Fundamentos de Matemática Elementar 8: Limites, Derivadas... Portuguese

GELSON IEZZI CARLOS M UR AK AM I NI LS ON JOSÉ M AC HA DO

~

edição

FU ND AM EN TO S DE

M A T E M Ã T IC A ELEMENTAR LIMITES

DE RIV AD AS

NOÇÕES DE INT EG RA L

60 exercícios resolvidos com resposta 266 exercícios propostos com resp osta 100 testes de vestibular com resposta

ATUAJ. EDITORA

8

Capa Roberto F ranklin Rondino SyJvio Ulhoa Cintra Filho Rua Inhambu, 1235 - S. Paulo Composição e desenhos AM Produções Gráficas Ltda. Rua Castro Alves, 135 - S. Paulo

APRESENTACÃO I

Artes Atual Editora Ltda. Fotolitos H. O. P. Fotol itos Ltda. Rua Delmira Ferreira, 325 - S. Paulo CIP-Bruil. CatalogaçÃo-ua-Publicação câmara Brasileira do Livro, SP l'uMlIIIIantoa de lI&tellática .l•••ntar / a.l8Oft Iezzi 0 ' 0 [.t al.]. -- são Paulo: Atual. 1977-

198,.

Co-auto",,: Carl08 Murlllc.... i. Oa\'aldo Doles, aamuel BazAD o JOfll~ Ricolau POlIpeU, Nilson Machado I 11. autoria dOB 't'011111•• ".ri. entre 08 autorelll. Cont.11:do: ,.,1. Conjuntoll. funções. 5. ed. __ 1'.2. Logarttlloa. 6: ali.. _. v.,. 'lrigoI1Olllatrla. 5. ali. • •- .... 4. Sequeneia••••trizes, deta1'lainantes, siet..... 4••d. -- v.,5. COlDbinatSriaJ probabilidt«ee. 4. ed. -_ v.6. Complexos, polinomio15, equaçoes. 4. ed. __ v a 7. Geometria analítica. __ v.8. Limites, derivadas, noções de integral. ,. ed. -- va9. Geolletri/il, plana. 4. ed. __ v.10. GeOllletria eapacial. 2. ed.

1.: Hate.1Uca (20 grau) I. Do1ce. Osvaldo I 1938II. Iezlti, GII1l5On, 1939- UI. Bazzu, aMuel, 1946IV. Hachado, Nileon JoÁ, 1947- V. Hurak_i, Car_ loe, 194-3- VI. Pompeu, Jod: Nico1au, 194517. CDD-510.0? 18. -5100'7 1ndicII para cat~ogo sistell&tico: 1. Hatllllllhica : Estudo li ensino 510.07 (17.) 5100'7 (18.)

Todos os direitos reservados à ATUAL EDITORA LTOA. rua josé antonio coelho, 785 Telefone: 575 - 1544 04011 - São Paulo - SP LUYLVVS 24681097531

"Fundamentos de Matemática Elementar" é uma coleção em dez volumes elaborada com a pretensão de dar ao estudante uma visão global da Matemática, ao n(vel da escola de 'P. grau. Desenvolvendo os programas em geral adotados para o curso colegial, os "Fundamentos" visam aos alunos em preparativos para exames vestibulares, aos universitários que necessitam rever a Matemática Elementar e também, como é óbvio, àqueles alunos de colegial mais interessados na "rainha das ciências". No desenvolvimento dos inúmeros cap(tulos dos livros de "Fundamentos" procuramos seguir uma ordem lógica na apresentação de conceitos e propriedades. Salvo algumas exceções bem conhecidas da Matemática Elementar, as proposições e teoremas estão sempre acompanhados das respectivas demonstrações. Na estruturação das séries de exerdcios, buscamos sempre uma ordenação crescente de dificuldade. Partimos de problemas simples e tentamos chegar a questões que envolvem outros assuntos já vistos, obrigando o estudante a uma revisão. A seqüência do texto sugere uma dosagem para teoria e exerc(cios. Os exerc(cios resolvidos, apresentados em meio aos propostos, pretendem sempre dar explicação sobre alguma novidade que aparece. No final do volume o aluno pode encontrar a resposta para cada problema proposto e assim, ter seu reforço positivo ou partir à procura do erro cometido. A última parte de c..ada volume é constitut'da por testes de vestibulares até 1.977 selecion~dos e res0

é uma função definida por duas sentenças: y ; 1 ou y ; -1

2«;»

(quando

x..:; O)

(quando

x> O)

se f(x); O, se { x, se

x



Exemplos 1?) 2?) 3?) 4?)

x E O(f) - O são iguais se. e somente se. A = C. B = O e f{x) = g(x) para todo x E A.

y

Exemplos 1?) Se A={-1.0.1} e B={0.1.2.4}. asfunçõesf:A-->-B e g: A -->- B dadas por f{x) = x 2 e g(x) = x4 são iguais pois:

o gráfico de uma função

constante

é uma reta paralela ao eixo dos x. pelo ponto (O. k). A imagem é o conjunto

lO. k)

Im = {k}. f(-1) = (_1)2 = (_1)4 = g(-1) fIO) = 0 2 = 04 = g(O) f(1) = 12 = 14 = g(1) 29)

x

Se A=IR* e B=IR. as funções f:A-->-B e g:A-->-B dadas e 9 () x = X2 - 2x sao Iguais POIS. para to d o x E IR * • temos: x x x2 - 2x f(x) = x - 2 = - . (x - 2) = = g(x)

por f( x ) = x - 2

N.

x

• •

Uma função polinomial que apresenta ao = b. ai = a "* O e a2 = a3 = ... = O

é chamada função afim. portanto. afim é uma função polinomial do tipo f(x) = = ax + b. com a"* O.

o gráfico

x

(-

~. O).

de uma função afim é uma reta passando pelos pontos (O. b) e

Quando a

> O. a função afim é crescente e. se a < o. ela

é decrescente.

Sua imagem é IR.

11. PRINCIPAIS FUNÇOES ELEMENTARES

y

8>

O

6. Funções polinomiais Dada a seqüência finita de números reais (ao. ai. a2 ..... anjo chama-se função polinomial associada a esta seqüência a função f: IR -->- IR dada por: f(x) = ao + alx + a2x2 + ... + anx n Os reais ao. ai. a2 ..... an são chamados coeficientes e as parcelas ao. alx. a2x2 ..... anx n são denominadas termos da função polinomial. Uma função polinomial que tem todos os coeficientes nulos é chamada função nula.

4-H

x

5-H

*

Uma função polinomial que tem ao = c, ai = b, a2 = a O e a3 = a4 = ... = O é chamada função quadrática, portanto, quadrática é uma função polinomial do tipo f(xl = ax2 + bx + c, com a O. O gráfico de uma função quadrática é uma parábola que tem eixo de simetria

*

na reta x

2~

= -

e vértice no ponto V (-

2~

,-

:a

l. Se a> O, a parábola tem

concavidade voltada para cima e, se a < O, para baixo. Conforme d = b2 - 4ac seja positivo, nulo ou negativo, a intersecção da parábola com o eixo dos x é formada por 2, 1 ou nenhum ponto, respectivamente. Assim, são os seguintes seis tipos de gráficos que podem ser obtidos para funções quadráticas.

v

a> O

V

e

t:.>0

t:.

cl f (x) = {x, se x =1= O 3 1. se x = O

r

x. se x 1

x+1.sex

9-H

H.2

Construir os gráficos das seguintes funções elementares:

a) f(x) = Ixl, b) g{x) = c) hlx)

d) i(x)

1:1

=..!..x' =~2 x

isto é,

se

f(x)

x *0

~

{x, se x;;;' O -x, se x O


O

Consideremos os conjuntos

A

~

{-1, O, 1, 2},

B

~

{O, 1, 2, 3, 4}

C ~ {1, 3, 5, 7, 9}. Consideremos também as funções f:A - > B tal que f(x) ~ x2 e g:B-> C tal que g(x) ~ 2x + 1.

~

É imediato que: ~

f(-1)

1, fiO)

O,

1(1)

1 e

f(2)

~

4.

Também é evidente que: g(O) ~ 1,

111.

COMPOSiÇÃO DE FUNÇÕES

9. Definição

Dadas as funções f: A - > B e g: B - > C, chama-se função composta de F: A -----.,. C definida pela lei F (x) = g(f(x).

9 com f a função

g( 1) ~ 3,

g(2) ~ 5,

g(3) ~ 7,

e g(4) ~ 9

Neste caso, a função composta F é a função de A em C que tem o seguinte comportamento: F(-1) F (O) F(l) F(2)

~g(fH))~ ~ ~ ~

g(f(O)) g(f(l)) g(f(2))

o esquema

~ ~ ~

g(1) g(O) g(1) g(4)

~ ~ ~ ~

3 1 3 9

ilustra o que ocorreu:

B

10-H

11- H

A função F tem também uma lei de correspondência que pode ser encontrada se procurarmos o valor de F(x): F(x) = g(f(x)) = 2 • f(x) + 1 = 2x 2 + 1 De forma geral, para obtermos a lei de correspondência da função composta F = 9 o f devemos trocar x por f(x) na lei de g. 29) Sejam as funções de IR em IR :f(x) = sen x e g(x) = x 2 • A composta de 9 com f é a função F: IR ~ IR tal que:

3x2 2Ç») A função F(x) = cos e + I como seria decomposta? Olhando o esquema para calcular F(x), temos: x2 + 1 e 3x2 + I ---+. cos e 3x2 + I x--f~-~ 3 9 h então F é a composta ho(gof), sendo f(x) = 3x 2

+ 1, g(x) = eX e h(x) = cos x.

F(x) = (gof)(x) = g(f(x)) = (f(X))2 = sen 2 x 3Ç») Sejam as funções de IR em IR :f(x) = 2x e g(x) = eX. A composta de 9 com f é a função F :IR ~ IR tal que: F(x) = (gof)(x) = g(f(x)) = el(x) = e 2x

11. Observações

1':1) A composta gof só é definida quando o contradomínio de f é igual ao domínio de g.

2~) Quando A = C, isto é, f:A _ _ B e g: B __ A é possível definir duas compostas gof = FI e fog = F2 .

EXERClélOS

Assim, por exemplo, se f :IR+ ----.IR é dada por f(x) =.../X e 9 :IR ---> IR+ é dada por g(x) = x 2 + 1, temos:

H.4

Se f:A ---> B é dada pela lei f(x) = X - 1, g:B - - C é dada por g(x) = = 2x + 1, A ~ {1, 2, 3}, B ~ {a, 1, 2, 3, 4} e C={a,1,2,3,4,5,6, 7,B,9}, determinar os pares ordenados que constituem gOf.

H.5

Se f e 9 são funções de IR em IR dadas pelas leis f(x) = x3 e g(x) as leis que definem as compostas: gOl, fOg, fof e gOg.

H.6

Sejam as funções reais f(x) _- x + 2, g(x) ~ x2 e h(x) = 2 x. Determinar hOgOI e fOgOh.

Ftlx)

(gof)(x)

g(f(x)) = (f(X))2 + 1 = (.../X)2 + 1 = x + 1

F 2 (x) = (fog)(x) = f(g(x)) = sendo

FI :IR+

~

IR+

e

v"'"9"W

=

R

+1

F 2 :IR __ IR.

De maneira geral, quando ambas existem, gof e fog são funções distintas e isto nos obriga a dobrar a atenção quando compomos.

H.7

12. Para a compreensão de alguns assuntos deste livro é fundamental que saibamos decompor (sempre que isto for possível) uma função em duas ou mais funções elementares.

(sen X)2 9

12-H

I x2 + 1 I

F(x) = sen (x 2 + 4) F(x) ~ tg x3 F(x) = tg2x F(x) = 2cOS x f) F(x) = sen 3 x b) c) d) e)

1Ç»)

X --,-----+. sen x

x + 1, obter

Determinar funções elementares I e 9 de modo que gOl = F, quando F é uma função real dada por uma das leis abaixo: a) F (x) =

Exemplos A função F (x) = sen 2 x deve ser vista como F (x) = (sen X)2, portanto, F é a composta gof, sendo g(x) = x 2 e f(x) = sen x, uma vez que o esquema para calcular F(x) a partir de x é o seguinte:

~

H.a

Determinar as funções elementares f, 9 e h de modo que hOgOf = F, sendo F uma função real dada por F(xl = cos 2x+3 .

13-H

IV.

FUNÇÕES INVERSIVEIS

13.

Dada uma função

f:A ---.. B,

14. consideremos a relação inversa de

f-I = {(V, x) E B X A

I (x,

y) E

f:

f}

Quase sempre f-I não é uma função ou porque existe y E B para o qual não há x E A com (y, x) E f-I ou porque para o mesmo y E B existem XI, X2 E A com XI X2, (y, XI) E f-I e (y, X2) E f~l. Vejamos dois exemplos:

Definição

Uma função f:A ---.. B é invers/vel se, e somente se, a relação inversa de f também é uma função, isto é, para cada y E B existe um único X E A tal que y = f(x). Indica-se a função inversa de f COIr a notação f-I.

"*

15.

Observações 1~)

f

é

função

f -I

não é fu nção

B

Sendo

f-I

a função inversa de f, temos as seguintes propriedades:

a) DWI) = B = Im(f) b) Im(f- I ) = A = D(f) c) (y, x) E f-I 8 e g: A ~ 8, chama-se diferença f - g a função h:A -----> 8 definida pela lei h(x) = (f - g)(x) = f(x) - g(x). Como exemplo, sejam as funções de IR em IR: f(x) = sen x e g(x) = log x. Sua diferença é a função h(x) = sen x - log x.

19.

Multiplicação

Dadas as funções f:A ---> 8 e g:A ----> 8, chama-se produto fg a função 8 definida pela lei h(x) = (fg)(x) = f(x) • g(x). Assim, se f(x) = x 2 e g(x) = cos x são funções de IR em IR, seu produto é a função h(x) = x 2 • cos x. h:A

EXERCICIOS H.9

Subtração

Examinar cada uma das funções abaixo a estabelecer quais são inverslveis. Para estas,

20.

~

Quociente

defi ni r a inversa. a) f: {a, b,

c}

---+ {a', b',

d

tal que f = {(a, a'), (b, b'), (c, c')}.

cl h :IR ----+ IR tal que h(x) = 1 - Sx. d) i: IR --.. IR tal que j(xl = x 3 - 2.

' f f(x) h:A -----> B definida pela lei h(x) = (- )(x) =-(-) para x E A =

9

e) j: IR _----+ IR+ tal que j(xl = x 2. •• 1 f) p:IR ---+ IR tal que p(x) =

Assim, se

x'

H.10

Determinar a inversa da função x, f(x) =

f a função { I } x E A g(x) * O .

Dadas as funções f:A ---> 8 e g:A --->8, chama-se quociente

b) g:{1,2,3}----+{4,S,6,7} tal que g(1I=4, g(2)=6 e g(3)=4.

f(x) = x 2

9x

e g(x) = x - 1 são funções de IR em IR, seu quo2

ciente é a função

f:IR ---+IR

h(x) =

~1 definida em IR - {1}. x -

assim definida:

quando x O tal que €' = € se O < € < 3 ou O < €' < 3 se € ;'3, mos:

que queremos encontrar seja menor ou igual aI,

==>~x+l>3+€'

Ix - 11 < 1 ==> -1 < x-I < 1 ="* O < x < 2

e sendo €' > O tal que se O < € < 1 então €' = € ou se € ;;;, 1 então 0

temos para todo € >

-3€' x-2> 3+€

O,

existe

==

/l =

O onde €' = € se O < € < 3 ou O < €' < 3 se € ;;;, 3, tal que

0

No parágrafo anterior vimos que, para provarmos lim f(x) = L, devemos exibir x+a um o > O para um dado E > O. Considerando que freqüentemente uma função é constru ída a partir de funções mais simples; por exemplo uma' função polinomial f é uma soma finita de funções do tipo fi(x) = aixi onde ai E IR e i E IN, isto é:

==>

f(x)

= ao

+ alx + a2x2 + ... + anx n

n

=L

2

n

ai xi

i=o

.;;;; E.

H.24 Prove pela definição de limite Que: a) lim

=

=

L

fj(x)

i=o

Se as funções fi têm limites para x tendendo a a, então uma combinação conveniente nos fornece o limite de f quando x tende a a. A fim de que não tenhamos que voltar repetidamente à definição de limite para provarmos lim f(x) = L, vamos apresentar as propriedades algébricas do limite x+a de uma função. No que segue estamos supondo que a é elemento de um intervalo aberto I, e que em I - {a} estão definidas as funções f, g, ... "envolvidas" na propriedade. '-

H.25 Prove pela definição de limite Que:

IIm~=4

X+2

27.

1~ Propriedade

então

"Se f é a função definida por f(x) lim c = c". x+a

x - 1

H.26 Prove pela definição de limite Que: 11m x 3 = 1 X+I

=

c onde c E IR, para todo x real,

Demonstração Devemos provar:

'ri E> O, 3 o > O I O < Ix - ai < o

=

If(x) - cl < E

~ sempre verdadeiro, pois

If(x) - cl

28.

