Elementare Einfuhrung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung: Mit 82 Beispielen und 73 Ubungsaufgaben mit vollstandigem Losungsweg

Karl Bosch Elementare Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung

Karl Bosch

Elementare Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung Mit 82 Beispielen und 73 Übungsaufgaben mit vollstän digem Lösungsweg 10., durchgesehene Auf lage

STU DIUM

VIEWEG +

TEUBNER

Bibliograf isohenheim.de

Auflage 1976 durchgesehene Auflage 1979 du' chgesehene Auflage 1982 durchgesehene Aufl age 1984 durchgesehene Aufl age 1986 durchgesehene Aufl age 1995 durchge sehene Auflage 1999 korrigiert e Auflage 200 3 durchgesehene Auflage 2006 Nachdruc k 2008 10.• du'chgesehene Auf lage 2010

1. 2., 3., 4., 5., 6., 7" 8., 9.,

Alle Rechle VOfbehalt Vieweg+TeubnerVerlag I Springer Fachmedien Wiesbaden Gmb H 2010

lektorat: Ulri ke Schmickler..j-jirzebruch Vieweg+Teubner Verlag ist eine Marke von Springer Fachmedien. SpAl , . . . , An paarweise unvereinbar , so schreibe n wir anstelle der Vereinigung wieder die Summe:

.L:" A;=A , + Al + .. + An = A, UAl U .. . U An. ; ' At , ... , An mi t P(A I) > 0 fur alle i und jedes Ereignis B mit P(B) > 0 gilt P(Ak / B) '"

P(B /Ak) pe Ak) P(B /A k) peAk) P(D) "" n

Beweis: Definit ionsgemäß gilt

L P(B /A,) P(A ,) ,.,

k "'1 , 2 , . . . , n.

rliI die bedingte Wahrscheinl ichk eit

P(AkB) P(BA k) P( Ak/B) "" P(D) "" P(H) .

(1 .58 )

44

I.

D~ r

Wah' ""heinlichkei lsbcgriff

Wenden wir auf den Zähler den Multiplikationssatz 1.1 3 und auf den Nenner den Satz 1.2 1 an , so erhalte n wir unmittelbar die Behaupt ung P(Ak/ B) =

P(B/A k } p eAk) n

L P(B/ A

j)

I

-

P(A I)

=I

Bei I.

Multiplikation de r einzelnen Summanden auf der rechten Seite von ( 1.62) mit (np- k)Z ~ liefert daher die Ungleichung P(IRn(A) -p l >f)
e)


.

" _ n(n - I)

Furk _ Iglll k(k) -

}' 2

(n -k+ I) n · (n -I ) (n -k+l) n- I (k l)k ·k = 1.2 (k I) = n ( k-I ).

Damit erhalten wir fUT die zweite Summe n

81 = i > pk(l -p)" -k =n k "' 1

=n

L ( ";I)pnl +I(I _p)n-I -

Iß "

.-,

L ( "; 1) P . plß(I _ pi n-

Iß

n- I

Iß

=

0

I) - m

= np (p + (1 _ p» n-I = n . p.

=0

Ent sprechend gilt für k

~

2

k 2(k) = (k + k(k - I)] (k ) = k( k) + k ·(k - I ) ( ~) = k(k) + n(n - I )( k= h . Damit erhalten wir fUT die erste Summe

L• k )pk(l _p)n- k = ,-, • • = (l>p( l -p)" - l + L k(k) pk(l _p)n - k + n(n -I) L (k = hpk(l _p)n1(k

8 1 =(I')p(l _p)" - I+

k =2

n

= Lk(k)pk(l_p)n-k+n(n -l) k ·q

k"'2

n-2

L (n~ 2)p2pm(l _p)n '2 _m =

Iß "'O

k

=

48

I. Ocr Wahr schein lichk eit , begr iff

Wegen 5 J = I folgt schließlich aus(I.63) die Abschätzung 02(;2P(lR n( A) - p] > e)

< ßlp 2 + np(l -

p) - 2n 2pl + n 2p 2 = np(l - p)

und hie raus

P( IRn(A) - pi > e)

p(l - p)

< - -,-.

(1.64)

0
e] = 0

für jedes e >O.

Wegen p ( li ) = 1- P(B) folgl aus (1 .65) P(lRn (A ) - p ] S e] = I - P(lRn (A) - p ] > c)

[,

\im P( IRn(A) - pI S e) = 1

n .... oo

>1-

_ 1_1 , d.h. 4 0
0

lim P(l Rn( A) - pI S e) = 1 ,~ -

Bemerkung; In Abschni tt I J haben wir die Wahrscheinlichkeit axiomatisch eingeführt, wobei uns drei wesentliche Eigenschaft en de r relativen Häuflgkeite n als Axiome dienten . Mit Hilfe dieser Axiome entw ickelten wir eine Theorie , mit de r gezeigt werden kon nte, daß in einem Bernculli-Expertment vom Umfang n die Zufallsgröße Rn(A) mit einer Wahrscheinlichkeit von beliebig nahe an I Werte in der unm ittelbaren Umgebung des Wahrscheinlichkeitswertes p = P(A) an nimmt , wen n nur n geniigend groß ist. Diese Eigenschaft kann folgendermaße n interpretie rt werden : es kann als prakt isch sicher angesehen werden, daß in einem Bernoul liExperiment von großem Umfang n die relati ve Häufigkeit r n (A) von einer festen zahl, der Wahr scheinlichkeit P(A), nur wenig abweicht . Damit haben wir eine

49

Beziehun g zwische n der relat iven Ha uflgkeit und de r Wah rscheinlichk eit eines Ereignisses A gef unden.

Allerdings muß dabei bemerkt werden, daß in der Interpretat ion "p raktisch sicher" nic ht bede utet , daß die relative Häuflgkeit immer in der unmitt elbaren Umgeb ung von P(A) liegt. Ausnahmen sind möglich . Wege n ( 1.65 ) werde n solche Ausnahm e n allerdings höchst selten vorkom men. Wen n ma n daher eine unbekann te w ahrsch ein Iic hkeit P(A) eines Ereignisses A d urch d ie rela tive Hä ufigkeit Tn (A) eines Be m oulli-Exp erim ents ap pro ximiert, wenn man also

P(A) "'"rn (A )

(1.66)

setzt , und solche Approximationen hä ufig vornimm t , so wird man bei großem n auf die Dauer höchst seilen eine schlech te Näher ung erhal ten .

1.10. Übungsaufgaben l . Ein Elemen ta rereig nis bes tehe im Auftreten eines Wortes mit vier Buc hsta be n. Ereig nis A bedeute : Die beiden ersten Buchstaben des Wo rtes sind Ko nso nanten ; Ereig nis B t ritt ein , wen n die dre i le tzten Buch stabe n des Wort es Ko nsona nte n sind. Man d rücke die Ereignisse Ä, A B, ÄB, A u B verbal a us, 2. Beim Werfe n eines weiße n und e ines ro ten wurtets stelle man folgende Ereignisse dar ; A: "die Augenzahl des roten Würfels ist größer als die des weißen " , B: "die Augensumme ist gerade", C: " das Pro dukt der beide n Augen zahlen ist kleine r als 5", ferne r die Durchschnitte AB, AC, BC, ABC. 3. Gegebe n seien n = {w = (x ,y)!O :S x. y :S 4 }, A = {w = ( x , y) / y :S x}, B =(w"'(x,y)fY :S4 -~ x} und C=(w=(lt,y) /y ;:d}. Man stelle das Ereignis ABC graph isch dar. 4. Von den drei Ereign issen A , B, C tre te l) m indestens zwe i, a) nur A, b) gerrau eines, g) mindestens eines nich t , c] höchstens eines, h) mindestens zwei nicht , d ) mindeste ns eines, e) genau zwei, ein . Ma n stelle d iese Ere ignisse mit Hilfe de r Ereigni sope rat ionen durch d ie Ereignisse A , S , C da r. 5. Bei eine r Ste llenaussc hre ibung werden nach Möglichkeit e nglische , französ ische un d russische Sp rachken nt nisse ve rlang t. Vo n insgesamt 190 Bewe rbern kön nen 70 nur Englisch , 45 nur Fran zösisch , 40 nur Russisch , 10 können Englisch und Russisch aber kein F ranzösisch , 8 Englisch un d F ra nzö sisch abe r ke in Russisch , 5 Französisch und Russisch abe r kein Englisch . Wie viele Bewerbe r kö nnen alle drei Sprachen, fa lls jede r mindestens eine der dre i Sprac hen beher rscht?

so

I . Ocr Wahnchcinlichkeihbegriff

6 . Von 2S Studenten studie rt jeder wenigstens eines der Fächer Biologie, Geographi e, Chemie . Biologie studieren insgesamt 14, Geographie 10. Genau 2 St udenten haben alle Fäche r, genau 8 m indestens zwei de r genannten Fächer belegt . Wie viele Studenten stu dieren Chemie? 7. Ein WUrfel werd e so veränd ert , daß die Wahrsche inlichkeit, mit ihm eine bestimmt e Zahl zu werfen , proportional zu dieser Zahl lSI. a) Man bestimme die wahrschemtichketten der Elementarereignisse.

b} Man berechne die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse: A: ..eine gerade Augenzahl wird gewo rfen", B: "eine Primzahl wird geworfen" , C: "eine ungerade Augenzahl wird geworfen".

c) Man berechne P(A U B), P(BC) und P(AB). 8 . Es werd en gleichzeitig drei Münzen geworfen . a) Man gebe ein geeigne tes n an. Unte r der Voraussetzung, daß es sich um ein Laplace-Expenment hand elt, bestimme man die Wahrscheinli chkei ten dafür , daß b) dreimal Wappen , c) einmal Wappen und zweima l Zahl auft ritt. 9. Wie viele Permutatio nen kön nen aus den Buchstaben fo lgender Wört er geb ildet werden : a) ROT , c) NONNE, d) STUITGART? b) orro, 10 . Wie viele Permutation en der Elemente a. , a1 ' . . . , an gibt es, bei denen a1 und a2 nebeneinander stehen? 11. a) Wie viele verschiedene siebe nziffrige Zahlen gibt es, die d reimal die I , zweimal die 3 und zweima l die 5 enthalten? b) Wie viele dieser Zahlen beginnen mit 135? 12. Ein Autokennzeichen beste ht neben dem Städtesym bo l aus einem ode r zwei Buchsta ben sow ie aus einer ein- tris dre iziffngen zahl. Wie viele verschi edene Kennzeich en k önnen in ein er Stadt ausgegeb en werden, wenn 26 Buch sta ben zu r Wahl stehen? 13. Aus den be iden Elementen ,,Punkt " und ,,St rich " bildet die Morse -Telegraphenschrift ihre Zeiche n, wob ei bis zu fünf Eleme nt e (in einem einzigen Ausnahmefall sech s) für ein Zeichen benutzt werde n. Wie viele Zeichen lassen sich damit zusammenstellen? 14. Aus 5 Psychologen und 7 Medizinern sollen 2 Psycho logen und 3 Mediz iner flir einen Ausschuß gewählt werden . Auf wie viele verschiedene Arten ist dies möglich , falls a) jeder delegiert werd en kan n, b) ein bestimmter Med iziner delegier t werden muß, c) zwe i bestimmte Psychologen nicht delegiert werden könn en?

51

I S. Aus 5 Ehepaaren werden zufallig 4 Perso nen ausge wählt. Mit welche r Wahr1Che inlichk eit ist unter ihnen kein Ehepaa r?

16 . Ein Ortsnetz hai 12 Fernwahlleitunge n nat h J 2 eerscnedenen Orten. Die Orte werde n rein zufillig von 8 Teilnehmern gleichzeitig . ngewählt . Wie groß ist d ie

Wahl"Sl;heinlichkeil daflir. daß a) alle Teilnehme r. verschiedene Orte, b) genau 2 der Teilnehmer den gleiche n Ort wählen? 17. Beim Skatspi el e rhält jeder de r d rei Spieler 10 Kart en , währ end die restlichen beiden Ka rten in den Skat gelegt wer den. Auf wieviel verschiedene Arten kö nnen die 32 Ka rte n ve rteil t werden? 18 . Wie groß ist d ie Wahrscheinlichkeit daflir, daß beim Ska tspiel a) der Kre uz-Bube , b) genau ein Bube. e) zwe i Buben

im Sblliegen? 19 . a) Ein Skltspiele r N I vor Aufnahme des Ska iS 2 Bube n. Wie gr oß ist die Wahr sche mlichke u da rur, daß j ede r Gegenspieler genau einen Buben hat? b) Wte groß ist diese Wahrsc he inlichk eit , falls de r Spieler nac h Aufn ahme des Ska ts 2 Buben hat ? 20 . Wie groß ist d ie WahrK heinlit hkeit mit drei Wurfein a) d rei gleiche Augenzahlen. b) zwei gleiche und eine davo n ve rschie dene Augenzahl , t) drei verschiedene Augenzah len , d) min desten s eine 6 zu werfen ? Dabei hand le es sich um ein Lapla ce-Ex periment . 2 1. In eine r Gruppe vo n 9 0 Ve rsuc hspe rsonen be finden sich gena u 30 U nkshän de r. Sech s Persone n werden zufallig ausgewählt . Wie groß ist die WahrSl.:heinlichkeit daflir, daß sic h unt er den 6 a usgewählt e n Persone n genau 3 Link shände r befinden? Man berechne diese WahrSl.: heinlichkeit a) exak t nac h dem Urnenmodell i , b) appro ximati v nach dem Umenmodell i l. 22 . Ein e pharmazeutische Firma liefert beslimmte Tabletten in Pac kungen zu 20 Stiick.. Laut Liefereert rag darf bei höc hst ens d rei Tabl etten einer Packu ng de r in der Tablette enthalte ne Wirkstoff um mehr als I 'J, vom Sollwert abweiche n. Jede Packung wird geprüft, indem man 3 Tabletten zufallig und oh ne awtschenzenlches Zurückl egen entnimmt. Sind die 3 Tablet te n einwan dfrei , wird di e Pac ku ng angenommen , ande rnfall s wird sie zurückgewiesen . Man beur teile d ieses Prüfver fahre n. inde m man d ie wa hrsche mhchkeu da flir berechn e, daß eine Packun g zurtickgewiesen wird , ob wohl sie nur 3 r ucht einwandfre ie Tabletten en thält . Wie groß ist diese Wahr scheinlichkeit , wenn d ie Packung n ur 2 bzw. I mcht einwandfreie Tablette e nthält ?

52

I.

Der Wahrschcinlichkcih bcgriff

23. Von drei Kästchen mit je zwei SChubfä chern enthalte das erst e in jedem Fach eine Goldm ünze , das zweite in einem Fach eine Goldmünz e, im and eren eine Silbermünze und das dritte in jedem Fach eine Silberm ünze. Zufällig werde ein Kästchen ausgewähl t und ein SChubfach geöffnet. Wie groß ist d ie Wahrscheinlichkeit, im andere n Fach des ausgewähl ten Kästchens ein e Goldmünze zu finde n, wenn das geöffn ete Fach scho n eine Go ldmünze enthält? 24. Die Kinder der sechsten Klasse einer Schul e werden dur ch eine n Te st auf ihre Fäh igkeit im Rech nen geprüft. Die Wahrscheinlichkeiten, mit denen Jun gen und Mädchen den Test nicht bestehen, seien in folgender Tab elle en thal ten . Test nicht be standen

Test bestanden

Ju ngen

0 ,2

0 ,25

Mädche n

0)

0 ,25

Sind die Ereignisse M " die Testperson ist ein Mädchen" und B " de r Test wird bestanden" (stach.) unabhängige Ereignisse? 25 . Die 4 Seite n eine s Tetraede rs seien wie folgt gefä rbt : Fläche I rot , Fläche 11 blau , Fläch e 11I grün , Fläche IV rot , blau und grün gleichzeitig. Der Tetraeder werde gewo rfen . Man prüfe , ob die Ereignisse, die unt en liegende Fläche enthält die ro te, blaue bzw. grüne Farbe paarweise bzw. vollstä ndig (stoch.) unabhängig sind. 26 . Ein SChütze treffe bei einem SChuß mit Wahrscheinlichkeit 0 ,6 ein Ziel. Wie oft muß er in einem Bemoulli-Experunen t mindestens schieße n, damit er mit w ahr scheinlichk eit von mindestens 0 ,99 das Ziel mindestens einmal trifft ? 27. In einem Berno ulli-Experiment werde ein ideale r Würfel t z-mat geworfen. Man bestimme die Wahrscheinlichk eit dafla , daß a) genau zweima l die 6, b) m indes ten s einmal die 6 gewo rfen wird.

28 . Aus Erfahrungswerten sei bekannt , daß ein neugeborenes Kind mit Wahrschei nlichkeit 0,5 15 ein J unge ist. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, daß in einer Familie mit sech s Kind ern a) alle Kinder Mädchen, b) wenigstens 5 der Kinder Mädchen, c) wenigstens 3 der Kinder Mädchen sind? 29. Unter den vo n einer Maschine hergestellten Schrauben befinde n sich im Durchschnitt 20 % Ausschuß . Aus der Tagesproduklion dieser Maschine werden zufallig 10 Schrauben he rausgegriffen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, daß von diesen Schr aube n a) genau 2, b) m ehr als 2, c) mehr als 5 unbrauchbar sind?

1. 1O. 0 bu ngsau fgabc n

"

30 . Eine Fußballmannschaft best ehe jeweils aus 4 Stürmern , 2 Mittelfeld spielem , 4 Ver teidigern un d einem Torwart. Man wähle aus 6 verschiedenen Mannschaften jeweils zufällig einen Spieler aus. Wie groß ist die Wahrscheinlich keit dafür, daß a) gerr au 5 St ürmer, b) nu r Verte idiger und Mittelfeld spieler. c) höc hstens 2 Torwa rte, d) 2 Stürmer, 2 Verteidiger, I MiUelfeldspieler u nd I Tor wart , e) 3 Stürmer und 3 Verteid iger, ausgewähl t werde n? 3 1. Eine Schachte l ent hält 8 rote, 3 weiße und 9 blaue Bälle. Daraus werden zufällig 3 Bälle entnommen. Wie groß ist die Walu scheinlichkeit dafür, d~ß a) alle 3 Bälle rot , b) alle 3 Bälle verschiedenfarbig sind? *32 . Zwei Schütze n schieße n so lange abwechselnd au f ein Ziel bis einer t rifft . Die Trefferwahr sche inlichk eit pro Schuß sei für Schütze I gleich PI und Hit Schütze 11 gleich Pl ' Schüt ze I beginne mit dem Wettbewerb . a) Mit welcher Wah rscheinlichkei t gewinnt Schütze I bzw. Schütze 1I? b) Welche Bedingungen müssen PI und P2 erfüllen, dam it beide Schütze n die gleiche Siegeswah rsche inlichkeit besitzen? 33 . Die Belegschaf t einer Firma setzt sich wie folgt z usammen: 50 % Arbeiter , 40 % Angestellt e un d 10 % Leite nde Angestellte. Aus Erfah rung sei bekann t , daß währ end eines Jahres ein Arbeiter mit Wahrscheinlichk eit 0 ,2 , ein Angestell ter mit Wahrscheinlichkeit 0 ,1 und ein Leitend er Angestellter mit Wahrscheinlichkei t 0 ,05 die Firma verläßt. a) Mit welcher Wah rscheinlich keit scheidet ein bes timmtes Belegschaftsmitglied währen d eines Jahr es aus? b) Mit welcher Wahr scheinlichk eit ist eine Person , welche die Firma verläß t, ein Arbeiter? 34. Eine Vrne VI enthalte 4 weiße und 6 rote Kugeln, eine and ere Urne V 2 dagegen 6 weiße und " ro te. Eine der beiden Vrnen werde rein zufällig ausgewählt und daraus eine Kugel gezogen. a) Wie groß ist die Wah rscheinlichke it dafür, daß die gezogene Kugel rot ist ? b) Eine rote Kugel wur de gezogen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit stamm t sie au s VI ? c) Die 16 + x Kugeln beider Urnen werden zusammengelegt. Wie groß ist da nn die Wahrscheinlichkeit, daraus eine ro te Kugel zu ziehen? d) Wie groß muß x sein, damit die in c) ermit telte Wahrscheinlichkeit gleich der Wahrsche inlichkeit , aus V I eine rote Kugel zu ziehe n, ist? 35 . 6O%einer bestimmten Popu lation seien Frauen , 40 % Männer . 5 % der Männe r un d I % der Frauen seien zuckerkrank.

