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Wl (A) Wz(f
Derivazione Integrazione Convoluzione
Moltiplicazioneb
(j21Tf)nW(f)
-<X>w(A)dA
Wl(t) * wz(t) = . wz(t - A) dA
foo -<X>Wl
WI(t)WZ(t)
(A)
(- j27T )
Moltiplicazione per tn a Wc
- fc)]
- A) dA
-n dnw (f) dfn
= 271/c-
b * indica l'operazione di convoluzione come descritta in dettaglio dalla (2-62).
Funzione delta di Dirac e funzione gradino unitario DEFINIZIONE. Lafunzione deltadi Dirac 5(x) è definitacome Ioo -00
= w(O)
w(x) 5(x) dx
dove w( x) è qualsiasi funzione continua in x
(2-45)
= O.
In questa definizione, la variabile x può essere il tempo o la frequenza, a seconda del caso particolare. La (2-45) dice in realtà assai poco sulla delta di Dirac, della quale è conveniente dare una definizione alternativa che aiuti a chiarime natura e proprietà:
IOO -00
5(x) dx
=
l
(2-46a)
2-2
Trasformata di Fourier e spettri di un segnale
51
e
o(x)
x=O x~O
= {~'
(2-46b)
Da queste relazioni si capisce che la delta di Dirac non è una vera e propria funzione nel senso ordinario del tennine (una funzione non può assumere valore infinito). Essa può essere definita a rigore come funzione generalizzata e viene studiata in una parte della matematica chiamata teoria delle distribuzioni. Elaborando la (2-45), si ottiene la proprietà campionatrice della funzione o: fX>--00
w(x) o(x
-
xo) dx
= w(xo)
(2-47)
Attraverso questa operazione estraiamo cioè un campione del segnale dato. Un'ulteriore rappresentazione di 8( x) è la seguente:
o(x)
(2-48)
= Joo dy --00 e:f:.j21rxy
dove può essere usato sia il segno + che il segno - (e da questo si capisce che 8(x) è pari: 8(-x) = o(x)). La validità della (2-48) può essere verificata prima calcolando la trasfonnata di Fourier della funzione delta Joo --00 8(t)e-j21r/t dt
= eO =
l
e poi calcolandone l'antitrasfonnata: la relativa relazione coincide proprio con la (2-48) Per le altre proprietà della funzione delta si rimanda all'Appendice A. Un segnale strettamente collegato alla funzione delta di Dirac è il gradino unitario. DEFINIZIONE.Il segnale gradino unitario u(t) è definito da l, u(t) = {O,
t>O tO /
O
/ T 2 DEFINIZIONE.
Indicheremo con Sa(.) la funzione Il sin x Sa(x) =- x
DEFINIZIONE.
(2-53)
Indicheremo con A(') l'impulso triangolare
It I :5
T
(2-54)
Itl >T Questi segnali sono illustrati nella Fig. 2-5, mentre la funzione Sa( x) è tabulata nel Paragrafo A-9 dell'Appendice A. Esempio
2-5 SPETTRO DI UN IMPULSO RETIANGOLARE
Valutiamo la TF di w(t)
= TI(t/T). T/2
W(f) =
e-jwT/2 - ejwT/2
J-T/2le-jwt dt
= T
=
. -JW
sin( wT/2) = T Sa( TrTf) wT/2
da cui TI (;
)H
T Sa( TrTf)
(2-55)
Il calcolo numerico di questo integrale è riportato nel file E2_055N.M, mentre la coppia TFATF è mostrata in Figura 2-6. Si noti la relazione che sussiste tra la durata T dell'impulso nel tempo e il primo nullo l/T dello spettro in frequenza. Dal teorema di dualità di Tabella 2-1, possiamo anche ricavare lo spettro di un segnale del tipo (sin x)/x che sarà di tipo "rettangolare". Infatti, tenendo conto che TI(x) è una funzione pari e applicando il teorema di dualità alla (2-55), si ottiene T Sa( TrTt) H TI ( -
n = TI U)
Sostituendo poi il parametro T con 2W, si ricava la coppia TF-ATF:
Sa(2TrWt) H
C~ )
(2-56)
Il Una definzione simile è quella della funzione sinc(A) = (sin( TrA)/(TrA», che è tale per cui Sa(x) = sinc( 1T/X).Le funzioni Sa(x) e sinc(x) sono sostanzialmente equivalenti, ma possono essere confuse per la presenza del fattore di scala.
2-2
Trasformata di Fourier e spettri di un segnale
55
n(~) -
t-
T "2
(a) Impulso rettangolare
1.0 I Sa(x)
-3'1T
-271'
~ sinx x
71'
471' x-
3'1T
(b) Funzione Sa(x)
1.0
-T
t-
T
(c) Impulso triangolare
Figura 2-5
Fonne d'onda e corrispondente notazione simbolica.
illustrata in Figura 2-6b, dove W è la banda in hertz. Gli spettri mostrati in Figura 2-6 sono reali poiché gli impulsi nel dominio del tempo sono reali e pari. Se però gli impulsi sono traslati temporalmente si perde la simmetria pari,e gli spettri saranno complessi. Per esempio, se
l, v(t) = { O,
O< t < T
altrove
}
= TI t - T/2
(
T
) (Continua)
56
Capitolo 2 - Segnali e spettri Dominio
Dominio della frequenza
del tempo
T Sa('lTTf) I.OT
1.0 T
(a) Impulso
1-
T 2
-2
rettangolare
e suo spettro 2WSa(271WI)
n(k)
2W
-w
!-
w
(b) Funzione Sa(x) e suo spettro
I.OT
1.0
(c) Impulso
3 2 I -7'" -T -T
T 1-
-T triangolare
I T
2 T
!-
e suo spettro
Figura 2-6 Spettro dell'impulso rettangolare, della fu~one (sin x)/x e dell'impulso triangolare. allora, utilizzando il teorema del ritardo e la (2-55), si ottiene la TF: (2-57)
V(J) = Te-j1TfTSa( 7TTf) In forma rettangolare, la (2-57) diventa V(J) = [T Sa( 7TfT) cos( 7TfT)] + j[ -T Sa( 7TfT) sin( 7TfT)] X(J)
(2-58)
Y(J)
Lo spettro in ampiezza di v(t) è sin 7TfT
IV(J)I = T I
7TfT
(2-59) I
2-2
Trasformata di Fourier e spettri di un segnale
57
e quello di fase è
o, 8(f) = j e- j1rfT+ jSa( 1TfT) = -1TfT +
l
1T,
n T O t O
{ O,
!8(f) l
j1Tf 8(f) e-i211-jto
{
-l,
+ j21TI
t< O
8(t - to)
l II I 2W ( 2W )
sinc
Sa(21TWt)
Fasore Sinusoide 8(f + Ic) Gaussiana
ei(lL\J/+q»
eitp
cos(wct
!eitp8(f - Ic) + !e-itp
+ cp)
8(f - fo)
e-1f(t Iro)'
e-tIT, { O,
Esponenziale, monolatera
T
t> O t< O
l + j21TIT 2T
Esponenziale, bilatera
l + (21TIT)2 k=oo
11=00
I 8(t k=-=
Treno di impulsi
kT)
lo
I
n=~
8(f - nlo),
dove/o = l/T
Per mezzo del teorema di Parseval, Equazione (2-41), la potenza media nonnalizzata diventa allora .
p
=
lim
~
T-+oo T
f
ooIWT(f)12 df
-00
oo
=
f
-00
lim
( T-+oo
IWT(f) 12 df T
)
(2-65)
dove Wdf) = ~[wdt)]. La funzione integranda relativa all'integrale a destra ha unità di misura VZlHz o A2IHz e può quindi essere definita come densità spettrale (cioè relativa all'unità di banda) della potenza. DEFINIZIONE. La densità spettrale di potenza (DSP) di un segnale detenninato a potenza finita èl2 12Le Equazioni (2-66) e (2-67) forniscono la DSP e la pOlenza entrambe normalizzate rispetto all'ipotetica resistenza di carico di I fi. Per ottenere i valori effettivi non normalizzati, !jJ> w(f) deve essere modificata. In panicolare,
se w(t) è la tensione ai capi di un carico di R ohm, la DSP non normalizzata
è !jJ>w(f)IR W/Hz,
Se invece w(t) è la corrente che fluisce in un carico di R ohm, la DSP non normalizzata è !jJ>w(f)R W/Hz.
2-3
Densità spettrale di potenza e funzione di autocorrelazione
63
(2-66)
dove WT(t) ~ WT(J) e flPw(J)è misuratain V2(A2)!Hz. La DSP è naturalmente una funzione della frequenza reale non negativa. Essa non dipende inoltre dallo spettro di fase di w(t) per la presenza dell'operazione di modulo contenuta nella (2-66). Per la (2-65), la potenza normalizzata risulta (2-67) essa è l'integrale della funzione DSP.
Funzione di autocorrelazione Defmiamo adesso una funzione collegata alla DSP, chiamata funzione di autocorrelazione R( T). DEFINIZIONE.Lafunzione di autocorrelazione di un segnale reale èl3 RlO(r) ~ (w(t)w(t
+ T)~ = lim -
l
T ~oo T
f
T/2
w(t)w(t
+ r) dt
(2-68)
-T/2
Si può dimostrare che la DSP e la funzione di autocorrelazione costituiscono una coppia TF-ATF: (2-69) Questo risultato, chiamato teorema di Wiener-Khintchine, sarà ulteriormente esaminato, assieme alle proprietà di R( r) e di 'lP(J), nel Capitolo 6. In conclusione, la DSP può essere calcolata mediante uno dei seguenti due metodi. 1. Metodo diretto, utilizzando la definizione (2-66)14. 2. Metodo indiretto, valutando prima la funzione di autocorrelazione e quindi trasformando con Fourier: flPw(J) = ~[Rw( r)].
Il I
Per quanto riguarda la potenza normalizzata del segnale w(t), essa può essere valutata utilizzando uno dei quattro approcci riassunti dalla seguente equazione:
Il
I I
p
= (W2(t) = W;ff = foo-00 flPw(J)df
=
(2-70)
Rw(O)
"i Il'
Il
13 La
funzione di autocorrelazione di un segnale complesso è R,.( T) ,g,(w(t)w(t
14 Il metodo
diretto
è di solito
più difficile
di quello
indiretto.
+ T).
64
Capitolo 2 - Segnali e spettri
Esempio 2-10
PSD DI UNA SINDSOIDE
Calcoliamo la DSP del segnale
=A
w(t)
sin aJot
mediante il metodo indiretto. L'autocorrelazione è Rw(7)
= (w(t)w(t =
l lim T-->ooT
+ 7»
f
T/2
A2 sin aJot sin Cù()(t + 7) dt
-T/2
Utilizzando un'identità trigonometrica, dall' Appendice A otteniamo A2
Rw( 7)
=-
2
I
-
COSaJo7 lim T-->ooT
f
T/2
-T/2
A2
dt - -
2
l
lim -
T-->ooT
T/2
f
-T/2
cos(2Cù()t+ aJ(7) dt
che si riduce a (2-71) La DSP è,pertanto A2
A2 rzpw(f)
= ?]i [""2
COS aJo7 ] ="4
[8(f
- fa)
+ 8(f + fa)]
(2-72)
che è diversa dallo spettro d'ampiezza di w(t) trovato nell'Esempio 2-4 e illustrato in Figura 2-4. La potenza normalizzata si trova mediante la (2-67): oo
p=
A2
A2
-[8(f-fo)+8(f+fo)]df=f-= 4
(2-73)
2
come già noto dal calcolo temporale (2-74) Il lettore calcoli per esercizio la DSP del segnale A cos Cù()te dimostri che è identica a quella appena ricavata (perché?).
Abbiamo finora studiato le principali proprietà dei segnali e del rumore, come lo spettro, la potenza normalizzata, il valore efficace ecc., ma non ci siamo preoccupati del modo con il quale i segnali possono essere rappresentati, forniti, conosciuti. Naturalmente, il metodo che vorremmo sempre usare è quello di procurarsi una relazione matematica che descriva in forma chiusa il segnale stesso. Questa possibilità spesso non esiste o non è conveniente. Un esempio di "rappresentazione" alternativa dei segnali, già noto dai corsi di matematica, è quello di utilizzare lo sviluppo in serie di potenze (serie di Taylor) rispetto un punto a: 00
w(t) =
I
11=0
w(n)(a) n!
(2-75) (1 - a)n
2-4
Rappresentazione
su base ortogonale
dei segnali e del rumore
65
Peso
V~ -fo Figura 2-9
4
1-
fo
Spettro di potenza della sinusoide.
dove
=
w(n)(a)
(2-76)
dnw(t) dtn I
t=a
Se è noto il singolo valore delle varie derivate del segnale (di qualunque ordine) per t = a è completamente noto anche l'andamento del segnale per tutti gli istanti del tempo. Un altro tipo di rappresentazione, che discuteremo nel paragrafo successivo, è l'espansione su base ortogonale.
2-4 RAPPRESENTAZIONE SU BASE ORTOGONALE DEI SEGNALI E DEL RUMORE La rappresentazione su base ortogonale dei segnali e del rumore ha varie applicazioni significative nei problemi riguardanti i sistemi di comunicazione, ad esempio nel campionamento dei segnali e nella descrizione dei segnali digitali.
Funzioni ortogonali Primadi studiarele rappresentazionisu baseortogonale,dobbiamodefinirel'ortogonalità tra funzioni. DEFINIZIONE. Le funzioni qJ,,(t) e qJm(t)sono ortogonali sull'intervallo a < t < b se soddisfano la condizione
f: qJ,,(t)qJ~(t) dt
= O,
dove n ,p m
(2-77)
Raccogliendo le funzioni in un insieme {qJn(t)} al variare di n, esse sono tali che
f
b
a
qJn(t)qJ~,(t)dt =
O, { Kn,
n ,p m = K"Dnm n - m}
(2-78)
dove
D"m ~
O, { l,
: ::}
(2-79)
è chiamata delta di Kronecker. Se le costanti Kn sono unitarie, le qJn(t)sono un insieme di funzioni ortonormali.
66
Capitolo 2 - Segnali e spettri
Possiamo interpretare la (2-77) come "test" per verificare l' ortogonalità tra due funzioni date. Se l'integrale sull'intervallo (a, b) del prodotto delle funzioni è nullo, esse sono ortogonali. Se al contrario il risultato non è nullo, le funzioni non sono ortogonali, e conseguentemente presentano una qualche dipendenza o "somiglianza".
Esempio
2-11 FUNZIONI ESPONENZIAU COMPLESSE ORTOGONALI
Dimostriamo che l'insieme delle funzioni esponenziali complesse {ejn~l} sono ortogonali sull'intervallo a < t < b, dove b = a + To se To = l/fo, ~ = 2'TTfo,e n è un intero. Soluzione.
f
Sostituendo q>n(t)= ejn~1 e q>m(t) = ejn~1 nella (2-77), si ottiene
b
a fOn(t)fO;'(t) dt
=
f
a+To ejn~1
dt
e-jm~1
=
a
a+TO
f
ej(n-m)~1
dt
(2-80)
a
Per m oF n, la (2-80) diventa
f
a+TOej(n-m)~1 dt
= ej(n-m)-[ej(,,-m)21T
- 1]
j(n - m)~
a
visto che ej(n-m)21T = cos [21T(n
-
m)] + j sin [21T(n - m)]
=
o
(2-81)
1. In questo modo, la (2-
77) è soddisfatta, e di conseguenza, le funzioni esponenziali complesse sono ortogonali sull'intervallo a < t < a + To, dove a è una costante arbitraria positiva. Per n = m, la (2-80)diventa a+TO
f
q>n(t) q>~(t) dt
a
=
f
a+To
a
1 dt
= To
(2-82)
e sostituendo la (2-82) nella (2-78), si trova K" = To per tutti i valori di n. Poiché Kn oF 1, queste funzioni non sono ortononnali. Però si può facilmente normalizzare l'insieme delle funzioni esponenziali complesse con un opportuno fattore di scala, ottenendo l'insieme ortonormale
Sviluppo
su base ortogonale
Supponiamo che w(t) rappresenti una qualsiasi forma d'onda (segnale utile, rumore, oppure una combinazione di segnale e di rumore) di cui vogliamo trovare una rappresentazione su di un intervallo a < t < b. Si ottiene una rappresentazione su base ortogonale di tale segnale applicando il seguente teorema. TEOREMA.w(t) può essere rappresentato sull'intervallo a < t < b mediante la serie
"
(2-83)
2-4
Rappresentazione
su base ortogonale dei segnali e del rumore
67
dove i coefficienti dello sviluppo (chiamato talvolta serie ortogonale) sono dati da b
I an
(2-84)
= K n Ja w(t)fP~(t)dt
ove in generale la variabile n scorre su un intervallo illimitato. Affinché la (2-83) sia una rappresentazione esatta di un segnale fisico (cioè a energia finita), l'insieme ortogonale deve essere completo. Questo implica che l'insieme {fPn(t)} può essere utilizzato per rappresentare qualsiasi segnale a energia finita con un errore avente energia arbitrariamente piccola [Wylie, 1960]. In generale, è difficile dimostrare che un insieme di funzioni è completo. Si può però dimostrare che l'insieme delle funzioni esponenzialicomplesse e l'insieme delle funzioni armoniche sinusoidali del Paragrafo 2-5 sono completi [Courant e Hilbert, 1953]. Altri insiemi completi di suo frequente sono quelli delle funzioni di Bessel, dei polinomi di Legendre, e (sotto qualche ulteriori ipotesi) delle funzioni tipo sin(x - n)f(x - n) come illustrato dalla (2-161). Dimostrazione. Supponiamo dapprima che l'insieme {fPn(t)} sia sufficiente per rappresentare il segnale. Allora, affinché la (2-83) sia vera, occorre solo dimostrare che la relazione per valutare i coefficienti an è quella giusta. Pertanto, applichiamo a entrambi i membri di tale equazione l'operatore di integrale {b[.]
(2-85)
fP:;'(t)dt
ottenendo
f:[W(t)]fP:;'(t)dt
= f: = Ian n
[~anfPn(t)]
fP:;'(t)dt
Jba fPn(t) fP:;'(t)dt
= IIl
anKn8nm (2-86)
da cui segue la (2-84). Le funzioni ortonormali fPit) sono segnali determinati, quindi se la funzione da rappresentare w( t) è determinata, allora anche i coefficienti {aj} lo saranno, e saranno facilmente calcolabili. Nel Capitolo 6 dimostreremo che se w(t) è un processo stocastico (cioè il modello matematico di un disturbo non determinato), allora {aj} è un insieme di variabili aleatorie che danno una rappresentazione del processo. Possiamo usare la (2-83) per "ricostruire" il segnale w( t) a partire dalle funzioni fPj(t) e dai particolari coefficienti aj. In questo caso, w(t) può essere ben approssimata utilizzando un numero finito (ragionevolmente piccolo) di funzioni fPj (t). La Figura 2-10 indica come è possibile sintetizzare w( t) sommando le funzioni fPj (t), opportunamente pesate con i coefficienti {aj} (segnale reale).
68
Capitolo 2 - Segnali e spettri Generatore di funzione l
Generatore di funzione 2
w(t)
/
Clock
Generatore di funzione N
'l'N(t)
Figura 2-10 Generazione di forme d'onda mediante l'uso di funzioni ortogonali.
2-5 SERIE DI FOURIER La serie di Fourier è un particolare tipo di rappresentazione su base ortogonale con funzioni sinusoidali oppure esponenziali complesse.15 Risulta molto utile per risolvere vari problemi nell' ambito delle telecomunicazioni.
Serie di Fourier in forma complessa La serie di Fourier in formacomplessautilizzal'insieme delle funzioniesponenzialiortogonali (2-87) dove n è un intero, To = (b - a) la lunghezza dell'intervallo su cui la serie (2-83) è definita, wo = 21T/Toe KIl = To. Dalla (2-83) deriva il seguente teorema. TEOREMA. Un segnale a energia finita può essere rappresentato sull' intervallo a < t < a + To dalla serie di Fourier n=oo
w(t) =
I
(2-88)
n =-00
15I matematici chiamano talvolta qualsiasi serie ortogonale
una serie di FOllrier.
2-5
Serie di Fourier
69
dove i coefficienti complessi dello sviluppo sono dati da 1 CII
e dove £Vo=
271/0
=
To
j
a+To
w(t)e-jll~t
a
dt
(2-89)
= 271/To.
Se la forma d'onda w(t) è periodica con periodo To, la rappresentazione mediante la serie di Fourier vale su tutto l'asse temporale (e cioè per -00 < t < +00), in quanto sia w( t) che ({JII( t) sono periodiche con lo stesso periodo. In questo caso, la scelta del parametro a è arbitraria e di solito è fatta scegliendo a = O oppure a = - To/2 per semplicità. La frequenza/o
=
l/To è chiamata/ondamentale,
mentre la frequenza n/o con n > 1
è la n-esima armonica. Il coefficiente di Fourier Corappresenta il valore medio della forma d'onda, in quanto con n = O, la (2-89) è identica alla (2-4). Il coefficiente CII[chiamato coefficiente di FOl!rierdel segnale w(t)] è complesso, ed è interpretabile come un fasore essendo il coefficiente di una funzione del tipo ejùJt,e la (2-88) è chiamata serie di Fourier in forma complessa. Elenchiamo adesso alcune proprietà della serie di Fourier in forma complessa: l. Se w(t) è reale, (2-90) 2. Se w(t) è reale e pari [cioè w(t)
= w(-t)), Im[clI) = O
(2-91)
3. Se w(t) è reale e dispari [cioè w(t) = -w(-t)), Re[clI) = O
4. Il teorema di Parseval è
;0 ja+TOIW(tWdt a
= 11=-00 lIioolclIJ2
(2-92)
5. I coefficienti della serie in forma complessa di un segnale reale sono legati a quelli della serie in forma rettangolare da [si vedano le (2-96)-(2-98)]
! CII =
ali
-
j!
bll,
ao, [
! a-Il + j!b-II,
n> O n= O n< O
(2-93)
6. I coefficienti della serie in forma complessa di un segnale reale sono legati a quelli della serie in forma polare da [si vedano le (2-106) e (2-107)]
! D ~, CII
= Do, [ ! D-Il /-CP-II'
n>O n =O no --=w(t)'P~(t)
dt r
=fs
IO --= W(f)~(f) dI
(2-166) I
Sostituendo la (2-164) otteniamo j,j2
an =
I-j,j2
W (f)e-j21r!(nj!,) dI
(2-167)
Poiché W(f) è per ipotesi zero per 111> B, dove B :5 fs /2 (segnale limitato in banda), gli estremi di integrazione possono essere estesi a (-00, 00) senza alterare il risultato. L'integrale coincide allora con la ATF di W(f) valutata per t = n/fs. Pertanto, an = w(n/J,), che è la (2-159). Usando questi coefficienti per ricostruire il segnale secondo la rappresentazione su base ortogonale (2-83), si ottiene esattamente la (2-160) che viene anche chiamata formula d'interpolazione cardinale. Dalla (2-167) è ovvio che la minima frequenza di campionamento necessaria per ricostruire il segnale senza errori è (fs)min
= 2B
(2-168)
La relazione!s :22B è anche chiamata condizione di Nyquist. Si può anche dimostrare che l'insieme di funzioni ortogonali (2-161) è completo per i segnali che soddisfano questa condizione Cerchiamo ora di capire se è possibile riprodurre un segnale a banda limitata utilizzando un numero N finito di campioni del segnale. Supponiamo di essere interessati a riprodurre il segnale su di un intervallo di durata To come mostrato in Figura 2-17a. Allora possiamo considerare nella serie in (2-158) solamente le funzioni 'Pn(t)che presentano massimo nell'intervallo di interesse. Pertanto, la forma d'onda può essere approssimativamente ricostruita mediante N campioni con la seguente formula d'intelpolazione:
n=nl+N w(t)
=
I
(2-169)
n=l1l
ove le {'Pn(t)} sono quelle della (2-161). La Figura 2-17b mostra il segnale ricostruito (linea continua) ottenuto da una somma pesata di funzioni (sin x)/x opportunamente ritardate (linea tratteggiata). I vari pesi an = w(n/fs) sono i campioni di segnale evidenziati con i punti. Questi campioni possono essere memorizzati su un file in un calcolatore per ricostruire il segnale successivamente, oppure possono essere trasmessi "in tempo reale" su di un canale di comunicazione per la ricostruzione del segnale al ricevitore mediante la (2-169). Il minimo numero di campioni necessari per ricostruire il segnale su di un intervallo di lunghezza To secondi è
2-7
Segnali e rumore a banda limitata
89
1(a) Segnale campionato
/"
/
-
~
,/
"
/ / I
/
I
/
\
I
2 B. Inoltre, la risoluzione in frequenza è buona in quanto si ha t1f = l/T = 0.1 Hz. Nell'uJtimo grafico della Figura 2-21 è mostrato lo spettro di ampiezza nell'intervallo O < f < fs, con J, = 12.8 Hz. Poiché nel programma MATLAB non è stata applicata la (2184b), la parte del grafico con O < f < 6.8 (fs/2 = 6.8 Hz) corrisponde allo spettro di ampiezza della TF per le frequenze positive, mentre la porzione con 6.4 < f < 12.8 corrisponde alle frequenze negative. Il lettore dovrebbe provare a fissare altri valori per i parametri M, tend e T in modo da verificare l'influenza degli errori di leakage, aliasing e picket-fence quando tali parametri non sono adeguatamente scelti. In particolare, perché si trovano notevoli errori se tend = T?
26 L'algoritmo
FFf
è un metodo veloce per il calcolo
della DFr.
Il numero di moltiplicazioni
com-
plesse richieste per la DFr è all'incirca N2, mentre la FFr (con N potenza di 2) richiede soltanto (N/2) log2N moltiplicazioni complesse. Pertanto, il guadagno che si ottiene con la FFr è 2N/(Iog2N), che ad esempio per N = 512 vale 113.8.
