 = |z0∗ |2 α = Der gesuchte Radius ist demnach

r =

|z0 − a| . r |z0 |

alt man Speziell etwa f¨ ur a := r := 25 erh¨

4 2 2 1 − 1 − (5) 5 3 1 = z0 = 1 − = , z0∗ = 2 und 5 4 5 2 2 ( 25 )2 r =

| 12 − 25 | 1 = . 2 1 2 5 · 2

(B5) Abbildung des Außenbereichs zweier bez¨ uglich der imaginären Achse spiegelbildlicher disjunkter Kreise auf einen konzentrischen Kreisring (man vergleiche die Abbildungen in MWS 8 auf den Seiten 263 f):∗ Es seien a, b, z0 reelle Zahlen mit 0 < a < z0 < b . Wir betrachten mit r := b−a und c := a+b die beiden Kreise K1 und K2 mit Radius 2 2 r um c bzw. −c. Diese sollen durch eine Möbius-Transformation auf zwei konzentrische Kreise K1 und K2 mit Mittelpunkt 0 und Radien 1 , R (mit 1 < R ∈ R) abgebildet werden. Die Punkte 0 , ∞ sind bez¨ uglich K1 und K2 symmetrisch; folglich sind die Urbilder z0 und u0 symmetrisch zu K1 und K2 . Die beiden daraus resultierenden Gleichungen r2 = (z0 − c)(u0 − c) r2 = (z0 + c)(u0 + c) zeigen u0 = −z0 = −z0 und weiter (b + a)2 (b − a)2 = r2 = (z0 + c)(−z0 + c) = c2 − z02 = − z02 , 4 4 √ also z02 = ab , d. h. z0 = ab . ∗

Laut R. Sauer: Ingenieur-Mathematik (Bd. 2, 3. Aufl., S. 119) wird eine solche M¨ obius-Transformation in der Elektrotechnik dazu verwendet, das elektrostati¨ sche Feld im Außeren von zwei parallelen Leitern in das Feld eines Zylinderkondensators abzubilden.

8.2

Joukowski-Transformation

245

Die 6-Punkte-Formel liefert f¨ ur z0 , a, −z0 und zugehörige Bildpunkte 0, 1, ∞ : √ √ √ w−0 z − z0 a − (−z0 ) ab − z b+ a w = ·√ = · = √ √ 1−0 z + z0 a − z0 ab + z b− a w(−a) =

√ √a b+a a b−a

·

√ √ √b+√a b− a

√ =

√ 2 √b+√a b− a

√ zeigt R =

√ 2 √b+√a . b− a

Speziell etwa f¨ ur a := 1 und b := 9 : z0 = 3 und R = 4 ; diese Daten liegen dem entsprechenden Worksheet zugrunde. ¨ M¨ obius-Transformationen erm¨ oglichen es, manche Uberlegungen f¨ ur holomorphe Funktionen in der N¨ ahe von Geraden in solche zu transformieren, wo statt dessen Kreisb¨ ogen auftreten (und umgekehrt). Auf eine wichtige Fragestellung dieser Art gehen wir im u achsten Abschnitt ein. ¨bern¨

8.2 Joukowski-Transformation Wir gehen noch kurz auf eine spezielle konforme Abbildung ein, die in der Aerodynamik (z. B. bei der Umstr¨ omung von Tragfl¨ achen) eine wichtige Rolle spielt, die Joukowski∗ -Abbildung bzw. die durch sie gegebene Joukowski-Transformation. Durch diese Transformation wird die Str¨ omung um elliptische Zylinder, ebene und gekr¨ ummte Platten oder tragfl¨ achen¨ ahnliche Profile aus einfachen Str¨ omungsbildern abgeleitet.

Wir betrachten J(z) := z +

1 z

z ∈ C \ {0} .

Die Abbildung J heißt Joukowski-Abbildung ∗∗ . Sie ist in C\ {0} holomorph, wobei 1 J (z) = 1 − 2 z ∈ C \ {0} . z So gilt J (z) = 0 f¨ ur z ∈ C \ {−1, 0, 1} =: D . Die Punkte −1 und 1 haben die Bilder −2 und 2 . Somit ist J eine in D konforme Abbildung. Wir schauen uns einfache Abbildungseigenschaften von J an: ∗ ∗∗

Nikolai Jegorovich Joukowski (1847–1921; russischer Mathematiker und Aerodynamiker) Sie wird oft auch mit dem Faktor 12 betrachtet.

246

Kapitel 8


Wir betrachten die Kreislinie Kr := z ∈ C : |z| = r

(r > 0) .

F¨ ur r > 1 wird diese bijektiv auf die Ellipse mit Brennpunkten ±2 und Halbachsen 1 1 a := r + , b := r − r r abgebildet. Dies sieht man einfach, wenn man z = r exp(iϕ) schreibt (mit ϕ ∈ [0, 2 π[ ) : w := z + z1 = r exp(iϕ) + 1r exp(−i ϕ) = r + 1r cos ϕ + i r − 1r sin ϕ F¨ ur u := Re w = r + 1r cos ϕ und v := Im w = r − 1r sin ϕ folgt: u2 v2 + = 1 a2 b2

mit

1 1 a := r + , b := r − r r

angig von r ist, sind diese Ellipsen konfokal (mit Weil a2 − b2 = 4 unabh¨ Brennpunkten −2 und 2). Aufgrund der speziellen Struktur der JoukowskiAbbildung (Symmetrie in z und 1z ) wird auch der Kreis K1/r auf die gleiche Ellipse abgebildet. Das Bild des Einheitskreisrandes K1 ist gerade das Intervall [−2, 2] . F¨ ur z ∈ K1 mit Im z > 0 gilt J(z) = J(z ) . In gleicher Weise wie oben sieht man: Eine Halbgerade {r exp(iϕ) : r > 0} wird f¨ ur ein ϕ ∈ ]0, 2 π[ mit ϕ ∈ / {π/2 , π , 3 π/2} bijektiv auf einen Ast der Hyperbel v2 u2 − = 4 (cos ϕ)2 (sin ϕ)2 mit den Brennpunkten ±2 abgebildet. Joukowski-Abbildung Urbild

Bild

8.3

Harmonische Funktionen und das Dirichlet-Problem

247

Aus diesen Abbildungseigenschaften von J folgt, dass der punktierte Einheitskreis {z ∈ C : 0 < |z| < 1} ¨ und das Außere des Einheitskreises {z ∈ C : |z| > 1} jeweils konform auf die geschlitzte Ebene C \ [−2, 2] abgebildet werden. Die Abbildung J bildet geeignete Kreise in tragfl¨ ugelartige Profile mit einer scharfen Kante, Joukowski- oder auch Kutta-Joukowski-Profile genannt, ab. Ein solcher Urbildkreis muss dann durch einen der Punkte z = ±1 verlaufen, in denen die Abbildung nicht konform ist und Winkel verdoppelt werden. Joukowski-Profil

8.3 Harmonische Funktionen und das Dirichlet-Problem Schon die Einf¨ uhrung der komplexen Zahlen in Kapitel 1 legte es nahe, R2 und C zu identifizieren. Dies haben wir in Abschnitt 3.3 genauer ausgef¨ uhrt. Es sei noch einmal kurz daran erinnert, wie solche Dinge bei Bedarf zu präzisieren sind: Die lineare Abbildung ϕ : R2 (x, y) −→ x + iy ∈ C ist bijektiv mit |ϕ(x, y)| = (x, y)2 (x, y) ∈ R2 , also normerhaltend und somit insgesamt eine Isometrie. Ist f : G −→ C eine holomorphe Funktion in einem Gebiet G ⊂ C, so erhält man durch u : (x, y) −→ Re f (x + iy) bzw.

248

Kapitel 8


v : (x, y) −→ Im f (x + iy) auf dem Gebiet

G := ϕ−1 (G) ⊂ R2

zwei reellwertige Funktionen u und v mit den Eigenschaften: a) u, v ∈ C ∞ (G )

(beliebig oft differenzierbar)

b) u, v sind harmonisch auf G . Dabei heißt eine Funktion h ∈ C 2 (G ) harmonische Funktion“ oder Potentialfunktion“ (auf G ), wenn sie die ” ” Laplace-Gleichung“ bzw. Potentialgleichung“ ” ” Δh := D12 h + D22 h (= hxx + hyy ) = 0 erf¨ ullt. Beweis: a) ergibt sich direkt aus dem Zusammenhang zwischen reeller und komplexer Differenzierbarkeit (vgl. Seiten 74 f und 133 (Satz 3)). b) Wegen der Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen gilt auf G : ux = vy und uy = −vx . Hieraus folgt mit dem Satz von Schwarz uxx + uyy = vyx − ur v) . vxy = 0 (und entsprechend die Behauptung f¨ (B1) Es seien G := C \ {x ∈ R | x ≤ 0} und f := log der Hauptzweig des Logarithmus. Dann gelten u(x, y) = 12 log(x2 + y 2 ) und v(x, y) = arg(x + iy). Satz 9 F¨ ur ein einfach-zusammenhängendes Gebiet G ⊂ R2 , G := ϕ(G ) und eine auf G harmonische Funktion u gelten: a) Es existiert eine harmonische Funktion v auf G mit vx = −uy , vy = ux . b) Es existiert eine holomorphe Funktion f : G −→ C mit u = Re (f ◦ ϕ).∗ v heißt (zu u) konjugierte“ harmonische Funktion und ist bis auf eine addi” tive reelle Konstante eindeutig. Beweis: Durch g(x + iy) := ux (x, y) − i uy (x, y) ist (CR-DGLn!) eine holomorphe Funktion g : G −→ C gegeben. Da G einfach-zusammenhängend ist, besitzt g nach Bemerkung 6.2 eine Stammfunktion f . Diese kann so gewählt werden, dass u = Re (f ◦ ϕ) ist. v := Im (f ◦ ϕ) liefert eine gesuchte konjugiert harmonische Funktion. Damit ist alles gezeigt. Ab jetzt identifizieren wir R2 und C und unterscheiden daher auch nicht mehr zwischen G und G . ∗

F¨ ur Puristen: u = Re ◦ f ◦ ϕ|G

8.3


249

(B2) Wir zeigen, dass u(x, y) := x5 − 10x3 y 2 + 5xy 4 harmonisch auf R2 ist und berechnen die zu u konjugierte harmonische Funktion v : ux = 5x4 − 30x2 y 2 + 5y 4 , uxx = 20x3 − 60xy 2 , uy = −20x3 y + 20xy 3 , uyy = −20x3 + 60xy 2 , also uxx + uyy = 0 . Zum Vektorfeld (x, y) −→ (−uy (x, y), ux (x, y)) = (20x3 y − 20xy 3 , 5x4 − 30x2 y 2 + 5y 4 ) bestimmen wir nun eine Stammfunktion v: Integration bez¨ uglich x zeigt: v(x, y) = 5x4 y − 10x2 y 3 + ψ(y) mit einer geeigneten Funktion ψ. Differentiation nach y liefert dann — unter Ber¨ ucksichtigung von vy = ux — 5x4 − 30x2 y 2 + ψ (y) = 5x4 − 30x2 y 2 + 5y 4 , also ψ (y) = 5y 4 , folglich ψ(y) = y 5 + c mit einer Konstanten c. Zusammen hat man so v(x, y) = 5x4 y − 10x2 y 3 + y 5 + c . Mit der Substitution x = (z + z)/2 und y = (z − z)/(2 i) ergibt sich: u(x, y) + i v(x, y) = z 5 + i c .

Komplexe Potentiale Die Funktionentheorie stellt sehr wirksame Hilfsmittel bereit f¨ ur die Untersuchung ebener, in einem Gebiet G quellen- und wirbelfreier Strömungsfelder (siehe etwa [Tri, S. 171–180]). Hierzu existieren — unter geeigneten Voraussetzungen an G — konjugiert harmonische Funktionen Φ, Ψ : G −→ R, das sogenannte reelle Potential Φ bzw. die Stromfunktion Ψ . Die durch F (x + iy) := Φ(x, y) + i Ψ (x, y) definierte holomorphe Funktion F : G −→ C wird als komplexes Potential bezeichnet. An den H¨ ohenlinien Φ(x, y) = const und Ψ (x, y) = const kann ¨ man F ablesen‘. Diese Kurvenscharen werden als Aquipotentiallinien bzw. ’ Stromlinien bezeichnet. Mit Hilfe der CR-DGLn folgt unmittelbar, dass sie in allen Punkten z ∈ G mit F (z) = 0 zueinander orthogonal sind und so ein orthogonales Netz bilden.

250

Kapitel 8


Beispiele: (B3) F (z) := −i z 2 ¨ Aquipotentiallinien: 2 xy = const, (B3)

Stromlinien: −x2 + y 2 = const (B4)

ur z ∈ G := C \ {0} (B4) Das komplexe Potential eines Dipols: F (z) := 1 f¨ z x ¨ Aquipotentiallinien: = const x2 + y 2 −y Stromlinien: = const x2 + y 2 (B5) Das komplexe Potential einer Parallel- mit einer Dipolströmung (man vergleiche dazu Abschnitt 8.2 u ¨ ber die Joukowski-Transformation):

F (z) = z + 1 z ¨ Aquipotentiallinien: 1 x 1 + x2 +y = const 2 1 = const Stromlinien: y 1 − x2 +y 2 Mittels einer einfachen Anwendung der Kettenregel erhält man das Verpflanzungsprinzip f¨ ur komplexe Potentiale, auf das wir bei der Lösung des Dirichlet-Problems noch zur¨ uckkommen werden: Ist F ein komplexes Potential auf G, und bildet eine Funktion f das Gebiet G bi-konform, d. h. bijektiv und in beiden Richtungen‘ (f und f −1 ) kon’ form, auf das Gebiet H ab, so ergibt G := F ◦ f −1 ein komplexes Potential in H.

8.3


251

Physikalisch kann man dies so deuten: Mittels einer konformen Abbildung l¨ asst sich das gesamte Str¨ omungsbild u ¨ bertragen. Auf diese Weise lassen sich neue Str¨ omungen konstruieren und komplizierte‘ Strömungen durch einfa’ ’ chere‘ beschreiben. (B6) Es seien a := 0.2 + 0.5 i , r := |a + 1| = 1.3 und F die JoukowskiAbbildung. Die durch F (a + r z) definierte Abbildung f bildet dann den Rand ∂ E des Einheitskreises bijektiv auf das sogenannte KuttaJoukowski-Profil J ab.

J ist deshalb eine doppelpunktfreie geschlossene Kurve. Ferner bildet f das ¨ Außere ext(∂E) := {z ∈ C : |z| > 1} bijektiv auf ext(J) ab. Einen Beweis findet man etwa in [Pen, S. 387 f]. Mithin ist f| : ext(∂E) −→ ext(J) eine bi-konforme Abbildung, und G := F ◦ f|−1 liefert ein komplexes Potential auf ext(J), welches F : ext(∂E) −→ C verpflanzt. Mittelwerteigenschaft ur Satz 10 Es seien G ⊂ R2 ein Gebiet und u : G −→ R harmonisch. F¨ a ∈ G und 0 < r < ∞ mit Uar ⊂ G gilt dann: 1 u(a) = 2π

,2π u(a + r exp(i t)) dt 0

D. h.: Harmonische Funktionen haben die Mittelwerteigenschaft“. ” Beweis: Es existiert ein R > 0 mit Uar ⊂ UaR ⊂ G. Nach Satz 9 gibt es dann eine holomorphe Funktion f : UaR −→ C mit Re f (x + iy) = u(x, y) f¨ ur x + iy ∈ UaR . Mit der Cauchyschen Integralformel ergibt sich

252

Kapitel 8 /

1 f (a) = 2π i

|z−a|=r

Konforme Abbildungen und ihre Anwendungen 1 f (z) dz = z−a 2π

,2π f (a + r exp(i t)) dt . 0

Nimmt man den Realteil, so folgt hieraus die behauptete Mittelwerteigenschaft. Als direkte Folgerung aus der Mittelwerteigenschaft (oder auch aus dem Satz u ¨ber Gebietstreue) ergibt sich das Prinzip vom Maximum F¨ ur ein Gebiet G ⊂ C und eine harmonische Funktion u : G −→ R gilt: Hat u in einem Punkt von G ein lokales Maximum, dann ist u konstant. Sind G beschränkt und u auf G stetig (fortsetzbar), dann nimmt u sein Maximum auf ∂G an. Wir erinnern noch einmal daran, dass wir R2 und C identifizieren und daher auch G und G nicht mehr unterscheiden wollen.

Das Prinzip vom Maximum ist z. B. wichtig f¨ ur den Nachweis der Eindeutigkeit bei der L¨ osung des Dirichlet-Problems: Es seien G ⊂ C ein beschränktes Gebiet und h : ∂G −→ R eine stetige Funktion. Gesucht ist eine stetige Funktion u : G −→ R, die auf G harmonisch ist und die Randbedingung u(z) = h(z)

f¨ ur z ∈ ∂G

erf¨ ullt. osungen des obigen DirichletBeweis (der Eindeutigkeit): Es seien u1 , u2 L¨ Problems. v := u1 − u2 ist dann auf G stetig und in G harmonisch. Ferner gilt v(z) = 0 f¨ ur z ∈ ∂G. Mithin gilt nach dem Prinzip vom Maximum, angewendet auf v und −v, v(z) = 0 f¨ ur z ∈ G , d. h. u1 = u2 . Poissonsche Integralformel f¨ ur den Einheitskreis Es seien G ⊂ C ein Gebiet, u : G −→ R harmonisch, U01 ⊂ G, 0 < r < 1 und ϕ ∈ [0, 2π] . Dann gilt u(r exp(iϕ)) =

1 2π

,2π 0

1 − r2 u(exp(it)) dt . 1 − 2r cos(t − ϕ) + r2

Beweis: Mit einem geeigneten ε > 0 gilt U01+ε ⊂ G. Nach Satz 9 existiert eine holomorphe Funktion f : U01+ε −→ C mit Ref (ζ) = u(ζ) f¨ ur ζ ∈ U01+ε . Mit z := r exp(iϕ) betrachten wir die Funktion

8.3

Harmonische Funktionen und das Dirichlet-Problem g(ζ) :=

253

f (ζ) . 1−ζz

Diese ist in einer Umgebung von U01 — etwa U01+δ mit 0 < δ < ε — holomorph. So folgt mit der Cauchyschen Integralformel unter Verwendung der Parameterdarstellung ζ = exp(it) 1 g(z) = 2πi

,

1 g(ζ) dζ = ζ −z 2π

|ζ|=1

,2π 0

,2π 1 g(exp(it)) 1 dt = f (ζ) dt . 1 − exp(−it) z 2π |1 − ζz|2 0

Es gilt — unter Beachtung von |ζ| = 1 und |z| = r — |1 − ζz|2 = 1 − 2 Re(ζ z) + r2 = 1 − 2 r cos(t − ϕ) + r2 . Damit hat man 1 f (z) = g(z)(1 − z z) = g(z)(1 − r ) = 2π

,2π

2

f (ζ) 0

(1 − r2 ) dt 1 − 2 r cos(t − ϕ) + r2

und u ¨ber den Realteil (auf beiden Seiten) die Behauptung.

