Funktionentheorie 007

Funktionentheorie I WS 2002/03 Uwe Schnell Inhaltsverzeichnis 1 Komplexe Zahlen

1

2 Topologische Grundbegriffe 2.1 Folgen . . . . . . . . . . . 2.2 Stetigkeit . . . . . . . . . 2.3 Kompaktheit . . . . . . . 2.4 Zusammenhang . . . . . .

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4 6 7 8 8

3 Differenzierbarkeit 3.1 Reelle Differenzierbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Komplexe Differenzierbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Rechenregeln und einfache Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10 10 12 15

4 Funktionenfolgen und –reihen 4.1 Potenzreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17 18

5 Elementar–transzendente Funktionen 5.1 Die Exponentialfunktion . . . . . . . . . . 5.2 Der Logarithmus . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Die trigonometrischen Funktionen sin, cos . 5.4 Winkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5 Polarkoordinaten . . . . . . . . . . . . . .

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22 22 23 25 26 28

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29 29 34 36 40

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6 Komplexe Integration 6.1 Wege, Kurven und Kurvenintegrale . . . . . . . 6.2 Stammfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3 Der Cauchysche Integralsatz . . . . . . . . . . . 6.4 Folgerungen aus dem Cauchyschen Integralsatz

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7 Nullstellen und Singularit¨ aten

44

8 Laurentreihen

47

9 Der 9.1 9.2 9.3

50 50 51 56

Residuensatz Umlaufzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Residuen und Residuensatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Anwendungen in der reellen Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I

Index C–lineare Abbildung, 12

formale Ableitung einer Potenzreihe, 21 Formel von Moivre, 28 Fundamentalsatz der Algebra, 41 Funktionenfolge, 17 Funktionenreihe, 17

abgeschlossene Menge, 5 Ableitung komplexe, 12 Abschluß, 5 absolut gleichm¨aßige Konvergenz, 17 Argument, 28 aufeinanderfolgende Wege, 30

Gaußschen Zahlenebene, 2 Gebiet, 16 Gebrochenrationale Funktion, 16 gelochte Umgebung, 44 Geometrische Reihe, 20 geschlitzte Ebene, 24 geschlossen homotope Wege, 39 geschlossener Weg, 30 gleichendige Wege, 34 gleichm¨aßige Konvergenz, 17 gleichm¨aßige Stetigkeit, 7 Grenzfunktion, 17 Grenzwert einer Folge, 6 einer Funktion, 7

Besetzung, 30 Betrag einer komplexen Zahl, 2 bewerteter K¨orper, 3 Cauchy–Folge, 7 Cauchy–Riemannnsche Differentialgleichungen, 15 Cauchysche Integralformel, 40 Cauchyscher Integralsatz, 40 Cauchyscher Integralsatz f¨ ur Rechteckswege, 36 Cauchysches Hauptwertintegral, 56 Cosinusreihe, 20

Hauptzweig des Logarithmus, 25 hebbare Singularit¨at, 45 holomorphe Funktion, 12 homotope Wege, 38 Homotopie, 38 H¨aufungspunkt, 5

Differenzierbarkeit komplexe, 12 partielle, 11 reelle, 10 stetig partielle, 11

Identit¨atssatz, 42 imagin¨are Einheit, 2 Imagin¨arteil, 2 Integralformel von Cauchy, 40 Integralsatz von Cauchy, 40 inverser Weg, 30 Involution, 2

einfach geschlossener Weg, 53 einfach zusammenh¨angende Menge, 40 eingeschlossener Winkel, 27 Einheitswurzel, 28 Entwicklungspunkt einer Potenzreihe, 18 Entwicklungssatz, 42 Euklidische Metrik, 4 Euklidische Norm, 4 Euklidischer Abstand, 4 Euklidischer Raum, 4 Exponentialfunktion, 20 Exponentialreihe, 20

Jakobi–Matrix, 11 kanonisches Skalarprodukt, 4 Kettenregel, 16 Knickstellen einer Kurve, 31 Koeffizienten einer Potenzreihe, 18 kompakte Menge, 8

Feinheit einer Zerlegung, 30 II

Komplexe Zahlen, 1 konjugierte Zahl, 2 konvergente Folge, 6 Konvergenzradius einer Potenzreihe, 19 Konvergenzring einer Laurentreihe, 48 konvexe Menge, 9 Koordinatenfunktionen, 4 Kurve, 31 Kurvenintegral, 32

Projektionen, 4 punktweise Konvergenz, 17 Quotientenkriterium, 19 Quotientenregel, 15 Realteil, 2 Rechteck, 36 rechtwinkliger Weg, 35 regul¨are Laurentreihe, 47 regul¨arer Weg, 54 relativ offene Menge, 6 Residuensatz, 52 Residuum, 51 Riemannsche Summe, 30 Riemannscher Hebbarkeitssatz, 45 Ringgebiet, 48

Laplacesche Integrale, 57 Laurentreihe, 47 Laurentzerlegung, 49 linearer Weg, 30 Liouville, 41 Logarithmische Reihe, 20 Logarithmus einer Zahl, 23 Logarithmusfunktion, 23 lokal gleichm¨aßige Konvergenz, 17 lokalkompakte Menge, 17 L¨ange einer Kurve, 31

Satz von Morera, 41 von Casaroti–Weierstrass, 46 von der Gebietstreue, 44 von Liouville, 41 von Rouch´e, 55 Singularit¨at, 45 Sinusreihe, 20 Spur einer Homotopie, 38 eines Weges, 30 Stammfunktion, 34 Standardbasis, 4 sternf¨ormige Menge, 9 Stetigkeit, 7 Strahl, 23 Streifen, 23 st¨ uckweise stetige Differenzierbarkeit, 31 st¨ uckweise Stetigkeit, 29

Majorantenkriterium, 18 meromorphe Funktion, 54 metrischer Raum, 4 Moivre, 28 Morera, 41 normierter Raum, 4 nullhomotoper Weg, 39 Nullstelle, 44 offene Abbildung, 24 offene Menge, 5 offene Umgebung, 5 orientierter Winkel, 27 Parametertransformation, 32 Partialsumme, 17 partielle Ableitung, 11 periodische Funktion, 26 Pol, 45 Polarkoordinaten, 28 Polygonzug, 31 Polynom, 16 Potenzreihe, 18 Produktregel, 15

Taylorreihe, 41 transzendente Funktion, 43 Umlaufzahl, 50 uneigentliches Integral, 56 vollst¨andiger Raum, 7 Weg, 8, 30 III

Wegintegral, 37 wegunabh¨angig integrierbare Funktion, 34 wegzusammenh¨angende Menge, 8 Weierstraß’sches Majorantenkriterium, 18 wesentliche Singularit¨at, 45 Windungszahl, 50 Zerlegung, 8, 30 Zusammenhangskomponente, 51 zusammenh¨angende Menge, 8

IV

Literatur [1] L. V. Ahlfors: Complex Analysis, McGraw Hill, New York, 1966. [2] J. Bak, D. J. Newman: Complex Analysis, Springer, New York, 1999. [3] H. Behnke, F. Sommer: Theorie der analytischen Funktionen einer komplexen Ver¨anderlichen, Springer, Berlin, 1965. [4] L. Bieberbach: Einf¨ uhrung in die Funktionentheorie, Teubner, Stuttgart, 1966. [5] C. Caratheodory: Funktionentheorie I, Birkh¨auser, Basel, 1966. [6] J. B. Conway: Functions of one Complex Variable, Springer, New York, 1978. [7] A. Dinghas: Vorlesungen u ¨ber Funktionentheorie, Springer, Berlin, 1961. [8] W. Fischer, I. Lieb: Funktionentheorie, Vieweg, Braunschweig/Wiesbaden 1994. [9] W. Forst, D. Hoffmann: Funktionentheorie erkunden mit Maple, Springer, Berlin, 2002. [10] E. Freitag, R. Busam: Funktionentheorie, Springer, Berlin, 1993. [11] K. J¨anich: Einf¨ uhrung in die Funktionentheorie, Springer, Berlin, 1977. [12] S. Lang: Complex Analysis, Springer, New York, 1993. ¨ [13] T. Needham: Visual Complex Analysis, Clarendon Press, Oxford, 1997; dt. Ubers.: Anschauliche Funktionentheorie, Oldenbourg, M¨ unchen, 2001. [14] R. Nevanlinna, V. Paatero: Einf¨ uhrung in die Funktionentheorie, Birkh¨auser, Basel, 1965. [15] R. Remmert, G. Schumacher: Funktionentheorie I, Springer, Berlin, 2002.

V

1

Komplexe Zahlen

Symbole f¨ ur Zahlen sind in den ¨altesten Funden der Menschheitsgeschichte zu finden. Schon in der Steinzeit wurde mit Hilfe von Strichlisten an den H¨ohlenw¨anden oder in Knochen oder auch mit sogenannten Z¨ahlsteinen gez¨ahlt. Positive rationale Zahlen waren be¨ reits in Agypten, Babylonien und Griechenland (ab 2000 v. Chr.) durch Teilungsprozesse bzw. als Verh¨altnisse bekannt. Positive irrationale Zahlen wurden erstmals in Griechenland (5. Jhd. v. Chr.) entdeckt. Die Null tauchte in Babylonien zun¨achst als Leerstelle auf. Als ¨ Zahl wurde sie erst sp¨ater aufgefaßt (Agypten, Griechenland, Indien, ab ca. 200 v. Chr.). Negative Zahlen (z. B. als Schulden) zusammen mit Rechenregeln traten in Indien zwischen 300 v. Chr. und 600 n. Chr. (Brahmagupta, 598) auf. Die reellen Zahlen R umfassen alle oben genannten Zahlen. Sie sind ‘eindeutig’ durch die in ihnen g¨ ultigen Rechenregeln und die mit diesen vertr¨agliche Ordnung bestimmt. Man spricht von R als einem ordnungsvollst¨andigen K¨orper. Es gibt mehrere explizite Konstruktionen (oder Modelle) von R, die aber alle gleichwertig sind. Die reellen Zahlen haben jedoch M¨angel. Z. B. gibt es kein x ∈ R mit x2 = −1. Historischer Anlaß zur Einf¨ uhrung komplexer Zahlen war im 16. Jahrhundert die L¨osung von Gleichungen 2. und 3. Grades (Cardano (1545), Bombelli (1572)). Im 18. Jahrhundert wurden komplexe Zahlen immer h¨aufiger benutzt. 1777 wurde von Euler das Symbol i eingef¨ uhrt. Um 1800 gaben Gauß, Wessel und Argand die geometrische Deutung der komplexen Zahlen (Gaußsche Zahlenebene). Die Cauchy–Riemannschen Differentialgleichungen wurden schon 1752 von d’Alembert bei einem str¨omungsmechanischen Problem aufgestellt. Cauchy (ab 1814) und Riemann (1851) benutzten sie systematisch beim Aufbau der Funktionentheorie. √ Wie findet man einen K¨orper K ⊃ R, in dem −1 existiert? Angenommen, es gibt einen solchen. Dann ist √ C := {x + y −1 : x, y ∈ R} ⊂ K die kleinste Teilmenge von K, die R enth¨alt und die bez¨ uglich + und · abgeschlossen ist. Es stellt sich heraus, daß C selbst ein K¨orper ist. Eine explizite Konstruktion von dem gesuchten ¨ K¨orper K wird durch die obige Uberlegung nahegelegt: √ C 3 x + y · −1 ←→ (x, y) ∈ R2 . Auf dem 2–dimensionalen Vektorraum R2 = {(x, y) : x, y ∈ R} (mit komponentenweiser Addition und Skalarmultiplikation) wird eine Multiplikation definiert durch (x1 , y1 ) · (x2 , y2 ) := (x1 x2 − y1 y2 , x1 y2 + y1 x2 ) ∈ R2 Dies ist motiviert durch √ √ √ √ (x1 + y1 −1) · (x2 + y2 −1) = x1 x2 − y1 y2 · (−1) + x1 y2 −1 + y1 x2 −1. Satz 1.1 Das Tripel C := (R2 , +, ·) ist ein (kommutativer) K¨orper, der K¨orper der komplexen Zahlen. Das ¶ Einselement ist (1, 0). Das multiplikative Inverse zu (x, y) 6= (0, 0) ist µ y x ,− . x2 + y 2 x2 + y 2 1

Bemerkung: (1) Die reellen Zahlen ‘liegen in’ C. x ∈ R wird einfach mit (x, 0) ∈ C identifiziert. imaginäre Achse

(2) C u ¨bernimmt die Vektorraumstruktur von R2 . 1 := (1, 0) und i := (0, 1) bilden eine Basis. Eine komplexe Zahl z ∈ C kann damit eindeutig dargestellt werden als z = x + yi, mit x, y ∈ R. Wegen der Entsprechung C ∼ R2 spricht man auch von der Gaußschen Zahlenebene.

z

y

reelle Achse

x

(3) Es gilt i2 = −1. Man spricht von i als der imagin¨ aren Einheit. (4) Die Rechenregeln f¨ ur Ausdr¨ ucke der Form z = x + iy sind offensichtlich. Z. B. (3 + i) · (4 − 5i) = 3 · 4 + i · 4 − 15i − 5i2 = 17 − 11i.

z

Definition 1.2 Es sei z = x + iy ∈ C. (a) Re (z) := x heißt der Realteil und Im (z) := y der Imagin¨ arteil von z.

z

(b) z := x−iy heißt die zu z konjugierte Zahl. p (c) |z| := x2 + y 2 heißt der Betrag von z. z

Bemerkung: Es gilt z = z 0 genau dann, wenn Re (z) = Re (z 0 ) und Im (z) = Im (z 0 ). Satz 1.3 Die Konjugation ist ein K¨orperautomorphismus von C, d. h. (a) z1 + z2 = z1 + z2 . (b) z1 · z2 = z1 · z2 . (c) z = z. (d) z = z ⇔ z ∈ R. Bemerkung: Wegen z = z handelt es sich bei der Konjugation um eine sogenannte Involution. Geometrisch bedeutet Konjugieren das Spiegeln an der reellen Achse. 2

Satz 1.4 Es sei z ∈ C. Dann gilt 1 (a) Re (z) = (z + z). 2 (b) Im (z) =

1 (z 2i

− z).

(c) z · z = |z|2 . (d)

1 z = 2. z |z|

Satz 1.5 C ist ein bewerteter Ko ¨rper, d. h. es gilt (a) |z| ≥ 0, f¨ ur alle z ∈ C. (b) |z| = 0 ⇔ z = 0. (c) |z1 + z2 | ≤ |z1 | + |z2 |, f¨ ur alle z1 , z2 ∈ C. (d) |z1 · z2 | = |z1 | · |z2 |. Bemerkung: C erh¨alt die u ¨bliche Abstandsmetrik d(z1 , z2 ) := |z1 − z2 |. Als R–Vektorraum mit ‘metrischer Topologie’ ist daher C a¨quivalent zu R2 . Also u ¨bertragen sich alle Grundbegriffe der reellen Analysis auf C.

3

2

Topologische Grundbegriffe

Hier sollen einige topologische Grundbegriffe f¨ ur die Euklidischen R¨aume Rm , insbesondere f¨ ur C = R2 (gr¨oßtenteils als Wiederholung) bereitgestellt werden. Der m–dimensionale Euklidische Raum ist gegeben durch die Menge der geordneten m– Tupel Rm = {(x1 , . . . , xm ) : x1 , . . . , xm ∈ R} (die Elemente k¨onnen alternativ auch in Spaltenform geschrieben werden). Die Projektionen (Koordinatenfunktionen) sind gegeben durch pj : Rm → R, pj (x) = xj , j = 1, . . . , m. F¨ ur C = R2 gilt p1 = Re , p2 = Im . Die Standardbasis von Rm als R–Vektorraum ist gegeben durch e1 = (1, 0, . . . , 0), . . . , em = (0, . . . , 0, 1). In C = R2 sind dies e1 = 1, e2 = i. Das kanonische Skalarprodukt < ·, · >: Rm × Rm → R ist definiert durch m X < x, y >:= xj y j . j=1

v uX u m 2 √ m Die Euklidische Norm | · | : R → R ist definiert durch |x| := < x, x > = t xj . j=1

Es gilt die Standardabsch¨atzung

max |xj | ≤ |x| ≤

j=1,...,m

m X

|xj |.

j=1

(Rm , | · |) ist ein normierter Raum, d. h. ur alle x ∈ Rm . (N1) |x| ≥ 0, f¨ (N2) |x| = 0 ⇔ x = 0. (N3) |λx| = |λ| · |x|, (x ∈ Rm , λ ∈ R)

(In C sogar |z1 · z2 | = |z1 | · |z2 |, f¨ ur z1 , z2 ∈ C).

