Fundamentos de Matemática Elementar 7: Geometria Analítica Portuguese

\.

GElSON IEZZI

FUNDAMENTOS DE

'"

MATEMATICA ELEMENTAR GEOMETRIA ANALíTICA

68 exercícios resolvidos com resposta 289 exercícios propostos com resposta 216 testes de vestibular com resposta

AAAl

EDITORA

7

Capa Roberto Franklin Rondino Sylvio Ulhoa Cintra Filho Rua Inhambu, 1235 - S. Paulo

APRESENTACÃO I

Composição e desenhos AM Produções Gráficas Ltda. Rua Castro Alves, 135 - S. Paulo Artes Atual Editora Ltda. Fotolitos Marka Silk Screen Ltda. Rua Albuquerque Maranhão. 272 - S. Paulo Impressão e acabamento Companhia Melhoramentos de São Paulo Indústrias de papel Rua Tito. 479 - S. Paulo CIr-Brasil. Catalogação-na-Fonte câmarc_ IIl-3silcüa do Livro, S1'

977 .1-7

Fundamentos de matemática elementar (por) Gelaon leui (e outros) são Paulo, Atual Ed .• 1977-7& Co-autores: Carlos Murakami. Osvaldo DoIee e 5amuel Hazzan ô a autoria dos vohDlles individuais varia entre os 4 aut.ores. Conteúdo: v.l. Conjuntos. funções. 1977.-v.2. Logaritmos. 1977,-v.3. TrigoTIOllletria. 1978,v.4. SequUências, matrizes determinantes. sistemas. 1977. -v. 5. C(mlbínatôria, probabilidade. 1977.v.6. Complexos, polinômios, equações. 1977.-v.7. Geometria analítica. 1979.

1. Matematica (29 grau) I. Dolce, Osvaldo, 193811. Iezzi, Gelson, 1939- 111. Hazzan, Samuel, 1946IV. Murakami. Carlos, 1943CDD-510

77-1473 fndic~

psra catálogo sistE'rnãtico: 1. Matematica 510

Todos os direitos reservados a ATUAL EDITORA LTOA Rua José Antônio Coelho, 785 Telefones: 71-7795 e 549-1720 CEP 04011 - São Paulo - SP - Brasil

"Fundamentos de Matemática Elementar" é uma coleção em dez volumes elaborada com a pretensão de dar ao estudante uma visão global da Matemática, ao n (vel da escola de 'Z? grau. Desenvolvendo os programas em geral adotados para o curso colegial, os "Fundamentos" visam aos alunos em preparativos para exames vestibulares, aos universitários que necessitam rever a Matemática Elementar e também, como é óbvio, àqueles alunos de colegial mais interressados na "rainha das ciências". No desenvolvimento dos inúmeros cap(tulos dos livros de "Fundamentos" procuramos seguir uma ordem lógica na apresentação de conceitos e propriedades. Salvo algumas exceções bem conhecidas da Matemática Elementar, as proposições e teoremas estão sempre acompanhados das respectivas demonstrações. Na estruturação das séries de exerc(cios, buscamos sempre uma ordenação crescente de dificuldade. Partimos de problemas simples e tentamos chegar a questões que envolvem outros assuntos já vistos, obrigando o estudante a uma revisão. A seqüência do texto sugere uma dosagem para teoria e exerc(cios. Os exerc(cios resolvidos, apresentados em meio aos propostos, pretendem sempre dar explicação sobre alguma novidade que aparece. No final do volume o aluno pode encontrar a resposta para cada problema proposto e asim, ter seu reforço positivo ou partir à procura do erro cometido. /'; última parte de cada volume é constitu(da por testes de vestibulares até 1.977 selecionados e resolvidos o que pode ser usado para uma revisão da matéria estudada. Queremos consignar aqui nossos agradecimentos sinceros ao Prof. Dr. Fernando Furquim de Almeida cujo apoio foi imprescind(vel para que pudéssemos homenagear nesta coleção alguns dos grandes matemáticos, relatando fatos notáveis de suas vidas e sua obras. Finalmente, como há sempre uma enorme distância entre o anseio dos autores e o valor de sua obra, gostar(amos de receber dos colegas professores uma apreciação sobre este trabalho, notadamente os comentários crl'ticos, os quais agradecemos. Os autores

,

INDICE

CAPITULO I - COORDENADAS CARTESIANAS NO PLANO I. 11. 111. IV. V. VI. VII. V111.

Noções básicas Posições de um ponto em relação ao sistema Distância entre dois pontos Razão de secção Coordenadas do ponto divisor Condição para alinhamento de três pontos Complemento-Cálculo de determinantes Demonstração de teorema de geometria plana

. . . . . . . .

l-G 3-G 6-G 10-G 12-G 18-G 21-G 24-G

. . . . . .

