Einführung in die Finanzmathematik: Klassische Verfahren und neuere Entwicklungen: Effektivzins- und Renditeberechnung, Investitionsrechnung, Derivative Finanzinstrumente, 10. Auflage

lurgen Tietze EinfUhrung in die Finanzmathematik

Jorgen Tietze

EinfOhrung in die Finanzmathematik Klassisc he Verf ahren und neuere Entwi cklun gen: Effektivzins- und Renditeber echn ung, Investiti onsrechnung, Derivati ve Finanzinst rum ente 10., akt ualisierte Auf lage Mit uber 500 Obungsaufgaben STUDIUM

II VIEWEG+ TEUBNER

Bibliografische Information der Deutschen Nationalbibliothek Die Deutsche Nationalbibliothek verzeicbnet diese Pubttkation in der Deutschen Nationa lbibliografie; detail lierte bibllogratische Daten sind im Internet uoer abrufbar.

Prof. Dr. jnrgen Tietze Fachbereich Wirtschaftswissenschaften Fachhochschule Aachen Eupener streee 70 52066 Aachen

uetzeern-aacneo.oe

1. Auflage 1996 2., durchgesehene Auflage 1999 3., uberarbeitete Auflage 2000 4., vertesserte und aktualisierte Auflage 2001 5., aktuansterte und erweiterte Auflage 2002 6., verbesserte Auflage 2003 7., veroesserte Auflage 2004 8., vertesserte Auflage 2006 9., Ilberarbeitete Auflage 2009 10., aktuansterte Auflage 2010 Aile Rechte vorbehalten © Vieweg +Teubner I GVN Fachverlage GmbH, Wiesbaden 2010 l ektorat : Ulrike Schmickler-Hirzebruch I Nastassja Vanselow Vieweg +Teubner ist reu der Fachverlagsgruppe Springer Science-Business Media. www.viewegteubner.de

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Oas Werk etnschnesuch alter seiner ist urheberrechtuch geschutzt. lede Verwertung auBerhalb der engen Grenzen des Urbeberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlags unzulassig und stralbar. Das gilt insbesondere fOr vervielfaltigungen, Dbersetaungen, Mikroverfilmungen und die Einspeiche rung und Verarbeitung in eleklronischen Systemen. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen - und Markenschutz-Gesetzgebung ats frei zu betrachten waren und daher von jedermann benutzt weroen dOrften . Umschlaggestaltung: Kunkeltopka Medienentwicklung, Heidelberg Druck und buchbinderische Verarbeitung: MercedesDruck, Bertin Gedruckt auf ssurerrerem und chlorfrei gebleich lem Papier. Printed in Germany ISBN 978-3-8348-1014-4

v

Vorwort zur 10. Aul1age Die Finanzmathema uk stcllt das quant itative Instrumentarium bcreit fur die Bcwetuog aukunrtlger cd er vcrgangencr Zahlungsstr6me und eigne! sich daher vor allem fur die viclfattlgen Problcme des Bank- und Kreditwesens. Finanzmathcmatische Methode n simi weiterhin unverzichtbare Hilfsmittd fur weite Bcrciche von Investition, Hnanzi orung, Wirtschaftlichkeitsrcchnung und Op timalplanung. w etterc wichtigc Anw end ungsmoglichkcitcn dcr Finanzmalhcmatik Regen in verwandtc n Gebieten wie ctwa Stcuem, v erstchcrungswesen . Volkswirtschaftslchre oder Rcehnungswesen . Das vorlicgcnd e Lch rhuch umfasst ncbe n den klassischen Verfa hrcn der Finanzmath cmarik wie Z insIRcnten-lTilgungs-/ Kurs- und Investitionsrech nung schwcepunktmaulg die (immer wiederdiskutieneni vcrschicdcncn in der Praxis vorkornmcnden Effek tivzinsbe rechnungsvetfahren und leite r daraus wescntliche Aspekte zur " rich l igen ~ Verzinsung von Kapital abo Das einleite ndc KapiteJ iiber Prozentr cchnung tragt vielen leidvollen E tfahrungen Rcc hnung, die der Aut or als Lchrend cr odcr Priifcr maehen musste: Offenbar enthalt die Prozentrcchnun g sclbst fur wachsame Student en ungcahnt e T iickcn, ganz zu sehweigen von dem, was man tagtaglich andcrno rts mil den "Prozentcn" anricht ct (einige Koslproben entha lt etwa Seue J ...). Weiterhin wird - wie untcn naher ausgcfiihrt - auf Fragcn der Risikoanalyse und moderner dcnvativer Finanzinstrumcn te cingcgangcn.

Ic h habe mie h bemuht, die in der " Einfiihrung in die angcwandtc wirtschattsma thcrnatik "! bcwahrte (auf Venumdnis durdi zwar stets anschaufich motivierte, aber dennoch korrekt e math ematische Begrandung abzielende) brettc und ausfOhrliehe Darstellungsweise beizubchalten. Die im vorliegenden Bueh be handeJten klassischen Vcrfahren der Finanzmathematik werden konsequ ent auf da s iibergcordncte Aquivalenzprinzip der Finanzmathematik ausgerich tet , die Pulle der Dctailprobleme wird so unrcr clnem einheitliehen Konzept abgchandelt. Moglichcrweise gclingt es sogar, maneher Leserin (oder man chem Leser) die E insicht zu vcrmitteln, dass das G rundgcrtist der klassisehen Finanzmathemat ik aus zwci bis drci mathcma tischen " FonneJ n~, dem Zahlungssuahl (ats Hilf e zur Veranschaulichung) und einer einzigc n Idee (nam lich dem Aquivalenzprinzip) bcsteht. Das Buch - vorrangig fUr das Sclbststudiurn konziplcrt - wendct sich sowohl an den Praktike r, der mit Geldgesehaften zu tun hal, als auch an Studierende der vorks- und Belriebswirtschaftslehre, die im Selhstst udium d ie notwendigcn finanzmathematisehen Grundlagcn versteh en und einubcn wollen. Ich hoffe ebcnso, dass das Buch aueh fur den Lehrenden von Nut zcn ist - maneh unkonvcntirmclles Beispiel od er ctgcnwitttgc Darstellungswcise erganzt mogtichcrwersc die eigene Ideen palette. Die notwendigen Grundlagen der Elcmentarmathematik (aujkr der Prozentrechnung) werd en hier vorausgesetz t. lassen sich allerdings problemlos nae harbeiten (z.B. mit der " Einfiihrung in die angewaml le Wirtschahsmathematik "]; Notwendigcs H ilsmittel zum Nachvollziehen der Beispiele cder zum Loscn der Problcme ist d ie saehkundige Verwendung cines elcktro nisehen Tasehenrechners (er m uss mit Potenzen und Logaruhmen umgehen kon nen; empjeh lenswen - wenn auch nicht zwingend erforderlich f ur die Ejj eklivzinsb erechnung ist die Moglichkdl , den Rechner [rei programmieren zu konnen ). Die im Text vorkommcndcn Bcispiclc habc ich mit dncm hcrkornmlichcn Taschcnr echncr durchgerechr ct, dabei Zwisch encrgebnissc ungerundct wdtcrverarbcitel und lcdiglich bei Bedarf das Endrcsultal ange· messen !>'Crundel.

1 Tietze, J.: Eillfuhrung in die angewandte Winschaftsmathcmatik, Wicsbadcn, 15. Aunagc 2010

v orwort

VI

Dec Text enthan H underte von Bcispielen und Ubungsautgaben, die dcm Lcmend en H inweise libel seine Stoff- und Problembeherrschung, dcm Lchrcndcn Anregungcn zur Gcs taltung und wettertrunung eigene r didakt isch er Ideen und dem Prakt iker Fallbcispicle zur Losung eigener Problemsrellung !icfem solle n. Da das schnclle Nachschlagcn von Losungcn den bcabsich ligtcn Lemeffck l - dec nur dur ch eigcne A nstrengungc n erziclba r ist - verhindcrt, wurdc darauf verzichtet, im Buch selbst cinco Losuogsanhang fur die roche als 500 Obungsaufgabc n aufzunehmen . Interessenten wtrd das im gleichen Verlag crschienenc n Ubungsbuch zur Finanzmathcmatik" empfohlen, in dcm (neben mehr als 20 Testklausu Ten) u.a. auch samtliche Aufgaben und Losun gcn des vorliegendcn Lehrbuc hcs cnrhalten sind: Tietze, J.:

Ubungsbuch zur Finanzmathcmat ik - Aufgaben , Test klausuren und LOsungcn 5 . aktualis iert e Auflage, Wiesbadcn 2008, ISBN 978~3~8 3 4 8 -o4 42~6

Zum Gebrauch des Buchcs: Urn die Lesbarkeit des Tcxtcs zu vcrbcssem, wurde die auacre Ponn struktu nert:

Dcfinitionen , Regeln, Satze und

I

wichtigc E rgehnisse

I

sind jcwcils eingerahmt .

Bemerlamgen sind in schroger Schrifttype gehalten

I

Belspiele sind mit eincm senkrechtcn Strichbalkcn am linkcn Rand gcken nzcichnet.

Dcfi nitionen (De/.), Satze, Bcmcrk ungcn (Bern.), Formcln, Tabellen ( Tab.), Bcispiclc (Bsp.), Autgaben (Aufg.) und Abbildungen (Abb.) sind in jcdcm erstste!ligen Un terkapite! ohne Rucksicht auf den Typ fortlaufend durchn umericrt . So folgcn etwa in Kap. 2.3 nacheinandcr Def . 2.3.1 1, Ponn e! (2.3.12), Ssp. 2.3.13, Bsp. 2.3.14, Fonne! (2.3.15), Bern. 2.3.16 und Aufg. 2.3.17 usw.

Ein • an einer Aufgabc weist auf einen crwas erhohren Schwierigkeitsgrad hin. Mein Dank gill de n Mita tbcncrinnen und Mitarbcitem des Vieweg+Teubncr-Verlags und hier beson ders Frau Ulrike Schmickler-H lrzebruch und Frau Nasta ssja Vanselow fiir die gute Zusammenarbeit. Die hiennit vo rlicgcnde 10. Auflage wurde erncut sorgfaltig d urchgesehcn und in vielen Details vcrbcssert . Scit der 5 . Auflagc wurdcn wcscnthch c Erweiterungcn hinzugcfiig1: H inz ugckommen sind Kap. 2,4 (Inflation und Verzinsung) , Kap. 3.9 (Renten mit verandedichen Ralen) sowie Kap. 7 (DurationKonzept) und Kap. 8 (Futures und Optionen) . Mit den bcidcn zulctzt genannten Kapitcln weicht das vorliegende, zunac hst " kl assisch ~ konzipicrte Buch von der impliziten Vorausserzung sichcrer zuk untnger Daten ab und wendel sich Aspekten der Risikoanalyse (Kap. 7 - Duration und Convexity) zu und besc haftigt sich mit de r Einfiihrung in modem e derivat ive Finanzinst rumente (Kap . 8 - Futures und Optionen) . Da es ein fehlerfrcics Malh ematikbuch nicht gibt, gche ich davon aus, dass sich gcwissc Ungcrenr uhciten han nackig verborgen gchalten haben oder hinzu gekommen sind. Auch wenn cs in der Mathematik sen alters her ein menschlichcs Vorrecht des Irrens gibl - das auch der A utor fur sich in Anspruch nimrnt - , bitte ich aile Lcserinnen und Leser urn Riickme1dung tz.B. via E~Maj/: tietze @fh -aachende) , wenn ihnen Fehler oder l rrtumcr auffallen oder wenn auc h nut Fragen zum fachl ichen Inhalt auttret en. Ich wcrde in allen Fallen urn schnelle Antwort bemiiht scin. Aac hen, im November 2009

Ijjrgen Tietze

VII

Inhaltsverzeichnis

Abkiirz ungen, varta blenna men Voraussetzu ngen und Hilfsmitt el

. .

I I

1.1 Pmzcntrcchnung . 1.2 Lincarc (cinfachc) Verzinsung . . 1.2.1 Grundlagcn J eTlinearen Vcrzinsung . 1.2.2 Das A quivalcnzprinzip dcr Finanzmathcmatik (bei lincarcr Vcrzinsung) 1.2.3 Terrninrcchnung - mitt lcrcr Zahlungstcrmin . 1.2 .4 Vorschiissigc Vcrzinsung, Wcchscldiskonticrung .

2 zlnsesalnsrechnung (cxponenticllc Vcrzinsung)

17 18

26 38 46

.

2.1 Grundlagen der Zinseszinsrcchnung

.

2 .2 Das Aquivalenzprinzip der Finanzmathcmatik (bei Zi nseszinscn)

.

2.3 Unterjabrige Verzinsung . 2.3.1 Diskrete umcrjahrigc Verzinsung . 2.3.2 Zu r Effektivvcrzinsung kurzfristigcr Krcdite . 2.3.3 Gcmischte Vcrzinsung . 2.3.4 Stetige Verzinsung . . 2.4 Inflation und vemnsung 2.4.1 Inflation . 2.4.2 Exponentielle Verzinsung unter Bcriicksichtigungvon Prcissteigcrungenl Inflation .

3 Renten rechnu ng 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8

Vorbcmerkungcn Gcsamtwert (Zc itwert) einer Rente zu bcliehigen Bcwcrtungsstiehtagen vor- und nachschiissige Renten Rentenrechnung und Aquivalcnzprinzip - Bcispicle und Aufgabcn Zusamme ngcsetztc Za hlungsrcihen und wcchsclndcr Z inssatz . E'.Vib'C Rcnten Kapitalaufbau/ Kapitalabbau durch laufende Zufliisse/Entnahmcn Auscinandctfallcn von Ratentennin und Zinszuschlagtermin 3.8.1 Rentenpcriode groBer als Zinsperiode 3.8.2 Zinspcriode groBerals Rentenperiode 3.8.2.1 ICMA - Methode (~internationale Methode ") . 3.8.2.2 US-Methode .. .. . . . .. . .. . . 3.8.2 .3 ~ 3 60 - Tage - Met hodc"

x

51 51

62 75 75 82 85

88 93 93 96 . . . . .

101 101 102 106 109

.

118 121

. . . . . .

126 I32 I3J 136 136 138 139

.

Inhaltsverzcichnis

VI II

3.9 Renten mit vcrandcrtlchcn Ra ten . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 3.9.1 Arithmctisch vcriindc rlichc Rcn tcn . . . . . . . .. . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.9.2 Gcomet risch verandcrlichc Rcntcn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . .. . . . .. . . .

149 149 155

3.9.2.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . .. . . . . . . . . . . . . .

155

3.9.2.2 Geometrisch steigcnde Renten - Knmpcnsation von Preisstcigcrungcn

159

3.9.2.3 Zusammenfassung . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . .. . . . . . . . . . 3.9.3 v eranderttche untcrjahrig zahlbarc Renten

..J Ttlgungsrechnung 4.1 Grundlagen, Tllgungsplan. Vergleichsko nto 4.2 Tilgungsartcn 4.2.1 Allgemeine Tilgungsschuld 4.2.2 GesamtfalligeSchuld ohne Zinsansammlung 4.2.3 Gesamtfantgc Schuld mit vollstandiger Zinsansammlung 4.2.4 Ratentilgung (Ratenschuld) 4.2.5 A nnurta tcn tngueg [Annuitatenschuld) 4.2.5.1 An nuitatcnkrcdit - Standardfall 4.2.5.2 A nnuitatcnkrcdit - E eganzun gcn 4.2.5.3 Exkurs: Annuitatcnkrcdit mit Disagio 4.2.5.4 Exkurs: Tilgungsstrcckung, Zahlungsaufschub, Tilgungsstrcckungsdarlehen, Stilckelung 4.3 Tilgungsrcchnung bci unteejahrigen Zahlungcn 4.3.] Kontofiihrungsmethode 1 (360-Tagc-Mcthod e) . . . . .. . .. . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.2 Kontofiihrungsmcthode 2 (Braess] 4.3.3 Kontofiihrungsmelhode 3 (US) 4.3.4 Kontofuhrungsmcthode 4 (leMA) . . . . . . . . .. . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 4.4 Nachschilssigc Tllgungsverrechnung

5 Die Ennitt lung des Effektivzinssatz es in der Finanzmath ematlk 5.1 Grundlagen 5.1.1 Ocr Effcktivzinsbcgriff 5.1.2 Berechnungsverfahren filr den Effekt ivzinssatz 5.2 Effcktivzinscnni ttlung bel jahrlichen Leistungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.1 Effcktivzinsenn ittlung bel StandardkreJiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . .. . . . .. . . . 5.2.2 Ex kurs: Disagiocrstatt ung 5.2.3 Exkurs: Untersc hiedliche KrcditkonJ itionen bci gleichem Za hlu ngsstrom 5.3 Effektivzinscnnittlung bet untcrjahngcn Leistungen 5.3.1 2- Phasen-Plan zur Effeknvzinscrmitrlung 5.3.2 Die Bcrechnung von id f : Anwendungen des 2-Phasen-Plans - Variationcn cines Basis-Krcdits . . . . . 5.3.3 Effektivverzinsung und untcrja hrigc Zahlungen - ausgcwahltc Problcme . . . 5.3.3.1 Disagio-Varianten bci idcntischcn Zahtungsstromcn 5.3.3 .2 Tilgungsstrcckungsdarlehcn bei untcrja hrigcn Lcistungcn 5.3.3.3 Di sagio-Ruckerstatrung bei untesjahrigen Leistungcn . . .. . . . .. . . . . 5.3.3.4 Effektivverzinsung von Ratenkrcditen 5.3.3.5 An lagcfonnen mit unterjahrigen Leistungen - Beispiel Bonussparcn 5.3.3.6 Obungsaufgabcn zur Effcktivzinscnnittl ung bel unrcrjahrfgen Leistungc n .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4 Exkurs: Finanzmathcmatischc Aspekte zur " richt igcn~ Vcrzinsungsmcthodc

161 165

173 173 181 181 184 185 186 187 187 193 198

203 212 213 214 215 217 220 225 225 225 230 234 234 245 246 253 253 260 273 274 279 283 284 288 292 297

lnhaltsverzcichnis

IX

6 EinfUhru ng in die Fina nz mat hematik festverzl nsllcher Wertpap iere 6.1 Grundlagen dcr Kursrcchnung und Renditccrmitclung . . . . . . . . . . . . .. . . 6.2 Kurs und Rendite bei ganzzahligcn Restlaufzeiten . . _. . . . . . . . . . . . . . . . 6.3 Kurs und Renditc zu beliebigcn Zcitpunkten - Stuckzinscn und Borscnkurs . . . . . . . .

7 Exkurs: Aspekte der Risikcanalyse - das Durat ion-Konzept 7.1 7.2 7.3 7.4

Die Duration als MaGfur die Zinscmpfindlichkeit von Anleihen Die Duration von Standard-A nlcihen - Bcrcchnungw crfahren und EinflussgroJ3cn . . . Die immunisierende Eigcnschaft der Duration Duration und Convexity

8 Exkurs: Derivative Finanz inslru mente - Futures un d Opt lonen , . . , . . . . . . . . . 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6 8.7 8.8

Termingeschaftc: Futures und Optionen - ein Uberblick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Forwards/Futures: Tenn inkauf und -verkauf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Optionen: Basisformcn Einfaehe Kombinalioncn aus Hxgcschartcn und Optionen Spreads :. .. . .. .. . .. .. . .. . . . .. . .. .. . .. .. . .. . .. .. . .. . Straddles Strangles I Combinations. . .. . . . . . . . . .. . . . .. . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . .. . . Einfilhrung in die Opuonsprcisbewertung

9 Fina nzmat hematisc he Verfa hre n der- In vesttrl onsrechnung 9.1 Vorbemcrkungcn _.. . . . . . . . . . . . . 9.2 Kapitalwcrt und aquivakntc Annultat einer Investino n . . . . .. . . . . . . . . . . . . 9.3 Intcrncr Z inssalz ciner Investition - Vorteilhaftigkcitskrilerien

Literaturverzeichnis

307 307 313 316 321 322 328 339 345 351 352 353 359 367 372 377 379 381 395 395 397 404

..............

421

Sachwortverzeic h nis . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

425

x

Abklirzungen, Variablennamen (auf den angegebenen Sri/en linden sich nahere Edauterungen zu den jrweiligen A bkWzungenlVariablen)

A '= B B = 'A

s

%.o/ro I +i

A is! dcflnltionsgcmag glcic h B A is! dcflnlnonsgcm ag glcich B cntspricht Prozent , Promitlc 2ff Z uwachsfaklor 3,

Aufzinsungsfaktor 52 l- i Abnahmefaklor 3 9617/1 Konditionen An nuit arenkrcdit [Bsp.]; A uszah[ung/Zi ns! Anfangstilgung 198 ~EV Endvcrmogensdifferenz ( = EV1- EVlJ)3 98f

A A' A'

'.

a .H . A bb.

AG AGB A IB D

"an

aqu.

a

A, A ufg.

AV

aX, c"

B&S BB

(aqulvalc nte) A nnuttat 187ff,403 A ktie Long 367 A ktie Short 367 auf Hundert 9 Investitionsauszahlung 399 Ab bildu ng Aktiengcsellsehaft, Amtsgcncht Allgemeine Gcschaf tsbedingu ngen A ssoc iation of Inter national Bon d Dealers 60 nachschussigcr Rcntcnbarwertfak tor vorschnsslgcr Rentenbarwertfaktor 10Sf aq uivalc nt Invcst .-auszah lung E nde Period e t 399 Annutt at am Ende der Period e t 173ff A ufgabc

Anfangsvcrmogcn Potcnz 56

Black & Scholes 387 Be triebs-Berat er (Zeitsch rift) Bcm. Bem erku ng BGB Biirge rlich es Gcsetzbuch BGH Bundesge rich tshof BOHZ E ntscheidungen des Bu ndesge richtshofes in Zivils ach cn Bsp. Beispiel BU ND Standard-Fut ure 355 B&S Black-Scholes 3S7 bzgl. beziiglich bzw. beziehungsweise

c C +,CCo

Co Co(i) C~(i)

ca.

Q uotient zweic r Raten 149,155 = 1 + idyn : Dynamikfaktor 155 Long Call, Sho rt Call 367 (Emissions ·) Kurs cines tcstvcrztnslichen w crtpeplcrs 307ff, Preis emcr Anlcihc 32 2ff Kapitaiwcrt eincr Invcstition 398 ff Kapitalwcrtfu nkt io n 404ft , Ku rsfu nktio n 345

Naherungspolynom Iur Co 346 circa, ungefahr

CBOT Chicago Board of Trad e 35 4 Rucknahmckurs eines IestverzmsC, lichen wertpapters 308 ,328 c.p .

C; C;'

ce te ris parib us aktueller finan zm athcmatiseher Kurs (Preis) eines Wertpapiers 313

aktueller Borsenkurs cines Iestverzinslichen w ertpapiers 3 t 7

Differenz zweier Rat en 149 Duration 323 das heiJ3t Definition OM Deutsch e Mark 360TM 360-Tage- Me thode 60, 136,139f,2 13 d

0 d.h. Det.

,

Eu lersche Za hl 57,SSf Elastizuat von u bzgl. v 327 ist enrhalten 57 € Eu ro eff. effcktiv EG E uropaischc Gcmcinschaft (EU) E inzahlung Endc de r Pcriode t 399 ~ cte . ct ce ter a (und so welter) EUREX European Exchange O rganisat ion 35 4 EV Endvc rmogcn EV, Endvcrmogc n bci Invesl it ion 397ff EVu Endve rmoge n bci Untcrlass ung 397ff eventuell ""I. fu,v E

F, . Fn.

Finna

Fuunote

XI

AbkOrzungen, Variablennamen

G

Gewinn 356,360 Gewin n aus Bastsgeschan A + 368 G A' ana log G A-, G c +' 0 c-, 0P+' c.. gIf. gegebcnenfalls GL Gegenleistung GmbH Gcscllschaft mit bcsc hrankter H aftung Geldbctrag (Wert) im Zcitpunkt t 93 G,

I Liter L Leistung Ifd. Nr. laufende Nummer LIFFE Londo n International Financial Futures Exc hange 354 lim Limes, Grenzwert 88f,121 log, In Logarithmus 57

;

M.

Prozentsatz 2, Zin ssarz 18,52 nominc1ler Zinss at z eines festverzinslichen Wert papiers 30 7,3 t 1 La. im allgemeinen LH. im H undcrt 9 aquivatc ntcr Zin ssatz 80 iaqu l e MA International Ca pital Market Association 136f (allch [ SMA) Tageszinssatz Id Steigenmgsrat e, Dynamikrate 155 id)'n Effckti vzinssat z 78f,90,225ff ieff H albjahreszinssatz, Semestcrzinssatz ill Inflat ionsrate 93 ,160 iinn konfonner Zinssatz 78f ikon Monatszinssatz iM incl. inklusive (einsehliefilieh) inom nomi neller Zin ssatz 76,199f Insg. insgesamt Periode nzfnssarz 76f I, 10 Quartalszinssatz relativer Z inssatz 76 ire! stet iger Zinssatz 88ff I, Ti lgungssatz 193 IT iv vorsehiissigcr Zinssatz 46f

J'

J.

J ahr

K Grundwert, Bczugsgrose 2 K Konvcxitat, Co nvexity 347 K +,K- vermehrter, vcnnindert er Wert 3f (An fangs-)KapitaI18 , Barwert 21,58, Kreditsunune 175f K"._ Realwert von K., bezogen auf t = 0, 96 ,160 Kap. Kapitel KG Kommandirgescllschaft Km Kontostand, Restseh uld 126ff,188 Ko E ndk apital, Endwert 20,23f,52f ko n. konfo nn Zcitwert cincr Zahlung(sreihe) 66ff,88f I

K=

420,66

0,82 = 513,-- € {Recnnungsbarag vor Raballabzug)

Die Faile a) - c) bcs tatigen die bckan nte l\fe rkregel Ilir den Ruck.~chhL"'~ a uf den Grun dwert:

1.1

5

Prozentrec hnung

Merkregel fllr- den Ruckschtuss a uf den Grundwert: (1. 1.16)

Ma n ertan de n G rundwert K. indcm man den abgeleiteten Wert (d.h. Z oder K+oder K-) durc h den Prozentsatz (d.h. i taw. 1 + i bzw. 1- i ) dividiert, de r ihm (bezogen auf K) entspricht, z.B.: 19%vonK

a)

Z

b)

K + == 119% von K

c)

K- '" 82 % von K

==

Bemerkung 1.1.1 7: Ein routinieno Anwender de, Prozemrechnung solhe ausschliepJich mil den Faktoren i (Anteil), 1 + i (ZuwachsfaklOr) bzw. 1 - i (Abnahmefaklor) rechnen. Dabei ist freilich die Bezugnohme auf den richtigen Grumfwert von entscheidender Bedeutung. Bei etten Problemen der Prozentrechnung soute daherstas zunachst die korrekteGmndgrope (Bel,ugsgrofle) ermiueu werden!

Wie das folgendc Beispiel zcigt, lassen sich die grundlegcnden Beziehungen (1.1.11): K + == K ( 1+ i ) und (1.1.12): K- = K ( 1 - i) besonde rs vorteilhaft dann verwenden, wenn nac heinande r mehre re prozcntualc (oder ,.relative") A nderungcn erfolgcn: Beispiel 1. 1.18: Nach A bz ug von 17% Personalrabatt, A ufsehlag vo n 19% MWSt. und anschlicgendcm Abzug von 2% Skonto zahft dcr Kunde 2.323 ,07 €. Wie hoch war de r Warenwert K vor Bcrucksichngung aller Zu - und A bschlage? Offenbar muss fUr den - noc h unbc kannt en - ursprunglichcn Warenwert K gelte n: [ {K ' ( I - O,I7) } (1+0,19)] '(I-O,oz)

1 2.323,07

,

d.h . in vcrkurzte r Fonn und - wegen des Assoziativgesetzes - ohne uberflussfge Klammem :

K ' 0,83 ' 1,I 9 ' 0 ,98 '" 2.323,07

~

K=

2.323.07 0.83'1.19'0,98

'" 2.400,-- € .

Zwei Dingc sind an dicsem Beispiel gut zu erkennen: i) Wcgen dcr Giiltigkeit des Kommutat ivgesctzes ist die Anwendungs-R eihenfolge dcr Zuwaehs-

/ A bnahmcfaktoren unwesentlich fur das E ndresultat, d.h. der ursprunglichc Warenwert (und daher auch der sptuae Endwen) Ist unah hiingig davon, in wetcber Reihenfolge Rabat te, MWSt. oder auch soesttgc Z u- oder Abschlage crfo lgcn. Es ande rn sich lediglieh die aosotuien Werte dcr cinzelnc n Z u· /AbsehHige. so dass im Ei nzclfall noc h die ko rrckt cn Zu- IAbse hlagsbelrage, z.B. dcr korrcktc Umsatzstcuerbelrag zu ennitteln sind. ii) Saldie rt man die Prozentsarzc fur die Abschlage (17%, 2 %) nom inell mit dcm (M WSt.-) Z u-

schlag (19%), so crgibt slch Null. Da sich aber jcder Prc zentsatz auf cinen anderen Gnmdwert bezie ht, ist cine derartige Addition/Suhtra ktion ~'on Prozemsarzea prinzipiell unzuiiissig. Dies iSI am vorHegende n Beispiel schon daran zu crkcnnc n, dass de r Endwert (2.323,07) und der A nfangswert (2.400,--) deut lich diffcriercn.

Voraussetzun gcn und H ilfsmitt cl

6

Prozentua l ("r elativ ") vcnnc hrtc bzw. venn indcrte Werle Iret en besondcrs hau flg im Zusamrncnhang mit zennchen Anderu ngen von (oko nomischen) Groacn auf (z.B. Preise, Umsaize; Gewinne, Le hne, GeM /ref, Pensionszahlungen, ...). Auch hier empfiehlt sich die vorteilhaftc Verwcndung der Bczichungcn (1.1.11) bzw. (1.1.12), vor allcm dann, wcnn cs darum geht, durch schruttfiche Zu-IAhnahmcratcn

iibe r mc hrcrc Z citraumc hinwcg Zll cnni ttcln:

1.1. 19: 1m Jahr OI betregt del Umsatz einer Unlcmehmu ng 2.500 T€:. In den folgendcn funf J ahren ande rt er sich - jcwcrts bczogcn auf den v orjab reswcrt - wie folgt: 02: +8 % ; 03: -3% ; 04: +20% ; 05: + 10%; 06: + 13% .

Bei~piel

I) Wie hoch is! dcr Umsatz im J ahr 06? il) Wic hoch is! die Gesamt and cru og (in %) des Urnsatzcs in 06 gcgcnubce 01 '1 iii) Urn wieviel Prozent pro Jahr hat slch der Umsatz in den J ahren 02 - 06 (bezogen auf das jewellige Vorjahr) durchschniulich vcrandcrt? Ges ucht ist also cine in allen 5 Jahrcn gleich e jahrliche Zuwaehsrat c (in % p .a., Basisjahr: 01) , die cine prozcn tuale Gcs amtanderung wie in ii) licfcrt. zu i)

Bczcichnen wir die Urnsa tzc 01 bis 06 mit VOl' V 02' ..., V 06' so bcstcht zwischen dicscn Werten die folgend e Beziehung (mehrfacheAnwendung von (1.J.11) , (1.1.12)) :

V02 = VOl · (1+ 0,0 8) = UOI · 1,08

u" V 06 = VOl ' 1,08 ·0,97 ' 1,20, 1.io 1,13 = VOl ' 1,5626 = 2500 · 1,5626 '" 3.906,50 T €

z u ii)

Aus der letztcn a ile von i) folgt: U 06 '" V Ol' 1,5626 '" V Ol' (1+0,5626), d.h .: die relat ive Ges arman dcrung thier: Z unahm e) bct ragt: 0,5626 '" 56 ,26'J1~.

z u iii) Die gcsuchtc durchschrutt lichc jahrlic he Zuwachsrate des U msatzes (bewgen auf den Umsatz des jeweiJigen Vorjahres) sci i . Dann gilt (analog zu i)) :

U06 = UOI ' (1+i)(1+i)( 1+i)(1 +i)(1+i) '" UoI · ( l+ i)5 . Naeh ii) gilt fu r V06: U 06 = VOl · 1.5626 , d.h. wir suchc n den jahrlichen Z uwach s i, der inncrhalb von 5 Jahren cinc n Gesa mrzuwachs von 56,26 % ermoglicht. Du rch E inset zen folgt: U 01' 1,5626 '" U oI ' ( I+ i)5 bzw. (1 +i)5 = 1,5626 d.h . der du rcbschnittlic hc jahrlichc Z uwachsfaktor 1+i, potenzlcrt mit der A nzahl de r Laufzcit- Jah rc, muss den Gcsa mt- Zuwaehsfaktor 1,5626 ergcbc n. Daraus folgt:

1+i '"

s

V1,5626

'" 1,093 4,

d.h.

i = 0,093 4 = 9,34% pro Jahr.

Bemerkung / . / .20: (geometrisches M iJtel) i) Die Ermiulung des ~ durchschn iltlichen" jiihrlichen Z u wachsfak tors 1 +i in Teil iii) des tauen Beisp iels entspridu exata der Ermittlung des sag. " geom e/rischen MitteJwertes " xg von n Zahlen-

werten Xl' Xl ' ... X,.:

Xg ,-

Vr.x~,~·x~,7.-..-.~·x~".

1m obigen Beispiel entsprechen diext den ZuwuChsfakto,r.r," ;-;lii,Oc8~;;;O",c97",;;;I,c2;:.a,,;;;I~,Ii'a,';·/: ' /3. Deren /,093 4, geometnsches Miud xg mecnnet sich da nach zu xg = 1,08' 0,97 ' J ,20' J , 10 · J , J3 wie gesehen. A uf anatoge Weisr t enuei man das geom emsche Miuel, wenn es urn diedurchschniu tiche jiihrLiche Veninsung eines Ko.pitalbetrages gent, der n Jahre lang zu wechsetnden Z inssiitzen ange/egt wird (Beispiel: Bundesschatzbnefe; vgl. Aufgabe 2./.23 v)).

V

1.1

7

Prozentrcchnu ng ii) /m letuen Beispiel 1./.19 dWfm zur Ermittlung der Gesamtanderung die jahrliche Zuwachsraten

8%, -3%, usw. niehJ addiert werden; da sie sich jeweils auf andere Gmndwerte (BezugsgrofJen) beziehen: +8% (02) beziehtsich auf VOl' - 3% (03) dogegen auf V oz usw. Wiirde man (jalschlicherweise) die Prozentsdtze addieren, so ergabe sich eine " Gem mliinderung" von +48% (richtig 56,26 % !). Diesem Trugsch/uss ist offenbar der Vetfasser des auf Seue 1 in (1. /.3) wiedergegebenen Zeitungsartikels erlegm: Die korrekte PreLfS/eigernng in 4 Jahren betragt 12,54% [denn: 1,03· 1,04 ·/,03·1,02'" 1,/254). iii) 1m Zusammenhang mit Tell iii) des Beispiels / .J. /9 beachteman, dass sich die durchschnittliche jiihrliche Zuwachsrate i ("'9,34 %) auf den jeweiJigen Vorjahreswert bezieht und nicht etwa auf

den Ausgangswert U OI ! Man tuue sieh also vor " DurchschniltsbiJdungen" der Art: 56,26% Zuwachs in 5 Jahren mtsprechen 56,26 : 5 '" / 1,25 % Zuwachs pro Jahr (richtig: 9,34 %!).

Gclcgentlich empflchlt sich (insbesonderefiir komplexe Problems/d fungen) cine tabellarischc Ubcrslcht: Beispiel 1,1.21: i) Ocr (durchschnillliche) Benzi nprcis lag im Jahr 03 urn 26% hohcr ats im Jahr 02 und urn 17% hohcr als im Jahr 01. Urn wicviel Prozent lag dcr Bcnz inprcis in 02 tiber (bzw. unur] dem Bcnalnprcis des J ahrcs 01 ?

Bczcichnct man die durchschn ittlichcn Bcnz inprcis c mit Pol' Poz' PC!)' so hat das Problem die folgcndc Strukt ur Johr Of

Johr OZ

""

BenZlnpreis

Jahr03

,""

p" + 26 i

• I + 17 i

Besondcrs einfach wird der Losu ogsweg. wenn man cincn der Prcisc, ctwa POI' mil cinc m flktivcn Wert vorwahlt, z.B. Pol ,= 100. Dann vercinfacht sich die T abcllc ; JahrO f

JahrOZ

Jahr03

p.,

117

100

BenZinpreis

,

.,

t + 26 i

+ 17'1. -

117

Ubcr Poz· l ,26 '" 117 folgt Pea = - - = 92,86, d.h . man muss Pol (=100) urn 7,14% mindcrn,um poz zu crreichen:

t,26 100(1+ i) =92,86

~

i =0,921l6 - 1 "'-0,0714"' -7, 14%.

(Auch eine rein rechnerische Losung fUhn zum Ziei, isc aber weniger anschaulich: Aus P03 = Poz · 1,26 und P03 = POI · / ,17 folgl durch Gleichsetzm: P0 2 · 1,26 '" P OI · 1,1? und daraus Poz = POI· I ,ll =PoI ·O,9286. Aus 0,9286 = l +i ~ i '" - 7,14% wie eben.) 1,26

emes

ii) 1m Jahr 05 lagcn die Exporterlose Unternehmens um 8 % tiber dem entsprcc hendcn Wert von 04. In 05 harte dcr Export cincn wertma13igen Anteil von 70% am Gcsamt umsatz. Urn wicvicl Prozcnt hat sich de r Inlandsumsalz in 05 gcgcnubcr 04 verandcrt , wcnn aul3crdem beka nnt ist, dass der Gcsarntumsa tz in 05 gegencber 04 urn 6 % zugenommen hat?

Voraussetzungcn und H ilfsmittel

8

Auch jetzt wahh man zwcckrnagigerweise cinco dcr W erte (mi l 100) fiktiv vor, hicr bietet stcb der Gesa mturnsatz 0 05 im Jahr 05 an. Jahr 04 Johr 05 Dann lass! sich sofo rt folgcndc Ma trix autstellcn:

nanasomsatr

30

+

Exportum satz

= Gesamtumsotz

100

+"

Aus (1.1.16) folgt: P .

"-4JII

=...2!!.... 1,08 =

64 •815 sowre . G 04 = 106 100 = 94 , 340

--

[iktiv

vorgewahh

t

~ 104 = G Q4 - E Q4 = 29,525 .

Daraus folgt fur die noc h unbckannte Andcrungsratc i d es Inlundsumsarzes :

29,525 '( I+i) = 30

l +i = 1,0161 ,

~

d.h . del Inlandsurnsatz stieg in 05 urn 1,6 1% gcgcnubc r 04. A n de n bcidc n Bcispiclcn crkcnncn wir, dass man bc i relativen (d.h. prozentualen} A ndcrungcn unabhangig von dcr Rich tung dcr A nderung CD+ « oder »- Ii) stcts die G lcichung (1.1.14)

I K'

= K ( I +;)

I

verwcndc n kann, vor altern dan n, wenn i ouc h unlx:kannt ist . J e nac h Vorzc ichcn von i handelt cs sich da nn um cine Z unahme (i > 0) od cr cine Abnahmc (i < 0): Beisp iel:

E s folgt die

K*=:K '(l +i) =: K ' O,95 K* =: K ' (l+i)=: K' },08 Z l1'iam men rawert

Beispiel: Vm insUIIg) am J ahresendc uber 10.000,-- € vctf Ogcn ka nn? 10.000

Nac h (1.2.12) muss geltc n: Umfonnung liefert fur den Anfangswcrt

Ko:

=' I[

' '0

Die allgem eine Umfo nnung von (1.2 .12) licfcrt:

It'"

."

(1 + 0,03'

10.000

='

1,027083

f + in

K,

9.736,31 €

-

-

-

Kn

(Zei/)

f--

loufzei/ - - I (n Zei!einheilen (ZEJ, rs. n Mono/e)

1 + i· n

Ko wird auch Barwe rt 7 zu

='

Abzinsungs vorg a ng

K, - - : K() -

(1.2.16)

ill ) 360

K., genannl, der rechnerische Prozcss heilll Abzinsung von K., .

Bemerkung: Man beadue: Der (heutige) Barwen K o einer nach n Zeiieinheiten falligen spiueren Zah lung Kn ist derjenige Betrog K o , den man heute zum (nachschUssigen) Zinssa tz i (in % pro Zeiteinheit) on legen muss te. urn sptuer (d.h. nach n ZE) Kn als aufgezinsten Endwert zu emahen (sirenggeno mmen mUsSle man sms noch zusalzlich angeben, nacn wekher Vazinsungsmemode - linear oder exponemiell Kn aus K o zu ermineln ist). «

Anf anger neigen gelegrntlich dazu, den Barwen K o riner spateren Zahlung Kn bei linearer Venin sung (fiilschlicherwrise) dadurch zu ermiueln, dass tie vo m Endwert Kn die (auf diesen. Endwert entfallenden) Zin sen ahziehen: K o =' Kn - Zin sen auf Kn =' Kn - Knin =' K,ll - in). Dies Vetfahren lauft auf von chussige Vmin.~UIIg hinaus (vgl. Kap. 1.2.4) una win! auper bei der Wechseldisk ontiernng ka um angewenda. (3) Zins.---~--- 2.bhre - - - - - -

, bh,

Ibh,

1.2

29

Lincarc Verzinsun g

Die 100, · · € wachsen bet 10% p .a. linear in 2 I ahren auf 120,-- € an, die 110,-- € wachsen in einem Jahr um 11,-- € auf 121,-- € an. Ebensowenig erweisen sich die heiden Z ahlungen als iiqu ivalent, wenn ma n etwa die ll'illiche Mille als Sticmog wanu:

+--

100

-1

6Mon'-1

5fichtog. I = 10'

~

I

I

6 Mon. ~

-

- --

(Zeitl

110

--j

6 100,-- € 6 Mo nale eufz insen ..... 100 (1 + 0,1 '12) = 105,--

110, -- € 6 Monate atainsen

II '

---'-'-'--., = 104,76 / + 0'/'12

( *' 105,-- 1)

Z wei Z ahlungen sind also brim gleichen Zinssatz sowoh l iiquivalent Widerspruch , u jeder Logik.

ets auch

nicht iiquivalrnt - im

D ie im jctz ten Beisp iel zutagc gctrc tcne " l derspriichlichkeilen bet linea re r Verzi n.\u ng lassen sich prinzipiell nieht vermcidc n [es set denn, m an venichtet vollstandig auf die lineare Verzinsung, vgl. Kap . 5.4). Daher cm pfichlt es sich, eine Verci nbarung dariiber zu trcffen , welcher Stiehtag bci fincarcr Vcrzinsung gewahl t werden soli. Da die finan zmathcmatis chcn v organge bcsondcrs a nschaulich werde n, wenn nur A ufzinsungcn sta ttfinden, wollen wir vcrctnbarcn: Konven ucn 1.2.33:

(Stichtag bei nnes re r

Verzin.~u ng)

Werden Zahl ung.~rei hcn mit H ilfe der linearen Verzinsu ng saldiert od er vergnchen, soli als gcmcin samer Bewertnngssu chteg der Tag der letzten vorkcenme nden Zahl ung gcwahtt werden (oder es muss a(l:j'drtick lich ein anderer Stiduag vereinbon sein.v:

Dcr A quivalcnzbcgriff (vgl. Drf 1.2.26) tasst sich darnit bci linearcr Vcrzinsung auf Zahtungsrenien crweitem: 1.2.34: Zwei Zahlungs reihen A , B (" Lci slu ng~1 ~ Gegen leis t u ng") hciBen bci uneere r verzius ung zum Zin ssatz i iiquivalent , wenn sie - aufgcz inst auf den Tag der letztcn vorkommenden Zahlung - dcnselbe n . Kontostand" (d.h. dense/ben Welt) ergebe n.