(N4) |x + y| ≤ |x| + |y|, f¨ ur alle x, y ∈ Rm . Der Euklidische Abstand (Metrik) ist gegeben durch d : Rm ×Rm → R, d(x, y) := |x−y|. (Rm , d) ist ein metrischer Raum, d. h. (M1) d(x, y) ≥ 0, f¨ ur alle x, y ∈ Rm . (M2) d(x, y) = 0 ⇔ x = y. (M3) d(x, y) = d(y, x), f¨ ur alle x, y ∈ Rm . (M4) d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z), f¨ ur alle x, y, z ∈ Rm .

4

Durch dieselbe Definition wird jedes X ⊂ Rm auch zu einem metrischen Raum. Folgende Definitionen sind f¨ ur beliebige metrische R¨aume m¨oglich. Bezeichnung: (1) F¨ ur ² > 0 und x0 ∈ X ⊂ Rm sei U² (x0 ; X) = {x ∈ X : d(x, x0 ) = |x − x0 | < ²}. Im Fall X = Rm schreibt man auch U² (x0 ) := U² (x0 ; Rm ). (2) U ⊂ Rm heißt offen, wenn f¨ ur alle x0 ∈ U ein ² > 0 existiert mit U² (x0 ) ⊂ U . Offene Mengen haben folgende Eigenschaften: (O1) ∅, Rm sind offen. (O2) Beliebige Vereinigungen offener Mengen sind offen. (O3) Endliche Durchschnitte offener Mengen sind offen. Bezeichnung: Eine Menge U ⊂ Rm heißt offene Umgebung von x0 ∈ Rm , wenn U offen ist und x0 ∈ U . Bemerkung: U² (x0 ) ist eine offene Umgebung von x0 . Bezeichnung: A ⊂ Rm heißt abgeschlossen, wenn Rm \A offen ist. Abgeschlossene Mengen haben folgende Eigenschaften: (A1) ∅, Rm sind abgeschlossen. (A2) Beliebige Durchschnitte abgeschlossener Mengen sind abgeschlossen. (A3) Endliche Vereinigungen abgeschlossener Mengen sind abgeschlossen. Bezeichnung: Es sei M ⊂ Rm beliebig. x0 ∈ Rm heißt H¨ aufungspunkt von M , wenn jede offene Umgebung von x0 mindestens einen Punkt aus M enth¨alt (⇔ ∀² > 0 ∃x ∈ M : |x − x0 | < ²). \ Bezeichnung: M := A heißt Abschluß von M (die kleinste abgeschlossene A abg, M ⊂A

Menge, die M enth¨alt). Bemerkung: (1) x0 ∈ M ⇔ x0 ist ein H¨aufungspunkt von M . (2) M ist abgeschlossen ⇔ M = M , d. h. M ist genau dann abgeschlossen, wenn es alle seine H¨aufungspunkte enth¨alt. Beispiel: U² (x0 ) = {x ∈ Rm : |x − x0 | ≤ ²}.

5

Bezeichnung: Sei X ⊂ Rm fest. U ⊂ X heißt (relativ) offen in X, wenn f¨ ur alle x0 ∈ U ein ² > 0 existiert mit U² (x0 ; X) ⊂ U . Es gelten die Eigenschaften (O1)–(O3) sinngem¨aß. Bezeichnung: U ⊂ X heißt offene Umgebung von x0 ∈ X in X, wenn x0 ∈ U und U offen in X ist. Bemerkung: (a) U ⊂ Rm offen ⇒ U ∩ X ⊂ X offen in X. (b) U ⊂ X offen in X ⇒ es existiert ein offenes U˜ ⊂ Rm mit U˜ ∩ X = U . (c) Ist X ⊂ Rm offen und U ⊂ X, dann gilt: U offen in X ⇔ U offen in Rm .

2.1

Folgen

Bezeichnung: Sei {an } eine Folge aus Rm . a ∈ Rm heißt Grenzwert von {an }, wenn ∀² > 0 ∃n0 ∈ N : |an − a| < ², f¨ ur n ≥ n 0 . {an } heißt konvergent, wenn {an } einen Grenzwert hat (Schreibweise: a = limn→∞ an ). Bemerkung: (1) lim an ist eindeutig bestimmt. (2) a = lim an ⇔ Jede offene Umgebung von a enth¨alt fast alle an . (3) {an } ist konvergent ⇔ alle reellen Folgen {pk (an )} sind konvergent. In diesem Fall gilt: lim pk (an ) = pk (lim an ) (koordinatenweise Konvergenz). (4) Es seien {an }, {λn } konvergente Folgen aus Rm bzw. R. Dann ist {λn · an } konvergent mit lim λn an = (lim λn ) · (lim an ). (5) Es seien {an }, {bn } konvergente Folgen aus Rm . Dann ist {an + bn } konvergent mit lim an + bn = lim an + lim bn . (6) Es sei {an } eine konvergente Folge aus Rm . Dann ist {|an |} konvergent mit lim |an | = | lim an |. F¨ ur C = R2 bzw. R = R1 gilt sogar: (7) {an }, {bn } konvergent ⇒ (an · bn ) konvergent mit lim(an · bn ) = (lim an ) · (lim bn ). ½ ¾ 1 1 1 (8) {an } konvergent, alle an 6= 0, lim an 6= 0 ⇒ konvergent mit lim = . an an lim an F¨ ur C = R2 gilt: (9) {an } konvergent ⇒ {an } konvergent mit lim an = lim an .

6

Bezeichnung: Es sei {an } eine Folge in Rm . {an } heißt Cauchy–Folge, wenn ∀² > 0 ∃n0 ∈ N ∀n, m ≥ n0 ⇒ |an − am | < ². Bemerkung: (1) Rm ist vollst¨ andig, d. h. {an } ist genau dann konvergent, wenn {an } Cauchy–Folge ist. (2) Die obigen Aussagen u ¨ber konvergente Folgen u ¨bertragen sich sinngem¨aß auf Cauchy– Folgen. (3) M ⊂ Rm ist abgeschlossen ⇔ F¨ ur jede Cauchy–Folge {an } aus M gilt lim an ∈ M .

2.2

Stetigkeit

Bezeichnung: Sei X ⊂ Rm und f : X → Rp eine Funktion. f heißt stetig in x0 ∈ X, wenn ∀² > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ X : |x − x0 | < δ ⇒ |f (x) − f (x0 )| < ². f heißt stetig, wenn f stetig in allen x0 ∈ X ist. Bemerkung: (1) f stetig in x0 ⇔ F¨ ur jede offene Umgebung U von f (x0 ) in Rp existiert eine offene Umgebung V von x0 ∈ X mit f (V ) ⊂ U . (2) f stetig in x0 ⇔ F¨ ur jede Folge {xn } mit lim xn = x0 gilt lim f (xn ) = f (x0 ). (3) f stetig ⇔ f −1 (U ) ist offen in X, f¨ ur alle offenen U ⊂ Rp . (4) f, g stetig (in x0 ) ⇒ f + g, f · g und f /g stetig (in x0 ) (wenn g(x0 ) 6= 0). (5) Es seien f : X → Rp , g : Y → Rq mit Y ⊂ Rp und f (X) ⊂ Y stetig (in x0 bzw. f (x0 )). Dann ist g ◦ f : X → Rq stetig (in x0 ). (6) Alle Koordinatenfunktionen pj : Rm → R sind stetig. (7) f stetig (in x0 ) ⇔ alle pk ◦ f sind stetig (in x0 ). Insbesondere ist f : C → C genau dann stetig, wenn Re f und Im f stetig sind. Beispiel: | · |, Re , Im : C → R und

: C → C sind stetig.

Bezeichnung: f heißt gleichm¨ aßig stetig, wenn ∀² > 0 ∃δ > 0 ∀x, y ∈ X : |x − y| < δ ⇒ |f (x) − f (y)| < ². Bemerkung: Ist f : X → Rm gleichm¨aßig stetig, dann ist f auch stetig in X. Die Umkehrung gilt nicht. Bezeichnung: Sei x0 ∈ X. a ∈ Rm heißt Grenzwert von f in x0 (limx→x0 f (x) = a), wenn ∀² > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ X : |x − x0 | < δ ⇒ |f (x) − a| < ².

7

2.3

Kompaktheit

¨ Bezeichnung: K ⊂ Rm heißt kompakt, ur jede Uberdeckung von K mit (in K) [ wenn f¨ offenen Mengen Uj , j ∈ J, (d. h. K ⊂ Uj ) eine endliche Teil¨ uberdeckung Uj1 , . . . , Ujn hat j∈J

(d. h. K ⊂ Uj1 ∪ . . . ∪ Ujn ). Satz 2.1 F¨ ur K ⊂ Rm sind ¨aquivalent: (i) K ist kompakt. ¨ (ii) Jede Uberdeckung von K mit in Rm offenen Mengen hat eine endliche Teil¨ uberdeckung. (iii) K ist beschr¨ankt (d. h. supx∈K |x| < ∞) und abgeschlossen. (iv) Jede Folge {xn } aus K hat eine konvergente Teilfolge {xnk }, deren Grenzwert in K liegt.

Satz 2.2 Sei K ⊂ Rn kompakt, f : K → Rm stetig und A ⊂ Rn abgeschlossen. Dann gilt (a) f (K) ist kompakt. (b) f ist gleichm¨aßig stetig. (c) Es gibt ein x ∈ K und ein y ∈ A mit |x − y| = d = dist (K, A) := inf{|k − a| : k ∈ K, a ∈ A} Insbesondere gilt d = 0 genau dann, wenn K ∩ A 6= ∅.

2.4

Zusammenhang

Definition 2.3 Sei X ⊂ Rm . (a) Eine Zerlegung von X ist ein Paar (U, V ) von (in X) offenen Mengen U, V ⊂ X mit U ∪ V = X, U ∩ V = ∅ und U, V 6= ∅. angend, wenn X keine Zerlegung hat. (b) X heißt zusammenh¨ Beispiel: Abgeschlossene Intervalle [a, b] ⊂ R sind zusammenh¨angend. angend, wenn zu je zwei Punkten x0 , x1 ∈ Definition 2.4 X ⊂ Rm heißt wegzusammenh¨ X eine stetige Abbildung ϕ : [0, 1] → X (d. h. ein Weg) existiert mit ϕ(0) = x0 und ϕ(1) = x1 . 8

Satz 2.5 Ist X ⊂ Rm wegzusammenh¨angend, dann ist X auch zusammenh¨angend. Bemerkung: Die Umkehrung von Satz 2.5 gilt nicht. Definition 2.6 Sei X ⊂ Rm . (a) X heißt konvex, wenn X mit je zwei Punkten x, y auch die Verbindungsstrecke enth¨alt, d. h. λx + (1 − λ)y ∈ X, f¨ ur alle x, y ∈ X, λ ∈ [0, 1]. (b) X heißt sternfo ¨rmig mit Zentrum a, wenn zu jedem x ∈ X die Verbindungsstrecke von x und a in X enthalten ist. Bemerkung: Konvexe Mengen sind sternf¨ormig. Sternf¨ormige Mengen sind wegzusammenh¨angend. Die Umkehrung gilt jeweils nicht. Satz 2.7 Sei X ⊂ Rm zusammenh¨angend und f : X → Rp stetig. Dann ist f (X) zusammenh¨angend. Satz 2.8 Sei X ⊂ Rm wegzusammenh¨angend und f : X → Rp stetig. Dann ist f (X) wegzusammenh¨angend.

Satz 2.9 F¨ ur X ⊂ R gilt: X zusammenh¨angend ⇒ X ist ein Intervall.

Korollar 2.10 (Zwischenwertsatz) Es sei X ⊂ Rm zusammenh¨angend, f : X → R eine stetige Funktion und a, b ∈ f (X) mit a < b. Dann gilt [a, b] ⊂ f (X), d. h. jeder Wert zwischen a und b wird angenommen.

Satz 2.11 Sei X offen. Dann gilt:

X zusammenh¨angend ⇔ X wegzusammenh¨angend.

9

3 3.1

Differenzierbarkeit Reelle Differenzierbarkeit

Hier sollen Definition und Eigenschaften von differenzierbaren Funktionen f : U → Rm , U ⊂ Rn offen, (als Wiederholung) aufgef¨ uhrt werden. Im Fall m = n = 1 setzt man einfach f 0 (x0 ) :=

lim

x→x0 ,x6=x0

f (x) − f (x0 ) , x − x0

falls dieser Grenzwert existiert. F¨ ur n > 1 geht dies nicht mehr, da nicht geteilt werden kann. Definition 3.1 Es sei U ⊂ Rn offen und f : U → Rm . Die Funktion f heißt in x0 ∈ U (reell) differenzierbar, wenn eine lineare Abbildung L : Rn → Rm existiert und eine in x0 stetige Abbildung % : U → Rm mit (1) %(x0 ) = 0. (2) f (x) = f (x0 ) + L(x − x0 ) + |x − x0 | · %(x),

(x ∈ U ).

Bemerkung: (1) Die Funktion f wird linear approximiert: |f (x) − (f (x0 ) + L(x − x0 ))| = |%(x)| → 0 |x − x0 | d. h. der relative Fehler |%(x)| ‘wird klein’ f¨ ur x → x0 . (2) Ist f in x0 differenzierbar, dann ist f in x0 stetig (da lineare Abbildungen stetig sind). (3) L und % sind eindeutig bestimmt. Man schreibt daher L = df (x0 ) = dR f (x0 ). Lineare Abbildungen k¨onnen durch Matrizen dargestellt werden. Man beachte: Eine Matrix ist selbst keine lineare Abbildung, sondern ein Zahlenschema. Es sei Lin R (Rn , Rm ) der Vektorraum aller linearen Abbildungen von Rn nach Rm und MR (m, n) der Vektorraum aller reellen m × n–Matrizen. Dann ist durch Mat : Lin R (Rn , Rm ) → MR (m, n), Mat (L) := (L(e1 ), . . . , L(en )) (Matrix mit Spalten L(e1 ), . . . , L(en )) ein Vektorraumisomorphismus gegeben. Die Umkehrabbildung ist gegeben durch ( Mat −1 (A))(x) = A · x,

x ∈ Rn .

Beispiel: Jedes L ∈ Lin (Rn , Rm ) ist differenzierbar auf ganz Rn mit dL(x0 ) = L. Die Funktion f : U → Rm ist gegeben durch die Koordinatenfunktionen fj = pj ◦ f : U → R, j = 1, . . . , m. 10

Satz 3.2 f ist differenzierbar in x0 ⇔ Alle fj sind differenzierbar in x0 . Bemerkung: Die Koordinatenfunktionen fj von f sind unabh¨angig voneinander. Definition 3.3 Die Funktion f : U → Rm heißt partiell differenzierbar in x0 ∈ U , wenn die Grenzwerte f (x0 + tek ) − f (x0 ) ∂f lim =: (x0 ) ∈ Rm , k = 1, . . . , n, t→0 t ∂xk existieren. Satz 3.4 f ist partiell differenzierbar  ∂f1in x0 (x0 ) ∂xk ∂f  .. In diesem Fall gilt (x0 ) =  . ∂xk ∂fm (x0 ) ∂xk

⇔ Alle fj sind partiell differenzierbar in x0 .  .

Satz 3.5 f differenzierbar in x0 ⇒ f partiell  differenzierbar in x0 . ∂f1 (x0 ) ∂xk ∂f   .. In diesem Fall gilt (x0 ) =  . . ∂xk ∂fm (x0 ) ∂x¶ k µ ∂fj Ferner gilt Mat (df (x0 )) = (x0 ) =: J(f, x0 ). ∂xk Die Matrix J(f, x0 ) wird Jakobi–Matrix von f in x0 genannt. Bemerkung: Selbst wenn f auf ganz U partiell differenzierbar ist, muß f nicht differenzierbar in x0 sein. Bezeichnung: (1) ∆(f ) := {x0 ∈ U : f partiell differenzierbar in x0 }. ∂f (2) Die partiellen Ableitungen von f sind die Funktionen : ∆(f ) → Rm . ∂xk Definition 3.6 f heißt stetig partiell differenzierbar in x0 , wenn ∆(f ) eine offene Um∂f gebung von x0 enth¨alt und die partiellen Ableitungen stetig in x0 sind. ∂xk Satz 3.7 f ist stetig partiell differenzierbar in x0 ⇔ Alle fj sind stetig partiell differenzierbar in x0 . Satz 3.8 f stetig partiell differenzierbar in x0 ⇒ f differenzierbar in x0 . Bemerkung: Selbst wenn f auf ganz U differenzierbar ist, muß f nicht stetig partiell differenzierbar in x0 sein. 11

3.2

Komplexe Differenzierbarkeit

Bei der Definition der komplexen Differenzierbarkeit geht man wie im Fall n = m = 1 vor. Im folgenden sei U ⊂ C stets eine offene Teilmenge der komplexen Zahlen. Definition 3.9 Eine Funktion f : U → C heißt komplex differenzierbar in z0 ∈ U , wenn der Grenzwert f (z) − f (z0 ) =: f 0 (z0 ) lim z→z0 ,z6=z0 z − z0 existiert. f 0 (z0 ) ist eindeutig bestimmt und heißt Ableitung von f in z0 . f heißt holomorph, wenn f in allen z0 ∈ U komplex differenzierbar ist. Die Funktion f 0 : U → C heißt dann Ableitung von f . Beispiel: (1) Die konstante Funktion c : C → C, c(z) = c, f¨ ur alle z, ist holomorph mit Ableitung c0 (z0 ) = 0. (2) T : C → C, T (z) = z ist holomorph mit T 0 (z0 ) = 1. Bezeichnung: Es seien V, W Vektorr¨aume u ¨ber C. Dann heißt die Abbildung L : V → W C–linear, wenn (i) L(v1 + v2 ) = L(v1 ) + L(v2 ), f¨ ur alle v1 , v2 ∈ V . ur alle z ∈ C, v ∈ V . (ii) L(z · v) = z · L(v), f¨

Satz 3.10 Sei f : U → C eine Funktion. Dann sind die folgenden Aussagen ¨aquivalent: (i) f ist komplex differenzierbar in z0 ∈ U . (ii) Es existiert eine in z0 stetige Funktion ϕ : U → C mit f (z) = f (z0 ) + ϕ(z) · (z − z0 ),

(z ∈ U ).

