Tilman Butz
Fouriertransformation für Fußgänger 6., aktualisierte Auflage
STUDIUM
11 VIEWEG+ TEUBNER
Bibliografische Information der Deutschen Nationalbibliothek Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über abrufbar.
Prof. Dr. rer. nat. habil. Tilman Butz Geboren 1945 in Göggingenj Augsburg. Ab 1966 Studium der Physik an der Technischen Universität München, Diplom 1972, Promotion 1975, Habilitation 1985. Von 19B5 bis 1992 wissenschaftlicher Assistent. Seit 1993 Professor für Experimentalphysik an der Universität Leipzig, Fakultät für Physik und Geowissenschaften. E-Mail:
[email protected] http:j jwww.uni-leipzig.dej-nfpjStaffjTilman_Butzjtilman_butz.html Abbildungen: H. Gödel, Dr. T. Soldner (1.2, 1.5), H. Dietze (1.3, 1.10), Dr. T. Reinert (3.11), SI. Jankuhn (2.22,4.24, A.1 - A.9, A.16 - A.18)
1. Auflage 1998 2. Auflage 2000 3, Auflage 2003 4. Auflage 2005 5. Auflage 2007 6"aktualisierte Auflage 2009
Alle Rechte vorbehalten
© Vieweg+Teubner I GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden 2009 Lektorat: Ulrich Sandten I Kerstin Hoffmann Vieweg.;. Teubner ist Teil der Fachverlagsgruppe Springer Science.;.Business Media. www.viewegteubner.de Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtiich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlags unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Umschlaggestaltung: KünkelLopka Medienentwicklung, Heidelberg Druck und buchbinderische Verarbeitung: STRAUSS GMBH, Mörlenbach Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier. Printed in Germany ISBN 978-3-8348-0538-6
Für ReIlate, Raphaela und Florentin
Vorwort
Fouriertransfonnation l für Fußgänger. Für Pußgänge7''f Zu diesem Titel inspirierte mich das berühmte Buch VOI1 Harry J. Lipkin "Beta-decay far Peclestrians" [1], in dem so schwierige physik.: 0),
(1.16) (weil f gerade ist). Der Ausdruck für Ak verdient noch ein paar ßemerkungen: i. Für alle geraden k verschwindet A k••
ii. Für alle ungeraden k haben wir AA' = 4/(7r2k2). iii. Für k = 0 sollten wir lieber den Mittelwert A o nehmen und nicht k = 0 in (1.16) einset:.-:en. \Vir könnten also weiter vereinfachen zu: 1
2
fürk=O
4 rr 2 k 2 für k ungerade
o
flir k gerade, k
(1.17)
#- 0
Die Reihenglieder nehmen zwar mit steigendem k 1'a.'3ch ab (quadratisch in den ungeraden k), aber prinzipiell haben wir eine unendliche Reihe. Dies liegt an dem "spitzen Dach" bei t = 0 und an dem Knick (periodische Fortsetzung!) bei ±T/2 unserer FUnktion f(t). Um diese Knicke zu beschreiben, brauchen wir unendlich viele Fouriel'koeffiziellten.
10
1 Fourierreihen
Daß nichts so heiß gegessen wird, wie es gekocht wird, sollen die folgenden Abbildungen illustrieren. i'vlit w :::: 27': /T (siehe Abb. loS) erhalten wir:
f{t) ::::
~ + :2
(coswt
1
+ ~ cos3wt + 2S cosSwt....)
(1.18)
.
Original 0.5
+r,
-~
,,0. Näherung":
,
0.5
2
+f
-~
I. Näherung:
,
0.5
.,
2" + ".1 001lwt
+~
-~
2. Näherung:
,
0,:::'
.., (
? +""""i
-
_r,
OO!Iwt
,
+ 9 cos3..J1 )
+~ 3. Nähcl"llllg:
,
- + -.,
0.5
(
coswl
'.
,
+ - CO!I3..Jt + -
2".1925
-., T
0
cos5,.it
)
T
+~
Abb. 1.5. "Dreicckfunktion" f(t) und sukzessive Näherungen durch eine FOllrierreihe mit mehr und mehr Reihcngliedem
1.1 Fourierrcihell
II
V-'ir wollen einen Frequenzplot von dieser Fourierreihe macheIl. Abbildung 1.6 zeigt das Ergebnis, wie es z.B. ein Spektralanalysator 3 liefert, wenn man als Eingangssignal unsere Dreieckfunktion [(tl eingeben würde.
.,
0,5
;;"
o o
1
2
3
4
5
G
7
k
Abb. 1.6. Frequellzplot der Dreieckfunktion
Wir sehen außer dem DC-Peak bei w = 0 die Crundfrequenz w und alle ungeraden "Harmonischen" bzw. "Oberwellen". Aus diesem Frequenzplot k.:1.nn mall ungefahr den Fehler abschätzen, den man macht, wenn man frequenzen - sagen wir oberhalb 7w - vernachlässigt. Davon wird später noch ausführlich die Rede sein. Ein Sägezahngenerator würde, da er "bandbreiten-limitiert" ist, beliebig ra.;wk}.
(1.29)
Beweis {1. Verschiebungssatz}.
J
J
+T/2
Ck""
=
~
+T/2-u
f(t - a)e-iwktdl. =
-T/2
~
f(e)e- iwkt ' e-iwklldt'
-T/2-ll
Wir integrieren übel' eine volle Periode, deshalb spielt die Verschiebung der Intervallgrenzen um Cl keine Rolle. Der Beweis ist trivial, das Resultat der Verschiebung der Zeitachse nicht! Der neue Fourierkoeffizient ergibt sich aus dem alten Koeffizienten Ck durdl Multiplikatioll mit dem Phasenfaktor e- iWkll . Da C" im allgemeinen komplex ist, werden durdl die Verschiebullg die Real- und Imaginärteile "durcbmischt". Ohne komplexe Schreibweise haben wir:
f(t) f{t - a)
~ +-+
(A k ; Bk;wd, {A" cosw"a, - Bk sinw"a; Ak sinwka + Bk cosw"a; wd.
(1.30)
Dazu zwei Beispiele:
Beispiel1.S {"Dreied:junktion", um eine Viertelpe1iode ve1·scll.Oben}. "Dreieckfunktion" (mit l\'littelwert = 0) (siehe Abb. 1.8):
f(t)
~+~ ~
{
für - T/2 S t S 0
1 2t .. ---fur ü 0 (2k + I)' (2k I)' k' umformt. Dies ist nicbt gültig für k = 1, aber für alle größeren k. iii. Wir haben um; anch gerade Koeffizienten eingehandelt, die vorher 0 waren. In der Reihenentwicklung stehen jetzt also doppelt so viele Terme wie vorher, aber sie fallen mit steigendem k schneller ab. Durch die iVlultiplikation mit cos(1rt/T) haben wir den Knick bei t = 0 zu einer etwas schärferen "Spitze" verformt. Dies spricht eigentlich für eine schlechtere Konvergenz bzw. langsamer abfallende Koeffizientcn. 'ViI' haben aber an den Intcl'vallgrcllzen ±T/2 den Knick abgerundet! Dies hilft uns natürlich. Was genau passieren würde, war aber nicht ohne weiteres vorherzusehen.
1.2.4 Skalierungssatz
Manchmal kommt es vor, daß man die Zeitachse skalicren möchte. Dann muß mall die Fourierkoeffizienten nicht neu berechnen. So wird aus:
J(t) J(ut) Hier muß
(t
reell scin!
~ ~
(Ck;w,), (Ck;a·w,).
(1.41)
22
1 Fourierreihen
Falls a > 1 ist, wird die Zeitskala gestaucht und damit die Frequenzskala gestreckt. Für a < 1 gilt die Umkehrung. Der Beweis für (lAI) ist einfach und folgt aus (1.27). Bitte beachten Sie, daß wir hier wcgen der Forderung nach Periodizität auch die Intervallgrenzen strecken bzw. stauchen müssen. Ebenso werdcn dic Basisfunktiollcn gemäß wr 0) einschließt, tl'Otzdem gegen O. Die Integration liefert nur Flächen vom Maß 0. (Ich bin sicher, daß diese Formulierung mindestens eine läßliche Sünde ist.) Die Moral von der Geschichte: ein Knick in der F\lllktion (Nichtdifferenzierbarkeit) beschert eine unendtiche Fourierreihe, eine Stufe (Unstetigkeit) darüber hinaus noch Gibbssches "Ringing". Das heißt, vermeiden Sie Stufen, wo immer es geht!
°
Spielwiese 1.1. Rasend schnell Eine Il.:'\diostation sendet auf 100 ~IIHz. 'Nie groß ist die Kreisfrcquenz w und die Periode T für eine kompletle Oszillation? \:Vie weit wandert ein elektromagnetischer Puls (oder ein Lichtpuls!) in diesel' Zeit? Benützen Sie die Vakuumlicbtgescbwindigkeit von c::::: 3 x 108 m/s.
°
1.2. Total seltsam Gegeben ist dic Punktion f(t) = cos(rrt/2) für < t :$ 1 mit periodischer lcbrtsetzung. Zeichnen Sie diese Funktion. Ist diese Funktion gerade, ungerade oder gemischt? Falls gemischt, zerlegcn Sie sie in geraden lind ungeraden Anteil und zeichnen Sie sie.
32
1 Fourierreihen
1.3. Absolut wahr Berechnen Sie die komplexen Fourierkoeffizienten CI.; für J(t) = sin;rt für o : : : t ::::: 1 mit periodischer Fortsetzung. Zeichnen Sie J(t) mit periodischer Fortsetzung. Schreiben Sie die ersten vier Terme der Reihenentwicklung hin. 1.4. Ziemlich komplex Bercchnen Sie die komplexcn Fouricrkocffizienten CI.; für die Funktion J(t) = 2sin(3;rt/2)cos(JTf./2) für 0::::: t ::::: 1 mit periodischer Fortsetzung. Zeichnen Sie J(t). 1.5. Schieberei Verschieben Sie die Funktion J(t) = 2sin(3;rt/2) cos(;rt/2) = sin;rt + sin 2;rt. für 0 ::::: t ::::: 1 mit periodischer Fortsetzung um a = -1/2 nach links und berechnen Sie die komplexen Fourierkoeffizienten C~.. Zeichnen Sie die verschobene Funktion J(t) und ihre Zerlegung in den ersten und zweiten Anteil lmd diskutieren Sie das Ergebnis. 1.6. Kubisch Berechnen Sie die komplexen Fourierkocffizientcn Cl' für J(t) = cos3 2-rrt für 0 ::::: t ::::: 1 mit periodischcr Fortsetzung. Zeichnen Sie diese F\mktiOll. Benützen Sie jetzt (1.5) und den 2. Verschiebungssatz um Ihr Resultat zu überprüfen. 1.7. Griff nach Unendlichkeit Leiten Sie das Resultat für die unendliche Reihe 2::::::1 l/k'l mit Hilfe von Parsevals Theorem her. Hinweis: Anstelle der "Dreieckfunktion" versuchen Sie es mit einer Parabel! 1.8. Glatt Gegeben ist die F\lllktion f(t) = [1 - (2tfF für -1/2 ::::: t ::::: 1/2 mit periodischer Fortsetzung. Verwenden Sie (1.63) lind argumentieren Sie, wie die Fourierkoeffizienten CI.; von k abhängen müssen. Überprüfen Sie das Resultat, indem Sie die CI.; direkt berechnen.
