Dubbel Taschenbuch fr den Maschinenbau
Zweiundzwanzigste, neubearbeitete und erweiterte Auflage Herausgegeben von
K.-H. Grote und J. Feldhusen
Mit mehr als 3000 Abbildungen und Tabellen
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Herausgeber Professor Dr.-Ing. Karl-Heinrich Grote Otto-von-Guericke-Universitt Magdeburg Professor Dr.-Ing. Jrg Feldhusen Rheinisch-Westflische Technische Hochschule Aachen
Bibliografische Information der Deutschen Bibliothek Die Deutsche Bibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet ber http://dnb.d-nb.de aufrufbar.
ISBN 978-3-540-49714-1 22. Aufl. Springer Berlin Heidelberg New York ISBN 978-3-540-22142-5 21. Aufl. Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York Dieses Werk ist urheberrechtlich geschtzt. Die dadurch begrndeten Rechte, insbesondere die der bersetzung, des Nachdrucks, des Vortrags, der Entnahme von Abbildungen und Tabellen, der Funksendung, der Mikroverfilmung oder der Vervielfltigung auf anderen Wegen und der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen, bleiben, auch bei nur auszugsweiser Verwertung, vorbehalten. Eine Vervielfltigung dieses Werkes oder von Teilen dieses Werkes ist auch im Einzelfall nur in den Grenzen der gesetzlichen Bestimmungen des Urheberrechtsgesetzes der Bundesrepublik Deutschland vom 9. September 1965 in der jeweils geltenden Fassung zulssig. Sie ist grundstzlich vergtungspflichtig. Zuwiderhandlungen unterliegen den Strafbestimmungen des Urheberrechtsgesetzes. Springer ist ein Unternehmen von Springer Science + Business Media springer.de Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1929, 1935, 1940, 1941, 1943, 1953, 1961, 1970, 1974, 1981, 1983, 1986, 1987, 1990, 1995, 1997, 2001, 2005, 2007 Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, daß solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wren und daher von jedermann benutzt werden drften. Sollte in diesem Werk direkt oder indirekt auf Gesetze, Vorschriften oder Richtlinien (z.B. DIN, VDI, VDE) Bezug genommen oder aus ihnen zitiert worden sein, so kann der Verlag keine Gewhr fr Richtigkeit, Vollstndigkeit oder Aktualitt bernehmen. Es empfiehlt sich, gegebenenfalls fr die eigenen Arbeiten die vollstndigen Vorschriften oder Richtlinien in der jeweils gltigen Fassung hinzuzuziehen. Einbandgestaltung: eStudio Calamar S.L., F. Steinen-Broo, Girona, Spanien Herstellung: Claudia Rau, LE-TeX Jelonek, Schmidt & Vckler GbR, Leipzig Satz: CMS, Wrzburg Druck und Verarbeitung: Strtz GmbH, Wrzburg Anzeigen: Odette Thomßen Springer, Heidelberger Platz 3, 14197 Berlin Tel. 030/8 27 87-52 02, Fax 030/8 27 87-53 00, e-mail:
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Mitarbeiter der 22. Auflage Anderl, R., Dr.-Ing., Prof., Technische Universitt Darmstadt Berger, C., Dr.-Ing., Prof., Technische Universitt Darmstadt Bohnet, M., Dr.-Ing., Prof., Technische Universitt Braunschweig Brecher, C., Dr.-Ing., Prof., Rheinisch-Westflische Technische Hochschule Aachen Bruns, R., Dr.-Ing., Prof., Universitt der Bundeswehr, Hamburg Burr, A., Dr.-Ing., Prof., Hochschule Heilbronn Bttgenbach, S., Dr. rer. nat., Prof., Technische Universitt Braunschweig Corves, B., Dr.-Ing., Prof., Rheinisch-Westflische Technische Hochschule Aachen Czichos, H., Dr.-Ing. Dr. h.c., Prof., Bundesanstalt fr Materialforschung und -prfung (BAM), Berlin Daum, W., Dr.-Ing., Prof., Bundesanstalt fr Materialforschung und -prfung (BAM), Berlin Denkena, B., Dr.-Ing., Prof., Leibniz Universitt Hannover Deters, L., Dr.-Ing., Prof., Otto-von-Guericke-Universitt Magdeburg Dietz, P., Dr.-Ing., Dr. h.c., Prof., Technische Universitt Clausthal Dorn, L., Dr.-Ing. Dr. h.c., Prof., Technische Universitt Berlin Feldhusen, J., Dr.-Ing., Prof., Rheinisch-Westflische Technische Hochschule Aachen Feldmann, D.G., Dr.-Ing., Prof., Technische Universitt Hamburg-Harburg Fischer, C., Dipl.-Ing., Vattenfall, Berlin Gelbe, H., Dr.-Ing., Prof., Technische Universitt Berlin Gevatter, H.-J. y, Dr.-Ing., Prof., Technische Universitt Berlin Gold, P.W., Dr.-Ing., Prof., Rheinisch-Westflische Technische Hochschule Aachen Goldhahn, H., Dr.-Ing. habil., Prof., Technische Universitt Dresden Grabowski, H., Dr.-Ing., Dr. h.c., Prof. E.h., Prof., Universitt Karlsruhe Grote, K.-H., Dr.-Ing., Prof., Otto-von-Guericke-Universitt Magdeburg Grnhaupt, U., Dr.-Ing., Prof., Hochschule Karlsruhe Gugau, M., Dr.-Ing., Technische Universitt Darmstadt Gnthner, W.A., Dr.-Ing., Prof., Technische Universitt Mnchen Habig, K.-H., Dr.-Ing., Prof., Bundesanstalt fr Materialforschung und -prfung (BAM), Berlin Hainbach, C., Dr.-Ing., Institut fr Klte-, Klima-, und Energietechnik (IKET) GmbH, Essen Harsch, G., Dipl.-Ing., Prof., Hochschule Heilbronn Hecht, M., Dr.-Ing., Prof., Technische Universitt Berlin Hempel, D.C., Dr.-Ing., Prof., Technische Universitt Braunschweig Herfurth, K., Dr.-Ing. habil., Prof., TU Chemnitz und Verein Deutscher Gießereifachleute (VDG) Hofmann, W., Dr.-Ing., Prof., Technische Universitt Chemnitz Hhn, B.-R., Dr.-Ing., Prof., Technische Universitt Mnchen Hlz, H., Dipl.-Ing., Prof., Technische Universitt Berlin ten Hompel, M., Dr.-Ing., Prof., Universitt Dortmund Kerle, H., Dr.-Ing., Technische Universitt Braunschweig Kessler, F., Dr.-Ing., Prof., Montanuniversitt Leoben Kiesewetter, L., Dr.-Ing., Prof., Brandenburgische Technische Universitt Cottbus Krmer, E., Dipl.-Ing., ABB Kraftwerke AG, Baden/Schweiz Krause, F., Dr.-Ing., Prof., Otto-von-Guericke-Universitt Magdeburg Kunze, G., Dr.-Ing., Prof. habil., Technische Universitt Dresden Lackmann, J., Dr.-Ing., Prof., Technische Fachhochschule Berlin Lehr, H., Dr. rer. nat., Prof., Technische Universitt Berlin Ldtke, K., Dipl.-Ing., MAN Turbo AG, Oberhausen/Berlin Mareske, A., Dr.-Ing., Vattenfall, Berlin
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Autoren
Majschak, J.-P., Dr.-Ing., Prof., Technische Universitt Dresden Marquardt, H.-G., Dr.-Ing. habil., Prof., Technische Universitt Dresden Mersmann, A., Dr.-Ing., Prof., Technische Universitt Mnchen Mertens, H., Dr.-Ing., Prof., Technische Universitt Berlin Mollenhauer, K., Dr.-Ing., Prof., Technische Universitt Berlin Mrl, L., Dr.-Ing., Prof., Otto-von-Guericke-Universitt Magdeburg Motz, H.D., Dr. rer. sec., Dipl.-Ing., Prof., Bergische Universitt Wuppertal Nordmann, R., Dr.-Ing., Prof., Technische Universitt Darmstadt Orloff, M., Dr. Dr. sc. techn., Prof., Modern TRIZ Academy Deutschland, Berlin Overmeyer, L., Dr.-Ing., Prof., Universitt Hannover Pahl, G., Dr.-Ing. Dr. h.c. Dr.-Ing. E.h., Prof., Technische Universitt Darmstadt Poll, G., Dr.-Ing., Prof., Universitt Hannover Poppy, W., Dr.-Ing., Prof., Otto-von-Guericke-Universitt Magdeburg Pritschow, G., Dr.-Ing. Dr. h.c. mult., Prof., Universitt Stuttgart Pucher, H., Dr.-Ing., Prof., Technische Universitt Berlin Rkczy, T., Dr.-Ing., Prof., Brandi-IGH Ingenieure GmbH, Kln Reinhardt, H., Dr.-Ing. habil., Prof., Fachhochschule Kln Ruge, P., Dr.-Ing., Prof., Technische Universitt Dresden Schdlich, S., Dr.-Ing., Informationszentrum Hochschulgruppe Ruhr e.V., Essen Scholten, J., Dr.-Ing., Jun. Prof., Ruhr-Universitt Bochum Schrmann, H., Dr.-Ing., Prof., Technische Universitt Darmstadt Schwedes, J., Dr.-Ing., Prof., Technische Universitt Braunschweig Seidel-Morgenstern, A., Dr.-Ing., Prof., Otto-von-Guericke-Universitt Magdeburg Seiffert, U., Dr.-Ing., Prof., WiTech Engineering GmbH, Braunschweig Seliger, G., Dr.-Ing., Prof., Technische Universitt Berlin Siegert, K., Dr.-Ing. Dr. h.c., Prof., Universitt Stuttgart Siekmann, H.E., Dr.-Ing., Prof., Technische Universitt Berlin Spur, G., Dr. h.c. mult. Dr.-Ing. Dr.-Ing. E.h., Prof., Technische Universitt Berlin Stephan, K., Dr.-Ing., Dr.-Ing. E.h., Prof., Universitt Stuttgart Stephan, P., Dr.-Ing., Prof., Technische Universitt Darmstadt Stiebler, M., Dr.-Ing., Prof., Technische Universitt Berlin Stoff, H., Dr. s. sc. techn. (EPFL), Prof., Ruhr-Universitt Bochum Thamsen, P.U., Dr.-Ing., Prof., Technische Universitt Berlin Tnshoff, H.K., Dr.-Ing. Dr.-Ing. E.h. mult., Prof., Leibniz Universitt Hannover Tschke, H., Dr.-Ing., Prof., Otto-von-Guericke-Universitt Magdeburg Uhlmann, E., Dr.-Ing., Prof., Technische Universitt Berlin Voit-Nitschmann, R., Dipl.-Ing., Prof., Universitt Stuttgart Wagner, G., Dr.-Ing., Prof., Ruhr-Universitt Bochum Weck, M., Dr.-Ing. Dr.-Ing. E.h., Dr.-Ing. E.h., Prof., Rheinisch-Westflische Technische Hochschule Aachen Wehking, K.-H., Dr.-Ing., Prof., Universitt Stuttgart Westkmper, E., Dr.-Ing. Dr.-Ing. E.h. Dr. h.c. mult., Prof., Universitt Stuttgart Wohlfahrt, H., Dr.-Ing., Prof., Technische Universitt Braunschweig Ziegmann, G., Dr.-Ing., Prof., Technische Universitt Clausthal-Zellerfeld Wegen der durch die Hochschulgesetzgebung der Bundeslnder vorliegenden unterschiedlichen Regelungen zur Titelgebung werden die Professorentitel der Autoren undifferenziert angegeben. Die Mitarbeiter von zurckliegenden Auflagen des DUBBEL (ab der 14. Auflage) sind auf den Folgeseiten genannt. Damit werden diese Autoren gewrdigt und deren Beitrge, die fr die vorliegende und fr vorherige Auflagen kontinuierlich auch durch neue Autoren weiterentwickelt wurden. Da die kontinuierlich weiterhin erfolgenden Ehrungen der Mitarbeiter der bisherigen Auflagen den Herausgebern nicht umfassend bekannt sind bzw. angezeigt werden, wurden alle verliehenen Ehrentitel hier einheitlich weggelassen.
Mitarbeiter der 14. bis 21. Auflage Mitarbeiter
mitgearbeitet bei Auflage
Anderl, R., Dr.-Ing., Prof., Technische Universitt Darmstadt Behr, B., Dipl.-Ing., Rheinisch-Westflische Technische Hochschule Aachen Beitz, W.,y Dr.-Ing., Prof., Technische Universitt Berlin 14 Berger, C., Dr.-Ing., Prof., Technische Universitt Darmstadt Blaich, M., Dipl.-Ing., Stuttgart 14 Bohnet, M., Dr.-Ing., Prof., Technische Universitt Braunschweig Bothe, A., Dr., Prof., Fachhochschule Gelsenkirchen Bttcher, C., Dipl.-Ing., Brandi Ingenieure GmbH bzw. IWS Ing. Consult, Kln 14 Bretthauer, K., Dr.-Ing., Prof., Technische Universitt Clausthal 14 Brockmann, H.-J., Dr.-Ing., Prof., Technische Fachhochschule Berlin 14 Bruns, R., Dr.-Ing., Prof., Universitt der Bundeswehr, Hamburg Burr, A., Dr.-Ing., Prof., Hochschule Heilbronn Busse, L., Dr.-Ing., ASEA Brown Boveri, Mannheim Czichos, H., Dr.-Ing., Prof., Bundesanstalt fr Materialforschung und -prfung (BAM), Berlin Daum, W., Dr.-Ing., Prof., Bundesanstalt fr Materialforschung und -prfung (BAM), Berlin Dannenmann, E., Dipl.-Ing., Universitt Stuttgart 14 Denkena, B., Dr.-Ing., Prof., Leibniz Universitt Hannover Deters, L., Dr.-Ing., Prof., Otto-von-Guericke-Universitt, Magdeburg Dibelius, G., Dr.-Ing., Prof., Rheinisch-Westflische Technische Hochschule Aachen 14 Diehl, H., Dr.-Ing., Hochtemperatur-Reaktorbau GmbH, Mannheim 14 Dietz, P., Dr.-Ing., Prof., Technische Universitt Clausthal Dorn, L., Dr.-Ing., Prof., Technische Universitt Berlin 14 Dssler, W., Obering., Ratingen 14 Ebert, K.-A., Dr.-Ing., Hattersheim 14 Ehrlenspiel, K., Dr.-Ing., Prof., Technische Universitt Mnchen 14 Engel, G., Dr.-Ing., Rheinisch-Westflische Technische Hochschule Aachen 14 Federn, K., Dr.-Ing., Prof., Technische Universitt Berlin 14 Feldhusen, J., Dr.-Ing., Prof., Rheinisch-Westflische Technische Hochschule Aachen Feldmann, D.G., Dr.-Ing., Prof., Technische Universitt Hamburg-Harburg Fiala, E., Dr. techn., Prof., Volkswagenwerk AG, Wolfsburg 14 Fischer, C., Dipl.-Ing., Vattenfall, Berlin Flemming, M., Dr.-Ing., Prof., ETH Zrich, Schweiz Fller, D., Dr.-Ing., Prof., Battelle-Institut e.V., Frankfurt a.M. 14 Gasˇparovic´, N., Dr.-Ing., Prof., Technische Universitt Berlin 14 Gast, Th., Dr.-Ing. habil., Prof., Technische Universitt Berlin 14 Geiger, M., Dr.-Ing., Prof., Universitt Erlangen-Nrnberg 14 Geiger, R., Dr.-Ing., Preß- und Stanzwerk Eschen, Liechtenstein 14 Gelbe, H., Dr.-Ing., Prof., Technische Universitt Berlin 14 Gevatter, H.-J.y, Dr.-Ing., Prof., Technische Universitt Berlin Gold, P.W., Dr.-Ing., Prof., Rheinisch-Westflische Technische Hochschule Aachen Goldhahn, H., Dr.-Ing. habil., Prof., Technische Universitt Dresden Grabowski, H., Dr.-Ing., Prof., Universitt Karlsruhe 14 Grote, K.-H., Dr.-Ing., Prof., Otto-von-Guericke-Universitt Magdeburg Grnhaupt, U., Dr.-Ing., Prof., Hochschule Karlsruhe Gugau, M., Dr.-Ing., Technische Universitt Darmstadt Gnthner, W.A., Dr.-Ing., Prof., Technische Universitt Mnchen Habig, K.-H., Dr.-Ing., Prof., Bundesanstalt fr Materialforschung und -prfung (BAM), Berlin Hager, M., Dr.-Ing., Prof., Universitt Hannover Hain, K., Dr.-Ing. E.h., Braunschweig 14 Hainbach, C., Dr.-Ing., Institut fr Klte-, Klima- und Energietechnik (IKET) GmbH, Essen Harsch, G., Dipl.-Ing., Prof., Hochschule Heilbronn Hecht, M., Dr.-Ing., Prof., Technische Universitt Berlin Hempel, D.C., Dr.-Ing., Prof., Technische Universitt Braunschweig Herfurth, K., Dr.-Ing. habil., Prof., Technische Universitt Chemnitz Hhn, B.-R., Dr.-Ing., Prof., Technische Universitt Mnchen Hlz, H., Dipl.-Ing., Prof., Technische Universitt Berlin Hner, K.E., Dr.-Ing., Prof., Technische Universitt Berlin 14 Jger, B., Dr.-Ing., Prof., Kraftwerk Union bzw. Siemens AG, Berlin 14 Jarecki, U., Dipl.-Ing., Prof., Technische Fachhochschule Berlin 14
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Mitarbeiter der 14. bis 21. Auflage
Mitarbeiter
mitgearbeitet bei Auflage
Jnemann, R., Dr.-Ing., Prof., Universitt Dortmund Kerle, H., Dr.-Ing., Technische Universitt Braunschweig Kiesewetter, L., Dr.-Ing., Prof., Technische Universitt Berlin Klapp, E., Dr.-Ing., Prof., Universitt Erlangen-Nrnberg Klepper, H., Dr.-Ing., ASEA Brown Boveri, Mannheim Kloos, K.H., Dr.-Ing., Prof., Technische Universitt Darmstadt Koch, E., Dipl.-Ing., BBC, Mannheim Krmer, E., Dr. rer. nat., Prof., Technische Hochschule Darmstadt Krmer, E., Dipl.-Ing., Alstom Power, Baden/Schweiz Krause, F., Dr.-Ing., Prof., Otto-von-Guericke-Universitt Magdeburg Kttner, K.-H.,y Dipl.-Ing., Prof., Technische Fachhochschule Berlin Lackmann, J., Dr.-Ing., Prof., Technische Fachhochschule Berlin Ladwig, J., Dipl.-Ing., Universitt Stuttgart Lambrecht, D., Dr.-Ing., Universitt Erlangen-Nrnberg Lange, K., Dr.-Ing., Prof., Universitt Stuttgart Lehr, H., Dr. rer. nat., Prof., Technische Universitt Berlin Lenz, H., Dipl.-Ing., Kln Lenz, W., Dr.-Ing., Daisendorf Liedtke, G., Ing., Borsig GmbH, Berlin Ldtke, K., Dipl.-Ing., MAN Turbo AG, Oberhausen/Berlin Mareske, A., Dr.-Ing., Vattenfall, Berlin Mauer, G., Dipl.-Ing., Rheinisch-Westflische Technische Hochschule Aachen Mersmann, A., Dr.-Ing., Prof., Technische Universitt Mnchen Mertens, H., Dr.-Ing., Prof., Technische Universitt Berlin Mollenhauer, K., Dr.-Ing., Prof., Technische Universitt Berlin Mrl, L., Dr.-Ing., Prof., Otto-von-Guericke-Universitt Magdeburg Motz, H.D., Dr., Prof., Bergische Universitt Wuppertal Mller, H.W., Dr.-Ing., Prof., Technische Hochschule Darmstadt Nieth, F., Dr.-Ing., Technische Hochschule Darmstadt Nordmann, R., Dr.-Ing., Prof., Technische Hochschule Darmstadt Oehmen, H., Dr.-Ing., Prof., Universitt Hannover Opitz, W., Dr. techn., Graz Pahl, G., Dr.-Ing., Prof., Technische Hochschule Darmstadt Peeken, H., Dr.-Ing., Prof., Rheinisch-Westflische Technische Hochschule Aachen Poll, G., Dr.-Ing., Prof., Universitt Hannover Poppy, W., Dr.-Ing., Prof., Technische Universitt Berlin Poppy, W., Dr.-Ing., Prof., Otto-von-Guericke-Universitt Magdeburg Pritschow, G., Dr.-Ing., Dr. h.c. mult., Prof., Universitt Stuttgart Pucher, H., Dr.-Ing., Prof., Technische Universitt Berlin Rkczy, T., Dr.-Ing., Brandi-IGH Ingenieure GmbH, Kln Reinhardt, H., Dr.-Ing. habil., Prof., Fachhochschule Kln Reuter, W., Dipl.-Ing., Rheinisch-Westflische Technische Hochschule Aachen Rper, R.,y Dr.-Ing., Prof., Universitt Dortmund Ruge, J., Dr.-Ing., Prof., Technische Universitt Braunschweig Ruge, P., Dr.-Ing., Prof., Technische Universitt Dresden Rulla, P., Dipl.-Ing., Prof., Technische Fachhochschule Berlin Rumpel, G., Dr.-Ing., Prof., Technische Fachhochschule Berlin Schriefer, H., Dipl.-Ing., Rheinisch-Westflische Technische Hochschule Aachen Schulz, H.-J., Dr.-Ing., Prof., Technische Fachhochschule Berlin Schwedes, J., Dr.-Ing., Prof., Technische Universitt Braunschweig Seidel-Morgenstern, A., Dr.-Ing., Prof., Otto-von-Guericke-Universitt, Magdeburg Seiffert, U., Dr.-Ing., Prof., WiTech Engineering GmbH, Braunschweig Seliger, G., Dr.-Ing., Prof., Technische Universitt Berlin Severin, D., Dr.-Ing., Prof., Technische Universitt Berlin Siegert, K., Dr.-Ing., Prof., Universitt Stuttgart Siekmann, H.E., Dr.-Ing., Prof., Technische Universitt Berlin Sondershausen, H.D., Dipl.-Ing., Prof., Technische Fachhochschule Berlin Speckhardt, H., Dr., Prof., Technische Universitt Darmstadt Spur, G., Dr.-Ing., Prof., Technische Universitt Berlin Stephan, K., Dr.-Ing., Prof., Universitt Stuttgart Stephan, P., Dr.-Ing., Prof., Technische Universitt Darmstadt Stiebler, M., Dr.-Ing., Prof., Technische Universitt Berlin Stoff, H., Dr.s.sc. techn. Prof., Ruhr-Universitt, Bochum Stute, G., Dr.-Ing., Prof., Universitt Stuttgart Thamsen, P.U., Dr.-Ing., Prof., Technische Universitt Berlin Thomala, W., Dr.-Ing., Richard Bergner GmbH, Schwabach
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Mitarbeiter der 14. bis 21. Auflage
Mitarbeiter
mitgearbeitet bei Auflage
Tnshoff, H.K., Dr.-Ing., Prof., Leibniz Universitt Hannover Tschke, H., Dr.-Ing., Prof., Otto-von-Guericke-Universitt Magdeburg Uhlmann, E., Dr.-Ing., Prof., Technische Universitt Berlin Victor, H., Dr.-Ing., Prof., Universitt Karlsruhe Vierling, A., Dr.-Ing., Prof., Universitt Hannover Voit-Nitschmann, R., Dipl.-Ing., Prof., Universitt Stuttgart Wagner, G., Dr.-Ing., Prof., Ruhr-Universitt Bochum Warnecke, H.-J., Dr.-Ing., Prof., Universitt Stuttgart Weber, R., Dr.-Ing., Prof., Universitt Hannover Weck, M., Dr.-Ing., Prof., Rheinisch-Westflische Technische Hochschule Aachen Weißbrod, G., Dipl.-Ing., Prof., Technische Fachhochschule Berlin Werle, T., Dipl.-Ing., Universitt Stuttgart Westkmper, E., Dr.-Ing., Prof., Universitt Stuttgart Wilhelm, H., Dr.-Ing., MTU Mnchen Winter, H.,y Dr.-Ing., Prof., Technische Universitt Mnchen Wohlfahrt, H., Dr.-Ing., Prof., Technische Universitt Braunschweig Ziegmann, G., Dr.-Ing., Prof., Technische Universitt Clausthal-Zellerfeld Zuppke, B., Dipl.-Ing., Prof., Technische Universitt Berlin
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Vorwort zur 22. Auflage
Der DUBBEL ist seit 1914 fr Generationen von Studenten und in der Praxis ttigen Ingenieuren das Standardwerk fr die produkt- und fertigungsorientierten Fachgebiete des Maschinenbaus. Er dient gleichermaßen als Lehrbuch und Nachschlagewerk fr alle Technischen Hochschulen und andere Technik orientierte Aus- und Weiterbildungsinstitute sowie als Arbeitsunterlage fr die Praxis zur Lsung konkreter Ingenieuraufgaben. Diese Breite des Leserkreises spiegelt sich auch in den Erfahrungen der Herausgeber und Autoren wider, die ausgewogen aus einer Lehr- und Forschungsttigkeit oder verantwortlichen Industriettigkeit kommen. ber eine Million verkaufte Exemplare des DUBBEL sind Beweis der großen Bedeutung des Werkes fr den Maschinenbau. Die Vielfalt des Maschinenbaus hinsichtlich Ingenieurttigkeiten und Fachgebieten, der enorme Erkenntniszuwachs sowie das Erfllen der vielschichtigen Zielsetzung des Buches erforderten bei der Stoffzusammenstellung eine enge Zusammenarbeit zwischen Herausgebern und Autoren. Hierbei mussten die wesentlichen Grundlagen und die unbedingt erforderlichen, allgemein anwendbaren und gesicherten Aussagen der einzelnen Fachgebiete ausgewhlt werden. Trotz der im Hinblick auf die Umfangsbeschrnkung erforderlichen Konzentration auf das Wesentliche und Allgemeingltige werden auch neueste Forschungsergebnisse und Entwicklungen behandelt, ohne die eine umfassende Anwendung eines solchen Buches in Praxis und Lehre nicht mehr auskommt. Die Stoffauswahl wurde so getroffen, dass die Studierenden in der Lage sind, sich problemlos ein erforderliches Mindestwissen von der gesamten Breite des Maschinenbaus anzueignen. Die Ingenieure der Praxis erhalten darber hinaus ein weitgehend vollstndiges Arbeitsmittel zur Lsung von Ingenieuraufgaben. Ihnen wird auch ein schneller Einblick vor allem in solche Fachgebiete gegeben, in denen sie kein Spezialist sind. So sind zum Beispiel die Ausfhrungen ber Fertigungstechnik nicht in erster Linie fr den Betriebsingenieur gedacht, sondern beispielsweise fr den Konstrukteur, der fertigungsorientiert gestalten muss; die Frdertechnik soll nicht nur den Konstrukteur fr Hebezeuge ansprechen, sondern vor allem auch den Betriebsingenieur, der seine Frdermittel mitgestalten und auswhlen muss. Das Buch will allen Bereichen der Herstellung und Anwendung maschinenbaulicher Produkte (Anlagen, Maschinen, Apparate und Gerte) bei der Lsung ihrer Probleme helfen: Angefangen bei der Produktplanung, Forschung, Entwicklung, Konstruktion, Arbeitsvorbereitung, Normung, Materialwirtschaft, Fertigung, Montage und Qualittssicherung ber den technischen Vertrieb bis zur Bedienung, berwachung, Instandsetzung und zum Recycling. Der DUBBEL wird laufend berarbeitet und damit auf dem aktuellen Stand der Technik gehalten. Mit der 22. Auflage wurde der Generationswechsel bei den Autoren auf bewhrte Art fortgesetzt. Die neu hinzugekommenen ca. 20 Autoren haben in beispielhafter Kooperation die jeweiligen Kapitel mit den langjhrigen DUBBEL-Autoren bearbeitet, korrigiert und auch erweitert oder neu geschrieben, somit sind wir fr weitere Auflagen des DUBBEL gerstet. Die Gliederung der letzten Auflage wurde beibehalten. Beibehalten wurden auch die in einem Anhang am Ende jeden Hauptkapitels aufgefhrten quantitativen Arbeitsunterlagen in Form von Tabellen, Diagrammen und Normenauszgen (Stoff- und Richtwerte). Am Schluss des DUBBEL enthlt der Teil Z „Allgemeine Tabellen“ die wichtigsten physikalischen Konstanten, die Einheiten mit ihren Umrechnungsfaktoren, die Grundgrßen der Kern-, Licht-, Schall- und Umwelttechnik sowie Bezugsquellen fr Technische Regelwerke und internationale Normen – mit Angaben der Web-Adressen. Unter der Web-Adresse www.dubbel.de ist das aus der 19. Auflage und der interaktiven CD-ROM bekannte, ausfhrliche Mathematik Kapitel abrufbar. Die Literaturangaben sind als „allgemeine“ Literatur den Teilen vorangestellt und als „spezielle“ Literatur, geordnet nach den Kapiteln, am Schluss der Teile zusammengefasst. Die allgemeine Literatur bietet dem Leser eine Zusammenstellung von Grundlagen-, bersichts- und Standardwerken des jeweiligen Fachgebietes, whrend der spe-
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Vorwort zur 22. Auflage
zielle Literaturteil inhaltlich dieses Gebiet vervollstndigt. Die Literaturangaben werden jedoch zum Gebrauch dieses Arbeitsbuches, insbesondere zur Anwendung von Berechnungsverfahren, nicht direkt bentigt; sie sollen vielmehr den Studierenden eine umfassende Information ber den Erkenntnisstand des jeweiligen Fachgebietes geben. Die Benutzungsanleitung hilft, die zahlreichen Hinweise und Querverweise zwischen den einzelnen Teilen und Kapiteln zu nutzen sowie die Abkrzungen und die gewhlte Buchstruktur einschließlich des Anhangs zu verstehen. Infolge der Uneinheitlichkeit nationaler und internationaler Normen sowie der Gewohnheiten einzelner Fachgebiete ließen sich in wenigen Fllen unterschiedliche Bezeichnungen fr gleiche Begriffe nicht vermeiden. Fr die 22. Auflage wurden die Autoren nicht verpflichtet, die neue Rechtschreibung bei der Erstellung ihres Beitrags anzuwenden – dies ist fr ein Taschenbuch des Maschinenbaus vertretbar – kommt es doch in erster Linie auf die verstndliche Beschreibung der technischen Zusammenhnge an; Zug um Zug werden die Kapitel angepasst werden. Zwischen den Teilen und am Ende des Taschenbuches befinden sich „Informationen aus der Industrie“ mit technisch relevanten Anzeigen bekannter Firmen. Hier werden industrielle Ausfhrungsformen gezeigt und auf Bezugsquellen hingewiesen. Hinweise, Vorschlge und konstruktive Kritik unserer Leser wurden dankbar verwertet. Wir sind auch weiterhin sehr an Anregungen und Hinweisen interessiert. Die Herausgeber danken allen am Werk Beteiligten: den Autoren fr ihr Engagement und ihre Kompromissbereitschaft bei der Abfassung ihrer Beitrge unter den starken Restriktionen hinsichtlich Umfang und Abstimmung mit anderen Kapiteln, Frau B. Mnch vom Springer-Verlag und Frau Claudia Rau von der Fa. LE-TeX fr die engagierte und sachkundige Zusammenarbeit bei der redaktionellen Bearbeitung der schwierigen Textund Bildvorlagen sowie dem Springer-Verlag fr die Ausstattung des Buches, Frau Dr.Ing. G. Mller fr die vorbereitende, formelle Durchsicht der Beitrge, der Druckerei Strtz fr die Sorgfalt in den einzelnen Phasen der Herstellung. Abschließend sei auch den vorangegangenen Generationen von Herausgebern und Autoren gedankt – die im Mitarbeiterverzeichnis gewrdigt werden. Sie haben durch ihre gewissenhafte Arbeit die Anerkennung des DUBBEL begrndet, die mit der jetzt vorliegenden 22. Auflage weiter gefestigt und ausgebaut werden soll.
Magdeburg und Aachen im Sommer 2007
Karl-Heinrich Grote und Jrg Feldhusen
Inhaltsverzeichnis Hinweise zur Benutzung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XLIII Chronik des Taschenbuches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
XLV
A Mathematik 1
Mathematik fr Ingenieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A 3
2
Ergnzungen zur Mathematik fr Ingenieure . . . . . . . . . . . . . . . A 3
3
Numerische Methoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A 4
3.1 Numerisch-analytische Lsung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A 4 3.2 Standardaufgaben der linearen Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A 4 3.3 Interpolation, Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A 5 3.4 Rand- und Anfangswertprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A 6
B Mechanik 1
Statik starrer Krper. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B 1
1.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B 1 1.2 Zusammensetzen und Zerlegen von Krften mit gemeinsamem Angriffspunkt . . . B 2 1.2.1 Ebene Krftegruppe B 2. – 1.2.2 Rumliche Krftegruppe B 3.
1.3 Zusammensetzen und Zerlegen von Krften mit verschiedenen Angriffspunkten . . B 3 1.3.1 Krfte in der Ebene B 3. – 1.3.2 Krfte im Raum B 3.
1.4 Gleichgewicht und Gleichgewichtsbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . B 4 1.4.1 Krftesystem im Raum B 4. – 1.4.2 Krftesystem in der Ebene B 4. – 1.4.3 Prinzip der virtuellen Arbeiten B 5. – 1.4.4 Arten des Gleichgewichts B 5. – 1.4.5 Standsicherheit B 6.
1.5 Lagerungsarten, Freimachungsprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B 6 1.6 Auflagerreaktionen an Krpern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B 6 1.6.1 Krper in der Ebene B 6. – 1.6.2 Krper im Raum B 7.
1.7 Systeme starrer Krper. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B 7 1.8 Fachwerke. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B 8 1.8.1 Ebene Fachwerke B 8. – 1.8.2 Rumliche Fachwerke B 9.
1.9 Seile und Ketten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B 9 1.9.1 Seil unter Eigengewicht (Kettenlinie) B 10. – 1.9.2 Seil unter konstanter Streckenlast B 10. – 1.9.3 Seil mit Einzellast B 11.
1.10 Schwerpunkt (Massenmittelpunkt) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B 11
1.11 Haftung und Reibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B 11
Kinematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B 15
2.1 Bewegung eines Punkts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B 15
2
2.1.1 Allgemeines B 15. – 2.1.2 Ebene Bewegung B 17. – 2.1.3 Rumliche Bewegung B 19.
2.2 Bewegung starrer Krper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B 19
2.2.1 Translation (Parallelverschiebung, Schiebung) B 19. – 2.2.2 Rotation (Drehbewegung, Drehung) B 19. – 2.2.3 Allgemeine Bewegung des starren Krpers B 20.
Kinetik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B 24
3.1 Energetische Grundbegriffe – Arbeit, Leistung, Wirkungsgrad . . . . . . . .
B 24
3.2 Kinetik des Massenpunkts und des translatorisch bewegten Krpers . . . . . .
B 25
3
3.2.1 Dynamisches Grundgesetz von Newton (2. Newtonsches Axiom) B 25. – 3.2.2 Arbeits- und Energiesatz B 26. – 3.2.3 Impulssatz B 26. – 3.2.4 Prinzip von dAlembert und gefhrte Bewegungen B 26. – 3.2.5 Impulsmomenten- (Flchen-) und Drehimpulssatz B 26.
3.3 Kinetik des Massenpunktsystems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B 27
XIV
Inhaltsverzeichnis
3.3.1 Schwerpunktsatz B 27. – 3.3.2 Arbeits- und Energiesatz B 27. – 3.3.3 Impulssatz B 27. – 3.3.4 Prinzip von dAlembert und gefhrte Bewegungen B 28. – 3.3.5 Impulsmomenten- und Drehimpulssatz B 28. – 3.3.6 Lagrangesche Gleichungen B 28. – 3.3.7 Prinzip von Hamilton B 29. – 3.3.8 Systeme mit vernderlicher Masse B 29.
3.4 Kinetik starrer Krper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B 29 3.4.1 Rotation eines starren Krpers um eine feste Achse B 29. – 3.4.2 Allgemeines ber Massentrgheitsmomente (Bild 11) B 30. – 3.4.3 Allgemeine ebene Bewegung starrer Krper B 32. – 3.4.4 Allgemeine rumliche Bewegung B 33.
3.5 Kinetik der Relativbewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B 35 3.6 Stoß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B 35 3.6.1 Gerader zentraler Stoß B 35. – 3.6.2 Schiefer zentraler Stoß B 35. – 3.6.3 Exzentrischer Stoß B 36. – 3.6.4 Drehstoß B 36.
4
Schwingungslehre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B 36
4.1 Systeme mit einem Freiheitsgrad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B 36 4.1.1 Freie ungedmpfte Schwingungen B 36. – 4.1.2 Freie gedmpfte Schwingungen B 37. – 4.1.3 Ungedmpfte erzwungene Schwingungen B 38. – 4.1.4 Gedmpfte erzwungene Schwingungen B 39. – 4.1.5 Kritische Drehzahl und Biegeschwingung der einfach besetzten Welle B 39.
4.2 Systeme mit mehreren Freiheitsgraden (Koppelschwingungen) . . . . . . . . . . B 39 4.2.1 Freie Schwingungen mit zwei und mehr Freiheitsgraden B 40. – 4.2.2 Erzwungene Schwingungen mit zwei und mehr Freiheitsgraden B 40. – 4.2.3 Eigenfrequenzen ungedmpfter Systeme B 41. – 4.2.4 Schwingungen der Kontinua B 41.
4.3 Nichtlineare Schwingungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B 43 4.3.1 Schwinger mit nichtlinearer Federkennlinie oder Rckstellkraft B 43. – 4.3.2 Schwingungen mit periodischen Koeffizienten (rheolineare Schwingungen) B 44.
5
Hydrostatik (Statik der Flssigkeiten) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B 44
6
Hydro- und Aerodynamik (Strmungslehre, Dynamik der Fluide). . . . . . . B 46
6.1 Eindimensionale Strmungen idealer Flssigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . B 46 6.1.1 Anwendungen der Bernoullischen Gleichung fr den stationren Fall B 47. – 6.1.2 Anwendung der Bernoullischen Gleichung fr den instationren Fall B 47.
6.2 Eindimensionale Strmungen zher Newtonscher Flssigkeiten (Rohrhydraulik) . . B 48 6.2.1 Stationre laminare Strmung in Rohren mit Kreisquerschnitt B 48. – 6.2.2 Stationre turbulente Strmung in Rohren mit Kreisquerschnitt B 48. – 6.2.3 Strmung in Leitungen mit nicht vollkreisfrmigen Querschnitten B 49. – 6.2.4 Strmungsverluste durch spezielle Rohrleitungselemente und Einbauten B 49. – 6.2.5 Stationrer Ausfluss aus Behltern B 52. – 6.2.6 Stationre Strmung durch offene Gerinne B 53. – 6.2.7 Instationre Strmung zher Newtonscher Flssigkeiten B 53. – 6.2.8 Freier Strahl B 53.
6.3 Eindimensionale Strmung Nicht-Newtonscher Flssigkeiten . . . . . . . . . . B 53 6.4 Kraftwirkungen strmender inkompressibler Flssigkeiten . . . . . . . . . . . . B 54 6.4.1 Impulssatz B 54. – 6.4.2 Anwendungen B 54.
6.5 Mehrdimensionale Strmung idealer Flssigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . B 55 6.5.1 Allgemeine Grundgleichungen B 55. – 6.5.2 Potentialstrmungen B 56.
6.6 Mehrdimensionale Strmung zher Flssigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . B 57 6.6.1 Bewegungsgleichungen von Navier-Stokes B 57. – 6.6.2 Einige Lsungen fr kleine Reynoldssche Zahlen (laminare Strmung) B 58. – 6.6.3 Grenzschichttheorie B 58. – 6.6.4 Strmungswiderstand von Krpern B 59. – 6.6.5 Tragflgel und Schaufeln B 60. – 6.6.6 Schaufeln und Profile im Gitterverband B 61.
7
hnlichkeitsmechanik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B 63
7.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B 63 7.2 hnlichkeitsgesetze (Modellgesetze) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B 63 7.2.1 Statische hnlichkeit B 63. – 7.2.2 Dynamische hnlichkeit B 64. – 7.2.3 Thermische hnlichkeit B 64. – Analyse der Einheiten (Dimensionsanalyse) und P-Theorem B 65.
8
Spezielle Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B 65
C
Festigkeitslehre
1
Allgemeine Grundlagen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C1
1.1 Spannungen und Verformungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C1
1.1.1 Spannungen C 1. – 1.1.2 Verformungen C 3. – 1.1.3 Formnderungsarbeit C 4.
1.2 Festigkeitsverhalten der Werkstoffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C4
1.3 Festigkeitshypothesen und Vergleichsspannungen. . . . . . . . . . . . . . . .
C5
1.3.1 Normalspannungshypothese C 5. – 1.3.2 Schubspannungshypothese C 6. –
IInhaltsverzeichnis
XV
1.3.3 Gestaltnderungsenergiehypothese C 6. – 1.3.4 Erweiterte Schubspannungshypothese C 6. – 1.3.5 Anstrengungsverhltnis nach Bach C 6.
2.1 Zug- und Druckbeanspruchung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C 7 2.1.1 Stbe mit konstantem Querschnitt und konstanter Lngskraft C 7. – 2.1.2 Stbe mit vernderlicher Lngskraft C 7. – 2.1.3 Stbe mit vernderlichem Querschnitt C 7. – 2.1.4 Stbe mit Kerben C 7. – 2.1.5 Stbe unter Temperatureinfluss C 7.
2.2 Abscherbeanspruchung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C 7 2.3 Flchenpressung und Lochleibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C 8 2.3.1 Ebene Flchen C 8. – 2.3.2 Gewlbte Flchen C 8.
2.4 Biegebeanspruchung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C 8 2.4.1 Schnittlasten: Normalkraft, Querkraft, Biegemoment C 8. – 2.4.2 Schnittlasten am geraden Trger in der Ebene C 8. – 2.4.3 Schnittlasten an gekrmmten ebenen Trgern C 9. – 2.4.4 Schnittlasten an rumlichen Trgern C 9. – 2.4.5 Biegespannungen in geraden Balken C 9. – 2.4.6 Schubspannungen und Schubmittelpunkt am geraden Trger C 13. – 2.4.7 Biegespannungen in stark gekrmmten Trgern C 16. – 2.4.8 Durchbiegung von Trgern C 17. – 2.4.9 Formnderungsarbeit bei Biegung und Energiemethoden zur Berechnung von Einzeldurchbiegungen C 22.
2.5 Torsionsbeanspruchung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C 24
2.5.1 Stbe mit Kreisquerschnitt und konstantem Durchmesser C 24. – 2.5.2 Stbe mit Kreisquerschnitt und vernderlichem Durchmesser C 25. – 2.5.3 Dnnwandige Hohlquerschnitte (Bredtsche Formeln) C 25. – 2.5.4 Stbe mit beliebigem Querschnitt C 25. – 2.5.5 Wlbkrafttorsion C 28.
2.6 Zusammengesetzte Beanspruchung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C 28
2.6.1 Biegung und Lngskraft C 28. – 2.6.2 Biegung und Schub C 28. – 2.6.3 Biegung und Torsion C 28. – 2.6.4 Lngskraft und Torsion C 29. – 2.6.5 Schub und Torsion C 29. – 2.6.6 Biegung mit Lngskraft sowie Schub und Torsion C 29.
2.7 Statisch unbestimmte Systeme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C 29
Elastizittstheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C 30
3.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C 30
3
3.2 Rotationssymmetrischer Spannungszustand . . . . . . . . . . . . . . . .
C 31
3.3 Ebener Spannungszustand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C 32
Beanspruchung bei Berhrung zweier Krper (Hertzsche Formeln). . . . .
C 33
4.1 Kugel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C 33
4.2 Zylinder. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C 33
4.3 Beliebig gewlbte Flche. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C 33
Flchentragwerke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C 34
5.1 Platten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C 34
4
5
5.1.1 Rechteckplatten C 34. – 5.1.2 Kreisplatten C 34. – 5.1.3 Elliptische Platten C 35. – 5.1.4 Gleichseitige Dreieckplatte C 35. – 5.1.5 Temperaturspannungen in Platten C 35.
5.2 Scheiben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C 35
5.2.1 Kreisscheibe C 35. – 5.2.2 Ringfrmige Scheibe C 35. – 5.2.3 Unendlich ausgedehnte Scheibe mit Bohrung C 36. – 5.2.4 Keilfrmige Scheibe unter Einzelkrften C 36.
5.3 Schalen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C 36
5.3.1 Biegeschlaffe Rotationsschalen und Membrantheorie fr Innendruck C 36. – 5.3.2 Biegesteife Schalen C 37.
Dynamische Beanspruchung umlaufender Bauteile durch Fliehkrfte . . . .
C 38
6.1 Umlaufender Stab. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C 38
6
6.2 Umlaufender dnnwandiger Ring oder Hohlzylinder. . . . . . . . . . . . .
C 38
6.3 Umlaufende Scheiben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C 38
6.3.1 Vollscheibe konstanter Dicke C 38. – 6.3.2 Ringfrmige Scheibe konstanter Dicke C 38. – 6.3.3 Scheiben gleicher Festigkeit C 38. – 6.3.4 Scheiben vernderlicher Dicke C 39. – 6.3.5 Umlaufender dickwandiger Hohlzylinder C 39.
Stabilittsprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C 39
7.1 Knickung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C 39
7
7.1.1 Knicken im elastischen (Euler-)Bereich C 39. – 7.1.2 Knicken im unelastischen (Tetmajer-) Bereich C 40. – 7.1.3 Nherungsverfahren zur Knicklastberechnung C 40. – 7.1.4 Stbe bei nderung des Querschnitts bzw. der Lngskraft C 41. – 7.1.5 Knicken von Ringen, Rahmen und Stabsystemen C 41. – 7.1.6 Biegedrillknicken C 41.
7.2 Kippen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C 41
XVI
Inhaltsverzeichnis
7.2.1 Trger mit Rechteckquerschnitt C 41. – 7.2.2 Trger mit I-Querschnitt C 42.
7.3 Beulung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C 42 7.3.1 Beulen von Platten C 42. – 7.3.2 Beulen von Schalen C 43. – 7.3.3 Beulspannungen im unelastischen (plastischen) Bereich C 44.
8
Finite Berechnungsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C 44
8.1 Finite Elemente Methode. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C 44 8.2 Randelemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C 47 8.3 Finite Differenzen Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C 48 9
Plastizittstheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C 49
9.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C 49 9.2 Anwendungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C 50 9.2.1 Biegung des Rechteckbalkens C 50. – 9.2.2 Rumlicher und ebener Spannungszustand C 50.
10
Festigkeitsnachweis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C 51
10.1 Berechnungs- und Bewertungskonzepte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C 51 10.2 Nennspannungskonzepte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C 52 10.3 Kerbgrundkonzepte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C 53 11
Anhang C: Diagramme und Tabellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C 55
12
Spezielle Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C 59
D
Thermodynamik
1
Thermodynamik. Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
D1
1.1 Systeme, Systemgrenzen, Umgebung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
D1
1.2 Beschreibung des Zustands eines Systems. Thermodynamische Prozesse . . . . .
D1
Temperaturen. Gleichgewichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
D2
2.1 Thermisches Gleichgewicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
D2
2
2.2 Nullter Hauptsatz und empirische Temperatur . . . . . . . . . . . . . . . . .
D2
2.3 Temperaturskalen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
D2
2.3.1 Die Internationale Praktische Temperaturskala D 3.
Erster Hauptsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
D4
3.1 Allgemeine Formulierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
D4
3.2 Die verschiedenen Energieformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
D4
3
3.2.1 Arbeit D 4. – 3.2.2 Innere Energie und Systemenergie D 4. – 3.2.3 Wrme D 5.
3.3 Anwendung auf geschlossene Systeme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
D5
3.4 Anwendung auf offene Systeme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
D5
3.4.1 Stationre Prozesse D 5. – 3.4.2 Instationre Prozesse D 6.
4
Zweiter Hauptsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
D7
4.1 Das Prinzip der Irreversibilitt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
D7
4.2 Allgemeine Formulierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
D7
4.3 Spezielle Formulierungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
D8
4.3.1 Adiabate, geschlossene Systeme D 8. – 4.3.2 Systeme mit Wrmezufuhr D 8.
Exergie und Anergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
D8
5.1 Exergie eines geschlossenen Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
D8
5
5.2 Exergie eines offenen Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
D9
5.3 Exergie einer Wrme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
D9
5.4 Anergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
D9
IInhaltsverzeichnis
XVII
5.5 Exergieverluste. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . D 9 Stoffthermodynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
D 10
6.1 Thermische Zustandsgrßen von Gasen und Dmpfen . . . . . . . . . . . .
D 10
6
6.1.1 Ideale Gase D 10. – 6.1.2 Gaskonstante und das Gesetz von Avogadro D 10. – 6.1.3 Reale Gase D 10. – 6.1.4 Dmpfe D 11.
6.2 Kalorische Zustandsgrßen von Gasen und Dmpfen . . . . . . . . . . . .
D 12
6.2.1 Ideale Gase D 12. – 6.2.2 Reale Gase und Dmpfe D 13.
6.3 Inkompressible Fluide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
D 14
6.4 Feste Stoffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
D 14
6.4.1 Wrmedehnung D 14. – 6.4.2 Schmelz- und Sublimationsdruckkurve D 14. – 6.4.3 Kalorische Zustandsgrßen D 14.
Zustandsnderungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
D 15
7.1 Zustandsnderungen ruhender Gase und Dmpfe . . . . . . . . . . . . . .
D 15
7.2 Zustandsnderungen strmender Gase und Dmpfe . . . . . . . . . . . . .
D 16
7
7.2.1 Strmung idealer Gase D 16. – 7.2.2 Dsen- und Diffusorstrmung D 17.
Thermodynamische Prozesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
D 17
8.1 Energiewandlung mittels Kreisprozessen . . . . . . . . . . . . . . . . .
D 17
8
8.2 Carnot-Prozess . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
D 17
8.3 Wrmekraftanlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
D 18
8.3.1 Ackeret-Keller-Prozess D 18. – 8.3.2 Geschlossene Gasturbinenanlage D 19. – 8.3.3 Dampfkraftanlage D 20.
8.4 Verbrennungskraftanlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
D 20
8.4.1 Offene Gasturbinenanlage D 20. – 8.4.2 Ottomotor D 21. – 8.4.3 Dieselmotor D 21. – 8.4.4 Brennstoffzellen D 22.
8.5 Klteanlagen und Wrmepumpen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
D 22
8.5.1 Kompressionsklteanlage D 22. – 8.5.2 Kompressionswrmepumpe D 23.
8.6 Kraft-Wrme-Kopplung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
D 23
Gemische . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
D 24
9.1 Gemische idealer Gase. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
D 24
9.2 Gas-Dampf-Gemische. Feuchte Luft . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
D 24
9
9.2.1 Mollier-Diagramm der feuchten Luft D 25. – 9.2.2 Zustandsnderungen feuchter Luft D 26.
Verbrennung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
D 27
10.1 Reaktionsgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
D 27
10.2 Heizwert und Brennwert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
D 27
10.3 Verbrennungstemperatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
D 28
10
Wrmebertragung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
D 28
11.1 Stationre Wrmeleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
D 28
11.2 Wrmebergang und Wrmedurchgang . . . . . . . . . . . . . . . . . .
D 29
11.3 Nichtstationre Wrmeleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
D 30
11
11.3.1 Der halbunendliche Krper D 30. – 11.3.2 Zwei halbunendliche Krper in thermischem Kontakt D 31. – 11.3.3 Temperaturausgleich in einfachen Krpern D 31.
11.4 Wrmebergang durch Konvektion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
D 32
11.4.1 Wrmebergang ohne Phasenumwandlung D 32. – 11.4.2 Wrmebergang beim Kondensieren und beim Sieden D 34.
11.5 Wrmebertragung durch Strahlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
D 35
11.5.1 Gesetz von Stefan-Boltzmann D 35. – 11.5.2 Kirchhoffsches Gesetz D 35. – 11.5.3 Wrmeaustausch durch Strahlung D 35. – 11.5.4 Gasstrahlung D 36.
12
Anhang D: Diagramme und Tabellen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
D 36
13
Spezielle Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
D 36
XVIII
Inhaltsverzeichnis
E
Werkstofftechnik
1
Werkstoff- und Bauteileigenschaften. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
E2
1.1 Beanspruchungs- und Versagensarten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
E2
1.1.1 Belastungs- und Beanspruchungsflle E 2. – 1.1.2 Versagen durch mechanische Beanspruchung E 3. – 1.1.3 Versagen durch komplexe Beanspruchungen E 4.
1.2 Grundlegende Konzepte fr den Festigkeitsnachweis . . . . . . . . . . . . . .
E6
1.2.1 Festigkeitshypothesen E 6. – 1.2.2 Nennspannungskonzept E 6. – 1.2.3 rtliches Konzept E 7. – 1.2.4 Plastisches Grenzlastkonzept E 7. – 1.2.5 Bruchmechanikkonzepte E 7.
1.3 Werkstoffkennwerte fr die Bauteildimensionierung . . . . . . . . . . . . . .
E9
1.3.1 Statische Festigkeit E 9. – 1.3.2 Schwingfestigkeit E 9. – 1.3.3 Bruchmechanische Werkstoffkennwerte bei statischer Beanspruchung E 10. – 1.3.4 Bruchmechanische Werkstoffkennwerte bei zyklischer Beanspruchung E 12.
1.4 Einflsse auf die Werkstoffeigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E 13 1.4.1 Werkstoffphysikalische Grundlagen der Festigkeit und Zhigkeit metallischer Werkstoffe E 13. – 1.4.2 Metallurgische Einflsse E 13. – 1.4.3 Technologische Einflsse E 14. – 1.4.4 Oberflcheneinflsse E 14. – 1.4.5 Umgebungseinflsse E 15. – 1.4.6 Gestalteinfluss auf statische Festigkeitseigenschaften E 16. – 1.4.7 Gestalteinfluss auf Schwingfestigkeitseigenschaften E 16.
1.5 Festigkeitsnachweis von Bauteilen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E 17 1.5.1 Festigkeitsnachweis bei statischer Beanspruchung E 17. – 1.5.2 Festigkeitsnachweis bei Schwingbeanspruchung mit konstanter Amplitude E 18. – 1.5.3 Festigkeitsnachweis bei Schwingbeanspruchung mit variabler Amplitude (Betriebsfestigkeitsnachweis) E 18. – 1.5.4 Bruchmechanischer Festigkeitsnachweis unter statischer Beanspruchung E 20. – 1.5.5 Bruchmechanischer Festigkeitsnachweis unter zyklischer Beanspruchung E 21. – 1.5.6 Festigkeitsnachweis unter Zeitstand- und Kriechermdungsbeanspruchung E 21.
2
Werkstoffprfung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E 23
2.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E 23 2.1.1 Probenentnahme E 23. – 2.1.2 Versuchsauswertung E 24.
2.2 Prfverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E 24 2.2.1 Zugversuch E 24. – 2.2.2 Druckversuch E 25. – 2.2.3 Biegeversuch E 26. – 2.2.4 Hrteprfverfahren E 26. – 2.2.5 Kerbschlagbiegeversuch E 27. – 2.2.6 Bruchmechanische Prfungen E 27. – 2.2.7 Chemische und physikalische Analysemethoden E 28. – 2.2.8 Metallographische Untersuchungen E 29. – 2.2.9 Technologische Prfungen E 30. – 2.2.10 Zerstrungsfreie Werkstoffprfung E 30. – 2.2.11 Dauerversuche E 31.
3
Eigenschaften und Verwendung der Werkstoffe . . . . . . . . . . . . . . . E 32
3.1 Eisenwerkstoffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E 32 3.1.1 Das Zustandsschaubild Eisen-Kohlenstoff E 32. – 3.1.2 Stahlerzeugung E 32. – 3.1.3 Wrmebehandlung E 34. – 3.1.4 Sthle E 38. – 3.1.5 Gusseisenwerkstoffe E 49.
3.2 Nichteisenmetalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E 52 3.2.1 Kupfer und seine Legierungen E 52. – 3.2.2 Aluminium und seine Legierungen E 54. – 3.2.3 Magnesiumlegierungen E 55. – 3.2.4 Titanlegierungen E 56. – 3.2.5 Nickel und seine Legierungen E 57. – 3.2.6 Zink und seine Legierungen E 57. – 3.2.7 Blei E 58. – 3.2.8 Zinn E 58. – 3.2.9 berzge auf Metallen E 58.
3.3 Nichtmetallische anorganische Werkstoffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E 59 3.3.1 Keramische Werkstoffe E 59. – 3.3.2 Glas E 61. – 3.3.3 Beton E 62. – 3.3.4 Holz E 63.
3.4 Werkstoffauswahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E 66 4
Kunststoffe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E 67
4.1 Einfhrung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E 67 4.2 Aufbau und Verhalten von Kunststoffen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E 68 4.3 Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E 68 4.4 Wichtige Thermoplaste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E 69 4.5 Fluorhaltige Kunststoffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E 71 4.6 Duroplaste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E 71 4.7 Kunststoffschume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E 72 4.8 Elastomere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E 72 4.9 Prfung von Kunststoffen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E 73 4.9.1 Kennwertermittlung an Probekrpern E 73. – 4.9.2 Prfung von Fertigteilen E 76.
4.10 Verarbeiten von Kunststoffen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E 76
IInhaltsverzeichnis
XIX
4.10.1 Urformen von Kunststoffen E 76. – 4.10.2 Umformen von Kunststoffen E 78. – 4.10.3 Fgen von Kunststoffen E 79.
4.11 Gestalten und Fertigungsgenauigkeit von Kunststoff-Formteilen . . . . . . . .
E 80
4.12 Nachbehandlungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
E 81
Tribologie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
E 82
5
5.1 Reibung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
E 82
5.2 Verschleiß. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
E 82
5.3 Systemanalyse von Reibungs- und Verschleißvorgngen . . . . . . . . . . .
E 83
5.3.1 Funktion von Tribosystemen E 84. – 5.3.2 Beanspruchungskollektiv E 84. – 5.3.3 Struktur tribologischer Systeme E 85. – 5.3.4 Tribologische Kenngrßen E 85. – 5.3.5 Checkliste zur Erfassung der wichtigsten tribologisch relevanten Grßen E 85.
5.4 Schmierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
E 85
5.5 Schmierstoffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
E 85
5.5.1 Schmierle E 86. – 5.5.2 Schmierfette E 88. – 5.5.3 Festschmierstoffe E 89.
5.6 Tribotechnische Werkstoffe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
E 89
Korrosion und Korrosionsschutz von Metallen . . . . . . . . . . . . . .
E 89
6.1 Einfhrung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
E 89
6.2 Mechanismen der Korrosion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
E 90
6.3 Korrosionserscheinungen („Korrosionsarten“) . . . . . . . . . . . . . . .
E 90
6.4 berlagerung von Korrosion und mechanischer Beanspruchung . . . . . . . .
E 93
6
6.4.1 Spannungsrisskorrosion E 93. – 6.4.2 Schwingungsrisskorrosion (Bild 13) E 94. – 6.4.3 Korrosionsverschleiß E 95. – 6.4.4 Reibkorrosion (Schwingverschleiß) E 95. – 6.4.5 Erosionskorrosion E 95. – 6.4.6 Kavitationskorrosion E 96. – 6.4.7 Wasserstoffinduzierte Rissbildung E 96.
6.5 Korrosionsschutz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
E 96
6.5.1 Allgemeines E 96. – 6.5.2 Werkstoffreinheit E 96. – 6.5.3 Legierungstechnische Maßnahmen E 97. – 6.5.4 Erzeugung von Diffusionsschichten E 97. – 6.5.5 Schutz durch metallische berzge E 97. – 6.5.6 Kathodischer Schutz E 97. – 6.5.7 Korrosionsschutz durch Inhibitoren E 97. – 6.5.8 Korrosionsschutzgerechte Konstruktion E 97. – 6.5.9 Korrosionsschutzgerechte Fertigung E 98.
6.6 Korrosionsprfung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
E 98
6.6.1 Allgemeines E 98. – 6.6.2 Hinweise zu den einzelnen Gruppen von Prfverfahren E 98.
7
Anhang E: Diagramme und Tabellen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
E 99
8
Spezielle Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E 131
F
Grundlagen der Konstruktionstechnik
1
Grundlagen technischer Systeme und des methodischen Vorgehens . . . . . .
F1
1.1 Technische Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
F1
1.1.1 Energie-, Stoff- und Signalumsatz F 1. – 1.1.2 Funktionszusammenhang F 2. – 1.1.3 Wirkzusammenhang F 3. – 1.1.4 Bauzusammenhang F 3. – 1.1.5 Systemzusammenhang F 3. – 1.1.6 Generelle Zielsetzung und Bedingungen F 3.
1.2 Methodisches Vorgehen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
F4
1.2.1 Allgemeine Arbeitsmethodik F 4. – 1.2.2 Allgemeiner Lsungsprozeß F 4. – 1.2.3 Abstrahieren zum Erkennen der Funktionen F 5. – 1.2.4 Suche nach Lsungsprinzipien F 5. – 1.2.5 Beurteilen von Lsungen F 7.
1.3 Konstruktionsprozess . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
F 11
1.3.1 Klren der Aufgabenstellung F 11. – 1.3.2 Konzipieren F 12. – 1.3.3 Entwerfen F 12. – 1.3.4 Ausarbeiten F 12. – 1.3.5 Effektive Organisationsformen F 13. – 1.3.6 Rapid Prototyping F 14. – 1.3.7 Konstruktionsarten F 15.
1.4 Gestaltung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
F 15
1.4.1 Grundregeln F 15. – 1.4.2 Gestaltungsprinzipien F 15. – 1.4.3 Gestaltungsrichtlinien F 18. – 1.4.4 FaserKunststoff-Verbunde F 21.
1.5 Baureihen- und Baukastenentwicklung . . . . . . . . . . . . . . . . . .
F 25
1.5.1 hnlichkeitsbeziehungen F 25. – 1.5.2 Dezimalgeometrische Normzahlreihen F 26. – 1.5.3 Geometrisch hnliche Baureihe F 27. – 1.5.4 Halbhnliche Baureihen F 28. – 1.5.5 Anwenden von Exponentengleichungen F 28. – 1.5.6 Baukasten F 28.
1.6 Normen- und Zeichnungswesen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
F 29
XX
Inhaltsverzeichnis
1.6.1 Normenwerk F 29. – 1.6.2 Grundnormen F 30. – 1.6.3 Zeichnungen und Stcklisten F 34. – 1.6.4 Sachnummernsysteme F 35.
2
Anwendung fr Maschinensysteme der Stoffverarbeitung . . . . . . . . . . F 37 2 Anwendung fr Maschinensysteme der Stoffverarbeitung F 37.
2.1 Aufgabe und Einordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . F 37 2.2 Struktur von Verarbeitungsmaschinen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . F 38 2.2.1 Verarbeitungssystem F 38. – 2.2.2 Antriebs- und Steuerungssystem F 42. – 2.2.3 Raumsystem F 45.
2.3 Verarbeitungsanlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . F 47 3
Spezielle Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . F 47
G Mechanische Konstruktionselemente 1
Bauteilverbindungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
G3
1.1 Schweißen 1 Bauteilverbindungen G 3.
1.1 Schweißen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
G3
1.1.1 Schweißverfahren G 3. – 1.1.2 Schweißbarkeit der Werkstoffe G 3. – 1.1.3 Stoß- und Nahtarten G 10. – 1.1.4 Darstellung der Schweißnhte G 12. – 1.1.5 Festigkeit von Schweißverbindungen G 12. – 1.1.6 Thermisches Abtragen G 19.
1.2 Lten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . G 22 1.2.1 Vorgang G 22. – 1.2.2 Weichlten G 22. – 1.2.3 Hartlten und Schweißlten (Fugenlten) G 22. – 1.2.4 Hochtemperaturlten G 22.
1.3 Kleben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . G 24 1.3.1 Anwendung und Vorgang G 24. – 1.3.2 Klebstoffe G 24. – 1.3.3 Tragfhigkeit G 25.
1.4 Reibschlussverbindungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . G 26 1.4.1 Formen, Anwendungen G 26. – 1.4.2 Pressverbnde G 26. – 1.4.3 Klemmverbindungen G 29.
1.5 Formschlussverbindungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . G 30 1.5.1 Formen, Anwendungen G 30. – 1.5.2 Stiftverbindungen G 30. – 1.5.3 Bolzenverbindungen G 31. – 1.5.4 Keilverbindungen G 32. – 1.5.5 Pass- und Scheibenfeder-Verbindungen G 32. – 1.5.6 Zahn- und Keilwellenverbindungen G 33. – 1.5.7 Polygonwellenverbindungen G 33. – 1.5.8 Vorgespannte Welle-NabeVerbindungen G 33. – 1.5.9 Axiale Sicherungselemente G 34. – 1.5.10 Nietverbindungen G 34.
1.6 Schraubenverbindungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . G 35 1.6.1 Aufgaben G 35. – 1.6.2 Kenngrßen der Schraubenbewegung G 35. – 1.6.3 Gewindearten G 36. – 1.6.4 Schrauben- und Mutterarten G 37. – 1.6.5 Schrauben- und Mutternwerkstoffe G 38. – 1.6.6 Krfte und Verformungen beim Anziehen von Schraubenverbindungen G 38. – 1.6.7 berlagerung von Vorspannkraft und Betriebslast G 41. – 1.6.8 Auslegung und Dauerfestigkeitsberechnung von Schraubenverbindungen G 43. – 1.6.9 Sicherung von Schraubenverbindungen G 46.
2
Federnde Verbindungen (Federn) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . G 47
2.1 Aufgaben, Eigenschaften, Kenngrßen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . G 47 2.1.1 Aufgaben G 47. – 2.1.2 Federkennlinie, Federsteifigkeit, Federnachgiebigkeit G 48. – 2.1.3 Arbeitsaufnahmefhigkeit, Nutzungsgrad, Dmpfungsvermgen, Dmpfungsfaktor G 48.
2.2 Metallfedern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . G 48 2.2.1 Zug/Druck-beanspruchte Zug- oder Druckfedern G 48. – 2.2.2 Einfache und geschichtete Blattfedern (gerade oder schwachgekrmmte, biegebeanspruchte Federn) G 49. – 2.2.3 Spiralfedern (ebene gewundene, biegebeanspruchte Federn) und Schenkelfedern (biegebeanspruchte Schraubenfedern) G 50. – 2.2.4 Tellerfedern (scheibenfrmige, biegebeanspruchte Federn) G 51. – 2.2.5 Drehstabfedern (gerade, drehbeanspruchte Federn) G 52. – 2.2.6 Zylindrische Schraubendruckfedern und Schraubenzugfedern G 53.
2.3 Gummifedern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . G 55 2.3.1 Der Werkstoff „Gummi“ und seine Eigenschaften G 55. – 2.3.2 Gummifederelemente G 56.
2.4 Federn aus Faser-Kunststoff-Verbunden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . G 58 2.5 Gasfedern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . G 58 2.6 Industrie-Stoßdmpfer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . G 58 2.6.1 Anwendungsgebiete G 58. – 2.6.2 Funktionsweise des Industrie-Stoßdmpfers G 59. – 2.6.3 Aufbau eines Industrie-Stoßdmpfers (Bild 17) G 59. – 2.6.4 Berechnung und Auswahl (Bild 18) G 59.
3
Kupplungen und Bremsen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . G 60
3.1 berblick, Aufgaben. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . G 60 3.2 Drehstarre, nicht schaltbare Kupplungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . G 60 3.2.1 Starre Kupplungen G 60. – 3.2.2 Drehstarre Ausgleichskupplungen G 60.
IInhaltsverzeichnis 3.3 Elastische, nicht schaltbare Kupplungen. . . . . . . . . . . . . . . . . .
XXI G 62
3.3.1 Feder- und Dmpfungsverhalten G 62. – 3.3.2 Auslegungsgesichtspunkte, Schwingungsverhalten G 64. – 3.3.3 Bauarten G 65. – 3.3.4 Auswahlgesichtspunkte G 66.
3.4 Drehnachgiebige, nicht schaltbare Kupplungen . . . . . . . . . . . . . . .
G 66
3.5 Fremdgeschaltete Kupplungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
G 66
3.5.1 Formschlssige Schaltkupplungen G 67. – 3.5.2 Kraft-(Reib-)schlssige Schaltkupplungen G 67. – 3.5.3 Der Schaltvorgang bei reibschlssigen Schaltkupplungen G 68. – 3.5.4 Auslegung einer reibschlssigen Schaltkupplung G 70. – 3.5.5 Auswahl einer Kupplungsgrße G 70. – 3.5.6 Allgemeine Auswahlkriterien G 70. – 3.5.7 Bremsen G 71.
3.6 Selbstttig schaltende Kupplungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
G 72
3.6.1 Drehmomentgeschaltete Kupplungen G 72. – 3.6.2 Drehzahlgeschaltete Kupplungen G 72. – 3.6.3 Richtungsgeschaltete Kupplungen (Freilufe) G 73.
4
Wlzlager. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
G 74
4.1 Kennzeichen und Eigenschaften der Wlzlager . . . . . . . . . . . . . . .
G 74
4.2 Bauarten der Wlzlager . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
G 74
4.2.1 Lager fr rotierende Bewegungen G 74. – 4.2.2 Linearwlzlager G 78.
4.3 Wlzlagerkfige . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
G 78
4.4 Wlzlagerwerkstoffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
G 78
4.5 Bezeichnungen fr Wlzlager . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
G 79
4.6 Konstruktive Ausfhrung von Lagerungen . . . . . . . . . . . . . . . . .
G 79
4.6.1 Fest-Loslager-Anordnung G 79. – 4.6.2 Schwimmende oder Sttz-Traglagerung und angestellte Lagerung G 80. – 4.6.3 Lagersitze, axiale und radiale Festlegung der Lagerringe G 81. – 4.6.4 Lagerluft G 81.
4.7 Wlzlagerschmierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
G 81
4.7.1 Allgemeines G 81. – 4.7.2 Fettschmierung G 82. – 4.7.3 lschmierung G 83. 4.7.4 Feststoffschmierung G 84.
4.8 Wlzlagerdichtungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
G 84
4.9 Belastbarkeit und Lebensdauer der Wlzlager . . . . . . . . . . . . . . .
G 84
4.9.1 Grundlagen G 84. – 4.9.2 Statische bzw. dynamische Tragfhigkeit und Lebensdauerberechnung G 85.
4.10 Bewegungswiderstand und Referenzdrehzahlen der Wlzlager . . . . . . . .
G 88
Gleitlagerungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
G 89
5.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
G 89
5
5.1.1 Aufgabe, Einteilung und Anwendungen G 89. – 5.1.2 Wirkungsweise G 89. – 5.1.3 Reibungszustnde G 90.
5.2 Berechnung hydrodynamischer Gleitlager . . . . . . . . . . . . . . . . .
G 90
5.2.1 Stationr belastete Radialgleitlager G 90. – 5.2.2 Radialgleitlager im instationren Betrieb G 93. – 5.2.3 Stationr belastete Axialgleitlager G 93. – 5.2.4 Mehrgleitflchenlager G 96.
5.3 Hydrostatische Anfahrhilfen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
G 97
5.4 Berechnung hydrostatischer Gleitlager . . . . . . . . . . . . . . . . . .
G 97
5.4.1 Hydrostatische Radialgleitlager G 97. – 5.4.2 Hydrostatische Axialgleitlager G 98.
5.5 Dichtungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
G 99
5.6 Wartungsfreie Gleitlager . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
G 99
5.7 Konstruktive Gestaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . G 100 5.7.1 Konstruktion und Schmierspaltausbildung G 100. – G 100. – 5.7.2 Lagerschmierung G 100. – 5.7.3 Lagerkhlung G 101. – 5.7.4 Lagerwerkstoffe G 101. – G 101. – 5.7.5 Lagerbauformen G 102.
6
Zugmittelgetriebe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . G 102
6.1 Bauarten, Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . G 102 6.2 Flachriemengetriebe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . G 103 6.2.1 Krfte am Flachriemengetriebe G 103. – 6.2.2 Beanspruchungen G 103. – 6.2.3 Geometrische Beziehungen G 104. – 6.2.4 Kinematik, Leistung, Wirkungsgrad G 104. – 6.2.5 Riemenlauf und Vorspannung G 105. – 6.2.6 Riemenwerkstoffe G 106. – 6.2.7 Entwurfsberechnung G 106.
6.3 Keilriemen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . G 107 6.3.1 Anwendungen und Eigenschaften G 107. – 6.3.2 Typen und Bauarten von Keilriemen G 108. – 6.3.3 Entwurfsberechnung G 108.
6.4 Synchronriemen (Zahnriemen) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . G 109 6.4.1 Aufbau, Eigenschaften, Anwendung G 109. – 6.4.2 Gestaltungshinweise G 109. – 6.4.3 Entwurfsberechnung G 109.
XXII
Inhaltsverzeichnis
6.5 Kettengetriebe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
G 109
6.5.1 Bauarten, Eigenschaften, Anwendung G 109. – 6.5.2 Gestaltungshinweise G 110. – 6.5.3 Entwurfsberechnung G 110.
Reibradgetriebe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
G 110
7.1 Wirkungsweise, Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
G 110
7.2 Bauarten, Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
G 111
7
7.2.1 Reibradgetriebe mit festem bersetzungsverhltnis G 111. – 7.2.2 Wlzgetriebe mit stufenlos einstellbarer bersetzung G 111.
7.3 Berechnungsgrundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
G 114
7.3.1 Bohrbewegung G 114. – 7.3.2 Schlupf G 114. – 7.3.3 bertragbare Leistung und Wirkungsgrad G 115. – 7.3.4 Gebruchliche Werkstoffpaarungen G 116.
7.4 Hinweise fr Anwendung und Betrieb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
G 116
Zahnradgetriebe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
G 117
8.1 Stirnrder – Verzahnungsgeometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
G 117
8
8.1.1 Verzahnungsgesetz G 117. – 8.1.2 bersetzung, Zhnezahlverhltnis, Momentenverhltnis G 118. – 8.1.3 Konstruktion von Eingriffslinie und Gegenflanke G 118. – 8.1.4 Flankenlinien und Formen der Verzahnung G 118. – 8.1.5 Allgemeine Verzahnungsgrßen G 118. – 8.1.6 Gleit- und Rollbewegung G 120. – 8.1.7 Evolventenverzahnung G 120. – 8.1.8 Sonstige Verzahnungen (außer Evolventen) und ungleichmßig bersetzende Zahnrder G 122.
8.2 Verzahnungsabweichungen und -toleranzen, Flankenspiel . . . . . . . . . . .
G 123
8.3 Schmierung und Khlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
G 124
8.4 Werkstoffe und Wrmebehandlung –Verzahnungsherstellung . . . . . . . . .
G 126
8.5 Tragfhigkeit von Gerad- und Schrgstirnrdern . . . . . . . . . . . . . . .
G 126
8.5.1 Zahnschden und Abhilfen G 126. – 8.5.2 Pflichtenheft G 127. – 8.5.3 Anhaltswerte fr die Dimensionierung G 127. – 8.5.4 Nachrechnung der Tragfhigkeit G 127.
8.6 Kegelrder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
G 134
8.6.1 Geradzahn-Kegelrder G 134. – 8.6.2 Kegelrder mit Schrg- oder Bogenverzahnung G 134. – 8.6.3 Zahnform G 134. – 8.6.4 Kegelrad-Geometrie G 134. – 8.6.5 Tragfhigkeit G 135. – 8.6.6 Lagerkrfte G 135. – 8.6.7 Hinweise zur Konstruktion von Kegelrdern G 135. – 8.6.8 Sondergetriebe G 135.
8.7 Stirnschraubrder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
G 136
8.8 Schneckengetriebe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
G 136
8.8.1 Zylinderschnecken-Geometrie G 136. – 8.8.2 Auslegung G 137. – 8.8.3 Zahnkrfte, Lagerkrfte G 138. – 8.8.4 Geschwindigkeiten, Beanspruchungskennwerte G 138. – 8.8.5 Reibungszahl, Wirkungsgrad G 138. – 8.8.6 Nachrechnung der Tragfhigkeit G 140. – 8.8.7 Gestaltung, Werkstoffe, Lagerung, Genauigkeit, Schmierung, Montage G 141.
8.9 Umlaufgetriebe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
G 142
8.9.1 Kinematische Grundlagen, Bezeichnungen G 142. – 8.9.2 Allgemeingltigkeit der Berechnungsgleichungen G 143. – 8.9.3 Vorzeichenregeln G 144. – 8.9.4 Drehmomente, Leistungen, Wirkungsgrade G 144. – 8.9.5 Selbsthemmung und Teilhemmung G 146. – 8.9.6 Konstruktive Hinweise G 146. – 8.9.7 Auslegung einfacher Planetengetriebe G 147. – 8.9.8 Zusammengesetzte Planetengetriebe G 148.
8.10 Gestaltung der Zahnradgetriebe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
G 150
8.10.1 Bauarten G 150. – 8.10.2 Anschluss an Motor und Arbeitsmaschine G 152. – 8.10.3 Gestalten und Bemaßen der Zahnrder G 152. – 8.10.4 Gestalten der Gehuse G 152. – 8.10.5 Lagerung G 153.
Getriebetechnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
G 154
9.1 Getriebesystematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
G 154
9
9.1.1 Grundlagen G 154. – 9.1.2 Arten ebener Getriebe G 155.
9.2 Getriebeanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
G 158
9.2.1 Kinematische Analyse ebener Getriebe G 158. – 9.2.2 Kinetostatische Analyse ebener Getriebe G 160. – 9.2.3 Kinematische Analyse rumlicher Getriebe G 161. – 9.2.4 Laufgte der Getriebe G 161.
9.3 Getriebesynthese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
G 162
9.3.1 Viergelenkgetriebe G 162. – 9.3.2 Kurvengetriebe G 163.
9.4 Sondergetriebe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
G 164
10
Anhang G: Diagramme und Tabellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
G 165
11
Spezielle Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
G 182
IInhaltsverzeichnis
XXIII
H Fluidische Antriebe 1
Grundlagen der fluidischen Energiebertragung . . . . . . . . . . . . . . H 1
1.1 Der Fließprozess . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . H 1 1.1.1 Energiebertragung durch Flssigkeiten H 1. – 1.1.2 Energiebertragung durch Gase H 3.
1.2 Hydraulikflssigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . H 3 1.3 Systematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . H 4 1.3.1 Aufbau und Funktion der Hydrogetriebe H 4. – 1.3.2 Ordnung der Fluidgetriebe H 4.
2
Bauelemente hydrostatischer Getriebe . . . . . . . . . . . . . . . . . . H 4
2.1 Verdrngermaschinen mit rotierender Welle . . . . . . . . . . . . . . . . . H 4 2.1.1 Zahnradpumpen und Zahnring-(Gerotor-)pumpen H 6. – 2.1.2 Flgelzellenpumpen H 7. – 2.1.3 Kolbenpumpen H 8. – 2.1.4 Andere Pumpenbauarten H 8. – 2.1.5 Hydromotoren in Umlaufverdrngerbauart H 10. – 2.1.6 Hydromotoren in Hubverdrnger-(Kolben-)bauart H 10.
2.2 Verdrngermaschinen mit translatorischem (Ein- und) Ausgang . . . . . . . .
H 10
2.3 Hydroventile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
H 10
2.3.1 Wegeventile H 10. – 2.3.2 Sperrventile H 12. – 2.3.3 Druckventile H 12. – 2.3.4 Stromventile H 13. – 2.3.5 Proportionalventile H 13.
2.4 Hydraulikzubehr. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
H 14
Aufbau und Funktion der Hydrogetriebe . . . . . . . . . . . . . . . .
H 14
3.1 Hydrokreise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
H 14
3
3.1.1 Offener Kreislauf (Bild 1 a) H 14. – 3.1.2 Geschlossener Kreislauf (Bild 1 b) H 14. – 3.1.3 Halboffener Kreislauf H 15.
3.2 Funktion der Hydrogetriebe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
H 15
3.2.1 Berechnung des stationren Betriebsverhaltens H 15. – 3.2.2 Dynamisches Betriebsverhalten H 15.
3.3 Steuerung der Getriebebersetzung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
H 15
3.3.1 Getriebe mit Verstelleinheiten H 15. – 3.3.2 Selbstttig arbeitende Regler und Verstellungen an Verstellmaschinen H 16. – 3.3.3 Stromteilgetriebe H 17.
Ausfhrung und Auslegung von Hydrogetrieben . . . . . . . . . . . . .
H 17
4.1 Getriebeschaltung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
H 17
4.2 Auslegung von Hydrokreisen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
H 18
4
Pneumatische Antriebe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
H 19
5.1 Bauelemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
H 19
5.2 Schaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
H 20
6
Anhang H: Diagramme und Tabellen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
H 21
7
Spezielle Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
H 23
5
I Mechatronische Systeme Mechatronik: Methodik und Komponenten . . . . . . . . . . . . . . . .
I1
1.1 Einfhrung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I1
1.2 Basisdisziplinen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I1
1.3 Modellbildung und Entwurf. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I1
1.4 Komponenten mechatronischer Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I3
1
1.4.1 Sensoren I 3. – 1.4.2 Aktoren I 3. – 1.4.3 Prozeßdatenverarbeitung und Bussysteme I 4.
Elektronische Bauelemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I6
2.1 Passive Komponenten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I6
2
2.1.1 Aufbau elektronischer Schaltungen I 6. – 2.1.2 Widerstnde I 6. – 2.1.3 Kapazitten I 7. – 2.1.4 Induktivitten I 7.
2.2 Dioden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I8
2.2.1 Diodenkennlinien und Daten I 8. – 2.2.2 Schottky-Dioden I 8. – 2.2.3 Kapazittsdioden I 8. – 2.2.4 Z-Dioden I 8. – 2.2.5 Leistungsdioden I 9.
2.3 Transistoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 Bipolartransistoren I 9. – 2.3.2 Feldeffekttransistoren I 10. – 2.3.3 IGB-Transistoren I 11.
I9
XXIV
Inhaltsverzeichnis
2.4 Thyristoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I 11
2.4.1 Thyristorkennlinien und Daten I 12. – 2.4.2 Steuerung des Thyristors I 13. – 2.4.3 Triacs, Diacs I 13. – 2.4.4 Abschaltbare Thyristoren I 13.
2.5 Operationsverstrker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I 13
2.6 Optoelektronische Komponenten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I 14
2.6.1 Optoelektronische Empfnger I 15. – 2.6.2 Optoelektronische Sender I 15. – 2.6.3 Optokoppler I 16.
Aufbau mechatronischer Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I 16
3.1 Einfhrung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I 16
3.2 Beispiele mechatronischer Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I 16
Spezielle Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I 18
3
4
K Komponenten des thermischen Apparatebaus Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
K1
1.1 Unterscheidungsmerkmale von wrmebertragenden Apparaten . . . . . . . . .
K1
1.2 Wrme- und strmungstechnische Auslegung. . . . . . . . . . . . . . . . . .
K1
1
1.2.1 Wrmetechnische Auslegung von Rekuperatoren K 1. – 1.2.2 Wrmetechnische Auslegung von Regeneratoren K 3. – 1.2.3 Druckverlustberechnung K 3.
1.3 Stromfhrung und Betriebscharakteristik wrmebertragender Apparate. . . . . .
K4
1.4 Wirkungsgrade, Exergieverluste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
K4
1.4.1 Wirkungsgrade K 4. – 1.4.2 Exergieverluste K 5.
Konstruktionselemente von Apparaten und Rohrleitungen . . . . . . . . . .
K5
2.1 Berechnungsgrundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
K5
2
2.2 Zylindrische Mntel und Rohre unter innerem berdruck . . . . . . . . . . . .
K5
2.3 Zylindrische Mntel unter ußerem berdruck . . . . . . . . . . . . . . . . .
K6
2.4 Ebene Bden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
K7
2.5 Gewlbte Bden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
K9
2.6 Ausschnitte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . K 10 2.7 Flanschverbindungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . K 11 2.7.1 Schrauben K 11. – 2.7.2 Flansche K 13.
2.8 Rohrleitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . K 15 2.8.1 Rohrdurchmesser K 15. – 2.8.2 Strmungsverluste K 15. – 2.8.3 Rohrarten, Normen, Werkstoffe K 15. – 2.8.4 Rohrverbindungen K 16. – 2.8.5 Dehnungsausgleicher K 17. – 2.8.6 Rohrhalterungen K 18.
2.9 Absperr- und Regelorgane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . K 18 2.9.1 Allgemeines K 18. – 2.9.2 Ventile K 20. – 2.9.3 Schieber K 21. – 2.9.4 Hhne (Drehschieber) K 21. – 2.9.5 Klappen K 21.
2.10 Dichtungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . K 22 2.10.1 Berhrungsdichtungen an ruhenden Flchen K 22. – 2.10.2 Berhrungsdichtungen an gleitenden Flchen K 23.
3
Bauarten von Wrmebertragern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . K 24
3.1 Rohrbndelapparate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . K 24 3.2 Sonstige Bauarten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . K 25 4
Kondensation und Rckkhlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . K 27
4.1 Grundbegriffe der Kondensation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . K 27 4.2 Oberflchenkondensatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . K 28 4.2.1 Wrmetechnische Berechnung K 28. – 4.2.2 Kondensatoren in Dampfkraftanlagen K 28. – 4.2.3 Kondensatoren in der chemischen Industrie K 28. – 4.2.4 Konstruktive Gesichtspunkte K 28.
4.3 Einspritz-(Misch-)Kondensatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . K 29 4.4 Luftgekhlte Kondensatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . K 29 4.5 Hilfsmaschinen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . K 30 4.5.1 Trockenluftpumpen K 30. – 4.5.2 Khlwasser- und Kondensatpumpen K 30.
IInhaltsverzeichnis 4.6 Indirekte Luftkhlung und Rckkhlanlagen . . . . . . . . . . . . . . . .
XXV K 31
4.6.1 Bauarten K 31. – 4.6.2 Berechnung K 32.
5
Anhang K: Diagramme und Tabellen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
K 33
6
Spezielle Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
K 35
L
Energietechnik und Wirtschaft
1
Grundstze der Energieversorgung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L 1
1.1 Planung und Investitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L 2 1.2 Elektrizittswirtschaft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L 3 1.3 Gaswirtschaft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L 5 1.4 Fernwrmewirtschaft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L 6 2
Primrenergien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L 7
2.1 Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L 7 2.2 Feste Brennstoffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L 7 2.3 Flssige Brennstoffe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L 9 2.4 Gasfrmige Brennstoffe oder Brenngase . . . . . . . . . . . . . . . . .
L 11
2.5 Kernbrennstoffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
L 13
2.6 Regenerative Energien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
L 15
Wandlung von Primrenergie in Nutzenergie . . . . . . . . . . . . . .
L 17
3.1 Erzeugung elektrischer Energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
L 17
3
3.1.1 Wrmekraftwerke L 17. – 3.1.2 Kernkraftwerke L 22. – 3.1.3 Kombi-Kraftwerke L 23. – 3.1.4 Motorkraftwerke L 25. – 3.1.5 Brennstoffzelle L 25.
3.2 Kraft-Wrme-Kopplung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
L 26
3.3 Wandlung regenerativer Energien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
L 28
3.3.1 Wasserkraftanlagen (s. L 2.6) L 28. – 3.3.2 Windkraftanlagen L 28. – 3.3.3 Anlagen zur Nutzung der Sonnenenergie L 29. – 3.3.4 Wrmepumpen L 31.
Verteilen und Speicherung von Nutzenergie . . . . . . . . . . . . . . .
L 31
4.1 Energietransport . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
L 31
4
4.1.1 Mineralltransporte L 31. – 4.1.2 Erdgastransporte L 32. – 4.1.3 Elektrische Verbundnetze L 33. – 4.1.4 Fernwrmetransporte L 34.
4.2 Energiespeicherung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
L 34
Feuerungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
L 36
5.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
L 36
5
5.1.1 Verbrennungsvorgang L 36. – 5.1.2 Kennzahlen L 36. – 5.1.3 Druckzustnde L 37. – 5.1.4 Emissionen L 38.
5.2 Feuerungen fr feste Brennstoffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
L 39
5.2.1 Rostfeuerungen L 39. – 5.2.2 Kohlenstaubfeuerung L 40. – 5.2.3 Wirbelschichtfeuerung L 43.
5.3 Feuerungen fr flssige Brennstoffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
L 44
5.3.1 Besondere Eigenschaften L 44. – 5.3.2 Brenner L 45. – 5.3.3 Gesamtanlage L 45.
5.4 Feuerungen fr gasfrmige Brennstoffe . . . . . . . . . . . . . . . . . .
L 45
5.4.1 Verbrennung und Brennereinteilung L 45 – 5.4.2 Brennerbauarten L 46.
5.5 Allgemeines Feuerungszubehr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
L 46.
5.5.1 Geblse L 46. – 5.5.2 Schornstein L 46
5.6 Umweltschutztechnologien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
L 46
5.6.1 Rauchgasentstaubung L 46. – 5.6.2 Rauchgasentschwefelung L 47. – 5.6.3 Rauchgasentstickung L 49. – 5.6.4 Entsorgung der Kraftwerksnebenprodukte L 49.
Dampferzeuger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
L 50
6.1 Angaben zum System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
L 50
6
6.1.1 Bauarten L 50. – 6.1.2 Dampferzeugersysteme L 50. – 6.1.3 Drcke L 51. – 6.1.4 Temperaturen L 51. – 6.1.5 Leistung L 51. – 6.1.6 Sicherheit L 51.
XXVI
Inhaltsverzeichnis
6.2 Ausgefhrte Dampferzeuger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L 52 6.2.1 Großwasserraumkessel L 52. – 6.2.2 Naturumlaufkessel fr fossile Brennstoffe L 52. – 6.2.3 Zwanglaufkessel fr fossile Brennstoffe L 53. – 6.2.4 Dampferzeuger fr Kernreaktoren [10] L 55.
6.3 Teile und Bauelemente von Dampferzeugern . . . . . . . . . . . . . . . . . . L 55 6.3.1 Verdampfer L 55. – 6.3.2 berhitzer und Zwischenberhitzer L 57. – 6.3.3 Speisewasservorwrmer (Eco) L 58. – 6.3.4 Luftvorwrmer (Luvo) L 58. – 6.3.5 Speisewasseraufbereitung L 59
6.4 Wrmetechnische Berechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L 59 6.4.1 Energiebilanz und Wirkungsgrad L 59. – 6.4.2 Ermittlung der Heizflche L 60. – 6.4.3 Strmungswiderstnde L 60. – 6.4.4 Festigkeitsberechnung L 61.
7
Kernreaktoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L 61
7.1 Bauteile des Reaktors und Reaktorgebude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L 61 7.2 Sicherheitstechnik von Kernreaktoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L 61 7.3 Funktionsbedingungen fr Kernreaktoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L 62 7.4 Bauarten von Kernreaktoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L 63 7.4.1 Leichtwasserreaktoren (LWR) L 63. – 7.4.2 Weiterentwicklung der Leichtwasserreaktortechnik L 65. – 7.4.3 Schwerwasserreaktoren L 66. – 7.4.4 Gasgekhlte thermische Reaktoren L 66. – 7.4.5 Schnelle Brutreaktoren (SNR) L 67. – 7.4.6 Kennwerte von Reaktortypen L 67.
7.5 Kernfusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L 67 8
Anhang L: Diagramme und Tabellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L 69
9
Spezielle Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L 71
M Klimatechnik Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
M1
1.1 Aufgabe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
M1
1.2 Meteorologische Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
M2
1
1.2.1 Lufttemperatur M 2. – 1.2.2 Luftfeuchte M 3. – 1.2.3 Wind M 3. – 1.2.4 Sonnenstrahlung M 3.
1.3 Hygienische Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
M3
1.3.1 Raumklima M 3. – 1.3.2 Lufterneuerung in Rumen M 4. – 1.3.3 Behagliches Raumklima in Aufenthalts- und Arbeitsrumen M 4. – 1.3.4 Ertrgliches Raumklima in Arbeitsrumen und Industriebetrieben M 6.
1.4 Kltetechnische Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
M6
1.4.1 Allgemeines M 6. – 1.4.2 Kaltdampf-Kompressionsklteanlage M 8. – 1.4.3 Absorptionsklteanlage M 9. – 1.4.4 Verdunstungskhlverfahren M 10. – 1.4.5 Kltemittel, Kltemaschinenle und Khlsolen M 10.
1.5 Heiztechnische Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
M 15
1.6 Raumlufttechnische Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
M 15
Berechnungs- und Bemessungsgrundlagen der Heiz- und Raumlufttechnik .
M 17
2.1 Wrmebedarf, Heizlast . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
M 17
2
2.1.1 Transmissionswrmeverluste M 17. – 2.1.2 Lftungswrmeverluste M 17. – 2.1.3 Aufheizzuschlag M 18. – 2.1.4 Sonderflle M 18.
2.2 Khllast . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
M 18
2.2.1 Innere Khllast M 18. – 2.2.2 ußere Khllast M 19.
2.3 Luftbedarf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
M 20
2.3.1 Luftheizung M 20. – 2.3.2 Lftung M 20. – 2.3.3 Luftkhlung M 21. – 2.3.4 Klimaanlagen M 21.
2.4 Leitungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
M 21
2.4.1 Rohrnetz fr Warm- und Heißwasserleitungen M 22. – 2.4.2 Kanalnetz fr raumlufttechnische Anlagen M 22. – 2.4.3 Luftfhrung im Raum M 23.
Systeme und Bauteile der Heizungstechnik. . . . . . . . . . . . . . . . .
M 24
3.1 Einzelheizung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
M 24
3
3.1.1 Einzelheizgerte fr Wohnrume M 24. – 3.1.2 Einzelheizgerte fr grßere Rume und Hallen M 24.
3.2 Zentralheizung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 Systeme M 25. – 3.2.2 Raum-Heizkrper, -Heizflchen M 25. – 3.2.3 Rohrnetz M 27. – 3.2.4 Armaturen M 29. – 3.2.5 Umwlzpumpen M 29. – 3.2.6 Wrmeerzeugung M 30. – 3.2.7 Heizzentrale M 34. – 3.2.8 Regelung und Steuerung M 35. – 3.2.9 Wrmeverbrauchsermittlung M 35.
M 25
IInhaltsverzeichnis
XXVII
Systeme und Bauteile der Raumlufttechnik . . . . . . . . . . . . . . .
M 37
4.1 Einrichtungen zur freien Lftung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
M 37
4
4.1.1 Fensterlftung M 37. – 4.1.2 Schachtlftung M 37. – 4.1.3 Dachaufsatzlftung M 37. – 4.1.4 Freie Lftung, verstrkt durch Ventilatoren M 38.
4.2 Raumlufttechnische Anlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
M 38
4.2.1 Klassifizierung raumlufttechnischer Systeme M 38. – 4.2.2 Systeme von Klimaanlagen M 39. 4.2.3 Luftfhrung und Luftdurchlsse M 46. – 4.2.4 Kanalnetz M 51. – 4.2.5 Luftverteilung M 52. – 4.2.6 Lftungs- und Klimazentralen M 52. – 4.2.7 Ventilatoren M 53. – 4.2.8 Filter M 57. – 4.2.9 Lufterhitzer, -khler M 58. – 4.2.10 Luftbefeuchter M 59. – 4.2.11 Luftentfeuchter M 60. – 4.2.12 Schalldmpfer M 61. – 4.2.13 Nachbehandlungsgerte mit Luftfrderung M 61. – 4.2.14 Wrmerckgewinnung M 62. – 4.2.15 Schaltung und Regelung M 63.
Systeme und Bauteile der kltetechnischen Anlagen. . . . . . . . . . . .
M 63
5.1 Anwendungen und Bauarten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
M 63
5.2 Bauteile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
M 63
5
5.2.1 Kltemittelverdichter M 63. – 5.2.2 Verdampfer M 66. – 5.2.3 Verflssiger M 66. – 5.2.4 Kltemittelkreislufe M 66. – 5.2.5 Wasserkreislufe M 68.
5.3 Direktverdampfer-Anlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
M 69
5.3.1 Verflssigerstze, Splitgerte fr Klimaanlagen M 69. – 5.3.2 Direktverdampfer-Anlagen fr EDVKlimagerte M 70.
5.4 Kaltwasserstze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
M 70
5.4.1 Kaltwassersatz mit Kolbenverdichter M 70. – 5.4.2 Kaltwassersatz mit Schraubenverdichter M 70. – 5.4.3 Kaltwassersatz mit Turboverdichter M 71. – 5.4.4 Absorptions- Kaltwassersatz M 71.
5.5 Rckkhlwerke. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
M 72
5.5.1 Bauarten und Zubehr M 72. – 5.5.2 Rckkhlsysteme M 73. – 5.5.3 Khlwassertemperaturen im Jahresverlauf M 73. – 5.5.4 Wasserbehandlung M 74.
5.6 Kaltwasserverteilsysteme fr RLT-Anlagen . . . . . . . . . . . . . . . .
M 74
5.7 Systeme fr ganzjhrigen Khlbetrieb . . . . . . . . . . . . . . . . . .
M 74
5.8 Speichersysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
M 75
Systeme und Bauteile der Wrmepumpenanlagen . . . . . . . . . . . .
M 78
6.1 Anwendungen und Bauarten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
M 78
6.2 Bauteile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
M 80
6.3 Kleinwrmepumpen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
M 80
6
6.4 Kaltdampfkompressions-Wrmepumpen grßerer Leistung . . . . . . . . . .
M 81
6.5 Absorptionswrmepumpen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
M 82
6.6 Wrmepumpensysteme nur fr Heizbetrieb . . . . . . . . . . . . . . . .
M 82
6.7 Systeme fr gleichzeitigen Khl- und Heizbetrieb. . . . . . . . . . . . . .
M 83
Sonderklima- und Khlanlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
M 84
7.1 Grubenkhlanlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
M 84
7.2 Fahrzeuganlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
M 86
7.3 Klimaprfschrnke und -kammern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
M 87
7
Wirtschaftlichkeit und Energieverbrauch . . . . . . . . . . . . . . . .
M 88
8.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
M 88
9
Anhang M: Diagramme und Tabellen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
M 89
10
Spezielle Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
M 91
N
Grundlagen der Verfahrenstechnik
1
Einfhrung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . N 2
2
Mechanische Verfahrenstechnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . N 3
8
2.1 Einfhrung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . N 3
XXVIII
Inhaltsverzeichnis
2.2 Zerkleinern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
N3
2.2.1 Bruchphysik; Zerkleinerungstechnische Stoffeigenschaften N 3. – 2.2.2 Zerkleinerungsmaschinen N 4.
2.3 Agglomerieren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
N5
2.3.1 Bindemechanismen, Agglomeratfestigkeit N 5. – 2.3.2 Agglomerationstechnik N 5.
2.4 Trennen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
N6
2.4.1 Abscheiden von Partikeln aus Gasen N 6. – 2.4.2 Abscheiden von Feststoffpartikeln aus Flssigkeiten N 7. – 2.4.3 Klassieren in Gasen N 8.
2.5 Mischen von Feststoffen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
N8
2.6 Bunkern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
N9
2.6.1 Fließverhalten von Schttgtern N 9. – 2.6.2 Dimensionierung von Bunkern N 9.
3
Thermische Verfahrenstechnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . N 10
3.1 Absorbieren, Rektifizieren, Flssig-flssig-Extrahieren . . . . . . . . . . . . . N 10 3.1.1 Durchsatz N 10. – 3.1.2 Stofftrennung N 10.
3.2 Verdampfen und Kristallisieren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . N 13 3.3 Adsorbieren, Trocknen, Fest-flssig-Extrahieren . . . . . . . . . . . . . . . . N 14 3.4 Membrantrennverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . N 16 4
Chemische Verfahrenstechnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . N 18
4.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . N 18 4.2 Stchiometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . N 19 4.3 Chemische Thermodynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . N 19 4.4 Kinetik chemischer Reaktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . N 20 4.5 Ideale isotherme Reaktoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . N 21 4.6 Reale Reaktoren. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . N 23 5
Mehrphasenstrmungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . N 26
5.1 Einphasenstrmung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . N 26 5.2 Widerstand fester und fluider Partikel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . N 26 5.3 Feststoff/Fluidstrmung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . N 27 5.3.1 Pneumatische Frderung N 27. – 5.3.2 Hydraulische Frderung N 31. – 5.3.3 Wirbelschicht N 31.
5.4 Gas-/Flssigkeitsstrmung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . N 32 5.4.1 Strmungsform N 32. – 5.4.2 Druckverlust N 33. – 5.4.3 Filmstrmung N 33.
6
Bioverfahrenstechnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . N 34
6.1 Mikroorganismen mit technischer Bedeutung . . . . . . . . . . . . . . . . . . N 34 6.1.1 Bakterien N 34. – 6.1.2 Pilze N 35. – 6.1.3 Hefen N 35. – 6.1.4 Algen N 36. – 6.1.5 Viren N 36. – 6.1.6 Pflanzliche und tierische Zellen (Gewebe) N 36.
6.2 Kultivierungsbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . N 36 6.2.1 Wachstumsbedingungen N 36. – 6.2.2 Phnomenologie des Wachstums N 37. – 6.2.3 Ablauf technischer Fermentationen N 38.
6.3 Sterilisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . N 40 6.3.1 Hitzesterilisation N 40. – 6.3.2 Sterilfiltration N 42.
6.4 Bioreaktoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . N 42 6.4.1 Oberflchenkultivierung N 42. – 6.4.2 Submerskultivierung N 42. – 6.4.3 Mess- und Regelungstechnik N 44. – 6.4.4 Schaumzerstrung N 45. – 6.4.5 Steriler Betrieb N 45.
6.5 Kinetik enzymatischer Reaktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . N 45 6.5.1 Katalytische Wirkung der Enzyme N 45. – 6.5.2 Michaelis-Menten-Kinetik N 46. – 6.5.3 Transformationen der Michaelis-Menten-Gleichung N 46. – 6.5.4 Einfluss von Temperatur, pH-Wert, Inhibitoren und Aktivatoren N 46.
6.6 Kinetik des mikrobiellen Wachstums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . N 48 6.6.1 Substratlimitiertes Wachstum N 48. – 6.6.2 Wachstumshemmung N 49. – 6.6.3 Wachstum mit Transportlimitierung N 49. – 6.6.4 Wachstum in kontinuierlicher Kultivierung N 49. – 6.6.5 Fed-BatchKultivierung N 51. – 6.6.6 Zellerhaltung N 52.
IInhaltsverzeichnis
XXIX
O Maschinendynamik 1
Kurbeltrieb, Massenkrfte und -momente, Schwungradberechnung. . . . . . O 1
1.1 Drehkraftdiagramm von Mehrzylindermaschinen . . . . . . . . . . . . . . . O 1 1.2 Massenkrfte und Momente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . O 3 1.2.1 Analytische Verfahren O 3. – 1.2.2 Ausgleich der Krfte und Momente O 8.
2
Schwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . O 9
2.1 Problematik der Maschinenschwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . O 9 2.2 Einige Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . O 9 2.2.1 Mechanisches Ersatzsystem O 9. – 2.2.2 Bewegungsgleichungen, Systemmatrizen O 9. – 2.2.3 Modale Parameter: Eigenfrequenzen, modale Dmpfungen, Eigenvektoren O 10. – 2.2.4 Modale Analyse O 11. – 2.2.5 Frequenzgangfunktionen mechanischer Systeme, Amplituden- und Phasengang O 11.
2.3 Grundaufgaben der Maschinendynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . .
O 12
2.3.1 Direktes Problem O 12. – 2.3.2 Eingangsproblem O 13. – 2.3.3 Identifikationsproblem O 13. – 2.3.4 Entwurfsproblem O 13. – 2.3.5 Verbesserung des Schwingungszustands einer Maschine O 13.
2.4 Darstellung von Schwingungen im Zeit- und Frequenzbereich . . . . . . . . .
O 14
2.4.1 Darstellung von Schwingungen im Zeitbereich O 14. – 2.4.2 Darstellung von Schwingungen im Frequenzbereich O 14.
2.5 Entstehung von Maschinenschwingungen, Erregerkrfte FðtÞ . . . . . . . . .
O 15
2.5.1 Freie Schwingungen (Eigenschwingungen) O 15. – 2.5.2 Selbsterregte Schwingungen O 16. – 2.5.3 Parametererregte Schwingungen O 16. – 2.5.4 Erzwungene Schwingungen O 16.
2.6 Mechanische Ersatzsysteme, Bewegungsgleichungen . . . . . . . . . . . .
O 19
2.6.1 Strukturfestlegung O 19. – 2.6.2 Parameterermittlung O 20. – 2.6.3 Beispiele fr mechanische Ersatzsysteme: Feder-Masse-Dmpfer-Modelle O 20. – 2.6.4 Beispiele fr mechanische Ersatzsysteme: Finite-Elemente-Modelle O 21.
2.7 Anwendungsbeispiele fr Maschinenschwingungen . . . . . . . . . . . . .
O 22
2.7.1 Drehschwinger mit zwei Drehmassen O 22. – 2.7.2 Torsionsschwingungen einer Turbogruppe O 23. – 2.7.3 Biegeschwingungen einer mehrstufigen Kreiselpumpe O 24.
Maschinenakustik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
O 27
3.1 Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
O 27
3.2 Entstehung von Maschinengeruschen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
O 29
3.3 Abschtzverfahren zur Bestimmung des Schallleistungspegels. . . . . . . . .
O 29
3.4 Mglichkeiten zur Verminderung von Maschinengeruschen . . . . . . . . .
O 31
3
3.4.1 Verminderung des Kraftpegels (Maßnahmen an der Krafterregung) O 31. – 3.4.2 Verminderung von Krperschallmaß und Abstrahlmaß (Maßnahmen am Maschinengehuse) O 31.
3.5 Maschinenakustische Berechnungen mit der Finite-Elemente-Methode/ BoundaryElemente-Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
O 33
3.6 Maschinenakustische Berechnungen mit der Statistischen Energieanalyse (SEA) .
O 34
3.7 Messung des akustischen Verhaltens von Maschinen . . . . . . . . . . . .
O 35
4
Spezielle Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
O 36
P
Kolbenmaschinen
1
Allgemeine Grundlagen der Kolbenmaschinen . . . . . . . . . . . . . . .
P2
1.1 Definition und Einteilung der Kolbenmaschinen . . . . . . . . . . . . . . .
P2
1.2 Vollkommene und reale Kolbenmaschine . . . . . . . . . . . . . . . . . .
P2
1.2.1 Die vollkommene Maschine P 2. – 1.2.2 Die reale Maschine P 3.
1.3 Hubkolbenmaschinen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
P4
1.3.1 Triebwerksbauarten P 4. – 1.3.2 Kinematik des Kurbeltriebs P 5. – 1.3.3 Krfte am Kurbeltrieb P 6.
1.4 Elemente der Kolbenmaschine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
P8
1.4.1 Kurbeltrieb P 8. – 1.4.2 Abdichten des Arbeitsraumes P 10. – 1.4.3 Zylinderanordnung und -zahl P 11. – P 11. – 1.4.4 Lagerung und Schmierung P 12. – 1.4.5 Khlung P 12.
Verdrngerpumpen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
P 13
2.1 Bauarten und Anwendungsgebiete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
P 13
2
XXX
Inhaltsverzeichnis
2.2 Berechnungsgrundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . P 14 2.2.1 Frderhhen, Geschwindigkeiten und Drcke P 14. – P 14. – 2.2.2 Frderleistung, Antriebsleistung, Gesamtwirkungsgrad P 15. – 2.2.3 Instationre Strmung P 15. – 2.2.4 Kavitation P 15. – 2.2.5 Pulsationsdmpfung P 16. – P 16.
2.3 Verlustteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . P 17 2.3.1 Betriebsverhalten der verlustfreien Verdrngerpumpe P 17. – 2.3.2 Definition von Wirkungsgraden P 17. – 2.3.3 Volumetrische Verluste P 18. – 2.3.4 Mechanisch-hydraulische Verluste P 18. – 2.3.5 Nutzliefergrad und Gesamtwirkungsgrad P 18.
2.4 Auslegung und Hauptabmessungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . P 19 2.4.1 Oszillierende Verdrngerpumpen P 19. – 2.4.2 Rotierende Verdrngerpumpen P 20.
2.5 Baugruppen und konstruktive Gestaltung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . P 21 2.5.1 Baugruppen zur Ein- und Auslaßsteuerung P 21. 2.5.2 Verstellung und Regelung P 22. – 2.5.3 Verwendungsbedingte Gestaltung P 22.
3
Kompressoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . P 26
3.1 Bauarten und Anwendungsgebiete. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . P 26 3.2 Grundlagen und Vergleichsprozesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . P 26 3.2.1 Volumenstrom, Eintrittspunkt, Austrittspunkt P 26. – 3.2.2 Verdichtung idealer und realer Gase P 26. – 3.2.3 Vergleichsprozesse fr einstufige Verdichtung P 28. – 3.2.4 Definition von Wirkungsgraden P 29. – 3.2.5 Mehrstufige Verdichtung P 29. – 3.2.6 Verdichtung feuchter Gase P 30.
3.3 Arbeitszyklus, Liefergrade und Druckverluste . . . . . . . . . . . . . . . . . P 30 3.3.1 Arbeitszyklus P 30. – 3.3.2 Liefergrade P 31. – 3.3.3 Druckverluste P 32.
3.4 Auslegung und Hauptabmessungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . P 33 3.4.1 Hubkolbenverdichter P 33. – 3.4.2 Schraubenverdichter P 34. – 3.4.3 Rotationsverdichter P 35. – 3.4.4 Flssigkeitsringverdichter P 36. – 3.4.5 Roots-Geblse P 36.
3.5 Ein- und Auslaßsteuerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . P 37 3.5.1 Aufbau selbstttiger Ventile P 37. – 3.5.2 Ventileinbau P 37. – 3.5.3 Ventilauslegung P 38.
3.6 Regelung und Betriebsverhalten. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . P 39 3.6.1 Regelung P 39. – 3.6.2 Betriebsverhalten P 41. – P 41.
3.7 Bauformen und Baugruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . P 42 3.7.1 Hubkolbenverdichter P 42. – 3.7.2 Membranverdichter P 43. – 3.7.3 Schraubenverdichter P 43. – 3.7.4 Rotationsverdichter P 43.
4
Verbrennungsmotoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . P 46
4.1 Einteilung und Verwendung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . P 46 4.2 Arbeitsverfahren und Arbeitsprozesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . P 46 4.2.1 Arbeitsverfahren P 46. – 4.2.2 Vergleichsprozesse P 47. – 4.2.3 Wirklicher Arbeitsprozeß P 48.
4.3 Ladungswechsel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . P 52 4.3.1 Kenngrßen des Ladungswechsels P 52. – 4.3.2 Steuerorgane fr den Ladungswechsel
4.4 Verbrennung im Motor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . P 60 4.4.1 Motoren-Kraftstoffe P 60. – 4.4.2 Gemischbildung und Verbrennung im Ottomotor P 60. 4.4.3 Gemischbildung und Verbrennung im Dieselmotor P 62. – 4.4.4 Hybride Verfahren fr Gemischbildung und Verbrennung P 63.
4.5 Verfahren zur Gemischbildung und Zndung bei Ottomotoren . . . . . . . . . . P 64 4.5.1 Anforderungen an Gemischbildung P 64. – 4.5.2 Vergaser P 64. – 4.5.3 Saugrohr-BenzinEinspritzung P 64. – 4.5.4 Direkte Benzin-Einspritzung P 65. – 4.5.5 Zndausrstung P 66.
4.6 Einrichtungen zur Gemischbildung und Zndung bei Dieselmotoren . . . . . . . P 67 4.6.1 Einspritzsysteme P 67. – 4.6.2 Einspritzdse P 69. – 4.6.3 Start- und Zndhilfen P 70. – P 70.
4.7 Betriebsverhalten und Kenngrßen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . P 71 4.7.1 Leistung, Drehmoment und Verbrauch P 71. – 4.7.2 Kenngrßen P 72. – 4.7.3 Umweltverhalten P 72. – 4.7.4 Verbrennungsmotor als Antriebsaggregat P 76.
4.8 Konstruktion von Motoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . P 78 4.8.1 hnlichkeitsbeziehungen und Beanspruchung P 78. – 4.8.2 Motorbauarten P 79. – 4.8.3 Motorbauteile P 81. – 4.8.4 Ausgefhrte Motorkonstruktionen P 83.
5
Spezielle Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . P 88
Q Fahrzeugtechnik Kraftfahrzeuge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Q2
1.1 Definition und allgemeine Anforderungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Q2
1
1.1.1 Definition Q 2. – 1.1.2 Allgemeine Anforderungen Q 2.
IInhaltsverzeichnis
XXXI
1.2 Fahrwiderstand und Antrieb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Q 3 1.2.1 Gesamtwiderstand Q 3. – 1.2.2 Zugkraftdiagramm Q 5. – 1.2.3 Kraftstoffverbrauch beeinflussende Maßnahmen Q 5. – 1.2.4 Dynamische Krfte Q 5.
1.3 Antriebsstrang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Q 5 1.3.1 Bauformen Q 5. – 1.3.2 Kennungswandler Q 6. – 1.3.3 Gelenkwellen Q 10. – 1.3.4 Antriebsschlupfregelung ASR Q 10. – 1.3.5 Alternative Antriebsformen Q 10.
1.4 Bremsen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Q 11
1.4.1 Gesetzliche Anforderungen Q 11. – 1.4.2 Physikalische Grundlagen Q 12. – 1.4.3 Bremsregelung Q 13. – 1.4.4 Bremsenbauarten Q 13. – 1.4.5 Bremsanlagen fr Nkw Q 15. – 1.4.6 Dauer-Bremsanlagen Q 15.
1.5 Fahrwerke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Q 18
1.5.1 Reifen und Felgen Q 18. – 1.5.2 Radaufhngung und Radfhrung Q 23. – 1.5.3 Federn Q 25. – 1.5.4 Dmpfung Q 28. – 1.5.5 Geregelte Feder-/Dmpfersysteme im Fahrwerk Q 29. – 1.5.6 Lenkungen Q 30.
1.6 Querdynamik und Fahrverhalten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Q 32
1.6.1 Offene und geschlossene Regelkreise Q 34. – 1.6.2 Bewertungskriterien Q 34. – 1.6.3 Simulationsmethoden Q 35.
1.7 Aufbau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Q 37
1.7.1 Fahrgastzelle Q 37. – 1.7.2 Innenraumgestaltung Q 38. – 1.7.3 Sicherheitsbestimmungen Q 38.
1.8 Schwingungen und Komfort . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Q 40
1.8.1 Vertikaldynamik Q 40. – 1.8.2 Komfortbewertung Q 41. – 1.8.3 Innengerusch Q 42.
1.9 Kraftrder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Q 43
1.9.1 Bauarten Q 43. – 1.9.2 Fahrdynamik Q 44.
1.10 Fahrzeugelektrik, -elektronik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Q 45
1.11 Automobil und Umwelt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Q 47
1.11.1 Fahrzeugabgase Q 47. – 1.11.2 Kraftstoffverbrauch Q 48. – 1.11.3 Materialeinsatz Q 48. – 1.11.4 Gerusch Q 49. – 1.11.5 Flchenverbrauch Q 49.
1.12 Entwicklungsmethodik. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Q 49
Schienenfahrzeuge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Q 50
2.1 Generelle Anforderungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Q 50
2
2.1.1 Fahrzeugbegrenzungsprofil Q 51. – 2.1.2 Fahrgastwechselzeiten Q 51. – 2.1.3 Lebenszykluskosten LCC Q 52.
2.2 Fahrwerke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Q 52
2.2.1 Grundbegriffe der Spurfhrungstechnik Q 52. – 2.2.2 Radbauarten Q 54. – 2.2.3 Radsatz Q 54. – 2.2.4 Rad-Schiene-Kontakt Q 54. – 2.2.5 Fahrwerkskonstruktionen Q 57. – 2.2.6 Neigetechnik Q 60.
2.3 Aufbau, Fahrzeugarten. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Q 61
2.3.1 Rohbau Q 61. – 2.3.2 Klimaanlage Q 61. – 2.3.3 Tren Q 62. – 2.3.4 Fenster Q 63. – 2.3.5 Fhrerrume Q 65. – 2.3.6 Zug-Stoßeinrichtungen Q 65. – 2.3.7 Fahrzeugarten Q 67.
2.4 Antriebe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Q 68
2.4.1 Fahrwiderstand Q 68. – 2.4.2 Konstruktionen Q 69.
2.5 Elektrische/Elektronische Ausrstung/Diagnose . . . . . . . . . . . . . .
Q 70
2.5.1 Leistungselektrik Q 70. – 2.5.2 Diagnosetechnik Q 71.
2.6 Sicherheitstechnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Q 72
2.6.1 Aktive Sicherheitstechnik/Bremse, Bremsbauarten Q 72. – 2.6.2 Passive Sicherheit Q 76.
2.7 Entwicklungsmethodik. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Q 78
2.7.1 Modelle Q 79. – Q 79. – 2.7.2 Fahrkomfort Q 81. – 2.7.3 Rad-Schiene-Krfte Q 81.
Luftfahrzeuge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Q 82
3.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Q 82
3
3.1.1 Luftverkehr Q 82. – 3.1.2 Anforderungen an den Luftverkehr und an Luftfahrzeuge Q 82. – 3.1.3 Einordnung und Konstruktionsgruppen von Luftfahrzeugen Q 83. – 3.1.4 Einordnung von Luftfahrzeugen nach Vorschriften Q 84.
3.2 Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Q 85
3.2.1 Die internationale Standardatmosphre (ISA) Q 86. – 3.2.2 Achsenkreuze Q 86. – 3.2.3 Winkel Q 86. – 3.2.4 Gewichte Q 86. – 3.2.5 Fluggeschwindigkeiten Q 88. – 3.2.6 Geometrische Beschreibung des Luftfahrzeuges Q 89. – 3.2.7 Krfte und Winkel im Flug Q 92. – 3.2.8 Flugsteuerung Q 93. – 3.2.9 Flugstabilitten Q 93.
3.3 Grundlagen der Flugphysik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Q 94
3.3.1 Einfhrung Q 94. – 3.3.2 Flugzeugpolare Q 96. – 3.3.3 Flugleistungen Q 96.
3.4 Zelle, Struktur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Q 104 3.4.1 Konstruktionsphilosophien und -prinzipien Q 104. – 3.4.2 Lasten, Lastannahmen Q 106. – 3.4.3 Leichtbau Q 107. – 3.4.4 Werkstoffe und Bauweisen Q 108. – 3.4.5 Rumpf Q 110. – 3.4.6 Tragflgel Q 111. – 3.4.7 Wartung und Instandhaltung Q 114.
XXXII
Inhaltsverzeichnis
4
Spezielle Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Q 115
R
Strmungsmaschinen
1
Gemeinsame Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
R1
1.1 Strmungstechnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
R1
1.1.1 Einleitung und Definitionen R 1. – 1.1.2 Wirkungsweise R 1. – 1.1.3 Strmungsgesetze R 2. – 1.1.4 Absolute und relative Strmung R 3. – 1.1.5 Schaufelanordnung fr Pumpen und Verdichter R 3. – 1.1.6 Schaufelanordnung fr Turbinen R 3. – 1.1.7 Schaufelgitter, Stufe, Maschine, Anlage R 4.
1.2 Thermodynamik. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
R4
1.2.1 Thermodynamische Gesetze R 4. – 1.2.2 Zustandsnderung R 4. 1.2.3 Totaler Wirkungsgrad R 5. – 1.2.4 Statischer Wirkungsgrad R 5. – 1.2.5 Polytroper und isentroper Wirkungsgrad R 5. – 1.2.6 Mechanische Verluste R 6.
1.3 Arbeitsfluid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
R6
1.3.1 Allgemeiner Zusammenhang zwischen thermischen und kalorischen Zustandsgrßen R 6. – 1.3.2 Ideale Flssigkeit R 6. – 1.3.3 Ideales Gas R 7. – 1.3.4 Reales Fluid R 7. – 1.3.5 Kavitation bei Flssigkeiten R 8. – 1.3.6 Kondensation bei Dmpfen R 8.
1.4 Schaufelgitter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
R8
1.4.1 Anordnung der Schaufeln im Gitter R 8. – 1.4.2 Leit- und Laufgitter R 9. – 1.4.3 Einteilung nach Geschwindigkeits- und Drucknderung R 9. – 1.4.4 Reale Strmung durch Gitter R 10. – 1.4.5 Gitterauslegung R 10. – 1.4.6 Profilverluste R 11. – 1.4.7 Verluste an den Schaufelenden R 12.
1.5 Stufen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . R 12 1.5.1 Zusammensetzen von Gittern zu Stufen R 12. – 1.5.2 Stufenkenngrßen R 13. – 1.5.3 Axiale Repetierstufe eines vielstufigen Verdichters R 14. – 1.5.4 Radiale Repetierstufe eines Verdichters R 14. – 1.5.5 Kenngrßen-Bereiche fr Verdichterstufen R 15. – 1.5.6 Axiale Repetierstufe einer Turbine R 15. – 1.5.7 Radiale Turbinenstufe R 16. – 1.5.8 Kenngrßen-Bereiche fr Turbinenstufen R 16.
1.6 Maschine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . R 17 1.6.1 Beschaufelung, Ein- und Austrittsgehuse R 17. – 1.6.2 Maschinenkenngrßen R 17. – 1.6.3 Wahl der Bauweise R 18.
1.7 Betriebsverhalten und Regelmglichkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . R 18 1.7.1 Instabiler Betriebsbereich bei Verdichtern R 18. – 1.7.2 Anlagencharakteristik R 18. – 1.7.3 Zusammenarbeit von Maschine und Anlage R 18. – 1.7.4 Regelung von Verdichtern R 20. – 1.7.5 Regelung von Turbinen R 20.
1.8 Beanspruchung und Festigkeit der wichtigsten Bauteile . . . . . . . . . . . . . R 20 Rotierende Scheibe, rotierender Zylinder R 21. – Durchbiegung, kritische Drehzahlen von Rotoren R 22. – 1.8.3 Beanspruchung der Schaufeln durch Fliehkrfte R 22. – 1.8.4 Beanspruchung der Schaufeln durch stationre Strmungskrfte R 23. – Schaufelschwingungen R 23. – 1.8.6 Gehuse R 24. – 1.8.7 Thermische Beanspruchung R 25.
2
Wasserturbinen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . R 26
2.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . R 26 2.1.1 Kennzeichen R 26. – 2.1.2 Wasserkraftwerke R 26. – 2.1.3 Wirtschaftliches R 27.
2.2 Gleichdruckturbinen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . R 27 2.2.1 Peltonturbinen R 27. – 2.2.2 Ossbergerturbinen R 28.
2.3 berdruckturbinen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . R 28 2.3.1 Francisturbinen R 28. – 2.3.2 Kaplanturbinen R 28. – 2.3.3 De´riazturbinen R 29.
2.4 Werkstoffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . R 29 2.5 Kennliniendarstellungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . R 29 2.6 Extreme Betriebsverhltnisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . R 30 2.7 Laufwasser- und Speicherkraftwerke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . R 30 3
Kreiselpumpen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . R 32
3.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . R 32 3.2 Bauarten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . R 32 3.2.1 Laufrad R 32. – 3.2.2 Gehuse R 34. – Fluid R 34. – Werkstoff R 34. – 3.2.5 Antrieb R 34.
3.3 Betriebsverhalten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . R 34 3.3.1 Kavitation R 34. – 3.3.2 Kennlinien R 36. – 3.3.3 Anpassung der Kreiselpumpe an den Leistungsbedarf R 37. – 3.3.4 Achsschubausgleich R 38.
3.4 Ausgefhrte Pumpen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . R 39
IInhaltsverzeichnis
XXXIII
Propeller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
R 44
4.1 Vorbemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
R 44
4.2 Schiffspropeller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
R 44
Fttinger-Getriebe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
R 45
4
5
5.1 Prinzip und Bauformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
R 45
5.2 Auslegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
R 47
5.3 Fttinger-Kupplungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
R 47
5.4 Bremsen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
R 48
5.5 Fttinger-Wandler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
R 48
Dampfturbinen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
R 49
6.1 Benennungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
R 49
6.2 Bauarten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
R 50
6
6.2.1 Kraftwerksturbinen R 50. – 6.2.2 Industrieturbinen R 53. – R 53. – 6.2.3 Kleinturbinen R 56.
6.3 Konstruktionselemente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
R 56
6.3.1 Gehuse R 56. – R 56. – 6.3.2 Ventile und Klappen R 57. – 6.3.3 Beschaufelung R 57. – 6.3.4 Wellendichtungen R 58. – 6.3.5 Lufer-Dreheinrichtung R 58. – 6.3.6 Lager R 58.
6.4 Anfahren und Betrieb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
R 59
6.5 Regelung, Sicherheits- und Schutzeinrichtungen . . . . . . . . . . . . . .
R 59
6.6 Berechnungsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
R 59
6.6.1 Allgemeines R 59. – 6.6.2 Auslegung von Industrieturbinen R 59.
Turboverdichter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
R 60
7.1 Einteilung und Einsatzbereiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
R 60
7
7.1.1 Ventilatoren R 61. – 7.1.2 Axialverdichter R 61. – 7.1.3 Radialverdichter R 61.
7.2 Radiale Laufradbauarten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
R 62
7.2.1 Das geschlossene 2 D-Laufrad R 62. – 7.2.2 Das geschlossene 3 D-Laufrad R 62. – 7.2.3 Das offene Laufrad R 62. – 7.2.4 Laufradverwendung R 63. – 7.2.5 Laufradherstellung R 63. – 7.2.6 Laufradfestigkeit R 64.
7.3 Radiale Verdichterbauarten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
R 64
7.3.1 Einwellenverdichter R 64. – 7.3.2 Mehrwellen-Getriebeverdichter R 66.
7.4 Regelungsarten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
R 66
7.4.1 Drehzahlregelung R 67. – 7.4.2 Saugdrosselregelung R 67. – 7.4.3 Eintrittsleitschaufelregelung R 68. – 7.4.4 Bypass-Regelung R 68. – R 68.
7.5 Beispiel einer Radialverdichterauslegung nach vereinfachtem Verfahren . . . .
R 69
7.5.1 Betriebsbedingungen (vorgegeben) R 69. – 7.5.2 Gasdaten R 69. – 7.5.3 Volumenstrom, Laufraddurchmesser, Drehzahl R 69. – 7.5.4 Endtemperatur, spezifische polytrope Arbeit R 70. – 7.5.5 Wirkungsgrad, Stufenzahl R 70. – 7.5.6 Leistung R 70.
Gasturbinen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
R 71
8.1 Einteilung und Verwendung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
R 71
8.2 Thermodynamische Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
R 72
8
8.2.1 Idealisierte Kreisprozesse R 72. – 8.2.2 Reale Gasturbinenprozesse R 72.
8.3 Baugruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
R 74
8.3.1 Verdichter R 74. – 8.3.2 Turbine R 74. – 8.3.3 Brennkammer R 75. – 8.3.4 Wrmetauscher R 77.
8.4 Gasturbine im Kraftwerk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
R 77
8.4.1 Allgemeines und Bauweise R 77. – 8.4.2 Gas- und Dampf-Anlagen R 78. – 8.4.3 LuftspeicherKraftwerk (Bild 15) R 79.
8.5 Gasturbine fr Verkehrsfahrzeuge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
R 79
8.5.1 Luftfahrt R 79. – 8.5.2 Schifffahrt R 80. – 8.5.3 Straßenfahrzeuge R 80. – 8.5.4 Abgasturbolader (Bild 19) R 81.
8.6 Brennstoffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
R 81
8.7 Beanspruchungen und Werkstoffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
R 81
8.8 Betriebsverhalten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
R 82
8.8.1 hnlichkeitskennfelder R 82. – 8.8.2 Teillastbetrieb R 82.
XXXIV
Inhaltsverzeichnis
8.9 Abgasemission . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . R 82 9
Spezielle Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . R 83
S
Fertigungsverfahren
1
bersicht ber die Fertigungsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
S3
1.1 Definition und Kriterien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
S3
1.2 Systematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
S3
Urformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
S4
2.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
S4
2.2 Formgebung bei metallischen Werkstoffen durch Gießen . . . . . . . . . . . .
S5
2
2.2.1 Herstellung von Halbzeugen S 5. – 2.2.2 Herstellung von Formteilen (Gussteilen) S 7. – 2.2.3 CAD/ CAM-Einsatz S 14. – 2.2.4 Vorbereitende und nachbehandelnde Arbeitsvorgnge S 14.
2.3 Formgebung bei Kunststoffen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S 16 2.3.1 Foliengießen S 16. – 2.3.2 Strangpressen (Extrudieren) S 16. – 2.3.3 Kalandrieren S 16. – 2.3.4 Schichtpressen S 16. – 2.3.5 Spritzgießverfahren S 17. – 2.3.6 Formpressen S 17. – 2.3.7 Spritzpressen S 17. – 2.3.8 Schumen S 17.
2.4 Formgebung bei metallischen und keramischen Werkstoffen durch Sintern (Pulvermetallurgie) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S 17 2.4.1 Allgemeines S 17. – 2.4.2 Anwendung S 18. – 2.4.3 Technologie S 18.
3
Urformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S 21
3.1 Systematik und Einfhrung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S 21 3.2 Grundlagen der Umformtechnik. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S 21 3.2.1 Fließspannung S 21. – 3.2.2 Formnderungsgrßen S 21. – 3.2.3 Fließkriterien S 22. – 3.2.4 Fließkurve S 22. – 3.2.5 Anisotropie S 23. – 3.2.6 Formnderungsvermgen S 23. – 3.2.7 Grenzformnderungsdiagramm S 24.
3.3 Modellvorstellungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S 24 3.4 Spannungen und Krfte bei ausgewhlten Verfahren der Umformtechnik . . . . . S 25 3.4.1 Stauchen zylindrischer Krper S 25. – 3.4.2 Stauchen rechteckiger Krper S 26. – 3.4.3 Drahtziehen S 26. – 3.4.4 Durchdrcken S 26. – 3.4.5 Tiefziehen S 27.
3.5 Technologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S 28 3.5.1 Streckziehen S 28. – 3.5.2 Tiefziehen S 28. – 3.5.3 Biegen S 30. – 3.5.4 Superplastisches Umformen von Blechen S 31. – 3.5.5 Stauchen S 32. – 3.5.6 Schmieden S 32. – 3.5.7 Strangpressen S 34.
4
Trennen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S 35
4.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S 35 4.2 Spanen mit geometrisch bestimmten Schneiden . . . . . . . . . . . . . . . . . S 35 4.2.1 Grundlagen S 35. – 4.2.2 Drehen S 37. – 4.2.3 Bohren S 40. – 4.2.4 Frsen S 42. – 4.2.5 Sonstige Verfahren: Hobeln und Stoßen, Rumen, Sgen S 46. – 4.2.6 Schneidstoffe S 47.
4.3 Spanen mit geometrisch unbestimmter Schneide . . . . . . . . . . . . . . . . S 49 4.3.1 Grundlagen S 49. – 4.3.2 Schleifen mit rotierendem Werkzeug S 51. – 4.3.3 Honen S 52. – 4.3.4 Sonstige Verfahren: Lppen, Innendurchmesser-Trennschleifen S 53.
4.4 Abtragen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S 54 4.4.1 Gliederung S 54. – 4.4.2 Thermisches Abtragen mit Funken (Funkenerosives Abtragen) S 55. – 4.4.3 Lasertrennen S 56. – 4.4.4 Elektrochemisches Abtragen S 58. – 4.4.5 Chemisches Abtragen S 58.
4.5 Scheren und Schneiden. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S 58 4.5.1 Systematik S 58. – 4.5.2 Technologie S 60. – 4.5.3 Krfte und Arbeiten S 61. – 4.5.4 Werkstckeigenschaften S 61. – 4.5.5 Werkzeuge S 62. – 4.5.6 Sonderschneidverfahren S 63.
5
Sonderverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S 64
5.1 Gewindefertigung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S 64 5.1.1 Gewindedrehen S 64. – 5.1.2 Gewindestrehlen S 65. – 5.1.3 Gewindeschneiden S 65. – 5.1.4 Gewindebohren S 65. – 5.1.5 Gewindefrsen S 66. – 5.1.6 Gewindeschleifen S 66. – 5.1.7 Gewindeerodieren S 66. – 5.1.8 Gewindewalzen S 67. – 5.1.9 Gewindefurchen S 67. – 5.1.10 Gewindedrcken S 67.
5.2 Verzahnen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S 68 5.2.1 Verzahnen von Stirnrdern S 68. – 5.2.2 Verzahnen von Schnecken S 74. – 5.2.3 Verzahnen von Schneckenrdern S 74. – 5.2.4 Verzahnen von Kegelrdern S 75.
IInhaltsverzeichnis
XXXV
5.3 Fertigungsverfahren der Feinwerk- und Mikrotechnik . . . . . . . . . . . .
S 77
5.3.1 Einfhrung S 77. – 5.3.2 Laserstrahlverfahren S 77. – 5.3.3 Elektronenstrahlverfahren S 79. – 5.3.4 Ultraschallverfahren S 80. – 5.3.5 Funkenerosion, Elysieren, Metalltzen S 81. – 5.3.6 Herstellen von Schichten S 81. – 5.3.7 Herstellen planarer Strukturen S 82. – 5.3.8 Verfahren der Mikrotechnik S 83.
5.4 Beschichten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
S 86
5.5 Rapid Prototyping . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
S 87
Montage und Demontage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
S 90
6.1 Begriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
S 90
6.2 Aufgaben der Montage und Demontage . . . . . . . . . . . . . . . . . .
S 92
6.3 Durchfhrung der Montage und Demontage . . . . . . . . . . . . . . . .
S 92
6
Fertigungs- und Fabrikbetrieb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
S 95
7.1 Management der Produktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
S 95
7.2 Qualittsmanagement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
S 95
7
7.2.1 Aufgaben des Qualittsmanagements S 95. – 7.2.2 Qualittsmanagement-System S 96. – 7.2.3 Umfassendes Qualittsmanagement S 96. – 7.2.4 Werkzeuge und Methoden S 96. – 7.2.5 CAQ-Systeme S 97.
7.3 Organisation der Produktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
S 97
7.3.1 Formen der Organisation S 98. – 7.3.2 Bereiche der Produktion S 98.
7.4 Arbeitsvorbereitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
S 98
7.4.1 Arbeitsplanung S 98. – 7.4.2 Arbeitssteuerung S 100.
7.5 Fertigungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
S 101
7.5.1 Das System „Fertigung“ S 101. – 7.5.2 Einteilung von Fertigungsystemen S 102. – 7.5.3 Automatisierung von Handhabungsfunktionen S 102. – 7.5.4 Transferstraßen und automatische Fertigungslinien S 103. – 7.5.5 Flexible Fertigungssysteme S 103. – 7.5.6 Wandlungsfhige Fertigungssysteme S 104.
7.6 Betriebliche Kostenrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
S 105
7.6.1 Grundlagen der betrieblichen Kostenrechnung S 105. – 7.6.2 Kostenartenrechnung S 105. – 7.6.3 Kostenstellenrechnung und Betriebsabrechnungsbgen S 106. – 7.6.4 Maschinenstundensatzrechnung S 106. – 7.6.5 Kalkulation S 107. – 7.6.6 Prozesskostenrechnung/kalkulation S 107. – 7.6.7 Lebenslaufkostenrechung S 107.
7.7 Arbeitswissenschaftliche Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
S 107
8
Anhang S: Diagramme und Tabellen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
S 108
9
Spezielle Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
S 110
T
Fertigungsmittel
1
Elemente der Werkzeugmaschinen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . T 1
1.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . T 1 1.1.1 Funktionsgliederung T 1. – 1.1.2 Mechanisches Verhalten T 3.
1.2 Antriebe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . T 5 1.2.1 Motoren T 5. – 1.2.2 Getriebe T 11. – 1.2.3 Mechanische Vorschub-bertragungselemente T 16.
1.3 Gestelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
T 21
1.3.1 Anforderungen, Bauformen T 21. – 1.3.2 Werkstoffe fr Gestellbauteile T 23. – 1.3.3 Gestaltung der Gestellbauteile T 24. – 1.3.4 Berechnung und Optimierung T 25.
1.4 Fhrungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
T 26
1.4.1 Linearfhrungen T 27. – 1.4.2 Drehfhrungen, Lagerungen T 32.
Steuerungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
T 34
2.1 Steuerungstechnische Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
T 34
2
2.1.1 Zum Begriff Steuerung T 34. – 2.1.2 Informationsdarstellung T 34. – 2.1.3 Programmsteuerung und Funktionssteuerung T 34. – 2.1.4 Signaleingabe und -ausgabe T 35. – 2.1.5 Signalbildung T 35. – 2.1.6 Signalverarbeitung T 35. – 2.1.7 Steuerungsprogramme T 37. – 2.1.8 Aufbauorganisation von Steuerungen T 37. – 2.1.9 Aufbau von Steuerungssystemen T 38. – 2.1.10 Dezentralisierung durch den Einsatz industrieller Kommunikationssysteme T 38. – 2.1.11 Offene Steuerungssysteme T 40.
2.2 Steuerungsmittel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
T 42
2.2.1 Mechanische Speicher und Steuerungen T 42. – 2.2.2 Fluidische Steuerungen T 42. – 2.2.3 Elektrische Steuerungen T 43.
2.3 Speicherprogrammierbare Steuerungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 Aufbau T 43. – 2.3.2 Arbeitsweise T 43. – 2.3.3 Programmierung T 44.
T 43
XXXVI
Inhaltsverzeichnis
2.4 Numerische Steuerungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . T 45 2.4.1 Zum Begriff T 45. – 2.4.2 NC-Programmierung T 45. – 2.4.3 Datenschnittstellen T 46. – 2.4.4 Steuerdatenverarbeitung T 47. – 2.4.5 Numerische Grundfunktionen T 48. – 2.4.6 Lageeinstellung T 48.
2.5 Einrichtungen zur Positionsmessung bei NC-Maschinen . . . . . . . . . . . . . T 51 2.5.1 Arten der Positionswerterfassung T 51. – 2.5.2 Messort und Messwertabnahme T 51. – 2.5.3 Digitale Messwerterfassung T 51. – 2.5.4 Analoge Messwerterfassung T 52.
2.6 Einrichtungen zur Geschwindigkeitserfassung bei NC-Maschinen . . . . . . . . T 53 3
Maschinen zum Scheren und Schneiden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . T 54
3.1 Maschinen zum Scheren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . T 54 3.2 Maschinen zum Schneiden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . T 55 3.3 Blechbearbeitungszentren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . T 55 4
Werkzeugmaschinen zum Umformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . T 56
4.1 Kenngrßen von Pressmaschinen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . T 56 4.2 Weggebundene Pressmaschinen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . T 58 4.2.1 Bauarten T 59. – 4.2.2 Baugruppen T 59. – 4.2.3 Kinetik und Kinematik T 59. – 4.2.4 Anwendung, Ausfhrungsbeispiele T 60.
4.3 Kraftgebundene Pressmaschinen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . T 61 4.3.1 Bauarten T 62. – 4.3.2 Baugruppen T 62. – 4.3.3 Anwendung, Ausfhrungsbeispiele T 63.
4.4 Arbeitgebundene Pressmaschinen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . T 63 4.4.1 Hmmer T 64. – 4.4.2 Spindelpressen T 65.
4.5 Arbeitssicherheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . T 67 5
Spanende Werkzeugmaschinen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . T 68
5.1 Drehmaschinen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . T 68 5.1.1 Allgemeines T 68. – 5.1.2 Universaldrehmaschinen T 69. – 5.1.3 Frontdrehmaschinen T 71. – 5.1.4 Drehautomaten T 71. – 5.1.5 Großdrehmaschinen T 72. – 5.1.6 Sonderdrehmaschinen T 72. – 5.1.7 Flexible Drehbearbeitungszentren T 73.
5.2 Bohrmaschinen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . T 75 5.2.1 Allgemeines T 75. – 5.2.2 Tischbohrmaschinen T 77. – 5.2.3 Sulenbohrmaschinen T 77. – 5.2.4 Stnderbohrmaschinen T 77. – 5.2.5 Mehrspindelbohrmaschinen T 77. – 5.2.6 Schwenkbohrmaschinen T 77. – 5.2.7 Koordinatenbohrmaschinen T 77. – 5.2.8 Revolverbohrmaschinen T 79. – 5.2.9 Feinbohrmaschinen T 79. – 5.2.10 Tiefbohrmaschinen T 79. – 5.2.11 Sonderbohrmaschinen T 79.
5.3 Frsmaschinen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . T 79 5.3.1 Allgemeines T 79. – 5.3.2 Konsolfrsmaschinen T 79. – 5.3.3 Bettfrsmaschinen T 79. – 5.3.4 Nachformfrsmaschinen T 81. – 5.3.5 Rundfrsmaschinen T 81. – 5.3.6 UniversalWerkzeugfrsmaschinen T 81. – 5.3.7 Waagerecht-Bohr- und -Frsmaschinen T 81. – 5.3.8 Hochgeschwindigkeitsfrsmaschinen T 82. – 5.3.9 Frsmaschinen mit Parallelkinematiken T 82. – 5.3.10 Sonderfrsmaschinen T 82.
5.4 Bearbeitungszentren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . T 83 5.5 Hobel- und Stoßmaschinen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . T 84 5.5.1 Hobelmaschinen T 84. – 5.5.2 Stoßmaschinen T 85.
5.6 Rummaschinen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . T 85 5.7 Sge- und Feilmaschinen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . T 86 5.7.1 Allgemeines T 86. – 5.7.2 Kaltkreissgemaschinen T 87. – 5.7.3 Bandsge- und Bandfeilmaschinen T 87. – 5.7.4 Hubsge- und Hubfeilmaschinen T 88.
5.8 Schleifmaschinen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . T 88 5.8.1 Allgemeines T 88. – 5.8.2 Planschleifmaschinen T 88. – 5.8.3 Rundschleifmaschinen T 88. – 5.8.4 Schraubflchenschleifmaschinen T 89. – 5.8.5 Verzahnungsschleifmaschinen T 90. – 5.8.6 Profilschleifmaschinen T 90. – 5.8.7 Bandschleifmaschinen T 90. – 5.8.8 Entwicklungstendenzen T 90.
5.9 Honmaschinen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . T 91 5.9.1 Langhubhonmaschinen T 91. – 5.9.2 Kurzhubhonmaschinen T 92.
5.10 Lppmaschinen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . T 93 5.10.1 Allgemeines T 93. – 5.10.2 Einscheiben-Lppmaschinen T 93. – 5.10.3 ZweischeibenLppmaschinen T 93. – 5.10.4 Kugellppmaschinen T 94.
5.11 Mehrmaschinensysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . T 94 6
Schweiß- und Ltmaschinen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . T 96
6.1 Lichtbogenschweißmaschinen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . T 96
IInhaltsverzeichnis
XXXVII
6.2 Widerstandsschweißmaschinen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
T 97
6.3 Laserstrahl-Schweiß- und Lteinrichtungen . . . . . . . . . . . . . . . .
T 98
6.4 Lteinrichtungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
T 98
Industrieroboter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
T 98
7
7.1 Einteilung von Handhabungseinrichtungen . . . . . . . . . . . . . . . .
T 98
7.2 Komponenten des Roboters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
T 99
7.3 Kinematisches und dynamisches Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . T 100 7.3.1 Kinematisches Modell T 100. – 7.3.2 Dynamisches Modell T 100.
7.4 Genauigkeit, Kenngrßen, Kalibrierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . T 100 7.5 Steuerungssystem eines Industrieroboters . . . . . . . . . . . . . . . . . T 101 7.6 Programmierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . T 102 7.6.1 Programmierverfahren T 102. – 7.6.2 Offline-Programmiersysteme T 103.
7.7 Anwendungsgebiete und Auswahl von Industrierobotern . . . . . . . . . . . T 103 8
Spezielle Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . T 104
U
Frdertechnik
1
Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . U 2
1.1 Begriffsbestimmungen und bersicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . U 2 1.1.1 Einordnung der Frdertechnik U 2. – 1.1.2 Frdergter und Frdermaschinen U 2. – 1.1.3 Kenngrßen des Frdervorgangs U 3.
1.2 Antriebe der Frdermaschinen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . U 3 1.2.1 Hubwerke U 3. – 1.2.2 Fahrwerke U 3. – 1.2.3 Drehwerke U 5. – 1.2.4 Einzieh- und Wippwerke U 7. – 1.2.5 Kraftschlssige Antriebe U 8. – 1.2.6 Formschlssige Antriebe U 8. – 1.2.7 Antriebsmotoren und Steuerungen U 8.
1.3 Tragwerke. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
U 10
1.3.1 Tragwerksgestaltung U 10. – 1.3.2 Grundlagen der Tragwerksberechnung U 11. – 1.3.3 Lasten und Lastkombinationen U 12. – 1.3.4 Zu fhrende Einzelnachweise U 13.
1.4 Charakteristische Maschinenelemente der Frdertechnik . . . . . . . . . . .
U 15
1.4.1 Ketten und Kettentriebe U 15. – 1.4.2 Seile und Seiltriebe U 16. – 1.4.3 Faserseile U 23. – 1.4.4 Mechanische Elemente der Antriebe U 25. – 1.4.5 Laufrad und Schiene (Schienenfahrwerke) U 28.
Hebezeuge und Krane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
U 32
2.1 Tragmittel und Lastaufnahmemittel . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
U 32
2
2.1.1 Lasthaken U 32. – 2.1.2 Lastaufnahmemittel fr Stckgter U 32. – 2.1.3 Lastaufnahmemittel fr Schttgter U 33.
2.2 Hubwerksausfhrungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
U 34
2.2.1 Serienhebezeuge U 34. – 2.2.2 Einzelhebezeuge U 35.
2.3 Kranarten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
U 35
2.3.1 Brcken- und Portalkrane U 36. – 2.3.2 Drehkrane U 39. – 2.3.3 Fahrzeugkrane U 41. – 2.3.4 Weitere Kranarten U 42.
Flurfrderzeuge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
U 43
3.1 Baugruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
U 43
3
3.1.1 Fahrwerk U 43. – 3.1.2 Fahrantrieb U 44. – 3.1.3 Hubgerst U 44. – 3.1.4 Lastaufnahmevorrichtung U 44. – 3.1.5 Hubantrieb, Antrieb der Nebenfunktionen U 45.
3.2 Handbetriebene Flurfrderzeuge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
U 45
3.2.1 Karren, Handwagen und Rollwagen U 45. – 3.2.2 Handgabelhubwagen U 45.
3.3 Motorisch betriebene Flurfrderzeuge . . . . . . . . . . . . . . . . . .
U 45
3.3.1 Niederhubwagen U 45. – 3.3.2 Gabelhochhubwagen U 45. – 3.3.3 Spreizenstapler U 45. – 3.3.4 Gegengewichtstapler U 46. – 3.3.5 Schubstapler U 46. – 3.3.6 Mehrwegestapler U 46. – 3.3.7 Querstapler U 47. – 3.3.8 Schmalgangstapler U 47. – 3.3.9 Kommissionier-Flurfrderzeuge U 48. – 3.3.10 Wagen U 48. – 3.3.11 Schlepper U 49. – 3.3.12 Portalstapler, Portalhubwagen U 49. – Fahrerlose Transportsysteme (FTS) U 49.
4
Weitere Unstetigfrderer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
U 50
5
Aufzge und Schachtfrderanlagen. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
U 50
XXXVIII
Inhaltsverzeichnis
5.1 bersicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . U 50 5.2 Aufzge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . U 50 5.2.1 Hydraulikaufzge U 50. – 5.2.2 Seilaufzge U 51. – 5.2.3 Bemessung, Frderstrom, Steuerung U 51. – 5.2.4 Steuerungen U 52. – 5.2.5 Spezifische Sicherheitseinrichtungen U 53.
5.3 Schachtfrderanlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . U 54 6
Stetigfrderer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . U 54
6.1 Berechnungsgrundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . U 54 6.2 Stetigfrderer mit Zugmittel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . U 55 6.2.1 Grundlagen der Berechnung U 55. – 6.2.2 Gurtfrderer U 57. – 6.2.3 Becherwerke (Becherfrderer) U 66. – 6.2.4 Kreisfrderer U 68. – 6.2.5 Gliederbandfrderer U 69. – 6.2.6 Kratzerfrderer U 70. – 6.2.7 Trogkettenfrderer U 71.
6.3 Stetigfrderer ohne Zugmittel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . U 72 6.3.1 Frderer mit Schnecken U 72. – 6.3.2 Schwingfrderer U 73. – 6.3.3 Rollen- und Kugelbahnen U 74.
6.4 Sorter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . U 75 6.5 Weitere Stetigfrderer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . U 77 6.5.1 Plattenbandfrderer U 77. – 6.5.2 Schubplattformfrderer U 77. – 6.5.3 Schuppenfrderer U 78. – 6.5.4 Umlauf-S-Frderer U 78. – 6.5.5 Rutschen und Fallrohre U 78.
6.6 Strmungsfrderer. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . U 78 6.6.1 Pneumatische Frderer U 79. – 6.6.2 Hydraulische Frderer U 80. – 6.6.3 Berechnungsgrundlagen U 80.
7
Lager- und Systemtechnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . U 80
7.1 Stckgut-Systemtechnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . U 80 7.1.1 Transporteinheiten (TE) und Transporthilfsmittel (THM) U 80. – 7.1.2 Funktion und Subsysteme U 81. – 7.1.3 Theoretische Behandlung von Materialflusssystemen U 83. – 7.1.4 Lagereinrichtung und Lagerbedienung U 85. – 7.1.5 Belegungs- und Bedienstrategien U 89. – 7.1.6 Lagerkennzahlen U 89. – 7.1.7 Kommissionierung U 90. – 7.1.8 Steuerung automatischer Lagersysteme U 92. – 7.1.9 Betrieb von Lagersystemen U 93.
7.2 Schttgut-Systemtechnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . U 94 7.2.1 bersicht U 94. – 7.2.2 Schttgutlager U 94.
8
Automatisierung in der Materialflusstechnik . . . . . . . . . . . . . . . . . U 95
8.1 Materialflusssteuerungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . U 95 8.2 Sensorik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . U 95 8.3 Aktuatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . U 95 8.4 Identifikationssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . U 95 8.4.1 Identifikation durch Personen und Gerte U 95. – 8.4.2 Optische Datenerfassung und -bertragung U 96. – 8.4.3 Elektronische Datenerfassung und -bertragung durch RFID U 99. – 8.4.4 Magnetische Datenbertragung U 101. – 8.4.5 Mechanische Datenbertragung U 101. – 8.4.6 Weiterverarbeitung der gewonnenen Daten U 101.
Baumaschinen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
U 102
9.1 Einteilung und Begriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
U 102
9.2 Hochbaumaschinen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
U 102
9
9.2.1 Turmdrehkrane U 102. – 9.2.2 Betonmischanlagen U 102. – 9.2.3 Transportbetonmischer U 103. – 9.2.4 Betonpumpen U 103. – 9.2.5 Verteilermasten U 106.
9.3 Erdbaumaschinen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
U 106
9.3.1 Bagger U 106. – 9.3.2 Schaufellader U 107. – 9.3.3 Planiermaschinen U 108. – 9.3.4 Transportfahrzeuge U 108.
10
Spezielle Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
V
Elektrotechnik
1
Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
V1
1.1 Grundgesetze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
V2
1.1.1 Feldgrßen und -gleichungen V 2. – 1.1.2 Elektrostatisches Feld V 2. – 1.1.3 Stationres Strmungsfeld V 3. – 1.1.4 Stationres magnetisches Feld V 3. – 1.1.5 Quasistationres elektromagnetisches Feld V 3.
U 111
IInhaltsverzeichnis
XXXIX
1.2 Elektrische Stromkreise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V 3 1.2.1 Gleichstromkreise V 3. – 1.2.2 Kirchhoffsche Stze V 4. – 1.2.3 Kapazitten V 5. – 1.2.4 Induktionsgesetz V 5. – 1.2.5 Induktivitten V 5. – 1.2.6 Magnetische Materialien V 6. – 1.2.7 Kraftwirkungen im elektromagnetischen Feld V 7.
1.3 Wechselstromtechnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V 8 1.3.1 Wechselstromgrßen V 8. – 1.3.2 Leistung V 9. – 1.3.3 Drehstrom V 9. – 1.3.4 Schwingkreise und Filter V 11.
1.4 Netzwerke. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
V 12
1.4.1 Ausgleichsvorgnge V 12. – 1.4.2 Netzwerkberechnung V 14.
1.5 Werkstoffe und Bauelemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
V 14
1.5.1 Leiter, Halbleiter, Isolatoren V 14. – 1.5.2 Besondere Eigenschaften bei Leitern V 14. – 1.5.3 Stoffe im elektrischen Feld V 15. – 1.5.4 Stoffe im Magnetfeld V 16. – 1.5.5 Elektrolyte V 16.
Transformatoren und Wandler. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
V 16
2.1 Einphasentransformatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
V 16
2
2.1.1 Wirkungsweise und Ersatzschaltbilder V 16. – 2.1.2 Spannungsinduktion V 17. – 2.1.3 Leerlauf und Kurzschluß V 17. – 2.1.4 Zeigerdiagramm V 17.
2.2 Meßwandler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
V 18
2.2.1 Stromwandler V 18. – 2.2.2 Spannungswandler V 18.
2.3 Drehstromtransformatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
V 18
Elektrische Maschinen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
V 20
3.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
V 20
3
3.1.1 Maschinenarten V 20. – 3.1.2 Bauformen und Achshhen V 20. – 3.1.3 Schutzarten V 21. – 3.1.4 Elektromagnetische Ausnutzung V 21. – 3.1.5 Verluste und Wirkungsgrad V 22. – 3.1.6 Erwrmung und Khlung V 22. – 3.1.7 Betriebsarten V 22. – 3.1.8 Schwingungen und Gerusche V 24. – 3.1.9 Drehfelder in Drehstrommaschinen V 24.
3.2 Asynchronmaschinen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
V 25
3.2.1 Ausfhrungen V 25. – 3.2.2 Ersatzschaltbild und Kreisdiagramm V 25. – 3.2.3 Betriebskennlinien V 26. – 3.2.4 Einfluß der Stromverdrngung V 27. – 3.2.5 Einphasenmotoren V 27.
3.3 Synchronmaschinen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
V 27
3.3.1 Ausfhrungen V 27. – 3.3.2 Betriebsverhalten V 28. – 3.3.3 Kurzschlußverhalten V 28.
3.4 Gleichstrommaschinen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
V 29
3.4.1 Ausfhrungen V 29. – 3.4.2 Stationres Betriebsverhalten V 30. – 3.4.3 Instationres Betriebsverhalten V 30.
3.5 Kleinmotoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
V 30
3.6 Linearmotoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
V 33
3.7 Torquemotoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
V 34
Leistungselektronik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
V 36
4.1 Grundlagen und Bauelemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
V 36
4
4.1.1 Allgemeines V 36. – 4.1.2 Ausfhrungen von Halbleiterventilen V 36. – 4.1.3 Leistungsmerkmale der Ventile V 37. – 4.1.4 Einteilung der Stromrichter V 37.
4.2 Wechselstrom- und Drehstromsteller . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
V 38
4.3 Netzgefhrte Stromrichter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
V 38
4.3.1 Netzgefhrte Gleich- und Wechselrichter V 38. – 4.3.2 Steuerkennlinien V 39. – 4.3.3 Umkehrstromrichter V 40. – 4.3.4 Netzrckwirkungen V 40. – 4.3.5 Direktumrichter V 41.
4.4 Selbstgefhrte Stromrichter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
V 41
4.4.1 Gleichstromsteller V 41. – 4.4.2 Selbstgefhrte Wechselrichter und Umrichter V 42. – 4.4.3 Blindleistungskompensation V 44.
Elektrische Antriebstechnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
V 44
5.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
V 44
5
5.1.1 Aufgaben V 44. – 5.1.2 Stationrer Betrieb V 44. – 5.1.3 Anfahren V 45. – 5.1.4 Drehzahlverstellung V 45. – 5.1.5 Drehschwingungen V 46. – 5.1.6 Elektrische Bremsung V 46. – 5.1.7 Elektromagnetische Vertrglichkeit V 47.
5.2 Gleichstromantriebe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
V 47
5.2.1 Gleichstromantriebe mit netzgefhrten Stromrichtern V 47. – 5.2.2 Regelung in der Antriebstechnik V 48. – 5.2.3 Drehzahlregelung V 48.
5.3 Drehstromantriebe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.1 Antriebe mit Drehstromsteller V 50. – 5.3.2 Stromrichterkaskaden V 51. – 5.3.3 Stromrichtermotor V 51. – 5.3.4 Umrichterantriebe mit selbstgefhrtem Wechselrichter V 52. – 5.3.5 Regelung von Drehstromantrieben V 53.
V 50
XL 6
Inhaltsverzeichnis
Energieverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V 55
6.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V 55 6.2 Kabel und Leitungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V 56 6.2.1 Leitungsnachbildung V 57. – 6.2.2 Kenngrßen der Leitungen V 57.
6.3 Schaltgerte. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V 57 6.3.1 Schaltanlagen V 57. – 6.3.2 Hochspannungsschaltgerte V 57. – 6.3.3 Niederspannungsschaltgerte V 58.
6.4 Schutzeinrichtungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V 58 6.4.1 Kurzschlußschutz V 58. – 6.4.2 Schutzschalter V 58. – 6.4.3 Thermischer berstromschutz V 58. – 6.4.4 Kurzschlußstrme V 58. – 6.4.5 Selektiver Netzschutz V 60. – 6.4.6 Berhrungsschutz V 60.
6.5 Energiespeicherung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V 60 6.5.1 Speicherkraftwerke V 60. – 6.5.2 Batterien V 61. – 6.5.3 Andere Energiespeicher V 62.
6.6 Elektrische Energie aus erneuerbaren Quellen . . . . . . . . . . . . . . . . . V 62 6.6.1 Solarenergie V 62. – 6.6.2 Windenergie V 62.
7
Elektrowrme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V 65
7.1 Widerstandserwrmung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V 65 7.2 Lichtbogenerwrmung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V 65 7.2.1 Lichtbogenofen V 65. – 7.2.2 Lichtbogenschweißen V 66.
7.3 Induktive Erwrmung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V 66 7.3.1 Stromverdrngung, Eindringtiefe V 66. – V 66. – 7.3.2 Aufwlbung und Bewegungen im Schmelzgut V 67. – 7.3.3 Oberflchenerwrmung V 67. – 7.3.4 Stromversorgung V 67.
7.4 Dielektrische Erwrmung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V 67 8
Anhang V: Diagramme und Tabellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V 69
9
Spezielle Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V 71
W Meßtechnik und Sensorik 1
Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
W1
1.1 Aufgabe der Meßtechnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
W1
1.2 Strukturen der Meßtechnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
W1
1.2.1 Meßkette W 1. – 1.2.2 Kenngrßen von Meßgliedern W 1. – 1.2.3 Meßabweichung von Meßgliedern W 2. – 1.2.4 Dynamische bertragungseigenschaften von Meßgliedern W 3.
1.3 Planung von Messungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
W4
1.4 Auswertung von Messungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
W4
Meßgrßen und Meßverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
W6
2.1 Einheitensystem und Gliederung der Meßgrßen der Technik . . . . . . . . . .
W6
2
2.1.1 Internationales Einheitensystem W 6. – 2.1.2 Gliederung der Meßgrßen W 6.
2.2 Sensoren und Aktoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
W6
2.2.1 Meßgrßenumformung W 6. – 2.2.2 Zerstrungsfreie Bauteil- und Maschinendiagnostik W 6.
2.3 Geometrische Meßgrßen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
W7
2.3.1 Lngenmeßtechnik W 7. – 2.3.2 Gewinde- und Zahnradmeßtechnik W 9. – 2.3.3 Oberflchenmeßtechnik W 10. – 2.3.4 Mustererkennung und Bildverarbeitung W 11.
2.4 Kinematische und schwingungstechnische Meßgrßen. . . . . . . . . . . . .
W 11
2.4.1 Wegmeßtechnik W 12. – 2.4.2 Geschwindigkeits- und Drehzahlmeßtechnik W 12. – 2.4.3 Beschleunigungsmeßtechnik W 13.
2.5 Mechanische Beanspruchungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
W 14
2.5.1 Kraftmeßtechnik W 14. – 2.5.2 Dehnungsmeßtechnik W 14. – 2.5.3 Experimentelle Spannungsanalyse W 16. – 2.5.4 Druckmeßtechnik W 17.
2.6 Strmungstechnische Meßgrßen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
W 18
2.6.1 Flssigkeitsstand W 18. – 2.6.2 Volumen, Durchfluß, Strmungsgeschwindigkeit W 18. – 2.6.3 Viskosimetrie W 19.
2.7 Thermische Meßgrßen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
W 19
2.7.1 Temperaturmeßtechnik W 20. – 2.7.2 Kalorimetrie W 20.
2.8 Optische Meßgrßen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.8.1 Licht- und Farbmeßtechnik W 21. – 2.8.2 Refraktometrie W 22. – 2.8.3 Polarimetrie W 22.
W 21
IInhaltsverzeichnis 2.9 Umweltmeßgrßen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
XLI W 22
2.9.1 Strahlungsmeßtechnik W 22. – 2.9.2 Akustische Meßtechnik W 23. – 2.9.3 Klimameßtechnik W 24.
2.10 Stoffmeßgrßen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
W 24
2.10.1 Anorganisch-chemische Analytik W 24. – 2.10.2 Organisch-chemische Analytik W 25. – 2.10.3 Oberflchenanalytik W 25.
Meßsignalverarbeitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
W 26
3.1 Signalarten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
W 26
3.2 Analoge elektrische Meßtechnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
W 26
3
3.2.1 Strom-, Spannungs- und Widerstandsmeßtechnik W 26. – 3.2.2 Kompensatoren und Meßbrcken W 27. – 3.2.3 Meßverstrker W 28. – 3.2.4 Funktionsbausteine W 29.
3.3 Digitale elektrische Meßtechnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
W 29
3.3.1 Digitale Meßsignaldarstellung W 29. – 3.3.2 Analog-Digital-Umsetzer W 30.
3.4 Rechneruntersttzte Meßsignalverarbeitung . . . . . . . . . . . . . . . .
W 30
Meßwertausgabe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
W 32
4.1 Meßwertanzeige . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
W 32
4
4.1.1 Meßwerke W 32. – 4.1.2 Digitalvoltmeter, Digitalmultimeter W 33. – 4.1.3 Oszilloskope W 33.
4.2 Meßwertregistrierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
W 33
4.2.1 Schreiber W 34. – 4.2.2 Drucker W 34. – 4.2.3 Meßwertspeicherung W 34.
4.3 Ergebnisdarstellung und Dokumentation . . . . . . . . . . . . . . . . .
W 34
5
Anhang W: Diagramme und Tabellen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
W 35
6
Spezielle Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
W 37
X
Regelungstechnik
1
Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . X 2
2
Lineare bertragungsglieder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . X 3
2.1 Statisches Verhalten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . X 3 2.1.1 Lineare Kennlinie X 3. – 2.1.2 Nichtlinearitten X 3.
2.2 Dynamisches Verhalten linearer zeitinvarianter bertragungsglieder . . . . . . . X 4 2.2.1 Sprungantwort und bergangsfunktion X 4. – 2.2.2 Frequenzgang und Ortskurve X 4. – 2.2.3 Differentialgleichung und bertragungsfunktion X 5.
2.3 Lineare Grundglieder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . X 6 2.3.1 P-Glied X 6. – 2.3.2 I-Glied X 6. – 2.3.3 D-Glied X 6. – 2.3.43 T t -Glied X 6. – 2.3.5 T1 -Glied X 6. – 2.3.6 T 2=n -Glied X 7.
2.4 Grundstrukturen des Wirkungsplans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . X 7 2.4.1 Reihenstruktur X 7. – 2.4.2 Parallelstruktur X 7. – 2.4.3 Kreisstruktur X 7.
3
Regelstrecken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . X 8
3.1 Struktur und Grßen des Regelkreises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . X 8 3.1.1 Funktionsblcke des Regelkreises X 8. – 3.1.2 Grßen des Regelkreises X 9. – 3.1.3 Stell- und Strverhalten der Strecke X 9.
3.2 Regelstrecken mit Ausgleich (P-Strecken). . . . . . . . . . . . . . . . . . X 9 3.2.1 P-Strecke 0. Ordnung (P–T0 ) X 9. – 3.2.2 P-Strecke 1. Ordnung (P – T1 ) X 10. – 3.2.3 P-Strecke 2. und hherer Ordnung ðP Tn Þ X 10. – 3.2.4 P-Strecke mit Totzeit ðP Tt Þ X 10. – 3.2.5 Strecke mit Ausgleich i-ter Ordnung und Totzeit ðP Ti Tt Þ X 10.
3.3 Regelstrecken ohne Ausgleich (I-Strecken) . . . . . . . . . . . . . . . .
X 11
3.3.1 I-Strecke 0. Ordnung (I – T0 ) X 11. – 3.3.2 I-Strecke 1. Ordnung (I – T1 ) X 11. – 3.3.3 I-Strecke i-ter Ordnung und Totzeit ðI Ti Tt Þ X 11.
Regler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
X 12
4.1 Arten linearer Regler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
X 12
4
4.1.1 P-Anteil, P-Regler X 12. – 4.1.2 I-Anteil, I-Regler X 12. – 4.1.3 PI-Regler X 12. – 4.1.4 PD-Regler X 12. – 4.1.5 PID-Regler X 12.
4.2 Technische Ausfhrung der Regler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
X 13
4.2.1 Verstrker mit Rckfhrung X 13. – 4.2.2 Rechnergesttzter Regler X 13. – 4.2.3 Entwicklungstendenzen X 14.
5
Linearer Regelkreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
X 14
XLII
Inhaltsverzeichnis
5.1 Fhrungs- und Strungsverhalten des Regelkreises . . . . . . . . . . . . . . . X 14 5.1.1 Fhrungsverhalten des Regelkreises X 15. – 5.1.2 Strungsverhalten des Regelkreises X 15.
5.2 Stabilitt des Regelkreises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . X 15 5.3 Optimierung von Regelkreisen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . X 17 5.3.1 Gte der Regelung X 17. – 5.3.2 Einstellregeln fr Regelkreise X 17.
6
Spezielle Formen der Regelung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . X 18
6.1 Mehrschleifige Regelung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . X 18 6.1.1 Regelung mit Strgrßenaufschaltung X 18. – 6.1.2 Kaskadenregelung X 18.
6.2 Zweipunkt-Regelung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . X 19 6.3 Adaptive Regelung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . X 19
Y
Elektronische Datenverarbeitung
1
Einfhrung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Y1
2
Informationstechnologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Y1
2.1 Grundlagen und Begriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Y1
2.1.1 Zahlendarstellungen und arithmetische Operationen Y 2. – 2.1.2 Datenstrukturen und Datentypen Y 3. – 2.1.3 Algorithmen Y 4. – 2.1.4 Numerische Berechnungsverfahren Y 4. – 2.1.5 Programmiermethoden Y 5. – 2.1.6 Programmiersprachen Y 7. – 2.1.7 Objektorientierte Programmierung Y 7. – 2.1.8 Softwareentwicklung Y 8.
2.2 Digitalrechnertechnologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Y8
2.2.1 Hardwarekomponenten Y 8. – 2.2.2 Hardwarearchitekturen Y 9. – 2.2.3 Rechnernetze Y 10. – 2.2.4 Client-/Serverarchitekturen Y 11. – 2.2.5 Betriebssysteme Y 11.
2.3 Internet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Y 12 2.4 Integrationstechnologien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Y 12 2.5 Sicherheit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Y 13 3
Virtuelle Produktentstehung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Y 13
3.1 Produktentstehungsprozess . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Y 13 3.2 Basismethoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Y 14 3.2.1 Geometrische Modellierung Y 14. – 3.2.2 Featuretechnologie Y 17. – 3.2.3 Parametrik Y 18. – 3.2.4 Wissensbasierte Modellierung Y 19. – 3.2.5 Strukturmodellierung Y 19. – 3.2.6 Erstellung von Dokumenten Y 20.
3.3 Systeme der rechneruntersttzten Produktentstehung . . . . . . . . . . . . . . Y 21 3.4 Produktdatenmanagement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Y 22 3.5 Plattform zum Kollaborativen Engineering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Y 24 3.6 Schnittstellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Y 24 4
Anhang Y: Diagramme und Tabellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Y 25
5
Spezielle Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Y 28
Z
Allgemeine Tabellen 1. Basiseinheiten des SI-Systems Z 1. – 2. Abgeleitete Einheiten des SI-Systems Z 1. – 3. Vorstze fr Einheiten Z 1. – 4. Einheiten außerhalb des SI-Systems Z 1. – 5. berschlagswerte zur Umrechnung von m kp s- in das SI-System Z 2. – 7. Umrechnung der wichtigsten Einheiten des f p s- in das SI-System Z 2. – 6. Namen und Abkrzungen englischer Einheiten Z 2. – 9. Große Zahlenwerte Z 2. – 8. Rmisches Zahlensystem Z 2. – 10. Raum und Zeit Z 3. – 11. Mechanik Z 3. – 12. Wrme Z 4. – 13. Elektrizitt Z 4. – 14. Magnetismus Z 4. – 15. Lichtstrahlung Z 5. – 16. Physikalische Konstanten Z 5. – 17. Grundbegriffe und Grundgrßen der Kernphysik Z 6. – 18. Grundgrßen der Lichttechnik Z 7. – 19. Die wichtigsten Grßen der Schalltechnik Z 8. – 20. Angenherte akustische Wirkungsgrade Z 8. – 23. Umrechnung von dB in Druckverhltnisse oder Verhltnisse von Druckquadraten Z 11. – Technische Regelwerke, die in den Textteilen und in den Anhngen auszugsweise als Hinweise enthalten sind, knnen entweder ber die genannten Verlage oder direkt von den bearbeitenden Institutionen, Verbnden bzw. Vereinen bezogen werden. Z 12 – Die wichtigsten auslndischen Normen und ihre Bezugsquellen Z 13.