54

1. Oe. Wahrscheinlich keit,begriff

a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, daß eine zufällig ausgewählte Person zuckerkrank ist? b) Sind sie Ereignisse "ei ne Person ist zucker kran k" und "eine Perso n ist weiblich" (stoch. ) unabhängig? c) Eine zufällig ausgewählte Person sei zuc kerkra nk. Mit welcher wah rschein lichk eit ist diese Person ein Mann bzw . eine Frau? 36 . Drei einer anstec kende n Krankh eit verdächt igen Personen A. B, C wur de eine Blutpro be entnommen . Das Untersuchungsergebnis sollte vorläufig nich t bekannt gegeben werden. A erfuhr jedoc h, da ß sich nur bei ein er Person der Verdacht bestät igte, und bai den Arzt , ihm im Vert rauen den Namen einer der Personen B oder C zu nenne n, die gesund ist . Der Arzt lehnt die Auskunft mit der Begründung ab , daß damit die Wahrscheinlichkeit dafür, daß A erkrankt ist , von ~ auf t ansteigen würde. A bestre ite t d ies. Man schlichte den St reit unter der Annahme, daß der Arzt , wen n A an de r anstec kenden Krankhe it leidet, mit gleicher Wahrscheinlichkeit B ode r C nenne n würde. 37. Eine Firma produziert Fern sehapparat e. Mit Wahrscheinlichkeit 0 ,04 ist ein pro duzie rtes Gerät fehlerhaft. Bei der Endprtifung zeigt das Prüfgerät bei fehlerhaften Fernsehap paraten mit Wahrscheinlichkeit 0 ,8 und bei einwandfreien mit Wahrscheinlichke it 0, 1 einen Ausschlag. Ein zufalllg ausgewählter Ap parat werde gep rüft , wobei das Prüfgerät nichts anzeigt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist dieser Fernsehapparat fehlerhaf t bzw. fehlerfrei? ·38. Ein Medikament in Tablett enform zeige unabhängig voneinand er zwei Wirkungen : die nicht sofort erken nbare Heilwirkung mit der Wahr scheinlichke it 0 ,8 und die sofort erkenn bare Nebenwirkung mit der Wahrscheinlichk eit 0,3 . Durch ein Versehen bei der Herstellung mögen I % der Tablett en eine falsche Dosierung bes itzen, wobei die Heilwirkung mit Wahrscheinlichkeit 0 ,3 und die Nebe nwirkung mit Wah rscheinlichkeit 0 ,8 eint ritt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit kann ma n auf Heilwirkung rechnen, wenn nac h Einnahm e des Medikament s a) die Nebe nwirkung eint ritt, b) die Nebenwirkung ausbleibt ? Dabei sei das Eint reten der Heilwirkung nur von der Dosierung und nich t vom Eintreten der Nebenwirkung abhängig. ·39. Bei einer Ser ienherstellung von wertvollen w erkstucken wird von einer Kont rolle ein Werkstück mit Wahrscheinlichk eit 0 ,1 als Ausschuß ausgesondert. Bei der Überprüfung dieser Kont rollstelle wu rde festgestellt , daß von ihr ein fehler freies Werkstück mit Wahrscheinlichkeit 0,042 und ein fehlerha ftes mit Wah rschein lichk eit 0,94 als Ausschuß de klariert wird . Arbeitet die Einrichtung zufriedenstellend? Um zu einer Ant wort zu kommen, berechne man die Wahr_ scheinlichkeit dafür, daß ein Werkstück fehlerhaft ist , wenn es vo n de r Kon t rollstelle ausgesondert bzw. nicht ausgesondert wird.

ss

2. 1. Ik fin ltlo n de r Zufa U,vOIlabkn

-40 . Wie ändert sich das Ergebnis von Aufgabe 39. wenn alle Werksh,d:e ein zweites Mal die Kont rollsteIle durchlaufen und nur diejenigen Stücke ausgesondert werden. die zweimal als Ausschuß bezeichnet werden? Dabei sei vorausgesetzt , daß das Ergebn is der I . Kont rolle auf die zweite Kontrolle keinen Einfluß hat .

2. Zufal lsvariab le 2.1. Definition einer Zufall$variab len Bei dem Zufallsexpe riment ..Werfen eines WiJrfels" haben wir die möglichen Ver· sechsergebnisse durc h die Zahlen 1, 2. 3 , 4 , S, 6 dargestellt , Dabei !litt 1.B. das Elementarereignis {6 } genau dann ein, wenn nach de m Wurf die mit sechs Punkten gekennzeichnete Seite des WUrfeb oben liest . Weitere Beispiele von Zufallsol:lperi. ment en, bei denen das Versuchsergebnis unmittelbar durch einen Zahlenwert angesebe n werden kann , sind : Die Anuhl der in einem best immten Blumengeschäft I n einem Tag verkauften Blumen , das Gewicht eines yoo einem Versandhaus bei der Post aufgegebenen Paketes, die Gewichtskl asse eine s Eies, die Größe oder das Gewicht einer zufaJhg aUSBewählten Person ode r die Geschwindigkeit eines an einer Radarkontrolle vorbeifahrenden Autos. Auch bei Zufallsexpe rimenten. bei denen die Versuchsergebnisse nicht unmittelbar Zahlen sind. interessiert man sich häufig Illr Zahlenwerte, welche durch die ve rsuchsergebnfsse w En eindeut ig bestimmt sind. Bei der Einführung der Binomia lverteilung interessierten wir uns z. B. fUr die Anzahl der Versuche , bei denen ein Ereignis A in einem Bemculh-Experiment vom Umfang n eintritt , Wir stellen uns allgeme in folgende Situat ion vor : Jedem Versuehsergebn is wE n ordnen wir durch eine wohlbtstimmt e ZuordnunglY'OllChrift genau eine reelle Zahl X(w) E IR zu . Nach jeder DurchfUhrung des entsprechenden Zufallsel periments soll dahe r mit dem Versucluergebnis w auch der zugeo rdnete Zahlenwert X( w) festliegen. X ist also eine auf n erklirte reellwertige Funktion. Wie d ie Ergebnisse w eines ZufaUselperirnents, so hängen luch die Werle de r Funktion X vom Zufall ab. Daher nennt man X eine Ü [allrvariabk. Die Zufallsvariabk X nimmt also einzelne Zahlenwe rte bzw. Werte I US einem ganzen Intervall nu r mit gewissen Wahlscheinlichkeiten an. Zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit . mit der die ZufaUsvariable X einen bestimmt en Zahlenwert l E IR annimmt, betr achten wir alle Versuchsergebnisse w, welche durch die Funktio n X auf den Zahlenwert x abgebildet werden. Die Gesamtheit dieser Versuchsergebnisse bezeichnen wir mit A. ; wir setzen also A. '" {w E n / X(w)" x},

x E IR .

(2. 1)

ss

2. 1. Ik fin ltlo n de r Zufa U,vOIlabkn

-40 . Wie ändert sich das Ergebnis von Aufgabe 39. wenn alle Werksh,d:e ein zweites Mal die Kont rollsteIle durchlaufen und nur diejenigen Stücke ausgesondert werden. die zweimal als Ausschuß bezeichnet werden? Dabei sei vorausgesetzt , daß das Ergebn is der I . Kont rolle auf die zweite Kontrolle keinen Einfluß hat .

2. Zufal lsvariab le 2.1. Definition einer Zufall$variab len Bei dem Zufallsexpe riment ..Werfen eines WiJrfels" haben wir die möglichen Ver· sechsergebnisse durc h die Zahlen 1, 2. 3 , 4 , S, 6 dargestellt , Dabei !litt 1.B. das Elementarereignis {6 } genau dann ein, wenn nach de m Wurf die mit sechs Punkten gekennzeichnete Seite des WUrfeb oben liest . Weitere Beispiele von Zufallsol:lperi. ment en, bei denen das Versuchsergebnis unmittelbar durch einen Zahlenwert angesebe n werden kann , sind : Die Anuhl der in einem best immten Blumengeschäft I n einem Tag verkauften Blumen , das Gewicht eines yoo einem Versandhaus bei der Post aufgegebenen Paketes, die Gewichtskl asse eine s Eies, die Größe oder das Gewicht einer zufaJhg aUSBewählten Person ode r die Geschwindigkeit eines an einer Radarkontrolle vorbeifahrenden Autos. Auch bei Zufallsexpe rimenten. bei denen die Versuchsergebnisse nicht unmittelbar Zahlen sind. interessiert man sich häufig Illr Zahlenwerte, welche durch die ve rsuchsergebnfsse w En eindeut ig bestimmt sind. Bei der Einführung der Binomia lverteilung interessierten wir uns z. B. fUr die Anzahl der Versuche , bei denen ein Ereignis A in einem Bemculh-Experiment vom Umfang n eintritt , Wir stellen uns allgeme in folgende Situat ion vor : Jedem Versuehsergebn is wE n ordnen wir durch eine wohlbtstimmt e ZuordnunglY'OllChrift genau eine reelle Zahl X(w) E IR zu . Nach jeder DurchfUhrung des entsprechenden Zufallsel periments soll dahe r mit dem Versucluergebnis w auch der zugeo rdnete Zahlenwert X( w) festliegen. X ist also eine auf n erklirte reellwertige Funktion. Wie d ie Ergebnisse w eines ZufaUselperirnents, so hängen luch die Werle de r Funktion X vom Zufall ab. Daher nennt man X eine Ü [allrvariabk. Die Zufallsvariabk X nimmt also einzelne Zahlenwe rte bzw. Werte I US einem ganzen Intervall nu r mit gewissen Wahlscheinlichkeiten an. Zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit . mit der die ZufaUsvariable X einen bestimmt en Zahlenwert l E IR annimmt, betr achten wir alle Versuchsergebnisse w, welche durch die Funktio n X auf den Zahlenwert x abgebildet werden. Die Gesamtheit dieser Versuchsergebnisse bezeichnen wir mit A. ; wir setzen also A. '" {w E n / X(w)" x},

x E IR .

(2. 1)

56

2.

Z u ralls~JTiab l e

Bei der Durchführung des Zufallsexperiments nimmt die Zufallsvariable X gertau dann den Zahlenwert x an, wenn das Ereignis A1 eintriII. Daher können wir die Wahrscheinlichkeit, mit der die ZufallsvariableX den Wert x annimmt, angeben, wenn A K zu denjenigen Ereignissen gehört. denen durch die Axiome von Kolmogoroff eine Wahrscheinlichkeit zugeordnet wird. Diese Wahrscheinlichkeit bezeichnen wir mit P(X = x). Für sie erhalten wir aus (2.1) die Definitionsgleichu ng P(X = x) = P(A K ) = P({w E n /X (w ) = xl) .

(2.2)

Entsprechend nimmt X Werle aus dem Intervall (a ,b J genau dann an, wenn das Ereignis ~a.bl = {w E

n j a < X(w) :S: b}

(2.3 )

eintritt . Besitzt auch dieses Ereignis eine Wahrscheinlichkeit , so erhalten wir ruf die Wahrscheinlichkeit dafür, daß X einen Wert aus dem Intervall annimmt , die Gleichung

P(a

< X 5: b) = P( ~a. b J ) = P({w E n la < X( w ) 5: b}) .

(2.4)

Von einer Zufallsvariablen fordern wir allgemein, daß für jede reelle Zahl x und für jedes Intervall (a , b], a < b, die in (2. 2) bzw. (2.4 ) angegebenen Wahrscheinlichkeiten erklärt sind. Wirgeben allgemein die

Def inition 2. J: Eine auf n definierte reellwertige Funktion X heißt Zufoltsvarwble. wenn sie folgende Eigenschaften besitzt : Für jedes x E IR und jedes Intervall (a ,b J, a < b besitzen die Ereignisse A~ = {w E n /X(w) ';' x} und ~ •. bl = (w E n/ a < X( w) 5: b} Wahrscheinlichkeiten. Dabei ist auch a = - oe> zugelassen. Die Menge aller Zahlen, die eine Zufallsvariable X als Werte annehmen kann, nennen wir den Werrel'Orrat der Zufallsvariablen X. Wir bezeichnen ihn mit W = W(X). Eine Zahl x gehört also genau dann zum Wertevorrat W, wenn es mindestens ein Versuchsergebnis w E n gibt mit X(w ) = x.

2.2. Diskrete Zufallsvariable 2.2.1. Definit ion einer disk reten Zufallwariablen

Beispiel 2. 1. Der Besitzer eines Jahrmarktst andes bietet folgendes Spiel an : Beim Werfen zweier idealer Würfel erhält der Spieler DM 10,- , wenn beide Würfel eine 6 zeigen, DM 2.- , wenn genau ein Würfel eine 6 zeigt. Wir bezeichnen mit X die Zufallsvariable, die den Gewinn eines Spielers beschreibt. Die Werte von X erhalten wir durch folgende Zuordnung (vgl. Beispiel 1.10)

A lO = {(6 .6)) -

x 10;

A, • {(6 ,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (5,6)i4,6W ,6),(2ßl,( I ,6» -

Ao = n \(A lO VA 2) -

x

0.

x

2;

57

2.2. Di,krete Zufall .v ariable

tt,;

Daraus erhalten wir die Wah rscheinlichkeiten P(X = 10) = P(X = 2) = ~; P(X = O) = ji , wobei nat ürlich P(X =10) + P(X = 2) + P(X = 0) =1 gilt. Die Werte der Zufallsvariablen X und die Wahrsche inlichkeiten, mit denen sie angenommen werde n, stellen wir in der folgenden Tabell e zusamme n. Werte von X

o

Wahrscheinlichk eiten

"

2

10

to

..L

" "

"

[Zeilensumme = 1).

Diese Wahrscheinlichke iten stellen wir als Stabdiagramm in Bild 2.1 graphisc h dar.

..L

o

••10

••

•

Bild 2. 1. Wah rscheinlich keiten eine r dis krete n Zufall svaria blen

Beispiel 2.2 (,,Mensch iirgere Dich nicht" ). Die Zu fallsvariable X beschre ibe die Anzahl de r bis zum Erscheinen der ersten ,,6" notwendigen Würfe mit einem idealen Würfel. X ka nn im Gegensatz zu de r in Beispiel 2.1 angegebenen Zufa llsvariablen une nd lich viele verschiedene Werte anne hme n, nämlich alle na türlichen Zahlen. Da die Zahlen des Wertevorrats W = {I . 2, 3, . . . } dur chn umer iert werden können , ist W abzJh l· bar unendlich . Nach Satz 1.20 lauten die Wahrscheinlichkeiten Pi = P(X = I) = ~ . ( ~)' . für i = I ,2, . . . . •

Defi nit ion 2.2: Eine Zufallsvariable X, deren Wertevorrat W nu r endli ch oder abzählbar unendlich viele verschiedene Werte enthält , heißt diskret . Die Gesamtheit aller Zahlen paare [x., P(X = Xi», Xi E W heißt Verteilung der diskreten Zufallsvariablen X. Sind Xi und Xj zwei verschiedene Werte aus W, so sind die be iden Ereignisse A~i = {w E n /X(w) = Xi} und A~j = (w E n / X( w ) = Xj ) unvereinbar , da de r Fu nktionswert X(w) nu jedes w eindeutig bestim m t ist. Damit sind die Ereig· msse A ~ I' A~a ' . .. paarweise unvereinbar. Da die diskrete Zufallsvariable X aber ei nen ih rer Werte anne hmen muß , erhalte n wir aus n = :E; A ~_, die Identität

,

1 = :E P(X = x j} , wobei über alle Werte Xi E W summiert werden muß.

(2.5)

"

2. Zuf allsvariable

Bemerkung; Wir bezeichnen allgemein d ie Verteilung einer diskreten Z ufal lsvariab len mit (Xi, P(X :::x,», i « 1, 2, ... . Dabei läuft der Index i bis z u einer Zahl m, falls der Wertev or rat endli ch ist . Im abzahlbar unendlichen Fall du rchlä uft i aUe natürlichen Zahlen.

Aus Ata,bl::: (w En/a variable

< X(w)

L

P(a < X S b) =

=:; b} =

~ AX j folgt fljr eine diskrete Zufallsa <Xi S b

P(X = l(;) .

(2.6)

P(X =Xi) '

(2.7)

a < xi S b Ents prechend e rhält man

P(a :;;;X Sb) =

L

aS "'i S b Die Wah rscheinlic hkeite n, mit denen eine d iskret e Zufallsva riable X Wert e au s einem Intervall annimmt, kö nne n also unmittelbar aus der Verteilu ng vo n X berechne t werden. Die Ere ignisse At•. bl bzw. AII,bl müssen dazu nicht unt ersucht werd en . Durch welch es Zufallsexperiment die d iskrete Zufallsvariable X entsta nden ist , spielt dabe i keine Rolle. Wicht ig sind nu r die Werte der Zufalls variab len X und d ie wahrscheinlichketten . m it denen sie angenommen werden . Daher können die Wert e Xj selbst als Ver suchsergebnisse interp retie rt werde n, d .h . man kann 0 ' '" W '" [x., xa . .. . } als sicheres Ereignis betra chten. Durc h P' ({ Xi}} = Pi = P(X '" Xl) Pi jedem Ereignis wird z unäc hst je dem Elementare reignis und dur ch p' (A') = 1: I: XjfA'

K c n ' eine Wahr scheinli chkeit zugeo rd net. Dabei er fli1lt p' offensich tlich. d ie Axiom e von Kolmogoroff. Wegen P' ({ Xi}) = P(X = Xi) = P({ w E n fX (w ) = Xl}) ist d ie Wahrsche inlichkeit p' durc h die Wahrscheinli chkeit P und die Zufallsvariable X einde ut ig best immt . Das Ausgangssyste m (n . P) wird somit du rch die d iskr et e Zufallsvariable X abgeb ildet au f das Syste m (n ', P' ). 2.2.2. Verteilungsfunktion einer d i$kreten Zufatl$Variab len Häufig inte ressiert m an sich für die Wahrsche inlichk eit dafür, daß eine Zu fall svariable X We rte a nnimm t , d ie nich t größ er als ein fest vorgegeb ener Wert x sind . d. h. filr P(X ~ x]. Läß t man x die Zahlengerade IR dur chlaufen , so wird d ur ch F(x) =P(X ~ x) ,

(2.8)

x E IR

eine reellwertige F unktion F e rklärt . Diese Fu nktion F. d ie durch die Zufall svariable X bes t immt ist, heiß t Verteilungs/unktion von X. Die Funkt ionswerte F(x) lassen sich bei d iskr eten Zufalls variablen nach folgender Fo rmel berechn en

F(x) =P(X~ x) =

L Xj ~x

P(X = x,) .

(2.9)

59

2.2 . Diskre te ZufaU..ariable

Zu r Untersuchun g de r Eigenschaften der Verteilungsfunk tion einer diskreten Zufallsvariablen betr ach ten wir folgendes BeispieI2.3. X sei die Augen zahl beim Werfen eines idealen Würfels. Die Verteilung von X laut et (i , !), i = 1, 2, . .. , 6. Diese Verteilung stellen wir in Bild 2.2 als Stabdiagram m graphi sch dar.

j e";,,,I o

,

2

F(xl

I

,

•o

,I

I5 6t

..

,

,

6

Bild 2.2. Wahr_

L

•

P(X = ll;) = I - F(a) .

X i~ _

Beispiel 2,4 (vgJ. Beispiel 2.2) . Wir bestimmen die Vert eilungsfun ktion F der Zufallsvariablen X. welche beim Spiel "Mensch ärgere Dich nicht" die Anzahl der bis zum Start notw en digen Würfe mit einem idealen Würfel beschreibt. Aus de r Vertellun g (i , I ), i = 1, 2, . . . erh alten wir F(x ) = 0 für x c I und für n " X < n + I die Funkti on swert e

i (U -

F (x)= P(X :s x)::::

1 Ln., i a),.-l =~ . ~ : : I _( ~ )n , _ ( ~ )n

i

~

1

6

n = I , 2, .. .

61

2.2. Drsk rcte Zufallwa riablc

Für jedes endliche x gilt zwar F(x)

< I ; wir erha lten jedoch

lim F (x) = !im (I -a )n) =l.

x ....oo

n ....oo

Für die Wahrscheinlichk eit da ftir, daß bis zum Start meh r als n Versuche notwendig sind, gilt

•

p eX >n) = I - P(X :$ n) = 1-[I -a)n] = ( ~ ) n. 2.2.3. Erwartungswert einer diskreten Zufallsvariab len

Beispiel 2 .S (vgl. Beispiel 2.1). Wir nelunen an , daß das in Beispiel 2.1 beschriebene Jah rmarkt-Spiel innerhalb einer bestim mt en Zeitspanne n-mal gespielt wird. Dabei werde hwmal der Hauptgewinn von DM 10,- und h 1 ·mal ein Gewinn von DM 2,verteilt , während bei den restlichen ho = n - h lo - h 1 Spielen kein Gewinn erz ielt wird. Damit erhalten wir fü r den in dieser Zeitspanne ausbezahl ten Gesamtgewinn x die Darstellung x = tO -h ,o+ 2 -h1 +O·h o ·

(2. 11)

Division durch n ergibt den Durchschn itt sgewinn

_ h lo h2 ho x = 10 - 11 + 2 -" +0 · n = 10 ·r lo + 2 · r1 +O ·ro.

(2.12)

Dabei stellen die Werte rrc • ta , rc die relativen Häufigketten der Spiele dar, bei denen 10 bzw . 2 bzw. 0 DM gewonnen wur den. Handelt es sich be i den Spielen um ein Bemo ulll-Experiment , so wer den nach dem Bemoullischen Gesetz der großen Zahlen für große n dIe relati ven Häufigkeiten mit hoher Wahrscheinlichkeit in der unm ittelba ren Nähe der entspreche nden Wahr scheinlich keitswerte liegen. Daher werden wir in

X "" IO 'P(X = 10) + 2 · P(X = 2) + O· P(X = 0)

(2. 13)

meistens eine gute Näherung erhalten. Die rechte Seite in (2 .13) hängt nur noch von der Verteilung der Zufallsvariablen X und nich t me hr von den einzelnen Spielausgängen ab. Da der mittlere Gewin n (e Durchschn jtt sgewmn] mit großer wahrsche inIichk eit in de r Nähe dieses Zahlenwe rtes liegt, nenne n wir ihn den Erwartungswert der Zufallsvariablen X un d bezeichnen ihn mit E(X) oder mit IJ_ Er lautet hier

E( X) " JO-

f6 + 2 ·

*"

~=~.

Für große n wird also de r mini ere Gewinn mit hoher Wahrscheinlichkeit ungefähr ~ DM betragen . Verlangt der Besitzer des Ja hr markt standes von jedem Spieler I DM

Einsatz , so wird er über einen längeren Zeitraum mit großer Wahrscheinlichk eit einen Gewinn von unge fähr DM pro Spiel erzielen . Dabei kan n es abe r durchaus einma l vorko mmen , daß er an einem Tag einen Verlust erleide t. Dafür wird der mittlere Gewinn an einem anderen Tag evtl. mehr a ls betragen. •

1

1

2. z " rall.....,;ablc

62 Besitzt eine ZufaUsvariable X de n endlichen Wcrlevorrat W = 50 hei~t

{X I . XJ • ••• • )1;'"

l,

der durch

•

(2.14)

E(X)E p= Ll.; P(X - x,)

,.,

erklä rte Zahle nwe rt f(X) der ErtII'tlrtungnwrt der ZufaUsvariablen X. Wie in Beispiel 2.5 besitz t der du rch die Vert eilung von X bestimmte Zahlen wert E(X) folgende Eigensc haft : Wild das zug runde liegende Zufallsexpe riment n-mal un abhängig du rchgeführt , so liegt (Ur große n de r Mitt elwert i der erhaltenen Zahlenwerte mit h öher Wahrscheinlichkeit in der Nähe von f eX), es gilt also mit großer Wah rscheinlichk eit

i"" fe X).