Mit Hilfe des Poisson-Kerns“ ” 1 − r2 1 − 2 r cos(t − ϕ) + r2

=

1 − |z|2 | exp(it) − z|2

l¨ asst sich nun die Lösung des Dirichlet-Problems auf dem Einheitskreis angeben: Satz 11 Zu einer stetigen∗ Funktion h : ∂U01 −→ R sei ⎧ ⎪ h(z) ⎪ ⎪ ⎨ ,2π u(z) := 1 1 − |z|2 ⎪ h(exp(it)) dt ⎪ ⎪ ⎩ 2π | exp(it) − z|2

f¨ ur |z| = 1, f¨ ur |z| < 1 .

0

Dann ist u : U01 −→ R stetig und in U01 harmonisch. Differentiation unterm Integral zeigt, dass u in U01 harmonisch ist. F¨ ur einen Beweis der Stetigkeit (auf dem Rand) sei etwa auf [Fi/Li] verwiesen. ∗

Die Voraussetzungen an h k¨ onnen abgeschw¨ acht werden.

254

Kapitel 8


Die Poissonsche Integralformel (genauer: Satz 11) wird nun mittels der M¨ obius-Transformation w = i

1−z , 1+z

also

z =

i−w , i+w

vom Einheitskreis auf die obere Halbebene u ¨ bertragen (vgl. (B1) aus Abschnitt 8.1). Ist h : ∂U01 −→ R eine stetige Funktion, so erhält man f¨ ur ζ = exp(it) — 1 − |z|2 ζ+z = unter Beachtung von Re — durch ζ−z |ζ − z|2 1 ϕ(z) = 2π

,π h(ζ) Re −π

ζ +z ζ −z

dt

1−ζ folgt eine im Einheitskreis harmonische Funktion ϕ. Mit s := i 1+ζ t i−w ¨ s = tan( 2 ). Uber z = i+w ergibt sich ferner

1 + sw ζ +z = i . ζ −z w−s Setzen wir w = u + iv (mit u, v ∈ R), so gilt

ζ +z v(1 + s2 ) . Re = ζ −z (u − s)2 + v 2 Wir substituieren im obigen Integral s = tan( 2t ), also t = 2arctan s. So in der folgt mit H(s) := h(exp(2i arctan s)) f¨ ur die durch Φ(w) := ϕ i−w i+w oberen Halbebene definierte Funktion Φ die Darstellung 1 Φ(w) = π

,∞ H(s) −∞

v ds (u − s)2 + v 2

(v > 0) .

Verpflanzungsprinzip Wir lernen nun eine Methode kennen, wie man f¨ ur ein Gebiet G ⊂ R2 mit Hilfe konformer Abbildungen das Dirichlet-Problem ΔΦ = 0 auf G und (∗) Φ = h auf ∂G l¨ osen kann. Dazu nehmen wir an, dass folgende Schritte durchf¨ uhrbar seien: • W¨ ahle ein Gebiet H mit sch¨ onem‘ Rand ∂H und bekanntem Lösungsver’ fahren f¨ ur das zugeh¨ orige Dirichlet-Problem.

8.3


255

• Bestimme eine bi-konforme Abbildung f : G −→ H mit f (G) = H, f (∂G) = ∂H und f (x + iy) = u(x, y) + iv(x, y) mit reellwertigen Funktionen u , v . • g(u, v) := h(f −1 (u + iv))

(u + iv ∈ H)

L¨ ose das Dirichlet-Problem ΔΨ = 0 auf H und Ψ = g auf ∂H . • Φ(x, y) := Ψ (u(x, y), v(x, y)) liefert dann eine Lösung Φ von (∗). Diese Art der Konstruktion nennt man Verpflanzungsprinzip“. ” Beweisidee: (a): Am einfachsten und u ¨bersichtlichsten ist der Beweis, wenn H einfach-zusammenh¨ angend ist: Zu der in H harmonischen Funktion Ψ existiert nach Satz 9 eine holomorphe Funktion F : H −→ C mit Ψ (w) = Re F (w) f¨ ur w ∈ H . F ◦ f ist dann holomorph in G, und aus der Beziehung Φ(x, y) = Re F (u(x, y) + iv(x, y)) folgt, dass Φ in G harmonisch ist. Der allgemeine Fall l¨ asst sich mit der Kettenregel und den CR-DGLn nachweisen.

(b): F¨ ur (x, y) ∈ ∂G gilt: Φ(x, y) = Ψ (f (x + iy)) = g(f (x + iy)) = h(x + iy) Wir sehen uns abschließend dazu ein kleines Beispiel an: (B7) Es seien 0 < r < 1 , V ∈ R und H := {w ∈ C : r < |w| < 1} ⎧ ⎪ ⎨ ΔΨ Ψ (w) Das Dirichlet-Problem ⎪ ⎩ Ψ (w) wird gel¨ ost durch Ψ (w) := V · w-Ebene

(konzentrischer Kreisring). = 0 in H , = 0 f¨ ur |w| = 1 , = V f¨ ur |w| = r

log |w| log r

w∈H . z-Ebene

256

Kapitel 8


Es sei das elektrische Feld zwischen zwei parallelen nicht-konzentrischen Zylindern mit den Querschnitten E := {z ∈ C : |z| ≤ 1}

und

K := {z ∈ C : |z − 2/5| ≤ 2/5}

betrachtet. Auf dem Rand von E sei als Potential 0, auf dem Rand von K der Wert V vorgeschrieben. Nach (B4) des Abschnitts 8.1 erhält man hier — mit z0 := 1/2 — eine Verpflanzung des nicht-konzentrischen Ringgebietes G := {z ∈ C : |z| < 1 ∧ |z − 2/5| > 2/5} nach H durch die MöbiusTransformation z − z0 . w := f (z) := z0 z − 1 Dabei gehen der Rand von E in den ¨ außeren Rand E von H |w| = 1 und der Rand von K in den inneren Rand K von H |w| = 1/2 =: r u ¨ber. F¨ ur G z = x + iy = (x, y) ∈ R2 gilt Φ(x, y) = Ψ (f (z)) = V · |f (z)|2 =

log |f (z)| V = log |f (z)|2 log r 2 log r

(x − z0 )2 + y 2 |z|2 − 2xz0 + z02 = . 2 z0 |z|2 − 2xz0 + 1 (z0 x − 1)2 + z02 y 2

mit

MWS zu Kapitel 8

Konforme Abbildungen und ihre Anwendungen Wichtige Maple-Befehle dieses Kapitels: option remember VectorCalculus-Paket: Laplacian, ScalarPotential int(. . . , continuous) conformal, contourplot, contours

8.1 M¨ obius-Transformationen Die 6-Punkte-Formel: (z − z1 ) (z2 − z3 ) (w − w1 ) (w2 − w3 ) = (w − w3 ) (w2 − w1 ) (z − z3 ) (z2 − z1 ) Beispiel 1 Das Innere des Einheitskreises soll auf die obere Halbebene abgebildet werden. Dazu w¨ ahlen wir auf dem (positiv durchlaufenen) Rand des Einheitskreises die Punkte z1 = 1 , z2 = i , z3 = −1 und auf der (positiv durchlaufenen) reellen Achse die Bildpunkte w1 = 0 , w2 = 1 , w3 = ∞. > restart: with(plots): with(plottools): read "../verdi.txt": z1 := 1; z2 := I; z3 := -1; w1 := 0; w2 := 1; w3 := infinity;

z1 := 1 ,

z2 := i ,

z3 := −1 ,

w1 := 0 ,

w2 := 1 ,

w3 := ∞

Mit der 6-Punkte-Formel erh¨ alt man: > moebius := (w-w1)/(w2-w1) = (z-z1)*(z2-z3)/(z-z3)/(z2-z1);

moebius := w = −

i (z − 1) z+1

258

MWS zu Kapitel 8


> f := unapply(rhs(%),z); F := transform((x,y) -> c2p(f(x+I*y))):

f := z −→ −

i (z − 1) z+1

Wir veranschaulichen das Abbildungsverhalten dieser Möbius-Transformation durch folgende Animation. Mit Hilfe des Maple-Befehls option remember merken wir uns dabei alte Zwischenergebnisse in einer Erinnerungstabelle‘, ’ um so Rechenzeit zu sparen: > n := 6: # xL := -6: Farben := Disk := k 5

10

Anzahl der Kreisringe xR := 6: yL := 0: yR := 12: [black,gray,red,black,gray,red]: -> disk([0,0],k/n,color=Farben[k],style=patchnogrid, numpoints=k*150): zPunkte := display(seq(disk(c2p(z),0.03,color=black),z=[z1,z2,z3])): wPunkte := display(seq(disk(c2p(f(z)),0.15,color=black),z=[z1,z2])): zBilder := proc(k) option remember: if k=0 then display(zPunkte) else display(zBilder(k-1),Disk(k)) end if end proc:

15

20

25

30

35

wBilder := proc(k) option remember: if k=0 then display(wPunkte) elif k restart: with(plots): with(plottools): read "../verdi.txt": z1 := -1; z2 := I; z3 := 1; w1 := -2*I; w2 := 2; w3 := infinity;

z1 := −1 ,

z2 := i ,

z3 := 1 ,

w1 := −2 i ,

w2 := 2 ,

w3 := ∞

Die 6-Punkte-Formel ergibt: > moebius := (w-w1)/(w2-w1) = (z-z1)*(z2-z3)/(z-z3)/(z2-z1);

moebius :=

1 4

−

1 i (z + 1) i (w + 2 i) = 4 z−1

> solve(moebius,w): radnormal(%): f := unapply(%,z); F := transform((x,y) -> c2p(f(x+I*y))):

f := z −→ −

2 (1 − 2 i + z) z−1

Wir veranschaulichen das Abbildungsverhalten auch dieser Möbius-Transformation durch eine Animation. Auf eine Wiedergabe des vollständigen MapleCodes verzichten wir dabei und verweisen auf die Netz-Version der Worksheets. Stattdessen zeigen wir auf der folgenden Seite beispielhaft die gesamte Bildfolge:

260

MWS zu Kapitel 8


8.1


(MWS)

261

Symmetrietreue der M¨ obius-Transformation Beispiel 1: Abbildung eines nicht-konzentrischen Kreisrings auf einen konzentrischen Kreisring Das nicht-konzentrische Ringgebiet zwischen dem Einheitskreis E (Mittelpunkt 0 , Radius 1) und dem Kreis K (Mittelpunkt a = 0 , Radius r) mit |a| + r < 1 soll auf ein konzentrisches Ringgebiet abgebildet werden.

5

> restart: with(plots): with(plottools): read "../verdi.txt": a := 1/20+2/5*(1-I)/sqrt(2): r := 2/5: d := abs(a)^2-1-r^2: z_0 := a*(d+2-sqrt((d+2*r)*(d-2*r)))/2/abs(a)^2: Text := [0.75,0.8,"E"],[Re(a)+1.1*r,Im(a)+0.2,"K"], [Re(z_0)+0.1,Im(z_0),z[0]],[Re(a)+0.05,Im(a)+0.05," a"]: tplot := textplot([Text]): dots := seq(disk(c2p(z),0.01,color=black),z=[a,z_0]): Kreise:= disk(c2p(a),r,color=white),disk([0,0],1,color=gray): display(dots,Kreise,tplot,tickmarks=[[-1,1],0],scaling=constrained);

E

−1 a

K

1

z0

Wir suchen eine M¨ obius-Transformation, die den Einheitskreis E in den Ein0 uhrt. Bekanntlich hat diese die Gestalt w = zz−z mit heitskreis E u ¨berf¨ 0 z−1 einem z0 mit |z0 | < 1 . z0 ist hier so zu bestimmen, dass der Kreis K auf einen konzentrischen Kreis K mit Radius r abgebildet wird. Die Punkte 0 und ∞ sind symmetrisch bez¨ uglich K . Mithin sind z0 und z10 symmetrisch bez¨ uglich K . Es gilt also (z0 − a) z10 − a = r2 . > restart: gl := (z_0-a)*(1/z_0-conjugate(a)) = r^2;

gl := (z0 − a) > collect(z_0*gl,z_0); sol := factor([solve(%,z_0)]);

1 − a = r2 z0

262

MWS zu Kapitel 8

sol :=

1 2 1 2


−a z02 + (a a + 1) z0 − a = z0 r2 , −r2 + a a + 1 + (a a − 1 − 2 r − r2 ) (a a − 1 + 2 r − r2 ) , a −r2 + a a + 1 − (a a − 1 − 2 r − r2 ) (a a − 1 + 2 r − r2 ) a

Das Produkt dieser beiden L¨ osungen ist eine komplexe Zahl vom Betrage 1 . Mithin gilt f¨ ur die gesuchte L¨ osung z0 : > z_0 := sol[2]:

Der Kreis |z − a|2 = r2 wird durch die M¨ obius-Transformation w = in den Kreis mit dem Mittelpunkt 0 und dem Radius r =

|z0 −a| r |z0 |

z−z0 z0 z−1

abgebildet.

> ‘r’‘ := abs(z_0-a)/r/abs(z_0): # ‘r’‘ ist der NAME der Variablen r’

F¨ ur a = 2/5 und r = 2/5 ergibt sich: > a := 2/5: r := 2/5: ’z_0’ = simplify(z_0); ’‘r’‘’ = simplify(‘r’‘);

z0 =

5

10

1 , 2

r =

1 2

> with(plots): with(plottools): read "../verdi.txt": Texte:= [0.75,0.85,"E"],[Re(a)+r,Im(a)+0.3,"K"], [Re(z_0),Im(z_0)+0.1,z[0]]: tplot:= textplot([Texte]): dot := disk(c2p(z_0),0.02,color=black): Kreissch := disk(c2p(a),r,color=white),disk([0,0],1,color=gray): p := display(dot,Kreissch,tplot,tickmarks=[[-1,1],0]): tplot:= textplot({[0.75,0.9,"E’ "],[‘r’‘,0.4,"K’"]}): dot := disk([0,0],0.02,color=black): Kreissch := disk([0,0],‘r’‘,color=white),disk([0,0],1,color=gray): q := display(dot,Kreissch,tplot,tickmarks=[[-1="-1", evalf(‘r’‘)="r’",1="1"],0]): display(Array([p,q]),scaling=constrained);

E

E

−1

z0

K

K 1

−1

r

1

8.1


(MWS)

263

Beispiel 2: Abbildung des Außenbereichs zweier kongruenter, disjunkter Kreise auf einen konzentrischen Kreisring

K2

K1

a

z0

b

Laut R. Sauer Ingenieur-Mathematik (Bd. 2, 3. Aufl., S. 119) wird diese M¨ obius-Transformation in der Elektrotechnik dazu verwendet, das elektro¨ statische Feld im Außeren von zwei parallelen Leitern in das Feld eines Zylinderkondensators abzubilden. Wir suchen eine Möbius-Transformation, welche die Kreise K1 und K2 auf zwei konzentrische Kreise K1 und K2 abbildet. Die Punkte 0 und ∞ sind hierzu symmetrisch. Folglich sind die Urbilder z0 und u0 symmetrisch zu K1 und K2 , d. h. es gilt (z0 − c) (u0 − c) = r2 bzw. (z0 + c) (u0 + c) = r2 . Hieraus ergibt sich u0 = −z0 . Die beiden Gleichuna+b 2 gen oben vereinfachen sich damit zu ( a+b ( b−a 2 − z0 ) ( 2 + z0 ) = 2 ) und √ so zu z02 = ab . Liegt z0 im Inneren von K1 , so gilt z0 = ab . Mit der 6-Punkte-Formel erhalten wir dann f¨ ur a, z0 , −z0 und 1 , 0 , ∞ die gesuchte M¨ obius-Transformation. > restart: with(plots): with(plottools): z1 := z_0: z2 := a: z3 := -z_0: # z_0 = sqrt(a*b) w1 := 0: w2 := 1: w3 := infinity: (w-w1)/(w2-w1) = (z-z1)*(z2-z3)/(z-z3)/(z2-z1);

w = > f := unapply(rhs(%),z): normal(f(-a));

(z − z0 ) (a + z0 ) (z + z0 ) (a − z0 )

(a + z0 )2 (−a + z0 )2

Mithin ist das Bild von K2 ein Kreis um 0 mit dem Radius

264

MWS zu Kapitel 8


> z_0 := sqrt(a*b): R := ((sqrt(b)+sqrt(a))/(sqrt(b)-sqrt(a)))^2;

√ √ 2 b+ a R := √ √ 2 b− a In der Abbildung oben waren > a := 1: b := 9:

Mithin sind > ’z_0’ = simplify(z_0), ’R’ = simplify(R);

z0 = 3 ,

5

10

15

R=4

> c := (a+b)/2: r := (b-a)/2: # Urbild Kreise := circle([c,0],r,color=black,thickness=3), circle([-c,0],r,color=red,thickness=3): Disks := seq(disk([x,0],r,color=white),x=[c,-c]): Rechteck := rectangle(-(a+b)*[1,1],(a+b)*[1,1],color=gray, style=patchnogrid): tplot := textplot([[a,r,K[1]],[-b,r,K[2]]]): p := display(Kreise,Disks,Rechteck,tplot, tickmarks=[[z_0=z[0],a="a ",b=" b"],[]]): display(p,scaling=constrained,view=[-10..10,-6..6]); # siehe S. 263 > R := evalf(R): # Bild Disks := disk([0,0],1,color=white),disk([0,0],R,color=gray): Kreise := circle([0,0],1,color=black,thickness=3), circle([0,0],R,color=red,thickness=3): tplot := textplot([[1,1,typeset(K[1],"’")], [0.78*R,0.78*R,typeset(K[2],"’")]]): q := display(tplot,Kreise,Disks, tickmarks=[[-R="-R ",-1="-1 ",1=" 1",R=" R"],0]): display(Array([p,q]),scaling=constrained);

K2 K2

K1

a

z0

K1 b

−R

−1

1

R

8.2

Joukowski-Transformation

(MWS)

265

8.2 Joukowski-Transformation Am Ende von Abschnitt 8.2 des Textes wurde das Joukowski-Profil vorgestellt. Dieses entsteht mittels der Joukowski-Transformation aus einem Urbildkreis, der durch einen der Punkte +1 oder −1 verläuft und den anderen in seinem Inneren enth¨ alt. Der unten betrachtete (schwarze) Kreis mit dem Mittelpunkt a = 0.2+0.5 i und Radius R = 1.3 verläuft durch −1 . Ferner interessiert uns der (graue) Kreis mit Mittelpunkt b auf der imaginären Achse, der durch 1 verl¨ auft und den schwarzen Kreis in −1 ber¨ uhrt. > restart: with(plots): with(plottools): read "../verdi.txt": J := z -> z+1/z; # Joukowski-Transformation

J := z −→ z +

5

10

1 z

a := 0.2+0.5*I: R := 1.3: b := -1+(1+a)/(1+Re(a)): r := abs(b+1): Kreise := circle(c2p(a),R,numpoints=400,color=black), circle(c2p(b),r,color=gray): Linien := complexplot([a,-1],linestyle=3,color=black), complexplot([-1+1.5*I*(a+1),-1-I*(a+1)],linestyle=3,color=black): Punkte := seq(disk(c2p(z),0.025,color=black),z=[a,b]): Texte := textplot([[0.32,0.5,"a"],[Re(b)+0.1,Im(b)-0.1,"b"]]): p0 := display(Kreise,thickness=2): display(p0,Linien,Punkte,Texte,scaling=constrained,tickmarks=[3,3]);

Die Joukowski-Transformation bildet den schwarzen Kreis auf ein Joukowski-Profil ab, und der graue Kreis geht u ¨ ber in einen Kreisbogen, der doppelt durchlaufen wird. Um dies einzu sehen‘, machen wir davon Gebrauch, dass ’ die Joukowski-Transformation als Hintereinanderausf¨ uhrung von drei einfachen konformen Abbildungen beschrieben werden kann:

266

MWS zu Kapitel 8


> M[1] := z -> (z+1)/(z-1); Q := u -> u^2; M[2] := v -> 2*(v+1)/(v-1);

M1 := z −→

z+1 , z−1

# 1. M¨ obiustransformation # Quadrieren # 2. M¨ obiustransformation

Q := u −→ u2 ,

M2 := v −→

2 (v + 1) v−1

> ’M[2](Q(M[1](z)))’: eval(%,1) = expand(normal(%));

M2 (Q(M1 (z))) = z +

1 z

Mittels transform definieren wir die entsprechenden Graphiktransformationen und bilden damit schrittweise die Bilder der beiden Urbildkreise:

5

> TM1 := transform((x,y)->c2p(M[1](x+I*y))): TQ := transform((x,y)->c2p(Q(x+I*y))): TM2 := transform((x,y)->c2p(M[2](x+I*y))): p1 := TM1(p0): p2 := TQ(p1): p3 := TM2(p2): setoptions(axes=frame,scaling=constrained): display(p0,Linien[2],tickmarks=[3,3],title="Urbildkreise ..."); display(p1,tickmarks=[3,3],view=[-2..7,-3..5],title="Bild ..."); display(p2,tickmarks=[3,3],view=[-20..42,-20..42],title="Bild ..."); display(p3,tickmarks=[3,3],title="Bild unter M[2]@Q@M[1]");

Urbildkreise in der z-Ebene

Bild unter der Abbildung M1

Bild unter Q ◦ M1

Bild unter M2 ◦ Q ◦ M1

8.3


(MWS) 267

Die M¨ obiustransformation M1 bildet den schwarzen Kreis in einen Kreis ab, und aus dem grauen Kreis entsteht eine Gerade. Beide verlaufen durch den Ursprung und ber¨ uhren sich dort. Mittels der Abbildung Q (Quadrieren) entsteht aus dem Kreis eine Kardioide und aus der Geraden ein (doppelt durchlaufener) Halbstrahl. Durch die M¨ obiustransformation M2 schließlich gehen die Kardioide u ber in ein Joukowski-Profil und der Halbstrahl in ¨ einen (doppelt durchlaufenen) Kreisbogen.

8.3 Harmonische Funktionen und das Dirichlet-Problem Harmonische Funktionen Beispiel 1 > restart: with(VectorCalculus): f := log;

f := log Real- und Imagin¨ arteil dieser holomorphen Funktion liefern harmonische Funktionen, die sp¨ ater zur L¨ osung einfacher Dirichlet-Probleme benutzt werden k¨ onnen: > u := (x,y) -> evalc(Re(f(x+I*y))): v := (x,y) -> evalc(Im(f(x+I*y))): ’u’(x,y): eval(%,1) = value(%); ’v’(x,y): eval(%,1) = value(%);

u(x, y) =

1 2

ln x2 + y 2 ,

v(x, y) = arctan(y, x)

Hierbei ist arctan(y, x) = argument(x + i y). > Delta(u) = simplify(Laplacian(u(x,y),[x,y])); Delta(v) = simplify(Laplacian(v(x,y),[x,y]));

Δ(u) = 0 ,

Δ(v) = 0

Beispiel 2 > restart: with(VectorCalculus):

Zu einer vorgegebenen harmonischen Funktion u bestimmen wir eine konjugiert harmonische Funktion v sowie eine holomorphe Funktion f mit f (x + i y) = u(x, y) + i v(x, y): > u := unapply(x^5-10*x^3*y^2+5*x*y^4,x,y);

268

MWS zu Kapitel 8


u := (x, y) → x5 − 10 x3 y 2 + 5 x y 4 Wir u ufen, dass u harmonisch ist: ¨ berpr¨ > Delta(u) = Laplacian(u(x,y),[x,y]);

Δ(u) = 0 Die gesuchte konjugiert harmonische Funktion v ist — man vergleiche hierzu Satz 8.9 — Stammfunktion zu folgendem Vektorfeld: > V := VectorField(,’cartesian’[x,y]);

V := (20 x3 y − 20 x y 3 ) e¯x + (5 x4 − 30 x2 y 2 + 5 y 4 ) e¯y Mit Hilfe des Maple-Befehls ScalarPotential l¨ asst v sich einfacher berechnen, als dies in Beispiel (B2) auf Seite 249 geschehen ist: > ScalarPotential(V): if % NULL then v := unapply(%,x,y) end if;

v := (x, y) → 5 x4 y − 10 x2 y 3 + y 5 Die holomorphe Funktion f erhalten wir nun durch folgende Substitution: > subs({x=(z+conjugate(z))/2,y=(z-conjugate(z))/(2*I)},u(x,y)+I*v(x,y)): f := unapply(simplify(%),z);

f := z → z 5 Komplexe Potentiale Das komplexe Potential zweier entgegengesetzter Punktladungen > restart: with(plots): alias(log=ln): F := z -> log((1+z)/(1-z)); # komplexes Potential

F := z → log

1+z 1−z

> phi := simplify(evalc(Re(F(x+I*y)))); # reelles Potential psi := simplify(evalc(Im(F(x+I*y)))); # Stromfunktion

1 + 2 x + x2 + y 2 1 log 2 1 − 2 x + x2 + y 2

2y −1 + x2 + y 2 ,− ψ := arctan 1 − 2 x + x2 + y 2 1 − 2 x + x2 + y 2 φ :=

¨ Die Aquipotentialbzw. Str¨ omungslinien kann man auf zwei verschiedene Arten zeichnen: Mit Hilfe des Maple-Befehls contourplot erhält man sie als

8.3


(MWS) 269

H¨ ohenlinien des reellen Potentials bzw. der Stromfunktion. Mittels der Optiohenlinien festlegen oder sogar ganz on contours kann man die Anzahl der H¨ bestimmte Niveaus vorgeben.

5

> H1 := [seq(k*3/5,k=-5..5)]: # H¨ ohenlinien des reellen Potentials H2 := [seq(k*Pi/5,k=-5..5)]: # H¨ ohenlinien der Stromfunktion p1 := contourplot(phi,x=-4..4,y=-4..4,contours=H1,grid=[70,70], color=black,scaling=constrained): p2 := contourplot(psi,x=-4..4,y=-4..4,contours=H2,grid=[70,70], color=gray,scaling=constrained): display(p1,p2,view=[-3.5..3.5,-3.2..3.2],axes=box;

Das (fast) gleiche Resultat erh¨ alt mit Hilfe des conformal -Befehls, angewendet auf die Umkehrfunktion. Ist diese mehrdeutig, muss man darauf achten, den richtigen Zweig zu verwenden. > w = F(z); z := solve(%,z);

w = log

1+z 1−z

,

z :=

ew − 1 ew + 1 w

Das orthogonale Netz entsteht durch die komplexe Abbildung w −→ eew −1 +1 aus einem Raster von je 11 (schwarzen) vertikalen bzw. (grauen) horizontalen Gitterlinien, die das Rechteck [−3, 3] × [−π, π] u ¨berziehen. Die Wahl der H¨ ohenlinien oben orientierte sich daran. > conformal(z,w=-3-Pi*I..3+Pi*I,view=[-3.5..3.5,-3.2..3.2], numxy=[100,100],axes=box,color=[black,gray],scaling=constrained); Die Abbildung ist hier nicht wiedergegeben, da sie fast identisch zur vorangehenden ist.

270

MWS zu Kapitel 8


Das komplexe Potential einer Parallel- mit einer Dipolstr¨ omung > restart: with(plots): with(plottools): read "../verdi.txt": setoptions(tickmarks=[3,3],scaling=constrained,axes=frame): F := z -> z+1/z; # Joukowski-Abbildung

F := z −→ z +

1 z

> phi := evalc(Re(F(x+I*y))); # reelles Potential psi := evalc(Im(F(x+I*y))); # Stromfunktion

φ := x +

x , x2 + y 2

ψ := y −

y x2 + y 2

Wir zeichnen nur die Str¨ omungslinien, welche physikalisch sinnvoll sind, unterdr¨ ucken also diejenigen, die im Inneren des Einheitskreises liegen:

5

> p1 := contourplot(psi,x=-3..3,y=0..2.5,contours=[k/5 $ k=1..10], color=black,grid=[70,70]): p2 := contourplot(psi,x=-3..3,y=-2.5..0,contours=[-k/5 $ k=1..10], color=gray,grid=[70,70]): p3 := seq(plot(0,Ber,color=black),Ber=[-3..-1,1..3]), circle(c2p(0),1,color=black,linestyle=2): StromL := display(p3,p2,p1): display(StromL,view=[-3..3,-2.5..2.5]);

> a := 0.2+0.5*I: r := 1.3: f := z -> F(a+r*z); Tf := transform((x,y)->c2p(f(x+I*y))):

f := z −→ F (a + r z) Mittels Verpflanzung erh¨ alt man dann die Strömungslinien des komplexen Potentials G := F ◦ f −1 (vgl. Seite 251):

8.3


(MWS) 271

> display(Tf(StromL),tickmarks=[4,4]);

Einfache Dirichlet-Probleme Im Parallelstreifen Gesucht ist eine harmonische Funktion u mit u(a, y) = A und u(b, y) = B .

> restart: with(VectorCalculus): u := unapply(A+(B-A)*(x-a)/(b-a),x,y);

u := (x, y) −→ A +

(B − A) (x − a) b−a

> printf("\n Die - hier triviale - Probe:"): Delta(u) = Laplacian(u(x,y),[x,y]); ’u’(a,y): eval(%,1) = value(%); ’u’(b,y): eval(%,1) = value(%);

Die - hier triviale - Probe: Δ(u) = 0 ,

u(a, y) = A ,

u(b, y) = B

Im Winkelbereich Gesucht ist eine harmonische Funktion u , die folgendes Randwertproblem l¨ ost:

272

MWS zu Kapitel 8


> restart: with(VectorCalculus): u := unapply(A+(B-A)*arctan(y,x)/alpha,x,y);

u := (x, y) −→ A +

(B − A) arctan(y, x) α

F¨ ur den Winkel dieses Bereiches muss dabei 0 < α ≤ π gelten; hier wählen wir speziell α := arctan(1, 2):

5

> alpha := arctan(1,2): Laplacian(u(x,y),[x,y]): DGL:=simplify(%): printf("\n Probe: "); if is(DGL=0) then printf("u ist harmonisch.") end if; printf("\n Randbedingungen:"); assume(x>0): ’u’(x,0): eval(%,1) = simplify(value(%)); ’u’(x,x/2): eval(%,1) = value(%);

Probe: u ist harmonisch. Randbedingungen: u(x, 0) = A, u(x, 12 x) = B 3-dimensional veranschaulicht

6 4 0

2

2x 0

0

1 y

2

4

Im Kreisring Der Radius des inneren Kreises sei 1, der des äußeren R. Die vorgegebenen Werte auf den Kreisr¨ andern seien A (innen) und B (außen). > restart:

u := (x,y) -> A+(B-A)*log(sqrt(x^2+y^2))/log(R);

8.3


(MWS) 273

(B − A) log x2 + y 2 u := (x, y) −→ A + log(R) Wir wissen schon, dass die Funktion u harmonisch ist. Zu den Randbedingungen: > u(cos(t),sin(t)): simplify(%); assume(R>0): u(R*cos(t),R*sin(t)): simplify(%);

A,

B

3-dimensional sieht’s so aus

8 6 4 2 0 –3

–3 0

0 3

3 In der oberen Halbebene

F¨ ur eine reelle Zahl a soll rechts von a der Wert A, links davon der Wert B angenommen werden: > restart:

v := (x,y) -> A+(B-A)*arctan(y,x-a)/Pi;

v := (x, y) −→ A +

(B − A) arctan(y, x − a) π

Wir wissen wieder, dass die Funktion v harmonisch ist. Zu den Randbedingungen: > assume(x>a): v(x,0); assume(x restart:

U := t -> piecewise(abs(t) y/Pi*int(U(t)/((x-t)^2+y^2),t=-infinity..infinity,continuous): u := unapply(%,x,y);

u := (x, y) −→ − 1 3 x ln(x2 +1+2 x+y 2) y −6 y −3 x ln(x2 +1−2 x+y 2) y 6π x−1 x−1 2 2 +3 y 2 arctan( x+1 arctan( x−1 y )−arctan( y )+3 y ) x −3 y arctan( y ) x+1 2 − 3 arctan( x+1 y ) x + arctan( y ) Man ben¨ otigt hier die int-Option continuous , um symbolisch u ¨ ber die Unstetigkeiten der Funktion U hinwegzuintegrieren. > with(VectorCalculus): Laplacian(u(x,y),[x,y]): DGL:=simplify(%): JaNein := ‘if‘(is(DGL=0),""," nicht"): printf("\n Probe: u ist%s harmonisch!\n\n Das Verhalten am Rand: \n\n",JaNein);

Probe: u ist harmonisch! Das Verhalten am Rand: > Limes := Limit(’u’(x,y),y=0,right): eval(Limes,1) = value(Limes) assuming x>1; eval(Limes,1) = value(Limes) assuming x V := -(2/Pi)*argument(’w’);

V := −

2 argument(w) π

Wir machen die Probe: > subs(w=-I,V): simplify(%); subs(w=I,V): simplify(%); V;

1,

−1 ,

2 argument −z + i z+i − π

> subs(z=x+I*y,-(Pi/2)*V): simplify(evalc(%));

arctan

2x x2 + y 2 − 1 , − x2 + y 2 + 2 y + 1 x2 + y 2 + 2 y + 1

Die gesuchte harmonische Funktion v hat dann im Inneren des Einheitskreises folgende Darstellung: > v := -(2/Pi)*arctan(op(1,%) / op(2,%)); # arctan(y,x)=arctan(y/x) f¨ ur x > 0

2 arctan v :=

2x x2 + y 2 − 1 π

> printf("\n Probe:"); with(VectorCalculus): Delta(’v’) = simplify(Laplacian(v,[x,y]));

8.3


(MWS) 277

Probe: Δ(v) = 0 Im Halbkreis Gesucht ist eine harmonische Funktion u mit u = 0 auf dem oberen Rand des Halbkreises und u = 1 auf dem Intervall [−1, 1]. Dazu betrachten wir eine M¨ obiustransformation, die den oberen Rand des Halbkreises auf die positive reelle Achse abbildet (vgl. Beispiel (B1) auf Seite 239 f): > restart: z1 := 1: z2 := I: z3 := -1: w1 := 0: w2 := 1: w3 := infinity: (w-w1)/(w2-w1) = (z-z1)*(z2-z3)/((z-z3)*(z2-z1)): w := solve(%,w);

w := −

i (z − 1) z+1

Wir veranschaulichen Urbild- und Bildbereich:

Auf der schwarzen Achse nimmt die gesuchte Funktion den Wert 1 an, auf der roten Achse den Wert 0 . Wir verzichten hier auf weitere Kommentare und Proben, da uns das Vorgehen aus dem vorangehenden Beispiel vertraut ist. > U := (2/Pi)*argument(’w’); # Harmonische Funktion

U := > U;