Deutsch-englische Fachausdrcke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
Autorenportrts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Sachverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 Inserentenverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
Hinweise zur Benutzung
Gliederung. Das Werk umfaßt 25 Teile, die in Kapitel, Abschnitte und Unterabschnitte gegliedert sind. Die Teile sind durch Großbuchstaben gekennzeichnet und ihre Seiten werden, jeweils mit eins beginnend, getrennt durchgezhlt. Bei den Untergliederungen bezeichnet die erste Ziffer das Kapitel, die zweite den Abschnitt und die dritte den Unterabschnitt. Sie stehen jeweils vor ihrer berschrift, die auch ins Englische bersetzt ist. Weitere Unterteilungen werden durch fette (unnumerierte) berschriften sowie fette und kursive Zeilenanfnge (sog. Spitzmarken) vorgenommen. Sie sollen dem Leser das schnelle Auffinden spezieller Themen erleichtern. Kolumnentitel oder Seitenberschriften enthalten auf den linken Seiten (gerade Endziffern) die Namen der Teile und Kapitel, auf den rechten die Abschnitte. Kleindruck. Er wurde fr Bildunterschriften und Tabellenberschriften sowie fr Beispiele und lngere Bildbeschreibungen angewandt, um diese Teile besser vom brigen Text abzuheben und Druckraum zu sparen. Inhalts- und Sachverzeichnis sind zur Erleichterung der Benutzung des Werkes ausfhrlich gestaltet. Sie enthalten ebenfalls die Seitenbezeichnung nach Teilen. Kapitel. Es bildet die Grundeinheit, in der Gleichungen, Bilder und Tabellen jeweils wieder von 1 ab numeriert sind. Fett gesetzte Bild- und Tabellenbezeichnungen sollen ein schnelles Erkennen der Zuordnung von Bildern und Tabellen zum Text ermglichen. Anhang. Am Ende fast aller Teile befinden sich die Kapitel „Anhang: Diagramme und Tabellen“ und „Spezielle Literatur“. Sie enthalten die fr die praktische Zahlenrechnung notwendigen Kenn- und Stoffwerte sowie Sinnbilder und Normenauszge des betreffenden Fachgebietes und das im Text angezogene Schrifttum. Am Ende des Werkes liegt der Teil Z „Allgemeine Tabellen“. Er enthlt die wichtigsten physikalischen Konstanten, die Umrechnungsfaktoren fr die Einheiten, das periodische System der Elemente sowie ein Verzeichnis von Bezugsquellen fr Technische Regelwerke und Normen. Außerdem sind die Grundgrßen von Gebieten, deren ausfhrliche Behandlung den Rahmen des Buches sprengen wrden, aufgefhrt. Hierzu zhlen die Kern-, Licht-, Schall- und Umwelttechnik. Numerierung und Verweise. Die Numerierung der Bilder, Tabellen, Gleichungen und Literatur gilt fr das jeweilige Kapitel. Gleichungsnummern stehen in runden ( ), Literaturziffern in eckigen [ ] Klammern. Bei Verweisen auf ein anderes Kapitel stehen vor den Bezeichnungen zustzlich der Buchstabe des Teils und die Nummer des Kapitels, z.B. C 2 Tab. 1, G 1 Bild 6, Anh. X 5 Tab. 1, B 3 Gl. (22) bzw. B 1.7 bei Textabschnitten, fr die „Allgemeinen Tabellen“ am Buchende z. B. Z Tab. 3. Bilder. Hierzu gehren konstruktive und Funktionsdarstellungen, Diagramme, Flußbilder und Schaltplne. Bildgruppen. Sie sind, soweit notwendig, in Teilbilder untergliedert, die zustzlich zur Bildnummer mit kleinen Buchstaben a, b, c usw. bezeichnet sind (z. B. U 2 Bild 2). Sind diese nicht in der Bildunterschrift erlutert, so befinden sich die betreffenden Erluterungen im Text (z. B. B 6 Bild 12 a–e). Kompliziertere Bauteile oder Plne enthalten Positionen, die entweder im Text (z. B. P 2 Bild 26) oder in der Unterschrift erlutert sind (z. B. L 5 Bild 5). Sinnbilder fr Schaltplne von Leitungen, Schaltern, Maschinen und ihren Teilen sowie fr Aggregate sind nach Mglichkeit den zugeordneten DIN-Normen oder den Richtlinien entnommen. In Einzelfllen wurde von den Zeichnungsnormen abgewichen, um die bersicht der Bilder zu verbessern. Tabellen. Sie ermglichen es, Zahlenwerte mathematischer und physikalischer Funktionen schnell aufzufinden. In den Beispielen sollen sie den Rechnungsgang einprgsam erlutern und die Ergebnisse bersichtlich darstellen. Aber auch Gleichungen, Sinnbilder und Diagramme sind zum besseren Vergleich bestimmter Verfahren tabellarisch zusammengefaßt.
XLIV
Hinweise zur Benutzung
Literatur. Spezielle Literatur. Sie ist auf das Sachgebiet eines Kapitels bezogen, eine Ziffer in ekkiger [ ] Klammer weist im Text auf das entsprechende Zitat hin. Diese Verzeichnisse, die hufig auch grundlegende Normen, Richtlinien und Sicherheitsbestimmungen enthalten, befinden sich am Ende der Teile nach Kapiteln geordnet. Allgemeine Literatur. Sie steht am Anfang des Teils in der Reihenfolge der Kapitel und enthlt die betreffenden Grundlagenwerke. Sachverzeichnis. Nach wichtigen Einzelstichwrtern sind die Stichworte fr allgemeine, mehrere Kapitel umfassende Begriffe wie z. B. „Arbeit“, „Federn“ und „Steuerungen“ zusammengefaßt. Zur besseren bersicht ersetzt ein Querstrich nur ein Wort. In diesen Gruppen sind nur die wichtigsten Begriffe auch als Einzelstichwrter aufgefhrt. Dieses raumsparende Verfahren lßt natrlich immer einige berechtigte Wnsche der Leser offen, vermeidet aber ein zu langes und daher unbersichtliches Verzeichnis. Gleichungen. Sie sind der Vorteile wegen als Grßengleichungen geschrieben. Sind Zahlenwertgleichungen, wie z. B. bei empirischen Gesetzen oder bei sehr hufig vorkommenden Berechnungen erforderlich, so erhalten sie den Zusatz „Zgl.“ und die gesondert aufgefhrten Einheiten den Zusatz „in“. Fr einfachere Zahlenwertgleichungen werden gelegentlich auch zugeschnittene Grßengleichungen benutzt. Exponentialfunktionen sind meist in der Form „exp(x)“ geschrieben. Wo mglich, wurden aus Platzgrnden schrge statt waagerechte Bruchstriche verwendet. Formelzeichen. Sie wurden in der Regel nach DIN 1304 gewhlt. Dies ließ sich aber nicht konsequent durchfhren, da die einzelnen Fachnormenausschsse unabhngig sind und eine laufende Anpassung an die internationale Normung erfolgt. Daher mußten in einzelnen Fachgebieten gleiche Grßen mit verschiedenen Buchstaben gekennzeichnet werden. Aus diesen Grnden, aber auch um lstiges Umblttern zu ersparen, wurden die in jeder Gleichung vorkommenden Grßen meist in ihrer unmittelbaren Nhe erlutert. Bei Verweisen werden innerhalb eines Kapitels die in den angezogenen Gleichungen erfolgten Erluterungen nicht wiederholt. Wurden Kompromisse bei Formelzeichen der einzelnen Normen notwendig, so ist dies an den betreffenden Stellen vermerkt. Zeichen, die sich auf die Zeiteinheit beziehen, tragen einen Punkt. Beispiel: B 6 Gl. (5). Variable sind kursiv, Vektoren und Matrizen fett kursiv und Einheiten steil gesetzt. Einheiten. In diesem Werk ist das Internationale bzw. das SI-Einheitensystem (Systme international) verbindlich. Eingefhrt ist es durch das „Gesetz ber Einheiten im Meßwesen“ vom 2. 7. 1969 mit seiner Ausfhrungsverordnung vom 26. 6. 1970. Außer seinen sechs Basiseinheiten m, kg, s, A, K und cd werden auch die abgeleiteten Einheiten N, Pa, J, W und Pa s benutzt. Unzweckmßige Zahlenwerte knnen dabei nach DIN 1301 durch Vorstze fr dezimale Vielfache und Teile nach Z Tab. 3 ersetzt werden. Hierzu lßt auch die Ausfhrungsverordnung folgende Einheiten bzw. Namen zu: Masse Volumen Druck
1 t = 1000 kg 1 l = 10–3 m3 1 bar = 105 Pa
Zeit Temperaturdifferenz Winkel
1 h = 60 min = 3600 s 1 C = 1 K 1 = p rad/180
Fr die Einheit 1 rad = 1 m/m darf nach DIN 1301 bei Zahlenrechnungen auch 1 stehen. Da ltere Urkunden, Vertrge und lteres Schrifttum noch die frheren Einheitensysteme enthalten, sind ihre Umrechnungsfaktoren fr das internationale Maßsystem in Z Tab. 5 aufgefhrt. Druck. Nach DIN 1314 wird der Druck p meist in der Einheit bar angegeben und zhlt vom Nullpunkt aus. Druckdifferenzen werden durch die Formelzeichen, nicht aber durch die Einheit gekennzeichnet. Dies gilt besonders fr die Manometerablesung bzw. atmosphrischen Druckdifferenzen. DIN-Normen. Hier sind die bei Abschluß der Manuskripte gltigen Ausgaben maßgebend. Dies gilt auch fr die dort gegebenen Definitionen und fr die angezogenen Richtlinien.
IChronik des Taschenbuchs – Biographische Daten
Chronik des Taschenbuchs Der Plan eines Taschenbuchs fr den Maschinenbau geht auf eine Anregung von Heinrich Dubbel, Dozent und spter Professor an der Berliner Beuth-Schule, der namhaftesten deutschen Ingenieurschule, im Jahre 1912 zurck. Die Diskussion mit Julius Springer, dem fr die technische Literatur zustndigen Teilhaber der „Verlagsbuchhandlung Julius Springer“ (wie die Firma damals hieß), dem Dubbel bereits durch mehrere Fachverffentlichungen verbunden war, fhrte rasch zu einem positiven Ergebnis. Dubbel bernahm die Herausgeberschaft, stellte die – in ihren Grundzgen bis heute unverndert gebliebene – Gliederung auf und gewann, soweit er die Bearbeitung nicht selbst durchfhrte, geeignete Autoren, zum erheblichen Teil Kollegen aus der Beuth-Schule. Bereits Mitte 1914 konnte die 1. Auflage erscheinen. Zunchst war der Absatz unbefriedigend, da der 1. Weltkrieg ausbrach. Das besserte sich aber nach Kriegsende und schon im Jahre 1919 erschien die 2. Auflage, dicht gefolgt von weiteren in den Jahren 1920, 1924, 1929, 1934, 1939, 1941 und 1943. Am 1. 3. 1933 wurde das Taschenbuch als „Lehrbuch an den Preußischen Ingenieurschulen“ anerkannt. H. Dubbel bearbeitete sein Taschenbuch bis zur 9. Auflage im Jahre 1943 selbst. Die 10. Auflage, die Dubbel noch vorbereitete, deren Erscheinen er aber nicht mehr erlebte, war im wesentlichen ein Nachdruck der 9. Auflage. Nach dem Krieg ergab sich bei der Planung der 11. Auflage der Wunsch, das Taschenbuch gleichermaßen bei den Technischen Hochschulen und den Ingenieurschulen zu verankern. In diesem Sinn wurden gemeinsam Prof. Dr.-Ing. Fr. Sass, Ordinarius fr Dieselmaschinen an der Technischen Universitt Berlin, und Baudirektor Dipl.-Ing. Charles Bouch, Direktor der Beuth-Schule, unter Mitwirkung des Oberingenieurs Dr.-Ing. Alois Leitner, als Herausgeber gewonnen. Durch Spezialwerke standen Sass und Bouch schon mit dem Springer-Verlag in Verbindung; Fr. Sass durch seine „Dieselmaschinen“, Ch. Bouch durch seine „Kolbenverdichter“. Das gesamte Taschenbuch wurde nach der bewhrten Disposition H. Dubbels neu bearbeitet und mehrere Fachgebiete neu eingefhrt: hnlichkeitsmechanik, Gasdynamik, Gaserzeuger und Kltetechnik. So gelang es, den technischen Fortschritt zu bercksichtigen und eine breitere Absatzbasis fr das Taschenbuch zu schaffen. In der 13. Auflage wurden im Vorgriff auf das Einheitengesetz das technische und das internationale Maßsystem nebeneinander benutzt. In dieser Auflage wurde Prof. Dr.-Ing. Egon Martyrer von der Technischen Universitt Hannover als Mitherausgeber herangezogen. Am 26. 2. 1968 verstarb Fr. Sass, am 5. 11. 1975 E. Martyrer, am 6. 2. 1978 Ch. Bouch. Die 14. Auflage wurde von den Herausgebern W. Beitz und K.-H. Kttner und den Autoren vollstndig neubearbeitet und erschien 1981, also 67 Jahre nach der ersten. Auch hier wurde im Prinzip die Disposition und die Art der Auswahl der Autoren und Herausgeber beibehalten. Inzwischen haben aber besonders die Computertechnik, die Elektronik, die Regelung und die Statistik den Maschinenbau beeinflußt. So wurden
XLV
umfangreichere Berechnungs- und Steuerverfahren entwickelt, und es entstanden sogar neue Spezialgebiete. Eine Auswahl unter der erforderlichen Bercksichtigung des klassischen Maschinenbaus und bei der notwendigen Beschrnkung der Seitenzahl zu treffen, die der Kritik standhlt, ist eine außerordentlich schwierige Aufgabe. Der Umfang des unbedingt ntigen Stoffes fhrte zu zweispaltiger Darstellung bei grßerem Satzspiegel. So ist wohl die unvernderte Bezeichnung „Taschenbuch“ in der Tradition und nicht im Format begrndet. Das Ansehen, dessen sich das Taschenbuch berall erfreute, fhrte im Lauf der Jahre auch zu verschiedenen bersetzungen in fremde Sprachen. Eine erste russische Ausgabe gab in den zwanziger Jahren der Springer-Verlag selbst heraus, eine weitere erschien unautorisiert. Nach dem 2. Weltkrieg wurden Lizenzen fr griechische, italienische, jugoslawische, portugiesische, spanische und tschechische Ausgaben erteilt. Von der Neubearbeitung (14. Auflage) erschienen 1984 eine italienische, 1991 eine chinesische und 1994 eine englische bersetzung. Nach dem Tod von K.-H. Kttner wurde K.-H. Grote fr die 1997 erschienene 19. Auflage Mitherausgeber des DUBBEL. Wolfgang Beitz verstarb leider ganz pltzlich im November 1998. Im Jahr darauf erschien der DUBBEL als erstes interaktives, elektronisches Taschenbuch fr den Maschinenbau in erster, 2002 in zweiter Version. Jrg Feldhusen ist ab der 21. Auflage Mitherausgeber des DUBBEL, der mit der 20. Auflage (2001) die Marke von 1 Millionen verkauften Exemplaren seit der Erstauflage berschritt. Dieses beachtliche Gesamtergebnis wurde durch die gewissenhaft arbeitenden Autoren und Herausgeber, die sorgfltige Bearbeitung im Verlag und die exakte drucktechnische Herstellung mglich.
Biographische Daten ber H. Dubbel Heinrich Dubbel, der Schpfer des Taschenbuches, wurde am 8. 4. 1873 als Sohn eines Ingenieurs in Aachen geboren. Dort studierte er an der Technischen Hochschule Maschinenbau und arbeitete in der vterlichen Fabrik als Konstrukteur, nachdem er in Ohio/USA Auslandserfahrungen gesammelt hatte. Vom Jahre 1899 ab lehrte er an den Maschinenbau-Schulen in Kln, Aachen und Essen. Im Jahre 1911 ging er an die Berliner Beuth-Schule, wo er nach fnf Jahren den Titel Professor erhielt. 1934 trat er wegen politischer Differenzen mit den Behrden aus dem ffentlichen Dienst aus und widmete sich in den folgenden Jahren vorwiegend der Beratung des Springer-Verlages auf dem Gebiet des Maschinenbaus. Er starb am 24. 5. 1947 in Berlin. Dubbel hat sich in hohem Maße auf literarischem Gebiet bettigt. Seine Aufstze und Bcher, insbesondere ber Dampfmaschinen und ihre Steuerungen, Dampfturbinen, l- und Gasmaschinen und Fabrikbetrieb genossen großes Ansehen. Durch das „Taschenbuch fr den Maschinenbau“ wird sein Name noch bei mancher Ingenieurgeneration in wohlverdienter Erinnerung bleiben.
A
Mathematik
P. Ruge, Dresden
Allgemeine Literatur Umfassende Darstellungen Aumann, G.: Hhere Mathematik I–III. Mannheim: Bibliogr. Inst. 1970–1971. – Baule, B.: Die Mathematik des Naturforschers und Ingenieurs, 2 Bde. Frankfurt: Deutsch 1979. – Bhme, G.: Anwendungsorientierte Mathematik, 4 Bde. Berlin: Springer 1989, 1990, 1991, 1992. – Brauch; Dreyer; Haacke: Mathematik fr Ingenieure, 10. Aufl. Stuttgart: Teubner 2003. – Brenner, J.; Lesky, P.: Mathematik fr Ingenieure und Naturwissenschaftler, Bd. I–III: 4. Aufl. 1989; Bd. IV: 3. Aufl. 1989. Wiesbaden: Aula. – Burg, K.; Haf, H.; Wille, F.: Hhere Mathematik fr Ingenieure, 5 Bde. Stuttgart: Teubner 1992–1997. – Dirschmidt, H. J.: Mathematische Grundlagen der Elektrotechnik. Braunschweig: Vieweg 1990. – Fetzer, A.; Frnkel, H.: Mathematik. Lehrbuch fr Fachhochschulen, Bd. 1: 4. Aufl. 1995; Bd. 2: 4. Aufl. 1995; Bd. 3: 2. Aufl. 1985. Dsseldorf: VDI. – Gnter, N. M.; Kusmin, R. O.: Aufgabensammlungen zur Hheren Mathematik I, II. Berlin: Dt. Verlag der Wissenschaften 1980. – Laugwitz, D.: Ingenieurmathematik, 2 Bde. Mannheim: Bibliogr. Inst. 1983, 1984. – Mangoldt, H. v.; Knopp, K.: Hhere Mathematik. Rev. von Lsch, F. 4 Bde. Stuttgart: Hirzel 1990. – Meyberg, K.; Vachenauer, P.: Hhere Mathematik, Bd. 1: 6. Aufl. 2003; Bd. 2: 4. Aufl. 2003. Berlin: Springer. – Papula, L.: Mathematik fr Ingenieure und Naturwissenschaftler, Bd. 1: 10. Aufl. 2001; Bd. 2: 10. Aufl. 2001; Bd. 3: 2. Aufl. 1997. Braunschweig: Vieweg. – Sauer, R.; Szabo, I.: Mathematische Hilfsmittel des Ingenieurs, Teile I–IV. Berlin: Springer 1967–1970. – Smirnow, W. I.: Lehrgang der hheren Mathematik, 5 Teile. Berlin: Dt. Verlag der Wissenschaften 1990–1995. – Strubecker, K.: Einfhrung in die Hhere Mathematik I–IV. Mnchen: Oldenbourg 1966–1984. – Trinkaus, H. L.: Probleme? Hhere Mathematik (Aufgabensammlung). Berlin: Springer 1993. – Wrle, H.; Rumpf, H. J.: Ingenieurmathematik in Beispielen, Bd. I: 5. Aufl. 1994; Bde. II, 4. Aufl. 1992. III: 4. Aufl. 1994. Mnchen: Oldenbourg. Handbcher, Formelsammlungen Abramowitz, M.; Stegun, I. A.: Handbook of mathematical functions. New York: Dover 1971. – Bartsch, H.-J.: Taschenbuch mathematischer Formeln, 20. Aufl. Leipzig: Fachbuchverlag 2004. – Bosch, K.: Mathematik-Taschenbuch, 5. Aufl. Mnchen: Oldenbourg 1998. – Bronstein, I. N.; Semendjajew, K. A.: Taschenbuch der Mathematik, Harri Deutsch. Leipzig: Teubner 1996. – Erdelyi, A.; Magnus, W.; Oberhettinger, F.; Tricomi, F.: Higher transcendental functions, 3 Bde. New York: McGraw-Hill 1982–1985. – Gradstein, I. S..; Ryshik, I. W.: Summen-, Produkt- und Integraltafeln, 5. Aufl. Frankfurt: Deutsch 1981. – Grbner, W.; Hofreiter, N. (Hrsg.): Integraltafeln, 2 Teile. Wien: Springer 1973, 1975. – Jahnke, E.; Emde, F.; Lsch, F.: Tafeln hherer Funktionen, 7. Aufl. Stuttgart: Teubner 1966. – Joos, G.; Richter, E.: Hhere Mathematik, 13. Aufl. Frankfurt: Deutsch 1994. – Meyer zur Capellen, W.: Integraltafeln. 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Mathematik
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I2
Ergnzungen zur Mathematik fr Ingenieure
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fr Ingenieure und Physiker, Bd. 2: Numerische Methoden der Analysis, 2. Aufl. Berlin: Springer 1990. – Varga, R. S.: Matrix iterative analysis, 3. Ed. Berlin: Springer 1999. – Wilkinson, J. H.: The algebraic eigenvalue problem. Oxford: Clarendon Press 1988. – Young, D. M.: Iterative solution of large linear systems. New York: Academic Press 1989. – Young, D. M.; Gregory, R. T.: A survey of numerical mathematics, Vols. I+II. Reading: Addison-Wesley 1973. – Zienkiewicz, O. C.: Methode der finiten Elemente, 2. Aufl. Leipzig: Fachbuchverlag 1987. – Zurmhl, R.; Falk, S.: Matrizen und ihre Anwendungen, Teil 1: Grundlagen, 7. Aufl. Berlin: Springer 1997. – Zurmhl, R.; Falk, S.: Matrizen und ihre Anwendungen, Teil 2: Numerische Methoden, 5. Aufl. Berlin: Springer 1986.
1 Mathematik fr Ingenieure Die hauptschlichen Grundlagen der Ingenieurwissenschaften und damit auch die Mathematik im Maschinenbau liegen in dem Kompendium „HTTE – Die Grundlagen der Ingenieurwissenschaften“ aus gleichem Hause in einer relativ ausfhrlichen Zusammenfassung vor. Eine wichtige Untersttzung stellt die WEB-SITE www.dubbel.de des Springer-Verlags dar. Deshalb sollen hier Hinweise zur Literatur und einige Anmerkungen zu neueren Entwicklungen und wesentlichen Aspekten ausreichen. Mathematik fr Ingenieure, hufig auch Ingenieurmathematik genannt, ist keine Mathematik mit abgeminderten Qualittsansprchen, sondern eine Mathematik, von der man konkrete Lsungen fr konkrete Probleme erwartet. Konkrete Lsungen sind hufig nur nherungsweise darstellbar; das ist kein grundstzlicher Mangel, falls gesicherte Abschtzungen ber den Fehler mglich sind. Die rasante Entwicklung der Leistungsfhigkeit moderner Computer erffnet die Analyse immer komplexerer Problemfelder auch und gerade in den Ingenieurwissenschaften. Im interdisziplinren Spannungsfeld von Mathematik, Informatik, Ingenieur- und Naturwissenschaften entstanden neue Fachgebiete wie das Scientific Computing. Im Kern dieser Bemhungen stehen zum einen die Entwicklung leistungsfhiger numerischer Algorithmen, zum anderen aber auch Aussagen ber Genauigkeit, Konvergenz und numerische Stabilitt. Dies sind zutiefst mathematische Begriffe, die bis in die Funktionalanalysis fhren. Aus diesen wenigen Aussagen wird die stetige Fortentwicklung auch der Ingenieurmathematik deutlich. So wie die Theorie und Anwendung der Integraltransformationen, der Tensoren und Matrizen in die Ingenieurwelt Eingang gefun-
2 Ergnzungen zur Mathematik fr Ingenieure Klarere Definitionen alter mathematischer Begriffe, neue Ingenieuranwendungen auf der Basis der klassischen Analysis und die Einfhrung verallgemeinerter Zahlendarstellungen ergnzen immer wieder die mathematischen Hilfsmittel des Ingenieurs. Beispiele gibt es hierfr in der Beschreibung von Stoffgesetzen mit Gedchtnis ber fraktionale Ableitungen, in der Zuschrfung des Dirac-Delta Formalismus ber integral formulierte Distributionen oder in der bereichsweisen Einfhrung von Wichtungs- oder Projektionsfunktionen in der Theorie der Wavelet-Integraltransformationen. Damit wird in der Signalanalyse eine Entwicklung nachgeholt, die in der Strukturanalyse schon seit langem durch den bergang von globalen Ritz-Anstzen zu lokalen FEM-Diskretisierungen gekennzeichnet ist.
den haben, wird auch die Funktionalanalysis allmhlich an Bedeutung gewinnen. Zugenommen hat auch die Verfgbarkeit von Mathematik in Form von Softwarepaketen wie zum Beispiel Mathematica, Maple, Mathcad oder Matlab – um nur einige zu nennen. ber das klassische mathematische Rstzeug des Ingenieurs herrscht weitgehende bereinstimmung, wie ein Blick in die allgemeine Lehrbuchliteratur ausweist. Neben typischen Klassikern von Autoren wie Baule, Mangoldt/Knoop sowie Smirnow erfreuen sich in letzter Zeit insbesondere die Werke von Meyberg/Vachenauer sowie von Burg/Haf/Wille einer besonderen Nachfrage. Auch unter den Handbchern und Formelsammlungen gibt es neben Bewhrtem solche Klassiker wie „den Bronstein“ von Bronstein/Semendjajew und „die Htte“ mit ihrem Mathematikteil. Eine viel beachtete relativ neue Formelsammlung von Rde/Westergren enthlt tabellarische bersichten auch zu mehr abstrakten Objekten der Mathematik. Klassisches Nachschlagewerk fr spezielle Funktionen ist das Handbuch von Abramowitz/Stegun. Wesentliche Bedeutung fr die Anwendungen im Maschinenbau haben neben den elementaren Grundlagen die Matrizen und Tensoren, die Geometrie einschließlich der Projektion auf Ebenen, die Integraltransformationen, die Variationsrechnung einschließlich verallgemeinerter Optimierungsstrategien und schließlich alle numerischen Verfahren. Dazu gehren sowohl die Diskretisierung kontinuierlicher Probleme in Ort und Zeit in Verbindung mit effektiven Integrationsverfahren als auch die anschließende Lsung der algebraischen Gleichungen. Daneben gibt es das eigenstndige Fachgebiet der Statistik mit der weiterfhrenden Wahrscheinlichkeitslehre. Zu allen Themenkreisen sind im Vorspann spezielle Literaturstellen aufgelistet.
Selbst in der Algebra gibt es neue fr den Ingenieur interessante Entwicklungen; so die Einfhrung der Intervallrechnung und die Weiterentwicklung zur Fuzzy-Algebra. In der Intervallarithmetik wird eine Zahl z nicht mehr nur durch einen einzigen diskreten Wert dargestellt, sondern durch ein Intervall mit einer unteren Schranke z und einer oberen Schranke z. z ¼ ½z, z; z z z:
ð1Þ
Auf dieser Menge werden Verknpfungen definiert; so zum Beispiel die Subtraktion u u : u; u ¼ ½u; u; u u ¼ ½u u; u u: u ¼ ½u;
ð2Þ
Die Bewertung der Zahlen z im Intervall ½z; z hinsichtlich ihrer Zugehrigkeit zum Intervall durch eine sogenannte Zugehrigkeitsfunktion m (memoryfunction) mit Werten zwischen 0 (mit Sicherheit keine Zugehrigkeit) und 1 (mit Sicherheit volle Zugehrigkeit) beschreibt den bergang von bewertungsneutralen Zahlenintervallen zu Fuzzy-Zahlen.
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A4
Mathematik – 3 Numerische Methoden
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Bild 1 a–c. Differenz u u von Fuzzy-Zahlen
Eine Aussage wie: die Verschiebung u liegt berwiegend zwischen 7,4 cm und 7,6 cm und fllt gelegentlich bis auf 7,0 cm ab oder steigt bis auf maximal 8,0 cm, lßt sich durch die Zugehrigkeitsfunktion in Bild 1 b darstellen. Eine weitere Aussage wie: die Verschiebung u betrgt unge-
fhr 3,0 cm und liegt garantiert nicht unter 2,5 cm oder ber 3,5 cm, ist in Bild 1 a veranschaulicht. Die Differenz u u folgt aus einfacher Anwendung der Regel in Gl. (2) angewandt auf jedes m-Niveau, wie in Bild 1 c fr m ¼ 0; 5 eingetragen.
3 Numerische Methoden
http://math.nist.gov. Selbst eine so vermeintlich elementare Aufgabe wie die Lsung eines Gleichungssystems mit reeller symmetrischer Koeffizientenmatrix A bedarf klrender Hinweise. Das Verfahren der Wahl ist die vorweggezogene Cholesky-Zerlegung von A mit A ¼ CCT . Dabei ist C oberhalb der Hauptdiagonalen mit den Elementen Cjj von vorneherein nur mit Nullen belegt. DiesepElemente ffiffiffi Cjj ergeben sich typischerweise als Wurzeln C jj ¼ R, wobei der Radikand R negativ sein kann und damit Cjj imaginr – eine Eigenschaft, die dem reellen Problem nicht angemessen ist. Folgerichtig reagieren manche Softwarepakete mit einer Fehlermeldung und brechen ab. Konzipiert man hingegen die ! Zerlegung mit vorgegebenen Elementen Cjj ¼ 1 und einer zwischengeschalteten Diagonalmatrix D,
3.1 Numerisch-analytische Lsung Von allen Teildisziplinen der Mathematik hatte in den letzten 30 Jahren die numerische Mathematik mit ihrer Realisierung auf programmierbaren Rechnern den mit Abstand grßten Einfluß auf die Ingenieurwissenschaften. Universelle Lsungsstrategien wie die Finite-Element-Methode und hocheffektive Algorithmen erlauben die Behandlung von Problemen mit einigen Zehntausend Freiheitsgraden. Analytische Verfahren treten dabei fast ganz in den Hintergrund und doch haben sie eine wesentliche Funktion bei der Kontrolle von Nherungsergebnissen. So knnen die Biegeeigenfrequenzen f ½Hz eines beidseitig frei drehbar unverschieblich gelagerten Bernoullibalkens nach Bild 1 als analytische Funktion der Ordnungszahl k angegeben werden. sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi k2 p EI ; k ¼ 1, . . . , 1: ð1Þ f¼ 2 l3 rAl EI Biegesteifigkeit, l Balkenlnge, r Spezifische Masse pro Volumen, A Querschnittsflche.
3.2 Standardaufgaben der linearen Algebra Zwei Standardaufgaben beherrschen die lineare Algebra und damit die Diskretisierung von Ingenieurproblemen: Das Gleichungssystem und das nichtlineare Eigenwertproblem: Ax ¼ r; A, r gegeben; x gesucht: Ax ¼ lBx; A, B gegeben; l, x gesucht: Um das reichlich vorhandene Softwareangebot hinsichtlich seiner Leistungsfhigkeit und insbesondere Zuverlssigkeit zu beurteilen, eignen sich Testaufgaben, deren Lsungen mit Hilfe nicht numerischer Methoden vollkommen unabhngig dargestellt werden knnen. Quellen hierfr sind die Grundlagen-HTTE im Mathematikteil und das Internet; so zum Beispiel die Website des National Institute of Standards:
Bild 1. Bernoullibalken
!
A ¼ CDCT , Cjj ¼ 1, D ¼ diagfd 1 ; . . . ; d n g,
ð2Þ
ist das Wurzelproblem beseitigt, wie folgendes Beispiel zeigt 2 3 2 3 2 3 1 2 3 1 0 0 1 0 0 4 4 5 4 5 A ¼ 2 3 5 , C ¼ 2 1 0 , D ¼ 0 1 0 5: 0 0 2 3 5 10 3 1 1 Die Lsung eines Gleichungssystems Ax ¼ r ber die Invertierung der Matrix A mit x ¼ A1 r ist absolut ungeeignet wegen des unntig hohen Rechenaufwands und der Zerstrung der gerade bei Ingenieurproblemen hufig vorhandenen Bandstruktur von A. Gleichungssysteme Ax ¼ r mit regulrer, aber unsymmetrischer Koeffizientenmatrix A 6¼ AT werden im Rahmen des Gaußschen Algorithmus durch die Produktzerlegung A ¼ LR in eine Linksdreiecksmatrix L und eine Rechtsdreiecksmatrix R gelst. Formal kann ein Gleichungssystem mit unsymmetrischem A durch Multiplikation von links mit AT in ein System mit symmetrischer Matrix AT A berfhrt werden. Ax ¼ r mit A 6¼ AT : ! ðAT AÞ x ¼ AT r:
ð3Þ
Damit erschließen sich zwar alle Methoden fr symmetrische Matrizen – neben der Cholesky-Zerlegung gibt es das Vorgehen ber die Minimierung zugeordneter quadratischer Formen –, doch ist bereits der Aufwand zur Ausfhrung des Produktes AT A unsinnig hoch und zudem sind die Lsungseigenschaften der quasi „quadrierten“ Matrix ausgesprochen schlecht. Rein anschaulich wird dies offenbar bei der Berechnung des Schnittpunktes zweier Geraden x þ 20 y ¼ 20 und x þ 10 y ¼ 9 wie in Bild 2 skizziert. Das zugeordnete Gleichungssystem ist unsymmetrisch.
I3.3 Ax ¼ r:
1 20 1 10
Interpolation, Integration
A5
x 20 x 2,0 ¼ ! ¼ : y 9 y 1,1
A
Das entsprechende System mit symmetrischer Matrix liefert dieselbe Lsung, AT Ax ¼ AT r: 2 30 x 29 x 2,0 ¼ ! ¼ , 30 500 y 490 y 1,1 doch stellt sich der Lsungspunkt als Schnittpunkt der beiden inneren Geraden jetzt als „schleifender Schnitt“ heraus, was auch der numerischen Lsungsdarstellung abtrglich ist. Die Berechnung der Eigenwerte l und Eigenvektoren x des algebraischen Eigenwertproblems Ax ¼ lBx
ð4Þ
ist ungleich aufwendiger als die Lsung eines Gleichungssystems, so daß hier nur auf die Literatur verwiesen werden kann. Notwendige Bedingung fr nichttriviale Lsungen x der Aufgabe (4) ist das Verschwinden der Koeffizientendeterminante ! 0: detðA lBÞ ¼
ð5Þ
Gngige numerische Verfahren basieren entweder auf Vektoriterationsverfahren oder sukzessiven Umformungen von A und B zu Matrizen LAR, LBR einfacherer Struktur. Ax ¼ lBx: x ¼ Ry ! LAR y ¼ l LBR y:
ð6Þ
Die Eigenwerte l bleiben dabei unverndert. Der hufige Sonderfall symmetrischer Matrizen A ¼ AT , B ¼ BT fhrt nicht zwangslufig zu reellen Eigenwerten und vektoren, wie das folgende Beispiel zeigt. 2 1 6 4 A¼ , B¼ : 1 0 4 1 1 3i Ax ¼ lBx: ! l ¼ , x¼ : 10 1 i Bedingung fr reelle Eigenwerte bei symmetrischen Matrizen ist die Definitheit wenigstens einer der beteiligten Matrizen A oder B. Definitheit liegt dann vor, wenn die Elemente Djj der Matrix D der Cholesky-Zerlegung A ¼ CDCT alle gleiches Vorzeichen haben. Das ist in obigem Beispiel weder fr A noch fr B der Fall. 1 0 2 0 1 1=2 A¼ : 1=2 1 0 1=2 0 1 1 0 6 0 1 2=3 B¼ : 2=3 1 0 5=3 0 1 Viele Eigenwertlser fordern bei symmetrischem Paar A; B unabhngig von A eine positiv definite Matrix B. Leistet B dieses nicht, wohl aber die Matrix A, hilft ein Austausch der Matrizen mit einem Hilfseigenwert m: 1 Ax ¼ lBx ! Bx ¼ mAx; m ¼ : l
ð7Þ
Bei singulrer Matrix B ist diese Maßnahme ebenso hilfreich. Ist auch nur eine der beteiligten Matrizen unsymmetrisch, sind grundstzlich nur solche Eigenwertlser geeignet, die im Komplexen arbeiten. Neben dem in l linearen algebraischen Eigenwertproblem Ax ¼ lBx gibt es das in l nichtlineare Eigenwertproblem 2
p
PðlÞ x ¼ 0, PðlÞ ¼ A0 þ lA1 þ l A2 þ . . . þ l Ap
ð8Þ
Bild 2. Schleifender Schnitt der inneren Geraden
mit einer Polynommatrix P. Durch die Einfhrung zustzlicher Unbekannter x1 ¼ l x0 mit x0 ¼ x, x2 ¼ l x1 , .. . xp1 ¼ l xp2
ð9Þ
gelingt eine formale Darstellung als lineares Eigenwertproblem und damit die Nutzung von Standardsoftware, z. B. fr p ¼ 4: 32 3 32 3 2 2 x 1 0 0 0 x 0 1 0 0 6 0 0 1 0 76 x1 7 6 0 1 0 0 76 x1 7 76 7 ¼ l6 76 7:ð10Þ 6 4 0 0 0 1 54 x2 5 4 0 0 1 0 54 x2 5 0 0 0 A4 x3 x3 A0 A1 A2 A3 Ist P in Gl. (8) nicht wie dort algebraisch, sondern eine Matrix mit transzendenten Elementen wie Pij ¼ sin2 l, sind verallgemeinerte Taylor-Entwicklungen heranzuziehen, wie z. B. in Falk/Zurmhl beschrieben. Mehrgitterverfahren Im Rahmen der iterativen Lsung von Gleichungssystemen und Eigenwertproblemen ber zugeordnete quadratische Formen hat das Mehrgitterverfahren (Multigrid Method) eine gewisse Bedeutung erlangt. Dabei werden Diskretisierungen mit verschiedenen finiten Elementnetzen so miteinander verquickt, daß der Fehler auf dem groben Gitter berechnet wird, die entsprechende Verbesserung der aktuellen Nherung hingegen auf dem feinen Gitter stattfindet.
3.3 Interpolation, Integration Bei der Interpolation wird eine Menge von k ¼ 1 bis n diskreten Werten f k ðxk Þ an Sttzstellen xk auf einen kontinuierlichen Bereich abgebildet. Dadurch ist man in der Lage zu differenzieren, zu integrieren und beliebige Zwischenwerte f ð xÞ in der Zeit oder im Raum zu berechnen. Zur Interpolation nichtperiodischer Punktmengen eignen sich insbesondere Polynome. Daneben sind gebrochen rationale Funktionen fpq ðxÞ ¼
a0 þ a1 x þ . . . þ ap xp b0 þ b1 x þ . . . þ bq xq
ð11Þ
besonders geeignet, Polstellen und asymptotisches Verhalten wiederzugeben. 8 falls p < q q So gibt es fr die Exponentialfunktion f ðxÞ ¼ expðxÞ verschiedene sogenannte Pade´-Entwicklungen Pp q ðxÞ mit globalen Eigenschaften nach Gl. (12), die in Tab. 1 angegeben sind. Fr
A6
A
Mathematik – 3 Numerische Methoden
Tabelle 1. Pade´-Entwicklungen Pp q ðxÞ fr expðxÞ
Simpson: I 26 ½1 0 þ 4 0 þ 1 0 ¼ 0: Gauß (n=2): pffiffiffiffiffiffi 8 5 I 2 ½ 18 0,6ð0,6 1Þ 0,6 þ 2 þ 18 0 pffiffiffiffiffiffi 5 8 0,6ð0,6 1Þ þ 0,6 þ 2 ¼ 15 : þ 18
Tabelle 2. Sttzstellen x1 bis xn der Gauß-Integration Zh n X f ðxÞ dx 2 h wk f ðxk Þ I¼
3.4 Rand- und Anfangswertprobleme
k¼1
h
Anfangswertprobleme in der Regel im Zeitbereich, z_ ðtÞ ¼ f ðz, tÞ, z0 ¼ zðt0 Þ,
periodische Punktmengen ist die globale Fourierinterpolation das klassische numerische Werkzeug. Die Interpolation dient nicht nur zur Verstetigung diskreter Punktmengen, sondern auch zur Abbildung komplizierter Integranden f ðxÞ auf einfach zu integrierende Ersatzfunktionen; vorzugsweise Polynome. Man spricht auch von „interpolatorischer Quadratur“. Alle numerischen Integrationsverfahren basieren auf einer linearen Entwicklung des Integranden in den Funktionswerten f k ¼ f ðxk Þ an gewissen Sttzstellen xk . Gibt man diese Sttzstellen vor, z. B. an den Stellen x1 ¼ h; x2 ¼ 0; x3 ¼ þh eines Integrationsintervalls ½h, h, I¼
Zh
f ðxÞ dx,
ð13Þ
h
I¼
2h ð f1 þ 4 f2 þ f3 Þ 6
ð14Þ
begrndet; das ist die Simpson-Regel. Allgemein formuliert, gehen die Funktionswerte fk mit gewissen Wichtungsfaktoren wk in den Wert des Integrals ein: I¼
n X
ð15Þ
2 h wk fk :
k¼1
Der entscheidende Aufwand steckt in der Berechnung der n Funktionswerte f k ; bei n vorgegebenen Sttzstellen xk wird der Integrand durch ein Polynom ðn 1Þ. Grades interpoliert. Lsst man hingegen die n Sttzstellen zunchst frei, so lassen sie sich aus der Forderung bestimmen, daß ein Polynom ð2n 1Þ. Grades exakt integriert wird. Dieses Vorgehen geht auf Gauß zurck und kann als optimal bezeichnet werden. Sttzstellen sind in Tab. 2 aufgelistet. Ein einfaches Beispiel verdeutlicht die Qualitt der Gauß-Integration gegenber der Simpson-Formel mit jeweils n ¼ 2 Sttzstellen und h ¼ 1. Exakt: I¼
Z1 1
zeichnen sich durch vorgegebene Anfangswerte z0 im Anfangszeitpunkt t0 aus. Eine numerische Lsung im Zeitintervall tk t tk þ h mit Approximationen Zk fr zk gelingt durch numerische Integration der rechten Seite f in Gl. (16). Z m X zkþ1 zk ¼ f ðz, tÞ dt: ! Zkþ1 ¼ Zk þ h wj fj ; j¼1 ð17Þ tk þh fj ¼ f ðtk þ tj h, Zj Þ, Zj ¼ Zðtk þ tj hÞ; 0 tj 1: Die Sttzstellen tj und die Wichtungsfaktoren wj werden fr eine konkrete Entwicklungsstufe m so berechnet, dass der lokale Fehler im Zeitschritt h mglichst klein wird. Entwicklungen nach Gl. (17) nennt man pauschal Runge-Kutta-Verfahren. Im Zusammenhang mit linearisierten Anfangswertproblemen z_ ðtÞ ¼ SzðtÞ, z0 ¼ zðt0 Þ
x2 ðx2 1Þ ðx þ 2Þ dx ¼
8 : 15
ð18Þ
vorgegeben, definieren die Eigenwerte l des zugeordneten Eigenwertproblems ðS l1Þ x ¼ 0 die Steifheit S. S¼
mit den Funktionswerten f1 ; f2 ; f3 , so wird dadurch eine quadratische Interpolation mit dem Integralwert
ð16Þ
jljmax : jljmin
ð19Þ
Fr große Werte von S spricht man von steifen Differentialgleichungen; hierfr eignen sich nur implizite Runge-KuttaVerfahren. Bewhrt haben sich fr lineare Probleme wie in Gl. (18) Pade´-Darstellungen Ppq der Exponentiallsung nach Gl. (11) mit Tab. 1. z_ ¼ S z ! zðtÞ ¼ expðS tÞ z0 z1 ¼ zðt ¼ hÞ ¼ expðS hÞ z0 :
ð20Þ
Bei gleichen Potenzen p ¼ q, z. B. p ¼ q ¼ 1, ist die Stabilitt der bertragungsgleichung h h 1 S z1 ¼ 1 þ S z0 ð21Þ 2 2 a priori gesichert. Randwertprobleme in der Regel im Ortsbereich werden durch Vorgaben an allen Rndern des Problemfeldes charakterisiert. Fr Nherungslsungen eignen sich insbesondere lokale Anstze mit normierten Ansatzfunktionen; dies sind die FiniteElement-Methoden, kurz FEM. Im Rahmen des Konzepts gewichteter Residuen kann es durch die Wahl geeigneter Wichtungs- oder Projektionsfunktionen gelingen, die Integraldarstellung des Problems ausschließlich auf den Problemrand zu reduzieren: Dieses Vorgehen begrndet die Randelementmethode oder kurz BEM: Boundary Element Method.
B
Mechanik
B J. Lackmann, Berlin Allgemeine Literatur zu B 1 bis B 7 Bcher: Balke, H.: Einfhrung in die Technische Mechanik. Berlin: Springer 2005. – Brandt, S.: Mechanik. Berlin: Springer 2005. – Gross; Hauge; Schnell; Schrder: Technische Mechanik, Bde. 1 u. 2, 8. Aufl. Berlin: Springer 2005. – Gross; Hauger; Schnell; Schrder: Technische Mechanik, Bd. 3, 8. Aufl. Berlin Springer 2004. – Gross; Hauger; Schnell; Wriggers: Technische Mechanik, Bd. 4, 5. Aufl. Berlin: Springer 2004. – Gummert, P.; Reckling, K.-A.: Mechanik, 3. Aufl. Braunschweig: Vieweg 1994. – Hutter, K.: Fluid- und Thermodynamik. Berlin: Springer 1994. – Szabo, I.: Einfhrung in die Technische Mechanik, 8. Aufl. Berlin: Springer 1975, Nachdruck 2003. – Szabo, I.: Hhere Technische Mechanik, 6. Aufl. Berlin: Springer 2001. – Truckenbrodt, E.: Fluidmechanik, 4. Aufl. Berlin: Springer 1999. Normen und Richtlinien: DIN 1305 Masse, Gewicht, Gewichtskraft, Fallbeschleunigung, Begriffe. – DIN 1311 Schwingungslehre. – DIN 1342 Viskositt Newtonscher Flssigkeiten. – DIN 5492 Formelzeichen der Strmungsmechanik. – DIN 5497 Mechanik; starre Krper; Formelzeichen.
wobei
1 Statik starrer Krper
F ¼ jFj ¼
1.1 Allgemeines Statik ist die Lehre vom Gleichgewicht am starren Krper oder an Systemen von starren Krpern. Gleichgewicht herrscht, wenn sich ein Gebilde in Ruhe oder in gleichfrmiger geradliniger Bewegung befindet. Starre Krper im Sinne der Statik sind Gebilde, deren Deformationen so klein sind, dass die Kraftangriffspunkte vernachlssigbar kleine Verschiebungen erfahren. Krfte sind linienflchtige, auf ihrer Wirkungslinie verschiebbare Vektoren (s. www.dubbel.de), die Bewegungsoder Formnderungen von Krpern bewirken. Ihre Bestimmungsstcke sind Grße, Richtung und Lage (Bild 1 a). F ¼ Fx þ Fy þ Fz ¼ Fx ex þ Fy ey þ Fz ez ¼ ðF cos aÞex þ ðF cos bÞey þ ðF cos gÞez ;
ð1Þ
qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi Fx2 þ Fy2 þ Fz2 :
ð2Þ
Fr die Richtungskosinusse der Kraft gilt cos a ¼ Fx =F, cos b ¼ Fy =F, cos g ¼ Fz =F sowie cos2 a þ cos2 b þ cos2 g ¼ 1. Es gibt eingeprgte Krfte und Reaktionskrfte sowie ußere und innere Krfte. ußere Krfte sind alle von außen auf einen freigemachten Krper (s. B 1.5) einwirkende Krfte (Belastungen und Auflagerkrfte). Innere Krfte sind alle im Inneren eines Systems auftretende Schnitt- und Verbindungskrfte. Momente oder Krftepaare bestehen aus zwei gleich großen, entgegengesetzt gerichteten Krften mit parallelen Wirkungslinien (Bild 1 b) oder einem Vektor, der auf ihrer Wirkungsebene senkrecht steht. Dabei bilden r, F, M eine Rechtsschraube (Rechtssystem). Krftepaare sind in ihrer Wirkungsebene und senkrecht zu dieser beliebig verschiebbar, d. h. der Momentenvektor ist ein freier Vektor, festgelegt durch das Vektorprodukt M ¼ r F ¼ M x þ M y þ M z ¼ Mx e x þ My e y þ Mz e z ¼ ðM cos aÞe þ ðM cos bÞe þ ðM cos gÞe : x
M ¼ jMj ¼ jrj jFj sin j ¼ Fh ¼
y
ð3Þ
z
qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi Mx2 þ My2 þ Mz2 :
ð4Þ
M heißt Grße oder Betrag des Moments und bedeutet anschaulich den Flcheninhalt des von r und F gebildeten Parallelogramms. Dabei ist h der senkrecht zu F stehende Hebelarm. Fr die Richtungskosinusse gilt (Bild 1 c) cos a ¼ Mx =M, cos b ¼ My =M, cos g ¼ Mz =M:
Bild 1 a–c. Vektordarstellung. a Kraft; b Krftepaar; c Moment
Moment einer Kraft bezglich eines Punktes (Versetzungsmoment). Die Wirkung einer Einzelkraft mit beliebigem Angriffspunkt bezglich eines Punkts O wird mit dem Hinzufgen eines Nullvektors, d. h. zweier gleich großer, entgegengesetzt gerichteter Krfte F und F im Punkt O (Bild 2 a) deutlich. Es ergibt sich eine Einzelkraft F im Punkt O und ein Krftepaar bzw. Moment M (Versetzungsmoment), dessen Vektor auf der von r und F gebildeten Ebene senkrecht steht. Sind r und F in Komponenten x, y, z bzw. Fx , Fy , Fz gegeben (Bild 2 b), so gilt
B2
Mechanik – 1 Statik starrer Krper
B
Bild 4 a, b. Zusammensetzen mehrerer Krfte in der Ebene. a Lageplan; b Krftepolygon Bild 2 a – c. Kraft und Moment. a und b Kraftversetzung; c Moment in der Ebene
Die rechnerische Lsung lautet FR ¼
n X i¼1
ex M ¼ rF¼ x Fx
ey y Fy
ez z Fz
Fi ¼
n X
Fix ex þ
i¼1
n X
Fiy ey
ð6Þ
i¼1
¼ FRx ex þ FRy ey
ð5Þ
mit Fix ¼ Fi cos ai ; Fiy ¼ Fi sin ai . Grße und Richtung der Resultierenden: qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2 2 þ FRy ð7Þ ; tan aR ¼ FRy =FRx : FR ¼ FRx
Fr die Komponenten, den Betrag des Momentenvektors und die Richtungskosinusse gilt
Zerlegen einer Kraft ist in der Ebene eindeutig nur nach zwei Richtungen mglich, nach drei und mehr Richtungen ist die Lsung vieldeutig (statisch unbestimmt). Graphische Lsung s. Bild 5 a, b.
¼ ðFz y Fy zÞex þ ðFx z Fz xÞey þ ðFy x Fx yÞez ¼ Mx ex þ My ey þ Mz ez :
Mx M
¼ Fz y Fy z; My ¼ Fx z Fz x;qM z ¼ Fy x Fx y; ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ffi ¼ jMj ¼ jrj jFj sin j ¼ Fh ¼
Mx2 þ My2 þ Mz2 ;
cos a ¼ Mx =M; cos b ¼ My =M; cos g ¼ Mz =M: Liegt der Kraftvektor in der x, y-Ebene, d. h., sind z und Fz gleich null, so folgt (Bild 2 c) M ¼ M z ¼ ðFy x Fx yÞez ; M ¼ jMj ¼ Mz ¼ Fy x Fx y ¼ Fr sin j ¼ Fh:
1.2 Zusammensetzen und Zerlegen von Krften mit gemeinsamem Angriffspunkt 1.2.1 Ebene Krftegruppe Zusammensetzen von Krften zu einer Resultierenden. Krfte werden geometrisch (vektoriell) addiert, und zwar zwei Krfte mit dem Krfteparallelogramm oder Krftedreieck (Bild 3), mehrere Krfte mit dem Krftepolygon oder Krafteck (Bild 4, Krftemaßstab 1 cm =k N). Bild 5 a – c. Zerlegen einer Kraft in der Ebene. a In zwei Richtungen (eindeutig); b in drei Richtungen (vieldeutig); c rechnerisch
Rechnerische Lsung (Bild 5 c): F ¼ F1 þ F2 bzw. in Komponenten F cos a ¼ F1 cos a1 þ F2 cos a2 ; F sin a ¼ F1 sin a1 þ F2 sin a2 ; d. h. F2 ¼ ðF sin a F1 sin a1 Þ= sin a2 und somit F cos a ¼ F1 cos a1 þ cos a2 ðF sin a F1 sin a1 Þ= sin a2 : F cos a sin a2 F sin a cos a2 ¼ F1 cos a1 sin a2 F1 sin a1 cos a2 ; Bild 3 a, b. Zusammensetzen zweier Krfte in der Ebene. a Mit Krfteparallelogramm; b mit Krftedreieck
also F1 ¼ F sinða2 aÞ= sinða2 a1 Þ F2 ¼ F sinða1 aÞ= sinða1 a2 Þ:
und
entsprechend
I1.3
Mit ei ¼ cos ai ex þ cos bi ey þ cos gi ez wird F cos a cos a2 cos a3 cos a1 cos a2 cos a3 F1 ¼ F cos b cos b2 cos b3 : cos b1 cos b2 cos b3 :ð11Þ F cos g cos g cos g cos g cos g cos g 2 3 1 2 3
1.2.2 Rumliche Krftegruppe Zusammensetzen von Krften zu einer Resultierenden. Die rechnerische Lsung lautet FR ¼
n X i¼1
Fi ¼
n X i¼1
Fix ex þ
n X i¼1
B3
Zusammensetzen und Zerlegen von Krften mit verschiedenen Angriffspunkten
Fiy ey þ
n X
Fiz ez
i¼1
ð8Þ
Entsprechend F2 und F3 .
¼ FRx ex þ FRy ey þ FRz ez ; mit Fix ¼ Fi cos ai , Fiy ¼ Fi cos bi , Fiz ¼ Fi cos gi . Grße und Richtung der Resultierenden: qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2 þ F2 þ F2 ; ¼ FRx FR Ry Rz ð9Þ cos aR ¼ FRx =FR ; cos bR ¼ FRy =FR ; cos gR ¼ FRz =FR : Zerlegen einer Kraft ist im Raum eindeutig nur nach drei Richtungen mglich; nach vier und mehr Richtungen ist die Lsung vieldeutig (statisch unbestimmt). Die rechnerische Lsung lautet F1 þ F2 þ F3 ¼ F; F1x þ F2x þF3x ¼ Fx ; F1y þ F2y þ F3y ¼ Fy ; F1z þ F2z þ F3z ¼ Fz . Gemß Bild 6 gilt fr die Richtungskosinusse der drei gegebenen Richtungen qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi cos ai ¼ xi = x2i þ y2i þ z2i ; cos bi ¼ yi = x2i þ y2i þ z2i ; qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi cos gi ¼ zi = x2i þ y2i þ z2i : Damit folgt
1.3 Zusammensetzen und Zerlegen von Krften mit verschiedenen Angriffspunkten 1.3.1 Krfte in der Ebene Zusammensetzen mehrerer Krfte zu einer Resultierenden. Rechnerisches Verfahren: Bezglich des Nullpunkts ergibt die ebene Krftegruppe eine resultierende Kraft und ein resultierendes (Versetzungs-)Moment (Bild 7 a) FR ¼
n X
Fi ; M R ¼
i¼1
FRy ¼
n X
n X
M i bzw: FRx ¼
i¼1
Fiy ; MR
i¼1
n X
Fix ;
i¼1
n n X X ¼ ðFiy xi Fix yi Þ ¼ Fi hi : i¼1
i¼1
Fr einen beliebigen Punkt ist die Wirkung der Krftegruppe gleich der ihrer Resultierenden. Wird die Resultierende parallel aus dem Nullpunkt soweit verschoben, dass MR null wird, so folgt fr ihre Lage aus MR ¼ FR hR usw. (Bild 7 b) hR ¼ MR =FR bzw: xR ¼ MR =FRy bzw: yR ¼ MR =FRx :
F1 cos a1 þ F2 cos a2 þ F3 cos a3 ¼ F cos a; F1 cos b1 þ F2 cos b2 þ F3 cos b3 ¼ F cos b; F1 cos g1 þ F2 cos g2 þ F3 cos g3 ¼ F cos g: Diese drei linearen Gleichungen fr die drei unbekannten Krfte F1 , F2 und F3 haben nur dann eine eindeutige Lsung, wenn ihre Systemdeterminante nicht null wird (s. www.dubbel.de), d. h., wenn die drei Richtungsvektoren nicht in einer Ebene liegen. Gemß Bild 6 gilt F1 e1 þ F2 e2 þ F3 e3 ¼ F und nach Multiplikation mit e2 e3 F1 e1 ðe2 e3 Þ þ F2 e2 ðe2 e3 Þ þ F3 e3 ðe2 e3 Þ ¼ Fðe2 e3 Þ:
Bild 7 a, b. Resultierende von Krften in der Ebene
Da der Vektor ðe2 e3 Þ sowohl auf e2 als auch auf e3 senkrecht steht, werden die Skalarprodukte null, und es folgt F1 e1 ðe2 e3 Þ ¼ Fðe2 e3 Þ bzw: F1 ¼ Fe2 e3 =ðe1 e2 e3 Þ; F2 ¼ e1 Fe3 =ðe1 e2 e3 Þ; F3 ¼ e1 e2 F=ðe1 e2 e3 Þ:
ð10Þ
Fe2 e3 ; e1 e2 e3 usw. sind Spatprodukte, d. h. Skalare, deren Grße der Rauminhalt des von drei Vektoren gebildeten Spats festlegt. Die Lsung ist eindeutig, wenn das Spatprodukt e1 e2 e3 6¼ 0 ist, d. h., die drei Vektoren drfen nicht in einer Ebene liegen (s. www.dubbel.de).
Zerlegen einer Kraft. Die Zerlegung einer Kraft ist in der Ebene eindeutig mglich nach drei gegebenen Richtungen, die sich nicht in einem Punkt schneiden und von denen hchstens zwei parallel sein drfen. Die rechnerische Lsung folgt aus der Bedingung, dass Kraftund Momentenwirkung der Einzelkrfte Fi und der Kraft F bezglich des Nullpunktes gleich sein mssen (Bild 8): n n X X Fi ¼ F; ðri Fi Þ ¼ r F; d: h: i¼1
i¼1
F1 cos a1 þ F2 cos a2 þ F3 cos a3 ¼ F cos a; F1 sin a1 þ F2 sin a2 þ F3 sin a3 ¼ F sin a; F1 ðx1 sin a1 y1 cos a1 Þ þ F2 ðx2 sin a2 y2 cos a2 Þ þ F3 ðx3 sin a3 y3 cos a3 Þ ¼ Fðx sin a y cos aÞ oder an Stelle der letzten Gleichung F1 h1 þ F2 h2 þ F3 h3 ¼ Fh, wobei entgegen dem Uhrzeigersinn drehende Momente positiv sind. Das sind drei Gleichungen fr die drei Unbekannten F1 , F2 , F3 . 1.3.2 Krfte im Raum
Bild 6. Rechnerische Zerlegung einer Kraft im Raum
Krftezusammenfassung (Reduktion). Eine rumliche Krftegruppe, bestehend aus den Krften Fi ¼ ðFix ; Fiy ; Fiz Þ; deren Angriffspunkte durch die Radiusvektoren ri ¼ ðxi ; yi ; zi Þ gegeben sind, kann bezglich eines beliebigen Punkts zu einer resultierenden Kraft FR und zu einem resul-
B
B4
Mechanik – 1 Statik starrer Krper
B Bild 8. Zerlegen einer Kraft in der Ebene
Bild 10. Kraftschraube (Dyname)
tierenden Moment M R zusammengefasst (reduziert) werden. Die rechnerische Lsung (Bild 9) lautet, bezogen auf den Nullpunkt
Aus diesen sechs linearen Gleichungen erhlt man eine eindeutige Lsung, wenn die Nennerdeterminante ungleich null ist (s. www.dubbel.de).
FR ¼
n X
Fi ;
i¼1
MR ¼
n n ex X X xi ðri Fi Þ ¼ i¼1 i¼1 Fix
ey yi Fiy
ez zi : Fiz
Kraftschraube oder Dyname. Eine weitere Vereinfachung des reduzierten Krftesystems ist insofern mglich, als es eine Achse mit bestimmter Lage gibt, auf der Kraftvektor und Momentvektor parallel zueinander liegen (Bild 10). Diese Achse heißt Zentralachse. Sie ergibt sich durch Zerlegen von M R in der durch M R und FR gebildeten Ebene E in die Komponenten MF ¼ MR cos j (parallel zu FR ) und MS ¼ MR sin j (senkrecht zu FR ). Hierbei folgt j aus dem Skalarprodukt M R FR ¼ MR FR cos j, d. h. cos j ¼ M R FR =ðMR FR Þ: Anschließend wird MS durch Versetzen von FR senkrecht zur Ebene E um den Betrag a ¼ MS =FR zu null gemacht. Der dazu gehrige Vektor ist a ¼ ðFR M R Þ=FR2 , da sein Betrag jaj ¼ a ¼ FR MR sin j=FR2 ¼ MS =FR ist. Die Vektorgleichung der Zentralachse, in deren Richtung FR und M F wirken, lautet dann mit t als Parameter rðtÞ ¼ a þ FR t: Kraftzerlegung im Raum. Eine Kraft lsst sich im Raum nach sechs gegebenen Richtungen eindeutig zerlegen. Sind die Richtungen durch ihre Richtungskosinusse gegeben und heißen die Krfte F1 . . . F6 , so gilt 6 X
Fi cos ai ¼ F cos a;
i¼1 6 X
6 X
Fi cos bi ¼ F cos b;
i¼1
Fi cos gi ¼ F cos g;
i¼1 6 X
Fi ðyi cos gi zi cos bi Þ ¼ Fðy cos g z cos bÞ;
i¼1 6 X
Fi ðzi cos ai xi cos gi Þ ¼ Fðz cos a x cos gÞ;
i¼1 6 X
1.4 Gleichgewicht und Gleichgewichtsbedingungen Ein Krper ist im Gleichgewicht, wenn er sich in Ruhe oder in gleichfrmiger geradliniger Bewegung befindet. Da dann alle Beschleunigungen null sind, folgt aus den Grundgesetzen der Dynamik, dass am Krper keine resultierende Kraft und kein resultierendes Moment auftreten.
1.4.1 Krftesystem im Raum Die Gleichgewichtsbedingungen lauten X X FR ¼ Fi ¼ 0 und M R ¼ Mi ¼ 0 bzw. in Komponenten X X X Fiy ¼ 0; Fiz ¼ 0; Fix ¼ 0; X X X Mix ¼ 0; Miy ¼ 0; Miz ¼ 0:
ð12Þ
ð13Þ
Jede der drei Gleichgewichtsbedingungen fr die Krfte kann durch eine weitere fr die Momente um eine beliebige andere Achse, die nicht durch den Ursprung O gehen darf, ersetzt werden. Aus den sechs Gleichgewichtsbedingungen lassen sich sechs unbekannte Grßen (Krfte oder Momente) berechnen. Sind mehr als sechs Unbekannte vorhanden, nennt man das Problem statisch unbestimmt. Seine Lsung ist nur unter Heranziehung der Verformungen mglich (s. C 2.7). Liegen Krfte mit gemeinsamem Angriffspunkt vor, so sind die Momentenbedingungen von Gl. (13) bezglich des Schnittpunkts (und damit auch fr alle anderen Punkte, da M R ein freier Vektor ist) identisch erfllt. Dann gelten nur die Krftegleichgewichtsbedingungen von Gl. (13), aus denen drei unbekannte Krfte ermittelt werden knnen.
Fi ðxi cos bi yi cos ai Þ ¼ Fðx cos b y cos aÞ:
i¼1
1.4.2 Krftesystem in der Ebene Das Gleichungssystem (13) reduziert sich auf drei Gleichgewichtsbedingungen: X X X Fix ¼ 0; Fiy ¼ 0; Miz ¼ 0: ð14Þ
Bild 9. Rumliche Krftereduktion.
Die beiden Krftegleichgewichtsbedingungen knnen durch zwei weitere Momentenbedingungen ersetzt werden. Die drei Bezugspunkte fr die drei Momentengleichungen drfen nicht auf einer Geraden liegen. Aus den drei Gleichgewichtsbedingungen der Ebene lassen sich drei unbekannte Grßen (Krfte oder Momente) ermitteln. Sind mehr Unbekannte vorhanden, so ist das ebene Problem statisch unbestimmt.
I1.4 Fr Krfte mit gemeinsamem Angriffspunkt in der Ebene ist die Momentenbedingung in Gl. (14) identisch erfllt, es bleiben nur die beiden Krftebedingungen X X Fiy ¼ 0: ð15Þ Fix ¼ 0; 1.4.3 Prinzip der virtuellen Arbeiten Das Prinzip tritt an die Stelle der Gleichgewichtsbedingungen und lautet: Erteilt man einem starren Krper eine mit seinen geometrischen Bindungen vertrgliche kleine (virtuelle) Verrckung, und ist der Krper im Gleichgewicht (Bild 11), so ist die virtuelle Gesamtarbeit aller eingeprgten ußeren Krfte und Momente – durch (e) hochgestellt gekennzeichnet – gleich null: X ðeÞ X ðeÞ dW ðeÞ ¼ Fi dri þ M i dji ¼ 0 ð16Þ
Gleichgewicht und Gleichgewichtsbedingungen
B5
Aus dW ðeÞ ¼ 0 folgt wegen der Beliebigkeit von j und y FG b FQ a ¼ 0 und FG c þ FQ l ¼ 0 und damit FQ ¼ FG b=a und l ¼ c FG =FQ ¼ ca=b: Ferner wird d2 W ðeÞ ¼ cos y dy2 ðFG b FQ aÞ þ cos j dj2 ðFG c þ FQ lÞ: Hieraus folgt mit den ermittelten Lsungswerten d2 W ðeÞ ¼ 0; d. h., es liegt indifferentes Gleichgewicht vor.
bzw. in Komponenten X ðeÞ ðeÞ ðeÞ dW ðeÞ ¼ ðFix dxi þ Fiy dyi þ Fiz dzi Þ X ðeÞ ðeÞ ðeÞ þ ðMix djix þ Miy djiy þ Miz djiz Þ ¼ 0; ri ¼ ðxi ; yi ; zi Þ Ortsvektoren zu den Kraftangriffspunkten; dri ¼ ðdxi ; dyi ; dzi Þ Variationen (mathematisch ausgedrckt Vektordifferentiale) der Ortsvektoren, die sich durch Bildung der ersten Ableitung ergeben; dji Drehwinkeldifferentiale der Verdrehungen ji .
Bild 11. Prinzip virtueller Verrckungen
In natrlichen Koordinaten nimmt das Prinzip die Form X ðeÞ X ðeÞ dW ðeÞ ¼ Fis dsi þ Mij dji ¼ 0 ð17Þ
Bild 12. Zeichenmaschine
Man unterscheidet stabiles, labiles und indifferentes Gleichgewicht (s. Bild 13). Stabiles Gleichgewicht herrscht, wenn ein Krper bei einer mit seinen geometrischen Bindungen vertrglichen Verschiebung in seine Ausgangslage zurckzukehren trachtet, labiles Gleichgewicht, wenn er sie zu verlassen sucht, und indifferentes Gleichgewicht, wenn jede benachbarte Lage eine neue Gleichgewichtslage ist. Wird entsprechend B 1.4.3 die kleine Verschiebung als virtuelle aufgefasst, so gilt nach dem Prinzip der virtuellen Arbeiten fr die Gleichgewichtslage dW ðeÞ ¼ 0. Bewegt man den Krper gemß Bild 13 a aus einer Lage 1 in eine Lage 2 ber die Gleichgewichtslage 0 hinweg, so ist im Bereich 1 bis 0 die Arbeit dW ðeÞ ¼ Fs ds > 0; d. h. positiv, im Bereich 0 bis 2 dW ðeÞ < 0; d. h. negativ. Aus der Funktion dW ðeÞ ¼ f ðsÞ geht hervor, dass die Steigung von dW ðeÞ negativ ist, d. h. d2 W ðeÞ < 0, wenn stabiles Gleichgewicht. Allgemein gilt fr das Gleichgewicht: stabil d2 W ðeÞ < 0; labil d2 W ðeÞ > 0; indifferent d2 W ðeÞ ¼ 0:
ðeÞ
an, wobei Fis die in die Richtung der Verschiebung zeigenðeÞ
den Kraftkomponenten und Mij die um die Drehachse wirksamen Komponenten der Momente sind. Das Prinzip dient unter anderem in der Statik zur Untersuchung des Gleichgewichts an verschieblichen Systemen und zur Berechnung des Einflusses von Wanderlasten auf Schnitt- und Auflagerkrfte (Einflusslinien). 1.4.4 Arten des Gleichgewichts Beispiel: Bei einer Zeichenmaschine sind Gegengewicht FQ und sein Hebelarm l so zu bestimmen, dass sich die Zeichenmaschine vom Eigengewicht FG in jeder Lage im Gleichgewicht befindet (Bild 12). – Das System hat zwei verschiedene Freiheitsgrade j und y. rG ¼ ðc sin j þ b sin y; b cos y c cos jÞ; rQ ¼ ðl sin j a sin y; a cos y þ l cos jÞ; drG ¼ ðc cos j dj þ b cos y dy; b sin y dy þ c sin j djÞ; drQ ¼ ðl cos j dj a cos y dy; a sin y dy l sin j djÞ: Mit FG ¼ ð0; FG Þ und FQ ¼ ð0; FQ Þ wird X ðeÞ dW ðeÞ ¼ Fi dri ¼ FG ðb sin y dy þ c sin j djÞ FQ ða sin y dy l sin j djÞ ¼ sin y dyðFG b FQ aÞ þ sin j djðFG c þ FQ lÞ:
Bild 13 a – c. Gleichgewichtsarten. a Stabil; b labil; c indifferent
B
B6
B
Mechanik – 1 Statik starrer Krper
Handelt es sich um Probleme, bei denen nur Gewichtskrfte eine Rolle spielen, dann gilt mit dem Potential U ¼ FG z bzw. dU ¼ FG dz dW ðeÞ ¼ FðeÞ dr ¼ ð0; 0; FG Þðdx; dy; dzÞ ¼ FG dz ¼ dU 2
und d W ¼ d2 U; d. h., bei stabilem Gleichgewicht ist d2 U > 0 und somit die potentielle Energie U ein Minimum, bei labilem Gleichgewicht d2 U < 0 und die potentielle Energie ein Maximum. ðeÞ
1.4.5 Standsicherheit Bei Krpern, deren Auflagerungen nur Druckkrfte aufnehmen knnen, besteht die Gefahr des Umkippens. Es wird verhindert, wenn um die mglichen Kippkanten A oder B (Bild 14) die Summe der Standmomente grßer ist als die Summe der Kippmomente, d. h., wenn die Resultierende des Krftesystems innerhalb der Kippkanten die Standflche schneidet. Standsicherheit ist das Verhltnis der Summe aller Standmomente zur X Summe X aller Kippmomente bezglich eiMK . Fr S 1 herrscht Standner Kippkante: S ¼ MS = sicherheit und Gleichgewicht.
1.5 Lagerungsarten, Freimachungsprinzip Krper werden durch sog. Lager abgesttzt. Die Sttzkrfte wirken als Reaktionskrfte zu den ußeren eingeprgten Krften auf den Krper. Je nach Bauart der Lager knnen im rumlichen Fall maximal drei Krfte und maximal drei Momente bertragen werden. Die Reaktionskrfte und -momente werden durch das sogenannte „Freimachen“ eines Krpers zu ußeren Krften. Ein Krper wird freigemacht, indem man ihn mittels eines geschlossenen Schnitts durch alle Lager von seiner Umgebung trennt und die Lagerkrfte als ußere Krfte am Krper anbringt (Bild 15, Freimachungsprinzip). Auf die Lager wirken dann nach „actio = reactio“ (3. Newtonsches Axiom) gleich große, entgegengesetzt gerichtete Krfte. Je nach Bauart und Anzahl der Reaktionsgrßen eines Lagers unterscheidet man ein- bis sechswertige Lager (Bild 16).
Bild 14. Standsicherheit
Bild 16. Lagerungsarten
1.6 Auflagerreaktionen an Krpern 1.6.1 Krper in der Ebene In der Ebene hat ein Krper drei Freiheitsgrade hinsichtlich seiner Bewegungsmglichkeiten (Verschiebung in x- und yRichtung, Drehung um die z-Achse). Er bentigt daher eine insgesamt 3wertige Lagerung fr eine stabile und statisch bestimmte Festhaltung. Diese kann aus einer festen Einspannung oder aus einem Fest- und einem Loslager oder aus drei Loslagern (Gleitlagern) bestehen (im letzten Fall drfen sich die drei Wirkungslinien der Reaktionskrfte nicht in einem Punkt schneiden). Ist die Lagerung n-wertig (n > 3), so ist das System (n 3)fach statisch unbestimmt gelagert. Ist die Lagerung weniger als 3wertig, so ist das System statisch unterbestimmt, d. h. instabil und beweglich. Die Berechnung der Auflagerreaktionen erfolgt durch Freimachen und Ansetzen der Gleichgewichtsbedingungen. Beispiel: Welle (Bild 17 a). Gesucht werden die Auflagerkrfte in A und B infolge der gegebenen Krfte F1 und F2 . Rechnerische Lsung: An der freigemachten Welle (Bild 17 b) gilt X MiA ¼ 0 ¼ F1 a þ FB l F2 ðl þ cÞ also FB ¼ ½F1 a þ F2 ðl þ cÞ=l;
Bild 15 a, b. Freimachungsprinzip. a Gesttzter Krper mit geschlossener Schnittlinie; b freigemachter Krper
Bild 17 a, b. Welle. a System; b Freimachung
I1.7 X
Systeme starrer Krper
B7
MiB ¼ 0 ¼ FAy l þ F1 b F2 c, also FAy ¼ ðF1 b F2 cÞ=l;
X
X Die Gleichgewichtsbedingung Fiy ¼ 0 muss ebenfalls erfllt sein und kann als Kontrollgleichung benutzt werden. X Fiy ¼ FAy F1 þ FB F2 ¼ ðF1 b F2 cÞ=l F1 þ ½F1 a þ F2 ðl þ cÞ=l F2 ¼ F1 ða þ b lÞ=l þ F2 ðc þ l þ c lÞ=l ¼ 0: Beispiel: Abgewinkelter Trger (Bild 18 a). Fr den durch zwei Einzelkrfte F1 und F2 und die konstante Streckenlast q belasteten abgewinkelten Trger ist die Auflagerkraft im Festlager A und die Kraft im Pendelstab bei B zu bestimmen. Rechnerische Lsung: Mit der Resultierenden der Streckenlast Fq ¼ qc wird (Bild 18 b) X MiA ¼ 0 ¼ F1 sin a1 a qcða þ b þ c=2Þ F2 e þ FS cos aS l þ FS sin aS h und daraus FS ¼ ½F1 sin a1 a þ qcða þ b þ c=2Þ þ F2 e=ðl cos aS þ h sin aS Þ: Aus X X
Fix ¼ 0 ¼ FAx þ F1 cos a1 þ F2 FS sin aS und Fiy ¼ 0 ¼ FAy F1 sin a1 qc þ FS cos aS
folgen FAx ¼ F1 cos a1 F2 þ FS sin aS und FAy ¼ F1 sin a1 þ qc FS cos aS ; wobei der vorstehend errechnete Wert fr FS einzusetzen ist. Beispiel: Wagen auf schiefer Ebene (Bild 19 a, b). Der durch die Gewichtskraft FG und die Anhngerzugkraft FZ belastete Wagen wird von einer Seilwinde auf der schiefen Ebene im Gleichgewicht gehalten. Zu bestimmen sind die Zugkraft im Halteseil sowie die Sttzkrfte an den Rdern, wobei Reibkrfte außer acht gelassen werden sollen. Rechnerische Lsung: Am freigemachten Wagen (Bild 19 b) ergeben die Gleichgewichtsbedingungen X Fix ¼ 0 ¼ FZ FG sin a þ FS cos a; also X
FS ¼ FG tan a þ FZ = cos a; MiA ¼ 0 ¼ FZ h=4 þ FG ðh=2Þ sin a FG b cos a þ 2Fn2 b FS ðh=2Þ cos a FS ða þ 2bÞ sin a;
X
B
Fix ¼ 0 ¼ FAx :
MiB ¼ 0 ¼ FZ h=4 2Fn1 b þ FG ðh=2Þ sin a þ FG b cos a FS ðh=2Þ cos a FS a sin a:
Hieraus folgen Fn2 ¼ FZ h=ð8bÞ FG ½ðh=2Þ sin a b cos a=ð2bÞ þ FS ½ðh=2Þ cos a þ ða þ 2bÞ sin a=ð2bÞ und Fn1 ¼ FZ h=ð8bÞ þ FG ½ðh=2Þ sin a þ b cos a=ð2bÞ FS ½ðh=2Þ cos a þ a sin a=ð2bÞ;
Bild 18 a, b. Abgewinkelter Trger. a System; b Freimachung
Bild 19 a, b. Wagen auf schiefer Ebene. a System; b Freimachung
wobei der errechnete Wert von FS einzusetzen ist. Die Bedingung X Fiy ¼ 0 ¼ Fn1 þ Fn2 FG cos a FS sin a kann dann als Kontrollgleichung benutzt werden.
1.6.2 Krper im Raum Im Raum hat ein Krper sechs Freiheitsgrade (drei Verschiebungen und drei Drehungen). Er bentigt daher fr eine stabile Festhaltung eine insgesamt 6wertige Lagerung. Ist die Lagerung n-wertig (n > 6), so ist das System (n 6)fach statisch unbestimmt gelagert. Ist n < 6, so ist es statisch unterbestimmt, also beweglich und instabil. Beispiel: Welle mit Schrgverzahnung (Bild 20). Die Auflagerkrfte der Welle sind Xzu berechnen. – Die Welle kann sich um die x-Achse drehen, d. h. Mix ¼ 0 entfllt. Die restlichen fnf Gleichgewichtsbedingungen lauten: X Fix ¼ 0 ergibt FAx ¼ F1x F2x ; X M ¼ 0 ergibt FAy ¼ ðF1x r1 þ F1y b þ F2x r2 þ F2y cÞ=l; X iBz M ¼ 0 ergibt FAz ¼ ðF1z b F2z cÞ=l; X iBy M ¼ 0 ergibt FBy ¼ ½F1x r1 F1y a þ F2x r2 þ F2y ðl þ cÞ=l; X iAz MiAy ¼ 0 ergibt FBz ¼ ½F1z a þ F2z ðl þ cÞ=l: X X Fiz ¼ 0 knnen als Kontrollen Die Bedingungen Fiy ¼ 0 und verwendet werden.
1.7 Systeme starrer Krper Sie bestehen aus mehreren Krpern, die durch Verbindungselemente, d. h. Gelenke a oder Fhrungen b oder auch durch gelenkig angeschlossene Fhrungen c, miteinander verbunden sind (Bild 21). Ein Gelenk bertrgt Krfte in zwei Richtungen, aber kein Moment; eine Fhrung bertrgt eine Kraft quer zur Fhrung und ein Moment, aber keine Kraft parallel zur Fhrung; eine gelenkige Fhrung bertrgt eine Kraft quer zur Fhrung, aber keine Kraft parallel zur Fhrung und kein Moment. Man spricht daher von zweiwertigen oder einwertigen Verbindungselementen. Ist i die Summe der Wertigkeiten der Auflager und j die Summe der Wertigkeiten der Verbindungselemente, so muss bei einem System aus k Krpern mit 3k Gleichgewichtsbedingungen in der Ebene die Bedingung i þ j ¼ 3 k erfllt sein, wenn ein stabiles System statisch bestimmt sein soll. Ist i þ j > 3 k, so ist das System statisch unbestimmt, d. h., wenn i þ j ¼ 3 k þ n, ist es n-fach statisch unbestimmt. Ist
Bild 20. Welle mit Schrgverzahnung
B8
Mechanik – 1 Statik starrer Krper
B Bild 23 a – c. Fachwerk. a Statisch bestimmt; b statisch unterbestimmt; c statisch unbestimmt
Bild 21. System aus starren Krpern
i þ j < 3 k, so ist das System statisch unterbestimmt und auf jeden Fall labil. Fr das stabile System nach Bild 21 ist i þ j ¼ 7 þ 5 ¼ 12 und 3 k ¼ 3 4 ¼ 12, d. h., das System ist statisch bestimmt. Bei statisch bestimmten Systemen werden die Auflagerreaktionen und Reaktionen in den Verbindungselementen ermittelt, indem die Gleichgewichtsbedingungen fr die freigemachten Einzelkrper erfllt werden. Beispiel: Dreigelenkrahmen oder Dreigelenkbogen (Bild 22 a). Rechnerische Lsung: Nach Freimachen der beiden Einzelkrper (Bild 22 b) Gleichgewichtsbedingungen fr Krper I: X ð18 aÞ Fix ¼ 0 ergibt FAx ¼ FCx F1x ; X ð18 bÞ Fiy ¼ 0 ergibt FAy ¼ F1y þ F2 FCy ; X ð18 cÞ MiA ¼ 0 ¼ FCx H þ FCy a F1x y1 F1y x1 F2 x2 ; und fr Krper II: X Fix ¼ 0 ergibt FBx ¼ FCx F3x ; X Fiy ¼ 0 ergibt FBy ¼ FCy þ F3y ; X MiB ¼ 0 ¼ FCx h þ FCy b þ F3x ½y3 ðH hÞ þ F3y ðl x3 Þ:
ð18 dÞ ð18 eÞ ð18 fÞ
Aus den Gln. (18c und f) ergeben sich die Gelenkkrfte FCx und FCy , eingesetzt in die Gln. (18a, b, d und e) dann dieX Auflagerkrfte FAx ; FAy ; FBx ; FBy . Zur Kontrolle verwendet man MiC ¼ 0 am Gesamtsystem.
1.8 Fachwerke 1.8.1 Ebene Fachwerke Fachwerke bestehen aus Stben, die in den Knotenpunkten als gelenkig miteinander verbunden angesehen werden. Die Gelenke werden als reibungsfrei angenommen, d. h., es werden nur Krfte in Stabrichtung bertragen. Die in Wirklichkeit in den Knotenpunkten vorhandenen Reibungsmomente und biegesteifen Anschlsse fhren zu Nebenspannungen, die in der Regel vernachlssigbar sind. Die ußeren Krfte greifen in den Knotenpunkten an oder werden nach dem Hebelgesetz am Stab auf diese verteilt. Hat ein Fachwerk n Knoten und s Stbe und ist es ußerlich statisch bestimmt mit drei Auflagerkrften gelagert, so gilt, da es fr jeden Knoten zwei Gleichgewichtsbedingungen gibt, fr ein statisch bestimmtes und stabiles Fachwerk (Bild 23 a) 2n ¼ s þ 3, s ¼ 2n 3, d. h., aus den 2n 3 Gleichgewichtsbedingungen sind s unbekannte Stabkrfte berechenbar. Ein Fachwerk mit s < 2n 3 Stben ist statisch unterbestimmt und kinematisch instabil (Bild 23 b), ein Fachwerk mit
Bild 22 a, b. Dreigelenkrahmen. a System; b Freimachung
Bild 24 a – d. Fachwerke. a bis d zum 1. bis 4. Bildungsgesetz
s > 2n 3 Stben ist innerlich statisch unbestimmt (Bild 23 c). Fr die Bildung statisch bestimmter und stabiler Fachwerke gelten folgende Bildungsgesetze: – Ausgehend von einem stabilen Grunddreieck werden nacheinander neue Knotenpunkte mit zwei Stben angeschlossen Bilder 23 a, 24 a. – Aus zwei statisch bestimmten Fachwerken wird ein neues gebildet durch drei Verbindungsstbe, deren Wirkungslinien keinen gemeinsamen Schnittpunkt haben (Bild 24 b). Dabei knnen zwei Stbe durch einen den beiden Fachwerken gemeinsamen Knoten ersetzt werden (Bild 24 b, rechts). – Durch Stabvertauschung kann jedes nach diesen Regeln gebildete Fachwerk in ein anderes statisch bestimmtes und stabiles umgebildet werden, wenn der Tauschstab zwischen zwei Punkte eingebaut wird, die sich nach seiner Entfernung gegeneinander bewegen knnten (Bild 24 c). – Aus mehreren stabilen Fachwerken knnen nach den Regeln der Starrkrpersysteme gemß B 1.7 neue stabile Fachwerksysteme gebildet werden (Bild 24 d). Ermittlung der Stabkrfte Knotenschnittverfahren. Allgemein ergeben sich die s Stabkrfte und die drei Auflagerkrfte fr ein statisch bestimmtes Fachwerk nach X Aufstellen der Gleichgewichtsbedingungen X Fiy ¼ 0 an allen durch Rundschnitt freiFix ¼ 0 und gemachten n Knoten. Man erhlt 2n lineare Gleichungen. Ist die Nennerdeterminante des Gleichungssystems ungleich null, so ist das Fachwerk stabil, ist sie gleich null, so ist es instabil (verschieblich) [1]. Hufig gibt es (z. B. nachdem man vorher die Auflagerkrfte aus den Gleichgewichtsbedingungen am Gesamtsystem ermittelt) einen Ausgangsknoten mit nur zwei unbekannten Stabkrften, dem sich weitere
I1.9
Seile und Ketten
B9
Knoten mit nur jeweils zwei Unbekannten anschließen, so dass sie nacheinander aus den Gleichgewichtsbedingungen berechnet werden knnen, ohne ein Gleichungssystem lsen zu mssen.
Fr Knoten A gilt: X Fix ¼ 0 ergibt FAx ¼ FS4 þ FS5 cos b ¼ 60;00 kN; X Fiy ¼ 0 ergibt FAy ¼ FS5 sin b þ FS7 ¼ 30;00 kN:
Rittersches Schnittverfahren. Ein analytisches Verfahren, bei dem durch Schnitt dreier Stbe ein ganzer Fachwerkteil freigemacht wird und nach Ansatz der drei Gleichgewichtsbedingungen fr diesen Teil die drei unbekannten Stabkrfte berechnet werden (s. Beispiel).
Diese Auflagerkrfte folgen auch aus den Gleichgewichtsbedingungen am (ungeschnittenen) Gesamtsystem. Ritterscher Schnitt. Die Stabkrfte FS4 ; FS5 und FS6 werden durch einen Ritterschen Schnitt (Bild 25 c) ermittelt. X
MiD ¼ 0 ergibt FS4 ¼ ðF2 a þ F1 hÞ=h ¼ þ 15;00 kN;
Stabvertauschungsverfahren nach Henneberg. Kompliziert aufgebaute Fachwerke lassen sich durch Stabvertauschung auf einfache zurckfhren. Die Stabkraft im Ersatzstab infolge ußerer Last und die Kraft im Vertauschungsstab muss insgesamt null sein; daraus ergibt sich die Kraft im Vertauschungsstab. Die Methode ist auch gut geeignet zur Feststellung der Stabilitt eines Fachwerks, da im Fall der Labilitt die Kraft im Vertauschungsstab gegen unendlich geht.
Einflusslinie fr Stabkraft FS6 . Untersucht wird der Einfluss einer vertikalen Wanderlast Fy (in beliebiger Stellung x auf dem Obergurt) auf die Stabkraft FS6 (Bild 25 d). Aus X MiA ¼ 0 ¼ Fy ða þ b xÞ þ FS6 h
Einflusslinien infolge von Wanderlasten
folgt mit Fy ¼ 1
Die Berechnung einer Stabkraft FSi als Funktion von x infolge einer Wanderlast F ¼ 1 liefert die Einflussfunktion h(x); ihre graphische Darstellung heißt Einflusslinie. Die Auswertung fr mehrere Einzellasten Fj liefert die Stabkraft X FSi ¼ Fj hðxj Þ (s. Beispiel).
also eine Gerade (Bild 25 e). Ihre Auswertung fr Xdie gegebenen Lasten liefert, da F1 keinen Einfluss auf FS6 hat (s. MiA ¼ 0),
Beispiel: Fachwerkausleger (Bild 25 a). Gegeben: F1 ¼ 5 kN, F2 ¼ 10 kN, F3 ¼ 20 kN, a ¼ 2 m, b ¼ 3 m, h ¼ 2 m, a ¼ 45 , b ¼ 33;69 . Gesucht: Stabkrfte.
1.8.2 Rumliche Fachwerke
Knotenschnittverfahren. Die unbekannten Stabkrfte FSi werden als Zugkrfte positiv angesetzt (Bild 25 b). Fr Knoten E gilt: X Fiy ¼ 0 ergibt FS2 ¼ F2 = sin a ¼ 14;14 kN; also Druck; X Fix ¼ 0 ergibt FS1 ¼ F1 FS2 cos a ¼ þ15;00 kN; also Zug: Fr Knoten C gilt: X Fix ¼ 0 ergibt FS4 ¼ FS1 ¼ þ 15;00 kN ðZugÞ; X Fiy ¼ 0 ergibt FS3 ¼ F3 ¼ 20;00 kN ðDruckÞ: Fr Knoten D gilt: X Fiy ¼ 0 ergibt FS5 ¼ ðFS2 sin a þ FS3 Þ= sin b X
¼ þ 54;08 kN ðZugÞ; Fix ¼ 0 ergibt FS6 ¼ FS2 cos a FS5 cos b ¼ 55;00 kN ðDruckÞ:
Fr Knoten B gilt: X Fiy ¼ 0 ergibt FS7 ¼ 0; X Fix ¼ 0 ergibt FB ¼ FS6 ¼ 55;00 kN:
X X
MiA ¼ 0 ergibt FS6 ¼ ½F2 ða þ bÞ þ F3 b=h ¼ 55;00 kN; Fiy ¼ 0 ergibt FS5 ¼ ðF2 þ F3 Þ= sin b ¼ þ 54;08 kN:
hðxÞ ¼ 1 ða þ b xÞ=h ¼ 5=2 þ x=ð2 mÞ
FS6 ¼ F2 hðx ¼ 0Þ þ F3 hðx ¼ aÞ ¼ 10 kNð 5=2Þ þ 20 kNð 3=2Þ ¼ 55 kN:
Da im Raum pro Knoten drei Gleichgewichtsbedingungen bestehen und sechs Lagerkrfte zur stabilen, statisch bestimmten Lagerung des Gesamtfachwerks erforderlich sind, gilt das Abzhlkriterium 3n ¼ s þ 6 bzw. s ¼ 3n 6. Im brigen gelten den ebenen Fachwerken analoge Methoden fr die Stabkraftberechnung usw. [2].
1.9 Seile und Ketten Seile und Ketten werden als biegeweich angesehen, d. h., sie knnen nur Zugkrfte bertragen. Vernachlssigt man die Lngsdehnungen der einzelnen Elemente (Theorie 1. Ordnung), so folgt fr das ebene Problem infolge vertikaler Streckenlast aus den Gleichgewichtsbedingungen am Seilelement (Bild 26 a) bei X X gegebener Belastung q(s): Fiy ¼ 0, d. h. FV ¼ qðsÞ ds; also Fix ¼ 0, d. h. dFH ¼ 0, FH ¼ const und dFV =ds ¼ qðsÞ. Gemß Bild 26 a gilt ferner tan j ¼ y0 ¼ FV =FH ; d: h: FV ¼ FH y0 bzw. FV0 ¼ dFV =dx ¼ FH y00 .
Bild 25 a – e. Fachwerkausleger. a System; b Knotenschnitte; c Ritterscher Schnitt; d Wanderlast; e Einflusslinie
B
B 10
Mechanik – 1 Statik starrer Krper
yðx1 ¼ 0Þ ¼ 0 ¼ y0 þ a coshðx0 =aÞ; yðx ¼ x2 Þ ¼ y2 ¼ y0 þ a cosh½ðx2 x0 Þ=a; Zx2 qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi L ¼ 1 þ sinh2 ½ðx x0 Þ=adx
B
x¼0
¼ a sinh½ðx2 x0 Þ=a þ a sinhðx0 =aÞ: Hieraus ergeben sich y0 ¼ a coshðx0 =aÞ; x0 ¼ x2 =2 a artanhðy2 =LÞ und qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi sinhðx2 =2aÞ ¼ L2 y22 =ð2aÞ: Aus der letzten (transzendenten) Gleichung kann a, anschließend knnen x0 und y0 berechnet werden. Der maximale Durchhang f gegenber der Sehne folgt an der Stelle xm ¼ x0 þ a arsinhðy2 =x2 Þ zu f ¼ y2 xm =x2 yðxm Þ. Fr die Krfte gilt FH ¼ aq ¼ const; FV ðxÞ ¼ FH y0 ðxÞ; qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi FS ðxÞ ¼ FH2 þ FV2 ðxÞ:
ð22Þ
Die grßte Seilkraft tritt an der Stelle auf, wo y0 zum Maximum wird, d. h. in einem der Befestigungspunkte.
Bild 26 a – c. Seil. a Element; b Seil unter Eigengewicht; c Seil unter Einzellast
Mit ds ¼
1.9.2 Seil unter konstanter Streckenlast
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1 þ y 0 2 dx wird hieraus
dFV =ds ¼ ðdFV =dxÞðdx=dsÞ ¼ FH y00 =
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1 þ y 0 2 ¼ qðsÞ:
Folglich ist pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi y00 ¼ ½qðsÞ=FH 1 þ y 0 2 ;
ð19Þ
bei gegebener Belastung q(x): gemß Bild 26 a gilt qðsÞ ds ¼ qðxÞ dx, d. h. pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi qðsÞ ¼ qðxÞ dx=ds ¼ qðxÞ cos j ¼ qðxÞ= 1 þ y 0 2 und damit nach Gl. (19) y00 ¼ qðxÞ=FH :
ð20Þ
Die Lsungen dieser Differentialgleichungen ergeben die Seilkurve y(x). Die dabei auftretenden zwei Integrationskonstanten sowie der unbekannte (konstante) Horizontalzug FH folgen aus den Randbedingungen yðx ¼ x1 Þ ¼ y1 und aus der gegebenen Seillnge yðx ¼ Z x2 Þ ¼ yZ2 psowie ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi L ¼ ds ¼ 1 þ y02 dx.
1.9.1 Seil unter Eigengewicht (Kettenlinie) Fr ein Seil konstanten Querschnitts folgt mit qðsÞ ¼ const ¼ q aus Gl. (19) mit a ¼ FH =q nach Trennung der Variablen und Integration arsinh y0 ¼ ðx x0 Þ=a bzw. y0 ¼ sinh½ðx x0 Þ=a und somit die Kettenlinie yðxÞ ¼ y0 þ a cosh½ðx x0 Þ=a:
Beispiel: Kettenlinie. Befestigungspunkte P1 (0; 0) und P2 (300 m; 50 m). Seillnge L ¼ 340 m, Belastung qðsÞ ¼ 30 N=m. – Aus der transzendenten Gleichung ergibt sich nach iterativer Rechnung a ¼ 179; 2 m und damit x0 ¼ 176; 5 m und y0 ¼ 273;4 m, womit nach Gl. (21) die Kettenlinie bestimmt ist. Der maximale Durchhang gegenber der Sehne tritt an der Stelle xm ¼ 146; 8 m auf und hat die Grße f ¼ 67; 3 m. Der Horizontalzug betrgt FH ¼ aq ¼ 5;375 kN ¼ const : Die grßte Seilkraft tritt im Punkt P1 auf: FV ðx ¼ 0Þ ¼ FH jy0 ðx ¼ 0Þj ¼ 6;192 kN und somit FS; max ¼ FS ðx ¼ 0Þ ¼ 8;20 kN.
ð21Þ
Der Extremwert von y(x) folgt aus y0 ¼ 0 an der Stelle x ¼ x0 zu ymin ¼ y0 þ a. Die unbekannten Konstanten x0 ; y0 und a ¼ FH =q ergeben sich aus den drei Bedingungen (Bild 26 b)
Hierunter fallen neben Seilen mit angehngter konstanter Streckenlast qðxÞ ¼ const auch solche mit flachem Durchhang unter Eigengewicht, da bei qðsÞ ¼ q0 ¼ const wegen pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi qðsÞ 1 þ y02 ¼ q0 = cos j ¼ qðxÞ mit cos j cos a ¼ const auch qðxÞ ¼ const ¼ q wird. Zweimalige Integration der Gl. (20) liefert yðxÞ ¼ ðq=FH Þx2 =2 þ C1 x þ C2 ; Randbedingungen mit gegebenem Durchhang f in der Mitte: yðx1 ¼ 0Þ ¼ 0, yðx ¼ x2 Þ ¼ y2 , yðx ¼ x2 =2Þ ¼ y2 =2 f . Hieraus C2 ¼ 0, C1 ¼ ðy2 4f Þ=x2 , FH ¼ qx22 =ð8f Þ und damit yðxÞ ¼ ðy2 =x2 Þx ð4f =x22 Þðx2 x x2 Þ ¼ ðy2 =x2 Þx f ðxÞ, wobei f(x) der Durchhang gegenber der Sehne ist (Bild 26 b). Ferpffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ner gilt FV ðxÞ ¼ FH y0 ðxÞ und FS ðxÞ ¼ FH2 þ FV2 ðxÞ; FS; max an der Stelle der maximalen Steigung. Zx2 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1 þ y02 dx mit Die Lnge L des Seils folgt aus L ¼ a ¼ FH =q zu x¼0 qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi L ¼ ða=2Þ½ðC1 þ x2 =aÞ 1 þ ðC1 þ x2 =aÞ2 qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi þ lnðC1 þ x2 =a þ 1 þ ðC1 þ x2 =aÞ2 Þ qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi C1 1 þ C12 lnðC1 þ 1 þ C12 Þ: Fr Seile mit flachem Durchhang gilt mit der Sehnenlnge pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi l ¼ x22 þ y22 die Nherungsformel L l½1 þ 8x22 f 2 =ð3l4 Þ:
ð23Þ
Beispiel: Seil mit flachem Durchhang. Das Beispiel aus B 1.9.1 werde nherungsweise als flach durchhngendes Seil berechnet. Gegeben: P1 (0; 0), P2 (300 m; – 50 m), f ¼ 67; 3 m, q0 ¼ 30 N=m. – Aus tan a ¼ 50=300 folgt a ¼ 9;46° und cos a ¼ 0;9864, so dass q q0 = cos a ¼ 30;41 N=m wird. Es folgen C1 ¼ 1;064 und FH ¼ 5;083 kN. Somit ist die Seillinie
I1.11 Haftung und Reibung yðxÞ ¼ 0;1667 x 0;003 m1 ð300 m x x2 Þ ¼ 1;064 x þ 0;003 m1 x2 : An der Stelle x ¼ 0 wird y0max ¼ jy0 ð0Þj ¼ 1;064, also FV; max ¼ FH y0max ¼ 5;408 kN und somit FS; max ¼ 7;42 kN. Die Nherungsformel Gl. (23) fr die Seillnge liefert dann mit l ¼ 304; 1 m den Wert L 342; 7m. Die Ergebnise zeigen, dass die Nherungslsung von den exakten Werten (B 1.9.1) nicht erheblich abweicht, obwohl der „flache“ Durchhang hier nur in geringem Maße zutrifft.
1.9.3 Seil mit Einzellast Betrachtet wird nur das Seil mit flachen Durchhngen gegenber den Sehnen (Bild 26 c, links). Sind x2 , y2 , x3 , y3 gegeben, so gelten mit FHI ¼ FHII ¼ FH die Beziehungen q1
¼ q0 = cos aI ; qII ¼ q0 = cos aII ;
fI
¼ qI x22 =ð8FH Þ; fII ¼ qII x22 =ð8FH Þ;
yðxÞ ¼ ðy2 =x2 Þx ðqI =2FH Þðx2 x x2 Þ; yðxÞ ¼ ðy2 =x2 Þx ðqII =2FH Þðx2 x x2 Þ; y0 ðxÞ ¼ ðy2 =x2 Þ ðqI =2FH Þðx2 2xÞ; y0 ðxÞ ¼ ðy2 =x2 Þ ðqII =2FH Þðx2 2xÞ: X Aus der Gleichgewichtsbedingung Fiy ¼ 0 ¼ FVl þ F FVr am Knoten P2 (Bild 26 c, rechts) folgt mit FV ¼ FH jy0 j unter Beachtung, dass y0 negativ ist und somit jy0 j ¼ y0 ; FH y2 =x2 þ qI x2 =2 þ F þ FH y2 =x2 þ qII x2 =2 ¼ 0; d: h: FH ¼ ½qI x2 qII x2 2F=½2ðy2 =x2 þ y2 =x2 Þ: Hiermit knnen fI und fII , wie angegeben, FV ðxÞ und FS ðxÞ nach Gl. (22) sowie LI und LII nach Gl. (23) berechnet werden.
1.10 Schwerpunkt (Massenmittelpunkt) An einem Krper der Masse m wirken an den Massenelementen dm die Gewichtskrfte dFG ¼ dmg, die alle zueinander parallel Z sind. Den Angriffspunkt ihrer Resultierenden FG ¼
dFG nennt man den Schwerpunkt (Bild 27 a). Seine
Lage ist festgelegt durch die Bedingung, dass das Moment der Resultierenden gleich dem der Einzelkrfte sein muss,
B 11
d. h. Z rS FG ¼ r dFG bzw: mit dFG ¼ dFG e Z rS FG r dFG e ¼ 0; d: h: Z rS ¼ r dFG =FG bzw: in Komponenten Z Z xS ¼ ð1=FG Þ x dFG ; yS ¼ ð1=FG Þ y dFG ; Z zS ¼ ð1=FG Þ z dFG :
B ð24Þ
Analog gilt bei konstanter Fallbeschleunigung g fr den Massenmittelpunkt, bei konstanter Dichte r fr den Volumenschwerpunkt sowie fr den Flchen- und Linienschwerpunkt in vektorieller Form Z Z rS ¼ ð1=mÞ r dm; rS ¼ ð1=VÞ r dV; Z rS ¼ ð1=AÞ r dA und ð25Þ Z rS ¼ ð1=sÞ r ds: Bestehen die Gebilde aus endlich vielen Teilen mit bekannten Teilschwerpunkten, so gilt in Komponenten z. B. fr den Flchenschwerpunkt X xS ¼ ð1=AÞ xi Ai ; X yi Ai ; yS ¼ ð1=AÞ ð26Þ X zS ¼ ð1=AÞ zi Ai : Z X Die Grßen x dA bzw. xi Ai usw. bezeichnet man als statische Momente. Sind sie null, so folgt auch xS ¼ 0 usw., d. h., das statische Moment bezglich einer Achse durch den Schwerpunkt (Schwerlinie) ist stets gleich null. Alle Symmetrieachsen erfllen diese Bedingung, d. h., sie sind stets Schwerlinien. Die durch Integration ermittelten Schwerpunkte von homogenen Krpern sowie von Flchen und Linien sind in den Tab. 1–3 angegeben. Beispiel: Schwerpunkt eines Trgerquerschnitts. Fr den zusammengesetzten Trgerquerschnitt ist der Flchenschwerpunkt zu ermitteln (Bild 27 b). – Der Schwerpunkt liegt auf der Symmetrieachse. Ermittlung von yS tabellarisch, wobei die Bohrung als negative Flche angesetzt wird.
1.11 Haftung und Reibung
Bild 27 a, b. Schwerpunkt eines Krpers (a) und eines Trgerquerschnitts (b)
Haftung. Bleibt ein Krper unter Einwirkung einer resultierenden Kraft F, die ihn gegen eine Unterlage presst, in Ruhe, so liegt Haftung vor (Bild 28). Die Verteilung der Flchenpressung zwischen Krper und Unterlage ist meist unbekannt und wird durch die Reaktionskraft Fn ersetzt. Aus Gleichgewichtsgrnden ist Fn ¼ Fs ¼ F cos a und Fr ¼ Ft ¼ F sin a,
B 12
Mechanik – 1 Statik starrer Krper
Tabelle 1. Schwerpunkte von homogenen Krpern
B
Werkstoffen, deren Oberflchenbeschaffenheit, von einer Fremdschicht (Schmierschicht), von Temperatur und Feuchtigkeit, von der Flchenpressung und von der Grße der Normalkraft; m0 schwankt daher zwischen bestimmten Grenzen und ist gegebenenfalls experimentell zu bestimmen [3]. Anhaltswerte fr m0 s. Tab. 4. Gleitreibung (Reibung der Bewegung). Wird die Haftung berwunden, und setzt sich der Krper in Bewegung, so gilt fr die Reibkraft das Coulombsche Gleitreibungsgesetz (Bild 29) Bild 28. Haftung
Fr =Fn ¼ const ¼ tan r ¼ m bzw: Fr ¼ mFn :
d. h. Fr ¼ Fn tan a. Der Krper bleibt so lange in Ruhe, bis die Reaktionskraft Fr den Grenzwert Fr0 ¼ Fn tan r0 ¼ Fn m0 erreicht, d. h. solange F – rumlich betrachtet – innerhalb des sogenannten Reibungskegels mit dem ffnungswinkel 2r0 liegt. Fr die Reaktionskraft Fr gilt die Ungleichung Fr % Fn tan r0 ¼ Fn m0 :
ð27Þ
Die Haftzahl m0 hngt ab von den aneinander gepressten
ð28Þ
Die Gleitreibungskraft ist eine eingeprgte Kraft, die dem Geschwindigkeits- bzw. Verschiebungsvektor entgegengesetzt gerichtet ist. Der Gleitreibungskoeffizient m (bzw. Gleitreibungswinkel r) hngt neben den unter Haftung beschriebenen Einflssen vornehmlich von den Schmierungsverhltnissen (Trockenreibung, Mischreibung, Flssigkeitsreibung; s. E 5.1) ab, zum Teil aber auch von der Gleitgeschwindigkeit [4, 5]. Anhaltswerte fr m s. Tab. 4.
I1.11 Haftung und Reibung
B 13
Tabelle 2. Schwerpunkte von Flchen
B
Tabelle 3. Schwerpunkte von Linien
B 14
Mechanik – 1 Statik starrer Krper
Fr r1 ¼ r2 ¼ r3 ¼ r gilt F ¼ FQ tanða 2rÞ; Selbsthemmung fr a 2 r, Wirkungsgrad h ¼ tan a= tanða þ 2rÞ. Bei Selbsthemmung wird h ¼ tan 2r= tan 4r ¼ 0;5 0;5 tan2 2r < 0;5.
Tabelle 4. Haft- und Gleitreibungswerte.
B
Schraube (Bewegungsschraube). Rechteckgewinde (flachgngige Schraube, Bild 31 a). Gesucht ist das Drehmoment M zum gleichfrmigen Heben und Senken der Last. Z X Fiz ¼ 0 ¼ dF cosða þ rÞ FQ ; F ¼ FQ = cosða þ rÞ; Z X Miz ¼ 0 ¼ M dF sinða þ rÞrm ; M ¼ FQ rm tanða þ rÞ Wirkungsgrad beim Heben h ¼ M0 =M ¼ tan a= tanða þ rÞ; M0 erforderliches Moment ohne Reibung. Beim Senken tritt r an Stelle von r; M ¼ FQ rm tanða rÞ. Selbsthemmung fr M % 0, d. h. tanða rÞ % 0; also a % r. Dann ist zum Senken der Last ein negatives Moment erforderlich. Fr a ¼ r folgt h ¼ tan r= tan 2r ¼ 0;5 0;5 tan2 r < 0;5.
Anwendungen zur Haftung und Gleitreibung Reibung am Keil. Gesucht wird die Kraft F, die zum Heben und Senken einer Last mit konstanter Geschwindigkeit erforderlich ist. Die Lsung folgt am einfachsten aus dem Sinussatz am Krafteck, z. B. fr das Heben der Last nach Bild 30 F2 sinð90 þ r3 Þ F sinða þ r1 þ r2 Þ ; ; ¼ ¼ FQ sin½90 ða þ r2 þ r3 Þ F2 sinð90 r1 Þ hieraus tanða þ r2 Þ þ tan r1 : Entsprechend 1 tanða þ r2 Þ tan r3 tanða r2 Þ tan r1 F ¼ FQ 1 þ tanða r2 Þ tan r3
F ¼ FQ
ð29Þ
fr das Senken der Last. Wird F 0, so tritt Selbsthemmung auf; dann ist tanða r2 Þ % tan r1 bzw: a % r1 þ r2 : Der Keil muss dann herausgezogen bzw. von der anderen Seite hinausgedrckt werden. Der Wirkungsgrad des Keilgetriebes beim Heben der Last ist h ¼ F0 =F; hierbei ist F0 ¼ FQ tan a die erforderliche Kraft ohne Reibung.
Trapez- und Dreieckgewinde (scharfgngige Schraube) (Bild 31 b). Es gelten dieselben Gleichungen wie fr Rechteckgewinde, wenn anstelle von m ¼ tan r die Reibzahl m0 ¼ tan r0 ¼ m= cosðb=2Þ, d. h. anstelle von r der Reibwinkel r0 ¼ arctan½m= cosðb=2Þ eingesetzt wird. Beweis gemß Bild 31 b, da anstelle von dFn die Kraft dFn0 ¼ dFn = cosðb=2Þ und anstelle von dFr ¼ m dFn die Kraft dFr0 ¼ m dFn0 ¼ ½m= cosðb=2ÞdFn ¼ m0 dFn tritt. Hierbei ist b der Flankenwinkel des Gewindes. Bemerkung: Fr Befestigungsschrauben ist Selbsthemmung, d. h. a % r00 , erforderlich. Seilreibung (Haftung zwischen Seil und Seilrolle) (Bild 32). Gleitreibung tritt auf bei relativer Bewegung zwischen Seil und Scheibe (Bandbremse, Schiffspoller bei laufendem Seil). Bei Haftung zwischen Seil und Scheibe (Riementrieb, Bandbremse als Haltebremse, Schiffspoller bei ruhendem Seil) tritt Gleichgewicht in Normal- und Tangentialrichtung am Seilelement auf. Damit ergibt sich dFn ¼ FS dj, dFS ¼ dFr ; mit dFr ¼ m 0 dFn folgt dFS ¼ m0 FS dj. Nach Integration ber den Umschlingungswinkel a folgt die Eulersche Seilreibungsformel: FS2 ¼ FS1 em0 a bzw. FS2 =FS1 ¼ em0 a . Die Haftkraft ergibt sich aus Fr ¼ FS2 FS1 und das Haftmoment aus Mr ¼ Fr r. Bei nicht vernachlssigbarer Geschwindigkeit des Seiles (z. B. beim Riementrieb) treten Fliehkrfte qF ¼ mu2 =r (m: Masse pro Lngeneinheit des Seiles) am Seil auf. Dann ist FS durch FS mu2 zu ersetzen. Beim Schiffspoller (Bild 32 c) mit a=2p und m0 ¼ 0,1 ergibt sich ein Verhltnis FS2 =FS1 1,87. Rollwiderstand Rollt ein zylindrischer o.. Krper auf einer Unterlage (Bild 36 a), so ergibt sich wegen der Verformung der Unterlage und des Krpers eine schrg gerichtete Resultierende,
Bild 29. Gleitreibung
Bild 30. Reibung am Keil
Bild 31 a, b. Reibung an a flachgngiger und b scharfgngiger Schraube
I2.1
Bewegung eines Punkts
B 15
B
Bild 32 a – c. Seilreibung. a Krfte; b Element; c Schiffspoller
deren Horizontalkomponente die Widerstandskraft Fw ist. Ihr muss bei gleichfrmiger Bewegung die Antriebskraft Fa das Gleichgewicht halten. Mit Fn ¼ FQ und f r, d. h. tan a sin a ¼ f =r, folgt Fw ¼ FQ f =r ¼ FQ mr und als sog. Moment der rollenden Reibung Mw ¼ Fw r ¼ mr FQ r ¼ FQ f , wobei mr ¼ f =r der Koeffizient der Rollreibung ist. Der Hebelarm f der Rollreibung ist empirisch zu ermitteln. Fr Stahlrder auf Schienen ist f 0;05 cm, fr Wlzlager f 0;0005 . . . 0;001 cm. Als Fahrwiderstand (Bild 33 b) bezeichnet man die Summe aus Rollwiderstand und Lagerreibungswiderstand, Fw; ges ¼ ðFQ þ FG Þf =r þ FQ mz r1 =r (FG Gewichtskraft des Rads, mz Zapfenreibungszahl s. Q 2.1.1). Widerstand an Seilrollen Infolge Biegesteifigkeit der Seile erfolgt an der Auflaufstelle ein „Abheben“ um a2 (s. Bild 33 c) und an der Ablaufstelle ein „Anschmiegen“ um a1 . Unter gleichzeitiger Bercksichtigung der Lagerreibung folgt bei gleichmßiger Geschwindigkeit fr die Feste Rolle (Bild 33 c): Beim Heben X MA ¼ 0 ¼ Fðr a1 Þ FQ ðr þ a2 Þ ðF þ FQ Þrz ; d: h: F
¼ FQ ðr þ a2 þ rz Þ=ðr a1 rz Þ ¼ FQ =h:
h ist der Wirkungsgrad der festen Rolle beim Heben ðh 0;95Þ. Beim Senken ist h durch 1/h zu ersetzen. (rz Radius der Zapfenreibung.)
Bild 33 a – e. Widerstnde. a Rollwiderstand; b Fahrwiderstand; c feste und d lose Seilrolle; e Flaschenzug
Lose Rolle (Bild 33 d): Beim Heben X MA ¼ 0 ¼ Fð2r þ a2 a1 Þ FQ ðr þ a2 þ rz Þ; d: h: ¼ ðFQ =2Þðr þ a2 þ rz Þ=ðr þ a2 =2 a1 =2Þ ¼ ðFQ =2Þ=h:
F
h = Nutzarbeit/zugefhrte Arbeit = ðFQ s=2Þ=ðFsÞ. Nherungsweise wird ebenfalls h 0;95 gesetzt. Beim Senken ist h durch 1/h zu ersetzen. Rollenzug (Bild 33 e): Mit den Ergebnissen fr die feste und die lose Rolle ist F1 ¼ hF; F2 ¼ hF1 ¼ h2 F usw. Gleichgewicht fr die freigemachte untere Flasche fhrt zu X Fy ¼ 0 ¼ F1 þ F2 þ F3 þ F4 FQ ; d: h: Fðh þ h2 þ h3 þ h4 Þ ¼ FQ : Mit 1 þ h þ h2 þ h3 ¼ ð1 h4 Þ=ð1 hÞ folgt F ¼ FQ =½hð1 h4 Þ=ð1 hÞ: Bei n tragenden Seilstrngen werden die Kraft und der Gesamtwirkungsgrad fr das Heben F
¼ FQ =½hð1 hn Þ=ð1 hÞ und
hges ¼ Wn =Wz ¼ ðFQ s=nÞ=ðFsÞ ¼ hð1 hn Þ=½ð1 hÞn: Beim Senken ist h wieder durch 1/h zu ersetzen.
2 Kinematik Die Kinematik ist die Lehre von der geometrischen und analytischen Beschreibung der Bewegungszustnde von Punkten und Krpern. Sie bercksichtigt nicht die Krfte und Momente als Ursachen der Bewegung.
2.1 Bewegung eines Punkts
Geschwindigkeit. Der Geschwindigkeitsvektor ergibt sich durch Ableitung des Ortsvektors nach der Zeit: uðtÞ ¼ dr=dt ¼ r_ ðtÞ ¼ x_ ðtÞex þ y_ ðtÞey þ z_ ðtÞez ¼ ð_xðtÞ; y_ ðtÞ; z_ ðtÞÞ ¼ ðux ; uy ; uz Þ:
2.1.1 Allgemeines Bahnkurve. Ein Punkt bewegt sich in Abhngigkeit von der Zeit im Raum lngs einer Bahnkurve. Die Ortskoordinate des Punkts ist durch den Ortsvektor (Bild 1 a) rðtÞ ¼ xðtÞex þ yðtÞey þ zðtÞez ¼ ðxðtÞ; yðtÞ; zðtÞÞ
festgelegt. Ein Punkt hat im Raum drei Freiheitsgrade, bei gefhrter Bewegung lngs einer Flche zwei und lngs einer Linie einen Freiheitsgrad.
ð1Þ
ð2Þ
Der Geschwindigkeitsvektor tangiert stets die Bahnkurve, da in natrlichen Koordinaten t, n, b (begleitendes Dreibein, wobei t die Tangentenrichtung in der sog. Schmiegungsebene, n die Normalenrichtung in der Schmiegungsebene und b die Bi-
B 16
Mechanik – 2 Kinematik
B Bild 2. Gleichfrmige Bewegung, Bewegungsdiagramme
Gleichmßig beschleunigte (und verzgerte) Bewegung (Bild 3) liegt vor, wenn Bild 1. Punktbewegung. a Bahnkurve, Geschwindigkeits- und Beschleunigungsvektor; b Differentiation des Tangenteneinheitsvektors
drðtÞ dr ds ¼ ¼ et u dt ds dt
uðtÞ ¼ at0 t þ C1 und sðtÞ ¼ at0 t2 =2 þ C1 t þ C2 : Hieraus folgen mit den Anfangsbedingungen uðt ¼ t1 Þ ¼ u1 und sðt ¼ t1 Þ ¼ s1 die Konstanten
normalenrichtung senkrecht zu t und n ist; s. Bild 1 a) uðtÞ ¼
at ðtÞ ¼ u_ ðtÞ ¼ €sðtÞ ¼ at0 ¼ const; d: h:
ð3Þ
gilt (et Tangenteneinheitsvektor). Der Betrag der Geschwindigkeit ist qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi juj ¼ u ¼ ds=dt ¼ s_ ¼ u2x þ u2y þ u2z ¼ x_ 2 þ y_ 2 þ z_ 2 : ð4Þ
C1 ¼ u1 at0 t1 und C2 ¼ s1 u1 t1 þ at0 t12 =2 und somit at ðtÞ ¼ at0 ¼ const; uðtÞ ¼ at0 ðt t1 Þ þ u1 ; sðtÞ ¼ at0 ðt t1 Þ2 =2 þ u1 ðt t1 Þ þ s1 : Nach Elimination von ðt t1 Þ ergeben sich die Beziehungen
Beschleunigung. Der Beschleunigungsvektor ergibt sich durch Ableitung des Geschwindigkeitsvektors nach der Zeit: du d2 r ¼ €rðtÞ ¼ €xðtÞex þ €yðtÞey þ €zðtÞez ¼ dt dt2 ¼ ð€xðtÞ;€yðtÞ;€zðtÞÞ ¼ ðax ; ay ; az Þ
aðtÞ ¼
ð5Þ
d du det ðuet Þ ¼ et þ u : dt dt dt
Die mittlere Geschwindigkeit ergibt sich zu
det det ds dj en 1 ¼ u ¼ en u (s. Bild 1 b) folgt Mit ¼ dt ds dt ds R aðtÞ ¼ u_ et þ ðu2 =RÞen ¼ at þ an ;
Fr den Sonderfall t1 ¼ 0, u1 ¼ 0, s1 ¼ 0 folgen uðtÞ ¼ at0 t; sðtÞ ¼ at0 t2 =2; t ¼ u=at0 ; pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi at0 ¼ u2 =ð2sÞ; u ¼ 2at0 s; s ¼ u2 =ð2at0 Þ:
bzw. in natrlichen Koordinaten aðtÞ ¼
t t1 ¼ ðu u1 Þ=at0 ; at0 ¼ ðu2 u21 Þ=½2ðs s1 Þ; qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi u ¼ u21 þ 2at0 ðs s1 Þ; s ¼ ðu2 u21 Þ=ð2at0 Þ þ s1 :
um ¼ ð6Þ
Zt2
uðtÞdt=ðt2 t1 Þ
t1
¼ ðs2 s1 Þ=ðt2 t1 Þ ¼ ðu1 þ u2 Þ=2: d. h., der Beschleunigungsvektor liegt stets in der Schmiegungsebene (Bild 1 a). Seine Komponenten in Tangentialund Normalenrichtung heißen Tangential- und Normalbeschleunigung at ¼ du=dt ¼ u_ ðtÞ ¼ €sðtÞ
ð7Þ
und an ¼ u2 =R;
In allen Gleichungen kann at positiv oder negativ sein: Positives at bedeutet Beschleunigung bei Bewegung eines Punkts in positiver s-Richtung, aber Verzgerung bei Bewegung in negativer s-Richtung; negatives at bedeutet Verzgerung bei Bewegung in positiver s-Richtung, aber Beschleunigung bei Bewegung in negativer s-Richtung. Ist s(t) gegeben, so erhlt man durch Differentiation uðtÞ und at ðtÞ.
ð8Þ
wobei R der Krmmungsradius der Bahnkurve ist. Die Normalbeschleunigung ist stets zum Krmmungsmittelpunkt M gerichtet, also immer eine Zentripetalbeschleunigung. Fr die Grße des (resultierenden) Beschleunigungsvektors gilt qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi a ¼ jaj ¼ a2x þ a2y þ a2z ¼ a2t þ a2n : ð9Þ
Ungleichmßig beschleunigte (und verzgerte) Bewegung liegt vor, wenn at ðtÞ ¼ f1 ðtÞ ist (Bild 3 b). Integration fhrt zu Z Z uðtÞ ¼ at ðtÞdt ¼ f1 ðtÞdt ¼ f2 ðtÞ þ C1 und Z Z sðtÞ ¼ uðtÞdt ¼ ½f2 ðtÞ þ C1 dt ¼ f3 ðtÞ þ C1 t þ C2 :
Gleichfrmige Bewegung liegt vor, wenn uðtÞ ¼ s_ ðtÞ ¼ u0 ¼ const ist. Durch Integration folgt Z sðtÞ ¼ s_ ðtÞ dt ¼ u0 t þ C1
Die Konstanten werden aus den Anfangsbedingungen uðt ¼ t1 Þ ¼ u1 und sðt ¼ t1 Þ ¼ s1 oder quivalenten Bedingungen ermittelt. Aus u_ ðtÞ ¼ at ðtÞ folgt, dass dort, wo uðtÞ einen Extremwert annimmt (wo u_ ¼ 0 wird), im at ; t-Diagramm die Funktion at ðtÞ durch Null geht. Analog folgt aus s_ ðtÞ ¼ uðtÞ, dass s(t) dort ein Extremum hat, wo uðtÞ im u; t-Diagramm durch Null geht. Die mittlere Geschwindigkeit ergibt sich zu um ¼ ðs2 s1 Þ=ðt2 t1 Þ. Entsprechend der anschaulichen Deutung des Integrals als Flcheninhalt lassen sich bei gegebenem at ðtÞ die Grßen uðtÞ und s(t) auch mit den Methoden der graphischen oder numerischen Integration (s. www.dubbel.de) bestimmen.
bzw. mit der Anfangsbedingung sðt ¼ t1 Þ ¼ s1 hieraus C1 ¼ s1 u0 t1 und somit sðtÞ ¼ u0 ðt t1 Þ þ s1 : Graphische Darstellungen von uðtÞ und s(t) liefern das Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm und das Weg-Zeit-Diagramm (Bild 2). Aus s(t) folgt umgekehrt durch Differentiation uðtÞ.
I2.1
Bewegung eines Punkts
B 17
B
Bild 3 a, b. Bewegungsdiagramme. a gleichmßig beschleunigte, b ungleichmßig beschleunigte Bewegung
2.1.2 Ebene Bewegung Bahnkurve (Weg), Geschwindigkeit, Beschleunigung. Es gelten die Formeln von B 2.1.1, reduziert auf die beiden Komponenten x und y (Bild 4 a): rðtÞ ¼ xðtÞex þ yðtÞey ¼ ðxðtÞ; yðtÞÞ; uðtÞ ¼ x_ ðtÞex þ y_ ðtÞey ¼ ð_xðtÞ; y_ ðtÞÞ ¼ ðux ; uy Þ; aðtÞ ¼ €xðtÞex þ €yðtÞey ¼ ð€xðtÞ; €yðtÞÞ ¼ ðax ; ay Þ bzw. in natrlichen Koordinaten t und n:
gemß dem Weg-Zeit-Gesetz sðtÞ ¼ At2 . – Nach den Gln. (4), (7) und (8) ergeben sich uðtÞ ¼ s_ ðtÞ ¼ 2At; at ðtÞ ¼ u_ ðtÞ ¼ €sðtÞ ¼ 2A und an ðtÞ ¼ u2 =R ¼ 4A2 t2 =r pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi und somit aðtÞ ¼ a2t þ a2n ¼ 2A 1 þ 4A2 t4 =r 2 . Fr die Kreisbahn pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ergibt sich mit y0 ¼ x= r 2 x2 die Bogenlnge zu sðxÞ ¼
Z r pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi Z r pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1 þ y02 dx ¼ r 2 =ðr 2 x2 Þdx ¼ r arccosðx=rÞ; x¼x
aðtÞ ¼ u_ ðtÞet þ ðu2 =RÞen ¼ ð_uðtÞ; u2 =RÞ ¼ ðat ; an Þ:
x
woraus mit
Ist die Bahnkurve mit y(x) und die Lage des Punkts mit s(t) gegeben, so ergibt sich ein Zusammenhang Z pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi zwischen t und x ber die Bogenlnge sðxÞ ¼ 1 þ y0 2 dx aus sðxÞ ¼ sðtÞ. Hieraus ist t(x) bzw. x(t) nur in einfachen Fllen explizit berechenbar (s. nchstes Beispiel). Beispiel: Bewegung auf einer Bahnkurve y(x) (Bild 4 b). Untersucht pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi wird die Bewegung eines Punkts auf der Kreisbahn yðxÞ ¼ r 2 x2
sðxÞ ¼ sðtÞ ¼ At2 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi tðxÞ ¼ r arccosðx=rÞ=A bzw: xðtÞ ¼ r cosðAt2 =rÞ folgt. Damit wird pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi Ar arccosðx=rÞ; at ðxÞ ¼ 2A; qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi an ðxÞ ¼ 4A arccosðx=rÞ; aðxÞ ¼ 2A 1 þ 4½arccosðx=rÞ2 : sðxÞ ¼ r arccosðx=rÞ; uðxÞ ¼ 2
Lsung dieser Aufgabe in Parameterdarstellung: xðtÞ ¼ r cosðAt2 =rÞ; yðtÞ ¼
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi r 2 x2 ¼ r sinðAt2 =rÞ;
2
ux ðtÞ ¼ x_ ðtÞ ¼ 2At sinðAt =rÞ; uy ðtÞ ¼ y_ ðtÞ ¼ 2At cosðAt2 =rÞ; somit ist uðtÞ ¼
qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi u2x þ u2y ¼ 2At sin2 ðAt2 =rÞ þ cos2 ðAt2 =rÞ ¼ 2At;
ax ðtÞ ¼ u_ x ðtÞ ¼ €xðtÞ ¼ 2A½sinðAt2 =rÞ þ ð2t2 A=rÞ cosðAt2 =rÞ; Bild 4 a, b. Ebene Bewegung. a Allgemein; b Kreis
ay ðtÞ ¼ u_ y ðtÞ ¼ €yðtÞ ¼ 2A½cosðAt2 =rÞ ð2t2 A=rÞ sinðAt2 =rÞ;
B 18
Mechanik – 2 Kinematik
B
Bild 5. Schiefer Wurf, Wurfbahn woraus aðtÞ ¼
qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi a2x þ a2y ¼ 2A 1 þ ð2t2 A=rÞ2 folgt:
Beispiel: Der schiefe Wurf (Bild 5). Ungleichmßig beschleunigte Bewegung. Abwurfgeschwindigkeit u1 unter Abwurfwinkel b. – Unter Vernachlssigung des Luftwiderstands ist die Schwerkraft die einzige wirkende Kraft. Deshalb wird ax ðtÞ ¼ 0 und ay ðtÞ ¼ g ¼ const. Integration liefert ux ðtÞ ¼ C1 ; xðtÞ ¼ C1 t þ C2
Bild 6 a – c. Polarkoordinaten. a Geschwindigkeiten; b Beschleunigungen; c Differentiation der Einheitsvektoren
Die Ableitung des Geschwindigkeitsvektors ergibt die Beschleunigung (Bild 6 b): _ ¼ €rðtÞ ¼ r_ e_ r þ €r er þ jr _ e_ j þ ðj_ _rþj € rÞej aðtÞ ¼ uðtÞ
sowie
_ j ¼ ar þ aj ¼ ð€r j_ 2 rÞer þ ð€ jr þ 2_rjÞe
2
uy ðtÞ ¼ gt þ C3 ; yðtÞ ¼ gt =2 þ C3 t þ C4 :
_ r gemß Bild 6 c. mit e_ j ¼ dej =dt ¼ 1 dj er =dt ¼ je € ¼ w_ die nderung der Winkelgeschwindigkeit Hierbei ist j des Radiusvektors r mit der Zeit, genannt Winkelbeschleunigung a. Ebene Bewegung in kartesischen Koordinaten (Bild 6 a, b):
Anfangsbedingungen xð0Þ ¼ 0; yð0Þ ¼ 0; ux ð0Þ ¼ u1 cos b; uy ð0Þ ¼ u1 sin b ergeben C2 ¼ 0, C4 ¼ 0, C1 ¼ u1 cos b, C3 ¼ u1 sin b und somit xðtÞ ¼ u1 t cos b; yðtÞ ¼ u1 t sin b gt2 =2
rðtÞ ¼ r cos jex þ r sin jey ¼ xðtÞex þ yðtÞey ;
(Bahnkurve in Parameterdarstellung).
ð13Þ
uðtÞ ¼ r_ ðtÞ ¼ ð_r cos j r j_ sin jÞex þ ð_r sin j þ r j_ cos jÞey ð14Þ ¼ ux e x þ uy e y ;
Elimination von t ergibt Bahnkurve y ¼ f ðxÞ: yðxÞ ¼ x tan b x2 g=ð2v21 cos2 bÞ ðWurfparabelÞ:
aðtÞ ¼ u_ ðtÞ ¼ ð€r cos j 2_r j_ sin j r j_ 2 cos j r€ j sin jÞex þ ð€r sin j þ 2_rj_ cos j rj_ 2 sin j þ r€ j cos jÞey ð15Þ
Geschwindigkeit ux ðtÞ ¼ x_ ðtÞ ¼ u1 cos b; uy ðtÞ ¼ y_ ðtÞ ¼ u1 sin b gt; qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi uðtÞ ¼ ðu1 cos bÞ2 þ ðu1 sin b gtÞ2 :
¼ ax ex þ ay ey : Zusammenhang zwischen Komponenten in r, j- und x, yRichtung (Bild 6 b):
Beschleunigung ax ðtÞ ¼ €xðtÞ ¼ 0; ay ðtÞ ¼ €yðtÞ ¼ g; pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi aðtÞ ¼ 0 þ g2 ¼ g ¼ const : Aus uy =ux ¼ tan jðtÞ erhlt man die Steigung der Bahnkurve und damit die natrlichen Komponenten der Beschleunigung (s. Bild 5):
ur ¼ ux cos j þ uy sin j; uj ¼ ux sin j þ uy cos j; ux ¼ ur cos j uj sin j; uy ¼ ur sin j þ uj cos j: Analoge Gleichungen gelten fr die Beschleunigung a. Resultierende Geschwindigkeit und Beschleunigung: qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi u ¼ u2r þ u2j ¼ u2x þ u2y ; a ¼ a2r þ a2j ¼ a2x þ a2y :
an ðtÞ ¼ g cos jðtÞ und at ðtÞ ¼ g sin jðtÞ 6¼ const ! Steigzeit und Wurfhhe aus uy ðt2 Þ ¼ 0: t2 ¼ u1 sin b=g; yðt2 Þ ¼ u21 sin2 b=ð2gÞ:
Der Beschleunigungsvektor a lsst sich auch in die natrlichen Komponenten at und an zerlegen, da die Richtung t durch den Geschwindigkeitsvektor und die Richtung n als Senkrechte dazu gegeben sind (Bild 6 b).
Wurfdauer und Wurfweite aus yðt3 Þ ¼ 0: t3 ¼ 2u1 sin b=g ¼ 2t2 ; xðt3 Þ ¼ u21 sin 2b=g: Wegen sinð180° 2bÞ ¼ sin 2b ergibt sich dieselbe Wurfweite fr die Abwurfwinkel b und ð90° bÞ. Die grßte Wurfweite bei gegebenem u1 wird mit dem Abwurfwinkel b ¼ 45° erzielt.
Ebene Bewegung in Polarkoordinaten. Bahn und Lage eines Punkts werden durch r(t) und j(t) festgelegt. Mit den begleitenden Einheitsvektoren er und ej (Bild 6 a) gilt rðtÞ ¼ rðtÞer :
ð12Þ
ð10Þ
Ebene Kreisbewegung (Bild 4 b). Aus der Darstellung in Polarkoordinaten folgen mit r ¼ const, also mit r_ ¼ €r ¼ 0 und, da jetzt die ej - und er -Richtung mit der et - und der negativen en -Richtung zusammenfallen, _ t ¼ wret und uðtÞ ¼ jre aðtÞ ¼ j_ 2 rer þ r€ jej ¼ w2 ren þ raet :
ð16Þ
u
¼ wr;
ð17Þ
at
_ ¼ ar; € r ¼ wr ¼j
ð18Þ
Hieraus folgt durch Ableitung der Geschwindigkeitsvektor _ j ¼ ur þ uj ; uðtÞ ¼ r_ ðtÞ ¼ r_ ðtÞer þ rðtÞ_er ¼ r_ er þ jre
ð11Þ
_ j ist. Hierda gemß Bild 6 c e_ r ¼ der =dt ¼ 1 dj ej =dt ¼ je bei ist j_ ¼ dj=dt die Drehgeschwindigkeit des Radiusvektors r, genannt Winkelgeschwindigkeit w.
an ¼ j_ 2 r ¼ w2 r; qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi a ¼ jaj ¼ a2t þ a2n ¼ r a2 þ w4 :
ð19Þ ð20Þ
I2.2
Bewegung starrer Krper
B 19
woraus wieder qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi u ¼ juj ¼ u2x þ u2y þ u2z ¼ r0 j_ 1 þ h2 =ð2pr0 Þ2 und qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi € 2 ½1 þ h2 =ð2pr0 Þ2 a ¼ jaj ¼ a2x þ a2y þ a2z ¼ r0 j_ 4 þ j folgen.
2.2 Bewegung starrer Krper 2.2.1 Translation (Parallelverschiebung, Schiebung)
Bild 7 a, b. Massenpunkt auf Schraubenlinie
Alle Punkte beschreiben kongruente Bahnen (Bild 8 a), d. h., der Krper fhrt keinerlei Drehung aus. Die Gesetze und Gleichungen der Punktbewegung nach B 2.1 gelten auch fr die Translation, da die Bewegung eines Krperpunkts zur Beschreibung ausreicht.
2.1.3 Rumliche Bewegung
2.2.2 Rotation (Drehbewegung, Drehung)
Es gelten die Gleichungen von B 2.1.1. Als Anwendung wird die Bewegung auf einer zylindrischen Schraubenlinie behandelt (Bild 7 a; s. hierzu auch Beispiel in B 3.2.4). Lsung in Zylinderkoordinaten: r0 ðtÞ; jðtÞ; zðtÞ. Mit r0 ðtÞ ¼ r0 ¼ const, einer beliebigen Funktion j(t) sowie zðtÞ ¼ jðtÞh=2p wird rðtÞ ¼ r0 er þ zðtÞez . Hieraus folgt analog Gl. (11) bzw. (12) mit r_ 0 ¼ 0, €r0 ¼ 0
Unter Rotation versteht man die Drehung eines starren Krpers um eine raumfeste Achse (Bild 8 b).
_ 0 ej þ z_ ez ¼ jr _ 0 ej þ ðjh=2pÞe _ uðtÞ ¼ ur þ uj þ uz ¼ jr z
Vektorielle Darstellung. Wird der Winkelgeschwindigkeit der Vektor w ¼ we zugeordnet, d. h., dreht sich die Ebene OPO0 mit w, so beschreiben der Punkt P und somit alle Punkte Kreisbahnen. Der Vektor der Umfangsgeschwindigkeit u ergibt sich aus dem Vektorprodukt u ¼ r_ P ¼ we rP mit juj ¼ u ¼ wrP sin b ¼ wr;
ð21Þ
bzw. €r0 ej þ €zez aðtÞ ¼ ar þ aj þ az ¼ j_ 2 r0 er þ j € r0 ej þ ð€ ¼ j_ 2 r0 er þ j jh=2pÞez : Fr die Grßen von Geschwindigkeit, Weg und Beschleunigung ergibt sich mit dem Steigungswinkel b ¼ arctan½h=ð2pr0 Þ qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi uðtÞ ¼ juj ¼ u2r þ u2j þ u2z ¼ r0 j_ 1 þ h2 =ð2pr0 Þ2 _ cos b; sðtÞ ¼ r0 j= cos b; ¼ r0 j= qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi € 2 ½1 þ h2 =ð2pr0 Þ2 aðtÞ ¼ jaj ¼ a2r þ a2j þ a2z ¼ r0 j_ 4 þ j qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ¼ r0 j_ 4 þ ð€ j= cos bÞ2 : Natrliche Komponenten der Beschleunigung: Fr die Komponente senkrecht zur Steigung der Schraubenlinie (Bild 7 b) gilt
u ist ein im Sinne einer Rechtsschraube auf e und rP senkrecht stehender Vektor. Mit rP ¼ r0 þ r folgt u ¼ we ðr0 þ rÞ ¼ we r0 þ we r: Da e und r0 zueinander parallel sind, gilt e r0 ¼ 0; d. h. u ¼ we r mit juj ¼ u ¼ wr sin 90 ¼ wr: Damit ist u ¼ wret : In kartesischen Koordinaten ist ex ey ez u ¼ we rP ¼ w rP ¼ wx wy wz x y z
ð22Þ
ð23Þ
¼ ðwy z wz yÞex þ ðwz x wx zÞey þ ðwx y wy xÞez ¼ ux e x þ uy e y þ uz e z :
jr0 sin b þ ð€ jh=2pÞ cos b aj sin b þ az cos b ¼ € € r0 tan b cos b ¼ 0: ¼ € jr0 sin b þ j In dieser Richtung liegt demnach die Binormale eb , in der es gemß B 2.1.1 keine Beschleunigung gibt. Also muss en ¼ er und damit an ¼ ar ¼ r0 j_ 2 sein. Ferner wird (s. Bild 7 b) € r0 cos b þ j € r0 tan b sin b at ¼ aj cos b þ az sin b ¼ j qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi € = cos b ¼ r0 j € 1 þ h2 =ð2pr0 Þ2 : ¼ r0 j Lsung in kartesischen Koordinaten: rðtÞ ¼ xðtÞex þ yðtÞey þ zðtÞez ¼ r0 cos jex þ r0 sin jey þ ðjh=2pÞez : Analog den Gln. (14) und (15) gilt uðtÞ ¼ ux ex þ uy ey þ uz ez _ ¼ r0 j_ sin jex þ r0 j_ cos jey þ ðjh=2pÞe z; € sin jÞex aðtÞ ¼ ax ex þ ay ey þ az ez ¼ ðr0 j_ 2 cos j þ r0 j € cos j r0 j_ 2 sin jÞey þ ð€ þ ðr0 j jh=2pÞez ;
Bild 8 a – c. Bewegung starrer Krper. a Translation; b Rotation im Raum; c Rotation in der Ebene
B
B 20
Mechanik – 2 Kinematik
Beschleunigung von Punkt P:
B
_ rP Þ a ¼ u_ ¼ €rP ¼ ðwe r_ P Þ þ ðwe _ rP Þ: ¼ ðwe uÞ þ ðwe
ð24 aÞ
Mit w_ ¼ a (Winkelbeschleunigung) ist in natrlichen Koordinaten a ¼ wuer þ arP sin bet ¼ w2 rer þ aret ¼ an er þ at et :
ð24 bÞ
In kartesischen Koordinaten ergibt sich aus Gl. (23) durch Differentiation
þ w2z Þy þ ðwy wz ax Þzey þ ½ðwx wz ay Þx þ ðwy wz þ ax Þy ðw2x þ w2y Þzez
ð25aÞ
bzw. bei alleiniger Drehung um die z-Achse a ¼ ðw2z x az yÞex þ ðaz x w2z yÞey :
rP ðtÞ ¼ r0 ðtÞ þ r1 ðtÞ;
ð27Þ
uðtÞ ¼ r_ P ðtÞ ¼ r_ 0 þ r_ 1 ¼ r_ 0 þ wðtÞe r1 ¼ u0 ðtÞ þ wrej ¼ u0 ðtÞ þ u1 ðtÞ:
ð28Þ
Hierbei ist u0 der aus der Translation herrhrende, u1 der aus der Rotation herrhrende Anteil (Eulersche Geschwindigkeitsformel). Aus Gl. (28) folgt nach Multiplikation mit dt drP ¼ dr0 þ dje r1 ¼ dr0 þ r djej :
a ¼½ðw2y þ w2z Þx þ ðwx wy az Þy þ ðwx wz þ ay Þzex þ ½ðwx wy þ az Þx ðw2x
schreibung, d. h. die Kenntnis des Ortsvektors r0 ðtÞ. Fr die Rotation gengt die Beschreibung der Drehung durch den Winkelgeschwindigkeitsvektor w um den krperfesten Punkt (s. B 2.2.2), d. h., w ist ein freier Vektor. Es gelten (Bild 9 a)
ð25 bÞ
Da bei Rotation alle Punkte Kreisbahnen in Ebenen senkrecht zur Drehachse beschreiben, gengt die Ebene Darstellung (Bild 8 c). Hierbei geht die Drehachse senkrecht zur Zeichenebene durch den Punkt O. Es gilt _ ¼ rwðtÞ; sðtÞ ¼ rjðtÞ; uðtÞ ¼ r jðtÞ _ ¼ raðtÞ; an ðtÞ ¼ r j_ 2 ðtÞ ¼ rw2 ðtÞ; at ðtÞ ¼ r€ jðtÞ ¼ r wðtÞ
ð26Þ
d. h., alle Grßen nehmen linear mit r zu, so dass zur Beschreibung der Drehbewegung (Rotation) eines starren Krpers der Drehwinkel j(t), die Winkelgeschwindigkeit _ ¼j _ und die Winkelbeschleunigung aðtÞ ¼ wðtÞ € ðtÞ wðtÞ ¼ jðtÞ ausreichen. In den Anwendungen wird hufig mit der Drehzahl n gerechnet; dann ist w ¼ 2pn und u ¼ 2prn. Fr die Umlaufzeit bei w ¼ const gilt T ¼ 2p=w. Fr die gleichfrmige und ungleichfrmige Rotation gelten die Gesetze der Punktbewegung und die zugehrigen Diagramme gemß B 2.1.1, wenn dort at durch a, u durch w und s durch j ersetzt wird. 2.2.3 Allgemeine Bewegung des starren Krpers Rumliche Bewegung. Ein Krper hat im Raum sechs Freiheitsgrade: drei der Translation (Verschiebung in x-, y- und zRichtung) und drei der Rotation (Drehung um die x-, y- und z-Achse). Die beliebige Bewegung jedes Krperpunkts lsst sich daher aus Translation und Rotation zusammensetzen (zusammengesetzte Bewegung). Fr die Translation gengt die Kenntnis der Bahnkurve eines einzigen krperfesten Punkts, z. B. des Schwerpunkts (s. B 2.2.1) zur ausreichenden Be-
Bild 9 a, b. Rumliche Bewegung. a Geschwindigkeiten; b Beschleunigungen
ð29Þ
Diese Gleichung (Eulersche Formel) besagt, dass eine sehr kleine Lagenderung eines Punkts sich aus einer Verschiebung dr0 und aus einer mit dem Betrag ds ¼ r dj (entstehend aus Drehung um die w-Achse) zusammensetzen lsst. Fr die Beschleunigung des Punkts P des Krpers folgt aus Gl. (28) 9 _ ¼ €rP ðtÞ aðtÞ ¼ uðtÞ > > > > _ þ w_eÞ r1 ¼ €r0 ðtÞ þ wðtÞe r_ 1 þ ðwe > > _ r1 þ w_e r1 = ¼ a0 ðtÞ þ we ðwe r1 Þ þ we ð30Þ _ j þ w_e r1 ¼ a0 ðtÞ þ we wrej þ wre > > > > ¼ a0 w2 rer þ arej þ w_e r1 > > ; ¼ a0 þ aPA;n þ aPA;t þ ðw_e r1 Þ; d. h., die Gesamtbeschleunigung setzt sich zusammen aus dem Translationsanteil a0 , dem Normalbeschleunigungsanteil aPA;n bei Drehung um O, dem Tangentialbeschleunigungsanteil aPA;t bei Drehung um O und dem Anteil aus der Richtungsnderung der Drehachse (Bild 9 b). Drehung um einen Punkt (sphrische Bewegung). In diesem Fall hat der Krper nur drei Rotationsfreiheitsgrade, d. h., in den Gln. (27) bis (30) entfallen r0 ; u0 und a0 , wenn man den Punkt O in Bild 9 als Bezugspunkt whlt. Der Winkelgeschwindigkeitsvektor ist jetzt ein linienflchtiger Vektor, d. h. nur in seiner Wirkungslinie verschiebbar. Die augenblickliche Drehachse (Momentanachse OM) beschreibt bei der Bewegung des Krpers bezglich eines raumfesten Koordinatensystems den Rastpolkegel (Spurkegel) und bezglich des krperfesten Koordinatensystems den Gangpolkegel (Rollkegel), der auf dem Rastpolkegel abrollt. Fr die Winkelgeschwindigkeit bezglich der Momentanachse gilt w ¼ w1 þ w2 (Bild 10). Ebene Bewegung. Ein Krper hat bei der ebenen Bewegung drei Freiheitsgrade: zwei der Translation (Verschiebung in xund y-Richtung) und einen der Rotation (Drehung um die zAchse senkrecht zur Zeichenebene). Wie bei der rumlichen
I2.2
Bewegung starrer Krper
B 21
B
Bild 10. Sphrische Bewegung
Bewegung erhlt man die beliebige ebene Bewegung durch berlagerung von Translation und Rotation. Da bei der ebenen Bewegung der Vektor e stets senkrecht zur Zeichenebene steht und seine Richtung nicht ndert, folgt aus den Gln. (27) bis (30) mit e_ ¼ 0 und den Bezeichnungen gemß Bild 11 rB ðtÞ ¼ rA ðtÞ þ rAB ðtÞ,
ð31Þ
uB ¼ r_ B ¼ r_ A þ wez rAB ¼ uA þ wrAB et ¼ uA þ uBA ,
ð32Þ
aB ¼ €rB ¼ aA w2 rAB er þ arAB et ¼ aA þ aBA, n þ aBA, t :
ð33Þ
Die Gln. (32) und (33) sind der Eulersche Geschwindigkeitssatz und der Eulersche Beschleunigungssatz. Danach ergibt sich die Geschwindigkeit der Punkte einer eben bewegten Scheibe gemß Gl. (32), wenn man die Geschwindigkeit eines Punkts A und die Winkelgeschwindigkeit w der Scheibe kennt, und die Beschleunigung gemß Gl. (33), wenn die Beschleunigung eines Punkts A sowie die Winkelgeschwindigkeit und Winkelbeschleunigung a der Scheibe bekannt sind. Die Vektoren uB und aB werden hufig graphisch bestimmt, da die rechnerische Lsung kompliziert ist. Beispiel: Kurbeltrieb (Bild 12). Der Kolben A des Kurbeltriebs (l ¼ 500 mm; r ¼ 100 mm) hat in der skizzierten Lage ðj ¼ 35°Þ die Geschwindigkeit uA ¼ 1;2 m=s und die Beschleunigung aA ¼ 20 m=s2 . Fr diese Stellung sind zu ermitteln: der Geschwindigkeitsund Beschleunigungsvektor des Kurbelzapfens B, die Winkelgeschwindigkeiten und -beschleunigungen von Kurbel K und Schubstange S sowie der Geschwindigkeits- und Beschleunigungsvektor eines beliebigen Punkts C der Schubstange. – Geschwindigkeiten (Bild 12 a): Von den Vektoren der Gl. (32) sind uA nach Grße und Richtung, uB und uBA der Richtung nach ðuB ? r, uBA ? lÞ bekannt. Aus dem Geschwindigkeits-Eck folgen uB ¼ 1;4 m=s; uBA ¼ 1;2 m=s und hieraus wK ¼ uB =r ¼ 14 s1 ; wS ¼ uBA =l ¼ 2;4 s1 . Die Geschwindigkeit des Punkts C wird dann gemß Gl. (32) zu uC ¼ uA þ uCA , wobei uCA ¼ wS AC ¼ uBA AC=l ist und sich geo-
Bild 12 a, b. Kurbeltrieb. a Geschwindigkeiten; b Beschleunigungen
metrisch aus dem Strahlensatz ergibt. Beschleunigungen (Bild 12 b): Der Eulersche Beschleunigungssatz Gl. (33) nimmt, da sich B auf einer Kreisbahn bewegt, die Form aB; n þ aB; t ¼ aA þ aBA; n þ aBA; t an. Davon sind bekannt aB; n nach Grße ðaB; n ¼ rw2K ¼ 19;6 m=s2 Þ und Richtung (in Richtung von r), von aB; t die Richtung ð? rÞ; aA nach Grße und Richtung (aA ¼ 20 m=s2 gegeben), aBA; n nach Grße ðaBA; n ¼ lw2S ¼ 2;88 m=s2 Þ und Richtung (in Richtung von l), von aBA; t die Richtung ( ? l). Aus dem Beschleunigungs-Eck erhlt man aB; t ¼ 5;3 m=s2 , aBA; t ¼ 6;5 m=s2 und damit aK ¼ aB; t =r ¼ 53 s2 , aS ¼ aBA; t =l ¼ 13 s2 . Die Beschleunigung des Punkts C ist aC ¼ aA þ aCA; n þ aCA; t , wobei aCA; n ¼ w2S AC und aCA; t ¼ aS AC jeweils linear mit AC wachsen, so dass auch aCA ¼ aCA; n þ aCA; t linear mit AC zunimmt und parallel zum Vektor aBA sein muss. Nach dem Strahlensatz erhlt man aCA , und die geometrische Zusammensetzung mit aA ergibt aC .
Momentanzentrum. Es gibt stets einen Punkt, um den die ebene Bewegung momentan als reine Drehung aufgefasst werden kann (Momentanzentrum oder Geschwindigkeitspol), d. h. einen Punkt, der momentan in Ruhe ist. Man erhlt ihn als Schnittpunkt der Normalen zweier Geschwindigkeitsrichtungen (Bild 13 a). Ist neben den zwei Geschwindigkeitsrichtungen die Grße einer Geschwindigkeit gegeben (z. B. uA ), so ist die momentane Winkelgeschwindigkeit w ¼ uA =rMA , ferner uB ¼ wrMB ¼ uA rMB =rMA und uC ¼ wrMC ¼ uA rMC =rMA usw. Graphisch erhlt man die Grße der Geschwindigkeiten mit der Methode der „gedrehten“ Geschwindigkeiten, d. h., man dreht uA um 90° in Richtung rMA und zieht die Parallele zur Strecke AB. Die auf den Radien rMB und rMC abgeschnittenen Strecken BB0 und CC0 liefern die Grßen der Geschwindigkeiten uB und uC (Strahlensatz). Als Anwendung werden die Geschwindigkeiten des Beispiels Kurbeltrieb untersucht: Aus Bild 13 b erhlt man bei gegebenen Richtungen von uA und uB das Momentanzentrum M zu rMA ¼ 495 mm, damit wS ¼ uA =rMA ¼ ð1;2 m=sÞ=0;495 m ¼ 2;42 s1 und mit rMB ¼ 580 mm dann uB ¼ wS rMB ¼ 1;40 m=s. Die graphische Konstruktion mittels der gedrehten Geschwindigkeiten liefert dieselben Ergebnisse.
Bild 11 a, b. Allgemeine ebene Bewegung. a Geschwindigkeiten; b Beschleunigungen
Das Momentanzentrum beschreibt bei der Bewegung bezglich eines raumfesten Koordinatensystems die Rastpolkurve (Spurkurve, Polhodie) und bezglich eines krperfesten Koordinatensystems die Gangpolkurve (Rollkurve, Herpolho-
B 22
Mechanik – 2 Kinematik
B
Bild 15 a, b. Relativbewegung. a Geschwindigkeiten; b Beschleunigungen
Bild 13 a – c. Momentanzentrum. a „Gedrehte“ Geschwindigkeiten; b Kurbeltrieb; c Polkurven
die). Bei der Bewegung rollt die Gangpolkurve auf der Rastpolkurve ab. Bild 13 c zeigt einen abrutschenden Stab. Im raumfesten Koordinatensystem lautet die Gleichung der Rastpolkurve (R) x2 þ y2 ¼ l2 und im krperfesten x, h-System die der Gangpolkurve (G) x2 þ h2 ¼ ðl=2Þ2 , d. h., die beiden Polbahnen sind Kreise. Beschleunigungspol. Es ist der Punkt P, der momentan keine Beschleunigung hat. Dann gilt fr andere Punkte A und B (Bild 14) aA ¼ aAP; t þ aAP; n mit aAP; t ¼ arPA und aAP; n ¼ w2 rPA sowie aAP; t =aAP; n ¼ a=w2 ¼ tan b, ferner aB ¼ aBP; t þaBP; n mit aBP; t ¼ arPB und aBP; n ¼ w2 rPB sowie aBP; t =aBP; n ¼ a=w2 ¼ tan b. Der Beschleunigungspol ist also der Schnittpunkt zweier Radien, die unter dem Winkel b zu zwei gegebenen Beschleunigungsvektoren stehen. Relativbewegung. Bewegt sich ein Punkt P mit der Relativgeschwindigkeit ur bzw. Relativbeschleunigung ar auf gegebener Bahn relativ zu einem Krper, dessen rumliche Bewegung durch Translation des krperfesten Punkts O und die Rotation um diesen Punkt (s. rumliche Bewegung, Bild 9) festgelegt ist, so unterscheidet sich das Problem von dem der Krperbewegung dadurch, dass jetzt der Vektor r1 ðtÞ nicht nur infolge Fahrzeugdrehung seine Richtung, sondern zustzlich infolge Relativbewegung seine Richtung und Grße ndert. Entsprechend der Darstellung fr die rumliche Krperbewegung gemß den Gln. (27) bis (30) gilt hier (Bild 15 a) rP ðtÞ ¼ r0 ðtÞ þ r1 ðtÞ;
ð34Þ
uðtÞ ¼ r_ P ðtÞ ¼ r_ 0 ðtÞ þ r_ 1 ðtÞ ¼ r_ 0 ðtÞ þ wðtÞe r1 þ dr r1 =dt ¼ uF þ ur :
ð35Þ
Fhrungs- oder Fahrzeuggeschwindigkeit. Gleichung (35) enthlt die Regel: Die Ableitung r_ 1 einen Vektors im krperfesten System nach der Zeit enthlt den Anteil we r1 von der Drehung des Systems und die sogenannte relative Ableitung im System selbst. Entsprechend ergibt sich fr die Beschleunigung (Bild 15 b) d d ðwe r1 Þ þ ur dt dt _ þ w_eÞ r1 þ we r_ 1 þ u_ r : ¼ €r0 þ ½ðwe
_ ¼ u_ F þ u_ r ¼ €r0 þ aðtÞ ¼ uðtÞ
Mit r_ 1 aus Gl. (35) und u_ r ¼ we ur þ dr ur =dt ¼ we ur þ dr2 r1 =dt2 ¼ we ur þ ar folgt _ þ w_eÞ r1 þ we ðwe r1 Þ aðtÞ ¼€r0 þ ½ðwe þ dr2 r1 =dt2 þ 2we ur ¼ aF þ ar þ aC :
ð36Þ
Die ersten drei Glieder dieser Gleichung stimmen mit denen der rumlichen Bewegung des starren Krpers gemß Gl. (30) berein, stellen also die Fhrungs- oder Fahrzeugbeschleunigung aF dar. Das vierte Glied ist die Relativbeschleunigung ar , und das letzte Glied ist die sogenannte Coriolisbeschleunigung aC , die sich infolge Relativbewegung zustzlich ergibt. Sie wird zu null, wenn w=0 ist (d. h., wenn das Fahrzeug eine reine Translation ausfhrt) oder e und ur parallel zueinander sind (Relativgeschwindigkeit in Richtung der momentanen Drehachse) oder wenn ur ¼ 0 ist. Sie hat die Grße aC ¼ 2wur sin b, wobei b der Winkel zwischen w und ur ist, und sie steht im Sinne einer Rechtsschraube senkrecht zu den Vektoren e und ur . Bei der ebenen Bewegung (Bewegung eines Punkts auf einer ebenen Scheibe) stehen die Vektoren e und ur senkrecht zueinander, d. h., sin b ¼ 1 und somit aC ¼ 2wur . Im brigen gelten auch hier u ¼ uF þ ur und a ¼ aF þ ar þ aC ;
ð37Þ
wobei dann alle Vektoren in der Scheibenebene liegen.
Hierbei ist dr r1 =dt ¼ ur die Relativgeschwindigkeit des Punkts gegenber dem Fahrzeug und r_ 0 þ we r1 ¼ uF die
Beispiel: Bewegung im rotierenden Rohr (Bild 16). In einem Rohr, das sich nach dem (beliebig) vorgegebenen j(t)-Gesetz dreht, bewegt sich relativ ein Massenpunkt nach dem ebenfalls gegebenen WegZeit-Gesetz sr ðtÞ nach außen. Fr einen beliebigen Zeitpunkt t sind Absolutgeschwindigkeit und -beschleunigung des Massenpunkts zu ermitteln. – Aus sr ðtÞ erhlt man fr Relativgeschwindigkeit und -beschleunigung ur ðtÞ ¼ s_ r und ar ðtÞ ¼ €sr , whrend die Fhrungsbewe-
Bild 14. Beschleunigungspol
Bild 16. Bewegung im rotierenden Rohr
I2.2
Bewegung starrer Krper
B 23
B
Bild 17. Umlaufgetriebe
gung mit uF ðtÞ ¼ sr ðtÞwðtÞ sowie aFt ðtÞ ¼ sr ðtÞaðtÞ, aFn ðtÞ ¼ € beschrieben wird. Die Coriolissr ðtÞw2 ðtÞ mit wðtÞ ¼ j_ und aðtÞ ¼ j beschleunigung wird dann aC ¼ 2wðtÞur ðtÞ mit der Richtung senkrecht ur . Absolutgeschwindigkeit und -beschleunigung werden gemß Gl. (37) durch geometrische Zusammensetzung erhalten (Bild 16). Beispiel: Umlaufgetriebe (Bild 17). Die mit der Winkelgeschwindigkeit w1 rotierende Kurbel fhrt das Planetenrad, das sich mit w2;1 gegenber der Kurbel dreht, auf dem feststehenden Sonnenrad. – Nach Gl. (37) wird uP ¼ uF þ ur mit der Grße uP ¼ w1 ðl þ rÞ þ w2;1 r und entsprechend uP0 ¼ w1 ðl rÞ w2;1 r. Da das Sonnenrad feststeht, ist uP0 ¼ 0, woraus
Bild 18 a, b. Rotation zweier Scheiben. a Geschwindigkeiten; b Beschleunigungen
w2;1 ¼ w1 ðl rÞ=r und uP ¼ w1 ðl þ rÞ þ w1 ðl rÞ ¼ 2w1 l folgen. Die Bewegung des Planetenrads lsst sich deuten als eine Drehung mit w2 ¼ w1 þ w2;1 ¼ w1 l=r um sein Momentanzentrum P0 (Berhrungspunkt von Planeten- mit Sonnenrad), woraus ebenfalls uP ¼ w2 2r ¼ 2w1 l folgt. Hieraus ergibt sich allgemein, dass die Resultierende zweier Winkelgeschwindigkeiten w1 und w2 um parallele Achsen im Abstand L so wie bei zwei Krften (Hebelgesetz) gefunden wird, nmlich zu wres ¼ w1 þ w2 im Abstand l1 ¼ Lw2 =ðw1 þ w2 Þ von der Achse von w1 . Beispiel: Rotation zweier Scheiben um parallele Achsen (Bild 18). Ein um das feste Lager B rotierender Stab hat die Winkelgeschwindigkeit w1 und die Winkelbeschleunigung a1 . In seinem Punkt O ist eine Scheibe gelagert, die sich im selben Moment ihm gegenber mit w2;1 > w1 und a2;1 dreht. Gesucht sind die momentanen Geschwindigkeits- und Beschleunigungsvektoren eines beliebigen Punkts P. – Fr Punkt A ist nach Gl. (37) uA ¼ uA; F þ uA; r mit uA; r ¼ w2;1 OA und uA; F ¼ w1 BA ¼ w1 BO þ w1 OA ¼ u0 þ w1 OA; so dass uA ¼ uA; F uA; r ¼ u0 ðw2;1 w1 Þ OA wird. Mit w2;1 w1 ¼ w2 sowie u0 =w2 ¼ l2 ¼ OM wird uA ¼ w2 ðOM OAÞ ¼ w2 MA; d. h. eine reine Drehgeschwindigkeit um das Momentanzentrum M (Bild 18 a). Da u0 ¼ r0 w1 und somit l2 ¼ r0 w1 =ðw2;1 w1 Þ gilt, ist das eine Besttigung des Satzes ber die Zusammensetzung von Winkelgeschwindigkeiten fr parallele Achsen, wobei im Fall gegenlufiger Drehungen fr wres die Differenz der beiden Winkelgeschwindigkeiten anzusetzen ist und ihre Achse außerhalb der beiden gegebenen Achsen liegt. Sind beide Winkelgeschwindigkeiten entgegengesetzt gleich groß, wird wres ¼ 0, die Scheibe fhrt eine reine Translation (hier mit u0 ) aus. Fr den beliebigen Punkt P gilt nach Gl. (37) uP ¼ uP; F þ uP; r , wobei gemß Gl. (35)
Beispiel: Drehung um zwei einander schneidende Achsen (Bild 19). Eine abgewinkelte Achse rotiert mit w1 und fhrt ein Kegelrad, das sich mit w2;1 relativ zu dieser Achse dreht und auf einem festen Kegel abrollt. Nach Gl. (35) ist dann uP ¼ uF þ ur ¼ ðu0 þ w1 r1 Þ þ w2;1 r1 ¼ ðw1 r0 þ w1 r1 Þ þ w2;1 r1 mit dem Betrag uP ¼ w1 r0 sin b þ w1 r1 sinð90° bÞ þ w2;1 r1 ¼ w1 r0 sin b þ w1 r1 cos b þ w2;1 r1 und entsprechend uP0 ¼ w1 r0 sin b w1 r1 cos b w2;1 r1 : Aus uP0 ¼ 0 folgt mit cot g ¼ r0 =r1 der Zusammenhang zwischen den Winkelgeschwindigkeiten (Zwanglauf) w2;1 ¼ w1 ðcot g sin b cos bÞ ¼ w1 sinðb gÞ= sin g: Das bedeutet, dass man die Winkelgeschwindigkeiten w1 und w2;1 zu einer Resultierenden w2 gemß w2 ¼ w1 þ w2;1 zusammensetzen darf (Bild 19), denn der Sinussatz fr das Vektoreneck liefert das vorstehende Ergebnis. Die Bewegung des Kegelrads kann also als reine Drehung mit w2 um die Berhrungslinie als Momentanachse beschrieben werden. Zwei Winkelgeschwindigkeiten w1 und w2 um zwei einander schneidende Achsen ergeben allgemein eine Resultierende wres ¼ w1 þ w2 . Beispiel: Umlaufende Kurbelschleife (Bild 20). Die Kurbel (r ¼ 150 mm) dreht sich mit wK ¼ 4 s1 ¼ const. Fr die Stellung
uP; F ¼ r_ 0 þ w1 r1 ¼ u0 þ w1 r1 bzw. auch uP; F ¼ w ðr0 þ r1 Þ ¼ w rP und uP;r ¼ dr r1 =dt ¼ w2;1 r1 sind. Dieses Ergebnis ergibt sich auch aus der reinen Drehung um M zu juP j ¼ w2 MP, wobei uP ? MP ist (Bild 18 a). Die Beschleunigung von Punkt P folgt aus Gln. (37) bzw. (36) aP ¼ aP; F þ aP; r þ aP; C . Dabei ist aP; F ¼ aP; Fn þ aP; Ft mit aP; Fn ¼ w21 rP und aP; Ft ¼ a1 rP ; aP; r ¼ aP; rn þ aP; rt mit aP; rn ¼ w22;1 r1 und aP; rt ¼ a2;1 r1 sowie aP; C ¼ 2w1 uP; r mit dem Betrag aP; C ¼ 2w1 vP; r ¼ 2w1 w2;1 r1 . Die geometrische Zusammensetzung liefert dann aP (Bild 18 b).
Bild 19. Kegelrad
B 24
B
Mechanik – 3 Kinetik
j ¼ 75 sind Winkelgeschwindigkeit wS und -beschleunigung aS der Schleife zu ermitteln. – Der Kulissenstein P fhrt gegenber der Schleife eine Relativbewegung aus. Seine Absolutbewegung ist durch die Kurbelbewegung gegeben: u ¼ wK r ¼ 0;60 m=s, a ¼ an ¼ w2K r ¼ 2;40 m=s2 , da wegen wK ¼ const, also aK ¼ 0, at ¼ aK r ¼ 0 ist. Da die Relativbewegung geradlinig ist, haben Relativgeschwindigkeit ur und -beschleunigung ar die Richtung der Relativbahn, also die der Schleife. Gemß Gl. (37) u ¼ uF þ ur folgt mit bekanntem Vektor u und den bekannten Richtungen von uF ( ? Schleife) und ur (// Schleife) aus dem Geschwindigkeits-Eck (Bild 20) ur ¼ 0;29 m=s und uF ¼ 0;52 m=s. Mit lðj ¼ 75Þ 460 mm wird die Winkelgeschwindigkeit der Schleife wS ¼ uF =l ¼ 1;13 s1 und somit aFn ¼ lw2S ¼ 0;59 m=s2 (Richtung k Schleife). Die Coriolisbeschleunigung aC ¼ 2wS ur ¼ 0;66 m=s2 steht senkrecht auf der Schleife, so dass bei bekanntem Vektor a und den bekannten Richtungen von aFt ( ? Schleife) und ar (k Schleife) gemß Gl. (37) a ¼ aFn þ aFt þ ar þ aC aus dem Beschleunigungs-Eck (Bild 20) ar ¼ 1;45 m=s2 und aFt ¼ 0;50 m=s2 zu erhalten ist, woraus dann aS ¼ aFt =l ¼ 1;09 s2 folgt.
3 Kinetik
Bild 20. Umlaufende Kurbelschleife
so folgt
Die Kinetik untersucht die Bewegung von Massenpunkten, Massenpunktsystemen, Krpern und Krpersystemen als Folge der auf sie wirkenden Krfte und Momente unter Bercksichtigung der Gesetze der Kinematik.
W ¼
Arbeit. Das Arbeitsdifferential ist definiert als Skalarprodukt aus Kraftvektor und Vektor des Wegelements (Bild 1 a). dW ¼ Fdr ¼ Fds cos b ¼ Ft ds. Demnach verrichtet nur die Tangentialkomponente einer Kraft Arbeit. Die Gesamtarbeit ergibt sich mit dW ¼ Fx dx þ Fy dy þ Fz dz zu
W¼
Zs2 s1
FðsÞdr ¼
Zs2
Ft ðsÞds ¼
s1
ZðP2 Þ
¶U ¶U ¶U dx þ dy þ dz ¶x ¶y ¶z
ðP1 Þ
¼
3.1 Energetische Grundbegriffe – Arbeit, Leistung, Wirkungsgrad
ZðP2 Þ
ZðP2 Þ
ð2Þ dU ¼ U1 U2 :
ðP1 Þ
Die Arbeit ist dann vom Integrationsweg unabhngig und gleich der Differenz der Potentiale zwischen Anfangspunkt P1 und Endpunkt P2 . Krfte mit Potential sind Schwerkrfte und Federkrfte (elastische Formnderungskrfte). Spezielle Arbeiten (Bild 2 a–d) a) Schwerkraft. Potential (potentielle Energie) U ¼ FG z, Arbeit WG ¼ U1 U2 ¼ FG ðz1 z2 Þ:
ðFx dx þ Fy dy þ Fz dzÞ: ð1Þ
ðP1 Þ
ð3Þ
b) Federkraft. Potential (potentielle Federenergie) U ¼ bzw. cs2 =2, Federkraft Fc ¼ gradU ¼ ¶U ¶s e ¼ cse
Sie ist gleich dem Inhalt des Tangentialkraft-Weg-Diagramms (Bild 1 b). Fr F ¼ F0 ¼ const folgt W ¼ F0 ðs2 s1 Þ. Haben Krfte ein Potential, d. h., ist F ¼ grad U ¼
¶U ¶U ¶U ex ey ez ; ¶x ¶y ¶z
Bild 1. a Arbeit einer Kraft; b Tangentialkraft-Weg-Diagramm
Bild 2 a – d. Arbeiten. a Schwerkraft; b Federkraft; c Reibungskraft; d Drehmoment
I3.2
Kinetik des Massenpunkts und des translatorisch bewegten Krpers
jFc j ¼ F ¼ cs (c Federrate), Arbeit Wc ¼
Zs2
cs ds ¼ cðs22 s21 Þ=2:
ð4Þ
s1
c) Reibungskraft. Kein Potential, da Reibungsarbeit in Form von Wrme verlorengeht. Arbeit Wr ¼
Zs2
Fr ðsÞ dr ¼
s1
¼
Zs2
ð5Þ
Fr ðsÞ ds:
Fr Fr ¼ const ¼ Fr0 wird Wr ¼ Fr0 ðs2 s1 Þ. d) Drehmoment. Arbeit WM ¼
Zj2
MðjÞdj ¼
j1
MðjÞ cos g dj j1
Zj2
¼
ð6Þ
Mt ðjÞdj;
j1
d. h., nur die zur Drehachse parallele Momentkomponente Mt verrichtet Arbeit. Fr M ¼ const ¼ M0 gilt WM ¼ M0 cos gðj2 j1 Þ ¼ Mt0 ðj2 j1 Þ: Gesamtarbeit. Wirken an einem Krper Krfte und Momente, so gilt Zs2 X Zj2 X ð Fi dri Þ þ ð M i dji Þ
W¼
j1
s1
Zs2 X Zj2 X ¼ ð Fi cos bi dsi Þ þ ð Mi cos gi dji Þ
ð7Þ
j1
s1
Zs2 X Zj2 X ð Fti dsi Þ þ ð Mti dji Þ
¼
Sind mehrere Teile am Prozess beteiligt, so gilt h ¼ h1 h2 h3 . . .