2 Kontinuierliche Fouriertransformation
Abbildung einer beliebigen Funktion f Fourier-transformierte Funktion F(w)
(t)
auf die
2.1 Kontinuierliche Fouriertransformation Vorbemed.1tng: 1m Gegensatz zu Kap. 1 machen wir hier keine Einschränkung auf periodische J(t). Das Integrationsintervall ist die gesamte reelle Achse (-00, +oo). Wir betrachten dazu den Grenzübergang von der Reihenentwicklung zur lntegraldal'stellung:
fJ
+Tf2
Ck =
Reihe:
j(t)e-21fikt/T dt.
(21)
-Tf2
Jetzt:
Wk
=
21rk
T
-.
diskret
J
W,
kontinuierlich
+00
!im (TCk) =
T_oo
f(t)e-i"""dt.
(2.2)
-00
Bevor wir 2m Definition der Fouricrtrullsformation kommen, müssen wir noch ein paar Hausaufgaben erledigen. 2.1.1 Gerade und ungerade Funktionen
Eine Fullktion heißt gerade, welln
If(-t) ~ f(t)
I
(2.3)
Eine Funktion heißt ungerade, wenn
Ifr-tl ~ - f(t) I
(2.4)
34
2 Kontinuierliche Fouriertn\lIsfOl'lnaLioll
,Jede allgemeine Funktion läßt sich in einen geraden und einen ungeraden Anteil zerlegen, Dies hatten wir zu Beginn von Kap. 1 schon kennengelernt, und es gilt natürlich unabhängig davon, ob die Funktion f(t) periodisch ist oder nicht.
2.1.2 Die 6-Funktion Die 8-Funktion ist eine Distribution l und keine Funktion. Trotzdem wird sie aber immer 6-F'unktion genannt. Sie ist überall 0, nur nicht dort, wo ihr Argument 0 ist. Dort geht sie nach 00. \Vem dies zu steil oder zu spitz ist, der möge mit einer anderen Definition vorlieb nehmen: (2.5)
1 l < t .L
0
{
für t
>0
SOllSt -
(2.19)
.
1+
J oo
o
-(..\+iw)~ 00 e-"\lc-iwtdt = e . -(A+IW) 0 1
= A+iw =
A
A2
+w + 2
-iw
A2 +W2
(2.20) (2.21)
40
2 Kontinuierliche FouriertrallSfOl'lnatioll
f(t)
F{w)
1
f{t)
2
t
F(w) =
2T t+W 2T2
w
Abb. 2.4. Beidseitige Exponentialfunktion und Foul'iertransfOl'lllierte (=LorentzFunktion)
(Pardon: Eigentlich hätten wir bei der Integration in der komplexen Ebene den Residuensatz 4 verwenden müssen und nicht so nonchalant heruUlintegrieren dürfen. Das Ergebnis stimmt trotzdem.) F(w) ist komplex, da f(t) weder gerade noch ungerade ist. Wir können nun den Real- und Imaginärteil getrennt darstellen (siehe Abb. 2.7). Der Realteil hat die schon vertraute Lorentz-Form, der Imaginärteil hat eine Dispersionsfonu. Häufig wird aber auch die sogenannte Polardarstellung verwendet, die im nächsten Abschnitt behandelt wird. I·Herzu zwei Beispiele aus der Physik: der gedämpfte \Vellenzug, mit dem man die Emission eines Teilchens (z.B. Photons, "I-Quants) aus einem angeregten Kernzustand mit Lebensdauer T beschreibt (d.h., der angeregte Zustand entvölkert sich gemäß e- t / T ), führt zu einer lorentzfonuigen Emissionslinie; exponentielle Relaxationsprozesse führen zu lorentzformigen Spektrallinien, z.B. bei kernmagnetischer Resonanz.
2.1.4 Polardarstellung der Fouriertransformierten Jede komplexe Zahl z = a + ib läßt sich in dcl' komplexen Ebene dlll'ch den Betrag und die Phase lp darstellen (siehc Abb. 2.5):
So können wir auch die Fouriertransformierte der einseitigen Exponentialfunktion darstellen wie in Abb. 2.6. Alternativ zur Polardarstellung kann man auch den Real- und Imaginiil'teil getrennt darstellen (siehe Abh. 2.7).
01
Der Residucnsatz ist Bestandteil der Funktioncntheoric.
2.1 Kontinuierliche Fouriertransformation
41
IInaginärteil Kreisradius
Ja 2 + b2
Realteil
Abb. 2.5. Polardarstellung der komplexen Zahl z
IF(w)1
fit)
= a
+ ib tall'P '" -w/).
w
w
Abb. 2.6. Einseitige Exponentialfunktion, Betrag der Fouriertransformierten und Phase (ImaginiirteiljRealtcil) Bitte beachten Sie, daß IF(w)1 keine Lorentz-....l lllktioll ist! Will mall diese Eigenschaft "retten", so sollte man lieber das Quadrat des Betrages darstellen: lF(wW = 1/(>.. 2 + w2 ) ist wieder eine Lorentz-Funktion. Diese Darstellung wird oft auch Neudeutsch "Power-Darstellung" genannt: lF(wW = (Realteil)2 + (Imagillärteil)2. Die Phase hat bei dem Maximum von IF(w)l, d.h. in "Resonanz", einen Nulldmchgang. Warnung: Die Darstellung des Betrages wie auch des Betragsquadrates macht die Linearität der Fouriertransformation zunichte!
Re{F(w))
Im{F(w))
w
w Abb. 2.7. Realteil, Imaginärteil der Foul'iCl'transforllliertcn dcr einscitigen Exponentialfunktion
42
2 Kontinuierliche FouriertrallSfOl'lnatioll
Zum Schluß wollen wir noch die Rücktransformation ausprobieren und sehen, wie wir wieder zu der einseitigen Exponentialfunktion zurückfinden (die FouriCl'tl'ansformiel'te sah gar nicbt so "einseitig" aus!): 1 I( t ) = -21T
~...!.-
J ,\ -+
+= -00
- 21T {
,\2
2>'
J +00
"
iw eiW'd w w2
coswt dw >.2 +w2
J +00
+2
"
wsinwt dw ,\2 +w2
}
. +" für t > - 0 ilt wobei ., -" für t < 0 g ~
(2.22)
"
{e-'.\t für t ~ 0 o für SOllst
2.2 Theoreme und Sätze 2.2.1 Linearitätstheorem Der Vollständigkeit halber nochmals:
I(t) g(t) a· I(t) + b· g(t)
~ ~
~
F(w), G(w), a· F(w)
+ b· G(w).
(2.23)
2.2.2 Der 1. Verschiebungssatz Wir wissen bereits: eine Verscbiebung in der Zeitdomäne bedeutet :Modulation in der Fl'equenzdomäne:
1ft) I(t - a)
~
~
F(w),
F(w)e- iw".
(2.24)
Der Beweis ist tri via!.
Beispiel 2.5 ("Redr.leckJunktion ").
1ft) ~
{IoSOllst [ih' - T/2
F(w) ~ T'in(wT/2). wT/2
5, t 5, T/2
(2.25)
2.2 Thool'Cllle und Sätze
Jetzt verschieben wir das Rechteck f(t) um a = T/2 damit (siehe Abb. 2.8):
-+
43
g(t) lind erhalten
(2.26) ~T
sin(wT/2)
wT/2
(cos(wT/2) - is;',(wT/2)).
f(tl
g(tl
T
T
+~
R.o)F(w)}
Re{G(wl)
w
w
w
w
Im{F(w))
IF(wll
IG(wll
w
w
Abb. 2.8. "Rechteckfunktion", Realteil, Imngilliirtcil, Betrag der F'ouriertransformierten (links von oben nach u.nten); dasselbe für die um T/2 nach rechts verschobene "Rechteckfunktion" (rechts von oben nach unten)
44
2 Kontinuierliche FouriertrallSfOl'lnatioll
Der Realteil wird also moduliert mit cos(wT/2). Der Imaginärteil, der vorher 0 war, ist jetzt von 0 verschieden und "ergänzt" den Realteil gerade so, daß lF(w)1 unveriindert bleibt. Gleichung (2.24) beinhaltet ja "nur" einen Phasenfaktor e- i "''', der bei der ßetragsbildung irrelevant ist. Solange Sie sich nm das "Power"-Spektrum ansehen, können Sie die Funktion f(t.) auf der Zeitachse verschieben, wie Sie wollen: Sie merken nichts davon. In der Phase der Polardarstellung finden Sie die Verschiebung allerdings wieder: _ Imaginärteil __ sin(wT/2) _ _ ( I) tan'P R ea 1'1 tan wT 2 tel cos (TI w 2) -
(2.27)
oder 'P = -wT/2. Lassen Sie sich nicht dadurch stören, daß die Phase 'P übel' ±1l" /2 hinausläuft.
2.2.3 Der 2. Verschiebullgssatz Wir wissen schon: eine j'vloclulation in der Zeitdomäne bewirkt eine Verschiebung in der F'rcquenzdomäne:
1(')
~
F(w),
f(l)e-i"'Qt ..... F(w \~Ier
+ wo).
(2.28)
lieber reelle j'v1odulationen bat, der k.:'lnn auch schreiben:
"T(I() . w ) _ F(w + wo) + F(w - wo) r t cos ol 2 ' (2.29)
PT(I(')' ,) SItlWo
. F(w
=1
+ wo) -2 F(w - wo) .
Dies folgt sofort aus der EulcrschCll Identität (1.22).
Beispiel 2.6 ("Rechleckfunkl'ion").
1(') ~
{Io
flj,. -
sonst
TI2 0, das langsam ausklingt. In der Tat, der Einfluß der Stufe wird für größere Zeiten immer mehr an Bedeutung verlieren, d.h.:
~erfc (-"_ -'-) ~ 1 2 /27./2
.. a2 fur t» - , 7
(2.41)
und cs blcibt nur die unvcränderte Exponentialfunktion e-I/"I" übrig, allerdings mit dem konstantcn Faktor 0+".2/ 2 "1"2 versehcll. Dieser Faktor ist stets> 1, weil immer etwas mehr "Geröll" von oben herab kommt als bergauf geschüttet wird. Wir bc\veisen nun den üußel'st wichtigen Faltullgssatz:
f(') 9(')
F(w), G(w), h(') ~ f(') 0 g(') ~ H(w) ~ F(w) . G(w), ~ ~
(2.42)
d.h., aus dem Falttt7tgS'integral wird durch FouriertrausfOl'mation ein Prodl1kl. von Fouriertransformierten.
Beweis (Faltungssatz). H(w)
JJ ~J [j ~
f(()g(t - ()d( x c-;w'd'
f(Oe-;W'
r
~
F(w) x G(w).
9(' - Oe-;wIteilung). Wir falten eine Gauß-Funktion mit a, mit einer zweiten Gauß-Funktion mit a2. Da die Fouriel'transfol'mierten wieder Gauß-Funktionen sind - diesmal mit ai und im Zähler des Exponenten - folgt sofort, daß a~C>l"",t = ai + gilt. Wir erhalten also wieder eine Gauß-Funktion mit geometrischer Addition der ßreiten al und a2.
ai
ai
2.3.2 Kreuzkorrelation Manchmal möchte man wissen, ob eine gemessene Ftlllktion f(t) irgendetwas gemeinsam hat mit einer anderen gemessenen Funktion g(t). Hierfür ist die Krellzkorrelatiol1 ideal geeignet.