(iii) Es existiert eine C–lineare Abbildung L : C → C und eine in z0 stetige Funktion % : U → C mit (a) %(z0 ) = 0. (b) f (z) = f (z0 ) + L(z − z0 ) + |z − z0 | · %(z),

(z ∈ U ).

Bemerkung: (1) L und % in (iii) sind eindeutig bestimmt. Man schreibt daher L = df (z0 ) = dC f (z0 ). (2) In (ii) gilt ϕ(z0 ) = f 0 (z0 ).

12

(3) Die C–linearen Abbildungen L : C → C sind eindeutig bestimmt durch den Streckungsfaktor S(L) := L(1) ∈ C (L(z) = z · L(1)). Man erh¨alt eine Bijektion S : Lin C (C, C) → C und es gilt S(L1 + L2 ) = S(L1 ) + S(L2 ) und S(L1 ◦ L2 ) = S(L1 ) · S(L2 ). ( Lin (C, C), +, ◦) ist ein zu (C, +, ·) isomorpher K¨orper. Es gilt f 0 (z0 ) = S(df (z0 )). (4) Jede C–lineare Abbildung ist auch R–linear: Lin C (C, C) ⊂ Lin R (C, C). Genauer gilt Lin C (C, C)\{0} ⊂ IR (C, C) ⊂ Lin R (C, C)\{0}, wobei IR (C, C) die Vektorraumisomorphismen von C nach C bezeichnet. In beiden F¨allen gilt aber nicht die Gleichheit der Mengen. Z. B. die Konjugation : C → C ist R–linear, aber nicht C–linear. Korollar 3.11 Ist f komplex differenzierbar in z0 , dann ist f stetig in z0 .

Korollar 3.12 Ist f komplex differenzierbar in z0 , dann ist f reell differenzierbar in z0 und es gilt dR f (z0 ) = dC f (z0 ). Korollar 3.13 Es sei f : U → C reell differenzierbar in z0 ∈ U . Dann gilt: f komplex differenzierbar in z0 ⇔ dR f (z0 ) ist C–linear. Bemerkung: Insbesondere folgt also aus der reellen Differenzierbarkeit nicht die komplexe Differenzierbarkeit! Lemma 3.14 Sei L : C → C eine R–lineare Abbildung. Dann sind folgende Aussagen ¨aquivalent: (i) L ist C–linear. (ii) L(i) = i · L(1). ½µ (iii) Mat (L) ∈ C :=

a −b b a

¶

¾ : a, b ∈ R ⊂ MR (2, 2).

Bemerkung: Durch −1

(C, +, ·) −−S Mat −−−→ ( Lin C (C, C), +, ◦) −−− −−−→ (C, +, ·),

µ ¶ µ ¶ a a −b a+i·b= 7→ b a b

ist ein Isomorphismus gegeben, d. h. (C, +, ·) bildet einen zu C isomorphen K¨orper. 13

Lemma 3.15 Es sei f : U → C in z0 ∈ U komplex differenzierbar. Dann gilt f¨ ur jedes w∈C f (z0 + t · w) − f (z0 ) lim = w · f 0 (z0 ) t→0 t (insbesondere existiert der Grenzwert). F¨ ur w = 1 bzw. w = i erh¨alt man ∂f (z0 ) = f 0 (z0 ), ∂x Also

∂f (z0 ) = i · f 0 (z0 ). ∂y

∂f ∂f (z0 ) = −i · (z0 ). ∂x ∂y

Korollar 3.16 Es sei f : U → C in z0 ∈ U komplex differenzierbar. Ferner sei f = u + i · v (also u = Re f und v = Im f ). Dann gilt ux (z0 ) = vy (z0 ),

uy (z0 ) = −vx (z0 ).

(3.1)

Ferner gibt es f¨ ur f 0 (z0 ) die 4 Darstellungen f 0 (z0 ) = ux (z0 ) + i · vx (z0 ) = vy (z0 ) + i · vx (z0 ) = ux (z0 ) − i · uy (z0 ) = vy (z0 ) − i · uy (z0 ).

Satz 3.17 Es sei f : U → C und f = u + i · v. Dann gilt: f ist in z0 komplex differenzierbar ⇐⇒ f ist in z0 reell differenzierbar und die partiellen Ableitungen gen¨ ugen den Bedingungen (3.1).

Korollar 3.18 F¨ ur die komplexe Differenzierbarkeit von f in z0 ist (a) notwendig: f partiell differenzierbar in z0 und es gilt (3.1). (b) hinreichend: f stetig partiell differenzierbar in z0 und es gilt (3.1).

14

Korollar 3.19 Ist f = u + i · v auf ganz U stetig partiell differenzierbar und sind die Cauchy–Riemannnschen Differentialgleichungen ux = vy ,

uy = −vx

erf¨ ullt, so ist f holomorph. Beispiel: (1) f : C → C, f (z) = zz = |z|2 . Dann ist u(x, y) = x2 + y 2 , v(x, y) = 0. u, v sind stetig partiell differenzierbar mit ux = 2x, uy = 2y, vx = vy = 0. (3.1) ist erf¨ ullt in z0 = x0 + iy0 ⇐⇒ 2x0 = 0, 2y0 = −0 ⇐⇒ z0 = 0. Also ist f auf ganz C reell differenzierbar, aber nur in z0 = 0 komplex differenzierbar. (2) f : C → C, f (x + iy) = x2 + 2ixy. Dann ist u(x, y) = x2 , v(x, y) = 2xy. u, v sind stetig partiell differenzierbar mit ux = 2x, uy = 0, vx = 2y, vy = 2x. (3.1) ist erf¨ ullt in z0 = x0 + iy0 ⇐⇒ 2x0 = 2x0 und 0 = −2y0 ⇐⇒ y0 = 0. f ist auf ganz C reell differenzierbar, aber nur auf der reellen Achse komplex differenzierbar.

3.3

Rechenregeln und einfache Eigenschaften

Satz 3.20 Es sei U ⊂ C offen, f, g : U → C komplex differenzierbar in z0 ∈ U und a, b ∈ C. Dann gilt (a) a · f + b · g ist komplex differenzierbar in z0 mit (a · f + b · g)0 (z0 ) = a · f 0 (z0 ) + b · g 0 (z0 ). (b) f · g ist komplex differenzierbar in z0 mit (f · g)0 (z0 ) = f 0 (z0 ) · g(z0 ) + f (z0 ) · g 0 (z0 ) (c) U \g −1 {0} ist offen in C und

(Produktregel).

f : U \g −1 {0} → C ist komplex differenzierbar in z0 mit g

µ ¶0 f 0 (z0 ) · g(z0 ) − f (z0 ) · g 0 (z0 ) f (z0 ) = g g(z0 )2

15

(Quotientenregel).

Bemerkung: (1) Polynome p : C → C, p(z) = ist gegeben durch p0 (z) =

n X

n X

ak · z k sind holomorph. Die Ableitung

k=0

ak · k · z k−1 .

k=1

(2) Gebrochenrationale Funktionen Z. B. f (z) = z −n .

p : C\q −1 {0} → C, p, q Polynome, sind holomorph. q

Satz 3.21 (Kettenregel) Es seien f : U → C, g : V → C, U, V ⊂ C offen, f (U ) ⊂ V . Ferner sei f komplex differenzierbar in z0 ∈ U und g in f (z0 ) ∈ V . Dann ist g ◦ f : U → C komplex differenzierbar in z0 mit (g ◦ f )0 (z0 ) = g 0 (f (z0 )) · f 0 (z0 ). Bezeichnung: Eine offene zusammenh¨angende Teilmenge von C (allgemein Rm ) heißt Gebiet. Satz 3.22 Es sei G ein Gebiet und f : G → C holomorph. Dann gilt: f 0 = 0 ⇐⇒ f ist konstant. Bemerkung: Ist U ⊂ Rm ein Gebiet und f : U → Rn , so gilt dR f (x0 ) = 0, f¨ ur alle x0 ∈ U , genau dann, wenn f konstant ist. Korollar 3.23 Sei G ⊂ C ein Gebiet und f, g : G → C holomorph. Dann gilt µ ¶0 f = 0. f = a · g, a ∈ C ⇐⇒ g

16

4

Funktionenfolgen und –reihen

Definition 4.1 Es sei X ⊂ C und {fn } eine Folge von Funktionen fn : X → C, n = 0, 1, 2, . . .. (a) {fn } heißt punktweise konvergent (bzw. divergent) auf M ⊂ X, wenn f¨ ur alle z ∈ M die Folge {fn (z)} konvergiert (bzw. divergiert). (b) {fn } heißt gleichm¨ aßig konvergent auf M ⊂ X, wenn eine Funktion f : M → C existiert mit ∀² > 0 ∃n0 ∈ N ∀n ≥ n0 ∀z ∈ M : |f (z) − fn (z)| < ². aßig konvergent auf M ⊂ X, wenn jedes z ∈ M eine offene (c) {fn } heißt lokal gleichm¨ Umgebung U in M hat, so daß {fn } gleichm¨aßig konvergent auf U ist. Bemerkung: (1) Aus der gleichm¨aßigen Konvergenz folgt die lokal gleichm¨aßige Konvergenz und aus dieser folgt die punktweise Konvergenz. Die Umkehrung gilt jeweils nicht. (2) Ist {fn } auf M punktweise konvergent, so heißt die Funktion f : M → C, f (z) := limn→∞ fn (z) die Grenzfunktion von {fn } auf M . Satz 4.2 Es sei {fn } lokal gleichm¨aßig konvergent auf M . Dann ist {fn } gleichm¨aßig konvergent auf allen kompakten K ⊂ M . Bemerkung: Die Umkehrung von Satz 4.2 ist richtig f¨ ur lokalkompakte Mengen M . M heißt lokalkompakt, wenn f¨ ur jedes z ∈ M eine offene Umgebung U von z in M und ein kompaktes K ⊂ M existieren mit U ⊂ K. Beispiel: Offene und abgeschlossene Mengen in C sind lokalkompakt. Satz 4.3 Es sei {fn } lokal gleichm¨aßig konvergent auf M . Sind alle fn /M stetig, so ist auch die Grenzfunktion f : M → C stetig.

Definition 4.4 Sei {fn } eine Funktionenfolge. Mit men {Fn } mit Fn :=

n X j=0

fj bezeichnet.

∞ X

∞ X

fn wird die Folge der Partialsum-

n=0

fn wird Funktionenreihe genannt.

n=0

∞ X

fn heißt

n=0

absolut (lokal) gleichm¨ aßig konvergent auf M , wenn

∞ X n=0

vergent ist.

17

|fn | (lokal) gleichm¨aßig kon-

Bemerkung: (1) Aus der absolut (lokal) gleichm¨aßigen Konvergenz folgt die (lokal) gleichm¨aßige Konvergenz. Die Umkehrung gilt nicht. ∞ X (2) Ist fn absolut (lokal) gleichm¨aßig konvergent, so ist auch jede Umordnung absolut n=0

(lokal) gleichm¨aßig konvergent. Es ergibt sich jeweils die gleiche Grenzfunktion. Satz 4.5 (Weierstraß’sches Majorantenkriterium) Es gebe eine Folge reeller Zahlen Dn ≥ 0, so daß (1) |f (zn )| ≤ Dn , f¨ ur alle z ∈ M . (2)

∞ X

Dn ist konvergent.

n=0

Dann ist

∞ X

fn absolut gleichm¨aßig konvergent auf M .

n=0

4.1

Potenzreihen

Definition 4.6 Eine Potenzreihe mit Entwicklungspunkt c ∈ C ist eine Funktionen∞ X reihe fn mit fn : C → C, fn (z) = an · (z − c)n , c ∈ C. Die an nennt man Koeffizienten n=0

der Potenzreihe. Man schreibt: < P > ≡

∞ X

an (z − c)n .

n=0

Bemerkung: (1) ‘z’ ist hier nur ein Symbol, und nicht ein fixiertes z ∈ C. (2) Die Schreibweise ∞ X

∞ X

an (z − c)n = u ∈ C f¨ ur ein gegebenes c ∈ C bedeutet, daß die Reihe

n=0

an (z − c)n konvergiert und ihr Grenzwert (Reihensumme) u ∈ C ist.

n=0

(3) Andere m¨ogliche Schreibweisen f¨ ur < P > sind: ∞ X

≡ an (z − c)n , falls a0 = . . . = ak = 0

≡

n=k+1 ∞ X a0n (z n=1

− c)2n , falls 0 = a1 = a3 = . . .

18

(a0n = a2n )

∞ X

Satz 4.7 Sei < P > ≡

an (z − c)n eine Potenzreihe. Dann existiert eine eindeutig

n=0

bestimmte Zahl R, 0 ≤ R ≤ ∞, so daß gilt: (1) < P > konvergiert absolut lokal gleichm¨aßig auf UR (c). (2) < P > divergiert auf C\UR (c). R heißt Konvergenzradius von < P >. Mit P : UR (c) → C wird die Grenzfunktion auf UR (c) bezeichnet. Es gilt ¶−1 µ p n , R = lim sup |an | n→∞

wobei 0−1 = ∞ und ∞−1 = 0 zu lesen ist. Beispiel: (1)

∞ X

nn · z n :

lim sup

√ n

nn = ∞, also R = 0.

n=0

(2)

∞ X

n−n · z n :

lim sup

√ n

n−n = 0, also R = ∞.

n=0

(3)

∞ X

zn:

lim sup

√ n

1 = 1, also R = 1.

n=0

Korollar 4.8 < P > ≡

∞ X

n

an (z − c) und < P > ≡

n=0

< a · P > :≡

∞ X

an+k (z − c)n , k ∈ N, haben den

n=0

gleichen Konvergenzradius.

Korollar 4.9 Es sei < P > ≡

∞ X

∞ X

an (z − c)n eine Potenzreihe, a ∈ C und

n=0

a · an (z − c)n . Dann haben < P > und < aP > den gleichen Konver-

n=0

genzradius, und die Grenzfunktion aP von < aP > stimmt u ¨berein mit a · P , wobei P die Grenzfunktion von < P > ist.

Satz 4.10 (Quotientenkriterium) Sei < P > ≡

∞ X

an (z −c)n eine Potenzreihe und fast

n=0

alle an seien 6= 0. Dann gilt

¯ ¯ ¯ ¯ ¯ an ¯ ¯ an ¯ ¯ ≤ R ≤ lim sup ¯ ¯ lim inf ¯¯ ¯ an+1 ¯ . an+1 ¯ ¯ ¯¾ ¯ ½¯ ¯ an ¯ ¯ an ¯ ¯ konvergiert, so gilt R = lim ¯ ¯ Falls ¯¯ ¯ an+1 ¯ . an+1 ¯ 19

Korollar 4.11

(a) F¨ ur c ≥ 0 gilt lim √ (b) F¨ ur c > 0 gilt lim n c = 1.

√ n

n + c = 1.

