FEM: Grundlagen und Anwendungen der Finite-Element-Methode im Maschinen- und Fahrzeugbau

Bernd Klein FEM

"Man muss gelehrt sein, um Einfaches kompliziert sagen zu können; und weise, um Kompliziertes einfach sagen zu können ."

nach CharIes Tschopp

Bernd Klein

FEM Grundlagen und Anwendungen der Finite-Element-Methode im Maschinen- und Fahrzeugbau 8., verbesserte und erweiterte Auflage Mi t 23 0 Abbildunge n, 12 Fallstudi en und 20 Übun gsaufgaben

STUDIUM

11 VIEWEG+ TEUBNER

Bibliografische Information der Deutschen Nationalbibliothek Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Natlonalbibfiogratie: detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über abrufbar.

1. Auflage 1990 2., neu bearbei tete Auflage 1997 3., überarbeitete Auflage 1999 4., verbesse r te und er weiterte Auflage 5., verbesserte und erweiterte Auflage 6., verb esserte und erweiterte Auflage 7., verbesserte Auflage 2007 8., verbesserte und erweiterte Auflage

2000 2003 2005 2010

Alle Rechte vorbehalten

© Vieweg+Teubner Verlag I Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2010 Lekto rat: Thomas Zipsner llmke Zander

vleweg- Teubner Verlag ist eine Marke von Springer Fachmedien . Springer Fachmedien ist Teil der Fachverlagsgruppe Springer Seience-Business Med ia. www.viewegteubner.de Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwer tung außerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlags unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielf ält igungen, Ubersetzungen, Mikrover filmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnarnen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Umschlaggestaltung: KünkelLopka Medienentwicklung, Heidelberg Druck und buchbinderische Verarbeitung: MercedesDruck, Berlin Gedruckt auf säure freiem und chlorfrei gebleichtem Papier. Print ed in Germany ISBN 978-3-8348-0844-8

v

Vorwort zur I. Auflage Das Buch gibt den Umfang meine r Vorlesung über die Finite-Elemente-Methode wiede r, die ich seit 1987 an der Universität Kasse l fU TStudenten des Maschinen baus halte. Mein Anliegen ist es hierbei, nicht nur Theorie zu vermitte ln. sondern auc h die Handhabung der Methode im Ablauf und d ie Anwend ung an einigen typischen Problemstellungen in der Elaste statik. Elastedy namik und Wänne leitung zu zeigen. Das realisierte Konzept dürfte damit auc h für viele Praktiker (Berechnungs tngenieure, CA E-Konstrukteure und CA D-Syste mbeauft ragte ) in der Industrie von Interesse sein. da sowoh l ein Gesa mtüberbl ick gegeben wird als auch die für das Verständnis benötigte n mathematisch-physikalischen Zusammenhänge dargestellt werden. Um damit auch d irekt umsetzbare Erfahrungen vermitteln zu können, stützt sich der Am...-endungs teil auf das verbreitete kommerzielle Programmsystem ASKA, das mir seit 1987 zur Verfüg ung steht. Bei der Lösung der mit ASKA bear beiteten Beispie le haben mich die Mitarbeiter des Bereiches CAE der Firma [KOSS, Stuttgart. stets gut berate n. Die Erste llung des Man uskriptes hat Frau. M. Winter überno mmen. der an dieser Stelle ebenfa lls herzlich gedank t sei.

Kassel, im September 1990

B. Klein

Vorwort zur 8. Auflage Bücher haben d ie unange nehme Eigenschaft. nie fertig zu werde n. So fallen mir auch beim Arbeiten mit meinem Buch immer wieder Darstellungen und Ableitungen au f, die man besser und schö ner machen kann, Die Neuauflage enthält wieder viele Verbesserungen im Text und in den Übungen, die zum noch bessere n Verständnis der Finite-Element-Methode beitrage n sollen. Auch soll dem Lernenden eine gegliiltete T heorie helfen, d ie teils doch komplexen Z usammenhänge besser zu verarbeite n. Gemäß dem Motto des Buches .Anscbaulichkeit vor Wissenschaftlichkeit" ho ffe ich auch we iterhin auf einen interessierten Leserkreis an Fachhochschulen, Universitäten und in dcr Prax is. Die eingearbeiteten Verbesserungen beruhe n zu einem erheblic hen Te il auf Anregu ngen von Studierenden. Kollegen und Mitarbeite rn, d ie auc h weiter hin sehr dankbar aufge nommen werden . Mit der text lichen Umsetzung war wieder Frau M. Winter betraut, der an d ieser Stel le ebenfalls herz lich gedank t sei. Calde n be i Kasse l. im Januar zü lü

B. Klein

VI

Inhaltsverzeichnis Einfü hr ung ..

1.1 1.2 1.3 1.4 2

3

1

Il istor ischer Überblick Generelle Vorge hensweise Aussagesicherheit e iner FE-Analyse Qualitätsstandards

I 4 8 10

An wend ungsfelder und Soft wa re

.

2. 1 2.2

. .

Problemklassen Kommerzielle Software

Grundgle ichu ngen d er linearen Finite-E lement- Met hode 3. 1 Matrizenrechnu ng 3.2 Gleichungen der Elastestatik 3.3 Grundgleichungen der Elastedynamik 3.4 Finites Grundg leichu ngssystem 3.4.1 Variationsprinzip . 3.4.2 Methode von Galerkin

4

ni e Ma tr ix-Steifigkeitsmet hode .

5

Das 5.1 5.2 5.3

Kon zept de r Finite- Elemen t- Met hode Allgemeine Ve rgehensweise FE-Programmsystem Mathematische Formulierung 5.3 .1 Ebenes Stab-E lement . 5.3 .2 Ebenes Drehstab-Element .. 5.3 .3 Ebenes Balken-Element . 5.4 Prinzipie ller Verfahrensablauf 5.4.1 Steiflgkeits rransformation .. 5.4.2 Äquivalente Knotenkräfte 5.4.3 Zusammenb au und Randbedingungen 5.4.4 Sonderrandbedingun gen 5.4.5 Lösung des Gleichungssystems 5.4.6 Berechnung der Spannungen .... 5.4.7 Systematische Problembehandlung ...

.. . . . . .

11 11 12 16 16 19

26 27 27 31

34 .

41 41

. . .

44 45 45 50

. .

. . . . . .

53 62 62 65 68 72

74

SI

83

6

Wahl der Ansa tzfunkt ione n

.

89

7

Element ka talog Fü r etastostaus che P ro bleme 7. 1 3 - D~ B a l k en- E l em ent 7.2 Sche iben-Elemente 7.2.1 Belastungs- und Beanspruchungszustand .. 7.2.2 Dreieck-Element . 7.2.3 Flächenkoordinaten . 7.2.4 Erweiterungen des Dre ieck-Elements 7.2.5 Rechteck-Element

. . . .

93 93

.

97 97

98 105

.

11 0 11 1

VII

Inhaltsverzeichnis

7.3

7.4 7.5 7.6

8

•

'0

7.2.6 Konverge nz Balken-Sc heiben-Elemente 7.2.7 Berücksichtigung der Schubverformung 7.2.8 Viereck-Element 7.2.9 Isoparametrische Elemente 7.2.10 Numerische Integration .... Platten-Elemente . 7.3.1 Belastungs- und Beanspruchungszustand 7.3.2 Problematik der Platte n-Elemente 7.3.3 Rechteck-Platte n- Element 7.3.4 Dreieck-P latten-Element 7.3.5 Kon vergen z 7.3.6 Schubverformung am Plattenstrei fen 7.3.7 Beulp roblemarik Schalen-Elem ente Volume n-Elemente Kreisr ing-El ement

119 120 125 129 134 139 139 143 146 152 153 155 156 165 170 175

. . Kontaktprob leme 8.1 Problembeschreib ung . . 8.2 Einfache Lösungsmethode für Kontaktprob1cme 8.3 Lösung zweidimensionaler Kontaktprobleme ..... 8.3.1 Iterative Lösung nicht linearer Probleme ohne Kontak t 8.3 .2 Iterative Lösun g mit Kontak t FE M-A nsa tz für dynamisc he Pro bleme . Virtuelle Arbe it in der Dynam ik . Element massenmat rizen . 9.2.1 3-D-Balken-Element 9.2.2 Endma ssenwirkung 9 .2.3 Dreieck-Sche iben-Element 9.3 Dämpfungsmatrizen 9.4 Eigenschw ingun ge n ungedämpfter System 9.4.1 G le ichungssystem 9.4.2 Numerische Enn ittlung der Eigenwerte . 9.4.3 Stat ische Reduktion nach Guyan . . . 9.5 Freie Schwingungen 9.6 Erzwungene Schwingungen 9.7 Beliebige Anregungsfu nktion ..... 9.8 Lösung de r Bewegungsg1eichung

182 182

. .

' .1 ' .2

.

G r u nd gleich ungen d er nichtlin ea ren Fin ite-Eleme nt-M et hode ... 10. 1 Lösungspri nzip ien für nicht lineare Aufgaben .... 10.2 Nichtlineares Elastiz itätsve rha lten . 10.3 Plastizität 1004 Geometrische Nich tlinearität 10.5 Instabilitätsprobleme

. . . .

. . .

184 188 188 18' 202 202 204 205 207 20' 212 213 213 221 222 226 228 237 238 247 247 250 253 257 259

1nhaltsverzeichn is

VIII 11

Wärmeiibertragu ngsproblem e .. 11 .1 Physikalische Grund lagen ..... 11 .2 Diskret isierte Wärmeleitu ngsgleichung 11 .3 Lösung sverfahren 11 ,4 Ther misch-stationäre strukturmechanische Berechnung 11 .5 Ther r nisch-tran siente strukturmechanische Berechnung

266 266 271 273 275 276

12

Mehrkd r persyste me 12.1 Merkmale e ines MKS 12.2 Kinemat ik von MKS 12.2.1 Drehmatrix 12.2.2 Ebene Bewegung 12.3 Kinet ik von MKS . 12.3.1 G rundbeziehungen für den starren Körpe r 12.3.2 Newton-Euler-Methode 12,4 Lagrange'sche Methode 12.5 Mechanismenstrukturen

279 279 281 283 285 287 289 29 1 293 295

13

Ba uteiloptimier ung 13.1 Formu lierung einer Optimierungsaufgabe 13.2 Parameteroptimieru ng 13.3 Bionische Strateg ie 13,4 Selektive Kräftepfadopt imierung

297 297 298 300 303

14

Grund regeln der rE M-A nwe nd ung 14.1 Fehlerquellen 14.2 Elementie rung und Vernetzung 14.3 Netzaufbau 14,4 Bandbreiten-O ptimierun g 14.5 Genauigkeit der Ergebnisse 14.6 Q ualitätssicherung

306 306 307 3 11 3 14 3 18 320

Fallstudie 1: zu Kapitel 4 Mcurix-Steiflgkehsmetitode Fallstudie 2: zu Kapitel 5 Konzept der FEM / Allgemeine Vergehensweise Fallstudie 3: zu Kapite l 5 Konzept der FEM / Sc hiefe Randbedingungen Fallstudie 4: zu Kapite l 5 Konzept der FEM / Durchdringun g Fallstud ie 5: zu Kap itel 7 Anwendung wm Schalen-Elementen Fallstud ie 6: zu Kap itel 7.5 Anwendung von Volumen-Elementen / Mapped mesht ng Fallstud ie 7: zu Kap itel 7.5 Anwendung der Vohnnen- Elemente / Free mesh ing Fallstud ie 8: zu Kap itel 9 Dynamische Probleme Fallstud ie 9: zu Kap itel 9.6 Erzwungene Schwingungen Fallstud ie 10: zu Kap itel 10 Materialnichtlinearit ät Fallstudie 1I: zu Kapitel I0,4 Geom etrische Nichtlin earit ät..... Fallstudie 12: zu Kapitel 11 Warmeleitungsprableme

323 325 329 330 332 335 337 340 343 347 350 353

Übungsaufgabe Übungsaufgabe Übungsaufgabe Übungsaufgabe

357 358 359 36 1

4. 1 5. 1 5.2 5.3

Inhaltsverzeichnis Übungsaufgabe Übungsaufgabe Übungsaufgabe Übungsaufgabe Übungsaufgabe Übungsaufgabe Übungsaufgabe Übungsaufgabe Übungsaufgabe Übungsaufgabe Übungsaufgabe Übungsaufgabe Übungsaufgabe Übungsaufgabe Übungsaufgabe Übungsaufgabe

IX

5.4 5.5 5.6 5.7 5.8 5.9 6. 1 7. 1 7.2 9.1 9.2 9.3 9.5 10.4 11.1 11.2

363 365 368 369 370 373 374 375 376 377 378 379 380 381 382 383

Mathematischer Anhang QM-Checkliste einer FE-Berechnung Literaturverzeichnis Sechwortverzeichnis

384 400 40 2 40 7

x

Formelzeichensammlung

';

A A

Multiplikatoren (mm 2) (mm)

A A;

Quersehninsfläc he Koordinatenmatrix ; Koetlizientenmatrix: Iterationsmatri x Boole'sche Matri x Koeffizient

B B

Lösungsbereich differenzi erte Ansatzfunktionsmatrix: Koeffizientenmatrix nicht linearer Anteil de r Matrix ß

ßN - C(N im m)

(N fmm 2) (N /mm 2)

(m m; grd) (N/mm; grd)

f

(N )

bezogene (vertei lte)

(N )

Funkti on allgeme in Vektor der äußeren Einze lkräfte

Km"

F(x)

F

F, Fh F'

äußere Kräfte Reakt ionskräfte

Fi3

äquivalente Einzel-

Koeffizient

F,

Drehste itlgkeitskoeffizient

unbekannte Rea ktionskräfte

- G-

Systcmdärn pfungsmatr ix; Wärmekapazitätsmatrix

kräfte

Zeilenvek toren Formfunktionen

g gj ,gj

G G

(N /mm 2)

Glei tmodul Form funktionsmatrix: Matrix der Knotenansatzfunktio nen Formfunktionsmatrix

(N)

Grav itations kraft kubischer Anteil der Form funktionsmatrix linearer Ante il der Formfunktionsmatrix rotator ischer Ante il der Formfunk tions-

- D-

d

(mm )

d

(mm/s 2)

d

(mm/s)

ds

D(u)

Elastizitätsmatrix Tangenten-Elastizitätsmatrix

Integrationskonstante

ci _ Ci c;

dp

Elastizitätsmodul

F;

Elementdämpfungsmatrix

c

E E [T

Resultierende der Schwing ungs- Dtjl, Einze lkraft

Federkonsta nte

C

cij

- E-

- F-

- ß-

C

oi fferenzialoperatorenrnatr ix

0

-A-

Knotenversen tebunge n Knorenbeschleunigung Knotengeschwindigkeit Plattenante il der Knote nversc hiebung Scheibenante il der Knotenversch iebung Differen zialoperator

Gi

G, G kub G 1in

G,

rnattix

Formelzeichensammlung translatoriseher Anteil der Formfunktionsmatrix

G,

- Jf -

h h,

Stützstelle

(mm)

H

Amplitudenhöhe Herr niresehe An-

satzfunktionsrnatrix • J.

Integral. allgemein Gebietsintervall: Einheitsmatrix

I I

. J. J

Jp

(m ru')

J y,J I-

( mm")

J, ·Kk k

(N Imm ) (N Imm )

Jacobi-Matrix polares Flächenträgheitsmomcnt Flächenträgheitsmoment 2. Invariante des Spannungstensors Federkonstante Elernentsteifigke itsmatrix:

(W /mmK) Ele mentw ärme-

k

(Nimm)

k ll

(Nimm)

kG

(N i mm )

k ij (N i mm)

k l'

(Nimm)

ks

(Nimm)

K, M

K

(Nimm)

leitungsmatrix transformierte Elementsteifigkeitsmatrix Biegesteiflgkeitsmatrix geometrische Steiflgkelrsmatrtx verschieb ungseinflusszahlen. Steiflgkeitskoe fflziente n

Plattenanteil der Steitigke itsmatrix Scheibenanteil der Steiflgke itsmatrix Diagonalhypermatrix Systemsteitigke itsmatrix:

XI (W/nm- K) Syste mwärmelei-

rungsmatrix partitionierte

IK"Ko, ~j K" K cc

KN

(NImm)

Kr

(NImm)

Ka

(NImm)

Sys temstei tlg kehsmatrix Systembiegesteifigkeitsrnatrix reduzierte Steifigkeitsm atr ix geometrische Systemste itlgkeits-

rnatrix Tangentenste iligkeitsmatrix Initia lspannungsmatrix

•L. ( ij

(mm)

L L L

(NImm)

-M ·

Koeffizienten; Matrixelement Länge DitTerentialoperator Drelecksmatrix; Lastoperator

m

(kg)

mij

(kg)

Elementmassenmatrix Massenkoetli zient

(N mml

Knotenlastvektor von eingeleiteten Momenten Oberflächenlastvektor bei verteilten Momenten verteiltes Torsions-

rnm)

moment

mK mo m,

seitenbezogene Biegemomente Systemmassenmatrix Biegemoment reduzierte Massenmatrix (N .mm) Moment

m x.y M

Mb M cc Mi

I'"" '"l I\\ u

I\\s

part jtionie rte

Systemmassenmatrix

XII

~

Formelzelchensammlung

f\i -

Stützste llen.

n

Zähler seitenbezogene Kräfte Fes twertve kto r An satzmatrtx: Nebenbedingungs-

I1 x. y

n

N

matrix

Q Q, Q Xl

w ärrnestrom (N ) (N)

Querkraft Querkra ft

( mm)

Radius

-Rr

R

Rand

R

Ve ktor de r Elerne ntknote nkräfte der

Schnittgröße n

Nj

ungebundenen

Struktur

-0 0

2

(mm )

- p-

Pi P, P,

(Ni mm)

Kraftk o mponente Knot enlastve ktor ve rtei lte Lä ngskr aft

PI:

(N /mnl)

verteilte äußere

(N )

Querk raft Knoten versohlebungsve ktor der

p

ungebundenen

r P

(N ) (N )

P -,

Po Ps Pp

- Qq q q

(N )

(N im m)

(N/m m2 )

Stru kt ur Systemlastve ktor Vektor der Eleme ntknotenkräfte äquivalente Kräfte Oberfl ächenk räfte Kraftvektor des Sche iben a ntei ls Kraft vekto r des Platt ena ntei ls

seiten bezogene Querkraft Wärm cstrom dichte Vektor der ve rte ilten ä ußeren Ober-

Fl ächenkräfte q " .yz

(NImm)

q, Q

( Ni mm)

R

(N )

R, R"

(N zmm ")

Fließ grenze

(N zmm")

Bruchgr enze

(N /mm 2) (N )

Spannungsrnarrix

Oberfläche

se itellbezogene Querkräfte verteilte Strec ke nlast Knoten punktwä rme -

n üsse

-S-

S S ., S Y.F

, ,

Vekto r der Kont akt -

knotenkräüc

Schnittkräfte in

Stäben ( mm 3 )

stat ische Mo mente

- T-

, I

T

( mm) ( s) (K) (N . nm]

T,

u. v, w

( mm )

"

( mm)

,;

Tempe ratu r; To rsio nsmo ment Tr an sformat io nsmatrix Eliminat ions matr ix

T

- u·

Elementdicke

Zeit

( mm/s)

Vers c hie bungskompo nent en Elementve rschiebungsvekto r

Geschwindigkeitsvekto r de r Elementverschie-

" "i

bungen

( rnm/s')

( nun )

Besc hleunigu ngsvektor der Elem entve rschiebungen Ve rschiebung

XlII

Forme lzeic hensammlu ng

U

(mm) (mm)

U, U,

Üc

Syste mverschiebungsvektor unbe kannte Versc hiebungen primä re Freiheitsgrade Besch leunigungen der primären Freiheu sgrade

se ku ndäre Freiheitsgrade bekan nte verschtebunge n unbekannte Ve rschiebungen Beschleunigungen der unbekannten Versch iebunge n

U, U, U,

Üu

-, ~ '-

Vektor Volumen

vergrößerungsfunktion

~

w(x, I)

wb w,

(mm)

W

(N omnv

Versc hieb efun ktio n Biegeverformung Sch ubverformung Ar beit

W,

(N ornm)

äuße re Arbe it

(N · nm]

innere Arbe it Formänderungs-

W"

~ .'(

energ le: Restwert

-

x

,

(mm)

II

Weg Eigen vektor Eigenve ktormat rix

)' .

Hi lfsvektor

y

II

'0

$ $(x)

41 ji "'i

y ~. i;

"

"

~

A

e

p p

Q

X

-

"

e

Ä

w-

w,

"i

ß

~i

( mrrr')

V Vi

(1IK)

Längenaus de hnungskoeffi zic nt Konstantenvektor

Wärmeübergangs -

II

, 0

' , (t)

koeffizient Richtungswin kel Winke l; Parameter Differenz Verzerrungsveklor Anfangsverzerrungsvekto r Ergiebigkeit be liebiger Drehw inkel Koeffizienten der Elementträghe itsmatrix Verdrehung am Knoten Winke l Aus lenku ng normierte Koordinate Koelli zientenmatrix Krümmung; spez . Wärme ( Ils) Längsfrequ en z (W/mm K) Wärmeleitfähigkeit; Eigenwerte; Lagrangescher Multiplikato r Reib koeffizient Eigenwertmatr ix Massenträg heil (kgldm ~) Dichte Vektor der Elemen tknotenvcrschiebu ngen äußere Anregung (N/m m 2) Normals pann ung (N/mm 2) Schubspan nung Erregungsfu nktion

v

i; ro

( I/s)

( IIs) 'V Rc d

'i

Querkontrak tion; Frequenz Dämpfungsmaß Kenngröße für de n Sc hubwiderstand. Eigenkreisfreq uenz Winke l Flächen koor dinate

I Einführung Die Finite-Element-Methode hat sic h se it vielen Jahren im Ingenie urwesen bewährt und wird m ittlerweile sc hon routinemäßig für Berech nungsaufgahen im Maschinen-. Apparate-

und Fahrzeugbau eingesetzt. Sie ermöglicht weitestgehend realitätsnahe Aussagen in den Stad ien Kon zeptfin durig und Entw icklu ng von Bauteilen und Strukturen durch Rechn ersimulation der physikal ischen Eigenschaften und trägt damit wesen tlich zur Verkürzung der gesa mten Produktentwic klungsze it bei . Im Zusam menwirken m it CA D zä hlt heute die FEM als das leistungsfähigste Ve rfahren. d ie Ingenie urarbeit zu rationa lis ieren lind qua litativ zu op tim ieren. Das Vertra uen in FEM-Rec hnungen darf aber nicht nachlässig machen, so haftet der Berechn ungsingenieur bei einer falschen Ausleg ung nac h de m BG B. G PSG und dem Prod HfG. Insofe rn sol lten die Grundzüge de r FE-M ethode a llen Ingenieu ren bekannt se in. um d ie problemgerechte Einset zbarkeif und die erzielte n Ergeb nisse in der Pra xis beu rteilen zu kön nen . Intention des Buches ist da her de r Brückensch lag zw ische n Theorie und Praxis sow ie einen Überblick zu Anwendungen in de r Statik. Dynam ik. Mehrkörp ersimulation (M KS) und Wärmeübertragung geben zu wo llen.

1.1 Historischer Überblick Mit de r klassischen technischen Mec han ik ist es bis heu te nicht mög lich. komplexe elastomechanische Zusa mmenhänge in rea len Systeme n ga nzhe itlich zu erfassen. Üblic herweise ge ht man dann so vor. dass ein star k vereinfachtes Mode ll des Problems geschaffe n w ird. welches gew öhnlich leichte r zu lösen ist. I-Herbei ist natü rlich die Übertragbarkeit der Ergeb nisse stets kritisch abzu klären. da die Abweichungen meist groß sind. Allgeme ines Bestreben ist es da her. Systeme so rea litätsnah wie nötig für e ine Betrachtung aufzubereiten.

F(I)

m,

Diskretes Modell

...

Kont inuierl iches Modell

c

d,

"

d,

m,

F(t) (bzw. F) Aluminium Temper atur T I Gum mi

Verform ung öu

Reibung~-(';;'t''''''>i:i==-Einschlü ss

Lagerung Tem p eratu r T2 Bild 1. 1: Ideales Mode ll versus reales Modell

Von der Vergehens weise her kann in ei ne disk rete und eine kontin uierliche Modellbi ldung unterschieden werden. Als Beispiel (s. Bild 1.1) den ke man an eine schw iegfähige Struktur, die d iskret als FederMasse-Schwi nger und kontinuierlich als Kontinuumsschw inger idealisiert werden kann . Bei diskreten Sys temen folgt die Systemantwort stets aus einer geringen Anza hl von Zustandsgrößen . d ie meist in For m von ge koppe lten linearen Gleichungen auftreten.

1 Einführung

2

Demgegen über muss d ie Antwort e ines kontinuierlichen Systems aus der Lösung einer Differenzialgleichung ermitte lt werden, wobe i e ine Vielzah l von Zustandsg rößen interessieren. In der Praxis stehe n abe r wie bei der vorste henden Modeliierung angedeutet Aufgaben an. die durch e ine komp lizierte Geometrie, überlagerte Lastfälle. unübersichtliche Randbedingungen und verschieden art ige Werkstoffgesetze geken nzeic hnet sind. Hierbei geht es rege lmäßig um gut gesic herte Ergebnisse. da hierhinter letztlich ei n Einsatzfall steht. der e ine Absicherung erforderlich macht. Vor d iesem Hintergr und sind somi t Lösungsverfahre n gefordert. die universell und genau sind. ingenieurmäßige n Charakter haben. auf kontin uier liche Systeme anwendbar sind und lokale Aussagen ermöglichen. Diese Forde rungen werde n. wie wir später noch sehen werden. in idea ler Weise von der FEM (A RG 641 erfül lt. Verfo lgt man einführend kurz die Entwic klungsgesc hichte der FEM, so ist festzustel len. dass man es hier mit e iner relativ j unge n Methode zu tun hat. die im Wesent lichen in den letzten 60 Jahren entwic kelt worden ist. Erfo lgreiche Anwendungen haben dann sehr schnell zu einer sp runghafte n Verbreitung geführt . Wie der Ze ittabe lle von Bild 1.2 zu entnehmen ist, wurde das Grundgerüst etwa gleichwert ig von Mathematikern und Ingenieuren gesc haffe n IM EI 891.

ctast. Stabmodelle von

JOer-Ja llfe Co mputerEntwicklung

Ilre1/11ikoff. 1941

bereichs weise Ansatze zur Lösung vo n DG Ls Counmt. 1943 Prager/SYl1ge. /94 7

Krall- und Verschiebungsgrößenve rfahren filr Stabtragwerke. Matrizen formulierung von A'X)'riI, 19.";4

,

erste ingenieurmäßige Herleitu ng der Flächen clcrn cntc Tumer.Ctough/ .I/artill/7opp. 19J3- / 9,;6 Na me 'TE M" durch Clough. / 960

•

- Umwandlung de r DGL durch va rtattcn srnctho dc ode r Ritz-Ga lcrk tn-A nsatz Be.ueling /Melo.ylJiJ(' teubeke. ca. 1961 - erste Konfe renz über Com putermechanik. / 963 - erstes FEM-Leh rbuch vo n Zienktevicz/Cheung. 196 7

, stürmische Weiterent":" icklung der Methode

,

1'/1/1 / 96J bis h ellte: - Ver allge meinerung 1I. Vereinfachung der Method e - neue Anwe ndungsgc hiete (Strö mung. Wärmeleitung. Magnetismus. Mu ltiphysik] - Sim ulation vo n Prozessen (Um formung, Schwe iße n. S pritzg ießen ctc.)

gege"würt;/::

I "i n nelle I' rodllktentwick lung I CA D + MKS + FE M = CAE

I

Bild 1.2: Zei ttafel der FE-Methode-Entwicklung nach CAD-FEM/Grafing

1.I Historischer Überb lick

3

Herausgehoben werden solle n hier nur einige ma rkante Enrwicklu ngssch ritre: Im Jahre 1941 hat Hrennikaff ein Stabmode ll (Gitrerrostverfahren) gesc haffe n, mit dem 2-D-Stabwerk· und Scheibenprob leme einfac her lösbar waren. Er ben utzte dabe i einen Matr izenforma lismus. der der heutigen FE-Methode ähnlich ist. Etwa 1943 habe n Courans und später PrugerlSY IIRe bereic hsweise Ansätze zur Lösu ng von Differenzialgleichungen herangezogen und da mit das Prinzip de r Untertei lung von Lösungsgebieten benutzt. welc hes de m Gru ndgedanken der FEM entsp richt. Aufbaue nd auf de n Arbeiten von Ostenfeld (Tragwerkberechnung m it Versc hiebungen als Unbe kannte ) haben Arg}"is und Kelsey (195 4) im Wesentlichen das Matr izenformat für die Berech nung von staba rtigen Tragwerken mit dem Kraft- und Versc hieb ungsgrößenverfa hre n aufbere itet. Etwa parallel erfo lgte du rch Turner. C/OUXh. Martin und Topp die Übertrag ung auf die Festkörpermechanik. Begünstigt wurden diese Arbeiten durch das Aufkommen der ersten leistungsfähigen Computer. Die Prägung des Begriffs ..FEM" wird im A llgemei nen C!o/lRh ( 1960) zugesc hrieben. der hierm it die Mode llvors tellung eines Kontinuums als eine Zusam menset zung von Teilbereichen (finiten Elementen) ver band. In jede m Teilbereich wird das Elemen tverhalten durch einen Satz von Ansatzfunktionen beschrieben. die d ie Versc hiebu ngen. Deh nungen und Spa nnungen in diesem Te ilbereich w iede rgeben. Ein Z iel der FEM beste ht darin. d ie prob lembesc hre ibende DGL in ein lineares G leich ungssystem umzuw andel n. Dieser Sch ritt gel ingt einma l dadurch. indem über das Variationsp rinzip eine Ersatzgle ichgew ichtsbe d ingung formuliert wird ode r durch das Verfahren des ge w ichteten Restes (Ritz-G ale rkin) d ie Abweichungen. eines die DGL erfü llenden Lösungsansatzes. m inimiert werde n. Diese Erkenn tnisse sind etwa 1962 von Besseting. Metosh und de Venbeke gewonnen worden. In der Folge hat d ie FEM im Ingenieurwesen große Aufmer ksam keit gefunden, was durc h eine eigene Konferenz und d ie Abfass ung erste r Lehrbücher dokumentiert ist. Mit der Etablierung der Methode setzte eine stürmische Weiterentwicklung ein, und es wurden übe r die lineare Elast ik ergä nze nde Formul ierunge n für n ichtlinea res Materi alverha lten, nichtli neares geo metrisches Ver halten, Instabilität und Dynam ik gefunden. Durch de n ausgew iesenen Anwendungserfo lg bestand we iteres Interesse, auc h andere Phänomene w ie Wärm ele itung. Strömu ng. elektromagnetische Felde r und Multiphysik (gekoppelte Effek te) für d ie FE-M ethode zu ersc hließe n. In dem heu te anges trebten integratlven. rech nerunterstützten Konstruktionsprozess ste llt FEM in Verbi ndu ng mit CA D ein w ichtiges Bas isve rfahren dar, welches im Zuge der virtuellen Produkt- und Prozessentwicklung immer stä rker angewandt wird. Gemäß de m derze itige n Stand der Technik werden von versch iedenen Softwarehäusern komm erzielle Universalprogra mme [z. B. NAS TRAN , ANSYS, MA Re, I·DEAS. ABAQUS usw.) angeboten. d ie sich nur in Nua ncen unterscheiden. Meist sind diese Programmsysteme für die lineare Elaste mec hanik entwic kelt und später um Module zur nichtlinearen Festigkelrsberectmung. Dynamik oder Wärme leitung erwe itert worden . Daneben ex istieren auch

1 Einführung

4

eigenständige Prograrnrnsysterne für Strö mungsprobleme (C FD = Computational Fluid Dynarnics gew öhnlic h mit ALE -A nsatz ' ) ode r Mehrkörperdynam ik (MKS).

1.2 Generelle Vergehensweise Wie spätere Ausfilhrun ge n zeigen werden , benötigt der Anwender der Finite-E lement-Methode gesichertes Grundwissen über die theoretischen Zusammenhänge. da die hauptsächliche ingenieurmäßi ge Aufgabenstellung in der Überführung des realen Bauteils in eui finites Analogon besteht. Der weitere Ablaut: d. h. die eigentliche Berechnun g. erfolgt hingegen du rch den Rechner automatisch. Der Artwende r ist erst w ieder gefragt, wen n es um die Plausibilitätsprüfung des Ergeb nisses und dessen Rückumsetzu ng zur Baute iloptimierung geht.