Denmncn

Damit sind wir in dcr Lege. das finanzrn athcmatischc Aquivalcnzprinzip (jur lineare Ver.:insung) zusammc nfasscml zu dcflmcrcn:

Sat z 1.2.35: (Aquivaleuzprinzip der Finanzmalhematik (bei linearer Ver.:insung) Zwei Zahl ungsrcihcn (LeistunglGegenleistung bzw. Za htungs reihe AlZahlungsreihe B) durten nur dan n

• verglichen [im Sinne de! Aquivalc nz} • add iert ) • sub trahiert

"sa ldicrt

U

werden, wenn samulc bc vorkomme ndc n Zahlungen zuvor auf elnen und deuselben Stichtag tra nsfo rmicrt wurdcn . Der verwcndc tc (lineare Ia hres-] Z mssa tz hcillt Kal kulatioh!.zi.n....satz (bzw. - bei Ubereinstimmung von L elsumg und Gegm lnstung - Eff ek tivzinssa lz, siehe Def inilw n 1.2.39).

Voraussetzungcn und Hilfsmittcl

30

Bci Vcrwcnd ung dcr linea ren Veninsung crfolgt - nach Konvention 1.2 .33 - diescr zcitlich e Transformations prozess durch Auhinsen samtlicher Zahlungcn mit H ilfe der Zinsformcl (1.2.12):

I K.

1I'

--

,',

200 -

t:Jqvivafenler Ersatz :

""""

(Zeit/

Beweis: Wenn zwischen den heiden 100-€-Zahlungen T Ta ge liegen, so muss - bet Stich tag auf dcm T ermin der zwciten E inzc1zah lung - fur t nach (1.2.59) gclten: t =

loo ' T + 100 ' 0 200

T

="2'

wie behauptct.

(Dies ist - bei lineorer Verzinsung - auch anschaulich klar: Bei Gesamtzahlung von 200 € im Zeitzen/rum werden die ersten 100 € um dicselbe Zeitspanne zu spat gezahlt wie die zweuen 100 € zu friih gezahlt werden, Zinsvenust und Zinsgewinn gleichen sich genau aut , Einzelzahlungen und Gesamtzahlung im mittleren Zohlungstam in/Zeiu emrum [uhren stets zu identischen spiiteren Kontostiinden.) Ga nz analog crkcnnt man den mittleren Zahl ungstermin unmit tclbar in den folgenden "symme lrisehen" Fallen (der mittlere Zahlungstermin is/ jeweils durch einen Pf eil markiert) :

roo I

,,

roo I

t OO

,

" t,

5oo I

,I'

2oo , , I

C1qvivalenler saae ,

I

,,

t OO I

(Zeil/

500

C1quivafenler f rscm :

ii)

t OO //

1.400

,,

2oo I

,I '

5oo I

(Zeil/

Abb , 1, 2.6 1

42

1

iii) 12 . nachscbussigc'' Monatsratcn zu jc 10 3112

-1

€:

JI.M

10 I

10

I

10

I

3OQ!.

10

10

10

I I I

(jqul",alenlef Ersolz .

3112.

M(XI

10

I

I

Voraussctzungcn und H ilfsmittcl

10

10

I

I

I 120

10

10

I

I

5,5 Monote

om 15.01.

10

~(Zei!)

-l

Konfosland am bhresende:

K1 '" 120"ofi. f!J

Iv} 12 "vorschiissigc" Monats raten zu je 10 €: 31'2

10

-1

310J

10

Abb. 1.2.61

10

I

10

I

3006

10

I

10 10 fa 10 10 10 I --+--~igen Ve rzinsung zwangslaufig in eine Sackgasse: Wen n ich mir fur cin J ahr 100,-- € zu 100% p.a . vorsc hussig leihe, so betragcn die Frcmdkapitalzins cn gcnau 100,-- € , sind aber vorschnsstg fallig, d.h. im Zeupunkt der Krcdita ufnahme. Damit bet ragt de r mir zur Verfiigung stchcndo Kreditbetrag €, dc facto habe ieh somit iiberhau pt kcin cn Kredit erhaltc n, muss aber nach cinem Jahr das "a usgclichcne" Kapital von 100,-- € zuriickza hlcn - ein offenbar unsinniger und widerspriichlieher Vorgang [bereits erkennbar in (1.2. 72): i", '" 1 I)

a

Dicscs Extrcmhcispicl zcigt, das s nur nach~chii 0) und beliebigcn reellen Exponenlen (x. y 7

Nahcre Ausfilhru ngen findct man z.B. in lTie3J Kap. 1.2. 2 bzw. 1.2.3.

E

IR):

2.1

57

Grundlagcn dc r Z inscszins rcchnung

Potenzgesetzer

(P I)

(P2)

Vereinbarungen: ab" "" a(JII) (P3)

(a")Y ::;: a"Y = (aYf

-a'l "" _(a/'l) abc "" a(b")

(P4)

(ab)' = a'b"

Satz 2.1.13: (Logari th mengesetz e) DeC. (I)

Det, (2)

I a~::;: x IOg10 x logex

=:

u::;: log, x

{=>

19x

=, lnx

I . a", IR + \ {l )

; x e IR + ; U E IR

(dekadischer Loga rithmus )

tnaturlicher Logaruhmus, e ::;: Euler'sche Zahl "" 2,7182818 ..)

Fur aile x, y > 0, a > 0 ( *1 ) gill; (1,1)

Vereinharnng: logax' := loga(x')

log, (x ·y) = 1o&, ,, + [og,y

( *' (log xV (Ll)

(L3)

x

10&,( -y ) = log, x- Iog.y .

log., (x' ) = r log, x

(r

E

IR)

Insbesondere gilt (wegen Def (l )) : tog, av =

U

a1oga' = x

d.h.

IglOU = u l Olgx = X

Aul3crdcm gill:

sowic

In x

Belspieler

In e = I;

Ig lO = 1; In I = OJ

Ig l = 0

19 x

log,x = = In a 19 a

!)

2

58

Zinscszinsrcchnun g (exponcntiellc Verzinsung)

Je nachdem, welchc der vier Variablen i (bzw. q), n , K.:J , Kn in dcr Zinscszinsformcl (2.1.3) (bei gleichzeiliger Kennmis der ubrigen drei Variabien) gesucbt Ist, unterschcidct man die vter grund~(fullli­ gen Prohl emtypen (bei reiner Zinseszinsrechnung und Verzinsung eines Binreibetrages Ko); P roblemtyp I: Endwert K n gesuct u Man erhalt Kn durch Auf'zi nsen des Anfangskapitals der Standard-Zi nseszinsformcl (2.1.3) (2,1.3)

K,

=

""q'

Ko mit dem Auhi nsung. 0)) );

I

Ertragswcrt (am 01.01.05) =

-u0,075 Mio.

= 56 Mia. E.

Anfgabe 3.6. 10: i) Welche ~cwig" flicl3cndc Rente kann man (bei 10% p.a.) ab 01.01.10 aussc hunen. wcnn das dafiir zur v crfugong stehcndc Kapitalam 01.01.06 cinco Wert von 2,5 Mio. € hat?

ii) Wic grol3 ist am 0 1.01.05 JeT aquivalcntc Wert cincr am 0 1.01.12 cinsctzcndcn cwigcn Rente von 700 .000 ,-- € / J ahr (8% p.a.]?

Aufgabe 3.6. 11: i) H uber mu ss fur die Ubcmahm c von Firmcnantcilcn folgcndc A bt indun ge n zahtcn:

100.000,-- € am 01.01.07, 350.000,-- € am 0 1.0 1.10 sowic ansehlicJ3cnd cine 6-matige Rent e von 20 .000,-- € / J ahr, ers te Rate am 01 .01.13. E r moc htc seine Verpflichtu ngen gcrnc aqulvelcnr umwandcln und crwagt folgcndc Variante: An stclle der o.a. A bfind ungszablungcn rnoc hte H ube r a m 0 1.01.09 einen Bctrag von 200.000,-€ und am 0 1.01.11 einen Bcrrag von 100.000,-- € gcbc n und danac h cine jah rhch za hlbarc ewige Rente (1. Rate am 01.01.15). Wie hoeh musste die Rate dicser cwigen Rente scin? (8 % p .a.) ii) H uber soll vertragsgcmiiBvon seiner v crstchcrong folgen de Lcistungen erbaltc n: 100.000, ·~ € am 01.01.00; 200.000,~ ~ € am 01.0 1.05 sowie cine 10-matigc Rente in H ohc von 50.000,-- € / J ahr, crstc Rate am 01.01.09 .

E s wird srcrs mit cinem Zinssatz von 7% p.a. gcrcchnct . Nae hdcm er den erste n Bctrag (l00.000 € am 01.01. 00) erhaltcn hat , bcse hlieBt er, die noch ausstehcndcn Za hlungcn in cine c......ige Rent e umwandcln zu lassen, crstc Rate am 01.01. 10. Wie hoch ist die Ra te dicsc r ewlgen Rente? iii) Am 01.0 1.05/0 6/0 9 musstc H uber scincn Gcsc haftspa rtncr Moser jeweils 150.000 € zahJcn. E r will sta ttdessen (auf dquivaleme Weise) cine Ren te zahlcn. (l 0% p. a.)

a) Die Ratcnhohc sci 30 .000 € / Ja hr, erste Rate am 01.01.07. Wicvicle Raten sind zu zahlcn? b) Welche ewige Rente, beginnend am 01.01 .11, ware zu zahlcn'!

3.6

Ewigc Rent en

125

lv] H uber crhalt von scine m Gcs chaftspa n ncr Moser - beginnend 0 1.01.09 - zu Beginn cines jcdcn Ouartals je 8.000 ,- - €, letzte Rate am 0 1.01.15. a) H uber ....' ill stattdessen Heber Qu artalsraten zu je 16 .000,-- € , bcginnend 0 1.0 1.13. Wicvicle Raten kann er crwartcn'! b) H uber - von scincn zukiinftigcn Erben bcbevcllubcrrecct - Ist sehlieBlich der Meinung, uass cine cwige Rente das Beste sci: Wie hoc h ist die Quartals-Rat e - beginnend 0 1.0 1.10 dieser aq uivalenten ewigc n Rent e ? (Es wird m it rierteljiihrlichen Zinseszinsen lion 2% p.Q. gerechnetf) Aufgabe 3.6. 12: i) H ube rs U nternehmu ng erwinsc haftet Ma uf cwige Zeitcn" einen jahrhchen Ocwi r mvon 50 Mio. € /J ah r, erstmalig zum Endc des J ahres 08. A llcininhaber H ube r kassicrt d ie crstcn drei Jahresgcwinne (zum 31.12.08/09/ 10). 1m Verlauf des J ahrcs 11 vcrkauft er seine U nternchmung an Mose r. Der Kaufer Moser ist ab 01.07. 11 allcinigcr Eigcntiimer der Unternehmung (ers/ lion diesem Z eupunk t an erhiilt er die sam/lichen noch auss/ehenden Gewinn e} und zahlt am 31.12 .11 cine erste Kaufprcisratc in H ohe von 150 Mio. € . Den Rcstkaufprcis, der sich nach dt.-"I11 finanzmat hemat ischen Aq uivalenzprinzip ergibt, bcza hlt er am 31.12. 14. Der Kalkula non szinssatz witd mit 8 % p.a. angesetzt. Wclchen Betrag muss cr zu diesem Zci tpunkt entriehten? ii) H uber verfugt zum 01.0 1.08 ubc r einen Bctrag von 1.000 .000,-- € . die er in FoRO ciner

Stiftung (= cwige Rcnte) jahrlich an begabte Nachwuchs finanzmatbcmatiker a usschancn will. Die crstc Rat e soil am 01.01. 11 ausgczahlt worden. Si s zum 31.12 .13 bctragt der Zin ssarz 6% p.a.• danaeh stcts 10 % p.a. Wie hoc h ist die jahrliche Au sschutt ung, wen n - unabhangig von der Zin shohc - stcts die glciehe Summe pro J abr ausgesc hlittet werden soli? iii) Die Komporustenwirwe C lara H uber verkauft zum 0 1.0 1.01 ihren histo nsc hc n H ugel. auf dem

scho n der bcru hmte Robe rt H uber gcspiclt hat , an das Aaehencr Co uven- Muse um. A is Ge genleistung erwartet sie 2 Bctragc zu jc 15.000,-- € am 0 1.01.02 und 0 1.01.04 sowie cine ewige Rente in H ohe von 3 .600,-- € / Ja hr - bcginnend 01.01 .06 . a) wicv iel warder A li/,'CI am 0 1.01.01 - ous Stou der Clara H. - wert? (i = 12%p. a.) b) Das Museum schatzt den Wert des Aiigcls zum 01.0 1.01 auf 50.000.-- €. Wclchcm Effcktivzinssatz entsprechcn nunmehr die eingangs angcgebe nen Gegc nlcist ungcn an Clara H .? iv) Huber uberlegt, ob er seine H eizungsanlage modernisieren soli. E r musstc dann zum 01.01.03 cincn Betrag in H e be von 15.000,-- € und zum 0 1.01.04 in Hohe von 20.000.-- € zahlc n. An derens ens spart cr du rch cine modc rnc H eizungsa nlage erheb lich an H eizkoste n. a) H uber schatzt , dass er pro J ahr terstmals zum 01.01.04) 2.500.-- € an H cizkostcn spa rt. Wie lange mus s die neue H eizungsanlage mindest en s genutzt wcrden, damit sioh die Modernisicrung fur H uber lohnt ? (i = 8% p.a.) b) An gcnommcn , Hu ller kon ntc die neue H cizungsanla ge auf ~ ewi g~ nutzen : wic hoch musstcn die [ahrhch eingcs parten E nergicausgabcn [erstmals zum 01.01.04) da nn mindestcns scin? (Es wird ein Kalk ulationszinssa tz lion 8% p .a. angt'setzt.)

3

126

Rcntcnrcchnung

3.7 Kapitalaufbau /K apitalabbau d urch laufende Zu f'l usse/ Ent na hmen Mit H ilfe des in den lctzten Abschnitt cn entwickelten Instrumcntariums, insbesondere mit Satz 3.2.8 und der Anwcndung des Aquivalcnzprinzips lassen sich nabczu alle Problcme dcr Finanzmathcmatik toscn . FOr z wei besonders hiiufig vorko mmende Anwendungen nchmcn die anzuwcndc ndcn Formclbczichungcn cine lcicht zu mcrkcndc und charaktcristischc Gest alt an, so dass sic gcsondcrt bchandclt werden sollen . i) Kapltalaufbau durch laurence Zuflih .e

Gcgcbc n sci auf cinem Konto im Zc itpunkl I = 0 ein Anfangskapital

~.

Bcginnend nach elnem Jahr

werden n Rcntcnraten dcr Hohc R hinzugezahlt (vgl. Ahb. 3.7. J) :

1 --K

Kontostond: m Zio,periodM - --

Anfangs-

t op/tal Hinzu-

zahlungen.-

o

R (f)

R

R

12)

13)

R

(m-lI

-I Km

R

Aile Zohlungen. die spoter ofs dIN S/ichlag liogen, b!@lber!bel frmifllung des Kon fosfandes Km u nb erOc ksich ffg f !

R

1m)

R

tn-II

R 10 )

Abb.311 Gcsueht ist dcr Kontostand Km des Kontos unmittclbar naeh Einzahlung dcr m-ten Rate, d.h . in t :: m n) (vgl. Pfeil ~ in Abb. 3.7.1). 1m Untcrsehied zu den bishcrigen Bctrachtungcn gchen nun nieht mehr siimlliche n Raren in die Bcuaehtung cin, sonuem looiglich die ersten m Raten, denn: (~

(3.7. 2)

Bci E rmittlu ng cines Kentosrandes d urfen (im Gegmsatz zum aqui vetemen GesamlWert) zukiinflige Zahlungcn (zuku nfrig: bezogen auf den Slich/ug) nieht cingerechnet werdcn !

Aus Abb. 3 .7.1 liest man ab:

De r Kontos tand Km am Tag dc r m-tcn Rate sctzt sich zusarnmcn

i) aus dcm aufgczinsten A nfangskapital:

~.

q'"

und zusatzuch

ii) aus dcr auf den Tag dcr lctztcn (m-Ien) Rate bezogcncn m-maligen Rente

so dass wirerhaltcn:

Sarz 3.7.3

(~Sparlui."-'ien rormel"

Illr Kapitalaufbau):

Wird zu einem Anfangskapital ~ cine n-malige Rente - bcginncnd naeh emer Zmspcriod e hinzugezahlt, so ergibt sich ats Kontestand Km am Tage der m-ten Rate (m s n): (3.7.4)

q'" _ t q- I

3 .7

Kapitala ufbau/Kapitalabbau du rch laufende Z ufliisse/ Entnahm en

127

Bema kung 3.7.5: Man beadne, doss in (3.7.4) - beelingl durch die besondere Strukiur der Zahtungsrclhe, vgl. A bb. 3.7.1 - die Variable m zweil:rlei Bedeutung b esim: a) m gibl die A nza hl derA U/zimungsperinden des A nj angska pilals Ko (in Ko .qm) an; b) m giht die A nza hl aer Raten an (in R · if" q.

'J'>.

Beispiel 3.7.6 : Auf cinem Sparko nto (10% p .a.) hcfindet sieh am 01.01.06 cin G uth abcn von 25 .000 € . Oc r Kontoinhabcr zahlt j ahrlic h am 01 .01. - beginncnd 0 1.01.07 - 6.000,-- € hmzu. insgesaml 20 Ratcn. Wie lautet der Kontosta od am 01.01. 12? Liisung: l nsgesamt worden 6 Rat en his zum 01.0 1.l2 (ind) gczahlt. Da cine Za hlungsstruktur nach Satz 3.3.7 vorlicgt, folgt fur den Kontostand am 01.0 1.12:

x,

= 25 .000 ' 1, 106 + 6.000 '

1 , ~~:~ 1

'" 90,582,69 € .

Das cnts prcchcndc Vcrglciehskon to [aus Siehl des SparerY) lautct: Jahr

Kontostand ZII Jahresbcginn

06 07 08 09 11

25 .000,00 33.500,00 42.850,00 53 .135,00 64.448,50 76 .893,35

12

90.582,69

10

Zinsen (10% p.a.) Elide des Jahres

Kc ntostard rom Ende desJahres

Einzahlung am Ende des Jahres

2.500,00 3.350,00 4.285,00 5.313,50 6 .444,85 7 .689,34

6.000,00 6.000,00 6.000,00 6.000,00 6.000,00 6,000 ,00

33 .500,00 42 .850,00 53 .135,00 64 .448 ,50 76.893,35 90.582,69

(Vergleiehskonlo fur Kapilalaufba u, Beispiel ], 7.6)

Wic nicht enders zu erwartcn , besteht Obcreinstimmung m it dem zuvor finanzma themarisc h errechncten Kcn tostand.

il) Kapitalabhau durch laufend e Entnah men l Abheb ungen

E s handelt sich in dicscm Fall urn cine idcntische Struktu r der Zahlungsreihe wie in Abb. 3.7.1:

Anfongs. kap i/a{

I

R

I II

R

121

R

(3}

Km

- ,I

m ZinsperiodM

Ka

Abhebung en:

1·1

«oatostara.

R

(m +f)

R

Iml

Aile ZahlungM, die spiJ fer a1s der 5tichtag !Iegen, bleiben bei Ermillfung des Konfosfan des Km un ber()ckslchfig f.1

R (m+fI

R

to-n

R I")

1m Un tcrschied zum Kapitalaufbau werden nun atlerdings d ie Raten Yom Gut habcn Ko abgehohen, vermindem also den aufgezin sten Guthabe nsta nd Ko ·qrn urn die aufgczinstc n Rat on, so dass wir crhaltcn (vgl. Bern. 2.2.16):

128

3

Rcntcnrcchnung

Sat z 3.7.7 (..Spa rka...senfbrmel" fUr Kap italabbau ):

Wird von cinem Anfangs kapital Ko cine n-malige Ren te - bcginncnd nach elner Zinspcriode ahgehob en (Ahb. 3.7.1), so crgibt sic h ats Konlostand Km a m Tagc der ill-len A bhebung (m s o):

(3 .7.8)

Beispiel 3.7.9: Am 0 1.01.01 bcuagt das Gut habcn a uf eincm Konro (10% p.a.) 400.000,-- €. Bcginnend 01.01.02 worden jahrlich 60 .000,-- € abgehoben. I) Wie tauter der Kon tostand nach der 5. Abhcbung? Ii ) Wlcviclc Rat cn zuje 60,000,--

€ knnncn abgehobcn we rden, bis cas Ko nto crschoptt ist?

llisung: zu i) Nach (3.7.8) gilt - da die Zahlungsstruktur der Vorra ussctz ung nach Abb. 3.7.1 cnts pricht: Ks = 400.000 -1,105- 60.000 '

J,~:~ I

= 277.898,••

€.

l si das Kont o am Tagc dcr n-t en A bhcbung( = let ztc Rate) crschOpft, so mu ss gclten: Kn "" 0 (m '" n). Scm man diese Bezichung in (3. 7.8) em, so crhalt man die sogenanntc Kapitaherzehrsfonnel

zu Ii)

q" - 1 q- I

o

(3.7.lO)

'----------

I

1m vorlicgcndcn Beispie l (n gesuchtt] gilt: 0", 400.000 · I,lO "-60.000 · 1, 10" - 1 0, 10

~

2 ' 1,1" '" 6

~

0", 40.000 ' 1,1"-60.000'(1 ,1"-1)

. 0,1

n '" In3/1n1 ,1 :=:: 11,53 Raton (d.h . JI Ratenplus eine vermindene Schlussrate, siene wetter un/en)

~

Man kann die Gleic hung (3.7.lO) aueh in a1lgemein naeh n aunosco: Multip likation von (3.7.lO) mit (q - I) licfcrt : o _ R 0'" Ko(y - l ) yn-R yn + R , d.h . q

10

(3.7.11)

" =

-

R -Kq(q - I )

R

R - Ko(q - I) 10 q

60.000

Sctzt rnan die gcgcbcne n Da len cin, so folgt : n '"

60.000 - -10,000 In 1,10

:=:: 11,53 , wic eben.

Wie in Beispiel 3.4. 1 iv) ist die Tcrminzahl n kcine natOrJichc Zahl. Daher worden im vorncgcnden Fall 11 volle Ratcn abgc hobc n sowie nach ctncm weiteren J ahr cine vcnn inde rte irreguJiire 13. Schlussrate dcr Hone 32.3 14,32 € ('" K ll ' 1,10), vgl. Berechnung in Beispiel 3.4.1 iv». Danach ist das Ko nto erschopft.

3.7

129

Kapitalaulbau /Kapitalabbau durch laufcnde Zuflussc/E ntnahmcn Das folgende Verglciehskont o bildet den bcschriebenen Kapitalabbau-Vorgang dctailliert naeh: Jahrcsbcginn

Kontostand zu

Zinscn (10% p.a.) Ende des Jahrcs

Abhebung (-) am Ende des Jahres

12

400.000 ,00 380.000 ,00 358.000,00 333.800,00 307.180,00 277.898,00 245 .687,80 210.256,58 171.282,24 128.410 ,46 81.25 1,51 29.376,66

40.000,00 38.000,00 35.800,00 33.380,00 30.718,00 27.789,80 24.568,78 21.025,66 17.128,22 12.841,05 8.125,15 2.937,67

60.000,00 60.000,00 60.000,00 60.000,00 60.000,00 60.000,00 60.000,00 60.000,00 60.000,00 60.000,00 60.000 ,00 32.3 14,33

13

0,00

Jahr

01 02 03 0' 05 06 07 0' 09 10 11

Kontostand zum Endc des Jahrcs

380.000,00 358 .000,00 333.800.00 307.180,00 277.898,00 ( 245.687,80 210.256,58 171.282,24 128.410,46 8 1.25 1,5 1 29 376,66 ( 0,00

( Vergleichskon to [ur Kapualabhau, Beispiel 3. 7.9)

Bet der Ennittlung vo n ~Kon too;tan den" bel Kapitalautbau /Kapitalabbau ist - wic gcsehen - der bctrachtete Bewertun gs.\ tichtag \tichti g. denn fur eincn Kontost and im Zcitpunkt t = m sind nur solcbc Za hlungen (Zufliisse/Abhebungen) relevant, die brs zum Stichtag einschlieJllich gefloo;sen sind. Unter dtcser Pramisse gilt aucb fur die Ermittlung von ~ Kontos tande n " das grundlcgende Aquivalenzp rinzip (Salz 2.2.18) : Ocr Kontostand Km (vgl. Abb. 3.7.1) kann grundsatzftch ennittc1t werden d urch getre nntes Aufzinsen von ,.Lcistungcn" und . Ocgcnlcistungcn" mit anschlieBcnder Saldobildung am Snch tag (vgl. Aquivalenzp rinzip Satz 2.2.18) .

(3.7.12)

Vcrcinfacht ausgcdruckt gilt am Sticbtag: Kontostand = Leistung - Oegenleetuog (wobei nur Leistungen/Gegenleistung en bemcksich ngt werden, die bis

zurn Stichtag einschliefJlidJ geflossen sind!).

Dabci sind die sog. "sparka..senfortneln" (3 .7.4)/(3 .7.8 ) lediglich vcrwendbar fur den (hiiufig votkom menden} Sonderlal l. bci dem die Lcistung durch lias Anfangskapital Ko gcgebcn iSI, wahrend die Gcgenleislungen (bei Kapitalaufh au: "Zusaaleislungen ") aus den Raten etner Rente bcstchen, die genau cine Zmsperiode nach Wertstellung von Ko einsctzt , wie in Abb. 3.7.1 zu sehcn. Das folgende Beispiel zcigt die Bildung des .Kontostandes" in eincm Nicht-Standardfalk 8 eispieI 3.7.13:

I

Gcsucht ist der Kontostand Km am 0 1.01.06 bci Vorliegcn folgcndcr Zahl ungssuuktur (Einzahlungen (L ) sind obernatb, Auszahlungen (GL) sind unterhalb d es Zahlungsstrahls aufgefiihrt) : Km

(l=fO%p.o/

I ;Z01.

Of Of.OC

3000

4000

I

I

1500

f

te t

II!

I

1500

1500

1500

1500

1500

1500

1500

{GlI

3

130

Rcntemechnung

Nach dcm Aquivalcnzprinzips gilt fur den Kontostand Km zum 0 1.0 1.06 (mil q = J,l) 6

4

S

3 1 1 - 1

Km = 3.000 - 1,1 + 4.000' 1,1 -1.500' 1,1 -1.500· ~ = 3.790.32 € . D ie vier let zten Rat en (xuje 1.500 €) gehen nicht in den Kontostand zum 01.01.06 d o! Z ur Kon trolle sci wicder d ie cnts precbendc Verglcichs-Kontostaffcl abgcbildct. Jahr

00 01 02 03 04 05 06

Komcstand zu Jahrcsbcginn

3.000,00

1.800,00 5.980,00 6.5 78,00

Ende des Jahres

Endc des Jahrcs

Eiw, {+)/Abh.(-)

Ko ntostand zum Ende des Jahres

300,00 180,00

- 1.500,00 4.0 00,00 0,00 - 1.500,00 -1.500,00 -1.500, 00

J .800,00 5.980,00

Zinscn (10% p.a. )

598,00

5.735,80

657,80 573,58

4.809 ,38

480,94

3.790,32

6.578,00 5.735,80 4.809,38 3.790,32

(Vergleichskonto zu Beispiel 7. J.13)

Aurgebe 3.7. 14: i) Ein U nternchmcr sclZt sich am 0 1.01.06 mit 250.000,- - € zu 8 % p.a . angclcgt zur Ru ne.

a) Wclche glcic hblcibendc nachschussigc Rate kann cr ab 08 jahrbch davon 16 J ahre lang abhcben, so das s dan n da s Kapital aufgcbraueht ist ? b) Welehen Bct rag hat cr am 0 1.01.12 noch auf sci nem Konto, wen n er ab 06 ja hrlich vorschussig 30 .000,-- € abgchobcn ha t? ii) Z immenn an n zahlt - bcginnend 0 1.0 1.05 - 7 J abrcsrat cn zu je 12.000 ,- - € auf ein Konto ein. Bcginnend 0 1.0 1.15 zahlt cr weitere 6 Ra ten zu je 18 .000,· - € und - beginnend 0 1.0 1.22 wcitere 6 Raten zu jc 24.000,-· € / Ja hr cin. De r Zin ssatz bctragt 7% p.a. bis zum 3 1.12.08 , da naeh 9 % p.a . bis zum 31.12 .16, dan ach bis zum 3 1.12 .24 10 % p.a., danach 5% p.a. a) Man enn ittle den Kontostand am 0 1.0 1.29. b) Man enn ittle den Kontostand am 0 1.01.12. c) Durch wclehen E irunalbctrag am 0 1.01.05 konnte ma n samuic hc Raten aquiv alcnt crsct zcn? iii) Tennisprofi Boris H ube r hal in den letz ten J ahren - beginnend 01 .0 J .05 - aus scincn

wcrtc -

einnahmen jahrlic h 1.000.000,- - € auf scin Konto bei d cr Bank of Bahamas cin - gcza hlt, letz re Rate 0 1.0 1.08. Die Vcrzinsung erfolgt mil 10% p.a. Mangels dureh sehlagcndcr sportlicher E rfolge trill cr m it Wirkung vom 0 1.0 1.09 in de n Ruhestand und will nun die Fruchtc seiner vcrgangencn Anst rengungen genicBcn. a) Wicvicle J ahresraten zu je 600 .000, · · € /Jahr kann cr - begin nend 31.12.09 - abhcbe n, bis sein Konto erschopft ist ? b) Wclchcn Jahrcsbctrag - bcginnc nd 3 1.12 .09 - darf e r hochstcns abhebe n, damit er insge samt 60 J ahrcsraten von seincm Konto abhebe n kann? c) D ie Bank of Bahamas bietet ihm cine aquivalc nte " t.--wige" Rent e, bcginnend 0 1.0 1.10. Wie hoc h Ist die Jahresrate dicser ewigen Rente? iv) Gc gcben sci cine vorsch usslgc Rente zuje 50.000 € /J ah r in den J ahren 00 - 08, i "" 8% p.a . a) Man cnn itt le Endwcn und Barwcrt dicscr Rent e. b) Wclehe jahrlich naehsehOssigc Rente ko nnte in den J ahren 10 - 20 daraus bczogc n worden?

3.7

Kapitala ufbau/ Kapitalabba u durch laufcnde Zuflti sse/ E ntn ahm en

131

v] Wic gro/3muss cin Kapital am 01.01.09 scin, damit ab 1. Q uartalJ O- gcnau J7 nachschussige Raten zu jc 12.000,-- € / Ouartal davon abgehoben werd en k6n nen? (i = 2 % p.Q.) r-

vi) Pietsch hat 1 Mia . € zum 01.01.05 auf cincm Ka nia (7%) angclegt. Davon will er jahdic h nachschussig - beginnend 08 - 90.000,· · € / J ahr abhcbcn. a) Er bcabsichtigt, das Verfahrcn zunac hst 20 Jahre lang durchzufiihren . Welchen Betrag wcist scin Ko nto am 0 1.0 l.1 4 auf?

b) wrcvrete Rat en kann cr abheben, bis sein Konto leer ist? c) Man bcan twc rte Frage b), wenn er stets 80.000,-- € / J ahr abhcbt.

Aufgabe 3.7.15:

Huber spart fur d ie Zeit nach seiner Pcnsionieru ng. Jiihr lieh zum 3 l.12. Oberwcist c r 8.000,-- € auf scm An tage zont o, ers tmalig am 31.12.08, lctzte Sparrate am 3 1.12.19 . Am 01.09 .20 wird er penslonicrt. Er will dann die Friichte seiner Spara nstrengungcn genieBen und - beginnend am 01.0 1.2 1 - jahrlich 12.000,-- € abhcbcn (6 ,5% p.a.). i) Ober welchen Kontostand verfOgt er am 0 1.0 1.28? ii) Wicviclc Raten kann cr abbebcn, bis sein Kan ia erschopft ist?

iii) Welchcn Jahresbetrag tonstelle von € 12.000, --) konnt e cr insgcsa mt 25- mal abheben, so dass da nn das Konro lee r Ist?

iv) Wclche jahrfichen A nsparratcn [ansidte von 8.000,-- €) bane er zuvor Icisten mnsscn, urn genau 16 Jahrcsraten zu je 12.000,-- € /J ahr abhcbcn z u konnen"

Aufgabe 3.7. 16:

H ube r hat sich im Ra hmen cines Sparp lan s vcrpflichtc t, auf cin Kcn to dcr Moser-Bank (dar vieneija hrlich mil 1,5 % p .Q. abgerechnet wird) beginne nd zum 01.0 1.00 viertcljiihrliehe Raten zu jc 5 .00 0,-- € / Q uartal einzuzah lcn, lctzt e Rat e am 0 1.01.03. i) Wie hoch ist dcr aq uivalcntc Gcsa mtwert von Hu bers Zahlungcn am 01.01.00? ii) Man crmiulc H ubers Kontostand zum OJ .0 1.00 .

beantworte Frage i), wenn dcr Z inssatz zunachst J,5% p.O. bc tragt und mit Wirkungcn vom OJ.I 0 .01 auf 2% p.Q . steigt .

iii) Ma n

iv) H uber vcreinbart mit der Moser- Kredit -Bank, aile urspr unglich vcrci nbart cn Raten in aquivalcnter Weise du rch cine lO-mal ige Rente (Quarta/.l"ra/en, erue Rate am 01.07.01) zu crsctzcn. Rat cnhnhc? (1,5 % p. Q.) v) A lles wie iv) mit folgend cm Unt crsch icd: Ratcnhohc dcr E rsatzratc Ist vcrcin hart mit 6 .000 ,-€ / Qu artal. Wie viele dicscr Rat en sind zu zahlcn? vi) Wclche "cwige" Ouartalsrcnt c - 1. Rate am 01.01.04 - ist aquivalcnt zu H ubers ursprlinglichcr Rente ? (1,5 % p.Q.) Gc sucht ist die Ratcn hohc dieser cwigcn Rente.

' vii) H ube r will (wie bei vi)) samtlirhe ursprunglich verein bartc n Ra ten aquivalent ersetzen du rch eine ewige Viertcljahres- Re nte, erste Quartalsrate am 01.01.0 4. Unterschicd : De r Zi nssatz bct ragc zu nacbst w iedcr J,5% p.Q . und ste ige mit Wirk ung vom 01 .07 .04 auf 2% p.Q .

Wic hoc h muss die Rat e R dicscr aquivalcntcn cwigcn Rente gewiihlt werden (dabei soil die RatenhOhe R sich nicht zwischenzenltch ondeml]

3

132

Rcntcnrcehnung

3.8 Auseinanderfall en von Rate nte nnin und Zinszuschlagtenn in Die bishcrigcn U bcrlcgungen zur Rcntcnrcehnung gingcn von d cr Prarmsse . Rcntcnpcnodc gleich Z inspcriodc" aus, vgl. (3.1.3) und Bern. 3.2.6i). In der Praxis slimmc n jcdoch hfiufigdie U ngen '-00 Rent en und Zinsperiode nichl iiberein . Wirwollcn in den folgendcn bciden U nterkapitcln 3 .8. 1/3.8.2 zunachst nUT die beid en wichtigsten Rille bctrachten (wobei stets vorausgesetzt wtrd, dass die Rm tenperiode ein

ganzzahliges V ieifaches der Zinspenode (oder umgekehrt) LSI):

Fall (I)

(d.h. esgebrmgleichlange Zinspenoden pro Remenperiode, vgl. Abh. 3.8.1)

Rentenpenede grofler als Zinsperi ode (sidle Kap. 3.8. J)

,I

,

u s.

Ra ten/erm i ne

Idhrlich!