∞ X Beispiel: (1) Geometrische Reihe: F¨ ur a ∈ C sei < Ga > ≡ an · z n . n=0 ¯ ¯ ¯ an ¯ 1 1 ¯= Es gilt ¯¯ . Nach dem Quotientenkriterium gilt also R = . ¯ an+1 |a| |a|

Außerhalb von U1/|a| (0) divergiert die Reihe. F¨ ur die Grenzfunktion Ga : U1/|a| (0) → C gilt Ga (z) =

∞ X

an z n =

n=0

1 . 1 − az

Ga hat also eine stetige Fortsetzung u ¨ber U1/|a| (0) hinaus, n¨amlich auf C\{1/a}. ∞ X 1 n (2) Exponentialreihe: < exp > ≡ z . n! n=0 ¯ ¯ ¯ an ¯ ¯ = n + 1. Nach dem Quotientenkriterium gilt also R = ∞. Es gilt ¯¯ an+1 ¯ ∞ X 1 n Hierdurch ist die Exponentialfunktion exp : C → C, exp(z) = z definiert. n! n=0 à r !−1 r r n 1 n 1 n 1 Es folgt lim sup = R = ∞ und damit lim = lim sup = 0. n! n! n! ∞ X (−1)n−1 n (3) Logarithmische Reihe: < lgr > ≡ z . n n=1 ¯ ¯ ¯ an ¯ n + 1 ¯= Es gilt ¯¯ . Nach dem Quotientenkriterium gilt also R = 1. an+1 ¯ n ∞ X (−1)n−1 n Hierdurch ist die Grenzfunktion lgr : U1 (0) → C, lgr (z) = z definiert. n n=1 ∞ ∞ X X (−1)n 2n+1 (−1)n 2n (4) Sinus–und Cosinusreihe: < sin > ≡ z , < cos > ≡ z . (2n + 1)! (2n)! n=0 n=0

Das Quotientenkriterium ist nicht anwendbar, da unendlich viele Koeffizienten Null sind. r ³ ´−1 p 1 m = 0 gilt in beiden F¨allen R = lim sup n |an | Wegen lim = ∞. m! Damit ergeben sich die beiden Grenzfunktionen sin : C → C,

∞ X z3 z5 z7 (−1)n 2n+1 z =z− + − + −... sin z = (2n + 1)! 3! 5! 7! n=0

cos : C → C,

cos z =

∞ X (−1)n n=0

(2n)!

z 2n 20

=1−

z2 z4 z6 + − + −... 2! 4! 6!

Definition 4.12 Es sei < P > ≡ < DP > :≡

∞ X

X

an (z − c)n eine Potenzreihe. Dann heißt Ã

(n + 1) · an+1 · (z − c)n

≡

∞ X

n=0

! n · an · (z − c)n−1

n=1

die formale Ableitung von < P >.

Satz 4.13 Es sei < P > ≡

∞ X

an (z−c)n eine Potenzreihe mit formaler Ableitung < DP >.

n=0

Dann gilt:

(a) < DP > hat den gleichen Konvergenzradius R wie < P >. (b) Die Grenzfunktion P : UR (c) → C von < P > ist holomorph und es gilt P 0 = DP = Grenzfunktion von < DP >. Potenzreihen k¨onnen also ‘gliedweise differenziert’ werden.

Korollar 4.14 Die Grenzfunktion P : UR (c) → C einer Potenzreihe ∞ X

≡ an (z − c)n ist beliebig oft komplex differenzierbar. n=0

Es gilt an =

1 · P (n) (c), wobei P (n) : UR (c) → C die n–te Ableitung von P ist. n!

Beispiel: (1) < D lgr > = < G−1 > ≡ 1 ⇒ ( lgr ) (z) = G−1 (z) = . 1+z

∞ X

(−1)n−1 · z n−1 =

n=1

n=0

0

(2) < D exp > = < exp >, d. h. (3) < D sin > = < cos >, d. h. (4) < D cos > = < − sin >, d. h.

∞ X

exp0 = exp. sin0 = cos. cos0 = − sin.

21

(−1)n · z n .

5 5.1

Elementar–transzendente Funktionen Die Exponentialfunktion

∞ X 1 n ur die Exponentialfunktion exp : C → C, exp(z) = z , gilt: Satz 5.1 F¨ n! n=0

(E1) exp(0) = 1. (E2) exp(z) = exp(z), f¨ ur alle z ∈ C. (E3) exp hat keine Nullstellen und es gilt: exp(−z) =

1 . exp(z)

(E4) Sei f : C → C holomorph mit f 0 = f . Dann gilt f = c·exp mit einem c ∈ C (c = f (0)). (E5) exp(z1 + z2 ) = exp(z1 ) · exp(z2 ), f¨ ur alle z1 , z2 ∈ C, d. h. exp ist ein Gruppenhomomorphismus von (C, +) in (C\{0}, ·). (E6) exp(R) = (0, ∞) = R+ . (E7) F¨ ur x ∈ R gilt exp(x) = 1 ⇐⇒ x = 0. (E8) | exp(z)| = exp( Re z), f¨ ur alle z ∈ C. (E9) | exp(z)| = 1 ⇐⇒ Re z = 0. (E10) F¨ ur alle z ∈ U1 (0) gilt exp( lgr (z)) = 1 + z. (E11) exp : C → C\{0} ist surjektiv. (E12) Der Kern des Exponentialhomomorphismus ist ker exp = iaZ = {iak : k ∈ Z}, f¨ ur ein gewisses a ∈ R+ ( ker exp := {z ∈ C : exp(z) = 1} ). a Man setzt π := . (Sp¨ater wird gezeigt, daß dies das ‘alte’ π ist). 2 (E13) exp(iπ) = −1. ∞ X 1 = 2.7 . . . schreibt man exp(z) = ez . Es gilt dann Bemerkung: Mit e := exp(1) = n! n=0 µ ¶ √ p z1 +z2 z1 z2 e = e · e , f¨ ur alle z1 , z2 ∈ C und f¨ ur alle p ∈ Z, q ∈ N gilt exp = ep/q = q ep . q

22





























































































































































































































 M                





















 
               





















  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Bezeichnung: F¨ ur M ⊂ R sei S(M ) := {z ∈ C : Im ∈ M }. Falls M ein Intervall ist, so ist S(M ) ein Streifen parallel zur reellen Achse.

Satz 5.2 (a) Ist J ein halboffenes Intervall der L¨ange 2π (z. B. J = (−π, π], J = [0, 2π)), dann bildet exp den halboffenen Streifen S(J) bijektiv auf C\{0} ab. (b) Die Gerade S({t}), parallel zur reellen Achse, wird bijektiv auf den Strahl (eit ) := {r · eit : r > 0} abgebildet.

5.2

Der Logarithmus

Definition 5.3 (a) Sei z ∈ C\{0}. Dann heißt a ∈ C ein Logarithmus von z, wenn exp(a) = z. (b) Sei G ⊂ C\{0} ein Gebiet. Eine stetige Funktion ` : G → C heißt Logarithmusfunktion, wenn exp ◦`(z) = z, f¨ ur alle z ∈ G.

Satz 5.4 Es gebe auf G eine Logarithmusfunktion `. Dann gibt es auf G genau abz¨ahlbar viele verschiedene Logarithmusfunktionen, n¨amlich die Funktionen `k : G → C, `k (z) := `(z) + 2kπi, k ∈ Z.

Satz 5.5 log : U1 (1) → C, log(z) := lgr (z − 1) ist eine holomorphe Logarithmusfunktion.

Korollar 5.6 Sei a ∈ C\{0} und b ein Logarithmus von a. Dann ist z loga,b : U|a| (a) → C, loga,b (z) := log + b eine holomorphe Logarithmusfunktion. a

Korollar 5.7 Jede Logarithmusfunktion ` : G → C ist holomorph.

23

Korollar 5.8 Sei G ⊂ C\{0} ein Gebiet und f : G → C eine Funktion. Dann sind folgende Aussagen ¨aquivalent: (i) f ist eine Logarithmusfunktion. (ii) f ist holomorph mit f 0 (z) =

1 und exp(f (a)) = a, f¨ ur ein a ∈ G. z

Korollar 5.9 Die Exponentialfunktion ist eine offene Abbildung, d. h. ist U ⊂ C offen, so ist exp(U ) ⊂ C\{0} offen.

Bezeichnung: F¨ ur u ∈ C mit |u| = 1 sei C[u] := C\{ru : r ≥ 0}

u

die durch u geschlitzte Ebene.

Satz 5.10 F¨ ur alle t ∈ R bildet exp den offenen Streifen S((t − π, t + π)) bijektiv auf die geschlitzte Ebene C [eit ] ab. Die Umkehrfunktion logt : C [eit ] → S((t − π, t + π)) ist eine Logarithmusfunktion.

t
+ 
π 




















































 t 






















































exp

t−π

24

e

it

Definition 5.11 log := log0 : C[−1] → S((−π, π)) ⊂ C heißt Hauptzweig des Logarithmus.

































π











 













































































log

−π

Bemerkung: (1) Es gilt log((0, ∞)) = R. log : (0, ∞) → R ⊂ C ist der gew¨ohnliche reelle Logarithmus. (2) F¨ ur z ∈ S((−π, π)) gilt exp(z) ∈ R ⇐⇒ Im z = 0. (3) F¨ ur den reellen Logarithmus gilt log(ab) = log(a) + log(b). Warnung: log(zz 0 ) = log(z) + log(z 0 ) ist i. a. falsch f¨ ur z, z 0 ∈ C[−1]. Satz 5.12 Es gibt keine Logarithmusfunktion ` : C\{0} → C.

5.3

Die trigonometrischen Funktionen sin, cos

Satz 5.13 F¨ ur die Funktionen sin, cos : C → C gilt: ur alle z ∈ C. (T1) exp(iz) = cos z + i · sin z, f¨ (T2) cos(z) = cos(−z), sin(−z) = − sin(z), f¨ ur alle z ∈ C. (T3) cos(0) = 1, sin(0) = 0, cos(R), sin(R) ⊂ R. (T4) cos z = 12 (eiz + e−iz ),

sin z =

1 2i

(eiz − e−iz ), f¨ ur alle z ∈ C.

(T5) cos2 z + sin2 z = 1, f¨ ur alle z ∈ C. (T6) sin(z + w) = sin z cos w + cos z sin w,

cos(z + w) = cos z cos w − sin z sin w,

f¨ ur alle z, w ∈ C. (T7) sin z − sin w = 2 cos

z+w z−w · sin , 2 2

cos z − cos w = −2 sin

z+w z−w · sin , 2 2

f¨ ur alle z, w ∈ C. (T8) sin z = 0 ⇐⇒ z = mπ, m ∈ Z,

cos z = 0 ⇐⇒ z = mπ + π/2, m ∈ Z.

(T9) sin z = sin w ⇐⇒ w = 2πm + z oder w = 2πm + π − z, cos z = cos w ⇐⇒ w = 2πm ± z. 25

Definition 5.14 Sei K ∈ {R, C}, X beliebige Menge und f : K → X. f heißt periodisch mit Periode p ∈ K, wenn f (z +p) = f (z), f¨ ur alle z ∈ K. Ferner sei Per (f ) := {p ∈ K : p ist eine Periode von f }. Beispiel: Wegen exp(z) = exp(w) ⇐⇒ z − w ∈ 2πiZ gilt Per (exp) = 2πiZ. Satz 5.15 F¨ ur die Funktionen sin, cos : C → C gilt: (T10) Per (cos) = Per (sin) = 2πZ. (T11) sin und cos sind surjektiv. Wegen (T9) hat dann jedes c ∈ C abz¨ahlbar unendlich viele Urbilder. (T12) F¨ ur t ∈ [0, 2π] gilt: sin(t) > 0 ⇐⇒ t ∈ (0, π). ³ iπ π π´ 2 (T13) sin = 1, e = i, cos z = sin z + . 2 2 (T14) sin(R) = cos(R) = [−1, 1], sin z, cos z ∈ [−1, 1] ⇐⇒ Im z = 0. (T15) cos ist streng monoton wachsend auf [2πm − π, 2πm] und streng monoton fallend auf [2πm, 2πm + π], m ∈ Z.

−π

sin

cos

π

2π

−2π

5.4

Winkel

− → − → Um den Winkel zwischen den zwei Strahlen 01 und 0z zu definieren, wird eine reelle Parametrisierung der Kreislinie S 1 = {z ∈ C : |z| = 1} ben¨otigt, d. h. eine Funktion w : R → S 1 . Diese sollte die folgenden ‘vern¨ unftigen’ Eigenschaften besitzen. (W1) w ist stetig und w(0) = 1. (W2) w ist periodisch, Per (w) = dZ, d > 0. (W3) w bildet [0, d) bijektiv auf S 1 ab. (W4) |w(ϕ1 + ϕ2 ) − w(ϕ2 )| = |w(ϕ1 ) − 1| und |w(ϕ1 + ϕ2 ) − w(ϕ1 )| = |w(ϕ2 ) − 1|. 26

Existiert eine solche Funktion? Satz 5.16 w erf¨ ullt (W1)–(W4) genau dann, wenn w ein stetiger und surjektiver Gruppenhomomorphismus von (R, +) nach (S 1 , ·) ist. Satz 5.17 cis : R → S 1 , cis (ϕ) = eiϕ = cos ϕ + i sin ϕ ist ein stetiger surjektiver Gruppenhomomorphismus. Satz 5.18 Sei w : R → S 1 ein stetiger, surjektiver Gruppenhomomorphismus. Dann existiert genau ein c ∈ R\{0} mit w(ϕ) = cis (cϕ), f¨ ur alle ϕ ∈ R. 2π Bemerkung: (1) Die Konstante c legt die Skala fest. F¨ ur c = erh¨alt man z. B. die 360 Gradskala. c > 0 bedeutet ‘gegen den Uhrzeigersinn’, c < 0 ‘mit dem Uhrzeigersinn’. (2) Die hier gew¨ahlte Einf¨ uhrung des Winkels ist analytischer Natur. Man kann den Winkel auch geometrisch mit Hilfe des Bogenmaßes definieren. Dabei wird die L¨ange des Bogens ⊂ S 1 von 1 nach z ∈ S 1 gemessen. Bezeichnung: Seien z1 , z2 ∈ C\{0}. Der (orientierte) Winkel zwischen z1 und z2 ist wie folgt definiert: W¨ahle ϕK ∈ R mit zk cis (ϕk ) = ∈ S 1 , k = 1, 2. |zk |

z2

z1

Es sei ϕ2 ∈ [ϕ1 , ϕ1 + 2π). Dann setzt man

ª (z1 , z2 ) := ϕ2 − ϕ1 .

Bemerkung: Die Definition h¨angt nicht von der Wahl der ϕ1 , ϕ2 ab (wegen der Periodizit¨at). Bezeichnung: Der von z1 , z2 6= 0 eingeschlossene Winkel (nichtorientiert) ist ^(z1 , z2 ) := min(ª (z1 , z2 ), ª (z2 , z1 )) ∈ [0, π]. Bemerkung: Es gilt (1) ª (z1 , z2 )+ ª (z2 , z1 ) = 2π, f¨ ur z1 6= z2 (und = 0, f¨ ur z1 = z2 ). (2) cos ª (z1 , z2 ) = cos ª (z2 , z1 ) = cos ^(z1 , z2 ). ur z1 , z2 6= 0 gilt < z1 , z2 >= |z1 | · |z2 | · cos ^(z1 , z2 ), Satz 5.19 F¨ wobei < ·, · > das reelle Skalarprodukt auf C = R2 bezeichnet. Bemerkung: Da cos das Intervall [0, π] bijektiv auf [−1, 1] abbildet, k¨onnte man Satz 5.19 auch zur Definition von ^(z1 , z2 ) benutzen. 27

5.5

Polarkoordinaten

Bezeichnung: F¨ ur jedes z ∈ C\{0} existiert genau ein Paar (r, ϕ) ∈ R+ × [0, 2π) mit z = r · eiϕ .

z r

Es gilt r = |z|. ϕ ist der Winkel zwischen 1 und z: ϕ =ª (1, z). (r, ϕ) heißen Polarkoordinaten von z.

ϕ

ϕ heißt Argument von z. Man schreibt ϕ = arg z, arg : C\{0} → [0, 2π).

Bemerkung: (1) [0, 2π) kann durch jedes beliebige halboffene Intervall der L¨ange 2π ersetzt werden. (2) arg ist unstetig in allen x ∈ R+ . (3) Es sei zk = rk ·eiϕk , k = 1, 2. Dann gilt z1 ·z2 = r1 r2 ·ei(ϕ1 +ϕ2 ) , d. h. bei der Multiplikation werden die Betr¨age multipliziert und die Winkel addiert. Satz 5.20 (Formel von Moivre) Sei z = r · eiϕ = r · (cos ϕ + i sin ϕ). Dann gilt z n = rn · einϕ = rn · (cos nϕ + i sin nϕ).

Satz 5.21 Sei n ≥ 1. Dann gibt es genau µ ¶ n verschiedene komplexe Zahlen ξ1 , . . . , ξn mit 2π 2π ξkn = 1, k = 1, . . . , n. Es gilt ξ1 = cis = ei n und ξk = ξ1k , k = 2, . . . , n. n Die ξ1 , . . . , ξn heißen n–te Einheitswurzeln.

Korollar 5.22 Jedes c ∈ C\{0} hat genau n verschiedene n–te Wurzeln.