(0)

(real)

(ide alis iert)

St,~ E lemente

-,

Sy mmetne halfte

Scheiben-Elemen te Fx

Bild 1.3: Schritte vom realen Bautei l zum FE-Modell

Da de r Umfang diese s einführenden Manu skr iptes in der Hauptsache auf die Behandlung von Festigke itsproblemen ausge richtet ist. so llen an einem kleinen ein fü hren den Beispiel die wesentl ichen Arbe itsschritte der Finite -Ele ment -Met hode di skutiert werden . Im vor stehenden B ild 1.3 ist dazu ein e infacher Doppel-Tvträger (lPB) unter einer statischen Momente nbelast ung dargestellt. Von Interesse se i dabei d ie Erm itt lung des Verformungszustan des. der Deh nungen und der Spannunge n bevorzugt in den hoc h beanspruchten Flanschen. Bei de r notwendigen pro blemgerechten Aufbereitung gi lt es. hierzu folgende Schr itte zu durchlaufen:

0)

Anmerkung: A I .E _ A rbitrary l.agrangian Eulerum-Methode zur A nalyse n ctcr Oberflä chen, Mehrphasenströmungen und Fluid-Struktur -Effe kten

1.2 Generelle Ve rgehenswe ise

5

I. Gemäß des mechani schen Verhaltens des Baute ils muss einjiniles Modell geb ilde t werden. Im vorliegenden Fall wird der Träge r in den Flanschen Zug- Druck und im Steg hauptsäch lich Schub abtragen. Entsprechend d iesen Belastun gen könn en die Flansche durch Stab- und der Steg durch Scheihe n-Eleme nte ideali siert werde n. Möglich wäre au ch eine einheitliche Idealisieru ng durch Sc halen-E leme nte oder ga r Volumen-E leme nte. Bei der Elemen tierung muss stets die Ver sch iebu ngskompa tibilität an den Knoten der zusammen gebu ndenen Elemente gegeben se in.

Zur Elementierun g se i noc h bemerkt: Wenn für die Flansche Stah -Elemente gewählt werden. ka nn man nur Norma lkräfte bzw. absch nittswe ise Zug/Druck-Spannungen bestimmen . WUrde man sta ttdesse n ganzhe itlich Sch(/len~E le me nte wä hlen. so bezie hen sich die erm itte lten Spannungen auf die Mittelebene der Elemente. Erst mit der Wahl von Volumen-Eleme nten kann man e ine we itgehend reale Spannungsverteilung auch in den Ecken ermittel n. 2. Bei e iner Modellbild ung ist immer zu prüfen, ob Sy mmetrien ausgenutzt werden könn en, da hierdurch d ie Bearb eit ungszeit grav ierend verkürzt werden kann. Das Beisp iel zeigt in Geometrie und Belastung eine Halbsymmerrle, insofern braucht nur e ine Hälfte des Trä gers als Modell aufbere itet werden. An de n Sc hnittkanten müssen dann aber besondere Randbed ingungen angege ben werden. 3. Für die Netzb ildung ist es wichtig. dass das Netz dort verdichtet wird, wo man exaktere Informati onen erzielen will und dort grob ist, wo die Ergeb nisse nicht so sehr von Interess e sind. Die Netze werden heute aussch ließ lich mit Pre-Prozessore n weitgehend automat isch erzeugt. Hierzu ist ei ne Aufteil ung des zu vern etzenden Gebi etes in Mak ros vorzubereiten. Ein Mak ro wird ge wöhn lich dur ch drei oder v ier Se iten gebildet, bei grö ßere r Se itenza hl ist durch Linienzusamm enfassung ein rege lmäßiges berand etes Gebiet zu erzeuge n. Durch die Wah l der Elementgeometrie und eines Seite nte ilers muss dann eine sinnvolle Vem etzung möglich se in. 4 . Grundsätzlich können elastomecha nische Vorgänge nur ausgelöst werden. wen n Festha ltunge n vorliegen. d. h. ein Bauteil mindestens statisch bestimmt gelage rt ist und mind estens eine Kraft wirkt. Dies g ilt auch fllr unser Beisp iel. das jetzt m it zutreffe nden Rand bedingun gen zu versehen ist. Alle Knotenpun kte auf den Schnittkante n müssen sich dabei in y-Richnmg frei bewegen könn en. in x- Richtung aber in ihrer Bewegl ichkeit ges perrt werden . Weiter muss an mindestens einem Punk t d ie Beweg lich keit in y-Richumg gesperrt werden. dami t das Baute il kein e Starrkö rperbeweg ungen vollt1i hrt. 5. Da die Elemente über di e Knotenpunkte verbunde n werden . so llten d ie äußeren Kräfte wenn mög lich in die Knoten ei ngeleite t werde n. Nac hdem diese ingenieurmäßigen Vorarb eiten durchge führt worden sind , kann man sic h eines FEM-P rogr ammsysterns bedie nen. in das nun das Mode ll einzugeben ist. Wenn das Modell formal richtig ist. lässt sich der Gleichung slöser anstarren , der nach de n Verformungen aufl öst und in einer Rückrechnung die Spannunge n, Dehnun gen sow ie Reaktionskräfte ausweist. Die Aufb ereitun g der dabei anfa llende n Daten erfo lgt üblicher weise gra-

6

I Einflihrung

fisch. Im Bild 1.4 ist der formale Ablauf dargestellt. wie er heute in der FEM-P raxis ange wandt wird.

CAD·Syste m

Pre-Prozessor (Vorlauf) FEM·U niversalp rogramm (So lver) Post·Prozessor (Nachlauf)

Bild 1.4: Konventionelle CAE·Prozesskette

lm Regelfall ist das Bautei l in CA D erste llt wo rden und muss noc h entsp rechend aufbereitet werden. Hierbei kann es se in. dass die Hersteller zwischen dem CAD· und dem FEM· System eine Direktkopplung realisiert haben. In d iesem Fall kann e in Bauteil a ls Flächenoder Volumenmodel l sofort übernomme n werden. Liegen hingegen zwei völlig autonome Systeme vor. so muss die Baute ilgeomet rie über eine Standardschn ittste lle wie [GES (Initial Graphics Exchange Speci fication ). STEP' ) (Standa rd fbr the Exchange of Product Model Data) ode r VDAFS transport iert werden. Es ist in diese m Zusa mmen hang se lbstredend. dass in beide n Fäl len die Darstellung bereinigt werden muss bis auf d ie nackte Geometrie. die für FEM von Interesse ist. Die AufgabensteIlung des Pre-P rozessors ist die Gene rierung eines bereche nbaren FE-Mode lls. d. h. die Erzeugung eines sinnvollen Netzes. Zuweisu ng der Elementdaten (A, J. t) und der Materialwerte (E, v] sowie Einbringung der Kräfte und Randbed ingungen. Ein dami t bestimmtes System kann nun mitte ls eines numerischen G leichun gslösers behandelt werden. und zwa r wird ein G leichungssystem des Typs Ste ifigkeit x Verschiebungen -:: Kräfte nach den Verschiebunge n aufgelöst. Über das Werkstoffgesetz besteht we iterhin ein Zusamme nhang zu den Spann ungen, die somit ebenfa lls berechn et werden kön nen. Für die Ausgabe wird ein Post-Prozessor eingesetzt . Dieser stellt die verformte Struktur sowie die Dehnungen und Spannungen in einer Struktur dar. Hierzu werde n Farbfüllb ilder benutzt. die sofort e inen Überblick über die herrschenden Verhältnisse gebe n. Wie diese Darlegungen erkenne n lassen. ist dies eine quali fizierte Ingenie urarbeit. die normalerweise eines Spezialisten bedar f. Dies zeigt sich auch in großen Konstru ktionsbüros, die "A nmerkung: STEI' ist in der ISO 1030) genormt und Iälug . allc produktbeschreibenden Datcn vo n CAD nach CAD oder CA D nach r EM zu übenra gen. VDAFS ist dic Schnittstelle der Auto mobiliud usuic für Flächen und Volumina. hat cinc sehr gute Ü bertragungstreue(VIM -Datci '" 5 · STEP-Datci ).

7

1.2 Generelle Ve rgehenswe ise

zwischen CA D-Konstrukteuren und FEM-Analytikern unterscheide n. Keineswegs ist es aber so, dass FEM-P robl eme vollauto matisch durch Rechner ge löst we rden können. Wie die Tät igke itsanalyse von Bild 1.5 auswe ist. ist der Rechner hier nur das zentrale Hilfsmitt el, ohne dessen Leistungsfähigkeit die Methode gene rell nicht wirt schaftlich nutzbar wäre.

anfallende Bear beitungsschritte

• methodengerechte

Aufberei-

gesc hätzte r Mannze itaufwa nd

gesc hätzte Rech enzeit

10 %

.

50 %

20 %

.

70 %

30%

10 %

10 %

-

rung des Prob lems

des FE-Modells · Generierung im Pre-Prozessor Rechenlau f · Ergebnisauswe rtung ;m Post-

•

Prozessor, Dokumentatio n

· PlausibiIitätsprüfung

Bild 1.5: Tätig keitsanalyse zur Bearbeitung von FE-Problemen

Bis vor wen igen Jahren war der manu elle Aufwand bei der Bear beitu ng von FE-P roblemen noch sehr groß und somit die Durchführung von FE-Rechnungen sehr teuer. Dies hat sich mit der schnellen Weiterentwic klung der Comp utertechnik aber grundlegend geändert. Die Möglichkeiten zum interaktiven Arbeiten wurde n durch eine neue Bildschlrrutechnolog!e verbessert, was wiederum d ie Voraussetzunge n für leist ungsfähigere Prozessoren war. Zude m konnte d ie Rechengeschwindigkeit VOll Workstat ions etw a verhundertfacht und die Spe icherkapazität verzehnfacht werde n. Ein neuer Trend weist zu Pe-L ösungen in einer wlndows/Nr-Arbcnsumgcbun g. die mittlerweile Work station in den Leistungs parame tern 0 ) überholt haben. Durch diese günstige ren Rahme nbedingungen ergibt sich zunehmend die Cha nce. auch größere Berechnungsumfange in vertretbarer Zeit und zu geringe ren Kosten zu bearbeiten. Eine we itere Perspekt ive, vor allem in den USA. gebe n so genannte MCA E-Systeme (Mechanica l Co mputer Aided Eng ineer ing) wie beispielsweise J-DEAS (oder in Ansätzen CAT IA V5. ANS YS w orkben chj . in denen CA D, FEM. Optim ierung und Lebensdauer als Verfa hrenss trang zusammengefüh rt worde n sind, Um insbesondere die Möglichkeiten zum Leichtball (n iedr iges Eigengew icht, hohe Ste ifigke it, beste Matenalausnutzungj z ielgerichteter genutzt werden könne n, beda rf es ebenfalls einer besseren Anpass ung der Strateg ie. Realisiert wird dies heute über Kontur- oder Topologieoptimieru ngsa lgorithm en. die die OberFl ächenkont ur oder die Material vertei lung dem Belastungsverlauf ang leichen. Die FE· Me· thode entwic kelt sich somit immer mehr zu einem Werkzeug der Prävention. in dem Bauteile "A nmerkung: Im Jahre 1985 lag die Lcisumgsfähigkcit eines Micru-VAX-Il-Reehnersystems tür ca. 1.000 Elemente t- 5,000 FHGs) bei 60 Min . CPU; im Jahre 1999 schaffte der parattctrcchner Silicon Origin ca. 280,000 Elemenl~ (=- 1.2 Mio. FllGs) hd 20 Mm C I'U; heute schaffen pe s mit (4 GB-RAM) etwa 500,000 Elemente (.. 2.0 Mio . I'I IGs) bei 60 Min. CPU-Zeit.

8

1 Einführung

durch Simulation praxistaugl ich gemach t werden. Dies erspart Prototypen und aufwänd ige Nachbesserurigen im späteren Nutzungsumfeld.

1.3 Aussagesicherheit einer FE-Ana lyse Eine Frage, die Anwende r immer wieder bewegt, ist die nach der Richtigkeit der Erge bnisse. Überspitzt kann man dazu feststellen: Ein FE-Programm rechnet alles, was formal richtig ersche int. Ob das. was gerec hnet wird. jedoch dem tatsächlichen Verhalten gerech t wird, muss letztlich durch ingenie urmäßigen Sac hverstand überprüft werden. Bei der Anwendung gibt es näm lich einige Fehlerquellen, die letztlich die Qualität des Ergebn isses negativ beeinflussen : Ein häufiger Fehler besieht in der physikalisch unkorrekten Annahme der Randbedingungen. welches dann zu e iner falschen Spannungsverte ilung und falschen Auflage rreakt ionen führt. Ein we iterer Fehler ist, dass die ausge wäh lten Elemente die Reaktionen des Bauteils nur unzureichend wiede rgebe n, wodurch die tatsächl iche Spannungsverteilung nicht erfasst wird. Des Weiter en kann es sein, dass zu stark vereinfachte Körpergeometrieverläufe zu nicht vorhandenen Spannungss pitzen führen. oder - das Netz einfach zu gro b gewählt wurde, um verlässliche Aussagen machen zu können. Die Anwendung der FEM bedarf somit einiger Erfahrung, da der implizit im Ergebnis mitgeführt e Fehler maßgeblich durch die Sorgfalt des ß erechnungsingenieurs bestimmt wird. Über die Größe des Fehlers kann regelmä ßig nichts ausgesagt werden. da zu komp lizierten Bauteilen meist keine exakte physika lische Lösung bekannt ist. Unterstellt man, dass alle Annahmen zutreffend gewählt wurden, so ist für d ie Genauigkeit des Ergeb nisses die Anzahl der Elemente verantwortlich. die zur Bauteilbeschreibun g herangezogen wurden . Je feiner also e in Netz gewä hlt wu rde. umso genauer kann ein Bauteil beschrieben werden und umso geneuer werden auch die Ergebnisse sein. Aus d iesem Grunde bezeichnet man Programme mit diese r Abhängigkei t als h-Versionen . weil eben die Ergebnisgüte eine Funktion von h - dem relativen Elementdurchmesse r - ist. Diese Zusammen hänge stellen für die Praxis oft ein Hindernis dar, da man ja e igent lich ein sehr gutes Ergebnis erzie len möchte , für das man aber eine große Elementanzahl benötigt. was wieder um g leichbedeutend ist mit ei ner sehr langen Rechenzeit. Prinzipiell ex istiert für dieses Problem aber ei n einfacher Lösungsa nsatz. denn d ie Funktion Genau igkeit über Elementa nzahl oder Freiheitsgrade konvergiert immer monoton gegen das exakte Ergebnis eines FE-Modells. Demnach bräuchte man nur das vorha ndene FE-Netz mit einem größeren Te iler zu verfeinern, jeweils das berechnete Ergebn is auftrage n LInd sich die konvergierende Funktion ermitte ln. Der Haken bei d ieser Vergehensweise ist der hohe Aufwand an Arbeitsund Rechenzeit. weshalb diese Möglichkeit prakt isch nicht genutzt wird. Sieht das Ergebn is (farbige Darstellung mit einem Post-Prozessor) einigermaßen vernünftig aus. so wird in der Regel aus Ze it- und Kostengründen auf eine Netzve rfeinerung und Konvergenzuntersuchung verzichtet.

1.3 Aussagesicherheit einer FE-An alyse

9

Diese an sich unbefriedi gende Situatio n ist man in den letzten Jahren mit so ge nannte n pVersionen ang ega nge n. Während in herk ömmlichen FE· Programmen das Eleme ntver ha lten mit Polynom en erster. zwe iter und in Ausnahmefä llen dritte r Ord nung approximiert w ird, we ndet man sich heute immer mehr Polyn omen höheren Grades (bis 10) zu. Der Vort eil liegt dar in. dass m it höh erem Polynomgr ad die Genaui gkeit eines Elem entes zunimmt. ohne da s Ne tz verdic hte n zu müssen . Die Ge na uigke itssteigerung erfo lgt durch automa tisches Hochset zen des Polyn om gra des bei unverä nderter Ne tzgeo metrie. Wen n die Ergebnisgüt e akzeptabel ist. wird der Rech enlau f abgebroc hen. Ein Anwendungs be ispie l zur Über prüfung der vorste henden Aussagen ze igt Bild 1.6. Es handelt sic h hierbe i um die Vie rte lsymmetrie e iner Nietb rücke au s ein em hochfesten Stahl. so wi e sie im Flugzeu gbau zur Übe rbrückung von Rissen in de r tragend en Struktur eingesetzt w ird.

I

E J§

~

.g-

h-Version 78 3

754 p- version

725 3

696 h- Verslon

•

66 7

100

40 0

1.000

4.0 00

10.00 0

13.000 FHGs -

Bild 1.6: S pan nungsauswert ung in de r N ietbrücke mit einer h- und p-V ersion (nach INN 90/)

Für die erste ModelI ierun g mit einer h- Version wurden 2 .250 Vo lumen-E lemente (entspr icht 4.000 FHGs ) aufgewandt. Die größte Spannungsspitze liegt dann bei 66 7 N /m m 2. Wird die Elem ent anzah l auf 4.5 00 ver do ppelt (entspricht 13.000 FHGs), so steig t die Spa nnungss pitze au f 783 N / m m 2• was einer relati ven S pannungsz unahme von 15 % entsp richt.

1 Einführung

10

Analysiert man das Problem mit einer p-v erslon, so re ichen zur Modellierung 18 Volu menElemente aus. Aus der Auftrag ung ist mit zunehmendem Polynomgrad die Konvergenz deutlieh sichtbar. Erfa hrungsge mäß erreicht man mit dem Po lynomgrad 6 (entspricht 3. 100 FHGs) meist recht gute Ergebnisse. was durch dieses Beispiel ebenfa lls belegt werden konnte. T heoretisch kann bis zu einem Po lynomgrad 9 ausgewert et werden. Mit der Erhöhung des Polynomgrades nimmt d ie Rechenzeit jedoch so stark zu, dass p-basiertc Lösungen letztlich unwirtschaftlich gege n h-basierte Lösungen sind. Ein weiterer Nachteil ist, dass die p-Methode bevorzugt auf lineare Probleme anwendbar ist und oft bei nichtlinearen Fragestellungen oder in der Dynamik versagt.

1.4 Qualit ätsstand ard s Innerhalb einer Produktentwicklung konnte sich die FEA a ls ein wichtiger Bestandteil etablieren. Als Dienstleistung kann sie ..inrem" im Unternehmen oder •.extern" von einem lngenieurbüro erb racht werden. Da mit der DIN EN ISO 900 1 Vorgaben für die Planung und Durch füh rung von Produkter nwickfungsprozessen gemach! werden. bedeutet d ies natürli ch auch. dass an d ie A usfü hrungsqualität von Fß-Berechnungen Vorga ben bestehen. die umzusetze n und einzuhalten sind. Die Norm fordert beispielswe ise ein .•Management der Ressourcen", um die Kundenanforderungen zu befriedigen. Dies umfasst d ie Fähigkeiten des Personals und ei ne Inf rastruktur an Soft- und Hardware, d ie sicherste llt. dass Aufgabenste Ilungen gemäß den Vorgaben erfüllt werden können. Weiterhin muss ei ne .Planung und Produktrealisie rung'' vorgenommen werden. d ies verlangt Aufzeichnungen zum FE· Einsatz und den erzielten Ergebnissen.

" d

Eine we itere wichtige Forderung ist die ..Bewertung, Ver ifizierung und Validierung'' von Ff.Ergeb ni.uen. womit oft verbunden ist, dass letztlich eine vera ntwort liche Führu ngs. kraft durch e ine Unterschrift für d ie Richtigkeit der Ergebnisse e insteht.

Der letzte Punkt wird in der Nonn mehrfach herausgestellt und fuhrt letztlich zu der Forderung: Dienstleistungen müssen validiert werden. wenn d ie Ergeb nisse nicht durch Messung verifiziert werden können. Im Sinne der Norm bedeutet Validieren, dass Berechnungsergebnisse als gültig erklärt werden müssen und Verifizieren verlangt ein e Überprüf ung auf Richtigkeit. Interpretiert man d ies. so wird also verlangt. dass mittels analytischer Handrechnung Vergleichsergebnisse herangezoge n werden. We isen diese d ie g leiche Größeno rdnung auf. so ist zu vermuten. dass das Ffi-Ergcbnis ..richtig" ist. Dies schließt formal auch die richtige Handhabung e in. womit wesentl iche Pflichten aus dem Produkt haftpflic htgesetz (ProHfG) abgedeckt sind .

11

2 Anwendungsfelder und Softwa re 2.1 Problemklassen Die Methode der finiten Eleme nte ist für eine große Klasse von tech nisch-physikalische n Aufgaben interessant. we il seh r tief greifende Analysen mög lich werde n. Bild 2.\ ze igt ei ne Z usamme nste llung von bisher bekannte n Anwe ndungen. Der Schwerpun kt liegt dabe i eindeutig bei Festig keits-. Potenzial- und Multiphysikproblemen .

«(J = E· E)

lineare Elastostatik:

Hooke -sches Materi alverhalten

nicht lineare Elastostatik :

nichtlineares Materi alverhalten (P lastizität) geometrisch nichtlineare Probleme (Instab ilitätsprobleme, große Verschieb unge n bei klei nen Deh nungen ) impulsart ige große Verfo rmungen (Crash, imp lizit) Umfor mprozesse (AL E-Methode )

• lineare Elastodynamik :

nichtlineare Elasto dyna mik :

Eigensch w ingungen fre ie und erzwungene Schw ing ungen zufa llser regte Schwingu nge n zei t- und verschiebu ngsabhängige Kräfte Stabilität. Kreiselbewegung

StarrkörperdynarnIk:

MKS bzw . EM KS

Elastohydrodynam ik:

Sch m ierfi lm

Ermudungsfestigkeit:

Sc hädigung, Lebensdauer, Rissbruch

Aeroe lastiz ität:

elast. Strukturverhalten unter Ans nö mung

Wärmeübertrag ung :

stationäre und instationäre Wärmeleitung

Thermoelastizträr:

mechanische Beanspruchung unter hohen Temperaturen

Flüssigke itsströmungcn:

Siekorströmung. Geschwindigkeits-, Druck- und Temperaturfelder

Elektrotechnik:

ele ktrisches Strömungs feld. Mag net- und Wel lenfe lder

Akust ik:

Schalldruckverteilung. Druck stöße

Gießtechnologie:

Sp ritz- und Druckgießen . Schwer kraftgießen

Multiphysik:

gekoppelte Strömung, Tem perat ur mit Elastik

Bild 2. 1: Methode nstammbaum der FEM (n ach IKLE 80f)

12

2 Anwendungsfelder und Software

Ein Krite rium für die Anwendu ng der Methode ist. dass das phys ika lische Problem entweder durch eine Differe nzialgleichung oder ein äq uivalentes Variationsprinzip dars te llbar ist. (Di es ist HiTviele Probleme gegeben, j edoch nicht tUTalle.) Wir werde n später herausar beiten. dass d ies bei den Pro blemklassen der Elastestatik und Elastodynamik entweder d ie Differenzialgleichung des G leichgewic hts oder ersatzweise die G leichheit der inne ren und äußeren virtue llen Arb eit ist. Die Befried igung dieser Glei chungen versuc ht man mit gee ignete n Ansätzen näherungsweise zu erfüllen. wodurch sic h de r Näherungscharakter der Methode IM A Y 93/ ergibt. Bei de r Behandlung elastestat ischer und elastedynamischer Probleme wendet man heute die so genannte Venchiehungsgräßen-Mefhode (u nbeka nnt sind die Versc hieb ungen in einer Struktur) an. in dem man Ansatz funkt ionen für das Versch iebungsverhalten der Elemente vorg ibt und hiermit ein G leichu ngssystem bildet . Früher wurde auc h die so ge nannte Kraßgroßen-Methode (unbekan nt sind die Kräfte in ei ner Struktur) verwandt. Da in der Praxis aber viel häu figer die Kräfte a ls die Versc hieb unge n bekannt sind. hat sic h in der Theorie und Programmerstell ung die Versc hiebu ngsg röße n- Methode durchgesetzt. wes halb diese im Folgenden auc h Formulierungsbasis sein so ll. Im Zuge de r Weiterentw icklung de r FE- Methode ist abzusehen. dass über die Stufen Feldproblerne. Multiphysik zukü nftig komplexe SystemmodelIieru ngen ein brei tes Anwendungsfeld darste llen werde n. Dynami sche bzw. elasted ynamische Systeme werden immer tiefer durch d ie M KS oder EMKS (elastische Mehr körpersysteme) ersch losse n. Zu de n wichtigsten Fe ldproblemen zä hlen: Wärmelei nmg, Poten zia lström ung und Magnetismu s. Diese Prob leme lassen sic h auf einen identischen DG L.Typ zurückfüh ren. Je nac h Spez ifikat ion der Kon stanten kann dann d ie Fourier' sche w ärmelei tuugsgleichung, die Poisson' sche Gleichu ng fllr Potenzialströ mungen ode r die Max well'sche G le ichung für die mag netische Kraftwirk ung entw ickelt werde n. Ein entsprechendes Ffi-Mode ll ist dadurch ge ken nze ichnet. dass an den Knoten nur eine ska lare Unbekannte (Temperatur. Druck. Magnetfeld etc. ] vor kommt und da her ein modi fiziertes Programm mit einer ande ren Spe ichertechnik benötigt wird. Weiter sind in de n letzten lahren CF D-Programme' j (Computational Fluid Dynam ics) entwickelt worden. Diese stellen eine Realisierung für Ström ungsprobleme mit dem Med ium Luft oder Wasser dar. Darüber hinaus können auch zähe Strömungen (Kunststo ffschmelzen) mit dem Modul Mü LDF LüW erfasst werden.

2.2 Kommerzielle Software Der Soft waremarkt hat sich in den letzten Jahren sehr konso lidiert. Wäh rend vor 10 Jahren noch etlic he hundert große und kleine FE-Programme am Markt ware n. hat sic h d ies au f wenige Systeme konzen triert. Dieser werden mit großer Programm ier kapazität überwiegend in de n USA entwickelt und weltweit vermarktet. Man schätzt den FE-Markt auf ein Volumen von 3-4 Mrd. DollarlJahr.

' ) Anmerkun g: z. B. kommcrviclfc Softwareprodukte FLOW · 3·D. CFX . Starf'D. F111Cnl

13

2 .2 Kommerzielle Software

Im Bild 2.2 ist eine Kurzübersicht übe r die in Deutschl an d verbreitetsten Programme wiede rge geben. Die Untersch iede sind im Prinzip gering. Dies schließt nicht aus. dass man in einem speziellen Anwendungsfal l ge rade die ..letzten 5 %" be nöt igt.

ADI NA

ANS YS

•

Leben sdau era nalyse

• • • • •

Magnet felder

-

T e mperaturei nflüsse

• • •

•

k. A.

•

Syst em

MSC NAS TRAN

A BAQ US

I-DE AS

• •

•

Berechnungsoptionen Fest igke itsanaly se statisch Explizite Dyn am ik

Stab i Iitätsana lyse Frequen zanal yse

Strömung Ak ustik O ptimier ung Kom akteinfluss

• • • • • • •

•

•

• • •

• • • •

• • • • • -

• •

• • • • • •

• • • -

• •

• • •

• • •

•

•

• • • •

• •

•

• •

•

•

1\1ateria leigcnscha fte n Plastizität Kriech ve rhalt en

V iscoelas tizitätl-p lastizität Ve rbu ndwerkstoffe

•

k. A.

• k. A.

•

Schnittst ell en zu a ndere n C A[· Prog ra m me n (Au swahl) CAT IA Pro!Eng ineer

• •

• •

• • •

k. A.

k. A.

I- DEAS

•

So lidWork s

•

•

k. A.

k. A.

uni verse ll

un iversell

universe ll

nichtlin. Probleme

Eins atzge biete

k.A.

Bild 2.2: Universel le FEM- Program me • verfügbar (geg ebenenfa lls Erwe iterun g) • nicht ver fügbar k. A. kein e Angabe durch den Hersteller

• • un iversel l

14

2 Anwen du ngsfe lder und So ftware

MSC ADAMS

Pro/Mechanic

PAM-

a

CRA SH

• •

•

•

•

• •

· • • •

•

-

-

-

k. A.

•

k. A.

•

·

•

k. A .

k. A.

k. A.

k. A .

-

LS-DY NA

COSMOSM

statisch

•

•

Explizite Dynam ik

•

Stabilitätsanalyse

•

· •

Freque nzanalyse Leben sdau eran alyse

• •

• •

Magnetfelder

-

System

ßer echn ungsoptionen

Festigkeitsanalyse

Temperaturein flüsse

•

• ·

Akustik

k. A.

-

Optimierung

k.A .

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

• •

k. A.

k. A. k. A.

• ·

Strömung

Kontakteinfl uss Mate ria leigensc harren

Plastizität

.

;.

..

k. A .

;

k. A.

k. A.

-

•

•

k. A.

k. A.

•

• ·

• •

k. A.

-

-

•

Bewegungs-

Elastik. Dynamik, Lebensdau er

Kriechverha lte n

k. A .

Viscoe1astizitätlplastizität Verb undw erksto ffe

Schnittstellen zu a nde re n C AEProgra m me n {Auswa hl]

via

ANSYS

CA TI A

-

k. A.

Pro/Engi neer

·

k.A.

I-DE A S

-

•

So lid Works

Einsa lzge biete

Cras h. Umformung

k. A. ein fache Strukt uranalysen

simulation

Bild 2.3: FEM-Programm e für spezielle Anwendungen

k. A .

k. A. Cr ash

15

2.2 Kommerzielle Software

Neben den aufgefLlhrten schon sehr leistungsfähige n Universalprogrammen (A DINA. ANSYS. NASTAN und I ~ D E A S ) existiert beispielsweise mit ABAQUS eine von der Theorie her sehr komplette Implementierung, die auch schwierigste Fälle zu lösen gestattet. Meist liegen diese Fälle schon im Forschungsbereich. sodass e in normaler Anwender dieses Mehr fast nie nutzen wird. Dar über hinaus existieren weitere Spez ialprogramme, die ihre Stärken in der Crash-Analyse. Umformsimulation. MKS (ADAMS. visuaINASTRAN) oder Lebensdauer (FEM FAT. Pro/MEC HANICA) haben. Einige Programme hierzu weist Bild 2.3 aus. Die zukünftige Entwicklungsrichtung der FE-Programme wird mehr in der System- und Prozessschiene liegen, in dem Abläufe oder Ereignisse simuliert werden. In diese Richtung entwickeln sich die MKS·P rogrammsysteme (Kinematik/Kinetik) und die Prozesssimulation (Umfo rmen. Gieße n, Härten, Lackieren etc. ), um zunächst "v irtuelle Prototypen" zu qualifizieren. Eine heute schon in der Automobilentwicklung zur Anwendung kommende Methodenkette zeigt Bild 2.4.

3-D-CAD-ßauteilmode ll (virtueller Prototyp)

I

~

I

H

I TOP-OPT/ FORM·O PT

I I

MK S

~ FEM

~

I

I

H

Bauteil-/Systemanalyse

~ Prozesssirnulation

LOB

I I

Im Vordergrund stehen hierbei d ie Entwicklungsze iten. ) zu reduzieren, in dem virtuelle CA D-Prototypen so lange qualifiziert werden, bis alle vorgegebenen Anforderungen mit erfüllt werden. Danach beginnt erst das Entwicklungsstadium mit ..materiellen Prototypen",

Bild 2.4: Simulation in der Bauteilentwicklung

Ein zielgerichteter F E M ~E i nsatz erfordert auch ein entsprechendes Rechnerequipmcnt. Heute sind PC~L ösungen unter 3 2~ oder 64~ bi t~W in d ows ge läufig. Für die Jz-bit-va nanre ist meist ein DualCore-Prozcssor mit 4 GB RAM ausreichend, fllr' anspruchsvo llere Anwcndungen (größer 500.000 Knoten) sollten schon Rechner mit einem 64-bit-Windows und zwei Prozessoren und 16 bis 32 GB RAM vorgesehen werden.

·1A nmerkung: In der Autor uobilmdusmc sind die Emwicktungszcitcn in den I.:IFI.:n 10 Jahren von 60 MIHWI.:n auf 30 Momnc bFW. im Maschinenhau von 30 Monaten auf 12 Monate verkürzt worde n

16

3 Grundgleichun gen der linea ren Finite-ElementMethode Wie zuvo r schon angesproche n. ist die FE-Methode eine computerorientierte Berechnungsmerhode. da deren Ablauf gut programmierbar ist. Dies setzt vora us. dass alle wese ntlichen G leichungen in eine bestimmte Form gebracht werden müssen . Als besonders zweckmäßig hat sich hierbei die Matrizenformulierung erwiesen. weshalb wir die bekannten Gleichungen der Elastizitätstheorie neu form ulieren müssen . Das Z iel besteht in der Aufstellung der finiten Grundgleichungen und der Ermittlung von Zusammenhängen zwischen den Stei figkeile n. Masse n, Kräften und Versc hiebungen.

3. 1 Matrizen rech nung Zum we iteren Verständnis der Methode sind e inige Grun dkenntnisse in der Matrizenalgebra erforderlich. die darum vorweg noch einma l zusamme ngestel lt werden sollen. Die später noch aufzustellendefinile Grundgleichung ist ei ne G leichung der Form fl UR 54f k u = p.