25-G 30-G 31-G 38-G 43-G 45-G

. . . . . .

51-G 53-G 56-G 58-G 61-G 70-G

CAPITULO 11 - EQUAÇAO DA RETA I. 11. 111. IV. V. VI.

Equação geral Intersecção de duas retas Posições relativas de duas retas Feixe de retas concorrentes Feixe de retas paralelas Formas da equação da reia

CAPfTULO 111 - TEOREMA ANGULAR I. Coeficiente angular 11. Cálculo de m 111. Equação de uma reta passando por P(xo'Yo) IV.. Condição de paralelismo V. Condição de perpendicularismo VI. Ângulo de duas retas

RESPOSTAS

CAPITULO IV - DISTÂNCIA DE PONTO A RETA I. 11. 111. IV. V. VI. VII.

Translação de sistema . Distância entre ponto e reta . Área do triângu lo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Variação de sinal da função E(x, y) = ax + by + c . Inequações do 1'? grau . Bissetrizes dos ângulos de duas retas . Complemento-Rotação de sistema .

77-G 78-G 83-G 87-G 90-G 93-G 98-G

CAPITULO V - CIRCUNFERENCIA I. 11. 111. IV. V. VI. VII.

Equação reduzida Equação normal Reconhecimento Ponto e circunferência Inequações do 2'? grau Reta e ci rcunferência Duas circunferências

I 11 I11 IV V VI VII

183-G 184-G 185-G 188-G 190-G 191-G 194-G

TESTES _

'

: . . . . . . .

99-G 100-G 100-G 106-G 108-G 112-G 117-G

CAPITULO VI - PROBLEMAS SOBRE CIRCUNFERENCIAS I. Problemas de tangência 123-G 11. Determinação de circunferências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 129-G 111. Complemento 140-0

CAPITULO VII - CONICAS I. 11. 111. IV. V. VI.

Cap(tulo Cap(tulo Capl'tulo Capl'tulo Capl'tulo Capfwlo Cap(tulo

Ell'pse Hipérbole Parábola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Reconhecimento de uma cônica Intersecções de cônicas Tangentes a uma cônica :..

143-G 148-G 153-G 158-G 164-G 165-G

CAPITULO VIII - LUGARES GEOMETRICOS l. Equação de um L.G , 171-G 11. -I nterpretação de uma equação do 2'? grau . . . . . . . . . . . . . . . .. 176-G

Ponto e reta Circunferência Cônicas Lugares geométricos Respostas

195-G 209-G 216-G 221-G 229-G

René Descartes (1596 - 1650)

Geometria e Ãlgebra fazem as pazes CAPÍTULO I René Descartes nasceu na França, de famllia nobre, recebeu suas primeiras instruções no colégio jesulta de La Fleche, graduando·se em Direito, em Poitier.

COORDENADAS CARTESIANAS NO PLANO

Foi participante ativo de várias campanhas militares como a de Maurice, o Prlncipe de Nassau, a do Duque Maximiliano I da Baviera e a do exército francês no cerco de La Rochelle. Foi amigo dos maiores sábios da época como Faulhaber, Desargues e Mersenne e é considerado o "Pai da F ilosofia Moderna". Em 1637 escreveu seu mais célebre tratado, o "Discurso do Método" onde expõe sua teoria de que o universo era todo feito de matéria em movimento e qualquer fenômeno poderia ser explicado através das forças exercidas pela matéria contigua. Esta teoria só foi superada pelo raciocinio matemático de Newton. Suas idéias filosóficas e cientificas eram muito avançadas para a época mas sua matemática guardava caracterlsticas da antigüidade tendo criado a Geometria Analltica numa tentativa de volta ao passado. Durante o perlodo em que Descartes permaneceu com o exército bávaro, em 1619, descobriu a fórmula sobre poliedros que usualmente leva o nome de Euler: v + f = a + 2 onde v,f e a são respectivamente o número de vértices, faces e arestas deum poliedro simples. Em 1628 já estava de posse da Geometria Cartesiana que hoje se confunde com a Analltica, embora os objetivos do autor fossem diferentes tanto que em seu "Discurso" se mostra imparcial quando discute os méritos da Geometria e da Álgebra. Seu objetivo era por processos algébricos libertar a Geometria da utilização de tantos diagramas que fatigavam a imaginação, e dar significado às operações da Álgebra, tão obscura e confusa para a mente, através de interpretações geométricas. Descartes estava convencido de que todas as ciências matemáticas partem do mesmo principio básico e aplicando seus conceitos conseguiu resolver o problema das três e quatro retas de Pappus. Percebendo a eficiência de seus métodos publicou "A Geometria", que consta de três livros, onde dá instruções detalhadas para resolver equações quadráticas geometricamente, por meio de parábolas; trata das.ovais de Descartes importantes em Óptica e ensina como descobrir raizes racionais e achar solução algébrica de equações cúbicas e quadráticas. Em 1649, convidado pela Rainha Cristina da Suécia, estabeleceu uma Acade· mia de Ciências em Estocolmo e como nunca gozou de boa saúde não suportou o inverno escandinavo, morrendo prematuramente em 1650.