.I I
98
Capitolo 2 - Segnali e spettri TABELLA 2.3 CODICE MATLAB PER CALCOLARE LO SPETTRO DI UN IMPULSO RETTANGOLARE USANDO LA DFf % File: TABLE2_3.M; % Calcolo della FFT per il gradino troncato % Con 'tend' si indica l'estremo superiore M = 7;
del
gradino
= 2~M; n = O:1:N-1;
N
tend
= T/N;
dt t
= 1;
= 10;
T
= n*dt;
della forma d'onda nel dominio del tempo
% Generazione
w
=
zeros(length(t) ,1); for (i = l:l:length(w» if (t (i) '); ylabel
( 'theta
(f)
(gradi)
i primi
4 nulli');
O) ;
title('Spettrodi fase del segnaleper i primi 4 nulli'); gridi subplot
(313) ;
plot(f,abs(W») xlabel('f
; (Hz)
ylabel
( , W (f)
title
('Spettro
I
-->'); I
') ;
di ampiezzadel segnale sull'interoasse
delle frequenze della FFT');
Uso della DFT per il calcolo della serie di Fourier La DFf si può applicareancheper il calcolodei coefficientidellaseriedi Fourierin forma complessa.Dalla(2-89)siha
2-8
99
T
l Cn
Trasformata discreta di Fourier
f
=T
O w(t)e-j2'7TT1fotdt
Approssimando l'integrale con una sommatoria si ottiene N-I
Cn =
~T k=O I w(k
(2-185)
b.t)e-j(21T/N)nk b.t
dove t = k b.t,fo = l/T, dt = b.t, e b.t = T/N. Dalla (2-176) troviamo allora facilmente la relazione tra i coefficienti di Fourier desiderati e la DFf dei campioni di segnale: l (2-186) cn=-X(n) N
o
o
2
3
0.5
4
5
6
t(s)-
1.5
2
[(Hz) -
7
2.5
8
9
lO
3
3.5
4
3
3.5
4
Spettro di fase del segnale per i primi 4 nulli
~
-100
!':~ ......
'');
('w(t)
');
title('Segnale nel tempo'); pause; plot(n,abs(W), for line(
(i = [n(i)
'o');
l:l:length(n») n(i)],
[O abs
end; xlabel
( 'n'
) ;
ylabel (' IW(n) I'); title('Punti della axis([O 16 O 25])
pause;
FFT');
(W (i»)]);
al comando
predefinito:
fftshift
-2-9
TABELLA 2-4
-
-
Banda di un segnale
-
-. --~ - ~- _._~
.
.
103
CODICE MATLAB PER CALCOLARE LO SPETIRO
DI UNA SINU50IDE USANDO LA DFf (seguito) subplot (211) plot(fnl,abs(cn), for
(i =
line
'o');
1:1:1ength(n1»
( [fn1
(i )
xlabel
( 'f
(Hz)
ylabel
(,
fn1
( i)
],
[O
abs
( cn
( i)
) ] ) ;
end; I
c (n)
I
-->'); ') ;
title('SPETTRO DI AMPIEZZA, IW(f) I'); axis([-80 80 O 2]) subplot(212) plot(fn1, zeros (length(fnl) ,1), 'w',fn1,Theta,
i I
'o');
for (i = 1:1:1ength(n1» line
( [fn1 (i)
fn1 (i) L
[O Theta
(i) ] ) ;
end;
l'
xlabel
( 'f
ylabel
( 'theta
title('SPETTRO
(Hz)
-->');
(f) DI
(gradi)'); FASE,
i relativi circuiti devono
Theta(f)
avere
'I;
sufficiente
banda per far passare
il segnale
utile e reiettare
(cioè rigettare, scartare) i disturbi. Ma che cos'è questa larghezza spettrale, chiamata nelle telecomunicazioni banda? Come discuteremo di seguito, esiste più di una risposta a questa domanda, cioè esistono varie definizioni per questa quantità. Finché si utilizza la stessa definizione applicandola a vari tipi di segnale non sorgono particolari problemi. Se però si usano definizioni diverse diventa necessario disporre di "fattori di conversione" per passare da una definizione all'altra, e questi fattori purtroppo dipendono usualmente dal tipo di spettro considerato. Nelle applicazioni, la banda è universalmente considerata come l'estensione di un intervallo considerato soltanto sul semiasse positivo delle frequenze (si noti che stiamo considerando segnali reali e filtri aventi risposta impulsiva reale, per i quali lo spettro in ampiezza è pari rispetto all'origine). In altre parole, la banda di un segnale è una quantità del tipo h - I), doveh > Il ;:::Oe h e Il sono determinatecon un qualchecriterio in base alla definizione scelta. Per segnali e filtri in banda base normalmente Il è pari a zero. Per segnali passa-banda Il > Oe la banda Il < I :) IH(f)12 df In questo modo, la definizione diventa oo
l Beq
=
I £I("
\12
f
(2-192)
o IH(fW df
4. La banda al primo nullo per i sistemi passa-banda è h - fl, dove h è il primo nullo dello spettro d'ampiezza a destra di fo e fl è il primo nullo invece alla sinistra di fa, ove fa è la frequenza in cui lo spettro in ampiezza assume valore massimo.27 Per i sistemi in banda base, fl è come al solito nulla. 5. La banda a -x dB (una generalizzazione della banda a -3 dB) è h - fl, ove fl eh sono tali che lo spettro d'ampiezza IH(f)l2, per le frequenze nell'intervallo fl < f < h è non inferiore di una quantità prefissata, cioè x dB (tipicamente 20 o 50), rispetto al valore massimo. 6. La banda al 99% è h - ft, dove l'intervallo fl < f < h è quello in cui viene a
trovarsi il 99% della potenza totale del segnale. Nel Capitolo 6 definiremo anche la banda efficace, che è invece molto utile per i problemi teorici. Esempio 2-18 BANDADI UN SEGNALEBPSK Useremo un segnale BPSK (Binary Phase Shift Keyed) con modulazione di fase binaria come caso di studio per illustrare come si valuta la banda in base alle varie definizioni appena dale. Il segnale BPSK è (2-194) s(t) = m(t) cos wct dove Wc= 27Tfc,con!c frequenza portante, e m(t) è il segnale modulante binario (valori :t 1) prodotto da una sorgente di informazione dati digitale (un PC che scarica un file da Internet) come illustrato in Figura 2-23a. Valutiamo lo spettro di s(t) nel caso peggiore di massima banda occupata.
27 Nel caso di assenza di nulli nello spettri in ampiezza, la definizione
non è naturalmente
applicabile.
2-9
Banda di un segnale
105
m(t) 1.0
t-1.0 (a) Segnale digitale modulato
I I
"\
"
CfI'(f)
I \
, \ , \
\
, ,
, , ,, I,
, , ,I, ,,,
, ,
-fc -R
-fc +R
fc-R
fc +R
!-
(b) Spettro del segnale BPSK risultante
Figura 2-23
Spettro del degnaIe BPSK.
Lo spettro nel caso peggiore si ha quando il segnale dati modulante è costituito da una continua alternanza di livelli + l e -l, come mostrato in Figura 2-23a. Qui il livello logico + 1 è rappresentato da un impulso di + I V mentre il livello logico -I è un impulso di ampiezza -I V; la velocità di informazione è R = I/Tb bit/s e il segnale è un'onda quadra. Lo spettro di potenza (DSP) dell' onda quadra può essere calcolato mediante sviluppo in serie di Fourier come nelle (2-126) e (2-120):
Cfl'm(J)
= n~-=
ICnl28(J - nfo)
(2-195)
= n~-=[sin~:;~2)r 8(f - n~) n"2(t) dt =
l sin 2mdt = - cos 2m
~
J-0.5
a
27T
. 1
-0.5
-1 = [cos 7T- cos( -7T)] = O 21T
Dato chel'integrale è nullo, la (2-77) è verificata.Di conseguenza,n(t) e sin 2m sonoOTtogonali su -0.5 < t < 0.5. [Nota: Le due funzioni non sono ortogonali sull'intervallo O < t < l, in quanto !'integrale è diverso da zero e vale l/m.]
EA2-7 Uso della SF per valutare la DSP Trovare la SF e la DSP del segnale rappresentato in Figura 2-24. Nell'intervallo O< t < l, v(t) è pari a e'. Soluzione.
Dalle (2-88) e (2-89), dove To = 1 e % = 27T/To = 27T,si ha
=
c n
I
l.
e'e-jnZ"./ dt
l
O
e
-
l
l - j27Tn
=
l
e(1-jZ".n)/
=
-
j27Tn O I
l
1.72
l - j6.28n
Perciò, 00
v(t)
=
1.72
L n=~
l -ej'z".n/ l - j6.28n
Poiché v(t) è periodico, la DSP è costituita da una serie di funzioni delta come quelle nella (2-126), dove/o = l/To. 00
ovvero
2.95 8(f - n) 1!/'(f) = -= l + (39.48)nZ
L 00
EA2-8 Proprietà della SF w(t)
= -w(t
Soluzione.
Il segnale w(t) è periodico di periodo To, e alternativo, cioè
:!: To/2). Dimostrare che Cn
= O per
n pari.
Utilizzando la (2-89) e il fatto che w(t) 1
Cn
=-
To
I
~~
o
w(t)
. l e-jnl4J/ dt - -
To
Ora, eseguendo un cambiamento di variabile, con ti nel secondo, si ha
= -w(t
- To/2), si ottiene
T
fTo/2
.
w(t - To/2) e-jnl4J/ dt
= t nel primo
integrale e ti
=t -
To/2
2-11
1
TO/2.
To fo
=Ma (1 - èjn 17) = O per n
= ...-
Esercizi di approfondimento
111
.
w (tdeln""'lt (1 - e-lnl7) dtl
2, O, 2. ... Così, Cn= O se n è pari. Lo spettro di un se-
gnalealternativocontienesolo armonichedispari. EA2-9 Calcolo della ATF mediante anti-FFT La (2-184) indica come approssimare una TF continua mediante la trasformata di Fourier veloce (FFf). a. Ricavare una formula che indichi come approssimare l'antitrasformata continua con una 10FT.
b. Data la risposta
in frequenza del filtro RC passa-basso H(f)
dove fo
=
=
l
1 Hz, utilizzare la anti-FFf di MATLAB per calcolame la risposta impulsiva
h(t). Soluzione.
(a) Dalla (2-30), l'antitrasformata continua è
Con riferimento alla discussione che ha condotto alla (2-184), possiamo approssimare la relazione precedente con w(kIlt)
= "i,W(ntJ.f)ej217nl:.jkl:.t tJ.f
Ma tJ.t= T/N, tJ.f = 1fT, eJs = 1/tJ.t,perciò
Utilizzando la definizione di 10FT data dalla (2-177), si trova che l'ATF continua è legata alla 10FT da
w(ktJ.t) = !sx(k)
(2-207)
dove x(k) è il k-esimo elemento del vettore a N elementi della DFT. Come già detto nella discussione che ha condotto alla (2-184), gli elementi del vettore X sono scelti in modo che i primi N /2 elementi siano i campioni delle componenti a frequenza positiva di W(f), dove f = nJ1f, mentre i rimanenti N /2 elementi corrispondono ai campioni per le frequente negative. (b) Il lettore esegua il file SA2_9.M per ottenere il grafico di h(t) mediante una IFFf e la (2-207). Consideri poi la funzione calcolata numericamente e la confronti con quella valutata analiticamente e mostrata in Figura 2-15b, dove 7"0= RC = 1/(271/0).
112
Capitolo 2 - Segnali e spettri
ESERCIZI PROPOSTI 2.1 2-2
Utilizzare l'operatore di media temporale per mostrare che il valore efficace di un segnale sinusoidale con valore di picco A e fr~quenzafo, è A/fi. Un generatore di funzioni produce il segnale periodico mostrato in Figura EP2-2. v(t)
t-1 Figura EP2-2
2-3
(a) Trovame il valore medio. (b) Trovame il valore efficace. (c) Se il segnale è applicato a un carico di 1000 n, qual è la potenza dissipata? La tensione applicata ai capi di un carico è data da v(t) = Ao cos Wot,e la corrente che fluisce attraverso il carico è un'onda quadra, i(t) = lo n~~
2-4
2-6
-
n(t -
nT~0/2(To/2))]
dove Wo= 27T/To.To = l sec, Ao = lO V, e lo = 5 mA. (a) Trovare l'espressione della potenza istantanea e disegnare qualitativamente il risultato in funzione del tempo. (b) Trovare il valore della potenza media. La tensione applicata ai capi di un carico di 50 n è data dalla rettificazione a singola semionda di un segnale cosinusoidale, cioè
v(t) =
2-5
[n(t ;0;;0)
lO cos Wot, { O,
se It - nTol < To/4 altrimenti
dove n è un intero. (a) Disegnare qualitativamente il grafico della tensione e della corrente in funzione del tempo. (b) Trovare il valore medio della tensione e della corrente. (c) Trovare il valore efficace della tensione e della corrente. (d) Trovare il valore medio della potenza dissipata nel carico. Per l'Esercizio 2-4, trovare l'energia dissipata nel carico durante un intervallo di un'ora con To = 1 s. Dire per ciascuno dei seguenti segnali se è a energia o a potenza finita, e trovame la corrispondente energia o potenza normalizzata: (a) w(t) = n(t/To).
Esercizi proposti
113
= TI(t/To)cos UJot. (c) w( t) = COS2 UJot. Un wattmetro (misuratore di potenza) fornisce il valore della potenza media all'uscita di un trasmettitore. L'uscita del trasmettitore alimenta un carico di 75 O e il wattmetro fornisce la lettura di 67 W. (a) Qual è il livello di potenza in dBm? (b) Qual è il livello di potenza in dBk? (c) Qual è il livello in dBmV? (b) w(t)
2-7
2-8
Un segnalecon un valoreefficace Verrnotoè applicatoa un caricodi 50 O. Ricavareunafor-
2-9
Un amplificatore è collegato a un carico di 50 O ed è alimentato da una sorgente di corrente sinusoidale, come illustrato in Figura EP2-9. La resistenza di uscita dell'amplificatore è IO O e la resistenza di ingresso è 2 kO. Valutare il guadagno del circuito in dB.
mula per il calcolo del livello in dBm a partire da Veff.
Generatore di corrente sinusoidale
50n
Amplificatore
[eff= 0.5 mA
=
Veff \O V
Figura EP2-9 2-10
Il valore efficace della tensione ai capi di un'antenna da 300 O in un ricevitore FM è 3.5 /LV. (a) Trovare la potenza di in,;resso in watt. (b) Valutare il livello della potenza di ingresso rispetto l mW (dBm). (c) Quale sarebbe il livello di tensione (in microvolt) a parità di potenza d'ingresso se la resistenza di ingresso fosse 75 O invece di 300 O?
2-11
Qual è il fasore che corrisponde alla tensione v(t)
2-12 2-13
Un segnale è w(t) = 3 sin(IOOm - 30°) + 4 cos(IOOm). Trovare il corrispondente fasore. Trovare la trasformata di Fourier del segnale e -at
w(t) = { O, 2-14
Trovare la TF di w(t)
=
,
12 sin(UJot - 25°), dove UJo= 200017'?
t? I t
Archi di sinusoide per s( f) > O
A 2
3
4
-A
5
6
(-
Figura EP2-45 2-46
Determinare se SI (f) e S2(f) sono ortogonali sull'intervallo (~T2 < f < ~T2), dove SI(f) = AI COS(Wlf + C'pd,S2(f) = A2 COS(Cù2f+ 1p2),e Cù2= 27T/T2 nei seguenti casi: (a) Wl
=
(b) Wl
= Cù2e
Cù2 e C'pl
C'pl
= =
(c) Wl = Cù2e C'pl= (d)
Wl
(e) Wl
(f) Wl
2-47
1p2.
lp2+ 7T/2. lp2
+
7T.
= 2Cù2 e C'pl = 1p2. = ~Cù2e C'pl = 1p2.
= 7TCù2e C'pl= 1p2.
Trovare il valore efficace del segnale s( f) zione di AI e A2 nei seguenti casi: (a) Wl
=
Cù2e C'pl
(b)
=
Cù2 e C'p\
Wl
(c) Wl
= Cù2e
(d) Wl
= 2Cù2 e
(e) Wl
C'p.
= 1p2. =
lp2
=
lp2 + 7T.
+ 7T/2.
C'ple 1p2.
= 2Cù2e C'pl=
lp2+ 7T.
= A I cos(
Wlf + C'pd + A2 cos( Cù2f+ 1p2)in fun-
118
Capitolo 2 - Segnali e spettri 2-48
Dimostrare che 00
I
00
I
8(t - kTo) H /0
k=~
dove/o = llTo. [Suggerimento: Espandere I.r=~ colarne la trasformata di Fourier.]
2-49
8(/ - n/o)
k=~
8(t - kTo) in serie di Fourier e poi cal-
Per le tre funzioni rappresentate in Figura EP2-49: (a) Mostrare che sono a due a due ortogonali sull'intervallo (-4, 4). (b) Normalizzarle. (c) Rappresentare il segnale 0$t$4
l, w(t)
altrove
= {O,
sulla base ortonormale trovata al punto (b). (d) Valutare l'errore quadratico medio per la serie ottenuta al punto (c) calcolando 4 8
=
f
-4 [
W(t)
-
Ì
J=I
ajcpj(t) 2 dt ]
Oe a > O. (a) Calcolare i coefficienti di Fourier del segnale d'uscita y(t) = x(t) * h(t). (b) Calcolare la potenza di questo stesso segnale y(t).
2-53
Trovare la serie di Fourier in fonna complessa del segnale periodico di Figura EP2-2.
2-54
Trovare i coefficienti della serie di Fourier in fonna complessa del treno di impulsi mostrato in Figura EP2-54 in funzione di A, T, h, e TO.[Suggerimento: Il risultato può essere ridotto a un fattore tipo (sin x)/ x moltiplicato per il coefficiente complesso ej8.(TO>.] s(t)
5T
Figura EP2-54
t-
120
Capitolo 2 - Segnali e spettri 2-55
Del segnale illustrato in Figura EP2-55 (a) trovare la serie di Fourier in forma complessa; (b) trovare la serie di Fourier in forma rett3.Qgolare. w(t) 2
2
-2
4
6
t-
Figura EP2-55 2-56
Il Ij I I i
Del segnale periodico s(t) = I.:;"=-oop(t - nTo), dove At,
p(t) = { o,
Ox(f)= [l + (27TI/B)2]2 dove K > Oe B > O. (a) Trovarne la banda a 3 dB in funzione di B. (b) Trovarne la banda equivalente di rumore in funzione di B. Il segnale x(t) = e-4001rlu(t) è applicato a un filtro ideale passa-basso la cui funzione di trasferimento è
H(f)
l, = { O,
1/1:5 B III >B
Trovare il valore di B tale che l'energia del segnale all'uscita del filtro sia la metà di quella d'ingresso. 2-73 Mostrare che la potenza media nonnalizzata di un segnale può essere calcolata valutando l'autocorrelazione
Rw(or) per or =
O,cioè P = Rw(O).
[Suggerimento: Riferirsi alle (2-69) e (2-70).] 2-74
2-75
Il segnale x(t) = 0.5 + 1.5 cos[G)m] + 0.5 sin[G)m] V passa attraverso un filtro passabasso RC (si faccia riferimento alla Figura 2-15 a), dove R = l .n e C = l F. (a) Qual è la DSP di ingresso (jJ> x(f)? (b) Qual è la DSP di uscita (jJ>y(f)? (c) Qual è potenza nonnalizzata in uscita Py? L'ingresso al filtro passa-basso RC di Figura 2.15 è x(t)
= 0.5
+ 1.5 cos wxt + 0.5 sin wxt
Se la frequenza di taglio è lo = 1.51x; (a) trovare la DSP di ingresso (jJ>x(f); (b) trovare la DSP di uscita (jJ>y(f); (c) trovare la potenza nonnalizzata dell'uscita y(t). 2-76 Utilizzando MATLAB, disegnare il grafico del modulo e della fase della risposta in frequenza del filtropassa-bassomostrato in Figura EP2-76, dove R l = 7.5 k.n, R2 = 15 k.n, e C = 0.1 }LF.
Esercizi proposti
x(t)
c
123
y(t)
Figura EP2.76 2.77
La Figura EP2-77 è lo schema di unfiltra a pettine. Se Td = 0.1, (a) disegnare il grafico della risposta in ampiezza del filtro; (b) disegnare lo spettro d'ampiezza dell'uscita xCt) = TICtIT), quando l'ingresso è !f(f)I, dove T = l.
.. y(t)
x(t)
Figura EP2.77
2-78
Il segnale xCt) = TI(t - 0.5) passa attraverso un filtro H(f) = TI(f IB). Disegnare il segnale in uscita quando (a) B = 0.6 Hz. (b) B = 1 Hz.
(c) B 2-79
2-80 2-81
2-82
con
risposta
in frequenza
= 50 Hz.
Si consideri l'effetto della distorsione di un filtro passa-basso RC. Un' onda quadra ad ampiezza unitaria con duty-cycle del 50% è data in ingresso a tale filtro avente banda a -3 dB pari a 1500 Hz. Utilizzando un PC o una calcolatrice programmabile, disegnare il grafico del segnale di uscita quando la frequenza dell'onda quadra è (a) 300 Hz (b) 500 Hz (c) 1000 Hz [Suggerimento: Espandere l'onda quadra in serie di Fourier.] Un segnale x( t) ha DSP costante [cioè
2-83 Utilizzando un programma al calcolatore, si valuti la DFT dell'impulso rettangolare TICt).In particolare, considerare cinque campioni dell'impulso e 59 zeri in modo da utilizzare un algoritmo FFT a 64 punti. Rappresentare il modulo della FFT e considerare il vero spettro dell'impulso, commentando le eventuali differenze con quello ricavato numericamente. Provare
124
Capitolo 2 - Segnali e spettri
.-jI
altre combinazioni del numero dei campioni dell'impulso e degli zeri di riempimento per verificare i cambiamenti dell 'uscita della FFf. 2-84
Utilizzando la DFf, calcolare e disegnare!o spettro di A(t). Verificare i risultati con quelli dati nella Figura 2-6c.
2-85
Utilizzando la DFf, calcolare e disegnare IW(f)1 per l'impulso mostrato in Figura EP2-24, dove A = l, tI = l s, e t2 = 2 s.
2-86
È dato il segnale
dovei. = lO Hz eh = 25 Hz. (a) Utilizzando la DFf, calcolare e disegnare IW(f) 1e 8(f). (b) Utilizzando la DFf, calcolare e disegname la DSP 'lPw(f). (c) Confrontare i risultati ottenuti nei punti (a) e (b) con quelli ottenuti analiticamente. 2-87
Utilizzando la DFf, calcolare e disegnare IS(f)1 per il segnale periodico mostrato in Figura EP2-45, dove A = 5.
2-88
La risposta in frequenza per un filtro a coseno rialzato è H(f)
0.5[ l = °, {
+ cOS(0.57Til/o», se ,Ii 1
~2io
altnmenh
2-89
Utilizzando la IFFf, calcolare la risposta impulsiva h(t) di questo filtro conio = l Hz. Confrontare i risultati con quelli mostrati nella Figura 3-26b per r = l. È dato il filtro passa-basso mostrato in Figura 2-15, dove il = IO Hz e h = 25 Hz. (a) Trovame la banda equivalente di rumore in funzione di R e C. (b) Trovame la banda al primo nullo. (c) Trovame la banda assoluta.
2.90
La DSP di un segnale è
'lPs(f)
2.91 2.92
=
2
sin(7T/IBII) [
7TilBII
]
dove BIIè la banda al primo nullo. Trovare l'espressione della banda equivalente di rumore in funzione della banda al primo nullo. La Tabella 2-5 riporta la banda del segnale BPSK secondo sei differenti definizioni. Utilizzando le definizioni e la (2-201), verificare tali risultati. È dato l'impulso triangolare s(t) (a) (b) (c) (d)
Trovarne Trovarne Trovarne Trovarne
la banda la banda la banda la banda
= A(tITo)
assoluta. a 3 dB in funzione di To. equivalente di rumore in funzione di To. al primo nullo in funzione di To.
Punti principali
.
. . .
. .
Codifica digitale
dei segnali analogici (Pulse-Code Modulation e modulazione delta) Segnali digitali binari e multilivello Spettro e banda
dei segnali digitali Riduzione dell'interferenza intersimbolica Multiplazione
a suddivisione di tempo Trasmissioni a pacchetto
SEGNALI DIGITALI E A IMPULSI IN BANDA BASE
3-1 GENERALITÀ Questo capitolo illustra la codifica di fonne d'onda analogiche (prodotte cioè da sorgenti analogiche) in segnali digitali in banda base. Come vedremo, è possibile "approssimare" un segnale analogico mediante codifica digitale con il grado di approssimazione desiderato. Scopriremo anche come elaborare il segnale digitale in banda base in modo da rendere minima l'occupazione spettrale (banda). I segnali digitali sono molto diffusi per il basso costo dei circuiti digitali e la relativa flessibilità di un approccio digitale. La flessibilità si riferisce alla possibilità di far coesistere i dati originati direttamente da sorgenti digitali con quelli derivati da sorgenti analogiche in modo da costituire un sistema di comunicazione di uso generale (generalpurpose). I segnali interessati alla conversione analogico-digitale sono in banda base. I segnali digitali in banda passante si ottengono attraverso la modulazione di una portante da parte di un segnale in banda base, come descritto nel Capitolo 1.
126
Capitolo 3
- Segnali
digitali e a impulsi in banda base
Questo capitolo tratta principalmente i seguenti 4 punti.
. .
. .
Studiare i metodi di conversione di un segnale analogico in uno digitale. La tecnica più diffusa è la cosiddetta tecnica PCM (Pulse-Code Modulation). Calcolare lo spettro dei segnali digitali Esaminare il problema del filtraggio dei segnali digitali a impulsi e determiname l'influenza sul recupero dell'informazione digitale al ricevitore. Il filtraggio può infatti produrre il fenomeno della inteiferenza intersimbolica sul segnale dati ricevuto. Analizzare la possibilità di multiplare (cioè combinare) i flussi di dati prodotti da più sorgenti digitali in un singolo flusso digitale ad alta velocità. Studieremo in particolare la tecnica della multiplazione a suddivisione di tempo (TDM, Time-Division Multiplexing).l
Un problema ulteriore di grande importanza nei sistemi di comunicazione è la presenza del rumore, che può causare errori nel flusso digitale di uscita. Tale questione verrà analizzata nel Capitolo 7, poiché necessita della conoscenza preventiva di concetti probabilistici che sono presi in considerazione nella seconda parte del volume.