(3. 1)

v

Sie g ibt einen Zusammenhang an zw ischen einer vorhandenen linearen Steifigke it (k ), auftretenden unbekannten Verschiebu ngen (u) und bekannten Kräften (p). Wir wollen dies nun so verallgeme inern. dass eine Gleichung von der Form fZ UR 54! A ·x= y

(3.2)

vorliege n mag. Hier in beze ichnet jetzt A eine rechteckige A nordnung (m x n, d. h. m Zei len und n Spalten) von G rößen, d ie Matrix gena nnt werden soll. Mit x sol l we iter der Vekto r der unbekannten Größen und mit y der Vekto r der bekan nten rec hten Seile bezeichnet werden, Das somit gegebene lineare Gleichungssys te m kann auch wie folgt ausgesc hrieben werden:

['"

a 21

' mi

,x t

a, 0

yy

,= = a t ll

Yxy

Yyz y,",

0

0

0

a

0

dy 0

a

dy a, 0

a a,

a

9' 0

a -a

-

ij,

0

[:]=0"

(3 . 17)

dy

a a,

-

Wir wollen d iese Schreibweise je tzt fotgenderma ßen interpretieren: Wendet man auf d ie Verschiebungen LI die Differenzialo peratorenmatrix D an. so erhält man die Verzerrungen e .

21

3.2 Gleichungen der Elastestatik

Für lineares isotropes w erkstoffverhalten besteht des We iteren noch e ine eindeu tige Beziehung zw ischen den Verzerrungen und den Spannungen. Dieses Werkstoffgesetz lautet für 3-D-Körper: 0 \\

=

On. =

7.""":~E;;-=[(l - v )f.\\ + V(E ..\ \, + E/.I.)1 (l + v )(l 2v)

[(1- v )En + V(E\ x + Eyy )l

E

(I + v)(I-2v )

.

(3.18)

E

1'\ Y = 2(1 +V ) ' Yxy ,

E

1'VI = . 't vr. 2(I+ v ) ' E

Die hierin eingehenden Werksto ffkons tanten E als Elast izitätsmodul und v als Q uerkoruraktion sollen zunäc hst als Einpunktwerte (nicht richtun gsabhängig) betrachtet werden. Somit lässt sich auch die vorstehe nde GI. (3.18) in symbo lischer Matrizenschreibweise darstellen

,1,

(1- v)

°xx

v (I- v)

on

°ll 1'\ y

=

E

(1 + v)(I- 2v)

t yz

sy m.

t zx

v v (1- v)

0

0

0

0

0

0

0

0

0

(I-2 v) 2

0

0

(I- 2v) 2

Yxy

0

(I- 2v) 2

Yp YlX

bzw. verkürzt als 0" = [ ' 1: .

(3.19)

Besonderes Augen merk wollen wir we iterhin noch auf d ie Elastizit äts- bzw. Materialeigenschaftsr nairix E richten. die sich also aus dem E-Modul und der Quer kontraktion v zusammensetzen. E Anmerkung: Zuvor ist G '" - ( - -) gesetzt worden. 2 1+v

22

3 Grundg leichunge n der linearen Finite-E lement -Methode

Die bis j etzt ruf einen dreidim ensionalen Körp er entwicke lten G leichunge n bedürfen in der Anwendung aber noch zwei Spez ialisier unge n. Dies betrifft insbesondere den Fall des "e benen Spannungsz ustandes (E52 )" und den Fall des ..ebenen Verzerrungszustand es (EVZ)" , d ie beide be i Bauteilmodellierun gen vorkommen können. Der E52 tritt in dünnen Scheiben auf. z. B. dünnwandigen Leicht baukonstruktionen . Die Dickenausdehnun g kann hierbei vernac hläss igt werden, weshalb folgende Annahmen ruf die Spannungen und Verzerrun gen gemacht w erden können: On = 0. f zx = 0. r /_y = 0,

aber E72 # 0 (wegen der Qu erkontraktion). Somit besteht der folgende Zusammenha ng zw ischen den Verzerrungen und den Spannunge n:

0,,] (I_E [' [ 0 yy

=

v2

) v

0

T xy

o v

o (1 - v )

0 --2-

] [

'" . . "»

(3.20)

Y x~

Die Dehn ung in Dickenrichtung bestimmt sich weiter zu

Der EVZ tritt hiergegen in se hr langen Zy lindern mit konstantem Querschnitt auf, desse n Ende n festgehalten werden und d ie Belastung als Linien last längs der Mantel fläche erfolgt. Die Annahmen hierfür sind: w

e

kons t. bzw .

(lJ

= 0 sowie Yyz = 0 und Yz.x = 0 aber

(JlJ"*

O.

Der Zusa mmenhang zwischen den Verzerrunge n und den Spannunge n ist som it gege ben durch

[ 0"

on

T xy

=

E

(I + vX I-2v )

(I- v)

v

0

v

(I - v)

0

0

(1-2v) 2

0

[

'" . "»

(3 .21)

Yxy

Für d ie Spannung über die Dicke ergibt sich dann wieder

Bis hierh in ist aber noch kein e Verbindung zu den äußeren Kräften hergestellt worden. Diese folgt aus der Forderung des G leichgewichts zwisc hen den inneren Spannungen und der

3.2 Gleichungen der Elastestatik

23

äußeren Belastung. welche sowohl im Inneren wie auch auf der O berfläche eines Körpers erfüllt sein muss. Wir wollen dies exempla risch an dem Quader-Element in Bild 3.2 für die x-Richiung ze igen: -c.c....

K~

(

<Ja" )

- O.' - o -, . dy -dz s- O" n +a;- dx dy ·d z -t p . dx -dz e

[

ty~

a",

1

+--ay- dY

dx ·dz - t~_\ ' dX ' dy+ (tJ_~ + d~~~ dz)ctX ' dY -P~ -dx -dy -dz = 0 oder (3.22a)

= 0.

Trägt man an dem Quader auch noch d ie Kräfte in die anderen Achsen richtungen e in und bildet wie geze igt auch hier das Gleichgewicht. so entwickeln sich daraus die anderen Gleichgewichtsbed ingungen zu

dt w da vy dt q - -' + - ' - + -- - Py =0. dx a y dz '

(3,22b)

y

t 1-_: _ -

"--0_ •

1

13 3x ----L3 L' ,3 - -L L'

"

M2ä y

x2

--q y dx e q ,

2

2x 3

x4

3L

4 L2

+- -- - -

.,3

-L' --2L " -3

L 0

,3

---" 3L 4L'

oder I

2 L 12 1 2

(5.84)

L 12 '1 A nmerkung: Es müssen T U Jen Kneten freiheitsgraden alle entsprechenden K notenkräfte in positiv er Rich tung angelragen werden.

5 Das Konzept der Finite-E lement-Methode

68

d. h.. die Strec kenlast muss auf alle Kn otel1 ~ FH G s (Durchb iegung und Neigung) verschmiert werden. Weiter se ien im Bild 5. 11 noch e inige andere häu fig vorkommende Streckenlastprofi le angegeben. die ebenfalls leicht herzuleiten sind .

~q, I.

.1

L

~ L

I·

3

= - q:l, L.

20

M 1ä y

= q, . LJ

30

M 1ä y

5 96

= +- q,

-

·L'

·1

Bild 5. 11: Erfassung äquiva lenter Knotenk räfte am ebenen Balken- Element

5.4.3

Z usamme nbau und Rand bedi ngungen

Es gibt verschiedene Mögl ichkeiten des Zusammenbaus VOll Einzelelementen zur Gesamtstrukt ur. Wir wollen hier aber eine forma le Methode unter Zuhilfenahme der so genannten Boole 'sehen Zuordnungsmatrix wählen, die programmtechnisch leicht zu verwa lten ist und immer zum Zie l fllhrt. Der Ablauf ges ta ltet sich hierbei folgende rmaße n: Alle transformicrten Steifigkeiten und Masse n der vorkommenden n Einze lelemente werden im ersten Schritt in Diagonalhypermatr izen 0) auf der Hauptdiagonalen zusam mengefas st: l

K

=[k k,

_0

o

.,

]=lk

1 . , '"

k,J

(5 .85 )

(5.86) Gena uso verfahre man mlr den Knote nverschieb ungen und Knotenkräften. d ie demzu folge zu Spa ltenhype rvektoren zusammenzufassen sind: (5 .87 )

' ) Anmerkung: Die links- und rechtsseitigoffenen Klammem sollen die diagonale Anordnung symbolisieren.

5.4 Prinzipie ller Verfahrensablauf

,

P2

69 (5.88)

Damit ist die Bauweise des Modells erfasst. Insofern können auch Gleichungssysteme erstellt werden. Das statische Gleichungssystem der ungebundenen Struktur lautet dann K ·p =R

(5.89)

und das entsprechende ungebundene, dynamische Gleichungssyste m (5.90)

Das Merkmal ist bisher, dass es noch keine strukturelle Verknüpfung der Elemente untereinander gibt. AufgabensteIlung ist aber, die Abhängig keit zwischen der ungebundenen und gebundenen Struktur (entsprechend der Nummerierung der Knoten) herzustellen. Man spricht demnach vom Zusammenbinden der Elemente. Bei der hier da rzustellenden Technik gehen wir von de r Existenz einer Beziehung ,, = A · U

(5.9 1)

aus. Dabei ist " der so genannte Knotenverschiebungsvektor der ungebundenen Elementauflistung. U der globa le Knotenverschiebungsve ktor der gebundenen Elementstruktur und A die Boole 'sehe Matrix ·) oder so genannte Inzidenzmatrix. Die Koeffizienten der Boole'schen Matrix sind entwede r 0 oder I. wobei d ie Eins die Gleichhe it der Verschiebungskomponenten zwischen ungebundener und gebunde ner Struktur ausdrückt. Null weist insofern aus. dass keine Identität besteht. Im umseitigen Bild 5.12 ist der Aufbau einer Boole' schen Matrix am Beispiel eines beliebigen ebenen. finiten Geb ietes dargestellt. Das dargestellte Geb iet sei ein Ausschnitt aus einem großen Netz, bei dem beispie lsweise ein Rechtcck~ E l ement an ein Dreiec k-Elem ent anstößt. Aufgabe ist es hier, den lokal-globalen Zusammenhang zwischen den Knoten herzustellen, de r e inmal durch d ie globale Nummerierung am Bauteil und einmal durch die lokale Nummerierung an dem betre ffenden finiten Element besteht. Gelöst wird dies durch systemat ischen, knotenwe isen Vergleich.

' 1 Anmerkung:

Der Z usammenhang über die Boolcschc M atri x .\ wird in großen Strukturen auch wiede r gc-

nutzt. um einzelnen Elementen bzw. deren Knoten Verschiebungen zuzuweisen. Aus den Ver-

schicbungcn wer den dann Elementdehnungen und Elcmcntspannungcn bestimmt.

5 Das Kon zept der Finite-E lement-Met hode

70

i lokale Nummer

'2

CD g loba le Num mer

",

4

[j]

,

,

'3

~

3

4

5

6

,,,

,

"Il

3

1

0

'Il

4

0

I

" 13

5

Oll

[j]

2

7

8

9

10

1 I

' 13

6

" 14

7

' 14

8

" 21

9

'21

10

" 22

I1

'22

12

" 2)

13

' 2)

14

I

, ",v, CD I

3

1

",

4 '2

I

5 "3

I

6 '3

I I

0

0

7

I

8 9

I

1

",

v, ",

10 ' 5

CD Q)

® G>

1 I

Bild 5. 12: Lokal-globale Knotenfreiheitsgradzuweis ung über Boc le'sche Matr ix

Der Vek tor p ist in diesem Fall die Aullistung aller FHOs der Elemente und U d ie Auffistung aller zu den 5 Knoten gehörende n FHGs. Durch de n Vergleich am Knoten ka nn dann über A der Zusammenhang hergeste llt werden. beispielsweise am Knoten ® : Die FHGs u 12. vu des Rechteck- Elements fallen m it de n Struktur-F HGs LI} . v3 zusamme n. we lche in den Spa lten 5, 6 von A mark ien sind. - Gle ichze itig fallen m it de n FHOs u J , v 3 auch die FHGs UZt _ vn des Dreieck-E lements zusammen, welche ebenfalls in den Spalten 5, 6 von A festgehaben sind. -

5.4 Prinzipie ller Verfahre nsab lauf

71

Einen entsp reche nden Zusa mmenhang gilt es auch für die Kräfte herzustellen. Die Forderu ng muss hierbe i se in. dass d ie auf eine gebundene ode r unge bundene Struktur e inw irkende virtuelle Arbe it als ska lare Größe g leich groß sein muss. somit kann angesetzt werden:

out . 1' = 5 ,11 . R = su' · A t. R .

(5.92)

Hieraus lässt sich d ie zu G I. (5.9 1) dua le Beziehung (5.93)

für die Einbindung der Kräfte gewinnen. Setzt man jetzt hierin der Reihe nach G I. (5.89) und GI. (5.9 1) e in. so folgt daraus die finite Gesamtg leichung p = Al . R = Al . K ' 1' = At . K · A · U = K · U .

(5.94)

Die Gesamtsteifig keitsmatr ix ist somit aus der Operation K =A 1 · K ·A

(5.95)

zu bilden. Entsprechendes gilt für d ie Gesamtmassenmat rix M = A 1 ·M · A .

(5.96)

Ein Kennzeichen beider Matrizen ist ihre Symmetrie und ihre ausgeprägte Bandstruktur (außerhalb der Hauptdiagonalen schwac h besetzt). Da aber noch keine Randbedingungen berücksich tigt wurden. sind beide Matrizen singulär. d. h.. phys ikalisch sind noch Star rkörperbewegu ngen mög lich. In einem we iteren Schritt muss es nun darum gehe n. die vorgegebenen Randbedi ngu ngen einzua rbe iten. Um dies algo rithmisc h durc hführen zu können. er innern wir uns an dieser Ste lle an die in Kap itel 4 entwic kelte Prozedur. Wir hatten dort ein Problem aufgesp alten in unbe kannte und beka nnte Größen . Im Rahmen der FEM ist jetzt abe r folgende Nomenklatur zwec kmäßig : U 11 al s unbekannte Versch iebunge n. U s als bekannte Verschieb unge n. Fu als bekannte äußere Kräfte

""d

-

Fs als unbekannte Reaktio nskräfte.

Das G leichungssystem (5.94) muss demn ac h aufges palten werden in (5.97)

5 Das Kon zept der Finite-E lement -Met hode

72

was wiede r zu den be iden Gl eichungen Fu = K uu ' U u + K us - U s ' Fs = K su . U u + K ss· Us

(5.98)

filhrt. Da vie lfach an den Auflage rn vo rgesc hriebene Verschiebun gen Us = 0 ex istieren. vere infachen sich die Beziehungen zu (5. 99)

(5.100) W ill man diesen Formati smu s nun progr amm techn isch realisieren. so sind im Wesentli chen die folgenden Sc hritte durc hzuführe n: Durchn urnmerierung aller Knot en der Str uktu r und Festlegung der Randbedingu ngen (d. h. Knoten-NT. und Richtung). Entsprechend der auft retenden Freihei tsgra danza hl kann de r Speic herp latz ru f die Gesarnts te lflgke lrsmatr ix K reserviert werden . Über die Anzah l der Randbedingungen ist weiter bekannt, welc he Speicherp lätze d ie Untermatrizen K uu und K , u einne hmen werden . Die Matrix K wi rd au fgefüll t. in dem die randbedingungsbehafteten Freiheit sgrade an das Ende de r Matrix umgespelchert we rden. Dam it liegen a lle Unter matrizen (K uu' K us ' K su ' K ,, ) vor . Danach kön nen die Gle ichungssysteme (5 .97 ) und (5.98) ausgewertet we rden . Die erfor derl ichen Auffüll- und Umspe icheroperationen sind mit den ge läufigen Programmiersprachen FO RTRAN und C relativ einfach du rch füh rbar .

5,4,4

Sonder ra nd bed tngungcn

Nebe n den zuvor eingeführte n einfachen Festlagerrandbedingungen w ird man in der Praxis au ch auf andere Randbed ingungen stoßen. Im Wesentli chen werden d ies d ie im nachfo lgende n Bild 5.13 gezeigte n Sonderrandbedingu ngen se in. Um diese erfassen zu können. ist teilwe ise sogar ein iteratives Vorgehen erforder lich. w ie beispielswei se be i ( Fede r-j konta kt. Die Konta ktproblematik w ird späte r im Kapitel 8.2 ausfü hrlich dargeste llt. Daher so ll hier nur kurz auf die Transformat ion von Freiheitsgraden an ..sc hiefen Aufl agern " eingegange n werden. Derartige Fä lle treten ge wöhn lich be i Stahlbaustrukturen oder heute vermehrt bei Space-Frame-S trukturen von Verkehrsfahrzeugen au f.

73

5.4 Prinzipie ller Verfahre nsab lauf

b) F

Bild 5.13: Sonderrandbedingungen a) schiefe Aullager im neuen Koordinatensystem b) Kontakt durch Anschlag

Würde man eines der im Bild 5. 13 dargestellten Sys teme global beschre iben. so g ilt hierfür natürlich die bekannte finite Syste mgleic hung

Die Verschiebungen U lägen also in Richtung der gewäh lten g lobalen Koord inaten (XI' }'I ) vor. Von Interesse ist aber die ged rehte Richtung (X2' }'2)' Am sc hiefe n Auflager ist deshalb e ine Tran sfor mation der Knotenfreiheitsgrade erforder lich, und zwar hier angegeben für zwei Freiheitsgrade:

- Si""] . [",] = T - t - u sa T 1 cosc

wz

' 11 .

(5. 101)

Die daz u benöt igte Trans formationsma trix haben wir vorhe r als G I. (5.67) sc hon hergeleitet. Insofern kann durc h einfaches Einse tzen d ie neue Bezieh ung mit einer angepassten knotenweise n Transformation angegeben werden. und zwar (5.102) Praktisch wird diese Multiplikation in Einzelgleichungen aufgelös t und d ie Multiplikation nur für die G leichungen des Knotens Nr . 5 durchgeführt. An einem kleinen Beispiel sol l dies im nachfolgenden Bild 5. 14 vom Prinzip her dargestellt werden. Der Balken mag so ge lagert se in. dass links ein Festlager und rechts ein Loslager vorliegt. Infolge der äuße ren Kraftw irkung entsteht e ine Durchbiegu ng mit relativen Lagerversc hiebungen. Das Loslager ist in der Stru ktur um den Winkel 0: gene igt. Bei der Geometriebeschreibun g wird man dan n d ie Bed ingu ng w z = 0 im gedre hten Koord inatensystem sperren. Von Interesse sind abe r die im g lobalen Koordinatensystem wirksamen Verformunge n. d ie dann mit der ausform ulierten Gleichung besti mmt werden können.

74

5 Das Kon zept der Finite-E lement -Met hode p/( x)

x

-

, kJl

0

0

k14

2

0

k 22

k2)

0

k 25 k 26

3

0

k"

k"

0

k 35

kJ6

0

0

k 44

0

0

4 k4 1

0

0

5

0

k"

k S3

0

k"

k S6

6

0

kö2

0

k ö5

k66

ut

k" ,

wl

wl

U2

- '

~

I

"I -e-

I

WI

-rr-

I

cos

0;

~

",

-sin c

T' · P

-tr-

sin 0: cos c I

w2 =->

-.":-'-

wz wz

Bild 5. 14: Einbau schiefer Randbed ingungen in e in G leichungssyste m

5"".5

Lösung des Gleic h ungssystems

Zur Lösung der finiten G leich ung werde n wegen der Größe des Gleichungssyst ems nur numerische Verfa hren eingesetzt. Hierbei unterscheidet man direkte und indirekte Verfa hren (und in der Dynam ik noch Redu klionsverfahren) . Zu den leistungsfä higsten direkten Verfahren zäh len das Gauß 'sctie lind das Cho/esk)'-Elimintlfionsvelfahren. welch e aber nur für kleinere Stru kturen geeignet sind. we il vie l Speic herp latz erforderlich ist. Für größere Stru ktu ren eignet sich hingegen das Frontlös ungsverfahren (Wavefront), welc hes weniger Massenspeicher und wenige r Hau ptspeicher benöt igt. Für große Stru kturen (größer 50.000 Unbekannte) haben sich Iterationsverfahren (Gau ßSe ide l, konj ugierte Grad icnten/CG- bzw. PCG.verfahren) du rchgesetzt, d ie oft viel sch nelle r rechnen als d ie direkten Verfahren und weniger Speicherplatz benötigen . Da hier nur das Problemve rständnis geweckt werden so ll, wird m it dem Cholesky-Verfahrcn eine mehr mathematische Lös ungssireregle und m it dem Frontl ösungsverfahren (FLV) ein typischer Computera lgorithmus geze igt.

Cho lesky-Verfahren Für die Anwendung sei vorausgesetzt, dass die Koeffi zientenmatri x K symmetrisch und positiv definit sei. Demnach muss erfüllt se in: -

k ij = k j i (Symmetrie) fü r Lj == I, .... n

75

5.4 Prinzipie ller Verfahre nsab lauf

""d

k ii > 0

(positive lI auptd iagonale)

sow ie alle det

IKij l > 0 (alle Unterdeterminan ten positiv),

Falls dies vorliegt. kann die Koeffi zientenma trix in die zwe i Dreiecksmatrizen K = L. . L.I

(5. 103)

zer legt werden, Die Auflösun g der G leichung K , U = P er folgt dan n zwe istufig unter Ausn utzung des l lilfsvektors y: L. ·)' = P -.,.y .

(5. 104)

L.1 ·U =y -.,.U .

(5.1 05)

Wie dies prinzipiell abläuft. ist im Schema von Bild 5.15 dargeste llt. Hierzu muss aber noch angegeb en werden. wie die Koeffizienten der Dreiecksmatri x L. bestimmt werden, Für e ine symmetrische Matr ix sind zu bilden 1

a) auf der Hauptdiagonalen: ( ii = ( k ii _ ii > / ) ,

i = I , ...• n

(5.1 06)

k == 1. .... t , I.

(5 .107)

j=d

1

b) auf der Nebend iagona len:

( 11 - - - - - - -

L

,

( nn

= - '-( k ki - ki lt jk . ( ji) ' ( kk j=l

YI Y

L

( I;i

p

U

Y

""

·Y"

Bild 5.15: Ab lauf des Cho lesky -Verfahrens be i Zerlegung in zwei Dreiecksmatrizen

""

5 Das Kon zept der Finite-E lement -Met hode

76

So wie vo rstehend angedeutet. w ird nun zuerst der Hilfs vektor ausgerechnet. und zwar )' 1

F, = - -.

(5.108)

1 11

(5.10 9)

Hieran sch ließt sich die Bestimmung der tatsäc hlichen Unbekannten an zu

(5.110)

Un _j =

I

( n-j .n-j

(Yn-j - ( ll-j .n-j+ I" Un- j +l - · · ( n-j .n · u ll ) j = O. I .... n - 1. (5.1 11 )

Dass dieses Verfah ren leicht praktizierbar ist. möge das fo lgende kurze Beispie l ze igen , bei dem de r Lösungsvektor U gesucht ist:

Der Test zeigt sofort. dass die Koeffizientenmatrix symmetrisch und positiv definit ist. Somit kan n da s Cho lesky -Verfah ren schrittweise ab laufen:

,

Bestimmung der Dreiecksmatrix l.}

I. J-1auptdiagonale i = I:

2. Nebe nd iagonale k = I, i = 2:

3. Hauptdiagona le i = 2:

worau s folgt

0

. , ],

( 11 = k 11 - ~ ( j l (

J= I

re:-

= V" 11 = 2

5.4 Prinzipiell er Verfahre nsa blau f

77

Gegenprü fung ge mäß GI. (5.103)

Best immung des Hufsvek tors y Yl

= -.!i.= ~= 3, ( 11

,

2

2( ' ) 2 11

yz = (F 2 - (ZI 'Yl) = 7 - - · 3 = - · - = .....rr: 11, .Ji1 2 Jil 2 ( 2Z Bestimmung der Un bekannt en im Vektor U

für de n Lösungsvektor er hä lt ma n so

u' = [J

2) .

Der Vo rteil des Cho lesky-Verfahre ns ist. dass es im All gemeinen schne ll rechn et; von Nach tei l ist. dass viel Speic herp latz erforderl ich ist. weil die beiden Dreieckmat riz en im Haupts pe icher präsent se in müssen .

Frontlösun gsverfah ren Beim Front lösungsverfahre n /G RO Ol l werden d ie Elemcnrsteifi gkeit smatr izen a ller Elernente im Massenspeich er aufge baut und nach der Reih en fo lge der Knotennum merierung sukzessive im Ha uptspe icher als Einzelgleich ungen abgearbeitet. Deshalb ist das Verfahren für große Stru ktu ren geeigne t, da nie die Gesamtste ifig kei tsmat rix a ufgebaut we rde n muss, insgesamt w ird som it nur wenig Speic herp latz in A nsp ruc h geno mmen . An einem klein en Stabwer kbeis pie l wo llen wi r im umseiti gen Bild 5. 16 die Technik kurz kennen lern en. Vorgegeben se ien da bei d ie Konstant en E ·A l = 1 000 E · A Z = 750 LI . • L,

E ·A ) =50 0 und E ·A 4 =25 0, L) L4

wo bei Al = A z = A) = A 4 = A sein so ll.

5 Das Kon zept der Finite-E leme nt-Me thode

78

P:~ - - - 0-", [lJ

•

[]

CD

ul =O

1.000

- 1.000

•

"3

"2

- 1.000 1.000

+ 750

+5 00

-500

- 500 + 500

+ 250

- 250

- 250 +25 0

-

• @

-

-

F,

"5

-

- 750

-750 + 750

m "I

"2

o

"3 =

0

",

o

"5

FS.\

Bild 5. 16: Sta bwerk mit zuge höriger Ste ifigke itsmatrix Die Eleme ntma trizen we rde n nun nachein and er abgearbei tet' >.

1. Sch leife: Einlesen de r Ste ifigkeitsmat rix von Ele me nt I

1.000 -1.000].[.':!.] = [F,,,,], [- 1.000 1.000 u2 0 Abspa lten de r ersten Gleich ung

F '""""li'_+;-;; ' ~.0~OoOC·-,",,-2 = 1.000 Fn: ak u l =1.000 + u 2·

( 5.1 12)

da am Lager u l = 0 ist, folgt daraus 0 = Freak

1.000

+u

2

bzw .

(5. 11 3) Diese G leich ung w ird zur Berechnung der Reakt ionskraft abgespeic he rt. ' ) A nmerkung: Zum besseren Verständnis des Ablaufs sei dem A nwcndcr empfehlen. zuerst die Gcsamtstcifigkcusmatrix aufzustelle n Die Konstruktion ocr Gleichungen wird dann ,01:

" "

Sc hraube

»> I

Flachmaterial

3 (Länge L3)

leichter I-Träger (Länge L I ) Daten :

q z = J NImm F '" 1.000 N L t = 500 mm

E . J y t = 6.3 . 1010 Nmm 2

L 2 = 500 mm

E ·J y2 = [0,5 . [0 9 Nmm 2

L3 = 400 mm

E ·A 3 =2, 1. 107 N

Bild 5.19: Einfache Tragkonstruktion Als mate rielles Gebilde muss d iese Konstruktion im Weiteren FEM-gerecht aufbereitet werden. Am einfachsten biete n sich hierzu Balken- und Sta h-Elemente an. so wie d ies im Bild 5.20 dargeste llt ist. Bei e iner derart igen Idealisieru ng kön nen abe r nur g loba le Aussagen übe r die Elemente gemac ht werden. Wollte man beisp ielswe ise Nähere s übe r die Schweißnaht in der Konstruktion wissen. so musste flächig in Schalen-Elemente oder besser noch vo lumetr isch

5 Das Kon zept der Finite-E lement-Met hode

84

modelliert werden. Auch so llen keine Aussag en zu de n Schra ubanschlüsse n ge mac ht werde n, weshalb ein fache Auflager ausreichend sind. Der Ablauf bis zum Ergebnis der Durchbiegungs- und Spannungsermiu lung im Träger kann dann in d ie folgenden 10 Schr itte unterteilt werden:

I. S('hritt: Idealisierung

CD k--- -,

® Bild 5.20: Finites Modell de r Tragkon strukt ion Innerhalb der Idealisierun g' ) werden zunächst die Elemente geo metrisch (x i' zj /A j • Jil und physi kalisch (E, ...) definiert. Die geo metr ische Defi nition erfo lgt hierbei in de m globa len x- ,z -Koo rd inatensystem. Vom mechanischen Verh alten her erke nnt man eine Ba lkenstruktur, welche von einer Pendelstütze abges tü tzt w ird.

2. Schritt: Randb edingu ngen Gemäß den Stützunge n der Struktu r müsse n j etzt die Randbedin gu ngen eing efüh rt werden. lm vorliegende n Fall se i die Tragkonstruktion an zwe i Punkten mit de m Maue rwe rk starr versc hraubt. Aus d iesem Grunde se i hier angesetzt: am KnotenCD

am Knot en@)

wl - 0

w4 - 0

J . Sch ritt: Krafteinleit ung Die ve rteilte Strec kenlast ql muss weiter auf d ie Knoten ·Balkcn- Elcmcn t Im Bild 7.1 ist e in so ge nanntes 3-D-Balken-Element mit Frei he itsgraden pro Knot en darges te llt. bei dem d ie Stab- und Balkeneigenscha tlen physikal isch entkop pelt sind. Demgemäß kann ein derarti ges Element Axialk räfte ( N i ) ' Drehmomente (Ti) sowie in zwe i ö

Ebenen Qu erkräfte (Q yi.

Qld und

M/d

Biegemomen te (M yi • übertragen und ist so mit fallw eise zur Analyse von Stab- und Rahmenstruktur en verwendbar.

e

CD

w,

w J j

- Po (X. , ) I-l ilfspunkt zur Orientieru ng des lokalen KS

z

Bild 7. 1: Linea res 3- D-Balke n-Element (nac h IPRZ 861) m it entkoppeltcn Knotenfreiheitsgrade n Bei der Au fste llung der zugehörigen Elementsteifigkeitsmatrix wo llen w ir hier von der Blockaddition Geb rauch machen, da im Kapitel 5.3 schon alle benötigten Teilerge bnisse hergeleitet worden sind. d . h., im vorliegen de n Fall kann man so tun, als wen n das 3-D-Balken-Element se lbst die Sys tem matrix des Stab- , Dreh-Stab- und Balken-Elem ents wär e, womit d ie Ste ifigkeitsante ile der entsprechenden Fre iheitsgrade nur richtig platz iert werde n brauchen . Wie die Platz ierung im Einze lnen du rchzufü hren ist. erkennt man im Sc hema.

94

7 Elementkatalog für e lastostatische Probleme

CD I

2

3

(j)

4

5

6

a 2

7

-,

b

8

9

10

-b

I",

OCL

-I", OCL

4

OCL 4cL'

·6,L kL' 12d -6JL

5

7 8

12

-,

0

-b

E·A

9

6JL 2dI}

a

G · ],

10

E.J . E · J, d=- - ' 3 L ' LJ

11

C = __ L

12

N,

...."'.!...

Tl

v,

Q yl

'I' ~

M z1

w,

M~I

"2

N2

"' 2

T2

v2

Q y2

. -"----'-

I", .« L

----'IfIz2

-ocL 4cL'

~

12d

6JL

6.-IL 4dL'

Q LI

----''t' \'I

----'-

b

a = - L - ' b = -L-

",

----'-

-12d -6JL

·(,JL "",}

r--

-

----'-

3

6

11

Md

w2

Ozl

't' vz

M y2

----'----'-

(7. 1)

Für die Sa n ierung der Matrixg leichu ng ist gemäß de r mec ha nischen Wirkung eine best immte Log ik benutzt worden. die jedoch fU r ein allgem ei n gü ltiges Progra mm syste m zu indi vid uell ist. In kommerziellen FE-Programmen versucht man. eine strenge Systematik bei der Be legurig der Speicherplätze einzuhalten, weshalb man immer block weise die Versc hiebungen und Drehun gen abs peichert. Die knotenwei se Belegu ng beim Balken-Element ist demgemäß

"v

Zu der GI. (7. 1) ist noch zu bemerken. dass über A. J y.Z und 1, die Querschnittsgeometrie des Eleme nts e ingeht und diese Werte orien tiert werden müssen. In komfortablen Programm en sind d ie übl ichen Standardgeo met rien (Wi nkel-, U-, T-, Hur-. Rechteck-. Sechs kant-, Kreis- und Roh rprofil) fest abgespeichert. sodass über die beschre ibend en Parameter d ie benötigt en Eingabewerte sofort zur Verfüg ung geste llt werde n könn en . Des Weiteren bieten einige Program me als Zusatz leistung noc h an, dass man die Standard pro file miteinander verschme lzen oder freie Geome tricn im Ze ichenmodus erstellen kann, was manch mal eine erhebliche Arbe itserleic hterung darstellt .

7. 1 3-D-Balken-E leme nt

95

Aus dem Balken kann auch eine Elementfamilie begründet werden, wie im Bild 7.2 hervorgehoben ist.