I

(2.15)

Als nklu les bet rachten wir eine diskrete ZufaUsvariable X mit abzihlba r unend lichem Wertrvornll W = (Xi. i " I , 2, ... }, de ren Werte Xi jedoch alle nit;htttqQtiv

•

sind. Dann bilden die end lichen PartiaJsummen s,, " LXo P(X = Xi), n - 1, 2 , 3, •. •

,.,

eine monot on nichtfallende Folge. die entweder gegen einen endlichen Grenzwert konvergiert ode r divergent ist (d.h. die Glieder Sn werden beliebig groß . wenn nur n hinreichend groß ist). lm erste n Fall nenne n wir den Grenz w ert der Folge s" den Erwart ungswert der nkhtflegatiwn Zu{ollswuitlb lefl X, d.h . R(X) '" lim

.

n ..........

'" Xi P(X " L..

1- '

Xi)

-

= L. '" X, P(X .. XI)

daß Herr Hube r Einzelspiel gleich beim I-ren Versuc h zum erstenmal gewin nt , aus der geometrischen Verteilung den

2.2.

D isk fc l ~

65

Zufallsv.,i.blc

Wert Pi '" ~ (*); - \ für i '" I , 2, .. . . Damit besitz t die Zufallsvariable X die ve rteilung ( I + 2; - 1; -H- (F,-)i-;-l), i '" I, 2, . .. und den Erwartungswert

Die Zufallsvariable X besitzt also keinen (endlichen) Erwartungswert Zur Anwendung dieser Stra tegie, die mit Wahrscheinlichkeit I immer zu einem Gewinn führt , müssen 2 Bedingungen erfüllt sein: I . es darf keinen Höchsteinsatz geben , 2. der Spieler muß über beliebig viel Geld verfügen, dam it er, falls notwendig, lange genug verdop peln kann. b) Wir nehmen nun an , daß die Spielbank den Höchsteinsatz auf 2048 Einheiten beschränkt hat. Wegen 2 11 '" 2048 kann Herr Heber höchstens l l-mal verdoppeln . Verliert er Iz-rnat hintereinander , so hat er seinen bisherigen Gesamtei nsatz in der Höhe von 2 11 - I '" 409 5 Einheiten verloren. Die Wahrscheinlichkeit d afür beträgt [P(D)j l1 '"

( ;~

Die Zufallsvariable Erwart ungswert

r'"

0,009 05.

X, die den Reingewinn in diesem Spiel beschreibt , besitzt

den

" ('-375)' ,ll37 L.,". (5037 )' - (2"- 1) ('-375)" •

.ll "

37 L.

k "' Q

k "'O

•

66

2.lu ratlsv.. iabl c

Eigensc haffen des Erwartungswertes einer d iskreten Zufallsvariablen Nimm t eine diskre te Zufallsvariable X nur einen Wer t c an , so nenne n wir X eine Konsta nte un d bezeic hnen sie m it c. Ihr Erwartu ngswer t ist nat ürlich auch gleich d ieser Konstante n c, es gill also

E(c) =c .

(2.17)

Für ein best imm tes Ereignis A wird du rch

I (w ) '" ( I, falls wE ~, A

O,falls w EA

ei ne Zu fallsvariable IA , de r sog . Indikator von A er klärt. Für seinen Erwart ungswert erhalte n wir

(2.18) Die Wahrsch einlichk eit P(A) eines Ereignisses A ist also gleich dem Erwa rtungswer l des Ind ikato rs von A. Beispiel 2.10. Den We rtevor rat der Reingewinn-Z ufallsvariablen X l , X" X l in Beispiel 2 .8 haben wir dad urc h e rhalten, daß wir von der jeweiligen Ausza hlung de n Einsatz subtrah ierten. Beschreibt die Zufallsvaria ble YI die Auszahlung nach einem Spiel an de n Spieler I , so erhalten wir die Werte der Zufallsvariable n Y1 dur c h Ad d it io n de r Zahl 1 (Ein satz) zu den We rte n von XI' Die e ntsprechende n Wah rund P(Y l = 0) " scheinlie hketten ble iben dabe i erha lten ; es gilt also P( Y I " 36) " Wegen d ieses Bildungsgesetzes beze ichne n wir d ie Zufallsvariable YI auc h mit Xl + I . Für den Erwar tungs wert de r Zufallsvariablen X I + 1 erha lten wir

f.r

1

36

t

36

1

36

*

E(X I + 1) =(35 + I ) · 31 + (- 1 + I ) ' 31= 35 ' 31 - 37 + I · 37 + 31 " E (X 1)+ I. ~

~

: 1:: ( X I )

EI

Ents prech end gilt E(X 1 + 1) = E (X 1 ) + I ; E (X J + I ) = E (X J ) + I . Setz t Spieler 111 anstelle einer Einheit a Einh eiten (den neu en Ein satz erh ält man aus dem alten durch Multiplikation mit a) , so multip liziert sich auch der Reingewin n mit a. Die Zufallsva riable a . X J , d ie nun de n Reingewinn besch reibt , besitz t die Verte ilung

-,

wen e vcn a -X, Wah rscheinlichke iten und den Erwa rtungswert 18

I

t

18

E (a .X J ) = a . 31 +a .(- 2'31) + a . (- 1 ' 37)

a =-74" = a-

E(X J )

.

•

Mult ipliziert man säm tliche Werte Xi einer diskr et en Zufal lsvariablen X mit einer KOnsta nte n a un d add iert anschließend eine Konst ante b , so erhält man de n Werte-

67

2.2 . Diskret e Zufallsv. ,i.ble

verrat W = la x; + b, i = 1,2, ... } einer diskreten Zufallsvariablen . Diese Zufallsvariable bezeichnen wir mit a X + b. Im Falle a = 0 nimm t diese Zufallsvariable nur den Wert b an. Für a 0 sind alle Werte a xt + b , i = 1, 2 , ... verschieden. Die Zufallsvariable aX + b nimmt genau dann den Wert aXi + b an, wenn X den Wert Xi annimm t ; es gilt also P(aX + b = aXi + b) = P(X = xj}, i = I, 2, . Die ZufaU svariable Y = aX + b besitzt som it die Verteilung {ax, + b, P(X = x;», i = 1, 2, . .. . Für den Erwartung swert von aX + b zeigen wir den

"*

Sat z 2.2 X sei eine diskrete Zufallsvariable mit der Verteilung (Xi , P(X = Xi». i = I , 2, . und dem Erwartungswert E(X). Dann gilt für den Erwartungswert der Zufa llsvariablen a X + b, a , b E IR E(a X +b)=a E(X) +b .

(2.19)

Bew eis:

1. Für a = 0 nimm t die Zufa llsvariable a X + b nur den Wert b an. Dann ist dieser Zahlenwert auch der Erwarl ungswert. 2. Im Falle a se 0 besitzt die diskrete Zufallsvariable a X + b die Verteilung {ax , + b, P(X = Xi», i = 1,2, .. Daraus folgt E(aX + b)= I [a x, + b) P(X = Xi) =a I x, P(X = Xi) + b I P(X = x;) = i

i

;

= a E(X) + b ,

•

womit der Satz bewiesen ist. Häufig kann der Erwartu ngswert einer diskreten Zufallsvariablen direkt aus Symmetrie-Eigenschafte n der Verte ilung gewonnen werden . Dazu betrachten wir zunächst das Beispiel 2.1 1 (Augensumme zweier Würf el. vgl. Beispiel l .IO). Die Verteilung der Zufallsvariablen X der Augensumme zweier idealer Würfel ist in Bild 2.3 in einem Histogramm dargestellt.

*

, r 1

r r

'----__
-I-+__
-~+--1-~+--I-+----"

o

2

3

,

S

,

7

Bild 2. ). AlIgen,umm e zwefe r iduler Wiirrel

8

9

10

11

12

68

2. Zufall.variable

Die Wert e von X liege n au f der x-Achse symmetrisch zum Punkt s "' 7. Ferner besitze n jewe ils d ie beiden zum Punkt x '" 7 symme trisch liegenden Wer te die gleiche Wahnchein lichk eit . Esgill also

P(X z 7i- k) "'P(X = 7 - k)

fu..k=O .I • ...• S.

Die Zufa llsvariable X - 7 besitz t die Vert eilung

Werte von X - 7 Wah rSl; heinlic hkeiten

Dieselbe Ver teilu ng besitzt aber a uch die Zufa llsvaria ble - (X - 7) = 7 - X. So mit habe n d ie beiden Zufallsvariablen X - 7 und 7 - X a uch de n gleichen Erwartungswert . Es gilt also E( X - 7) = E( 7 - X) .

Nach Sau 2.2 e rhalten wir hieraus die Gleichung E(X) - 7 = 7 - E( X )

mit der Lösung feX) = 7. Der Symmetre-Punkt $ " 7 ist also der Erwartungswert roß X.

•

Allgemeingill der Satz 2.3 Lassen sich die We rte einer d iskreten Zufallsvariablen X darstellen in de r Form ( s:t Xk, k " 1,2, ... ) und ist da bei rur alle k die Gleich ung P(X = s + Xk) = P(X ""s - Xk) e rfü l t, so gilt im Falle de r Exist enz des Erwart ungswertes vo n X E(X) = a. Die Zufallsvariablen X - s und - (X - s) ~ s - X besit zen diese lbe ve netlung und. falls de r Erwartungswe rt von X e xistie rt, auc h den glekhen Erwa rtungswert . Damit gilt nach Sau. 2.2

B_~iJ:

E(X - s) = E( X) - 1- E( s - X) = 1 - E(X) . wor au s unmittelbar die 8l!hauplung E( X) = s fo lgt .

•

Ist g eine a uf de m Werte vorrat W einer d iskreten Zufallsvariablen defi nierte , reellwemge Funktio n , 50 bildet g die Menge W auf d ie Bild menge g(W) = (g (Xi). Xi e W} ab . Dabe i kann de r Fall eint rete n , daß verschiedene Werte Xi de r Zufall svariablen X gleiche Bildpunkt e besitze n, z. B. g(xJ) = g(Xk) für ein j *- k . Wie bei der linearen Ab bildung aXi + b ist d ie Bildm eng e g(W) Wert evor rat eine r diskreten Zu fallsvariablen Y = g(X ).

2.2. Di,krete Zufallsvariablc

69

Wir beze ichne n de n Wert evorrat g( W) mit g(W) '" {y h Y1 , Yj Eg(W) P( g(X ) '" YJ ) '"

"

...} .

Dann gilt für

P(X '" x;) .

~

(2 .20)

Im Falle de r Existenz des Erwart ungswertes der Zufallsvariablen g(X) gilt der Sat z 2 .4 g sei eine auf dem Wer tevo rrat einer diskreten Zufalls variablen X de finierte , reellwer tlge Fu nktio n. Existie rt der Erwartungswert der Bildvariablen g(X), so gilt E(g (X)) '" J,: g(Xi) P(X '" x;).

,

(2.2 1)

Beweis: Der Wertevor rat der Zufallsvar iablen g(X) sei {y I , yr , . . . }. Dann folgt aus (2.20)

L YJ P(g(X) '" YJ) '" L YJ L

E(g (X» '"

P(X '" xi) '"

; :, (Xi) : YJ

~

2.: L J

" P(X·,,) .

; :I{x;) =Yj

Für alle Werte Xi, über die in de r zweiten Summe sum mier t w ird , gilt aber YJ '" g(x ;). Darau s folgt

E(,(X ))'

L 2.:

J I(Xi):

(2.22)

, (,oj P(X ' "). Yj

Da auf der rech ten Seite von (2.22) insgesamt übe r alle Werte XI E W(X) summie rt wird, folgt da raus die Behau ptung

,

•

E(g (X » '" :E g(x; ) P(X '" x;).

Bemerk ung : Ist der Wert evorrat W end lich , so auch g(W). Dann existiert der Erwartungswert E( g(X)) als endliche Summe . Falls W abzählb ar unendlich ist , existi ert E(g(X» ger rau dan n, wenn die Bedingung

L Ig(xi )1P(X '" xi) < i

QQ

erfüllt ist.

-t

Zur Nachprüfung, ob der Erwartungswert von g(X) existi ert , und im Falle de r Existe nz zur Berechn ung von E(g (X» m uß-wegen (2.2 1) die Verteilung de r Zufallsvariablen g( X) nicht best immt werden ; da rin liegt die Bede utung des Satzes 2.4. 2.2.4. Varianz und St reu ung einer diskret en Zufallsvariablen Mit den in Beispiel 2.8 beschriebene n Strategien spielen die d rei Ro ulette-Spieler mit verschiede nen Risiken, wobei Spieler I das größte und Spieler 111 das kleinste

70

2. Zufall'Yal'iablc

Risiko auf sieh nimmt . Daraus resultieren d ie verschied enen Verteilungen der Gewinn -Varia blen Xl . Xl . Xl ' Die Wert e der einze lnen Zufallsvariable n sind auf de r x.Achse verschieden "gest reut" , Trot zdem besit zen die beiden Zufa llsvar iablen Xl und X 2 de nselben Erwart ungswert IJ. = - h. Der Erwart ungswert IJ. einer diskret en Zufallsvariablen liefer t somi t keine Info rmatio n über d ie Größe de r Abweichungen der Wert e Xi von u. Aus dem Erwa rtungswert de r Zufallsvariablen X -p mit der Vert eilung (Xl - J.I . P(X '" Xl), i '" I , 2, ".. erhalte n wir wegen

E(X - J.I) '" E(X) - p "" jA - p = 0 eb enfalls keine Informatlo n darüber , da sich die positiven und negati ve n Diffe renzen Xi - JA bei de r Erwa rtungswertb ildun g ausgleichen. Dah er wä re es nahe liegend, d ie Absolutbet rage lXi - ~I z u be trachte n, also d ie Zufallsvariable IX - #1. und de ren Erw artungswert E ( IX - ~I) '" 1: lXI - ~ I P(X : Xi) als Maß für die Stre uung eine r ;

Zufallsvariablen X einzuführen. Da sich jedoc h Ausdrücke mit Absol utbe trägen math emati sch nur sehr schwer be hande ln lassen, ist es vom ma thema tisc hen Stan dpunkt aus günstiger, an Ste lle der Abso lutbet räge d ie Abweich ungsqua drat e (Xi - ~)~ und als Maß für die Streu ung de n Zahl enwert~JE(lX ~J~ ) z u wählen . Wir gebe n dahe r d ie

Defi nition 2.4: Ist

~ der Erwartungs wert einer d iskrete n Zu fallsvariablen X , so heiß t im Falle de r Existenz der Zahlenwe rt

d ie Varianz und d ie pos itive Quad ratwurzel

(1:

abweichung oder Streuung von X.

D( X) : ~JD~(X) d ie Standard-

Bei vielen Zufallsvar iablen sind die Wer te Xi ganzzahlig. Falls dann ~ nicht auch ga nzzahl ig ist , läßt sich die Varianz nach der im fo lgenden Sa tz angegebenen Fo rmel einfac he r berech nen. Satz 2. 5 Für d ie Varia nz (J~ eine r di- kreten Zufall svariablen gilt die Beziehu ng

, xf

o~ : ~

P(X : X i) -~~ '" E (X1) _~~.

(2.23)

Beweis: o~ : E ([X - ~ J2): ~ (Xi - ~)~ P(X : Xi):

,

:~(X~ , -2~ X i + ~~ ) P(X:Xi): : ~ x~ P(X '" xi) - 2 ~ 1: Xi P( X : XI) +~1 1: P(X : Xi) " l

I

I

i

'" 2: X ~ P( X : Xi) - 2~·~ + ~ ~ ·l '" E; x~I P(X : X') - 1J2 : I I =E(X2 ) _~ 2 .

•

2.2. D"k ,d e Zuh lhva.iablc

71

fkisp'd 2. 12 (vgl. Beispiel 2.8). Für die in Beispiel 2.8 erklär te n Reingewinn. Variablen XI, Xl . Xl erhalten wir nach Satz 2.5 die Varianzen und St reuungen (auf drei Siellen geru nde t}

1 36 (37I)' " 34,080 ; 01= 5,838 ; 12 + I · -"37 - (1-37 )' -1972 ·, 0, = 1,404 ; • ', - D' (X, ) " 4 · -37 •

0~ -D'(XI)"3S' ·37 + 1 ·37 -

18 + -I · - I + 1- -18 - ( -1)' =0980 · 0, = 0 990 • ,' - D' ( X, ) = I · -37 4 37 37 74 •• ,.

•

Für eine lineare Transformalion a X + b gill der Satz 2.6 ISI X eine diskrete Zufallsvariable mil der Varianz D' ( X), so gilt für beliebige reelle Zahlen a, b (2.24 ) Beweis: Aus E(aX + b) = a E(X) + b - ajJ + b folgt

DI (aX + b) = E(l a X + b - E(aX + b)I') '" E« aX + b - a E(X)- bl' ) = = E([aX - a E(X) I') - E(a' · IX - /.11') '" a1E«X _ /.l )I) " a' D'(X). Bemerkungen; I . Für a - I erhalten wir

•

(2.25)

Diese Eigenschafl ist unmittelbar einleuchtend, da die Werte und der Erwartungs. wert der ZufaLlsvariablen X + b aus denen 'Ion X durch eine Parallel'leTSch iebung um b hef'lOrge hen. Daher streuen die Werte der Zufallsvariablen X + b um den üwartungswert E(X) + b genauso wie die Werte von X um E(X). 2. f ür b - 0 ergibl sich DI(aX) " a' D' (X)

(2.26)

und hieraus HiT die Standarda bweichung D(a X) = lai D(X) = lai o .

(2.27)

Multiplikalion der Zufallsvariablen X mit einer Za.hl a bewirkt also die Mult iplikatton der Varianz D' (X) mit a' und die Mult iplikat ion der Streuung D(X) mit lai. Definit ion 2.5: Ist X eine diskrete Zufallsvariable mit dem Erwart ungswert jJ und der Standardabweichung 0 >0 , so heißt die daraus abgeleitete Zufallsvariable

X· _-X-. •-

die Standardisierte 'Ion X. Die lineare Transformation

x;" heißt S tandardisimm g.

72

2. Z.. r.l h... ri. bk

Bemerkung: Für eine standardisierte Zufallsvariable X· gilt f(X '") "

~ erx - $ol) :: 1(E(X) - ~) .. ~ (Jl -

O'(X -) " 0 1

(1a IX - p)) : 1.0' D1(X

_ P ) ..

$.l) '" 0 ;

.1· 0 1 = I .

0'

X· besitzt also den Erwart ungswert 0 und die Varianz (u nd damit die St re uung) I . 2.2.5. Paar. d iskreter Zufallsw rtablM

Beispiel 2.13 (vgl. Beispiel 2 .8). Beim Roulett e-Spiel set ze Spieler IV jewetls eine Einheit auf die Kolo nne (I , 2, . . . , 12) un d eine auf " Impair", also auf die ungeraden Zahlen. Seine Gewinne werden du rch die be iden Zufallsvariablen X( = X, ) und Y(- Xl ) beschrieben, also durch das sogen annte Zu[a/JsvarilJbk npaar ( X, V). Wenn die Ereignisse K = {I. 2•. . .• 12) und U · {J . 3, ... • 35 } zugleich, d.h .• wenn K n U .. {I , 3. S, 7, 9 . ll } eintritt , nim mt X den Wert 2 und Y den Wert I an. Wir schreiben dafür (X '" 2, Y = I ). Dabei gil t P(X " 2, Y = I) = P(K n U) =

rr.

Ents prech end erhalten wir

P(X · 2, Y = - i)

", p(K n {O}) - p(0) - O,

P(X - 2, Y " -I)

= P(KU) · P({ 2, 4, . ..• 12}) = f"

P(X - - I , Y =I )

= P(K U) = P({13 , IS, ... , 3S)) = *,

P( X - - I , Y " - ~ ) = p( K n ( O)) - P({ O}) -

k,

P(X - - I . Y = - ' I) = p(K O ( O)) - P({J 4 .1 6•. .. , 36)) = *. Diese sechs Wahrscheinlichk eiten stellen wir in fo lgendem Schema übersich tlich dar. wobei die werte \'On X in de r ersten Spalt e und d ie von Y in de r ersten Zeile stehe n.

~ X- 2 X " -I

Y =I

n-

u

" P(Y =I)= ~

y.-j

Y = -I

0

;,

P(X = 2) "

.L

u

p (X a - l) - it

" P(Y - - ~ ) - /i

"

\t

P(Y = - l) = ~

Die Zeilensumme n liefern die wahrschelnljchk eüe n, mit denen die Zufallsvariable X ihre Werte annimmt. Durch Bildu ng der Spaltensummen erhält man die Wahrscheinhchk eiten Iur Y. Diese Wahrsch einlichk eiten stellen wir in Analogie zu dene n ein er einzel nen Zu · fallsvariablen in einem räumlich en Stabdiagramm dar. Dazu t ragen wir die sec hs Zahlenpaare (2; I); (2; - ~ ) ; (2; - 1) ; (- 1; 1) ; (- I ; - ~ ) ; (- 1; - I) in die x-y -Ebene als Punkte ein. In jedem dieser Punkte stellen wir senkrec ht auf die x-y-Eben e eine n

73

2.2. Diskrete Zufall P(X '" Xi» , i = I, 2, . .. un d (Yi . P ( Y = YJ », j = I , 2, . .. auch Randverteilungen.

Definition 2.6 : Die Gesam theit ( Xi, YJ, P (X = Xi, Y = YJ», i = 1,2, . . . , j = 1. 2, ... heißt gemeinsame Verteilung der bei den dis kreten Zufallsvar iablen X und Y . Die eindimensio nalen Verteil u ngen (x., ~ P(X = Xi. Y = Yj)), i = 1,2, ... bzw.

,

( Yj . I P(X

=Xi, Y =YJ»

,j

=1, 2 , . . .

,

heiße n Randverteitungen,

Sind für alle i,j je weils die Ere ignisse Ai u nd BJ [stoch.} un abhän gig , so ist es sinnvoll, die be iden d isk rete n Z ufallsva riab len [stoch.) u nab hän gig zu ne nne n. Mit Sat z 1.16 er halte n wir d aher folgende

Definition 2. 7: Zwe i d iskrete Zu fallsvariable he ißen (s tochastisch) ufUlb hiingig, falls Hit alle Wert epaa re [x., YJ) die Gleichu ng

P(X =

Xl.

Y = Yj) =P(X =

Xi ) .