3-2 PULSE-AMPLITUDE MODULATION (PAM) La modulazione d'ampiezza di un impulso (PAM, Pulse-Amplitude Modulation) si incontra ogniqualvolta si converte un segnale analogico in un segnale "a impulsi", dove l'ampiezza di ogni impulso rappresenta sostanzialmente l'informazione analogica. In generale, la conversione da segnale analogico a PAM è il primo stadio nella conversione di un segnale analogico in digitale PCM. In alcune applicazioni ormai tecnologicamente superate il segnale PAM veniva usato direttamente senza la necessità della ulteriore conversione PCM. Lo scopo di un segnale PAM è quello di costruire un segnale analogico costituito da un treno d'impulsi (modulati) che contiene tutta l'informazione presente nel segnale di partenza. Usando segnali impulsivi, ci aspettiamo che la banda del segnale PAM sia più grande di quella del segnale di partenza; i segnali impulsivi sono però di uso più pratico per i sistemi digitali. Vedremo che la cadenza di emissione degli impulsifs per la PAM è quella stessa richiesta dal teorema del campionamento, e cioè fs 2: 2B, dove B è il limite di banda del segnale analogico e 2B è nota come frequenza di Nyquist. Possiamo classificare i segnali PAM in due grandi classi: quelli ottenuti per campionamento naturale tramite una porta, e quelli ottenuti per campionamento istantaneo con .
impulsirettangolari.Questisegnalisono rappresentatirispettivamentenelle Figure 3-1 e 3-5. L'impulso rettangolare è più utile per la conversione PCM; il campionamento naturale è però più semplice da realizzare ed è stato per molto tempo il più usato. Campionamento
naturale
DEFINIZIONE.Se w( t) è un segnale analogico con banda limitata a B hertz, il segnale PAM con campionamento naturale è ws(t) I Le tecniche di multiplazione Capitoli 5 e 8.
a suddivisione
= w(t)s(t) di frequenza
(3-1) e a suddivisione
di codice sono trattate nei
3-2
Pulse-Amplitude
127
Modulation (PAM)
w(t)
t(a) Segnale analogico in banda base
s(t)
1-
Ts (b) Onda rettangolare
con fattore di attività d
= T/Ts = 1/3
ws(t)
1o
~
(c) Segnale PAM risultante (campionamento
Figura 3-1
naturale, d = T/Ts = 1/3)
Segnale PAM ottenuto con campionamento naturale.
dove
s(t) = k~OOn( t - 7kTs) è un treno di impulsi rettangolari aventi ciascuno durata 't e!s
(3-2)
= l/Ts
2:: 2B.
TEOREMA. Lo spettro di un segnale PAM con campionamento naturale è 00
Ws(f)
= ~[wAt)] = d
I
n=-oo
sin7md 7md W(f
-
nfs)
(3-3)
128
Capitolo 3 - Segnali digitali e a impulsi in banda base dove fs = l/Ts, Ws = 271fs, il fattore di attività (duty cycle) di s(t) è d = r/Ts, e W(f) = ~ [w( t)] è lo spettro della forma ."d'onda originaria.
Dimostrazione. Calcolando la trasformata di Fourier di entrambi i membri dell'equazione (3-1) si ha (3-4) Ws(f) = W(f) * S(f) D'altronde s(t) può essere espanso in serie di Fourier come segue: 00
(3-5a) n =-00
dove CII
=d
(3-5b)
sin n1Td n1T.
Poiché s(t) è periodica, possiamo usare (2-109) per otteneme lo spettro: 00
S(f)
= ~[s(t)] =
I
(3-6)
c1I8(f - n/s)
n=-oo
cosicché la (3-4) diventa
Ws(f)
= W(f) * C~-OO c1I8(f
- nf.,))
=
II~-OO
CII
W(f) * 8(f
-
n/s)
ovvero 00
Ws(f)
=
I
CII
(3-7)
W(f - nfs)
n =-00
che coincide con la (3-3) non appena sostituiamo la (3.5b).
Ir'
Il segnale PAM con campionamento naturale è relativamente semplice da realizzare, poiché richiede soltanto l'uso di una porta (switch) analogica (ad esempio, la porta bilaterale quadrupla 4016 in tecnologia CMOS). Uno schema di principio è mostrato in Figura 3-2, ove sono riportati i vari segnali w(t), s(t) e ws(t) sopra definiti.
I ,I
Inerruttore analogico bilaterale
wsCt)
w(t)
,
s(t)
I
= w(t)s(t)
-
Clock
Figura 3.2
Generazione del segnale PAM con campionamento naturale.
-
,---
-..
3-2
- ---
Pulse-Amplitude
Modulation (PAM)
129
Abbiamo dunque ricavato lo spettro di un segnale PAM con campionamento naturale (3-3) in funzione dello spettro del segnale analogico di partenza. Questa relazione è rappresentata in Figura 3-3 per un segnale di partenza che ha uno spettro rettangolare, un duty-cycle pari a 1/3 e per una frequenza di campionamento /s = 4B. Come ci si aspettava, lo spettro del segnale analogico d'ingresso viene replicato sui multipli della frequenza di campionamento, e questa proprietà è simile a quella dello spettro di un segnale campionato studiato nel Paragrafo 2-7 (si veda in particolare la Fig. 2-18). Per questo esempio, in cui il fattore di attività è pari a 1/3, si nota che lo spettro del segnale PAM è nullo alle frequenze :!:3/s,:t.6/secc., poiché le relative componenti frequenziali sono annullate dalla funzione (sin x)/x. Dalla figura si nota anche che la banda del segnale PAM è molto più grande di quella del segnale di partenza. Nell'esempio di Figura 3-3b, la banda al primo nullo dell'inviluppo
del segnale è 3/s
=
l2B; dunque la banda è cresciuta di
un fattore pari a 12 rispetto al segnale di partenza. In ricezione, il segnale analogico w(t), può essere recuperato filtrando il segnale PAM in un filtro passa-basso con frequenza di taglio ws(t), tale che B < [taglio < /s - B. Confrontando infatti la Figura 3-3b con la 3-3a, si vede chiaramente che il segnale all'uscita del filtro passa-basso ha uno spettro con lo stesso andamento di quello di quello di partenza. Pertanto, il segnale analogico viene ricostruito a meno di una costante moltiplicativa che può essere facilmente compensata con un amplificatore. L'uguaglianza tra questi spettri (e perciò anche tra il segnale originale e il ricostruito) può sussistere solo quando /s ~ 2B, altrimenti le componenti frequenziali delle varie repliche dello spettro originaIW(f)1
r-+-
-B
1-
B
(a) Spettro di ampiezza del segnale analogico di ingresso
IWs(f) I
:~J (di
sin;::dJ i) IW(f- nls)l}
H
-----
----3fs
-2fs
-fs
-B
(b) Spettro di ampiezza del segnale PAM (campionamento
Figura 3-3
Sin;W;f>I)
--/-B
naturale) con d
21s
= 1/3 e/s
=4 B
Spettro del segnale PAM ottenuto con campionamento naturale.
31s
1-
130
Capitolo 3 - Segnali digitali e a impulsi in banda base
rio si sovrapporrebbero, in accordo con la condizione di Nyquist per il corretto campionamento. Se il segnale di partenza è sottocampionato (fs < 2B), l'effetto della sovrapposizione spettrale delle repliche è chiamato a]jasing, e il segnale ricostruito è distorto (errore di aliasing). In pratica, tutti i segnali fisici hanno durata limitata, quindi (si veda il Cap. 2) non possono essere rigorosamente limitati in banda: un certo ammontare di aliasing sarà sempre presente nel segnale PAM [Spilker, 1977]. Per ridurre questo fenomeno, il circuito che realizza la PAM viene preceduto da un (pre) filtro passa-basso chiamato anti-aliasing. La Figura 3-4 descrive una maniera alternativa di recuperare il segnale analogico a partire da quello PAM attraverso il cosiddetto rivelatore a conversione (o a prodotto). La moltiplicazione per il segnale sinusoidale a frequenza lLU= nlAJsriporta in banda base (cioè attorno a f
=
O) la banda del segnale PAM centrata attorno alla frequenza n
= °, stessa.
In alcuni casi, questa banda frequenziale contiene meno disturbi di quella originariamente attorno alla n = °, e questo giustifica la complessità addizionale del circuito di demodulazione.
Campionamento
istantaneo
(PAM con impulso rettangolare)
I segnali analogici possono anche essere convertiti in segnali a impulsi usando il campionamento istantaneo con impulso rettangolare mostrato in Figura 3-5. Questa tecnica è un'altra generalizzazione del campionamento a treno d'impulsi visto nel Paragrafo 2-7. DEFINIZIONE.Dato un segnale w(t) a banda limitata B, il segnale PAM con campionamento istantaneo è dato da 00
=
ws(t)
I
w(kTs)h(t
k=-oo
(3-8)
- kTs)
Moltiplicatore analogico (moltiplicatore a quattro quadranti)
w.(t) PAM (campionamento naturale)
Cw(t) Filtro passa-basso, H(f)
H(f) Oscillatore CtJo=nws
- flaglio
flaglio fdove B T/2
(3-9)
132
Capitolo 3 - Segnali digitali e a impulsi in banda base
TEOREMA. Lo spettro di un segnale PAM con campionamento istantaneo a impulso rettangolare è 00
l Ws(f) = -H (f) T.r
L
(3-10)
W(f - k/s)
k =--00
dove
H(f)
= ~[h(t)] =
sin 7TTf T
(
7TTf
(3-11)
)
Questo tipo di segnale PAM consiste sostanzialmente in campioni "istantanei", visto che w(t) è campionato agli istanti t = kTs e i campioni w(kTs) detenninano l'ampiezza degli impulsi nel treno campionatore (Fig. 3-5c). Il segnale PAM a impulso rettangolare può essere generato dai circuiti elettronici detti "sample & hold" (campiona e mantieni) o "a mantenimento". Altri tipi di impulsi campionatori oltre il rettangolare possono essere usati nella (3-8). In particolare, se h(t) è del tipo (sin x)/x e gli impulsi in w(t)sono sovrapposti, allora la (3-8) è identica alla (2-158) ricavata per il teorema del campionamento, e la fonna d'onda PAM diventa identica a quella analogica originale. Dimostrazione. Lo spettro del segnale con campionamento istantaneo si trova calcolando la trasfonnata di Fourier della (3-8). Innanzitutto riscriviamo quest'ultima usando un' operazione di convoluzione: ws(t) = LW(kTs)h(t)
* 8(t - kTs)
k
= h(t)
* Lw(kTs)
ws(t)
= h(t)
* [w (t)
~
Ws(f)
= H(f)
[W (f)
*
8(t - kTs)
k
Dunque
8(t - kTs)]
e lo spettro è
~
e-j21T! kT
j
(3-12)
Dalle formule di Poisson, sappiamo che la serie esponenziale a secondo membro è equivalente (nel dominio della frequenza) a un treno di impulsi di Dirac: (3-13a) dove (3-13b)
3-2
Pulse-Amplitude
133
Modulatioo (PAM)
Usando questa relazione nella (3-12) si ottiene
[
Ws(J) = H(J)
* .J...
W(J)
= .J...H(J) Ts
Ts
[I
k
I
8(J
-
kfs)
k
*
W(J)
8(J - kfs)
] ]
che coincide con la (3-10). Lo spettro della PAM con campionamento istantaneo rettangolare è rappresentato in Figura 3-6 ancora per un segnale di partenza con spettro rettangolare. Il segnale analogico può ancora essere recuperato con un filtro passa-basso, ma in questo caso c'è una distorsione sul segnale causata da un effetto filtrante dell'impulso di campionamento h(t) (distorsione d'apertura). Questo effetto può essere ridotto diminuendo la durata dell'impulso 'T(la cosiddetta apertura, appunto) o modificando la risposta in frequenza del filtro di ricostruzione. In questo caso, il filtro passa-basso si chiama filtro equalizzatore (o equalizzatore d'apertura) e ha una risposta in frequenza pari a 1/H(J). Trasmettere un segnale
IW(f)1
--r---
r--I-
-8
8
!-
(a) Spettro di ampiezza del segnale analogico di ingresso
IWs(f)1 = (is IH(f)I)n~lW(f
- kfs)1 ,in(1T1j)
.J...IH(f)I=~
I
1
'/.Ts
Ts
1Trf
..-.....-3fs
-2fs
-fs
fs
2!s
3!s
!(b) Spettro di ampiezza del segnale PAM (campionamento
Figura 3.6
impulsivo), TITs
= 1/3 efs =48
Spettro del segnale PAM ottenuto con campionamento impulsivo.
134
Capitolo 3 - Segnali digitali e a impulsi in banda base
La trasmissione di un segnale PAM (con campionamento sia naturale sia istantaneo) richiede un canale di comunicazione a larga banda a causa della ridotta durata degli impulsi. La banda necessaria è molto maggiore cij quella del segnale analogico originario, e le prestazioni del sistema PAM quando il rumore non è trascurabile sono inferiori a quelle del corrispondente sistema analogico che opera nelle stesse condizioni. Conseguentemente, piuttosto che essere utile per trasmissioni a lunga distanza, la PAM costituisce una maniera per convertire il segnale analogico in digitale PCM (vedi il paragrafo successivo). La modulazione PAM è però anche un modo di "confinare" il segnale analogico in intervalli temporali (time slot) ben definiti e molto stretti. In questo modo, segnali PAM multipli possono essere "interlacciati" giocando su ritardi temporali opportuni in modo da "multiplare" l'informazione di più sorgenti su di un singolo canale di trasmissione. Questa operazione è chiamata multiplazione a suddivisione di tempo e sarà oggetto del Paragrafo 3-9.
3-3 PULSE-CODE MODULA nON
(PCM)
DEFINIZIONE.La modulazione con codice a impulsi (PCM, Pulse-Code Modulation) è essenzialmente un tipo particolare di conversione analogico-digitale in cui l'informazione contenuta nel campione (istantaneo) di un segnale analogico viene rappresentata attraverso "parole di codice" digitali organizzate in un flusso di dati binari.
Se ciascunadelle paroledigitaliha n bit, esistonoM = 2n parole di codicedistin-
..
te, e ciascuna parola rappresenta un diverso livello di ampiezza del segnale. D'altronde i campioni del segnale analogico assumono in teoria un numero infinito di livelli, cosicché siamo costretti a usare quella parola digitale corrispondente al livello di ampiezza che meglio rappresenta il campione dato. Questa è in sintesi l'operazione di quantizzazione. Dunque, l'esatto valore w(kTs) del campione del segnale analogico viene rimpiazzato dal valore più vicino, tra gli M "permessi" corrispondenti alle parole di codice. Altri tipi molto diffusi di conversione analogico-digitale, come la modulazione delta (DM, Delta Modulation) e il PCM differenziale (DPCM) saranno discussi successivamente. La PCM è molto diffusa per diverse ragioni, tra cui le seguenti.
. .
La circuiteria che realizza tale tecnica è essenzialmente digitale e a basso costo. Segnali PCM derivanti da tutti i tipi di sorgenti analogiche (audio, video, voce ecc.)
possono essere multiplati con segnali dati (trasferimento file, comunicazioni tra calcolatori) e possono essere trasmessi su di un'unica rete digitale. Questo tipo di coesistenza può essere realizzato attraverso tecniche di multiplazione a suddivisione di tempo, e sarà oggetto di studio nei prossimi paragrafi.
.
.
Nei sistemi di telefonia digitale a lunga distanza con ripetitori, all'uscita di ogni ripetitore è possibile rigenerare un segnale PCM "ripulito" dai disturbi presenti sul segnale PCM d'ingresso. Purtroppo, tali disturbi possono occasionalmente generare errori sui valori dei bit ritrasmessi in uscita. Le prestazioni di un sistema digitale nei confronti del rumore possono essere superiori sa quelle di un sistema analogico. Inoltre, la probabilità di un errore in uscita
- I
3-3
Pulse-Code Modulation (PCM)
135
a un ripetitore può essere ulteriormente ridotta con l'uso di specifiche tecniche di codifica, come accennato nel Capitolo 1.
I
Questi vantaggi più che bilanciano normalmente lo svantaggio principale del PCM, e cioè la necessità di una banda sensibilmente più larga di quella del corrispondente segnale analogico. Campionamento,
quantizzazione
e codifica
Il segnale PCM viene ottenuto dalla successione di tre operazioni concettuali: campionamento, quantizzazione e codifica (Fig. 3-7). L'operazione di campionamento genera inizialmente un segnale PAM con impulso rettangolare. L'operazione di quantizzazione è poi illustrata in Figura 3-8 per il caso di M = 8 livelli. Questo quantizzatore è chiamato uniforme perché tutti i livelli di quantizzazione sono equidistanti (passo costante). Poiché stiamo approssimando il valore del campione analogico con un numero finito di livelli, stiamo introducendo un errore nel segnale, causato appunto dall' operazione di quantizzazione. L'errore di quantizzazione, la cui forma d' onda è illustrata in Figura 3-8c, consiste nella differenza tra il segnale analogico all'ingresso del campionatore e quello all'uscita del quantizzatore. Il valore di picco di questo errore (:tI) è pari alla metà del passo di quantizzazione (2). Campionando alla frequenza di Nyquist (2 B) o a frequenza maggiore, e trascurando l'eventuale rumore di canale, c'è ancora un contributo di rumore sul segnale quantizzato, detto appunto rumore di quantizzazione. Possiamo riguardare il rumore di quantizzazione come un "errore di arrotondamento" commesso nella rappresentazione dei campioni del segnale analogico. Valuteremo nel Paragrafo 7-7 le statistiche del rumore di quantizzazione e calcoleremo il relativo rapporto segnale-rumore. Naturalmente l'uscita del quantizzatore è di fatto un segnale PAM quantizzato. Il segnale PCM è ottenuto finalmente dal segnale PAM quantizzato codificando il valore di ogni campione quantizzato in una particolare parola binaria. È compito del progettista specificare la corrispondenza tra valori del segnale e parole digitali: il segnale TABELLA 3-1
CODICE GRA Y A TRE BIT PER M
Campioni quantizzati di tensione
+7 +5 +3 +1
= 8 LIVELLI
Parola di codice con codifica Gray (segnale PCM di uscita)
110 111 101 100 Immagine speculare (a eccezione del bit di segno).
-l
000
-3
001
-5
011
-7
010
.... I»
C'I
n$»
'9. ..... o
o-
,
1 Trasmettitore PCM : (conversione analogico-digitale) Segnale: analogico
Segnale analogico di ingresso
Filtro passa-basso di banda =B
--
1
limitato:
in banda
1 ~
. CamplOnamento istantaneo
11
Segnale PAM ottenuto con campionamento impulsivo
1 . Quanl1zzatore con numero
di livelli
Segnale P~M quanl1zzato
: 11
=M
1
1 1 J
1
,
1Canale (percorso trasmissivo) 1 I
1 1 1
11
Linea telefonica
.
Ripetitore
rigenerativo
Linea telefonica
Ripetitore
Ripetitore
rigenerativo
rigenerativo
Linea telefonica
,
1 1 r 1
:
Ricevitore
(conversione digitale-analogico)
Circuito di rigenerazione del segnale
PCM
Segnale
~
Decodificatore
Filtro
1
passa-basso
1
(di ricostruzione)
I 1
~
1 1
PAM
:
Figura 3-7
~
11 1 1 1
:
quantizzato
:
:
I 1
PCM
1 1
Segnale PAM
-+
Codificatore
~
~
1 f./) /1) C1Q ::s
:
e tenuta
:
1 1
:
W
1
1 1 ~1
Sistema di trasmissione PCM.
Segnale analogico di usci ta
03: ..... /1) $»
.
c: f[ S' cr" $» ::s $» cr" $» '" /1)
3-3
Pulse-Code Modulation (PCM)
137
8
Tensione di uscita
M=8
Tensione di ingresso = x
(a) Caratteristica
ingresso-uscita
del quantizzatore
-I I-
Istanti di campionamento
Ts
!! li! -.-
Segnale analogico, a(t)
-2
SegnalePAM,T= Ts SegnalePAM quantizzato
-4 -6 -8
(b) Segnale analogico, segnale PAM con campionamento
j j j j j
f-
impulsivo e segnale PAM quantizzato
Differenza fra segnale analogico e segnale P AM quantizzato
f(c) Segnale errore
-I II
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
Parola PCM I
I
I
I
I
f-
(d) Segnale PCM
Figura 3-8
I
Andamento dei segnali nel sistema PCM.
PCM risultante dalla codifica con il codice Gray di Tabella 3-1 è rappresentato in Figura 3-8d, dove la parola PCM relativa a ogni campione quantizzato è resa in uscita in corrispondenza dell'impulso di c10ck immediatamente successivo. Il codice Gray viene usato perché associa parole che differiscono di un solo bit a livelli di quantizzazione adiacenti.
138
Capitolo 3 - Segnali digitali e a impulsi in banda base
Di conseguenza, etTorisu di un singolo bit nella parola ricevuta causano etTori minimi nell'ampiezza ricostruita, a meno ché il bit colpito non sia quello di segno. Nella descrizione appena vista della modulazione PCM ci siamo limitati a considerare il PCM binario, in cui i livelli del segnale quantizzato sono rappresentati da parole binarie. In generale è possibile rappresentare i valori quantizzati in una base diversa da 2 o, equivalentemente,convertire il segnale binario in un segnale multilivello (Par. 3-4). I segnali multilivello hanno il vantaggio di occupare meno banda del segnale binario, ma richiedono circuiti multilivello anziché digitali binari standard.
Circuiti per sistemi PCM Le tecniche più diffuse per realizzare una conversione analogico-digitale con codifica binaria sono la conversione a conteggio, ad approssimazioni successive, e la parallela o "flash". Nel convertitore a conteggio, in concomitanza all'operazione di campionamento, si fa partire un generatore di rampa e un contatore binario con c10ck fisso. Il valore della rampa è continuamente confrontato con quello del segnale campionato finché non si rileva l'uguaglianza; in tali condizioni si blocca il contatore e se ne legge l'uscita. Il risultato del conteggio è la parola PCM desiderata. Il contatore e la rampa vengono azzerati (resettati) in modo da poter effettuare una nuova conversione. Ad esempio, il circuito CMOS ICL7126 è di questo tipo. La conversione a conteggio ha bassa complessità, ma non è adatta ad alte cadenze di campionamento perché la conversione è limitata dalla velocità del contatore. Il convertitore ad approssimazioni successive confronta il valore campionato con valori quantizzati "di prova". Dopo ogni confronto, viene generato un valore di prova successivo maggiore o minore del precedente a seconda del risultato del confronto. Il passo con cui si aggiornano tali valori è inizialmente grande, e quindi sempre più piccolo in modo che la successione dei valori converga rapidamente verso il valore desiderato (metodo dicotomico). Le tensioni di tentativo sono generate da una serie di partitori di tensione che sono configurati (on-off) da commutatori digitali. La parola PCM è data dalla configurazione di commutatori quando il processo di approssimazioni successive è giunto a convergenza. Questa tecnica richiede più componenti di precisione (i partitori) rispetto a quellaa conteggio, ma è in generale più veloce. Esempi di circuiti ad approssimazioni successive (o seriali) sono lo AD750 della Analog Devices e lo ADC0804 della National Semiconductors, entrambi a 8 bit. Infine, il convertitore parallelo ("flash") usa un insieme di comparatori operanti in parallelo i cui livelli di riferimento sono tutti i possibili valori quantizzati. Il campionedi segnale è "caricato" in tutti i campioni simultaneamente, e la parola PCM è determinata, attraverso uno stadio di logica binaria, dai segni delle uscite dei vari comparatori. I convertitori "flash" (come ad esempio il CA3318 a 8 bit della Harris Semiconductors) sononaturalmente i più veloci tra quelli analizzati, ma anche i più complicati e costosi. Il lettore interessato può consultare [Walden, 1999] per una rassegna di componenti con le relative caratteristiche. Tutti i convertitori analogico-digitale (ADC, Analog to Digital Converter) citaticome esempio hanno un'uscita digitale parallela che corrisponde al valore quantizzato del segnale. Il vero e proprio segnale PCM viene ottenuto convertendo l'uscita parallela in un flusso di bit seriali che viene poi inviato sul canale (ad esempio un cavo bifilare). Questa conver-
3-3
Pulse-Code Modulation (PCM)
139
sione si ottiene usando un convertitore parallelo-serie, indicato usualmente con l'acronimo SIa (Serial Input-Output). Il circuito SIa include un registro a scorrimento (shift register) che viene caricato con i dati paralleli (normalmente parole di 8 016 bit). I dati vengono poi fatti scorrere bit dopo bit in uscita all'ultimo stadio del registro in modo da produrre il flusso seriale. I chip SIa sono normalmente di tipofull-duplex, cioè contengono due registri per gestire contemporaneamente i due flussi dati nei due sensi di comunicazione. Il primo converte dati paralleli in seriali da trasmettersi sul canale; il secondo converte invece dati seriali ricevuti in ingresso in parole (dati paralleli). I SIa sono poi di tre tipi: UART (Universal Asynchronous ReceiverlTransmitter) per trasmettere e ricevere dati in modo asincrono, USRT (Universal Synchronous ReceiverlTransmitter) per trasmettere e ricevere dati in modo sincrono, e USART (Universal SynchronouslAsynchronous ReceiverlTransmitter) che combina i due in un unico chip. Ulteriori dettagli sulla trasmissione dati sincrona e asincrona sono disponibili nel Paragrafo 3-9. Al ricevitore, il segnale PCM è decodificato, convertito cioè in un segnale analogico tramite un convertitore digitale-analogico (DAC, Digital to Analog Converter). Se il DAC ha un ingresso parallelo, il flusso di dati PCM viene per prima cosa convertito con un SIa come già accennato. I dati paralleli sono dunque convertiti in una approssimazione del campione del segnale analogico di partenza. Questa conversione viene generalmente effettuata usando i vari bit della parola per stabilire la configurazione di commutatori digitali in una rete resistiva di partitori di tensione o corrente che "sintetizzano" il desiderato livello di segnale. Un esempio di questo tipo di circuiti è il DAC808 a 8 bit della National Semiconductor. Dunque il DAC genera di fatto un segnale PAM a livelli quantizzati che rappresenta un' approssimazione del segnale analogico di partenza. Come mostrato in Figura 3-7, l'uscita dell' ADC viene poi filtrata ("smussata") da un filtro passa-basso di ricostruzione per migliorare la fedeltà del segnale ricostruito. Sono disponibili centinaia di componenti ADC e DAC prodotti da tutte le principali ditte di semiconduttori. Le relative specifiche (data sheet) sono facilmente accessibili sui siti web dei produttori. Ulteriori dettagli su questi componenti sono reperibili in Dorf [1993] e Whitaker [1996].