Ic - cl

=

O< E

2~ Propriedade

Se c E IR e Iim f(x) x.a

3O-H

=

=

L então lim [c • f(x)] = c • lim f(x) = c • L. x.a x+a

31-H

Demonstração

Demonstração

Devemos provar Devemos considerar dois casos:

'ri € > O, 3 & > O I O < I x - aI < & .u v

1C? caso c = O Se c = O então c • f(x) = O • f(x) = O Pela 1~ propriedade temos

3 &2

x+a

>O

Considerando

21? caso c

=1=

T emos:

3&1>00 If(x)

Sendo

L

se, e somente se,

lim (f(x) - L)

=

O

== 33.

x+a

isto é,

(V E > O,

o> O 10< Ix - ai < o

=

If(x) - L I < E)

=

=('VE>O, 30>Oi O O, 3 8

>O I

Tomando

2

x->a

2) 11m g(x)

M lim (g(x) - M)

x-+a

~

O,

E

ILI

=

x+a

===> lim [(f(x) - L) • g(x)] ~ O

x+a

Ix - ai

If(x) - LI<E

temos

38 > O I O < Ix - ai < 8

=> lim (f· g)(x) ~ lim Uf(x) - L] • g(x) + L • [g(x) - M] + LM} x+a

ILI

"2 < f(x)

ILI

O então

x+a ~

ii) se L



ILI

T .

L

3L

O < 2"" < f(x) < -2-

L • O + LM ~ LM

x+a

lim fi(x) ~ Li

ILI

T < f(x)
L -

+ lim {L • [g(x) - MJ} + lim LM ~

O + L . lim [g(x) - M] + LM

===> If(x) - LI
-a

i= I

i=l

L 0# O,

então, para

3L

Considerando

I

< f(x) If(x)i > N.

n I

n

11 f. = fi • f2 • f3 ••• f . i =1 I n

36-H

x->a

Prova

Antes da próxima propriedade, vejamos mais dois lemas

Se

Iim g(x) = M 0# O então

Se

===> - - < Ig(x)1

lg(x)I>N

=

1

N

lim g(x)

~

M,

vem

x+a

"tE>O, 38>01 0a

o~

Sendo

min {OI, 02J,

'tE> O, 3 0= min {Oj, 02} ==>

1~1_

~I

g(x)

M

L2 •

vem:

Ig(x) - M I

TgTx)nMT

lim Ic.f(x))= c ·Iim f(x) = c· L x+a

Oa

É trivialmente verdadeira pois, dado O < Ix - ai < € ==> Ix - ai < E. n

Provemos agora que

lim I

L

x+a

i=o

E> O,

(ajx n - i )] ~

basta tomarmos

n

L

o~ E

e temos

(ai an - i ).

i=o

39-H

De fato, por apl icações sucessivas das propriedades, temos

~: [~ =

t

[ai (Iim x)n-i] = x~a

i=o

=

(aiXn-il]

t

x 3 + 2x 2 - 3x + 2 x 2 + 4x + 3

d)

~ [~: (aiXn-i~ = ~ [ai(~: xn-i~

x 3 + 2x 2 - 3x· + 2 x2 + 4x + 3

(La)

(x 3 + 2x 2 - 3x + 2) (x 2 + 4x - 3)

i (ai an - ) H.28 Calcule os seguintes limites, especificando em cada passagem a propriedade ou o teorema

j:.o

utilizado.

a) lim 14x 2 - 7x + 5) X+l b) lim Ix 3 - 2x 2 - 4x + 3)

t)

2X -5r lim (3X22 +3x+4 _x x+2 (x 3 -3x2 _2X_5)2 2x 2 - 9x + 2 x+4

g) lim

x+-l

3x + 2

cl lim x2 _ 6x + 5 x+2

h) Iim

x+-}

3x 2 - 5x + 4 2x + 1 X+-l

d) 11m EXERCICIOS

H.27 Calcule os seguintes limites, especificando em cada passagem a propriedade ou o teorema utilizado.

a) lim (3x 2 - 5x + 2) x+2 x 2 + 2x - 3 b) lim 4x - 3 x+-l

r

X+2

3

d) lim x+-2

lim x+-2

x 2 + 2x - 3 x+-3 5 - 3x

e) lim

H.29 Calcular lim

2 (2X - x + 1 3x - 2

c) lim x+1

i)

j)

)2X 2 +3x-4 5x - 4

f

3x 3 - 5x 2 - x + 2 4x + 3

-/2x 2 + 3x + 2 6 - 4x x+2

lim

x 2 -4 x - x

~2

Solução Temos lim Ix 2 - 4) ~ O e 11m (x 2 -2x) ~ O e nada podemos concluir ainda sobre o li-

x 3 + 2x 2 - 3x + 2 x 2 + 4x + 3

x+2 mite procurado.

x+2

Solução

Os polinômios (x 2 - 4) e (x 2 - 2x) anulam-se para x ~ 2, portanto, pelo teorema de D'Alembert, são divisíveis por x - 2, isto é:

a) pelo teorema da função polinomial IT), vem: lim (3x 2 - 5x + 2) ~ 3 • 2 2 - 5 • 2 + 2 = 4 X+2

x2 - 4 (x + 2)(x - 2) x 2 - 2x ~ xIx - 2)

b)

~2x - 3

11m

4x - 3

x+-l

Iim (x 2 + 2x - 3) X+-1 -cc---,-~-Iim (4x - 3) X+-l

c) Iim x+1 (

2x2 _ x + 1) 2 (L6) = 3x - 2

lim (2x 2 - x

x+1 lim (3x - 2) ( x+1

4O-H

(L7)

(.

11m x+1

2X 2 -X+1\2 (L7) 3x - 2 J

x+2 x

Considerando que no cálculo do limite de uma função, quando x tende a a, interessa o comportamento da função quando x se aproxima de a e não o que ocorre com a função quando x = a, concluímos: x2 - 4 Iim -2--~ lim x + 2 ~ 2. x+2 x - 2x x+2 x

H.30 Calcular os limites:

x2 - 1 a) Iim - - X+l x - 1

4 - x2

b) lim - - x+-2 2 + x

41-H

. 4x 2 - 9 cl 11m . - - - 3 2x - 3

x3 - 1 g) 11m ~ x+1

x+2"

x 2 - 4x + 3 di lim 2 x+3 x - x - 6 e) Ilm

l

f)

Temos

8 + x3 2 x+-2 4 - x

i)

lim (2x 3 + x 2 - 4x + 11 ~ O e x+l

h) lim

2x 2 + 5x - 3 2x 2 - 5x + 2

x+2"

Solução

Os polinômios

lim (x 3 - 3x 2 + 5x - 31 ~ O. X+l

(2x 3 + x 2 - 4x + 11

Ix 3 - 3x 2 + 5x - 31

e

portanto, pelo teorema de D'Alembert, são divisfveis por

anulam-se para x - 1,

(x - 1),

isto é,

x - 1

é

um fator comum em 12x 3 + x 2 - 4x + 1) e (x 3 - 3x 2 + 5x - 31. Efetuando as divisões de (2x 3 + x 2 - 4x + 11 e (x 3 - 3x 2 + 5x - 3) por Ix - 11,

x 4 - 16

11m x+2 ~

obtemos:

6x 2 + 11 x + 3 lim 3 2x 2 -=5~ x+-T

(x - 11 • (2x 2 + 3x - 11 (x - 1) • Ix 2 - 2x + 3)

2x 3 + x 2 - 4x + 1 x 3 - 3x 2"+ 5x - 3

2x 2 + 3x - 1 x 2 -2x+3

Então

H.31

2x 3 + x 2 - 4x + 1 lim x3 _ 3x2 + 5x - 3 x+1

Seja a função f definida por

f(xl =

I

Calcular

x2 - 3x + 2 X - 1

se

x

3

se

X

=1

H.35

lim flxl. X+I

2x 2 + 3x - 1 lim x 2 _ 2x + 3 ~ 2 x+1

Calcular os limites: x 3 + 3x 2 - x - 3 x3 - x2 + 2 X+-l

cl lim x+l

x 3 - 6x - 9 x 3 - 8x - 3

d) lim x+2

a) lim

Solução

b) lim x+3

Como no cálculo do limite de uma função, quando x tende a a, interessa o comportamento da função quando x se aproxima de a e não o que ocorre com a função quando

x 3 - 3x 2 + 6x - 4 x 3 - 4x 2 + 8x - 5 x 4 - 10x + 4 x 3 _ 2x 2

x = a, temos: x 2 - 3x + 2 (x - l)1x - 2) lim flx) ~ lim - ...- - - ~ 1im 11m (x - 2) x+I X+I X - 1 x+1 ~ x+1

.---rx--=-lT -

-1

H.36

Calcular

I im x+l

3x 3 - 4x 2 - x + 2 2x 3 - 3x 2 + 1

Solução H.32

Seja a função f

definida por Temos

flx)

~

rX2 - 3x - 2 x - 2 3

Calcular

se

x

i=

se

x

~

2

3x 3 - 4x 2 - x + 2 (x - 1) 13x2 - x - 21 3x 2 - x - 2 ~ (x - 11 12x2 - x - 1) ~ 2x 2 - x - 1 2x 3 - 3x 2 + 1

então . 3x 3 - 4x 2 - x + 2 lim 2x3 _ 3x2 + 1 x+1

+ 9x + 9 x + 3

{ 3 se

Mostre que

x+l

Efetuando as divisões de 3x 3 - 4x 2 .. x + 2 e 2x 3 - 3x 2 + 1 por x - 1, temos:

H.33 Seja a função

flx) ~

lim 12x 3 - 3x 2 + 1) ~ O.

x+l

2

lim flxl. x+2

2x2

lim (3x 3 - 4x 2 - x + 21 ~ O e

x

-3

3x 2 - x - 2 lim 2x2 -x-l x+1

mas lim 13x 2 - x - 2) ~ O e lim 12x 2 - x - 1) ~ O x-H x+l

lim t(x) ~ 3. x+-3

então H.34

Calcular

42-H

3

2

lim 2x + x - 4x + 1 x+! -;;3 - 3x 2 + 5x -'3

.

. 3x 2 - x - 2 lim ....- - x+1 2x 2 - x - 1

. Ix - 1) 13x + 2) I Im x+l Ix - 11 (2x + 11

lim 3x+2 =~ x+l 2x + 1 3

43-H

H.37 Calcular os limites:

H.41

x 3 - 3x + 2 a) lim 4 x+1 x - 4x + 3

x 4 + 2x 3 - 5x 2 - 12x - 4 4 + 7x 3 + 2x 2 - 12x - 8 2x x+-2

x2 - 4

v'X+2-~

..j x 2

e) lim x+1

- ..j

x 2 + 3x - 3 - 3x + 3 2 x - 3x + 2

xm _ 1

x 2 - a2

lim--'----~ X'+'8 x-a

d) lim -n--l

x-H x n

x2

n

+x

x~

fi

x - 1

lim

x+a

lim~

x+2

x - a

xm - a m

n

c)lim~

~-2

H.42 Calcular

e)lim~

b) lim -3--3

X+l

x 2 -9

d) lim x+2

H.38 Calcular os limites:

x+_aa

2-~

.;;:;:J- 2 c) 11m 2 x+1 x - 3x + 2

d) lim

a2 -

x2 - 1

b) lim x+3

x 4 _ x 3 - x 2 + 5x + 4 c) lim x 3 + 4x 2 + 5x + 2 x+-l

a)

3-~

a) lim x+1

x 4 + 4x 3 + x 2 - 12x - 12 2x 3 + 7x 2 + 4x - 4

b) lim x+-2

Calcular os limites:

4x + 1 - 3

Solução

xn _ an

Como 11m

(y'3;::2 - 2)

x+2

H.39 Calcular

x- 3

~

Solução Como lim x+3

L7

(~- 2

) = O e lim (x - 31 = O. não podemos aplicar a propriedade

"conjugado" do numerador, temos: (x - 3)

(x - 3)

N 1+x

+ 2)

a, então

y'1+"; -2 lim x+3

x-3

lim x+3

bl lim x+o cl lim X+1

44-H

...,r;- 1

+2

x

x-I

~

- 2

(~+21

3(~ + 3)

4(~+2)

3(V4x""+1 +3) 9 =Iim x+2 V 4x + 1 - 3 x+2 4(~ + 2) 8 lim.~

- 2

Y2x'+1 - 3

a) 11m • r--;:::

.;;: x+4 yx-2-V2

..j

1-~

y';+J

= 4(x - 2)(~+2)

(~+3)

H.43 Calcular os limites:

4

1 - 2x - x 2 - 1 d) lim - - - - - x x+o

x-I

(~-3)'(~+3)

1

-v'1+X

H.40 Calcular os limites: ai lim X+1

(~-2)' (~+2)

-2

~-3

e então

(~-2)(~ +2) (x - 3) (VT+i< + 2

x - 3

x+2

3(x - 2)(-,/4x+1 + 31

x+-3

(limite do quociente). Multiplicando o numerador e o denominador da fração pelo

~-2

= O e lim (~ - 3) = O, multiplicamos o numerador e o

denominador pelo "conjugado" do numerador e também pelo "conjugado" do denominador.

y'1+";-2 I.Im --"---'---~-=x+3

.

e) lim X+O

b) I i m

4-~

• r;;-;;---cc X+6 2 -yl0-x

cl lim x+o di lim x+2

Vh+4 -y';+4 .~

vx+l-l

..j x 2 + x - 2 - ..j x2 -

x+2

v'X+2-2

~-~ x

...[2;. - ...r;+1

f) lim - - - - - : - - x+1 x-I

H.44 Calcular os limites:

..j 2x 2

- 3x + 2 - 2 ' x+2 y 3x' - 5x - 1 - 1

a) lim ./

b) lim x+ -1

..j 3x 2 + 4x + 2 - 1 V x 2 + 3x + 6 - 2 45-H

x - 2

Solução

lim 3r=====~-­ X->2 3x - 5 - 1

H.45 Calcular

'\I

Notemos que

Solução lim (x - 2) = O e lim

Notemos

X+2

X+2

Lembrando da identidade

[(~)2

(~ 3x - 5 -

- 5 - 1

1)

+ 64

..v-; + 1 x +1

..r;:-

V

~:':64

{fX =

y,

= y2

..

= lim

y->2

y2 + 2y + 4 Y + 2

c) lim x+l

= lim y y->2

=3

~-1 ~- 1 ~-1

d) lim .3r:---x->oVl+x-l

Calcular.,J1S-.~' es: ""

H.51

1

a) lim _

x+a

H.47 Calcular os limites:

b) 11m X+-2

(.lf";)2

x - x2

b)lim ) ~ x->-l V 2x + 3 - 1

a) lim x->o 1+~

~ =

1

2 y2 - 4

VX - 4

a) lim

x

lim x->64

...r;8 .3r

e então

x+o

e lim x->64

temos:

[(~ 3x - 5)2 + ~ 3x - 5 + 1] (~)2+~+1

v--;: = (~)3

e notando que

+ 1].

(X-2)[(~)2+~+11

~-1 a) 11m _ _-::_

=O

H.39 e H.45: Vamos, entretanto, apresentar um novo processo. Fazendo temos

(x-2)[(~5)2 +~+11

x-2

(v--;:- 8)

Poderfamos empregar no cálculo deste limite os processos mencionados nos exercfcios - 1) = O.

a3 - b 3 = (a - blla 2 + ab t b 2 L vamos multiplicar o nu-

merador e o denominador por

~ 3x

(~

lim x->64

xV--;:- a

a 'J"'iX - V_r~

V;-.1

2 l

c) lim x->l

x - 1

~-~

d) I im _...,.,...---,__

x+a

x - a

~-

rv;-

e) lim - - - - - x->a nr- nrV x - va

~-1 ~-1

H.48 Calcular os limites:

~-3

a) lim 3 x->l ~ + 1

c) 11m

V 3>l 2vx-1-1

...[;-8 H.49 Calcular

46-H

lim .3rx->64 V x - 4

47-H

VI.

40.

LIMITES LATERAIS

41.

Definição

f(x).

Seja f uma função definida em um intervalo aberto la, b[. O limite de quando x se aproxima de a pela direita, será L e escrevemos

Lembremos que ao considerarmos lim f(x), estávamos interessados no com-

Iim

x+a

portamento da função nos valores próximos de a, isto é, nos valores de x pertencentes a um intervalo aberto contendo a mas diferente,s de a e portanto, nos valores desse intervalo que são maiores ou menores que a. Entretanto, o comportamento em algumas funções, Quando x está próximo de a, mas assume valores menores que a, é diferente do comportamento da mesma função, quando x está próximo de a, mas assume valores maiores que a.

f(x)

=

L

X-..a+

. ' v0, talquese O<x-a O, eXistir Em símbolos, temos:

Assim, por exemplo, na função f(x) =

4-X se x 1

atribuindo a x valores próximos de 1, porém menores que 1, (à esquerda de 1), temos:

x

O

0,5

0,75

0,9

0,99

0,999

f(x)

4

3,5

3,25

3,1

3,01

3,001

42.