2 argument(w) π

i (z − 1) 2 argument − z+1 π

278

MWS zu Kapitel 8


> subs(z=x+I*y,Pi/2*U): simplify(evalc(%));

x2 − 1 + y 2 2y arctan − 2 , x + 2 x + 1 + y 2 x2 + 2 x + 1 + y 2

> u := (2/Pi)*arctan(op(1,%) / op(2,%)); # arctan(y,x)=arctan(y/x) f¨ ur x > 0

2 arctan u := −

1 x2 − 1 + y 2 2 y π

Im Viertelkreis Die beiden abschließenden Beispiele (im Viertelkreis, im nicht-konzentrischen Kreisring) kommentieren wir sparsamer und verzichten auf Proben, da uns die Dinge nun vertraut sind. Gesucht ist eine harmonische Funktion u , die auf dem Rand des Viertelkreises den Wert 0 und auf den Achsenabschnitten den Wert 1 annimmt. Wir suchen dazu nach einer konformen Abbildung, die den Viertelkreis auf einen passenden Winkelbereich abbildet: Nach den ¨ vorangehenden Uberlegungen zum Halbkreis (unter Beachtung der Abbildung 2 z −→ z , die den Viertelkreis auf den Halbkreis abbildet), erhält man: > restart: w := I*(1-z^2)/(1+z^2);

w :=

i (1 − z 2 ) 1 + z2

Viertelkreis (z)

Bildbereich (w)

> U := (2/Pi)*argument(w);

2 argument U :=

π

i (1 − z 2 ) 1 + z2

8.3


(MWS) 279

> subs(z=x+I*y,(Pi/2)*U): simplify(evalc(%));

1 − x4 − 2 x2 y 2 − y 4 4 xy arctan , 1 + 2 x2 − 2 y 2 + x4 + 2 x2 y 2 + y 4 1 + 2 x2 − 2 y 2 + x4 + 2 x2 y 2 + y 4 Wir faktorisieren den Nenner: > factor(denom(op(1,%)));

(x2 + 1 + 2 y + y 2 ) (x2 + 1 − 2 y + y 2 ) Dieser ist also im Inneren des Viertelkreises positiv. F¨ ur die gesuchte harmonische Funktion u ergibt sich damit: > u := (2/Pi)*arctan(op(1,%%) / op(2,%%)); # arctan(y,x)=arctan(y/x) f¨ ur x > 0

1 −1 + x4 + 2 x2 y 2 + y 4 2 arctan 4 xy u := − π Im nicht-konzentrischen Kreisring Gesucht ist eine harmonische Funktion u mit u = 0 auf dem Rande des Einheitskreises |z| = 1 und u = 1 auf |z − 2/5| = 2/5 . Mittels folgender M¨ obiustransformation l¨ asst sich der linke nicht-konzentrische Kreisring auf den rechten konzentrischen Kreisring abbilden (vgl. Beispiel 1, Seite 261f): > restart: z0 := 1/2: rho := 1/2: moebius := w = (z-z0)/(conjugate(z0)*z-1);

z− moebius := w =

1 2

1 z−1 2

280

MWS zu Kapitel 8


> U := log(abs(w))/log(rho);

U := −

ln(|w|) ln(2)

Wir veranschaulichen die gesuchte L¨ osung des vorgegebenen Dirichlet-Problems: 3-dimensional

Wieder der Blick von oben 0

–1

1

1

1

z 0

0

1 0

1 y

0 –1

x

–1

Und so sieht die analytische Gestalt der L¨ osung aus: > subs(moebius,U): subs(z=x+I*y,%): u := simplify(evalc(%));

u := −

1 2

ln

4 x2 − 4 x + 1 + 4 y 2 x2 − 4 x + 4 + y 2 ln(2)

Kapitel 9

Die Γ-Funktion 9.1 9.2 9.3

Zur Γ-Funktion im Reellen Die Gammafunktion im Komplexen Stirling-Formel

Die Gammafunktion Γ wurde 1729 von Euler als unendliches Produkt definiert; die Bezeichnung Γ ‘ und Gammafunktion‘ stammen von Legendre (1814). Als ’ ’ Erg¨ anzung zur allgemein aufgef¨ uhrten Literatur sei hierzu noch speziell auf das Buch von E. Artin The Gamma Function“ ([Art]) hingewiesen. ”

9.1 Zur Γ-Funktion im Reellen In der reellen Analysis f¨ uhrt man in der Regel die Gammafunktion“ f¨ ur ” x>0 u ¨ ber das 2. Eulersche Integral ,∞ Γ (x) :=

tx−1 e−t dt

0

ein und zeigt dann: 1. Γ (x + 1) = x · Γ (x) f¨ ur x > 0 2. Γ (n) = (n − 1)!

( Funktionalgleichung der Γ -Funktion‘) ’ (n ∈ N) , speziell: Γ (1) = 1 ∗

3. Die Gammafunktion ist beliebig oft differenzierbar mit .∞ x−1 −t Γ (k) (x) = t e (log t)k dt f¨ u r k ∈ N0 . 0

Auf den ersten Blick hin scheint die Fortsetzung der Fakult¨ at durch die Gammafunktion fast willk¨ urlich zu sein. Die folgende Charakterisierung zeigt jedoch, dass dies nicht so ist: ∗

Sprechweise: Γ (x + 1) interpoliert die Fakult¨ at‘. ’


282

Kapitel 9

Die Γ-Funktion

Satz 1 (Bohr-Mollerup; Charakterisierung der Gammafunktion) Es existiert genau eine Funktion f : ]0, ∞[ −→ ]0, ∞[ mit (1)

f (x + 1) = xf (x) f¨ ur x > 0

(2)

log ◦f ist konvex

(3)

f (1) = 1

(Bez.: f

”

logarithmisch konvex“)

Die Gammafunktion (f¨ ur x > 0)

Beweis: Zur Existenz gen¨ ugt — nach 1. und 2. — der Nachweis, dass Γ ur x > 0 gilt. Dies ist logarithmisch konvex ist, hier also (log ◦Γ ) (x) ≥ 0 f¨ a quivalent zu ¨ 2 (Γ (x)) ≤ Γ (x)Γ (x) . Setzen wir 1 ϕ(t) := tx−1 · e−t 2

und

1 ψ(t) := tx−1 · e−t 2 log t ,

so folgt diese Aussage unmittelbar mit der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung ⎛∞ ⎞2 ⎛∞ ⎞⎛ ∞ ⎞ , , , 2 2 ⎝ ϕ(t)ψ(t) dt⎠ ≤ ⎝ ϕ(t) dt⎠ ⎝ ψ(t) dt⎠ ; 0

0

0

denn hier ist die linke Seite gleich (Γ (x))2 und die rechte gleich Γ (x)Γ (x) .

9.1

Zur Γ-Funktion im Reellen

283

Eindeutigkeit: Es sei f : ]0, ∞[−→ ]0, ∞[ mit (1), (2), (3). f ist genau dann logarithmisch konvex, wenn mit der Funktion h := log ◦f f¨ ur alle x1 , x2 > 0 und λ ∈ ]0, 1[ h(λx1 + (1 − λ)x2 ) ≤ λh(x1 ) + (1 − λ)h(x2 ) bzw. f (λx1 + (1 − λ)x2 ) ≤

λ 1−λ f (x1 ) · f (x2 )

gilt. Aus (3) und (1) folgt f (n + 1) = n! f¨ ur n ∈ N0 .

(4)

Im Folgenden seien x ∈ ]0, 1] und n ∈ N: Wegen n + x = x(n + 1) + (1 − x)n folgt aus der logarithmischen Konvexit¨ at von f x 1−x 1−x f (n + x) ≤ f (n + 1) · f (n) = (n!)x (n − 1)! = n! nx−1 ; (5) (4)

analog ergibt sich aus n + 1 = x(n + x) + (1 − x)(n + x + 1) die Ungleichung n! = f (n + 1) ≤ (4)

=

x 1−x f (n + x) · f (n + x + 1)

x 1−x f (n + x) (n + x)f (n + x) = f (n + x) (n + x)1−x

bzw.

(1)

f (x + n) ≥ n! (n + x)x−1 .

(6)

Zusammen mit f (x + n) = (x + n − 1) · · · (x + 1)x · f (x) (1)

liefern (5) und (6) n!(n + x)x−1 n!nx−1 ≤ f (x) ≤ x(x + 1) · · · (x + n − 1) x(x + 1) · · · (x + n − 1) bzw.

1+

Hieraus folgt

x x ≤ n

f (x) n! nx x(x+1)···(x+n)

≤ 1+

x . n

n!nx . n→∞ x(x + 1) · · · (x + n)

f (x) = lim

(7)

284

Kapitel 9

Die Γ-Funktion

Folgerung 2 (Gaußsche Produktformel) F¨ ur x > 0 gilt n!nx n→∞ x(x + 1) · · · (x + n)

Γ (x) = lim bzw.

n!nx . n→∞ (x + 1) · · · (x + n)

Γ (x + 1) = lim

Beweis: Die erste Beziehung folgt aus (7). Die zweite liest man dann daraus mit der Funktionalgleichung der Gammafunktion ab. Mittels elementarer Umformungen erh¨ alt man n! nx nx exp(x · log n) = = = = n n (x + 1) · · · (x + n) (1 + xν ) (1 + xν ) ν=1

bzw. 1 n! nx (x+1)···(x+n)

ν=1

> n n x x 1 − log n exp − . = exp x 1+ ν ν ν ν=1 ν=1

Aus der Analysis I sollte bekannt sein: n 1 − log n −→ C (n −→ ∞) (C := 0.577 . . . ν ν=1

Euler-Konstante‘ ∗ ) ’

Mit erneuter Anwendung der Funktionalgleichnung erhält man so die Produktdarstellung: ∞ x > x 1 1+ = x exp(Cx) exp − Γ (x) ν ν ν=1

Das Produkt

n ∞ 1+ xν exp − νx ist nat¨ 1+ xν exp − xν urlich durch lim n→∞ ν=1

ν=1

erkl¨ art.

F¨ ur u, v ∈ ]0, ∞[ f¨ uhren wir nun durch ,1 tu−1 (1 − t)v−1 dt

B(u, v) := 0

die Betafunktion“ bzw. das 1. Eulersche Integral ein. ” ∗

In Maple wird diese Konstante gamma“ genannt. ”

9.1


285

(Die Existenz des Integrals ergibt sich mit den aus Analysis I vertrauten Methoden.) ¨ Analog zu den Uberlegungen zur Gammafunktion erhält man, dass die partiellen Funktionen B(·, v) logarithmisch konvex sind. Zwischen der Betafunktion und der Gammafunktion besteht folgender Zusammenhang: Satz 3 B(u, v) =

Γ (u) · Γ (v) Γ (u + v)

f¨ ur u , v > 0

Beweis: Es sei 0 < ε < 1 − δ < 1; durch die partielle Integration 1−δ 1−δ , , t u u v−1 t (1 − t) dt = (1 − t)u+v−1 dt 1−t ε

ε

(1 − t)u+v · = − u+v

t 1−t

1−δ

u 1−δ ,

u

(1 − t)v−1 tu−1 dt +

u + v ε ε

erh¨ alt man nach Grenz¨ ubergang B(u + 1, v) =

u B(u, v) . u+v

(∗)

B(u, v)Γ (u + v) Γ (v) definierte Funktion H : ]0, ∞[ −→ ]0, ∞[ . H ist logarithmisch konvex, da B(·, v) und Γ ( · + v) dies sind. Nach 1. (Seite 281) und (∗) hat man H(u + 1) = u H(u). Wegen Γ (v+1) = vΓ (v) und B(1, v) = v1 gilt H(1) = 1 und so H = Γ nach Satz 1, also die Behauptung. F¨ ur festes v ∈ ]0, ∞[ betrachten wir die durch H(u) :=

Folgerung 4

( Erg¨ anzungssatz von Euler“) ” Γ (β)Γ (1 − β) =

F¨ ur 0 < β < 1 gilt

π . sin(βπ)

Beweis: F¨ ur 0 < β < 1 hatten wir gesehen (siehe Seite 197) ,∞ β−1 π x 1 = dx . Mit der Substitution τ = 1+x bzw. x = sin(β π) 1+x

1 τ

−1

0

erhalten wir f¨ ur die rechte Seite: ,0 ,1 β−1 1 1 −1 τ − 2 dτ = (1 − τ )β−1 τ −β dτ = B(1 − β, β) = . S. τ τ (Satz 3) 1

0

286

Kapitel 9

Speziell f¨ ur β =

1 2

Die Γ-Funktion

ergibt sich

√ 1 Γ = π, 2

woraus man noch einmal ,∞

e−x dx = 2

√

π

−∞

gewinnen kann.

9.2 Die Gammafunktion im Komplexen F¨ ur die Fortsetzung der Gammafunktion auf komplexes Argument schlie¨ ßen wir an die Uberlegungen zur Produktdarstellung an. Wir betrachten f¨ ur ν ∈ N und z ∈ C : z z exp − −1 hν (z) := 1 + ν ν ¨ hν ist eine ganze Funktion. Als einfache Ubungsaufgabe bestätigt man |(1 − z) exp(z) − 1| ≤ |z|2 , falls |z| ≤ 1 , also folgt, indem man − νz statt z betrachtet, |hν (z)| ≤

|z|2 , ν2

falls |z| ≤ ν .

F¨ ur R ∈ ]0, ∞[ und |z| ≤ R hat man daher |hν (z)| ≤ Damit ist

R2 , ν2

wenn ν ≥ R .

∞ ∞

hν (z) gleichm¨ aßig konvergent auf U0R , also hν (z) lokal ν=1

ν=1

absolut gleichm¨ aßig konvergent. Wir zeigen zun¨ achst: n > [1 + hν (z)] wird eine Funktionenfolge (Pn ) definiert, a) Durch Pn (z) := ν=1

die lokal absolut gleichmäßig konvergiert. ∞ > b) Ist P (z) := lim Pn (z) =: [1 + hν (z)] f¨ ur z ∈ C, so ist P eine ganze n→∞

Funktion.

ν=1

9.2

Die Gammafunktion im Komplexen

287

Beweis: Es ist nur a) zu zeigen; denn b) folgt dann aus dem Satz von Weierstraß II. Wir haben oben gesehen: Zu festem R ∈ ]0, ∞[ existieren — abh¨ angig von R — αν ∈ [0, ∞[ so, dass |hν (z)| ≤ αν f¨ ur z ∈ U0R ∞ gilt und αν < ∞ . F¨ ur n > m ist ν=1

>

n Pn (z) − Pm (z) = Pm (z) 1 + hν (z) − 1 . ν=m+1

F¨ ur z ∈ U0R hat man |Pm (z)| ≤

m m m m > > > 1 + |hν (z)| ≤ (1 + αν ) ≤ exp(αν ) = exp αν ν=1

∞ αν < ∞ , ≤ exp

ν=1

ν=1

ν=1

also gleichmäßige Beschränktheit.

ν=1

n

>

1 + hν (z) − 1 ≤

ν=m+1

n >

n (1 + αν ) − 1 ≤ exp αν − 1 −→ 0 s. o.

ν=m+1

ν=m+1

1

23 4 −→ 0

f¨ ur m −→ ∞. (Hier sieht man die erste Ungleichung leicht durch Induktion.) Folgerung 5 Durch h(z) := z exp(Cz)

∞ >

1+

ν=1

z z exp − ν ν

(z ∈ C) ist eine ganze

Funktion h definiert. Zusatz 6 h hat genau die Elemente von −N0 := {0 , −1 , −2 , . . . } als einfache Nullstellen. ¨ Der Beweis des Zusatzes folgt aus den obigen Uberlegungen unter Beachtung von: ∞ m ∞ = = = [1 + hν (z)] = [1 + hν (z)] [1 + hν (z)] ν=1 ν=1 ν=m+1 23 4 1 −→1 (m−→∞): s. o.

Damit definieren wir — unter Beachtung der Produktdarstellung im Reellen: Definition:

−1 Γ (z) := h(z)

z ∈ C \ (−N0 )

”

Gammafunktion“

288

Kapitel 9

Die Γ-Funktion

Bemerkung 7 Γ ist holomorph und Fortsetzung der reellen Gammafunktion. Der Identit¨ atssatz liefert mit 1. (Seite 281) und dem Ergänzungssatz von Euler die Bemerkung 8 a) b) c)

Γ (z + 1) = zΓ (z) z ∈ C \ (−N0 ) 1 sin(πz) = (z ∈ C \ Z) Γ (z)Γ (1 − z) π

Γ hat f¨ ur m ∈ N0 in −m einen einfachen Pol mit Residuum (−1)m /m! .

Beweis: Es ist nur noch das Residuum zu berechnen: a) zeigt Γ (z + m + 1) = z(z + 1) · · · (z + m)Γ (z). Daraus liest man ab: Γ (z)(z + m) −→

(−1)m m!

f¨ ur z −→ −m .

In b) kann die linke Seite wie folgt umgeformt werden: ∞ 1 = 2 1 − νz 2 . .S. = h(z) · −z · h(−z) = z a)

ν=1

b) zeigt zudem, wie die linke Seite (stetige Erg¨ anzung!) f¨ ur beliebiges z ∈ C gelesen werden kann.

Damit erhalten wir — unter Beachtung des Identitätssatzes — die Bemerkung 9

(Produktdarstellung des Sinus) ∞ > z2 1− 2 2 sin z = z (z ∈ C) π ν ν=1

Dabei ist die Konvergenz lokal gleichmäßig. Setzt man hierin speziell z = π/2 , so erh¨ alt man ∞ ∞ 2 = = 1 1 1 1 = π2 1 − 2ν = π2 1 − 2ν 1 + 2ν = ν=1

ν=1

π 2

∞ = ν=1

(2ν−1)(2ν+1) (2ν)2

,

also die Bemerkung 10 ∗

∞ > π 4ν 2 = 2 (2ν − 1)(2ν + 1) ν=1

( Wallis-Produkt“)∗ ”

Diese Beziehung kann man auch relativ einfach elementar‘ herleiten! ’

9.2


289

Gammafunktion f¨ ur reelles Argument

Betrag der Gammafunktion im Komplexen

6 4 2 0 2 y 0 –2

Mit ϕn (z) := z

n > z2 1− 2 2 π ν ν=1

ϕn (z) −→ sin z

–4

–2

0x

2

4

(n ∈ N, z ∈ C \ π Z) besagt Bemerkung 9 (n −→ ∞) lokal gleichmäßig.