3.2 Kinetik des Massenpunkts und des translatorisch bewegten Krpers 3.2.1 Dynamisches Grundgesetz von Newton (2. Newtonsches Axiom)
s1
Zj2
hm mittlerer Wirkungsgrad (Arbeit ist mit der Zeit vernderlich). Augenblicklicher Wirkungsgrad dWn dWn dWz ¼ Pn =Pz ¼ Pn =ðPn þ Pv Þ: ¼ ð11Þ h¼ dWz dt dt
Fr ðsÞ cos 180°ds
s1
Zs2
B 25
Wirken auf einen freigemachten Massenpunkt (Massenelement, translatorisch bewegten Krper) eine Anzahl ußerer Krfte, so ist die resultierende Kraft FR gleich der zeitlichen nderung des Impulsvektors p ¼ mu bzw., wenn die Masse m konstant ist, gleich dem Produkt aus Masse m und Beschleunigungsvektor a (Bild 3 a): X d ðaÞ ðaÞ ð12Þ Fi ¼ ðmuÞ; FRes ¼ FR ¼ dt X ðaÞ ð13Þ FR ¼ Fi ¼ ma ¼ m du=dt: Die Komponenten in natrlichen bzw. kartesischen Koordinaten (Bild 3 b, c) sind X X 9 ðaÞ ðaÞ FRt ¼ Fit ¼ mat , FRn ¼ Fin ¼ man bzw: > > = X X ðaÞ ðaÞ ð14Þ FRx ¼ Fix ¼ max , FRy ¼ Fiy ¼ may , > X > ; ðaÞ FRz ¼ Fiz ¼ maz : Bei der Lsung von Aufgaben mit dem Newtonschen Grundgesetz muss der Massenpunkt bzw. translatorisch bewegte Krper freigemacht werden, d. h., alle eingeprgten Krfte und alle Reaktionskrfte sind als ußere Krfte anzubringen. Beispiel: Massenpunkt auf schiefer Ebene (Bild 3 d). Die Masse m ¼ 2;5 kg wird aus der Ruhelage 1 von der Kraft F1 ¼ 50 N
j1
s1
const = Fi0 und MiX = const= Mi0 bzw. fr Fi = X Arbeit W ¼ ½Fi0 ðsi2 si1 Þ þ ½Mi0 ðji2 ji1 Þ. Leistung ist Arbeit pro Zeiteinheit. X X M i wi PðtÞ ¼ dW=dt ¼ Fi ui þ X X ¼ Fti ui þ Mti wi X ¼ ðFxi uxi þ Fyi uyi þ Fzi uzi Þ X þ ðMxi wxi þ Myi wyi þ Mzi wzi Þ:
ð8Þ
Also ist fr eine Kraft P ¼ Ft u und fr ein Moment P ¼ Mw. Integration ber die Zeit ergibt die Arbeit W¼
Zt2 t1
dW ¼
Zt2
PðtÞ dt ¼ Pm ðt2 t1 Þ:
t1
Mittlere Leistung: Pm ¼
Zt2
PðtÞ dt=ðt2 t1 Þ ¼ W=ðt2 t1 Þ:
ð9Þ
t1
Wirkungsgrad ist das Verhltnis von Nutzarbeit zu zugefhrter Arbeit, wobei letztere aus Nutz- und Verlustarbeit besteht: hm ¼ Wn =Wz ¼ Wn =ðWn þ Wv Þ
ð10Þ
Bild 3 a – d. Dynamisches Grundgesetz. a Vektoriell; b in natrlichen Koordinaten; c in kartesischen Koordinaten; d Massenpunkt auf schiefer Ebene
B
B 26
B
Mechanik – 3 Kinetik
ðg ¼ 15Þ die schiefe Ebene ðb ¼ 25Þ hinaufbewegt (Gleitreibungszahl m ¼ 0;3Þ. Zu bestimmen sind Beschleunigung, Zeit und Geschwindigkeit beim Erreichen der Lage 2 ðs2 ¼ 4 mÞ. – Da die Bewegung geradlinig ist, muss an ¼ 0 sein. Nach Gl. (14) gilt X ðaÞ Fin ¼ 0; also FRn ¼ Fn ¼ m g cos b þ F1 sinðb þ gÞ ¼ 54;37 N sowie ðaÞ
mat ¼ FRt ¼
X
Bild 4. Zum Prinzip von dAlembert Fit ¼ F1 cosðb þ gÞ FG sin b Fr ;
woraus mit Fr ¼ mFn ¼ 16;31 N at ¼ 4;65 m=s2 folgen.
dann
mat ¼ 11;63 N
und
somit keine Arbeit verrichten, gilt
Mit den Gesetzen der gleichmßig beschleunigten Bewegung aus der Ruhelage (s. B 2.1.1) ergeben sich pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi t2 ¼ 2s2 =at ¼ 1;31 s und u2 ¼ 2at s2 ¼ 6;10 m=s:
bzw. in kartesischen Koordinaten
3.2.2 Arbeits- und Energiesatz Aus Gl. (13) folgt nach Multiplikation mit dr und Integration der Arbeitssatz W1; 2 ¼
Zðr2 Þ
FR dr ¼
ðr1 Þ
¼
Zðr2 Þ m
du dr ¼ dt
ðr 1 Þ
Zu2 mu du u1
ð15Þ
m 2 m 2 u u ¼ E2 E1 ; 2 2 2 1
d. h., die Arbeit ist gleich der Differenz der kinetischen Energien. Haben alle am Vorgang beteiligten Krfte ein Potential, verluft der Vorgang also ohne Energieverluste, so gilt W1; 2 ¼ U1 U2 (s. B 3.1), und aus Gl. (15) folgt der Energiesatz U1 þ E1 ¼ U2 þ E2 ¼ const:
ð16Þ
Beispiel: Massenpunkt auf schiefer Ebene (Bild 3 d). Fr das Beispiel in B 3.2.1 ist die Geschwindigkeit u2 nach dem Arbeitssatz zu ermitteln. – Mit u1 ¼ 0, d. h. E1 ¼ 0, wird mu22 =2 ¼ W1; 2 ¼ F1 cosðb þ gÞs2 Fr s2 FG h ¼ 46;51 Nm:
dW ¼ ðFe þ Fr maÞdr ¼ 0
dW ¼ðFex þ Frx max Þdx þ ðFey þ Fry may Þdy þ ðFez þ Frz maz Þdz ¼ 0
ð19Þ
ð20Þ
bzw. in natrlichen Koordinaten dW ¼ ðFet Fr mat Þds ¼ 0
ð21Þ
(entsprechend in Zylinderkoordinaten usw.; s. folgendes Beispiel). Die Gln. (19) bis (21) stellen das dAlembertsche Prinzip in der Lagrangeschen Fassung dar. Das Prinzip eignet sich besonders fr Aufgaben ohne Reibung, da es die Berechnung der Zwangskrfte erspart. Beispiel: Massenpunkt auf Schraubenlinie (s. B 2 Bild 7). Die Masse m bewege sich reibungsfrei infolge ihrer Gewichtskraft eine zylindrische Schraubenlinie hinunter, die durch Zylinderkoordinaten r0 ðtÞ ¼ r0 ¼ const; jðtÞ und zðtÞ ¼ ðh=2pÞjðtÞ beschrieben ist (s. B 2.1.3). – Aus rðtÞ ¼ r0 er þ 0 ej þ zðtÞez folgt dr ¼ r0 dj ej þ dzez : € r0 ej þ j € ðh=2pÞez Mit Fe ¼ FG ¼ mgez sowie aðtÞ ¼ j_ 2 r0 er þ j gemß B 2.1.3 wird nach Gl. (19) € dj m€ jðh=2pÞdz ¼ 0 dW ¼ ðFe maÞdr ¼ mg dz mr02 j und mit dz ¼ ðh=2pÞdj
Somit ist pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi u2 ¼ 2 46;51 Nm=2;5 kg ¼ 6;10 m=s:
€ þ h2 =ð2pÞ2 j € ¼ 0; m dj½gh=2p þ r02 j gh=ð2pr02 Þ ¼ const ¼ A folgt. Die Integration er1 þ h2 =ð2pr0 Þ2 _ ¼ At þ C1 und jðtÞ ¼ At2 =2 þ C1 t þ C2 , wobei die Integibt jðtÞ grationskonstanten aus Anfangsbedingungen zu ermitteln sind. Die Gln. in B 2.1.3 liefern dann mit b ¼ arctan½h=ð2pr0 Þ die Bewegungsgesetze des Massenpunkts: €¼ woraus j
3.2.3 Impulssatz Aus Gl. (13) folgt nach Multiplikation mit dt und Integration fr konstante Masse m p1;2 ¼
Zt2 t1
FR dt ¼
Zu2
sðtÞ ¼ r0 ðAt2 =2 þ C1 t þ C2 Þ= cos b; uðtÞ ¼ r0 ðAt þ C1 Þ= cos b;
m du ¼ mu2 mu1 ¼ p2 p1 :
ð17Þ
u1
also eine gleichmßig beschleunigte (rcklufige) Bewegung.
Das Zeitintegral der Kraft, der sog. Antrieb, ist also gleich der Differenz der Impulse. 3.2.4 Prinzip von dAlembert und gefhrte Bewegungen Aus dem Newtonschen Grundgesetz folgt fr den Massenpunkt FR ma ¼ 0, d. h., ußere Krfte und Trgheitskraft (negative Massenbeschleunigung, dAlembertsche Hilfskraft) bilden einen „Gleichgewichtszustand“. Im Fall der gefhrten Bewegung setzt sich die Resultierende FR aus den eingeprgten Krften Fe , den Zwangskrften Fz und den Reibungskrften Fr zusammen: Fe þ Fz þ Fr ma ¼ 0:
an ðtÞ ¼ r0 ðAt þ C1 Þ2 ; at ðtÞ ¼ r0 A= cos b ¼ const;
ð18Þ
Wird auf dieses „Gleichgewichtssystem“ das Prinzip der virtuellen Arbeiten (s. B 1.4.3) angewendet, so folgt (Bild 4) dW ¼ ðFe þ Fz þ Fr maÞdr ¼ 0: Hierbei ist dr eine mit der Fhrung geometrisch vertrgliche Verrckung tangential zur Bahn. Da die Fhrungskrfte Fz normal zur Bahn stehen und
3.2.5 Impulsmomenten- (Flchen-) und Drehimpulssatz Nach vektorieller Multiplikation mit einem Radiusvektor r folgt aus Gl. (13) r FR ¼ M R ¼ r ma: Wegen u mu ¼ 0 gilt MR ¼
d dD ðr muÞ ¼ dt dt
ð22Þ
Impulsmomentensatz: Die zeitliche nderung des Impulsmoments D ¼ r mu (auch Drehimpuls oder Drall genannt) ist gleich dem resultierenden Moment. Nun ist r mu ¼ mðr dr=dtÞ und r dr ¼ 2dA ein Vektor, dessen Betrag gleich ist dem doppelten Flcheninhalt der vom Vektor r berstrichenen Flche (Bild 5). Damit nimmt Gl. (22) die Form an d dA d2 A MR ¼ ð23Þ 2m ¼ 2m 2 dt dt dt
I3.3
B 27
Kinetik des Massenpunktsystems
3.3.1 Schwerpunktsatz Das Newtonsche Grundgesetz fr freigemachte Massenpunkte und die Summation ber den gesamten Verband liefert n X
ðaÞ
FRi þ
i¼1
Flchensatz: Das resultierende Moment ist gleich dem Produkt aus doppelter Masse und der Ableitung der Flchengeschwindigkeit dA=dt. Ist FR eine Zentralkraft, d. h. stets in Richtung von r gerichtet, so wird M R ¼ r FR ¼ 0 und damit nach Gl. (23) dA=dt ¼ const, d. h., die Flchengeschwindigkeit ist konstant, der Radiusvektor berstreicht in gleichen Zeiten gleiche Flchen (2. Keplersches Gesetz). Aus Gl. (22) folgt M R dt ¼
t1
Zt2 t1
dðr muÞ ¼
Zt2
dD ¼ D2 D1
ð24Þ
t1
Drehimpulssatz: Das Zeitintegral ber das Moment ist gleich der Differenz der Drehimpulse. Ist M R ¼ 0, so gilt D1 ¼ D2 ¼ const:
n X
Ein Massenpunktsystem ist ein aufgrund innerer Krfte (z. B. Massenanziehung, Federkrfte, Stabkrfte) zusammengehaltener Verband von n Massenpunkten (Bild 6 a). Fr die inneren Krfte gilt das 3. Newtonsche Axiom von actio ¼ reactio, ðiÞ
ð25Þ
mi ai :
i¼1
X
ðiÞ
Fik ¼ 0 und nach B 1 Gl. (25)
ðaÞ
FRi ¼ maS
ð26Þ
i¼1
Schwerpunktsatz: Der Massenmittelpunkt (Schwerpunkt) eines Massenpunktsystems bewegt sich so, als ob die Gesamtmasse in ihm vereinigt wre und alle ußeren Krfte an ihm angreifen wrden.
3.3.2 Arbeits- und Energiesatz Aus Gl. (25) folgt nach Multiplikation mit dri (differentiell kleiner Verschiebungsvektor des i-ten Massenpunkts) und nach Integration zwischen zwei Zeitpunkten 1 und 2 ð2Þ
XZ
3.3 Kinetik des Massenpunktsystems
ðiÞ
ðiÞ
Fik ¼
i; k¼1
ð2Þ
ðaÞ
FRi dri þ
ð1Þ
d. h. Fik ¼ Fki .
n X
Da fr die inneren Krfte X €rS m ¼ mi€ri ist, folgt
Bild 5. Impulsmomentensatz (Flchensatz)
Zt2
n X
ðaÞ
ðiÞ
W1;2 þ W1;2 ¼
XZ
X
ð2Þ
ðiÞ
Fik dri ¼
XZ
ð1Þ
ð1Þ
mi ui dui bzw: ð27Þ
ðmi =2Þðu2i2 u2i1 Þ
Arbeitssatz: Die Arbeit der ußeren und inneren Krfte am Massenpunktsystem (wobei die der Zwangskrfte wieder null ist) ist gleich der Differenz der kinetischen Energien. Die inneren Krfte verrichten bei starren Verbindungen der Massenpunkte keine Arbeit. Haben alle beteiligten Krfte ein Potential, so gilt der Energiesatz Gl. (16). Beispiel: Punktmassen auf schiefen Ebenen (Bild 6 b). Die beiden ber ein nichtdehnbares Seil verbundenen Massen werden aus der Ruhelage von der Kraft F die schiefen Ebenen entlang gezogen. Gesucht sind ihre Geschwindigkeiten nach Zurcklegen einer Strecke s1 . – Nach dem Freimachen ergeben sich die Normaldruckkrfte (Zwangskrfte) zu Fn2 ¼ FG2 cos b2 und Fn1 ¼ FG1 cos b1 F sin b1 , wobei als Voraussetzung des Nichtabhebens F % FG1 cot b1 sein muss. Damit sind die Reibungskrfte Fr2 ¼ m2 Fn2 und Fr1 ¼ m1 Fn1 : Der Arbeitssatz Gl. (27) liefert F cos b1 s1 þ FG1 h1 Fr1 s1 FS s1 þ FS s2 FG2 h2 Fr2 s2 ¼ m1 u21 =2 þ m2 u22 =2; und mit s2 ¼ s1 ; u2 ¼ u1 (nichtdehnbares h1 ¼ s1 sin b1 und h2 ¼ s2 sin b2 ist dann
Seil!)
sowie mit
u21 ¼2s1 ½F cos b1 þ FG1 sin b1 m1 ðFG1 cos b1 F sin b1 Þ FG2 sin b2 m2 FG2 cos b2 =ðm1 þ m2 Þ:
3.3.3 Impulssatz Aus Gl. (25) folgt nach Multiplikation mit dt und Integration XZ
t2
t
¼
1 X
XZ
XZ
t2
ðaÞ
FRi dt þ
XZ
t2
ðiÞ
Fik dt ¼
t1
mi
dui dt dt
t1
mi ðui2 ui1 Þ ¼ p2 p1 :
t2
Da
t1
Bild 6 a, b. Massenpunktsystem. a Allgemein; b zwei Massen
ðiÞ
Fik dt ¼ 0 und nach B 1 Gl. (25) muS ¼
ergibt sich
X
mi ui ist,
B
B 28
Mechanik – 3 Kinetik
XZ
t2
p2 p1 ¼
B
ðaÞ
FRi dt ¼
X
mi ðui2 ui1 Þ ¼ mðuS2 uS1 Þ ð28Þ
t1
Impulssatz: Das Zeitintegral ber die ußeren Krfte des Systems ist gleich der Differenz aller Impulse bzw. gleich der Differenz der Schwerpunktimpulse. – Sind keine ußeren Krfte vorhanden, so folgt aus Gl. (28) X X mi ui2 ¼ const bzw: mi ui1 ¼ ð29Þ muS1 ¼ muS2 ¼ const; d. h., der Gesamtimpuls bleibt erhalten. Beispiel: Massenpunktsystem und Impulssatz (Bild 7). Eine Feder (Federrate c), die um den Betrag s1 vorgespannt war, schleudert die Massen m1 und m2 auseinander. Zu ermitteln sind deren Geschwindigkeiten. – Unter Vernachlssigung von Reibungskrften whrend des Entspannungsvorgangs der Feder wirken am System keine ußeren Krfte in Bewegungsrichtung, so dass mit u11 ¼ 0 und u21 ¼ 0 aus Gl. (29) m1 u12 m2 u22 ¼ 0; also m1 u12 ¼ m2 u22 ; folgt. Hiermit liefert der Energiesatz, Gl. (16), cs21 =2 ¼ þm1 u212 =2 þ m2 u222 =2 dann qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi u12 ¼ cs21 =ðm1 þ m21 =m2 Þ und u22 ¼ cs21 =ðm2 þ m22 =m1 Þ:
3.3.4 Prinzip von dAlembert und gefhrte Bewegungen X ðaÞ X X ðiÞ Aus Gl. (25) folgt FRi þ ð mi ai Þ ¼ Fik : WeX ðiÞ gen Fik ¼ 0 sind die verlorenen Krfte, das ist die Gesamtheit der ußeren Krfte zuzglich der Trgheitskrfte (negative Massenbeschleunigungen), am Massenpunktsystem im Gleichgewicht: X X ðaÞ mi ai Þ ¼ 0: ð30Þ FRi þ ð Das Prinzip eignet sich in dieser Fassung besonders zur Berechnung der Schnittlasten dynamisch beanspruchter Systeme, wobei man die Schnittlasten als ußere Krfte einfhrt. Im Fall gefhrter Bewegungen setzt sich die Resultierende der ußeren Krfte an den einzelnen Massenpunkten aus den ðeÞ
eingeprgten Krften Fi ; den Fhrungs- oder Zwangskrften ðzÞ
ðrÞ
Fi und den Reibungskrften Fi zusammen. Fr starre Systeme erhlt man mit dem Gleichgewichtsprinzip der virtuellen Arbeiten (s. B 1.4.3), indem man jedem Massenpunkt eine mit den geometrischen Bindungen vertrgliche Verrckung dri erteilt, dann aus Gl. (30) X ðeÞ ðzÞ ðrÞ ½FRi þ FRi þ FRi þ ðmi ai Þdri ¼ 0: Da die Zwangskrfte bei Verrckungen keine Arbeit verrichten, folgt das dAlembertsche Prinzip in Lagrangescher Fassung: X ðeÞ ðrÞ ð31Þ ½FRi þ FRi þ ðmi ai Þdri ¼ 0: In kartesischen bzw. natrlichen Koordinaten lautet Gl. (31) entsprechend den Gln. (20) und (21) fr den Massenpunkt. Dieses Prinzip ist besonders zur Berechnung des Beschleunigungszustands von gefhrten Bewegungen ohne Reibung geeignet, da es die Berechnung der Zwangskrfte erspart. Beispiel: Physikalisches Pendel (Bild 8). – Fr das aus zwei punktfrmigen Massen m1 und m2 an „masselosen“ Stangen (gegeben r1 ; r2 ; h und somit b ¼ arc sinðh=r2 ÞÞ bestehende Pendel wird die
Bild 7. Zum Impuls- und Energiesatz
Bild 8. Physikalisches Pendel
Schwingungsdifferentialgleichung aufgestellt. Bei fehlenden Reibungskrften nimmt das dAlembertsche Prinzip in Lagrangescher Fassung in natrlichen Koordinaten analog Gl. (21) die Form X ðeÞ dW ¼ ðFti mi ati Þdsi ¼ 0 an; damit wird dW ¼ðFG1 sin j m1 at1 Þds1 þ ðFG2 sinðb þ jÞ m2 at2 Þds2 ¼ 0: € , at2 ¼ r2 j € erhlt man Mit ds1 ¼ r1 dj, ds2 ¼ r2 dj sowie at1 ¼ r1 j €Þ þ m2 ðgr2 sinðb þ jÞ þ r22 j €Þdj ¼ 0; woraus die ½m1 ðgr1 sin j þ r12 j nichtlineare Differentialgleichung dieser Pendelschwingung folgt: € ðm1 r12 þ m2 r22 Þ þ m1 gr1 sin j þ m2 gr2 sinðj þ bÞ ¼ 0: Fr kleine j Auslenkungen j nimmt sie wegen sin j j und sinðj þ bÞ €ðm1 r12 þ m2 r22 Þ þ jðm1 gr1 þ j cos b þ sin b die Form j m2 gr2 cos bÞ ¼ m2 gr2 sin b an, deren Lsung in B 4 beschrieben wird.
3.3.5 Impulsmomenten- und Drehimpulssatz ðaÞ
ðiÞ
Aus dem Newtonschen Grundgesetz FRi þ Fik ¼ mi ai folgt nach vektorieller Multiplikation mit einem Radiusvektor ri und Summation ber das gesamte Massenpunktsystem X X X ðaÞ ðiÞ ðri Fik Þ ¼ ðri mi ai Þ: ðri FRi Þ þ Hieraus folgt analog der Ableitung von Gl. (22) X dX dD ðaÞ ðaÞ ðri FRi Þ ¼ MR ¼ ðri mi ui Þ ¼ dt dt
ð32Þ
Impulsmomenten- oder Drallsatz: X Die zeitliche nderung des Dralls (Drehimpulses) D ¼ ðri mi ui Þ ist gleich dem resultierenden Moment der ußeren Krfte am Massenpunktsystem. Gleichung (32) gilt bezglich eines raumfesten Punkts oder bezglich des beliebig bewegten Schwerpunkts. Aus ihr folgt nach Integration ber die Zeit der Drehimpulssatz analog Gl. (24).
3.3.6 Lagrangesche Gleichungen Sie liefern durch Differentiationsprozesse ber die kinetische Energie die Bewegungsgleichungen des Systems. Ein System mit n Massenpunkten kann zwar 3n Freiheitsgrade haben, jedoch bestehen hufig zwischen einigen Koordinaten aufgrund mechanischer Bindungen Abhngigkeiten, wodurch die Zahl der Freiheitsgrade auf m (im Grenzfall bis auf m =1) reduziert wird. Handelt es sich um holonome Systeme, bei denen die Beziehungen zwischen den Koordinaten in endlicher Form und nicht in Differentialform darstellbar sind, dann gel-
I3.4 ten die Lagrangeschen Gleichungen (2. Art): d ¶E ¶E ¼ Qk ðk ¼ 1; 2; . . . ; mÞ: dt ¶q_ k ¶qk
ð33Þ
Hierbei ist E die gesamte kinetische Energie des Systems, qk sind die generalisierten Koordinaten der m Freiheitsgrade, Qk die generalisierten Krfte. Ist qk eine Lnge, so ist das zugehrige Qk eine Kraft; ist qk ein Winkel, so ist das dazu gehrige Qk ein Moment. Die Lagrangesche Kraft Qk erhlt man aus X ðaÞ X ðaÞ Qk dqk ¼ Fi dsi bzw: Qk ¼ ð Fi dsi Þ=dqk ; ð34Þ wobei dsi Verschiebungen des Systems infolge alleiniger nderung (Variation) der Koordinate qk sind ðdqi ¼ 0; i 6¼ kÞ: ¶U Haben die beteiligten Krfte ein Potential, so gilt Qk ¼ ¶qk ¶U und ¼ 0: Damit folgt aus Gl. (33) ¶q_ k d ¶E ¶E ¶U ¼ bzw: dt ¶q_ k ¶qk ¶qk ð35Þ d ¶L ¶L ¼ 0; dt ¶q_ k ¶qk wobei L ¼ E U ¼ Lðq1 . . . qm ; q_ 1 . . . q_ m Þ die Lagrangesche Funktion ist. Beispiel: Schwinger mit einem Freiheitsgrad (Bild 9). Die Schwingung wird fr kleine Auslenkungen j, d. h. fr x ¼ l1 j und y ¼ l2 j; und unter Vernachlssigung der Stangen- und Federmassen untersucht. – Es gilt E ¼ m1 x_ 2 =2 þ m2 y_ 2 =2 ¼ m1 l21 j_ 2 =2 þ m2 l22 j_ 2 =2; also ¶E ¶E d ¶E _ d. h. ¼ ðm1 l21 þ m2 l22 Þ€ j: ¼ 0 und ¼ ðm1 l21 þ m2 l22 Þj; ¶j ¶j_ dt ¶j_ Ferner ist U ¼ m1 gðl1 þ l2 Þ þ m2 gl2 ð1 cos jÞ þ cðl2 jÞ2 =2; d. h. ¶U ¶U ¼ m2 gl2 sin j þ cl22 j: Mit sin j j wird ¼ ðm2 gl2 þ cl22 Þj: Aus ¶j ¶j Gl. (35) folgt dann mit qk ¼ j € ðm1 l21 þ m2 l22 Þ þ jðm2 gl2 þ cl22 Þ ¼ 0 (Lsung s. B 4). j
3.3.7 Prinzip von Hamilton Whrend die Lagrangeschen Gleichungen ein Differentialprinzip darstellen, handelt es sich hier um ein Integralprinzip (aus dem sich auch die Lagrangeschen Gleichungen herleiten lassen). Es lautet Zt2
ðdW ðeÞ þ dEÞ dt ¼ 0:
Haben die eingeprgten Krfte ein Potential, ist also dW ðeÞ ¼ dU ein totales Differential, so wird daraus ðdE dUÞ dt ¼ d
t1
Zt2 t1
ðE UÞ dt ¼ d
d. h., die Variation des Zeitintegrals ber die Lagrangesche Funktion wird null, das Zeitintegral nimmt einen Extremwert an.
B 3.3.8 Systeme mit vernderlicher Masse Grundgleichung des Raketenantriebs: Infolge des ausgestoße_ nen Massenstroms mðtÞ mit der Relativgeschwindigkeit ur ðtÞ (Relativbewegung) ist die Raketenmasse m(t) vernderlich. Aus dem dynamischen Grundgesetz, Gl. (12), folgt dann d ðaÞ _ _ FR ¼ ½mðtÞuðtÞ ¼ mðtÞuðtÞ þ mðtÞuðtÞ: dt _ Nun ist mðtÞuðtÞ _ ¼ mðtÞu r ðtÞ (die Masse nimmt ab) und ðaÞ ðaÞ _ somit FR ¼ mðtÞaðtÞ mðtÞu r ðtÞ bzw. mðtÞaðtÞ ¼ FR þ ðaÞ _ mðtÞu r ðtÞ: Wirken keine ußeren Krfte ðFR ¼ 0Þ; so gilt
_ mðtÞaðtÞ ¼ mðtÞu r ðtÞ ¼ FS ðtÞ;
ð36Þ
d. h., a ist parallel zu ur ; und FS ðtÞ ist der Schub der Rakete. Ist ferner m_ ¼ m_ 0 ¼ const; ur ¼ ur0 ¼ const und ur parallel zu u, so wird die Bahn eine Gerade. Dann gilt mðtÞat ðtÞ ¼ m_ 0 ur0 ¼ FS0 : Die verlorene Masse bis zur Zeit t ist mðtÞ ¼ m_ 0 t und somit mðtÞ ¼ m0 m_ 0 t: Mit at ¼ du=dt wird dann m_ ur0 m_ 0 ur0 du ¼ : ¼ 0 dt m0 m_ 0 t m0 ½1 ðm_ 0 =m0 Þt Die Integration mit den Anfangsbedingungen uðt ¼ 0Þ ¼ 0 und sðt ¼ 0Þ ¼ 0 liefert m_ uðtÞ ¼ ur0 ln 1 0 t und m0 m_ m_ m_ m0 ur0 sðtÞ ¼ 1 0 t ln 1 0 t þ 0 t : m_ 0 m0 m0 m0
3.4 Kinetik starrer Krper Ein starrer Krper ist ein kontinuierliches Massenpunktsystem mit unendlich vielen starr miteinander verbundenen Massenelementen. Die kinematischen Grundlagen sind in B 2.2 beschrieben. Ein starrer Krper kann eine Translation, eine Rotation oder eine allgemeine ebene bzw. rumliche Bewegung ausfhren.
Zt2 t1
Ldt ¼ 0;
Entsprechend Gl. (26) fr das Massenpunktsystem gilt hier bei Integration ber den ganzen Krper der Schwerpunktsatz X ðaÞ ðaÞ ðeÞ ðzÞ FR ¼ FR þ FR ¼ Fi ¼ maS ð37Þ bzw. in Komponenten (bei Drehung um die z-Achse, Bild 10 a) 9 X ðeÞ ðeÞ ðzÞ Fix þ FAx þ FBx ¼ maSx , > FRx þFRx ¼ > > = X ðeÞ ðeÞ ðzÞ ð38 acÞ Fiy þ FAy þ FBy ¼ maSy , FRy þFRy ¼ > > X ðeÞ > ðeÞ ðzÞ ; F þF ¼0 F þF ¼ Rz
Rz
aSx ¼ w2z xS
Bild 9. Schwinger
B 29
3.4.1 Rotation eines starren Krpers um eine feste Achse
t1
Zt2
Kinetik starrer Krper
iz
Az
mit az yS und aSy ¼ az xS w2z yS [s. B 2, Gl. (25 b)]. Diese Gleichungen gelten sowohl fr ein raumfestes als auch fr ein mitdrehendes (krperfestes) System mit Nullpunkt auf der Drehachse. Ferner gilt analog dem Massenpunktsystem der Drallsatz Z d dD ðaÞ ðeÞ ðzÞ ðr uÞdm ¼ : ð39Þ MR ¼ MR þ MR ¼ dt dt
B 30
Mechanik – 3 Kinetik
ber, whrend das dynamische Grundgesetz fr die Drehbewegung nach Gl. (42 c) lautet X ðeÞ ðeÞ Mi ¼ Ja ð45Þ MR ¼ Z J ¼ r 2 dm; wobei r der Abstand senkrecht zur Drehachse
B
ist. Arbeits- und Drehimpulssatz. Aus Gl. (45) folgen W1;2 ¼
Zj2
ðeÞ
MR dj ¼
j1
¼J
Zj2 J
dw dj dt
j1
Zw2
ð46Þ
J w dw ¼ ðw22 w21 Þ; 2
w1
Bild 10 a, b. Kinetische Lagerdrcke. a Allgemein; b Welle mit schiefsitzender Scheibe
D2 D1 ¼
Aus Gl. (39) wird hiermit "Z Z ex ey ez d d ðeÞ ðzÞ y z dm ¼ MR þ MR ¼ wz xz dmex x dt dt ux uy 0 # Z Z þ wz yz dmey þ wz ðx2 þ y2 Þ dmez d ð41Þ ½wz Jxz ex wz Jyz ey þ wz Jz ez ; dt Z Z Jxz ¼ xz dm, Jyz ¼ yz dm Deviations- oder ZentrifugalZ Z momente, Jz ¼ ðx2 þ y2 Þ dm ¼ rz2 dm axiales Massentrg¼
heitsmoment. In Komponenten 9 X ðeÞ ðeÞ ðzÞ > MRx þ MRx ¼ Mix þ FAy l1 FBy l2 > > > 2 > > ¼ dðw J Þ=dt ¼ J a þ w J , z xz xz z yz = z X ðeÞ ðzÞ ðeÞ ð42 acÞ MRy þ MRy ¼ Miy þ FBx l2 FAx l1 > > 2 > ¼ dðw J Þ=dt ¼ J a w J , > z yz yz z xz z > X ðeÞ > ðeÞ M ¼ M ¼ dðw J Þ=dt ¼ J a : ; Rz
z z
iz
z z
Diese Gleichungen gelten sowohl fr ein raumfestes als auch fr ein mitdrehendes Koordinatensystem x, y, z mit Nullpunkt auf der Drehachse. Im ersten Fall sind Jxz und Jyz zeitlich vernderlich, im zweiten Fall konstant. Die Gln. (38 a–c) und (42 a, b) liefern die unbekannten fnf Auflagerreaktionen, wobei az und wz aus Gl. (42 c) folgen. Dabei ergeben die einðeÞ
ðeÞ
ðeÞ
geprgten Krfte Fi und Momente Mix und Miy die rein statischen Auflagerreaktionen, whrend die kinetischen AuflaðeÞ
ðeÞ
ðeÞ
gerreaktionen sich mit Fi ¼ 0, Mix ¼ Miy ¼ 0 aus ðkÞ
ðkÞ
ðkÞ
ðkÞ
ðkÞ
FAx þ FBx ¼ maSx ; FAy þ FBy ¼ maSy ; FAz ¼ 0; ðkÞ FAy l1 ðkÞ
ðkÞ FBy l2 ðkÞ
¼ Jxz az þ w2z Jyz ;
FBx l2 FAx l1 ¼ Jyz az w2z Jxz
ð43Þ ð44Þ
berechnen lassen. Nach diesen Gleichungen verschwinden sie, wenn aS ¼ 0 wird, also die Drehachse durch den Schwerpunkt geht und wenn sie eine Haupttrgheitsachse ist, d. h., die Zentrifugalmomente Jxz und Jyz null werden. Die Drehachse heißt dann freie Achse. Fr sie gehen die Gln. (38 a–c) sowie (42 a, b) in die bekannten Gleichgewichtsbedingungen
¼J
ðeÞ
MR dt ¼
t1
Gemß B 2.2 Gl. (23) gilt in kartesischen Koordinaten (bei Drehung um die z-Achse, d. h. mit wx ¼ wy ¼ 0Þ ux ¼ ðwy z wz yÞ ¼ wz y; uy ¼ ðwz x wx zÞ ¼ wz x; ð40Þ uz ¼ ðwx y wy xÞ ¼ 0:
Zt2
Zt2 J
dw dt dt
t1
Zw2
ð47Þ
dw ¼ Jðw2 w1 Þ:
w1
Beispiel: Welle mit schiefsitzender Scheibe (Bild 10 b). Auf einer mit wz ¼ const ¼ w0 rotierenden Welle ist eine vollzylindrische Scheibe (Radius r, Dicke h, Masse m) unter dem Winkel y geneigt aufgekeilt. Zu ermitteln sind die Auflagerkrfte. – Als einzige eingeprgte Kraft erzeugt die zentrische Gewichtskraft FG ¼ m g keine Momente, so dass die Gln. (38 a–c) und (42 a, b) mit aSx ¼ aSy ¼ 0 und (wegen wz ¼ constÞ az ¼ 0 FAx þ FBx ¼ 0; FAy þ FBy ¼ 0, FG þ FAz ¼ 0, FAy l1 FBy l2 ¼ w20 Jyz , FBx l2 FAx l1 ¼ w20 Jxz ergeben. Mit den Richtungswinkeln der x-Achse gegenber den Hauptachsen x, h, z (s. B 3.4.2) a1 ¼ 0, b1 ¼ 90°, g1 ¼ 90°; mit denen der yAchse a2 ¼ 90°, b2 ¼ y; g2 ¼ 90° þ y und denen der z-Achse a3 ¼ 90°, b3 ¼ 90° y, g3 ¼ y erhlt man gemß Gl. (52) Jyz ¼ J1 cos a2 cos a3 J2 cos b2 cos b3 J3 cos g2 cos g3 ¼ J2 cos y sin y þ J3 sin y cos y und entsprechend Jxz ¼ 0: Nach Tab. 1 ist J2 ¼ Jh ¼ mð3r 2 þ h2 Þ=12; J3 ¼ Jz ¼ mr 2 =2 und somit Jyz ¼ ½mð3r 2 h2 Þ=24 sin 2y; so dass sich die Auflagerkrfte FAx ¼ FBx ¼ 0; FAz ¼ FG ; FAy ¼ FBy ¼ fw20 mð3r 2 h2 Þ=½24ðl1 þ l2 Þg sin 2y ergeben.
3.4.2 Allgemeines ber Massentrgheitsmomente (Bild 11) Axiale Trgheitsmomente: Z Z 9 Jx ¼ ðy2 þ z2 Þdm ¼ rx2 dm; > > > > > Z Z = 2 2 2 Jy ¼ ðx þ z Þdm ¼ ry dm; > > Z Z > > > Jz ¼ ðx2 þ y2 Þdm ¼ rz2 dm: ;
ð48Þ
Polares Trgheitsmoment sowie Deviations- oder Zentrifugalmomente: Z Z Jp ¼ r 2 dm ¼ ðx2 þ y2 þ z2 Þ dm ¼ ðJx þ Jy þ Jz Þ=2; Z Z Z ð49Þ Jxy ¼ xy dm; Jxz ¼ xz dm; Jyz ¼ yz dm: Die Trgheitsmomente lassen sich mit Jx ¼ Jxx , Jy ¼ Jyy und Jz ¼ Jzz zum Trgheitstensor, einem symmetrischen Tensor 2. Stufe, zusammenfassen. In Matrixschreibweise gilt 0 1 Jxx Jxy Jxz Jyy Jyz A: J ¼ @ Jyx Jzx Jzy Jzz
I3.4
Kinetik starrer Krper
B 31
Tabelle 1. Massentrgheitsmomente homogener Krper
B
Bild 11. Massentrgheitsmomente
Hauptachsen. Wird Jxh ¼ Jxz ¼ Jhz ¼ 0, so liegen Haupttrgheitsachsen x, h, z vor. Die zugehrigen axialen Haupttrgheitsmomente J1 , J2 , J3 verhalten sich so, dass eins das absolute Maximum und ein anderes das absolute Minimum aller Trgheitsmomente des Krpers ist. Hat ein Krper eine Symmetrieebene, so ist jede dazu senkrechte Achse eine Hauptachse. Allgemein erhlt man die Haupttrgheitsmomente als Extremalwerte der Gl. (50) mit der Nebenbedingung h ¼ cos2 a þ cos2 b þ cos2 g 1 ¼ 0. Mit den Abkrzungen cos a ¼ l, cos b ¼ m, cos g ¼ u folgen mit J ¼ Jx l2 þ Jy m2 þ Jz u2 2Jxy lm 2Jyz mu 2Jxz lu und f ¼ J ch aus df =dl ¼ 0 usw. drei homogene lineare Gleichungen fr l, m, u, die nur dann eine nichttriviale Lsung haben, wenn ihre Koeffizientendeterminante null wird. Daraus erhlt man die kubische Gleichung fr c mit den Lsungen c1 ¼ J1 , c2 ¼ J2 und c3 ¼ J3 .
B 32
B
Mechanik – 3 Kinetik
Trgheitsellipsoid. Trgt man in Richtung der Achsen x, y, z pffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffi pffiffiffiffi die Grßen 1= Jx , 1= Jy , 1= Jz ab, so liegen die Endpunkte auf dem Trgheitsellipsoid mit den Hauptachsen pffiffiffiffiffi 1= J1 usw. und der Gleichung J1 x2 þ J2 h2 þ J3 z2 ¼ 1: Liegt hierbei der Koordinatenanfangspunkt im Schwerpunkt, spricht man vom Zentralellipsoid; die zugehrigen Hauptachsen sind dann freie Achsen. Trgheitsmomente bezglich gedrehter Achsen. Fr eine unter den Winkeln a, b, g gegen x, y, z geneigte Achse x folgt mit ex ¼ ðcos a; cos b; cos g) aus Jx ¼ ex JeTx (s. www.dubbel.de) sowie mit Jxy ¼ Jyx usw. Jx ¼Jx cos2 a þ Jy cos2 b þ Jz cos2 g 2Jxy cos a cos b 2Jyz cos b cos g
ð50Þ
2Jxz cos a cos g: Sind dagegen a1 , b1 , g1 die Richtungswinkel der x-Achse gegenber den Hauptachsen x, h, z, so gilt fr das axiale Trgheitsmoment Jx ¼ J1 cos2 a1 þ J2 cos2 b1 þ J3 cos2 g1 ;
ð51Þ
Jy ; Jz entsprechend mit den Richtungswinkeln a2 , b2 , g2 bzw. a3 , b3 , g3 der y- bzw. z-Achse gegenber den Hauptachsen. Die zugehrigen Deviationsmomente sind (fr Jxz und Jyz entsprechend) Jxy ¼ J1 cos a1 cos a2 J2 cos b1 cos b2 J3 cos g1 cos g2 :
ð52Þ
Satz von Steiner. Fr parallele Achsen gilt Jx ¼ Jx þ ðy2S þ z2S Þm, Jy ¼ Jy þ ðz2S þ x2S Þm, Jz ¼ Jz þ ðx2S þ y2S Þm, Jxy ¼ Jxy þ xS yS m, Jxz ¼ Jxz þ xS zS m, Jyz ¼ Jyz þ yS zS m;
ð53Þ
x, y, z sind zu x, y, z parallele Achsen durch den Schwerpunkt. Trgheitsradius. Wird die Gesamtmasse in Entfernung i von der Drehachse (bei gegebenem J und m) vereinigt, so gilt pffiffiffiffiffiffiffiffiffi J ¼ i2 m bzw. i ¼ J=m. Reduzierte Masse. Denkt man sich die Masse mred in beliebiger Entfernung d von der Drehachse angebracht (bei gegebenem J), so gilt J ¼ d2 mred bzw. mred ¼ J=d 2 . Berechnung der Massentrgheitsmomente. Fr Einzelkrper mittels dreifacher Integrale Z Z Z Z rðy2 þ z2 Þ dx dy dz: Jx ¼ rx2 dm ¼
ðaÞ
Z d ðaÞ Mi ¼ ðr uÞdm dt ey ez Z ex d dD ¼ y z dm ¼ : x dt dt x_ y_ 0
MR ¼
X
(Der Momentensatz gilt bezglich eines raumfesten Punkts oder des beliebig bewegten Schwerpunkts.) In kartesischen Koordinaten 9 X ðaÞ X ðaÞ ðaÞ ðaÞ FRx ¼ Fix ¼ maSx ; FRy ¼ Fiy ¼ maSy ; > > > X > > ðaÞ ðaÞ > > Fiz ¼ 0; FRz ¼ > > Z > 2 Z 2 > d Jyz > d d ðaÞ MRx ¼ z_y dm ¼ 2 zy dm ¼ 2 ; = dt dt dt ð56Þ Z Z > > d d2 d2 Jxz > ðaÞ > z_x dm ¼ 2 zx dm ¼ 2 ; MRy ¼ > > > dtZ dt dt > > > d > ðaÞ > MRz ¼ ðx_y x_ yÞ dm ; dt bzw. mit Gl. (40) und wz ¼ w Z Z d d d ðaÞ MRz ¼ wðx2 þ y2 Þ dm ¼ wrz2 dm ¼ ðwJz Þ: dt dt dt ðaÞ
ðaÞ
MRx und MRy sind die zur Erzwingung der ebenen Bewegung ntigen ußeren Momente, wenn z keine Haupttrgheitsachse ist. Ist z eine Haupttrgheitsachse (Jyz ¼ Jxz ¼ 0), so folgen d ðaÞ ðaÞ ðaÞ MRx ¼ 0, MRy ¼ 0, MRz ¼ ðwJz Þ bzw. bezglich des krdt perfesten Schwerpunkts mit JS ¼ const X ðaÞ ðaÞ MRS ¼ MiS ¼ JS a: ð57Þ Arbeitssatz: Z Z m 2 JS ðaÞ ðaÞ uS2 þ w22 W1;2 ¼ FR dr þ M RS dj ¼ 2 2 m 2 JS uS1 þ w21 ¼ E2 E1 2 2
Jx ¼
Zra Z2p
þh=2 Z
rr 2 ðr dj dr dzÞ
r¼0 j¼0 z¼h=2
¼ rðra4 =4Þ2ph ¼ mra2 =2: Fr zusammengesetzte Krper gilt mit dem Satz von Steiner X Jx ¼ ½Jxi þ ðy2Si þ z2Si Þmi usw. (s. C 2.4.5 Flchenmomente 2. Ordnung). 3.4.3 Allgemeine ebene Bewegung starrer Krper Ebene Bewegung bedeutet z ¼ const bzw. uz ¼ wx ¼ wy ¼ 0 und az ¼ ax ¼ ay ¼ 0. Wie beim Massenpunktsystem gelten Schwerpunktsatz und Drallsatz (Momentensatz) X ðaÞ ðaÞ FR ¼ Fi ¼ maS ; ð54Þ
ð58Þ
Haben die ußeren Krfte und Momente ein Potential, so gilt der Energiesatz U1 þ E1 ¼ U2 þ E2 ¼ const : Impuls- und Drehimpulssatz: p2 p1 ¼
Zt2
ðaÞ
FR dt ¼ mðuS2 uS1 Þ
ð59Þ
t1
D2 D1 ¼ Je nach Krperform verwendet man auch Zylinder- oder Kugelkoordinaten. Zum Beispiel wird fr den vollen Kreiszylinder (s. Tab. 1)
ð55Þ
Zt2
ðaÞ
M RS dt ¼ JS ðw2 w1 Þ
ð60Þ
t1
DAlembertsches Prinzip. Die verlorenen Krfte, d. h. die Summe aus eingeprgten Krften und Trgheitskrften, halten sich am Gesamtkrper das Gleichgewicht. Mit dem Gleichgewichtsprinzip der virtuellen Verrckungen gilt dann in Lagrangescher Fassung ðeÞ
ðeÞ
ðFR maS Þ drS þ ðM RS JS aÞ dj ¼ 0:
ð61Þ
Beispiel: Rollbewegung auf schiefer Ebene (Bild 12). Aus der Ruhelage soll ein zylindrischer Krper (r; m; JS ) von der Kraft F die schiefe Ebene (Neigungswinkel b) hinaufgerollt werden ohne zu gleiten. Zu ermitteln sind seine Schwerpunktbeschleunigung sowie Zeit und Geschwindigkeit bei Erreichen der Lage 2 nach Zurcklegen des Wegs s2 . – Da der Schwerpunkt eine geradlinige Bewegung ausfhrt, fllt sein Beschleunigungsvektor in die Bewegungsrichtung. Schwerpunktsatz, Gl. (54), und Momentensatz, Gl. (57), liefern (Bild 12 a) maS ¼ F cos b FG sin b Fr und JS a ¼ Fr r, woraus mit a ¼ aS =r wegen des reinen Rollens aS ¼ ðF cos b FG sin bÞ=ðm þ JS =r 2 Þ
I3.4 folgt. Mit den Gesetzen der gleichmßig beschleunigten Bewegung pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi aus der Ruhelage (s. B 2.1.1) ergeben sich uS2 ¼ 2aS s2 und t2 ¼ uS2 =aS . Der Arbeitssatz, Gl. (58), ðF cos b FG sin bÞs2 ¼ mu2S2 =2 þ JS w22 =2 liefert mit w2 ¼ uS2 =r wiederum pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi uS2 ¼ 2ðF cos b FG sin bÞs2 =ðm þ JS =r 2 Þ: Impulssatz und Drehimpulssatz, Gln. (59) und (60), ðF cos b FG sin b Fr Þt2 ¼ muS2 und Fr rt2 ¼ JS w2
Kinetik starrer Krper
B 33
Mit dz ¼ ra dj; ds ¼ ri dj und dy ¼ ds=r3 ¼ djri =r3 bzw.
B
€ ¼ ra a2 ; a3S ¼ €s ¼ ri j € ¼ ri a2 und a1 ¼ €z ¼ ra j € ¼ €s=r3 ¼ a2 ri =r3 a3 ¼ y wird dj½ðFG1 Fr1 Þra m1 ra2 a2 J2 a2 FG3 ri sin b m3 ri2 a2 J3S ðri =r3 Þ2 a2 ¼ 0: Die Winkelbeschleunigung der Seilscheibe ist also
ergeben ebenfalls t2 ¼ uS2 ðm þ JS =r 2 Þ=ðF cos b FG sin bÞ ¼ uS2 =aS : Das d’Alembertsche Prinzip in der Lagrangeschen Fassung nach Gl. (61) fhrt zu (Bild 12 b)
a2 ¼ ½ðFG1 Fr1 Þra FG3 ri sin b=½m1 ra2 þ J2 þ m3 ri2 þ J3S ðri =r3 Þ2 ; womit auch a1 ¼ ra a2 , a3S ¼ ri a2 und a3 ¼ a2 ri =r3 bestimmt sind.
ðF cos b FG sin b maS Þ ds þ ð0 JS aÞdj ¼ 0;
3.4.4 Allgemeine rumliche Bewegung
mit a ¼ aS =r, dj ¼ ds=r folgt 2
ds½F cos b FG sin b maS JS aS =r ¼ 0; also wieder 2
aS ¼ ðF cos b FG sin bÞ=ðm þ JS =r Þ:
Ebene Starrkrpersysteme. Die Bewegung lsst sich auf verschiedene Weise berechnen: – Freimachen jedes Einzelkrpers und Ansatz von Schwerpunktsatz, Gl. (54), und Momentensatz, Gl. (57), wenn z Haupttrgheitsachse ist, – Anwenden des dAlembertschen Prinzips, Gl. (61), auf das aus n Krpern bestehende System X ðeÞ X ðeÞ ðM Ri JiS ai Þ dji ¼ 0; ð62Þ ðFRi mi aiS Þ driS þ – Anwenden der Lagrangeschen Bewegungsgleichungen Gln. (33)–(35).
Bewegungsgleichungen sind mit dem Schwerpunktsatz und dem Drall- oder Momentensatz gegeben: X ðaÞ ðaÞ FR ¼ Fi ¼ maS ð63Þ ðaÞ
MR ¼
X
ðaÞ
Mi ¼
x
¼
ð64Þ
y
z
d ½ðwx Jx wy Jxy wz Jxz Þex dt þðwy Jy wx Jxy wz Jyz Þey
ð65Þ
þðwz Jz wx Jxz wy Jyz Þez :
ðaÞ
Bild 13. Starrkrpersystem
ðr uÞ dm
Diese Gleichung bezieht sich auf ein raumfestes Koordinatensystem x, y, z (Bild 14), dessen Koordinatenanfangspunkt auch im Schwerpunkt liegen kann, d. h., die Grßen Jx , Jxy usw. sind zeitabhngig, da sich die Lage des Krpers ndert. Wird nach Euler ein krperfestes, mitbewegtes Koordinatensystem x, h, z eingefhrt (der Einfachheit halber in Richtung der Haupttrgheitsachsen des Krpers) und der Winkelgeschwindigkeitsvektor in diesem Koordinatensystem in seine Komponenten w ¼ w1 e1 þ w2 e2 þ w3 e3 zerlegt, so nimmt Gl. (65) die Form MR ¼
Bild 12 a, b. Rollbewegung auf schiefer Ebene
Z
(Erluterungen s. Gln. (26) und (32)). Der Momentensatz gilt bezglich eines raumfesten Punkts oder des beliebig bewegten Schwerpunkts. In kartesischen Koordinaten mit u gemß B 2 Gl.(23) wird ey ez Z ex d ðaÞ y z dm MR ¼ x dt u u u
Beispiel: Beschleunigungen eines Starrkrpersystems (Bild 13). Das System bewege sich in den angedeuteten Richtungen, wobei in der Fhrung von m1 die Reibkraft Fr1 wirkt und die Walze eine reine Rollbewegung ausfhrt. – Das dAlembertsche Prinzip in der Lagrangeschen Fassung, Gl. (62), liefert ðFG1 Fr1 m1 a1 Þ dz J2 a2 dj ðFG3 sin b þ m3 a3S Þ ds J3S a3 dy ¼ 0:
dD d ¼ dt dt
d ½w1 J1 e1 þ w2 J2 e2 þ w3 J3 e3 dt
ð66Þ
an, wobei jetzt J1 , J2 , J3 konstant und w1 J1 usw. die Komponenten des Drallvektors D im bewegten Koordinatensystem sind. Mit der Regel fr die Ableitung eines Vektors im be-
Bild 14. Allgemeine rumliche Bewegung
B 34
B
Mechanik – 3 Kinetik
wegten Koordinatensystem (s. B 2 Gl. (35)) wird dD=dt ¼ dr D=dt þ w D, wobei dr D=dt die Ableitung des Vektors D relativ zum mitbewegten Koordinatensystem ist. Aus Gl. (66) folgt in Komponenten 9 ðaÞ MRx ¼ ½w_ 1 J1 þ w2 w3 ðJ3 J2 Þ; > > > = ðaÞ ð67Þ MRh ¼ ½w_ 2 J2 þ w1 w3 ðJ1 J3 Þ; > > > ; ðaÞ MRz ¼ ½w_ 3 J3 þ w1 w2 ðJ2 J1 Þ: Das sind die Eulerschen Bewegungsgleichungen eines Krpers im Raum bezglich der Hauptachsen mit einem raumfesten Punkt oder dem beliebig bewegten Schwerpunkt als Ursprung. Aus den drei gekoppelten Differentialgleichungen ergeben sich jedoch nur die Winkelgeschwindigkeiten w1 ðtÞ, w2 ðtÞ, w3 ðtÞ bezglich des mitbewegten Koordinatensystems, nicht aber die Lage des Krpers gegenber den raumfesten Richtungen x, y, z. Hierzu ist die Einfhrung der Eulerschen Winkel j, y, J erforderlich [1]. Die Lage des Schwerpunkts eines im Raum frei bewegten Krpers ist aus dem Schwerpunktsatz, Gl. (63), wie fr einen Massenpunkt (s. B 3.2) berechenbar. Zt2 Drehimpulssatz :
ðaÞ
M R dt ¼
t1
Zt2
dD ¼ D2 D1
t1
ðaÞ
Fr M R ¼ 0 wird D2 ¼ D1 , d. h., ohne Einwirkung ußerer Momente behlt der Drallvektor seine Richtung im Raum bei. Energiesatz: Haben die einwirkenden Krfte ein Potential, so gilt U1 þ E1 ¼ U2 þ E2 ¼ const : Kinetische Energie E ¼ mu2S =2 þ ðJ1 w21 þ J2 w22 þ J3 w23 Þ=2
d. h. jeweils Drehung um eine Haupttrgheitsachse (Bewegung stabil, falls Drehung um die Achse des grßten oder kleinsten Trgheitsmoments). Fr den symmetrischen Kreisel folgen mit J1 ¼ J2 die Gleichungen, s. [2, 3], € 1 þ l2 w1 ¼ 0 und w € 2 þ l 2 w2 ¼ 0 w3 ¼ const; w mit den Lsungen w1 ¼ c sinðlt aÞ und w2 ¼ c cosðlt aÞ; wobei l ¼ ðJ3 =J1 1Þw3 . Mit w21 þ w22 ¼ c2 ¼ const folgt, dass der Winkelgeschwindigkeitsvektor w ¼ w1 ex þ w2 eh þ w3 ez (die momentane Drehachse) einen Kreiskegel im krperfesten System, den Gangpolkegel, beschreibt, der auf dem Rastpolkegel, dessen Achse der feste Drallvektor ist, abrollt (Bild 15 a). Die Figurenachse z beschreibt dabei den Przessionskegel (regulre Przession). Schwerer Kreisel. Hier sei speziell der schnell umlaufende symmetrische Kreisel unter Eigengewicht betrachtet (Bild 15 b). Beim schnellen Kreisel ist D w3 J3 ez , d. h., Drallvektor und Figurenachse fallen nherungsweise zusamðaÞ
men. Aus dem Drallsatz folgt dD ¼ M R dt ¼ ðr FG Þ dt, d. h., der Kreisel trachtet, seine Figurenachse parallel und gleichsinnig zu dem auf ihn wirkenden Moment einzustellen (Satz von Poinsot). Nach Bild 15 b gilt M ¼ FG r sin J, dD ¼ D sin J dj. Aus dD ¼ Mdt folgt wP ¼ dj=dt ¼ FG r=D FG r=ðJ3 w3 Þ. wP ist die Winkelgeschwindigkeit der Przession des Kreisels. Wegen wP fllt der Drallvektor nicht genau in die Figurenachse, daher berlagert sich der Przession noch die Nutation [2, 3].
w1 ¼ const; w2 ¼ w3 ¼ 0 oder w2 ¼ const; w1 ¼ w3 ¼ 0 oder
Gefhrter Kreisel. Er ist ein umlaufender, in der Regel rotationssymmetrischer Krper, dem Fhrungskrfte eine nderung des Drallvektors aufzwingen, wodurch das Moment der Kreiselwirkung und damit verbunden zum Teil erhebliche Auflagerkrfte entstehen (Kollergang, Schwenken von Radstzen und Schiffswellen usw.). Fr ein Fahrzeug in der Kurve liefert die Kreiselwirkung der Rder ein zustzliches Kippmoment. Umgekehrt finden gefhrte Kreisel als Stabilisierungselemente fr Schiffe, Einschienenbahnen usw. Verwendung. Beim horizontal schwimmend angeordneten Kreiselkompass wird die Drallachse durch die Erddrehung in NordSd-Richtung gezwungen. Fr den in (Bild 15 c) dargestellten und mit wF gefhrten Rotationskrper gilt ex eh ez dD ðaÞ M ¼ 0 wF ¼ wF w1 J1 eh ¼ wF D ¼ 0 dt w1 J 1 0 wF J 3
w3 ¼ const; w1 ¼ w2 ¼ 0;
bzw. M ðaÞ ¼ FA l ¼ wF w1 J1 , d. h. FA ¼ wF w1 J1 =l. Das Mo-
Kreiselbewegung (Bild 15). Hierunter versteht man die Drehung eines starren Krpers um einen festen Punkt. Es gelten die Eulerschen Bewegungsgleichungen, Gl. (67). Krftefreier Kreisel. Sind alle Momente der ußeren Krfte null, d. h. Lagerung im Schwerpunkt (Bild 15 a), und wirken sonst keine Krfte und Momente, so ist die Bewegung krftefrei; der Drallvektor behlt seine Richtung und Grße im Raum bei. Dabei ergeben sich die mglichen Bewegungsformen des Kreisels aus J1 w_ 1 ¼ ðJ2 J3 Þw2 w3 ; J2 w_ 2 ¼ ðJ3 J1 Þw1 w3 ; J3 w_ 3 ¼ ðJ1 J2 Þw1 w2 ; also entweder
Bild 15 a–c. Kreisel. a Krftefreier; b schwerer; c gefhrter
ðkÞ
ðkÞ
I3.6
Stoß
B 35
ðkÞ
ment der Kreiselwirkung erzeugt in den Lagern die zu FA entgegengesetzten Auflagerdrcke.
B
3.5 Kinetik der Relativbewegung Bei einer gefhrten Relativbewegung gilt fr die Beschleunigung nach B 2.2 Gl. (36) und damit fr das Newtonsche Grundgesetz ðaÞ
FR ¼ maF þ mar þ maC :
ð68Þ
Fr einen auf dem Fahrzeug befindlichen Beobachter ist nur die Relativbeschleunigung wahrnehmbar ðaÞ mar ¼ FR
ðaÞ maF maC ¼ FR
þ FF þ FC ;
ð69Þ
d. h., den ußeren Krften sind die Fhrungskraft und die Corioliskraft hinzuzufgen. Beispiel: Bewegung in rotierendem Rohr (Bild 16). In einem Rohr, das um eine vertikale Achse mit aF ðtÞ und wF ðtÞ rotiert, wird mittels eines Fadens die Masse m mit der Relativbeschleunigung ar ðtÞ und der Relativgeschwindigkeit ur ðtÞ reibungsfrei nach innen gezogen. Fr eine beliebige Lage r(t) sind die Fadenkraft sowie die Normalkraft zwischen Masse und Rohr zu bestimmen. – Mit aF ¼ aFn þ aFt ðaFn ¼ rw2F ; aFt ¼ raF Þ und aC ¼ 2wF ur erhlt man an der freigemachten Masse nach Gl. (68) FS ¼ mðar þ aFn Þ ¼ mðar þ rw2F Þ und Fn ¼ mðaC aFt Þ ¼ mð2wF ur raF Þ:
Beim Stoß zweier Krper gegeneinander werden in kurzer Zeit relativ große Krfte wirksam, denen gegenber andere Krfte wie Gewichtskraft und Reibung vernachlssigbar sind. Die Normale der Berhrungsflchen heißt Stoßnormale. Geht sie durch die Schwerpunkte beider Krper, so nennt man den Stoß zentrisch, sonst exzentrisch. Liegen die Geschwindigkeiten in Richtung der Stoßnormalen, so ist es ein gerader, sonst ein schiefer Stoß. ber die whrend des Stoßes in der Berhrungsflche bertragene Kraft und die Stoßdauer liegen nur wenige Ergebnisse vor [4, 5]. Der Stoßvorgang wird unterteilt in die Kompressionsperiode K, whrend der die Stoßkraft zunimmt, bis beide Krper die gemeinsame Geschwindigkeit u erreicht haben, und in die Restitutionsperiode R, in der die Stoßkraft abnimmt und die Krper ihre unterschiedlichen Endgeschwindigkeiten c1 und c2 erreichen (Bild 17). Stoßimpulse oder Kraftstße in der Kompressionsperiode und in der Restitutionsperiode ergeben sich zu: Zt2
FK ðtÞdt; pR ¼
t1
Zt3
FR ðtÞdt
ð70Þ
t2
pK und pR werden mittels der Newtonschen Stoßhypothese zueinander in Beziehung gesetzt: pR ¼ kpK ;
3.6.1 Gerader zentraler Stoß Mit u1 und u2 als Geschwindigkeiten beider Krper vor dem Stoß (Bild 17), u und c1 bzw. c2 wie erlutert, folgt aus den Gln. (70) und (71) u ¼ ðm1 u1 þ m2 u2 Þ=ðm1 þ m2 Þ; c1 ¼ ½m1 u1 þ m2 u2 km2 ðu1 u2 Þ=ðm1 þ m2 Þ; c2 ¼ ½m1 u1 þ m2 u2 þ km1 ðu1 u2 Þ=ðm1 þ m2 Þ; k ¼ pR =pK ¼ ðc2 c1 Þ=ðu1 u2 Þ: Energieverlust beim Stoß m1 m2 DE ¼ ðu1 u2 Þ2 ð1 k2 Þ: 2ðm1 þ m2 Þ Sonderflle:
3.6 Stoß
pK ¼
Bild 17. Kraftverlauf beim Stoß
ð71Þ
wobei k % 1 die Stoßziffer ist. Vollelastischer Stoß: k ¼ 1, teilelastischer Stoß: k < 1, unelastischer oder plastischer Stoß: k ¼ 0. Mittlere Stoßkraft Fm ¼ ðpK þ pR Þ=Dt.
m1 ¼ m2 , k ¼ 1 : m1 ¼ m2 , k ¼ 0 : m2 ! 1, u2 ¼ 0, k ¼ 1 : m2 ! 1, u2 ¼ 0, k ¼ 0 :
u ¼ ðu1 þ u2 Þ=2, c1 ¼ u2 , c2 ¼ u1 ; u ¼ c1 ¼ c2 ¼ ðu1 þ u2 Þ=2; u ¼ 0, c1 ¼ u1 , c2 ¼ 0; u ¼ 0, c1 ¼ 0, c2 ¼ 0:
Ermittlung der Stoßziffer: Bei freiem Fall gegen unendlich pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi große Masse m2 gilt k ¼ ðc2 c1 Þ=ðu1 u2 Þ ¼ h2 =h1 ; h1 Fallhhe vor dem Stoß, h2 Steighhe nach dem Stoß. k abhngig von Auftreffgeschwindigkeit, bei u 2;8 m=s fr Elfenbein k ¼ 8=9, Stahl k ¼ 5=9, Glas k ¼ 15=16, Holz k ¼ 1=2. Stoßkraft und Stoßdauer. Fr den rein elastischen Stoß zweier Kugeln mit den Radien r1 und r2 hat Hertz [4] max F ¼ k1 u6=5 abgeleitet, wobei u die relative Geschwindig2=5
keit und k1 ¼ ½1;25 m1 m2 =ðm1 þ m2 Þ3=5 c1 ist, mit pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi c1 ¼ ð16=3Þ=½ 1=r1 þ 1=r2 ðJ1 þ J2 Þ; J ¼ ð2=GÞð1 uÞ; G Schubmodul, u Querdehnzahl. Ferner fr die Stoßdauer pffiffiffi 5 m1 m2 2=5 T ¼ k2 = 5 u mit k2 ¼ 2;943 . 4c1 m1 þ m2 3.6.2 Schiefer zentraler Stoß Mit den Bezeichnungen nach Bild 18 a gelten die Gleichungen u1 sin a ¼ c1 sin a0 ; u2 sin b ¼ c2 sin b0 ; c1 cos a0 ¼ u1 cos a ½ðu1 cos a u2 cos bÞð1 þ kÞ=ð1 þ m1 =m2 Þ; c2 cos b0 ¼ u2 cos b ½ðu2 cos b u1 cos aÞð1 þ kÞ=ð1 þ m2 =m1 Þ; aus denen man a0 , b0 , c1 und c2 erhlt. Beispiel: Stoß einer Kugel gegen eine Wand (Bild 18 b). – Mit u2 ¼ c2 ¼ 0 und m2 ! 1 folgt aus den vorstehenden Gleichungen c1 cos a0 ¼ ku1 cos a; tan a0 ¼ tan a00 ¼ ðtan aÞ=k sowie pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi c1 ¼ ku1 cos a= cos a0 ¼ u1 cos a k2 þ tan2 a:
Bild 16. Relativbewegung
Fr k ¼ 1 wird a0 ¼ p a bzw. a00 ¼ a und c1 ¼ u1 , d. h. Einfallswinkel gleich Ausfallswinkel (Reflexionsgesetz) bei gleichbleibender Geschwindigkeit.
B 36
Mechanik – 4 Schwingungslehre
3.6.3 Exzentrischer Stoß Stßt eine Masse m1 gegen einen pendelnd aufgehngten Krper (Bild 18 c) mit dem Trgheitsmoment J0 um den Drehpunkt 0, so gelten alle Formeln fr den geraden zentralen Stoß, wenn dort m2 durch die reduzierte Masse m2red ¼ J0 =l2 ersetzt wird. Ferner gelten die kinematischen Beziehungen u2 ¼ w2 l usw. Fr den Kraftstoß auf den Aufhngepunkt gilt (wenn w2 ¼ 0)
B
p0 ¼ ð1 þ kÞm1 u1 ðJ0 m2 lrS Þ=ðJ0 þ m1 l2 Þ: Dieser Impuls wird null fr l ¼ lr ¼ J0 =ðm2 rS Þ bzw: rS ¼ rSr ¼ JS =ðm2 bÞ: lr oder rSr geben die Lage des Stoßmittelpunkts an, der beim Stoß kraftfrei bleibt bzw. um den sich (Momentanzentrum) ein freier angestoßener Krper dreht. lr ist gleichzeitig die reduzierte Pendellnge bei Ersatz durch ein mathematisches Fadenpendel. 3.6.4 Drehstoß Bild 18 a–d. Stoß. a Schiefer zentraler Stoß; b Reflexionsgesetz; c exzentrischer Stoß; d Drehstoß
4 Schwingungslehre 4.1 Systeme mit einem Freiheitsgrad Beispiele hierfr sind das Feder-Masse-System, das physikalische Pendel, ein durch Bindungen auf einen Freiheitsgrad reduziertes Starrkrpersystem (Bild 1). Zunchst werden nur lineare Systeme untersucht; bei ihnen sind die Differentialgleichungen selbst und die Koeffizienten linear. Voraussetzung dafr ist eine lineare Federkennlinie Fc ¼ cs (Bild 2 b). 4.1.1 Freie ungedmpfte Schwingungen Feder-Masse-System (Bild 1 a). Aus dem dynamischen Grundgesetz folgt mit der Auslenkung s aus der Nulllage und der Federrate c die Differentialgleichung s bzw: €s þ w21s ¼ g mit w21 ¼ c=m: FG cs ¼ m€
Fr zwei rotierende zusammenstoßende Krper (Bild 18 d) setzt man m1 ¼ J1 =l21 , m2 ¼ J2 =l22 , u1 ¼ w1 l1 , u2 ¼ w2 l2 usw. und fhrt damit das Problem auf den geraden zentralen Stoß zurck. Dann gelten die Formeln in B 3.6.1.
Sie ergibt sich auch aus dem Energiesatz U þ E ¼ const d dh c m i ðU þ EÞ ¼ mgðh sÞ þ s2 þ s_ 2 ¼ 0; bzw: aus dt dt 2 2 s ¼ 0, also d. h. mgs_ þ css_ þ ms_ € € s þ ðc=mÞs ¼ g:
ð1Þ
Die Lsung ist sðtÞ ¼ C1 cos w1 t þ C2 sin w1 t þ mg=c. Die partikulre Lsung mg=c entspricht der statischen Auslenkung sst ¼ FG =c; die Schwingung findet also um die statische Ruhelage statt: sðtÞ ¼ sðtÞ sst ðtÞ ¼ C1 cos w1 t þ C2 sin w1 t ¼ A sinðw1 t þ bÞ:
ð2Þ
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi Dabei ist die Amplitude der Schwingung A ¼ C12 þ C22 und die Phasenverschiebung b ¼ arctanðC1 =C2 Þ. C1 und C2 bzw. A und b sind aus den Anfangsbedingungen zu bestimmen;
Bild 1 a–h. Schwinger mit einem Freiheitsgrad. a Feder-Masse-System; b physikalisches Pendel; c Starrkrpersystem; d schwingende Wassersule; e einseitig eingespannter, f gelenkig gelagerter und g beidseitig eingespannter Balken mit Einzelmasse; h Drehschwinger
I4.1 z. B. sðt ¼ 0Þ ¼ s1 und s_ ðt ¼ 0Þ ¼ 0 liefern C2 ¼ 0 und C1 ¼ s1 bzw. A ¼ s1 und b ¼ p=2. Die Schwingung ist eine harmonische Bewegung mit der Eigen- bzw. Kreisfrequenz (Anzahl der Schwingungen in 2p Sepffiffiffiffiffiffiffiffi kunden) w1 ¼ c=m ðmit c ¼ Federrate, m ¼ EinzelmasseÞ bzw. der Hertzschen Frequenz u1 ¼ w1 =2p und der Schwingungsdauer T ¼ 1=u1 ¼ 2p=w1 (Bild 2 c). Grßtwerte: Geschwindigkeit u ¼ Aw1 , Beschleunigung a ¼ Aw21 , Federkraft Fc ¼ cA. Fr die Eigenkreisfrequenz gilt mit der statischen Auslenkung pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi sst ¼ FG =c, d. h. c ¼ mg=sst , auch w1 ¼ g=sst mit Fg ¼ Gewichtskraft, g ¼ ErdbeschleunigungÞ. Bestimmung der Federrate. Jedes elastische System stellt eine Feder dar. Die Federrate ist c=F/f, wenn f die Auslenkung der Masse infolge der Kraft F ist. Fr die Federn nach Bild 1 e–g ist c ¼ F=ðFl3 =3EIy Þ ¼ 3EIy =l3 , c ¼ 48EIy =l3 und c ¼ 192EIy =l3 (mit c=Federrate, l=Balkenlnge, Iy ¼ Flchenmoment 2. Ordnung, E=Elastizittsmodul). Schaltungen von Federn. Parallelschaltung (Bild 3 a, b): X ci ; ð3Þ c ¼ c1 þ c2 þ c3 þ . . . ¼ Reihen- oder Hintereinanderschaltung (Bild 3 c): X 1=ci : 1=c ¼ 1=c1 þ 1=c2 þ . . . ¼
ð1=2Þ
2
2
u_ dm ¼ ð1=2Þ_s
Zl
2
B 37
Pendelschwingung. Fr das physikalische Pendel (Bild 1 b) liefert das dynamische Grundgesetz der Drehbewegung bezglich des Nullpunkts
B
€ ¼ FG rS sin j bzw: j € þ ðmgrS =J0 Þ sin j ¼ 0: J0 j € þ w21 j ¼ 0 j
mit Fr kleine Ausschlge ist sin j j, d. h. w21 ¼ g=lr und lr ¼ J0 =ðmrS Þ (lr reduzierte Pendellnge). Fr das mathematische Fadenpendel mit der Masse m am Ende wird rS ¼ l, J0 ¼ ml2 und w21 ¼ g=l. Drehschwingung. Fr die Scheibe gemß Bild 1 h liefert B 3 € ¼ Mt ¼ ðGIt =lÞj bzw. j € þ w21 j ¼ 0 mit Gl. (45) JS j pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi w1 ¼ GIt =ðlJS Þ. Hierbei ist It das Torsionsflchenmoment des Torsionsstabs. Die Drehtrgheit der Torsionsfeder wird mit einem Zuschlag von JF =3 zu JS der Scheibe bercksichtigt. Starrkrpersysteme (z. B. Bild 1 c). E þ U ¼ m_s2 =2 þ JS j_ 2 =2 þ cs2 =2 þ mgðh sÞ ¼ const; _ j þ cs_s mg_s ¼ 0: dðE þ UÞ=dt ¼ m_s€s þ JS j€ € ¼ €s=r Hieraus ergibt sich mit j ¼ s=r, j_ ¼ s_ =r und j €s þ w21 s ¼ mg=ðm þ JS =r2 Þ;
ð4Þ
Bercksichtigung der Federmasse. Unter der Annahme, dass die Verschiebungen denen bei statischer Auslenkung gleich sind, d. h. uðxÞ ¼ ðs=lÞx (Bild 2 a), folgt mit dm ¼ ðmF =lÞdx durch Gleichsetzen der kinetischen Energien Z
Systeme mit einem Freiheitsgrad
3
ðx =l ÞmF dx
wobei w21 ¼ c=ðm þ JS =r 2 Þ ist. Weitere Lsung wie beim Feder-Masse-System.
4.1.2 Freie gedmpfte Schwingungen Dmpfung durch konstante Reibungskraft (Coulombsche Reibkraft). Fr das Feder-Masse-System gilt €s þ w21 s ¼ Fr =m:
x¼0
¼ ð_s2 =2ÞðmF =3Þ ¼ kmF s_ 2 =2 also k ¼ 1=3; d. h., ein Drittel der Federmasse ist der schwingenden Masse m zuzuschlagen. Fr die Federn nach Bild 1 e und f ist k ¼ 33=140 und k ¼ 17=35.
(Minus bei Hingang und Plus bei Rckgang.) Die Lsung fr den ersten Rckgang mit den Anfangsbedingungen sðt0 ¼ 0Þ ¼ s0 ; s_ ðt0 ¼ 0Þ ¼ 0 lautet sðtÞ ¼ ðs0 Fr =cÞ cos w1 t þ Fr =c. Erste Umkehr fr w1 t1 ¼ p an der Stelle s1 ¼ ðs0 2Fr =cÞ, entsprechend folgen s2 ¼ þðs0 4Fr =cÞ und jsn j ¼ s0 n 2Fr =c. Die Schwingung bleibt erhalten, solange cjsn j ^ Fr ist, d. h. fr n % ðcs0 Fr Þ=ð2Fr Þ. Die Schwingungsamplituden nehmen linear mit der Zeit ab, also An An1 ¼ 2Fr =c ¼ const; die Amplituden bilden eine arithmetische Reihe. Geschwindigkeitsproportionale Dmpfung. In Schwingungsdmpfern (Gas- oder Flssigkeitsdmpfern) tritt eine Reibungskraft Fr ¼ kv ¼ k_s auf. Fr das Feder-Masse-System gilt (Bild 4 a) €s þ ðk=mÞ_s þ ðc=mÞs ¼ 0 bzw: €s þ 2d_s þ w21 s ¼ 0
ð5Þ
k Dmpfungskonstante, d ¼ k=ð2mÞ Abklingkonstante. Lsung fr schwache Dmpfung , also fr l2 ¼ w21 d2 > 0 : sðtÞ ¼ Aedt sinðlt þ bÞ, d. h. eine Schwingung mit gemß edt abklingender Amplitude und der Eigenkreisfrequenz des qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi gedmpften Systems l ¼ w21 d2 (Bild 4 b). Die EigenBild 2 a–c. Harmonische Schwingung. a Schwinger; b Federkennlinie; c Weg-Zeit-Funktion
kreisfrequenz wird mit zunehmender Dmpfung kleiner, die Schwingungsdauer T ¼ 2p=l entsprechend grßer. Nullstellen von s(t) bei t ¼ ðnp bÞ=l, Extremwerte bei tn ¼ ½arctanðl=dÞ þ np b=l, Berhrungspunkte bei tn0 ¼ ½ð2n þ 1Þp=2 b=l, tn0 tn ¼ const ¼ ½arctanðd=lÞ=l: Verhltnis der Amplituden jsn1 j=jsn j ¼ const ¼ edp=l ¼ edT=2 ¼ q:
Bild 3 a–c. Federn. a, b Parallelschaltung; c Reihenschaltung
Logarithmisches Dekrement J ¼ lnq ¼ dT=2 liefert d=2J/T bzw. k=2md aus Messung der Schwingungsdauer.
B 38
Mechanik – 4 Schwingungslehre
B
Bild 5 a–e. Erzwungene Schwingung. a Kinematische und b dynamische Erregung; c Schwebung; d Resonanzverhalten; e Einschwingvorgang
Bild 4 a–d. Gedmpfte freie Schwingung. a Schwinger; b schwache und c starke Dmpfung; d Verhltnis Eigenkreisfrequenz gedmpft zu ungedmpft
Bei starker Dmpfung, also l2 ¼ d2 w21 ^ 0, stellt sich eine aperiodische Bewegung ein mit den Lsungen sðtÞ ¼ edt ðC1 elt þ C2 elt Þ fr l2 > 0 und
Gemß den jeweiligen Anfangsbedingungen ðs0 ; u0 Þ ergeben sich unterschiedliche Bewegungsablufe (Bild 4 c). 4.1.3 Ungedmpfte erzwungene Schwingungen Erzwungene Schwingungen haben ihre Ursache in kinematischer Fremderregung (z. B. Bewegung des Aufhngepunkts) oder dynamischer Fremderregung (Unwuchtkrfte an der Masse). Bei kinematischer Erregung (z. B. nach Bild 5 a) gilt ð6Þ
bei dynamischer Erregung (z. B. nach Bild 5 b) ðm þ 2m1 Þ€s þ cs ¼ 2m1 ew2 sin wt; d: h: €s þ w21 s ¼ w2 R sin wt;
ð7Þ
w21
¼ c=ðm þ 2m1 Þ; R ¼ 2m1 e=ðm þ 2m1 Þ. Die beiden mit Gleichungen unterscheiden sich nur durch den Faktor auf der rechten Seite. Fr beliebige periodische Erregungen f(t) gilt €s þ w21 s ¼ f ðtÞ;
ZT mit den Fourierkoeffizienten aj ¼ ð2=TÞ f ðtÞ cos jwt dt, ZT 0 bj ¼ ð2=TÞ f ðtÞ sin jwt dt: Ist sj ðtÞ eine Lsung der Differen0
sðtÞ ¼ edt ðC1 þ C2 tÞ fr l2 ¼ 0:
m€s þ cðs r sin wtÞ ¼ 0; d: h: €s þ w21 s ¼ w21 r sin wt;
wobei f(t) durch eine Fourierreihe (harmonische Entwicklung) darstellbar ist (s. www.dubbel.de): X ð9Þ f ðtÞ ¼ ðaj cos jwt þ bj sin jwtÞ; w ¼ 2p=T;
ð8Þ
tialgleichung €sj þ w21 sj ¼ aj cos jwt þ bj sin jwt, so ist die GeX samtlsung sðtÞ ¼ sj ðtÞ. Die Untersuchung des Grundfalls €s þ w21 s ¼ b sin wt zeigt, dass sich die Lsung aus einem homogenen und einem partikulren Anteil zusammensetzt (s. www.dubbel.de), sðtÞ ¼ sh ðtÞ þ sp ðtÞ ¼ A sinðw1 t þ bÞ þ ½b=ðw21 w2 Þ sin wt: Fr die Anfangsbedingungen sðt ¼ 0Þ ¼ 0 und s_ ðt ¼ 0Þ ¼ 0 ergibt sich sðtÞ ¼ ½b=ðw21 w2 Þ½sin wt ðw=w1 Þ sin w1 t; d. h. die berlagerung der harmonischen Eigenschwingung mit der harmonischen Erregerschwingung. Fr w w1 stellt der Verlauf von s(t) eine Schwebung (Bild 5 c) dar. Diese Lsung versagt im Resonanzfall w ¼ w1 . Sie lautet dann sðtÞ ¼ A sinðwt þ bÞ ðb=wÞt cos wt bzw. fr sðt ¼ 0Þ ¼ 0 und s_ ðt ¼ 0Þ ¼ 0 sðtÞ ¼ ðb=w2 Þðsin wt wt cos wtÞ; d. h., die Ausschlge gehen im Resonanzfall mit der Zeit gegen unendlich (Bild 5 d). Wirkt die Erregerfunktion gemß Gl. (9), so tritt auch Resonanz ein fr w1 ¼ 2w; 3w . . .
I4.2
Systeme mit mehreren Freiheitsgraden (Koppelschwingungen)
4.1.4 Gedmpfte erzwungene Schwingungen Bei geschwindigkeitsproportionaler Dmpfung und harmonischer Erregung (s. B 4.1.3) gilt €s þ 2d_s þ w21 s ¼ b sin wt bzw: sðtÞ ¼ Aedt sinðlt þ bÞ þ C sinðwt yÞ:
ð10Þ
Der erste Teil, die gedmpfte Eigenschwingung, klingt mit der Zeit ab (Einschwingvorgang). Danach hat die erzwungene Schwingung dieselbe Frequenz wie die Erregung (Bild 5 e). Faktor C und Phasenverschiebung y im zweiten Teil (erregte Schwingung bzw. partikulre Lsung) ergeben sich nach Einsetzen in die Differentialgleichung und Koeffizientenvergleich zu qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi C ¼ b= ðw21 w2 Þ2 þ 4d2 w2 und ð11Þ y ¼ arctan½2dw=ðw21 w2 Þ: Mit b ¼ w21 r bei kinematischer und b ¼ w2 R bei dynamischer Erregung ergeben sich die Vergrßerungsfaktoren (Bild 6 a, b) qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi Vk ¼ 1= ð1 w2 =w21 Þ2 þ ð2dw=w21 Þ2 und
B 39
Verformung infolge der Fliehkrfte, so folgt aus dem Gleichgewicht zwischen elastischer Rckstell- und Fliehkraft cw1 ¼ m1 w2 ðe þ w1 Þ; w1 ¼ e
ðw=w1 Þ2 1 ðw=w1 Þ2
:
ð12Þ
Fr w ¼ w1 folgt w1 ! 1, also Resonanz (Bild 7 b). Dagegen stellt sich fr w=w1 ! 1 der Wert w1 ¼ e ein, d. h., die Welle zentriert sich oberhalb w1 selbst, der Schwerpunkt liegt fr w ! 1 genau auf der Verbindungslinie der Auflager. Fr e ¼ 0 folgt aus Gl. (12) w1 ðc m1 w2 Þ ¼ 0, d. h. w1 6¼ 0 fr pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi w ¼ c=m1 ¼ w1 , also kritische Drehzahl n ¼ w=ð2pÞ ¼ w1 =ð2pÞ ¼ u1 . Fr andere Lagerungsarten ist ein entsprechendes c einzusetzen (s. B 4.1.1). Die Dmpfung ist in der Regel fr umlaufende Wellen sehr gering und hat kaum Einfluss auf die kritische Drehzahl.
4.2 Systeme mit mehreren Freiheitsgraden (Koppelschwingungen) In Bild 8 a–c sind zwei Zwei-Massensysteme mit zwei Freiheitsgraden dargestellt, die elastisch usw. verbunden bzw. ge-
Vd ¼ Vk ðw=w1 Þ2 : Aus dVk =dw ¼ 0 folgt fr die Resonanzstellen w bei kinemaqffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi tischer Erregung w=w1 ¼ 1 2d2 =w21 bzw. bei dynamiqffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi scher Erregung w=w1 ¼ 1= 1 2d2 =w21 . Die Resonanzpunkte liegen also bei kinematischer Erregung im unterkritischen, bei dynamischer Erregung im berkritischen Bereich (Bild 6 a, b). Die Resonanzamplitude ist C ¼ qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2 2 ðb=2dÞ= w1 d . Fr den Phasenwinkel y nach Gl. (11) gilt fr beide Erregungsarten Bild 6 c. Fr w < w1 ist y < p=2, fr w > w1 ist y > p=2. Ohne Reibung ðd ¼ 0Þ sind fr w < w1 Erregung und Ausschlag in Phase, fr w > w1 sind sie entgegengesetzt gerichtet. 4.1.5 Kritische Drehzahl und Biegeschwingung der einfach besetzten Welle Kritische Drehzahl und (Hertzsche) Biegeeigenfrequenz sind identisch (wenn die Kreiselwirkung bei nicht in der Mitte der Sttzweite sitzender Scheibe (Bild 7 a) und die Federungseigenschaft der Lager vernachlssigt wird [1, 2]). Fr die Biepffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi geeigenfrequenz gilt w1 ¼ c=m1 (bei Vernachlssigung der Wellenmasse) mit c ¼ 3EIy l=ða2 b2 Þ (s. B 4.1.1 und C 2 Tab. 5 a). Ist e die Exzentrizitt der Scheibe und w1 die elastische
Bild 7 a, b. Kritische Drehzahl. a Einfach besetzte Welle; b Resonanzbild
Bild 6 a–c. Gedmpfte erzwungene Schwingung. a Vergrßerungsfaktor bei kinematischer und b dynamischer Erregung; c Phasenwinkel y
B
B 40
Mechanik – 4 Schwingungslehre
tionsgesetz, und die Gesamtlsung lautet s1 ¼ A1 sinðw1 t þ b1 Þ þ A2 sinðw2 t þ b2 Þ; s2 ¼ B1 sinðw1 t þ b1 Þ þ B2 sinðw2 t þ b2 Þ:
B
ð16 a, bÞ
Nach Gl. (15 a) gilt A1 =B1 ¼ c2 ðc m1 w21 Þ ¼ 1=k1 bzw. A2 =B2 ¼ c2 =ðc m1 w22 Þ ¼ 1=k2 und damit aus Gl. (16 b) s2 ¼ k1 A1 sinðw1 t þ b1 Þ þ k2 A2 sinðw2 t þ b2 Þ:
ð16 cÞ
Die Gln. (16 a und c) enthalten vier Konstanten A1 , A2 , b1 , b2 zur Anpassung an die vier Anfangsbedingungen. Der Schwingungsvorgang ist nur dann periodisch, wenn w1 und w2 in einem rationalen Verhltnis zueinander stehen. Wenn w1 w2 ist, treten Schwebungen auf. Bei mehr als zwei Freiheitsgraden ist fr jeden ein Ansatz gemß Gl. (14) zu machen. Aus der gleich Null gesetzten Koeffizientendeterminante ergibt sich eine charakteristische Gleichung n-ten Grads, aus der die n Eigenkreisfrequenzen folgen. Fr die gedmpfte Schwingung lauten die Differentialgleichungen bei zwei Freiheitsgraden fr das System nach Bild 8 a m1€s1 þ k1 s_ 1 þ ðc1 þ c2 Þs1 c2 s2 ¼ 0; m2€s2 þ k2 s_ 2 þ c2 s2 c2 s1 ¼ 0: kt und s2 ¼ Be kt ergibt sich wieder Mit dem Ansatz s1 ¼ Ae eine Gleichung vierten Grads mit paarweise konjugiert komplexen Wurzeln k1 ¼ r1 þ iw1 usw. und damit die endgltige Lsung s1 ðtÞ ¼ er1 t A1 sinðw1 t þ b1 Þ þ er2 t A2 sinðw2 t þ b2 Þ; s2 ðtÞ ¼ er1 t B1 sinðw1 t þ b1 Þ þ er2 t B2 sinðw2 t þ b2 Þ:
Bild 8 a–c. Koppelschwingungen. a Grundsystem, b analoges System; c Resonanzkurven bei zwei Freiheitsgraden
Zwischen A1 und B1 bzw. A2 und B2 besteht wieder ein linearer Zusammenhang analog zur ungedmpften Schwingung. 4.2.2 Erzwungene Schwingungen mit zwei und mehr Freiheitsgraden
koppelt sind. Ein System mit n Freiheitsgraden hat n Eigenfrequenzen. Die Herleitung der n gekoppelten Differentialgleichungen erfolgt bei mehreren Freiheitsgraden zweckmßig mit Hilfe der Lagrangeschen Gleichungen (s. B 3.3.6).
Fr ein ungedmpftes System nach Bild 8 a gilt
s1 ¼ C1 sinðwt y1 Þ; s2 ¼ C2 sinðwt y2 Þ
m1€s1 ¼ c1 s1 þ c2 ðs2 s1 Þ; m2€s2 ¼ c2 ðs2 s1 Þ bzw: m1€s1 þ ðc1 þ c2 Þs1 c2 s2 ¼ 0; m2€s2 þ c2 s2 c2 s1 ¼ 0; ð13Þ s1 ; s2 Auslenkungen aus der statischen Ruhelage. Der Lsungsansatz (s. B 4.1.1) ð14Þ
liefert mit c ¼ c1 þ c2 Aðm1 w2 cÞ þ Bc2 ¼ 0 und Ac2 þ Bðm2 w2 c2 Þ ¼ 0:
m1€s1 þ ðc1 þ c2 Þs1 c2 s2 ¼ b1 sin wt; m2€s2 þ c2 s2 c2 s1 ¼ 0:
ð17Þ
Da der homogene Lsungsanteil infolge der stets vorhandenen schwachen Dmpfung whrend des Einschwingvorgangs abklingt, gengt die Betrachtung der partikulren Lsung. Hierfr folgen mit dem Ansatz
4.2.1 Freie Schwingungen mit zwei und mehr Freiheitsgraden
s1 ¼ A sinðwt þ bÞ und s2 ¼ B sinðwt þ bÞ
Fr ein ungedmpftes System nach Bild 8 a mit kinematischer oder dynamischer Erregung b1 sin wt der Masse m1 gilt
ð15 a, bÞ
Dieses lineare homogene Gleichungssystem fr A und B hat nur dann von null verschiedene Lsungen, wenn die Nennerdeterminante verschwindet (s. www.dubbel.de), d. h. m1 m2 w4 ðm1 c2 þ m2 cÞw2 þ ðcc2 c22 Þ ¼ 0 wird. Die beiden Lsungen w1 und w2 dieser charakteristischen Gleichung sind die Eigenkreisfrequenzen des Systems. Da die Differentialgleichungen linear sind, gilt das Superposi-
ð18Þ
durch Einsetzen in Gl. (17) und Koeffizientenvergleich y1 ¼ 0, y2 ¼ 0 sowie mit c1 þ c2 ¼ c C1 ðm1 w2 cÞ þ C2 c2 ¼ b1 ; C1 c2 þ C2 ðm2 w2 c2 Þ ¼ 0:
ð19Þ
Hieraus C1 ¼ Z1 =N und C2 ¼ Z2 =N, wobei die Nennerdeterminante N ¼ m1 m2 w4 ðm1 c2 þ m2 cÞw2 þ ðcc2 c22 Þ mit der in der charakteristischen Gleichung in B 4.2.1 bereinstimmt. Resonanz tritt auf, wenn N ¼ 0 wird, d. h. fr Eigenkreisfrequenzen w1 und w2 des freien Schwingers. Die Zhlerdeterminanten sind Z1 ¼ b1 ðc2 m2 w2 Þ, Z2 ¼ b1 c2 . Fr kinematische Erregung ðb1 ¼ w21 rÞ sind in Bild 8 c die Amplituden C1 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi und C2 als Funktion von w dargestellt. Fr w ¼ c2 =m2 wird C1 ¼ 0 und C2 relativ klein, d. h., die Masse m1 ist in Ruhe (Masse m2 wirkt als Schwingungstilger). Bei n Massen treten Resonanzen bei den n Eigenfrequenzen auf. Dabei mssen die Ausschlge nicht immer gegen unendlich gehen, einige knnen auch endlich bleiben (Scheinresonanz [1]).
I4.2
Systeme mit mehreren Freiheitsgraden (Koppelschwingungen)
Fr die gedmpfte erzwungene Schwingung nimmt z. B. die Gl. (17) die Form m1€s1 þ k_s1 þ cs1 c2 s2 ¼ b1 sin wt; m2€s2 þ k2 s_ 2 þ c2 s2 c2 s1 ¼ 0
ð20Þ
an ðc ¼ c1 þ c2 Þ. Ohne den Einschwingvorgang, d. h. den homogenen Lsungsteil, und mit dem erzwungenen (partikulren) Teil der Lsung nach Gl. (18) folgen nach Einsetzen in Gl. (20) und Koeffizientenvergleich die Werte fr die Amplituden C1 , C2 und die Phasenwinkel y1 , y2 . Resonanz ist vorhanden, wenn C1 C2 ¼ Extr:, d. h. w1 und w2 folgen aus dðC1 C2 Þ=dt ¼ 0. Bei einem System von n Massen wird der Rechenaufwand sehr groß. Daher begngt man sich bei schwacher Dmpfung mit der Ermittlung der Eigenfrequenzen fr das ungedmpfte System. 4.2.3 Eigenfrequenzen ungedmpfter Systeme Biegeschwingungen und kritische Drehzahlen mehrfach besetzter Wellen. Hertzsche Frequenzen der Biegeeigenschwingungen und kritische Drehzahlen (ohne Kreiselwirkung) sind identisch. Mit si ¼ wi sin wt folgt unter Bercksichtigung der Trgheitskrfte mi€si ¼ mi w2 wi sin wt fr die Biegeschwingung (Bild 8 b) s1 ¼ a11 m1€s1 a12 m2€s2 ; s2 ¼ a21 m1€s1 a22 m2€s2
ð21Þ
bzw. w1 ¼ a11 m1 w2 w1 þ a12 m2 w2 w2 ; w2 ¼ a21 m1 w2 w1 þ a22 m2 w2 w2 :
ð22Þ
Gleichung (22) entsteht auch fr die umlaufende Welle mit den Zentrifugalkrften mi w2 wi : Die aik sind Einflusszahlen; sie sind gleich der Durchbiegung wi infolge einer Kraft Fk ¼ 1. Ihre Berechnung erfolgt zweckmßig mit dem Prinzip der virtuellen Verrckungen fr elastische Krper aus Z aik ¼
Mi Mk dx=EIy oder nach dem Mohrschen Verfahren
oder anderen Methoden (Tabellenwerte, Integration usw.; s. C 2.4.8). Es gilt aik ¼ aki (Satz von Maxwell). Aus Gl. (22) folgt 2
w1 ða11 m1 1=w Þ þ w2 a12 m2 ¼ 0; w1 a21 m1 þ w2 ða22 m2 1=w2 Þ ¼ 0:
ð23Þ
Sie haben nur nichttriviale Lsungen, wenn die Determinante null wird, d. h. (mit 1=w2 ¼ W), wenn W2 ðm1 a11 þ m2 a22 ÞW þ ða11 a22 a12 a21 Þm1 m2 ¼ 0 ist. Hieraus folgen zwei Lsungen W1;2 bzw. w1;2 fr die Eigenkreisfrequenzen. Fr das Verhltnis der Amplituden ergibt sich aus Gl. (23) w2 =w1 ¼ ð1=w2 a11 m1 Þ=ða12 m2 Þ. Fr die n-fach besetzte Welle erhlt man analog n Eigenfrequenzen aus einer Gleichung n-ten Grades. Nherungswerte mit dem Rayleighschen Quotienten. Aus max folgt der Rayleighsche Quotient Umax ¼ Emax ¼ w2 E max : R ¼ w2 ¼ Umax =E Z Umax ¼ ð1=2Þ Mb2 ðxÞ dx=ðEIy Þ; Z X max ¼ ð1=2Þ w2 ðxÞ dm þ ð1=2Þ E mi w2i :
B 41
und Biegemomentenlinie infolge Eigengewichts) ergeben sich gute Nherungen fr R1 bzw. w1 (erste Eigenkreisfrequenz). Der Nherungswert ist stets grßer als der wirkliche Wert. Durch X einen Ritzschen Ansatz mehrerer Funktionen wðxÞ ¼ ck uk ðxÞ folgen aus Z max ¼ ð1=2Þ ½EIy w002 ðxÞ I ¼Umax w2 E X mi w2i ¼ Extr:; w2 w2 ðxÞrAdx ð1=2Þw2 d. h. ¶I=¶cj ¼ 0 ðj ¼ 1; 2; . . . ; nÞ; n homogene lineare Gleichungen und durch Nullsetzen der Determinante eine Gleichung n-ten Grades fr die n Eigenkreisfrequenzen als Nherung. Mglich ist auch, die Eigenfunktion fr jeden hheren Eigenwert fr sich zu schtzen, ihn aus Gl. (24) direkt zu ermitteln und gegebenenfalls schrittweise zu verbessern [1–3]. Drehschwingungen der mehrfach besetzten Welle. Verfgbar sind hnliche Verfahren wie bei Biegeschwingungen (s. O 2.7). 4.2.4 Schwingungen der Kontinua Ein massebehaftetes Kontinuum hat unendlich viele Eigenkreisfrequenzen. Als Bewegungsgleichungen erhlt man aus den dynamischen Grundgesetzen partielle Differentialgleichungen. Die Befriedigung der Randbedingungen liefert transzendente Eigenwertgleichungen. Fr Nherungslsungen geht man vom Rayleighschen Quotienten und vom Ritzschen Verfahren (B 4.2.3) aus. Biegeschwingungen von Stben. Die Differentialgleichung ¶2 w ¶2 ¶2 w bzw. fr freie lautet rA 2 ¼ pðx; tÞ 2 EIy 2 ¶x ¶t ¶x Schwingung und konstanten Querschnitt ¶2 w=¶t2 ¼ c2 ¶4 w=¶x4 ; c2 ¼ EIy =ðrAÞ:
ð25Þ
Der Produktansatz von Bernoulli (s. www.dubbel.de) wðx; tÞ ¼ XðxÞTðtÞ eingesetzt in Gl. (25) liefert € ¼ c2 X ð4Þ =X ¼ w2 ; X T€ ¼ c2 X ð4Þ T bzw: T=T d. h. T€ þ w2 T ¼ 0 und X ð4Þ ðw2 =c2 ÞX ¼ 0. Mit l4 ¼ ðw2 =c2 Þl4 lautet die Lsung wðx; tÞ ¼A sinðwt þ bÞ½C1 cosðlx=lÞ þ C2 sinðlx=lÞ þ C3 coshðlx=lÞ þ C4 sinhðlx=lÞ:
ð26Þ
Fr den Stab nach Bild 9 a lauten die Randbedingungen Xð0Þ ¼ 0, X 0 ð0Þ ¼ 0, X 00 ðlÞ ¼ 0, X 000 ðlÞ ¼ 0. Damit folgt aus Gl. (26) die Eigenwertgleichung cosh l cos l ¼ 1 mit den Eigenwerten l1 ¼ 1;875; l2 ¼ 4;694; l3 ¼ 7;855 usw. Fr die Stbe nach Bild 9 b–d ergeben sich die ersten drei Eigenwerte zu l1 ¼ p; 3;927; 4;730; l2 ¼ 2p; 7;069; 7;853; l3 ¼ 3p; 10;210; 10;996.
ð24Þ
w(x) und Mb ðxÞ ¼ EIy w00 ðxÞ sind Biegelinie und Biegemomentenlinie bei Schwingung. Fr die wirkliche Biegelinie (Eigenfunktion) wird R zum Minimum. Fr eine die Randbedingungen befriedigende Vergleichsfunktion (z. B. Biegelinie
Bild 9 a–d. Biegeschwingung von Stben. a Einseitig eingespannt; b gelenkig gelagert; c gelenkig gelagert und eingespannt; d beidseitig eingespannt
B
B 42
B
Mechanik – 4 Schwingungslehre
Fr Stbe mit zustzlichen Einzelmassen ist die Lsung Gl. (26) fr jeden Abschnitt anzusetzen. Nach Erfllen der bergangsbedingungen usw. erhlt man die Frequenzgleichung. Da der Aufwand groß ist, wird die Nherung mit dem Rayleighschen Quotienten und dem Ritzschen Verfahren (s. B 4.2.3 und folgendes Beispiel) verwendet.
Lsung und Eigenwerte wie bei Lngsschwingungen. Bei zustzlich mit Drehmassen besetzten Stben gelten entsprechende Bemerkungen wie bei Biegeschwingungen. Der Rayleigh max mit sche Quotient ist R ¼ w2 ¼ Umax =E Z Z ¼ ð1=2Þ ðJ=lÞf 2 ðxÞ dx: Umax ¼ ð1=2Þ GIt f 02 ðxÞ dx; E Schwingungen von Saiten (straff gespannte Seile). Hier gilt ¶2 w=¶t2 ¼ c2 ¶2 w=¶x2 ; c2 ¼ S=m
(S Spannkraft, m Masse pro Lngeneinheit). Lsung von Gl. (30) s. Gl. (28). Eigenfrequenzen wk ¼ kpc=l ðk ¼ 1; 2; . . .Þ, l max Saitenlnge. Rayleighscher Quotient R ¼ wZ2 ¼ Umax =E Z
Unter Ausnutzung der Symmetrie folgt: 2 Zl=2 max ¼ 1 2 r A 2½ f ð xÞ2 d x þ 1 mk f x ¼ l E 2 2 2
mit Umax ¼ ð1=2ÞS
Zl=2
F l3 x 2 x3 3 4 (s. C 2.4.8 Tab. 5 b 48 E Iy l l 2 x x 3 Belastungsfall 6) ) f ð xÞ ¼ 3 4 l l Damit ergibt sich: rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi vffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi E Iy Umax u 192 w1 ¼ ¼u mit ms ¼ Masse des StaEmax t l3 13 ms þ mk 35 bes. Wrde man die Masse des Stabes ms konzentriert zustzlich an der Stelle l=2 anbringen und den Stab selbst als Feder ausfhren, ergibt sich rffiffiffiffi rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi E Iy c 192 w1 ¼ ¼ . l3 ðms þ mk Þ m Ansatz: wð xÞ ¼
Lngsschwingungen von Stben. Die Differentialgleichung ¶2 u ¶ ¶u EA lautet rA 2 ¼ bzw. fr A ¼ const ¶t ¶x ¶x ð27Þ
mit der Lsung uðx; tÞ ¼ A sinðwt þ bÞ½C1 cosðwx=cÞ þ C2 sinðwx=cÞ: ð28Þ Nach Erfllen der Randbedingungen ergeben sich folgende Eigenkreisfrequenzen: Stab an einem Ende fest, am anderen frei: wk ¼ ðk 1=2Þpc=l ðk ¼ 1; 2; . . .Þ; Stab an beiden Enden fest : wk ¼ kpc=l ðk ¼ 1; 2; . . .Þ; Stab an beiden Enden frei : wk ¼ kpc=l ðk ¼ 1; 2; . . .Þ: Bei zustzlich mit Einzelmassen besetztem Stab gelten die fr Biegeschwingungen gemachten Bemerkungen entsprechend. Der Rayleighsche Quotient ist max mit R ¼ w2 ¼ Umax =E Z Z ¼ ð1=2Þ rAf 2 ðxÞ dx; Umax ¼ ð1=2Þ EAf 02 ðxÞ dx; E wenn f(x) eine die Randbedingungen erfllende Vergleichsfunktion ist (s. auch B 4.2.3). Torsionsschwingungen von Stben. Hier gilt ¶2 j ¶ ¶j J 2 ¼ GIt ¶t ¶x ¶x bzw. fr It ¼ const ¶2 j=¶t2 ¼ c2 ¶2 j=¶x2 ; c2 ¼ ðGIt Þ=ðJ=lÞ:
f 2 ðxÞdx. f(x)
Schwingungen von Membranen. Fr die Rechteckmembran gilt
2
½ f 00 ð xÞ d x
0
¶2 u=¶t2 ¼ c2 ¶2 u=¶x2 ; c2 ¼ ðEAÞ=ðr AÞ ¼ E=r;
max ¼ ð1=2Þm f 02 ðxÞ dx; E
ist eine die Randbedingungen befriedigende Vergleichsfunktion (s. auch B 4.2.3).
0
1 Umax ¼ 2 E Iy 2
ð30Þ
ð29Þ
Sð¶2 w=¶x2 þ ¶2 w=¶y2 Þ ¼ m ¶2 w=¶t2
ð31Þ
(S Spannkraft je Lngeneinheit, m Masse je Flcheneinheit) mit der Lsung wðx; y; tÞ ¼ A sinðwt þ bÞ½C1 cos lx þ C2 sin lx ½D1 cos ky þ D2 sin ky:
ð32Þ
Mit a und b als Seitenlngen gilt fr Eigenwerte lj ¼ jp=a, kk ¼ kp=b ðj; k ¼ 1; 2; . . .Þ. Eigenkreisfrequenzen: pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi wjk ¼ p ðS=mÞ½j2 =a2 þ k2 =b2 ðj; k ¼ 1;2; . . .Þ: max mit Rayleighscher Quotient: R ¼ w2 ¼ Umax =E ZZ " 2 2 # ¶f ¶f þ Umax ¼ ðS=2Þ dx dy; ¶x ¶y ZZ max ¼ ðm=2Þ f 2 ðx; yÞdx dy: E f(x, y) ist eine die Randbedingungen erfllende Vergleichsfunktion (s. auch B 4.2.3). Fr die Kreismembran gilt in Polarkoordinaten mit c2 ¼ S=m 2 ¶2 w ¶ w 1 ¶w 1 ¶2 w ¼ c2 þ þ 2 2 ð33Þ 2 2 ¶t ¶r r ¶r r ¶j mit der Lsung wðr; j; tÞ ¼ A sinðwt þ bÞðC cos nj þ D sin njÞ Jn ðwr=cÞ ðn ¼ 0; 1; 2; . . .Þ: ð34Þ Jn ðwr=cÞ sind Besselsche Funktionen erster Art [4]. (Fr rotationssymmetrische Schwingungen ist n ¼ 0.) Eigenwerte wnj ¼ ðc=aÞxnj (a Radius der Membran, xnj Nullstellen der Besselschen Funktionen): x01 ¼ 2;405; x02 ¼ 5;520; x11 ¼ 3;832; x12 ¼ 7;016; x21 ¼ 5;135 usw. max . Rayleighscher Quotient: R ¼ w2 ¼ Umax =E Fr rotationssymmetrische Schwingungen ist Z 2 df Umax ¼ ðS=2Þ 2pr dr und dr Z max ¼ ðm=2Þ f 2 ðrÞ2pr dr: E Biegeschwingungen von Platten. Die Differentialgleichung lautet mit der Plattensteifigkeit N ¼ Eh3 =½12ð1 u2 Þ fr die Rechteckplatte ¶2 w N N ¶4 w ¶4 w ¶4 w ¼ DDw ¼ þ2 2 2 þ 4 : ð35Þ 2 4 ¶t rh rh ¶x ¶x ¶y ¶y
I4.3 Mit a und b als Seitenlngen gilt fr die gelenkig gelagerte Platte wðx; y; tÞ ¼ A sinðwt þ bÞ sinðjpx=aÞ sinðkpy=bÞ: ð36Þ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2 2 2 2 2 Eigenwerte: wjk ¼ ðj =a þ k =b Þp N=ðrhÞ ðj; k ¼ 1; 2; . . .Þ. max mit Rayleighscher Quotient: R ¼ w2 ¼ Umax =E 2 ZZ " 2 2 ¶ f ¶ f Umax ¼ ðN=2Þ þ ¶x2 ¶y2 2 2 !# ¶2 f ¶2 f ¶ f 2ð1 uÞ dx dy und 2 2 ¶x ¶y ¶x ¶y ZZ max ¼ ðrh=2Þ f 2 ðx,yÞ dx dy: E f(x, y) ist eine die Randbedingungen befriedigende Vergleichsfunktion (s. B 4.2.3). Fr die Kreisplatte ist bei rotationssymmetrischer Schwingung w ¼ wðr; tÞ ¼ f ðrÞ sinðwt þ bÞ und somit nach Gl. (35) ðw2 rh=NÞf ðrÞ ¼ l4 f ðrÞ ¼ DDf ðrÞ, d. h. DDf l4 f ¼ 0 bzw. ðD þ l2 ÞðD l2 Þ½f ¼ 0. Hieraus folgen die Differentialgleichungen Df þ l2 f ¼ 0 und Df l2 f ¼ 0 bzw:
ð37Þ
d2 f =dr 2 þ ð1=rÞ df =dr þ l2 f ¼ 0 und
B 43
Fr die eingespannte Kreisplatte folgt aus Gl. (38) die Eigenwertgleichung J0 ðlaÞI1 ðlaÞ þ I0 ðlaÞJ1 ðlaÞ ¼ 0 mit den Lsungen l1 a ¼ 3;190; l2 a ¼ 6;306; l3 a ¼ 9;425. Hieraus pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi w ¼ l2 N=ðrhÞ. max . Fr rotationsRayleighscher Quotient R ¼ w2 ¼ Umax =E symmetrische Schwingung ist 2 Z " 2 d f 1 df þ Umax ¼ ðN=2Þ 2 dr r dr 1 df d2 f 2ð1 uÞ 2pr dr und r dr dr 2 Z max ¼ ðrh=2Þ f 2 ðrÞ2pr dr: E
4.3 Nichtlineare Schwingungen Schwingungsprobleme dieser Art fhren auf nichtlineare Differentialgleichungen. Nichtlineare Schwingungen entstehen z. B. durch nichtlineare Federkennlinien oder Rckstellkrfte (physikalisches Pendel mit großen Ausschlgen) oder durch nicht nur vom Ausschlag, sondern auch von der Zeit abhngige Rckstellkrfte (z. B. Pendel mit bewegtem Aufhngepunkt). 4.3.1 Schwinger mit nichtlinearer Federkennlinie oder Rckstellkraft
d2 f =dr 2 þ ð1=rÞ df =dr l2 f ¼ 0: Superponierte Lsungen der Besselschen Differentialgln. (37) sind f ðrÞ ¼ C1 J0 ðlrÞ þ C2 N0 ðlrÞ þ C3 I0 ðlrÞ þ C4 K0 ðlrÞ
Nichtlineare Schwingungen
ð38Þ
(N0 Neumannsche Funktion, I0 und K0 modifizierte Besselsche Funktionen [8]). Fr die gelenkig gelagerte Platte mit Radius a folgt aus Gl. (38) die Eigenwertgleichung I1 ðlaÞ J1 ðlaÞ J0 ðlaÞ I0 ðlaÞ þ I0 ðlaÞ J0 ðlaÞ ¼ 0 ð39Þ la la mit den Lsungen l1 a ¼ 2;108; l2 a ¼ 5;42; l3 a ¼ 8;59. Hiepffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi raus w ¼ l2 N=ðrhÞ.
Es gilt m€s ¼ FðsÞ (Bild 10 a), nherungsweise FðsÞ ¼ csð1 þ es2 Þ (e > 0 berlineare, e < 0 unterlineare Kennlinie). Freie ungedmpfte Schwingungen. Die Differentialgleichung lautet €s þ w21 sð1 þ es2 Þ ¼ 0 bzw: €s þ w21 s þ w21 es3 ¼ 0:
ð40Þ
s_ €s þ w21 s_ s þ w21 e_ss3
Multiplikation mit s_ liefert ¼ 0 und hieraus nach Integration mit den Anfangsbedingungen sðt ¼ 0Þ ¼ s0 , s_ ðt ¼ 0Þ ¼ u0 und Trennen der Variablen s_ 2 þ w21 ðs2 þ e s4 =2Þ ¼ u20 þ w21 ðs20 þ e s40 =2Þ ¼ C2 ;
Bild 10 a–c. Nichtlineare Schwingungen. a Federkennlinien; b Resonanzdiagramme; c Struttsche Karte (schraffierte Lsungsgebiete sind stabil)
ð41Þ
B
B 44
tðsÞ ¼
B
Mechanik – 5 Hydrostatik (Statik der Flssigkeiten)
Zs
qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ds= C2 w21 s2 w21 es4 =2:
ð42Þ
s0
Das Integral ergibt nach Umformung [5, 6] ein elliptisches Integral 1. Gattung [7]. Schwingungsdauer und Frequenz werden abhngig vom Grßtausschlag. Fr kleine Ausschlge ergibt sich durch schrittweise Nherung [1] fr die Frequenz pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi w ¼ w21 ð1 þ 0;75eA2 Þ; A Amplitude des Schwingungsausschlags. Das physikalische Pendel lsst sich mit der reduzierten Pendellnge l ¼ J0 =ðmrS Þ (s. B 3.6.3) auf ein mathematisches mit € þ ðg=lÞ sin j ¼ 0 zurckfhren. Die Lsung fhrt wieder auf j ein elliptisches Integral 1. Gattung mit der Schwingungsdauer pffiffiffiffiffiffiffi T ¼ l=gFðp=2; kÞ fr das hin- und herschwingende Pendel ðk2 ¼ w21 l=ð4gÞ < 1Þ. Fr kleinere Ausschlge ergibt sich die pffiffiffiffiffiffiffi Nherungslsung [1] T ¼ 2p l=gð1 þ A2 =16Þ. Erzwungene Schwingungen. Die Differentialgleichung lautet €s þ 2d_s þ w21 ð1 þ es2 Þs ¼ a0 cosðwt þ bÞ
ð43Þ
fr geschwindigkeitsproportionale Dmpfung und periodische Erregerkraft. Mit s ¼ A cos wt folgt aus Gl. (43) nach Koeffizientenvergleich ½ðw21 w2 þ 0;75w21 eA2 Þ2 þ 4d2 w2 A2 ¼ a20 :
ð44Þ
5 Hydrostatik (Statik der Flssigkeiten) Flssigkeiten und Gase unterscheiden sich im wesentlichen durch ihre geringe bzw. starke Kompressibilitt. Sie haben viele gemeinsame Eigenschaften und werden einheitlich als Fluide bezeichnet. Sie sind leicht verschieblich und nehmen jede ußere Form ohne wesentlichen Widerstand an; meist knnen sie als homogenes Kontinuum angesehen werden. Druck. p ¼ dF=dA ist in ruhenden Flssigkeiten richtungsunabhngig, d. h. eine skalare Ortsfunktion, da aus dem Newtonschen Schubspannungsansatz txy ¼ hð¶ux =¶y þ ¶uy =¶xÞ fr ux ¼ uy ¼ 0 sich txy ¼ 0 und entsprechend txz ¼ tyz ¼ 0 ergibt. Damit folgt aus den Gleichgewichtsbedingungen px ¼ py ¼ pz ¼ pðx; y; zÞ. An den Begrenzungsflchen steht p wegen t ¼ 0 senkrecht zur Flche. Dichte. r ¼ dm=dV. Flssigkeiten sind geringfgig kompressibel; es gilt dV=V ¼ dp=E bzw. r ¼ r0 =ð1 Dp=EÞ. Elastizittsmodul E bei 0 C: fr Wasser 2;1 105 N=cm2 , fr Benzol 1;2 105 N=cm2 , fr Quecksilber 2;9 106 N=cm2 (dagegen fr Stahl 2;1 107 N=cm2 ). Fr die meisten Probleme knnen Flssigkeiten als inkompressibel angesehen werden. Gase sind kompressibel, d. h., die Dichte ndert sich gemß r ¼ p=ðRTÞ (s. D 6.1.1). Kapillaritt und Oberflchenspannung. Flssigkeiten steigen oder sinken in Kapillaren als Folge der Molekularkrfte zwischen Flssigkeit und Wand bzw. zwischen Flssigkeit und Luft. Molekularkrfte erzeugen Oberflchenspannungen s (z. B. bei 20 C fr Wasser gegen Luft 0,073 N/m, fr Alkohol gegen Luft 0,025 N/m und fr Quecksilber gegen Luft 0,47 N/m). Die kapillare Steighhe betrgt h ¼ 4s=ðdr gÞ ðd
Bild 10 b zeigt Amplituden als Funktion der Erregerfrequenz w (Resonanzkurven) fr e > 0 und e < 0. In bestimmten Bereichen gibt es mehrdeutige Lsungen. Der mittlere gestrichelte Ast ist nicht stabil und wird nicht durchlaufen. Je nachdem, ob w grßer oder kleiner wird, tritt in den Punkten P, Q, R, S ein Sprung in der Amplitude (Kippung) ein [5]. 4.3.2 Schwingungen mit periodischen Koeffizienten (rheolineare Schwingungen) Hier ist die Rckstellkraft nicht nur vom Ausschlag abhngig, sondern auch von einem vernderlichen Koeffizienten c ¼ cðtÞ (z. B. Pendel mit bewegter Aufhngung, Lokomotivstangenschwingung [1]). Fr die ungedmpfte Schwingung gilt m€s þ ½c f ðtÞs ¼ 0 bzw. €s þ ½l þ gFðtÞs=0. Diese Gleichung heißt Hillsche Differentialgleichung, wenn F(t) periodisch ist [8]. Eine Sonderform dieser Gleichung ist die Mathieusche Differentialgleichung [1, 5, 8] €s þ ðl 2h cos 2tÞs ¼ 0:
ð45Þ
(Sie gilt z. B. fr Pendelschwingungen mit periodisch bewegtem Aufhngepunkt oder fr Biegeschwingungen eines Stabs unter pulsierender Axiallast.) Lsungen mit Mathieuschen Funktionen usw. s. [8]. s(t) zeigt als Funktion von l und h Gebiete stabilen und instabilen Verhaltens, d. h., ob Ausschlge kleiner oder grßer werden. Stabile und instabile Gebiete wurden von Strutt ermittelt und in der nach ihm benannten Struttschen Karte dargestellt (Bild 10 c).
Kapillarendurchmesser). Bei nicht benetzenden Flssigkeiten (z. B. Quecksilber) sinkt der Spiegel in der Kapillare. Druckverteilung in der Flssigkeit. Wegen des Gleichgewichts fr ein Element (Bild 1 a) gilt p dA þ r g dA dz ðp þ dpÞ dA ¼ 0; d: h: dp=dz ¼ r g bzw. nach Integration p ¼ pðx; y; zÞ ¼ r gz þ C: Mit pðz ¼ 0Þ ¼ p0 folgt p ¼ pðzÞ ¼ p0 þ r g z;
ð1Þ
d. h., der Druck hngt linear von der Tiefe z ab und ist von x und y unabhngig. Fr r g ¼ 0, d. h. ohne Bercksichtigung des Gewichts, folgt aus Gl. (1) pðx; y; zÞ ¼ p0 , d. h., der Pressdruck p0 pflanzt sich nach allen Orten hin gleich groß fort (Gesetz von Pascal). Druck auf ebene Wnde. Fr einen Behlter mit berdruck p (Bild 1 b) berechnet man zunchst die Ersatzspiegelhhe h ¼ p =ðr gÞ. Von ihr werden die Koordinaten z und h gezhlt ðz ¼ h sin bÞ. Die resultierende Druckkraft Z F ¼ r gz dA ¼ r gAzS ð2Þ greift im Druckmittelpunkt M an. Die Lage des Druckmittelpunkts ist gegeben durch ey ¼ Ix =ðAhS Þ; ex ¼ Ix y =ðAhS Þ;
ð3Þ
Ix axiales Flchenmoment 2. Ordnung, Ixy zentrifugales oder gemischtes Flchenmoment 2. Ordnung, x und y Achsen durch den Flchenschwerpunkt. Fr symmetrische Flchen ist Ixy ¼ 0. Fr Flle nach Bild 1 c gilt mit b ¼ 90 – Wand: Ix ¼ bh3 =12; F ¼ r gbh2 =2; ey ¼ h=6; – Rechteckklappe:
I5
Hydrostatik (Statik der Flssigkeiten)
B 45
B
Bild 1 a–c. Hydrostatischer Druck. a Verteilung; b auf geneigte und c auf vertikale Wnde
Ix ¼ bh3 =12; F ¼ r gbhzS ; ey ¼ h2 =ð12zS Þ; – Kreisklappe: Ix ¼ pd 4 =64; F ¼ r gzS pd2 =4; ey ¼ d 2 =ð16zS Þ: Beispiel: Behlter mit Ablassklappe. Gegeben: p ¼ 0; 5 bar; H ¼ 2 m, b ¼ 60 . Zu berechnen ist die Grße und Lage der resultierenden Druckkraft auf eine kreisfrmige Klappe vom Durchmesser d = 500 mm. – Mit h ¼ p =ðr gÞ ¼ ð0;5 105 N=m2 Þ=ð1 000 kg=m3 9;81 m=s2 Þ ¼ 5;097 m wird zS ¼ H þ h ¼ 7;097 m, nach Gl. (2) F ¼ r gðpd2 =4ÞzS ¼ 13;67 kN und gemß Gl. (3) ey ¼ ðpd4 =64Þ=½ðpd 2 =4ÞzS = sin b ¼ 1;9 mm.
Druck auf gekrmmte Wnde (Bild 2 a). Die Kraftkomponenten sind Z Z Fx ¼ r g z dAx ¼ r gzSx Ax ; Fy ¼ r g z dAy ¼ r gzSy Ay ; Z Z ð4Þ Fz ¼ r g z dAz ¼ r g dV ¼ r gV: Hierbei sind Ax und Ay die Projektionsflchen der gekrmmten Flche auf die y , z- bzw. x, z-Ebene. Fz ist die Gewichtskraft, die im Volumenschwerpunkt angreift. Die drei Krfte gehen bei beliebigen Flchen nicht durch einen Punkt. Bei
Kugel- oder Zylinderflchen gengt die Projektion auf die y, z-Ebene. Fx und Fz liegen dann in einer Ebene und haben die pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi Resultierende FR ¼ Fx2 þ Fz2 (Bild 2 b). Gemß Gl. (4) ist die horizontale Druckkraft auf eine gekrmmte Flche in beliebiger Richtung so groß wie auf eine senkrecht zur Kraftrichtung stehende projizierte ebene Flche. Der Angriffspunkt der Druckkrfte ergibt sich gemß Gl. (3) zu ex und ey , wenn x und y die Achsen durch den Schwerpunkt der jeweiligen Projektionsflche sind. Bei Kugel- und Kreiszylinderflchen geht die Resultierende FR stets durch den Krmmungsmittelpunkt. Auftrieb (Bild 3 a). Fr einen ganz (oder teilweise) eingetauchten Krper wirkt auf ein oben liegendes Flchenelement die Kraft dF ¼ po dAx ex þ po dAy ey þ po dAz ez . Da sich die Komponenten dFx und dFy am geschlossenen Krper das Gleichgewicht halten, d. h. Fx ¼ 0 und Fy ¼ 0 ist, bleibt nur eine Kraft in z-Richtung: Z Z FA ¼ Fz ¼ dFz ¼ ðpu po ÞdAz Z ð5Þ ¼ r gðzu zo ÞdAz ¼ r gV: Diese Auftriebskraft ist gleich dem Gewicht der verdrngten Flssigkeit. Sie greift im Volumenschwerpunkt der verdrngten Flssigkeit an (und nicht im Krperschwerpunkt; bei homogenen Krpern fallen beide Schwerpunkte zusammen). Stabilitt schwimmender Krper (Bild 3 b). Ein eingetauchter Krper schwimmt, wenn FG ¼ FA ist. Er schwimmt stabil,
Bild 2a, b. Druck auf gekrmmte Wnde. a Allgemein; b Zylinderund Kugelflchen
Bild 3. a Auftrieb; b Schwimmstabilitt
B 46
Mechanik – 6 Hydro- und Aerodynamik (Strmungslehre, Dynamik der Fluide)
wenn das Metazentrum M ber dem Krperschwerpunkt SK liegt, labil, wenn es darunter liegt, und indifferent, wenn beide zusammenfallen. Fr die metazentrische Hhe gilt
B
hM ¼ ðIx =VÞ e: Hierbei ist Ix das Flchenmoment 2. Ordnung der Schwimm-
flche (Wasserlinienquerschnitt) um die Lngsachse, V das verdrngte Volumen und e der Abstand zwischen Krperund Volumenschwerpunkt. Bei schwebenden Krpern (UBoot) ist Ix ¼ 0 und hM ¼ e. Wird e negativ, d. h., liegt der Krperschwerpunkt unter dem Volumenschwerpunkt, so folgt hM > 0, und der schwebende Krper schwimmt stabil.
6 Hydro- und Aerodynamik (Strmungslehre, Dynamik der Fluide) Aufgabe der Strmungslehre ist die Untersuchung der Grßen Geschwindigkeit, Druck und Dichte eines Fluids als Funktion der Ortskoordinaten x, y, z bzw. bei eindimensionalen Problemen (z. B. Rohrstrmungen) als Funktion der Bogenlnge s. Bei vielen Strmungsvorgngen ist die Kompression auch bei gasfrmigen Fluiden vernachlssigbar (z. B., wenn Krper von Luft normaler Temperatur und weniger als 0,5facher Schallgeschwindigkeit umstrmt werden). Dann gelten auch dafr die Gesetze inkompressibler Medien (Strmungen mit nderung des Volumens s. D 7.2). Ideale und nichtideale Flssigkeit. Eine ideale Flssigkeit ist inkompressibel und reibungsfrei, d. h., es treten keine Schubspannungen auf ðtxy ¼ 0Þ. Der Druck an einem Element ist nach allen Richtungen gleich groß (s. B 5). Bei nichtidealer oder zher Flssigkeit treten vom Geschwindigkeitsgeflle abhngige Schubspannungen auf, und die Drcke px , py , pz sind unterschiedlich. Hngen die Schubspannungen linear vom Geschwindigkeitsgeflle senkrecht zur Strmungsrichtung ab (Bild 1), gilt also t ¼ hðdu=dzÞ, so liegt eine Newtonsche Flssigkeit vor (z. B. Wasser, Luft und l). Hierbei ist h die absolute oder dynamische Zhigkeit. Nicht-Newtonsche Flssigkeiten mit nichtlinearem Fließgesetz sind z. B. Suspensionen, Pasten und thixotrope Flssigkeiten. Stationre und nichtstationre Strmung. Bei stationrer Strmung hngen die Grßen Geschwindigkeit u, Druck p und Dichte r nur von den Ortskoordinaten ab, d. h., es ist u ¼ u(x, y, z) usw. Bei instationrer Strmung ndert sich die Strmung an einem Ort auch mit der Zeit, d. h., es ist u ¼ u(x, y, z, t) usw.
Bild 2. Stromrhre und Stromfaden
geschlossenen Kurve umschlungen wird, heißt Stromrhre (Bild 2). Teile der Stromrhre mit Querschnitt dA, ber die p und u als konstant anzusehen sind, bilden einen Stromfaden. Bei Rohrstrmungen idealer Flssigkeiten sind p und u ber den Gesamtquerschnitt A nherungsweise konstant, d. h., der gesamte Rohrinhalt bildet einen Stromfaden.
6.1 Eindimensionale Strmungen idealer Flssigkeiten Eulersche Gleichung fr den Stromfaden. Fr ein Element dm lngs der in Bild 3 a skizzierten Stromlinie lautet die Eulersche Bewegungsgleichung (in Tangentialrichtung) du ¶u ¶u ds ¶z 1 ¶p ds ¼ g bzw:mit ¼u at ¼ ¼ þ dt ¶t ¶s dt ¶s r ¶s dt 2 ð1Þ ¶ u p ¶u þ þ gz þ ¼ 0: ¶s 2 r ¶t Im Fall stationrer Strmung ist ¶u=¶t ¼ 0.
Stromlinie, Stromrhre, Stromfaden. Die Stromlinie ist die Linie, die in einem bestimmten Augenblick an jeder Stelle von den Geschwindigkeitsvektoren tangiert wird (Bild 2); es gilt ux : uy : uz ¼ dx : dy : dz. Bei stationren Strmungen ist die Stromlinie eine ortsfeste Raumkurve; sie ist außerdem mit der Bahnkurve des einzelnen Teilchens identisch. Bei instationren Strmungen ndern die Stromlinien ihre Lage im Raum mit der Zeit; sie sind nicht mit den Bahnkurven der Teilchen identisch. Ein Bndel von Stromlinien, das von einer
Bild 1. Schubspannung in einer Flssigkeit
Bild 3 a, b. Stromfaden. a Element; b Bernoullische Hhen
I6.1
an ¼
2
u 1 ¶p ¶z ¶p u ¶z ¼ g oder ¼ r r g r r r ¶n ¶n ¶n ¶n
bzw. bei Vernachlssigung des Eigengewichts ¶p=¶n ¼ ru2 =r. Der Druck nimmt also von der konkaven zur konvexen Seite des Stromfadens zu. Bernoullische Gleichung fr den Stromfaden. Aus Gl. (1) lngs des Stromfadens folgt fr die instationre Strmung Z ¶u ds ¼ const ð2 aÞ r u2 =2 þ p þ r gz þ r ¶t bzw. r u21 =2 þ p1 þ r gz1 ¼ r u22 =2 þ p2 þ r gz2 þ r Fr den stationren Fall (¶u=¶t ¼ 0) gilt
Zs2
¶u ds: ð2 bÞ ¶t
s1
ru21 =2 þ p1 þ r gz1 ¼ ru22 =2 þ p2 þ r gz2 ¼ const :
ð3Þ
Danach bleibt die Gesamtenergie, bestehend aus kinetischer, Druck- und potentieller Energie, fr die Masseneinheit lngs des Stromfadens bzw. der Stromlinie erhalten. Aus Gl. (3) ergibt sich nach Division durch r g u21 =ð2gÞ þ p1 =ðr gÞ þ z1 ¼ u22 =ð2gÞ þ p2 =ðr gÞ þ z2 ¼ const ¼ H;
B 47
Hieraus folgt mit u2 ¼ 0 p2 ¼ p1 þ ru21 =2. In einem Staupunkt setzt sich der Druck zusammen aus dem statischen Druck pst ¼ p1 und dem (dynamischen) Staudruck pdyn ¼ ru21 =2.
Fr die Normalenrichtung gilt 2
Eindimensionale Strmungen idealer Flssigkeiten
ð4Þ
Beispiel: Staudruck bei Wind gegen eine Wand. – Bei der Windgeschwindigkeit u ¼ 100 km=h ¼ 27;8 m=s ergibt sich mit rLuft ¼ 1;2 kg=m3 der Staudruck pdyn ¼ ru2 =2 ¼ 464 N=m2 .
Pitotrohr. Zur Messung der Strmungsgeschwindigkeit in offenen Gerinnen eignet sich das Pitotrohr (Bild 4 b). Fr Punkt 1 gilt gemß B 5 Gl. (1) p1 ¼ pL þ rgz1 . Fr die Stromlinie 1–2 gilt p1 þ ru21 =2 ¼ p2 , also p2 ¼ pL þ r gz1 þ ru21 =2. Der hydrostatische Druck im Pitotrohr ist p2 ¼ pL þ r gðz1 þ hÞ pffiffiffiffiffiffiffiffi und so ist ru21 =2 ¼ r gh oder u1 ¼ 2gh. Die Steighhe h ist ein Maß fr die Strmungsgeschwindigkeit. Fr die Messung der Luftgeschwindigkeit ist die Anordnung auf Bild 4 c geeignet. Ist rM die Dichte der Manometerflssigkeit, so gilt fr pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi Punkt 2 pdyn ¼ ru21 =2 ¼ rM gh, also u1 ¼ 2ðrM =rÞgh. Venturirohr. Es dient zur Messung der Strmungsgeschwindigkeit in Rohrleitungen (Bild 5). Die Bernoullische Gl. (7) zwischen den Stellen 1 und 2 lautet ru21 =2 þ p1 ¼ ru22 =2 þ p2 und die Kontinuittsgleichung u1 A1 ¼ u2 A2 . Hieraus ergibt sich Dp ¼ p2 p1 ¼ ðru21 =2Þ½ðA1 =A2 Þ2 1
d. h., die gesamte Energiehhe H, bestehend aus Geschwindigkeits-, Druck- und Ortshhe, bleibt konstant (Bernoullische Gleichung; Bild 3 b).
bzw. mit Dp ¼ ðrM rÞgh qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi u1 ¼ 2ghðrM =r 1Þ=½ðA1 =A2 Þ2 1:
Kontinuittsgleichung. Fr einen Stromfaden muss die durch jeden Querschnitt strmende Masse pro Zeiteinheit (Massenstrom) konstant sein:
In Wirklichkeit ist zwischen den Stellen 1 und 2 noch der Druckverlust infolge Reibung zu bercksichtigen (s. B 6.2 ff.).
dm_ ¼ ru dA ¼ r1 u1 dA1 ¼ r2 u2 dA2 ¼ const :
ð5Þ
Bei inkompressiblen Medien ðr ¼ constÞ muss der Volumenstrom konstant sein: dV_ ¼ u dA ¼ u1 dA1 ¼ u2 dA2 ¼ const :
ð6Þ
Bei Stromrhren mit ber dem Querschnitt A konstanter mittlerer Geschwindigkeit u folgt aus Gln. (5) und (6) m_ ¼ ruA ¼ const bzw: V_ ¼ uA ¼ const :
6.1.2 Anwendung der Bernoullischen Gleichung fr den instationren Fall Untersucht wird der Ausfluss aus einem Behlter bei abnehmender Spiegelhhe unter Vernachlssigung der Reibung (Bild 6). Lsung: Aus den Gln. (2) und (6) folgt vffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1, u 0 Zs2 u 1 ¶u A u ds ½ðA1 =A2 Þ2 1: u1 ¼ t2g@z g ¶t s1
6.1.1 Anwendungen der Bernoullischen Gleichung fr den stationren Fall Staudruck. Beim Auftreffen einer Strmung auf ein festes Hindernis entsteht der Staudruck (Bild 4 a). Die Bernoullische Gl. (3) hat ohne Hhenglied die Form ru21 =2 þ p1 ¼ ru22 =2 þ p2 :
ð7Þ
Bild 5. Venturirohr
Bild 4 a–c. Staudruck. a Staupunkt; b Pitotrohr fr Flssigkeiten und c Gase
Bild 6. Instationrer Ausfluss
B
B 48
B
Mechanik – 6 Hydro- und Aerodynamik (Strmungslehre, Dynamik der Fluide)
Mit u1 ¼ dz=dt; A1 =A2 ¼ a und Vernachlssigung des Integrals (klein im Vergleich zu z) folgt aus Gl. (2 b) pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi u1 ¼ dz=dt ¼ 2gz=ða2 1Þ und hieraus nach Integration pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2 t ¼ 2ða 1Þz=g þ C. Fr zðt ¼ 0Þ ¼ H wird pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi C ¼ 2ða2 1ÞH=g und somit pffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi t ¼ ð1 z=H Þ 2ða2 1ÞH=g oder pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi z ¼ Hf1 t g=½2Hða2 1Þg2 : Hieraus folgen fr z=0 die Ausflusszeit T¼
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2ða2 1ÞH=g;
die Geschwindigkeit u1 ¼ dz=dt ¼ f1 t
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi g=½2Hða2 1Þg 2gH=ða2 1Þ
und die Ausflussgeschwindigkeit u2 ¼ u1 A1 =A2 . Die Geschwindigkeiten nehmen linear mit der Zeit ab.
6.2 Eindimensionale Strmungen zher Newtonscher Flssigkeiten (Rohrhydraulik) Bei laminarer Strmung bewegen sich die Teilchen in parallelen Bahnen (Schichten), bei turbulenter Strmung berlagern sich der Hauptstrmung zustzliche Geschwindigkeitskomponenten in x-, y- und z-Richtung (Wirbelbewegung). bergang von laminarer zu turbulenter Strmung tritt ein, wenn die Reynoldssche Zahl Re ¼ ud=v den kritischen Wert erreicht (z. B. Rek ¼ 2 320 fr Rohre mit Kreisquerschnitt). Bei laminarer Strmung gilt fr die Schubspannung zwischen den Teilchen der Newtonsche Ansatz t ¼ hðdu=dzÞ
ð8Þ
(Bild 1). Hierbei ist h die dynamische Zhigkeit oder Viskositt. Sie ist temperaturabhngig, bei Gasen auch druckabhngig (was jedoch vernachlssigbar ist, solange nicht grßere Dichtenderungen auftreten). Bei turbulenter Strmung gilt nach Prandtl und v. Ka´rma´n [1, 11, 12] angenhert der Schubspannungsansatz t ¼ h du=dz þ rl2 ðdu=dzÞ2 . l ist dabei die freie Weglnge eines Teilchens. Infolge der Schubspannungen treten Druckverluste (Energieverluste) lngs des Stromfadens auf. Kinematische Zhigkeit. Sie ist v ¼ h=r. Fr Wasser von 20 C ist h ¼ 103 Ns=m2 und v ¼ 106 m2 =s (weitere Werte s. Anh. D 10 Tab. 2 und Anh. E 5 Bild 1 und 2). Bernoullische Gleichung mit Verlustglied. Findet zwischen zwei Punkten 1 und 2 keine Energiezufuhr oder -abfuhr statt (z. B. durch Pumpe oder Turbine), so lautet die Bernoullische Gleichung
Druckverlust und Verlusthhe (Bild 16). Zwischen zwei Stellen 1 und 2 sei der Rohrdurchmesser d konstant. Dann gilt X zru2 =2 bzw: DpV ¼ ðll=dÞru2 =2 þ X ð11 a, bÞ zu2 =ð2gÞ; hV ¼ ðll=dÞu2 =ð2gÞ þ l Rohrreibungszahl, z Widerstandsbeiwerte fr Einbauten. Fr kompressible Fluide, die sich infolge Druckabnahme von 1 nach 2 ausdehnen, folgt aus der Kontinuittsgleichung (5) sowie aus dem Ansatz dp ¼ ðl=dÞ dx ru2 =2 fr den isothermen Fall, p1 =r1 ¼ p=r ¼ const, p21 p22 ¼ lu21 r1 p1 l=d, d. h. fr den Druckverlust aufgrund von Rohrreibung qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi DpV ¼ p1 p2 ¼ p1 ½1 1 lu21 r1 l=ðp1 dÞ: ð12Þ Bei geringen Druckverlusten ist die Expansion vernachlssigbar, und man kann Gl. (11 a) auch fr kompressible Fluide verwenden. Der dabei auftretende Fehler ist f 0;5 DpV =p1 [6, 13]. 6.2.1 Stationre laminare Strmung in Rohren mit Kreisquerschnitt X Gemß Bild 7 a folgt aus Fix ¼ 0 ¼ ðp1 p2 Þpr2 t 2prl mit t ¼ h du=dr und der Haftungsbedingung uðr ¼ d=2Þ ¼ 0 nach Integration uðrÞ ¼ DpV ðd 2 =4 r 2 Þ=ð4hlÞ: Die Geschwindigkeitsverteilung ist also parabolisch (Gesetz von Stokes). Fr die Schubspannungen ergibt sich tðrÞ ¼ h du=dr ¼ DpV r=ð2lÞ; sie nehmen also linear nach außen zu. Fr den Volumenstrom gilt V_ ¼
Zd=2
uðrÞ2pr dr ¼ DpV pd 4 =ð128hlÞ
r¼0
(Formel von Hagen-Poiseuille) und damit fr die mittlere Ge_ ¼ schwindigkeit und den Druckverlust um ¼ u ¼ V=A DpV d 2 =ð32hlÞ und DpV ¼ um 32hl=d 2 . Der Druckverlust und somit auch die Schubspannungen nehmen also linear mit der Geschwindigkeit zu. Mit der Reynoldsschen Zahl Re ¼ ud=v und hV ¼ ergibt sich DpV ¼ ð64=ReÞðl=dÞðru2 =2Þ ð64=ReÞðl=dÞðu2 =2gÞ. Demnach ist nach Gl. (11 a, b) die Rohrreibungszahl l ¼ 64=Re, d. h. bei laminarer Strmung unabhngig von der Rauigkeit der Rohrwand. 6.2.2 Stationre turbulente Strmung in Rohren mit Kreisquerschnitt Bei Re > 2 320 erfolgt bergang in turbulente Strmung. Die Rohrreibungszahl l hngt von der Rohrrauigkeit k (Wanderhebungen in mm, s. Tab. 1) und von Re ab. Das Geschwindigkeitsprofil ist wesentlich flacher (Bild 7 b) als bei laminarer Strmung. Es besteht im Randbereich aus einer laminaren
ru21 =2 þ p1 þ r gz1 ¼ ru22 =2 þ p2 þ r gz2 þ DpV þ r
Zs2
¶u ds: ¶t
ð9Þ
s1
Fr den stationren Fall ist ¶u=¶ t ¼ 0, und das letzte Glied entfllt. Hierbei ist DpV der Druckverlust zwischen den Stellen 1 und 2 infolge von Rohrreibung, Einbauwiderstnden usw. Dividiert man Gl. (9) durch r g, so ergibt sich u21 =ð2gÞ þ p1 =ðr gÞ þ z1 ¼ u22 =ð2gÞ þ p2 =ðr gÞ þ z2 þ hV : ð10Þ Darin bedeuten die einzelnen Glieder Energiehhen und hV ¼ DpV =ðr gÞ die Verlusthhe.
Bild 7 a, b. Rohrstrmung. a Laminar; b turbulent
I6.2
Eindimensionale Strmungen zher Newtonscher Flssigkeiten (Rohrhydraulik)
Tabelle 1. Anhaltswerte fr Wandrauigkeiten [2]
B 49
Nikuradse l ¼ 1=½2 lgð3;71d=kÞ2 fr den oberhalb der Grenzkurve liegenden Bereich (Bild 8). Die Grenzkurve ist mittels l ¼ ½ð200d=kÞ=Re2 festgelegt. Rohre im bergangsgebiet liegen vor, wenn 65d=k < Re < 1300 d=k, d. h. in dem auf Bild 8 unter der Grenzkurve liegenden Bereich. Die Rohrreibungszahl l ist von Re und d/k abhngig. Als gute Nherung gilt , 2;51 0;27 2 pffiffiffi þ l¼1 2 lg Re l d=k (Formel von Colebrook). Sie bezieht sich auf Rohre mit technischer Rauigkeit. Fr Rohre mit aufgeklebten Sandkrnern gleicher Krnung wurden von Nikuradse die in Bild 8 gestrichelt eingetragenen Kurven gemessen. Diagramm von Colebrook-Nikuradse. Die vorstehenden Formeln sind graphisch in Bild 8 dargestellt, so dass l als Funktion von Re und d/k abgelesen und bei Bedarf nachgerechnet bzw. verbessert werden kann (weitere Verfeinerungen s. [1, 3]). Ist l bekannt, berechnet man den Druckverlust bzw. die Verlusthhe nach Gl. (11) bzw. (12) und anschließend den zu untersuchenden Rohrleitungsabschnitt mit der Bernoullischen Gleichung mit Verlustglied gemß Gl. (9) oder (10). Beispiel: Durch ein Stahlrohr (gebraucht, k ¼ 0;15 mm) vom Durchmesser d ¼ 150 mm und der Lnge l ¼ 1 400 m werden V_ ¼ 400 m3 =h Pressluft gefrdert. Druck und Dichte im Kessel: p1 ¼ 6 bar; r1 ¼ 6;75 kg=m3 . Zu ermitteln ist der Druckverlust am Ende der Leitung. – Mit der Frdergeschwindigkeit 2 _ _ =4Þ ¼ 6;29 m=s und u ¼ V=A ¼ V=ðpd
u ¼ h=r ¼ ð2 105 Ns=m2 Þ=ð6;75 kg=m3 Þ ¼ 2;963 106 m2 =s wird Re ¼ ud=v ¼ 318 427: Mit d=k ¼ 150=0;15 ¼ 1 000 ergibt sich aus Bild 8 bzw. der Formel von Colebrook l ¼ 0;0205: Aus Gl. (12) folgt fr den Druckverlust am Ende der Leitung h pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffii DpV ¼ p1 1 1 lu2 r1 l=ðp1 dÞ ¼ 0;261 bar:
Grenzschicht der Dicke d ¼ 34;2d=ð0;5ReÞ0;875 (nach Prandtl). Die Geschwindigkeitsverteilung hngt ebenfalls von Re und k ab; sie ist nach Nikuradse mittels uðrÞ ¼ umax ð1 2r=dÞn darstellbar (z. B. n =1/7 fr Re ¼ 105 ). Exponent n nimmt mit der Rohrrauigkeit zu. Das Verhltnis u=umax ¼ 2=½ð1 þ nÞ ð2 þ nÞ ist im Mittel etwa 0,84. Ermittlung der Rohrreibungszahl Hydraulisch glatte Rohre liegen vor, wenn die Grenzschichtdicke grßer als die Wanderhebung ist, d. h. fr d=k ^ 1 bzw. Re < 65d=k. Formel von Blasius (gltig fr 2 320 < Re < 105 Þ: pffiffiffiffiffiffi l ¼ 0;3164= 4 Re:
Bei Vernachlssigung der Expansion infolge der Druckabnahme ergibt Gl. (11 a) DpV ¼ ðll=dÞru2 =2 ¼ 25 550 N=m2 ¼ 0;256 bar; d. h. einen Fehler f ¼ ð0;261 0;256Þ=0;261 ¼ 1;92%, der auch mit der Abschtzformel f ¼ 0;5 DpV =p1 ¼ 2;13% gut bereinstimmt. Die Dichtenderung der Pressluft hat also kaum Einfluss.
6.2.3 Strmung in Leitungen mit nicht vollkreisfrmigen Querschnitten Nach Einfhren des hydraulischen Durchmessers dh ¼ 4A=U (A Querschnittsflche, U benetzter Umfang) wird wie in B 6.2.1 und B 6.2.2 gerechnet. Allerdings ist bei laminarer Strmung l ¼ j 64=Re zu setzen [5]. Fr Kreisring- und Rechteckquerschnitt gilt
Formel von Nikuradse (gltig fr 105 < Re < 108 Þ: l ¼ 0;0032 þ 0;221=Re0;237 : Formel von Prandtl und v. Ka´rma´n (gltig fr den gesamten turbulenten Bereich, aber wegen impliziter Form umstndpffiffiffi lich): l ¼ 1=½2 lgðRe l=2;51Þ2 . An ihrer Stelle kann die Nherungsformel l ¼ 0;309=½lgðRe=7Þ2 verwendet werden. Hydraulisch raue Rohre liegen vor, wenn die Wanderhebungen grßer als die Grenzschichtdicke sind, d. h. fr d/k1 300 d/k. Die Rohrreibungszahl l ist nur abhngig von der relativen Rauigkeit d/k, und es gilt die Formel von
6.2.4 Strmungsverluste durch spezielle Rohrleitungselemente und Einbauten Zustzlich zu den Wandreibungsverlusten der Rohrleitungselemente gilt fr den Druckverlust bzw. die Verlusthhe DpV ¼ zru2 =2 bzw: hV ¼ zu2 =ð2gÞ:
B
B 50
Mechanik – 6 Hydro- und Aerodynamik (Strmungslehre, Dynamik der Fluide)
B
Bild 8. Rohrreibungszahl l nach Colebrook und (gestrichelt) nach Nikuradse
h) Etagenkrmmer: z ¼ 4 z90° i) Krmmer mit Rechteckquerschnitt: Fr h=b < 1 ist pffiffiffiffiffiffiffiffi z ¼ z0 h=b; fr h=b > 1 ist z ¼ z0 h=b: z0 wie fr Krmmer mit Kreisquerschnitt, wenn fr d der Wert dh ¼ 2bh=ðb þ hÞ eingesetzt wird. Kniestcke [5] (d Abknickwinkel): mit Kreisquerschnitt
mit Rechteckquerschnitt:
Rohrverzweigungen und -vereinigungen [6] V_ Gesamtstrom, V_ a ab- bzw. zufließender Strom, zd Widerstand im Hauptrohr, za Widerstand im Abzweigrohr. Minuszeichen bedeutet Druckgewinn. Bild 9 a–i. Krmmer
Widerstandsbeiwerte z fr Krmmer (Bild 9) [5] a) Kreiskrmmer: j ¼ 90°
b) Segmentkrmmer:
d) e) f) g)
j 6¼ 90° : z ¼ k z90°
c) Graugusskrmmer 90°
Faltrohrkrmmer: z ¼ 0;4 Krmmer mit Umlenkschaufeln: z ¼ 0;15 . . . 0;20 [1] Doppelkrmmer: z ¼ 2 z90° Raumkrmmer: z ¼ 3 z90°
Bild 10 a–d. Rohrverzweigungen und -vereinigungen
I6.2
Eindimensionale Strmungen zher Newtonscher Flssigkeiten (Rohrhydraulik)
Dehnungsausgleicher (Bild 11) [5] a) Wellrohrkompensator: z ¼ 0;20 pro Welle (kann bei Einbau eines Leitrohrs fast zu Null gemacht werden). b) U-Bogen:
c) Lyrabogen: Glattrohrbogen z ¼ 0;7; Faltrohrbogen z ¼ 1;4.
B 51
a) Unstetige Erweiterung. Der Verlustbeiwert lsst sich aus der Bernoullischen Gleichung und dem Impulssatz (s. B 6.4) herleiten: z ¼ ðA2 =A1 1Þ2 : b) Stetige Erweiterung (Diffusor). Der Verlustbeiwert fr durchschnittlich raue Rohre kann dem Diagramm Bild 13 b entnommen werden [5]. c) Unstetige Verengung. Aus der Bernoullischen Gleichung und dem Impulssatz folgt z ¼ ðA2 =A0 1Þ2 . Da der eingeschnrte Querschnitt A0 unbekannt ist, entnimmt man z dem Diagramm Bild 13 c fr das Verhltnis A2 =A1 bei scharfkantigem Anschluss [5]. d) Stetige Verengung (Konfusor, Dse). Die Energieverluste aus Reibung sind gering. Im Mittel z ¼ 0;05. Absperr- und Regelorgane
Bild 11 a–c. Dehnungsausgleicher
Rohreinlufe (Bild 12 a–e) a) scharfkantig z ¼ 0;5; gebrochen z ¼ 0;25: b) und c) scharfkantig z ¼ 3;0; gebrochen z ¼ 0;6 . . . 1;0: d) je nach Wandrauigkeit z ¼ 0;01 . . . 0;05: e)
Schieber, offen, ohne Leitrohr: z ¼ 0;2 . . . 0;3; mit Leitrohr: z 0;1: Schieber bei verschiedenen ffnungsverhltnissen s. [5]. Ventile: Die Widerstandsbeiwerte schwanken je nach Ventilbauart zwischen z ¼ 0;6 (Freiflussventil) und z ¼ 4;8 (DINVentil). Die Angaben in der Literatur sind unterschiedlich [1, 2, 4–6]. Bei teilweise geffneten Ventilen sind die Widerstandsbeiwerte grßer. Rckschlagklappen, Drosselklappen, Hhne: Der Widerstandsbeiwert von Rckschlagklappen betrgt nach [5] z ¼ 0;8 bei NW 200 und z ¼ 1;4 bei NW 50. Bei Drosselklappen treten Werte von z ¼ 0;5 in fast voll geffnetem Zustand (j ¼ 10°) und von z ¼ 4;0 bei j ¼ 30° auf. Bei Hhnen ist z ¼ 0;3 ðj ¼ 10°Þ und z ¼ 5;5 ðj ¼ 30°Þ [5]. Drosselgerte dienen zur Messung von Geschwindigkeit und Volumenstrom und sind als Normblende, Normdse und Normventuridse genormt (DIN 1952). Widerstandsziffern s. [2].
Bild 12 a–e. Rohreinlufe
Rundstabgitter, Siebe und Saugkrbe [5]
Querschnittsnderung von A1 auf A2 (Bild 13)
Rundstabgitter gemß Bild 14 a: z ¼
0,8s=t ð1 s=tÞ2
Siebe gemß Bild 14 b:
Bild 14. a Rundstabgitter; b Sieb
Saugkrbe: fr handelsbliche Saugkrbe mit Fußventil am Anfang einer Rohrleitung z ¼ 4 . . . 5: Festkrperschttungen [5]. Fr die Durchstrmung der Schttung gemß Bild 15 gilt z ¼ lF lk =dk : Bis zu Rek ¼ udk =u ¼ 10 (u mittlere Geschwindigkeit im leeren Rohr) liegt laminare Strmung vor, und es ist lF ¼ 2 000=Rek : Fr Rek > 10 (turbulente Strmung) hngt lF nur noch von d=dk ab:
Bild 13 a–d. Querschnittsnderungen
B
B 52
Mechanik – 6 Hydro- und Aerodynamik (Strmungslehre, Dynamik der Fluide)
B Bild 15. Festkrperschttung Beispiel: Rohrleitung mit speziellen Widerstnden (Bild 16). Durch eine Rohrleitung sollen V_ ¼ 8 l=s Wasser gefrdert werden. Zu ermitteln ist der erforderliche Druck p0 im Druckbehlter. Gegeben: h1 ¼ 7 m; h2 ¼ 5 m; l1 ¼ 35 m; l2 ¼ 25 m; l3 ¼ 13 m; l4 ¼ 25 m; d1 ¼ d6 ¼ 80 mm; d2 ¼ 60 mm; Wandrauigkeit k ¼ 0;04 mm (neues, lngsgeschweißtes Stahlrohr). Widerstandsbeiwerte: Rohreinlauf z1 ¼ 0;5; Konfusor z2 ¼ 0;05; Kniestcke ðd ¼ 22;5Þ z3 ¼ z4 ¼ 0;11; Diffusor z5 ¼ 0;3: Kinematische Zhigkeit bei 20C: u ¼ 106 m2 =s. Luftdruck: pL ¼ 1 bar:– Aus der Kontinuittsgleichung (6) folgt fr 2 _ 1 ¼ V=ðpd _ die Strmungsgeschwindigkeiten u1 ¼ u6 ¼ V=A 1 =4Þ ¼ 2 _ 2 ¼ V=ðpd _ 1;59 m=s und u2 ¼ V=A 2 =4Þ ¼ 2;83 m=s: Mit den Reynoldsschen Zahlen Re1 ¼ u1 d1 =v ¼ 127 200; Re2 ¼ u2 d2 =v ¼ 169 800 und den relativen Rauigkeiten d1 =k ¼ 2 000, d2 =k ¼ 1 500 folgen aus der Formel bzw. dem Diagramm von Colebrook (Bild 8) die Rohrreibungszahlen l1 ¼ 0;0197 und l2 ¼ 0;0200: Hiermit ergeben sich nach Gl. (11 b) die Verlusthhen
Schreibweise pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ð13Þ u ¼ j 2gh þ 2ðp1 p2 Þ=r pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi blich, wobei j ¼ 1=ð1 þ zÞ die Geschwindigkeitsziffer ist. Fr den Volumenstrom V_ ist noch die Strahleinschnrung zu bercksichtigen. Mit der Kontraktionszahl a ¼ Ae =Aa ergibt sich pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi V_ ¼ ajAa 2gh þ 2ðp1 p2 Þ=r ð14Þ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ¼ mAa 2gh þ 2ðp1 p2 Þ=r: m ¼ aj ist die Ausflusszahl. Fr j, a und m gelten folgende Werte (Bild 18): a) scharfkantige Mndung: j ¼ 0;97; a ¼ 0;61 . . . 0;64; m ¼ 0;59 . . . 0;62; b) abgerundete Mndung: j ¼ 0;97 . . . 0;99; a ¼ 1; m ¼ 0;97 . . . 0;99; c) zylindrisches Ansatzrohr: l=d ¼ 2 . . . 3: j ¼ 0;82; a ¼ 1; m ¼ 0;82; d) konisches Ansatzrohr: j ¼ 0;95 . . . 0;97;
hV1 ¼ z1 u21 =ð2 gÞ ¼ 0;06 m; hV2 ¼ hV1 þ ðl1 l1 =d1 Þu21 =ð2 gÞ þ z2 u22 =ð2 gÞ ¼ ð0;06 þ 1;11 þ 0;02Þ m ¼ 1;19 m; hV3 ¼ hV2 þ ðl2 l2 =d2 Þu22 =ð2 gÞ þ z3 u22 =ð2 gÞ ¼ ð1;19 þ 3;40 þ 0;04Þ m ¼ 4;63 m; hV4 ¼ hV3 þ ðl2 l3 =d2 Þu22 =ð2 gÞ þ z4 u22 =ð2 gÞ
Die Gln. (13) und (14) gelten fr kleine Ausflussquerschnitte, bei denen u ber den Querschnitt konstant ist. Bei großen ffnungen ist fr einen Stromfaden in der Tiefe z (ohne berZz2 pffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffi druck) u ¼ 2gz; der Volumenstrom ist V_ ¼ m bðzÞ 2gz dz;
¼ ð4;63 þ 1;77 þ 0;04Þ m ¼ 6;44 m;
z1
hV5 ¼ hV4 þ ðl2 l4 =d2 Þu22 =ð2 gÞ ¼ ð6;44 þ 3;40Þ m ¼ 9;84 m; hV6 ¼ hV5 þ z5 u26 =ð2 gÞ ¼ ð9;84 þ 0;04Þ m ¼ 9;88 m: Die Bernoullische Gl. (10) zwischen den Punkten 0 und 6 ergibt dann mit u0 0 (wegen A0 A6 Þ p0 =ðr gÞ þ h1 ¼ u26 =ð2 gÞ þ pL =ðr gÞ þ h2 þ hV6 ; also p0 ¼ pL þ ru26 =2 þ r gðh2 þ hV6 h1 Þ ¼ pL þ 1 264N=m2 þ77 303N=m2 ¼ 1;786 bar: Mit den Geschwindigkeitshhen
Bild 17. Ausfluss der Behlter
u21 =ð2 gÞ ¼ u26 =ð2 gÞ ¼ 0;13 m; u22 =ð2 gÞ ¼ 0;41 m und den Druckhhen p0 =ðr gÞ ¼ 18;21 m; pL =ðr gÞ ¼ 10;19 m lassen sich dann die Bernoullischen Hhen zeichnen (Bild 16).
6.2.5 Stationrer Ausfluss aus Behltern Aus der Bernoullischen Gl. (10) zwischen den Punkten 1 und 2 (Bild 17) folgt mit Gl. (11 b) fr die Ausflussgeschwindigpffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi keit u ¼ ½2gh þ 2ðp1 p2 Þ=r=ð1 þ zÞ. Bei Behltern ist die
Bild 16. Rohrleitung
Bild 18a–d. Mndungsformen
I6.3
Eindimensionale Strmung Nicht-Newtonscher Flssigkeiten
B 53
pffiffiffiffiffi 3=2 3=2 z. B. fr eine Rechteckffnung V_ ¼ 2mb 2gðz2 z1 Þ=3: Die Ausflussziffer liegt bei m ¼ 0;60 fr scharfkantige und bei m ¼ 0;75 fr abgerundete ffnungen.
d. h., fr ux =um ¼ 0;5 und m ¼ 0;3 ergibt sich da ¼ 10°. Der Volumenstrom ist V_ ¼ 2mV_ 0 x=d [1, 3].
6.2.6 Stationre Strmung durch offene Gerinne
6.3 Eindimensionale Strmung Nicht-Newtonscher Flssigkeiten
Bei stationrer Strmung sind Spiegel- und Sohlengeflle parallel. Aus der Bernoullischen Gl. (10) folgt z1 z2 ¼ hV bzw: ðz1 z2 Þ=l ¼ sin a ¼ ðl=dh Þu2 =ð2gÞ:
ð15Þ
Ist hierbei dh der hydraulische Durchmesser gemß B 6.2.3, so gelten die Formeln der Rohrstrmung gemß B 6.2.1 bis B 6.2.4 u ist die mittlere Geschwindigkeit, d. h., es gilt V_ ¼ uA _ bzw. u ¼ V=A: Sind V_ bzw. u bekannt, so folgt aus Gl. (15) das erforderliche Geflle bzw. bei bekanntem Geflle die Strmungsgeschwindigkeit u (Anhaltswerte fr k s. Tab. 1). 6.2.7 Instationre Strmung zher Newtonscher Flssigkeiten Die fr diesen Fall gltigen Gleichungen sind mit der Bernoullischen Gleichung in Form von Gl. (9) unter Beachtung von Gl. (11 a) und der Kontinuittsgleichung in Form von Gl. (5) oder (6) gegeben. 6.2.8 Freier Strahl Strmt ein Strahl mit konstantem Geschwindigkeitsprofil aus einer ffnung in ein umgebendes, ruhendes Fluid gleicher Art aus (Bild 19), so werden an den Rndern Teilchen der Umgebung aufgrund der Reibung mitgerissen. Mit der Strahllnge nimmt also der Volumenstrom zu und die Geschwindigkeit ab. Dabei tritt eine Strahlausbreitung ein. Der Druck im Inneren des Strahls ist gleich dem Umgebungsdruck, d. h., der Impuls ist in jedem Strahlquerschnitt konstant: Zþ1 I¼ ru2 dA ¼ const: 1
Der kegelfrmige Strahlkern, in dem u ¼ const ist, lst sich lngs des Wegs x0 auf. Danach sind die Geschwindigkeitsprofile zueinander affin. Ergebnisse fr den runden Strahl [1]: Kernlnge x0 ¼ d=m mit m ¼ 0;1 fr laminaren und m ¼ 0;3 fr vollstndig turbulenten Strahl ð0;1 < m < 0;3Þ. MittengeEnergieabnahme E¼ schwindigkeit um ¼ u0 x0 =x: 0;667E0 x0 =x (E0 kinetische Energie am Austritt). Strahlausbreitung pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ra ¼ m 0;5 ln2 x ¼ 0;5887mx; wobei am Ausbreitungsrand ux ¼ 0;5um ist. Strahlausbreitungswinkel pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi da ¼ arctan½0;707m lnðum =ux Þ;
Bild 19. Freier Strahl
Bei Nicht-Newtonschen Flssigkeiten ist kein linearer Zusammenhang zwischen der Schubspannung t und der Schergeschwindigkeit du=dz gemß Gl. (8) gegeben [9]. Fr diese rheologischen Stoffe unterscheidet man folgende Fließgesetze (Bild 20): Dilatante Flssigkeiten. Die Zhigkeit nimmt mit steigender Schergeschwindigkeit g_ zu (z. B. Anstrichfarben, Glasurmassen). g_ ¼ du=dz ¼ ktm , m < 1 (Formel von Ostwald-de Waele [7]). k ist der Fluidittsfaktor und m der Fließbeiwert. Dilatante Flssigkeiten lassen sich auch mit der Formel von Prandtl-Eyring erfassen: g_ ¼ du=dz ¼ c sinhðt=aÞ; wobei c und a stoffabhngige Konstanten sind. Strukturviskose Flssigkeiten. Die Zhigkeit nimmt mit wachsender Schergeschwindigkeit ab (z. B. Silikone, Spinnlsungen, Staufferfett). Es gelten die vorstehenden Gesetze, aber mit m > 1 sowie entsprechenden Konstanten c und a. Bingham-Medium. Das Material beginnt erst bei berschreiten der Fließgrenze tF zu fließen. Unterhalb von tF verhlt es sich wie ein elastischer Krper, darber wie eine Newtonsche Flssigkeit (z. B. Zahnpasta, Abwasserschlamm, krnige Suspensionen). g_ ¼ du=dz ¼ kðt tF Þ (Gesetz von Bingham). Elastoviskose Stoffe (Maxwell-Medium). Sie haben sowohl die Eigenschaften zher Flssigkeiten als auch elastischer Krper (z. B. Teig, Polyethylen-Harze). Die Schubspannung ist zeitabhngig, also auch dann noch vorhanden, wenn g_ bereits Null ist. g_ ¼ du=dz ¼ ðt=hÞ þ ð1=GÞðdt=dtÞ (Gesetz von Maxwell). Thixotrope und rheopexe Flssigkeiten. Auch hier sind die Schubspannungen zeitabhngig, außerdem verndert sich das Fließverhalten mit der mechanischen Beanspruchung. Bei thixotropen Flssigkeiten steigt das Fließvermgen mit der Dauer (z. B. beim Rhren oder Streichen), bei rheopexen Flssigkeiten verringert es sich mit der Grße der mechanischen Beanspruchung (z. B. Gipsbrei). Fließgesetze sind bisher nicht bekannt. Berechnung von Rohrstrmungen Fr dilatante und strukturviskose Flssigkeiten lsst sich der Druckabfall gemß Gl. (11 a) nach Metzner [7] wie fr Newtonsche Flssigkeiten mit der verallgemeinerten Reynoldsschen Zahl berechnen: Re ¼ uð2m1Þ=m d 1=m r=h; h ¼ 8ð1mÞ=m ð1=km Þ½ð3 þ mÞ=41=m :
Bild 20. Fließkurven. a Dilatante, b Newtonsche und c strukturviskose Flssigkeit, d Bingham-Medium
B
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B
Mechanik – 6 Hydro- und Aerodynamik (Strmungslehre, Dynamik der Fluide)
Im laminaren Bereich ðRe < 2 300Þ gilt l ¼ 64=Re, im turbulenten Bereich ðRe > 3 000Þ l ¼ 0;0056 þ 0;5=ðReÞ0;32 : Fr Bingham-Medien ergibt sich der Druckabfall aus Gl. (11 a) mit der Rohrreibungszahl [7] 64 32 He 4 096 1 He 4 l¼ þ ; 3 2 Re 3 Re 3 l Re2 wobei der Einfluss der Fließgrenze in der Hedstrmzahl He zum Ausdruck kommt: He ¼ tF rd 2 =h2 ¼ tF d 2 =ðru2 Þ.
6.4 Kraftwirkungen strmender inkompressibler Flssigkeiten 6.4.1 Impulssatz Aus dem Newtonschen Grundgesetz folgt fr das Massenelement dm ¼ rA ds der Stromrhre aus Bild 21 a dF ¼
d dðdmÞ du ðdmuÞ ¼ u þ dm : dt dt dt
Fr inkompressible Flssigkeiten ist dðdmÞ=dt ¼ 0; und mit u ¼ uðs; tÞ gilt fr die instationre Strmung ¶u ¶u ds dF ¼ dm þ ¶t ¶s dt bzw. fr die stationre Strmung mit ¶u=¶t ¼ 0 dF ¼ dm
¶u _ u ¼ rAu du ¼ rVdu: ¶s
Bild 21 a–d. Kraftwirkung einer strmenden Flssigkeit
Bild 22 a–f. Anwendungen zur Kraftwirkung
Fr den gesamten Kontrollraum zwischen 1 und 2 folgt nach Integration _ 2 u1 Þ: F1;2 ¼ rVðu
ð16Þ
Hierbei ist F1;2 die auf die im Kontrollraum eingeschlossene Flssigkeit wirksame Kraft. Sie setzt sich zusammen aus den Anteilen gemß Bild 21 b, wobei die Resultierende des Luftdrucks Null ist. Mit FW1;2 als Resultierender des berdrucks p€u ðsÞ gilt F1;2 ¼ FW1;2 þ FG1;2 þ p1€u A1 e1 p2€u A2 e2 : Daraus folgt fr die von der Flssigkeit auf die „Wand“ ausgebte Kraft mit Gl. (16) _ 1 e1 rVu _ 2 e2 Þ FW1;2 ¼ FG1;2 þ ðp1€u A1 e1 p2€u A2 e2 Þ þ ðrVu ð17Þ ¼ FG1;2 þ ðFp1 þ Fp2 Þ þ ðFv1 þ Fv2 Þ ¼ FG1;2 þ Fp1;2 þ Fv1;2 : Die Wandkraft setzt sich aus Gewichtsanteil FG1;2 ; Druckanteil Fp1;2 und Geschwindigkeitsanteil Fv1;2 zusammen (Bild 21 c und d).
6.4.2 Anwendungen (Bild 22) a) Strahlstoßkraft gegen Wnde. Unter Vernachlssigung des Eigengewichts und unter Beachtung, dass im Innern des Strahls der Druck berall gleich dem Luftdruck ist (also p€u ¼ 0; s. B 6.2.8), folgt aus Gl. (17) fr die x-Richtung und den Kontrollraum 1-2-3 _ 1 e1 rV_ 2 u2 e2 rV_ 3 u3 e3 Þex ¼ rVu _ 1 cos b: FWx ¼ ðrVu
I6.5 Fr die y-Richtung folgt aus Gl. (17) _ 1 e1 rV_ 2 u2 e2 rV_ 3 u3 e3 Þey ; FWy ¼ 0 ¼ ðrVu _ 1 sin b V_ 2 u2 þ V_ 3 u3 ¼ 0: Mit u1 ¼ u2 ¼ u3 aus der d. h. Vu Bernoullischen Gleichung und V_ ¼ V_ 2 þ V_ 3 aus der Kontinuittsgleichung ergibt sich V_ 2 =V_ 3 ¼ ð1 þ sin bÞ=ð1 sin bÞ: Fr b ¼ 0 (Stoß gegen senkrechte Wand) gilt _ 1 ¼ rA1 u21 und V_ 2 =V_ 3 ¼ 1: FWx ¼ rVu Bewegt sich die senkrechte Wand mit der Geschwindigkeit u in x-Richtung, so wird _ 1 uÞ ¼ rA1 u1 ðu1 uÞ: FWx ¼ rVðu Fr die gewlbte Platte lsst sich entsprechend _ 1 ð1 þ cos bÞ ableiten. Bewegt sich die gewlbte FWx ¼ rVu Platte mit der Geschwindigkeit u (Freistrahlturbine), so gilt _ 1 uÞð1 þ cos bÞ: FWx ¼ rVðu b) Kraft auf Rohrkrmmer. Aus Gl. (17) folgt bei Vernachlssigung des Eigengewichts und mit A1 ¼ A2 ¼ A bzw. u1 ¼ u2 ¼ u bzw. p1 ¼ p2 ¼ p _ _ FW1;2 ¼ ðp A þ rVuÞe 1 ðp A þ rVuÞe2 und _ cosðb=2Þ: jFW1;2 j ¼ FW1;2 ¼ Fx ¼ 2ðp A þ rVuÞ Als Reaktionskrfte wirken Zugkrfte in den Flanschverschraubungen. c) Kraft auf Dse. Mit p2 ¼ 0 sowie u2 ¼ u1 A1 =A2 ¼ u1 a und p1 ¼ rðu22 u21 Þ=2 folgt aus Gl. (17) FW1;2 ¼ ðr=2Þu21 A1 ða 1Þ2 ex : Als Reaktionskrfte wirken Zugkrfte in der Flanschverschraubung. d) Kraft bei pltzlicher Rohrerweiterung. Nach Carnot wird die Wandkraft dadurch festgelegt, dass der Druck p ber den Querschnitt 1 konstant gleich p1 (wie im engeren Querschnitt) gesetzt wird: FW ¼ p1 ðA2 A1 Þex : Dann gilt fr den Kontrollbereich 1-2 entsprechend Gl. (17) FW1;2 ¼ p1 ðA2 A1 Þex ¼ ðp1 A1 þ ru21 A1 p2 A2 ru22 A2 Þ ex : Mit u1 ¼ u2 A2 =A1 ¼ u2 a folgt hieraus p1 ¼ ru22 a þ p2 þ ru22 . Aus Gl. (9) ergibt sich fr den stationren Fall mit z1 ¼ z2 und DpV ¼ zru2 =2 fr den Verlustbeiwert z ¼ ða 1Þ2 (Borda-Carnotsche Gleichung). e) Raketenschubkraft. Mit den Relativgeschwindigkeiten ur1 ¼ 0 und ur2 ¼ ur folgt aus Gl. (17) fr die Schubkraft _ ur2 Þ ¼ rVu _ r ex ¼ rA2 u2r ex : FW ¼ rVð0 f) Propellerschubkraft. Bei Drehung eines Propellers oder einer Schraube wird das Fluid angesaugt und beschleunigt. Die Stromrhre wird so gewhlt, dass u1 A1 ¼ u3 A3 ¼ u5 A5 wird. u1 ist die Fahrzeuggeschwindigkeit und damit die Zustrmgeschwindigkeit des Fluids. Aus dem Impulssatz (17) ergibt sich die Schubkraft _ 5 u1 Þ ¼ rA3 u3 ðu5 u1 Þ: FS ¼ rVðu Aus der Bernoullischen Gleichung fr die Bereiche 1-2 und 4-5 folgt mit p1 ¼ p5 (Freistrahl) der Druckunterschied p4 p2 ¼ rðu25 u21 Þ=2 und damit FS ¼ rA3 ðu25 u21 Þ=2: Gleichsetzen der Ausdrcke fr FS fhrt zu u3 ¼ ðu1 þ u5 Þ=2 und damit zu FS ¼ cS ru21 A3 =2; wobei cS ¼ ðu5 =u1 Þ2 1 der Schubbelastungsgrad ist. Ist die zugefhrte Leistung Pz ¼ FS u3 und die Nutzleistung Pn ¼ FS u1 ; so ist der theoreti-
Mehrdimensionale Strmung idealer Flssigkeiten
B 55
sche Wirkungsgrad des Propellers h ¼ Pn =Pz ¼ u1 =u3 : Ferner gilt mit k ¼ 2Pz =ðru31 A3 Þ die Gleichung k ¼ 4ð1 hÞ=h3 sopffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi wie h ¼ 2=ð1 þ 1 þ cS Þ: Hieraus ergeben sich bei gegebenem Pz und u1 die Grßen k, h, FS usw.