Definição

Seja f uma função definida em um intervalo aberto ]b, ar. O limite de f(x), quando x se aproxima de a pela esquerda, será L e escrevemos lim

f(x)

=

L

x-..a-

se, para todo E> O, existir ô > O, tal que se -li < x - a < O então !f(x) - L I < E. Em símbolos, temos:

e atribuindo a x valores próximos de 1, porém maiores que 1, (à direita' e 1). temos:

x

2

1,5

1,25

1,1

1,01

1,001

f(x) .

O

-0,5

-0,75

-0,9

-0,99

-0,999

43. As propriedades de limites (propriedades L) e o teorema do limite da funç~o polinomial são válidos se substituirmos " x -+ a " por ~~ x -+ a+" ou por "x ..... a ".

Observamos que, se está próximo de 1, à esquerda de 1, então os valores da função estão próximos de 3, e se x está próximo de 1, à direita, então os valores da função estão próximos de -1. Em casos como este, onde supomos x assumindo valores próximos de 1, mas somente a esquerda ou somente a direita de 1, consideramos os limites laterais pela esquerda ou pela direita de 1, que definiremos a seguir.

48-H

49-H

temos:

EXERCICIOS

lim f(x)

lim

X'+l+

X+l.+

(3 - x)

Nos exercícios H.52 a H.57, tl dada uma função f. Calcule os limites indicados, se existirem; se 0(5) limite(s) não existiriem) especificar a razão.

=2

e lim f(x) = Iim )(+1-

(x 2 - 4) = -3

{ 3x - 2 se x> 1 2 se x = 1 4x + 1 se x < 1 b) 11m t(x) a) lim t(x)

H.52 f(x)

x+l-

Como os limítes laterais são diferentes, dizemos que lim t(x) não existe. A x"l justificação da não existência de um limite devido ao fato de os limites laterais serem diferentes é dada no teorema que segue.

=

x+l-

X+l+

{ 3 - 2x se

H.53 f(x)

a) lim

Seja I um intervalo aberto contendo a e seja f uma função definida para x E I - {a}. Temos lim f(x) = L se, e somente se, existirem lim f(x) e x+a

- 5 < x - a < O ou

( '9'e>O, 35 >0 10< Ix -ai O, 3 5 > O I O < x - a < 5

lim

f(x)

L

-

e { lim

f(x)

L

x+a+

== lf(x) ==-

LI

<e]

If(x) - LI < e

H.56 t(x)

c) lim t(x) X"2

=

se x >3 b) lim f(x) )(+3-

f(x)

a) lim x+3+

_

21x2 - 3x - 1 H.57 f(x)

=

{ _x 2 + 6x - 7

a) lim

f(x)

se x

H.58 Dada a função

lim

f(x).

c) lim f(x) x"3

2 b) lim f(x)

x"r

X+2+

x+O-

50-H

f(x)

lim

{ x2 - 3x + 2 se x";;3 0,35>01-5<x-a

b)

2 se x < 2 { 1- x se x ~ 2 O x - 1 se x> 2

=

O< x - a < 5

temos

lim f(x) x+3 -

x+-I

5x se xOI

o

f(x) < M)

Seja I um intervalo aberto que contém a e seja f uma função definida em I - {a}. Dizemos que, quando x se aproxima de a por valores maiores que a, f(x) cresce ilimitadamente e escrevemos

x+a

f(x)

lim

Insistimos novamente em observar que o símbolo "- 00" não representa nenhum número real, mas indica o que ocdtre com a função quando x se aproxima de a.

49.

,

e I Im

_00

1

------t-----.J4------

y

< M.

lim f(x}

Observemos que se x assume valores próximos de 1, à esquerda de 1, os valores da função decrescem ilimitadamente e se x assume valores próximos de 1 à direita de 1, então os valores da funçã~ crescem ilimitadamente. Estamos consideran~o os limites laterais que são "infini· tos e escrevemos:

Consideremos agora a função h definida por h(x) =

1 x _ 1 para todo x real

=

M

+ 00

x"*a+

se, qualquer que seja o número M > O existir ó > O tal que se O < x - a < então f(x) > M. Em símbolos:

i

lim x+a+ f(x) =

+00 _

x

("IM> 0,3 li > O I O < x - a < li

'* f(x) > M)

e x*" 1. Atribuindo a x valores próximos de 1, porém menores que 1, temos:

Coloquemos com símbolos as definições de lim f(x) = -

00,

x+a+

O

0,5

0,75

0,9

0,99

0,999

x f(x)

-1

-2

-4

-10

-100

-1000

e atribuindo a

x

valores próximos de

1, porém maiores que

e lim

f(x)

= -

00:

x+a-

~~a+ f(x) - -

1, temos:

lim

00 -

f(x) - + 00

_

("IM

< 0,3

li > O I O < x - a

("IM> O, 3 li > O I - li

x+a-

x f(x)

2 1

1,5

1,25

1,1

1,01

1,001

4

10

100

1000

lim

2

lim f(x) = + 00 x+a-

f(x) = -

00 _

("IM

< O,

3 li > O I - li

<x

<x

< li =

- a

- a

O tal que

o
f(x) >

c

2"

(1 )

>0

isto é, f(x) > O quando x está próximo de a. . f(x) Mas, por h ·Ipotese, g(x) > O quan d o x esta. pró' xlmo d e a, entao 9 x N

Sejam

lim f(x) = c

e 9 funções tais que

x+a

I) lim f(x) = X+.

+ 00

g(x)

11) lim f(x) = x+. g(x)

00

'* O e

lim g(x) = O então:

se f(x) < O quando x está próximo de a; g(x)

Demonstração Faremos a demonstração de I e deixaremos a prova de li, que é feita de . f(x) modo análogo, a cargo do leitor. Para demonstrar que 11m - - = + 00 deveX+. g(x) mos mostrar 'v'M > 0,3 li > O I O < Ix - ai

f(x) > M

>O

quando x está próximo de a. Pela definição de lim g(x) = O, temos: x+.

X+a

se f(x) > O quando x está próximo de a; g(x)

()

'v'€>O,3li 2 >01 0 O

I O < Ix - ai < li 2

=

g(x) < €

(2)

Com base nas afirmações (1) e (2). podemos concluir que para qualquer € > O existe li = min {li l , li 2 } tal que

O < Ix - a I

f(x) g(x)

< li =

>

c 2€

c Assim, dado M > O, seja € = 2 M e li = min {li I, li 2 } > O onde li I e li 2 são números positivos que satisfazem (1) e (2) respectivamente, então: dado M > O, 3 li = min {li I, 1i 2 } > O tal que O < Ix _ a I < li

Vamos considerar dois casos:

==

f(x) g(x)

>

c

2€

c

2C'= M 2M

TI? caso: Supondo c > O Por hipótese temos

Iim f(x)

c > O.

=

o que prova que

isto é:

X+.

'v' € > O. 3 li > O I O < Ix - ai < b T omemos

c € = '2' entao eXiste N .

oI

==

> O ta I que

=-

< f(x)

- c

ou ainda

O < Ix - ai

58-H

2!? caso: Supondo c < O c

"2

Se lim f(x) = c < O então lim [-f(x) l x+.

• •. d ta proxlmo e a,

ou seja O O e se f((X)) > O quando x es9 X

-f(x) O d .•. d entao -(-I > quan o x esta proxlmo e a. N

-g x

Considerando as funções h e j tais que h(x) = -f(x) para todo x do domínio de f e j(x) = -g(x) para todo x do domínio de g, temos pelo primeiro caso já demonstrado lim x+.

h(x) j(x)

=+00

59-H

mas

então

h(x)

-f(x) •

f(x)

j(x)

-g{x)

g(x)

f(x)

rim x+a

sinal de f(x) = 1 - x

+

sinal de g(x) = (x - 2)2

+

-

O

-

+00

g(x)

Observação: este teorema continua válido se "x~a+"

"x -+ a"

for substituido por

ou "x~a-".

+

+

O

i

sinal de

+

f(x) 1 - x g(x) = (x - 2)2

Notemos que

f(x) g(x) =

I

-

O

-

I I I

: 1 - x

(X":2j2

O

quan d o x esta• prÓ· xlmo de 1 • enta-o:

3x + 2

lim~

quando x está próximo de 1.

=+00

sinal de f(xl = 2x + 1

x

-

sinal de g(xl = x - 1

-

O

+

-

X+I

x+2

quando x está próximo

x+l+

-1/2

f(x) = (x 3x _+1)2 2 g(x)

b) Como lim (1 - x) = -1

(x - 1) = lim (x - 1) = O, estudemos

x+l-

+

+

O

X+l+ X - 1

+

. o Sinal de

f(x) 3x + 2 g(x) = (x - 1)2

2x + 1

b) lim

X+l- x - 1

sinal de

N otemos que

x

3x 2 - 5x + 2 x2

x-+-2

quando x está próximo de 1.

&O-H

x

2

e lim (x - 2)2 X+2

de 2.

. f(x) = O. estudemos o Sinal de g(x)

=

1- x (x _ 2)2

sinal de

f(x) 2x + 1 9(x) =...,.--:-;-

+

O

-

+ O

+

II I I

+

: 61-H

f(x) 2x + 1 Notemos que g(x) ~"""X"=1

O

quando

)C

lim

X~l""

PROPRIEDADES DOS LIMITES INFINITOS

Veremos a seguir dez teoremas cujos enunciados serão apresentados com o símbolo "x -+ a", mas que serão válidos se trocarmos esse símbolo por "x -+ a-H ou "x ..... a+".

2x + 1 = _ 00 X+l- x - 1

lim

e ~ g(x)

11.

está próximo de 'I, à direita, então

~~+oo

52.

Teorema

x - 1

2x + 1

.

Se

2x + 1

Observemos que não tem significado falarmos em I Im - - pois lim - - = - ooe

x-I

X"I

x"l- x-I

lim f(x) = + 00 e

lim g(x} = + 00, então lim (f + g) (x)

x+a

x+a

+ 00

.

x+a

Demonstração Para provarmos que x + 4 a) lim -x"-2- x + 2 b)

f)

rIm

x + 4 -X+-2+ x + 2

c) lim x+3-

3x + 2 lims + 5 - 2x x+"2

mas

2x + 3 ( )3 x+]- x - 1

1 - 2x

h) lim

x -3

X+l+

rIm 3x + 2 -x..!- 5 - 2x

lim

j)

lim

2

"I

~

°I

> O, 3 li I >

O < I x - a I < li I

e

lim g(x) = + 00,

isto é, se tomarmos

x"a

x+o x

~

~

2x 2 -" 3x - 5 (2 - x)3 x+2+

> O,

temos:

=-- f(x) > O,

>

~

temos:

=g(x)

então considerando li = min {li l

H.73 Mostre pela definição que lim-;'

~

isto é, se tomarmos

> M

1

2x 2 - 3x - 5 (2 - x)3 x+2-

n

Iim f(x) = + 00, x"a

2x + 3 ( )3

x -

=-- (f + g)(x)

V M > O, 3 li > O I O < Ix - a I < li

g) lim

1 - 2x d) Iim x+3+ ~ e)

lim (f + g)(x) = + 00 devemos provar x"a

H.72 Determine:

+ 00

,

M > 2""

li 2 }. temos:

VM>O,31i>OI O

O e 1)2

>O

tais que se

> ~. ex

= min {I)I' 1)2}, temos que para todo M> O, existe I) >0

Considerando I)

I'Im 2 1 x+o X

M ex

então existem

< Ix - aI < I)

tal que se O

então (f • g)(x)

= f(x)

• g(x)

>~ . ex = M, ex

e calculemos lim (f - g)(x) x+o

= lim

(f(x) _ g(x))

x+o

= lim (1 x+o

1\

\7 - )(2)

56.

Se lim f(x) = -

Se considerarmos as funções

X+I+ X - 1

=+

00

e

e lim g(x) = b x+a

00

x+a

1 3 f(x) = - - e g(x) = - 3 x - 1 x - 1

, 1 IIm - -

Teorema

3

lim 3 X+I+ X -

definidas em IR - {1 } ter (amos

=+

I) se

11) se

> O, b < O, b

então então

00

*- O,

então:

Iim (f. g)(x) = - 00 x+a lim (f. g)(x) = + 00 x+a

A demonstração deste teorema ficará como exerdcio.

Mas lim (f - g)(x) = Iim (f(x} - g(x)) = lim (_1-1 X+I+ X+I+ X+I+ X =

_

- 3_3- )

X - 1

=

X2 + x - 2 I' (x - 1)(x + 2) x +2 , I Im = Im = lim - 1 X+I+ (x - 1 )(x 2 + x + 1) X+I+ (x - 1)(x 2 + x + 1) x+l+ x 2 + x + 1

57.

Observação Se

+ 00 (ou -

lim f(x) =

00)

e lim g(x) = O,

x+a

nula, não podemos formular uma lei geral para

Iim (f. g)(x), x+a

Teorema Se

lim f(x) = x+a

I) se

11) se

> O, b < O, b

R' e as funções gl (x)

+ 00 e Iim g(x) = b X+a

*-

O

64-H

4

=

=~ definidas em x

Observemos que

então

lim (f • g)(x) = + 00 x+a lim (f • g)(x) = - 00 x+a

Iim gl(x)

x~

= lim x4 = O e lim g2(X) = lim x 2 = O. x~

X~

x~

Mas

Demonstração

O
O, então existem x+a Ix - ai < 1)1 então g(x) ex,

>

lim (fI" gl)(x)

ex> O

e

1)1 > O tais que se

x~

=

lim (_1_. x 4 x2

x~

) =

lim x 2 = O

x~

lim (f2 .g2)(X) = Iim (_1_ • x 2 ) = lim _1_= x~ x~ x4 x~ x 2

e

+00.

65-H

58.

Teorema

1 = +00, lim g(x ) = 11m . 1 = +00 e I'Im h() lim f(x) = lim ~ 4" x = x+o

Se lim f(x) = + 00 e lim g(x) = + 00, então Iim (f. g)(x) = + 00. x+a

Da

~8

x+o X

x+o

x+o X

x+o

-1

= lim - , =-00 x+O X

Demonstração Se lim f(x) = + 00, então existem x+a

O < I x - aI < 6 1

,

então

f(x)

VM > O

> v"M. e se I

-IM

e 61

>O

tais que se

Mas

lim g(x) = + 00 ,então existem x+a

> O e 62 > O tais que se O < Ix - ai < 6 2 ,então g(x) >

9

x+O

x+O

< Ix

- ai

< 6'

então f(x) • g(x)

> v"M . v"M

= M,

= lim

lim (.!!...)(x) h x+O

59.

lim f(x) x+a

x+a

x+a

à do teorema anterior,

62.

Teorema

= lim x 2 = O x+o

~ ~ -

~4

)

-=l

= lim --12

= - 00

x+O X

x2

-1 h x2 ) lim (-)(x) = Iim - - = lim (-1) = -1 f x+o ~ x+o x+o

= + 00 e lim g(x) = - 00, então lim (f. g)(x) = - 00 ,

A demonstração deste teorema é feita de modo análogo portanto, ficará como exercício.

60.

x+o

Teorema Se

1

?"

Considerando 6 = min {6 1 , 6 2 } temos para todo M >0, existe 6 >0 tal que se O

~ ~2

= lim - -) lim (-)(x) f

v"M .

Teorema Se

Se Iim f(x) = - 00 e lim g(x) = -00, então Iim (f. g)(x) = + 00.

x2

lim f(x) x+a

x+a x+a x+a Demonstrar este teorema a título de exercício.

~

+ 00,

então

lim f(1 ) = O. x+a

X

Demonstração Se lim f(x) = + oo,então existem M> O e 6> O tal que se O< Ix - ai M.

f(x) > M > O If(x) I> M

(-..!.. )(x).

1 1 1 Por exemplo, consideremos as funções f(x) ="2" ' g(x) =7.4 e h(x)= - x 2 definidas em IR·. Observemos que

f(x)

Tomando

€

= M' temos para todo

X

0< I x - a I < 6, então

1_

1 _ f(x)

01 < €

€

> O,

existe 6

e, portanto,

>O

tal que se

lim f(1 ) = O. x+a

X

67-H

63.