Occupazione
di banda dei segnali PCM
Qual è lo spettro di un segnale PCM (in forma seriale)? La domanda ha già avuto risposta per un segnale PAM: lo spettro può essere facilmente ottenuto a partire dallo spettro del segnale analogico di partenza, poiché la PAM è una modulazione lineare. Al contrario, come si vede dalle Figure 3-7 e 3-8, la PCM è una funzione nonlineare del segnale analogico d'ingresso; lo spettro del segnale PCM non è quindi immediatamente riconducibile a quello del segnale analogico (come vedremo nei Parr. 3-4 e 3-5). La banda di una PCM binaria dipende dalla velocità di bit e dalla forma dell'impulso elementare usato per rappresentare i dati. Dalla Figura 3-8, la cadenza di bit risulta R
= n/s
(3-14)
dove n è il numero di bit delle parole PCM (M = 2 n) e!s è la frequenza di campionamento. Per evitare l'aliasing, si deve avere!s ~ 2B, dove B è la banda del segnale analogico di partenza.
140
Capitolo 3 - Segnali digitali e a impulsi in banda base
Secondo il teorema della dimensionalità (Par. 3-4), la banda del segnale PCM è tale che (3-15a) e la minima banda è ottenuta quando l'impulso associato ai dati binari è del tipo (sin x) / x. Normalmente, l'impulso di segnalazione è diverso da questo, quindi la banda del segnale PCM sarà maggiore della minima. Ulteriori dettagli sui criteri di scelta degli impulsi di segnalazione e di cosiddetti codici di linea saranno esaminati nei Paragrafi 3-5 e 3-6. Naturalmente il particolare valore di banda che è necessaria dipenderà da questi fattori. Per esempio, supponiamo di usare un semplice impulso rettangolare con formati dati NRZ unipolare o NRZ polare, come mostrato nelle Figure 3-15b, 3-15c. Queste ultime sono forme d'onda tipiche generate dai circuiti PCM più diffusi. La banda al primo nullo è allora, come indicato nelle Figure 3-16a e 3-16b, l'inverso della durata del rispettivo impulso rettangolare, che è in entrambi i casi 11Th= R. Dunqueper impulsirettangolarila .banda al primo nullo è BpCM = R
= nfs
(banda al primo nullo)
(3-15b)
La Tabella 3-2 riassume questa situazione in alcuni casi, per il caso di campionamento alla frequenza di Nyquist,fs = 2B. Come già accennato, il teorema di dimensionalità (3-15a) stabilisce che la banda del segnale PCM è comunque limitata da (3-15c) dove fs 2:: 2B e B è la banda del corrispondente segnale analogico. Per valori di n usati in pratica, la banda del segnale PCM seriale è considerevolmente più grande di quella del segnale analogico che è stato convertito. Per l'esempio di Figura 3-8, in cui 11= 3, la banda del segnale PCM sarà almeno tre volte maggiore di quella del segnale (analogico) di partenza. Se inoltre la banda del segnale PCM viene ridotta, ad esempio per effetto di una non adeguata risposta in frequenza di un qualche apparato nel sistema, gli impulsi filtrati subiranno in generale un "allungamento" temporale, e quindi ciascun impulso tenderà a "invadere" intervalli temporali relativi a impulsi adiacenti. Se questo fenomeno diventa molto accentuato, può addirittura causare errori nella ricostruzione del flusso binario in ricezione. L'effetto creato dall'allungamento degli impulsi è chiamato intelferenza intersimbolica (ISI, InterSymbol Inteiference). Le condizioni per ottenere un segnale privo di ISI in uscita a un filtro sono discusse nel Paragrafo 3-6.
Influenza dei disturbi Il segnale analogico ricostruito all'uscita del decodificatore PCM è accompagnato da un disturbo (rumore). Le cause di questo disturbo sono essenzialmente due:
. .
rumore di quantizzazione introdotto nel codificatore PCM a causa del quantizzatore su M livelli; errori nella ricostruzione dei bit del segnale digitale PCM, a loro volta prodotti dal rumore di canale e/o dalla risposta in frequenza inadeguata del canale, che causa ISI.
3-3
Pulse-Code Modulation (PCM)
TABELLA 3-2 PRESTAZIONI DI UN SISTEMA PCM CON QUANTIZZAZIONE E SENZA RUMORE TERMICO
Numero di livelli di quantizzazione usati, M
Banda del segnale PCM (misurata in corrispondenza del primo nullo)'
Lunghezza della parola di codice PC M, Il (bit)
2 4 8 16
l 2 3 4 5 6 7 8
32 64 128 256 512 1024 2048 4096 8192 16 384 32 768 65 536
UNIFORME
Rapporto Potenza segnale analogico ricevuto-Rumore di quantizzazione {S/ N)pk
2B 4B 6B 8B IOB 12B 14B 16B 18B 20B 22B 24B 26B 28B
9 IO Il 12 13 14 15 16
141
oul
10.8 16.8 22.8 28.9 34.9 40.9 46.9 52.9 59.0 65.0 71.0
no 83.0 89.1 95.1 101.1
30B 32B
{S/N)ouI 6.0 12.0 18.1 24.1 30.1 36.1 42.1 48.2 54.2 60.2 66.2 72.2 78.3 84.3 90.3 96.3
. B è la larghezzadi banda del segnale analogico di ingresso.
Inoltre (si vedano i Parr. 2-7 e 3-2), il segnale analogico d'ingresso deve essere adeguatamente limitato in banda e campionato con una frequenza sufficientemente elevata in modo da rendere la distorsione da aliasing trascurabile. Come vedremo nel Capitolo 7, il rapporto tra la potenza di picco del segnale e la potenza media statistica totale di disturbo in uscita al sistema PCM è, sotto ipotesi non molto restrittive2, S ( N ) pk oul
3M2
(3-16a)
=
mentre il rapporto tra la potenza media di segnale e la potenza media di rumore è (~ )OUI=
M2
(3-16b)
ove, come di consueto, M è il numero di livelli di quantizzazione e dove Pe è la probabilità di errore sul bit nel flusso dati seriale PCM ricostruito al ricevitore e inviato in ingresso 2 Per ricavare questa relazione sono necessari alcuni concetti probabilistici. è rimandato al Capitolo 7.
quindi il calcolo dettagliato
142
Capitolo 3 - Segnali digitali e a impulsi in banda base
al DAC. Il calcolo dettagliato della Pe per molti sistemi di trasmissione sarà effettuato nel Capitolo 7. Nel Capitolo l abbiamo però già visto come è possibile ridurre il valore di Pe fino a valori trascurabili attraverso l'uso di c,odicia protezione d'errore. Se dunque suppo-
niamoche la Pe sia sostanzialmentenulla (bassolivellodi rumoree di ISI), il rapportosegnale-rumore (SNR) è dovuto al solo rumore di quantizzazione e vale [si veda la (3-16a)]
S
( N ) pk out
-
3M2
(3-17a)
mentre il rapporto segnale-rumore medio è (dalla (3-16b» S ( N ) Qut
= M2
(3-17b)
Valori numerici tipici di queste grandezze sono elencati in Tabella 3-2. Per sperimentare veramente questi SNR, è necessario che l'ampiezza picco-picco del segnale analogico in ingresso al codificatore PCM sia pari al livello massimo di quantizzazione imposto dal progettista. Con riferimento alla Figura 3-8a, quest'ipotesi corrisponde ad avere un segnale che "spazzola" tutto il campo da -V a +V, dove V = 8 Volt è il massimo livello di quantizzazione. Le (3-16) e (3-17) sono state ricavate nell'ipotesi di un segnale d'ingresso con livelli "uniformemente distribuiti" all 'interno di un certo campo di variazione: un esempio di segnale di questo tipo è un'onda triangolare che ha un'ampiezza picco-picco pari a 2V e un valore efficace V/.y3, dove V è evidentemente il massimo livello di quantizzazione. In pratica, il rumore di quantizzazione all'uscita del decodificatore PCM può essere di quattro tipi, a seconda delle condizioni funzionamento: rumore di sovraccarico, rumore casuale, rumore di granularità, e rumore di inseguimento. Come già accennato, i valori del segnale analogico all'ingresso del codificatore PCM devono essere tali che il valore di picco non ecceda mai (in valore assoluto) il massimo livello di quantizzazione V. Se viceversa questa condizione non è verificata, la forma d'onda analogica all'uscita del decodificatore PCM presenterà tratti costanti ("saturati") laddove l'ingresso è superiore (in valore assoluto) a V. In queste condizione viene prodotto del rumore di sovraccarico. I tratti costanti si possono facilmente rilevare con un oscilloscopio, e la forma d'onda ricostruita è distorta, poiché la "saturazione" produce componenti frequenziali indesiderate di ordine superiore. Il secondo tipo di rumore, il rumore casuale, è costituito dagli errori di quantizzazione (casuali) prodotti da un quantizzatore che opera in condizioni normali con livelli di quantizzazione "ben piazzati": è questa la condizione che ha portato alle relazioni (3-17). In un tal caso, gli errori di quantizzazione hanno, campione per campione, tutti la stessa distribuzione statistica e sono approssimativamente indipendenti. In un segnale audio il rumore casuale ricorda il classico "soffio" dei sistemi elettronici, anche se è generato da un fenomeno diverso, poiché presenta anch'esso caratteristiche di "rumore bianco". Se il livello del segnale d'ingresso viene molto ridotto rispetto al valore nominale massimo di quantizzazione, gli errori di quantizzazione non hanno tutti la stessa distribuzione statistica come nel caso precedente e il suono del rumore di quantizzazione si fa più aspro, come quello di ghiaia versata in un barattolo metallico: è il rumore di granularità. Quest'ultimo può essere naturalmente "casualizzato" aumentando il numero dei livelli di quantizzazione e quindi aumentando anche la velocità di bit del segnale PCM seriale. Il
3-3
Pulse-Code Modulation (PCM)
143
rumore di granularità può anche essere diminuito utilizzando una legge di quantizzazione non uniforme come nei quantizzatori con caratteristica J1(J1-law) o caratteristica A (A-law) descriui nel paragrafo successivo. Il quarto tipo di rumore di quantizzazione è il rumore d'inseguimento (hunting noise) che si può manifestare quando il segnale d'ingresso è sostanzialmente costante, e in particolare quando è nullo. In queste condizioni infatti, il valore all'uscita del quantizzatore può "oscillare" tra due valori adiacenti tra i quali è compreso il valore costante del segnale. Nell 'uscita del decodificatore si trova quindi una componente pseudo-sinusoidale alla frequenza !!S. Per eliminare il rumore di inseguimento nel caso di segnale nullo, che viene anche chiamato rumore di canale libero (idle channel noise), si può usare un quantizzatore che ha un tratto orizzontale attorno all'origine anziché il tratto "verticale" della Figura 3-8a. È d'uso esprimere il rapporto segnale-rumo.re in decibel. Ricordando che M = 2n, le (3-17) possono essere espresse come segue:
i. ( N )dB
= 6.02n + a
(3-18)
dove n è il numero di bit della parola PCM, a = 4.77 per il SNR di picco, e a = Oper lo SNR medio. Questa equazione dà una regola empirica (la regola dei 6 dB) per valutare le prestazioni di un sistema PCM: aggiungendo un bit alla parola PCM si migliora il rapporto segnale-rumore di 6 dB (Tab. 3-2). L'Equazione (3-18) continua a essere valida per molti casi diversi (tipi di segnali d'ingresso e caratteristiche del quantizzatore), anche se il valore di a può variare da caso a caso [Jayant e Noll, 1984]. Naturalmente si fa l'ipotesi che non vi siano errori sui bit e che il segnale d'ingresso sia sufficientemente ampio da "spazzolare" tutti i possibili livelli di quantizzazione (rumore casuale). Esempio 3-1 PROGETTODI UN SEGNALEPCM PERUN SISTEMATELEFONICO Un segnale telefonico analogico occupa all'incirca la banda da 300 a 3400 Hz (banda vocale o fonica). Volendo convertire tale segnale in fonnato PCM, dobbiamo per cominciare fissare una frequenza di campionamento. Il minimo valore è 2 X 3.4 = 6.8k campioni/s. Per poter usare un filtro anti-aliasing passa-basso di costo ragionevole, si deve fissare un'estensione ragionevole della banda di transizione, e quindi è necessario sovracampionare il segnale fino a 8000 campioni al secondo. Questa è lo frequenza di campionamento standard nei sistemi telefonici digitali in Europa e negli Stati Uniti. Rappresentando ogni campione con una parola di 8 bit otteniamo una velocità di bit pari a R
= (h campioni/s) (n bit/campione) = (8k campioni/s)(8 bit/campione) = 64
kbit/s
(3-19)
Sempre secondo il teorema di dimensionalità, la banda minima necessaria a trasmettere questo segnale PCM binario è (3-15a) (B)min
= 4R = 32 kHz
(3-20)
Tale banda necessita dell'uso di un impulso tipo (sin x)/x nel segnale digitale binario. Usando al contrario impulsi rettangolari, la banda è in teoria infinita, e in pratica può essere quantificata nella banda al primo nullo: (Continua)
.....
144
Capitolo 3 - Segnali digitali e a impulsi in banda base
BpCM
= R = 64 kHz
(3-21)
La banda del segnale PCM è in questo caso"Pari a 64 kHz, quando la banda lorda (cioè considerando anche la zona di transizione del filtro anti-aliasing) del segnale telefonico analogicooriginale è pari a 4 kHz! Usando la (3-l7a), osserviamo che il SNR di picco è
~ ( N ) pk
= 3 (28)2 = 52.9 dB
(3-22)
oul
L'aggiunta di un eventuale bit di parità non modifica naturalmente il rumore di quantizzazione. Il bit di parità è un tipo di codifica a protezione d'errore che può servire a diminuire il numero di errori provocati dal rumore di canale o dall'ISI. Nell'esempio, questi effetti sono stati comunque trascurati perché si è ipotizzato Pc= O.
Ricordiamo che in Tabella 3-2 sono elencati i vari valori dell'SNR ottenibili in assenza di errori di canale. Si può usare questa tabella come strumento per verificare i requisiti di progetto di un certo sistema PCM. Ad esempio, nel campo delle applicazioni audio ad alta fedeltà si sono diffuse tecniche digitali per cui i segnali sono registrati in formato PCM anziché analogico. Si nota che per avere una dinamica di 90 dB sono necessari almeno 15 bit nella codifica PCM. Considerando una banda audio di 20 kHz, la banda al primo nullo del segnale PCM con impulsi rettangolari sarebbe 2 X 20 kHz X 15
= 600
kHz. An-
che se l'espansione di banda è notevole, si deve considerare che raramente gli apparati analogici raggiungono una dinamica di 70 dB. La conclusione è che le tecniche digitali, in particolare PCM, sono molto efficaci per migliorare le prestazioni di questo tipo di sistemi, prova ne è l'enorme successo commerciale del Compact Disc (CD) audio. Questo standard usa un PCM a 16 bit con una frequenza di campionamento di 44.1 kHz.
Quantizzazione non uniforme: le leggi J1e A di compressione/espansione I segnali vocali analogici presentano con alta probabilità valori vicini allo zero piuttosto che agli estremi della dinamica permessa. Quando un segnale vocale viene digitalizzato, se il valore di picco è l V, i valori a debole intensità possono avere valori vicini a 0.1 V, cioè 20 dB al di sotto. Per questi segnali, aventi cioè una distribuzione delle ampiezze non uniforme,il rumoredi granularitàpuò rivelarsiun problemaserio,a menoche il passo di quantizzazione non venga rimpicciolito per valori vicini allo zero, e aumentato per ampiezze più grandi. Questo approccio è chiamato quantizzazione non uniforme visto che viene utilizzato un passo variabile. Un esempio di una caratteristica di quantizzazione non uniforme è mostrato nella Figura 3-9a. Lo stesso risultato della quantizzazione non uniforme si può ottenere elaborando dapprima il segnale analogico con un compressore, cioè un dispositivo non lineare con amplificazione decrescente al crescere dell'ampiezza del segnale, e poi codificando il segnale in uscita dal compressore con un circuito PCM standard a quantizzazione unifonne. Questa tecnica, con il nome di compressione a legge J.1è stata applicata negli Stati Uniti già dagli anni '60. La legge J.1[Smith,1957] o J.1-lawè definita da:
3-3
Pulse-Code Modulation (PCM)
145
1.0 0.8
:. ~
Caratteristica del quantizzatore con compressore di dinamica
0.6
s
'0 :5 0.4
Caratteristica del quantizzatore uniforme
0.2
o
O
0.2
004
0.6
0.8
(a) Caratteristica
del quantizzatore
1.0
1.0
0.8
0.8
'I
con M
=8
I I
-
~
~
~
1.0
t V = 1.0
Ingresso IWI ( t) I
0.6
§' 0.6
~ s .~ :> 0.4
S
'0
:5
0.2
004
I Il
0.2
O O
O
0.2
004
0.6
Ingresso IWI(t)1
(b) Caratteristica
del compressore
Figura 3.9
0.8
1.0
t
O
0.2
V = 1.0
di dinamica J.L-Iaw
0.4
0.6
0.8
IngressoIWJ(t)1
1.0
t
v= 1.0 (c) - Caratteristica
del compressore
di dinamica A-law
Caratteristiche del compressore di dinamica (solo primo quadrante).
Iw.,(t)1= In(1 + J.Llwl(t)I) In(1 + J.L)
, I
I I I
(3-23)
I I I
dove Wl(t) è normalizzato al valore di picco:tl (cioè IWl(t)1 :5 l), J.Lè un parametro positivo e In indica il logaritmo naturale. La caratteristica di compressione è mostrata nella Figura 3-9b per alcuni valori di J1;si nota che J1= Ocorrispondealla quantizzazione uniforme (amplificazione lineare), e che aumentando m il grado di compressione (non-linearità) aumenta. Il valore J1= 255 è tipico delle reti telefoniche nordamericane e giapponesi. In Europa è al contrario utilizzata la cosiddetta legge di compressione A che sarà descritta tra breve. In pratica, la caratteristica di compressione di Figura 3-9b seguita da quantizzazione uniforme viene approssimata da un compressore/quantizzatore con una caratteristica . I
146
Capitolo 3 - Segnali digitali e a impulsi in banda base
Parole di codice
Segmento 3 11 O 10000
Parole di codice
t
Complessivamente 8 segmenti sull' asse positivo
Bildi Bit della Bitdel segno corda passo 000 + Fondo scala I 0000 111 Illl + Zero I O III Il Il - Zero 000 0010 - Fondo scala O Parola di codice
Valori negativi di tensione (come quelli positivi)
Tensione
O ~'-v--'\
'
Segmento l, Segmento 2, 16 passi 16 passi di quantizzazione, di quantizzazione, ampiezza passo ampiezza passo 2.1 di quantizzazione .1 (d) Quantizzatore
con /J.
Segmento 3, 16passi di quantizzazione, ampiezza passo 4.1
di ingresso ~ v--' positiva Segmento8 (ultimosegmento), 16 passi di quantizzazione,
ampiezzapasso 128.1
= 255. Figura 3-9
(seguito)
lineare a tratti, come indicato in Figura 3-9d relativa al caso J1= 255 [Dammann, McDaniel, e Maddox, 1972]. Ogni "corda" è "mappata" su di un quantizzatore uniforme a 16 livelli con un passo caratteristico del particolare "segmento": per il segmento l sono usati 16 livelli di ampiezza D (incluso un semi-livello da ogni lato dello zero), per il segmento 2 si usano 16 livelli di ampiezza 2 ~, per il 3 16 livelli di ampiezza 4 ~ e così via. Il valore di ~ è fissato in modo che l'ultimo livello del segmento 8 corrisponda con il valore di picco del segnale analogico d'ingresso. Come indicato in Figura 3-9d, la parola PCM a 8 bit consiste in un bit di segno che indica la polarità (positivo o negativo) del segnale d'ingresso, tre bit che indicano il numero del segmento (bit di corda) e 4 bit che indicano il valore del livello all'interno del segmento (bit di livello). Come già accennato, la compressione usata in Europa è la "legge A" definita da [Cattermole, 1969]:
~,~
3-3
Pulse-Code Modulation (PCM)
IWl (t) I l +ln A '
147
A
IW2(t)1=
l
(3-24)
1+ ln(Alwl(t)1) 1+lnA
dove il segnale d'ingresso è ancora normalizzato ai valori di picco :f:1e A è un parametro positivo. La caratteristica del compressore è mostrata in Figura 3-9c ed è simile a quella della legge J1.L' implementazione è ancora lineare a tratti con 16 livelli di quantizzazione per corda, salvo che il medesimo passo /),.è stavolta mantenuto sia nella corda l che nella 2, dopodiché si procede al raddoppio a ogni corda successiva come per la legge J1. Naturalmente, quando in codifica si applica una compressione, il ricevitore deve effettuare l'operazione di espansione cioè decompressione con una legge reciproca per ripristinare i corretti valori del segnale. L'operazione di compressione/espansione viene spesso indicata con il nome di companding (compressing/expanding) e, come già discusso ha lo scopo di aumentare il rapporto segnale-rumore di quantizzazione. Si può dimostrare che tale parametro segue ancora la "regola dei 6 dB" [Couch, 1993]:
~ ( N )dB
= 6.02n + a
(3-25)
(uniforme)
(3-26a)
II
oppure a = 4.77 -
20 log[ln(l
+ JL)]
(legge JL)
(3-26b)
mentre, per quantizzazione uniforme, si ha a = 4.77 -
20 log[l
I I i
ove, con segnali di dinamica adeguata [Jayant e NolI, 1984]: a = 4.77 - 2010g(V/xeff)
Il
I I
+ In A]
(legge A)
(3-26c)
In queste relazioni, n è il numero di bit della parola PCM, V è il valore massimo del quantizzatore e Xeff è il valore efficace del segnale analogico. Il rapporto SNR di quantizzazione dipendedal livellodel segnaleper l'uniforme,mentreè relativamenteinsensibileal livello del segnale nel caso di companding. La Figura 3.10 mostra l'andamento dell'SNR in funzione del cosiddetto fattore di carico V/Xeff. La superiorità delle tecniche di compressione/espansione quando il fattore di carico è alto risulta evidente.
V.90 56-kbitls PCM computer modem Il modem per personal computer (PC) di tipo V.90 trasmette dati alla velocità di 56 kbit/s via rete telefonica commutata da un PC "di abbonato" usando un segnale analogico trasmesso su doppino in rame. Tale segnale analogico è "pre-quantizzato" ai livelli di quantizzazione di un codificatore a legge A (o J1),cioè quelli sull'asse delle ascisse di Figura 3-9d. Il clock del modem nel PC viene poi sincronizzato con quello a 8 kHz del codificatore PCM di centrale in modo da recuperare esattamente i livelli di quantizzazione agli istanti corretti. In realtà, vengono usati solo 64 livelli della caratteristica di Figura 3-9 (più
I I -'
148
Capitolo 3 - Segnali digitali e a impulsi in banda base
60
t (dB)
50 Tecnica di compressione IL 255
legge IL
=
40 I I I I I I I I I I
Quantizzazione uniforme: (senza compressione di dinamica)
-50
--40
(~) uscita
--30
-20
Livello del segnale di ingresso normalizzato 20 log (XefrlV)
-\O
30
20 I
:
I I I I I I I I I I
--4.77
\O
o
(dB)-
Figura 3-10 SNR in uscita per un sistema PCM a 8 bit con e senza compressione di dinamica.
i 64 negativi) per non trasmettere livelli troppo vicini tra loro e quindi troppo vulnerabili al rumore. Questo significa usare solo 7 degli 8 bit della parola PCM, per una velocità di bit totale di 56 kbit/s. I dati trasmessi sono proprio i vari bit che identificano il (cioè vengono mappati nel) livello di qmintizzazione. Lo svantaggio del modem V.90 (chiamato anche modem PCM) è che deve essere connesso (in centrale) a una linea di trasmissione dati digitale. Il segnale analogico prodotto con la strategia appena descritta non può essere inviato su di una linea telefonica commutata per connettersi direttamente a un altro modem dello stesso tipo. Se così si facesse infatti, il segnale del modem sarebbe riconvertito in digitale da un codificatore PCM standard per segnali vocali in centrale che non sarebbe sincronizzato con il c10ck del PCM originario come invece avviene nel modem. Ciò significherebbe perdita sicura dei dati a causa del non perfetto riconoscimento dei livelli di quantizzazione. Quando è necessaria una connessione diretta modem-modem su linea analogica, il modem V.90 commuta su di un modo di funzionamento non-PCM, ad esempio il modo V.34 a 28.8 kbit/s o V.34bis a 33.6 kbit/s con modulazione QAM passa-banda, come discusso nelI'Appendice C-5. In ogni caso, il rumore sulla linea telefonica analogica deve essere sufficientemente piccolo in modo da poter effettuare una trasmissione priva di errori. Dalla formula di Shannon della capacità di canale (l-IO), il rapporto SIN della linea telefonica dovrebbe essere di almeno 51.1 dB per sostenere una velocità di 56 kbit/s nella banda telefonica di 3.3 kHz (si veda l'App. C-5). Quando il SNR non raggiunge questo livello, il modem viene configurato per una velocità inferiore, come quelle appena citate.