•

x

b) R

CD

z

cl

x

CD

,~.

z

'-.

Das gekrümmte Balken-Element kann überall dort eingesetzt werden, wo die Mittellinie mit einem definierten Radius R ausgebogen ist. Viel variabler kann dagegen das parabo lische Element genutzt werden. da der Mittenknoten beliebig gesetzt werden kann. Bild 7.2: Ba lken· Elementfam ilie a) gerader Bulken b) gekrümmter Bulken c) parabolischer Balken

Klar iSI in diesem Umfeld, dass das lineare Element stets e ine gerade Mittellinie haben muss. In diesem Zusammenhang ist auch noch einmal auf die Krafteinleitung einzugehen. Im Bild 7.3 sind einige Mögl ichkeiten gezeigt, die ebenfalls von Programmen geboten werden. Diese bestehen darin. Kräfte sowoh l im globalen als auch im loka len Koordinatensystem einle iten zu können. Falls eine Kraft im globa len Syste m e ingegeben wird, erfolgt mittels der im Kapitel 5.4. I hergeleiteten Transformationsmatrix eine Umorlentierung in das lokale System.

a)

b)

Bild 7.3: Krafteinleitung in ein Balken-Elemen t a). b) Einleitung bezogen auf das g lobale KS c). d) Einleitung bezogen aufdas lokale KS

96

7 Elemen tkatalog für e lastostatische Probleme

Für d ie Anwendu ng ist a ls Letztes noch d ie Konvergen z des Balken· Elements von Interesse. An dem einfac hen Beisp iel der T ragkonstruktion so ll im Bild 7.4 eine Kon vergen zuntersuchung durch geführt werden. Die Tragkonstruktion sei mit einer Strec ken last beaufsch lagt und der Qu erschnitt sei e in Dopp el-T. Für die Feststellu ng der Konvergen z wird d ie Länge der Tragkonstruktion in eine untersch ied liche Anza hl von fi niten Balken-Elem enten eingete ilt und d ie Annäherung an die exakten Lösungswerte für d ie Durchbiegung. das Mom ent und d ie Qu crkraft festgestellt.

W ma"

,I

z,w

b Konver enztabel le

q, ·L

Anza hl

Q lheoL '" - , -

Elemente

cl

2 EL

3,9772

2.250.000.3

... CL XEI.

3.9772 3.9772

2.250.000.3 2.250.000.3

== 15.()()()

15J)()O 15.000 15.()()() 4 2 6 E +02 .3.4 1 E + 0 2 2.56E + 02 1.70E +02 8.52 E + 01 . 1.50 E· 04 ·8. 52 E + 01 ·1.70E + 0 2 -2. 56 E

+ 02

-.3.4 1 E + 02 -4.26 E + 02

Bild 7.4: Konvergenzbetrachtung mit e inem Balken·Element a) Lastfall. b) Kon vergenzanalyse. c) Span nungsa uswe rtung im Q uerschnitt

7.2 Sche iben -E leme nte

97

Aus der Tabelle erke nnt man. dass bereit s mit zwei Elementen die exakte Durch biegun g (Fehler 4.6 % ) und die exakten Schnittgrößen bestimmt we rden können . Eine Erhöhu ng der Element zahl bedeutet im Weiteren kei ne Genauigkeit serh öhung. dam it g ilt für ein BalkenElement augenscheinlich nicht d ie Regel. dass du rch e ine Erhöhung der Elementan zahl eine bessere Konvergenz erreicht werden kann. Diesbezügli ch ist zu hinterfrage n. warum dies so ist: Die Verhaltenswe ise eines Elements ist bek anntlich durch den Ansatz gegeben. Beim Balken-Elem ent habe n wir für den Ansatz d ie exakte Lösung der DG L erm itteln können. inso fern ist e in exaktes Element gesc haffen worde n. dessen Ge na uigke it nicht meh r gesteigen werden kann. Bei der we iter noch angegebenen Spann ungs veneilung ist mit G I. (5.115) linear über den Querschnitt ex trapoliert worden.

7.2 Scheiben-E lemen te 7.2. 1

Belast ungs- und Bea ns p r uch ungsz us ta nd

Dünnwandi ge. ebe ne Blech e. die in ihrer Mitt elebene belastet werden, bezeichnet man als Sche iben*>. Das Merkma l Dünnwendigkeit ist da bei gegeben, wen n d ie Dickenabmessung viel kleiner ist als d ie beiden an deren Längen ausdehnungen . In Scheiben tritt dann der schon in Kapit el 3 chara kter isierte ebe ne Spa nnu ngszustand (ESZ ) ein, der hier noch e inmal im Bild 7.5 dargeste llt ist.

F

riß'

---# t ~)'

x 0"

':---"-'-'-'- _. L-

-

-

-

F7 B

-:::f;1

--I

Bild 7.5: Sche ibe nartiges Bautei l mit typisc he n Belastungen Durch die Vernac hläss igung der I -Koord inate erhält man som it ein ebenes Problem , we nn die Eigenschaften auf die Mittel eben e überführt werden . Um e ine gee ignete finite Elementbeschreibung herl eiten zu kön nen. gilt es , vo rab die wesentlich en Beziehungen zu defi nieren. und zwar

' 1A nmerkung: Werden die Lasren so groß. dass die Mill"kb~'T\" ausbeult. gehl die Scheibe in eine Platte über.

98

7 Elementkatalog für e lastostatische Probleme der v erzerrungsvekror als (7.2)

der Spannungsve kto r als (7.3)

- d ie Elastizitätsmatrix a ls

v E=-

E

-

l _ v2

0

v 0

0 I- v

0

(7.4)

2

Als äu ßere Belastungen sind Einzelkräfte Fj • verte ilte O berflächen - (qh.y) sowie Massen kräfte (Pix.y ) zuge lasse n. Zur Idealisieru ng sche ibenförmige r Beanspruchu ngszu stände werden gewöhnlich Dreieck- und Viereck-E lemente he rangezogen. Mit Dreieck- Elementen können im A llgemeinen Randkonturen besser erfass t werd en, während Viereck-Elemente viel besser konverg ieren.

7.2.2

Dreieck- Ele ment

Am Beispiel de s ebenen Dreieck-Eleme nts wurde d ie FE-Methode erstmals bei Kont inuumspro blemen angewandt. Im einfachste n Fall wird e in Konstantelement (CST = constant strahl tria ng le) definiert. das im Inneren konstante Verzerru ngen und som it auch konstan te Spannunge n aufweist. Dies ist eine Folge de s einfac hen linearen Vers ch iebungsansalzes

uf x. y ) = (( I + ((2 ' x + ((3 - y,

v(x. y) =

(( 4

+ (( 5 ' x + (( 6 ' y.

(7.5)

der mit den Knotenfr eiheitsgr aden korrespondiert . Für die Verzerrungen erhält man dann

und

(7.6) 'Yxy =

du dv -+ = dy dx

((3

+ ((~ ,

.

7.2 Sche iben-Elemente

99

also konstante Größen. Um die mechanischen Eigenschaften beschreiben zu können. müssen im Weiteren d ie unbekannten Koeffizienten a j bestimmt werden. Hierzu schreiben wir fü r ein Dreieck-Element folgendes Gleichungssystem auf:

(7.7)

Dieses Gleichungssystem muss für jeden Knoten des im Bild 7.6 gezeigten Elementes ge iten. Für dre i Knoten erhält man so die sechs Gleichungen

, ,

XI

)"1 :

x2

)"2 :

x3

)"3 :

",

",

0

= - - - ------ .,- - - - - ---_.

o

:I

, ,I

xl

Yl

I

xz )" z

: I

x3

Y3

" 3 = Ne . c.

", ", ",

( 7.8)

y. v Ansatz:

Y2

A

/

/ 1\

LI X

Bild 7.6: Lineares Dreieck-Element in allgemeiner Lage mit Knotenkoord inaten und Ansatz

y, Y3

x,

\

)" \..l.

"

,. n

Aus GI. (7.7) gilt es nun. durch Einsetzen de r Knotenkoordinaten xi. Yj die Koeffizienten a j zu bestimmen. Wenn d iese bekannt sind. kann ein Zusammenhang zwischen dem Verschiebungsfeld im Inneren und den drei Knotenverschiebungen hergestellt werden. 1m Weiteren ist es ausreichend. nur das reduzierte Gleichungssystem

(7.9)

7 Elementkatalog tUT elastostarische Probleme

100

zu betrachten. da die Koeffi zienten C4- 6 genauso ermittelt werden können. Für d ie Glei ch ungs lösung wo llen wir h ier die so ge nannte Cromer'sche Regel benutzen, d ie eine sofortige Auflösung gestattet zu

(7. 10)

Llt

Yt

u2

Yl

LI)

YJ

(7. 11 )

dCI N u XI

L1 1

Xz Uz x)

LI)

(7. 12)

det N u

Da die Koeffizienten etwas läng liche Ausdrücke annehmen, wollen wir diese du rch folgende Vereinbarung abkü rze n, und zwar bedeu tet j etzt aj

= Xj ' Yk

- x I; ' Yj.

bj =Yj -Yk '

;. j.

k = (1.2.

3h (2. 3. r), (3. I. 2)

(7. 13)

Ci = x k - Xj'

Damit können die Koeffi zienten viel kürzer angege ben werden:

' ) Anr ncrkuug.: Für die Nummer ierung der Knoten entgegen dem Uhrzeigersinn l ässt sich der Flächeninhalt

1 eines Dreiecks mit A '" - dct N angeben . 2 "

7.2 Sche iben-Elemente

'01

Durch Einsetzen in den Ansatz von 0 1. (7 .5) er hält man den gew ünschten Zusammenhang u(x, y ) = - '- [(a l ,u l e e a ·uz +a 3 , u 3) + (b ] ' UI +b z - u z +b 3 ' U3) X

2A

+ (c] . ul «ca . Uz +c 3' U3) y] oder besser sortiert

bzw .

(7.14) Die in diesem Verschiebungsansatz auft retenden Funktionen

i =1, 2. 3

(7 .15)

sind die vor her schon erw ähnten Formfunktionen. die man nun, wie im Bild 7.7 geze igt. deuten kann.

y,v 1,0

g

x.u

Bild 7.7: Lineares Verha lten eines Dreieck-Scheiben-Elements info lge einer Einheitsversch iebung

102

7 Elementkatalog für e lastostatische Probleme

Unter Benutzung dieses Ansatzes wo llen wir weiter d ie in GI. (7.6) angegebe nen Verzerrungen ermitteln. Hierzu sind nachfolgende Ableitunge n durchzuführen:

(7 . 16)

d ie hieraus result ierende A ussage konnte zuvor schon bewiesen werden. Sort iert man hieri n

die auftretenden Ausdrücke für die beka nnte matrizielle Gleichung E= n ·G · d = B ·d ,

so folgt

(]) 0

b, 0

",

G)

c, "b ,

b] 0

C3

': 1

_~L

",

b]

---_ ". "3 '3

(7. 17)

Damit können dann auc h die Spannungen " angesetzt werde n zu

Führt man die entsprec henden Matrizenoperalionen durch , so erhält man für die Spann ungs-

matrix

CD vc ,

vb, 1-, 2

- -c,

' I I- v -- bi

2

vb, I- v

- - c,

2

VC3

c3

c,

vb]

I -v - - b,

--c,

2

I -v

2

'

I- v

- 2- b3

.( 7.18 )

Wegen der vorausgese tzten konstanten Verzerrung müssen sich natürlich auch die Spannungen 0 H ' Cl' sv - t xy als konstant erge ben. Nachdem nun die Grundbeziehungen klar sind , wollen wir uns der Berechnung der Steifig keitsma trix zuwenden. Ganz a llgemein gehen wir dabei von der folgenden Gle ichung aus: ' ) Anmerkung: In der Literatur wird mit S = E · n die Spannung smatrix bezeichnet .

7.2 Sche iben-Elemente

103

k = 1(Il ·G )' · E· (Il · G ) dV=

v

Iß' . E · B dV .

v

Da d ie hierin eingehende H-Matrix selbst nur konstante Koeffizienten bein haltet. kann diese auch vorgezogen werden, man findet so

f

k = U l . E · Hf I · dA = A · t

(81 . E · B).

(7.19)

x )'

Angenommen wurde, dass das Element gerade Seiten und konstante Dicke hat. Um diese Gleichung e infach auswerte n zu können, haben wir schon die B-Matrix knote nwe ise part itioniert. dies ermöglicht uns durch

1 *t E * I * t '2A "' ' l _ v2 E ' 2A, BJ =

E· I

4~ I_ v2 ) lJi

*t

*

, E , Bj

•

(7.20) alle Unterma trizen der Elementste itigkeitsmat rix berechnen zu können:

(7.2 1)

:

Durch schrittweise Ausmultiplikationen ergeben sich d ie Untermatrizen zu

o

l

~~ j

o

0

I- v

2

' i

(7.22)

Über alle Kombinationen i, j führt dies zur Elemeut steifigkeitsmatrix des Dreieck-ScheibenElements (s. auch IHAH 75!), welche umseit ig aufgeste llt worden ist.

7.2 Sche iben -E leme nte

105

Auch be im Dreieck-Element wo llen w ir wiede r kurz auf die Konvergenz ei ngehe n. A ls Testproblem se i dazu eine Sche ibe m it M ittenloch unte r Gl eichspannu ng gewählt. so wie sie im Bild 7.8 dargestellt ist.

2r t = kon st.

- - -, - -- - - Bild 7.8: Spannungsauswertung in eine r ge loc hten Quadratscheibe (nach IA RG 86/)

Zur Ana lyse des Probl ems reich t es aus. e ine Vierte lsche ibe zu betrach ten . In diesem Viertel werden mit zwe i 60 °-S pira len I37-CS T-E lemente gene riert . A ls theoretisch e Lösung ist bekannt , dass um das Loch herum e ine For mzahl u Kmax = Oxxmax la o = 3.0 w irksam ist. Auch hier erg ibt sich mit e iner ausgewe rteten Formzahl von u K ",, 3.08 eine ve rb lüffe nd gute Annäh erun g. ln de m Beispiel können d ie verwandten Dreieck-Elemen te aber nur deshalb e ine recht gut Lösung ermitte ln. we il die Elemente in dem be kannten Span nungs ko nzent ratlo nsgeblet relativ klein sin d.

7.2.3

Fläc henkoordinate n

Eine bei der Her leitung VOll firnten Elementen vielfach benutzte Darstellung verwe ndet elemente igene Flächenkoordin ate n. um die Form ulierun g unabh ängig vo n der Gesta lt und Orient ierung zu machen. Diese Möglich ke it so ll der Vollständigke it ha lber kurz geze igt werde n.

7 Elementkatalog für e lastostatische Probleme

106

Wie man insbesondere beim Dreieck-Element Flächenkoordinaten fest legt. zeigt Bild 7.9. y,v

yP

X,u

Bild 7.9: Flächenkoordinaten des Dreieck-Elements

Die Lage eines beliebigen Punktes P im Inneren des Dreiecks kann somit durch d ie Größe der drei Tei ltläche n Ai bzw. deren Verhä ltnis zur Gesamtdreieckfläche A ausgedr ückt werden. Für die demnach dimensio nslosen Flächenkoord inaten kann also angege ben werden: (7.24)

Wegen

ist weiter zu erkennen, dass die drei de finierten Flächenkoordinaten (7.25) nicht unabhäng ig voneinander sind. Um di e Lage eines Punktes im Dr eiecki nneren eindeutig

festzulegen. genügen nämlich nur zwei Koordinaten. Die hier e ingehenden Te ilflächen kann man über d ie folgenden Determinanten bestimmen : ' I'

x,

y,

' 2

Y2

xI'

YI'

(7 .26)

7.2 Scheiben-Elemente

' 07

Für d ie Gesamt fläche folgt entsp rechend

A=.!.

(7.27)

2

sodass wieder G I. (7.25) erfüllt wird. Dies se i für SI hier be isp ielhaft angedeutet:

,

xp

Yp

Xz x3

YZ = 2A Y3

x I'

yp

X"

Xz x3

YZ Y3

xz = x3

- '- {XZ Y3 + x pYz + y px3 - xZY P - x3YZ - x I'Y3) = 2A

2~ [(X 2Y] -

X]Y2)+ (Y2 -

y] )x" + (xJ - x, )y p

I.

Verallgemeinert man jet zt diese Beziehung und benutzt wieder die Abkü rzungen

mit

l. ]. k = 1, 2. 3;

2,3, I;

3. 1, 2.

so kann für d ie Flächenkoordinate auch angegeben werden:

Führt man d iese Operation für die drei bezogenen Koordin aten durch. so besteht folgende Zuordnung:

b'O'cz ].[Ix ] .

bz

b 3 c3

(7.28)

Y

bzw. es gilt auch die folgende Umkehrbeziehung :

[ :] = [~, Y

)'1

x2 X ']] [~;] . YZ)'3

(7.29)

S3

An d iesen Beziehungen ist zu erkennen. dass die Zusammenhänge zwischen den Flächenund kartesischen Koord inaten linear sind. d. h., e ine Ansatz funktion a ls X- . y-Poly ncm wird

7 Elementkatalog für e lastostatische Probleme

108

ein S-Polynom desse lben Grades. Die im Weiteren zur Darstellung der Elementeigenschaften erfo rderlichen Differenziationen und Integrationen lassen sich mit Flächenkoordinaten ebenfalls recht ei nfach darste llen. Wählen wir 1;\,1;2 als unabhängige Koord inaten. so erfolgt d ie Differenziation nach der Produktregel zu

iJ iJ iJx + -iJ ' -iJy . iJ' iJ x iJ' · iJv iJ' ·

-= - ' ~I

_

~ l

': .

Der Übergang zw ischen den beiden Koordinatensystemen ist dann folgendermaßen gegeben:

iJ

[ a~iJX iJy .[(Ix iJ ] = J {iaxJ . 1 a~l 2[..i.- iJx iJy 2a~l

il; 2

=

il; 2

il; 2

iJy

(7.30)

iJy

Mit J ist hierin die so genanlltcJacohi-Matrix oder Funktionsmatrix eingefü hrt worden. die auch als (7.3 1)

verkürzt geschrieben werden kann. Im vorliegenden Fall lässt sich zeigen . dass die JacobiDeterminante gleich ist der doppelten Dreieck fläche

derJ = (;SX I.iJ~2 - ~~ .iJ~ J= 2A.

(7.32)

wo rin die Dreieckfläche nach GI. (7.27) anzusetze n ist a ls

2A =

XI

Y\

x2

Y2 = xa 'YJ + »r Y2 + xJ .y\ - x2 .y\ -

xJ

YJ

Xy

Y2 - xI' YJ

oder unter Benutzung der vorherigen Koeffi zienten (7.33)

Dam it ist dann auc h die Jacobi-Matrix gegebe n zu (7.34)

Som it kann auch der zur GI. (7.30) erforderliche umgekehrte Zusammenhang au fgeste llt werden:

7.2 Sche iben -E lemente

109

[-:'] =r' [ J~' ]=~ 0% {j

det J

{j

--

0''

Jy

UX

--

0"

_.l!L] 0' i · F(~j .

n

'ld = LW j . BI . [

i =1

Mit ~ i' 'l i sind hier die Stützst elle n und m it eingeführt worden.

. 8 · \ det .t .

(7.96)

i=\ Wj

die Wichtungsfaktoren der Quadrat urformel

7,2, 10 Numerische Integra tion A ls eine wesentl iche Schw ierigkeit bei den vorhergehend einge führten verallgemeinerten Elementen ist d ie Integration der Steifig keitsm atrix zu sehen. die wegen der teils komplizi erten Koeffiz ienten und des unregelmäßig berandeten Ge biets nur numerisch durchgeführt werd en kan n, Wir wollen j etzt diese Problematik beis pielhaft au fgre ifen und fU r den ein- und zweidimens iona len Fall kurz d iskutieren. Der eindimens iona le Fa ll dient hier meh r de r Ansc hauung. Unterstellen w ir, es se i de r im umse itigen Bild 7.20 skizz ierte Funktionsverlauf ge geben. und es se i die Fläc he unter d ieser Funktion zu bestimmen, Der einfac hste Weg besteht dann darin . das Integrationsintervall in n äquid ista nte Abschn itte

b -,

x j =a + - n

·

(i == O. I• .... n)

zu unteneilen und durch die n + I Stützstelle n F{x iJ ein Interpolationspolynom n-ten Gr ades zu legen und darunter zu integrieren. Für die Ordnu ng n -::; I führt dies zur Trap ez. rege t und fur d ie O rdnung n == 2 zur Slm pson-schcn Regel. Die sic h somit für unterschiedliche Ordnungen (n == I bis n == 4) erge bende n Formeln we rden als Newton-CotesQuad raturen bezeichnet. In FEM-Programmen werden aber bevorzu gt die Gaußsehe n Q uadraturforme ln verwen det. da sie in der Regel ein genaue res Ergeb nis liefern .

7.2 Sche iben-Elemente

135 F (x,)

F (x ~ < F (X) ~ ~~

'---+------+------+ c - - - -

x

ne l , Trapezregel

b

b -a

j F(x)dx = -

, - (Fo +

F, ) ;

a

n- z, Simpsonsche Regel h

JF(x) dx = b ~ a (Fo + 4 F + Fz) , 1

a

n- J

h

b a

f F(x) dx = - 8- (Fo + 3 F[ + 3 Fz + F3) ; c

a

n=4 h

f F(x) dx = b90- a (7 Fo + 32 F + 12 FZ + 32 F3 + 7F,t) . i

a

Biid 7.20: Integration einer Funktion mit verschiedenen Interpolationspolynomen Der grundsätzliche Unterschied zu den einfachen Integrationsformeln besteht darin, dass bei den Gauß' sehen Quadraturformeln ein gewichteter Ansatz gemacht wird und d ie Stürzstellen optimiert sind. Allgemein lautet der Ansatz; h

1 = f F(x) .dx a

b -a n

"" -

-

2

:L W j

1=[

·F(xd ·

(7.97)

Es liegen somit 2 (n + I) Freiwerte. nämlich n + I Stützstellen und n + 1 Gewichtskoefflztenten Wj, vor. Demnach kann ein Polynom 2(n + I)-ten Grades exakt integriert werden.

7 Elementkatalog für e lastos tat ische Probleme

136

Eine Ha uptanwendung der nu me risc he n Integration ist d ie Bestimmung der eingeschlossenen Fläche be i isop arametrischen Element en. Deshalb empfiehlt es sich, von e inem normierten Intervall (- 1 :5 ~::; I) a uszuge hen und das Gauß-Legendre-Integral I

1 = jF(cHc -I

n

=I w; ·F(C;)

(7.98)

i= 1

zu Gr unde zu legen . Dies ist auch insofern vorteilhaft . da für das norm ierte Intervall bere its

die günstigsten Stützs tellen und d ie Wichtungsfaktoren tabelliert vorliegen. Einen kleinen Aussc hnitt au s einer derart igen Tabelle ze igt Bild 7.2 1.

C;

w;

I

0,0000 0000 0000

2,0000 0000 0000

I

± 0.5773 5026 9 190

+ I,0000 0000 0000

>---------- I

0,0000 0000 0000 ± Q,7745 9666 914 1

+0,8888 8888 8889 +0,5555 5555 5556

n

-I

I.

2 .]

.

3 ·1

.

I

0

I

t----o--------o

Bild 7.21 : Stürzste llen und Wich tungskcefflzient en der eindime ns ionalen Gauß-LegendreIntegration IDA N 77/ bis n = 3, im Intervall ; [- I, + I]

Die Fest legung auf e in Einheitsintervall ste llt a ber ke ine Beschränkung der A llgemeing ültig. keit dar, da m ittels de r Transform ation b+a b- a Xi = - 2- ; i + - 2au f j ed es ande re Intervall umg erec hnet werd en kann, Vo n we it größerer Wichtigk eit ist hier ab er d ie Beh andl ung von Doppelintegralen für di e Integration von Dreieck- und Viereckbereich en. Diese Integrale liegen in de r Form d

1=

J

b

J F (, . y) ddy

(7.99)

y = c :I: =a

vor. Man erkennt, dass d ie Näherung du rch zwe ima lige Anwend ung der Quadraturregel entsteht und de sha lb a uch auf Flächen a usgedeh nt werden kann. D ie Anza hl de r Integrationspunkte kann dabei ohne We iteres in beiden Richtungen unterschiedl ich se in.

7.2 Sche iben -E leme nte

137

Bei der praktischen Anwendu ng der numme rische n Integration auf Rechteckber eiche empfie hlt es sic h, analog zum Einheits intervall von einem Einheitsquadrat (s. Bild 7.22) auszugehen.

y (-1, I)

"

u. I )

d

,

cl (-1, -1 )

( I, - I)

x

a Bild 7.22: Transfonn ation e ines Rechteckbereichs auf ein Einheitsquadrat

Durch die Transforma tion

Si

2 (b + a) = - - ' X' - - (b _ a) ' 1 (b -a)'

(d+c ) 2 '1i = - - - ' Yi - - - (d -c) (d -c)

(7.100)

kann nunmeh r das Integral G I. (7.99) für ein beliebiges Geb iets interva ll ange nähert werden du rch

(7. 10 1) ode r fllr g leiche Stützste llen (m "" n) im Einheirsq uadrat"! ange nähert werden durch

1 - (b -')(d -c)"~'W . F (' .) 4 ?... . ,> " '1 • .

(7. 102)

i =l

Für den häufi g benutzten Fall mit zwe i richt ungsabhängi gen Stützstelle n n = m =0 3 we ist Bild 7.23 die so genannte Neun- Punkte-Forme l aus. die Polynome bis zur 5. Ordnun g exa kt integrieren kann . " Anmerkung: Bci finiten Häc hcnclemcmc n werden an den Gaull-Punktcn in der Regel auch dic Elemcntspannu ngcn angegeben.

7 Eleme ntkatalog für e lastostatische Probleme

138

"

W; I

o

0

2

o

h

3

h

4

o

0

5

-h

-h 0

h

h

64/81 '" 0,790 1 234567901 235

--- ------------------------

6

40/8 1 = 0,493 8 27 16 49 38 27 16

------------ -------- ----

7

h

-h

8

-h

-h

9

-h

h

25/8 1 = 0.3086 4 197 5308 6420

mit h = 0,77459666 924 1 4834

Bild 7.23 : Ga uß- Punkte im Einheitsquadra t bzw . verzerrten Element IDA N 77/

Bei der Integration über Dreieckber eiche kan n wie der sehr vorte ilhaft von der Flächenk oord inatendarstellung Geb rauch gemac ht werde n. Wie hierm it seh r einfach die Integra tion von Polynomau sdrü cken erfo lge n ka nn, weist be ispie lswe ise G I. (7 .37) aus. Für kom pliziertere Integrationen ist es jedoch auch hier zwingend numeri sch auszuwerten, um überhaupt die vielfällige Elementtopologie er fasse n zu kö nnen. Wie gezeigt. sind die Integra le für Dreieckbereic he vo n der Fonn 1 = fF (x, y) dA "" 2A A

n.m

L

i=l

Wi · F (xj. Yd

(7. 103)

bzw. n

1- 2AL W i · F (S,. S2. S3) · i= 1

Die Fläche ist dabei wiedergegeben zu

(7. 104)

7.3 Platten-Ele mente

139

XI

2A = det

Yl

x,

y,

x3

Y3

bzw. 2A = (y, - y, ). (x, - x, )- (y, - y, ).(x, - x, ),

worin d ie Koordin atenpaare (x l ' YI)' (x 2' Y2) lind (x 3' Y3) d ie Eckpunkte eines Dre iecks im loka len kart esischen Koordinatensystem sind. Zwei Möglichk eite n der Integration unter Benutzung von Gauß-Punkten sind im nachfolgenden Bild 7.24 dargestellt. Das erläuterte Kon zept ist auch gee ignet. be liebig krumml inig umrandete Geb iete zu erfasse n. Hierzu müssen allerd ings die benutzten Transformationsbez iehungen entsprechend erwei te rt werde n.

20'd~ ~3 /

3_':..,.(~ _2 ~2

-- -

I"

~I

I

'

~

5. Ord nung

4/

I

I

,*,p!

-

-'"2 ~ ~!; l ' -, 3 5

""" ~

;

" " "

1

0,5

0,5

0

2

0

0,5

0,5

3

0,5

0

0,5

1

1/3

1/3

1/3

2

a

b

3

b

a

b

b

5

c

c

6

d

c

7

c

d

2 Wj

0,3333 3333

0.22500000

:] :] -------------- ----------------- _. 4

0. 1259 39 18

0. 132394 15

a "" 0.7974 2699

b =0, 1012865 1 c > 0,470 14206 d = 0.0596 1587 Bild 7.24 : Gauß-Punkte in zwe i Dre ieck bereichen IDAN 771

7.3 Platten-Elemente 7.3. 1

Belast ungs- und Bea ns p r uch ungsz usta nd

Eine Platte ist in Wirklichkei l e in dreidim ensionaler Körper mit entsprec hende r räumlicher Ausdehn ung. Um diesen ei nfach betrach ten zu können . wird er mittel s einiger Vere infachungen in ein zweid imensionales Probl em überführt. 1m weitesten Sinne kann eine Platte auch als ein zwe id imens ionaler Balken aufgefasst werden. was beisp ielsweise für einen Stre ifen ab einem Seite nver hält nis b/a kleiner von 0.3 ohne Weitere s zuläss ig wäre.

7 Elemen tkatalog für e lastostatische Probleme

140

Das wese ntliche Merkm al der Platte ist. dass d ie äußeren Kräfte (Fz. pz ) sen krecht zur Mittelebene einge leitet werden und demzufo lge e ine Absenknng (w) w ie auch Neigung ($,. . qJy) der Mittelebene auft ritt. Dies ist im folge nde n Bild 7.25 prinzipha rt dargestellt.

', U

~x :/:: ' ~t.l-.- - - - -~--. ,

[/ik:. ,v

W

/

--

- ~-- . -

z,w

Q .\

-

-

--

-- -_ -_ --"J---==OJ

_

.A'~"":--

P,.

w' =$y

Bild 7.25: Verfonnungsannahme n an einer Platte

An den Rändern treten m ir der Querkra ft Q " . dem Biegemom ent M y und dem Tors ions-

moment M xy zu den Verschiebungen äquivalente Schnittgrößen auf. Wie beim Bal ken kann au ch de r Verformungsz usta nd der Platte allein aus der Durchbiegung de r Mittele bene bestimmt werden. Mit dem hie rfür gültigen Verzerru ni,szus tand von G I. (5, 113) und den Annahmen der Kirchhoff'schen Theorie dünner Platten I /II AH 75/ kön nen da nn folgende Verschiebu ngsgröße n de finiert werden:

u"cl

w = w(x.y) , dW u =-z· d'

dW

(7. 105 )

v = -z 'ä; ' Dam it lässt sich der gesamte Verfo rmu ngszustand alleine mit de r Durch biegun g w besch reiben. Die hierin noc h vorkommende n Ab leitunge n sind die Querschnittsve rdrehunge n (I!l x. I!ly ) um die x- bzw. y-Achse

dW

o, =;iy' " Anmerk ung: Hci dicken Platten od er Sandwichplanen muss dcr Schubcmfluss berückst chtigt werden. Hierfür ist der ..Reissncr-Mindlm-A nsatz" am besten geeignet. In vielen Fli-Programmcn ist dies

rurPluucn die vorcmsrcüung.

7.3 Platt en-Ele mente

14 1

Für d ie Verze rrungen er hält man som it

au aX a,

-

Eu

=

EH

ily

Uu a, -+-

Yxy

iiy

iix

= z·

a' W aX' a' w

(7. 106)

ily' (l 2w

- 2-

-

()x(ly

Wie sic h leicht überprüfen lässt, fo lgt weiter 'i yz = 0 und "1 XI- = O. D ie zwe iten Able itungen werden gewö hnlich als Krümm ungen ")

K

x = -

a'w iix 2

(7 . 107a)

'

und die gem ischte Ab leitu ng als Verwi ndung

= ---

(7. 107b)

axiiy

bezeichnet. Mit dem Hooke'schen Gesetz für den ESZ (a n = O. tu = t yl =

0)

folge n dann fllr die

Span nunge n

(7. 108)

Durch d ie Abhängigke it von der z-Koo rdinate werden über die Dicke lineare Spannungsverläu fe ausgewiesen. Auf den beiden Deckflächen sind diese Span nungen maximal.

" Anmerkung. Für das Vorzeichen ist eingeplant: positive Durchbiegung nach unten und positives Moment erzeugt negative Krümmung,

7 Elementkatalog für e lastostatische Probleme

142

Diese Spannu ngen müsse n weiter als Resultierende aufgefasst werden, aus denen man durc h Integration über der Plattendicke so die Schnittgrößen Biege- und Tors ionsmomente pro Längenei nhe it erhält:

W ,"ew

= 0.5 143 r nm

~ ..

0.49 0.48

~ 0.47 0.46

OAS

@ -+=4w

0.4 0.3

w tteor.