Definition 2.4 (Kreuzkorrelation).
J +00
h(t)
~
r(()g(t
+ Od( "J(t) * g(t}.
(2.48)
-00
AuilJassen: Hier steht ein Pluszeichen im Argument von g, man spiegelt also g(t) nicht. Für gerade Funktionen g(t) ist dies allerdings irrelevant. Der Stern * bedeutet konjugiert komplex. Für reelle Funktionen brauchen wir ihn nicht weiter zu beachten. Das Zeichen * bedeutet Kreuzkorrelation und ist nicht mit ® für Faltung zu verwechseln. Die J(reuzkorrelation ist assoziativ und distributiv, aber nicht konllnutativ. Das liegt nicht nur an dem Konjugiert-Komplex-Zeichen, sondel'll vor allem an dem Pluszeichen im Argument VOll g(t). Natürlich wollen wir das Inlegral ill der KreuzkOl'relation durch Fouriertransformation in ein Produkt überführen. J(t) ~ F(w}, g(t) ~ G(w), h(t) ~ J(t} * g(t) ~ H(w) ~ F'(w)G(w).
(2.49)
Beweis (Fouriedmnsfo1ination de1' f(reuzko1iY!lation).
H(w)
JJ ~J [j ~J
g(t
= F'(w)G(w).
0
~
j'(()g(t
r(O
+ ()d(
x e-iW'clt
+ oe-iW'clt]
L Verschiebungssatz mit
j'(()G(w)eiW'd(
~
cl(
= -a
(2.50)
2.3 Palwllg, Kreuzkol'locJation, Auwkol'reJation, Parsevals Theorem
57
Die Interpretation von (2.49) ist einfach: wenn die spektralen Dichten von
f(t) und q{t) gut zueinander passen, d.h. viel gemeinsam haben, so wird H(w) im Mittel groß werden und die Kreuzkorrelation h{t) im Mittel ebenfalls groß sein. Anderenfalls würde F{w) z.B. klein sein, wo G*(w) groß ist und mngekehrt, so daß für das Produkt H{w) nie viel übrig bleibt. Damit wäre auch h(t) klein, d.h., es gibt nicht viele Gemeinsamkeiten zwischen f{t) und q(t}. Ein vielleicht etwas extremes Beispiel ist die Technik der "Lock-in-Verstärkung", mit der man kleinere Signale, die tief im Rauschen vergraben sind, doch noch nachweisen kann. Dazu moduliert man das r-,'leßsignal mit der Anregungsfrcquenz, detektiert einen extrem schmalen Spektral bereich Voraussetzung ist, daß da.'> gewünschte Signal auch Spektralkomponenten in genau diesem Spektralbereich hat - und nützt zusützlich hüufig noch die Phaseninformation aus. Alles, was nicht mit der Arbeitsfrequenz korreliert, wird verworfen, nur die Rauschleistung im Bereich um die Arbeitsfrequenz stört noch.
2.3.3 Autokorrelation
Die Autokorrelationsfunktion ist die Kreuzkorrelation der Funktion f(t) mit sich selbst. r"lan mag sich fragen, wozu es gut ist, die Gemeinsamkeiten von f(t} mit f(t} abzufragen. Die Autokorrelationsfunktion scheint aber viele Leute magisch anzuziehen. Man hört häufig die Meinung, daß ein stark verrauschtes Signal durch Bildung der Autokorrelationsfunktion erst richtig schön wird, d.h., das Signal-zu-Rausch-Verhältnis wird dabei stark verbessert. Glauben Sie davon kein \Vort! Gleich werden Sie sehen warum.
Definition 2.5 (Autokorrelation).
h(t)
~
J
r({)/(,
+ ')eI,.
(2.51)
Wir erhalten:
I(t) ~ F(w). !>(t) ~ I(t) * I(t) ~ H(w) ~ F"(w)F(w) ~ lF(w)I'·
(2.52)
58
2 Kontinuierliche FouriertrallSfOl'lnaLioll
\~ir können also entweder die Fouriertransformierte F(w) von einer verrauschten FUnktion f(t) nehmen lUld uns übel' das Rauschen in F(w) ärgern. Oder wir bilden zuerst die Autokorrelationsfunktion h(t) aus der FUnktion f(t) und freuen uns über die Fouriertransformierte H(w) der Funktion h(t). In der Regel sieht H(w) in der Tat viel weniger verrauscht aus. Statt den Umweg über die Autokorrelationsfunktion zu nehmen, hätten wir aber auch gleich das Betragsquadrat von F(w) nehmen können. Jeder weiß, daß eine quadratische Darstellung in der Ordinate immer gut ist für die Optik, wenn man ein verrauschtes Spektrum "aufpäppeln" will. Die großen Spektralkomponenten wachsen beim Quadrieren, die Kleinen werden noch kleiner (vgl. Neues Testament, :Matthäus Kap. 13 Vers 12: "Dem, der hat, dem wird gegeben, und dem, der nichts hat, wird auch noch das genommen, was er hat."). Es ist aber doch klar, daß wir mit dem Quadrieren am Signal-zuRallsch-Verhältnis nichts ändern. Die "bessere Optik" bezall1en wir außerdem mit dem Verlust der Linearität. \~ozu ist die Autokorrelation dann gut? Ein klassisches Beispiel kommt aus der Femtosekundenmeßtechnik. Eine Femtosekunde ist eine billiardstel Sekunde, keine besonders lange Zeit. Man kann heute Laserpulse erzeugen, die so extrem kurz sind. \~ie kann man solch kurze Zeiten überhaupt messen? IVlit elektronischen Stoppuhren kommt man in den Bereich von 100 PicoS€kunden, also sind diese "Uhren" 5 Größenordnungen zu langsam. Es geht mit Feinmechanik! Das Licht legt in einer Femtosekllnde einen Weg von ca. 300 Nanometer zurück, das ist ca. 1/100 Haardurchmesser. Man kc'lnn heute Positioniereinrichtungen mit Nanometer-Genauigkeit kaufen. Der Trick: mall teilt den Lasel'puls in zwei Pulse auf, läßt die beiden Pulse über Spiegel geringfügig verschiedene Wege laufen, und vereinigt sie danach wieder. Detektiert wird mit einer "optischen Koinzidenz", das ist eiu nichtlinearcs optisches System, das nur anspricht, wenn beide Pulse überlappen. Verändert man nun den Laufweguntel'schied (mit der Nanometerschl'uube!) so "schiebt" man den einen Puls über den anderen, d.h., man macht eine Kl'euzkorrelation des Pulses mit sich selbst (für die Puristen: mit seinem genauell Abbild). Das ganze System heißt Autokorrelator.
2.3.4 Parsevals Theorem Die Autokorrelationsfunktion ist noch zu etwas anderem gut, nämlich zur Hcrleitung von Parscvals Tht.'Orelll. Wir starten von (2.51), setzeu speziell t = 0 ein, und erhalten Parsevals Theorem:
1>(0)
~
.!
If(OI2d(
~ ~.! IF(w)1 2dw.
(2.53)
Das zweite Glcichheits:teichen bekommen wir durch die RücktrallsfonnaHon VOll IF(w)1 2 , wobei für t = 0 ei",t = 1 wird.
2.4 FourienmnsfOl'lnation
VOll
Ableitungen
59
Gleichung (2.53) besagt, daß der "Informationsgehalt" der Funktion f(~) definiert als Integral über deren Betragsquadrat - genau so groß ist wie der "Informationsgehalt" ihrer FOUl'iertransformiertell F(w) (genauso definiert, aber mit 1/(271")!). Das wollen wir gleich mal an einem Beispiel nachprüfen, nämlich unserer vielbenützten "Rechteckfunktion"!
Beispiel 2.11 ("Rechteckfnnktion"). f(t)~{lm,. -T/2StST/2 osonst ViiI' erhalten:
J +00
J
+T12
If(t)I'dt
~
-00
dt
~T
-T12
und andererseits:
J +00
1 2;r
-00
F( ) ~ T'in(wT/2) I· w wT/2 ,a so
T2 IF{w)1 2dw = 2
2;r
J J (Si:") +00
[Sill(WT/2)] dw wT/2
0
T2 2
=2-2rr T
2
+00
(2.54)
,
dx=T
o
mit x:= wT/2. Daß bei Parsevals Theorem das Betragsqlladrat VOll f(t) und von F(w) vorkommt, ist leicht einsichtig: alles was von 0 verschieden ist, trägt Information, gleichgültig ob negativ oder positiv. \Vichtig ist das "Power"-Spektrlllll, die Phase spielt keine Rolle. Natürlich können wir Parsevals Theorem zur Berechnung VOll Integralen verwenden. Nehmen \vir einfach das letzte Beispiel mit der Integration über (Si~X/. Hierzu brauchen wir eine Integraltafel, wo-hingegen die Integration über die 1, also die Bestimmung der Flüehe eines Quadrates, elementar ist.
2.4 Fouriertransformation von Ableitungen Bei der Lösung von Differentialgleichungen kann mall sich häufig das Leben leichter machen durch Fouriertransfonnation. Aus der Ableitung wird einfach ein Produkt:
f(tl ~ F(w). f'(t) - iwF{w).
(2.55)
60
2 Kontinuierliche FouriertrallSfOl'lnatioll
Beweis (Fou1'iertmnsjo7'1nation von Ableitungen nach t).
FT(f'(t))
~
J +00
!'(t)c-;W'dt
~ /(t)c-;w'I~:::: -
J +00
(-iw)
-00
/(t)e-;W'dt
-00
partielle Integration = iwF(w).
0
Der erste Term bei der partiellen Integration fällt weg, da jet) ----t 0 geht für t ----t 00. Anderenfalls wäl'e f(t) nicht integrabel~. Das Spiel läßt sich fortsetzen:
PT (d~~,~t)) ~
(iw)" F(w)
(2.56)
Für negative 11. könllen wir die Formel aueh zum Integrieren verwenden. Wir könncn auch die Ableitung eincr Fouriertransformiel'ten F(w) llach der Frequenz weinfach formulieren:
dF(w) dw
~ -iFT(t/(t)).
(2.57)
Beweis (Fomie1"tmnsjo7'1nation von Ableitungen nach w).
~
-iFT('/(t)).
0
Ein schönes Beispiel für den Einsatz der Fouriertransformation gibt Wea·
ver [2],
Beispiel 2.12 (Wellengleichung). Die \Vellengleichuug: d 2 u(x,t) 2 d2u (x,t) dt2 = c dx 2
(2.58)
läßt sich durch eine Fouriertransformation in der Ortsvariablen 1I1 eine Schwillgungsgleichung umwandeln, die viel einfacher zu lösen ist. Wir setzen:
J +00
U({,I.)
~
n(x,t)e-;'"dx.
-00
[, D.h. nicht (Lebcsgue- )integrabel.