I.

NOÇÕES BÁSICAS

1. Consideremos dois eixos x e y perpendiculares em O, os quais determinam o plano 0'. Dado um ponto P qualquer, P E conduzamos por ele duas retas: x'

y

y'

x

0',

li x e y' Ii y

Denominemos P 1 a intersecção de x com y' e P2 a intersecção de y com x'.

o Nestas condições definimos: a) abscissa de P é o número real

xp = OP [

b) ordenada de P é o número real Yp = OP 2 c) coordenadas de P são os números reais xp e yp, geralmente indicados na forma de um par ordenado (xp, yp) onde Xp é o primeiro termo. d) eixo das abscissas é o eixo x (ou Ox) e) eixo das ordenadas é o eixo y (ou Oy) f) sistema de eixos cartesiano ortogonal (ou ortonormal ou retangular) é o sistema xOy. g) origem do sistema é o ponto O h) plano cartesiano é o plano O'

1-G

2.

2? Parte

Exemplo

0(-3,4),

Vamos localizar os pontos 5

E(-7, -3),

F(4, -5),

Dado o par ordenado de números reais P2 E Y tais que OP, = xp e OP 2 = yp. Se construirmos x' /I x por P2 em P. Assim, a todo par (xp, yp)

G("2'

no plano cartesiano lembrando que, no par ordenado, o primeiro número representa a abscissa e o segundo a ordenada do ponto. y

--f---~-L­ I

f----

--

I

rI I

I

._-1--1---

j

t

I I

---+----+---+---+--) I

--1

t I I

t

i

I

i --e

o

A

x

,

5.

t

-f--e-+ I

I I

-!----------t--- -----I

B

.

H

3.

-

--

'-

---

Demonstração la Parte As definições dadas anteriormente indicam que a todo ponto P, P E Ci, cor responde um único par de pontos (P" P2 ) sobre os eixos x e y respectivamente e, ~rtanto, um único par ordenado de números reais (xp, yp) tais que xp ~ OP, e yp ~ OP 2 .

2-G

+--_~____L_~

J

_ x

O

(b, a)

A principal conseqüência do teorema do item 3 é que em Geometria Ana-

F

I

(P"

i

c) todo ponto P procurado representa duas incógnitas (xp e yp) .

---

Entre o conjunto dos pontos P do plano cartesiano e o conjunto dos pares ordenados (xp, yp) de números reais existe uma correspondência biunívoca.

------>

--- i--- -"1 14.21

b) "pedir um ponto P" significa pedir o par de coordenadas (xp, yp);

11.

P

j""

a) "dar um ponto P" significa dar o par ordenado (xp, yp);

__ 1-

Teorema

Esquema:

*-

'\

P

lítica Plana:

;

-~

P2 ) ~

!

I

I

(a, b)

--t--------

P, E x e

I

I I I

(PI,

existem

e y' /I y por P essas retas vão concorrer " corresponde um único ponto P, P E Ci.

4. Notemos que os pares ordenados (4, 2) e (2, 4) não são iguais. Eles se diferenciam pela ordem de seus termos e, portanto, não representam o mesmo ponto do plano cartesiano. De maneira mais geral, se a e b· são números reais distintos, então:

c

1--

Esquema: (xp, yp) ~

(xp, yp),

P2 )

------>

(xp, yp)

POSiÇÕES DE UM PONTO EM RELAÇÃO AO SISTEMA

6. Os eixos x e y dividem o plano cartesiano em quatro regiões angulares chamadas quadrantes, que recebem os nomes indicados na figura. É evidente que: PE 1 quadrante PE 2 quadrante PE 3 quadrante P E 4 quadrante

== == == ==

y 29 quadrante

xp ;;;. O e yp ;;;'0

lI? quadrante

x

O

xp ';;;0 e yp ;;;'0 xp ';;;0 e yp ';;;0

3

então' ~ + 6x + ~ +

Resposta:

Y: -

14x - 8v + 33

=

e NIO, a), determinar P de modo que o triângulo MNP

Y

Solução

O A(x, V) {1) .2)

Alx, 5),

Mia, O)

G.9

Dados B e C.

B(-2, 3) e C14, 11, obter x de modo que A seja eqüidistante de

G.10

Determinar o ponto P, pertencente ao eixo das abscIssas. sabendo que é eqüidistante dos pontos AIl, 31 e B(-3, 5).