0.2

3 F· L

a · As E = 70000 N /m m 2 A = 50 ' 10 = 500 mm 2 L = 150mm (1 = 1,2

0.1

3E . J y

3

+u · F · L "" 0.5 143 mm

4 x l2

8x 24

•

Elementn etz

~ Typ

Netz

1 6 4 x 12 8 x 24

Tetraeder

I w = 0,118 w = 0,277 w = 0,4 16 w = 0,4 71

Li>

Prisma

tS)

Quader

rJ)

P

I

P

1

P

0,464 0,48 5 0,492 0,49 5

0,120 0.251 0.391 0,4 63

0,463 0,487 0,493 0,49 5

0,46 5 0,474 0,487 0,493

0,462 0,486 0,493 0,495

Legende: I = linear, p = parabolisch Bild 7.43 : Konvergenzuntersuchungen mit Volumen-Elementen am Balkenbi egeprobl em

Am Beispiel des volumetr ischen Balkens ist im Bild 7.43 die Konvergenzuntersuch ung m it Tedraeder-, Prisma- und Quader-Elementen durchgeführt worde n. Für die Netzgeo metrie wurde n die Elementteiler var iabel ge wählt. Vorgegebene theoretische Lösung ist die Durchsenkung eines Balkens mit Schubverformung. Man er kennt an der Aus we rtung e in recht untersch iedl iches Konvergenzverhatten. we lches aber im Trend de r vorausgegange nen Untersuchungen liegt. So zeig t sic h, dass beim linearen Ansatz das Quader-Element deu tlich besse r als das Tetraeder- und Prisma-Element konvergiert. Bei den höherwenigen Ansätzen, wie beisp iel sweise scholl bei einem parabolischen. ist nur noch eine geringfügige Kon verge nzd ivergenz feststellbar. Keines der herange zoge nen Volumen-E lemente kommt abe r in die Nähe der Balkenlösung. d. h., es ble ibt ein Mode llfehler von 4 %. Dies ist e ine Folge dessen, dass Volumen-E lemente nicht die Ne igung (e rste Ableitung) der Biegeli nie erfassen können, d. h., die Elemente sind zu ste if (.~llClIr locking) und blockieren die Verformungen.

174

7 Elementkatalog fllr elastostarische Probleme

Ein rea les Anwe ndungsbeispie l für Vo lumen-Eleme nte zeigte d ie fo lgende G usskonstruktion. Es hand elt sich hierbei um ein Anb indungsteil eines Drehgelenks ruf einen Ge len kautobus. Die Kräne werden übe r eine n zentralen Au tlagerpunkt in einen Innenkranz eingeleitet, der sich an der so ge nannte n Vorderwagena nbind eng abstützt. Die Vorderwagenan bindung se lbst ist am Busrah me n an me hreren Ste llen angeschraubt, welc hes hie r d ie Rand bed ingunge n darstellen. Der ä ußere Za hn kranz hat zusätzlich die Funkt ion e ines Ansc hlages be i Kurvenfahrten für das sc hwe nkende Hinterteil.

Unter der Strategie des Ropid-Prodsct-Devetopmem (virtual Prototyping) war es Aufgabe. alle Fah rzustände an ei nem nicht-physika lischen ß aute il rec hnerunterstützt zu sim ulieren. W ie im Bild 7.44 gezeigt. wurde daz u das mit große m Modell aufwand zu fertigende Bauteil weitestgehend exakt model liert.

Bi ld 7.44:

Finite-E lem ent-M odel l eines großen Gussteils. modelliert mit quadratischen Quader.Elementen

Zu allen Fahrzuständen wurde n a us Meh rkörperan alysen mi t der M KS-Soft wa re AD AM S die w irke nden Kräfte bes timmt und dazu d ie Spannungsverteilungen (z. B. Bild 7.45 für Vert ikal nicken ) errechnet. Durch d iese Vergehensweise konnte erreicht werde n. das s be reits das erste Ge lenk de n ß etriebsbeanspruchungen gewachsen war und eine Iteration trial and error verm iede n werden ko nnte. we lche in der Praxis vie l teure r als e ine gute FEM-Analyse ist. Im vor liegenden Fa ll entsp rach die Kostenrelat ion Rec hnung zu Prototyp e inem Verhä ltnis von I : 7. wobei noc h ga r nicht die weiter ersparten Versuchsmuster und die Zeitraffung bewertet wur den.

175

7.6 Kreisrin g-Ele mente STRESS ·

V O~ :\IISES I) H·~) R :\ I .HI 9 ~ : 1-

.' 11 :'01: 9.49t:-02 i\lAX : 2.3-1E+03

ß.c. I . U.~i\ l! 1,l.. 1)I S P LA C;:.D n: ~T

I DIS) tACE,\ It.I\T - :\lA G .\ 11 :"0 . 1..,9t.+01 .\ IAX. 6.3IH.+01 FRA:\ IE OF REF : I' ART

2.50 E+03 I.OOE+03 5.IIOE+l12 2.251-:+02 2.001-:+02 1.75 E+02 1.5IJ E+OZ 1.25E+o 2 I JIO F.+l12 750E+O I 5.00.:+01

2.50HOI " Al. n : OPTIO:'ol : ACT UAL SIIt:I.I , SURF.-\Ct:: TO P 0.110 1-:+110

Bild 7.45: Vergleichsspannungsve rtei lung im Gussteil

Ein weiterer Vorte il der FE-Analyse bestand dar in. dass gegen über dem erste n konstrukti ven Entwur f e ine Gewic htsers parnis von fast 20 % eingetreten ist. Dies ist im Wesentlichen auf die Verrippungsstr uktur zurückzuführen. Die Wirkung von Rippen kann aus Erfahrung nur schlecht quantifi ziert werden. Hier hilft natürlich eine FE-Ana lyse. um gez ielter in eine Struktur eingreifen zu können. Konstru ktionen werden so mit besse r ausge lastet. mit der Folge e iner höheren Ste ifigkeit bei ger ingere m Eigengewicht.

7.6 Kreisrtng-Elemcnt Als ein häufig vorkommendc r Sonderfal l der räumli chen Elastizität g ilt der rotationssymmetrische Spannungsz ustand. so wie er vielfach in dickwandigen Rotationskörpern (Ringe. Naben. Rohre) unter rotationssymmctrischer Belastung vorkommt. Dieser Spann ungsz ustand wird zerstört. wenn am Umfang klein e Diskontinuitäten (Ve rdickunge n. Löcher etc.) auftreten, in diesem Fall muss dann wieder abschnittsweise volumetrisch, z. B. mittels QuaderElemente etc .• idealis iert werden . Zur Darstellung der Versch iebungen , Verzerrungen und Spannungen ist som it ein Zylinderkoordina tensystem [ r, 41. z ) zwec kmäß ig (s. auch / WIL 65/), welches beispielha ft im Bild 7.46 an e inem dünnwandigen Rohr ' ) dargestellt ist. " Anmerkung: Falls hier die Spaummgsvcrtcilung über die Dicke mtcrcssicrcn sollte. müssen 2· 3 Elementreibengewählt werden

7 Elementkatalog HiT elastostarische Probleme

176

--

f-- -

$. v =O

Bild 7.46 : Rotat ionssymm etrisches Spannungsproblcm (nach ! WIL 65/)

Mit Verwe is auf die ents prechende Mechani kliteratur IGÖ L 9 11 treten dann folgende Verze rrungen auf:

1 ou ov v Yr41 = _ ·- + - - -= 0. r i}$

urr

Oll Jw YTI =ä; +a;- '

uv

I QW YqJ = - +- - - = 0 . J: i)z 2 aljl Bei rotati onssymm etri scher Belastung besteh t im Weiteren keine Winkelabhängigkeit über den Umfang, weshalb Yr 0

Ab lösebedingu ng:

8,W23 0

Ist w 2 < e • so besteht kein Kontakt zw ischen Knoten 2 und der Kont aktfläch e 3. Es gilt für das Ge samtsyste m die Beziehu ng F,

12E · J

6E· J

LJ

L'

6E · J

L'

4E · J L

0

0

M, = FJ

0 0

,

., w,

(8.5)

w,

Gilt hingegen unter Belastung w 2 = e + w 3 (bz w. F2 = F3 ). so besteht Kontakt zwischen dem Kontaktknoten 2 und de r Kontak tfläch e 3. Dann gilt m it de r Nebenbedin gung

11

-->

w2 - w3 = e

0

-11[::]= ,

-->

N·U = n

(8.6)

das erweiterte Gleichungssystem

F2

12E · J

6E· J

L'

L'

M,

6E· J

F,

=

L2

4E · J

--

L

0

e

0

., w2

0 0

0

k

- I

w,

0

- I

0

A

Die dr itte Gle ichung im vorstehenden Gle ichungssystem (s. auch G I. 8.4) lautet:

Das Au flöse n des Gl eichungssystem s liefert z. B. für w 3 und A

3M,

"3 •E,--.;J •.'::

F2 + FJ - - - - 2L LJ w 3 = -----;- JC-- "'--3E

i'i.

--+ , tl

(8 .7)

8.2 Einfache Lösun gsmet hode für Kontaktprobleme

187

Hier zeigt sich. dass es sich bei A. um eine Kraftgröße handel n muss. Während F} eine Kraft ist. die d irekt am Knoten 3 angreift, kann es sich bei A. nur um die Kraft handeln , welc he durch den Kontakt auf d ie Kontaktfläche 3 übertra gen wird. F} und A. bewirken zusammen d ie Verschiebung w } an der Feder k. Der Legrange-Multiplikator J... stellt damit d ie Kontaktkraft dar, die von einer Kontakt fläche zur ande ren übertragen wird. Das vorstehende Beispiel d iente nur der prinzipiellen Darlegung des Kontak tproblems. In der Prax is sind d ie Probleme aber recht vie lfältig und natürlich nicht so einfach. Ein typisches Maschin enba uproblem mit Kontakt stellt die Übertragung eines Drehmoments mittels e iner Passfederverbindung dar. Die Verhältni sse sind im Bild 8.3 dargestellt. & UUL U,

, -

• •

t.

• • 'O P .

n u n · vo " "H E< ,.,,, ,

,."u ,, _, . ....

OHO&.... T' OO, , - • • C . ' . LO,., O ' OP L .. C "T ,. ,,, , HP,., OF &1

R e, k (i - I) noch die Werte der Iteration i- I enthält, sind d iese für die Iteration i auf

8.3 Lösung zweidimensionaler Kontaktprobleme

201

den neue n Stand zu bringen. Die Kontaktpressungen f N.1((r) (i-I) und f R.1( (r)(i-l ) der kontaktlosen Segmente werden auf null gesetzt. d. h. (8.47)

Entsprechend sind dann über d ie GI. (8.43) und (8.46) d ie Kontakt-Knotenpunktkräfte 1+AI R e. k(i- I) in GI. (8.25) anz upassen . 2.

Ist IFR. I( (i- I)I s Ils . FN . I( (i - I). so ist die tange ntiale Segmen tkraft kleine r als die Haft grenze. Das Kontaktsegment K befinde t sich nach der Iteration i . ! im Zusta nd Haften .

3. Ist IFR. I( (i- lll > 11 5 . FN. I( (i - I). so überschreitet d ie tangentiale Segmentkraft die Haftgrenze. Das Kontaktsegment K bekommt nach der Iteration i • I den Zustand Gleite n zugewiesen. Auch in diesem Fall sind die Kornakt-Knoten punktkräfte H AI R e. k(i- I) für die Iteration i anzupassen. Beim Gleiten wird d ie Beziehung (8.48) erfü llt. d ie Re ibkra ft hängt also direkt von der Norma lkraft ab . Während für d ie Norm al-

pressung f N. I( (r)(i-1 ) we iterhin die lineare Verte ilung nach Bild 8.10 (rechts) g ilt. wird

fü r die Reibpressu ngsverte ilung fR. K (r) (i-I) eine konstan te Verteilung angenommen. welc he die GI. (8.48) erfü llt. Sie wird erfüllt. wenn gilt f N. k (1-1) + f N. k +l (i - I) (i- I) f R. K = Ild . 2 =

(8.49)

COIlSt.

Hiermit sind dann über die GI. (8.43) bis (8.46) die Kontakt-K notenpunktkräfte I +A I

R e. k(i-I) anzupassen.

Mit der Kenntn is der Zustände der Kontak tsegme nte können nach Bild 8.8 d ie Zustände der Knoten am Kontaktkörper ermitte lt werden. Die Z ustände der Kontaktknoten nach der lteration i · I bestimmen schließlich darübe r, we lche Matrizen

I+A I NP

- I) für die Iteration i in

das Hauptgleichungssystem (8.25 ) einzubaue n sind. Dam it ist d ie Lösungsmethode zur Behandlung von quasistatischen Kontaktproble men vom Grundsatz her erläutert. Die Lösungsalgorithmen in den geläu figen kommerziellen Programmsystemen bauen in etwa auf der hier darge legten Theorie - mit einigen Modifikationen -, auf.

202

9

FEM-Ansatz für dynamische Probleme

Zu vor wurde d ie Anwendung der Finite-Eleme nt-Methode in der Elaste statik begründet. Viel mehr Probleme des Maschinen- lind Fahrzeugbaus sind aber dynamischer Natur. d. h. zeitab hängigen Belastungen F(t). p(l) und/oder q(l) unterworfen. Demzufolge sind auch d ie auftretenden Verschiebungen u(x. y. z; I), v(x. y, z: t), wf x, y, z: I ) nicht nur Funkti onen des Ortes. sondern auch der Ze it. Zwangsläufig g ilt d ies dann auch ruf die Verzerrungen E (x, y. z: J) und d ie Spannungen G(x. y. z: I ). Unter Berücksichtigung d ieser Ze itverläufe wol len wir nachfo lgend e inige e infache Grundprob leme der Dynamik und deren Bearbeitung mit der Finite-Ele ment-Methode (s. auch fPRZ 68/) aufgreifen.

9.1 Virtuelle A rbeit in der Dyn amik In Bild 9. 1 sei e in beliebiger elastischer Körper unter verschiedenen period ischen Kräften dargestellt. Durch diese A rt der Krafteinwirkung wird der Körper in einen Schwinguugsz ustand versetzt. welch er durch e inen perm anenten Austausch von Arbeit gekennzeichnet ist.

F (x, y ; t)

q ( x, y ; t)

y, v

t=

y .\{

'o +öt

Bild 9.1: Elastischer Körper unter dynami scher Lasteinwirkung zu einem Ze itpunkt t Ein Körper ist bekanntlich dann im statischen Gleichgewicht, wen n d ie innere virtue lle Arbeit ö Wj = JS E'. O dV

(9. 1)

V

und d ie äußere virtue lle Arbeit 8Wa = Su' . F +

Jöu I . P dV + Jou' . q dO V

0

(9.2 )

9. 1 Virtue lle Arbe it in der Dynamik

203

gleic h groß sind. Um dieses Gleichgewicht auch in der Dynamik herzustellen, muss je tzt gemäß des d'Alembert'schen Prinzips die äußere virtue lle Arbeit noch um die Trägheits- und Dämpfungskräfte erweitert werden. Somit gilt folgende Bilanz:

sw, = oWa -

J p . ou t . ü dV - Jy 'OU' , " dV .

v

(9.3)

v

Die e igentlich fü r kontinuierliche Verhältnisse gültige GI. (9.3 ) muss nun wieder in ein diskretes Gleichungssystem überführt werden. Hierzu führen wir in bekannter Weise einen Verschiebu ngsansatz, und zwa r je tzt in der folgenden Form ein:

u(x, y. z.r} = G (x. y, z}. d (l ) .

(9.4)

Wie man hieran erken nt, definieren wir die Formfunktionen ortsabhäng ig und die Knotenpunktversch iebungen zeitabhä ngig. Um diesen Ansatz einsetzen zu können, müssen noch fo lgende Beziehungen geb ildet werden: die Variation der Verschiebungen als Ou = G · &I , die Variation der Verzerrungen zu

die Spannungen zu o = [ · t: = [ · D · G ·d .

Führt man nun diese Beziehung in GI. (9 .3)· ) ein, so folgt &l l

HD. C l l . E . (U· G ) dv -d = &1 1 . C ' . F + &1 1 J G I • P dV + &1 1 JC I -q dO

v

J

V

0

- &1 1 p · Gt . G dV · d - &J 1Jy G I · G

v

V

av .u

(9.5)

Schaut man sich d iese Gleichung näher an, so kann man hierin die SchwingungsditTeren zialGleichung (9.6)

m · d + c · d + k . d - p = lI

erkennen. Dabei sind die folgenden Zuwe isungen vorgenommen worden:

"A nmerkung: öWj

'"

J&' . O dY ", &I I J (U G l' ·E ·(I) ·G ldY . d

v

v

204

9

F EM ~ A ll satz

ruf dynamische Probleme

als Elementmassenmatrix m = f p G ' · G dV , v

(9. 7)

als Elementdämpfungsmatrix c = Jy G 1 . G dV , v

(9.8)

a ls Elementstciflgkeitsmatrix (5. auch GI. (3.36»

k = j( O .G )' · E · (O· G ) dV v

(9.9 )

ond a ls resultierender Knotenkraftvektor p = G 1 .F + f G I . p dV +fG1 . q dO. V

(9. 10)

0

Ohn e weiter au f den Zusam menba u dieser Elementg rößen (ide ntisch zu Kapitel 5.3.3 ) zu dem Gesamtsystem M · Ü + C · U +K · U =P

(9.11)

eingehen zu wollen. wenden wir uns im Weiteren der Erstellung der Massenmatrix. Dämpfungsma tnx"! und der Lösung der G I. (9. 11) zu.

9.2 Element massenma t rizen Im fo lgenden Kapite l wollen wir zunäc hst ei nige ausgesuchte Elementmassenmatrizen aufste llen. um den Zusammenhang zu Kapitel 7 herstellen zu können. Diese Massenmalrizen heißen konsistent, we il die kontinuierl ich über das Element verteilte Masse gemäß den statischen Ansatzfu nktione n auf alle Knotenfreiheitsgrade verte ilt wird. Im Gegensatz hierzu führen konzentrierte Punktmassen zu diagonalen Massenmatrizen IARG 88/. Die Diskretisierung und Diagonalisi crung der GI. (9.1 1) werden wir im späteren Kapitel 9.4 noch als ein wichtiges Lösungsprinzip der Schwing ungslehre kennen lernen, da damit große Gleichungssysteme gelös t werden könne n.

') Anmerkung : Bei der Formulierung der Ekmwntdämpfuugsmatrrc ist hisher voruusgcscwt. dass die Dämpfung kontinuie rlich über 311e Elemente verteilt ist.

205

9.2 Elementmassenmatrize n 9.2. 1 3- I>-Balke n-E leme nt

Im Kap itel 5..1 wurden mit GI. (5. 15). (5.27) und GI. (5.6 .1) bereits die Massenträgheiten für die verschiedenen Element freihe itsgrade des Bulkell-E lemen ts (s. auch Bild 9.2) hergeleitet.

m CD E,A, J1, L

V,

\jiy 1

Bild 9.2: Dynamische Fre ihe itsgrade am Bulken- Element

Wie bei de r Steifigkehsmar rix gew innen wir auc h die konsistente Elementmassenmatrix durch einfache Freihei tsgr ad-Überlageru ng . Man entneh me dies der folgende n Au fstellung fU N 891 sow ie S. 50 und S. 6 1. 0, $ 1

I

\jI zl

10

11

12

$2

V2

\jI z2

\\,2

ijI y2 ül

d

156e -220.'1 . -22cL .t eL2

5 6

9

",

c

4

7

iVyl

b

3

8

\i 1

a

2

m ""

\'1

$ 1 54c

l3 eL -l3eL _3 .:1 .2 156c ·22el. ·22cL .J eL2

'I '11 zl 5.Je

-uer.

13e l. . 3 e1.2

a

b

ü2

"'2

c

d

p . J 1 ·L p ." . L p ·" · L ' = - -- . b = - -- . c = 3 3 6 d ==

p . J •L 1

"

.

wl W, I

p.". L e == - - .J20

156c 22e L

22eL .Je l.2

\' 2

~ z.2 156e 22el.

22eL .JeL2

w2

ijI y2 (9. 12)

9

206

F EM ~ All satz

ruf dynam ische Probleme

Für d iese Matrix treffen w ieder d ie chara kte ristischen Merkmale w ie die der Sym metr ie. der Band struktur und der dün nen Besetzu ng zu. Verna chläss igt wurde bisher die Drehträgheit. die abe r durch Elemen trotation . be ispielswe ise bei sehr hochkanti gen ode r schubweiche n Querschn itten, einen Einfluss auf d ie Schw ingung hat. Dieser Effekt ist prinziphaft im Bild 9.3 darges tel lt. In der Regel wirkt sic h dies auf die Längsverschiebung nur wenig aus. hi ngegen w ird di e Biegeamplitude mehr oder weni ger vergrößert.

Bild 9.3: Effekt der Drehträgheit von Massekö rper auf die Längsund Biegeamplitude

Um nun diesen Trägheitseffekt berücksichtigen zu können. g ilt es , den Ansatz fü r die Längsverschiebung wie fo lgt zu erweitern: u(x, t ) =u t - z- w' ,

(9. 13)

d. h.. d ie Längsver schiebung muss zusammengesetzt werde n aus de r axialen bzw. translatorisehen Versch iebu ng de r Balkenmittelachse und der Quersc hnitts neigung. Demzufolge ist der Verschiebungszustand e ines Balken· Elementes anzusetze n als

(9. 14) mit (e ntsprechen d S. 59 und S. 60)

o

: z (I 4x+_3X 2) :x: I

,:

,

L L2

IJ

L I _

I

,: L ,i

o

, , 3 2 +2x3 ) i (_~+2x2 _X)Li o i(3X_2'(3) 2 o (1_3X L2 IJ : L L2 L} : : L2 L} (9. 15)

Zwec kmäßig ist es jetzt. sich die Ansatzfunktion smatrix G aus einem translatorischen (G I ) und e inem rotator isehen (z . G r ) Ante il zusa mmengesetzt zu den ken. Dam it ergibt sich di e Massenmatrix zu m = p] f( G t + z ' G r((G t + z · Gr) dA dx , AL

9.2 Elementmassenmatrizen

207

welche ausformuliert werde n kann zu

m= PJ[GII ·Gl . A+ (GI1. Gr +Gr' . Gth ZdA+Grl. Gr JZ2dA]d'o

A

(9. 16)

A

-0

Hierin bezeichnen bekanntlich das Schweremoment oder das so genannte statische

Sy = JzdA = O

Moment. welches um d ie Schwerachse gle ich null ist

A

das Flächenträgheitsmoment. Nach Durchführung der Matr izenmultiplikationen und der Integration führt d ies au f

140

m=

0 0 22 L 156

70 0

4L'

p . A· L

0 54

0 140

420

0 13 L - IJ L _ 3 L2 0

0

156

22L 4L'

sym.

(9. 17)

0

+ P . A.L ( - J" _.30 A . L2 sym.

0

0

36

3L 4L'

0

0 0 - 36

0

0

3L

JL _ L'

0

0 36

0 - 3L 4L'

Bei d iesem Ansatz ist die Drehträgheit ausschließ lich den Biegefreiheitsgraden zugesch lagen worden. Vielfach wird der Drehträgheitsanteil e infach vernachlässigt. 9.2.2

End massenwirku ng

In schwingfähigen Strukturen, und zwar bevorz ugt Wellensysteme. mussen oft auf elastisehen Gliedern dis krete Einzelmassen wie Zah nräder, Kupplungen oder Schwungräder aufgebracht werden. Diese konzentrierten Einzelmassen verändern im Wesentl ichen die schwingende Masse und haben keine n oder nur einen sehr geringen Einl1uss auf die Steifigkeit

208

9 FEM-Ansatz für dy namische Problem e

IKLE 77/. Ein typ isch es Beispiel für ei ne derartige Situatio n zeigt Bild 9.4 . welch e eine abstrahierte Ritzelwelle idealisieren soll.

(i) E======~

z;

W (!)!

Bild 9.4: Wirk ung einer kon zentrierte n Einzelmasse an eine m Ba lken- Element

Die Masseurn atrix der Einzelmasse

M O)

kan n als Diagon almatrix (9.18)

aufgefasst werden . welc he so die tran slatorische und rotatorisehe Wirku ng w iedergibt. Im vorste henden Fa ll ist diese Matrix dann m it der Massenmatri x des Balken- Elements um Knoten 2 zu übe rlagern, woraus folgt: 156 L 420 1l '

22 z 420 4 ] - ~· L 420

54 420

- - ~· L

m=

13 L' 4201l"

-~ · L

13

a

3

-- ~· L

]

-- ~· L

420

420 22

156 - Il , L+ M

1:420

mil l.l= p ·A.

(9. 19)

L' 42011 "

4 3 1l·L + 0 420

-

sym

Fall s de r Balken se lbst noch schubwe ich ist. ist die Matrix noch um d ie en tsprechende n Terme der vorstehenden Bez ieh ung zu ergä nzen.

' ) Anmerkung: Massentr ägheit einer Scheibe um die Längsa..hsc 8

,

,

'" rn . R

2

9.2 Elementmassenmatrizen 9.2.3

209

Dreieck-Schelbe n-Eleme nt

Auch zur Herleitung der Element massenmatrix des Dreieck-Scheiben- Eunoems kann auf bereits im Kap itel 7.2.2 dargestellte Zusammenhä nge zurüc kgeg rilfe n we rden. Wir hatten dort in G I. (7.14) de n Verschieb ungsansatz hergeleitet zu

(9.20)

Es wurde weiter auc h schon dargelegt dass das Dreieck -Element unter Verwendung von Flächen koordin aten einfac her zu behan del n ist. Für das im Bild 9.5 geze igte Element kann folgen de Bezie hung zw ischen de n kartesischen Koordi naten und de n Flächen koordin aten hergeste llt werden:

x = x I +~1(X 31 - 1;2' X32)

(9.21)

Y =Yl +1;1(Y31 -1;2 ' Y32)

,)

y

--'Qj--

b)

,,

Bild 9.5: Dreieck-Scheiben- Eleme nt a) dynam ische Knotengrößen b) Flächenkoo rd inaten

9 FEM- Ansatz für dy nam ische Pro ble me

2 10

Wi rd nun in der vors tehende n GI. (9.2 0) die Variab len x und y durch eben diese Bezieh ungen ersetzt, so w ird ers ichtlich. dass neue Ansatzfunktio nen

auftreten. Führt man fern er noch die in G I. (7.36) über die Jacobi-Matrix hergestellt e Transfor mat ion ein. so laute t die an das Dreieck·E lement ange pass te Berech nungsvorschrift GI. (9.7) jetzt m =

"

p. tf fG I 00

· G det J d~l ds z .

(9 .23)

Die Determi nante der Jacobi-Matrix ist dabe i gegebe n als

iJx

iJx

Jy

dy

det J (x. y ) = _ . _ - _ . -

"SI "S' "S' "SI

= - ( x3 1 - 1; 2 . x32)Y n ' SI + x32 ( Y3J - 1; 2' Y32)

S'

(9.2 4)

=2A'SI . Berück sichtigt man d ies in GI. (9.23) und fü hrt die Integration durch. so er hält ma n getrennt für die x- und y- Ric htung a ls Eleme ntmassenma trix

,

2 I

1:

1 2

1'

I

2 '

1

,,

( x - Richtu ng )

0

, ,, ,,

p ·A ·! nt = - - - ------- r------12 1 I 12 0

(9.25)

2 I ( y - Richtung )

: I

1 2

Da bei der Programm ierun g de r Elementsteifigkeits matr ix mei st abe r eine ande re Freihe itsgradzuo rdnung gewä hlt w ird, ist es e rfo rde rlich. die vorstehende Matrix noc h umzu sortie ren . Dies führt dan n zu der Matr ix 2 0

0

I

0

I

0

Üt

2 0 1 0 1 vI 2 0 1 0 ü2 1 0 2 0 1 v2

p.A · I 1 01 = - - 12 0

0

I

0

0

1 0

I

0

2

1 0

(9.26)

0 ü3 2

v3

ln Ergä nzun g zu den vors tehe nden Massen matrizen se ien im Bild 9. 6 noch einige Elem entmasse nmat rize n für e ine Sc hwingungs richtu ng angegeben.

9 .2 Ele mentmassenmatrizen

2ll

Eleme nt

Massenmatrix

",

Recht eck·Scheiben-E lement

-

-

(21

m =~[~

GJ

36

-

-

üJ

yl Q) L _

"2

ti )

2

I

ü~

2

4

2

I

I

2

4

2

2

I

2

4

@)

x

Quader- Volumen-E lemenl

y, ü2 _

- -/ W

!cZ)

(6)

(j)

0) 1

/

/

/

-

(J)

..... - - - -- -

- -4) -x

(K'

z:

ül

Üz

ü3

ü~

Üs ü6 Ü 7 üg

8

4

2

4

4

2

I

2

4

8

4

2

2

4

2

1

2

4

8

4

I

2

2

4

8

2

2 1

4

p:V 4 m= - 21 6 4

2

4

2

1

2

8

4

2

4

2

4

2

1

4

8

4

2

1 2

2

4

2

2

4

8

4

I

2

4

4

2

4

8

ül ü2 ü3

ü~

I

1

I

2

Tetraeder- Vo Iunte n-Element

@

-

ÜI

zl

CD

--- ---

Y

lL."_

-

-

m = ~[~ 20

I

1 2

I

1 1

I

1

2

I

Cil

öl

x

Bild 9.6: Katalog einiger Elem entmassenmatrizen für lineares Elem entverhalte n (n ur xRichtun g)

9 FEM-Ansatz für dynamische Probleme

2 12

9.3 Dämpfungsmatrizen Die vorstehende GI. (9. 11) wurde unter de r Vora usse tzung aufgestellt. dass Dämpfung in e iner Strukt ur vorhanden ist und dass die Dämp fungsmatrix w ie eine Masse n- ode r Ste ifigkeitsmatri x zu bestimm en ist. Auf die dabei auftrete nde n Probleme wo llen wir in diesem Kapitel kurz e inge hen. Zunäc hst g ilt es zu klassifizieren. we lche Dämpfu ngskräfte überhaupt auftreten. Hierzu kann d ie fo lgend e Eintei lung gefunden werden mit - Struktur- ode r Hysteresekräfte. d ie aus de r innere n Materialreibung resu ltieren, - Coulomb-sehe Reibung an den KontaktsteIlen (z. B. Sc hraube n)

""cl

- viskose Dämpfu ng in gegebenenfa lls angeb rachte Tilger. Prinzipiell sind diese dre i Mecha nismen im Bild 9.7 an einer Struktur an gedeutet.

Scheihen-Elemente

;/

Kontakt-Elemente

Substruktur II \ Struktur- oder Hysteresedäm pfung

I lauptstruktur

[ ~;w,

jw

(I)

J

viskose Dämpfi n

,;

Bild 9.7: Schwing fähige Struktur mit Dämpfungselementen

Meist treten in größe ren Str ukturen alle drei Mechanismen zug leich auf. Im Sinne einer mög lichst einfachen Behand lung de r Dämpfung und einer gu ten Lösbarkeit der DGL beschränkt man sich aber überwieg end nur auf die Berücksichtigung der viskosen Dämpfung. Gegebenenfalls w ird diese so angepasst. dass die viskose Dämpfung de n g leichen Energ ieverzehr bew irkt, wie der eigentl iche Dämpfungsmechan ismus. So ll nun in einer Berech nung die Dämpfung berücksic htigt werde n, so hat man de n Fall zu unterscheiden. dass jedes Elemen t einer quas i verte ilten Dämpfung unterliegt oder e ine konzentrierte Dämpfung an einem Knoten wirksam w ird. Für den erste n Fall hab en wir mit G I. (9.8) bere its eine Vorschrift gefunden. w ie man die Elementdämpfungs matrix aufzubauen hat. Wenden w ir hierauf de n Zusammenbaua lgor ithmus an, so ergibt sich mit C = A I · C· A

(9.27)

9.4 Eigenschwingungen ungedämpfter Systeme

213

die Strukturdäm pfungs mat rix. Wirkt hingege n mit - y . W k noc h eine zusätzl iche Dämp fungskraft. so ist dieser Dämpfungsante il in d ie Diagonale der Matrix C auf den Platz (kk) zu addieren. Wie wir so m it erke nnen , ist der Einbau einer viskosen Dämpfung in den finiten Formalismus ein le ichtes Unterfangen. Der große Nac hte il ist dabe i, dass die Strukt urdäm pfungs matr ix C keinen d irekten Bezug mehr zur 1\1 - ode r K-Matrix aufweist. Dies ist inso fern problematisch, da die so genannte Diagonalisierung von G I. (9. 11), welches einer Er nkopplung der Schw ingungen gleichkommt, ein wicht iges Lösungsprinzip für die dynamische Stru kturanalyse darstellt. Man hat deshalb Ab hilfe ersonnen, zu der beispie lswe ise d ie Annahme einer strukturproportionalen Dämpfung ge hört. Verein fachi setz t man hier die Dämpfungsmatr ix als linear abhä ngig von der Massen- und Steiflgkeitsrnatrix in der Form tA RG 88/

C =a , K +ß · M

(9.28)

Der Vortei l diese r vergebensweise ist da rin zu sehen. das s m it der Diagonalisierung von K oder M. wie späte r gezeigt werden wird. auc h die .modale C-M atrix" diagonalisiert wird. Für die Parameter c und ß sind entweder Erfahrungswerte e inzusetzen oder geeignete Var iat ionen zu machen. In der Litera tur werden für diese Parameter Größeno rdnungen von 2-5 % für Strukturdämpfung", bis 8 % für Reibungsdämpfung von versc hraubten Metallstrukturen und bis 20 % für aktive Dämpfungselemente angegeben.