3-4
Trasmissione digitale
149
3-4 TRASMISSIONE DIGITALE Come è poss1bile rappresentare matematicamente la forma d'onda di un segnale digitale, come il segnale PCM di Figura 3-8d, e come è possibile stimame la larghezza di banda? La risposta a queste domande richiede tecniche matematiche raffinate come la rappresentazione di funzioni su spazi di Hilbert. In pratica, la forma d'onda di un segnale digitale può essere espressa come una sovrapposizione di un numero finito N di componenti ortogonali N O < t < To (3-27) W(t) = Wk'Pk(t),
I
k=l
dove i vari Wk rappresentano i dati digitali e le funzioni 'Pk(t), k = 1, 2, . . ., N, sono le N componenti ortogonali che determinano la particolare forma d'onda (vedremo esempi specifici di questo nei paragrafi sulle "forma d'onda binarie" e "forma d'onda multilivello"). Il parametro N rappresenta il numero di "dimensioni" necessarie alla descrizione del segnale. Il termine dimensione richiama l'interpretazione geometrica della scomposizione (3-27) che vedremo nel paragrafo successivo. La forma d'onda w(t), nella (3-27), è caratterizzata da una particolare sequenza di valori {wd,
k = I, 2,
. . ., N, che rappresenta-
no il messaggio da trasmettere. Ad esempio, considerando come sorgente di dati binari una tastiera ASCII di un PC, al carattere X è associata la parola di codice 0001101 (si veda App. C, Tab. C-2). In questo caso, N = 7 e Wl = O, W2 = O, W3 = O, W4 = l, W5 = l, W6 = O,W7 = l. Questo messaggio (cioè la lettera X) è trasmesso in un intervallo di tempo di Tosecondi, come indicato nella (3-27). Possiamo adesso definire alcune grandezze fondamentali : DEFINIZIONE.
La velocità (o cadenza) di simbolo è D
= N/To
simbolijs
(3-28)
dove N è il numero di dimensioni utilizzate nell'intervallo di tempo To secondi. L'unità simboli/s è anche indicata con il nome di baud. DEFINIZIONE.La velocità (o cadenza) di bit è R
= n/To
bit/s
(3-29)
dove n è il numero di bit inviati nell'intervallo di tempo di To secondi. Se i dati Wk sono binari, n = N e w(t) è un segnale binario. Viceversa, quando i Wknon sono binari, il segnale è multilivello. Discuteremo questi due tipi di segnale più in dettaglio in seguito. Una questione fondamentale è la seguente: se il segnale (3-27) è trasmesso su di un canale di comunicazione e giunge al ricevitore, come può il ricevitore stesso recuperare i dati trasmessi? Visto che w(t) è una scomposizione con funzioni ortogonali, la maniera diretta per recuperare i dati è quella di calcolare i coefficienti dello sviluppo (le "coordinate") secondo la (2-84): Wk
=-
I
Kk
Tn
f
o
w(t) 'Pk(t)dt, k = 1,2, ... N
(3-30)
dove naturalmente w( t) è il segnale ricevuto e le 'Pk(t) sono le funzioni ortogonali, note al ricevitore, usate per costruire il segnale trasmesso. Si può dimostrare che la strategia descritta
150
Capitolo 3 - Segnali digitali e a impulsi in banda base
dalla (3-30) è anche quella ottimale in presenza di rumore additivo bianco; questa procedura è chiamatafiltraggio adattato o ricezione a correlatori e sarà descritta nel Paragrafo 6-8.
Rappresentazione vettoriale La rappresentazione con funzioni ortogonali (3-27) corrisponde alla rappresentazione su di uno spazio vettoriale del tipo N W
=
I
(3-3Ia)
Wj 2. In tal caso la forma d'onda (3-27) è un segnale mu/ti/ivello. Esempio 3-4 SEGNALEMULTlLIVELLO AL
= 4 LIVELLI
In questo esempio la sorgente di M =256 messaggi dell'Esempio 3-3 verrà codificata da un segnale a 4 livelli (L =4), trasmesso ancora una volta in un tempo totale di To = 8 ms. I dati multilivellosonoottenuti"mappando"ogni parolabinaria a f-bit in uno traL = 2i livelli tramite un convertitore digitale-analogico (DAC, Digital to Analog Converter), come indicato in Figura 3-13. Un esempio di codifica per un DAC a f
=
2 bit è quello della Ta-
bella 3-3. La sequenza dei quattro simboli quatemari (cioè a 4 livelli) corrispondente alla parola binaria 01001110 sarà dunque -3, -1, +3, +1. Di conseguenza, i coefficienti Wk della (3-27) saranno Wl = -3, W2 = -1, W3 = +3 e W4 = +1 cosicché saranno usate solo N = 4 dimensioni. Il corrispondente segnale multilivello con impulsi rettangolari e del tipo (sin x)/x è rappresentato rispettivamente nelle Figure 3-14a e 3-14b. Ancora una volta, il ricevitore può recuperare l'informazione digitale (in assenza di disturbi) campionando i segnali al centro degli intervalli di segnalazione come indicato nelle figure; si noti che tali intervalli hanno adesso durata T. = 2 ms.
iiiI iIiiiI
3-4
Trasmissione digitale
155
Segnale multilivello a L livelli (Fig. 3-14)
Segnale binario (Fig. 3-12) Convertitore
Sorgente del messaggio (uscita binaria)
analogico-digitale D simboli/s
Figura 3-13
=R
a l bit
bit/s
D simboli/s =R/l e R bit/s
Conversione di un segnale binario in un segnale multilivello.
4 2
-
O
M
-2
-4
O
2
5
6
7
8
3
5
6
7
8
!
!
3
4
t(ms) -
(a) Formato dell' impulso rettangolare con T b
= 1 ms
4 2
o
-4
O
I
2
t
iCampionamento a metà intervallo di simbolo
t(ms)(b) Impulso (sin x)/x, T b
Figura 3-14
= 1 ms
Segnalazione con L
=4 livelli (realizzata al calcolatore).
Per questi segnali multilivello, l'intervallo di bit è ancora Tb
=l
ms perché ogni sim-
boloportaadessoe = 2 bitdi informazione(eprecisamentela coppiadi bit associataa unodei 4 livelli della Tab. 3-3). La velocità di bit è dunque ancora R = n/To = e/T, = I kbit/s esattamente come nell'Esempio 3-3, mentre la velocità di simbolo è D = N/To = l/T, = 0.5 kbaud
e
cioè
la
metà
di
quella
dell''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''
156
Capitolo 3 - Segnali digitali e a impulsi in banda base TABELLA 3-3 CONVERTITORE DIGITALEANALOGICO A 2 BIT. Ingresso binario (€ 2 bit)
=
Il lO 00 al
Livello del segnale in uscita (V)
+3 +1 -l -3
dove e = logz(L) è il numero di bit associati a ogni livello, cioè il numero di bit letti in ogni periodo di cIock dal DAC. La banda al primo nullo del segnale multilivello con impulso rettangolare di Figura 3l4a è B = l/Ts = D = 500 Hz mentre la banda dell'impulso di tipo sin(x)/x usato nella Figura 3-l4b è B = N /(2To) = 1/(2Ts) = D/2 = 250 Hz. La banda di ciascuno dei due segnali multilivello è quindi pari alla metà di quella del corrispondente segnale binario con lo stesso tipo d'impulso. In generale, un segnale a L livelli ha una banda pari a l/e-esimo della bandadel corrispondentesegnalebinarioe = logz (L). La riduzione di banda è dovuta al fatto che la velocità di simbolo del segnale multilivello si riduce di un fattore e rispetto a quella del segnale binario.
Esamineremo nel prossimo paragrafo il calcolo delle densità spettrali di potenza dei segnali binari e multilivello.
3-5 CODICI DI LINEA E SPETTRI Codici di linea binari lii
I livelli binari Oe l del segnale PCM (chiamati anche "O logico" e "l logico") possono essere rappresentati in diversi formati di segnalazione seriale, chiamati anche codici di linea. I più diffusi codici di linea (compreso il modo di rappresentare lo O logico e l'l logico su di un nastro perforato) sono schematizzati in Figura 3-15. Le due categorie principali sono quello con ritorno a zero (RZ, Return to Zero) e quelle senza ritorno a zero (NRZ, No Return to Zero). Inoltre, si possono usare modalità diverse nell'assegnare i livelli di segnale ai simboli logici binari. In particolare si hanno le seguenti possibilità: Segnalazione unipolare. Il simbolo "1 logico" è rappresentato dal livello "alto" +A, mentre lo "O logico" è rappresentato dal livello O. Questo formato è anche chiamato on-off keying o segnalazione a tutto o niente. Segnalazione polare. I simboli l e O sono rappresentati da due livelli "simmetrici" positivo e negativo +A e -A (segnalazione antipodale). Il
3-5
Codici di linea e spettri
157
Segnalazione bipolare o pseudo-ternaria. Il simbolo O è rappresentato da un livello O,mentre il simbolo l è rappresentato da un livello che alterna di volta in volta tra +A e -A. Per questo motivo questo formato viene chiamato pseudo-ternario o anche AMI (Alternate Mark Inversion).
-
Segnalazione Manchester (chiamata anche split-phase o bi-phase). Il simbolo I è rappresentato dalla successione di due impulsi positivo-negativo di durata pari a metà bit, mentre il simbolo Oè rappresentato dalla successione negativo-positivo. In seguito, indicheremo semplicemente con segnalazione unipolare la segnalazione unipolare NRZ, polare per polare NRZ, e bipolare per bipolare RZ. Questa nomencIatura è la più appropriata, sebbene spesso nella pratica (specialmente nell'ambiente della comunicazioni radio) si indichi con "bipolare" la segnalazione polare NRZ anziché la pseudoternaria con ritorno a zero. In questo testo, ci atterremo però alla nomencIature esatta sopra indicata. In realtà, tutti i codici di linea di Figura 3-15 sono indicati con più di un solo nome nel mondo delle comunicazioni [Deffeback e Frost, 1971; Sklar, 1988]. Ad esempio, lo NRZ polare è anche chiamato NRZ-L, ove la L indica l'assegnazione usuale dei livelli logici. Lo RZ bipolare è anche indicato con RZ-AMI, mentre lo NRZ bipolare viene anche chiamato NRZ-M, ove la M indica l'inversione dello I logico (Mark) ecc. Nella pratica, sono usati molti altri codici di linea [Bylanski e Ingram,1976; Bic, Duponteil e Imbeaux, 1991], la cui elencazione va al di là degli scopi di questo testo. Ad esempio, il segnale pseudo-ternario può essere generalizzato come discusso di seguito alla (3-45). Ciascuno dei codici di linea della Figura 3-15 ha i propri pro e contro. Lo NRZ unipolare può essere facilmente generato da circuiti con una singola tensione di alimentazione (tipicamente i +5 V dei circuiti TIL), ma richiede anche un accoppiamento in continua degli stessi circuiti (cioè una circuiteria con risposta in frequenza estesa fino a O Hz) perché il relativo segnale ha una componente continua diversa da O. Il formato NRZ polare non richiede accoppiamento in continua, purché il segnale commuti frequentemente tra i livelli Oe I e purché il numero di Oinviati sia mediamente uguale al numero di I. Ma richiede anche circuiti ad alimentazione duale (positiva e negativa attorno allo O). Il formato Manchester presenta una componente a frequenza nulla che è sempre O, indipendentemente dalle proprietà della sequenza dati, ma richiede una banda doppia rispetto ai formati NRZ visto che presenta impulsi con durata dimezzata (Fig. 3-15). Il codice di linea ideale dovrebbe possedere le seguenti caratteristiche.
.
. .
Sincronizzabilità.
Il codice contiene in sé informazioni
riguardo alla temporizza-
zione dei bit, cosicché è semplice realizzare i circuiti per l'estrazione del cIock dal segnale ricevuto. Lunghe sequenze di I o Onon dovrebbero costituire un inconveniente per il recupero della temporizzazione. Bassa probabilità di errore. Dovrebbe essere semplice progettare ricevitori che forniscono una bassa probabilità di errore quando il segnale è disturbato da rumore o ISI. Analizzeremo il fenomeno dell'ISI nel Paragrafo 3-6, e valuteremo gli effetti del rumore nel Capitolo 7. Banda. Dovrebbe essere la minima possibile.
158
Capitolo 3 - Segnali digitali e a impulsi in banda base DATI BINARI I (a) Nastro perforato
:
t
volt
I
I
. :-.:
l
:.:
I
:
:
:
:
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
(foro)
(b)Codlfi"ooipolM< oJ
::::: i
I I I
(c) Codifica polare NRZ
I
:I (foro) AI
NRZ
O
~:
I I I
O-A
I-I I I I
: :
i Tb
(foro)
I
L.D I I I
~
I I I
I I I
O
O I I I I I I I I I I I I t I
O
(e) Codifica bipolare RZ
0-
I
I I
I I
: . : : (foro):
tj : ~ I
Tempo:-: I I I
I I I
A
(d) Codifica polare RZ
I
I
I I I I I I
I I I
I I I I I I I I I I
I I I I I AI
-A
I lI I I I I
AI
(f) Codifica Manchester O NRZ
-A
~
I I I
,
Figura 3-15 Formati di alcune segnaiazioni binarie.
.
Capacità di rivelazione d'errore. Dovrebbe essere semplice implementare questa funzione con codificatori e decodificatori di canale, o addirittura questa caratteristica dovrebbe essere automaticamente fornita dal codice di linea.
.
Trasparenza. Il protocollo dati e il codice di linea dovrebbero essere tali da garantire che ogni possibile sequenza di dati è decodificata fedelmente cioè con trasparenza e senza alterazione di alcuno dei bit.
Un protocollo è non trasparente se alcune parole sono riservate per sequenze di controllo. Ad esempio, una certa parola di 8 bit potrebbe essere un codice interpretato dal ricevitore come una direttiva a inviare a una stampante tutto il resto del messaggio. Questa caratteristica può causare inconvenienti quando viene trasmesso un file di dati casuali
~
3-5
Codici di linea e spettri
159
(ad esempio, un file contente un'immagine compressa o un file eseguibile di un'applicazione), poiché nella successione di dati può comparire casualmente qua e là proprio la parola di controllo. Quando questa parola viene ricevuta, essa viene "intercettata" dal protocollo, che procede a prendere l'azione specificata (la stampa del resto del messaggio) invece di continuare a passare il file alla destinazione originaria. TIcodice risulta non trasparente anche se particolari sequenze possono causare la perdita del sincronismo di clock. Nel formato NRZ, lunghe sequenze di Oo di l senza transizioni provocano proprio la perdita del clock, e quindi un codice di questo tipo deve essere classificato come non trasparente. Prima di analizzare ulteriormente i pregi e difetti di ogni formato in relazione a una particolare applicazione, dobbiamo valutarne gli spettri di potenza.
Spettri di potenza dei codici di linea binari Come discusso nel Capitolo l e illustrato con l'Esempio 2-18, le densità spettrali di potenza dei segnali binari possono essere calcolate con metodi deterministici o probabilistici. La valutazione attraverso tecniche deterministiche parte dalla considerazione della forma d'onda caratteristica di una particolare sequenza di dati. La densità approssimata si calcola attraverso la (2-66) o, se il codice di linea è periodico, la (2-126) (si veda anche l'Esercizio 3-21). In alternativa, si può applicare l'approccio probabilistico sviluppato nel Capitolo 6. Useremo appunto un approccio probabilistico per ottenere al densità spettrale di potenza dei codici di linea di Figura 3-15, visto che esso permette di ottenere lo spettro di un codice di linea con una sequenza di dati casuale (invece che per una particolare sequenza determinata). Come già discusso nel Paragrafo 3-4, un segnale digitale (eventualmente con un certo codice di linea) può essere rappresentato da 00
s(t)
=
I
n =--00
anf(t - nTs)
(3-35)
ove f(t) è l'impulso elementare e Ts è l'intervallo di simbolo. Per segnalazioni binarie, Ts = Tb, ove Tbè l'intervallo di bit. Per segnalazioni multilivello, Ts = fTb. L'insieme di valori {an} rappresenta la sequenza casuale dei dati. Per il segnale unipolare f(t)
= TI (;J e an = +A V in corrispondenzadi un l logico, e an = OV per uno Ologico.
Come si dimostra nel Paragrafo 6-2, l'espressione generale (6-70) per la densità spettrale di potenza di un segnale digitale è 00
I
R(k)ej21TkfT,
(3-36a)
k=-oo
dove FU) è la trasformata di Fourier dell'impulso elementare f(t) e R(k) è la funzione autocorrelazione della sequenza di dati. Tale funzione è data da l R(k)
=
I
;=1
(anan + ÙP;
(3-36b)
160
Capitolo 3 - Segnali digitali e a impulsi in banda base
ove an e an + k sono i valori rispettivamente dell'n-esimo e dell'(n + k)-esimo simbolo,e Pi è la probabilità che il prodotto allan + k assuma l'i-esimo valore possibile. Si nota che lo spettro di potenza dipende da due quantità: la forma dell'impulso elementare e le proprietà statistiche dei dati. Procediamo dunque a calcolare tramite l'approccio probabilistico descritto dalla (3-36) lo spettro dei segnali con i codici di linea della Figura 3-15. NRZ unipolare. Per segnaiazioni unipolari, i livelli possibili per gli an sono +Ae O.Supponiamo che questi livelli siano equiprobabili, e che i dati siano statisticamente indipendenti. Per quanto riguarda R(k), osserviamo che quando k = O, i possibili valori di allall sono A X A = A 2 e O X O = O, con equiprobabilità. Quindi I = 2, e 2
R(O) =
I
= A2.! + O.! =! A2
(anall)i?;
i=1
Per k # o, ci sono 4 possibili valori per il prodotto A X A, A X Oe O X A, O X O.e tut-
ti con probabilità~ (dati indipendenti)cosicché,per k # O, 4
R(k) =
I
(allan + k)Pi
i=1
= A2.~+ o.~ + o.~ + o.~ = ~A2
Quindi
~ A2,
k=O
~
k#O
(3-37a) R~;",,=(k)
~
(
A',
)
Per impulsi NRZ rettangolari abbiamo anche t
= II -
f(t)
( Tb)
H
F(f) = Tb
sin 7Tf T b
.
7Tf Tb
(3-37b)
per cui dalla (3-36a), con Ts = Tb, si trova lo spettro del codice unipolare NRZ: sin7TfTb 2 . ( 7TfTb ) [ I + k~-= eJ27rkfTi, ]
~
A2Tb
=~
(ijJunipolareNRZ(f)
Applicando la formula di Poisson (2-115) 00
I k=-=
=-
ejk27rfrb
l
Tb
00
I n=-=
o( f
(3-38)
- !!:..Tb )
si ottiene poi A2Tb (ijJunipolareNRZ(f)
=
~
2
sin7TfTb (
7TfTb
) [l
+;
I
b 11=-=
O( f -
; )]
(3-39a)
b
che per n # Osi riduce alla A2Tb (ijJunipolareNRZ(f)=
~
2
sin7TfTb (
7TfTb
)
(3-39b)
3-5
Codici di linea e spettri
161
= O per f = nlTb. Volendo un segnale NRZ unipolare con potenza media normalizzata pari a l, si trova facilmente che A = {i. Questa densità di potenza è tracciata nella Figura 3-16a, in cui la velocità di bit del codice di linea è 11Tb = R. Lo svantaggio dell'NRZ unipolare è la quantità di potenza trasmessa sprecata nella componente continua, e il fatto che comunque la parte continua dello spettro non si riduce a zero nella vicinanza della frequenza nulla. Come già accennato, il vantaggio è la facilità di generazione del segnale con circuiti TIL o CMOS ad alimentazione singola. osseIVando che [sin (7TfTb)1 ( 7TfTb)]
NRZ polare. Per segnaiazioni polari NRZ, i livelli possibili per gli an sono +A e -A. Supponiamo che questi livelli siano equiprobabili, e che i dati siano statisticamente indipendenti. Allora R ( O)
=
"2
l
l
a a ) .p. = A2- + (-A ) 2- = A2 1/1/11 2 2
!-- ( 1=1
e per k ~ O, 4
R(k) =
L (anan + dP;
;=1
l
l
= A2 - + (-A)(A) 4
l
- + (A)(-A) 4
l
- + (-A)2 4 4
=O
Dunque Rpolare(k)
=
A2, { O,
-
2
k = O
(3-40)
k~O }
e, sostituendo nella (3-36a), otteniamo: (!}'Ipolare NRz(J) - A Tb (
sin 7TfTb 7TfTb )
2 (3-41 )
Stavolta il valore di A per avere potenza normalizzata unitaria è A = l, e la densità spettrale di potenza risultante è quella di Figura 3-16b, ove la velocità di bit è ancora R = 11Tb. Il segnale polare ha però ancora lo svantaggio di presentare componenti non trascurabili nell'intorno della frequenza nulla. D'altronde i segnali polari sono relativamente semplici da generare, anche se richiedono un'alimentazione duale. La probabilità di errore dello NRZ polare è inoltre inferiore a quella di altri metodi di segnalazione (Fig. 7-14). RZ unipolare. La funzione autocorrelazione per dati unipolari è già stata calcolata precedentemente, ed è data dalla (3-37a). Per segnaiazioni RZ, la durata dell'impulso è Tbl2 anziché Tb, come per il caso NRZ, quindi (3-42)
162
Capitolo 3 - Segnali digitali e a impulsi in banda base
t !!J'unipolare
I (f)
Peso
=-
2
(a) NRZ unipolare I
O
O.5R
R
1.5R
2R
!-
Th
t !!J'polare(f)
O.5Th
(b) NRZ polare
l
O
t
R
1.5R
O.5R
R
1.5R
O.5R
R
1.5R
O.5R
R
1.5R
O.5Th Peso =-
2R
!-
l 4
!!J'df) (c) RZ unipolare O
2R
!-
t !!J'bipolare(f)
O.5Th
(d) RZ bipolare
O
!!J'Manchester
l
(e) NRZ Manchester
2R
!-
(f)
05T'~ O
2R
[Figura 3-16
Densità spettrale di potenza per i codici di linea (frequenze positive).
3-5
Codici di linea e spettri
163
Ripetendo i ragionamenti che hanno condotto alle (3-37b) e (3-39a) concludiamo che lo spettro di potenza del codice RZ unipolare è
eJ>umpolare RZ(f)
(
16
2
sin( 1TfTbI2»
= A2Tb
.
1TfTbl2
) [
I
~
l +
Tb n=-oo
8 f - ~
(
Tb )]
(3-43)
Il valore di A che dà potenza unitaria è stavolta A = 2, e la densitàspettralein questo caso è quella rappresentata nella Figura 3-l6c, con R = llTb. Come era lecito attendersi, la banda al primo nullo è doppia rispetto al caso NRZ, visto che l'impulso base ha durata metà. C'è inoltre una componente discreta (impulso) alla frequenzaf = R. Di conseguenza, questa componente periodica può essere usate per il recupero di un segnale di temporizzazione (clock). Peraltro, la parte continua dello spettro è ancora non trascurabile nell' intorno di f
= O, e inoltre
questo formato richiede 3 dB
di potenza in più rispetto al formato polare per fornire la stessa probabilità di errore a parità di disturbo (si veda il Cap. 7). RZ bipolare. Usiamo di nuovo la (3-36a) per valutare lo spettro di potenza. I livelli possibili per gli 011sono +A, -A e O, ove il livello Orappresenta gli O logici, e i livelli +A e -A rappresentano alternativamente gli l logici. Per k = O, i valori dei prodotti anan sono A 2 e O, con equiprobabilità. Dunque R(O)
=
A2
2
Per k = l (bit adiacenti) i valori possibili dei prodotti anan + I sono -A 2, O, Oe O. per le sequenze di dati rispettivamente (l, l), (l,O), (O,l) e (0,0). Ognuno di questi valori (sequenze) si presenta con probabilità~, quindi 4
A2
R(l) = ;=1 L,(allan+l);P; =-""4 Per k > 1, i bit non sono adiacenti, e i valori del prodotto dei livelli sono :f:A2,O, O e O, ciascuno con probabilità 1/4. Dunque 5
R(k>
l)
=
I(anan
;=1
+ k);P;
= A2.
~
-
A2.
~
=O
da cui A2
Rbipolare(k)
=
2 ' A2 4' O,
k=O
Ikl = 1
(3-44)
Ikl > 1
Usando le (3-44) e (3-42) nella (3-36a) con Ts = Tb, otteniamo la densità spettrale di potenza del segnale RZ bipolare (AMI):
I
I 'l'
164
Capitolo 3 - Segnali digitali e a impulsi in banda base
ovvero (3-45)
con A = 2 per una potenza normalizzata unitaria. L'andamento di questo spettro è mostrato nella Figura 3-16d. Il codice bipolare ha un nullo in continua, e quindi il sistema di trasmissione può usare circuiti accoppiati in alternata (ad esempio trasformatori). Possiamo facilmente estrarre un segnale di temporizzazione dal codice bipolare convertendo questo formato in un RZ unipolare attraverso raddrizzamento a doppia semionda. Il segnale così ottenuto presenta infatti una componente periodica alla frequenza di clock (Fig. 3-16c). Sfortunatamente i segnali bipolari non sono trasparenti. Una sequenza di molti O logici provoca perdita del segnale di clock ricostruito. Si può aggirare quest'inconveniente usando i formati cosiddetti HDBn (High-Density Bipolar n) o a sostituzione, secondo i quali una lunga stringa di O logici viene sostituita da una sequenza "di riempimento" che contiene alcuni livelli non nulli3. I segnali bipolari hanno un'intrinseca capacità di rivelare errori di trasmissione, poiché un errore singolo provoca una violazione della legge dell' alternanza, che può essere facilmente rivelata con opportuni circuiti logici. Lo svantaggio principale del formato bipolare sta nel fatto che il ricevitore deve distinguere fra tre livelli anziché tra due come nei formati appena discussi. Di conseguenza, il segnale bipolare ha una probabilità di errore più grande di un fattore 1.5 rispetto a quella del segnale unipolare (7-28) e richiede quindi all'incirca 3 dB di potenza in più rispetto al formato polare. NRZ Manchester.
