F Elementales

Área de Análisis Matemático Universidad de Zaragoza

Cap´ıtulo 11

Funciones elementales La familiaridad que a trav´es del uso hemos llegado a adquirir con funciones como la exponencial, el logaritmo, las funciones trigonom´etricas, pueden habernos hecho olvidar que en realidad nunca hemos establecido una definici´ on ‘anal´ıtica’ rigurosa de todas ellas. Mediante consideraciones gr´aficas, en algunos casos, o confiando en la autoridad de turno en otros, hemos aceptado ciertas propiedades (entre ellas, nada menos que su existencia ), de las que hemos ido deduciendo las dem´as. Excepciones notables a esta situaci´ on han sido la funci´on logaritmo y la funci´on exponencial. En el cap´ıtulo de integraci´on, el segundo teorema fundamental del c´alculo integral nos proporcion´ o un m´etodo de construcci´on de la funci´on logaritmo como primitiva de la funci´on 1/x, obteni´endose luego la funci´on exponencial como inversa del logaritmo. No es esta la u ´nica manera de construir estas funciones, como vamos a probar a continuaci´on, invirtiendo el proceso: definiremos primero la funci´on exponencial como suma de una serie, y despu´es el logaritmo como inversa de la exponencial. Igualmente definiremos las funciones seno y coseno como sumas de ciertas series de potencias, demostrando despu´es que las funciones as´ı definidas tienen todas las propiedades ‘tradicionales’ de estas funciones. En la u ´ltima secci´ on, veremos c´omo tambi´en es posible construir las funciones trigonom´etricas por el m´etodo de “las primitivas”, empezando con las funciones trigonom´etricas inversas. Situ´emonos, pues, “en el principio de los tiempos”, como si nunca hubi´esemos oido hablar de las funciones citadas, y sin m´as herramientas que los conocimientos te´oricos aprendidos a lo largo del curso (¡que no se apoyan en las propiedades de estas funciones!) probaremos su existencia partiendo de cero, “cre´andolas de la nada”, bien mediante series de potencias, bien mediante primitivas construidas por integraci´on.

11.1.

Funciones elementales: construcci´ on mediante series de potencias

Hemos visto c´omo dando por conocidas las propiedades b´asicas de derivaci´on de las funciones elementales pod´ıamos obtener una representaci´on de las mismas mediante series de potencias. Sin embargo, desde el punto de vista del desarrollo l´ogico del An´alisis Matem´atico, ser´ıa m´ as conveniente proceder al rev´es, es decir, tomar como punto de partida las series para definir las funciones elementales y obtener de tal definici´on todas sus propiedades. Esbozaremos en lo que sigue c´omo podr´ıa llevarse a cabo tal programa. 179

CAP´ITULO 11. FUNCIONES ELEMENTALES

180

11.1.1.

Funci´ on exponencial +∞ n X x

tiene radio de convergencia +∞, por lo que podemos definir en n! todo R una funci´on como suma de tal serie. La serie de potencias

n=0

Definici´ on 11.1.1. Se llama funci´ on exponencial a la definida por exp : x ∈ R → exp(x) =

+∞ n X x n=0

n!

∈R.

Como siempre, el n´ umero exp(1) se denota por e, y se escribe ex en lugar de exp(x), notaci´ on justificada por la propiedad (5) que probaremos a continuaci´on. Propiedades 11.1.2. 1) La funci´ on exponencial es derivable (indefinidamente) y su derivada es ella misma: para cada x ∈ R, (ex )0 = ex . 2) e0 = 1. 3) Para cada x ∈ R, e−x =

1 , ex

y, en particular, ex 6= 0. 4) Dados x, y ∈ R,

ex+y = ex · ey .

5) Dados n ∈ N y x ∈ R, enx es el producto de n factores iguales a ex , n

enx = ex · · · ex . 6) Para cada x ∈ R,

ex > 0 .