P(Y =Yj)

( 2.33 )

gilt. Be i (stoch.) u na b hängigen Zufallsva riablen ist d ie gemeinsame Ver teilung wegen ( 2 .33) d u rch die Ver teilungen der einzel nen Zu fallsvariablen bereits bestimm t. Die beide n in Beispie l 2 .13 behandelten Zu fallsvariablen X und Y sind nicht (stoc h.) unab hängig . Ma n nen nt sie da her (st och.) abhdngig. Aus d en beid en Einzelverteilunge n läßt sich im a llgem einen die geme insame Ve rteil u ng nich t du rch Pro dukt b ild ung b estim men. Man muß dazu , wie in Beisp iel 2.13 d ie wahrsch einl ichk etten P(A i BJ) b erechn en . 2.2.6. Summen und PTodukte diskretBf" Zufa llsvariablBf"

Beispie l 2J4 ( vgl. Be ispiel 2.13 ). Spie ler IV a us Be ispiel 2.13 wird sich nach einem Einzelsp iel HiTdie Gewinn summe interessier en, die ihm seine b eide n Einsä tze eingebracht h ab e n. Die Zu fallsvar iable , welch e die Gewinn summ e be schre ib t , b ezeichn en wir mit X + Y. Die gemeinsame Ver teilung der beid en Zufallsvariablen X und Y bestimmt die Verte ilung d er Summe nvariab len.

75

2.2. DiskoclC Zllfall... ri.blc

Aus der in Beispiel 2.13 angegebe nen Tab elle e rhalte n wir die Zuo rdnung:

(X = 2, (X "' 2, (X = 2,

x+ Y =3,

Y = I) Y= - l) Y = - l)

x+ Y = L X+Y = 1, X + Y = o. x +Y=- L X + Y = - 2.

(X = - l , Y =I) (X = - l , Y = - t) (X = - l , Y = - I )

Damit laute t die Verteilung de r diskre ten Zu falJsvariablen X + Y: Werte von X + Y

- 2

3

Wahrscheinlichk eite n

n-

'1

"

Für de n Erwartungswer t der Summ envariablen X + Y e rhalt en wir E (X

6

6

3

I

12

+ Y) = 3 . 37 + I · 37 - 2" 37 - 2· 37

=

36 + 12 -3 - 48 74

3

= -74 = E (X) + E( Y) . Der Erwartungswert der Summe X + Y ist also hie r gleich der Sum me der einzelnen Erwar tungswerte. • Diese Eigenschaft wo llen wir nun allgemein für d ie Summe zwele r d iskrete r Zufallsvariabler zeigen . Sind X und Y zwei dis kret e Zufallsva riablen mit de r gemeinsame n Verteilung

YJ, P(X = Xi , Y = YJ» , ~ : : : ~ : : : : ' so best eh t der Wertevorr at de r Summe nvariablen X + Y aus allen möglichen Summen Xi + YJ. Dabe i könne n man che Summen gleic h sein. W(X + Y) besteht som it aus allen Zahl en Zk . zu denen es mindes ten s ein Wertepaa r ( Xi, YJ) gibt mit Xi +Yj = Zk. Wir setzen W(X + Y) = {ZI' Zl . Z3, ... }. Dabei erhalte n wir für d ie e ntspreche nden Wahrscheinlichkeilen die Gleic hun g ( Xl.

(2.34) "i +

YJ ~

Zk

wobe i in (2.34) über alle Paa re (Xi. YJ ) m it Xi + Yj = Zk sum miert werden muß . Für die Sum me X + Y zeigen wir den Satz 2.7 Sind X un d Y zwei diskr ete Zu fallsvar iablen m it den Erwartu ngswert en E( X) und E(Y), so gilt

E(X + Y) = E(X) + E(Y) .

(2.35)

76

Beweis: Ist {z" z:, ... l der wertevorrar von X ... Y, soerhalten wir aus (2.34) und (2.32) die Gleichu ngen

E( X +Y) '" 2>k P(X+Y = Zk) = k

Llk L k

P(X = x"Y = Yj} =

Xi . n . ~

( Xi '" Yi) P(X = x;, Y = Yi) = k

=

=

L

Xj + Yj ", Zk

L(Xj + Yj) P(X =X i . Y = Yi): J

L L x, P(X = Xj. Y =YJ)'" L j

=

,

L>J P(X :x; ,V =YJ) = j

L Xi L P(X = Xi, Y = Yi}'" L>JL P(X '" I

I

I

'" L Xi P( X =Xi )+ L

xj,

Y = Yi} =

I

•

Yj P(Y = YJ} : E(X)+E(Y) .

;

Mit dem Prinzip der vollständigen Induktio n läß t sich (2.35) unmittelbar auf die Summe von n diskrete n Zufa llsvariablen mit existie renden Erwar tu ngswerten übertragen . Es gilt also

E(i: x,). i: E(X,) ; =\

(2.36)

i =\

Betrachtet man an ste lle der Zufallsvariable n Xi die Zufallsvariablen aj Xi. a j E IR, i '" I , . .. , n, so folgt aus (2. 36) und Sal z 2.2 un mitt elbar die Gleichung

E(

I" aix;) = L" ajE(Xi), a; E IR .

i

=I

(2.37)

i=I

Für die Produk tvariabl e X ·Y muß die entsprechende Gleich ung E(X· Y) =: E(X) ' E(Y) nicht unbedingt gelten , wie folgendes Beispiel zeigt.

2.2. Di. kfclc

77

Zuf.II ,~ari .b1c

Beispiel 2. 15 (vgl. Beispiel 2. 13). Aus der gemeinsamen Verteilung der in Beispiel 2 .13 behandelten Zufallsvariablen X. Y erhalten wir du rch Produk tbildung folgende Zuo rdnung : ( X = 2, Y = I)

-

(X = 2, Y = - H (X = 2,Y = -I ) (X : - I , Y= I)

- X ·Y = -I , - X ·Y = - 2, _ X ·Y = -I,

X'Y = 2 ,

>

identisch

y:-n-

(X = - I , X 'Y = ~ ' (X : - I , Y = - l) - X · Y =!. Die Produktvariable X · Y besitz t somit die Verteilung Werte von X ' Y Wahrscheinlichkeiten Daraus folgt

1 12 12 1 12 12 E(X 'Y ) = - 37 -37 + 74 + 37 + 37 = 74 '

•

während E(X) . E(Y) = )/74 ist . Es gilt jed och der Satz 2.8 Sind X und Y zwei (stoch.) unabhängige diskrete Zufal lsvariable , de ren Erwartungswert e existie ren, so gilt

(2.38)

E(X ·Y): E(X) · E(Y) .

Beweis: Wir bezeichnen den Wertevorra t der Produ ktvariablen X ' Y mit (Z., Zl , ... }. Dann gilt wegen der vorausgesetzten Unabhängig keit E(X· Y) =

L ZkP( X' Y=Zk) : L Zk L k

k

P(X = x;,Y = yj) =

x; ' Yj=t k

x; YjP(X = x;) . P(Y = Yj) =

=

L L x;Yj P(X= x;) P(Y = YJ) = L x; P(X = x;)·1: YjP(Y : Yj) = J

= E(X) ' E(Y).

J

•

Den Begriff der (sto chastischen ) Unabhängigkeit übertragen wir auf mehr ere diskrete Zufallsvariable in der folgenden

78

2. Zufa ll,va , iable

Definition 2.8: Die diskreten Zufallsvariablen Xl, X, •...• Xn heißen(stoch.) unabhängig, wenn flir alle Wertekombinat ionen

P(X. '" Xi i'

.. . ,

Xn '"

Xin )

Xi i

E W(X.), ... , Xi n E W(X n) gilt

= P(X . '" Xii} • . . . . P(Xn = Xi n )

'

(2.39)

Durch vollständige Induktion folgt aus Salz 2.8 der

Satz 2.9 Sind XI , Xl . " ', Xn (stoch .) unabh ängige diskrete Zufallsvariable n, deren Erwart ungswert e existieren, so gilt (2.40 ) Beisp)e12.1 6. Eine Person , die von der Wahrscheinlichkeitsrech nung nicht allzuviel verste ht , biet et gegen jeweils 50 PEg. Einsatz folgende Spiele an; Spiel I : Würfeln mit drei idealen Würfeln. Das Augenprod ukt wird in Pfennigen ausgezahlt. Spie12: Würfeln mit drei idealen Würfeln. Die fünffache Augensumm e wird in Pfennigen ausgezahlt. Welches der Spiele kann ma n spielen? Wir numeneren d ie Würfel durch und bezeichnen mit Xl. X" Xl die Zufallsvariablen de r jeweils geworfene n Augenzah len. Dabei gibt es insgesamt 6 3 = 2 16 verschiedene Versuchsergeb nisse. Handelt es sich um ein Bemoulli-Ex per imem, so gilt für jedes mögliche Zahlent ripel 0, j, k) die Identit ät P(X l = i, X,

=j, Xl =k) = 2: 6

= P(X! = i) ' P( X,

=j) . P(X l =k) ,

I ::;: i, j , k ::;: 6.

Die Zufallsvariablen X l , Xl , X] sind also [stöch.] unabhängig. Damit gilt nach Satz 2.9 für die Gewinnerwart ung in Spiel I E(X l . Xl ' Xl ) = E(Xd ' E(X ,) · E(X) = 3 ,S3 = 42,87S . Die Gewinnerwartung aus Spiel 2 lautet E(S(X 1 + X, + Xl » = 5E (X I + X, + X) = 5 (E (X I ) + E(X 1) + E(X ) )) = = 5 ·3 ·3,S=52,S. Die Gewinnerwar lung liegt bei Spiel I unte r, bei Spiel 2 über de m Einsatz. Daher kann man das zweite Sp iel mitmac hen, das erste dagegen nicht . • 1 Zur Berech nung von D (X + Y) bilden wir zunächst folgende Umform ung (X + Y - E(X + Y) ]1 = [X + Y - E(X) - E(Y) J' = [(X - E(X)) + (Y - E(Y» J' = = IX - E(X))' = IX - E(X) ]'

+ [Y - E(Y) J1 + 2 1X - E(X)]I Y - E(Y)] = (2.4 1) + IY - E(Y)Jl + 2 · [X ' Y - E(X) ' Y - E(Y)' X + E(X) E(Y )].

Durch Erwart ungswertb ildung erhalten wir hieraus D'(X + Y) = D'(>0 + D1(Y) + 2 [E(X ·Y) - E(X) · E(Y) - E(Y ) · E(X ) + E(X) E(Y)] = = D1 (X) + D1(Y) + 2 [E(X 'Y ) - E(X) · E(Y) j. (2 .42)

2.2.

79

Di,kr~l~ Zufall,y.ri.bl ~

Damit gilt de r Satz 2 .10 Sind X und Y zwei diskrete Zufallsvariable, deren Varianzen existieren, so gilt (2.43) D1 (X -t y) .. 0 2 (X) -t D1(Y ) -t 2 [E( X 'Y) - E( X) ' E( Y)). Aus der {stc ch.) Unabhängigkei t von X und Y folgt D1 (X -t Y] .. D 2 (X ) -t D2(y) .

(2.4 4 )

Beweis: Die Gleichung (2 .43) wurd e bere its in (2.42) gezeigt. Die Gle ichu ng (2.44 ) folgt mit Satz 2.8 aus (2 .43).

•

Du rch vollstä ndige Induktio n folgt aus (2 .44) unmittelbar der Satz 2.11 Sind die Zufallsvariablen XI, Xl ' ... , Xn paarweise [stoch.] unabhängig, d. h. sind alle Paare Xi, Xj für i f j (stoc h.) unab hängig, und exist ieren die Varianzen D2(X;) für i = I , 2, . .. , n, so gilt

D' (2:" x;) ~ 2:" D'(X;). i

~

I

(2.4 5)

i "' \

Beispiel 2.1 7 (vgl. die Beispiele 2.12 un d 2. 15). Für die Varianz der Reingewinn. Variablen X -t Y fJir Spieler IV erhalten wir aus den Beispielen 2 .12 und 2.15 sowie aus (2.43) 0 1(X -t Y): I ,972 -t 0,980 -t 2 [ ; 4 - 37 ~ 74 ] = 2,978 .

•

Den Ausdruck E(X ' Y) - E(X) . E(Y): E « X - E(X» (Y - E(Y»J nennt man Kovarianz der Zufallsvariablen X und Y. Wir bezeichnen ihn mit Ko ~ (X, Yj. Nach (2.43) ist die Varianz D1 genau dann additiv, wenn die Kovarian z verschwindet. Sind die Zufallsvariablen X und Y (stoc h.) unabhängig, so verschwinde t die Kovarianz. Oie Umkeh rung braucht nicht zu gelten. Es gibt Zufallsvariable X, Y mit Kov (X, Y): 0 , die nicht (stoc h.) unabhängig sind. Zum Abschluß dieses Abschnitt s zeigen wir, daß mit a = O(X) auch de r Erwartungswert EOX - /ol l) der Zufallsvariablen IX - /oll , die de n Abstan d der Werte von X vom Erwart ungswert /01 da rstellt , klein ist.

Satz 2.12 F ür jede diskre te Zufallsvariable X mit de r Standardab weichung O(X) gilt die Ungleichung EOX - /oll) S D(X) .

(2.46)

Beweis: Für die Zufallsvariable Y : IX - $.11 gilt offensichtlich y 1 = (IX - /011)2 = (X -

$.Ii .

80

2.lu f. U,variab lc

Da für jeden beliebi gen Zahlenwe rt A d ie Werte de r Zufallsvariable n

(Y _ ;\ )1", v»_ 2 i\ Y + Al nicht negativ sind , erhalten wir hier aus O :S: E« Y - X)2) '" E( y l ) - 2 A E(Y) + Xl. Für i\ '" E( Y) geht diese Ungleich ung übe r in

o s E(y l ) - 2 (E(y))l + ( E(VW '" E(yl ) - [E(YW , wor aus

fo lgt. Mit Y '" IX - #J I fo lgt hieraus schließlich die Behauptung

E( IX - ,:lI) :S: J E«(X

tlJ 2)

= D( X) ,

•

2.2.7. ErzeuQ6nde Funktionen

In diesem Abschnitt bet rachte n wir nur diskrete Zufallsvariable X , deren w ertever rat Waus nichtnegativen ganze n Zah len beste ht. Gehö rt eine ganze Zahl i 2: 0 nicht zum w ertev errat W, so könne n wir sie mit P(X = i) = 0 hinzunehmen. Damit ist W da rstellba r d urch W = (0 , 1, 2,3 , . . . ). X besitze also d ie Verteilung (i, P(X = 0), i = 0 , I , 2, .... Durch Gx(x)=

L xi p( X =i),

x E IR

(2.47)

iz O

wird die sogen annte erzeugende Funk tion Gx de r Zufalls variablen X erklä rt. Dabei ist x O ", I zu setzen. Für Ixl :s I gilt IGx(x)l :S

L: P(X :; i) '" 1. i '" 0

Die erzeu gend e F unktion Gx ist somit für alle [x] :s I e rklä rt. Dabei gilt

G x (0) = P(X :; 0) .

-

Aus (2.4 7 ) erhalte n wir d urch Differ entiatio n nach x

Gx(x):; L ixl-lp(X= i),

,.,

woraus sich für x = 0

G~ (0)" P(X = 1) . ergib t.

81

2.2. Di"' rele Zuf alhur iablc

-

Nochmalige Different iat ion liefert Gi(x): 2: j.(i - l) xi - J ~ X : i) und

,.,

Gi (0) = 2! P(X " 2).

-

Allgemein erhält man du rch k-fache Differentiation die Identitä ten

G~) [x} =

L Hi - l )(i - 2) ,..(i - k + I ) x;·1r. PfX = i).

(2.4 8)

i " ir.

Für x " 0 folgt hieraus unmitt elbar G~)(O) P(X = k) = k !

(2.4 9)

fur k = O.I . 2•. . .

Sämlliche Wahrscheinhchkelten lassen sich also du rch Differenzieren den Funktion zunckgewinnen,

3US

der erzeugen-

Mit G~) ( l ) bezeichnen wir die k-re linksseitige Ableitung an der Stelle .. " I . falls diese e xjst je rt. Dann folgt aus (2_4 8)

-

G ~ (I)= Y i P(X= i) = E(X) . i · ,

-

-

-

-

-

= Yi) P(X .. j) - )' i P(X=i) "E(X I) - E(X) .

i.'

Damit gilt

i '"

f(X !) : G; (I ) + feX) = G;(I) + G ~ (I) . Insgesamt ergibt sich ~ - E(X) " G ~ (I).. a )

= D! (X) " E(X !) - ~ ! = G;(I) + G~ (I) - (G ~ (lW .

( 2.50)

Diese Gleichungen sind zur Berechnung von ~ und 0 besonde rs d ann geeignet , wenn die erzeugende Fu nktion einfach berechenbar ist. Bildet man die Ableitu ngen bis zur k-ten Ordnung, so erhält man entsprechende Formeln für die Erwartungswerte E(X' ). f = 1,2•.. ., k.

82

2. ZufaUwariable

2.3.

Spezielle diskrete Verteilungen

2.3.1. Die IIllO met rische Verte ilu"ll

Die ZufaUsvariable X beschreib e die bis zum erstmaligen Eintreten des Ereignisses A mit P = P(A) >0 notwendig en Versuch e in einem Bernoulli-Expertment. Nach Abschnitt 1.7.3 besitzt die Zufallsvariable X die Verteilung (k , p ' (1 - p)k-I), k = 1, 2 • .. . Die ZufaUsvariable X heißt geometrisch verteilt mit dem Parameter p. Wegen P(X: k + I) = p(l - p)k = (1 - p) p(l - p)k- I = (1- p) P( X:: k) gilt die fü r die praktische Berechnung nützliche Rekursionsforrnel

1

P(X : k +l) : (I - p) P( X : k) . k:I . 2. ... mit P(X : I) = p .

l( 2.SI)

Da sämtli che Wert e von X nich lnegative ganze Zahlen sind , können wir die erzeu gende Funktion G bestimmen. Wegen P(X = 0) = 0 erhalten wir mit q = 1 - p G( x) =

~ Xkp qk- I= PX L. ~ (Xq)k- I: PX L. ~ (q X)/:~. l r- q x

L.

k= l

k =1

/: 0

Differentiation liefert , p(l - q x) + q p x p . (I _q X)l = (1 qxi ' G (x)=

G"( x) =

(I

2pq

q xt

.

Wegen 1- q ;; p folgt hie raus für x = 1 G"( I )O'

2P; .

Wegen (2.S0) gilt daher

I

"I

2q . I

p.= E(X)= - ; D2(X) : _+ p p2 P

I pl

=

q+q+p - l p2

q p"

=- '

Für eine geomet risch veneüte Zufallsvariable gilt somit

(2.52) Beispiel 2.18 . Beim Spiel .,Mensch ärgere Dich nicht" mit einem idealen Würfel ist die Zufallsvariable X, welche die Anzahl der bis zum Werfen der ersten ,,6" notwendigen Versuche beschreibt , geometrisch verteilt mit dem Parameter p " Die Verteilung von X lautet [k , )k-I), k > I , 2, .... Fiir k = 1, 2, .. . •12 haben wir die Wert e nach (2.S I ) auf drei Stellen genau berechnet

ia

,

P(X _ Ir.)

und in Bild 2.5 graphi sch dar gestellt .

i.

2.3. Speziell e d i. krete Ver le ilunge n

83

P!X: xl 0.4

to Bild 2.S. Wahl$d , einliehk e ite n einer geometri schen Vert e ilung

Wegen ~ = Aus

0

1

'"

i = 6 muß ein Spieler im Mittel sechsmal werfen, um starten zu können.

~ '" 30

erhalten wir

P(X "' k) " h (k , n , M,

0 '"

V30 '" 5 ,48.

N -M) "'(~)(~ N) :~)

•

fli r k =O,I , ... ,n.

(2.53 )

("

Für k > M verschwindet der Binomialkoeffizient (~) und damit die Wahrscheinlichkeit P(X = k). Dasselbe gilt für n - k > N - M, also für k < n - (N - M). Die wah rscheinlichketten Pk sind also nur Illr max (O,n - (N - M» S k =::; min (n, M) von Null verschieden. Die Zufallsvariable X heißt hypergeometrisch verteilt. Zur praktischen Berechnung der wahrschemllchkene n h(k , n, M, N - M) leiten wir wieder eine Rekursionsfo rmel ab. Dazu betrachten wir folgende Iden ti täten P(X =k+I ) = h(k +l ,n ,M , N - M) =

h~ ')(:-~~ I) N

'"

(" ) 1 M(M - I ) ... (M - k+I) (M - k) =

(~ )

=...L . (~ )

1·2·3 .. . k ·(k+ I)

(N - M)(N - M - l ) ... (N - M -n +k + 2) 1· 2 ... (n k 1)

(M). M - k . (N -M) .. .(N-M - n+k + 2)(N- M- n + k+l ) . k

k+l

1·2 .. . (n

(M - k)(n - k) (k+ l )(N -M

n+ k+1)

( ~)(~ : ~ ) (~ )

k

I )(n

k)

(n -k) (N M n+ k+

84

2. lufatlsva,iable

Damit gilt d ie Rekursionsformel

(M -k)(n -k) h(k+ l ,n ,M.N -M) ::= (k+ IHN M - n +H 1)' h(k , n,M , N -M)

(2.54)

HiT max(O, n - (N - M»S ksmin (n. M). Zu r Berech nung von E(X) un d n 1(X) betrach ten wir das Mo dell, in dem d ie Kugeln einzel n und ohne ,,zwische nzeitlic hes Zurück legen " gezoge n werd en . A set d as Ereignis, daß eine bestimm te sch warze Kugel währ en d der n lüge gezogen wird , und Ai das Ereignis, daß sie beim i-ten Zug gezogen wird , i '" 1, 2, ... , ß . Damit gilt

A = Al + A: A, + A) A:A I + .."+ AnA n ' l An.1 . . . Al ,

P(A) = P(A, ) + P(A 2 / A1 ) P(A I ) + P(Al /A l Al) P(Al Ad + ...

+ P( An/A n ' l

Al) P{An. • . .. Ad .

...

(2.55)

Wegen der Identitäten fllr \=2 , . . . , n,

P (A I) = N~ I ; P{A; Ai. , ... A l ) = P( AI/ A i . •

N -i

-

-

= N ~i+I · P(A i . l ... A I)

• ••

A\ ) P( A I. !