290

Kapitel 9

Die Γ-Funktion

So folgt mit dem Satz von Weierstraß II ϕn (z) −→ cos z

(n −→ ∞) lokal gleichmäßig.

Damit ergibt sich durch logarithmische Differentiation‘ von ϕn : ’ n ϕn (z) 1 2z = + −→ cot z (n −→ ∞) lokal gleichmäßig. 2 − π2 ν 2 ϕn (z) z z ν=1 Somit hat man f¨ ur z ∈ C \ π Z: Bemerkung 11 cot z =

(Partialbruchdarstellung des Cotangens)

∞ 2z 1 + 2 z z − π2 ν 2 ν=1

Die Konvergenz ist lokal gleichmäßig.

Wir haben hier die Produktdarstellung des Sinus und die Partialbruchdarstellung des Cotangens ohne Benutzung des Satzes von Mittag-Leffler und des Produktsatzes von Weierstraß gewonnen und so — f¨ ur eine weiterf¨ uhrende Vorlesung — den entsprechenden Themenkreis schon etwas vorbereitet.

9.3 Stirling-Formel Wir geben abschließend eine elementare Herleitung∗ der Stirling-Formel mit exaktem Fehlerterm. Die Berechnung von n! f¨ ur große n wird u. a. in Kombinatorik, Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik immer wieder ben¨ otigt. Wegen des hohen Aufwandes ist eine bequeme N¨ aherungsformel hilfreich. Eine erste Version der u. a. Formel wurde 1730 von James Stirling (1692–1770) gegeben. Die hier dargestellte Herleitung verzichtet bewusst etwa auf den Einsatz der Reihenentwicklung f¨ ur die Logarithmusfunktion, damit diese wichtige Formel auch bei vergleichsweise geringen Mathematikkenntnissen (etwa im Oberstufenunterricht der Schule) zug¨ anglich wird.

n! ∼

√

2πn

n n e

∼ “ bedeutet asymptotisch gleich“, d. h. der Quotient der beiden Seiten ” ” geht f¨ ur n −→ ∞ gegen 1 . Es wird also eine Aussage u ¨ ber den relativen Fehler gemacht. Diese Aussage wird unten noch präzisiert! Wir betrachten ∗

f (n) :=

n! 1 nn+ 2 e−n

(n ∈ N) .

¨ Die Idee dieser elementaren Herleitung stammt von F. W. Sch¨ afke, der Uberlegungen von C´ esaro (1904) aufgriff und verallgemeinerte; man vergleiche dazu auch [Art, S. 20–24] .

9.3 1.

291

Stirling-Formel n + 1 n+ 12 1+ f (n) −1 = e = f (n + 1) n 1−

F¨ ur 0 < x < 1

2.

nachher setzen wir x :=

1 2n+1 1 2n+1

1 2n+1

n+ 12

e−1

gilt:

2 x3 1+x < exp(2 x) · exp exp(2 x) < 1−x 3 1 − x2

∞ 2n n Beweis: 1. Ungleichung: exp(2 x) = 1 + 2 x + 2 x + x ; n! n=3 ∞ ∞ ∞ 1+x = (1 + x) xn = 1 + 2 xn = 1 + 2 x + 2 x2 + 2 xn ; 1−x n=0 n=1 n=3 2

ur n ≥ 3 folgt die Behauptung. unter Ber¨ ucksichtigung von 2n /n! < 2 f¨ 2. Ungleichung: Durch Ausmultiplizieren erh¨ alt man: (1 + x)2 = 1 + 2 x + x2 < 1 + 2 x + 2 x2 + 43 x3 + 23 x4 1 − x2 + 23 x3 Nach Division durch (1 − x2 ) hat man: 2 x3 1+x 4 2 < 1 + 2 x + 2 x2 + x3 + x4 1 + < r.S. 1−x 3 3 3 1 − x2

In 2. setzen wir x := 1/(2n + 1) und erhalten

1 2 x3 1 1+x exp < exp exp = exp(2 x) < , 1−x 3 1 − x2 n + 12 n + 12 nach Potenzieren mit Exponent n + 1/2: 2 x3 n+ 12 f (n) e < e· < e · exp f (n + 1) 3 1 − x2 F¨ ur den mittleren Term wurde dabei 1. verwendet!

¨ Uber

1 3 1 2 2 2 x3 2n+1 2n+1 = = 1 2 3 1 − x2 3 1− 3 (2n + 1)2 − 1 2n+1 =

3.

1
0): g := Int(exp(-t)*t^(x-1), t=0..infinity): % = value(%);

,

∞

e−t tx−1 dt = Γ (x)

0

Maple kennt also (f¨ ur positives x) die u ¨ ber das 2. Eulersche Integral definierte Gammafunktion Γ und dazu auch als eigenständige Funktion den durch lnGAMMA := ln ◦Γ definierten Logarithmus der Gammafunktion.

5

> with(plots): Punkte := pointplot([seq([m,GAMMA(m)],m=1..4)],color=black, symbol=solidcircle,symbolsize=18): Funktionen := plot([GAMMA,lnGAMMA],0..4.2,y=-0.5..6.2, color=[black,gray],thickness=2): display(Punkte,Funktionen,labels=[" "," "]);

Gammafunktion und Logarithmus davon

294

MWS zu Kapitel 9

Die Γ-Funktion

Maple kennt nat¨ urlich auch die Funktionalgleichung der Gammafunktion und Definition und Wert der Euler-Konstante: > GAMMA(x+1): % = expand(value(%));

Γ (x + 1) = Γ (x) x > Limit(Sum(1/k,k=1..n) - ln(n),n=infinity): % = value(%);

? lim

n→∞

@ n 1 − ln(n) = γ k

k=1

> rhs(%) = evalf(rhs(%),20);

γ = 0.57721566490153286061 Den Beginn der Reihenentwicklung bei 0 erh¨ alt man durch: > series(GAMMA(x),x=0,2);

x−1 − γ +

1 2 1 2 π + γ x + O(x2 ) 12 2

Von der Fakult¨ at rechnet Maple zur Gammafunktion um durch: > n!: % = convert(%,GAMMA);

n! = Γ (n + 1) Zur¨ uck geht’s mit: > GAMMA(n+1): % = expand(convert(%,factorial));

Γ (n + 1) = n! Auch die Ableitung der Gammafunktion berechnet Maple m¨ uhelos: > diff(GAMMA(x),x);

Ψ (x) Γ (x)

Diese Antwort ist zwar richtig, aber f¨ ur die meisten Nutzer doch eher kryptisch, da die Digammafunktion Ψ herangezogen wird. Deshalb bezeichnen wir hier die Funktion, die u ¨ ber das zweite Eulersche Integral definiert ist, mit Gamma“ und erhalten: ” > Gamma := unapply(g,x): Diff(value(Gamma(x)),x) = diff(Gamma(x),x);

d Γ (x) = dx

, 0

∞

e−t tx−1 ln(t) dt

9.1


(MWS)

295

> restart: pr := (n!*n^x)/Product((x+nu),nu=1..n): Limit(pr,n=infinity): % = value(%); # alternativ: % = limit((n!*n^x)/product((x+nu),nu=1..n),n=infinity);

lim n n→∞ =

n! nx

n! nx Γ (x + 1) n→∞ Γ (x + n + 1)

= lim

(x + ν)

ν=1

Offenbar kennt Maple die erforderliche Formel nicht. Man kann das Wissen von Maple in folgender Weise erweitern: > ‘simplify/GAMMA_erw‘ := proc(f::dependent(x)) f := subs({limit(n!*n^x*GAMMA(x+1)/GAMMA(x+n+1),n=infinity) = GAMMA(x+1)},f) end proc:

Wir versuchen es jetzt noch einmal: > Limit(pr,n=infinity): % = simplify(value(%),GAMMA_erw);

lim n n→∞ =

n! nx

= Γ (x + 1)

(x + ν)

ν=1

Wir weisen darauf hin, dass ‘simplify/GAMMA_erw‘ nur eine eingeschr¨ ankte Flexibilit¨ at besitzt, da es nicht tolerant auf kleine Ver¨ anderungen in der Eingabe reagiert. > pr2 := x*exp(gamma*x)*Product((1+x/nu)*exp(-x/nu),nu=1..n): Limit(pr2,n=infinity): % = value(%);

lim x e

γx

n→∞

n > ν=1

1+

x −x/ν 1 = e ν Γ (x)

> restart: assume(u>0,v>0): Int((1-t)^(v-1)*t^(u-1), t=0..1): % = value(%);

,

1

(1 − t)v−1 tu−1 dt = B(u, v) 0

Maple kennt also auch (f¨ ur positive u, v) die u ¨ ber das 1. Eulersche Integral definierte Betafunktion. > assume(0 restart: with(plots): complexplot3d(GAMMA(z),z=-4-3*I..2+3*I,view=0..6,grid=[50,50], style=patchcontour,orientation=[-135,45],axes=frame, tickmarks=[3,3,3]); # Auf manchen Rechnern ist es ratsam, "grid" zu reduzieren!

Im Komplexen sieht |Γ | so aus:

6 4 2 2

0 0

2 0 y

–2 –4

–2

x

Auf R \ −N0 erh¨ alt man den folgenden Graphen: > plot(GAMMA(x),x=-5..5,-10..10,color=black,discont=true, tickmarks=[4,4],thickness=2);

9.2


(MWS)

297

Die Residuen der Gammafunktion kann man mit Maple wie folgt berechnen: > seq(residue(GAMMA(x),x=-n), n=0..6);

1 , −1 ,

1 1 1 1 1 ,− , ,− , 2 6 24 120 720

> pr := z*Product(1 - (z/(Pi*nu))^2,nu=1..n): Limit(pr,n=infinity): % = simplify(value(%),GAMMA);

lim z

n→∞

n > z2 1 − 2 2 = sin(z) π ν ν=1

Auch die Produktdarstellung des Sinus kann man also Maple abgewinnen. Jetzt versuchen wir noch das Wallis-Produkt: > w := Product(4*nu^2/((2*nu-1)*(2*nu+1)),nu=1..n): Limit(w,n=infinity): % = value(%); n >

1 4 ν2 = π n→∞ (2 ν − 1) (2 ν + 1) 2 ν=1 lim

Abschließend sehen wir uns noch die Partialbruchdarstellung des Cotangens an: > restart: S := 1/z + Sum(2*z/(z^2 - (Pi*nu)^2),nu=1..n): Limit(S,n=infinity): % = value(%);

?

lim

n→∞

1 2z + 2 z ν=1 z − π 2 ν 2 n

@

= cot(z)

298

MWS zu Kapitel 9

Die Γ-Funktion

9.3 Stirling-Formel Maple kennt auch die Stirling-Formel: > restart: stirling := n -> n!/((n/exp(1))^n*sqrt(2*Pi*n)): Limit(stirling(n),n=infinity): % = value(%);

√ 1 n! 2 √ = 1 lim n→∞ 2 ( n )n π n e Das kann Maple durchaus genauer beschreiben: > stirling(n) = asympt(stirling(n),n,3);

√

1 1 1 n! 2 1 √ = 1 + + + O 2 ( ne )n π n 12 n 288 n2 n3 ¨ Der Ausdruck 1/(12 n) ist uns ja schon aus den Uberlegungen des Textes 2 vertraut! Den n¨ achsten Term 1/(288 n ) kann man mit ähnlicher — jedoch wesentlich aufwendigerer — Rechnung wie im Text gewinnen.

10 Anhang zu Maple 10.1 Ein erster Einstieg in Maple Maple ist eines der ausgereiftesten Computeralgebra-Systeme und ein in vielfacher Hinsicht m¨ achtiges Werkzeug f¨ ur Mathematik, Naturwissenschaften und Ingenieurwesen. Seine St¨ arke liegt u. a. in der Fähigkeit, symbolisch rechnen zu k¨ onnen. Man kann nat¨ urlich mit Maple auch ganz normale numerische Berechnungen durchf¨ uhren und dabei noch die Anzahl der zu ber¨ ucksichtigenden Stellen w¨ ahlen. Aber im Gegensatz zum numerischen Rechnen, wo die Resultate meist durch Rundungsfehler verfälscht werden, hat man beim symbolischen Rechnen keinerlei Informationsverlust. Zudem wird dem Benutzer viel l¨ astige und fehleranf¨ allige Rechenarbeit abgenommen. Eine weitere wesentliche St¨ arke von Maple ist die Visualisierungsmöglichkeit von Funktionen und anderer geometrischer Objekte. Besonders eindrucksvoll kann man durch Animationen den dynamischen Charakter vieler Sachverhalte herausarbeiten. Dies macht Maple interessant als Motivationsvehikel f¨ ur den Einsatz in der Lehre, wenn es darum geht, abstrakte Sachverhalte im wahrsten Sinne geometrisch begreifbar zu machen. Maple ist im Prinzip eine gew¨ ohnliche Programmiersprache, die allerdings meist interaktiv eingesetzt wird. Der Wortschatz dieser Sprache ist zudem sehr umfangreich und orientiert sich an mathematischen Inhalten. Ihr Erlernen erfolgt idealerweise (in Ans¨ atzen) schon in der Schule, einfach aber auch noch in den Grundvorlesungen Analysis und Lineare Algebra, indem man parallel zu deren Fortschreiten immer wieder neue Vokabeln einf¨ uhrt und deren Handhabung am aktuellen Stoff ein¨ ubt. Auf diese Weise steigt der Schwierigkeitsgrad unmerklich an. Unser Buch wendet sich keineswegs nur an Leser, die bereits u ¨ber MapleGrundkenntnisse verf¨ ugen. Jedoch erwarten wir eine gewisse Bereitschaft und das Interesse, sich auf das Wechselspiel zwischen dem theoretischen und dem MWS-Teil der jeweiligen Kapitel einzulassen. Dabei kann man auf vielfältige Weise weitere Hilfestellung erhalten. Sehr gute Maple-B¨ ucher sind z. B. [Heck], [Kof] und [Walz], die leider auf ¨ alteren Maple-Versionen basieren. Als aktuelle Maple-Einf¨ uhrung empfehlen wir das k¨ urzlich in Neuauflage erschienene Buch [Br/Me]. Besonders empfehlenswert ist die Internet-Seite von upunkte Support und ResMaplesoft http://www.maplesoft.com. Die Men¨ sourcen oder die Suche nach Stichworten wie Tutorials und Manuals zeigen exemplarisch, wie man Zugang zu vielen n¨ utzlichen Informationen erhalten kann.


300

10 Anhang zu Maple

Die Hilfe-Funktion Das Arbeiten mit Maple wird durch die Hilfe-Funktion optimal unterst¨ utzt. Dazu klickt man etwa Help in der Men¨ uleiste an. Quick Reference im Untermen¨ u informiert u oglichkeit, die Benutzeroberfläche von Maple ¨ ber die M¨ im Document-Mode oder Worksheet-Mode zu betreiben. Wir legen großen Wert darauf, unterschiedliche Textbereiche wie z. B. Maple-Eingabe, MapleAusgabe sowie erläuternden Text klar zu strukturieren und voneinander abzuheben. Deshalb bevorzugen wir in unserem Buch den befehlsorientierten ¨ Worksheet-Mode. Will man sich erst einmal einen groben Uberblick verschaffen u upunkt ¨ber das, was Maple alles bietet, empfiehlt sich der Men¨ Take a Tour of Maple . Man hat dann die Wahl zwischen Ten Minute Tour ¨ und Maple Portal . Die Ten Minute Tour vermittelt einen kurzen Uberblick und grundlegende Informationen f¨ ur das Arbeiten mit Maple. Umfangreichere Informationen u ¨ ber Maple-Konzepte liefert das Maple Portal. Informationen f¨ ur spezielle Nutzergruppen findet man in den Unterportalen Engineers, Students und Math Educators. Erste (interaktive) Schritte mit Maple kann man z. B. auch mit Hilfe eines der oben genannten B¨ ucher machen. Wir weisen zudem noch auf die im Literaturverzeichnis aufgef¨ uhrten weiteren B¨ ucher zu Maple hin. Kurzinformationen u ¨ ber die Syntax von Maple-Befehlen erhält man (etwa f¨ ur plot) leicht auf folgende Weise: > ?plot

F¨ ur das praktische Arbeiten ist es oft sehr hilfreich, die Beispiele der HilfeSeite ins Worksheet zu kopieren und sie auszuf¨ uhren bzw. auf die eigenen Bed¨ urfnisse anzupassen. Eine weitere Hilfemöglichkeit bietet der Helpoffnet sich ein Men¨ u mit zahlreichen Browser. Klickt man auf Help , so ¨ wichtigen Men¨ upunkten, von denen z. B. Maple Help auf Topic Search und Text Search f¨ uhrt. Bei der Eingabe von topic wirkt Topic Search wie ?topic . Mit Hilfe von Text Search kann man nach Stichwörtern in den Hilfe-Seiten suchen. Elementare Rechnungen Dieser Abschnitt will und kann keine Maple-Einf¨ uhrung ersetzen. Wir empfehlen deshalb, zus¨ atzlich Maple-Help aufzurufen. Dadurch wird ein Fenster ge¨ offnet, auf dessen linker Seite eine Liste von Verzeichnissen zu sehen ist. Anklicken von Getting Started sowie des Unterverzeichnisses Tutorials f¨ uhrt auf Tutorien, die je nach Bedarf n¨ aher angeschaut werden sollten. Annahmen ¨ uber Variable > restart: sqrt(a^2); # Quadratwurzel

10.1

Ein erster Einstieg in Maple

301 √ a2

Ohne weitere Annahmen u ¨ ber a kann Maple offensichtlich diesen Ausdruck nicht vereinfachen. > assume(a,real): simplify(sqrt(a^2));

|a˜| Mit dem Befehl assume machen wir Annahmen u ¨ ber a. Normalerweise h¨ angt Maple dann eine Tilde an den Variablennamen an. Mit additionally kann man weitere Annahmen hinzuf¨ ugen und mit about kann man erfahren, welche Annahmen u ¨ber eine Unbekannte gemacht worden sind. > assume(a>0): about(a); sqrt(a^2); Originally a, renamed a~: is assumed to be: RealRange(Open(0),infinity)

a˜ > assume(a,real): sqrt(a^2); simplify(%,symbolic);

a˜2 ,

a˜

Vorsicht: Die Option symbolic bewirkt offenbar Vereinfachungen, bei denen a als nicht-negativ betrachtet wird. Eigentlich m¨ usste sich |a˜| ergeben. Alternativ ist der nachgestellte Befehl assuming empfehlenswert, wenn assume nur lokal wirken soll: > restart: simplify(sqrt(a^2)) assuming a::real;

|a| Einige wichtige reelle Zahlen Maple kennt sowohl Pi als auch pi : π,

> Pi; pi;

π

Es kennt aber nur f¨ ur Pi einen Zahlenwert: > evalf(Pi,9); evalf(pi,9); # evaluate using floating point arithmetic

3.14159265 ,

π

Die Eulersche Zahl e: > evalf(exp(1),40); evalf(e,40);

2.718281828459045235360287471352662497757 ,

e

Nach der folgenden Anweisung kennt Maple auch die u ¨bliche Schreibweise: > alias(e=exp(1)): evalf(e,40);

2.718281828459045235360287471352662497757

302

10 Anhang zu Maple

eval, evalb, evalc eval und subs liefern (fast) immer dasselbe Resultat: > restart: eval(z^2+1,z=2), subs(z=2,z^2+1);

5, 5 > eval(sin(z)/cos(z),z=0), subs(z=0,sin(z)/cos(z));

0,

sin(0) cos(0)

Vollst¨ andige Auswertung: > restart: a := b: b := c: c := d: eval(a);

d Auswertungen unterschiedlicher Tiefe: > eval(a,1), eval(a,2), eval(a,3), eval(a,4);

b, c, d, d Auswertung logischer Ausdr¨ ucke: > expr := x*(x-1) = x^2-x; expand(expr);

expr := x (x − 1) = x2 − x ,

x2 − x = x2 − x

Der Variablen expr wird also der logische Ausdruck x*(x-1)=x^2-x als Wert zugewiesen. > evalb(expr), evalb(expand(expr));

false , true evalb liefert offensichtlich unterschiedliche Ergebnisse, da es Ausdr¨ ucke nicht vereinfachen kann. Vergleichen wir dies mit is : true

> is(expr);

Und noch ein Vergleich von evalb und is: > evalb(Pi>3), evalb(evalf(Pi)>3), is(Pi>3);

3 < π , true , true Wir wenden deshalb bevorzugt den Maple-Befehl is an. Auswertung von Ausdr¨ ucken mit komplexen Zahlen: > abs(x+I*y), evalc(abs(x+I*y)); subs(z=x+I*y,exp(z)): % = evalc(%);

|x + I y| ,

x2 + y 2 ,

ex+I y = ex cos(y) + I ex sin(y)

evalc interpretiert offensichtlich ungebundene Variable als reelle Größen.