Teorema

Se

lim f(x) = - 00,

então

x+a

66. Antes de prosseguirmos, façamos um resumo dos teoremas apresentados, lemo brando que as proposições permanecerão válidas se substituirmos o símbolo " X ~ a" por "x ~ a+" ou " X -+ a-".

lim f(1 ) = O, X+a

X

A demonstração ficará a cargo do leitor Dados

64.

lim f(x) =+00 x+a

lim g(x) =+00 x+a

lim (f + g)(x) = + 00 x+a

lim f(x) x+a

=-00

Iim g(x) =-00 x+a

lim (f + g) (x) = - 00 x+a

Iim f(x) x+a

::;+00

lim g(x) = b*O x+a

Iim (f • g)(x) = x+a

lim f(x) x+a

:-00

Iim g(x) = b*O x+a

lim (f • g)(x) x+a

Iim f(x) x+a

= + 00

lim g(x) =+00 x+a

lim (f • g)(x) = + 00 x+a

lim f(x) x+a

= +00

lim g(x) x+a

lim (f • g)(x) = -00 x+a

lim f(x) =-00 x+a

lim g(x) x+a

Teorema

Se

lim f(x) = O. então x+a

lim x+a

I

1

1= + 00,

f(x)

Demonstração

Se Iim f(x) = O, então existem I: > O e 6> O tais que se O< Ix - ai

==g(x)

V;+~+\f;

c) lim x++oo

3N

max {N 1 , N 2 },

=

>°I

x

>

N

temos:

M 2

temos:

== f(x)

+ g(x)

M

M

>2

+2

=

M

Faremos a apresentação dos enunciados dos demais teoremas e deixaremos a b) lim x2 x+-oo

+ 00

x++oo

H.as

M

+ 00, isto é, se tomarmos

g(x)

lim

= + 00

cargo do aluno as demonstrações,

Mostre pela definição que: x3 =

ai lilTl

b) lim x3 = x+ _00

+ 00

x++oo

ao.

00

Teorema

Se lim

f(x)

x?'-+

-

g(x)

e Iim

00

-

então

00,

+

(f

Iim

g)

-

00,

x++ oo

X+T 00

00

Observação

IV. PROPRIEDADES DOS LIMITES NO INFINITO

Se

lim

f(x)

= + 00,

lim

x++oo

Veremos em seguida dez teoremas cujos enL!nciados serão apresentados com o símbolo "x -->- + 00" e não perdem a validade se esse símbolo for trocado ~'or "x -->- - 00". Estes teoremas são basicamente os apresentados nas propriedades dos limites infinitos, com adaptações para aplicações de limites no infinito.

e lim

i(x) = -

x++

= + 00,

g(x)

lim

x++oo 00,

h(x)

= - 00

x++oo

não podemos estabelecer uma lei geral para os seguintes limites

00

lim

(f - g),

x++oo

lim

(h - i)(x)

e

x+-+oo

lim

(f

+ h)(x)

x++oo

Por exemplo, consideremos as funções f(x) = 3x - 2 e g(x) = 3x + 5 definidas para todo x real. Observemos que

79.

Teorema Se

lim x++

lim

+ 00 e lim g(x)

f(x)

x++

00

+ 00, então lim

(f

+ g)(x)

x++oo

00

(3x - 2) =

x++

lim

Para provarmos que

"I M

> 0,3

N

>

lim

°I

+ g) (x) = + 00 devemos provar:

>

N

=

(f + g)(x)

>

f(x) = + 00,

lim

isto é, se tomarmos

aO-H

M

2 > 0,3

N[

>°I

x

> N[

=

>

2

f(x)

= lim

0,

>

M 2

(-7) = -7

x++oo

M

2

+ 2x - 3 defi-

nidas para todo x real, teríamos: (3x 2

-

7x

+

1) =

temos: mas

lim

(f - g)(x)

lim x++oo

[(3x 2

(2x 2

+ 00 e lim x++

lim

+ 2x - 3)

=

+ 00

00

[f(x) - g(x)]

x++oo

x++ oo

"1

+ 5)]

x++ oo

M

+ 00

X-"+ 00

[(3x - 2) - (3x

lim

00

5) =

Se considerarmos as funções f(x) = 3x 2 -?x + 1 e g(x) = 2x

Temos, por hipótese

x++

+

[f(x) - g(x)]

(f - g)(x) = lim 00

x++oo

x++oo

x

(3x 00

e calculemos x++

(f

x-++

= +00.

lim

Demonstração

+ 00 e lim

00

-

7x

+

1) - (2x 2

+ 2x - 3)]

(x 2

= lim x++

-

9x + 4)

+00

00

81-H

81.

83.

Teorema Se

I) se

= + 00

f(x)

lim x"*+

e lim

g(x)

=

b

x~+ 00

00

então

b>O

(f. g)(x)

lim

"* O,

Teorema

Se

então

lim

=

f(x)

e lim

+ 00

=

g(x)

então lim

+ 00,

(f • g)(x)

=+

(f· g)(x)

= - 00.

(f· g)(x)

= + 00.

00.

X++OO

x++oo

::::;+00

x~+oo

11) se

então

b O e Ó > O taiS x'" qu e se O < Ix - ai < ó en tão If( x)i < M. De fat o, se Iim flx ) d € = 1 na def ini ção de = b, tom an o lim ite , temoS:

M

x'"

€ =

x

1, 3 ó

>OI

O
O, então, para todo x tal que O < Ix - ai < 6, temos Ibl b b f(x) > b - 2 ~ b - 2" ~ 2" > O = f tem o mesmo sinal de b. Se b < O, então,p ara todo x tal que O < Ix - ai < 6 temos Ibl b . f(x) < b + 2 ~ b -"2 2"b < O = f tem o mesmo 'slOal de b.

93.

f(x) ~ b".

Demonstração

Sendo lim

Ibl

x+-+- oo

I - {a}.

Demonstração

Sendo

então Iim

'

f conserva o mesmo sinal de b em

h(x) ~ b e se f é tal que g(x)":;; f(x) ,,:;; h(x) para

==

==

c-b df'-dl' Sendo lim f(x) = b e lim g(x) = c e tomand o e = -2na e Inlçao e Ix+a

x+a

mites, temos que existem 8 I > O e 6 2 > O tais que c - b 3b - c O < Ix - ai < 8 1 = If(x) - bl < -2-~---Y- < f(x)
OIO';;;

Ix - a I

'Ir

a) O < x
tg x

==O-

(11)

lim sen x = sen a. x+a

91-H

Multiplicando as desigualdades

a) o < ~

2" >

1T

b) -

sen x > x

<x

(sen x> O)

1T

x
x

resulta

sen x 19 x

sen 3x b) 11m x+O se" 5x

==

1T

<x
1 > M, determinamos N = 109aM' > O e temos que, para todo M < 1, existe N = 109aM' > O tal que x> N ~ a X > M. Para provarmos que lim a X = O devemos provar:

'tE> O, 3 N < O

O 1, tomamos f' < 1 < f, determinamos N = 109af' O e temos que, para todo f > 1, existe N = 109af' < O tal que x < N 1a X I < f' < f.


O, temos:

+ 00 devemos provar

00

't M > O, 3 N > O 1 x > N Notemos que para todo

=

-109a(1 - E2)

EI > O e O < E2 < 1,

Notemos que, para

Para provarmos que

=

lf(x)1 < -109a(1 - f2)

=109a(1 - E2) < f(x)
O tal que

e O < a < 1,

então

aX = O e

lim x++

lim

a X = + 00.

x+- 00

00

A demonstração deste teorema ficará a car90 do leitor como exercício.

=

c,

então

= a C.

= a x+b

Demonstração Por hipótese, temos

lim f(x) = c, x+b

isto é,

lim [f(x) - c] = O. x+b

Pelo teorema anterior 103. Teorema

=

lim [f(x) - c] = O

Se a E IR, O < a

"*

lim a[f(x) - c]

x+b

1 e lim f(x) = O,

então

x+b

lim af(x) x+b

x+b

1. Para provarmos que

Iim af(x)

= aC

provemos que lim [af(x) - aC]

pb

= O.

pb

Demonstração Considerando que

Iim f(x) x+b

1) Dado

existe


O,

=

=

O e supondo

OI > O tal que

O < Ix - bl 01 If(x)1 < 109a(1 +fd = -109a(1 + fi) < f(x) < 109a(1 + fi)'

96-H

=

a > 1, temos:

Então lim [af(x) - aC] = lim a C • [af(xl-c - 1] = x+b x+b = aC lim [af(x)-c _ 1] = a C [Iim af(x)-c - 1] x+b x+b =

aC

(1 - 1)

=

aC

•

O

=

O

97-H

EXERC(CIOS

IV. LIMITES DA FUNÇÃO LOGARliMICA

H.94 Complete:

a) lim 3 x =

c) lim

x~2

105. Teorema

eX =

x~2

(.2.)x 2 x+-]

b) lim

=

Se

I~)x =

d) lim

a E IR

e 0< a

* 1,

então

e

x~3

lim (l09aX) = O. x~1

Demonstração H.95 Complete:

a) lim

2

x

=

x

=

di lim

x~+oo

b) lim

x+-oo

2

Para provarmos que

1.2.)x _ 3 -

V x e

e) lim

~-oo

x++oo

(.2.)x x++oo 3

c) 11m

=

f)

eX

11m

H.96 Complete:

a) 11m 22X2 - 3x+1 x~3

=

x+-oo

cI lim e

0,31)'>0 10 O, 3 N > O I x > N Notemos que, para todo

logax > M.

M > O,

temos

logax > M



x > a M.

Assim, tomando N; a , temos que para todo M > O existe N = a M > O tal que

=

Para provarmos que

lim

logax > M

(logax) = -

tal que

00

devemos provar

;>

a- Ez _l


O e EZ > O, temos O < a- Ez < 1 < aEI , então, para todo E > O, existe I) ; min {I) I, I)z} tal que

M

x > N

existe I)z > O,

0< Ix-bl < I)z ==> If(x) -11 < 1 _a- Ez < f(x) - 1 < 1 - a- Ez ;> a- Ez < f(x) < 2 _a- Ez

x++oo

;>

O < Ix - bl < Ilogaf(x) I < E

I)

=

a-E < f(x) < aE

= -E


Com isso provamos que lim [Ioga f(x)] ; O para a > 1. Deixamos a cargo x.. b

do leitor a demonstração para O < a < 1.

x+o+

\>' M < O, 3

I)

> O I O< x
logax < M

I)

Notemos que logax < M Assim, tomando

I)



x < aM

= a M , temos que para todo M < O existe li = a M > O tal

que O< x
logax < M

110. Teorema Se a E IR, O < a

*-

1 e lim f(x) ; c > O, x.. b Iim [Iogaf(x)] = Ioga [ lim f(x)]= logac. x.. b x.. b

então

101-H

Demonstração

V.

Por hipótese, temos

lim f(x) = c,

isto é,

Iim f(x)

x+b

1.

c

x+ b

LIMITE EXPONENCIAL FUNDAMENTAL

111. Teorema

Pelo teorema anterior, f(X)] =Iim [ 109a -c- = O

lim f(x) = 1 x+b

C

Na função

f(n) = (1 +

x+b

Para provarmos que

lim [109a f(x)] = 109aC,

*

)n"definida em

Jl'

temos:

~ t ~__---

• li (1) f é crescente em til' (2) 2 .;;; f(n) 3, \f n E N (3) existe lim f(n). _..• _._+-~._--

provemos




L

1

(1+ij!

1=1

n-1

j~]

.

(1 -

~)
0, exis te nl E N', tal que f(nl ) > L - €. Tom and o M = nl, tem os para todo € > O e n > M L - € < f(nd < f(n) < L < L +.€ isto é, para todo € > O, exis te M > O tal que n> M If(n ) - LI < €

Mas:

n~+oo

=

lim n++ oo

Cha mam os de e o limi te da funç ão f(n) = do n tend e a + 00 •

(1 +2) " n

~',

defi nida em

quan -

2) lim n+ + 00

=

lim n-++

(1 +

n++o o

2)"

OO

e

1 )" (1 +n

n++ oo

lim x++o o

(1 +.2) X

x) ,

X

n ;x< n+1

==> -

1 n

~

1 x >

n+1

a + 00,

ou

x

>

O}

por

X

Faze ndo x = - (w + 1) e nota ndo que se x tend e a tem os:

lim

1

=1+-~

1

+1

n

1 1+->1+

x

x+

_00

(1 +.2) X = lim (1 x w++oo

lim w++ oo

Con side rand o que

+ 1

e

Demonstração

+--

(1 + __ 1 _ )"
O}, enx 00

+~)J

entã o pelo Teo rem a do Con fron to, tem os

n

113 . Teo rem a

x++

• (1

1 (1 + -) = e • n

lim n-++ oo

núm ero e é um núm ero irrac iona l. Um valo r apro xim ado de e é 2,71 828 182 84.

lim

[(1 +~)"

Iim

o

tão

e

(1 + - - ) 1+n

(1 + 2 )"+1 n

lim

=

n++o o

,

n++o o

(1 + _1_ )"+ 1 n+1 1 +-n+1

= lim

(1 + _1_ )"+1 n+1

lim

112 . Def iniç ão do núm ero e

e

(1 + _1_ )" n+1

1) fim

(1

( ~ )-(W+I) W

=

+1

W

1_)_ (w+ I) +1

00

entã o w

tend e

=

lim (w + 1 )W+I w.++oo W

n ; x < n + 1, resu lta: +.2 )X < (1 +.2 ) n+1 x

n

lim w++ oo

lim w++ oo

1 w

(1 +- )

e • 1

e

106 -H 107 -H

Notando que, se x tende a zero, então w também tende a zero, temos:

115. Teorema

.

Seja a função definida em

{x E IR I - 1

< x *-

aX

1

-

11m - - O} por

f(x)

x

HO

~

w • Qna

lim

w.. O Qn(1 +w)

~

Qna· lim w.. o

1

2.- Qn(1

+ w)

~

Qn a Qn e

w

1

+ xIx ~ e.

lim (1

então

Qn

X.. O

a ·Iim w ..

Qn

o

Demonstração Fazendo

x ~-

1

l

(1 + xIx

obtemos

y

a

1

...!..-

Qn(1+w) Vi"

Qn[lim (1+w)W] w+o

~

Qn a -1-

Qn

a

+ 2.-)Y e notando que

(1

y

EXERCICIOS H.102 Calcular:

a) 11m

temos

x++oo

l

( 1 + xIx ~ lim

lim x" 0+

Y70+00

! ( 1 + x)X

lim

1 ( 1 + -)Y Y

e

( 1 +.2-)Y Y

e

lim

x+o-

y.::,._OO

b) 11m x+- oo

Solução a) lim

x

x++oo

portanto l lim (1 + xIx

bl Fazendo

e

~

(1 +.!..)2X

w

11m x++oo

[(1 +

~)x]

2

~1 +~ IX] x++oo

x temos: 3

+~)x = 11m

--O O,

então

lim

x.. o

~ x

bl Iim

Demonstração

lim x+O

aX

~ -

c) lim

1 temos

x++oo

1x - 1 lim - - -

1

x+O

X

Supondo O

< a*-1

X

~

lim O

~

O

~

e fazendo aX

Notemos que

.1 11m

[(1 +

~)w] = .3

-

1 ~ w, temos:

x

w

Qn a Qn(1 +w)'

.~---"----"--

34" =

(1 +-)

x

x+-oo

(1 + .!..)X+2 x

f)

(1 +~)x x

g)

d) 11m (1 +2)3X x x+-oo

Qn

x+o

11m x++oo

=

11m x+-oo

=

(1 +-!.I x x (1 +~)bx x

= = =

hl 11m

(_x_)x

cl 11m

(1 _ .!..)3X

=

_2 )2X

=

X++~

x

+1

H.104 Calcular:

Qn(1+w) Qna

108-H

--Oa x->a

>

Notemos que f é contínua em IR, pois para todo a E IR, temos lim f(x) ~ lim (2x + 1) ~ 2a + 1 ~ f(a) x+a

112-H

se

a


a

lim (x x->a

+ 1)

a

+ 1

f(a)

x-;.a

113-H

y

EXERCICIOS H.111 Verificar se a função definida por

4

E

O,

x+a

existe

n-l

a.

lim f(xl

L onde L?< O e n EC N' ou L < O e n é natural ímpar

VfW = V lim

x+a

f(x) ~

VL.

Demonstração

·d f'(x )

u'( x) + v'( x)

I

Notemos que esta propriedade pode ser estendida para uma soma de n funções. Assim:

Calculando os limites, temos: ~

f'(x)

u'(x) • v(x) + u(x) • v'(x)

Em resumo: ffxL= udx)

+ uz(x)

+ ... +un(x)

-

f'(x) = uj(x) + u2(x)

+ .., + u~(x) f(x) = u(x) • v(x)

sempre que x E I e UI. U2 •. ". Un sejam deriváveis em I. Notemos também que a derivada de uma diferença de funções pode ser obtida através de fórmula semelhante à da soma pois: f(x) ~ u(x) - v(x)

=

=

f(x) ~ u(x) + [-v(x)]

=

f'(x) ~ u'(x) + [-v' {x)]

u'(x)· v(x)

+ u(x)

• v'(x)

146. No caso particular em que f(x) ~ c • v(x), isto é, u(x) ~ c (função constante) e v(x) é uma função derivável, a regra precedente leva ao seguinte resultado: ~

f'(x)

f'(x) ~ u'(x) - v'(x)

===> f'(x)

u(x) • v'(x) + u'(x) • v(x)

~

c· v'(x) + O • v(x)

~

c· v'(x)

Logo,

I

144. Exemplos

=

10 )

f(x) x + 1 f(x) ~ x 2 + 3 = t(x) sen x + cos x f(x) ~ x 2 - eX

2C?) 3C?) 40 )

f'(x) ~ 1 + O ~ 1 f'(x) ~ 2x + O ~ 2x = f'(x) ~ cos x - sen x f'(x) ~ 2x _ eX

=

1C?)