7) La funci´ on exponencial es estrictamente creciente y convexa. En particular, es inyectiva. 8) Se tiene l´ım ex = +∞ ,

x→+∞

l´ım ex = 0 .

x→−∞

En consecuencia, el conjunto imagen de la funci´ on exponencial es (0, +∞). Demostraci´ on. Seg´ un vimos en el cap´ıtulo 6, es suficiente probar las dos primeras propiedades (ya vimos c´omo se obten´ıan las dem´as a partir de ellas). Pero la segunda es trivial y para obtener la primera basta aplicar la regla de derivaci´on de una funci´on definida mediante una serie de potencias.

11.1.2.

Funci´ on logar´ıtmica

Una vez conocidas las propiedades b´asicas de la funci´on exponencial, podemos introducir c´ omodamente la funci´on logar´ıtmica como su funci´on inversa, y deducir de ah´ı sus propiedades. Definici´ on 11.1.3. La funci´ on logar´ıtmica log : x ∈ (0, +∞) → log x ∈ R es la inversa de la funci´ on exponencial, de modo que log x = y si y solo si ey = x.

11.1. FUNCIONES ELEMENTALES Y SERIES DE POTENCIAS

181

Por tanto, est´a caracterizada por cumplir log(ex ) = x

cualquiera que sea

x∈R

y elog x = x

cualquiera que sea

x ∈ (0, +∞) .

Sus propiedades son consecuencia de las de la funci´on exponencial. Propiedades 11.1.4. la funci´ on 1/x.

1) La funci´ on logar´ıtmica es derivable indefinidamente, y su derivada es

2) log 1 = 0, log e = 1. 3) Para cada x ∈ (0, +∞), log

1 = − log x . x

4) Dados x, y ∈ (0, +∞), log(xy) = log x + log y . 5) Dados n ∈ N y x ∈ (0, +∞), log(xn ) = n log x . 6) El conjunto imagen de la funci´ on logar´ıtmica es R. 7) La funci´ on logar´ıtmica es estrictamente creciente y c´ oncava. En particular, es inyectiva. 8) Se tiene l´ım log x = +∞,

x→+∞

l´ım = −∞ .

x→0+

Demostraci´ on. 1) La exponencial es una aplicaci´on biyectiva de R sobre (0, +∞), luego su inversa (el logaritmo) es autom´aticamente continua. Estamos en condiciones de aplicar el teorema de derivaci´ on de la funci´on inversa para concluir que el logaritmo es derivable en cada x ∈ (0, +∞), con derivada log0 x =

1 exp0 (log x)

=

1 1 = . exp(log x) x

2) Obvio. 3) Basta tener en cuenta que 1

elog x =

1 1 = log x = e− log x . x e

4) An´alogamente elog(xy) = xy = elog x · elog y = elog x+log y . 5) Consecuencia inmediata de (4). 6) Va incluido en la biyectividad de la exponencial entre R y (0, +∞). 7) 1 1 log0 x = > 0, log00 x = − 2 < 0 x x para todo x ∈ (0, +∞). 8) Tales l´ımites ser´an, respectivamente, el supremo y el ´ınfimo de los valores alcanzados por el logaritmo.

CAP´ITULO 11. FUNCIONES ELEMENTALES

182

11.1.3.