. ..

A I) '"

für i =2 , 3 , . , . ,n

folgt a us (2.55 )

I 1 N -I I N- 2 N- 1 P(A) ="N"'" N _I ~ "'"N -2 N -I ~"," ... = n I I I I ="N"'"N "'"N" "'" " ' "'""N=N '

Wir n umerie ren die schwa rzen Kugeln du rch und setzen X, =

J I , falls d ie t-te schwa rze Kugel unt er den

, I 0, so nst

n gezo genen ist ,

für i = I , 2, .. ., M. Die Zu fallsvar iablen Xi, i = 1, 2, , .. , M sind paarwe ise (stoc hastisc h) abhängig mit

E(X ;) = E(Xf) = P(X; = I ) = P(A) = ~ und E(X; ' Xj) = P(Xj ,Xj = I ) = P(X; = I ; Xj = I) = n -I

n

= P(XI= I /Xj = I) ·P(Xj = 1) = N - I ' N

für i #j .

8l

2.3. Spcz~llc d i,I,,~t~ Vcrtciluntlcn AU$ X -XI -t X,-t ... -tX M folgl M, n M p - E(X) = LE("-) =M · 'N- n · N ·

.

;-.

In der Darstellung

-

,

x ' - (Yx.) = 1_.

gibt "

.-

- "'X,

Y xt . )

; '" 1

insg~mt

Hj

M(M- ) Paare mit i "#- j- Daher gilt

M

E(X1 ) = Y'E(,q) -t ; -1

L E(Xi · X;) . M .~ HI (M - I) N(N_ I ) ; n~ - l )

i #

J

M M · (M -I )(n -I ) 1 I D (X) . E(X ) - pl = n · N" t n N · (N I)

M[

"-, M]'"

"' n·- 1-t(M - I) - - -n N N- I N

M N1 -N+NMn -NM -Nn-t N -nNM-tnM N(N I)

= n' N"

_ M(N - M)(N - n)

- n ' N"

N(N - I )

M) N-"

M ( . n · N" I - N"

N- I '

Mil P = ~ . q e I - P erhalten wir sonnt die Parameter ( 2.56)

Beispiel 2.19. Eine Lieferung von 100 Diode... enthalte gertau 4 fehlerhaf te. AU$ der Lieferung werden (ohne ..zwixhenuitliches Zurücklegen") zurjill ig 5 Dioden entnommen . Die Zufallsvariable X beschreibe die Anzahl der fehlerhafte n unter den 5 entnommenen Dioden. Mit n .. 5, M'" 4, N = 100 gilt nach ( 2.53)

...

(o)(s ) 96 ·95 · 94 ·93 ·92 P(X - O) "' h(0, 5.4. 96) = ( Hf ) '"' 100 . 99 .98 .97 . 96 = 0,8 119; Aus der Rekursionsformel (2.54) erhalten wir P(X - ' ) -h() . 54 • • 96)= l ) · 9l2 , p(x .O) "' 0 .1765 •

3 ·4 P(X '"' 2) - h(2, 5, 4, 96) '" 2 . 93 P(X . 1) - 0,01 14,

86

2.

,.,

Zuf311 $v. ri~ br e

P(X " 3) '" h(3 , S. 4 , 96) '" 3 . 94 . P{X " 2):= 0,0002 4. P(X = 4)= h(4 , S,4 , 96) '" U

4 ' 95

P(X = 5) = O. Nach (2.5 6) gilt wegen p = I

*"'-h

P(X = 3):: 01 275 ' 10 - '

'

u = E(X ) =5 ' - =02 ' '" 2S ' ,

1 24 9S o2 = D1(X) = S ' 2S " 2S ' 99 = 0 ,1 842 und 0 =0 ,4292 . Die Ver teilu ng dieser hyp ergeometr isch vertei lten Zufallsvar iablen ist in Bild 2.6 dargestellt . • P ()( ~ . )

_ L-_-+-__ o

_

o -_ ~

2

a

_

,

~_~_____ .

s

Bild 2.6 . Wahn c heinl id ,k eite n eine, hype rgeomet ,i schen Vert eilung

2.3.3 . Die Binomi lliverteilu ng (vgl. Abschni tt 1.7 .2)

Beschre ibt die Zufallsvariable X die Anzahl de r Versuche . bei denen in einem Bernoulli-Exper tment vom Umfang n das Ereignis A mit p = P(A) e int ritt , so besitzt X nach Satz 1.18 die Verte ilung (k. r (X '" k» , k :: 0, 1, 2, , TI mit

I

P( X = k) ::: b(k , n,p) = ( k)pk qn-k; q = l - p;k =O,l ,

, n.

1 (2.57)

Die Zufallsvariable X heißt bmo miatveneiu m it den Parametern n u nd p , wir nennen sie kurz B(n, pl-verteilt, Fürq:l - p*Ogilt n ) k+ 1 n.Ir. ' I = n(n -I ) (n - k+ l) · (n - k) .r. . Ir. n·1r. b (k+l n .. P k +1 P q ] .2 k .(k+ l ) q pq

)=(

P(")

P

_ n- k Ir. n.1r. n k - k+ l 'Q k p q = k + , ·qb (k ,n,p) . e

87

2.3. Sl"' zicllc " tU' (dabei ist e die sog. Eulersche Zahl mit e =2,7 1828 18 ...)

"~ -

gilt für große Wert e n die Näherung

( I -~)" ~ e->' . Damit erhalten wir die Approximationsformel b(O, 2000, 0,(01) "'" e- 2 = 0 ,13534 .

(2.60)

Aus der Rekusionsformel (2.58) folgt b(l , 2000 ,O,ool)

= 2~0~~9~ 1

. b(O, 2000,0,00 1) "'" 2 ' e- 2

=0 ,211,

;2 . ~2

b(2 ,2000,O,00l)

1999 ·0,00 1 b(l , 2000, 0 ,001) se 2 ·0 ,999

b(3 , 2000 ,O,00 1) =

1998 ·0,00 1 b( 2, 2000 ,O,OOI ) "" ;; e- 2 = 0 ,180. 3 · 0 ,999

e

= 0 ,271,

Durch vollständige Induktion über k läßt sich leicht zeigen, daß für alle k = 0 , I , ... , n die Näherungsformel b(k , 2000, 0,(0 1)""

;~ e- 2

gilt. Dabei ist die zahl 2 gleich dem Erwartungswert E(X) = n p.

(2.6 1)

•

2.3. Spezielle diskrete Verteilungen

93

Daß eine solche Näherung flir große n und kleine p immer gilt , zeigen wir in dem folgenden Satz 2.15 Strebt in der Binomialverte ilung n gegen une ndlich, und zwar so, daß np konst ant bleibt (daraus folgt p -+ 0 f ür n -+ 00), so gilt k

!im b(k , n , p) : -'"A l e-

n -+ oo

Ilir k : 0 , 1, 2, .. .

"

.

A

«

(2.62)

np " "

Für große n und kleine p gilt somit die Näheru ngsformel (n p)k - np

b(k , n ,p) "" ~ e

f

ur

'0

2

= , I, , . ..

Beweis: Wegen np "' "A setze n wir p = ~. Daraus folgt flir festgehaltenes k ' )" .' ") k n.k n(n -I ) ... (n -k+ I ) At ( b(k,n,p) = ( k p (l -p) '" k! ' nt ' I -ra = ="(n -I )

n-n

(n - k+l) . "Ak (I _ ~)" ( I _ ~ )- k : n k! n "!

Für festes k gilt

"l~j l - ~) .. (l _ k ~ I)= I ; Ferner gilt lim ( I _ ~)n : e- " . "~-

lim

n -+ _

(1- 'n- )-' = 1. ,

Daraus folgt die Behaupt ung !im btk.n, p) = ,", e-", k = 0 , 1. 2, . ..

Aus e

A

'"

-,

L ~! ,-,

8 -+ 00

•

.

np ""

folgt

Damit wird durch (2.63) auf

n

,

= (0 . 1, 2• . .. ) eine diskrete Zufallsvariable X erklärt. Diese Zufallsvariable

mit der Verteilung (k , ~ e- " ), k '" O. 1,2•... heißt Poisson-veneitt mit dem Parameter "A . Die Verteilung selbst heißt Potsson- Verleilung. Sie kommt bei seltenen Ereignissen vor.

94

2. Zufall 7 der in Beispiel 2.22 besch riebe nen Zufallsvariablen X einma l exakt nach der Binomialverteilu ng und einm al zum Vergleich nach der approximierende n Poissonve rteilung nach (2 .58) bzw. (2.65)

,

0

I

2

3

4

S

6

7

(2~ ) o,oOl k O,999 1OOO -k 0 ,1352 0,2707 0,2708 O,I80S 0,0902 0,036 1 0,0120 0,0034

2k -1 IT~

0,1 353 0 ,2707 0,2 701 O,ISOot 0 ,0902 0,036 1 0,0120 0,0034

Da die entsprec he nde n Wahr scheinlic hkeite n auf mindestens d rei Stellen überein st imm en, sind sie in Bild 2.8 nicht mehr un terscheidbar. Beispiel 2.23 . 100 kg flüssiges Glas enthalte SO Steine. Daraus werde n x Flasche n he rgestellt. Eine Flasche ist unbrauchbar, wenn sie min destens einen Stei n enthält. Es soll angenommen werde n, daß be i der Prod uktio n jede r der SO Ste ine m it de rselben Wahrsche inlichkeit und un abhängig von den and er en in jede der x F laschen gelangen kann . Mit welcher Wahrsc heinlichkei t ist eine de r Produk tio n zufällig ent nomm ene Flasche brauchbar?

2.3. Spezielle diskret e Verteilungen

95

P()(: k)

I

5

,•

•r

•

•

Bild 2.8. Waltrscheinliehkeiten einer Poisw n·Velt eilung

Die Wahrscheinlichkeit , daß ein best immter Stein in die entsprechende Flasche gelangt ist , ist gleich [. Somit gelangt er mit Wahrsc heinlichkeit 1 - ~ nicht in diese Flasche. Für die Wahrscheinlichkeit dafür , daß in die Flasche keine r der 50 Steine gelangt ist , erhalten wir wegen der vorausgese tzte n Unabhängigkeit so

50 so

Po' ( 1 - ~) = (1- ~ ) ..

50

- T

(B inomialvert eilung)

(Poi.w nverteilung)

T abelle 2.1

,

Po (exakt)

Po (appTOximat iv nach d~1 POiSlonverteilung)

50 100

0,3642

0,3679

0 ,6050

0,606 5

150 200

0 ,7157

0,716 5

0,77g 3

0,778 8

250 300 350

0,8 184

0,8187

0846 2

0,&4 65

0 ,8667

0 ,866 9

'00 500

0,8824

0,8825

0,904 7

0.9048

'00

0,9 200

0,9200

.000

0,9 51 2

0,951 2

2000

0,9753

0,9753

3000

0,98 35

0,9835

2lf) "' 0.

Wir neh men nun an, daß fur jedes x E I die Verhäl tnisgleich ung P(X ::; x) . P(X ::; 211") '" x : 2lf gilt. (Dann kann m an sagen , das Aussplel ungsger ät ist in Ord nung.) Wegen P(X =::; 2 11") = I besitz t die Vert eilu ngsfunkt to n F die F unktionswerte F(x) '"

0 flirx::; O, x 21l" fur 0 < x :s 2lf, I fur x > 2lf.

1

F besitzt im Gegensatz zu den Verteilungsfunkti o nen diskreter Zuf allsvariabler keine Sprungstellen. Der- Graph dieser stet igen Funktton F ist in Bild 2.10 gekennzeich net. Für x E I läßt sich F(x) '" .]" . x da rstellen als Flächeninhalt eines Rechtecks mit den Seiten x un d 2~' Den Fläche ninhalt dieses in Bild 2.10 schraffie rten Rechtecks bezeichnen wir mit

,

F(X) = S1... 2. du •.

,

0 < '1 =::; 271".

100

2. Z"faJ lsva.iab le

Durch

(X)",I 2.? o

.s 0, filr 0 <x S 211',

für x

flir x > 2"

wird die sog. Dichte der Zufallsvariablen X erklärt. Da diese Dich te außerhalb des Intervalls (0, 2w] m it der x-Achse keine Fläche ein schl ießt, gilt für jede s x E IR die Beziehung

,

F(x) :

f

--

f (u) du.

(2.67)

•

F (xl

,

o

•• Bild 2.10. Verleilung 0

"0

!im F(xt) - h) = !i m F(xo + h) = F(x,).

h .... O

Für jed es h

h -+O

>0

(2.71)

gih

(X = " 0) = (w /X (w ) =xal C {w/xo - h < X (w) :S; xo} :(xo - h < x s xo). Daraus folgt

Die rech te Seite diese r Ungleichu ng wird beliebig klein, wenn nur h klein genug iSI. Daher erfU1lt eine ste t ige Zufal lsvariable X die Bedingung ( für h -+ 0)

I

P(X ::: xo) - 0 rur jedes

Xo

E IR.

(2.72)

Aus P(X ::: Xo )::: 0 folgt jedoch nicht , daß der Wert Xo von de r ste tige n Zufallsvaria· bien X nicht angenommen werden kann. Jeder einzelne Wert besitzt zwar d ie Wahr-

10 3

2.4. Ste hge lufall,v., iabk

scheinlichkeit 0, bei de r Durchführung des zugrun de liegenden Zufallsexperiment s muß jed och eine r der Werte von X angenommen werden. Wegen dieser Eigenschaft kann man bei der Berechn ung de r Wahrscheinlichke it dafür, daß X Werte aus einem Intervall annimmt, die Interva llgrenzen hinz un ehmen oder weglassen, ohn e daß sich die entsp rechende Wahrscheinlich keit än dert . Es gilt also für eine steti ge Zufallsvariable X P(a < X:S b). « P(a < X < b) " P(a :$ X F (x ) " P(X

s x} « P(X < 11).

s er -

P(a

sX
x,Y S Y) =

L L

P(X = x j>Y = Yj)'

(2.86)

XiS- Yj S y

Ersetzt man in dieser Gleichung die Wahrscheinlichkeit en P( X = Xi. Y = Yj) du rch eine Dichte f fx, y ) un d die Doppelsum me dur ch das Doppel integral, so füh rt dies unmi ttelba r zu de r

Definition 2. J2. Die zweid imensionale Zufallsvariab le (X, Y) heißt stetig, wenn eine nichtnegative Fun ktion f ex, y) exist iert, so daß rur jede s (x , y) E IRl gilt

,

F( x, y) = P(X s x, Y s y) =

S J f (u, v)du dv.

(2.87)

-"" -""

Die Fu nkti on f (x, y) heiß t gemeinsame Dichte der Zufallsvaria blen X und Y. Aus (X

. Y < "") = { w /X(w ) < "" } n (w /X (w ) < ""1 = n n n = n +""

fol gt

+ ""

SS

(2.88)

f(u ,v)dudv=L

-"" -""

Die Dichte f'(x, y) span nt über de r x-y-Ebene eine Fläche auf. In Bild 2.17 ist eine solche Fläche über einem Quadrat de r x-y-Ebene graph isch da rgestellt. Der Körpe r, den diese Fläche mit der x-y-Bbene zusammen bildet, besitzt das Volum en L Wegen (2.87) ist die Wahrscheinlich keit P(X :s; xe. Y :s: Yo) = F(xo , Yo) gleich dem Volume n desjenigen Teilkörpers. den die Fläche übe r dem Bereich M = {(x, y) / x :s; xo, Y :s; ye l mit der x-y-Ebene bildet . Für die Wahrscheinlich keit da für, daß (X, Y) werte aus einem halboffenen Rechteck annimm t, zeigen wir den Satz 2.23 Ist (X, Y) eine stetige zweidimensionale Zufal lsvariable mit der Verteilungs' fun ktion F (x, y) und der gemeinsamen Dicht e f(x .y), so gilt für Xl < x~ , YI y ~ ) - F(x~, YI ) + F(XIoY l) =

Sf ~~

=

~ l

Y~

YI

f(x,y)dxdy.

(2.89)

11 5

2.•. Stetige Zufallwariable Wir setze n {vgl. Bild 2. 16 ) A = (X S :W; , . YI < Y S y z). B '" ( X S :w; , . Y S Yll. C '"'(:w; , < X S :W;Z. Y YI). G '" (:w; , < X S :W;z. Y, < Y S Y1).

s

Aus Bild 2.16 erke nnt ma n u nm itt elbar d ie Identi tä t A ... B '" C t G = ( X

:s: :W;1. Y S yz).

(2.90)

Filr d ie Ere ignis;se A. B. C gill dzibei At B = ( X S:w;,. Y :S: Yz).

•

C t B "(XS :W; Z, YS YI) ' Daraus folgt P(A ) t P(B) = F (:w; .. Yz).

",

- - - 8 - -~ -

, ,,,

P(e) " F(:W;1' Yd - F (:W; I' Y, ).

(2.9 1)

Aus ( 2.90) erhalten wir

,, ,,

G

"I- - -e -- -- ~ .

P ( A) t P (B) t P( C) t P(G ) '" F(:W;1. Yz)

Bild 2. 16

u nd hieraus mit (2.91) P( x,

< X S :W;1. Yl < Y S y z) "

. ---rr-

P (G) " F (x z • Y1) - P (A) - P(D ) - p{e ) =

rr -- --

= F (x) . h) - F ( x , . y z) - F(:w; z. Yl) t F(x .. y d = r (:w;. y) dx dy -

-f f ' 1

)' ,

-- -f f -"z

"z

"

",

-- -f S ., --

r (x.y)dxdy t

((:w;.y)dxdy -

.JS

f f

J1

"I

h

"1

r( x.y) dx dy -

)'1

r (:w; . y) dx dy "

,.

((x. y ) dx dxdy =

•

r (:w;. y ) dx dy.

)'1

Ist G ein Ge biC' t in de r x-y-Ebene, so läß t sich allgemein felge nde Fo rmel zeige n

P « X, Y) EG ) = fSr (:w;, y ) dx dy . G

(2 .9 2)

116

2. Zufallwa.iab k!

Die Wahrscheinlich keit dafür, daß die zweidimensionale Zufallsvariable (X , Y) Werte aus dem Gebiet G ann immt , ist also gleich dem Doppelin iegral bezüglich der Dicht e über dieses Oeb jet, Besteht dieser Bereich nur aus einer Kurve L. so folgt insbesondere

I

P« X.Y) E L) = O,

L =Kurve in lR1 ,

I

(2.93)

Daher kann man in (2.89 ) den Rand hinzunehmen oder teilweise weglassen , ohne die en tsprec hende Wahrscheinlich keit zu ändern. Falls im Punk t ('1o. Yo) die Dichte stetig ist , so gilt entsp rechend dem eindimensionalen Fall

(2.94 ) In einem Stetigkeitspunkt (x a • Yo) erhält man die Dichte [ (xa. Yo) durch Diffe. ren tiation von F nach x und anschl ießend nach y ode r umgek ehrt. Es gilt also !im 1\...... 0 H

F(xo + h, yo + k) - F (xo, yo) a1 F(xo,Yo) h -k • ax aY =f(xo, yo),

O

(2.95)

wenn (xa, Yo) Stetigkeilspunkt von f Ist.

Beispiel 2.29. Die zweidimensionale Zufallsvariable (X, Y) besitze die Dich te f(x , y) =

I

X+ Y für

o

u s x. v st ,

sonst.

Für 0 S x, y S I laut et die Verteilungsfunktion

SS(u + v) dv du = J (uv+ ; "

F( x, y) =

"2

y

o 0

v= y

)1_ du = v-o

0

f'( ") ("' " )1 0

=

uY+ "2 du = 2"y + uT

o

"

u =O

x' Y + II' "2 ' = 2"

Wegen F ( I ,I ) = ~ +~ = I und f (x , y) ~ 0 ist f Dichte. Ober dem Quadrat 0 S x, y S I stellt f eine Ebene dar und verschwindet außerhalb davon (s. Bild 2. 17). Der in Bild 2. 17 dargestellte Körper besitzt das Volumen I. •

117

2... . SleliJ e ZufaU•.,.,iable

Bikt 1.17

Gnnei nsame Did'lie I _ie. a bh:il ,.... Siel ... l ufan,nria bler

o

Aus der gemeinsamen Dichte f (lt. y) erhalten wir die Dichten f l (x ), f 2 (y ) der einzelnen ZufalJsvariablen X und Y durch folgende Überlegungen

•

P(X :S; lt) =P(X :S lt,Y < ...) ,,"

P(Y :s; y) ·P(X < .... Y :s; y ) ·

• •• " - ...J( S - ... f,(x) =

-.S

••

J(J

-... -... •• • SS -... -...

f (u,v) dv) du ;

f (u.v)dv du :

f(u ,v)du}dv.

f(x.y)dy,

f1(Y) -

-.sos.S

sind die Dichten von X bzw. Y, die

f(x.y)dx

(2.96)

Rilnddich tm.

Brispiel 2.30 (vgl. Beispiel 2.29). Die stetige zweidimensionale Zufallsvariable (X, Y) besitze die Dichte (vgl. Bild 2. 17)

f ex. y) "" [

x + y fur

o s x.v s

r.

o sonst.

Die Dichte f l (x ) der Zufallsvariablen X laut et tur 0 :s; x :S I

J o I

fl(x) ""

1

Y (X+ Y) dY= ( XY + 2

)!

Y. I

y· o

""x + -j-.

118

2.

lu fll1w3r i3b l~

Für x $ [0, 1] verschwinde t fl(X), Für die Dichte f l (y) der Zufallsvari ablen Y erhalten wir entsprechend

,

S(x +y)dx "y+~

für

O:Sy;Sl ,

o

o

sonst.

7 Aus Beispiel 2.25 folgt E(X) " E(Y) '" 12 ; D1 (X) '" D1 (Y) '"

•

l~~ .

Bei der Übert ragung der (stac h.) Unabhängigkeit von diskreten Zufa1J svariablen au f stetige benutze n wir folgende Eigenschaft, die aus der De finition 2.7 , aus Satz 2.1 und aus (2.86) abgeleitet werden kann. Zv.ei diskre te Zufallsvariable X un d Y mit de r gemeinsamen Verteilun gsfunktion F(x ,y) = P( X :5 x, Y S y) und den einzelnen Vert eilungsfun kt ionen F l ( x) = P(X :5 x) und F 1 (Y) = P(Y :5 y ) sind genau dann (s toch .) unabhä ngig, wenn für alle (x,y) E IR l gilt

F(x, y) = P(X :s x , Y :5 y ) = P(X S x) · P(Y :5 y ) = F, (x ) · F1 (y ).