I

~~~,

R

R

I

R

R

I

I

Z in SZ IJ s c h l a g f e r m i n e

Abb. 38. f

tdh. es gebepro Zinspetiode m gleichabsliindige Ratentam ine, sieheAbb. 3.8.2)

Zlnspertode gooBer els Rent enp enode

Fall (2)

[siehe Kap. 3.8.2)

,I , ,I I

R

R

R I

I

1

R I

~ Abb. 3.8.2

u e.

Rate nte rm ine

..

viertel/ehrlich}

,I ,I ,I ,I ,I ,I ,I ,I ,I

R I

I

I

R I

R I

R I



R I

I

I Z /nsz us ch la g t e r m / n e

R

R

R

R

~ (z.B phrfkh, ZinssalZ i J

3.8

Auseinanderfallcn von Ratentennin und Zinszuscblagtermin

133

Zicl de r folgenden Uberl egungcn ist es, in heiden Fallen de n R entengcsamtwert mit Hilfe dcr bckannte n kompakten Rentene ndwertfonncl (3.2.5) q'' - 1

Rn ", R · --q:J

(und deren Erweiterungen sowie mit zusanncnen Auf'/Abzinsu ngs vorgangen) enn itt cln zu kon ncn. Wie sich in Kap. 3.2 bci der Herlcit ung dieser Fonnel ergab. gilt die Rentenfonncl (3 .2.5) allerdings nur unter dcr (jelzt gerade nk ht erful/len) Pramisse dcr Uberemstimrnung von Renten - und Zinsperiodc .

Wir werden dah cr im folgendcn die Zinspcnodcntangc so veran dcm , dass - unt er Wah rung der Aquivalenz - wieder nZ insperiode = Rcntcnpc nodc" gilt und somit die Rentenfonnel (3.2 .5) anwcrujbar wird.

3.8.1

Rentenperiode gr08er als Z in speri od e

Z wische n je zwci Raten liegen m glciehlange Zinspcriodcn [Periodenzinssatz ipJ , vgl. Ahh. 3.8.1. Wir wollen das Gru ndprinzip an eincm klcinen Beispiel erlaurcro: Gc suc ht sci der Wert R 3 cine r 3 ~ma]jge n Rente der H d hc R am T ag ihrer letzten Rat e, stchc Abh. Zwischen jc 2 Raten liegen (m "') 4 Zinspcriodcn, Periodenzinssatz 'p'

Bei.~piel :

'""--./"--./"--./"--./"--./"--./"--./"--./ '" ip

ip

ip

ip

ip

ip

ip

ip

Elcmcntarcs Aufzinsen licfert:

Substuutert ma n nun:

(I +i p)4 ", q , so tauter dcr Rentcn endwert:

R 3 = R q 2+Rq +R = R ' (q2+ q + 1),

d.h . wegen (3.2 .3):

qL I R3 ",R · - q- I

Dabci ist q (= (l + ipJ 4) der Effeklivzinsfak lor fur d ie 4 T cilpcriodcn, die zwischen jc zwci Rat en Hcgcn. siehe aueh Dcf . 2.3.11 und Forme! (2 .3.12).

Ganz analog vcrlauft die Uberlegung im allgemeinen Fall, in dem zwische n je 2 Raten ill Zins pcnod cn (jeweils mil dem Penodenzinssatz ipJ liegen: Man fasst namlich da nn die Renlenperiode ats vcrgrouert e neue Zin ~periode auf und ermittelt den zugchorigcn effe ktiven z rnssatz i r pro Renl enperiode naeh (2.3 .10) iiber die Aquivalenzbcziehung (1 + ip)m = 1 + i r

(3 .8 .3)

("',qr)'

Damit hal man wicdcr " Z inspcrl(x1e = Rcntcnpcrlodc". Der Gcsamtwert eincr n-mal igcn Rente am Tag der Ieeren Ra lenmhlung ergibt sich da nn naeh (3.2.5) zu

(3 .8.4)

R,

bzw. wegen (3.8.3):

R,

wobc i man anschlietjend led iglich bcachten muss, dass die zu lJr pa sscrdc neue (lange) Zinsperiode mmal so lang wic die urspr ungtichc (kune) Zinsperiode ist.

3

134

Rcntenrechnung

(3.8.4) tassr stch dirckt anhand von Abb. 3.8. 1 mit Hilfevon Satz 2.2.18 (Aquivalenzprinzip) bcwetscn. Dazu muss lediglich bcacntct worden, dass die crstc Rate bis zum Stichlag (= Tag der tetzun Rale) m -(n - 1) Zins pcriodcn aufzuzinscn ist, die 2. Rate urn m ' (n - 2) Z inspc riodcn usw. Dan n folgt fU r den Rcntcncndwcrt R n:

R n = R _qm(n - l)+ R ·q m(n- 2)+ ... + R _q m+ R

(mit q'= l+ ip)'

Ausklammcm von R sowic d ie Substitution q'" "" q r Iicfcrt: I

q n- 1

2

Rn = R(q/ - +q/- + ... +q + 1) = R · - 'r

-

(wegen (3.2.3» .

q r -)

Dies gcnau isl die Aussagc von (3.8.4).

Belsplel 3.8.5: Gcgeben is! cine 8-maHgc Rente, Ratenhohc 15.000,-- € /Jahr, zahlbar jcwctts am 01 .01., crstmalig am 01 .0 1.06 . Die Zinsen word en vicrtcljahnich (relativ) bci nomincll 8% p.a. zugcschlagen, d.h. cs muss mit i o = 2 % p.Q. gcrcch net werdcn . i) Ges ue ht ist dcr R cntengcsamtwcrt am Tag dcr Ictzte n R atenzah lung. ii ) Dutch wclchcn Bctrag - zahlbar zum 01.10 .06 - kann die gcsarntc Rent e aquivalcnt crsctzt

worden? l .-Osung: tsiehe Abh. 3.8.6)

R

R m

tn

1

I

0101,06

I

R

'"

R

R

'"

R

'"

01

R

'"

R

'"

'f-"

10

01.,0,06 1iiI

13

I

III

Abb 3.8.6

zu i) Neue Zinspcriod e = Rentenpcriod e = 1 J ahr. Dc r zu gchongc Effektivzmsfaktor qr = 1 + i r bctragt naeh (3.8.3): qr = 1 + i r = (1 + 0,02)4 = 1,0824321 6

(ip = 0,02 is' der tatsachlicn pro Vierteljahr angewendete Zinssan t] s s.s ~ R g = 15.0GO ' 1.082.13.. - I 15 .000 ' (1, 02 I = 160.957,92 € .

1-

0,08243..

1,02 - I

Zur Kontrolle folgt das mit 8,243216% p.a. abgcrechnere Vcrglcfchsko nto: Zinscn (8,2.n.. %) Ernie des Jahrcs

Rate (+) am Ende des Jahres

Kontcstand zum

Jahresbcginn

12

0,00 15.000,00 31 .236,48 48 .81 1.37 67.835 ,00 88 .426,79 110.716,00 134.842 .56

0,00 1.236,48 2.574,89 4,023,63 5.59 1,79 7,289 ,21 9 .126,56 11.115,36

15 ,000,00 15.000,00 15.000,00 15,000.00 15 .000 ,00 15 .000 ,00 15 .000,00 15 .000,00

15.000,00 3 1.236,48 48.811.37 67.835 ,00 88.426.79 110.716 ,00 134.842,56 160.957,92

13

160.957,92

Jahr

05 06 07 08 09 10 11

Kontostand zu

Ernie des Jahrcs

(Vergleichskonto fur Beispiel 3.8.5 i))

3.8

135

Auscinandcrfallcn von Ra tcntcnn in und Z inszuschlagtermin zu ii)

Ocr unter i) crmttte nc Bn dwcrt R s muss 6 J ahre + 1 Quartal p .Q.) abgczinsl worden; R · _ 1_ 98.108,82 € .

25 Q uartale (mil j '" 2%

8 1,0225

Bemerkung 3.8.7: Zur Ermiulung der Remenformel (3.8.4) wurde die gegebene Zinsperiode (2ins: ipJ an die m-malso grope Rentenperiode angepassl durch A nwendung des ZI/. ip effeklivrn Z inssatzes i'li

R - ] -- + - --+--

-+

I .~ I ~ I ~ I Renlenpen'ode

=m

Ab b . .3. 8.8

Zinspen'oden

Dasselhe Resuttat erzieh man Jurch Ermittlung einer sag. " konf ormen Emuzrate" , , m-mal zu

zahlen in jeder Remenperiode; unJ zwarjeweils zum Ende einerjeden Zinspaiode:

r

r

III

-]

l

r

121

r

fm-1)

131

+--------+--a;;, "-'v R

~ ~

~

1 Zinsper

1 Renlenperiode

r

Iml

=m

Zinspen'oden

Abb. 3.8.9

Die m Ersatzmten , pro Remenp eriode mu.ssen dabei so gcwiihlt werden, doss sit ZI/. der Ialsiichlich gezahlun Rate R iiquivalent sind, wobei R mit der lenten der m Ersatzraten zeitucn zusammenfiillt, vgl. Abb. 3.8.9. Daher muss -mil a » 1 + ip - gdten: (3.8.10)

, i.~p iel :

Zin spcriod c = 1 J ah r, Ratenpcriod c = I Quartal, siche nachfolgcndc A bh . 3.8.19 /3.8.20:

f-- -

, - - '-1 I I If-------+--+---''---+-I- - - + - -+---'--+--+-I

-

--I --

-L.. ,

ZinsperiQ(/e

R

R

R

R

Zinsperiode

1

[R

R

R

j

lin

fin

~-

®

= 4/?-( 1+ /

~51

R

I .. · .. ..

L~l

®

Abb, 3.8. 19

Bci der Bcrcc hnun g von R · untcrsc hcidct man . nachschussfgc inncrpcnodischc Zahlungcn " (wenn die erste Rate R der emen Zinspaiode, wie in Abb. 3.8.19, am Emil' der mten Teilperiode feillig ist} und ~ vcrscbusstge inncrpcnodische Zahhmgen" [wenn die erste Rate der ersten Ztnsperiodezu Beginn atese Zinspen ode fallig ist, wie awa in Ahb. 3.8.20) .

-L.. Zinsperiode Zinsperiode , -1 f, I --l I :t=~:::'::::';==~:t==;=~~:::;I-

.... [ R

R

lin.

R'

R

R

I

' --

= 4R-( f + / 2,5/ 4

R

1 [

R

R

L-

R

_

lin.

R'

Abb. 3 8_20

R'

Bci insgesamt m innerperiodisc bcn Rarcn R erhalten wir nach linearer Au fzinsung und Summcnbildung fur d ie aq uh'a1ente Ersatzrate R· [siehe Kup. 1.2.3 und don insbesondere Bem. 1.2.63): Sarz 3.8.21: Die Zinsperiode (Zinssatz i) sei in m gleichlange Intcrvalle aufgetd lt, injedem Interval! liege genau cine Rate R. inncrhalb der Z inspcriod e sollen keine Zinsverrechnungstcrmine liegen. Dan n crgibt sieh fur die aquivalente Ersa tzrate R· am Ende dcr Zinspcriode (bei linearer Veninsung innerhalb de' Zinspaiode, Paiodenzinssatz i) I) bc i m nach.'iChil.o;sigen inncrpcriodisehen Raton dcr Ho lte R

(3.8.22)

R· "" m-R · (I + i · ~~ I )

(ygl. (1.2.64) sowie Abb. 3.8.19),

ii) bel m ,·orschil.\.o;igen innerpcriodischcn Raten dcr Hohe R

(3.8.23)

R· :: m · R · (1 + i·

~~ 1)

(vgl. (J.2.65) sowte A bo. 3.S.20).

3

142

Rcntenrcchnung

Bemerkung 3.8.2 4: i) Die Ermiulung der Ersaurate R* erfofgt am einfachsten mit der Methode des mittleren Zah/ungstern/ins, vgJ. Kap. 1.2.3, Bsp. 1.2.62, Bern. 1.2.63, zwnaf dann, wenn die Raten nicht so gleich-

miifiig liegen wiein Ahb. 3.8. /9/20 und somit Satz 3.8.2 1 nicht anwendbar ist. ii) Man kann Satz 3.8.2 1 durch Verwendung des mittleren Zahlungstermins beweisen: Da dieser bei linearer Ven insung stetsgenau in derMutezwischen ersterund m-ier Rate liegt, muss die aqui lla /en-

te Gesam tzahlung m . R hei nachschussigen Raten noch

m - J.

2

..!... m

(=

Zin sperioden

m -1 )

2m

linear aujgezinst werden, bei vorschussigen Rotenurn .!.... Zinspenode langer, d.h. m

aden. Genau dies lieien un/a Venvendung de, linearen ZinsfonneJ Setz 3.8.21 .

m

+ 1Zinsperi-

2m

Beispiel ~.8. 25: Ein Sparer zahlt i) zum E ndc ii) zum Anfang cines jcde n Monals (beginnend im Janua r 20 05) 500,-- € auf cin Konto cin, i = 12% p.a., Zin szuschlag jcwctls am Jahrcsendc, innerhalb des Jahrcs lincare Vcrzinsung. Man crmittlc den Konrostand zum E ndc des Jahres 2007. LOsun g: i)

Es handelt sich urn nachsc hiissige untcrjahrige Raten. Daher lautct die (nachschiissige) Ersatzrate R- nach (3.8.22) R* = 12 ' 500 ' (1 +

~~ ' 0, 1 2) =

6.330,00 € I Jahr

(erstmaligzum3J.12.05).

Insgcsamt gibt cs drci Ersatzratcn, dcren Gesamt wcrt am 31.12.07 laueet: q3 _ 1

Kq7 = R* ' q-:-i' = 6.330,00'

1,123 - 1 0,12 = 21.35 9,95 € ;

ii) Die E rsatzrate R * tauter nach (3.8.2 3), da vorschOssigc

R* = d.h .

1 2 ' 500 ' (1 + ~~ ' 0, 1 2)

= 6.390,OO€/ Ja hr

I 123 - I

Kq7 = 6.390,00 ' '0 12

uorcrjat mge Raton vorliegcn:

= 21.562,42

terstmatig zum Ll.l Ltti],

€.

FOrdiescn Fall (36 vorschussigeMonatsralen) sei 0 1

IrKnl

Zinst man in (3.9.11) den Endwen K'l fur n Jahre ab, so ergibt sich fur den Barwen I Iahr vor aer ersten Renun-Rate: d 1 q 1I d Ko = K . .!.... = ( R . _ _ ) . rf - . .!.... _ ~ ..!.... = ( R +-.!!...-) .1 - n

rf

q -J

q-l

et

q- l

et

q -J

q- 1

q -1

rf

Lasst man jetzt die Anzahl n der Ralen uberalle Grenzen wachsen (n - 0>0), so streben in der letuen Gleichung (wegen q > I) die Terme q -II und I"i gegen Null 12, und wir erhalten ats Barwen Ko- der q ewigen arithmetisch verandedichenRente d )1 _q-n d = lim R.n _ OO ( q_/ q _1 q_1 q-1 q - 1 rf

(R.-,,-) ,_I

d.h. (3.9. 16)

K/ ": Barwert der ewigen urlthmetisch

R

d

q -1 + (q- I F

R: d: q:

12 siche z.B. ITie3),SA-14f

verUnderUchcn Rerue eine Ztnsperiode vor der 1. Rale erste Rale Dilferen:: =weier uufeinunder fo/gender Ralen Perioden-Zi,lS/aklor ( K 1 +i)

3.9

155

Renten mit vcrandcrlichcn Rat en Beispiel: i) Erste Rate: 10.000£;

K/ "

jiihr/iehe Steigerung 1.OOO€;

10.000 1000 = --, -( )2 = 0,1 0,1

i = 10% p.a.

100.000 + 100.000 = 200.000€

(d.h. von einem Stankapual in Hohe von 200.000£ kann man - tei 10% p .a. und beginnend naeh einem lahr - beliebig lange eine jiihrlich um 1.000E zunehmmde Rente (1. Rale: 10.00DE)

beziehen.] ji) A lles wie in i), nur solf jml die - mil 1V.000E beginnende - Rate jahrlieh um 1.000€" a bnenmen: 10.000

-/000

Ko"" = - - ' - ( )2 = 100.000 - UJO.OOO = 0 (!) 0,1 0,1

Dieses auf den mien Blick elWas merkwiirdige Ra ulun besagt: Von einem lmen(!) Komo (10% p.a.) kann man in aouivalenter Weise - beginnend m illO.OOO€" naeh einem l ahr - brliebig viele Ralen "abheben", die allerdings von l ahr zu l ahr um 1.000€" sinkm. Erklarn ng: Da bereits die 12. Rate negaliv wird, bestehen von da an die "A bhebungen" aus Einzahlungen (lUfs Kanto, und zwar jiihrlil:h um ].000£ zunehmend. 1m Grenzf all n -- "" heben sichAhhehungen und EinzahIWJKen - wegen dcr Berucksichtigung von 10% p. a. Zinsen - genau auf.

3.9.2

Geometrisch vera nderliche Renten

3.9.2.1 Gru ndlagen Wic schon in der Einfcitung des Kap. 3.9 ausgcfiihrt, vcrstcht man umer elner geomeut sch verandertlchen Rente cine Zahlungsrcihc R I , Rz' ..., Rn, fur deren Elcmcnte Rt gilt:

(3.9.17)

(I = 2, ..., n ; e = const. (> 0) )

oder

in Won en:

Bei dner geomcmsch verandcrltchen Rente crgibt slch jcJe wcitcre Race R t aus der vorhcrgehcndcn Rate R t _ l dutch Multiplikation mit dcr Konstanten c (>0) , die Za hlungcn R l , R l .c, R l e 2, ... bilden cine geometrische Folge.

oder:

Ocr Quotient c = ~ zweicr aufcinander folgcnder Zahlungen cincr gcometriseh vet-

R H

andcrlichcn Rente ist konstant (c = 1 +id;v. wird auch als " Dynam ik. Faktor" bezeichnet], Beispiele: e = J,03 ~ Rate erhOhl siehjiihrlieh um i d}"/t = 3%; c = 2 ~ Rate verdop peu sieh jiihrlieh; e = 0,85 ~ Rate sink t jiihrlieh um 15% (i d}.. = -J 5% p.a.) usw.

Die Zah!ung......truk tur elner grometrisch veriinderlichen Rente lautet also (mil R1 = R) : (~ RJ)

R

I

IldSr.

0'

.
c t aw. i > id}."J

R.. c:

q..

:

Barwert aer ewigen geometriscll vertInder/ichen Rente eine Zirnperiode VOl" der I. Rate ersie Rate Quotient zweier aufeinander fa/gender Raten (c ~ I+idynl Perioden-Zinsfakto- ( = 1 +i)

Beispiel: jiihrliche Steigerung um idy" = 6%, d.h. c '" 1,06; i '" 10% p.a. 24.000 ~ K o '" '" 600.000£, 1,1-1,06 d.h. von einem Slartkapilal in Hone von 600.000£ kann man - beginnend nach einem Jahr und bei 10% p.a. - betiebig langeeinejiihrlich um 6% steigende Rente (1. Rate: 24.000£) baichen.

i) Erste Rate: 24.000€ ;

oo

ii) Alles wie in i), nur soll jelzl die - mil 24.000£ beginnende - Rate jiihrfich um 6%£ abnehmen, d.n. es gilt c = 0,94: ~

oo

Ko =

24.000 = 150.000£, 1,1 0,94

d.h. jetzi henijtigl man ledig/ich ein Startkapitul ill Hone VOII 150.000£, um - beginnend nadv einem Jahr und hri 10% p.a. - »unendlich ofI" eine jiihrlich um 6% abnehmende (alladings stets posi/ivel) Rmte (1. Rate: 24.000£) beziehen zu konnen.

3.9.2.2 Geometrisch steigende Rente n - Kompensation von Prelsstelgerungen Geomctrisch stetgendc Renten worden insbesondere dan n verwcndct, wcn n es darum geht, zukiinftige Prelsstelgeru ngen vorwegaunchmen bzw. aufzufangcn: So ko nnte man ctwa daran dcnkcn, bci cinem

Sparvertrag odor einem Lcbensvcrslcherungsvertrag von vomehe rcin cine jahrhche Steigerung dcr Sparraten/ Priimien urn die voraussichtliche Prctssteigerungsratc (doh. Dynamik-Rate gleicn Infl ationsrate) zu vercinbarcn, damit in jcdcm Jahr die He be der Einzahlu ng/P ramic den glciehen . Realwene, ctwa bczogen auf den Startzcitpunkt des Ventages, darstellt. 13 siehcctwa [Tic3], Kap. U , (4.2. 11)

3

160

Rentcnrcchnung

In Kap. 2.4 tinsbesondere Kap. 2.4. 2) habcn wir bereits die G rundziigc dcr Bchamllung zuku nftigcr (oder auch vergangener] Zahlungcn unt er Bcriicks ichligung vo n Verzinsung und Inflation bchandelt und insbesond ere fcstgcstcllt (siehe (2.4.9) und (2.4.10) bzw. (2.4.14)): Dc r (auf den Bezugspunkt I = 0 inflationsberrinigte) Realwert Kn,oeines (sptilrren) Kapitats K n, das n J ahre nach I = 0 falliglvorhand cn isl, cr gibt sich unt er Beruck slchngung dcr dur chschnilllichcn jahrlichen l nflat ionsrate iinf1 (Influtjomfa klor q injl = J +i;n,J zu

K.

K",o =

(3.9.32)

( I + iinn)"

=

K. q~n

Beispiel 3.9.33:

Bet du rchs chnittfic h 3% p.a. Prcisstcigerung hat cin Kapital in Hchc von 500 .000 € , zahlbar E ndc 22, bczogcn auf den Zc itpunkt Endc 09 cinen Realwcrt K22,09 in Hohc von KZ2 500.000 -,-, = - -,,- = 340 .475,67 0£ 1,03 1,03

K 22 09 = -

,

d.h, in 22 kann man fur dan n 500,0000£ nur einen Warcnk orb kaufcn wie in 09 fur 340 .475,67 O£ .

Wird nun das Endkapital K n (im letuen Bri.\pid : 500.000€) dur ch Ans pa ren ciner (z.B. geometrisch steigmden] Ren te erzielt, vcrfahrt man analog: Beispiel 3.9.34:

Ein Anl egcr za hlt die erste Rate (:0 30.000€ ) ciner j ahrllc h urn 5% steige ndcn Rent e am 01.01.10.

Insgcsarnt werde n 13 Raren eingezahlt (die tetue Rule tst also am 01.01.22 [MUg) , Zins satz 7% p.a.

Ocsucht ist - bel durchschnittlich 2% I ve- Prcissteigcrung - der Rcalwert des sich am T ag der lctz ten E inzahlung ergchcnden Rcntcn-E ndwcrtcs bczo gcn auf den Tag der 1. Einzahlung (01.01./0) . Mit dem Dynamik-Faktor e = 1,05 und dem Zinsfaktor q = 1,07 lautet der verfugbarc Kontostaod Kn am T ag der letztcn Rate naeh (3 .9.24) Kn

qn_ cn

= R · -q-_-,- == 30.000 '

1 0713 _ 10513

.1 07 _ 1'05

= 786.293,79 0£

(Nominulwert 0/. 01.22) .

Dlcscr Bctrag muss noch inflat ionshc rcinigt worden hzgl. des 01.01.10 (liegl 12 (f) Jahre vor aem Endwett- Termin 01.01.22), d.h . nac h (3.9.32 ) gilt

K

o Kll, 1 -- - 1,0212-

71>6.293,79 1,02

12

= 619.98 7,28 0£.

(Rralwrrt bzgf. 01.01./0).

Zum Vcrglcich: E ine 13malige Rente mit der konstamen Ratcnh ohc 30.000 € /Jahr fuhrt auf cinen Endkontostan d von Kn = 604.219,29 0£, was inllationshe reinigt 476.4 22,7 8 of entsprtcht. Es liegt also nahe, die Inllation bzw. Gcld entwertung bei Raten zahlu ngen dadurch zu kompcnsieren, dass ma n cine jcdc Renton-Rare gegeniiber dcr vorhcrgchcnd c n Rate urn einen fcst en Prc zcntsatz idyn, erwa die mitt lere Prosstclgcrungsratc iinfl (Inflalionsrate) , crho ht (n dynamischr Rente" mit Inflationsausgleich). Auf diesc w cise kann man spatc r cntwedcr tibe r ein angcmessenes inflationsbcrcinigtes Rcalkapital vcrfugcn od er aueh nur dcr E rwartung Rcch nung tragen , dass man in spat eren Jahren leislungsfahigcr in Bczug auf die Sparrat enhOhe ist als zu fruhcrcn Zeitcn. Wenn aber die H ohc clncr Renton-Rate J ahr fur Jahr urn den sclbcn Prozent sat z stcigt, handelt es sich urn den ebe n be handelten klassisehen Fall der gcometriseh steigenden (ndynamischen") Rente.

3.9

161

Rcnt cn mit vcrandc rnchcn Raten

Bei\pi el 3.9.35: H uber spart - beginnend mit einer crstcn Rate in Hohe vo n 20.000 € am OJ.0 1.05 - insgesamt 9 Rate n an, Kalku lationszinssatz 8% p.a. Die Folgeraten stelgen jahrlich urn 2% (= durchschninliche l nfl ationsrote} gcgenfibcr der Vorjahresrare. Hu be r moc ht c geme w issen , fiber welches Rcalkapital - bczogcn auf den T ag der crstcn Sparrate -' cr am Tag dcr let zten Sparrate verfiigt .

IT€I

01.01.05

20 I

I (t: ~l ,02)

20,

202

20~3

I

I

I

p,

("

20c7

("

01.01.13

20eS

I

I

(8)

(9)

I

I K.

Mit (3.9.24) erhalten wir rnr den Konto-Bndsrand K I3 (= KrJ: qn_ r:" 1.089 _ 1,029 Ku = K13 = R · ~ '" 20.000 ' 1,08 -1 ,02 267.970,69€.

M it (3 .9.32) rcsulticrt da raus der (auf den 01.01 .05 bezogene) Rcalwcrt K." I = K13.05 zu I

K13.05 = Kn · - - 8 1,02 (zum Vergleich:

'"

228 .710,40 €

Renlenendwert Rn ohne nDynam ik ":

R n = 20 .000 '

J,~~:;l

= 249.75/,/6€.

inf lationsbereinigl auf den 01.0/ .05: 2/3./60,21 €.

Bemerkung 3.9.36: GeJegenllk h lasst m an - aus [ormalen Grunden - eine geomeuisch veranderliche Rente, DynamikfaklOr c ( '" 1 +i d}J , stall mit " R " mit " R -c" beginnen. A ile bishengen Formeln lassen sich auch dann komp fell wetter verwenden, wenn ma n stan .e : nun mehr " R -c " seat.

A bsc hlieBcnd soli die Viclzah l der mogtichcn Beziehungen und Sondcrfalle bei geometnsch vcra ndc rlichen Renten mit/o hne I nflatio nsausgleich sowie unte r Beruck siduigung der letuen Bemerk ung 3.9.36 ubcrstchtttch und zusammcntasscrd dargestcnt worden:

3.9.2.3 Zusammenfassu ng (geometrisch veranaenicne R enten ) voraussenungem

A ile Raten worden jahrfich gczahlt, Z insperiod e = Rcntcnpcriodc = 1 Jahr q '" 1 +i c '" 1 +!d)"l

Z insfaktor Dyna,?ik-Faktor

Inflations-Faktor

qinn = 1+l inn

Zahlungsstr ukt ur dcr gcometrisch verandcrhchcn Rente;

fo il b]

Follal

R R c

I

I

j

'"I

iiil

iiI

R· c R· c2 I

tn

IKo I,e 0

)

R' c2

R c' I

R -c"..3 f? cn-2 (1)'21

Abb. 3.9.37

Fall b) R ] e R vc

Falla) R ] = R

I

'"

jcweils p.a.

R- c"..2 R· Cn-1 I 11>' 1)

R·c"..1 R' c n I

'"'

IKn

II

(Zeil)

3

162

Rent cnrechnun g

Mit (3.9.24) folge n darau s die Gesemtwerte tier geomelri s ch veran derncben Rent e, bcs tchcnd au s n Raten, zu den verschtcdceenStichtagcn i), ii], iii) {sieheAbb. 3.9.37) f Or q c [d.h. i idy,,):

*

'*'

I R , '" Rc I

(s. Bern. 3.9.36)

Fall a)

Fall b)

i) EnJwert K n am Tag cler lrlZ/en Rale

i) Endwcrt Kn am Tag de r leu ten Rale q" - c"

R, · - -

13.9.381

q- ,

=

'---

---'

f3.9 24) L

ii) Barwcrt ~ am Tag dcr mien Rate Kn lq ll -l)

ii) Barwcrt ~ am T ag de r ersten Rate

r-

(= Kll lqn . J)

q "

co- 1 ( c) -I R qn_c" K; = R - · - - = _ . (3.9.39)

9_1

q"-I

q' "!

c

Mit dcr AbkOrzung

qn _ I I K; = R ·-_ _ . _ , q I qn-

q'''' t

-------!

q- c

q "

c n- l ( c)-1

,

KQ =Rc -

qn- l

13.9.40/

v

iii) Barwert Ko ein Jahr vor der ersten Rate (= Kn lq ll)

iii)

~

= Rc ·-_-

q -I

Barwcrt

9 _1

q''

c

Mil dcr A hkOrzun g q

R q " _1

q ,= c

1

Ko =C ' q_l "qn

·-

Rc

q" - c"

qn-I

q-c

= _._-

c

lin _ I

q'''' t

folgt

I

q"-I

Ko ein Jahr vor der ersten Rare

(= Kn /q n)

q "

C"- l ( ;:) - 1 R K, =R - · - = _ ._q''

-

9 _1

Mit dcr Abkiirzung

folgt

q- ,

·-

c -I ," (qJ"

R,

9, c

q"

/3.9.4 11 K, = R- . _ - =

q"

Mit der AbkOrzung q ''''

folgt

/3.9.421

qn _I

,

q

c

qn _ c"

q-,

folgt

K, " R ·-_ _ .q_I

qn

Wic in (3.9.31) schon da rgclcgt. cxistiert fur <J > C auch dcr Barwert Kn"" der ewigen gecmet nsc h veriinderlichen Rent e. FOr den Stichtag ii i) gilt

R

~ "" = q - -,

SONDERF.·fL LE: c = q

/3. 9.43)

Rc

~ "" = -q - '

(d.h. Dynamikf aktar J +id}.,,=Z insfa ktor J +i , siehe Bemerkung 3. 9.2 5)

i)

Kn "' n ' Rqn- l

/3.9.44)

i)

Kn "' n-Rqn

ii )

~"' n- R

/3. 9.45)

ii)

~ '" nRq

iii)

Kn "'n- R '!q

/3.9.46)

iii)

Kn '" n ·R

3.9

Re nton mit verandcrlichcn Rat en

163

Werde n die Endwerte Kn inllationsbereinigt (mit Hilfe von (3.9.3 2)) , so ergcben sich aus den Rontenendwerten die nachfulge ndcn Realwert e (dahei haben wir ots Bezugslerminfu rdie Inflationsberei-

nigung zum einen den Tag aer erslen Rate sowie undererseus ein Jahr vor der ersten Ralegewii hlt.) Die Gr undid cc fOr die Realwert cnnittlun g ergibt sich aus (3.9.32): Kn

Kn,o '" (I + ii nfl)n =:

(3.9.47) =: (3.9.3 2)

r

Kn

inn

(sof em der Bezugstermin f ur die lnjlationsbereinigung n Jahre vor der Fiilligkeil von K" liegt)

Dann crgibt sich aus den obigcn Bezieh ungen (3.9 .38) bzw. (3 .9.44) fur d ie belden Falle a) und b):

Fall a)

Fall b)

( I ) Inflationsbe reinigter Rcalwert

KI~ 1

des Rentenendwerts K o, bewgen auf den T ag dcr mIen Rale:

13. 9.48/

0"

Kn r -~R · n-I · q;nfl

(q

* c)

* c)

(q

1m Kompcnsationsfall e = q inn (d.h. Dynamikfaktor '" lnfla /ionsfa ktor) ussr sich in dcr letz ten Fo rrnd zunachst der crste Bruch kurzcn . Verwendet man weit erhin f ur pragnante Beziehungen :

" ·1 R . qreal qreaJ- I (q;njl

q

c'"

q

qinfl

die AbkOrzung qreal (siehe (2.4.15» , so crgcben sieh

13. 9. 49/

c)

Kil,l =

" -1 Re ' qreal qreal - I

(q;njl

c)

dh. dcr reate Rentenendwert Kn 1 der geomelrisch vetiindcriichen Rente mil " Dynamikrate = lnflauonsrate" ist ideruiscn mit dem 'nominel/en Renlenendwert der . runm alen" Rente (RUlenhohe = R = l. Rate der dyn. Rente), allerdings aufgezinst mit dem reaten Zinsfak tor q"al' Stimmen zusiitzlich Kalkulationszinssatz i und Inf'l at ionsrate iinfl (= idynJ ubcrcm, so ergibt sich qreal = I, so dass d ie belde n lctz tcn Formcln nicht anwcnd ba r sind . Vielmehr resumen aus (3.9.44) unmittclbar durch Inflati onsbcrcinigende ~ Abzl nsu ng~ mit q~:~ = qn- J :

I Kll,I =:n ' R (qi'if/

c

13.9 50/

q)

t Kil,l '" n ·Rc

(q;nfl

c

I

q)

(2) Die inflations bcrci nigten Rcalwcrte Kil,Oder Rentcncndwe rte Kw bczogc n auf I Jahr vor der ersten RUle crgcbcn sich unmittclbar aus den lctztcn Forrncln (3. 9.48) . (3.9.5 0), indem ma n lediglich 1 J ahr langer mit dem Inflationsfaktor M abzi ns t ~. So crgibt sich bcispielsweise fur den Kompcnsanonsfall (d.h. Dynumikrote = lnflanonsrate} aus (3 .9.49) Kil,O'"

R

"

qreal - I c . qreal - 1

(q;njl

oj

13.9.5 f/

Kil,O = (qinjl

" -l R · qreal qreal - 1

0)

3

164 Bei~pi el

Rentcnrechnung

3.9.52 :

E inc Re nte soll dynamisch anges part worden, erste Rat e z urn 01.0 1.07. J cde Rate soli so gcwahlt werden, dass ihr inflatio nsbcremigter Realwcrt - bczogc n auf den 01.01.06 td.h. 1 Jahr vor der mIen Rate) - einem Rcalwcrt in Hohe von 50.000 € cntspricht, durchsc hnittlichc Infl ationsratc Ocr Kalkulatio nszinssat z bctragt 9 % r -e. 3,5 %

r-e.

I) Uber welchcn inflationsbcrcinigtcn Rcalwcrt - bczogen auf den 0 1.0 1.06 - venugt der Sparer

am Tagdcr 20. und 1etztcn Ratenzahlung? Losung:

Die erste Ralt he/ragt 50.000 ·1 ,035 '" 51. 750£ ( ~ Rea/wert '" 50.000f), j rde weuere RaIl' erg/hI sich durch M ultipJik atian der vorhergehenden RaIl' mil C = 1,035.

Da der Bezugstermin fur die Reaiwenermatlungein Jahr vor de! mien Rale Uegt, konnen wir Ba iehung (3.9.5 /b) mit R '" 50.000 (oder (3.9.51a) mil R "" 51.750) an wenden: Mit q ",al "" 1,0911,035 "" 1,053140097 erholtea wir aus (3.9.5 1 alb ) KIl,O "" R

q~eal

- 1

qreal - 1

20

"" 50.000. 1,053.. - 1 = 1.709.241,96€ 0,053..

(Rea/wen) .

Ausfiihrlich: Der nominate Remenendwen KII ergibt sich nach (3.9.24) zu

K" "" 51.750'

1,09 20 _ 1,035 20 1,(}9 - 1,035

= 3.401.03 0,61 €

(Nom inalwen).

Es schliejjl sich nun die lnflationsbereinigung an: KII muss mil dem l nf lationsf akuor 1,035 urn 20/ahre »abga insl" tdiskoruien] werdm:

K",o "" 3 .401.030,61 · 1,03r

20

"" 1.70 9.241 ,96€ "" Realwert (s.o.)

ii) Wic hoch musstc d ie crstc Rate ausfallen, damit sich nach 15 Einza hlungen ein inflat io nsbe-

reinigtcr Rcalwert (in Bezug auf den Tag der mien Rail') in H ohc von 1 Mio €: ergibt?

Ocr Dynamikfaktor soli mit der c rwan ctcn durchsch nitt lichcn Inflat ionsratc (2,7% p.a.) iibcrcinstimmcn . Losung:

Mil (3.9.49a) haben wir

1.000.000 "" Kll, l = R

q;eal - 1 qreal - 1

Weilerhin gilt: q",al = 1,0911,027 = 1,06134372 ~

1.000.000 "" R ·

1,06 1..15 -1 0,061 ..

~

R = 42.524,94 € .

Ausfuhrfich: Nominata Remenend wen KIl nuch (3.9.2 4) : I 09 15 - 1 027 15 KIl "" R · ' , = R '34,/462091I 1,09 - 1,02 7

Dieser Wen muss noch 14 Jahre (d a Bezugseermin = Tag der 1. Rale) mil der l nflatiomrale 2,7% p.a. " abgezinsl" wcrden, urn den Realwen ,,1 Mia" zu liefern: R '3 4,14620921 . 1,027 - 14 = 1.000.000 ~

R

= 42.5 24.9 4€ (s.o.)

3.9

Renten mit vera nderlichen Ra ten

165

3.9.3 Unterja hrig zahlbare verandertl che Renten Da Renten haufig nieht jahrlich, sondem in kurzcr cn Zeitabstandcn gczahlt werden tz.B. monatlich oder vieneljahrlich) , erhcbt sich die Frage, wie man in solchen Fallen mil Raten-Stcigerungen umgcht. Wir wollen die belden wichtigslen (und rypischen) Faile (A una B) cxemplariseh bchandcln: (A)

Die untcrjahrig gcza hltcn Raton r scicn innerhalb riner jeden Jahres k anstant, erhohen sich aber in jed em Folgejahrdure h Mult ipllkation mit dcm Dynamik-Faktor c ( = J +idyn) : 1 >m,

-I

t-;-Q

Abb. 4.2.42

122.63 bhreJ

A bb. 4.2 .42 dcmonstriert am Beispiel dcr vorgc gebcnen Kreditkonditlonen, dass nac h Ablauf von 50 % der Gcsa mllaufzeit erst 2 1,7% der Schuld gcti lgt sind . Andcrerseit s tritt cine 50%i!,'C Krcdittilgung erst nach 75,9% de r Gcsa mtlaufzeit ctn.

Zur Enniltlung einer allgemeinen Bezichung zwischen Laufzeit und Restschuld (allgem eine Restschuldjunktion) fur bclicbige Kombinationcn von Ztnss etz i und Tilgungssatz

ir gehcn wir wic folgt vor:

Gcgcbcn sci cin Ann uilatenkredil (Zimperiode '" Za htperiode '" / Jahr) 9 mit folgendcn Merkmalcn.

Ko:

Kreditsumm e Zinssatz (pro Periode) Tilgungssatz (zuzuglich ersparte Zinsen) konstante Annultat mit A '" Ko ' (i+ iT) Zusatzlich dcfinieren wir ftl r unscrc Zweckc: i: iT: A:

~

n: m:

K.,,:

Gesamt laufzcit (in Penodeni bis zur vollstandigcn Tilgung Tcillaufzcit (in Perioden, 0 s m s n) Rcstschuld nach m Penodcn

nach m Periodcn (d.h. Restschuld in Prozem der Kreditsumm e)

k:

Rcstschuldverhalt nis

I;

Laufzcitvcrhaltnis ~ nach m Periodcn (d.h. Teillauf zeu in Prozem de, Gesamtlaufzeit)

Die gcsuchtc allgemeine Restschuldfunk tion k: k '" f(t) gibt defininitio nsgcmals zu jedcm Laufzeitverhaltn is I (% de, Gesamtlaufzeit) das zugcordncte Rcstschukfvcrhalt nis k (% der Kreditsumme) an. qm _ 1

Ko'qm -A- -

Zunachst crgibt sich nach (4.2.16) fur die Rcstschuld (nach m ( $ n) Penoden Tei/lauf zeiL) Wcgen A '" Ko(i+iT) Iicfert Division durch

-

, -I

Ko: ;

In( .,..-(I-k) + I)

Autlosen d icscr Gleichungnach m licfert (m it q - 1 '" i):

m = -

'T

--'--- In (I +i)

-

9 Die nachfolgcndcn Il bc ncgu ogcn gcucn analo g fur kurze re ZillS-IZahlpcriodcn . Dabci sind ledig lich ZiIlS- und T ilgu ngssatz, Laufzeiten sowie A nnuitatcn auf die jcwcils gcnc nde Periode zu beziehen.

4.2

Tilgungsarten (Allllui/ii/emilgullg)

197 ; In{1+ -:-) 'T

FUT die Gcsarntlaufzclt n gill nun nach (4.2.38):

In ( l +i)

Die seitenwctsc Division de r heide n letzten G leichungcn liefert wegcn ~ = t ;

m

t = -

n

I n ( ':'"" ( I ~ k) +

=

'T

In (I +i)

I)

(s.o.)

;

[n (.,....(l -k)+ I)

In (I +i)

'T

d.h.

; In( l + -:-)

In ( I + .)...)

'T

(.)

'T

Les t man die G leichung (*) nach k auf tLogarithmensinze (2. 1.13) beaduenl}, so tolgt schlicjtlich die Darslellung k = k(l) de r gcwunschrcn Bcziehung zwischen Laufzcitanrcil lund Reslsehuldantcil k:

;T ( (1 + -:-) ; t - 1) k = k(t) = 1 - -;-

(4.2.4 3)

,

'T

Res tschutdvertaun-Funkue n elnes (0 S / S 1)

An n uitlilen krediL~

i: Z tnssatz

k: Rcstschuldanteil I: Laufzcila nteil

iT: T ilgungssatz

Beisp iel: Gesucm is/ der Restschuldanteii k eines An nuitatenkredus nach del Hiilfte der Gesamtlauf u i/, d.h. I = 0,5. Kreait-Kona uionen: Zinss atz: i = 12% p.a .; A nf angstilgung: i r = 1 % p.a. Mit (4.2.43) folgt:

O,OI ( 012 0,5 ) k = 1 - 0,12 (l +~) - 1 = 0,783 = 78,3% , d.h.

nach 50% der Gesamtl auizeit betragt die Reslschuld noch 78,3 % der Kreditsum me, siene A hb. 4.2.42 Die folgendc Abbildung 4.2.44 zeigt cxcmplarisch die ResL~chuld\'Crlaure k(t) fur Ann uita tenkredite mil idcntischcr Kredits umme ( = 100) und Annuitat ( = 13) , aber untersehicd lichcm Verhaltnis von Zins satz i zu Tilgungssatz iT (sle/s aber gilt: i + i r = 0,13 !):

If}

f$chuldanteil, i = 1:/.9'1, . f IReS ~ der Kredif$UmmeJj

r-~"":::::::::--''--_

10() •

kif}

so .

10.

Resf$chu/dfunkfionen kll) fOr Annuildfenkredile mit i +i, =0,13

+-+--- -+--------",100 '1, 10 . so .

IK,ediHoufzeil, in % der GesomHaufzeil) If}

Man sicht: Die "ReslschuIJ kUlVcn" (Abb. 4.2.44) sind oes te sta rker naeh "rcchts eben" gekrOmmt, [e grOBer im ers ten Jahr dCTZinsantcil im Verglcich zum Tilgungsa nteil iSI. Die Rcstschuldkurve tst linear fur i = 0% p.a. oder wenn es sich urn Ralenlilgung handclt.

4 Tilgungsrechnung

198

4.2.5.3

Exkurs: Annu itatenkredit e mit Disagio

Ha ufig wird - vor allem bel Hypotbekarkrediten - neben dem Krcditzins noch cine (einmalige) Kredn(Disagw, Damnum, Abge/d ) zu Beginn dcr Krcditlaufzeit vom Schuldner vcrlangt

~bilhr

Dicses Disagio wird ObHchcrn'Cise in Prozent von dcr Darlchensschuld (d.h. der Kreausumme K o) angcgebcn und mit der Krcditsumme ~ zu Beginn der Laufzeit verrcchnct. So bewirkt etwa im Beispiel 4.2.36 (K o = 200.000, -- € ) cin Disagio von z.B. 7%, dass der Krcditnchmcr cine Allw.ahlung von nur 93% der Kreditsumme, d.h. 186.000,-- € erhalt. Gleichwohl hat sich damit d ie zu vcrzinsend e und zu tilgcndc Darlehcnsschuld nich t vcrmindert, sic be tragt nach wie vor 200.000,- - € (= Ko)' DUTch Vcrcinbarung cines Disagios andcrt sich dah er am Til gungsplan des Kreditkontos (siehe Tab. 4.2.39/40 oder 4.2.41) kcine cinzigc Zcile! Er st bet Bctrachtung der Effektivverzinsung spielt die H ohc des Disagios cine wcsentlie he Rolle (im Sinne einer Verteuemng des Kredits), sichc coo Kap. 5 .2.

Bemerkung 4.2.45:

(Basis-Konduionen einesAm/fliJiitenkredits - Kurt/arm)

Hdufig wenlen die Basis -Konditlonen eines Annuitiilenkredils in Kurt/arm angegehen, z.B. 96 / 711 . Ubersetzung: Auszahlung: 96% (d.h. Disagio 4 %); Zin ssatz: 7% p .o.; Anf angstilgung: 1% p.a., d.h. die Annuilal belragl8% der unprun glichen Kreditsumme} Ko . Wird ein Krcd it nur unrcr Einhaltun g eines Disagios vergcbcn, so muss die Kreditsumme gcwahlt werd en, dass nach Abzug des Disagios die gcwonschte Summ e ausgeza hlt wird:

Ko so hoch

4,2.46: Ein Annuitatenkrcdlt mit den Konditionen 96 /8/1 soli zu ciner rea len Mittclbcrcitstellung (nach Einbehattendes Diragios) von 240 .000 ,-- € fiihre n. Dann muss die Krcd itsummc Ko v.i c folgt gcwahlt worden (die Au szahlung 240.000,- - € m tsprichi also der um 4 % vermindenen Kredusumme - vgl. (J .1.16c)) :

Bei~piel

240.000 0,96

= 250 .000,-- € .

Ein e weitere Mogliehkcit, den Auszahlungsvcrlust ausz ugleiche n, besteht darin, ein sog. "T ilgungsstreckungsdartehen- dazwischcnzusc hattcn, vgl. Bcispiel4.2.66 .

Bemerkung 4.2.47:

Wie wir noch im Zusammenhang mit der Eff ektivzinsbmxhnung (vgl. etwa KJJp. 5.3) sehen werden,

ist fUr den "Erfolg " einer tnveninon oder anes Kredits allein der reate Zahlungsslrom von Bedeutung. d.h. Hohe und Zenpunkte dertatsachfich gejlossenen zahlungen. Durch die in der Praxis ubiiche Kandiuonenvielfati (duTCh Vereinbamng unterschiedlicher Auszahlungen und nom. ZinshOhe) wirddiese Relevanzder reoten Zahlungen Mufig verschleien.

Es zeigl sich namlich, dass zwd Kreaue, die auf den ersten Blick votligverschieden sind (unlerschiedfiche Kreditsummen, unterschiedliches Disagio, untertchiedticher nomineller Zinssatz) in Wirklichkeit exata dieselbe Zahlungsreihe besitzen und somit idenusche "Ertrage" (bzw. " K1Jslen ") vesursachen k onnen.

4.2

199

Tilgungsarlcn (Annuitiitel1lilgung)

Betracmen wit dazu etwu einen Annuitiitenkredit mil derfolgenden reaten Zahlungsstruktur:

I T€J

100 I

IleisfungJ

I

I

25

25

11/

121

(Zeitl

25

25

'"

25

25

'"

'"

'"

(Gegenfeisfungenl

Weitete Zahlungen seien mit diesem Kredit nicht verbunden, d.h. mit Zahlung der sechsten Annuuat

ist der Kredu vollstiindiggetilgt. Rei der »Leistung" in Hone WI1I 100.000 € handelt es sich also um die tatsacnticne Kreditaus'l.ahJung (d.h. um die bereits um ein eventuettes Disagio gekiirue Krediuumme], Da sich der Kredin inssatz i (= i"urJ aber auf die volle (und noch nichl bekanme) Kreditsumme Ko baidu, muss die [olgende Aquivalenzgleichung erfullt sein (mit q .: 1 + i"",,) : q6 _ 1 K -q6- 25.000 ·- -

(.J

o

o ,

q_]

(q = l+i""", *1) ,

(denn die sechsAnnuhoten und die ungekurzte KreausummeKo musses bei Anwendung des nominellen Krediuinssatzes aouivalent sein). Diese Gleichung aher el1lhiilt zwei voneinander ullabhiillgige Variable, niimlich die (noch nicht bekannte] Kreditsumme Ko und den (noch nichtjestgelegten) Kreditzinssalz i",,,,, (bzw. q = 1 + inoJ. Wiihlt mall daher eine der beiden Variablen (Ko oderq) vor, so {iissl sich die andereuber die Aquivalenzgleichung (.) ermittrln. Beispiel: Bei einem (wiJ/kurlich vorgegebm en) Kredinins i",,,,, = 10% p.a. ergibt sich uher (.) die

Kredusumme Ko zu

J,/ 6 _1

J

25.000,--· - = 108.881,52. 6 0,/

1,1

Da 100.000 € ausgezahlt wurden, bctragt der Auszahlungsprozentsatz 91,84%. Da weiterhin die Annuitiit (= 25.000 €) einem Prozentsatz von 22,96% der Kreditsumme Ko entspncht, muss die Anfangstilgung (wegen i""", = 1 0%) 12,96% p.a. (zuzuglich erspaner Zimen) betragm. Die Kredit konditionen knuen daher (nach der in Bem. 4.2.45 vereinburten Knrzjorm): 91,84% I 10% I 12,96% und [uhren bei einer (nom.) Kreditsumme von 108.881,52 € zum o.a. Zahlungsstrahl. Dieselben Uberlegungen [uhren (wenn mun i",,,,, mtsprecnena vorgibt), z.B. zu den Konditionen: Auszahlung (%)

(nom.) Kredltzins (%)

An/angstiIgling (%)

78,81

5,00 8,00 9,00 10,00 12,00

14,70 13,63 13,29 12,96 12,32 ?

86,53 89,17 91,84 97,29 100,00

,

Kreditsumme (€)

126.892,30 115.571,99 112.147,96 108.881,52 102.785,18 100.000,00

Jeder aieser Kredae besiru dieseihe Zahlungsteihe, es handelt sich in allen Fallen um einen und aenselben Kredn (mit einem und demselben Ejjektivzins).

200

4

Tilgungsrechnung

Gibt man umgrkehrt diegewunsdue Auszahlung (und somisdas gewunschleDisagio) vor, so ergeben sicn {zunachst] rechentechniscne Schwierigkeuen. Man konnte etwa eine JOO %igeAuszahlung (d.h, Ko '" 100.000,-- €) vorgeben (vgl. die taue Zeile der TabefJe) und nacn dem dazugehOrigen KrediJzins i""", (» i"f/ !) fragen. Die entsprechendeAq uivalenzgleichung (-) taum donn - do Auszahlung '" Kreditsumme: (n)

q6 _ 1

IOO.OOO·q 6 - 25.000 · --J = 0 ,

(q

q-

* 1)

«nd mussse hzgl. q geMsl werden. Du dies " klassisch" nicht moglich in, verwendet man meist fin ttennives Naherungsvafahren, vgl. Kap. 5.1. Der Vollstiindigkeil halber sei der rrsultierende Kreaitzinssatz bereus hier genannt: j~U/1' = 12,98% p. a., so dass die iiquivalenten Kandnionen bei der VariantI'onne Disagio tauten: Auszahlung: 100% Krediuins: 12,98%p.a. [ » I",,,,, "" i'ff ) Tilgung: 12,02% p.a. (zuzuglich erspane Zmsen) 100.000,-- €. Kreditsumme:

Als wichtigstes Ergehnis (insbesondere fa r die ErfolgsheuneiJung von Kredugebem bzw. Kostenbeuneilung von Kreditnehmem } hleibt[esuunotten: (4.2.48)

Zu einem reaten Kredilz.a1l1ungsstrom Ibestehmd aus samtlicnen in Hohe una Faliigkenszeitpunlaen daerminienen Zahlungen) exisueren betiebig viele verschiedene aquivaiente Kreditkonduionen to (mil notwendigaweisc tdenuschem Effektivzins).

Aufgabc 4 .2.49:

I) E in A nnuitatcnk redit besitzc den folgen dcn (rca lcn) Z ah lungsst rahl:

I

I-.! .bh~1

{T€I

270

(ieistung)

I

I

I

I

I

80

80

80

80

80

'"

'"

Wei lere Zahlungen flicllen nicht.

'"

'"

'"

(Zeitl (Gegenleistungen)

Man crmitt lc jcwc ils zu de n bcide n vorgcgcbcnen (nom.) Krcduzfnssatzcn d ie passcndcn wciteren (iiquivalenten) Kon ditioncn (Auszahlung, anfangl. Tilgungssatz sowie Kreditsummei ,

a) Krcditzinssatz (nom.): 12% p.a .

b) Krcditzinssat z (nom): 18 % p.a.

und inrcrprcticrc das E rgcbn is.

ii) Gcgcbcn ist cin A nnuitatenkredn mil dcr Krcdit summe 100.QOO,·- € und den Kondilioncn (be-

zogen auf die Kreditsumme) : A usza hlung: Krcd itzinssatz (nom.):

Tilgung:

96%

12 % p.a. 1% (zuzaglich ersparte Zinsen).

b) inom = 10% p.a, aquivalente Konditionen [Kredusumme, Auszahlung, Tilgung) , die jeweils dc nselbcn Zahlungsstrom (uberdie Gesamllaufzeit) bcsl tzc n wie der ursprungllchc Kredit. Man crmittle filr

a) in"", ", 14% p.a .

10 Wclchc dicscr Ko nditioncn datU! schliefilicb vertragsmabig rcalisiert worden, kenntc ctwa durch Sleucrliehc Gcsicbtspunktc oder gcsctznc hc Vorgabcn bestimmt wcrdcn

20 1

4.2 Tugungsarten (A nnuitiilentilgung) Hemerkun g 4.2.50;

Hiiufig wird der vereinbane Kredunnssatz i nieht uber die Gesamtlaufzeit, sonaem lediglich uber eine geringere Zeilspo mre (z.B. 1 Jahr, 5 Jahre oder 10 Jahre = Zinsbindungsfr ist) /estgesehrieben. Eme entsprecnende Kreditko ndition kon nte dann etwa lauten: ~9411012 - Zinsf estschreibung 5 Jahre (oder: Konditionen fest f ur 5 Jahre). " Dabei betieht sich das vereinbane Disagio (hier: 6%) auf die Zim bindungsf rist (hier: 5 Jahre), ist also mil A blauf dieser Frist "ve rbraueht". Naeh A blauf der Zinsbindungsfrist ka nn der Kredn i.a. zu neuen Bedingungen (evIl. geiinderter Zinssatz, evtl. neuerliches Disagio (I) - bezogen auf die neue Kreausumm e = atte Restsehuldsumm e) [o ngesetzt werden. Da das A usma fJ deraniger spii terer Zins iindenmgen a priori nieht hekannt ist, beschriinkt man sieh zuncchst insbesondere bei der Effektivzinsmnittlung, siehe Beisp iel 5.2.10-, auf die vorgegebene Zinshindungsfrisl, wobei die sich am Ende der Ztnsbindungsfrist ergebende Restsehuld wie eine (lUSiitzlkhe) Tilgungszahlung behandelt wird. «

Fur die genannten Konditionen 94/1012 - 5 Jahre fest - lautet daher der Tilgungsplan fur die emen funf Jahre (bei einer Kreditsum m e KQ = 100.000,-- €, siehe auch Beispiel 4.2.29):

,

Restschutd Kt_1 (Beginn f)

Z insen Z, (Ende t)

1 2 3 4 5

100.000 98.000 95.800 93.380 90.718

10.000,-9.800,-9.580, -9.338,-9.071,80

6

0

Periode

t,

A""u;/l1t A, (Ende t)

2.000,-2.200,-2.420, -2.662,-2.928,20 +87.789,80

12.000,-12.000,-12.000,-12.000,-12.000,-· +87.789,80

Tilgung (Ende t)

(Restschuld)

Der filT die An wendung des A quivalenzprinzips (z.B. fur die Eff ektivzinsermittlung, siehe etwa Bsp.

5.2.10) rdevante Zalllungsstrom tasst sich darm wie folgt am Zeitstrahl darstcilen: 94.(XX)

(leisfUngJ

I

(ZeI'IJ

12. 000

12. 000 12. (XX)

12.000

fGegenleisfUngenJ

12. 000 + 87.789,80

(= Reslschufd J

99 .789,80

Wenn die Kreditbank nach A blauf der emen 5 Jahre einen Anschlusskredit gewahrt, Kanduionen (z.B.) ,,9718/1 - Ztnsiestschreibung 10 Jahre", so is/ [otgendes gemeim: Neue Kreditsumm e = alte Resu chutd = 87.789,80 € . Das durauf entfu/lende Disagio von 3% (=2.633,69€) muss vom Kreditnehmer ge/eidel werden, d.h. er erhalt eine Kredituuszahlung in Hohe von 85.156,11 €. Die A nnuitiuen in den nachnen 10 I ahren. betragm 8%+ 1% der m um Kredusum m e, d.h. 7.901,08 € pro Jahr. Aurga~

4.2.51:

Fu r cine T ilgungshypothek in H ohc von € 150.000,-- worden 7% p.a. Zinsen und 1% T ilgung (zuzuglich erspancr Zinsen) vereinba rt bei jahrlich glcich ho hen A nnuitaren. I) Nac h welchcr Zeit iSI die Hypot hck getilgt?

ii) Man e nnlttlc d ie Restschuld nach AbJauf vo n 10 J ahren. iii) Yom Beginn des 11. J ahres an erhoht sich dcr Zi nssa tz auf 8,5% p.a. Wic tauter bel g1eichct

A nnuuat die 11. Zcile des Tttgungsptans?

iy) Wie lang isl die Rcstlaufzcit zu neucn Bcdingungc n?

202

4

Tilgungsrcchnung

Anfgabe 4.2 .52:

Norbert Nashorn nimmt zwec ks Bclricbserwcitcrung bci dc r Bank em Darlchcn auf und verpflichtet sich, zur Vcrz insung und T ilgung dcr Darlehenssumme von 500 .000,-- € jahrlich 60.000,-- € zu zahlcn (i := 7,5 % p.a.). i) Nach welcher Zeit Isr die Schuld b'etilgt?

ii) Gebco Sic d ie beld en erst en und die belden lctzten Zeilcn des T ilgungsplans an. iii) Nach 10 Ja hren (d.h. 10 Anllu itiiren) soli durch cine vcraoderung dce Ann uitat die Rcstlaufzcit auf 20 Ja hre gestrcc kt werden bci 7,6% p.a. Zinscn. Wic hoch is! wiihrcnd diescr Rcstlaufzeit dc r (anfiingliche) prozcnt ualc Tilgungsanteil?

AUfgabe 4,2.53: Der Klcinstadt inspcktor Gcrn ot Glan tzcr hat sich do Fcrtighaus gckauft und dafiir cine H yp othek in Hohc von 150,000,-- € aufgcnommcn. Die H ypothckcnlmnk vcrlangt cine Vcrzinsungvon 9% und cine T ugung von 1% (zUZ{i.glich ersparferZinsen). I) Man errnill le den Bctrag, den Glantzcr jahrlich zu zahlen hat . il) Nac h wetcher Zeit ist die H ypoth ckenschuld getilgt? iii) Gebcn Sic die belden ersten und die beide n let zren Zeilen des Tilgungsplans an . iv) Ma n lose die A utgabentcilc i) - iii) fur den Fall, dass di e Bank cin Disagio in H e be vo n 6% der Krcditsumme fordert . v) Wie andcrt sich in ii) die T ilgungszcit, wcnn - bet gleicher Annu itat (statt 9% p.a.) bctragt ?

e

d ic Verzinsung 12% p.a.

Aufgabe 4.2.54:

Butz schlieJ3t mit seiner Kreditbank cincn Krcduvcrtrag zu foJgcnden Kondinoncn ab : Krcditsummc: 100.000,-- € ; AuszahJ ung: 94 %; Z insen: 6% p.a .; Tilgung: 0,5% p-e- zuziiglieh crspartc Z insen . i) Man gcbc die drci lctztcn Z eilen des Tilgungsplanes an. ii) Man errnittle die Gcsarntlaufzcit des Krcdit cs, wcnn Butz am Tag der 4 . Annuitat szahlung

cinen zusatznchcn Sonde rtilgungsbet rag in H ohc von 10.000 ,-- € test er. die urspriingliche Annultat abcr unverandcrt blcibt.

Aufgabe 4.2.55:

H uber be ootigt unbed ingt Barrnittel in H nhe von 120.000 ,- - € . Seine Bank offcricrt ihm cinen Annuitatcn kredit zu foJgenden Koedittonen: Auszahlung: 96% ; Zins en (nom.): 9,5% p.a.; TiJgung: 1.5% p.a. (zuzuglich ersparte Zinsen) . i) Wie hoc h ist die Krcdit summc?

ii) Man errnittle die Laufzeit his zur voltstandlgc n TiJgung. wcnn im crstcn J ahr von H uber weder Z ins- noc h Tilgungsleistungen erfolgen. iii) Wic laurct unt cr Bcriicks ichligung von ii) die letzt e Zeilc des Ttlgungsplans?

4.2 Tugungserten (Annuitiitentilgung)

203

Aufgabe 4.2.56: Huber will einc Villa kauten, Barkaufpreis 750 .000,-- €. Seine Hausbank will ihm diesc Summe tibe r cincn An nuitat cnkredlt zur Vc rfOgung stellen. Konditito nen: Auszahlung: 96%; Z insen: 7% p.a . (nom .); Laufzeit his zur vollstandigen Til gun g: gcnau 30 J ahre (bzw. Raten). (Z ah lung und Vemxhnung derAnnuitiit: jiihrlich (erste Rate ein Jahr nacn Vertragsa bsch/uss) ) i) KuTZ bevor H uber de n cnts prec hcnde n Krcditvertrag abschlicbcn kann, crhoht die Bank aus Rlsikoc rwagu ngcn hcraus de n Kreditzins fur Huber auf 12 % p.a. (nom.).

Auf wclchen Bctrag musstc Huber nun den Preis fur die Villa herunterhandcln, damit sich fur ihn ..veder Laufzeit noeh A nnuitatc nhohe des cnts prec he nden Kredits andc m (bezogen uu[ Luu[zeit und Annuitiit vor der ZinserhOhung)?

ii) Wic aodcrt sich lias E rgebnis vo n i), wenn die Kreditauszahlung 100% bctragt?

Aufgabe 4.2.57: Gcgcbcn sci cin Armuitatcnkrcdit mil folgcnden Kondition en: A uszahlung: 92%; Zins (nom.): 9% p.a.; Tilgung: 1% p.a , (zuziiglich enpa ne Zin sen], Die Krcditsummc bctrage 200.000,-- €. Wie lauten die bcidcn Ietzten Ze ilen des Tilgungsplans, wenn zu sat zlich zur 5 . reguHi. ren Annuit at ein Sonde rtilgu ngsbctrag in H ohe von 10% dcr ursp rOnglichen Krcditsurnmc gclc istc t wird? (Die iibrigenA nnuiuuen sollen unveranden bleiben!)

4.2.5.4 Exkurs Tilgungsst reckung, Zahlungsaufschu b, Tilgungsst reckungsdarlehen, Stu ckelung Dcr Gcstaltungsviclfalt bei Kreditcn sind in der Praxis kaum Grenzen gesctzt. Ne be n den erwahnte n hegrifflichen Bcsondcrh eitcn gibt es cine Reihc vo n weire ren inhailliehen v arianten bci der R Oek zahlung von [Annuitaren-] Kredit cn II wie etwa Ttlgungsstreckung

(siehe Beispiel 4.2,58),

Zahlun gsaufschub

(siehe Beisp iel 4.2.62),

Tilgungsstrcckungsdarlehen

(siehe Beisp iel 4.2.66),

Tilgung mit Snickclung

(siehe Beispiel 4.2.76) .

Wir wo llen im folgenden d iese Bcsondcrhcitcn 12 an cinigcn ausgcwa hltcn Beisprelen aufze igcn:

(Bei der Behund tung der E[[ektiweninsung in Kap. 5 werden wir deranige Kredit[[ormm emeut au[grei-

[en und naherheieuchten.]

11 Fur Kredite mit Ratcntilgung gibl cs entsprec hendc analogc Var ianlen, die wegc n dcr eiufacben Struktu r dcs Ratcnkrcdits hicr nichl geso ndcrt behandclt worden 12 Neben dcn eben aufgeflihrten Besonderhcit en gibt cs noch cine Reibc weiterer Spezialitaten bei der Typi sicrung undlodcr T ilgung von Krcdnc n, Anlcihen , Schuldvcrsc hreibungcn etc.• dcren Behandlung dcn Rahmen diescseinftihrend cn Bandes iibcrschr cilel. Naheres siebe ctwa in I Bod I l.IKru 3J,IRah].

4

204 Beisplel 4.2.58:

Tilgungsrcchnung

(Tilgung.,..~trt"t:kung)

Man spricht von Tilgungsstrcckung in solchcn Pcriod cn dc r Kredirla ufzeit, in denen der Kreditnehmer nur die anfallcnd cn Zlnsen, abc r keine Tilgung.sbelrlige lcister (T 1 =: 0) . Meist ens werden lilgungsfrcic J ahre zu Beginn dcr Kre,

( 4) ,. 1\.0"" + (8)-(3)

")

(6) ,. (3 ) +(5)

(7) •• (4 ) _(5)

500.000 435.200 364.000 285 .500 199.300 104 .400

64 K,036,90 712 ,877, 49 785.002 , 15 862 .539,26 9-19 ,330,09 1.O44,()OO,OO

e-s.oco

1. 14K.000 1. 147.200 1. 149,000 1.147.500 I. I U.300 I. IU.4 00

7 12.000 785.000 862.000 949.000 1.044.000

dufg ezinst er T ilgungsriick s tand d. Vorpc r.

,.,

q . R,.,

36,90 877 ,49 9952 4 2, 15 .... 539,26 t---- .... 2'36 593' 19 330,09 ....363,10

~ 4~~~9 l-....

1'....