Funciones exponencial y logar´ıtmica de base cualquiera

Definici´ on 11.1.5. Dado un n´ umero real a > 0, la funci´ on exponencial de base a se define mediante la igualdad ax = ex log a . Cuando a > 1, esta funci´on tiene propiedades similares a la funci´on exponencial anteriormente estudiada; si a = 1, es una funci´on constantemente igual a 1, y si a < 1, la diferencia esencial con la funci´on exponencial de base e estriba en que la funci´on exponencial de base a es entonces estrictamente decreciente. Propiedades interesantes que se obtienen directamente de la definici´on y de lo que hemos visto para las funciones ex y log x son las siguientes: Propiedades 11.1.6. Dados a, b, x, y ∈ R con a > 0, b > 0, 1) (ab)x = ax bx . 2) (ax )y = axy . Demostraci´ on. Aplicar la definici´on y las propiedades de la exponencial y el logaritmo. Definici´ on 11.1.7. Dado a > 0, a 6= 1, la funci´ on logar´ıtmica de base a se define en (0, +∞) mediante la f´ ormula log x loga x = . log a Es inmediato comprobar que esta funci´on es la inversa de la funci´on exponencial de base a. Como propiedad adicional interesante se tiene: • dados a, b, x ∈ R con 0 < a 6= 1, b > 0, se cumple loga (bx ) = x loga b .

11.1.4.

Funciones trigonom´ etricas

Definici´ on 11.1.8. La funci´ on seno est´ a definida por sen : x ∈ R → sen x =

∞ X (−1)n x2n+1 n=0

(2n + 1)!

∈R,

y la funci´ on coseno por cos : x ∈ R → cos x =

∞ X (−1)n x2n n=0

(2n)!

∈R.

Estas funciones est´an bien definidas, pues las series de potencias que figuran en las f´ormulas tienen radio de convergencia +∞. Propiedades 11.1.9. 1) El seno y el coseno son funciones derivables indefinidamente y se cumple para todo x ∈ R sen0 x = cos x, cos0 x = − sen x. 2) El seno es una funci´ on impar, mientras que el coseno es una funci´ on par: es decir, cualquiera que sea x ∈ R se tiene sen(−x) = − sen x,

cos(−x) = cos x .

11.1. FUNCIONES ELEMENTALES Y SERIES DE POTENCIAS 3) sen 0 = 0;

183

cos 0 = 1.

4) Para cada x ∈ R es

sen2 x + cos2 x = 1 .

5) F´ ormulas de adici´ on. Dados x, y ∈ R, sen(x + y) = sen x cos y + cos x sen y ;

cos(x + y) = cos x cos y − sen x sen y ;

sen(x − y) = sen x cos y − cos x sen y ;

cos(x − y) = cos x cos y + sen x sen y .

Demostraci´ on. (1), (2) y (3) son consecuencia inmediata de la definici´on y de las propiedades de las series de potencias. 4) M´as c´omodo que manejar las series es proceder por derivaci´on. Definiendo f : x ∈ R → f (x) = sen2 x + cos2 x ∈ R, a partir de (1) obtenemos f 0 (x) = 2 sen x cos x − 2 cos x sen x = 0 para todo x de R, luego f toma constantemente el valor f (0) = 1. 5) Probaremos solamente las dos primeras identidades: las otras se siguen de estas aplicando (2). Fijado y, sean f y g las funciones definidas en R por f (x) = sen(x + y),

g(x) = sen x cos y + cos x sen y,

Es claro que, como consecuencia de (4), para todo t ∈ R es | sen t| ≤ 1, | cos t| ≤ 1. Se sigue f´acilmente por inducci´on, usando (1), que |f (n) | ≤ 1 y |g (n) | ≤ 2 para cada n, luego f (x) =

∞ X f (n) (0) n=0

n!

xn

y

g(x) =

∞ X g (n) (0) n=0

n!

xn

(x ∈ R).

Notemos que f (0) = g(0) = sen y. Resulta que f 0 (x) = cos(x + y) y g 0 (x) = cos x cos y − sen x sen y, luego tambi´en f 0 (0) = g 0 (0) = cos y. Derivando de nuevo vemos que f 00 = −f y g 00 = −g, por lo que est´a claro que tendremos f (n) (0) = g (n) (0) para todo n. Por su expresi´on como series de potencias, obtenemos que f = g, y entonces f 0 = g 0 , que son las dos igualdades que hab´ıa que probar. N´otese que (4) se deduce de (5) tomando y = −x en la segunda f´ormula. Proposici´ on 11.1.10 (Definici´ on y propiedades de π.). 1) La funci´ on seno tiene ceros positivos, es decir, {x > 0 : sen x = 0} = 6 ∅. Este conjunto posee un elemento m´ınimo, que denotaremos por π: def

π = m´ın{x > 0 : sen x = 0} . En el intervalo (0, π), el seno toma valores estrictamente positivos. 2) cos π = −1;

cos π2 = 0;

sen π2 = 1.