10.1


303

Anf¨ uhrungszeichen Maple kennt drei verschiedene Arten von Anf¨ uhrungszeichen: linksgerichtete (bei Windows auch gerade“ genannt) oder Apostroph,∗ rechtsgerichte” te (Gravis, accent grave)∗∗ und Doppelanf¨ uhrungszeichen. uhrungszeichen Linksgerichtete Anf¨ > restart: x := 2: y := ’x’; y;

y := x ,

2

Linksgerichtete Anf¨ uhrungszeichen — eigentlich , im Ausdruck meist ’ — bewirken eine verzögerte Auswertung: Durch die Wertzuweisung y := x erh¨ alt y zun¨ achst den Namen von x zugewiesen, erst im nächsten Schritt den tats¨ achlichen Wert von x. Man kann dies dazu nutzen, die Variable x wieder zu einer ungebundenen Variablen zu machen, aber auch um die Lesbarkeit von Ausgaben zu erh¨ ohen: > x := ’x’; x;

x := x ,

x

> ’sin’(0)=sin(0);

sin(0) = 0

Verz¨ ogerte Auswertung einer Variablen ist z. B. dann notwendig, wenn sie als Ausgabeparameter in einer Prozedur verwendet wird. Beim Programmaufruf muss der Name des Parameters (und nicht, wie sonst u ¨ blich, sein aktueller Wert) u ¨bergeben werden (call by name an Stelle von call by value): > a := 25: b := 7: r := 1: q := iquo(a,b,’r’); r; b*q+r;

q := 3 ,

4,

25

Die Variable r liefert den Rest bei ganzzahliger Division. Da ihr vor Aufruf von iquo bereits ein Wert zugewiesen wurde, muss man r schreiben und erh¨ alt den Ausgabewert r = 4 . Rechtsgerichtete Anf¨ uhrungszeichen — eigentlich ` , im Ausdruck meist ‘ — dienen zur Kennzeichnung von Symbolen, also von Bezeichnern f¨ ur Variable. Ihre Verwendung ist dann notwendig, wenn ein Variablenname unzul¨ assige Zeichen enth¨ alt, z. B. die Variable r (vgl. Seite 262). > restart: ‘r’‘, type(‘r’‘,symbol); ‘r’‘ := "r’"; type(%,string); r := ’‘r’‘’; r; ∗ ∗∗

Den Apostroph findet man auf einer deutschen Tastatur auf derselben Taste wie #. Auf manchen Tastaturen liefert der Akut (accent aigu) das gleiche Ergebnis. Auf einer deutschen Tastatur erh¨ alt man dieses Zeichen, indem man mit der Umschalttaste (Shift) die Taste accent grave“ rechts neben dem ß“ dr¨ uckt. ” ”

304

10 Anhang zu Maple r , true ,

r := “r ” ,

true ,

r := r ,

“r ”

Wir haben hier zugleich die Doppelanf¨ uhrungszeichen ins Spiel gebracht, mit denen Strings gekennzeichnet werden. Man ahnt, dass man durch virtuosen ¨ Einsatz von Anf¨ uhrungszeichen jeden Uberblick verhindern kann. Abk¨ urzungen mit macro und alias urzung von Funktions- und Der macro -Befehl dient bei der Eingabe zur Abk¨ Kommandonamen sowie zur Definition von Konstanten. Mit Hilfe von alias kann man Ausdr¨ ucke bei der Ein- und Ausgabe vereinfachen. > restart: macro(J=BesselJ): Diff(J(0,x),x): % = value(%);

d BesselJ(0, x) = −BesselJ(1, x) dx > restart: alias(J=BesselJ): Diff(J(0,x),x): % = value(%);

d J(0, x) = −J(1, x) dx > restart: macro(s=1.2345): s;

1.2345 >

s := 3;

Error, invalid left hand side of assignment

Durch den macro-Befehl ist s eine gesch¨ utzte Variable geworden. Machen wir √ nun ganz naiv‘ den Versuch, s mit dem Wert 2 zu definieren: ’ > restart: macro(s=sqrt(2)): s, s^2;

√ 2, 2 > s := 3; s;

√ 2 := 3 ,

3

Wir erhalten ein erstaunliches‘ Resultat! So ist es offenbar richtig: ’ > restart: macro(s=eval(sqrt(2))): s, s^2;

√ 2, 2 > s := 3; Error, invalid left hand side in assignment

10.1


305

Schleifen, bedingte Anweisungen, Prozeduren Zu Beginn eine Schleife mit Inkrement 2, welche alle ungeraden Zahlen kleiner 20 aufaddiert: > restart: s := 0: for k from 1 to 20 by 2 do s := s+k end do: s;

100 Die Verwendung von bedingten Anweisungen demonstrieren wir im Zusammenhang mit der Definition der Prozedur Fib, welche die durch f0 = 0, f1 = 1, fn = fn−1 + fn−2 rekursiv definierte Folge von Fibonacci-Zahlen liefert:

5

> Fib := proc(n) if n=0 then 0 elif n=1 then 1 else Fib(n-1)+Fib(n-2) end if end proc: seq(Fib(n),n=0..10);

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 Auf Feinheiten, z. B. sich durch die Verwendung von option remember alte Zwischenergebnisse in einer Erinnerungstabelle zu merken und dadurch Rechenzeit zu sparen, haben wir hier bewusst verzichtet.

Das Arbeiten mit den Worksheets zu diesem Buch Beim ersten Durcharbeiten kann man die Worksheets einfach fast wie einen ’ Film‘ ablaufen lassen. Gr¨ oßeren Gewinn hat man nat¨ urlich durch aktives Mittun. Im Normalfall empfiehlt es sich, die Worksheets Schritt f¨ ur Schritt auszuf¨ uhren und — eventuell mit Unterst¨ utzung der Hilfe-Funktion — nachzuvollziehen. Schwierigkeiten bereiten eventuell Prozeduren. Hier ist es häufig zweckm¨ aßig, gezielt Print-Anweisungen einzubauen, um anhand der Zwischenresultate zu verfolgen, was im einzelnen darin abläuft. Bei dem bisweilen sehr umfangreichen Maple-Code zur Erstellung von Graphiken raten wir da¨ zu, durch Auskommentieren, Andern der Strichstärken und Farben Teile zu lokalisieren.

306

10 Anhang zu Maple

Stolperfallen und wie man sie meidet • restart nicht vergessen; denn Variablen, die irgendwann vorher mit Werten belegt worden sind, k¨ onnen zu falschen Ergebnissen f¨ uhren. • z. B. den Multiplikationsoperator * vergessen • Vergleichsoperator = und Wertzuweisungszeichen := verwechseln • zu viele, zu wenige oder falsche Klammern • falsche Anf¨ uhrungszeichen (z. B. ` ` und

verwechseln)

• bei Bereichen: eventuell ... statt .. • pi und Pi verwechseln • i nicht als Laufvariable benutzen, falls i als imaginäre Einheit vereinbart ist (siehe Abschnitt 10.2). • Eventuelle Probleme durch Verwendung der dito-Operatoren % , %% bzw. %%% , wenn die Anweisungen eines Worksheets nicht der Reihe nach ausgef¨ uhrt werden. Diese Probleme lassen sich vermeiden, wenn man derartige R¨ uckverweise nur innerhalb einer Anweisungsgruppe verwendet und andernfalls Wertzuweisungen an Hilfsvariable vornimmt, auf die man sich dann bezieht.

10.2 Der Befehl interface Mit dem Befehl interface kann man eine Reihe von Voreinstellungen, welche die Kommunikation zwischen Maple und der Benutzeroberfläche regeln, den eigenen Bed¨ urfnissen anpassen. Durch restart werden alle vorgenomme¨ nen Anderungen zur¨ uckgesetzt. Von den zahlreichen Optionen dieses Befehls interessieren uns hier nur die folgenden drei: Standardm¨ aßig ist I bei Maple die imagin¨ are Einheit. Wie folgt kann man diese mittels der Option imaginaryunit etwa zu J abändern: > restart: I^2; interface(imaginaryunit=J): I^2; J^2;

−1 ,

I2 ,

−1

Variablen, u ¨ber die mittels assume eine Annahme gemacht worden ist, werden in der Regel durch Anh¨ angen einer Tilde gekennzeichnet: > assume(x>0): x+1;

10.3

Die Initialisierungsdatei

307 x˜ + 1

Dies kann man auf folgende Weise unterbinden: > interface(showassumed=0): assume(x>0): x+1;

x+1

Will man den Maple-Code einer Bibliotheksroutine, etwa von nextprime, ansehen, ergibt der erste Versuch: > print(‘nextprime‘);

proc(n) ... end proc

Der eigentlich interessierende Rumpf der Prozedur wird also nicht angezeigt. Dies erreicht man wie folgt: > interface(verboseproc=2): print(‘nextprime‘);

proc(n) option ‘Copyright (c) 1990 by the University of Waterloo. All rights reserved.‘ ; local i, t1 ; if type(n, integer ) then if n < 2 then 2 else if irem(n, 2) = 0 then t1 := n + 1 else t1 := n + 2 end if ; for i from t1 by 2 while not isprime(i) do end do ; i end if elif type(n, numeric) then error “argument must be integer” else ’nextprime(n)’ end if end proc

10.3 Die Initialisierungsdatei H¨ aufig benutzte Maple-Befehle und Voreinstellungen kann man in die Initialisierungsdatei von Maple auslagern. Unter Windows heißt diese maple.ini und ist etwa in einem Verzeichnis mit Namen C:\Programme\Maple 15\Users gespeichert; unter Unix/Linux befindet sie sich im Home-Verzeichnis und wird mit .mapleinit (mit einem Punkt am Anfang) bezeichnet. Beim Start von Maple (und nach jedem Restart) werden die Anweisungen dieser ASCIITextdatei ausgef¨ uhrt. Bei der Erstellung dieses Buches wollten wir die von uns in Kapitel 1 des ¨ ofteren vorgenommene Um- und Neudefinition der imagin¨ aren Einheit mittels

308

10 Anhang zu Maple

interface(imaginaryunit=i): macro(I=i):

nach jedem Restart automatisch ausf¨ uhren lassen. Ferner wollten wir mittels interface(showassumed=0):

die Maple-Eigenheit unterdr¨ ucken, Variablen, u ¨ ber die mittels assume Annahmen gemacht werden, eine Tilde anzuh¨ angen und dadurch den MapleOutput manchmal schwerer lesbar zu machen. Das Zip-Archiv der Maple-Worksheets, das u ¨ ber die Springer-Seite dieses Buches (siehe Abschnitt 10.5) heruntergeladen werden kann, enthält die von uns (ab Kapitel 2) verwendete Version von .mapleinit :

5

interface(imaginaryunit=i): macro(I=i): # Um- und Neudefinition von I interface(showassumed=0): # Unterdrueckt Tilde nach assume plots[setoptions](axesfont=[TIMES,ITALIC,12], labelfont=[TIMES,ITALIC,14],font=[TIMES,ITALIC,14]): plots[setoptions3d](axesfont=[TIMES,ITALIC,12], labelfont=[TIMES,ITALIC,14],font=[TIMES,ITALIC,14]): macro(red=COLOR(RGB,184/256, 20/256, 11/256)):

10.4 Der Befehl transform Ein Blick hinter die Kulissen Der transform -Befehl aus dem Plottools-Paket hat sich f¨ ur unser Buch als vielseitig einsetzbarer Maple-Befehl erwiesen, dessen Leistungsfähigkeit in der Maple-Literatur meist nicht gen¨ ugend erkannt wird. Seine Wirkungsweise wollen wir an einem einfachen Beispiel erl¨ autern. Die Funktion f (s. u.) wird durch F := transform(f ) zu einer Graphiktransformation, die hier 2D- in 3D-Graphikstrukturen wandelt. Wir wollen uns genauer anschauen, wie dies geschieht:

5

10

> restart: with(plots): with(plottools): Digits := 4: f := (x,y) -> [2*x,2*y,x^2+y^2-1]/(1+x^2+y^2): # stereographische Projektion F := transform(f): # Graphiktransformation zu f Punkt := disk([1,2],0.2,color=black,numpoints=20,style=patchnogrid): # Punkt z=1+2i Kugel := plot3d(1,theta=0..2*Pi,phi=0..Pi,coords=spherical, shading=zgrayscale): display(Punkt,axes=framed,scaling=constrained,view=[0..2,1..3], tickmarks=[2,2],title="Graphikstruktur Punkt"); display(F(Punkt),Kugel,axes=framed,scaling=constrained,orientation =[60,60],tickmarks=[3,3,3],title="Graphikstruktur F(Punkt)");

10.4

Der Befehl transform

309

Graphikstruktur Punkt

Graphikstruktur F (Punkt) 1

0

–1 –1 –1

0 0 1 1

Dazu f¨ uhren wir schrittweise eine Reihe von Maple-Anweisungen durch, deren meist umfangreiche Ausgaben hier im Buch unterdr¨ uckt werden. Als erstes schauen wir uns die Graphikstruktur Punkt genauer an und erhalten durch > Punkt; POLYGONS([[1.2, 2.], [1.190, 2.062], [1.162, 2.118], [1.118, 2.162], [1.062, 2.190], [1.000, 2.200], [0.9382, 2.190], [0.8823, 2.162], [0.8381, 2.117], [0.8098, 2.062], [0.8000, 2.000], [0.8098, 1.938], [0.8382, 1.882], [0.8824, 1.838], [0.9383, 1.810], [1.000, 1.800], [1.062, 1.810], [1.117, 1.838], [1.162, 1.882], [1.190, 1.938], [1.200, 2.000]], COLOUR(RGB, 0., 0., 0.), STYLE(PATCHNOGRID))

Maple’s interne Darstellung. Es handelt sich offensichtlich um eine Folge von drei Operanden. Mit dem Befehl op(1,Punkt) greifen wir auf den ersten Operanden zu: > op(1,Punkt):

Dies ist eine Liste von 2D-Punkten, die mittels der stereographischen Projektion in 3D-Punkte transformiert werden sollen. Unter Zuhilfenahme von map geht dies sehr einfach. Versucht man es im ersten Anlauf mit > Punkt_3D := map(f,op(1,Punkt)); Error, invalid input: f uses a 2nd argument, y, which is missing

so erh¨ alt man eine Fehlermeldung, denn hier wird f auf Punkte der Form [x, y] angewendet. Durch f ([x, y]) wird f n¨ amlich fälschlich nur auf ein Argument angewendet; korrekt w¨ are vielmehr der Aufruf f (x, y). Das Problem lässt sich mit folgendem Maple-Befehl l¨ osen: > op([x,y]);

x, y

Offensichtlich ist also f (x, y) = f (op([x, y])). Den Ausdruck auf der rechten Seite kann man mit dem Verkn¨ upfungsoperator @ auch in der Form (f @op)([x, y]) schreiben. Im zweiten Anlauf sind wir erfolgreicher:

310

10 Anhang zu Maple

> Punkt_3D := map(f@op,op(1,Punkt)):

Wir substituieren in Punkt den ersten Operanden durch die Liste Punkt 3D und erhalten so eine 3D-Graphikstruktur: > f_Punkt := subs(op(1,Punkt)=Punkt_3D,Punkt):

Mittels > display(f_Punkt,Kugel,axes=framed,scaling=constrained, orientation=[60,60],tickmarks=[3,3,3]):

u ¨ berzeugen wir uns schließlich, dass f Punkt dieselbe Graphik liefert wie F (Punkt). Durch unsere Konstruktion von f Punkt haben wir also die Wirkungsweise der Graphiktransformation F nachvollzogen. Einbettung einer 2D- in eine 3D-Graphik Will man eine 2D- und eine 3D-Graphikstruktur als Array in einer Zeile nebeneinander ausgeben, so muss man zun¨ achst daf¨ ur sorgen, dass beide Graphikstrukturen hinsichtlich der Dimension vom gleichen Typ sind. Dies kann man z. B. mittels transform durch Einbettung in eine Ebene des dreidimensionalen Raumes erreichen:

5

10

> restart: with(plots): with(plottools): f := transform((x,y) -> [2*x,2*y,x^2+y^2-1]/(1+x^2+y^2)): g := transform((x,y) -> [x,y,0]): # Einbettung in ¨ Aquatorebene h := z -> z^3: r := -1.5-1.8*I..1.5+1.8*I: p := conformal(h,r,grid=[30,30],numxy=[150,150],color=[black,red]): Kugel := plot3d(0.99,theta=0..2*Pi,phi=0..Pi,coords=spherical, shading=zgrayscale,style=patchnogrid,scaling=constrained): display(Array([display(g(p),orientation=[90,0]), display(Kugel,f(p))]));

10.5

Eigene Pakete‘ als Textdateien definieren ’

311

Dieses Bild diente als Vorlage f¨ ur die Graphik auf der Titelseite dieses Buches. Die Berechnung dieser Graphik kann sehr lange dauern.