(2.97)

Diese Gleichu ng hätte also auch zur Defin ition der (stoc h.) Unabhängigkeit zweier diskrete r Zufallsvariabler benu tzt werden kön nen. Wir gebe n daher allgemein die DefinitioI12.13. Zwei beliebige Zufallsvariable X und Y mit der gemeinsamen Verteilungsfun ktion F (x, y) und den Randve rteilu ngen F l u nd F2 nen nt man ( stoc h) Ul14bhiingig, wenn für alle (x ,y) E tA2 gilt

F (x , Y) = P(X :s: x, Y :s: Y) = P (X :s: x). ' P (Y

s y) = F . (x )· F 2(y).

(2.98)

Für (stoch.) unab hängige Zufallsvariab le gilt der Satz 2.24 Sind X und Y zwei [stöch.] unabhängige Zufallsvariab le, so gilt Iilr belieb ige Zahle n xl> x~ . yi , y~ E IR

Bnwis: Ist F die Ver teilungsfunktion von (X, V), F I die von X und F2 die von Y, so gilt nach (2.89 ) und (2.98)

P(x 1 < X :S: X2 ,Y l < Y :5 Y2) = F (x2' Y2) - F(x . , Y2) - F (x l ' yd + F(x •• ytl = FI(X 2) F~ (Yl) - F 1 (xd F 1 (Y2) -

F I (X l ) F ~( y . )

+ F.(x. ) F 2(y d •

= (F . (x ~ ) - F .(x .)] ' (F2(Y2) - F ~ (y . ) J "

= P(XI < X ::S: x~ ) · P(y . < Y ::S:Y2)'

•

119

2.4 . Slet ige Zuhllw a. iab lc

Für (stoch .) unabhängige stet ige Zufallsvariable gilt damit

f

12

P(XI .s:X .s:X 1 ,y l .s: Y .s: h) =

J

Y2

fj (x ) dx '

"

f2( y)dy.

(2.100)

"

Ist die Dichte f im Punkt (x, y) stetig, so erhält man durch Different iat ion der Identität F'[x, y) = F I (x) · F 2 (y ) nach x und y wegen (2.9 5) für unabhängige stetige Zufallsvariable die Beziehung

fex, y) = f\ (x) . f1 (y).

(2. 101)

Gilt ( 2.101) rur alle (x,y) E IR2, so sind die Zufallsvariablen X und Y unabhängig. Daher wird diese Beziehung häufig zur Definition d er (stoch.) Unabhäng igkeit zweier stet iger Zufallsvariable r benutzt. Sind f . und f1 Dichten der stet igen Zufallsvariablen X und Y, so wird durch f'(x, y) = f.(x) · f2 (y) eine Dichte der zweidimensionalen Zufallsvariablen ( X, Y) erklärt. Die Zufallsvariablen sind dann (stoch.) unabhängig. Beispiel 2.3 t [vgl. Beispiele 2.29 und 2.30). Die Zu fallsvariablen X, Y mit der gemeinsamen Dichte f ex, y) =

für O .s:x , Y :5I , j x + oY sonst

sind nicht (stoch.) unabhängig, da für 0 :5 x, Y S 1 das Produkt fl (x ) · f 2 (x ) = (x + ~) (y + ~) von f'(x. y) verschieden ist. _ • Wir wählen nun als Dichte der zweidimensionalen stet igen Zufallsvariablen (X , Y) die durch

l(x+~)(y+ ~) rur O Sx,Y S J , f (x, y) = o sonst definierte Funktion f. Die eindimensionalen Zufallsvariablen X und X bzw. Y und Y besitzen jeweils gleiche Dichten, nämlich die Funktionen f l bzw. f2 aus Beispiel 2.30. Die Zufallsvariablen X und Y sind jedoch im Gegensatz zu den Zufallsvariablen X und Y (stoch.) unabhängig. Die gemeinsame Dichte ist in Bild 2.18 graphisch dargestellt. • Ober dem Quadrat O .s: x, y :s: 1 stellt f(x , y) keine Ebene dar, sondern ein Hyperboloid. Die ZufalJsvariablen (X, y-, und (X, Y) besitzen somit verschiedene gemeinsame Dichten , obwohl die Dicht en von X und X und Y und Y jeweils übereinstimmen.

120

2 . Zu fal1w ariab lc

Ilx,y )

nn

Bild 1.1 8

>J-LLLLLLjL

•

o

Gemc in.am e D icht e zwele r u nabhiingiger Zufall, variabler

2.4. 4. Sum men und Produkt e $letigef" Zufallsvariab ler

Die zweidimensionale Zufallsvariable (X. Y) sei stetig mit der gemeinsamen Dicht e

f ex:, y). Für die Verteilungsfu nktion F (z) der Summe Z = X '" Y erhalten wir F{z) =P(X +Y S;Z) =

SJ

f (x,y)dxdy =

... + Y ;$"'

+..,

1 · ...

• S 1I r("y)dyl"" DJrch die Substitution y = u - x geht dieses Integral über in

-- --

- ""

Entsprechend gilt

SS

r oo{

-{Y

-- --. ..'" ... . . I ( I r(, -y,y)d'!'r' I (I

F(z) =

f (x. y) dx dy=

-- --

f( x, Y)dx }dY=

--

- ....

2.4. St et ige

121

Zu fall~a. iable

Damit ist auch Z = X + Y stetig und besitzt die Dicht e

h (z) =

S f(x,z - x)dx = S f (z -y,y)dy.

--

--

(2.102)

Für den Erwartungswert von X + Y zeigen wir den Satz 2.2S Sind X und Y zwei stetige Zufallsvariable, deren Erwartu ngswerte E(X) und E(Y) existieren, so gilt (2.103)

E(X + Y) = E(X ) + E(Y).

Beweis: Aus (2. 102) folgt mit Z = X + Y und der Substitution z = x + y E(Z) =

=

S

zh(z)dz =

SS

Sz S

--

f I

-"" - ....

=

SS

... .

.. .

xf(x, y)dxdy+

S

-""

(x+ y) f( x,y) dxdy =

... .

I

- .... - ....

yf(x, y)dx dy =

...... .... I -l l fr"y),r),>' J yl f ... . ... .

=

... . .....

z f(x ,z -x)dxdz =

........ .

=

f (x, z - x) dx dz =

-- --- -f f -- -xfl(x)dx+

f( X, Y)dx} dY =

y fl (y)dy = E(X ) + E(Y) .

•

Durch vollstän dige Induktion läßt sich (2. 103) auf eine endliche Summe stetiger Zufallsvariabler übertr agen. Es gilt also flir ste tige Zufallsvariable XI' Xl ' ... , Xn , deren Erwartungswerte exist ieren, die Iden tität '

(2.104)

122

2. Zuf all,va riable

Beispiel 2.32 (vgl. Beispiel 2.29). Für die Dichte h(z) der Summe Z = X + Y der Zufal lsvariablen X, Y mit der geme insamen Dich te

f (x ,y ) '"

!

X+ Y flir

o

OS; x. YS I,

sonst

.-

erhalten wir nach (2. 102) die Gleichu ng

h( l) =

J

--

f (x , z- x)dx.

Der Int egran d f (x , z - x) verschwindet auße rhalb des Bereiches O:s; x :::; I ; o :s; z - x :S: I , insbesondere also HiT alle z ~ [0, 2]. Für 0 $: z:S; I erhalten wir

h( z) =

•

f

f(x , z -x)d x =

c

S (x+z -X) dX =Z 2 ,

und [ur 1 :::; z S; 2 die Fun ktio nswerte

f Zdx =zx l x

1

h( z) =

Die Zufallsvariab le Z = X

0

"2z 0

=z (I - (z - I » = z (2 -z)= 2z - z2 .

x .. . - I

• -I

h (z) =

~ l

Z1

+ Y besitz t dah er die Dichte (vgl. Bild 2.19)

für z :S: 0, flir o s e s t , flif I s es 2, fii, z ~ 2.

Bild 2.19

l"I(z )

-j--"'' -- --,-- - - +-, 2

Für den Erwart ungswert der Zufallsvariablen Z erh alten wir

123

2.4. Stetig e Zufall, waliable

Beispiel 2.33 (vgl. Beispiel 2.3 I ). Die zweidimensionale Zufallsvariable Cl(, Y) besitze die Dichte • ( x+ 4 )(Y+ 4) f(x ,y) =

o

°

Für die Dichte h(z ) der Summe Werte h (z) = für z ~ 10, 2). Für

os z s

o s x.v s

für

t.

sonst .

i

= X + Y erhalten wir wie in Beispiel 2 .32 die

,

I gilt h(z) =

,

S(x + 4)(z - + 4) dx = f (xz - )(, + ~ + ~ ) dx = X

o

0

Zl Zl

Z2

Z

Zl

Z2

Z

= -~ - + - + - = - + - + _ . 2 4' 2 3 2 4 6

,

Für

l yl"'" 000

x · y f 1(x ) · f,(y) dx dy =

- 00

--

Aus (2.42) und (2.106) fo lgt auch rur ste t ige Zufallsvaria ble der Satz 2.27 Sind X und Y zwei (stoch.) unabhä ngige stetige Zufallsvariable. deren 'h rianzen ex istie ren, so gilt (2.107 ) Durch vo llstä nd ige Induktio n läß t sich d ie Formel (2.10 7) unmittelbar auf d ie Sum me vo n n paa rweise (st oc h.) una bhä ngigen Zu fallsvariablen über tragen . Es gih also der Sat z 2.28 Sind Xl' X" ... , Xn paarw eise (stoch.) unabhängige stet ige ZufaJlsvariable mit existie renden vartanzen, so gilt

D'(L:" x.) "L:" D' (Xo). ; ,. I

i ~

I

(2.108)

128

2. Zufall,ya,iabl .

2.5. Spezielle stetige Verteilungen 2.5.1. Die gleichmäßige Verteilung

Die Zufallsvariable X besitze die in Bild 2.22 graphisch dargestellte Dichte

(x) '"

I

b ~ a ruf 0

x E (a,b), a
'4I1(I(x)

., u

o Bild 2.24. 1Ii'l ov amme standU disiertet Binom ialverte ilungen

•

Zur. lI,y .".b l~

2.~ .

131

Spezielle ste tige Ve.tcilungen

Zwei benachbart e Werte der Zufallsvariablen X: besitzen auf der x-Achse den

~ . Sollen die wahrscheinlichketten P ( X: ;: yn k~ ) wie in ynpq pq Bild 2.23 durch Flächeninhalt e von Recht ecken dargestellt werden, deren GrundAbstand

~ haben, so müssen die Hö hen gleich..jiipq . b (k, n, p) v npq gewählt werden. In Bild 2.24 sind die so entstandenen Histogramme für die standardisierten Zufallsvariablen x io, xis und X~ graphisch dargestellt . seite n jedoch die Längen

Da alle Rechtecke zusammen den Flächeninhalt I besitzen , bilden die Deckseilen aller Rechtecke eine Dichte

y 211

.

also die Gleichung (2. 112) .

Für die Wah rscheinl ichkeiten der diskreten Zufallsvariablen X~ gilt folgende r Salz , ruf dessen Beweis wir wieder auf Renyt S. 129 verweisen . Satz 2.30 Für die Standardisierungen variable n X n gilt

vnpq I und a < b

ruf 0 < P
(3) - 1 = 0,997.

(2.118)

134

2. Zu fall",.riable

Bemerku ng: Ist X eine B(n , pj-verteilte Zufallsvariable . so sind be reits fllr npq > 9 folgende Nähe ru ngen brauchbar

(2.1 19)

Die Tatsache, daß zu k -r np die Zahl 0 ,5 addiert bzw. davon subtrahiert werden muß, wird dabei aus Bild 2.24 plausibel. Dieses .Korrekturg üe d'' ist jedoch nur für relati v kleine Werte n von Bedeu tun g, da es bei großen Werten Ilrr n kaum ins Gewich t fallt. Beispiel 2.35. Ein Medikam ent he ile einen Patien ten mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,8. Das Medikament werde 1000 Personen verabreicht . Unter der Annahme, daß es sich um ein Bernoulli-Exper iment handelt, be rechn e man die Wahrscheinlichke it da für, daß mindesten s 790 Personen dabei gehe ilt werden .

Die Zufallsvariable X IOOO • welche die Anzahl der geheilten Personen beschreibt,

ist B(lOOO; 0,8)-verte ilt mit dem Erwa rtungswe rt 1J. = 800 un d der S tandardabweichung (J = "; 1000 · 0,8 ' 0 ,2 = ..j'j'6'ij '" 12,6S . Damit folgt aus ( 2.119) und (2.1 17) P(X 1OOO

~ 790) ~

1 - (790 1-2~ - O,S) = 1 - $(-0,83) '"

'" (0,83) = 0 ,797.

•

Im zentralen Grenzwe rtsatz (s. Abschn itt 3.3) werden wir sehen, daß unter sehr allgemeinen Bedingungen die Verte iJungsfunktionen standardisierter Summen von [stoch.) unabhängigen Zufa llsvariablen gegen die Verteilungsfunktion $ einer N(O; I )-verteilten Zu falJsvariabJen konvergieren . Daher spielt die N( O; I } Ver teilung in der Wahrscheinlichkeitsrechnu ng eine zentrale Rolle. 2.5. 3. Die allgemeine NOl'"malverteilung

Ist Z eine N(O; 1)-vert eilte Zufallsvariable, so besitz t nach Satz 2.18 die Zufall svariable X '" aZ + b, a '" 0, die Dichte

1 (X -b) I -2"11 = ";2118 I1 e f (x) "' Q'P - , - "' tal v'2if e (x -bl'

(2 .120)

Dieselbe Dichte besitzt aber auch die Zufallsvariable Y '" - a Z + b. Wegen E(Z) '" 0, D'(Z) '" I folgt aus den Sätzen 2.19 und 2.20 1J." E(X) = E(a Z + b) '" E(- aZ + b) '" b ;

0' "' D' (X)"' D' (a Z + b)= D' (- aZ + b)"' a'.

2.5 . Spezielle , tetige Verteilungen

13 5

b ist also der Erwartungswert von X bzw. Y und a1 die Varianz. Damit geht die in (2. 120) angegebene Dichte über in (x _plI

I --2 f (x)"' - e 20 1 ..,J2n o Definition 2.15. Eine

der Gestalt f'(x) '"

ZufallsvN~t~~e

~ e- ~ v 2lra 2

(2.121)

X heißt normatvertetlt , wenn sie eine Dich te besitzt . Wi r nenne n sie kurz

N(IJ.. a2 )-~e'tei/t.

Die Parameter IJ. und 0 2 stellen nach den obigen Ausführungen den Erwartungswert bzw. die Varianz von X dar. f tsr symmetrisch zur Achse x '" IJ. u nd besitzt an der Stelle x '" IJ. das Maximum. An den Stellen IJ. ± 0 hat f Wendep u nkte. Für IJ. '" 5 sind in Bild 2.26 die Graphen von f für verschiedene Sta ndardabweichungen a gezeichne t. f{x)

Bild 2.26. Dichten vo n No rmalverleilung en mit ko nstantem"

ISI X eine N(.u, a 2)-verteilte Zufallsvariable . so ist ihre Standardisierte X· '" X :

Jl

eine N(O; I j-veneüte Zufallsvariable. Für die Verteilungsfunktion F

einer N(.u, aJ}verteilten Zufallsvariablen X gilt daher

F(x) "' P( X :Sx) '"

p(X:1J. :sX:Jl )", p(x· :sX ; IJ. )'" (X : Jl ) , (2.122)

wobei die Verteilungsfunktion einer N(O; I j-vert eilten Zufallsvariablen ist. Daraus folgt für k > 0 P( IX - JlI Ska) "' P(.u- ka:s X :SIJ. + ko) '" F (p + ka) -F(p - ka ) =

'"

(Jl + ~a - Jl )_ (Jl - ~o - 11- ) '" (k) _ (_ k) '" 24>(k) _ l.

136

2. Zufa nwari able

Aus (2.118) folgt insbesond ere für die Abweichungen der Zufallsvariablen X vom

Erwartungswerl P( I X - J..d $ 0): 0,683; P( IX - ,uI 2:; 0) =0,317 ; Pf l X - jJl:5 20) " 0,954; P( t X - ,u 12: 20 ) = 0,046; P( t X - j.Il < 30 ) '" 0,997; P( l X - /ol l 2:: ]a) = 0,003,

(2. 123)

Hierm it bekommt die Standardabweich ung a einer norm alvert eilten Zu fallsvariablen eine anschauliche Bedeut un g. Die Wahrscheinlichk eit da für, daß die Werte um mehr als () vom Erwartu ngswert ,u abweichen, ist gleich 0,3 17. Eine Abweich ung um mehr als 20 vom Erwartungswert wird nach (2.123 ) sehr selt en, eine Abweichu ng um mehr als 3a fast nie vorkom men. In Abschnitt 2.5.2 haben wir gesehen, daß für große ß die Sta ndardisierten X - np X: = Re=::- binomialverte ilter ZufaJlsvariabler Xn näherungsweise N(0; I r

vnr q

verte ilt sind. Wegen Xn := ..;npq X~ t np sind dah er für große n die Zufallsvariablen Xn selbst nähe rungsweise Nfn p ; npqj- verteilt. Dasselbe gilt für Summen viele r (stoch.] unabhängiger Zu fallsvariabler (s. zent ralen Grenzwertsa tz in Abschn itt 3.3). Beispiel 2.36 . Die Durchmesser (in mm ) neu produzierte r Autoko lben seien N(45 ; 0,0 1)-verteilt. Ein Kolbe n ist unbrauchbar, wenn sein Durchmesser vom Sollwert 4 5 um meh r als 0, 15 mm abweicht . Mit welche r Wahrscheinlichkeit ist ei n zufä llig der Produkt ion entn ommener Kolben unb rauch bar? Beschreibt die Zufallsvariable X den Durch messer, so erhalten wir (ur die gesuchte Wahrscheinlich keit wegen a = 0, 1 p = I -P( IX - 4 51 :::;0,15)=] - P(4 5 - 0, 15 :::; X :::; 45 + 0,15) = = [ _ p(45 - 0, 15 - 4 5

0, 1

< X - 4 5 < 45 + 0,15 - 4 5 ) = 1- ($ ( 15 ) - $ (- 15) ] 0

-

0,1

-

0,1

= 1-(2 '1>(1 ,5) - 1) := 2 - 2 ( 1,5) '" 2 - 1,866 = 0, 134 .

"

•

Beispiel 2.37 . Der Intelligenzquotient ( IQ) einer best imm ten Bevölke rungsschicht sei N( IOO; 15 J )·verteilt. Man bestimme die Konstante c so , daß eine aus dieser Bevölkerun gsschich t zufällig au sgewählte Person mit Wahrscheinlichk eit 0,3 einen IQ von mindestens c besitzt. Die N(l OO; 15 J)·ve rteilte Zu fallsvariable X beschreibe de n Intelligenzqu ot ient en. Dann erhal ten wir für c die Bestimmu ngsgleichung

' -100) - < -15- 0 $ ('- -100) 15- . (X-1-5lOO

0,7 :=P(X :::; c) =P -

Aus der Tabell e (ur die Verteüungsfunkt ion erhalten wir c - 1OO=0 52 5

15

•

137

2 .5. Spezielle stetige Vert eilu ngen

und hieraus

•

c e 15 ' 0,525 + 100 " 107,875. Die Normalverte ilung ist reproduk tiv. Es gilt nämlich der

Satz 2.3 1 a) Ist X eine N(p, oZ).verteilte ZufaUsvariable, so ist fur a t- 0 die Zufallsvariable aX + b wieder N(~ + b, aZoZ).verteilt. b) Die Summe XI + Xz zweier (stoch.) unab hängiger N(PI , oD · bzw. N(pz, on·verteilter Zufallsvariabler ist N(P . + Ilz, o~ + o~ )-ve r te i l t.

"Beweis (• • ",)2 a) X besitzt die Dichte f (x ) = - ' - e - ~ . Dann laut et die Dich te der -/2rro z Zufallsvariablen aX + b nach SaU 2. 18

-

f (x) "' -

' ( (X --b) - = - 1' - 1 - e-

lal

a

la i "/2rro'

(-Y - ",? 2.. z

=

I

../2traZoz

e

Die Zufallsvariable aX + b ist somit N(~ + b, aZoZ )-verteiit . b) Für die Dichte h (z) der Zufallsvariablen X. + X1 erhalten wir wegen de r vor ausgesetzten [stoch.) Unabhängigkeit aus (2.102) die Integraldarstellung

h( z) " -

I-

--

' f -

../2110~ J211 0~

--

dx.

X- "

Durch die Substitutio n _ _t = u erhalten wir wegen x = /lt + 0 10ZU, 0 10 ,

dx = o . ozdu mit der Abkürzung z - /l I - /l 1 " V folgende Gleichungen

du =

--

138

2. Zubll. ..uiablc

1 - 2"

.12.

--S S ---

Durch die Subst itution

..jot ... a~

[u _

0, Y ] = w, du= 1 a 2 (o ~ t o~ ) .jot t

gehl wegen v = 1. - PI - P 2 dieses Integral über in ( " -"' 1 - "' 2)

I

2"

Jot . . oi

.-

..2

e- 1("I . ..!ISe-Tdw=

--

a}

dw

( " - "' 1 - " 2 )

1

J211'(at -t( 1)

e- 2 ( ..

~+ .. h

~

h(%) ist also Dichte einer NÖJI ...J.t 2. a~ .. an·verteilten Zu fallsvariablen. womi t • der Sau bewiesen ist.

I, --

2.5 .4. Di. Exponelt1ialvtrt,ilung

Wegen

f'"'

ae-a" dx = - e-« "

o

«.)=J

= I fur « > 0 ist

. "0

o

rur x s o.

lae- ax rur x> u. a > O

(2. 124 )

Dichte einer stetigen Zufal lsvariablen X. Die Zu fallsvariabl e X heißt exponentiol-

w ru ilt mit dem Parameur a. Die Ver teilun gsfunktion F de r Zufallsvariablen X besitzt dabei die Funk honswerte

F(.)=\o

flirxSO. (2. 125)

I - e- « " ftirll >O.