  3) Para conocer la funci´ on seno en R es suficiente conocerla en el intervalo 0, π2 . En concreto, 3.1) para cada x ∈ R es sen (π − x) = sen x = − sen(x + π); 3.2) para cualesquiera x ∈ R y k ∈ Z, sen(x + 2kπ) = sen x, es decir, el seno es una funci´ on peri´ odica de periodo 2π.

CAP´ITULO 11. FUNCIONES ELEMENTALES

184

  4) Para conocer la funci´ on coseno en R es suficiente conocerla en el intervalo 0, π2 . En concreto, 4.1) para cada x ∈ R es cos (π − x) = − cos x = cos(x + π); 4.2) para cualesquiera x ∈ R y k ∈ Z, cos(x + 2kπ) = cos x, es decir, el coseno es una funci´ on peri´ odica de periodo 2π.   5) La restricci´ on de la funci´ on seno al intervalo − π2 , π2 es una aplicaci´ on estrictamente creciente (en particular, inyectiva) sobre el intervalo [−1, 1]. 6) La restricci´ on de la funci´ on coseno al intervalo [0, π] es una aplicaci´ on estrictamente decreciente (en particular, inyectiva) sobre el intervalo [−1, 1]. 7) Dado x ∈ R, se verifica sen x = 0 si y solo si para alg´ un k ∈ Z es x = kπ . 8) Dado x ∈ R, se verifica cos x = 0 si y solo si para alg´ un k ∈ Z es x =

π 2

+ kπ.

Demostraci´ on. 1) Agrupando sumandos convenientemente, es claro que sen x > x −

x3 >0 3!

siempre que 0 < x ≤ 1

y que 43 45 47 49 + − + < 0, 3! 5! 7! 9! de donde se deduce que el seno no se anula en (0, 1] pero que, seg´ un el teorema de Bolzano, debe anularse al menos en un punto comprendido entre 1 y 4. Por tanto, est´a perfectamente determinado el n´ umero real π = inf{x > 0 : sen x = 0} sen 4 < 4 −

y es mayor o igual que 1 (luego > 0). Para asegurar que π es el m´ınimo del conjunto, o sea, que pertenece a ´el, basta tener en cuenta que es punto adherente del conjunto y emplear la continuidad del seno. As´ı sen x 6= 0 para todo x ∈ (0, π) y por continuidad el seno debe mantener el signo en todo este intervalo. De acuerdo con la primera desigualdad que hemos escrito, debe ser estrictamente positivo en ´el. 2) Como sen2 π + cos2 π = 1, se deduce que cos2 π = 1 y por tanto cos π = 1 o cos π = −1. Pero si cos π = 1, como cos 0 = 1, el teorema de Rolle dar´ıa la existencia de alg´ un punto t ∈ (0, π) en el que se anular´ıa la derivada del coseno, con lo cual ser´ıa sen t = 0 contra lo que acabamos de probar. Puesto que cos π = 2 cos2 π2 − 1, debe ser cos π2 = 0, lo que obliga a que sen2 π2 = 1. Como 0 < π2 < π, sen π2 debe ser positivo y por tanto igual a 1. 3) Las igualdades de (3,1) son consecuencia de las f´ormulas de adici´on y de los valores previamente calculados. La de (3,2) se comprueba por inducci´on.   Con esto, conociendo los valores del seno en el intervalo 0, π2 , podemos obtener los valores en  el intervalo π2 , π usando que sen x = sen (π − x); por ser el seno impar, pasamos entonces a todo el intervalo [−π, π] y ya por periodicidad a todo R. 4) Similar al apartado anterior. 5) Para cada x ∈ R la igualdad sen2 x + cos2 x = 1 asegura que | sen x| ≤ 1, | cos x| ≤ 1. Como
sen π2 = 1 y por tanto sen − π2 = −1, la continuidad del seno y la propiedad de Darboux dan como conjunto imagen de − π2 , π2 exactamente el intervalo [−1, 1].   Para demostrar que el seno (que es continua) es estrictamente creciente en − π2 , π2 , usamos que es estrictamente positiva en (0, π). En consecuencia, el coseno (que en cada punto x tiene por