28

6

Komplexe Integration

6.1

Wege, Kurven und Kurvenintegrale

Zun¨achst sollen einige Begriffe wiederholt werden. Im folgenden sei [a, b] ⊂ R stets ein abgeschlossenes Intervall. Bezeichnung: (1) F : [a, b] → C (bzw. R) heißt stu ¨ ckweise stetig, wenn F in h¨ochstens endlich vielen tk ∈ [a, b] unstetig ist und in diesen tk die einseitigen Grenzwerte lim F (t) und lim F (t) existieren (im Fall tk = a oder tk = b lese man t→tk ,t∈[a,tk )

t→tk ,t∈(tk ,b]

[a, a) = {a} bzw. (b, b] = {b}). (2) F : [a, b] → C heißt (stetig) differenzierbar, wenn in jedem t0 ∈ [a, b] die Ableitung F 0 (t0 ) existiert (und die Funktion F 0 : [a, b] → C stetig ist). (3) F¨ ur st¨ uckweise stetige F : [a, b] → C definiert man Z b Z b Z F (t) dt := Re F (t) dt + i · a

a

b

Im F (t) dt. a

Bemerkung: (1) Ist F st¨ uckweise stetig, dann ist F beschr¨ankt, d. h. es existiert kF k := supt∈[a,b] |F (t)|. (2) F ist genau dann differenzierbar, wenn Re F und Im F differenzierbar sind. In diesem Fall gilt F 0 = ( Re F )0 + i · ( Im F )0 . (3) Mit F 0 (a), F 0 (b) sind die rechtsseitige Ableitung F+0 (a) = F (t) − F (b) gemeint. t→b,ta t−a lim

linksseitige Ableitung F−0 (b) = lim

Das Integral hat die folgenden Eigenschaften. R R R R (1) Re F = Re F , Im F = Im F . R R R (2) (c1 F1 + c2 F2 )(t) dt = c1 · F1 (t) dt + c2 · F2 (t) dt, f¨ ur c1 , c2 ∈ C. Rb Rx Rb (3) F¨ ur x ∈ [a, b] gilt a F (t) dt = a F (t) dt + x F (t) dt. (4) Falls F stetig ist, so kann man Fˆ : [a, b] → C definieren durch Z t ˆ F (t) := F (u) du. a

Dann ist Fˆ differenzierbar und es gilt Fˆ 0 = F . Ist G : [a, b) → C eine Stammfunktion von F , (d. h. G differenzierbar mit G0 = F ), so gilt G = Fˆ + const. Insbesondere gilt Z b F (t) dt = Fˆ (b) − Fˆ (a) = G(b) − G(a). a

29

(5) Das Integral kann durch Riemannsche Summen approximiert werden. Eine Zerlegung von [a, b] ist eine endliche Folge Z = (t0 , . . . , tn ) mit a = t0 < t1 < . . . < tn = b. |Z| = max |tk+1 − tk | heißt die Feinheit der Zerlegung. Eine Besetzung von Z k=0,...,n−1

ist eine endliche Folge B(Z) = (s0 , . . . , sn−1 ) mit sk ∈ [tk , tk+1 ]. Es gilt ¯Z ¯ n−1 ¯ b ¯ X ¯ ¯ ∀ ² > 0 ∃ δ > 0 ∀ Z, B(Z) : |Z| < δ ⇒ ¯ F (t) dt − F (sk ) · (tk+1 − tk )¯ < ². ¯ a ¯ k=0

¯ Z b ¯Z b ¯ ¯ ¯ |F (t)| dt. F (t) dt¯¯ ≤ (6) ¯ a

a

Definition 6.1 (a) Ein Weg (in M ⊂ C) ist eine stetige Funktion γ : [a, b] → C (mit γ([a, b]) ⊂ M ). (b) γ heißt geschlossen, wenn γ(a) = γ(b). (c) γ heißt linear, wenn γ(t) = γ(a) +

γ(b) − γ(a) (t − a). b−a

(d) Die Menge Sp (γ) := γ([a, b]) heißt Spur von γ. (e) Der Weg γ −1 : [a, b] → C mit γ −1 (t) := γ(a + b − t) heißt invers zu γ. Beispiel: (1) c : [a, b] → C, c(t) ≡ c ∈ C (konstanter Weg). (2) F¨ ur z0 , z1 ∈ C ist die Strecke von z0 nach z1 gegeben durch [z0 , z1 ] : [0, 1] → C, [z0 , z1 ](t) = z0 + t(z1 − z0 ). (3) ∂Ur (c) : [0, 2π] → C, [∂Ur (c)](t) = c + r · eit ist ein Kreis mit Radius r um c ∈ C. Bemerkung: Verschiedene Wege bzw. Kurven k¨onnen die gleiche Spur haben, z. B. γ : [0, 4] → C, γ(t) = t + it und γ˜ : [0, 2] → C, γ˜ (t) = t2 + it2 . Man kann Wege ‘aneinanderkleben’. Definition 6.2 Die Wege γk : [ak , bk ] → C, k = 1, . . . , n, heißen aufeinanderfolgend, wenn γk (bk ) = γk+1 (ak+1 ), k = 1, . . . , n − 1. Man definiert dann mit ∆k = bk − ak , k = 1, . . . , n − 1 den Weg γ1 ∗ . . . ∗ γn : [a1 , a1 + ∆1 + . . . + ∆n−1 ] → C durch à à !! " # m m m+1 X X X (γ1 ∗. . .∗γn )(t) := γm+1 am+1 + t − a1 + ∆k , t ∈ a1 + ∆k , a 1 + ∆k . k=1

30

k=1

k=1

Bemerkung: (1) In der Literatur findet man meistens γ1 + . . . + γn statt γ1 ∗ . . . ∗ γn . (2) Sind γ1 , . . . , γn+p aufeinanderfolgend, dann sind auch γ1 ∗ . . . ∗ γn und γn+1 ∗ . . . ∗ γn+p aufeinanderfolgend und es gilt (γ1 ∗ . . . ∗ γn ) ∗ (γn+1 ∗ . . . ∗ γn+p ) = γ1 ∗ . . . ∗ γn+p , d. h. Klammersetzen ist u ussig. ¨berfl¨ Definition 6.3 Ein Weg γ : [a, b] → C heißt stu ¨ ckweise stetig differenzierbar, oder kurz Kurve, wenn es stetig differenzierbare aufeinanderfolgende Wege γ1 , . . . , γn gibt, so daß γ = γ1 ∗ . . . ∗ γn . Sind die γk sogar linear, so heißt γ Polygonzug. Bemerkung: (1) Die Zerlegung γ = γ1 ∗ . . . ∗ γn ist nicht eindeutig. (2) Es seien γ1 , . . . , γn aufeinanderfolgend. Dann gilt: γ1 ∗ . . . ∗ γn ist Kurve ⇐⇒ Alle γk sind Kurven. (3) Eine Kurve ist in allen t ∈ [a, b) rechtsseitig differenzierbar und in allen t ∈ (a, b] linksseitig differenzierbar. F¨ ur h¨ochstens endlich viele Knickstellen θk ∈ (a, b) gilt 0 0 γ+ (θk ) 6= γ− (θk ). Definition 6.4 Sei γ : [a, b] → C eine Kurve. Dann sei γ 0 : [a, b] → C definiert durch γ 0 (a) := γ+0 (a) und γ 0 (t) := γ−0 (t), f¨ ur t ∈ (a, b]. Bemerkung: (1) γ 0 ist st¨ uckweise stetig. (2) γ 0 stetig ⇐⇒ γ stetig differenzierbar. (3) Ist γ stetig differenzierbar, so ist γ 0 die gew¨ohnliche Ableitung. Definition 6.5 Sei γ : [a, b] → C eine Kurve. Z b Dann heißt L(γ) := |γ 0 (t)| dt die L¨ ange von γ. a

Bemerkung: (1) Es gilt L(γ) ≥ 0, f¨ ur alle Kurven. (2) Sind γ1 , . . . , γn aufeinanderfolgend, dann gilt L(γ1 ∗ . . . ∗ γn ) = L(γ1 ) + . . . + L(γn ). (3) Es gilt L(γ −1 ) = L(γ), f¨ ur alle Kurven. γ(b) − γ(a) (4) Ist γ linear, so gilt γ 0 (t) = . Die L¨ange ist L(γ) = |γ(b) − γ(a)|, also gleich b−a dem Abstand zwischen Anfangs– und Endpunkt. (5) Nach (4) ist die Definition der L¨ange f¨ ur Polygonz¨ uge sinnvoll. Beliebige Kurven k¨onnen durch Polygonz¨ uge approximiert werden. Beispiel: Es seien z0 , z1 ∈ S 1 und ϕ ∈ [0, 2π) der orientierte Winkel zwischen z0 und z1 . Ferner sei γ : [0, ϕ] definiert durch γ(t) = z0 · eRit . Es gilt γ(0) = z0 , γ(ϕ) = z0 · eiϕ = z1 und ϕ γ 0 (t) = z0 · i · eit . Mit |γ 0 (t)| = 1 folgt L(γ) = 0 1 dt = ϕ. Dies kann als Rechtfertigung f¨ ur das Bogenmaß herangezogen werden. Insbesondere ist die L¨ange des oberen bzw. unteren Halbkreises π und der Umfang von S 1 ist 2π. 31

Definition 6.6 Es sei γ : [a, b] → C eine Kurve, Sp (γ) ⊂ M und f : M → C stetig. Dann heißt Z Z b f (z) dz := f (γ(t)) · γ 0 (t) dt γ

a

das Kurvenintegral von f entlang γ (F : [a, b] → C, F (t) = f (γ(t)) · γ 0 (t) ist st¨ uckweise stetig). R Bemerkung: Das Integral γ f (z) dz wird approximiert durch die Riemannschen Summen n−1 X f (γ(sk )) · (γ(tk+1 ) − γ(tk )), mit Zerlegungen Z = (t0 , . . . , tn ) von [a, b] und Besetzungen k=0

B(Z) = (s0 , . . . , sn−1 ). Definition 6.7 Seien γ1 : [a1 , b1 ] → C, γ2 : [a2 , b2 ] → C Kurven. Eine differenzierbare Bijektion ϕ : [a1 , b1 ] → [a2 , b2 ] mit γ2 ◦ ϕ = γ1 heißt Parametertransformation. In diesem Falle schreibt man γ1 ≡ γ2 . ¨ Bemerkung: (1) ≡ ist eine Aquivalenzrelation f¨ ur Kurven. ¨ (2) Aquivalente Kurven sind ‘identisch bis auf Durchlaufgeschwindigkeit’. Lemma 6.8 Es sei M ⊂ C und γ1 : [a1 , b1 ] → M , γ2 : [a2 , b2 ] → M ¨aquivalente Kurven. Ferner sei f : M → C stetig. Dann gilt (a) L(γ1 ) = L(γ2 ). R R (b) γ1 f (z) dz = γ2 f (z) dz. Satz 6.9 Es sei M ⊂ C und f, f1 , f2 : M → C stetig. Ferner seien γ, γ1 , . . . , γn Kurven in M und γ1 , . . . , γn aufeinanderfolgend. Dann gilt Z Z Z (a) f (z) dz = f (z) dz + . . . + f (z) dz. Z

γ1 ∗...∗γn

(b)

γ1

Z

f (z) dz = − γ −1

γn

f (z) dz. γ

Z

Z

Z

(c1 f1 + c2 f2 )(z) dz = c1 ·

(c) γ

f1 (z) dz + c2 · γ

f2 (z) dz, f¨ ur Konstanten c1 , c2 ∈ C. γ

Beispiel: Es sei γ = ∂Ur (c). F¨ ur n ∈ Z gilt ½ Z 0 , n 6= −1 n (z − c) dz = . 2πi, n = −1 ∂Ur (c) 32

Man kann den Betrag eines Kurvenintegrals mit Hilfe der L¨ange der Kurve absch¨atzen. Satz 6.10 Es sei M ⊂ C, γ : [a, b] → C, eine Kurve in M und f : M → C stetig. Dann gilt ¯Z ¯ ¯ ¯ ¯ f (z) dz ¯ ≤ kf k Sp (γ) · L(γ), ¯ ¯ γ

wobei kf kK = sup |f (z)|, f¨ ur K ⊂ C. z∈K

Korollar 6.11 Es sei M ⊂ C und f, g : M → C stetig. Ferner sei γ : [a, b] → C eine Kurve in M . Dann gilt ¯ ¯Z Z ¯ ¯ ¯ f (z) dz − g(z) dz ¯ ≤ kf − gk Sp (γ) · L(γ) ¯ ¯ γ

γ

(‘Stetigkeit des Integrals in f ’).

Korollar 6.12 Es sei M ⊂ C und γ : [a, b] → C eine Kurve in M . Ferner sei {fn } eine Folge stetiger Funktionen fn : M → C, die lokal gleichm¨aßig gegen eine Funktion f : M → C konvergiert. Dann gilt Z Z f (z) dz = lim γ

n→∞

fn (z) dz. γ

P Korollar 6.13 Es sei M ⊂ C und γ : [a, b] → C eine Kurve in M . Ferner sei ∞ n=0 fn eine Reihe stetiger Funktionen fn : M → C, die lokal gleichm¨aßig gegen eine Funktion F : M → C konvergiert. Dann gilt Z F (z) dz = γ

∞ Z X n=0

33

fn (z) dz. γ

6.2

Stammfunktionen

Wie in der reellen Analysis m¨ochte man auch hier den Prozeß der Differentation umkehren. Ist F : [a, b] → R eine Stammfunktion der stetigen Funktion f : [a, b] → R, dann gilt nach Z b dem Hauptsatz der Differential– und Integralrechnung f (t) dt = F (a) − F (b). a

Will man eine Funktion f : G → C von z1 ∈ G bis z2 ∈ G integrieren, so ist zun¨achst die Frage, welchen Weg man dazu w¨ahlt. Es stellt sich die Frage, unter welchen Bedingungen das Integral unabh¨angig vom gew¨ahlten Weg (bzw. der Kurve) ist. Definition 6.14 Sei G ⊂ C ein Gebiet und f : G → C eine stetige Funktion. Eine Funktion F : G → C heißt Stammfunktion von f , wenn F holomorph ist mit F 0 = f . Bemerkung: Polynome und Grenzfunktionen von Potenzreihen haben Stammfunktionen. Lemma 6.15 Sei G ⊂ C ein Gebiet und f : G → C eine stetige Funktion. Sind F1 , F2 : G → C zwei Stammfunktionen von f , dann gilt F2 = F1 + c, mit einer Konstanten c ∈ C.

Definition 6.16 Zwei Wege γ1 : [a1 , b1 ] → C, γ2 : [a2 , b2 ] → C heißen gleichendig, wenn γ1 (a1 ) = γ2 (a2 ) und γ1 (b1 ) = γ2 (b2 ).

Definition 6.17 Sei G ⊂ C ein Gebiet. Die Funktion f : G → CZ heißt wegunabh angig ¨ Z integrierbar, wenn f¨ ur je zwei gleichendige Kurven γ1 , γ2 in G gilt f (z) dz = f (z) dz. γ1

γ2

Lemma 6.18 Sei G ⊂ C ein Gebiet. Die Funktion f : G → C ist Z wegunabh¨angig integrierbar genau dann, wenn f¨ ur alle geschlossenen Kurven γ in G gilt

f (z) dz = 0. γ

Satz 6.19 Sei G ⊂ C ein Gebiet. Die Funktion f : G → C habe eine Stammfunktion F . Dann gilt f¨ ur jede Kurve γ : [a, b] → C in G Z f (z) dz = F (γ(b)) − F (γ(a)). γ

Insbesondere ist f also wegunabh¨angig integrierbar.

34

Bezeichnung: F¨ ur w0 , w1 ∈ C heißt

w1

(w0 , w1 ) := [w0 , Re w1 +i Im w0 ]∗[ Re w1 +i Im w0 , w1 ] w0

der rechtwinklige Weg von w0 nach w1 .

Lemma 6.20 Sei G ⊂ C ein Gebiet, f : G → C stetig und F : G → C eine Funktion. Dann ist F genau dann Stammfunktion von f , wenn f¨ ur alle w0 , w1 ∈ G, deren rechtwinkliger Weg ganz in G verl¨auft, gilt Z F (w1 ) − F (w0 ) = f (z) dz. (w0 ,w1 )

Korollar 6.21 Sei G ⊂ C ein Gebiet, f : G → C stetig und a ∈ G. Ist f wegunabh¨angig integrierbar, dann ist Z F (w) = f (z) dz, γw

γw eine beliebige Kurve von a nach w, wohldefiniert. Ferner ist F : G → C eine Stammfunktion von f .

Korollar 6.22 Sei G ⊂ C ein Gebiet und f : G → C stetig. Dann gilt

f hat eine Stammfunktion ⇐⇒ f ist wegunabh¨angig integrierbar.