G.ll

Determinar o ponto P, da bissetriz dos quadrantes pares, que eqüidista de A(8, -8) e B(12, -2).

A E v AC 1 AB

==>

={11 x 2 = O 2 2) d AC + d AB

2 d BC

B

C x

De (2) temos: Ix + 41 2 + Iv - 1)2 + Ix - 2)2 + Iv - 3)2

12 + 41 2 + 13 _ 1)2

Levando em Conta que x =- O, temos: G~2

Dados os pontos gulo ABC.

AIS, 11),

BI-4, -5)

e

C(-6, 9),

obter o -circuncentro do triân16 + (V2 - 2V + 1) + 4 + (V2 - 6v + 91 = 36 2V2 - Sv - 10 = O

==>

V2 - 4v - 5

Solução

o

circuncentro (centro da circunferência circunscrita ao triângulo) é um ponto P

eqüidistante dos três vértices.

Plx, vi (1) dpA = dPB l

C é médio de AB

1- -1.

11-G

;IJ caso:

-+ AB é paralelo a Ox

Neste caso, temos

Y3 - YI r = --Y2 - Y3

=

r· Y2 - r • Y3 = Y3 - Y,

=

Y3

+r

• Y3 = Y,

+r

• Y2

==

e somente podemos escrever:

Y, = Y2 = Y3

Exemplo

P caso:

-+ -+

AB é paralelo a Oy

Neste caso, temos

x, = X2 = X3

e somente podemos escrever:

A

Obter as coordenadas do ponto C que divide AB (1, 5) e B(4, 17). X,

+

r

x2

+ r Y3

YI

+

5

Y2

r

1 + r

+ 2 4 9 =3 + 2 + 2 17 39 1 + 2 3

na razão 2, quando

3

} -

CI3, 131

13

Exemplo

19.

21.

No caso particular de C ser o ponto médio de AB então r

=

1 é:

Dados A(3, 7), B(5, 11) e C(6, 13) calculemos a razão (ABC): pelas projeções no eixo Ox

6 - 3

=--=-3

)(3

5-6

2 __1 . X_l_+_X_2

1. Y3

=

2 Y_l_+_Y_2_

.....

pelas projeções no eixo Oy Exemplo

13 - 7 11-13=-3

Y3 - YI r = --'....::_-'-'Y2 - Y3

Obter o ponto médio do segmento AB quando A = (7, -1) e B = (-3,11).

É evidente que só poder(amos obter resultado~ iguais. X3 =

Y3

V.

COORDENADAS DO PONTO DIVISOR

20.

Dados A(X" yd, B(X2' Y2) e'r(r

X,

+ X2 2

Y,

+ Y2 2

+ (-3) 2 (-1) + (11) 2 (7)

2 } -

CI2,51

5

*

-1), calculemos as coordenadas (X3' Y3) -+ do ponto C que devide AB na razão r. Temos:

r

~

X3 - x, X2 - X3

=

r • X2 - r •

"j

= "3 - Xl

==

X3

+ r·

X3 = Xl

+ r·

X2

=

EXERC(CIOS

G.17· Calcular a razão IABCI sendo dados os pontos ==>

12-G

G.t8

A(2, 31, B(1

-21 e C(

~,

--}-I,

Dados A(4. 31 e BI2, 1), seja C a intersecção da reta AB com o eixo das abscissas, Calcula\ a razão (ABCl.

13-G

G.19

o comprimento

Determinar as coordenadas dos pontos que dividem o segmento AB em três partes iguais, sabendo que A ~ (-1, 71 e B ~ (11, -B), Solução

Resposta: ,,-G.23

d AM

da mediana AM é a distância entre A eM:

~

5

Dados os vértices consecutivos, AI-2, 1) e B14, 4), de um paralelogramo, e o ponto intersecção de suas diagonais, determinar os outros dois vértices.

E (3, -1), ~

C divide o segmento AB na razão

Xc

YC

H)

xA + r xB 1 + r

1

2:

G.24

9 2

+ 1+1(11)

(7) + (.!.) 1-8) 2 1 1 + 2

YA + r ' YB 1 + r

.----.

2 0 ) Ao'/-

o

2 ~3~

2

1-1) + 2 • 11 1 + 2 7 + 2 • (-8)

YA + r' • YB 1

'-oB

+ r'

1 + 2

111) + (3) 2

2

~ ~ ~ 3

Resposta:

C13, 2)

e

YO

~

YB + YC 2

1-8) + 2 2

7 + (-1) ~ 3 --2-

4 + YB -2-

=

YB ~ O

~

O

XN

~

YN

~

xB + Xc -----r- = YB + YC --2-

-1

=

O + xC ~-2-

~ 2

c

=

Xc ~ -2

=

YC ~ 2

V(2 - 0)2 + 14 - 0)2 + Y'i-0"'+'-'-2)-2-+-10---2-)2 + V12 .Ji.O + Vã + .Ji.O ~ 4V5 + 2v2 ~ 212V5 + v2)

AI+1, -1 I e BI4, 51

2 12V5 + v2)

deve ser prolongado

G.26

Calcular as coordenadas do baricentro do triângulo ABC cujos vértices são Alxl, YII, B(X2, Y2) e C(X3, Y31.