11.1. FUNCIONES ELEMENTALES Y SERIES DE POTENCIAS

185

derivada − sen x) ser´a estrictamente decreciente en [0, π], lo que permite afirmar que los valores  π
que alcanza en el intervalo 0, son estrictamente mayores que cos π2 = 0; como el coseno es par, 2
lo mismo vale en − π2 , π2 ; y finalmente, como el coseno es la derivada del seno, vemos que este   u ´ltimo es estrictamente creciente en − π2 , π2 . 6) Repasar la demostraci´on anterior. 7) Es inmediato que si para alg´ un k ∈ Z es x = kπ, se verifica que sen x = 0. Rec´ıprocamente, sea x ∈ R tal que sen x = 0. Para un k ∈ Z ser´a      1 1 π, k + π . x∈ k− 2 2  Entonces t = x − kπ ∈ − π2 , π2 y sen t = sen x cos kπ − cos x sen kπ = 0, luego forzosamente t = 0 y x = kπ. 8) Similar a la anterior. Tenemos ahora dos versiones de las funciones seno y coseno: la ‘versi´on anal´ıtica’ que venimos explorando y la ‘versi´on geom´etrica’ de la Trigonometr´ıa (=medici´ on de tri´ angulos). La coherencia entre ambas versiones la prueba la siguiente proposici´on, que a su vez justifica las afirmaciones que hicimos al definir los argumentos de un n´ umero complejo no nulo. Proposici´ on 11.1.11. Dados x, y ∈ R tales que x2 + y 2 = 1, existe un α ∈ R de modo que cos α = x,

sen α = y .

Adem´ as, para que un β ∈ R cumpla igualmente que cos β = x,

sen β = y,

es necesario y suficiente que exista un k ∈ Z tal que β = α + 2kπ. Demostraci´ on. Como x ∈ [−1, 1], existe al menos un t ∈ R tal que cos t = x. Entonces sen2 t = y 2 , de donde o bien sen t = y, y tomar´ıamos α = t, o bien sen t = −y, y bastar´ıa tomar α = −t. Por periodicidad, igualmente cos(α + 2kπ) = x, sen(α + 2kπ) = y para todo k ∈ Z. Supongamos ahora que encontramos β ∈ R para el que cos β = x, sen β = y. Entonces sen(β − α) = y x − x y = 0, luego por lo visto anteriormente existir´a un m ∈ Z tal que β − α = mπ. Si m fuese de la forma 2k + 1, k ∈ Z, resultar´ıa cos(β − α) = −1, mientras que cos(β − α) = x x + y y = x2 + y 2 = 1, por lo que debe ser m = 2k para alg´ un k ∈ Z y finalmente β = α + 2kπ. Gr´aficamente, esta proposici´on significa que para cada punto sobre la circunferencia de centro el origen y radio unidad, hay un n´ umero real que mide el ´angulo que forma el radio correspondiente al punto con el eje de abscisas, y que dicho n´ umero est´a un´ıvocamente determinado salvo m´ ultiplos enteros de 2π; el coseno del “´angulo” es la abscisa del punto, y el seno es la ordenada. En resumen, en este apartado hemos definido las funciones seno y coseno, y hemos demostrado todas las propiedades fundamentales necesarias para cubrir el uso habitual que hemos venido realizando de las mismas desde el bachillerato. En este punto, podemos continuar rigurosamente el estudio de las restantes funciones trigonom´etricas (tangente, cotangente, secante, cosecante) y de las llamadas funciones trigonom´etricas inversas, que como sabemos son “inversas parciales” de las anteriores, es decir, inversas de la restricci´on de las anteriores a subdominios adecuados. Ser´ıa muy largo completar todos los detalles, pero queremos al menos detenernos en la funci´on arco seno, que veremos en la pr´oxima secci´on que puede ser construida y estudiada mediante integraci´on, de forma paralela a la definici´on que hicimos en su momento del logaritmo.