Z Beispiel: Es gilt ∂U1 (0)

Also ist

1 z

1 dz = 2πi 6= 0 = z

Z 1

1 dz. z

nicht wegunabh¨angig integrierbar, d. h.

1 z

hat keine Stammfunktion.

Genauer: f : C\{0} → C, f (z) = z1 , hat keine Stammfunktion. Aber: fˆ : C[−1] → C, fˆ(z) = z1 , hat eine Stammfunktion, z. B. log : C[−1] → C.

35

6.3

Der Cauchysche Integralsatz

Bezeichnung: Ein Rechteck ist eine Menge der Form

z4

y

z

3

2

R = [x1 , x2 ] × [y1 , y2 ] ⊂ R2 = C,

R

mit x1 < x2 und y1 < y2 .

y1

z2

z1

Die Ecken von R sind z1 = x1 + iy1 , z2 = x2 + iy1 , z3 = x2 + iy2 , z4 = x1 + iy2 . x

1

x2

Der Rand von R ist der geschlossene Kantenzug ∂R = [z1 , z2 ] ∗ [z2 , z3 ] ∗ [z3 , z4 ] ∗ [z4 , z1 ]. Zur Abk¨ urzung setzt man γj (R) := [zj , zj+1 ], f¨ ur j = 1, 2, 3, 4 (mit z5 := z1 ).

Lemma 6.23 Sei R ⊂ C ein Rechteck und z, z 0 ∈ R. Dann gilt |z − z 0 | ≤

1 L(∂R). 2

Satz 6.24 (Cauchyscher Integralsatz fu ¨ r Rechteckswege) Sei G ⊂ C ein Gebiet, f : G → C holomorph und R ⊂ G ein Rechteck. Dann gilt Z f (z) dz = 0. ∂R

Satz 6.25 Sei G eine offene Kreisscheibe oder G = C. Ferner sei f : G → C holomorph. Dann hat f eine Stammfunktion. Als Folgerung erh¨alt man, daß das Kurvenintegral von holomorphen Funktionen entlang ‘nicht zu verschiedener’ Kurven gleich ist. Korollar 6.26 Sei G ⊂ C ein Gebiet und f : G → C holomorph. Ferner seien β, γ : [a, b] → C zwei gleichendige Kurven in G mit kβ − γk < dist ( Sp (β) ∪ Sp (γ), C\G). Dann gilt Z Z f (z) dz = f (z) dz. β

γ

36

Z F¨ ur holomorphe Funktionen f soll nun das Integral

f (z) dz u ¨ber einen WEG χ definiert χ

werden. Dazu wird χ durch Kurven approximiert. Nach dem vorigen Korollar ist das Integral u ¨ber diese Kurven dann identisch. Lemma 6.27 Es sei χ : [a, b] → C ein Weg. Dann gibt es zu ² > 0 eine Kurve (einen Polygonzug) γ : [a, b] → C, die mit χ gleichendig ist, mit kχ − γk < ².

Satz 6.28 Es sei G ⊂ C ein Gebiet und f : G → C holomorph. Ferner sei χ : [a, b] → C ein beliebiger Weg in G. Dann gibt es genau eine Zahl I(χ, f ) mit folgender Eigenschaft: Ist Z γ : [a, b] → C einen mit f (z) dz = I(χ, f ). χ gleichendige Kurve mit kχ − γk < 13 dist ( Sp (χ), C\G), dann gilt Ist χ selbst eine Kurve, so gilt I(χ, f ) =

γ

R χ

f (z) dz.

Bemerkung: I(χ, f ) hat die folgenden Eigenschaften mit dem Integral gemein: (1) I(χ, c1 f1 + c2 f2 ) = c1 · I(χ, f1 ) + c2 · I(χ, f2 ). (2) I(χ−1 , f ) = −I(χ, f ). (3) I(χ1 ∗ . . . ∗ χn , f ) = I(χ1 , f ) + . . . + I(χn , f ), f¨ ur aufeienanderfolgende Wege χ1 , . . . , χn . Darum ist es sinnvoll, die Zahl I(χ, f ) als Integral u ¨ber den Weg χ aufzufassen. Definition 6.29 Es sei G ⊂ C ein Gebiet und f : G → C HOLOMORPH. Ferner sei χ : [a, b] → C ein WEG. Dann heißt Z f (z) dz := I(χ, f ) χ

das Wegintegral von f entlang χ. Bemerkung: Man beachte, daß die Definition nur f¨ ur holomorphe Funktionen g¨ ultig ist. Sie erweitert den bisherigen Integralbegriff. Korollar 6.30 Sei G ⊂ C ein Gebiet und f : G → C holomorph. Dann gilt Z f hat eine Stammfunktion ⇐⇒ f (z) dz = 0, f¨ ur alle geschlossenen Wege χ in G. χ

37

Um den Cauchyschen Integralsatz allgemeiner als in Satz 6.24 zu formulieren, wird der Begriff der Homotopie ben¨otigt. Definition 6.31 Sei H : [a, b] × [c, d] → C eine stetige Funktion. F¨ ur t ∈ [c, d] sei Ht : [a, b] → C, Ht (s) = H(s, t). F¨ ur s ∈ [a, b] sei H (s) : [c, d] → C, H (s) (t) = H(s, t). H heißt Homotopie (zwischen Hc und Hd ). Sp (H) = H([a, b] × [c, d]) wird die Spur von H genannt.

H

d

c

a

b

Der Rand von H, ∂H := Hc ∗ H (b) ∗ Hd−1 ∗ (H (a) )−1 , ist ein geschlossener Weg. Definition 6.32 Sei G ⊂ C ein Gebiet. Zwei gleichendige Wege γ0 , γ1 : [a, b] → C in G heißen homotop, wenn es eine Homotopie H : [a, b] × [0, 1] gibt mit (1) Sp (H) ⊂ G. (2) H0 = γ0 , H1 = γ1 . (3) Alle Ht , t ∈ [0, 1], sind gleichendig mit γ0 bzw. γ1 . (γ0 wird stetig in γ1 transformiert).

Beispiel:

γ0

γ0 : [−1, 1] → C, γ0 (t) = ei(

t π2 + 3π 2

),

γ1 : [−1, 1] → C, γ1 (t) = t. γ1

γ0 ist homotop zu γ1 .

38

Definition 6.33 Sei G ⊂ C ein Gebiet. Zwei geschlossene Wege γ0 , γ1 : [a, b] → C in G heißen geschlossen homotop, wenn es eine Homotopie H : [a, b] × [0, 1] gibt mit (1) Sp (H) ⊂ G. (2) H0 = γ0 , H1 = γ1 . (3) Alle Ht , t ∈ [0, 1], sind geschlossen. Beispiel: Es sei Ur (w) ⊂ UR (c) ⊂ G. Dann sind ∂Ur (w) und ∂UR (c) geschlossen homotop ˜ = G\{w}. Eine m¨ogliche zugeh¨orige Homotopie ist in G H : [0, 2π] × [0, 1] → C, H(x, t) := (t · w + (1 − t) · c) + (t · r + (1 − t) · R) · eix . Definition 6.34 Sei G ⊂ C ein Gebiet. Ein geschlossener Weg in G heißt nullhomotop in G, wenn γ geschlossen homotop in G zu einem konstanten Weg ist. Beispiel: ∂Ur (c) ist nullhomotop in C. Satz 6.35 Sei G ⊂ C ein Gebiet und f : G → C holomorph. Ferner sei H : [a, b]×[0, 1] → C eine Homotopie mit Sp (H) ⊂ G. Dann gilt: Z f (z)dz = 0. ∂H

Bemerkung: F¨ ur H : [a, b] × [c, d] → R2 = C, H(x, t) = (x, t), ergibt sich Satz 6.24 als Spezialfall (Integral u ¨ber den Rand eines Rechtecks). Korollar 6.36 Sei G ⊂ C ein Gebiet und f : G → C holomorph. Ferner seien γ0 , γ1 : [a, b] → C gleichendige Wege in G. Sind γ0 , γ1 homotop, dann gilt Z Z f (z) dz = f (z) dz. γ0

γ1

Korollar 6.37 Sei G ⊂ C ein Gebiet und f : G → C holomorph. Sind γ0 , γ1 : [a, b] → C geschlossen homotop, dann gilt Z Z f (z) dz = f (z) dz. γ0

γ1

Insbesondere gilt f¨ ur nullhomotope Wege γ in G Z f (z) dz = 0. γ

39

Definition 6.38 Eine Menge M ⊂ C heißt einfach zusammenh¨ angend, wenn M zusammenh¨angend ist und wenn jeder geschlossene Weg in M nullhomotop in M ist. Beispiel: Jede sternf¨ormige Menge M mit Zentrum c ist einfach zusammenh¨angend. Ist γ : [a, b] → C ein geschlossener Weg in M , so kann man die Homotopie H : [a, b]×[0, 1] → C, H(x, t) := (1 − t) · γ(x) + t · c w¨ahlen. Bemerkung: Konvexe Mengen sind einfach zusammenh¨angend. Satz 6.39 (Cauchyscher Integralsatz) Sei G ⊂ C ein einfach zusammenh¨angendes Gebiet. Dann hat jedes holomorphe f : G → C eine Stammfunktion F : G → C, d. h. f ist wegunabh¨angig integrierbar. Z

1 dz = 2πi 6= 0 ist die Funktion f : G → C, f (z) = ∂U1 (0) z 1 nicht wegunabh¨angig integrierbar. Also ist C\{0} nicht einfach zusammenh¨angend. z Z 1 Beispiel: Gesucht ist I = dz. Partialbruchzerlegung ergibt 2 z −1 ∂U (0) 2 µ ¶ 1 1 1 1 = · − . Es folgt z2 − 1 2 z−1 z+1 µZ ¶ µZ ¶ Z Z 1 1 1 1 1 1 I = dz − dz = dz − dz 2 2 ∂U2 (0) z − 1 ∂U1 (1) z − 1 ∂U2 (0) z + 1 ∂U1 (−1) z + 1 = 1/2 · (2πi − 2πi) = 0, Beispiel: Sei G = C\{0}. Wegen

da ∂U2 (0) geschlossen homotop zu ∂U1 (1) (bzw. ∂U1 (−1)) in C\{1} (bzw. in C\{−1}) ist.

6.4

Folgerungen aus dem Cauchyschen Integralsatz

Satz 6.40 (Cauchysche Integralformel) Sei G ⊂ C ein Gebiet und f : G → C holomorph. Ferner sei c ∈ G und U = Ur (c) mit U ⊂ G. Dann gilt f¨ ur alle w ∈ U

1 · f (w) = 2πi

Z ∂Ur (c)

f (z) dz, z−w

d. h. die Werte von f im Innern einer Kreisscheibe sind durch die Werte von f auf ihrem Rand eindeutig bestimmt. Bemerkung: ∂Ur (c) wird als Kurve in G\{w} aufgefaßt. 40

Lemma 6.41 Sei γ : [a, b] → C eine Kurve und ϕ : Sp (γ) → C eine stetige Funktion. Dann sind die Funktionen Z ϕ(z) ϕn : C\ Sp (γ) → C, ϕn (w) := dz n γ (z − w) holomorph. Es gilt ϕ0n = n · ϕn+1 . Satz 6.42 Sei G ⊂ C ein Gebiet und f : G → C holomorph. Dann ist auch f 0 : G → C holomorph. Also ist f beliebig oft komplex differenzierbar. F¨ ur jede offene Kreisscheibe U = Ur (c) mit U ⊂ G gilt Z n! f (z) (n) (a) f (w) = · dz, f¨ ur alle w ∈ U . 2πi ∂U (z − w)n+1 ¯ ¯ n! (b) ¯f (n) (c)¯ ≤ n · sup |f (z)|. r |z−c|=r Korollar 6.43 Sei G ⊂ C ein Gebiet und f : G → C ein Funktion. Dann ist f = u + iv holomorph genau dann, wenn f stetig partiell differenzierbar ist und die Cauchy–Riemannschen Differentialgleichungen ux = vy , uy = −vx sind erf¨ ullt. Es gilt die folgende ‘Umkehrung’ des Cauchyschen Integralsatzes. Korollar 6.44 (Satz von Morera) Sei G ⊂ C ein Gebiet und f : G → C eine stetige Funktion. Ist f wegunabh¨angig integrierbar, so ist f holomorph. Z Bemerkung: Es gen¨ ugt zu fordern, daß

f (z) dz = 0, f¨ ur alle Rechtecke R ⊂ G. ∂R

Definition 6.45 Eine ganze Funktion ist eine holomorphe Funktion f : C → C. Korollar 6.46 (Satz von Liouville) Jede ganze, beschr¨ankte Funktion ist konstant. Korollar 6.47 (Fundamentalsatz der Algebra) Jedes komplexe Polynom p mit Grad ≥ 1 hat eine Nullstelle in C, d. h. es gibt ein z0 ∈ C mit p(z0 ) = 0. Definition 6.48 Sei G ⊂ C ein Gebiet, f : G → C holomorph und c ∈ C. Die Potenzreihe ∞ X f (n) (c) n=0

n!

· (z − c)n

heißt Taylorreihe von f in c. 41

Bemerkung: Sei U ⊂ R offen und g : U → R eine beliebig oft reell differenzierbare Funktion. ∞ X g (n) (x0 ) F¨ ur x0 ∈ U kann man formal die Taylorreihe · (x − x0 )n aufstellen. Es k¨onnen n! n=0 jedoch die folgenden Probleme auftreten: (1) Konvergenzradius 0 ist m¨oglich! (2) Ist der Konvergenzradius > 0, so braucht die Grenzfunktion der Taylorreihe nicht mit gu ¨bereinzustimmen. F¨ ur holomorphe Funktionen ist dies jedoch ausgeschlossen. Korollar 6.49 (Entwicklungssatz) Sei G ⊂ C ein Gebiet, f : G → C holomorph und c ∈ G. Ferner sei d := dist (c, C\G) > 0. Dann hat die Taylorreihe von f in c Konvergenzradius R ≥ d und ihre Grenzfunktion stimmt auf Ud (c) mit f u ¨berein, d. h. f ist um c in einer Taylorreihe entwickelbar:

f (w) =

∞ X f (n) (c) n=0

n!

· (w − c)n ,

f¨ ur alle w ∈ Ud (c).

1 ur n = 0, 1, . . .. Beispiel: f : C\{0} → C, f (z) = . Es gilt f (n) (z) = (−1)n · n! · z −(n+1) , f¨ z ∞ X Damit ist die Taylorreihe von f in c = 1 gegeben durch (−1)n · (z − 1)n . n=0

Ihr Konvergenzradius ist 1.

Bemerkung: (1) Die Taylorreihe von f in c ist die einzige Potenzreihe mit positivem Konvergenzradius, deren Grenzfunktion in einer Umgebung von c mit f u ¨bereinstimmt. ∞ X Gilt n¨amlich f (z) = an (z − c)n f¨ ur z ∈ U = Umgebung von c, so folgt durch Differenn=0

f (n) (c) . n! (2) Ist f ganz, so ist der Konvergenzradius der Taylorreihe ∞. Damit sind die ganzen Funktionen genau die Grenzfunktionen von Potenzreihen mit unendlichem Konvergenzradius. zieren auf beiden Seiten: f (n) (c) = n! · an , d. h. an =

Korollar 6.50 (Identit¨ atssatz) Sei G ⊂ C ein Gebiet und f, g : G → C holomorph. Gibt es ein c ∈ G und eine Folge {ck } aus G\{c} mit (1) ck → c

(k → ∞),

ur alle k, (2) f (ck ) = g(ck ), f¨ dann gilt f = g. 42

Korollar 6.51 Sei G ⊂ C ein Gebiet und f, g : G → C holomorph. Gibt es ein c ∈ G mit f (n) (c) = g (n) (c), f¨ ur alle n = 0, 1, 2, . . ., dann gilt f = g.

Korollar 6.52 Sei G ⊂ C ein Gebiet, f : G → C holomorph und nicht konstant. Ferner sei K ⊂ G kompakt und a ∈ C. Dann gibt es h¨ochstens endlich viele z ∈ K mit f (z) = a. Insbesondere haben Nullstellen holomorpher Funktionen f : G → C keine H¨aufungspunkte in G.

Definition 6.53 Sei G ⊂ C ein Gebiet. Eine holomorphe Funktion f : G → C heißt transzendent, wenn es kein Polynom p gibt mit f = p/G.

Satz 6.54 Sei G ⊂ C ein Gebiet und f : G → C holomorph. Dann sind folgende Aussagen ¨aquivalent (i) f ist transzendent. (ii) f (n) 6= 0, f¨ ur alle n. (iii) F¨ ur alle c ∈ G gilt f (n) (c) 6= 0, f¨ ur unendlich viele n. (iv) Es gibt ein c ∈ G mit f (n) (c) 6= 0, f¨ ur unendlich viele n.