2.4 FourienmnsfOl'lnation
VOll
Ableitungen
61
Daraus erhalten wir:
FT
(d2~~~,t)) ~ (i()'U(UL (2.59)
zusammen also:
Die Lösung diesel' Gleichung ist:
U((,t)
~
P(() cos(c{t),
wobei P(() die Fouriertransformierte des Anfangsprofils p(x) ist:
pro
~
FT(p(x))
~
U(e 0).
Die Rücktransformation liefert zwei nach links bzw. rechts laufende Profile:
J
+00
u(x,t)
~~ 2.
pro cos(c(t)e;'"d(
-00
(2.60) =
J
1
"21J(X + ct) + "2V(X - ct).
Da wir keinen Dispersionstenn in der \Vellengleichuug hatten, bleiben die Profile erhalten (siehe Abb. 2.17).
Abb. 2.17. Zwei na.eh links bzw. rechts laufende Anfangsprofile p(x) als Lösung der Wellengleichung
62
2 Kontinuierliche FouriertrallSfOl'lnatioll
Dieses Beispiel zeigt, daß man durch die Fouriertransformation aus Differentialgleichungen (und auch Integralgleichungen) algebraische Gleichungen macben kann, die oftmals viel einfacher zu lösen sind. Das erinnert Sie vielleicht an das Logarithmieren, wobei aus Produkten und Quotienten Summen bzw. Differenzcn cntstchcn.
2.5 fußangeln 2.5.1 "Aus 1 mach 3" Zur Erheitcrung werden wir ein Kunststück vorführen: nehmen wir eine einseitige Exponentialfunktion: e-Ai, für t
f(t) = { 0
>0
sonst-
mit F(w) = _1_._ 'x+IW 1 2 lind IF(w)1 = 2 '} ,X
(2.61)
+w·
Diesc F\mktion setzten wir (vorübergehend) auf ein einseitiges "Podest": ((t) = { 1 für t. 2: 0 y 0 sonst
(2.62) . I nut G(w) = :-- .
•w
Die Fouriertransfonnierte der Heavisidescben Stufenfunktion g(t) erhalten wir aus der Fouriertransformierten für die Exponentialfunktion für ,X _ O. Wir haben also: h(t) = f{t) + y{t). Wegen der Linearität der Fomiertransformation gilt: 1
H(w) =
IH(w)l' ~
,X
1
+ iw + iw
iw
,X
= ,X2
+ w2
,X2
+ w2
W
(2.63)
2.5 Fußangeln
63
Jetzt geben wir IG(w)1 2 = 1/w2 , d.h. das Quadrat der Fouriertransformierten des Podestes, wieder zurück und haben gegenüber IF(w)1 2 einen Faktor 3 gewonnen. Und das nur durch das vorübergehende "Ausleihen" des Podestes?! Natürlich ist (2.63) korrekt. Unkorrekt war die Rückgabe von IG(w)1 2 . Wir haben den Interferenztenn, der bei der Bildung des Betragsquadrates entsteht, ebenfalls ausgeliehen und müssen ihn auch zurückerstatten. Dieser Interferenzterm macht gerade 2((>.2 + w 2 ) aus. \Vir wollen das Problem jetzt etwas akademischer angehen. Nehmen wir an, wir haben h(t) = f(t) + g(t) mit den Fouriertransformierten F(w) und G(w). \Vir benutzen jetzt die PoJarclarstellung:
F(w) ~ l!'(w)le;O' (2.64)
und
G(w) ~ IG(wMo•. Damit haben wir:
(2.65) was wegen dcr Liucarität der Fouriertrallsfonnation völlig korrekt ist. \Venn wir aber IH(wW (odcr die Wurzel daraus) berechnen wollen, so bekommen wir:
IH(w)l' ~ (l!'(w)le;O,
+ IG(wM")
(IF(w)le-;o,
+ IG(w)le-;") (2.66)
~ l!'(w)I'
+ IG(w)l' + 21!'(w)1
x IG(w)1 x cos(.Itl cos 2 iit T
°
fUI
_
T /2 ::; t ::; T /2 (3.30)
sonst
Der Ausdruck für F(w) ist trivial herzuleiten, aber zu umfangreich (und zu unwichtig), um hier wiedergegeben zu werden. Am Ausdruck für F(w) ~ wenn man ihn denn herleitet ~ fällt auf, daß es für hinreichelId großes>. zwar oszilliercnde Terme (Sinus, Kosinus), aber keine Nlillstclien mehr gibt. Wenn nur das>. groß gcnug ist, dann gibt es sogar keine lok.:"tlen !v1inima und rvlaxima mehr, und F(w) fällt monoton ab (siehe Abb. 3.6; hierfür wurde e~T am Intervallende gewählt). Bei>' = 2 hat man eine 3 dß-Bandbreite von.6w = 11,7/T. Das asymptotische Verhalten beträgt -12 dB/Oktave. Es ist also gar nicht so unsinllig, wieder eine Spitze bei t = 0 einzuführen. Trotzdem gibt es bessere FensterflluktionCIl.
82
3 Fenstel'funkt.ionen
JIt.)
[dBI
lF(w)l~
0
-20 -40 -60 T
+'2
t
-80
w
0
Abb. 3.6. Triplcu-FcllSler und .,Powcr"-Darstcllullg der Fouricrtrallsformicrtcn
3.7 Das Gauß-Fenster Eine sehr naheliegende Fensterfunktion ist die Gauß..-l-Unktion. Sie irgelldwo abschneiden zu müssen lind damit ein kleines "Stüfchell" zu produzieren, schreckt. uns nach den Erfahrungen mit. dem Hammiug-Fenst.er nicht. mehl'.
R0-
exl' {
(-~
t:)
2a
o
fiu' -T/2';
t,; +T/2
.
(3.31)
sonst
Die Fouriertransformierte laut.et: F(w) =
(1
r;, "( -e-~ 2
(ia'W' + -T') + erfc (i"'W' +-+ -T')) . J2 J2
erfc - - -
802
80"2
(3.32)
Da die Error-FunktiOlI zwar mit komplexen ArgullIenten vorkollllllt, aber zusammen mit. dem konjugiert komplexen Argument., ist F(w) reell. Die F\mktion f(l) mit. (f = 0,33 ulld IF(wW ist. in Abb. 3.7 dargestellt.. Für dieses er erhält man -55 dB "Sidelobe"-Unterdrückung bei -6 dß/Oktave asylllptot.ischem Verhalt.en und einer 3 dB-Bandbreit.e von 6.w = 1O,2/T. Nicht. schlecht, aber es geht. besser.
[dBI lI'(w)['
Rt)
o -20 -40
-60
-, T
+'[2 t
-80
o
Abb. 3.7. Cauß-Pcllster und "Power"-DarstclJung dcr Fouricrtransforlllicrten
w
3.8 Das Kaiser-ßessel-Fenster
83
Daß eine Gauß-Funktion beim Fourier-transformieren wieder eine GaußFunktion ergibt, gilt nur ohne Abschneiden! \Venn (j hinreichcnd groß wird, vcrschwinden dic "Sidelobes": die Oszillationen wandern auf der Flanke dcr Gauß-Funktion "hinauf'.
3.8 Das Kaiser-Bessel-Fenster Das Kaiser-Bessel-Fenster ist ein sehr brauchbares und variabel einsctzbares Fenster: /0
1(')
~
{
Hierbei ist
(NI
(2t/T)')
/ 0 (ß)
°
fiu' - T/2 'S ''S T/2
(3.33)
SOllst
ß ein frei wählbarer Parameter. Die Fouriertransformierte lautet:
fü'ß?: F(w)
~
~ s;u (Jqc- -(f') Io(ß)
j w7 z _ ß2
I"il (3.34)
fü'ß'S
I"il
Io(x) ist die modifizierte ßessel-Funktion. Ein einfacher Algorithmus Gleichungen 9.8.1, 9.8.2] zur Berechnung von Io(x) lautet: lo(x) = 1 + 3,5156229t2 + 3,0899424t 4 + 1,2067492t6 + O,2659732t S + O,0360768t 10 + O,0045813t 12 + t,
Itl < 1,6 x
10- 7
mit t = x/3,75, für das Intervall - 3,75::; x::; 3,75, bzw.
x l / 2 e-O: Io(x) = 0,39894228 + O,01328592t- 1 + 0,00225319t- 2 - O,00157565t- 3 + O,0091628lt-,j - O,02057706t- 5 + O,02635537t- Ü - O,OI647633t- 7 + O,00392377t- 8
+"
IEI < 1,9 x 10- 7
mit t = x/3,75, für das Intervall 3,75::; x
< 00.
[7,
84
3 Fenstel'funkt.ionen
Die Nullstellen liegen bei w 2 r 2 /4 = [2 1r2 + ß2, l = 1,2,3,... , und sind nicht äquidistunt. Für ß = 0 erhält man das Rechteckfenster, Werte bis ß = 9 sind empfehlenswert. In Abb. 3.8 sind f(t) und IF(wW für verschiedene Werte von ß dargestellt. fit)
[dn) [F(wW
o -20
'
-'10~'''''' -60
+ !,
-~
I
_80 LL.L.LLL-Y--'--LLLL-,-,
w
[dll) [F(wlI 2
/(1)
o -20
-60
+!,
_I,
I
,/(1)
-80 L - - , 0 ; - - - - " ' w ' [dn) [F(w)12
o -20
-60
="'----r--'==o w
-80 LlJ
[dill [F(wW
/(t)
o -20
-60
fit)
+t
I
-80
o
w
[dB) [F(wW
o -20 -,10
-~
-60 _80L..dllllL.,..JIImlI....~,
o
w
Abb. 3.8. Kaiser-Sessel-Feilster für ß = 0,2,4,6,8 (links); die dazugellörige "Powel"'-Darstellung der Fouriertrunsformiert.en (n;chts)
3.9 Das ßlackman-HalTis-Fenster
85
Die "Sidelobe"-Unterdrückung sowie die 3 dB-Bandbreite als Funktion von ß sind in Abb. 3.9 dargestellt. i\'[it dieser Fensterfunktion erhält man für ß = 9 -70 dB "Sidelobe"-Unterdrückung bei .6.w = 11/T und bei -6 dB/Oktave asymptotischem Verhalten fernab vom zentralen Peak. Das Kaiser-Bessel-Fenster ist dem Gauß-Fenster also in jeder Beziehung überlegen.