6.5 Mehrdimensionale Strmung idealer Flssigkeiten 6.5.1 Allgemeine Grundgleichungen Eulersche Bewegungsgleichungen. Sie folgen aus dem Newtonschen Grundgesetz in x-Richtung (analog fr y- und zRichtung) mit der auf das Element bezogenen Massenkraft F ¼ ðX; Y; ZÞ zu dux ¶ux ¶ux ¶ux ¶ux 1 ¶p ¼ þ ux þ uy þ uz ¼X : dt ¶t ¶x ¶y ¶z r ¶x
ð18Þ
Die Geschwindigkeitsnderung ¶ux =¶t mit der Zeit an einem festen Ort heißt lokal, diejenige ðux ¶ux =¶x þ uy ¶ux =¶y þ uz ¶ux =¶zÞ zu einer bestimmten Zeit bei Ortsnderung konvektiv. Vektoriell gilt du ¶u F1 ¼ þ ðurÞu ¼ grad p; dt ¶t r
ð19Þ
wobei mit dem Nablaoperator r und rot u ¼ r u (s. www.dubbel.de) ðurÞu ¼ grad u2 =2 u rot u ist. Dabei ist ð1=2Þ rot u ¼ w die Winkelgeschwindigkeit, mit der einzelne Flssigkeitsteilchen rotieren (wirbeln). Ist eine Strmung rotorfrei, d. h. rot u ¼ 0, so liegt eine Potentialstrmung vor. Linien, die von rot u tangiert werden, heißen Wirbellinien, mehrere dieser Linien bilden die Wirbelrhre. Zirkulation einer Strmung. Sie ist das Linienintegral ber das Skalarprodukt u dr lngs einer geschlossenen Kurve: I I u dr ¼ ðux dx þ uy dy þ uz dzÞ: G¼ ðCÞ
ðCÞ
Diese Gleichung lsst sich mit dem Satz von Stokes auch I ZZ G¼ u dr ¼ rot u da ð20Þ ðCÞ
ðAÞ
schreiben, wobei A eine ber C aufgespannte Flche ist. Bei Potentialstrmungen ist rot u ¼ 0, d. h. G ¼ 0. Helmholtzsche Wirbelstze. Wird Gl. (20) auf Wirbelrhren umschließende Kurven angewendet, so folgt I I u dr ¼ G2 ¼ u dr ¼ const : G1 ¼ ðC 1 Þ
ðC2 Þ
1. Helmholtzscher Satz: Die Zirkulation hat fr jede eine Wirbelrhre umschließende Kurve denselben Wert, d. h., Wirbelrhren knnen im Innern eines Flssigkeitsbereichs weder beginnen noch enden (sie bilden also entweder geschlossene Rhren – sogenannte Ringwirbel – oder gehen bis ans Ende des Flssigkeitsbereichs). Fr F ¼ grad U und barotrope Flssigkeit r ¼ r(p) folgt aus den Gln. (19) und (20) I ZZ dG du du ¼ dr ¼ rot da ¼ 0: dt dt dt 2. Helmholtzscher Satz: Die Zirkulation hat einen zeitlich unvernderlichen Wert, wenn die Massenkrfte ein Potential haben und das Fluid barotrop ist (d. h., z. B. Potentialstrmungen bleiben stets Potentialstrmungen; s. www.dubbel.de).
B
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Mechanik – 6 Hydro- und Aerodynamik (Strmungslehre, Dynamik der Fluide)
Kontinuittsgleichung. Die in ein Element dx dy dz einstrmende Masse muss gleich der lokalen Dichtenderung zuzglich der ausstrmenden Masse sein:
B
¶r ¶ðrux Þ ¶ðruy Þ ¶ðruz Þ þ þ þ ¼0 ¶y ¶t ¶x ¶z
¶2 F ¶2 F ¶2 Y ¶2 Y þ ¼ 0 und þ ¼ 0: ¶x2 ¶y2 ¶x2 ¶y2
¶r ¶r þ rðruÞ ¼ þ divðruÞ ¼ 0: ¶t ¶t Fr inkompressible Flssigkeiten ðr ¼ constÞ folgt
f 0 ðzÞ ¼ ð21Þ
Die Gln. (19) und (21) bilden vier gekoppelte partielle Differentialgleichungen zur Berechnung der vier Unbekannten ux , uy , uz und p einer Strmung. Lsungen lassen sich i. Allg. nur fr Potentialstrmungen angeben, d. h., wenn rot u ¼ 0 ist.
Die Eulerschen Gleichungen lassen sich integrieren, wenn der Vektor u ein Geschwindigkeitspotential F(x, y, z) hat, d. h., wenn ¶F ¶F ¶F ex þ ey þ ez ¶x ¶y ¶z
ist und F ebenfalls ein Potential hat, also F ¼ grad U ¼
¶U ¶U ¶U ex ey ez ¶x ¶y ¶z
ist. Somit folgt fr die Potentialstrmung rot u ¼ rot grad F ¼ r rF ¼ 0 und aus Gl. (19) nach Integration ¶F u2 p grad þ þ þ U ¼ 0 und 2 r ¶t ¶F u2 p þ þ þ U ¼ CðtÞ 2 r ¶t bzw. fr die stationre Strmung u2 =2 þ p=r þ U ¼ C ¼ const:
ð22Þ
Das ist die verallgemeinerte Bernoullische Gleichung fr die Potentialstrmung, die fr das gesamte Strmungsfeld dieselbe Konstante C hat. Aus der Kontinuittsgleichung (21) folgt div u ¼ div grad F ¼ rrF ¼ DF ¼
¶2 F ¶2 F ¶2 F þ þ ¼0 ¶x2 ¶y2 ¶z2
ð23Þ
(Laplacesche Potentialgleichung). Die Gln. (22) und (23) dienen zur Berechnung von p und u. Letztere hat unendlich viele Lsungen; daher werden bekannte Lsungen untersucht und als Strmungen interpretiert. Zum Beispiel ist pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi Fðx; y; zÞ ¼ C=r ¼ C= x2 þ y2 þ z2 eine Lsung. Hieraus erpffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffi hlt man ux ¼ ¶F=¶x ¼ Cx= r3 , uy ¼ ¶F=¶y ¼ Cy= r3 qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffi und uz ¼ ¶F=¶z ¼ Cz= r 3 sowie u ¼ u2x þ u2y þ u2z ¼ C=r. Es handelt sich um eine radial zum Mittelpunkt gerichtete Strmung, also eine Senke (bzw. Quelle, wenn man C durch – C ersetzt).
dw ¶F ¶Y u d: h: ¼ þ i ¼ ux i u y ¼ dz ¶x ¶x
u ¼ f 0 ðzÞ ¼ ¶F=¶x i ¶Y=¶x ¼ ux þ i uy :
V_ ¼
Zð2Þ
un ds ¼
ð1Þ
Zð2Þ
¶F ds ¼ ¶n
ð1Þ
¶Y ds ¼ Y2 Y1 ; ¶s
ð1Þ
iC iC iCðx iyÞ y x ¼C 2 þ iC 2 ¼ ¼ 2 z x þ iy x þ y2 x þ y2 x þ y2 Cy Cx ¼ 2 þ i 2 ¼ ux i u y ; r r
f 0 ðzÞ ¼
d. h., ux ist im ersten Quadranten positiv und uy negativ. Die Strmung luft also im Uhrzeigersinn um. qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi u ¼ juj ¼ u2x þ u2y ¼ C2 ðx2 þ y2 Þ=r4 ¼ C=r: Trotz des vorhandenen Potentials existiert eine Zirkulation I I G ¼ udr ¼ u ds cos b ¼ ðC=rÞ2pr ¼ 2pC: c) Dipolstrmung m mx my w¼ ¼ 2 þi 2 ¼ F þ iY: z x þ y2 x þ y2 ergibt x2 þ y2 ¼ cx bzw. F ¼ mx=ðx2 þ y2 Þ ¼ const ðx c=2Þ2 þ y2 ¼ ðc=2Þ2 ; die Potentiallinien sind also Kreise
ð24Þ
ð25Þ
Zð2Þ
b) Wirbellinienstrmung (Potentialwirbel). C sei reell. w ¼ iC log z ¼ C arctanðy=xÞ þ iðC=2Þ lnðx2 þ y2 Þ ¼ F þ iY bzw. F ¼ C arctanðy=xÞ ¼ const ergibt y ¼ cx; die Potentiallinien sind also Geraden. Y ¼ ð1=2ÞC lnðx2 þ y2 Þ ¼ const liefert x2 þ y2 ¼ c; die Stromlinien sind also Kreise.
gengen als analytische Funktionen den Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen ¶F=¶x ¼ ¶Y=¶y und ¶F=¶y ¼ ¶Y=¶x
ð27 bÞ
er ist also gleich der Differenz der Stromlinienwerte. Die Geschwindigkeit ist umgekehrt proportional dem Abstand der Stromlinien. Einige Beispiele fr komplexe Geschwindigkeitspontentiale zeigt Bild 24: a) Parallelstrmung. Aus dem Geschwindigkeitspontential w ¼ u0 z ¼ u0 x þ i u0 y ¼ F þ iY folgen die Potentiallinien zu F ¼ u0 x ¼ const, d. h. x ¼ const; die Potentiallinien sind also Geraden parallel zur y-Achse. Die Stromlinien sind wegen Y ¼ u0 y ¼ const, d. h. y ¼ const, Geraden parallel zur x-Achse. Ferner gilt ux ¼ ¶F=¶x ¼ u0 und uy ¼ ¶F=¶y ¼ 0.
Ebene Potentialstrmung. Hier bilden alle analytischen (komplexen) Funktionen Lsungen, denn w ¼ f ðzÞ ¼ f ðx þ iyÞ ¼ Fðx; yÞ þ iYðx; yÞ
ð27 aÞ
Der Querstrich oben bedeutet den konjugiert komplexen Wert. w ¼ f ðzÞ wird komplexes Geschwindigkeitspotential genannt. Wenn s und n Koordinaten tangential und senkrecht zur Potentiallinie F sind (Bild 23), ist der Volumenstrom
6.5.2 Potentialstrmungen
u ¼ gradF ¼
ð26Þ
Fðx; yÞ ¼ const sind die Potentiallinien, auf denen der Geschwindigkeitsvektor senkrecht steht, und Yðx; yÞ ¼ const die Stromlinien, die vom Geschwindigkeitsvektor tangiert werden, d. h., beide Kurvenscharen stehen senkrecht zueinander. Aus den Gln. (24) und (25) folgt
bzw. in vektorieller Form
¶ux ¶uy ¶uz þ þ ¼ div u ¼ 0: ¶x ¶y ¶z
und somit auch den Potentialgleichungen
Bild 23. Potential- und Stromlinien
I6.6
Mehrdimensionale Strmung zher Flssigkeiten
B 57
B
Bild 24a–e. Potentialstrmungen
mit Mittelpunkt auf der x-Achse. Y ¼ my=ðx2 þ y2 Þ ¼ const ergibt x2 þ y2 ¼ cy bzw. x2 þ ðy c=2Þ2 ¼ ðc=2Þ2 ; die Stromlinien sind also Kreise mit Mittelpunkt auf der y-Achse. Alle Kreise gehen durch den Nullpunkt. Der Betrag der Geschwindigkeit u ¼ jw0 ðzÞj ¼ m=z2 ¼ m=ðx2 þ y2 Þ ¼ m=r 2 nimmt nach außen mit 1=r 2 ab. d) Parallelanstrmung eines Kreiszylinders. Bei berlagerung der Parallel- und Dipolstrmung ergibt sich fr den Zylinder mit Radius a w ¼ f ðzÞ ¼ u0 ðz þ a2 =zÞ. Fr z ! 1 ergibt sich die Parallelstrmung. Weiter gilt u0 a2 x u0 a2 y F þ iY ¼ u0 x þ 2 þ i u0 y 2 : 2 2 x þy x þy Fr Y ¼ 0 wird u0 y½1 a2 =ðx2 þ y2 Þ ¼ 0, d. h., y ¼ 0 (x-Achse) und x2 þ y2 ¼ a2 (Berandung des Zylinders) bilden eine Stromlinie. Die Geschwindigkeit der Strmung folgt aus f 0 ðzÞ ¼ u0 ð1 a2 =z2 Þ ¼ ux i uy zu u ¼ jf 0 ðzÞj ¼ ju0 ð1 a2 =z2 Þj: Fr z ¼ a wird u ¼ 0 (Staupunkte) und fr z ¼ ia wird u ¼ 2u0 (Scheitelpunkte); die Geschwindigkeit ist also zur Vertikalachse symmetrisch. Dann folgt aus Gl. (22) auch eine zur Vertikalachse symmetrische Druckverteilung, d. h., die auf den Krper bei Umstrmung durch eine ideale Flssigkeit in Strmungsrichtung wirkende Kraft ist gleich Null (dAlembertsches hydrodynamisches Paradoxon). Strmungskrfte entstehen nur durch die Reibung der Flssigkeiten. e) Unsymmetrische Umstrmung eines Kreiszylinders. berlagert man der Umstrmung gemß d) den Potentialwirbel gemß b), so erhlt man w ¼ f ðzÞ ¼ u0 ðz þ a2 =zÞ þ iC log z; a2 C þ lnðx2 þ y2 Þ; Y ¼ u0 y 1 2 x þ y2 2 a2 C arctanðy=xÞ: F ¼ u0 x 1 þ 2 x þ y2 Die Stromfunkion Y ist symmetrisch zur y-Achse, nicht aber zur x-Achse, d. h., durch Integration des Drucks lngs des Umrisses ergibt sich eine Kraft in y-Richtung. Diese „Auftriebskraft“ lsst sich berechnen zu FA ¼ ru0 G ¼ ru0 2pC (Satz von Kutta-Joukowski); sie ist nur abhngig von der Anstrmgeschwindigkeit und der Zirkulation, nicht aber von der Kontur des Zylinders.
Konforme Abbildung des Kreises. Mit der Methode der konformen Abbildung kann man den Kreis auf beliebige andere, einfach zusammenhngende Konturen abbilden und umgekehrt und damit, da die beliebige Strmung um den Kreis bekannt ist, die Strmung um diese Konturen ermitteln [3].
6.6 Mehrdimensionale Strmung zher Flssigkeiten 6.6.1 Bewegungsgleichungen von Navier-Stokes Bei rumlicher Strmung Newtonscher Flssigkeiten gelten fr die infolge Reibung auftretenden Zusatzspannungen als Verallgemeinerung des Newtonschen Schubspannungsansatzes die Gleichungen (mit der zustzlichen Zhigkeitskonstante h [3]) ¶uy ¶ux þ hdiv u, sy ¼ 2h þ hdiv u, ¶x ¶y ¶uz sz ¼ 2h þ hdiv u; ¶z
ð28 aÞ
¶ux ¶uy þ txy ¼ h ; ¶y ¶x ¶ux ¶uz ¶uy ¶uz þ þ txz ¼ h ; tyz ¼ h : ¶z ¶x ¶z ¶y
ð28 bÞ
sx ¼ 2h
Das Newtonsche Grundgesetz fr ein Flssigkeitselement lautet fr die x-Richtung dux ¶ux ¶ux ¶ux ¶ux ¼ þ ux þ uy þ uz dt ¶t ¶x ¶y ¶z 1 ¶p 1 ¶sx ¶txy ¶txz þ þ þ ¼X : ¶y ¶z r ¶x r ¶x
ð29Þ
Aus den Gln. (28) und (29) folgen fr inkompressible Flssigkeiten ðdiv u ¼ 0Þ die Bewegungsgleichungen von NavierStokes (fr die y- und z-Richtung gelten analoge Gleichungen): dux 1 ¶p h ¶2 ux ¶2 ux ¶2 ux ¼X þ þ 2 þ 2 2 dt ¶y ¶z r ¶x r ¶x ð30Þ 1 ¶p h ¼X þ D ux r ¶x r bzw. in vektorieller Form du ¶u F1 h ¼ þ ðurÞu ¼ grad p þ D u: dt ¶t r r
ð31Þ
B 58
B
Mechanik – 6 Hydro- und Aerodynamik (Strmungslehre, Dynamik der Fluide)
Dabei ist p der mittlere Druck, denn aus div u ¼ 0 folgt sx þ sy þ sz ¼ 0, d. h., die Summe der Zusatzspannungen sx , sy , sz zum mittleren Druck p ist Null. Die Gln. (28) bis (31) gelten fr laminare Strmung; fr den turbulenten Fall ist als weiteres Glied die Turbulenzkraft einzufhren [3]. Lsungen der Navier-Stokesschen Gleichungen liegen nur fr wenige Spezialflle (s. B 6.6.2) fr kleine Reynoldssche Zahlen vor. Bei großen Reynoldsschen Zahlen, also kleinen Zhigkeiten, werden viele Probleme mit der „Grenzschichttheorie“ gelst, deren Ursprung auf Prandtl zurckgeht. Dabei wird die stets am Krper der Haftbedingung unterworfene, strmende zhe Flssigkeit nur in einer dnnen Grenzschicht als reibungsbehaftet, sonst aber als ideal angesehen. 6.6.2 Einige Lsungen fr kleine Reynoldssche Zahlen (laminare Strmung) Bild 25 a–c [10] a) Couette-Strmung. Um einen ruhenden Kern dreht sich ein ußerer Zylinder gleichfrmig, angetrieben durch ein ußeres Drehmoment M. Die Navier-Stokessche Gl. (31) nimmt in hier zweckmßigen Polarkoordinaten in r- und j-Richtung (mit ur ¼ 0, uj ¼ uðrÞ, p=p(r) aus Symmetriegrnden und u2 1 ¶p h d2 u 1 du u F ¼ 0) die Form ¼ und þ ¼ r r ¶r r dr 2 r dr r 2 hd 1d ðruÞ ¼ 0 an. r dr r dr Hieraus ergibt sich nach Integration u ¼ C1 r=2 þ C2 =r. Die Konstanten C1 und C2 erhlt man aus uðri Þ ¼ 0 und uðra Þ ¼ wra zu C2 ¼ C1 ri2 =2 und C1 ¼ 2wra2 =ðra2 ri2 Þ; da wr 2 r2 mit ist u ¼ 2 a 2 r i . r ra ri Fr die Schubspannungen gilt Gl. (28) analog in Polarkoordinaten: 1 ¶ur ¶uj uj du u 2hwr 2 r 2 þ t¼h ¼h ¼ 2 a2 i2 ; r r ¶j ¶r dr r ra ri r tðr ¼ ra Þ ¼ 2hwri2 =ðra2 ri2 Þ: Fr das am Zylinder erforderliche ußere Moment M ¼ t 2pra lra folgt M ¼ 4phwlra2 ri2 =ðra2 ri2 Þ. Durch Messung von M lsst sich hieraus die Viskositt h bestimmen (Couette-Viskosimeter). b) Schmiermittelreibung. Bewegt sich eine schwach gekrmmte (oder ebene) Platte bei kleinem Zwischenraum par-
allel zu einer anderen, so entsteht ein Strmungsdruck, der eine Berhrung der beiden Flchen und deren Reibung aufeinander verhindert. Mit uy 0, ¶uy =¶y 0, ux ¼ u folgt aus der Kontinuittsgleichung (21) ¶u=¶x ¼ ¶uy =¶y ¼ 0, d. h. ¶2 u=¶x2 ¼ 0. Wegen ¶ux =¶t ¼ 0 ergibt sich aus Gln. (29) und (30) 1 ¶p y2 þ C1 y þ C2 . ¶p=¶x ¼ h ¶2 u=¶y2 mit der Lsung uðyÞ ¼ h ¶x 2 Mit C1 und C2 aus der Bedingung, dass die Flssigkeit an den Platten haftet, ergibt sich 1 ¶p y y uðyÞ ¼ ðy hÞ þ u0 1 : h ¶x 2 h Z ¶p 6h Aus V_ ¼ u dy ¼ const folgt ¼ u0 ðh h0 Þ mit ¶p/ ¶x h3 ¶x ¼ 0 fr h ¼ h0 . Fr die Schubspannung bei y ¼ 0 gilt t ¼ hu0 ð3h0 4hÞ=h2 . c) Stokessche Widerstandsformel fr die Kugel. Bei kleiner Reynoldsscher Zahl (Re % 1), d. h. schleichender Strmung, werde eine Kugel umstrmt. Die Widerstandskraft ergibt sich nach Stokes zu FW ¼ 3ph du0 :
ð32Þ
Diese Formel wurde von Oseen unter Bercksichtigung der Beschleunigungsanteile verbessert zu FW ¼ 3ph du0 ½1 þ ð3=8ÞRe: Beispiel: Viskosittsbestimmung. – Fllt eine Kugel mit u ¼ const durch eine zhe Flssigkeit, so gilt FG FW FA ¼ 0, d. h. rK gpd3 =6 3ph du rF gpd 3 =6 ¼ 0 und hieraus h ¼ gd 2 ðrK rF Þ=ð18uÞ:
6.6.3 Grenzschichttheorie Umstrmt ein Stoff kleiner Zhigkeit (Luft, Wasser) einen Krper, so bildet sich aufgrund des Haftens des Fluids an der Krperoberflche eine Grenzschicht von der Dicke d(x), in der ein starkes Geschwindigkeitsgeflle und somit große Schubspannungen vorhanden sind. Außerhalb dieser Schicht ist das Geschwindigkeitsgeflle klein, somit sind bei kleinem h die Schubspannungen vernachlssigbar, d. h. die Flssigkeit als ideal anzusehen. In der Regel ist der Anfangsbereich der Grenzschicht laminar und geht dann im Umschlagpunkt in turbulente Strmung mit erhhten Schubspannungen ber. Nherungsweise liegt der Umschlagpunkt an der Stelle des Druckminimums der Außenstrmung [8]. Aus der NavierStokesschen Gl. (31) folgt fr den ebenen Fall, bei stationrer Strmung und ohne Massenkrfte mit der Kontinuittsgleichung (21) und den Vereinfachungen uy ux ; ¶uy =¶x ¶uy =¶y; ¶ux =¶x ¶ux =¶y; ¶p/¶y 0 rux
¶ux dp ¶2 ux ¼ þh 2 : ¶x ¶y dx
ð33Þ
Bei einem schwach gekrmmten Profil (Bild 26) folgt fr die Wand y ¼ 0 mit ux ¼ 0 (Haftung) aus Gl. (33) 2 dp ¶ ux : ð34Þ ¼h ¶y2 y¼0 dx
Bild 25a–c. Strmungen zher Flssigkeiten
Ist dp=dx < 0 (Anfangsbereich Bild 26), so folgt aus Gl. (34) ¶2 ux =¶y2 < 0; das Geschwindigkeitsprofil ist also konvex. Fr dp=dx ¼ 0 wird ¶2 ux =¶y2 ¼ 0; das Geschwindigkeitsprofil hat also keine Krmmung. Fr dp=dx > 0 wird ¶2 ux =¶y2 > 0; das Profil ist also konkav gekrmmt, und es wird eine Stelle erreicht, wo ¶ux =¶y ¼ 0 ist. Anschließend wird ux negativ, d. h., es setzt eine rcklufige Strmung ein, die in Einzelwirbel bergeht. Wegen der Wirbel entsteht hinter dem Krper ein Unterdruck, der zusammen mit den Schubspannungen
I6.6
Mehrdimensionale Strmung zher Flssigkeiten
B 59
Druckwiderstand (Formwiderstand). Er ergibt sich durch Integration ber die Druckkomponenten in Strmungsrichtung vor und hinter dem Krper. Man fasst ihn zusammen zu
B
Fd ¼ cd ðru20 =2ÞAp (Ap Projektionsflche des Krpers, auch Schattenflche genannt). cd ist durch Messung der Druckverteilung bestimmbar. In der Regel fhren die Messungen jedoch sofort zum Gesamtwiderstand.
Bild 26. Grenzschicht
Gesamtwiderstand. Er setzt sich aus Reibungs- und Druckwiderstand zusammen: FW ¼ cw ðru20 =2ÞAp :
lngs der Grenzschicht den Gesamtstrmungswiderstand des Krpers ergibt [3, 8, 10]. 6.6.4 Strmungswiderstand von Krpern Der aus den Schubspannungen lngs der Grenzschicht entstehende Widerstand wird Reibungswiderstand, der infolge des durch Strmungsablsung und Wirbelbildung hinter dem Krper verursachten Unterdrucks entstehende Widerstand wird Druckwiderstand genannt. Beide zusammen ergeben den Gesamtwiderstand. Whrend der Reibungswiderstand mit Hilfe der Grenzschichttheorie weitgehend berechenbar ist, muss der theoretisch schwierig erfassbare Druckwiderstand im wesentlichen experimentell bestimmt werden. Je nach Krperform berwiegt der Reibungs- oder der Druckwiderstand. Fr die Krper auf Bild 27 betrgt deren Verhltnis a) 100 : 0, b) 90 : 10, c) 10 : 90 bzw. d) 0 : 100 in Prozent.
ð35Þ
Fr Krper mit rascher Strahlablsung (praktisch reiner Druckwiderstand) hngt cw nur von der Krperform, fr alle anderen Krper von der Reynoldsschen Zahl ab. Fr einige Krper knnen die Widerstandszahlen cw Tab. 2 entnommen werden. Winddruck auf Bauwerke. Die maßgebenden Windgeschwindigkeiten sowie Beiwerte cw sind DIN 1055 Blatt 4 zu entnehmen. Luftwiderstand von Kraftfahrzeugen. Der Widerstand wird aus Gl. (35) berechnet, wobei die Widerstandszahlen cw Tabellen zu entnehmen sind (s. Q 1.2.1). Schwebegeschwindigkeit von Teilchen. Wird ein fallendes Teilchen von unten nach oben mit Luft der Geschwindigkeit u angeblasen, so tritt Schweben ein (Bild 28), wenn FG ¼ FA þ FW , d. h. rK Vg ¼ rVg þ cw ðrF u2 =2ÞAp und hieraus pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi u ¼ 4dðrK rF Þg=ð3cw rF Þ ist.
Reibungswiderstand. Bei sehr schlanken und stromlinienfrmigen Krpern umhllt die Grenzschicht den ganzen Krper, d. h., es gibt keine Wirbel und keinen Druckwiderstand, sondern nur einen Reibungswiderstand. Fr ¼ cr ðru20 =2ÞA0 (A0 Oberflche des umstrmten Krpers). Fr den Reibungsbeiwert cr gelten hnliche Abhngigkeiten wie bei durchstrmten Rohren. Zugrunde gelegt werden die Ergebnisse fr die umstrmte dnne Platte der Lnge l (Bild 27 a): Der bergang von laminarer zu turbulenter Strmung tritt bei Rek ¼ 5 105 ein. Hierbei ist Re ¼ u0 l=v. Der Umschlagpunkt von laminarer in turbulente Strmung auf der Platte liegt also bei xu ¼ vRek =u0 . Die Dicke der laminaren Grenzschicht bepffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi trgt d ¼ 5 vx=u0 , die der turbulenten Grenzschicht ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi p pffiffiffiffiffiffi 5 4 d ¼ 0;37 vx =u0 . Reibungsbeiwerte cr ¼ 1;327= Re fr laffiffiffiffiffiffi p 5 minare Strmung, cr ¼ 0;074= Re fr turbulente Strmungglatte Platte, cr ¼ 0;418=½2 þ lgðl=kÞ2;53 fr turbulente Strmung-raue Platte (k ¼ 0;001 mm fr polierte Oberflche, k ¼ 0;05 mm fr gegossene Oberflche). Fr k % 100 l=Re ist die Platte als hydraulisch glatt anzusehen Diagramm s. [3].
Bild 28. Schwebezustand
Reibungswiderstand an rotierenden Scheiben. Bewegt sich eine rotierende dnne Scheibe mit der Winkelgeschwindigkeit w in einer Flssigkeit, so bildet sich eine Grenzschicht aus, deren Teilchen an der Oberflche der Scheibe haften. Die an beiden Seiten auftretenden Reibungskrfte erzeugen ein der Bewegung entgegengesetzt wirkendes Drehmoment (Bild 29): M¼2
Z
r dFr ¼ 2
Z rcF
ru2 dA ¼ 2
Zd=2 0
¼
Bild 27a–d. Strmungswiderstnde
rcF rw2 r2 2pr dr
5 4pcF rw2 d rw2 d 5 ¼ cM : 5 2 2 2 2
Bild 29. Radscheibenreibung
B 60
Mechanik – 6 Hydro- und Aerodynamik (Strmungslehre, Dynamik der Fluide)
Tabelle 2. Widerstandszahlen cw angestrmter Krper
B
Fr den Drehmomentenbeiwert cM gilt in Abhngigkeit von der Reynoldsschen Zahl Re ¼ wd2 =ð4vÞ nach [1] bei: ausgedehnten ruhenden Flssigkeiten pffiffiffiffiffiffi fr Re < 5 105 ðlaminare StrmungÞ cM ¼ 5;2= Re; pffiffiffiffiffiffiffi 5 fr Re > 5 10 ðturbulente StrmungÞ cM ¼ 0;168= 5 Re; Flssigkeiten in Gehusen (hier ist s der Abstand zwischen Scheibe und Gehusewand) fr Re < 3 104 fr 3 104 < Re < 6 105 fr Re > 6 105
cM ¼ 2pd=ðsReÞ; pffiffiffiffiffiffi cM ¼ 3;78= Re; pffiffiffiffiffiffi cM ¼ 0;0714= 5 Re:
arctanðFW =FA Þ folgen die Krfte normal und tangential zur Sehne (Bild 30 c): Fn ¼ FR cosðb aÞ; Ft ¼ FR sinðb aÞ: Die Lage des Angriffspunkts der Resultierenden auf der Sehne (Druckpunkt D) wird durch die Entfernung s vom Anfangspunkt der Sehne bzw. durch den Momentenbeiwert cm festgelegt: Fn s ¼ Fn0 l ¼ cm ðru20 =2ÞAl (Fn0 ist eine gedachte, an der Hinterkante wirksame Kraft). Mit Fn FA ¼ ca ðru20 =2ÞA ergibt sich s ¼ ðcm =ca Þl. Auftrieb. Allein maßgebend fr den Auftrieb ist nach dem Satz von Kutta-Joukowski (s. B 6.5.2) die Zirkulation G: FA ¼ ru0 G ¼ ru0 2pC ¼ ca ðru20 =2ÞA:
6.6.5 Tragflgel und Schaufeln Ein unter dem Anstellwinkel a mit u0 angestrmter Tragflgel erfhrt eine Auftriebskraft FA senkrecht zur Anstrmrichtung und eine Widerstandskraft FW parallel zur Strmungsrichtung (Bild 30 a, b): FA ¼ ca ðru20 =2ÞA; FW ¼ cw ðru20 =2ÞA:
ð36 a, bÞ
Hierbei ist ca der Auftriebsbeiwert und A die senkrecht auf die Sehne l projizierte Flgelflche. Angestrebt wird eine mglichst gnstige Gleitzahl e ¼ cw =ca . pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2 Aus der Resultierenden FR ¼ FA2 þ FW sowie b ¼
ð37Þ
Die Konstante C wird so bestimmt, dass die Strmung an der Hinterkante glatt abfließt (Kuttasche Abflussbedingung; die Hinterkante wird nicht umstrmt). Infolge der Zirkulation wird die Strmung auf der Oberseite (Saugseite) schneller und auf der Unterseite (Druckseite) langsamer, d. h., entsprechend der Bernoullischen Gleichung ru2 =2 þ p ¼ const wird der Druck oben kleiner und unten grßer. Unterdruck Dp1 und berdruck Dp2 sind in Bild 30 d lngs des Profilumfangs aufgetragen. Der Auftrieb lsst sich ber die Zirkulation nach Gl. (37) oder durch Integration ber den Druck Dp mit demselben Ergebnis ermitteln. Die Berechnung ber die Zirkulation kann fr einen unendlich langen Tragflgel auf zweierlei Art geschehen: entweder durch konforme Abbildung des Pro-
I6.6
Mehrdimensionale Strmung zher Flssigkeiten
B 61
B
Bild 30 a – f. Tragflgel. a Gewlbtes Profil; b Tropfenprofil; c Kraftzerlegung; d Druckverteilung; e und f dnnwandige Profile
fils auf einen Kreis, da fr ihn die Potentialstrmung mit Zirkulation bekannt ist (s. B 6.5.2), oder nach der Singularittenmethode (Nherungsverfahren), wobei das umstrmte Profil durch eine Reihe von Wirbeln, Quellen, Senken und Dipolen angenhert wird [3]. Mit diesen Methoden ergibt sich fr ein Kreisbogenprofil der Wlbung f (Bild 30 e) der Auftriebsbeiwert ca ¼ 2p sinða þ b=2Þ 2pða þ 2f =lÞ und fr ein beliebig gekrmmtes Profil mit den Endwinkeln y und j (Bild 30 f) ca ¼ 2p sinða þ y=8 þ 3j=8Þ. Das Ergebnis fr das Kreisbogenprofil kann als gute Nherung fr alle Profile verwendet werden, wenn der Anstellwinkel nicht zu groß ist. Der Auftrieb wchst also linear mit dem Anstellwinkel und der relativen Wlbung f/l. Fr a0 ¼ 2f =l wird der Auftrieb Null. Bei Tragflgeln endlicher Lnge erzwingt der Druckunterschied zwischen Unter- und Oberseite eine Strmung zu den Flgelenden hin, da dort der Druckunterschied Null sein muss (Bild 31), d. h., es liegt eine rumliche Strmung vor, die nicht mehr mit den Methoden der ebenen Potentialtheorie erfassbar ist. Dabei nimmt der Auftrieb (und damit die Zirkulation) von der Mitte zu den Enden hin stetig auf Null ab und zwar angenhert ellipsenfrmig. Am Flgelende entsteht dabei dauernd eine Zirkulation, die in Form freier Wirbel abschwimmt und aufgrund ihres Energieverbrauchs den „induzierten Widerstand“ hervorruft. Widerstandskraft. Der Gesamtwiderstand nach Gl. (36 b) setzt sich aus dem Reibungs- und Druckwiderstand (s. B 6.6.4) sowie dem induzierten Widerstand infolge Wirbelbildung an den Flgelenden zusammen: FW ¼ FWo þ FWi , cw ¼ cwo þ cwi . Fr den Beiwert des induzierten Widerstands gilt bei elliptischer Auftriebsverteilung nach Prandtl cwi ¼ lc2a =p;
ð38Þ
2
wobei l ¼ A=b das sogenannte Seitenverhltnis und b die Spannweite des Flgels ist. Der induzierte Widerstand nimmt also quadratisch mit dem Auftrieb bzw. linear mit dem Seitenverhltnis zu. Der Profilwiderstandsbeiwert cwo ist unabhngig von l und ndert sich nur geringfgig mit ca bzw. a. Polardiagramm. Die errechneten oder gemessenen Werte ca , cw und cm werden im Polardiagramm aufgetragen, in Bild 32 a z. B. fr das Gttinger Profil 593 mit l ¼ 1 : 5. Hierbei bilden die Koeffizienten cw und cm die Abszisse und der
Bild 31. Querstrmung am Tragflgel
Koeffizient ca die Ordinate. Die zu den einzelnen Werten gehrenden Anstellwinkel a sind ebenfalls eingetragen. Strichpunktiert ist die Parabel des induzierten Widerstands nach Gl. (38) dargestellt. Die Gerade g zu einem Punkt der cw -Kurve hat die Steigung tang ¼ cw =ca ¼ e. Der Winkel g kann als Gleitwinkel eines antriebslosen Flugzeugs (Bild 32 b) gedeutet werden. Bild 32 c zeigt fr dasselbe Profil die Werte ca und cw als Funktion des Anstellwinkels a. Bis etwa 13 nimmt der Auftrieb linear mit dem Anstellwinkel zu, er erreicht bei 15 seinen Hhepunkt und nimmt dann wieder ab. Die Ursache fr diese Abnahme ist im Abreißen der Strmung auf der Oberseite des Profils zu finden, das einer Verkleinerung des Anstellwinkels gleichzusetzen ist. Der Widerstandskoeffizient cw ist fr den Anstellwinkel a ¼ 4 minimal; er nimmt nach beiden Seiten quadratisch zu. Allgemeine Ergebnisse. Vergleicht man geometrisch hnliche Profile, so gelten fr ca , cw und a ca2 ¼ ca1 ¼ ca ; cw2 ¼ cw1 þ ðc2a =pÞðA2 =b22 A1 =b21 Þ; a2 ¼ a1 þ ðca =pÞðA2 =b22 A1 =b21 Þ:
ð39Þ
Der Auftrieb, aber auch der Profilwiderstand, nehmen bei gleichem Skelett mit wachsender Profildicke zu. Bei gleicher Dicke wird der Auftrieb mit zunehmender Wlbung grßer. Unterhalb Re ¼ ul=u ¼ 60 000 . . . 80 000 (unterkritischer Bereich) sind Profile wesentlich ungnstiger als Schaufeln. Der Auftrieb nimmt bis maximal ca ¼ 0;3 . . . 0;4 ab, je nach Dicke der Profile, whrend der Widerstand stark zunimmt. Im berkritischen Bereich wird der Auftrieb mit Re bei mßig gewlbten Profilen grßer, bei stark gewlbten Profilen kleiner. Klappen am hinteren Ende und Vorflgel vergrßern den Auftrieb erheblich, ebenso Absaugen der Luft oder Ausblasen von Gasstrahlen am Flgelende. Bei großen Re-Zahlen ist der laminare Reibungswiderstand wesentlich kleiner als der turbulente. Bei geeigneter Formgebung wird der Umschlagpunkt mglichst weit ans Ende des Profils verlegt (Laminarflgel), z. B. indem die dickste Stelle des Profils nach hinten verschoben und die Grenzschicht abgesaugt wird. Hierdurch lsst sich der cw -Wert um 50% und mehr vermindern. 6.6.6 Schaufeln und Profile im Gitterverband Im Gitterverband (Bild 33 a–c) spielen die Reibungsverluste eine entscheidende Rolle. Bei zu enger Schaufelteilung wird die Flchenreibung zu groß, und bei zu weiter Teilung treten Ablsungsverluste auf. In beiden Fllen wird der Wirkungsgrad verschlechtert. Die gnstigste Schaufelteilung wird nach den Ergebnissen von Zweifel [1] ermittelt. Nachfolgend werden Gitter ohne Reibungsverluste betrachtet:
B 62
Mechanik – 6 Hydro- und Aerodynamik (Strmungslehre, Dynamik der Fluide)
B
Bild 32 a – c. Tragflgel-Theorie. a Polardiagramm; b Gleitwinkel; c Auftriebs- und Widerstandsbeiwert
Bild 33 a–c. Schaufelgitter
a) ruhendes Gitter mit unendlicher Schaufelzahl. Aus der Kontinuittsgleichung folgt um ¼ u1 cos a1 ¼ u2 cos a2 ¼ const, und aus dem Impulssatz und der Bernoullischen Gleichung folgen Fy ¼ btrum ðu1u u2u Þ; Fx ¼ btrðu21u u22u Þ=2
ð40Þ
(b Gittertiefe senkrecht zur Zeichenebene). Ferner gilt qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi u þ u . 1u 2u tan a1 ¼ Fx =Fy ¼ um ; FA ¼ Fx2 þ Fy2 : ð41Þ 2 b) bewegtes Gitter mit unendlicher Schaufelzahl. Bewegt sich das Gitter mit der Geschwindigkeit u, so gelten die Gln. (40) und (41), wenn man dort die Absolutgeschwindigkeiten u durch die Relativgeschwindigkeiten w ersetzt. Die Kraft Fy erbringt die Leistung P ¼ Fy u ¼ btrwm uðw1u w2u Þ: c) Gitter mit endlicher Schaufelzahl. Die Ablenkung von a1 nach a2 ist nur mglich, wenn die Schaufelenden aufgewin-
kelt oder so ausgebildet werden, dass a1 < a01 und a2 > a02 . Die Gln. (40) und (41) gelten fr die ausgeglichene Strmung, d. h. fr die Ersatzgitterbreite a0 . Die auf eine Schaufel wirkende Kraft FA steht auf a1 senkrecht und kann nach der Profiltheorie aus qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi FA ¼ ca ðru21 =2Þbl und u1 ¼ u2m þ ½ðu1u þ u2u Þ=22 berechnet werden. Entsprechend gilt fr die Widerstandskraft FW ¼ cw ðru21 =2Þbl. Fr das bewegte Gitter, welches Arbeit aufnimmt (Turbine) oder Arbeit abgibt (Pumpe), gilt mit Dp ¼ ðp2 þ ru22 =2Þ ðp1 þ ru21 =2Þ ca ¼ 2t Dp=ðuw1 rlÞ. Fr die optimale Schaufelteilung sind die Untersuchungen von Zweifel [1] maßgebend: Mit FA ¼ yA ðrw22 =2Þl und yA ¼ ð2 sin2 a2 = sin a1 Þðcot a2 cot a1 Þt=l ergibt sich die gnstigste Schaufelteilung und ein optimaler Wirkungsgrad fr 0;9 < yA < 1;0. Fr Fy gilt entsprechend Fy ¼ yT ðrw22 =2Þa mit yT ¼ 2 sin2 a2 ðcot a2 cot a1 Þt=a. Fr optimale Schaufelteilung gilt 0;9 < yT < 1;0.
I7.2
7 hnlichkeitsmechanik 7.1 Allgemeines Die hnlichkeitsmechanik hat die Aufgabe, Gesetze aufzustellen, nach denen am (in der Regel verkleinerten) Modell gewonnene Versuchsergebnise auf die wirkliche Ausfhrung (Hauptausfhrung) bertragen werden knnen. Modellversuche sind erforderlich, wenn eine exakte mathematisch-physikalische Lsung eines technischen Problems nicht mglich ist, oder wenn es gilt, theoretische Grundlagen und Arbeitshypothesen in Versuchen zu besttigen. Die Modellgesetze der hnlichkeitsmechanik bilden somit die Grundlage fr das umfangreiche Versuchswesen in der Statik, Festigkeitslehre, Schwingungslehre, Strmungslehre, dem Schiffs- und Schiffsmaschinenbau, Flugzeugbau, Wasser- und Wasserturbinenbau, fr wrmetechnische Probleme usw. Physikalische hnlichkeit [1]. Voraussetzung ist die geometrisch hnliche, d. h. winkeltreue (formtreue) Ausfhrung des Modells (Winkel haben keine Einheit, daher ist ihr bertragungsmaßstab stets gleich 1). Vollkommene mechanische hnlichkeit liegt vor, wenn alle am physikalischen Prozess beteiligten Grßen wie Wege, Zeiten, Krfte, Spannungen, Geschwindigkeiten, Drcke, Arbeiten usw. entsprechend den physikalischen Gesetzen hnlich bertragen werden. Dies ist jedoch im Allgemeinen nicht mglich, da zur bertragung nur die SI-Basiseinheiten m, kg, s und K bzw. deren Maßstabsfaktoren zur Verfgung stehen, ergnzt durch Stoffparameter wie Dichte r, Elastizittsmodul E usw. Daraus folgt, dass nur eine beschrnkte Anzahl physikalischer Grundgleichungen hnlich bertragbar ist, d. h., nur unvollkommene hnlichkeit ist in der Regel realisierbar. Maßstabsfaktoren. Fr die Grundgrßen Lnge l, Zeit t, Kraft F und Temperatur T besteht zwischen der wirklichen Ausfhrung (H) und dem Modell (M) geometrische, zeitliche, dynamische oder thermische hnlichkeit, wenn lM =lH ¼ lV ; tM =tH ¼ tV ; FM =FH ¼ FV oder TM =TH ¼ TV fr alle Punkte des Systems eingehalten wird (lV ; tV ; FV und TV sind Verhltniszahlen, die sog. Maßstabsfaktoren). Einheiten. Hat eine physikalische Grße B ¼ F n1 ln2 tn3 T n4 die Einheit Nn1 mn2 sn3 Kn4 , so folgt der bertragungsmaßstab BV ¼ BM =BH direkt aus der Einheit zu BV ¼ FVn1 lnV2 tVn3 TVn4 . Zum Beispiel ergibt sich das bertragungsgesetz fr die mechanische Arbeit W direkt aus der Einheit Nm zu WM =WH ¼ FV lV anstelle der umstndlicheren Form WM =WH ¼ ðFM lM Þ=ðFH lH Þ ¼ FV lV . Kennzahlen. Die an einem Vorgang maßgeblich beteiligten, mit Einheiten behafteten Einflussgrßen lassen sich in Form von Potenzprodukten zu Kennzahlen zusammenfassen, die keine Einheit haben (z. B. Froudesche Kennzahl, Reynoldssche Kennzahl). Dadurch wird die Zahl der Vernderlichen reduziert, und jede maßgebliche, einen Vorgang bestimmende Gleichung bzw. Differentialgleichung lsst sich in eine Funktion der einheitenlosen Kennzahlen umformen. Dabei gilt nach [1]: Das Verhltnis zweier Grßen beliebiger Art lsst sich ersetzen durch das Verhltnis beliebiger anderer Grßen, sofern die neuen Grßen auf dieselben Einheiten fhren wie die ersten. Erweiterte hnlichkeit. Hufig lsst sich strenge hnlichkeit wegen der großen Zahl der Einflussgrßen nicht erzielen. Man beschrnkt sich dann (auch aus Ersparnisgrnden) auf die hnlichkeit der bei einem Vorgang dominierenden Grßen und verfgt ber die restlichen frei.
hnlichkeitsgesetze (Modellgesetze)
B 63
7.2 hnlichkeitsgesetze (Modellgesetze) 7.2.1 Statische hnlichkeit Maßstabsfaktor fr Gewichtskrfte. Fr Gewichtskrfte FM ¼ rM VM gM am Modell und FH ¼ rH VH gH an der Hauptausfhrung (V Volumen, g Erdbeschleunigung) folgt das bertragungsgesetz FM =FH ¼ rM VM gM =ðrH VH gH Þ; d:h: FV1
¼ ðrM =rH Þl3V
ð1Þ
(da auf der Erde gM ¼ gH ist). Bei freier Wahl von rM ; rH und lV legt diese Gleichung also den Krftemaßstab fest. Beispiel: Von der wirklichen Ausfhrung einer Stahlkonstruktion (rH ¼ 7 850 kg=m3 ) soll ein Modell aus Aluminium (rM ¼ 2 700 kg=m3 ) im Maßstab lV ¼ lM =lH ¼ 1 : 10 hergestellt werden, welches die Eigengewichtskrfte mechanisch hnlich wiedergibt. In welchem Verhltnis stehen dann die Eigengewichtskrfte bzw. mssen sonstige eingeprgte Krfte stehen? In welchem Verhltnis werden die Spannungen und (Hookeschen) Formnderungen bertragen (EH ¼ 210 kN=mm2 , EM ¼ 70 kN=mm2 )? – Nach Gl. (1) wird FV1 ¼ ð2;70=7;85Þ=103 ¼ 1=2 907 ¼ FM =FH , d. h., die Krfte am Modell sind 2 907mal kleiner. Fr die Spannungen folgt sM =sH ¼ FV =l2V ¼ 100=2 907 ¼ 1=29 ¼ sV . Fr die Formnderungen ergibt sich aus Dl ¼ ls=E das Verhltnis DlM =DlH ¼ DlV ¼ lV sV EH =EM ¼ ð1=10Þð1=29Þ210=70 ¼ 1=96;7:
Maßstabsfaktor fr gleiche Dehnungen (fr sog. elastische Krfte). Sollen die elastischen (Hookeschen) Dehnungen am Modell und an der Hauptausfhrung gleich sein, folgt fr die Krfte aus der Bedingung eM
¼ FM =ðEM AM Þ ¼ eH ¼ FH =ðEH AH Þ
FM =FH ¼ EM AM =ðEH AH Þ; d: h: FV2 ¼ ðEM =EH Þl2V :
ð2Þ
Hookesches Modellgesetz: Zwei Krper sind bezglich der elastischen Dehnungen mechanisch hnlich, wenn die Hookeschen Kennzahlen Ho bereinstimmen: Ho ¼ FM =ðEM l2M Þ ¼ FH =ðEH l2H Þ:
ð3Þ
Beispiel: Von einem Knickstab aus Stahl wird ein maßstabgetreues Modell im Verhltnis lV ¼ 1 : 8 aus Aluminium hergestellt (EH ¼ 210 kN=mm2 , EM ¼ 70 kN=mm2 ) und am Modell eine Knickkraft von 1;2 kN gemessen. Wie groß ist die Knickkraft FK der wirklichen Ausfhrung, und in welchem Verhltnis stehen die Spannungen sowie Deformationen zueinander? – FV ¼ ð70=210Þ=64 ¼ 1=192; FK ¼ 192 1;2 kN ¼ 230;4 kN; sV ¼ sM =sH ¼ FV =l2V ¼ 1=3;0; DlM =DlH ¼ lV sV EH =EM ¼ 1=8;0.
Gleichzeitige Bercksichtigung von Gewichts- und elastischen Krften. Sollen gleichzeitig Gewichtskrfte und elastische Dehnungen mechanisch hnlich bertragen werden, so mssen die Krftemaßstbe nach Gl. (1) und Gl. (2) gleich sein. Aus FV1 ¼ FV2 folgt ðrM =rH Þl3V ¼ ðEM =EH Þl2V ; d: h: ¼ ðEM =EH ÞðrH =rM Þ: lV
ð4Þ
Der Lngenmaßstab ist nicht mehr frei whlbar; er hngt nur noch von den Stoffparametern ab. Beispiel: Fr das erste Beispiel in B 7.2.1 wird fr mechanische hnlichkeit von Gewichtskrften und Dehnungen der Maßstabsfaktor gesucht. – lV ¼ ð70=210Þð7 850=2 700Þ ¼ 1 : 1;03, d. h., eine gleichzeitige Bercksichtigung von Gewichtskrften und Dehnungen ist nur an der wirklichen Ausfhrung mglich. Deshalb beschrnkt man sich auf die erweiterte hnlichkeit, indem fr den Maßstab 1 : 10 die hnlichkeit der elastischen Krfte erfllt wird. Dann ergibt sich nach Gl. (2) FV ¼ ð70=210Þ=100 ¼ 1=300 ¼ FM =FH , whrend die Gewichtskrfte wie im ersten Beispiel im Verhltnis 1/2 907 bertragen werden. Die Differenz der Gewichtskrfte [(1/300)–(1/2 907)] FGH lsst sich als ußere Zusatzlast am Modell anbringen.
B
B 64
Mechanik – 7 hnlichkeitsmechanik
7.2.2 Dynamische hnlichkeit
B
hnlichkeitsgesetz von Newton-Bertrand. Beschleunigte Bewegungsvorgnge gengen dem Newtonschen Grundgesetz F ¼ ma. Daraus folgt fr den Krftemaßstab bei mechanischer hnlichkeit der Trgheitskrfte an Modell und Hauptausfhrung mit aV ¼ lV =tV2 FM =FH ¼ rM VM aM =ðrH VH aH Þ; d: h: FV3
¼ ðrM =rH Þðl4V =tV2 Þ:
FM =½rM ðlM =tM Þ2 l2M ¼ FH =½rH ðlH =tH Þ2 l2H
tV ¼ ðrM =rH ÞðhH =hM Þl2V ¼ ðuH =uM Þl2V ;
ð11Þ
ð6Þ
Newtonsches hnlichkeitsgesetz: Zwei Vorgnge sind bezglich der Trgheitskrfte hnlich, wenn die Newtonschen Kennzahlen Ne bereinstimmen. Beispiel: Fr einen auf horizontaler Bahn bewegten Wagen aus Stahl (rH ¼ 7 850 kg=m3 , VH ¼ 1 m3 , FH ¼ 10 kN) soll ein Modell aus Holz ðrM ¼ 600 kg=m3 Þ im Maßstab 1 : 20 hergestellt werden. Welche Krfte mssen am Modell angreifen, wenn der Zeitmaßstab tV ¼ tM =tH ¼ 1 : 100 sein soll? In welchem Verhltnis werden Geschwindigkeiten und Beschleunigungen bersetzt? – FM ¼ FH FV3 ¼ 47;8 N; FV3 ¼ ð600=7 850Þð1002 =204 Þ ¼ 1=209;3; 2 2 uM =uH ¼ lV =tV ¼ 100=20 ¼ 5; aM =aH ¼ lV =tV ¼ 100 =20 ¼ 500.
hnlichkeitsgesetz von Cauchy. Sind bei einem Bewegungsvorgang Trgheitskrfte und elastische Krfte maßgeblich beteiligt, so folgt aus FV3 ¼ FV2 nach den Gln. (5) und (2) pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ð7Þ tV ¼ lV ðEH =EM ÞðrM =rH Þ; d. h., nur der Lngenmaßstab (oder der Zeitmaßstab) ist noch frei whlbar. Mit tV ¼ tM =tH und lV ¼ lM =lH folgt daraus pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi uM =uH ¼ ðEM =EH ÞðrH =rM Þ bzw. pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi Ca ¼ uM = EM =rM ¼ uH = EH =rH : ð8Þ Cauchys hnlichkeitsgesetz: Zwei Vorgnge, die berwiegend unter Einfluss von Trgheits- und elastischen Krften stehen, sind mechanisch hnlich, wenn ihre Cauchyschen Kennzahlen Ca bereinstimmen. hnlichkeitsgesetz von Froude. Sind bei einem Bewegungsvorgang Trgheitskrfte und Gewichtskrfte berwiegend beteiligt, so folgt aus FV1 ¼ FV3 nach den Gln. (1) und (5) pffiffiffiffiffi tV ¼ lV ; ð9Þ d. h., nur der Lngenmaßstab (oder der Zeitmaßstab) ist noch 2 frei whlbar. Daraus folgt tM =tH2 ¼ lM =lH bzw. 2 l2M =ðlM tM Þ ¼ l2H =ðlH tH2 Þ und somit ð10Þ
Froudesches Modellgesetz: Zwei Vorgnge sind hinsichtlich der Trgheitskrfte und der Gewichtskrfte mechanisch hnlich, wenn die Froudeschen Kennzahlen Fr bereinstimmen. Beispiel: Von einem physikalischen Pendel aus Stahl (rH ¼ 7 850 kg=m3 ) soll ein Modell aus Holz (rM ¼ 600 kg=m3 ) im Maßstab 1 : 4 hergestellt werden. Wie groß ist der bertragungsmaßstab tV , wie verhalten sich Krfte, Spannungen, Frequenzen, Gepffiffiffiffiffiffiffiffi schwindigkeiten und Beschleunigungen zueinander? – tV ¼ 1=4 ¼ 1=2; FV ¼ FM =FH ¼ ð600=7 850Þ=64 ¼ 1=837; sM =sH ¼ FV =l2V ¼ 1=52; wM =wH ¼ tH =tM ¼ 1=tV ¼ 2;0; uM =uH ¼ lV =tV ¼ 2=4 ¼ 1=2; aM =aH ¼ lV =tV2 ¼ 4=4 ¼ 1;0:
ð12Þ
h absolute, u ¼ h=r kinematische Zhigkeit. Nur der Lngenmaßstab ist noch frei whlbar und im Rahmen der zur Verfgung stehenden Medien der Stoffparameter uM . Aus Gl. (12) folgt tM =tH ¼ ðuH =uM Þl2M =l2H , d. h. Re ¼ uM lM =uM ¼ uH lH =uH :
und mit lM =tM ¼ uM und lH =tH ¼ uH
Fr ¼ u2M =ðlM gM Þ ¼ u2H =ðlH gH Þ:
FM hM duM =dzM AM h l2 ¼ ; d: h: FV4 ¼ M V FH hH duH =dzH AH hH tV und damit aus FV4 ¼ FV3 nach den Gln. (11) und (5)
ð5Þ
Bei alleiniger Wirkung der Trgheitskrfte sowie freier Wahl von rM ; rH ; lV und tV legt Gl. (5) den Krftemaßstab fest. Daraus folgt
Ne ¼ FM =ðrM u2M l2M Þ ¼ FH =ðrH u2H l2H Þ:
hnlichkeitsgesetz von Reynolds. Sind bei einem Bewegungsvorgang Trgheitskrfte und Reibungskrfte Newtonscher Flssigkeiten berwiegend beteiligt, so folgt fr letztere mit F ¼ hðdu=dzÞA nach B 6.2 Gl. (8) der Krftemaßstab
ð13Þ
Reynoldssches hnlichkeitsgesetz: Zwei Strmungen zher Newtonscher Flssigkeiten sind unter berwiegendem Einfluss der Trgheits- und Reibungskrfte mechanisch hnlich, wenn die Reynoldsschen Zahlen Re bereinstimmen. Beispiel: Der Strmungswiderstand eines Einbauteils in einer lleitung soll im Modellversuch im Maßstab 1 : 10 mittels Messung des Druckabfalls bestimmt werden, wobei Wasser als Modellmedium vorgesehen ist. Wie verhalten sich die Strmungsgeschwindigkeiten und die Krfte bzw. der Druckabfall (uM ¼ 106 m2 =s; uH ¼ 1;1 104 m2 =s; hM ¼ 103 Ns=m2 ; hH ¼ 101 Ns=m2 Þ? – lV ¼ lM =lH ¼ 1=10; uV ¼ uM =uH ¼ ðuM =uH Þ=lV ¼ ð106 =1;1 104 Þ= ð1=10Þ ¼ 1=11 ; FV ¼ FM =FH ¼ ðhM =hH Þl2V =tV ¼ ðhM =hH ÞuV lV ¼ ð103 =101 Þð1=11Þð1=10Þ ¼ 1=11 000; DpM =DpH ¼ ðFM =FH Þ=l2V ¼ 100=11000 ¼ 1=110.
hnlichkeitsgesetz von Weber. Sind an einem Vorgang neben den Trgheitskrften die Oberflchenspannungen s, d. h. die Oberflchenkrfte Fs ¼ sl, berwiegend beteiligt (wobei s als Materialkonstante aufzufassen ist), so folgt als bertragungsmaßstab fr die Oberflchenkrfte FsM =FsH ¼ sM lM =ðsH lH Þ; d: h: FV5 ¼ ðsM =sH ÞlV
ð14Þ
und damit aus FV5 ¼ FV3 gemß den Gln. (14) und (5) 2 ðrM =sM Þl3M =tM ¼ ðrH =sH Þl3H =tH2 bzw:
We ¼ rM u2M lM =sM ¼ rH u2H lH =sH :
ð15Þ
Webersches hnlichkeitsgesetz: Vorgnge unter berwiegendem Einfluss von Trgheits- und Oberflchenkrften sind mechanisch hnlich, wenn die Weberschen Kennzahlen We bereinstimmen. Weitere hnlichkeitsgesetze fr Strmungsprobleme. Eulersche Kennzahl: Bei Strmungsproblemen, bei denen die Reibung vernachlssigt werden kann, d. h. bei denen Druckund Trgheitskrfte berwiegen (z. B. bei der Messung des Staudrucks Dp), liegt mechanische hnlichkeit vor, wenn die Eulerschen Kennzahlen Eu gleich sind: Eu ¼ DpM =ðrM u2M Þ ¼ DpH =ðrH u2H Þ:
ð16Þ
Machsche Kennzahl: Bei gasfrmigen Fluiden, deren Strmungsgeschwindigkeit nahe der Schallgeschwindigkeit c liegt, herrscht mechanische hnlichkeit, wenn die Machschen Kennzahlen Ma gleich sind: Ma ¼ uM =cM ¼ uH =cH :
ð17Þ
7.2.3 Thermische hnlichkeit hnlichkeitsgesetz von Fourier. Fr den instationren Wrmeleitungsvorgang gilt die Fouriersche Differentialgleichung 2 ¶T ¶ T ¶2 T ¶2 T þ þ ¼b ; ð18Þ ¶t ¶x2 ¶y2 ¶z2
I8 b ¼ lðcrÞ Temperaturleitfhigkeit, l Wrmeleitfhigkeit, c spezifische Wrmekapazitt, r Dichte. Nach der Regel ber die Einheiten folgt TV =tV ¼ ðbM =bH ÞðTV =l2V Þ bzw: tV ¼ ðbH =bM Þl2V
ð19Þ
und hieraus Fo ¼ tM bM =l2M ¼ tH bH =l2H :
ð20Þ
Fouriersches hnlichkeitsgesetz: Zwei Wrmeleitungsvorgnge sind hnlich, wenn die Fourierschen Kennzahlen Fo bereinstimmen (s. D 10.4). Beispiel: Fr ein Modell im Maßstab 1: 10 folgt bei gleichem Material ðbM ¼ bH Þ : tM ¼ ðlM =lH Þ2 tH ¼ ð1=100ÞtH , d. h., die Temperaturverteilung im Modell ist bei 1/100 der Zeit in der Hauptausfhrung erreicht.
hnlichkeitsgesetz von Pe´clet. Sollen zwei Strmungsvorgnge hinsichtlich der Wrmeleitung thermisch bereinstimmen, so mssen die Pe´cletschen Kennzahlen Pe gleich sein: Pe ¼ uM lM =bM ¼ uH lH =bH :
ð21Þ
hnlichkeitsgesetz von Prandtl. Sollen zwei Strmungsvorgnge hinsichtlich der Wrmeleitung und Wrmekonvektion bereinstimmen, so mssen die Reynoldsschen und die Pe´cletschen Kennzahlen bereinstimmen. Daraus ergibt sich eine Gleichheit der Prandtlschen Kennzahlen Pr: Pr ¼ Pe=Re ¼ uM =bM ¼ uH =bH :
ð22Þ
hnlichkeitsgesetz von Nußelt. Fr den Wrmebergang zwischen zwei Stoffen besteht hnlichkeit, wenn die Nußeltschen Kennzahlen Nu bereinstimmen: Nu ¼ aM lM =lM ¼ aH lH =lH ;
ð23Þ
a Wrmebergangskoeffizient, l Wrmeleitfhigkeit. 7.2.4 Analyse der Einheiten (Dimensionsanalyse) und P-Theorem Sind die mit Einheiten behafteten Einflussgrßen eines Vorgangs bekannt, so lassen sich aus ihnen Potenzprodukte in Form einheitenloser Kennzahlen bilden. Die zur Darstellung eines Problems erforderlichen Kennzahlen bilden einen vollstndigen Satz. Jede physikalisch richtige Grßengleichung lsst sich als Funktion der Kennzahlen eines vollstndigen Satzes darstellen (P-Theorem von Buckingham). Zum Beispiel kann man die Bernoullische Gleichung fr die reibungsfreie Strmung ru2 =2 þ p þ rgz ¼ const bzw. 1=2þ
8 Spezielle Literatur zu B 1 Statik starrer Krper [1] Fppl, A.: Vorlesungen ber technische Mechanik, Bd. I, 14. Aufl., Bd. II, 10. Aufl. Mnchen, Berlin: R. Oldenbourg 1948, 1949. – [2] Schlink, W.: Technische Statik, 4. u. 5. Aufl. Berlin: Springer 1948. – [3] Drescher, H.: Die Mechanik der Reibung zwischen festen Krpern. VDI-Z. 101 (1959) 697– 707. – [4] Krause, H.; Poll, G.: Mechanik der Festkrperreibung. Dsseldorf: VDI 1980. – [5] Kragelski, Dobycin, Kombalov: Grundlagen der Berechnung von Reibung und Verschleiß. Mnchen: Hanser 1983. zu B 3 Kinetik [1] Sommerfeld, A.: Mechanik, Bd. I, 8. Aufl. Leipzig: Akad. Verlagsges. Geest u. Portig 1994, Nachdruck der 8. Aufl.
Spezielle Literatur
B 65
p=ðru2 Þ þ gz=u2 ¼ const auch schreiben als 1=2 þ Euþ 1=Fr ¼ const, d. h., die Eulersche und die Froudesche Kennzahl bilden fr die reibungsfreie und temperaturunabhngige Strmung einen vollstndigen Satz. Die fnf Einflussgrßen r, u, p, g, z lassen sich also durch zwei einheitenlose Kennzahlen ersetzen, die zur vollstndigen Beschreibung des Problems ausreichen. Eine Methode zur Ermittlung des vollstndigen Satzes von Kennzahlen eines Problems – auch in Fllen, wo die physikalischen Grundgleichungen nicht bekannt sind – ist die Analyse der Einheiten unter Zugrundelegung des BuckinghamTheorems [2]. Es besagt: Gilt fr n einheitenbehaftete Einflussgrßen xi die Beziehung f ðx1 ; x2 ; . . . ; xn Þ ¼ 0, so lsst sie sich stets in der Form f ðP1 ; P2 ; . . . ; Pm Þ ¼ 0 schreiben, wobei Pj die m einheitenlosen Kennzahlen sind und m ¼ n q ist. Hierbei ist q die Anzahl der beteiligten Basiseinheiten. Fr m, kg, s wird q ¼ 3 bei mechanischen, und fr m, kg, s, K gilt q ¼ 4 bei thermischen Problemen. Mit einem Produktansatz P ¼ xa1 xb2 xc3 xd4 . . .
ð24Þ
und nach Einsetzen der Einheiten fr xi muss die Summe der Exponenten der Basiseinheiten m, kg, s und K jeweils null werden, da wegen der linken Seite auch die rechte einheitenlos sein muss. Zum Beispiel sind an der vorstehend zitierten reibungsfreien Strmung die Grßen r, u, z, g, p beteiligt. Dann gilt P ¼ ðkg=m3 Þa ðm=sÞb ðmÞc ðm=s2 Þd ðkg=m s2 Þe :
ð25Þ
Fr die Exponenten von kg, m, s folgt dann a þ e ¼ 0; 3a þ b þ c þ d e ¼ 0; b 2d 2e ¼ 0:
ð26Þ
Zwei Exponenten knnen frei gewhlt werden. Zum Beispiel sollen p und g Leitgrßen, d und e frei whlbar sein. Dann folgt aus Gl. (26) a ¼ e, b ¼ 2d 2e und c ¼ d und somit P ¼ ra ub zc gd pe ¼ re u2d2e zd gd pe ¼ ðzg=u2 Þd ðp=ru2 Þe bzw. mit d ¼ 1d und e ¼ 1 P ¼ ð1=FrÞEu; d: h: P1 ¼ Fr; P2 ¼ Eu:
ð27Þ
Also ist das Problem der reibungsfreien Strmung mit m ¼ n q ¼ 5 3 ¼ 2 Kennzahlen beschreibbar, nmlich mit der Froudeschen und der Eulerschen Kennzahl. Ein funktionaler Zusammenhang in Form der Bernoullischen Gleichung lsst sich mit diesem Verfahren natrlich nicht herleiten (weitere Ausfhrungen s. [1–5]).
1978. – [2] Klein, I.; Sommerfeld, A.: Theorie des Kreisels (4 Bde.). Leipzig: Teubner 1897–1910. – [3] Grammel, R.: Der Kreisel (2 Bde.), 2. Aufl. Berlin: Springer 1950. – [4] Hertz, H.: ber die Berhrung fester elastischer Krper. J. f. reine u. angew. Math. 92 (1881). – [5] Berger, F.: Das Gesetz des Kraftverlaufs beim Stoß. Braunschweig: Vieweg 1924. zu B 4 Schwingungslehre [1] Schting, F.: Berechnung mechanischer Schwingungen. Wien: Springer 1951. – [2] Biezeno, Grammel: Technische Dynamik, Bd. II, 2. Aufl. Berlin: Springer 1953. – [3] Collatz, L.: Eigenwertaufgaben. Leipzig: Akad. Verlagsges. Geest u. Portig 1963. – [4] Hayashi, K.: Tafeln fr die Differenzenrechnung sowie fr die Hyperbel-, Besselschen, elliptischen und anderen Funktionen. Berlin: Springer 1933. – [5] Magnus, K.: Schwingungen, 7. Aufl. Stuttgart: Teubner 2005. – [6] Klotter,
B
B 66
B
Mechanik – 8 Spezielle Literatur
K.: Technische Schwingungslehre, Bd. 1, Teil B, 3. Aufl. Berlin: Springer 1980. – [7] Jahnke, Emde, Lsch: Tafeln hherer Funktionen. Stuttgart 1966. – [8] Rothe, Szabo´: Hhere Mathematik, Teil VI, 2. Aufl. Stuttgart: Teubner 1958. zu B 6 Hydro- und Aerodynamik [1] Eck, B.: Technische Strmungslehre, 7. Aufl. Berlin: Springer 1966. – [2] Kalide, W.: Einfhrung in die technische Strmungslehre, 7. Aufl. Mnchen: Hanser 1990. – [3] Trukkenbrodt, E.: Fluidmechanik, 4. Aufl. Berlin: Springer 1999. – [4] Jogwich, A.: Strmungslehre. Essen: Girardet 1974. – [5] Bohl, W.: Technische Strmungslehre, 13. Aufl. Wrzburg: Vogel 2005. – [6] Herning, F.: Stoffstrme in Rohrleitungen, 4. Aufl. Dsseldorf: VDI-Verlag 1966. – [7] Ullrich, H.: Mechanische Verfahrenstechnik. Berlin: Springer 1967. – [8] Schlichting, H.: Grenzschicht-Theorie, 10. Aufl. Karlsruhe: Braun 2006. – [9] Brauer, H.: Grundlagen der Einphasenund Mehrphasenstrmungen, Aarau und Frankfurt am Main: Sauerlnder 1971. – [10] Szabo´, I.: Hhere Technische Me-
chanik, 6. Aufl. Berlin: Springer 2001. – [11] Sigloch, H.: Technische Fluidmechanik. 5. Aufl. Berlin: Springer 2005. – [12] Prandtl, Oswatitsch, Wieghardt: Fhrer durch die Strmungslehre, 8. Aufl. Braunschweig: Vieweg 1984. – [13] Korschelt; Lackmann, J.: Strmungsmechanik, 1. Aufl. Leipzig: Fachbuchverlag Leipzig 1995. zu B 7 hnlichkeitsmechanik [1] Weber, M.: Das allgemeine hnlichkeitsprinzip in der Physik und sein Zusammenhang mit der Dimensionslehre und der Modellwissenschaft. Jahrb. Schiffbautech. Ges. 1930, S. 274–388. – [2] Katanek, S.; Grger, R.; Bode, C.: hnlichkeitstheorie. Leipzig: VEB Deutscher Verlag f. Grundstoffindustrie 1967. – [3] Feucht, W.: Einfhrung in die Modelltechnik. Handbuch der Spannungs- und Dehnungsmessung (Fink, Rohrbach). Dsseldorf: VDI-Verlag 1958. – [4] Zierep, J.: hnlichkeitsgesetze und Modellregeln der Strmungslehre. Karlsruhe: Braun 1972. – [5] Grtler, H.: Dimensionsanalyse. Berlin: Springer 1975.
C
Festigkeitslehre
J. Lackmann (Kap. C 1–C 9) und H. Mertens (Kap. C 10), Berlin Allgemeine Literatur zu C 1 bis C 10 Bcher: Balke, H.: Einfhrung in die Technische Mechanik. Berlin: Springer 2005. – Brandt, S.: Mechanik. Berlin: Springer 2005. – Gross; Hauger; Schnell; Schrder: Technische Mechanik, Bde. 1 u. 2, 8. Aufl. Berlin: Springer 2005. – Gross; Hauger; Schnell; Schrder: Technische Mechanik, Bd. 3, 8. Aufl. Berlin: Springer 2004. – Gross; Hauger; Schnell; Wriggers: Technische Mechanik, Bd. 4, 5. Aufl. Berlin: Springer 2004. – Gummert, P.; Reckling, K.- A.: Mechanik, 3. Aufl. Braunschweig: Vieweg 1994. – Holzmann; Meyer; Schumpich: Technische Mechanik 1, 10. Aufl. Stuttgart: Teubner 2004. – Holzmann; Meyer; Schumpich: Technische Mechanik 2, 8. Aufl. Stuttgart: Teubner 2000. – Holzmann, Meyer, Schumpich: Technische Mechanik 3, 8. Aufl. Stuttgart: Teubner 2002. – Issler; Ruoß; Hfele: Festigkeitslehre, 2. Aufl. Berlin: Springer 1997. – Szabo, I.: Einfhrung in die Technische Mechanik, 8. Aufl. Berlin: Springer 1975, Nachdruck 2003. – Szabo, I.: Hhere Technische Mechanik, 6. Aufl. Berlin: Springer 2001.
1 Allgemeine Grundlagen Die Festigkeitslehre soll Spannungen und Verformungen in einem Bauteil ermitteln und nachweisen, dass sie mit ausreichender Sicherheit gegen Versagen des Bauteils aufgenommen werden. Ein Versagen kann in unzulssig großen Verformungen oder Dehnungen, im Auftreten eines Bruchs oder im Instabilwerden (z. B. Knicken oder Beulen) des Bauteils bestehen. Die hierfr maßgebenden Werkstoffkennwerte sind abhngig vom Spannungszustand (ein-, zwei- oder dreiachsig), von den Spannungsarten (Zug-, Druck-, Schubspannungen), vom Belastungszustand (statisch oder dynamisch), von der Betriebstemperatur sowie von der Grße und der Oberflchenbeschaffenheit des Bauteils.
1.1 Spannungen und Verformungen Bild 1 a–c. Spannungen. a, b Definition; c Tensor
1.1.1 Spannungen Den ußeren Krften und Momenten an einem Krper (sowie den Trgheitskrften bzw. den negativen Massenbeschleunigungen bei beschleunigter Bewegung) halten im Innern eines Krpers entsprechende Reaktionskrfte das Gleichgewicht. Bei homogen angenommener Massenverteilung des Krpers treten die inneren Reaktionskrfte flchenhaft verteilt auf. Durch jeden Punkt eines Krpers lassen sich unter unendlich vielen Richtungen elementare ebene Schnittflchen dA legen, deren Richtung durch den Normalenvektor n gekennzeichnet wird (Bild 1 a). Der Spannungsvektor s ¼ dF=dA lsst sich in eine Normalspannung s ¼ dFn =dA und in eine Tangentialoder Schubspannung t ¼ dFt =dA zerlegen. In kartesischen Koordinaten (Bild 1 b) ergeben sich eine Normalspannung sz ¼ dFn =dA und zwei Schubspannungen tzx ¼ dFtx =dA bzw. tzy ¼ dFty =dA. Die Beschreibung des vollstndigen Spannungszustands in einem Punkt erfordert drei Ebenen bzw. ein quaderfrmiges Element (Bild 1 c) mit drei Spannungsvektoren bzw. dem Spannungstensor 0 1 sx txy txz sx ¼ sx ex þ txy ey þ txz ez , B C sy tyz A: ð1Þ sy ¼ tyx ex þ sy ey þ tyz ez , S ¼ @ tyx sz ¼ tzx ex þ tzy ey þ sz ez ;
tzx
tzy
sz
Aus den Momentengleichgewichtsbedingungen um die Koordinatenachsen fr das Element nach Bild 1 c folgt txy ¼ tyx , txz ¼ tzx , tyz ¼ tzy (Satz von der Gleichheit der zugeordneten Schubspannungen), d. h., zur vollstndigen Beschreibung des
Bild 2 a–d. Einachsiger Spannungszustand. a Spannungen am Element; b Mohrscher Spannungskreis; c, d Trajektorien der Hauptnormal- und Hauptschubspannungen
Spannungszustands in einem Punkt sind drei Normalspannungen und drei Schubspannungen erforderlich. Der einachsige Spannungszustand. Er liegt vor, wenn am quaderfrmigen Element (Bild 2 a) eine Normalspannung angreift, z. B. sx ¼ dF=dA, sy ¼ sz ¼ 0, txy ¼ txz ¼ tyz ¼ 0. Fr ein unter dem Winkel j liegendes Flchenelement folgen die zugehrigen Spannungen s und t aus den Gleichgewichtsbedingungen in n- und t-Richtung zu s ¼ ðsx =2Þ ð1 þ cos 2 jÞ und t ¼ ðsx =2Þ sin 2 j. Hieraus folgt ðs sx =2Þ2 þ t2 ¼
C
C2
C
Festigkeitslehre – 1 Allgemeine Grundlagen
ðsx =2Þ2 , die Gleichung des Mohrschen Spannungskreises (Bild 2 b). Fr 2j ¼ 90° bzw. j ¼ 45° ergibt sich die grßte Schubspannung zu t ¼ sx =2, die zugehrige Normalspannung ebenfalls zu s ¼ sx =2. Die grßte und kleinste Normalspannung (hier s1 ¼ sx und s2 ¼ 0) und die grßte Schubspannung (hier t1 ¼ sx =2) werden Hauptnormal- und Hauptschubspannung genannt. Linien, die berall von den Hauptnormal- bzw. Hauptschubspannungen tangiert werden, heißen Hauptnormalspannungs- bzw. Hauptschubspannungstrajektorien (Bild 2 c, d). Der zweiachsige (ebene) Spannungszustand. Treten lediglich in einer Ebene (z. B. der x, y-Ebene) Spannungen auf, so liegt ein ebener Spannungszustand vor (Bild 3 a). Fr die in der unter dem Winkel j geneigten Schnittflche liegenden Spannungen s und t folgen aus den Gleichgewichtsbedingungen in n- und t-Richtung mit txy ¼ tyx 9 > s ¼ sx cos2 j þ sy sin2 j þ 2 txy sin j cos j > > > 1 1 ¼ 2ðsx þ sy Þ þ 2ðsx sy Þ cos 2 j þ txy sin 2 j, = ð2Þ 2 2 t ¼ ðsy sx Þ sin j cos j þ txy ðcos j sin jÞ > > > > ; ¼ 12ðsx sy Þ sin 2 j þ txy cos 2 j: Hieraus folgt nach Quadrieren und Addieren die Gleichung des Mohrschen Spannungskreises (Bild 3 b) mit dem Radius r: 9 sx þ sy 2 2 sx sy 2 2 > > s þt ¼ þtxy , > = 2 2 ð3Þ ffi rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi s s 2 > > x y > ; r¼ þt2xy : 2 Der Kreismittelpunkt liegt an der Stelle ðsx þ sy Þ=2: Die Hauptnormalspannungen ergeben sich mit t ¼ 0 aus Gl. (2) unter den Winkeln j01 und j02 ¼ j01 þ 90°, die aus tan 2 j0 ¼ 2 txy =ðsx sy Þ
ð4Þ
folgen, zu s1,2 ¼ ðsx þ sy Þ=2
qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ½ðsx sy Þ=22 þ t2xy :
ð5Þ
Die grßten Schubspannungen folgen gemß Gl. (2) aus dt=dj ¼ 0 unter den Winkeln j11 und j12 ¼ j11 þ 90°, die sich aus tan 2 j1 ¼ ðsy sx Þ=ð2 txy Þ
ð6Þ
ergeben, wobei j11 ¼ j01 þ 45° und j12 ¼ j02 þ 45° ist (Bild 3 c). Die Grße dieser Hauptschubspannungen entspricht dem Radius des Mohrschen Spannungskreises, d. h. qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi t1,2 ¼ ½ðsx sy Þ=22 þ t2xy : ð7Þ Die zugehrigen Normalspannungen sind fr beide Winkel gleich groß, nmlich sM ¼ ðsx þ sy Þ=2: Die Richtung der Hauptnormalspannungstrajektorien folgt
aus Gl. (4) 2 tan j0 2y0 2 txy ¼ ¼ 1 tan2 j0 1 y 0 2 sx sy sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ffi sy sx sy sx 2 y10 ,2 ¼ þ1, 2 txy 2 txy
tan 2 j0 ¼
zu
die Richtung der dazu um 45 gedrehten Hauptschubspannungstrajektorien aus Gl. (6) sy sx 2 tan j1 2y 0 ¼ ¼ 1 tan2 j1 1 y 0 2 2 txy sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2 ffi 2 txy 2 txy y30 ,4 ¼ þ1: sx sy sx sy
tan 2 j1 ¼
zu
Der dreiachsige (rumliche) Spannungszustand. Treten in drei senkrecht zueinander liegenden Ebenen Spannungen auf, so besteht ein rumlicher Spannungszustand (Bild 1 c). Er wird von den sechs Spannungskomponenten sx ; sy ; sz ; txy ¼ tyx ; txz ¼ tzx und tyz ¼ tzy bestimmt. Fr eine beliebige Tetraederschnittflche, deren Stellung mit dem Normalenvektor n ¼ cos a ex þ cos b ey þ cos g ez ¼ nx ex þ ny ey þ nz ez festgelegt ist (Bild 4), ergibt sich der Spannungsvektor s ¼ sx ex þ sy ey þ sz ez bzw. seine Komponenten aus den Gleichgewichtsbedingungen in x-, y-, z-Richtung zu sx ¼ nx sx þ ny tyx þ nz tzx , sy ¼ nx txy þ ny sy þ nz tzy , s ¼
qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi s2x þ s2y þ s2z :
ð8Þ
sz ¼ nx txz þ ny tyz þ nz sz ; Die zur Tetraederschnittflche senkrecht stehende Normalspannung ist s ¼ sn ¼ sx nx þ sy ny þ sz nz ¼ n2x sx þ n2y sy þ n2z sz þ 2ðnx ny txy þ nx nz txz þ ny nz tyz Þ: Fr die resultierende Schubspannung (Bild 4) gilt t ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi s2 s2 . Die Hauptnormalspannungen treten in den drei zueinander senkrecht stehenden Flchen auf, in denen t zu Null wird. Der Spannungstensor hat dann die Form 0 1 s1 0 0 B C S ¼ @0 s2 0 A, 0 0 s3 und fr die Spannungsvektoren gilt si ¼ ni si ði ¼ 1; 2; 3Þ, d. h. six ¼ nix si , siy ¼ niy si , siz ¼ niz si :
ð9Þ
Die Gln. (8) und (9) gleichgesetzt ergibt ðsx si Þ nix þ tyx niy
þ tzx niz
¼ 0,
txy nix
þ ðsy si Þ niy þ tzy niz
¼ 0,
txz nix
þ tyz niy
þ ðsz si Þ niz ¼ 0:
Bild 3 a–c. Ebener Spannungszustand. a Spannungen am Element; b Mohrscher Spannungskreis; c Hauptspannungen
ð10Þ
I1.1 Dieses lineare homogene Gleichungssystem fr die Komponenten nix ; niy und niz der Hauptnormalenvektoren hat nur dann eine nichttriviale Lsung, wenn die Koeffizientendeterminante null wird. Daraus folgt eine kubische Gleichung fr si der Form s3i J1 s2i þ J2 si J3 ¼ 0
ð11Þ
mit J1 ¼ sx þ sy þ sz ,
Spannungen und Verformungen
C3
großer Bedeutung. Sie gehren zu den acht Schnittebenen, deren Normalen mit den drei Hauptachsen gleiche Winkel bilden und ein regulres Oktaeder darstellen (Bild 6). Ihre Grße ist [4] s0 ¼ ðs1 þ s2 þ s3 Þ=3 ¼ ðsx þ sy þ sz Þ=3, qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi t0 ¼ ð1=3Þ ðs1 s2 Þ2 þ ðs2 s3 Þ2 þ ðs1 s3 Þ2 , qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ¼ 13 ðsx sy Þ2 þ ðsy sz Þ2 þ ðsz sx Þ2 þ 6ðt2xy þt2yz þt2xz Þ:
J2 ¼ sx sy þ sx sz þ sy sz t2xy t2xz t2yz , J3 ¼ sx sy sz sx t2yz sy t2zx sz t2xy þ 2 txy tyz tzx : J1 , J2 , J3 sind Invariante des Spannungstensors, da sie fr alle Bezugssysteme denselben Wert annehmen, d. h., fr die Hauptrichtungen gilt J1 ¼ s1 þ s2 þ s3 , J2 ¼ s1 s2 þ s1 s3 þ s2 s3 , J3 ¼ s1 s2 s3 . Sind aus Gl. (11) die si ði ¼ 1; 2; 3Þ ermittelt, so folgen aus Gl. (10) nach Einsetzen der si ði ¼ 1; 2; 3Þ jeweils drei lineare Gleichungen fr die Komponenten nix ; niy ; niz einer Hauptnormalenrichtung. Da jeweils zwei der drei Gleichungen linear voneinander abhngig sind, muss die stets gltige Beziehung n2ix þ n2iy þ n2iz ¼ 1 mitbenutzt werden. Sind hieraus die Hauptnormalenvektoren ni ði ¼ 1; 2; 3Þ bestimmt, so sind Grße und Richtung der Hauptnormalspannungen bekannt. Fr das Spannungshauptachsensystem x, h, z (Richtungen i=1, 2, 3; Bild 5 a) ergibt sich mit s3 ¼ 0 ein ebener Spannungszustand mit den Hauptspannungen s1 und s2 und der Gleichung fr den Mohrschen Spannungskreis analog Gl. (3) s s 2 s1 þ s2 1 2 : s þ t2 ¼ 2 2 Entsprechende Kreise ergeben sich fr s2 ¼ 0 bzw. s1 ¼ 0 (Bild 5 b). Die Komponenten s und t des Spannungsvektors s fr ein durch n ¼ ðcos a; cos b; cos gÞ gegebenes beliebiges Flchenelement (Bild 5 a) folgen aus den Mohrschen Kreisen (Bild 5 b), indem von s1 der Winkel a und von s3 der Winkel g abgetragen wird und durch die Schnittpunkte A und B auf dem Hauptkreis zu den Nebenkreisen konzentrische Kreise eingezeichnet werden. Der Schnittpunkt C liefert die zugehrige Grße von s und t [1–5]. Die Spannungen fr beliebige Normalenwinkel liegen stets in dem in Bild 5 b schraffierten Bereich. Die grßte Hauptschubspannung betrgt t2 ¼ ðs1 s3 Þ=2. Sie liegt in der x, zEbene in einem Flchenelement, dessen Normale unter 45 zur x- und z-Achse steht (Bild 5 c). Entsprechend sind t1 ¼ ðs2 s3 Þ=2 und t3 ¼ ðs1 s2 Þ=2. Die Ebenen der Hauptschubspannungen stehen nicht aufeinander senkrecht, sondern bilden die Seitenflchen eines regulren Dodekaeders [4]. Fr die Beurteilung komplizierter rumlicher Spannungszustnde sind die Oktaederschub- und -normalspannung von
Bild 4. Rumlicher Spannungszustand
1.1.2 Verformungen Jeder Krper erfhrt unter Einwirkung ußerer Krfte und Momente Verformungen. Der Eckpunkt P eines quaderfrmigen Elements mit den Kantenlngen dx; dy; dz (auf Bild 7 ist nur die x, y-Ebene dargestellt) erfhrt eine Verschiebung f ¼ uex þ uey þ wez mit den Komponenten u, u, w. Gleichzeitig wird das Element gedehnt, d. h., die Kantenlngen vergrßern (oder verkleinern) sich auf dx0 , dy0 , dz0 , und es wird zu einem Parallelepiped verformt, wobei die Gleitwinkel g1 , g2 usw. auftreten. Bei kleinen Verformungen (Bild 7) gilt fr Dehnungen e und Gleitungen g ¶u dx dx0 dx ¶x ¶u ¶u ¶w ex ¼ ¼ ¼ , ey ¼ , ez ¼ , dx ¶x ¶y ¶z dx
gxy ¼ g1 þ g2 ¼
gxz ¼
ð12Þ
¶u ¶u dy dx ¶u ¶u ¶y ¶x þ ¼ þ , ¶u ¶u ¶x ¶y dx þ dx dy þ dy ¶x ¶y
¶w ¶u ¶w ¶u þ , gyz ¼ þ ¶x ¶z ¶y ¶z
ð13Þ
Mit ¶u ¶u ¶w ¶u þ þ 2, exz ¼ 2, ¶x ¶y ¶x ¶z ¶w ¶u þ eyz ¼ 2 ¶y ¶z
exy ¼
lsst sich der Verzerrungszustand mit dem Verzerrungstensor 0 1 exy exz ex B C ey eyz A V ¼ @ eyx ezx ezy ez beschreiben, fr den hnliche Eigenschaften und Berechnungsmethoden gelten wie fr den Spannungstensor, Gl. (8). Fr die Hauptdehnungen e1 , e2 , e3 ergibt sich aus ðex ei Þ nix þ exy niy
þ exz niz
¼ 0,
exy nix
þ ðey ei Þniy þ eyz niz
¼ 0,
exz nix
þ eyz niy
ð14Þ
þ ðez ei Þ niz ¼ 0
Bild 5 a–c. Rumlicher Spannungszustand. a Spannungshauptachsen; b Mohrsche Spannungskreise; c Hauptschubspannung
C
C4
Festigkeitslehre – 1 Allgemeine Grundlagen
1.1.3 Formnderungsarbeit An einem Volumenelement dx dy dz mit den Dehnungen ¶u ex ¼ usw. verrichtet z. B. die Spannung sx die Arbeit ¶x Zex Z ¶u dW ¼ sx dy dz d dx ¼ sx dex dV: ¶x
C
0
Als Folge aller Normal- und Schubspannungen entsteht also nach Integration ber den ganzen Krper die Formnderungsarbeit 2 Z Zex Zey Zez Zgxy 4 sx dex þ sy dey þ sz dez þ txy dgxy W¼
Bild 6. Oktaederspannungen
0
ðVÞ
þ
Zgxz
0
txz dgxz þ
0
Zgyz
0
0
3 tyz dgyz 5dV:
0
Fr die Hauptachsen 1, 2, 3 ist 2 3 Z Ze1 Ze2 Ze3 4 s1 de1 þ s2 de2 þ s3 de3 5dV: W¼ ðVÞ
Bild 7. Verzerrungszustand
durch Nullsetzen der Koeffizientendeterminante die charakteristische Gleichung 3. Grades e3i J4 e2i þ J5 ei J6 ¼ 0,
ð15Þ
wobei J4 ¼ ex þ ey þ ez , J5 ¼ ex ey þ ey ez þ ez ex e2xy e2yz e2zx und J6 ¼ ex ey ez ex e2yz ey e2zx ez e2xy þ 2 exy eyz ezx wieder Invarianten sind. Hat man die ei aus Gl. (15) berechnet, so erhlt man aus Gl. (14) (von denen wieder zwei linear abhngig sind) mit n2ix þ n2iy þ n2iz ¼ 1 die Komponenten nix , niy , niz (i ¼ 1; 2; 3) der drei Hauptdehnungsrichtungen, d. h. der Richtungen, fr die es nur Dehnungen, aber keine Gleitungen gibt, und fr die der Verformungstensor die Form 0 1 e1 0 0 B C V ¼ @0 0 A e2 0 0 e3 annimmt. Die Invarianten lauten J 4 ¼ e1 þ e2 þ e3 ; J 5 ¼ e1 e2 þ e2 e3 þ e1 e3 ; J 6 ¼ e1 e2 e3 : Fr den rumlichen und ebenen Fall lassen sich wie bei den Spannungen (Mohrsche) Verzerrungskreise fr die Dehnungen und Gleitungen als Funktion der Winkel a, b, g entwickeln. Fr homogenes isotropes Material, das im Folgenden stets vorausgesetzt wird, fallen Hauptspannungs- und Hauptdehnungsrichtungen zusammen, d. h., Spannungs- und Verformungstensor sind koaxial. Unter Volumendehnung versteht man e¼ ¼
dV 0 dV dx0 dy0 dz0 1 ¼ dx dy dz dV ð1 þ ex Þ dxð1 þ ey Þ dyð1 þ ez Þ dz 1 dx dy dz
bzw. bei Vernachlssigung der kleinen Grßen hherer Ordnung e ¼ ex þ ey þ ez :
ð16Þ
0
0
ð18Þ
0
Im Fall Hookeschen Materials, d. h. bei Proportionalitt zwischen Spannungen s bzw. t und Dehnungen e bzw. Gleitungen g, gilt Z W ¼ ð1=2Þ ðsx ex þ sy ey þ sz ez ð19Þ ðVÞ þ txy gxy þ txz gxz þ tyz gyz Þ dV bzw. W ¼ ð1=2Þ
Z
ðs1 e1 þ s2 e2 þ s3 e3 Þ dV:
ð20Þ
ðVÞ
1.2 Festigkeitsverhalten der Werkstoffe Erluterungen zu den Werkstoffkenngrßen wie Proportionalittsgrenze, Streck- oder Fließgrenze und Bruchgrenze, die der Spannungs-Dehnungs-Linie eines Werkstoffs entnehmbar sind, s. E 2.2. Hookesches Gesetz. Fr die Normalspannungen gilt im Proportionalittsbereich der Spannungs-Dehnungs-Linie fr einen einaxial gezogenen Stab (Bild 8 a) das Gesetz s ¼ Ee:
ð21Þ
Hierbei ist s ¼ F=A0 die Spannung, e ¼ Dl=l0 die Dehnung (Dl Verlngerung des Stabs) und E der Elastizittsmodul. Bei Verlngerung erfhrt der Stab eine Verringerung des Durchmessers um Dd ¼ d d0 . Dann ist eq ¼ Dd=d0 die Querdehnung. Zwischen der Lngs- und Querdehnung besteht die Beziehung eq ¼ ve, wobei u die Querdehnungs- bzw. Poissonzahl nach (DIN 1304) ist ðuStahl ¼ 0;30Þ. In der neueren Literatur wird der Reziprokwert m ¼ 1=v als Poissonsche Zahl bezeichnet. Fr die Schubspannungen lautet das quivalente Hookesche Gesetz (Bild 8 b) t ¼ Gg,
¼ ex þ ey þ ez þ ex ey þ ex ez þ ey ez þ ex ey ez
ð17Þ
ð22Þ
wobei g ¼ du=dy die Gleitung und G der Gleit-(Schub-)modul ist. Es besteht die Beziehung G ¼ E=½2ð1 þ vÞ. Werte fr E, G und v (s. Anh. E 3), erweiterte Hookesche Gesetze fr beliebige Spannungszustnde s. C 3.
I1.3
Bild 8 a, b. Hookesches Gesetz. a fr Dehnung; b fr Gleitung
Sicherheit und zulssige Spannung bei ruhender Beanspruchung. Versagt eine Konstruktion aufgrund unzulssig großer Verformungen (bei Werkstoffen mit Streckgrenze), Bruch (bei sprdem Material) oder Instabilwerden (infolge Knickung, Kippung, Beulung) und tritt das Versagen bei einer Spannung s ¼ K (K Werkstoffkennwert) ein, so ergibt sich die vorhandene Sicherheit bzw. die zulssige Spannung aus S¼
K K , szul ¼ : svorh S
ð23Þ
Gleichmßige Spannungsverteilung. Sind die Spannungen gleichmßig ber den Querschnitt verteilt (Bild 9 a), so ist bei zhen Werkstoffen K ¼ Re und bei sprden K ¼ Rm bzw. sdB zu setzen. Als Sicherheit gegen Verformen wird SF ¼ 1;2 . . . 2;0 gegen Bruch SB ¼ 2;0 . . . 4;0 und gegen Instabilitt SK ¼ 1;5 . . . 4;0 angenommen. Ungleichmßige Spannungsverteilung. Bei sprden Werkstoffen und ungleichmßig ber den Querschnitt verteilten Spannungen (Bild 9 b) ist im Fall von Biegung in Gl. (23) (Biegebruchfestigkeit) zu setzen ðsbB K ¼ sbB 1;6 . . . 2;0Rm Þ. Im Fall der Torsionsbeanspruchung gilt tzul ¼ K=S mit K ¼ 1;0 . . . 1;1Rm . Bei zusammengesetzten Beanspruchungen ist K aus den Formeln fr Vergleichsspannungen (s. C 1.3) zu ermitteln. Bei zhen Werkstoffen kann im Fall von Biegung in Gl. (23) K ¼ Re gesetzt werden; man sieht also in erster Nherung die Verformungen bereits als unzulssig an, wenn die Faser mit der grßten Spannung zu fließen beginnt. Da jedoch alle anderen Fasern noch im elastischen Bereich liegen, wird die Außenfaser aufgrund der Sttzwirkung der Innenfasern am ausgeprgten Fließen gehindert, d. h., es treten noch keine unzulssig großen Verformungen auf. Man lsst daher zur besseren Ausnutzung des Querschnitts eine weitere Ausbreitung der Fließspannungen ber den Querschnitt zu, bis die Randfaser eine bleibende Dehnung von 0,2% erreicht hat (Bild 9 c; Formdehngrenzenverfahren [6–10]). Erst bei Ausdehnung der Fließspannungen ber den gesamten Querschnitt setzen wirklich unzulssig große Verformungen ein (Bild 9 d). Zum Beispiel betrgt das gerade noch elastisch aufnehmbare Biegemoment nach Bild 9 b bei Rechteckquerschnitt Mb1 ¼ sF bh2 =6, whrend das Tragmoment im vollplastischen Zustand nach Bild 9 b Mb3 ¼ sF bh2 =4 ist, d. h. Mb3 ¼ 1;5 Mb1 . In Wirklichkeit ist das bertragbare Moment bis zum Bruch infolge des Verfestigungsbereichs noch grßer
Bild 9 a–d. Spannungsverteilung. a gleichmßig; b ungleichmßig; c teilplastisch; d vollplastisch
Festigkeitshypothesen und Vergleichsspannungen
C5
– allerdings bei unzulssig großen Verformungen. Das Verhltnis von nvpl ¼ Mb3 =Mb1 wird vollplastische Sttzziffer genannt und ist Grundlage des Traglastverfahrens im Stahlbau. Nach dem Formdehngrenzenverfahren kann man in Gl. (23) den Wert K ¼ K 0,2 setzen. Dabei ist der Formdehngrenzwert K ¼ K 0,2 eine fiktive Ersatzspannung nach der Elastizittstheorie, die (z. B. im Fall von Biegung) dasselbe Tragmoment liefert wie die wirklichen Spannungen bei einer bleibenden Dehnung der Randfaser von 0,2%. Hierbei wird das Ebenbleiben der Querschnitte auch im plastischen Bereich vorausgesetzt. Fr den Rechteckquerschnitt folgt z. B. bei einer ideal-elastischplastischen Spannungs-Dehnungs-Linie nach Bild 10 a mit sF ¼ 210 N=mm2 , d. h. eel ¼ 210=210 000 ¼ 0;1%, bei epl ¼ 0;2% eine Gesamtdehnung e ¼ eel þ epl ¼ 0;3%. Damit liegt die Dehnung der Fasern unterhalb der Hhe h/6 im elastischen, darber im plastischen Bereich (Bild 10 b), womit sich die Spannungsverteilung nach Bild 10 c ergibt. Das Tragmoment ist bh 2 bh 2 h þ sF h M b, el ¼ K 0,2 bh2 =6; Mb, pl ¼ Mb2 ¼ sF 3 3 12 9 2 2 13 bh bh ¼ sF ¼ 1,44 sF : 6 9 6 Aus Mb; pl ¼ M b, el folgt K 0,2 ¼ 1;44 sF . Die Formdehngrenzspannung K 0,2 ist von der Hhe der Fließgrenze und von der Form der Spannungs-Dehnungs-Linie abhngig. Das Dehngrenzenverhltnis d0;2 ¼ K 0,2 =sF bzw. d0;2 ¼ K 0,2 =Rp 0;2 , auch Sttzziffer n0;2 [5] genannt, ist dagegen weitgehend von der Grße der Streck- bzw. Fließgrenze unabhngig und nur noch von der Form der Spannungs-Dehnungs-Linie abhngig. In Tab. 1 sind die Sttzziffern d0;2 fr verschiedene Querschnitte und fr zwei typische Spannungs-Dehnungs-Linien angegeben (nach [9]). Fr den Festigkeitswert K in Gl. (23) gilt dann K ¼ K 0,2 ¼ d0;2 sF ¼ d0;2 Rp 0;2 . Sicherheit und zulssige Spannung bei dynamischer Beanspruchung s. E 1.6.5.
1.3 Festigkeitshypothesen und Vergleichsspannungen Bei mehrachsigen Spannungszustnden ist die Zurckfhrung auf eine einachsige Vergleichsspannung sv erforderlich, da Werkstoffkennwerte fr mehrachsige Zustnde i. Allg. nicht vorliegen. Die folgenden Festigkeitshypothesen bercksichtigen die Art der Ursache des Versagens infolge unterschiedlichen Werkstoffverhaltens. 1.3.1 Normalspannungshypothese Sie ist anzuwenden, wenn mit einem Trennbruch senkrecht zur Hauptzugspannung zu rechnen ist, d. h. bei sprden Werkstoffen (z. B. Grauguss, aber auch bei Schweißnhten), oder wenn der Spannungszustand die Verformungsmglichkeit des Werkstoffs einschrnkt (z. B. bei dreiachsigem Zug oder stoß-
Bild 10 a–c. Formdehngrenze. a Idealisiertes Spannungs-DehnungsDiagramm; b Dehnungen; c Spannungen
C
C6
Festigkeitslehre – 1 Allgemeine Grundlagen
Tabelle 1. Dehngrenzenverhltnisse d0;2
C
chen Arbeiten beim mehrachsigen und einachsigen Spannungszustand und liefert daraus die Vergleichsspannung sv . Sie gilt fr verformbare Werkstoffe, die bei Auftreten plastischer Deformation versagen, aber auch bei schwingender Beanspruchung mit Versagen durch Dauerbruch. Fr den dreiachsigen (rumlichen) Spannungszustand gilt pffiffiffi qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi sv ¼ ð1= 2Þ ðs1 s2 Þ2 þ ðs2 s3 Þ2 þ ðs3 s1 Þ2 qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ¼ s2x þ s2y þ s2z ðsx sy þ sy sz þ sx sz Þ þ 3ðt2xy þ t2yz þ t2xz Þ (Bestimmung von s1 ; s2 ; s3 gemß C 1.1.1) und fr den zweiachsigen (ebenen) Spannungszustand qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi sv ¼ s21 þ s22 s1 s2 ¼ s2x þ s2y sx sy þ 3t2 : Erwhnt sei, dass die Hypothese auch durch Gleichsetzen der Oktaederschubspannungen (s. C 1.1.1) herleitbar ist. 1.3.4 Erweiterte Schubspannungshypothese Sie geht nach Mohr von verschiedenen gemessenen Grenzspannungszustnden aus. Die Einhllende der zugehrigen Mohrschen Spannungskreise ist dann die Grenzfestigkeitskurve t ¼ f ðsÞ und stellt eine umfassende Werkstoffcharakteristik dar. Da meist nicht gengend Werkstoffkennwerte (besonders fr rumliche Spannungszustnde) vorliegen, ersetzt man die Einhllende durch drei Geraden (Bild 11).
Bild 11. Grenzfestigkeit nach Mohr
artiger Beanspruchung). Fr den dreiachsigen (rumlichen) Spannungszustand gilt sv ¼ s1 (Bestimmung von s1 nach C 1.1.1) und fr den zweiachsigen (ebenen) Spannungszustand (s. C 1.1.1) qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi sv ¼ s1 ¼ 0,5½sx þ sy þ ðsx sy Þ2 þ 4t2 : 1.3.2 Schubspannungshypothese Fhrt Gleitbruch zum Versagen (z. B. bei statischer Zug- und Druckbeanspruchung verformbarer Werkstoffe und bei Druckbeanspruchung sprder Werkstoffe), so knnen nach Mohr dafr die Hauptschubspannungen als maßgebend angesehen werden. Die Vergleichsspannung sv ist dann fr den dreiachsigen (rumlichen) Spannungszustand sv ¼ 2tmax ¼ s3 s1 (wobei s1 > s2 > s3 , s. Bild 5 b; Bestimmung von s1 und s3 nach C 1.1.1). Fr den zweiachsigen (ebenen) Spannungszustand gilt qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi sv ¼ 2tmax ¼ ðsx sy Þ2 þ 4t2 : 1.3.3 Gestaltnderungsenergiehypothese Die GE-Hypothese, auch v. Mises-Hypothese genannt, vergleicht die zur Gestaltnderung (nicht Volumennderung!) aufgrund von Gleitungen zu Beginn des Fließens erforderli-
1.3.5 Anstrengungsverhltnis nach Bach Da s und t hufig verschiedenen Belastungsfllen (s. E 1.1) unterliegen, wird t auf den Belastungsfall von s umgerechnet. Dazu wird t durch a0 t ersetzt. Das Anstrengungsverhltnis ist a0 ¼ sGrenz =ðjtGrenz Þ. Der Faktor j ergibt sich fr die jeweilige Festigkeitshypothese, wenn s ¼ 0 gesetzt wird, d. h. aus sv ¼ t zu j ¼ 1 fr die Normalspannungshypothese; 2tffiffiffiffiffi zu j ¼ 2 fr die Schubspannungshypothese; sv ¼ p sv ¼ 3t zu j ¼ 1; 73 fr die GE-Hypothese Fr den wichtigen Beanspruchungsfall der gleichzeitigen Biegung und Torsion eines Stabs folgt fr das Anstrengungsverhltnis aus den Grenzspannungen des Werkstoffs Stahl angenhert – bei Biegung wechselnd, Torsion ruhend a0 0,7, – bei Biegung wechselnd, Torsion wechselnd a0 ¼ 1,0, – bei Biegung ruhend, Torsion wechselnd a0 1,5, whrend die Vergleichsspannungen die Form qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 9 sv ¼ 0,5½sb þ s2b þ 4ða0 tt Þ2 ðNormalspannungs-> > > > > > > hypotheseÞ, > > = qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2 2 sv ¼ sb þ 4ða0 tt Þ ðSchubspannungs- > ð24Þ > > > > hypotheseÞ, > > qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi > > ; 2 2 sv ¼ sb þ 3ða0 tt Þ ðGE-HypotheseÞ annehmen.
I2.2
2 Beanspruchung stabfrmiger Bauteile 2.1 Zug- und Druckbeanspruchung 2.1.1 Stbe mit konstantem Querschnitt und konstanter Lngskraft Im Bereich konstanter Lngs- oder Normalkraft FN ¼ F gilt fr Spannung, Dehnung und Verschiebung (Bild 1 a) s ¼ FN =A; e ¼ du=dx ¼ Dl=l ¼ s=E; u(x)=(s/E)x uðlÞ ¼ Dl ¼ el ¼ ðs=EÞl. Das Hookesche Gesetz wird hier und im Folgenden immer als gltig vorausgesetzt. Nach C 1.1.3 ist die Formnderungsarbeit Z W ¼ ð1=2Þ se dV ¼ s2 Al=ð2EÞ ¼ FN2 l=ð2EAÞ: Diese Gleichungen gelten fr Zug- und Druckkrfte. Bei Druckkrften ist der Nachweis gegen Knicken zustzlich erforderlich (s. C 7). 2.1.2 Stbe mit vernderlicher Lngskraft Vernderliche Lngskraft FN tritt z. B. infolge Eigengewicht (Dichte r) auf (Bild 1 a). Fr Querschnitt A ¼ const folgt FN ðxÞ ¼ rgV ¼ rgAðl xÞ, sðxÞ ¼ rgðl xÞ, Z Z Z 1 uðxÞ ¼ du ¼ eðxÞdx ¼ rgðl xÞdx E rg ðlx x2 =2Þ þ C; ¼ E C ¼ 0 aus u(x = 0), d. h. Dl ¼ uðlÞ ¼ rgl2 =ð2EÞ; Formnderungsarbeit W¼
1 2
Z
se dV ¼
1 2
Zl
s2 F2 l A dx ¼ G : E 6 EA
x¼0
2.1.3 Stbe mit vernderlichem Querschnitt Die Lngskraft FN ¼ F sei konstant (Bild 1 b). Z Z F sðxÞ ¼ F=AðxÞ, uðxÞ ¼ eðxÞdx ¼ dx; EAðxÞ Z Zl 1 1 F2 W¼ dx: se dV ¼ EAðxÞ 2 2
Abscherbeanspruchung
2.1.5 Stbe unter Temperatureinfluss Das Hookesche Gesetz Z nimmt die Form eðxÞ ¼ sðxÞ=E þ at Dt an. Hieraus uðxÞ ¼
eðxÞdx bzw. fr s ¼ const: uðlÞ ¼ Dl ¼
ðs=E þ at DtÞl; at Temperaturausdehnungskoeffizient: (Stahl 1;2 105 ; Gusseisen 1;05 105 , Aluminium 2;4 105 , Kupfer 1;65 105 K1 Þ. Wird die Lngsausdehnung behindert (z. B. bei Einspannung zwischen starren Wnden, Festhalten durch den Unterbau einer unendlich langen Eisenbahnschiene), so ergibt sich aus u(l)=0 die zugehrige Spannung. Ist A ¼ const und damit auch s ¼ const lngs des Stabs, so folgt aus Dl ¼ 0 die Wrmespannung s ¼ Eat Dt: Zum Beispiel wird die Fließgrenze fr S 235 mit sF ¼ 240 N=mm2 , E ¼ 2;1 105 N=mm2 und at ¼ 1;2 105 K1 erreicht bei Dt ¼ sF =ðEat Þ ¼ 95;2 K:
2.2 Abscherbeanspruchung Scherbeanspruchung entsteht aufgrund zweier gleich großer, wenig gegeneinander versetzter Krfte in Bolzen, Stiften, Schrauben, Nieten, Schweißnhten usw. (Bild 2 a–d). Dabei sind im Fall von Presspassungen bei Niet-, Stift- und sonstigen Verbindungen die im Niet, Stift usw. auftretenden Biegemomente vernachlssigbar klein, da das umgebende Material die Krmmung der Verbindungselemente verhindert. Es stellt sich ein schwer berechenbarer rumlicher Spannungszustand ein. Bei Bolzen oder Schrauben, die mit Spiel eingebaut werden, ist ein zustzlicher Nachweis auf Biegung erforderlich. Der Nachweis auf Abscheren erfolgt unter Annahme einer gleichmßigen Verteilung der Schubspannungen (die bei Erreichen des vollplastischen Zustands bei zhen Werkstoffen auch vorhanden ist; Bild 2 e): ta ¼ F=ðnmAÞ n ¼ 1; 2 ; 3 . . . ein-, zwei- oder mehrschnittige Verbindung, m ¼ 1; 2; 3 . . . Anzahl der Niete, Schrauben usw. Die zulssige Scherspannung ist im Maschinenbau fr zhe Werkstoffe pffiffiffi ta; zul ¼ sS = 3S mit S 1;5 bei statischer, S 2;0 bei schwellender und wechselnder Beanspruchung.
x¼0
2.1.4 Stbe mit Kerben Hier gelten zunchst die prinzipiellen Ausfhrungen ber Gestaltfestigkeit und Kerbwirkung (s. E 1.5). Nennspannung sn ¼ F=An , max. Spannung smax ¼ ak sn (Werte ak s. VDI 2226, Bilder 7 bis 12). Bei dynamischer Belastung ist die wirksame Spannung smax; wirks: ¼ bk sn . (Werte bk oder Berechnung mit bezogenem Spannungsgeflle s. E 1.5.2).
Bild 1 a, b. Stab mit a konstantem Querschnitt; b vernderlichem Querschnitt
C7
Bild 2 a–e. Abscherbeanspruchungen
C
C8
Festigkeitslehre – 2 Beanspruchung stabfrmiger Bauteile
2.3 Flchenpressung und Lochleibung Zwei gegeneinander gedrckte und einander flchenhaft berhrende Teile stehen unter Flchenpressung (punktfrmige Berhrung s. C 4).
C
2.3.1 Ebene Flchen Die Verteilung der Pressung hngt von der Steifigkeit der einander berhrenden Krper ab. Nherungsweise wird mit dem Mittelwert (Bild 3 a) sp ¼ Fn =A bzw: sp ¼ Fn =Aproj gerechnet. Aproj ist die auf die Senkrechte zur Kraftrichtung projizierte Flche. So gilt fr den Keil nach Bild 3 a sp1 ¼ F1 =A1 ¼ F1 =ðA= sin aÞ und wegen F1 =Fn ¼ sin b= sinða þ bÞ somit sp1 ¼ Fn sin a sin b=½A sinða þ bÞ ¼ Fn =½Aðcot a þ cot bÞ ¼ Fn =ðA1proj þ A2proj Þ ¼ Fn =Aproj ; entsprechend gilt auch sp2 ¼ F2 =A2 ¼ Fn =Aproj : Die zulssige Flchenpressung ist stark vom Belastungsfall (statisch, schwellend, wechselnd) abhngig. Maßgebend ist die Festigkeit des schwcheren Teils. Anhaltswerte fr sp; zul : fr zhe Werkstoffe sp; zul sdF =1;2 bei ruhender und sp; zul sdF =2;0 bei schwellender Beanspruchung, fr sprde Werkstoffe sp; zul sdB =2;0 bei ruhender und sp; zul sdB =3;0 bei schwellender Beanspruchung. Im brigen ist sp; zul von Betriebsbedingungen wie Gleitgeschwindigkeit und Temperatur abhngig (s. G 1.5.2). 2.3.2 Gewlbte Flchen Wellenzapfen. Die ber den Umfang vernderliche Pressung wird rechnerisch ersetzt durch die mittlere Pressung auf die Projektionsflche (Bild 3 b): sp ¼ F=Aproj ¼ F=ðdlÞ sp; zul je nach Betriebsbedingungen (z. B. 2 bis 30 N=mm2 fr große Diesel- bzw. kleine Otto-Motoren, vgl. G 5). Bolzen, Stifte, Niete, Schrauben. Flchenpressung wird bei Nieten und Schrauben auch als Lochleibung bezeichnet. Es gilt (Bild 2 b, c, e), wiederum bezogen auf die Projektionsflche, sp ¼ s1 ¼ F=A ¼ F=ðdsÞ F auf die bertragungsflche A entfallender Kraftanteil,
Bild 3 a, b. Flchenpressung. a Ebene Flchen; b Wellenzapfen
s Dicke des Materials. Im Maschinenbau sp; zul wie bei ebenen Flchen.
2.4 Biegebeanspruchung 2.4.1 Schnittlasten: Normalkraft, Querkraft, Biegemoment Stabfrmige Krper, wie Balken oder Trger mit gerader, gekrmmter oder abgewinkelter Achse, die von Auflagerreaktionen im Gleichgewicht gehalten werden (s. B 1.6), tragen die ußere Belastungen (Einzelkrfte, Streckenlasten, Einzelmomente) durch innere Normal- und Schubspannungen zu den Auflagern hin ab (in Bild 4 a, b fr den ebenen Fall). Die Resultierenden dieser Spannungen ergeben in der Ebene die drei Schnittlasten Mb , FQ , FN ; d. h. ein Biegemoment, dessen Momentenvektor in y-Richtung gerichtet ist, eine Querkraft senkrecht und eine Normal- oder Lngskraft tangential zur Balkenachse. Querkrfte und Biegemomente sind positiv, wenn am linken Schnittufer ihre Vektoren entgegengesetzt zu den positiven Koordinatenrichtungen y und z gerichtet sind; Normalkraft (und Torsionsmoment), wenn ihre Vektoren in positiver Koordinatenrichtung x gerichtet sind. Nach dem Newtonsches Axiom von „actio ¼ reactio“ sind die positiven Schnittlasten am rechten Schnittufer entgegengesetzt zu denen am linken Schnittufer anzusetzen (Bild 4 b). In der Ebene werden die drei Schnittlasten aus den drei Gleichgewichtsbedingungen am freigemachten Teiltrger berechnet: X X X Fiz ¼ 0, Mi ¼ 0: ð1Þ Fix ¼ 0, X In der Regel wird hierbei Mi ¼ 0 bezglich der Schnittstelle gebildet, damit die Unbekannten FQ und FN nicht in diese Gleichung eingehen. Im Raum stehen sechs Gleichgewichtsbedingungen fr sechs Schnittlasten zur Verfgung (s. C 2.4.4). Voraussetzung fr die einfache Berechnung ist die statische Bestimmtheit der Systeme (s. B 1.7). 2.4.2 Schnittlasten am geraden Trger in der Ebene Beispiel: Fr die Kettenradwelle (Bild X 5 a) ist die Querkraft- und Momentenlinie zu ermitteln. – Aus MiB ¼ 0 folgt zunchst FAz ¼ X 17 250 N und aus MiA ¼ 0 die Auflagerkraft FB ¼ 27 750 N. Ein X Schnitt im Bereich II (Bild 5 b) liefert aus Fiz ¼ 0 ¼ FAz F1 FQ die Querkraft FQ ¼ 12 750 N. Durch entsprechende Schnitte folgt im Bereich I der Wert FQ ¼ 17 250 N und im Bereich III der Wert FQ ¼ 27 750 N: Querkraftlinie FQ ðxÞ („Treppenkurve“) s. Bild 5 c. Biegemomente an denXStellen 1 und 2 erhlt man durch Schnitt in diesen Stellen aus Mi1 ¼ 0 ¼ FAz 0;5 m þ Mb1 zu X Mb1 ¼ 8 625 Nm und aus Mi2 ¼ 0 ¼ FAz 0;85 m þ F1 0;35 m þ Mb2 zu Mb2 ¼ 4 162;5 Nm: Die geradlinigen Verbindungen dieser Werte untereinander und mit den Nullstellen an den Auflagern ergeben die Biegemomentenlinie Mb ðxÞ (Bild 5 d).
Bild 4 a, b. Schnittlasten
I2.4
Biegebeanspruchung
C9
wobei FQI ðx ¼ aÞ und MbI ðx ¼ aÞ aus der Berechnung des Abschnitts I bekannt sind. Sind die Streckenlasten konstante oder linear steigende Geraden (Bild 6 b), so gilt z. B. fr Abschnitt II q2 q1 q2 q1 x2 x, FQII ðxÞ ¼ FAz q1 x , ða þ bÞ ða þ bÞ 2 x2 q2 q1 x3 : MbII ðxÞ ¼ FAz ðx aÞ q1 2 ða þ bÞ 6
qðxÞ ¼ q1 þ
Bei linear zunehmender bzw. konstanter Streckenlast sind die Biegemomentenlinien Parabeln 3. bzw. 2. Grades. 2.4.3 Schnittlasten an gekrmmten ebenen Trgern Gekrmmte ebene Trger. Beim geschlitzten Kreisringtrger (Kolbenring) unter konstanter Radialbelastung q (Bild 7 a) liefert ein Schnitt unter dem Winkel j im mitlaufenden Koordinatensystem x, y, z gemß Bild 7 b.
Bild 5 a–d. Kettenradwelle, Schnittlasten
X
Fix ¼ 0 ¼
Zj
qr sinðj yÞdy þ FN ðjÞ,
0
X
FN ðjÞ ¼ qrð1 cos jÞ; Zj Fiz ¼ 0 ¼ qr cosðj yÞdy FQ ðjÞ, 0
FQ ðjÞ ¼ qr sin j; X
Mi ¼ 0 ¼
Zj
qr 2 sinðj yÞdy þ Mb ðjÞ,
0
Mb ðjÞ ¼ qr 2 ð1 cos jÞ: Graphische Darstellung der Schnittlasten s. Bild 7 c. Bild 6 a, b. Trger mit Streckenlasten. a beliebig; b linear
2.4.4 Schnittlasten an rumlichen Trgern Trger mit Streckenlasten (Bild 6). Wie beim Trger mit Einzellasten ist – abgesehen vom Einfeldtrger mit durchgehender Streckenlast – die Einteilung in Abschnitte erforderlich. Legt man in jedem Abschnitt einen Schnitt, so folgt z. B. fr Abschnitt II (Bild 6 a) aus X
Fiz ¼ 0 ¼
Zx
qðxÞdx þ FAz FQII ðxÞ
0
2.4.5 Biegespannungen in geraden Balken ð2Þ
FQII ðxÞ ¼ FAz f ðxÞ und hieraus wegen Mb0 ðxÞ ¼ FQ ðxÞ Z Z MbII ðxÞ ¼ FQII ðxÞdx ¼ FAz x f ðxÞdx þ C:
Bei statischer Bestimmtheit stehen im Raum sechs Gleichgewichtsbedingungen zur Verfgung. Daraus ergeben sich die sechs Schnittlasten FN , FQy , FQz , Mby , Mbz , Mt :
Einfache Biegung. Hierunter versteht man die Wirkung aller Lasten parallel zu einer Querschnittsachse, die gleichzeitig
ð3Þ
Die Konstante C folgt aus MbII ðx ¼ aÞ ¼ MbA ; wobei MbA aus Berechnung des Abschnitts I bekannt ist. Das Biegemoment ist gleich dem Inhalt der Querkraftflche zuzglich dem Anfangswert MbA : Aus Gl. (2) folgt durch Differentiation und anschließende Integration dFQ =dx ¼ FQ0 ðxÞ ¼ Mb00 ðxÞ ¼ qðxÞ, Z FQ ðxÞ ¼ Mb0 ðxÞ ¼ qðxÞdx ¼ f ðxÞ þ C1 , Z Mb ðxÞ ¼ FQ ðxÞdx ¼ gðxÞ þ C1 x þ C2 :
ð4Þ
Gleichung (4) erlaubt anstelle der Gln. (2) und (3) die Querkraft FQ ðxÞ und das Biegemoment Mb ðxÞ zu berechnen. Die Konstanten C1 und C2 folgen aus FQII ðx ¼ aÞ ¼ FQI ðx ¼ aÞ þ FAz und MbII ðx ¼ aÞ ¼ MbI ðx ¼ aÞ,
Bild 7 a–c. Kolbenring, Schnittlasten
C
C 10
C
Festigkeitslehre – 2 Beanspruchung stabfrmiger Bauteile
Hauptachse – s. Gl. (15) – ist. Handelt es sich um die z-Achse, so gibt es infolge der Lasten in z-Richtung nur Biegemomente Mby (Bild 8 a). Unter den Voraussetzungen, dass die Lastebene durch den Schubmittelpunkt M geht (s. C 2.4.6), das Hookesche Gesetz s ¼ Ee gilt und die Querschnitte eben bleiben, d. h. die Verwlbungen der Querschnitte infolge der Schubspannungen vernachlssigbar klein sind (Bernoullische Hypothese), folgt s ¼ Ee ¼ mz
ð5Þ
und damit aus den Gleichgewichtsbedingungen Z Z Z X Fix ¼ 0 ¼ s dA ¼ mz dA, z dA ¼ 0, d. h., die Spannungsnulllinie geht durch den Schwerpunkt, und Z Z Z X Miz ¼ 0 ¼ sy dA ¼ myz dA, yz dA ¼ Iyz ¼ 0, d. h., das biaxiale Flchenmoment Iyz muss Null, bzw. y und z mssen Hauptachsen sein. Ferner gilt Z Z Mby ¼ Mb ¼ sz dA ¼ mz2 dA Z ¼ m z2 dA ¼ mIy ; Iy axiales Flchenmoment 2. Grades. Mit m ¼ Mb =Iy folgt aus Gl. (5) s ¼ ðMb =Iy Þz:
ð6Þ
Die Biegespannungen nehmen also linear mit dem Abstand von der Nulllinie zu. Die Extremalspannungen ergeben sich fr z ¼ e1 und z ¼ e2 (Bild 8 b) zu s1 ¼ Mb =Wy1 und s2 ¼ þMb =Wy2 :
ð7Þ
Wy1 ¼ Wb1 ¼ Iy =e1 und Wy2 ¼ Wb2 ¼ Iy =e2
ð8Þ
sind die (axialen) Widerstandsmomente gegen Biegung (s. Tab. 1). Die absolut grßte Biegespannung folgt fr Wy min zu smax ¼ jMb j=Wy min :
ð9Þ
Bei zur y-Achse symmetrischen Querschnitten ist e1 ¼ e2 und Wy1 ¼ Wy2 ¼ Wy : Flchenmomente 2. Grades. In der allgemeinen Balkenbiegungstheorie werden folgende Flchenmomente 2. Grades bentigt (Bild 9 a): Z Z Z Iy ¼ z2 dA, Iz ¼ y2 dA; Iyz ¼ yz dA; Z Z ð10Þ Ip ¼ r 2 dA ¼ ðy2 þ z2 ÞdA ¼ Iy þ Iz : Die axialen Flchenmomente Iy , Iz und das polare Flchenmoment Ip sind stets positiv, das biaxiale Flchenmoment (Zentrifugalmoment) Iyz kann positiv, negativ oder Null sein.
Bild 9 a–c. Flchenmomente fr a parallele Achsen; b gedrehte Achsen; c Rechteckquerschnitt
Trgheitsradien: qffiffiffiffiffiffiffiffiffi qffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffi iy ¼ Iy =A, iz ¼ Iz =A, ip ¼ Ip =A:
ð11Þ
Stze von Steiner: Fr zueinander parallele Achsensysteme y, z und y; z (Bild 9 a) gilt Z Z Iy ¼ z2 dA ¼ ðz þ aÞ2 dA Z Z Z ð12Þ ¼ z2 dA þ 2a z dA þ a2 dA ¼ Iz þ 2aSy þ a2 A: Wenn die Achsen y und z durch den Schwerpunkt gehen, wird das statische Moment Sy (und ebenso Sz ) zu Null, und es folgen (fr die anderen Flchenmomente analog) die Steinerschen Stze Iy ¼ Iy þ a2 A,
Iz ¼ Iz þ b2 A,
ð13Þ
Iyz ¼ Iyz þ abA, Ip ¼ Ip þ c2 A:
Fr a ¼ b ¼ c ¼ 0 gehen die Achsen y und z durch den Schwerpunkt, und die axialen und polaren Flchenmomente 2. Grades werden zu einem Minimum. Diese Gleichungen dienen zur Berechnung der Flchenmomente zusammengesetzter Querschnitte mit bekannten Einzelflchenmomenten. Drehung des Koordinatensystems. Fr ein gedrehtes Koordinatensystem h, z (Bild 9 b) gilt h ¼ y cos j þ z sin j, z ¼ z cos j y sin j, Z Ih ¼ z2 dA ¼ ðIy þ Iz Þ=2 þ½ðIy Iz Þ=2 cos 2 j Iyz sin 2 j, Z Iz ¼ h2 dA ¼ ðIy þ Iz Þ=2
9 > > > > > > > > > > > > > > =
> > > > > > > > ½ðIy Iz Þ=2 cos 2 j þ Iyz sin 2 j, > > Z > > > ; Ihz ¼ hzdA ¼ ½ðIy Iz Þ=2 sin 2 j þ Iyz cos 2 j: >
ð14Þ
Diese Gleichungen lassen sich in Form des Mohrschen Trgheitskreises graphisch darstellen [1]. Hieraus folgen ferner die von j unabhngigen invarianten Beziehungen 2 2 Ih þ Iz ¼ Iy þ Iz , Ih Iz Ihz ¼ Iy Iz Iyz :
Bild 8 a, b. Biegespannungen
Hauptachsen und Hauptflchenmomente 2. Grades. Achsen, fr die das biaxiale Moment Ihz zu Null wird, heißen Hauptachsen 1 und 2. Ihr Stellungswinkel j0 ergibt sich fr Ihz ¼ 0
I2.4
Biegebeanspruchung
C 11
Tabelle 1. Axiale Flchenmomente 2. Grades und Widerstandsmomente
C
C 12
Festigkeitslehre – 2 Beanspruchung stabfrmiger Bauteile
gemß Gl. (14) aus
zs ¼ð
tan 2 j0 ¼ 2 Iyz =ðIz Iy Þ:
C
ð15Þ
X
zi Ai Þ=A ¼ ð4 230 222,3 þ 3 340 100
7,5 30 70Þ mm3 =7 345 mm2 ¼ 171,4 mm:
Die zugehrigen Hauptflchenmomente I1 und I2 folgen mit j0 aus Gl. (14) oder direkt aus qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2 : I1,2 ¼ ð1=2Þ½Iy þ Iz ðIy Iz Þ2 þ 4 Iyz ð16Þ
Damit ergeben sich die Abstnde ai zu
I1 und I2 sind das grßte und kleinste Flchenmoment 2. Grades eines Querschnitts. Jede Symmetrieachse eines Querschnitts und alle zu ihr senkrechten Achsen sind stets Hauptachsen. Bei Drehung eines Hauptachsensystems um den Winkel b gilt nach Gl. (14) 9 Ih ¼ ðI1 þ I2 Þ=2 þ ½ðI1 I2 Þ=2 cos 2b, > = Iz ¼ ðI1 þ I2 Þ=2 ½ðI1 I2 Þ=2 cos 2b, ð17Þ > ; Ihz ¼ ½ðI1 I2 Þ=2 sin 2b:
Nach den Profiltabellen (s. Anh. C 2 Tab. 7 und Anh. C 2 Tab. 1) ist
Ist fr einen Querschnitt I1 ¼ I2 , so folgt aus Gl. (17) Ihz ¼ 0 unabhngig von b, d. h., smtliche Achsen durch den Bezugspunkt sind Hauptachsen, wobei Ih ¼ Iz ¼ I1 ¼ I2 ¼ const : Die nderung von Ih und Iz gemß Gl. (17) lsst sich graphisch durch die Trgheitsellipse darstellen [1]. Berechnung der Flchenmomente Fr einfache Flchen, deren Berandung mathematisch erfassbar ist, erfolgt die Berechnung durch Integration. Zum Beispiel gilt fr den Rechteckquerschnitt nach Bild 9 c
Iy ¼
þh=2 Z
þh=2
a1 ¼ ð222,3 171,4Þ mm ¼ 50,9 mm, a2 ¼ ð100 171,4Þ mm ¼ 71,4 mm, a3 ¼ ð70 171,4Þ mm ¼ 101,4 mm:
Iy1 ¼ 248 104 mm4 und Iy2 ¼ 2 140 104 mm4 , womit aus Gl. (18) folgt Iy ¼ ½248 104 þ 50,92 4 230 þ 2 140 104 þ 71,42 3 340 7,5 303 =12 101,42 ð7,5 30Þ mm4 ¼ 4 954 104 mm4 : 2. Beispiel: Fr den Winkelquerschnitt nach Bild 10 c sind Iy , Iz , Iyz , I1 , I2 , j0 , i1 , i2 zu berechnen. – Aufteilung in zwei Flchen A1 ¼ 10 100 mm2 ¼ 1 000 mm2 und A2 ¼ 50 20 mm2 ¼ 1 000 mm2 mit a1 ¼ 30 mm, b1 ¼ 10 mm, a2 ¼ 30 mm, b2 ¼ 10 mm ergibt nach Gl. (20) mit Iy ¼ bh3 =12 nach Tab. 1 fr den Rechteckquerschnitt Iy ¼ ð10 1003 =12 þ 302 1 000 þ 50 203 =12 þ 302 1 000Þ mm4 ¼ 266,7 104 mm4 , Iz ¼ ð100 103 =12 þ 102 1 000 þ 20 503 =12 þ 102 1 000Þ mm4 ¼ 41,7 104 mm4 : Fr die Einzelrechtecke ist Iyz ¼ 0, da fr sie y und z Hauptachsen sind. Damit ist nach Gl. (18) X ai bi Ai ¼ ½30 ð10Þ 1 000 þ ð30Þ 10 1 000 mm4 Iyz ¼
bz2 dz ¼ ½bz3 =3h=2 ¼ bh3 =12:
z¼h=2
Tabelle 1 enthlt die Flchenmomente 2. Grades wichtiger Querschnitte (s. Anh. C 2 Tab. 1 bis 7). Fr zusammengesetzte Querschnitte (Bild 10) folgt mit den Steinerschen Stzen nach Gl. (10) X X Iy ¼ ðIyi þ a2i Ai Þ, Iz ¼ ðIzi þ b2i Ai Þ, X ð18Þ Iyz ¼ ðIyz, i þ ai bi Ai Þ: Hohlrume in Flchen (z. B. Flche A4 in Bild 10 a) sind durch negatives I und negatives A zu bercksichtigen. 1. Beispiel: Fr den Querschnitt nach Bild 10 b, bestehend aus Profilen U 240 und I 200 (mit Bohrung d ¼ 30 mm) berechne man die Schwerpunkthhe zs und das Flchenmoment 2. Grades Iy : – Aus Profiltabellen entnimmt man die Flchen A1 ¼ 4 230 mm2 und A2 ¼ 3 340 mm2 , sowie das Maß e1 ¼ 22;3 mm. Dann ergibt sich fr die Schwerpunkthhe gemß B 1.10
Bild 10 a–c. Zusammengesetzte Querschnitte
¼ 60 104 mm4 : Hauptflchenmomente nach Gl. (16) I1,2 ¼ 0,5 ½ð266,7 þ 41,7Þ 104 qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ð266,7 41,7Þ2 108 þ 4 602 108 mm4 ¼ ð154,2 104 127,5 104 Þ mm4 ; I1
¼ 281,7 104 mm4 ; I2 ¼ 26,7 104 mm4 :
Stellungswinkel der Hauptachsen nach Gl. (15) j0 ¼ 0,5 arctan
2 60 104 mm4 ¼ 14,04°: ð41,7 266,7Þ 104 mm4
Trgheitsradien nach Gl. (11) pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi i1 ¼ 281,7 104 =2 000 mm ¼ 37,5 mm; pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi i2 ¼ 26,7 104 =2 000 mm ¼ 11,6 mm:
Schiefe Biegung. Liegt die Lastebene nicht parallel zu einer Hauptachse, bzw. wirken Lasten in Richtung beider Hauptachsen (Bild 11 a, b), so spricht man von schiefer Biegung.
I2.4
Biegebeanspruchung
C 13
Aus der Belastung je Lastebene ergeben sich Biegemomente, deren zugeordnete Vektoren im Sinne einer Rechtsschraube senkrecht zur Lastebene stehen. Sie sind positiv, wenn sie am linken Schnittufer entgegengesetzt zur positiven Koordinatenrichtung gerichtet sind (Bild 11 c, d). Bei nichtsymmetrischen Querschnitten ist die Ermittlung der Biegemomentenvektoren in Richtung der Hauptachsen h, z erforderlich. Sind Mby und Mbz bekannt, so gilt (Bild 12) Mbh ¼ Mby cos j0 þ Mbz sin j0 , Mbz ¼ Mby sin j0 þ Mbz cos j0 :
ð19Þ
Unter Voraussetzung linearen Hookeschen Materialgesetzes s ¼ Ee und Ebenbleiben der Querschnitte gilt fr die Spannungen der Ansatz einer linearen Verteilung s ¼ ah þ bz und damit fr die Biegemomente Z Z Mbh ¼ sz dA ¼ ðahz þ bz2 ÞdA ¼ bIh , Z Z Mbz ¼ þ sh dA ¼ þ ðah2 þ bhzÞdA ¼ aIz
Bild 13 a, b. Spannungen bei a schiefer Biegung; b doppelter Biegung
Die maximale Spannung ergibt sich in jedem Punkt P, der den grßten Abstand von der Nulllinie hat (Bild 13 a). y und z sind dabei mit den Hauptachsen h und z identisch. Doppelte Biegung liegt vor fr den Sonderfall des kreisfrmigen Querschnitts. Da beim Kreis jede Achse Hauptachse ist, qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2 þ M 2 stets in Richtung einer Hauptachse fllt Mb; res ¼ Mby bz (Bild 13 b). Fr die Spannungen und ihre Nulllinie gilt dann
und somit fr die Spannungen s ¼ ðMbh =Ih Þz þ ðMbz =Iz Þh:
C
ð20Þ
Fr die Spannungs-Nulllinie (neutrale Faser) bzw. ihre Steigung folgt aus s ¼ 0
s ¼ ðMb, res =Ih Þz, tan a ¼ Mbz =Mby :
ð22Þ
Die extremalen Biegespannungen ergeben sich fr z= R zu sextr ¼ Mb, res =Wh mit Wh ¼ Ih =R:
ð23Þ
z ¼ ðMbz =Mbh ÞðIh =IzÞh bzw: tan a ¼ ðMbz =Mbh ÞðIh =IzÞ:
ð21Þ
Trger mit gleicher Biegebeanspruchung. Mit dem Ziel, Gewicht zu sparen, erhalten Trger eine Form, bei der an jeder Stelle in den Randfasern die zulssige Biegebeanspruchung vorhanden ist. Tabelle 2 zeigt einige Belastungsflle. Beispiel: Fr die Seilrollenachse nach Bild 14 mit F ¼ 7 500 N, l ¼ 300 mm und d ¼ 50 mm berechne man Mby , Mbz , Mb; res , a und sextr : – Die Momente ergeben sich zu Mby ¼ Mbz ¼ Fl=4 ¼ 562;5 Nm: pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi Also wird Mb; res ¼ 562;52 þ 562;52 Nm ¼ 795;4 Nm, a¼ arctanð562;5=562;5Þ ¼ 45 und mit Wh ¼ pd 3 =32 ¼ 12 272 mm3 dann 2 2 sextr ¼ ð795 400=12 272Þ N=mm ¼ 64;8 N=mm .
Bild 11 a–d. Schiefe Biegung
Bild 14. Welle mit doppelter Biegung
2.4.6 Schubspannungen und Schubmittelpunkt am geraden Trger Schubspannungen. Bei Querkraftbiegung eines Trgers treten in jedem Querschnitt Schubspannungen auf. Ihre Resultierende ist die Querkraft FQ (Bild 15). Die Schubspannungen verlaufen am Rand tangential zur Berandung, da wegen txn ¼ tnx (Satz von den zugeordneten Schubspannungen) bei schubbelastungsfreier Oberflche tnx ¼ txn ¼ 0 gilt. Unter der Annahme, dass alle Schubspannungen einer Hhe z durch denselben Punkt P gehen und die Komponenten txz ber die Breite b(z) konstant sind (Bild 15), folgt aus der Gleichgewichtsbedingung fr ein Trgerelement der Lnge dx wegen tzx ¼ txz (Bild 15) Ze1 X Fix ¼ 0 ¼ txz bðzÞdx þ ð¶s=¶xÞdx dA Bild 12. Momentenvektoren in Hauptachsenrichtungen
z
C 14
Festigkeitslehre – 2 Beanspruchung stabfrmiger Bauteile
Tabelle 2. Trger gleicher Biegebeanspruchung
C
und mit s ¼ ðMb =Iy Þz nach Gl. (6) sowie dMb =dx ¼ FQ , wenn Iy ¼ const ist, txz ¼
FQ Iy bðzÞ
Ze1
z dA ¼
FQ Sy ðzÞ mit Iy bðzÞ
z¼z
Sy ðzÞ ¼
Ze1 z
z dA ¼
ð24Þ
Ze1 zbðzÞdz: z
Sy ist hierbei das statische Moment des ber der Hhe z liegenden Querschnittsteils in bezug auf die y-Achse. Die grßte Schubspannung am Rand (Bild 15) ist dann jeweils txr ¼ txz = cos y. In Wirklichkeit sind allerdings die Schubspannungen txz ber die Breite b infolge der Querdehnung usw. nicht konstant [1, 2]. Im Folgenden werden die Schubspannungsverteilungen fr verschiedene Querschnitte ermittelt.
Bild 15. Schubspannungen bei Querkraftbiegung
Bild 16. Spannungen am Trgerelement
Bild 17 a, b. Schubspannungsverteilung bei a Rechteckquerschnitt; b Kreisquerschnitt
I2.4
Biegebeanspruchung
C 15
Rechteckquerschnitt (Bild 17 a). " # b h2 bh2 z 2 z2 ¼ 1 ; 8 2 4 h=2 z " # 3 FQ z 2 3 FQ 1 , txz ¼ , max t ¼ txz ðz ¼ 0Þ ¼ 2 bh h=2 2 bh
Sy ðzÞ ¼
Zh=2
zb dz ¼
C
txz ðz ¼ h=2Þ ¼ 0: Die Schubspannungen verteilen sich parabolisch ber die Hhe, die maximale Schubspannung ist max t ¼ 1;5 FQ =A ¼ 1;5 tm ; d. h. 50% grßer als bei gleichfrmiger Verteilung. Eine genauere Theorie ergibt eine Zunahme der Schubspannungen am Rand und eine Abnahme in der Mitte. Die maximale Randschubspannung fr z=0 folgt aus max txz ðz ¼ 0Þ ¼ 3FQ mit f gemß f 2A
Bild 18. Schubspannungen in dnnwandigen Profilen
ßenordnungen. Fr Schnitt 4 4 gilt Sy4 ¼ ðb1 =2 yÞ t1 ðb2 þ t1 Þ=2, txy4 ¼ FQ Sy4 =ðIy t1 Þ: txy erreicht sein Maximum fr y ¼ 0: max Sy4 ¼ b1 t1 ðb2 þ t1 Þ=4 ¼ A1 ðb2 þ t1 Þ=4 ¼ Sy1 =2, max txy ¼ FQ Sy1 =ð2Iy t1 Þ ¼ txz2 ðt2 =t1 Þ=2 txz2 =2:
Kreisquerschnitt (Bild 17 b). Mit Sy ðzÞ ¼
Zr
zbðzÞdz, bðzÞ ¼
z
2r cos j, z ¼ r sin j, dz ¼ r cos j dj folgen Sy ðzÞ ¼
Zp=2
p=2
2r 3 sin j cos2 j dj ¼ ½23r 3 cos3 jy
y
¼ 23r 3 cos3 y, txz
txr
FQ 2 4FQ cos2 y r 3 cos3 y ¼ ðp r 4 =4Þ 2r cos y 3 3 p r2 z2 4 FQ ¼ 1 , 3 p r2 r rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi z2ffi 4FQ 4FQ ¼ txz = cos y ¼ cos y ¼ 1 : 3 p r2 3 p r2 r ¼
txz verluft nach einer Parabel ber die Hhe, txr nach einer Ellipse lngs des Rands (Bild 17 b). Fr z ¼ 0 folgt max txz ¼
4 FQ 4 FQ 4 ¼ tm : ¼ 3 p r2 3 A 3
Kreisringquerschnitt. Mit Innen- bzw. Außenradius ri und ra gilt max txz ¼ txz ðz ¼ 0Þ ¼ k
FQ A
mit 2 4 ri þ ri ra þ ra2 k¼ : 3 ri2 þ ra2 Fr dnnwandige Querschnitte wird mit ri ra r der Wert k ¼ 2;0: I-Querschnitt, [-Querschnitt und hnliche dnnwandige Profile (Bild 18). Mit A1 ¼ b1 t1 , A2 ¼ b2 t2 und A ¼ 2A1 þ A2 wird Iy ¼ 2b1 t13 =12 þ 2A1 ðb2 =2 þ t1 =2Þ2 þ t2 b32 =12:
Beim [-Profil wird entsprechend max txy ¼ txz2 ðt2 =t1 Þ txz2 , wenn t2 t1 ist. In der Praxis gengt meist der Nachweis der maximalen Schubspannungen im Steg nach der Nherungsformel max txz ¼ FQ =ASteg : Schubspannungen in Verbindungsmitteln bei zusammengesetzten Trgern. Sollen Profile mittels Gurtplatten oder anderen Profilen verstrkt werden, so sind sie durch Schweißnhte oder Niete bzw. Schrauben miteinander zu verbinden (Bild 19). Fr den Schubfluss T 0 ðxÞ je Lngeneinheit gilt nach Gl. (26): T 0 ðxÞ ¼ tðxÞbðz1 Þ ¼ FQ Sy ðz1 Þ=Iy :
Bild 19. Zusammengesetzte Profile
Hierbei ist Sy ðz1 Þ das statische Moment des ber der Trennflche liegenden Querschnittsteils bezglich der Schwerachse des Gesamtquerschnitts und Iy das axiale Flchenmoment 2. Grades des Gesamtquerschnitts. Die Scherspannungen betragen in den Schweißnhten der Dicke a bzw. in Nieten oder Schrauben mit der Teilung e und der Scherflche A. ta ¼ T 0 =ð2aÞ bzw: ta ¼ T 0 e=ð2AÞ:
Schubmittelpunkt. Voraussetzung fr eine drillungsfreie Querkraftbiegung ist, dass die Lastebene durch den Angriffspunkt der Resultierenden der Schubspannung, d. h. durch den Schubmittelpunkt M, geht (z. B. fr Belastung in Richtung der Hauptachse z durch den Punkt im Abstand yM gemß Bild 20). Berechnung der Koordinaten yM und zM des Schubmittelpunkts: Da das Moment der Schubflusskrfte gleich dem der Querkraft FQz um den Schwerpunkt sein muss, gilt
Sy1 ¼ A1 ðb2 þ t1 Þ=2, txz1 ¼ FQ Sy1 =ðIy b1 Þ; Sy2 ¼ A1 ðb2 þ t1 Þ=2 ¼ Sy1 ,
FQz yM ¼
txz2 ¼ FQ Sy1 =ðIy t2 Þ ¼ txz1 ðb1 =t2 Þ;
Zl
T 0 ðsÞhðsÞds
0
Sy3 ¼ Sy1 þ A2 b2 =8, txz3 ¼ FQ Sy3 =ðIy t2 Þ ¼ max txz : Verlauf der Schubspannungen txz s. Bild 18. Whrend txz in den Flanschen sehr klein ist, erreicht txy dort beachtliche Gr-
ð25Þ
¼
Zl 0
½T 0 ðsÞz cos j ds þ T 0 ðsÞy sin j ds,
C 16
Festigkeitslehre – 2 Beanspruchung stabfrmiger Bauteile
Der Querschnitt ist zur y-Achse symmetrisch, d. h., fr die untere Hlfte ergeben sich analoge Werte. Somit wird 2 11 cm 11Z,5 cm Z 2 yM ¼ 4 34,5 cm2 s1 11,5 cm ds1 þ ð379,5 cm3 Iy 0 0 3
C
þ 23 cm2 s2 1 cm s22 Þ 3,214 cm ds2 5 ¼
2 41 289 cm5 ¼ 7,57 cm: 10 909 cm4
2.4.7 Biegespannungen in stark gekrmmten Trgern Bild 20. Schubmittelpunkt
T 0 ðsÞ ¼ FQz Sy ðsÞ=Iy , Sy ðsÞ ¼
Zs
z dA ¼
0
yM
¼
1 Iy
Zl
Sy ðsÞ hðsÞ ds ¼
1 Iy
0
Zl
Zs zt ds, 0
Sy ðsÞðy sin j þ z cos jÞds:
0
Hierbei ist Sy ðsÞ das statische Moment des ber der Schnittstelle s liegenden Querschnittsteils. Entsprechend ergibt sich bei Kraftwirkung in Richtung der Hauptachse y zM
¼
1 Iz
Zl
Sz ðsÞ hðsÞ ds
0
¼
Sz ðsÞ ¼
1 Iz
Zs 0
Zl
Sz ðsÞðy sin j þ z cos jÞ ds,
0
y dA ¼
Zs y t ds: 0
Hat ein Querschnitt eine Symmetrieachse, so liegt der Schubmittelpunkt auf dieser Achse, hat er zwei Symmetrieachsen, so fllt der Schubmittelpunkt in den Symmetriepunkt, d. h. in den Schwerpunkt. Bei aus zwei Rechtecken zusammengesetzten Querschnitten liegt er im Schnittpunkt der Mittellinien der Rechtecke (Bild 21).
Whrend fr schwach gekrmmte Stbe, d. h. fr R > d, die Formeln der Biegespannungen des geraden Stabs (Gln. (6) bis (9)) gelten, ist fr stark gekrmmte Stbe, d. h. fr R d, die unterschiedliche Lnge der Außen- und Innenfasern zu bercksichtigen. Dies fhrt zu einer hyperbolischen Spannungsverteilung fr s; die Spannungen werden gegenber der linearen Spannungsverteilung außen kleiner und innen grßer. Bei Einwirkung einer Normalkraft FN und eines Biegemoments Mb gilt (Bild 22) unter der Voraussetzung des Ebenbleibens der Querschnitte Dds1 Dds zDdj Ddj z ¼ ¼ e0 þ e0 : eðzÞ ¼ ðR zÞdj dj R z ds1 Hierbei ist e0 ¼ Dds=ds ¼ Dds=ðR djÞ die Dehnung in der Schwerachse. Weiter gilt Ddj z sðzÞ ¼ EeðzÞ ¼ E e0 þ e0 , ð22Þ dj R z d. h., Dehnungen und Biegespannungen verteilen sich nach einem hyperbolischen Gesetz (Bild 22). e0 und Ddj=dj folgen aus Z Z Ddj z FN ¼ sðzÞdA ¼ e0 EA þ E e0 dA, ð27Þ dj Rz Mb ¼
Z
Z Ddj z2 dA: sðzÞz dA ¼ E e0 Rz dj
Z
z dA ¼ kA und Rz Z Z Z z2 Rz z dA ¼ z dA ¼ R dA ¼ RkA Rz Rz Rz
Mit
folgt aus Gl. (28) bzw. (27) Ddj Mb bzw: ¼ ERkA dj FN Ddj FN Mb e0 ¼ e0 þ k¼ EA EA ERA dj e0
Bild 21. Schubmittelpunkt dnnwandiger Querschnitte
Beispiel: [-Profil nach Bild 21. – Lage des Schwerpunkts folgt zu e ¼ 4;214 cm und damit Iy ¼ 10 909 cm4 . Fr den oberen Flansch gilt Sy ðs1 Þ ¼ 3 cm 11;5 cm s1 ¼ 34;5 cm2 s1 ; Sy ðs1 ¼ 11 cmÞ ¼ 379;5 cm3 ; fr den Steg bis zur Mitte gilt Sy ðs2 Þ ¼ 379,5 cm3 þ 2 cm s2 ð11,5 cm s2 =2Þ ¼ 379,5 cm3 þ 23 cm2 s2 1 cm s22 ; Sy ðs2 ¼ 11,5 cmÞ ¼ 511,75 cm3 :
ð28Þ
Bild 22. Biegung des stark gekrmmten Trgers
I2.4 und damit aus Gl. (26) FN Mb 1 z þ 1 sðzÞ ¼ : A RA k Rz
Biegebeanspruchung
C 17
ð29Þ
Die Spannungen in den Randfasern folgen hieraus fr z ¼ ei und z ¼ ea . Die Spannungsnulllinie folgt aus sðzÞ ¼ 0 zu z0 ¼
Fr Mb ¼ FN R wird z0 ¼ 0, d. h., die neutrale Faser liegt in der Schwerachse, wenn die Einzelkraft F ¼ FN im Krmmungsmittelpunkt wirkt. Fr reine Biegung ðFN ¼ 0Þ folgt z0 ¼ kR=ð1 þ kÞ < R, und fr reine Normalkraft ðMb ¼ 0Þ ist z0 ¼ R, d. h., die Nulllinie liegt im Krmmungsmittelpunkt. Formbeiwert k fr verschiedene Querschnitte: Rechteck: Mit y ¼ e=R ¼ h=ð2RÞ gilt k ¼ 1 þ
w 00 ðxÞ
Dreieck (gleichschenklig): Mit y ¼ ei =R ¼ h=ð3RÞ gilt 2 0;33 1þ 2y 0;67 þ 1 : k ¼ 1 þ ln 3y y 1y
ð30Þ
Die Formziffer aki ¼ si =sn ist von Querschnittsform und Krmmung abhngig (Tab. 3). Da die Formziffer von der Querschnittsform nur wenig abhngt, sind diese Werte auch fr andere Querschnittsformen quivalent zu verwenden. 2.4.8 Durchbiegung von Trgern Elastische Linie des geraden Trgers. Unter der Annahme des Ebenbleibens der Querschnitte (Vernachlssigung der Schubspannung) gilt gemß Bild 23 ds1 ds ðr zÞ da r da z ¼ ¼ ds r da r
und hieraus mit dem Hookeschen Gesetz e ¼ s=E sowie der Gl. (6) ð31Þ
d. h., die Krmmung ist proportional dem Biegemoment Mb ðxÞ und umgekehrt proportional zur Biegesteifigkeit EIy ðxÞ. Mit der Krmmungsformel einer Kurve, 00
02
3=2
k ¼ da=ds ¼ w ðxÞ=ð1 þ w ðxÞÞ
¼
Mb ðxÞ : EIy ðxÞ
w 00 ðxÞ ¼ Mb ðxÞ=ðEIy ðxÞÞ:
Die Maximalspannung aus dem Biegemoment tritt stets an der Innenseite des gekrmmten Stabs auf. Der Vergleich mit der Nennspannung sn ¼ Mb =Wyi bei geradliniger Spannungsverteilung liefert
1 Mb ðxÞ k¼ ¼ ; r EIy ðxÞ
ð1 þ w 0 2 ðxÞÞ3=2
Fr kleine Durchbiegungen, d. h. w02 ðxÞ 1, folgt hieraus die linearisierte Differentialgleichung der technischen Balkenbiegungslehre
k y2 =4 þ y4 =8 þ 5y6 =64:
si ¼ max sb ¼ aki sn :
Bild 23. Durchbiegung eines geraden Trgers
(s. www.dubbel.de), folgt aus Gl. (31) die Differentialgleichung der Biegelinie der Balkenachse (Eulersche Elastika)
1 1 þ y y2 y4 y6 ln þ þ : 5 7 2y 1 y 3
Kreis, Ellipse: Mit y ¼ e=R (e Halbachse in Krmmungsebene) gilt
e¼
C
FN R þ Mb kR : ¼ Mb FN R þ Mb 1 þ kþ kR R 1 þ FN R=Mb
ð32Þ
Fr den Sonderfall konstanten axialen Flchenmoments 2. Grades, Iy ðxÞ ¼ I0 , folgt dann durch Integration Z 1 w 0 ðxÞ aðxÞ ¼ Mb ðxÞ dx EI0 ð33 aÞ 1 ¼ f ðxÞ þ C1 , EI0 Z 1 f ðxÞ þ C1 dx EI0 1 ¼ gðxÞ þ C1 x þ C2 : EI0
wðxÞ ¼
ð33 bÞ
Die Konstanten C1 und C2 werden aus den Randbedingungen bestimmt (Bild 24 a, b): fr den beidseitig gelenkig gelagerten Trger wðx ¼ 0Þ ¼ 0 und wðx ¼ lÞ ¼ 0, sowie fr den einseitig eingespannten Trger wðx ¼ 0Þ ¼ 0 und w 0 ðx ¼ 0Þ ¼ 0 (bzw. wðx ¼ lÞ ¼ 0 und w 0 ðx ¼ lÞ ¼ 0 bei rechtsseitiger Einspannung). Nach dieser Methode wurden die Standardflle (Tab. 4) berechnet. Erweiterte Differentialgleichung. Es gilt dMb =dx ¼ FQ ðxÞ und dFQ =dx ¼ qðxÞ. Damit folgt aus Gl. (32) d dMb ¼ FQ ðxÞ, ½EIy ðxÞw 00 ðxÞ ¼ dx dx 2 d2 d M dFQ b ¼ qðxÞ: ½EIy ðxÞw 00 ðxÞ ¼ ¼ dx2 dx2 dx Fr Iy ¼ I0 ¼ const wird EI0 w 0000 ðxÞ ¼ qðxÞ:
Tabelle 3. Formziffern aki
Bild 24 a, b. Randbedingungen
ð34Þ
C 18
Festigkeitslehre – 2 Beanspruchung stabfrmiger Bauteile
Tabelle 4 a. Biegelinien von statisch bestimmten Trgern mit konstantem Querschnitt
C
I2.4
Biegebeanspruchung
C 19
Tabelle 4a. (Fortsetzung)
C
Durch viermalige Integration ergibt sich hieraus Z EI0 w 000 ðxÞ ¼ FQ ðxÞ ¼ qðxÞ dx ¼ f1 ðxÞ þ C1 , Z EI0 w 00 ðxÞ ¼ Mb ðxÞ ¼ FQ ðxÞ dx ¼ f2 ðxÞ þ C1 x þ C2 , Z Mb ðxÞ dx
EI0 w 0 ðxÞ EI0 aðxÞ ¼
¼ f3 ðxÞ þ C1 x2 =2 þ C2 x þ C3 , EI0 wðxÞ ¼ f4 ðxÞ þ C1 x3 =6 þ C2 x2 =2 þ C3 x þ C4 :
9 > > > > > > > > > > > > > > = > > > > > > > > > > > > > > ;
X a¼ ai ¼ a1 þ a2 þ a3 þ . . ., wobei der Index i jeweils einem in Tab. 4 niedergelegten Fall entspricht.
ð35Þ
Beispiel: Trger mit Kragarm (Bild 25). Gegeben sei I1 ¼ 30 cm4 , I2 ¼ 12 cm4 , E ¼ 2;1 105 N=mm2 , l ¼ 600 mm, a ¼ 300 mm und F ¼ 2 kN, gesucht die Durchbiegung des Kragarms. – Nach Bild 25 b gilt f1 ¼ a tan aB1 a aB1 ¼ Ml=ð3EI1 Þ gemß Tab. 4 a, Fall 3 d. Die
C1 . . . C4 werden aus den Randbedingungen gemß Bild 24 a, b bestimmt. Greift am freien Ende des Trgers nach Bild 24 b ein Moment M bzw. eine Kraft F an, so lautet die entsprechende Randbedingung EI0 w 00 ðx ¼ lÞ ¼ M bzw: EI0 w 000 ðx ¼ lÞ ¼ F: Superpositionsmethode. Durch geeignete berlagerung der in Tab. 4 niedergelegten Ergebnisse erhlt man fr Trger mit mehreren Einzellasten sowie XMomenten und Streckenlasten die Verformungen aus w ¼ wi ¼ w1 þ w2 þ w3 þ . . . bzw.
Bild 25 a–c. Superpositionsmethode
C 20
Festigkeitslehre – 2 Beanspruchung stabfrmiger Bauteile
Tabelle 4 b. Biegemomente und Biegelinien von statisch unbestimmten Trgern mit konstantem Querschnitt
C
I2.4
Biegebeanspruchung
C 21
Tabelle 4b. (Fortsetzung)
C
Durchbiegung f2 infolge Kragarmkrmmung (Bild 25 c) folgt aus Tab. 4 a, Fall 6, zu f2 ¼ Fa3 =ð3EI2 Þ. Somit ist f ¼ f1 þ f2 ¼ Fa2 l=ð3EI1 Þ þ Fa3 =ð3EI2 Þ ¼ ð0;057 þ 0;071Þ cm ¼ 0;128 cm.
Durchbiegung bei schiefer Biegung. Sind Mbh ðxÞ und Mbz ðxÞ die Biegemomente um die Hauptachsen h und z (s. C 2.4.5), so ergeben sich die Durchbiegungen uðxÞ und w(x) in Richtung h und z nach einem der angegebenen Verfahren. pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi Die resultierende Verschiebung folgt aus f ðxÞ ¼ u2 þ w2 und stellt eine Raumkurve dar. f(x) steht an jeder Stelle senkrecht zur entsprechenden neutralen Faser [1]. Einfluss der Schubverformungen auf die Biegelinie. Infolge der Querkrfte FQ ergeben sich die ber die Hhe eines Trgers vernderlichen Schubspannungen t nach Gl. (24). Aus dem Hookeschen Gesetz (s. C 1 Gl. (22)) und Bild 26 a folgt fr die Gleitungen g ¼ g1 þ g2 ¼ t=G. Sie sind ebenfalls ber die Hhe vernderlich, d. h., die Querschnitte verwlben sich. Als Nherung dient eine gemittelte Schubspannung t ¼ aFQ =A, fr die der Faktor a aus der Gleichheit der Formnderungsarbeiten am wirklichen und am gemittelten Span-
nungszustand folgt: Z 1 1 FQ dwS ¼ t2 dV, also 2 2G Z FQ Sy 2 1 1 FQ g dx ¼ dA dx, d: h: 2 2G Iy b 2 2 Z FQ t 1 1 FQ Sy 2 a¼ dA FQ ¼ 2G Iy b 2 2 AG G Z 2 Sy und somit a ¼ A dA. Iy b Fr einen Rechteckquerschnitt ergibt sich a=1, 2, fr einen Kreisquerschnitt a ¼ 10=9 1;1. Fr die Grße der Schubdurchsenkung gilt dann (Bild 26 b) dwS =dx ¼ g ¼ t=G ¼ a FQ =ðGAÞ bzw: Z a a wS ðxÞ ¼ FQ ðxÞ dx ¼ Mb ðxÞ þ C: GA GA Zum Beispiel gilt fr einen einseitig (rechts) eingespannten Stab mit einer Einzelkraft am (linken) freien Ende
C 22
Festigkeitslehre – 2 Beanspruchung stabfrmiger Bauteile
C Bild 28 a, b. Satz von Castigliano. a Allgemein; b Viertelkreistrger Bild 26 a, b. Schubdurchsenkung
Mb ðxÞ ¼ Fx und damit wS ðxÞ ¼ ða=GAÞFx þ C. Aus wS ðx ¼ lÞ ¼ 0 folgt C=(a/GA)Fl und somit wS ðxÞ ¼ ða=GAÞ Fðl xÞ bzw. wS ðx ¼ 0Þ ¼ ða=GAÞFl. Der entsprechende Wert aus Biegung ist wðx ¼ 0Þ ¼ Fl3 =ð3EIy Þ. Fr einen Rechteckquerschnitt ergibt sich wS =w ¼ ð0;3 E=GÞ ðh=lÞ2 . Nun ist 0;3 E=G 1 und somit wS =w ðh=lÞ2 . Fr h/l=1/5 wird wS 0;04 w, d. h., die Schubverformungen fr niedrige Trger sind gegenber den Biegeverformungen vernachlssigbar. Durchbiegung schwach gekrmmter Trger. Entsprechend dem Ergebnis beim geraden Trger, s. Gl. (31), wird hier die nderung der Krmmung (Bild 27 a) 1 1 Mb : ¼ EIy r R Hieraus folgt fr die Radialverschiebung w eines ursprnglich kreisfrmigen Trgers [3, 4] die Differentialgleichung d2 w R2 þw ¼ Mb ðjÞ: EIy d j2
ð36Þ
Die Tangentialverschiebung u folgt zu Z uðjÞ ¼ wðjÞdj: Beispiel: Fr den Viertelkreistrger (Bild 28 b) berechne man die Verschiebungen des Kraftangriffspunkts. – Mit Mb ðjÞ ¼ FR cos j erhlt man die Differentialgleichung
2.4.9 Formnderungsarbeit bei Biegung und Energiemethoden zur Berechnung von Einzeldurchbiegungen Formnderungsarbeit.
wðjÞ ¼ C1 sin j þ C2 cos j ðFR3 =2EIy Þ j sin j:
Z
Mb dj ¼
1 2
Z
Mb2 ds: EIy
wF ¼
¶W ¶W ; aM ¼ : ¶F ¶M
Beispiel: Fr den Viertelkreistrger nach Bild 28 b ist die Horizontalverschiebung u des Kraftangriffspunkts zu berechnen. – Mit der Hilfs in Horizontalrichtung (Bild 28 b) gilt fr das Biegemoment kraft F Mb ðjÞ ¼ FR cos j FRð1 sin jÞ sowie fr die Formnderungsarbeit und die Verschiebung W¼
1 2 EIy
Zp=2
½FR cos j FRð1 sin jÞ2 R dj,
0
¶W 1 u ¼ ¼ EIy ¶F
Zp=2
½FR cos j FRð1 sin jÞð1 sin jÞ R2 dj
uðjÞ ¼ ðFR3 =2EIy Þ
¼0 bzw. mit F u¼þ
Mit u(0)=0 wird dann Z
1 EIy
Zp=2
FR cos jð1 sin jÞ R2 dj
0
j sin j dj ¼ ðFR3 =2EIy Þðsin j j cos jÞ
und uðp=2Þ ¼ FR3 =ð2EIy Þ:
Bild 27 a, b. Mohrsches Verfahren, rechnerisch
ð38Þ
Die Ableitung der Formnderungsarbeit nach einer Einzelkraft gibt die Verschiebung in Richtung der Einzelkraft, die Ableitung nach einem Moment ergibt den Drehwinkel an der Stelle des Angriffspunkts. (Sind Verschiebungen an Stellen oder in Richtungen gesucht, an denen keine Einzelkraft wirkt, angebracht und nach Durchfhrung so wird eine Hilfskraft F der Rechnung wieder gleich Null gesetzt; entsprechend bei Drehwinkel und Momenten.)
0
Aus den Randbedingungen w(0)=0 und w 0 ð0Þ ¼ 0 folgen C1 ¼ C2 ¼ 0 und damit wðjÞ ¼ ðFR3 =2EIy Þj sin j mit wðp=2Þ ¼ pFR3 =ð4EIy Þ.
ð37Þ
Satz von Castigliano. Fr Systeme aus Hookeschem Material gilt (Bild 28 a)
w 00 ðjÞ þ wðjÞ ¼ ðFR3 =EIy Þ cos j mit der Lsung
1 2
Wb ¼
¼
p=2 FR3 1 FR3 sin j sin2 j ¼ : 2 EIy 2 EIy 0
Bild 29. Abgesetzte Welle und Biegemomentverlauf
I2.4
C 23
Biegebeanspruchung
Beispiel: abgesetzte Welle (Bild 29). Gesucht ist die Durchbiegung an der Stelle der Krafteinleitung. Gegeben: F ¼ 2000 N, ESt ¼ 2; 1 105 N=mm2 , ‘ ¼ 100 mm, D1 ¼ 20 mm, D2 ¼ 30 mm , D3 ¼ 40 mm. Die Formnderungsarbeit lautet nach Gl. (37): W¼
1 2
Z5‘
C
Mb2 dx: EIy
0
Bercksichtigt man die Symmetrieachse, folgt: 1 5 5 4W ; Wges ¼ 2W ¼ F w x ¼ ‘ ) w x ¼ ‘ ¼ 2 2 2 F 0 Z‘ Z‘ 1 1 1 Wges ¼2 @ ð1Þ2 dx þ ð2Þ2 dx 2E Iy1 Iy2 0 0 1 1=2 ‘ Z 1 C 2 þ ð3Þ dxA: Iy3
Bild 30 a, b. Prinzip der virtuellen Arbeiten
Trger mit EIy ¼ const nur fr das Produkt M b Mb zu bilden und fr die wichtigsten Grundflle in Tab. 5 zusammengestellt.
0
Beispiel: Kragtrger mit Streckenlast (Bild 31). Gesucht sind die Durchbiegung und der Neigungswinkel am freien Ende. – Fr die Durchbiegung folgt nach Tab. 5, Spalte 8, Zeile b mit i ¼ q l2 =2 und k= l
Die Auswertung der Integrale mit Tab. 5 ergibt: 1 1 1 lik Wges ¼ E Iy1 3 1 ‘ þ ð2i1 k1 þ i1 k2 þ i2 k1 þ 2i2 k2 Þ Iy2 6 1 ‘ þ ð2i1 k1 þ i1 k2 þ i2 k1 þ 2i2 k2 Þ : Iy3 6
1f ¼
Zl M b Mb
dx 1 1 q l4 ¼ lik ¼ EIy EIy 4 8 EIy
0
und fr den Neigungswinkel nach Zeile a mit i ¼ ql2 =2 und k ¼ 1 1a ¼
Es folgt mit:
Zl M b Mb
dx 1 1 q l3 ¼ lik ¼ EIy EIy 3 6 EIy
0
1 1 ð1Þ: ‘ ¼ ‘; i ¼ F‘ ¼ k; ð2Þ: ‘ ¼ ‘; i1 ¼ k1 ¼ F‘; k2 ¼ i2 ; 2 2 ‘ 5 ð3Þ: ‘ ¼ ; i1 ¼ k1 ¼ F‘; i2 k2 ¼ F‘: 2 4 5 1 F‘3 1 7 61 1 w x¼ ‘ ¼ þ þ 0;578 mm: 2 6 E Iy1 Iy2 8 Iy3 5 125 F‘3 Wenn Iy1 ¼ Iy2 ¼ Iy3 ¼ Iy ; ist w x ¼ ‘ ¼ (ent2 48 EIy spricht Lastfall 1 in Tab. 4 a). Prinzip der virtuellen Arbeiten. Wird einem elastischen System eine beliebige (virtuelle), d. h. mit den geometrischen Gegebenheiten vertrgliche Verrckung erteilt, so ist im Gleichgewichtsfall die Summe aus ußerer und innerer virtueller Arbeit gleich Null: dW ðaÞ þ dW ðiÞ ¼ 0: Whlt man als ußere Kraft lediglich eine virtuelle Hilfskraft F ¼ 1 und als Verrckung die wirklichen Verschiebungen (Prinzip der virtuellen Krfte) (Bild 30 a), so folgt aus dW ðaÞ ¼ dW ðiÞZ Fw
¼ 1w ¼
M b dj ¼
Z
M b Mb ds: EIy
ð39Þ
Hieraus folgt die Verschiebung w in Richtung der Hilfskraft F ¼ 1: Dabei sind M b die Biegemomente infolge dieser Hilfskraft und Mb die Biegemomente infolge der wirklichen Belastung. Werden als ußere Last ein virtuelles Hilfsmoment M ¼ 1 und als Verrckung wiederum die wirklichen Verschiebungen gewhlt, so gilt (Bild 30 b) Z Z ¼ 1 a ¼ M b dj ¼ M b Mb ds: ð40Þ Ma EIy Hieraus folgt der Drehwinkel an der Angriffsstelle des Hilfsmoments. Die Integrale in den Gln. (39) und (40) sind fr
(vgl. Tab. 4 a, Fall 8).