Nel formato Manchester viene usato l'impulso (3-46a)
la cui trasformata è
ovvero (3-46b)
3 Ad esempio, il codice HDB3 sostituisce n + I = 4 zeri consecutivi alternativamente con due sequenze di riempimento OOOVe IOOV, ove il bit l viene codificato secondo la normale alternanza AMI, mentre il simbolo V viene codificato violando la regola di alternanza. In tal modo, V livelli consecutivi alternano a loro volta di polarità, e così il codice ha un nullo alla frequenza! = o. Il decodificatore HDB3 è progettato in modo da rivelare la violazione dell'alternanza. Dopo aver rivelato una di tali violazioni, il decodificatore "torna indietro" di 3 posti e sostituisce la stringa ricevuta con quattro O consecutivi.
3-5
Codici di linea e spettri
165
Usando questo risultato insieme alla (3-40) nella (3-36a), otteniamo la densità spettrale di potenza del segnale Manchester: (3-46c) con A
=
l per avere potenza unitaria.
Questo spettro è disegnato nella Figura 3-16e. La banda al primo nullo è doppia rispetto al caso del formato bipolare, ma si ha un nullo nell' origine, e lunghe stringhe di O logici non causano alcun effetto di perdita del sincronismo.
Codifica differenziale ~
Nella trasmissione di dati seriali su di canale di comunicazione, può inavvertitamente verificarsi l'inversione di se!!no del segnale trasmesso Ad esempio, è sufficiente scambiare i due fili in una trasmissione su doppino telefonico a una delle due estremità quando si usa un codice di linea polare (non si avrebbe viceversa alcun cambiamento di polarità usando un codice unipolare). Questo problema può essere evitato usando la codifica differenziale di Figura 3-17, che è assai diffusa. I dati differenzialI sono ottenuti dall' operazione eli =
Dati in ingresso
11 Codificatore 1 :
dll
1
:
:
1 1 1
differenziale
Sommatore modulo 2
1 1 1
:
1
eli
Circuito per la codifica di linea
1 1 1
Ritardo Th
1 1 1-
(3-47)
dl1 G:> el1-)
:
:
1 1 1
Canale
'
1
I Decodificatore differenziale I I Sommatore modulo 2
Circuito per la decodifica di linea
: I
:I I I
:I
~:
L
\ Ritardo Th
1
Figura 3-17
1 1 1
Sistema di codifica differenziale.
L/
-eli-I:
1
: Dati in uscita
1 1 1
I
J
166
Capitolo 3 - Segnali digitali e a impulsi in banda base
TABELLA3-4 ESEMPIODI CODIFICADIFFERENZIALE Sequenza di ingresso Sequenza codificata Bit di riferimento Sequenza di decodifica ricevuta (con la corretta polarità) Sequenza decodificata Sequenza di decodifica ricevuta (con polarità invertita) Sequenza decodificata
dll eli
eli
l t
l
d" e" d"
O
l O
l l
O l
l O
O O
O O
O
l
l
O
O
O
l
l
O
l
O
O
l
O
O
l
l
l
l
l
O
l
O
O
O
ica di OR esclusivo, o (3-48) dove la "tilde" indica i dati lato ricezione. 1n fase di codifica, ognI dato è ottenuto confrontando il v1!lQl1: clp.lhit ali'istante corrente con quello all'istanteJ:)re'cede~. -Vi~e prodotto un livello logico l se i due v~lori sono discordi (cioè differenti), viceversa se sono c~l1.:..ordi (codific~ delle differ~ze o dif- !Jerenziale). Questa è esattamente la tabella di verità di una porta XOR. Un esempIOdI c
Secondo e terzo criterio di Nyquist per il controllo dell'I SI Il secondo criterio per il controllo dell'ISI consiste nell'introdurre in modo controllato una quantità prefissata di ISI, in modo che al ricevitore essa possa essere cancellata e conseguentemente i dati possano essere ricavati senza alcun errore, per lo meno in assenza di rumore [Couch, 1993]. Tale tecnica permette anche di raddoppiare la velocità di bit o, alternativamente, di dimezzare la banda occupata. Questo fenomeno fu osservato dai telegrafisti dei primi del '900, ed è noto come "raddoppio della velocità dei punti e linea" [Bennet e Davey, 1965]. Nel terzo criterio di Nyquist per il controllo dell'ISI, l'effetto di quest'ultima è eliminato scegliendo la risposta impulsiva complessiva del sistema he(t) in maniera tale che l'integrale dell'impulso su di un certo intervallo di segnalazione di durata Ts sia non nullo, mentre quello esteso agli intervalli adiacenti sia nullo. In fase di rivelazione, il ricevitore valuta l'integrale del segnale ricevuto su di ogni intervallo di segnalazione e decide sulla base del risultato ottenuto, che è privo di ISI. Sono noti vari tipi di impulsi che soddisfano tale criterio, ma le loro prestazioni in presenza di rumore sono inferiori a quelle relative agli esempi appena discussi [Sunde, 1969].
3-7 MODULAZIONE PCM DIFFERENZIALE Nel campionamento di segnali audio o video, si trova generalmente che campioni tempor~lmente adiacenti differiscono molto poco in ampiezza. Ciò significa che nei campioni di segnale è presente un'elevata ridondanza, e conseguentemente che la banda e la dinamica di un sistema PCM non sono utilizzate in modo efficiente. Una maniera semplice
di
minimizzare la ridondanza di tale trasmissione, e quindi di ridurre la banda, è quella di !r.a.-" s.metter~segl!ali PCM che,codificano le diff~r~nze tra campioni adiacenti. Proprio in questo consiste infatti la mQdulaziQJlePCM differenziale (DPCM, Differential Pulse-Code .... .
Modulation). l'!e) ricevitore, ogni campione di segnale viene ricQ.§.t[u.ito~o!1:!01a!},d() il v~-
. lore differenziale ricevuto attraverso il sistema di trasmissione al campione.stimato al passo precedente.
3-7 y(nTs)
.
Ritardo Ts
Modulazione
Ritardo Ts
000 --..
PCM differenziale
185
Ritardo Ts
z(nTs}
Figura 3-28
Filtro trasversale.
COf1:1e IIlterinrp p\1'aezi.QRampnto, i~alore,JteJ..ç@1pio!!.e_~t!yalepuò essere stimato dai val~..P_~~1!-ti.!I1ediante. [email protected]!LP..redizjQn,e,J'~Ie filtro mt9~essere realizzato. me:, diante un filtro trasversale.,come illustrato in Figura 3-28. Quando i coefficienti {al} son~ scelti in modo che l'uscita del filtro sia una predizione del campione attuale basata su !ln cert9 !!.umerodi campioni passat!, ti filtro stesso è chiamato filtro di predizione linea.re [Spilker, 1977]; i valori ottimi dei coefficienti dipendono poi dalle proprietà d~orrelazione dds.egnale [Jayant e NolI, 1984]. I!.sampione in uscita al filtro è
---
K
z(nTs)
-
= '2>ly(nTs - lTs)
-
(3-79a)
L=-.L
oppure, in notazione semplificata" -.. .. -
K Zn
=
LalYn-1
(3-79b)
1= 1
dove Yn-LrapE!e~enlail campione all'ingresso del fjltro all'istante t = (n - l)Ts e K è il numero di elementi di rit~o prese!!!!.l1eLfjltrQ. Si può integrare 1! f.!!tro configuraziom.La prima, mostratain Figura3-29, milizzail filtro pr.ediUOl:e-pet..ptD.dwI.e ~n s~g;;''7differe~ziale
con impulsi modulatI' r; ampiezza (DP AM, Differential Pulse-Am,
plitude Modulation),dal quali,
n
I» "8. -o O"
1-----------------------------------------------------------------------
Segnale analogico
Segnale analogico
.
di ingresso
Filtro
:Trasmettitore DPCM
:
r .
Segnale PAM
limItato
I I II
in banda
I
rettangolari, wn
I I I I I I I I I
passa-basso
lo; IIlIpU.....
I
I I II
Segnale DPAM
:DPC M
quantizzato Codificatore
Campionatore
I I I I I I I I
I I I I
Predittore
I I I 1______-----------------------------------------------------------______1
VJ I (j) (1)
~I»
t:-: C-
-
C§:
~ (1) I»
~. g. f:!J. :r cr' ~ CI» cr' I» rn
Canale Segn
(1)
:R;;DPCM--------------------------------I I I I I I I
I I I I I I I I
I
Circuito di
DPAM
DPCM
+
PAM
Filtrodi ricostruzione
Decodificatore
regenerazione
(passa-basso)
Predittore
I ~
I J
Figura
3-29
DPCM
con predizione
basata
sui campioni
del segnale
di ingresso.
(\\ uSCIta
: analogico
Segnale analogico di ingresso-
Segnale analogico limitato in banda
Filtro passa-basso
~ ~------------------------------------------------I TrasmettItore DPCM I I
---------------
: I
Segnale PAM a impulsi
:
I I
.
Segnale
I
. Quantizzatore quantIzzato. a M livelli Codlficatore
I
rettangolari, W
Camplonatore
n
+
DPAM:
DPAM e
I I I I I I I
11
+
:
:DPCM I I I I I I
:
Predittore
I I I I I
I l I I I
J
~
VJ I "I
Canale
-------------------------------------------------------------------------------------------.
:Ricevitore DPCM I I I I I I
: I I I
... CIrcUItodI .
I I I I
DPCM
DPAM
+
PAM
Decodificatore
regenerazlOne
~
o
:
I I I I
i
,
Filtro di ricostruzione
(passa-basso)
Predittore
t Figura 3-30 DPCM con predizione basata sul segnale differenziale quantizzato.
: : I
I I I I
:
I I I J
Segnale di uscita analogico
p.. E. ~ o' ffi ""ò
(J
~
p.. I:;.; ~ ... ~ 1»' ro I-' QO ......
188
Capitolo 3 - Segnali digitali e a impulsi in banda base
S~e!:!òdimQstrareche il sistema DPCM, come queJl.9pC.M,..§~ue l~ei [Jayant e Noll, 1984]
(~)dB k=
6 dB (3-80a)
6.02n + a
dove -3 < a < 15
p~r segnali vocaliI2£CM
(3-80b)
e n è il numero dei bit di quantizzazione (M = 2n). A differenza del PCM con compressione/espansione, il parametro a per il DPCM varia su un ampio intervallo dipendentedalle proprietà del segnale di ingresso. La (3-80b) fornisce l'intervallo di a relativo alla trasmissione di segnali telefonici. Per confrontare le prestazioni del DPCM con quelle del PCM, partiamo dalla (3-26b), secondo la quale a = -lO dB per un sistema PCM con legge di compressione di tipo JL con JL = 255. Nel caso più favorevole, assistiamo a un miglioramento nel rapporto segnale-rumore (SNR) di 25 dB rispetto al caso del PCM con JL
=
255. In alternativa, a parità di SNR, il DPCM può richiedere 3 o 4 bit in meno per
campione rispetto al sistema PCM con compressione. Questa è la ragione per cui nei sistemi DPCM per applicazioni telefoniche (ad esempio nello standard dei telefoni senza filo digitali DECT) la velocità di bit è tipicamente R
ti Il
'I
I
I
=
32 kbit/s oppure R
=
24 kbit/s,
invece dei 64 kbit/ s necessari per i sistemi PCM con compressione. La ITU-T (ex-CCITT) ha emanato uno standard DPCM a 32 kbit/s che prevede 4 bit di quantizzazionealla velocitàdi 8000campioni/sper la codificadi segnaliin banda telefonica (3.2 kHz) [Decina e Modena, 1988]. Un secondo standard ITU-T DPCMa 64 kbit/s (4 bit di quantizzazione e 16000 campioni/s) prevede la codifica di segnalivocali ad alta qualità con banda di 7 kHz. L'analisi dettagliata dei sistemi DPCM è complicata, e dipende dal tipo di segnale di ingresso, dalla velocità di campionamento, dal numero di livelli di quantizzazione, dal numero di coefficienti utilizzati nel filtro di predizione e così via. Tale analisi è oltre lo scopo di questo testo; per ulteriori approfondimenti, il lettore può riferirsi a Flanagan et al. [1979]; Jayant e Noll [1984]; O'Neal [1966]. 3-8 MODULAZIONE DELTA
III jll
La modulazione delta (DM, Delta Modulation) può essere considerata un caso particola~ della moduìaZione DPC~con due soli livell~~za:rione. Se immagi!1iamoche luigura-3.dO,.s(rifeci.s":I :Il "::ISQ di M~ 2, otteniamo un segnale quantizzato DPAMbi~o,..9.!!iI1
I: I
I
I
La complessità(i1
~
costo
l di un sistema !?~ è i~eIjore
~l~llo
di.u~- sistema DPCM
con M > ?, in ..9.E!!!2.il convertitore analQgico-digitale (ADC, Analog-t7H5TgitalConverter)e g~ellodigitale-analogi£g(DAC,Digital-to-AnalogConverter).nons°I!°!i£h!.esti. Il costo può essere ulteriormente ridotto utilizzando al posto del filtro preditto[e-yn circuito integratore a--basso--.. costo (ai limite, u~ filtro passa-basso RC), come illustratoin Figura 3-31. ~e!~emadeI.sistema..D..M di £igura 3-:~1.~lle.raziQne È! sottrazione e il ~antizzatore a due liy~Ui sono !eali:z;.~atemediante un cOlIlPm.:~tor~, ~Q..do...che.12uscita..sia 1:?inariae pari a :!:Vc.L'insieme delle forme d'onda associate con la modlWione deltlloè IttQ~!Lato J~I1Lflgura 3-32; in particolare nella Fi~ura}:.32a viene rappresentato..iLseg&l-
3-8
Modulazione
delta
1-----------------------------------
:
I Trasmettitore DM 1 w(t): Segnale analogico di ingresso
\...:
1
Segnale PAM a impulsi
I
Filtro passa-basso
Codificatore
rettangolari +
1 :
y(t)
1 DM
1
I I 1 1 1 1 1 1
: 1 1 1 1
189
1 1 1 1 1 1 I I
:
Clock
h
L
J
I I 1 1
Canale
1 I Ricevitore DM I 1 1
1 I I I I
1 1 1 1 1
I I 1 1 1
Integratore
Figura 3-31
Segnale analogico in uscita
Sistema DM.
le ies..ce.a
seg,ui!"~ll s!gn.ale ~IlV.QgiCOin ingresso. Il...l11J;IJore di quanti~z.az.iQIle cblì..vielle
raPJ:"o~iJu!ò_~~ere di due_tipjg.iversi: il rumore per sovraccarico di pendenza eJ)~lo di granularità. Il primo si ha .9u~!l_d9iJ passo~{j è trolmo picco[o7'é'iC'segnale aH'uscitadC;iT'accumulator~on~plln..s~).lire_).ma variazione bru~ca del segnale d'jngresso. ~icevers~l rul!l°!e_di ~anulaI.:ità è tanto più piéco!g q~a!1topiù_P1£coloè il R.as~ò8.il rumore di .granll)arità per il sistema DM è simile al corrispondente presente nel PCM,
190
Capitolo 3 - Segnali digitali e a impulsi in banda base Intervallo di inizializzazione
/
1(a) Segnale analogico di ingresso e in uscita dall'accumulatore
y(t)
1(b) Segnale DM
Figura 3-32 Andamento dei segnali nel sistema DM.
Il
I I
mentre il rumore per sovraccarico di pendenza è un nuovo fenomeno legato alla codifica di un segnale differenziale. Enyambi i fenomeni son~ Eesenti anche nel sistema DPCM prima descritto. ~ chiara l'esistenza di un val9re ottimo ner illla$~toaQ,ln-9.!!.antose g!l~t2. è. ~ ~!E.2.-il f!lllloredi granularità crescerà e qllelloper sovraccarico di Rel1denz!!.
Esempio 3-5 PROGETIODI UN SISTEMADM Troviamo il passo {)in modo da non avere sovraccarico di pendenza quando il segnale di ingresso è sinusoidale. La massima pendenza relativa al segnale in uscita dall'accumulatore è (3-82)
I
l
3-8
Limitato dal sovraccarico dipendenza
)
C
Modulazione delta
Limitato dal rumore di granularità
t
Passo,8 Valore
ottimodi 8 Figura 3-33
Rapporto segnale-rumore in uscita da un sistema DM in funzione del passo di quantizzazione.
Nel caso di ingresso sinusoidale, con w(t) = A sin wat, la pendenza risulta (3-83)
e il massimo valore è pari a AWa. Conseguentemente, per evitare sovraccarico di pendenza, occorre che 81s > AWa, e cioè (3-84)
Non è comunque conveniente scegliere 8 troppo grande, altrimenti il rumore granulare diventa preponderante.
191
192
Capitolo 3 - Segnali digitali e a impulsi in banda base
È anche possibile valutare il rapporto segnale-rumore all'uscita del sistema DM. È stato determinato sperimentalmente che lo spettro del rumore granulare è distribuito uniformemente sull'intervallo frequenzialelfl":5 fs. D'altronde, la potenza del rumore di quantizzazione dovuto al fenomeno della granularità è pari a 82/3 (Par. 7-7, sostituendo al posto di 8/2 per il PCM il valore 8 relativo alla DM), quindi la densità spettrale di potenza di tale rumore sarà g>n(f)
N
=
8 2/(6fs)'
= (n2) =
La potenza nella banda
I
B
-B
82B
g>n(f) df
=-
I f I :::; B, è dunque (3-85)
3fs
oppure, considerando la (3-84) con il segno di uguaglianza, N = 41T2A2f~B 3f: La potenza del segnale utile è
s = (W2(t» = A2 2
(3-86)
e il rapporto segnale-rumore di quantizzazione all'uscita del sistema DM con un segnale sinusoidale "di prova" è (3-87)
dove fs è la frequenza di campionamento, fa è la frequenza del segnale di ingresso e B è la banda del ricevitore. Da notare che la (3-87) vale solo per segnali di ingresso sinusoidali. Per segnali in banda fonica (segnali vocali) è stato dimostrato che l'Equazione (3-84) è troppo restrittiva se fa = 4 kHz, e che il rumore per sovraccarico di pendenza è trascurabile se [deJager, 1952] 8;::: 21T800Wp fs
(3-88)
dove Wp è il valore di picco del segnale vocale d'ingresso (ciò è dovuto al fatto che il contenuto energetico più significativo del segnale vocale sta nelle frequenze "medie" attorno a 800 Hz). Combinando le Equazioni (3-83) e (3-85), si ottiene il rapporto segnale-rumore SNR per un sistema DM con segnali vocali: !...
( N ) oul I I I Il
= (W2(t» = N
W2(t» 3f: (16001T)2B ( W; )
(3-89)
dove B è la banda audio e (W2(t»/W2) è il fattore di cresta, cioè il rapporto tra la potenza media e la potenza di picco, essendo quest'ultima definita come il quadrato del valore di picco. Questo risultato può essere utilizzato per dimensionare un sistema DM per segnali vocali. Supponiamo infatti di voler fissare un rapporto segnale-rumore pari ad almeno 30 dB, considerando una banda lorda del segnale vocale pari a B =4 kHz e un fattore di cresta pari a!. Dalla (3-89) si ricava che la frequenza di campionamento deve essere 40.7 kbit/s, e cioè
3-8 TABELLA 3-7
X O l l
193
ALGORITMO DI VARIAZIONE DEL PASSO
Sequenza di dati"
x X O l
Modulazione delta
Numero di cifre binarie successive parialoaO
l 2 3 4
O l l l
Valore passo, f(d)
8 8 28 48
" X, qualsiasi valore.
= 10.2B. È interessante paragonare il sistema DM in questione con un sistemaPCM avente la stessa banda (e dunque stessa velocità di bit). Il numero di bit n, richiesti per ogni parola PCM è fornita da R = (2B)n = 1O.2Be cioè n = 5, e il rapporto segnale-rumore di quantizzazione è 30.1 dB (Tab. 3-2). In queste condizioni, il sistema PCM presenta la stessa banda occupata e le stesse prestazioni del sistema DM. Occorre però notare che se fosse richiesto un valore di SNR > 30 dB il sistema PCM avrebbe prestazioni in termini di SNR superiori a quelle del sistema DM a parità di banda, e viceversa per un valore di SNR < 30 dB. Si noti che il valore di SNR aumenta per il sistema DM come f;, e cioè 9 dB per ottava.
!s
Modulazione
delta adattativa e a pendenza
variabile con continuità
Per minimizzare il rumore dovuto al sovraccarico di pendenza mantenendo allo stesso temEOIl ru~ié Oi g!aQulajìtàil!jv"eITi~~èeita£!.Ii,~L~tilÌ!-!:~Ji.!!!.?:!i!~;i~~e~!.iFaad~ttati~a~ (ADM.M.-a[21ÌJ!.e,.D.dJa.Modulation). In questo caso !lpas§g QyJslli.y~iJW '11§l~.È2...!!1:. fu!!~LQ!l~.dels~gnalein ingre.§§.Q da cQdW.care.In R.articolare,8 è mantenuto piccolo per minimizzare il rumore granulare finché il ~~gnal~ ~flria lentame.nte, ma quando il rumore dovuto al ~QvmccarIcQ'di Qepdenza inizja a essere preponderante il passo viene incrementato opportunamen,te (adattato). L'adattamento del passo può avvenire in base al se&nodegli impulsi all'uscita.del tr~~tit~re DM. Infatti! quando si .h~ un~uc_ce§~~I!.~di i!l!~~ s.n laJ>1.elì~larit~, il passo viene aumentato (Fig. 3-32). Viceversa, quando gli impulsi cominciano ad alternarsi in segno, taÌe valore viene diminuito, e cosÌ_'!!.a.UJ!J11.: goritmo che realizz~ guant£>de~c,rl!!~-è_~2~~~!~.ell~3-7. IJ passo di q1!agtizzazto~ è fissato at valore 8 quando il segnale ADM...$.°I!~is~9i. cìrr~.J1iDJ\rie .l ~.Q..altWJ!I,mj~ oppure quando si sussegygno due sole cifre u~uali. Invece, con tre o quattro cifre uguali ~ìjg.unQa~so JispeJ.tiy~nte..pijrj !L2~ 48. L~schepa a ~Iocchi ~el ~ist! di sincronizzazione
Segnale di ;;;;;ori~~n~
I I
Verso A
I
Verso B
,:
A -- -- ì .. Verso
II .. Verso B ;
1
SegnalePWM di ingresso
SegnalePPM di ingresso
Uscita dell'integratore (rampa troncata)
D
I
D
D
IO
~
1-
I
Segnale PAM
Figura 3-46
Rivelazione di segnali PWM e PPM.
del tutto simile: un impulso di clock comanda lo scaricamento dell 'integratore e l'inizio dell'integrazione, mentre l'impulso PPM la conclude. Il valote finale della rampa rappresenta il valore del segnale PAM che è poi utilizzato per rigenerare il segnale analogico. La modulazione PTM è ormai quasi completamente in disuso, principalmente perché richiede circuiteria analogica, anche se presenta un'elevata immunità nei confronti del rumore additivo.
214
Capitolo 3 - Segnali digitali e a impulsi in banda base
3-12 RIEPILOGO Nel nostro studio della segnalazione in banda base, ci siamo concentrati su quattro principali argomenti: l) come rappresentare con segnali digitali l'informazione associata a forme d'onda analogiche; 2) come calcolare lo spettro dei codici di linea; 3) come la limitazione in banda dei segnali digitali operata dal canale di comunicazione influenza il recupero dell'informazione al ricevitore (problema dell'ISI); 4) come combinare l'informazione di diverse sorgenti in un unico segnale digitale per mezzo della multiplazione a suddivisione di tempo TDM. Abbiamo anche descritto gli standard utilizzati per i sistemi di telecomunicazione TDM. La tecnica PCM è uno schema di conversione analogico-digitale basata su tre operazioni fondamentali: 1) campionamento di un segnale analogico a banda limitata; 2) quantizzazione dei campioni analogici su M valori discreti; 3) codifica del campione quantizzato attraverso parole di n bit, con M = 2n. Il segnale in uscita a un ricevitore PCM è disturbato da due diversi tipi di rumore: l) il rumore di quantizzazione dovuto all'approssimazione dei campioni (teoricamente a infiniti livelli) su M soli livelli; 2) il disturbo dovuto agli errori commessi nella rivelazione dei bit al ricevitore a causa del rumore di canale o dell'ISI provocata da una inadeguata risposta in frequenza del canale. Se il segnale analogico non è rigorosamente a banda limitata, sarà presente anche una terza componente di disturbo nella componente di segnale originale dovuta al fenomeno dell' aliasing. Nello studio del processo di generazione dell'ISI da parte del canale di trasmissione, abbiamo esaminato il filtro a coseno rialzato di Nyquist, e abbiamo scoperto che la minima banda richiesta per la trasmissione di un segnale digitale senza ISI è pari alla metà della velocità di segnalazione (banda di Nyquist), anche se per problemi realizzativi si utilizza in pratica una banda più larga, fino al doppio di quella minima. La banda occupata sul canale può comunque essere diminuita facendo uso di tecniche di segnalazione multilivello. In questo capitolo abbiamo esaminato la segnalazione digitale in banda base. Nel prossimo capitolo ci occuperemo della tecniche per modulare un' oscillazione sinusoidale con un segnale in banda base, in modo che lo spettro del segnale risultante sia concentrato attorno alla frequenza di oscillazione della sinusoide, chiamatajìoequenza portante. 3-13 ESERCIZI DI APPROFONDIMENTO EA3-1 Spettro e banda di un segnale PAM Un segnale analogico w(t) è convertito in un segnale PAM avente impulsi rettangolari di durata 100 j.Ls.usando una frequenza di campionamento di 8 kHz. Supponendo che W(f) = 2A(f/B), doveB = 3 kHz, (a) trovare e rappresentare lo spettro di ampiezza del segnale PAM; (b) trovare il valore numerico della banda al primo nullo del segnale PAM. Soluzione. (a) Utilizzando W(f)
= 2A(f/B)
nella (3-10) si può facilmente valutare e rappresenta-
re con MATLABlo spettrodi Figura3-47.La figuraillustracome W(f) si ripetaalle
(,
3-13
215
Esercizi di approfondimento
Spettro di ampiezza del segnale PAM ad impulsi rettangolari
1.6 lA 1.2
~
~
0.8
~.., 0.6 004
0.2
o -5
-4
-3
-2
-]
o f
2
3
4
5
Figura 3-47 Soluzionedi EA3-l. sin 7TTf
y- ) della frequenza di campionamento e sia "pesata" dal fattore 'T ( 7T'T aannoniche causa della forma rettangolare dell'impulso PAM. (b) La banda al primo nullo è B = 3 kHz. Il valore 3 kHz non è però una buona misura della banda, poiché l'ampiezza dello spettro non è affatto trascurabile per frequenze [lobi secondari della funzione (sin x)/x). In tali circostanze, spesso si utilizza l'inviluppo dello spettro per specificare la banda al primo nullo. In questo modo, la banda =risulta a =quella al primo nullo dell'inviluppo BDullo l/T =essere 1/100pari J.LS lO kHz.