DERIVADA DO PRODUTO

4C?)

145. Sejam u ~ u(x) e v ~ v(x) duas funções deriváveis em I ~ la. b(. Provemos que a função f(x) ~ u(x) • v(x) também é derivável em I e sua derivada é f'(x)

~

=

f'(x) = c • v'(x)

I

147. Exemplos

2C?) 3?)

11.

f(x) = c· v(x)

u'(x) • v(x) + u(x) • v'(x)

f(x) f(x) f(x)

3x' = f'(x) ~ 3(4x 3 ) ~ 12x 3 2 3x + 5x f'(x) ~ 6x + 5 (x 2 + 1)(x 3 + 2x) f'(x) ~ 2x • (x 3 + 2x) + 2 2 + (x + 1 )(3x + 2) ~ 5x' + 9x 2 + 2

=

=

f(x) ~ sen x • cos x ~ f'(x) ~ cos x • cos ~ cos 2 X - sen 2 x

X +

sen x. (- sen x)

=

148. Notemos que a propriedade da derivada do produto pode ser estendida para um produto de n fatores. Assim:

Temos:

t!.y

~ f(x +

t!.x) - f(x)

~ u(x +

t!.x) • v(x + t!.x) - u(x) • v(x)

~

f(x) ~ udxl • Uz (x) ..., • UnIx)

+

u(x + t!.x) . v(x + t!.x) - u(x) • v(x + t!.x) + u(x) • v(x + t!.x) - u(x) • v(x)

UI (x) • uí (x) •

=

f'(x) = uj (x) • Uz (xl·

• UnIx) + ...

+

un(x) + u~(x)

UI (x) • U2 (x)

lu(x + t!.x) - u(x)] . v(x + t!.x) + u(x) . [v(x + t!.x) - v(x)] ~

t!.u • v(x + t!.x) + u(x) • t!.v sempre que x E I e UI. U2, .... Un sejam dériváveis em I. Em particular. se UI (x) ~ U2 (x) ~ ... ~ UnIx) ~ u(x), esta propriedade se re·

Então:

. I Im

t!.y

~-~

,-,x+o t!.x

lim

t!.u

_ . lim

,-,x+o t!.x

,-,x+o

v(x + t!.x) + Iim

,-,x+o

.

u(x). 11m L>x70

t!.v t!.x

--

Como u e v são funções deriváveis, e portanto contínuas, os quatro limites

t!.y é finito. isto é, f é derivável em I. '-'X7 o t!.x

do segundo membro são finitos e, assim, lim

136-H

duz a:

I f{x)~ [u(x)]n= f'(x)

n.[u(xllo-r·u'(x)

I 137-H

149. Exemplos 1'?)

==

f(x)

f'(x) ; 2x • sen x • eX '-.----'

uí

+

x2

'-.----'

•

4

f(x)

cos x • eX + x 2

'-----,.------'

ui

UI

2'?)

x2 + x + 1

bl fazendo

sen x ;

~

"---r'

U3

•

~

"---r'

U2

U3

g'lx)

+

c)

5 • [ulx)

Fazendo

o

ulx), vem glx)

sen x • eX

o

[ulx) jS,

então:

4

J4 • u'lx)

51x 2 + x + 11 (2x + 11

eX. cos x - x 2

h'lxl ~ 4 • [ulxlJ3 • u'lx)

u{x),

vem

h(x)::o lu(x)]4,

então:

4' lo' • cos x - x 2 )3 • Ie' • cos x - e' • sen x - 2x)

o

'=;-'-'J '---r-'

UI

U2

u]

f dada abaixo.

H.144 Obter a derivada de cada função

== f'(x)

~)4

o

ai b) cl d) e) f) g) hl

u

i)

EXERCICIOS

flxl flx) flx) flx) flx) f (x) flx) flx) flx)

i I flxl

13x 2 + x)11 + x + x 3 1 x 2 1x + x 4 111 + x + x 3 ) 12 + 3x + x 2 1s 12x + 31 s2 x3 • eX

x • eX + cos x x4 • a 2X

e 3X ex2+x+ 1

-= cos S X

=. sen 7 x . cos 3 x flxl = a • sen x + b • cos x

k) flx)

H.141 Calcular a derivada da função polinomial

f(x) = ao + atX + 82X2 + '.. + anx n .

I1

Solução

(a, b E !R)

H.145 Calcular a derivada da função

Trata-se de uma soma em que as parcelas têm a forma apx P, portanto, sua derivada é 1 P • ªpx P - . Assi m, temos: n-I f'lx) ~ aI + 2a2x + 3a3x2 +

+

n • anx

f(x) '"" {sen x

+ e X }2 (cos x + x 3 )3

no ponto

Xo

O.

H.146 Obter a equação da reta tangente ao gráfico da função f(xl --' (3· sen x + 4· cos x)5 no ponto de abscissa Xo = 1T. H.147 Obter a velocidade e a aceleração de um ponto material que percorre um segmento de reta obedecendo à equação horária s =- a • e-to CQS t, com a E IR. (Unidades: SI).

H.142 Calcular a derivada de cada uma das seguintes funções:

a) flx) - 8x ll bl flxl c) flx)

d) fi x) e) flx) fi flx)

_2.

.J3

x3 7 5 5 + x + 3x 2 3 + 5x 2 + x 4 x3 + x 2 + x + 5 n n '" 3 + 2x + x 2 , nEN

111. DERIVADA DO QUOCIENTE H.143 Calcular a derivada de cada uma das seguintes funções: a)

f(x) = eX • sen x + 4x 3

b) glxl cl hlxl

~ o

150. Sejam u; u(x) e v

Ix 2 + x + l)S (ex. cos x - x 2 )4

Provemos que a função

Solução a)

f

deve ser vista como soma de duas parcelas

(ex. sen x

e

4x 3 l,

portanto,

f'

f'(xl

é a soma das derivadas das parcelas, sendo que a primeira parcela é um produto, Df(x) - Dle' • sen x) + D14x 3 ) -

'D(e x ) • sen x + eX . D(sen x) -+ D(4x 3 ) """ eX. sen x + eX. cos x + 12x 2

138-H

c

duas funções deriváveis em I e v(x) "" O em I.

u(x~

v(xl

também é derivável em I e sua derivada é

u'(xl . v(xl - u(x) • v'(x) [v(x) 12 Temos:

então:

f'(xl

f(x)

v(x)

11 y

u(x + Lixl ; f(x + Lix) - f(x) - v(x + Lix)

u(x) v(xl

u(x + Lix) • v(x) - u(x) . v(x + Lixl v(x + Lixl . v(x)

139 -H

152. Conseqüências

u(x + 6x) • v(x) - u(x) • v(x) + u(x) • v(x) - u(x) • v(x + 6x) _v(x + 6x) . v(x) ---~_

....

lu(x + 6x) - u(x)] • v(x) v(x + 6x) • v(x) 6u .

1a )

u(x)· [v (x + 6x) - v(x)] v(x + 6x) • v(x)

v(x) v(x + 6x) . v(x)

Derivada da função tangente

Dada a função

u(x) . t.v v(x + 6x) • v(x)

f(x) ~ sen x cos x

e então podemos

aplicar a regra da derivada de um quociente: ~

u(x) = sen x

Então:

~

v(x)

6y 6u v(x) . u(x) 6v lim = lim - _ . lim - 11m ·Iim Ax+o 6x Ax+O 6x Ax+o v(x + 6x\ • v(x) Ax+O v(x + 6x) • v(x) AX+O t.x

Como u e v são deriváveis e continuas, os quatro limites·do segundo mem-

~

cos x

u'(x) v'(x)

cos x -sen x

portanto, cos 2 x + sen 2 x

u'(x) • v(x) - u(x) . v'(x) (V(X))2

f'(x)

bro são finitos e, portanto,

sabemos que

f(x) ~ tg x,

cos 2 x

Logo

6y lim - - é finito, ou melhor, f é derivável em I. . x+o 6x

flxl = tg x

===> f'(x)

Calculando os limites, temos:

2a )

, , v(x) u(x) f (x) ~ u (x) • Iv(xlj2 - [v(x)]2 • v'(x)

Derivada da função f(x) ~ [u(x)]-n,

1

Dada a função f(x) = [u(x)j"n = [u(x)]n' Em resumo:

n E ~. podemos aplicar a regra da deri-

vada de um quociente:

u(x) f(x) = v (x)

=- f'(x)

f'(x) = O • [u(x)]n - 1 • n· [u(x)]n-I [u(x) ]2n

U'(x) • vlxl - u(x) • v'(x) (v(x)

J2

• u'(x)

n • u'(xl [u(x)]n+l

r

-n • [u(x) ln +ll . u'(x) Em particular, se

x

u( x)

vem a importante regra:

151. Exemplos 1°)

eX f(x) - x 2

2°1

f(x)

----

f(x)

sen x aX

3°)

~

~

~

140-H

eX (x 2

-

2x)

x4

(2x)(x + 1) - (x 2 + 1)(1) (x + 1)2

f'(x)

x x cos x • a - se n x . a • logea (a X)2

(cos x - sen x • logea)

a

eX • x 2 _ eX • 2x (x2 )2

f'(x)

2

+1 x +1

x

f'(x) =

x 2 + 2x - 1 (x + 1)2

EXERCICIOS H.148 Derivar as seguintes funções:

f(xl

=.2.., x

glx)

=

x24 ' hlxl

= __ 1_,

senx

jlxl

=

-e

fx

Solução flx) = x-I

=f'(xl

1-11 •

x- 2

1

:=

--;2

X

141-H

g(x)

=

2 •

X-

4

=> g'lx)

hlxl = (sen xl- 1

=

2 • 1-4) • x -s

IV. DERIVADA DE UMA FUNÇÃO COMPOSTA

=> h'(x) = (-1) • (sen x)-l • cos x => i'lxl

=

7, 1-2) • le x l- 3 = -

cos x

(REGRA DE CADEIA)

sen 2 x

= -

l~x

153. Seja f:A --> B uma função dada pela lei V = f(x). Seja g:B --> C uma função dada pela lei z = g(V). Existe a função composta F:A --> C dada pela lei z = F(x) = = g(f(x) I.

e

H.149 Derivar as seguintes funções:

2 x7 bl flxl = 3x- s

ai fi xl

cl fix)

o

f)

gl fix)

1

x2 + x + 1

di fi xl

x +1 x- 1

e) f(x)

x+3 x+2 --+~~ x - 1 x+1

x 2 + 3x + 1 x-2

flx)

Supondo que f seja derivável no ponto x e 9 seja derivável no ponto V tal que V = f(x), provemos que F também é derivávei em x e sua derivada é F'(x) = g'(V) • f'(x) .

x 2 • sen x eX

Temos inicialmente: t1z t1z t1V ~ = !:::.y' t1x

_ cos x h) f(xl ~~

Notemos que se t1x tende a zero, então t1v também tende a zero pois a função V = f(x) é derivável e, portanto, contínua no ponto x. Assim, para valore, próximos de x (t1x --> O) a função f assume valores próximos de V = f(xl (t1V --> O). Então, temos:

H.150 Obter a derivada de cada uma das seguintes funções:

ai b) cl di el

f)

fix) = cotg x flxl = sec x flx) =: cossec x fixl = tg 2 x fix) = sec x - t9 x

Ix 2 +1) • tg x

flxl

11m f\x+O

tg x gl flx) sen x + cos x ex hl flx) = l __)2 tg x

t1z

--~ 11m

~x

I\X+O

Xo

-=

f(x) =

x

+

L:i.y

lim

t1v

. 11m

t1x

:W+o t1V

-~=

L\X+O

t1z

lim '\x+O

!:::.Z

!:::.V

_

Como z = g(V) e V = f(x) são deriváveis, l i m , e lim ,- . sao ambos y+o w.y .x+o uX finitos, portanto, lim

H.151 Obter a equação da reta tângente ao gráfico de

t1z --o

eX

~z

também. Assim z

I\X-:l>O uX

no ponto de abscissa

F'(x)

-1.

~

F(x) é derivável e sua derivada é:

g'(v) • f'(x)

Em resumo: H.152 Calcular o valor da derivada da função

f(x)

1 = Xl +

e

-x

+

2

sec x

quando

Xo

1r

4~.

F(x) = g(f(x)) H.153IMAPOFEI-7D) - ~ dada a função

y

a) Determinar a derivada. bl Calcular lim y.

10)

g'(f(x)) • f'(x)

Derivar

F(x) = cos 2x.

Fazendo y ~ f(x) ~ 2x e z ~ g(V) ~ cos y, temos: y' ~ f'(x) ~ 2 e z' = g'(vl ~ -sen y, portanto, vem: F'(x) ~ g'(vl . f'(x) ~ (-sen vi . 2 ~ -2 . sen 2x

Determinar os pontos do gráfico em Que a tangente passa pela origem.

20

142-H

F'(x)

154. Exemplos

X-*+ 00

c)

==-

)

Derivar F(xl ~ sen 3 x. Fazendo V = f(x) = sen x e z = g(V) = V3 , temos: V' = f'(x) ~ cos x e z', g'(V) = 3 V2, portanto, vem: F'(x) = g'(vl • f'(x) = (3y') • cos x ~ 3· sen 2 x • cos x

143-H

30)

j)

Derivar

F(x) = e7xL2X Fazendo y = 7x 2 - 2x e z = g(y) = eV, temos: y' = f'(x) = 14x - 2 e z' = g'(y) = eV, portanto, vem: F'(x) = g'(y) • f'(x) = eV • (14x - 2) = (14x - 2) • e7x2-2X

jI

X2 +SX+I

k) F(x) = tg 3 2x I) F(x) = e sen 2x

F(x) = a (aE IR.) F(xl = tg(cos xl

H.156 Calcular o valor da derivada da função f(x) = cos 3 x + sen 3 x no ponto Xo = H/2. H.157 Calcular o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função flx) = .'2. SX ponto de abscissa -1 .

no

EXERC(CIOS H. 158 Obter a equação da reta tangente à curva

no ponto de abscissa -2.

H.154 Utilizando a regra da função composta, obter a derivada de cada função abaixo:

bl Flxl=senxn(nEI\I'1

cl F(xl =a

(x 2 1

H.159 (EPUSP-61I As derivadas dos termos da seqüência:

d) F(xl = (flxl)n(n (01\1') e) F(x) ~ cos (sen xl fi F(x)=sen 3 3x

ai Flx)=cosnxlnEr,J')

H

sen x, sen(x + 2\' sen(x •

m, ..., sen(x

nH

+ T)'

(aEIR.1

também são termos da seqüência? Solução n a) Fazendo y = f(x) = cos x e z = g(v) = v , temos: y' = I'lx) = -sen x e z' _ g'lv) = n • v n - l , portanto, vem: n l F'(x) = g'(yl • f'lxl = Invn-IH-sen xl = -n • cos - x • sen x n e z = g(yl = sen V, vem: v' = f'(x) bl Fazendo V = flx) = x e z'=g'ly)=cosv e dai: n l F'lx) = g'(y) • f'lx) = Icos v) • (nx n - I ) .~ nx -

•

cos x

V.

e z = g(vl = vem: v' = I'lx) - 2x cl Fazendo V = flxl = z' = g'(v) = a V • logea e dai: ( 21 F'(xl = g'lyl • f'(x) = (a V • logea)(2xl ~ 2xa x • logea n di Fazendo V = f(x) e z = g(v) = v , vem: v' = f'(xl e z' = g'(vl = nvn-I, e dai: F'lxl = g'lyl • f'(xl = nvn-II'lx) = n[Hxil n -! I'(x) el Fazendo y = flxl = sen x e z = glvl = cos v, vem: V z' = g'(vl = -sen V logo: F'lx) = g'lv) • f'(x) = (-sen v)(cos x) = -cos x • sen (cos x)

f'(x)

°

155. Seja a função y = f(x) bijetora e derivável em I tal que f'(x) i= para x E I. Provemos que a função inversa x = ri (y) é derivável em f(l) e que -I " 1

e

(f

cos x

=

)(y) = f'(x)

hl!}(f(xl)), isto é, F é a composta de três funções. Como a regra =

Sendo f derivável e, portanto, contínua, se também tende a zero. Assim, temos:

.6.x

cl Flxl = a • sen bx (a. b E IR) d) F(xl = cosl3x 2 + x + 51

144-H

w )(y) = lim l

~x

6v+0"'y

H.155 Obter a derivada de cada uma das seguintes funções:

°

i=

(3z 2 1(cos v)(3) = (3' sen 2 vllcos v)(3) =

ai F(xl = sen 4x cos 7x bl F(xl - - - x

y = f(x),

Como f é bijetora e derivável temos que .6.x demos escrever:

da composta pode ser generalizada para a composta de n funções, vem:

F'lx) = h'lzI • g'(V) • f'lx) = 9· sen 2 3x • cos 3x

sendo

=> .6.y

i= 0,

portanto po-

e

fi Fazendo V = f(x) = 3x, z = g(v) = sen y e t = hlz) ~ z3, temos y' = f'(x) = 3, z' = g'(y) = cos V e t' = h'(z) = 3z 2 . Notemos que F(xl

DERIVADA DA FUNÇÃO INVERSA

n

aV ,

x2

n l n' x -

= lim

} , 6x+0"'y .6.x

tende a zero, então .6.y

1 .