Prinzip der virtuellen Verrckungen fr schubstarre Biegebalken. Das Prinzip der virtuellen Verrckungen ist quivalent einer Gleichgewichtsaussage. Dazu wird die Biegedifferentialgleichung des Balkens mit einer virtuellen Verschiebung dw multipliziert und ber die Balkenlnge integriert. ‘ Z Z‘ Z‘ 00 M ¼ p dw dx ) M 00 dw dx ¼ p dw dx; 0
0
0
‘ Z ‘ Z‘ ½M 0 dw Mdw0 Mdw00 dx ¼ p dw dx: 0
0
0
Dabei mssen die virtuellen Verrckungen dw geometrisch vertrglich sein, d. h. den Verformungsaussagen db ¼ dw0 , dk ¼ dw00 gengen. Beachtet man weiter, dass auch die wirklichen Zustandsgrßen statisch vertrglich sein mssen M 0 ¼ Q, dann kann geschrieben werden: dWa ¼
Z‘
‘ Z‘ p dw dx þ ½Q dw þ Mdb ¼ dWi ¼ Mdw dx:
0
0
0
In Worten: Wenn die virtuellen Verrckungen dw geometrisch vertrglich sind, oder mit anderen Worten, die verfor-
Bild 31. Verformungen eines Kragtrgers
C 24
Festigkeitslehre – 2 Beanspruchung stabfrmiger Bauteile Z
Tabelle 5. Werte fr
MMds
C
mungsgeometrischen Aussagen erfllen, besagt die vorstehende Gleichung, dass die Arbeit der wirklichen ußeren Krfte (einschließlich der Randkrfte und Momente) an den virtuellen Verrckungen gleich der Arbeit der wirklichen Momente an den virtuellen Krmmungen ist. Mit dem Prinzip der virtuellen Verrckungen lassen sich Zwangskrfte Fz (Federkrfte, Auflagereaktionen) infolge bekannter Verformungszustnde berechnen. Dazu wird eine virtuelle Verrckung dw ¼ 1 an der gewnschten Stelle aufgebracht. Die Z
entstehende ußere Arbeit ist dann dWa ¼ Fz 1 þ
p dw dx
und damit die gesuchte Zwangskraft Fz und die Arbeit der ußeren Lasten. Wenn man in der zugehrigen inneren Arbeit Z dWi ¼
Mdk dx das Elastizittsgesetz M ¼ EIc einsetzt, er-
gibt sich aus der Forderung, ußere gleich innere Arbeit, der Z Z Zusammenhang: Fz ¼ EIk dk dx p dw dx: Wenn die gesuchte Grße ein Moment ist, muss an der betreffenden Stelle analog zu dw ¼ 1 ein Winkel dj ¼ 1 aufgezwungen werden. Es ergibt sich dann das Zwangsmoment plus die ußere Arbeit der Lasten. Beispiel: Fr den in Bild 32 skizzierten Balken ist die Auflagerkraft Az zu berechnen. Es gilt dWA ¼ dWi :
2.5 Torsionsbeanspruchung 2.5.1 Stbe mit Kreisquerschnitt und konstantem Durchmesser Bei der Torsion von Stben mit Kreisquerschnitt tritt keine Verwlbung ein, d. h., die Querschnitte bleiben eben. Ferner bleiben die Radien der Kreisquerschnitte geradlinig, d. h., die Querschnitte verdrehen sich als starres Ganzes. Geradlinige Mantellinien auf der Oberflche werden zu Schraubenlinien, die aber wegen der kleinen Verformungen (Bild 33) als geradlinig aufgefasst werden knnen. Mit g l ¼ j r und dem Hookeschen Gesetz g ¼ t=G ergibt sich t ¼ ðGj=lÞr;
ð41Þ
d. h., die Torsionsspannungen t nehmen linear mit dem Radius r zu (Bild 33). Das Moment aller Torsionsspannungen um den Kreismittelpunkt muss gleich dem Torsionsmoment sein: Mt ¼
Zd=2
t r dA ¼ ðGj=lÞ
0
Ip ¼
Zd=2 0
Zd=2
r 2 dA ¼ ðGj=lÞIp ;
ð42Þ
0
r2 dA ¼
Zd=2
r 2 2p r dr ¼ p d 4 =32:
ð43Þ
0
Ip ist das polare Flchenmoment 2. Grades des Kreisquerschnitts. Aus den Gln. (42) und (41) folgt fr die Torsionsspannungen und mit dem polaren Widerstandsmoment Wp ¼ Ip =ðd=2Þ ¼ p d 3 =16 des Kreisquerschnitts tðrÞ ¼ ðMt =Ip Þr bzw: tmax ¼ ðMt =Ip Þðd=2Þ ¼ Mt =Wp :
ð44Þ
Fr den Verdrehungswinkel und die Drillung (Verdrehung pro Lngeneinheit) gilt nach Gl. (42) j¼
Bild 32. Biegebalken, Krmmungsverlauf infolge F und dw
Mt l j Mt und J ¼ ¼ : GIp l GIp
Bild 33. Torsion eines Stabs mit Kreisquerschnitt
ð45Þ
I2.5 Die Formnderungsarbeit ist 1 1 Mt2 l W ¼ Mt j ¼ : 2 2 GIp
ð46Þ
md ðxÞ dx;
Z dj Mt ðxÞ 1 , jðxÞ ¼ Mt ðxÞ dx, JðxÞ ¼ ¼ dx GIp GIp Z Z 1 1 W¼ Mt ðxÞ dj ¼ Mt2 ðxÞ dx: 2 2 GIp Die Gleichungen gelten auch fr kreisfrmige Hohlquerschnitte mit Ip ¼ pðda4 di4 Þ=32 und Wp ¼ Ip =ðda =2Þ (s. Tab. 6). Beispiel: Fr die Welle nach Bild 35 a mit G ¼ 81 kN=mm2 ; tzul ¼ 12 N=mm2 und Drehzahl n ¼ 1000 1=min sind gesucht: a) das eingeleitete bzw. die abgegebenen Drehmomente, b) die Torsionsmomentenlinie, c) die je Abschnitt erforderlichen Durchmesser, d) Drillung und Drehwinkel je Abschnitt sowie Gesamtdrehwinkel. – a) Das eingeleitete Drehmoment Md1 ergibt sich mit der bertragenen Leistung P1 ¼ 4;4 kW aus P ¼ Md w mit w ¼ 2p n ¼ 2p 16;67 1=s ¼ 104;7 1=s zu Md1 ¼ P1 =w ¼ ð4 400 Nm=sÞ=ð104;7 1=sÞ ¼ 42;0 Nm, die abgenommenen Drehmomente zu Md2 ¼ ð1 470 WÞ=ð104;7 1=sÞ ¼ 14;0 Nm und Md3 ¼ ð2 930 WÞ=ð104;7 1=sÞ ¼ 28;0 Nm: b) Die Torsionsmomente werden damit Mt1;2 ¼ Md1 ¼ 42;0 Nm bzw. Mt2;3 ¼ Md1 Md2 ¼ Md3 ¼ 28;0 Nm (Bild 35 b). c) Die Durchmesser folgen aus Wp; erf ¼ p d3 =16 ¼ Mt =tzul zu d1 ¼ p ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 3 16Mt1;2 =ðptzu1 Þ ¼ 26;1 mm (gewhlt 27 mm) und d2 ¼ 22;8 mm (gewhlt 23 mm). d) Drillung J1;2 ¼ Mt1;2 =ðGIp1 Þ ¼ Mt1;2 =ðGpd14 =32Þ ¼ 0;99 105 1=mm; Verdrehwinkel j1;2 ¼ J1;2 l1;2 ¼ 0;00495 = 0;284; entsprechend J2;3 ¼ 1;26 105 1=mm, j2;3 ¼ 1;26 105 250 ¼ 0;00315= 0;180: Der Gesamtdrehwinkel (Bild 35 c) ist dann j1;3 ¼ j1;2 þ j2;3 ¼ 0;284 þ 0;180 ¼ 0;464:
2.5.2 Stbe mit Kreisquerschnitt und vernderlichem Durchmesser Mit Ip ðxÞ ¼ pd4 ðxÞ=32 gilt fr die Drillung und den Drehwinkel nherungsweise Z Mt ðxÞ Mt ðxÞ JðxÞ ¼ ; jðxÞ ¼ dx: GIp ðxÞ GIp ðxÞ Die Spannungen werden wieder aus tðrÞ ¼ ðMt =Ip Þr bzw. tmax ¼ Mt =Wp berechnet. Bei abgesetzten Wellen treten Spannungsspitzen (Kerbspannungen) auf, die mit der Formzahl ak gemß t ¼ ak Mt =Wp bercksichtigt werden (s. C 2.1.4).
Bild 35 a–c. Torsion einer Welle
C 25
2.5.3 Dnnwandige Hohlquerschnitte (Bredtsche Formeln)
Wirken am StabZ kontinuierlich verteilte Drehmomente md ðxÞ; so gilt Mt ðxÞ ¼
Torsionsbeanspruchung
Unter der Annahme, dass die Torsionsspannung t ber die Wanddicke t konstant ist, ergibt sich aus dem Gleichgewicht ¶ am Element in x-Richtung t t dx þ t t dx þ ðt t dxÞds ¼ 0; ¶s also t t ¼ T ¼ const, d. h., der Schubfluss T ist lngs des Umfangs konstant (Bild 34). Der Zusammenhang zwischen Torsionsspannung und Torsionsmoment folgt aus Mt ¼ I I t t h ds ¼ t t h ds ¼ t t 2Am und liefert t ¼ Mt =ð2Am tÞ ð1: Bredtsche FormelÞ: Am ist hierbei die von der Mittellinie eingeschlossene Flche des Hohlquerschnitts. Fr den Verdrehungswinkel gilt j¼
Mt l 4A2 mit It ¼ I m : ds GIt t ðsÞ
It ist das Torsionsflchenmoment (2. Bredtsche Formel). Bei der Verdrehung bleibt der Querschnitt nicht eben, sondern es tritt eine Verwlbung in x-Richtung (Lngsrichtung) auf. Die Bredtschen Formeln gelten nur fr unbehinderte Verwlbung, bei der die Drehachse mit dem Schubmittelpunkt (s. C 2.4.6) zusammenfllt. Bei behinderter Verwlbung treten zustzlich Normalspannungen s und damit vernderte Schubspannungen und Drehwinkel auf (s. C 2.5.5). 2.5.4 Stbe mit beliebigem Querschnitt Hier treten bei Verdrehung grundstzlich Verwlbungen des Querschnitts auf. Im Fall unbehinderter Verwlbung gilt die Theorie von de Saint-Ve´nant [4]. Die Lsung des Problems wird auf eine Verwlbungsfunktion y(y, z) oder eine Spannungsfunktion Y(y, z) zurckgefhrt, wobei y(y, z) die Potentialgleichung Dy ¼ 0 bzw. Y(y, z) die Poissonsche Gleichung DY ¼ 1 befriedigen muss. Exakte Lsungen liegen nur fr wenige Querschnitte (z. B. Ellipse, Dreieck, Rechteck) vor. Fr Verdrehungswinkel und maximale Schubspannung gilt j¼
Mt l Mt ; tmax ¼ : Wt GIt
ð47Þ
Hierbei ist It das Torsionsflchenmoment. Es ist Z Z ¶y ¶y It ¼ y2 þ z2 þ y z dA ¼ 4 Yðy; zÞ dA; ¶z ¶y d. h., It ist proportional dem Volumen des ber dem Querschnitt aufgewlbten Spannungshgels. Wt ist das Torsionswiderstandsmoment. Es gilt ¶Y Wt ¼ I t 2 ; ¶n max
Bild 34. Torsion eines Stabs mit dnnwandigem Hohlquerschnitt
C
C 26
Festigkeitslehre – 2 Beanspruchung stabfrmiger Bauteile
Tabelle 6. Torsionsflchenmomente It und -widerstandsmomente Wt
C
I2.5
Torsionsbeanspruchung
C 27
Tabelle 6. (Fortsetzung)
C
wobei ð¶Y=¶nÞmax das grßte vorhandene Geflle des Spannungshgels ist. Senkrecht auf der dazugehrigen Schnittebene durch den Spannungshgel steht dann die entsprechende Schubspannung (Bild 36 a). Ergebnisse fr It und Wt s. Tab. 6. Die Abschtzung der Lage der grßten Schubspannungen bzw. die experimentelle Ermittlung der Schubspannungen erlauben folgende Gleichnisse:
Prandtlsches Seifenhautgleichnis. Da die Differentialgleichungen fr die Spannungsfunktion und eine unter berdruck stehende Seifenhaut quivalent sind und auch die Randbedingungen mit Y ¼ 0 bzw. w ¼ 0 bereinstimmen, entspricht das Geflle der ber einem Querschnitt gespannten Seifenhaut bzw. die Dichte der Hhenlinien der Grße der Schubspannungen, deren zugeordnete Richtung senkrecht zum Geflle steht (Bild 36 b).
Bild 36 a–c. Beliebiger Querschnitt. a Torsionsfunktion; b Seifenhautgleichnis; c Strmungsgleichnis
C 28
C
Festigkeitslehre – 2 Beanspruchung stabfrmiger Bauteile
Strmungsgleichnis. Aufgrund der Analogien der Differentialgleichungen entspricht der Stromlinienverlauf einer Potentialstrmung konstanter Zirkulation in einem Gefß gleichen Querschnitts wie dem des tordierten Stabs der Richtung der resultierenden Schubspannung. Die Dichte der Stromlinien ist dabei ein Maß fr die Grße der Schubspannungen (Bild 36 c). 2.5.5 Wlbkrafttorsion Ist bei Stben nach C 2.5.3 und C 2.5.4 die Verwlbung in irgendeinem Querschnitt (z. B. durch Einspannung) behindert, so treten in Lngsrichtung Normalspannungen sx und damit verbunden zustzlich Schubspannungen txy und txz auf. Der Drehwinkel wird kleiner als bei wlbunbehinderter Torsion. Fr dnnwandige offene bzw. einfach und mehrfach geschlossene Querschnitte ist das Problem weitgehend gelst [5]. Bemerkt sei, dass u. a. die Querschnitte nach Bild 37, d. h. alle Kreistangentenpolygone konstanter Wanddicke und alle sternfrmigen Querschnitte, wlbfrei sind, also eben bleiben, sodass keine Wlbkrafttorsion auftritt. Fr Vollquerschnitte liegen nur fr wenige Flle Nherungslsungen vor [4], die Wirkung der Wlbbehinderung kann hier jedoch meist vernachlssigt werden.
2.6 Zusammengesetzte Beanspruchung 2.6.1 Biegung und Lngskraft In Bild 38 a ist ein abgewinkelter Trger dargestellt, dessen vertikaler Teil durch Lngs-(Normal-)krfte und Biegemomente beansprucht wird, wie der Verlauf der Schnittlasten nach Bild 38 b–d zeigt. Bei Biegung um eine Querschnittshauptachse gilt fr die Normalspannung bzw. fr die extremalen Spannungen in den Randfasern (Bild 38 a) s
¼ sN þ sM ¼ FN =A Mb z=Iy bzw:
s1;2 ¼ FN =A Mb =Wy1;2 :
ð48Þ
Die Lage der Nulllinie folgt aus dieser Gleichung mit s ¼ 0 zu z0 ¼ FN Iy =ðMb AÞ: Im Fall schiefer Biegung, d. h. Belastung in beiden Hauptachsenebenen, gilt mit Gl. (20) fr Spannung und Nullinie
Bild 37. Wlbfreie Querschnitte
9 FN Mby Mbz > zþ y> A Iy Iz = : Mby Iz FN Iz > > ; y¼ z Mbz Iy Mbz A
s¼
ð49Þ
Die extremalen Spannungen treten in den senkrecht zur Nullinie an weitest entfernt liegenden Punkten mit den Koordinaten ðy1 ; z1 Þ und ðy2 ; z2 Þ auf, diese werden am einfachsten graphisch-rechnerisch ermittelt. Kern eines Querschnitts. Sollen die Spannungen im Querschnitt einerlei Vorzeichens, d. h. im Grenzfall am Rand null sein, so muss die Kraft F (Bild 38 a) im Fall einfacher Biegung mit Lngskraft und Mb ¼ Fa gemß Gl. (48) in einer Entfernung a1;2 % Iy =ðA e1;2 Þ ¼ Wy =A angreifen. Bei schiefer Biegung mit Lngskraft muss sie innerhalb des Kerns (Bild 39) liegen. Bestimmung des Kerns [6]. 2.6.2 Biegung und Schub Biegung und Schub treten in der Regel in den meisten Querschnitten von Trgern, Wellen, Achsen usw. gleichzeitig auf (ebener Spannungszustand). Da die Biegenormalspannungen s am Rand extremal, dort aber die Schubspannungen t null sind (Bild 40 a), muss die Vergleichsspannung sV in verschiedenen Hhen nach einer der Formeln gemß C 1.3 ermittelt werden. s und t ergeben sich aus den Gln. (6) und (24). Zum Beispiel sei fr einen I-Querschnitt sV am oberen Rand, am bergang zwischen Flansch und Steg sowie in der Mitte zu berechnen: Nach der GE-Hypothese (s. C 1.3.3) ergibt sich pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi dann sV ¼ sRand bzw. sV ¼ s2 þ 3t2 bzw. sV ¼ 1;73 tMitte ; und es muss max sV % szul sein. Meist ist die genaue Ermittlung von sV jedoch entbehrlich, und es werden Normal- und Schubspannungen getrennt ermittelt und mit szul bzw. tzul verglichen. Bei langen Trgern ðl ^ 4 . . . 5hÞ sind nur noch die Normalspannungen, bei kurzen Trgern (l h) nur noch die Schubspannungen maßgebend. 2.6.3 Biegung und Torsion Bei gleichzeitiger Wirkung von Biegenormalspannungen s und Torsionsspannungen t (Bild 40 b) liegt ein ebener Spannungszustand vor. Die Extremalwerte von s und t treten in der Randfaser auf. Sie werden nach den Gln. (7) und (44) bzw. (47) berechnet. Man ermittelt damit die Vergleichsspannung sV nach einer der Hypothesen gemß C 1.3. Beispiel: Die Welle nach Bild 35 a bzw. zugehrigem Beispiel habe im Bereich 1 . . . 2 ein grßtes Biegemoment Mb ¼ 75 Nm zu bertragen. Man berechne sV . – Mit s ¼ Mb =Wy und t ¼ Mt =Wp sowie Wy ¼ p d3 =32 und Wp ¼ 2Wy ¼ p d3 =16 folgt aus C 1 Gl. (24) fr sV nach der GE-Hypothese qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi sV ¼ Mb2 þ 0;75 a20 Mt2 =Wy ¼ MV =Wy : ð50Þ Bei wechselnder Belastung fr Biegung und schwellender fr Torsion ist a0 0;85: Fr d ¼ 27 mm wird Wy ¼ p d 3 =32 ¼ 1 932 mm3 und pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi sV ¼ 75 0002 þ 0;75 0;852 42 0002 Nmm=1 932 mm3 ¼ 42 N=mm2 :
Bild 38 a–d. Biegung und Lngskraft
Bild 39. Kern des Querschnitts
I2.7
Statisch unbestimmte Systeme
C 29
drei bzw. im Raum durch mehr als sechs Auflagerreaktionen abgesttzt werden. Ein n-fach abgesttztes System ist in der Ebene m ¼ ðn 3Þ-fach, im Raum m ¼ ðn 6Þ-fach ußerlich statisch unbestimmt. Ein geschlossener Rahmen ist als ebenes System (Bild 41 a) 3fach innerlich, als rumliches System (Bild 41 b) 6fach innerlich statisch unbestimmt. Die wichtigste Methode zur Berechnung statisch unbestimmter Systeme ist das Kraftgrßenverfahren. Das System wird durch Entfernen von Auflagerreaktionen (Krften oder Momenten) oder durch Schnittfhrung z. B. nach Bild 42 auf ein statisch bestimmtes Grundsystem zurckgefhrt (zu jedem unbestimmten System gibt es mehrere mgliche Grundsysteme, von denen eines auszuwhlen ist). Die entfernten Grßen bezeichnet man als statisch Unbestimmte X1 ; X2 . . . Xm : Der Lsung liegt folgendes Superpositionsverfahren zugrunde: 1. Berechnung der Verformungsdifferenzen d10 ; d20 ; d30 . . . zwischen beiden Schnittufern am Grundsystem in Richtung von X1 ; X2 ; X3 . . . durch die ußere Belastung (0). (Die Verformungen sind in Richtung der statisch unbestimmten Grßen positiv.) 2. Berechnung der Verformungsdifferenzen dik ði; k ¼ 1; 2; 3 . . .Þ am Grundsystem, wobei i die Richtung von X1 ; X2 ; X3 . . . und k ¼ 1; 2; 3 . . . die Belastung X1 ¼ 1, X2 ¼ 1, X3 ¼ 1 . . . kennzeichnet. 3. Am wirklichen System mssen die Verformungsdifferenzen null sein, d. h., bei z. B. drei Unbekannten gilt 9 X1 d11 þ X2 d12 þ X3 d13 þ d10 ¼ 0; = X1 d21 þ X2 d22 þ X3 d23 þ d20 ¼ 0; ð51Þ ; X1 d31 þ X2 d32 þ X3 d33 þ d30 ¼ 0: Bild 40 a–d. Zusammengesetzte Beanspruchung. a Biegung und Schub; b Biegung und Torsion; c Lngskraft und Torsion; d Schub und Torsion
2.6.4 Lngskraft und Torsion Diese z. B. bei Dehnschrauben und Spindeln vorkommende Beanspruchung durch s und t entspricht einem ebenen Spannungszustand (Bild 40 c). Die Extremalspannungen treten in der Randfaser auf, und dort wird die Vergleichsspannung sV nach einer der Hypothesen gemß C 1.3 berechnet. 2.6.5 Schub und Torsion Diese z. B. am kurzen Wellenzapfen auftretende Beanspruchung (Bild 40 d) liefert lediglich eine resultierende maximale Schubspannung mit tQ nach Gl. (24) und tt nach den Gln. (44) bzw. (47): im Punkt A im Punkt B im Punkt C
tres ¼ tt , tres ¼ tQ tt , tres ¼ tQ þ tt :
Aus diesem linearen Gleichungssystem berechnet man die drei Unbekannten X1 ; X2 ; X3 (beim m-fach unbestimmten System die Unbekannten X1 ; . . . ; Xm ). 4. Nach berlagerung der ußeren Lasten und der statisch Unbestimmten am Grundsystem berechnet man die endgltigen Auflagerreaktionen, Biegemomente usw. Zu bemerken ist noch, dass stets dik ¼ dki gilt, wenn i 6¼ k (Satz von Maxwell), wodurch die Anzahl der zu berechnenden dik erheblich reduziert wird. Die Verformungsgrßen werden nach einem der in C 2.4.8 und C 2.4.9 angegebenen Verfahren berechnet. In einfachen, anschaulichen Fllen verwendet man die Ergebnisse nach Tab. 4 a, bei komplizierten, unanschaulichen Fllen die Methoden nach C 2.4.9. Letztere haben den Vorteil, dass sie automatisch auch die richtigen Vorzeichen der dik -Glieder liefern. Beispiel: Berechnung der beiden statisch Unbestimmten am beidseitig eingespannten Trger (Bild 43 a). – Als statisch bestimmtes Grundsystem wird der einseitig eingespannte Trger gewhlt (Bild 43 b). Die Ermittlung der Verformungsgrßen dik soll auf zwei Wegen, nmlich anschaulich nach Tab. 4 a und allgemein mit dem Prinzip der virtuellen Arbeiten nach C 2.4.9 erfolgen. Nach Tab. 4 a
Die Umrechnung z. B. nach der GE-Hypothese auf sV ergibt sV ¼ 1;73 a0 tres : 2.6.6 Biegung mit Lngskraft sowie Schub und Torsion In diesem Fall ergibt sich fr die Punkte A, B, C nach Bild 40 d sA ¼ sN þ sM , tA ¼ tt ; sB ¼ sN , tB ¼ tQ tt ; sC ¼ sN , tC ¼ tQ þ tt : Dabei bilden sA , tA usw. jeweils einen ebenen Spannungszustand und sind nach C 1.3 zur Vergleichsspannung sV zusammenzufassen.
2.7 Statisch unbestimmte Systeme Man unterscheidet ußerlich und innerlich statisch unbestimmte Systeme, wobei ein System auch gleichzeitig ußerlich und innerlich unbestimmt sein kann. ußerlich statisch unbestimmt sind Systeme, die in der Ebene durch mehr als
Bild 41. Geschlossener Rahmen. a eben; b rumlich
C
C 30
Festigkeitslehre – 3 Elastizittstheorie
C Bild 42. Kraftgrßenmethode
Bild 43 a–e. Beidseitig eingespannter Trger wird (Bild 43 c–e) d10 ¼ f10 ¼ ql4 =ð8 EIy Þ,
d20 ¼ a20 ¼ q l3 =ð6 EIy Þ,
d11 ¼ f11 ¼ l3 =ð3 EIy Þ,
d21 ¼ a21 ¼ l2 =ð2 EIy Þ ¼ d12 ,
d22 ¼ a22 ¼ l=ðEIy Þ: Mit dem Prinzip der virtuellen Krfte gemß den Gln. (39) und (40) sowie Tab. 5 folgen Z d10 ¼ M1 M0 dx=ðEIy Þ ¼ lik=ð4 EIy Þ ¼ ql4 =ð8 EIy Þ, d20 ¼ d11 ¼
Z Z
M2 M0 dx=ðEIy Þ ¼ lik=ð3 EIy Þ ¼ ql3 =ð6 EIy Þ,
d22 ¼
X1 ¼ ð d10 d22 þ d20 d12 Þ=ðd11 d22 d212 Þ ¼ q l=2, X2 ¼ ð d11 d20 þ d21 d10 Þ=ðd11 d22 d212 Þ ¼ q l2 =12: Anschließend werden am Grundsystem infolge ußerer Last sowie infolge X1 und X2 die endgltigen Auflagerreaktionen zu FA ¼ ql X1 ¼ ql=2 ¼ FB ; MEA ¼ ql2 =2 þ X1 l þ X2 ¼ ql2 =12 ¼ MEB und das maximale Feldmoment zu MF ¼ Mb ðl=2Þ ¼ ql2 =24 berechnet.
Die Ergebnisse fr einfache statisch unbestimmte Trger sind in Tab. 4 b zusammengefasst.
M1 M1 dx=ðEIy Þ ¼ lik=ð3 EIy Þ ¼ l3 =ð3 EIy Þ,
d21 ¼ d12 ¼ Z
Beide Verfahren ergeben also die gleichen Verformungen. Aus den zwei linearen Gleichungen, entsprechend Gl. (51), folgen
Z
M1 M2 dx=ðEIy Þ ¼ lik=ð2 EIy Þ ¼ l2 =ð2 EIy Þ,
M2 M2 dx=ðEIy Þ ¼ lik=ðEIy Þ ¼ l=ðEIy Þ:
3 Elastizittstheorie 3.1 Allgemeines 9 ex ¼ ½sx vðsy þ sz Þ=E; ey ¼ ½sy vðsx þ sz Þ=E; > = ez ¼ ½sz vðsx þ sy Þ=E; ð2Þ > ; gxy ¼ txy =G; gxz ¼ txz =G; gyz ¼ tyz =G:
Aufgabe der Elastizittstheorie ist es, den Spannungs- und Verformungszustand eines Krpers unter Beachtung der gegebenen Randbedingungen zu berechnen, d. h. die Grßen sx ; sy ; sz ; txy ; txz ; tyz ; ex ; ey ; ez ; gxy ; gxz ; gyz ; u; u; w zu ermitteln. Fr diese 15 Unbekannten stehen zunchst die Gleichungen C 1 Gl. (12) und C 1 Gl. (13) zur Verfgung. Hinzu kommen drei Gleichgewichtsbedingungen (Bild 1) mit den Volumenkrften X , Y, Z. 9 ¶sx ¶tyx tzx > þ þ þ X ¼ 0; > > > ¶x ¶y ¶z > > = ¶txy ¶sy ¶tzy ð1Þ þ þ þ Y ¼ 0; > ¶x ¶y ¶z > > > > ¶txz ¶tyz ¶sz > þ þ þ Z ¼ 0; ; ¶x ¶u ¶z
Damit stehen 15 Gleichungen fr 15 Unbekannte zur Verfgung. Eliminiert man aus ihnen alle Spannungen, so erhlt man drei partielle Differentialgleichungen fr die unbekannten Verschiebungen: 9 1 ¶e > G Du þ þ X ¼ 0, > > > 1 2v ¶x > > > = 1 ¶e ð3Þ G Du þ þ Y ¼ 0, > 1 2v ¶y > > > > 1 ¶e > ; G Dw þ þZ ¼0 > 1 2v ¶z
sowie fr isotrope Krper die sechs verallgemeinerten Hookeschen Gesetze
mit Du ¼ ¶2 u=¶x2 þ ¶2 u=¶y2 þ ¶2 u=¶z2 usw. und e ¼ ex þ ey þ ez ¼ ¶u=¶x þ ¶u=¶y þ ¶w=¶z.
I3.2
Rotationssymmetrischer Spannungszustand
C 31
Die Hookeschen Gesetze haben die Form er ¼ ¶u=¶r ¼ ½sr vðst þ sz Þ=E, et ¼ u=r ¼ ½st vðsr þ sz Þ=E, ez ¼ ¶w=¶z ¼ ½sz vðsr þ st Þ=E, grz ¼ ¶u=¶z þ ¶w=¶r ¼ t=G ¼ 2ð1 þ vÞ t=E:
9 > > > = > > > ;
ð6Þ
Ihre Auflsung nach den Spannungen liefert u 9 ¶u v v > > sr ¼ 2G þ e , st ¼ 2G þ e ,> ¶r 1 2 v r 1 2v = ð7Þ > ¶w v ¶u ¶w > > þ e , t ¼G þ sz ¼ 2G , ; ¶z 1 2 v ¶z ¶r
Bild 1. Gleichgewicht am Element
wobei Die Navierschen Gln. (3) eignen sich zur Lsung von Problemen, bei denen als Randbedingungen Verschiebungen vorgegeben sind. Eliminiert man aus den zitierten 15 Gleichungen alle Verschiebungen und deren Ableitungen, so bleiben sechs Gleichungen fr die unbekannten Spannungen: 1 ¶2 s ¶X v ¶X ¶Y ¶Z þ2 þ þ þ Dsx þ ¼ 0 ð4 aÞ 2 1 þ v ¶x ¶x 1 v ¶x ¶y ¶z (entsprechend fr die y- und z-Richtung) und Dtxy þ
1 ¶2 s ¶X ¶Y þ þ ¼0 1 þ v ¶x ¶y ¶y ¶x
ð4 bÞ
(entsprechend fr die y- und z-Richtung). Hierbei ist s ¼ sx þ sy þ sz . Die Beltramischen Gln. (4) eignen sich zur Lsung von Problemen, bei denen als Randbedingungen Spannungen vorgegeben sind. Bei gemischten Randbedingungen sind beide Gleichungssysteme zu benutzen. Lsungen der Differentialgleichungen (3) und (4) liegen im Wesentlichen fr rotationssymmetrische und ebene Probleme vor.
3.2 Rotationssymmetrischer Spannungszustand Setzt man Symmetrie zur z-Achse voraus, so treten lediglich die Spannungen sr ; st ; sz ; trz ¼ tzr ¼ t auf (Bild 2). Die Gleichgewichtsbedingungen in r- und z-Richtung lauten 9 ¶ ¶ > ðrsr Þ þ ðr tÞ st þ rR ¼ 0, > = ¶r ¶z ð5Þ ¶ ¶ > > ; ðr tÞ þ ðrsz Þ þ rZ ¼ 0: ¶r ¶z
e ¼ er þ et þ ez ¼
¶u u ¶w þ þ : ¶r r ¶z
ð8Þ
Wird die Lovesche Verschiebungsfunktion F eingefhrt, so muss sie der Bipotentialgleichung 2 2 ¶ ¶2 1 ¶ ¶ F ¶2 F 1 ¶F þ þ þ 2þ ¼ DDF ¼ 0 ð9Þ ¶z2 ¶r 2 r ¶r ¶z2 ¶r r ¶r gengen. Lsungen der Bipotentialgleichung sind z. B. pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi F ¼ r2 ; ln r; r 2 ln r; z, z2 und r 2 þ z2 sowie Linearkombinationen hiervon [1], [3]. Die Verschiebungen und Spannungen folgen dann aus 9 1 ¶2 F > > > , u ¼ > > 1 2v ¶r ¶z > > > > 2 > > 2ð1 vÞ 1 ¶ F > > w ¼ , DF > 2 > 1 2v 1 2v ¶z > > > > 2 > > 2 Gv ¶ 1¶ F > > , sr ¼ DF = 1 2 v ¶z v ¶r 2 ð10Þ 2 2ð2 vÞ G ¶ 1 ¶ F > > > > sz ¼ , DF > 1 2 v ¶z 2 v ¶z2 > > > > > > 2 Gv ¶ 1 1 ¶F > > st ¼ DF , > > > 1 2 v ¶z v r ¶r > > > > 2ð1 vÞ G ¶ 1 ¶2 F > > DF :> t ¼ ; 2 1 2 v ¶r 1 v ¶z Beispiel: Einzelkraft auf Halbraum (Formeln von Boussinesq) Bild 3. – Die Randbedingungen lauten sz ðz ¼ 0; r 6¼ 0Þ ¼ 0; tðz ¼ 0; r 6¼ 0Þ ¼ 0: pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi Mit dem Ansatz F ¼ C1 R þ C2 z lnðz þ RÞ, wobei R ¼ r 2 þ z2 ist, folgt aus den Gln. (10) 2v z 3 z3 sz ¼ 2G C1 þ C2 ðC1 þ C2 Þ 5 und 1 2v R3 1 2v R 2v r 3 r z2 t ¼ 2G C1 þ C2 ðC1 þ C2 Þ 5 : R 1 2v R3 1 2v Whrend die erste Randbedingung automatisch befriedigt ist, folgt 1 2v 3G z3 . C1 und damit sz ¼ C1 aus der zweiten C2 ¼ 2v vð1 2 vÞR5
Bild 2. Rotationssymmetrischer Spannungszustand
Bild 3. Einzelkraft auf Halbraum
C
C 32
Festigkeitslehre – 3 Elastizittstheorie
Aus F ¼
Z1
sz 2 p r dr ergibt sich dann C1 ¼ F vð1 2 vÞ=ð2 p GÞ
r¼0
C
und damit aus den Gln. (10) 9 F rz r > > > ð1 2 vÞ , u ¼ > > 4 p G R3 Rðz þ RÞ > > > > > F 1 z2 > > > w ¼ 2ð1 vÞ þ 3 , = 4pG R R 3 2 > 3F z F 1 zr > , sr ¼ sz ¼ ð1 2vÞ 3 5 ,> > > 2 p R5 2p Rðz þ RÞ R > > > > > F z 1 3F r z2 > > > st ¼ : ð1 2 vÞ 3 , t¼ ; 2p R Rðz þ RÞ 2 p R5
ð11Þ
Wegen sz =t ¼ z=r lassen sich sz und t zum Spannungsvektor pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi sR ¼ s2z þ t2 ¼ 3Fz2 =ð2pR4 Þ zusammenfassen, der stets in Richtung R zeigt. Fr sr ergeben sich gemß sr ¼ 0 Nullstellen aus sin2 b cos bð1 þ cos bÞ ¼ ð1 2vÞ=3 im Fall v ¼ 0;3 zu b1 ¼ 15;4 und b2 ¼ 83. Zwischen den durch 2b1 ¼ 30;8 und 2b2 ¼ 166 bestimmten Kreiskegeln wird sr negativ (Druckspannung), außerhalb ist sie positiv (Zugspannung). Aus st ¼ 0 folgt cos2 b þ cos b ¼ 1, d. h. b ¼ 52, fr b < 52 wird st positiv (Zugspannung), fr b > 52 negativ (Druckspannung).
3.3 Ebener Spannungszustand
ð12Þ
Die Hookeschen Gesetze haben die Form ex ¼ ðsx vsy Þ=E; ey ¼ ðsy vsx Þ=E; gxy ¼ txy =G;
und fr die Spannungen (mit X ¼ Y ¼ 0) sr ¼
1 ¶F 1 ¶2 F ¶2 F ¶ 1 ¶F ; st ¼ 2 ; trt ¼ þ : r ¶r r 2 ¶j2 ¶r ¶r r ¶j
Die Randbedingungen lauten st ðr, j ¼ 0Þ ¼ 0, st ðr, j ¼ pÞ ¼ 0, trt ðr, j ¼ 0Þ ¼ 0, trt ðr, j ¼ pÞ ¼ 0:
DDF ¼ 0; sr ¼ Cð2=rÞ sin j; st ¼ 0; trt ¼ 0: Die Lsung erfllt die Randbedingungen. Mit der Scheibendicke h folgt die Konstante C aus der Gleichgewichtsbedingung Zp X Fiy ¼ 0 ¼ sr sin j hr dj þ F0 ¼ 0 zu C ¼ F0 =ðphÞ. Wegen 0
ð13Þ
und fr die Formnderungen gilt ¶u ¶u ¶u ¶u ¼ ex ; ¼ ey ; þ ¼ gxy : ¶x ¶y ¶y ¶x
Beispiel: Halbebene unter Einzelkraft. – Zur Lsung werden Polarkoordinaten verwendet (Bild 4 a). Dann gilt fr die Airysche Spannungsfunktion 2 2 ¶ 1 ¶ 1 ¶2 ¶ F 1 ¶F 1 ¶2 F DDF ¼ þ þ ¼0 þ þ ¶r 2 r ¶r r 2 ¶j2 ¶r 2 r ¶r r 2 ¶j2
Mit dem Ansatz Fðr; jÞ ¼ Crj cos j folgt
Er liegt vor, wenn sz ¼ 0; Z ¼ 0, txz ¼ tyz ¼ 0, d. h., wenn Spannungen nur in der x, y-Ebene auftreten. Die Gleichgewichtsbedingungen lauten fr konstante Volumenkrfte ¶sx ¶tyx ¶sy ¶txy þ þ X0 ¼ 0; þ þ Y0 ¼ 0: ¶x ¶y ¶y ¶x
d. h., die Airysche Spannungsfunktion muss der Bipotentialgleichung gengen. Die Bipotentialgleichung hat unendlich viele Lsungen, z. B. F ¼ x, x2 ; x3 ; y, y2 ; y3 ; xy, x2 y; x3 y; xy2 ; xy3 ; cos lx cosh y; x cos lx cosh ly usw., ferner biharmonische Polynome [2] sowie die Real- und Imaginrteile von analytischen Funktionen f ðzÞ ¼ f ðx iyÞ usw. [1]. Mit dem Ansatz geeigneter Linearkombinationen dieser Lsungen versucht man die gegebenen Randbedingungen zu befriedigen und damit das ebene Problem zu lsen.
ð14Þ
trt ¼ 0 sind die sr und st Hauptnormalspannungen, d. h., die zugehrigen Trajektorien sind Geraden durch den Nullpunkt bzw. die dazu senkrechten Kreise um den Nullpunkt (Bild 4 b). Die Hauptschubspannungstrajektorien liegen dazu unter 45 (s. C 1.1.1). Der Verlauf der Spannungen sr ergibt sich fr r ¼ R ¼ const zu sr ¼ 2F0 =ðp hRÞ sin j bzw. fr j ¼ p=2 zu sr ¼ ½2F0 =ðp hÞ=r (Bild 4 c).
Dies sind acht Gleichungen fr acht Unbekannte. Aus Gl. (14) folgt die Kompatibilittsbedingung ¶2 ex ¶2 ey ¶2 gxy ; þ 2 ¼ ¶y2 ¶x ¶x ¶y und durch Einsetzen von Gln. (13) in (15) ergibt sich 1 ¶2 s x ¶2 sy ¶2 sy ¶2 s x 1 ¶2 txy : v 2 þ 2 v 2 ¼ ¶y ¶x ¶x E ¶y2 G ¶x ¶y
ð15Þ
ð16Þ
Werden nun die Gleichgewichtsbedingungen (12) durch Einfhrung der Airyschen Spannungsfunktion F ¼ Fðx; yÞ derart befriedigt, dass sx ¼
¶2 F ¶2 F ¶2 F ; sy ¼ 2 ; txy ¼ X0 y Y0 x ¶y2 ¶x ¶x ¶y
ð17Þ
ist, so folgt aus Gl. (16) fr F(x, y) ¶4 F ¶4 F ¶4 F þ 2 2 2 þ 4 ¼ DDF ¼ 0; ¶x4 ¶x ¶y ¶y
ð18Þ
Bild 4 a–c. Halbebene unter Einzelkraft
I4.3
4 Beanspruchung bei Berhrung zweier Krper (Hertzsche Formeln) Berhren zwei Krper einander punkt- oder linienfrmig, so ergeben sich unter Einfluss von Druckkrften Verformungen und Spannungen nach der Theorie von Hertz [1, 2]. Ausgangspunkt fr die Lsungen von Hertz sind die Boussinesqschen Formeln C 3 Gl. (11). Vorausgesetzt wird dabei homogenes, isotropes Material und Gltigkeit des Hookeschen Gesetzes, ferner alleinige Wirkung von Normalspannungen in der Berhrungsflche. Außerdem muss die Deformation, d. h. das Maß w0 der Annherung (auch Abplattung genannt), beider Krper (Bild 1 a) im Verhltnis zu den Krperabmessungen klein sein. Bei unterschiedlichem Material der berhrenden Krper gilt E ¼ 2E1 E2 =ðE1 þ E2 Þ. Fr die Querkontraktionszahl wird einheitlich v ¼ 0;3 angesetzt.
4.1 Kugel Gegen Kugel (Bild 1 b). Mit 1=r ¼ 1=r1 þ 1=r2 gilt sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1 3 1,5 FE2 max sz ¼ s0 ¼ , p r 2 ð1 v2 Þ2 sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2 3 2,25 ð1 v2 Þ F 2 : w0 ¼ E2 r
Beliebig gewlbte Flche
C 33
4.2 Zylinder Gegen Zylinder (Bild 1 b). Die Projektion der Druckflche ist ein Rechteck von der Breite 2 a und der Zylinderlnge l. Die Druckspannungen verteilen sich ber die Breite 2 a halbkreisfrmig. Mit 1=r ¼ 1=r1 þ 1=r2 gilt sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi FE 8 F rð1 v2 Þ : max sz ¼ s0 ¼ , a¼ 2 p r lð1 v2 Þ pEl Hierbei wird vorausgesetzt, dass sich q ¼ F=l als Linienlast gleichfrmig ber die Lnge verteilt. Die Abplattung wurde von Hertz nicht berechnet, da die begrenzte Lnge des Zylinders die Problemlsung erschwert. Die Spannungen sx und sy an einem Element der Druckflche (x in Lngsrichtung, y in Querrichtung) sind in Zylindermitte sx ¼ 2 v sz ¼ 0;6 s0 ; sy ¼ sz ¼ s0 . Der Spannungsverlauf in z-Richtung [3] liefert die grßte Schubspannung in der Tiefe z ¼ 0;78 a zu max t ¼ 0;30 s0 . Am mittleren Volumenelement der Berhrungsflche ist in der Mitte des Zylinders max t ¼ 0;5ðs1 s3 Þ ¼ 0;5ðs0 0;6 s0 Þ ¼ 0;2 s0 und am Zylinderende max t ¼ 0;5 s0 . Dabei liegt max t in Flchenelementen schrg zur Oberflche, da voraussetzungsgemß in den Oberflchenelementen selbst und damit nach dem Satz von den zugeordneten Schubspannungen auch in Flchenelementen senkrecht dazu t ¼ 0 ist, d. h. die Oberflchenspannungen Hauptspannungen sind.
Die Druckspannung verteilt sich halbkugelfrmig ber der Druckflche. Die Projektion der Druckflche ist ein Kreis pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi vom Radius a ¼ 3 1;5 ð1 v2 Þ Fr=E. Die Spannungen sr und st am mittleren Volumenelement der Druckflche sind in der Mitte sr ¼ st ¼ s0 ð1 þ 2vÞ=2 ¼ 0;8 s0 und am Rand sr ¼ st ¼ 0;133 s0 . Umschließt die grßere Kugel (als Hohlkugel) die kleinere, so ist r2 negativ einzusetzen.
Gegen Ebene. Mit r2 ! 1 gelten die entsprechenden Ergebnisse.
Gegen Ebene. Mit r2 ! 1, d. h. r ¼ r1 , gelten diese Ergebnisse ebenfalls. Der Spannungsverlauf in z-Richtung [3] liefert die grßte Schubspannung fr z ¼ 0;47a zu max t ¼ 0;31 s0 und die zugehrigen Werte sz ¼ 0;8 s0 ; sr ¼ st ¼ 0;18 s0 . Wie Fppl [3] gezeigt hat, entwickeln sich Fließlinien von der Stelle der max t aus. Man begngt sich jedoch blicherweise mit dem Nachweis von max sz ¼ s0 .
Gegen Ebene (Bild 1 c). Sind die Hauptkrmmungsradien im Berhrungspunkt r und r 0 , so bildet sich als Projektion der Druckflche eine Ellipse mit den Halbachsen a und b in Richtung der Hauptkrmmungsebenen aus. Die Druckspannungen verteilen sich nach einem Ellipsoid. Es gilt
4.3 Beliebig gewlbte Flche
max sz ¼ s0 ¼ 1,5 F=ðp a bÞ, qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 3 a ¼ 3 x3 ð1 v2 Þ F=½Eð1=r þ 1=r 0 Þ, ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi p b ¼ 3 3 h3 ð1 v2 Þ F=½Eð1=r þ 1=r 0 Þ, w0
¼ 1,5 yð1 v2 Þ F=E a:
Die Werte x, h, y sind abhngig von dem Hilfswinkel J ¼ arccos½ð1=r 0 1=rÞ=ð1=r 0 þ 1=rÞ; s. Tab. 1. Gegen beliebig gewlbte Flche (Bild 1 d). Gegeben: Hauptkrmmungsradien r1 und r10 ;r2 und r20 ferner Winkel j zwischen den Ebenen von r1 und r2 [4]. Zurckfhrung auf den vorstehenden Fall unter Voraussetzung von r1 > r10 und r2 > r2 0 durch Einfhrung von 1=r 0 þ 1=r ¼ 1=r 01 þ 1=r1 þ 1=r 02 þ 1=r2 ;
ð1Þ
1 1 r0 srffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ð2Þ 1 1 2 1 1 2 1 1 1 1 þ 0 þ2 0 ¼ cos 2j: 0 0 r 1 r1 r 2 r2 r 1 r1 r 2 r2 Projektion der Druckflche ist wiederum Ellipse mit den Halbachsen a und b. Achse a liegt zwischen den Ebenen von r1 und r2 . Winkel j0 aus Bild 1 a–d. Hertzsche Formeln
ð1=r 0 þ 1=rÞ sin 2j0 ¼ ð1=r 01 1=r1 Þ sin 2j:
C
C 34
Festigkeitslehre – 5 Flchentragwerke
Umschließt ein grßerer Krper (Hohlprofil) den kleineren, so sind entsprechende Radien negativ einzufhren. Wert nach Gl. (2) darf dabei nicht grßer werden als Wert nach Gl. (1).
Tabelle 1. z, h und y in Abhngigkeit von J
C Tabelle 1. Faktoren c1 – c5 in Abhngigkeit von a=b:
5 Flchentragwerke 5.1 Platten Unter der Voraussetzung, dass die Plattendicke h klein zur Flchenabmessung und die Durchbiegung w ebenfalls klein ist, ergibt sich mit der Flchenbelastung p(x, y) und der Plattensteifigkeit N ¼ Eh3 =½12ð1 v2 Þ fr die Durchbiegungen w(x, y) die Bipotentialgleichung DDw ¼
¶4 w ¶4 w ¶4 w pðx, yÞ þ2 2 2 þ 4 ¼ : dx4 ¶x ¶y ¶y N
ð1Þ
Die Biegemomente Mx und My sowie das Torsionsmoment Mxy folgen aus Mx ¼ Nð¶2 w=¶x2 þ v ¶2 w=¶y2 Þ, My ¼ Nð¶2 w=¶y2 þ v ¶2 w=¶x2 Þ, Mxy ¼ ð1 vÞ N ¶2 w=ð¶x ¶yÞ:
Ringsum gelenkig gelagerter Rand [1–3]. Die maximalen Spannungen und Durchbiegungen treten in Plattenmitte auf: sx ¼ c1 p b2 =h2 , sy ¼ c2 p b2 =h2 , f ¼ c3 p b4 =Eh3 :
ð2Þ
Die Extremalspannungen an Plattenober- oder -unterseite ergeben sich aus sx ¼ Mx =W; sy ¼ My =W; t ¼ Mxy =W;
ð3Þ
2
wobei das Widerstandsmoment W ¼ h =6 ist. Bei rotationssymmetrisch belasteten Kreisplatten wird w ¼ wðrÞ, und Gl. (1) geht in die gewhnliche Eulersche Differentialgleichung 2 1 1 pðrÞ w ðrÞ þ w 000 ðrÞ 2 w 00 ðrÞ þ 3 w 0 ðrÞ ¼ r r r N 0000
ber. Ferner gilt v 1 Mr ¼ N w 00 þ w 0 , Mt ¼ N v w 00 þ w 0 , r r sr ¼ Mr =W, st ¼ Mt =W mit W ¼ h2 =6:
ð4Þ
ð5Þ ð6Þ
ð7Þ
In den Ecken ergeben sich abhebende Einzelkrfte F ¼ c4 p b2 , die zu verankern sind (Beiwerte ci s. Tab. 1). Ringsum eingespannter Rand. Neben den Spannungen und Durchbiegungen in Plattenmitte nach Gl. (7) treten maximale Biegespannungen in der Mitte des langen Rands auf (ci -Werte s. Tab 1): sy ¼ c5 p b2 =h2 , zugehrig sx ¼ 0,3 sy : Abhebende Auflagerkrfte in den Ecken in Form von Einzelkrften treten nicht auf. Ausfhrliche Darstellung aller Schnittlasten und Auflagerreaktionen in [4, 7]. Gleichmßig belastete, unendlich ausgedehnte Platte auf Einzelsttzen (Bild 2). Mit der Sttzkraft F ¼ 4a2 p sowie 2b h ergibt sich fr Spannungen und Durchbiegungen sxA ¼ syA ¼ 0,861 p a2 =h2 , sxB ¼ syB ¼ 0,62 F½lnða=bÞ 0,12=h2 , fA ¼ 0,092 p a4 =N, fC ¼ 0,069 p a4 =N:
Torsionsmomente treten wegen der Rotationssymmetrie nicht auf. Im Folgenden sind die wichtigsten Ergebnisse fr verschiedene Plattentypen zusammengestellt (Querdehnungszahl v ¼ 0;3). 5.1.1 Rechteckplatten Gleichmßig belastete Platte (Bild 1) Bild 2. Platte auf Einzelsttzen
5.1.2 Kreisplatten Gleichmßig belastete Platte Gelenkig gelagerter Rand (Bild 3 a). Die maximalen Spannungen und Durchbiegungen treten in Plattenmitte auf: sr ¼ st ¼ 1;24 p R2 =h2 , f ¼ 0;696 p R4 =ðE h3 Þ. Eingespannter Rand. In der Mitte Bild 1. Rechteckplatte
sr ¼ st ¼ 0,488 p R2 =h2 , f ¼ 0,171 p R4 =ðE h3 Þ;
I5.2
Scheiben
C 35
C Bild 4. Dreieckplatte Bild 3 a, b. Flchenlast (a) und Einzellast (b)
5.1.5 Temperaturspannungen in Platten am Rand sr ¼ 0,75 p R2 =h2 , st ¼ v sr ¼ 0,225 p R2 =h2 : Platte mit Einzellast (Bild 3 b) Fr eine Kraft F ¼ pb2 p in der Mitte, die gleichmßig auf einer Kreisflche vom Radius b verteilt ist, gilt bei gelenkig gelagertem Rand: Maximale Spannungen und Durchbiegung treten in der Mitte auf sr ¼ st ¼ 1;95ðb=RÞ2 ½0;77 0;135ðb=RÞ2 lnðb=RÞpR2 =h2 ; f ¼ 0;682ðb=RÞ2 ½2;54 ðb=RÞ2 ð1;52 lnðb=RÞÞpR4 =ðEh3 Þ; eingespanntem Rand: In der Mitte sr ¼ st ¼ 1;95ðb=RÞ2 ½0;25ðb=RÞ2 lnðb=RÞpR2 =h2 ; f ¼ 0;682ðb=RÞ2 ½1 ðb=RÞ2 ð0;75 lnðb=RÞÞpR4 =ðEh3 Þ;
Bei einer Temperaturdifferenz Dt zwischen Ober- und Unterseite ergeben sich bei Platten mit allseits freien Rndern keine Spannungen, bei allseits gelenkig gelagerten Platten nach der Plattentheorie [6]. Bei allseits eingespannten Platten wird sx ¼ sy ¼ at Dt E=½2ð1 vÞ ¼ sr ¼ st :
5.2 Scheiben Hierbei handelt es sich um ebene Flchentragwerke, die in ihrer Ebene belastet sind. Zur theoretischen Ermittlung der Spannungen mit der Airyschen Spannungsfunktion s. C 3.3. Im Folgenden werden fr einige technisch wichtige Flle die Spannungen angegeben. Die Dicke der Scheiben sei h. 5.2.1 Kreisscheibe
am Rand sr ¼ 0,75ðb=RÞ2 ½2 ðb=RÞ2 p R2 =h2 , st ¼ v sr : Weitere ausfhrliche Ergebnisse fr Kreis- und Kreisringplatten unter verschiedenen Belastungen in [5]. 5.1.3 Elliptische Platten Gleichmßig mit p belastet Halbachsen a > b (a in x-, b in y-Richtung). Gelenkig gelagerter Rand. Maximale Biegespannung in der Mitte sy ð3,24 2 b=aÞ p b2 =h2 . Eingespannter Rand. Mit c1 ¼ 8=½3 þ 2ðb=aÞ2 þ 3ðb=aÞ4 gilt in der Mitte sx ¼ 3c1 p b2 ½ðb=aÞ2 þ 0,3=ð8 h2 Þ, sy ¼ 3c1 p b2 ½1 þ 0,3ðb=aÞ2 =ð8 h2 Þ, f ¼ 0,171 c1 p b4 =ðE h3 Þ; am Ende der kleinen Achse min s ¼ sy ¼ 0;75 c1 p b2 =h2 ; sx ¼ v sy ; am Ende der großen Achse
Radiale gleichmßige Streckenlast q (Bild 5). sr ¼ st ¼ q=h; trt ¼ 0: Gleichmßige Erwrmung Dt. Bei einer Scheibe mit verschieblichem Rand ergeben sich nur Radialverschiebungen uðrÞ ¼ at Dt r, aber keine Spannungen. Bei unverschieblichem Rand (u ¼ 0) gilt sr ¼ st ¼ E at Dt=ð1 vÞ; trt ¼ 0: 5.2.2 Ringfrmige Scheibe Radiale Streckenlast innen und außen (Bild 6 a). 2 qi r 2 ra qa r 2 r2 sr ¼ 2 i 2 1 2 a 2 1 i2 , 2 r hðra ri Þ r hðra ri Þ 2 qi r 2 ra qa ra2 ri2 , 1 þ st ¼ þ 2 i 2 þ 1 2 2 2 2 r hðra ri Þ r hðra ri Þ trt ¼ 0: Gleichmßige Erwrmung Dt Bei einer Scheibe mit verschieblichen Rndern ergeben sich nur Radialverschiebungen uðrÞ ¼ at Dt r, aber keine Spannungen. Bei unverschieblichem
sx ¼ 0,75 c1 p b4 =ða2 h2 Þ, sy ¼ v sx :
5.1.4 Gleichseitige Dreieckplatte Gleichmßig mit p belastet Ringsum gelenkig gelagert (Bild 4). Fr den Plattenschwerpunkt S gilt mit der Plattensteifigkeit N ¼ Eh3 =½12ð1 v2 Þ sx ¼ sy ¼ 0,145 p a2 =h2 , f ¼ 0,00103 p a4 =N: Die Maximalspannung tritt bei x ¼ 0;129a und y ¼ 0 auf und ist sy ¼ 0;155 p a2 =h2 .
Bild 5. Kreisscheibe
C 36
Festigkeitslehre – 5 Flchentragwerke
C Bild 6 a, b. Kreisringscheibe
blasen, Luftballons, dnne Metallfolien usw.), d. h. biegeschlaffe Schalen, nur auf diese Weise Belastungen aufnehmen knnen (Bild 9 a, b). Dnnwandige Metallkonstruktionen gengen in der Regel in weiten Bereichen dem Membranspannungszustand. Bei gewissen Schalenformen, an Strstellen (z. B. bergang von der Wand zum Boden) und in allen dickwandigen Schalen treten zustzlich Biegemomente und Querkrfte auf, d. h. Biegenormal- und Querkraftschubspannungen (wie bei Platten), die zu bercksichtigen sind. Dann handelt es sich um biegesteife Schalen und den Biegespannungszustand. Dieser, d. h. die Strung des Membranspannungszustands, klingt in der Regel sehr rasch mit der Entfernung von der Strstelle ab.
ußeren Rand ( u=0) gilt ra2 r2 1 i2 , r ð1 vÞ ra2 þ ð1 þ vÞ ri2 ra2 r2 st ¼ E at Dt 1 þ i2 , trt ¼ 0: 2 2 r ð1 vÞ ra þ ð1 þ vÞ ri
sr ¼ E at Dt
Ringfrmige Schublast (Bild 6 b). Sind ti und ta ¼ ti ri2 =ra2 die einwirkenden Schubspannungen, so gilt trt ¼ ti ri2 =r2 ; sr ¼ st ¼ 0: 5.2.3 Unendlich ausgedehnte Scheibe mit Bohrung (Bild 7)
5.3.1 Biegeschlaffe Rotationsschalen und Membrantheorie fr Innendruck Die Gleichgewichtsbedingungen am Element (Bild 9 a) in Richtung der Normalen und am Schalenabschnitt (Bild 9 b) in Vertikalrichtung liefern sj =R1 þ sJ =R2 ¼ p=h, sJ ¼ F=ð2 p R1 h sin2 JÞ: Hierbei ist sJ die Spannung in Meridianrichtung, sj die in Breitenkreisrichtung und h die Schalendicke. F ist die resultierende ußere Kraft in Vertikalrichtung, d. h. F¼
ZJ
pðJÞ R2 ðJÞ 2 p R1 ðJÞ sin J cos J dJ:
J¼0
Bei konstantem Innendruck ist F gleich der Kraft auf die Projektionsflche, d. h. F ¼ p p r2 ¼ p pðR1 sin JÞ2 . Kreiszylinderschale unter konstantem Innendruck. sj ¼ p r=h ¼ p d=ð2 hÞ; sJ ¼ sx ¼ 0: Bild 7. Scheibe mit Bohrung
Kugelschale unter konstantem Innendruck. sj ¼ sJ ¼ p r=ð2 hÞ ¼ p d=ð4 hÞ:
Infolge Innendrucks p ¼ q=h entstehen die Spannungen sr ¼ p ri2 =r 2 ; st ¼ þp ri2 =r 2 ; trt ¼ 0: 5.2.4 Keilfrmige Scheibe unter Einzelkrften (Bild 8)
Zylinderschale mit Halbkugelbden unter konstantem Innendruck (Bild 10). Im Zylinder sj ¼ p r=h ¼ p d=ð2 hÞ, sx ¼ p r=ð2 hÞ ¼ p d=ð4 hÞ, in der Kugelschale sj ¼ sJ ¼ p r=ð2 hÞ ¼ p d=ð4 hÞ:
Bild 8. Keilfrmige Scheibe
Fr die Spannungen gilt 2 F1 cos j 2 F2 sin j sr ¼ þ , r hð2 b þ sin 2 bÞ r hð2 b sin 2 bÞ st ¼ 0, trt ¼ 0:
Bild 9 a, b. Membranspannungszustand
5.3 Schalen Hierbei handelt es sich um rumlich gekrmmte Bauteile, welche die Belastungen im Wesentlichen durch Normalspannungen sx und sy sowie Schubspannungen txy (bzw. bei Rotationsschalen durch sj und sJ sowie tjJ ), die alle in der Schalenflche liegen, abtragen. Diese Lastabtragung wird Membranspannungszustand genannt, da Membranen (Seifen-
Bild 10. Geschlossene Zylinderschale
I5.3 5.3.2 Biegesteife Schalen Elliptischer Hohlzylinder unter Innendruck (Bild 11). berlagert man den Membranspannungen die Biegespannungen, so ergibt sich fr die Punkte A und B sA ¼ p a=h þ c1 p a2 =h2 , sB ¼ p b=h þ c2 p a2 =h2
Schalen
C 37
Gewlbter Boden unter Innendruck (Bild 14). Fr die Spannungen in der kugeligen Wlbung gilt (wie bei der Kugelschale) sj ¼ sJ ¼ p rB =ð2hÞ. Fr die (maximalen) Meridianspannungen in der Krempe gilt sJ ¼ c1 p rZ =ð2 hÞ ¼ c1 p dZ =ð4 hÞ;
(s. Tab. 2).
s. Tab. 3.
Umschnrter Hohlzylinder (Bild 12). Infolge Schneidenlast q entstehen Umfangsspannungen x p qr qr sj ðxÞ ¼ pffiffiffi ex=L sin þ , sj ðx ¼ 0Þ ¼ L 4 2Lh 2Lh sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi r 2 h2 4 mit L ¼ und Biegespannungen in x-Richtung 3ð1 v2 Þ x p 3 q L x=L ¼ pffiffiffi e cos þ , sx ðxÞ L 4 2 h2
Dickwandiger Kreiszylinder unter Innen- und Außendruck (Bild 15). Es liegt ein rumlicher Spannungszustand vor mit den Spannungen (im mittleren Zylinderbereich)
sx ðx ¼ 0Þ ¼ max sx ¼ 1,5 q L=h2 : Rohrbogen unter Innendruck (Bild 13). In Lngsrichtung des Bogens ergeben sich die Spannungen sx ¼ p r=ð2hÞ ¼ p d=ð4 hÞ, d. h. dieselben Spannungen wie beim abgeschlossenen geraden Rohr. In Umfangsrichtung gilt sj ¼
pd R=d þ 0;25 sin j : 2h R=d þ 0;5 sin j
ri2 r2 pa 2 a 2 , ra2 ri2 ra ri 2 r2 r r2 r2 sj ¼ pi 2 i 2 a2 þ 1 pa 2 a 2 1 þ i2 , r ra ri r ra ri 2 ri2 ra ra2 r2 sr ¼ pi 2 1 pa 2 1 i2 : 2 2 2 r ra ri r ra ri sx ¼ pi
Bei alleinigem Innen- oder Außendruck tritt die grßte Spannung an der Innenseite als sj ðr ¼ ri Þ auf. Die Biegeeinspannung des Zylinders in den Boden ist hierbei nicht bercksichtigt.
Fr Bogenober- und Bogenunterseite (j ¼ 0 bzw. 180) folgt sj ð0Þ ¼ pd=ð2hÞ, d. h. Spannung wie beim kreiszylindrischen Rohr. Fr Bogenaußen- bzw. Bogeninnenseite ist p d R=dþ0,25 sj ð90Þ ¼ bzw: 2 h R=dþ0,50 p d R=d0,25 sj ð90Þ ¼ , 2 h R=d0,50
Dickwandige Hohlkugel unter Innen- und Außendruck. Es liegt ein rumlicher Spannungszustand vor mit den Spannungen r3 r3 r3 r3 sj ¼ sJ ¼ pi 3 i 3 1 þ a 3 pa 3 a 3 1 þ i 3 , 2r 2r ra ri ra ri 3 ri3 ra ra3 ri3 sr ¼ pi 3 1 pa 3 1 3 : r ra ri3 r 3 ra ri3
d. h., sj ð90Þ ist kleiner, sj ð90Þ grßer als sj ð0Þ.
Die Maximalspannung ergibt sich aus sj ðr ¼ ri Þ.
Tabelle 3. Faktor c1 in Abhngigkeit von hB =rz .
Bild 11. Elliptischer Hohlzylinder
Bild 12. Umschnrter Hohlzylinder Bild 14. Gewlbter Boden
Bild 13. Rohrbogen Tabelle 2. Faktoren c1 und c2 in Abhngigkeit von a=b:
Bild 15. Dickwandiger Kreiszylinder
C
C 38
Festigkeitslehre – 6 Dynamische Beanspruchung umlaufender Bauteile durch Fliehkrfte
6 Dynamische Beanspruchung umlaufender Bauteile durch Fliehkrfte
C
Spannungen und Verformungen mit der Winkelgeschwindigkeit w umlaufender Bauteile lassen sich nach den Regeln der Statik und Festigkeitslehre ermitteln, wenn man im Sinne des dAlembertschen Prinzips die Fliehkrfte (Trgheitskrfte, negative Massenbeschleunigungen) w2 r dm ¼ w2 rr dA dr (r Dichte) als ußere Krfte an den Massenelementen ansetzt. Im Folgenden werden lediglich die Ergebnisse fr die Spannungen (bei Scheiben fr die Querdehnungszahl v ¼ 0;3) und fr Radialverschiebungen angegeben.
Bild 1. Umlaufender Stab
Bild 2. Umlaufender Ring
Bild 3. Umlaufende Vollscheibe
Bild 4. Umlaufende Ringscheibe
6.1 Umlaufender Stab (Bild 1) Mit dem Stabquerschnitt A und dem Elastizittsmodul E gelten sr ðrÞ
¼ r w2 ðl2 r 2 Þ=2 þ m1 w2 l1 =A,
max sr ¼ sr ðr ¼ 0Þ ¼ r w2 l2 =2 þ m1 w2 l1 =A, ¼ r w2 ð3 l2 r r 3 Þ=ð6 EÞ þ m1 w2 l1 r=ðA EÞ,
uðrÞ
uðr ¼ lÞ ¼ r w2 l3 =ð3 EÞ þ m1 w2 l1 l=ðA EÞ:
Fr beliebige si und sa wird
6.2 Umlaufender dnnwandiger Ring oder Hohlzylinder (Bild 2)
sr ðrÞ ¼ A1 þ A2 =r 2 c1 r w2 r 2 , st ðrÞ ¼ A1 A2 =r 2 c2 r w2 r 2 ,
st ¼ r w2 R2 ; u ¼ r w2 R3 =E:
wobei A1 ¼ ðsa ra2 si ri2 Þ=ðra2 ri2 Þ þ c1 r w2 ðra2 þ ri2 Þ, A2 ¼ ðsa si Þ ra2 ri2 =ðra2 ri2 Þ c1 r w2 ra2 ri2 ;
6.3 Umlaufende Scheiben
Verschiebungen u(r) sowie c1 und c2 wie vorher. Bei Scheiben mit Kranz und Nabe sind si und sa statisch unbestimmte Grßen, die aus den Bedingungen gleicher Verschiebung an den Stellen r ¼ ri und r ¼ ra bestimmt werden knnen [1].
6.3.1 Vollscheibe konstanter Dicke (Bild 3) sr ðrÞ
¼ c1 r w2 R2 ð1 r 2 =R2 Þ,
max sr ¼ sr ðr ¼ 0Þ ¼ c1 r w2 R2 , st ðrÞ
¼ c1 r w2 R2 ð1 c3 r 2 =R2 Þ, 6.3.3 Scheiben gleicher Festigkeit (Bild 5)
max st ¼ st ðr ¼ 0Þ ¼ c1 r w2 R2 , ¼ r½st ðrÞ vsr ðrÞ=E,
uðrÞ
uðr ¼ RÞ ¼ r w2 R3 ð1 vÞ=ð4EÞ; wobei c1 ¼
3þv 1 þ 3v und c3 ¼ . 8 3þv
6.3.2 Ringfrmige Scheibe konstanter Dicke (Bild 4 ) Fr si ¼ sa ¼ 0 ist sr ðrÞ
¼ c1 r w2 ra2 ð1 þ ri2 =ra2 ri2 =r2 r 2 =ra2 Þ,
Bild 5. Scheibe gleicher Festigkeit
sr ðr ¼ ri Þ¼ sr ðr ¼ ra Þ ¼ 0, st ðrÞ
¼ c1 r w2 ra2 ð1 þ ri2 =ra2 þ ri2 =r2 c3 r 2 =ra2 Þ,
max st
¼ st ðr ¼ ri Þ ¼ 2 c1 r w2 ra2 ð1 þ c4 ri2 =ra2 Þ:
Fr ri ! 0; d. h. bei sehr kleiner Bohrung, wird max st ¼ 0;825rw2 R2 doppelt so groß wie bei der Vollscheibe! uðrÞ ¼ r½st ðrÞ vsr ðrÞ=E, ui
¼ uðr ¼ ri Þ ¼ r w2 ri ½2 c1 ra2 þ ðc1 c2 Þ ri2 =E,
ua
¼ uðr ¼ ra Þ ¼ r w2 ra ½2 c1 ri2 þ ðc1 c2 Þ ra2 =E,
wobei c1 ¼ ð3 þ vÞ=8, c2 ¼ ð1 þ 3vÞ=8, c3 ¼ c4 ¼
1v . 3þv
1 þ 3v und 3þv
Aus den Differentialgleichungen der rotierenden Scheiben [1] folgt fr den Fall, dass sr ¼ st ¼ s berall gleich ist, die 2
Scheibendicke hðrÞ ¼ h0 erðwrÞ =ð2sÞ (de Lavalsche Scheibe gleicher Festigkeit, ohne Mittelbohrung). h0 ist die Scheibendicke bei r ¼ 0. Die Profilkurve hat einen Wendepunkt fr pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi r ¼ s=ðrw2 Þ. Die radiale Verschiebung ist uðrÞ ¼ ð1 vÞsr=E; uðr ¼ ra Þ ¼ ð1 vÞsra =E: Die Scheibendicke hðr ¼ ra Þ ¼ ha ergibt sich aus dem Einfluss der Schaufeln (Gesamtmasse mS ) und des Kranzes (Querschnitt AK ), an dem die Schaufeln befestigt sind, zu [1] w2 1 mS rS ra ha ¼ þ rrK2 AK AK v þ ð1 vÞ 2p s rK ra und damit wird h0 ¼ ha erðwra Þ
2
=ð2sÞ
.
I7.1
Knickung
C 39
nungszustand):
6.3.4 Scheiben vernderlicher Dicke Fr Scheiben mit hyperbolischen oder konischen Profilen findet man Lsungen in [1]. Dort sind auch Nherungsverfahren fr beliebige Profile dargestellt. 6.3.5 Umlaufender dickwandiger Hohlzylinder Neben den Spannungen sr und st in Radial- und Tangentialrichtung treten zustzlich infolge der behinderten Querdehnung Spannungen sx in Lngsrichtung auf (rumlicher Span-
3 2v r 2 r2 r 2 1 þ i2 i2 2 , ra r ra 8ð1 vÞ 3 2v r 2 r2 ð1 þ 2 vÞ r 2 1 þ i2 þ i2 st ðrÞ ¼ r w2 ra2 , ra r ð3 2 vÞ ra2 8ð1 vÞ 2 2 2v r r sx ðrÞ ¼ r w2 ra2 1 þ i2 2 2 : ra ra 8ð1 vÞ sr ðrÞ ¼ r w2 ra2
C
7 Stabilittsprobleme 7.1 Knickung Schlanke Stbe oder Stabsysteme gehen unter Druckbeanspruchung bei Erreichen der kritischen Spannung oder Last aus der nicht ausgebogenen (instabilen) Gleichgewichtslage in eine benachbarte gebogene (stabile) Lage ber. Weicht der Stab in Richtung einer Symmetrieachse aus, so liegt (Biege-) knicken vor, andernfalls handelt es sich um Biegedrillknicken (s. C 7.1.6). Bild 2. Die vier Eulerschen Knickflle
7.1.1 Knicken im elastischen (Euler-)Bereich Betrachtet man die verformte Gleichgewichtslage des Stabs nach Bild 1, so lautet die Differentialgleichung fr Knickung um die Querschnittshauptachse y (mit Iy als kleinerem Flchenmoment 2. Grades) im Fall kleiner Auslenkungen EIy w00 ðxÞ ¼ Mb ðxÞ ¼ FwðxÞ bzw: qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi w00 ðxÞ þ a2 wðxÞ ¼ 0 mit a ¼ F=ðEIy Þ
ð1Þ
und der Lsung wðxÞ ¼ C1 sin ax þ C2 cos ax:
ð3Þ
Die kleinste (Eulersche) Knicklast ergibt sich fr n ¼ 1 zu FK ¼ p2 EIy =l2 : Fr andere Lagerungsflle ergeben sich entsprechende Eigenwerte, die sich jedoch alle mit der reduzierten oder wirksamen Knicklnge lK (Bild 2) auf die Form aK ¼ np=lK zurckfhren lassen. Dann gilt allgemein fr die Eulersche Knicklast FK ¼ p2 EIy =l2K :
ð4Þ pffiffiffiffiffiffiffiffiffi Mit dem Trgheitsradius iy ¼ Iy =A und der Schlankheit l ¼ lK =iy folgt als Knickspannung sK ¼ FK =A ¼ p2 E=l2 :
Der bergang aus dem elastischen in den unelastischen (plastischen) Bereich findet statt bei der Grenzschlankheit pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi l0 ¼ p2 E=sP : ð6Þ Zum Beispiel wird fr S 235 mit
ð2Þ
Aus den Randbedingungen wðx ¼ 0Þ ¼ 0 und wðx ¼ lÞ ¼ 0 folgen C2 ¼ 0 und sin al ¼ 0 (Eigenwertgleichung) mit den Eigenwerten aK ¼ np=‘; n ¼ 1; 2; 3; . . . : Somit ist nach den Gln. (1) und (2) FK ¼ a2K EIy ¼ n2 p2 EIy =l2 ; wðxÞ ¼ C1 sinðnpx=lÞ:
Diese Gleichungen gelten nur im linearen, elastischen Werkstoffbereich, also solange pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi sK ¼ p2 E=l2 % sP bzw: l ^ p2 E=sP ist:
Re 240 N=mm2 ; sP 0;8Re 192 N=mm2 und E ¼ 2;1 105 N=mm2 die Grenzschlankheit l0 104. Weitere Grenzschlankheiten s. Tab. 1. Knicksicherheit SK ¼ FK =Fvorh bzw: SK ¼ sK =svorh :
ð7Þ
Im allgemeinen Maschinenbau ist im elastischen Bereich SK 5 . . . 10, im unelastischen Bereich SK 3 . . . 8. Ausbiegung beim Knicken. Die Lsung der linearisierten Differentialgleichung (1) liefert zwar die Form der Biegelinie, Gl. (3), aber nicht die Grße der Auslenkung (Biegepfeil). Setzt man in Gl. (1) an Stelle von w00 den wirklichen Ausdruck fr die Krmmung ein, so erhlt man eine nichtlineare Differentialgleichung. Ihre Nherungslsung liefert als
ð5Þ
Die Funktion sK ðlÞ stellt die Euler-Hyperbel dar (Linie 1 auf Bild 3).
Bild 1. Knickung eines Stabs
Bild 3. Knickspannungsdiagramm fr S 235. 1 Euler-Hyperbel, 2 Tetmajer-Gerade, 3 Engesser-v. Ka´rma´n-Kurve, 4 v. Ka´rma´n-Geraden, 5 Traglast-Kurve nach Jger
C 40
Festigkeitslehre – 7 Stabilittsprobleme
also l ¼ lK =iy ¼ 91 < l0 , d. h. Knickung im unelastischen Bereich. Nach Tetmajer, Gl. (9), wird fr diese Schlankheit gemß Tab. 1
Tabelle 1. Werte a und b nach Tetmajer
sK ¼ ð310 1;14 91Þ N=mm2 ¼ 206 N=mm2 und mit svorh ¼ F=A ¼ 300 103 N=ðp 882 =4Þ mm2 ¼ 49;3 N=mm2
C
die Knicksicherheit SK ¼ sK =svorh ¼ 206=49;3 ¼ 4;2 < 5: Fr d ¼ 95 mm wird l ¼ lK =iy ¼ 84 und sK ¼ a bl ¼ 214 N=mm2 , und mit svorh ¼ F=ðpd 2 =4Þ ¼ 42;3 N=mm2 ist dann SK ¼ sK =svorh ¼ 5;06 5:
Biegepfeil den Wert [1] qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi f ¼ 8ðFl2 p2 EIy Þ=ðp2 FÞ;
7.1.3 Nherungsverfahren zur Knicklastberechnung
d. h. f ðF ¼ FK Þ ¼ 0 und f ðF ¼ 1;01 FK Þ 0;09l; 1% berschreitung der Knicklast liefert also bereits 9% der Stablnge als Auslenkung! 7.1.2 Knicken im unelastischen (Tetmajer-)Bereich
W ðaÞ ¼ FK u ¼ W ¼
Der Einfluss der Form (Krmmung) der Spannungs-Dehnungs-Linie in diesem Bereich wird nach der Theorie von Engesser und v. Ka´rma´n mit der Einfhrung des Knickmoduls TK < E bercksichtigt: pffiffiffiffi pffiffiffiffi sK ¼ p2 TK =l2 ; TK ¼ 4TE=ð T þ EÞ2 ð8Þ T ¼ TðsÞ ¼ ds=de ist der Tangentenmodul und entspricht dem Anstieg der Spannungs-Dehnungs-Linie. TK gilt fr Rechteckquerschnitt, kann aber mit geringem Fehler auch fr andere Querschnitte verwendet werden. Vorzugehen ist in der Weise, dass T fr verschiedene s aus der Spannungs-Dehnungs-Linie bestimmt und damit TK ðsÞ und lðsK Þ ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi p2 TK =sK gemß Gl. (8) berechnet werden. Die Umkehrfunktion sK ðlÞ ist dann die Knickspannungslinie 3 nach Engesser-v. Ka´rma´n auf Bild 3. Th. v. Ka´rma´n ersetzte die Linie durch zwei tangierende Geraden, von denen die Horizontale durch die Streckgrenze geht (Linie 4 auf Bild 3). Shanley [2] hat gezeigt, dass bereits erste Auslenkungen fr den Wert sK ¼ p2 T=l2 (1. Engesser-Formel) bei weiterer Laststeigerung mglich sind. Dieser Wert stellt somit die unterste, der Wert nach Gl. (8) die oberste Grenze der Knickspannungen im unelastischen Bereich dar. Praktische Berechnung nach Tetmajer: Aufgrund von Versuchen erfasste Tetmajer die Knickspannungen durch eine Gerade, die auch heute noch im Maschinenbau Verwendung findet (Linie 2 auf Bild 3): sK ¼ a bl:
Energiemethode: Da im Fall des Ausknickens der Stab eine stabile benachbarte Gleichgewichtslage annimmt, muss die ußere Arbeit gleich der Formnderungsarbeit sein (Bild 4 a). Mit C 2 Gl. (37) und C 2 Gl. (32) folgen
ð9Þ
Die Werte a, b fr verschiedene Werkstoffe sind Tab. 1 zu entnehmen. Beispiel: Dimensionierung einer Schubstange. Man bestimme den erforderlichen Durchmesser einer Schubstange aus St 37 der Lnge l ¼ 2 000 mm a) fr die Druckkraft F ¼ 96 kN bei einer Knicksicherheit SK ¼ 8; b) fr F ¼ 300 kN bei SK ¼ 5. – Ist die Schubstange beidseitig gelenkig angeschlossen, so liegt der 2. Euler-Fall vor, d. h. lK ¼ l ¼ 2 000 mm. Bei Annahme elastischer Knickung folgt aus den Gln. (4) und (7) im Fall a)
1 2
Zl
Mb2
dx 1 ¼ EIy 2
0
u¼
Zl
Zl
EIy w 002 dx und
0
Z l pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi Zl 1 ðds dxÞ ¼ ð 1 þ w 02 1Þdx w 02 dx: 2
0
0
ð10Þ
0
Somit wird der Rayleighsche Quotient Zl 2W FK ¼ ¼ 2u
EIy ðxÞ w 002 ðxÞ dx
0
Zl
:
ð11Þ
w 02 ðxÞ dx
0
Mit der exakten Biegelinie w(x) folgt aus dieser Gleichung die exakte Knickkraft fr den elastischen Bereich. Bei Stben mit vernderlichem Querschnitt ergibt der Vergleich mit der Knickkraft FK ¼ p2 EIy0 =l2K des entsprechenden Eulerfalls eines Stabs mit konstantem Querschnitt das Ersatzflchenmoment Iy0 ¼ FK l2K =ðp2 EÞ: Dieses gilt dann nherungsweise auch fr den Knicknachweis im unelastischen Bereich. In Wirklichkeit ist die exakte Biegelinie (Eigenfunktion) des Knickvorgangs unbekannt. In Gl. (11) wird daher nach Ritz eine die Randbedingungen befriedigende Vergleichsfunktion w(x) eingesetzt. Fr FK ergibt sich ein Nherungswert, der stets grßer ist als die exakte Knicklast, da fr die exakte Eigenfunktion die Formnderungsarbeit zum Minimum, fr die Vergleichsfunktion also stets etwas zu groß wird. Als Vergleichsfunktionen kommen u. a. die Biegelinien des zugehrigen Trgers bei beliebiger Belastung in Betracht. Weitere und verbesserte Nherungsverfahren s. [1–5]. Beispiel: Vergleichsberechnung der Knicklast fr einen Stab konstanten Querschnitts und Lagerung nach Eulerfall 2 mit der Energieme-
erf Iy ¼ FSK l2K =ðp2 EÞ ¼ 96 103 N 8 2 0002 mm2 =ðp2 2,1 105 N=mm2 Þ ¼ 148,2 104 mm4 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi und mit Iy ¼ pd 4 =64 dann erf d ¼ 4 64 148;2 104 mm4 =p ¼ 74 mm. pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi Mit iy ¼ Iy =A ¼ d=4 ¼ 18;5 mm wird die Schlankheit l ¼ lK =iy ¼ 2 000 mm=18;5 mm ¼ 108 > 104 ¼ l0 ; so dass die Annahme von elastischer Knickung berechtigt war. Im Fall b) wird unter dieser Annahme erf Iy ¼ FSK l2K =ðp2 EÞ ¼ 289;5 104 mm4 und erf d ¼ 88 mm;
Bild 4 a–c. Knickung. a Energiemethode; b Kreisringtrger; c Rahmen
I7.2
Kippen
C 41
thode. – Als Vergleichsfunktion wird die Biegelinie unter Einzellast gemß C 2, Tab. 4 a, Fall 1, gewhlt: wðxÞ ¼ c1 ð3l2 x 4x3 Þ fr 0 x l=2. Mit w0 ðxÞ ¼ c1 ð3l2 12x2 Þ und w00 ðxÞ ¼ 24c1 x folgt nach Integration gemß Gl. (11) 2W ¼ c21 48EIy l3 , 2v ¼ c21 l5 4;8 und daraus FK ¼ 10;0EIy =l2 : Dieser Wert ist um 1,3% grßer als das exakte Ergebnis p2 EIy =l2 :
7.1.4 Stbe bei nderung des Querschnitts bzw. der Lngskraft
C Bild 5. Biegedrillknicken
Ihre Berechnung kann nach C 7.1.3 vorgenommen werden. In DIN 4114 Blatt 2 sind in Tafel 4 die Ersatzflchenmomente Im fr I-Querschnitte, in Tafel 5 die Ersatzknicklngen fr linear und parabolisch vernderliche Lngskraft angegeben. Weitere Flle s. [4]. 7.1.5 Knicken von Ringen, Rahmen und Stabsystemen Geschlossener Kreisringtrger unter Außenbelastung q ¼ const (Bild 4 b). Fr Knicken in der Belastungsebene gilt [4], wenn die Last stets senkrecht zur Stabachse steht, qK ¼ 3EIy =R3 , und, wenn die Last ihre ursprngliche Richtung beibehlt, qK ¼ 4EIy =R3 . Ausknicken senkrecht zur Trgerebene erfolgt fr qK ¼ 9EIz GIt =½R3 ð4GIt þ EIz Þ: Geschlossener Rahmen (Bild 4 c). Fr das Ausknicken in der Rahmenebene ergibt sich die kritische Last FK ¼ a2 EI1 aus der Eigenwertgleichung [4] fr a: al1 l1 ða2 l22 I12 36I22 Þ ¼ 0: tanðal1 Þ 12l2 I1 I2
stand der Flanschmitten). Fr Vollquerschnitte ist CM 0. Nur fr kleine Knicklngen l kann FKt maßgebend werden. Fr I-Normalprofile ist stets Iz , d. h. Knicken in y-Richtung, und nicht Drillknicken maßgebend. Einfach symmetrische Querschnitte (Bild 5). Ist z die Symmetrieachse, so treten hier die zweite und dritte der Gln. (12) in gekoppelter Form auf [2, 5], d. h., Biegedrillknicken ist mglich. Fr Knicken um die y-Achse (in z-Richtung) gilt die normale Eulersche Knicklast FKy ¼ p2 EIy =l2 . Die beiden anderen kritischen Lasten folgen fr Gabellagerung an den Enden aus 2 3 sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2ffi 1 1 1 1 1 1 2 4 zM 5 ¼ 4 þ þ ; FK 2 FKz FKt FKz FKt FKz FKt iM FKt nach Gl. (13), FKz ¼ p2 EIz =l2 ; iM polarer Trgheitsradius bezglich Schubmittelpunkt, zM Abstand des Schubmittelpunkts vom Schwerpunkt.
Weitere Ergebnisse, auch fr Stabsysteme, s. [2 , 4].
7.2 Kippen 7.1.6 Biegedrillknicken Neben dem reinen Biegeknicken kann beim Stab unter Belastung von Lngskraft (und Torsionsmoment) eine rumlich gekrmmte und tordierte Gleichgewichtslage, das Biegedrillknicken, eintreten. Auch alleiniges Drillknicken (ohne Ausbiegungen) infolge Lngskraft ist mglich. Stbe mit Kreisquerschnitt (Wellen) Dem Problem zugeordnete Differentialgleichungen s. [3]. Biegedrillknicken infolge Torsionsmoments tritt ein fr MtK1 ¼ 2pEIy =l: Es ist nur von Bedeutung fr sehr schlanke Wellen und Drhte. Wirken Lngskraft F und Torsionsmoment Mt gemeinsam, so gilt fr den beidseitig gelenkig gelagerten Stab sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi p2 EIy M2 Fl2 FK ¼ 2 1 2t ; MtK ¼ MtK1 1 2 : l p EIy MtK1 Stbe mit beliebigem Querschnitt unter Lngskraft
Schmale hohe Trger nehmen bei Erreichen der kritischen Last eine durch Biegung und Verdrehung gekennzeichnete benachbarte Gleichgewichtslage ein (Bild 6 a). Die zugehrige Differentialgleichung lautet fr doppeltsymmetrische Querschnitte ECM j0000 GIt j00 ðMy2 =EIz My00 zF Þj ¼ 0;
ð14Þ
j Torsionswinkel, zF Hhenlage des Kraftangriffspunkts ber dem Schubmittelpunkt (hier Schwerpunkt), CM Wlbwiderstand. Die nichtlineare Differentialgleichung ist i. Allg. nicht geschlossen lsbar. Nherungslsungen s. [1, 4, 5] . Fr Vollquerschnitte ist CM 0: 7.2.1 Trger mit Rechteckquerschnitt a) Gabellagerung und Angriff zweier gleich großer Momente MK an den Enden (Bild 6 b). Hier geht Gl. (14) ber in MK2 jðxÞ ¼ 0: Mit der die Randbedingungen befriej00 ðxÞ þ EIz GIt
Doppelt symmetrische Querschnitte. Schubmittelpunkt und Schwerpunkt fallen zusammen, und es gelten die drei Differentialgleichungen EIy w0000 þFw00 ¼ 0; EIz u0000 þ Fu00 ¼ 0; ð12Þ ECM j0000 þðFi2p GIt Þj00 ¼ 0: Die ersten beiden liefern die bekannten Eulerschen Knicklasten; die dritte besagt, dass reines Drillknicken (ohne Durchbiegungen) mglich ist und liefert fr beidseitig gelenkige Lagerung aus jðxÞ ¼ C sinðpx=lÞ; d. h. bei j ¼ 0 an den Enden, die Knicklast FKt ¼ ðGIt þ p2 ECM =l2 Þ=i2p :
ð13Þ
CM ist der Wlbwiderstand infolge behinderter Verwlbung [2], z. B. fr einen IPB-Querschnitt ist CM ¼ Iz h2 =4 (h Ab-
Bild 6 a, b. Kippung eines Trgers. a Eingespannt; b mit Gabellagerung
C 42
C
Festigkeitslehre – 7 Stabilittsprobleme
digenden Lsung jðxÞ ¼ C sinðpx=lÞ folgt fr das kritische Kippmoment pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi MK ¼ ðp=lÞ EIz GIt ¼ ðp=lÞK:
folgt durch Einsetzen in die Differentialgleichung (15) 2 2 2 m n2 m2 p2 N b n2 a m þ : p2 N 2 þ 2 ¼ hsx 2 bzw: sx ¼ 2 a b a b h a mb
Bei Bercksichtigung der Verformungen des Grundzustands pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi [4] ergibt sich genauer K ¼ EIz GIt ðIy Iz Þ=Iy :
Hieraus folgen die (minimalen) kritischen Beulspannungen: p2 N b a 2 Fr a < b; m ¼ n ¼ 1 : sxK ¼ 2 : þ b h a b
b) Gabellagerung und Einzelkraft FK in Trgermitte (Lastangriffspunkt in Hhe zF ) rffiffiffiffiffiffiffi 16;93 3;48 EIz FK ¼ 2 K 1 zF : GIt l l
Fr a ¼ b; m ¼ n ¼ 1 : sxK ¼
4p2 N : b2 h
c) Kragtrger mit Einzelkraft FK am Ende (Lastangriffspunkt in Hhe zF ) gemß Bild 6 a rffiffiffiffiffiffiffi 4;013 zF EIz FK ¼ 2 K 1 : l GIt l
Fr a > b: Bei ganzzahligem Seitenverhltnis a/b teilt sich die Platte durch Knotenlinien in einzelne Quadrate, und es gilt wiederum sxK ¼ 4p2 N=ðb2 hÞ: Dieser Wert wird auch fr nicht ganzzahlige Seitenverhltnisse verwendet, da die wahren Werte nur geringfgig darber liegen.
7.2.2 Trger mit I-Querschnitt
b) Allseits gelenkig gelagerte Platte unter Lngsspannungen sx und sy . Mit dem Ansatz wie unter a) folgt
Zu bercksichtigen ist der Wlbwiderstand CM Iz h2 =4: Mit EIz h 2 der Abkrzung c ¼ gilt fr die in C 7.2.1 angefhrGIt 2l ten Flle analog (h Abstand der Flanschmitten) pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi a) MK ¼ ðp=lÞKb1 ; b1 ¼ 1 þ p2 c: b) Bei Lastangriff in Schwerpunkthhe ðzF ¼ 0Þ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi FK ¼ ð16;93=l2 ÞKb1 ; b1 ¼ 1 þ 10;2c; bei Lastangriff am oberen oder unteren Flansch qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi FK ¼ ð16;93=l2 ÞKb1 ð 1 þ 3;24c=b21 1;80 c=b21 Þ: c) Bei Lastangriff in Schwerpunkthhe ðzF ¼ 0Þ pffiffiffi 1 þ 1;61 c 2 FK ¼ ð4;013=l2 ÞKb1 ; b1 ¼ pffiffiffi : 1 þ 0;32 c
7.3 Beulung Platten und Schalen gehen bei Erreichen der kritischen Belastung in eine benachbarte (ausgebeulte) stabile Gleichgewichtslage ber. 7.3.1 Beulen von Platten Rechteckplatten (Bild 7 a–c). Mit der Plattendicke h und der Plattensteifigkeit N ¼ Eh3 =½12ð1 v2 Þ lautet unter Voraussetzung der Gltigkeit des Hookeschen Gesetzes die Differentialgleichung des Problems ¶2 w ¶2 w ¶2 w NDDw þ h sx 2 þ sy 2 þ t ¼ 0: ð15Þ ¶x ¶y ¶x ¶y
sx ¼
p2 N ðm2 b2 =a2 þ n2 Þ2 : b2 h m2 b2 =a2 þ n2 sy =sx
Die (ganzzahligen) Werte m und n sind bei gegebenem Seitenverhltnis b/a und Spannungsverhltnis sy =sx so zu whlen, dass sx zum Minimum sxK wird. Fr den Sonderfall allseitig gleichen Drucks sx ¼ sy ¼ s folgt p2 N b2 s¼ 2 m2 2 þ n2 a b h mit dem Minimum fr m ¼ n ¼ 1 p2 N b2 sK ¼ 2 þ1 : b h a2 c) Allseitig gelenkig gelagerte Platte unter Schubspannungen. Eine exakte Lsung liegt nicht vor. Mit einem 5gliedrigen Ritz-Ansatz erhlt man ber die Energiemethode, d. h. aus P ¼ W W ðaÞ ¼ Min; die Nherungsformeln (s. [4, 6]): p2 N b2 Fr a b: tK ¼ 2 4;00 þ 5;34 2 ; a b h p2 N b2 Fr a b: tK ¼ 2 5;34 þ 4;00 2 : a b h d) Unendlich langer, gelenkig gelagerter Plattenstreifen un8bp2 N 8pN ¼ ter Einzellasten (Bild 8). FK ¼ . p b2 b Weitere Ergebnisse fr Rechteckplatten s. [4].
a) Allseits gelenkig gelagerte Platte unter Lngsspannungen sx . Mit dem die Randbedingungen befriedigenden Produktansatz wðx; yÞ ¼ cmn sinðmpx=aÞ sinðnpy=bÞ
Bild 7 a–c. Beulung einer Rechteckplatte
Bild 8. Beulen des Plattenstreifens
I7.3
Beulung
C 43
Kreisplatten (Bild 9 a–c)
7.3.2 Beulen von Schalen
a) Kreisplatte mit konstantem Radialdruck s. Dieses Problem lsst sich relativ einfach exakt lsen [1]. Fr den Scheibenspannungszustand gilt nach C 5.2.1 sr ¼ st ¼ s und trt ¼ 0: Damit nimmt die Differentialgleichung (15) die Form
Kugelschale unter konstantem Außendruck p. Die komplizierten Differentialgleichungen findet man u. a. in [7] und [8]. Der kleinste kritische Beuldruck (nach dieser Theorie als Verzweigungsproblem) ergibt sich zu
NDDw þ hsDw ¼ 0 bzw: DðD þ a2 Þw ¼ 0; a2 ¼ hs=N an. Sie wird erfllt, wenn ðD þ a2 Þw ¼ 0 und Dw ¼ 0 bzw. wegen D ¼ d2 =dr2 þ ð1=rÞd=dr, wenn d2 w 1 dw d2 w 1 dw þ þ þ a2 w ¼ 0 und ¼ 0: dr 2 r dr dr 2 r dr Die Lsung dieser Gleichungen lautet wðrÞ ¼ C1 J0 ðarÞ þ C2 N0 ðarÞ þ C3 þ C4 ln r (J0 und N0 sind die Besselsche und die Neumannsche Funktion nullter Ordnung). Die Erfllung der Randbedingungen wðRÞ ¼ 0 und Mr ðRÞ ¼ 0 (fr die gelenkig gelagerte Platte) bzw. wðRÞ ¼ 0 und w0 ðRÞ ¼ 0 (fr die eingespannte Platte) sowie der Zusatzbedingungen w0 ð0Þ ¼ 0 und endliches wð0Þ fhren auf die Eigenwertgleichungen aRJ0 ðaRÞ ð1 vÞJ1 ðaRÞ ¼ 0 ðgelenkig gelagerte PlatteÞ und J1 ðaRÞ ¼ 0 ðeingespannte PlatteÞ: Hieraus ergeben sich die Beulspannungen sK ¼ 4;20N=ðR2 hÞ ðgelenkig gelagerte Platte; v ¼ 0;3Þ und sK ¼ 14;67N=ðR2 hÞ ðeingespannte PlatteÞ: b) Kreisringplatte mit konstantem Radialdruck. Die mathematische Lsung ist komplizierter als unter a) (s. [3]). Es ergeben sich bei freiem Innenrand sK ¼ c1 N=ðra2 hÞ sK ¼ c2 N=ðra2 hÞ
ðgelenkig gelagerte PlatteÞ und ðeingespannte PlatteÞ
(Tab. 2). c) Kreisringplatte mit Schubbeanspruchungen. Sind ta und ti ¼ ta ra2 =ri2 die einwirkenden Schubspannungen, so gilt fr eingespannte Rnder taK ¼ c3 N=ðra2 hÞ: Fr v ¼ 0;3 und ri =ra ¼ 0,1; 0,2; 0,3; 0,4 ist c3 17,8; 37,0; 61,0; 109,0. Weitere Ergebnisse fr Kreis- und Kreisringplatten s. [4]. Tabelle 2. Beiwerte c1 und c2 fr v ¼ 0;3
Bild 9 a–c. Beulung von Kreis- und Kreisringplatte
pK ¼
R2
2Eh2 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi : 3ð1 v2 Þ
Schalen knnen jedoch auch durchschlagen, d. h. bei endlich großen Formnderungen benachbarte stabile Gleichgewichtslagen annehmen. Nach [9] gilt dann pK ¼ 0;365Eh2 =R2 ; d. h. diese Beullast ist nur rund ein Drittel der des Verzweigungsproblems! Kreiszylinderschalen (Bild 10 a–c) a) Unter konstantem radialen Außendruck p. Fr die unendlich lange Schale ergibt sich pK ¼ 0;25Eh3 =½R3 ð1 v2 Þ: Ergebnisse fr kurze Schalen s. [4]. b) Unter axialer Lngsspannung s. Herleitung der exakten Differentialgleichungen s. [8] und [9]. Nherungsweise gilt fr die kleinste kritische Lngsspannung [9] pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi sK ¼ Eh=½R 3ð1 v2 Þ; wenn sich eine gengende Anzahl von Biegewellen in Lngspffiffiffiffiffiffi richtung einstellen kann. Dies ist der Fall, wenn l ^ 1;73 hR (fr Stoffe mit v ¼ 0;3). Bei geringeren Lngen ist die Schale als am Umfang gelagerter Schalenstreifen auffassbar (Lsung s. unten). Außerdem ist bei Zylinderschalen auch das Durchschlagproblem zu beachten, das zu kleineren Beulspannungen fhrt. Nach [9] gilt hierfr die Nherungsformel sK ¼
0;605 þ 0;000369R=h Eh : 1 þ 0;00622R=h R
Ausknicken der Schale als Ganzes, d. h. wie ein Stab großer Lnge, tritt ein fr sK ¼ p2 ER2 =ð2l2 Þ: c) Unter Torsionsschubspannungen t. Nach [9] gilt fr die 3=2 Eh2 l Beulspannung tK ¼ 0;747 2 pffiffiffiffiffiffi : Dieser Wert ist zur l Rh Bercksichtigung von Vorbeulen mit dem Faktor 0,7 zu multiplizieren. Zylindrische Schalenstreifen (Bild 11 a, b) a) Unter Lngsspannung s bei gelenkig gelagerten Lngsrndern. pffiffiffiffiffiffi Fr b= Rh % 3;456: sK ¼
p2 Eh2 Eb2 þ ; 3ð1 v2 Þb2 4p2 R2 pffiffiffiffiffiffi 2E h fr b= Rh ^ 3;456: sK ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi : 12ð1 v2 Þ R
Bild 10 a–c. Beulung der Kreiszylinderschale
C
C 44
Festigkeitslehre – 8 Finite Berechnungsverfahren
7.3.3 Beulspannungen im unelastischen (plastischen) Bereich
C Bild 11 a, b. Beulung des Schalenstreifens
Die unter C 7.3.1 und C 7.3.2 angegebenen Formeln liefern Beulspannungen unter der Voraussetzung elastischen Materialverhaltens. Sie knnen nherungsweise auch fr den unelastischen Bereich zugrunde gelegt werden, wenn man sie im selben Verhltnis mindert, wie es sich fr Knickspannungen von Stben aus der Eulerkurve und der Engesser-v. Ka´rma´nkurve (nherungsweise Tetmajer-Gerade) ergibt. Fr S 235 s. hierzu DIN 4114 Blatt 1, Tafel 7.
b) Unter Schubspannung t bei gelenkig gelagerten Lngsrndern. Die kritischen Schubspannungen ergeben sich aus 2 rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi h 4 b4 E 1 þ 0;0146 2 2 : tK ¼ 4;82 R h b
8 Finite Berechnungsverfahren Die Theorien zur Formulierung physikalischer Sachverhalte fhren in der Regel auf mehrdimensionale Randwert- bzw. Anfangswertaufgaben, die durch ein System von Differentialgleichungen bzw. Integralgleichungen beschrieben werden [10]. Finite Berechnungsverfahren sind Verfahren, mit denen diese Differential- bzw. Integralgleichungen numerisch gelst werden knnen. Zum Einsatz kommen drei finite Berechnungsverfahren: Finite Element Methode (FEM), Finite Differenzen Methode (FDM), Boundary Element Methode (BEM).
8.1 Finite Elemente Methode Die Finite Elemente Methode ist ein Gebietsverfahren. Die zu untersuchende Struktur (Bauteil) wird in finite Elemente zerlegt (z. B. Kolben in Bild 1). Ein Stab, Balken wird in 1DElemente, eine Scheibe, Platte oder Schale in 2D-Elemente, ein Volumen in 3D-Elemente unterteilt (Bild 2). Fr das einzelne Element wird der mechanische Sachverhalt formuliert, ber die Knoten wird die Kopplung zu den angrenzenden Elementen durchgefhrt. Pro Element baut sich somit eine Gleichungszeile des Gleichungssystems auf, welches je nach Problemstellung den Rand- bzw. Anfangsbedingungen anzupassen ist. Bei der Verschiebungsmethode werden die Knotenverschiebungen, bei der Kraftgrßenmethode die Spannungen als Unbekannte eingefhrt. Fr jedes Element ergibt sich infolge der Einheitsverschiebungen seiner Knoten unter Beachtung des maßgeblichen Materialgesetzes (z. B. Hookesches Gesetz) die Steifigkeitsmatrix (verallgemeinerter Federkennwert), mit der aus den Gleichgewichtsbedingungen fr alle Knoten das GleiBild 2 a–g. Standardelemente. a 3D-; b Schalen-; c Scheiben-; d Platten-; e Axialsymmetrisches; f Stab-; g Balkenelement [16]; (Freiheits grade: Translation c ; Rotation cc )
chungssystem fr die unbekannten Verschiebungen folgt [1– 4]. Verschiebungen sind in erster Nherung linear fr die Elementrnder und das Elementinnere. Fr die Einheitsverschiebung u1 ¼ 1 ist dann die Verschiebungsfunktion (Bild 3) Bild 1 a, b. Kolben. a CAD-Modell; b FE-Netz
f1 ðx, yÞ ¼
1 ½xðy3 y2 Þ þ yðx2 x3 Þ þ x3 y2 x2 y3 , ð1Þ 2A
I8.1
Finite Elemente Methode
C 45
Hierbei ist mit der Querdehnungszahl v 0 1 1 u 0 E @ A: u 1 0 E¼ 1 v2 0 0 ð1 vÞ=2
ð7Þ
Knotenkrfte ergeben sich als Funktion der Verschiebungen uk ber das Gleichgewichtsprinzip der virtuellen Arbeiten (s. C 2.4.9) in Matrizenschreibweise [1 bis 7] ZZ sdeT h dx dy: ð8Þ FduTk ¼ ðAÞ
Bild 3. Ebenes Dreieckelement mit Verschiebungszustand u1 ¼ 1
A Flcheninhalt des Elements (s. www.dubbel.de). Dieselbe Funktion entsteht fr u1 ¼ 1. Entsprechende Funktionen f2 ðx; yÞ und f3 ðx; yÞ folgen fr u2 ¼ 1 und u2 ¼ 1 bzw. u3 ¼ 1 und u3 ¼ 1 : 1 f2 ðx; yÞ ¼ ½xðy1 y3 Þ þ yðx3 x1 Þ þ x1 y3 x3 y1 ; 2A 1 f3 ðx; yÞ ¼ ½xðy2 y1 Þ þ yðx1 x2 Þ þ x2 y1 x1 y2 : 2A
ðAÞ
bzw., da uk und duk unabhngig von x und y sind und ebenso E; g und gT elementweise konstant sind, ergibt sich F ¼ EggT hAuk ¼ k uk :
Fr die Gesamtverschiebung im Elementinnern (und auf dem Rand) infolge der Einheitsverschiebungen gilt dann ) uðx, yÞ ¼ f1 ðx, yÞ u1 þ f2 ðx, yÞ u2 þ f3 ðx, yÞ u3 , ð2Þ uðx, yÞ ¼ f1 u1 þ f2 u2 þ f3 u3 : u und u bilden den Verschiebungsvektor u. In Matrizenschreibweise 0 1 u1 B C B u2 C C u f f2 f3 0 0 0 B B u3 C ¼ 1 ð3Þ C u f2 f3 B 0 0 0 f1 B u1 C @ u2 A u3 bzw. in abgekrzter Form uðx; yÞ ¼ f uk ðk ¼ 1; 2; 3Þ:
Hierbei ist F ¼ Fk ¼ fFkx ; Fky g der Vektor der Knotenkrfte eines Elements, T die transponierte Matrix und h die Elementdicke. Mit den Gln. (5) und (6) folgt dann ZZ Eguk gT duTk h dx dy FduTk ¼
ð4Þ
Dehnungen und Gleitungen. Aus Gl. (2) folgt fr die elementweise konstanten Dehnungen und Gleitungen ex ; ey ; gxy ðs: C 1 Gln: ð12; 13ÞÞ ¶u 1 ¼ ½ðy3 y2 Þ u1 þ ðy1 y3 Þ u2 þ ðy2 y1 Þ u3 ¶x 2 A ¼ g1 u1 þ g2 u2 þ g3 u3 , ¶u 1 ey ¼ ¼ ½ðx2 x3 Þ u1 þ ðx3 x1 Þ u2 þ ðx1 x2 Þ u3 ¶y 2 A ¼ g4 u1 þ g5 u2 þ g6 u3 , ¶u ¶u gxy ¼ þ ¼ g4 u1 þ g5 u2 þ g6 u3 þ g1 u1 þ g2 u2 þ g3 u3 ¶y ¶x
ex ¼
A ist der Flcheninhalt des Elements. Mit k ist die Steifigkeitsmatrix des Elements gefunden. Hieran schließt sich das Zusammensetzen der Elemente zur Gesamtstruktur unter Herstellung des Gleichgewichts an jedem Knoten. Dies geschieht entweder nach der direkten Methode durch berlagern der Elementsteifigkeitsmatrizen, die einen Knoten betreffen, oder mathematisch durch Transformation ber eine Boolesche Matrix [5]. Mit FðaÞ als Vektor der ußeren Krfte folgt FðaÞ ¼ Ku;
ð10Þ
eine Matrizengleichung fr n vorhandene Knotenpunkte mit 2 n Verschiebungen, wobei K die Systemsteifigkeitsmatrix ist. Unter Bercksichtigung von m vorhandenen Verschiebungsrandbedingungen stellt Gl. (10) ein System von 2 n – m linearen Gleichungen fr die Verschiebungen der Knoten dar. Sind diese berechnet, so folgen aus Gl. (7) die zugehrigen Spannungen in den Knotenpunkten. Fr die Durchfhrung der umfangreichen Berechnungen stehen fr viele Computer Programmsysteme zur Verfgung. Einige einfhrende Beispiele s. [3, 4, 7] , theoretische Weiterentwicklungen der FEM s. [5, 6]. Anwendungen 1. Balkenelemente (Bild 4): Gesucht: Maximale Durchbiegung an der Stelle x ¼ 0. Gegeben: F ¼ 100 N; ‘ ¼ 120 mm; B ¼ 10 mm; H ¼ 20 mm: Mit E ¼ 2;1 105 wðx ¼ 0Þ ¼
bzw. in Matrizenschreibweise (s. www.dubbel.de) 0 1 u1 0 1 0 1B u2 l C C ex g1 g2 g3 0 0 0 B B C @ ey A ¼ 1 @ 0 0 0 g4 g5 g6 AB u3 C, B u1 C 2A B gxy g4 g5 g6 g1 g2 g3 @ C u2 A u3
N BH 3 6 666;7 mm4 und ; Iy ¼ 12 mm2
F‘3 0; 0412 mm 3EIy
(s. C 2.4.8 Tab. 4 a, Fall 6).
in abgekrzter Form e ¼ g uk :
ð5Þ
Spannungen. Mit einem Materialgesetz (Abhngigkeit zwischen Dehnungen und Spannungen), z. B. dem Hookeschen Gesetz (s. C 3 Gl. (13)), gilt in Matrizenform und mit Gl. (5) s ¼ Ee ¼ Eg uk :
ð6Þ
ð9Þ
Bild 4. Biegebalken und FE-Struktur
C
C 46
C
Festigkeitslehre – 8 Finite Berechnungsverfahren
Die Finite-Element-Rechnung ergibt bei 5 Elementen mit linearer Approximation: wðx ¼ 0Þ 0; 0411 mm. Die bei der FE-Rechnung ermittelten Reaktionskrfte (Momente) werden zur Berechnung der maximalen Spannung an der Einspannstelle herangezogen. 2. Scheibenelemente: Scheibe mit Loch unter einachsiger Zugbelastung (Bild 5 a). Gegeben: l ¼ 100 mm; d ¼ 20 mm, Scheibendicke h ¼ 1 mm, Zugbeanspruchung s ¼ 80 N=mm2 . Durch Ausnutzen der Symmetrieeigenschaften ergibt sich die in (Bild 5 b) dargestellte Struktur. Diese wurde mit 40 Scheibenelementen (quadratischer Ansatz) aufgebaut (Bild 5 c). Die FE-Berechnung lieferte den Deformations- und Spannungszustand der Scheibe. Die grßte Verschiebung ergibt sich am Rand x ¼ l=2 zu ux 0;021 mm. Die aus den Verschiebungen berechneten Spannungen aller Elemente haben ihren Grßtwert in dem Knotenpunkt 38 mit sx ¼ 240;7 N=mm2 , whrend in dem Knoten 28 die Spannung sx ¼ 77;2 N=mm2 ist. Mit der Nennspannung sn ¼ s l=ðl dÞ ¼ 100 N=mm2 folgt somit nach der FEM die Formzahl ak ¼ sx =sn ¼ 240;7=100 ¼ 2;41, whrend sich aus dem herkmmlichen Formzahl-Diagramm nach Wellinger-Dietmann [8] fr d=l ¼ 20=100 ¼ 0;2 der Wert ak ¼ 2;53 ergibt. Die Verlngerung des Stabs nach dem Hookeschen Gesetz betrgt Dl ¼ l s / E ¼ 100 mm 80 N=mm2 / ð2;1 105 N=mm2 Þ ¼ 0; 038 mm, wobei der Unterschied zum FEM-Ergebnis den Einfluss der Bohrung wiedergibt. Rechnet man nherungsweise lngs der Bohrung mit dem Nennquerschnitt, so ergibt sich u ¼ ðl dÞ s=E þ d sn =E ¼ 0; 04 mm. Diese Nherung liefert gegenber dem sicherlich genaueren FEM-Resultat nur noch eine Abweichung von 4,8%. 3. Plattenelemente: Eingespannte Deckplatte mit Einfllffnung (Kreisringplatte) (Bild 6 a). Gegeben: d1 ¼ 2400 mm; d2 ¼ 600 mm; h ¼ 10 mm, Flchenlast p ¼ 5 kN=m2 . Nach Aufteilung der Struktur in 216 Plattenelemente mit 240 Knoten (Bild 6 b) lieferte das Rechnerprogramm aus 1 296 Gleichungen die Verschiebungen (Durchbiegungen) aller Knotenpunkte und daraus die Spannungen an allen Elementen. Danach ergibt sich am freien Innenrand (Knoten 1) die maximale Durchbiegung zu f ¼ 8; 02 mm sowie die grßte Tangentialspannung zu st ¼ 40; 7 N=mm2 und an der Einspannung (Knoten 10) die grßte Radialspannung sr ¼ 54; 2 N=mm2 . Die Plattentheorie (s. C 5 [5]) liefert fr die Durchbiegung des Innenrands denselben Wert 8,02 mm und fr die Spannungen am freien Rand st ¼ 40;9 N=mm2 sowie am eingespannten Rand sr ¼ 51;1 N=mm2 , so dass fr letztere die Abweichung des FEM-Ergebnisses von dem der Plattentheorie 6,1% betrgt. 4. Axial- und 3D-Elemente: Dickwandiges Rohr unter Innenund Außendruck (Bild 7 a). Gegeben: Innendurchmesser di ¼ 40 mm, Außendurchmesser da ¼ 120 mm, Innendruck pi ¼ 6 bar, Außendruck pa ¼ 1 bar, gewhlte Breite b ¼ 20 mm. Zu berechnen sind die Tangential- bzw. Radialspan-
Bild 5 a–c. Scheibe mit Loch. a Struktur und Belastung; b Viertelscheibe; c FE-Struktur
Bild 6 a, b. Kreisringplatte. a Aufbau und Belastung; b FE-Struktur
Bild 7 a–c. Dickwandiges Rohr („unendlich lang“). a Bauteil mit Belastung; b Struktur (Axialsymmetrische Elemente); c Struktur (3D Elemente)
Tabelle 1. Vergleich der Tangential- und Radialspannung, analytisch und numerisch
nungen st , sr . Da es sich um einen rotationssymmetrischen Spannungszustand handelt, ist st ¼ st ðrÞ, sr ¼ sr ðrÞ. Die analytische Rechnung (Formeln s. C 5.3.2) ergibt am Innenrand st ¼ 0;525 N=mm2 und sr ¼ 0;6 N=mm2 , am Außenrand st ¼ 0;025 N=mm2 und sr ¼ 0;1 N=mm2 . Die numerischen Ergebnisse, gerechnet mit quadratischen Elementen, sind in Tab. 1 dem analytischen Ergebnis gegenbergestellt. Weitere Beispiele und Berechnungen zur Rohrleitungsstatik in [9].
I8.2 8.2 Randelemente Die Randelementmethode (REM) bzw. Boundary-ElementMethod (BEM) ist eine Integralgleichungsmethode, die in ihrem Ursprung auf die Tatsache zurckgeht, dass man die Lsung einer Differentialgleichung auf eine Integralgleichung ber die Greensche Funktion und die Belastungsfunktion zurckfhren kann. Die Greensche Funktion (Einflussfunktion) ist eine die Randbedingungen und die Differentialgleichung befriedigende Funktion infolge einer Einzellast F ¼ 1. Trger: Fr den bekannten Fall der Balkenbiegung (s. C 2.4.8) lautet die Differentialgleichung fr die Durchbiegungen w0000 ðxÞ ¼ qðxÞ=EIy : Im Falle eines an den Enden gelenkig gelagerten Trgers mit den Randbedingungen wðx ¼ 0Þ ¼ w00 ðx ¼ 0Þ ¼ wðx ¼ lÞ ¼ w00 ðx ¼ lÞ ¼ 0 (Bild 8 a) gilt die Lsung fr die Durchbiegungen in Integralgleichungsform: wðxÞ ¼
Zl 0
G0 ðx; xÞq ðxÞdx ¼
Zl
h0 ðx; xÞq ðxÞdx
ð11Þ
0
mit qðxÞ ¼ qðxÞ=EIy , wobei G(x, x) die Greensche Funktion (Einflussfunktion) fr die Durchbiegung an der Stelle x infolge einer Wanderlast F ¼ 1 an der Stelle x ist (Bild 8 b). An Stelle des griechischen Buchstaben x wird in der modernen Literatur fr die Laufvariable y verwendet, so auch nachfolgend. Da fr F ¼ 1 die Dgl. w0000 ðxÞ ¼ 0 gilt, folgt durch viermalige Integration fr die Greensche Funktion eine Parabel 3. Grades, die aber auch die Randbedingungen erfllen muss. Eine solche Funktion ist bereits nach C 2 Tab. 4 a, Fall 2 bekannt, wenn man dort a ¼ x, b ¼ ðl xÞ und x ¼ y, sowie F ¼ 1 setzt. Sie lautet G0 ðx, yÞ ¼ h0 ðx, yÞ ¼ xðl xÞð2 l xÞ y ðl xÞ y3 fr 0 % y % x, ð12Þ 1 6 EIy l xðl2 x2 Þðl yÞ þ xðl yÞ3 fr x % y % l: Einsetzen der Einflussfunktion (12) in Gl. (11) liefert die Biegelinie w(x) fr jede Lastfunktion q(x). Ferner erhlt man aus der Greenschen Funktion (12) durch einmalige Differentiation nach der Aufpunktkoordinate x die Einflusslinie fr die Biegewinkel ha ðx; yÞ ¼ ¶h0 =¶x, durch zweimalige Differentiation nach x die Einflusslinie fr die Biegemomente hM ðx; yÞ ¼ EIy ¶2 h0 =¶x2 und durch dreimalige Differentiation nach x die Einflusslinie fr die Querkrfte hQ ðx; yÞ ¼ EIy ¶2 h0 =¶x2 . Andererseits erhlt man fr festen Lastort y ¼ x durch Ableitung nach der Laufvariablen y aus Gl. (12) nach der ersten Ableitung die Neigungswinkellinie a( y, x), nach der zweiten Ableitung die Biegemomentenlinie Mb ðyÞ ¼ EIy ¶2 h0 =¶y2 und nach der dritten Ableitung nach y die Querkraftlinie FQ ðyÞ: Zusammenfassung: Kennt man fr Differentialgleichungsprobleme die Greensche Funktion, d. h. eine die Randbedingungen befriedigende Lsung infolge einer Wanderlast F ¼ 1, die
Randelemente
C 47
auch die Differentialgleichung erfllt, so ist nach Gl. (11) die Lsung des Problems fr jede beliebige Lastfunktion gegeben. Scheiben, Platten und Schalen. Hier sind nur in den seltensten Fllen die Greenschen Funktionen, d. h. die Lsung z. B. fr eine Platte mit einer Einzellast an beliebiger Stelle ðy1 ; y2 Þ fr jeden Ort ðx1 ; x2 Þ, welche die Randbedingungen erfllt, bekannt. Dagegen sind stets sogenannte Grund- oder Fundamentallsungen fr wðx1 ; x2 ; y1 ; y2 Þ infolge einer Einzelkraft F ¼ 1 in ðy1 ; y2 Þ fr Scheiben, Platten und Schalen bekannt [11], die als Lsung fr eine unendlich ausgedehnte Scheibe, Platte oder Schale angesehen werden knnen. Hier setzt zur Lsung des wirklichen Randwertproblems die Randelementmethode REM bzw. Boundary Element Method BEM wie folgt ein: Man denkt sich z. B. die wirkliche Platte aus dem unendlichen Gebiet W herausgeschnitten, bringt einmal die wirkliche Belastung qðy1 ; y2 Þ und das andere Mal die Ein^ 1 ; x2 Þ ¼ 1 sowie jeweils alle Randschnittgrßen zelkraft Fðx und Randverformungen auf (Bild 9 a, b) und verwendet den Satz von Betti: Fr 2 Gleichgewichtszustnde eines Systems ^ MÞ ^ mit den zugehrigen Verformungen (w, (F, M) und (F; ^ Þ gilt fr die Arbeiten: a) und ð^ w; a X X X X ^ þ ^ ¼ ^þ Fw M=a Fw M^ a; d:h: W1; 2 ¼ W2; 1 : Wendet man den Satz von Betti fr die Platten nach Bild 9 a, b an, so folgt: Z X ^n w þ M ^ n an Þ ds þ ^ e we ¼ W1,2 ¼ 1 wðx1 ,x2 Þ þ ðV F W2 , 1 ¼
Z
ZG ð13 aÞ X ^ n Þ ds þ ^ þ Mn a ^e p^ w dW þ ðVn w Fe w
W
G
und damit folgt fr die gesuchte Durchbiegung (Einflussfunktion): Z Z X ^ na ^ n Þ ds þ wðx1 , x2 Þ ¼ p^ w dW þ ðVn w ^ þM Fe w ^e W
Z
G
^n w þ M ^ n an Þ ds ðV
X
ð13 bÞ ^ e we F
G
bzw. wðx1 , x2 Þ ¼
Z
p^ w dW þ WRand 2; 1 WRand 1; 2 :
ð13 cÞ
W
Hierbei bedeutet das Integral ber W ein Gebietsintegral und die Integrale ber G sind Randintegrale. Dabei ist n die Richtung der Normalen am Rand und Vn bzw. Mn die Kirchhoffsche Randscherkraft (Ersatzquerkraft) und das Biegemoment in einer zu n senkrechten Randflche. Unendlich ausgedehnte Platte. Da die Gebietslsung infolge ^ ¼ 1 im Punkt ðx1 ; x2 Þ fr die Durchbiegung F wðx1 ; x2 ; y1 ; y2 Þ bekannt ist und nach [11, 12] lautet (sog. Grund- oder Fundamentallsung): 1 ð14Þ r 2 ln r, 8pN qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi wobei r ¼ ðy1 x1 Þ2 þ ðy2 x2 Þ2 den Abstand des Lastpunktes ðx1 ; x2 Þ z. B. von einem Randpunkt ðy1 ; y2 Þ bedeutet und N ¼ Eh3 =12ð1 v2 Þ die sog. Plattensteifigkeit ist (s. C 5.1), sind durch entsprechende Differentiationen auch alle Neigungswinkel, Biegemomente und Querkrfte, d. h. auch alle in Gl. (13) mit einem „Dach“ versehenen Randgrßen be^ 0 n und V ^0 n . ^0 n ; M ^ 0; a kannt, wie w w ^ 0 ðrÞ ¼ ^ g0 ðrÞ ¼
Bild 8 a, b. Einfeldtrger: a mit Streckenlast; b mit Wanderlast
Wirkliche Platte. Unbekannt sind hier von den 4 Randfunktionen w, an ; Mn ; Vn jeweils 2, whrend 2 durch die Randbedin-
C
C 48
Festigkeitslehre – 8 Finite Berechnungsverfahren
C Bild 10 a, b Allseits gelenkig gelagerte Stahlplatte a mit konst. Flchenlast; b Randelemente mit 8 Knoten
Lsung: Die Rnder werden in m ¼ 8 Randelemente mit m ¼ 8 Knoten unterteilt und die Berechnung mit einem BEM-Programm durchgefhrt. Als Ergebnis erhlt man fr die Plattenmitte M (Bild 10 b) die Durchbiegung w ¼ 2;19 mm und die Biegemomente mx1 ¼ mx2 ¼ 0;48 kNm/m und aus Letzterem die Biegespannungen s ¼ 28;8 N/mm2 . Zum Vergleich werden die Formeln nach C 5.1.1 herangezogen: w ¼ f ¼ c3 pb4 =Eh3 und s ¼ c1 pb2 =h2 , woraus mit den Koeffizienten c3 ¼ 0;71 und c1 ¼ 1;15 nach C 5 Tab. 1 die Werte w ¼ 2;11 mm und s ¼ 28;8 N/mm2 folgen, d. h. das Ergebnis nach REM weicht fr w um 3,8% und fr s um 0% von den Tafelwerten ab und stellt somit bei der groben Randeinteilung ein sehr gutes Ergebnis dar. Bild 9 a–c. Rechteckplatte: a unter Flchenlast; b unter der Hilfskraft ^ ¼ 1; c Randelemente mit Dachfunktion F
gungen der Platte vorgegeben sind. Z. B. sind im Falle einer allseits gelenkig gelagerten Platte die Werte an und Vn unbekannt, whrend w ¼ 0 und Mn ¼ 0 lngs des Randes vorgegeben sind. Die unbekannten Funktionen an und Vn werden nun nach der Randelementmethode numerisch fr m diskrete Randknoten, die durch m Randelemente verbunden sind, ermittelt, in dem man in jedem Knoten selbst, d. h. m-mal die Einzelkraft Fi ¼ 1 anbringt und m-mal den Satz von Betti anschreibt entsprechend Gl. (13 b) und dadurch m lineare Gleichungen fr die 2m Unbekannten ani und Vni bekommt ði ¼ 1 . . . mÞ. Weitere m Gleichungen erhlt man dadurch, dass man in je^ ¼ 1 anbringt, zu dem die dem Knoten ein Randmoment M Grundlsung gehrt: ^ g1 ðrÞ ¼
¶ 1 ¶r ^ g0 ðrÞ ¼ rð1 þ 2 ln rÞ : ¶r 8pN ¶n
ð15Þ
^ 1n ; V ^1n bekannt ^ 1n ; M ^ 1; a womit wiederum die Randgrßen w sind, und dass man auch dafr m-mal den Satz von Betti anschreibt. Um ber den Rand numerisch integrieren zu knnen, werden die Unbekannten ani und Vni mit Elementfunktionen ani ðsÞ ¼ ani jðsÞ bzw. Vni ðsÞ ¼ Vni yðsÞ verknpft, wofr in der Regel lineare „Dachfunktionen“ nach Bild 9 c ausreichen (fr Platten mit freien Elementrndern sind fr wi Hermitesche Polynome erforderlich, s. [12, 13, 14]). Sind alle Integrationen durchgefhrt, hat man 2 m Gleichungen fr die 2 m Unbekannten. Nach Lsung (unter Zusatzbetrachtungen fr die Eckkrfte) und Einsetzen in Gl. (13 b) erhlt man die Durchbiegungen wðx1 ; x2 Þ fr beliebige Punkte ðx1 ; x2 Þ und durch Differentiation die Neigungswinkel und Schnittlasten. Einzelheiten der Durchfhrung s. [12, 13, 14]. Beispiel: Fr eine gelenkig gelagerte quadratische Stahlplatte von 10 mm Dicke ðE ¼ 2;1 108 kN/m2 ) mit konstanter Flchenlast p ¼ 10 kN=m2 und den Kantenlngen 2a ¼ 2b ¼ 1;0 m sollen die Durchbiegung und die Biegemomente bzw. Biegespannungen in Plattenmitte nach der REM (BEM) ermittelt werden (Bild 10 a).
8.3 Finite Differenzen Methode Die FD-Methode ist wie die FE-Methode ein Gebietsverfahren. Die finiten Gleichungen werden fr einen Zentralpunkt aufgestellt. Um den mechanischen Bezug zum Problem zu gewhrleisten, werden die finiten Ausdrcke mit dem Prinzip der virtuellen Arbeit aufgebaut. Dieses Vorgehen wird fr einen Biegebalken mit dem Prinzip der virtuellen Verrckungen (s. C 2.4.9) gezeigt. Dazu wird die Gleichgewichtsaussage des Biegebalkens M 00 ¼ p mit einer virtuellen Verrckung dw ¼Z 1 multipliziert Z und zweimal partiell integriert. Das ergibt:
Mdw00 dx þ
p dw dx ¼ 0:
In diesem Fall arbeiten die Momente wie ußere Krfte an der virtuellen Verrckung dw. Die ußere Arbeit ist: Z M þ p dw dx ¼ 0 s: a: Bild 11: dWa ¼ 1 -2 1 h Das Integral wird berechnet unter der Annahme, dass p(x) parabolisch verluft (Bild 12). Mit C 2 Tab. 5 ergibt sich: Z Z Z p dw dx ¼ ð1Þð5Þ dx þ ð2Þð5Þ dxþ Z
ð3Þð6Þ dx þ
Z
ð4Þð6Þ dx ¼ 1 10 1
Bild 11. Eigenkraftgruppe
1 ph 12
I9.1
Allgemeines
C 49
Die gesamte Arbeit lautet: dWa ¼ 1 -2 1 M þ 1 10 1
h2 p¼0 12
Man kommt zum gleichen Ergebnis, wenn der Ausdruck Z Mdw00 dx als innere Arbeit gedeutet wird. An Stelle der Gelenke sind konzentrierte Krmmungen (im Sinne einer DiracFunktion) aufzugeben.
C Bild 12. v. V. dw ¼ 1
Beispiel: Biegebalken mit Streckenlast (Bild 13). Gesucht sind die Schnittlastmomente in den Punkten 1 und 2. Die Gleichung fr den Innenpunkt lautet: 1 -2 1 M þ 1 10 1
h2 p ¼ 0: 12
Es entsteht ein Gleichungsystem mit 2 Unbekannten i ¼ 1 : M0 2 M1 þ M2 þ ðp0 þ 10 p1 þ p2 Þ
h2 ¼0 12
i ¼ 2 : M1 2 M2 þ M3 þ ðp1 þ 10 p2 þ p3 Þ
h2 ¼0 12
Es ist : M0 ¼ M3 ¼ 0; p0 ¼ p1 ¼ p2 ¼ p3 ¼ p
9 Plastizittstheorie 9.1 Allgemeines Wird bei der Beanspruchung eines Werkstoffs die Elastizittsgrenze berschritten und treten nach Entlastung bleibende Dehnungen eb (Bild 1 a) auf, so handelt es sich um Beanspruchungen im plastischen (unelastischen) Bereich. Bei erneuter Belastung verhlt sich der Werkstoff elastisch, die Spannungs-Dehnungs-Linie besteht aus der zur Hookeschen Geraden OP Parallelen AP1 , d. h., als Folge der Kaltreckung wird die Streckgrenze erhht. Weitere Belastung bis zur Spannung sP2 erhht die Streckgrenze auf diesen Wert. Damit verbunden ist eine Versprdung des Materials, also eine Verringerung der Dehnbarkeit bis zum Eintreten des Bruchs. Unterwirft man einen Versuchsstab anschließend einer Druckbeanspruchung, so ergibt sich im Druckbereich eine erhebliche Herabsetzung der Fließgrenze, d. h., die Krmmung der Spannungs-Dehnungs-Linie setzt sehr frh ein, und bei anschließender Wiederbelastung bildet sich die HysteresisSchleife (Bild 1 b). Ihr Flcheninhalt stellt die bei einem Zyklus verlorengehende Formnderungsarbeit dar. Wird er mehrmals durchlaufen, so wird jedes Mal diese Arbeit verbraucht. Derartige dynamische Vorgnge fhren hufig zum
Bild 13. virtuelle Verrckung dw ¼ 1
Lsung: M1 ¼ M2 ¼ ph2 . Das Verfahren zum Aufstellen der finiten Gleichungen lsst sich problemlos auf Scheiben, Platten und Schalen bertragen [15].
baldigen Bruch des Bauteils (Bauschinger-Effekt) und gehren zur Zeitfestigkeit. Die Plastizittstheorie behandelt vorwiegend das Verhalten unter statischer Belastung. Nur sie ist im Folgenden zugrunde gelegt. Unterschieden wird: ideal-elastisch-plastisches Material (unlegierte Konstruktionssthle), Kurve 1 auf Bild 1 a, hierfr gilt s ¼ Ee fr eF % e % eF , s ¼ sF fr e ^ eF ; elastisch verfestigendes Material (vergtete Sthle), Kurve 2 auf Bild 1 a, hierfr gilt s ¼ Ee fr eF % e % eF , s ¼ Ajejk fr e ^ eF oder nherungsweise bei Ersatz der Kurve 2 durch eine Gerade 3 mit dem Verfestigungsmodul E2 ¼ tan a2 s ¼ sF þ E2 ðe eF Þ: Weitere Materialgesetze s. [2, 3], fr Kunststoffe [4]. Bei Entlastung des Werkstoffs gilt stets das lineare (Hookesche) Gesetz s ¼ Eðe eb Þ ¼ sP1 EðeP1 eÞ: Weitere Informationen siehe [6–8] Kriechen. Oberhalb der Kristallerholungstemperatur, bei der die Verfestigung infolge Kaltverformung aufgehoben wird (fr Stahl bei TK ^ 400 C), tritt unter konstanter Last eine mit der Zeit zunehmende Verformung, das Kriechen, ein (bei Kunststoffen schon bei normalen Temperaturen). Als Festigkeitswerte sind dann die Zeitstandfestigkeit Rm=t=T und die Zeitdehngrenze RP1=t=T , die zum Bruch bzw. zur Dehnung von 1% nach t ¼ 100 000 h bei der Temperatur T fhren, zu ermitteln (s. E 1.6.4).
Bild 1. a Spannungs-Dehnungs-Linien im plastischen Bereich; b Hysteresis-Schleife bei Beanspruchung im plastischen Bereich
Relaxation. Wird bei Stahl unter hohen Temperaturen ðT ^ 400 KÞ die Dehnung konstant gehalten, so werden vorhandene Zwangsspannungen mit der Zeit (durch Kriechen) abgebaut (bei Kunststoffen schon bei normalen Temperaturen).
C 50
Festigkeitslehre – 9 Plastizittstheorie
Umformtechnik. Hierbei handelt es sich um die Vorgnge bei der spanlosen Formgebung (Walzen, Pressen, Schmieden). Die plastischen Verformungen sind hier so groß, dass die elastischen in der Theorie [3] nicht bercksichtigt werden (s. S 3).
C
Viskoelastizittstheorie. Sie befasst sich mit dem elastischplastischen Verhalten der Kunststoffe unter besonderer Beachtung der Zeitabhngigkeit von Deformationen und Spannungen (Kriechen und Relaxation). Grundlagen sind die Materialgesetze von Maxwell und Kelvin [4]. Bild 2 a–c. Biegespannungen im plastischen Bereich. a Teilplastischer Querschnitt; b Spannungsberlagerung bei Entlastung; c Restspannungen nach Entlastung
9.2 Anwendungen 9.2.1 Biegung des Rechteckbalkens Unter der Annahme ideal-plastischen Materials (die Ergebnisse fr verfestigendes Material weichen im plastischen Anfangsdehnungsbereich nur unwesentlich ab) gilt nach Bild 2 a bei Voraussetzung, dass die Querschnitte auch im plastischen Bereich eben bleiben (Bernoullische Hypothese), mit der Hhe h und der Breite b des Balkens
MbF ¼ 2
Zh=2
sðzÞ zb dz mit sðzÞ ¼ sF z=a
0
fr 0 z a und sðzÞ ¼ sF fr a z h=2, d. h. MbF ¼ 2
Za 0
sF ðz2 =aÞ b dz þ 2
Zh=2 sF zb dz a
¼ 2sF ba2 =3 þ sF b½ðh=2Þ2 a2 ¼ sF ðbh2 =6Þð3=2 2 a2 =h2 Þ ¼ sF Wb ½1,5 ð2 a2 =h2 Þ ¼ MbE npl : MbE ist das Tragmoment des Rechteckquerschnitts bei Verlassen des elastischen Bereichs, npl die Sttzziffer, die angibt, in welchem Verhltnis sich das Tragmoment als Funktion des plastischen Ausdehnungsbereichs vergrßert. Fr a ¼ 0 (vollplastischer Querschnitt) wird npl ¼ 1; 5, d. h., die Tragfhigkeit ist um 50% grßer als beim Verlassen des elastischen Bereichs. Fr die Dehnung gilt eðzÞ ¼ ðeF =aÞz ¼ ðsF zÞ=ðEaÞ; emax ¼ sF h=ð2EaÞ; d. h., fr a ¼ 0 (vollplastischer Querschnitt) wird emax unendlich, die volle Ausschpfung der Tragfhigkeit setzt also sehr große Deformationen voraus (an der Stelle des grßten Moments bildet sich ein sog. plastisches Gelenk). Deshalb wird in der Praxis die Dehnung ep auf 0,2% begrenzt. Fr S 235 mit sF ¼ 240 N=mm2 und E ¼ 2; 1 105 N=mm2 wird eF ¼ sF =E ¼ 0; 114%, also emax ¼ ep þ eF ¼ 0; 314% und damit a ¼ sF h=ð2emax EÞ ¼ 0; 182h. Hiermit folgt fr die Sttzziffer npl ¼ 1; 5 2ða=hÞ2 ¼ 1; 43. Fr diesen Fall, also fr ep ¼ 0; 2%, wird npl sF ¼ K 0;2 , also gleich dem Formdehngrenzwert nach C 1.2. Ergebnisse fr verschiedene andere Querschnitte und Grundbeanspruchungsarten s. [1, 2]. Restspannung. Wird das am Querschnitt wirkende Moment MbF entfernt, so ist dies gleichwertig mit dem Aufbringen eines entgegengesetzt wirkenden Moments MbF (Bild 2 b). Da der Werkstoff bei Entlastung der Hookeschen Geraden AP1 (Bild 1 a) folgt, entstehen Spannungen se ðzÞ ¼ MbF z=Iy mit linearer Verteilung und dem Maximalwert se; max ¼ MbF =Wb . Die berlagerung mit den Spannungen s(z) nach Bild 2 a ergibt die Restspannungen sr ðzÞ ¼ sðzÞ se ðzÞ nach Bild 2 c, die bei ungleichfrmigen Spannungszustnden nach jeder Dehnung ber die Fließgrenze hinaus und anschließender Entlastung brig bleiben.
9.2.2 Rumlicher und ebener Spannungszustand Fließbedingungen. Fr ideal-elastisch-plastisches Material gilt nach Tresca ½ðs1 s2 Þ2 s2F ½ðs2 s3 Þ2 s2F ½ðs3 s1 Þ2 s2F ¼ 0: Hiernach setzt Fließen ein, wenn die grßte Hauptspannungsdifferenz den Wert sF erreicht. Sind s1 und s3 die grßte und kleinste Hauptspannung, so folgt s1 s3 ¼ 2tmax ¼ sF . Wird sv ¼ sF als einachsige Vergleichsspannung angesehen, so ist das Tresca-Gesetz identisch mit der Schubspannungshypothese (s. C 1.3.2). Fr v. Mises setzt man ðs1 s2 Þ2 þ ðs2 s3 Þ2 þ ðs3 s1 Þ2 ¼ 2 s2F : Hiernach setzt Fließen ein fr pffiffiffi qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi sV ¼ ð1= 2Þ ðs1 s2 Þ2 þ ðs2 s3 Þ2 þ ðs3 s1 Þ2 ¼ sF : Dieses Gesetz ist identisch mit der Gestaltungsnderungsenergiehypothese (s. C 1.3.3). Spannungs-Deformations-Gesetze Gesetz von Prandtl-Reuß. Es hat die infinite (differentielle) Form dV D ¼ dV D; e þ dV D; p ¼ ðdSD þ SD dlÞ=ð2GÞ bzw. nach Einfhrung der Verzerrungsgeschwindigkeiten _ V_ D ¼ ðS_ D þ SD lÞ=ð2GÞ: Hierbei ist V D der sog. Deviator des Verzerrungstensors V (s. C 1.1.2), d. h., es gilt V D ¼ V e I, wobei e ¼ ðex þ ey þ ez Þ=3 und I den Einheitskugeltensor darstellt. Der Verzerrungsdeviator gibt die Gestaltnderung bei gleichbleibendem Volumen wieder. SD ist der Deviator des Spannungstensors [5]. G ist der Schubmodul und dl bzw. l_ ist ein skalarer Proportionalittsfaktor, der sich durch Gleichsetzung der Gestaltnderungsenergien des rumlichen und des einachsigen Ver3 dsv gleichszustandes zu dl ¼ ergibt, wobei 2 Tp ðsv Þ sv Tp ¼ dsv =devp der plastische Tangentenmodul (Anstieg der sv evp -Linie) ist. Gesetz von Hencky. Dieses hat die finite Form 1 1 þ V D ¼ V D; e þ V D; p ¼ SD : 2G 2Gp Gp ist der variable Plastizittsmodul, der sich durch Anwendung des Gesetzes auf den einachsigen Vergleichszustand aus 1 sv 1 sv zu Gp ðevp Þ ¼ , d. h. aus der entsprechenden evp ¼ 2Gp 3 3 evp Spannungs-Dehnungs-Linie ergibt.
I10.1 Berechnungs- und Bewertungskonzepte Geschlossenes dickwandiges Rohr unter Innendruck. Es wird der Spannungszustand im Rohr bei Beginn der Plastifizierung an der Innenfaser (d. h. Rohr gerade noch im elastischen Bereich), bei Plastifizierung bis zur Wandmitte und bei voller Plastifizierung der Wand untersucht. Voll elastischer Zustand. Aus C 3 Gl: ð5Þ folgt mit trz ¼ tzr ¼ t ¼ 0 und R ¼ 0 die Gleichgewichtsbedingung d dsr þ sr st ¼ 0: ðr sr Þ st ¼ r dr dr Hieraus ergeben sich die Spannungen zu 9 2 r2 r > > sr ¼ p 2 i 2 a2 1 , > = ra ri r 2 2 > ri ra > þ 1 , sz ¼ p ri2 =ðra2 ri2 Þ: > st ¼ p 2 ; ra ri2 r 2
ð1Þ
Plastifizierung am Innenrand des Zylinders, d. h. fr rp ¼ ri , folgt aus Gl. (7) der zugehrige Innendruck zu sF r2 p1 ¼ pffiffiffi 1 i2 : ra 3 Fr die volle Plastifizierung folgt mit rp ¼ ra der Innendruck zu 2sF ra p2 ¼ pffiffiffi ln : ri 3 Damit folgt als Steigerung der Tragfhigkeit vom elastischen zum vollplastischen Zustand fr ein Rohr mit ra =ri ¼ 2
ð2Þ
Teilweise plastischer Zustand. Fr ideal elastisch-plastisches Material folgt aus der v. Mises-Fließbedingung mit s1 ¼ sr ; s2 ¼ st ; s3 ¼ sz ¼ 0;5ðsr þ st Þ die Fließbedingung pffiffiffi st sr ¼ 2sF = 3:
C 51
p2 =p1 ¼ 2 ln 2=0;75 ¼ 1;85: In Bild 3 ist der Verlauf der Spannungen fr ein Rohr mit ra =ri ¼ 2;0 und gerade noch elastischem Spannungszustand (d. h. rp ¼ ri , p ¼ p1 ¼ 0;43 sF ) bzw. mit halber Plastifizierung ðrp ¼ 1;5 ri , p ¼ 0;72 sF Þ bzw. mit voller Plastifizierung ðrp ¼ ra , p ¼ p2 ¼ 0;80 sF Þ dargestellt. Man erkennt die starken Spannungsumlagerungen zwischen dem elastischen und plastischen Zustand fr st und sz , dagegen nur geringe fr sr .
ð3Þ
Fr einen bis zum Radius rp plastifizierten Zylinder lauten die Spannungsformeln fr den elastischen Bereich ðr ^ rp Þ gemß Gln. (2) sF rp2 r 2 sr ¼ pffiffiffi 2 a2 1 , 3 ra r ð4Þ sF rp2 ra2 sF rp2 st ¼ pffiffiffi 2 2 þ 1 , sz ¼ pffiffiffi 2 : 3 ra r 3 ra Fr den plastischen Bereich ðr % rp Þ folgt aus Gl. (1) mit Gl. (3) die Gleichgewichtsbedingung r
dsr 2 sF pffiffiffi ¼ 0 dr 3
ð5Þ
und hieraus die Spannungen ! rp2 rp sF sr ¼ pffiffiffi 1 2 þ 2 ln , ra r 3
ð6 aÞ
! ! rp2 rp rp sF sF rp2 st ¼ pffiffiffi 1 þ 2 2 ln , sz ¼ pffiffiffi 2 2 ln : ð6 bÞ ra r r 3 3 ra Fr den Innendruck folgt mit sr ðri Þ ¼ p aus Gl. (6 a, b) ! rp2 rp sF p ¼ pffiffiffi 1 2 þ 2 ln : ð7Þ ra ri 3 Hieraus kann der Plastifizierungsradius rp als Funktion des Innendrucks ermittelt werden und umgekehrt. Bei Beginn der
10 Festigkeitsnachweis H. Mertens, Berlin Der Festigkeitsnachweis hat im Rahmen des Produktentstehungsprozesses die Aufgabe, alle mglichen Versagensarten eines Bauteils whrend der Produktlebensdauer auszuschließen. Grundstzlich kann dieser Nachweis durch umfassende Bauteilversuche mit anwendungsspezifischen Belastungen an fertigen Bauteilen auf statistischer Grundlage erbracht werden. Der zeitliche und finanzielle Aufwand fr solche be-
Bild 3. Spannungen im Rohr mit ra =ri ¼ 2;0
triebsnahen Versuche ist nicht unerheblich, andererseits aus Grnden der Produkthaftung nicht immer zu vermeiden. Zur Verringerung des Aufwandes knnen rechnerische Festigkeitsnachweise dienen, wenn die zugehrigen Berechnungen und Bewertungen alle relevanten Einflussgrßen in angemessener Weise bercksichtigen und Unsicherheiten durch problemangepasste Sicherheitsabstnde ausgeglichen werden.
10.1 Berechnungs- und Bewertungskonzepte Grundlegend fr jeden aussagefhigen Festigkeitsnachweis sind Kenntnisse bzw. begrndete Annahmen ber die wh-
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Festigkeitslehre – 10 Festigkeitsnachweis
rend der Produktlebensdauer auftretenden Bauteilbelastungen, wobei neben den planmßig zu erwartenden Betriebsbelastungen auch solche aus denkbaren Sonderereignissen zu beachten sind. Auch die auf das jeweilige Bauteil einwirkenden, eventuell zeitlich vernderlichen Umgebungseinflsse (Temperatur, Korrosionsmedien, energiereiche Strahlen), die zum Bauteilversagen beitragen knnen, sind fr eine Bewertung unerlßlich. Das Bauteil selbst wird vor allem durch seine Gestalt (Bauteilgeometrie) und die verwendeten Werkstoffe gekennzeichnet. In bestimmten Fllen sind aber auch die Oberflchenstruktur (Rauhigkeit, Verfestigungen und Eigenspannungen aus dem Fertigungsprozeß, siehe E 1.4) und Fertigmaßtoleranzen (Imperfektionen bei Stabilittsproblemen, C 7) versagensrelevant. Mit diesen Informationen lsst sich ein Festigkeitsnachweis nach Bild 1 aufbauen, wenn zur Bewertung geeignete, miteinander verknpfbare Wissensbasen zum Verhalten hnlicher Bauteile mit vergleichbaren Belastungsarten und Umwelteinflssen vorliegen. Durch die Wissensbasen werden das anzuwendende Berechnungsmodell und das zugehrige Bewertungsmodell festgelegt. Der Festigkeitsnachweis vergleicht die rechnerischen mit den zulssigen Bauteilbeanspruchungen. Auf gleiche Weise lassen sich auch Bauteilverzerrungen (Dehnungen, Gleitungen) bewerten. Durch wissensbasierte Berechnungs- und Bewertungsmodelle soll eine ausreichend genaue Beurteilung der in einem Maschinen- oder Anlagenteil ablaufenden schdigenden Vorgnge unter Beachtung der Wechselwirkungen mit der Umgebung ermglicht werden. Werden mit dem Berechnungsmodell zur Kennzeichnung der Beanspruchungen Nennspannungen ermittelt und mit dem Festigkeitsnachweis bewertet, so spricht man von einem Festigkeitsnachweis nach dem Nennspannungskonzept; werden Kerbgrundspannungen und/oder Kerbgrundverzerrungen beurteilt, so wird der Nachweis nach einem Kerbgrundkonzept gefhrt [1]. Darber hinaus werden zunehmend Bruchmechanikkonzepte angewendet, wenn Bauteilungnzen (z. B. ausgeschmiedete kleine Lunker) in die Bewertung einzubeziehen sind [2].
10.2 Nennspannungskonzepte Berechnungsmodelle zur Nennspannungsbestimmung beruhen meist auf stark vereinfachenden Annahmen zur Spannungsermittlung, wobei Spannungskonzentrationen an Bauteilkerben, Fgestellen und Einspannungen bewußt nicht beachtet werden. Deshalb mssen die Einflsse dieser jedoch schadensrelevanten Spannungskonzentrationen in den zulssigen Nennspannungen bercksichtigt werden. Die Berechnungen werden damit einfach, die Bewertungssicherheit hngt von den zum Vergleich verfgbaren Versuchsergebnissen ab. Zur Berechnung werden vorwiegend Stab- und Balkenmodelle nach C 2 oder Flchentragwerke nach C 5 benutzt; auch die blichen Stabilittsberechnungen nach C 7 sind hier einzuordnen. Charakteristische Rechenvorschriften haben die Schreibweise szn ¼ F=An oder sbn ¼ Mb =Wb oder ttn ¼ Mt =Wt ð1Þ mit der Zugnennspannung szn (neuerdings auch Sz ), der Biegenennspannung sbn (auch Sb ), der Torsionsnennspannung ttn (auch Tt ), dem Nennquerschnitt An , dem Biegewiderstandsmoment Wb sowie dem Torsionswiderstandsmoment Wt (siehe C 2.1.4, C 2.4.5, C 2.5.4). Die Bewertung erfolgt bei einachsiger Belastung beispielsweise mit den Festigkeitsbedingungen szn szn; zul oder sbn sbn; zul oder ttn ttn; zul
ð2Þ
und den zulssigen Werten der Zugnennspannung szn; zul ; der Biegenennspannung sbn; zul oder Torsionsnennspannungen ttn; zul aus Versuchen an weitgehend hnlichen Bauteilen sowie Belastungen und Sicherheitszuschlgen aus Betriebserfahrungen. Bei mehrachsiger Belastung kommen zweckmßigerweise Interaktionsformeln zur Anwendung; beispielsweise beim Festigkeitsnachweis von Wellen und Achsen nach DIN 743 szn sbn 2 ttn 2 þ þ 1: ð3Þ szn; zul sbn; zul ttn; zul Alternativ hierzu bewertet man Vergleichsnennspannungen mit sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ffi 2 szn; zul szn; zul 2 2 szn þ sbn þ ttn szn; zul :ð4Þ svn ¼ sbn; zul ttn; zul Gl. (4) entspricht formal der Schubspannungshypothese nach C 1.3.2 fr ðszn; zul =ttn; zul Þ2 ¼ 4 oder der v. MISES-Hypothese nach C 1.3.3, wenn lediglich Zugspannungen sx und Schubspannungen t wirken. Die „Ellipsengleichung“ (3) kann im Einzelfall von den tatschlichen Versuchsergebnissen abweichen. Zur Anpassung verwendet man dann beispielsweise statt Gl. (4) Interaktionsformeln mit den Exponenten s, t und Kombinationsfaktoren ks , kt szn ttn t sbn s 1: ks þ þkt szn; zul sbn; zul ttn; zul
Bild 1. Konzept eines Festigkeitsnachweises
ð5Þ
Die „Geradengleichung“ mit ks ¼ kt ¼ s ¼ t ¼ 1 wurde teilweise bei Reibkorrosionsproblemen [3, 4] und bei starken Frequenzunterschieden zwischen Normal- und Schubspannungen [5–7] beobachtet. Sofern weitere mehrachsige Nennspannungen in einer Bauteilzone berechnet werden knnen, wie beispielsweise in Schweißnhten, sind die Interaktionsformeln oder Vergleichsnennspannungs-Formeln zu erweitern; siehe hierzu G 1.1.5; allerdings kann dann die formale hnlichkeit zu den Festigkeitshypothesen nach C 1.3 nicht mehr in vollem Umfang gewahrt werden!
I10.3 Kerbgrundkonzepte Anwendungsnormen und -richtlinien. Da Nennspannungskonzepte im Grunde Versuchsumrechnungskonzepte sind, mssen bei ihrer Anwendung die bei der Versuchsauswertung und Dokumentation angewandten Strategien dem Anwender in praxistauglicher Form vermittelt werden. Ein anschauliches Beispiel bietet die Berechnung von Schweißnhten fr die verschiedenen Anwendungsgebiete mit den zugehrigen Normen und Vorschriften nach Anh. G 1 Tab. 2. Einen Einblick in die Struktur dieser Nennspannungskonzepte bringt G 1.1.5. Aus den Belastungen werden statische und dynamische Nennbeanspruchungen in den kritischen Bauteilquerschnitten berechnet. Fr den Maschinenbau ist dabei die Beschreibung der dynamischen Beanspruchungen durch Beanspruchungsgruppen B 1 bis B 6 nach der DIN 15 018, die durch Spannungs-(Lastspiel-)bereiche N 1 bis N 4 und Spannungskollektive S0 bis S3 bestimmt sind, sehr hilfreich. Die Angabe der zulssigen Spannungen erfolgt dann hinreichend genau in Abhngigkeit von diesen Beanspruchungsgruppen durch Bezug auf charakteristische Naht- und Anordnungsformen (Kerbflle) K 1 bis K 4; berblick in G 1.1.5 mit Tab. 4 bis 6 und Bildern 22 und 23. Dieser Ermdungsfestigkeitsnachweis – auch Betriebsfestigkeitsnachweis genannt – schließt mit dem Spannungskollektiv S 3 (mit konstanter Beanspruchungsamplitude) und dem Spannungsspielbereich N 4 (mit ber 2 106 Lastwechseln) den Dauerfestigkeitsnachweis mit ein. Die Bercksichtigung von Mittel-(Nenn-)Spannungen erfolgt mit dem Dauerfestigkeitsschaubild (Smith-Diagramm) nach Bild 23. Der Nachweis fr vorwiegend statische Beanspruchungen (bis 104 Schwingspiele) – der statische Festigkeitsnachweis – wird getrennt gefhrt. Hinweise zu Anwendungsnormen und Richtlinien weiterer Bauteilverbindungen siehe G 1. Die FKM-Richtlinie zum Festigkeitsnachweis fr Maschinenbauteile, in die umfangreiches Wissen aus frheren TGL-Standards eingeflossen ist [8], wurde inzwischen auf Bauteile aus Al-Legierungen erweitert [9]. Auch die Dimensionierung von Zahnradgetrieben nach G 8 erfolgt teilweise nach einem Nennspannungskonzept. Kerbwirkungszahl. Die vielfltigen Einflsse auf die Bauteilfestigkeit erschweren eine einfache bertragbarkeit der zulssigen bzw. ertragbaren Beanspruchungen von Prfkrpern auf andersartig gestaltete, gefertigte und belastete Bauteile. Eine erfolgreiche bertragung von Versuchsergebnissen auf Bauteile kann nur erwartet werden, wenn die dominanten Schdigungsmechanismen, die zum Versagen des Prfkrpers fhrten, in vergleichbarer Weise auch bei dem zu beurteilenden Bauteilverhalten wirksam werden. Die sicherste bertragbarkeit wird dann erreicht, wenn Prfkrper und Bauteil derselben Bauteilgruppe angehren; deshalb knnen beispielsweise errechnete Beanspruchungen in Zahnrdern mit Versuchen an Standard-Referenz-Prfrdern unter Standard-Prfbedingungen mit hoher Aussagesicherheit beurteilt werden. Weichen Prfkrper und Bauteil strker voneinander ab oder sind die Belastungs- oder Umgebungseinwirkungen nicht gleichartig, dann werden die rechnerischen Vorhersagen strker von dem spteren realen Bauteilverhalten abweichen. Die in der Praxis hufig verwendeten Kerbwirkungszahlen bk (auch Kf ), die das Verhltnis von ertragbaren Nennbeanspruchungen an glatten, ungekerbten Werkstoffproben (beispielsweise der Dauerfestigkeit sD ) zu ertragbaren Nennspannungen an gekerbten Proben (beispielsweise der Bauteildauerfestigkeit sDk ) angeben, bk ¼ sD =sDk ;
ð6Þ
knnen folglich nur dann zur sicheren bertragung von Versuchsergebnissen genutzt werden, wenn ein ausreichend genaues Umrechnungsverfahren fr Kerbwirkungszahlen auf der Grundlage der wirksamen Schdigungsmechanismen vorliegt. Einen Ansatz fr solche Umrechnungsverfahren bieten bei Bauteilen mit krftefreien Oberflchen die Kerbgrundkon-
C 53
zepte, bei reib- und kraftschlssigen Bauteilverbindungen mssen auch tribologische Kenngrßen in die Bewertung einfließen (siehe E 5).
10.3 Kerbgrundkonzepte Kerbgrundkonzepte fr Bauteile mit krftefreien Oberflchen erfordern die Kenntnis der Beanspruchungen (Spannungen, Dehnungen, Gleitungen) im Bereich der anrißgefhrdeten Bauteilstellen. Diese Beanspruchungen knnen grundstzlich bei Kenntnis der statischen und zyklischen Werkstoffgesetze nach E 1 (z. B. Bild 22) mit nichtlinearen Berechnungen nach der Methode der Finiten Elemente (FEM) entsprechend C 8 einschließlich einer geeigneten Plastizittstheorie nach C 9 berechnet werden. Da die Rechenzeiten fr solche Berechnungen mit derzeitigen Rechnern immens hoch sind, wird man sich im allgemeinen auf lineare FEM-Berechnungen beschrnken und den Einfluss der Nichtlinearitten durch erfahrungsgesttzte Konzepte fr Mikro- und Makrosttzwirkung bercksichtigen. Werden die durch Spannungsumlagerungen bedingten Sttzwirkungen nicht in die Beurteilung einbezogen, erhlt man bei sonst gleichen Annahmen Aussagen mit erhhter Sicherheit; das zugehrige Konzept wird als elastisches Kerbgrundkonzept bezeichnet. Die Grundlagen dieses Konzepts mit rtlichen, elastischen Spannungen bilden die Bausteine fr die gngigen erweiterten Konzepte mit Sttzwirkung. Elastische Formzahl (Spannungsformzahl). Durch das Verhltnis der errechneten, hchsten elastischen Kerbgrundspan^ bzw. ^t zu einer einfach zu ermittelnden Nennspannung s nung sn bzw. tn , werden elastische Formzahlen ak definiert, die fr die praktische Berechnung wegen ihrer Nhe zur Kerbwirkungszahl bk (nach Gl. (6)) ußerst ntzlich sind. Oft gilt ^ =sn bzw: ak ¼ ^t=tn ak ¼ s
ð7Þ
mit einer Nennspannung, die auf den engsten Bauteilquerschnitt bezogen wird; beispielsweise Anh. E 1 Tab. 4. Abweichend hierzu kann bei durchbohrten Stben auch die Definiti^ =tn o. . notwendig werden, wenn die schadensreleon ak ¼ s vante Zugspannung am Bohrungsrand durch eine Torsionsnennbelastung hervorgerufen wird! Vereinzelt werden auch Vergleichsspannungen nach der MISES-Hypothese auf Nennspannungen bezogen, die Formzahlen sollten dann mit einem Index gekennzeichnet werden (akv statt ak ). Mikrosttzwirkung. Das Verhltnis nc der Formzahl ak zur Kerbwirkungszahl bk bei Dauerfestigkeit wird neben dem Werkstoff vor allem vom Kerbradius r beeinflusst. In E 1 Bild 34, wird dieser Zusammenhang verdeutlicht. Bei kleineren Kerbradien, die stets zu einer Formzahlerhhung fhren, ist danach die Sttzwirkung grßer als bei grßeren Radien. In der Praxis des Maschinenbaus sind alternativ verschiedene Umrechnungsverfahren zur Bestimmung der relevanten Sttzzahlen ns ¼ aks =bks bzw: nt ¼ akt =bkt
ð8Þ
bei Normalspannungen bzw. Schubspannungen blich. Grundlage dieser Verfahren ist meist das Spannungsgeflle G in Richtung der Oberflchennormalen n ðGs ¼ d s=d n bzw. Gt ¼ d t=d n) an der hchstbeanspruchten Stelle der betrachteten Bauteilkerbe (s. E 1 Bild 32). Die Sttzwirkung bei Dauerfestigkeit wird dann ber das auf die Spannungs^ a bzw. ^ta bezogene Spannungsgeflle Gs ¼ amplituden s Gs =^ sa bzw. Gt ¼ Gt =^ta unter Beachtung einer Mikrosttzlnge rs bzw. rt berechnet. Hufig werden die Sttzzahlen nach qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ð9Þ ns ¼ 1 þ rs Gs bzw: nt ¼ 1 þ rt Gt
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bestimmt. In erster Nherung gilt bei Zug-Druck und Biegung Gs ¼ 2=r und bei Schub Gt ¼ 1=r mit dem Kerbradius r sowie bei Wellensthlen sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 55 N=mm G ns nt ¼ 1 þ Rp 0;2 ½mm1 2
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ð10Þ
mit der Dehngrenze Rp 0;2 [3]. Genauere Schtzformeln siehe FKM-Richtlinie [9] oder DIN 743. Die Berechnung der Sttzzahlen aus ns und nt ermglicht rckwirkend die Vorhersage der zu erwartenden Kerbwirkungszahlen und damit nach Gl. (8) und dann nach Gl. (6) die Berechnung der dauernd ertragbaren Nennspannungsamplituden in Bauteilen mit krftefreien Oberflchen bei Kenntnis der Werkstoff-Dauerfestigkeiten – zunchst fr den Fall reiner Wechselbeanspruchungen. Unter Beachtung der erforderlichen Sicherheiten folgen die zulssigen Nennspannungsamplituden, die in Gl. (3) oder Gl. (4) bentigt werden. Treten zustzlich zu den Wechselbeanspruchungen Mittelspannungen auf oder sollen Zeitfestigkeitsberechnungen durchgefhrt werden, so ist es ntzlich, neben der mindestens erreichbaren Mikrosttzwirkung auch die ber grßere Bauteilbereiche wirkende Makrosttzwirkung durch plastische Umlagerung der Spannungen und Dehnungen zu bercksichtigen.
svm ¼
qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ðszm þ sbm Þ2 þ 3 t2m
entsprechend der v. MISES-Hypothese, wobei keinesfalls alle Reserven – besonders bei Druckspannungen – genutzt werden. Verbesserte Gleichungen fr synchrone und auch phasenverschobene Beanspruchungen siehe [5–7]. Dort knnen auch Zeitfestigkeitsberechnungen fr nahezu beliebige Beanspruchungsverlufe gefunden werden. Realittsnahe Zeitfestigkeitsberechnungen mit hoher Aussagegte erfordern auch fr Spannungsamplituden die Anwendung von Makrosttzzahlen ma : Hinweis: Bei mehrachsiger Zugbelastung, beispielsweise nach Bild 2, knnen an den Kerbstellen einachsige Beanspruchungsverhltnisse entstehen. Dieses ist bei der Aufstellung von Interaktionsformeln fr solche Anwendungsflle zu beachten. Die formale bertragung von Vergleichsspannungshypothesen als Leitidee zur Formulierung von Interaktionsformeln – wie in der FKM-Richtlinie [9] – kann bei nicht sachgerechter Vorgehensweise zu Fehlinterpretationen fhren. Im vorliegenden Beispiel wre die an die Interaktionsformel der DIN 15 018 anknpfende Formel fr die Nennspannungsamplituden sya 2 sxa sya sxa 2 þ s s s s xa; zul
Makrosttzwirkung. Der Einfluss der Mittelspannungen (Mittelspannungsempfindlichkeit s. E 1 Bild 21) wird in der Werkstofftechnik durch Dauerfestigkeitsschaubilder nach Smith oder Haigh nach E 1 Bild 20 oder Anh. E 1 Bilder 1 und 2, dokumentiert, die sich oft auf Probendurchmesser 7,5 mm beziehen. Fr die praktische Anwendung bentigt man dann Grßeneinflussfaktoren zur Umrechnung der ertragbaren Beanspruchungen auf andere Durchmesser. Grßeneinflussfaktoren sind im Wesentlichen von der durchmesserabhngigen Werkstoffzugfestigkeit Rm und/oder der Dehngrenze Rp 0;2 abhngig. Umrechnungsverfahren siehe u. a. FKM-Richtlinie [9] oder DIN 743. Die tatschlichen wirksamen Zug-Mittelspannungen sind vor allem bei fließfhigen Bauteilen erheblich niedriger als die mit linearen FEM-Berechnungen oder elastischen Formzahlen ak errechenbaren Zug-Mittelspannungen, da sich durch Fließen und zyklisches Kriechen die hchstbeanspruchten Stellen des gefhrdeten Bauteilbereichs zu Lasten der Nachbarbezirke entlasten. Dieser Sachverhalt erklrt, warum bei verformungsfhigen Werkstoffen und bei Vermeidung von extremer Mehrachsigkeit des Spannungszustands hufig lediglich die Nenn-Mittelspannungen bercksichtigt werden; vergleiche hierzu Schweißnahtberechnungen nach DIN 15 018 u. . Die Makrosttzwirkung lsst sich formal mit der Makrosttzzahl m in den Festigkeitsnachweis einbeziehen. Bei einachsiger Beanspruchung gilt fr die wirksame Mittelspannung ^ m =ðns mÞ bzw: tm ¼ ^tm =ðnt mÞ: sm ¼ s
ð12Þ
ya; zul
xa; zul
tta 2 þ 1; 0 tta; zul
ya; zul
ð13Þ
nicht sachgerecht. Notwendig ist wegen der vorliegenden Einachsigkeit der Kerbgrundbeanspruchungen und der Phasenverschiebung der zeitlich vernderlichen Nennspannungen – getrennt fr die Außenkerben und die Bohrung – je eine Interaktionsformel entsprechend kx sxa þ ky sya 1; 0 ð14Þ sxa; zul sya; zul mit von der Phasenverschiebung der Nennspannungen abhngigen Kombinationsfaktoren kx und ky (hnlich Gl. (5)). Deshalb ist bei Bauteilen mit mehreren nichtsynchronen Belastungsgruppen der Einsatz von Interaktionsformeln mglichst experimentell abzusichern oder – sofern realisierbar – ein abgesichertes Kerbgrundkonzept anzuwenden.
ð11Þ
^ m ¼ aks smn und verformungsfhigem BauteilquerBei s schnitt kann die Makrosttzzahl m ¼ aks =ns betragen, sodass sm ¼ smn folgt; analoges gilt fr Schubspannungen. Da Eigenspannungen wie Mittelspannungen wirken und sofern „Nenneigenspannungen“ der Wert Null zugewiesen werden kann, beispielsweise in statisch bestimmten Bauteilen, relaxieren Eigenspannung bei Vermeidung von Spannungsversprdung im Kerbgrund tendenziell gegen Null. Ist die Verformbarkeit des Werkstoffs eingeschrnkt, dann gelten diese einfachen Regeln nicht. Methoden zur Berechnung der Makrosttzzahl [6, 9]. Bei mehrachsiger Beanspruchung und Verformungsfhigkeit gilt fr Wellen und Achsen (DIN 743) als Vergleichs-Nennmittelspannung
Bild 2. Knotenblech mit Bohrung sowie zeitlich vernderlichen Nennbeanspruchungen
I11 Anhang C: Diagramme und Tabellen
C 55
11 Anhang C: Diagramme und Tabellen Anh. C 2 Tabelle 1. Warmgewalzte I-Trger, schmale I-Trger, I-Reihe nach DIN 1025 Blatt 1 (Auszug)
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Anh. C 2 Tabelle 2. Warmgewalzte I-Trger, breite I-Trger, IPB-Reihe nach DIN 1025 Blatt 2 (Auszug)
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Festigkeitslehre – 11 Anhang C: Diagramme und Tabellen
Anh. C 2 Tabelle 3. Warmgewalzter rundkantiger, hochstegiger T-Stahl nach DIN 1024 (Auszug)
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Anh. C 2 Tabelle 4. Warmgewalzter gleichschenkliger rundkantiger Winkelstahl nach DIN 1028 (Auszug)
I11 Anhang C: Diagramme und Tabellen
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Anh. C 2 Tabelle 5. Warmgewalzter rundkantiger Z-Stahl nach DIN 1027 (Auszug)
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Festigkeitslehre – 11 Anhang C: Diagramme und Tabellen
Anh. C 2 Tabelle 6. Warmgewalzter ungleichschenkliger rundkantiger Winkelstahl nach DIN 1029 (Auszug)
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I12 Spezielle Literatur
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Anh. C 2 Tabelle 7. Warmgewalzter rundkantiger U-Stahl nach DIN 1026 (Auszug)
C
12 Spezielle Literatur zu C 1 Allgemeine Grundlagen [1] Leipholz, H.: Einfhrung in die Elastizittstheorie. Karlsruhe: Braun 1968. – [2] Biezeno, C.; Grammel, R.: Technische Dynamik, 2. Aufl. Berlin: Springer 1971. – [3] Mller, W.: Theorie der elastischen Verformung. Leipzig: Akad. Verlagsgesell. Geest u. Portig 1959. – [4] Neuber, H.: Technische Mechanik, Teil II. Berlin: Springer 1971. – [5] Betten, J.: Elastizitts- und Plastizittstheorie, 2. Aufl. Braunschweig: Vieweg 1986. – [6] Siebel, E.: Neue Wege der Festigkeitsrechnung. VDI – Z. 90 (1948) 135–139. – [7] Siebel, E.; Rhl, K.: Formdehngrenzen fr die Festigkeitsberechnung. Die Technik 3 (1948) 218–223. – [8] Siebel, E.; Schwaigerer, S.: Das Rechnen mit Formdehngrenzen. VDI-Z: 90 (1948) 335–341. – [9] Schwaigerer, S.: Werkstoffkennwert und Sicherheit bei der Festigkeitsberechnung. Konstruktion 3 (1951) 233–239. – [10] Wellinger, K.; Dietmann, H.: Festigkeitsberechnung, 3. Aufl. Stuttgart: Krner 1976. zu C 2 Beanspruchung stabfrmiger Bauteile [1] Szabo´, I.: Einfhrung in die Technische Mechanik, 8. Aufl. Berlin: Springer 1975, Nachdruck 2003. – [2] Weber,
C.: Biegung und Schub in geraden Balken. Z. angew. Math. u. Mech. 4 (1924) 334–348. – [3] Schultz-Grunow, F.: Einfhrung in die Festigkeitslehre. Dsseldorf: Werner 1949. – [4] Szabo´, I.: Hhere Technische Mechanik, 6. Aufl. Berlin: Springer 2001. – [5] Neuber, H.: Technische Mechanik, Teil II. Berlin: Springer 1971. – [6] Leipholz, H.: Festigkeitslehre fr den Konstrukteur. Berlin: Springer 1969. – [7] Young, W. C.; Budynas, R. G.: Roark's Formulas for Stress and Strain, 7th ed. Singapore: McGraw-Hill 2002. zu C 3 Elastizittstheorie [1] Szabo´, I.: Hhere Technische Mechanik, 6. Aufl. Berlin: Springer 2001. – [2] Girkmann, K.: Flchentragwerke, 3. Aufl. Wien: Springer 1954. – [3] Timoshenko, S.; Goodier, J. N.: Theory of Elasticity, 3rd ed. Singapore: McGraw-Hill 1987. zu C 4 Beanspruchung bei Berhrung zweier Krper (Hertzsche Formeln) [1] Hertz, H.: ber die Berhrung fester elastischer Krper. Ges. Werke, Bd. I. Leipzig: Barth 1895. – [2] Szabo´, I.: Hhere Technische Mechanik, 5. Aufl. Berlin: Springer 1977. – [3] Fppl, L.: Der Spannungszustand und die Anstrengung der
C 60
Festigkeitslehre – 12 Spezielle Literatur
Werkstoffe bei der Berhrung zweier Krper. Forsch. Ing.Wes. 7 (1936) 209–221. – [4] Timoshenko, S.; Goodier, J. N.: Theory of elasticity, 3rd ed. Singapore: McGraw-Hill 1987.