.6.wT 12 10
8
61:----4 2
o+--+--+--+-t--+--+--+--+-t-----oo
1
234
5
6
789
[dBJ
ß
-70
-60 -50
-40 -30 -20
_1OL.---
o+--+--+--+-t--+--+--+--+-t-----oo
23456
789
ß
Abh. 3.9. 3 dß-Bandbreite (oben); "Sidelobe"-Unterdrückung für Kaiser-BesselParameter ß = 0-9 (unten)
3.9 Das Blackman-Harris-Fenster \:Ver keine Flexibilität wünscht und mit einer festen und großen "Sidelobe"Unterdrückung arbeiten möchte, dem empfehle ich die folgenden zwei sehr effizienten Fenster, die auf Blackman und HaITis zurückgehen. Sie haben den Charme der Einfachheit: sie sind aus einer Summe von viel' Kosinus-Termen wie folgt zusammengesetzt:
[(tl
~
t {o
(t"
cos
2;'t fU! - T/2:5 t:5 T/2 (3.35)
,,~o
SOllst
86
3 Fenstel'funkt.ionen
Bitte beachten Sie, daß wir hier eine Konstante, einen Kosinus-Term mit einer vollen Periode, sowie weitere Terme mit zwei und drei ganzen Perioden haben, im Gegensatz zum Kosinus-Fenstel' von Abschn. 3.3. Die Koeffizienten haben dabei folgende Werte:
°0
a, a,
°3
für -74 dß 2
für -92 dB
0,40217 0,49703 0,09392 0,00183
0,35875 0,48829 0,14128 0,01168
(3.36)
Ihnen ist sicher aufgefallen, daß sich die Koeffizienten für das -92 dßFenster zu 1 addieren; an den Intervallgrenzen sind die Terme mit 00 und U2 positiv, während die Tenne mit a, und a3 negativ sind. Die Summe der geraden Koeffizienten minus der Summe der ungeraden Koeffizienten ergibt 0,00006, d.h., es gibt ein sehr "sanftes Anschalten" mit einem sehr kleinen "Stüfchen". Es handelt sich also nicht um ein c.xaktes BlackmanHaiTis-Fenster, bei dem definitionsgemäß kein "Stüfchcn" auftreten darf. Für das hier angegebene -74 dB-F'enster ist dies ebenfalls nicht exakt der F'all (auch nicht mit den in der Fußnote angegebenen Werten); es ist also auch kein exaktes Blackman-Harris-Fenster. Die Fouriertransformierte dieses Fensters lautet:
TLa,,(-l)" ' F(w)=Tsin~
(1
1)
(3.37) TT . 2 2nlT+W 2nlT-W ,,=0 Keine Angst, die Nullstellen der Nenner werden durch NullstelIen des Sinus gerade "geheilt" (I'Hospitall). Die NullstelIen der FOlll'iertransfonnierten = 0 gegeben, also wie beim Hanning-Fenster. Die 3 dBsind durch sin Bandbreite beträgt D.w = 10,93/T bzw. 11,94/T für das -74 dB- bzw. das -92 dB-Fenster, ganz ausgezeichnete \Verte für die Einfachheit der Fenster. Ich vermute, die Reihenentwicklung der modifizierten Bessel-Funktion Io(x) für die passenden Werte von ß liefert ziemlich genau die Koeffizienten der Blackman-Harris-Fenster. Da diese Blackman-Harris-Fenstel' sich nur noch sehr wenig von den Kaiser-Bessel-Fenstern mit ß::::: 9 bzw. ß::::: 11,5 (das sind die \Verte bei vergleichbarer "Sidelobe"-Unterdrückung) unterscheiden, verzichte ich hier auf Abbildungen. Das asymptotische Verhalten beträgt für beide Blackman-Harris-Fenster -12 dß/Oktave. Das Blackman-Harris-Fenster mit -92 dB hat in Abb. 3.10, die nur bis -80 dB geht, allerdings keine "sichtbaren Füßchen" mehr.
wr
2
In der Originalarbeit von Harris [61 ist. die SUllllTlC der Koeffi7.iellt.en UIll 0,00505 kleiner als 1. Es IlIUSS also ein Druckfehler vorliegen. Mit dem obigeIl Koeffi:dentensalz ist die "Sidelobe"-Uuterdrückuug deutlich schlechter als -74 dS. Wenn mun Ul = 0,49708 und a2 = 0,09892 (oder a2 = 0,09892 und Q'3 = 0,00188) nimmt wcrden -74 dB erreicht. Dann ergibt die Summe der Koeffizienlen gerade I. Vielleicht gab es im Jahr 1978 noch Übertragungsprobleme beim Tippen des ~v[anuskripts: die Ziffer 8 wurde als 3 gelesen?
3.10 Überblick iiber die Fensterfunktionen
3.10 Überblick über die Fensterfunktionen
-----L-
'lI~~f"(",)~
"'_,_1_""",
~ -t
L -f
.i
-"
Rechteckfellstel'
-., -., -0
" , '"~~'''''
-" _w I
-oo -oo
Drck"Ckfcllster
,
,
;~"'"
-" -w
-oo
+t
I
-w
,
,
";[JL"W -" •
·
-0
,
.,
-0
"
Hanning-Fenster
,
';~"'"
·
Kosinus-Fenstcr
Hmnming-Fcnster
,
Triplctt.-Fcnstcr
"~CD."'"
-"
_w
Cauß-Fcnster
-oo
"
,
-w
";LiL"" -" -oo -.,
"
Kaiser-Bessel-Fellster
,
Abb. 3.10. Überblick über die Fensterfunktionen
87
88
3 Fenstel'funkt.ionen
Damit dieses Kapitel auch mit Leben erfüllt wird, hier ein einfaches BeispieL Gegeben sei folgende funktion:
+ 10- 2 cos 1,15wt + 10- 3 cos 1,25wt + 10- 3 cos 2wt + 10-.1 cos 2,75wt + 10- 5 COS 3wt.
f(t) = coswt
(3.38)
Neben der dominanten Frequenz w gibt es zwei Satelliten bei 1,15 und 1,25 mal w sowie zwei Oberwellen - die Hochfrequenztcchniker sagen 1. und 2. Harmonische - bei 2w und 3w sowie eine weitere Frequenz bei 2,75w. Diese Funktion wollen wir Fourier-transformieren. Bedenken Sie, daß wir uns gleich die "Power"-Spektren ansehen \verden, also die Amplituden quadriert! Die Vorzeichen der Amplituden spielen also keine Rolle. D.h., wir erwarten neben der dominanten Frequenz, die wir mit 0 dS Intensität angeben wollen, weitere spektrale Komponenten mit Intensitäten von -40 dB, -60 dS, -80 dS und -100 dS. Abbildung 3.1 I zeigt, was bei dem Einsatz verschiedener Fensterfunkti0nen herauskommt. Für die Puristen sei angemerkt, daß wir natürlich die diskrete Fouriertransformation, die wir erst im nächsten Kapitel behandeln, verwendet haben, aber Linienplots zeigen (wir haben 128 Datenpunkte verwendet, die Daten mit Nullen aufgefüllt, gespiegelt, und insgesamt 4096 IllputDaten venvendet; jetzt können Sie es nachmachen!). Die zwei Satelliten nahe der dominanten Frequenz machen die Hauptprobleme. Zum einen brauchen wir eine rensterfunktion, die eine gute "Sidelobe"-Unterdrückung hat, um Signale mit Intensitäten von -40 dß und -60 dS überhaupt sehen zu können. Das Rechteckfenster leistet dies nicht! Man sieht nur die dominantc Frequenz, alles andere ist "zugcschüttet". Außcrdem braueben wir eine geringe 3 dß-Bandbreite, damit wir die um 15% höhere Frequenz überhaupt auflösen können. Dies schaffen wir mit dem Hanning- und vor allem mit dem Hamming-Fenster (Parameter (L = 0,08) ganz gut. Allerdings ist das Hamming-Fenster nicht in der Lage, die höheren spektralen Komponenten zu detektieren, die noch geringere Intensität haben. Dies liegt am schlechten asymptotischen Verhalten. Nicht viel einfacber ist es mit der Komponente, die 25% höher liegt, da sie nur -60 dB Intensität hat. Hier schafft es das ßlackman-Hanis-Fenster mit -74 dß so gerade eben. Die drei anderen, noch höheren spektralen Komponenten sind zwar sehr schwach, aber weitab von der dominanten Frequenz und daher problemlos detektierbar, sofern nur die "Sidelobes" in diesem Spektralbereicb nicht alles zuschütten. Dies schaffen interessanterweise Fensterfunktionen mit schlechter "Sidelobeu-Unterdrückung, aber gutem asymptotischen Verhalten wie das HanningFenster, ebenso wie Fensterfunktionen mit hoher "Sidelobe"-Unterdrückung und schlechtem asymptotischen Verhalten wie die Kaiser-Bessel-Fenster. Das Kaiser-Bessel-Fenster mit dem Parameter ß = 12 ist ein Beispiel dafür (da. voraussetzen, erfordert IN = 10. Im zweiten dem falschen - Beispiel hätten wir 10 zweimal nebeneinander (und außerdem 1.1 überschrieben, was sicherlich eine "Todsünde" wäre).
4.1.2 Das Kronecker-Symbol oder die "diskrete o-Funktion" Bevor wir uns an die Definition der diskreten Fouriertransformation (Hin- und Rücktransformation) machen, ein paar Vorbemerkungen. Aus dem Ausdruck e i :..>', bei der kontinuierlichen Fouriertransformatioll wird für diskrete Zeiten tk = k~t, k = 0, 1, ... , N - 1 mit T = N LJ.t: 'l
.~
21!:.l..1L.:1.j
e ' :..> -+el---r- =e~
22l:.i.!< =e---W-
k
=\V,.-,.
(4.4)
Dabei ist der "Kern":
IWN=e~1
(4.5)
eine schI' nützliche Abkürzung. Gelegcntlich bcnötigen wir auch die diskreten
4.1 Diskrete
Fou]"ie]"~rallsforlllation
95
Frequenzen: Wj ~
2rrjj(Nf1t),
(4.6)
die zu den diskreten Fourierkoeffizienten Fj (siehe unten) gehören. Der Kern HfN hat folgende Eigenschaften: für alle ganzen n, (4.7)
W N ist periodisch in j und k mit der Periode N. Eine sehr nützliche Darstellung von HfN erhält man in der komplexen Ebene in Form eines "Zeigers" im Einheitskreis (siehe Abb. 4.2).
imaginäre Achse
W'8 WO8
W'8
reelle Achse
He'8 Abb. 4.2. Darstellung
VOll
IV; in der komplexen Ebene
Die Projektion des "Zeigers" auf die reelle Achse ergibt cos(2rrn/N). In Analogie zum Zifferblatt einer Uhr k.:,nn man z.B. \vg als ,,3.00 Uhr" oder \v: als ,,9.00 Uhr" bezeichnen. Jetzt sind wir in der Lage, die diskrete ,,0Funktion" zu definieren: N-l
"lv(J.·-k')j
L
'YN
\"
= ! Uk.k'·
(4.8)
j=O
Hier bedeutet
O~·.k'
das Kronecker-Symbol mit der Eigenschaft: (4.9)
Dieses Symbol (mit Vorfaktor N) erfüllt die gleichen Aufgaben, die die o-I?i.lIlktion bei der kontilmierlichen Fouriertransfonnation hatte. Gleichung (4.9) besagt nichts anderes, als daß wir bei einem komplctteu Umlauf des Zeigers 0 herausbekommen, wie wir durch einfache Vektoraddition der
96
4 Diskrete Fouriertransformat.iOll
Zeiger in Abb. 4.2 sofort einsehen können, es sei denn, der Zeiger bleibt bei ,,3.00 Uhr" stehen, was bei k = k' erzwungen wird. In diesem Fall erhalten wir N, wie Abb. 4.3 zeigt.
w~·o
WO· 7
W~-I
Abb. 4.3. Für N
-+
8
co (nur in Gedanken) schen wir die Analogie zur o-Funktion
besonders deutlich
4.1.3 Definition der diskreten Fouriertransformation Wir wollen nun den spektralen Gehalt {Fj } der Reihe {A} über die diskrete Fouriertransformation bestimmen. Dazu müssen wir in der Definition der Fourierreihe:
J
+T/2
Cj
=
~
f(t)e-hijt/Tdt
(4.10)
-T/2
mit f(t) periodisch in T den Übergang machen:
(4.11)
.