Satz 6.55 Sei f eine ganze Funktion. Dann ist f ein Polynom mit Grad ≤ k genau dann, wenn ∃ M > 0 ∃ R > 0 ∀ z ∈ C : |z| ≥ R ⇒ |f (z)| ≤ M · |z|k . Durch Negation von Satz 6.55 ergibt sich Satz 6.56 Sei f eine ganze Funktion. Dann ist f genau dann transzendent, wenn ∀k≥0∀M >0∀R>0∃z∈C:

|z| ≥ R

und |f (z)| ≥ M · |z|k .

Satz 6.57 Sei G ⊂ C ein Gebiet und {fn } eine Folge holomorpher Funktionen fn : G → C, die lokal gleichm¨aßig gegen eine Grenzfunktion f : G → C konvergiert. Dann ist f holomorph (k) und f¨ ur alle k konvergiert die Folge {fn } lokal gleichm¨aßig gegen f (k) .

43

7

Nullstellen und Singularit¨ aten

Definition 7.1 Sei G ⊂ C ein Gebiet und f : G → C holomorph. z0 ∈ G heißt Nullstelle k–ter Ordnung, wenn (1) f (n) (z0 ) = 0, n = 0, . . . , k − 1. (2) f (k) (z0 ) 6= 0.

Lemma 7.2 Sei G ⊂ C ein Gebiet und f : G → C holomorph. Gilt f 6= 0, dann hat jede Nullstelle von f eine (endliche) Ordnung.

Satz 7.3 Sei G ⊂ C ein Gebiet und f : G → C holomorph. z0 ∈ G ist eine Nullstelle von f der Ordnung ≥ k genau dann, wenn es eine holomorphe Funktion fk : G → C gibt mit f (z) = (z − z0 )k · fk (z),

f¨ ur alle z ∈ G.

Die Ordnung ist = k genau dann, wenn fk (z0 ) 6= 0. In vielen F¨allen kann man dem Verhalten von f auf dem Rand einer Kreisscheibe entnehmen, ob f eine Nullstelle im Innern der Kreisscheibe hat. Satz 7.4 Sei G ⊂ C ein Gebiet, g : G → C holomorph und Ur (z0 ) ⊂ G. Gilt |g(z0 )|
0.

44

Definition 7.7 Sei G ⊂ C ein Gebiet und f : G → C holomorph. Ein Punkt z0 ∈ C heißt Singularit¨ at von f , wenn G eine gelochte Umgebung von z0 ist, d. h. z0 ist ein ‘Loch’ in G. 1 Beispiel: F¨ ur f : C\{0} → C, f (z) = , ist z0 = 0 eine Singularit¨at von f . z Bezeichnung: Sei G ⊂ C ein Gebiet und f : G → C holomorph. Dann bezeichnet Sing (f ) die Menge der Singularit¨aten von f . Bemerkung: (1) Ist M ⊂ Sing (f ), dann ist G ∪ M wieder ein Gebiet. (2) Eventuelle H¨aufungspunkte von Sing (f ) liegen außerhalb von G∪ Sing (f ). Insbesondere liegen die Singularit¨aten von f isoliert. Beispiel: Die Funktion

1 ¡ ¢ hat in 0 keine Singularit¨at. sin z1

Definition 7.8 Sei G ⊂ C ein Gebiet und f : G → C holomorph. Eine Singularit¨at z0 von f heißt hebbar, wenn es eine holomorphe Funktion F : G ∪ {z0 } → C gibt mit F/G = f .

Satz 7.9 (Riemannscher Hebbarkeitssatz) Sei G ⊂ C ein Gebiet, f : G → C holomorph und z0 ∈ C eine Singularit¨at von f . Dann sind folgende Aussagen ¨aquivalent (i) Die Singularit¨at z0 ist hebbar. (ii) f ist beschr¨ankt auf einer gelochten Umgebung U ◦ ⊂ G von z0 . (iii) Es gilt (z − z0 ) · f (z) → 0, f¨ ur z → z0 . Beispiel:

sin z hat in 0 eine hebbare Singularit¨at mit Grenzwert 1. z

Definition 7.10 Sei G ⊂ C ein Gebiet und f : G → C holomorph. Ferner sei z0 eine nicht hebbare Singularit¨at von f . Dann heißt z0 Pol (bzw. wesentliche Singularit¨ at), falls ein (bzw. kein) n ≥ 1 existiert mit (z − z0 )n+1 · f (z) → 0,

f¨ ur z → z0 .

Ist z0 ein Pol, so heißt das kleinste n mit dieser Eigenschaft die Ordnung des Pols. 1 Beispiel: Die Singularit¨at z0 = 0 der Funktion fm : C\{0} → C, fm (z) = m , m ≥ 1, ist z ein Pol der Ordnung m: z m+1 ·

1 → 0 (z → 0) zm

und

45

zm ·

1 6→ 0 (z → 0). zm

Satz 7.11 Sei G ⊂ C ein Gebiet und f : G → C holomorph. Eine Singularit¨at z0 von f ist ein Pol der Ordnung m genau dann, wenn es eine gelochte Umgebung U ◦ ⊂ G von z0 und Zahlen M1 , M2 gibt mit 0 < M1 ≤ M2 und M1 · |z − z0 |−m ≤ |f (z)| ≤ M2 · |z − z0 |−m ,

f¨ ur alle z ∈ U ◦ .

Satz 7.12 Sei G ⊂ C ein Gebiet und f : G → C holomorph. Eine Singularit¨at z0 von f ist ein Pol genau dann, wenn |f (z)| → ∞, f¨ ur z → z0 .

Satz 7.13 (Casaroti–Weierstrass) Sei G ⊂ C ein Gebiet und f : G → C holomorph. Eine Singularit¨at z0 von f ist eine wesentliche Singularit¨at genau dann, wenn ∀ U◦ ⊂ G ∀ a ∈ C ∀ ² > 0 ∃ z ∈ U◦ :

|f (z) − a| < ²,

d. h. in jeder gelochten Umgebung von z0 kommt f noch jeder komplexen Zahl beliebig nahe, d. h. f¨ ur jede gelochte Umgebung U ◦ ⊂ G von z0 ist f (U ◦ ) dicht in C.

Sin(1/x)/x

Beispiel: Die Funktion f : C\{0} → C,

f (z) =

sin(1/z) z

hat in z0 = 0 eine wesentliche Singularit¨at.

46

8

Laurentreihen

Sei G ⊂ C ein Gebiet und f : G → C holomorph. Falls eine offene Kreisscheibe U ganz in G enthalten ist, so kann man f auf U in eine Potenzreihe entwickeln. Was ist, falls nur eine gelochte offene Kreisscheibe in G liegt? 1 1 Z. B. f : C\{0} → C, f (z) = oder g : C\{0} → C, g(z) = . z sin z K¨onnen solche Funktionen durch ‘einfache’ Funktionen approximiert werden? Hier sollen die Funktionen z m ,

1 zur Approximation benutzt werden. zm

Definition 8.1 Sei c ∈ C und an ∈ C, n ∈ Z. Definiere holomorphe Funktionen Fm : C\{c} → C durch ½ a0 , m=0 Fm (z) := . m −m am · (z − c) + a−m · (z − c) , m>0 Die Funktionenreihe

∞ X

Fm wird kurz mit < L > ≡

m=0

∞ X

an · (z − c)n bezeichnet und

n=−∞

heißt Laurentreihe mit Entwicklungspunkt c. Falls an = 0, f¨ ur n < k ∈ Z, so schreibt man < L > ≡ Falls an = 0, f¨ ur n > k ∈ Z, so schreibt man < L > ≡

∞ X

an · (z − c)n .

n=k k X

an · (z − c)n .

n=−∞

Bemerkung: Eine Laurentreihe der Form nenreihe

∞ X n=1

µ a−n ·

1 z−c

−1 X

an · (z − c)n ist das selbe wie die Funktio-

n=−∞

¶n .

Bezeichnung: F¨ ur jede Laurentreihe < L > ≡

an · (z − c)n gibt es die charakteri-

n=−∞

stischen Potenzreihen < L+ > ≡

∞ X

∞ X

an · z

n

< L− > ≡

n=0

∞ X

a−n · z n

n=1

mit den Konvergenzradien R+ und R− und den Grenzfunktionen L+ : UR+ (0) → C, L− : UR− (0) → C. < L > heißt regul¨ ar, wenn < L > auf einer offenen Teilmenge von C\{c} lokal gleichm¨aßig konvergent ist. 47

F¨ ur 0 ≤ r1 < r2 ≤ ∞ sei R(c; r1 , r2 ) := {z ∈ C : r1 < |z − c| < r2 } das Ringgebiet mit Zentrum c und den Radien r1 , r2 . Beispiel: R(c; 0, ²) = U²◦ (c) und R(c; 0, ∞) = C\{c}. Satz 8.2 Sei < L > ≡

∞ X

an · (z − c)n eine Laurentreihe. Dann gilt

n=−∞

< L > ist regul¨ar ⇐⇒

1 < R+ . R−

In diesem Fall gilt ¶ 1 (a) < L > konvergiert absolut lokal gleichm¨aßig auf R c; , R+ . R− µ ¶ 1 (b) < L > divergiert auf C\R c; , R+ . R− µ ¶ 1 Die Grenzfunktion L : R c; , R+ → C von < L > ist holomorph und es gilt R− ¶ µ 1 . L(z) = L+ (z − c) + L− z−c µ ¶ 1 R c; , R+ heißt Konvergenzring von < L >. R− µ

Bemerkung: Laurentreihen k¨onnen gliedweise differenziert werden. ∞ X

Satz 8.3 Sei < L > ≡ an · (z − c)n eine regul¨are Laurentreihe mit Konvergenzring n=−∞ µ ¶ 1 RL = R c; , R+ und Grenzfunktion L : RL → C. Dann gilt R− Z L(z) 1 · dz, ak = 2πi ∂Ur (c) (z − c)k+1 wobei r beliebig mit

1 < r < R+ . R−

Korollar 8.4 Seien < L > und < L∗ > regul¨are Laurentreihen mit Entwicklungspunkt c und Konvergenzringen RL bzw. RL∗ . Gilt R := RL ∩ RL∗ 6= ∅ und L/R ≡ L∗ /R, so ist < L > = < L∗ >. 48

Definition 8.5 Sei G ⊂ C ein Gebiet und f : G → C holomorph. Ferner sei R = ∞ X R(c; r1 , r2 ) ⊂ G. Eine regul¨are Laurentreihe < L > ≡ an ·(z − c)n heißt Laurentreihe n=−∞

fu ¨ r f auf R, falls (1) R ⊂ RL = Konvergenzring von L. (2) f /R = L/R.

Bemerkung: Nach Korollar 8.4 gibt es h¨ochstens eine Laurentreihe f¨ ur f auf R. Satz 8.6 Sei f : R(c; r1 , r2 ) → C holomorph. Dann gibt es eindeutig bestimmte holomorphe Funktionen f+ : Ur2 (c) → C und f− : C\Ur1 (c) → C mit (1) f (z) = f+ (z) + f− (z), f¨ ur alle z ∈ R(c; r1 , r2 ). (2) f− (z) → 0, f¨ ur |z| → ∞. Das Paar (f+ , f− ) heißt Laurentzerlegung von f . Korollar 8.7 Sei f : R(c; r1 , r2 ) → C holomorph. Dann gibt es eindeutig bestimmte holomorphe Funktionen λ+ : Ur2 (0) → C und λ− : U 1 (0) → C mit r1 ¶ µ 1 , f¨ ur alle z ∈ R(c; r1 , r2 ). (1) f (z) = λ+ (z − c) + λ− z−c (2) λ− (0) = 0. Korollar 8.8 Sei f : G → C holomorph und R = R(c; r1 , r2 ) ⊂ G. Dann gibt es genau eine Laurentreihe f¨ ur f auf R. Die Koeffizienten ergeben sich wie in Satz 8.3. 1 . Die Laurentreihe f¨ ur f ergibt sich durch + z2 ∞ ∞ X 1 1 1 X 2 n f (z) = 2 · = 2· (−z ) = (−1)n+1 · z 2n . z 1 − (−z 2 ) z n=0 n=−1

Beispiel: Sei f : U1◦ (0) → C, f (z) =

z4

Satz 8.9 Sei G ⊂ C ein Gebiet und f : G → C holomorph mit Singularit¨at z0 . Ferner sei ∞ X an · (z − z0 )n die Laurentreihe f¨ ur f auf U²◦ (z0 ). Dann gilt n=−∞

(a) z0 ist hebbar ⇐⇒ an = 0, f¨ ur alle n < 0. (b) z0 ist ein Pol der Ordnung N

⇐⇒ an = 0, f¨ ur alle n < −N < 0 und a−N 6= 0.

(c) z0 ist eine wesentliche Singularit¨at ⇐⇒ an 6= 0, f¨ ur unendlich viele n < 0. Beispiel: sin(1/z) hat in 0 eine wesentliche Singularit¨at. 49

9 9.1

Der Residuensatz Umlaufzahlen

Sei γ : [a, b] → C ein geschlossener Weg, c ∈ C und r > 0 mit K = Ur (c) ∩ Sp (γ) = ∅. Man verbinde c und γ(a) mit einem Gummiband und durchlaufe γ. Wenn man wieder bei γ(b) = γ(a) angelangt ist, hat sich das Band um die Kreisscheibe K gewickelt. Anschließend z¨ahle man die Anzahl der Windungen: Dieses ist die Umlaufzahl von γ um c. Definition 9.1 Es sei γ : [a, b] → C ein geschlossener Weg und c ∈ / Sp (γ). Dann heißt Z 1 1 n(γ, c) := · dz 2πi γ z − c die Umlaufzahl (oder Windungszahl) von γ um c. Diese Definition spiegelt den obigen anschaulichen Zugang wider, wie man durch folgende Betrachtungen f¨ ur Polygonz¨ uge erkennen kann. Bezeichnung: (1) Sei γ : [a, b] → C ein linearer Weg in C\{c}. Ferner sei γ(a) − c = ra · eiϕa , γ(b)−c = rb ·eiϕb mit |ϕ(a)−ϕ(b)| < π. Dann heißt w(γ) := ϕb −ϕa der von γ u ¨berstrichene Winkel um c (das Vorzeichen gibt die Richtung an). (2) Sei γ = γ1 ∗ . . . ∗ γm ein geschlossener Polygonzug in C\{c}. m X Dann nennt man w(γ) := w(γk ) den von γ u ¨berstrichenen Winkel um c. k=1

Lemma 9.2 Sei γ : [a, b] → C ein linearer Weg in C\{c}. Ferner sei α ein Logarithmus α α von γ(a) − c. Dann Z gibt es einen Weg γ : [a, b] → C mit exp(γ (t)) = γ(t) − c. Es gilt 1 γ α (b) − γ α (a) = dz und w(γ) = Im (γ α (b) − γ α (a)). γ z −c

Lemma 9.3 Sei γ = γ1 ∗ . . . ∗ γm ein geschlossener Polygonzug in C\{c}. Dann gilt (a) w(γ) = 2πn, mit n ∈ Z. (b)

1 · w(γ) = n(γ, c). 2π

Satz 9.4 Es sei γ : [a, b] → C ein geschlossener Weg und c ∈ / Sp (γ). Dann ist die Umlaufzahl n(γ, c) ganzzahlig.

50

Bemerkung: Die Umlaufzahl hat folgende einfache Eigenschaften: (1) n(∂Ur (c), c) = 1. (2) n(γ −1 , c) = −n(γ, c). (3) Haben γ1 , . . . , γm alle den selben Anfangspunkt und Endpunkt, dann gilt n(γ1 ∗ . . . ∗ γm ) = n(γ1 , c) + . . . + n(γm , c). (4) Jede ganze Zahl ist die Umlaufzahl einer geeigneten Kurve um c. γ , c). (5) Sind γ, γ˜ geschlossen homotop in C\{c}, so gilt n(γ, c) = n(˜ (6) Man kann zeigen, daß auch die Umkehrung von (5) gilt.

9.2

Residuen und Residuensatz

Lemma 9.5 Sei U ⊂ C offen. Dann ist U disjunkte Vereinigung von Gebieten Gj , j ∈ J, d. h. es gilt [ (1) U = Gj . j∈J

(2) Gj ∩ Gj 0 = ∅, f¨ ur j, j 0 ∈ J, j 6= j 0 . Die Gj werden die Zusammenhangskomponenten von U genannt. Lemma 9.6 Sei K ⊂ C kompakt. Dann hat C\K genau eine unbeschr¨ankte Zusammenhangskomponente G∞ und C\G∞ ist kompakt ( C\G∞ besteht aus K und den u ¨brigen Zusammenhangskomponenten).

Satz 9.7 Sei γ : [a, b] → C ein geschlossener Weg. Dann gilt (a) n(γ, c) = n(γ, c0 ), falls c und c0 in der selben Zusammenhangskomponente von C\ Sp (γ) liegen. (b) n(γ, c) = 0, falls c in der unbeschr¨ankten Zusammenhangskomponente liegt.