9,4 Eigensc hwing unge n un ged ämpftcr Systeme 9.4. 1 Gle ichungssystem Im folgende n Kap itel wol len w ir uns mit der Besti mmung der Eigen freq uenzen und Eigenvektoren (Moda lanaly se ) von ungedämpften Schwingungssystemen auseinandersetzen . D iese Aufgabe ist insofern grundlege nd. da bei den so genannten modalen Verfah ren zu r Er· rnlnlung der dyna mischen Antwo rt erzw ungener Schwingungen d ie Eigenve ktore n eine gr und legende Rolle sp ielen. Des We iteren geben uns auch die Eige nfrequenzen eine wichtige Information über das Systemverhalten unter Anregung. Die Bewegun gsgleichu ng eines ungedämp ften Schwingungssyslems lautet :

M · Ü +K · U =O .

(9.29)

Dies ist vom Typ her eine homogene lineare DG L m it konstanten Koeffizienten, für die gewöhnlich de r Lösungsansatz 'l

U = X · e P ", X ·exp(p 't)

.) Anmerkung:

Form el

von Lehr

.. )

für gedämp fte

(9 .30)

Eigenfrequenz w[) '"

~

W

(I; - 0.02- 0,OK bei Mc-

talte nj.dh. Wo .. O.'N W

n) Anmerkung zur Differenziation von GI. (9.30): i l '" p . .x . e P ' I == p ' ( I, f; == p 2 . X . c P I == p 2 . I "

9 FEM-Ansatz für dynamische Probleme

2 14

herangezogen wird. Setzt man diesen in G I. (9 .29) ein, so wird die vorstehende DG L in das algebra ische Gleichungssystem (9 .31 )

überfü hrt. Bei der Diskussion d ieser Gleic hung ist d ie triviale Lösu ng X = 0 (Ruhezustand) nicht weiter von Interesse. Nichttriviale Lösungen erh ält man somit nur filr d ie versc hwindende Koeffizientendererminante (9.32 )

Die Entwic klung dieser Determinante als

de t

p 2 . m 12 + k 12

p2 ' m 13 + k n

p2 ' 1TI 22 + k n

p 2 'nl 2J +k 23

=0

p2 - In3) + k J3

führt auf ein Polynom n-ten Grades in p2

(')"

bn " p

('rJ

+ b n - 1 " \p

(9.3 3)

+· · · + bo = O.

welches als charakteristische G leichung bezeichn et wird. Diese Gleichung hat n von null verschiede ne Lösu ngen in p2 . Aus jeder Lösung kann noch die Wurzel den. sodass letztlic h 2 n-Lösungen in p vor liegen.

±N

gezogen wer-

Um den Aulbau der charakteristischen G leichung etwas besser verstehen zu können. wo llen wir diese einma l für nur ein schwingendes finites Element aufstellen. Ausgangsbeziehung ist hier die Determinante

dOl

mu

+ k 12

p2 ' lll l1 + k 11

p2 .

p 2 . m 21 + k 21

p2 .m 22 +k 22

= O.

(9.3 4)

Entwic kelt man diese aus

und so rtiert die Te rme, so führt d ies zu (mi I ' m 22 - m 2 1 . m I2 ) ' +

~2J + (m l1 . k 22 + m 22 . k 11 -

Iku . k 22 - k 21 . k 12 ) = O.

m 21 . k 12 - nl 12 ' k 2 dp2 +

9.4 Eigenschwingungen ungedäm pfter Syste me

215

Überträgt man nun d iese Aussage auf einen Schwinge r mit beliebig vielen Freiheitsgraden, so ist mit Rückblick auf GI. (9.32) folgender Zusammenhang

zu erkennen. Um weitere Erke nnmisse über den Charakter der Lösung p 2 zu gew innen, wollen wir die konventione lle Bearbeitung eines 2-Masse n-Sc hwingers (s. Bild 9.8) hier einmal einsc hieben. Für diesen gelten die folgenden Beziehungen:



", -I

. "

(pexl ,

-

p, im ) + 2 U , - U ,-ru- '

(9. 126)

Die zuvor erläuterten Ansätze entwickeln somit die Lösung zum Zeitpunkt 1 + ß' aus der Lösung zum Zeitpunkt I, weshalb man hier von explizierter lntegroüon spricht. Dem stehen Verfahren gegen über. die Gle ichungen sofort zu einem Zeitpunkt f iterativ lösen. die dementsprechend implizite Integrationsverfahren (z. B. nach Houbolt, wllson, Newmark ) benannt werden. Stabilität des zentralen Differenzenverfahrens Das Integrationsverfahren nach der zentralen Differenzenmethode ist nur bedingt stabil, d. h., der Zeitschritt ßI darf einen bestimmten kritischen Wert ß/hit nicht überschreiten. Um dies zu erläutern, wird vereinfacht e in \.FHG. System angesetzt . Die Bewegungsgleichung lautet für diesen Fa ll:

m.u, + C . LI , + k 'u,=

F, .

Mit Einfüh ung r des Lehr' schen Därnpfungsmaßes weiter

(9. 127) ~

und der Eigenkreisfrequenz (0 folgt

(9 .128)

Werden die Geschwindigkeit und d ie Beschleunigung wieder als zentrale Differenzen eingeführt

(9.129) I u, = - -,(Ul+ ru-

2

~f

- 2 LI , + u,_/j,j )

(9. 130)

und in d ie Bewegungs-Dfll. eingesetzt. so erhält man 2 _ (02· ß I 2 \ - 2 ~ w . 11 1 ßf2 = \ + 2 ~ ci - ßt u/ - \ + 2 ~ co . d 1 u/_/'"t + I + 2 ~ ro. ß 1 • p, . Diese Gleichung muss nun in die Matrixform

(9.131)

244

9 FEM-Ansatz fü r dynamische Probleme

- : : ~ ~o : ~;] .[ ", ] +[1 + 2~/:. ~/] . P' (9.132) 0

u / _ ß/

A

",

(9. 133)

+

überführt werden. Die ei ngeführten Ausdrüc ke bezeichnen hierbei A Ze itintegrationsoperator L.. Lastoperator. Für den

I III · t e n

Ze itpunkt unter der belieb igen Anfangsbedingung

Ll O

und ohne einwir-

kender äußeren Belastung (L . PI = 0) folgt dann

Die Stabi lität einer Lösung verlangt. dass der größte Eigenwe rt der Matrix kleiner oder gleich eins (lA! =:;; 1) ist. Wenn das betrachtete Minimalsystem noch dämp fungsfrei ist, können d ie Eigenwerte") bestimmt werden aus (9.135a) d ies führt zu

(9.136) Aus der quadratische n Gle ichung

finden sich die beiden Eigenwerte zu

(9.137 )

Für den Grenzfall lAJ ::; I ergi bt sich als kritischer Zeitsc hritt

(9.138)

' ) Anmerkung: Zur Lösung von GI. (9. 135al

~

, ') , J

2 - 01- ·;\ 1

- ).:

- I _

--------------r---- - 0 1

! 0-

(9, 135b )

9.8 Lösung der Bewegungsgleichun g

245

Bei e inem gedämpften System erhielte man stattdessen (9. 139)

Um die eingehende Eigenfreque nz einma l beispielhaft abzuschätzen , se i hier ein e infaches Stab-Modell gewählt.

p, A. E

~' I-

CD --+1===9 .

L

-I

m ]

=?i .(p A L)

• Q)

",

mz =

?i .(p A L)

Bild 9.21 : Längsschwinger mit einem FI-lG pro Knoten bzw. diskretes Model l Hierfür lautet die Massen- und Steiflg keitsrn atrix:

K =E~A [ I

- I

Die Eigenfrequenz wird ermittelt aus

(9. 140)

bzw.

r

·A

det

L

1 - -Ap · A· L

2

- -E·-A L

(9. 141 )

Der Wurzelausdruck beze ichnet die Wellenau sbreitungsgeschwindigkeit c in einem homogene n Werkstoff. Somit kann der kritische Zeitsch ritt auch angegebe n werden zu

9 FEM-Ansatz fü r dynamische Probleme

246

(9. 142)

2":"

(9. 143)

s , $ -L .

(9. 144)

0) =

L

oder

c

Diese Ung leichung wird allgemein als C FL-Bedingung nach Couran t. Friedrichs und Lewy bezeic hnet. Physikalisch beschreibt ß/ die Zeit, die eine Welle im betrachteten Material braucht. um von einem Knoten eines Elementes zum ande ren zu gelangen. Die vorstehende Absc hätz ung gilt für Stab- und Balkenstrukturen. Bei ebenen Strukturen, z. B. in Scha len, bestimm t sic h die Wellenausbreitun gsgeschwin digkeit zu

0 =

~ vP(i - vf

(9. 145)

Die charakteristische Länge L ist dann aus de r Schalenfläche A s und de r größte n Element kantenlänge Lma\ zu bilde n:

AS ·- . L ma\

L =-

(9.146)

Dami t w ird als Problem s ichtbar, dass das klei nste Element die Rechen zeit do miniert . Um d ies zu verhinde rn, so llte be i dy namischen Berechnungen mit möglichst großen Elementen bzw. gleich gro ße n Elementen gerec hnet werden. Sind aus irgen dwelchen Gründen jedoch kleine Elemente erforder lich, gre ift man in der Prax is zu einer Massenskalierung. Hiermit ist d ie fiktive Erhöhung der Dich te gemeint, und zwar

Pn =

(.6.1I. icl)2. E L min i (J - v 2 )

(n '" ab i-ter Zeitsch rin) .

Dies hat auf die el asted ynamis chen Effekte keinerlei Aus w irkungen.

(9.147)

247

IO Grund gleichungen der nichtlinea ren Finite-Element-Methode Bei der vorausgegangenen Formulierung der FE-Methode wurde angenommen. dass die Verschiebunge n einer Struktur klein sind und sich der Werkstoff linear elastisch verhält. In der finiten G leichung K ·U=

r

macht sich diese Linearität so beme rkbar, dass bei e iner Laststeige rung auf u . P auch die Verschiebungen um c . U zuneh men. Hiervon abweiche nd treten in de r Praxi s häuti g aber auch nichtlineare Materialprobleme (Plastizität, Kriechen) und geometrisch nichtlineare Probleme (Instabili tät) auf. Wir wollen nun im Sinne einer Abr undu ng der Elastostatik auf diese Problemkreise ebenfalls noch kurz einge hen. da derartige alternative Berech nungen in der Anwendung fe HE 881 imme r w ichtiger werden .

10.1 Lösu ngsprinzipien für nichtlineare Aufgaben Übertragen auf die hier zu behande lnden Aufgabe n kann ein nichtlineares Gleichungssystem in der folgenden Form

" (U) = R(U) - P = K (U) · U - P = 0

(10.1)

dargeste llt werden . Hierin bezeichnet R(U) die den Elementspann ungen in einem bestimmten Zustand entsp rechenden inneren Knotenkräfte und P wieder die äußeren Kräfte. Man sieht. dass d ie Knotenkräfte durch eine zustandsabhä ngige Steifigkeit smatrix gebildet werden . Insofern ist auch die vorstehende Gleichung nicht d irekt lösbar. sondern kann nur iterativ ge löst werden. Gemäß der Zielsetzung. nur einen eingeschrän kten Überblick über nichtlineare Probleme geben zu wollen, beschränken wir uns im Folgenden au f zwe i Lösungsprinzipien (s. hierzu auch IZIE 75f): Die direkte Iteration. be i der von folgender Gleichung ausgega ngen wird:

K (U) · U = P.

(10.2)

Nimmt man hier mit U = "u e inen sinnvo llen Ausgangszusta nd (z. B. aus einer linearen Rechnung) an. so ergibt sich mit ( 10.3)

ein erster Nähe rungswert . der durch sukzess ives Einsetzen in

nU= K(n- l ut · 1'

( 10.4)

248

10 Gru ndgleic hungen der nichtl inearen Finite-E lement-Met hode

we ite r verbessert werden kann . Die Iteration wird gewöh nlich abgeb roc hen. wenn die Zusta ndsä nderunge n ge mäß

I" U- n- l

ul ~ ß ' ßU

(wob ei ß c-c l )

klein sind. Demzufo lge w ird

"u

( 10.5)

als Lösung des G leichungssysterns angesehen.

Das Iterationsve rf ahren nach Newton- Raphson geh t davon aus, dass mit U = stetige Nähe rungs lösung für <J>(n

"u

eine

u] vorliegt und mit e iner nac h dem ersten Glied abge-

broch enen Taylor 'sehen Reihenentwic klung ( 10.6)

e ine bessere Lösung ge funde n werde n kann. Hierin beze ichnet ( 10.7)

d ie so ge nannte Tangentenstclflgkelrsrnatrlx: diese kann weiter auch ben utzt werden. die Sch rittweite (fo lgt aus G I. ( 10.6» des Lösungsverfahrens

( 10.8)

zu ste uern. Als Nachteil beider Lösungsverfah ren gilt, dass in jede m Iteratio nsschritt d ie Ste ifigke itsmat rix ne u bestim mt und ein lineares Gleichungssystem gelöst werde n muss. Um d iesen Aufwan d zu red uzieren. wird meist programmtech nisch e in modifiziertes NewtonRaphson- Verfahren real isiert. bei dem mit ei ner konstanten Steig ung ap pro ximiert w ird. Diesbezüglich w ird d ie Tangentcnstei flgkeitsrnatrix auf den Ausgangsz ustand ( 10.9)

fest bezogen. Für d ie Sc hrittwe itensteuerung erg ibt sich som it ( 10. 10)

Es kan n j edoch zweck mäß ig sei n. im Laufe der Iterat ion d ie Sc hrittweite zu ändern. demnach muss eine neue Tangentensteitigkeitsmatrix K T (n ang esetzt werden.

u] normi ert und in G I. (10 .10)

10.1 Lösun gsprinzipien für nichtlineare Aufga ben

24 9

c)

a)

j

K(U) · U =P

Gleich:~wicht ~

R(U )

P

~-~-~,~-----, j

,'7

, ~ .

10 W °u

u-

bl

Bild 10. 1: Iterative Lösungsverfahren mit ko nvergierende m Ve rha lten nach IA RG 871 a) d irekte Iteration b) Newton- Raphson- Verfahren c) modi fiziertes Newto n- Raphson-Verfa hren

Am Kon vergenzverhalt en wird in etwa de utlich. dass das New ton -Rap hson -Ve rfah ren besser und schneller ko nverg iert als das d irekte Iterationsverfah ren. Dem Vorte il des modifi zierten Nerwon-Raphson-Ve rfahrens mit e iner konstant en Tangen tensteifl gkelt smatr!x arbeiten zu können. steht allerd ings oft eine langsame Kon ver genz entgegen. Durch die Einfü hrung eines zusätzliche n Überr elaxation sfaktors c z 2 . mit dem der Korre kturwert multipliziert w ird. kan n das Kon vergiere n beschle unigt we rde n.

n .6U

O bwo hl für die beiden ge nann te n Ver fahren konvergentes Verhalten nachgewiesen we rden ka nn. zeigt die Praxis. dass de nnoc h Fälle auftreten. wo ke ine Lösung erm ittelt werde n kan n. In de rartige n Fällen führ en dann inkrementetle Verf ahren [ Euler. Runge- Kutte 2. Ordnu ng) sicherer zum Z iel.

25 0

10 Grundgleic hungen der nich tl inearen Finite-E lement-Met hode

10.2 Nichtlineares Elastizit ätsve r halten Bei ein ige n Material ien. wie Nfi-Metalle und hoc hfes ten Stä hlen. ist das Materialverh alten mehr oder weni ger nichtlinear. wes ha lb das Hcoke'sche Gesetz entweder nur bed ingt gült ig ist oder überhaupt nicht zutrifft. Einige derart typische Ve rläufe ze igt das Bild 10.2. A ngenomme n sei dabei, dass Bautei le aus diesen Materialien bis zum Bruch be lastet werden kön nen . ohne dass groß flächiges Fließen m it einem unbesti mmten Spannu ngs- Dehnu ngsZusammenhang vorkomm t.

t

c

' Rp

I = hoch fester Stah l (E 360, S 46 0 NL) 2 = verfestigender Stah l (5 355 JO) 3 = M , Al

Bild 10.2: Nich tlinea re Spannungs-Dehn ungsgesetze

Um die a uftretende N icht linearität erfassen zu kön nen. müssen wi r d ie maßgebende G leichgewichtsbed ingu ng zus tandsabhängig form ulieren und deren Erftlllung verlangen. Zu diesem Zweck gehen wir noc h ein ma l zu rüc k zu Kapite l 3.4 und übe rnehmen von dort die aus dem Prinzip der virt uellen Arbei t hergeleitete G leichgewichts bez iehung

Jöel' adV= ö' U. P . V

8 t UJ RI . adV=ö ' U . I' • V

wo raus ( 10. 11 )

fo lgt. Da GI. ( 10. 11) für jedes Material verhalten streng gültig ist. nehmen wir hie rin d ie Spa nnunge n nunme hr dehnungsabhängig an zu

10.2 Nichtlineares Elastiz itätsverhalten

o

e

o fe}.

25 1 (1 0. 12)

womit wieder de r Bogen zur Ausg angsg leichung ( 10.1) geschlagen ist und so auch d ie dort diskut ierten Lösungsverfahren • mit Ausnahme der direkte n Iterat ion . angewandt werden können. Zu diesem Zweck form ulieren wir noch einmal die T angcntensteifigkeit smatrix für d iesen Fall zu ( 10. 13)

worin j etzt mit E T = d a(& )/i.!f: der Tangenten-E-Modul eingeführt ist, den man mate rialabhängig aus dem Spannungs- Dehnu ngs ver laufam R p-Punkt best immen kann. Z u dem geze igte n Ansatz werden in der Literatur noch zwe i spezielle Modifikat ionen angeführt, und zwar das Verfahren der so gen annten Anfangsspannungen und das Verfahren der Anfangsdehnungen. Das A/~fangssp(llllllmgsvelf(lhren geht davon aus, dass das Materialgesetz von GI. (10. 12) auch in der additiven Form ( 10. 14)

darzustellen ist und alle Material nichtlinea ritäten durch einen sepa rierte n Spannungs zustand o N(e) erfasst werden können. Diesbezüg lich hat man es mit einer teillin earen Lösu ng. mit einer konstanten Elastizitätsmatrix E und einem noc h auszubalancierenden Kraftterm RN =

fßt · a N(&) dV

(10 . 15)

v

zu tun. der gemäß der G leichgewichtsbed ingung zu bestimmen ist. Das weiter noch angeführte Anfangsdehnungsverfahr en wird dann benutzt. wenn für ein Material nur der implizierte Zusammenhang E = E(a) zwischen den Verzerrun gen lind den Spannungen formulierb ar ist und insbesondere Dehnungsgrenzen das Versage n eines Bauteils (Rissbildung) kennzeichn en. Die prinzipielle Berücksichtigung einer Materialnichtlinearität soll das im Folgenden dargestellte kle ine Beispiel e iner Kragscheibe (s. Bild 1004) ze igen. dem einmal ein linea res und ein anderes Mal ein nicht lineares Modell zu G runde liegt. Als Materia l sei S 355 JO (ehern. St 52· 3 U) ange nommen. von dem im Bild 10.3 das wahre o-e-Dia gramm aus einer Messung an Normproben geze igt se i. Bis zur Fließgrenze Re '" 400 N /m m 2 liegt rein linear e lastisches Verhalten vor, Danach wird deutl ich verfest igendes Verhalten sichtbar. Dieses wird er fasst. in dem die not wendige Kraft auf den tatsächl ichen Querschnitt (verände rlich durch Q uer kontraktion) bezogen wird .

252

10 Grundgleichungen der nich tl inearen Finite-E lemen t-Met hode

Programmtechnisch w ird dieser Verlauf du rch Angabe von Zahlen paaren sichtigt, zw ischen dene n da nn interpoliert we rde n kann.

O"j .

Ei berüc k-

STRESS STRAIN DATA

2S

sn

->

~

.>

/

o.00

o

10 %

20%

30%

35 %

*ST RA IN* Bild 10.3: Plot der gespeicherten wahren Spannu ngs- Dehnungskurve von S 355 JO (Spannungen sind auf e ingeschnürtem Q uerschnitt bezoge n)

Die Auswertung zweicr Rechenläufe zur Kragsche ibe zeigt das we itere umse itige Bild 10.4 durch Angabe der cha rakterisierende n Iso linien, um insbeson dere d ie plastisc hen Bere iche eingrenzen zu kön nen. Bei der Annahme linear elast ischen Verha ltens rechnet das Programm nur ent lang der Hec ke-schen Geraden ( lngen ieurspan nungen ) und we ist d ie folgenden Ergeb nisse auf: (JcI

= 929 NImm 2 ,

Ecl = 0,0399 = 3,99 % , w maxer = 0,6 mm (Durchbiegung an der Krafteln leltungssrelle). Dass dies nicht real sein kann. vermitte lt uns unser inge nieurw issenschaftlicher Verstand, da d ie Nor mwerte (ReH = 355 N/mm 2, R m = 490 - 630 N/m( 2) viel tiefer liegen.

253

10.3 Plastiz ität

;

a)

/

I I I I I

I::'

/

0)

F = 30.000 N, E = 2 10.000N/mm2. L = 100 mm. B = 50mm, T = IO mm Bild 10.4: FE-Ana lyse e iner Kragscheibe a) linear e lastische Spannungsverte ilung (Hooke'sehe Spann ungen) b) zugehörige Dehnungsverrettung (Hooke'sche Dehnungen) c) nichtlinear elastische Spannungsvertei lung (Cauchy-Spannungen) d) entsprechende Dehnungsverte ilung (Hencky-Dehnungen)

Berücksichtigt man stattdessen das reale Spannungs-Dehnungsverhalten. so fuhrt d ies zu den fo lgenden Ergebn issen: (I 11]

= 557 N/mm 2 •

EIII

= 0. 103 ", [0.3%. w m 3,\

n

= 2.43 mm .

Die Verhältnisse sind somit nicht nur quantitativ. sondern auch qualitativ ganz anders zu bewerten. weshalb in vielen Fällen das tatsäch liche Materialverhalten entsche idend fllr eine Schädigungsbeurte ilung ist.

10.3 Plastizität Im Gegensatz zum nichtlinearen Elastizitätsverhalten ist plastisches Verhalten durch einen nicht eindeutigen Span nungs-Dehnungs-Zusamme nhang gekennzeichnet. Insofern ist Plastizität durch das Auftreten von großen Verzerrungen charakter isiert. die die nach einer Bauteilentlastung eingeprägten Verzerrungen konservieren.

Betrachtet man beispielsweise ein Bauteil unter e inachsiger Belastung. so gibt ein nichtlineares Materialgesetz noch keine eindeutigen Hinweise auf nichtlinear elastisches oder plastisches Materialverhalten bei der Belastung. Der Unterschied wird erst bei einer Entlastung sichtbar: Bei nichtlinear elastischem Verhalten fallen Be- und Entlastungskurve dicht zusammen. während bei plastischem Verhalten eine von der Belastungsgeschichte

254

10 G rundgleichungen der nichtl inearen Finite-E lement-Met hode

abhängige Entlastungsk urve auftri tt. Im folgende n Bild 10.5 sind e inige typi sche Charakte ristiken dieses Verhaltens dargestellt .

a)

t

b)

c

t c Belastung

Entlastung

E-

E)

t

o

Epl

E-

, ,, , , , , o = a [Er l) E-

Bild 10.5: Einachsiges Spa nnungs- Dehnungsverhalte n (nach lO D E 721) a) nichtlinea res e lastisch- plastisches Verha lten b) linea r e last isch-ideal-plastisches Verhalten c) linear elast isches Verhalten mit Verfestigung im plastischen Bereich

Einige wenige Materiali en verhalten sich idea l-plas tisch. d. 11., bei einer bestim mten Fließspannung R e werde n die Dehnungen unbegrenzt und unbe stimmt anwachsen. Unterhalb der Fließgrenze können entweder linear oder nichtl inear e lastische Verhä ltnisse vorkommen. Diese Modellvor stellung ist zwar einfach. jedoc h von der Realität weit entfernt. da di e klassischen Konstruktion swerkstoffe {St, A l. Mg. Ti) sich verfes tigend ver ha lten. weshalb auch nur dieser Fall (im Bild c) hier betracht et werden so ll. Vor Darlegung des plas tischen Rechenalgorithmus so llen zunächst die Vorstel lunge n des Fließ ens weiter kon kretisiert werde n: Wenn e in einac hsiger Spann ungszus tand (z. B. Zugstab) vor liegt. so ist Fließen ei nfach abzusc hätze n. wie 0 1 < R c ' da nn elastische Verhält nisse 0 1 = R c , dann Fließen.

255

10.3 Plastiz ität

Bei auftretenden mehrachs igen Spannungszustände n sind die Verhältnisse nicht mehr so übers ichtlich. da die Zonen des Fließbeginns nicht sofort e ingrenzba r sind. Folgerichtig muss d ie vorstehende Relation vera llgemei nert werden. wozu eine beanspr uchungsubhäng ige Größe F als Funktion des Spannungszust andes lind des Verfestigungsexponenten IC herangezogen wird. Weiterhin ist eine Konstante k erfo rderlich. welche die Widerstandsfähigkeit (in Abhängigkeit von der Fließgrenze) des Werkstoffs beschre ibt. Die vorstehende Relation ist demgemäß anzusetzen als F(a . !C ) < k , dann e lastische Verhält nisse, F(a. !C ) '" k , dann p lastische Verhältni sse.

(10 . 16)

Ohne Führu ng eines Bewe ises kann über die Zerlegung der Verzerrungen in e lastische und plastisc he Antei le ( 10. 17)

und einiger Annahmen (isotroper Werkstoff und Volumenkonstanz) letztlich eine elastoplastische Elastizitätsmatrix

best immt werden , mit der wiede r e in Spallllungs-Verzerrungszusammen hang gegeben ist. Für das Einsetzen von Fließen ex istieren mehrere physikal ische Interpretationen. wie beispie lsweise d ie Bed ingung nach v, Mises :

, F(a) "' - J 2 "' k.

(10 .19)

wobei J 2 die zweite Invariante des Spannungstensors darstellt. Beim Auftreten eines ebenen Spannungsz ustandes lautet d ie Fließbe dingu ng

oder (1 0.21)

entsprechend ergibt sich die Bedingung für den dreiachsigen Spann ungszustan d

~[(O\, - on'? + (o n - 0l.lY + (o n

- 0",)2 + 6

(t,/ + ty! + tl X2)]'" R,/ (10.22)

256

10 Grundgleic hungen der nichtl inearen Finite-E lement -Methode

oder

( 10.23) Die Deutung d ieser Bed ingu ngen zeigt Bild 10.6. Im ebenen Fall handelt es sich dabe i um ei ne Ellipse und im räumlichen Fall um einen Zy linder . Ein Spannungsz ustand ist dann folgende nn aßen zu charakterisieren: Innerhalb des Zylinders liegt elastisc hes Verh alten vor. auf dem Zy linde r plastisches und außerha lb des Zy linders liegende Zustände sind

nicht möglich.

,)

Fließgrenzlinie. plastischer Bereich

elastischer Bereich

'-f

ei nachsiger Druck

~~ °10 °1

einachsiger Zug

~i--*--'-:;~ :::; R,

~!!L E3.!!L

reiner Schub b)

hydrostatische Achse

o

Fli eßzy linder

Fließgrenzt1äche

Bild 10.6: Darstellung der v, Mlses 'schen Fließbed ingung (nach fe HE 89!) a) Grenzlinie fU Te inen ebe nen Spann ungsz ustand b) Fließgrenzfläche fllr einen räumlichen Spann ungsz ustand

'-X

10.4 Geom etrische Nichtlinearität

257

Eine we itere Fließbedingung geht auf Tresca zurück und ist wie folgt definiert : (10.24)

d. h.. Fließen tritt be i e inem kritische n Schubspannungswert ein. Sowo hl v , Mises wie auch Tresca werden bevorzugt für die Metallplastifizicru ng zu Grunde ge legt. Die Teesca-Bedingung wird j edoc h überwiegend in der Umfonn simulat ion herangezogen. Der Rechenalgorithmus beruht. wie zuvo r beschrieben. darauf, das G leichgewicht zwischen äußeren und inner en Kräften herzustel len. Dies muss in einem iterat iven Prozess er folgen. und zwar wie fo lgt: m 1 Pn + -_ [ ill , o nm +l dV

( 10.25)

V

mit (10.26)

Der Index m zäh lt hierbei d ie Iterationen und der Index n den Zustand. Der Zustand emsteht dadurch. dass am einfachsten das WerkstotTgesetz diskret über Paare (c. , fi ) besc hrieben wird. In diesem Fall kann zw ischen zwe i Zuständen {ai' f i ; 0 j . fj } e ine Tangenten-Elastizitätsmat rix E T n _ J = E cl. pJ(a n. f n; a n _ l . f n_ l)

( 10.27)

bestimmt werden. d ie wiederum d ie Berechnung ei nes zweckmäßigen Spannungsz uwach-

'" ( 10.28)

ermög licht. In der Praxis sind derart ige ite rative Rechnungen immer sehr aufwänd ig, da das Gleichungssystem für jeden Iterationsschritt und Zusta nd neu gelös t werden muss.

10.4 C eometrische Nichtlinea rität In den vora usgegangenen Kapiteln haben wir bei allen Prob lemen stillschweigend unterstel lt. dass in den betrachteten Körpern so wohl d ie Verschiebu ngen als auch die Verzerrungen relativ klein sind. FUr e in finites Element bedeutet dies. dass man während des gesa mten Be lastungsvorganges eine sich nicht wesentl ich verändernde Geometrie annehmen kann. für die ein linearer Versch iebungsansatz ausreichend ist. Bei vielen Praxisproblemen treffen diese Vora ussetz ungen aber so nicht zu. sondern es tret en oft große Verschiebungen mit kleinen Verzerrungen auf. Typisch hierfür sind große Formänd erungen.

258

10 Gr undgleichungen der nichtl inea ren Finite-E lement -Methode

Völlig unabhäng ig von diese m Verhalte n muss abe r natü rlich wieder die G leichgewic htsg leichung ( 10. 11) in j edem betrac hteten Zustand ge lten. In Ergä nzung zu den bereits diskutierten G leichungen gilt es jetzt aber, einen andere n Zusammenhang zw ischen den Verschiebungen li nd Verzerrungen zu berücksicht igen. Wi r wo llen diesen hier in der Form ,

,

" IU) = I" · ;;dV - P = O

( 10.29)

v

einführen. Mit dem Dach über der iJ-Matrix und über dem Spannungs vektor 0 sei wieder die funktional nichtlineare Abhängigkeit dieser Größen hervorgehoben. Insbesondere erg ibt sich jetzt die Abhäng igkeit bei der Verschiebungs-Verzerrungs matrix als (J& = B(u) .dd .

(10.30)

Für das nachfo lgende Lösungsverfahren erweist es sic h als problemgerechter. die B -Matr ix in zwei Anteile aufzuspa lten. und zwar wie folgt:

( 10.3 1)

ß (u ) "'B +B N(u ) .

Hierbei soll B das phasenweise lineare Verha lten und ß N(u ) das nichtlineare Verhalte n erfasse n. Die Additivität (Überlagerung zu

ß) entspricht in etwa dem realen Verhalten' ).

Die Lösung von GI. (10.29) kann wieder nur iterativ erfo lgen. Wir wählen hierzu zwec kmäßigerweise das Newton-Raphson-verfahren. Zur Aufbereitu ng des Verfahrens bilden wir zunäc hst die nach G I. ( 10.7) erforderliche Ab leitung

( 10.32)

Weiter ist daz u noch die Spannungsab le itung als (} Ö' = E · B, O .J finiten Elementen kommen die kritischen Lasten in eine Größenordnung. die als exakt bezeic hnet werden kann. Die Knickproblematik am Balken ist somit anders als die Biegeprob lematik einzustufen.

266

11 Wärmeiibertragungsprobleme Schon in der e in leitenden Wert ung der FE· Methode wurde herausgestellt. dass die Methode nicht nur in der Elastiz irätstheoric. sonde rn auch bei Feldp roblemen w ie Wärmelei tung. Potenzial strömung elektrisc her Felder und Magnet ismus anwe ndbar ist. Da insbesondere die Wärmeüb ertragun g im Maschin en- und Fahrzeugba u e ine wicht ige Rolle spielt. wo llen wir in der nachfolgend en Darstellun g auch noch kurz auf die met hod ische Autbere itung dieses Probl emkr eises /SVO 75/ einge hen.