~4 B L._-#-_.L..._!!-----'-C

M

+ 2)2 + (4 - 2)2

Se M12, 1), N(3, 3) e P(6, 2) são os pontos médios dos lados AB, BC e CA, res' pectivamente, de um triângulo ABe, determinar as coordenadas de A, B e C.

O ponto M é tal que:

YB + YC 2

~

xB

G.25

Solução

3+5

2

=

(-1, -3)

Calcular o comprimento da mediana AM do triângulo ABC cujos vértices são os pontos AIO, O), B13, 71 e CI5, -1),

-2-

=

~

para qLie seu comprimento triplique?

XB + xC 2

YA + YB 2

Resposta:

Até que ponto

G.22

~

~

-3

017, -3)

segmento de extremos

YM

2 + xB -2-

3 0 ) perímetro ~ d AB + d BC + d CA ~

G.21

O

~

portanto, CI-2, 21

Determinar os pontos que dividem AB em quatro partes iguais quando A e B ~ 123, 33),

M,

1

-9

G.20

no sentido

=

7

~""3 ~-3

7

xA + xB 2

2':') N é o ponto'médio de BC então:

Observemos também que D é ponto médio de BC: XO ~ xB + xC

~

portanto, B (O, O)

O

+ r' • xB. 1 + r'

XM 2

~

AB na razão 2:

YO ~

10) M é o ponto médio de AB então:

6

----~ -----o~

D divide o segmento

XO

Solução

2

C

XA

3

""3

1 +2

Do triângulo ABC são dados: o vértice A(2, 4), o ponto M(l, 2) médio do lado AB e o ponto NI-l, 1) médio do lado BC. Calcular o perfmetro do triângulo ABC.

Solução O baricentro G é a intersecção das medianas do triângulo. Tomando um triângulo ABC e construindo as medianas AM e BN, formamos os triângulos ABG e MNG que são semelhantes, portanto: AG AB . 2 GM MN - Q ,-

.K.-.

B

C

2

14-G

15-G

AM"

isto é, G divide a mediana

na razão 2.

x 2 + 14 - V3x12 _ 16 = x 2 + 16 - 8V3x + 3x 2 - 16 4x 2 - 8V3x ~ O = x - O ou x = 2v'3 ===> Y = 4 ou y = -2 (respectivamente)

Aplicando a fórmula do ponto divisor, temos:

xG

xA + 2xM 1 + 2

YG

YA + 2YM 1 + 2

XI +

=

2 x2 + x3 2 2

xI + x2 + x3 3

2 Y2 + Y3 2 3

YI + Y2 + Y3 3

YI + =

Resposta:

G.30

= =

BI2V3, 21 e CiO, 41 ou C12v3. -21

Num triângulo ABC são dados:

Ii A12, Oi 111 MI-l, 41

ponto médio de AB

III1 dAC = 10 IVI dBC .-

1OV2

Resposta:

Obter o vértice C do triângulo. A conclusão tirada no problema anterior, isto é, o fato de que "as coordenadas do baricentro são as médias aritméticas das coordenadas dos vértices" poderá ser utilizada

G.31

doravante em outros problemas de Anal ítica. G,27

G.28

O baricentro de um triângulo é Determinar o terceiro vértice.

A(a, b), Bk, d),

Solução

e dois de seus vértices são A12, 5) e B14, 71.

1?) Aplicando a fórmula do ponto médio determinemos M, N, P e Q:

5 .• I ' GI 4 4) O baricentro de um trlangu o e - 3' "3 ' o ponto médio do lado BC é NI- 2' -1 e o ponto médio do lado AB é

G,29

GI1,6)

Provar que os pontos médios dos lados do quadrilátero de vértices C(e, fi e O(g, h) são vértices de um paralelogramo.

MIO,

B !

c+e

1

21.

N

I--~

MI a +2 c, b +2 d I;

I

/~ /

R.

\

M!~! s.. "~,,\,P ,/i

Determinar os vértices A, B, C.

NI - 2 - ' d ; f ); e+g ~). PI-2- , 2 '

Determinar os vértices B e C de um triângulo equilátero ABe, sabendo Que o ponto médio do lado AB é MIV3. 1) e A é a origem do sistema,

__C

/ "

,

"'"

,"

\

\ \

a+ g ~) Ol 2 ' 2 .

_'V--

!