10.5 Eigene Pakete‘ als Textdateien definieren ’ Das mitgelieferte Paket verdi enth¨ alt ver schiedene Di enstleistungsprogramme, die im Buch h¨ aufig benutzt werden und daher recht hilfreich sind. Die Erstellung eigener Pakete erfordert Detailkenntnisse, womit wir den Leser dieses Buches — insbesondere den Gelegenheitsbenutzer von Maple — nicht belasten wollen. Deshalb werden unsere Pakete cauchy, hurwitz und verdi wegen ihres geringen Umfanges mittels save als Textdateien (mit Endung .txt) abgespeichert. Wir demonstrieren dieses Vorgehen am Beispiel von verdi und beginnen mit der Definition der Prozeduren c2p, p2c und pfeil dieses Paketes. p2c und c2p (p air to c omplex bzw. c omplex to p air) sind Maple-Realisierungen der linearen isometrischen Abbildungen ϕ bzw. ϕ−1 (vgl. Kapitel 3, Seite 74 f): > restart: c2p := proc(z) [evalc(Re(z)),evalc(Im(z))] end proc: p2c := proc(z) z[1]+I*z[2] end proc:

Der Durchlaufungssinn von Kurven l¨ asst sich mit Hilfe der Prozedur pfeil sehr leicht markieren und verdeutlichen:

5

10

> pfeil := proc(Arg,tau,delta,Farbe) local t,u,v,w1,w2,g,eps,h,Dg; eps := 10^(-Digits): if type(Arg,procedure) then g := Arg else g := unapply((1-t)*Arg[1]+t*Arg[2],t) end if: u := evalf(g(tau)): h := evalf(sqrt(eps)*max(1,abs(tau))): Dg:= evalf((g(tau+h)-g(tau))/h): v := evalf(g(tau+delta/abs(Dg))); w1:= evalf(u+I*0.3*(v-u)): w2 := evalf(u-I*0.3*(v-u)): plottools[polygon]([c2p(v),c2p(w1),c2p(w2)],color=Farbe, style=patchnogrid) end proc:

Das Argument Arg bedeutet entweder eine Prozedur ( Parameterdarstellung einer Kurve) oder ein Paar [a, b] komplexer Zahlen ( Strecke). Als Parameterdarstellung der Verbindungsstrecke verwenden wir g := t −→ a + t(b − a) (t ∈ [0, 1]). Die Prozedur pfeil erzeugt zu Kurvenpunkten u, v einen Pfeil,der nur aus seiner Spitze besteht und von u := g(τ ) nach v := g τ + |g δ(τ )| weist. Die Ableitung g (τ ) wird mittels numerischer Differentiation berechnet, um z. B. bei st¨ uckweise definierten Funktionen (mittels piecewise) Probleme zu vermeiden. Die folgende Skizze macht die geometrischen Verh¨ altnisse klar:

312

10 Anhang zu Maple

w2 B/2 u

L

v

w1 Offenbar gilt L = |v − u| und tan(α) = 2BL ; mithin ist B = 2 tan(α)|v − u|. Im Maple-Code von pfeil haben wir tan(α) = 0.3 gewählt. Man beachte, dass der Parameter δ in etwa die Pfeilgr¨ oße beschreibt; denn |v − u| ist approximativ gleich |g (τ )| |g δ(τ )| = δ . Das gesamte Paket kann folgendermaßen im ASCII-Format als Textdatei (eine Ebene oberhalb des aktuellen Verzeichnisses) gespeichert werden: > save c2p,p2c,pfeil, "../verdi.txt":

Auch nach einem Neu- bzw. Restart von Maple lassen sich die Prozeduren ufen dies an c2p : dieses Paketes mittels read wieder bereitstellen. Wir u ¨ berpr¨ > restart: read "../verdi.txt": c2p(2+3*I);

[2, 3] Beendet man obigen read-Befehl mit Semikolon statt Doppelpunkt, so erscheint zus¨ atzlich der Maple-Code der Prozeduren dieses Paketes. Die von uns gewählte Vorgehensweise ist auch f¨ ur unsere Pakete cauchy und hurwitz einfach zu handhaben, die Teil der Netzversion der Worksheets sind. Da unsere Pakete geringen Umfang haben, st¨ ort es nicht, dass sie innerhalb eines Worksheets erstellt werden.

Zur Handhabung und zum Herunterladen unserer Worksheets Alle in diesem Buch beschriebenen Maple-Worksheets und Dateien werden in Form eines Zip-Archivs zum Herunterladen bereitgestellt. Dem Leser soll so l¨ astige und fehleranf¨ allige Tipp-Arbeit abgenommen werden. Man gelangt an dieses Archiv u ¨ ber folgende Internet-Seite des Springer-Verlags

10.5

Eigene Pakete‘ als Textdateien definieren ’

313

http://www.springer.com/mathematics/analysis/book/978-3-642-29411-2

durch Anklicken der Schaltfl¨ ache Maple Codes . Nach dem Entpacken des Archivs wird die Verzeichnisstruktur entsprechend der von uns verwendeten Arbeitsumgebung wiederhergestellt: KAP1

KAP2

1_1.mw 1_2.mw 1_3.mw 1_4.mw 1_5.mw 1_6.mw 2_1.mw 2_2.mw 2_3.mw 2_4.mw

KAP3

3_1.mw 3_2.mw 3_3.mw 3_4.mw

KAP4

4_1.mw 4_2.mw 4_3.mw

KAP5

5_1.mw 5_2.mw 5_4.mw

KAP6

6_1.mw 6_2.mw

KAP7

7_1.mw 7_2.mw 7_3.mw 7_4.mw

KAP8

8_1.mw 8_2.mw 8_3.mw

KAP9

9_1.mw 9_2.mw 9_3.mw

KAP10

maple_anh.mw verdi.mw cauchy.mw hurwitz.mw mapleinit

verdi.txt cauchy.txt hurwitz.txt

Wir hoffen, so dem Leser den Einstieg in die Nutzung der Worksheets zu erleichtern. Dem erfahrenen Maple-Anwender bleibt es unbenommen, die Arbeitsumgebung seinen Pr¨ aferenzen anzupassen.

Symbolverzeichnis Komplexe Zahlen

M˙ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .41

C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4, 5, 6

M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .42

C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13, 235

∂M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

CZ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

Funktionen

E (Einheitskreis) . . . . . . . . . . . . . . .243

(f, G) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

S (Einheitssphäre) . . . . . . . . . . . . . . 12

f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

GE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

D2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

OH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240

arccos, arcsin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

UH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241

arcosh, arsinh . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

i, I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2, 4, 15

arctan . . . . . . . . . . . . . . . . 26, 100, 267

∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

artanh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

z ................................7

arg, Arg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

|z| . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

cos, sin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

Re . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

cosh, sinh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

Im . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

exp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8, 81

Topologische Begriffe

log, Log . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

Uaε . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

tan, tanh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

Ka (r, R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

B (Betafunktion) . . . . . . . . . . . . . . .284

Ua , U0a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

HW ab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

O . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

Δ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248

◦

M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .41

Γ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281, 287

! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .41 M

√ n a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11

W. Forst, D. Hoffmann, Funktionentheorie erkunden mit Maple, Springer-Lehrbuch, DOI 10.1007/978-3-642-29412-9, © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2012

316

Symbolverzeichnis

Kurven, Kurvenintegrale

.∞

P

−∞

f (x) dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

C, -C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

Möbius-Transformation

(C) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

M (Möbius-Transformation) . . . 236

a(C) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .102

C2×2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235

e(C) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

M2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235

λ(C) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

I, I2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236

[v1 , . . . , vn ] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

ω . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236

nC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

DV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238

0C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

Sonstiges

(−n)C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

R[x] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

K, -K . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

C (Euler-Konstante) . . . . . . . . . . 284

(K) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

∞

u(C, z) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

n=−∞ ∞

u(K, z) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 K

G

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .105

G

K (a, b) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 KG cl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .105 Z (Zerlegung) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 S(Z) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 σ(Z) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 . f (z) dz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 C . f (z) dz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

K

cn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .182 an (z − a)n . . . . . . . . . . . . . . 182

n=−∞

Res (f ; a) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 vf (a) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 p∗n (z) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .42 ∼ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 Œ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XV √

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .XV

.S. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .XV r.S. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .XV

Namen- und Sachverzeichnis

A Abbildung, konforme . . . . . 76, 89, 235 abgeschlossene Hülle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 Menge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 Ableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 an einer Stelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 erste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 Ableitungen Abschätzung für die . . . . . . . . . . . . 136 Integralformel für die . . . . . . . . . . . 136 Abschätzung für Ableitungen (Cauchy) . . . . . 136 absolut konvergente Laurent-Reihe . . . . . . . . . . . . . . . . 183 Äquipotentiallinien . . . . . . . . . . . . . . . 249 Anfangspunkt einer Kurve . . . . . . . 102 Argument einer komplexen Zahl . . . . . . . . . . . . . 9 Hauptwert des -s . . . . . . . . . . . . . . . 9 Argumentprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

B Berührungspunkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 Betafunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284 Betrag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 bi-konform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250 Bogenlänge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 Bohr-Mollerup, Satz von . . . . . . 282 Bolzano-Weierstrass, Satz von 40

C Cardano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Casorati-Weierstrass, Satz von 188 Cauchy-RiemannDifferentialgleichungen . . . . . . . . . . 75

Cauchysche Integralformel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 Koeffizientenabschätzung . . . . . . . 137 Cauchyscher Integralsatz 1. Fassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 2. Fassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 3. Fassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 Color-Funktion . . . . . . . . . . . . . . 161, 162 Cosinus hyperbolicus . . . . . . . . . . . . . . 81 Cotangens Partialbruchdarstellung . . . . . . . . 290 CR-DGLn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

D Definitheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Differentialgleichungen Cauchy-Riemann- . . . . . . . . . . . . . 75 Differentiation unterm Integral . . . . . . . . . . . 136, 141 von Umkehrfunktionen . . . . . . 76, 87 Differenzenquotient . . . . . . . . . . . . . . . . 71 differenzierbar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 gliedweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 in einem Punkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 in einer Menge . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 komplex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 reell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 stückweise stetig . . . . . . . . . . . . . . . 102 Dirichlet-Problem . . . . . . . . . 252, 254 diskrete Menge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 Doppelverhältnis . . . . . . . . . . . . . . . . . 238 Drehstreckung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237 Dreiecksungleichung . . . . . . . . . . . . . . . . 7

E Ebene, geschlitzte . . . . . . . . . . . . 78, 247 Ein-Punkt-Kompaktifizierung . . . . . 13 einfacher Zyklus . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

318 einfach-zusammenhängend . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170, 248, 255 Einheitskreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243 Einheitskugel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12 Einselement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Elementarabbildungen . . . . . . . . . . . 236 endliche Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . 135 Endpunkt einer Kurve . . . . . . . . . . . 102 ε-Umgebung eines Punktes . . . . . . . . 39 Ergänzungssatz von Euler . . . . . . 285 erste Ableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 1. Eulersches Integral . . . . . . . . . . . 284 Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Ergänzungssatz von . . . . . . . . . . . . 285 -Formel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 -Konstante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284 Eulersches Integral 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281 Exponentialfunktion . . . . . . . . . . . . 8, 77

F Feinheitsmaß einer Zerlegung . . . . . 103 Fixpunkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13, 238 Folge Grenzwert einer . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 Konvergenz einer . . . . . . . . . . . . . . . . 39 Limes einer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .40 Folgenkompaktheit . . . . . . . . . . . . . . . . 43 Formel Euler- . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 6-Punkte- . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239 von de Moivre . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 Fundamentalsatz der Algebra . . . . . . . . . . . . . 106, 137, 138, 200 Funktion Γ - . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281 ganz lineare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237 ganze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 harmonische . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248 Funktionen, trigonometrische . . . . . . . 9 Funktionalgleichung

Namen- und Sachverzeichnis der Γ -Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . .281

G Γ -Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281 Gammafunktion . . . . . . . . . . . . . 281, 287 Funktionalgleichung . . . . . . . . . . . . 281 Gaußsche Produktformel . . . . . . 284 Produktdarstellung . . . . . . . . . . . . . 284 ganz lineare Funktion . . . . . . . . . . . . 237 ganze Möbius-Transformation . . . 241 ganze Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . .137 Gauß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Gaußsche Produktformel der Gammafunktion . . . . . . . . . . . . 284 Gebiet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 einfach-zusammenhängendes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170, 248, 255 konvexes . . . . . . . . . 57, 106, 138, 170 sternförmiges . . . . . . . . . . . . . . 58, 170 Gebietstreue, Satz über . . . . . . . . . . 139 Geradengleichung . . . . . . . . . . . . . . . . 237 geschlitzte Ebene . . . . . . . . . . . . . 78, 247 geschlossene Kurve . . . . . . . . . . 102, 105 Glanzfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 gleichmäßige Stetigkeit . . . . . . . . . . . . 44 gleichmäßig konvergente Laurent-Reihe . . . . . . . . . . . . . . . . 183 Gleichung Kreisteilungs- . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 kubische . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 gliedweise differenzierbar . . . . . . . . . . 73 Goldener Schnitt . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 Graphikobjekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .21 Graphikstruktur . . 21, 32–37, 308–310 Grenzwert einer Folge . . . . . . . . . . . . . 40

H Häufungspunkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 Halbebene obere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240 untere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241

Namen- und Sachverzeichnis Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 harmonische Funktion . . . . . . . . . . . . 248 konjugierte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248 Mittelwerteigenschaft von . . . . . . 251 Hauptsatz 1. Fassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 2. Fassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 3. Fassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 Hauptteil einer Laurent-Reihe . . . . . . . . . . 182 in einem Punkt . . . . . . . . . . . . . . . . 186 Hauptwert des Argumentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 des Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 des Logarithmus . . . . . . . . . . . . . . . . .78 von ab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .80 hebbare Singularität . . . . . . . . . . . . . 186 Hebbarkeitssatz von Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 Heine-Borel-Eigenschaft . . . . . . . . . 42 holomorph . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 fortsetzbar . . . . . . . . . . . . . . . . 134, 182 in einer Menge . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 Holomorphiekriterien . . . . . . . . 133–135 homolog . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 Hülle, abgeschlossene . . . . . . . . . . . . . . 42 Hyperbelfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . 81

I Identitätssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 imaginär . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Imaginärteil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 innerer Punkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 Inneres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 Integral Eulersches, 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . 284 Eulersches, 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . 281 Integralformel für die Ableitungen . . . . . . . . . . . . 136 von Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 von Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252

319 Integraltransformation . . . . . . . . . . . 198 Inversion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237 isolierte Singularität . . . . . . . . . . . . . . 185

J Joukowski -Abbildung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245 -Profil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247 -Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . 245

K k-facher Pol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 Kern, Poisson- . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253 Kettenregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 Koeffizientenabschätzung von Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 Körper der komplexen Zahlen . . . . . . 4 kompakte Menge . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 Kompaktifizierung, Ein-Punkt- . . . . 13 komplex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 komplex differenzierbar . . . . . . . . . . . . 75 komplexe Zahl Argument . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 Betrag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Imaginärteil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 konjugiert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Realteil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 rein imaginär . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 komplexe Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 symmetrische bezüglich eines Kreises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241 komplexes Potential . . . . . . . . . . . . . . 249 konform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 bi- . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250 lokal- . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 konforme Abbildung . . . . . . . . . . 76, 235 konjugierte harmonische Funktion 248 Konstante, Euler- . . . . . . . . . . . . . . . 284 Konvergenz einer Folge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 einer Laurent-Reihe . . . . . . . . . . 182

320 lokal gleichmäßige . . . . . . . . . . . . . . 138 Konvergenzradius . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 konvex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57, 170 logarithmisch . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282 konzentrischer Kreisring . . . . . 243, 255 ‚Kreise‘ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238 Kreisring (-Gebiet) . . . . . . . . . . . . . . . 182 Kreisteilungsgleichung . . . . . . . . . . . . . 11 Kreistreue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .237 kubische Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Kurve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 Anfangspunkt einer . . . . . . . . . . . . 102 Endpunkt einer . . . . . . . . . . . . . . . . 102 geschlossene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 nullhomologe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 nullhomotope . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 stückw. st. differenzierbare . . . . . 102 zusammengesetzte . . . . . . . . . . . . . . 102 Kurvenintegral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 wegabhängiges . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 wegunabhängiges . . . . . . . . . . . . . . . 106 Kutta-Joukowski-Profil . . . . . . . . 247