~~~

T ab. 4.2.79

Ocr U ntcrschicd zwischen dcr [unter Berncksichtigung der SlUcke/ung) rcsuurerenden A nnunat (Spatle (6)) und dcr Norrn-Annuitat (ohne Slucke!ung) bctragt wcniger als dcr Wert cines Stuc kcs (d.h. im Beispiel: weniger uls 1.000 €).

Tilgungsarten

4.2

211

Aufgabe 4.2.80:

a) E ine Anleihe von 100 Mio. € wird in 20.000 Stuckcn zu 5.000,· · € ausgcgcbcn und soli in g1cichen An nunat cn bci ciner Vcrz insung von 8 % p.a. in 10 J ahren zuruckgezahlt scin. i) Ma n gcbc den . ungcstuckctten" Tilgungsplan an. ii) Man stel le den T ilgungsplan unter Bcaehtung der Snlc kelung auf.

b) E ine A nlcihe von 50 Mio. € wird in 50.000 Stuckc n zu 1.000,-- € ausgegcbc n und soil in g1ciehen An nuitat cn bci cine r Verzi nsung von 7 % p.a. in 5 J ahren zuruckgczahlt setn. I) Man gebc den . uegest uckeltcnv Tugu ngsplan an. il ) Man stclle den Tilgungsplan unler Beaehtung der St ucketung auf.

B emerkung 4.2.81: In der Praxis k ann es vorkommen, dass Kreditkonditionen (auch: A u szahlungsptane. Versicherungsplane ...) verschiedener Kredilgeber " vergfichen ~ werden, indem die naminellen Sum men aer insgesamt zu zahienden l im en (oder Annuitiiten) miteinander verglichen werden und daraus em Vorteilhaf/igkeilskrilerium abgeieitet wird. Ein Beispiel soil den Sachve rhatt taa ren: E in Kred it von 100.000,-- € (i = 10% p. a.) soil in 2 Jahren eumckgezahlt werden. Folgende Kred itk ond ilionen sollen m iteinander verglichen werden: i) Ruck zahlung ind. angesammelter Zinsen in eincm Belrag am Ende des 2. I ahres. ii) Ruckzahlung dUTCh Ra lenlilgung.

Die Tilgungspliine kuuen: Pcriodc

•

1 2

ii)

,

Pcriodc

1 2

Rcs tschuld Kt~ 1 (Beginn I)

100.000 /10.000

Restsc buld Kt - 1 (Beginn f)

100.000 50.000

Zinsen z,

(Ende I)

Ti lgungTt (Ende f)

10.000 11.000

- 10.000 110.000

12 1.00 0

Zl .OOO

100.000

121 .000

Annuitat A, (Ende f)

0

Zinscn z, (Ende t)

Tflg ung T t

10.000 5.000

50.000 50.000

60.000 55.000

15.000

100.000

115.000

(Ende I)

Allnuililll\ (Ende I)

Die llOminelle S umme der insgesamt gezahlten Zinsen (Allnuitiilen) be/ragt tm Fall i) 21.000,- - € (121.000,-. €), im Fall ii) 15.000,·· € (115.000,-- € ). Daraus wird hiiufig der " Sch/uss" gezogen, die Ratentilgung il) sei voruaiehen (wegen 6.000,-- € " Einsp arung "). Man mache sicn jedoch kl ar, doss eine derartige Sch/ussfo lgerung auf einem Trugschluss beruht, da die A ddilion von Belragen, die zu uruerschiedlichen Z enp unkten f allig sind, nach dem .4quivalenzprinzip unmlossig ist: Ersl nach A uf -/A bzinsen der Annuha ten auf denseiben Stichtag sind die Leistungen vergteichhar (im vorliegenden Fall sind sie identischl], Am ohigen Beispiel erkennt m an dies sofort: Die im Fall ii) vorzeiug geleisteten 60.000,*- € tiefem in einem weueren Jah r die "f eh/enden" 6.0 00,- - € an limen (wegen i = 10 % p .a.). Etwas anderes konnte sich lediglich don n ergeben, wenn d ie im Fall i) gegeniiber ii) "emgesp arte" erste A nn uutu zu einem von 10% p.a. ven cnieaenen Zinssarz f inanziert werden masse (oder ongelegt werden konn/e) .

212

4 Tilgungsrechnung

4.3 T ilgungsrechnung bel unterja hrlgen Zah lungen Die Art und Weise der verreehneng von unteljlitllig geleisteten ,.Ann ui tiiten ~ (d.h. Gegenleistungen in Form von Zahlungen) auf fallige Zi nsen und/ode r Tilgung bcreitet immer dan n Schwierigkcitcn, wenn a priori nich t klar tst, nach welcher KontoHihrungsrnelhodc (siehe etwa Kap. 3.8) der T ilgungsplan abzurechnc n ist (z.B. uflleljiihrig linear, konform, Mischformen ... ?).

In dcr Praxis gibt es mchrere Konrofuhrungsmodelle, die - insbesondere im Zusarnmenhang mit dcr Effekt ivainsermittlung von Investirioncn/Kr editen (siehe Kap. 5.3) - von Bede utu ng sind. Wir wollen am Beispiel einer Kredittilgung mit unterjahrlichen Ruckzahlungsratcn vier der wichtigsten Konlofuhrungsrnethoden'" kennzeichnen: -

Kontofii hrung nach der 360 -Tage- Mct hod e Kontofiihrung nach der Methode von Braess (oder: Braess/Sangmeyer} Kontofiihrung nach der US-Methode Kontofii hrung naeh d er l e MA -Methode IS.

- Kap. 4.3,1

- Kap. 4.3.2

- Kap.4. 3.3 - Kap. 4.3.4

Als gemeinsames Demonst fation sbcispiel wahlcnwir Beispiel 4.3.1: E in Kredit in H e be von 100 .000 € (Auszahlung: 100%) son mit 8 % p.a. verzinst werdcn . A ls Gegenleistung werden vereinbart : Vierteljahrfiche " A nnuitiUen" zu jc 3.0 00 € / Quartal, crstc Zahl ung ein Quartal nach Kreditauszahlung, lnsgesamt 10 Quartalsraten. Ges ucht ist die Restsehuld Kn (oder der " Kontostand" des Kredu-Komos] am Ende der 2,5-jahrigen Laufzeit.

(Dieser Kontostand kann als dann fiillige Abschlusszahlung aufgefasst werden.)

Dcr zugeborigc Zahlungsstrahl hat somit fclgendes Aussehen (Abb. 4.3.2);

100

---1

---1

IT€J

3

If)

3

(21

3

(31

3

141

3

(51

I•

f O"""'"

3

161

(Zell)

3

f7J

3

(81

3

191

f------

3

(101

Kn - ·? 2,5 Johre

-1

Abb. 4.3.2

Die vier genannten Kontofiihrungsmethod en unt erscheiden sich im wesen tlichen darin , i) oil und mit welch em unt crjthrig anzuw endenden Z inssatz innerhalb cines J ahres cine Z insverrechnung (Unterjiihrige Zinseszinsen? Unterjiihrig lineare Zinsen ? Mischformen?) stattfindet und /oder ii ) wie em .angebrccbenes'' JOOr zu bc handcln tst.

Auf die Darstellu ng der sog. Moosmiiller-Mclhode wird bier verzichtct, da diose wcgcn der Pramissc fester lahl ungsstrukturen filr die allgeme ine Eron erung lU wenig Ilexibel ist. Nabcres vgl. [Kru21IS ICMA-Methode: International Capital Market Association, identischmit der btsberigcn ISI'JA-Methode (ISMA: International Securities Market Association), scit 09/2000 in Deutschland verbindlich vorgeschrieben flir die Ermlttlung des Effcktivzinssatzes von Verbraucherkrediten, siche Preisangabenverordnung (PAngV 2000). 14

4.3

2 13

Tilgungsrechnu ng bel untcrjahngcn Zahlungc n

4.3 . 1

Kontofhhrungsmefhede I (360-Tage- Melhode)

Die 360-Tagc-Mefhodc zeic hnet stcb d urch folgcndc Bcsonderhcitcn aus:

I) Unt erjahrig e ntste hende ttineore I) Z msen worden nicht soglcich zum nac hstcn Zahlu ngstermin vcrrccbnct, sondc rn auf eincm scparatc n [Zins-] Konto gcsammelt und erst am Endc des Z insjahres auf dem Krcditkonto (in einem einzigen kum ulienen Betrag) gebucht (Sparbuch-ModeU). i1) Ein eventuclt vorhandc ncr J ahre sbruchteil (im ohigen Beispiel:

1Jahr) liegt stcts am Ende de r

Laufzeit, d.h . das crste Z insjahr beginnt mit dcr Kred itausza hlung.

Dc r hmsichtlich dcr 360-Tagc· Mcthodc strukturiertc Za hlungsst rahl in unscrem Bsp. 4.3.1 hat somn d ie folgcndc Form (Ahb. 4.3.3) :

100

{T€J

-I

- -1

1 Quortal

f--

(Zeill

1-+--+--+---+---+------1 1 f---

L: zm,~"oo.~:

3

3

3

333

Kn = ?

f-bhresbruch-.

1.bh,

1

leil am Ende

Abb.4.3.3

Daraus ergibt sich der untcnstchende T ilgungsplan (Tab. 4.3.4) . Dabei werde n die untcrjah rig cms tchenden Z inscn von de r jcwciligen Rcstsch uld zu Q uartalsbeginn linear aus 8% p.a., d.h . mit 2% p.Q. ermittclt und in eincr clgcncn Spaltc scparar gcsammclt. Da dicsc Z msen erst am J ahrescndc auf dcm Kreditkonto gcb ueht wcrdcn, wirken die Quartalslei.~lungen (3.000", €/Qua rtaJ) in den crstc n O uartalcn cines jcden J ahrcs in vollcr Hoh e als Til gung.~leist ungen ; Kontofiihrung naeh der 360 -Tage-Mct hod e: Krcditsumme: 100.000,- - € ; Z inssatz: 8% p.a.; 10 Ra ten zu 3.000, -- € /Q uartal Periodenzinsen (2% p.Q.) Periode: J ahr Qu.

1

1

(separal gesammell)

(2.000,00) (1.940,00) (1.880,00) (1.820,00)

4

95.6 40,00 92.640,00 89.640,00 86.6 40,00

1 2

90.93 1,20 87.93 1,20

3

88,508 ,45

3 4

3

(Beg/WI Per.)

100,000,00 97.000,00 94.000 ,00 91.000 ,00

2

2

Restschuld

1 2 3

kumulien und sum Jahresenae verrechnet

T ilgung

ZohI~ ,

(Ende Per.}

(Ende Per. )

7.640,00

3.000,00 3.000,00 3.000,00 - 4.640,00

3.000,00 3.000,00 3.000,00 3.000,00

(1.912,80) (1.852,80) (1.792,80) (1.732,80)

7.29 1,20

3.000,00 3.000,00 3.000,0 0 - 4.291,2 0

3.000,00 3.000 ,00 3.000,00 3,000,00

(1.818,62 ) (1.7 58,62)

3.577,25

3.000,00 - 577,25

3.000,00 3,000,00 Tab. 4.3.4

214

4

Til gungsrcchnun g

Die Rest schu kl ( = 88.508,45 €) am Endc dcr Lau fzeit ergibt sich auch mit dem finanzmathcmatische n Instrumentariwn (vgl. Beispiel 3.8.J8, Sou 3.8.21 sowie Bemerkung 3.8.24) aus Abb. 4 .3.3; FUr die beld en ersten J ahre ernnt man die jewcils aquivalente E rsatz rate R * zu

R* = 4 · 3.000 (1 + 0,08 '

f)

= 12.360,--

e,

so dass sich Kn (= Leistung minus Gegenleistung) crgibt zu ("gemischte" Ve17insung) 1082- I ' 1,04 - 3.000 ' 1,02 - 3 .000 = 88.508,45 0,08

Kn = 100.000 ' 1,08 2 . 1,04 - 12.360 · '

€,

also idcnti sch ist mit dem absc hlieBcndc n Restschuldwert in der Kon tostaffcl.

4 .3.2

Konloftihmngsmethode 2 (Braess)

Die Kont ofilhrungsmcthodc nach Bracss zcichnct sich durch folgcndc Besonderheit en aus:

I) Untcrjahrig Ansatz von lincarcn Zmscn, Zinsverrechnung am Jahresende (Sparbuch-Modell, in dieserBezlehungidentiscn mit der 360-Tage-Methode). ii ) Ein cv cn rucn vorhandcncr Jahresbrucbteil (im ohigen Beispiel: Jahr) licgt zu Beginn der Lauf-

1

zeit, d.h . die danach fotgendc Restlaufzeit best eht aus einer ganzen Zahl von J ahrcn .

Bemerkung 4.3.5: Besteht die Laufzeit von vomeherein aus einer ganzen Zahl von Iahren, so [uhren 360-Tage-Methode-Komo und Braess-Komo stets zu identa cnen Ergebnissen.

Ocr Braess-struktuncrte Zcitstrahl fur unser Beispiel 4.3.1 hat demzufolge die Form Abb. 4.3. 6:

- -I 3

3

3

, 0"",,",

f-- I

33

3

3

f-- - Zinspenode ---I 1 bh,

Abb .4.3.6

Daraus crgibt sich (mil 2 % p.Q. linear) folgender Ti lgungsplan (Tab. 4.3.7), wobe i dieselben v orbemc rkungc n wic zu Tab. 4.3.4 (360-Tage-Melhode) giiltig sind:

4.3

T ilgungsrechnung bei unterjahrige n Zahlungen

215

Kontofiihrung nach Braess-Methodc: Kreditsumme: 100.000,-- € ; Zinssatz: 8 % p.a.; 10 Ra ten zu 3.000 ,-- € /Quartal

Periodenzinsen (2% p,Q.) Periode: J ahr Q,.

1

3

97 .940 ,00 94.940 ,00 91.940,00 88.940,00

(1.958,80) (1.898,80) (1.838,80) (1.778 ,80)

4

93 .415,20 90 .415,20 87.4 15,20 84.415,20

(1.868 ,30) (1.808,30) (1.748,30) (1.688,30)

1

88.528,42

1 3 4

4

(sepurUI gesammell)

(2 .000,0 0) (1.940 ,00)

2

3

(Begilll1Per. )

100.000,00 97 .000 ,00

4

2

Restschuld

1 2 3

kWl1uliert WId zurn Jahres ellde verrechnel

Tilgung (Emu Per.]

(Elide Per.)

3 .940 ,00

3.000,00 - 940 ,00

3.000,00 3.000,00

7.475.20

3.000,00 3 .00 0,00 3.000.00 - 4.475,20

3.000,00 3.000,00 3.000,00 3.000,00

7.113,22

3 .000 ,00 3.000,00 3.000,00 - 4.113,22

3.000 ,00 3.000,00 3.000,00 3.000,00

z.hJoog

Tab. 4.3.7

Der rcsuhierendc Kont ocndsta nd (= 88 .528,42 €) errec hnet sich fina nzmat hematisch wie folgt: (uquivalrnte Enaurate am Ende der beiden voUen Zinsjahre wie beider 360~ Tage-Metnode: R * = 12.360 €l Jahr) = 88.528,42

€,

also Obereins timmung mit Tab. 4.3.7. Ocr im Vcrglcich zum 360- Tage-Methode-Kon to etwas hohere Wert crklart sich mit der urn ein halbes J ahr vorgczogcnen Z ins belast ung des Braess- Komos .

4.3.3

/ Kontofti hrung.'imelhode 3 (US - Melhode)

I

Die US-Kontofiihrungsmethod e zeichnel sich dUTCh folgendc Bcsondcrheitcn aus: i) Abweichen d von der 360-Tage-Mct hode bzw. Braess wird jetzt zu jedern Zah lungslenn in gleichz eitig ein Zin ~",'errechn ungstenni n (im Extremfall - d .h, bei laglichen Zahlungen - som it laglicher Zi nszuschl ag) eingefOhrl. Ein Jahr nach eincr Zahlung crfolgt (falls zwischenzritlich kdne weueren Zahlungen geflossen sind) eine Zi nsverrec hnung zum vorgcgcbcnen J ahreszinssatz. ii) Dc r anzuwendende untcrjahnge Zi nssatz fOr die Aufzinsung von einem Zi nsverrechnu ngstennin zum nachs tcn ist der dazu zeilproportionale (relative) Jahresbruchteilszinssatz (ill unserem Beispiel wird also mit 2% p. Q. ( = 8% p.a. : 4) Z inseszinsen gerechnen. Bci fehlenden unterjahrigc n Zahfun gcn wird mit dem vorgegebcnen Periodenzinssatz (z.B. l ahreszinssaa ] ~ nonnal~ auf- /abgczinsl.

216

4

Tilgungsrcchnung

Abb. 4.3 .8 zcigt (fiir unser Beispiel) die Z ahlungs struktu r dec US-Methode:

100

-I

oo

I

3

3

3

m

m

- -I

,

tn

3 '"

--I

3

3

{Z eit)

3

'" '" '"

ZinspfNiode =

zu i/4

I

3 '"

3

'"

I--

3

/10/

Kn -- ·7

, Ouarlal

{=Io'

Abb. 4.3.8

Daraus ergibt sich (m it i Q '" 2 % p.Q. Zinseszinsen) unrenstehendcr T ilgungsplan (Tab . 4.3. 9) . Dutch den sororttgen Vcrrcchnungsvorgang bei Zahlung einer Rate haben wir cs jctzt mit cincm Tilgungsplan nac h klasslschem, annuitarischen Muster, vgl. etwa Tab. 4.2 .13, zu tu n mit dcm cinzigcn Unt crschicd, das s die Zin speriod e jctz t d o Qu anal (stall: ein Jahr) ist:

Kontofiihrung nach dc r US-Methode:

Krcditsumrnc: 100.000,-- €; Zinssarz: 2% p.Q.; 10 Raten zu 3.000,-- € /Quartal

Restschuld

Zinsen

(Begillll Per.)

(E li de Per.]

(EMe Per.)

(Ende Per.]

100.000 ,00 99.000,00 97 .980,00 96.9 39,60

2.000,00 1.980 ,00 1.959 ,60 1.938,79

1.000,00 1.020,00 1.040,40 1.06 1,21

3.000,00 3.000,00 3.000, 00 3.000,00

7 8

95.878,39 94.7 95,96 93.691 ,88 92 .56 5,72

1.917, 57 1.895 ,92 1.873,84 1.851, 3 1

1.082,43 1.104,08 1.126,16 1.148,69

3.000,00 3.000,00 3.000,00 3.000,00

9 10

91.417,03 90.24 5,3 7

1.828,34 1.804 ,91

1.171 ,66 1.195, 09

3.000,00 3.000,00

11

89.050,28

Period e: Jahr Q " .

1

1 2

3 4

2

5 6

3

Tilgung

"""'~ g

Tab. 4.3.9

Auch hicr lasst sich dcr Kont ocndstand nach to Rat cn sotort finanzmat hematisch ubc rprufcn. Wcgcn iQ '" 2% p-O. Zinscsz inscn folgt aus Abb. 4.3 .8 unm ittcl bar: 1 100 .000 ' 1 0210 _ 3.000' 1.02 0- 1 '" 89.0 50,2 8 , 0.02

€

in Ubereinstimmu ng mit dcm cntsprcchcndcn Tabcllc nwert. Man erkennt, das s dcr Rcstschuldbctrag bc i A nwendung dcr US-M elhode deutlich hoher licgt als be i de r 360 -Ta /"oc- bzw. Bracss-Met bodc. Ursache: Dersclbe J ahrcsb ruchtcilz ins (2 % p.Q.) wird bci dcr US- Methode sofort vcrrechnct, bc i den bc ide n andercn Methoden aber erst gcsa mmelt und spatcr vcrrcchnet .

4.3

217

Tilgungsrcchnung be l untcrjahrigen Zahlungen

4.3.4

Konloftihnmgsmethode 4 (IC l\tA - Methode)

I

D ie ICMA-Met hode (auch: ..imemationate Methode", fruher ..ISMA-Methode .... seu 0912000 auch in Deutschland zur Erminlung des Effeklivzinssam s von Verbraucherkrediten verbindlich) zeichnet sieh durch folgcnde Besondcrheit en aus:

i)

Wie bci der US-Methode erfolgt dcr Zin szusehlag zu jedem Za hlungstermin, notfa1Js taglich .

ii) Abw eichcnd von dcr US-Methode wird fur den Zinszeitraum zwischen zwei aufeinander folgenden

Zah lungc n nicht der relative, sondern der zum J ahreszinssatz keercrme unterjabrige Zins (siehe

Definition 2.3.11) angewendet. Der im Beispiel 4.3 .1 vorgcgcbc ne J ahreszins i '" 8% p.a. fUhrt zum konform en (d.h. tiquivalenten) Quartalszlns io ubcr die A quivalenzgleiehung

( I + iot", I + i '" 1,08 ,

(d.h. i Q

'"

I +i o '" 1 ,08 °' ~s '" 1,01942655

d.h, es gilt;

1,942655% p.Q. im Umerschied zu to '" 2% p .Q. bei aer US-Methode).

Abb. 4.3 .10 zcigt am Beispiel 4 .3.1 die ICMA-Zahlung-;struktur, d ie mit der Ug-Zahlungsstru ktu r (A bb . 4 .3.8) identisch ist (es wirdlediglichder konforme slat/ des rekuiven Zinssatzes angewendel) :

100

-I

I

I

IT€ I I

I

3

3

m

'"

I

3

I

I

3

3

I

3

'" "' '" '" 1-- to = 1olla:d l

Zinsperiode =

ZlI

I

3

m

I

3

'"

25 (1 +11- - 1

I

3

'"

(Zeill

f----

3

110/

K,n -? ·

Abb .4.3. 10

Daraus folgt (mit 1 + 'o = I,OSO.25) folgender (Tab. 4.3.11) Tilgungsplan, der dicselbe Struktur wie der Tilgungsplan naeh US-Methode autweist, dur ch den gcringeren Ouartalszins aber cine schnellere T ilgung und somit cine verringerte Restschukl aufweist: KontofU hrung nach der ICl\tA -Melhode; Krcdit : 100 .000,- - € ; io = 1,9426552% p.O .;

Periode:

Restschuld

10 Rat en zu 3.000,-- € / Ou arta l

Zobhm.

(Begi1lll Per .)

Zinsen

Tilgung

(E nde Per .)

(Ende Per.)

(E nde Per.]

3 4

100.000,00 98 .942,65 97 .864 ,77 96 .765 ,94

1.942,65 1.92 2,11 1.901,17 1.879,83

1.057,35 1.077,89 1.098 ,83 1.120,17

3.000,00 3.000,00 3.000,00 3.000,00

2

5 6 7 8

95. 645,77 94.5 03 ,84 93 .339, 72 92 .152,99

1.858,07 1.835,88 1.813,27 1.790,21

1.141 ,93 1.164 ,12 1.186,73 1.209,79

3.000,00 3.000,00 3.000,00 3.000,00

3

9 10

90.9 43,20 89 .709,92

1.766,71 1.742,75

1.233 ,29 1.257 ,25

3.000,00 3.000,00

11

88.452,67

Job' Qu. 1

I 2

Tab. 4.3. 11

218

4

Tilgungsrechnung

E inc Uberprufung dcr Rcstschuld mit Iinanzrna thcmatische n Meth oden \iefert (mit 1 + ' c = 1,08°,25 bzw . i Q = 1,08(},2L 1) : K n = IOO.OOO·(1+ iQ)10-3.000·

(I+i )10- I

?

'o

1 08 2,5 _ 1 = 100 .000' 1,08 2.5 - 3.000 - ' 1,08°,25_ 1

88.452,67,

wiederum in Obcreinstimmung mit dem entsprechendcn Tabcl1enwert.

Bet rachtct man die vier hicr vorgestc lltc n Kon tofUhrungsmethod en zus ammenfassend, so stellt man fest, dass bei idc nlischcn Zahlungsstromc n und idcntischcm J ahreszms jcdcsmal cine unterschiedlic he Rest schul d zusta nde komml. Umgckchrt muss sich - bei glcichcn Zahlungsstr6men und idem ischer Rest schuld - jcweils ein untersc hicd lichcr Effck tivzin ssatz crgcbcn, je nachdcm, welches KontofUhrungsmod ell zugrundcgelcgt wird. Diescn - logisch eigcnt lich unhalt baren - Elick! werden wir im Z usamm enhang mil der Effekt ivzinscrmill lung in den Kap. 5.3. 1/5.3 .2 naher beleuchten ' ". Sc i allen Krcdit formen mit untcqahngcn Lcistu ngen kann nur da nn cin zut reffender T ilgungsplan a ufgcstellt werden (bzw. ein »korrekter" Effeklivzins angegeben werden), wenn zuvor Emigkeit ubcr die anzuwc ndcnde KontofUhrungsmelhode erzlelt wurdc.

Aufgabe 4.3.12: I) E in Kredlt, Krcditsummc 99 .634,08 € , soil mit Q uartalsrat en zu je 8.000,-- € / Q. (1. Rat e 1 Quarta! nach Kredilaufnahm e) bc i i = 18 % p.a. zuruckgezahlt werden. Nac h 4,5 J ahren wird das Kont o abgercch nct.

Man ermittle die noch bcs tehen dc Rest sch uld nach folgenden Kontofiihrungsmodellen: a) 360-Tage-Met hode

b) Bracss

ii) Man bca ntwort e i) a) bls d) fur cine Kreditsummc € / Q uartal bci i = 16% p.a.

e) US

Ko

d} l eMA,

= 100 .000,-- €, Quartalsrat en zu 4.0oo,--

Aufgabe 4.3.13: E in Kredit, Kred itsurnmc 100.000, - - € , soli mit Quartalsraten zu je 10 .000.-- € / Quartal (1. Rate Ende 9. Quartal nach Kreditauf nahme) bei i = 12 % p.a. zuruckgezahjt werden. In de n erste n 2 Jahr en ist T ilgungsstrecku og vcrcmbart, d .h. in den erstcn 8 Q uartalen werden nur die cntstehe ndcn Ztnsen gczahlt. Nach 4,5 J ahren wird das Kont o abgerec boet. Man ermitt le die noc h bes tehcndc Restschul d nach folgende n KontofOhrungsmcx..lcllen: a) 360 -Tagc-Met hode

b) Braess

c) US

d) l eMA .