Definition 9.8 Sei G ⊂ C ein Gebiet und f : G → C holomorph. Ferner sei z0 eine Singularit¨at von f und ² > 0 mit U²◦ (z0 ) ⊂ G. Dann heißt Z 1 Res (f, z0 ) := · f (z) dz mit 0 < δ < ² 2πi ∂Uδ (z0 ) Residuum von f in z0 . 51

Bemerkung: (1) Res (f, z0 ) h¨angt nicht von der Wahl von ² und δ ab. ∞ X (2) Ist an · (z − z0 )n die Laurentreihe f¨ ur f auf U²◦ , so gilt Res (f, z0 ) = a−1 . n=−∞

(3) Hat f in z0 eine hebbare Singularit¨at, so gilt Res (f, z0 ) = 0. Satz 9.9 Seien f, g : G → C holomorph und g habe eine k–fache Nullstelle in z0 . Sei ϕ : G → C holomorph mit g(z) = (z − z0 )k ϕ(z). Dann gilt µ ¶ µ ¶(k−1) f 1 f Res , z0 = · (z0 ). g (k − 1)! ϕ µ ¶ f (z0 ) f Ist die Nullstelle einfach, so gilt Res , z0 = 0 . g g (z0 ) Satz 9.10 Seien f : G → C holomorph und z0 sei ein einfacher Pol von f . Ferner sei g : G ∪ {z0 } → C holomorph. Dann gilt (a) Res (f, z0 ) = lim (z − z0 ) · f (z). z→z0

(b) Res (f g, z0 ) = g(z0 ) · Res (f, z0 ). Satz 9.11 (Residuensatz) Sei G ⊂ C ein Gebiet und f : G → C holomorph und Sing (f ) abgeschlossen. Ferner sei G∗ := G ∪ Sing (f ) und γ : [a, b] → C ein geschlossener Weg in G. Ist γ nullhomotop in G∗ , so gilt Z

X

f (z) dz = 2πi · γ

Res (f, z) · n(γ, z),

z∈ Sing (f )

wobei n(γ, z) 6= 0 nur f¨ ur endlich viele z ∈ Sing (f ). Z Bemerkung: abh¨angen.

f (z) dz wird durch Ausdr¨ ucke dargestellt, die nur von f oder nur von γ γ

1 gilt Sing (f ) = πZ, also G∗ = C. sin z Jeder geschlossene Weg in C\πZ ist nullhomotop in C. z f hat in 0 einen einfachen Pol. Nach Satz 9.10 folgt Res (f, 0) = lim = 1 und damit z→0 sin z Z 1 dz = 2πi · Res (f, 0) · 1 = 2πi. ∂U1 (0) sin z Beispiel: (1) F¨ ur f : C\πZ → C, f (z) =

52

Z

∞

(2) Gesucht ist der Wert des uneigentlichen Integrals I = −∞

1 dx. 1 + x2

1 Definiere f : C\{−i, i} → C durch f (z) := . 1 + z2 µ ¶ 1 1 1 Es gilt f (z) = − . 2i z − i z + i Z Z 1 1 1 1 1 Damit gilt Res (f, i) = · f (z) dz = · · dz = . 2πi Uδ (i) 2πi Uδ (i) 2i z − i 2i γ+ γ i [−R,R] −R

R

−i

Sei γ = [−R, R] ∗ γ+ wie in der Skizze. Dann gilt Z f (z) dz = 2πi · ( Res (f, i) · n(γ, i) + Res (f, −i) · n(γ, −i)) = 2πi · Res (f, i) · 1 = π. γ

Also Z

Z

π=

Z

f (z) dz = γ

Z

f (z) dz + γ+

Z

f (z) dz = [−R,R]

R

f (z) dz + γ+

−R

1 dt 1 + t2

(mit der Parametrisierung ϕ : [−R, R] → C, ϕ(t) = t). Ferner gilt f¨ ur R ≥ 1 ¯Z ¯ ¯ ¯ 1 ¯ f (z) dz ¯¯ ≤ L(γ+ ) · sup |f (z)| ≤ πR · 2 ¯ R −1 z∈ Sp (γ+ ) γ+ Z

Z

und damit

R

f (z) dz → 0, f¨ ur R → ∞. Es folgt I = lim

R→∞

γ+

−R

1 dt = π. 1 + t2

Definition 9.12 Ein Weg γ[a, b] → C heißt einfach geschlossen, wenn γ(a) = γ(b) und γ/[a, b) injektiv ist.

ur einfach geschlossene Wege sei Definition 9.13 F¨ Int (γ) := {z ∈ C\ Sp (γ) : n(γ, z) 6= 0} = n(γ, −)−1 (Z\{0}) Ext (γ) := {z ∈ C\ Sp (γ) : n(γ, z) = 0} = n(γ, −)−1 (0) 53

Bemerkung: (1) Int (γ) und Ext (γ) sind offen. (2) Int (γ) ist beschr¨ankt, Ext (γ) ist unbeschr¨ankt. (3) Man kann zeigen, daß Int (γ) und Ext (γ) Gebiete sind. Definition 9.14 Ein einfach geschlossener Weg heißt regul¨ ar, wenn n(γ, z) = 1, f¨ ur alle z ∈ Int (γ). Bemerkung: Ist γ einfach geschlossen, so kann man zeigen, daß entweder γ oder γ −1 regul¨ar ist. Korollar 9.15 Sei G ⊂ C ein Gebiet, f : G → C holomorph, Sing (f ) abgeschlossen und γ ein regul¨arer Weg in G. Ist γ nullhomotop in G∗ = G ∪ Sing (f ), so gilt Z X Res (f, z). f (z) dz = 2πi · γ

z∈ Sing (f )∩ Int (γ)

1 Beispiel: Sei f (z) = 2 und γ = ∂U2 (0). Die Singularit¨aten von f sind ±i. z +1 µ ¶ i/2 i/2 Mit f (z) = − folgt z+i z−i Z −i/2 i 1 · dz = − . Res (f, i) = 2πi ∂U² (i) z − i 2 i Analog gilt Res (f, −i) = . Somit gilt 2 Z 1 dz = 2πi · ( Res (f, i) + Res (f, −i)) = 0. 2 ∂U2 (0) z + 1

Definition 9.16 Sei G∗ ein Gebiet. Eine meromorphe Funktion f auf G∗ ist eine holomorphe Funktion f : G → C mit G ⊂ G∗ , so daß (1) G∗ = G ∪ Sing (f ). (2) Alle Singularit¨aten von f sind Pole. Man schreibt: ‘f : G∗ → C meromorph’. Bemerkung: Ist f meromorph auf G∗ , dann ist dies auch f¨ ur f 0 der Fall, denn Pole bleiben beim Ableiten erhalten. 54

Satz 9.17 Sei G∗ ⊂ C ein Gebiet, f : G∗ → C meromorph, f 6= 0 und Sing (f ) abgeschlossen. Ferner sei γ ein nullhomotoper regul¨arer Weg in G∗ . Liegen weder Nullstellen noch Pole von f auf γ, so gilt Z 1 f 0 (z) · dz = N (f, Int (γ)) − P (f, Int (γ)), 2πi γ f (z) wobei N (f, M ) (P (f, M )) die Anzahl der Nullstellen (Pole) von f in M ist (Pole bzw. Nullstellen k–ter Ordnung z¨ahlen k–mal). Beispiel: Die Funktion f (z) = z 2 + z hat (einfache) Nullstellen bei 0 und −1 und keine Z 2z + 1 Pole. Es folgt dz = 2πi · (2 − 0) = 4πi. 2 ∂U2 (0) z + z Korollar 9.18 Sei G ⊂ C ein Gebiet, f : G → C holomorph, Sing (f ) abgeschlossen und γ ein nullhomotoper regul¨arer Weg in G. Hat f keine Nullstellen auf γ, so gilt Z 1 f 0 (z) · dz = N (f, Int (γ)). 2πi γ f (z)

Lemma 9.19 Sei G ⊂ C ein Gebiet, f : G → C holomorph und γ ein geschlossener Weg in G. Hat f keine Nullstellen auf γ, so gilt Z 1 f 0 (z) · dz = n(f ◦ γ, 0). 2πi γ f (z)

Satz 9.20 (Rouch´ e) Sei G ⊂ C ein Gebiet, f, g : G → C holomorph, Sing (f ) abgeschlossen und γ ein nullhomotoper regul¨arer Weg in G. Ferner gelte |f (z)| > |g(z)|, f¨ ur alle z ∈ Sp (γ). Dann gilt N (f + g, Int (γ)) = N (f, Int (γ)). Bemerkung: g wird als eine ‘St¨orung’ aufgefaßt. Beispiel: Gesucht ist die Anzahl der Nullstellen von h(z) = 2z 9 − 4z 2 + 1 in ∂U1 (0). Setze f (z) = −4z 2 und g(z) = 2z 9 + 1. F¨ ur |z| = 1 gilt |f (z)| = 4 > 3 ≥ |g(z)|. Es folgt N (h, U1 (0)) = N (f, U1 (0)) = 2.

55

9.3

Anwendungen in der reellen Analysis

Der Residuensatz hat u ¨berraschende Anwendungen bei der Berechnung von uneigentlichen Integralen und unendlichen Reihen. Der Begriff des uneigentlichen Integrals l¨aßt sich auf offensichtliche Weise auf Funktionen f : I → C, I ⊂ R ein nichtkompaktes Intervall, u ¨bertragen. Bemerkung: (1) Ist |f | : I → R uneigentlich integrierbar, dann ist auch f : I → C uneigentlich integrierbar. Die Umkehrung gilt nicht. (2) f : I → C uneigentlich integrierbar ⇐⇒

Re f und Im f uneigentlich integrierbar.

(3) f, g : I → C uneigentlich integrierbar, α, β ∈ C ⇒ α · f + β · g uneigentlich integrierbar. 1 , ist uneigentlich integrierbar. x2 Bezeichnung: F¨ ur Funktionen f : R → C definiert man Z ∞ Z R CHW− f (x) dx := lim f (x) dx, Beispiel: Die Funktion f : [1, ∞) → C, f (x) =

R→∞

−∞

−R

falls dieser Grenzwert existiert. Er wird Cauchysches Hauptwertintegral von f genannt. Z

∞

Bemerkung: Ist f : R → C uneigentlich integrierbar, dann existiert CHW−

f (x) dx. −∞

Die Umkehrung gilt nicht.

Satz 9.21 Seien P, Q komplexe Polynome mit Grad (Q) ≥ Grad (P ) + 2. Hat Q keine P reellen Nullstellen, so ist : R → C absolut uneigentlich integrierbar und es gilt Q µ ¶ Z ∞ X P (x) P Res dx = 2πi · , zj . Q −∞ Q(x) Q(zj )=0, Im zj >0

¶¶ 3iπ 1 Beispiel: (1) Res + Res ,e 4 4 −∞ µ z +1 ¶ 1 1 3iπ iπ z1 = e 4 und z2 = e 4 sind einfache Nullstellen. Darum gilt Res , zj = 3 . 4 z +1 4zj √ Z ∞ ³ ´ ³ ´ −i3π −iπ 1 1 πi π 2 Es folgt dx = 2πi · · e 4 + e 4 = · −2i · sin = π. 4 4 2 4 2 −∞ x + 1 Z

∞

(2) F¨ ur a > 0 gilt Z ∞ −∞

1 dx = 2πi · 4 x +1

µ

a2 dx = 2πi · Res x2 + a2

µ

µ

iπ 1 ,e 4 4 z +1

a2 , ia z 2 + a2

56

¶

µ

¶ = 2πi ·

a2 = πa. 2ia

Lemma 9.22 Sei I ein Intervall der Form (−∞, α], [α, ∞) oder (−∞, ∞). Ferner sei ϕ : I → C differenzierbar mit (1) ϕ(x) → 0, f¨ ur |x| → ∞. (2) ϕ0 absolut uneigentlich integrierbar. Dann sind die Funktionen ϕ(x) · sin x, ϕ(x) · cos x, ϕ(x) · eix uneigentlich integrierbar. Beispiel: (1) Seien P, Q komplexe Polynome mit Grad (Q) > Grad (P ). Hat Q keine reellen P Nullstellen, so gen¨ ugt ϕ = : R → C den Bedingungen in Lemma 9.22. Q (2) Sind eventuelle Nullstellen von Q in R allesamt einfache Nullstellen, welche die Form kπ P (z) (bzw. kπ + π/2) mit k ∈ Z haben, so sind alle reellen Singularit¨aten von · sin z (bzw. Q(z) P (x) P (z) P (x) · cos z) hebbar. Man darf daher · sin x (bzw. Q(x) · cos x) als stetige Funktionen Q(z) Q(x) von R nach C betrachten, die meromorphe Fortsetzungen auf C haben. Nach Lemma 9.22 sind die Funktionen also uneigentlich integrierbar. Satz 9.23 Seien P, Q komplexe Polynome mit Grad (Q) > Grad (P ). Hat Q keine reellen Nullstellen, so gilt µ ¶ Z ∞ X P (z) iz P (x) ix Res · e dx = 2πi · · e , zj . Q(z) −∞ Q(x) Q(zj )=0, Im zj >0

Z

∞

x · sin x dx, f¨ ur a > 0. Es gilt 2 2 −∞ x + a µ ¶ x · eix z · eiz iae−a dx = 2πi · Res , ia = 2πi · = iπe−a x2 + a2 z 2 + a2 2ia

Beispiel: (1) Gesucht ist Z

∞ −∞

und mit sin x = Im (eix ) folgt I = Im (iπe−a ) = πe−a . Z ∞ a cos x ¨ (2) Ahnlich zeigt man dx = πe−a . 2 + a2 x −∞ Die beiden Integrale aus (1) und (2) heißen Laplacesche Integrale Z ∞ sin x (3) Gesucht ist I = dx. Es gilt x −∞ ¯ Z ∞ ¯ 2 ¯Z ∞ ¯ Z ∞ Z ∞ ¯ a sin x ¯ ¯ ¯ x sin x sin x a2 ¯ ¯≤ ¯ ¯ dx ≤ dx − dx dx = πa. ¯ ¯ ¯ 2 2 2 2 ¯ 2 2 x −∞ x + a −∞ x(x + a ) −∞ −∞ x + a Mit πa → 0, (a → 0) folgt I = lima→0 πe−a = π. 57

Satz 9.24 Sei F eine komplexwertige Funktion in zwei komplexen Variablen z, w und die Funktion µ ¶ z − z1 z + z1 1 ∗ F (z) := ·F , iz 2i 2 sei auf einem Gebiet G holomorph. Ferner sei S 1 ⊂ G und U1 (0) ⊂ (G ∪ Sing (F ∗ )). Dann gilt Z 2π X F (sin x, cos x) dx = 2πi · Res (F ∗ , zj ). 0

zj ∈ Sing (F ∗ )∩U1 (0)

Z

2π

1 dx. 2 + cos x 0 1 1 1 2/i Mit F (z, w) = erh¨alt man F ∗ (z) = · = 2 . z+1/z 2+w iz 2 + z + 4z + 1 2 √ √ F ∗ ist definiert auf C\{−2 ± 3} und dort holomorph. Also Sing (F ∗ ) = {−2 ± 3} und G ∪ Sing (F ∗ ) = C. Nach dem vorigen Satz gilt µ ¶ √ 2/i 2/i 2π √ I = 2πi · Res , −2 + 3 = 2πi · =√ . 2 z + 4z + 1 2(−2 + 3) + 4 3 Beispiel: Gesucht ist I =

Auch unendliche Reihen k¨onnen mit Hilfe des Residuensatzes berechnet werden. Satz 9.25 Sei f : C → C meromorph mit endlich vielen Polen z1 , . . . , zr ∈ C. Ferner gelte ∞ n X X f (n) und es gilt lim z · f (z) = 0. Dann existiert f (n) = lim z→∞

N →∞

n=−∞ n6=z1 ,...,zr

∞ X

f (n) = −

n=−∞ n6=z1 ,...,zr

r X

n=−N n6=z1 ,...,zr

Res (f (z) · π · cot πz, zk ).

k=1

∞ X 1 1 Beispiel: Gesucht ist . Setze f : C\{0}, f (z) = 2 . 2 n 2z n=1

Dann gilt zf (z) = 1/(2z) → 0 (z → ∞) und f ist meromorph mit einem Pol in z1 = 0. Nach dem vorigen Satz gilt µ ¶ ∞ ∞ X 1 X X 1 1 = = f (n) = − Res · π · cot πz, 0 . 2 2 2 n 2n 2z n=−∞ n=−∞ n=1 n6=0

1 z Mit cot z = − + . . . folgt z 3

n6=0

∞ X 1 π ³ π ´ π2 =− · − = . n2 2 3 6 n=1

58