CAP´ITULO 11. FUNCIONES ELEMENTALES

186

11.2.

Funciones trigonom´ etricas: construcci´ on mediante integrales

De nuevo nos situamos “en el principio de los tiempos”, olvidando lo que acabamos de aprender sobre las funciones trigonom´etricas, y partimos de cero para crear la funci´on arco seno como primitiva construida por integraci´on. Proposici´ on 11.2.1 (Funci´ on arco seno). La funci´ on Z x 1 √ dt A : x ∈ [−1, 1] → A(x) = 1 − t2 0 est´ a bien definida, es impar continua en [−1, 1] y derivable en (−1, 1), con A0 (x) = √

1 1 − x2

y

A00 (x) =

x . (1 − x2 )3/2

En consecuencia l´ım A0 (x) = +∞,

x→±1

A es estrictamente creciente en [−1, 1], convexa en [0, 1) y c´ oncava en (−1, 0]. √ Demostraci´ on. La funci´on t ∈ [−1, 1] → 1 − t2 ∈ R est´a bien definida (recordar que todo n´ umero real no negativo tiene una ra´ız cuadrada no negativa perfectamente determinada) y es continua, y solo se anula para t = 1 o t = −1. Adem´as, 1 1 1 ∼√ , 2 2 (1 − t)1/2 1−t 1 1 1 0≤ √ , ∼√ 2 2 (1 + t)1/2 1−t 0≤ √

con lo cual la funci´on t ∈ [−1, 1] → √

(t → 1) (t → −1),

1 ∈R 1 − t2

es impropiamente integrable en (−1, 1). Por tanto, A est´a bien definida y es continua en [−1, 1]. La derivabilidad en (−1, 1) y el valor de la derivada se sigue del Teorema Fundamental del C´alculo Integral. Lo dem´as ya es rutinario. Nota. Una vez m´as, la interpretaci´on anal´ıtica y la geom´etrica son concordantes. Dado y ∈ [−1, 1], A(y) es la longitud del arco de la circunferencia unidad que tiene y por seno: pues si parametrizamos la “semicircunferencia de la derecha” por ( √ x(t) = 1 − t2 −1 ≤ t ≤ 1 → y(t) = t, un c´alculo elemental prueba que p

x0 (t)2 + y 0 (t)2 = √

1 , 1 − t2

as´ı que Z s= 0

y

p

x0 (t)2 + y 0 (t)2 dt =

Z 0

y

√

1 dt 1 − t2

es la longitud del arco desde el punto de ordenada 0 hasta el punto de ordenada y.