Ai-

JD

C

Solução

2?l Provemos que as diagonais do Quadrilátero MNPQ se cortam ao meIO, Isto é, os 10 1 Obter

B

seus pontos médios,

xA + xB

XM

2

=

xB =

_ YA + YM 2

=

=

v'3 = O + xB

-2-xN

2";-:; YB =

+

xO

R e S,

c + e +~ 2

2

0+ YB

d + f

--2-

2

YN + YO

M

A

B

+

b + h

b+d+f+h 4

2

2

2

a+c+e+g

XM + xp Ternos

Q = d AB 1) dAC Clx, vi { 21 dBC

Q Q

=

=

V 12V3 -

s {

4

0)2 + 12 - 0)2

{ 11 Ix - 0)2 + Iv - 0)2 16 21 Ix -2,,;31 2 + Iy - 21 2 = 16

que substituindo em (1) dá:

16-G

16 - 4V3x - 4y

YS

= R

O

=

Y

--------

4

2 b + d

16 x2 + y 2 => { 11 21 x 2 + V2 - 4V3x - 4Y = O De 11) em (2) resulta:

xS

4 - V3x

G,32

S

=

+ f + h

2

VM + yp

2 2

2

MNPO

a+c+e+~

4

2

2

YB =2

são coincidentes:

b+d+f+h -----4

é paralelogramo

O quadrilátero de vértIces

e DIO , - 2. 2 1 é um pa-

ralelogramo? Justifique.

17-G

VI.

;!! parte:

22.

Teorema

Tese

Hipótese

CONDiÇÃO PARA ALINHAMENTO DE TRÊS PONTOS

10=0

I

=

IA, 8, C

coHneare$1

Preliminar: transformemos a hipótese para uma forma mais conveniente:

Três pontos A(x[, YI), B(X2' Y2), C(X3' Y3) são colineares se, e somente se,

D

~

O

=

X3(YI - Y2) - Y3(XI - X2) + (XIY2 - X2yt! ~ O

= (H)

O.

D

Demonstração Hipótese

1? parte :

Consideremos os 3 casos possl'veis:

Tese

IA. B, Ccolinllare$

19 caso:

Demonstração de (H), temos

Consideremos os 3 casos possíveis:

19 caso:

dois dos pontos coincidem (C

_ {XI entao YI

=

D ~ O

(X3 - xt! • (Y2 - Y3) ~ O então

ou

X3 - Xl ~ O

ou

Y2 - Y3

=

(tem 1~ e 3~ linhas iguais)

2'? caso: os três pontos são distintos e pertencem a uma reta paralela a um

ou

X3 - XI

Y2 ~ Y3

=

=

O =

O e

dos eixos (# Ox, por exemplo) então Y[

X3 ~ Xl ~ X2 = A, B, C pertencem à mesma reta paralela a Oy, isto é, A, B, C são colineares.

A, por exemplo)

Y2 ~ Y3 B ~ C existe uma reta contendo A. B, C são colineares.

B ~ C e A, isto é,

=

Y2 - Y3 ~ O B ~ C e A, B, C pertencem à mesma reta para leia a Oy. isto é, A. B, C são colineares.

D ~ O (tem 2~ e 3~ colunas proporcionais)

:f? caso: os três pontos são distintos e pertencem a uma reta não paralela a Ox nem a Oy. Seja r a razão em que C divide AB(r r ~

X3 - XI X2- X3

Y3 - YI Y2-Y3

~ (X2 - X3) (Y3 - yt!

=

=

=

*'

de (H),temos (X3 - xt! • (Y2 - Y3) ~ O então:

-1). Temos:

ou

(X3 - xt! (Y2 - Y3) ~

X3 - Xl ~ O

=

X3Y2 - XI Y2 + Xl Y3 -X2V3 + X2YI - X3Yl = O

X3(Yl - Y2) - Y3(XI - X2) + (XIY2 - X2yt! ~ O

=

lo = 01

=.

ou

Y2 - Y3 ~ O

ou

X3 - Xl ~ O e

D (segundo leorema de Laplacel

Ver nota sobre o teorema de Laplace no final deste capítulo.

A ~ C e B, isto é,

A. B. C são colineares.

v

18-G

X3 ~ Xl = A ~ C existe uma reta contendo

Y2 ~ Y3 ~ YI = A, B, C pertencem à mesma reta paralela a Ox, isto é, A, B, C são colineares.

Y2 - Y3 ~ O = A ~ C . e A, B, C pertencem à mesma paralela a Ox, A, B, C são colineares.

isto é,

19-G

jJ caso:

de (H) temos

I

X2 - Xl *- Oe

I

V3 - VI *- O

(X3 - XI) • (Y2 - Y3) *- O

VII.