L Laplace-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . 248 Laurent-Entwicklung direkt um einen Punkt . . . . . . . . . 186 Laurent-Reihe . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 absolut konvergente . . . . . . . . . . . . 183 gleichmäßig konvergente . . . . . . . . 183 Hauptteil einer . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 konvergente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 Nebenteil einer . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 Limes einer Folge . . . . . . . . . . . . . . . . . .40 linear gebrochene Transformation 235 Liouville, Satz von . . . . . . . . . . . . . 137 logarithmisch konvex . . . . . . . . . . . . . 282 Logarithmisches Residuum Satz vom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 Logarithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 Hauptwert des . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 lokal

Namen- und Sachverzeichnis konform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 gleichmäßige Konvergenz . . . . . . . 138

M Majoranten-Kriterium . . . . . . . . . . . . . 47 von Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . .49 Maximum, Prinzip vom . . . . . . . . . . 140 Menge abgeschlossene . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 diskrete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 kompakte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 offene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 wegzusammenhängende . . . . . . . . . .43 Minimum, Prinzip vom . . . . . . . . . . . 140 Mittelwerteigenschaft harmonischer Funktionen . . . . . . . 251 Möbius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235 Möbius-Transformation . . . . . . . . . . 235 ganze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241 Moivre, Formel von . . . . . . . . . . . . . . . 9 Morera, Satz von . . . . . . . . . . . . . . . 133

N n-fache Nullstelle . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 n-te Einheitswurzel . . . . . . . . . . . . . . . 11 n-te Wurzel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Nebenteil einer Laurent-Reihe . . 182 ν-te Projektion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 Nullelement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 nullhomologe Kurve . . . . . . . . . . . . . . 166 nullhomologer Zyklus . . . . . . . . 167, 168 nullhomotope Kurve . . . . . . . . . . . . . 166 Nullstelle der Ordnung ∞ . . . . . . . . . . . . . . . . 135 der Ordnung n . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 Ordnung einer . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 Vielfachheit einer . . . . . . . . . . 135, 198


321

O

Q

obere Halbebene . . . . . . . . . . . . . . . . . 240 offene Menge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 Ordnung einer Nullstelle . . . . . . . . . . . . 135, 198 endliche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 orthogonales Netz . . . . . . . . . . . . . . . . 249

Quotientenkriterium . . . . . . . . . . . . . . . 48 Quotientenregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

P Parakonjugierte . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 Partialbruchdarstellung des Cotangens . . . . . . . . . . . . . . . . . .290 Pochhammer-Weg 116, 117, 166, 179 Poisson -Kern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253 sche Integralformel . . . . . . . . . . . . . 252 Pol der Ordnung k . . . . . . . . . . . . . . . 187 Polygonzug . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 Polynom, stabiles . . . . . . . . . . . . . . . . 201 Positivität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Potential komplexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249 reelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249 Potentialfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . 248 Potentialgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . 248 Potenzreihe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 Prinzip vom Argument . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 Maximum . . . . . . . . . . . . . . . . . 140, 252 Minimum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 Produktdarstellung der Gammafunktion . . . . . . . . . . . . 284 des Sinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288 Produktregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 Projektion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 stereographische . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 punktierte (r-) Umgebung eines Punktes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

R Rand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 Randpunkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 Realteil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 reell differenzierbar . . . . . . . . . . . . . . . . 75 reelles Potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249 Reihe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 Laurent- . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 Potenz- . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 rektifizierbar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 Residuenkalkül . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 Residuensatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 Residuum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 sche Zahlenkugel . . . . . . . . . . . . . . . . 12 scher Hebbarkeitssatz . . . . . . . . . . 134 Rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237 Rouché . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 Routh-Kriterium . . . . . . . . . . . . . . . . 200

S Satz Ergänzungs- von Euler . . . . . . . . 285 über Gebietstreue . . . . . . . . . . . . . . 139 vom logarithmischen Residuum . 197 von Bohr-Mollerup . . . . . . . . . . 282 von Bolzano-Weierstrass . . . . 40 von Casorati-Weierstrass . . .188 von Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 von Morera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 von Rouché . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 von Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . .45 von Weierstraß II . . . . . . . . . . . 138 6-Punkte-Formel . . . . . . . . . . . . . . . . . 239 Singularität hebbare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

322 isolierte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 wesentliche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 Sinus hyperbolicus . . . . . . . . . . . . . . . . 81 Sinus, Produktdarstellung des . . . . 288 stabiles Polynom . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 stereographische Projektion . . . . . . . 13 sternförmig . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58, 170 Stetigkeit der Grundoperationen . . . . . . . . . . . . 8 gleichmäßige . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 globale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 in einem Punkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 Stirling-Formel . . . . . . . . . . . . . . . . . 290 Streckenzug . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 Streckung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237 Stromfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249 Stromlinien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249 stückweise stetig differenzierbar . . 102 Symmetrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8, 241 bezüglich eines Kreises . . . . . . . . . 241

T Totalvariation einer Funktion . . . . .102 Trägermenge einer Kurve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 eines Zyklus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 Transformation linear gebrochene . . . . . . . . . . . . . . .235 Möbius- . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235 Translation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237 Trigonometrische Funktionen . . . . . . . 9

U Umgebung eines Punktes . . . . . . . . . . 39 Umgebungsbasis . . . . . . . . . . . . . . . . . . .39 Umgebungssystem . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 Umkehrfunktion . . . . . . . . . . . . . . . 76, 87 Umlaufzahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 einer Kurve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 eines Zyklus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 untere Halbebene . . . . . . . . . . . . . . . . 241


V Verpflanzungsprinzip . . . . . . . . 250, 254 Vielfachheit einer Nullstelle . . . . . . . . . . . . 135, 198

W Wallis-Produkt . . . . . . . . . . . . . . . . . 288 Weg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43, 101 Wegabhängigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 Wegunabhängigkeit . . . . . . . . . . . . . . 106 wegzusammenhängende Menge . . . . 43 Weierstrass Majoranten-Kriterium von . . . . . . 49 Satz von . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 Weierstraß II, Satz von . . . . . . . 138 wesentliche Singularität . . . . . . . . . . 187 Windungszahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 winkeltreu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .77 Wurzel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 n-te . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Wurzelkriterium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

Z Zahlen, komplexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Zahlenkugel, Riemannsche . . . . . . . . 12 Zerlegung Feinheitsmaß einer . . . . . . . . . . . . . 103 mit Zwischenpunkten . . . . . . . . . . 103 Zerlegungssumme . . . . . . . . . . . 103, 117 zusammengesetzte Kurve . . . . . . . . . 102 Zweig von log . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 2. Eulersches Integral . . . . . . . . . . . 281 Zyklus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 einfacher . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 nullhomologer . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

Index zu Maple

A

CauchyPrincipalValue . . . . . . . . . . 227

abs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23, 217, 302

ceil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

add, Add . . . . . . . . . . . 15, 20, 146, 222

changevar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

alias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19, 97, 304

circle . . . . . . . . . . . . . . . 25, 53, 115, 264

animate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

coeff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

arc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26, 90

collect . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261

arccos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82, 99f

color . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16, 34, 161

arccosh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99f

combine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144, 173

arcsin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81, 100

completesquare . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

arcsinh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99f

complex . . . . . . . . . . . . . . . . 65, 217, 230

arctan . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26, 100, 267

complexplot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

arctanh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99f

complexplot3d . . . . . . . . . . . . . 161, 296

argument . . . . . . . . . . . . . . . 26, 174, 267

conformal . . . . . . . . . . 36, 89, 269, 310

Array . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60, 310

conjugate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

arrow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

constrained . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

assume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30, 301

continuous . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274

assuming . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83, 301

contourplot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269

asympt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298

contours . . . . . . . . . . . . . . 159, 210, 269

axes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31, 34, 62

convert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19, 27, 66

axesfont . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159, 308

. . . . . . . 95, 99, 146, 156, 209, 217, 294 coordplot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

B binomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 box, boxed . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62, 92

coords . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30, 33, 210 cos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25, 84 cosh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 cot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297 cylindrical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

C

c2p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52, 311

cartesian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35, 268 cat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31, 52 Categorize . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

D

cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147, 313

D, D[1] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64, 83

324

Index zu Maple

D@@n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

gamma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294f

degree . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

global . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

denom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

grid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34, 94

Determinant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 diff, Diff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 Digits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308 discont . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176, 216

H hurwitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231, 313

disk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 display . . . . . . . . . . . . . . 20, 52, 60, 310

I

do . . . end do . . . . . . . . . . . . . . . . 22, 305

I, i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 if . . . end if . . . . . . . . 20, 144, 258, 305

E e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301 ellipticArc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 elif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258, 305 else . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 EnvAllSolutions . . . . . . . . . . . . . 31, 92 Equal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 error . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 eval . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18, 23, 87, 302 evalb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23, 302

Im . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 imaginaryunit . . . . . . . . . . . . . . . 15, 306 implicitdiff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 indets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 inequal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53, 57 insequence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 int, Int . . . . . . . . . . . . . . . . 118, 227, 274 integrand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 interface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15, 306 is . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52, 145, 221, 302

evalc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23, 302 evalf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24, 301

J

exp . . . . . . . . . . . . . . 25, 84, 92, 99, 217

Jacobian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

expand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

L F

labelfont . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

factor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118, 261

labels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25, 210

factorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294

Laplacian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267

filled . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56, 68

lcoeff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144, 231

FlattenOnce . . . . . . . . . . . . . . . . 58, 174

left . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

font . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

lhs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

for . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22, 144, 305

limit, Limit . . . . . . . . . . . . . . . 27, 54, 65

frame, framed . . . . . . . . . . . . . . . 34, 115

line . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20, 222

frontend . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

LinearAlgebra . . . . . . . . . . . . . . . . 18, 87

fsolve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230

linestyle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34, 55 list . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

G

ListTools . . . . . . . . . . . . . . . 58, 156, 174

GAMMA . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293, 295

ln, log . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

Index zu Maple

325

lnGAMMA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293

pfeil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116, 311

local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60, 94, 231

pi, Pi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301

log . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97, 100

piecewise . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175, 274 pieslice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

M macro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17, 304 map . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29, 31, 309 Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19, 96 MatrixInverse . . . . . . . . . . . . . . . . 20, 88 max . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311 MESH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 min . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 mul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 Multiply . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

plot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 plots . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15, 308 plottools . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20, 308 plot3d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 pointplot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33, 52 polar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27, 30, 34 polygon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58, 311 polygonplot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 POLYGONS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 polynom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 posint . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

N

print . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66, 70

none . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

printf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

nops . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

proc . . . end proc . . . . . . . . . . . . 18, 305

normal . . . . . . . . . . . . . . . . . 84, 224, 263

product, Product . . . . . . . . . . . . . . . 295

NULL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52, 231

p2c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52, 311

numer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 numpoints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 numxy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

O op . . . . . . . . . . . . . . 22, 27, 31, 123, 309 option remember . . . . . . . . . . . . . . . 258 optionsclosed . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 optionsexcluded . . . . . . . . . . . . . . 53, 57 optionsfeasible . . . . . . . . . . . . . . . 53, 57 optionsopen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 Order . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150, 212 orientation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

Q quo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

R radnormal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 rand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 rationalize . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219 Re . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 read . . . . . . . . . . . . . . . 51, 147, 210, 312 readstat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117, 301 rectangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59, 258 remove . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

P

residue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218

parfrac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146, 211

restart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15, 300

patchcontour . . . . . . . . . . . . . . . 159, 210

rhs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

patchnogrid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

right . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

326 RootOf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

Index zu Maple thickness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 tickmarks . . . . . . . . . . . . . . . 20, 92, 214

S

title . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

save . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210, 312

titlefont . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

ScalarPotential . . . . . . . . . . . . . . . . . 268

transform . . . . . . . . . . . 33, 90, 258, 308

scale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

translate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

scaling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

trig . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

select . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145, 221

type . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144, 303

seq . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31, 234

typeset . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22, 26, 264

series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150, 209 set . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

U

setoptions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

unapply . . . . . . . . . . . . . . . . 64, 175, 311

setoptions3d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 shading . . . . . . . . . . . . . . . . 35, 159, 210 showassumed . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307 simplify . . 18, 153, 176, 217, 295, 301 sin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25, 84 sinh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 solidcircle . . . . . . . . . . . . . . 30, 177, 293 solve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16, 53, 234 sort . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177, 231

V value . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27, 304 Vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 VectorCalculus . . . . . . . . . . . . . . 87, 267 VectorField . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268 verboseproc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307 verdi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51, 115, 311 view . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

spacecurve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 spacing . . . . . . . . . . . . . . . . . 92, 175, 229 spherical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 sprintf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52, 89 sqrt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17, 300

W wireframe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 with . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

string . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66, 303 student . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17, 123

Z

style . . . . . . . . . . . . . . . 25, 145, 210, 222

zgrayscale . . . . . . . . . . . . . . 35, 162, 308

subs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16, 302

zhue . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159, 162, 210

sum, Sum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

zip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

symbol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25, 303 symbolic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153, 301 symbolsize . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

Sonderzeichen = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 := . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

T

%, %%, %%% . . . . . . . . . . . . . . . 16, 306

tan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99, 153

@ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84, 226, 309f

tanh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

@@ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60, 157

taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 textplot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

Literaturverzeichnis Funktionentheorie, Analysis . . . [ Ahl ]

Ahlfors, L. V. (1979): Complex Analysis. McGraw-Hill, New York

[ Art ]

Artin, E. (1964): The Gamma function. Holt, Rinehart and Winston, New York

[ Con ]

Conway, J. B. (1978): Functions of One Complex Variable I. Springer, Berlin

[ De/Ho ] Deuflhard, P., Hohmann, A. (2002): Numerische Mathematik I. de Gruyter, Berlin [ Fi/Li ] Fischer, W., Lieb, I. (2005): Funktionentheorie. Vieweg+Teubner, Wiesbaden [ Hen ]

Henrici, P. (1974): Applied and Computational Complex Analysis, 1. John Wiley & Sons, New York

[ Heu I ] Heuser, H. (2009): Lehrbuch der Analysis, Teil 1. Vieweg+Teubner, Wiesbaden [ Heu II ] Heuser, H. (2008): Lehrbuch der Analysis, Teil 2. Vieweg+Teubner, Wiesbaden [ Ho ]

Hoffmann, D. (1995): Analysis f¨ ur Wirtschaftswissenschaftler und Ingenieure. Springer, Berlin

[ Jae ]

J¨ anich, K. (2008): Funktionentheorie. Springer, Berlin

[ Kab I ] Kaballo, W. (2000): Einf¨ uhrung in die Analysis I. Spektrum, Heidelberg [ Kab II ] Kaballo, W. (1997): Einf¨ uhrung in die Analysis II. Spektrum, Heidelberg [ Ma/Ho ] Mathews, J.H., Howell, R.W. (2012): Complex Analysis for Mathematics and Engineering. Jones and Bartlett Publishers, Sudbary MA [ Me/Va ] Meyberg, K., Vachenauer, P. (2006): H¨ ohere Mathematik, Band 2. Springer, Berlin [ Nee ]

Needham, T. (2011): Anschauliche Funktionentheorie. Oldenbourg, M¨ unchen

[ Pen ]

Pennisi, L. L. (1976): Elements of Complex Variables. Holt, Rinehart and Winston, New York

[ Tri ]

Triebel, H. (1981): Analysis und mathematische Physik. Hanser, M¨ unchen

[ Wa I ]

Walter, W. (2004): Analysis 1. Springer, Berlin

[ Wa II ] Walter, W. (2002): Analysis 2. Springer, Berlin

328

Literaturverzeichnis

Weiterf¨ uhrende Literatur zur Funktionentheorie [ Be/So ] Behnke, H., Sommer, F. (1972): Theorie der analytischen Funktionen einer komplexen Ver¨ anderlichen. Springer, Berlin [ Fr/Bu ] Freitag, E., Busam, R. (2006): Funktionentheorie. Springer, Berlin [ Hu/Co ] Hurwitz, A., Courant, R. (1964): Vorlesungen ¨ uber allgemeine Funktionentheorie und elliptische Funktionen. Springer, Berlin [ Rem ]

Remmert, R., Schumacher, G. (2002): Funktionentheorie I. Springer, Berlin

[ Rud ]

Rudin, W. (1979): Real and Complex Analysis. McGraw-Hill, New York

[ Weg ]

Wegert, E. (2012): Visual Complex Functions. Birkh¨ auser, Basel

Literatur zu Maple [ PrG ]

Bernhardin, L. et al. (2011): Maple 15 Programming Guide. Maplesoft, Waterloo

[ Ab/Br ] Abell, M., Braselton, J. (2005): Maple by Example. Elsevier Academic Press, San Diego [ Br/Me ] Braun, R., Meise, R. (2012): Analysis mit Maple. Vieweg+Teubner, Wiesbaden [ Cor ]

Corless, R. M. (2002): Essential Maple 7. Springer, Berlin

[ Fo/Ho ] Forst, W., Hoffmann, D. (2005): Gew¨ ohnliche Differentialgleichungen — Theorie und Praxis. Springer, Berlin [ Heck ]

Heck, A. (2003): Introduction to Maple. Springer, Berlin

[ Kam ]

Kamerich, E. (1999): A Guide to Maple. Springer, Berlin

[ Kli ]

Klimek, G., Klimek, M. (1997): Discovering Curves and Surfaces with Maple. Springer, Berlin

[ Kof ]

Kofler, M. et al. (2002): Maple: Einf¨ uhrung, Anwendung, Referenz. Pearson, M¨ unchen

[ Kr/No ] Kreyszig, E., Norminton, E. J. (2006): Maple Computer Guide. John Wiley & Sons, New York [ Rov ]

Rovenski, V. (2000): Geometry of Curves and Surfaces with Maple. Birkh¨ auser, Basel

[ St/Ka ] Stroeker, R. J., Kaashoek, J. F. (1999): Discovering Mathematics with Maple. Birkh¨ auser, Basel [ Walz ]

Walz, A. (2002): Maple 7: Rechnen und Programmieren. Oldenbourg, M¨ unchen

[ Wes ]

Westermann, T. (2011): Mathematik f¨ ur Ingenieure. Springer, Berlin

[ Wes 2 ] Westermann, T. (2012): Ingenieurmathematik kompakt mit Maple. Springer, Berlin

Funktionentheorie erkunden mit Maple

Funktionentheorie erkunden mit Maple

Funktionentheorie

Mathematische Probleme loesen mit Maple