11.1

Physikalische Grundlagen

Die weiteren Ausführungen sollen auf homogene. metalli sche Mater ia lien eingeschränkt bleiben. Demzufolge wollen wir unter Wärm eü bertragu ng d ie Ausbreitu ng von Wärm e in Körp ern cha rak terisieren und als e inen Austa usch von wärmeren mit kälteren Zone n ve rstehe n. Würde bei einem dera rtigen Austausch nicht laufend neue Wärme zuge führt. so würde ei n Ausg leichsvorgang einse tzen. an dessen Ende der gesamte Kör per eine einheit liche Temperatur hätte . Während dieses Ausgleichsvorganges ändert sich die Temperatur an jedem Ort des Kör pers mit der Ze it. Alle Ausgleichs-, AU f11eiZ- und Abkühlvorgänge sind demnach instationäre Wärmeübertragun gsvorg änge (T(x. y, z: r)). Ändert sich da gegen das Temperatur feld ze itlich nich t. so hat man es m it einem stationären Wärmeüb ert ragun gsvorga ng (F(x, y, z» zu tun. Ein derartiger Vorga ng bedarf so mit einer dauem den Wärm ezufuhr, wobei der Körper als Energ ieleiter fung iert. Das Vordringen eines Wärmestroms [e Wärmemenge/Zeit) in einem Körper ist aber nur möglich, wenn ein Temperaturgefäll e vorhande n ist. Der Wärmestrom sucht sich deshalb seinen Weg dort, wo das Temperaturgefälle arn ste ilsten ist. Der Wärmestrom muss darum eine Proport ionalität zum Temperaturg rad iente n01, zur Größe der Ber ührungsfl äche und zur w ärrneleit fähigkeit A des Materials aufwei sen. Diese Überlegung führt letzt lich zur so genannten Fourier 'schen Warmeleitungsg leichu ng ( 11.1)

d ie man auch pro Fläch e beziehen und als Wärmestrorndichte

.

Q

q =-

A

= -1.

aT

an

( 11.2)

angeben kan n. Der ablaufende Vor gang der Wärmeübertr agung kann mit der Strömung von Wasser du rch Kies verg lichen werden. Demna ch en tspricht die stationäre warmeubenragnn g einer Strö-

' ) Anmerkung Ein Grdtlicrll isl negativ. wenn er vom höheren zum nieengeren Potenzial führt. Der w ärmesuom breitet sich mfblgcdcsscn in Ric htung des negativen Temperaturgradienten aus

11.1 Physikalische Grund lagen

267

mung dur ch e ine gesäftigle Kiesschicht und d ie instationä re Wdrmeubertragtmg e iner Strömung durch eine trockene Kiesschicht (s. Bild 11 . 1).

dy

d,

Bild 11. 1: Wärme leitungsana logo n an e inem mit Kies gefüllten Behälter (nach IST E 7 1f) a) stationärer Strömung b) instationärer Strö mung

Die dann bei ei ner statio nären Str ömung durch den Kies in einer Zei teinhei t durchdrungen e Wasserm enge .. dQ '· ist bei dem gezeigten Ström ungspro fil proponional zum Gefa lle

(vT/ ax). zum Querschnitt [dy . dz) und zur Durchlässigkeit (A):

.

ar .

(1 1.3)

dQ = - A· dy ·dz · -

a,

Hingegen w ird bei einer instationären Strömung. im Sinne e iner Sättigung des trockenen Kieses. in j edem Volumen-E lement dem durch strömenden Wasser ein Teil entzogen. Übertragen auf die instationäre Wärm eübertragung w ird a lso dem Wärm estrom dQ au f der Strecke dx de m Volumen-E lement dV = dx . dy dz der Antei l [a(dO Yvx] dx entzoge n. D ies ist gle ich der Tem peraturänd erung vT/v' j e Zeiteinheit e ines Massenelements dm = p . dx . dy -dz m it der spez ifischen Wärmekapazität c, a lso

a(dO)

vx

ar

- - dx = dm · c · -

ar

ar .

vr

= p · c ·dx · dy ·dz · -

(1 1.4)

Bei Anwendu ngs problemen interessiert in der Regel die ze itliche Temperaturänderung vT/vl an einer bestimmt en Stel le im Körper. Diese erg ibt sic h aus der Kontlntdtcusbedingung (quas i Gleichgew ichtsgl eichung). wonach die vo m Vo lumen -Element dV aufgenomm ene Wärmele istun g g leich dem entzogenen Wärmestrom se in muss. Dieser ergib t sich du rch Ab leitung von G I. ( 11.3) zu

( 11.5)

11 FEM-Ansatz für Wänn eübertr agungsp rob leme

268

wora us sich weiter durch Gleichsetzen mit GI. ( 11.4) findet: p -c. dx. dy . dz.

aT d'

(}T

p ,c ,-

dl

= ,,_ a ZT · dx -dy -dz

vx2 a2T , = ", , -

( 11.6)

dx 2

Angemerkt sei noch einma l. dass bishe r nur die x-Richtung berücksich tigt ist. Der nun eintretende Vorze ichen wec hsel tritt auf, weil eine im Vo lumen verbleibende Wärmeleistung e inen Gew inn (+). aber für den Wär meleistungsstrom einen Verlust (.) da rstellt. Da neben einer Erwärmu ng du rch Wärmeübert ragung mitunter au ch noch eine durch innere Wärmequellen erfolgen kann. wollen w ir der Vollständi gkeit halber jet zt auch e ine Wärm equelle ei nbauen. deren innere Warmeleistung anzusetzen ist mit

,

( 11.7)

dQ v - = Q· p · dx · dy· dz.

Darin bezeichnet Q die Ergiebigke it (s pez ifisc he Wärme leistung) einer Wärm equelle. Ergänzen wir dam it die vorstehende DGL ( 11.6). so führt d ies zu

JT

J' T

.

( 11.8)

p ·C·- =A·-+ qy· .

a,

ax2

I

Wir vera llgeme inern j etzt diese DG L. indem w ir berücksic htige n. dass sic h der Wär meleitungsstrom nicht nur in x- Richtung, so nde rn in allen drei Raumric htunge n ausb reiten kann. Die ßilan=gleic/llmg lau tet fllr d iesen Fall:

. '', p'C ' -JT = (, V · I..· V ) · T + qy JI

'

( 11 .9)

mit de r Wärmeleitfähigkeirsmarrix

I.. =

[

,-,

0

0

Ay

o

0

0] o .

( 11 .10)

Az

Zur Lösung dieser Ditferenzialgl eichung bedarf es im We iteren Randbedingungen für de n Körper und gegebenenfalls Anj angsbedingllngen für d ie Tempera tur . lm Bild 11.2 ist zunächst ein Körper gezeigt. für den die wesent lichen randhedingungen angede utet wo rde n sind. Hierzu zählen:

0j

Anmerkung: Nabla-Opcrator: v '

m

[!.~

w ärme übenragungs-

11.1 Physikalische Grund lagen

269

die Tempera turbedingung, d. h.. die Temperatur auf de r Oberfläche muss in einem Bereich gleich der Umgeb ungstempe ratur se in. To =T""

(1 1.1 1)

die Wärmestrombedingung. d . h.• e in Wärmestrom auf der Oberllä che pflan zt sich auf der Normalen zu r Ober fläche in den Körper hinein fort.

,aT .

( 11. 12)

I\.~ =q v .

E

1v.r

,r----:T ' ,T

Oq

T(x.y,z;t)

-,

V

/ Bild 11.2: Wärm eübertragun g an einem Kö rper (nach / BAT 86af)

So llen hingegen noch andere Wänneübertragun gsefTekte (Kond uktion '" Wärm eleitu ng, Konvektion = Wänneüb ergan g, Wärm estrah lung) betrachtet werden. so s ind d ie vors tehenden Randbedingungen aufgabens pez ifisch zu erwe ite rn, um

Temperaturbedingu ngen und Wärmestrombedingungen in bestimmte n Punkten ode r auf best immt en Fläche n. K onvela tonsbedingungen. St rahlungsbedingun ge11, warm ekomaktbed ingungen und - tsotiernngsbedingungen. Eine ents prec he nde Übersicht hierzu gibt Bild 11.3.

11 FEM- Ansatz für Wänneübert ragu ngsprobleme

270 I. Ternperatur-R andbed ingu ng

*' V;

2. Wännefluss-Randbedingu ng

~ \.-- T v

::0

-

q v (x, y. z: I)

n

TiO(x . y, z; t )

q

- qn =qv -j

~

0,

3. w ärrneübertragungs-Randbed.

~ ...- Tv- unbek annt

T, unbek annt

4. W ärmestrahlungs-Rand bed.

1 V T y . unbekannt

[f

T_

•

•

qv = a (T,.,- Tv )

4 q v = cld Ts

~

~, 5. Wärmekontakt

TV 4 )

T s- bekannt /

~

6. Iso lierung

""'" r-r- ~

.=

-

T V2' bekannt

-s

S

~ 4v

=0

"'-'' -''

T V1' unbekannt

Bild 113 : Randbedingu ngen zu r Lösu ng vo n Tem peraturfeldproblemen

Einze lne Randbedi ngu ngen können dabei an Körpern alleine oder in Kombination vor kom men. wodurch eine konventionelle mathe mat ische Lösung äußer st schwierig bis unmög lich ist.

11.2 Dlskretist erte Wänneleit ungsg leich ung

27 1

11 .2 Diskrctisierte Wärmclcilun gsglcichung Der physikal ische Eff ekt der Wärmeleitun g findet nur in festen Körpern. und zwar im lnneren oder an der Ober fläche sich berührender Körper statt. Um hier den Te mperaturverlauf bestimmen zu können, ist es zwec kmäßig, den Körp er in eine Anza hl von finiten Elementen zu unterteilen und das Problem bereichsweise zu lösen. Aus diesem Grunde wandeln w ir die DGL ( 11.9) in die finit e Gru ndgleichung für das Wärme leitungsprob lem um. Hierzu machen wir. w ie in Kapitel 3 dargestellt, vom Galcrkin'schen Prinzip Gebrauch und ste llen für ein Element das fo lgende Funktional

IG'[p ., aT -(V'. l.. vlr] dV- IG' .QV dV= O

v

( I Ll 3)

v

i),

auf. N un machen wir noc h in bekan nter Wei se einen App roximationsansatz für die Temperatur über diskrete Knoten temperaturen. und zwa r mit T(x. y, z: r) = G (x. y, z}. T~ (r ) . Hieri n bezeichnet w ieder G den Ansatzfunktionsve kto r und

( 1L1 4) T~

de n Knotentem peraturvektor

für ei n Element. Setzt man jetzt den Ansat z in GI. ( 11. 13) ein, so erhält man

p - c ] G I . G dv . Te -

V

f [(V .G )1 . ). . (V . G )] dV . Te - f G I . qy dV = 0 V V

( I LI 5)

und hierau s die finite Wärm eleitungsgleichung ( I Ll 6)

Mit GI. ( 11.15) konnten also al le Vorsc hriften zur Erste llung einer d iskreten Wärme leitungsg leichung herge leitet werde n. Wir wollen das Pro blem j etzt erneut erweitern. indem wir den result ierenden Wärmeflussvekto r am Knoten vera llgemeinern in

qc < O,

+

fG' · qy d V

(d iskreter Wänn efluss am Knoten )

( I LI 7)

(verteilter Wär mefluss im Volumen )

V

+ f G 1 · qodO

(verteilte r Wärmefluss auf der Ober fläche)

+ f G 1 .(X . T""dO

(Konvekrionseffekte)

o o

Unter der Annahme, dass homogene isotrope Körper vorliege n, kann G le iches K" = konst. (s pez if. WärmelVolumen ) und A = kon st. für alle Richtungen angesetzt werden. Hierm it kann nunmehr definiert (s. auch IST E 921) werde n:

11 FEM-Ansatz ruf Wänneübertragungsp roblem e

272

die Wärmekapazit ätsmatrix C= KJ G 1 . G dV mit K= p 'C

( 11 .18 )

v

" ud d ie Wünneleinmgsmcurix

f

k = A (V · G) ' . (V . G ) dV + «] G ' . G dO .

v

( 11 . 19)

0

De n wei teren Anteil in der Wärmeleitungsmatrix erhä lt man dabei durch Einarbeitu ng des wärrneübergangs, der weiterhin zw ischen einem Gas ode r Flüssigkeit und eine m Körper bestehe n kann. Der Wärmestrom hat dabei an der G renz lläc he eine n Übergangswide rstan d (0 = Wärmeübergangszahl) zu überwinden. Nac hde m alle Beziehu ngen a uf Elem ente bene gegeben sind. muss man sich wiede r dem Zusammenbau zu eine m Körp ennod ell zuwe nde n. Es se i im Weit eren ange nom me n. dass die verwendete n Element geom etrien ( Knotcnanordnungen ) die gleic he Form ha ben, wie die in der Elastostat ik oder Elastedyn amik ver wendeten Eleme nte, sodass auc h der Zusa mmen bauAlgor ithmus den schon in Kapitel 3 a ufg estellt en Regeln gehorcht. Die Besonderheit da bei ist nur, dass j etzt pro Knoten mit de r Te mp eratur nu r eine Unbekannte 0 ) vorlieg t. Führt man den Zusammenba u dami t ents prechend durc h. so führt dies zu

C. T - K · T = Q .

( 11.20)

welc hes also die Syste mg leich ung des instationären Wärmeteinmgsprobtems darste llt. Verschwindet hierin der transienie Anteil. so reduz iert sich G I. (11 .20) auf da s station äre

Warmeteitungsproblem K ·T = Q .

( 11 .21 )

Wie in der nachfolgenden Tafel des Bildes 11 .4 deutlich w ird. gib t es dabei von der Prob-

lemforrnutlerung einde utige Anal ogie n zur mec hanischen Bauteilanaly se . welc hes sowohl für die Matrizen als a uch d ie physikalischen Konstanten gi lt. Der Grad de r DG Ls ist hingegen niedriger.

"A nmerkung: Dk Temperatur iSI eine skalare Gr öße. die von einem Knoten aus in alle Richtungen mit gtcichcr lr ucusität wlrkt .

Iki clasaomcchanischcn Problemen können hingegen alfc Größen in den drei Raurnricbtungcn unterschiedlich sein. Ffi-Programmc rur die E l a.~l ik müssen deshalb

."•

800 720 640 4 80

Co

400

E ~

I

"

560

:::l

~

s=8

I

320 240

I

I

160

I

80

./

00 0.5

o

s=4 s=O

1,5 2 2.5 3

Zeit in s

I

2

I

3

I

4

I

5

3,5 4

I

6

Weg in mm

I

7

I

8

4.5 5 I 9

I

-

10

Bild 11.7: Knotenpunkt- Ternperatutv erlauf in der Sc hwe ißnaht über de m Weg

11 FEM-Ansatz für Wänneübertragun gsp robleme

278

Weiter gibt Bild 11 .8 lnfonn ationen über den Temperaturver lauf in der Schwe ißnaht und die

augenblicklich initiierte Elememspannung. a)

b)

T = 20 °C

T = 463 °C

T = 537 °C T = 685 °C

au fge schm o lzene s Metall

Bild 11 .8: Ausgewerteter Temperatur- und Span nungsvertauf im Blech (analysiert mit ANSYS) bei s = 10 mm Im Zent rum der ex ternen Wärm eq uelle ist die FE-Berechnu ng a llerd ings sehr unsicher.

279

12 Mehrkörpersysteme In den letzten Jahren hat mit der Entwicklung mechatronischer Systeme der M ks-Ansatz größere Bedeutung erlangt. da er Kinematik. Kinetik und Elastik (EMKS)O) miteinander verknüpfen kann. Mittlerweile kön nen umfangreiche MK S~A n a lysen mit komfortablen Programme n (z. B. MEOY NA, A DA MS~AN YS ) bea rbeitet werden, wobe i die Programme laufend verbessert werde n. Erst die MKS-Theor ie hat Gesam tsystemsimulat ionen (Fahrzeuge. Roboter etc.) im Rechner ermö glicht und die Pro bleme som it einer Optimierung / KNO 961 erschloss en. Weil d ie Anwend ungsb reite zune hmen wird. soll absch ließend noch die Lücke zwisc hen MKS und FEM gesc hlossen werde n.

12.1 Merkmal e eines l\l KS In der Tech nik kommen überwiegend gere gelte Mehrkörpersysteme /LAG 94/ mit defi nierten An- und Abtrieben vor, Diese Systeme bezeichnet man als kinematisch linear. wenn die Geomet rie- bzw . Lageänderungen zw ischen den Einzelkörpern klein bleiben, Nichtl ineare Geo metr ien kommen in der Prax is recht selten vor, Ein Mehrk örpers ystem stellt immer ein mechanisches Ersatzsystem (Modell) einer technisehen Realisierung dar. Hieraus folgt. dass Annahmen zu treffen sind. d ie die ,.realen Verhältnisse' bestmöglich annähern . •.Bestmöglich " bede utet im Ingenleurwesen: so real wie mög lich. einschätzbare Vemachlässigun gen und angemessener Aufwand. Im umseitigen Bild 12.1 ist ein mögliches Mehrkörpe rsystem ang edeut et worden, Diesem lassen sich die folgende n Eigensc haften zuordnen: Es besteht aus e iner endlichen Anzahl N von Kör pern (starr oder e lastisch). Die Körper sind durch passive, mechanische oder e lektromechanische sowie durch aktive Elemente (Antri ebe) untere inander verbunden. Zugleich tret en kinemat ische Bed ingungen durc h Führungen. Lager und Gelenke auf. Die kinemat ische n Bindungen erzeugen Zwänge. d ie die Bewegungsmögli chkeite n des MKS e inschränken.

""d

- Au f die Körper können äuße re Kräfte Fi und Momente Mi (i == I. .... n) einw irken. Wird mit r d ie Anzahl der geg eben en Zwangsbedingunge n bezeichnet. dann hat das MKS den Freiheitsgrad f == 6 · N - r (bei räum lichen Bewegungen ) bzw. f"« 3 , N - r (bei ebenen Bewegungen).

' 1 Anmerkung:

Bei M K S exis tiert auch eine Theo rie der ,./1c\ iblcn 1I.1KS·', abgekürzt EMKS.

12 Mehrkörpersysteme

280 Kupplung Körper

·· ··

.--

"\ ,

Gelenk~

,

" ""

Dämpfer ".

\,

\\.

-. -, ," " ,

...

..,

,-

"-.

:

J

x. I

';

~

'i'Z I

KS)i

$yi

Inertialsystem

:'

Yi

Körper i

Bild 12.1: Verallgeme inertes Mehr körpersystem

Definitionsgemäß he ißt ein Frei heitsgrad akti v. wenn er zu einem unabhängigen Antr ieb gehört. Bei eine m aktiven Mecha nismus (z. B. Roboter) si nd im Allgemeinen alle Fre ihe itsgrade aktiv. Die Freiheitsgrade (F HG) werden dabei von der Ausführung der Ge lenke beein flusst. Gelenke können gewisse Freiheitsgrade sperren und darübe r die Beweglichke it e inschränken. Ein wichtiges Lösungsmerkmal ruf MKS ist der Strukturaufbau (Topologie. s. /WAL 89/): Systeme mit Baumstrukmr: Solche Systeme zerfallen in getrennte Teilsysteme mit Zwang lauf wenn a lle Ge lenke zw ischen einem beliebigen Knotenpaar ent fernt ",'erden. Für derartige Syste me sind d ie Bewegungsg leichungen leicht zu erm itteln. Systeme mit kinematisch geschlossenen Schleifen: Dies sind Syste me, be i denen die zuvo r aufges tellte Bedingung nicht erfüllt ist. Das im Bild 12.1 modell ierte Sys tem hat keine Baumstruktur . Auf dem Weg von der Umgeb ung über die drei Körper zurück zum Ausgangspunkt gi bt es zw ischen alle n Körpern ein Gelenk. Man kann das Syste m nicht in zwe i Te ilsysteme zerlegen , wenn man nur ein Gelenk entfe rnt. Das Aufstellen der Bewegungsgleichungen für kinematisch gesch lossene Schle ifen ist extrem aufwändig, da neben den Bindun gsgleichungen auch noch Verträg lichkeitsbedingungen zu berücksichtigen sind.

12.2 Kinematik von MKS

281

Ziel muss es stets se in, die Kinematik eines MKS durch elementare Gleichun gen der Mechanik ISC H 991 zu beschreiben.

12.2 Kinematik von MKS Die Aufg abensteIlung der Kinematik ist d ie Ennittlung der Lage. Gesc hwindigke it und Beschleunig ung von bewegten Einzelkörpern. Hierbei wird die Lage eines Körp ers durch seine Position und se ine Orientierun g erfasst. Zur Erfassung der räum lichen Bewegung eines Körpers wird ein Referenzkoordinatensystem ( KS)R benöt igt. Weiterhi n ist e in mit dem Körper {z. B. i-ter Körper) fest verbundenes Koordin atensystem (hier (KS)j) erford erlich. Das allgemei ne Kinematikproblem kann insofern auf die Dynamik der Koordi natensysteme zurüc kgeführt werden. Zu beacht en ist dabei aber noch. dass es für d ie Wahl des Referenzsystems zwe i grundsätzlich unterschiedl iche Möglichk eiten g ibt: a)

Das Referenzsystem ist ein Inertialsystem (KS)u ' d . h.• das Koordin atensystem ist beschleunigungsfrei. In der Anwendung wird das ( KS)o in der Regel auf eine nicht bewegliche Basis gesetzt; die Bewegung eines Körp ers wird dann bezüg lich d ieser Basis in Inert ialkoordinaten beschrieben. Das Referenzsystem ist ein Relativsystem. d . h. ein mit einem ander en beweglic hen K örper j des MKS verbundenes Koordinatensystem . Die Bewegung eines Körpers wird relativ zu einem Referenzkörp er beschrieben.

b)

Im Bild 12.2 sind die Verhältn isse zwischen den Inerttal- und Körp erkoordinat en dargeste llt. und zwar für den Punkt P. der sich relati v bewegen soll. Hierin bezeichn en (s. auch /HEI

980' ( KS)o das Inert ialsystem' ) und ( KS) i das Körpersystem.

O , e in körperfester Bezugspunkt und P ein var iabler Körperpunkt; c .xo ' e yo ' e l.O die Einheitsvektoren des (K S)o ; (ojc .xi . (olcy j . (ol czi die Einheitsvektoren des körp erfesten ( KS)i . dargestellt im ( KS)o : der Ort svektor im Inert ialsystem (KS)o ( 12.1)

' 1 A nmerkung:

Inertialsystem - beschleunigungsfreie s Koordinatens ystem

12 Meh rk örpersysteme

282 der Ort svektor im Körpersy stem ( KS)j

( 12.2) Die Koo rdi naten de r Einheit svektoren sind durch die Rlchrungskostnusse gege ben . Fasst man diese Koordina ten zu eine r Matrix zusa mmen . so erhält man die T ransfor mati on smatri x (siehe T in Kap itcI 5.4. I). d ie innerha lb der MK S auch m it Rotations- ode r Drehmat rix (R ) benannt wird:

(12.3) sie beschreibt die Orienti erun g des ( KS)j bez üglich des ( KS)o ' Wie früher scho n bewi esen . ist die Transformat ionsmatrix orthogo na l. d. h., es gilt

( 12.4)

R ·R ' = 1, hierau s folgt auch für die inverse Rotation sm atr ix

( 12.5) Die Bedeutung d ieser Beziehun g ist vor allem da rin zu sehe n. dass die Inversion e infac h auf die Transposition zurückzuführen ist.

p

/--::/"\_IL_B~'h~,nkurve von

P

Körper

\o ) rop bzw . (i) r p

x

(ll)e~ --0-::--;;-+ , /

•

Bild 12.2: lnert ial- und Körperkoo rd inaten bzw. -systeme als Rechtssysteme

283

12.2 Kinematik von MKS

Weiterhin lässt sich in de r Kinemat ik ei ne al lgeme ine Bewegung des Punkte s P als die Übertagerung einer Translation IIl1d einer Rota/ion au sführen. In dem vorstehende n Bild ergibt sich für ( 12.6) Die Gle ichu ng stellt also e ine Koordi natentran sform at ion ( KS)i -+ (K S)o ) dar .

12.2.1

Dre hm atrix

In den vors tehe nde n Skizzen sind scho n rechtsdreh ende Körper-K oordina ten systeme (KSh : eingeführt worde n. Als Zusam men hang (s. Bild 12.3) kann zwisc hen den Koo rdin aten des Punktes P im Inertia lsystem und im ged rehten Koordinatensystem bei einer Drehung 11m die x-Achse angegeben werde n:

( 12.7 )

bzw .

"

YK

Bild 12.3: Elementardrehung um d ie x-Ac hse mit de m Körperpunkt P um den Win ke l l1l,

In analoger Wei se findet sich die Drehmatrix für d ie Elementardreh unge n um die y- und zAchse:

( 12.8)

- sin 4>, cos

4J,(

o

( 12.9)

284

12 Meh rkörpersysteme

Zusammengesetzte Deh nungen können j etzt in einfacher We ise aus drei nachei nander ausgeführten Elementardrehungen geb ildet werden. Von de n vielen Mög lichkeiten, diese auszu führe n. habe n praktisch nur die Karda n- und die Euter-Win kel größere Bedeutung er langt: Drehung um die Karda n-Winkel

1. Rotat ion um die x-Ac hse

R ,,($ x ) '

2. Rotation um d ie neue y-Ac hse

R y{$ y ) ,

3. Rotation um die neue z-Achse

R, ($, ) ,

daraus folgt :

Führt man die Matrizenmultipl ikat ion durc h. so folgt fU Tdie Kardan'sche Drehmatrix

(12 . 11 )

Als Abkürzungen wurden benutzt:

Sx

= sin $ " , C z = eos $, usw.

Drehung um die Euter-W inkel Gemäß Vereinbarung müssen hier d ie Elementardrehungen nacheinander um d ie Z- , x-

und wiede r z-Achse ausgeführt werden. Die Drehmatrix für Euler-Winkel lautet so : (12 . 12) bzw .

c, . c y -s, + sx -c;

- w, · c y · c, - c x · s, c, , c y -c, s, -s,

Sy 's,

Sy ' c,

- s x · c \, · sz + c.x , c z R EUL =

[

-t

( 12. 13)

Besonders anzumerken ist, dass d ie Matriz en prod ukte in G I. (12. 10) und G I. (12 . 13) nicht kommutat iv sind . Eine andere Reihenfo lge der Multiplikation führt zu einem andere n Ergebnis. d . h. die Or ientierung des Körpers ist anders.

285

12.2 Kinemat ik von MKS 12.2.2

Ebene Beweg ung

Um die Prob lematik mit einfache r Darstel lung we itertre iben zu können . wo llen wir uns auf einen ebenen Fall besc hränke n. Im Bild 12.4 ist die ebe ne Bewegu ng charakter isiert. ohne Einschränkun g der Allgeme inheit gilt hier z - O.

Y P(x. y)

,, ,, ,, ,

YK v

(K ) r p \

,,

xK u

$,

,,I ( KSk , ,,, ,, ,,, ,, , ,

0 ( KS)o

Xo

Bild 12.4: Verhältnisse bei der ebe nen Bewegu ng

Die Bewegung lässt sich j etzt in der

X-,

y-Ebene eindeutig beschreiben. und zwar durch

Eine Drehung kan n somit nur noc h um die z-Achse er folgen und ist einde utig durch die Drehmatrix - sin ~/ ] cos 4l, gegeben . Eine allgemeine Luge lässt sich nunmehr angeben durch

(12 .14)

12 Mehrk örpersysteme

286

( 12.15) welc hes in Koordi naten

~, [ Yx] = [ Yox o ] + [,~, sm Q,

- , ; " ~,].[U] cos

o,

( 12.16)

v

entspricht. Die Geschwindigkeit erhä lt man bekanntl ich durch Di fferenziat ion nac h der Ze it. Es erg ibt sich

( 12.17) Um die Matrizenkooperationen ausführen zu könn en , wo llen w ir in einer Zwisch en betrachtung die Drehmatr ix kurz ableiteten:

R

I.

($ ) = dRz{lJl..) I

:I...

.~

U\l'z

F

. =[-SinQlz - COSljI ,] . (l,. ...

cos "''-

- sin!) z

.

( 12.18)

Auch die Entwicklung von GI. ( 12. 17) ist etwas mühsam, weshalb die Ausrechnung hier verk ürzt werd en soll. Z unächst kann geschr ieben werden:

( 12. 19)

Fühn man die Matrizenop erationen aus und fasst geeignet zusam men . so findet sic h ( 12.20)

Für einen star ren Körper ist insbesondere u = v = O. wes ha lb sich die Gleichung entsp rechend vereinfacht . Eine we itere Ve reinfac hung ergibt sich, wenn die Ausgangsg leichung modifi ziert wird. Aus GI. ( 12. 15) fo lgt au ch

(12. 2 1) Berück sichti gt man d ies in G I. (12. 17) und setzt

rp = 0 , so findet sic h ( 12.22)

Das Matrizenprodu kt ergibt

12.3 Kineti k von MKS

28 7

- cos ~,. ]. [ cose, - sin $z Hierin ist

$z

=

ill

( 12.23)

- sin Q,.

z•also d ie Winkelgesch wi nd igk eil. Endgültig erhält man so ( 12.24)

Ohne weit ere Herleitungen erg ibt sich für d ie Beschleunigung (12.25)

Wird we iterhin noch G I. ( 12.24) zur Elimination von

(x - xo ) und (y - Yo )

herangezogen .

so kan n letztlich die Endgl eichung

( 12.26)

angegeben werden . Mit

12.3

U

z = ~I ist dabei d ie Winkelbeschleunigung einge arbeitet worden.

Kinet ik vo n i\-'I KS

Z um Aufgabenkreis der Kineti k gehört d ie Bewegung vo n massebehafteten Körpern unter der Einwirkung vo n Krä ften und Momenten. Die Kinetik verfolgt so mit d ie Verk nüpfu ng von kinematischen Gr ößen mit Kraftgröß en. Die Besch reib ung des Bewegungsverhalt ens e ines Starrkörpersystems mit n Fre iheitsgraden fuh rt zu einern Satz von n ge wöhn liche n DGLs 2. Ordnung. d ie bekan ntli ch gut lösb ar sind. Wir sto ßen heute auf viele Fragestell ungen. wo d ie Kinetik eine große Rolle spielt. wie be ispie lswe ise: S imulation des Bewegungsverha ltens von Mechanismen unter der Einw irkung von Kräften; Ana lyse vo n mechat roni schen Strukturen bzw . Prototypen . um für best immt e Bewegungsabläufe die Ant riebe zu dimensionieren. sow ie Unterstützu ng beim Entw urf von Steuerungs- und Regelalgorithmen. um die erforde rlichen Stellgröße n für vorgege be ne Bahnkurven festz ulegen. Zur Lösung kinetischer Probleme können zwei grundve rschiede ne Ve rgehenswe isen herangezogen werden:

288

12 Mehrkörpersysteme

Be i der Newto n-Euler-Methode werde n die N-Ein zelkörper des Mehrkör persyste ms fre i geschnitten und d ie Wirkung benachbarter Körp er durch Schnittk räfte- und Sch nittmo rnente berücks icht igt. Die Impuls- und Dralls ätze für die Einze lkö rper liefen 6 · N Gleichunge n. Mit den aus de n Bindungen resultierenden Zwangsbeding unge n we rden dan n d ie Sc hn ittreak tio nen elim iniert. Die Lagrange'sche Methode basiert auf dem d'Alembert'schen Prinzip und lässt scholl zu Anfang nur solc he Ve rschiebungen zu. die mit den Zwangsbeding unge n vere inbar sind. Bei den so ge nannten Lagrange'schen G leichungen 2. Art erhä lt man unm ittelbar f Bewegungsgleichungen. wodurch die Elimination der Sch nittg rößen rea ktione n entfällt. In der fo lgende n Übersic ht des ß ildes 12.5 sind d ie beiden Lösungsmethod en von ihrem Ablaufgegenübergestel lt.

Newton-Eulet-Methode

Lagrange-Gleichungen 2. Art

Koordinaten system

Freiheitsgrade

ß indun gen , Zwangsbedi ngungen

vera llgemeine rte Koordinat ion

Freischneiden

kinetisch e Energie

äußere Krä fte und Momente

ve rallgeme inerte Kräfte

Impuls- und Drallsatz

Lagrange- Formalism us

Elimination der Schnittreaktio nen

Bewegu ngsgleichungen

Bild 12.5: Aufstellung der Bewegu ngsgleich ungen mit der Newt on- Eulet-Methode und de n Lagra nge-Gleich unge n 2 . Art

12.3 Kineti k von MKS

289

G ru nd bez iehu nge n für de n star re n Körper

12.3.1

Um sich im Weiteren m it Starrkörperkinetik beschäft igen zu können. müssen zunäc hst ein paar Beziehungen für einen e inze lnen starren Körper zusammengestellt werden. Dazu ist im Bild 12.6 ein beliebiger Körper geze igt. der sich um (K S){l bewegt.