Aufgabe 4.3. 14: Ein Kredit, Kred itsumm e 100 .000 ,-- € . soli mit Quartalsrat en zu je 12.000,-- € /Quartal (1. R ate End e des 9. Quartals nach Kredilaufnahme) bc i i = 10% p.a. zunlc kgezahlt werde n. In den crsrcn 2 Ja hren tst cin Zahlungsaufschub verci nbart, d.h, cs erfolgt in den erstcn 8 Q uartalen keinerlci Zahl ung. Nach 4,5 J ahren wird das Konto abgcrce hnct. Ma n crmittle die noc h bcst ehende Restschu ld nach folgende n Kont ofuhrungs modolk-n: a) 360-T age-Me lhode

16 siehc auch [Tie l ] 57lT.

b) Braess

c) US

d) l e MA .

4 .3

219

Tdgungsrechnung bci unrcrjahrigcn Zahlungen

Aufgabe 4.3.1 5: Ein Krcdit mit der Krcd itswnm e 100 .000,-- € soli mit folgcnden Gegen leistungcn (ZahIWl gen) zuruckgczahlt werdcn ( Ven insung: 16% p. a.): Ende 3. Quartal: En de 12. QuartaJ: Ende 18. Quartal:

10.000,-- € Ende 6 . Q uartal : 50 .000 ,-- € E nde 13. Quartal: Restt ilgung, so dass das Konto ausgegJichen lst.

20.000 ,- - € 30.000 ,-- €

Man enn ittle diese R esttilgung fur die KonlofUhrungsmethoden a) 360 -Tagc-Me thode

b) Braess

c) US

d) ICMA

Aufgabe4.3.16: Ein Krcdit mit der Kreditsumrnc ~ = 100.000 € , soli mit Monatsraten zu 2.000 € /Monat bci i = 12 % p.a . zu riickgezahlt werden (die 1. Rate ist einen Mona s nach Kreditaufnahm e f allig). i) Man ennittle die Rcstschuld nach 18 Monat sraten fur die Ko ntofUhtu ngsmethod en a) 360-Ta ge- Met hode

b) Braess

c) US

d) l e MA

ii) Man enn itt le fur die in i) aufgcfiihrten Kontofuhrungsmct hod en a), c) und d) die Gcsam tlaufzcit b is zur vollstandigcn T ilgung. Aufgabe 4.3.17: Ein Kredit , Krcditsumme 100.000,-- € , soli mil monatlichen Raten bei i = 12 % p.a. zuriiekgczahlt werden (erste Rate 1 Monat nach Kredltauf nahme], Welche Monatsrate is! zu wahlen, dam it das Konto nach 18 Monaten ausgegJichen Ist? Ma n bea ntworte dicse Frage fur folgcnde Kontot uhrun gsmodcllc: a) 360- Ta gc-Met hodc

b) Bracss

c) US

d) l e MA .

Aufgabe 4.3.18: Ein Krcdir soli mit 18 Monatsratcn zu 6 .000,-- €/Mo nat bei i = 12% p.a. zuriickgezahlt worden (erste Rat e einen Monat nach Kreditaufna hm e) . Bel welcher Kred ttsumm c rcich cn die 18 Monatsratcn gcradc eus, urn den Kred it vollsta ndig (incl. Z insen) zuruckzufuhren? Man bcantwort e diose Fragc fur folgende Kont ofiihtungsmod c11c: a) 360-T age-Methcxle

b) Bracss

c) US

d) ICMA .

Aufgabe 4.3.19: Ein Annuitat enkrcdit (no m. l ahreszms: in"", ; A nfangstilgung: iT (p.a.)) werdc mit gleichen Monatsratcn zuruckgezahlt. Die Monatsrate bctragc ein Zwolftel der J ahresleist ung. Die Zins- und Tugungsverrecbnung erfolge ebe nfalls monat lich, Monatszins relativ zu ino",' d.h . US-Methode .

i) Zeige n Sic: Sc i gcgcbc ncr Gcs amtlaufzc it n (in Monaten) ist die daz u passcndc Anfango;tilgung i iT (p.a .) gegebcn durch nom ( Tipp : Aquiva/enzg/eichungfilr die iT = ,. n Gesamtlaufzeit n aufsrellen ~;m) und nach iT umf cement )

(I+

_I

ii ) H uber will seinen Krcdil (Konditionen wie oben angegeben, Zinssaiz 8% p.e . nominelJ) in 15

Jah ren vollstandig get ilgt haben. Wie hoc h muss die Anfango;tilgung (p.a.) sein? iii) E ntwickeln Sic cine Tabcllc, die fur inom vo n 6% bis 9% p.a. (in O,5%- Schritten) und Gcsamtlaufzeit en von 10 bis 30 Jahren (in 5·Jahres-Schritten) die jeweils dazu passend e Anfangstilgung aufweist . (Tipp : Teil i) verwendenl Wenn 's zu langweilig wird: Tabellenkalkulation benutzen!)

220

4

Tilgungsrcchn ung

4.4 Nachschusslge Tilgun gsvcrrechnu ng In a llen bisher behandclten Beispielen (insbesondere im Zusammenhang mit Krnlittilgung) , war es selhsrverstand lich, dass jede (innerperiodische) Za hlung A hn Zeitpunkt ihrer Letstung unmittelbar die jcwcilige Resl~huld (bzw. den jeweiligen Kontostand) veriinde rt und dam il ebenso die Bemessung..grun dlage fu r aile zukiinflig anfallenden zrn sen (in diesem Zusammenha ng spricht man von "s% rtigrr Tilgungsrerrechnung" einer Zahfung). Jc nachdcm, welches Kontofii hrungsmodell vorlicgt (linear (z.B. 360- Tage-Methode) oder exponenneil (z.B. l eMA), vgl. Kap . 4.3), bcdc utet d icse Sofortwi rkung von unterjahngc n Zahlungen: i) Bei lincar-unterjii.hriger Verzinsung (»Sparlwl1lo- Modell ") mindcrt cine untcrjahrig gctcrstcte Za hlung A sofort in voller Ho he die bcstehcndc Restschuld (denn die his dahin aufge/aufenen Zinsen werden ja separat gesammeu und ersl zum (sptileren) Ianres- bzw. Zinsp eriodenende der Restschuld zugebuchl) . Bei nneare r Verzinsung (nach dem Sparbuch -Modell) wird somit eine unt eJjatllige Zahlung A unmiltelbar in Hiller Hoh e als Tilgung ( = Restsehuldminderung) verwcndet und scnkt somit unmittelbar die Bemessungsgrundlage fur die nu nmehr zukunttig zu bcrcchncndcn zrnsen (vgl. auch die Votbemerkungen m Tab. 4.3.4). ii) Sci der I Cl\fA~Kontomhrun g erfolgt jedc unleJjatui ge Zal11ung prinzipiell zu einem (nolfulls noch einzufiih renden) Zinsz uschlagtetmin und w ird sofort unter Anrcchnung der brs dah in aufge-

laufenen (konformen) ztosen tiigung...w irksam (und damit fii r die Zukunft auch zillSwirksam) vcrrecbnet (vgl. etwa Tab. 4.3. 11) Nun ist cs in der Praxis haufig anzu trcffen, dass Kreditin stitute, Bausparkassen etc. von der gcschildcr-

ten (finanzmalhemalisch korrekseni " sofortigcn Titgungsverrechnung" abwciehcn. Dies kommt etwa dadurch zum Aus druek, dass bei unterjahn gcn Riiekzahlungen des Schu ldncrs die T ilgungsverrcchnung (d.h. die restschuidmindemde Buchung) nieht sofort bei Zahlung, sondem erst sparer vorgcnommcn wird (z.B. Zahlung monatlich, Tilgungsvetrechnung vierleljiihrfich oder jiihrlich usw.) . D icscn Vorgang bezeichnct man als nach~chii x2 an den getuciuen Nullstelle X liegen. ii) Ru ndungs- oder sogar Rrchenf ehler wahrend des l terationsprozesses beeintrachugen nkhl die

Konvergm z des Vafo hrens, solange f(xJ 1(xJ < 0 gill, lediglich die Kanvergenzgeschwmdigkea k onnte abnehmen. iii) l terations vaf ahren wie die Regula falsi eignen sich hervormgend [ur program mierbare ekktronische Rechner: Da stets dersdbe Rechenweg durchlaufen wird, ist ein nur geringer Programmierauf wand erjorderlich.

Beispiel 5. 1.32: Bs soli die Losung dcr Glcichung (5.1.24): l OOxs - 60x3 - 80 = 0 mit Hilfe der Regula falsi enn ittclt worden. Die Glciehung bcfindet sich berets in dcr crrordcrnc ben .Nuustcnc nform" f(x) = O. Da cs sich urn die Aq uivalcnzglciehung cines finanzrnat bematischcn Vorgangs handelt, erse tze n wir wieder x dureh die Variable 'I ( = I + ieff) und erhalten die zu loscnde Gleichung

Urn zwei gceignete Startwcrtc '11' '12 ausfindig zu mechen, legt man zweckmalligerweise cine w crtctabclle an. Wir scrzcn (in der Hoffnung, halb wegs nchug abgej'chti/21 zu haben) naehcinander fur q die Zah len 1,04 (dh, 4% p.a.), 1,08 (d.h. 8% p.a.) und 1,12 (d.h. 12% p.a.] cin und erhaltcn (auf 4 Dezima len genmdet): ('12)

'I

1,04

f(q)

-25,8265

1,12 -8,6499

11,9385

Zwischen '1\ = 1,08 und '12 = 1,12 m1L~S (wegen f(q\) J(qzJ < 0) cine Nullstellc Mit Hilfe der Irerarlonsvorschnft (5.1.29) dcr Regula falsi c rhalten wir:

q

licgcn.

5.1

233

Grund lagcn

q jf{q2) - q2f{q l)

1,01l ' 11,9385 - 1, 12 · (- 8,6499)

!iq2) - !iq \)

11,9385 - (-1l,6499)

1,0968 .

Den ersten Nahcrungswcrt (sowie atle wei/eren) tragt man zweekmiil3igcrweise in die bcrcits angclcgtc w crtcrabcttc cin, die dann folgcndcs Ausschcn crhalt: (gl)

(g 2)

(g3)

q

1,08

1,12

1,0968

f(q)

-8,6 499

11,9385

-{),4430

-0,0367

Da f(q3} < 0, wird fiir die zwcite Naherung q l durch q3 ersctzt: 1,09611 ' 1I,93115 - 1. 12' (- 0,4430) 11,9385 - (-0,4430)

'" 1,0976 .

Analog ergcbcn sich die wcitcrcn Naherungen: qs '" 1.0977 ; q6 '" 1.0977 ; q7 '" q6 = qs = q9 = ... '" 1.0977 . Naeh 5 Schritten ~steht" das Itcratio nsverfahrcn, wcitere Itcrationsschntte bringen in den erstcn vier Dezimalcn kcinc veranderung. so dass als Losung q der vorgcgcbcnen Gleichung 100qS - 60q3 - 80 '" 0 auf vier Dczimalcn gcnau der Wert q = 1,0977 bctrachtct werden kann. (Wert auf 9 Dezimalen genau: q '" 1,097672095.) Damit lautet der Effektivzins des Kredits aus BcispieI 5.1.22:

ieff '" 9,7672 % p.a.

Das entsprcchende verglelcbskcntc - bewcrtct mit diesem Effcktivzins - fiihrt (no/Wendigerweise) am Ende der Laufzeit zum Kontostand Null: Periode

Rcs tschuld K l _ j

t

I

2 3 4 5 6

Aufg'dbe 5.1.33:

100.000,00 109.767,21 60 .488,40 66.396 ,43 72.88 1,51

Zinsen ~

T ilgu ng T l

9.767,21 10.721,19 5.908,03 6.485,08 7.118,49

- 9.767, 21 49.278,81 - 5.908,03 - 6.485,08 72.88 1,51

9,7672% p.a

0,00

Annui\M AI

0,00 60.000,00 0,00 0,00 80.000,00

(Vergleichskon/o zu Bsp. 5.1.22/5.1.32)

Man cnnittle den Bffcktlvzins des Krcdits von Bcispie1 5.1.22, wenn

I) zucrst 80.000,-- € und spatcr 60.000,-- € zuruckgczahlt werden; Ii ) beide Riiekzahlungsraten 70.000,-·

€ bctragcn.

234

5

Die Ermiulung des Effektivzinssat zes in der Fina nzmathcmatik

5.2 Effektivzinsermittlung bel jah rllchen Letstungen Wic wir im cinfuhrcnd cn Kapncl 5.1 (insbesondere in Beispiel 5.1. 8) geschcn habcn, sind fur die Beslirnmungen cines Erreknvarnssenes fur d o durch seine Za hlu ngsstrome geken nzcichn ct cs A nlage-I

Finanzierungsgcschafl 'Lwei Aspekte wcsentlich, die den Vorgang der Effcktivzinsbestimmung in zwei Phascn auftc ilen: (5.2 .1)

Zu welchen Zeilpunkten worden welche Zahl ungen von welcher Serre geleistet ?

(Frage nach dem reoten Zahlungsstrom, d.h. Auflistung - nach Zeupunki und Hohe der latsiichlich gef lossenen Leisnmgen und Gegenleistungen, Ermiutung des realen Zahlungsstrahls) «

(zugehOriger Tilgungsplan: .Kreditkonto "] (5.2.2)

I PHASEZ I

- Phase I -

Wclchc Verzi nsungsmethode muss/darf man auf die in (5.2 .1) dcfinicrt cn Za hlungen anwcnd cn urn -uber die Uis ung dcr rcsu ltierc ndcn Aquh'aIenzgleichung- dcn Effektivzinssatz zu erhaltc n?

(Frage nach der Vertlnsungsmethode bzw. Verzinsungs"ideologie " sowie der nach dieser Zinsfiktion anzuwendenden Konwfiihrungsmetlwde.) (zugeh6riger Tilgungsplan: " Vergleichskonto "oder " Eff ektivkonlo ")

-

Pha~e 2 -

Bemerkung: In Beilpiel 5.1.8 haben wir lediglich die Kontofuhrungsbedingungen in Phase 2 (i./fErmittlung) varuen - Phase I war tereus abgeschtossen, da samuicne Zahlungen vorgegeben waren. In den zu nacbst beha ndelten StandardraJ len (hel jiihrlichen L ds tungen), die d urch die v ora ussetzuugen

Zinsperiodc '" 1 J ahr samtlichc Zahlungen crfolgcn ausschliealich zu Z inszuschlagterminen (d.h. zu Jahresbeginn oder -ende] gckennzeichnct sind, Fnhrcn (g/eiche Zahtungsreihen vorausgesetu] samtlic he Verzinsungsmcthodc n und KontofOhrungsmodcllc zu idcntischcn Aquivatenzgleichungcn und daher zu identischen, allein zahlungsstromin dividucllcn Effck tivzinssarzc nl''. Fur Standardk rcdite und -investuio nen Ist dahcr nur Phase 1 (5.2.1) bcdcutsam, die in Phase 2 nbnc bcn Vcrzinsungsmc tho

'a

n = -6- = 36,72378 H albjahre In 1,05 = 73,44757 Quartale = 18,36189 Jahre.

264

5

Die Ennittlung des Effcktivzinssat zcs in dcr Finanzm athcmatik

Nach Ab.~chhL"" von Pbase I ergcbcn sich somit (zusommengefasstt folgcnde Resl wicdcr nach (6.2.2) - dUTCh den (mi/ dem Marktzins enniuel/en) Barwcrt allcr zukiinftigen Letstungen gegcbcn. DeT BOrsenkurs [Nenokurs, " clean price) hingegen ergibt sich aus dicsem Kurs Cr. durch Abzug dcr Stnckztnscr r (6.3.3)

Bcrsenkurs

(clean price)

::::

finanzmathematiseher Kurs minus Sruckzinscn (dirtyprice)

A nders ausgedrOckt: An der Borse Ist der cffektive Preis (:::: Bruuokurs, dirryprice, [inanzmathematischer Kurs) fUr ein fesrvcrzinslichcs Wertpapier gcgcbcn durch den Borsenkurs (Nettokurs, clean price) plus den zu zahlenden Stuckztssen. Dicse Praxis verschlcicrt zwar cincrseits den wahren Preis des Papiers im Kaufzcilpunkt, vcrmcidct aber andererseits die sieh sonst zu den Z instenninen crgebenden KurssprOnge (vgJ. Aufgabe 6.3.14). Wir wollen das Vorgchen an cinigen Bei~pielen verdcutlichen: Die unterjahnge Verzinsung erfolgt hier mit der I CMA~Methode, d.h. unterjahrige Zinscszinsen mit dem (zum effek/illen Jahreszinssatz) konfonn en unterjahngen Z inssatz (USA: Venvendung des relatiren unterjahrigen Zinssatzes). (Die Stuckzinsen hingegen werden - wiebisher- zeitpropomonat (linear) mniUelt!)

6 .3

317

Kurs und Rcndite zu bchc btgcn Zci lpunktcn - Snlckzin sen und Borsenku rs

Beispiel 6.3.4: Eine gesamtfatligc 8% igc An lcihe, J ahrcskupo n, wird nach eioer Gcsamtlaufzeit von 7 J ahrcn zum Nennwert zuruckgcnomm cn. Das Papier soli 2 J ahre und 9 Monate nach der Em ission verkauft worden , die Umlaufrcnditc fur vergleichba re Papiere betragt zu dicsem Zeitpunkt 10% p.a. Gcsuc ht sind im Verkaufszcitpunkt Bruttopreis:

c; -1/ --

+--

e'l

-+--

8

8

irrele vonle, do vergon_

i) Bruttoprcrs

ii) StOckzinscn

iii) Borscnkurs des Papiers.

Kaufz~lpunk.t

I

- --

-+----+-

8

8

m

m

8

genh~"sberogene

---1-

-

(Z~."

--

8

8

"'

100

leisfungen

i) Bruttoprcis c; =

= Barwcrt (10% p. u.) aller noch a usste hcnden Lcistungcn = t IS- I

(8 ·.,:..t..:,.....O 1 + 100) •

I

~

1,1 '

=

99, 27% .

ii) Stuc kztnscn musscn fur 9 Monatc gezahlt wcrdcn. Sic bctragcn daher pro 8 '0,75 = 6 € . iii) M it den Er geb nissen von i) und ii) lautet der bOrsennotierte Wert

c;.

100 € Nennwert

c;. im Kaufzeitpunkt:

= 99,27 - 6 = 93, 27% .

Ei n Wertpapierkaufcr hat somit pro 100 € Ncnnwert ci nen Bctrag von 93,27 € fur das wcrtpapier zu zahlen pius 6,--€ Stuckz inscn , insgcsamt also (mi/99, 27€) per saldo dcnsclbc n Preis, der ihm als E rtrag ubcr cas Papier in Form vo n Zin sen und Rucknahmewert (bei 10 % p.a. effekliv) wiedcr zuflient, vgl. i).

Beispiel 6. 3.5: Kaufmann H uber kauf t 4 Monatc nach cincm Zins termin cin gcsamtfalhgcs fcstvcrzinsliehcs Wertpapicr (deneitiger Borsenkurs 105,71%) , da s cine nominelle Vcrz insung von 7,5 % p.a . (jilhrlicher Kup on) aufwcist und nach 2 1a hrcn und 8 M onarcn mit eincm Aufgcld von 3% (auf den Nmnwen] zuruckgenommcn wird. Gcsucht ist H ubers Rendite. Da aulkr dcm Borsenwcrt noch Sruckzlnscn in H ohc von 7,50 1~ = 2,50 zu zahlen sind, muss H ube r insgesamt cinen Preis vo n 108,21 fur das Papie r zah lcn, d.h . Leistungen und Gc genlcist ungen stellen sich wic folgt da r:

108,21

I,

~

;$

; ;;;;;1

(Zeit)

~$

- - - 2.6bhre

7~

'f - --I

Dar~.us ergibt sich fur q ( = 1 + i~ff) die A quivalenzglcichung;

q3 - I

t

q- l

q2,6

108,21 = (7,5' - - + 103) ' - _ mit der Los ung: ieff = 6, 16 14% p.a.

6

318

Fcstverzinsfiche Wertpap iere (Einfii.hrung)

A bschlicJ3cnd wollen wir an zwei Bcispiclcn klarcn, wie Kurscnnittl ung und Rcnditcbcrcc hnung be l halbjlihrlicher Zinszahlung crfolgcn, wobci auch hier Vcrkaufszcitpunkt e zwischen zwei Z instcrminen ange nommen werden (untrrjiihrig: leMA-Methode). Beispiel 6.3.6: Kerz kauft 72 Tage vor dcm nacbsten Z instennin ein gesamtfalhges festvcrzinslichcs Wcrtpapicr, nom incllcr Z inssatz 6% p.a., wobc i halbjahrlic h 3,-· € fje I QO € Nennwert) we Auszahlung kommen. Insgesamt steh en noch 9 Halbjahres kupons aus . Z uglcich mit dcr Ictztcn Kuponzah lung wird das Papicr zum Ncnnwert zuruck gcnommen. Die Umlaufrcndite fur vcrglcichbarc Papicre bctragt im Kaufzcitpunkt 8,16% p.a. Gesucht sind Brut toprcis, Stuckzinscn und BOrscnnot icrung im Kaufzcitpunkt. Kauf.eifpunkt

C,

, I

i9 ff =8,16'1Jp.o,

;" ;" Jr:

_

I

( Q unfavfrendite)

(Zeit)

3

I

I

I

I

3

3

3

3

'"

'"

'"

'"

12 Tage

I

I

3

3

,or

'"

100

0.4 Halbiahre

A us ieff = 8,16% p.a. ergibt sieh der konforme H albjahrcszins ip tiber (1 + i p)2 = 1,0816,

I + ip =

V1,0816

=

d.h .

1,04.

Damit ergibt sich fur den dirty priee (d.h. incl. Stackzinsrn) des Papiers nach (6.19):

Ct=

9 3 . 1,04 - I. - ' 0.04 1,048,4

+ -1Q!L '" 94,77%. 1,048.4

Stuckzinscn sind fUr 0,6 Halbjahrc zu entnchten, bctragcn somit 3 0,6 '" 1,80, so class der Borsenkurs leutct :

c;.. '"

C't- l ,80 '" 92,97%.

6.3.7: Einc 9.4% igc Anleihe bcsitzt cine Rcstlaufzeit von 12,6 Jahren, die Rucknabme crfolgt zu 102%. pro Jahr existieren zwei Zinstcrmine. Im Kaufzeitpunkt wird die Anleihe zu eincm Kurs (clean p rice, d.h. onne Sliickzinsen) von 92,40% notiert.

Bei~pi el

Gcsucht ist die Rendite fur eincn A nlcgcr. Die erste (von insgesamt 26) Zinsratcn (zuje 4, 70) ist nach 0,1 Jah rcn = 0,2 Halbjahren fallig:

c1 -= 96,16

{sill

"L - , 10, ""bi

K~'zei~llnkj

4.70 m

12.6 J = 25,2 Holbiahre

- - ---C ·1

--1 4.70

4.70

4.70 'UT

102

(Zeil)

6.3

Kurs und Rendite zu bclicbigcn Zcitpunktcn - Stuckzlnsen und Borscnkur s

319

Die Stuckzinscn fUr 0 ,8 Halbjahrc ergebcn sich zu 0,8 . 4,7 = 3,76, so dass der Bruttopreis C; des Wertpa piers gcgcbcn ist dureh 92,40 + 3,76 = 96, 16% . Bezclchnct man mit q ,= 1 + ip den (zu 1 + Aquivalenzgleichung q26 _1

1

q- 1

q 2S.2

96, 16 = 4,70 ' -- - --

' -

102 -

q2S,2

i~JJ

konf ormen) H albjahrcszmsfaktor, so lautet die

mit der Lo sung

q = 1 + ip

1,052 912,

10,8623 "" 10,86% p.a.

d.h .

Aufgabe 6.3.8 : Speku lant Uwe B. kauft cin festvcrzinsl iches Wertpapi er, da s derzcil (nheUle") zu 110,8% (de an price) not iert wird. Folgend e Dat en sind be kannt:

-

Gcsarntluufzcit (von Emission bis Ruckn ahmen 13 Jahre

-

Restlaufzcit (Kilufzeilpunkt (nheute") bis Rucknahme]: 5 J ahre

-

Zinsausstattung (nom .) des Papers: 6,75% p.a, tense Kuponzahlung f ur Uwe B. em Jahr nach Ankauf szeitpunkt)

-

R ucknahmck urs: 101,3%.

Ma n crmittle Uwes Rcnditc

I) naeh der Nahcrungsformcl (6. 1.12)

ii) exakt .

Aufgabe 6.3.9: Ein festverzinshches Wertpapier mit Nennwert 100E: , Laufzeit 10 J ahre, Kupon 7% p.a. und Au sgabckurs 89 % bringt dem E rsterwerber eine Rendite von 9,5% p.a. i) Wie hoch ist dcr R ucknahmckurs? ii) Das Werlpa pier wird unmi ttelbar naeh dcr 3 . Zin szahlung zu einem Kurswcrt verkauft, der dcm

Kaufer cine Effektivverzinsung von 10 % p.a. garantiert (Rucknahrnek urs wie unter

i» .

Zu welcbcm Kurswert wird das Papier verkauft? iii) H uber hatte da s Papier zum Emissionszcitpunkt gckauft. Die 10 Zinszahlungen halt e er jcweils unmittelbar naeh Auszahlung in cincm Ratensparvertrag zu 6,5% p.a. angclegt .

a) Obcr welches Kapltalvermogcn vcrfugt cr am E nde der Laufz eit ? b) Wie hoc h ist jctzt seine Renditc aus der ~ kombi n ierten U An lage ? h ') Wie hoe h ware H ubers Renditc gcwescn, wcn n er die 10 Z inszahlungcn nicht angelegt , sond em unter scincm Kopfki ssen verstcc kt hatte? (Darnil ist eine potentidle oder reate Wiederanlage der Kupon -Zahlungen nicht moglich.)

Aufgabe 6.3. 10: Ocr Verlag Plattwunn AG benotigt frisches Kapital und will cine 7 %igc A nleihc (Zinsschu ld) ausgcbc n. Die Ru ckzahlung soli nach 12 J ahren zu 102% erfolgcn, den Glaubi gcm soli eine Effcknvv crzinsung von 7,5 % p.a. garantiert werden . i) Zu welchem Emi ssionskurs kommt die Anleihe auf den Mark r? ii ) Wie hoch ist dcr Borscnkur s zwei J ahre vor der Ruckzahlu ng (Marktzmmiveau 7,5 % p .a.)

a) unmutelbar vor Z inszah lung b) unm ittclba r naeh der Zinszahlung?

6

320

Festverzinslicbe Wcrt papicrc (Einfuhrung)

Aufgabe 6.3.1 1: Huber crwirbt em festvcrzinsliches Wcrtpapier zum finanzmathcmat ischcn Kurs ( = Borsenkun p lus Stucksinsen} von 9 1%. Die Restlaufzeit betragt im Kaufzcitp unkt noch gcnau 11 Jahre, die erste Zinszahlung (7,5 % p.o. nominell) fallt noch an H uber im Kaufzeitpunkt. Der

ROcknahmekurs betragt 102%. I) Man ermittle die Rendite fOrden Kaufer a) mil dec Nahcrungsformcl (6.1.12)

b) cxakt.

ii ) VOT Falligkeit der 5. Zinszahlung steigt das allgemeine Marktzinsnivcau (und damit de, Effektivuns f ur Kaufer aiaes Papiers} auf 15% p.a. Zu wclchcm Borscnkurs wi rd das Papicr unmillclbar VOl dcr 5. Z inszah lung not icrt ?

Anfgabe 6.3. 12: Einc 6%igc Anlcihc (jiihrliche Zinszahlung) wird 4,3 Jahre vor R ucknahmc (die zu 100% eifo/gen wird) an dcr B/.' TSCmil 110,25% not iert. i) Man enn ittle d ie Rendite des Papicrs zum angcgcbcnen Z citpunkt. ii) Wie tauter die Rcnditc bci halbjiihrlieher Z inszah lung?

Aurgabe 6.3.13 : E in gesam tfa lliges fcstvcrzmsuches (6,5% p.a. nominel/) Wertpa pier wird 7.2 J ahre vor Ru ckna hmc (Rucknahmekurs: 105%) ebc r die Borse verkauft. Das allgemeine Mark tzinsnivea u fu r verglciehba re Papiere liegt bci 9,75 % p.a. i) Man cnnittle Brutt okurs, Stu ckzin sen und Borscnkurs im Vcrkautszei tpunkt. ii) Man bca ntwortc i], wenn die (nom.) Z insen halbjahrlich geza hll worden .

Aurgabe 6.3.14: E in gcsamuafugcs. festve rzinslichcs Wertpapier (12% p.a.; lahreskupon} hat cine Rcstla ufzcit von 4 J ahren, crstc Z inszahlung nach eincm J ahr, Rucknahmc zum Nennwcrt. Man enn ittle [unter Berucksichtigung eines im Zeitablauf unveranaenen Marazinsnlveaus von effektil' 10% p.a.) die a) finanzmathematischcn Kursc b) Borscnkursc fOr den bc trachte ten Zcltpunkt sowie nae h jcdem weite ren Monal des ersten und zweiten Rcstlaufjabres und vergleiehe die heiden Kursfolgcn hinsichtlich ihrer Werte und der "Slet igkeit " der Werte. • Aurgabe 6.3.15 : Am Markt gcbc cs nur f -jahrige Anlcihen, Zahlungsrcihe. ( = einjahriger Zero-Bond) sowie 2-jahrib'C Kupon -A nlcihcn, Zahlungsrcihc:

(SiimlJiche Leu tungm /Gegenleistungen sind angegeben in % vom Nennwen. Der Nennwen set hetiebig wah/hur.) Es ist geplant. einen neuen zweijahngcn Zero-Bond zu emiuicren.

(L)

(GL) (L)

( GL) (L)

(GL)

100 I 100 I

1 lOS

I

I

8

108

100 I

I C2 - ?

Mit welch em i) Effekt ivzins ii ) Riieknahm ekurs ~ muss dicsc r 2-j ahrigc Zero-Bond ausgcstartet werdcn , dami t sfch Aquivalenz (d.h. "Arbitragefreiheil ", d.h. keine "Ge/dpumpe zwischen den drei Anl eihen ergibt? U

)

(Hinweis: Man zerlege diegegebene zweijiihrige Kupon-An/eihe in wei Zero-Bonds una beachte, dass die Rendite des dabei auflre/enden einjahrigen Zerohund bereits bekannt isl.)

321

7

Exkurs: Aspekte der Ri sikoanalyse - das Duration - Konzept '

Fcst verzinslichc w crtpapiere (Bonds, Anleihm, ... stene Kapilel6) gcboren zu den bcsonde rs wichtigen Finanzinstrum cnt en, und zwar insbesondere dann. wenn de r Sc hu ldne r/ E mitte nt ho he Bonita ! ge nic1~t.

In diesem Fall durftcn somn die zukOnftigcn Rucknasse aus etnem Bond nach Hohc und Zeitpunkt sicher seln (d.h. das "Bof!itiitsrisiko"dar[dunn vem achlassigt werden],

Dochauch jctzt blcibt ein gcwissesRisiko fur den Inhabcr des w ertpepiers: -

Der akt ucllc ( Wirder-) Verkau fsprcis (Kurs) des Pap iers unterlicgt stets SCh....ankungcn, die sic h

nach dem jewcils hcrrschcndcn Marktztnssatz fur vergleichbare Papiere richton:Steigtder Marktzinssatz, so sinkt der Kurs des Papiers (denn Invenoren e!Warten eine hohereRendue, geben sich also mit den [ixienen (res/lichen) Zahlungen aus dem Papier nur dann zufrieden, wenn der Preis nSlimml", d.h. entsprechend niednger liegl). Umgc kchrt bewi rken Marktzinssenkungcn , dass der Preis fur da s Wertpapicr stcigt, den n die fixicrten (restlichm) Riiekzah lungen aus dcm Papicr werden nunmchr nich t rnch r so stark abgcz inst, liefem also cincn ho hcrcn Barwcrt (= Kurs) als zuvor.

- Bctrachtct ma n dagegcn das Endvermogen cines Wert papierinhaber s aus den Zahlungen sei nes Papiers, so bcwirkcn zwischcnzcitfiche Zinsverandcrungcn bei dcr Wicd eranla ge der fixicrtcnjahrlich flicBcnden (restlichen ) Z inszah lungcn [Kupon-Zahlungen} eincn gcgcntauftgcn Effckt zur xu rsvcrandcruog, w ahrcnd cine Zin steigerung zwar den Wert (Kurs) des Paptcrs mindert, bewirkt sic doch andercrscits, dass d ie laufcnden Kupon -Z ahlun gen zu cincm hoheren Zin ssatz w icdcrangclcgt werden kcnncn und somit auch eincn hohcren Endwert erwarten lasse n. Um gekehrt bcwirkt eineZinssenkung einerscits cine Kursstcigeru ng, die laufcndc n Kuponzahlungcn hingcgen konn en nunmehr nur zu einem geringcren Zi nssatz rc-m vcsticrt worden, vermi ndc m also den Endwert aus dem

Paper. -

Ein c wiehtige Fragest ellung bct rifft daher das A l1~maB der Kursan derung (Zinsempfindlichkeit, Sensilivitiil) festverzinshchcr Wertpapiere bei Zinssatzschwankungen: Wenn ich etwa schon vorher weiB, dass cine Z inserhtihung run cinen Prozcntpunk t den aktuellen Kurs mcines Wert papiers run 4% fallen lasst , kann ich andcrs agie rcn (etwa am Optionsmara} , als wenn ieh mit einem Kursvcrtust von (z.B.) 7% rechne n muss.

-

w clchc E igensehaften cines festv erzinsliehen w ertpapiers (wie z.B. UIufzril, KuponhOhe) bzw. wclc he externen E influ ssfakt oren (wie z.B, das herrschende Marktzinsniveau) sind es, dic die.KursEmpfindliehkeit des Wert papiers beemflussen, und in welc he Richtun g bee influsse n dicse Parameter ggf. den Wert des Papiers?

-

SchlieBlich: Gibt es even tuell cine Zc itspa nne / Laufzeit fu r ein festverzinslichcs Wertpapier, die wen n sic als H altcdaucr fur das Papier interpr etiert wird - gcradc die gcnan nte n unterschiedlic hcn E ffekte aufwiegt/ iiber kompcnsicrt , zu dicscm Zcitpunkt dcm Wertpapierinhaber also mindcs tcns dasselbe Endvermogen garanticrt, als harte kcine Zinssehwa nkung stattgcfunden? Kurz: Kann man ein fcstverzinsfiches Wertpapier octer cin ents prechc ndes Wertpapier- Portefeuille gCb'Cn Zi ns· sehwank ungcn (egalin welcher Richtung) n im m u ni.~i eren'''!

Filr einige Uberlegungendieses Kapilels sind Grundkenntnis.se der Differcntialrechnung notwendig, s. z.B. [Tie3]

322

7

7.1

Exkurs: Aspekte d er R isikoanalyse - {)as Duration-Konzept

Die Duration a ls Mal1fi.i.rd ieZinsempfindlichkeit von Anleihen

Betrachten wir eine Anleihe, bcstehend aus den zukOnftigcn (Kupon-) Zahlungcn Zk zu den Zcitpunkim Zcitpunkt t n sc i dabci in der letzten Zahlung Zn bcrctts ten t k (k = 1,...,n). Ocr R ucknahmckurs

en

enthalte n (Abb. 7.1.1) :

Co =?? .. I

I

Zcitpu nktc : 0

I

I

I

I

Abb. 1.1. 1

I

Z,

Z,

Z,

Z,

Z,

Z"

I,

I,

I,

I,

I,

'"

(= Luu!zeit.en,

¥ messen In imF:,rioden selt =0)

Dann crgibt sich im Zeitpu nkt t = 0 der finanzrnathcmatische Wert (Preis, dirtyprice, Bruuop reis} Co de r A nlcihe d urch A bzinscn samtlichcr Zahlungcn ~ mit dcm im Zcitpunkt t =0 hcrrschcndcn Marktzinssatz i fiir vcrglcichbarcAnlagcn. i)

Ist i dcr sledge Pcnodcnzinssatz, so c rgibt sich nach (2.3.47)

. z,

I:

(7.1. 2)

'-I

.

·e- It•

ii) Ist i dcr diskrete cxpo nenticlle Pcriod cnzinssatz, so gilt- da untc rjahrig mit dcm konrormcn Zinssatz

gcrcchnct wird - nach (2.3.15)

Co=

(7.1.3)

Z I '(1+ir I1 +Zd1+ ir

IZ

+",+ Zn' (l+iftn =

f

k _l

Zk·(l+ ir t•

= f z, k- l

q_t.

Bemerkung 7.1.4: (7.1.2) und (7.1.3 ) [uhrm zum gleichen Barwen Co' wenn zwischen dem stetigen Zins satz (wir bezeichnen ihnjetzt m it i.J und dem diskraen Zinssetz i die Beziehung

el s = 1 +i

i. = In (l +i)

bzw.

besteht.

Beispiel 7. 1.5: A nleibe tNennwen 100£) mit ciner Restlaufzcit von 5 J ahren, Kupon 1O € , erstmals nach cincm J ahr, Rucknahmc am E nde der Restlau fzeit zu pari. Im Zei tpunkt t=O hcn schc cin Marktzinssatz von Ses p.a. (stetig): Co = '?'? I Zeitpunkte:

I

I

I

10

10

10

2

3

0

,

10

I

110

s

(Jahre seir t = 0)

Da nn crgibl sich als Preis (bzw. Kurs) des Papicrs in t=O {siehe auch (6.1.6 ) mit ei stau q = 1 +i) ; cOM ' S -1 i) Co = (10 ' eO.os I + 100) ·e -o.os S = l06,6 15575 ::= 106,62€ (i~ff = 8 %p.a. stetig) Bctragt der effektive Marktzinssalz 8 % p.a. (diskrete Zinsfonnei, s. Bem. 2.3.45 ii} , so folgt aus (6.1.6 ) 1085 - I 1 ii) C = (10 ' -· - - + 100) 0,011 1,085

°

= 107,98542::= 107,99 €

(i.n: 8 % p.a. diskret)

(Bei 1,08 = el, d.h. stetiger Zinssatz i = 7,696 1% p .a., bzw. i = e O,08, d.h. diskreter Zinssatz i = 8,3287% p. a.[uh ren beide Methoden zum glcichen Preis Co .)

7.1

323

D uration als Mall fOr die Z inscmpfindlichkcit

Bci de r Fragc naeh der Empfindlichkeit de s Kurses Cu bci Zins satz schwank ungen 2 bcsc hrankcn wir uns auf den Fall, da ss urunittdbar nach Kauf de r A nleiheder Markt zinssatz i ( =8%) urn den (kleinen) Bctrag di (z.B. 0,1%-Punkle) zunehmcn moge, d.h. auf 8,1%. Gcsu cht ist also jctzt die rcsulne rcnde And crung des A n1cihe kurses Cu. Bckanntlich 3 wird die And erung eincr Variablen (hier: Co) bci Anderu ng dcr unabhangigen Variablen Ihier: i) urn eine (kleine) Binheit di durch die erste Ahlcitung CQ(i) (denDifferenlialquolienten) bzw. das Differential dCu = CO(i) di gcmcsscn .

In unserem Fall bcdcu tet dies (wirbenutzen zunach.\,tdie Baiehung (7.1.2) mil sietiger Ven insung, Kellen-

regel beachtenl}; (7.1.6)

.

Daraus folgt fur die relative {prozemuale} vcran dcrung d; des Anlcihcp reiscs in Ahhangigkcit von der 0 Z inssatzanderung di:

'.

:[tk·4· e-Il,

_ :[t~ ·~ 'e- itk · di

,. ,

(7.1.7)

c' - ~'7'---- · di

•

=, - D ' di .

,.,

~z,

=, "Durat ion" D Wir konncn somit zweicrlei Iestbalten: Definition 7.1.8:

(Duration - bei Verwendung derstetigen ZinsfonnelJ

U nter der Durati on D ciner gegebencn Za hlungsrcihc Z ,. Z 2' ..., Z n ([tWig - bezogen auf 1= 0 - zu den Zeupunkten It, t 2> •••, In ) bcim Marktzinsniveau i (stetiger Zinssatz) versteht man die Zahl D mit

•

,., • ,.,

I: l~ ·4 · e -n.

(7.1.9)

:[~ · e -it l
Z {ieg en eim'ge O-KuflIM m il hoherer laufzeil

unterhalb von CN 0 ist in diescm Fall erfhllt! 14 siche z.B. ITicJ ) Salz5 .2.JO IS siehc Bern. 7. 1.14 sowie For meln (7.1. 17)/(7 .2.10) in Verbind ung mit der Oberlegung, dass jcdc Einaclzahlung 4 cioer Anleihc a1s Zcrobond aufgcfasst werdcn kann,

7

342

Exkurs: Aspekte del Risikoanalyse - das Duration-Konzept

Die Duration Dr elnes Wert papier -Portfolios is! die Snmme der mit ihrem prozentualcn Marktwcrt-Anleil ak am Gcsamtwcrt des Portfolios gewtcbreren Durations Dk (k := 1,...,n) der einzelnen Papiere:

(7.3.9) WiT wollen diesen Sachverhalt fOr zwei beliebige Wertpapiere A I und A 2 allgemein bewetsen (fur mehr als zwei Papiere verliiuft der Bewd~ analog):

Anlcihc A j bcsitze in den Zcitpunktcn Ixdie Zahlungcn Zlk

, n) , n) (dabei umfa ssen dieZeupuskteIt samtlichevorkommenden Zahtungs-Zeitpunkue beiderAn ieihen, evil. konntezu einem oderzu mehreren Zeitpunktenlkgelten: Zik = 0, i = 1, 2) . Anl cihcA z bc sltze in den Zei tpunkten Ix die Za hlungen Z 2k

(k '" 1, (k '" J,

Nac h (7.1.17) gill fOr die Durations D ,. 0 2del heiden Anleihcn :

"

" ,.,

:L 1k "Zlk "q -lk ,.,

L lk '~k 'q - l"

•

L

,.,Zzk ' q- l" Nun kumuli crt man die bcidcn Anl eihen zu einem Wcrtpapier-Portfolio, desscn Zahlungcn jedcm Zcitpunkt Ik aus derSumme Zi t + Z:2k der Zahlungen beidcr Anlcihen bcs teht.