Im Exponenten kommt k/~ I~ vor, d.h., fit kürzt sich heraus. Im Vorfaktor kommt das Samplingraster f:J.t vor, so daß sich insgesamt der Vorfaktor f:J.t/T = f:J.t/(Nf:J.t) = 1/N ergibt. Wir haben beim Übergang von (4.10) nach (4.11) stillschweigend die Intervallgrenzen von -T/2 bis +T/2 nach 0 bis T verschoben, was zulässig ist, da wir über eine ganze Periode integrieren und f(t) als periodisch in T vorausgesetzt wurde. Die Summe muß bei N - 1 enden, weil bei diesem Samplingpunkt plus f:J.t die Illtervallgrenze erreicht ist. Wir erhalten also für die diskrete Fouriertransformation:
Definition 4.1 (Diskrete Fouriertransformation). I
N-I
'\'
,
Fj=NLikW,v'J k=O
(4.12)
4.1 Diskrete
97
Fou]"ie]"~rallsforlllation
Die Rücktransformation oder ,inverse Fouriertransformation lautet: Definition 4.2 (Diskrete inverse Fouriertransformation). N-l
h=LFjWt~"i mit
WN=e 21ri (N.
(4.13)
j=O
Bitte beachten Sie, daß bei der inversen Fouriertransformation kein Vor~ faktor 1/N existiert. An dieser Stelle eine kleine ·Warnung. Häufig findet man anstatt (4.12) und (4.13) auch Definitionsgleichungen mit positiven Exponenten für die Hintransformation und mit negativen Exponenten für die Riicktransfomwtion (z.B. in "Numerical Recipes"). Für den Realteil von {Fj } hat dies keine Bedeutung. Allerdings wechselt der Imagilüirteil von {Fj } das Vorzeichen. Wegen der Konsistenz zu den früheren Definitioncn für FourielTeiben und der kontinuierlichen Fouriertransformation wollen wir bei den Definitionen (4.12) und (4.13) bleiben und lIliS daran erinncrn, daß z.B. ein negativer, rein imaginürer FourierkoefFizient fj zu einer positiven Amplitude einer Sinus~ 'NeUe gehört (bei positiven Frequenzen), da aus i von der Hintrallsformation multiplizicrt mit i von der Rücktransformation gerade ein Vorzeichc1l\vechscl i2 = -1 entsteht. Hiiufig fehlt auch der Vor faktor 1/N der Hintransfonnati~ Oll (z.8. in "Numerical Recipes"). In Anbetracht der Tatsache, daß Fo gleich dem rvIittelwert aller "Sampels" sein soll, muß der Vorfaktol" 1/N abc!' dort auch wirklich stehenbleiben. Wie wir sehen werden, wird auch "Parsevals Theorem" uns dafür danken, daß wir mit unserer Definition der Hintransformation sorgsam umgegangen sind. ?I'lit Hilfe der (4.8) können wir uns sofort davon überzeugen, daß die Rück transformation (4.13) korrekt ist:
L
N~l
!k
=
j=O
l=jWt kj
L
N~l
=
N-l
~ L h,WNk'jWt~j
j=O
k'=O
(4.14)
Bevor wir weitere Sätze und Theoreme behandeln, ein paar Beispiele, die die diskrete Fouriertransformation illustrieren.
Beispiel 4.1 ("Konstante" mit N = 4).
h
= 1
für k = 0, 1,2,3.
10
h
h
98
4 Diskrete Fouriertransformat.iOll
Für die kontinuierliche Fouriertransformation erwarten wir eine 6-Funktion mit der Frequenz w = O. Die diskrete Fouriertransformation wird also nur Fo t' 0 ergeben. in der Tat erhalten wir mit (4.12) - oder noch viel intelligenter mit (4.8):
Fo = t4 = 1
F I =0 F2 = 0
1
F 3 =0.
F, F2 F':J keinen Imaginärteil. Die
Da Ud eine gerade Folge ist, enthält Rücktransformation ergibt:
!k
= 1 cos (
2r.~0)
•
für k = 0, 1,2,3.
= 1
I
;=0
Beispiel
4.2 ("Kosinus"
10 j,
h
~ ~
mit N = 4).
r-""
1
0
~-1
h~
O.
Wir erhaltcllllJit (4.12) und
Fo = 0
H~l =
i:
(Mittelwert = O!)
F,
~ ~(I + (-1)(
1'2
~
.(1
F3
~
.(1 + (-1)(,,21.00 Vh,")
1
1
·············.l/········
. . . . . -;
.,9.00 Vh,")
+ (-1)(,,15.00 Vh,''')
~ ~(I + (-1)(-1») ~ ~ ~
.(1
1
+ (-1)J)
~
0
1
+ (-1)(-1))
~
2'
~.(1
1
Ihnen ist sicherlich aufgefallen, daß wir aufgrund des Minuszeichens im Exponenten in (4.1Z) im "Uhrzeigersinn" bermuhlufen. Diejenigen, die dort lieber ein Pluszeichen haben, sind vielleicht "Bayem ", denen man nachsagt, daß bei ihnen die Uhren andersherum gehen (solche Uhren kann lIlan in SOllvenirläden tatsächlich kaufen). Demnach "ticken" alle nicht "richtig", die in (4.12) ein Pluszeichen verwenden! \\Tas bedeutet F3 = 1/2? Sollte denn außer der Grundfrequenz Wl = 21r x 1/4 x At = r./(Zf:::,.t) noch eine andere spektrale I' Tag")} )
Uhr niichster Tag")})
-1 -12 -
" 2 4 C(j = _I 2 1 12 C 7 = -+2 4 also: 1 {I, -2 { G,')
~
wegen reellem Input,
+ 122 , 4
1 1 -2 , -2 _
2 , 12 4
0
~ _ 12 ~ ~ + v'42} . 4' 2' 2
, 2
Für das Produkt erhalten wir {Hj} = {FjC j } = {1/2, O. 0, 0, 0, 0, 0, O}, wie es flil' die Fouricl't.ransformierte sein sollte. Hätten wir den Faltungssatz von Anfaug an crnst gcnomrnen, dann hütte die Bercchnung von Co (~llit· telwert) lind G'l bei der Nyquist-Frequenz völlig ausgereicht, da. alle anderen Fj = 0 sind. Die Tatsache, daß die Fouriertransformierte der Auflösungsfunktion für die Nyquist·Fl:equenz 0 ist, besagt ja geradc, daß mit diescr Auflösungsfunktion Oszillationen mit der Nyquist-Frequeuz nicht mehr aufgenommen werdcn können. \Vir hattcn aber als Input nur die Frequenz 0 und die Nyquist-Frcquenz.
4.3.2 Kreuzkorrelation In Analogie zu (2.48) definieren wir für die diskrete Krcuzkorrelation zwischen
Ud
nnd {gd.
Definition 4.4 (Diskrete Kreuzkorrelation).
(4.25) Wenn die Indizes bei g", über N - 1 hinauslaufen, dann ziehen wir einfach N ab (Periodizität). Die Kreuzkorrelation zwischen Ud und {gd führt natürlidl zu einem Produkt ihrer Fouriertransformierten:
108
4 Diskrete Fouriertransfonnat.iOll
Ud -
{F,}, {gd - {C j }, {hel ~ {(f*g)el - {Hj } ~ {F;C j
(4.26) }.
Beweis (Diskrete Kreuzko7'7'elation). N-I
N-l
" N1 'LJ " j"/91+k W ,y kj H j = N1 'LJ k=O N-I
/=0 N-l
1 '"
"1 ' "
1=0
1.t)ciw
(4.36)
0
_1_ ~ f( _k~t)2sill (}Nyq(t + k~t) 2QNyq k=-oo (t + k~t)
Durch die Ersetzung k --+ -k (Summationsreihenfolge unwichtig) erhalten wir das Sampling-Theorem: Sampling-Theorem: f(t) =
~ L
k=-oo
f(k~t)
sin nNyq(t - kilt) j). ( k.A)· Nyq
t
~t
(4.37)
4.4 Das Sampling-Theorem
111
!I'lit anderen Worten, wir können die Funktion f(t) für alle Zeiten taus den Sampels zu den Zeiten kl:!.t rekonstruieren, vorausgesetzt, die Funktion f(t) ist "bandbreiten-limitiert". Dazu müssen wir lediglich f(kl:!.t) mit der Funktion Si~", (mit x = .!7Nyq (t - kl:!.t)) multiplizieren und über aUe Sampels sumulieren. Der Faktor ~;~"' ist natürlich gleich I für t = kl:!.t, für andere Zei~ ten fällt ~i~X ab und oszilliert langsam zu 0, d.h., f(t.) ist zusammengesetzt aus lauter (~i~")-Funktionen am Ort t = kt::..t mit der Amplitude f(kl:!.t). Beachten Sie, daß bei adäquatem Sampein mit kl:!.t = r!Ljeder k- Term in "Nyq der Summe in (4.37) den Beitrag f(kt::..t) an den Sampling-Punkten t = kt::..t liefert und 0 an allen anderen Samplillg-Punkten, wohingegen alle Terme zur Interpolation zwischen den Sampling-Punkten beitragen.
Beispiel 4.9 (SamlJling-Theorem mit N = 2).
10 ~ 1,
1
·... ...
1
~o.
\Vir erwarten:
.....................
.
. .
,,0
.
,.
Das Samplillg-Theorem sagt:
f(t) =
f
fk sin stNyq(t - kt::..t) stNyq(t - kt::..t) k=-oo mit
=
!k
= Dk·,gerade (mit periodischer Fortsetzung)
sinstNyqt flNyqt
~ sin !2NY'l(l ~ 21t::..l) ~ sin flNyq(t + 2ll:!.t) +L .l?Nyq(t 21t::..t) 1=1 flNyq(t + 21t::..t)
+L 1=1
mit der Substitution k = 2l = sinflNyqt
flNyqt
+ ~ [sin21T(~ -l) 21T(2~t-l)
1=1
mit fLNyqt::..t = 1T _ sin fLN)"'ll ilNyqt
2-. ~ ("2"h + I) sin !2Nyq t + (2kt -t) Sill fLNyqt + 2;r 1=1 (zh ~ 1) (2~t + l)
_ sin ilNyqt
+ :s;::n"fI"N"",,,"~t
-
flNY'1l
21T
2t ~ I 2l:!.t. L (_,_)2 ~ l2 1=1
2~t
(4.38)
112
4 Diskrete Fouriertransfonnat.iOll
~ sinI)N",' (1+ (I)Nyqt)\I:; flNyqt
12 ) I=l(n~t)
211"
_l2
mit [8, Nr. 1.421.3J
~
=
sin flNyqt
flNyqt
. Sill
flNyqtrr..~I)~N~"~"~'
rr--cot27T 27T
I)Nyqt-1 :::CO::S(;.;I)"N",yq';:''i/2~) 2 sin(fl Nyq tj2)
1 cos(fl Nyq tj2) 2 = 2sin(.l?Nyqtj2)cos(.l?Nyqtj2)- . (I) /) = cos (.l?N yq tj2).