1 .6.y = f'(x)

I Im - 6X+0 .6.x

Logo,

x e) Flxl = sen e f) F (x) = x + 3 • tg 4x sen x (a E IR.) gl F (x) = a hl F(x) = cotgl3x - 1)

145-H

156. Conseqüências

Já vimos que:

x

1. Derivada da função !ogar(tm ica

Sabemo s que a função logar(tmica é a inversa da função exponen cial: y ~ logax = x ~ aY

=

x' ~ aY

•

sen y

=

x'

,1

cos y

-..; 1 - sen 2 y

Em resumo,

Qn a

Empreg ando a regra ora deduzid a, vem: y' -

~

1

y ~ ~,- ~ cosy

Já vimos que:

x ~ aY

~

Empreg ando a regra da derivada da inversa, vem:

arcsen x

y

===> y'

x'

4. Derivada da função arc cos

Em resumo,

I

y

~ Ioga x

===>

y'

y

~

arc cos x

~

x

cos y

~

Já vimos que:

No caso particul ar em que

a Qn x

y

Sabemo s que a função y ~ arc cos x, definida em I ~ [-1, 1] com imagens em [O,7T] é a inversa de x ~ cos y:

e,

temos:

x

~

cos y ===> x'

~

- sen y

Empreg ando a regra da inversa, vem:

===> y'

x

..; 1 - x 2 2. Derivada da função potênci a com expoen te rea!

Dada a função

y ~ xO

O,

temos:

y ~ xO< ~ (eQr x)O< ~ eO fia) = f(b), então o valor fia) = f(b) não é O máximo de f em [a, bl, por· tanto, f assume valor máximo em algum ponto Xo E la, bl e, sendo f, derivável em )a, bl, temos f'(x o ) = O. Se existe x E la, bl tal que f(x) < f(a) = f(b), a prova é análoga.

\

Xõ

Xo

a

10 caso:

~

f'lx) _ flbl - f(a) ; b - a

temos:

Ia - ai ~ O

f(b) - f(al • (b _ a) b - a

O

o. 159-H

Nos exercícios H.175

que

Sendo assim, é válido para g o teorema de Rolle: existe g'(x o ) O, isto é, f'(xo)

g'(x o )

Xo E la, b[ tal

2x 2 - 3x + 1 3x 4

H.175I1xl

f(b) - f(a) - O - --b ---a---

ou ainda,

a

H.177 verificar que hipóteses do teorema de Relle estão sa-

tisfeitas pela função f no intervalo I.

X+3

se

{ 7- x

se

e

IR é crescente num intervalo I (I C Dl quando. qualquer que seja X, E I e X2 E I, temos: Xl




167-H

H.2D2 f(x)

~

2 - 1, se {x2 x + 2x - 3,

2 + x, x H.2D3 flx) = { x, 2x - x 3 ,

x ~ 1

111.

se x > 1

se x < O se O<x 1

H.204 Estudar a função f:IR+ ~ IR tal que f(x) = logex + 109 Ix + 21 determinando os intervalos em que é crescente ou decrescente. e, ~

f:IR

H.20G Descrever o crescimento e o decréscimo da função = 2

+ 3 • sen(2x

f:

IR

[O.21r]

tal que:

-+ IR

_!!.) 3 .

H.207 Determinar para que valores de é x crescente ou decrescente a função f: f(x) = eCos x.

tal que

~ -+

f(x)

R tal que

DETERMINAÇÃO DOS EXTREMANTES

169, Dada uma função f, definida e derivável em ~ la, bL o teorema de Fermat garante que os valores de x que anulam f', isto é, as raízes da equação f'(x) ~ O são possivelmente extremantes de f. Assim, por exemplo, os possíveis extremantes da função f(x) ~ x 4 - 4x 3 são as raízes da equação f'(x) ~ 4x 3 - 12x 2 ~ O, isto é, O e 3. Em princípio, tanto O quanto 3 podem ser ponto de máximo ou ponto de mínimo ou não ser extre· mante. Com toda certeza nenhum número diferente desses dois é extremante por não anular f'. A questão agora é saber qual das alternativas é correta para O ou para 3.

170. Mais geralmente, dado um número Xo E la, b[ tal que f'(x o ) ~ O, como determinar se Xo é ou não extremamente de f e ainda, sendo extremamente, como saber se Xo é ponto de máximo ou de mínimo?

Ti! resposta:

Xo é ponto de máximo local de f se existir uma vizinhança Xo tal que f'(x) é positiva à esquerda e negativa à direita de x o . De fato, se eXistir uma vizinhança V de Xo com a propriedade citada, temos para todo x E V:

V de

H.20S Provar que se

então a função

H.209 Provar que o polinômio

f(xl

Sugestão: calcular

f(x),

lim X~-OO

'=

f(x) = -xsen x e, decrescente.

3x s + 5x 3 + 1

lim x++

H.210 Esboçar o gráfico de uma função f

f(x)

x < Xo X> Xo

admite um único zero real.

e estudar

f'(x).

e então,

00

H.211 Provar que se f é uma funça"o crescente em I, enta-o

> O =< O ==

f(x) crescente f(x) decrescente

9

=

-f é decrescente em I.

< x2- Temos:

=-íix,1 ;;'-flx2)

== f(x)

,,;; f(xo)

-=- f(x) < f(xo)

é um ponto de máximo local. y

o gráfico ao lado mostra que, numa vizinhança de um ponto Xo de máximo local, as retas tangentes à curva passam de coeficiente angular positivo (à esquerda de xo) para negativo (à direita de Xo l. E o coeficiente angular é justamente a de· rivada de f.

Solução

Xl <x2 =f(xt) 3

Sejam Xl E I e X2 E I com x,

Xo

-=-

=g(xl) ;;'g(x2)

então 9 é decrescente em I.

xo H.212 Provar que se f é uma função crescente em I ' 1 e h e definida em I pela lei = f0J ' então h é decrescente em I.

x

h(x) =

2i! resposta:

Xo é ponto de mínimo local de f se existir uma vizinhança Xo tal que f'(x) é negativa à esquerda e positiva à direita de xo. De fato, se existir uma vizinhança V de Xo com a propriedade referida, te· mos para todo x E V: V de

H.213 Provar que se f é crescente num intervalo I g é crescente em I e existe tOg é crescente em I. '

168-H

to g,

enta-o

..

169-H

x

< Xo

=> f'(x)

Xo

=> f'(x)

x> e, então,

Xo

o =>

f(x) decrescente f(x) crescente

=> f(x) ;;. f(xo)

o

=> f(x) ;;. f(xo)

v

3

x

+

+

+

x-3

-

-

+

f'(x)

-

-

+

x

é um ponto de mínimo local.

2

o gráfico ao lado mostra que,

numa vizinhança de um ponto Xo de mínimo local, as retas tangentes á curva passam de coeficiente angular negativo (á esquerda de xo) para positivo (á direita de xo).

x

xo

3'! resposta: Xo não é extremamente de f se existir uma vizinhança V de tal que para todo x E V e x 1= Xo tem-se f'(x) sempre com mesmo sinal. A figura 1 mostra que se existir uma vizinhança V de Xo tal que f'(x) > O para todo x E V e x 1= xo, então Xo não é extremamente. A figura 2 mostra, analogamente, para o caso em que f'(x) < O, que Xo não é extremamente. Xo

v

Existem vizinhanças de O em que f'(x) < O, portanto, O não é extrema· te de f. Há vizinhanças de 3 em Que f'(x) passa de negativa a positiva, isto é, 3 é ponto de mínimo local. O gráfico ao lado ilustra como varia a função f.

v =

2 O para todo ==>x-aO

x a

O

x E IR,

==> x

=

a

temos:

==>f'(xl >0 ==>f'(xl ~4-

O< h
h 2 < -3-

Y3

~ O,

então Xo é ponto de máximo local de f; então Xo é ponto de mínimo local de f.

176-H 177-H

175. Observação

Demonstração f"(x)

a) se f"(xo) < O e f" é contínua, existe uma vizinhança V de Xo na qual O, ';f x E V.


O =

36

f(x)

=

3

2 • sen x + cos 2x,

==

2

f"( 51T)

=

31T f"( - )

= -2 • sen -

6

2

então

178-H

1T

6"

e

cos

-2 • sen 51T - 4

6

31T

2

=

=

2 • cos x - 2 • sen 2x

3

cos

=

-2 + 4 = 2

51T

""3 = -1

- 4 • cos 31T

-2



O

= -3

= +2 + 4

51T 1T 6 são pontos de máximo e 2 e

=

O são 1T/6, 1T/2, 51T/6 e 31T/2.

~ = - 1 - 2 = -3

cos 1T

no intervalo

=

6

se n é par e f(nl (xo) < O, então Xo é ponto de máximo local de f; se n é par e f(nl(x o ) > O, então Xo é ponto de mínimo local de f; se n é ímpar, então Xo não é ponto de máximo local nem de mínimo local de f.

A demonstração deste teorema não cabe num curso deste nível.

177. Exemplo Pesquisemos os extremantes da função Calculando as sucessivas derivadas de f, f'(x) = 5x 4 - 12x 3 + 9x 2 - 2x = xIx f"(x) = 20x 3 - 36x 2 + 18x - 2 = (x f'''(x) = 60x 2 - 72x + 18 f""(x)

=

120x - 72

f(v) (x)

=

120

f(n) (x)

=

O,

para todo

S

2

Nos gráficos seguintes, a figura 1 mostra o gráfico de uma função que tem

16 h

3R 2

concavidade positiva em xo, enquanto a figura 2 ilustra uma concavidade negativa em xo.

. e. ponto de rnaximo para S e, neste caso,

~~ V!;R. Lt 2

- 9RT 4

R

v'3

y

y

H.267 Calcular o raio da base e a altura do cone de máximo volume que se pode inscrever numa esfera de raio R.

H.26B Determinar as dimensões do cone de área total rninima que pode circunscrever uma esfera de raio R.

H.269 Um fabricante de caixas pretende produzir caixas com tampa de um certo volume V, cuja base é um retângulo com comprimento igual ao triplo da largura. Calcular as dimensões mais econômicas que deve usar.

I

I

H.270 Uma página para impressão deve conter 300 cm 2 de área impressa, uma margem de 2 em nas partes superior e inferior e uma margem de 1,5 em nas laterais. Quais são as

x

dimensões da página de menor área que preenche essas condições?

H.271 Um fazendeiro tem 80 porcos, pesando 150 kg cada um. Cada porco aumenta de peso na proporção de 2,5 kg por dia. Gastam-se Cr$ 2,00 por dia para manter um porco. Se o preço de venda está a Cr$ 3,00 por kg e cai Cr$ 0,03 por dia, quantos dias deve o fa-

I

j - - 1_

- O. De acordo com o teorema do item 173, Xo é ponto de mínimo local da função f'. Assim sendo, existe uma vizinhança V ie Xo tal que: (xEV e x<xo) (x E V e x> xo)

=f"(xo) O e O f'lxl > O e f"(xl x

H.282 Para


O e f"(xl > O

x> e. x

para

=

f"(c)

=

O e

f"(x) > O para

x

e.

H.284 Esboçar o gráfico de uma função f tal que, para todo x real, tenhamos -

12x - 24 ~ O são 2 e -1.

f'(xl

O,

e f"(xl > O.

187-H

H.285 Esboçar o gráfico de uma função f positivas,

H.286 Se f(xl

=;

\f x E

para a qual

f(x). f'(x)

e

f"(x)

existem e são

e) lim

IR.

f(x)

um extremo relativo em

(O, 3)

e um ponto de inflexão em

x+ -

(1, -1 I,

+ a3x3 + a4x4, calcular

aO

I

aI, a2' 33

e

34

x

~

- 35

186. Um dos objetivos da teoria deste capítulo é possibilitar um estudo da variação de uma função f. Para caracterizar como varia uma função f procuramos determinar: a) o domínio, b) a paridade, c) os pontos de descontinuidade; d) as intersecções do gráfico com os eixos x e y; e) o comportamento no infinito; f) o crescimento ou decréscimo; g) os extremantes; h) os pontos de inflexão e a concavidade; i) o gráfico.

3x 2 + 2x - 5

~

~

5 3(x - ll(x +3)

-

5

3

ou

~ x ~

g) f(x)

~

O

1

==> f'(x) ;;, O

X;;'

==> f'(x) ~

1 ou

==> x ~

5 3

x

>O 6x + 2 == { f"(- 3_) ~ -8 < O f"( 11

f"(x)

=

8

3

tem um mínimo em

então

h) f"(x) = 6x

_

Estudar a variação da função f(x) ~ x a) Seu domínio é IR. b) A função não é par nem impar pois: 3

(_X)3

+ (__ xI 2

-

+x

2

inflexao em -

5x.

==> f crescente

O ==> f decrescente

x = 1

e um máximo em

x

5 3

+ 2, então:

x

f"(x)

< O ==

concavidade negativa

x

> -~

==> f"(x)

> O ==

concavidade positiva

Como o sinal da concavidade muda em x =

187. Exemplos

fi-xl ~

- 00

então:

VARIAÇÃO DAS FUNÇÕES

10)

~

de modo que o

gráfico de f passe pela origem, seja simétrico em relação ao eixo y e tenha um ponto de inflexão em (1. -11.

VI.

x3

x+-oo

00

f) f'(x) a2x2

x 3 = +00

X++ 00

f(x) = lim

lim

ao + alx + a2x2 + a3x3, determinar ao,31,82 e 83 de modo que f tenha

H.287 Se f(x) '" ao + ai x +

lim

x~+oo

1

-3'

o gráfico tem um ponto de

1

-3 i) gráfico de f: f(x)

5(-x) = _x 3 + x 2 + 5x

não é idêntica a f(x) nem a -f(x). cl A função polinomial f é contínua em R. d) Fazendo x = O temos fW) = o. Fazendo f(x) = O temos x 3 + x 2 ou

x

~

-

5x ~ O, isto é, x = O ou x =

-1-V21 2

-1 +~21

--

-1-V21 --2-

2

- os pontos As intersecções com os eixos sao

(O, O) ;

(-1. - 2V21

, O)

e

21.. OI ( =-!.. +_~ 2 " 188-H

189-H

2.o )

i) gráfico de

- da f unçao - f() x -_15 . Estudar a variaçao x = 2x a) Seu domínio é

D(f) = IR - {

f: f(x)

~}

b) A função não é par nem ímpar pois:

-x -1

f(-x) = 2(-x) -5

não é idêntica a

1

f(x).

nem a

I

1

-f(x).

x c) Como g(x) = x - 1 e h(x) = 2x - 5 são contínuas, f(x) = 2 x -_ ~ é contínua em todos os pontos do seu domínio. Notemos que lim _ f(x) = -

x+t

lim

00

e

------~----

2

~IO~.1()_

-

12" I I I

f(x) = + 00. d) Fazendo Fazendo

x = O,

f(x) ~ O,

temos

temos

0- 1

fIO) = 2 • O _ 5 =

x - 1

2x _ 5 = O,

isto é,

1

5.

x = 1.

1

As intersecções com os eixos são os pontos

(0'"5)

I

--------+----+--=....;;::--+------+--1-5------.. ;

x+ .1.+ 2

I I

e

I

(1, O).

EXERCICIOS

1 e) lim x++

f(x)

lim

x

1

2x - 5

5

2

- - - = lim

X'H 00

00

x - 1

x++

00

2

Nos exercícios H.28B a H.297 determinar o domínio, a paridade, os pontos de descontinuidade, as intersecções do gráfico com os eixos, o comportamento no infinito, o crescimento ou decrescimento, os extremantes, a concavidade, os pontos de inflexão e ográ-

e

x

1

lim x+-oo

f(x) - 2

H.2BB f(x) = 2x 3 - 6x

1 . (2x - 5) - (x - 1) . 2 f) f'(x) =.

fico de f.

(analogamente)

(2x _ 5)2

-3 (2x _ 5)2

< O,

então f é decrescente em todo intervalo que não contenha

V-x

=F

5

H.2B9 f(x) = 4x 3 - x 2 - 24x - 1

2'

%

H.290 f(x) ~ 3x 4

g) f é derivável em seu dom rnia e f' nunca se anula, então f não tem extremantes.

h) f"(x) =

(2Xl~ 5)3

x

< '2- = 5

> 2' =

2x - 5

O =

f"(x) f"(x)

< O =>

> O =>

concavidade negativa

=

5

'2

(em que

é definida), concluímos que o gráfico de f não tem ponto de inflexão.