COMPLEMENTO -

CALCULO DE DETERMINANTES

Um determinante de 2~ ordem

= { X3 - XI *- O

V2 - Y3 *- O

(X3 - xd (Y2 - Y3) ~ (X2 - X3) (Y3 - yd

ainda de (H),

vem:

é calculado pela fórmula:

X3 - XI ~ V3 - YI *--1 X2- X3 Y2-Y3

(1 )

chamemos de r a estes dois quocientes iguais e consideremos o ponto C'(X4, Y4) ---> que divide AB na razão r. Pelo item 18, temos:

Exemplo

o

~

I: -~ I~

1 • 7 - (-5) • 4

~

7 + 20

~

27

(2)

Um determinante de 3~ ordem comparando (1) e (2), temos: X4 - XI -- r X2 - X4

X3 X2

~

=

X3

~

XI X3

e

X4

e

Y4 - YI = Y2 - V4 Y3 = Y4

~

=

uma vez que A, B, C' são colineares e

23.

r

C

C',

=

Y3 - YI Y2 - Y3 C = C'

ali a21 a31

O

==

a12 ~2

a32

al3 a23 a33 da seguinte maneira:

de acordo com o Teorema de

então A, B, C são colineares.

Exemplos l?)iMostrarque A(-l,l), B(l,3) e C(7,9) sãocolineares. Xl X2 X3

O

+

YI Y2 Y3

I~ ~ I ~

1 1 1

~

1-

1 1 7

+6 + 6 - 12

I -31 ~ I - x ~

2O-G

=

O

x os pontos

A, B, C colineares

x •

=

-I~ ~I

- I~

11

I

mejro fator em cada produtoj 4?) somam-se os três produtos obtidos. +

Exemplos

A, B, Ccolineares

l?)'Desenvolvimento de

2?) Para que valores de colineares?

O

1 3 9

=

O =

I~

8x - 16

I ~

A(x, x), B(3, 1) e C(7, -3),

O

+

I~

I~

~

x 1 -3 1 -3

x

~

I~ 2

~I

são

al31 + (-1) • a 32 ja l l a23 a21 ~

=

O

4x + 4x - 16

O pela 3~ linha:

a31 (a12 • a23 - an

al31 + (+1) • a331 ali a23 a21

a121 = a22

a13) - a32(all • a23 - a21 • a13) + a33(all • a22 - a21 • a12)

2?) Calcular O

o

1

3

2

2

5

2

4

3

1

21-G

Temos, pela 1~ linha:

G.39

+1 (5 • 1 - 3 . 2) - 3(2 . 1 - 4 • 2) + 2(2 . 3 - 4 • 5) 1 (5 - 6) - 3(2 - 8) + 2(6 - 20) ~ -1 + 18 - 28 ~ -11

EXERC(CIOS

G.4D

Dados A(2, -3) e 8(8, 1 l, obter o ponto em que a reta AS intercepta a bissetriz dos quadrantes ímpares.

G.41

Dados A(7,4) e B{-4, 2), obter o ponto em que a reta AS intercepta a bissetriz dos quadrantes pares.

G.42

Dados AI-3,41, BI2,91, C12, 71 e 014, 51, obter a intersecção das re.tas AB e CO. Solução

Calcular os determinantes:

2 7 14

~I

Y 1 O

G.34

Os pontos

G.35

Determinar y para que os pontos

C

All,3), B12,5) e C149,100)

7 O -6

O

Seja P(x, y) a intersecção das retas.' Como P, B, A colineares, temos:

lI

I

são col ineares?

AI3, 5), BI-3, 81 e C14, y)

sejam colineares.

Solução

I-~

==

li

5 8 y

=415 - 8) - yl3 + 3) + 124 + 151 9 = 6 y = 27 Y°"2

o

o

4

=

5x - 5y + 35

=

O

x

==

O

-12 - 6y + 39

o

O

2 4

==

1

9

y

"2

G.37 Se· AIO, ai,

Bla, -41

e Cll, 21,

Y 7

=0

2x + 2y - 18 = O =

a E IR

A, B, C

xA

YA

a

xB

YB yc

-4

então l-a

2x

2

=

x

=====>

2

-412

=

-ala - 1I + 12a + 41 a real,

=

O

=

Plx, y)

O

a cf -1

Dados All, 11 e B(10, -21, abscissas.

e

=

O donde

{

De (2):

I

a 2 - 3a - 4

-1

ou

a

1) Ix - 01 2 + Iy - 0)2

-14x - 2y - 50

===:>

a cf 4.