C
zu C 5 Flchentragwerke [1] Girkmann, K.: Flchentragwerke, 6. Aufl. Nachdruck der 5. Aufl. Wien: Springer 1963. – [2] Na´dai, A.: Die elastischen Platten. Berlin: Springer 1925 (Nachdruck 1968). – [3] Wolmir, A. S.: Biegsame Platten und Schalen. Berlin: VEB Verlag f. Bauwesen 1962. – [4] Czerny, f.: Tafeln fr vierseitig und dreiseitig gelagerte Rechteckplatten. Betonkal. 1984, Bd. I. Berlin: Ernst 1990. – [5] Beyer, K.: Die Statik im Stahlbetonbau. Berlin: Springer 1948. – [6] Worch, G.: Elastische Platten. Betonkal 1960, Bdd. II. Berlin: Ernst 1960. – [7] Timoshenko, S.; Woinowsky-Krieger, S.: Theory of plates and shells, 2nd ed. Kogakusha: McGraw-Hill 1990. zu C 6 Dynamische Beanspruchung umlaufender Bauteile durch Fliehkrfte [1] Biezeno, C.; Grammel, R.: Technische Dynamik, 3. Aufl. Berlin: Springer 1995. zu C 7 Stabilittsprobleme [1] Szabo´, I.: Hhere Technische Mechanik, 6. Aufl. Berlin: Springer 2001. – [2] Kollbrunner, C. F.; Meister, M.: Knicken, Biegedrillknicken, Kippen, 2. Aufl. Berlin: Springer 1961. – [3] Biezeno, C.; Grammel, R.: Technische Dynamik, 3. Aufl. Berlin: Springer 1990. – [4] Pflger, A.: Stabilittsprobleme der Elastostatik. Berlin: Springer 1950. – [5] Brgermeister, G.; Steup, H.: Stabilittstheorie. Berlin: Akademie-Verlag 1963. – [6] Timoshenko, S.: Theory of elastic stability. New York: McGraw-Hill 1961. – [7] Wolmir, A. S.: Biegsame Platten und Schalen. Berlin: VEB Verlag f. Bauwesen 1962. – [8] Flgge, W.: Statik und Dynamik der Schalen, 3. Aufl. Berlin 1981. – [9] Schapitz, E.: Festigkeitslehre fr den Leichtbau, 2. Aufl. Dsseldorf: VDI-Verlag 1963. zu C 8 Methode der Finiten Elemente (FEM), der Randelemente (BEM) und der Finiten Differenzen (FDM) [1] Zienkiewicz, O. C.: Methoden der finiten Elemente, 2. Aufl. Mnchen: Hanser 1975. – [2] Gallagher, R. H.: FiniteElement-Analysis. Berlin: Springer 1976. – [3] Schwarz, H. R.: Methode der finiten Elemente, 3. Aufl. Stuttgart: Teubner 1991. – [4] Link, M.: Finite Elemente in der Statik und Dynamik, 3. Aufl. Stuttgart: Teubner 2002. – [5] Argyris, J.; Mlejnek, H.-P.: Die Methode der finiten Elemente. Bd. I–III. Braunschweig: Vieweg 1986–1988. – [6] Bathe, K.-J.: FiniteElement-Methoden, 2. Aufl. Berlin: Springer 2002. – [7] Oldenburg, W.: Die Finite-Elemente-Methode auf dem PC. Braunschweig: Vieweg 1989. – [8] Wellinger, K.; Dietmann, H.: Festigkeitsberechnung, Grundlagen und technische Anwendung. 3. Aufl. Stuttgart: Krner 1976. – [9] Hampel, H.: Rohrleitungsstatik, Grundlagen, Gebrauchsformeln, Beispiele. Berlin: Springer 1972. – [10] Collatz, L.: Numerische Behandlung von Differentialgleichungen, 2. Aufl. Berlin: Springer 1955. – [11] Girkmann, K.: Flchentragwerke, 6. Aufl. Nachdruck der 5. Aufl. Wien: Springer 1963. – [12] Hartmann, F.: Methode der Randelemente. Berlin: Springer 1987. – [13] Brebbia, C. A.; Telles, J. C. F.; Wrobel, L. C.: Boundary Element Techniques, Berlin: Springer 1987. – [14]
Zotemantel, R.: Berechnung von Platten nach der Methode der Randelemente, Dissertation 1985: Universitt Dortmund. – [15] Giencke, E; Petersen, J.: Ein finites Verfahren zur Berechnung schubweicher orthotroper Platten. Der Stahlbau 6/ 1970. – [16] Mller, G.; Rehfeld, J.; Katheder, W.: FEM fr Praktiker, 2. Aufl. Grafenau: expert verlag 1995. zu C 9 Plastizittstheorie [1] Wellinger, K.; Dietmann, H.: Festigkeitsberechnung. Grundlagen und technische Anwendung, 3. Aufl. Stuttgart: Krner 1976. – [2] Reckling, K. A.: Plastizittstheorie und ihre Anwendung auf Festigkeitsprobleme. Berlin: Springer 1967. – [3] Lippmann, H.; Mahrenholtz, O.: Plastomechanik der Umformung metallischer Werkstoffe. Berlin: Springer 1967. – [4] Schreyer, G.: Konstruieren mit Kunststoffen. Mnchen: Hanser 1972. – [5] Szabo´, I.: Hhere Technische Mechanik. Korrigierter Nachdruck der 5. Aufl. Berlin: Springer 1977. – [6] Ismar, H.; Mahrenholtz, O.: Technische Plastomechanik, Braunschweig: Vieweg 1998. – [7] Kreißig, R.; Drey, K.-D., Naumann, J.: Methoden der Plastizitt. Mnchen: Hanser 1980. – [8] Lippmann, H.: Mechanik des plastischen Fließens. Berlin: Springer 1981. Zu C 10 Festigkeitsnachweis [1] Mertens, H.: Kerbgrund- und Nennspannungskonzept zur Dauerfestigkeitsberechnung – Weiterentwicklung des Konzepts der Richtlinie VDI 2226. In VDI-Berichte 661: Dauerfestigkeit und Zeitfestigkeit – Zeitgemße Berechnungskonzepte. Tagung Bad Soden, 1988. Dsseldorf: VDI-Verlag, 1988. – [2] FKM-Richtlinie: Bruchmechanischer Festigkeitsnachweis fr Maschinenbauteile. 1. Ausgabe, Forschungskuratorium Maschinenbau e. V., Frankfurt am Main: VDMAVerlag 2001. – Normen: DIN 743: Tragfhigkeitsberechnung von Wellen und Achsen. – DIN 15018, Teil 1 – 3: Krane, Stahltragwerke, Berechnung und Ausfhrung. – [3] Gerber, H. W.: Statisch berbestimmte Flanschverbindungen mit Reib- und Formschlusselementen unter Torsions-, Biege- und Querkraftbelastung. Forschungsheft 356 der Forschungsvereinigung Antriebstechnik e. V., Frankfurt 1992. – [4] Paysan, G.: Ein Wirkzonenkonzept zur Simulation des Verschleißund Tragverhaltens reibkorrosionsgefhrdeter Maschinenelemente. Dissertation TU-Berlin, 2000. – [5] Hahn, M.: Festigkeitsberechnung und Lebensdauerabschtzung fr Bauteile unter mehrachsig schwingender Beanspruchung. Dissertation TU Berlin 1995. Berlin: Wissenschaft und Technik Verlag Dr. Jrgen Groß, 1995. – [6] Mertens, H.; Hahn, M.: Vergleichsspannungshypothese und Schwingfestigkeit bei zweiachsiger Beanspruchung ohne und mit Phasenverschiebung. Konstruktion 45 (1993) 192–202. – [7] Mertens, H.; Hahn, M.: Vorhersage von Bauteilwhlerlinien fr Nennspannungskonzepte. Konstruktion 49 (1997) 31–37. – [8] FKM-Richtlinie: Rechnerischer Festigkeitsnachweis fr Maschinenbauteile. 3., vollstndig berarbeitete und erweiterte Ausgabe. Forschungskuratorium Maschinenbau e.V., Frankfurt 1998. – [9] FKMRichtlinie: Rechnerischer Festigkeitsnachweis fr Maschinenbauteile aus Stahl, Eisenguss- und Aluminiumwerkstoffen. 4., erweiterte Ausgabe, Forschungskuratorium Maschinenbau e. V., Frankfurt am Main: VDMA-Verlag 2002.
D
Thermodynamik
K. Stephan, Stuttgart, und P. Stephan, Darmstadt Allgemeine Literatur zu D 1 bis D 10 Bcher: Baehr, H. D.: Mollier-i, x-Diagramm fr feuchte Luft in den Einheiten des Internationalen Einheitensystems. Berlin: Springer 1961. – Baehr, H. D.: Thermodynamik. Grundlagen und technische Anwendungen. 12. Aufl. Berlin: Springer 2005. – Baehr, H. D.; Stephan, K.: Wrme- und Stoffbertragung, 5. Aufl. Berlin: Springer 2006. – Bosˇnjakovic´, F.; Knoche, K. F.: Technische Thermodynamik, Teil 1, 8. Aufl. 1998; Teil 2, 6. Aufl. 1997. Darmstadt: Steinkopff. – Brandt, F.: Brennstoffe und Verbrennungsrechnung. Fachverband Dampfkessel-Behlter- und Rohrleitungsbau. Fachbuchreihe, Bd. 1, 3. Aufl. Essen: Vulkan 1999. – Brandt, F.: Wrmebertragung in Dampferzeugern und Wrmetauschern. Fachverband Dampfkessel-Behlter- und Rohrleitungsbau. Fachbuchreihe, Bd. 2, 2. Aufl. Essen: Vulkan 1995. – Cammerer, J. S.: Der Wrme- und Klteschutz in der Industrie. 5. Aufl. Berlin: Springer 1995. – Cerbe, G.; Hoffmann, H.-J.: Einfhrung in die Thermodynamik, 15. Aufl. Mnchen: Hanser 2002. – Hausen, H.: Wrmebertragung im Gegenstrom, Gleichstrom und Kreuzstrom, 2. Aufl. Berlin: Springer 1976. – Langeheinecke, K. (Hrsg).; Jany, P.; Sapper, E.: Thermodynamik fr Ingenieure, 3. Aufl. Braunschweig: Vieweg 2001. – Lucas, K.: Thermodynamik, 5. Aufl. Berlin: Springer 2005. – Merker, G. P.; Baumgarten, C.: Fluid- und Wrmetransport, Strmungslehre. Stuttgart: Teubner 2000. – Stephan, K.: Wrmebergang beim Kondensieren und beim Sieden. Berlin: Springer 1988. – Stephan, K.; Mayinger, F.: Thermodynamik, Bd. 2: Mehrstoffsysteme und chemische Reaktionen, 14. Aufl. Berlin: Springer 1999. – Stephan, P.; Schaber, K.; Stephan, K.; Mayinger, F.: Thermodynamik, Bd. 1: Einstoffsysteme. 16. Aufl. Berlin: Springer 2005 – Wagner, W.; Kruse, A.: Properties of water and steam. Zustandsgrßen von Wasser und Wasserdampf. Berlin: Springer 1998.
1 Thermodynamik. Grundbegriffe Die Thermodynamik ist als Teilgebiet der Physik eine allgemeine Energielehre. Sie befasst sich mit den verschiedenen Erscheinungsformen der Energie und deren Umwandlung ineinander. Sie stellt die allgemeinen Gesetze bereit, die jeder Energieumwandlung zugrunde liegen.
1.1 Systeme, Systemgrenzen, Umgebung Unter einem thermodynamischen System, kurz auch System genannt, versteht man dasjenige materielle Gebilde oder Gebiet, das Gegenstand der thermodynamischen Untersuchung sein soll. Beispiele fr Systeme sind eine Gasmenge, eine Flssigkeit und ihr Dampf, ein Gemisch mehrerer Flssigkeiten, ein Kristall oder eine energietechnische Anlage. Das System wird durch eine materielle oder gedachte Systemgrenze von seiner Umwelt, der sog. Umgebung getrennt. Eine Systemgrenze darf sich whrend des zu untersuchenden Vorgangs verschieben, beispielsweise wenn sich eine Gasmenge ausdehnt, und sie darf außerdem fr Energie und Materie durchlssig sein. Energie kann ber eine Systemgrenze mit einer ein- oder austretenden Materie sowie in Form von Wrme (D 3.2.3) und Arbeit (D 3.2.1) transportiert werden. Das System mit seiner Systemgrenze dient bei der Betrachtung und Berechnung von Energieumwandlungsprozessen als Bilanzraum mit seiner Bilanzgrenze. Stellt man z. B. eine Energiebilanz (D 3 Erster Hauptsatz) fr das System auf, so werden die ber die Systemgrenze ein- und austretenden Energien und die Energienderungen und Eigenschaften im System in Form einer Bilanzgleichung miteinander verknpft. Ein System heißt geschlossen, wenn die Systemgrenze fr Materie undurchlssig und offen, wenn sie fr Materie durchlssig ist. Whrend die Masse eines geschlossenen Systems unvernderlich ist, ndert sich die Masse eines offenen Systems, wenn die whrend einer bestimmten Zeit in das System einstrmende Masse von der ausstrmenden verschieden ist. Sind einstrmende und ausstrmende Masse gleich, so bleibt auch die Masse des offenen Systems konstant. Beispiele fr ge-
schlossene Systeme sind feste Krper oder Massenelemente in der Mechanik, Beispiele fr offene Systeme sind Turbinen, Strahltriebwerke, strmende Fluide (Gase oder Flssigkeiten) in Kanlen. Ist ein System gegenber seiner Umgebung vollkommen thermisch isoliert, kann also keine Wrme ber die Systemgrenze transportiert werden, so spricht man von einem adiabaten System. Abgeschlossen nennt man ein System, das von allen Einwirkungen seiner Umgebung isoliert ist, sodass weder Energie in Form von Wrme oder Arbeit noch Materie mit der Umgebung ausgetauscht werden. Die Unterscheidung zwischen geschlossenem und offenem System entspricht der Unterscheidung zwischen Lagrangeschem und Eulerschem Bezugssystem in der Strmungsmechanik. Im Lagrangeschen Bezugssystem, das dem geschlossenen System entspricht, untersucht man die Bewegung eines Fluids, indem man dieses in kleine Elemente von unvernderlicher Masse zerlegt und deren Bewegungsgleichung ableitet. Im Eulerschen Bezugssystem, das dem offenen System entspricht, denkt man sich im Raum ein festes Volumenelement aufgespannt und untersucht die Strmung des Fluids durch das Volumenelement hindurch. Beide Arten der Beschreibung sind einander quivalent, und es ist oft nur eine Frage der Zweckmßigkeit, ob man ein geschlossenes oder offenes System der Betrachtung zugrunde legt.
1.2 Beschreibung des Zustands eines Systems. Thermodynamische Prozesse Ein System wird durch bestimmte physikalische Grßen charakterisiert, die man messen kann, beispielsweise Druck, Temperatur, Dichte, elektrische Leitfhigkeit, Brechungsindex und andere. Der Zustand eines Systems ist dadurch bestimmt, dass alle diese physikalischen Grßen, die sog. Zustandsgrßen, feste Werte annehmen. Den bergang eines Systems von einem Zustand in einen anderen nennt man Zustandsnderung. Beispiel: Ein Ballon ist mit Gas gefllt. Thermodynamisches System sei das Gas. Die Masse des Gases ist, wie die Messung zeigt, durch Volumen, Druck und Temperatur bestimmt. Zustandsgrßen des Sys-
D
D2
D
Thermodynamik – 2 Temperaturen. Gleichgewichte
tems sind also Volumen, Druck und Temperatur, und der Zustand des Systems (Gases) ist durch ein festes Wertetripel von Volumen, Druck und Temperatur gekennzeichnet. Den bergang zu einem anderen festen Wertetripel, beispielsweise wenn eine gewisse Gasmasse ausstrmt, nennt man Zustandsnderung.
Beispiel: Das Volumen, die Energie oder die Masse selbst.
Den mathematischen Zusammenhang zwischen Zustandsgrßen nennt man Zustandsgleichung.
Beispiel: Extensive Zustandsgrße sei das Volumen eines Gases, spezifische Zustandsgrße ist dann das spezifische Volumen u=V/m, wenn m die Masse des Gases ist. SI-Einheit des spez. Volumens ist m3 =kg.
Beispiel: Das Volumen des Gases in einem Ballon erweist sich als eine Funktion von Druck und Temperatur. Der mathematische Zusammenhang zwischen diesen Zustandsgrßen ist eine solche Zustandsgleichung.
Zustandsgrßen unterteilt man in drei Klassen: Intensive Zustandsgrßen sind unabhngig von der Grße des Systems und behalten somit bei einer Teilung des Systems in Untersysteme ihre Werte bei. Beispiel: Unterteilt man einen mit Gas von einheitlicher Temperatur gefllten Raum in kleinere Rume, so bleibt die Temperatur unverndert. Sie ist eine intensive Zustandsgrße.
Zustandsgrßen, die proportional zur Masse des Systems sind, heißen extensive Zustandsgrßen.
2 Temperaturen. Gleichgewichte 2.1 Thermisches Gleichgewicht Hufig sprechen wir von „heißen“ oder „kalten“ Krpern, ohne solche Zustnde zunchst genau durch eine Zustandsgrße zu quantifizieren. Bringt man nun ein solches geschlossenes heißes System A mit einem geschlossenen kalten System B in Kontakt, so wird ber die Kontaktflche Energie in Form von Wrme transportiert. Dabei ndern sich die Zustandsgrßen beider Systeme mit der Zeit bis sich nach hinreichend langer Zeit neue feste Werte einstellen und der Energietransport zum Stillstand kommt. In diesem Endzustand herrscht thermisches Gleichgewicht zwischen den Systemen. Die Geschwindigkeit, mit der die Systeme diesen Gleichgewichtszustand erreichen, hngt von der Art des Kontakts der Systeme sowie ihrer thermischen Eigenschaften ab. Sind die Systeme z. B. nur durch eine dnne Metallwand voneinander getrennt, so wird sich das Gleichgewicht schneller einstellen, als wenn sie durch eine dicke Wand aus Polystyrolschaum getrennt sind. Eine Trennwand, die lediglich jeden Stoffaustausch und auch jede mechanische, magnetische oder elektrische Wechselwirkung verhindert, den Transport von Wrme jedoch zulsst, nennt man diatherm. Eine diatherme Wand ist „thermisch“ leitend. Eine thermisch vollkommen isolierende Wand, nennt man adiabat.
2.2 Nullter Hauptsatz und empirische Temperatur Herrscht thermisches Gleichgewicht zwischen den Systemen A und C und den Systemen B und C, dann befinden sich erfahrungsgemß auch die Systeme A und B im thermischen Gleichgewicht, wenn man sie ber eine diatherme Wand miteinander in Kontakt bringt. Diesen Erfahrungssatz bezeichnet man als „nullten Hauptsatz der Thermodynamik“. Er lautet: Zwei Systeme im thermischen Gleichgewicht mit einem dritten befinden sich auch untereinander im thermischen Gleichgewicht.
Dividiert man eine extensive Zustandsgrße X durch die Masse m des Systems, so erhlt man eine spezifische Zustandsgrße x ¼ X=m.
Zustandsnderungen kommen durch Wechselwirkungen mit der Umgebung des Systems zustande, beispielsweise dadurch, dass Energie ber die Systemgrenze zu- oder abgefhrt wird. Zur Beschreibung einer Zustandsnderung gengt es, allein den zeitlichen Verlauf der Zustandsgrßen anzugeben. Die Beschreibung eines Prozesses erfordert zustzlich Angaben ber Grße und Art der Wechselwirkungen mit der Umgebung. Unter einem Prozess versteht man somit die durch bestimmte ußere Einwirkungen hervorgerufenen Zustandsnderungen. Der Begriff Prozess ist also weiter gefasst als der Begriff Zustandsnderung. So kann z. B. ein und dieselbe Zustandsnderung durch verschiedene Prozesse hervorgerufen werden.
Um festzustellen, ob sich zwei Systeme A und B im thermischen Gleichgewicht befinden, bringt man sie nacheinander in Kontakt mit einem System C, dessen Masse klein sei im Vergleich zu derjenigen der Systeme A und B, damit Zustandsnderungen in den Systemen A und B whrend der Gleichgewichtseinstellung vernachlssigbar sind. Bringt man C erst mit A in Kontakt, so ndern sich bestimmte Zustandsgrßen von C, beispielsweise sein elektrischer Widerstand. Diese Zustandsgrßen bleiben beim anschließenden Kontakt zwischen B und C unverndert, wenn zuvor thermisches Gleichgewicht zwischen A und B herrschte. Mit C kann man so prfen, ob zwischen A und B thermisches Gleichgewicht herrscht. Den Zustandsgrßen von C nach Einstellung des Gleichgewichts kann man beliebige feste Zahlen zuordnen. Diese nennt man empirische Temperaturen, das Messgert selbst ist ein Thermometer.
2.3 Temperaturskalen Zur Konstruktion und Definition der empirischen Temperaturskalen dient das Gasthermometer (Bild 1), mit dem man den Druck p misst, der vom Gasvolumen V ausgebt wird. Das Gasthermometer wird nun mit Systemen in Kontakt gebracht, deren thermischer Zustand konstant ist, z. B. ein Gemisch aus Eis und Wasser bei festgelegtem Druck. Nach hinreichend langer Zeit wird das Gasthermometer im thermischen Gleichgewicht mit dem in Kontakt befindlichen System sein. Das Gasvolumen V wird dabei durch Verndern der Hhe Dz der Quecksilbersule konstant gehalten. Der durch die Quecksilbersule und die Umgebung ausgebte Druck p wird gemessen und das Produkt pV gebildet. Messungen bei verschiedenen hinreichend geringen Drcken ergeben durch Extrapolation einen Grenzwert lim pV ¼ A. Diesem aus den p!0
Messungen ermittelten Wert A ordnet man eine empirische Temperatur zu durch den linearen Ansatz T ¼ const A:
ð1Þ
Nach Festlegung der Konstanten „const“ braucht man nur jeweils den Wert A aus den Messungen zu ermitteln und kann dann aus Gl. (1) die empirische Temperatur T berechnen. Dem zur Festlegung der empirischen Temperaturskala ben-
I2.3
Bild 1. Gasthermometer mit Gasvolumen V im Kolben bis zur Quecksilbersule
tigten „Fixpunkt“ hat die 10. Generalkonferenz fr Maße und Gewichte in Paris 1954 den Tripelpunkt des Wassers mit der Temperatur Ttr ¼ 273,16 Kelvin (abgekrzt 273,16 K) zugeordnet. Am Tripelpunkt des Wassers stehen Dampf, flssiges Wasser und Eis miteinander im Gleichgewicht bei einem Druck von (611; 657 0; 010) Pa. Die so eingefhrte Temperaturskala bezeichnet man als Kelvin-Skala. Sie ist identisch mit der thermodynamischen Temperaturskala. Es ist T ¼ Ttr A=Atr ;
ð1 aÞ
wenn Atr der mit einem Gasthermometer am Tripelpunkt des Wassers gemessene Wert der Grße A ist. Auf der Celsius-Skala, deren Temperatur t man in C angibt, wurde der Eispunkt des Wassers beim Druck von 0,101325 MPa mit t0 ¼ 0 °C und der Siedepunkt beim gleichen Druck mit tl ¼ 100 °C festgelegt. In absoluten Temperaturen entspricht dies recht genau T0 ¼ 273; 15 K bzw. Tl ¼ 373; 15 K. Die Temperatur Ttr ¼ 273; 16 K am Tripelpunkt des Wassers liegt um rund 0,01 K hher als die Temperatur am Eispunkt. Die Umrechnung der Temperaturen erfolgt entsprechend der Zahlenwertgleichung T ¼ t þ 273; 15
ð2Þ
mit t in C und T in K. Im Angelschsischen ist noch die Fahrenheit-Skala blich mit der Temperatur am Eispunkt des Wassers bei 32 F und der am Siedepunkt bei 212 F (Druck jeweils 0,101325 MPa). Zur Umrechnung einer in F angegebenen Temperatur tF in die Celsius-Temperatur t in C gilt t ¼ 59 ðtF 32Þ:
ð3Þ
Die vom absoluten Nullpunkt in F gezhlte Skala bezeichnet man als Rankine-Skala (R). Es ist TR ¼ 95 T;
ð4Þ
TR in R, T in K. Der Eispunkt des Wassers liegt bei 491,67 R. 2.3.1 Die Internationale Praktische Temperaturskala Da die genaue Messung von Temperaturen mit Hilfe des Gasthermometers schwierig und zeitraubend ist, hat man die Internationale Praktische Temperaturskala durch Gesetz eingefhrt. Sie wird vom internationalen Komitee fr Maß und
Temperaturskalen
D3
Gewicht so festgelegt, dass die Temperatur in ihr mglichst genau die thermodynamische Temperatur bestimmter Stoffe annhert. Die Internationale Praktische Temperaturskala ist durch die Schmelz- und Siedepunkte dieser Stoffe festgelegt, die so genau wie mglich mit Hilfe des Gasthermometers in den wissenschaftlichen Staatsinstituten der verschiedenen Lnder bestimmt wurden. Zwischen diesen Festpunkten wird durch Widerstandsthermometer, Thermoelemente und Strahlungsmessgerte interpoliert, wobei bestimmte Vorschriften fr die Beziehungen zwischen den unmittelbar gemessenen Grßen und der Temperatur gegeben werden. Die wesentlichen, in allen Staaten gleichen Bestimmungen ber die Internationale Temperaturskala lauten: 1. In der Internationalen Temperaturskala von 1948 werden die Temperaturen mit „C“ oder „C (Int. 1948)“ bezeichnet und durch das Formelzeichen t dargestellt. 2. Die Skala beruht einerseits auf einer Anzahl fester und stets wieder herstellbarer Gleichgewichtstemperaturen (Fixpunkte), denen bestimmte Zahlenwerte zugeordnet werden, andererseits auf genau festgelegten Formeln, die die Beziehungen zwischen der Temperatur und den Anzeigen von Messinstrumenten, die bei diesen Fixpunkten kalibriert werden, herstellen. 3. Die Fixpunkte und die ihnen zugeordneten Zahlenwerte sind in Tabellen (s. Anh. D 2 Tab. 1) zusammengestellt. Mit Ausnahme der Tripelpunkte entsprechen die zugeordneten Temperaturen Gleichgewichtszustnden bei dem Druck der physikalischen Normalatmosphre, d. h. per definitionem bei 0,101325 MPa. 4. Zwischen den Fixpunkttemperaturen wird mit Hilfe von Formeln interpoliert, die ebenfalls durch internationale Vereinbarungen festgelegt sind. Dadurch werden Anzeigen der sog. Normalgerte, mit denen die Temperaturen zu messen sind, Zahlenwerte der Internationalen Praktischen Temperatur zugeordnet.
Zur Erleichterung von Temperaturmessungen hat man eine Reihe weiterer thermometrischer Festpunkte von leicht gengend rein herstellbaren Stoffen so genau wie mglich an die gesetzliche Temperaturskala angeschlossen. Die wichtigsten sind im Anh. D 2 Tab. 2 zusammengestellt. Als Normalgert wird zwischen dem Tripelpunkt von 13,8033 K (=–259,3467 C) des Gleichgewichtswasserstoffs und dem Erstarrungspunkt des Silbers bei 1 234,93 K (=961,78 C) das Platinwiderstandsthermometer verwendet. Zwischen dem Erstarrungspunkt des Silbers und dem Erstarrungspunkt des Goldes von 1 337,33 K (=1 064,18 C) benutzt man als Normalgert ein Platinrhodium (10% Rhodium)/Platin-Thermopaar. Oberhalb des Erstarrungspunkts von Gold wird die Internationale Praktische Temperatur durch das Plancksche Strahlungsgesetz h i 2 exp lðtAucþT 1 Jt 0Þ h i ð5Þ ¼ JAu exp c2 1 lðtþT0 Þ
definiert; Jt und JAu bedeuten die Strahlungsenergien, die ein schwarzer Krper bei der Wellenlnge l je Flche, Zeit und Wellenlngenintervall bei der Temperatur t und beim Goldpunkt tAu aussendet; c2 ist der als 0,014388 Meterkelvin festgesetzte Wert der Konstante c2 ; T0 ¼ 273; 15 K ist der Zahlenwert der Temperatur des Eisschmelzpunkts; l ist der Zahlenwert einer Wellenlnge des sichtbaren Spektralgebiets in m. Praktische Temperaturmessung s. W 2.7 und [1].
D
D4
Thermodynamik – 3 Erster Hauptsatz
3 Erster Hauptsatz Wv 12 ¼
3.1 Allgemeine Formulierung
D
ð1Þ
Eine grundlegende Formulierung des ersten Hauptsatzes lautet: Jedes System besitzt eine extensive Zustandsgrße Energie. Sie ist in einem abgeschlossenen System konstant.
3.2 Die verschiedenen Energieformen Um den ersten Hauptsatz mathematisch formulieren zu knnen, muss man zwischen den verschiedenen Energieformen unterscheiden und diese definieren.
3.2.1 Arbeit In der Thermodynamik bernimmt man den Begriff der Arbeit aus der Mechanik und definiert: Greift an einem System eine Kraft an, so ist die an dem System verrichtete Arbeit gleich dem Produkt aus der Kraft und der Verschiebung des Angriffspunkts der Kraft. Es ist die lngs eines Wegs z zwischen den Punkten 1 und 2 von der Kraft F verrichtete Arbeit W12 ¼
Z2
F dz:
ð2Þ
1
Unter mechanischer Arbeit Wm12 versteht man die Arbeit der Krfte, die ein geschlossenes System der Masse m von der Geschwindigkeit w1 auf w2 beschleunigen und es im Schwerefeld gegen die Fallbeschleunigung g von der Hhe z1 auf z2 anheben. Das heißt, die kinetische Energie m w2 =2 und die potentielle Energie des Systems mgz werden verndert. Es gilt 2 w w2 Wm12 ¼ m 2 1 þ mgðz2 z1 Þ: ð3Þ 2 2 Gleichung (3) ist bekannt als der Energiesatz der Mechanik. Volumenarbeit ist die Arbeit, die man verrichten muss, um das Volumen eines Systems zu ndern. In einem System vom Volumen V, das den vernderlichen Druck p besitzt, verschiebt sich dabei ein Element dA der Oberflche um die Strecke dz. Die verrichtete Arbeit ist Z dWv ¼ p dA dz ¼ pdV; ð4Þ A
und es ist
p dV:
ð5Þ
1
Der erste Hauptsatz ist ein Erfahrungssatz. Er kann nicht bewiesen werden und gilt nur deshalb, weil alle Schlussfolgerungen, die man aus ihm zieht, mit der Erfahrung in Einklang stehen. Er besagt allgemein, dass Energie nicht verloren geht und nicht aus dem Nichts entsteht. Energie ist also eine Erhaltungsgrße. Das bedeutet, dass die Energie eines Systems E nur durch Austausch von Energie mit der Umgebung gendert werden kann, wobei man vereinbart, dass eine dem System zugefhrte Energie positiv, eine abgefhrte negativ ist. Der Austausch von Energie mit der Umgebung kann prinzipiell auf drei Arten erfolgen: durch Transport von Wrme Q, von Arbeit W oder von Masse ber die Systemgrenze, wobei die an Massetransport gebundene Energie Em sei. In differentieller Schreibweise lautet die allgemeine Formulierung des ersten Hauptsatzes somit d E ¼ d Q þ d W þ d Em :
Z2
Das Minuszeichen kommt dadurch zustande, dass eine zugefhrte Arbeit vereinbarungsgemß positiv ist und zu einer Volumenverkleinerung fhrt. Gleichung (5) gilt nur, wenn der Druck p im Inneren des Systems in jedem Augenblick der Zustandsnderung eine eindeutige Funktion des Volumens und gleich dem von der Umgebung ausgebten Druck ist. Ein kleiner ber- oder Unterdruck der Umgebung bewirkt dann entweder eine Volumenabnahme oder -zunahme des Systems. Man bezeichnet solche Zustandsnderungen, bei denen ein beliebig kleines „bergewicht“ gengt, um sie in der einen oder anderen Richtung ablaufen zu lassen, als reversibel. Gleichung (5) ist daher die Volumenarbeit bei reversibler Zustandsnderung. In wirklichen Prozessen bedarf es zur berwindung der Reibung im Inneren des Systems eines endlichen berdrucks der Umgebung. Solche Zustandsnderungen sind irreversibel. Die zugefhrte Arbeit ist um den dissipierten Anteil ðWdiss Þ12 grßer. Die Volumenarbeit bei irreversibler Zustandsnderung ist Wv 12 ¼
Z2
p dV þ ðWdiss Þ12 :
ð6Þ
1
Die stets positive Dissipationsarbeit erhht die Energie des Systems und bewirkt einen anderen Zustandsverlauf p(V) als im reversiblen Fall. Voraussetzung fr die Berechnung des Integrals in Gl. (6) ist, dass p eine eindeutige Funktion von V ist. Die Gl. (6) gilt also beispielsweise nicht mehr in einem Systembereich, durch den eine Schallwelle luft. Allgemein lsst sich Arbeit als Produkt aus einer generalisierten Kraft Fk und einer generalisierten Verschiebung dXk herleiten. Hinzuzufgen ist bei wirklichen Prozessen die dissipierte Arbeit X dW ¼ Fk dXk þ dWdiss : ð7Þ Man erkennt: In irreversiblen Prozessen, Wdiss > 0, ist mehr Arbeit aufzuwenden, oder es wird weniger Arbeit gewonnen als in reversiblen, Wdiss ¼ 0: In Tab. 1 sind verschiedene Formen der Arbeit aufgefhrt. Unter technischer Arbeit versteht man die von einer Maschine – Verdichter, Turbine, Strahltriebwerk u. a. – an einem Stoffstrom verrichtete Arbeit. Erfhrt eine Masse m lngs eines Wegs dz durch eine Maschine eine Druckerhhung dp, so ist die technische Arbeit dWt ¼ m u dp þ dWdiss : Werden außerdem kinetische und potentielle Energie des Stoffstroms gendert, so wird noch eine mechanische Arbeit verrichtet. Die lngs des Wegs 1–2 verrichtete technische Arbeit ist Wt12 ¼
Z2
Vdp þ ðWdiss Þ12 þ Wm12 ;
ð8Þ
1
mit Wm12 nach Gl. (3).
3.2.2 Innere Energie und Systemenergie Außer der kinetischen und potentiellen Energie besitzt jedes System noch in seinem Inneren gespeicherte Energie in Form von Translations-, Rotations- und Schwingungsenergie der Elementarteilchen. Man nennt diese die innere Energie U des Systems. Sie ist eine extensive Zustandsgrße. Die gesamte Systemenergie E eines Systems der Masse m besteht aus inne-
I3.4
Anwendung auf offene Systeme
D5
Tabelle 1. Verschiedene Formen der Arbeit. Einheiten im Internationalen Einheitensystem sind in Klammern angegeben
D
rer Energie, kinetischer Energie Ekin und potentieller Energie Epot E ¼ U þ Ekin þ Epot :
ð9Þ
3.2.3 Wrme Die innere Energie eines Systems kann man ndern, indem man an ihm Arbeit verrichtet oder Materie zu- oder abfhrt. Man kann sie aber auch ndern, indem man das System mit seiner Umgebung, die eine andere Temperatur aufweist, in Kontakt bringt. Als Folge wird Energie ber die Systemgrenze transportiert, um dem thermischen Gleichgewicht zwischen System und Umgebung zuzustreben. Diese Energie nennt man Wrme. Wrme lsst sich demnach allgemein als diejenige Energie definieren, die ein System mit seiner Umgebung austauscht und die nicht als Arbeit oder mit Materie die Systemgrenze berschreitet. Man schreibt hierfr Q12 , wenn das System durch Wrme vom Zustand 1 in den Zustand 2 berfhrt wird. Vereinbarungsgemß ist eine zugefhrte Wrme positiv, eine abgefhrte negativ .
3.3 Anwendung auf geschlossene Systeme Fr ein geschlossenes System folgt aus der allgemeinen Formulierung des ersten Hauptsatzes nach Gl. (1)
3.4 Anwendung auf offene Systeme 3.4.1 Stationre Prozesse In der Technik wird meistens von einem stetig durch eine Maschine fließenden Stoffstrom Arbeit verrichtet. Ist die zeitlich verrichtete Arbeit konstant, so bezeichnet man den Prozess als stationren Fließprozess. Ein typisches Beispiel zeigt Bild 1: Ein Stoffstrom eines Fluids (Gas oder Flssigkeit) vom Druck p1 und der Temperatur T1 strme mit der Geschwindigkeit w1 in das System s ein. In einer Maschine wird Arbeit verrichtet, die als technische Arbeit Wt12 an der Welle zugefhrt wird. Das Fluid durchstrmt einen Wrmebertrager, in dem mit der Umgebung eine Wrme Q12 ausgetauscht wird, und verlsst dann das System s bei einem Druck p2 , der Temperatur T2 und der Geschwindigkeit w2 . Verfolgt man den Weg einer konstanten Masse Dm durch das System s, so wrde ein mitbewegter Beobachter die Masse Dm als geschlossenes System ansehen. Dies entspricht der Lagrangeschen Betrachtungsweise in der Strmungslehre. Entsprechend gilt hierfr der erste Hauptsatz, Gl. (10) fr geschlossene Systeme. Die an Dm verrichtete Arbeit setzt sich zusammen aus Dm p1 u1 , um Dm aus der Umgebung ber die Systemgrenze zu schieben, aus der technischen Arbeit Wt12 und der Arbeit – Dm p2 u2 , um Dm ber die Systemgrenze wieder in die Umgebung zu bringen. Es ist somit die am geschlossenen System verrichtete Arbeit W12 ¼ Wt12 þ Dmðp1 u1 p2 u2 Þ:
d E ¼ d Q þ d W: Die einem geschlossenen System whrend einer Zustandsnderung von 1 nach 2 zugefhrte Wrme Q12 und Arbeit W12 bewirken eine nderung der Energie E des Systems um E2 E1 ¼ Q12 þ W12 :
ð10Þ
W12 umfasst alle am System verrichteten Arbeiten. Wird keine mechanische Arbeit verrichtet, so wird nur die innere Energie gendert, nach Gl. (9) ist dann E ¼ U. Setzt man weiter voraus, dass am System nur Volumenarbeit verrichtet wird, so lautet Gl. (10) U2 U1 ¼ Q12
Z2 1
p dV þ ðWdiss Þ12 :
ð11Þ Bild 1. Arbeit am offenen System
ð12Þ
D6
Thermodynamik – 3 Erster Hauptsatz
Sonderflle hiervon sind: a) Adiabate Zustandsnderungen, wie sie in Verdichtern, Turbinen und Triebwerken nherungsweise auftreten 0 ¼ Wt12 þ H1 H2 :
ð17Þ
b) Die Drosselung einer Strmung in einer adiabaten Rohrleitung durch eingebaute Hindernisse, Bild 2. Diese bewirken eine Druckabsenkung. Es ist
D
H1 ¼ H2 Bild 2. Adiabate Drosselung
Den Term Dmðp1 u1 p2 u2 Þ nennt man Verschiebearbeit. Um sie unterscheidet sich die technische Arbeit Wt12 von der Arbeit am geschlossenen System. Der erste Hauptsatz fr das geschlossene System, Gl. (10) lautet damit E2 E1 ¼ Q12 þ Wt12 þ Dmðp1 u1 p2 u2 Þ
ð13Þ
mit E nach Gl. (9). Man definiert die Zustandsgrße Enthalpie H durch H ¼ U þ pV bzw: h ¼ u þ pu und kann damit Gl. (13) schreiben w2 0 ¼ Q12 þ Wt12 þ D m h1 þ 1 þ gz1 2 w2 D m h2 þ 2 þ gz2 : 2
ð14Þ
ð15Þ
In dieser Form verwendet man den ersten Hauptsatz fr stationre Fließprozesse offener Systeme. Man erkennt aus Gl. (15), dass die Summe der ber die Systemgrenze s (Bild 1) transportierten Energien gleich null ist, da es sich um einen stationren Prozess handelt. Diese Energien sind die Wrme Q12 , die technische Arbeit W12 sowie die mit dem w2 Massenelement Dm zugefhrte Energie Dm h1 þ 21 þ gz1 w2 und die mit ihm abgefhrte Energie Dm h2 þ 22 þ gz2 : In differenzieller Form kann man Gl. (15) wie folgt schreiben w2 0 ¼ dQ þ dWt þ dm h1 þ 1 þ gz1 2 w2 dm h2 þ 2 þ gz2 : 2 Diese Form folgt aus der allgemeinen Formulierung des ersten Hautpsatzes Gl. (1) mit d E ¼ 0 und den Definitionen fr technische Arbeit (Gl. (12)) und Enthalpie (Gl. (14)):
3.4.2 Instationre Prozesse Ist im System nach Bild 1 die whrend einer bestimmten Zeit zugefhrte Materie Dm1 von der whrend der gleichen Zeit abgefhrten Materie Dm2 verschieden, so wird Materie im Inneren des Systems gespeichert, was zu einer zeitlichen nderung von dessen innerer Energie und u. U. auch der kinetischen und potentiellen Energie fhrt. Die Energie des Systems ndert sich whrend einer Zustandsnderung 1–2 um E2 E1 , sodass an Stelle von Gl. (15) folgende Form des ersten Hauptsatzes tritt w2 E2 E1 ¼ Q12 þ Wt12 þ Dm1 h1 þ 1 þ gz1 2 ð19Þ w22 Dm2 h2 þ þ gz2 : 2 Sind die Fluidzustnde 1 beim Einstrmen und 2 beim Ausstrmen zeitlich vernderlich, so geht man zweckmßigerweise zur differentiellen Schreibweise ber: w2 dE ¼ dQ þ dWt þ dm1 h1 þ 1 þ gz1 2 ð20Þ w2 dm2 h2 þ 2 þ gz2 , 2 die der allgemeinen Formulierung des ersten Hauptsatzes nach Gl. (1) d E ¼ d Q þ d W þ d Em entspricht. Um das Fllen oder Entleeren von Behltern zu untersuchen, kann man meistens die nderungen von kinetischer und potentieller Energie vernachlssigen, außerdem wird oft keine technische Arbeit verrichtet, sodass sich Gl. (20) verkrzt zu dU ¼ dQ þ h1 dm1 h2 dm2
O ¼ d Q þ d W þ d Em : Betrachtet man einen kontinuierlich ablaufenden Prozess, so whlt man anstatt Gl. (15) besser folgende Form der Bilanzgleichung w2 w2 0 ¼ Q_ þ P þ m_ h1 þ 1 þ gz1 m_ h2 þ 2 þ gz2 ; 2 2 wobei Q_ ¼ dQ=dt der Wrmestrom, P ¼ dWt =dt die technische Leistung und m_ der Massenstrom sind. Hufig sind nderungen von kinetischer und potentieller Energie vernachlssigbar. Dann vereinfacht sich Gl. (15) zu 0 ¼ Q12 þ Wt12 þ H1 H2 :
ð18Þ
vor und nach der Drosselstelle. Bei der Drosselung bleibt die Enthalpie konstant. Man beachte, dass die nderung der kinetischen und der potentiellen Energie vernachlssigt wurde.
ð16Þ
ð21Þ
mit der (zeitlich vernderlichen) inneren Energie U=um des im Behlter eingeschlossenen Stoffs. Vereinbarungsgemß ist hierin dm1 die dem System zugefhrte, dm2 die abgefhrte Stoffmenge; wird nur Materie zugefhrt, so ist dm2 ¼ 0, wird nur Materie abgefhrt, so ist dm1 ¼ 0. Untersucht man einen kontinuierlich ablaufenden Prozess, so whlt man anstatt Gl. (19) besser folgende Form der Bilanzgleichung w2 dE=dt ¼Q_ þ P þ m_ 1 h1 þ 1 þ gz1 2 ð22Þ m_ 2 ðh2 þ w22 Þ2 þ gz2 :
I4.2
4 Zweiter Hauptsatz 4.1 Das Prinzip der Irreversibilitt Bringt man zwei Systeme A und B miteinander in Kontakt, so laufen Austauschvorgnge ab, und es stellt sich nach hinreichend langer Zeit ein neuer Gleichgewichtszustand ein. Als Beispiel sei ein System A mit einem System B verschiedener Temperatur in Kontakt gebracht. Im Endzustand besitzen die Systeme gleiche Temperatur. Es hat sich thermisches Gleichgewicht eingestellt. Bis zum Erreichen des Gleichgewichts werden in kontinuierlicher Folge Nichtgleichgewichtszustnde durchlaufen. Unsere Erfahrung lehrt uns, dass dieser Prozess nicht von selbst, d. h. ohne Austausch mit der Umgebung, in umgekehrter Richtung abluft. Solche Prozesse nennt man irreversibel oder nicht umkehrbar. Austauschprozesse, bei denen Nichtgleichgewichtszustnde durchlaufen werden, sind grundstzlich irreversibel. Ein Prozess aus einer kontinuierlichen Folge von Gleichgewichtszustnden ist hingegen reversibel oder umkehrbar. Beispielhaft sei die reibungsfreie adiabate Kompression eines Gases genannt. Dem System Gas kann man Volumenarbeit zufhren, indem man eine Kraft, z.B. durch einen berdruck der Umgebung, auf die Systemgrenze ausbt. Wird diese Kraft sehr langsam erhht, so wird das Volumen des Gases ab- und seine Temperatur zunehmen, wobei sich das Gas zu jeder Zeit in einem Gleichgewichtszustand befindet. Reduziert man die Kraft langsam wieder auf null, so gelangt das Gas wieder in seinen Ausgangszustand. Dieser Vorgang ist also reversibel oder umkehrbar. Reversible Prozesse sind idealisierte Grenzflle der wirklichen Prozesse und kommen in der Natur nicht vor. Alle natrlichen Prozesse sind irreversibel, weil es einer endlichen „Kraft“ bedarf, um einen Prozess auszulsen, beispielsweise einer endlichen Kraft, um einen Krper bei Reibung zu verschieben oder einer endlichen Temperaturdifferenz, um ihm Wrme zuzufhren. Sie laufen, bedingt durch die endliche Kraft, in einer bestimmten Richtung ab. Diese Erfahrungstatsache fhrt zu folgenden Formulierungen des zweiten Hauptsatzes: – Alle natrlichen Prozesse sind irreversibel. – Alle Prozesse mit Reibung sind irreversibel. – Wrme kann nie von selbst von einem Krper niederer auf einen Krper hherer Temperatur bergehen. „Von selbst“ bedeutet hierbei, dass man den genannten Vorgang nicht ausfhren kann, ohne dass nderungen in der Natur zurckbleiben. Neben den oben genannten gibt es noch viele fr andere spezielle Prozesse gltige Formulierungen.
Allgemeine Formulierung
D7
ße zwischen System und Umgebung ausgetauscht wird. Damit wird lediglich die Existenz einer solchen Zustandsgrße postuliert, deren Einfhrung allein dadurch gerechtfertigt ist, dass alle Aussagen, die man mit dieser Grße gewinnt, mit der Erfahrung in Einklang stehen. Man nennt die neue extensive Zustandsgrße Entropie und bezeichnet sie mit S. Somit ist U ¼ U ðV; S; . . .Þ. Wenn nur Volumenarbeit verrichtet und Wrme zugefhrt wird, ist U ¼ U ðV; SÞ: Durch Differenziation folgt hieraus die Gibbssche Fundamentalgleichung dU ¼ TdS p dV
ð1Þ
mit der thermodynamischen Temperatur T ¼ ð¶U=¶SÞ V
ð2Þ
und dem Druck p ¼ ð¶U=¶VÞ S :
ð3Þ
Eine der Gl. (1) quivalente Beziehung ergibt sich, wenn man U eliminiert und durch die Enthalpie H ¼ U þ pV ersetzt dH ¼ TdS þ Vdp:
ð4Þ
Man kann zeigen, dass die thermodynamische Temperatur identisch ist mit der mit dem Gasthermometer (s. D 2.3) gemessenen Temperatur. Das Studium der Eigenschaften der Entropie ergibt, dass in einem abgeschlossenen System, das sich zunchst im inneren Ungleichgewicht befindet (beispielsweise durch eine inhomogene Temperaturverteilung) und dann dem Gleichgewichtszustand zustrebt, die Entropie stets zunimmt. Im Grenzfall des Gleichgewichts wird ein Maximum der Entropie erreicht. Die Entropiezunahme im Innern bezeichnen wir als dSi . Fr den betrachteten Fall des abgeschlossenen Systems gilt dann dS ¼ dSi ; mit dSi > 0. In einem nicht abgeschlossenen System ndert sich die Systementropie auch durch Wrmeaustausch mit der Umgebung um dSQ und mit Materieaustausch mit der Umgebung um dSm . Die Systementropie ndert sich jedoch nicht durch den Austausch von Arbeit mit der Umgebung. Es gilt also allgemein dS ¼ dSQ þ dSm þ dSi :
ð5Þ
Betrachtet man die zeitliche nderung der Systementropie S_ ¼ dS=dt S_ ¼ S_ Q þ S_ m þ S_ i ;
4.2 Allgemeine Formulierung Die mathematische Formulierung des zweiten Hauptsatzes gelingt mit dem Begriff der Entropie als weiterer Zustandsgrße eines Systems. Dass es zweckmßig ist, eine solche Zustandsgrße einzufhren, kann man sich am Beispiel der Wrmebertragung zwischen einem System und seiner Umgebung verstndlich machen. Nach dem ersten Hauptsatz kann ein System mit seiner Umgebung Arbeit und Wrme austauschen. Die Zufuhr von Arbeit bewirkt eine nderung der inneren Energie dadurch, dass beispielsweise das Volumen des Systems auf Kosten des Volumens der Umgebung gendert wird. Somit ist U ¼ U ðV; . . .Þ. Das Volumen ist eine Austauschvariable: Es ist eine extensive Zustandsgrße, die zwischen System und Umgebung „ausgetauscht“ wird. Auch die Wrmezufuhr zwischen einem System und seiner Umgebung kann man sich so vorstellen, dass eine extensive Zustandsgr-
wobei S_ i die zeitliche Entropieerzeugung durch irreversible Vorgnge im Innern ist. S_ Q þ S_ m bezeichnet man als Entropiestrmung. Man fasst diese ber die Systemgrenze ausgetauschten Grßen auch zusammen zu S_ a ¼ S_ Q þ S_ m :
ð7Þ
Die zeitliche nderung der Systemtropie S setzt sich also aus Entropiestrmung S_ a und Entropieerzeugung S_ i zusammen, S_ ¼ S_ a þ S_ i :
ð8Þ
Fr die Entropieerzeugung gilt: S_ i ¼ 0 fr reversible Prozesse; S_ i > 0 fr irreversible Prozesse; S_ i < 0 nicht mglich:
ð9Þ
D
D8
Thermodynamik – 5 Exergie und Anergie
4.3 Spezielle Formulierungen 4.3.1 Adiabate, geschlossene Systeme
D
Fr adiabate Systeme ist S_ Q ¼ 0, fr geschlossene Systeme ist S_ m ¼ 0, und daher folgt S_ ¼ S_ i . Es gilt also: In adiabaten, geschlossenen Systemen kann die Entropie niemals abnehmen, sie kann nur zunehmen bei irreversiblen oder konstant bleiben bei reversiblen Prozessen. Setzt sich ein adiabates, geschlossenes System aus a Untersystemen zusammen, so gilt fr die Summe der Entropienderungen DSðaÞ der Untersysteme X DSðaÞ 0: ð10Þ
Diese Aussage gilt nicht nur fr adiabate Systeme, sondern ganz allgemein, da die Entropieerzeugung definitionsgemß der Anteil der Entropienderung ist, der auftritt, wenn das System adiabat und geschlossen ist, also S_ a ¼ 0 gilt.
4.3.2 Systeme mit Wrmezufuhr Fr geschlossene Systeme mit Wrmezufuhr kann man Gl. (1) schreiben dU ¼ T dSQ þ T dSi p dV ¼ T dSQ þ dWdiss p dV: ð12Þ Ein Vergleich mit dem ersten Hauptsatz, D 3 Gl. (11), ergibt
a
In einem adiabaten, geschlossenen System ist nach Gl. (1) mit dS ¼ dSi dU ¼ TdSi p dV: Andererseits folgt aus dem ersten Hauptsatz nach D 3 Gl. (11) dU ¼ dWdiss p dV
dQ ¼ T dSQ :
Wrme ist demnach Energie, die mit Entropie ber die Systemgrenze strmt, whrend Arbeit ohne Entropieaustausch bertragen wird. Addiert man in Gl. (13) auf der rechten Seite den stets positiven Term Td Si , so folgt die Clausiussche Ungleichung
und daher dWdiss ¼ TdSi ¼ dY
ð11Þ
ð13Þ
dQ TdS oder DS
Z2
dQ : T
ð14Þ
1
oder
Man nennt Y12 die whrend einer Zustandsnderung 1–2 dissipierte Energie. Es gilt: Die dissipierte Energie ist stets positiv.
In irreversiblen Prozessen ist die Entropienderung grßer als das Integral ber alle dQ=T, nur bei reversiblen gilt das Gleichheitszeichen. Fr offene Systeme mit Wrmezufuhr hat man in Gl. (12) dSQ durch dSa ¼ dSQ þ dSm zu ersetzen.
5 Exergie und Anergie
5.1 Exergie eines geschlossenen Systems
ðWdiss Þ12 ¼ TðSi Þ12 ¼ Y12 :
Nach dem ersten Hauptsatz bleibt die Energie in einem abgeschlossenen System konstant. Da man jedes nicht abgeschlossene System durch Hinzunahme der Umgebung in ein abgeschlossenes verwandeln kann, ist es stets mglich, ein System zu bilden, in dem whrend eines thermodynamischen Prozesses die Energie konstant bleibt. Ein Energieverlust ist daher nicht mglich. In einem thermodynamischen Prozeß wird lediglich Energie umgewandelt. Wie viel von der in einem System gespeicherten Energie umgewandelt wird, hngt vom Zustand der Umgebung ab. Befindet sich diese im Gleichgewicht mit dem System, so wird keine Energie umgewandelt, je strker die Abweichung vom Gleichgewicht ist, desto mehr Energie des Systems kann umgewandelt werden. Viele thermodynamische Prozesse laufen in der irdischen Atmosphre ab, die somit die Umgebung der meisten thermodynamischen Systeme darstellt. Die irdische Atmosphre kann man im Vergleich zu den sehr viel kleineren thermodynamischen Systemen als ein unendlich großes System ansehen, dessen intensive Zustandsgrßen Druck, Temperatur und Zusammensetzung sich whrend eines Prozesses nicht ndern, wenn man die tglich und jahreszeitlich bedingten Schwankungen der intensiven Zustandsgrßen außer Acht lsst. In vielen technischen Prozessen wird Arbeit gewonnen, indem man ein System von gegebenem Anfangszustand mit der Umgebung ins Gleichgewicht bringt. Das Maximum an Arbeit wird dann gewonnen, wenn alle Zustandsnderungen reversibel sind. Man bezeichnet die bei Einstellung des Gleichgewichts mit der Umgebung maximal gewinnbare Arbeit als Exergie Wex .
Um die Exergie eines geschlossenen Systems, das sich im Zustand 1 befindet, zu berechnen, betrachtet man einen Prozess, bei dem das System reversibel mit seiner Umgebung ins thermische und mechanische Gleichgewicht gebracht wird. Gleichgewicht liegt vor, wenn die Temperatur des Systems im Endzustand 2 gleich der Temperatur in der Umgebung, T2 ¼ Tu , und der Druck des Systems im Zustand 2 gleich dem Druck der Umgebung, p2 ¼ pu , sind. Unter Vernachlssigung der kinetischen und potentiellen Energie des Systems gilt nach dem ersten Hauptsatz, D3 Gl. (10), U2 U1 ¼ Q12 þ W12 :
ð1Þ
Damit der Prozess reversibel verluft, muss das System zunchst reversibel adiabat auf Umgebungstemperatur gebracht und dann Wrme reversibel bei der konstanten Temperatur Tu bertragen werden. Fr den Wrmetransport folgt aus dem zweiten Hauptsatz, D4 Gl. (13), Q12 ¼ Tu ðS2 S1 Þ:
ð2Þ
Die Arbeit W12 , die am System verrichtet wird, setzt sich zusammen aus der maximalen Arbeit, die man nutzbar machen kann und der Volumenarbeit pu ðV2 V1 Þ, die zur berwindung des Druckes der Umgebung aufgewendet werden muss. Die maximal nutzbare Arbeit ist die Exergie Wex . Es folgt W12 ¼ Wex pu ðV2 V1 Þ:
ð3Þ
Setzt man Gl. (3) und (2) in Gl. (1) ein, so ergibt sich U2 U1 ¼ Tu ðS2 S1 Þ þ Wex pu ðV2 V1 Þ:
ð4Þ
I5.5 Im Zustand 2 ist das System im Gleichgewicht mit der Umgebung, gekennzeichnet durch den Index u. Die Exergie des geschlossenen Systems ist somit Wex ¼ U1 Uu Tu ðS1 Su Þ þ pu ðV1 Vu Þ:
ð5Þ
Hat das System starre Wnde, so ist V1 ¼ Vu und der letzte Term entfllt. Ist das System bereits im Ausgangszustand im Gleichgewicht mit der Umgebung, Zustand 1=Zustand u, so kann nach Gl. (5) keine Arbeit gewonnen werden. Es gilt also: Die innere Energie der Umgebung kann nicht in Exergie umgewandelt werden. Die gewaltigen in der uns umgebenden Atmosphre gespeicherten Energien knnen somit nicht zum Antrieb von Fahrzeugen gentzt werden.
5.2 Exergie eines offenen Systems Die maximale technische Arbeit oder die Exergie eines Stoffstroms erhlt man dadurch, daß der Stoffstrom auf reversiblem Weg durch Verrichten von Arbeit und durch Wrmezuoder -abfuhr mit der Umgebung ins Gleichgewicht gebracht wird. Aus dem ersten Hauptsatz fr stationre Prozesse offener Systeme, unter Vernachlssigung der nderung von kinetischer und potentieller Energie, D 3 Gl. (16), folgt dann Wex ¼ H1 Hu Tu ðS1 Su Þ:
ð6Þ
Von der Enthalpie H1 wird somit nur der um Hu þ Tu ðS1 Su Þ verminderte Anteil in technische Arbeit umgewandelt. Wird einem Stoffstrom Wrme aus der Umgebung zugefhrt, so ist Tu ðS1 Su Þ negativ und die Exergie um den Anteil dieser zugefhrten Wrme grßer als die nderung der Enthalpie.
Exergieverluste
ergibt sich die Exergie der den Maschinen und Apparaten zugefhrten Wrmen Wex ¼
Z2 Tu dQ 1 T
ð7Þ
1
oder in differenzieller Schreibweise Tu dQ: dWex ¼ 1 T
Einer Maschine soll Wrme Q12 aus einem Energiespeicher der Temperatur T zugefhrt und in Arbeit W12 verwandelt werden, Bild 1. Die nicht in Arbeit umwandelbare Wrme ðQu Þ12 wird an die Umgebung abgefhrt. Das Maximum an Arbeit gewinnt man, wenn alle Zustandsnderungen reversibel ablaufen. Dieses Maximum an Arbeit ist gleich der Exergie der Wrme. Alle Zustandsnderungen sind reversibel, wenn Z2 1
dQ þ T
Z2
dQu ¼0 Tu
1
mit dQ þ dQu þ dWex ¼ 0 nach dem ersten Hauptsatz. Daraus
ð8Þ
In einem reversiblen Prozess ist nur der mit dem sog. CarnotFaktor 1 ðTu =TÞ multiplizierte Anteil der zugefhrten Wrme dQ in Arbeit umwandelbar. Der Anteil dQu ¼ Tu ðdQ=TÞ wird wieder an die Umgebung abgegeben und kann nicht als Arbeit gewonnen werden. Man erkennt außerdem: Wrme, die bei Umgebungstemperatur zur Verfgung steht, kann nicht in Exergie umgewandelt werden.
5.4 Anergie Als Anergie B bezeichnet man diejenige Energie, die sich nicht in Exergie Wex umwandeln lsst. Jede Energie setzt sich aus Exergie Wex und Anergie B zusammen, d. h. E ¼ Wex þ B:
ð9Þ
Somit gilt fr – ein geschlossenes System nach Gl. (5) mit E ¼ U1 B ¼ Uu þ Tu ðS1 Su Þ pu ðV1 Vu Þ;
ð10Þ
– ein offenes System nach Gl. (6) mit E ¼ H1 B ¼ Hu þ Tu ðS1 Su Þ;
5.3 Exergie einer Wrme
D9
ð11Þ
– eine Wrme nach Gl. (8) mit dE ¼ dQ B¼
Z2
Tu dQ: T
ð12Þ
1
5.5 Exergieverluste Die in einem Prozess dissipierte Energie ist nicht vollstndig verloren. Sie erhht die Entropie und damit wegen U(S,V) auch die innere Energie eines Systems. Die dissipierte Energie kann man sich auch in einem reversiblen Ersatzprozess als Wrme vorstellen, die von außen zugefhrt wird (dY ¼ dQ) und die gleiche Entropieerhhung bewirkt wie in dem irreversiblen Prozess. Da man die zugefhrte Wrme dQ, Gl. (8), zum Teil in Arbeit umwandeln kann, ist auch der Anteil Tu dWex ¼ 1 dY ð13Þ T der dissipierten Energie dY als Arbeit (Exergie) gewinnbar. Der restliche Anteil Tu dY=T der zugefhrten Dissipationsenergie muss als Wrme an die Umgebung abgefhrt werden und ist nicht in Arbeit umwandelbar. Man bezeichnet ihn als Exergieverlust: Dieser ist gleich der Anergie der Dissipationsenergie und nach Gl. (12) gegeben durch ðWVerlust Þ12 ¼
Z2 1
Bild 1. Zur Umwandlung von Wrme in Arbeit
Tu dY ¼ T
Z2 Tu dSi :
ð14Þ
1
Fr einen geschlossenen, adiabaten Prozess ist wegen dSi ¼ dS
D
D 10
Thermodynamik – 6 Stoffthermodynamik
ðWVerlust Þ12 ¼
Z2
Tu dS ¼ Tu ðS2 S1 Þ:
ð15Þ
1
Fr die Exergie gilt im Gegensatz zur Energie kein Erhal-
tungssatz. Die einem System zugefhrten Exergien sind gleich den abgefhrten und den Exergieverlusten. Verluste durch Nichtumkehrbarkeiten wirken sich thermodynamisch um so ungnstiger aus je tiefer die Temperatur T ist, bei der ein Prozess abluft, vgl. Gl. (14).
D 6 Stoffthermodynamik Um mit den allgemeinen fr beliebige Stoffe gltigen Hauptstzen der Thermodynamik umgehen und um Exergien und Anergien berechnen zu knnen, muss man Zahlenwerte fr die Zustandsgrßen U, H, S, p, V, T ermitteln. Hiervon bezeichnet man die Grßen U, H, S als kalorische und p, V, T als thermische Zustandsgrßen. Die Zusammenhnge zwischen ihnen sind stoffspezifisch. Gleichungen, die Zusammenhnge zwischen Zustandsgrßen angeben, bezeichnet man als Zustandsgleichungen.
Daraus folgt nach Einfhren der Molmasse in die thermische Zustandsgleichung des idealen Gases, Gl. (2), dass pV=nT ¼ MR eine fr alle Gase feste Grße ist MR ¼ R:
Man nennt R die universelle Gaskonstante. Sie ist eine Naturkonstante. Es ist R ¼ 8; 314472 1; 5 105 kJ=kmolK: Die thermische Zustandsgleichung des idealen Gases lautet mit ihr pV ¼ n RT:
6.1 Thermische Zustandsgrßen von Gasen und Dmpfen Eine thermische Zustandsgleichung reiner Stoffe ist von der Form Fðp; u; TÞ ¼ 0
ð1Þ
oder p ¼ pðu; TÞ; u ¼ uðp; TÞ und T ¼ Tðp; uÞ. Fr technische Berechnungen bevorzugt man Zustandsgleichungen der Form u ¼ uðp; TÞ, da Druck und Temperatur meistens als unabhngige Variablen vorgegeben sind.
ð4Þ
ð5Þ
Beispiel: In einer Stahlflasche von V1 ¼ 200 l Inhalt befindet sich Wasserstoff von p1 ¼ 120 bar und t1 ¼ 10 C. Welchen Raum nimmt der Wasserstoff bei p2 ¼ 1 bar und t2 =0 C ein, wenn man die geringen Abweichungen des Wasserstoffs vom Verhalten des idealen Gases vernachlssigt? Nach Gl. (5) ist p1 V1 ¼ n RT1 ; p2 V2 ¼ n RT2 und somit V2 ¼
p1 T2 120 bar 273; 15 K V1 ¼ 0; 2 m3 ¼ 23; 15 m3 : p2 T1 1 bar 283; 15 K
6.1.3 Reale Gase 6.1.1 Ideale Gase Von besonders einfacher Art ist die thermische Zustandsgleichung idealer Gase pV ¼ mRT oder pu ¼ RT;
ð2Þ
mit: p absoluter Druck, V Volumen, u spezifisches Volumen, R individuelle Gaskonstante, T thermodynamische Temperatur. Gase verhalten sich nur dann nherungsweise ideal, wenn ihr Druck hinreichend klein ist, p ! 0. 6.1.2 Gaskonstante und das Gesetz von Avogadro Als Einheit der Stoffmenge definiert man das Mol mit dem Einheitensymbol mol. Die Zahl der Teilchen (Molekle, Atome, Elementarteilchen) eines Stoffs nennt man dann 1 Mol, wenn dieser Stoff aus ebenso vielen unter sich gleichen Teilchen besteht wie in genau 12 g reinen atomaren Kohlenstoffs des Nuklids 12 C enthalten sind. Man bezeichnet die in einem Mol enthaltene Anzahl von unter sich gleichen Teilchen als Avogadro-Konstante (in der deutschsprachigen Literatur oftmals als Loschmidt-Zahl). Sie ist eine universelle Naturkonstante und hat den Zahlenwert NA ¼ ð6; 02214199 4; 7 107 Þ 1026 =kmol: Die Masse eines Mols, also von NA unter sich gleichen Teilchen, ist eine stoffspezifische Grße und wird Molmasse genannt (Werte s. Anh. D 6 Tab. 1): M ¼ m=n
ð3Þ
(SI-Einheit kg/kmol, m Masse in kg, n Molmenge in kmol). Nach Avogadro (1831) gilt: Ideale Gase enthalten bei gleichem Druck und gleicher Temperatur in gleichen Rumen gleich viel Molekle.
Die thermische Zustandsgleichung des idealen Gases gilt fr wirkliche Gase und Dmpfe nur als Grenzgesetz bei unendlich kleinen Drcken. Die Abweichung des Verhaltens des gasfrmigen Wassers von der Zustandsgleichung der idealen Gase zeigt Bild 1, in dem pu/RT ber t fr verschiedene Drcke dargestellt ist. Der Realgasfaktor Z=pu/RT ist fr ideale Gase gleich eins, weicht aber fr reale Gase hiervon ab. Bei Luft zwischen 0 und 200 C und fr Wasserstoff von –15 bis 200 C erreichen die Abweichungen in Z bei Drcken von 20 bar etwa 1% vom Wert eins. Bei atmosphrischen Drcken sind bei fast allen Gasen die Abweichungen vom Gesetz des idealen Gases zu vernachlssigen. Zur Beschreibung des Zustandsverhaltens realer Gase haben sich verschiedene Arten von Zustandsgleichungen bewhrt. Eine davon besteht darin, dass man den Realgasfaktor Z in Form einer Reihe darstellt und additiv an den Wert 1 fr das ideale Gas Korrekturglieder anfgt Z¼
pu BðTÞ CðTÞ DðTÞ ¼ 1þ þ 2 þ 3 : RT u u u
ð6Þ
Man nennt B den zweiten, C den dritten und D den vierten Virialkoeffizienten. Eine Zusammenstellung von zweiten Virialkoeffizienten vieler Gase findet man in Tabellenwerken [2, 3]. Die Virialgleichung mit zwei oder drei Virialkoeffizienten ist nur im Bereich mßiger Drcke gltig. Zur Beschreibung des Zustandsverhaltens dichter Gase stellt die Zustandsgleichung von Benedict-Webb-Rubin [4] einen ausgewogenen Kompromiss zwischen rechnerischem Aufwand und erzielbarer Genauigkeit dar. Sie lautet BðTÞ CðTÞ þ 2 u u g aa c g þ 5 þ 3 2 1 þ 2 exp 2 ; u RT u RT u u
Z ¼1þ
ð7Þ
I6.1
Thermische Zustandsgrßen von Gasen und Dmpfen
D 11
dargestellt wird, Bild 2. Sie beginnt am Tripelpunkt und endet am kritischen Punkt K eines Stoffs. Darunter versteht man den Zustandspunkt pk ; Tk oberhalb dessen Dampf und Flssigkeit nicht mehr durch eine deutlich wahrnehmbare Grenze getrennt sind, sondern kontinuierlich ineinander bergehen (s. Anh. D 6 Tab. 1). Der kritische Punkt ist ebenso wie der Tripelpunkt, an dem Dampf, Flssigkeit und feste Phase eines Stoffs miteinander im Gleichgewicht stehen, ein fr jeden Stoff charakteristischer Punkt. Den Dampfdruck vieler Stoffe kann man vom Tripelpunkt bis zum Siedepunkt bei Atmosphrendruck durch die Antoine-Gleichung darstellen ln p ¼ A B=ðC þ TÞ;
Bild 1. Realgasfaktor von Wasserdampf
mit BðTÞ ¼ B0
A0 C0 a und CðTÞ ¼ b : RT RT 3 RT
Die Gleichung enthlt die acht Konstanten A0 ; B0 ; C0 ; a; b; c, a, g, die fr viele Stoffe vertafelt sind [4]. Hochgenaue Zustandsgleichungen bentigt man fr die in Wrmekraft- und Klteanlagen verwendeten Arbeitsstoffe Wasser [5], Luft [6] und die Kltemittel [7]. Die Gleichungen fr diese Stoffe sind aufwendiger, enthalten mehr Konstanten und sind nur mit einer elektronischen Rechenanlage auszuwerten. 6.1.4 Dmpfe Dmpfe sind Gase in der Nhe ihrer Verflssigung. Man nennt einen Dampf gesttigt, wenn schon eine beliebig kleine Temperatursenkung ihn verflssigt, er heißt berhitzt, wenn es dazu einer endlichen Temperatursenkung bedarf. Fhrt man einer Flssigkeit bei konstantem Druck Wrme zu, so beginnt sich von einer bestimmten Temperatur an Dampf von gleicher Temperatur zu bilden. Dampf und Flssigkeit befinden sich im Gleichgewicht. Man nennt diesen Zustand Sttigungszustand; er ist durch zueinander gehrende Werte von Sttigungstemperatur und Sttigungsdruck gekennzeichnet, deren Abhngigkeit voneinander durch die Dampfdruckkurve
Bild 2. Dampfdruckkurven einiger Stoffe
ð8Þ
in der die Grßen A, B, C stoffabhngige Konstanten sind (s. Anh. D 6 Tab. 2 ). Verdichtet man berhitzten Dampf bei konstanter Temperatur durch Verkleinern des Volumens, so nimmt der Druck hnlich wie bei einem idealen Gas nahezu nach einer Hyperbel zu, s. z. B. die Isotherme 300 C in Bild 3. Die Kondensation beginnt, sobald der Sttigungsdruck erreicht ist, und das Volumen verkleinert sich ohne Steigen des Drucks so lange, bis aller Dampf verflssigt ist. Bei weiterer Volumenverkleinerung steigt der Druck stark an. Die Kurvenschar von Bild 3 ist als graphische Darstellung einer Zustandsgleichung fr viele Stoffe charakteristisch. Verbindet man die spezifischen Volumina der Flssigkeit bei Sttigungstemperaturen vor der Verdampfung und des gesttigten Dampfes, u0 und u00 , so erhlt man zwei Kurven a und b , die linke und die rechte Grenzkurve genannt, die sich im kritischen Punkt K treffen. Ist x der Dampfgehalt, definiert als Masse des gesttigten Dampfes m00 bezogen auf die Gesamtmasse von gesttigtem Dampf m00 und siedender Flssigkeit m0 ; u0 das spezifische Volumen von siedender Flssigkeit und u00 das von Sattdampf, so gilt fr Nassdampf u ¼ x u00 þ ð1 xÞ u0 :
ð9Þ
Linien x=const zeigt Bild 3. Beispiel: In einem Kessel von 2 m3 =kg Inhalt befinden sich 1 000 kg Wasser und Dampf von 121 bar im Sttigungszustand. Welches spez. Volumen hat der Dampf? Aus der Dampftafel (Anh. D 6 Tab. 5) findet man durch Interpolieren bei 121 bar das spez. Volumen des Dampfes u00 ¼ 0; 01410 m3 =kg, das der Flssigkeit u0 =0,001530 m3 . Das mittlere spez. Volumen u=V/m ist u ¼ 2m3 /1 000 kg= 0,002 m3 =kg: Mit Gl. (9) folgt
D
D 12
Thermodynamik – 6 Stoffthermodynamik
D
Bild 3. p, u-Diagramm des Wassers
ð10Þ
du=dT ¼ cv die spez. Wrmekapazitt bei konstantem Volumen und dh=dT ¼ cp
ð11Þ
die spez. Wrmekapazitt bei konstantem Druck. Die Ableitung von h u ¼ RT ergibt cp cv ¼ R:
ð12Þ
Die Differenz der molaren Wrmekapazitten oder Molwr v ¼ Mcv ist gleich der universellen Gaskon p ¼ Mcp ; C men C stanten p C v ¼ R: C Das Verhltnis k ¼ cp =cv spielt bei reversiblen adiabaten Zustandsnderungen eine wichtige Rolle und wird daher Adiabatenexponent oder Isentropenexponent genannt. Fr einatomige Gase ist recht genau k=1,66, fr zweiatomige k=1,40 und fr dreiatomige k=1,30. Die mittlere spezifische Wrmekapazitt ist der integrale Mittelwert definiert durch
Bild 4. Zustandsflche des Wassers in perspektivischer Darstellung
½cp tt21 ¼
1 t2 t1
Zt2
cp dt; ½cv tt21 ¼
t1
1 t2 t1
Zt2 cv dt:
ð13Þ
t1
Aus Gln. (10) und (11) folgen fr die nderungen von innerer Energie und Enthalpie 0
00
0
x ¼ ðu u Þ=ðu u Þ ¼ ð0; 002 0; 001530Þ=ð0; 01410 0; 001530Þ ¼ 0; 03739 ¼ m00 =m; also m00 ¼ 1 000 0; 03739 kg ¼ 37; 39 kg : m0 ¼ 1 000 37; 39 kg ¼ 962; 61 kg
Man kann die Zustandsgleichung auch als eine Flche im Raum mit den Koordinaten p, u, t darstellen, Bild 4. Die Projektion der Grenzkurve in die p, T-Ebene ergibt die Dampfdruckkurve, die Projektion der Flche in die p, u-Ebene liefert die Darstellung nach Bild 3.
6.2 Kalorische Zustandsgrßen von Gasen und Dmpfen 6.2.1 Ideale Gase Die innere Energie idealer Gase hngt nur von der Temperatur ab, u=u(T), infolgedessen ist auch die Enthalpie h=u+pu=u+RT eine reine Temperaturfunktion h=h(T). Die Ableitungen von u und h nach der Temperatur nennt man spezifische Wrmekapazitten. Sie steigen mit der Temperatur (s. Anh. D 6 Tab. 3 mit Werten fr Luft). Es ist
u2 u1 ¼ ½cv tt21 ðt2 t1 Þ ¼ ½cv t02 t2 ½cv t01 t1
ð14Þ
und h2 h1 ¼ ½cp tt21 ðt2 t1 Þ ¼ ½cp t02 t2 ½cp t01 t1 : ½cv t0
ð15Þ
½cp t0
und ermittelt man aus den im Zahlenwerte von Anh. D 6 Tab. 4 angegebenen mittleren Molwrmen. Die spezifische Entropie ergibt sich aus D 4 Gl. (1) unter Beachtung von Gl. (10) und Gl. (2) ds ¼
du þ p du dT du ¼ cv þ R T T u
durch Integration mit cv =const zu s2 s1 ¼ cv ln
T2 u2 þ R ln : T1 u1
ð16Þ
Einen quivalenten Ausdruck erhlt man durch Integration von D 4 Gl. (4) mit cp =const s2 s1 ¼ cp ln
T2 p2 R ln : T1 p1
ð17Þ
I6.2
Kalorische Zustandsgrßen von Gasen und Dmpfen
D 13
D
Bild 5. t, s-Diagramm des Wassers mit Kurven p=const (ausgezogen), u=const (gestrichelt) und Kurven gleicher Enthalpie (strichpunktiert)
Bild 6. h, s-Diagramm des Wassers mit Kurven p=const (ausgezogen), t=const (gestrichelt) und x=const (strichpunktiert). Der fr die Zwecke der Dampftechnik interessante Bereich ist durch die schraffierte Umrandung abgegrenzt
6.2.2 Reale Gase und Dmpfe
h ¼ ð1 xÞh0 þ xh00 ¼ h0 þ xr:
Die kalorischen Zustandsgrßen realer Gase und Dmpfe werden i. Allg. aus Messungen bestimmt, knnen aber bis auf einen Anfangswert auch aus der thermischen Zustandsgleichung abgeleitet werden. Sie werden in Tabellen oder Diagrammen in folgender Weise dargestellt u=u(u, T), h=h(p, T), s=s(p, T), cv ¼ cv ðu; TÞ, cp ¼ cp ðp; TÞ. Hufig erfordert die Auswertung von Zustandsgleichungen einen Computer. Fr Dmpfe gilt: Die Enthalpie h00 des gesttigten Dampfes unterscheidet sich von der Enthalpie h0 der Flssigkeit im Sttigungszustand bei p, T=const um die Verdampfungsenthalpie r ¼ h00 h0 ;
ð18Þ
die mit steigender Temperatur abnimmt und am kritischen Punkt, wo h00 ¼ h0 ist, zu null wird. Die Enthalpie von Nassdampf ist
ð19Þ
Entsprechend ist die innere Energie u ¼ ð1 xÞu0 þ xu00 ¼ u0 þ xðu00 u0 Þ
ð20Þ
und die Entropie s ¼ ð1 xÞs0 þ xs00 ¼ s0 þ xr=T;
ð21Þ 00
da Verdampfungsenthalpie und Verdampfungsentropie s s0 zusammenhngen durch r ¼ Tðs00 s0 Þ:
ð22Þ
Nach Clausius-Clapeyron ist die Verdampfungsenthalpie mit der Steigung dp=dT der Dampfdruckkurve p(T) verknpft durch r ¼ Tðu00 u0 Þ
dp ; dT
ð23Þ
D 14
D
Thermodynamik – 6 Stoffthermodynamik
wenn T die Siedetemperatur beim Druck p ist. Man kann diese Beziehung verwenden, um aus zwei der drei Grßen r; u00 u0 und dp=dT die dritte zu berechnen. Wenn nicht hufig Zustandsgrßen zu berechnen sind oder keine leistungsfhigen Rechner zu Verfgung stehen, verwendet man fr praktische Rechnungen Dampftafeln, in denen die Ergebnisse theoretischer und experimenteller Untersuchungen der Zustandsgrßen zusammengefasst sind. Fr die in der Technik wichtigen Arbeitsstoffe findet man Dampftafeln in Anh. D 6 Tab. 5 bis 9. Zur Ermittlung von Anhaltswerten und zur Darstellung von Zustandsnderungen sind Diagramme vorteilhaft, z. B. ein t, s-Diagramm wie Bild 5. Am hufigsten verwendet man in der Praxis Mollier-Diagramme. Das sind solche Diagramme, welche die Enthalpie als eine der Koordinaten enthalten, Bild 6. Die spezifische Wrmekapazitt cp ¼ ð¶h=¶TÞp eines Dampfes hngt außer von der Temperatur in erheblichem Maße vom Druck ab, ebenso hngt cv ¼ ð¶u=¶TÞv außer von der Temperatur noch vom spez. Volumen ab. Bei Annherung an die Grenzkurve wchst cp des berhitzten Dampfes mit abnehmender Temperatur stark an und wird im kritischen Punkt sogar unendlich. Bei Dmpfen ist cp cv keine konstante Grße mehr wie bei idealen Gasen.
Bild 7. p, T-Diagramm mit den drei Grenzkurven der Phasen. (Die Steigung der Schmelzdruckkurve von Wasser ist negativ, gestrichelte Kurve.)
Entsprechend ist die Flchendehnung A ¼ A0 ½1 þ gA ðt t0 Þ und die Lngendehnung l ¼ l0 ½1 þ gL ðt t0 Þ:
6.3 Inkompressible Fluide Ein inkompressibles Fluid ist ein Fluid, dessen spez. Volumen u weder von der Temperatur noch vom Druck abhngt. Die thermische Zustandsgleichung lautet u ¼ const. Flssigkeiten und Feststoffe knnen im Allgemeinen in guter Nherung als inkompressibel betrachtet werden. Die spez. Wrmekapazitten cp und cv unterscheiden sich bei inkompressiblen Fluiden nicht voneinander, cp ¼ cv ¼ c. Daher gelten die kalorischen Zustandsgleichungen du ¼ c dT
ð24Þ
und dh ¼ c dT þ u dp
ð25Þ
sowie ds ¼ c
dT : T
ð26Þ
Es ist gA ¼ ð2=3Þgv und gL ¼ ð1=3Þgv . Mittelwerte fr gL im Temperaturintervall zwischen 0 C und t C findet man fr einige Feststoffe aus den Werten im Anh. D 6 Tab. 10, indem man die dort angegebene Lngennderung ðl l0 Þ=l0 noch durch das Temperaturintervall ðt 0Þ C dividiert. 6.4.2 Schmelz- und Sublimationsdruckkurve Innerhalb gewisser Grenzen gibt es zu jedem Druck einer Flssigkeit eine Temperatur, bei der sie mit ihrem Feststoff im Gleichgewicht steht. Dieser Zusammenhang p(T) wird durch die Schmelzdruckkurve (Bild 7) festgelegt, whrend die Sublimationsdruckkurve das Gleichgewicht zwischen Gas und Feststoff wiedergibt. In Bild 7 ist außerdem noch die Dampfdruckkurve eingezeichnet. Alle drei Kurven treffen sich im Tripelpunkt, in dem die feste, die flssige und die gasfrmige Phase eines Stoffs miteinander im Gleichgewicht stehen. Der Tripelpunkt des Wassers liegt definitionsgemß bei 273,16 K, der Druck betrgt am Tripelpunkt 611,657 Pa.
6.4 Feste Stoffe
6.4.3 Kalorische Zustandsgrßen
6.4.1 Wrmedehnung
Beim Gefrieren einer Flssigkeit wird die Schmelzenthalpie DhE (E=Erstarren) abgefhrt (Anh. D 6 Tab. 11). Dabei erfhrt die Flssigkeit eine Entropieabnahme DsE ¼ DhE =TE , wenn TE die Schmelz- oder Erstarrungstemperatur ist. Nach der Dulong-Petitschen Regel hat oberhalb der Umgebungstemperatur die molare Wrmekapazitt geteilt durch die Anzahl der Atome im Molekl ungefhr den Wert 25,9 kJ/ (kmol K). Bei Annherung an den absoluten Nullpunkt gilt diese grobe Regel nicht mehr. Dort ist die molare Wrmekapazitt bei konstantem Volumen fr alle festen Stoffe
In der Zustandsgleichung V=V(p, T) fester Stoffe ist der Einfluss des Drucks auf das Volumen ebenso wie bei Flssigkeiten meistens vernachlssigbar gering. Fast alle Feststoffe dehnen sich wie die Flssigkeiten mit zunehmender Temperatur aus und schrumpfen bei Temperaturabnahme, ausgenommen Wasser, das bei 4 C seine grßte Dichte hat und sich sowohl bei hheren als auch bei geringeren Temperaturen als 4 C ausdehnt. Entwickelt man die Zustandsgleichung in eine Taylorreihe nach der Temperatur und bricht nach dem linearen Glied ab, so erhlt man die Volumendehnung mit dem kubischen Volumendehnungskoeffizienten gv (SI-Einheit 1/K) V ¼ V0 ½1 þ gv ðt t0 Þ:
¼ aðT=QÞ3 ; fr T=Q < 0,1, C worin a=472,5 J/(mol K) und (Anh. D 6 Tab. 12).
die Debye-Temperatur ist
I7.1
Zustandsnderungen ruhender Gase und Dmpfe
D 15
7 Zustandsnderungen von Gasen und Dmpfen 7.1 Zustandsnderungen ruhender Gase und Dmpfe Das geschlossene thermodynamische System habe die Masse Dm, die als Ganzes nicht bewegt wird. Man unterscheidet folgende Zustandsnderungen als idealisierte Grenzflle der wirklichen Zustandsnderungen. Zustandsnderungen bei konstantem Volumen oder isochore Zustandsnderungen. Hierbei bleibt das Gasvolumen unverndert; z. B. wenn sich ein Gasvolumen in einem Behlter mit starren Wnden befindet. Es wird keine Arbeit verrichtet. Die zugefhrte Wrme dient zur nderung der inneren Energie. Zustandsnderungen bei konstantem Druck oder isobare Zustandsnderungen. Um den Druck konstant zu halten, muss ein Gas bei Wrmezufuhr sein Volumen ausreichend vergrßern. Die zugefhrte Wrme bewirkt bei reversibler Zustandsnderung eine Erhhung der Enthalpie. Zustandsnderungen bei konstanter Temperatur oder isotherme Zustandsnderungen. Damit bei der Expansion eines Gases die Temperatur konstant bleibt, muss man Wrme zufhren, bei der Kompression Wrme abfhren (von einigen wenigen Ausnahmen abgesehen). Im Fall des idealen Gases ist UðTÞ ¼ const, und daher nach dem ersten Hauptsatz ðdQ þ dW ¼ 0Þ die zugefhrte Wrme gleich der abgegebenen Arbeit. Die Isotherme des idealen Gases ðpV ¼ mRT ¼ constÞ stellt sich im p, V-Diagramm als Hyperbel dar. Adiabate Zustandsnderungen sind gekennzeichnet durch wrmedichten Abschluss des Systems von seiner Umgebung. Sie werden nherungsweise in Verdichtern und Entspannungsmaschinen verwirklicht, weil dort Verdichtung und Entspannung der Gase so rasch ablaufen, dass whrend einer Zustandsnderung wenig Wrme mit der Umgebung ausgetauscht wird. Nach dem zweiten Hauptsatz (s. D 4.3.1) wird die gesamte Entropienderung durch Irreversibilitten im Inneren des Systems bewirkt, S_ ¼ S_ i . Eine reversible Adiabate verluft bei konstanter Entropie S_ ¼ 0. Man nennt eine solche Zustandsnderung isentrop. Eine reversible Adiabate ist daher gleichzeitig Isentrope. Die Isentrope braucht aber keine Adiabate zu sein (da S_ ¼ S_ Q þ S_ i ¼ 0 nicht auch S_ Q ¼ 0 zur Folge hat). In Bild 1 sind die verschiedenen Zustandsnderungen im p, V- und T, S-Diagramm dargestellt und die wichtigsten Zusammenhnge fr Zustandsgrßen idealer Gase angegeben.
D
Bild 1. Zustandsnderungen idealer Gase. Der Zusatz (rev) zeigt an, dass die Zustandsnderung reversibel sein soll
Polytrope Zustandsnderungen. Whrend die isotherme Zustandsnderung vollkommenen Wrmeaustausch voraussetzt, ist bei der adiabaten Zustandsnderung jeder Wrmeaustausch mit der Umgebung unterbunden. In Wirklichkeit lsst sich beides nicht vllig erreichen. Man fhrt daher eine polytrope Zustandsnderung ein durch die Gleichung Bild 2. Polytropen mit verschiedenen Exponenten
pV n ¼ const;
ð1Þ
wobei n in praktischen Fllen meist zwischen 1 und k liegt. Isochore, Isobare, Isotherme und reversible Adiabate sind Sonderflle der Polytrope mit folgenden Exponenten (Bild 2): Isochore: n= 1 , Isobare: n=0, Isotherme: n=1, reversible Adiabate: n=k. Es gilt weiter
und Wt12 ¼ nW12 :
ð3Þ
Die ausgetauschte Wrme ist Q12 ¼ mcv ðn kÞðT2 T1 Þ=ðn 1Þ:
ð4Þ m3n
u2 =u1 ¼ ðp1 =p2 Þ1=n ¼ ðT1 =T2 Þ1=ðn1Þ ; W12 ¼ mRðT2 T1 Þ=ðn 1Þ ¼ ðp2 V2 p1 V1 Þ=ðn 1Þ ¼ p1 V1 ½ðp2 =p1 Þðn1Þ=n 1=ðn 1Þ
ð2Þ
Beispiel: Eine Druckluftanlage soll stndlich 1000 Druckluft von 15 bar liefern (Anmerkung: 1 m3n =1 Normkubikmeter ist das Gasvolumen umgerechnet auf 0 C und 1,01325 bar), die bei einem Druck von p1 ¼ 1 bar und einer Temperatur von t1 ¼ 20 C angesaugt wird. Fr Luft ist k=1,4. Welche Leistung ist erforderlich, wenn die Verdichtung polytrop mit n=1,3 erfolgt? Welcher Wrmestrom muss dabei abgefhrt werden?
D 16
Thermodynamik – 7 Zustandsnderungen von Gasen und Dmpfen
Der angesaugte Luftvolumenstrom betrgt nach Aufgabenstellung 1000 m3 bei 0 C und 1,01325 bar, 3
3
p0 T1 _ 1; 01325 293; 15 m m V_ 1 ¼ ¼ 1087; 44 : V0 ¼ 1000 p1 T0 h h 1 273; 15
D
Bei polytroper Zustandsnderung ist nach Gln. (3) und (2) 2 3 n1 _ n _ t ¼ n p1 V1 4 p2 P¼W 15 n1 p1 1,3 105 ¼
Bild 3. Ausstrmen aus einem Druckbehlter
N m3 1087,44 1,31 h ½15 1,3 1 ¼ 113,6 kW: m2 1,3 1
Bei reversibel adiabater Zustandsnderung ist nach Gl. (2) Te =T0 ¼ ðpe =p0 Þðk1Þ=k , außerdem gilt T0 ¼ p0 u0 =R nach D 6 Gl. (2) und cp =R ¼ k=ðk 1Þ nach D 6 Gl. (12). Die Austrittsgeschwindigkeit ist somit sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ðk1Þ=k k pe : ð8Þ we ¼ 2 p 0 v0 1 p0 k1
Nach Gln. (4) und (3) ist Q12 Q_ nk ¼ ¼ cv Wt12 P nR oder da R ¼ cp cv und k ¼ cp =cv : Q_ 1 n k : ¼ P n k1 Somit ist Q_ ¼
Der ausstrmende Mengenstrom m_ ¼ Ae we =ue folgt unter Beachtung von p0 uk0 ¼ pe uke zu pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi m_ ¼ AY 2p0 =u0 ð9Þ
1 1,3 1,4 113,6 kW ¼ 21,85 kW: 1,3 1,4 1
7.2 Zustandsnderungen strmender Gase und Dmpfe
mit der Ausflussfunktion ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi s ðkþ1Þ=k k p 2=k p : Y¼ k1 p0 p0
Zur Kennzeichnung der Strmung einer Fluidmasse Dm braucht man neben den thermodynamischen Zustandsgrßen noch Grße und Richtung der Geschwindigkeit an jeder Stelle des Felds. Wir beschrnken uns hier auf stationre Strmungen in Kanlen, deren Querschnitt konstant, erweitert oder verjngt sein kann. Neben dem ersten und dem zweiten Hauptsatz gilt zustzlich der Satz von der Erhaltung der Masse
Sie ist eine Funktion des Adiabatenexponenten k und des Druckverhltnisses p=p0 (Bild 4) und besitzt ein Maximum Ymax , das man aus dY=dðp=p0 Þ ¼ 0 erhlt. Das Maximum liegt bei einem bestimmten Druckverhltnis, das man LavalDruckverhltnis nennt k=ðk1Þ pS 2 ¼ : ð11Þ p0 kþ1
m_ ¼ Awr ¼ const:
ð5Þ
In einer Strmung, die keine Arbeit an die Umgebung abgibt, Wt12 ¼ 0, geht der erste Hauptsatz D 3 Gl. (15) ber in 2 w w2 Dmðh2 h1 Þ þ Dm 2 1 þ Dmgðz2 z1 Þ ¼ Q12 ; ð6Þ 2 2 gleichgltig, ob es sich um reversible oder irreversible Strmungsvorgnge handelt. Lsst man die meist vernachlssigbare Hubarbeit weg, so gilt fr eine adiabate Strmung h2 h1 þ
w22 w21 ¼ 0: 2 2
Bei diesem Druckverhltnis ist 1=ðk1Þ rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2 k Ymax ¼ : kþ1 kþ1
ð12Þ
Zum Druckverhltnis pS =p0 gehrt nach Gl. (8) mit pe =p0 ¼ pS =p0 eine Geschwindigkeit we ¼ wS . Es ist rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi k wS ¼ 2 ð13Þ p0 v0 ¼ kpS uS ¼ kRTS : kþ1
ð7Þ
Eine Zunahme der kinetischen Energie ist gleich der Abnahme der Enthalpie des Fluids. In einer adiabaten Drossel und unter der Voraussetzung A; r ¼ const folgt aus Gl. (5) w ¼ const und somit aus Gl. (7) fr die adiabate Drossel h1 ¼ h2 ¼ const. Der Druckabbau in einer adiabaten Drossel ist mit einer Entropiezunahme verbunden, der Vorgang ist irreversibel. Nach D 4 Gl. (4) wird bei der reversibel adiabaten Strmung die Enthalpienderung durch eine Drucknderung hervorgerufen, dh ¼ u dp. 7.2.1 Strmung idealer Gase Anwendung von Gl. (7) auf ein ideales Gas, das aus einem Behlter ausstrmt (Bild 3), in dem das Gas den konstanten Zustand p0 ; u0 ; T0 hat und w0 ¼ 0 ist, ergibt wegen he h0 ¼ cp ðTe T0 Þ und w0 ¼ 0 : w2e Te ¼ cp ðT0 Te Þ ¼ cp T0 1 : 2 T0
ð10Þ
Bild 4. Ausflussfunktion Y
I8.2
Carnot-Prozess
D 17
Diese ist gleich der Schallgeschwindigkeit im Zustand pS ; uS : Allgemein ist die Schallgeschwindigkeit diejenige Geschwindigkeit, mit der sich Druck und Dichteschwankungen fortpflanzen, und bei reversibler adiabater Zustandsnderung gegeben durch qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi wS ¼ ð¶p=¶rÞS ; pffiffiffiffiffiffiffiffiffi woraus fr ideale Gase wS ¼ kRT folgt. Die Schallgeschwindigkeit ist eine Zustandsgrße. Beispiel: Ein Dampfkessel erzeugt stndlich 10 t Sattdampf von p0 ¼ 15 bar. Den Dampf kann man als ideales Gas (k=1,3) behandeln; wie groß muss der freie Querschnitt des Sicherheitsventils mindestens sein? Das Sicherheitsventil muss den ganzen Massenstrom des erzeugten Dampfes abfhren knnen. Da beim Ausstrmen m_ in jedem Querschnitt konstant ist, ist nach Gl. (9) auch AY ¼ const: Da sich die Strmung einschnrt, A also abnimmt, nimmt Y zu. Es kann hchstens den Wert Ymax erreichen. Dann ist der Gegendruck kleiner oder gleich dem Lavaldruck. Im vorliegenden Fall ist der Gegendruck der Atmosphre von p ¼ 1 bar kleiner als der Lavaldruck, den man nach Gl. (11) zu 8,186 bar errechnet. Damit ergibt sich der notwendige Querschnitt aus Gl. (9), wenn man dort Y ¼ Ymax ¼ 0; 472 nach Gl. (12) einsetzt. 1 Man erhlt mit m_ ¼ 10 103 3 600 kg=s ¼ 2; 7778 kg=s und u0 ¼ u00 ¼ 0; 1317 m3 =kg (nach Anh. D 6 Tab. 5 bei p0 ¼ 15 bar) aus 2 Gl. (9) A=12,33 cm . Wegen der Strahleinschnrung, deren Grße von der Formgebung des Ventils abhngt, muss man hierauf noch einen Zuschlag machen.
7.2.2 Dsen- und Diffusorstrmung Nach Bild 4 gehrt bei vorgegebenem Adiabatenexponenten k zu einem bestimmten Druckverhltnis p=p0 ein bestimmter Wert der Ausflussfunktion Y. Da der Massenstrom m_ in jedem Querschnitt konstant ist, gilt nach Gl. (9) auch AY ¼ const: Jedem Druckverhltnis kann man somit einen bestimmten Querschnitt A zuordnen, Bild 5. Es sind zwei Flle zu unterscheiden: a) Der Druck sinkt in Strmungsrichtung. Die Kurven Y, A, w werden in Bild 5 von rechts nach links durchlaufen. Der Querschnitt A nimmt zunchst ab, dann wieder zu. Die Geschwindigkeit steigt von Unterschall auf berschall. Die kinetische Energie der Strmung nimmt zu. Man bezeichnet einen solchen Apparat als Dse. In einer Dse, die nur im Un-
8 Thermodynamische Prozesse 8.1 Energiewandlung mittels Kreisprozessen Ein Prozess, der ein System wieder in seinen Ausgangszustand zurckbringt, heißt Kreisprozess. Nachdem er durchlaufen ist, nehmen alle Zustandsgrßen des Systems wie Druck, Temperatur, Volumen, innere Energie und Enthalpie die Werte an, die sie im Ausgangszustand hatten. Nach dem ersten Hauptsatz, D 3 Gl. (10), ist nach Durchlaufen des Prozesses die Energie des Systems wieder gleich der Energie im Ausgangszustand und daher X
Qik þ
X
Wik ¼ 0:
ð1Þ
X X Qik . Die gesamte verrichtete Arbeit ist W ¼ Wik ¼ Maschinen, in denen ein Fluid einen Kreisprozess durchluft, dienen der Umwandlung von Wrme in Arbeit oder umgekehrt der Umwandlung von Arbeit in Wrme. Nach dem
D Bild 5. Dsen- und Diffusorstrmung
terschallbereich arbeitet, nimmt der Querschnitt stets ab, im berschallbereich nimmt er stetig zu. In einer in Richtung der Strmung verjngten Dse kann der Druck im Austrittsquerschnitt nicht unter den Lavaldruck sinken, auch wenn man den Druck im Außenraum beliebig klein macht. Dies folgt aus AY ¼ const: Da A in Strmungsrichtung abnimmt, kann Y nur zunehmen. Es kann hchstens den Wert Ymax erreichen, wozu das Lavaldruckverhltnis gehrt. Senkt man den Druck am Austrittsquerschnitt einer Dse unter den zum Austrittsquerschnitt gehrenden Wert des Drucks, so expandiert der Strahl nach Verlassen der Dse. Erhht man den Gegendruck ber den richtigen Wert, so luft die Druckerhhung stromaufwrts falls das Gas mit Unterschallgeschwindigkeit ausstrmt. Strmt das Gas mit Schallgeschwindigkeit oder in einer erweiterten Dse mit berschallgeschwindigkeit aus, so entsteht an der Mndung der Dse ein Verdichtungsstoß, in dem der Druck auf den Wert der Umgebung springt. b) Der Druck nimmt in Strmungsrichtung zu. Die Kurven Y, A, w werden in Bild 4 von links nach rechts durchlaufen. Der Querschnitt nimmt ebenfalls zunchst ab, dann wieder zu. Die Geschwindigkeit sinkt von berschall auf Unterschall. Die kinetische Energie nimmt ab und der Druck zu. Man bezeichnet einen solchen Apparat als Diffusor. In einem Diffusor, der nur im Unterschallbereich arbeitet, nimmt der Querschnitt stetig zu, im berschallbereich nimmt er stetig ab.
zweiten Hauptsatz kann die zugefhrte Wrme nicht vollstndig in Arbeit verwandelt werden. Ist die zugefhrte Wrme grßer als die abgegebene, so arbeitet der Prozess als Wrmekraftanlage oder Wrmekraftmaschine, deren Zweck darin besteht, Arbeit zu liefern. Ist die abgefhrte Wrme grßer als die zugefhrte, so muss man Arbeit zufhren. Mit einem derartigen Prozess kann man einem Stoff bei tiefer Temperatur Wrme entziehen und sie bei hherer Temperatur, z. B. der Umgebungstemperatur, zusammen mit der zugefhrten Arbeit wieder abgeben. Ein solcher Prozess arbeitet als Klteprozess. In einem Wrmepumpenprozess wird die Wrme der Umgebung entzogen und zusammen mit der zugefhrten Arbeit bei hherer Temperatur abgegeben.
8.2 Carnot-Prozess In der historischen Entwicklung, wenn auch nicht fr die Praxis, hat der 1824 von Carnot eingefhrte Kreisprozess eine
D 18
Thermodynamik – 8 Thermodynamische Prozesse
D Bild 1. Schaltschema einer nach dem Carnot-Prozess arbeitenden Wrmekraftmaschine
per der niedrigen Temperatur T0 die Wrme Q0 entzogen und bei hherer Temperatur T die Wrme Q abgegeben. Ein solcher linkslufig ausgefhrter Carnotprozess kann zum Zweck haben, einem zu khlenden Gut die Wrme Q0 bei der tiefen Temperatur T0 zu entziehen, also als Kltemaschine zu arbeiten, und die Wrme jQj ¼ Wt þ Q0 bei hherer Temperatur T wieder an die Umgebung abzugeben. Besteht der Zweck des Prozesses darin, die Wrme |Q| bei der hheren Temperatur T zu Heizzwecken abzugeben, so arbeitet der Prozess als Wrmepumpe. Die Wrme Q0 wird dann von der Umgebung bei der niederen Temperatur T0 aufgenommen. Carnotprozesse haben keine praktische Bedeutung erlangt, weil ihre Leistung bezogen auf das Bauvolumen sehr gering ist. Als idealer, weil reversibler, Prozess wird der Carnot-Prozess jedoch hufig zu Vergleichszwecken fr die Beurteilung anderer Kreisprozesse herangezogen.
8.3 Wrmekraftanlagen In Wrmekraftanlagen wird dem Arbeitsstoff von einem heißen Medium Energie als Wrme zugefhrt. Der Arbeitsstoff durchluft einen Kreisprozess, der, wie im Folgenden dargestellt wird, auf unterschiedliche Weise gestaltet sein kann. 8.3.1 Ackeret-Keller-Prozess
Bild 2. Carnot-Prozess der Wrmekraftmaschine im p, V- und im T, S-Diagramm
Der Ackeret-Keller-Prozess besteht aus folgenden Zustandsnderungen, die im p, u- und T, s-Diagramm dargestellt sind; Bild 3: 1–2: Isotherme Kompression bei der Temperatur T0 vom Druck p0 auf den Druck p. 2–3: Isobare Wrmezufuhr beim Druck p. 3–4: Isotherme Expansion bei der Temperatur T vom Druck p auf den Druck p0 . 4–1: Isobare Wrmeabfuhr beim Druck p0 . Der Prozess geht auf einen Vorschlag des schwedischen Ingenieurs J. Ericson (1803–1899) zurck und wird daher auch als Ericson-Prozess bezeichnet. Er wurde jedoch zuerst von Ackeret und Keller 1941 als Vergleichsprozess fr Gasturbinenanlagen verwendet. Die zur isobaren Erwrmung 2–3 des verdichteten Arbeitsstoffs erforderliche Wrme wird durch isobare Abkhlung 4– 1 des entspannten Arbeitsstoffs bereitgestellt, Q23 ¼ jQ41 j.
entscheidende Rolle gespielt, Bild 1 und 2. Er besteht aus folgenden Zustandsnderungen (hier rechtslufiger Prozess fr eine Wrmekraftmaschine): 1–2: Isotherme Expansion bei der Temperatur T unter Zufuhr der Wrme Q. 2–3: Reversibel adiabate Expansion vom Druck p2 auf den Druck p3 . 3–4: Isotherme Kompression bei der Temperatur T0 unter Abfuhr der Wrme jQ0 j. 4–1: Reversibel adiabate Kompression vom Druck p4 auf den Druck p1 . Die zugefhrte Wrme ist Q ¼ m RT ln V2 =V1 ¼ TðS2 S1 Þ
ð2Þ
und die abgefhrte Wrme jQ0 j ¼ m RT0 ln V3 =V4 ¼ T0 ðS3 S4 Þ ¼ T0 ðS2 S1 Þ:
ð3Þ
Die verrichtete technische Arbeit ist Wt ¼ Q jQ0 j und der thermische Wirkungsgrad h ¼ jWt j=Q ¼ 1 ðT0 =TÞ:
ð4Þ
Bei umgekehrter Reihenfolge 4–3–2–1 der Zustandsnderungen wird unter Zufuhr von technischer Arbeit Wt einem Kr-
Bild 3. Ackeret-Keller-Prozess im p, u- und im T, s-Diagramm
I8.3
Wrmekraftanlagen
D 19
Der thermische Wirkungsgrad stimmt mit dem des CarnotProzesses berein, denn es ist Wt ¼ Q34 jQ21 j
ð5Þ
und h¼ 1
jQ21 j T0 ¼ 1 : T Q34
ð6Þ
Die technische Realisierung des Prozesses ist jedoch schwierig, weil isotherme Verdichtung und Entspannung kaum zu verwirklichen sind, da man diese nur durch mehrstufige adiabate Verdichtung mit Zwischenkhlung annhern kann. Der Ackeret-Keller-Prozess dient vor allem als Vergleichsprozess fr den Gasturbinenprozess mit mehrstufiger Verdichtung und Entspannung.
D
Bild 4. Gasturbinenprozess mit geschlossenem Kreislauf. a Generator, b Turbine, c Verdichter, d Khler, e Wrmebertrager, f Gaserhitzer
8.3.2 Geschlossene Gasturbinenanlage In einer geschlossenen Gasturbinenanlage (Bild 4) wird ein Gas im Verdichter komprimiert, im Wrmebertrager und Gaserhitzer auf eine hohe Temperatur erwrmt, dann in einer Turbine unter Verrichtung von Arbeit entspannt und im Wrmebertrager und dem sich anschließenden Khler wieder auf die Anfangstemperatur gekhlt, worauf das Gas erneut vom Verdichter angesaugt wird. Als Arbeitsstoffe kommen Luft, aber auch andere Gase wie Helium oder Stickstoff infrage. Die geschlossene Gasturbinenanlage ist gut regelbar, und eine Verschmutzung der Turbinenschaufeln kann durch Verwendung geeigneter Gase vermieden werden. Von Nachteil sind die im Vergleich zu offenen Anlagen hheren Energiekosten, da ein Khler bentigt wird und fr den Erhitzer hochwertige Sthle erforderlich sind. Bild 5 zeigt den Prozess im p, u- und T, s-Diagramm. Der aus zwei Isobaren und zwei Isentropen bestehende reversible Kreisprozess wird Joule-Prozess genannt (Zustandspunkte 1, 2, 3, 4). Der zugefhrte Wrmestrom ist Q_ ¼ mc _ p ðT3 T2 Þ;
ð7Þ
der abgefhrte _ p ðT4 T1 Þ: jQ_ 0 j ¼ mc
ð8Þ
Die verrichtete Leistung betrgt T4 T1 _ t ¼ Q_ jQ_ 0 j ¼ mc _ p ðT3 T2 Þ 1 P ¼ mw T3 T2 und der thermische Wirkungsgrad jPj T4 T1 h¼ ¼ 1 : _Q T3 T2
ð9Þ Bild 5. Gasturbinenprozess im p, u- und T, s-Diagramm. Das p, u-Diagramm zeigt nur den reversiblen Prozess (Joule-Prozess) 1, 2, 3, 4
ð10Þ
Wegen der Isentropengleichung ðk1Þ=k ðk 1Þ p0 T1 T4 T4 T1 T1 p0 k ¼ ¼ ist ¼ ¼ ð11Þ p T2 T3 T3 T2 T2 p ist der thermische Wirkungsgrad ðk1Þ=k jPj p0 h¼ ¼1 p Q_
ð12Þ
nur vom Druckverhltnis p=p0 oder dem Temperaturverhltnis T2 =T1 der Verdichtung abhngig. Die Verdichterleistung wchst rascher mit dem Druckverhltnis als die Turbinenleistung, sodass die gewonnene Nutzleistung nach Gl. (9) unter Beachtung von Gl. (11) 0 10 1 k 1 k 1 p k CB p0 k C BT3 P ¼ mc _ p T1 @ ð13Þ A @1 A T1 p p0
bei einem bestimmten Druckverhltnis fr vorgegebene Werte der hchsten Temperatur T3 und der niedrigsten Temperatur T1 ein Maximum erreicht. Dieses optimale Druckverhltnis folgt durch Differentiation aus Gl. (13) zu ðk1Þ=k pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi p ¼ ðT3 =T1 Þ; ð14Þ p0 opt was wegen Gl. (11) gleichbedeutend mit T4 ¼ T2 ist. Unter Bercksichtigung des Wirkungsgrads hT fr die Turbine, hV des Verdichters und des mechanischen Wirkungsgrads hm fr die Energiebertragung zwischen Turbine und Verdichter ergibt sich das optimale Druckverhltnis zu ðk1Þ=k pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi p ¼ hm hT hV ðT3 =T1 Þ: ð15Þ p0 opt Mehr als die Hlfte der Turbinenleistung einer Gasturbinenanlage wird zum Antrieb des Verdichters bentigt. Die insge-
D 20
Thermodynamik – 8 Thermodynamische Prozesse
zwei Isobaren und zwei Isentropen, wird Clausius-RankineProzess genannt. Der wirkliche Kreisprozess folgt den Zustandsnderungen 01230 in Bild 7. Die Wrmeaufnahme im Dampferzeuger ist _ 2 h1 Þ; Q_ zu ¼ mðh
ð16Þ
die Leistung der adiabaten Turbine _ t23 j ¼ mðh _ 2 h3 Þ ¼ mh _ T ðh2 h03 Þ jPT j ¼ jmw
D
ð17Þ
mit dem isentropen Turbinenwirkungsgrad hT . Der im Kondensator abgefhrte Wrmestrom ist Bild 6. Dampfkraftanlage. a Kessel, b berhitzer, c Turbine, d Kondensator, e Speisewasserpumpe
_ 3 h0 Þ: Q_ ab ¼ mðh
ð18Þ
Die Nutzleistung des Kreisprozesses ist _ t ¼ PT PP ; P ¼ mw
ð19Þ
mit der Pumpenleistung _ 1 h0 Þ ¼ m_ PP ¼ mðh
1 ðh10 h0 Þ; hV
ð20Þ
worin hV der Wirkungsgrad der Speisewasserpumpe ist. Die Nutzleistung unterscheidet sich nur geringfgig von der Leistung der Turbine. Der thermische Wirkungsgrad ist h¼
_ t ðh2 h3 Þ ðh1 h0 Þ mw ¼ : h2 h1 Q_ zu
ð21Þ
Thermische Wirkungsgrade erreichen bei einem Gegendruck p0 ¼ 0; 05 bar, einem Frischdampfdruck von 150 bar und einer Dampftemperatur von 500 C Werte von h 0,42. Deutlich grßere thermische Wirkungsgrade von derzeit bis zu h 0; 58 erreicht man in kombinierten Gas-Dampfkraftwerken, so genannten GuD-Kraftwerken (s. R 6.2.1). In ihnen wird das Verbrennungsgas zuerst in einer Gasturbine unter Arbeitsleistung entspannt und anschließend zur Dampferzeugung einem Dampfkraftwerk zugefhrt.
8.4 Verbrennungskraftanlagen
Bild 7. Zustandsnderung des Wassers beim Kreisprozess der einfachen Dampfkraftanlage im T, s- und im h, s-Diagramm
In der Verbrennungskraftanlage dient das Brenngas als Arbeitsstoff. Er durchluft keinen in sich geschlossenen Prozess, sondern wird als Abgas an die Umgebung abgefhrt, nachdem er in einer Turbine oder einem Kolbenmotor Arbeit verrichtet hat. Zu den Verbrennungskraftanlagen gehren die offenen Gasturbinenanlagen und die Verbrennungsmotoren (Ottound Dieselmotor) sowie Brennstoffzellen. Zur Kennzeichnung der Effektivitt der Energieumwandlung dient der energetische Gesamtwirkungsgrad h ¼ P=ðm_ B Dhu Þ:
samt installierte Leistung ist daher das Vier- bis Sechsfache der Nutzleistung. 8.3.3 Dampfkraftanlage Dampfkraftanlagen werden mit einem Arbeitsstoff – meistens Wasser – betrieben, der whrend des Prozesses verdampft und wieder kondensiert wird. Mit ihnen wird der weitaus grßte Teil der elektrischen Energie unserer Stromnetze erzeugt. Der Arbeitsprozess in seiner einfachsten Form (Bild 6) ist folgender: Im Kessel a wird der Arbeitsstoff bei hohem Druck isobar bis zum Siedepunkt erwrmt, verdampft und anschließend im berhitzer b noch berhitzt. Der Dampf wird dann in der Turbine c unter Verrichtung von Arbeit adiabat entspannt und im Kondensator d unter Wrmeabgabe verflssigt. Die Flssigkeit wird von der Speisewasserpumpe e auf Kesseldruck gebracht und wieder in den Kessel gefrdert. Der reversible Kreisprozess 010 230 0 (Bild 7), bestehend aus
P ist die Nutzleistung der Anlage, m_ B der Massenstrom des zugefhrten Brennstoffs, Dhu dessen Heizwert (s. D 9). Der exergetische Gesamtwirkungsgrad z ¼ P=ðm_ B ðwex ÞB Þ gibt an, welcher Teil des mit dem Brennstoff zugefhrten Exergiestroms in Nutzleistung umgewandelt wird. wex ist i. Allg. nur wenig grßer als der Heizwert (s. D 9), sodass sich h und z zahlenmßig kaum unterscheiden. Fr Großmotoren (Diesel) ist der Gesamtwirkungsgrad etwa 42%, fr Kraftfahrzeugmotoren etwa 25% und fr offene Gasturbinen 20 bis 30%. 8.4.1 Offene Gasturbinenanlage In der offenen Gasturbinenanlage (s. R 8) wird die angesaugte Luft in einem Verdichter auf hohen Druck gebracht, vorgewrmt und in einer Brennkammer durch Verbrennen des eingespritzten Brennstoffs erhitzt. Die Brenngase werden in einer Turbine unter Arbeitsleistung entspannt, geben in einem Wrmebertrager einen Teil ihrer Restwrme zur Luftvorwrmung ab und treten ins Freie aus. Verdichter und Tur-
I8.4
Verbrennungskraftanlagen
D 21
und der thermische Wirkungsgrad ðk1Þ=k jWt j T4 T1 T1 p1 ¼1 ¼ 1 ¼ 1 T3 T2 T2 p2 Q 1 ¼ 1 k1 : e
h¼
ð25Þ
Das Verdichtungsverhltnis e ¼ V1 =V2 ¼ ðVK þ Vh Þ=VK gibt den Grad der Verdichtung bei der adiabaten Kompression des Gemisches an. Der thermische Wirkungsgrad hngt also außer vom Adiabatenexponenten k nur vom Druckverhltnis p2 =p1 bzw. dem Verdichtungsverhltnis e und nicht von der Grße der Wrmezufuhr ab. Je hher man verdichtet, desto besser ist die Wrme ausgenutzt. Das Verdichtungsverhltnis wird durch die Selbstzndungstemperaturen des BrennstoffLuftgemisches begrenzt. 8.4.3 Dieselmotor
Bild 8. Theoretischer Prozess des Ottomotors im p, V- und T, S-Diagramm
Die Beschrnkung auf moderate Verdichtungsverhltnisse und Drcke entfllt beim Dieselmotor (s. P 4.2), in dem die Verbrennungsluft durch hohe Verdichtung ber die Selbstzndungstemperatur des Brennstoffs erhitzt, und dieser in die heiße Luft eingespritzt wird. Den vereinfachten Prozess des Dieselmotors zeigt Bild 9. Er besteht aus adiabater Verdichtung 1 2 der Verbrennungsluft, isobarer Verbrennung 2 30 nach Einspritzen des Brennstoffs in die heiße, verdichtete Verbrennungsluft, adiabater Entspannung 30 4 und Auspuffen 4 1, das durch eine Isochore mit Wrmeabfuhr jQ0 j in Bild 9 ersetzt ist. Die zugefhrte Wrme ist Q023 ¼ Q ¼ mcp ðT30 T2 Þ;
ð26Þ
die lngs der Isochore 4 1 abgefhrt gedachte Auspuffwrme ist bine sind auf einer Welle angeordnet. In einem an die Welle angeschlossenen Generator wird die Nutzarbeit in elektrische Energie verwandelt (s. R 8 Bild 1 a). Der zugrunde liegende Kreisprozess kann analog zu dem geschlossenen Prozess (s. D 8.3.2) beschrieben werden.
jQ41 j ¼ jQ0 j ¼ mcv ðT4 T1 Þ;
ð27Þ
8.4.2 Ottomotor Im Ottomotor (s. P 4.2) befindet sich der Zylinder am Ende des Saughubs im Zustandspunkt 1 (Bild 8); er ist mit dem brennbaren Gemisch von Umgebungstemperatur und Atmosphrendruck gefllt. Das Gemisch wird lngs der Adiabaten 1 2 vom Anfangsvolumen Vk þ Vh auf das Kompressionsvolumen Vk verdichtet. Vh ist das Hubvolumen. Am oberen Totpunkt 2 erfolgt durch elektrische Zndung die Verbrennung, wodurch der Druck von Punkt 2 auf Punkt 3 ansteigt. Dieser Vorgang luft so schnell ab, dass er als isochor angenommen werden kann. Im Bild 8 ist dabei vereinfachend angenommen, dass das Gas unverndert bleibt und dass die bei der Verbrennung freiwerdende Wrme Q23 ¼ Q von außen zugefhrt ist. Beim Zurckgehen des Kolbens expandiert das Gas lngs der Adiabaten 3 4 400 40 . Der in 4 beginnende Auspuff ist durch Entzug einer Wrme jQ0 j bei konstantem Volumen ersetzt, wobei der Druck von Punkt 4 nach Punkt 1 sinkt. In Punkt 1 mssen die Verbrennungsgase durch neues Gemisch ersetzt werden, wozu beim 4-Takt-Ottomotor ein nicht dargestellter Doppelhub erforderlich ist. Die zugefhrte Wrme ist Q ¼ Q23 ¼ mcv ðT3 T2 Þ;
ð22Þ
die abgefhrte jQ0 j ¼ jQ41 j ¼ mcv ðT4 T1 Þ;
ð23Þ
die verrichtete Arbeit jWt j ¼ Q jQ0 j
ð24Þ
Bild 9. Theoretischer Prozess des Dieselmotors im p, V- und im T, SDiagramm
D
D 22
Thermodynamik – 8 Thermodynamische Prozesse
die verrichtete Arbeit jWt j ¼ Q jQ0 j und der thermische Wirkungsgrad h¼
D
jWt j 1 T4 T1 1 ¼ 1 ¼ 1 Q k T30 T2 k
T4 T3 T1 T3 T2 T2 : T30 1 T2
ð28Þ
Mit dem Verdichtungsverhltnis e ¼ V1 =V2 ¼ ðVk þ Vh Þ=Vk und dem Einspritzverhltnis j ¼ ðVk þ Ve Þ=Vk folgt fr den thermischen Wirkungsgrad h¼ 1
1 jk 1 : kek1 j 1
ð29Þ
Der thermische Wirkungsgrad des Dieselprozesses hngt außer vom Adiabatenexponenten k nur vom Verdichtungsverhltnis e und vom Einspritzverhltnis j ab, das sich mit steigender Belastung vergrßert. 8.4.4 Brennstoffzellen In der Brennstoffzelle reagiert Wasserstoff mit Sauerstoff elektrochemisch zu Wasser: 1 H2 þ O2 ! H2 O: 2 Bei dieser so genannten kalten Verbrennung wird die chemische Bindungsenergie direkt in elektrische Energie umgewandelt. Bild 10 zeigt beispielhaft eine Brennstoffzelle mit protonenleitendem Elektrolyten. Wasserstoff H2 wird an der Anodenseite zugefhrt. Mit Hilfe eines Katalysators spaltet er sich dort in zwei Protonen (Hþ ) und zwei Elektronen (e ). Die Elektronen wandern ber eine Last, z. B. einen Motor, zur Kathode. Die Protonen wandern durch den Elektrolyten zur Kathode, wo sie untersttzt durch einen Katalysator mit dem zugefhrten Sauerstoff O2 und den Elektronen zu Wasser H2 O reagieren. Zwischen Anode und Kathode besteht eine Spannung U, und es fließt ein elektrischer Strom I ¼ F n_ El mit n_ El ¼ 2 n_ H2 . F ist die Faraday Konstante F ¼ 96 485; 3 As=mol, n_ El der Stoffmengenstrom der Elektronen (SI-Einheit mol/s) und n_ H2 der Stoffmengenstrom des zugefhrten Wasserstoffs (SI-Einheit mol/s). Verluste durch Energiedissipation in der Zelle fhren dazu, dass die wirkliche Klemmenspannung geringer ist als die reversible Klemmenspannung. Die elektrische Leistung P der Brennstoffzelle errechnet sich aus Q_ þ P ¼ n_ H2 DHHR2
mit n_ H2 dem Mengenstrom des zugefhrten Wasserstoffs und DHHR2 seiner molaren Reaktionsenthalpie (SI-Einheit J/mol). Sie ist gleich dem negativen molaren Heizwert D Hmu ¼ MH2 D hu , s. D 10.2. In Analogie zu anderen Verbrennungskraftanlagen ist der Wirkungsgrad der Brennstoffzelle definiert zu hBZ ¼
P : n_ H2 DHmu
ð31Þ
Er betrgt i. Allg. etwa 50 %.
8.5 Klteanlagen und Wrmepumpen 8.5.1 Kompressionsklteanlage In Kltemaschinen (s. M 5) verwendet man ebenso wie in den Wrmekraftanlagen Gase oder Dmpfe als Arbeitsstoffe. Man bezeichnet sie als Kltemittel. Zweck einer Kltemaschine ist es, einem Khlgut Wrme zu entziehen. Dazu muss eine Arbeit verrichtet werden, die in Form von Wrme zusammen mit der dem Khlgut entzogenen Wrme an die Umgebung abgegeben wird. Zur Klteerzeugung bei Temperaturen bis etwa 100 C dienen vorwiegend Kompressionskltemaschinen. Das Schaltbild einer Kompressionskltemaschine zeigt Bild 11. Der Verdichter a, der fr kleine Leistungen meist als Kolben-, fr große Leistungen als Turboverdichter ausgebildet ist, saugt Dampf aus dem Verdampfer b beim Druck p0 und der zugehrigen Sttigungstemperatur T0 an und verdichtet ihn lngs der Adiabaten 1 2 (Bild 12) auf den Druck p. Der Dampf wird dann im Kondensator c beim Druck p verflssigt. Das flssige Kltemittel wird im Drosselventil d entspannt und gelangt dann wieder in den Verdampfer, wo ihm Wrme zugefhrt wird. Die Kltemaschine entzieht dem Khlgut eine Wrme Q0 , die dem Verdampfer b zugefhrt wird. Im Kondensator c gibt sie die Wrme jQj ¼ Q0 þ Wt an die Umgebung ab. Da Wasser bei 0 C gefriert und Wasserdampf ein unbequem großes spezifisches Volumen hat, verwendet man als Kltemittel andere Fluide wie Ammoniak NH3 , Kohlendioxid CO2 , Propan C3 H8 , Butan C4 H10 , Tetrafluorethan C2 H2 F4 , Difluormonochlormethan CHF2 Cl. Dampftafeln von Kltemitteln enthlt Anh. D 6 Tab. 7 bis 9. Mit m_ als dem Massenstrom des umlaufenden Kltemittels ist die Klteleistung _ 0 ¼ mðh _ 1 h4 Þ ¼ mðh _ 00 ðp0 Þ h0 ðpÞÞ; Q_ 0 ¼ mq
ð32Þ
weil h4 ¼ h3 ¼ h0 ðpÞ ist. Die Antriebsleistung des Verdichters
ð30Þ
Bild 10. Schema einer Brennstoffzelle mit protonenleitenden Elektrolyten
Bild 11. Schaltbild einer Kaltdampfmaschine. a Verdichter, b Verdampfer, c Kondensator, d Drosselventil
I8.6
Kraft-Wrme-Kopplung
D 23
niedrig halten, beispielsweise durch eine Fußbodenheizung, bei der t/29 C ist. Die Wrmepumpe wird außerdem bei zu tiefen Umgebungstemperaturen unwirtschaftlich. Sinkt die Leistungszahl eWP unter Werte von rund 2,3, so spart man im Vergleich mit der konventionellen Heizung keine Primrenergie mehr ein, denn Wirkungsgrade der Umwandlung von Primrenergie PPr im Kraftwerk in elektrische Energie P zum Antrieb der Wrmepumpe hel ¼ P=PPr liegen in Deutschland im Mittel bei 0,4. Damit ist die Heiz_ zahl z ¼ jQj=P Pr mit 0,92 etwa gleich dem Wirkungsgrad einer konventionellen Heizung. Heutige elektrisch angetriebene Wrmepumpen erreichen im Jahresmittel selten Heizzahlen von 2,3, es sei denn man schaltet die Wrmepumpe bei zu tiefen Außentemperaturen unter rund 3 C ab und heizt dann konventionell. Motorgetriebene Wrmepumpen mit Abwrmenutzung nutzen ebenso wie Sorptionswrmepumpen die Primrenergie besser als elektrisch angetriebene Wrmepumpen.
8.6 Kraft-Wrme-Kopplung
Bild 12. Kreisprozess des Kltemittels einer Kaltdampfmaschine im T, s- und im Mollier-p, h-Diagramm
ist _ t12 ¼ mðh _ 2 h1 Þ ¼ m_ PV ¼ mw
1 ðh20 h00 ðp0 ÞÞ; hV
ð33Þ
worin hV sein isentroper Wirkungsgrad ist. Der vom Kondensator abgefhrte Wrmestrom ist _ ¼ mjqj _ 2 h0 ðpÞÞ: jQj _ ¼ mðh _ 2 h3 Þ ¼ mðh
ð34Þ
Die Leistungszahl einer Kltemaschine ist definiert als das Verhltnis von Klteleistung Q_ 0 zur Leistungsaufnahme P des Verdichters eKM ¼
Q_ 0 q0 h00 ðp0 Þ h0 ðpÞ : ¼ ¼ hV PV wt12 h20 h00 ðp0 Þ
ð35Þ
Sie hngt außer vom isentropen Verdichtungswirkungsgrad nur noch von den beiden Drcken p und p0 ab.
Die gleichzeitige Erzeugung von Heizwrme und elektrischer Energie in Heizkraftwerken bezeichnet man als Kraft-Wrme-Kopplung (s. L 3.2). Dabei wird die ohnehin in großer Menge anfallende Kraftwerksabwrme zu Heizzwecken genutzt. Da die zur Heizung bentigte Wrme berwiegend und zwar zu mehr als 90% aus Anergie besteht, wird weniger Primrenergie, die ja berwiegend aus Exergie besteht, als bei konventioneller Heizung in Heizwrme umgewandelt. Man fhrt aus der Dampfturbine Niederdruckdampf ab, der neben Anergie noch soviel Exergie enthlt, dass die Heizenergie und die Exergieverluste in der Wrmeverteilung – in der Regel ein Fernheiznetz – gedeckt werden knnen. Gegenber dem reinen Kraftwerksbetrieb bßt man durch die Dampfentnahme zwar Arbeit ein, der Primrenergieumsatz zur gleichzeitigen Erzeugung von Arbeit und Heizwrme ist aber geringer als zur getrennten Gewinnung der Arbeit im Kraftwerk und der Heizwrme im konventionellen Heizsystem. Eine vereinfachte Schaltung zeigt Bild 13. Je nach Art der Schal_ tung sind Heizzahlen z ¼ jQj=P Pr bis rund 2,2 erreichbar [8], wobei PPr der nur auf die Heizung entfallende Anteil der Primrenergie ist. Die Heizzahlen liegen deutlich ber denen der meisten Wrmepumpen-Heizsysteme.
8.5.2 Kompressionswrmepumpe Sie arbeitet nach dem gleichen Prozess wie die in Bild 11 und Bild 12 dargestellte Kompressionsklteanlage (s. M 6). Ihr Zweck besteht darin, einem Krper Wrme zuzufhren. Dazu wird der Umgebung Wrme Q0 (Anergie) entzogen und zusammen mit der verrichteten Arbeit Wt (Exergie) als Wrme dem zu erwrmenden Krper zugefhrt jQj ¼ Q0 þ Wt . Die Leistungszahl einer Wrmepumpe ist definiert als Verhltnis _ zur der von der Wrmepumpe abgegebenen Heizleistung jQj Leistungsaufnahme P des Verdichters eWP ¼
_ jQj jqj h2 h0 ðpÞ : ¼ ¼ hV P wt h20 h00 ðp0 Þ
ð36Þ
Wie das T, s-Diagramm (Bild 12) zeigt, wird die Flche wt bei hoher Umgebungstemperatur T0 und bei niedriger Heiztemperatur T kleiner. Es wird weniger Antriebsleistung fr den Verdichter bentigt. Die Leistungszahl wchst. Um Wrmepumpen zur Beheizung von Wohnrumen wirtschaftlich betreiben zu knnen, muss man die Heiztemperatur
Bild 13. Schema der Kraft-Wrme-Kopplung im Entnahme-Gegendruck-Betrieb. a Dampferzeuger, b berhitzer, c Drossel, d Turbine, G Generator, e Kondensator (Wrmeerzeuger), f Wrmeverbraucher, g Pumpe, h Speicher
D
D 24
Thermodynamik – 9 Gemische
9 Gemische 9.1 Gemische idealer Gase Ein Gemisch von idealen Gasen, die miteinander nicht chemisch reagieren, verhlt sich ebenfalls wie ein ideales Gas. Es gilt die thermische Zustandsgleichung
D
pV ¼ n RT:
ð1Þ
Jedes einzelne Gas, Komponente genannt, verteilt sich auf den gesamten Raum V so, als ob andere Gase nicht vorhanden wren. Fr jede Komponente i gilt daher pi V ¼ ni RT;
ð2Þ
wobei pi der von jedem einzelnen Gas ausgebte Druck ist, den man als PartialdruckX bezeichnet. XSummiert man ber X alle Einzelgase, so folgt pi V ¼ ni RT oder V pi ¼ X RT ni . Der Vergleich mit Gl. (1) zeigt, dass X p¼ pi ð3Þ gilt: Der Gesamtdruck p des Gasgemisches ist gleich der Summe der Partialdrcke der Einzelgase, wenn diese bei der Temperatur T das Volumen V des Gemisches einnehmen (Gesetz von Dalton). Die thermische Zustandsgleichung Gl. (1) eines idealen Gasgemisches kann man auch schreiben pV ¼ m RT; mit der Gaskonstante R des Gemisches X R¼ Ri mi =m:
ð4Þ
ð5Þ
Spezifische, auf die Masse in kg bezogene kalorische Zustandsgrßen eines Gemisches vom Druck p und der Temperatur T ergeben sich durch Addition der kalorischen Zustandsgrßen bei gleichen Werten p, T der Einzelgase entsprechend ihrer Massenanteile. Es ist 1X 1X cv ¼ mi cvi ; cp ¼ mi cpi ; m m 1X 1X u¼ mi ui ; h ¼ mi hi : m m
ð6Þ
Eine Ausnahme bildet die Entropie, da bei der Mischung von Einzelgasen vom Zustand p, T zu einem Gemisch vom gleichen Zustand, eine Entropiezunahme auftritt. Es ist s¼
X 1 X ni mi Ri ln ; mi si n m
ð7Þ
und n die des Gemiwenn ni die Molmengen der Einzelgase X sches sind. Es sind ni ¼ mi =Mi und n ¼ ni , mit der Masse mi und der Molmasse Mi der Einzelgase. Mischungen realer Gase und Flssigkeiten weichen besonders bei hheren Drcken von vorstehenden Beziehungen ab.
9.2 Gas-Dampf-Gemische. Feuchte Luft Mischungen von Gasen und leicht kondensierenden Dmpfen kommen in Physik und Technik hufig vor. Die atmosphrische Luft besteht im wesentlichen aus trockener Luft und Wasserdampf. Trocknungs- und Klimatisierungsvorgnge werden durch die Anwendung der Gesetze der Dampf-Luftgemische bestimmt, ebenso die Bildung der BrennstoffdampfLuftgemische im Verbrennungsmotor. Im Folgenden beschrnken wir uns auf die Betrachtung atmosphrischer Luft. Trockene Luft besteht aus 78,04 Mol-% Stickstoff, 21,00 Mol-% Sauerstoff, 0,93 Mol-% Argon und 0,03 Mol-% Kohlendioxid. Die atmosphrische Luft kann
man als Zweistoffgemisch betrachten, bestehend aus trockener Luft und Wasser, das in dampffrmiger, flssiger oder fester Form vorliegen kann. Man bezeichnet das Gemisch auch als feuchte Luft. Die trockene Luft betrachtet man als einheitlichen Stoff. Da der Gesamtdruck bei Zustandsnderungen fast immer in der Nhe des Atmosphrendrucks liegt, kann man die feuchte Luft aus trockener Luft und Wasserdampf als ein Gemisch idealer Gase ansehen. Es ist dann fr die trockene Luft bzw. fr den Wasserdampf pL V ¼ mL RL T bzw: pD V ¼ mD RD T:
ð8Þ
Mit p ¼ pL þ pD folgt aus den vorstehenden Gleichungen die Wasserdampfmasse, die 1 kg trockener Luft beigemischt ist. xD ¼
mD RL pD : ¼ mL RD ðp pD Þ
ð9Þ
Man bezeichnet die Grße xD ¼ mD =mL als Wasserdampfbeladung der feuchten Luft, im Folgenden kurz Dampfbeladung genannt und nicht zu verwechseln mit dem Dampfgehalt von Gemischen aus dampffrmigen und flssigen Wasser. Ist Wasser in der Luft nicht nur in Form von Dampf, sondern auch in flssiger oder fester Form vorhanden, so ist die Wasserbeladung x von der Dampfbeladung xD zu unterscheiden. Die Wasserbeladung ist definiert zu x¼
mW mD þ mFl þ mE ¼ ¼ xD þ xFl þ xE , mL mL
ð10Þ
wobei mD die Dampfmasse, mFl die Flssigkeitsmasse und mE die Eismasse in der trockenen Luftmasse mL bedeuten. xD , xFl und xE sind die Dampf-, Flssigkeits- und Eisbeladung. Die Wasserbeladung x kann zwischen 0 (trockene Luft) und 1 (reines Wasser) liegen. Ist feuchte Luft der Temperatur T mit Wasserdampf gesttigt, so wird der Partialdruck des Wasserdampfes gleich dem Sttigungsdruck pD ¼ pDS bei der Temperatur T und die Dampfbeladung wird xS ¼
RL pDS : RD ðp pDS Þ
ð11Þ
Beispiel: Man berechne die Dampfbeladung xS von gesttigter feuchter Luft bei einer Temperatur von 20 C und einem Gesamtdruck von 1 000 mbar. Es ist RL ¼ 0; 2872 kJ/kg K, RD ¼ 0; 4615 kJ/kg K. Aus der Wasserdampftafel Anh. D 6 Tab. 5 findet man den Dampfdruck pDS (20 C)=23,39 mbar. Damit wird xS ¼
0; 2872 23; 39 g 103 ¼ 14; 905 g=kg: 0; 4615ð1 000 23; 39Þ kg
Weitere Werte xS in Anh. D 9 Tab. 1.
Feuchtegrad, relative Feuchte. Als relatives Maß fr die Dampfbeladung definiert man den Feuchtegrad y ¼ xD =xS . In der Meteorologie wird dagegen meistens mit der relativen Feuchte j ¼ pD ðtÞ=pDS ðtÞ gerechnet. Beide Werte weichen in der Nhe der Sttigung nur wenig voneinander ab, denn es ist xD pD ðp pDS Þ ðp pDS Þ oder y ¼ j : ¼ xS pDS ðp pD Þ ðp pD Þ Bei Sttigung ist y=j=1. Erhht man den Druck oder senkt man die Temperatur gesttigter feuchter Luft, so kondensiert der berschssige Wasserdampf. Der kondensierte Dampf fllt als Nebel oder Niederschlag (Regen) aus; bei Temperaturen unter 0 C bilden sich Eiskristalle (Schnee). Die Wasserbeladung ist in diesem Fall grßer als die Dampfbeladung x > xD ¼ xS . Die relative Luftfeuchte kann mit direkt anzeigenden Gerten (z. B. Haarhygrometern) oder mit Hilfe des Aspirationspsychrometers nach Assmann bestimmt werden (s. W 2.9).
I9.2 Enthalpie feuchter Luft. Da bei Zustandsnderungen feuchter Luft die beteiligte Luftmenge dieselbe bleibt und sich nur die zugemischte Wassermenge durch Tauen oder Verdunsten ndert, bezieht man alle Zustandsgrßen auf 1 kg trockene Luft. Diese enthlt dann x ¼ mW =mL kg Wasser wovon xD ¼ mD =mL dampffrmig sind. Fr die Enthalpie h1þx des ungesttigten (x ¼ xD < xS ) Gemisches aus 1 kg trockener Luft und x kg Dampf gilt h1þx ¼ cpL t þ xD ðcpD t þ rÞ:
ð12Þ
Es sind cpL ¼ 1; 005 kJ/kg K die isobare spez. Wrmekapazitt der Luft, cpD ¼ 1; 86 kJ/kg K die des Wasserdampfes und r=2 500,5 kJ/kg die Verdampfungsenthalpie des Wassers bei 0 C. In dem interessierenden Temperaturbereich von –60 bis +100 C kann man konstante Werte cp annehmen. Bei Sttigung wird xD ¼ xS und h1þx ¼ ðh1þx ÞS . Ist die Wasserbeladung x grßer als die Sttigungsbeladung xS so fllt bei Temperaturen t > 0 C der Wasseranteil x xS ¼ xFl in Form von Nebel oder auch als Bodenkrper in dem Gemisch aus, und es wird h1þx ¼ ðh1þx ÞS þ ðx xS ÞcW t:
ð13Þ
Bei Temperaturen t < 0 C fllt der Wasseranteil x xS ¼ xE als Schnee oder Eis aus, und es ist h1þx ¼ ðh1þx ÞS ðx xS ÞðDhE cE tÞ:
ð14Þ
Es ist cW =4,19 kJ/kg K die spez. Wrmekapazitt des Wassers, cE =2,04 kJ/kg K die des Eises und DhE =333,5 kJ/kg die Schmelzenthalpie des Eises. In Anh. D 9 Tab. 1 sind die Sttigungsdrcke, die Dampfbeladungen und die Enthalpien gesttigter feuchter Luft bei Temperaturen zwischen –20 und +100 C fr einen Gesamtdruck von 1 000 mbar angegeben. Bei t ¼ 0 C kann Wasser gleichzeitig in allen drei Aggregatszustnden vorliegen. Fr die Enthalpie h1þx des Gemisches gilt dann h1þx ¼ xS r xE DhE :
Bild 1 a, b. h1þx , x-Diagramm der feuchten Luft nach Mollier
ð15Þ
Gas-Dampf-Gemische. Feuchte Luft
D 25
9.2.1 Mollier-Diagramm der feuchten Luft Fr die graphische Darstellung von Zustandsnderungen feuchter Luft hat Mollier ein h1þx , x-Diagramm angegeben, Bild 1 a. Darin ist die Enthalpie h1þx von (1+x) kg feuchter Luft in einem schiefwinkligen Koordinatensystem ber der Wasserbeladung aufgetragen. Die Achse h=0, entsprechend feuchter Luft von 0 C ist schrg nach unten rechts gelegt, derart, dass die 0 C Isotherme der feuchten ungesttigten Luft waagrecht verluft. Bild 1 b zeigt die Konstruktion der Isothermen nach Gl. (12) und Gl. (13). Die Linien x=const sind senkrechte, die Linien h=const zur Achse h1þx ¼ 0 parallele Geraden. In Bild 1 a ist die Grenzkurve j=1 fr den Gesamtdruck 1 000 mbar eingezeichnet. Sie trennt das Gebiet der ungesttigten Gemische (oben) von dem Nebelgebiet (unten), in dem die Feuchtigkeit teils als Dampf, teils in flssiger (Nebel, Niederschlag) oder fester Form (Eisnebel, Schnee) im Gemisch enthalten ist. Isothermen im ungesttigten Gebiet nach Gl. (12) sind nach rechts schwach ansteigende Geraden, die an der Grenzkurve nach unten abknicken und im Nebelgebiet den Geraden konstanter Enthalpie nahezu parallel verlaufen entsprechend Gl. (13). Fr einen Punkt im Nebelgebiet mit der Temperatur t und der Wasserbeladung x findet man den dampffrmigen Anteil, indem man die Isotherme t bis zum Schnitt mit der Grenzkurve j ¼ 1 verfolgt. Der im Schnittpunkt abgelesene Anteil xS ist als Dampf und damit der Anteil x xS als Flssigkeit und/oder Eis im Gemisch enthalten. Die schrgen, strahlenartigen Geradenstcke Dh1þx =Dx legen zusammen mit dem Nullpunkt die Richtung fest, in der man sich von einem beliebigen Diagrammpunkt aus bewegt, wenn man dem Gemisch Wasser oder Wasserdampf zusetzt, dessen Enthalpie in kJ/kg gleich den Zahlen an den Randstrahlen ist. Um die Richtung der Zustandsnderung zu finden, hat man durch den Zustandspunkt der feuchten Luft eine Parallele zur Geraden zu zeichnen, die durch den Nullpunkt (h=0, x=0) und den Randstrahl festgelegt ist.
D
D 26
Thermodynamik – 9 Gemische
9.2.2 Zustandsnderungen feuchter Luft
D
Erwrmung oder Abkhlung. Wird ein gegebenes Gemisch erwrmt, so bewegt man sich auf einer Senkrechten nach oben (1–2 in Bild 2 a), wird es abgekhlt, so bewegt man sich auf einer Senkrechten nach unten (2–1). Solange sich die Zustnde 1 und 2 im ungesttigten Gebiet befinden, ist die senkrechte Entfernung zweier Zustandspunkte gemessen im Enthalpiemaßstab gleich der ausgetauschten Wrme bezogen auf 1 kg trockene Luft: Q12 ¼ mL ðcpL þ cpD xÞðt2 t1 Þ;
ð16Þ
mit cpL ¼ 1; 005 kJ/kg K und cpD ¼ 1; 852 kJ/kg K. Bei Abkhlung feuchter Luft unter den Taupunkt des Wassers (1–2 in Bild 2 b) fllt ein Niederschlag aus. Die abgefhrte Wrme ist Q12 ¼ mL ððh1þx Þ2 ðh1þx Þ1 Þ;
ð17Þ
worin ðh1þx Þ1 durch Gl. (12) und ðh1þx Þ2 durch Gl. (13) gegeben ist. Es fllt eine Wassermenge mW ¼ mL ðx1 x3 Þ
ð18Þ
aus.
der Umgebung keine Wrme ausgetauscht wird, so liegt der Zustand m (Punkt 3 in Bild 2 c) nach der Mischung auf der Verbindungsgeraden 1–2. Den Punkt m erhlt man durch Unterteilen der Geraden 1–2 im Verhltnis der Trockenluftmengen mL2 =mL1 . Es ist xm ¼ ðmL1 x1 þ mL2 x2 Þ=ðmL1 þ mL2 Þ:
ð19Þ
Mischen von gesttigten Luftmengen verschiedener Temperaturen liefert stets Nebel unter Ausscheiden der Wassermenge xm xS , wobei xS der Sttigungsgehalt auf der Nebelisotherme durch den Mischungspunkt ist. Beispiel: 1 000 kg feuchte Luft von t1 =30 C und j1 ¼ 0; 6 werden mit 1 500 kg gesttigter feuchter Luft von t2 =10 C bei 1 000 mbar gemischt. Wie groß ist die Temperatur nach der Mischung? Wie im vorigen Beispiel schon berechnet, ist x1 ¼ 16; 25 g/kg. Aus Anh. D 9 Tab. 1 entnimmt man bei t2 ¼ 10C die Wasserbeladung x2s =7,7377 g/kg. Die Trockenluftmengen sind mL1 ¼ 1 000=ð1 þ x1 Þ kg ¼ 1 000=ð1 þ 16; 25 103 Þ kg=984,01 kg und mL2 ¼ 1 500= ð1 þ x2s Þ kg ¼ 1 500=ð1 þ 7; 7377 103 Þ kg=1 488,5 kg. Damit wird xm ¼ ð984; 01 16; 25 þ 1 488; 5 7; 7377Þ=ð984; 01 þ 1 488; 5Þ g=kg ¼ 11; 12 g=kg: Die Enthalpie berechnet man nach Gl. (12). Es ist
Beispiel: 1 000 kg feuchte Luft von t1 ¼ 30C, j1 =0,6 und p=1 000 mbar werden auf 15 C abgekhlt. Wie viel Kondensat entsteht? Die Dampfbeladung x1 erhlt man aus Gl. (9) mit pD ¼ j1 pDS . Nach Anh. D 9 Tab. 1 ist pDS (30 C)=42,46 mbar. Damit wird x1 ¼
RL ðj1 pDS Þ 0; 2872 0; 6 42; 46 ¼ RD ðp j1 pDS Þ 0; 4615ð1 000 0; 6 42; 46Þ
¼ 16; 25 103 kg=kg ¼ 16; 25 g=kg: Die 1 000 kg feuchte Luft bestehen aus 1000=ð1 þ x1 Þ ¼ 1000=1; 01625 kg ¼ 984; 01 kg trockener Luft und 1000 984; 01 ¼ 15; 99 kg Wasserdampf. Die Wasserbeladung im Punkt 3, x3 ¼ xS , folgt aus Anh. D 9 Tab. 1 bei t3 ¼ 15C zu x3 ¼ 10; 79 g/kg. Damit wird mFl ¼ 984; 01 ð16; 25 10; 80Þ 103 kg=5,36 kg.
Mischung zweier Luftmengen. Mischt man zwei Luftmengen vom Zustand 1 und 2 (Bild 2 c) und sorgt dafr, dass mit
ðh1þx Þ1 ¼ ð1; 005 30 þ 16; 25 103 ð1; 86 30 þ 2 500; 5ÞÞ kJ=kg ¼ 71; 69 kJ=kg; ðh1þx Þ2 ¼ ð1; 005 10 þ 7; 7377 103 ð1; 86 10 þ 2 500; 5ÞÞ kJ=kg ¼ 29; 54 kJ=kg: Die Enthalpie des Gemisches ist ðh1þx Þm ¼ ðmL1 ðh1þx Þ1 þ mL2 ðh1þx Þ2 Þ=ðmL1 þ mL2 Þ ¼ ð984; 01 71; 69 þ 1 488; 5 29; 54Þ= ð984; 01 þ 1 488; 5Þ kJ=kg ¼ 46; 31 kJ=kg: Andererseits ist nach Gl. (12) ðh1þx Þm ¼ ð1; 005 tm þ 11; 12 103 ð1; 86 tm þ 2 500; 5ÞÞ kJ=kg: Daraus folgt tm =18 C.
Zusatz von Wasser oder Wasserdampf. Mischt man Luft mit mW kg Wasser oder Wasserdampf, so betrgt der Wassergehalt nach der Mischung xm ¼ ðmL1 x1 þ mW Þ=mL1 . Die Enthalpie ist ðh1þx Þm ¼ ðmL1 ðh1þx Þ1 þ mW hW Þ=mL1 :
ð20Þ
Im Mollier-Diagramm fr feuchte Luft (Bild 2 d) liegt der Endzustand nach der Mischung auf derjenigen Geraden durch den Anfangszustand 1 der feuchten Luft, die parallel zu der durch den Koordinatenursprung gehenden Geraden mit der Steigung hW verluft, wobei hW ¼ Dh1þx =Dx durch die Geradenstcke des Randmaßstabs gegeben ist.
Bild 2 a–d. Zustandsnderungen feuchter Luft. a Erwrmung und Abkhlung; b Abkhlung unter den Taupunkt; c Mischung; d Zusatz von Wasser oder Wasserdampf
Khlgrenztemperatur. Streicht ungesttigte feuchte Luft vom Zustand t1 ; x1 ber eine Wasser- oder Eisoberflche, so verdunstet bzw. sublimiert Wasser und wird von der Luft aufgenommen, wodurch deren Wassergehalt zunimmt. Hierbei sinkt die Temperatur des Wassers bzw. des Eises und erreicht nach hinreichend langer Zeit einen stationren Endwert, den man Khlgrenztemperatur nennt. Man findet die Khlgrenztemperatur tg mit Hilfe des Mollier-Diagramms, indem man diejenige Nebelisotherme tg sucht, deren Verlngerung durch den Zustandspunkt 1 geht.
I10.2 Heizwert und Brennwert
10 Verbrennung Wrme in technischen Prozessen wird heute noch grßtenteils durch Verbrennung gewonnen. Verbrennung ist die chemische Reaktion eines Stoffs, i. Allg. Kohlenstoff, Wasserstoff und Kohlenwasserstoffe, mit Sauerstoff, die stark exotherm, also unter Wrmefreisetzung abluft. Die Brennstoffe knnen fest, flssig oder gasfrmig sein, und als Sauerstofftrger dient meistens die atmosphrische Luft. Zur Einleitung der Verbrennung muss der Brennstoff erst auf Zndtemperatur gebracht werden, die von der Art des Brennstoffs abhngt. Hauptbestandteil aller technisch wichtigen Brennstoffe sind Kohlenstoff C und Wasserstoff H, daneben ist hufig auch noch Sauerstoff O und, mit Ausnahme von Erdgas, noch eine gewisse Menge Schwefel S vorhanden, aus dem bei Verbrennung das unerwnschte Schwefeldioxid SO2 entsteht.
D 27
In den Rauchgasen treten außer den Verbrennungsprodukten CO2 , H2 O, SO2 noch der Wassergehalt w/18 (SI-Einheit kmol je kg Brennstoff) und die zugefhrte Verbrennungsluft l abzglich der verbrauchten Sauerstoffmenge omin auf. Hierbei wird angenommen, dass die zugefhrte Verbrennungsluft trocken oder deren Wasserdampfgehalt vernachlssigbar gering ist. Es entstehen folgende auf 1 kg Brennstoff bezogene Abgasmengen c h w s ; nH2 O ¼ þ ; nSO2 ¼ 12 2 18 32 ¼ ðl 1Þ omin ; nN2 ¼ 0; 79 l:
nCO2 ¼ nO2
Die Summe ergibt die gesamte Rauchgasmenge nR ¼
c h w s þ þ þ þ ðl 1Þ omin þ 0; 79 l kmol=kg: 12 2 18 32
Dies lsst sich mit den Gln. (1) und (3) vereinfachen zu 1 nR ¼ l þ 12 ð3h þ 38 o þ 23 wÞ kmol=kg:
10.1 Reaktionsgleichungen Die in den Brennstoffen vorkommenden Elemente H, C und S werden bei vollstndiger Verbrennung zu CO2 , H2 O und SO2 verbrannt. Aus den Reaktionsgleichungen erhlt man den Sauerstoffbedarf und die Stoffmenge im Rauchgas. Es gilt fr die Verbrennung von Kohlenstoff C C þ O2 ¼ CO2 1 kmol C þ 1 kmol O2 ¼ 1 kmol CO2 12 kg C þ 32 kg O2 ¼ 44 kg CO2 : Daraus folgen der Mindestsauerstoffbedarf, den man zur vollstndigen Verbrennung bentigt, zu omin ¼ ð1=12Þ kmol=kg C oder min ¼ 1 kmol=kmol C: O
ð4Þ
Beispiel: In einer Feuerung werden stndlich 500 kg Kohle von der Zusammensetzung c=0,78, h=0,05, o=0,08, s=0,01, w=0,02 und einem Aschegehalt a=0,06 mit einem Luftberschuss l=1,4 vollkommen verbrannt. Wie viel Luft muss der Feuerung zugefhrt werden, wie viel Rauchgas entsteht und wie ist seine Zusammensetzung? Der Mindestsauerstoffbedarf ist nach Gl. (1) omin ¼ 0; 78=12 þ 0; 05=4 þ 0; 01=32 0; 08=32 kmol=kg ¼ 0; 0753 kmol=kg: Der Mindestluftbedarf ist lmin ¼ omin =0; 21 ¼ 0; 3586 kmol=kg; die zuzufhrende Luftmenge l ¼ llmin ¼ 1; 4 0; 3586 ¼ 0; 502 kmol=kg; also 0,502 kmol/kg 500 kg/h = 251 kmol/h. Das ergibt mit der Molmasse M=28,953 kg/kmol der Luft einen Luftbedarf von 0,502 28,953 kg/ kg=14,54 kg/kg, also 14,54 kg/kg 500 kg/h=7 270 kg/h. Die 1 Rauchgasmenge ist nach Gl. (4) nR ¼ 0; 502 þ 12 ð3 0; 05 þ 38 0; 08 þ 2 also 0,518 kmol/kg 500 kg/ 3 0; 02Þ kmol=kg ¼ 0; 518 kmol=kg; h=259 kmol/h mit 0,065 kmol CO2 /kg, 0,0261 kmol H2 O/kg, 0,0003 kmol SO2 /kg, 0,3966 kmol N2 /kg und 0,0301 kmol O2 /kg.
Der Mindestluftbedarf ergibt sich aus dem Sauerstoffanteil von 21 Mol-% in der Luft zu
10.2 Heizwert und Brennwert
lmin ¼ ðomin =0; 21Þ kmol Luft=kg C oder min =0; 21Þ kmol Luft=kmol C min ¼ ðO L und die CO2 -Menge im Rauchgas zu (1/12) kmol/kg C. Entsprechend gelten die folgenden Reaktionsgleichungen fr die Verbrennung von Wasserstoff H2 und Schwefel S: H2 1 kmol H2 2 kg H2 S 1 kmol S 32 kg S
þ 12 O2 þ 12 kmol O2 þ 16 kg O2 þ O2 þ 1 kmol O2 þ 32 kg O2
¼ H2 O ¼ 1 kmol H2 O ¼ 18 kg H2 O ¼ SO2 ¼ 1 kmol SO2 ¼ 64 kg SO2 :
Bezeichnen c, h, s, o die Kohlenstoff-, Wasserstoff-, Schwefel- und Sauerstoffgehalte in kg je kg Brennstoff, so ist der Mindestsauerstoffbedarf entsprechend der obigen Rechnung c h s o omin ¼ þ þ kmol=kg: ð1Þ 12 4 32 32
ð2Þ
worin s eine Kennzahl des Brennstoffs ist ðO2 -Bedarf in kmol bezogen auf die kmol C im Brennstoff). Der tatschliche Luftbedarf (bezogen auf 1 kg Brennstoff) ist l ¼ llmin ¼ ðlomin =0; 21Þ kmol Luft=kg; l ist die Luftberschusszahl.
Dh0 ¼ Dhu þ ð8; 937 h þ wÞ r: Da das Wasser technische Feuerungen meistens als Dampf verlsst, kann hufig nur der Heizwert nutzbar gemacht werden. Der Heizwert von Heizlen lßt sich erfahrungsgemß [9] gut wiedergeben durch die Zahlenwertgleichung Dhu ¼ 54; 04 13; 29 r 29; 31s MJ=kg;
Man schreibt abkrzend 1 cs kmol=kg; omin ¼ 12
Heizwert ist die bei der Verbrennung frei werdende Wrme, wenn die Verbrennungsgase bis auf die Temperatur abgekhlt werden, mit der Brennstoff und Luft zugefhrt werden. Das Wasser ist in den Rauchgasen als Gas enthalten. Wird der Wasserdampf kondensiert, so bezeichnet man die frei werdende Wrme als Brennwert. Nach DIN 51 900 gelten Heiz- und Brennwertangaben fr die Verbrennung bei Atmosphrendruck, wenn die beteiligten Stoffe vor und nach der Verbrennung eine Temperatur von 25 C haben. Heiz- und Brennwert (s. Anh. D 10 Tab. 1 bis 4) sind unabhngig von dem Luftberschuss und nur eine Eigenschaft des Brennstoffs. Der Brennwert Dh0 ist um die Verdampfungsenthalpie r des im Rauchgas enthaltenen Wassers grßer als der Heizwert Dhu ,
ð3Þ
ð5Þ
in der r die Dichte des Heizls in kg/dm bei 15 C und s der Schwefelgehalt in kg/kg sind. Heizwerte fester Brennstoffe: s. Anh. L 2 Tab. 2 bis 4. 3
Beispiel: Wie groß ist der Heizwert eines leichten Heizls der Dichte r ¼ 0; 86 kg=dm3 , dessen Schwefelgehalt s ¼ 0; 8 Gew.-% betrgt? Nach Gl. (5) ist Dhu ¼ 54; 04 13; 29 0; 86 29; 31 0; 8 102 ¼ 42; 38 MJ=kg:
D
D 28
Thermodynamik – 11 Wrmebertragung
10.3 Verbrennungstemperatur
D
Die theoretische Verbrennungstemperatur ist die Temperatur des Rauchgases bei vollkommener isobar-adiabater Verbrennung, wenn keine Dissoziation auftritt. Die bei der Verbrennung frei werdende Wrme dient der Erhhung der inneren Energie und damit der Temperatur der Gase sowie zur Verrichtung der Verschiebearbeit. Die theoretische Verbrennungstemperatur berechnet sich aus der Bedingung, dass die Enthalpie aller dem Brennraum zugefhrten Stoffe gleich der Enthalpie des abgefhrten Rauchgases sein muss. B tL Dhu þ ½cB t25 C ðtB 25 CÞ þ l CpL 25 C ðtL 25 CÞ ð6Þ t pR ¼ nR C ðt 25 CÞ: 25 C
Es bedeuten tB die Temperatur des Brennstoffs, tL die der Luft, und t die theoretische Verbrennungstemperatur, ½ct25B C ist die mittlere spez. Wrmekapazitt des Brennstoffs,
pL tL ½C 25 C die mittlere molare Wrmekapazitt der Luft und pR t ½C 25 C die des Rauchgases. Diese setzt sich aus den mittleren molaren Wrmekapazitten der einzelnen Bestandteile zusammen: c h w pR t ½CpCO2 t25 C þ þ nR ½C ½CpH2 O t25 C 25 C ¼ 12 2 18 ð7Þ s t t t þ ½C pSO2 25 C þ ðl 1Þomin ½CpO2 25 C þ 0; 79 l½CpN2 25 C 32 Die theoretische Verbrennungstemperatur muss man iterativ aus Gln. (6) und (7) ermitteln. Die wirkliche Verbrennungstemperatur ist auch bei vollkommener Verbrennung des Brennstoffs niedriger als die theoretische wegen der Wrmeabgabe an die Umgebung, hauptschlich durch Strahlung, dem ber 1 500 C beginnenden Zerfall der Molekle und der ab 2 000 C merklichen Dissoziation. Die Dissoziationswrme wird bei Unterschreiten der Dissoziationstemperatur wieder frei.
11 Wrmebertragung
In Analogie zum Ohmschen Gesetz nennt man RW ¼ d=ðlAÞ einen Wrmeleitwiderstand (SI-Einheit K/W).
Bestehen zwischen verschiedenen, nicht voneinander isolierten Krpern oder innerhalb verschiedener Bereiche eines Krpers Temperaturunterschiede, so fließt Wrme so lange von der hheren zur tieferen Temperatur, bis sich die verschiedenen Temperaturen angeglichen haben. Man bezeichnet diesen Vorgang als Wrmebertragung. Es sind drei Flle der Wrmebertragung zu unterscheiden: – Die Wrmebertragung durch Leitung in festen oder in unbewegten flssigen und gasfrmigen Krpern. Dabei wird kinetische Energie von einem Molekl oder von Elementarteilchen auf seine Nachbarn bertragen. – Die Wrmebertragung durch Mitfhrung oder Konvektion in bewegten flssigen oder gasfrmigen Krpern. – Die Wrmebertragung durch Strahlung, die sich ohne materiellen Trger mit Hilfe der elektromagnetischen Wellen vollzieht. In der Technik wirken oft alle drei Arten der Wrmebertragung zusammen.
Fouriersches Gesetz. Betrachtet man statt der Wand der endlichen Dicke d eine aus ihr senkrecht zum Wrmestrom herausgeschnittene Scheibe der Dicke dx, so erhlt man das Fouriersche Gesetz in der Form
11.1 Stationre Wrmeleitung Stationre Wrmeleitung durch eine ebene Wand. Werden die beiden Oberflchen einer ebenen Wand der Dicke d auf verschiedenen Temperaturen T1 und T2 gehalten, so strmt durch die Flche A in der Zeit t nach dem Fourierschen Gesetz die Wrme Q ¼ lA
T1 T2 t: d
Darin ist l ein Stoffwert (SI-Einheit W/(Km)), den man Wrmeleitfhigkeit nennt (s. Anh. D 11 Tab. 1). Man bezeichnet Q=t ¼ Q_ als Wrmestrom (SI-Einheit W) und Q=ðtAÞ ¼ q_ (SI-Einheit W/m2 ) als Wrmestromdichte. Es ist T1 T2 T1 T2 Q_ ¼ lA und q_ ¼ l : d d
ð1Þ
hnlich wie bei der Elektrizittsleitung ein Strom I nur fließt, wenn man eine Spannung U anlegt, um den Widerstand R zu berwinden (I= U/R), fließt ein Wrmestrom Q_ nur dann, wenn eine Temperaturdifferenz DT ¼ T1 T2 vorhanden ist: lA Q_ ¼ DT: d
dT dT und q_ ¼ l ; Q_ ¼ lA dx dx
ð2Þ
wobei das negative Vorzeichen ausdrckt, dass die Wrme in Richtung abnehmender Temperatur strmt. Q_ ist hierbei der Wrmestrom in Richtung der x-Achse, Entsprechendes gilt fr q. _ Der Wrmestrom in Richtung der drei Koordinaten x, y, z ist ein Vektor ¶T ¶T ¶T q_ ¼ l ex þ ey þ ez ð3Þ ¶x ¶y ¶z mit den Einheitsvektoren ex ; ey ; ez . Gl. (3) ist zugleich die allgemeine Form des Fourierschen Gesetzes. Es gilt in dieser Form fr isotrope Krper, d. h. solche, deren Wrmeleitfhigkeit in Richtung der drei Koordinatenachsen gleich groß ist. Stationre Wrmeleitung durch eine Rohrwand. Nach dem Fourierschen Gesetz wird durch eine Zylinderflche vom Radius r und der Lnge l ein Wrmestrom Q_ ¼ l2prlðdT=drÞ bertragen. Bei stationrer Wrmeleitung ist der Wrmestrom fr alle Radien gleich, Q_ ¼ const; sodass man die Vernderlichen T und r trennen und von der inneren Oberflche bei r ¼ ri des Zylinders mit der Temperatur Ti bis zu einer beliebigen Stelle r mit der Temperatur T integrieren kann. Man erhlt als Temperaturverlauf in einer Rohrschale der Dicke r ri : Ti T ¼
r Q_ ln : l2pl ri
Mit der Temperatur Ta der ußeren Oberflche vom Radius ra erhlt man den Wrmestrom in einem Rohr der Dicke ra ri und der Lnge l: Ti Ta : Q_ ¼ l2pl ln ra =ri
ð4Þ
Um formale bereinstimmung mit Gl. (1) zu erreichen, kann man auch Ti Ta Q_ ¼ lAm d
ð5Þ
I11.2 Wrmebergang und Wrmedurchgang Aa Ai schreiben, wenn Aa ¼ ln ðAa =Ai Þ 2pra l die ußere und Ai ¼ 2pri l die innere Oberflche des Rohrs ist. Am ist das logarithmische Mittel zwischen ußerer und innerer Rohroberflche. Der „Wrmeleitwiderstand“ des Rohrs RW ¼ d=ðlAm Þ(SIEinheit K/W) muss durch eine Temperaturdifferenz berwunden werden, damit ein Wrmestrom fließen kann.
mit d ¼ ra ri und Am ¼
In Anlehnung an das Ohmsche Gesetz I=(1/R)U nennt man 1/(/ A)=RW den Wrmebergangswiderstand (SI-Einheit K/W). Er muss durch die Temperaturdifferenz DT ¼ Tf T0 berwunden werden, damit der Wrmestrom Q_ fließen kann. In Bild 1 sind vom Wrmestrom drei hintereinanderliegende Einzelwiderstnde zu berwinden. Diese summieren sich zum Gesamtwiderstand. Wrmedurchgang durch ebene Wnde. Der durch eine ebene Wand (Bild 1) durchtretende Wrmestrom ist Q_ ¼ kAðTi Ta Þ
11.2 Wrmebergang und Wrmedurchgang Geht von einem Fluid Wrme an eine Wand ber, wird darin fortgeleitet und auf der anderen Seite an ein zweites Fluid bertragen, so spricht man von Wrmedurchgang. Dabei sind zwei Wrmebergnge und ein Wrmeleitvorgang hintereinander geschaltet. Die Temperatur fllt in einer Schicht unmittelbar an der Wand steil ab (Bild 1), whrend sich die Temperaturen in einiger Entfernung von der Wand nur wenig unterscheiden. Man kann vereinfachend annehmen, dass an der Wand eine dnne ruhende Fluidgrenzschicht von der Filmdicke di bzw. da haftet, whrend das Fluid außerhalb Temperaturunterschiede ausgleicht. In dem dnnen Fluidfilm wird Wrme durch Leitung bertragen, und es gilt nach Fourier fr den an die linke Wandseite bertragenen Wrmestrom Ti T1 Q_ ¼ lA ; di worin l die Wrmeleitfhigkeit des Fluids ist. Die Filmdicke di hngt von vielen Grßen ab, wie Geschwindigkeit des Fluids entlang der Wand, Form und Oberflchenbeschaffenheit der Wand. Es hat sich als zweckmßig erwiesen, statt mit der Filmdicke di mit dem Quotienten l=di ¼ a zu rechnen. Man kommt zu dem Newtonschen Ansatz fr den Wrmebergang eines Fluids an einer festen Oberflche Q_ ¼ aAðTf T0 Þ;
D 29
ð6Þ
ð7Þ
mit dem gesamten Wrmewiderstand 1/(kA), der sich additiv aus den Einzelwiderstnden zusammensetzt: 1 1 d 1 þ þ : ¼ kA ai A lA aa A
ð8Þ
Die durch Gl. (7) definierte Grße k nennt man den Wrmedurchgangskoeffizienten (SI-Einheit W/(m2 K)). Besteht die Wand aus mehreren homogenen Schichten (Bild 2) mit den Dicken d1 ; d2 ; . . . und den Wrmeleitfhigkeiten l1 ; l2 ; . . . ; so gilt ebenfalls Gl. (7), jedoch ist jetzt der gesamte Wrmewiderstand X dj 1 1 1 þ þ : ð9Þ ¼ l j A aa A kA ai A Beispiel: Die Wand eines Khlhauses besteht aus einer 5 cm dicken inneren Betonschicht ðl ¼ 1 W=ðKmÞÞ, einer 10 cm dicken Korksteinisolierung ðl ¼ 0; 04 W=ðKmÞÞ und einer 50 cm dicken ußeren Ziegelmauer ðl ¼ 0; 75 W=ðKmÞÞ. Der Wrmebergangskoeffizient auf der Innenseite ist ai ¼ 7 W=ðm2 KÞ, der auf der Außenseite aa ¼ 20 W=ðm2 KÞ. Wie viel Wrme strmt durch 1 m2 Wand bei einer Innentemperatur von 5 C und einer Außentemperatur von 25 C? Nach Gl. (9) ist der Wrmedurchgangswiderstand 1 1 0; 05 0; 1 0; 5 1 K ¼ þ þ þ þ kA 7 1 1 1 0; 04 1 0; 75 1 20 1 W ¼ 3; 41 K=W:
in dem allgemein Tf die Fluidtemperatur und T0 die Oberflchentemperatur bedeuten. Die Grße a nennt man Wrmebergangskoeffizient (SI-Einheit W/(m2 K)). Grßenordnungen von Wrmebergangskoeffizienten gibt Tab. 1. Grundlagen zur Berechnung von a findet man in D 11.4.
Der Wrmestrom ist Q_ ¼
1 _ ¼ 8; 8 W. ð5 25ÞW; jQj 3; 41
Wrmedurchgang durch Rohre. Es gilt wiederum die Gl. (7) fr den Wrmedurchgang durch ein Rohr. Der Wrmewiderstand setzt sich additiv aus den Einzelwiderstnden zu1 1 d 1 sammen þ þ . ¼ kA ai Ai lAm aa Aa Es ist blich, den Wrmedurchgangskoeffizienten k auf die meist leicht zu ermittelnde ußere Rohroberflche A ¼ Aa zu beziehen, sodass der gesamte Wrmewiderstand gegeben ist durch 1 1 d 1 ¼ þ þ kAa ai Ai lAm aa Aa
Bild 1. Wrmedurchgang durch eine ebene Wand
ð10Þ
mit Am ¼ ðAa Ai Þ=lnðAa =Ai Þ: Besteht das Rohr aus mehreren homogenen Einzelrohren mit der Dicke d1 ; d2 ; . . . und den Wrmeleitfhigkeiten
Tabelle 1. Wrmebergangskoeffizienten a in W/(m2 K)
Bild 2. Wrmedurchgang durch eine ebene, mehrschichtige Wand
D
D 30
Thermodynamik – 11 Wrmebertragung
l1 ; l2 ; . . ., so gilt wieder Gl. (7), jedoch ist jetzt der gesamte Wrmewiderstand X dj 1 1 1 ¼ þ þ ; lj Amj aa Aa kAa ai Ai
D
ð11Þ
wobei die Summe ber alle Einzelrohre zu bilden ist und Amj die mittlere logarithmische Flche des Einzelrohrs j Amj ¼ ðAaj Aij Þ= lnðAaj =Aij Þ ist.