6x 2 - 4

x 1/ 3 + 2 • x 4 / 3

H.295 f(x) = x

concavidade positiva

+

(x - 1)2 (x + 2)3

H.294 f(xl = 1

5

Como o sinal da concavidade muda no ponto de abscissa

190-H

=

4x 3

H.292 f(x) = 3x 2 / 3 - 2x H.293 f(xl

então: x

H.291 f(x)

+

+

(x _ 2)1/3

~

x+1 H.296 f(x) = ~

não

9x H.297 f(x) = x2 + 9'

191-H

y

CAPÍTULO IX

-

NOÇOESDE CÁLCULO INTEGRAL

Em cada sub-intervalo podemos calcular, aproximadamente, a área sob o gráfico, calculando a área do pequeno retângulo que fica determinado quando supomos f(x) constante; a área procurada será, aproximadamente, a soma das áreas destes retângulos.

,I-

Jt!

p"P"

....

....10-'

a

x

b

Vamos descrever mais precisamente o procedimento acima relatado. A divisão de [a, b] em sub-intervalos é feita intercalando-se pontos XI, X2' ... , Xn- l entre a e b como segue:

I.

INTRODUÇÃO - AREA

188. Historicamente, foi da necessidade de calcular áreas de figuras planas cujos contornos não são segmentos de reta que brotou a noção de integral.

a = Xo < Xl < X2 < ... < Xj_l < Xj < ... < Xn _ 1 < Xn = b Os n sub-intervalos em que [a, b) fica dividido têm comprimentos Âjx = Xj - X;_l' i = 1, 2, ... , n. Escolhemos Xj E [Xj_1 , Xj] e supomos f(x) constante e igual a

y

Se f(x) fosse constante e igual a k em [a, bJ. a área procurada seria a área de um retângulo e teríamos: A = k· (b - a)

Não sendo f(x) constante, dividimos o intervalo [a, b) em sub·intervalos suficientemente pequenos para que neles f(x) possa ser considerada constante com uma boa aproximação.

192-H

em

i = 1, 2, ..., n.

[Xi_I, Xj J.

Graficamente, temos:

y

Por exemplo, consideremos o problema de calcular a área A da região sob o gráfico da função f: [a, b) ...... IR, onde f(x);;' O (ver figura). Admitindo conhecida uma noção in· tuitiva de área de uma figura plana, e ainda, que a área de um retângulo de base b e altura h é b· h, vamos descrever um processo para determinar a área A.

f(xj)

a

b

x

xo=a

y

x

A área A é aproximadamente a soma das áreas dos retângulos, e escrevemos: k

A

==

f(Xl)ÂIX + f(x2)Â 2 x + ... + f(xj)ÂjX + ... + f(xn)Ânx

ou seja: n

a

b

x

A

==

L f(Xj)ÂjX i=l

193-H

A soma que aparece no 2? membro das igualdades anteriores se aproxima mais e mais da área procurada à medida em que dividimos mais e mais [a, b), não deixando nenhum sub-intervalo grande demais.

EXERCICIOS H.298 Faça uma estimativa da área A sob o gráfico de dividindo o intervalo

[O, 50]

f(xl

~

250

2

x -10'

em sub-intervalos de comprimento

O';;;; x ,;;;; 50.

10.

Solução

189. De um modo geral, se f é uma função continua definida em [a, bl. o núme-

y

250 r - -__

n

ro do qual as somas

L

f(Xj)D.ix se aproximam arbitrariamente à medida em que

i=l

todos os D.iX se tornam simultaneamente pequenos é chamado integral de f em [a, b)

e é representado por lb f(x)dx.

pequeno,

i = 1, 2, ... n,

Assim, podemos dizer que, sendo D.iX

temos a igualdade aproximada:

x

Façamos xo ~ O, x\ ~ 10, X2 ~ 20, x3 ~ 30. X4 ~ 40, Xs plo, xl ~ 5, x2 ~ 15, x3 ~ 25, x4 ~ 35 e Xs ~ 45.

n

f(x)dx

0=

L f(Xi)~iX i~1

~

50 e escolhamos, por exem-

Graficamente, temos: y

No caso da área A que estávamos calculando, podemos escrever:

A =

i

b

f(x)dx

190. Em muitas outras situações não diretamente ligadas ao cálculo de áreas, somos levados através de um raciocínio semelhante ao exposto acima, a considerar uma função f definida em [a, bl. subdividir [a, bl. formar somas do tipo

A 0=

n

L

A área

f(Xi)D.jX

e determinar o número de que tais somas se aproximam à medida em

j=l

que os D.iX diminuem, ou seja, somos levados a um processo de integração. Estabelecer a noção de integral desta forma geral é o que pretendemos a partir do próximo item.

194-H

A terá o valor aproximado:

f(x\ID.\x + f(x2)D.2x + f(x31l>3'x + f(x4)D.4x + f!xslD.sx

Efetuando os cálculos, resulta:

A 0= 8375

o

valor correto, conforme veremos, é 8333

+,

sendo o erro cometido da ordem de

0,5%, apesar do número de subdivisões ser t:io pequeno.

195-H

H.299 Obtenha uma estimativa da área sob o gráfico da função t(x) =

2~O.

x E [1O.50j divi-

dindo o intervalo em 4 sub-inter valos de comprim ento 10. (O valor correto das áreas

procurada é 321.91.

Ouando isto ocorre, dizemos que a função f é integrável em [a, b j e I é a integral de f em [a, bj. Precisam ente. dizemos que f é integráv el em [a, b) se existe um número real I satisfaz endo à seguinte condiçã o: (0 Dado E > O. existe /j > O tal que toda partição QJ com norma J.l < /j n

temos

I

L

f(Xi)21 i x - II

< E,

qualque r que seja a escolha dos xi

em [Xi_I, x;l-

j""l

11.

A INTEGRAL DEFINIDA

Vamos agora estabele cer de um modo geral a noção de integral de uma função f definida em um interval o [a, bj.

195. Integral Sendo f integráv el em

191. PARTiÇ ÃO

com

=

Xo




dx

di

el

f:

cos x dx

r

9

e então

t ~ dx

J

1

x

(x 2

2

-

5x + 91dx

~

F(4) - F(1)

~

52 3 A

H.309 Calcule:

a)

bl

cl

4

L

7 dx

(

x2 dx

l-x 2 ldx

di {

el

fi -1

r

x 7 dx

x

2x4 dx

H.312 Calcule a área sob o gráfico de f entre x = a e x a) flx) = 4 - x 2 [a. b] = [-2. 2] e b) flxl ~ x2 + 7 [a. b] = [O. 3) e

cl f(x)

=

3 + sen x

f

[a. b] = [O. ;]

d) f(x) = V; + 1

e

[a. b] = [0,4)

el flx) ~ __ 11 + x2

e

la.

~

b

b] = [O, 1]

20&-H 207-H

~:

H.313 Calcule

2 11

(-x 2

+ 5x - 9)dx

J

e interprete o resultado obtido.

senx dx

= -1 +

Solução Temos:

F(x)

S(-x 2

+ 5x - 9)dx 41

-

(-"'6)

+ 5x - 9)dx

x3

= - --

3

v

(--cos 211) - (--cos O)

63

6"""

=

-

-21/2

= O.

n]

e sen x ~O

[11, 211J.

em

= F (4) - F (1)

= -

1

Como sen x;)::O em [O,

5x 2

+ - - _ 9x 2

[sen x dx

AI

(ver figura)

- A2

(ver figura)

21

2

f11 1T

o número

=

0

sen x dx

é o simétrico da medida da área indicada na figura abaixo:

y Como por simetria, sabemos que

AI = A2,

(Lembramos que a medida de u ma área é um número sempre não negativo). De um modo geral, se f(x) O

[a, bl. de

f

J:

em

[a. bl

J

e

(-f(x))dx = -

ji(X)dX.

f(x)

O bJ.

em

então,

(ver figura)

em H.315 Justifique geometricamente, através de uma figura. as afirmações:

f(x)dx = -A

no intervalo

onde A é a área da região situada entre o eixo x e o gráfico

f

a) se

f

é uma função ímpar,

b) se

f

é uma função par,

[a, b].

211

H.314 Calcule

Logo, se

y

segue que

O sen x dx

fa-a

f:

f(x)dx

=

O

f(x)dx = 2

f:

f(x)dx

e interprete o resultado. H.316 Calcular as áreas da região compreendida entre as curvas

Solução

Temos:

20S-H

y

x2

e

y

_x 2 + 4x.

Solução

Jssn x dx

= -

cos x

Nos pontos de intersecção das curvas temos:

209-'"

x

2

=

=

= -X 2 + 4x x = ou

o

A área

A

2x 2 - 4x = x = 2

o=

IV. ALGUMAS Tt:CNICAS DE INTEGRAÇÃO

pode ser calculada assim

203. Até agora determinamos ff(x)dx utilizando as regras de derivação e algumas propriedades das derivadas. Entretanto, o cálculo de uma primitiva pode não ser uma tarefa simples ou imediata. Vejamos alguns exemplos:

(-x 2 + 4x)dx _ ou, equivalentemente:

[(-X 2 + 4x) - (X 2 )] dx

A = (

Ternos, então:

A =

f:

=_

2x 3

F (x)

=

2

2.

hx"

1..; (x 3 3

2

(-2x 2 + 4x)dx x

~

fx • cos x f x • eX dx

4.

a) V = x b) V = x 2 - 1 c) V = x 2 d) V = x 2

e e e

V = x2 V = 1 _ x2 V = 2x + 8

e

e) V = sen x

e

V = V = x 2 - 7Tx

a)

b)

c)

(i;-

sendo

+ c

x sen x + cos x + c

xe X - eX + c

Nestes casos, algumas técnicas são requeridas, a fim de determinarmos a integrai indefinida. Nestas noções iniciais sobre integral, examinaremos duas: a integração por substituição e a integração por partes.

~

Consideremos o cálculo de uma primitiva de f(x) = 2x • cos x 2 • Fazendo a substituição x 2 = u(x), teremos u'(x) = 2x, e então f(x) = u'(x) • cos u(x). Lembrando da regra da cadeia, do cálculo das derivadas, resulta que uma primitiva de u'(x) • cos u(x) é sen u(x). ou seja, que

H.317 Calcule a área da região limitada pelas curvas:

H.318 Calcule

=

1)3

204. Integração por substituição

e A = F(2) - F(O) = (- 16 + 8) _ O = 3

dF

dx =

dx =

+c

f(-2x 2 + 4x)dx =

+ 4x 2 2

3

f 2x • cos x dx = sen x

3.

O e segue que

1.

y-;

F(x)

fu'(x) cos u(x)dx

=

sen u(x) + c

De um modo geral, se f(x) pode ser escrita na forma g(u). u', onde u = u(x), então uma primitiva de f(x) será obtida tomando-se uma primitiva de g(u) e substituindo u por u(x). ou seja:

ff(x)dx = fg(u). u'(x)dx = G(u(x)) + c onde G(u) é tal que G'(u) = g(u).

igual a

f~ (5t + 2)dt

(V; f~ V;

f3x 2

205. No caso de dt

dt

u(x)

=

f3x

2

x

3

•

y x3

-

1,

~ dx, temos:

u'(x) = 3x 2

r.----: - 1 dx = + c

=

~

.;

f ~«u' dx = 3i2 + c 3 2 U /

(x 3 - 1) 3

+c

210-H 211-H

EXERCICIOS

206. I ntegração por partes

H.319 Determine as primitivas indicadas:

Sabemos que para a derivada de um produto

ai

f7 • sen 7x dx

d)

~x

b)

fcos 3x dx

e)

fa sen x •

c)

fe

X2

+ 1)17 dx COS

x dx

Solução a) Fazendo b)

ulx)

=

f7 sen 7x dx

=

7x,

u(x) = 3x,

Fazendo

, fcos 3x dx

=

temos

u'(x)

fu'. sen u dx

+f

temos

=

I(u(x) • v(x))'dx

7 e segue que

= -eos u

+c

+c

= --eos 7x

u'lx) = 3 e segue que

3 • cos 3x dx

=

f u' • cos u dx

~

=

+

2

ulxl

u(x)

r (x2)

1

=-

Je

2

= x + 1,

1

=-

f

u'(x)

=1

• 2x dx

temos

2

eu • u'dx

=

u(x)

=

sen x,

I esen x cos x dx

=

.!..- eU 2

e segue que (x

18

1)18

b)

c)

f

+c

eU • u'dx = eU

d)

Je dx 5, cos 5x dx f

e)

• 3

+ c

=..!.2 e (x 2)

b) c)

fe

x3

I u(x)

+

logo:

• v'(x)dx

• x2 dx

fu(x) • v'(xldx

I

e que, uma primitiva de v(x) • u'(x) pode ser obtida através de uma primitiva de u(x) • v'(x), caso isto seja conveniente.

= esan x + c

f3'

f

~ 1

dx

207. Por exemplo, procuremos uma primitiva de u'(x) = eX, temos:

fx • eXdx Como

u'(x)

=

eX

v(x)

=

x

(x + 1)2 dx

d)

J~dx

el

J(3X

fcosl3x + 1 )dx

2

~ 7)2 dx

X·

eX.

Fazendo v(x)

=

x e

Jv(x). u'(x)dx

=

=

u(x)

=

v'(x)

=

eX

=1

Iv(x) • u'(x)dx = u(x) • v(x) -

f x • cos 3x dx fl5x -

Iv(x) • u'(x)dx

fvlx) • u'(x)dx = u(x) • v(x) -

+ c

H.321 Calcule: a)

é u(x) • v(x);

segue que

I(3x + 7)15'3 dx 3X

v(x))'

fu(x). v'(x)dx

+ c

H.320 Calcule as integrais indefinidas indicadas: ai

(u(x)

+

I

= x2 , temos u'(xl = 2x e segue que:

+ I Ix+ 1)l7dx = I u 17 • u' dx =-Ts- + c =-1-8el Fazendo

u'(x)dx

Isto significa que

)x • dx

d) Fazendo

fv(x)

u(x) • v(x)

sen u + c =

sen 3x

f e(x

=

Mas uma primitiva de

=-3-+ c c) Fazendo

vale a igualdade:

Assim, segue que uma primitiva de (u(x) • v(x))' é igual à soma de uma primitiva de u'(x)v(x) com uma primitiva de v'(x) • u(x) (a menos de uma constante), ou seja:

x dx

•

u(x) • v(x)

(u(x) • v(x))' = u'(x) • v(x) + v'(x) • u(x).

ju(x). v'(x)dx

segue que

Ix . eXdx

eX -

X·

x • eX

Iexdx eX

1 ) 13 dx

+

c

H.322 Calcule: 3X

ai

Je dx

di

b)

f(sen xIs cos x dx

e)

c)

fsen 5x dx

212-H

fi3 - 2xl 4 dx

fx

208. Um outro exemplo: procuremos Fazendo

fx

v(x)

=

x

e

u'(x)

=

• cos x dx.

cos x,

segue que:

• cosx dx = Iv(x) • u'(x)dx.

213-H

Como

u'(x)

= cos x

v(x) = x

==> u(x)

~

Não sendo f constante, vamos dividir [a, b] em pequenos sub-intervalos e em cada um deles, aproximando f(x) por uma função constante, vamos calcular o volume da fatia do sólido gerado como se fosse o de uma fatia cil(ndrica:

= sen x

v'(x) = 1,

jv(x) • u'(x)dx = u(x) • v(x) -

ju(x) • v'(x)dx

segue que: Jx • cos x dx

= x • sen x -

j sen x

dx

= x • sen x + cos x + c

Assim, o volume V será, aproximadamente, a soma dos volumes das fatias cilíndricas consideradas, ou seja:

EXERCICIOS H.323 Calcule:

n

b)

f)(· sen x dx ji.3x + 7) • cos x dx

cl

jl2x - 1) • eXdx

,d

y

d) e)

V

!1-3x + 1) • cos 5x dx

==

L

11 •

[f(Xj)]2 • LljX

i=l

j(2x - 3) • e 1 -3X dx

onde

Xj E [Xj-I, x;] e LljX

Xj - Xj-l

Lembrando da definição de integral, resulta:

V.

UMA APLICAÇÃO GEOMETRICA: CALCULO DE VOLUMES

209. Consideremos o sólido de revolução gerado a partir da rotação do gráfico de f em torno do eixo dos x, sendo f(x) ~ O em [a, b]. (ver figura). Vamos descrever um modo de calcular {) seu volume V.