2 Sill
Nyqt 2
Bitte beachten Sie, daß wir wirklich alle Summenglieder von k = -00 bis +00 benötigen! I·Jätten wir lediglich k = 0 und k = 1 mitgenommen, so hätten wir:
k =
erhalten, was nicht der Eingabe von cos2 (flNyqtj2) entspricht. Wir hätten nach wie vor J(O) = 1 und J(t = ßt) = 0, aber für 0 < t < ßt hätten wir nicht richtig interpoliert, da ja Si~.T für große x langsam ausklingt, wir aber eine periodische Oszillation, die nicht ausklingt, als Input haben wollen. Sie sehen, daß das Sampling-Theorem - ähnlich wie Parsevals Gleichung (1.50) geeignet ist, bestimmte unendliche Reihen aufzusummieren. \Vas passiert, wenn doch einmal aus Versehen zu grob gesampelt wurde und F(w) oberhalb f2 Nyq ungleich 0 wäre? Ganz einfach: die spektrale Dichte oberhalb flNyq wird "reflektiert" auf das Intervall 0 :5 w :5 flNyq, d.h., die echte spektrale Dichte wird "korrumpiert" durch den Anteil, der außerhalb des Intervalls läge.
Beispiel 4.10 (Nicht genug Samples). \Vir nehmen einen Kosinus-Input und etwas weniger als zwei Sampels pro Periode (siehe Abb. 4.9). Hier existieren 8 Sampcls auf 5 Perioden, damit ist .l?Nyq um 25% überschritten. Die punktierte Linie in Abb. 4.9 zeigt, daß eine Funktion mit nur 3 Perioden auf demselben Intervall die gleichen Sumpels ergeben würde. Also wird bei der diskreten FOllriertransfOl'mation eine niedrigere spektrale Komponente erscheinen, und zwar bei fl Nyq - 25%. Besonders auffällig wird es, wenn wir nur knapp etwas mehl' als ein Sampel pro Periode nehmen (siehe Abb. 4.10). Hier ergibt {Fj } nur eine sehr niederfrequente Komponente. r.,'lit anderen \Vortell: spektrale Dichte, die bei ~ 2fl Nyq erscheinen würde, erscheint bei w ;;:: O! Dicses "Verfiilschell" der spektralen Dichte durch ungenügendes
4.4 Das Sampling-Theorem
113
1(t)
t "echt"
Fo
L
i
---l F,
F,
F3
{}Nyq
"falsch"
I
---l Fo
F,
F2
F3
{}NYt ~ cos 2
2
2
und schließlich
IH(w)1
wt>t
~ cos -2-·
Abbildung 5.1 zeigt IH(w)l.
IH(w)1
+--------~f___-------~'i-
Abb. 5.1. Betrag der Transferfunktioll für den Gliittungsalgoritlullus
VOll
(5.7)
Diese hat die unangenehme Eigenschaft, daß bei einem reellem Input ein komplexer Output erzeugt wird. Das liegt natürlich an unserer implizit eingeführten" Phasenverschiebung" um CJ.f.j2. Ein scheinbar besserer Algorithmus ist der folgende 3-Punkte-Algorithmus:
Yk = mit
1
:3 (f~·-I + h + fk+d U_I
=
1
3'
00
=
(5.9)
1
3'
°'1
=
1
3·
140
5 Filterwirkung bei digitaler Datenverarbeitung
Dies ergibt:
H(w) =
~
(e- iw 6.t + 1 + e+ iw 6.t) =
~(l + 2cosw.6.t).
(5.10)
Abbildung 5.2 zeigt H(w) und das Problem, daß für w = 2rr/3.6.t eine Nullstelle vorliegt, d.h., daß diese Frequenz überhaupt nicht transferiert wird. Diese Fi:equenz liegt bei (2/3).l7Nyq . Danach wechselt sogar das Vorzeichen. Dieser Algorithmus ist nicht konsistent und sollte daller nicht verwendet werden.
•
w
Abb. 5.2. Transferfunktioll für den 3-Pullkte-Gliittungsalgorithmus von (5.9) Der
"richtige" Clättungsalgorithmus Q'I = +1/4:
lautet
mit
U_I
= +1/4,
ao = +1/2,
"Tiefpaß". Die TmnsfCl'funktion lautet nun:
H(w) = ~ (e- iw6.L + 2 + e+ iw6.I.) 4
1
= 4(2 + 2cosw.6.t) = cos
2
w.6.t
(5.11)
2'
Abbildung 5.3 zeigt H(w): es gibt keine NullstelIen, das Vorzeichen wechselt nicht. Der Vergleich mit (5.8) und Abb. 5.1 verdeutlicht, daß die Filtel'wirkung jetzt stärker ist: eos2 w~', statt cos w~', für IH(w)l. Bei der halben Nyquist-Fl'equenz gilt: H(.l7Nyq /2} = cos
2 1T
'4
=
1
2'
Unser Glättungsalgorithmus ist also ein Tiefpaßfilter, das zllgegebenennaBen nicht besonders "Aankenstcil" ist und bei w = flNyq /2 nur noch die Hälfte durchläßt. Bei w = .l7 Nyq /2 haben wir also -3 dB Durchgangsdämpfung.
5.2 Tiefpaß, Hochpaß, Bandpaß, Notchfilter
14 [
i 1I(w)
+-----+------=::=--.--
Logo:
nNY'lw
Abb. 5.3. Transferfunktion für den Tiefpaß
Sind unsere Daten durch niederfrequcnte Artefakte "korrumpiert" (z.B. langsame Drifts), so würden wir gcrne ein Hochpaßfilter anwenden. Hier wird es konstruiert: 2
wt::.t
2
wt::.t
H(w) = 1 - cos -2- = sin -21 = '2(1- coswt::.t) =
Also haben wir lalltet:
a_1
~
(1 _~e-iw~t _ ~e+iW~I).
= -1/4,
(10
(5.12)
= +1/2,0.1 = -1/4, und der Algorithmus
"Hochpaß"·1
(5.13)
Aus (5.13) sieht man sofort: eine Konstante als Input wird nicht durchgelassen, da die Summe der Koeffizienten 0 ist. , I/(w)
Logo:
Abb. 5.4. TransferfUllktioll für den Hochpaß
Abbildung 5.4 zeigt H(w). Auch hier gilt, daß erst bei w = [}Nyq/2 die Hälfte durchgelassen wird. Die Fachleute sprechen von -3 dB Durchgangsdämpfung bei w = [}Nyq/2. Im Bsp. 4.14 hatten wir den "Sägezahn" diskutiert. Im Frequenzraum ist dies auch ein Hochpaß! Bei einem bestimmten Verfahren der ßilclrekonstruktion aus vielen, unter verschiedenen \Vinkeln aufgenommenen Projektionen,
142
5 Filterwirkung bei digitaler Datenverarbeitung
wie es in der Tomographie benötigt wird, verwendet man genau solche Hochpaßfilter. Sie werden dort "Rampenfilter" genannt. Sie ergeben sich zwanglos bei dem Übergang von kartesischen zu Zylinderkoordinaten. Bei dem Verfahren, das "Rückprojektion gefilterter Projektionen" genannt wird, filtert man in \Virklichkeit gar nicht in der Frequenzdomäne sondern faltet in der Ortsdomäne mit der Fourier-transformierten Rampenfunktion. Genauer gesagt, wir brauchen die beidseitige Rampe für positive und negative Frequenzen. Bei periodischer Fortsetzung ist das Ergebnis sehr einfach: abgesehen von dem nichtverschwindenden !vlittelwert ist das unsere "Dreicckfunktion" aus Abb. L9c}! Anstatt nur 11.:-1, !k und !k+l für unseren Hochpaß zu verwenden, können wir uns ein Filter mit den Koeffizienten aus (1.33) aufuauen und bei einem genügend großen k aufllören. Genau das macht man auch in der Praxis. \~rollen wir sowohl sehr tiefe als auch sehr hohe J:
_ _ _ _---'1_ _1
_ Yj
Abb. 5.10. Datcnkomprimicrungsalgorithmus
VOll
(5.31)
5.5 Differenzieren diskreter Daten Man kann dic Ablcitung eincr gcsampeltcn Funktion definiercn als: "erste Vorwürts-Differen'l.".
(5.32)
Die dazugehörige Transferfunktion ist:
H(w) = ~ (eiwöt _ 1) = ~eiwöt/2 (eiwöt/2 _ e-iwöt/2) At At =
~ sin(wat/2)eiwöt/2
_.
(5.33)
At
-lwe
iw~',/2sin(wat/2)
AI. 2
Wut
Exakt würc H(w) = iw (siehe (2.55», der zweite und dritte Faktor kommt von der Diskrctisienmg. Die Phasenvcrschiebuug in (5.33) ist lästig. Die "erste Rückwärts--Differellz":
IYk =
f,-f,-, At
I
(5.34)
hat das gleiche Problem. Die "erste zentrale Differenz": Yk =
fk+l -
h-l
2at
(5.35)
löst das Phascnvcrscbiebungsproblem. Hier gilt:
. sin wt1t
=IW
wat
Die Filtcrwirkung ist hier aber uusgepriigtcr, wie Abb. 5.11 zeigt.
(5.36)
5.6 Integrieren diskreter Daten
149
-iH(w) / ' ' ' - - - - - - exakt
----",,--- erste zentrale Differenz
w Abb. 5.11. Transferfullktioll der "ersLen zelltralen Differenz" (5.35) lind exak1.er Wert (dünne Linie)
Für hohe Frequenzen wird die Ableitung zunehmend falscher. Abhilfe: Möglichst fein sampelll, so daß man im interessierenden Frequenzbereich immer w « JlNyq hat. Die "zweite zentrale Differenz" lautet:
(5.37) Sie entspricht der 2. Ableitung. Die zugehörige Trallsferfunktion lautet:
H(w) = _1_ (e-iw2~t _ 2 + e+iw2~t) 4Dot 2 =
1
A 2
4ut.
= _w 2
Dies
sollte
(2 cos 2wDot - 2) = -
(SiUWDot)' w{;t
verglichen
werden
mit
1
A 2
w.t
dem
sin2 wDot
exakten
H(w) = (iw}2 = _w 2. Abbildung 5.12 zeigt -H(w) für beide Fälle.
(5.38)
Ausdruck
5.6 Integrieren diskreter Daten Die einfachste Art, diskrete Daten zu "integrieren", besteht in der Summation der Daten. Etwas genauer geht es, wenn man zwischen den Datenpunkten interpoliert. Dazu als Beispiel die Trapezregel für die Integration: die Fläche bis zum Index k sei Yk, im nächsten Schritt kommt die folgende Trapezfläche dazu (siehe Abb. 5.13): Yk+l = Yk
{;,
+ -2
(
fl.:+l
+ fd
"Trapezregel".