T
I
Si::;f I, e cioè
EA3-2 Banda e SNR del segnale PCM In un sistema di comunicazione vocale, un segnale telefonico di banda 3200 Hz viene convertito in un segnale PCM campionandolo alla velocità di 7000 campioni/s e utilizzando un quantizzatore uniforme con 64 livelli. Il segnale binario PCM è trasmesso attraverso un canale rumoroso a un ricevitore avente probabilità di errore BER (Bit Error Rate) pari a lO -4.
.
(a) Qual è la banda del segnale PCM corrispondente al primo nullo dello spettro? (b) Qual è il rapporto segnale-rumore medio SNR del segnale all'uscita del ricevitore? Soluzione (a) M = 64 passi di quantizzazione generano una parola PCM di 6 bit in quanto 64 =26. Utilizzando la (3-l5b), si trova che la banda corrispondente al primo nullo è BDuilo
= n/s =
6(7000)
=
42 kHz
Nota: Usando impulsi di tipo sinx/x la banda sarebbe BDuilo= ~nf, = 21 kHz
216
Capitolo 3 - Segnali digitali e a impulsi in banda base (b) Dalla (3-16b) con M
(~) =
= 64 e Pe =
10-4 si ottiene
. ~2
"= 4096 = 1552= 31.9 dB
Nota: Il tennine l a denominatore rappresenta il rumore di quantizzazione, e 1.64 rappresenta il rumore nel segnale ricostruito causato dagli errori effettuati dal ricevitore nella rigenerazione dei bit. In questo esempio, in due tennini danno contributi pressoché identici. Per M = 64, se il valore di BER fosse minore di 10-5 il rumore di quantizzazione dominerebbe, e viceversa per BER maggiore di 10-3. EA3-3 Proprietà del codice di linea NRZ Un codice di linea NRZ viene convertito in un segnale multilivello per la trasmissione su canale, come illustrato in Figura 3-13. Il numero dei possibili valori del segnale multilivello è 32, e il segnale consiste di impulsi rettangolari di durata 0.3472 ms. Per il segnale multilivello, (a) (b) (c) (d)
Qual è la velocità di segnalazione (di simbolo) espressa in baud? Qual è la velocità di bit? Qual è la banda al primo nullo? Ripetere i punti (a)-(c) per il codice NRZ unipolare.
Soluzione. (a) Utilizzando la (3-28), poiché si ha N = l impulso in To = 0.3452 ms, si ottiene (b) Poiché inoltre L
D = N/To = 1/0.3472 ms = 2880 baud = 5 dalla (3-34) si ha
= 32 = 2 £, con f
R = €D = 5(2880)= 14400 bit/s (c) Usando la (3-54), si trova che la banda è B.ullo
= R/f = D = 2880 Hz
(d) Per il codice di linea NRZ, abbiamo N = 5 impulsi in To = 0.3472 ms, e quindi
D = 5/0.3472 ms = 14400 baud Inoltre R = D in quanto il codice unipolare NRZ è binario (cioè L sione, R = 14400 bit/s e la banda al primo nullo è B.ullo
=
R/f
=
D
=
= 2£). In conclu-
14400 Hz
EA3-4 Banda del segnale RS-232 La porta seriale RS-232 di un personal computer trasmette dati alla velocità di 38400 bit/s utilizzando un codice di linea polare NRZ. Valutare e rappresentare la densità spettrale di potenza del segnale, utilizzando una scala in dB normalizzata in modo che il valore massimo corrisponda a OdB. Discutere i requisiti di banda per questo segnale. Soluzione. Considerando la (3-41), poniamo A2 Tb in modo che il valore massimo valga OdB. Allora lo spettro, in dB, vale
3-13
217
Esercizi di approfondimento
Densità spettrale di potenza
o -5 -IO -15 -20 j;Q "'O
S
-25
@> -30 -35 -40 -45 -50 -2
-1.5
-I
-0.5
o
0.5
[(Hz) Figura 3-48
1.5
2 X 105
Densità spettrale di potenza per un segnale RS-232 con velocità di informazione
pari a 38 400 bitjs.
con Tb = I/R e R = 38400 bit/s. Questo risultato è rappresentato nella Figura 3-48 utilizzando come richiesto una scala in dB. Il grafico mostra che il segnale ha una banda elevata. Infatti, sebbene la banda al primo nullo sia (Bnull= R), il massimo del primo e del secondo lobo laterale si ottengono per I = 57 600 Hz e 96 000 e sono attenuati rispetto a quello principale rispettivamente di soli 13.3 dB e 17.9 dB. Sapendo che l'inviluppo dello spettro è descritto da (1/'1TITb)2, si trova che è necessaria una banda di 386 kHz = IO.IR affinché le componenti frequenziali fuori banda siano attenuate più di 30 dB. La conclusione è che un segnale con impulsi rettangolari è a banda larga, come già illustrato nella Figura 2-24. Per applicazioni che richiedono la trasmissione su canali a banda limitata, è neces~rio un qualche tipo di filtraggio dell'impulso, per fornire una buona attenuazione fuori banda e contemporaneamente non introdurre ISI. Ad esempio, dalla (3-74) si ricava che un impulso con sagomatura a coseno rialzato con rollof r = 0.5 avrebbe attenuazione infinita a partire da B = !(l + r)D = (0.5)(1.5)(38400) = 28800 Hz = 0.75R, corrispondente alla banda assoluta. Con riferimento alla Figura 3-26a e usando la (3-69), si nota che lo spettro a coseno rialzato con rolloff r = 0.5 è attenuato di 30 dB a/= 20070 Hz = 0.523R e di 100 dB per 1= 22217 Hz = 0.579R. Utilizzando la definizione di banda corrispondente a una attenuazione di 30 dB, si ottiene un "risparmio di banda" di circa ]9 volte rispetto al caso dell'impulso rettangolare.
218
Capitolo 3 - Segnali digitali e a impulsi in banda base
ESERCIZI PROPOSTI
3-1
3-3
Dimostrare che i coefficienti della serie ~i Fourier per la forma d'onda rappresentata in Figura 3-lb sono dati dall'Equazione (3-5b). (a) Rappresentare la forma d'onda PAM che si ottiene con un campionamento naturale alla frequenza 4-kHz di un segnale sinusoidale alla frequenza di 1 kHz. (b) Ripetere il punto (a) per il caso di segnale PAM con impulso rettangolare. Lo spettro di un segnale analogico audio è mostrato in Figura EP3-3. Il segnale è campionato con frequenza 10kHz con impulsi di durata T = 50 1-tS. (a) Trovare l'espressione della densità spettrale di potenza del segnale PAM con campionamento naturale e rappresentare graficamente il risultato. (b) Trovare l'espressione per la densità spettrale di potenza del segnale PAM con impulsi rettangolari e rappresentare graficamente il risultato.
3.4
(a) Dimostrare che si può ricostruire un segnale analogico proporzionale all'originale a partire da un segnale PAM con campionamento naturale utilizzando la tecnica di Figura 3-4. (b) Trovare la costante di proporzionalità C che si ottiene applicando la suddetta tecnica, dove w( t) è il segnale originale e Cw( t) è quello ricostruito. Si noti che C è una funzione di n, se la frequenza dell'oscillatore è n/s.
3.5
La Figura 3-4 illustra come demodulare un segnale PAM con campionamento naturale per ricostruire il segnale analogico attraverso un'operazione di conversione frequenziale. Dimostrare che questo schema può essere utilizzato per ricostruire w(t) anche a partire da un segnale PAM con campionamento istantaneo, a patto di usare un opportuno filtro H(f). Trovare la risposta in frequenza di tale filtro.
3.6
Il segnale analogico avente lo spettro di Figura EP3-3, deve essere trasmesso attraverso un sistema PAM con accoppiamento in alternata. Si utilizza dunque il codice Manchester (3-46a) e una frequenza di campionamento pari a lO kHz. Trovare la densità spettrale di potenza di tale segnale.
3.7
In un sistema PCM binario, il rumore di quantizzazione non deve eccedere il valore percentuale :tP del livello della potenza di picco. Dimostrare che allora il numero di bit richiesto per ogni parola è
..
j.
(Suggerimento: Fare riferimento alla Figura 3-8c.) 3-8
Una forma d'onda analogica deve essere trasmessa in un sistema PCM con una accuratezza pari a :tO.l % della dinamica picco-picco. Il segnale ha banda di 100 Hz e una dinamica nelle ampiezze di + lO V. Determinare:
IW(f)1
4
j(kHz) Figura EP3-3
Esercizi proposti (a) (b) (c) (d)
219
la minima frequenza di campionamento richiesta; il minimo numero di bit richiesti per la parola PCM; la minima velocità di bit per il segnale PCM; la"minima banda di canale richiesta per la trasmissione del segnale PCM.
3-9
Un hard disk da 20 OB è utilizzato per memorizzare dati PCM. Un segnale telefonico campionato a 8000 campioni/s deve avere un rapporto segnale-rumore medio SNR pari almeno a 30 dB. Quante ore di conversazione possono essere memorizzate sull'hard disk?
3-10
Un segnale analogico di banda 4.2 MHz deve essere convertito in segnale PCM binario e trasmesso su un canale. Il rapporto tra la potenza di picco del segnale e la potenza media del rumore di quantizzazione deve essere almeno 55 dB. (a) Nell'ipotesi di Pe = O e ISI trascurabile, quali saranno la lunghezza della parola PCM e il numero di passi di quantizzazione richiesti? (b) Quale sarà la velocità di bit? (c) Quale sarà la banda al primo nullo del segnale che utilizza impulsi rettangolari?
3-11
Un lettore di compact disc (CD) utilizza un sovracampionamento di 8 volte del segnale analogico, la cui banda è 20 kHz. (a) Qual è la banda corrispondente al primo nullo del segnale PCM? (b) Usando la (3-18), trovare lo SNR di picco in dB. Un segnale vocale con componenti spettrali nell 'intervallo da 300 a 3000 Hz, viene campionato alla frequenza di 7 kHz per generare un segnale PCM. Progettare il sistema PCM come segue: (a) Disegnare lo schema a blocchi del sistema, includendo il trasmettitore, il canale e il ricevitore. (b) Specificare il numero di passi uniformi di quantizzazione richiesti e la banda al primo nullo, nell'ipotesi che il rapporto segnale-rumore di picco all'uscita del ricevitore sia almeno 30 dB e che la segnalazione sia polare NRZ. (c) Discutere come la quantizzazione non uniforme può migliorare le prestazioni del sistema.
3-12
3-13
I rapporti segnale-rumore SNR dati dalla (3-17a) e (3-17b), ipotizzano nessun errore sui bit ricevuti a causa del rumore di canale (cioè Pe
3-14
3-15
3-16
3-17
=
O). Trovare il valore limite della Pe che
porta a un errore dello 0.1% sulle (3-17a) e (3-17b) per M = 4,80 16. In un sistema PCM il tasso d'errore dovuto al rumore di canale è 10-4. Si ipotizzi che il rapporto segnale-rumore di picco relativo al segnale ricostruito debba essere almeno 30 dB. (a) Trovare il minimo numero di passi di quantizzazione che possono essere usati per codificare il segnale analogico. (b) Se il segnale analogico d'ingresso ha una banda assoluta di 2.7 kHz, qual è la banda relativa al primo nullo dello spettro del segnale PCM per il caso di segnalazione polare NRZ? Con riferimento alla Figura 3-20 relativa al sincronizzatore di bit con quadratore, disegnare qualitativamente i segnali presenti nel sistema quando in ingresso si trova un segnale PCM con codifica Manchester. Discutere se questo sincronizzatore di bit ha prestazioni migliori per il segnale PCM con codifica Manchester o con codifica polare NRZ. (a) Disegnare
la caratteristica
completa
di un compressore
J.L= lO tale da accettare in in-
gresso segnali nell'intervallo da -5 a +5 V. (b) Disegnare la caratteristica dell' espansore. (c) Disegnare la caratteristica di un quantizzatore non uniforme a 16 livelli corrispondente a quella del compressore J.L= lO. Per un sistema PCM a 4 bit, calcolare e disegnare l'andamento del rapporto segnale-rumore SNR di uscita (in dB) in funzione del livello relativo di ingresso 20 log (XeffIV) per: (a) un sistema PCM che utilizza una legge di compressione J.L= 10;
220
Capitolo 3 - Segnali digitali e a impulsi in banda base (b) un sistema PCM che utilizza una quantizzazione unifonne; Quale di questi sistemi è migliore per un utilizzo pratico? Perché? 3-18
Si devono calcolare le prestazioni di un si&.temaPCM con legge di compressione di tipo = 255 quando l'ingresso è un segnale sinusoidale con valore di picco V. Supponendo M = 256, (a) trovare l'espressione del rapporto SNR di uscita; (b) illustrare graficamente l'andamento dell'SNR in funzione del livello relativo di ingresso 20 log(xeffIV). Confrontare questi risultati con quelli mostrati nella Figura 3-10. IL
3-19
Un sistema digitale multilivello invia uno tra 16 possibili livelli ogni 0.8 ms. (a) Qual è il numero di bit corrispondenti a ogni livello? (b) Qual è la velocità di segnalazione? (c) Qual è la velocità di bit?
3-20
Un sistema digitale multilivello deve operare alla velocità dati di 9600 bitl s. (a) Se ogni livello rappresenta una parola di 4 bit, qual è la minima banda richiesta? (b) Ripetere la parte (a) per il caso di codifica con 8 bit.
3-21
Una sequenza detenninistica di prova è fonnata da simboli binari l e O alternanti. Detenninare lo spettro in ampiezza (non la densità spettrale di potenza) per i seguenti fonnati di segnalazione in funzione dell'intervallo di bit TI>: (a) segnalazione unipolare NRZ; (b) segnalazione unipolare RZ dove la durata dell'impulso è T = ~TI>' Come cambierebbero questi spettri se la sequenza di test fosse una sequenza di quattro simboli binari l seguiti da altrettanti O? 3-22 Calcolare la densità spettrale di potenza per i seguenti formati di segnalazione in funzione dell'intervallo di bit TI>,e con una sequenza di bit indipendenti a valori Oe I equiprobabili: (a) segnalazione unipolare NRZ. (b) segnalazione unipolare RZ dove la durata dell'impulso è T = ~TI>' Come si confronta la densità di potenza per il caso di simboli aleatori con gli spettri di ampiezza relativi al caso di simboli detenninistici dell'Esercizio 3-21? Qual è la efficienza spettrale in ognuno di questi casi? 3-23 Una sequenza detenninistica di prova è fonnata da simboli binari I e O alternanti. Detenninare lo spettro in ampiezza (non la densità spettrale di potenza) per i seguenti fonnati di segnalazione in funzione dell'intervallo di bit TI>: (a) segnalazione polare NRZ; (b) segnalazione Manchester NRZ. Come cambierebbero questi spettri se la sequenza di test fosse una sequenza di quattro simboli binari l seguiti da altrettanti O? 3-24
Calcolare la densità spettrale di potenza per i seguenti fonnati di segnalazione in funzione dell'intervallo di bit TI>,e con una sequenza di bit indipendenti a valori O e I equiprobabili:
(a) segnalazionepolareRZ dove la duratadell'impulsoè T =
!TI>;
(b) segnalazione Manchester RZ dove la durata dell'impulso è T = iTI>'Qual è la banda al primo nullo di questi segnali? Qual è la efficienza spettrale in ognuno di questi casi? 3-25 Ricavare le densità spettrale di potenza del codice di linea bipolare NRZ e bipolare RZ (durata dell'impulso T = !TI» con valore massimo di :1:3V. Disegnare il grafico di questi spettri nel caso R = 2.048 Mbit/s. 3-26 Nella Figura 3-16, sono mostrate le densità spettrali di potenza per varie codifiche di linea. Questi spettri sono ricavati nel caso di potenza unitaria per ciascun segnale, in modo che questi possano essere confrontati sulla base di uguale potenza trasmessa. Ricalcolare gli spettri di potenza relativi a queste codifiche ipotizzando che il valore di picco sia unitario, e cioè A = l. Riportare in grafico gli spettri trovati ipotizzando uno stesso valore di picco.
Esercizi proposti
221
3-27 Utilizzando la (3-36), detenninare le condizioni sotto le quali sono presenti funzioni delta nel-
3-28
lo spettro delle codifiche di linea. Discutere come questo fattore influenza il progetto dei sincrogizzatori di bit per tali codifiche. [Suggerimento: Esaminare la (3-43) e la (6-70d).] Una sequenza aleatoria di simboli binari I e O equiprobabili viene trasmessa con un codice di tipo pseudo-polare in modo tale che l'impulso associato a ogni bit è Jet)
=
cos [ O,
(;:), altrimenti
dove Tb è l'intervallo di bit. (a) IlIustrare qualitativamente una realizzazione di questo segnale. (b) Trovare l'espressione della densità spettrale di potenza di questo segnale. (c) Qual è l'efficienza spettrale di questo tipo di segnalazione binaria? 3-29 La sequenza dati 01101000101 è inviata in ingresso a un decodificatore differenziale. Trovare le due possibili sequenze codificate che si possono ottenere in uscita in funzione delle condizioni iniziali del codificatore. 3-30
3.31
3-32
Disegnareil diagrammaa blocchidi un sistemaconcodificae decodificadifferenziale.Spiegare come opera il sistema illustrando il processo di codifica e decodifica per la sequenza 001111010001, con simbolo di riferimento pari a I. Dimostrare che non è possibile la propagazione degli errori. Disegnare l'architettura di un ripetitore rigenerativo con gli associati sincronizzatori di bit per una codifica di linea RZ. Spiegare come funziona il sistema. (Suggerimento: Fare riferimento alla Figura 3-19 e alla discussione sui sincronizzatori di bit.)
Progettareun sincronizzatoredi bit per la codificadi linea ManchesterNRZ effettuandoi seguenti passi: (a) Detenninare uno schema a blocchi semplificato. (b) Spiegare le funzioni del sincronizzatore. (c) Specificare i requisiti dei filtri. (d) Spiegare i vantaggi e gli svantaggi di usare questo sistema per una codifica di linea Manchester NRZ rispetto alla codifica polare NRZ con il corrispondente sincronizzatore.
3-33 La Figura 3-22c illustra un segnale a 8 livelli che viene poi trasmesso su di un canale che filtra il segnale e aggiunge rumore. (a) Disegnare qualitativamente il diagramma a occhio per il segnale ricevuto. (b) Definire un possibile ricevitore con gli associati sincronizzatori di bit per questo codice di linea. (c) Spiegare il funzionamento del ricevitore. 3-34
Una fonna d'onda analogica è prima codificata in un segnale PCM e poi convertita in un segnale multilivello per la trasmissione sul canale. Il numero dei livelli è 8, la banda del segnale analogicoè 2700 Hz e l'accuratezzadi riproduzionedeve esserepari allo 0.1% della dinamica picco-picco. (a) Detenninare la minima velocità di bit del segnale PCM. (b) Detenninare la minima velocità di segnalazione del segnale multilivello. (c) Detenninare la minima banda assoluta di canale richiesta per la trasmissione. 3-35 Un segnale binario a 9600 bit/s è convertito in un segnale multilivello a 8 livelli che è poi trasmesso in un canale con risposta in frequenza di Nyquist a coseno rialzato. Il canale ha una risposta in fase equalizzata fino a 2.4 kHz. (a) Qual è la velocità di segnalazione del segnale multilivello? (b) Qual è il fattore di rolloff del filtro a coseno rialzato?
222
Capitolo 3 3-36
- Segnali
digitali e a impulsi in banda base
Un segnale digitale ha L
= 64 livelli e impulso RZ dato da I(t}
3-37
dove Ts è l'intervallo di simbolo. (a) Detenninare l'espressione della densità spettrale di potenza del segnale nel caso di simboli equiprobabili e con livello massimo pari a IO V. (b) Qual è la banda al primo nullo? (c) Qual è l'efficienza spettrale? Un sistema di comunicazione impiega una segnalazione polare. La risposta impulsiva complessiva è del tipo (sin x)/x in modo che rISI sia nulla. La velocità di bit è R
3-38
= II (~)
= Is =
300 bit/s.
(a) Qual è la banda del segnale polare? (b) Disegnare qualitativamente la fonna d'onda all'uscita del sistema quando la sequenza di bit in ingresso è 01100101. È possibile individuare i simboli trasmessi direttamente dal grafico di tale segnale? L'Equazione (3-67) fornisce una possibile risposta impulsiva non causale per un sistema di comunicazione con ISI nulla. Come approssimazione causale si consideri he(t)
=
sin 1TIs(t
1TIs(t-
-4 4X X10-3) 10-3)
II
t - 4 X 10-3 ( 8 X 10-3
)
dove Is = 1000. (a) Calcolare numericamente He(f) utilizzando un PC, e disegnarne il moduloIHe(f)I. (b) Qual è la banda di questa approssimazione causale, e come si confronta a quella del filtro non causale descritto dalle (3-67) e (3-68)? 3-39
Partendo dalla (3-69), dimostrare che la risposta impulsiva del filtro a coseno rialzato è data dalla (3-73).
3-40
Per il filtro di Nyquist a coseno rialzato dato dalle (3-69) e (3-73), (a) trovare il grafico diIHe(f)1 con r = 0.75, indicando le frequenzet.,fo e B in modo simile alla Figura 3-25. (b) trovare il grafico di he(t) per il caso di r = 0.75 in funzione di Ilfo. Il grafico dovrebbe essere simile a quello riportato in Figura 3-26. Trovare la densità spettrale di potenza del segnale in uscita a un canale a coseno rialzato con
3.41
r
3-42
=
0.5 e segnalazione polare NRZ. Si ipotizzi che i simboli siano equiprobabili e che la ban-
da del canale sia sufficientemente larga da evitare l'ISI. L'Equazione (3-66) fornisce la condizione per l'assenza di ISI (primo criterio di Nyquist). Mediante questa equazione con C = I e T = O,dimostrare che il criterio di Nyquist per l'assenza di ISI è anche soddisfatto se l per
3-43
III s;
2Ts
Usando i risultati dell'Esercizio 3-42, dire se i seguenti filtri soddisfano o meno il primo criterio di Nyquist (fs
To
= 2/0 = 2/To). I
(a) He(f) = 2" II ( 2" ITo) .
Esercizi proposti 2
To (b) He(f) 3-44
( )
= "2 TI "3 fTo .
Un sistema di trasmissione ha risposta in frequenza complessiva pari a quella di un filtro di Nyquist a coseno rialzato. (a) Trovare la funzione di Nyquist Y(f) corrispondente alla (3-75). (b) Disegnare la Y(f)
3-45
3-46 3-47
3-48
3-50
3-51
3-52
nel caso r
= 0.75.
(c) Disegnare un'altra Y(f) che non sia a coseno rialzato, e determinare la banda assoluta del filtro di Nyquist risultante. Un segnale analogico viene convertito in un segnale PCM con codifica binaria polare NRZ. Il segnale è poi trasmesso su di un canale con banda 4 kHz. Il quantizzatore PCM è a 16 livelli e la risposta in frequenza complessiva del sistema è tipo a coseno rialzato con r = 0.5. (a) Trovare la massima velocità dati PCM che può essere supportata da questo sistema senza introduzione di ISI. (b) Trovare la massima banda del segnale analogico. Ripetere l'Esercizio 3-45 nel caso di codifica di linea polare NRZ a quattro livelli. Una trasmissione dati a velocità di bit pari a 2400 bit/ s viene effettuata tramite un codice di linea a quattro livelli con impulsi all'uscita del trasmettitore di forma rettangolare. Il sistema complessivo, e cioè il trasmettitore, il canale e il ricevitore, è di Nyquist a coseno rialzato con r = 0.5. (a) Trovare la velocità di segnalazione del segnale trasmesso. (b) Trovare la banda a -6 dB di questo sistema di trasmissione. (c) Trovame la banda assoluta. In un sistema PCM per segnali vocali, la banda del segnale analogico è pari a 3400 Hz e lo SNR deve essere almeno 40 dB. Determinare la velocità di bit di un sistema che utilizza: (a) segnalazione
3-49
223
PCM con compressione
IL
=
255;
(b) segnalazione DPCM. Con riferimento alla Figura 3-32, che illustra tipiche forme d'onda di tipo DM, tracciare il grafico di una forma d'onda analogica diversa da quella mostrata nella figura, del relativo segnale DM e dell'uscita dell'integratore. Stabilire le regioni dove dominano rispettivamente il rumore per sovraccarico di pendenza e il rumore granulare. Un sistema DM viene provato con un segnale sinusoidale di frequenza lO kHz e ampiezza picco-picco pari a l V. Il segnale è campionato con una frequenza lO volte superiore a quella minima di Nyquist. (a) Qual è il passo di quantizzazione richiesto per prevenire il rumore per sovraccarico di pendenza e per minimizzare il rumore granulare? (b) Qual è la densità spettrale di potenza del rumore di granularità? (c) Se il ricevitore ha banda 200 kHz, qual è il rapporto segnale-rumore di quantizzazione medio? Il segnale d'ingresso di un sistema DM è 0.lr8 - 5r + 2, il passo di quantizzazione è l V, e il campionatore funziona a IO campioni/s. Mostrare qualitativamente il segnale di ingresso, l'uscita del modulatore DM, e l'uscita dell'integratore sull'intervallo da Oa 2 s. Indicare le regioni relative al rumore granulare e per sovraccarico di pendenza. Ripetere l'Esercizio 3-51 per il caso di un modulatore DM adattativo, per il quale il passo di quantizzazione è selezionato secondo il numero di cifre binarie l o Oconsecutive. Si ipotizzi che il passo sia 1.5 V quando ci sono quattro cifre binarie consecutive uguali, l V per il caso di tre cifre consecutive, e 0.5 V per il caso di due o meno.