Körper K m it de r Masse m

"' s

(KS)K = S

dm

Vp

Bild 12 .6: Besch reibungsgr ößen am starren Körper (Idea lfall: (KSh :. liegt im Körperschwerpunkt S)

Am Körper wirke n di e resultierenden äußeren Kräfte

,

( 12.27)

F = I dF und das res ultierende äußere Moment (0)

M =

f (o)f l'

x dF e

K

f (0) r . dF .

(12.28)

K

Mit diesen Kraftgrößen kön nen jetzt für die Starrkörperbewegung das Bewegu ngsgesetz sow ie der Impuls- und der Dreh- bzw. Drallsatz (im Inertialsystem) aufgeste llt werde n:

Bewegungsgesetz (Transfo rmation de r im Schwer pun kt vere inigten ga nzen Masse) m' (0) ;\

=

,f

(o) rp · dm

= F.

(12.29)

Imp ulssatz (Sc hll'elp lIllkr.w t=J

-dp =-dtd (m· rs.. ) ~ -dtd (m· vs. ) = F . dt

( 12.30)

290

12 Meh rkörpersysteme

Drehimpuls oder Drallsatz 0) in der 1. Formu lierung (dire kt über ( KS)o ) (12 .3 1) mit

x

( 0 ) \"1')'

dm =

f

( 0 ) "i'"1' ' ( 0 ) \11'

dm .

( 12.32)

K

Drallsatz in der 2. Formu li erung (über den Schwerp unkt) (ol L. = COlTS X (o) v s ' m

+

( 12.33)

(s ) Lrel. s ,

der Relati vdrall des Schwe rpunktes um e in belieb iges (KSk ist gegeben durch (S) L rd , s

= I (0) TSI' X (( 0)(1)

x

(O)rw) '

K

dm

=- I (0 ) r:

Xi grcn/ -X i J CD

-

F

Q)

1>'I

~

,2

G, ,

2

Berechnung der Knoten verschie bun gen: LI)

=

F cI

+ c2 + C3

= O,16 mrn

'4

2

D

Element-Nt.

1.2 lokale Knoten-NT.

0 Erge bnisse

®

lJl

globale Knoten-NT.

360

Übungsaufgabe 5.2

Berechnung der Reaktionskräfte: F

F] =--

3

F

F2 =-3 F F4 = - 3 Berec hnung der Schnitrkräfte: 5 11

=--F J

F 5 12 =-

3

5 21

=- -F3 F

522 = -

3

F 5 3 1 =-

3

F 5 32 =--

3

361

Übungsaufgabe 5.3 Ermit teln Sie für das da rgestellte zweid ime nsio na le Stabsystem die Knoten verschiebu nge n und Kräfte unte r Berücksic htigung der Sy mmet rie!

E = 200.0 00 MPa

A = 25 mm 2 ( =

A. E. {

1.000 mm

F = 5.0 00 N

E·A

I

c =c l = c2 = - -

c

F

Ge hen Sie dabe i sch rittweise vor, indem Sie die Gesam tsteifigkeitsbezieh ung mit de n ei ngearbeiteten Randbedi ngu ngen erste llen. das reduzierte System nach den unbekannten Verschie bunge n au flösen.

die Reaktionsk räfte berec hnen

""d • die Sc hnitt kräfte berechnen.

[j]

362

Übungsau fgabe 5.3

Er gebni sse Reaktionskräfte.

FYI =

- '2F = - 2.500 N F

= - - = - 2.500 N 2 F FV2 = - = 2.5 00 N . 2

Schnit tkrä fte. F

= - = 2.500 N 2 F

= - - = - 2.500 N

2

F

= - - = - 2.500 N 2

S,

I Y

= i= 2.500 N 2

363

Übungsaufgabe 5.4 Ermitteln Sie ruf das dargestellte System aus fünf Stäben die Knoten verschieb ungen und Kräfte unter besonderer Berücksichtigung der Symmetrie!

L Gehen Sie dabei schrittweise vor, indem Sie die Elementsteifigkeitsr natrizen der Stäbe au fstellen, in die Gesamtstetflgkeitsbeziehung die Randbedingungen einarbe iten, die reduzierte Steifigkeitsbeziehung nach den unbekannten Verschiebungen auflösen. die Reaktionskräfte berechnen

""d • die Schnittkräfte berechnen.

-

F,

2-

x

364

Übung saufgabe 5.4

Er gebni sse Reaktionskräfte.

2

F -- :"1 3

5

F:q

-- - 6

5

F =-Y4 6

Sch nittkräfte. SI I

2

, = - -3 2 =]

5 12

2

x

=3

2

$12 =-y ]

,

5 6

x

5 =- 6

5 31 = -

5 32

5

6

5 22,

=-3I

5,

= 0

"

365

Übungsaufgabe 5.5 Ermitteln S ie für das dargestel lte zweidimensionale Stabsystem aus fünf Stä ben die Knotenverschiebungen und Kräfte .

Y L

I

x

Fy = 5.000 N

E = 200.000 MPa

A = 25 mm 2 { =

1.707 mm

alle Stäbe E, A

I

(

Ge hen Sie dab ei sc hrittweise vor, indem Sie Nu llstäbe identi fizieren . eine reduz ierte Konstruktion unter Ausnutzu ng der Symmetrie erste llen. die Elementsteifl gkeit en berechnen. die Gesamtsteifi gkeitsrnatr!x über die Blockaddition erstellen, die Gesamtsteifigkeit sbezie hu ng mit den e ingearbe iteten Randbedin gu nge n erstellen. das reduzierte Sys te m nach den unbekannten Vers chiebu ngen auflösen . die Reaktion skräfte berechnen

""d

• die Schnittkräft e ber echnen.

CD l A

Übungsaufgabe 5.5

366 Ergebni sse

G leichungssystem .

1

F, I

.[2 1

F YI

FX2

E·A = -_ .

Fn

(, 2

2

1

.[2 1

0

0

0

0

0

0

0

0

1

1

1

_ Fy 2

- .[2 - .[2

Reaktionskräfte. F]

= -

x

F2

= -

y

( '- ) . -Fv = 1.036 N 2 .... 2 + I .

..n

(..n+ I)

· - F, = 2.929 N

.

Schnin kräfte:

SZl

S22

y

y

= - c · v3 = 2.929 N

=

c- va

= - 2.929 N

1

- .[2 - .[2

0

1

1

- .[2 - .[2

.[2

- .[2 - .[2

1

0

.[2

F' 3

1

0

0

0

0 - I

0

0

- I

1

1

1

.[2

.[2 1+ -

vJ =

ua

0

.[2

ul = 0

1

.[2

0

= 0

va =

0

uJ = 0

v3

367

Übungsau fgabe 5.5

5 JI , = -c , x

I

- ,vJ = 1.036 N

2.fi

5 JI )' =-c

S32

x

I

,,,2

r::; .

vr

= 1.036 N

= c . _ ' _ . vJ =- \. 036 N

2../2

I = c · 2../2· vr = - \. 036 N

368

Übungsaufgabe 5.6 ln der Indus tr ie werde n Rührwerke zur Durchmischung zäher Flüssigke iten eingesetzt . Antr iebsseitig kann eine große starre Masse (Moto r-Getriebe-E inheit) angesetzt werde n und als Reaktion am Rührwerk ein Differenzmoment I1T. Ermitteln Sie ruf das dar gestellte abstrahierte statistische System aus zwe i Drehstäben mit Einspannung lind Torsionsmoment d ie Knotenverdrehun gen!

G 2·I I2 .f 2 _--'_~_~ (

c

_ _ ~ ....... T

=c

Gehen Sie dabei schrittwe ise vor. indem Sie das verwendete Element beschreiben, d ie Gesamtsteifi gkeitsbezichung mit den eingearbeiteten Randbed ingungen erstellen. das reduzierte System nach den unbekannten V erdrehungen auflös en.

IQ)"1--::;--~(lJ ~----;:;--~2 [j]

o

2

0

I

Ci!__ ~T

o

Element-NT. 1, 2 lokale Knoten- Nr. Globale Knoten-Nt.

o

Erge hnisse Größe der Knotenverdrehun gen

369

Übungsaufgabe 5.7 Ermitteln Sie für den dargestellten Ba lken die Reaktionskräfte und d ie Biegelinie!

E •

3

M '" 10 Nm b "' 2 mm h =6 mm

I=~ 12 (

E = 200.000 N I mm 2

f '" 1.000 mm

("' I .OOO m m

Gehen Sie dabe i schrittwe ise vor. indem Sie • die Gesamtsteifigkeitsbeziehung mit den eingea rbeiteten Randbed ingungen erstel len. • das reduz ierte System nach den unbekan nten Verschiebungen auflöse n

und • d ie Reaktionskräfte berechnen.

~

~ Ergebn isse Reaktionskräfte. F1 = -1 5 N

--.. M = 10 Nm

1?""- --=---2 ' [j)

370

Übungsaufga be 5.8 Bestimmen Sie für den gezeigte n Balken d ie Verschiebun gen, d ie Reaktionsk räfte und d ie Schnittk räfte. Unterteilen Sie den Balken dazu in eine unterschied liche Zahl von Element en! q == I

E. I == I f == 2

Gehen Sie dabe i schrittweise vor. indem Sie unter Berücksichtigung de r Symmetrie für eine Untertei lung in zwei und drei Eleme nten folgende Arbeitssc hritte durchführen: die Elementsteifigkeitsmatrix besch reiben. d ie Be lastungen versc hmieren, d ie Gesamtsteifigkeits beziehung mit den ei ngearbe iteten Randbedi ngungen erstellen, das reduzierte System nach den unbekannten Verschiebungen auflösen, die Sch nittgrößen beschreiben. d ie Sc hnittgrößenver läufe darstellen.

I. Für zwe i Elemente

t> - - -

2. Für drei Elemente

[j]

(l)

,

2 I

Übungsaufgabe 5.8

37 1

Erge bnisse -

fU r die unbekannten Verschiebungen für zwe i Elemente

w,

0,208

~,

0

w, " =

=

~2

0,148 0.229

w3

0

~3

0,333

und für drei Elemente

"=

w,

0,208

~,

0

w,

0.1 8 1

~,

0,160

w3

=

0, 105

0,283

~3

w..

0

~4

0,333

- der Schnittgröße n für zwe i Elemente

I

- 0,5208

48

=

0,75

- 0,5

=

0,25

- 0.25

M,

o

0,25

0,25

_ 0,5

l l I

0,395

48

0,375

0,25 0.5 1 - 0,3958 3 _ - 0.02083 = - 0.375 - 0,75 0,0208 3

0.25

- 1

0,0208 3

0

Übungsaufgabe 5.8

372

und für drei Elemente - 0 16

r

[

[ -]

o

- 0 16

- _ - 0.00.?25 = - 0,4 9974 I = - O , 5~ - 0,33 [i] - 0.1 6 0.16

F

o

0,45

0,5 ]

0,444 74

0,00925

[

0.1 6

]

[

0,33

= - 0,454 _ - 0.00":25 = - 0.44~74

[

- 0.5 0,287 0,83

= - 0.287 rJl L.::.J - 0,83

F

[

0,00925

0.16 0.00925 0,16 ] - 0.00":25 0,16 0,00925

- 0,6 0,2774

=

373

Übu ngsa ufgabe 5.9 Bestimmen S ie d ie Verschiebungen bzw. Verdre hunge n des dargestellten Systems!

I

jr=, EI == I (I = I

0

EI = 1/2 (I = I

I

Gehen Sie bei der Lösung sch rittweise vor. und zwar indem Sie • die einzelnen Steifigkeitsmatr izen erstellen. • die Gesamtsteifigkeitsmatrix aufstellen

""d

• die Gleichung lösen,

[j]

Erg ebnisse

,

wz =-

, ,

9

c.p21 =- -

6

c.p22 =-

6

,r ~

374

Übungsa ufgabe 6. t Erläutern Sie für e in eindimens ionales 2·Knoten-Element ve ränder lichen Qu erschn itt die

Steifigkeitsmatrix: A(x ) "" A o· e-1h

mit ß (PIf2) Jl = ±L62 . iff·

(D ll )

Erkenntnis: Die Lösungen in p 2 sind stets negativ reell; die Lösungen in p sind imaginär. Wozu braucht man d ie Eigenvektoren? -+ Übe r die Eigenvektoren kan n eine Matrizengleichung ..dlagonallslerr' werde n. Also

'J

Anmerkung: [p 2 ..\ 1 + K I·:\

= (1

I· x". Ansatz in der Schwingungsle hre. p 2 == _ (1)2 identisch dem

[K _ 002 . M ]' X = 0 , Ansatz in der FEM-ThL'tlrie

395

Mathematischer Anhang

(0 13)

Die vorst ehenden Erkenntnisse so llen jetzt auf ein großes Fß-Gleichungssystem ange wandt werden! Folgende Schre ibwe ise ist für das Eigenfrequenzproblem in der FEM gebräuc hlich:

t,

(K - A -I . M). X = O

A )\1 · X =A ·K ·X

(0 14)

.. w:d

I· X I

X I ·1\1 ·X =A ·X I ·K ·X

~

1\1 diag . = A · K diag ,

~

G leichung ist j etzt zeilenwe ise auflösbar!

Eigenvektor für das vorstehende System mit 2 Freiheitsgraden:

angewandt auf 1\1 :

angewandt auf K;

I ~(1+.'5)] .[ 2' [ 1 .!-(I - .'5) -, 2

-Cl [ I c . ~(I + .'5 )

I ] , [(5-.'5) 0 ] ~( I -.'5) ='2 0 (5+.'5) .

d . 11., eine sc hon diagonale Matrix bleibt ..d iagonal" : eine nichtdiagonale Matrix wird ..diago nal"!

Mathematischer Anhang

396

Bestimm ung der Eigenfrequenzen:

'I

ffi 2 ..J = K diag .: l\1 diag .

- I

(D IS)

")

= ~[(S-JS) 0 ] ~[(s+IJS) 0 2

(S + JS)

0

m

0

1

j

(S- JS )

_ c Rs - JS) 6 +J5"l ~i(J -J5") ~ + J5")1 - ml(s+J5") (s - J5"~ 2ml ' :I..,

Durchführ ung der Inversion laut Formel:

(0 16)

") Anmerkung: Excurs lur Inversion

~1

"1

==

"' » [ o

o ] -+

:\1- [

m 21

=- I - [ "' '' del :\'

0

Anmerkung: Excurs zur Umformung

(5 - .'5)(5 - .'5) 25-2 .5 ..'5 +(.'5)' (5+ .'5).(5 - .'51' 25 - (.'5)

30 - 10· ./5 20

397

Mathematischer Anhang E) Schw ingungs-DG L

FE· Lösu ngen werde n verständ licher, wenn ein Bezug zur Sc hw ingungs lehre hergestellt wird. Einige Zusammenhänge so llen nachfolgend erläutert werden.

T

Bild IfE: Diskretes

I - H~ G -Sy s te m

u

E I) Fre ie ungedäm pfte Sc hwingungen Freie Schwingungen treten auf, wenn die Erregerkraft in der zugehörigen Bewegun gsg leichung verschw indet. Es liegt som it eine homogene DG L vor: m · Ü+ c ·U + k ·u = O.

(E I )

Ruhe ist für u = 0 (triviale Lösung) mögl ich. Interessant sind a lleine nich ttriviale Lösungen in Form von Schw ingungen.

Ungedämpjie Schwing ungen setzen e in konservatives System voraus, be i dem der Energieer haltungssatz gilt: m . Ü + k u = 0. c

(E2)

Diese G leichung wird gewöhnlich in d ie Nor ma lform überführt: Ü+w 2 - u

w

O.

( E3)

Mit u (t) = A · sin w · t + B vcos ro -t

(E4)

ist d ie Lösu ng bekannt. Aus den Ze itableitunge n fo lgt u t t) = tu - A - cos co . t - ro. B - stn ro - t e v,

( ES)

Ü( t ) =_ 00 2 - A - cos w - t - w 2 . B vcos cr- t e a.

(E6)

Werden d ie Lösungen eingesetzt, stel lt man fest, dass d ie DG L identi sch er füllt ist. Die lntegrationskonsta nten A, B werden aus den be iden Anfangs bedingungen

398

Mathemat ischer Anhang u (t ) = Uo und Li( t = 0) = vo

best immt. Einsetzen von

1I

=

Uo

fürt

e

ü

führt zu B = 'tu und Li =

Yo

fiir t = 0 führt zu A = vo / m.

Dam it ist d ie a llgemeine Lösung als '0 .

u( t ) = -

Ol

sm w ·l +u o . cos cc - t .

(E7)

(2 ) Freie gedämpfte Schw ingungen

Für derartige nichtkonservative Systeme ist der Energieerhaltungssatz nicht mehr gültig. Die Schw ing ung w ird unter gesc hw ind igke ilspropo rtionalen Därnpfungskräften abnehmen:

m . Ü +c · Li + k . u = o. mit

k

(l)2 = -

m

( ES)

k und 20 = -

m

folgt

ü + 20 'u +w 2 ' U= 0.

(E9)

Die Standardform erhält man j edoch erst nach Defi nition des Leh r'schen Dämpfungsm aßes

(E I O)

( Ei l ) Eine Lösung d ieser linearen . homogenen DGL 2. Ordnung ist u (t ) = A · e A.t

•

Aus Einset zen in d ie OGL folgt

ode r

(Eil)

Mathematischer Anhang

399

Da für nichttriviale Lösungen u( t) -:F- 0 ist die Größe A · e A-1 niemals null werden kann. erfüllt der Lösungsansatz die DGL nur. wenn " eine Lösung der charakteristischen Gleichung (E13)

ist. Die Gleichung hat bekannt lich d ie Lösung (E I4) Jede d ieser Lösungen erfüllt d ie DGL, weshalb auch die Linearkombination (E I5) eine Lösung da rste llt. Die Konstanten A. B lassen sich wieder mit Anfa ngsbedingungen bestimmen.

400

Ql\l ~ Ch cckli st c

einer FE·B crcch nung

I . Mod ellbild u ngl ldealisier ung

•

Wahl des Berechnungsalgorithmu s

turabhän gigkeit

-

•

•

=> linear, nichtlinear. Ze it- ode r Te mpere-

Idealisieru ng

=> elastisch-plas tisch, idea l-plastisch

Modellred uktion

-

-

Betrachtung kritischer Beultei le Topo logie

=> physi kalisch und mechanisch richtig => Vernach lässigung von v errippu ngen, Fasen ete.

Sy mmetrie

Malerialeigenschaften

=> Randbedingungen => isotrop ode r orthotrop

2. Modellge ner ieru nglD isk re lisieru ng

•

Ver netzurig

-

Wahl des Elementtyps

-

Wahl der Elementgröße

-

Elementeigenschaften

=> elast isch. starr => geeignete Elemente, kompatible Verschiebungsensätze

Ansatzfunktion en geo metrische

=> aus reic hende Netz feinheit => Rand kont uren => Netzverfeinerung bei Kerben. Absätzen, Rissen

• •

G ittergenerierung

•

Randbed ingungen

Elemem formu lierung

=> vo llständ ig, Schalen dic ke etc. => Übergän ge vom gro ben zum feinen Netz. Elementfonnen

-

Lasteinl eitung

-

Lagerung

-

Flächen lasten etc. keine Starrkörperbewegung. => realitätsnah. Flächen-Lin ien

Zwa ngsbe dingu ngen

=> Co uplc DO F

=> Lastgr öße bei Symmetrie. Über lagerung.

3. Mod ellzusa mme nba u

•

•

Funktion Kontakt

=> Elemen tkopplungen => Defi nitio nen korrekt. Reibu ng erc.

Check liste e iner FE-B erechn ung

~.

Be rec hn ung

• •

Fehlerausgabe

=> Überprüfung der Berechn ungsfehler

Programmfeh ler

-

Rundungsfehler Inkompatibilität der Progrernrnrounn en

•

401

Wahl der Iterationsschritte

=> in der Regel vernach läss igbar => Vers ionswechse l => Kon vergenz

5. Be urteilung der Erge bnisse

•

Verifikatio n

-

visue lle Kontro lle

-

Stetigkeit der Span nungen

-

•

-

=> sind Ve rsc hiebungen ode r Span nungen realist isch

=> be i Elementübergängen

Übersch lagsrechnung exakte analytische Lösungen experimente lle Ergebnisse

Plausibilität

=> physikalisch korrekt. Bewegungen. Durchdringengen

•

Prüfen de r Ergebnisgüte

•

linear!nicht linear

=> Netzverfeinerung. Berechn ung mit andere n FE-Prog rammen

=> Spa nnunge n unte rhalb der zulässige n Werte

402

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407

Sachwortverzeichnis A

u

ABAQ US 3 Abbruchschranke 299 Anfan gsbedin gung 228 Anfan gsdehnungsverfahren 25 1 Anfangsspa nnungen 25 Anfangsspa nnung smatrix 159 Anfangsspan nungsverfahren 25 1

d'Alembertsches Prinzip 26,203 Dämpfung 2 13 Dämpfungsmatrix 2 12 DGL 46 , 52, 55, 213, 225, 343 Diagonalhypermatrizen 68 Diagonalmatrix 208 Differenz enm ethode. zentra le 24 1 Differenz enverfahren. zentrales 243 Differenzialoperatorenmatrix 20 DIN EN ISO 9000:2000 32 1 Drallsatz 290 Dreh matrix 283 Drehstab-Element, lineare s 5 1 Dreh trägheit 206 3-D-Balken-E lement 93 Dreieck- Element 98 Dreiec k-Platten -Element 152 Dreieck-Scha len-Element [66 Dre ieck-Scheiben-Element 209 Duhamel -Integra l 238

A nregung 227

Anregungsfunkt ion 230.237 Ansatz , isoparametrischer 126 Ansatz funkt ion 3 1.60. 89 ANSYS 3

Antwortfunktion 237 Arbeit. virtuelle 27,202 Aussage sicherheit einer FE-Anal yse 8

"

Balken-E lement 53. 95

Bal ken-Schei ben-Elemente 119

Belkensteifigke itsmatrix. geo metrisc he 262 Bandbreiten-Optimierung 3 14

Bauteila nalyse. rechnerunterstützte 43 Baureifo ptimierung 297 Bedin gung nach v. Mises 255 Bemoulli-Balken 82 Bernoulli-H ypothese 53

Bculform 164 Beulun g 156

BewegungsditTerenzial-Glei chun g 233 Biegelin ienbeziehung 55 Bilanzgle ich ung 268 Bisekt ionsmethode 22 1 Blockaddition 36 B· Matrix 103, 132, 179 Boo le'sche Matrix 69, 70 Boot e-sche Zuordnungs matr ix 68 Box-Verfa hren 298

C CAE-Konzeption 41 CAE-Prozesskette, kon ventionelle 6 CAO-Verfahren 300 CFL· Bedillgung 246 Cholesky - Verf ahren 75 Coutomb-sc hcs Reibgesetz 184 Cramer-sche Regel 100

E Effiz ienz 81 Eigenfor m 164 Eigen frequenz 2 13 Eigen krei sfrequenz 2 17 Eigensch w ingungsform 342 Eige nschw ingungsproblem 225,340 Eige nspannung 25 Eigenv ektor 164,21 3,227 Eigenvektorenmatrix 218 Eigenwertmatrix 2 18 Eigenwertproblem 163 Einheitserr egung 23 1 Einheitsmatrix 18 Einheitsq uadrat 137 Einzelsteiligkeitsmatr ix. transformierte 65 Element, isoparametrisches 129 Element, kubische s 110 Element, vollverträgl iche s 149 Elementardrehung 283 Elementdämpfungsmat rix 2 12 Elementdrehsreifigkeitsrnarrix 53 Elemente, kompat ible 9 1 Elemente, vert räg liche 144 Elementierung 307

Sachwe rtverzeichnis

408

Elementmassenmatrix 48. 57.204 Elementsteifigkeitsrnatrix 36. 48 Elem entteilung 3 11 Eleme ntträghe itsmatr ix 53

Endmassenwirkung 207 Ene rgie. kineti sch e 29 1 Ersatzg leic hgewichtsg leichung 27 ESZ 14 \

Euler-Fall 263 F Fachwerk struktur 323. 329 Federelement 35 Fehlerque lle 306 F E~ Löser

42

Flä chenkoord inaten 105, 106 Fläch enträgh eitsm om ent 207 Flansch . gebörd elter 165 Fonnfunktion 47 ,49. 101 Fouri er -sehe W ärmeleitungsgleich ung 266

I I-DEAS 3 IGES 6 Imp uls 343 Imp ulssatz 289 Inert ialsystem 28 1 Initialverschie bungsmatr ix 259 Insta bil ilätsprobleme 25 9 Integr ation . direkte 23 9 Integr ation . numerische 134 Interpolation spolynom 134 Inter vall, normiertes 136 Invaria nz der äuße ren Arb eit 64 Inversion der Koe ffizient enm atrix 16 Inzidenzmatrix 69 Iteration, d irekte 24 7 Iterat ions ver fahren 74

J l acobi- Matrix 108.1 27. 133. 2 10

free meshing 3 11.337 Fre ihei tsg rad 280 Fre ihei tsg rad. primärer 225 Fre ihei tsg rad. se kundä rer 225 Frequ enzban d 34 1

Frontlösungsverfahren 74.77.78 Funktionsmatrix 108 G

Galerkin 3 1 Ga uß'se he Quadraturform eln 134

Gauß-Punkt 138, 139 Gesamtkraft vekt or 40 Gesamtmassenm atrix 7 1 Gesamtsteifi gkeit smatrix 40. 7 1,87 Gesch windigk eit 281 Gl eichungslöser 81 Grundg teic hung. fin ite 16 Guy an- Reduktion 222

H Hermire Polynome 59 Hooke-sches Gese tz 19 Hooke-Jceves- Verfahren 298 Hou seholdcr· G ivens· Mod ifikation 22 1 Householder- Verfahren 22 1 h-Verslon 8 Hyperg leichung 39

K Kinem ati k 28 1 Kinetik 279, 28 7 Ki rchhoff' sche Theorie dünn er Platten 140 Knickfa lle 25 9 Knotenkräfte 66 Knot enkr äfte. äquiva lente 65 Knot enkreisverschiebungsvek tor 177 Knotenlastvektor 48,53 Knotenvektor 63 K noten verschieb ungsvektor 56 Kon stan telem ent (CS T = con sta nt strain triangl e) 98 Ko ntaktfläche 184 Kontakt-Knotenpunk tkräfte 195.201 . 199 Kontaktk örper 182 Kontaktproblem 187 Kontaktp roblematik 330 Kontinuitätsbedingung 26 7 Kontur 3 15 Konvergen z 119,1 53, 173 Konvergenzbet rachtung 96 Koord inateniiberrela xation 22 1 Körpe r. isotrope 27 1 Kräne. dissipati ve 27 Kräftepfadoptimierung 303 Kraftgr ößen-Methode 12 Kre isfrequenz 2 19

Sachwertverzeichnis Kreisring-Dreieck -Element 177 Kreisring- Ele me nt 175 Krieche n 247 L

Lage. allge me ine 285 Lagra nge-M ultipl ikatoren 184 Lagra nge'sc hc Method e 288 La nczos- Ve rfa hren 22 1 Lösung, ho moge ne 23 1 Lösung, iterat ive 189

M map ped mesh ing 3 11.335 MA Re 3 Massen matr ix 6 1 Massenträg heitsm oment 5 1 Materia leigen sch aftsm atrix 2 1 Mal erial gesetz von Gummi 350 Mal erialr eibung 2 12 Matrix-Steifig keitsmethode 34 MCA E-Syste me 7 Mechanisme nst ruktu r 29 5 Mehrkörp ersyste m 279 Meshprozedure n 338 M ises, vo n 339 M itte nknoten 111 M KS 27 9, 28 1,287,29 1 Moda lmatrix 2 18 Mode nübe rlage run g 239 Momenteng leichgew ic ht 23 Moo ney-R ivlin 35 0,352 Mult ifeld- Ele me nt 275 Mult iphysi k 12 Mult iphysi ka ufga be 275 N NAST RAN 3 Navier'sc hes Pro ble m 323 Nebenbed ingung 185,297 Netzautb au 3 11 Netztopolog ie 314 Newtcn-Cotes-Quadrat ur 134 Newto n-Euler-Methode 288.29 1 Newto n-Raphson 189, 248 Nichtlinea rität 250 Nic htlinea rität. geo me tr ische 257 ,350

409

o Oberfläc hen lastvekto r 48 , 53 Optimierungsfunktio n 298 Ortsvektor 28 1 Out-c f-balance-Vektor 19 1 p

Pa ra meteroptim ie rung 298 Pa rtne rregel 3 12 Pascal-sches Dreiec k 9 1, 143 Pascal' sc hes Dreieck , dreid imensionales 17 1 Passfede rve rbind ung 187 Pfado ptim ierung. sele kt ive 304 Plastiz ität 247 .253 Platte nbeulun g 157 Platte n- Element 139 Platte n- Elemente, Problematik 143 Platte nstreifen 156 Polyno me 9 1 Polyno mgrad 9 positiv de finit 74 Post-P rozesso r 42 Pre-P rozesso r 42 Prism a-Elem e nt 173 Prod ukthaftungsgesetz 32 1 Prod uktregel 55 p- Ve rsion 9

Q

Quade r-E lem e nte 173 Quadrats cheibe. gelochte 105 Qu alitätss icherung 320 Querko ntraktio n 2 1, 22 R Ra nd bedin g ung 26 8,329 Ra pid-Prod ucl- De ve lo pment 174 Ray leigh -Quotient 2 17 Reaktio nskraft 37 Rechenze it 80 Rech teck- Ele me nt 11 1 Rech teck imp uls 233 Rechteck- Platten-Ele ment 146 Red uktion, stat ische 229 Refe re nzsystem 28 1 Re lativsystem 28 1 Restmeth od e. gewichtete 32 Restwert 32 Rotatio nsmatrix 282

Sachwert verzeichnis

4 10

S Sandwich-Ele mente 155 Schale n-Ele ment 165 Sche ibe n-Element 97 Schlag 343 Schubverformung 120, 12 1, 155 Schweißna ht 277 Schwingung, erzwungene 22 8 Schwingung , freie 226 Schwingungsd ilTerenz ial 203 Schw ingu ngsd ifferenz ialgleichung 33.46.

47

shapc funct ion 48 Simpson -schc Regel 134 So nde rrandbedingungen 72 Spahenhypervektoren 68 Spannungsauswertung 9

Spa nnungszusta nd, ebener (ESZ) 22,97 SI. venanrsche DG L 158 Stab-Element 45 Stab- Element. linea res 46 Standar dsc hnittste lle 6 Starrkörperbeweg ung 37. 89, 289 Sre ifigke itsrnatrix 62 Steifigkeitsmatrix. geo metr ische 159 Steiflg ke itstransfo rrnation 62 Stoffgesetz 24 Strateg ie, bionische 300 Struktur, ungebundene 69

Strukturdämpfung 235 ,343 Stützstellen 30. 134 Symmet rie 5 Systemsteiflgkeitsmatrix 36, 87

T Tangentensteifig keusmatrix 248 Tätigkeitsanalyse 7 Taylor'sche Reihenentwicklung 248 Te mperaturde hnungss trateg ie 30 1 Te mperaturgradient 266 Te mperaturverteilung 354 Te traeder-Eleme nt 170 Ti mos henko-Balken 120 Topo logie 280 Tragwerk 38 Transformat ionsmatrix 64,282 Transponierung 17 Tresca 257

U

Übe rrelaxa tionsfaktor 249

v v. Mises'sche Fließbe dingu ng 25 6 Validier ung 10 Variationsprinzip 27 Vekto riteration 22 1 Verfahren, explizite 239 Verfahren, imp lizite 239 Verform ungszustand 34 Ve rgle ichss pann ung 339 Ve rgröße rungs funkt ion 23 2 Ver ifiz ieren 10 Ver kcttbarkeitsrcge ! 17 Verschiebungsansatz 30.66, 109 Versc hieb ungsei nflussza hlen 35 Verschiebungsgrößen-Methode 12 Verträglichkeit. kinemat ische 24 verzerrungszustand. ebener (EVZ) 22 Vie reck-Element 125 Vo lumen-Eleme nt 170 Vo lumen-Eleme nte. lineare 17 1 Vo lumen kräfte 28 W

w ärmedehnen g 25 Wärmekapazitätsmatrix 272 Wärme leistu ng, innere 268 Wärmeleitfähigkeitsmat rix 268 Wärmeleitung 353 wärmefettungsanalogon 267 Wärmeleitungsgl eichung. diskretisicrte 27 1 Wärmeleitungsg leichung, instationäre 276 Wärmele itungsmatri x 272 Wärmestromdichte 266 Wärmeübertragung. instationäre 267 Wärmeübertragung. sta tionäre 266 Werkstoffgesetz 82 Win kelb eschle unigu ng 287 W inke lgesc hwind igke it 287 Z Zleg ler-Prager-Gesetz 347 Zielfunktion 297 Zielkörpe r 182 Zwangsspannungen 25