´ 11.2. FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

187

En particular, la longitud de la semicircunferencia ser´a igual a Z

1

1 √ dt = 2 1 − t2

s= −1

Z 0

1

√

1 dt, 1 − t2

lo que explica la siguiente definici´on. Definici´ on 11.2.2. El n´ umero π . Z

def

π = 2 0

1

√

1 dt . 1 − t2

Es muy f´acil ver con esta definici´on que 3 < π < 4: por un lado, para cada x ∈ (0, 1) se cumple que 1 − x2 = (1 − x)(1 + x) > 1 − x, y por tanto Z 0

1

1 √ dx < 1 − x2

Z 0

1

√

ix=1 h √ 1 dx = − 2 1 − x = 2, x=0 1−x

de donde π < 4. Por otra parte, como 1−x2 < 1 tambi´en tenemos que 2(1 − x), que

√ 1 1−x2

>

√1 √ 1 . 2 1−x

√ 1 1−x2

> 1 y, como 1−x2 = (1+x)(1−x)
2 0

1/2

√ Z 1 dx + 2

1

1/2

√

ix=1 √ h √ 1 dx = 1 + 2 − 2 1 − x = 1 + 2 = 3. x=1/2 1−x

Como consecuencia inmediata de las propiedades de la funci´on A y de la definici´on de π se tiene: Corolario 11.2.3. La funci´ on A aplica biyectivamente [−1, 1] sobre [−π/2, π/2]. As´ı pues, la gr´afica de A tiene el siguiente aspecto:

CAP´ITULO 11. FUNCIONES ELEMENTALES

188

Ya hemos comentado c´omo se relaciona la definici´on que hemos dado de π con la definici´ on geom´etrica m´as habitual, en funci´on de la longitud de la circunferencia unidad. Vimos en su momento c´omo se corresponde la noci´on de ´area con la integral, y conforme a ello reencontramos π como valor del ´area del c´ırculo unidad. Proposici´ on 11.2.4. π es el ´ area de un c´ırculo de radio unidad. √ Demostraci´ on. Sea f la funci´on definida en [−1, 1] por f (x) = 12 A(x) + 12 x 1 − x2 . Es continua en √ [−1, 1], y si x ∈ (−1, 1) entonces f 0 (x) = 1 − x2 . Por la regla de Barrow Z

1

−1

p

1−

x2 dx

Z

1

=

f 0 = f (1) − f (−1) =

−1


π 1 A(1) − A(−1) = . 2 2

Dejamos como ejercicio probar que el ´area de un c´ırculo de radio R es πR2 (y que la longitud de su circunferencia es 2πR). El n´ umero π tiene una historia multimilenaria, por lo que no es extra˜ no que abunde el folklore en torno a ´el. Dos referencias interesantes son [Berggren-Borwein-Borwein] y [Delahaye]. Para obtener ahora el seno y el coseno, podemos proceder as´ı: dado que A es biyectiva, existe su inversa, a la que llamaremos S. As´ı, S aplica biyectivamente [−π/2, π/2] sobre [−1, 1] y es creciente, 1 y como A0 no se anula en (−1, 1) resulta que S es derivable en (−π/2, π/2), con S 0 (x) = A0 (S(x)) = p 2 1 − S (x). De hecho S es derivable en [−π/2, π/2] con la expresi´on anterior, ya que por la regla de L’Hospital p S(π/2) − S(x) l´ım = l´ım S 0 (x) = l´ım 1 − S 2 (x) = 0 π/2 − x x→π/2 x→π/2 x→π/2 y por tanto S 0 (π/2) = 0, y an´alogamente S 0 (−π/2) = 0.

´ ´ 11.3. APENDICE: EL NUMERO π ES IRRACIONAL

189

Sea C : [−π/2, π/2] → R la funci´on derivada de S, es decir C(x) = la cadena, si 1 − S 2 (x) 6= 0, o sea si x ∈ (−π/2, π/2), tenemos C 0 (x) =

p 1 − S 2 (x). Por la regla de

p 1 1 p (−2S(x)) 1 − S 2 (x) = −S(x) , 2 1 − S 2 (x)

y con la regla de L’Hospital es f´acil ver que C 0 = −S en [−π/2, π/2]. Como, para cada n, C (n) y S (n) son iguales a ±C o ±S, resulta que |C (n) (x)| ≤ 1 y |S (n) (x)| ≤ 1 para cada x ∈ [−π/2, π/2]. Por lo tanto C y S coinciden en todo el intervalo con su serie de TaylorMac Laurin; es decir, S(x) =