~

in

Dann ist nach (7 ,1.17) die Duration 0 dieses Portfolios gcgebc n durch

D

L" tk · (Zlk + Zzk) ' q-t" ,., " (Zlk + Zzk)· q-t" I: ,.,

" lk ,Zlk ' q-t. I: ,.,

Dureh wcltcrcs Umfonnen erhalten wir (der Nenner Cobezeichnetden Gesamt-Barwen Co ( :=Marktwen in 1=0)des Portf olios = Summe COl r C o2derEinzef-Barwrrte derbridenAnlrihen):

D =

" tk ·Zl k· q-l " L" tk'Zzk' q-t " I: ,., , ,., Col + Co2

COl+ Co2

•

=

I: Ik,Z lk q-t. ,.,

c"

Co>

COt + C02

"

=

I: tk · Zlk · q-t. k_1 Col

"

COl + C02

L tk·Zz k· q-t. , ,.,

C"

Co,

C" Col + CO2

•

:;[ lk·Zzk · q-t. , ,., COt + C02

c" c"

D I ' a t + D 2 ·a2·

Da die jeweils zwcitc n Bruche gcna u den Barwertameil aj jeder Teil-Anlcihc ~ am Ge samt -Barwcrt COl r C O2) dars telle n, ist der Bewets von (7 .3.9) fur zwei Anlcihen erb racht.

Co ( =

Fur beliehig vlele (2.8 . m) Anleihen nsst sich der Beweis auf analogc Weise durchfuhren, indcm man aus den m Einzcl-Anlcihcn cine kumulierte An teine bildct und dann deren Ges amt- Duratlo n mit der dcm onstricrten Um fotmungs-Srratcgic aus den Einzel-Durations crmittclt .

7.3

Die immu nisicrcndc Eigcnschaft der Du ration

34 3

Mit H ilfe von (7.3.9) lassen sich fOreinen Investor insbesondere zwei FragestelJungen beanrwcrtcr r i)

Mit ciner Investition in H o hc von Co [€] soli in t = 0 ein Wertpapier·Portfolio anfgeba nt worden. Der Investor habe cinen Planungshorizont von T Jahren . Al so wird er - urn gcgcn Zmssatzscbwankungen geschutzt zu sein - aus den am Markt vorhandenen Anlcihen im Rahmen seines Budgets cine Auswahl so treffen, dass d ie Oesarnt-Duration D p des Portfolio s gcna u seincm Planungshorizont T entspricht (siehe Beispiele 7.3.1017.3.11) .

ii ) Ocr Investor besitze berets in t = 0 ein aus verschiedenen Wcrtpapieren bcstehendcs Portfolio. Wic

lange soli cr an diescm Portfolio testhahen, urn gcgen Z inssa tzschwa nku ngen geschum zu scin? Da zu muss cr nach dem Vorhcrgcnd en led iglich d ie Gesamt-Duration D p scines Port folios enni tteln und scinc n A nlagehorizo nt T mit diescm Wert in Obereinstimmu ng bringcn (siehe Beisp ieI 7.3.12) . Beispiel 7.3. 10: Der Investor habc cinen Planungshorizont von 5 J ahrcn (= T) und .....i 1l 500.000 € fur diesen Zeitraum in w ertpapieren anlegen. Ocr heutige Markt zinssatz bctragc 7% p.a. Zur A uswahl stehen zwei cndtalllge Kuponanlcihen A I' A 2, crstc r Kupo n nach eincm Jahr, Ruck nahme zu pari, Nominalwert [Nennwen] proSt iiek 100 € : A I: A 2:

Kupon : 8% (baogenouf den Nennweru; Kupon: 6 % (baogen ouf den Nennweru;

Res tla ufzcit: 4 Jahre Restla ufzclt 10 Jahre .

Wie soli der Investor sein Budget auf dicse belden Wertpapiere aut teilen, urn gegen [unmittelbar nach Kauf evil. sla/tfindende) Zin ssatzsehwankun gcn gcschutzt zu scln? Ide e:

Die Gcs amt- D uration D r des Portfolios mu ss mit dem Planungshori zonr T ubcrclnsnmmen , d.h . d ie bciden Papiere ma ssen in solchcn Marktwertanteilen a i' a 2 gekauft worde n, class die Sunune dcr mit dicscn Anteilen gewiehtelen Ein zc1-Durations D I' D 2 gerade die !.>L......unsc hte Gcsamt-Duration Dp = T = 5 ergibt.

Die E inzcl-Duration s D j • D 2 bcrechnensich nac h (7 .2.9) zu:

D l = 3,5847; D 2 = 7,7093.

Dam it muss gclte n: a 1D I+a2D 2 = D p = 5, d.h . 3,58 47 'a l + 7,7093 'a2 = 5

tmu

0 /+a 2= 1)

Setz t man a z = I - a l in diose Glcichun g ein, so resulticrt: a t = 0,6569, d.h. 65,69% des Budgets ( fl. 328. 450€) entfallenauf Anlcihe A I; az = 0,3 43 1, d.h. 34,31 % des Budgets ( fl. 171.550 € ) entfa l1en a uf A nlcihc A 2. D ie Prcise je 100 € No minalwcrt (Kuru) COl' Co2 der heiden An lcihen ergeben sich a ls Barwcrtsurnme der noch auss tehende n Lcist ungen und bctragcn 1.074 - I 1 107 10 -1 1 COl = (8 ' ----007 + 100)--4 "'" 103,39 € ; Coz=(6 ·~ +100) -1 0 "",n,98€. • 1,07 , 1,07 Da her wird dc r I nvestor

328 .450 /C OI "'" 3177 Stucke (je 100€ Nenn wen} von Anleihe A j sowie 171.550/ C oz "'" 1845 Stucke (je 1OO€ Nennwen] von A nleihe A z kaufen.

Beispiel 7.3. 11: Wic Beisp iel 7.3.10 mit folgendem Umersc hicd: Marktz inssatz 5 % p.a.; Planungshorizont S J ahre. A ulkrdem:

E s ste hcn d icsmal S w ertpapiere A I' A 2, A 3 zur Auswahl mit folge nder Ausstattung:

AI: Kupon 10% , A 2: KUfXm 8 %, A 3: Kupon 7%,

Rest lanfzeil 2 J ahre Restlaufzcit 6 J ahre Restlaufzcil12Jah rc

'* '* '*

Durat ion D I = 1,9129 Durat ion D z = 5,0689 Du ration D ) = 8, 7968.

7

344

Exkurs: Aspekte dcr Risikoanalyse - das Duration-Konzept

FOr die dreiAnteilswerte ai' a 2, a3 (mil ak

alD\ + aZD1 + a3D1 =" 6 a l + a 2 +a 3 = 1 .

~

0) bei Immunisicrungmuss nun offenbar gelten:

(Voraussetzung:

Der Planungshorizont liegt zwischen

gr6jJteru nd kleinsterDuration)

Dicscs (fosbare) lineare G leichungssystem bes itzt - da bei 3 Variablen our 2 G leichungcn existicrcn -

bclicbigviele LOsungen, die man erhalt, indcm man fur cine Variable, z.B. ai' cinco gccigncten Prozcnrwcrt vorgibt und damit das entstehcnde System lost (dabri muss beaduet werden, dass negative Ameilswenenichtmoglich sind, d.h. es muss gelten: a*> 0). Gibt man z.B. vor: a l = 0,2 ( =20%), so folgt aus der zwciten G1cichung: al '" 0,8 - 3 3' Sctzt man diesc beiden Informationen in dic crstc Glcichungcin, so crt an man insgesamt: 31 = 0,2 (=20%, vorgewahlt}; ea = 0,3809 ( =38,09 %) ; a 3 = 0,4 191 (= 41,91%). Gibr man stat tdessc n etwa vor: al = 30%, so folgt auf demsclhcn w ege a 2 = 19,63%, a3 = 50,37 %.

Der Investor kann durch gecignete Lincarkombinatlon der cinzelnen An leihen jcdc Duration crzeugen, die zwischen der klcinstcn und groBten Einz el- Du ration Iicgt.

Beis pie l 7.3. 12:

Ein Investor sicht sich etncm dcrzeitfgen Markrzinsmveau von 6% p.a. gcgcniiber. Er ist im Bcsitz von cincr Nullkupon-An leihe A l sowie zwci endfii11igcn Kuponanleihen A 2l A 3 mit folgcnden Ausstattu ngen, siehe naehstehcnde Tabclle:

A,

A,

Zcrobond

Kupc n-Anlcihc

Kupo n-Anleibc

10 Jahre 100%

8% H ili", 100%

5% 9 Jahre

20.000€

50.000£

30.000£

A,

T,p K upon (Z) Rcstlaufzcit (n) Riicknahmc kur s vorhandcncr Nominalwert

100%

ioo.oooc

Der Investor will die Haltcdaucr des Portfolios so abstimmen, dass sich Immunisierung gegenOber Zinssatzschwankungcn ergibt. Er crreicht dies Zic1, indcm cr seinen Planungshorizont so wahlr, das dieser mit der Gcsamt- Duranon Dr seines gcgcbcnen Portfolios iibcreinstimml. Die Einzel-D uranons der drci Wertpap icre ergcben sich nach (7.2.9) bzw. (7.2.10) zu: D [ = 10 (=11);

D 2 = 3,5923 ;

D3 = 7,3993 .

Die Durations Dl rnusscn mit den entsprcchenden Markrwertanrcilen a l gewichtet und a ufsummiert werden, siehe (7.3.9 ). Z ur Errniltlung dcr a k bcn61igt man die Kurse Cok der einzclnen Papiere (mit Hilf e des akiueuen Markn inssatzes auf den Ptanungszeupunk i t = 0 abgainste zukiillftige Z ahlullgen aus den Papieren}: Col = 100 ' 1,06 - 10",,55 ,84%

Markrcert A ,

20.000 '0,5584 = 11.168 £

Co2 = (8 ._' - - + 100 ) -4 "" 106,93 £ ~ Markrwen A 2 0,06 1,06

50.000 ' 1,0693 = 53.465 £

1 064 - I

I

1 06 9 - I

I

0,06

1,06

Co3=(5 ' -'-

~

-+100) - "9 " 93,20 £ ~ Marktwert Aj = 30.000 '0,9320 = 27.960 £ Portfolio-Gcsamtwert = 92.593 £

7.4

345

D uration und Convexity

a l == 0,1206 ;

Daraus ergeben sich folgende Marktwertanteile:

a z == 0,5774;

a 3 == 0,3020

und dara us die Portfolio-Duration: 0 " = 0, 1206 ' 10+0,5774 ' 3,5923 +0,3020' 7,3993 == 5,5148. Oc r Inves tor solltc also fur scin Portfolio cine H altedaucr von ca. 5,5 1ahrcn vorsc hcn, urn sich vor Zinssatzschwankungcn (in t = 0+) zu schutzen.

7.4

Duration und Convexity

Die Duratio n D bzw. die rnodifizicrtc Duration MD (==D/(l +i), siene (7.1.22» kan n - wie etwa in Beispiel 7.1.12 oder Beispiel 7.1.23 gcschen - als Maa fur dte Zlnsscnsftfvnat des Anlcihckurses verwcndet werden. Nach (7.1 .2 1)/(7 .1.22) gilt (7.4.1)

dC

D

-O = - - dl= - MD di Co

1+ 1

bzw.

MD = - -

1

ac,

·-

Co di

CO Ol

= - -

-

Co

(D == Macaulay-Duration nach Def 7.1.16 mit diskreter Zinsfonnei, t »c dtskreter Mark n ins, MD ==D/(1+i) = modifizierteDuration)

Daraus w ird noc h einmal deut hch, dass mit H ilfc der Duration der Kurs C1J(i) linear approximicrt wird und da hcr auch nur fur klcinc Zinssatzsch.....ankungen di brauchba re Nahcrungswcrtc licfcrt. T arsachlich abe r ist die Funktion Co(i) nichllinear, wic die Funktionsgleichu ngcn (7.1.3)/( 7.2.4) zcigcn:

(7.4.2)

Co(i) '"

.-,f z, (1 +ir

t

•

bzw.

qn _ l

I

q _1

n qn

C,(q) =(Z · _ + C ) .-

(q = l +i) .

Ab b. 7.4.3 vcrdcutlicht d ie Z usarnmcnha ngo in dcr Umgcbung des Ausgangszinssarzcs io == 8% p.a.:

Lin eare Approximation des Werlpapierkurses Colil durch die (modifizierfel DuratiOnM D dCo = - MD ·di

C,

Abb. 7.43 100

20

fi)

Marktzins

346

7 A spek te der Risikoanalyse - das D urat ion-Konzept

Beispiel 7.4.4:

(sieheauchAbb.7.4.3)

Gcgcben sei eine endfallige Nu llkupo n-Anlcihc, Kupon 8%, Restlaufzeit 20 J ahre, pari-Rucknahme. Ocr Ma rkrzms io betrage im Planungszeitpun kt 8%

r-e-

Bet Schwankungcn di von ca. ± 1 %- Punkt stimmen die Punktton Co(i) und ihre Tangcnt e auf den ersten Blick noch rcc ht gut ubc rcin. A llerdings zeigcn sich bci nahcrcm Hinsehen aueh jetzt scho n deutlieh eAbweiehungcn, z.B. fur di = 0,01: Nliheru ng:

D = 10,6036 (ennittelt m il (7.2.9)) ~

Wcgcn Co(O,08) = 100 Exakt:

~

MD = 9,8181

de, = -9,818 1 ' 0,01 "'"- 0,0982 = - 9,82%. c; ~

Co(0,09) "'"100 - 9,82 = 90, 18%.

C o(0,09) = 90,81% . d.h . der absolu te Fehler der Niiherung bct ragt ca. 0,8%.

Je groller die Z inssatzsehwan kungcn wcrden, dcsto groller wird aueh der Fehler der lincare n Naherung Iur C(i) in der Umgebung des A usgangsalnssatzcs io' sichc Abb. 7.4.3 . So liegt es nahe, zur Verbesseru ng der Approximation auc h nlch tltneare Nah eru ngen , z.B. quadrati srh e Approximati onen zu verwendcn. Damit ist gemctnt: A n der Stelle io soli - als " Niiherungs- E rsat z~ fur die Originalfunktlon CoC!) - ein quadralisches Nlih eru ngs-Polynom ~(i) (Funk /ion zweiten Grades) crzcugt werdcn, das die Original-Funktion bcson dcrs gut a pproximiert. D ie Th eorie derarti ger Nahcrungs-Polynome ist scit langcm bekannt (Taylor'sdur Sa lz 16) - dahcr soli hier ein clcm cntarcr Ansatz skizziert werdcn: wahrcnd be i der Iincarcn Approximation (d ies teistet die " Tang enten ~- Funk lion) gcfordert wird, dass an der betreffend cn Stelle a) die Funktionswcrte und b) dieStcigungcn (= 1. Ableimngen) vo n Original und Nahcrungnbcrcmsrtmmcn (siehe Abb. 7.4.3) , geht man bci der qua dra tischen Approximat ion noch cinen Schritt welter: E in q uadrat isches Polynom C~(i) stcl lt - in der Umgebung einer au sgewahnen Stelle io -einc besonders gute Nliherung fur die Original-Fu nkt ion Co(i)dar, wcnn an derStelle io gilt:

~;,) = c,(i,) C~'(io) = C~(io)

e

N ' ) =C"(' 0 " ( 10 0 10)

(d .h. die Funk tionswene von Niihenmg und Original mussen ubereinstimmen] (d.h. die 1. Ableimngen von Naherung und Original mus sen ubereinstimm en] (d.h. die 2. Ableirungen von Niiherung und Original mussen iibereinstimmen) .

~(i ) - ars quadratisches Polynom in i hat die allgemeine Form. C~(i) = a+ bi+ei 2. Dafur uns die Stelle to bcdcutsam ist, verwendcn wir zwcckmauigerwetse anstelle von i die Differenz i- io, so dass e

(mil Hilfe der no ch zu bestimmenden Parameler« o. « i . a 2) das Na henmgspolynom C~i) lautet :

, , ,;, C~(io) ,

~(i) = a o+a l(i - io)+ a2(i-i o) 2

=

~'(i ) = a l + 2ali -io)

= al

ei':"o ( I,) = 2a2

= 2a2 ';' C~(io)

16 siehc ctwa [Wall 262lT

ao ,;, Co(io) ' r-1)" ( 10 ' ) ea = 2'

7.4

347

Du rat ion und Convexity Damit lautct das Nabcrungspolynom ~(i) 2. Grades fur C(i) in einer Umgebung von io :

C~(i)==

O

o 5: Aktienkurs in t 1 (Tag der Erfol/ungJ K Termin-Kaufpreis

Abb. 8.2.5a - Aktie long

G

(5/ I

I "

Aktienkurs in 11 (AusOwngslag)

Abb,8, 3.4 Man sicht:

Wahrend der Verlust der Long Call Position auf die Hohe der Optionspramie Pc bcscnrankt bleibt, kann - wenn der Akticnku rs S nur genOgend hoch gestiegen isl - ein bcliebig hoher Gewinn eingefahrcn werden. Dabci kann der Investor> andcrs als beim dirckten Akticnkauf- dieses Gcwinnpotential bei gcnugcnd stcigendcn Kurscn bcrcits mit cincm Bruchtcil des Akticnwcrtes (niimlich der OptionspramiePc - man sprichtvon Hebelwirkung oder Leverage-Effekt) rcalisicrcn, allerdings tsr - auch hier anders als beirn direk ten A kticnkauf - auch der komplctte Einsatz verloren, wcnn dcr Aktienkurs nicht odcr nurwenig ansteigt.

Beispiel 8.3.5:

(Soon Call)

Entgegengcsetzt zum Long Call stcllt sfch die Position des Verkiiuf ers ciner Kaufopuo n (Stiflhalter, Short Call Position) dar; Er hal darauf zu warten, ob dcr Kaufer des Call seine Kaufoption ausubt oder nicht. Wird sic ausgcubt (wenn niimlich aktueller Kurs 5 > X (Basiskurs), siehe Bsp. 8.3.3 taw. Abb. 8.3.4) , so muss der Stillhalter zum Basisprcis X cinen Titcllicfcm, fur den er am Markt soeben S (>X) bezahlt hat. Dafur crhalt cr als Gegcntelstung a) die Optionspramte'{sowlcb) den Basispreis X. Damil ist im Fall dcr Ausiibung dcr Call-Option dcr Gewinn desStillhaltersgegcbendurch X + Pc - S und kann dahcr -wcnn der Akttcnkurs S graB gcnug wird - praktisch beliebigcnegative wer te annehmen (unbegrenzses Verlustpotential dershortcallposition). Wird hingcgen die Kaufoplion (falls S S X) nicht ausgcubt, so verblcibt dcm Stillhalter die Opnons-

prarruc PC'

Mil den Daten von Beispiel 8.3.3 {Basiskurs X =1OOE, OptionsprcmiePc = 20E) ergibt sic h: Stcigt dcr Kurs S in t l auf z.B. 150 €, so wird die Kaufoption zu X = 100 € ausgcabt, derStillhalter licfcn cine Akne im Wert von 150 € , erhalt dafOr aber nur 120 € , sein Veriusl bctragt daber 30 € . Fallt dcr Kurs hingegen auf z.B. 50 € , so verfallt die Option, derStillhaltcr rcalisicrt einen Gcwinnin Hohc dcr Optionspramic pc- d.h. 20 € . Sci Kurscn S mit 100€ < S < 120€ wirddie Option ebenfallsausgeObt, der Stillbalter realisiert cinen rcduzicrten Gcwtnnin Hohe von X + Pc-S, d.h. bel z.B. S = 115 € : 0( 115) = 100+2G-115 = 5 €. Insgcsamt ergibt sichfur den Stillhaltereiner Kaufoption (Short-Call-Position) das genauc Spicgclbild der Long-Call-Position; Was der cine gewinnt, verliert der andere und umgckehrt. sichc Abb. 8.3.6: lZ Die Oplionsprfunie bcinhal tct ggf. schon die auf sic entfallenen Anlagczlnsc n

8

362

Bxkurs: Derivative Finanzinstrumcnte - Futures und Optionen

{GJi Gewinn Gewinn G der Short -Call- Position in A bhii ngigkcit vom Akticnku rs S in 11:

G=G(S) =

Pc

1X +P c - S

rans s r x

fal ls S > X

d.h.

I

~?'

Short Call

rc..._ ",.-;;-_ -" ,,20/,' Akhenkurs inf, /201 Pc ;' rAusObun,-,shnj

o

6>0

XtPc

If,/

.pc !/.onqCdI/

'

I

I

x

+ j S -X +pp fallsS <X 1 PI' nns s a x

falls S s X falls S > X

S-X+pp- pc = S-X· = GA' (mit X*= X - pp +pc) (siehe (8.4.2))

(8.4.9)

m.e.w. die Kombinat ion aus Long Call und Short Put ergibt (beigleichenBasispreisen Xi eine LongA ktie-Position (symhetischerLong Future) mit einem Tenninpreis X· in H ohe von X - pP + pc -

Anhand cines fiktivcn Zahlcnbeispicls (Basispreis:X = 400, Callpreis:pc = 40, Putpreis Pe = 20) soli die cntsprechc ndc graphische Bcgriindung folgen. Da - wie gesehcn - dcr resntnerende Cewinn der kombinicrtcn Position durch Addition der Einzelgewinne ents tcht, crgibl sich graphisch der kombin lerte Gcsamtgcwt nn du rch Addit ion der Ordinatenwerte der E inzclpositioncn , siehe Abb. 8. 4.10:

19 Man ubcrzcugt sieh durch Grenzwcnbildung an den Nabtstcllc n der ebschniusweisc dcflmerten Gewinnfunktio nell leicht devon, dass samtliche Gcwin nfunkticnen stctig sind. Dassctbc gill darm auch flir die additive Oberlagerung ve rschiedener Gewinnfunknoncnbei Kcmbination der Basisgeschaflc. Daher ist es unerbcblich, auf welche Seite der Nahtstcllc im Dcfinitiensbereich das ~" -Zeichen bzw. das c s ode r ~ "-Zcitllen scm. man kann - da keine Irrtume r zu beflirchten sind - damit auch belieb ig wcchscln.

8.4 Einfache Komb inat ionen aus Fixgeschaft en und Op tionen

369

(GI l Gewinn

I

Gc• =

IMg

call C

G p _=

,/

J - 40 15- 440 J 5 -380

1

20

falls 5 s 400 falls 5 > 400 falls 5 < 400 falls 5 ~ 400

, 1;:

, ..

Gc •... P - = 5-420 = GA'

(Tcnninpreis: 420)

(Long Call + Shon Pia = Long Aklie) (= synthetischer Long Future) Abb. 8.4. fO

Synthe tische Pcslnceen konncnverscbiedene vcrteue autweiscn, z.B. i) Wenn es an dcr T erm tnborse fOr cine bcs timmt e Ak ric nur Oprioncn, abe r kcine Futures gchandclt wcrden , kann mit H ilfe zweier Opti on en (s.o.) dcr futurc cnachgebaut" werden.

ii) 1m Verglcich zum dirckten Eingchen riner Akti cnposition ist des Eingehen rin er synthetisc hen Long Futures Position mit crhcblich gcringcrcm Kapitalems atz verbund cn (auflerdem gleichl der Put-Eno s den. Call-Preis lei/weiseaus, siehe Beispiel:Auszahlungs-Saldo: 40 - 20 = 20) . Wir wollen nachfolgcm.ldie iibrigen Ba~isge X + J X - 5 - Pr falls 5 < X 1 - pe falls S ~X

J X - S- Pp+ Pc

1X - S-P p+Pc

"

falls 5 <X falls S ~ X

= X-S -pP+Pc = X· - S = GK (ShorrFuturemit Eifullungspreis X* = X -pp + Pc)

X

long p uf p +'" .J..

1

_

C -+P ~= A -:

j

Abb. 8.4. 11

Akfie Short

Il

370

Exk urs: Derivative H nanzinstrum cntc - Futu res und Op tioncn

Bemerkung: Derebendarges/eWe symhetische ShortFuture!uhn zurgleichen Position wit ein"nannater" Aktien-Leoverkau] [siehe Fn. 18), aber ohne dass zuvor die zugrnndeliegende A ktie geliehen werden muss. Auperdem kann -ebeniatts im Grgensatz zum "realm" Leerw rkauf «di esynthetische Shon Futures Position jederzeit durehein entsprechendes Gegengeschdft glattgrs/elltwerdenzo. (3) Long Call = l ,OIIg Put

+

LongAktie

Beweis: Mit (8 .4.6), (8 .4.2) sowie (8.4.4)

IGJ Gewinn

crhaltcn wir: £1115 5 <x,

J X] - S - Pr

1

e ns s ax,

- PI'

f XI -XZ -PI'

falls S <x,

1

fa!ls S < X.

15 - XZ- PI' _ pOI

+S -X2

fongpul p + / ,/

falls S ?:X 1

l S - XI- POI falls 5 ex , (mil p . '" X l -Xl +Pp) Gc'

(mit: Basispreis:X j

///f

fong Aklie A #-/

- p,

•

Abb. 8,4.12

Optionspramle:p OI)

(4) Short Call = Short Put + Short Aktie

Bewns : Mil (8 .4.7), (8.4 .3) und (8.4.5) folgt: GI'"+ G A -

'"

j S - X\ + Pr e ns s ex, PI' nns s a x , - S + X 2

1

I X2 - X l + PI' fullsS <X\ l X2 - S + Pr ens s ex,

f

shorlpul P-

o

(51 C", P -+A ":

p. fal ls S <X\ lX1+ p· - S fall s S ~ X \ (mil p. '" X 2-X/ +pp)

5horl

Co((

Gc- (Basisp reisX/; Optionspromie p .)

Abb. 8.4,13 (5) long Put = tong Call + Short Aktie Beweis: Mit (8.4.4), (8.4 .3) und (8 .4.6) gilt: GC· +GK '"

I l

long calf c »

- ec rans s s x,

S - Xl - pc X2 - S

fall s 5 > X l + X2- S

- sc nars s s x.

Xr X\ - Pc

(51

(l11s S > X\

I X1- S -p·

fall s 5 ":: x, -p. e ms > x, (mit p · ",XJ -X2 +Pc )

1

Gp •

20 siche etwa

IStBl 508f

(mil: Basispreis X s, Optionspriimiep·)

p. ",

Abb . 8.4. 14

8 .4

371

Einfachc Kornbiranonen aus Bx gcschaftcn und Optionen

(6) Short Put = Short Call + Long Aktie

,

{GJ ' Gewinn

Beweis: Mil (8 .4.5), (8 .4.2) und (8. 4.7) gilt: Pc fal ls S 5 XI fallsS >X 1 +S- Xz

,/

p'

1XI -S + Pc

0 C-+ OA+ '"

J S - Xz + Pc eats s s x. lX1- Xz +pc t:1.l Is S >X 1

0 +---1-/

J S - XJ + p.o mn s s x , p.o falls S > X1 (mit p .o ", X/ - X l+Pc)

,/

""

x,

{51

1

0r-

~,/IOng Aklie A+

(mit: BasispreisX],

Optionspramiep"]

shorteall C-

Abb , 8 4. 15

Bemerkung 8.4.16: Forden m an zusatzlich die Gleichheu atler Basiskurse, d.h. X = X , '" X l ' 50 folgt aus (3) bis (6), doss die Optionspriimiep.oder resuhierenden Option mit derOptionspriimiepc taw. Pr der zur Kombin ation verwend eten Option ubereinstimmt. Dunn lassen sicn (wegen G c ' = G c - usw.) sdmtlune Posinonen 2) bis 6) p er "A rilhm elik" aus einem beiiebigensynthaischen Basisgeschiif l, z.B. (6): Gc ·+GA- =G~ herteiten. Bd fpiel: A us (6) j o/gt: - GC++ GA-=- Gp< ~ Gc +=Gp< +GA + f:l (3) USW. l 1 r

Aufgahe8.4.17: Unte r den Vorausse tzungcn der letztcn Bemerkung (Gldchheit alter Basisk urse, siene Bem . 8.4.16)

lcitc ma n aus de m synt hct isehcn Bastsgescbaft (6), d.h. Short Put = Short Ca ll + LongAkt ie

o..

und sctner Gcwinnfunktion

Gc- +

GA -

per " Ari t hmeti k~ samutcbe ande ren synt hetisehen Positio ncn (1) bis (5) her. Aufgabe 8.4.18: H ube r m6ch te geme einen Forward-Konlrakt zum Kauf dcr Moser-A rj-Aknc in 6 Mona ten zum T enni npreis (Bus6p reis) von 100 € abse hliel3en. A n der Borsc wcrdcn allerdings keine Forwards/Futu res , sonde m led igJich Optionen auf die Moser-A ktie gchandc1t, die A ktie steht de rzeit bet 100 € . Folgcnde 6- Mo nats- O ptionen auf d ie Moser-A kt ie sind handelbar: Ca lls:

Basispreis 95 e, Opnonsprarnic7 e, Basispreis 100 € . Optlonspramic 4 €. Basispreis 105 Optionspramie2

e.

Puts:

e.

Basispreis 95 € . Optlonspramie1 € . Basispreis 100 e, Opuonspramic3 e , Basispreis 105 € . Opuonspramic 6 € .

I) Wie kann H uber durch Kombinalion dieser Op ncncn cinen " symhetischen " Forward -Kont rakt konstruicrcn, der genau seinen o.a. Vorste llungen entsp richt? ii) Wclche unte rschiedlichen Porward-Kontrakt c (Gewinnfunklion?) lassen stch aus jeweils zwei del o.a. Opti o ncn synthetisieren? Wclchc komm cn H ubers Vorstellungcn am nach sten? E rmittlcn Ste fur jcdc Kombination d ie mil Kontraktabschluss einhergehenden A usza hlungen des Investo rs.

21

sichc auch [Biz] 283ff

8

372

Exkurs: Derivative Finanzlnstrumcnte - Futures und Opti oncn

Urn die Viclfal! kom binicrter Strat egicn anzudcutcn, die mit H ilfe von gccignetc n O ption en rcalisiert werden konnen, erwahnen wir im folgem.lcn einige (z. T. als Paket an de' EUREX hand elbare) Optionskombtn attoncn (Spreads, Straddles, Strangles/Combinations).

8.5

Spreads

Unt er eincm Sprea d vcrstet u man cine Strategic, be i dcr zwei Optionen gteichen Typs (d.h. z.B. zwei Calls oder zweiPUIS) auf denselben Bas lswert (z.B. diesdbe Ak tie}, aber mit unt erschied lichcn Laufzciten ( Time Sprrad)

oder untcrschiedlichen Basispreisen (Pnce Spread)t2 eingebundcn werdcn.

Beispiel 8.5. 1:

(Bull Price Spread mit Calls)

E in Bull Price Spread (mit Calls) bcstc ht aus dcm Kauf cincr Call -O pt ion C · (Basisp reisX l ' z.B. X l = JOO€, Optionsprcmie P 1 = 25 €) und dem gleichzeitigen Verka uf emer Call-Option C' mit cincm hoheren Ba~i~preis X 2 (z.B. X 2 = 150€ ( >X 1), Catipreis P 2 = 15€) und gleichcr Resllaufzeit bis zum Verfal1tag. Die mit diescr Kombination beab sich tigte Srrateg ie setzt auf (leicht) steigende Kurse des zugrundclicgcnden Basiswertes.

Bemerkung: Da aer Callpreis (Oplionspriimie) mitsinkendem Basiskurs ansteigt«dieA usubung wird immer wahrscheinlicher - (Wid mil steigendem Basiskurs sinkt - die Ausubung wird immer weniger wahrschrinlich), ist im vorliegenden Fail die Optionspramie P 2 ( ; 15) f iir den verkauften Call C+ (hiihmr Basispreis X 2=150) geringer als [ur den geka uflen CaJ/ (hiiherer Catlpreis PI ( ; 25), geringererBasispreis XI (= 100 < X 2)), d.h· fur Calls gi/u .p.: X I < X 2 ~ P I> P2'

c

A bb. 8.5.2 zeigt die Gcwinosituatton in A bhan gigkcit Yom aktuellen Aktienkurs S am Vcrfalltag. (Gj

Gewinn

bull coll

price spread ~-,"---'-ShortChI! c:

x, 12S

,~

l ong ChI! C'

I.f()

I

Abb.8.5.2 Die fur den Bull- Call-Price -Spread gultigcGcwtnntunktion G = G(S) am A usubungsragergibt slchwie bisher « durch Addition der Ein zelfunktionswert c Gc ' und G c · . Mit (8.4.4 ) und (8.4.5) crhalten wir mit PI = 25,X I = I OO,Pl = I5,Xl = 150:

1 - PI G c ' = l S - XI - PI 22 spread (el1g/.):

n n s

s

s

x

,

fallsS >X I

J

- 25

= l S - 125

e n s

s

s

ro c

falls S > I00

Spannwcite (hier; zwischel1 treisen ada Resllaufuiten)

sowie

8.5 Spreads

373 falls S :;: X z falls S >X z

_ 1 -

15 1 165 -S

falls S s 150 fallsS >I SO

d.h. es musscn jctzt drei Intervalle (SS 100 ,.100<S $ 150; S> 150) gerrcnnt betraehtet werden, so dass sich als rcsutttcrcndc Gcwinnfunktion G des BullCall PrieeSpread ergibt (siehe A bb 8.5.2): - 10

falls S s x, falls x , <S" X z falls S > x,

(8.5.3)

1 '" S - IIO

falls S " 100 falls 100 < 5 ., I~O falls S > 150

Ein Bull Price Spread begrenzt Q ......innchancen und Verlustrisiko fOr den Investor. Diescr hoff! auf einen Kursansticg, der ihm emcn Uelzl auch timnieneni Gcwinn cinbringt, hat sich andcrerscits ebenfalls vcrsichcrt gcgcn einen (unerwaneten) Kurssturz. Bem erlamg 8.5.4:

(Bull Put PriceSp read)

Ein Bull Price Spread ka nn - stall mit zwei Calls - ebensogut mil zwei Puis erreicht werden. Dazu ka uJt der Inv estor einen Put P+(L ong Put, Basispreis X l' Optionsp rdmie p t ) und verk auf t einen Put I' . mit hiiherem Busispreis X l und gleicher R estlauJzeit (Short Put, Basispreis X l >X l' Basispreis p 2)' Da c.p. die Wahrscheinlichkeil, doss ein Pia ausgeubt wird, m il steigendem Basispreis immer groper wird, ist ein hoh erer Boslsprels c.p. stets mil einer hoheren Optionsp ramie verbunden, dh. in unserem Fall (PUIS) gilt: X l > X , :=> P 2 >p 1 . Die Gewinnfunkiion G = G (S) Bull Put Price Spread lam sich m it (8.4.6) und (8.4. 7) analog zum teaun Beispiel herieiten, siehe (8.5.5) und Abb. 856: (8.5.5 )

G:

{G/ Gew/nn P,

l

X1- Xl - Pl + PZ S -Xl -Pl + PZ - Pl + PZ

falls s s x, falls X1 <S sX l S> X 2 falls shorfpuf P-

I

t

Abb , 8,5 6 1m Gegensatz zum Bull Call Price Spread ist beim Bul/Pul Price Sprtad die AnJangsauszah lung p z -p I Jar den Investor p ositiv, somit bnlehtJu r ihn die Moglichk ril, a iesen Sa/do zinsbringend anzulegen. Bemerlamg a.5 .7: Neben dem eben besrachtetcn Price Spread (mehrereCallslPuts m it unterschiedlichen Basispreisen, auch "venical spread" genannt) gibl es den Time Spread (" horizonlal spread "], bei denen die beteiligten Opt ionen unlerschiedliche Resttauf zeuen besiuen, oderden Diagonal Spread, bei dem die Option en sowohl umerscniedlune Basispreise als auch unterschiedliche RestlauJzeilen 23 besitzen. 23 sicheetwa [Usz] 174lf

374

8

Exk urs: Derivative Finanzinstrument c - Futu res und Opt ion cn

w ahrend die Erwartungcincs Bull-Sp read-Invest ors auf (Leicht) steigcnde Kurse ge nchtet ist (Investor ist " hullish "), hal man cs bcim Bear Price Spread mil cinem Invest or zu tun , de r auf (lrich!) sinkendc Kurse

setzt, allerdmgs auch hier den Maximalvcrlust bei tunerwartet} steigendcn Kurscn begrenzcn will. Ahnlich wie beim Bull Price Spread hat man es jetzt entweder nur mit Calls (Bear Call Price Spread) oder nur mit Puts (Bear Put Price Spread) zu t un, bci dcnen untcrschicdlichc Basisprcisc (beigleichen Restlauf zri/en) vorlicgcn. U nterschicd: Bcim Bull Price Sprcad iSI die Short- Position stets mit dem hoberen BaoJspreis gckoppelt.

Beim Bear Price Spread ist die Short -Position mit dem geringeren Basispreis gekoppelt.

Beispiel 8.5.8:

(Bear Call h ire Spread)

Ein Investor verkaun einen Call C- (Short Caf/, Bastsprels X I '" 200, Preis P I "" 20) und kauft einen Call C+ mil hoherem Basispreis, aber geringc rer Oprionspramie, siehe Bemerkung in Beispie1 8.5.1 (Lo ng Call, Basi sprels X 2 "" 240,

PreisP2 X

J S - 70 1 130 - S

falls S s 100 fall s S > 100

{Gj ' Gewinn

short straddle

---r ------------

-- ~' "

,"",~.----~,

0 +', --'-- - /

-.

short puf P-

Abb . 8 6.5 Solan gc dcr aktucll e Kurs S des Und erlying am Hi1ligkcitstag nur zwischen X - (PI +P2) und X + (PI+P2) schwankt (im Beispiel: 60 <S< 140) , macht dcr Investor cincn Gcwi nn, allcrdings limitiertauf den maxima len Wert PI+ P2' dan n namlich, wcnn Marktkurs und Basiskurs am Vertautag ubere instirnmen, sich c

Ahb. 8.6.5.

Dcm (erheblichen) Risiko, bci unerwarter starker Kursschwankung praktisch belicbig hohe Vcrlustc24 cinfahrcn zu konnen, stcht cin verglcichsweise hoher Ncttozutl uss (=Summe der Opuonspramien P i r p 2 ( =30» bc i Investitionsbcginn gcgcnuber. Aufgabe 8.6.6: D ie Aktic dcr Moser AG noti ere heute zu 600 €. H uber kauft cinen 2-Monat s-Ca ll auf die MoserAktie (Priimie 36 £ ) und cinen z -Monats- Put (Priimie 3 0E) . Beide 0ptionen sind gcnau in-t hemoney , haben also jcwcilscinen Basisprcis von 600 € . l)

Wclehc Kurserwartungcn hcgt H uber? Wie nennt man seine Option s-Strat egic?

il) Stellcn Sic die Gcwi nnfunklion G(S) am Ausubungstag auf (Skinef) . In welchen Kurstntcrvauen

ope riert H uber mit Gcwinn, max. Gewir m, max. Vcrlust? (Zinsen bleiben unbemcksichligt) iii) Bcantworten Sic i) und ii), wenn H uber die belden Optioncn verkauft hanc.

24 zu Absichcrungsmeghcbkcucn stcte (Usz) 183f

8.7

379

Strangl es / Combin ation s

8.7

St ra ngles/Combina t ions

Wie sc hon in dcr E inlcitung zum letztcn Kapitcl angcme rkt, gehoren neben den Stradd les aueh die Combinations und Strangle.~s zu den VolatiliHits-Kombinati onsstratcgicn .

Sci beide n Stratcgien worden cntwedc r ctn Ca ll und ein Put (mit unterschiedlichen Basispreisen, abergleichen Restlaufu iten) gekauft (Long Comoinanon hzw. Long Strangle) oder verkauft (Slum Combination taw. Short Strangle). Dabe i spricht man vo n Combination, wcnn bei Kont ra ktebschluss die Optioncn out-of-t he-money sind

(d.h. der aktudle Kurs der zugrunddiegenden A klie ist kleiner als der Basispreis des Call una grofJerals der Basi sprels des Put, siehe Bemerkung 8.3.11). Entsp rcch end spricht man vo n Strangle, wen n bet Kontraktabsehluss die beidc n Optionen in-the-moo ey sind, d.h . wen n de r aktuclle KUIS des U nderlying graLkr ist ars de r Basisprels des Call und kleiner als dcr Basis prcis des Pu t, sic hc Bcmerkung8 .3.11. E in Beispiel soli die Zusamrnenhangeverdeutlichen: Beispi el 8.7.1: Die A ktic der Gimmicks AG noncre. zu 120. In diese rSituation bcschnesen die belden l nvestorcn C. H ube r und S. Moser, mit Hilfe von Opnonen auf d iese A ktieeigcne A nlagcstra tegien zu verfolgen:

C. H uber vcrkauft einen out-of-t he-mo ney-Call (Basispreis 135) zum Preis von 20 und eincn out-o fthe-mo ney-Put tBasispreis 100) zum Preis von 10 (e. HubersStrategie ist somit eine .shon combinelion "). Dagcgc n vcrkauft S. Moser zwel in-tbe-moncy-Optioncn, und zwar cincn Call (Basispreis100) zum Preis vo n 40 und einen Put (Basispreis 135) zu m Preis von 25 (damit verfolgt S. Moser die Strategic

des"shan strangle"). Bemerkung: Hier wird emeut deutlicn, dass in-the-money-Optionen leurersind als out-of-the-moneyOptionen, da das Risiko derAusabang beiersteren erheblich hoherllegtals belletzteren. Seide Investoren bezichcn also aussc hlieBlieh short-Positloncn. A uf bcwahrte Wei se konstruieren wir mit (8.4.5 ) und (8.4 .7) d ie rcs untercndc Gcwinnf unktion G := G(S) in Abhii ngigkeit vom A knc nkurs am Fitlligkeitstag: 5 - 90 falls 5 < 100 C. Iluber (shortcombination): Short Pu t: G p _= 10 uns s eioc Short Ca ll:

Gc-

Da raus fa lgt G shan combin.

G(S) = G p - + G c-

S. l\Ioser (shan slrangle):

:=

{

S - 70 30 165 - 5

G(S)

:=

:=

20 1 155 - S

S s 100 loo <S ~ 135

f:111s

S > 1J5

Gr·

:=

I

Short Ca ll:

Gc-

:=

1 140 - 5

G r ' + Gc - = {

S -70 30 165 - S

falls S s 135 falls S > 1J5

full, falls

Short Pu t;

Daraus fo lgt G'hort strangle :=

J 1 J

S - IlO falls 5 < 135 25 falls S ~ 135

J

falls falls falls

40

falls 5 s 100 falls 5 > 100

S s 100 loo <S ~ 1J5

5 > 135

25 Zur gclcgentlichen Begriffsuberleppung vo n Combinations und Strangles sichc [Usz] 189

G Short combin_

8

380

Exku rs: Derivative Finanzinstrumcnt e - Futures und Optioncn

Obwahl die cinzelncn Komponcnten untcrschiedhch sind, fuhrcn (im vorliegenden Beispiel) Short Combination und Short Strangle zu idcnt ischcn Gcsamt-Gcwirmfunktionenl Anhand der entsprechcndcn G raphikcn wird dicscr Sach vcrhalt bcsonders deutlich. siehe Ab b. 8.7.2/8.7.3 :

(GI l Gewinn Investor: C Huber

short combination

1_ ~Iao"" _IJi!iKonl'd.1 _ WI-d~ ""

---------r -- - - -- - - - - 1- - - - r ," , "

shonPul P-

'.