11.3 Nichtstationre Wrmeleitung Bei nichtstationrer Wrmeleitung ndern sich die Temperaturen zeitabhngig. In einer ebenen Wand mit fest vorgegebenen Oberflchentemperaturen ist der Temperaturverlauf nicht mehr geradlinig, da die in eine Scheibe einstrmende Wrme von der ausstrmenden verschieden ist. Der Unterschied zwischen ein- und austretendem Wrmestrom erhht (oder erniedrigt) die innere Energie in der Scheibe und damit deren Temperatur als Funktion der Zeit. Fr ebene Wnde mit einem Wrmestrom in Richtung der x-Achse gilt die Fouriersche Wrmeleitgleichung ¶T ¶2 T ¼a 2 : ¶t ¶x
ð12Þ
11.3.1 Der halbunendliche Krper Die Temperaturnderungen sollen sich in einer im Vergleich zur Grße des Krpers dnnen Randzone abspielen. Man nennt einen solchen Krper halbunendlich. Betrachtet wird eine halbunendliche ebene Wand (Bild 3) der konstanten Anfangstemperatur T0 . Die Oberflchentemperatur der Wand werde zur Zeit t=0 auf Tðx ¼ 0Þ ¼ Tu abgesenkt und bleibe anschließend konstant. Man erhlt fr verschiedene Zeiten t1 ; t2 ; . . . Temperaturprofile. Sie sind gegeben durch T Tu x ¼ f pffiffiffiffiffi ð15Þ T0 Tu 2 at pffiffiffiffiffi mit der Gaußschen Fehlerfunktion f ðx=ð2 atÞÞ, Bild 4. Die Wrmestromdichte an der Oberflche erhlt man durch Differentiation q_ ¼ lð¶T=¶xÞx¼0 zu b q_ ¼ pffiffiffiffiffi ðTu T0 Þ pt
ð16Þ
pffiffiffiffiffiffiffi mit dem Wrmeeindringkoeffizienten b ¼ lrc (SI-Einheit 1 Ws2 =ðm2 K)) (Tab. 2), der ein Maß fr die Grße des Wrmestroms ist, der zu einer bestimmten Zeit in den Krper eingedrungen ist, wenn die Oberflchentemperatur pltzlich um einen bestimmten Betrag Tu T0 gegenber der Anfangstemperatur T0 erhht wurde. Tabelle 2. Wrmeeindringkoeffizienten b ¼
pffiffiffiffiffiffiffi 1 lrc in Ws2 =ðm2 K)
Bei mehrdimensionaler Wrmeleitung ist 2 ¶T ¶ T ¶2 T ¶2 T þ 2þ 2 : ¼a 2 ¶t ¶x ¶y ¶z
ð13Þ
Beide Gleichungen setzen in dieser Form konstante Wrmeleitfhigkeit l voraus (Isotropie). Die Grße a=l/(rc) ist die Temperaturleitfhigkeit (SI-Einheit m2 /s), Zahlenwerte Anh. D 11 Tab. 2. Zur Lsung der Fourierschen Wrmeleitgleichung ist es zweckmßig, wie bei anderen Problemen der Wrmebertragung dimensionslose Grßen einfhren, weil sich dadurch die Zahl der Variablen verringern lsst. Um das Grundstzliche zu zeigen, wird Gl. (12) betrachtet. Gesetzt wird Q ¼ ðT Tc Þ=ðT0 Tc Þ, worin Tc eine charakteristische konstante Temperatur, T0 eine Bezugstemperatur ist. Zum Beispiel kann Tc bei der Abkhlung einer Platte von anfnglich konstanter Temperatur T0 in einer kalten Umgebung die Umgebungstemperatur Tc ¼ Tu bedeuten. Alle Lngen bezieht man auf eine charakteristische Lnge X, z. B. die halbe Plattendicke. Es ist weiter zweckmßig, durch Fo ¼ at=X 2 eine dimensionslose Zeit einzufhren, die man die Fourier-Zahl nennt. Lsungen der Wrmeleitgleichung sind dann von der Form
Beispiel: Bei einem pltzlichen Wetterwechsel fllt die Temperatur an der Erdoberflche von +5 auf 5 C. Wie tief sinkt die Temperatur in 1 m Tiefe nach 20 Tagen? Die Temperaturleitfhigkeit des Erd-
Bild 3. Halbunendlicher Krper
Q ¼ f ðx=X; FoÞ: In vielen Problemen wird die durch Leitung an die Oberflche eines Krpers gelangende Wrme durch Konvektion an das umgebende Fluid der Temperatur Tu abgegeben. Es gilt dann die Energiebilanz an der Oberflche (Index w=Wand) l
¶T 1 ¶Q aX ¼ aðTw Tu Þ oder ¼ ¶x w Qw ¶z w l
mit z=x/X, Q ¼ ðT Tu Þ=ðT0 Tu Þ und Qw ¼ ðTw Tu Þ= ðT0 Tu Þ. Die Lsung ist auch eine Funktion der dimensionslosen Grße aX/l: Man nennt aX/l die Biot-Zahl Bi, in ihr ist l die als konstant vorausgesetzte Wrmeleitfhigkeit des Krpers und a der Wrmebergangskoeffizient an das umgebende Fluid. Lsungen der Gl. (12) sind von der Form Q ¼ f ðx=X; Fo; BiÞ:
ð14Þ
Bild 4. Temperaturverlauf in einem halbunendlichen Krper
I11.3 Nichtstationre Wrmeleitung
D 31
reichs betrgt a ¼ 6; 94 107 m2 =s: Nach Gl. (15) ist ! T ð5Þ 1 ¼ f ð0; 456Þ: ¼f 1 5 ð5Þ 2ð6; 94 107 20 24 3 600Þ2 In Bild 4 liest man ab f (0,456)=0,48. Damit wird T ¼ 0; 2 C:
Endlicher Wrmebergang an der Oberflche. Wird an der Oberflche des Krpers nach Bild 3 Wrme durch Konvektion an die Umgebung bertragen, sodass an der Oberflche q_ ¼ lð¶T=¶xÞ ¼ aðTw Tu Þ gilt, wobei Tu die Umgebungstemperatur und Tw ¼ Tðx ¼ 0Þ die zeitlich vernderliche Wandtemperatur ist, so gilt Gl. (15) nicht mehr, sondern es ist b q_ ¼ pffiffiffiffiffi ðTu T0 Þ FðzÞ pt
D Bild 5. Kontakttemperatur Tm zwischen zwei halbunendlichen Krpern
ð17Þ
1 13 1 3 . . . ð2 n 3Þ FðzÞ ¼ 1 2 þ 2 4 . . . þ ð1Þn1 , 2 z 2n1 z2n2 pffiffiffiffiffi 2 z worin z ¼ a at=l ist.
mit
11.3.2 Zwei halbunendliche Krper in thermischem Kontakt Zwei halbunendliche Krper verschiedener, aber anfnglich konstanter Temperatur T1 und T2 mit den thermischen Eigenschaften l1 ; a1 und l2 ; a2 werden zur Zeit t=0 pltzlich in Kontakt gebracht, Bild 5. Nach sehr kurzer Zeit stellt sich zu beiden Seiten der Kontaktflche eine Temperatur Tm ein, die konstant bleibt. Es ist
Bild 6. Abkhlung einer ebenen Platte
Tm T1 b2 ¼ : T2 T1 b1 þ b2 Die Kontakttemperatur Tm liegt nher bei der Temperatur des Krpers mit dem grßeren Wrmeeindringkoeffizienten b. Durch Messen von Tm kann man einen der Werte b ermitteln, wenn der andere bekannt ist.
11.3.3 Temperaturausgleich in einfachen Krpern Ein einfacher Krper, worunter man eine Platte, einen Zylinder oder eine Kugel versteht, befinde sich zur Zeit t=0 auf einer einheitlichen Temperatur T0 und werde anschließend fr t>0 durch Wrmebertragung an ein den Krper umgebendes Fluid von der Temperatur Tu gemß der Randbedingung lð¶T=¶nÞw ¼ aðTw Tu Þ abgekhlt oder erwrmt (n sei die Koordinate normal zur Oberflche des Krpers). Ebene Platte. Es gelten die Bezeichnungen in Bild 6, in das auch ein Temperaturprofil eingezeichnet ist. Das Temperaturprofil wird durch eine unendliche Reihe beschrieben, kann aber fr at=X 2 ^ 0; 24 (a=l/(r c) ist die Temperaturleitfhigkeit) mit einem Fehler in der Temperatur
Tabelle 3. Konstanten C und d in Gl. (18)
Tabelle 4. Konstanten C und d in Gl. (19)
unter 1% angenhert werden durch x T Tu at ¼ C exp d2 2 cos d : T0 Tu X X
ð18Þ
Die Konstanten C und d hngen gemß Tab. 3 von der BiotZahl Bi=aX/l ab. Die Oberflchentemperatur der Wand Tw erhlt man aus Gl. (18), indem man x=X setzt. Der Wrmestrom folgt aus Q_ ¼ lAð¶T=¶xÞx¼X : Zylinder. Anstelle der Ortskoordinate x in Bild 6 tritt die radiale Koordinate r. Der Radius des Zylinders ist R. Das Temperaturprofil wird wieder durch eine unendliche Reihe beschrieben, die sich fr at=R2 0; 21 mit einem Fehler unter 1% annhern lsst durch at r T Tu ¼ C exp d 2 I0 d : ð19Þ T0 Tu R R I0 ist eine Besselfunktion nullter Ordnung, deren Werte man in Tabellenwerken findet, z. B. [10]. Die Konstanten C und d hngen gemß Tab. 4 von der Biot-Zahl ab.
D 32
Thermodynamik – 11 Wrmebertragung
Die Oberflchentemperatur der Wand ergibt sich aus Gl. (19), wenn man r = R setzt und der Wrmestrom aus Q_ ¼ lAð¶T=¶rÞr¼R . Dabei tritt die Ableitung der Besselfunktion I00 ¼ I1 auf. Die Besselfunktion erster Ordnung I1 ist ebenfalls vertafelt [10].
D
Kugel. Die Abkhlung oder Erwrmung einer Kugel vom Radius R wird ebenfalls durch eine unendliche Reihe beschrieben. Sie lsst sich fr at=R2 0; 18 mit einem Fehler unter 2% annhern durch at sinðdr=RÞ T Tu ¼ C exp d 2 : ð20Þ T0 Tu R dr=R Die Konstanten C und d hngen gemß Tab. 5 von der BiotZahl ab.
11.4 Wrmebergang durch Konvektion Bei der Wrmebertragung in strmenden Fluiden tritt zur (molekularen) Wrmeleitung noch der Energietransport durch Konvektion hinzu. Jedes Volumenelement des Fluids ist Trger von innerer Energie, die es durch Strmung weitertransportiert und im vorliegenden Fall des Wrmebergangs durch Konvektion als Wrme an einen festen Krper bertrgt. Dimensionslose Kenngrßen. Grundlagen fr die Darstellung von Vorgngen des konvektiven bergangs bildet die hnlichkeitsmechanik (s. B 7). Sie erlaubt es, die Zahl der Einflussgrssen deutlich zu mindern, und man kann Wrmebergangsgesetze allgemein fr geometrisch hnliche Krper und die verschiedensten Stoffe einheitlich formulieren. Es sind folgende dimensionslose Kennzahlen von Bedeutung: Nußelt-Zahl Reynolds-Zahl Prandtl-Zahl Pclet-Zahl Grashof-Zahl Stanton-Zahl geometrische Kenngrßen
Nu ¼ al=l Re ¼ wl=u Pr ¼ u=a Pe ¼ wl=a ¼ Re Pr Gr ¼ l3 gbDT=u2 St ¼ a=ðrwcp Þ ¼ Nu=ðRe PrÞ ln =l; n ¼ 1; 2; . . .
Es bedeuten: l Wrmeleitfhigkeit des Fluids, l eine charakteristische Abmessung des Strmungsraums l1 ; l2 ; . . . ; u die kinematische Viskositt des Fluids, r seine Dichte, a ¼ l=ðrcp Þ seine Temperaturleitfhigkeit, cp die spez. Wrmekapazitt des Fluids bei konstantem Druck, g die Fallbeschleunigung, DT ¼ Tw Tf die Differenz zwischen Wandtemperatur Tw eines gekhlten oder erwrmten Krpers und Tf der mittleren Temperatur des an ihm entlang strmenden Fluids, b der thermische Ausdehnungskoeffizient bei Wandtemperatur, mit b ¼ 1=Tw bei idealen Gasen. Die Prandtl-Zahl ist ein Stoffwert (s. Anh. D 11 Tab. 2). Man unterscheidet erzwungene und freie Konvektion. Bei der erzwungenen Konvektion wird die Strmung des Fluids durch ußere Krfte hervorgerufen, z. B. durch eine Druckerhhung in einer Pumpe. Bei der freien Konvektion wird die Strmung des Fluids durch Dichteunterschiede in einem Schwerefeld hervorgerufen, die im Allgemeinen durch Temperaturunterschiede, seltener durch Druckunterschiede, entstehen. Bei Gemischen wer-
Tabelle 5. Konstanten C und d in Gl. (20)
den Dichteunterschiede auch durch Konzentrationsunterschiede hervorgerufen. Der Wrmebergang bei erzwungener Konvektion wird durch Gleichungen der Form Nu ¼ f1 ðRe; Pr; ln =lÞ
ð21Þ
und der bei freier Konvektion durch Nu ¼ f2 ðGr; Pr; ln =lÞ
ð22Þ
beschrieben. Den gesuchten Wrmebergangskoeffizienten erhlt man aus der Nußelt-Zahl zu a ¼ Nul=l. Die Funktionen f1 und f2 kann man nur in seltenen Fllen theoretisch ermitteln, sie mssen i. Allg. durch Experimente bestimmt werden und hngen von der Form der Heiz- und Khlflche (eben oder gewlbt; glatt, rau oder berippt), der Strmungsfhrung und, in wenn auch meistens geringem Umfang, von der Richtung des Wrmestroms (Erwrmung oder Khlung des strmenden Fluids) ab.
11.4.1 Wrmebergang ohne Phasenumwandlung Erzwungene Konvektion Lngsangestrmte ebene Platte bei Laminarstrmung. Fr die mittlere Nußelt-Zahl einer Platte der Lnge l gilt nach Pohlhausen Nu ¼ 0; 664 Re1=2 Pr 1=3
ð23Þ 5
mit Nu=al/l, Re ¼ wl=u < 10 und 0,6 Pr 2 000. Die Stoffwerte sind bei mittlerer Fluidtemperatur Tm ¼ ðTw þ T1 Þ=2 einzusetzen. Tw ist die Wandtemperatur, T1 die Temperatur in großer Entfernung von der Wand. Lngsangestrmte ebene Platte bei turbulenter Strmung. Etwa von Re ¼ 5 105 an wird die Grenzschicht turbulent. Die mittlere Nußelt-Zahl einer Platte der Lnge l ist Nu ¼
0; 037 Re0;8 Pr 1 þ 2; 443 Re0;1 ðPr 2=3 1Þ
ð24Þ
mit Nu=al/l, Re ¼ wl=u, 5 105 < Re < 107 und 0,6 Pr 2 000. Die Stoffwerte sind bei mittlerer Fluidtemperatur Tm ¼ ðTw þ T1 Þ=2 zu bilden. Tw ist die Wandtemperatur, T1 die Temperatur in großer Entfernung von der Wand. Wrmebergang bei der Strmung durch Rohre (Allgemeines). Unterhalb einer Reynolds-Zahl Re=2 300 (Re ¼ wd=u; w ist die mittlere Geschwindigkeit in einem Querschnitt, d der Rohrdurchmesser) ist die Strmung stets laminar, oberhalb von Re ¼ 104 ist sie turbulent. Im Bereich 2 300< Re 1 sin sin j > > cos 8 9 > > > 2 2 2 > > > = < < sx = s pffiffiffiffiffiffi pa 1 j j 3 sy ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffi cos 1 þ sin sin j > > : ; 2 p r 2 2 2 > > txy > > > > > > j j 3 > > ; : cos sin sin j 2 2 2 tyz ¼ tzx ¼ 0:
Bild 10. Stadien des Bruchvorganges
E
E8
Werkstofftechnik – 1 Werkstoff- und Bauteileigenschaften
Beim Vorliegen eines ebenen Dehnungszustandes gilt: sz ¼ u sx þ sy :
E
Die Spannung s1 ist die durch ußere Belastung hervorgerufene Spannung im ungerissenen Bauteil, r und j sind die Koordinaten im Polarkoordinatensystem mit Ursprung an der Rissspitze. Bild 11 zeigt den Verlauf der Spannung sy vor der Rissspitze. Fr endliche Bauteilabmessungen ndert sich die prinzipielle Abhngigkeit der Spannungs- und Verformungskomponenten von den Koordinaten r und j nicht. Der Spannungsintensittsfaktor K (stress intensity factor) wird als Beanspruchungskenngrße eingefhrt. Es gilt pffiffiffiffiffi KI sij ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffi fij ðjÞ mit KI ¼ s1 pa Y: 2pr In der Geometriefunktion Y finden Rissform und -art sowie die Bauteilgeometrie Bercksichtigung. Ausgewhlte Lsungen fr Spannungsintensittsfaktoren fr verschiedene Struktur- und Rissmodelle sowie Beanspruchungen finden sich in den Kompendien [14, 18–23]. Zwei einfache Beispiele seien im Folgenden genannt. Unendliche Scheibe mit Innenriss unter Zugbeanspruchung
pffiffiffiffiffiffi K ¼ s pa Halbunendliche Scheibe mit Außenriss unter Zugbeanspruchung
Elastisch plastische Bruchmechanik (EPBM) Treten vor der Rissspitze ausgedehnte Fließbereiche auf und ist somit die plastische Zone vor der Rissspitze nicht mehr klein im Verhltnis zur Risslnge und den Bauteil- oder Probenabmessungen, kann der Beanspruchungszustand im rissspitzennahen Bereich nicht mehr ausreichend durch das elastische Beanspruchungsfeld außerhalb der plastischen Zone beschrieben werden. Der Bruch erfolgt duktil. Die linear elastische Bruchmechanik ist nicht mehr anwendbar. Es knnen jedoch wiederum Parameter bei der Beschreibung des Beanspruchungsfeldes vor der Rissspitze abgespalten werden, die die Abhngigkeit der Beanspruchungskomponenten von den Koordinaten r und j nicht berhren und die somit zur Charakterisierung des Beanspruchungszustandes geeignet sind. Im Wesentlichen werden die Rissffnungsverschiebung d (CODCrack Opening Displacement) und das J-Integral verwendet. Das COD-Konzept geht davon aus, dass Risswachstum dann einsetzt, wenn die plastischen Verformungen an der Rissspitze einen kritischen Wert erreichen. Die Aufweitung an der Rissspitze wird dabei als Rissffnungsverschiebung d bezeichnet. Das COD-Konzept wird vor allem bei der Werkstoffauswahl und Qualittsberwachung sowie bei der Fehlerbewertung von Schweißnhten an Bausthlen angewandt. Die Ermittlung der Rissffnungsverschiebung von Fehlern in Bauteilen ist sehr schwierig und oft nur mit aufwndigen Finite-Elemente Rechnungen mglich. Aus dem Dugdale-Rissmodell [24] ergibt sich bei ebenem Spannungszustand 8 Rp 0;2 a p s ln sec : d¼ pE 2 Rp 0;2 ps2 a Fr s Rp0;2 < 0,6 gilt die Nherung d ¼ und im GlERp0;2 tigkeitsbereich der LEBM bei Annahme eines ebenen Spannungszustandes d¼
4 KI2 : p E Rp 0;2
Aus einer Energiebetrachtung am wachsenden Makroriss in Rissrichtung folgt die Definition des J-Integrals Z J ¼ ðWdy Ti ¶ui =¶x dsÞ; pffiffiffiffiffiffi K ¼ 1; 12 s p a: Das LEBM-Konzept hat breite Anwendung bei der Beurteilung von Werkstoffen mit Fehlern, bei der Auslegung und bei der Lebensdauerabschtzung von Bauteilen sowie bei der Schadensbeurteilung gefunden (Druckbehlter, Flugzeugbauteile, Maschinenbauteile, chemische Apparatebauteile).
dessen Wert auch bei nichtlinearem Materialgesetz vom Integrationsweg um die Rissspitze unabhngig ist. Hierbei ist W die spezifische Formnderungsarbeit, ui der Verschiebungsvektor, Ti der Spannungsvektor und ds das Weginkrement auf dem Integrationsweg um die Rissspitze. Das J-Integral kann auch aus J¼
1 dU B da
ermittelt werden, wobei B die Probendicke und dU die nderung der potentiellen Energie bei Risswachstum um da sind. Einige Nherungslsungen sind in [13] angegeben. Da dieses Verfahren zur Fehlerbewertung noch relativ aufwndig ist, findet es derzeit nur bei speziellen Sicherheitsnachweisen Anwendung. Im Gltigkeitsbereich der LEBM lassen sich J und K wie folgt ineinander umrechnen: J¼ Bild 11. Spannungszustand an der Rissspitze bei einer einachsig belasteten unendlichen Scheibe unter Annahme eines linear elastischen Materialgesetzes.
KI2 : E0
mit E0 ¼ E bei Annahme eines ebenen Spannungszustandes (ESZ) bzw. E0 ¼ E=ð1 u2 Þ bei Annahme eines ebenen Dehnungszustandes (EDZ).
I1.3 1.3 Werkstoffkennwerte fr die Bauteildimensionierung Fr die Bauteildimensionierung bzw. den Festigkeitsnachweis mssen geeignete Beanspruchbarkeitswerte zur Verfgung gestellt werden, die den jeweils vorliegenden Werkstoffzustand charakterisieren. Zeit- und temperaturabhngige Vernderungen der Werkstoffeigenschaften sind zu bercksichtigen. Die Ermittlung von Werkstoffkennwerten erfolgt i. d. R. mit Standardprfmethoden (E 2). Einige Kennwerte sind in Anh. E 1 angegeben. 1.3.1 Statische Festigkeit Die Ermittlung der statischen Festigkeitswerte erfolgt im Zugversuch (E 2.2.1). Wichtige Werkstoffkennwerte zur Berechnung von Spannungen und Verformungen im linear-elastischen Bereich sind der Elastizittsmodul E und die Querkontraktionszahl u. Der E-Modul, der definitionsgemß als eine unmittelbare Vergleichsgrße fr die Steifigkeit eines Bauteils aufgefasst werden kann, zeigt gemß Anh. E 1 Tab. 1 eine Werkstoff- und Temperaturabhngigkeit, die bei Verbundkonstruktionen aus verschiedenen Werkstoffen sowie beim Festigkeitsnachweis unter erhhten Temperaturen beachtet werden muss. Bei bestimmten Legierungen mit ausgeprgter Anisotropie ist auch die Richtungsabhngigkeit des E-Moduls zu bercksichtigen. Fr Festigkeitsberechnungen bei Raumtemperatur und hheren Temperaturen werden Werkstoffkennwerte bentigt, die unter Bercksichtigung der jeweiligen Beanspruchungsart auf die Versagensflle des Fließens und des Bruchs bezogen werden. Anh. E 1 Tab. 2 zeigt eine bersicht ber die gebruchlichen Werkstoff-Festigkeitswerte unter verschiedenen Grundbelastungen. Im Unterschied zur einachsigen, homogenen Zugbelastung tritt bei Biegebelastung je nach Probendicke eine 20- bis 30%ige Steigerung der Fließlastgrenze ein, wenn auf die gleiche plastische Randdehnung bezogen wird. Dieser Effekt wird als Sttzwirkung bezeichnet und fhrt auf eine Biegefließgrenze sb 0,2 bzw. sbF . Die Verdrehfließgrenze tF kann unter Verwendung der Gestaltnderungsenergiehypothese aus der Streckgrenze Re abgeschtzt werden: sv ¼ Re ¼
qffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffi pffiffiffi 3s21 ¼ s1 3 ¼ tF 3; tF ¼ 0; 577Re :
1.3.2 Schwingfestigkeit Zur Untersuchung zyklisch beanspruchter Werkstoffe dienen kraftgesteuerte bzw. spannungskontrollierte Versuche oder weggesteuerte bzw. dehnungskontrollierte Versuche. Die Er-
Bild 12. Prinzipdarstellung von Whler- bzw. Coffin-Manson-Diagramm
Werkstoffkennwerte fr die Bauteildimensionierung
E9
gebnisse werden als Whlerlinien dargestellt, Bild 12. Es werden die unterschiedlich ausgeprgten Bereiche der Kurzzeitfestigkeit, der Zeitfestigkeit und Dauerfestigkeit oder die Bereiche niederzyklischer Ermdung (LCF – Low Cycle Fatigue) und hochzyklischer Ermdung (HCF – High Cycle Fatigue) unterschieden. In neueren Untersuchungen bei sehr hohen Schwingspielzahlen ðN 107 Þ [25] wird ein so genannter VHCF- (Very High Cycle Fatigue) oder UHCF- (Ultra High Cycle Fatigue) Bereich eingefhrt. Spannungskontrollierte Schwingbeanspruchung (kraftgesteuert) Im Zeitfestigkeitsbereich ðN ND ) kann die Whlerlinie bei doppeltlogarithmischer Auftragung nherungsweise durch eine Gerade abgebildet werden: N ¼ NG ðsa =ND Þk , wobei k die Steigung darstellt. Oberhalb bestimmter Grenzschwingspielzahlen (NG 2 bis 20 106 ) zeigen Eisenlegierungen bei Raumtemperaturen hufig einen deutlich ausgeprgten Dauerfestigkeitsbereich. Eine Beanspruchung in Hhe der Dauerfestigkeit sD wird theoretisch unendlich oft ertragen. Je nach Mittelspannung sm wird z. B. zwischen Wechselfestigkeit sW ðsm ¼ 0Þ und Schwellfestigkeit sSch ðsm ¼ sa ;Þ unterschieden: In Abhngigkeit von der Beanspruchungsart weisen metallische Werkstoffe eine unterschiedliche Mittelspannungsempfindlichkeit M¼
saðR¼1Þ saðR¼0Þ smðR¼0Þ
auf [26], die in den Dauerfestigkeitsschaubildern nach Smith und nach Haigh abgelesen werden kann, Bild 13. Die zulssige Oberspannung sO wird durch die Fließgrenze Rp 0;2 begrenzt. In Bild 14 sind Zahlenwerte fr die Mittelspannungsempfindlichkeit M fr verschiedene Werkstoffe zusammengestellt [27]. Anh. E 1 Tab. 3 enthlt eine Zusammenstellung statischer und zyklischer Festigkeitskennwerte von Maschinenbauwerkstoffen nach [28]. Werte fr Aluminiumwerkstoffe sind in [28] angegeben. Die Werte lassen sich ber Faktoren oder Sttzzahlen ineinander umrechnen [28]. Dauerfestigkeitsschaubilder (Smith-Diagramme) fr verschiedene Vergtungssthle sind in Anh. E 1 Bild 1 und in Anh. E 1 Bild 2 dargestellt. Die Dauerfestigkeitswerte der einzelnen Sthle werden vor allem von ihrer Festigkeit und weniger von ihrer Legierungszusammensetzung bestimmt. Dehnungskontrollierte Schwingbeanspruchung (weggesteuert) Sowohl im Zeitfestigkeitsbereich zwischen 10 und 104 Schwingspielen als auch insbesondere bei hheren Tempera-
E
E 10
Werkstofftechnik – 1 Werkstoff- und Bauteileigenschaften
E Bild 13 a, b. Dauerfestigkeitsschaubilder nach Smith (a) und Haigh (b) sowie Darstellung der Mittelspannungsempfindlichkeit (schraffierter Bereich)
Bild 14. Mittelspannungsempfindlichkeit M fr Aluminium-, Magnesium-, Titan- und Stahlwerkstoffe nach Schtz/Haibach [27] und Sonsino
turen ist der linear-elastische Spannungs-Dehnungsverlauf bei zyklischer Belastung nicht mehr gegeben, so dass unter elastisch-plastischer Wechselverformung geschlossene Spannungs-Dehnungs-Hysteresen entstehen. Unter dehnungskontrollierten Beanspruchungen knnen Werkstoffe verfestigen oder entfestigen, was eine Zunahme oder Abnahme der Spannungsamplitude sa zur Folge hat. Je nach Werkstoffzustand und Temperatur stabilisiert sich das Materialverhalten jedoch nach etwa 10 bis 20% der Anrissschwingspielzahl, so dass bis zum Makroanriss dehnwechselbeanspruchter Proben annhernd stabilisierte Hysteresisschleifen entstehen. Bild 15 zeigt die nderung des elastisch-plastischen Dehnungsanteils eines Werkstoffs mit Entfestigung in Abhngigkeit von der Schwingspielzahl. Der spontane Abfall des Spannungsausschlags whrend der Zugphase ist auf Makrorissbildung zurckzufhren. Als Anrissschwingspielzahl NA wird blicherweise der Schnittpunkt zwischen dem tatschlichen Verlauf des Spannungsausschlags und einem um 5% erniedrigten Spannungswert der stabilisierten Kurve definiert. Die ermittelte zyklische s e-Kurve wird hufig mit der sa sa 1=n0 Ramberg-Osgood-Beziehung ea ¼ þ 0 beschrieben, E k wobei k0 der zyklische Verfestigungskoeffizient und n0 der zyklische Verfestigungsexponent sind. Dehnungswhlerlinien
knnen nach Manson, Coffin, Morrow fr N ND mit s0 ea ¼ ea, e þ ea, pl ¼ f ð2 NÞb þ e0f ð2 NÞC beschrieben werden, E wobei s0f , e0f , b und C Anpassparameter sind. Eine umfangreiche Werkstoffdatensammlung findet sich in [29]. Die Werkstoffkennwerte werden im rtlichen Konzept zur Vorhersage der Ausrisslebensdauer verwendet [12, 30, 31] (vgl. E 1.2.3, E 1.5.3).
1.3.3 Bruchmechanische Werkstoffkennwerte bei statischer Beanspruchung Bruchmechanische Kenngrßen zur Charakterisierung des Werkstoffwiderstandes bei statischer Beanspruchung werden als Risszhigkeit bezeichnet [17] und beschreiben Rissinitiierung (Beginn der Risserweiterung), stabile Risserweiterung und Bruch. Sie werden im Maß des Spannungsintensittsfaktors K, der Rissspitzenaufweitung d oder des J-Integrals angegeben und sind mit Einschrnkungen ineinander umrechenbar. Die Kennwerte werden in speziellen Bruchmechanik-Versuchen (E 2.2.6) ermittelt. Bei sprdem Werkstoffverhalten ist die Bruchzhigkeit KIc (Sonderfall der Risszhigkeit) die maßgebende Werkstoff-
I1.3
Werkstoffkennwerte fr die Bauteildimensionierung
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E Bild 15. Elastisch-plastische Wechseldehnung und zyklische s-e-Kurve eines Werkstoffs mit Entfestigung
kenngrße. Der Rissinitiierung folgt unmittelbar die Rissinstabilitt. Die Bruchzhigkeit KIc ist der kritische Wert des Spannungsintensittsfaktors im fr praktische Belange wichtigsten Rissffnungsmode I (ebener Zug senkrecht zum Riss) bei Vorliegen eines ebenen Dehnungszustandes (Plain Strain, EDZ). Fr andere Rissffnungsmodi werden analog die Bruchzhigkeitskenngrßen KIIc und KIIIc definiert. Die angegebenen Kenngrßen sind weitgehend grßenunabhngig. Weitere kritische Werte Kc oder KQ knnen angegeben werden. Sie charakterisieren ebenfalls den Widerstand gegenber Rissinitiierung (Bruch), sind jedoch von Bauteil- oder Probendicke abhngig und gelten somit nur fr den jeweiligen Einzelfall. Bei zh-sprdem Werkstoffverhalten erfolgt instabile Risserweiterung, d. h. Bruch, nach einer plastischen Verformung und begrenzter stabiler Risserweiterung. Risszhigkeitskenngrßen, die den Widerstand gegenber Bruch charakterisieren, sind dc , Jc , du und Ju , wobei nur die Werte dc bzw. Jc von der Bauteil- oder Probendicke unabhngig sind. Bei zhem Werkstoffverhalten folgt nach der Rissinitiierung eine stabile Risserweiterung. Zhbruch ist nur bei zunehmender Beanspruchung mglich, wenn bei einer inkrementellen Risserweiterung da die nderung des Rissantriebs grßer als die nderung des Werkstoffbruchwiderstandes ist. Der Bereich stabiler Risserweiterung liefert eine Sicherheitsreserve, die bei sprdem Werkstoffverhalten nicht vorhanden ist. Die Rissinitiierung, d. h. der bergang von einem ruhenden zu einem wachsenden Riss, wird durch die Kenngrßen der werkstoffphysikalisch wahren Initiierungsrisszhigkeit di und Ji charakterisiert Bild 16. Diese Werte sind quantitativ auf das Bauteil bertragbare, aber unter Umstnden sehr konservative, Werkstoffkennwerte. Der technisch relevante Beginn stabiler Risserweiterung wird durch die Kenngrßen der technischen Initiierungsrisszhigkeit d0;2 , J0;2 , d0;2BL oder J0;2BL beschrieben, die bei Da ¼ 0; 2 bzw. aus dem Schnittpunkt mit der 0,2-Parallelen zu einer Rissabstumpfungsgeraden ermittelt werden, Bild 16. Sie werden als von der Probengeometrie unabhngige und quantitativ auf das Bauteil bertragbare Werkstoffkennwerte betrachtet. Der Bereich stabiler Risserweiterung wird durch die Risswiderstandskurven (Crack Growth Resistance Curves, R-Kurven) dðDaÞ oder JðDaÞ beschrieben, Bild 16. Die analytische Beschreibung kann mit dðoder JÞ ¼ A þ CðDaÞD erfolgen, wobei fr die Konstanten A; C 0 und 0 D 1 gilt. Andere Anstze wie z. B. dðoder JÞ ¼ AðDa þ BÞC
Bild 16. Risswiderstandskurve dðDaÞ bzw. JðDaÞ mit Kenngrßen der Initiierungsrisszhigkeit und dmax , Damax – Gltigkeitsgrenzen nach Prfstandard [17]
sind mglich, wobei die Konstanten A, B und C jeweils vom verwendeten Parameter (d oder J) abhngen und in beiden Gleichungen andere Werte annehmen. Versagen tritt nach Erreichen einer geometrie- und werkstoffabhngigen Maximallast oder nach stabiler Risserweiterung bei vollstndigem Durchriss des Bauteils auf. Die Angabe eines Werkstoffkennwertes ist nicht mglich. Die Risszhigkeitskennwerte hngen allgemein von verschiedenen Einflussfaktoren ab. Werkstoffeinfluss Die Risszhigkeit nimmt mit zunehmender Qualitt (Reinheit, Homogenitt) zu. Sie ist i. Allg. orientierungsabhngig. Inhomogene Werkstoffzustnde sind im Vergleich zu homogenen Werkstoffzustnden bei gleicher Temperatur eher sprdbruchgefhrdet. Mit zunehmender Festigkeit eines Werkstoffes nimmt dessen Risszhigkeit in der Regel ab. Insbesondere bei großen und dickwandigen Bauteilen kann die Risszhigkeit von außen nach innen abnehmen. Temperatureinfluss Die Risszhigkeit ist temperaturabhngig. Sie nimmt in der Regel mit steigender Temperatur zu. Fr ferritische, martensitische und bainitische Sthle (kubisch-raumzentrierte Gitterstruktur) lsst sich der Risszhigkeits-Temperatur-Verlauf in die Bereiche Tieflage (sprdes Werkstoffverhalten), bergangsbereich (zh-sprdes Werkstoffverhalten) und Hochlage (zhes Werkstoffverhalten) einteilen, Bild 17. Der Risszhig-
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Werkstofftechnik – 1 Werkstoff- und Bauteileigenschaften
stabilen Rissfortschritt. Der Beginn instabilen Rissfortschritts wird mit bruchmechanischen Kenngrßen fr statische Beanspruchung beschrieben. Die Kennwerte werden in speziellen Bruchmechanik-Versuchen (E 2.2.6) ermittelt. Bild 18 zeigt das prinzipielle Fortschrittsverhalten eines Makrorisses in Abhngigkeit der Schwingbreite des Spannungspffiffiffiffiffiffi intensittsfaktors DKðDK ¼ Kmax Kmin ¼ Ds p a YÞ im Rahmen der LEBM, welches sich in drei Bereiche einteilen lsst.
E Bild 17. Risszhigkeits-Temperatur-Verhalten und mgliche Einflussgrßen fr ferritische, martensitische und bainitische Sthle
keits-Temperatur-Verlauf verschiebt sich in Abhngigkeit von der Probengrße, der Belastungsgeschwindigkeit, bei Neutronenbestrahlung und bei Alterungsprozessen. Die Temperaturabhngigkeit der Risszhigkeit KJc wird mit einer mittleren Risszhigkeits-bergangskurve (Pf =50%), der MasterKurve, mit pffiffiffiffi KJc ¼ 30 þ 70 exp½0; 019 ðT T0 Þ in MPa m fr eine bestimmte Probengrße (Probendicke 25 mm) beschrieben. Dabei wird KJc durch eine elastisch-plastische Auswertung als Kennwert fr das Einsetzen von Sprdbruch ermittelt. Die Lage der Master-Kurve wird durch die Refepffiffiffiffi renztemperatur T0 , bei der KJc ¼ 100 MPa m ist, charakterisiert. Aufgrund der großen Streuung der Risszhigkeit im bergangsbereich, bei jeweils einer Temperatur, ist eine statistische Betrachtung notwendig. Ergebnis ist die Angabe eines Risszhigkeitswertes mit einer bestimmten Versagenswahrscheinlichkeit Pf . Die sich bei einer Versagenswahrscheinlichkeit von 5% (bei 25 mm Probendicke) ergebende Risszhigkeits-Temperatur-Kurve gilt als untere Grenzkurve (lower bound). Fr austenitische Sthle und Aluminiumlegierungen (kubisch-flchenzentrierte Gitterstruktur) sowie fr Magnesiumlegierungen (hexagonale Gitterstruktur) steigt die Risszhigkeit mehr oder weniger deutlich mit der Temperatur an. Ein bergangsverhalten wie in Bild 17 wird nicht beobachtet. Austenitische Sthle weisen in der Regel auch bei tiefen Temperaturen gute Zhigkeitseigenschaften und eine hohe Sprdbruchsicherheit auf. Einfluss der Belastungsbedingungen Die Risszhigkeit nimmt im Bereich der Tieflage und im bergangsgebiet mit steigender Belastungsgeschwindigkeit ab, im Bereich der Hochlage dagegen zu. Die bergangstemperatur verschiebt sich zu hheren Werten, Bild 17. Ist im Betrieb mit hohen Belastungsgeschwindigkeiten zu rechnen (stoßartige Belastungen), so ist die dynamische Bruchzhigkeit KId die maßgebende Kenngrße. Es gilt KId < KIc . Bruchmechanische Kennwerte sind nicht Gegenstand der Werkstoffnorm. Datensammlungen liegen u. a. in [17, 32] vor, einige Kennwerte sind im Anh. E 1 in den Tabellen Anh. E 1 Tab. 4 bis Anh. E 1 Tab. 7 und in Anh. E 1 Bild 6 angegeben.
Bild 18. Makrorissfortschritt bei zyklischer Beanspruchung
Im Bereich I nhert sich die Kurve einem Schwellenwert DKth , unterhalb dem kein Rissfortschritt messbar ist. Dieser Wert charakterisiert die Dauerfestigkeit eines Bauteils mit Makroriss. Der Schwellenwert DKth ist u. a. abhngig vom Spannungsintensittsverhltnis RK ¼ Kmin =Kmax , der Temperatur, der Mikrostruktur des Werkstoffes und dem Umgebungsmedium. In der Regel wird der Schwellenwert bei einer Rissfortschrittsrate von ca. 107 mm/Lastzyklus gemessen. Der Bereich II kann, bei konstantem RK -Wert, empirisch mit der Rissfortschrittsgleichung nach Paris/Erdogan [28] da ¼ C ðDKÞm dN mit DKth < DK < DKc beschrieben werden, wobei die Konstanten C und m korrelieren und insbesondere von Werkstoff, RK -Wert und den Umgebungsbedingungen abhngen. Instabiler Rissfortschritt, d. h. Bruch, tritt bei einem Wert DKC im Bereich III auf, der bestimmt wird durch das Erreichen eines kritischen Spannungsintensittsfaktors Kmax ¼ Kc in einem Lastzyklus bzw. bei DKc ¼ ð1 RK Þ Kmax : Eine Annahme Kmax ¼ KIc ist mglich. Weitere Anstze zur Rissfortschrittsbeschreibung liegen z. B. mit einer bilinearen Beschreibung, der Rissfortschrittsgleichung nach Forman [33], Erdogan/Ratwani [34], Forman/ Mettu (NASGRO-Gleichung) [35] und nach dem Luftfahrttechnischen Handbuch [36] vor. Schwellenwert und Rissfortschrittsrate hngen allgemein von verschiedenen Einflussfaktoren ab. Werkstoffeinfluss
1.3.4 Bruchmechanische Werkstoffkennwerte bei zyklischer Beanspruchung Bruchmechanische Kenngrßen fr zyklische Beanspruchung beschreiben die Nichtausbreitungsfhigkeit von Rissen und
Fr feinkrnige Werkstoffe wird i. Allg. ein kleinerer Schwellenwert DKth ermittelt. Je kleiner der Elastizittsmodul, desto kleiner ist in der Regel der Schwellenwert DKth . Mit steigendem Elastizittsmodul nimmt die Rissfortschrittsrate ab.
I1.4 Durch verschiedene Wrmebehandlungen eines Werkstoffes werden die Bereiche I (DKth ) und III (DKc ) des Rissfortschritts wesentlich beeinflusst, Bereich II verndert sich kaum. Temperatureinfluss Mit steigender Temperatur nehmen der Schwellenwert DKth und die Rissfortschrittsrate zu. Bei hohen Temperaturen knnen Korrosions-, Oxidations- und Diffusionsvorgnge aktiviert werden. Umgebungseinfluss Unter der Wirkung korrosiver Medien wird der Ermdungsrissfortschritt ungnstig beeinflusst. Die Wirkung der Korrosion hngt ab von der Art des Umgebungsmediums, der mechanischen Beanspruchung (Beanspruchungshhe und -zyklenform, Haltezeiten, Mehrachsigkeit) und der Temperatur. Mit zunehmendem Korrosionseinfluss nimmt der Schwellenwert DKth ab und die Rissfortschrittsrate zu, Bild 18. Bei hheren Frequenzen ist der Korrosionseinfluss geringer. Vakuumbedingungen wirken sich gnstig auf den Ermdungsrissfortschritt aus. Die Rissfortschrittsrate ist geringer als in Luft und der Schwellenwert grßer.
Einflsse auf die Werkstoffeigenschaften
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1.4.1 Werkstoffphysikalische Grundlagen der Festigkeit und Zhigkeit metallischer Werkstoffe Die Zhigkeitseigenschaften reiner Metalle hngen von der Zahl der Gleitsysteme (Gleitrichtungen, Gleitebenen) ihres Kristallgitters ab, wobei gemß Bild 19 insbesondere kubische Gitter (z. B. g-Fe, a-Fe) im Unterschied zu hexagonalen Gittern (z. B. Ti, Zn) wesentlich mehr Gleitmglichkeiten und somit bessere Zhigkeitseigenschaften besitzen. Homogene Gefgezustnde (Einlagerungs- oder Substitutionsmischkristalle) weisen ebenfalls bessere Zhigkeitseigenschaften auf als heterogene Gefgezustnde. Die Festigkeitseigenschaften metallischer Werkstoffe hngen in erster Linie von den mikrostrukturellen Voraussetzungen einer Legierung zur Behinderung einer Versetzungsbewegung (Fließbeginn) ab. Grundmechanismen zur Festigkeitssteigerung sind in Bild 20 angegeben. Whrend fr die statischen Festigkeitseigenschaften der Werkstoff- und Gefgezustand des gesamten Querschnitts maßgebend ist, ist fr die Schwingfestigkeit in erster Linie der Werkstoffzustand der Oberflche und des randnahen Bereichs von Bedeutung. 1.4.2 Metallurgische Einflsse
Einfluss der Belastungsbedingungen Der Schwellenwert DKth ist abhngig vom Spannungsintensittsverhltnis RK , Bild 18. Mit zunehmendem RK -Wert nimmt zunchst der Schwellenwert DKth ab, bleibt dann aber konstant. Hohe Belastungsgeschwindigkeiten knnen zu Temperaturerhhungen im Bauteil fhren, die eine nderung des Bruchmechanismus bewirken knnen, Bild 17. Die Reihenfolge der Belastungszyklen beeinflusst den Rissfortschritt. Beim bergang von einer hohen auf eine niedrige Belastung und nach Zugberlasten kann es durch Druckeigenspannungen im Rissspitzenbereich, Rissabstumpfungen und Rissschließeffekte zu einer Rissfortschrittsverzgerung kommen. Beim bergang von einer niedrigen auf eine hohe Belastung und nach Druckberlasten tritt eine Rissfortschrittsbeschleunigung auf. Dieses Verhalten kann im Rahmen der LEBM durch geeignete Berechnungsmodelle bercksichtigt werden [17]. Bruchmechanische Kennwerte sind nicht Gegenstand der Werkstoffnorm. Datensammlungen liegen u. a. in [17, 32, 37] vor, einige Kennwerte sind in den Tabellen Anh. E 1 Tab. 8 und Anh. E 1 Tab. 9 und in den Bildern Anh. E 1 Bild 3 bis Anh. E 1 Bild 5 sowie in Anh. E 1 Bild 7 angegeben. Empfehlungen aus Regelwerken sind ebenfalls im Anhang E 1 angegeben.
Bei der Stahlherstellung verbleiben unterschiedliche Mengenanteile an oxidischen, sulfidischen und silikatischen Einschlssen im Werkstoff, deren Grße, Form und Verteilung die Festigkeits- und Zhigkeitseigenschaften nachhaltig beeinflussen. Je nach Schmelzpunkt bzw. Erweichungspunkt der Einschlsse knnen bei der Warmumformung die nichtmetallischen Einschlsse ihre ursprngliche Erstarrungsform verndern und je nach Umformgrad einen ausgeprgten Richtungscharakter annehmen (s. S 3). Die mikrogeometrische Gestalt der Einschlsse und ihre Lage zur ußeren Beanspruchungsrichtung hat eine innere Kerbwirkung mit unterschiedlichen Spannungsberhhungen zur Folge. Die Hhe der Spannungsspitze hngt nicht nur von der Geometrie des Einschlusses und seiner Lage in Bezug auf das Lastspannungssystem, sondern auch von der Fließgrenze des Werkstoffs ab. Die Beurteilung der Grße, Art und Verteilung der nichtmetallischen Einschlsse wird in DIN 50 602 beschrieben. Neben den Spannungsberhhungen durch Lastspannungen knnen sich noch Eigenspannungseinflsse berlagern, die z. B. auf unterschiedliche Wrmeausdehnungskoeffizienten der Einschlsse im Vergleich zum Grundwerkstoff zurckzufhren sind. Durch nichtmetallische Einschlsse werden wegen innerer Kerbwirkung die Schwingfestigkeitseigenschaften ver-
1.4 Einflsse auf die Werkstoffeigenschaften Die Festigkeits- und Zhigkeitseigenschaften eines Werkstoffs werden von einer Vielzahl von Faktoren beeinflusst, die bei der Werkstoffauswahl fr statisch oder zyklisch beanspruchte Bauteile zu bercksichtigen sind. Im Folgenden werden metallurgische, technologische, Oberflchen- und Umgebungseinflsse und ihre Auswirkungen erlutert. Bei der Festigkeitsberechnung ist zu beachten, dass an Bauteilen oft konstruktive Kerben (z. B. an Querschnittsbergngen, Querbohrungen, Schrumpfsitzen, Schraubenverbindungen, Schweißverbindungen) auftreten, die zu inhomogenen mehrachsigen Spannungszustnden fhren. Die Festigkeitshypothesen gelten jedoch nur fr homogene mehrachsige Spannungszustnde. Stimmen Bauteil- und Probengrße, an welcher der einachsige Werkstoffkennwert ermittelt wurde, nicht berein, so ist eine bertragung der Kennwerte nicht mglich. Nachfolgend wird gezeigt, wie diese Einflsse bercksichtigt werden knnen.
Bild 19. Einfluss des Gittertyps auf die Gleitmglichkeiten und das Formnderungsvermgen reiner Metalle
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Werkstofftechnik – 1 Werkstoff- und Bauteileigenschaften
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Bild 20. Grundmechanismen zur Steigerung der Festigkeit metallischer Werkstoffe
schlechtert. Vergtungssthle hherer Reinheit, wie sie z. B. durch Vergießen im Vakuum oder durch Elektroschlackeumschmelzen erzeugt werden, knnen um bis zu 30 bis 40% bessere Schwingfestigkeiten erreichen [38]. Auch durch legierungstechnische Maßnahmen knnen die negativen Auswirkungen nichtmetallischer Einschlsse gemildert werden. So werden beispielsweise durch Calcium- und Cer-Zustze die sulfidischen Einschlsse feiner verteilt und globular ausgebildet, wodurch die innere Kerbwirkung abnimmt. Inhomogenitt des Gefges, wie sie verstrkt bei Gusswerkstoffen und in Schweißnhten auftritt, hat negative Auswirkungen auf statische Festigkeitseigenschaften, Schwingfestigkeitseigenschaften und Korrosionsverhalten. Zu derartigen Inhomogenitten zhlen Entmischungen und Seigerungen, die durch Diffusions- oder Normalglhen gemindert werden knnen. Ausscheidungen knnen insbesondere bei hochlegierten Sthlen zu stark erhhter Korrosionsanflligkeit fhren. 1.4.3 Technologische Einflsse Kaltumformung Durch die mit einer Kaltumformung verbundene Steigerung der Versetzungsdichte wird eine Kaltverfestigung bewirkt, die hufig auch mit einer Schwingfestigkeitssteigerung verbunden ist. Das Ausmaß der Schwingfestigkeitserhhung hngt davon ab, ob eine homogene oder partielle Kaltumformung durchgefhrt wurde und ob der Richtungssinn der Umformung mit der Bauteil-Beanspruchungsrichtung bereinstimmt. Partielle Kaltumformungen sind stets mit der Erzeugung von Eigenspannungszustnden verbunden. Mechanische Oberflchen-Verfestigungsverfahren, wie Kugelstrahlen und Festwalzen, nutzen die Kombination aus Kaltverfestigung und Eigenspannungswirkung gezielt zur Schwingfestigkeitssteigerung [39]. Wrmebehandlung Durch eine Vergtungsbehandlung knnen sowohl die statischen Festigkeits- und Zhigkeitseigenschaften als auch die Schwingfestigkeitseigenschaften von Sthlen in weiten Gren-
zen beeinflusst werden. Whrend zum Erzielen hoher statischer Festigkeitswerte eine große Tiefenwirkung der Vergtungsbehandlung bis hin zur Durchvergtung angestrebt wird, spielen fr die Schwingfestigkeitseigenschaften von Bauteilen mit inhomogener Spannungsverteilung vor allem die Festigkeitseigenschaften des Randbereichs eine maßgebende Rolle. Bei der Martensithrtung von Bauteilen aus C-Sthlen mit unterschiedlichem Querschnitt stellen sich bei gleichem Werkstoff und gleichem Abschreckmedium mit zunehmendem Durchmesser eine abnehmende Randhrte und eine geringere Einhrtungstiefe ein, die auf probengrßenabhngige unterschiedliche Abkhlungsgeschwindigkeiten zurckzufhren sind. Das unterschiedliche Verhltnis von Oberflche zu Probenvolumen ist auch fr eine unterschiedliche Eigenspannungsausbildung (Wrme- und Umwandlungseigenspannungen) verantwortlich. Die Legierungselemente Mn, Cr, Cr+Mo, Cr+Ni+Mo, Cr+V steigern in der angegebenen Reihenfolge die Durchhrtbarkeit im Unterschied zu C-Sthlen und gewhrleisten somit auch hhere Schwingfestigkeitssteigerungen bei grßeren Abmessungen. Im Unterschied zu einer konventionellen Vergtungsbehandlung knnen durch Umwandlungen in der Bainit-Stufe (Zwischenstufenvergtung) bessere Zhigkeits- und Schwingfestigkeitseigenschaften erreicht werden. 1.4.4 Oberflcheneinflsse Die mechanischen Eigenschaften eines Bauteils bei statischen und zyklischen Beanspruchungen werden durch die Oberflcheneigenschaften, d. h. die Oberflchenfeingestalt, die Randfestigkeit und die Randeigenspannungen unterschiedlich beeinflusst. Die Oberflcheneigenschaften spielen bei statischer Beanspruchung nur eine untergeordnete Rolle, da die Tiefenwirkung der durch Trennen oder Kaltumformung hergestellten Oberflchen im Vergleich zum Gesamtquerschnitt gering ist. Bei Schwingungsbeanspruchungen kommt den Eigenschaften des randnahen Bereichs eine große Bedeutung zu, da die Risseinleitungsphase berwiegend von den Oberflcheneigenschaften abhngt.
I1.4 Entscheidend fr den Einfluss der Oberflche auf die Verminderung der Schwingfestigkeit sind vor allem Eigenspannungen und Verfestigung als Folge der Fertigung [40]. Der Einfluss der Rauheit wird traditionell mit dem Rauheitsfaktor: KF ¼
sD;Rz sD;Rz 1mm
Bild 21 bercksichtigt [29]. Dabei ist Rz die gemittelte Rautiefe. Bei verschiedenen mechanischen oder thermochemischen Oberflchen-Verfestigungsverfahren (z. B. Kugelstrahlen, Nitrieren) wird neben einer Steigerung der Randfestigkeit zugleich der Randeigenspannungszustand verndert. Treten Druckeigenspannungen auf, so wird bei berlagerung mit Lastspannungen die Mittelspannung zu kleineren Werten hin verschoben. Druckeigenspannungen knnen darber hinaus auch die Rissfortschrittslebensdauer steigern, wie am Beispiel des Oberflchen-Verfestigungsverfahrens Festwalzen mehrfach experimentell belegt [41] und in Bild 22 fr gekerbte Proben verdeutlicht ist. Bei einstufiger Beanspruchung oberhalb der Dauerfestigkeit des nichtverfestigten Werkstoffzustandes, aber unterhalb der anrissbehafteten Bruchdauerfestigkeit des festgewalzten, eigenspannungsbehafteten Zustandes, bleiben die sich unter der zyklischen Beanspruchung bildenden Anrisse stehen (Rissstopp-Phnomen). Bei Belastungen, die vollstndig oder teilweise (variable Amplituden) oberhalb der
Bild 21. Rauheitsfaktor Kf fr Walzstahl
Einflsse auf die Werkstoffeigenschaften
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Bruchdauerfestigkeit liegen, erfolgt ber die Verzgerung des Rissfortschritts durch Druckeigenspannungen eine Verlngerung der Lebensdauer. Demgegenber gibt es aber auch eine Reihe von Oberflcheneinflssen, die zu einer Beeintrchtigung der Schwingfestigkeitseigenschaften fhren knnen (z. B. Risse in Hartchromberzgen [42] oder Randabkohlung [43]). 1.4.5 Umgebungseinflsse Werkstoffkennwerte hngen in entscheidendem Maße von der Umgebungstemperatur, dem Umgebungsmedium sowie der Strahlungsbelastung ab. Der Temperatureinfluss ist in erster Linie auf vernderte Gleitmechanismen in den Gitterstrukturen homogener und heterogener Legierungen zurckzufhren und wirkt sich auf den Gesamtquerschnitt von Proben und Bauteilen aus. Im Unterschied hierzu werden unter dem Einfluss korrosiver Medien Grenzflchenreaktionen an Oberflchen ausgelst, die zu makroskopischem und mikroskopischem Werkstoffabtrag fhren, Passivschichten beschdigen oder partielle Versprdungserscheinungen durch Eindiffusion von Wasserstoff bewirken. Derartige Schdigungsmechanismen begnstigen bei berlagerten statischen oder zyklischen Beanspruchungen die Rissbildung und vermindern somit die Festigkeits- und Zhigkeitskennwerte. Eine ausfhrliche Darstellung der Zusammenhnge findet sich in E 6. Temperatureinfluss Im Temperaturbereich von Raumtemperatur bis zu hheren Temperaturen nehmen in der Grundtendenz die statischen und zyklischen Festigkeitskennwerte metallischer Werkstoffe ab, bei gleichzeitiger Zunahme der Zhigkeitskennwerte. Bei hheren Temperaturen ist zu bercksichtigen, dass neben der Zeitstandfestigkeit auch die Schwingfestigkeitswerte infolge zeit- und temperaturabhngiger Gefgevernderungen zeitabhngig abfallen. Ein Dauerfestigkeitswert existiert bei hheren Temperaturen nicht. Wegen der ausgeprgten Frequenzund damit Zeitabhngigkeit der Versuchsergebnisse wird der Spannungsausschlag sa hufig nicht ber der Bruchlastspielzahl NB sondern ber der Bruchzeit tB ¼ NB =f aufgetragen (fFrequenz) [44]. Die zeitabhngige Verformung unter mechanischer Belastung wird als Kriechen bezeichnet. Kriecheffekte besitzen eine hohe Bedeutung in Hochtemperaturanlagen, z. B. thermischen Kraftwerken, E 1.1.3, E 1.6.4 und E 2.2.11. Konstante Verformung mit zeitabhngiger Abnahme der Spannung wird als Relaxation bezeichnet, E 1.6.4 und E 2.2.11. Mit abnehmenden Temperaturen steigen die Festigkeits- und Schwingfestigkeitskennwerte metallischer Werkstoffe i. Allg. an, unter gleichzeitiger Einbuße der Zhigkeitseigenschaften bis hin zur Tieftemperatur-Versprdung. Einfluss energiereicher Strahlen
Bild 22. Steigerung der Rissfortschrittslebensdauer durch Druckeigenspannungen
Bei der Bestrahlung metallischer Werkstoffe mit Neutronen, Ionen oder Elektronen kommt es zu vielfltigen Wechselwirkungen mit den Gitteratomen des bestrahlten Werkstoffs, die zu einer Vernderung der mechanischen, physikalischen und chemischen Werkstoffeigenschaften fhren knnen. Von besonderer Bedeutung fr die Werkstoffauswahl im Reaktorbau sind je nach Betriebstemperatur und Neutronenfluenz mgliche Strahlenschdigungen, die in Bestrahlungsverfestigung infolge Gleitblockierungen, bestrahlungsinduziertes Kriechen bei hheren Temperaturen, in Hochtemperaturversprdung sowie in strahlungsinduziertes Schwellen infolge Porenbildung unterteilt werden knnen [45]. Die Beherrschung des letztgenannten Effekts der Porenbildung, der auf der Agglomeration von Leerstellen beruht, spielt fr die Auslegung der Brennelemente in schnellen Brutreaktoren sowie heliumgekhlten Hochtemperaturreaktoren eine entscheidende Rolle.
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Werkstofftechnik – 1 Werkstoff- und Bauteileigenschaften
1.4.6 Gestalteinfluss auf statische Festigkeitseigenschaften Kerbeinfluss
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Im Unterschied zu der bei Zugstben vorliegenden einachsigen, homogenen Spannungsverteilung wird das Festigkeitsverhalten von Bauteilen je nach konstruktiver Gestaltung durch mehrachsige Kerbspannungszustnde mit ausgeprgten Spannungsspitzen an der Bauteiloberflche beeinflusst. Unter Bercksichtigung linear elastischen Materialverhaltens knnen gemß Bild 23 die fr Zug, Biegung oder Torsion sich einstellenden Spannungsspitzen im Kerbgrund durch die Formzahl ak definiert werden (z. B. ak Zug ¼ s1 max =snz ). Die Formzahl ak (engl. Kt ) hngt von Kerbgeometrie und Beanspruchungsart ab. Fr gleiche Kerbgeometrien ergeben sich je nach Beanspruchungsart unterschiedliche ak -Werte in der Reihenfolge ak Zug > ak Biegung > ak Torsion . Aus rechnerischen Anstzen (z. B. Finite-Element-Methode) sowie aus zahlreichen experimentellen Untersuchungen sind fr verschiedene Kerbflle der Konstruktionspraxis die Formzahlen ak bekannt. Mit der in Anh. E 1 Tab. 10 angegebenen Gleichung und den zugehrigen Faktoren und Exponenten, die nach der Finite-Element-Methode ermittelt wurden, knnen Formzahlen an gekerbten sowie an abgesetzten Flachund Rundstben fr verschiedene Beanspruchungsflle errechnet werden [46]. Wrde unter Verwendung eines duktilen Werkstoffs bei zgiger Beanspruchung ein Kerbstab nur bis zur Randfließgrenze Re =ak belastet, so ergbe sich eine nur unvollstndige Werkstoffausnutzung. Die Belastung kann betrchtlich ber den Fließbeginn im Kerbgrund gesteigert werden, wobei ohne wesentliche Steigerung der Randfließspannung die plastische Zone eine grßere Tiefenwirkung erreicht, bis sich im vollplastischen Zustand die Grenztragfhigkeit einstellt. Dies gilt zunchst fr ideal elastisch-plastischen Werkstoff ohne Verfestigung, Bild 24. Als geeignete Kenngrße einer gesteigerten Tragfhigkeit erweist sich der Quotient aus der Laststeigerung nach Beginn des Fließens Fpl und der Belastungsgrenze bei Fließbeginn FF der auch als Sttzziffer npl bezeichnet wird: npl ¼ Fpl =FF > 1: Fr sprde Stoffzustnde gelten diese berlegungen keineswegs. In diesem Fall ergibt sich keine Fließ-, sondern eine Bruchbedingung zu Rmk ¼ s1n ¼ s1max =ak . Als geeignetes Kriterium zur Beurteilung des zhen oder sprden Bauteilverhaltens unter Kerbspannungszustnden erweist sich die bezogene Kerbzugfestigkeit gk ¼ Rmk =Rm als Funktion von ak . Duktile Werkstoffe zeigen mit grßer werdender Formzahl bezogene Kerbzugfestigkeitswerte Rmk =Rm > 1 whrend sprde Stoffzustnde bezogene Kerbzugfestigkeitswerte Rmk =Rm < 1 ergeben.
Bild 24. Sttzwirkung in Kerbstben bei teilplastischer Verformung
Grßeneinfluss Zur bertragung der an Proben ermittelten Werkstoffkennwerte auf Bauteile muss der Grßeneinfluss bercksichtigt werden. Unter der Annahme elastomechanischer hnlichkeit wurde an geometrisch hnlich gekerbten Probestben nachgewiesen, dass Fließgrenze und Fließkurve von Kerbstben verschiedener Durchmesser fr geringe plastische Verformungen einen vernachlssigbaren geometrischen Grßeneinfluss aufweisen [47]. Dagegen wurde in Kerbzugversuchen im Durchmesserbereich von 6 bis 180 mm nachgewiesen, dass Kerbproben aus C60 ðak ¼ 3; 85Þ unterhalb 80 mm Außendurchmesser ein Kerbzugfestigkeitsverhltnis > 1, oberhalb 80 mm Außendurchmesser ein Kerbzugfestigkeitsverhltnis < 1 aufweisen. Dies deutet darauf hin, dass Kerbzugfestigkeitseigenschaften einen eindeutigen Grßeneinfluss zeigen, und somit auch bei quasistatischer Beanspruchung ein bergang vom zhen zum sprden Bauteilverhalten bei bestimmten Grenzdurchmessern erfolgen kann. 1.4.7 Gestalteinfluss auf Schwingfestigkeitseigenschaften Kerbeinfluss
Bild 23. Formzahl – Definition fr Zug-, Biege- und Torsionsbeanspruchung
Unter der Annahme linear-elastischen Verhaltens im Dauerfestigkeitsbereich kann erwartet werden, dass bei Kerbstben und somit auch bei gekerbten Bauteilen die Wechselspannungsamplitude im Kerbgrund um den ak -fachen Wert der Nennspannung erhht wird und somit die Dauerfestigkeit sDk gekerbter Proben oder Bauteile auf den elastizittstheoretischen Kleinstwert der Nennspannung sDk ¼ sD =ak abgesenkt werden kann. In vielen Untersuchungen wurde nachgewiesen,
I1.5 dass die Verminderung der Dauerfestigkeit gekerbter Proben jedoch kleiner ist [48]. Je nach Kerbschrfe und Grße des Kerbgrunddurchmessers werden infolge Sttzwirkung erheblich hhere Schwingfestigkeitswerte erzielt. Dieses Verhalten wird mit der Kerbwirkungszahl bk ¼ sD =sD; k ; bk ak erfasst: Die Kerbwirkungszahl bk kann nicht nur experimentell, sondern auch nach verschiedenen Verfahren rechnerisch bestimmt werden [49]. Hufig angewendet wird die Beziehung ak nc ¼ , wobei sich ein Wert fr die Sttzzahl nc ber das bk 1 Ds bezogene Spannungsgeflle c ¼ gemß Bild 25 ersmax Dd mitteln lsst (s. C 10.3). Grßeneinfluss Um die aus Einstufenversuchen ermittelten Schwingfestigkeitseigenschaften glatter und gekerbter Proben auf einstufenbeanspruchte Bauteile bertragen zu knnen, mssen alle maßgebenden Grßeneinflussparameter bekannt sein, die in folgende Einzelmechanismen unterteilt werden knnen [48]: Technologischer Grßeneinfluss, geometrischer Grßeneinfluss, statistischer Grßeneinfluss [50] sowie oberflchentechnischer Grßeneinfluss (vgl. Bild 26).
Festigkeitsnachweis von Bauteilen
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Die FKM-Richtlinie fr den rechnerischen Festigkeitsnachweis [30] enthlt den statischen Festigkeitsnachweis und den Ermdungsfestigkeitsnachweis unter Anwendung der klassischen Methoden der Festigkeitslehre. Die Richtlinie wurde auf der Grundlage ehemaliger TGL-Standards [51–55], der frheren Richtlinie VDI 2226 [49] und weiterer Quellen erarbeitet und auf den neuen Erkenntnisstand weiterentwickelt. Werden an Bauteilen whrend Herstellung oder Betrieb jedoch Fehler, wie z. B. Risse, durch zerstrungsfreie Prfverfahren entdeckt oder muss mit deren Auftreten in einem Inspektionszeitraum gerechnet werden, so verlangt dies eine Anwendung bruchmechanischer Methoden und somit der FKM-Richtlinie fr den bruchmechanischen Festigkeitsnachweis [17]. Im Folgenden sollen nur einige Schwerpunkte aus diesen Nachweisen nher erlutert werden.
1.5.1 Festigkeitsnachweis bei statischer Beanspruchung Bei einachsiger oder mehrachsiger homogener Belastung wird die Festigkeitsberechnung jeweils fr den hchstbeanspruchten Querschnitt durchgefhrt. Der Nachweis kann sowohl mit Nennspannungen als auch mit rtlichen Spannungen gefhrt werden.
1.5 Festigkeitsnachweis von Bauteilen Jeder Festigkeitsnachweis besteht aus einem Vergleich der Beanspruchung eines Bauteils und seiner Beanspruchbarkeit unter Bercksichtigung von Sicherheitsfaktoren. Konstrukteure und Berechnungsingenieure im Maschinenbau und in verwandten Bereichen der Industrie nutzen dazu u. a. zwei in den letzten Jahren entstandene Dokumente.
Bild 25. Sttzzahl nc fr unterschiedliche Werkstoffgruppen [49]
Bild 26. Entstehungsursachen und Mechanismen des Grßeneinflusses
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Werkstofftechnik – 1 Werkstoff- und Bauteileigenschaften
Werkstofffestigkeitskennwerte sind Zugfestigkeit und Fließgrenze (Streckgrenze bzw. 0,2 Dehngrenze) unter Beachtung des technologischen Grßeneinflusses, der Anisotropie, der Beanspruchungsart (Zug, Druck, Schub) und der Temperatur [30]. Konstruktionskennwerte sind vor allem die plastischen Sttzzahlen, mit denen eine erfahrungsgemß zulssige Teilplastifizierung des Bauteils bercksichtigt wird und die mit anderen Grßen auf einen Konstruktionsfaktor fhren. Die ertragbaren Nennwerte der statischen Bauteilfestigkeit ergeben sich aus der Zugfestigkeit, dividiert durch den jeweiligen Konstruktionsfaktor. Grundwert der Sicherheitsfaktoren ist ein praxisblicher Wert 2,0 gegenber der Zugfestigkeit, bzw. bei Werkstoffen mit einem Verhltnis von Zugfestigkeit zu Fließgrenze kleiner als 0,75 der Wert 1,5 gegenber der Fließgrenze. Der Nachweis wird mittels des Auslastungsgrades durchgefhrt, der hchstens den Wert 1 annehmen darf. Der Auslastungsgrad fr eine bestimmte Spannungskomponente bzw. Spannungsart ist gleich dem Spannungswert dividiert durch den zulssigen Wert der statischen Bauteilfestigkeit. Der zulssige Wert ist gleich dem ertragbaren Wert der statischen Bauteilfestigkeit dividiert durch den Sicherheitsfaktor. Bei mehreren Spannungskomponenten wird ein Gesamtauslastungsgrad ermittelt, der die Duktilitt des Werkstoffes bercksichtigt. Die Bauteiltragfhigkeit kann zustzlich durch mehrachsige Eigenspannungszustnde beeinflusst werden. Je nach Tiefenwirkung der Eigenspannungsquelle bewirken mehrachsige Zugeigenspannungen eine Anhebung der Bauteilfließgrenze, wobei mit zunehmender teilplastischer Verformung der Eigenspannungszustand wieder abgebaut wird. Im Grenzfall knnen dreiachsige hydrostatische Zugeigenspannungszustnde eine Trennbruchgefahr auslsen, die unter Anwendung der Normalspannungshypothese wie folgt abgeschtzt werden kann: s1 max ¼ s1 Last þ s1 Eigensp: . Die Superposition von Last- und Eigenspannungen setzt voraus, dass der dreiachsige Eigenspannungszustand nach Grße und Richtung des Hauptachsensystems bekannt ist. Einen Sonderfall des Versagens bei statischer Bauteilbelastung stellt die mgliche Instabilitt infolge Knickung dar, die in [30] jedoch nicht bercksichtigt wird (s. C 7).
spruchungsfrequenzen ber 100 Hz knnen durch weitere Multiplikatoren rechnerisch bercksichtigt werden. Aus der Bauteil-Wechselfestigkeit unter Einstufen-Schwingbelastung folgt die Bauteil-Dauerfestigkeit fr eine gegebene Mittelspannung ber die Mittelspannungsempfindlichkeit M nach Bild 14. 1.5.3 Festigkeitsnachweis bei Schwingbeanspruchung mit variabler Amplitude (Betriebsfestigkeitsnachweis) Bauteile unterliegen unter Betriebsbedingungen meist regellosen Belastungsverlufen mit statistisch verteilten Schwingamplituden bei konstanten oder variablen Mittellasten, so dass die aus Einstufenversuchen gewonnenen Bauteil-Schwingfestigkeitseigenschaften nur begrenzt fr die Dimensionierung herangezogen werden knnen. In zahlreichen Anwendungsfllen des Maschinen- und Stahlbaus sowie insbesondere im Leichtbau mssen Schwingbeanspruchungen zugelassen werden, deren Spannungsausschlag bis ber den zweifachen Betrag der Dauerschwingfestigkeit hinausgeht, wodurch Teilschdigungen durch Wechselverformungen (Spannungs-Dehnungs-Hysteresen) im Zeitfestigkeitsgebiet entstehen knnen. Zur quantitativen Beurteilung der Teilschdigungen (Schadensakkumulation) sind Klassierverfahren erforderlich, die unregelmßige Belastungsablufe auf eine Folge von Schwingspielen bestimmter Grße und Hufigkeit zurckfhren. Unter Anwendung verschiedener ein- und mehrparametriger Klassierverfahren, z. B. des Rainflow-Klassierverfahrens, knnen Hufigkeitsverteilungen sowie die Summenhufigkeit der Betriebslasten bzw. der Nennspannungen aufgestellt werden. Durch eine derartige Kollektivbildung gehen allerdings Informationen realer Beanspruchungs-Zeit-Verlufe teilweise verloren, weshalb in der Praxis fr den experimentellen oder rechnerischen Lebensdauernachweis (rtliches Konzept) auch vielfach reale Lastfolgen verwendet werden. In Bild 27 sind drei unterschiedliche Spannungs-Zeit-Verlufe sowie die zugehrigen Spannungskollektive dargestellt. Zur eindeutigen Kennzeichnung eines Beanspruchungskollektivs sind die Summenhufigkeit H, die Kollektivform nach
1.5.2 Festigkeitsnachweis bei Schwingbeanspruchung mit konstanter Amplitude Analog zum Festigkeitsnachweis bei statischer Beanspruchung kann der Nachweis hier sowohl mit Nennspannungen als auch mit rtlichen Spannungen gefhrt werden [30]. Die Bauteileigenschaften unter Schwingbeanspruchung werden durch werkstoffliche, fertigungstechnische und konstruktive Faktoren beeinflusst. Durch Anwendung mechanischer (Kugelstrahlen, Festwalzen), thermischer (Induktionshrten) und thermochemischer Randschichtverfestigungsverfahren (Einsatzhrten, Nitrieren) kann dabei eine wirkungsvolle Steigerung der Schwingfestigkeit erreicht werden. Ausgehend z. B. von der Wechselfestigkeit des Werkstoffes sW lsst sich die Bauteil-Wechselfestigkeit sWK nach folgen1 . dem Ansatz abschtzen: sWK ¼ sW Kd bk þ K1F 1 Dabei bercksichtigt der technologische Grßenfaktor Kd die Unterschiede in den Abmessungen von Probe und Bauteil. Durch eine additive Verknpfung von Kerbwirkungszahl bk und Rauheitsfaktor KF wird eine geringere Rauheitsempfindlichkeit des gekerbten Bauteils im Vergleich mit dem nichtgekerbten Bauteil in Rechnung gestellt. Die Wirkungen von Randschichtverfestigungsverfahren, Temperaturen unter – 40 C oder ber 100 C, sowie Bean-
Bild 27 a–c. Einfluss verschiedener Spannungs-Zeit-Funktionen auf das Spannungskollektiv. a konstante Amplitude und Mittelspannung; b vernderliche Amplitude und konstante Mittelspannung; c vernderliche Amplitude und vernderliche Mittelspannung
I1.5 einem bestimmten statistischen Verteilungsgesetz, die Grßt u bzw. die grßte o ; s werte der Ober- und Unterspannungen s a sowie die zugehrige Mittelspannung Spannungsamplitude s m erforderlich. s Fr Spannungs-Zeit-Funktionen knnen – ausgehend vom stationren Zufallsprozess mit Normalverteilung (Bild 28) – die oberhalb der Normalverteilung liegenden Mischkollektive durch Normalkollektive zu einem bestimmten Lastbereich angenhert werden. Die Kollektivbeiwerte p stellen das Verhltnis von minimaler und maximaler Amplitude im Kollektiv dar und liegen gemß Bild 28 in den Grenzen 0 p 1. Die Lebensdauervorhersage von Bauteilen unter zufallsbedingten Last-Zeit-Funktionen kann durch Anwendung rechnerischer Verfahren sowie durch versuchstechnische Verfahren in Form von Programmversuchen oder Randomversuchen erfolgen. Rechnerische Lebensdauerabschtzung (Nennspannungskonzept) Sie kann bei bekanntem Belastungskollektiv und experimentell oder synthetisch bestimmter Bauteil-Whlerkurve im Zeit- und Dauerfestigkeitsgebiet unter Anwendung einer geeigneten Schadensakkumulationshypothese durchgefhrt werden. Die von Palmgren und Miner aufgestellte Hypothese geht von einem linearen Schdigungszuwachs mit der Anzahl ni der Schwingspiele aus, wobei je Lastspiel eine Teilschdigung von 1=Ni auftritt, wenn Ni die Bruchlastspielzahl fr den jeweiligen Spannungsausschlag sai ist. Wird das Belas-
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tungskollektiv gemß Bild 29 durch eine mehrstufige Belastung ersetzt, so summieren sich die einzelnen Schdigungsanteile ni =Ni bei m Laststufen zu folgender Schadenssumme: S¼
m X n1 n2 n3 ni þ þ þ ::: ¼ ¼ 1: N1 N2 N3 Ni i¼1
Nach der Hypothese tritt Ermdungsbruch ein, wenn die Schadenssumme S ¼ 1 ist. Das Belastungskollektiv kann in eine Anzahl von Teilfolgen zerlegt werden, deren Schadenssumme je Stufe und Teilfolge Si ¼ hi =Ni betrgt, wobei hi die Zahl der Schwingspiele (Teilschdigungen) je Laststufe einer Teilfolge angibt. Die Schadenssumme bei Bruch ergibt sich mit Z = Anzahl der Teilfolgen zu S¼
X ni X hi ¼Z ðbei Z ¼ 1 wird ni ¼ hi Þ: Ni Ni
Wie eine umfassende Auswertung sowie Lebensdauernachrechnungen von Betriebsfestigkeitsversuchen zeigen, treten systematische Abweichungen von der theoretischen Schadenssumme S = 1 und beachtliche Streuspannen auf [56]. So wird zum Beispiel fr Berechnungen nach [30] fr Stahl eine Schadenssumme S ¼ 0; 3 empfohlen. Verschiedene Modifikationen der sogenannten Miner-Regel, wie z. B. die Verlngerung der Zeitfestigkeitsgeraden mit halbem Neigungswinkel zur Bercksichtigung von Schdigungsanteilen unterhalb der Dauerfestigkeit (s. Bild 29), wurden mit dem Ziel einer verbesserten Lebensdauervorhersage entwickelt [27]. Rechnerische Lebensdauerabschtzung (rtliches Konzept)
Bild 28. p-Wert-Kollektive und Aufteilungsmglichkeit fr Blockprogramm-Versuche
Bei Lebensdauervorhersage nach dem rtlichen Konzept erfolgt die Schadensakkumulation in gleicher Weise wie zuvor dargestellt, wobei jedoch die einzelnen Schwingspiele nicht durch Spannungen sondern durch einen Schdigungsparameter charakterisiert werden. Im Bild 30 sind die fr die Berechnung der Anrisslebensdauer notwendigen Daten- und Berechnungsmodule fr den Fall einer einachsigen Beanspruchung und eines homogenen und eigenspannungsfreien Werkstoffzustandes dargestellt. Eingabedaten auf der Seite der Beanspruchbarkeit sind die in Schwingversuchen an homogen beanspruchten Proben ermittelte zyklische Fließkurve und die Dehnungswhlerlinie (E 1.3.2). Auf der Seite der Beanspruchung sind die Bauteilgeometrie einschließlich der Lastkonfiguration sowie der Last-Zeit-Ver-
Bild 29. Berechnung der Schadenssumme nach Palmgren-Miner (8-Stufen-Versuch)
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Bild 30. Daten- und Berechnungsmodule fr eine Lebensdauervorhersage nach dem rtlichen Konzept [12]
lauf einzugeben. In einem ersten Rechenschritt wird ber elastisch-plastische Nherungsgleichungen (Kerbbeanspruchungsbeziehungen) die Bauteilfließkurve (Last-DehnungsBeziehung) bestimmt. Fr teilplastische Beanspruchung wird hierbei vielfach die von Neuber [57] abgeleitete Beziehung s2 s e ¼ a2k n genutzt. E Aus der Bauteilfließkurve und der Lastfolge kann schließlich unter Bercksichtigung des Masing- und Memoryverhaltens des Werkstoffs der Spannungs-Dehnungspfad als Folge geschlossener Hysteresisschleifen an der versagenskritischen Stelle berechnet werden. Die Berechnung des Schdigungsbeitrages der einzelnen Hysteresisschleifen aus der Dehnungswhlerlinie des Werkstoffs erfolgt ber einen Schdigungsparameter. Am gebruchlichsten ist hier der Ansatz von pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi Smith, Watson und Topper [58] PSWT ¼ ðsa þ sm Þea E. Die einzelnen Teilschdigungen akkumulieren sich letztlich zur Gesamtschdigung, fr die die Schadenssumme =1 mit dem Anrissversagen des Bauteils gleichgesetzt wird. Das hier aufgezeigte Berechnungskonzept hat zahlreiche Modifikationen erfahren, so in der Bercksichtigung inhomogener Werkstoffzustnde (z. B. Randschichtverfestigung) und der Erweiterung fr mehrachsige Beanspruchungszustnde [59]. Durch die Einbeziehung bruchmechanischer Anstze schließlich wurde auch die Berechnung der Bruchlebensdauer mglich [60]. Experimentelle Lebensdauerbestimmung Hierzu knnen sowohl Programmversuche als auch Randomversuche angewandt werden. In der Vergangenheit wurden vielfach Programmversuche durchgefhrt, bei denen das Amplitudenkollektiv in acht Stufen unterteilt wurde und Teilfolgen mit jeweils 0; 5 106 Lastspielen zusammengestellt wurden [61]. Um eine praxisgerechte Mischung hoher und niedriger Spannungsamplituden zu erreichen, wurden in jeder Teil-
folge die Spannungswerte zuerst ansteigend, dann fallend durchlaufen. Die Ergebnisse eines Programmversuchs lassen sich hnlich der Whlerkurve als Lebensdauer- oder Gaßnerlinie darstellen. Heute dominieren Randomversuche, bei denen eine weitgehende Nachahmung der tatschlichen Beanspruchungs-ZeitFunktion angestrebt wird. Fr zahlreiche Anwendungsflle (z. B. Fahrzeuge, Flugzeuge, Walzgerste) existieren standardisierte Lastfolgen, die die jeweils baugruppenspezifischen stochastischen und deterministischen Beanspruchungsvorgnge abbilden. In experimentellen Vergleichsuntersuchungen zwischen Programm- und Randomversuchen wurde nachgewiesen, dass Randomversuche mit wirklichkeitsnahen Beanspruchungsablufen eine krzere Bauteil-Lebensdauer ergeben als verschiedene Blockprogrammversuche [62]. 1.5.4 Bruchmechanischer Festigkeitsnachweis unter statischer Beanspruchung Erreicht oder berschreitet der Beanspruchungsparameter im rissbehafteten Bauteil bei statischer Beanspruchung einen kritischen Wert (Werkstoffbruchwiderstand), kommt es zu einer Rissinitiierung, die beim zhen Werkstoffverhalten stabile Risserweiterung und beim sprden Werkstoffverhalten instabiles Versagen einleitet. Der kritische Wert des Beanspruchungsparameters wird als Risszhigkeit Kmat bezeichnet, E 1.3.3. Bei sprdem Werkstoffverhalten tritt Versagen ein, wenn gilt KIBauteil ¼ Kmat ¼ KIc . Der Bruch kann durch Erreichen einer kritischen Risslnge oder einer kritischen Beanspruchung ausgelst werden. Bei zhem Werkstoffverhalten in der Hochlage ist der Werkstoffbruchwiderstand eine Funktion der Risserweiterung. Der Rissantrieb wird dann durch einen elastisch-plastischen Beanspruchungsparameter beschrieben und ist mit einer Risswiderstandskurve des Werkstoffs zu vergleichen, Bild 16.
I1.5 Die Bewertung von Bauteilen mit Fehlern unter statischer Beanspruchung kann mit Hilfe von Rissantriebs- (Crack Driving Force, CDF) oder Versagensbewertungs- (Failure Assessment, FA) Diagrammen gefhrt werden. Das Versagens-Bewertungsdiagramm FAD (Failure Assessment Diagram), Bild 31, enthlt eine durch die Parameter Kr und Lr definierte Grenzkurve Kr ¼ f ðLr Þ fr die Bewertung des belasteten Bauteils mit Fehler. Die Grenzkurve grenzt den „sicheren“ Bereich ein, in dem kein Versagen des Bauteils mit Riss mglich ist. Kr ist dabei der auf die Risszhigkeit Kmat bezogene linearelastische Spannungsintensittsfaktor K Kr ¼ K=Kmat und der Plastifizierungsgrad Lr die auf die plastische Grenzlast Fe des Bauteils mit Riss bezogene Belastung F Lr ¼ F=Fe : Fr gegebene Geometrie- und Beanspruchungsbedingungen des Bauteils mit Riss sowie fr relevante Werkstoffkennwerte werden die Koordinaten [Kr , Lr ] eines Zustandspunktes (wenn die Rissinitiierung als der Grenzzustand betrachtet wird) bzw. einer Reihe von Zustandspunkten (fr das Versagen nach stabiler, duktiler Risserweiterung) berechnet und mit der Grenzkurve verglichen. Das FAD-Verfahren enthlt als Grenzflle den Sprdbruchnachweis, wenn der Zustandspunkt auf der y-Achse liegt, und den Nachweis von plastischem Kollaps, wenn der Zustandspunkt auf der x-Achse liegt. In [14] und [17] werden verschiedene Grenzkurven in Abhngigkeit der zur Verfgung stehenden Eingabedaten, dem Auswertungsaufwand und der gewnschten Konservativitt der Ergebnisse angegeben. Besitzt der untersuchte Werkstoff beispielsweise eine ausgeprgte Streckgrenze (Rel , ReH ) so kann folgende Grenzkurve verwendet werden: 1 L2 2 f ðLr Þ ¼ 1 þ r fr Lr < 1 2 N1
fr 1 Lr < Lmax f ðLr Þ ¼ f ð1ÞLr2N r 1 1 2 fr Lr ¼ 1 f ð1Þ ¼ l þ 2l EDe Rel mit l ¼ 1 þ ; De ¼ 0:0375 1 ; 1000 Rel Rel 1 R þ R el m ¼ und Lmax : N ¼ 0:3 1 r Rm Rel 2
Bild 31. Versagensbewertungs-Diagramm (FAD), prinzipiell
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Die Bewertung ergibt nicht nur eine qualitative Aussage „sicher“/„unsicher“, sondern auch eine Quantifizierung dieser Aussage durch Reservefaktoren. Weiterhin ist es notwendig, die Empfindlichkeit des Ergebnisses zur anzunehmenden Variation einzelner Eingabedaten in Sensitivittsanalysen zu prfen und die Eingabedaten fr die Berechnung von zulssigen Bedingungen, wenn erforderlich, mit geeigneten partiellen Sicherheitsfaktoren zu modifizieren. Alternativ knnen partielle Sicherheitsfaktoren auf der Basis einer zulssigen Versagenswahrscheinlichkeit festgelegt werden. 1.5.5 Bruchmechanischer Festigkeitsnachweis unter zyklischer Beanspruchung In vielen praxistypischen Fllen sind die Bedingungen zur Anwendung der linear-elastischen Bruchmechanik erfllt und der dort auftretende Zusammenhang zwischen Rissfortschrittsrate und Schwingbreite des Spannungsintensittsfaktors, Bild 18, kann zur Bewertung herangezogen werden. Da die Messergebnisse der Rissfortschrittsrate streuen, sind fr eine konservative Berechnung die obere Grenze des Streubandes, fr eine realistische Berechnung, z. B. bei der Analyse von Schadensfllen, mittlere Werte zu verwenden. Bruchmechanische Dauerfestigkeit, d. h. keine Rissausbreitung, liegt vor bei DK < DKth : Diese Bedingung ist bei einer hohen geforderten Anzahl von Lastzyklen anzuwenden. Ist diese Bedingung nicht erfllt, muss eine Berechnung des Rissfortschritts, i. d. R. durch numerische Integration der Rissfortschrittsrate, erfolgen. Dabei ist eine Auflsung nach der Lastzyklenzahl oder nach der End- bzw. Anfangsrissgrße mglich. Berechnungen der Rissausbreitung knnen fr konstante oder variable Beanspruchung durchgefhrt werden. Eigenspannungen sind zu bercksichtigen. Beanspruchungsnderungen knnen zu Reihenfolgeeffekten (Verzgerung bzw. Beschleunigung des Rissfortschritts nach Belastungsabsenkung bzw. -zunahme) fhren, wobei bei stochastischen Beanspruchungen die Verzgerungen berwiegen. 1.5.6 Festigkeitsnachweis unter Zeitstandund Kriechermdungsbeanspruchung Zeitstandbeanspruchung Zur Auslegung von Bauteilen [4] unter statischer Beanspruchung, wie sie idealisiert bei konstanten Betriebsbedingungen auftritt, werden gemß E 1.1.3, Bild 6, im Bereich erhhter Temperatur zeitunabhngige Festigkeitskennwerte und im Bereich hoher Temperatur zeitabhngige Festigkeitskennwerte, z. B. Zeitstandfestigkeit Ru=t=T oder Zeitdehngrenze Rpe=t=T herangezogen. Im Bereich hoher Temperatur werden langzeitige Festigkeitskennwerte bentigt, die bis zu den lngsten Betriebszeiten abgesichert sein sollen, z. B. bei Kraftwerken bis zu 200 000 h. Wegen der Streuung dieser Festigkeitskennwerte wird oft von der Streubanduntergrenze ausgegangen. Eine konventionelle Auslegung oder Nachrechnung ist dann mglich, wenn von einer idealisierten Geometrie und Belastung ausgegangen werden kann und die errechneten Spannungen direkt mit Festigkeitskennwerten verglichen werden knnen. Bei Bauteilen mit komplexer Gestalt und Belastung kann durch rtliche Spannungskonzentrationen eine Kriechbeschleunigung auftreten, was die Einleitung und das Wachstum von Rissen begnstigt. Zur Berechnung der Spannungsumverteilung in derartigen Bauteilen mit der inelastischen Finit-Element-Methode sind Werkstoffmodelle und Kriechgleichungen verfgbar. Zeitstandfestigkeitskennwerte [63] werden in der Regel logarithmisch dargestellt (Beispiel Bild 32). Bei einer Extrapola-
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tion ist Vorsicht geboten (DIN EN 10 291), zu Extrapolationsverfahren siehe E 2.2.11. Regelwerke, die Kennwerte fr Zeitstandfestigkeit und Zeitdehngrenzen enthalten, sind nach Werkstoffgruppen geordnet, z. B.: – warmfeste Sthle fr Rohre und Bleche (DIN EN 10 216), – Sthle fr grßere Schmiedestcke fr Bauteile von Turbinen und Generatoren (SEW 555), – warmfeste und hochwarmfeste Werkstoffe fr Schrauben und Muttern (DIN EN 10 269), – warmfester ferritischer Stahlguss (DIN EN 10 213), – hochwarmfeste austenitische Sthle fr Bleche und Schmiedestcke (DIN EN 10 222). Im Unterschied zu den Dimensionierungsanstzen bei Raumtemperatur und erhhter Temperatur sind fr die Festigkeitsberechnung von Bauteilen im Bereich hoher Temperatur zeitund temperaturabhngige Werkstoffkennwerte erforderlich. Mit Sicherheitsbeiwerten SF gegen unzulssige plastische Verformung und SB gegen Zeitstandbruch ergeben sich zulssige Spannungen szul ¼ Rpe=t=T =SF und szul ¼ Rm=t=T =SB von denen der kleinere Wert heranzuziehen ist. Der Beiwert SB wird oft grßer gewhlt als der Beiwert SF . Hinweise sind z. B. fr Dampfkessel in TRD301 [64] enthalten. Bild 33 zeigt ein Beispiel fr eine konventionelle Auslegung mit dem Sicherheitsbeiwert SF ¼ 1; 5 gegen unzulssige plastische Verformung und dem Sicherheitsbeiwert SB ¼ 2 gegen Bruch. Bei einer konservativen Auslegung gegen eine Streubanduntergrenze wird in der Regel ein Abschlag von 20% in Spannungsrichtung gegen eine mittlere Zeitstandfestigkeit gewhlt. Im Bereich der bergangstemperatur (Bild 6 in
E 1.1.3) kann zustzlich eine Absicherung gegen die Warmstreckgrenze mit szul ¼ Rp 0;2=T =SF notwendig sein. Zeitlich vernderliche Beanspruchung Neben der statischen Beanspruchung knnen die Bauteile zustzlich zeitlich vernderlichen Beanspruchungen unterliegen. Eine Auslegung gegen zyklische Zeitstandbeanspruchung kann durch die modifizierte Lebensdaueranteilregel [65] erfolgen, bei der Beanspruchungsintervalle D ti bei quasi-konstanter Spannung und Temperatur auf die zugehrige Bruchzeit tui bezogen und zu einer relativen Zeitstandlebensdauer Lt akkumuliert werden. Die Bruchzeit unter vernderlicher Zeitstandbeanspruchung errechnet sich damit zu X X D ti fr D ti =tui ¼ Lt : tui ¼ i
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Beim Erwrmen und Abkhlen von Bauteilen kann durch behinderte Wrmedehnungen eine Ermdungsbeanspruchung auftreten. Eine Auslegung gegen Ermdungsanriss kann durch die Miner-Regel erfolgen, bei der Wechselzahlen Nj unter konstanter Beanspruchungsschwingbreite auf die zugehrige Anrisswechselzahl NAj bezogen und zu einer relativen Ermdungslebensdauer LA akkumuliert werden. Die Anrisswechselzahl errechnet sich zu X X NA ¼ Nj fr Nj =NAj ¼ LA : j
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Bei berlagerter Kriechbeanspruchung im Bereich hoher Temperatur kann die Miner-Regel additiv mit der modifizierten Lebensdaueranteilregel kombiniert werden zu einer relativen Kriechermdungslebensdauer L ¼ Lt þ LA . Die Werte Lt , LA und L knnen unter 1 liegen [4]. Die Miner-Regel wird beispielsweise fr die Nachrechnung von Bauteilen im Dampfkesselbau nach TRD301 [64] genutzt, die einer Wechselbeanspruchung durch schwellenden Innendruck bzw. durch kombinierte Innendruck- und Temperaturnderungen unterliegen. Fr Bauteile, die im Kriechermdungsbereich beansprucht werden, wird nach TRD508 [66] die Kombination der Miner-Regel und der Lebensdaueranteilregel herangezogen. Kriech- und Kriechermdungsrissbeanspruchung
Bild 32. Zeitbruchkurven des Stahles 10CrMo910
Bild 33. Konventionelle Auslegung mit zeitabhngigen Festigkeitskennwerten fr idealisierte Bedingungen [4]
Neben Ungnzen und Rissen, die durch die Betriebsbeanspruchung entstehen knnen, enthalten Bauteile oft Ungnzen und Werkstofffehler, die durch die Herstellung und Verarbeitung eingebracht worden sind. Zur Absicherung der Bauteile muss eine auf die Mglichkeiten der zerstrungsfreien Prfung abgestimmte Anfangsfehlergrße innerhalb der vorgesehenen Betriebs- oder Inspektionszeit unterhalb einer um einen Sicherheitsfaktor verminderten kritischen Fehlergrße fr spontanes Versagen bleiben [1]. Einen wichtigen Beitrag zur Beurteilung der Fehler liefert hier die Kriechbruchmechanik, bei der an Proben mit knstlicher Rissstartfront bei Betriebstemperatur unter statischer (Kriech-) bzw. schwellender (Kriechermdungs-)Belastung die Dauer tA zur Einleitung eines Kriechrisses und die Kriechrissgeschwindigkeit da/dt gemessen werden. Diese Ergebnisse knnen im Falle einer sich nur rtlich vor der Rissspitze bildenden plastischen Zone durch eine linearelastisch errechnete Spannungsintensitt KI beschrieben werden. Bei großen plastischen Dehnungen im weiteren Umfeld der Rissspitze, d. h. im Kriechbereich ist der Parameter C* zutreffender [7]. Zu seiner Bestimmung sind im allgemeinen Fall Finit-Element-Berechnungen erforderlich. Beim komplizierten Vorgang des Kriechrisswachstums knnen dabei Streuungen relativ groß sein. Generell legen sie die Anwendung von Untergrenzen fr die Risseinleitungsdauer sowie Obergrenzen fr die Risswachstumsgeschwindigkeit bei der kriechbruchmechanischen Beurteilung von Fehlern in Bauteilen nahe. Auf diesem Wege wird beispielsweise eine Absicherung mg-
I2.1 lich, dass innerhalb eines definierten Zeitintervalls kein Wachstum eines Risses bis zu einer fr spontanes Versagen kritischen Grße erfolgt. Zur Abschtzung der Kriechrisseinleitungsdauer fr technischen Anriss in Bauteilen wurde aber auch ein relativ einfaches, auf ein Zweikriteriendiagramm gesttztes Verfahren mit berwiegend elastischen Parametern, aber auch zeitabhngigen Grßen, entwickelt [7]. Es beruht auf einem Diagramm (Bild 34), in dem die Nennspannung snpl im Ligament auf die Zeitstandfestigkeit Ru=t=T bezogen als Nennspannungsfaktor Rs ber einem Rissspitzenparameter RK ¼ KI id =KIA aufgetragen wird. Dieser bezieht die Spannungsintensitt an der Rissspitze KI id auf einen entsprechenden Wert KIA fr Kriechrisseinleitung ermittelt aus Kriechrissexperimenten an CT25-Proben. Mit Hilfe der im Zweikriteriendiagramm angegebenen Bereiche: – Ligamentschdigung (Rs =RK 2), – Rissspitzenschdigung (Rs =RK 0; 5), – Mischschdigung und der Grenzlinie „Anriss/kein Anriss“ lassen sich Risseinleitung und Versagensart fr eine vorliegende Geometrie und Belastung abschtzen. Weiterentwicklungen dieses Zweikriteriendiagramms betreffen das Kriechermdungsrissverhalten [4, 7].
2 Werkstoffprfung C. Berger und K. H. Kloos, Darmstadt Die Werkstoffprfung dient der Ermittlung von Eigenschaften und Kennwerten unter mechanischen, thermischen oder chemischen Beanspruchungsbedingungen an Proben und Bauteilen. Ihr Anwendungsbereich umfasst die Werkstoff- und Verfahrensentwicklung, die Bereitstellung von Kennwerten fr Berechnung und Konstruktion, die Fertigung von der Eingangsprfung bis zur Abnahmeprfung, das fertige Produkt whrend seiner Lebensdauer sowie die Aufklrung von Schadensfllen.
Grundlagen
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Bild 34. Zweikriteriendiagramm fr Kriechrisseinleitung
werden vornehmlich im Rahmen der Qualittssicherung in der Produktion als Eingangs-, Fertigungs- und Abnahmeprfung angewendet. Je nach Sicherheitsanforderungen erfolgt die Prfung als Stichprobenprfung oder als 100%-Prfung. Bei Bauteilen mit hohen sicherheitstechnischen Anforderungen (z. B. Luftfahrt, Reaktortechnik) erfolgen auch nach der Inbetriebnahme regelmßige Prfungen im Rahmen von Inspektionen oder kontinuierliche Prfungen im Betrieb durch Sensorberwachung an potentiellen Versagensorten. Bei den zerstrenden Prfverfahren wird zwischen mechanischen, technologischen und chemischen Prfverfahren unterschieden. Mit ihnen werden charakteristische Beanspruchungen nachgeahmt, wobei die am Bauteil im Betrieb auftretenden Beanspruchungsbedingungen vielfach idealisiert werden.
2.1 Grundlagen
2.1.1 Probenentnahme
Die Prfverfahren werden in zerstrungsfreie und zerstrende Prfverfahren unterteilt. Die zerstrungsfreien Prfverfahren
Aufgrund von Erstarrung und Verformung knnen Sthle eine ausgeprgte Anisotropie in den Eigenschaften besitzen, so
Bild 1. Festlegung von Prfvolumina
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Werkstofftechnik – 2 Werkstoffprfung
dass die Lage der Proben im Bauteil in Lngs-, Quer- und Dickenrichtung anzugeben ist. In Großbauteilen knnen durch die Erstarrungsbedingungen grßere Unterschiede zwischen den Kern- und Randfestigkeits- und Zhigkeitseigenschaften auftreten. Bild 1 zeigt dies am Beispiel einer Welle. Bei hohen Drehzahlen treten die hchsten Beanspruchungen im Bereich der Wellenmitte auf, wo auch die ungnstigsten Werkstoffeigenschaften zu erwarten sind. (Ursache dafr knnen die infolge der chemischen Zusammensetzung bedingte mangelnde Durchvergtbarkeit und/oder Wrmebehandlung aber auch Lunker und Seigerungen sein.) Durch Versuchsbauteile bzw. vergleichende Untersuchungen ist sicherzustellen, dass die in den hochbeanspruchten Bereichen geforderten Werkstoffeigenschaften, d. h. insbesondere Festigkeit und Zhigkeit, erreicht werden. Besondere Anforderungen an die Probenentnahme sind bei der Gtesicherung gegossener Bauteile zu stellen. Die mechanischen Eigenschaften angegossener Proben knnen nur dann mit den Werkstoffeigenschaften des Gussteiles bereinstimmen, wenn die Abkhlbedingungen in beiden Fllen gleich sind. Dies gilt insbesondere fr Eisengraphit-Werkstoffe, deren mechanische Eigenschaften in starkem Maße von Graphitform und -verteilung abhngen. 2.1.2 Versuchsauswertung Bei der Bestimmung von Werkstoffeigenschaften ist neben dem Kennwert auch der Streubereich von Bedeutung, der durch Unterschiede in der chemischen Zusammensetzung der Proben sowie durch fertigungs- und prftechnische Einflsse bedingt ist. Bei der Festlegung von Sicherheitszahlen fr die Festigkeitsberechnung ist es hufig erforderlich, Werkstoffkennwerte einzusetzen, die nach statistischen Grundstzen bestimmt wurden. Auswertungsverfahren fr statische Werkstoffkennwerte Die Mehrzahl der statischen Werkstoffkennwerte wird durch Mittelwertbildung (50% berlebenswahrscheinlichkeit) bestimmt. Zustzlich kann ein Minimalwert angegeben werden, der von keiner Probe unterschritten wird. Die in [1] bzw. im Anh. E 1 Tab. 3 angegebenen Werte gelten fr eine berlebenswahrscheinlichkeit von 97,5%. Zur Kennzeichnung des Streubereichs haben sich die Varianz bzw. die daraus abgeleiteten Grßen Standardabweichung und Variationskoeffizient erwiesen. Auswertungsverfahren fr Schwingfestigkeitskennwerte Infolge der großen Zahl von Schwingfestigkeits-Einflussfaktoren sollten alle maßgeblichen Dauerfestigkeitskennwerte mit der Angabe einer bestimmten berlebens- oder Bruchwahrscheinlichkeit gekoppelt werden, wozu eine grßere Probenzahl erforderlich ist. Bei nur wenigen Proben pro Lasthorizont und geringer Probenzahl pro Whlerkurve ist eine Verbesserung des Auswerteverfahrens dadurch mglich, dass aufgrund des beobachteten Verteilungsbilds der Versuchswerte zutreffende Verteilungsgesetze mit gengender Genauigkeit formuliert werden knnen. Die bekanntesten Verteilungsgesetze sind die Normalverteilung nach Gauß, die Extremverteilung nach Gumbel (die sog. Weibull-Verteilung stellt hierin einen Sonderfall pffiffiffi dar) sowie die arcsin p-Transformation. Um eine ausreichende Aussagewahrscheinlichkeit zu erhalten, sind je Lasthorizont mindestens zehn Proben erforderlich. Unter der Voraussetzung einer Normalverteilung werden derzeit zwei Auswerteverfahren zur Bestimmung der Dauerfestigkeit angewandt [2]. Treppenstufenverfahren. Hier wird eine grßere Probenzahl (15 bis 20) nacheinander auf mehreren Laststufen geprft,
wobei die Beanspruchungshhe davon abhngt, ob die vorher untersuchte Probe zu Bruch ging oder die Grenzlastspielzahl erreicht hat. Im Falle eines Bruchs wird die Last um einen Stufensprung erniedrigt, ansonsten erhht. Die Auswertung der anfallenden Versuchsergebnisse geschieht rechnerisch nach einem kleinen Schema und liefert Mittelwert und Standardabweichung der ertragbaren Spannung samt den zugehrigen Vertrauensgrenzen [2]. Abgrenzungsverfahren. Hier wird ebenfalls zunchst eine Probe in Hhe der erwarteten Dauerfestigkeit beansprucht. Bricht die Probe, so wird die Laststufe so lange erniedrigt, bis der erste Durchlufer auftritt. Beginnt die Versuchsreihe mit einem Durchlufer, wird die Last so lange gesteigert, bis der erste Bruch eintritt. Auf dem Lasthorizont des ersten Durchlufers oder Bruchs werden anschließend mindestens acht Proben geprft. Mit der Anzahl der Brche r und der Gesamtzahl der Proben n kann man den zweiten Lasthorizont sa2 berechnen. Auf diesem wird nach Mglichkeit die gleiche Probenzahl geprft wie auf dem ersten. Die Bruchwahrscheinlichkeitswerte 3r 1 r 100% oder PB ¼ 100% werden fr beide PB ¼ 3n þ 1 nþ1 Lasthorizonte errechnet und in einem Wahrscheinlichkeitsnetz (z. B. Normalverteilung oder Extremwertverteilung) auf dem gewhlten Lasthorizont eingetragen. Die durch beide Punkte gelegte Gerade erlaubt die Bestimmung der Lasthorizonte fr Bruchwahrscheinlichkeitswerte von 10, 50 und 90%. Normen: DIN 1319: Grundlagen DIN 50 100: Dauerschwingversuch.
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Meßtechnik.
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2.2 Prfverfahren Innerhalb der Gruppe mechanischer Prfverfahren nehmen die Festigkeits- und Zhigkeitsprfungen sowie Ermdungsversuche eine zentrale Stellung ein. Die Mehrzahl der Festigkeitsprfungen kann aus verschiedenen Grundlastfllen wie folgt zusammengesetzt werden: statische Kurzzeitprfverfahren: Zugversuch, Druckversuch, Biegeversuch, Verdrehversuch; statische Langzeitprfverfahren: Zeitstandversuch (Kriechversuch), Entspannungsversuch (Relaxationsversuch); dynamische Kurzzeitprfverfahren: (instrumentierter) Kerbschlagbiegeversuch, Schlagzerreißversuch; zyklische bzw. Ermdungs-Langzeitprfverfahren: Dauerschwingversuch, Dehnungswechselversuch, Einstufen-, Mehrstufen- und Nachfahrversuch. 2.2.1 Zugversuch Zweck. Er dient zur Ermittlung mechanischer Werkstoffeigenschaften unter homogenen, einachsigen Zugspannungen. Probengeometrie. Die Kennwerte werden an Proben mit kreisfrmigem, quadratischem oder rechteckigem Querschnitt ermittelt. Um die Bruchdehnungswerte vergleichen zu knnen, mssen bestimmte Messlngenverhltnisse eingehalten werden. Im Allgemeinen werden Proportionalstbe angewandt, bei denen die Messlnge L 0 ¼ 5 d0 (kurzer Proportionalstab: pffiffiffiffiffi L 0 ¼ 5; 65 S0 Þ oder L 0 ¼ 10 d0 (langer Proportionalstab: pffiffiffiffiffi L 0 ¼ 11,3 S0 Þ festgelegt wird. Kennwerte Festigkeit. Bei stetigem bergang vom elastischen in den plastischen Bereich wird die 0,2%-Dehngrenze Rp 0;2 bestimmt. Bei unstetigem bergang wird die Streckgrenze Re bestimmt, die in untere und obere Streckgrenze unterteilt werden kann (Bild 2).
I2.2
Prfverfahren
E 25
Normen (Auswahl): DIN EN ISO 527: Kunststoffe, Bestimmung der Zugeigenschaften. – DIN EN 895: Zerstrende Prfung von Schweißverbindungen an metallischen Werkstoffen, Querzugversuch. – DIN EN 1561: Gießereiwesen – Gusseisen mit Lamellengraphit, Zugversuch. – DIN EN 1562: Temperguss, Zugversuch. – DIN EN 10 002: Zugversuch. – DIN 50 125: Zugproben. – DIN 52 188: Prfung von Holz, Zugversuch. – DIN 53 504: Prfung von Elastomeren, Zugversuch. 2.2.2 Druckversuch Bild 2 a, b. Festigkeits- und Verformungskennwerte im Zugversuch. a Mit ausgeprgter Streckgrenze; b mit Dehngrenze
Fmax ist die Spannung, die sich aus S0 der auf den Anfangsquerschnitt S0 bezogenen Hchstkraft ergibt.
Die Zugfestigkeit Rm ¼
Verformung. Die Bruchdehnung A ist die auf die Anfangsmesslnge L 0 bezogene bleibende Lngennderung nach dem Bruch der Probe: A¼
Lu L0 100% : L0
Die Bruchdehnung setzt sich aus Gleichmaßdehnung und Einschnrdehnung zusammen; sie hngt vom Werkstoff und der Lnge der Bezugsstrecke L 0 ab. Da die Einschnrdehnung bei einer Messlnge L 0 ¼ 5d0 im Vergleich zur Gleichmaßdehnung prozentual strker ins Gewicht fllt, sind die A5 Werte grßer als die A10 -Werte. Die Brucheinschnrung Z ergibt sich aus der Differenz zwischen Anfangsflche und Bruchflche, bezogen auf die Anfangsflche. Z¼
S0 Su 100% : S0
Die Brucheinschnrung stellt ein unmittelbares Vergleichsmaß fr das Kaltumformvermgen eines Werkstoffs dar. E-Modul. Nach dem Hookeschen Gesetz lßt sich der E-Modul im elastischen Bereich des Spannungs-Dehnungsschaubilds wie folgt bestimmen: E ¼ s=ee ¼ ðF=S0 Þ=ðDL=L 0 Þ: Bei Werkstoffen mit nichtlinearem Spannungs-Dehnungsverlauf (z. B. Eisen-Graphit-Werkstoffe) kann der Tangentenmodul als Steigungsmaß der s-e-Kurve im Punkt s=0 angege d s ben werden: E0 ¼ : de Sonderprfverfahren
Zweck. Er dient zur Ermittlung mechanischer Werkstoffeigenschaften unter homogenen, einachsigen Druckspannungen und wird an metallischen und mineralischen Werkstoffen, Beton und sonstigen Baustoffen angewandt. Weiterhin kann der Druckversuch zur Bestimmung der Fließkurve duktiler Werkstoffe herangezogen werden. Probengeometrie. Die Prfung wird an runden oder prismatischen Krpern zwischen zwei planparallelen Platten durchgefhrt. Im Normalfall ist die Probenlnge gleich der Probendicke. Bei der Anwendung der Feindehnungsmessung ist eine grßere Probenlnge erforderlich, jedoch nicht grßer als die 2,5- bis 3fache Probendicke (Knickgefahr). Kennwerte Sprde Werkstoffe. Die Druckfestigkeit ist die auf den Anfangsquerschnitt bezogene Hchstlast, bei der der Bruch eintritt: sdB ¼ FB =S0 : Bei geometrisch hnlichen Proben ist deren Druckfestigkeit vergleichbar. Bei gleichem Prfdurchmesser nimmt die Druckfestigkeit mit der Probenhhe ab infolge unterschiedlicher Sttzwirkung der „Druckkegel“. Duktile Werkstoffe. Der Beginn des plastischen Fließens wird durch die Quetschgrenze sdF charakterisiert, deren Wert der Fließgrenze des Zugversuchs entspricht. Infolge Reibung an den Krafteinleitungsflchen entsteht in der Mitte der Proben eine Ausbauchung. Totaler Probenbruch tritt nicht ein, es entstehen lediglich Trennrisse infolge Querzugspannungen (Bild 3). Sonderprfverfahren. Zur Bestimmung der Fließspannung kf (frhere Bezeichnung: Formnderungsfestigkeit) wird der Zylinder-Stauchversuch angewandt. Um eine einachsige Druckformnderung sicherzustellen, muss die Reibung klein gehalten werden. Die kf -Werte ermglichen die Berechnung des ideellen Kraft- und Arbeitsbedarfs bei Warm- und Kaltumformvorgngen. Normen: DIN 1048: Prfverfahren fr Beton. – DIN EN 1926: Prfverfahren von Naturstein, Bestimmung der Druckfestigkeit. – DIN 50 106: Prfung metallischer Werkstoffe, Druckversuch. – DIN 52 185: Prfung von Holz, Bestimmung
Warmzugversuch. Er dient zur Ermittlung mechanischer Werkstoffeigenschaften bei erhhten Temperaturen. Bestimmt werden Warmdehngrenze, Warmzugfestigkeit, Bruchdehnung und Brucheinschnrung. Warmdehngrenze und Warmzugfestigkeit hngen außer von der Temperatur auch von der Versuchszeit ab. Zur Reproduzierbarkeit der Kennwerte ist es erforderlich, Grenzwerte fr die Spannungszunahme- und Dehngeschwindigkeit einzuhalten. Schlagversuch. Er dient zur Ermittlung der Sprdbruchanflligkeit glatter oder gekerbter Zugproben bei Schlaggeschwindigkeiten zwischen 5 und 15 m/s, in Ausnahmefllen bis zu 100 m/s (Hochgeschwindigkeitsumformung). Zur Ermittlung der Schlagzhigkeit wird die Brucheinschnrung der Probe bestimmt. Die Bestimmung der Schlagzugfestigkeit oder Schlagdehngrenze setzt eine dynamische Kraft- und Verformungsmessung voraus.
Bild 3. Spannungs-Dehnungs-Schaubild eines duktilen Stahls und eines Eisen-Graphit-Werkstoffs im Druckversuch
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E 26
Werkstofftechnik – 2 Werkstoffprfung
der Druckfestigkeit parallel zur Faser. – DIN 51 223: Druckprfmaschinen. 2.2.3 Biegeversuch
E
Zweck. Er dient zur Ermittlung mechanischer Werkstoffeigenschaften an Stahl, Gusswerkstoffen, Holz, Beton und Bauelementen unter inhomogenen, einachsigen Biegespannungen. Bei duktilen Werkstoffen wird er zur Bestimmung der Biege-Fließgrenze und des grßtmglichen Biegewinkels, bei sprden Werkstoffen zur Bestimmung der Biegefestigkeit angewendet. Probengeometrie. Die Prfung wird an Probenkrpern oder Bauteilen durchgefhrt. Die Probe wird an beiden Enden gelagert und durch eine Einzelkraft in der Mitte belastet. Kennwerte Sprde Werkstoffe. Die Biegefestigkeit sbB kann aus dem grßten Biegemoment Mb max und dem Widerstandsmoment des Probenkrpers berechnet werden. Sie wird vorzugsweise an Werkzeugsthlen, Schnellarbeitssthlen, Hartmetallen und oxidkeramischen Stoffen als Werkstoffkennwert ermittelt. Die Biegefestigkeit von Eisen-Graphit-Werkstoffen mit nichtlinearer Spannungs-Dehnungs-Charakteristik wird nach der gleichen Beziehung berechnet, wobei je nach Probenquerschnitt die Biegefestigkeit grßer ist als die Zugfestigkeit. Duktile Werkstoffe. Der Beginn des plastischen Fließens wird durch die Biegefließgrenze sbF bestimmt (Bild 4).
Bild 4. Spannungs-Dehnungs-Schaubild eines sprden und duktilen Stahls im Biegeversuch
Sonderprfverfahren. Kerbschlag-Biegeversuch, s. E 2.2.5. Technologische Prfungen, s. E 2.2.9. Normen (Auswahl): DIN 1048: Prfverfahren fr Beton. – DIN 52 186: Prfung von Holz, Biegeversuch. – DIN EN ISO 178: Kunststoffe, Bestimmung der Biegeeigenschaften. – DIN 51 230: Dynstat-Gert zur Bestimmung von Biegefestigkeit und Schlagzhigkeit an kleinen Proben. 2.2.4 Hrteprfverfahren Zweck. Sie knnen unter Bercksichtigung einiger Einschrnkungen als zerstrungsfreie Prfverfahren bezeichnet werden. Die verfahrensabhngigen Hrtewerte stellen ein direktes Vergleichsmaß fr den abrasiven Verschleißwiderstand eines Werkstoffs dar. Bei einzelnen Verfahren bestehen angenherte Beziehungen zwischen den Hrtewerten und der Zugfestigkeit. Darber hinaus sind die Makro- und Mikrohrteprfverfahren zur tendenziellen Bewertung der Zhigkeitseigenschaften in kleinen Volumenbereichen geeignet. Verfahrensarten. Die statischen Hrteprfverfahren knnen als Eindringverfahren bezeichnet werden, bei denen der Eindringwiderstand definierter Krper (Kugel, Pyramide, Kegel) in eine Werkstoffoberflche bestimmt wird. Je nach Prfverfahren wird der Eindringwiderstand entweder als Verhltnis der Prfkraft zur Oberflche des Eindrucks (Brinellhrte, Vickershrte) oder als bleibende Eindringtiefe eines Eindringkrpers bestimmt (Rockwellhrte).
Kennwerte Hrteprfung nach Brinell. Die Brinellhrte wird aus dem Quotienten von Prfkraft F in N und Oberflche des bleibenden Kugeleindrucks (Stahlkugel oder Hartmetallkugel) errechnet. Sie ergibt sich aus HBS oder HBW ¼
0,102 2 F 0,102 2 F pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ¼ A p D ðD D2 d 2 Þ
mit Kugeldurchmesser D und mittlerem Durchmesser des Eindrucks d mm. Das Kurzzeichen fr die Brinell-Hrte setzt sich zusammen aus dem Hrtewert HBS bei Verwendung einer Stahlkugel bzw. HBW bei Verwendung einer Hartmetallkugel, dem Kugeldurchmesser in mm, dem mit 0,102 multiplizierten Zahlenwert der Prfkraft F in N und der Einwirkdauer der Prfkraft in s, falls diese von der vorgegebenen Dauer abweicht. Beispiel: 350 HBS 5/750/30 (ohne Dimensionsangabe) = Brinellhrte 350, bestimmt mit einer Stahlkugel von 5 mm Durchmesser, einer Prfkraft von 7,355 kN und einer Einwirkzeit von 30 s. Die Brinellhrteprfung kann nur fr weichere Werkstoffe bis 450 HB angewendet werden. Hrteprfung nach Vickers. Die Vickershrte wird aus dem Quotienten von Prfkraft F in N und Oberflche des bleibenden Pyramideneindrucks errechnet. Sie ergibt sich aus: HV ¼ 0,102 F=A ¼ 0,190 F=d2 mit Diagonalenlnge des Eindrucks d. Gebruchliche Lasten sind 98 und 294 N. Infolge der geometrischen hnlichkeit der Eindrcke ist das Vickersverfahren oberhalb 100 N lastunabhngig. Das Kurzzeichen der Vickershrte setzt sich zusammen aus dem Hrtewert HV, dem mit 0,102 multiplizierten Zahlenwert der Prfkraft F in N und der Einwirkzeit der Prfkraft, z. B. 640 HV 30/10. Die Anwendung von Prflasten zwischen 2 und 50 N (Kleinlastbereich) ermglicht die Hrtemessung an dnnen Schichten; durch Prflasten unter 2 N ist die Hrtemessung an einzelnen Gefgebestandteilen mglich (Mikrohrteprfung). Hrteprfung nach Rockwell. Bei diesem Verfahren wird der Eindringkrper (Diamantkegel oder Stahlkugel) in zwei Laststufen in die Probe gedrckt und die bleibende Eindringtiefe h gemessen. Die Rockwellhrte ergibt sich aus der Differenz zwischen einem Festwert N und der Eindringtiefe h, bezogen auf eine Hrteeinheit S. Sie ergibt sich aus Rockwellhrte ¼ N h=S: Die Werte fr N (100 oder 130) und S (0,001 oder 0,002) sind fr verschiedene Rockwell-Prfverfahren festgelegt. Die Verfahren unterscheiden sich in der Art des Eindringkrpers, der Prfkraft und in ihrem Anwendungsbereich. Die beiden wichtigsten sind das Rockwell-B-Verfahren (Eindringkrper Stahlkugel; HRB ¼ 130 h=0; 002Þ und das Rockwell-C-Verfahren (Eindringkrper Diamantkegel; HRC ¼ 100 h=0; 002Þ. Beispiel: 60 HRC = Rockwellhrte 60, gemessen in der Skala C (Diamantkegel, 1,471 kN Prfgesamtkraft, Anwendungsbereich 20 bis 70 HRC).
Eine direkte Umrechnungsmglichkeit der Rockwellhrte in Vickershrte oder Brinellhrte besteht nicht. Durch Hrtevergleichstabellen knnen die einzelnen Hrtewerte nach allen drei Prfverfahren angegeben werden. Sonderprfverfahren Dynamische Hrteprfverfahren (Fallhrteprfung, Rcksprunghrteprfung). – Hrteprfung bei hheren Temperaturen (Warmhrteprfung).
I2.2 Normen (Auswahl): DIN EN ISO 6506: Metallische Werkstoffe, Hrteprfung nach Brinell. – DIN EN ISO 6507: Metallische Werkstoffe, Hrteprfung nach Vickers. – DIN EN ISO 6508: Metallische Werkstoffe, Hrteprfung nach Rockwell. 2.2.5 Kerbschlagbiegeversuch Zweck. Er dient zur Beurteilung der Zhigkeitseigenschaften metallischer Werkstoffe unter besonderen Prfbedingungen. Durch hohe Beanspruchungsgeschwindigkeit und mehrachsige Zugspannungszustnde kann der bergang vom Zhbruch zum Sprdbruch bei bestimmten Temperaturen ermittelt werden, wobei die Hhe der Kerbschlagarbeit und die Lage der bergangstemperatur als Vergleichsmaß fr die Werkstoffzhigkeit gelten. Durch den instrumentierten Kerbschlagbiegeversuch, bei dem ein zur Schlagkraftmessung mit Dehnungsmessstreifen versehenes Pendelschlagwerk benutzt wird, kann der Aussagegehalt der Prfung erhht werden. Whrend des Schlagvorganges wird die Kraft an der Schlagfinne ber der Zeit oder ber den Pendelweg aufgezeichnet. Dadurch kann nicht nur die fr die Rissbildung ntige Energie bestimmt, sondern auch weitere Bruchkriterien (Bruchkraft, Bruchverformung, Brucharbeit, Rissstoppverhalten) ermittelt werden. Probengeometrie. Die Kennwerte werden berwiegend an Proben mit quadratischem Prfquerschnitt (10 10 55) ermittelt, die auf der Zugseite Kerben mit definierter U- oder V-Geometrie aufweisen. Das hnlichkeitsprinzip gilt nicht; daher ist bei allen Kerbschlagversuchen die Angabe der Probengeometrie unbedingt erforderlich.
Prfverfahren
E 27
Der bergang vom zhen zum sprden Verhalten in der Tieflage (100% Sprdbruch) wird durch bergangstemperaturen gekennzeichnet (z. B. bei 50% Zhbruchanteil = FATT (Fracture Appearance Transition Temperature), T27 J = Temperatur bei KV ¼ 27 J). Beim Vergleich von Sthlen mit verschiedenen bergangstemperaturen erweist sich der Werkstoff mit der hchsten bergangstemperatur als der sprdbruchgefhrdetste. Beim instrumentierten Kerbschlagbiegeversuch ergibt sich die Schlagarbeit durch die Bestimmung der Flche unter der Kraft-Weg-Kurve. Aus dem Verlauf der Kraft-Weg-Kurve kann insbesondere eine Aussage ber das Rissstoppverhalten bei der entsprechenden Prftemperatur gewonnen werden. Instabiles Risswachstum zeigt sich durch einen pltzlichen Lastabfall. Ein Lastabfall auf Null bedeutet, dass der Riss nicht aufgefangen wird. Normen (Auswahl): DIN EN ISO 179: Kunststoffe – Bestimmung der Charpy-Schlageigenschaften. – DIN EN 875: Zerstrende Prfung von Schweißverbindungen an metallischen Werkstoffen, Kerbschlagbiegeversuch. – DIN EN 10 045: Kerbschlagbiegeversuch nach Charpy; Prfverfahren. – DIN 50 115: Kerbschlagbiegeversuch; Besondere Probenform und Auswerteverfahren. 2.2.6 Bruchmechanische Prfungen Zweck. Sie dienen zur Ermittlung bruchmechanischer Kennwerte, die bei quasistatischer Beanspruchung die Rissinitiierung (Beginn der Risserweiterung), stabile Risserweiterung und Bruch bei zyklischer Beanspruchung die Nichtausbreitungsfhigkeit und den stabilen Rissfortschritt von Makrorissen beschreiben. Die Kennwertermittlung erfolgt lediglich fr den Rissffnungsmode I.
Kennwerte. Beim Kerbschlagbiegeversuch wird in einem Pendelschlagwerk mit einer Schlaggeschwindigkeit von 5 m/s die zum Durchbruch oder Durchziehen der Proben durch die Widerlager verbrauchte Schlagarbeit KV ¼ G ðh1 h2 Þ in der Dimension (Nm) oder Joule (J) an die Probenform hinzugefgt, z. B. bei Verwendung einer V-Kerbe KVðÞ ¼ 80 J: Mit zunehmender Temperatur steigt bei Sthlen mit krz-Gitter die Kerbschlagarbeit an und die Grße des Zhbruchbereiches auf der Bruchflche der Probe nimmt zu; der kristalline Fleck im mittleren Bereich der Bruchflche nimmt ab. Bei 100% Zhbruch erreicht die Kerbschlagarbeit die Hochlage. Die Kerbschlagarbeit ist von vielen Einflussgrßen abhngig Bild 5 und kann insbesondere durch hhere Werkstoffreinheit (geringe Gehalte an S, P, Si, Al, Sn, Sb, As), gute Homogenitt (geringe Seigerungen) und besonderen Wrmebehandlungsverfahren (Feinkorn, feine Gefgestruktur) verbessert werden.
Statische Belastung. Ausgehend von einer spanend erzeugten Makrokerbe als Rissstarter an der Zugseite der Probe wird in Zug-Schwellversuchen zunchst ein Ermdungsanriss definierter Form und Lnge erzeugt. Die hierfr erforderlichen Prfkrfte sind festgelegt, um an der Rissspitze nur geringe plastische Wechselverformungen auszulsen (Kmax 0; 6 KQ ). Die Risslnge kann aus Nachgiebigkeits- oder Potentialmessungen bestimmt werden. Es werden Kraft-Rissaufweitungs-Kurven bei kontinuierlicher Belastung ermittelt, Bild 6, aus denen die Kennwerte bestimmt werden.
Bild 5. Kerbschlagarbeits-Temperatur-Verhalten und Einflussgrßen.
Bild 6. Biege- und Kompaktzugprobe sowie Kraft-RissaufweitungsDiagramm im Bruchmechanikversuch
Probengeometrie. Die Prfung erfolgt mit genormten Biegeproben (SE(B)), Kompaktzug(C(T))-Proben oder RundKompaktzug-(DC(T))-Proben, Bild 6. Versuchsfhrung und Kennwerte
E
E 28
Werkstofftechnik – 2 Werkstoffprfung
Fr die Ermittlung der Bruchzhigkeit KIc bei sprdem Werkstoffverhalten wird die Gltigkeit der linear elastischen Bruchmechanik (LEBM) gefordert. Die Bedingung des Kleinbereichsfließens ist nur erfllt, wenn bestimmte Abmessungen fr die Probendicke B und die Anfangsrisslnge a eingehalten werden: (KIc -Bruchzhigkeit in N=mm3=2 und Rp 0;2 in N=mm2 ) B; a 2,5
E
KIc Rp 0;2
2 :
Eine Abschtzung der Bruchzhigkeit vor dem Versuch ist daher zur Ermittlung der Probengrße notwendig. Bei zhem Werkstoffverhalten sind Rissinitiierung und stabile Risserweiterung voneinander abzugrenzen. Ein- oder Mehrprobenverfahren sind mglich. Bei der Einprobenmethode wird eine einzige Versuchsprobe verwendet. Die Rissverlngerung kann bei zunehmender Belastung mit der elektrischen Potentialmethode gemessen werden. Eine andere Mglichkeit ist das Teilentlastungsverfahren, bei dem whrend des Versuchs die Probe wiederholt teilentlastet (max. 0,1–0,2 F) und danach wieder belastet wird. Whrend des Ent- und Belastens wird aus der Steigung der Ent- bzw. Belastungsgeraden die Nachgiebigkeit (Compliance) der Probe und darber die Risslnge bestimmt. Beim Mehrprobenverfahren werden mehrere Proben mit nahezu identischer Anfangsrisslnge unterschiedlich hoch belastet. Dabei kommt es zu verschiedenen Risserweiterungen. Der Betrag der stabilen Risserweiterung Da kann nach Markieren der Rissfront und anschließendem Aufbrechen der Probe auf der Bruchflche ausgemessen werden. Die Rissinitiierung, d. h. der bergang von einem ruhenden zu einem wachsenden Riss, wird durch die werkstoffphysikalisch wahren Rissinitiierungswerte di und Ji charakterisiert. Sie werden aus der sich an der Rissspitze bildenden Stretchzonenbreite auf der Bruchflche rasterelektronenmikroskopisch bestimmt. Der Beginn stabiler Risserweiterung, d. h. Rissvergrßerung, wird durch die technischen Rissinitierungswerte d0:2 ; J0:2 ; d0:2 BL oder J0:2 BL beschrieben. Sowohl bei der Mehr- als auch der Einprobenmethode knnen die Werte fr J bzw. d fr eine bestimmte Risserweiterung Da ermittelt werden. Mit diesen Wertepaaren J Da bzw. d Da werden JR - bzw. dR -Risswiderstandskurven konstruiert. Die analytische Beschreibung kann mit dðoder JÞ ¼ A þ CðDaÞD erfolgen, wobei fr die Konstanten A; C 0 und 0 D 1 gilt. Andere Potenzanstze sind mglich. In die Auswertung der JR - bzw. dR -Kurven werden nur Punkte einbezogen, die in einem bestimmten Gltigkeitsbereich liegen. Versagen tritt nach Erreichen einer geometrie- und werkstoffabhngigen Maximallast oder nach stabilem Risswachstum bei vollstndigem Durchriss des Bauteils auf. Die Angabe eines Werkstoffkennwertes ist nicht mglich.
Dieser Wert kennzeichnet die Nichtausbreitungsfhigkeit von Rissen. Sonderprfverfahren. Mit Bruchmechanik-Proben knnen KISCC -Werte fr rissbehaftete Proben in Spannungsrisskorrosion auslsenden Medien ermittelt werden, bei denen unter dem Einfluss eines Elektrolyten stabiles Risswachstum einsetzt [3]. Die Ermittlung des Kriechrisswachstumsverhalten erfolgt i. Allg. ebenfalls mit diesen Bruchmechanikproben bei hohen Temperaturen. Die Rissverlngerung wird ber Potentialverfahren oder Kerbaufweitungsmessung ermittelt. Normen (Auswahl): ISO 12 135: Metallische Werkstoffe, Vereinheitlichtes Prfverfahren zur Bestimmung der quasistatischen Bruchzhigkeit. – ISO 12 737: Metallische Werkstoffe – Bestimmung der Bruchzhigkeit im Fall des ebenen Dehnungszustandes. – ASTM E 647: Standard Test Method for Measurement of Fatigue Crack Growth Rates. – ASTM E 1820: Standard Test Method for Measurement of Fracture Toughness. – ASTM E 1921: Standard Test Method for Determination of Reference Temperature To for Ferritic Steels in the Transition Range. 2.2.7 Chemische und physikalische Analysemethoden Zweck. Zur Identifizierung metallischer Werkstoffe wird deren Zusammensetzung qualitativ oder quantitativ mit chemischen und physikalischen Analysemethoden ermittelt. Bei der Analyse von metallischen sowie nichtmetallischen Legierungs- und Begleitelementen gewinnen Verfahren zur Bestimmung von Gasgehalten zunehmend an Bedeutung. Neben der Ermittlung des Legierungsaufbaus des Grundwerkstoffs ist zur Beurteilung von Korrosions- oder Verschleißvorgngen die Identifizierung von Oberflchenschichten, die durch Wechselwirkung mit der Atmosphre, korrosiven Medien oder Schmierstoffen gebildet worden sind, erforderlich. Probenentnahme. Die Probengrße fr chemische Analysen ist hinsichtlich der Menge so zu whlen, dass die Elemente entsprechend ihrer durchschnittlichen Konzentration enthalten sind. Je nach der Einwaage bzw. dem analytisch erfassten Probenvolumen spricht man von makro-, halbmikro- und mikroanalytischen Verfahren. Unter Spurenanalyse versteht man die Bestimmung sehr kleiner Gehalte ( rd. 2%) eine teilweise Graphitbildung erfolgt, der reale Werkstoffzustand also zwischen dem des stabilen und des metastabilen Systems liegt. Bei Temperaturen oberhalb der Liquiduslinie ACD des metastabilen Systems (Bild 1) liegt eine Eisen-Kohlenstofflsung in schmelzflssigem Zustand vor. Diese Lsung erstarrt nicht wie reine Metalle bei einer bestimmten Temperatur, sondern in einem Temperaturbereich, der zwischen der Liquiduslinie ACD und der Soliduslinie AECF liegt. Mit abnehmender Temperatur nimmt in diesem Bereich der Anteil der ausgeschiedenen Kristalle in der Schmelze zu, bis bei Erreichen der Soliduslinie die Schmelze vollstndig erstarrt ist. Feste Erstarrungspunkte treten nur in den Berhrungspunkten von Liquidus- und Soliduslinie (A und C) auf. In Punkt A (1 563 C) liegt der Schmelzpunkt des reinen Eisens (C = 0%), in Punkt C wird mit 1 147 C der niedrigste Schmelzpunkt des Systems Eisen-Kohlenstoff bei C = 4,3% erreicht. Das hier bei der Erstarrung entstehende Gefge ist ein Eutektikum, das mit Ledeburit bezeichnet wird. Im bereutektischen Bereich (C > 4.3%) scheiden sich aus der Schmelze reine Eisencarbidkristalle Fe3 C (Primrzementit), im untereutektischen Bereich (C < 4,3%) als feste Lsung g-Mischkristalle (Austenit: kubisch flchenzentrierte Eisenkristalle mit hohem Lsungsvermgen fr Kohlenstoff) aus. Ledeburit besteht aus einem geordneten Gemenge aus beiden Phasen. Im Zustandsfeld IESG liegt ein Gefge vor, das ausschließlich aus Austenit besteht. Bei einem C-Gehalt von 0,86% wandelt sich der Austenit bei Unterschreiten der Umwandlungstemperatur im Punkt S (723 C) in das Eutektoid Perlit um, das aus einem feinen Gemenge aus Ferrit (a-Mischkristalle) und Zementit besteht. Bei C > 0,86% (bereutektoide Sthle) scheidet sich entlang der Linie SE Sekundrzementit aus, bei C < 0,86% (untereutektoide Sthle) lngs der Linie GOS Ferrit. Das Lsungsvermgen des Ferrits fr Kohlenstoff ist sehr beschrnkt (0,02% bei 723 C, rd. 10 5 % bei Raumtemperatur), wie der schmale Bereich GPQ erkennen lsst. Die Linie GOSE wird als obere Umwandlungslinie bezeichnet, die auf ihr ablesbaren Umwandlungstemperaturen als A3 -Punkte. Bei Unter-
schreiten der unteren Umwandlungslinie PSK (A1 -Punkt) verfallen die restlichen g-Mischkristalle der Zweiphasengebiete unterhalb der Linien GOS und SE in Perlit, so dass untereutektoider Stahl bei Raumtemperatur nach langsamer Abkhlung aus Ferrit und Perlit, bereutektoider Stahl aus Perlit und Sekundrzementit besteht. Oberhalb des A2 -Punkts (769 C) verliert Stahl seine magnetischen Eigenschaften. Die Umwandlungspunkte A1 , A2 und A3 knnen bei Erwrmung oder Abkhlung je nach der Geschwindigkeit der Temperaturnderung zu hheren oder niedrigeren Temperaturen verschoben werden. Beim Erwrmen wird statt A die Bezeichnung Ac , bei Abkhlung die Bezeichnung Ar verwendet.
3.1.2 Stahlerzeugung Stahl-Erschmelzungsverfahren Weltweit werden heute zwei wesentliche Verfahrenslinien zur Stahlerzeugung eingesetzt: 1. Roheisenerzeugung durch Reduktion von Erz mit Kohlenstoff im Hochofen und Weiterverarbeitung zu Rohstahl im Sauerstoffblaskonverter. Das Roheisen enthlt zuviel Kohlenstoff und zu große Anteile von schdlichen Begleitelementen wie Schwefel, Phosphor und Silicium. Es wird in flssiger Form zum Konverter transportiert, wobei durch Zugabe von Calcium oder Magnesium der Schwefel gebunden wird. Auch die Gehalte an Phosphor und Silicium lassen sich bereits hier verringern. Im Sauerstoffblaskonverter wird Sauerstoff auf die Schmelze aufgeblasen, der den darin enthaltenen Kohlenstoff zu CO-Gas oxidiert, das aus der Schmelze entweicht und dabei eine Rhrwirkung erzeugt. Die Oxide der anderen Begleitelemente steigen in die Schlacke auf, die in flssiger Form die Schmelze bedeckt, und werden in dieser gelst. Zur intensiveren Bewegung der Schmelze (Steigung der Reaktionsgeschwindigkeit) wird Inertgas (Argon oder Stickstoff) am Boden des Konverters eingeblasen. Bei der Oxidation entsteht Wrme, die das Bad flssig hlt oder sogar erwrmt. Im letzteren Fall kann durch Zugabe von Schrott die Temperatur gehalten werden. Wird ein hherer Schrottzusatz aus wirtschaftlichen Grnden gewnscht, muss ggf. zustzlich beheizt werden. Der Einsatz rechnergesttzter Prozesskontrolle und moderner Analyseverfahren ermglicht die Herstellung sehr reinen Rohstahls in gleichbleibend hoher Qualitt. 2. Einschmelzen von Stahlschrott zu Rohstahl im ElektroLichtbogenofen. Im Hochleistungs-Lichtbogenofen knnen rd. 100 t/h Schrott eingeschmolzen werden. Leistungssteigernd wirken sich hier z. B. Rechnereinsatz zur Prozesssteuerung sowie zustzliches Einblasen von Sauerstoff, Brennstoffen und Gas durch den Boden (Verbesserung der Durchmischung) aus. Die wesentlichen Maßnahmen der Sekundrmetallurgie sind Vermeiden des Schlackenmitlaufens, Mischen und Homogenisieren in der gesplten Pfanne, Desoxidation, Legieren und Mikrolegieren im ppm-Bereich in der Pfanne, Aufheizen in Pfannenfen, Vakuumbehandlung und Gießstrahlabschirmung. Sonderverfahren Zur Verbesserung der Stahleigenschaften (insbesondere des Reinheitsgrads) werden zunehmend Vakuum- und Umschmelzverfahren eingesetzt. Vakuum-Vergießen. Durch dieses Verfahren wird ein erneuter Luftzutritt in den flssigen Stahl zwischen Gießpfanne und Kokille verhindert. Der Stahl wird unter Vakuum erschmolzen und abgegossen. Elektroschlackeumschmelzverfahren (ESU). Ein zuvor konventionell hergestellter Stahlblock wird als selbstverzehrende Elektrode in einem Schlackebad abgeschmolzen. Bei diesem Umschmelzen reagieren die entstehenden Stahltrpfchen intensiv mit der Schlacke.
I3.1
Eisenwerkstoffe
E 33
E
Bild 1. Metastabiles Zustandsschaubild Eisen-Kohlenstoff
Kernzonenumschmelzverfahren. Fr die Herstellung mglichst fehlerfreier Rohlinge fr große Schmiedestcke wird die Kernzone eines im Blockguss erzeugten Blocks durch Lochen entfernt und der hohle Block nach dem ESU-Verfahren umgeschmolzen. Vergießen des Stahls Das Vergießen kann auf zwei verschiedenen Wegen erfolgen (Urformtechnik): 1. Vergießen zu Vorformen (Blockguss oder Strangguss). Bereits 1987 wurden bei der Stahlerzeugung rd. 89% des Stahls als Strangguss hergestellt. Blockgießen wird im Wesentlichen nur noch zur Herstellung großer Schmiedestcke angewandt. 2. Vergießen zu fertigen Formstcken (s. S 2). Plastische Formgebung Man unterscheidet bei der Umformung von Metallen zwischen Warm-, Halbwarm- und Kaltumformung. Die Tempera-
turgrenze zwischen Kalt- und Warmumformung ist durch die Rekristallisationstemperatur gegeben und betrgt etwa die Hlfte der absoluten Schmelztemperatur (s. S 3.2). Tendenzen Verkrzung der Prozesskette bzw. Annherung der Strangquerschnitte an endabmessungsnahe Halbzeugprodukte. Anwendung von Gießmaschinen zur Anpassung an variable Querschnittsformen (z. B. Herstellung von Dnnbrammen, die in Kaltwalzgersten weiterverarbeitet werden knnen). Pulvermetallurgie Als Ausgangsbasis fr die Herstellung von Werkstoffen und Bauteilen dienen hier pulverfrmige Stoffe, die rein oder gemischt (mechanisches Legieren) verarbeitet werden. Zur Herstellung von Metallpulvern existiert eine weite Palette von Verfahren, die von Direktreduktion ber Wasserverdsung, Vakuum-Inertgaszerstubung bis zum Elektronenstrahlschmelzen mit Rotationszerstubung reicht. Nach dem Mi-
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Werkstofftechnik – 3 Eigenschaften und Verwendung der Werkstoffe
schen wird die Pulvermasse, der meist noch thermisch zersetzbares Gleitmittel zugesetzt wird, durch Pressen oder Spritzgießen geformt. Das Sintern der Formteile erfolgt dicht unterhalb der Schmelztemperatur (Festphasensintern) oder bei der Schmelztemperatur der niedrigstschmelzenden Komponente (Flssigphasensintern) und bewirkt ein Zusammenwachsen der Pulverteilchen im Sinne einer Reduktion der freien Oberflche. Falls erforderlich, knnen die Teile anschließend nochmals gepresst und gesintert werden (Zweifachsintern) oder in Form geschmiedet werden (Kalibrieren, Pulverschmieden). Eine besonders aufwendige Nachbehandlung stellt das Heiß-Isostatische Pressen (HIP, „hippen“) dar, bei dem die Teile in eine dicht anliegende, gasdichte Kapsel eingeschlossen und unter ußerem isostatischem Gasdruck zur weitgehenden Beseitigung der Mikroporositt nachgesintert werden. Die Anwendung der Pulvermetallurgie bietet Vorteile bei der – wirtschaftlichen Fertigung endkonturnaher oder einbaufertiger Bauteile hoher Formkomplexitt und kleinerer Abmessungen bei hohen Stckzahlen. – Erzeugung von Zusammensetzungen, die schmelzmetallurgisch nicht oder nur schwierig herstellbar sind (hochschmelzende Metalle, dispersionsgehrtete Werkstoffe), – Fertigung porser Bauteile (Filter, selbstschmierende Gleitlager), – Herstellung großer Teile mit hoher Homogenitt und Isotropie sowie geringen Gehalten an Verunreinigungen (Ausgangsmaterial fr große Schmiedeteile, z. B. Scheiben fr Gasturbinen). Festigkeits- und Zhigkeitseigenschaften pulvermetallurgisch erzeugter Werkstoffe knnen durchaus diejenigen konventioneller Guss- oder Knetwerkstoffe erreichen und bertreffen. 3.1.3 Wrmebehandlung Ziel einer Wrmebehandlung ist es, einem Werkstoff fr Anwendung oder Weiterverarbeitung erwnschte Eigenschaften zu verleihen. Dabei wird der Werkstoff bestimmten Temperatur-Zeit-Folgen und gegebenenfalls zustzlichen thermomechanischen oder thermochemischen Behandlungen ausgesetzt. Fr zahlreiche Sthle ist das temperaturabhngige Auftreten von a- und g-Mischkristallen (Ferrit und Austenit) (Bild 1) mit einem unterschiedlichen Lsungsvermgen fr Kohlenstoff die Grundlage fr ihre in weiten Grenzen vernderbaren Eigenschaften. Die Kinetik der Umwandlung des Austenits in andere Phasen geht aus dem isothermen Zeit-Temperatur-Umwandlungsschaubild (ZTU-Schaubild) hervor. Bild 2 zeigt am Beispiel des Stahls Ck 45 Beginn und Ende der Umwandlung nach rascher Abkhlung des Austenits auf eine bestimmte Temperatur bei anschließendem isothermem Halten. Oberhalb der MS Linie setzt die Umwandlung mit einer zeitlichen Verzgerung ein, die ein Minimum bei rd. 550 C aufweist. Letzteres beruht darauf, dass mit zunehmender Unterkhlung des Austenits einerseits dessen Umwandlungsbestreben wchst, andererseits die Abnahme der Diffusionsgeschwindigkeit die Platzwechselvorgnge der Atome bei der Neubildung des Kristallgitters behindert. Whrend bei Temperaturen oberhalb dieser „Nase“ die Fernit-Perlit-Umwandlung erfolgt, erhlt man im Bereich unterhalb der Nase das Gefge Bainit, das aus nadeligen Ferritkristallen mit eingelagerten Carbiden besteht. Bei rascher Unterkhlung auf Temperaturen unterhalb der MS -Linie erfolgt ohne zeitliche Verzgerung ein diffusionsloses Umklappen des Austenit-Gitters in das Gitter des Martensits, wobei der Anteil des gebildeten Martensits mit abnehmender Haltetemperatur ansteigt. Der Verlauf der Umwandlungslinie im ZTU-Schaubild wird durch die Hhe der Austenitisierungstemperatur und die chemische Zusammensetzung des Stahls bestimmt.
Bild 2. Isothermes Zeit-Temperatur-Umwandlungsschaubild fr den Stahl Ck 45. A Austenit, F Ferrit, P Perlit, B Bainit, M Martensit
Die fr isotherme Umwandlung erluterten Vorgnge spielen sich in hnlicher Weise auch bei kontinuierlicher Abkhlung von der Austenitisierungstemperatur ab, die bei zahlreichen technischen Wrmebehandlungsverfahren auftritt. Bei langsamer Abkhlung entsteht im Falle des Stahls Ck 45 ein ferritisch-perlitisches Gefge, wie aus dem Eisen-Kohlenstoff-Schaubild zu ersehen ist. Mit zunehmender Abkhlungsgeschwindigkeit wachsen die Anteile von Bainit und Martensit im Gefge bis bei berschreiten einer oberen kritischen Abkhlungsgeschwindigkeit nur noch Martensit gebildet wird.
Hrten Die Martensitbildung bewirkt eine erhebliche Hrtesteigerung des Stahls. Daher bezeichnet man die Wrmebehandlung, die in mehr oder weniger großen Bereichen des Querschnitts eines Werkstcks nach Austenitisieren und Abkhlen zur Martensitbildung fhrt, mit Hrten und die Temperatur, von der das Werkstck abgekhlt wird, als Hrtetemperatur. Die Hrtetemperatur liegt fr untereutektoide Sthle oberhalb der Linie GOS des Fe-C-Schaubilds im Gebiet reiner g-Mischkristalle, fr bereutektoide Sthle jedoch oberhalb der Linie SK im Bereich der g-Mischkristalle und des Sekundrzementits. Eine Auflsung des naturharten Sekundrzementits ist nicht notwendig, sofern er feinverteilt und nicht netzfrmig als Korngrenzenzementit vorliegt. Die hohe Hrte des Martensits beruht auf der gegenber dem g-Gitter geringen Lsungsfhigkeit des a-Gitters des Eisens fr Kohlenstoffatome. Die bei Hrtetemperatur gelsten C-Atome knnen bei schneller Abkhlung nicht aus dem sich umwandelnden g-Mischkristall ausdiffundieren und fhren, da sie zwangsgelst bleiben, zu einer Verspannung des entstehenden Martensitkristalls, die sich in hoher Hrte ußert. Die Verspannung wchst mit der Anzahl der zwangsgelsten C-Atome; daher nimmt die Aufhrtbarkeit eines Stahls mit dem C-Gehalt zu. Allerdings wird eine deutliche Hrtesteigerung nur erreicht, wenn der C-Gehalt mindestens 0,3% betrgt. Um auch im Inneren eines Werkstcks eine zur Martensitbildung ausreichende hohe Abkhlungsgeschwindigkeit zu erhalten, muss eine mglichst schnelle Wrmeabfuhr erfolgen. Dies wird durch Abschreckmittel wie l, Wasser, Eiswasser oder Salzlsungen erreicht, doch ist oberhalb bestimmter Querschnitte keine Durchhrtung mehr mglich. Gegenber unlegierten Sthlen ist bei legierten Sthlen die kritische Abkhlungsgeschwindigkeit infolge der Behinderung der Kohlenstoffdiffusion durch die im Mischkristall eingelagerten Atome der Legierungselemente vermindert. Daher sind bei legierten Sthlen grßere Querschnitte durchhrtbar oder mildere Abschreckmittel verwendbar, z. B. Luft statt l oder l statt Wasser. Hohe Temperaturunterschiede zwischen Kern und Rand eines Werkstcks fhren zu hohen Wrmeeigenspannungen, die zusammen mit den Umwandlungseigen-
I3.1 spannungen aufgrund der Volumenvergrßerung bei der Martensitbildung Verzug und Hrterisse bewirken knnen. Die Gefahr von Verzug und Hrterissen beim Abschrecken kann z. B. durch Warmbadhrten vermindert werden, wobei zunchst ein Temperaturausgleich im Werkstck bei Temperaturen knapp oberhalb der MS -Temperatur herbeigefhrt wird, bevor die Martensitbildung bei Abkhlung auf Raumtemperatur einsetzt. Die wichtigsten Legierungstelemente zur Erhhung der Durchhrtbarkeit von Sthlen sind Mn, Cr, Mo und Ni mit Gehalten von rd. 1 bis 3%. Die Prfung des Durchhrteverhaltens eines Werkstoffs kann mit dem Stirnabschreckversuch nach DIN 50 191 vorgenommen werden. Anlassen und Vergten Das beim Hrten entstehende Martensitgefge ist sehr sprde. Daher wird ein Werkstck in der Regel nach dem Hrten angelassen, d. h. auf Temperaturen zwischen Raumtemperatur und Ac1 erwrmt. Im unteren Anlasstemperaturbereich (bis rd. 300 C) wird durch Diffusion der Kohlenstoffatome die hohe Verspannung des Martensits gemildert; die Sprdigkeit wird verringert, ohne dass die Hrte sich wesentlich ndert. Es erfolgt die Ausscheidung des verglichen mit Zementit kohlenstoffreicheren e-Carbids; der im Hrtungsgefge noch verbliebene Restaustenit zerfllt. Bei Anlasstemperaturen ber 300 C nimmt die Zhigkeit (Bruchdehnung, Brucheinschnrung, Kerbschlagzhigkeit) sehr stark zu, whrend Festigkeit und Hrte abnehmen (Bild 3). Diese Vernderungen beruhen auf dem Zerfall des Martensits zu Ferrit und der Bildung von feinverteiltem Zementit aus dem bei niedrigerer Temperatur gebildeten e-Carbid. Im Bereich von Anlasstemperaturen zwischen 450 C und Ac1 erhlt man ein feinkrniges Gefge guter Zhigkeit und hoher Festigkeit, wie es fr Konstruktionsteile erwnscht ist. Den Vorgang des Hrtens und Anlassens in diesem Temperaturbereich nennt man Vergten. Die Vergtungsfestigkeit hngt entsprechend der Durchhrtbarkeit von der chemischen Zusammensetzung des Stahls und dem Querschnitt des Werkstcks ab. Legierte Sthle mit vor allem Mo, W und V als Legierungselemente zeigen bei Anlasstemperaturen zwischen rd. 450 und 600 C eine deutliche Hrte- und Festigkeitssteigerung infolge Aushrtung (Sekundrhrtung). Dabei bilden sich aus den nach dem Austenitisieren (Lsungsglhen) und raschen Abkhlen entstandenen bersttigten Mischkristallen infolge Entmischung fein verteilte Ausscheidungen (meist Sondercarbide oder intermetallische Phasen), die gleitblockierend wirken. Dieser Vorgang wird bei Werkzeugsthlen, warmfesten und martensitaushrtenden Sthlen zur Festigkeitsteigerung ausgenutzt.
Bild 3. Vergtungsschaubild fr den Werkstoff 42 CrMo 4
Eisenwerkstoffe
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Glhbehandlungen Unter Glhen versteht man eine Behandlung eines Werkstcks bei einer bestimmten Temperatur mit einer bestimmten Haltedauer und nachfolgendem Abkhlen, um bestimmte Werkstoffeigenschaften zu erreichen. Normalglhen. Es erfolgt bei einer Temperatur wenig oberhalb Ac3 (bei bereutektoiden Sthlen oberhalb Ac1 ) mit anschließendem Abkhlen in ruhender Atmosphre. Diese Glhbehandlung wird angewandt, um die grobkrnige Struktur in Stahlgussteilen und teilweise im Schweißnahtbereich (Widmannstttensches Gefge) zu beseitigen. Auch die Wirkung einer vorangegangenen Wrmebehandlung oder Kaltumformung wird durch Normalglhen aufgehoben. Wird die Austenitisierungstemperatur zu hoch gewhlt, tritt ein Wachstum der g-Mischkristalle ein, das auch nach der Umwandlung zu grobkrnigem Gefge fhrt (Feinkornbausthle neigen weniger zur Kornvergrberung). Ebenso verursacht eine zu langsame Abkhlung ein grobes Ferritkorn. Grobkornglhen. Bei spanender Bearbeitung weicher Sthle kann ein grobkrniges Gefge erwnscht sein, das einen kurzbrchigen Scherspan ergibt. Man erhlt dieses Gefge durch Glhen weit oberhalb Ac3 . Die durch Kornwachstum erhaltenen groben g-Mischkristalle wandeln sich bei langsamer Abkhlung in ein ebenfalls grobkrniges Ferrit-Perlit-Gefge um. Diffusionsglhen. Es dient zur Beseitigung von Seigerungszonen in Blcken und Strngen sowie innerhalb der Kristallite (Kristallseigerung). Die Glhbehandlung erfolgt dicht unter der Solidustemperatur mit langzeitigem Halten auf dieser Temperatur, um einen Konzentrationsausgleich durch Diffusion zu erreichen. Wird keine Warmumformung nach dem Diffusionsglhen vorgenommen, muß zur Beseitigung des groben Korns normalgeglht werden. Weichglhen. Um C-Sthle in ihrem Formnderungsvermgen zu verbessern, wird bei Temperaturen im Bereich um Ac1 weichgeglht. Bei diesen Temperaturen formen sich die im streifigen Perlit vorliegenden Zementitlamellen zu kugeliger Form um (sphroidisierendes Glhen). Danach wird langsam abgekhlt, um einen mglichst spannungsarmen Zustand zu erzielen. Die Einformung der Zementitlamellen und bei bereutektoiden Sthlen auch des Zementitnetzwerks wird erleichtert durch mehrmaliges kurzzeitiges berschreiten von Ac1 (Pendelglhen). Die kugelige Form des Zementits kann auch dadurch erreicht werden, dass austenitisiert und geregelt abgekhlt wird. Spannungsarmglhen. In Werkstcken knnen durch ungleichmßige Erwrmung oder Abkhlung, durch Gefgeumwandlung oder Kaltverformung Eigenspannungen auftreten, die sich den Lastspannungen berlagern. Zum Abbau dieser Eigenspannungen, z. B. nach dem Richten, Schweißen, oder zum Abbau von Eigenspannungen in Gussteilen wird ein Spannungsarmglhen durchgefhrt. Die Glhtemperatur liegt meist unter 650 C, bei vergteten Sthlen jedoch unterhalb der Anlaßtemperatur, um die Vergtungsfestigkeit des Werkstcks nicht herabzusetzen. Beim Glhen werden die inneren Spannungen im Werkstck durch plastische Verformung auf das Maß der Warmstreckgrenze reduziert. Rekristallisationsglhen. Das Ausmaß einer Kaltumformung wird begrenzt durch die Zunahme der Verfestigung und die Abnahme der Verformungsfhigkeit eines Werkstoffs mit dem Umformgrad. Durch Rekristallisationsglhen im Anschluss an eine Kaltumformung wird eine Neubildung des Gefges bei Temperaturen oberhalb der Rekristallisationstemperatur erreicht mit mechanischen Eigenschaften, wie sie etwa vor der Verformung vorlagen, so dass im Wechsel mit einem Rekristallisationsglhen beliebig viele Umformgnge
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vorgenommen werden knnen. Die Gefahr einer Grobkornbildung im rekristallisierten Gefge besteht bei niedrigen Verformungsgraden, vor allem bei Sthlen geringen C-Gehalts (< 0,2%), bei hoher Glhtemperatur und langer Glhdauer. Die Rekristallisationstemperatur der Sthle nimmt mit dem Umformgrad ab, da die im Gitter gespeicherte Umformenergie die Kornneubildung begnstigt. Das Rekristallisationsglhen wird angewendet bei kaltgewalzten Bndern und Feinblechen, kaltgezogenem Draht und Tiefziehteilen. Zum Schutz gegen Verzunderung glht man unter Luftabschluss in geschlosssenen Behltern (Blankglhen). Lsungsglhen. Es dient dem Lsen ausgeschiedener Bestandteile in Mischkristallen. Austenitische und ferritische Sthle, die keine g-a-Umwandlung erfahren, werden zur Erzielung eines homogenen Gefges bei rd. 950 bis 1 150 C lsungsgeglht und anschließend abgeschreckt, um die Bildung versprdender intermetallischer Phasen bei langsamer Abkhlung zu vermeiden. Bei umwandelnden Sthlen, die neben der Martensithrtung eine Ausscheidungshrtung erhalten (legierte Werkzeugsthle, warmfeste und martensitaushrtende Sthle), ist mit dem Austenitisieren gleichzeitig eine Lsungsglhen verbunden, das nach dem Abschrecken zu einer bersttigten Lsung fhrt, deren Entmischung durch die Bildung von Ausscheidungen whrend des Auslagerns erfolgt. Mit der Lsungsglhtemperatur und der Dauer des Lsungsglhens steigt die Menge der gelsten Bestandteile an. Damit wird die Ausscheidungsfhigkeit des Gefges beim Auslagern erhht, so dass auch die erreichbare Festigkeit ansteigt. Randschichthrten Fr viele Werkstcke, fr die eine harte und verschleißarme Oberflche notwendig ist, ist eine auf die Randschichten beschrnkte Hrtung ausreichend. Man unterscheidet bei den Randschichthrteverfahren Flammhrten, Induktionshrten und Laseroberflchenhrten. Flammhrten. Bei diesem Verfahren wird eine Werkstckoberflche mittels einer Gas-Sauerstoff-Flamme auf Austenitisierungstemperatur erwrmt und anschließend mit Wasser abgeschreckt (Wasserbrause), bevor die Erwrmung in das Werkstckinnere vorgedrungen ist. Dabei tritt nur im austenitisierten Randbereich eine Martensithrtung auf. Die Tiefe der gehrteten Randschicht wird bestimmt von der Flammtemperatur, der Anwrmzeit und der Wrmeleitfhigkeit des Stahls. Induktionshrten. Bei diesem Verfahren wird die Randschicht in einer Hochfrequenzspule durch induzierte Strme erhitzt und nach Erreichen der Austenitisierungstemperatur mit einer Wasserbrause oder in einem Bad abgeschreckt. Mit zunehmender Frequenz wird infolge des Skin-Effekts die Tiefe der erwrmten Randschicht geringer, so dass Einhrtetiefen von nur wenigen Zehntel-Millimetern zu erreichen sind. Fr beide Hrteverfahren knnen Vergtungssthle mit 0,35 bis 0,55% C verwendet werden. Bei niedrigeren C-Gehalten ist die Aufhrtung zu gering, bei hheren C-Gehalten steigen Verzugs- und Hrterissgefahr, zumal hhere Austenitisierungstemperaturen zu whlen sind als bei normalem Hrten. Nach dem Randschichthrten wird i. Allg. bei 150 bis 180 C angelassen. Laseroberflchenhrten. Durch kontinuierlich strahlende CO2 -Laser knnen einzelne Funktionsflchen von Bauteilen einer gezielten Randschichthrtung unterzogen werden. Das Laserhrten gehrt zur Gruppe der Kurzzeithrteverfahren. Das Hrten erfolgt durch Selbstabschreckung und kann auf dnne Randschichten beschrnkt werden. Bei richtiger Wahl der Bestrahlungsparameter ist neben einer Oberflchenhrtung auch eine Dauerfestigkeitssteigerung mglich [1]. Wie
beim Induktionshrten knnen fr dieses Verfahren Vergtungssthle mit 0,35 bis 0,55% C oder Werkzeugsthle verwendet werden. Thermochemische Behandlungen Thermochemische Behandlungen sind Wrmebehandlungen, bei denen die chemische Zusammensetzung eines Werkstoffs durch Ein- oder Ausdiffundieren eines oder mehrerer Elemente absichtlich gendert wird. Meist sollen der Randschicht eines Werkstcks bestimmte Eigenschaften wie Zunderbestndigkeit, Korrosionsbestndigkeit oder erhhter Verschleißwiderstand verliehen werden. Da hierbei die Werkstcke lngerzeitig einer hohen Temperatur ausgesetzt sind, ist auf die Vernderung der Kerneigenschaften zu achten. Gegenber galvanischen Oberflchenbehandlungsverfahren besteht der Vorteil der Diffusionsverfahren in einer gleichmßigen Schichtdichte ber die Werkstckoberflche, auch an Kanten, in Rillen und Bohrungen. Einsatzhrten. Eine hohe Randschichthrte bei Teilen aus Sthlen mit C-Gehalten von rd. 0,1 bis 0,25 % kann durch Hrten nach den thermochemischen Behandlungen Aufkohlen oder Carbonitrieren erreicht werden. Beim Aufkohlen wird die Randschicht des Werkstcks durch Glhen bei 850 bis 950 C (oberhalb der GOS-Linie) in kohlenstoffabgebenden Mitteln mit Kohlenstoff angereichert. Nach Art des Aufkohlungsmittels wird zwischen Pulver-, Gas-, Salzbad- und Pastenaufkohlung unterschieden. Der C-Gehalt der Randschicht nach dem Aufkohlen soll nicht hher sein als rd. 0,8 bis 0,9%, um eine zu starke Zementitbildung zu vermeiden, die die Eigenschaften der Randschicht verschlechtern kann. Nach dem Aufkohlen ist die Randschicht eines Werkstcks hrtbar. Wegen des hheren C-Gehalts besitzt das Gefge der Randschicht eine niedrigere Umwandlungstemperatur als das des Kerns. Stellt man die Hrtetemperatur auf den C-Gehalt der Randschicht ein, wandelt der Kern nicht vollstndig um, so dass bei Sthlen, die zum Kornwachstum neigen, ein infolge der langen Aufkohlungsdauer grobkrniges Gefge im Kern zurckbleibt (Einfachhrtung). Eine Kernrckfeinung wird bei der Doppelhrtung erreicht. Hierbei wird zunchst von einer dem C-Gehalt des Kerns entsprechenden hohen Temperatur abgekhlt, wobei eine Umkristallisation des Kerns erfolgt; anschließend wird die Randschicht gehrtet. Damit erhlt man eine hohe Oberflchenhrte bei gleichzeitig hchster Zhigkeit des Kerns. Durch das mehrmalige Erwrmen und Abkhlen wird allerdings die Gefahr des Verzugs des Werkstcks vergrßert. Ihr kann durch Abschrecken im Warmbad begegnet werden. Das Hrten der aufgekohlten Randschicht kann auch unmittelbar von Aufkohlungstemperatur erfolgen (Direkthrten), wobei gegebenenfalls das Werkstck zuvor auf eine dem C-Gehalt der Randschicht entsprechende Hrtetemperatur abgekhlt wird. Dieses Verfahren wird vorzugsweise bei Massenteilen oder bei Sthlen mit geringer Neigung zum Kornwachstum (Feinkornsthlen) angewendet. Hherlegierte Einsatzsthle, wie z. B. der Werkstoff 20 NiCrMo 6 3 wurden speziell fr die Direkthrtung entwickelt, um verbesserte Festigkeits- und Zhigkeitseigenschaften zu erzielen. Beim Carbonitrieren wird die Randschicht eines Werkstcks gleichzeitig mit Kohlenstoff und Stickstoff angereichert. Diese Behandlung erfolgt z. B. in speziellen Cyansalzbdern bei 800 bis 830 C. Nach dem Carbonitrieren erfolgt meistens ein Abschrecken, um die durch Nitridbildung erreichte Hrte durch eine Martensitumwandlung weiter zu erhhen. Nach dem Einsatzhrten wird bei Temperaturen von 150 bis 250 C angelassen.
Nitrieren. Es erfolgt eine Diffusionssttigung der Randschicht eines Werkstcks mit Stickstoff, um Hrte, Verschleißwiderstand, Dauerfestigkeit oder Korrosionsbestndigkeit zu erhhen. Im Vergleich zum Einsatzhrten ist mit der
I3.1 Nitrierung bei Anwesenheit sondernitridbildender Elemente eine hhere Randhrte erzielbar; der Hrteabfall ins Innere des Werkstcks ist wegen der geringen Diffusionstiefe jedoch steiler. Die Randschicht besteht nach dem Nitrieren aus einer ußeren Nitridschicht (Verbindungsschicht) und einer anschließenden Schicht aus stickstoffangereicherten Mischkristallen und ausgeschiedenen Nitriden (Diffusionsschicht). Man unterscheidet zwischen Gasnitrieren im Ammoniakgasstrom bei 500 bis 550 C, Salzbadnitrieren in Cyansalzbdern bei 520 bis 580 C und Plasmanitrieren bei 450 bis 550 C. Das Gasnitrieren erfordert lange Nitrierzeiten (z. B. 100 h fr eine Nitriertiefe von rd. 0,6 mm). Durch zustzliche Maßnahmen wie Sauerstoffzugabe oder Ionisation des Stickstoffs durch Glimmentladung (Plasmanitrieren) knnen die Nitrierzeiten verkrzt werden. Eine weitere Verkrzung der Nitrierzeiten wird durch Salzbadnitrieren erreicht, doch fhren die verwendeten Cyansalzbder immer auch zu einer Aufkohlung der Randschicht, die aber bei den hier verwendeten niedrigen Badtemperaturen gering ist. Die niedrigen Badtemperaturen und die langsame Abkhlung (kein Abschrecken) fhren zu sehr geringem Verzug der Werkstcke (Meßwerkzeuge). Beim Nitrocarburieren enthlt das Behandlungsmittel außer Stickstoff auch kohlenstoffabgebende Bestandteile. Es kann im Pulver, Salzbad, Gas oder Plasma nitrocarburiert werden. Die Gasnitrocarburierverfahren, die mit dem Sammelbegriff Kurzzeitgasnitrieren bezeichnet werden, bentigen gegenber dem blichen Gasnitrieren erheblich krzere Behandlungsdauern. Diese liegen bei Prozesstemperaturen von 570 bis 590 C in der Grßenordnung des Salzbadnitrierens. Legierungselemente, die eine besonders hohe Affinitt zu Stickstoff aufweisen, wie Chrom, Molybdn, Aluminium, Titan oder Vanadin ergeben besonders harte Randschichten mit hohem Verschleißwiderstand gegen Gleitreibung (Nitriersthle). Bei vergteten Sthlen niedriger Anlassbestndigkeit ist darauf zu achen, dass die langzeitige Nitrierbehandlung keine Festigkeitsabnahme im Kern verursacht. Durch Legierungselemente wie Chrom und Molybdn wird die Anlassbestndigkeit erhht, so dass mit niedriglegierten CrMo-Sthlen neben hoher Randschichthrte auch hohe Kernfestigkeit erzielt werden kann.
Aluminieren. Hierunter wird allgemein die Herstellung von Al-berzgen verstanden. Unter den Diffusionsverfahren haben sich das Kalorisieren und das Alitieren bewhrt. Beim Kalorisieren werden die Werkstcke (meist kleinere Teile) in einer rotierenden Reaktionstrommel bei 450 C in Al-Pulver mit bestimmten Zustzen geglht. Danach erfolgt ein kurzzeitiges Glhen bei 700 bis 800 C außerhalb der Trommel zur Verstrkung der Diffusion. Es entsteht eine sprde, festhaftende Fe-Al-Legierungsschicht (Al > 10%) unter einer harten Schicht von Al2 O3 , die eine gute Zunderbestndigkeit aufweist.
Eine weniger sprde Schutzschicht mit besserer Verformbarkeit bei gleicher Zunderbestndigkeit wird durch das Alitieren erzeugt. Hierbei wird die Glhung in einem Pulver aus einer Fe-Al-Legierung bei 800 bis 1 200 C vorgenommen. Beide Verfahren sind auch bei anderen metallischen Werkstoffen als Stahl anwendbar, z. B. Kalorisieren bei Kupfer und Messing. Alitieren bei Nickellegierungen fr Gasturbinenschaufeln. Silicieren. Eine zwar sprde, aber sehr zunderbestndige Oberflche wird bei kohlenstoffarmem Stahl durch Behandlung mit heißem SiCl4 -Dampf erzielt. Der Si-Gehalt der Schicht betrgt bis zu 20%. Sherardisieren. Dieses Verfahren wird hnlich dem Kalorisieren durchgefhrt. Nach dem Beizen oder Sandstrahlen werden die Werkstcke bei 370 bis 400 C in mit bestimmten Zustzen versehenem Zinkstaub geglht. Neben erhhtem Korrosionsschutz wird ein guter Haftgrund fr Anstriche erreicht. Borieren. Durch Borieren werden harte und verschleißarme Randschichten erzeugt. Es kann in Pulver (950 bis 1 050 C), Gas und Salzbdern (550 C) boriert werden.
Eisenwerkstoffe
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Chromieren (Inchromieren). Das Verfahren wird bei rd. 1 000 bis 1 200 C mit chromabgebenden Stoffen in der Gasphase oder in der Schmelze durchgefhrt. Die Randschicht des Werkstcks reichert sich dabei bis auf 35% Cr an. Sie wird damit zunderbestndig bis zu Temperaturen ber 800 C. Wegen der Korrosionsbestndigkeit der Schicht kann mit dieser Behandlung der Einsatz korrosionsbestndigen Vollmaterials umgangen werden. Sonderverfahren der Wrmebehandlung Isothermisches Umwandeln in der Bainitstufe. Bei diesem frher als Zwischenstufenvergten bezeichneten Verfahren wird ein Werkstck nach dem Austenitisieren rasch auf eine Temperatur abgekhlt, bei der sich whrend des Haltens auf dieser Temperatur die Bainitumwandlung vollzieht. Die fr einen bestimmten Werkstoff geeignete Temperatur ist aus dem isothermen ZTU-Schaubild zu ersehen. Beste Festigkeits- und Zhigkeitseigenschaften ergeben sich bei Umwandlung im unteren Temperaturbereich der Bainitstufe. Neben den guten mechanischen Eigenschaften bietet das Verfahren wirtschaftliche Vorteile gegenber dem Vergten, da ein zweimaliges Aufheizen entfllt. Vor allem Kleinteile aus Bausthlen werden nach diesem Verfahren behandelt. Patentieren. Hierunter versteht man eine Wrmebehandlung von Draht und Band, bei der nach dem Austenitisieren schnell auf eine Temperatur oberhalb MS abgekhlt wird, um ein fr das nachfolgende Kaltumformen gnstiges Gefge zu erzielen. blicherweise wird bei der Drahtherstellung im Warmbad abgekhlt bei Temperaturen, die zu einem dichtstreifigen Perlit fhren, da dieses Gefge sich besonders zum Ziehen eignet. Martensitaushrtung. In kohlenstoffarmen Fe-Ni-Legierungen mit mehr als 6 bis 7% Nickel erfolgt die Umwandlung des g-Mischkristalls auch bei langsamer Abkhlung aus dem Austenitgebiet (820 bis 850 C) nicht mehr durch Diffusion in Ferrit, sondern durch diffusionslose Schiebung in Nickelmartensit, einem mit Nickel (statt Kohlenstoff) bersttigten, metastabilen Mischkristall. Legierungselemente wie Ti, Nb, Al und vor allem Mo fhren beim anschließenden Warmauslagern unterhalb der Reaustenitisierungstemperatur (450 bis 500 C) durch Ausscheiden feinverteilter intermetallischer Phasen und die Einstellung von gleitbehindernden Ordnungsphasen zu einer erheblichen Steigerung der Festigkeit bei gleichzeitig guter Zhigkeit. Thermomechanische Behandlungen Thermomechanische Behandlungen sind eine Verbindung von Umformvorgngen mit Wrmebehandlungen, um bestimmte Werkstoffeigenschaften zu erzielen. Austenitformhrten. Hierbei wird ein Stahl nach dem Abkhlen von Austenitisierungstemperatur vor oder whrend der Austenitumwandlung umgeformt. Damit knnen Festigkeitssteigerungen bei gleichzeitig verbesserter Zhigkeit infolge eines verfeinerten Bainit- und Martensitgefges erzielt werden. Temperaturgeregelte Warmumformung. Durch geregelte Temperaturfhrung in den letzten, mit ausreichendem Umformgrad vorgenommenen Schritten einer Warmumformung und beim anschließenden Abkhlen wird ein Gefge angestrebt, wie es beim Normalglhen entsteht. Warm-Kalt-Verfestigen. Eine Umformung bei erhhter Temperatur unterhalb der Rekristallisationsschwelle fhrt bei gegenber Raumtemperatur verminderten Umformkrften zur Festigkeitssteigerung. Dieses Verfahren eignet sich besonders fr austenitische Werkstoffe.