∞ X S (n) (0) n=0

n!

xn

y C(x) =

∞ X C (n) (0) n=0

n!

xn

p

para todo x ∈ [−π/2, π/2]. Al ser S(0) = 0 y C(0) = 1 − S 2 (0) = 1, resulta que las series anteriores, suprimiendo los t´erminos nulos, toman la forma S(x) =

∞ X (−1)n x2n+1 (2n + 1)!

y C(x) =

n=0

∞ X (−1)n n=0

(2n)!

x2n .

Reencontramos las series de potencias conocidas en nuestra anterior definici´on del seno y el coseno, ambas con radio de convergencia +∞, y por tanto las funciones que definen en R extienden a S y C. De este modo cerramos el c´ırculo, y podemos remitirnos a la secci´on anterior en cuanto se refiere a sus propiedades.

11.3.

Ap´ endice: El n´ umero π es irracional

La demostraci´on de la irracionalidad de π que vamos a exponer se debe originalmente a ˜ I.Niven [Niven], y aparece en la p´ag. 47 del libro [Hardy-Wright], junto a una prueba similar de que log x es irracional para todo x racional positivo y distinto de 1. Al igual que otras muchas partes de estas notas, nosotros lo hemos tomado de los apuntes de “An´alisis matem´atico I” del Prof. J. L. Arregui, a quien manifestamos en este punto nuestro agradecimiento por su generosidad. Teorema 11.3.1. π y π 2 son n´ umeros irracionales. Demostraci´ on. Basta probar que π 2 es irracional. n n Para cada n ∈ N, consideraremos la funci´on f dada por f (x) = x (1−x) . Es claro que, si n! 0 < x < 1, tenemos que 0 < f (x) < 1/n!. Existen ciertos ck enteros tales que f (x) =

2n 1 X ck xk . n! k=n

f es un polinomio, y la expresi´on anterior es la serie de Taylor-Maclaurin de f , as´ı que f (k) (0) = 0 k! si k < n o k > 2n (si k > 2n, de hecho f (k) = 0). Si n ≤ k ≤ 2n entonces f (k) (0) = n! ck es un n´ umero entero. Como f (x) = f (1 − x), f y todas sus derivadas toman tambi´en valores enteros si x = 1. n Supongamos que π 2 = ab , con a, b ∈ N. Elegimos entonces n tal que πa n! < 1 (podemos hacerlo, porque an /n! → 0). Para este valor de n tomamos f como hemos dicho, y definimos G(x) = bn

n X

(−1)k π 2n−2k f (2k) (x),

k=0 0

H(x) = G (x) sen πx − πG(x) cos πx.

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CAP´ITULO 11. FUNCIONES ELEMENTALES

Tenemos que π(G(0) + G(1)) = H(1) − H(0) =

R1 0

1 G(0) + G(1) = π

H 0 (x)dx, es decir 1

Z

H 0 (x)dx.

0

Pero H 0 (x) = (G00 (x) + π 2 G(x)) sen πx n n X X
= bn (−1)k π 2n−2k f (2k+2) (x) + (−1)k π 2n−2(k−1) f (2k) (x) sen πx = bn

k=0 n−1 X

(−1)k π 2n−2k f (2k+2) (x) +

k=0

=b

n

n X


(−1)k π 2n−2(k−1) f (2k) (x) sen πx

k=0 k−1 2n−2(k−1) (2k)

(−1)

k=1 n 2n+2

=b π

k=0 n X

π

f

(x) +

n X


(−1)k π 2n−2(k−1) f (2k) (x) sen πx

k=0 2 n

f (x) sen πx = π a f (x) sen πx ,

es decir, Z G(0) + G(1) = π

1

an f (x) sen πxdx,

0

lo que lleva a

an