,,

165

-."

short call C:"'"

Abb. 8.72 /G) l Gewinn In vestor: S. M oser

----'-"~:a1~::r"" " ,' fJJ.~!!/!./;flLt?:-..._, '" t

shorf puf P-

-, "

"

135 " ,

Abb.8.7.3

165

-. "

"

-.

Ahnlich wie beim Shan Straddle gilt: Die Investorcn setzcn auf relanv knappe Kursbewcgungcn, allcrdingsist dcr datOr gceignete Bereich breiter als beim Short Straddle. Uberraschcnd ist (wit eben schon bemerkt) , dass sich in unscrcm Beispiel Short Combination und Short Strangle im Gcwinn- Profil nicht unrcrscheiden. Allerdings tst die Short -Cornbin anon-Position insofom ctwas vorteilhafrcr, als bei Ei ntritt dcr crwartcren Kursstabttttat dcr Maximalgcwinn bcrcits iiber die Opnonspramtc n rcalisicrt wird und kcinerlci Op nonsau subung statrfindet. Dcr Short -Strangle- Invest or hingcgen sieht sich bci Kursstabtlitat beidcn Op lionsausiibungc n gcgenubcr . was zu weiteren Transaktionsautwend ungcn fuhrt. Als Vort eil derShort-Strangle-Strategic kon ntc man dic Moglichkeil nenn en, die - im Vcrglcich zur Short Combination - hobcrcn Anfangs einnahm cn aus den Optionspramien zinsb ringend his zum Verfal ltag anlegcn zu kon nen. Ei nc wcitcrc Volatilitats-Strategie mit Combinations/Strangles - ana log wie bcim Stradd le - ergibt sich, wenn ma n anstcllc vorrShort Posttionen ausschliel3lich Long Posltio ncn einnimmt, siche Aufgabc 8 .7.4:

381

Einfilhrung in die Opti onspreisbcwertung

8.8

Aufgahe 8.7.4:

(Long Combination - Long Strangle)

Die Aktie der Laetsch AG noticre bci Kontraktabschluss zu 120. Zwei Investoren - C. Lug und S. Mart - verfolgen leicht unterschicdliehe Anlage-Strategien mit Oplions-Kombinationen:

-

C. Lug kauft cinen nu t-of-the-money-Call C + (Basisprels 135; Opuonspramie 20) sowie eincn out- of-Ihe-money-Put P + (Basispreis 100; Optionspramie J0) - Long Combination.

-

S. Mart hingcgen kauft einen in-the -money-Call C + tBasispreis 100; Optionspriimie 40) sowie einen in-the-money-Put P +(Basispreis J35 ; Optionspriimie 25) - IAmg Strangle.

I) Man errrnttlc filr beide Invcstoren die Gewinnfunktion G(S) am Ausilbungstag in Abhangigkeit vom dann aktuellcn Aktienk urs S. Man skizzicre beide Gcwinnprofile. i1)

werct e Risikoilberlegungcn gelten filr die Invcstoren?

iii) Welche dcr beiden Strategien (Long Combination oderLong Strangle) ist vorteilhafter?

Bemerkung 8.7.5: Die beschriebenen Options-Strategien wie Spreads, Straddles, Combinations oder Strangles bi/den in ihren Gnmdfonnen einen widuigen, allerdings keineswegs vollstiindigen Oberblick uberdie Gesamtheit moglicher Kombinationen. Da gibt es zuniichst vielerlei Untergmppen von Spreads, da giht es weiterhin die Butterflies, Condors, Strips und Strapsund dievielenanderrn, dUTCh immerphantasievollereZusammensetzungen mehrererOptionen generie11en 26 Kombinations-Strategien - wirmussenes mildiesenHinweisen aufweiterfuhrende Literaturim Rahmen einerEinfuhrung bewenden lassen.

8.8

Einfubru ng in die Optlo nsprelsbewert u ng

w abrcnd die ~ kl assi sc he" Finanzmathematik und Investitionsrechnung von sicheren zukilnftigen Daten

ausgebt, ist es das Kennzeichen von Tenningesehaft en (wie Futures und Optionen), dass die filr cine Investitionsentscheidung re1evanten zukilnftigen Daten prinzipicll ungewis s sind und somit auchdie m6glichen Ergebnisse cines Tenningesehafts risikobchaftet sind. In den vorangegangenen Absehnitten wurdc (z.B. anhanddergraphischdargestelhen Gewinnprofile) deutlich, dass insbesondere die He be dcr jcweiligen Optfonspramic Pc bzw. Pr (Preis eines Call, Preis tines Put) wcsentlieh zum Erfolg odor Misserfolg einer (letztlichrisikobehaflelen) Op tions-Strategie beitragt. Es stellt sieh somit die Fragc, welcher angemessene Preis (Fair Value) denn filr eine Option zu zahlen bzw. zu fordem ist, damit beide Parteien (d.h. der Long-Posuion-Inhaber und der Snon-Posuion-lnhaher] sich in einem fairen Geschaft bcfindcn und das Gcfilhl (bessernoch:die Gewlssheit] haben, dass aile wesentllcbcn Prcisbcstandteile (wie awa alternative Festzinsanlage-MoglichkeiteneinschliefJlich derZinshOhe, erwanete Kursschwankungen (" Vo{atilitiit derzugrunde liegendenAktie, derBasiskurs, deraktuelle Kun, die Restlaufzeil) hinreichend korrekt im Optionspreis bcrucksichtigrwurden. U

)

Wir k6nnen weiterhin davon ausgchcn, dass es cinen solchen thco retisch fairen Optionsprcisgebco muss, den n: Wenn Optlonen zu unkorrektcn ("unfairrn ") Preis gehandclt wcrdcn, sind sofort Arbitrageure zur Stelle, urn durch risikolose Gewinnrealisierungen (~free lunch") dafur zu so rgcn, dass sich das Preisgefalle (d.h. Unterschied zwischen " Wen " und "Preis" riner Option) in Richtung des "fairen" O ptionsPrcises ausglciehl (dazu kauft man bekanntfich das GUI am untetbeweneruien Markt und vemufJel1 am uberbewertenden Markt - Ergebnis: Am (billigen) Kaufmarkt steigt der Preis wegen ernomer Nachfrage , am (teurrn) Verkaufsmarkt sinkt derPreis wegen erhohten Angebots, Billiges wird somit teurrr, Teures wird billiger, die Preisebewegen sich hin zu einemeinheillichen Gleichgewichtswen, dern ~fairen " Preis).

26

siehcetwa[StB] 511ffodcr[ Usz]159ff

8

382

Exku rs: Derivative Finanzinsttumcn te - Fu tures und Option en

Es zeigt sich nun , dass die in del Llrcratur'" bcschriebcnen und auch in del Praxisangewcndeten OptionsBewert ungsmoddle d o wnfangrcichcs und nicht immcr einfach zu verstchendes mathcmat ischcs Instrumentarium zu ihrer H crlcilu ng crfordem, jcdc nfalls wei! mehr , ats im Rahm en diesel Ein fUhrungdarstellbar ist. WiTwollen daher im folgendcn IClIiglich exemplarisch vorgehcn und versuchcn, einigeGedanken und Er gebnisse, die zur Ennitcl ungdes Optionsprcises w ichngsind, ansat zweisc pJausibcl zu machen.

Als Beispiel betrachrcn wir die Ermittlungder Optlonspramie Pc (Call- Preis) fOr cincn europiiischen28 Call (Ba sisprds X, Resllaufuil This zum Ausubungstcrmin ] auf cin e (wiihrend der L aufzeit " divid en ' dengeschume ", d.h. dividendenfosej29 Aknc zu verschicdc nen Zcitpunkten vor und bis hin zwn Tag dcr Ausnbung. Mit S werdeder jcweils akt ucllc A kticnkurs bczeichnet, de r risikofreie Marktzinssatz fiir Aufnahm c/ Anlage von (kurzfristigem) Kapital sci r (> 0). Vo n Transaktionsko sten werdewiedcrum abgesehen, um die G rundidcc der Opt ionspreisenni tUung nicht zu versehleiem .

Bczciehnungcn:

Pe t

X: (8.8 .1)

S: T: r: 0:

Option spramic fur den Ca ll, Callp rcis, fa.l lig bci Kontraktabschluss Basispreis, Ausubungspreis (exerciseprice) am T agder Falligkeit Kurs (Preis) der zugrunde liegcnden Aktle (stock price) Rcs tlaufzcit dcr O ption (vom Kontraktabschluss biszurAusubung) risikoloser Marktzinssat z Iur (kunfristiges) Kapital , r > 0 Vcl anlitat, Schwankungsbreite. ~ Flatt crhaftigkcit " der zugrundcliegend en Ak tie

Der Preis Pc fur einen Ca ll bcs teht nu n im Gru ndsat z aus zwel addi tiven Kompooenten: i) dem sag. Inneren Wert des Call, der im wesentl ichen ausdruckt, urn wievicl dcr aktu cllc Akti en ku rs S im betrachteten Ze itpunkt iiber dem (abgezinsten) Basisprcis X liegt (lirgt er darunter, is!

der innere WertNull, da - wenn es so bleibl -keineA usubung stattfindenwird). ii) dem sog. zenwert des Ca ll, der dem Stillhaiter als Gcgenleistung fur die Risiken dicnt, die er mit dieser Opt ion eingeht - der Kurs konntc im Zettablauf steigcn und er kon ntc Verluste mechen , ohnc das s ihm - be l gcgcnliiufigcr Kursentwic klung - entsprechende Gcwinne zuflieBcn.

Umge kchtt: De r Call-Kaufer mu ss cine Gegen1cistung en lricht en fiir seine Chance, bci gunsti ger Kursentwlck lung die Opt ion mit Gcwinn ausuben zu k6nnen. Ebcnso mus s cr einen Beitrag zahlen fur die mit de r Option grundsatzlich verbundc ne Vers icherung, bci im Zeitablauf ungunstiger Kursentwickiung aus dem Ocsc haft aussteigen zu konn en - durch crsat zlosen Verfa ll der Option. Sehen wir uns die bcide n Prcisbcstandtcile etwas gcnaucr an: Den inne ren Wert kann man sich wiefolgt cntstandcn denken : Der Stillhalter (Verkiiufrr drs Call) muss schon hcut e - bci Kontraktab schluss - dafur Sorge tragen, die zugrundeliegende Akti e am Palligkcitstag liefem zu k6nncn . Urn sicher zu gehcn, mus s er (zumindesl rheorerisch) scho n heutc d ie Aktie in sein Depot nehmen, dafUr muss cr dcn dcrzcit giiltigen Kassa-Kur s S zahlc n, Die Gege nleistung - den Basispreis X - erhalt cr jedoch erst am Falhgkcits tag dcr Option. Urn diose Gc gcnlcistung schon heut e bewe rten zu konnen , muss sic abgezi nst .....c rdcn, Bci eincr Rcstlaufzeit T und dcm Periodenzinssatz r ergibt sich so- mit H ilfe der in dicsem Zusammenhang merst verwendete n stetigen Zin.donnel, siehe (2 .3.47) - die abgezinste Gcgenl eistung zu X ' e - rT (zurAnwendung derstaigen Zinsformel siehe auch Bemerkung 8.8.8). Somit realisicrt cr bci Kont raktabschluss (sofem S > X ·eorT) rechnerisch eincn ~ Verlust " in H ohe von S- X ' e · rT (= innerer Wert) , dcn cr als Bestandteil der Optionspramie dcm Ca tl-Kaute r in Rech nungstcllt. 27 sicbcetwa IGUn]. [HuI2] 237ff, [Pri) 223lf. INc!] 296lf 28 Europlliscbe Optioncn kOllnen nllr am Flilligkcilstag 3l1sgciibt werden, amerikaniscbe OptiollCn jcderle it, siehe Bern. 8.1.1. Die m nachstentwickeltenBewertungsmodelle fur curoplliscbeOplionenkonnlen zwiscbcnzeitlieh so modifiziert werden, da.ss 3l1ch die Bcwen ung der - an der EUREX vorzugswcisc gchandcllen - anlcrikanischen Optionen mOglich is!. 29 Wird aufdie zugrundeliegende Aktie wamend der RCS11aufz.cit der OptioneineDividendege7.ahlI, sinktdcr Aktienkurs enlsprcchend. Auchdie Einbeziehung diescs ~externen~ Elfekles wurdc inzwischen durch die WeHerentwicklung der Optionsprcismodclle cnnOglichl.

8.8

383

Einfiihrung in die Opnonspretsbcwcrtung

Bemerkung: Auch aus der Sicht des Optionskaufers ergibt sich eine analoge Bewenung: Der Kiiufer des Call muss - um sicher zu gehen - schon heutefur dieienigen liquidenMillel sorgen, die ihn spater in die Lage w rsetzen, bei Falligkeit aer Option den Call zum Bosisprels X ausuoen zu konnen. Also muss er heute den Barwen von X; namlich X ' e-rT, fur die Restlaufzeit anlegen, muss also eineAuszahlung in dieser Hohe leisten.Anaereneus "spart" er heute einen Be/rag in Hohe von S ein, den erleistenmusste, wenn er die Ak /ie sofon ins Poneieuilie nehmen wurde- Gesamtwert des Kantrakies fur ihn also (fulls S> X'e- rT) ebenfalls 5- X ·e- r7', Somit gilt (falls5 > X ' e-rT) fU r den inneren Wert cines Call: lnncrcr Wert cines Call = Aktienkurs minus Barwcrt des Basispreiscs = S - X c- rT . Da andererscits (d.h. fa lls 5 s X' e·rT) cine Ausiibung nachteilig ist und dahcr untcrblcibt, bctragt in diesem Fall dcr innere Wert Null, so dass wir zusammenfassend (siehe (8.8.2) sowie Ahb. 8.8.3) erhalten:

falls falls

Inncrcr Wert cines Call =

(8.8.2)

ss s»

X

max {O ; S-X'c- rT }

X

fPc) , Innerer Wert

eines

Call

innerer weft

5:' Akfienkurs X 80sispreis

S_ Xe-lr (> 0)

Abb.8.8.3

Pc=O

5

15/

Bemerkung 8.8.4: Furden inneren Wert cines Put gilt (mit umgekehrten Vorzeichenumifalls 5 <X, e-rT) analoges: Der 5tillhalterdes Put muss bei Kantm ktabschluss einen Geldbetrag in Hohe des Barwertes von X bereithalten una anfegen, um spater dann damit -cbeiAusu bung -c die angedienteAk tie bezahlen zu konnen, d.h. er erhaltheuterechnerisch 5 undg ibt dafur X ' e-rT hin): Innerer Werteines Put = Barwertdes Basispreises minusAktienkurs 5 = X ' e-rT - S. Liegt der Aktienkurs dagegen oberhalb von X ' e-rT, wird- wenn es so bleibt - der Put nicht ausgeubt, sein (innerer) Wert ist somit Null. Zusammenfassend (siehe8.8.5 undAb b. 8.8.6) erhalten wir: (8.8.5)

lnnerer Wen einesPui =

J1X

e-rT _5 falls S < X , e-rT 0 falls 5 ~ X ' e-r T

max {X e-rL 5 ; OJ

Ip,J , X e- rr

I I

Innerer Wert

;""";;"~ _n Abb,8,8.6

o

5: Akfienkurs

eines P U f

5

X 80sispreis Pp=O

~'-:,-------rr

X- 'e-

15/

8

384

Exkurs: De rivat ive Finanzinstrumente - Futures und O ptioncn

Beispiel 8.8.7: E incAktic notiere heute zu 200 ( = 5) . Ein Call auf diese A k tie wird abgcschlossen mit einer Laufzeit

von 9 Monaten (T =O, 75 Jahr e) , Bastsprets 190 ( =X) . Ocr nsikolosc Gcldmarktzins berragc6% p.a. Abgczinster Wert des Basispreises, falls mil dcr stetigcn Z insfonncl (2.3.47) gcrcchnct w ird: X o = 190 · eO,06 ' - 0,75 = 190 · 0,955997482 = 181,64 ~ Ir mcrcr Wert des Call: 200 -1 81,64 = 18,36

{")

Auc h d ie nbrtcbe Abzi nsungs- Formcl (siehe 2.3.15) is! anwcndbar: Ko = K,. ' q-» = K" .(1 +jfn d .h, ahgczinstcr Basiswcrt, falls mil der diskr eten Z insesz insfo rmel (2.3 .15) gerechnet wird(u ) ~ = 190 ' 1,06- 0,75 = 190 -0 ,957239478 = 181,88

d.h.t nncrcr w en dcs Call: 200 -181 ,88 = 18,12

Seide Abzinsungsfonneln (e) und (.e) fiihren immerdannzumgleichen Barwert,wenndie Zinssatze (gemafJ (2.3.51» zuvor aquivalcnt umgeformtwurdcn: q ,= 1+ i = c r

( - - -)

im Bcispicl (r = 6 % p, a (sletig),

1+ i

= CO•06

bzw.

(r: sleliger Zin ssatz, i: diskreterZinssatz },

r = In ( I +i)

i = 6,183 6547% p .a. = 1'0,06- 1 (disk ret» :

= 1,061836547, d.h. (-) X o = 190 - eO•06 · -0,75 = 190 · 0,955997482 oder: (u) X o = 190 ' 1,061836547- 0.75 = 190 -0,9559974 82 = ( -)

Bemerkung 8.8.8: Falls nicht ausdrnckiich anders vereinhun, werden wit in diesem Kapuelfur Auf-/AbzinJungsvorgange die (besorulers einf ach gebaule) stnige Zin sformei (2.3.47) verwenden. Der verwendeielahreszinssatz r ist dann als stetigerIahreszinssatz aufzufassen.

Wird der lahreszmssatz als diskreter Zins satz t vorgegeben, so muss er vor dem A b-lAufzinsenzuniichst in r (= in (l +i)) umgerechnet werden, ehe die stetige Zinsformel K T = KG' e"T (Aufzinsung von KG) bzw: KG = K T ' e·,T (Ab zinsung von K T) angewendet werden kann [siehe taues Beispiel). Wie schon obcn bcmerkt, ist der - zusil.tzlieh zum inneren Wert anzusetzende- Zeitwert der Option die Gcgcnlcistungdes Kaufers ftlr seine Chalice, dass die zugrundc liegcnde Aktie eine fiirihnpositive Veranderung 1m Zeltablauf bis zur Fil.lligkeit durchmacht (ind. der; Versicherungspramie "far den Fall ungun stigerKursentwickl ung) .

Betrachtcn wir zunachst den Werl des Call am Tag der Alt\iibung: Da jctzt ane rclevanten Dalen bckannt sind und die Zuk unft (T = Of) keine Rolle mehr spielcn kann, muss sieh ein Zcitwcrt von Nullergeben, m.a.w. der Gcsamtwcrt Pc des Call besteht am FalligkeitslagausschlieJ31ich aus seincm ir meren Wert (nach (8.8.2) ergibl sich: Pc " max { O; S- X } , da T = 0) , siehe Abb . 8.8.9: (Pc) l

Gesomtwert eines

Call

bel AustJbung 1Z O), so hat der Call neben dem inneren Wert noch zusil.tzlieh eincn tnidu-negativen} Zcitwcrt ( ~ Chance, Versichenmgspramie).

8.8

EinfOhrung in die Optionspreisbcwertung

385

Die wahren Werte von Pc musscn sornn (bezogen auf den inneren Wen in A bb. 8.8.3) oberhalb des

Kurvenzuges fO r den inncren Wert liegen, also z.B. so, wie in der folgcndcn Graphik angedcutet [siehe Abb. 8.8. 10, don Pc als Funktion Pe(S) des aktuellen Aktienkurses S dargestells (c.p.) ) : Gesamfwert eines vorderAuSllbung

5: {okluellerIAk#enkurs X Basispreis r- Markfzlnssafz To ResHaufzeif

Call

tt» OJ

Zei lwerf

pJ5/

innerer Wert

o ~

I /

Abb. 8.8, 10

5

lSI

BereichI-

Bereich II-

Bereich/ll

Option 1st ouf-of-/he-money

Opti'onisf at-lhe-money

Optionisf in-lhe-money

Dass die Callwert-Kurve in Abb. 8.8.10 nicht vollig aus dcr Luft gcgriffcn ist, zcigen z.B. die folgendcn Ubcrlcgungcn fur die drei markicrten Bereichen I, II, III :

-

Ist der Call (deep)o Ul-of-t hc-money (Barich f ). so ist - wie bcreits oben (Abb . 8.8.3) gesehen - ucr innere Wert Null, die Callpramie Pc bcsteht somit eusschueartch aus ihrern Zeitwert. In dicsem Bereich ut der Akt ienku rs S so nicdrig, dass in dcr Rest laufzeit T kaum noch mit aus rcichender Kurscrholung gcrcchnet worden kann, eine (fUr den Cat/-1nhaber gewinnbringende) AusObung somit kaum stattflndcn durftc und somit der Wert cines solchen Call praktisch Nullwird- siehe Kurvcnver[auf in Abb. 8.8.10.

-

Ist der Call hingcgen (deep) in-the-mont:y (Baekh III) , so ist dcr Akt icnkurs S so hoch, dass schon vorher so gut wie stchcr tsr, uass die Option bci Falligkelt ausgeubt wird - em Zcitwert ist sozusagcn uberflussig, die Optlonspramie bestcht im wesentlichen nur noch aus dcm mneren Wert - sichc Kurvenverlauf in Abb. 8.8.10.

-

1m at-t he- money -Bereich (II) ist zward cr inncre Wert des Call nahc bci Null (oda Null), dafOr ahcr ist sein Zcitwert besondcrs hoch, da bcrcits gcringc Kursandcrungcn in der verbleibenden Restlaufzeit gcnugcn, urnden Call ins Geld zu bringcn und mit Gcwinn ausubcn zu konnen.

Bem erkung 8.8. 11: Man zeigt m it Hilf e von Arbiirageuherlegungen leicht, doss unser Calipreis Pc [oigenden Uruer- und O bergrm zen genugen muss, siehe auch z.B. [Gun] 12ffada [Hull] 292ff : - Umergrenze: Pc a max { O; S_ X·e· rT } (d.h. Untergrenze ist der innere Wert, A bb. 8.8.3)

-

Obergrenze: Pc ::; S

(d.h. eineKaof -Option auf eine A k tie kan n memats m ehr wert sein als die A kt ie selbst -klar, aenn andemf alls k aufe ich die A k tie (kostet S) und va kauje die Op tion (bringl Pc ? S) ~ »free lunch "!)

5

Stellt man diese Grenzen graphisch dar, erhalt m an einm ", K1Jrridor" (A bb. 8.8. 12), innerhalb dessen die Callpreise Pe (S) angesiedelt sein m ussen tmoglicherweise so wie in Abb. 8.8.10): Abb. 8.8.12

Werte--Korridor

fOr d~n Cofl-WerlPc

o

X- e-rT

5- X- e-rT 151

386

8

Bemerkung 8.8./ J:

Bxkurs: Derivative Finanzinstrumenre - Futures und Optloncn

(Wirlamgen der EinflussgriijJen au/den Optionswen )

Aus den letuen OberlegWlgrn wurrle emeut deutlich, doss de, WrrtPc rinerKaufoption (Calf) aufeine A ktie - auper \10 m Aktienkun S -nocn von weiieren (ouch schon in (8.8.1) au/gelis/rlm) Gr6pen, etwa r, T, X abhiingl.

Insgesaml gibt es fUr den dividendengeschiitzreneuropcischen CaUfiinfwexentlicheEinflussgriiflen, die sich auf die entsprechende Optiansprdmie Pc auswirken: I) derbei Kontraktabschluss ataueueKUTSS derzugrundeliegerulenAktie; 2) der B asispreis X,

ZII

dem am Tag der Ausiibung die zugrunde Jiegende Aktie vom Call-lnha ber

gekauft werden kann; 3) der risikofreie kun frisligeMarktzinssatz r (in % p.a. beisteuger Veninsung); 4) die Resdaufz eiJ T (in l ahren bzw. l ahresbruchteilen] vom Zeitp unkt des Kan traktabschiusses bis

zum Falligkeitslennin der Option; 5) das Ausmap moglicher Kursschwank ungen aer Undatying-Aktie, die Volatililiit a - gemessen als

5tandardabweichung 0 derzukl1nftigenKursvaanderung oderAknenrendue, bezogen auf ein Jahr. Wir wollen - in atler Kiine, ausfl1hr/iche Analysen siehe z.B. [Hull] 286ff, [5tB] 336ff - den Einfluss dieser funf Faktoren auf die Richtung der Optionspramie Pc des Call (sowiep pdes Put) betmcmen. Dazu uberlegen wir, wie die Optionspreise reagieren werden, wenn wir - c.p. - die einzdnen Einflussgropengetrennt vemarken, d.h. im zahlenmapigen Niveou anheben: zu /) l e hoher cp. der aktuelle Aktienkurs S ausfallt, aesto wahrscheinlicher wirddie Call-Ausilbung, aeuo wenvotter also der Call, m.a. W. eine Erhohung des akuuellen A k uenk unes bewirkt eine ErhOhung des Call-Pnises (und - mil anatogerArgumentation - eine Absenkung der Put-Pre mie pp), siehe etwa auchAbb. 8.8.10. zu 2) Je hoher cp. der Basisprels X des Call, desto wenlger wahrscheinlich wirdes, dass derA kuenkurs S am Tag der Ausl1bung groper als X ausfallt, d.h, desto wahrscheinlicher verfallt spater die Option. Eme Anhebung des Basispreises bewirkt somn ein Absinken des Catt-Preises Pc (und umgekehn eine Emohung der Put-Pramie, da aer Put desto eher zurAusilbung kommt, je weitersich der Basisprels . redus " vom Kurs S befindet). zu 3) Eine Erhohung des Markizinses r bewirkt, doss der obgainste Wen X ' e-rT des Besiswenes sinkt und sich daher c.p. der innere Wert und somit auch aer Gesam twen Pc des Call emohr (beim Put dominien der entgegengeseute Effekl, d.h. eineZinserhohung vem ngen die Put-Premie, allerdings awas wenigerstark als beim Call, da der Put-StillhaltereinehOhere Ven insung der angdegten Optionspriimie realisieren kann). zu 4) Je groper c.p. die Restlaufzeit T einer (dividendengeschillzten) Option, desto grofter ist auch die Chance der zugrnnde liegenden Aktie, in fur den 1nhaber derOption voneilhafteBereiche vorzustopen (beim Call: zu steigen, beim Put: zu fa llen). Daher: Eine hohereRest/aufzeit bewirkt cp. ein Ansteigen sowohl des Cafl-Preises als auch des Pw -Preises. zu 5) Je groper c.p. die Vo/atiJitiit 0 der zugrnnde liegemJen A ktie, desto wahrscheinlicher eine (vortei/hafte) Bewegung der A klie, m.a. W. eine erhiJhte Volatilitat bedeutet sowoh/ einen erhOhlen Call-Preis als auch einen erhohten PUlpreis. hal folgende ( ... Q

EineZunahme .. ... des Aklienkurses S

Abb.8.8.14 Zusammenfassung

des 8asispreises X .., des Marfdzinsniveaus r ... der li'esl/avfZeil T ... der Volahli/l'il a

Wirkungen ...

Zunahme, ...Q AbnahmeJ

Call-Preis

P, +

•+ + +

• • + + +

8.8

387

Einfuhrung in die Optionspr cisbewe rtung

Ocr wieh tigste - und am schwicngsre n cinsc hatzba re - Einflussfaktor fur den Zeitwert [und damit fur den Preis) cincr Option ist die Volatilitiil der zugrund e liegenden A kttc. Verschicd cne Opuons-Bewertun gs-l\Iodelle30 versuchcn - auf unt crschi cdli chc Thcscn gcstutzt und unt er Anwendung stochastisch er Method en - aukunttfgc Chancen und Risiken zu trcffe nd cinzuschatzc n, urn so cincn fairen Optionspr eis gene rieren zu konnen.

Ei nes der bcdeut sam sten und derzcit in der Praxis bcsondcrs hiiufig angewe ndc te n Verfahr en ist da s Optionsp~is-Modell vo n Black & ScholCc\3 \ (" B&S-Modell") . Dtcses Modell wurd e zunachst fur die Be-

wcrt ung cines - auch hier als Beisp iel gcwahlte n - divkl cndengcsch urzten cutopaischcn Ca ll aufgcst ellt und setthcr auf fast aile ubri gen Optionsty pen wcitcren twickelt. Wi r wollcn nachfolgen d - ohne auf ma thcmatisc hc Details eingehen zu konncn - einige Ideen und E rgeb-

nissc des B&S~Modells darstcllen. E in cntschcidcndcs Momen t der B&S-M ooell-Bi ldun g besteht in der (bmd/s auch schon fruher venmenen) Annahme, dass es stch bci der Aktienkurs-Entwicklung urn einen kontinuierlichen Zufallsprozess handclt, der de m cincr geome t rischen Brown'scnen Bewrgung32 entspric ht. Da die Mat hemat ik demrti ger Prozesse schon zuvor entwickelt worden war (Wiener, Ito) bzw. aus der Physik bekannt war (Diffl'rl'ntialgltichung der Warmeleuung), gclang cs Black und Scholes zu zeigc n, dass der theo reti sch faire Call-Preis unrcr den gegcbcnen Vo rausse tzu ngcn im wesentlichen aus dem Tenn S - X · e - rT {innerer Wert des Call, siehe (8.8.2» hcrzuleiten ist, wobei " nur" noch jedcr dc r bciden Teilterm e S und X · e- rT mit einem

Gewichtun gsfaktor g\ bzw. g2zu mult iplizieren ist :

(!ULlS) D iose tweiter un/ergenauer definierten) Gewichtungsfak toren gl' g2 berucksfchtfgen die noch fchl ende statislische Schwankungs komponente - die Vola tilitiit 0 der Ak tlenku rsrendtten' ? - im Rahmen des stalistischen Modells dcr Brown'schen Bcwcgung. Se ben6tigcn zu ihrer Darstellung Wert e dcr Slan da rdNonn alverteilung:

ffJ l

Bezcichn et ma n mit N(dr den Wert der (kumulieneni Verteil ungsfunktio n der Standard Normalvertei lung, so lasst sich N(d) dars tellen als Flacheninhalt untcr dcr normierten " Ga uBschen Sta ndard~Gloc kenkurve " f f(z)

(Dich/rfunktion f derStandard-Normatveneilung) zwischen _ 0>0 und d , s. Abb. 8.8 .16 .

N(d) gibt die Wahrschei nlichkeit W datur a n, dass de r Wert z der Zufallsvariabl en Z kid ncr oder gleich d ausfallt: N(d) '=' W(z s d). Einigc Wertc von N(d) sind weiter unten in Tab. 8.8. 19 a ngcgcbcn.

o

d

Izi

Abb.8.8.16 Oichfefunklion f der 5fandard·/wmalvertel1ung

30 siebe7.B. [Per) 322lf z.B. die Modcllc von Cox & Rossodcr Block & Scholes 3\ Black, F. und M. Scholes: The Pricing of Options and Corporate Liebilittes, Journal of Political Bconorny gl . 637 659, 1973. Merton, R.C.: TheoryofRalioll.11 Option Pricing, Bell Journal of'Economics and Managcmcnt Science 4. 141-183, 1973. Fiir Ihre Arbeiten auf dcm Gcbiet dcr Opuonspreisbcwertung erhieltcn Scholes und Merton im Jahr 1977 den Nobclpreis fur Winschafl. (F. Black (+ 1995) lrbtezu dieter Zeit nichl mehr). 32 Brownschc Molckularbewcgung: rcgcllosc Znterwegung von Gas-Mclckulcn, ..sicbtbare'' Wllrmebewegung B Wenn So dcr Kurs im Zeitpunkt to und S\ dcr Kurs nach cincr Zcitcinbeit ist, so ergibt sich die Aktienkurs-Rcndue R - bezcgen auf eine Zeitcinheit - eus der Gleichung Sl = So· eR zu: R = In (S\15o). Aus der Theorie der Brown' schen Molckularbewegung kann ebgelcuet werden, dass diese Renditen normalverteilt sind - wir haben es also mit ciner Log-Nonnalverteilung der Aktienkurs-Quotienten zu tun. 34 gclcgcntlich auch auch mil F(d) oder ¢>(d) bezeich ncr und ..kumuliertc Vcrtcilung" genannt, vgl. [Wei) 165f. -r

388

8

Exkur s: Derivative Finanzin strument e - Futures und Opnoncn

WiT sind jetzt in der Lage, die Black-Scholes-ronnel filr den (thromisch) farrenWert Pc cines dividendcngcschutzten europaischen Call zu formuueren. Gleichung (8.8.15) ist dabc i wie folgtzu modifizieren:

(8.8.17)

III (SIX) + (r + 0,50 2) T

mit

In ( SI X) + (r - 0,5( 2) . T

oyT

oyT

wobei die bctciligte n Varia blen folgcm.lcBcd cutunghabc n:

PC: S; X;

r: T: 0:

Optionspramicfur den Call, Callprcis,fallig bel Kontraktabschluss Kurs (Preis) der zugrundelicgcndcn Ak tie (slOck price) Baslsprcis, Ausiibungsprcis (exercise price) am Tag dcr Falligkcit risikoloscr Marktzinssatz fur (kurzfTistiges) Kapital, r :=: 0, p.a. (sleIig) Restlaufzeil der Op tion (vom Kontrak tabschluss his zurA usubung), in Jahren (l Jahr = 365 Tage) erwartc rc Volatilitat dcr zugrundchcgendcn A kne nrcndite n, in % p.a.

N(d l ) , N(d 2) : Werte der tkum ulienen] Standa rd-Nonnal-Verteilungsfunktion,

siehe Tab. 8.IU 9

Call-Wert PelS}

IPJ I

nacn Blark&5choles

pc maxfO; 5- K 9-"1

Abb.8.8.18

°1

IS/

Derdurch die Black-Scholcs-Fonncl irnplizicrte Wertevedauf

Pc

=

PdS)

cnt spricht genau dern schon in Abb. 8.8.10 vcrmutc tcn Verlauf, siehe obc nstchcndc Abb . 8.8 .18.

8.8

389

Einfiihrung in die Optkmspreisbcwertung

Tab. 8.8.19.- Auszug ousder Ver1eilungsfunktions-Tobelle Nfd) der 5fondord-Normolverteilung: d

...

°

I

-3,8 -3,7 -3,6 · 3,5 - 1,3 - 1,2 . 0,'_0,0 0,0 0,1 0,2

0,0001 0,0001 0,0002 0,0002 0,0 968 0, 1151 0,H 46 0,5 000 0,5000 0,5398 0,5793

0,000 1 0,000 1 0 ,0002 0,0002 0 ,0951 0, 1131 0 ,3409 0 ,4960 0,5040 0,5438 0,5 832

2

J

,

s

6

7

s

,

0,000 1 0,000 1 0,000 1 0,0002 0,0934 0, 1112 0,3372 0,4920 0,5080 0,5478 0,587 1

0,000 1 0,0001 0,000 1 0,0002 0 ,0918 0,10 93 0 ,3336 0 ,4880 0,5120 0,5517 0,59 10

0,0001 0,000 1 0,0001 0,000 2 0,090 1 0, 1075 0,3300 0,4840 0,5 160 0,5 557 0,5948

0 ,0001 0,000 1 0,000 1 0,0002 0,0885 0, 1056 0,3264 0,480 1 0,5 199 0,5596 0,59 87

0,000 1 0,000 1 0,000 1 0,000 2 0,0869 0,1038 0,3 228 0,4761 0,5239 0,5636 0,6026

0,0001 0,0001 0,0001 0,0002 0,0853 0, 1020 0,3 192 0,4721 0,5279 0,5675 0,606 4

0,000 1 0,000 1 0,000 1 0,0002 0,0::138 0, 1003 0,3156 0,'-681 0,53 19 0,5714 0,6103

0,000 1 0,000 1 0,000 1 0,0002 0,0823 0,09 85 0,3 121 0,464 1 0,5359 0,5753 0,6141

...

Beispiel 8,8,20: (Enn ittlung des Fair Value eines divid endenlosen europaischen Call nach Black&S choles)

Bcrcchnct "ve rden soli dcr (theoreuscn f aire) Callpreis bci folgenden Daten (bei Kontraktabschluss): A ktuellcr A kticnkurs: Basisprcis: Marktzinssatz:

S = 157 € X = 160 € r = 5% p.a, (.uetig)

Rcstlautzcit des Call; Volatilitat:

T = 9 Mo nate ( = 0,75 Jahre) a = 20% p.a. (en X ' e-f T. Falls Sgemcssen an seincn effektiven Kosten fUr denS (ohne Berucksichtigung von Z insrn) - bci welchcmSzenario gtinstigcr? ii) Bcantworten Sic Frage I), wenn ftlr die Opnonspramicndcr jeweilige Fair Value nach Black-Scho-

les zugrunde getegt wird ($-}um bei Optionska uj 1,19€; Mark tzinsn iveau 6% p. a.; $-Volatilitiil 10% p.a.] und auuerdcm Zinsen auf die Optionspramicn zu bcracksjchngcn sind.

8 .8

E infiihrung in die Opt ion spreisbewertun g

393

Bemerku.ng 8.8.28: Da opuonen - wie nahezu jedes Hundelsgus - den Geseuen von Angebot und Nachfrage umerliegen, weichen die latsiichlichgeforderten/bezahlten Optionspriimien vom theoretischen Fair Valuemehroder wenigeraboEin wesentlidier Onmd dafurliegt in der Tatsache, dassdieim theoretischen Bewenungsmodell (Black-Scholes) zugrundegeiegten Volatililiiten auf Vergangenheitsdaten (bzw. auf Schiitzungen) bosieren. Deraktue/leMarla hingegen konme eineaavon abweichende Volati/itiilumemeuen. Daher geht man hiiufig auch so vor, aus riner vom Markt akzeptimen Opnonsprsm ie, z.B. Pc . mil Hilfe des Black-Scholes-Mode/Is sozusagen"mckwiirts«died abeivom Marl:t zugrundegelegte Votantiuns-Kennzaht o - man nennt 0 dann die"implizile Volatililiit" -zu ermiueln una auf Plausibililiit hin

otauschatzen.

Mathematisch hunaeu es sich dabei um die Bestimmung der Umkehrfunktion a = v(Pc , S, X; r, T) aus der Black-Scholes-Funktion Pc = Pc(S, X; r, T, 0), siehe (8.8 .17) . Da sich (8.8.17) nicht mit Hilfr der ktassischen Termumjormungen nach 0 auf16srn lasst, verwendet man dazu die bekannten nerativen Methoden der Gteicnungslosung wir z.B. die Regula f alsi (siehe etwa Kap. 5.1.2), den Solver eines Tabellrn-Kalkulations-Programms wir z.B. Excel oder mothematische Spaialsoftware wieetwa M ATHLAH, M ATJlEMATJC AoderMAPL£.

Km m man die implizue Volalililiil, so kann man sich ein Urteil daruber bilden, ob bzw. inwieweu die entsprechende Schwankungsiendenz hegrundet ist bzw. ob una inwieweit der Optionspreis ungerecmfertigt zu hoch oderzu niedrig angesem [fl. Aufgabe 8.8.29: De r Preis ciner 60-T agc- Kaufoption (europ. Call) auf die - zu r Z cit mit 100 GE noticrtcn - Aktie der H uber AG bc trage 8,45 64 G E, Basispreis cbeorans 100 GE. Der risikofrcic Markt szinssatz betragt z.Zt. 5% p.a . Die aufgrund von Fundament alanalysen und Vcrgangcnhcits date n emuttclte Volatilitat del A ktie bettagt 40% p.a, i) Zei gcn Sie, dass die o.a. Call-Pramie cine irnplizite Volatilita t von 50 % p.a. unt crstellt . ii) l si der o.a. Ca llpreis zu hoch Ollerzu nicdrig angesetzt ? iii) Ermittcln Sic.die Callpramie auf der Basis einer Volatihrat vo n 40% p.a.

Bemerku.ng 8.8.30: Handelt es sich bei den betradueten Optionen nichl um dividendenjreieeuropiiischeOptionen, sondem urn europaiscne Optionen, die zwischenzeitlich eine Divldende abwerfen, so mussen die BlackScnotes-Formetn modifiziert bzw. erwritert werden, siehe z.B. [HuI2] 252 ff oder [Gun] 79ff.An aloges gilt fur den Fall, dass das Underlying keine Ak lie, sondem ein Index, eine Wiihrung oder ein Future ist, siehez.B. [Hul2] 267 ff. Zu weiteren Abweichungen von den Standard-Voraussetzungen siehe [Gun] 79f[. Die Bewenung amenka nischerOptionen kann i.a. nicht explizit uberdie Black -Scholes-Gleichung eifolgen, die entsprecnende Bewertungs-Ungleichung erfordertzu ihrer Losung vielmehr relativaufwendigenumerische Iterationsprozesse, siehe[Gun] 198ff. Neben der rechnerischen Ermittlung der Optionspramien interessiert den analysierenden Investor insbesondere auch, wiesich die Optionswerte veriindem, wennsichdie beteiligten Variablen urneme Einheit iindem (Sensiti~itiitsa"alyse - Kenn-Variable Delta, Omega, Theta, Vega, Rho). Auf diese verfeinm e Analyse konnen wir im Rahmen dieserEinfuhrung nicht eingehen, die Lileratur bietethier umfangreiches Material, siehez.B. [Hu12] 299 ff.