(5.39)
150
5 Filterwirkung bei digitaler Datenverarbeitung
-H(w) / - - - - - - - - - - exakt
, , - - - - - zweite zentrale Differen;t, w
Abb. 5.12. 1'ransferfunktiOll der "zweiten zellt.ralen Differenz" (5.38) und exakte.' \Vert (dünne Linie)
Der Algorithmus hat die form: (VI der Verschiebungsoperator von (5.4),
1) Yk
=
(b.t/2) (VI
+ 1) /k,
VI ist
Abb. 5.13. Zur Trapezregel
Damit ist die dazugehörige Transferfunktion:
H(w) -~
~
C>t (c'w"'+l) 1) iw b.t e .c"t,/2 (e+ iw .c"t/2
2"" (eiw.c"t 2
(5.40)
e 'w .c"t,/2 (e+ 1w .c"t/2 _ e iw.c",./2)
t6.t 2 cos(wb.t/2)
-
+ e- iw .c",./2)
2 2i sin(wt6.t/2)
~
1 wb.t iw 2
wt6.t
---CO'--,
2
Die "exakte" Transferfunktion ist:
H(w)
1
~ ~
'w
(5.41)
siehe hierzu auch (2.62).
t,
Die Heavisidesehe Stufenfunktion hat die rouriertransformierte diese erhalten wir bei der Integration über den Impulsstoß (J-Funktion) als Input. Der Faktor (wt6.t/2) cot(wt6.t/2) kommt von der Diskretisierung. H(w) ist in Abb. 5.14 dargestellt. Die Trapezregel ist also ein sehr brauchbarer Illtegratiollsalgorithllllls. Ein anderer IntegrationsalgoritlllllUS ist die Simpsoll~I/3-Regel, die folgendennaßcn hergeleitet wird.
5.6 Integrieren diskreter Daten
151
iH(w)
l---~:~:§~~~;;;
exakt Trapezregel
D Nyq w
Abb. 5.14. Transferfunktion für die Trapezregcl (5.39) und exakter Wert (dünne Linie)
Nehmen wir an, wir haben drei aufeinanderfolgende Zahlen wollen ein Polynolll 2. Grades durch diese Punktc lcgen:
10, I!' h
lind
y=a.+bx+cx 2 mit y(x = 0) =
10 =
0.,
(5.42)
y(x = 1) = ft = a + b + c, y(x = 2) = h = a + 2b + 4c.
Daraus ergcbcll sielt die Koeffi:t.icllt.en
JlU:
a = 10, c ~ 10/2 + f,/2 - h, b~ ~
1< - 10 - c ~ 1< - 10 - 10/2 21< - 310/2 - f,/2.
f,/2
+ 1
' + iw)2 (>' + iw)2 (>' _ iw)Z >.Z _ 2iw>' _ w2 = = (). + iw)2(>. iw)2 (>.2 + w2)2 >.2 _ w'l 2iw>. ().2 + w'l)'l ().2 + w'l)'l (>.2 _ w2 ) _ 2iw>. ().2 + w2)2 =1
luversc TI'ansfünnatiün:
Realteil:
J. 00
Imaginärteil:
I
-2 2;r
(-2)wA >. +w')'ldw;
SlIlWt,( 2
o
(wsinwt ist gerade in w!).
Anhang: Lösungen
Hinweis: Zitat [8, Nr. 3.769.1 und 3.769.2] 1
(..\ + iw)2 + 1
(.\ + ;w)'
=
J ..\ +w = J (..\2 ~
,
(
o
/.I
= 2;
ß =..\;
177
x = w:
2(..\2 _ w 2 ) (..\ iw)2 = (..\2 +w2)2 -4iw..\ 1 (..\2 + w2)2 (.\ ;w)' 1
~
W2)
r.
" coswtdw = -te 2 ') -
->.t
-2iw..\. IT. -.\t (..\2 +w2)2 slIlwtdw = zlte
o
+
vom Imaginärteil I1T ->.t --te r.2
fürt>O.
2.9. Nichts geht verloren Zuerst stellen wir fest, daß der Integrand eine gerade Funktion ist, und wir schreiben können:
=
J
sin2 aw
=w-,i"'-dw =
o
J 2 +=
1
-=
2 sin aw w 2 dw.
Dann identifi~ieren wir sinaw/w mit F(w), der rouriertransformierten der "Rechteckfunktion" mit a = T/2 (und einCIJ Faktor 2 kleiner). Dic inversc Transformation liefert:
1(') ~ { 1/2 für - (/,:S t
o
J +"
lind
If(tWdt =
SOllSt
~2a = ~.
-0
Schließlicil licfert Parscvals Theorem:
=
oder
oder
J w' = J
Sill2 aW
Sill2 aW
o
w2
_ 21Ta _ dw - - - 2 d!.LI
= 1Ta
2.
7TO,
:s a
178
Anhang: Lösungen
Spielwiese von Kapitel 3 3.1. Quadriert f(w) = Tsin(wT/2)/(wT/2). Bei w = 0 haben wir F(O) = T. Diese Funktion faUt auf T/2 bei einer Frequenz w ab, die durch folgende transzendente Gleichung definiert ist: = Tsin(wT /2) 2 wT/2 mit x = wT/2 haben wir x/2 = sin x mit der Lösung x = 1,8955, folglich WJdEl = 3,791/T. ?l'lit einem Taschenrechner hätten wir folgendes tun können:
'!-
x
sinx
x/2
i,5 i,4 i,6 i,8 1,85 1,88 1,89 1,895 1,896 1,8955
0,997 0,985 0,9995 0,9738 0,96i3 0,9526 0,9495 0,9479 0,9476 0,94775
0,75 0,7 0,8 0,9 0,925 0,94 0,945 0,9475 0,948 0,94775
Die volle Breite ist ßw = 7,582/T. Für F 2 (w) hatt.en wir Li.w = 5,566/T; also ist die 3 dß-Bandbreite von F(w) einen Faktor 1,362 größer als dic von p2(W), ungefähr 4% wcniger als /2 ~ iAi4. 3.2. Let's Gibbs Again (klingt wie "Iet's twist again") An den Intervallgrenzen gibt es kleine Stufen, also haben wir -6 dB/Oktave. 3.3. Expander Black mall-HaITis- Fenster:
f(t)
~
t {°
"=0
Q"
COS
2;Ü
fur - T/2::;
t::; T/2
sonst
Von der Reihenentwicklung des Kosinus bekommen wir (im Intervall -T/2'; t,; T/2),
f(t) ~ t,a" (i- ~ C;'t)' +~! C;t)' -~, C;,t)' +) =
~b' (T~Sk
Anhang: Lösungen
Setzten wir die Koeffizienten
Cl"
179
für das -74 dB-Fenster ein, so erhalten wir:
k
bk
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
+0,99495 1 -4,38793 +8,71803 -10,47110 +8,60067 -5,28347 +2,61984 -1,67695 +0,36546 -0,10182
Die I<elooben , ,·cr>IClooben _ j -I" -
1. _
r,;
lV 2
fü' r ",. ; ; = 0 1"2, ... ,.,h -1.
jverschoben _ N-~'
-
(N
-
k)
-
N _ N 2" - 2" -
I.
h,
190
Anhang: Lösungen 0
f,
3
•
2
0
•
0
-I
-3
-2
-I
0
0
0
0
-3
-2
-I 0
-'I
-3
-2
•
2
0
I
3k
•
•
2
3"
•
j,,,.""v,,' ,
.... .....
....
'
.'
-.:
,
.
. J
",
Abb. A.22. Realteil dcr Fouriertransformiel'ten der gefiltcrten Funktion YII aus Abb.1\.21
1
0+----"---------k
-0,44 Abb. A.23. Daten YII =
aus
Abb, 5.17
mit
dem
Hochpaßfilter
(1/4)(-h_i +2111- h+d bearbeitct. Unschön sind die "Unterschwinger"
ein Hochpaßfilter mit kleincren "Unterschwingern": (A,6) Das Ergebnis dieser Datcnbcarbeitung zeigt Abb, A.24. Spinnt man die-
Anhang: Lösungen
205
1
o +--~~--------- -0,42
k
Abb. A.24. Datcn aus Abb. 5.17 mit dcm modifizierten Hochpaßfilter aus (A.6) bearbeitet. Die "Ullterschwingcr" werden etwa.'J kleincr und breiter. Der Erfolg ist zwar klein, aber sichtbar sen Gedanken weiter, so erkennt man unschwer den Dirichletschen Integralkern (1.53) wieder, der zu einer Stufe gehört. Das Problem ist dabei, daß die Randetfekte immer schwieriger zu behandeln sind. \Vesentlich besser la.sen sich Daten natürlich mit rekursiven Filtern bearbeiten.
Literaturverzeichnis
J. H.J. Lipkin: Beta-decay JOT Pedestrians (North-Holland Pub!., Amsterdam [962) 2. H.J. Weavcr: ApIJ1icatiQns 01 Discl"ete und ContinuotLS Fourier Analysis (A Wilcy-lntcrscicllcc Publicatioll John Wile)' & SOllS, Ne\\' York 1983) 3. J-I.J. Wcavcr: Theory 0/ Discrete and Continuous Fouricl- Analysis (John Wilcy & SOllS, New York 1989) 4. E. Zeidlcr (Ed.): Orford Users' Guide to Mathematics (Oxford Univcrsity Press, Oxfotd 2004) 5. \V.H. Press, B.P. Flannery, S.A. Teukolsky, \\'.1'. Vcttcrling: Nume1ical Recipes, The Art 0/ Scientific Computing (Cumbridgc Univcrsity Press, New York 1989)
6. F.J. Harris: Proceedings ofthe IEEE 66, 51 (1978) 7. !I-I. Abramowitz, LA. Stegun: Handbook 0/ Mathe71wtical Hl7Ictiolls (Daver PublicatioIls, [nc., Ncw York 1972) 8. LS. Gradshteyn, U,,1. Ryzhik: Tables ollnte.qmls, Series, and Products (Academic Press, JHC., San Diego 1980)
Sachverzeichnis
Abschncidefehlcl', 64, 118, 122 akausal, 138, 144 Algorithmus akausalcr, 138,144 kausaler, 144 von Cooley und 1\lkcy, 125 Aliasing, 113 Au flösu ngsfunktion apparative, 103, 175 Autokorrclation diskrete, 108 von Funktionell Definition, 57 AUlokorrclatiollsfunktioll, 76, 133 Bandpaß, 142 Basisfunktionen der Fouriertransformatioll, 5, 12 der Kosinus-Transformation, 115 der Sinus-Transformation, 115 ßes.'>CI-F'unktion, 83, 86, 91 Bes.'>Clsche Ungleichung, 24 Bildrckollstruktioll, 141, 153 Bitreversal, 131 Blackman-Harris- Feilster, 85, 88, 91,
92,182 3 dB-Bandbreite, 86 asymptotisches Verh'lltell, 86 NullstelIen, 86 "Sidclobe"-Umerdrückung,86 "ßuttcrfly"-Schema, 130
Cooley lind Tukey Algorithmus VOll, 125 cos 2-Fcnstcr, 78, 80, 86, 88, 182 3 dB-Bandbrcitc, 79 asymptotisches Vcrhaltcn, 79, 88 Intensität im zcntralcll Peak, 79
Nullstellen, 79 "Sjdelobe"- Untcrdrückung, 70 cos 3 -Fcnster 3 dB-Bandbrcitc, 70 cos'l - Fenstcr 3 dB-Bandbrcitc, 70 Daten diffcren7,icrell, 148 glätten, 139 integriel'cn, 149 komprimicren, 147 spiegeln, 114, 123 vcrschiebcn, 123, 146 DC-Antcil, 7, 12 "Decimation in Limc", 126, 130 Dcfinition diskrct Faltung, 105 F'ourier-HinLransfol"lnatioll, 96 Fouricr-Rücktransformation, 97 I