In Bild 2.27 sind r und F fur

CII

= 0,5 graph isch dargestellt .

Mit Hilfe der partie llen Integrati on erhält man für eine mit dem Param eter a expo nent talverteilte Zufallsvariable X 1

E(X ) = (; ;

(2. 126)

139

2.5. Spel ielle stetige Vc' lcilu nge n

;: l

•• -~:::= , =~-,

F(x}

Z

3

.5

----5

Bild 2.27 . Dicht e und Verteilung,funk tion deI Ex ponent ialverleilung nir a · 0.5

Für jede s x > 0, h > 0 folgt aus der Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit sowie aus (2. 124) und (2.1 25)

f'".

P(x <X :s;x +h) P(X :s; x + h/X ~ x) '" P(X ~ x)

ae-audu

"

"'''-,\'-'''F< '',,",>-

Durch die Substitution v '" u - x, du '" dv geht die rechte Seite über in

o

Für eine exponentialverteilte Zufallsvariable X gilt somit P(X:s; x + h/X

~

x) '" P(O :s; X :s; h) flir alle x, h > O.

(2.127)

Die Gleichung (2.127) besagt folgendes: Die Wahrscheinlichkeit daflir, daß die Zufallsvariable X Werte aus dem Intervall [x, x + h I annimmt , unter der Bedingung, daß (X ~ x) eingetreten ist, ist gleich der Wahrscheinlichkeit P(O :S; X :s; h) fiir alle x ~ O. Urgekehrt sei X eine stetige Zufallsvariable, welche die Bedingung (2.12 7) erfullt. Die Dichte g der Zufallsvariablen X verschwinde Ilir x :s; 0 und sei fur x > 0 differenzierbar.

140 Dann folgt rur alle x, h > 0 aus (2.127)

I 1 [ P(X < X :5 X + h) 1 O =i1 I P(X sx +h/X ~ x) -P(O :$X Sh)l =h P (X ~ x) - P(O::;X S h)J =

.. ,

g(u)du I - g (x) " h S '---- - _! Sg(u) du = h" ,,--_ _ h

I ,

=il

J 00

,

h

00

S

,

o

g(u) du

g (x )

=

-

-

S g(u)du

I

h

g(O+)· h + R (h) =

,

g(o+) + R(h) .

g(u)du

'liegen lim R(h) = 0 , folgt hieraus

-

HO

ruf alle x > 0

g(x) = g(o+) ·S g(u) du.

(2 .128)

, Da die Funktion g für u > 0 stetig und integrierbar ist , erflillt sie die Bedingung g(-) = lim g(u) = Q. Differentiation der Gleichung (2.128 ) liefe rt die Differentialgleichung g'(x) = -g(O+) ' g(x)

J-

mit der allgemeinen Lösung g(x ) =c e- s(o+) ,,,. Da g Dich te ist, folgt aus g(x) dx = 1 flir c die Identität c = g(O +). Mit g (0 +) = 0: erhalten wir somit

c fur die Dichte die Darstellun g 0 ,(,) =

\ ae- Ch

furx$O,

fijrx >O.

Aufgrund de r Eigenschaft (2.127) gibt es in de r Prax is viele Zufallsvariable. die zumindest nähe ru ngsweise ex ponenti al verteilt sind. Als Beispiele seien hier die Daue r von Telephongesprächen . die Bedienu ngszeit von Kunden oder die Reparatu rzeit fllr Maschinen erwä hnt .

2.5 .

Spezi~ lI c

141

st etig 2) '" I - P(T :S: 2) = 1 -(I - e-0,5 1) =e- l,6 = 0,202. Fern er gilt p eT

:s:

•

I ) = I - e-0,5 = 0,551.

2.5.5. Obungsaufgabe n über stet ige Zufallsvl riable

I . X sei eine stetige ZUfallsvariable mit der Dichte fe x) '" (

cx (J - x )

nn o s x s t.

o

sonst.

a) Man bestimme die Kons tante c. b) Wie lautet die Verteilungsfunktion F der Zufallsvariablen X? c) Man berechne P (~ s X S ~ ), E(X) und D' (X). 2. X besitze die Dichte furx< O, furO Sx S4,

fllr x >4. Man bestim me a) die Konstante c, b) die Verteilungsfunk tio n F sowie die Wahrsch einlichk eit P(I c) E(X) und DZ(X). • 3. Die Zufallsvariable X besitze die Dichte fex) = ce- P lxi, p > O.

s X :$ 2),

a) Man bestim me den Koe ffizienten c. b) Man bestimm e die Vert eilungsfunktion F. c) Man berechn e E(X) und D'(X). 4. Die Dicht e f (x, y) der zweidimensionalen Zufallsvariablen (X, Y) se i in dem Quadr at Q aus Bild 2.28 konstant und verschwind e außerh alb dieses Quadrates. a) Man bestimme die Randdich ten f l und f z der Zu fallsvariablen X und Y. b) Sind die Zu fallsvariablen X und Y y (stoch .) unabhängig ? 1 c) Man berechn e E(X ), D'( X ), E(Y ) und D' (Y). Bild 2. 28

142

2. Zu ral h;variable

s. Einem Prüfling werden 40 F ragen vorgelegt, d ie alle nu r mit ja ode r nein zu beantwo rte n sind. Wieviel richtige An tw ort en müssen zum Best ehen der Prüfu ng min destens gefo rde rt werd en, d am it ein Kandida t du rch zufä lliges Bea ntwo rt en [Raten) höchste ns m it Wahrsche inlichk eit von 0.0 5 die Priifung

besteht? 6. Ein Au tomat prod uziert Schraub en. Im Du rchschnitt sind 10 % der Prod u ktion unbrauchb ar. Au s de r Produktion d ieser Masch ine we rden 400 Schrauben zufä llig ausgewä hlt . Wie groß ist die Wahr sch einlichkeit , daß unter d iesen

4()() Schrauben a) m indesten s 30 abe r höchstens 50 u nb rauch bare, b) m indestens 5S unbrauch bare sind? 7. Ein Ve rtreter weiß e rfahrungsgemäß, daß e r bei jed em seine r Erst besuch e mit Wahrscheinl ichkei t p '" 0 ,05 einen Ve rkau f tä tigen kan n. Wie gro ß ist d ie Wahncheinlich keit , daß er bei 3 00 Erstbesuchen wenigste ns 10 Verkäufe täti gt? 8 . Vo m Or t A fahren gleichzeitig zwe i Züge nach B, d ie von insgesam t 1000 Person en be nu tz t werden. Jede Perso n besteige unabhängig vo n den ande ren Person en mit Wah rscheinlichk eit p :: ~ einen der beid en Züge. Wieviele Sitzplätze muß jeder der Züge mindeste ns haben, wenn d ie Wahr scheinlichkeit d aflir, daß alle Pe rsonen einen Sitz platz erhal te n, mi nd estens gleich 0 ,99 sein soll? 9. Für eine technisch e Meßgröß e X sei e in So llwert von 152 m it T e leran zen ± 5 vorgegebe n. a) Mit welche r Wahrscheinlichk eit liegt ein Meßw ert X( w ) auß erhalb der Tolera nzen, falls X eine N (l52 ; 2 l)- verteilte Zufa llsvariable ist? b) Wie ände rt sich das Result a t, falls nur Toleranzen ± I zugelassen sind ? 10. Eine App arat u r füllt XI Gramm eines pul verfö nn igen Medik am en ts in Xl Granun sch were Röhrch en. Die Zufallsvaria blen XI und Xl seien dabei (stoch.) un abhä ngige näheru ngsweise N(50; 1) - bzw. N(2 0; O,5) -ve rte ilt e Zu fallsvar iable. a) Mit welche r Wahrsche inlich keit liegt das Gewich t eines gefüllte n Röhrche ns z wischen 69 g u nd 7 1 g? b) Mit welche r Wahrsche inlichkeit ist ein gefülltes Rö hrchen leichter als 68 g? 11. Der Anhalteweg X eine s mit 60 km/h fahrenden Autos setz t sich add itiv zusammen aus d em Reakt ionsweg XI u nd dem Bremsweg Xl, wob ei XI u nd Xl (stoch.} unabhängige näherungsweise N( 14 ; 9 )- bzw. N (36 ; 25 )verteilte Zufall svariable sind. a) Wie ist d ie Zu fallsvariable XI + Xl näherungsweise vert eil t? b) Mit welcher Wahrscheinlichke it liegt d er Anhalte weg e ines mit 6 0 fahre nden Autos übe r 5 5 m ?

km/h

2.6 . Al lgemein e Zufallsvariabl e

143

12. Die Stu dentenschaft einer Universität setzt sich zu 20 % aus weiblichen und tu 80 % aus män nlichen Studenten zusammen . Unter der Annahme, daß die Körpe rgewichte (in Pfund) N(i16; 100 )- bzw. N(l50; 225 )-verteilt sind , berechne man a) die Wahrscheinlichkeit daflir, daß eine aus de r Studentenschaft zufällig ausgewählte Person zwischen 130 und 150 Pfund wiegt, b) den Erwartungswert der Anzahl von Studierenden, die unte r 100 zufällig ausgewählten über 130 Pfund wiegen. +13. Die Zufallsvariable T, welche die Dauer eines Telephongespräches beschreibt , sei exponenttalverteilt mit dem Parameter A, sie besitze also die Dichte

für t:;; 0, Ilir r > n Man bestimme die Dichte fn(t) der Zufallsvariablen Tn' welche die Gesamtdauer von n Telephongesprächen beschreibt. Dabei seien die einzelnen Gesprächsdauern unabhängig und besitzen alle die Dichte f (t ).

2.6. Allgemeine Zufallsvatiable Wir haben bisher zwei Klassen von Zufallsvariablen betrac htet : diskrete und stetige. Daneben gibt es aber auch noch Zufallsvariable. die weder diskret noch stetig sind. Folgendes Beispiel möge dies erläute rn. Beispiel 2. 39. Die Zufallsvariable X beschreibe die für ein Telephongespräch in einer Telephonzelle während einer bestimmten Tageszeit verwendete Zeit . Als Wertevorrat der Zufallsvariablen X komm t zwar wie bei den stetigen Zufallsvariablen ein ganzes Intervall I in Frage. Trotzdem ist X nicht stetig und zwar aus folgendem Grun d : bei Ferngesprächen legen viele Teilnehmer den Hörer erst dann auf, wenn die Verbindung nach dem letzten Münzeinwurf und nach dem Hinweis "Sp reclue it zu Ende" abrupt abgebrochen wird. Sie ist aber auch nicht diskret, weil manche Teilnehmer nicht die volle Speechzeit ausnutzen, und weil es für Ortsgespräche fiir eine Einheit keine zeitliche Begrenzung gibt. Die Zufallsvariable X nimmt somit die Werte ia, ib, ic, i '" I, 2, ... , mit positiven wahochernlichkei ten an, wobei die Zahlen a, b, c, ... die fur die verschiedene n Entfernungszonen festgelegten Sprechzei ten pro Einheit sind. Die restlichen Punkte des Int ervalls I besitze n jeweils die Wahrscheinlichkeit 0, was aber wie im stetigen Fall nicht bedeu tet, daß diese Punkte von der Zufallsvariablen X nicht angenommen werden können. Die Verteilungsfunk tion F(x ) :: P(X S x) besitzt somit an den Stellen ia, ib, ic, ... i = I , 2, ... Sprunge und ist dazwischen stetig. •

144

2,6. 1. Vet'teilungsfunkt io n, Erwart ung$Wert un d Var ia nz einet" be liebige n Zufa llsv3riablen Wir bet rachten nun eine beliebige Zufallsvariable X, d. h. eine nach Definition 2.1 au f n defi nierte reellwertige Funktion, rur welche den Ereignissen (wIX (w ) = x} x E IR und (w/a < X(w) S b}, a < b,aufGrund der Axiom e ...on KoJmogoroff Wahrschein hchkeiten zugeo rdnet sind. Setzt man a = - ...., so fo lgt hieraus, daß jede Zufallsvariab le X eine Verteilungsfunktion F (x) = P(X S x) besitzt. Die Verteilungsfunkt ion hat an de r Stelle x gerrau dann einen Sprung. wenn d ie Wahrscheinlichkeit P(X = x) positiv ist. Die Sprunghöhe ist da bei gleich der Wahrscheinlichkeit P(X = x). Zwischen zwei benachbarten Sprungstellen is t F ste tig, wo bei F an den Spru ngstellen noc h rechtsseitig stetig isl . Es gilt also ruf h > 0 lim F (x + h) = F (x). 11 ..... 0 Für die Vert eilungsfunktion F gilt ~

lim F(x) = 0 ; ..... _ oc

F(xl) :5 F(x2) fur

tim F(x + h) = F(x). 11 ..... 0

lim F(x) = I. x..... +"" Xl

t2.129)

. >0

:5 Xl (F ist also mon oton nichtfallend).

FIx)

--4=-~--:c---o:--- .

"

"

Bild 2.29. Vert eilungsfunk lion eineb)

1.4

(2.130)

= l - F (b).

Zu r Definition des Erwartungswertes einer belieb igen Zu fallsvariablen X mit de r Verteilungs funk tion F bet rachten wir analog zum stetigen Fall in Abschnitt 2." 2 folgende n Diskret isierungsprozeß. Für h > 0 besitze d ie diskre te Zufallsvariab le XII den Wertevorr at W(XII) = [kh; k '" 0, :t I , :t 2, ... ) mit den Wah rscheinlichk eit en P(X h = kh) = P«k - l ) h < X S k · h) '" F(kh) -

F«k -

l ) h), k =O, :tI, ...

(2.131)

145

2.6. Allgemeine Zufal1S"ariable

Für kleine Werte h stellt die diskrete Zufallsvariable Xh eine Näherung fllr X dar, wobei die Approximation umso besser wird, je kleiner h ist. Die diskre te Zufalls· variable X" besitzt deflnitlonsgemäß genau dann einen Erwartungswert . wenn die Summe der Absolutglieder

L:

(2. 132)

Ikhl [ F(kh) - F((k - l ) h)]

k" -"" endlich ist. Falls der Grenzwert lim " -+ 0

.-

L:

k" -""

Ik hl [ F(kh) - F((k - l) h)]

existiert , bezeichnen wir ihn mit

lim

L

f

--

Ix IdF(x). Dann existiert auch

kh[F(kh) -F«k - l)h)] =

h-+O k "' -O

S

--

x dF(x). Dieses sogenannte

Lebesgue-Stieltjelrlnugral nennen wir den Erwartungrwert der Zufailsvariablen X. Es gilt also

IJ = E(X) = lim

L

f

--

kh [F(kh) - F «k - l)h)] =

h-+O k "' -""

xdF(x)= lim E(X h ) . ,~.

(2.133)

Entsprechend erklären wir im Falle der Existenz die Varianz einer beliebigen Zufallsvariablen X mit der Verteilungsfunktion F durch

L (kh -IJ)l (F(kh) -F«k -I) I.)] =

01 = D1(X) = lim

h -+°

--

k

_ _ ""

(2.134)

S (x - IJ)ldF(x) = lim D1(Xh). H'

Bemerkung. Es läßt sich relativ einfach zeigen, daß aus den Definitionsgleichungen (2.133) und (2.134) filr diskrete bzw. stetige Zufallsvariable unmittelbar die an den entsprechenden Stellen gegebenen Definitionen folgen.

146

2. Zufallsvuiable

Entsp rech end lassen sich alle bishe r für die Erwartungswe rte und Varianzen diskre ter bzw . sie tiger Zu fallsvariablen gezeigte Eigenschaften auch auf allgemeine Zufal lsvariab le übertragen. Dabei ist die (stoch.) Unabhän gigkeit in Definitio n 2. 13 bereits allgemei n fo rmulier t . Beispiel 2.40. Die Zufallsva riable X besitze die in Bild 2.30 dargestellte Vett ellungsfunktion F, wobei F nur aus Gerad enstü cken best eht . Nur die Zahlen x = I un d x = 2 werden vo n der Zufallsvariable n X m it positiver Wah rscheinlichkei t angenommen. Da die Sprunghöhen jeweils gleich ~ sind, erhal ten wir P(X = I ) = P(X = 2) = ~. Für u c x < I und I < .x < 2 ist F(x) differenzierbar mit de r Ableitung F'(x) = ~ . Für 0 < x, x + h < 1 und 1 < x, x + n < 2

J

, H

gilt dabei die Ident ität F( x + h) - F (x) =

,

~ du = ~ h. Damit erhalten wir

•

I

,

j,

2

"'

Bild 2.)0. V erte ilung . fu nktion

2.6.2. Median und Quantile . il'lll'" Zufallsvariablen Ist die Verteilungsfunk lion Feiner Zufallsvariablen X stetig und streng monoton wachsend , so besitzt die Gleichung

F(x )

=!

( 2. 135)

147

2.6 . Al lgem e ine Zu fa llsV 1, geht (3.2) über

in

1

(3.4)

P( IX -,u I ~ka)Sk2 .

Hleraus folgt z.B. P ( I X - I.d 2:: 2a) S ~ ; P( IX -,u 1 2:: 3a) s~. Daß diese Ab·

schätzurigen wesen tlich schlechter sind als die in (2.1 23) (ur normalverteilte Zufallsvariable angege benen, liegt in der Tatsache , daß übe r die Ve rt eilung von X keine Annahmen gemacht werden. Man muß evtl. mit dem ungünstigsten Fal l rech nen. BeispieI 3.!. Von einer Zufallsvariablen seien E(X) '" 1 und (12 = D2 (X ) = 2

bekannt. Man gebe eine obere Schranke für P( IX -l i 2:: 3) an. Aus (3.4) folgt 2" P(IX -I I 2:: 3) S "9 = 9

•

3.2. Das schwache Gesetz der großen Zahlen Wird ein Zufallsexpe riment n-mal u nter denselben Bedingungen durchgeführt , so nimmt bei jeder einzelnen Versuch sdurchführung d ie Zufal lsvariable X e ine n Wert aus ih rem We rtevorrat W(X) an . Die so erhalte ne n Wert e bezeich nen wir ist also mit XI' X2 ' ... , Xn, wob ei man che dieser Werte gleich sein können . die Reali sierung der Zufallsvariab len X be i der t-ten Versu chsd u rchführu ng. Wir betrachten nun die n-malige Du rchführung d er Einzel expe rimente als neues Zufallsexperiment. Dann können die Wer te Xl als Realisieru ngen vo n Zufallsvaria blen X; aufgefaß t we rden , wob ei die Zufallsvariablen X l . ... ' X n (stoch.) unabhängi g sind . Da bei stim me n die Vert eilungsfunktione n, Erwartungswerte un d Var ianz en der Zufal lsvariab len X; und X übe rein.

x;

Das arith meti sche Millel

,.

"" XI " X2+",+ Xn n ist dann Realisierung der Zufallsvariablen Zn ä gJg . k eil. d er X i, l = 1, 2 , ... , n, p·1t Una bh an

(3.5)

=!

!: x, für die wegen de r (st och.)

n 1= I

(3.6)

15.

3.3. Der zentraleGrenzwe rUall

Für die Zufallsvariable Zn erhalten wir aus der Tscheby scheffschen Ungleichung für jedes e > 0 die Abschätzung

D1 (Zn) 01 P( IZn -~ I ~ e ) :S: ,'- "' n 'e1 '

(3.7)

Für jedes e > 0 wird die rechte Seite dieser Ungleichu ng beliebig klein, wenn nur n groß genug gewählt ist . Die Wahrscheinlichke it dafür, daß die Zufallsvariable

r

.!.n ,_"' . X; Werte annimm t, die von ~ um mehr als e abweichen , ist som it ftir große n sehr klein.

x

Der Mittelwert wird daher meistens in der Nähe des Erwartungswertes ~ liegen. Diese Eigenschaft ermöglicht es uns, Näheru ngswerte ftir ~ mit Hilfe von Zufallsexperimenten zu gewinnen. Zur Herleitung von (3.7) genügt bereits die paarweise [stoch.) Unabhängigkeit der Zufallsvariablen X.. Xl " " , Xn und die Bedingung, daß alle Zufallsvariablen X•• Xl' ... , Xn de nselben Erwartungswert und die gleiche Varianz besitzen. Diesen Sachverhalt fassen wir zusammen im folgenden Satz 3.2 (Das schwache Gesetz der großen Zahlen) Für je de natürliche Zahl n seien die Zufallsvariablen Xl> Xl , ... , Xn paarweise (stcch.) unabhängig und besitzen alle denselben Erwartun gswert ~ und dieselbe Varianz 0 1 • Dan n gilt für jedes e > 0 (3.8)

Beweis: Die Behauptung folgt unmitt elbar aus (3.6) un d (3.7). Bemerkung. Mit Xi(w ) '"

•

l fÜr w E A.

\ o sonst, folgt wegen E(X ;) '" P aus Satz 3.2 unmittelbar das Bernoullische Gesetz der großen Zahlen (Satz 1.23).

3.3. Der zentrale Grenzwertsatz Für jedes n seien die Zufallsvariablen XI . Xl ' ... , Xn (stoch.] unabhängig, ihre Erwartungswerte ~i '" E(X; ) und Varianze n ol '" D1(Xi) . i '" I , ... • n, sollen existie ren. Die Summenvariable Sn '" X, + Xl +... + X n besitzt den Erwartu ngswert o

E(So) =

~ "'

;

-,

152

) . G~St'ue der z ro lle n Zah "'n

und wegen der (stoch.} Unabhä ngigke it d ie Varianz

Dl(5,,) =

2.:• o? ;- I

Daher lautet die Standardisierte

S~

der Zufallsvar iablen Sn

L• ()C, - . ,) 1=1 $.• "'7;;==

(3.9)

li>: ;.,

Unte r seh r allgeme inen Bedingun gen . die im wesen tlic hen besagen, daß in (3 .9 ) jeder einzelne Summand auf die Summe nbildung nur einen kleinen Einflu ß hat , ist (ur große n die stan dard isierte Summe nvariabl e S: ungefähr N(O, I)-vc n cilt . Diese Bedingungen sind 1. B. e rfullt. wenn alle Zufall svariablen Xi dieselbe Ve rleil ungsfunk tion besitzen un d ihre Erwart ungswerte und varianzen, d ie dann für alle X; identisch sind . existieren. Der Vo llstä ndigkeit halber wollen wir die sehr allgeme ine , Mlg. L ind~bnJ­ B«iingulll: kurz form ulieren: Ist Fi(lt) die Vc rteilu ngsfunkt ion von X;. i = 1, 2, ..• , so gelt e fur jedes f > 0 mi t

ß 2 ..

n

•

I:

1_ .