395

9

Finanzmathematische Verfahren der Inves titionsrechnung

9.1

Vorbemerkungen

Kcnnzeichcn aller finan zmathcmatisch analysierbaren gescha ftlichc n Untem chmungcn (wie z.B. Kredill'; Anlage-lEmnahmeprozedumz; Vergleich VOrl Zahtungsmodeliuuen etc.] iSI die Moglichkeit dcr Darstellung dieser v organge in Fonn cines - aus Leistungcn (L) und Gegenleislungen (GL) bestchcnden -' Zahlllllgs.~troms

bzw. Zahlungsstrahls (vgl. A bb. 9.1.1):

i, I

i, I

G,

I

i, I

G,

I

G,

I

I

G,

(Zeit)

Abb. 9.1.1

E inc besondc rs wichtigc und hitufig anz utrcffcndc Spiclart von " Leislung vs. Gege nleis tung" licgt bci (be/rieblichen) Inves u uenen vo r, d.h . dcr (miuel- bis km gfns tigen} Anlage \ '011 Geldmitteln in

• reate Objckte, z.B. Produktionsanlagcn, Gcschaftshauscr usw, (Real- oder Produaionsinvesti{ionen); •

Finan zobjckt e, z.B. Akti en , fes tverzi nslichc Wertpapicre, Bankguthabcn usw. (Finanzinvestilionen);

•

Forschun gs-/ Entwieklungs prozesse, A us-, Fort- und Wcilerbildung, Service und Werb ung usw. (immarerielle l nvestuionen ) ,

Unler dcr Voraussctzung, dass sic h sarntliche mit einer Investitlon verbundc ncn Aus- und Einzahlungen angcbcn lassen, ist cs somit moglich, die Instru mente der Finanzmathematik (insbesondere das Aquivalenzp rinzip, vgl: Satz 2.2.18) zur Beurteilun g der Investition (aus f inanzieller Siehl) zu Obertragen und anz uwenden. Die hier bct racht ct cn finanzmathematischen Verfah ren der Investition sre chnung werden - da sic per

cxponenticllcr Verz insun g die zeitttcbe Komponente der Za hlungsflOsse bcrucksichrigen - als dynamtsche Verfahren der Invesnnonsrechnung bezeichnet. In der Praxis hauflg anzutrcffen sind dan chcn aueh einperiod ische bzw, auf D urchschnitt swerten basic rcrule sog. "sta tische Invcs titlons-Rcc herwerIahrcn" (Kostenvergleichsrechnung, Gewinnvergteichsrecnnung; Renditevergleichsrechnung, Amorus ationsvergleidurechnung), die hier - insbesondere \vegen ihrer Unzulanglichkelten - nich t nahcr bctrachtct werde n soncn I . Wir wollen daher in d iescm Kapitcl einige grundsatzliche Fragen kraren, die sicb bci de r Beurt eilung von Investitioncn unrcr Verwendung finanzma thcmatischer Methoden ergebcn, insbesondere uercr v crwendun g der grundlegenden Kenngrcnc "Kapitalwert" etner Investition sowie der daraus abgcleiteten

Kenngroac .Jnterner Zinssatz" (Rmdite, Eff ek tillzinssalz) einer Investition z, I Nahcres siebe etwa [Blo)1 56ff, [Kroll 28ff. 2 Vgl. u.a (Alii) , [Blo), IDau], [Gr02), [Hax], [Krul ).

396

9

Finanzmathematischc Vetfahren der Investitionsrcchnung

Dam it nicht zuviclc (unn6/ige) Det ails die zugrundelicgcndcn Prinzipicn vcrschlcicm, gehcn wir von den folgcndcn vcreinfachcndc n Priimissen aus:

•

Die bctrachtc tcn Invcsnt toncn lassen sich durch cine Zahlungsrcihc abbildcn, z.B.

(9.1.2)

-10.000; 5.000; 2.500; 5.000. Dabci bedeuten negative Werle: pos itive Wert e:

(T€ )

(Beispiel) b7W_

Mirrelabfluss betm Inves tor, A uszahlungen

Mittelzufluss beim Investor, Einzahlungen.

Aile Zahlungen emcr Period c {i.u.: 1 Periode = 1 Jahr) worden so bc handclt, als scicn sic am E nde der bctrcffcnden Periodc geflosscn. Die eben genannle Zahlungsreihc (9.1.2) musstc sornit ausfiihrlich wie fo lgt dargestcllt wcrden , vgI. A bb. 9.1.3 :

IT€ !

10.000

fleisfung des Inveslors}

I

I

If=1J

(1=0)

j

5.000

L_Poriod" -~ I

rZ9il/

I

ff=2/

((=3)

2.500

5.000

fGegenlelslungen der In veslilion)

I

I

fla. 1 bh"

Plonungszeilpunld f .heule "'

InvesM onsende

/nvesfrhonsbeglf'm

~--

loufzeil r de, InvesMion {von der erslen bis z ur letz/en ZahlungJ

----- - -1

Abb.

~

1.3

hier: T= 3 bhre

Bemerkung: Duren die Termimerung aller Zahlungrn auf das Jahresende entfallen f iir die klossische finanzm athematische Investuionsrechnung die - durch umerjiihrige Zah/ungen bzw. Vcrrechnungen verunaduen - Probleme unterschiedlicher Kamof uhrungsmah oden. •

Die im Zusamm enhang mit dcr ln vcstitlon anfallcm.lcn E in- und A uszahlungcn unt crlicgcn der Bcwcrtung dur ch de n sag . Kalkulanenszlnssatz I des Investors. D ieser Kalkulat ionszinssatz konn tc sich z.B. anlchnen an den zu zahlenden (oder zu vermeidenden} Fremd kapilalzins odcr an die Rcnd itc der czweitbcstcn Alternative ", die der Investor - im Faile dcr U nterlassung wahlcn wurde 3 . Wir wollen - in An alogre daz u - hier ganz allge mcin unt crstcllcn, das s Nicht Invcsticrcn, also . Unrcrtassen" bcde utet, dass der Investor sein Kapual zum Kalkulationszins anJcgt . Bbc nso wird unt erst ellt, dass zwischenzeitlichc Ruckflusse aus der l nvcstinon zum Kalkulationszins angelegt werden.

• (9.1. 4)

Wir bctrachtcn weite rhin zunachst nur solchc Invcstitioncn, deren Zahlungsreihc • mit ciner Au szahlung beginnen , • nur eincn Vorzcichcnwcchscl aufwcisen, • das Dcckungskntcnum ermnen (d.h. die nominelle Summe der Einzah-

Jungen sott grofkr sein ats die nominelle Summe derAuszahlungen) .

De rartigc Invcstino ncn hcil3cn Norma nevesnnonen.

3 FUr die Fcstlegung des Kalkulenonszinses gibt cs untcrschiedtiche Ansichtcn, vgl. ctwa [Dau].

397

9.2 Kapitalwcrt und aquivatcntc Annuitat ctner Invesntton Norm allnvesu tionen sind z.B. -10.000; 5 .000 ; 2.500; - 100 ; - 100 ; - 100;

i)

ii)

(siehe Abb.9.1.3)

5.000

400

Keine Nonnalinvestitioncn sind z.B. ii i)

- 200; 500; - 100 - 1.000; 400 ; 400 + 1.000; - 500; - 300 + 10.000;- 5.000; - 2.500; - 5.000

iv)

v) Vi)

(zwei Vorzeichenwechsel) (DeckWlgskriterium nicht r1iUlf) (Zahlungsrrihe beginm mit einer Einzahlung)

(Zah/ungsreihe beginnt mit einer Einzahlung;aufJerdrm Drckungskrilen'um nicht eifiilll.) 4 (Wir werden spaser auf Nichr-Normatinvestitionen suruckkom men.] Bemer/amg: Zu den Prsmissen in der Finonzmathemank vgl. auch Bem. 2.2.21

9.2

Ka p italwert und aqutvalente Annuitiit einer Investtn on

Bcvor wir uns mit der Effektivverzinsung von Investlttoncn beschaftigen, ist cs erforderlichoder zumindest sinrwoll, die wichtigst e Kennzahl der finanzrna thema tischc n ("dynamischen ") Inves tuionsrcc hnung, den Kapilalwert C ll ctncr Inves tition zu be handcln . A1s Beispiel bc trac htc n wir die in Abb. 9. 1.3 dargcstellte Inves titio n mit der Zahlungsrcihe - 10.000; 5 .000; 2.500 ; 5 .000

(T€ )

und fragen naeh der Vorteilhaftigkeit dieser Investitlon bei einem Kalkulationszins von 10% p.a. ("jal nein-Entscheidung oder "EinzelentscheidWlg N

N

) .

Unt crs tellcn wir zunachs t, dass der Investor die Anfangsauszahlung aus Eigenkapilal Ieisten kann, er also im Moment tiber cin , v ermogen- von 10.000 T € vertugt. Dann bedeutet der Kalkulanonszinsfutl 10% p.a., class der Investor im Fall del Unterla,,~un g dicse to.OOO T € zu 10 % p.a. (eff ektiv) anlcgcn kann (etwa in Wenpapieren oder zur (zusiitzlichen) Tilgung eines schon benehenden Kredns , der mit 10% p.a. Fremdkepua lsinsen belanet isl) s .

Bctraehten wir jct zt das End\'enn 5gen (EV), welches der Investor altcmativ errciche n kann (Stichtag: Tag des letzlen Riickflusses); i) Wird die Investition durchgeflihrt, so ergibt sich das Endvermogen EVI (bc i Investition) d urch

Kumulation del verzinslich angelcgten Ruckflussc: (9.2.1a)

E V I '" 5.000 . 1,1 2+2.500'1, 1+ 5 .000 '" 13 .800T€ .

4 Diose Investitic n Ist das Spicgelbild dcr lnvestition (9.1.2) ;

ldcntische Zahlu ngcn, abcr je wcils cntgcgc ngcsctztes v orzetctcn. Deutet man \1) aus Sicht der Investition, so erkennt man: Die Invesnticn erhalt cine Einzahiung von 10.000 (zu ihre r Vcrwirklic hung) und Illhrt in den nrchscn Jahren die drei folgenden Zahlungen an den Investor ab - wie die Abwicklu ng eines erhaltenen Kredils. Man sicht: lnvestition und Fmanzictu ug unrerschcidcn sich nur im Vorz.eichcn al jer Zahlungen, sre sind lwei Scitcn dcrsclben McdaiIIe. Daher hcillt vi) auch ~ Ncrmal-Finanzicnmg". 5 Anstcllc von " UntcrlassungU (im obigcn Sinnc) wird auch der Begriff "OpportunitntUoder ~ Verglcichsmvcsjnon" vcrwe ndc t, vg l. ctwa fGro212K,

398

9

Finanzma thema tischc Vcsfahrcn del Investitionsrcehnung

ii) Sc i Un rertass ung, d.h. Anlage dec 10.000 T€ zum KalkulationszinsfuB, Mite er dagegen als Endvermogen EVU erhalten:

(9.2.1b)

EVu = 10.000 ' 1.13 = 13.3lOT€.

E ntscheidcnd fu r die Vort cilhaftigkcit dicser Investition Ist nun die Frage, bci welcher dcr he iden Alt ernativc n [Investieren ode, Umerlassen} der Investor das hohcre Endvcrmogen rcalisieren kann, m.a.w. cs kommt Dieh l auf die absolute H ohe des Bndeermogcns. sondc m auf die Endnnniigensdifferenz .6.EV "" EV, - EV U an: (9.2.2)

AEV ", EVI -EVU '" 13.800 -13.310 '" 490T€ .

Das Endvcrrnogcn bei D urchfiihrung dcr Invcstition ist dahcr urn 490 T € hohcr als bei Untcrlassung (d.h. der Anlage der l nvestitionssumme zum Ka/kulationszinsfuft). Die Invest ition crwirtschaftct abc r die Standardverz insung 10% p.a. hinaus einen endwcrtigcn Ubersch uss von 490 T € , sornit isl die Invcsnnon - bei cincm Kalkulationszinssat z von 10% p.a. - absolut gcsehen lohncnd .

(Bei einem Katkulationszinssatz von 15% p.a. dagegrn naue sicn bei Durchfu hrung der Investuion ein um 721,25 T€ geringeres Endvermogen ergeben als heiAnlage zum Kalkulationszins - aer Investor haue besser umerlassen.} 1m Fa ll einer Fremdfinanzierung dcr Invcstitio n vcrtugt dcr Investor zunachst tiber keinc cigcnen Mittel (Anfangsvennogen: Null), ka nn die Invcstitio nsauszahlung ( = 10.000 T € ) abcr zum Kalkulationszinssatz ( = 10 % p.a.) fremdfinanzicren. Unt erst cncn wir zuna chst gesamtfal lige T ilgung am End c de r l nvestitio n, so mus s der Inves tor bei Durchmhrung der l nvestitio n am E nde des dnttcn J ah rcs den Bctrag 10.000'1 ,13 = 13.31O T € an den Krcd itgcber abfiihrcn. Die R ackn usse aus der ln vestitlon haben zum gleieh en Zcitpunkt den Wert: 5.000 ' 1,12 + 2.500 '1 ,1 + 5 .000 = J3 .800 T € , so Jass Jem Investor cin En dvcrmc gen bei Invcst ino n (EV,) von 490 T € vcrblcibt . Unt erla...st dcr Investo r hingcgcn die Investitio n, so bcsitzt sein En dvcrmogcn EV u (ebenso wie sein Anfangsvermogen} de n Wert Null. A lso gill aueh bei Fremdfinanzierung (und ebenso bei beliebiger Mischf inanzierung): Die EndvennOgen~differen z 6.EV lnvestitio n vs. Untcrlassung betragt ana log zu (9 .2.2): a EV ,= EV, - EVU = 490 - 0 = 490 T € .

(9.2.3)

Fiir die H ohe dcr E ndvcrmogen sdifferenz 6.EV ,= EV, - EVu bci Invcst ttion vs. Unterlassung spiclt - bci Voriiegen cines emheitlichen Kalkulat lonszinssatzes - die Form der Finanz ierung kctnc Rolle.

Urn den Nac htcil untcrschicdllcber Stiehtage bci untersehicdlieh en Invcs titionen zu vermeiden, zmsr man (bei jeder lnvestition} die E ndvcrmdgensdifferenz aEV auf den Planungszcitpunkt t e D ("heut e j ab und nennt den erhaltenen Wert Kapitalwert Co der betrcffenden Investition.

(In unserem Beispielergibt sich: Co = 490 '1 , ]"3 = 368,14 T€.)

9.2

Kapitalwert und aquivatente Annui tat einer Invesunon

399

Da (narn dem Umweg-Satz 2.2.2 bzw. dem Aquivalenzpnnzip: Satz 2.2.18 ii)) die abgczinste Endverrnogensdifferenz identisch iSI mit der Summe der einzeln abgezinstcn (und dem tidui gen Vorzeichen versehenen] Za hlungen der Investitio n, haben wit die folgende Definition 9.2.4:

(KapitalweJ1 elner Inveslition)

Gegeben sei eine Investition mit folgendcr Zah lungsreihe f

=

0

1

T·'

I

I

I

R,

R,

T

I

(Zelf)

R,

j

Abb.9,2.5

I c,

Dabci repraseruiert R t ( = ct - at) den RiickfluR im Zeitpunkt I, enn ittelt als Saldo der Einzahlungen ct und AlLqahlungen at dcr Periodc t. Weiterhin existiere fur den Investor ein einhcitlicher Kalkulationszinssatz I. Vnter dem KapitalweJ1 Co der Investilion verstehr man den auf den Planungszcitpunkl (t = 0) mit H iffe des Kalkularionszinssatzcs abgezinsten Wert samtltcher Ruckflusse {oder Z ahlungen) der I nvestitio n: (9.2.6) bzw. (mit q (9.2.7)

R R " + - '-+--'-+

Co

.= I + i

"'0

und R t

c, ..

l+i

(l +i)2

·=ct- at)

T

T

t=0

t=O

2 R,·q·'

T

2~

q-t - Iat .q-t t=O

(d.h. Kapitatwen = Barwen aller Einzahlungen m inus Barwen allerA uszahlungen)

Bemerkun g 9.1.8: Fur den (hiiufig vorkommenden - vgl. Eingangsbeispiet A bb. 9.1.3) Fall, dass der ~ Ruckfluss « im Z eitp unkt t 0 allein aus der In vestiuonsauszahlung (- a o) bestent, tasst sich (9.2.7) auch schreiben als

(9.2.9)

Co

.=

T

,.I ,Rr q-r

wo +

Bemerkung 9.1./0: N ach dem Vorangegangenen - insbesondere nach DeI 9.2.4 - ergeben sich die folgenden aquivaiemen Deulfm gen jiir den Kapilalw ert Coeiner tnvesuuon: i) Der Kapilalwert Co einer tnvesution entspricht der abgezinslen Endliermogem differenz E VI - E VU (EndWTm6gen bei l nvestition abzuglich Ena vermogen bei Unterlassung (Unterlassung ~ A nlage zum Kalk uuuio nszinssatzs]:

Der Kapilalwert Co eines l n vestiuonsproi ekies gibt somit den auf den Planungszeitpunkt t = 0 abgezimten Wert des Betrages an, um den das End vermogen bei Realisierung der In vesmion gr6f.ler (oder k lejner) sein wild als bei Wahl der Unterlassensalternative.

9

400

Finanzmathcrnatischc v erfahren dcr Invcsntlonsrcchnung

ii) Co must den barwertigen Vermogm suberschuss (jails Cq > 0) des Investors gegenuber der " ub-

lichen" Venlnsung (reprasennendurchden Kalkulationszins).

Ein positiver Kapita/wert miss! daher den Vorsprung der ln vesmlon gegenuher der nachstbesten Allemalivl? ( =Anlagezum&lkularionszinSSQIZ).Co (>0) iSI also diejrnige Summe, die dem Investor (uber die ubiiche Verzinsung alter Betrage hinaus) ols zusiitzliches Augenblicks-Vermogen zuwdchst. (Analog beJeutet ein negativer Kapita/wert cine "Qugenblickliche Venn6gensminderung, scfem sonsl alle Zah lungen der iiblichen Vetzinsungunteriiegcn.] U

iii)

Em Kapuatwen von Null deutet an, dass tnvestieren und Unterlassen[inanzmathematiscniiquivalent sind, d.h . der Investor erzielt mit aer Invesmio n dasselbe Endvermogen wie bei An lage zum

Kalkulationszins. Dieser Kalkulationsztns entspridu dem Effeklivzins der lnvestuion (imerner Zim, vgl. Def 9.3.4). iv) Aus iii) folgl insbesondere: Iede Ge/danlage zum Kalkulalionszinsfup hal definilionsgemapden Kapitalwen Null. Daher konnen mil Hilfe des Kapualwens auch lnvestitionen verglichen werden, die umerschiedJich hohe ln vestuionssummen und/oder umerschiedlidse Laufzeuen aufweisen. VOTaussetzung dafiir ist lediglich, dass iibersteigende Differenzbelriige in der Differenziaufzeit zum Kalkulationszinssatz versinst werden 6: Der Knpitalwert solcher nDifferenzinveslilionen" hal SIelS den Wert Null und Iragl somis nidtts zurAndemng der Vorteilhaftigkeitder tn vestition bei. )') Aus j) his iv) liest man das Vorteilhaftigkeilskriterium fur EinzelinvestitWnen unter Verwendung des Kapitalwenes Co ab (Kapitalwertmethode): • Eine Investition is/ tabsolut] voneilhaft, wenn ihr Kapltatwen posuiv ist; • Eine lnvestuion ist (abso/ur) unvorteilhaft, wenn ihr Kapltaiwen negativist; • tnveuition und Umerlassung sind iiquivalent, wenn der Kapilaiwert Null ist. vi) Beim Vergleich mehrerer Invesmionsprojekie richtet sich die Vorteilhafligkeilsreihenfolge nach der Hone der (positivent) Kapitalwene: tnvestition I ist besserots Investnion 2, sofem COl> CO2>

o.

Die Forden.mg posiuver Kapitalwene soU verhindem, dass ein Investor des nbeste" Projeta ohne Priif ung der absoluien Vorteilhafligkeit wanu. Beso ndcrs dureh siehtig wird cine Investitionsrechnung, wenn man fur die verzinsliche Ab wieklung cin cigcncs ~ I nvestitions kon to" eroffnet und die Invest ltion wic cin zu verzinscndcs und zu tilgcndcs Darlehnsgcschaft auffasst. In dicsc m T ilgungsplan ist dann tedtgtlch noc h zusatzlich zu beriicksichtigcn, dass cvcn tucll anfaJlcndc J ahrcsiiberschiisse zum Kalkulationszinssatz angclcgt (bzw. - bei negalivem Saldo - aufgenammen) werden. 1m Folgejah r flicJ3cn sic dann - vcrzlnst - wieder dem Investitionsko nto zu toder mussen von

ihm abgebuchl werden) . Am Beispiel unscrcr Investition (i '" 10%) vg!. A bb. 9.1.3:

- 10.000; 5.000; 2.500; 5.000

(T€ )

wollen wir cin igc Varianten von cntsprcc hendcn Tilgungsplanen diskuticrcn: 6 Diese Voraussc:tzung ist nichl unumstrinen, Erfolgversprechcndc rcalistischc rc (wcnnauch komplizicrtc re) Pro/.edurcn crrcichl man mit sog. ~vo llstllndigcn FinaJ17ilIIDlcn~, vgl. etwa (Gro ll .

9.2

401

Kapitalwert und aquivalcnte A nnuitat einer lnvesunon

Varianle I: Aile Ruckflusse aus dcr Invcstition werden unmittelbar in voller H ohe zur v crzlnsung und Ti lgung dcr Invcstinonsauszahh m g ( ~ " Kreditsu mme") verwendet, es ergebcn sich kcincrtei Z wischenanlagcn Oller -aufnatun en (a priorigegebene Zahlungensind fettgedrnckt): Ke ntostand des

Annuitat a

Invcsnucnskonrcs Jahr

(" Restschuld'')

1

3

10.000 6.000 4.100

4

- 490

Zinscn (Ellue J.)

(Begum J.)

2

lnvestinons ruck-

T ilgung

1.000

600 410

(Elide J.)

OWl (Ende J.)

4.000 1.900 4.590

5.000 2.500 5.000

(1nvestitionskonto)

Tab. 9.2. 11

Man sicht crncut , wie die Investition zu eincm endwertigen Uberhang von 490 T€ (noch Ver-

zinsung!) fuh rt sowic zurn Kapitalwert C1> = 490 ' 1,1- 3 = 368,1 4 T € .

Variante 2: Wir wollen gesamtfallige Tilgung der Investitio nsau szahlung unterstcllen. Dann fuhren die Invcsnttonsrucknussc zwischenzcitlich zu verzinslichen Anlagen, die nach jc einem Jahr wieder zurucktltcucn. Dazu erwcitcm wir den Tilgungsptan urn die cntsprechcndc n Zwisehcnanlagespalten, wahrcnd in den crstcn funf Spalten der Invest it ionskredit wic vorgcsehen abgcwickclt wird: RucknuD au s;

Jahr

1

2 3

RC!{l; Zw.anlagc) ( 1.539 1.692,90 592,90

(/nves/itionskonto)

"*.

Tab. 9 .2.14

Z insl man den Endkont ostand ( = 592,90 T€) urn 5 J ahre auf t = 0 ab, so crgibt sich

592.90· 1,1- s = 368, 14 T €

=

Co !

Unabha ngig von de n T ilgungsprozeJu ren fiihrt bei belieb igcr Ver11ingcru ng dur eh Zwischenanl agent Zwischcnaufnahmen (Z w.anlagelZ w.aufn. <siehe Tilgungsplan) die lrwestition stcts auf omen und dcn selbcn Kapitalwert (vorausgeselZt, der Kalk ula tionsunssatz hleibt unvcnmdert],

Bemerkung 9.2./5:

(A'quivalenteAnnuitdt einer lnvestition)

Verren/e/ man (mil Hi/fe des Kalkulationszinssau es] den Kapitalwen Co einer Inveuuio n auf die Investitionsdauer T (Jahre) , so erhalt man stall des barwertigen Einmalbetrages Co eine aquiva/ente T-f ache nachschussigeRente, deren Rare A ats iiquivaknte Annuitiit der Investuion bezeichnet wird. Bei Vemteidung unterschiedlicher Laufzeiten fuhn ein nohererKapualwen auch stets zur honeren An nuuat, so dass es zur Beuneilung der absoluten Voneilhaf/igkeit einer Einzelinvestition (jalneinEntscheidung) entbehrlich ist, allgemein auf diesesog. Annuuatenmemode einzugehen. Benutzt man hingegen die iiquivalente Annuilat ats Kriterium, 14m die relative Voneilhaftigkeit un/er mehreren lnvestitionsalternativen zu beuneilm , ist eine gewisse Von idu angebmdu, wie das folgende Beispiel zeigt:

9.2

403

Kapitalwcrt und aquivalenre A nnultat emcr Investition Beispiel zur AnnuiJiitenmethode: Gegeben seien zwei lnvestuionen I 1, 12 mil denfolgenden Zahlungsreihen (i = }o% p. a.): [T€ ] I I : - 10.000; 5.000; 2.5 00; 5.000 12 : - 20.000; 10.000; 6.000; 3. 000; 6.000 [T€]

Daraus ergeben sicn die folgenden Kapuatwene (i = ) 0 % p .a.) CO,I = 368,14 T€. bzw. CO,2 = 401,61 T€., d.h. nach dem Kapii atwenkmerium ist l nvestuion 12 voaunenen Die equivaleme Annuutn A wird du rch Varentung des Kapi talwens Co auf die Lauf zei/ T einer l n vesntion ermmelt:

I

C,

--jf--t-I A

'"

t-I

I

A

A

m

m

Nach dem Aq uivalenzprinzip muss gellen:

CO·qT

A·

qT I -

und daher

q _l

("t"quivaleme Annuitiit einer Itwestition) .

(9.2.16)

Leg/ m an in unserem Beispiel die (un/erschiedlichen) projekti ndividudlen La uf zei/en T =3 hzw. T =4 zugrunde, so em auen wir f ur investuion I I :

Investition 12 :

(T = 3) (T = 4) .

148,03 T€lJa hr 126,70 T€J Jahr

Eine En /scheidung aufgm nd der Annu uat fur I I ware - wie wit aufgmnd des Kopi/alwertkriteriums

wissen - eine Fehlentscheidung, hervorgerujen durch die Tatsache; doss A l nur dreima l fliefJl, A 2

dagegen viermal.

Der scheinbare Widerspm ch 16s1 sich daher auf, wenn wir den Kupitalwen CO l der en-len Investition

ebenfotts auf vier Jahre vemfllen mil dem Ergebnis: Investnion l , :

(T= 4) ,

A l = 116,1 4 T€J Jahr

also t estsu I I neben dem geringeren Kapiudwen ouch die geringere aquivalente A nnui/at, m.a. W; beide Kruerien liefem letzlich dieselbe lnvesmlonsempfehlung. Bemerlamg 9.2.1 7: Gelegemlich anzurreffen ist die dynom ische Amonisationsieu t · (pay-ofl-period) einer l nvestnion. Dammer versteht m an den Zeitraum bis zu dem Zeupunta, in dem erstmalig der Knpitalwert aller bis dahin geflossenen Z ahlungen Null (ad er positiv) wird, muhin das eingesetue Knpital incl. Katkula tionszinsen uber die Ru ckf lUsse gerade wiedergewonnen werden ka nn. Fiir I · gilt also emmalig:

~+ ~ +~+ l + i (I +i)2

. ..

+~ (l+ i)l"

Wie das nebenstehende Beisp iel einer InvestiliOll uigt (Z ahlungsreine: -/000; 500; 100; 700; -5 00; i =IO% ), ergibl sich ats Amorlifalionszeil knapp 3 Jahre (1* =3, der Bar. wertsuldo wird m il +63, JJ eram ats posiliv). Do ZohiUllgen , die sparer als I· fiegen, Ullberilcksichligt bleiben, ftlhrt hier eine Enucneidung naeh AmorlifoliQlt.5geskhlspUllklen in die lrre (Kupiustwert iiber die Gesamllouf::f!il isl negativ!).

I

0

1

2 J 4

2:

0

.

- 1000 500 100 700 - 500

(t· :s;T) . ~(l+ i)-t

},; ~(I +irt

- 1000,00 - 1000,00 454,55 -545,45 82,64 - 462,81 525,92 + 63,11 - 341,51 - 278.40

404

9

R nanzmathema tische Verfahren dcr Investilionsrcchnu ng

9.3

Intern er Zinssatz elner Inv estltlon - Vorteilhaft igkeitskriterien

In der Finanzmathcmatik versreht man (vgl. Satz 2,2.18 ivY oder De/. 5.1.1) unter dem E ffcktivzinssatz ieff cmcr Zah lungsrcihe denjenigen (J ahres-) Zi nssatz i-rr- bei desscn A nwend ung Lcist ungcn (L) und Gc gen lcistu ngcn (GL) aquivalenr sind. Bezogcn auf einen (bd reiner Zmseszinsrechnung bd iebig wahlburen - vgl. SalZ 2.2.18 Stie htag laut et daher d ie vom Kalkulationszins i abhangige Aquivalenzg1eichu ng {deren Losung i' ff Uefen):

iii»

l.{i) = Gl.{i)

(9.3.1)

l.{i) - Gl.{i) =

ode r

O.

D ies Konzept lasst sich analog auf die Investitionsrcch nung ubertragen, da jcdc Investttton sich d urch ihre (aus L eistungen (= Einzahlungen) und Gegenleistungen ( = A uszahtungen} bestehmdei Zahlungsreihe da rstellen ussr. Bcaehtet ma n nun, dass der Kapitalwert Co ciner Invcstition a us der (barwerti gcn) D ifferenz aller Elnzahlungcn (L) und A uszahlungen (GL) der Invesntion bestc ht (vgl. Def 9.2. 4), d.h .

Co(i) ,= l.{i) - Gl.{i),

(9.3.2)

so folgt unmittclbar, dass dcr Effektivzins r einer Invesunon ( Aquivalenzglciehung

c;,

(9.3.3)

imemer Zinssatz) Losuog dcr

o

sein muss: Definition 9.3.4:

(inlern er Zinssalz r einer In vestition)

Gcgcbcn sci cine Investilion dur ch ihre Zahlungsreihe (vgl. Dcf 9.2 .4):

-,

e,

I

I

f=O

f= 1

-, I

f=l

R,_, I f= T-1

e, I

(Zeit,

f= T

Dcrjenigc Kalkulationszinssat z r, fur den dcr Kapilalwert Co(r) der Invcstition Null wird, heWt intern er Zin~'iatz r der Invcstition (auch: Effektivzillssatl, oder Rem/ireder Inv esmion}: Ocr interne Zinssatz r ist Losung der Aq uivalcnzgleichung Co(i) = 0, d.h.

(9.3.5)

,. ,

o.

Der inte rne Zlnssat z r ist sornit aueh dcf iniert als Nullstelle dcr Kapilalwertfunktion Co = Co(i).

Zur E nn ittl ung des internen Zinssat zcs von Investitioncn sind da her dicsclbcn Methoden (z.B. Regula f alsi als iterative Methode zu r GfeichungslOsung) anwcndbar, wie sie bcrcits in Kap. 5.1.2 beseh ricben wurd cn.

9.3

405

Intemer Zinssatz einer Investition - Vorteilhaftigkcitskritericn

Beispiel 9.3.6: Die Investition mit der Zahlungsreihe (vgl. Abb. 9.1.3) - 10.000; 5.000; 2.500; 5.000 (T€ )

hal die Kapitalwertfunktion (vgl. (9.3.5»: C (i) '" _ 10.000 + 5.000 + 2.500 + 5.000 c l +i (l + i)2 ( l +i)3

Die graphisehe Darstcllung der Funkrion

Co ==

Co(i) fOhrt zu folgendcm Funktionssehaubild:

Coli} I fKapilalwerf} 2.5 00

1

Kaplfalwertfunktion Co = Coil}

rr€/

/

368.14

/"

in/erner Zinssalz

,," 12"-

IKalk.zinsl

-j-- -----'-""":---_--a 10%

r

Iii

Abb. 9.3.1

Z ur Ennitt lungdes intcmcn Zinsful3cs r wird die Nullstcllc von Co(i) mit Hilfe eines ltcrationsverfahrens (z.8. mit der Regula f aisi) bes timm t. Mil den Startwcrtcn 10%/15% und Anwendung der Regula falsi (5.1.29) erhaltcn wir nachcinandcr die itericrtcn w crte 12,1851%; 12,0976%; 12,0949%; 12,0948%; ..., so dass - auf 4 Nachkommastcllcn genau - der interne Zinssatz r tauter r == 12,0948% p.a.

Wie geschen, wirdzur Definition des internen Zinssatzes r einer Investition deren Kapitalwert Co benetigt. Zur Interpretau on des fmem en Zins'illizes sowic zur Vorteilhaftigkeit'illlL'i,o;age mil H ilfe des intcmen Zinssatzes werdcn wir daher immcr wicder den Kapitalwert Co (d.h. den momrntanrn Vennogenszuwacns drs Investors] als Entschcidungskriterium hcranziehcn. Wir bctrachtcn aunachst den in der Praxis weilaus hliufigstcn Fall ciner Nonnalinveslilion (d.h. die Zahlungsreine begtnnt mit elner A uszahlung, wrist genau einen Zeichenwecnsel auf una genugt dem Deckungskmenum, vgl. (9.1.4)). Die Kapitalwertfunktlon Co(i) derartiger Norrnallnvestitionen wcist stcts folgendcn typischen Vertauf 7 (siehe ouch A bb. 9.3.7) auf:

7 Vgl. etwa [Hax] 16lJ.

406

9

I

Finanzm athcmati schc Verfahren dec Invcstilionsrcchnung

IKop lfolwert/

Kapllalwertfunkhon Cofil effler Normalinvestition

Co paS/#v

r

(Kolkulations-ZinssafZ/

IiI Abb .9.3.8 Die Kapitalwcrtfu nklio n Co(i) ciner Normalinve.~tilion bcs itzt somit dic folgcndcn typischen Merkmale:

(9 .3.9)

Kennzeich en der KapitaJwertfunklion \'011 Normalinvestilionen: i) FOr den Kalkulationszins 0% ist dec Kapitajwcrt positivi

Co(O) >

o.

ii) Co(i) bcsitzt gcnau cine Nullstcllc r, d.h . dcr interne Zinssatz r einer Nor-

malinvcsti lion ist cmdeung bcst immt. iii) Die Kapitalwcrtfun ktion Co(i) is! (beginnend bei i = 0 %) im rclcvantcn

Bereich urn die (eimige) Nullstcllc hcrum streng monolon ranend.

Bemerkung 9.3./0: Beginnt eine Normotinvesntlon mit einer Auszohlung [d.h: R o = - 110 < 0) una [olgen donn nur noch (positive) Einzahlungsuherschusse (d.h. R 1, R ],> ..., R T > 0), so lassen sich die genannlen Merkma le (9.3.9) von Normalinvestuion mit Hilfe der Diff erem ialrechmmg ohne weueres teweisen: Da sicn die Kapttatwenfunktion CoW nunmenr schreiben tasst als (vgJ. Bem. 9.2.8) R1

(.)

- a of - -

lf i

R2 RT +--2 f ... f - - (1+i) ( l+i) T

so f olgt f ur die erste Abteiumg Co'(i):

(U )

- R, JR , C '(i) = - - - - -' - _

o

( l + i) 2

(l +i)3

Da alle Rj > 0, muss Co'(i) stets negativ (fur i > -1) sein, mitnin muss die Kap uatwenf unk tion CoW streng monozon jallend 8 sein.

Anderersens gilt: Co(O) > 0

sowie

,- -

. lim CoW = - ao < 0

Also muss Co(i) genau eine 9 Nullstelle r (> 0) besitzen. 8 Vgl. ctwa [Tic3]. Satz 6.2.2. 9 Vg1. 1T ic3J. Satz 4.6.7.i ii) im Zosammcnhang mit dcr Monotonic von Co(i).

(vgl. ( t».

9 .3

407

Int erner Zinssat z cincr l nvestitio n - Vorteilhaftigkeitskriterien

Aus dcr Tat sachc, dass dcr interne Zinssatz r dcfinitionsgcmiH3 dcr N ullstelle r der Kapitalwcrtf unkti on ents pricht, ergebe n sich im Zusamm cnhang mit der Int erpret ation des Kap italwcrtes (vgl. Bem. 9.2.10) die folgenden

(9.3.11)

Int erpretationen des internen Zlnssat zes einer

In~'es!ition:

i) G ilt i = r, d.h . rst de! KalL::u1ation~:zin~~at:z i des Investors identi~ch mit de m int emen Zin~l>llot:z r der Invesnt ion, so sind Investition und Unterlass ung (im [inanzmathem atischen Sinne) aquivalent, d.h . bci Du tchfuhrung der Invcst ltion cneicht der Investor dasselbe (end- oder barwenige] Bndvermogcn wie bci Untcrtassung ( = An lage seiner Mittel zum Killkulationszinsfu fJ) . ii) Oct interne Zi nssatz r is! derjenige (fiktive) Fremdkapitalzinssatz, den lias Invcstitionsprojekt

gerade noch ~ verkraften" kann. Damit ist gemein t: Ein Fremdkapit algebe r, z.B. cine l nvcstltions-Krcditbank, ja soga r die investicrcede U nternehmung selbst konnte als Gcgcnlei stungfUr aile mit der Invcst ition vcrbundcncn Kredite cincn Soll-Zinssatz r in H nhc des intemcn Zinssarzcs verlangen. Die Invcst ition konnt c dann ubcr die zu crwartcndcn Ruckflussc sam thche crhaltc ncn Kreditc volls tandig mit r vcrzinscn urul tllge n. ein cntsprcc hc ndos Krcditkonro (bzw. der Tilgungsplan) gingc gcnau auf.

9,3. 12: Un sere Sta nda rd- Normahnvcs titio n (A bb. 9.1.3) mit de r Zahlungsreihe - to.OOO; 5.000; 2.500 ; 5 .000 hat nach Bsp. 9 .3.6 cinen inte rnen Zin ssatz von 12,094831 % p.a .. Vcrwcndcn wir die cingchcndcn Rncknussc unmittelbar zur Verzinsung und - soweit darubc r hinaus jcweils noch moglich - zur T ilgung des Invcstitionskrcd its (Kreditsum me: 10.000 T€) , so erbaue n wir folgend en Tilgungsplan (~ Vergleichskonto") :

Bei.~piel

lID< (I)

Restschuld (Beginn t)

2 3

10.000,00 6.209 ,48 4 .460,51

4

0

1

( 12,094831% I'.a.)

Zinscn (Ende t)

1.209 ,48 75 1,03 539,49

Tilgung

Riiekfll& lnvcstition = Annuitat

(Ende t)

(End e I)

3. 790,52 1.748,97 4.4 60 ,51

(Inveuitions-Vergleichskonto)

5.000 2.500 5.000 Tab. 9 .3.13

Man sieht erneu t, dass cin Frcrndk apit alzin s in H chc des intem cn Z tnssatzes r das Kreditkonto gcnau verzinst und tilgt . Ware dcr tat sachlichc Frcmdkapitalzin s i (bz w. die gefordene Eigenk apitalven imung) gcringer ais r, so blicbe - nach Zins und T ilgung - noc h crwas fur den Investo r Obrig, namtichder (positive) Kapit alwert (als barwen ige Endv emJogensdiff erenz) . D ie Kenntnis des intemen Z inssat zes r versctzt den Investor in die Lege, scincn eigenen Verbandlung.'i.\ pielraum fur Kreditverhandlungen mit den Gc ldgebcrn zu ken nen : S is zur H ohc r des internen Z inssatzes lasst sich notfalls mit dcr Krcd itbank ~ pokern ". Erst wenn die gefordert e Mindcstv erzin sung i den intemcn Zinssatz r ubersreigt, erlc idct dc r Investo r einen Vcrmoge nsverlust, der nieht me hr durch die Investtrion aufgefa ngcn werde n kann .

Bemerkung 9.3.14: Die in der LiterarurlOvie/fach stmp aziene »Wiederanlagepriimisse " (sie besagt, die Erminlung des intemen Zinss atzes sene voraus, dass der Investor sein Kap ital sowie aile lW ckf lUsse zum tntemen Zinssatz anlegen m ussel verlien umer aer ulgungspta noriemienen A bwicklung der l nvestuion einiges an der ihr zugeschriebenen Irrealitdt. Auf einem lauf enden Kanto (das mit r ven inst wild) wirkt eben jede Einzahlung wie eine Anlage zum intem en Zins und jede A bhebung wie eine Kreditaufn ahm e zum inemen Zinssatz. 10 Vgl. ctwa IGro21 109ff. oder IKrul ] 851I.

9

408

AlL~

Finanzmathematische v erfahrcn der Investitionsrechnung

dcm Gcsagtcn crgibt sich ats Entscheidungskme rium fur den Investor auf Basts des fntem en Zin.s ~

fuBes bci Normalinvestilionen die sog. " Intcrne-Z inssatz-Methcxlc":

(9.3.15)

Interne-zlnssata-Meibode fllr Emzeuevesnnonem

Gegeben sci cine Norrn alinvcstition dUTCh lhrc Zahlungsrci hc. Dan n ist d ie Inves tition (finanzmathematisch ) vorteilba tt, wen n dc r int erne Zin s. -l.

9.3

Int erner Zinssatz cincr Investition - Vortcilhaft lgkcitskrit er icn

409

Die beidcn intemcn Zinssatze (emalten etwa mit der Regula falsi) lauren fur I I:

r,

31,44% p.a. ,

fur 12:

r

24,41% p.a.

Auf den erste n Blick schcin t Invesnnon I I (wegen der we/taus hOheren Rendile) vorteilhafter als Investition 12 zu sein . Andererseits stc l1 t man fest: folgcnden Kapitalwertc:

Beim gcgcbc nen Kalkulation szinssatz von 10% p.a. ergcben sich die

fUr I I:

Co,I (O,lO)

29 ,827 T € ,

fur 12:

Co.2 (0,1O)

34 ,560 T € ,

also cin dcutlichcr vorsprung fur Invcstit ion 12, Der (scheinhare) widerspruch zwischen den umers ch icdfichcn Vort eilhaft igkeilsrcihenfolgen der Renditen und der Kapitalwcrte 16s1 sich auf, wcnn wir die belden Kapitejwertfunkti onen graphisch darstellcn (Abb. 9.3. 18):

t IKapifalwert Col Abb . 9.3.18

34, 6 2 9,8

IKolkulotionszinssatz if 10i:

12 besser als I,

14.29i:

I

24.41

I, besser als 12

Da sich die bcidcn Kapitalwertkurvcn (im .kmischen Zin ssatz ikri t = 14,285 7% p.a .) schneiden, muss fu r aile Kalkulationszinssatzc i, die links von ikr il liegen , Investition 12 vorteilhafler sem, wohingcgcn rec hts von i kr it die Vort eilhaftigkeitsreihenfolge fur Invcsnnon 11 spricht: U

Entscheidcnd sind also auch hicr nicht die intcrncn erziclbaren Kapilalwerte dcr Invest tnoeco.

zrnssarze (oder Rendueni, sond em diejeweils

9

410

Finanzmathematischc Verfahrcn der Invesnncesrechnung

Was bci Nlch t-Normallnvestlrlonen al1es passieren kann, zeigen die folgcnden Beispicle(1) bis (3): ( 1) Es cxisticrt kein (posuiver} interner Zlnssatz, dcr Kapitalwert Co ist stcts positiv (Abb.9.3.19a-d):

11-_ I (Col

500

bl Zohlungsrelhe {1€J-

aJ Zahlungsreihe rr€J 1000; -2000; 1500

200-600.-· 700 (II

(i/

Abb. 9.3. 19 dJ Zahlungsrerhe rr€} 200; 300; 500

r J Zahlungsr~he

rr€r

1400,' -6~ .700

100

(il

iii

(2) Bs cxistiert kein (positiver) inlemer Zinssatz, dcr Kapitalwel1 Co ist stcts negativ (d.h die berreffende Inver/irian is, fu r jedmKillku larionszinssalz unvorteilhafl, sieneAbb. 9.3.20 a) - d»:

I (Co'

1 - - --

--

(c.

iii

tn -100

hI Zohlungsrelhe {T€l -400; -600.- '}()()

01 Zohlungsreihe {T€l -200. 600.- . 700

-300

i lCoI

Abb.93.20

(Co)

(i)

(il

-50