224
Capitolo 3 - Segnali digitali e a impulsi in banda base 3-53
Un modulatore DM deve essere progettato in modo da trasmettere un segnale analogico con ampiezza picco-picco di 1 V e banda 3.4 kHz. Il segnale digitale deve essere trasmesso attraverso un canale con risposta in frequenza non più accettabile oltre a 1 MHz. (a) Selezionare opportunamente il passo di quantizzazione e la frequenza di campionamento, e discutere le prestazioni del sistema in base ai valori dei parametri selezionati. (b) Nel caso di trasmissione di un segnale analogico vocale, selezionare l'opportuno passo per una frequenza di campionamento pari a 25 kHz e discutere le prestazioni in tali condizioni.
3-54
Un segnale analogico Wl(t) è limitato in banda a 3 kHz e un secondo segnale, W2(t), a 9 kHz. Questi due segnali sono trasmessi attraverso un sistema TDM di tipo PAM. (a) Determinare la minima frequenza di campionamento per ogni segnale, e disegnare lo schema del sistema TDM (in particolare dei commutatori). (b) Disegnare due realizzazioni tipiche per Wl(t) e W2(t), e il corrispondente segnale TDM. Tre segnali sono multiplati a suddivisione di tempo utilizzando un segnale PAM a campi0namento istantaneo con tempo di campionamento 0.15 secondi con impulsi di durata molto stretta. Disegnare il segnale TDM quando i segnali di ingresso sono
3-55
Wl (t)
= 3 sin(2m)
W3(t)
= -A(t
e
3.56
- 1)
Ventitrè segnali analogici con banda 3.4 kHz sono campionati con frequenza 8 kHz ciascuno, e sono multiplati assieme a un canale si sincronizzazione (8 kHz) in un segnale TDM, che a sua volta è trasmesso attraverso un canale con risposta complessiva a coseno rialzato
con r
==
0.75.
(a) Determinare lo schema a blocchi del sistema, definendo la frequenza!s del commutatore e la velocità del flusso dati TDM. (b) Valutare la banda assoluta minima del canale. 3-57
Due segnali PAM, ottenuti mediante campionamento istantaneo, sono multiplati per produrre un segnale composito PAM(fDM che è trasmesso sul canale. Il primo segnale PAM è ottenuto da un segnale analogico con spettro Wl(f) = nUI2B). Il secondosegnalePAMè invece ottenuto da un segnale analogico con spettro W2(f) = A(fIB), doveB = 3 kHz. (a) Determinare la minima frequenza di campionamento per ogni segnale, e progettare un commutatore e decommutatore per gestire questi segnali. (b) Calcolare e disegnare qualitativamente lo spettro in ampiezza del segnale PAM(fDM.
3-58
Ripetere l'Esercizio 3-56 per un sistema PCM(fDM, in cui viene utilizzato un quantizzatore a 8 bit per generare la parola PCM relativa a ogni segnale analogico di ingresso e in cui nel canale di sincronizzazione viene inviata una parola di sincronismo di 8 bit.
3-59
Progettare un sistema PCM(fDM per quattro ingressi digitali sincroni a 300 bitl s e un segnale analogico di banda 500 Hz codificato a 4 bit/campione. In particolare, disegnare uno schema a blocchi del sistema analogo a quello di Figura 3-39, fornendo la velocità di bit nei vari punti del diagramma.
3-60
Progettare un sistema TDM per due ingressi digitali sincroni a 2400 bitls e un segnale analogico con banda 2700 Hz in cui il segnale analogico viene campionato a una frequenza pa-
Punti principali
. . . . .
.
Inviluppo complesso
e segnali modulati Spettro dei segnali
passa-banda Distorsioninon lineari Dispositivi
per le telecomunicazioni (convertitori, PLL, sintetizzatori, rivelatori) Trasmettitori e ricevitori "Software
radio"
SEGNALI PASSABANDA E RELATIVI SCHEMI CIRCUITALI
Questo capitolo affronta le problematiche legate alle tecniche di trasmissione passa-banda. Come anticipato nel Capitolo 1, un segnale passa-banda viene ottenuto modulando su una certa portante un segnale in banda base analogico o digitale. Il capitolo è sicuramente di grande interesse poiché introduce i principi basilari della trasmissione in banda passante. Faremo spesso ricorso all'inviluppo complesso in quanto attraverso di esso è possibile rappresentare qualsiasi segnale in banda passante. L'inviluppo complesso è un concetto essenziale ai fini della comprensione dei sistemi di comunicazione analogica e digitale che saranno descritti con maggior dettaglio nei Capitoli 3 e 5. Sempre nel corso del capitolo verranno affrontati alcuni degli aspetti pratici che si incontrano nel progetto degli apparati tipicamente impiegati nei sistemi di comunicazione, e cioè filtri, amplificatori lineari e non, mixer, convertitori di frequenza, modulatori, rivelatori e anelli ad aggancio di fase (PLL). A conclusione del capitolo descriveremo alcuni tipi di trasmettitori, di ricevitori ed esamineremo il concetto della "software radio".
228
Capitolo 4 - Segnali passa-banda e relativi schemi circuitali
4-1 L'INVILUPPO COMPLESSO DEI SEGNALI IN BANDA PASSANTE Che cos'è la rappresentazione di un segnale passa-banda analogico o digitale? Come possiamo rappresentare un segnale modulato? Queste sono alcune delle questioni che verranno affrontate in questo paragrafo.
Definizioni:
banda base, banda passante e modulazione
DEFINIZIONE.Un segnale in banda base ha uno spettro di ampiezza diverso da..z.e..ro per frequenze prossime all'o[Ì.,gillef = OeJrascur~.biI~ altIQve. DEFINIZIONE.Un segnale in banda passante (o passa-banda) ha uno spettro..di ampiezza
cIiver~o da 7ero SII eli IIn!j, certa handa-atteme-a-\lna-fn~quenza...~
chiaIll~[reQUenza 1JortmJ.te. Nella pratica,fc è la frequenza
~j-Q~~ungo
~anak..trasmissi.vo..(sia.esso-via{;ave.{K'-ia-radio)~-
DEFINIZIONE.C~ il termine modulazione si indica il processo mediante il quale l'informazion~__~im~essa su di un segnale sinusoidale portanté con frequenzafc attraverso i'introduzione di unaqualche variazione nell'ampiezza, nella fase o su entrambe. Il segnale passa-banda così ottenuto è detto segnale modulato, s(t), mentre 11segnale informativo originale -è..£\1iam~t.9_s.f8nale modl!.lante,m(t). Più avanti nel capitolo verranno presentati alcuni esempi di modulazione di un segnale. La definizione appena data indica che la modulazione può essere pensata come un'operazione di "trasferimento" dell'informazione di sorgente su di un segnale passa-banda. A essere trasmesso sul canale sarà proprio il segnale in banda passante. " Nel momento -in cui il segnale modulato attraversa il mezzott:"a;missivo, esso viene alterato dai disturbi (rumore). All'ingresso del ricevitore si ha dunque una forma Segnale informativo
in ingresso Ig(t) I I s(t) m IElaborazioneL.:..:..JModulatore del segnale
Mezzo di trasmissione (canale)
emodulatore Ig(~)1Elaborazione del segnale
Ricevitore
Trasmettitore
Figura 4.1
Sistema di comunicazione.
m 1
4-1
L'inviluppo
complesso dei segnali in banda passante
229
d'onda, r(t), che risulta dalla sovrapposizione di segnale utile e rumore (Figura 4-1). Il ricevitore ha il compito di ricostruire ciò che è stato effettivamente trasmesso dalla sorgente; rappresenta la versione alterata dal rumore di m.
m
Inviluppo
complesso
Tutti i segnali in banda passante, siano essi segnali modulati, segnali interferenti o rumore, possono essere rappresentati in modo opportuno attraverso il seguente teorema. Useremo il simbolo v( t) per indicare un generico segnale passa-banda che potrà coincidere
con il segnaleutilese s(t)
==
v(t), con il rumore,se n(t)
il rumore all'uscita del canale, (r(t) banda passante.
v(t), col segnalefiltratopiù
==
v(t)), o con qualsiasi altra forma di segnale in
==
I
TEOREMA.
Un qualunque segnale -passa-banda .- - può essere ----rappresentato come -
(4-1a) d~{'
I indirl1.kLpaae...re.aledi {.I, g(t} è l'inviluppo complesso di v(t) e!c Ua re-
1ClJb!g-1J'f>ql1l!ma
pOClante..(in.hertz)
con
=
a..'c..
271jr;.:.1'1!!ltrez
sono
possibili
altre
dut;. rEP...-
pr~JJaJ.tazioni-eqJlWalenti,-6-Gioè
v(t) = R(t) - - cos[wct --- + O(t)]
(4-lb)
e v(t) = x(t) cos wct - y(t) sin....Wct
(4-lc)
dove g(t)
= x(t) + jy(t) = x(t) = Re{g(t)} y(t) = Im{g(t)} R(t) ~ Ig(t)1
Ig(t)lej/g(t)
== R(t)ej8(1)
(4-2)
==
R(t) cos O(t)
(4-3a)
==
R(t) sin O(t)
(4-3b)
==
..Jx2(t) + y2(t)
(4-4a)
y(t) tan-l ( x(t) )
(4-4b) ,.
e
O(t) ~ jg(t)
=
Dimostrazione. Qualsiasi segnale fisico (non necessariamente periodico) può essere rappresentato sull'intero asse dei tempi attraverso il suo sviluppo (complesso) in serie di Fourier, con To ~ 00: 11=00
v(t) =
I
Cn ejnwor,
n =--00
I
Il simbolo""
indica un'equivalenza
mentre il simbolo ~ indica una definizione.
(4-5)
4-3
Spettro dei segnali passa-banda
231
4-2 RAPPRESENTAZIONE DEI SEGNALI MODULA TI La modulazione è un rocedimento di codifica del segnale infonnativo m(t) (se naIe mo~ul~egn~l~ il\JJanga".pas se n.~~~~u1ID.Q1 Il segnaj£".JJJ~ulatrl-~I1~ generale
--
(4-9) dove Wc= 21T/c,elc è la frequenza portante. L'inviluppo complesso g(t) è una funzione del segnale modulante m(t): g(t)
= g(m(t)]
(4-10)
Dove g['] indica l'operazione di trasfonnazione operata su m(t) (vedi Fig. 4-1). La Tabella 4-1 fornisce un quadro generale del processo di modulazione. Vengono presentati esempi di trasfonnazione g( m] per i seguenti tipi di modulazione: di ampiezza (AM), a doppia hancia laterale con portante soppressa (DSB-SC), di fase (PM), di frequenza (FM), AM a banda laterale singola con portante sQPpressa (SSB-AM-Sq, PM a ~ànda laterale singola (SSB-PM), FM a banda laterale singola (SSB-FM)' a banda latera1~1a rnn rivelazione d'inviluppo (SSR-RV), a-banda-lateJ:ale..singo.1a...con riye)çJziwe a quadratore (SSR-SQ) e infine modulawne in fase{quadratqra (Q~ ~I segnali modulati analogici e digitali saranno analizzati con maggior dettaglio nel' Capitolo 5. In particolare, i segnali con modulazione di itale si ottengono a artire da un se naIe modulante di itale in base m t come l'uscita di un circu' 'gitak:...di.tipo TTL. Ovviamente è possibile far uso di altre funzioni g( m] oltre a quelle elencate in Tabella 4-1. La domanda da porsi a questo proporsito è la seguente: tali funzioni sono effettivamente utili? Generalmente, le varie g( m] devono essere semplici da implementare e devono dar luogo a proprietà spettrali interessanti. Inoltre, visto che al ricevitore è necessario applicare la funzione inversa m(g] tale inversione dovrebbe essere univoca sull'intero intervallo di valori in esame e facilmente implementabile. Infine, l'operazione di trasfonnazione deve risultare il più possibile immune ai vari disturbi in modo che m(t) possa essere ricostruito il più fedelmente possibile.
&-3SPETTRO DEI SEGNALI PASSA-BANDA Lo spettro di un segnale passa-handa può e~~ inviluppo complesso.
ricay.at girettamente da quello del suo -
--
TEOREMf:.:;;"Dato un segnale 12a~sq-.!?andall~jpJgr..ma vi!)
= f3,e{gJ!lejOJct) -~
(4-11)
al/ora la s!:!..qJJ:ag2l:rnatadi f' ourier (TF) è
V(f)
--
= HG(f - lc) Ic)] - + G*(-I ---............
(4-12)
N c:...J N
n I» "E. 8" 5" TABELLA 4-1
H::>I Cf) Il)
INVILUPPO COMPLESSO PER VARIE FORME DI MODULAZIONE" Corrispondenti modulazioni in quadratura
Tipo di modulazione AM
:- C:.
DSB-SC PM FM
Mappa g(m)
Ac[1 + m(t)]
SSB-AM-SCb
Ac[m(t)
SSB-PMb
AcejDp[m(t):!:j'ÌI(t)]
SSB-FMb
AcejDrl~[m(O'):!:jtfl
dO'
Ac cos [DJ
o
:!: jm(t)]
O Acsin[Dpm(t)]
f~ m(u)
Ace
{lo[t +m(t)]:!:jhi
SSB-SQb
Ace
(1/2) {to(l +nr(t) ]:!:Jlfi IJ+nr(t)l}
QM
Ac[mt(t) + jm2(t)]
Il +nr(t)l}
Acsin[DJ
]
Ace+Dpm(t) cos[Dpm(t)]
Ace +Dpm(t) sin[Dpm(t)]
COS[DJ
f~ m(u)
Ac[1 + m(t)] cos{liì[1 + m(t)]} AcVI + m(t) cosH liì[1 + m(t)]} Acmt(t)
dU]
n! SI .....
f~ m(U)dU]
:!:Acm(t)
(O')]dO'
SSB-EVb
du
Acm(t)
Ace+Drl~'i1(O')dO'
--
y(t)
Ac[l + m(t)] Acm(t) Accos[Dpm(t)]
Acm(t) AcejDpln(t) AcejDrl~m(O')
x(t)
Ace+Dr(m(d)dd
sin[ DJ
~: cn n ::r Il) §. n ::;. n 5. .....
f~ m( u) dU]
:!:Ac[1+ m(t)] sin{liì[1 + m(t)]} :!:AcVI+ m(t) sinH liì[1 + m(t)]} Acm2(t)
-I per la rivelazione di inviluppo
L
Rivelazione coerente
:!:liì[1
SSB-SQb
Ac~1 + m(t)
:!:t liì[1 + m(t)J
QM
Ac~mf(t) + m~(t)
tan -1[m2(t) I mI (t)]
NL
Dp è la deviazione di fase costante (rad/volt)
NL
DI è la deviazione di frequenza costante (radivolt-sec)
L
tan-l[:!:m(t)lm(t)]
r
--00
Rivelazione coerente
m(u) du
+ m(t)]
NL NL
m(t) > -I affinché In(o) sia reale
NL
m(t) > -I affinché In(o) sia reale
L Adottata nel sistema televisivo a colori NTSC; rivelazione coerente
a Ac > O è una costante che fissa il livello di potenza del segnale valutato in accordo alla (4-17); L, lineare; NL, non lineare; [ ~] indica la trasfonnata sione motata di -90° di [o]) (si vedano i Paragrafi 5-5 e A-7, Appendice A).
b Il segno positivo corrisponde
"'" I VJ
NL
Dpm(t) DI
Requisiti particolari
Le
m(t) > O m(t) < O
Dpm(t)
DI
Linearità
alla banda laterale superiore e quello negativo alla banda laterale inferiore.
c In senso stretto, i segnali AM non sono lineari, poiché il tennine associato alla portante non soddisfa la proprietà (di sovrapposizione)
della linearitào
di Hilbert (ovvero la ver-
VJ "O t'D ~ o i:l.. ~o 11 'l1~dta è
K AZ Kz(Ao sin wot)Z = ---2 Q.(l - cos 2wot) f.
(4-45)
perciò la distorsione del secondo ordine detennin:! IIn livello in continua pari a KzA5/2 alla frequenza 2iooIn generale, per u~ ingre~§..osinl,ls
:~~ ~~
..
.
Af--f Pò-(
~
-F
..
.
..
'.
'
!I .
II
Un limitatore è un dispositivo non lineare con caratteristiche di saturazioneJntr-odnttei~ ,Eonalmente. La caratteristica di un limitatore "soft" (cioè progressivo) è quella di Figura 4-5, mentre in Figura 4-7 è illustrata la caratteristica di un limitajQre"hard" (cLoèa soglia)
254
Capitolo 4 - Segnali passa-banda e relativi schemi circuitali Caratteristica Vout dellimitatore
Vlim(t)
a soglia
/
VL
I~
L..
t-
t
Vin(1 Figura 4.7 Caratteristica del limitatore a soglia con andamento del segnale di ingresso e di uscita non filtrato.
assieme alla rappresentazione del segnale in uscita per un determinato segnale d'ingresso. La caratteristica ingresso-uscita di un limitatore ideale è sostanzialmente quella di un comparatore ideale con lIvello di riferimento pari a zero. Le forme d'onda di Ì'lgura 4-1 moStrano come le variazionid'ilmplezza(nell'inviluppo) dell'ingresso siano scomparse nel .
segnale d'uscita. U.!!-limitatore in banda passante è un dispositivo non linp.:m"con satura-
;
zione, seguito da un fIltro passa-banda. In questo caso, l'uscita dal filtro è una sinusoide, I 1
J)..
pOlche~earmoDlchedell'onda quadra eli FigJlr::l4-'1 vpngQnoelimina1e..dal1:.Qperazione di \\ ~. In generale, ogni ingresso passa-banda (anche un segnale modulato disturbato Il da rumore) può essere rappresentato usando la (4-lb) nel modo seguente: Vin(t)
= R(t)
COS[lùct
+
O(t)]
(4-54)
La c°f!Ì~ondente uscita per un limitatore ideale in banda passante diventa VOUI(t) = KVL COS[lùct
+ O(t)]'-
(4-55)
dove K è il livello deU~ GQ~~lIl~è81l't;~)nrl::l mmrl1J' cioè 4/'11'. WQltipli;: cato per il guadagno del filtro assa-oanda in uscit~L'equazione precedente indica che il
Imitatore lacca un'eventualemodulazioneAM in ingres,m.-mentre..preseFVa.}.'andamen-
4-11
255
Mixer e convertitori di frequenza
to della fase (in particolare, li attraversamenti zero dell'in ressa sono anche uelli e uscita). I limitatori vengono spesso utilizzati nei sistemi di ricezione per segnali con modulazionè d'~n 010 PSK FSK e, nel caso analo ico, FM er eli!!ili!arçqg!li Dossibi-
~ variaZIOne in rum~ul
ampiezza
e
inviluppo desegnale
all 'ingresso del' ricevitore dovuta al
canale o_al fa~ing.
4-11 MIXER E CONVERTITORI DI FREQUENZA
(4-56) dove gin(t) ne è l'inviluppo complesso. Il segnale in uscita dal mixer ideale è quindi VI(t)
=
[Ao Re{gin(t)ejcucl} ]cos wot
= ~o[gin(t)ejCUcl
+ gi~(t)e-jcucl](ejl,
V2(t)
Oscillatore locale
Figura 4-8 Mixer per conversioni verso l'alto e verso il basso seguito da filtro.
.
-""\ r
,
"-.'?
r I 256
Capitolo 4 - Segnali passa-banda e relativi scherni circuitali
componente a frequenza più elevata si fa uso di un filtro passa-banda, mentre la componetm: é:tflt:yut:~Zé:tplò ~assa puo esst:lt: 1>d\:;L~v.l!it!i " ,,,,,, ''''
r;II". ;~,},JInà'~1 pqHnnte ò -
con uno in ban a base, ~seconda di dov~~'locata G:.=.h.:. Per esempio, sele - lo = O, sarà necessarIo-tin rutTOpassa-basso e in uscita avremo uno spp.ttm in h:mda base. Sk.. le - lo > O, con le - lo maggiore della banda di gin(t), si impiegherà allora un filtro in banda passante, la cui uscita risulta (4-58) Sele > lo, la modulazione applicata al segnale in ingresso al mixer Vin(t) viene semplicemente trasferita su entrambe le uscite a frequenza !t, e Id, Se invece le
riscrivere la (4-57) come segue VI(t)
=
I .
lo possiamo
~o Re{gin(t)ej(wc+"-IJ)t}+ ~o Re{g~(t)ej("-IJ-wc)l}
(4-59)
<J
dal momento che la frequenza che compare all'esponente della rappresentazione in ban~ base del segnale deve essere positiva. ~el caso in cuih' < lo, l'in viluppo complesso del segnale convertito verso il b.asSQ.è-'luin.di...iLconlllg::lto rlp.lI'inviJuppo.cowplesso del segnaTe-d'Ingresso,Ciò è equivalente a dire che le.Q1.I.!1gel£!.~~L~()l)os~,$c~; oV:vero, la banda superiore del segnale di ingresso d1venta la banda inferiore del segnale di
-
uscita convertito verso Il 6asso, e vicevérsa; infatti lo speJ):ro di -g: (Q ~-
~[g~(t)] =
f:
gi~(t)e-jwt dt
=
-
[f: gin(t)e-j(-W)IdJ
= G~(-/)
(4-60)
La presenza della variabile -I indica appunto che la banda laterale superiore e quella inferiore sono state scambiate, mentre il coniug!9 ci dice fl:1e lç§Qettro di fas~
Riassumendo, l'in viluppo è6~so conversion) è
d~IJ1ta...inve.!.1it!2.
de1segnale d'uscita convertito verso l'alto (u12
g2(t) - = "--
\
~o gin(t)-1
(4-61a)
~v~ = !~/o > O,Pertanto,ritroviamoun'eventualemodulazionein ingressoanche sul segnaTe l uscita, ma con ampi~z~a §.ca.@t~d~UMJ..QDU\oL2.- Nel caso di conversione verl,p il l1ass_(L(down'conv.~~i.pm-ci..sQn.iLCh.l~--Possibilità.. Se /d = le - lo > O, cioè lo < h., ... -' ~.,...,,~-
l g2(t)
=
f
gin(t)
i })f)JlJtJ:r:
(4-61b)
Si parla allora di conversione verso il basso con ri erimento in eriore low-side in 'ection ,
poic e a frequenzadell'oscillatorelocale è al di sotto di quella del segnaledi ingresso (cioè. f/1 < &l..ln questocaso, ìà mociiì~ in uscitaè la stessa in ingresso,Mttua- to il fattoredi scalaAo/2. L'altra possibilitàèÙ = lo':: le > o, cioè/o > !c, e il coITisPòndenteiIivlliippocoffij5Iésso del segnalein llsc1trlm ...~- ---
c
4-11
Mixer e convertitori di frequenza
]l..
257
(4-61c)
Si parla <J!!i!ldidi conv~sionf> verl1" ppr 1" "'owml1t7.n~
-Il
circuito descritto funziona come un dispositivo variabile nel tempo (rispetto al segnale di ingresso sulla porta RF) e la sua analisi è molto simile a quella adottata per il mixer Commutatore analogico (dispositivo lineare tempo-variante) ""-
VI(t)
,
.
nnnn -4 'C'I
~
t~
Multivibratore
(generatore
Figura 4-10
Filtro
d'onda quadra)
Vout(t)
Ij
r
V
Dispositivo lineare variabile nel tempo usato come mixer.
260
Capitolo 4 - Segnali passa-banda
e relativi schemi circuitali
+
+ I
..
PortaRF
Porta
Vw
oscillatore
locale(LO)
Oscillatore locale
PortaFI +
Carico (a) Schemacircuitaledi unmixerdoppiamentebilanciato
Vw(I) +
(b) Equivalente
circuitale
(c) Equivalente circuitale quando vw(t) è negativa
quando vLQ(t) è positiva
s(t) +1
1(d) Segnale bipolare di commutazione
generato dall'oscillatore
locale
Figura 4-11 Analisi dello schema circuitale di un mixer doppiamente bilanciato.
~ commutazione di Figura 4-10. Nel semiperiodo in cui VLO(t) è una tensione positiva, l'uscita risulta proporzionale a +Vin(t), come già visto per lo schema circuitale equivalente di Figura 4-11b. Quando, invece, VLO(t) è negativa, l'uscita è proporzionale a -Vin(t), come si vede dal circuito equivalente di Figura 4-llc. L'uscita del mixer è (4-69) dove s(t) è l'onda quadra di Figura 4-lld, avente periodo To = 1//0, e descritta dalla seguente serie di Fourier: s(t)
=4
~
sin(n7T/2)
n=1
n1T
L
cosnWot
(4-70)
da cui (4-71 )
4-12
Moltiplicatori di frequenza
261
Se come di consueto l'ingresso è un segnale passa-banda avente uno spettro diverso da zero nell'intorno di/c, allora esso risulterà convertito alle frequenze Ih- :I::n/ol, con n = l, 3, 5, . . . . In~pratica, il valore K è tale che il guadagno di conversione (definito come il livell.2deU~mponent~t.iI~i.!!.scita çlivis