Se f fosse constante e igual a c em [a, bl. o sólido gerado seria um cilindro e teria volume V igual a 11C 2 • (b-a):

y

f(x)

214-H

V =

11C

2

•

(b - a)

=-...':.-x

Logo: y

h

V

=

11 •

f: (~

y

x)2dx

=

c

o o

I

210. No caso de um cone circular de raio da base r e altura h, Podemos ter:

o

x

I 215-H

211. No caso de uma esfera de raio r. podemos ter:

RESPOSTAS

y

x

- r

CAPfTULO I

,I H,1

f(x) ;

v' r2

-

fi

x2

bl

LO\!lJ: V;

rr fr (v' r

2 - x 2 )2dx ;

-r

rr

fr

/

(r2 - x 2 )dx

/

;

/ I

1

-r

I

H.2

,I

cl

EXERCICIOS

H.324 Determine o volume do tronco de cone gerado pela rotação do segmento de reta AB. em torno do eixo dos x. sendo A = O. 1) e B = 12. 3). H.325 Calcule o volume do sólido obtido pela rotação do gráfico de f(x)

= x2 , x E

[1.3).

em torno do eixo dos x.

H.326 A curva y

=-2.... x

x E [1.4). ao ser girada em torno do eixo dos x determina um sólido

de volume V. Calcule V.

216-H

\

df

tv

""~)L/ -+ ,

bl

217- H

d) g(x) = x 2 e) g(x) '" 2)(

fi

e e

g(x) '" sen x

H.a

f(x)

H.9

a) f-I

=

f(x} f{x)

x

+

=

{ta', aI, (b', bl,

3, g(x)

=

c) h-l (x)

= ~~ = -Ç./;+2

el j-1(xl

=

(xl

p-l

H.38 a) 2a

tg x cos x

2)(

e

c)}

(c',

-

H.40

a)

~

cl não existe

bl 3

cl não existe

bl O

c) não existe f) não existe il não existe

di O

,I 1

,I 2

hl 1

la

= -

H.67 a =

1

bl

1 4

oi

24

H.58 a

-4

=

di -8

CAPITULO 111

quando x ~ 1 quando 1 x ~ 2


Oe secO e +00 se c
TH •.13 (PUC-78)

~:(X) b) -1

4x 2 + ex + 3

x2 c) O

TH.22 (FEI-67)

é igual a:

5

-

d) 1

a) a ~

el 2

Se

_.!-) • tg ax ~

lim 11 x+O

3

bl a = -1

dla=-oo

3,

então:

x

c) a

= -3

e) nenhuma das respostas anteriores

TH.14 (CESCEA-73) Assinalar, dentre as afirmações seguintes, a correta: a) Iim

(1

+ .!...)n = 1

I" n 2 + 4n + 5 3 2 2 Im n++oo" + n +5

cl

TH.15 (PUC-72)

ai

.,f;;).

c) 2

b) 1

TH.16 (MACK-751 O

lim x+oo

c) 2

b) 1

ai O

e) 4

d) 3

(..J x 2

b)

+00

a)

..J x 2

+x +1 d) 3

e)

- x + 1)

é:

2

b) 1

- cos 2 x

a) O

00

x2

x+O

Conclui-se que

ai

é~ 2

sen2x

"

TH.19 (PUC-72)

TH.20 IPUC-70) Sobre o

sen TfX

x

c) TI

e) não existe

quando x tende a zero, é igual a:

ai Nenhuma das anteriores.

di 00

a) não existe

lim

= logaritmo neperiano, é igual a:

+00

d) 1

x a - 1 --x x+o

com

b) loge"

cl 1

a>O

e a ;6 1 d) e

e)

eX _ 1 lim - - - vale:

x+o

x

1

2

é igual a: e) a

c) 2

1. Iim 2 x++oo 2. lim a x++oo

x

X

= +00 = +00

se

3. lim (x2 - xl = O x++oo

então

x e)

d) 3

1 lim x ·sen-,

x+o

TH.21 (PUC-74)

d) é indeterminado

lim tg x b) 4

Qn

TH.27 (CESCEA-73) Dadas as afirmações

c) é infinito

b) O

x+O a) O

a) logae x2

TH.18 (FEI-66) O limite de a) 1

e)

c) -1

00

rIm

1.

x

d) e

e) TI

- cos x

lim x+O

b) é O

Qn ~ logaritmo neperiano, é igual

di O

eX + sen x - 1 Qn (1 + x) ,onde

cl O

bl

TH.26 (PUC-731 O = IIm - 2 -

onde

TH.25 (PUC-71 I Sendo e a base dos logaritmos neperianos, o limite

;rH.17 (FUVEST-77) Sabe-se que

lim X+O

c) 1

-00

TH.24 (CICE-681 O limite lim x+o

~oo

a) O

(x' Qn sen xl.

a:

~+oo

-

lim x+O+

1'+1

H

di lim

= O

(~

lim

TH.23 (CICE-68) O limite

r»'+ 00 n

n

1)++00

n2 -- = 1 +1

b) lim

ai b) c) di

1

pode-se afirmar:

x

b) é 1

c) é zero

tg x - x

é igual a:

todas as somente somente somente

afirmações são falsas as afirmações 1 e 2 são falsas as afirmações 1 e 3 são falsas as afirmações 2 e 3 são falsas

e) todas as afirmaçães são verdadeiras. dI é

00

e) n.r.a. TH.28 (CESCEM-741 Iim

[5

+ (1 +.!- )n]

0+00

vale

n

x+Q x - sen x a) O

230-H

b) 2

c) 3

d) 1

e)

4

a) 5e

b)

e5

cl 5 - e

d) 5

+e

231-H

Uma função

TH;29 (PUC-71) Se

lim

x+oo

(1 +-.!...)x = a, então, para k

x

f(x)

é derivável num intervalo

(a, b).

Então:

real e não nulo, o limite

P: f é contínua em cada ponto de (a, b) O: Se num ponto x se tem f'(x) > O a função é crescente nesse ponto R: Para dois pontos quaisquer xI e x2 de (a, b), tem-se

Iim x+oo

f'(xI + x2) = f'(xd + f'(x21

vale:

d) e + k

ai ke

TH.30 (CESCEM-73) O valor de a) O

b) 0,5

c) 2

4n

a) é crescente

(OI);

----xz:::4 ;

n = O, 1, 2, .... c) tende para um

das funções f, 9 e h, dadas por

_ sao

f

9

h

a)

2

2k7T

x>O

b)

2, -2

k2!.. 2

c)

O, -2, 2

d)

-2

é

k7T

não existem 7T

± 2"

não existem infinito

k7T

Ew e)

+ 11!

(a

() () -x 9 x ~ cot9 2x; h x = 4

e) não tem limite

TH.32 (CESCEM-74) A seqüência (an)n

(n

f ( x) =

xIx - 2)

e) inexistente

b) é decrescente

d) tende para zero

TH.35 (MACK-741 Os pontos de descontinuidade em R

e

k

1+2+ ... +n n2

lim n+oo

d) +00

TH.31 (CESCEM·71 A seqüência

e)

nenhum dos anteriores

+ l)n+1 n!

-;;n tende para a) O

b)

..!...

cll

e

d) e

DERIVADAS

e) +00

TH.33 (PUC-70) Sobre a função

y = f(x)

~

{1,.

+V

r--::

x - 3,

TH.36 (FEI-68) Indicando por Df a derivada de uma função f, tem-se: se x O;;;; 3 se

a)

x>3

pode-se afirmar: a) b) c) d) e)

>

TH.34 (FEI-68) Assinale a) b) c) d) e)

232-H

se se se se se

todas as proposições P, O, forem verdadeiras somente forem verdadeiras somente forem verdadeiras somente todas forem falsas

1

OU

b) D(uv)

d) D(uv) = v • Ou - u • Dv

definida e contínua V x E IR definida e contínua somente para x 3 definida V x E IR e descontínua somente para definida e contínua somente para x O;;;; 3 nenhuma das respostas anteriores

é é é é

D(.!..) = u

R forem verdadeiras P e O P e R R e O

Du' Dv

TH.37 (PUC-711 A derivada primeira da função

a) y'

1 - kx 2

1 b) y' = - k 2 x 2

d) y'

--;2

k

' =-1el y k2x

a) y' = x

Se

D(-) u

-;j2

e) nenhuma das respostas anteriores

x = 3

TH.38 (PUC-721

Du

1

c)

y --k'X 1 é:

cl

y' =

k x

x2 -1

- Ix ..,... -L -1) Y = x+1 • então:

b) y' = 1

c) y' = 2x

d) y'

2

e) nenhuma das anteriores.

233-H

TH,39IFEI-67) Sendo a) 2

b)

g(x) =

.!..

c)

3

~ ~

1-

: ' então a derivada d)

t

TH.40 (PUC-78) A derivada da função

2

a)

c) 4

b) 3

g'(~)

TH.48 (MACK-73) Sejam

é igual a:

e) nenhuma das respostas anteriores

x2 V = ~ no ponto

d) O

e)

x = 2,

1) g'(:!!..)

= - •

2) f'(:!!..) 4

=

4

é:

Y3x -

g(x) = sen x; flxl = cos 2x; h(x) =

~

2x 2

(g' é a função derivada da função g)

v2

-1

3) h'11) = -2

1

então TH.41IPUC-74) A derivada da função a) -2

b) -3

c) -1

1 + 2x V - - - - no ponto - 2x - 1

b) 1

c) 8

TH.43 (EPUSP:67) Sendo a) O

b) 4

c) 15

x = a)

b) 2

1

TH.45 (CICE-68) Seja ponto

x

a) bl c) d) el

é é é é

d) se todas as afirmativas são verdadeiras e) se nenhuma afirmativa é verdadeira

é igual a:

d) 25

a derivada

f'(4)

TH.49 (CICE-68) Sendo e a base dos logaritmos neperianos, a derivada da função Ixl V = eno ponto x = O:

vale:

a) é igual a 1

e) nenhuma das respostas anteriores

flx) = tg x,

d) é igual a

calculada no ponto

=

Y2 2

c)

d)

V(x) a função v(xl

V3 2 =

e) O

~. x =F O, V(O) .x

±e

a. Pode-se afirmar que no

O:

bl eX

cl 1

descontínua qualquer que seja a contínua qualquer que seja a contínua se for a = O derivável se for a = O é contínua se for a = 1

3

-4

b)

3211

x

1

f(xl

=

O~x

d) O

2X e • Qn x,

então:

=

< 11,

2 • e2

e)

e) nenhuma das respostas anteriores

+ x2

b)

1

(1

+ x) y'X

c) f'(1)

V = arc

O

tg...r;

é:

c) 2x

e) nenhuma das respostas anteriores

nenhuma das respostas anteriores

TH.54 (PUC-71) A derivada primeira da função V = arc t9

234-H

=

311 4

dI f'(1) = e 2

d) 2 y'X (1 + x)

11 TH.47 (PUC-70) Sendo f(xl = sen 2 2x ,então sua derivada primeira calculada para x = 8 a)

a derivada primeira de y em re·

b) f'(1)

a) 1

é derivável em qualquer ponto é derivável mas não é contínua

l.

a) f'(1) = 3'e 2

1

é descontínua nos pontos da forma k11 (k inteiro) não é derivável nos pontos da forma k11

e) 2

11 -2

c)

é:

é igual a:

TH.53 (E.E.L1N5-67) A derivada da função

V = Isen x I

elogex

d) O

-4

TH.52 (E.E.L1NS-68) Se

V

3x - 11 V = Qn cos ( -4--

lação a x no ponto

a)

±1

e) não existe

TH.51 (CICE-68) Sendo

=

c) é igual a

b) é igual a -1

TH.50 (PUC-71) A derivada da função a) x

TH.46 (EPUSP-661 A função a) b) c) d) e)

f'(3)

vale:

4'

V(x) V(x) V(x) v(x) V(x)

a) se apenas as afirmativas 1) e 2) são verdadeiras bl se apenas as afirmativas 2) e 3) são verdadeiras c) se apenas as afirmativas 11 e 3) são verdadeiras

el nenhuma das respostas anteriores

~,

TH.44 (PUC-70) A derivada da função 11

a derivada

d) 16

flxl = 5 •

é:

e) -4

dI -5

TH.42IFEI-66) Sendo flx) = (5 - 2x)8, a) -8

x = 1

O

b) 1

c) 2

d) 3

e) 4

vale:

a) cos x

+ sen x

b)

..!.. 3

e)

2"

1 - cos x

sen x

é:

c) sen x - cos x

1

dI cos 2x

235-H

TH.55 (PUC-71) Se y a) x + 1

=

TH.56 (EPUSP-68) Seja y A derivada de y(x)

2

c)

b) x - 1 =

e) 3

d) -2

y(x) uma função derivável tal que no ponto x = 1:

b) é igual a 1

d) é igual a ;

e) nenhuma das re,;postas anteriores

TH.57 (CESCEA-73) Seja x = 1, é:

f(x)

=

b) 10

3x 2 + 4x - 1, x E IR.

9

c)

y(1)

>O

e x 2 + y2

=

2.

Xo = 2 Xo = 2 é descontínua no ponto Xo = 2 não é definida no ponto Xo = 2 assume o valor -2 no ponto Xo = 2 tem o limite

-2

no ponto

é derivável no ponto

TH.64 (EPUSP-68) Considere-se a função f (x) = x 2 - 1, para x 1.

c) é igual a -1

a) não existe

a) O

a) b) c) d) e)

sen(arc sen x) + cos(arc cos x), a derivada primeira y' será igual a:

definida por

>

a) b) c) d) e)

Então, a derivada de f, no ponto

f f f a

=

1,

e

não é definida no ponto

x

=

1.

é derivável em qualquer ponto. derivada de

f

tem limite quando

x

tende a

1.

nenhuma das anteriores.

x3

y =3

-

1

no ponto

ai f'lx) = 11

x = O vale:

I. "Ix

y

f(x)

=

Ix - 71.

pode-se afirmar:

E IR

b) f'(x) = O, "Ix E IR

.!.3

d) 2

1

c)

e) O

c) f'(x) = 1,

di f'lx) = -1,

TH.59 (CESCEM-72) O valor numérico do polinômio derivado de P(x) = 3x 4 + 12x - 7 para x = - 1 vale: b) -7

a) -16

+ 1, para x

d) 6

TH.58 (GV-71) A derivada da função dada por b)

2x

é contínua em qualquer ponto.

TH.65 (PUC-70) Sobre a derivada da função

a) -1

f(x)

e) 24

d) 3

O

c)

TH.60 (MACK-74) A derivada da função

se x se x

>O

O

c) b O,

3

12

-"5 = 10 (x

TH.86 (CESCEM-73) Dado o trinômio do 2 0 grau y

TH.77ICESCEA-73) A equação da reta tangente à curva

a) y

x

x

x-H 1 - x

c) 1;

b) -1;

f'lx) ~ dd [Iogex] =~, uv

e

bl y

é:

logex L = lim - - - é igual a:

podemos concluir que a) O;

=

5

12 P = 13'5)

TH.88 (EPUSP-65) Se a derivada de um polinômio

anteriore~'.

c)

(-00, -1)

e

(1, +00)

Plx) apresentar o seguinte gráfico

y

x Ix I, no pontr

d) y = -2x

e) y =

2x + 1

TH.82 (GV-71) O ponto (x, y) do I? quadrante no qual a tangente ao gráfico da função dada por y x 3 - 6x é paralela ao eixo dos x é tal que x 2 vale: b) 25

a) O

d) 2

cl 4

e) nenhuma das alternativas anteriores

TH.83 (MACK-74) Seja a curva de equação y = tg x. A tangente a esta curva no ponto de abscissa x = rr/4 é perpendicular à reta:

ai x - 2y + 3 d)

x +

= O

2y + 3

=O

b) 2x - y + 3 = O e) x

+Y

c) 2x + 2y - 3

(5,3)

d) (-3, -5)

240-H

b) Hi.3)

O

= O

TH.84 (E.E.L1NS-68) O ponto de eontaeto da tangente à curva y = reta 5x + 3y - 2 O é: a)

=

c)

(-3. 51

Vx2

-

16 e paralela à

a) b) c) d)

P(x) P(x) P(x) P(x)

será crescente de 1 a 2 e decrescente de 2 a 3 terá três zeros reais e distintos apresentará um máximo para x = 2 se anulará para x = I

e) nenhuma das respostas anteriores

TH.89 (CONSART-751 Sabendo que a função derivada f' é estritamente crescente e que f'(3) = -1, o gráfico que pode representar f é

e) nenhuma das respostas anteriores

241-H

(C)

(B)

o.

a) tem máximo no ponto

x =

b) tem mínimo no ponto

x = O.

c} não tem máximo nem mínimo. d) tem máximo e mínimo

e) nenhuma das afirmações anteriores é verdadeira.

TH.96 (PUC-78) A função

y

x2 + 1

~ x 2 _ 4 (x 01= ± 21 tem um ponto de máximo para x igual

a:

b) 2

a)

TH.97 (FFCLUSP-69) x 3 - (4

(E)

(DI

+

mlx 2

d) O

c) -1

el -2

Para que a equação algébrica

+ (4 + 4m)x - 4 m ~ O

admita o valor 2 como raiz dupla, o valor de a)

y ~ x3 :

a) tem valor máximo para bl tem valor mínimo para

c) tem um extremo em TH.91 (PUC-71) A função ai O

x = O x = O

>O

d)