Resposta: G.45

=

2) P, A, B colineares

~

O

==

4

obter o ponto em que. a reta AB intercepta o eixo das

y

8

colinear simultaneamente com AI-l, -21 e B12, 1 I e com

x2 + (-7x -.25)2 = 25 = 50x 2 + 350x + 600

a

==

9

1 +y

P11, 81

Solução

não são colineares. Impondo o

. Ia1

121

Determinar o ponto P da reta AB que está á dlStáncia 5 da origem. Dados A(O, -25) e BI-2, -111.

para que valores de a existe o triângulo ABC'

e os pontos

x +Y=9

G.44

isto é:

22-G

=

li

Existe o triângulo se

G.38

111

Determinar Plxo, vol CI-2, 11 e 011, -4).

alinhamento:

Resposta:

-7

G.43

Solução

Xc

o

5

Resposta:

Mostrar que Ala, 2a - 1), Bla + 1, 2a + 1) e Cla + 2, 2a + 3) são colineares para todo valor real dado a a.

0=

O= x - y

o

Somando 111 e (2). vem:

=

G.36

; ~ ~Ioo ==

-3

Como P, C. O colineares, temos:

A, B, C col ineares

Resposta:

ponto em que a reta AS intercepta o eixo das orde-

O

nadas.

D~+l·l~ ~1-3·1~ ~1+2'1~ ~I

G.33

Dados A(3, 1) e 8(5, 5), obter

y

=-4

y = +3

ou

PI-3, -4)

ou

= o

(

y

o

21

I

x O -2

-7x - 25

V -25 -11

1 1

I

=

o

25

O

1

que substituindo em 111 dá:

x 2 + 49x 2 + 350x + 625 = 25 = O = x = -3 ou x = -4 = (respectivamente)

PI-4, 3)

Determinar na reta AS os pontos eqüidistantes dos eixos cartesianos. DadOS:

A(-1,5)

e B14, -21

23-G

VIII.

DEMONSTRAÇÃO DE TEOREMAS DE GEOMETRIA PLANA

19) Faz-se a figura correspondente ao teorema

CAPÍTULO II

29) Escolhe-se um sistema cartesiano em posição conveniente 39) Fixam-se as coordenadas dos pontos da figura impondo as hipóteses 49) Faz-se a demonstraçi\o

EQUAÇÃO DA RETA

EXERCICIOS G.46

Demonstrar que a mediana relativa

à hipotenusa de um triângulo retângulo é igual

à metade da hipotenusa. A(Q. O),

I.

Y

Coordenadas:

Bla, OI,

C

C(Q, b)

Temos:

25. XB + Xc

xM

YM =

2

2 b

UA toda reta r do plano cartesiano está associada ao menos uma equação da forma ax + bV + c = O onde a, b, c são números reais, a =1= O ou b =1= O, e (x, V) representa um ponto genérico de r

-

U

2

•

Demonstração

d SC G.47

=

,---------

j

d AM =

b Va 2 + b 2 11-- 0 )2+1"2- 0 )2= 2

V la - 0)2 + (Q - b)2 = Va 2 + b 2

}-

Demonstração AM

Sejam Q(X" V,) e R(X2, V2) dois pontos distintos do plano cartesiano. Isto significa que X" Vl, X2, V2 são números reais (constantes) conhecidos.

BC 2

Demonstrar que as diagonais de um trapézio isósceles são iguais.

Coordenadas

Seja r a reta definida pelos pontos e R. Se P(x, V) é um ponto que percorre r, então x e V são variáveis. Como P, Q, R são colineares temos necessariamente:

y

Alo, O),

Bla, O).

Clb, c)

e

D(a - b. c)

Q

Demonstração d

d

AC BD

= V'(b---0-')2'--+-(-c-_-0-)-=-2 = V b2 + c2 =

V la AC

G.48

G.49

G_50

24-G

Teorema

a

YB + YC

2

EQUAÇÃO GERAL

- b - a)2 + (c - 0)2 =

}

~

=?

x

= BD

A

B

Provar analiticamente que o segmento, cujas extremidades são os pontos médios dos lados de um triângulo, é paralelo ao terceiro lado e igual à metade deste. (EPUSP-47) Demonstrar que, num trapézio, os pontos médios das bases, a intersecção das diagonais e o ponto de intersecção dos lados não paralelos são colineares. IEPUSP-44) Derr:onstrar que, num quadrilátero ABCD, os pontos médios das diagonais e o ponto médio do segmento cujos extremos são os pontos de intersecção de dois lados opostos são colineares.

x,

x

X2

o

X

V O

V, V2

Desenvolvendo esse determinante pela regra de Laplace, temos: x -

I

V, V2

1\ - V • 1

(Vl - V2) - x '--.,----J a

I x,

I x, X2

1+

X2

x,) (X2 +'--.,----J b

V

V, V2

+(X,V2' -

I

=

X2V,)

O O

-y-------/

c

25-G

ponto

Fazendo YI - Y2 = a, X2 - XI = b e XI Y2 - X2VI P E r deve verificar a equação

ax + by

+c

=O

=

2