(12

I

(3. 10)

Damit gilt de r SatE 3.3 (Z entraler Grt flZwutw tz ) Fur jedes n seien die Zulallsvariablen X.. X~ , ,.. , X. (stoch.) unabhi ngig und sie erfüllen d ie U nde bcrg·Bedingung (3 .JO). Dann gilt für djc.stan

0 ist , besitzt eine Cauc hy-

Für n 2:: 2 gilt E(T n) = 0. Die Zufa llsvariable T l besitzt keine endliche Varianz. Für n 2:: 3 gilt 0 1 (T n) = ~ " .

Mit wachsendem n strebt die Dichte der t-vertellung mit n Freiheitsgraden gegen die Dichte der N(O; 1)-Ver teilung. Für die Werte n = 2 und n = 10 erh alten wir z. B.

h 1 (x) =

I

h (' j = 10

I

M

2v 1

3•

1 -

( l+ x1 )1

3 15

156 ViO

1

u

( I +~o )l

In Bild 4.2 sind die Funktion en h 1• h l(l sowie die Dichte der N(O; 1)-Verteil ung graph isch dargestellt.

-,

n.lO

a

-l

,

5

Bild 4 . 2. Dicht en von I-Verteilu ngen

4.3. Die F·Verteilung von Fisher x:" und X~ seien zwei (stoch.) unabhängige Zufallsvariable, welche Chi-Quadratverteilt mit m bzw. n Freiheitsgraden sind: Dann heißt die Zufallsvariable ,~

F(m , n) -- ~ x 2n

" F · oder FisheNerteilt mit (m, n) Freiheitsgraden.

(4.10)

117

4.3 . Dif F .VeJleilu"i ron Fish e.

Sie besitzt die Dicht e

o g",. .. (x) '"

jur x cü

r (!!!f-'")

r (-i!l r (~ ) 2

(ro)T n

2

fur (m. n) = (6. 4) bzw. = (6 , 10) gilt

x'f -

I

eae

sonst .

(4 .11)

(I'" ';-11;) 2 1.

B. rtir 11;

>0

"

16•• (X) · 12 · IY ' ( I + I,Sx)S . Die Kurve besitzt an der Stelle 11; = .~5 .. 0.444 (vgl. Bild 4.3) das Maxim um. J

"

16.10 (X) '" I OS · 0.6 (I ... 0.6x)1 9(1 )

I

)

,

Bikl 4J . Dichten ron F · Verte ih"lIfn

, ,

158

5. Ausblick Durch die Axiome von Kolmogoroff sind zwar drei wesentlich e Eigenschaften einer Wahrscheinlichkeit P gegeben, nich t aber der Zahlenwert P(A ) eines Ereignisses A. Die einzelnen Wah rscheinlichkeiten sind in einem Laplace -Modell mit Hilfe der m gleichwahrscheinlichen Elementarer eignisse {(,JI), {""2}, ",. , (w m ) du rch kombina tori sche überlegungen berechenbar. Allerdings muß dor t die wesen tliche Voraussetzung gemacht werden, daß jedes der m Elementarereignisse die (gleiche) Wahrscheinlichkeit p = besitzt. Wie kann man jedoch prüfen, ob bei endlichem n alle Elemen tarereignisse auch wirklich gleichwahrsc heinlich sind? Bei der Behand lung zahlreicher Aufgaben sind wir zwar auf Grund bes timmte r Gegebenheiten von dieser Gleichwahrscheinlichkei l ausgegangen, wir haben aber noch kein Verfahren kennengelernt. mit dem man " Prüfen" kann , ob diese Bedingung nicht verletzt ist. Ist p = P(A) z. B. die (unbekannt e) Wahrscheinlichk eit dafür, daß ein von einer Maschine produziert es Werkstuck fehler haft ist , so können wir p nicht du rch kombinato rische überlegu ngen berechnen. Allerdings werden wir wegen des Bernoullischen Gesetz es de r großen Zahlen in

k

p ""rn(A)

(5.1)

rur große n meiste ns eine brauchbare Näherung erhalt en, wobei rn(A) die relative Häufigkeit des Ereignisses A in einem Bernoulä-Experirnent vom Umfang n ist. Dabei haben wir für die Ableit ung dieses Gesetzes nur die Axiome von Kolmogor off benu tzt. Aussagen über die Güte einer solche n Approximation zu m achen , ist z. B. eine Aufgabe der Sta tistik . Ein ander es Beispiel ist die Frage, ob eine Zufallsvariable X normalverteilt ist , und wenn ja, welche n Erwartu ngswert und welche Varianz sie besitzt. Auc h auf diese Frage wird die Stat istik eine gewisse Antwort geben. Solche und ähn liche Prob leme werden wir in dem Fort setzungsband Elemen tare Einführung in die angewandte Statistik behand eln. Dazu werden die in diesem Band aus de n Axiomen von Kolmogc roff abgeleiteten Ergebnisse benutzt , insbesonde re die Gesetze der großen Zahlen und die Testverteil ungen aus Abschnitt 4 , de ren Werte dort auch tabelliert sind. Ziel des Aut ors ist es, die Verfahre n nicht kochrezeptartig zu beschreiben, sonde rn sie auch (so gut wie möglich ) zu begründen.

6 . I . Lösu"8c n der ObU"8!Jlufgaben

159

6. Anhang 6.1. Lösungen der Obungsaufgaben l.ö$U ngen der Obungsaufgabe n aus Abschn itt 1.10

I.

A: " unter den beiden ersten Buchstabe n ist höchstens ein Konsonant" . AB: " alle Buchsta ben sind Konsonanten" , AB: " der erste Buch stabe ist ein Vokal, die d rei letzte n sind Kon sonanten" . A U B = AB: ••mindesten s einer der Buch staben ist ein Voka l" ,

2.

11 = {(i. j ) 1 ::s; l, j S 6. i '" Augenzahl des weißen. j '" Augenzahl des rot en Würfels] . A '" W.2). (1 ,3). (1,4). ( 1,5), ( 1,6), (2,3), ( 2,4), (2,5), (2,6) , (3,4) , (3.5), (3,6), (4,5), (4,6), (5,6)) , B '" {(I, I). (1.3), u.s), (2,2), (2 ,4). (2.6). (3.1), (3.3) , (3.5). (4.2). (4,4), (4,6), (5,1), (5,3), (5,5), (6,2), (6,4 ), (6,6)} , C = W ,I ), (1,2), (1 ,3), (1,4), (2, 1), (2,2), ( 3,1), (4 ,1)], AB '" ((1 ,3), (1,5), (2,4), (2,6), (3,5), (4,6)}, AC = ((1 .2), (1,3), (1,4)}, BC = W ,I ), (1,3), (2,2), (3, 1)}, ABC : [ ( I ~ )J .

3.

ABC '" R äch e des von den Punkten 0; P(4 ; 2) un d Q(~ , ~ ) aufgespannten Dreiecks, wob ei die Seiten dazu gehö ren.

4.

a) b) c) d) e) l) g) h)

ABC; ABC + ÄBC + ABC (genau ÄBC + ABC + ÄBC + ÄBC A U B UC; ABC + ABC + ABC (genau ABC + ABC + ABC + ABC AU BU C '" ABC (alle drei ABC + ÄBC + ABC + ABC

y

4

3

k :-- - - - - --,,/ Q

A oder genau B ader genau C); (keines od er genau eines); A oder genau B ode r genau C); (genau zwei oder alle drei); nich t) ; (genau eine s oder keines) .

y= .

160 S.

6. A nhang

,

x+ St IO+ 8+ 70+4S +40 :::190, '" 190,

x + 178 x = 12.

R

6.

Genau 3 Fächer studieren 2, genau 2 Fächer 8 - 2 = 6 und gerrau I Fach 2S - 2 - 6:: 17 Personen. In der Summe IBI + IGI + lei werden diejenigen Personen, die ein einziges Fach studieren, einfac h gezählt , diejenigen mit 2 Fächern doppelt und die mit allen Fächern dreifach gezähl t. Dam it gilt IBl t IGI + ICI = 17 + 2' 6 + 3' 2 :: 35. Wegen IBI = 14 und IG I = 10 folgt hieraus ICI = 1J.

7.

ruf die gesuchte Anzahl

n "'( 1, 2, 3,4,5.6}. a) Aus P«( I}) ; P«2}) : P({3}) : P({4}) : P( {S)) : P({6}) = I : 2 : 3: 4: 5 :6 folgt mit P({I )) =p,P«(i }) =i ' p fur j = 1, 2, ... , 6. I = p(n ) .=p + 2p t 3p +4p + Sp + 6p::: 21p " P - 21. ; P({i)) für i = 1, 2, ... • 6. b) A ={2,4,6}; P( A) = P({2 }) t P({4 }) + P({6}) = 2+ 24)t 6

=*

B = P . 3, 5}; P(B) = P({ 2}) + P({3J) + P({S» =

=; ; 2;:+5:: ~~ ;

C",X; P (C) = P(A) 'OI-P (A) 'O ~ . c) A U B 'O {2, 3. 4. S. 6} = ( Tj ; P(A UB) 'O I _P ( (I }) 'O ~ ~ ; BC 'O {3, S}; P(BC) = 3;15 = 181 ;

AB = {4. 6}; P(AB) 'ON . 8.

Die Münzen werden unterscheidbar gemacht . W " Wappen, Z '0 Zahl. w = (W, Z, W)

tr.

a)

ta. ts. Münze

n = « W. W, W). (W. W, Z). (W, Z, W). (Z. W, W). (W, Z. Z), (Z, W, Z),

(Z. Z, W), (Z , Z, Z)) . b) Jn l '0 8; A=«W, W,W)}; p(A)=l . c) B = «W, Z, Z). (Z. W. Z). (Z, Z, W)); P(B) "

l.

6, I. 9.

Lösu "8~ n

der tJbungsaufgaben

a) 3! =6.

b) 2m =2'T =6. ) !!. = J I·4·$ = 20 4!

C

2·J·4

Jl

Jl

.

d) ~ =5 '6 ' 7 · 8 · 9 = 15120. 10.

(n - 2) ! (Permutat ionen de r übrigen n - 2 Elemente

l ) a l a2 ~ a2 a l • • ...•

} 2(n- 2) !

2 ) . al a2 · · ... • }2 (n -2)! • a2 a l • • . . . • n - I)

ala 2 1 2(n - 2)! ••• ...• a2 a l

Gesuchte Anzahl = (n - I ) 2(n - 2) ! = 2 (n - I)! 11.

a] Alle Permu ta tionen von 1113355 , 7! 2 ' 3 ' 4 · 5 · 6 ·7 x = 3! 2 ! 2! = 2 .3 .2 .2 =2 10. b)135

1135 =- x = *= 12.

~~

fest ; 12.

dürfen permut iert werden ;

. h BS _ C W ~3 5 7 - 999 Möglichk eilen Kenneerc en ~ (Zahlen 1,2, ..., 999) t 26 Möglichkeiten t 27 Möglichk eilen (26 Buchstaben + Leerst elle ) gesuchte Anzahl 27 · 26 · 999 '" 70 1298.

13.

l-elemenüge Zeichen = 2, 2·elemen tige Zeichen = 2J = 4 ,

Lele mentige Zeichen e 2) = 8, 4·elementige Zeiche n = 2 4 ", 16, 5-eleme ntige Zeiche n = 2s = 32 , 6-element ige Zeiche n = I (Ausnahme fall). Summe = 63 . 14. b) Auswahl ; aus 5 Psychol ogen 2 und aus 6 Medizinern 2. (;)(;). 150 c) Aus 3 Psychologen werden 2 un d aus 7 Mediz inern 3 ausgewählt .

(;)G)' 105

161

162 IS.

6. Anhang Auswahl ohne Berücksicht igung der Reihenfolge. Mögliche Fälle C~). Günstige Fälle unter Berücksichtigung der Reihenfolge: Für die Auswahl der I . Person gibt es 10 Möglichkeiten. Für die Auswahl der 2. Person gibt es 8 Möglichkeiten, da die zuerst ausgewählte Person und deren Ehepar tner nicht ausgewählt werden dürfen. Für die 3. Person gibt es 6 und fur die 4. Person 4 Auswahlmö glichkeiten. .. günstige Fälle ohne Berilckslchtlgung der Reihenfo lge:

10 · 8' 6 ' 4 4! 16.

p ,. lO· g · 6 · 4 · 4! 4 !10 · 9·8 · 7

..! 21 ·

Jeder der 8 Teilnehmer kann 12 Orte wählen. Damit gibt es 128 mögliche Fälle. a) Günstige Fälle 12 ·11· 10·9 · 8·7· 6 ·5 ; Pa : 0,0464. b) Günstige Fälle 12 ' 11 . 10· 9· 8 · 7· 6 ·G ) ; Pb : 0,2599.

17.

n:

{Au fteilungen der 32 Karten in 3 Zehne rblöcke und einen Zweierblock ohne Berücksichtigung der Anordnungen}

Spieler I

I I

10 Karten 32 ! X'" I O! 1O! IO! 2! 18.

Spieler 11

I I

10 Karten

Spieler 111

Skat r

10 Karten

2 Karten

Die beiden Karten ftir den Skat werden aus 32 ausgewählt , wobe i die Verteilun g der restliche n 30 Karten unte r die 3 Spieler fiir das Probl em keine Rolle spielt . Mögliche Fälle

en:

a) Günstige Fälle

3 2/ 1: 16 · 3 1 : 4%.

I·e/)(Kreuz-Bube und eine beliebige Karte ).

31 I Pa : 16 ' 3 1: 16: 0,0625. b) Günstige Fälle

(~ ) (2,8 ) (ein Bube und eine der 28 übrigen Karten).

4 · 28 7 Pb : 16 . 31 : 31: 0 ,2258. c) Günstige Fälle

(i ).

4'3 3 Pe : 1' 2 '1 6 . 31 :248"' 0,0 121.

163 19.

ModeUa-" ein Spieler bekommt 10 Karten. Danach werden die restlichen 22 Karten in 3 Teile zu 10, 10, 2 Karten eingeteilt .

n " {Ein teilungen der restlichen 22 Karten in 3 Blöck e zu

10 . 10 . 2 Karten ,

m~ s....

wobe i unter den 22 Karten 2 Buben sind}.

mögI 9 kan n X durch eine NOI'

t.t

malverteilurig approximiert werde n. Für die gesuchte Zahl k gilt die Bestimm ungsgleichung

P(X > k) = P(X > k ~ O 5) = p(X - 20 > k -0,5 - 20 ) =

-

_

.

,jRj -

,jRj

= P(X*> k - 20,5)""' I _1>(k - 20,5)< 005

-

,jRj

= ~ (k,jRj - 20,5 )~0 95. .

,jRj

_.

181 Aus der Tabell e der N(O; k 2: 1,645 6.

t:•. Vert eilung folgt

v"iO + 20,5 = 25,70

k -';:;.5 2: 1,645 und hieraus

v rn

... k 2: 26.

X beschre ibe die Anzahl der unbrauchbaren Sch raube n unter den 400 ausgewählten. X ist BC:OO;O,l).verteilt mit E(X) = 400·0,1 = 40 und D 2 (X) '" 400· I~ . TO = 36 > 9 .... 8(400; 0, 1) "" N(40 ; 36).

a) P(30 ::;

x s SO) = P (29,S6-

40

:s: X.:s: 50,56-

4

°)""

_ (- 16°.5) '" 24> ( I ~S) - ) = 2( 1,75) - ) =0,920. 4 4 b) P(X 2: 55 ) "" 1 - C,s6- °)= l e~S) '" 0,008. "'" 4>

(l~S )

cf>

r-

7.

X ist B(300; O,05)-verte ilt mit E( X) = 300 · 0,05 = 15, D2(X ) '" 300 -0,05 -0,9 5 = 14 ,25 > 9 .... Approximation durch die N (15; 14 ,25)-Verleilung.

P(X 2: 1 0) = P(X 2: 10 - 0,5) "" I - ( 9~) y 14,25

•

'1 _ ~ (..::22...) ' ~ ( v' ~ ) ' O.93 . ../ 14,25 14,25 8.

Xl beschreibe die Anzahl der Personen , die den I. Zug besteigen, Xl besch reibe die Anzahl der Personen , die den 2. Zug besteigen.

=

=

Dann gilt XI + X, 1000 , d. h. X, 1000 - XlBeide Zu fallsvariablen sind 8(1 000; t )-verleilt mit E(X;) = SOO ; D'(Xj ) = 1000· ~ = 2S0 fii r i = 1,2. k sei die gesuchte Mindestz ahl. Dann lautet die Bed ingung

P(X I s k, X, s k) (X, :s; k) = (1000 -

~

0,99. Wegen

x, :s; k) = (XI ~ 1000 -

k).

Daraus folgt

P(I OOO - k :s; Xl :s; k)

~

0,99 ;

p ( IOOO - k - O,S - SOO :S; X. ( ;"") =0,05. vl.5 y l ,5 vi .s

~ 55) = I -

P(X :S: 55) '"

i-P(X.:S: 5~O) "" l- (vk)= 0,20.

M: " ein männl iche r Stud ent wird ausgewählt " , F : " eine Studentin wird ausgewählt " , P(M) = 0,8; P(F) = 0,2,

a) P(l 30

~

X ~ ISO) = P(l 30

s X ~ 150/M)P (M)+ P(l 30 s X s 150/F) P(F) =

= [

C ~51 50 ) _

+ [

e5 0 ~01 16) _ ( 130 ; 0 116 ) ] 0,2 =

50

150) ( 130 ; 5 ] 0,8 +

= 0,8 [(0) - (- ~~ )l + 0, 2 I ( :~) - (:: )) = 0,34.

b) P(X > 130) = 1-P(X s 130) = = 1- P(X ~ 130/M)P(M) - P(X :5 130/F) P(F) =

= 1- (130 ~5 1 50 ) 0,8 _ ( 130 ~011 6 ) 0,2 = 0,74. Y beschreibe die Anzahl derjenigen unt er den 100 ausgewählten Personen mit einem Gewicht über 130 Pfund. Y ist B(l oo ; 0 ,74)-verteilt. Daraus folgt E(Y) = 100 ' 0,74 = 74,

6.1 . Lösu ngen der Übung saufgaben

13.

183

Aus P(Tn ~ O )= O folgt fn (I) = O fiir t ~O und alle n . J. Fall 11 = 2: Esgilt T 2 '" T + U. wobei T und U unabhängig sind, und beide dieselbe Dicht e f besitzen. Für I > 0 folgt aus dh f alt ungsgleichu ng

S

f2 (t ) =

f (u) f(t -u)du wegen f (u) =O filr u SO und

- ~

f(t - u) = 0 fllr

2:: t , also für

U

,

f2(1) =

S

S

,

,

Se-)"ldu"'

,

,

Xe-)"uXe-),,(I -u )du '" X2

f (u) f (t - u)du '"

"' X

u :5 O.

,

c

2

t -

S

e-)"ue-Me)"udu '"

,

,

Sdu =X

X2e - M

2Ie-)" I.

,

2. Fall n = 3: Aus T J "' T 2 + T folgt flrr t >O. ,

f,(I) =

Sf ,

t

2( u)f(t

2ue -)"UXe-),,(I -U)du

o

,

"' X'

SX

-u) du =

,

Sue-)"ue-Me)"udu "' XJ e-),,1 SUdU =X, · t o

e-M.

o

3. FaUn =4: T. = T, +T

,

f. (I) =

'"

,

Sf, (u)f( t - u)du =X· ·! Su e-)"Ue-),,(I-U)du= 2

c

,

,

= X·· l e- M

2

SU ,

2 dU=

' . ' r.. , ->< ~

3'

.

Allgemein zeigt man leicht durch vollständ ige Indu ktion über n für t > 0 die Idenura t

f n+1 (') = An +! . ~e)"I n!

rur n=O, 1, 2•. . .

.

184

6. Anhang

ÜbungSilufgaben aus Absc hnitt 2.6.3 I.

Da die Länge einer Grün-Rot- Phase ~ Minuten beträgt, ist d ie Anku nftsz eit des Fahrzeugs an de r Kreuzung im Intervall [0 ; ~J gleichmäßig verteilt mit der Dichte f( t) '= [ur 0 ::; t ::; f(l ) = 0 sonst.

t

t,

• ' (I)

I

i I,

I,

,

.,

, T

,,'

-t

~

a) Die Wartezeit ist genau dann gleich O. wenn das Fah rzeug wäh rend der Grün-Phase an die Kreuzu ng heranfahrt. Daher gilt peT '" 0) =

l.

b) Für die Zufallsvariable T der Warteze it gilt 0 ::;; T S l. Ih re Verteilungsfunktion F besitzt die Werte

F(I ) = 0

F(O) = ~ ;

ruf

1 ; lj = P(T = O)+

und F (I) = 1 für t

~

o

I.

_

I

, E(T) =: ! J ' O t f t' !J dt= !' ] ,

c E(T1) = t 'Ot

,

Stl ' i dl =~"" D2(T) = ~ ; u: t· c

~

1

~

-

1

C) F \ /J ) = j" + p I = "2 ;

Ii ist eindeut ig, da wachsend ist.

2-

I

s» = 6";

F an de r Stelle

_

/J

'I

=t.' I

= stetig Und do rt streng mono ton

185

6 . 1. Lö sungen der Ob ungsau fgab cn

2.

a) P(T>3 ) " I - P(T::;3) " I -

S 2"e. !1 I dt 3 I

e

. !I Le e 1

o " I

+ e+1 , 5 -

I=

e· I , 5

I

1- 3 1- 0

"0,2231.

b) P(T " 3) " e- 1,5 = 0,223 1. Es gilt T = min(T, 3 ).

F(I) =P(T ::;t ), t S O "' F(t ) " O, I - -, OSt < 3 '" F(I) " P(T S t) " I - e 1 ; F( t) = lrJir t