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3.1.4 Sthle in Zusammenarbeit mit W. Rohde, Krefeld Einteilung von Sthlen nach DIN EN 10 020
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DIN EN 10 020 definiert Sthle als Werkstoffe, deren Massenanteil an Eisen grßer ist als der jedes anderen Elements und deren Gehalt an Kohlenstoff i. Allg. kleiner ist als 2%. bersteigt der Kohlenstoffanteil diesen Grenzwert, spricht man von Gusseisen (s. E 3.1.5). Darber hinaus teilt DIN EN 10 020 die Sthle in unlegierte Sthle, legierte Sthle und nichtrostende Sthle ein. Die Grenze zwischen unlegierten und legierten Sthlen geht aus Anh. E 3 Tab. 1 hervor. Ein Stahl gilt als legiert, wenn der spezifizierte Mindestwert nur eines Elementes die angegebenen Grenzwerte berschreitet. Falls fr ein Element nur der zulssige Hchstwert spezifiziert ist, darf dieser das 1,3fache des Grenzwertes nach Anh. E 3 Tab. 1 betragen. Von dieser so genannten 70%-Regel ist Mangan ausgenommen. Die nichtrostenden Sthle werden als Sthle mit mindestens 10,5% Cr und hchstens 1,2% C definiert. Zu ihnen gehren nicht nur korrosionsbestndige, sondern auch hitzebestndige und warmfeste Stahlsorten. Sie sind im Grunde ein Sonderfall der legierten Sthle. Zustzlich unterscheidet DIN EN 10 020 bei den unlegierten und legierten Sthlen zwischen Qualitts- und Edelsthlen. Die Edelsthle zeichnen sich insbesondere durch geringere Anteile nichtmetallischer Einschlsse und meist auch durch engere Vorgaben fr die chemische Zusammensetzung aus. Sie sind deshalb geeignet, hhere Qualittsansprche zu erfllen. So z. B. sind Edelsthle zum Vergten und Oberflchenhrten besser geeignet als Qualittssthle, deren Eigenschaften strker streuen. DIN EN 10 020 hat erhebliche Bedeutung fr den Stahlhandel, insbesondere fr die Zollnomenklatur. Fr die technische Anwendung der Sthle ist die Bedeutung dieser Norm gering. Systematische Bezeichnung von Sthlen nach DIN EN 10 027 Sthle werden gemß DIN EN 10 027–1 entweder mit Kurznamen oder gemß DIN EN 10 027-2 mit Werkstoffnummern eindeutig gekennzeichnet. Kurzname und Werkstoffnummer sind austauschbar. Die Kurznamen bestehen aus Symbolen in Form von Buchstaben und Zahlen. Ausgangspunkt fr den systematischen Aufbau der Kurznamen ist die Einteilung der Stahlsorten in die 15 Gruppen gemß Anh. E 3 Tab. 2. Bei den Gruppen 1 bis 11 geben die Kurznamen Hinweise auf das Hauptanwendungsgebiet und auf die fr die Hauptanwendung wichtigste mechanische oder physikalische Eigenschaft. Bei den Gruppen 12 bis 15 kennzeichnen die Kurznamen die chemische Zusammensetzung. Jeder Gruppe sind ein oder zwei Buchstaben als Hauptsymbol zugeordnet. Dieses Symbol steht i. Allg. an der ersten Stelle des Kurznamens. Ausnahmen sind die Stahlgusssorten, die an erster Stelle den Buchstaben G fhren. Auch bei pulvermetallurgisch hergestellten Werkzeugsthlen der Gruppe 14 ist es zulssig, dem ersten Hauptsymbol X ein anderes Symbol, nmlich die Buchstabenkombination PM, voranzustellen. Auf das fr die Gruppe kennzeichnende erste Hauptsymbol folgen weitere Symbole, die Informationen ber wichtige Merkmale zur eindeutigen Beschreibung individueller Stahlsorten enthalten (s. Anh. E 3 Tab. 2.). Die Vielfalt der hierfr notwendigen Kennbuchstaben und -zahlen wird in DIN EN 10 027-1 festgelegt. Die verwendeten Zeichen knnen in jeder der 15 Gruppen eine andere Bedeutung haben. Der Schlssel zum richtigen Verstndnis eines Kurznamens liegt immer in dem Symbol an der ersten Stelle, gegebenenfalls hinter G oder PM.
Unterschiedliche Zustnde oder Ausfhrungsformen der gleichen Stahlsorte knnen, falls erforderlich, durch Anhngen von Zusatzsymbolen mit einem Pluszeichen an den Kurznamen bzw. an die Werkstoffnummer bezeichnet werden. Beispiele sind in DIN EN 10 027-1 enthalten Alternativ zum Kurznamen knnen die Werkstoffnummern nach DIN EN 10 027-2 verwendet werden. Im Allgemeinen bestehen die Werkstoffnummern aus fnf Ziffern mit einem Punkt zwischen der ersten und der zweiten Ziffer. Die erste Ziffer ist fr Sthle und Stahlguss immer eine 1, z. B. 1.1301 fr die Stahlsorte 19MnVS6 nach DIN EN 10 267. Ein vollstndiges Verzeichnis der fr Sthle und Stahlguss in deutschen und europischen Normen festgelegten Werkstoffnummern ist in der Stahl-Eisen-Liste enthalten. Legierungselemente Im Eisen lsliche Legierungselemente wirken sich auf die Grße des Austenit(g)-Gebiets im Eisen-Kohlenstoffschaubild aus. Dies ußert sich in Verschiebungen der Umwandlungstemperaturen. Dadurch ndert sich das Verhalten der Sthle bei der Abkhlung von der Warmumformtemperatur oder bei der Wrmebehandlung. Je nach Art und Menge des gelsten Legierungselementes knnen die Werte der kritischen Abkhlgeschwindigkeit sehr verschieden sein. Manche Legierungselemente haben zu den unvermeidbaren Begleitelementen des Eisens, z. B. Kohlenstoff, Stickstoff, Sauerstoff, Schwefel, eine hhere Affinitt als Eisen. Sie bilden bei unterschiedlichen Temperaturen mit den Begleitelementen Verbindungen, die in unterschiedlicher Menge, Form und Verteilung im Stahl auftreten knnen. Einige Legierungselemente knnen sowohl im Eisen gelst sein, wie auch stabile Verbindungen mit den Begleitelementen bilden. Die Vielfalt der mglichen Reaktionen, deren Ablauf bis zu einem gewissen Grad durch den Herstellungsprozess der Sthle gesteuert werden kann, erklrt den vielfltigen Einfluss der Legierungselemente auf die mechanischen und technologischen Eigenschaften der Sthle. Bei der nachfolgenden Erluterung einiger wichtiger Stahlgruppen werden auch die fr die jeweilige Stahlgruppe kennzeichnenden Wirkungen der Legierungselemente angesprochen. Walz- und Schmiedesthle Bausthle (s. Anh. E 3 Tab 4) Bausthle mssen schweißgeeignet sein und sind nicht fr eine Wrmehandlung bei der Weiterverarbeitung bestimmt. Am weitesten verbreitet sind unlegierte Bausthle, hufig als allgemeine Bausthle bezeichnet, mit Nennwerten der Streckgrenze bis 355 MPa, demnchst bis 450 MPa, fr den Stahlhochbau, Tiefbau, Brckenbau, Wasserbau, Behlterbau oder Fahrzeug- und Maschinenbau. Ihre chemische Zusammensetzung wird im Wesentlichen nur hinsichtlich der Gehalte an C, Si, Mn, P, S und N spezifiziert. Fr vollberuhigte Stahlsorten wird ein ausreichender Gehalt an Stickstoff abbindenden Elementen verlangt, z. B. mindestens 0,020% Al, wobei jedoch Al auch durch andere starke Nitridbildner wie Ti oder Nb ersetzt werden darf. Der bliche Richtwert ist ein Verhltnis Mindestwert des Al-Gehaltes zu Stickstoff von 2 :1, wenn keine anderen Nitridbildner vorhanden sind. Die Bewertung der Schweißeignung anhand der IIW-Formel (International Institute for Welding) fr das Kohlenstoffquivalent CEV ¼ C þ
Mn Cr þ Mo þ V Ni þ Cu þ þ in % 6 5 15
und die Festlegung von Hchstwerten des Kohlenstoffquivalents bedeuten eine wirksame Einschrnkung der zulssigen Gehalte an nicht ausdrcklich spezifizierten Begleitelementen. Niedrigere Werte des Kohlenstoffquivalents gelten als Merkmal besserer Schweißeignung. Kupfergehalte von 0,25 bis 0,40% sind gelegentlich zur Verbesserung der Wetter-
I3.1
Eisenwerkstoffe
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festigkeit erwnscht, knnen jedoch die Schweißeignung und die Warmumformbarkeit (Neigung zu Ltbruch) beeintrchtigen. Falls die unlegierten Bausthle zum Feuerverzinken geeignet sein sollen, ist eine Einschrnkung des Siliciumgehaltes erforderlich. Maßgebend fr die Auswahl der Stahlsorten sind in erster Linie die Mindestwerte der Streckgrenze und der Zugfestigkeit, in vielen Fllen aber auch die nach Gtegruppen gestaffelten Mindestwerte der Kerbschlagarbeit. Fr die unlegierten Bausthle sind Gtegruppen nach (Anh. E 3 Tab. 3) genormt. Regeln fr die Auswahl der Gtegruppe sind enthalten z. B. fr den Stahlbau in der Richtlinie des Deutschen Ausschusses fr Stahlbau DASt 009 oder fr den Tankbau in DIN EN 14 015. Falls bei geschweißten Bauteilen nennenswerte Beanspruchungen in Dickenrichtung erwartet werden, knnen als vorbeugende Maßnahme gegen das Auftreten von Kaltrissen so genannte Z-Gten verwendet werden, fr die Mindestwerte der Brucheinschnrung von Zugproben senkrecht zur Walzoberflche festgelegt sind. Hohe Werte der Brucheinschnrung solcher Proben knnen nur bei niedrigen Schwefelgehalten erreicht werden. Im Allgemeinen werden die Erzeugnisse aus unlegierten Bausthlen im Walzzustand oder im normalgeglhten Zustand oder im normalisierend gewalzten Zustand geliefert. Nur bei Erzeugnissen im normalgeglhten oder normalisierend gewalzten Zustand darf erwartet werden, dass die spezifizierten Mindestwerte der Festigkeit und Zhigkeit auch nach sachgemßem Warmumformen oder erneutem Normalglhen whrend der Weiterverarbeitung eingehalten werden. Normalisierend gewalzte Erzeugnisse zeichnen sich durch eine Oberflchenbeschaffenheit aus, die gleichmßiger ist als bei ofengeglhten Erzeugnissen und fr die Wirtschaftlichkeit der Weiterverarbeitung entscheidend sein kann.
nisch eingestellte Gefge kann jedoch bei Einwirkung hoher Temperaturen geschdigt werden und lsst sich durch eine Wrmebehandlung nicht wiederherstellen. Erzeugnisse im thermomechanisch gewalzten Zustand sind deshalb nicht fr eine Warmumformung vorgesehen und bedrfen auch bei vorsichtigem Flammrichten einer strengen Temperaturberwachung. Hochfeste schweißgeeignete Feinkornbausthle mit angehobenen Gehalten an Cr, Mo, Ni und V, werden im wasservergteten Zustand mit Mindestwerten der Streckgrenze bis rund 1000 MPa geliefert. Sie ermglichen u. a. die wirtschaftliche Ausfhrung von Stahlbauwerken und Fahrzeugen in Leichtbauweise. Ein bevorzugtes Anwendungsgebiet der Sorten mit besonders hohen Mindestwerten der Streckgrenze ist der Mobilkranbau. Zur Bewertung der Schweißeignung der hochfesten Feinkornbausthle anhand des Kohlenstoffquivalents liefert die CET-Formel
Hochfeste schweißgeeignete Feinkornbausthle erreichen Mindestwerte der Streckgrenze bis rund 1000 MPa. Sie erweitern die Anwendungsgebiete der unlegierten Bausthle zu hheren Beanspruchungen und zu tieferen Temperaturen. In den Lieferzustnden normalgeglht oder normalisierend gewalzt oder thermomechanisch gewalzt weisen die hochfesten schweißgeeigneten Feinkornbausthle standardmßig Mindestwerte der Streckgrenze im Bereich zwischen 275 und 460 MPa auf. In Abhngigkeit von der Gtegruppe eignen sie sich fr den Einsatz bei Temperaturen bis etwa –50 C. Sie unterscheiden sich von den unlegierten Bausthlen durch kleine Anteile von Nb, Ti oder V, die bei Temperaturen der Warmumformung fein verteilte, stabile Nitride und Carbonitride bilden. Im Verlauf der Abkhlung von Warmumformtemperatur fhren diese Ausscheidungen bei Unterschreitung der Umwandlungstemperatur zu einem besonders feinkrnigen Gefge. Die Feinkornbildung erlaubt, trotz Verringerung des Kohlenstoffgehaltes die Werte der Streckgrenze zu steigern und das Zhigkeitsverhalten zu verbessern, ohne die Schweißeignung zu beeintrchtigen. Kleine Anteile an Legierungselementen, z. B. Cr, Mo und Ni, tragen zur Erhhung der Streckgrenze bei. Der Ausdruck normalisierend gewalzt bedeutet, dass das Erzeugnis durch Warmumformung und anschließende kontrollierte Abkhlung in einen Zustand gebracht wurde, der hinsichtlich des Gefges und der mechanisch-technologischen Eigenschaften des Erzeugnisses dem Zustand eines im Ofen normalgeglhten Erzeugnisses gleichwertig ist. Thermomechanisches Walzen besteht darin, dass die durch Ausscheidungen verursachte Feinkornbildung durch geeignete Maßnahmen whrend der Umformung verstrkt wird, so dass ein Gefge mit noch kleineren Krnern entsteht. Dadurch wird es mglich, Sthle zu erzeugen, die bei gleicher Streckgrenze wie ein normalgeglhter Stahl weniger Kohlenstoff enthalten und deshalb hinsichtlich ihrer Schweißeignung noch gnstigere Eigenschaften aufweisen. Das thermomecha-
Die wetterfesten Bausthle enthalten blicherweise 0,2 bis 0,6% Cu und 0,35 bis 0,85% Cr. Zur Vermeidung von Ltbruch drfen bis zu 0,7% Ni zulegiert werden. Cu und Cr bilden unter atmosphrischer Korrosion Deckschichten, die den normalen Rostvorgang stark hemmen, so dass die Sthle u. U. auch ohne Schutzanstriche der Witterung ausgesetzt werden drfen. Versuche, aus der chemischen Zusammensetzung Kennzahlen fr die Witterungsbestndigkeit zu errechnen, sind von umstrittenem Wert, da klimatische Unterschiede, die Zusammensetzung der Luft, z. B. in Kstennhe oder in einer Industriegegend, und andere Einflussgrßen die Entstehung und Schutzwirkung der Deckschichten erheblich beeinflussen. Die wetterfesten Bausthle werden fr tragende Konstruktionen eingesetzt. Sie drfen nicht mit den im Bauwesen aus architektonischen Grnden oft verwendeten nichtrostenden Sthlen fr Verkleidungsbleche oder andere Bauteile mit untergeordneter mechanischer Beanspruchung verwechselt werden. Bei der Verarbeitung und Anwendung der wetterfesten Bausthle empfiehlt sich, die Richtlinie des Deutschen Ausschusses fr Stahlbau DASt 007 zu beachten. Die Bewehrungssthle fr den Stahlbeton-(Betonsthle) und Spannbetonbau (Spannsthle) zhlen nicht zu den Bausthlen im blichen Sinn, sind fr das Bauwesen aber ebenfalls unverzichtbar.
CET ¼ C þ
Mn þ Mo Cr þ Cu Ni þ þ in % 10 20 40
nach Stahl-Eisen-Werkstoffblatt 088 Vergleichszahlen, die den Einfluss der Legierungselemente zutreffender beschreiben als die IIW-Formel. Spezielle wasservergtete Feinkornbausthle mit Kohlenstoffgehalten bis 0,38% erreichen Hrtewerte bis 630 HB und werden fr Bauteile verwendet, bei denen es auf einen hohen Widerstand gegen Verschleiß ankommt, z. B. Muldenkipper, Steinbrechanlagen, Betonmischer. Bis zu einer Hrte von rund 500 HB sind auch diese Sthle kaltumformbar, wobei jedoch der hohe Kraftbedarf und die von der Streckgrenze abhngige Rckfederung zu beachten sind. Zum Schweißen bei Vorwrmtemperaturen bis rund 200 C eignet sich das MAGVerfahren.
Betonsthle werden standardmßig mit Nennwerten der Streckgrenze von 420 oder 500 MPa und Nennwerten der Bruchdehnung von 10 oder 8% in der Form von Stben oder als Drhte zur Herstellung von Betonstahlmatten geliefert. Nennwerte sind die aus statistischen Auswertungen abgeleiteten Werte des 5%-Quantils, die also von 5% der Einzelwerte unterschritten werden drfen. Die Sthle mssen schweißgeeignet und kaltumformbar sein. Sie sind unlegiert mit nur geringen Anteilen von Nb und/oder V zur Einstellung eines feinkrnigen Gefges. Die geforderten Werte der Streckgrenze werden durch geregelte Temperaturfhrung aus der Walz-
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Werkstofftechnik – 3 Eigenschaften und Verwendung der Werkstoffe
hitze und/oder Kaltverfestigung erreicht. Die Haftung im Verbund mit dem Beton wird durch ausreichende Profilierung der Stbe und Drhte sichergestellt.
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Spannsthle mssen geeignet sein, in Spannbetonbauteile Druckvorspannungen einzubringen, die langzeitig erhalten bleiben. Fr diese Sthle wird deshalb eine hohe Relaxationsfestigkeit verlangt, die wiederum sehr hohe Werte der Elastizittsgrenze, ermittelt als Werte der 0,01%-Dehngrenze, voraussetzt. Charakteristische Werte der im Mittel um rund 20% hheren Werte der 0,2%-Dehngrenze der blichen Spannstahlsorten liegen im Bereich zwischen 835 und 1570 MPa bei Werten der Zugfestigkeit zwischen 1030 und 1770 MPa und Nennwerten der Bruchdehnung von 6 und 7%. Die blichen Erzeugnisformen sind glatte oder gerippte Stbe oder Drhte. Fr die verwendeten Sthle sind hohe Kohlenstoffgehalte kennzeichnend. Unlegierte Sthle fr kaltgezogene Drhte im Abmessungsbereich 5 bis 12 mm enthalten rund 0,8% C. Sthle fr vergtete Drhte bis 16 mm Durchmesser enthalten rund 0,5% C und 0,4% Cr. Fr Stabstahl im Abmessungsbereich 15 bis 36 mm Durchmesser, dessen Festigkeitswerte an der unteren Grenze des obengenannten Bereiches liegen, werden Sthle mit rund 0,7% C und 1,5% Mn eingesetzt, denen noch rund 0,3% V zulegiert wird, wenn Mindestwerte der Streckgrenze ber 1000 MPa erreicht werden sollen. Die Stbe werden im warmgewalzten, gereckten und angelassenen Zustand geliefert. Zur Verbesserung des Widerstandes gegen Spannungsrisskorrosion haben sich bei vergteten Drhten Zustze von Si bis fast 2% bewhrt. Sowohl fr Betonsthle wie fr Spannsthle gelten Forderungen an die Dauerschwingfestigkeit. Bei gerippten Stben aus Spannsthlen mit den genannten hohen Werten der 0,2%-Dehngrenze mssen die Querschnittsbergnge der Rippen so beschaffen sein, dass kritische Spannungskonzentrationen vermieden werden. Anh. E 3 Tab. 4 zeigt eine Auswahl an Normen fr Baustahlformen und deren Verwendung. Sthle zum Kaltumformen (s. Anh. E 3 Tab. 5) In großer Vielfalt werden Fertigteile durch Kaltumformen von Flacherzeugnissen hergestellt, z. B. Gehuse, Behlter, Kmpelteile, Kraftfahrzeugteile, Profile, geschweißte Rohre und Hohlprofile. Hierfr stehen warm- oder kaltgewalzte Flacherzeugnisse einer großen Zahl von Sthlen zur Verfgung. Allen gemeinsam ist die besondere Eignung zur Kaltumformung, u. a. gekennzeichnet durch hohe Werte des Verfestigungsexponenten n fr die Zunahme der Streckgrenzenwerte in Abhngigkeit vom Umformgrad und der senkrechten Anisotropie r fr das Verhltnis von Breiten- zu Dickenformnderung. Vorteilhaft fr die Kaltumformbarkeit ist auch ein niedriges Verhltnis der Werte von Streckgrenze und Zugfestigkeit. Maßgebend fr die Eignung zum Kaltumformen ist der Gefgezustand der Sthle. Die weiche Ferritphase lsst sich gut umformen, whrend zunehmende Anteile des harten Perlits das Umformverhalten verschlechtern. Wichtig ist immer ein hoher oxidischer Reinheitsgrad. Von den Werkstoffeigenschaften sowie von der Wanddicke der Fertigteile und den Forderungen an die Oberflchenbeschaffenheit hngt es ab, ob zur Herstellung der Fertigteile warm- oder kaltgewalzte Flacherzeugnisse in Betracht kommen. Hohe Forderungen an die Oberflchenqualitt der Fertigteile, z. B. festgelegte enge Spannen der Mittenrauheit Ra , knnen nur mit kaltgewalzten Flacherzeugnissen erfllt werden. Unter den zum Kaltumformen bestimmten Sthlen spielen die unlegierten weichen Stahlsorten eine besondere Rolle. Sie weisen bei niedrigen Gehalten an Kohlenstoff und Mangan ein gleichmßiges perlitarmes Gefge auf. Der fr die Kaltumformbarkeit ungnstige Perlitanteil kann bei gleichem Kohlenstoffgehalt noch weiter vermindert werden, wenn der Kohlenstoff durch Carbidbildner, z. B. Ti oder Nb, gebunden
wird (IF-Sthle: „interstitial free“ – frei von N und C auf Zwischengitterpltzen). Die unlegierten weichen Stahlsorten haben im Ausgangszustand niedrige Werte der Streckgrenze. Zu ihrer Umformung ist ein verhltnismßig geringer Kraftbedarf erforderlich. Mit zunehmendem Umformgrad steigen die Werte der Streckgrenze an. Durch Kaltwalzen mit Dickenabnahmen zwischen 55 und 75% knnen Festigkeitszunahmen von 500 MPa erreicht werden. Insbesondere beim Tiefziehen weicher Sthle knnen als Folge der Ldersdehnung im Bereich der Streckgrenze strende Fließfiguren auftreten. Durch Nachwalzen mit bis zu 2% Dickenabnahme lassen sich diese Erscheinungen bei kaltgewalzten Flacherzeugnissen unterdrcken. Bei einigen Stahlsorten ist die Wirkung des Nachwalzens jedoch nur von beschrnkter Dauer. Kaltgewalzte Flacherzeugnisse dieser Stahlsorten sollten nicht beliebig lange gelagert, sondern mglichst schnell verarbeitet werden. Ein Sonderfall der weichen Sthle sind die kaltgewalzten Flacherzeugnisse zum Emaillieren. Durch Einschrnkungen der chemischen Zusammensetzung der Stahlsorten wird dafr gesorgt, dass die beim Einbrennen der Emailschichten an der Stahloberflche ablaufenden Reaktionen zu einer guten Haftung der berzge fhren. Außer unberuhigten Sthlen sind auch vakuumentkohlte Sthle geeignet, die mit Aluminium beruhigt und mit Titan mikrolegiert sind. Falls vom Fertigteil hhere Festigkeitswerte verlangt werden, als mit einem unlegierten weichen Stahl unter den vom Bauteil abhngigen Umformbedingungen erreichbar sind, besteht die Mglichkeit, Sthle hherer Festigkeit zu verwenden, u. a. solche, bei denen die Mischkristallverfestigung, z. B. durch Si und Mn oder auch P, strker zur Festigkeitssteigerung beitrgt. Phosphorlegierte Sthle (P-Sthle) mit bis zu 0,1% P erreichen Streckgrenzenwerte bis 340 MPa. Das fr die Umformung gnstigste Gefge wird durch spezielle Maßnahmen bei der Stahlherstellung eingestellt. Der fr die Umformung erforderliche Kraftbedarf ist dennoch erheblich grßer als bei den weichen Sthlen. Eine andere Mglichkeit besteht darin, perlitarme mikrolegierte Sthle mit weniger als 0,1% C einzusetzen, bei denen unter Verzicht auf Mischkristallverfestigung die Wirkungen von Kornfeinung und Ausscheidungshrtung, z. B. durch Ausscheidung von Nitriden und Carbonitriden, zur Steigerung der Festigkeit genutzt werden, so dass sich Mindestwerte der Streckgrenze von mehr als 500 MPa erreichen lassen. Die Eignung zum Kaltumformen bleibt wegen des niedrigen Perlitanteils erhalten, das Verhltnis von Streckgrenze zu Zugfestigkeit steigt jedoch auf Werte weit ber 0,7 (Bild 4). Bei den Bake-Hardening-Sthlen (BH-Sthle) kann die Wirkung der Ausscheidungsverfestigung durch eine knstliche Alterung im Bereich um 180 C verstrkt werden. Von dieser Mglichkeit wird z. B. beim Einbrennlackieren Gebrauch gemacht. Besonders hohe Forderungen an Kaltumformbarkeit und Festigkeit werden an Karosseriebleche gestellt. Einerseits sind die daraus herzustellenden Teile meist recht kompliziert geformt, andererseits sollen sie mglichst dnn, aber doch noch ausreichend steif sein. In diesem Anwendungsbereich werden perlitfreie Multiphasensthle eingesetzt, zu deren Herstellung besondere Maßnahmen bei der Legierung sowie beim Walzen und Glhen notwendig sind. Kennzeichnende Vertreter dieser Stahlgruppe werden als kontinuierlich schmelztauchveredeltes und elektrolytisch veredeltes Band und Blech angeboten. Die Dualphasensthle (DP-Sthle) bestehen im Wesentlichen aus Ferrit mit bis etwa 20% inselartig eingelagertem Martensit, der bei schneller Abkhlung aus dem Teilaustenitgebiet (a þ g) entsteht. Die ferritische Grundmasse sorgt fr gute Umformbarkeit; der Martensit erhht die Festigkeit. Bei noch verhltnismßig niedrigen Werten des Streckgrenzenverhltnisses im Bereich um 0,6 sind Werte der Zugfestigkeit weit
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Eisenwerkstoffe
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Fr eine Wrmebehandlung bestimmte Sthle
Bild 4. Streckgrenze und Zugfestigkeit verschiedener Arten von Sthlen zum Kaltumformen, nach [1]
ber 600 MPa erreichbar. Bei den ferritisch-bainitischen TRIP-Sthlen (transformation induced plasticity) werden Restaustenitanteile whrend der Umformung in festigkeitssteigernden Martensit umgewandelt. Infolge der Zunahme der Zugfestigkeit whrend des Umformens erhht sich der zulssige Umformgrad. Die Werte der Bruchdehnung dieser Sthle sind im Vergleich zu Dualphasensthlen gleicher Festigkeit etwas hher (Bild 5). Die Complexphasensthle (CP-Sthle), die ein sehr feines Mischgefge harter und weicher Bestandteile aufweisen, erreichen Zugfestigkeitswerte ber 800 MPa. Die PM-Sthle (partiell martensitisch) mit deutlich mehr als 20% Martensit zeichnen sich durch noch hhere Werte der Zugfestigkeit bei allerdings niedrigeren Werten der Bruchdehnung aus. Gegenwrtig werden Martensitphasensthle mit Zugfestigkeitswerten bis ca. 1400 MPa entwickelt. In Anh. E 3 Tab. 5 ist eine Liste von Normen fr Sthle zum Kaltumformen aufgefhrt.
Bild 5. Bruchdehnung und Zugfestigkeit verschiedener Arten von Sthlen zum Kaltumformen, nach [1]
Vergtungssthle. Vergtungssthle sind unlegierte und legierte Sthle, die aufgrund ihrer chemischen Zusammensetzung, besonders ihres Kohlenstoffgehaltes, zum Hrten geeignet sind und deren Gebrauchseigenschaften durch Vergtung, d. h. durch eine geeignete Kombination von Hrten und Anlassen, den jeweiligen Erfordernissen in weiten Grenzen angepasst werden knnen. Sie werden in allen Bereichen des Maschinenbaus fr kleine und große Bauteile unterschiedlichster Art eingesetzt. Je nach Verwendungszweck werden hohe Festigkeit bei statischer, dynamischer, schwingender oder schlagartiger Beanspruchung, gutes Zhigkeitsverhalten vor allem im Hinblick auf Kerbunempfindlichkeit oder hohe Hrte als Grundlage eines erhhten Verschleißwiderstandes gefordert. Fast immer ist eine gute Zerspanbarkeit wichtig. Gelegentlich wird die Eignung zum Schweißen verlangt. Zweckmßige Kombinationen der Wrmebehandlungsparameter Hrtetemperatur, Abkhlgeschwindigkeit, Anlasstemperatur und Anlassdauer ermglichen, die Vielfalt der geforderten Eigenschaftsprofile im Rahmen der Prozessgenauigkeit nahezu stufenlos einzustellen, wobei zu beachten ist, dass sich Festigkeit bzw. Hrte und Zhigkeit gegenlufig verhalten (vgl. auch Bild 5), wenn nicht auch die Korngrße verndert wird. Bei gegebener Festigkeit wird das beste Zhigkeitsverhalten erreicht, wenn durch ein Normalglhen vor dem Vergten ein gleichmßig feinkrniges Gefge eingestellt wird und beim Hrten die Umwandlung vollstndig in der Martensitstufe abluft. Einen wesentlichen Einfluss hat auch die Kombination der Legierungselemente. Mitunter kommt der vorteilhafte Einfluss bestimmter Legierungszustze erst unter Betriebsbeanspruchung zur Geltung. Niedrige Anteile an nichtmetallischen Einschlssen kommen sowohl dem Zhigkeitsverhalten allgemein wie auch besonders der Schwingfestigkeit zugute. Zum besseren Verstndnis des Zusammenwirkens der Vielzahl der Einflussgrßen muss auf das Fachschrifttum verwiesen werden. Fr die Auswahl des fr einen bestimmten Anwendungsfall am besten geeigneten Vergtungsstahles ist neben der Hrtbarkeit, die im Stirnabschreckversuch bewertet wird, oft die Betriebserfahrung entscheidend. Aus wirtschaftlichen Grnden haben die unlegierten Vergtungssthle weite Verbreitung gefunden. Nickel-Chrom-Molybdn-Sthle haben sich bei hchsten Forderungen gut bewhrt. Gute Zerspanbarkeit kann durch spezifizierte Schwefelgehalte von rund 0,03% unter Verlust an Zhigkeit und Schwingfestigkeit erreicht werden. Schweißeignung ist gegeben bei niedrigen Kohlenstoffgehalten und Anwendung von Schweißverfahren mit niedrigem Wrmeeinbringen. Fr das Kalt-Massivumformen werden Vergtungssthle im weichgeglhten Zustand mit niedriger Ausgangsfestigkeit bevorzugt. Die Vergtung wird erst nach dem Umformen vorgenommen. Eine besondere Rolle spielt hier die Gruppe der borlegierten Vergtungssthle mit verbesserter Hrtbarkeit. Die martensitaushrtenden Sthle, z. B. X2NiCoMo18-8-5, sind hochfeste Vergtungssthle mit ungefhr 18% Ni und extrem niedrigen Gehalten an C, Si und Mn. Sie erhalten ihre hohe Festigkeit durch berlagerung der Verfestigungsmechanismen Martensitbildung und Mischkristallhrtung mit einer Ausscheidungshrtung. Im lsungsgeglhten Anlieferungszustand besitzen die martensitaushrtenden Sthle ein Gefge aus nahezu kohlenstofffreiem Nickelmartensit (Zugfestigkeit etwa 1 000 MPa). Wegen des niedrigen Kohlenstoffgehaltes knnen sie in diesem Zustand auch geschweißt werden. Durch Warmauslagern bei knapp 500 C lassen sie sich durch Ausscheiden intermetallischer Verbindungen wie Ni3 (Ti, Al) und Fe2 Mo aus dem Martensit auf Werte der Zugfestigkeit um 2 200 MPa bei ausreichender Zhigkeit aushrten. Die Sthle
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Werkstofftechnik – 3 Eigenschaften und Verwendung der Werkstoffe
sind empfindlich gegenber Wasserstoffversprdung und Spannungsrisskorrosion.
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Sthle fr das Randschichthrten sind Vergtungssthle, die sich zur Herstellung von Bauteilen mit harter Randschicht und zhem Kern eignen. Solche Bauteile zeichnen sich durch einen hohen Verschleißwiderstand an der Oberflche und eine verbesserte Dauerfestigkeit aus. Der Kohlenstoffgehalt muss der gewnschten Hrte und Einhrtetiefe angepasst sein. Der Legierungsgehalt bestimmt die Unempfindlichkeit gegen Kornvergrberung durch berhitzen, die notwendige Abkhlungsgeschwindigkeit von der Hrtetemperatur und die Hhe der zulssigen Entspannungstemperatur zum Abbau von Spannungsspitzen. Die wichtigsten Verfahren der Randschichthrtung sind in E 3.1.3 beschrieben. Nitriersthle, z. B. 34CrAlNi7-10, enthalten in erster Linie starke Nitridbildner wie Chrom, Aluminium und Vanadium. Weitere Legierungselemente dienen der Steigerung von Festigkeit und Zhigkeit des Kernbereichs unterhalb der verhltnismßig dnnen Nitrierschicht. Die wichtigsten Nitrierverfahren sind in E 3.1.3 beschrieben. Einsatzsthle, z. B. C15E, 16MnCr5, sind Qualitts- oder Edelsthle mit einem verhltnismßig niedrigen Kohlenstoffgehalt. Sie werden im Bereich der Randzone aufgekohlt, gegebenenfalls gleichzeitig aufgestickt (carbonitriert) und anschließend gehrtet. Die Sthle haben nach dem Hrten in der Randschicht hohe Hrte und guten Verschleißwiderstand, whrend im Kernbereich vor allem bei den mit Cr, Mo und Ni legierten Sorten eine hohe Zhigkeit erhalten bleibt. Insbesondere die Molybdn-Chrom-Sthle eignen sich zum Direkthrten. Einzelheiten der Verfahren der Einsatzhrtung werden in E 3.1.3 beschrieben. Automatensthle. Automatensthle sind durch gute Zerspanbarkeit (kurzbrechende Spne mit geringem Volumen) bei hoher Schnittgeschwindigkeit und geringem Werkzeugverschleiß sowie durch eine hohe Qualitt der bearbeiteten Oberflchen gekennzeichnet. Sie erhalten diese Eigenschaften im Wesentlichen durch erhhte Schwefelgehalte bis zu 0,4%, die zu einem vermehrten Anteil sulfidischer Einschlsse fhren. Gegebenenfalls wird zustzlich oder alternativ zum Schwefel 0,15 bis 0,3% Blei zugegeben, das im Gefge der Sthle als fein verteilte metallische Phase auftritt. Erhhte Phosphorgehalte tragen zur Verbesserung der Zerspanbarkeit bei, indem sie die fr den Zerspanungsvorgang nachteilige Zhigkeit der ferritischen Grundmasse der Sthle mindern. Wenn die Sulfide in der Form lang gestreckter Zeilen vorliegen, wird das Z-
higkeitsverhalten bei Beanspruchungen senkrecht zu den Sulfidzeilen stark beeintrchtigt. Eine begrenzt wirksame Abhilfe ist mglich durch eine Beeinflussung der Sulfidform oder durch Ersatz des Schwefels, z. B. durch Blei. Wenn große Bauteilserien in automatisierten Arbeitsablufen spanabhebend bearbeitet werden, leisten Automatensthle einen wesentlichen Beitrag zur Wirtschaftlichkeit der Fertigung. Mit Ausnahme der nichtrostenden Sorten sind Automatensthle berwiegend unlegiert. Unterschieden wird zwischen – Automatensthlen, die nicht fr eine Wrmebehandlung bestimmt sind und zur Verbesserung der Festigkeitseigenschaften bis zu 1,5% Mn enthalten (z. B. 11SMnPb30), – Automaten-Einsatzsthlen (z. B. 10SPb20) und – Automaten-Vergtungssthlen (z. B. 35S20, 46SPb20). Die Sthle werden als Stabstahl in den Zustnden unbehandelt, d. h. warmgewalzt, oder normalgeglht geliefert und sind blicherweise geschlt oder kaltgezogen. Nichtrostende Sthle. Nichtrostende Sthle zeichnen sich durch besondere Bestndigkeit gegenber chemisch angreifenden Stoffen aus. Der kennzeichnende Korrosionswiderstand setzt einen Massenanteil an Chrom voraus, der nach der Definition in DIN EN 10 020 den Wert 10,5% nicht unterschreiten darf. In Abhngigkeit von den weiteren Legierungselementen werden die nichtrostenden Sthle nach ihren wesentlichen Gefgebestandteilen eingeteilt in ferritische, martensitische, ausscheidungshrtende martensitische, austenitische und ferritisch-austenitische Sthle. Die Gefgezusammensetzung schweißgeeigneter nichtrostender Sthle mit nicht mehr als rund 0,25% C kann mit Hilfe von Bild 6 und den zustzlich genannten Gleichungen fr die Errechnung der quivalentgehalte an Chrom und Nickel aus der chemischen Zusammensetzung abgeschtzt werden. Das Bild wurde fr die Abschtzung der Gefgezusammensetzung von Schweißgut entwickelt und gilt deshalb nur fr den Zustand nach Abkhlung von hoher Temperatur. In dem vorliegenden Bild gilt fr die quivalentgehalte: Crq ¼ Cr þ 1; 4 Mo þ 0; 5 Nb þ 1; 5 Si þ 2 Ti ðin %Þ und Niq ¼ Ni þ 30 C þ 0; 5 Mn þ 30 N ðin %Þ: Das Korrosionsverhalten der verschiedenen Arten nichtrostender Sthle lsst sich nach heutigem Wissensstand nur auf der Grundlage von Erfahrungen zuverlssig beurteilen. Scheinbar geringfgige Unterschiede zwischen den angreifenden Medien knnen das Korrosionsverhalten der Sthle er-
Bild 6. Gefgeschaubild der schweißgeeigneten nichtrostenden Sthle (C 0; 25 %) nach Schaeffler fr Abkhlung von sehr hohen Temperaturen, nach [2]
I3.1 heblich beeinflussen. Hufig ist auch die gleichzeitig wirksame mechanische Beanspruchung von entscheidender Bedeutung. Laborversuche unter definierten Bedingungen liefern wertvolle Hinweise und ermglichen qualitative Vergleiche. Ferritische und martensitische Sthle mit rund 13% Cr haben sich gut bewhrt unter verhltnismßig milden Korrosionsbeanspruchungen, z. B. unter atmosphrischen Bedingungen. Mit steigendem Chromgehalt wird die Korrosionsbestndigkeit besser. Ferritische Chromsthle mit fast 30% Cr und nur sehr niedrigen Kohlenstoffgehalten von rund 0,01% C, auch Superferrite bezeichnet, finden Anwendung in besonders aggressiven Medien bei angehobenen Temperaturen. Austenitische Cr-Ni-Sthle sind vielseitig einsetzbar auch bei strkerer Korrosionsbeanspruchung. Unabhngig von der Gefgezusammensetzung wird der Korrosionswiderstand nichtrostender Sthle geschwcht, wenn der Grundmasse bei Erwrmung auf hhere Temperaturen durch Ausscheidung chromreicher Carbide so viel Chrom entzogen wird, dass der in Lsung verbleibende Anteil des Chroms unter den fr eine wirksame Passivierung (vgl. E 6.2) erforderlichen Schwellenwert abfllt. Werden die chromreichen Carbide bevorzugt auf den Korngrenzen ausgeschieden und kann sich in der Grundmasse mangels ausreichend hoher Diffusionsgeschwindigkeit nicht schnell genug ein Ausgleich der Konzentration des Chroms einstellen, werden die Sthle anfllig gegen interkristalline Korrosion (s. E 6.3). Besonders gefhrdet sind die Wrmeeinflusszonen der Schweißnhte. Wirksame Gegenmaßnahmen bestehen in der Verwendung von Stahlsorten mit weniger als ungefhr 0,03% C oder in der Verwendung sogenannter stabilisierter Stahlsorten, bei denen der Kohlenstoff durch starke Carbidbildner gebunden ist. Als Carbidbildner kommen i. Allg. Ti oder Nb in Betracht. Ferritische nichtrostende Sthle sind durch niedrige Kohlenstoffgehalte bis hchstens 0,08% gekennzeichnet und enthalten zwischen 12 und 30% Cr. Mit zunehmendem Chromgehalt neigen sie bei Temperaturen zwischen rund 500 C und 900 C zur Ausscheidung der Sigmaphase, die eine deutliche Minderung der Zhigkeit bewirkt. Zufriedenstellende Zhigkeitswerte sind durch Glhen bei Temperaturen oberhalb des Ausscheidungsbereiches der Sigmaphase mit anschließender rascher Abkhlung an Luft erreichbar. Sie werden deshalb in Erzeugnisdicken nur bis rund 25 mm geliefert. Bei Erwrmung ber 950 C neigen sie zu Grobkornbildung mit entsprechender Minderung der Zhigkeit. Zur Begrenzung dieses Effektes beim Schweißen muss das Wrmeeinbringen mglichst klein gehalten werden. Stabilisierte Sthle sind weniger anfllig. Die martensitischen nichtrostenden Sthle enthalten i. Allg. 0,08 bis 1% C. Sie werden wie Vergtungssthle wrmebehandelt. Anlasstemperaturen im Bereich zwischen 400 und 600 C mssen jedoch vermieden werden, da in diesem Temperaturbereich Carbide mit besonders hohem Anteil an Chrom entstehen. Die dadurch verursachte Chromverarmung des Mischkristalls mindert den Korrosionswiderstand. Die nicht schweißgeeigneten Sorten mit mehr als rund 0,25% C werden verwendet, wenn es auf hohe Werte der Festigkeit und vor allem der Hrte ankommt. Sie werden bei Temperaturen im Bereich zwischen 200 C und 350 C angelassen und weisen in diesem Zustand die optimale Korrosionsbestndigkeit auf. Ein vorangehendes Abkhlen auf tiefe Temperaturen, z. B. in Eiswasser, kann zur Umwandlung von Restaustenit in Martensit und hheren Werten der Hrte nach dem Anlassen fhren. Nickelmartensitische Sthle haben einen besonders niedrigen Kohlenstoffgehalt von hchstens 0,06%, jedoch 3,5 bis 6% Ni (z. B. X4CrNi13-4 oder X4CrNiMo16-5). Beim Anlassen zwischen 500 und 600 C bildet sich ein weichmartensitisches Gefge mit hoher Festigkeit und Zhigkeit. Auf Grund des guten Zhigkeitsverhaltens haben sich diese Stahlsorten bei
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wechselnden mechanischen Beanspruchungen gut bewhrt. Sie sind schweißgeeignet und eignen sich zur Herstellung auch sehr dickwandiger Bauteile. Nickelmartensitische nichtrostende Sthle lassen sich bei 400 C bis 600 C durch intermetallische Phasen aushrten (z. B. X8CrNiMoAl15-7-2). Standardmßig genutzt wird die Aushrtung mit Aluminium und Kupfer. Nach einer mehrstufigen Wrmebehandlung knnen Mindestwerte der 0,2%Dehngrenze bis rund 1200 MPa bei Mindestwerten der Bruchdehnung von rund 10% erreicht werden. Den mengenmßig grßten Anteil am Verbrauch nichtrostender Sthle haben die austenitischen Chrom-Nickel- und Chrom-Nickel-Molybdn-Sthle, deren chemische Zusammensetzung den jeweils erwarteten Korrosionsbedingungen in weiten Grenzen angepasst werden kann. Sie sind im lsungsgeglhten und abgeschreckten Zustand bis zu großen Erzeugnisdicken lieferbar. Mehr als 2% Mo tragen wesentlich zur Verbesserung der Korrosionsbestndigkeit, insbesondere des Widerstandes gegen selektive Korrosionsarten, bei. Die festigkeitssteigernde Wirkung des Molybdns hat demgegenber nur geringe Bedeutung. Kennzeichnende Mindestwerte der 0,2%-Dehngrenze der nichtrostenden austenitischen Sthle liegen im Bereich knapp ber 200 MPa, bei kaltgewalztem Band in Dicken bis 6 mm 20 MPa hher. Bis rund 5% Mo sind die Sthle gut schweißgeeignet. Zur Vermeidung der beim Schweißen entstehenden Warmrisse im Schweißgut sind geringe Deltaferritgehalte vorteilhaft, die sich allerdings in manchen Medien ungnstig auf die Korrosionsbestndigkeit auswirken. Wenn zur Unterdrckung der Anflligkeit gegen interkristalline Korrosion der Kohlenstoffgehalt abgesenkt wird, muss durch hhere Nickelgehalte eine ausreichende Stabilitt des austenitischen Gefges sichergestellt werden. Alternativ kann der Kohlenstoff durch Stickstoff ersetzt werden. Stickstoff bewirkt nicht nur eine Verringerung der Deltaferritgehalte und eine grßere Stabilitt des austenitischen Gefges. Er steigert auch die Werte der 0,2%-Dehngrenze im Mittel um rund 50 MPa. Nichtrostende ferritisch-austenitische Sthle (z. B. X2CrNiMoN22-5-3) sind durch ein Gefge gekennzeichnet, das aus annhernd gleichen Anteilen von Ferrit und Austenit besteht. Sie haben ungefhr doppelt so hohe Werte der 0,2%-Dehngrenze wie die ferritischen und austenitischen nichtrostenden Stahlsorten. Im lsungsgeglhten und abgeschreckten Zustand weisen sie gute Zhigkeitseigenschaften auf. Ein Zusatz von Stickstoff verzgert die Mechanismen, die zur Ausscheidung der Sigmaphase fhren, und ermglicht dadurch die Erzeugung auch dickerer Querschnitte. Molybdn, insbesondere in Verbindung mit hheren Chromgehalten, erhht die Bestndigkeit gegen Lochkorrosion und andere selektive Korrosionsarten. Unter Bedingungen der Spannungsrisskorrosion in chloridhaltigen Medien, z. B. in Meerwasser, oder organischen Suren haben sich die ferritisch-austenitischen Sthle bewhrt. Außerdem besitzen sie eine gute Verschleißbestndigkeit bei korrosivem Angriff. Die hohe Lslichkeit des Kohlenstoffs im austenitischen Gefgeanteil verhindert bei schneller Abkhlung die Ausscheidung von Chromkarbiden an den Korngrenzen. Die Anflligkeit fr interkristalline Korrosion ist deshalb gering. Mit Rcksicht auf andere Ausscheidungsvorgnge muss beim Schweißen dennoch auf ein mglichst geringes Wrmeeinbringen geachtet werden. Nichtrostende Sthle sind i. Allg. schwer zerspanbar. Der fr Automatensthle kennzeichnende hohe Schwefelgehalt von 0,15 bis 0,35% verschlechtert jedoch den Korrosionswiderstand. In den maßgeblichen Normen fr nichtrostende Sthle wird deshalb fr spanend zu bearbeitende Erzeugnisse aus einer großen Zahl nichtrostender Sthle ein kontrollierter Schwefelgehalt von 0,015 bis 0,030% empfohlen und zugelassen.
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Werkstofftechnik – 3 Eigenschaften und Verwendung der Werkstoffe
Kaltzhe Sthle. Als kaltzh werden Sthle bezeichnet, die zur Herstellung von Bauteilen fr Betriebstemperaturen im Bereich zwischen 0 C und etwa –270 C geeignet sind. Das Hauptanwendungsgebiet ist die Kltetechnik zur Herstellung und Lagerung sowie fr den Transport flssiger Gase. In den meisten Fllen sind die Bauteile einer Beanspruchung durch Innendruck ausgesetzt. Die in Betracht kommenden Sthle mssen deshalb als Druckbehltersthle qualifiziert sein oder, soweit der Tankbau betroffen ist, zur Verwendung im Tankbau zugelassen sein. Neben zufrieden stellenden Festigkeitskennwerten und guter Schweißeignung wird von den kaltzhen Sthlen vor allem ein gutes Zhigkeitsverhalten auch noch bei der tiefsten Betriebstemperatur verlangt. Da bei schlagartiger Beanspruchung mit Spannungsspitzen oberhalb der Streckgrenze die Gefahr des Versagens durch verformungsarme Brche besonders groß ist, wird blicherweise die Kerbschlagarbeit als Merkmal des Zhigkeitsverhaltens gewhlt. Im Allgemeinen wird verlangt, dass die Kerbschlagarbeit bei der tiefsten Betriebstemperatur des Bauteils den Wert 27 J nicht unterschreitet. Gelegentlich werden in den einschlgigen Regelwerken fr die Bauausfhrung in Abhngigkeit vom Risikopotenzial hhere Forderungen gestellt. Maßgebendes Kriterium fr die Stahlauswahl ist die tiefste zulssige Anwendungstemperatur, die sich fr die einzelnen Sthle aus der Abhngigkeit der Mindestwerte der Kerbschlagarbeit von der Prftemperatur ergibt. Bild 7 veranschaulicht die Reichweite der Anwendungstemperaturbereiche in der Kltetechnik auf der Grundlage des Mindestwertes der Kerbschlagarbeit 27 J. Der Anwendungsbereich der ferritischen Sthle reicht bis –196 C. Bei noch tieferen Temperaturen werden nur noch austenitische Sthle eingesetzt. Die kaltzhen ferritischen Sthle zeichnen sich durch besonders niedrige Hchstgehalte an Phosphor und Schwefel aus, sind berwiegend mit Nickel legiert und enthalten geringe Anteile von Carbildnern zur Frderung der Ausbildung eines gleichmßig feinkrnigen Gefges. Bei den normalgeglhten Sthlen dominiert die Wirkung von Reinheitsgrad und Feinkrnigkeit. Bei den vergtbaren Sthlen frdern Nickelgehalte von rund 1,5% bis 9% die Bildung von Fe-Ni-Mischkristallen, die den Steilabfall des Zhigkeitsverhaltens mildern und zu tieferen Temperaturen verschieben.
Bei Sthlen mit austenitischem Gefge wird i. Allg. bis rund –200 C keine wesentliche nderung des Zhigkeitsverhaltens beobachtet. Fr –196 C ist in den einschlgigen Normen der gleiche Mindestwert der Kerbschlagarbeit festgelegt wie fr Raumtemperatur. Wird der Mindestwert von 60 J bei –196 C an ISO-V-Querproben nachgewiesen, wird erwartet, dass der im Hinblick auf die Bauteilsicherheit fr erforderlich gehaltene Mindestwert von 27 J auch bei noch tieferen Temperaturen bis zu Siedetemperatur des flssigen Heliums nicht unterschritten wird. Alle kaltzhen Stahlsorten sind gut schweißgeeignet. Kritisch kann die Wahl des Schweißzusatzes sein, da das Schweißgut hinsichtlich Streckgrenze bzw. 0,2%-Dehngrenze und Kerbschlagarbeit den gleichen Forderungen unterliegt wie der Grundwerkstoff. Sthle und Legierungen fr den Einsatz bei erhhten und hohen Temperaturen Warmfeste und hochwarmfeste Sthle und Legierungen. Warmfeste und hochwarmfeste Sthle und Legierungen werden fr Bauteile gebraucht, die gleichzeitig hohen mechanischen und thermischen Beanspruchungen standhalten mssen. Sie werden vor allem in der Energietechnik und fr Reaktoren der chemischen Industrie eingesetzt. Kesselrohre, Wrmetauscher, Turbinenschaufeln in Dampf- und Gasturbinen sowie Turbinenwellen und Schrauben sind Beispiele fr die Vielfalt der Bauteile, die in sehr unterschiedlichen Wanddicken vorkommen. Ebenso vielfltig sind die Forderungen, die an solche Sthle gestellt werden. An erster Stelle der Forderungen stehen hohe Werte der Warmfestigkeit. In dem in E 1 Bild 6 definierten Bereich der erhhten Temperaturen sind die im Warmzugversuch ermittelten Kennwerte Rm oder Rp 0;2 maßgebend. Im Kriechbereich, d. h. im Bereich „hoher“ Temperaturen, sind die im Zeitstandversuch ermittelten Festigkeitskennwerte entscheidend, z. B. die 100 000-h-Zeitstandfestigkeit. Bei den Schraubensthlen steht der Widerstand gegen Relaxation im Vordergrund. Fast immer besteht bei warmgehenden Anlagen ein erhhtes Sicherheitsrisiko. Deshalb mssen sich die Sthle im gesamten durchfahrenen Temperaturbereich von Raumtemperatur bis zur hchsten Betriebstemperatur ausreichend zh verhalten, damit unvorhergesehene, rtlich auftretende Spannungsspitzen durch Span-
Bild 7. Anwendungsbereiche einiger kaltzher Stahlsorten in der Kltetechnik bei einem fr die Bauteilsicherheit geforderten Mindestwert der Kerbschlagarbeit (ISO-V Querproben) von 27 J bei der niedrigsten Bauteiltemperatur
I3.1 nungsumlagerung abgebaut werden knnen. Um bei Temperaturwechseln thermisch bedingte Zusatzspannungen vor allem in dickwandigen Komponenten niedrig zu halten, werden niedrige Werte des Wrmeausdehnungskoeffizienten und hohe Werte der Wrmeleitfhigkeit verlangt. Sthle fr den Behlter- und Kesselbau mssen schweißgeeignet sein. In vielen Fllen ist ausreichender Widerstand gegen Verzunderung und Korrosion notwendig, sofern nicht andere Schutzmaßnahmen mglich sind. Ferritische warmfeste Sthle. Unlegierte warmfeste Sthle, auch solche mit Mangangehalten bis 1,5%, haben so niedrige Werte der Zeitstandfestigkeit, dass sich ihre Verwendung nur in dem Temperaturbereich lohnt, in dem die Mindestwerte der 0,2%-Dehngrenze als Berechnungskennwert benutzt werden, also nur bis rund 400 C. Sie haben dennoch breite Anwendung gefunden fr einfache Dampfkessel, z. B. zur Heißdampfversorgung von Gewerbebetrieben. Hinsichtlich Verarbeitbarkeit, Zhigkeit und Schweißeignung bieten sie gegenber anderen warmfesten Sthlen erhebliche Vorteile. Fr hhere mechanische Beanspruchungen im gleichen Temperaturbereich stehen spezielle warmfeste Feinkornbausthle zur Verfgung, die berwiegend mit Mo und Ni legiert sind. Besonders bekannt geworden ist der Stahl 15NiCuMoNb5-6-4, der auf Grund seiner hohen Streckgrenzenwerte bis rund 400 C auch fr bestimmte Komponenten von Hochleistungsdampfkesseln eingesetzt wird. Der Nickelgehalt verleiht diesem Stahl eine gute Zhigkeit, whrend Cu, Mo und Nb zur Aushrtung beitragen. Um hhere Werte der Zeitstandfestigkeit zu erreichen, werden legierungstechnische Maßnahmen zur Mischkristallverfestigung und Aushrtung angewendet. Die strkste Wirkung hat Molybdn schon in Gehalten bis 0,5%. Chrom fr sich allein bewirkt wenig, verstrkt jedoch die Wirkung des Molybdns. Die Legierungszusammensetzung und eine dem Ausscheidungsverhalten angepasste Wrmebehandlung sind entscheidend fr Art, Menge und Verteilung der entstehenden Carbide. Gnstig sind die kohlenstoffreicheren Carbide, whrend die kohlenstoffrmeren Carbide bei langzeitiger thermischer Beanspruchung zur Koagulation neigen und dadurch ihre festigkeitssteigernde Wirkung verlieren. Vorteilhaft ist die Verbesserung der Zunderbestndigkeit durch Chrom. Oberhalb rund 550 C knnen chromarme Sthle aufgrund der schnell zunehmenden Verzunderungsgeschwindigkeit in oxidierender Atmosphre nicht mehr verwendet werden. Niob
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und Vanadium fhren zur Ausscheidung fein verteilter, thermisch besonders stabiler Carbide und knnen die Zeitstandfestigkeit erheblich steigern. Sie werden jedoch nur in Verbindung mit anderen Legierungselementen verwendet, da sonst schon bei berschreiten sehr niedriger Grenzgehalte mit einer empfindlichen Abnahme des Zhigkeitsverhaltens insbesondere der Wrmeeinflusszone von Schweißnhten gerechnet werden muss. Molybdnsthle (16Mo3) und CrMoSthle (13CrMo4-5 oder 10CrMo9-10) haben sich vor allem im Kesselbau bewhrt. Vanadiumlegierte CrMoV-Sthle mit 1% Cr werden bevorzugt fr Schmiedestcke (30CrMoNiV511) und Schrauben (21CrMoV4-7) des Turbinenbaus eingesetzt, bei denen die Schweißeignung von untergeordneter Bedeutung ist. Der Nickelgehalt der Schmiedesthle frdert die Durchhrtbarkeit und Zhigkeit. Erhhte Nickelgehalte bis rund 4%, z. B. fr Rotorwellen sehr großer Durchmesser (26NiCrMoV14-5), setzen jedoch die Zeitstandfestigkeit deutlich herab. Die hchsten Werte der Zeitstandfestigkeit ferritischer Sthle im Bereich um 600 C werden mit martensitischen ChromMolybdn-Vanadin-Sthlen erreicht. Langjhrig bewhrt haben sich Sthle vom Typ X20CrMoV12-1 sowohl fr Kesselrohre wie auch fr schwere Schmiedestcke. Moderne martensitische Sthle vom Typ X10CrMoVNb9-1, gelegentlich auch mit Wolfram und weiteren Elementen legiert, erreichen bei 600 C Werte der 100 000-h-Zeitstandfestigkeit von rund 100 MPa (Bild 8). Aufgrund der niedrigeren Gehalte an Kohlenstoff und Chrom wird ihre Schweißeignung gnstiger beurteilt. Je nach Legierungsgehalt und Wrmebehandlungsdurchmesser werden Erzeugnisse aus warmfesten ferritischen Sthlen im normalgeglhten, normalgeglhten und angelassenen, im luftvergteten oder im flssigkeitsvergteten Zustand geliefert. Austenitische warmfeste Sthle. Bei Temperaturen oberhalb rund 570 C beginnt der Anwendungsbereich der austenitischen Sthle. Entscheidend fr die hohe Zeitstandfestigkeit dieser Sthle ist der Kriechwiderstand des austenitischen Gefges. Anders als bei den nichtrostenden austenitischen Sthlen, bei denen das wichtigste Ziel ein hoher Korrosionswiderstand ist, muss die chemische Zusammensetzung der warmfesten austenitischen Sthle vorrangig darauf ausgerichtet sein, dem austenitischen Gefge eine hohe thermische Stabilitt zu geben. Kennzeichnend fr die warmfesten Sorten, z. B.
Bild 8. Vergleich einiger hochwarmfester ferritischer und austenitischer Sthle anhand der Werte der 0,2%-Dehngrenze und der 100 000-h-Zeitstandfestigkeit nach Angaben in DIN EN-Normen
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Werkstofftechnik – 3 Eigenschaften und Verwendung der Werkstoffe
X8CrNiNb16-13, sind die im Vergleich zu den quivalenten nichtrostenden Sorten, z. B. X6CrNiNb18-10, hheren Gehalte an Kohlenstoff und Nickel sowie der niedrigere Chromgehalt. Durch diese Maßnahme wird ein Verlust an Zhigkeit infolge der Bildung von Sigmaphase im Laufe der Betriebsdauer bei hohen Temperaturen verzgert und eingeschrnkt. Zur Verbesserung der Bestndigkeit gegen interkristalline Korrosion kann ein Teil des Kohlenstoffs durch Stickstoff ersetzt werden. Ebenso wie bei den ferritischen Sthlen wird auch bei den austenitischen Sthlen die Aushrtung zur Steigerung der Zeitstandfestigkeit genutzt. Die zur Aushrtung fhrenden Reaktionen sind jedoch von anderer Art. Bei den warmfesten austenitischen Sthlen wird die Aushrtung bewirkt durch die Ausscheidung intermetallischer Phasen, an denen Molybdn und Wolfram beteiligt sind, sowie durch die Ausscheidung thermisch stabiler Niobcarbide oder Niob-Vanadium-Carbonitride. Borzustze tragen zur Verfestigung bei, indem sie die Bildung von Ausscheidungen im Bereich der Korngrenzen behindern und der Neigung zur Zeitstandkerbempfindlichkeit entgegenwirken. Bei sehr hohen Gehalten an Nickel, z. B. X8NiCrAlTi32-21, sowie bei Nickellegierungen wird bei ausreichenden Gehalten an Titan und Aluminium eine auch noch bei hohen Temperaturen wirksame Aushrtung durch die g0 -Phase Ni3 (Al,Ti) erreicht. Cobalt erhht die Rekristallisationstemperatur und das Lsungsvermgen des Austenits fr Kohlenstoff bei Lsungsglhtemperatur. Der hhere Kohlenstoffgehalt des lsungsgeglhten Austenits kobalthaltiger Sthle verstrkt die Langzeitwirkung der Carbidausscheidung bei Betriebstemperatur und fhrt zu hohen Werten der Zeitstandfestigkeit bis rund 800 C, z. B. X40CrNiCoNb17-13 fr Gasturbinenscheiben und X12CrNiCo21-20 fr hochbeanspruchte Auslassventile von Verbrennungskraftmaschinen. Die warmfesten austenitischen Sthle werden blicherweise im lsungsgeglhten und abgeschreckten Zustand verwendet. Nur bei wenigen Sorten wird die Aushrtung vor der Inbetriebnahme herbeigefhrt. Eine besondere Maßnahme ist das Warmkaltumformen unterhalb der Rekristallisationstemperatur, das bei einigen Stahlsorten, z. B. X8CrNiMoB1616+HC, sehr wirkungsvoll zur Steigerung der Zeitstandfestigkeit bis rund 700 C genutzt wird. Nickel- und Kobaltlegierungen. Bei Temperaturen von 700 C und mehr werden hochwarmfeste Nickel- oder Kobaltlegierungen eingesetzt. Nickellegierungen mit Kohlenstoffgehalten sy sein oder sy ¼ sM > sB . Im Druckversuch DIN EN ISO 604 werden Kennwerte unter einachsiger, quasistatischer Druckbeanspruchung ermittelt. Probekrper sind so zu whlen, dass keine Knickung auftritt. Kennwerte (Festigkeiten in MPa, Verformungen in %): sðcÞy sðcÞM sðcÞB sðxÞ ecy ecM ecB
Druckfließspannung Druckfestigkeit Druckspannung bei Bruch Druckspannung bei x% Stauchung Fließstauchung Stauchung bei Druckfestigkeit nominelle Stauchung bei Bruch
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Werkstofftechnik – 4 Kunststoffe
Anmerkung: In DIN EN ISO 604 ist bei den Festigkeitskennwerten kein Index „c“ vorgesehen, im Gegensatz zu den Dehnungskennwerten; um Verwechslungen mit Kennwerten aus dem Zugversuch zu vermeiden, wird hier das Index „c“ in Klammern gesetzt.
Im Biegeversuch DIN EN ISO 178 werden die Kennwerte bei Dreipunktbiegebeanspruchung ermittelt. Kennwerte (Festigkeiten in MPa, Verformungen in %):
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sfM sfB sfc efM efB sc
Biegefestigkeit Biegespannung beim Bruch Biegespannung bei konventioneller Durchbiegung sc Biegedehnung bei Biegefestigkeit Biegedehnung beim Bruch konventionelle Durchbiegung sc ¼ 1; 5 h ðentspricht 3; 5% RandfaserdehnungÞ
Die Ermittlung des Elastizittsmoduls E erfolgt im Zug-, Druck- oder Biegeversuch. Da aber bei Kunststoffen mit wenigen Ausnahmen i. Allg. keine eindeutige Hookesche Gerade vorliegt, wird nach DIN EN ISO 527, DIN EN ISO 604 und DIN EN ISO 178 ein Sekantenmodul fr die Dehnungen e1 ¼ 0;05% und e2 ¼ 0;25% ermittelt. Die Bestimmung des Elastizittsmoduls Et erfolgt im Zugversuch nach DIN EN ISO 527, Ec im Druckversuch nach DIN EN ISO 604 und Ef im Biegeversuch nach DIN EN ISO 178. Der Elastizittsmodul wird als Sekantenmodul ermittelt; entsprechend Bild 2 gilt dann fr den Zugversuch: Et ¼ ðs2 s1 Þ=ðe2 e1 Þ: Die Hrte von Kunststoffen wird im Kugeldruckversuch DIN EN ISO 2039-1 oder bei weichgemachten Kunststoffen und Elastomeren nach Shore A oder D in DIN EN ISO 868 (ISO 7619) bestimmt, der internationale Gummihrtegrad IRHD nach ISO 48. Die Rockwellhrte an Kunststoffen wird nach DIN EN ISO 2039-2 bestimmt. Kennwerte: Kugeldruckhrte H in N/mm2 nach 30 s Prfzeit, Shore A- oder Shore D-Hrte nach 3 s Prfzeit; Rockwell-
hrte 15 s nach Wegnahme der Prflast je nach Hrteskala (R, L, M oder E). In Schlag- bzw. Kerbschlagbiegeversuchen DIN EN ISO 179-1, DIN EN ISO 180 oder im Schlagzugversuch DIN EN ISO 8256 erhlt man, vor allem durch Prfung bei unterschiedlichen Temperaturen, eine Aussage ber das Zh-/ Sprd-Verhalten bzw. ber Zh-Sprd-bergnge. Die Kerbform (einfache V-Kerbe, Doppel-V-Kerbe) sowie die Art der Beanspruchung (beidseitige Auflage bei Charpyversuchen, bzw. einseitige Einspannung bei Izod-Versuchen) beeinflussen die Kennwerte sehr stark. Bei Charpy-Schlagversuchen nach DIN EN ISO 179 wird noch unterschieden zwischen schmalseitigem Schlag (Index „e“: edgewise) und breitseitigem Schlag (Index „f“: flatwise); es gibt außerdem 3 Kerbformen A (Kerbradius rN ¼ 0;25 mmÞ, B ðrN ¼ 1 mmÞ oder C ðrN ¼ 0;1 mmÞ und damit unterschiedlicher Kerbschrfe, aber gleichem Flankenwinkel von 45; Kerbtiefe 2 mm. DIN EN ISO 179–2 beschreibt die instrumentierte Schlagzhigkeitsprfung. Kennwerte in kJ/m2: acU acN aiU aiN
Charpy-Schlagzhigkeit ungekerbt DIN EN ISO 179-1 Charpy-Schlagzhigkeit gekerbt DIN EN ISO 179-1 Izod-Schlagzhigkeit ungekerbt DIN EN ISO 180 Izod-Schlagzhigkeit gekerbt DIN EN ISO 180
Anmerkung: „N“ entspricht der Kerbform A, B oder C
Brechen Probekrper in Schlagbiegeversuchen auch mit schrfster Kerbe nicht, dann werden Schlagzugversuche nach DIN EN ISO 8256 durchgefhrt. Im Zeitschwingversuch werden in Anlehnung an die metallischen Werkstoffe nach (DIN 50 100) Kennwerte bei dynamischer Beanspruchung ermittelt. Aus Whlerkurven fr unterschiedliche Beanspruchungsverhltnisse (s. E 2.2) erhlt man ein Zeitschwingfestigkeits-Schaubild nach Smith. Da Kunststoffe i. Allg. keine Dauerschwingfestigkeit aufweisen, wird meistens die Zeitschwingfestigkeit fr 107 Lastwechsel ermittelt. Außerdem darf wegen der Erwrmung die Prffrequenz hchstens 10 Hz betragen. Kennwerte (in MPa): sWð107 Þ sSchð107 Þ
Zeitwechselfestigkeit fr 107 Lastwechsel, Zeitschwellfestigkeit fr 107 Lastwechsel:
Im Zeitstandversuch DIN EN ISO 899 als Retardationsversuch werden bei konstanter Belastung Zeitdehnlinien e=f(t) aufgenommen. Daraus ermittelt man das Zeitstandschaubild s=f(t) und erhlt dann isochrone Spannungs-Dehnungs-Diagramme s=f(e). Aus dem isochronen Spannungs-DehnungsDiagramm (Bild 3) werden die Kennwerte ermittelt (in MPa): et se, t
sB; t
Etc ðtÞ
Bild 2. Zugspannungs-Dehnungs-Diagramme. 1 sprde Kunststoffe, z. B. PS, SAN, Duroplaste (sM ¼ sB ), 2 zhe Kunststoffe, z. B. PC, ABS (sM > sy oder sM ¼ sy ), 3 verstreckbare Kunststoffe, z. B. PA, PE, PP (sM ¼ sy > sB ), 4 weichgemachte Kunststoffe, z. B. PVC-P (sM ¼ sB ; sy nicht vorhanden), 5 dehnbarer Kunststoff mit eB > 50%; Bestimmung von s50
Kriechdehnung Kriechdehnspannung ðz: B: bedeutet s2=1000 die Spannung s, die nach 1000 h zu einer Dehnung e ¼ 2% fhrtÞ Zeitstandfestigkeit ðz: B: bedeutet sB=10 000 die Spannung s; die nach t ¼ 10 000 h zum Bruch fhrtÞ Kriechmodul
Die Kriechmoduln sind abhngig von der Spannung, der Zeit, und selbstverstndlich der Temperatur. Heute werden die Kriechmoduln meist fr Spannungen ermittelt, die zu Dehnungen e 0,5% fhren. Elektrische Eigenschaften Elektrische Spannungs- und Widerstandswerte werden hauptschlich nach IEC 60 093, IEC 60 167 und IEC 60 243 ermittelt:
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Prfung von Kunststoffen
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Bild 3 a–c. Versuchsergebnisse aus Zeitstandversuchen. a Kriechkurven e=f(t), Parameter Spannung s; b Zeitstandschaubild s=f(t), Parameter Dehnung e; c isochrone Spannungs-Dehnungs-Diagramme s=f(e), Parameter Zeit t, 1 Kurzzeitversuch
UD EB R r s
Durchschlagspannung in V Durchschlagfestigkeit in kV=mm Widerstandswerte in W ðDurchgangs-, OberflchenwiderstandÞ spezifischer Durchgangswiderstand in W m spezifischer Oberflchenwiderstand in W:
Dielektrische Eigenschaftswerte werden nach IEC 60 250 und IEC 60 377 ermittelt: relative Dielektrizittszahl er tan d dieleketrischer Verlustfaktor: Kriechwegbildung bzw. Kriechstromfestigkeit werden nach IEC 60 112 und IEC 60 587 ermittelt: CTI PTI
Vergleichszahl der Kriechwegbildung Prfzahl der Kriechwegbildung:
Thermische Eigenschaften Kunststoffe als organische Werkstoffe sind sehr stark temperaturabhngig. Außerdem haben sie geringere Wrmeleitfhigkeit l und grßere thermische Lngenausdehnungskoeffizienten a. Als Kennwerte, die aber keine Aussage ber die tatschlichen Temperaturbeanspruchbarkeit machen und i. Allg. nur als Vergleichswerte dienen, werden ermittelt: Tf Wrmeformbestndigkeitstemperatur nach DIN EN ISO 75, VST/A(B) Vicat-Erweichungstemperatur nach DIN EN ISO 306, Verfahren A (B). In Tabellenwerken werden oft Gebrauchstemperaturbereiche angegeben, die aber meist nur fr geringe Belastungen gelten. Eine weitere Charakterisierungsmglichkeit von Kunststoffen bietet die Aufnahme von Schubmodul-Temperatur-Kurven aus dem Torsionsschwingungsversuch DIN EN ISO 6721, ISO 537. Chemische Eigenschaften Die chemische Bestndigkeit der Kunststoffe hngt von ihrem Aufbau ab. Duroplaste sind wegen der chemischen Vernetzung weitgehend bestndig gegen chemischen Angriff. Bei Thermoplasten sollte fr jeden Kunststoff geprft werden, ob er gegenber den wirkenden Chemikalien bestndig ist. Die Rohstoffhersteller liefern Tabellen, in denen das Verhalten
der Kunststoffe gegen Chemikalien auch bei unterschiedlichen Temperaturen enthalten ist. Eine Besonderheit bei Kunststoffen ist die Spannungsrissbildung bei gleichzeitigem Einwirken von Eigen-, Montageoder Betriebsspannungen und chemischen Agenzien. Es zeigen sich dabei mehr oder weniger gut erkennbare Risse, die sich ber ausgeprgte Rissbildung bis zum totalen Bruch weiterentwickeln knnen. Spannungsrissuntersuchungen knnen im Kugeleindruckverfahren (DIN EN ISO 4600), Biegestreifenverfahren (DIN EN ISO 4599) oder Zeitstandzugversuch (DIN EN ISO 6252) erfolgen. Verarbeitungstechnische Eigenschaften Zur Beurteilung des Fließverhaltens von Thermoplasten wird die Schmelze-Massefließrate (Schmelzindex) MFR (g/ 10 min) oder die Schmelze-Volumenfließrate (Volumenfließindex) MVR (cm3 /10 min) nach DIN EN ISO 1133 bestimmt. Außerdem ist die Viskosittszahl VN (oder VZ bzw. J) fr die Lsungen thermoplastischer Kunststoffe (z. B. nach DIN EN ISO 307 fr Polyamide) eine verarbeitungstechnische Kenngrße. Schdigungen der Kunststoffe beim Verarbeiten zeigen sich in der nderung dieser Eigenschaften. Bei duroplastischen Formmassen gibt die Becherschließzeit nach DIN 53 465 Aussagen ber das Fließverhalten und DIN 53 764 ber das Fließ-Hrtungsverhalten; DIN EN ISO 12 114 und DIN EN ISO 12 115 fr faserverstrkte Formmassen. Beim Entwurf von Kunststoff-Formteilen und den notwendigen Werkzeugen ist das Schwindungsverhalten der Kunststoffe von Bedeutung. Die Schwindung wirkt sich auf die Abmessungen und Toleranzen der Formteile aus. Die Verarbeitungsschwindung SM (frher: VS) ist fertigungsbedingt und wird nach DIN EN ISO 294-4 ermittelt; sie hngt vom Kunststoff (amorph, teilkristallin, gefllt) ab und von den Verarbeitungsparametern (Drucke, Temperaturen), sowie der Gestalt der Formteile. Durch Nachkristallisationen bei teilkristallinen Kunststoffen, den Abbau innerer Spannungen und Nachhrtungseffekte bei Duroplasten tritt im Laufe der Zeit eine Nachschwindung SP auf, die hauptschlich werkstoff-, verarbeitungs- und umweltbedingt ist. Bei hheren Temperaturen kann die Nachschwindung beschleunigt, d. h. vorweggenom-
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men werden. Die Gesamtschwindung ST setzt sich aus der Verarbeitungsschwindung SM und der Nachschwindung SP zusammen, sie ist richtungsabhngig. Als Materialeingangprfungen fr Kunststoffrohstoffe spielen weiterhin Schttdichte DIN EN ISO 60, Stopfdichte DIN EN ISO 61 sowie Rieselfhigkeit DIN EN ISO 6186 eine Rolle, außerdem der Feuchtegehalt und die Flchte (DIN EN ISO 960, DIN 53 713, DIN 53 715). Sonstige Prfungen
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Bei Kunststoffen als organischen Kunststoffen ist das Brandverhalten von großer Bedeutung. Es gibt eine Vielzahl von Prfverfahren; die wichtigsten sind nachstehend aufgefhrt. Das Brandverhalten fester elektrotechnischer Isolierstoffe wird nach DIN EN 60 707 und DIN EN 60 695 ermittelt; es handelt sich um Prfverfahren zur Ermittlung der Entflammbarkeit und der Brandgefahr bei unterschiedlichen Anordnungen von Probestab und Zndquelle (Verfahren BH, FH oder FV). Sehr große Bedeutung haben die Brennbarkeitsprfungen nach UL-Vorschrift 94. Die Kunststoffe werden dabei in Klassen eingeteilt, z. B. bei vertikaler Probenanordnung in Klasse 94 V-0 bis 94 V-2. In DIN EN 60 695-11-10 wird ebenfalls das Brandverhalten bestimmt. Die Farbbeurteilung nach unterschiedlichen Verfahren ist wichtig z. B. fr die Farbabmusterung und um mit Hilfe von bestimmten Lichtquellen A, C, D65 eine objektive Farbbeurteilung zu ermglichen. Es gibt RAL-Farbkarten; das gebruchlichste Farbbeschreibungssystem ist das CIE-Lab-System. In Bewitterungsversuchen (DIN 53 386, 53 508, 53 509, DIN EN ISO 4892, DIN EN ISO 846, 877) werden Abbauvorgnge bei Kunststoffen durch Witterungseinflsse wie Sonnenstrahlung, Temperaturen, Niederschlgen und Luftsauerstoff oder durch knstliches Bewittern untersucht. Solche Einflsse knnen zu einer starken (negativen) Beeinflussung der Gebrauchseigenschaften von Kunststoff-Formteilen fhren (z. B. Versprden). 4.9.2 Prfung von Fertigteilen Knnen aus Kunststoff-Fertigteilen entsprechende Probekrper entnommen werden, so sind Prfungen nach den in E 4.9.1 aufgefhrten Verfahren mglich. Man spricht dann von der Prfung des Formstoffs im Formteil. Die Prfergebnisse sind allerdings i. Allg. nur bedingt mit den an genormten Probekrpern ermittelten Kennwerten zu vergleichen. Interessanter ist es, das Fertigteil als komplettes Formteil zu prfen (DIN 53 760). Zerstrungsfreie Prfverfahren sind: Sichtkontrolle, Prfung des Formteilgewichts, Maßprfungen, spannungsoptische Untersuchungen (nur an durchsichtigen Formteilen). Zerstrende Prfungen sind: Warmlagerungsversuche (DIN 53 497, 53 498), Beurteilung des Spannungsrissverhaltens DIN EN ISO 4599, DIN EN ISO 4600, lichtmikroskopische Gefgeuntersuchungen an Dnnschnitten oder Dnnschliffen bei teilkristallinen Kunststoffen, Ermittlung von Fllstofforientierungen durch Auflichtbetrachtung von Schliffen, Bestndigkeitsprfungen, Stoß- und Fallversuche DIN EN ISO 6603 oder aktive Fallversuche. Thermische Analysenverfahren (DSC, TGA, TMA) ermglichen Angaben ber richtigen Kunststoff und seine einwandfreie Verarbeitung; ebenso die IR-Spektroskopie und die GelPermeations-Chromatographie (GPC). Mit DSC, TGA und ermittelt man auch Glasbergangstemperaturen Tg , Kristallitschmelztemperaturen Tm , Glhrckstand, Schmelzwrme und thermischen Abbau. Bei den zerstrenden Prfungen sind hchstens Stichprobenprfungen mglich, die dann nach den Regeln der Statistik ausgewertet werden.
Durch Gebrauchsprfungen der gesamten Formteile bzw. Aggregate wird das Verhalten unter Betriebsbedingungen ermittelt. Zur Zeitraffung knnen einzelne Prfparameter gezielt erhht werden, wobei allerdings zu beachten ist, dass die Versagensart bei der beschleunigten Prfung der im praktischen Einsatz entspricht. Die entsprechenden Prfverfahren mit den Bedingungen sind zu vereinbaren. Heute wird angestrebt, die Fertigung so zu berwachen und zu regeln (Prozessberwachung), dass keine Prfungen der Fertigteile mehr notwendig sind, wenn die vorgeschriebenen Prozessparameter eingehalten werden (s. E 4.10).
4.10 Verarbeiten von Kunststoffen Die wichtigsten Verarbeitungsverfahren fr Kunststoffe und ihre Modifikationen werden nachstehend kurz beschrieben; weitere Informationen mit schematischen Skizzen s. a. S 2.3, Formgebung von Kunststoffen. Gegenber metallischen Werkstoffen werden Kunststoffe bei niedrigeren Temperaturen und damit energiesparender verarbeitet. Die Kunststoffe haben sich in allen Bereichen in den letzten Jahrzehnten durchgesetzt durch die Integrationsmglichkeiten verschiedener Funktionen (Multifunktionsteile wie Schnappverbindungen, Federelemente, Sandwichelemente) und das bei gleichzeitig geringerem Gewicht und ggf. elektrischer Isolation und gnstigen Rohstoffpreisen sowie vielfltigen Ver- und Bearbeitungsmglichkeiten. So knnen z. B. Formteile mit hoher Wirtschaftlichkeit bei deutlich geringeren Arbeitsschritten und hohem Rationalisierungseffekt hergestellt werden. Nahezu alle Verarbeitungsverfahren lassen sich sehr gut automatisieren und Formteile knnen in hohen Stckzahlen in reproduzierbarer Qualitt gefertigt werden. Ein besonderer Vorteil liegt bei den Kunststoffen darin, dass sie in ihren Eigenschaften gezielt fr ein bestimmtes Anwendungsgebiet eingestellt werden knnen (Kunststoffe sind Werkstoffe nach Maß). Außer von der Charakteristik des einzelnen Kunststoffs hngt das Eigenschaftsbild u. a. noch wesentlich von den Verarbeitungsbedingungen ab. Deshalb kommt der Optimierung, Reproduzierung und Konstanz der Prozessparameter besondere Bedeutung zu (Qualittsmanagement). Fr technische Kunststoffe gibt es heute einen vernnftigen Werkstoff-Kreislauf (Recyclingtechniken). Im Wesentlichen lassen sich die Verarbeitungsverfahren von Kunststoffen in Urformen und Umformen einteilen. 4.10.1 Urformen von Kunststoffen Unter Urformen versteht man die direkte Formgebung von Fertigteilen und Halbzeugen aus dem Rohstoff, der z. B. als Formmasse (Granulat, Pulver, Schnitzel u. .) oder als flssiges Vorprodukt vorliegen kann (s. S 2.3). Spritzgießen. Das Spritzgießverfahren ist eine taktweise Fertigung, bei der Formteile berwiegend aus Formmassen (s. E 4.1) hergestellt werden. Die Formmassen werden im Plastifizierzylinder aufgeschmolzen und homogenisiert. Die Schmelze wird in der Regel durch die Vorwrtsbewegung der Schnecke unter hohem Druck in das Formnest einer geteilten Stahlform eingespritzt (s. S 2.3.5 Bild 25). Thermoplastische Kunststoffe erstarren im Formnest durch Abkhlung. Duroplaste und Elastomere werden dagegen formstabil durch exotherme Vernetzungsreaktionen im Formnest. Sowohl komplizierte Kleinstteile (Federelemente, Zahnrder) als auch großflchige Formteile (z. B. Stoßfnger fr Pkw) lassen sich in hohen Stckzahlen in einem Arbeitsgang ohne bzw. mit geringer Nacharbeit wirtschaftlich herstellen. Besonders hervorzuheben ist die Mglichkeit, mehrere Funk-
I4.10 Verarbeiten von Kunststoffen tionen in einem Formteil integrieren zu knnen (Multifunktionalitt, z. B. Schnappverbindungen und Filmscharniere, Einlegeteile, Insert- bzw. Outserttechnik, Inmouldlabeling). Modernste Bearbeitungstechnik ermglicht die Herstellung von funktionalen Oberflchen (Nanostrukturen, -technik); durch Abformung von Mottenaugenstrukturen lassen sich bei amorphen Kunststoffen Antireflexoberflchen und hohe Lichtdurchlssigkeit erreichen (Beamerlinsen, Solarzellenabdeckungen, Handydisplays); spezielle Variothermtechnik im Werkzeug notwendig. Die mechanischen Eigenschaften und die Fertigungsgenauigkeit spritzgegossener Formteile sind nicht nur vom jeweilig gewhlten Kunststoff und dessen Chargenkonstanz abhngig, sondern auch von der Formteilgestalt, Auslegung und Herstellungsqualitt des Werkzeugs sowie vom Verarbeitungsprozess. Die einzelnen Phasen beim Spritzgießen lassen sich anschaulich anhand des angussnahen Druckverlaufs im Formnest synchron mit dem Hydraulikdruckverlauf darstellen, Bild 4. Duroplastische Formmassen verarbeitet man meist auf den gleichen Spritzgießmaschinen wie thermoplastische Formmassen; angepasst werden mssen die Plastifiziereinheit und das Spritzgießwerkzeug. Eine nennenswerte Vernetzung der Formmasse im Zylinder ist zu vermeiden, um die Fließfhigkeit zu erhalten. Durch die verhltnismßig niedrige Viskositt der Schmelze beim Einspritzvorgang weisen duroplastische und elastomere Formteile meist hhere Gratbildung auf, die durch Nacharbeit beseitigt werden muss. In der Spritzgießverfahrenstechnik gibt es eine Vielzahl Sonderverfahren zur Herstellung spezieller Formteile. Die wichtigsten sind: Gasinjektionstechnik (GIT) und Wasserinjektionstechnik (WIT) zur Herstellung von Formteilen mit großen Querschnittsunterschieden, die im Innern Hohlrume enthalten (Griffe, Konsolen, Pedale). Beim Mehrkomponentenspritzgießen knnen z. B. Thermoplaste mit thermoplastisch verarbeitbaren Elastomeren TPE in speziellen Werkzeugen verarbeitet werden (Hart-Weich-Kombinationen wie Dichtelemente, Ventile, „griffige“ Schaltelemente, Haptikeffekt). Bei der Hinterspritztechnik werden z. B. textile Oberflchen auf Spritzgussteile beim Spritzgießen aufgebracht (Trverkleidungen im Automobilbau). Das Spritzprgen ermglicht die Herstellung optischer Formteile (Linsen, CD) mit sehr prziser Oberflche. Formteile mit sonst nicht entformbaren, komplexen Innenkonturen werden mit Hilfe der Schmelzkerntechnik hergestellt.
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Pressen und Spritzpressen. Bedeutung besitzt das Pressen (s. S 2.3.6 und S 2.3.7) bei Duroplasten und Elastomeren sowie bei der Herstellung von Schichtpressstoffen. Die Pressmasse (BMC, PMC) wird bei diesem Verfahren unter Druckund Wrmeeinwirkung plastisch und dabei der Werkzeughohlraum ausgefllt. Duroplastische pulverfrmige Pressmassen werden meist tablettiert und mittels Hochfrequenz vorgewrmt. Demnach legt man die Tablette in das beheizte Werkzeug und fllt den Werkzeughohlraum durch den Pressdruck. Eventuell auftretende Gase entweichen durch eine WerkzeugEntlftungsbewegung. Nach weitgehender Vernetzung der Formmasse lsst sich das nun stabile heiße Formteil entnehmen. Whrend beim Formpressen die Formmasse direkt in den Hohlraum des Werkzeugs zwischen Stempel und Gesenk eingegeben wird, wird beim Spritzpressen die Masse zunchst in einem Fllraum erwrmt. Nach dem plastischen Erweichen presst man die Masse durch Spritzkanle in die Hohlrume der zuvor geschlossenen Form. Das Spritzpressen eignet sich besonders fr Mehrfachwerkzeuge. Beim Pressen von glasfaserverstrkten Gießharzen werden die beiden Komponenten Glasfaserverstrkung und Harz/ Hrter-Gemisch als Prepregs (vorgetrnkte Glasfaserprodukte) oder einzeln in die Pressform gebracht. Fr großflchige Teile, z. B. Karosserieteile im Fahrzeugbau werden Polyester-Harzmatten (sog. UP-SMC-Prepregs) verwendet (SMC: Sheet Moulding Compound). Die Herstellung der Großteile erfolgt auf Unterdruck-Kurzhubpressen mit hydrostatisch gelagerter Aufspannplatte. Diese Pressen ermglichen eine hohe Positioniergenauigkeit der Werkzeugteile. Glasmattenverstrkte Thermoplaste (GMT) werden z. B. fr Untermotorraum-Steinschlagabdeckungen oder fr Saalbestuhlungen mit genarbter Oberflche eingesetzt. Als Matrix wird hufig Polypropylen mit ca. 30 Gew.-% Glasfaseranteil eingesetzt. Der Vorteil gegenber SMC ist eine hhere Schlagzhigkeit auch bei tieferen Temperaturen bei mittlerem E-Modul. Kalandrieren. Unter Kalandrieren wird in der Kunststoffund Kautschukverarbeitung das Ausformen bei der Verarbeitungstemperatur hochviskoser Mischungszubereitungen im Spalt zwischen zwei oder mehreren Walzen zur endlosen Bahn verstanden (s. S 2.3.3 Bild 24). Besondere Bedeutung hat das Kalandrieren bei der Herstellung von Folien und Platten aus Hart- und Weich-PVC (PVC-U, PVC-P). In der Kautschukverarbeitung werden Dachbelagsfolien, Bauisolierfo-
Bild 4. Synchrone Aufzeichnung von Werkzeuginnendruck (angussnah) und Hydraulikdruck, Nw Maß fr Nachdruckwirkung
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lien, Fußbodenbelge, Profile, Triebriemen, Transportbnder und die Belegung von Reifencord nach dem Kalandrierverfahren hergestellt.
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Extrudieren und Blasformen. Beim Extrudieren wird unter stndiger Rotation der Schnecke z. B. granulat- oder pulverfrmige Formmasse aus dem Flltrichter eingezogen und plastifiziert (s. S 2.3.2 Bild 23). Durch den aufgebauten Frderdruck drckt man die hochviskose Masse durch ein formgebendes Werkzeug. Vor dem Erstarren der Strangmasse wird noch kalibriert. Rohre, Profile, Schluche, Bnder, Tafeln, Folien und Drahtummantelungen lassen sich nach dem Extrusionsverfahren kontinuierlich herstellen. Zu einer Extrusionsstraße gehren im Wesentlichen Plastifizieranlage (Extruder), Profilwerkzeug, Kalibrierwerkzeug, Khlvorrichtung, Abzug und Stapelvorrichtung. Mit speziellen Reckprozessen nach dem Extrudieren knnen insbesondere hochfeste Fasern, Folien und Bnder hergestellt werden. Extrudierte Profile werden hufig in einer mit dem Extruder zusammengefassten zweiten Anlage weiterverarbeitet. Dazu gehrt insbesondere das Blasformen. Beim Extrusionsblasformen wird ein extrudierter Schlauch von einem Blaswerkzeug abgequetscht und mittels eines Blasdorns aufgeblasen, Bild 5. Diese Formteile weisen eine sichtbare Quetschnaht im Bodenbereich auf. Flaschen, Kanister, Heizltanks sind Beispiele, die nach diesem Verfahren produziert werden. Weitere hufig angewendete Verfahrenstechniken sind das Spritz- und Streckblasen zur Herstellung von Verpackungsteilen und PET-Flaschen. Herstellen von faserverstrkten Formteilen. Glasfasern, Kohlenstoff-Fasern und auch synthetische Fasern, wie z. B. Aramid- und Polyethylenfasern, werden meist in eine duroplastische Matrix (Polyester-, Epoxid- oder Phenolharz) eingebettet. Neben Endlosfasern (Rovings) verwendet man auch flchige Halbzeuge wie Gewebe, Matten und Gelege. Beim Handlaminieren werden Matten bzw. Gewebe in eine Form, z. B. aus Holz, eingelegt. Die Trnkung der Fasermatten wird mit einem Pinsel vorgenommen und anschließend die Matte mit einer Laminierrolle verdichtet. Eine glatte Oberflche erreicht man durch Aufbringen einer unverstrkten, gefllten Reinharzschicht (Gelcoat). Das Verfahren eignet sich zur Herstellung von Großteilen und Einzelstcken. Fr kleine bis mittlere Serien eignet sich das auch als automatisiertes Handlaminieren angesehene Faserspritzverfahren. Mit einer Faserspritzpistole werden Harz, Hrter, Beschleuniger und Kurzfasern mittels Druckluft auf die Form aufgebracht. Aus zugefhrten Endlosfasern lassen sich mit einem rotierenden Schneidwerk kontinuierlich Kurzfasern erzeugen. Anwendung finden hier ausschließlich Polyesterharze. Typische Bauteile sind Badewannen, Schwimmbder, Behlter und Dachelemente. Hohlkrper aus faserverstrkten Kunststoffen werden in einem weitgehend automatisierten Wickelverfahren hergestellt.
Dabei werden die Verstrkungsfasern ber einen Kern gewickelt. Im Trnkbad werden die von der Schlichte verklebten Rovings aufgefchert, mit Harz benetzt und in einer sog. Walkstrecke gut durchtrnkt. Um Bauteile maximaler Festigkeit bei minimalem Eigengewicht herzustellen, mssen die Fasern mglichst exakt in der spteren Hauptbelastungsrichtung liegen und der Kern mglichst gleichmßig bedeckt werden. Der Roving wird auf der sog. geodtischen Linie abgelegt (krzeste Verbindung zwischen zwei Punkten auf einer gekrmmten Oberflche). Schumverfahren. Im plastischen oder thermisch erweichten Zustand knnen Polymerwerkstoffe geschumt werden. Der Schumvorgang wird durch chemisch abgespaltene Gase, verdampfende Flssigkeiten oder Gaszusatz (chemische bzw. physikalische Treibmittel) unter Druck bewirkt (s. S 2.3.8). Prinzipiell lassen sich alle Kunststoffe verschumen. Wichtige Kunststoffe sind expandierbares Polystyrol PS-E (z. B. Styropor) fr Verpackungs- und Isolationszwecke und Polyurethanschume als Hart- und Weichschume fr leichte und steife Konstruktionen und Polsterzwecke. Geschumtes Polypropylen PP-E wird ebenfalls in der Verpackungstechnik eingesetzt. Der E-Modul geschumter Erzeugnisse nimmt annhernd proportional mit dem Feststoffgehalt ab, die Steifigkeit eines Werkstcks aber mit der dritten Potenz der Wanddicke zu; Bauteile mit poriger Struktur sind daher mehrfach steifer als massive Teile gleichen Gewichts. Sogenannte Struktur- oder Integralschume besitzen eine inhomogene Dichteverteilung derart, dass der Schaumstoffkern kontinuierlich in eine dichte Außenhaut bergeht. In Bild 6 sind einige Anwendungsgebiete fr Schume mit unterschiedlichen Raumgewichten aufgefhrt. Beim Thermoplastschaumguss (TSG) wird eine Formmasse mit geringen Mengen chemischer Treibmittel (z. B. Azodicarbonamid) im Spritzgussverfahren verarbeitet. Die mit Gas beladene Thermoplastschmelze schumt im nicht vollstndig gefllten Formnest auf. Die Außenhaut ist dabei weitgehend kompakt. Anwendung findet dieses TSG-Verfahren z. B. bei der Imitation von Holz in der Mbelindustrie. Weitere Verfahren sind das TSE-Extrusions- und TSB-Hohlkrperblasverfahren, MuCell-Verfahren nach Trexel. Reaktionsschaumguss (RSG) auch als RIM (Reaction-Injection-Moulding) bezeichnet wird nach folgenden Verfahrensschritten hergestellt: Dosieren der Reaktionspartner, Mischen, Einspritzen in die Werkzeugkavitt, Reaktion in der Kavitt unter Bildung des geschumten Formteils, Formteilentnahme. Ausgangsstoffe fr die Polyurethan-Schaumstoffe (PUR) sind Diisocyanate und Polyhydroxylverbindungen (Polyole). Verstrkte PUR-Strukturschaumstoff-Erzeugnisse werden im RRIM-(Reinforced Reaction-Injection-Moulding-)Verfahren gefertigt. Auch SMC-Harzmatten und BMC-Formmassen lassen sich durch mikroverkapselte physikalische Treibmittel aufschumen.
4.10.2 Umformen von Kunststoffen Unter Umformen versteht man die spanlose Formgebung von thermoplastischen Halbzeugen in Form von Folien, Platten und Rohren.
Bild 5. Extrusionsblasen (schematisch). 1 Extruder, 2 Trennmesser, 3 Werkzeug, 4 Luftzufuhr (Blasdorn)
Warmformen (Thermoformen) von Thermoplasten. Zum Warmformen wird thermoplastisches Halbzeug rasch und gleichmßig auf die Temperatur optimalen thermoelastischen Verhaltens aufgeheizt und mittels Vakuum, Druckluft bzw. mechanischer Krfte umgeformt und durch Abkhlung fixiert. Abgesehen von dem handwerklichen Warmformverfahren (Biegen, Ziehformen) arbeitet man meist mit automatisierten Thermoformmaschinen. Das Erwrmen des in einem
I4.10 Verarbeiten von Kunststoffen
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Bild 7 a, b. Vakuumformen. a Negativverfahren (Einsaugen in die Formhhlung), 1 Saugkanle, 2 Vakuum; b Positivverfahren (mit Vakuum und mechanischem Vorstrecken)
Bild 6. Anwendungsgebiete fr Schume mit unterschiedlichen Raumgewichten
Spannrahmen fest fixierten Halbzeugs erfolgt in der Regel mit Infrarot-Flchenstrahlern (Keramik- oder Quarzstrahler). Beim Warmformen unterscheidet man grundstzlich zwischen Negativ- und Positivverfahren, Bild 7. Bei der Negativformung wird das erwrmte Halbzeug in den konkaven Formhohlraum gesaugt oder gedrckt, beim Positivformen auf ein Konvex-Modell (Positiv-Formkern) gesaugt. Die am Werkzeug anliegende Seite wird glatter und maßgenauer. Die Spanne der so hergestellten Teile reicht von Verpakkungsbehltern bis hin zu Großformteilen wie Badewannen. Aus Tafeln werden meist großflchige Teile, wie z. B. Fassadenelemente, Sanitrzellen, Container, Khlgertegehuse, wirtschaftlich warmgeformt. Außerdem ist dieses Verfahren bedeutend fr Automobilteile. Fr meist kleine und leichtgewichtige Teile wird die hautenge Skinverpackungsart eingesetzt. Hierbei wird das zu verpackende Gut auf heißsiegelfhigem Karton der erwrmten Folie zugefhrt und diese mit Vakuum hauteng dem Gut angeformt. Bei der Blister-Packung wird das Packgut in durchsichtige vorgeformte Schalen gelegt und mit einer Kartongegenlage durch Heißsiegeln verbunden. Vorzugsweise werden die amorphen Thermoplaste PVC, PS, ABS, SB, SAN, PMMA, PC und die teilkristallinen Werkstoffe PP und PE aber auch Verbundfolien eingesetzt. 4.10.3 Fgen von Kunststoffen Schweißen. Werkstcke aus gleichen oder hnlichen thermoplastischen Kunststoffen werden dadurch verschweißt, dass man im Schweißbereich die Kunststoffe auf die Temperatur des viskosen Fließens erwrmt, zusammendrckt und die Verbindung unter Druck erkalten lsst (DIN 1910-3, DIN 16 9601). Eine einwandfreie Verbindung setzt meist artgleiche Kunststoffe voraus, da eine vergleichbare Viskositt der Schweißpartner erforderlich ist. Warmgasschweißen W. Grund- und Zusatzwerkstoff werden durch Warmgas in den plastischen Zustand berfhrt und unter Druck verschweißt, Bild 8 a. Anwendung findet dieses Verfahren bei der Musterfertigung, Einzelstckfertigung und bei großen Teilen. Apparatebauteile aus PE, PP und PVC sind oftmals mit einer V-, X- oder Kehl-Naht gefgt.
Heizelementschweißen H. Man erwrmt die Stoßflchen durch Andrcken an beschichtete metallische Heizelemente. Danach werden die plastifizierten Stoßflchen zusammengepresst, Bild 8 b. Dieses Verfahren eignet sich besonders fr Polyolefine (PE, PP). Temperaturempfindliche Werkstoffe wie z. B. PVC und POM sind wegen der langen Erwrmzeit bei relativ hohen Temperaturen weniger geeignet. Reibschweißen FR. Bei rotationssymmetrischen Teilen (bis ca. 100 mm Durchmesser) wird einer der Partner in Drehung versetzt und durch die Relativbewegung unter Druck ein Aufschmelzen an den Schweißflchen erreicht. Nach pltzlichem Abbremsen erkalten die Schweißflchen unter Beibehaltung eines Schweißdrucks, Bild 8 c. In schallgekapselten Maschinen zusammengespannte Fgeteile (bis ca. 500 mm Durchmesser, 60 bis 80 cm2 Schweißflche) werden beim Vibrationsschweißen durch elektromagnetisch erregte Schwinger mit 100 oder 240 Hz Frequenz um einige Winkelgrade angular oder linear gegeneinander gerieben, Bild 8 d. Eingesetzt wird diese Schweißtechnik u. a. bei Kraftstofftanks, Autostoßfngern und Gehusen. Ultraschallschweißen US. Ein piezoelektrischer oder magnetostriktiver Schwingungswandler setzt die hochfrequente Wechselspannung (20 bis 50 kHz) in mechanische Schwingungen um. Durch die Sonotrode wird die Amplitude dem Werkstck angepaßt und leitet die Schwingung ein, Bild 8 e. Das US-Verfahren kann vollautomatisiert in Taktstraßen eingebaut werden und eignet sich wegen der kurzen Schweißzeiten besonders fr Massenartikel in der Kfz-, Elektro- und Verpackungsindustrie (amorphe Kunststoffe bis ca. 350 mm, teilkristalline Kunststoffe bis ca. 150 mm Durchmesser). Metallteile (Inserts) lassen sich durch Ultraschall in vorgespritzte Bohrungen nachtrglich kostengnstig einsetzen. Hochfrequenzschweißen HF. Polare Kunststoffe, wie z. B. PVC, CA, mit hohen dielektrischen Verlusten lassen sich durch ein elektrisches Hochfrequenzfeld schnell erwrmen. Die bliche Schweißfrequenz ist 27 MHz, Bild 8 f. Hauptanwendungsgebiete sind flchige Formschweißungen von Weich-PVC-Folien, Hllen, Bucheinbnde, Konfektionsartikel, Regenbekleidung, Sitzgarnituren, Trverkleidungen. Laserschweißen als neues Verfahren mit hoher Schweißgeschwindigkeit und berhrungsloser Energiezufuhr fr Spezialverbindungen und Mikroformteilschweißungen. Kleben. Durch Kleben lassen sich auch unterschiedliche Materialien (artfremde) verbinden (z. B. Glas/Kunststoff, Keramik/Metall). Manchmal ist es das einzig mgliche Verfahren der Verbindungstechnik (s. G 1.3).
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chen. Formteilverzug kann oftmals durch verschiedene Versteifungsgeometrien minimiert werden, Bild 9. Toleranzen und zulssige Abweichungen fr Maße sind in DIN 16 901 fr Spritzguss-, Spritzpress- und Pressteile angegeben. Form-, Lage- und Profilabweichungen sind nicht enthalten. Fr die Festlegung von Toleranzen unterscheidet man nach werkzeuggebundenen Maßen (Maß nur in einer Werkzeughlfte) und nicht werkzeuggebundenen Maßen (z. B. in Werkzeugffnungsrichtung bzw. beweglichen Schiebern). Die werkzeuggebundenen Maße sind enger tolerierbar. In DIN 16 901 werden die verschiedenen Kunststoffe nach ihrem Schwindungsverhalten in Toleranzgruppen eingeteilt, Tab. 1. Es ist zu unterscheiden nach Maßen mit Allgemeintoleranzen (Maße ohne Toleranzangaben) und Maßen mit direkt eingetragenen Toleranzen (Maße mit Toleranzangaben). Es gilt Reihe 1 fr normalen Spritzguss, Reihe 2 fr Przisi-
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Bild 8 a–f. Schweißverfahren fr Thermoplaste. a Warmgasschweißen, 1 Zusatzstab, 2 Warmgas; b Heizelementschweißen, 1 Heizelement; c Reibschweißen, 1 Druckgeber, 2 Mitnehmer, 3 rotierendes Teil, 4 stehendes Teil; d Vibrationsschweißen; e Ultraschallschweißen, 1 Sonotrode, 2 Amboss; f Hochfrequenzschweißen
Beim Kleben von Kunststoffen wie von Metallen mssen eine klebgerechte Fgeteilgestaltung, eine Vorbehandlung der Fgeteiloberflchen, eine Auswahl der Klebstoffe und eine geeignete Auftragungstechnik erfolgen. Von besonderer Bedeutung bei Kunststoffen ist die Vorbehandlung der Fgeteiloberflchen. Jede Vorbehandlung dient dazu, die Oberflche so zu aktivieren, dass sie benetzbar und somit auch klebbar wird. Es werden verschiedene mechanische (schleifen, strahlen), chemische (entfetten, beizen) und physikalische (Bestrahlung, Wrmebehandlung) Verfahren vorgeschlagen. Eine Reinigung bzw. Entfettung der Oberflche kann mit Lsemitteln oder Splmitteln im Dampf-, Tauch- oder Ultraschall-Bad erfolgen. Bei bestimmten Kunststoffen (z. B. PP) hat sich das Vorbehandlungsverfahren „Koronaentladung“ in der Fertigung bewhrt. Hierbei wird ein Luftstrom zwischen zwei Elektroden (Spannung 7 kV) durchgeblasen und trifft als Strahl ionisierter Molekle auf die Kunststoffoberflche. Eine chemische Verankerung wird durch Haftvermittler erreicht (Silan-Haftvermittler).
4.11 Gestalten und Fertigungsgenauigkeit von Kunststoff-Formteilen Werkstoff- und fertigungsgerechtes Konstruieren von Formteilen ist unabdingbare Voraussetzung fr qualitativ hochwertige funktionssichere Bauteile (s. VDI-Richtlinien 2001 und 2006). Gestaltungsrichtlinien. Einfallstellen und Lunker (Vakuolen) im Formteil entstehen durch Massenanhufungen am Bauteil, die außerdem zur ungleichmßigen Abkhlung fhren und die Verzugsneigung erhhen (Ursache: Schwindungsdifferenzen). Zur Verringerung der Kerbwirkung sind Ausrundungsradien vorzusehen. Anschnittgeometrie und Anschnittlage haben Einfluss auf die Vorzugsorientierungen von Makromoleklen und faserartigen Zusatzstoffen und auf die Lage von Bindenhten, Zusammenflusslinien und Lufteinschlssen im Formteil. Eine konstruktiv ungnstig ausgelegte Werkzeugtemperierung kann zu unterschiedlichen Abkhlungsgradienten im Bauteil fhren und durch die auftretenden Schwindungsdifferenzen erheblichen Verzug am Teil verursa-
Bild 9 a–c. Versteifung von Formteilen. a Rippen- und Sickenkonstruktion, x 0;5 fr amorphe Thermoplaste, x 0;35 fr PA unverstrkt, x 0;25 fr PA-GF30; b Durchbiegung und Werkstoffeinsatz verschiedener Profilformen, 1 Werkstoffeinsatz, 2 Durchbiegung; c verschiedene Randgestaltung zur Erhhung der Eigensteifigkeit großflchiger Formteile
I4.12 Nachbehandlungen onsspritzguss. In Tab. 2 sind die zugehrigen Toleranzbreiten angegeben. Werkzeugtoleranzen, d. h. Toleranzen fr die Herstellung des Werkzeugs sind DIN 16 749 zu entnehmen; sie betragen max. 1/3 der Formteiltoleranzen. Aushebeschrgen und Nachbearbeitungsmglichkeiten sind zu beachten, ebenso die Verarbeitungsschwindung des verwendeten Kunststoffs.
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Tempern. Zum Abbau von Eigenspannungen und zur Nachkristallisation bei teilkristallinen Kunststoffen werden die Formteile nach dem Spritzgießen in Wrmeschrnken oder Temperierflssigkeiten (Paraffin- oder Siliconle) bei kunststoffspezifischen Temperaturen getempert. Bei Polyamidenbetrgt die Tempertemperatur ca. 150 C, bei POM-Formteilen liegt sie etwas niedriger. Die Temperzeit betrgt bis zu 24 Stunden.
Meist sind Formteile nach der Formgebung ohne weitere Bearbeitung einsatzfhig. Aus technischen oder dekorativen Grnden kann aber eine Nachbehandlung notwendig werden.
Oberflchenbehandlungen. Zur gezielten Vernderung der Oberflchen oder Oberflchenstruktur oder aus werbetechnischen Grnden kann nachfolgend noch Lackieren, Bedrucken, Heißprgen, Laserbeschriften, Galvanisieren, Bedampfen und Beflocken durchgefhrt werden.
Konditionieren. Formteile aus Polyamiden nehmen je nach Aufbau mehr oder weniger Feuchtigkeit auf und verndern damit insbesondere die mechanischen Eigenschaften (z. B. Schlagzhigkeit). Nach dem Spritzgießen werden deshalb viele Formteile aus Polyamiden in Wasser, Dampf oder Konditionierzellen auf einen bestimmten Feuchtegehalt eingestellt. Bei unverstrktem Polyamid strebt man einen Feuchtegehalt von 1,5% bis 3% an, bei verstrkten bis 1,5%.
Spangebende Bearbeitung. Kunststoffe knnen nach den fr Metalle bekannten Verfahren (s. S 4) spanend nachbearbeitet werden, jedoch sind besondere Werkzeuggeometrien und andere Schnittgeschwindigkeiten zu beachten. Bei Duroplasten und PTFE ist die spanende Bearbeitung die einzige Mglichkeit einer Formnderung nach der Herstellung. Bei Thermoplasten sind Rckfederungseffekte und Aufschmelzvorgnge zu beachten.
4.12 Nachbehandlungen
Tabelle 1. Zuordnung von Kunststoff-Formmassen zu Toleranzgruppen (DIN 16 901)
Tabelle 2. Toleranzbreiten fr Maße an Kunststoff-Formteilen (DIN 16 901)
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Werkstofftechnik – 5 Tribologie Tabelle 1. Reibungszahlen bei unterschiedlichen Reibungsarten und -zustnden
5 Tribologie K.-H. Habig, Berlin
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Tribologie ist die Wissenschaft und Technik von aufeinander einwirkenden Oberflchen in Relativbewegung (DIN 50 323, Teil 1). Diese Definition ist aus der englischen Originalfassung abgeleitet: Tribology – science and technology of interacting surfaces in relative motion and the practices related thereto [1]. Die Tribologie umfasst die Teilgebiete Reibung, Verschleiß und Schmierung. Sie steht in enger Beziehung zu den Werkstoffen der beteiligten Krper, deshalb ihre Behandlung in Teil E. delt es sich bei der Grenzschicht um einen vom Schmierstoff stammenden molekularen Film, so nennt man dies auch Grenzreibung.
5.1 Reibung Reibung ist eine Wechselwirkung zwischen sich berhrenden Stoffbereichen von Krpern. Sie wirkt einer Relativbewegung entgegen. Bei ußerer Reibung sind die sich berhrenden Stoffbereiche verschiedenen Krpern, bei innerer Reibung ein und demselben Krper zugehrig. Die Reibung tritt als Reibungskraft oder Reibungsenergie in Erscheinung. Das Verhltnis der Reibungskraft Ff zur wirkenden Normalkraft Fn wird als Reibungszahl f bezeichnet (s. G 4.5 und G 5.2). In Abhngigkeit von der Bewegungsart der Reibpartner unterscheidet man zwischen verschiedenen Reibungsarten (Bild 1) (s. B 1.11): Gleitreibung. Bewegungsreibung zwischen Krpern, deren Geschwindigkeiten in der Berhrungsflche nach Betrag und/ oder Richtung verschieden sind. Rollreibung. Idealisierte Bewegungsreibung zwischen sich punkt- oder linienfrmig berhrenden Krpern, deren Geschwindigkeiten in der Berhrungsflche nach Betrag und Richtung gleich sind und bei der mindestens ein Krper eine Drehbewegung um eine momentane, in der Berhrungsflche liegende Drehachse vollfhrt. Wlzreibung. Rollreibung, (Schlupf) berlagert ist.
der
eine
Gleitkomponente
Bohrreibung. Reibung zwischen sich punktfrmig (idealisiert) berhrenden Krpern, deren Geschwindigkeiten in der Berhrungsflche nach Betrag und/oder Richtung verschieden sind und bei der mindestens ein Krper eine Drehbewegung um eine senkrecht im Zentrum der Berhrungsflche stehende Achse ausfhrt. In Abhngigkeit vom Aggregatzustand der beteiligten Stoffbereiche treten unterschiedliche Reibungszustnde auf: Festkrperreibung. Reibung zwischen Stoffbereichen mit Festkrpereigenschaften in unmittelbarem Kontakt. Anmerkung: Findet die Reibung zwischen festen Grenzschichten mit modifizierten Eigenschaften, z. B. Reaktionsschichten statt, so nennt man dies Grenzschichtreibung. Han-
Bild 1 a–c. Bewegungsarten zwischen Reibpartnern. a Gleiten; b rollen, wlzen; c bohren. Fn Normalkraft, u Gleitgeschwindigkeit, w Winkelgeschwindigkeit
Flssigkeitsreibung. Reibung im Stoffbereich mit Flssigkeitseigenschaften (innere Reibung). Dieser Reibungszustand ist auch fr eine die Festkrper vollstndig trennende flssige Schmierstoffschicht zutreffend. Gasreibung. Reibung im Stoffbereich mit Gaseigenschaften (innere Reibung). Dieser Reibungszustand ist auch fr eine die Festkrper vollstndig trennende gasfrmige Schmierstoffschicht zutreffend. Mischreibung. Jede Mischform der Reibungszustnde, primr der Festkrper- und Flssigkeitsreibung. In Tab. 1 sind Bereiche von Reibungszahlen bei unterschiedlichen Reibungsarten und -zustnden wiedergegeben. Generell ist aber anzumerken, dass die Reibungszahl kein konstanter Kennwert eines Werkstoffs oder einer Werkstoffpaarung ist, sondern von den Beanspruchungsbedingungen und den Eigenschaften aller am Reibungsvorgang beteiligten stofflichen Elemente abhngt. Welchen Einfluss Flchenpressung, Gleitgeschwindigkeit und Temperatur bei Festkrpergleitreibung haben knnen, ist in Bild 2 am Beispiel der Festkrperreibung der Gleitpaarung PTFE/Stahl ersichtlich [2].
5.2 Verschleiß Reicht die Schmierfilmdicke nicht aus, um zwei Gleit- oder Wlzpartner vollstndig voneinander zu trennen, so tritt Verschleiß auf. Tribosysteme, die von vornherein ohne Schmierung betrieben werden wie z. B. Trockengleitlager, Reibungsbremsen, Transportanlagen fr mineralische Stoffe u. a. unterliegen einem allmhlichen Verschleiß. Im GfT1)-Arbeitsblatt 7 ist der Verschleiß definiert: „Verschleiß ist der fortschreitende Materialverlust aus der Oberflche eines festen Krpers, hervorgerufen durch mechanische Ursachen, d. h. Kontakt und Relativbewegung eines festen, flssigen oder gasfrmigen Gegenkrpers.“ Es folgen drei Hinweise: – Die Beanspruchung eines festen Krpers durch Kontakt und Relativbewegung eines festen, flssigen oder gasfrmigen Gegenkrpers wird auch als tribologische Beanspruchung bezeichnet. – Verschleiß ußert sich im Auftreten von losgelsten kleinen Teilchen (Verschleißpartikel) sowie in Stoff- und Formnderungen der tribologisch beanspruchten Oberflchenschicht. – In der Technik ist Verschleiß normalerweise unerwnscht, d. h. wertmindernd. In Ausnahmefllen, wie z. B. bei Einlaufvorgngen, knnen Verschleißvorgnge jedoch auch
1)
Gesellschaft fr Tribologie e.V., Aachen.
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Systemanalyse von Reibungs- und Verschleißvorgngen
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Verschleißerscheinungsformen. Die sich durch Verschleiß ergebenden Vernderungen der Oberflchenschicht eines Krpers sowie Art und Form der anfallenden Verschleißpartikel. Verschleiß-Messgrßen. Die Verschleiß-Messgrßen kennzeichnen direkt oder indirekt die nderung der Gestalt oder Masse eines Krpers durch Verschleiß. Verschleiß wird letztlich durch das Wirken der Verschleißmechanismen hervorgerufen. Vier Verschleißmechanismen werden als besonders wichtig angesehen [3] (s. E 1.2.3): Adhsion. Bildung und Trennung von atomaren Bindungen (Mikroverschweißungen) zwischen Grund- und Gegenkrper. Tribochemische Reaktion. Chemische Reaktion von Grundund/oder Gegenkrper mit Bestandteilen des Schmierstoffs oder Umgebungsmediums infolge einer reibbedingten, chemischen Aktivierung der beanspruchten Oberflchenbereiche. Abrasion. Ritzung und Mikrozerspanung des Grundkrpers durch harte Rauheitshgel des Gegenkrpers oder durch harte Partikel des Zwischenstoffs. Oberflchenzerrttung. Rissbildung, Risswachstum und Abtrennung von Partikeln infolge wechselnder Beanspruchungen in den Oberflchenbereichen von Grund- und Gegenkrper. Bild 2. Reibungszahl f einer PTFE-Stahl-Gleitpaarung. p Flchenpressung, u Gleitgeschwindigkeit, Stahl: Rz ¼ 0;03 mm, Umgebungsmedium: synth. Luft, 1 Ta ¼ 23 C, 2 Ta ¼ 70 C
technisch erwnscht sein. Bearbeitungsvorgnge als wertbildende, technologische Vorgnge gelten in Bezug auf das herzustellende Werkstck nicht als Verschleiß, obwohl im Grenzflchenbereich zwischen Werkzeug und Werkstck tribologische Prozesse wie beim Verschleiß ablaufen. In dem GFT-Arbeitsblatt 7 sind außerdem folgende, fr den Verschleiß wichtige Grundbegriffe enthalten: Verschleißarten. Unterscheidung der Verschleißvorgnge nach Art der tribologischen Beanspruchung und der beteiligten Stoffe. Verschleißmechanismen. Beim Verschleißvorgang ablaufende physikalische und chemische Prozesse.
Bild 3. Schematische Darstellung eines tribologischen Systems
Die Verschleißmechanismen knnen einzeln, nacheinander oder sich berlagernd auftreten. Tab. 2 zeigt eine Zuordnung der Verschleißmechanismen zu den unterschiedlichen Verschleißarten.
5.3 Systemanalyse von Reibungsund Verschleißvorgngen Reibung und Verschleiß hngen von einer Flle von Einflussgrßen ab, die sich am besten mit der Methodik der Systemanalyse ordnen lassen (Bild 3) [4]. Danach sind Reibung und Verschleiß als Verlustgrßen eines Tribosystems anzusehen, in dem bestimmte Eingangsgrßen, die fr das Beanspruchungskollektiv maßgebend sind, ber die Struktur des Tribosystems in Nutzgrßen transformiert werden. Durch die Transformation wird die Funktion des Tribosystems realisiert.
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Werkstofftechnik – 5 Tribologie
Tabelle 2. Verschleißarten und Verschleißmechanismen nach DIN 50 320
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5.3.1 Funktion von Tribosystemen Tribosysteme werden zur Verwirklichung unterschiedlicher Funktionen eingesetzt. Ein Lager hat z. B. Krfte aufzunehmen und dabei eine Bewegung zu ermglichen. Mit Reibungsbremsen sollen dagegen Bewegungen gehemmt werden. Getriebe dienen zur bertragung von Drehmomenten oder zur Vernderung von Drehzahlen; mit Steuergetrieben knnen Informationen weitergegeben werden. Zu den mglichen Funktionen gehren auch die Gewinnung, der Transport und die Verarbeitung von Rohstoffen. Die Angabe ber die Funktion von Tribosystemen ist deshalb ntzlich, weil sie schon gewisse Vorstellungen ber die Art der Bauteile und die verwendeten Werkstoffe vermittelt. Besteht die Funktion eines
Tribosystems z. B. darin, einen elektrischen Stromkreis zu ffnen und zu schließen, so werden dazu hufig Schaltkontakte bentigt, die aus besonderen Kontaktwerkstoffen hergestellt werden. 5.3.2 Beanspruchungskollektiv Die wichtigsten Grßen des Beanspruchungskollektivs knnen Bild 3 entnommen werden. Bei den Bewegungsarten kann man analog zu den Reibungsarten zwischen „Gleiten, Rollen, Wlzen, Bohren“ unterscheiden. Es kommen aber noch andere Arten der Bewegung, wie „Stoßen, Prallen oder Strmen“ hinzu. Der Bewegungsablauf kann kontinuierlich, intermittierend, oszillierend oder rever-
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Schmierstoffe
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sierend sein. Aus der Normalkraft lsst sich bei Kenntnis der Abmessungen der Bauteile, der Elastizittsmoduln der verwendeten Werkstoffe und des Reibungskoeffizienten die Werkstoffanstrengung ermitteln. Als Geschwindigkeit ist einerseits die Relativgeschwindigkeit zwischen Grund- und Gegenkrper von Bedeutung; fr die Wrmeabfuhr interessiert andererseits, ob Grund- und Gegenkrper oder nur ein Krper bewegt sind. Neben der Beanspruchungsdauer (oder Beanspruchungsweg) sind auch die Stillstandszeiten zu beachten, in denen sich die Eigenschaften der Oberflchenbereiche z. B. durch Korrosion verndern knnen.
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5.3.3 Struktur tribologischer Systeme Innerhalb der Struktur von Tribosystemen knnen i. Allg. vier Bauteile oder Stoffe unterschieden werden, die als Elemente bezeichnet werden (Bild 3). Grund- und Gegenkrper sind in jedem Tribosystem vorhanden, whrend der Zwischenstoff oder das Umgebungsmedium u. U. entfllt. Zur Reibungs- und Verschleißminderung wird als Zwischenstoff in zahlreichen praktischen Anwendungen ein Schmierstoff verwendet. Der Zwischenstoff kann aber auch aus harten Partikeln bestehen, z. B. aus Erz, das in einer Kugelmhle zermahlen wird. Fr den Verschleißschutz ist hufig eine Unterscheidung zwischen offenen und geschlossenen Tribosystemen sinnvoll. Bei offenen Tribosystemen wird z. B. die Oberflche eines Werkzeugs durch fortlaufend neue Oberflchenbereiche des zu bearbeitenden Werkstcks beansprucht. Seine Funktion hngt in erster Linie vom Verschleiß des als Grundkrper dienenden Werkzeugs ab, whrend durch den Gegenkrper die Beanspruchung erzeugt wird, ohne dass sein Verschleiß interessiert. Bei geschlossenen Tribosystemen, z. B. einer Nocken-StßelPaarung, kommen dagegen die Oberflchenbereiche beider Partner wiederholt zum Eingriff. Die Funktionsfhigkeit hngt vom Verschleiß des Nockens und des Stßels ab. – Die Elemente sind durch ihre Eigenschaften zu charakterisieren, wobei man zwischen Stoff- und Formeigenschaften sowie zwischen Volumen- und Oberflcheneigenschaften unterscheiden muss. Reibung und Verschleiß sind letztlich durch die Wechselwirkungen zwischen den Elementen bedingt, die durch den Reibungszustand (vgl. E 5.1) und die Verschleißmechanismen (vgl. E 5.2) gekennzeichnet sind.
5.3.4 Tribologische Kenngrßen Die tribologischen Kenngrßen dienen zur quantitativen und qualitativen Kennzeichnung von Reibungs- und Verschleißvorgngen. Die Reibung wird durch die Reibungskraft FR bzw. die Reibungszahl f charakterisiert. Die Reibungskraft FR hngt von den Grßen des Beanspruchungskollektivs B und der Systemstruktur S ab. Es gilt daher FR ¼ f ðB; SÞ: Eine hnliche Beziehung kann man fr den Verschleißbetrag W aufstellen W ¼ f ðB; SÞ: Stellt man den Verschleißbetrag ber der Beanspruchungsdauer dar, so ergeben sich hufig zwei unterschiedliche Kurvenverlufe, Bild 4. In der Einlaufphase kann ein erhhter Einlaufverschleiß auftreten, der allmhlich abklingt und in einen lang andauernden Beharrungszustand mit einem konstanten Anstieg des Verschleißbetrags (konstante Verschleißrate) bergeht, ehe ein progressiver Anstieg den Ausfall ankndigt, Bild 4 a.
Bild 4 a, b. Verschleißbetrag in Abhngigkeit von der Beanspruchungsdauer
Ist primr die Oberflchenzerrttung als Verschleißmechanismus wirksam, so tritt ein messbarer Verschleiß hufig erst nach einer Inkubationsperiode auf, in der mikrostrukturelle Vernderungen, Rissbildung und Risswachstum erfolgen, ehe Verschleißpartikel abgetrennt werden, Bild 4 b. Da der Verschleiß immer eine Folge des Wirkens der Verschleißmechanismen ist, sollte neben der Angabe des Verschleißbetrags oder der Verschleißrate auch die Verschleißerscheinungsform in Form von licht- oder rasterelektronenmikroskopischen Aufnahmen dargestellt werden, aus denen man die Konstellation der Verschleißmechanismen entnehmen kann. Nur so ist es mglich, die Ergebnisse einer Verschleißprfung fr andere, hnliche Flle nutzbar zu machen. 5.3.5 Checkliste zur Erfassung der wichtigsten tribologisch relevanten Grßen Es wurde gezeigt, dass Reibung und Verschleiß von einer Flle von Einflussgrßen abhngen. Zur reproduzierbaren Durchfhrung von Reibungs- und Verschleißuntersuchungen in Betrieb und Labor ist es zweckmßig, die wichtigsten Grßen tabellarisch zu erfassen. Hierzu kann (Tab. 3) als Anleitung dienen.
5.4 Schmierung Die wichtigste Maßnahme zur Einschrnkung von Reibung und Verschleiß besteht in der Schmierung, wobei eine vollstndige Trennung von Grund- und Gegenkrper anzustreben ist. Dies gelingt z. B. bei Gleitlagern durch eine hydrodynamische Schmierung (G 5), die sich bei einer richtigen Kombination von lviskositt, Geschwindigkeit, Pressung und konstruktiver Gestaltung erreichen lsst. Bei Wlzlagern, Zahnradgetrieben und anderen kontraformen Kontakten, ist in vielen Fllen eine Trennung von Grund- und Gegenkrper durch einen elastohydrodynamischen Schmierfilm mglich, der durch die exponentielle Zunahme der Schmierstoffviskositt mit steigendem Druck und einer elastischen Deformation der Kontaktpartner an der laustrittsseite erzeugt wird. Zur Berechnung sei auf die einschlgige Literatur [3, 5–9], verwiesen.
5.5 Schmierstoffe Schmierstoffe dienen zur Reibungs- und Verschleißminderung in tribologischen Systemen. Sie werden in unterschiedli-
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Werkstofftechnik – 5 Tribologie
Tabelle 3. Checkliste zur Erfassung der fr Reibung und Verschleiß wichtigen Grßen
chen Aggregatzustnden als Schmierle, Schmierfette oder Festschmierstoffe eingesetzt. Gelegentlich werden auch Wasser oder flssige Metalle als Schmierstoffe verwendet, wobei die Betriebsbedingungen hufig die Bildung eines die Kontaktpartner trennenden, hydrodynamisch erzeugten Films zulassen. 5.5.1 Schmierle
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Schmierle knnen nach ihrer Herkunft unterteilt werden in Mineralle, tierische und pflanzliche le, synthetische le, sonstige. Mineralle, die aus Erdl und teilweise aus Kohle gewonnen werden knnen, besitzen die grßte Bedeutung. Sie bestehen aus Paraffinen, Naphtenen oder Aromaten. Tierische und pflanzliche le wie Rizinusl, Fischl, Olivenl u. a. werden fr spezielle Anwendungen, z. B. in der Feinwerktechnik, verwendet. Synthetische le gewinnen fr die Schmierung bei hohen Temperaturen und zur Reibungsminderung an Bedeutung. Hier sind besonders zu nennen: Polyetherle (Polyalkylenglycole, Perfluorpolyalkylether, Polyphenylether), Carbonsureester, Esterle, Phosphorsureester, Siliconle, Halogenkohlenwasserstoffe. Damit die Schmierle ihre komplexen Aufgaben erfllen knnen, mssen sie eine Reihe physikalischer und chemischer Eigenschaften besitzen [10, 11]. Eigenschaften von Schmierlen Viskositt. Fr die Erzielung eines hydrodynamischen oder elastohydrodynamischen Schmierungszustands ist die Viskositt von entscheidender Bedeutung; sie ist ein Maß fr die innere Reibung des Schmierls. Entsprechend B 6.2 gilt fr die – dynamische Viskositt h ¼ t=ðdu=dzÞ ¼ t=D; – kinematische Viskositt u ¼ h=r: Hierin sind t Schubspannung, die bei Scherung einer laminaren Strmung entsteht, D ¼ du=dz Scher- bzw. Geschwindigkeitsgeflle, r Dichte des ls. Einheit der dynamischen Viskositt h : 1 Pa s (= 10 Poise) und Einheit der kinematischen Viskositt u : m2 =s (= 104 Stokes). Die Viskositt ist keine reine Stoffkonstante, sondern i. Allg. von verschiedenen Parametern wie z. B. dem Geschwindigkeits- bzw. Schergeflle D, der Zeit t, der Temperatur T und dem Druck p abhngig. Besteht keine Abhngigkeit der Viskositt vom Schergeflle, so spricht man von Newtonschen Flssigkeiten bzw. Newtonschen Schmierlen. Hierzu gehren reine Mineralle sowie synthetische le vergleichbarer Molekularmassen. Schmierle, deren Viskositt vom Schergeflle abhngt, bezeichnet man als Nichtnewtonsche le. Nimmt die Viskositt mit steigendem Schergeflle ab, so handelt es sich um strukturviskose le. Der Zusatz von Additiven zu Newtonschen Grundlen kann Strukturviskositt hervorrufen, z. B. der Zusatz von Polymeren zu Motoren- oder Industrielen zur Verbesserung des sog. Viskosittsindexes. Ist die Viskositt von der Zeit t abhngig, so ist zu unterscheiden zwischen: Thixotropie. Abnahme der Viskositt infolge andauernder Scherbeanspruchung und Wiederzunahme nach Aufhren der Beanspruchung. Rheopexie. Zunahme der Viskositt infolge andauernder Scherung und Wiederabnahme nach Aufhren der Beanspruchung.
I5.5 Die Viskositt von Schmierlen nimmt mit steigender Temperatur ab, so dass bei jeder Viskosittsmessung die Temperatur angegeben werden muss: Die Temperaturabhngigkeit der Viskositt kann durch verschiedene Nherungsformeln angegeben werden. Fr Schmierle wird hufig die Transformation nach Ubbelohde-Walther benutzt: lglgðu þ CÞ ¼ K m lgT: Hierbei bedeuten u die kinematische Viskositt, C eine Konstante (fr Mineralle: 0,6 bis 0,9), K eine Konstante, m die Steigung der Geraden bei einer Darstellung in entsprechend skalierten Viskositts-Temperaturblttern und T die absolute Temperatur in K, Anh. E 5 Bild 1, Bild 2. Zur Beschreibung der Druckabhngigkeit der Viskositt wird hufig die folgende Beziehung benutzt: hp ¼ h0 expða pÞ; wobei h0 die Viskositt bei 1 bar, a den sog. Viskosittsdruckkoeffizienten und p den Druck darstellen. Die Viskositt nimmt demnach sehr stark (exponentiell) mit steigendem Druck zu, Anh. E 5 Tab. 1. Dichte. Sie wird fr die Umrechnung der dynamischen in die kinematische Viskositt bentigt. Verschiedene Methoden zu ihrer Bestimmung sind in DIN 51 757 angegeben. Die Dichte ist temperatur- und druckabhngig (s. B 5). Viskosittsindex. Er ist nach DIN ISO 2909 eine Maßzahl zur Charakterisierung der Temperaturabhngigkeit der Viskositt. Er wurde 1928 mit einer Skala zwischen 0 und 100 eingefhrt, wobei das l mit der damals bekannten strksten Temperaturabhngigkeit der Viskositt einen Viskosittsindex VI = 0 und das l mit der geringsten Viskositts-Temperaturabhngigkeit den Viskosittsindex 100 hatte. Infolge verbesserter Raffinationsverfahren und der Entwicklung von synthetischen len wird der Viskosittsindex von 100 heute deutlich berschritten. Scherstabilitt. Durch den Zusatz von llslichen Polymeren kann die Viskositt von Schmierlen erhht bzw. ihr Viskosittsindex verbessert werden. Infolge von Scherprozessen knnen die Polymermolekle zerstrt werden, wodurch ein Viskosittsabfall eintritt. Um den durch Scherung bedingten irreversiblen Viskosittsabfall zu prfen, werden Beanspruchungen im Zahnradverspannungsprfstand, in Laborprfstnden mit Hochdruckhydraulik, in Hochdruck-Diesel-Einspritzaggregaten nach DIN 51 382 u. a. vorgenommen. Cloud- und Pour-Point. Die Fließfhigkeit von Schmierlen nimmt mit sinkender Temperatur ab. Der Cloud-Point gibt die Temperatur an, bei der sich ein l unter festgelegten Prfbedingungen nach ISO 3015 zu trben beginnt. Der Pour-Point stellt die Temperatur dar, bei der das l gerade noch fließt (ISO 3016). Neutralisationsvermgen. Schmierle knnen alkalische und saure Bestandteile enthalten. Saure Komponenten in Frischlen knnen von der Raffination oder von Schmierstoffadditiven stammen. Sie knnen auch whrend des Betriebs durch Oxidation des Schmierls gebildet werden. Alkalisch wirkende Zustze werden insbesondere Motorlen zugegeben, um saure Verbindungen zu neutralisieren, die durch Verbrennungsvorgnge im Motor entstehen. Neutralisationszahl NZ. Menge an Kaliumhydroxid in mg, die notwendig ist, um die in 1 g l vorhandenen Suren zu neutralisieren. Dazu wird nach DIN 51 558, Teil 1 eine 0,1 M-KOH-Lsung langsam zu einer Lsung des ls gegeben (Titration), bis der Umschlag des Indikators p-Naphtholbenzoin die Neutralisation anzeigt.
Schmierstoffe
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Gesamtbasenzahl, Total base number TBN. Suremenge, die notwendig ist, um die basischen Anteile des ls zu neutralisieren. Sie wird angegeben in der quivalenten Menge Kaliumhydroxid, die der Suremenge von 1 g l entspricht. Die Bestimmung der TBN erfolgt nach ISO 3771 durch elektrometrische Titration. Flammpunkt. Der Flammpunkt ist die niedrigste Temperatur, bei der sich aus der zu prfenden lprobe unter festgelegten Bedingungen Dmpfe in solcher Menge entwickeln, dass sie mit der ber dem Flssigkeitsspiegel liegenden Luft ein entflammbares Gemisch bilden. Liegt der Flammpunkt ber 79 C, so kann zu seiner Bestimmung die in DIN ISO 2592 genormte Methode nach Cleveland angewandt werden, bei der das l in einem offenen Tiegel erhitzt wird. le mit niedrigeren Flammpunkten werden im geschlossenen Tiegel nach Abel-Pensky (DIN 51 755, Flammpunkt 5 bis 65 C) untersucht. Der Flammpunkt ist fr das Schmierungsverhalten ohne Bedeutung. Wrmekapazitt cp und Wrmeleitfhigkeit l . Diese sind fr die Berechnung des Wrmehaushalts und -transports von Bedeutung. Beide Grßen sind temperaturabhngig, Anh. E 5 Bild 3 und Bild 4. Luft im Schmierl. Schmierle knnen teilweise betrchtliche Mengen Luft lsen. Die Lslichkeit ist schwach temperatur- und stark druckabhngig. Das gelste Luftvolumen kann nach dem Henry-Daltonschen Gesetz ermittelt werden VLuft ¼ K Vl p2 =p1 : Der Bunsenkoeffizient K liegt fr Mineralle zwischen 0,07 und 0,09, fr Silikonle zwischen 0,15 und 0,25. Neben gelster Luft knnen Schmierle im Betrieb auch Luft in Form einer fein verteilten zweiten Phase enthalten, wofr die Bezeichnung Aeroemulsion, Luftemulsion oder Kugelschaum verwendet wird. Im Gegensatz zu gelster Luft verschlechtern Aeroemulsionen das tribologische Verhalten, da Viskositt und Wrmeleitfhigkeit vermindert und Oxidationsprozesse sowie Kavitationserscheinungen verstrkt werden. Außerdem kann der ltransport beeintrchtigt werden. Besonders nachteilig wirkt sich ein stabiler Oberflchenschaum aus, der durch Wandern der Aeroemulsion an die Oberflche entstehen kann. Die Bestimmung des Luftabscheidevermgens (Aeroemulsion) kann nach DIN 51 381 erfolgen. Wasser im Schmierl. Schmierle sollten grundstzlich wasserfrei sein, da Wasser die lalterung und die Korrosion der Werkstoffe beschleunigt sowie die Schmierfilmbildung beeintrchtigt. Die Bestimmung des Wassergehalts kann nach DIN ISO 3733 oder DIN 51 777 erfolgen. Feste Fremdstoffe im Schmierl. Feste Fremdstoffe haben je nach ihrer Hrte, Grße und Menge eine negative Wirkung, weil sie lbohrungen und Filter verstopfen knnen und Verschleiß durch Abrasion hervorrufen. Metallische Fremdpartikel beschleunigen hufig die loxidation. Die Bestimmung des Gehalts an Fremdstoffen erfolgt i. allg. mit einem Zentrifugierverfahren nach DIN 51 365 oder einem Membranfilterverfahren. Schmierstoffadditive. Diese sind Zusatzstoffe, die das Gebrauchsverhalten von Schmierlen verbessern. Sie knnen von ihrer Funktion her in zwei Gruppen eingeteilt werden (Tab. 4): Zustze, die die tribologisch relevanten Eigenschaften der Schmierstoffe verbessern, wie das Viskositts-Temperatur-Verhalten oder das Reibungs- und Verschleißverhalten unter Grenz- oder Mischreibungsbedingungen und Zustze, die andere wichtige Gebrauchseigenschaften beeinflussen, wie z. B. Oxidationsinhibitoren, Detergentien, Schaumverhtungsmittel u. a.
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Werkstofftechnik – 5 Tribologie
Tabelle 4. Zusammenstellung wichtiger Schmierstoffadditive
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Additive knnen sich in ihrer Wirkung gegenseitig untersttzen und synergetisch wirken oder sich beeintrchtigen und somit antagonistisch wirken. Moderne Additive weisen hufig mehrere Funktionen auf, wodurch die Gefahr ihrer gegenseitigen Strung vermindert wird.
legt, fr die le 20 bis 50 nur die Viskosittswerte bei 100 C. Durch Kombination der Klassen 5 W bis 20 W mit den Klassen 20 bis 50 knnen sog. Mehrbereichsle gebildet werden, die infolge ihres verbesserten Viskositts-Temperaturverhaltens mehrere Viskosittsklassen berdecken und damit einen Winter- und Sommerbetrieb ermglichen.
Einteilung der Schmierle Nach ihrer Anwendung knnen die Schmierle folgendermaßen unterteilt werden: – Maschinenschmierle, – Zylinderle, – Turbinenle (s. R 8.5.3), – Motorenle, – Getriebele (s. G 8.3), – Kompressorenle, – Umlaufle, – Hydraulikle (s. H 1.2), – Metallbearbeitungsle, Khlschmierstoffe (s. S 4.3.1), – Textil- und Textilmaschinenle. Ausfhrliche Angaben zu den len sind in den DIN-Taschenbchern 20, 32, 57, 58, 192 und 228 enthalten. Die grßte Gruppe der Schmierle stellen die Motorenle dar, die nach ihrer Viskositt klassifiziert werden. Die Klassifizierung wurde von der Society of Automative Engineers (SAE) in Zusammenarbeit mit der Society for Testing and Materials (ASTM) erstellt und von der DIN 51 511 bernommen, Anh. E 5 Tab. 2. Fr die SAE-Viskosittsklassen 5 W bis 20 W sind die Viskosittswerte bei 18 und 100 C festge-
5.5.2 Schmierfette Schmierfette sind feste oder halbflssige Produkte einer Dispersion aus einem eindickenden Stoff und einem flssigen Schmierstoff. In der Schmierungstechnik erfllen sie vor allem folgende Aufgaben. – Abgabe einer hinreichenden Menge von flssigem Schmierstoff durch langsame Separation, um Reibung und Verschleiß ber weite Temperaturbereiche und lange Zeitrume zu verhindern, – Abdichtung gegen Wasser und Fremdpartikel. Die meisten Schmierfette bestehen aus einer Seife (Alkalioder Erdalkaliseife) mit 4 bis 20 Massenprozent, dem Schmierl mit 75 bis 95 Massenprozent und Additiven mit 0 bis 5 Massenprozent. Konsistenzklassen. Nach ihrer Verformbarkeit (Walkpenetration) werden die Schmierfette in unterschiedliche NLGIKonsistenzklassen eingeteilt (NLGI: National Lubrication Grease Institute), Anh. E 5 Tab. 3 nach DIN 51 818. Die Konsistenz wird nach ISO 2137 durch das Eindringen (Penetration) eines Standardkonus in eine Schmierfettprobe
I6.1 unter definierten Prfbedingungen ermittelt, indem die Eindringtiefe nach einer bestimmten Eindringdauer gemessen wird. Fließverhalten. Das Fließverhalten von Schmierfetten kann durch die Konsistenzklassen nur unzureichend beschrieben werden. Bei den Schmierfetten handelt es sich um Stoffe mit nichtnewtonschem Fließverhalten, das von der Temperatur, dem Schergeflle, der Scherzeit und der Vorgeschichte abhngt. Im Allgemeinen nimmt die Viskositt von Schmierfetten mit steigendem Schergeflle und zunehmender Scherzeit ab. Anwendungen. Schmierfette werden im Temperaturbereich von 70 bis ca. 350 C zur Schmierung von Maschinenelementen wie Wlz- und Gleitlagern, Gleitbahnen, Getrieben u. a. eingesetzt, wobei sie gleichzeitig zum Abdichten dienen.
5.5.3 Festschmierstoffe Festschmierstoffe liegen in festem Aggregatzustand vor. Sie werden zur Schmierung unter extremen Bedingungen wie z. B. bei sehr hohen oder sehr tiefen Temperaturen, in aggressiven Medien, im Vakuum u. a. bentigt. Festschmierstoffe bestehen aus folgenden Gruppen von Stoffen: – Verbindungen mit Schichtgitterstruktur. Dazu gehren: Graphit, Molybdndisulfid, Dichalcogenide, Metallhalogenide, Graphitfluorid, hexagonales Bornitrid, – oxidische und fluoridische Verbindungen der bergangsund Erdalkalimetalle. Dazu gehren: Bleioxid, Molybdnoxid, Wolframoxid, Zinkoxid, Cadmiumoxid, Kupferoxid, Titandioxid u. a., Calciumfluorid, Bariumfluorid, Strontiumfluorid, Lithiumfluorid, Natriumfluorid, – weiche Metalle, wie Blei, Indium, Silber u. a., – Polymere, insbesondere Polytetrafluorethylen (PTFE). Besondere Bedeutung kommt den Festschmierstoffen zu, die vollstndig oder teilweise aus Graphit oder Molybdndisulfid bestehen. Bei der Anwendung von Graphit ist darauf zu achten, dass es nur dann eine niedrige Reibung aufweist, wenn in seinem Gitter Wassermolekle gelst sind, die die Scherfes-
6 Korrosion und Korrosionsschutz von Metallen H. Speckhardt und M.Gugau, Darmstadt
6.1 Einfhrung Korrosion begrenzt die Funktionstchtigkeit und die Betriebssicherheit von Bauteilen, Gerten und Anlagen. Sie schrnkt die Verfgbarkeit und die Lebensdauer ein und fordert zum Teil kostspielige Maßnahmen des Korrosionsschutzes, der Wartung und der berwachung. Gleichzeitig muss beachtet werden, dass durch korrosive Wechselwirkung mit Behltern oder Rohrwandungen dort gelagerte oder transportierte Produkte verunreinigt werden knnen. Eine absolute Korrosionsbestndigkeit existiert nicht. Bei allen quantitativen Angaben ber das Korrosionsverhalten eines Werkstoffes muss stets das System Werkstoff/Medium/Betriebsbedingungen (Beanspruchung) bercksichtigt werden. Neben Metallen knnen auch andere Werkstoffgruppen wie Polymere, Keramik oder Beton Korrosion erfahren. In DIN EN ISO 8044 werden die in der Korrosions- und Korrosionsschutztechnik blichen Begriffe definiert. Hiernach
Einfhrung
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tigkeit der hexagonalen Basisflchen herabsetzen. Im Vakuum ist Graphit daher als Festschmierstoff nicht geeignet, Bild 5. Dagegen besitzt Molybdndisulfid im Vakuum besonders niedrige Reibungszahlen, whrend es in feuchter Luft hhere Reibungszahlen hat und vor allem bei hheren Temperaturen zersetzt wird [11]. Bei der Anwendung von PTFE ist darauf zu achten, dass die Reibungszahl mit steigender Gleitgeschwindigkeit stark zunimmt, Bild 2.
E 5.6 Tribotechnische Werkstoffe In der Tribologie werden alle Werkstoffgruppen eingesetzt: metallische, keramische und polymere Werkstoffe, Verbundwerkstoffe und Oberflchenschutzschichten. Eine einigermaßen umfassende Darstellung wrde den Rahmen dieses Kapitels bei weitem sprengen. Daher sei hier auf das TribologieHandbuch Reibung und Verschleiß [3] verwiesen.
Bild 5. Reibungszahl von 1 Graphit und 2 Molybdndisulfid [12]
versteht man unter Korrosion die „Reaktion eines metallischen Werkstoffs mit seiner Umgebung, die eine messbare Vernderung des Werkstoffs bewirkt und zu einer Beeintrchtigung der Funktion eines metallischen Bauteils oder eines ganzen Systems fhren kann“. Durch Korrosion entstehen jhrlich in allen Industrienationen Kosten, die auf etwa 3,5% des Bruttosozialproduktes geschtzt werden. Die volkswirtschaftliche Belastung in Deutschland beluft sich demnach auf etwa 15 Mrd. Euro/ Jahr. Man geht davon aus, dass durch bessere Nutzung vorhandener Kenntnisse und Techniken etwa 25% dieses Betrages, also etwa 4 Mrd. Euro jhrlich, eingespart werden knnten. Hierbei sind vor allem die beanspruchungsgerechte Auswahl von Werkstoff und Oberflchenbehandlung bzw. anderer Korrosionsschutzmaßnahmen sowie die Pflege und Wartung korrosionsgefhrdeter Anlagen und die Festlegung evtl. erforderlicher Revisionsintervalle von Bedeutung. Zur Beschreibung von Korrosionsschden werden die durch Korrosion bewirkte Beeintrchtigung der Funktion, das Erscheinungsbild des Schadens (flchig, muldenfrmig, lochfraßartig) und unter Umstnden auch der festzustellende Masseverlust angegeben. Bei Stahl entspricht z. B. eine Masseverlustrate von 1 g/m2 h einer Abtragsrate von etwa 1 mm/a. Dies gilt jedoch nur dann, wenn gleichmßig verlaufende
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flchige Korrosion vorliegt. Im Falle von z. B. lochfraßartiger Korrosion oder Korrosion in Spalten ist die Angabe eines auf die Gesamtflche bezogenen Masseverlustes irrefhrend.
6.2 Mechanismen der Korrosion
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Bei Metallen unterscheidet man im wesentlichen drei große Gruppen von Korrosionsreaktionen, die je nach dem vorliegenden System Werkstoff/Medium/Betriebsbedingungen (Beanspruchung) verschieden ablaufen. Die Korrosionsreaktionen sind (Bild 1): 1. Chemische Reaktionen beim Zusammentreffen von Metall mit reaktionsfhigen Gasen (Luftsauerstoff, Chlorgas, Schwefelwasserstoff, Schwefeldioxid, Bestandteile heißer Verbrennungsgase), was je nach System zur Oxidation oder zum Zundern, Sulfidieren, „Chlorbrand“ von Titan durch exotherme Reaktion mit trockenem Chlorgas fhrt. 2. Chemisch-metallphysikalische Reaktionen zwischen spezifischen metallischen Werkstoffen und Wasserstoffgas bei der sogenannten Druckwasserstoffschdigung von Sthlen mit Korngrenzzementit und Perlit sowie bei der sogenannten Wasserstoffkrankheit von sauerstoffhaltigem Kupfer durch Reduktion und Rissbildung. 3. Elektrochemische Reaktionen beim Zusammentreffen von Metallen mit elektrolytisch leitenden Medien (z. B. wssrige Lsungen und Salzschmelzen). Das elektrochemische Korrosionselement besteht aus einer „anodischen“ und einer „kathodischen“ Flche, die elektronenleitend miteinander verbunden sind und von demselben Elektrolyten benetzt sein mssen. Es kann ein Korrosionsstrom fließen, der im Metall als Elektronenstrom und im Medium als entgegengerichteter Ionenstrom auftritt. Als „Anode“ kann ein unedler Werkstoffbereich in der Gesamtflche oder bei einer Werkstoffpaarung (z. B. Schrauben-, Niet- oder Schweißverbindungen) wirken. Kathoden sind vergleichsweise edlere Werkstoffbereiche oder Werkstoffe. Der Mechanismus, bei dem positiv geladene Metallionen in Lsung gehen, dadurch entsprechend viele Elektronen im Metall im berschuss freigesetzt werden und deshalb ihrerseits
Bild 1. Beispiele der wichtigsten Korrosionsreaktionen
an der Metalloberflche positiv geladene Ionen aus der Elektrolytlsung entladen knnen, luft in der Technik wie auch in der Natur am hufigsten ab. Die elektrochemischen Korrosionsreaktionen lassen sich in zwei Gruppen einteilen (Bild 2). Wasserstoffkorrosionstyp. In sauren Medien, in denen Wasserstoffionen im berschuß vorliegen, luft der Wasserstoffkorrosionstyp ab. Das Metall geht anodisch in Lsung (die Oxidationsreaktion Ox gibt beim bertritt von Metallionen in die Lsung Elektronen aus dem Elektronengas des Metalles frei); an edleren Oberflchenbereichen luft gleichzeitig eine Reduktionsreaktion Red ab, bei welcher der Elektronenberschuss im Metall zur Entladung von Wasserstoffionen aus der Lsung fhrt. Es knnen hierbei auch Metallionen aus der Lsung rckentladen werden (vgl. Entzinkung von Messing). Sauerstoffkorrosionstyp. In neutralen, sauerstoffhaltigen Medien luft die Korrosion nach dem Sauerstoffkorrosionstyp ab. Hierbei ist die anodische Teilreaktion (Metallauflsung/ Oxidation) die Gleiche wie zuvor. Als kathodische Teilreaktion erfolgt jedoch eine Elektronenaufnahme durch in der Lsung vorhandenen Sauerstoff. So genannte amphotere Metalle wie Zink und Aluminium korrodieren auch in nahezu neutralen und in alkalischen Lsungen nach dem Wasserstoffkorrosionstyp.
6.3 Korrosionserscheinungen („Korrosionsarten“) Je nach vorliegendem System Werkstoff/Medium/Einbau- und Betriebsbedingungen fhrt die elektrochemische Korrosion von Metallen zu einem charakteristischen Schadensbild, wobei stets die erwhnten Oxidations- und Reduktionsmechanismen erhalten bleiben. Bei der flchigen Korrosion (uniform corrosion) wird die gesamte Werkstoffoberflche relativ gleichmßig korrodiert, wobei sich stndig anodische und kathodische Teilbereiche abwechseln. Un- und niedriglegierte Sthle erleiden in neutralen Wssern und feuchter Atmosphre, im Gegensatz zu pas-
Bild 2 a, b. Darstellung elektrochemischer Korrosionsreaktionen. a Wasserstoffkorrosionstyp; b Sauerstoffkorrosionstyp (Korrosion von Eisen in belftetem Wasser von pH 7)
I6.3 Tabelle 1. Korrosionsraten von niedriglegiertem Stahl in Meeresnhe
sivierbaren Werkstoffen (z. B. Nickel, austenitische ChromNickel-Sthle, ferritische Chromsthle mit mehr als 13 Prozent Chrom in der Matrix gelst) berwiegend Flchenabtrag, da sie in diesen Medien keine schtzenden Passivschichten ausbilden knnen. In der Regel erfolgt die Korrosion nach dem Sauerstoffkorrosionstyp; es entstehen schwerlsliche Eisenhydroxide, welche unter Sauerstoffaufnahme in Eisenoxidhydrate (Rost) bergehen. Hierdurch wird der Korrosionsumsatz verringert, da der Transport des Angriffsmittels durch die gebildete Rostschicht gehemmt wird. Unter feuchten und salzhaltigen Rost- und/oder Schmutzbelgen wird aber die lokale Ausbildung von Korrosionsmulden begnstigt. Die bei un- und niedriglegierten Sthlen durch gleichmßigen Flchenabtrag eintretenden Dickennderungen liegen – je nach Aggressivitt der vorherrschenden Bewitterungszustnde und der Stahlzusammensetzung – zwischen etwa 0,01 und 0,1 mm/Jahr. Durch die Bildung von Rostbelgen nimmt die Korrosionsgeschwindigkeit in der Regel mit zunehmender Beanspruchungsdauer ab. In Meerwasser besitzen un- und niedriglegierte Sthle (ungeschtzt) keine ausreichende Korrosionsbestndigkeit. Tabelle 1 zeigt die Ergebnisse einer mehrjhrigen Studie (Martini, 1981) an Spundwnden in Meerwasser. In stark bewegtem Wasser (Spritzwasser, Niedrigwasser) ist die Korrosionsgeschwindigkeit aufgrund der hheren Sauerstoffzufuhr etwa um den Faktor 3 hher als in der Dauertauchzone (mit zunehmender Tiefe nimmt der Gehalt an gelstem Sauerstoff ab). Unberuhigt vergossene Sthle knnen aufgrund ungleichmßiger Verteilung der Elemente Phosphor, Schwefel, Kohlenstoff und Mangan erhebliche Seigerungen aufweisen. Treten Seigerungen bis zur Werkstoffoberflche vor, dann knnen diese bevorzugt herausgelst werden (dies ist vor allem beim Beizen der Fall), woraus die sogenannte Seigerungskorrosion (segregation corrosion) resultiert. Bei austenitischen Blechwerkstoffen fhrt der selektive Angriff auf die Seigerungszeilen an den Schnittkanten zu einer parallel der Verformungsrichtung schichtfrmig verlaufenden Schdigung, die eine transkristalline Aufbltterung zur Folge haben kann. Insbesondere hochsiliziumhaltige, austenitische Sthle (z. B. X1 CrNiSi 18 154) neigen zu ausgeprgten Seigerungen. Auch bei hochfesten, schweißbaren, ausscheidungsgehrteten Aluminiumlegierungen (vornehmlich an gewalzten AlZnMg-Legierungen) tritt entlang der Seigerungszeilen bzw. der beim Walzen eingeformten Ausscheidungszeilen ein transkristalliner Angriff auf. Dieser wird durch Einwirkung chloridhaltiger und/oder saurer Wsser hervorgerufen. Lochkorrosion (pitting corrosion) tritt besonders dann auf, wenn eine Metalloberflche partiell verunreinigt ist (z. B. Schlamm in Rohrleitungen oder Wrmetauschern) und deshalb die bedeckte Teilflche zwangslufig als Anode fungiert, whrend sich die gut benetzbare Umgebung kathodisch einstellt. Unter der Bedeckung erfolgt deshalb ein rasches Vordringen der Korrosion in die Tiefe des Werkstoffs mit dem Ergebnis eines frhzeitigen Wanddurchbruchs. Besonders
Korrosionserscheinungen („Korrosionsarten“)
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aber bei so genannten rost- und surebestndigen hherlegierten Chrom- und Chrom-Nickel-Sthlen besteht Lochkorrosionsgefahr in halogenidhaltigen (besonders Chlorid und Bromid) wßrigen Lsungen. Halogenidionen sind in der Lage, die Passivschichten derartiger Sthle (Passivschichtdicke etwa 1–10 nm) zu „durchschlagen“ und auf diese Weise lokale aktiv korrodierende anodische Zentren zu bilden. Da die Passivschichten elektronenleitend sind, fungiert die ungestrte Umgebung als Kathode: ein rasches Vordringen der Korrosion in den Werkstoff hinein ist die Folge. Die Lochkorrosionsgefahr derartiger Sthle erhht sich mit zunehmender Verunreinigung z. B. durch Mangansulfid, das im oberflchennahen Bereich die Ausbildung einer geschlossenen Passivschicht strt. Hier kann der Halogenidionendurchschlag leichter erfolgen (Bild 3, links). Ein besonderes Kennzeichen der Lochkorrosion nichtrostender Sthle ist das Vorhandensein eines sogenannten Lochkorrosionspotentials, bei dessen berschreitung die Lochkeimbildung beginnt. Dieses Potential liegt innerhalb des Passivbereichs des Werkstoffes und wird durch die Halogenionenkonzentration, die Elektrolyttemperatur (Bild 4), den pHWert des Mediums (Bild 5), dessen Strmungsgeschwindigkeit und die Zusammensetzung des Stahles bestimmt. Insbesondere durch steigende Molybdn- und Chromgehalte ist bis etwa 60 C eine Verbesserung der Lochkorrosionsbestndigkeit zu erzielen (Bild 6). Auch bei der interkristallinen Korrosion (intergranular corrosion), bei welcher der Stoffumsatz entlang den Korngrenzen vordringt (Bild 3, rechts), sind elektrochemische Korrosionselemente wirksam. Diese Korrosionsart hat bei un- und niedriglegierten Sthlen praktisch keine Bedeutung und ist kennzeichnend fr passive Werkstoffe. Sie wurde frher als „Kornzerfall“ bezeichnet, da der Werkstoff in seine einzelnen Krner zu zerfallen scheint. Ursache ist die Bildung von Chromkarbiden des Typs Cr23C6 und Cr23C7 im Temperaturbereich zwischen 450 C und etwa 850 C. Das nunmehr an
Bild 3. Entstehung von Lochkorrosion und interkristalliner Korrosion bei rost- und surebestndigen Sthlen
Bild 4. Abhngigkeit des Lochkorrosionspotentials von der Temperatur (nach Wendler-Kalsch, 1998)
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E Bild 5. Abhngigkeit des Lochkorrosionspotentials vom pH-Wert des Elektrolyten (nach Wendler-Kalsch, 1998)
Bild 6. Abhngigkeit des Lochkorrosionspotentials vom Gehalt an Molybdn und Chrom im Stahl (Wirksumme). Die Daten dienen dem Werkstoffvergleich; hhere Wirksummen bedeuten Verbesserung der Lochkorrosionsbestndigkeit (nach Wendler-Kalsch, 1998)
Kohlenstoff gebundene Chrom steht nicht mehr fr die Bildung einer Passivschicht zur Verfgung. Da es sich vorzugsweise im Korngrenzbereich ausscheidet, geht der Werkstoff dort beschleunigt anodisch in Lsung. Interkristalline Korrosion tritt besonders bei Schweißkonstruktionen aus rost- und surebestndigen Sthlen im Bereich der Wrmeeinflußzone auf. Hierbei unterscheiden sich ferritische und austenitische Sthle hinsichtlich der Gefhrdung durch die Art der Wrmeeinbringung. Die Anflligkeit fr interkristalline Korrosion wird durch Kornzerfallsschaubilder (Glhtemperatur-Glhdauer-Diagramme, Bild 7) beschrieben. Hierin wird verdeutlicht, dass austenitische Sthle (geringe Diffusionsgeschwindigkeit von Chrom im kfz-Gitter, geringe Ausscheidungsgeschwindigkeit fr chromreiche Carbide) aufgrund der Verschiebung des Gefhrdungsgebietes zu hheren Haltezeiten insbesondere durch das Spannungsarmglhen geschweißter Konstruktionen gefhrdet sind. Bei ferritischen Chromsthlen ist die Geschwindigkeit der Ausscheidung chromreicher Carbide im krz-Gitter sehr hoch und kann durch eine rasche Abkhlung nicht verhindert werden. Andererseits erfolgt durch die hohe Diffusionsgeschwindigkeit des Chroms im ferritischen Gitter die Nachdiffusion aus der unverarmten Matrix an die chromverarmten Kornrandzonen bereits nach kurzen Haltezeiten oberhalb von 600 C. Die durch das Schweißen hervorgerufene Sensibilisierung des Gefges kann somit nicht unterbunden werden, kann aber durch eine kurze Anlassbehandlung beseitigt werden. Bild 8 gibt
Bild 7. Kornzerfallsdiagramme fr sensibilisierte ferritische und austenitische Sthle (nach Bumel, 1975)
Bild 8. Interkristalline Korrosion an einem Wgezellenkrper (Werkstoff-Nr. 1.4122)
den Ausschnitt eines durch interkristalline Korrosion geschdigten Vergtungsgefges des Werkstoffes 1.4122 wieder. Eine fr Kupfer-Zink-Werkstoffe (Messing) charakteristische Korrosionsart ist die sogenannte Entzinkung (dezincation). Hierbei wird der Kupfer-Zink-Mischkristall anodisch aufgelst. Die nun in Lsung befindlichen Kupferionen lassen sich leichter reduzieren als die unedleren Zinkionen, so dass der im Metall entstehende Elektronenberschuss zur Rckabscheidung des Kupfers aus der Lsung fhrt. Es entsteht eine unzusammenhngende und schwammige rtlichbraune Kupferbelegung auf der ansonsten hellergelben Messingoberflche; der Werkstoff ist irreversibel geschdigt. Vor allem schwachsaure wie auch ammoniumhaltige Reinigungslsungen fhren zu diesem Schaden. Besonders anfllig ist dabei das zinkreichere b-Messing, das selbst in Leitungswasser (Armaturen) angelst werden kann. Geringe Zustze von Zinn oder Arsen sollen die Entzinkungsgefahr abschwchen. Bei Gusseisen kennt man die Erscheinung der sogenannten Graphitierung oder Spongiose (graphitic corrosion), die besonders dort auftritt, wo die in der Regel korrosionsbestndigere Gusshaut verletzt ist. Der Graphit wirkt als lokale Kathode, die umgebende Eisenmatrix geht anodisch in Lsung. Graphit und, so vorhanden, Phosphideutektikum halten das Werkstoffvolumen zusammen. Es tritt kaum eine erkennbare Maß- oder Geometrievernderung auf, aber das Werkstoffinnere ist zerstrt und nicht mehr mechanisch belastbar: ußerlich ist der Schaden kaum zu bemerken.
I6.4
berlagerung von Korrosion und mechanischer Beanspruchung
Von besonderer Bedeutung, weil im wesentlichen konstruktiv verursacht, ist die sogenannte Spaltkorrosion (crevice corrosion). Sie ist darauf zurckzufhren, dass in engen Spalten der Austausch von Inhaltsstoffen einer Elektrolytlsung gehemmt ist und es dort zur Aufkonzentration von korrosionsfrdernden Substanzen kommen kann, so dass dieser Bereich schließlich als Anode fungiert und der besser umsplte Bereich außerhalb des Spaltes als Kathode. So kann bei passivschichtbildenden Metallen durch die Verarmung an Sauerstoff im Spalt ein Belftungselement gebildet werden, bei dem die anodische Metallauflsung ausschließlich im Spalt stattfindet. Grße und Geschwindigkeit der Verarmung hngen von der Spaltgeometrie ab (Bild 9). Da in chloridhaltigen Wssern im Spalt zudem durch die berfhrung von Chlorid-Anionen in den Spalt zur Kompensation der durch die Metallionen gebildeten Raumladungen die Gefahr der Hydrolyse (MeCl2 + 2 H2O ! Me(OH)2 + 2 HCl) mit Bildung freier Sure besteht, ergibt sich eine ausgeprgte Neigung austenitischer Chrom-Nickel-Sthle zur Spaltkorrosion. Hierbei ist bei Spalten unter 1 mm Breite lokal mit Korrosionsgeschwindigkeiten ber 0,5 mm/Jahr zu rechnen. Spaltkorrosion tritt auch dann ein, wenn einer der spaltbildenden Werkstoffe nichtmetallisch ist. Deshalb sind mit Dichtungen versehene Flanschverbindungen spaltkorrosionsgefhrdet, insbesondere wenn das Dichtungsmaterial saugende Eigenschaften besitzt (Anreicherung von Korrosions- und Hydrolyseprodukten).
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6.4 berlagerung von Korrosion und mechanischer Beanspruchung Das Werkstoffverhalten bei korrosiver und gleichzeitig wirkender mechanischer Beanspruchung unterscheidet sich grundstzlich von demjenigen bei Korrosion im eigen- und lastspannungsfreien Zustand. Eine bersicht solcher Komplexbeanspruchungen in der Technik enthlt Bild 10. Sie werden nachfolgend erlutert. 6.4.1 Spannungsrisskorrosion Sie tritt nur bei spezifischen Systemen Werkstoff/Medium unter Zugeigen- und/oder Zuglastspannungen auf, die sich in ihrer Wirkung ergnzen. Solche Systeme sind beispielsweise: a) Aluminiumwerkstoffe/chloridhaltige Medien, b) Kupferwerkstoffe/ammonium-, amin- und nitrithaltige Medien, c) austenitische (auch ferritisch-austenitische) Chrom-Nickel-Sthle/chloridhaltige Medien und d) unlegierte und niedrig legierte Sthle/alkalische Medien. Von besonderer Bedeutung fr die Industrie ist die transkristalline Spannungsrisskorrosion (transgranular corrosion) von hochlegierten Chrom-Nickel-Sthlen. In Bild 11 sind die Rissinitiierung und der Rissfortschritt schematisch dargestellt. Die Passivschicht, hier allgemein als Oxidfilm bezeichnet, wird streng lokalisiert durch ein nach außen vordringendes
Bild 9. Geschwindigkeit der Sauerstoffverarmung in Abhngigkeit der Spaltbreite und -tiefe (nach Salem u. a., 1962; siehe Wendler-Kalsch, 1998, S. 193)
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E Bild 10. Schadensarten beim Zusammenwirken von Korrosion und mechanischer Beanspruchung
Angriff stetig in die Tiefe, der Riss pflanzt sich mit steigender Geschwindigkeit fort. In chloridhaltigen Medien ist der Rissbildungsmechanismus oft von Lochkorrosion begleitet, die sich dann verstrkt ausbilden kann, wenn der Riss nur langsam fortschreitet. Aus diesem Grund ergeben sich – je nach Rissfortschrittsgeschwindigkeit – durchaus auch die in Bild 12 dargestellten Varianten. 6.4.2 Schwingungsrisskorrosion (Bild 13) Diese Korrosionsart tritt bei kombinierter schwingender und korrosionschemischer Beanspruchung auf (Sphn, 1962 ff.). Das Besondere dabei ist, dass jeder metallische Werkstoff in jeder Elektrolytlsung rissgefhrdet ist. Allen Typen gemeinsam ist, dass keine Dauerfestigkeit mehr quantifiziert werden kann, sondern stets mit einer Korrosionszeitfestigkeit (bis zum Bruch) gerechnet werden muss. Sie hngt von einer Vielzahl von Parametern (Werkstoff, Medium, Spannungsausschlag, Lastfolge, Belastungsfrequenz usw.) ab. Schwingungsrisskorrosion im aktiven Zustand
Bild 11 a–e. Rissentstehung und Risswachstum bei Spannungsrisskorrosion rost- und surebestndiger Cr-Ni-Sthle
Sie tritt auf, wenn der Werkstoff im gegebenen Medium keine Passivschicht ausbildet, und deshalb auch ohne mechanische Beanspruchung angegriffen wird. Durch die Korrosion entstehen Korrosionsgrbchen, die als Kerben wirken, von deren Grund die Rissbildung infolge der mechanischen Beanspruchungskomponente ausgeht. Der Rissverlauf erfolgt im wesentlichen transkristallin und senkrecht zur jeweils wirkenden Hauptnormalspannung: Nur beim Erreichen von Korngrenzen, die in Richtung der maximalen Schubspannung verlaufen, kann der Riss auch interkristalline Anteile aufweisen. In der Regel tritt eine grßere Zahl von Anrissen auf (das Bruchbild ist entsprechend zerklftet), die Risse sind verstelt, die Rissflanken sind auskorrodiert. Schwingungsrisskorrosion im passiven Zustand
Bild 12. Erscheinungsbild transkristalliner Spannungsrisskorrosion bei rost- und surebestndigen Cr–Ni-Sthlen im metallographischen Schliff (schematisch)
Gleitband durchstoßen. Dieser Bereich stellt nun eine kleine, hochaktive Lokalanode dar. Der Korrosionsangriff folgt dem Gleitband in den Werkstoff hinein. Ist dieser in der Lage, an der Korrosionsstelle die ursprngliche Passivschicht wieder auszubilden (Repassivierung), dann kommt der Riss vorbergehend zum Stillstand, die auf Grund des schon erfolgten Stoffumsatzes entstandene Kerbe fhrt jedoch zu einer lokalen Spannungserhhung, weshalb die gerade gebildete Passivschicht wieder aufreißt. Ist keine Zwischenrepassivierung mglich, wie im linken Bildteil angedeutet, dann erfolgt der
Besonders bei passivierbaren Chrom- und Chrom-NickelSthlen, aber auch in allen anderen Fllen, in denen der Werkstoff im Medium bestndig ist, knnen allein schon durch die mechanische Beanspruchungskomponente aktive Zentren an der Oberflche entstehen, gebildet durch lokales Austreten von Gleitbndern (extrusions). Dies geschieht oftmals unter sehr geringem Stoffumsatz, so dass kaum Korrosionsprodukte auftreten. Die streng lokalisierte Reaktion des Werkstoffs mit dem Medium erfolgt nun entlang der Gleitbnder. Folge ist ein transkristalliner Rissfortschritt ohne erkennbare Kerbbildung an der Oberflche. Die Risse sind im Regelfall nicht verstelt, die Rissflanken nicht auskorrodiert; meist treten nur sehr vereinzelt Risse auf. Demzufolge ist das Bruchbild kaum von demjenigen eines Dauerbruchs an Luft zu unterscheiden; selbst das Rasterelektronenmikroskop lsst keine eindeutigen Aussagen zu.
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berlagerung von Korrosion und mechanischer Beanspruchung
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Bild 13. Schdigungsmechanismen bei Schwingungsrisskorrosion (schematisch)
Schwingungsrisskorrosion im passiven Zustand mit berlagerter Loch- oder interkristalliner Korrosion Die Rissinitiierung erfolgt in einem frhen Stadium der Komplexbeanspruchung mediumseitig durch Lochkorrosion oder interkristalline Korrosion. Es entstehen viele Risskeime, die schließlich zu transkristallin verlaufenden Rissen ausarten. Folglich ist in diesem Fall das Bruchbild deutlich von einem Dauerbruch an Luft zu unterscheiden. 6.4.3 Korrosionsverschleiß Diese Schadensart tritt besonders im Bereich von Wellendurchgngen oder bei Rhrwerken auf, wo die Passivschicht von z. B. Chrom- und Chrom-Nickel-Sthlen durch die Reibbeanspruchung mechanisch zerstrt und dadurch der aktive Werkstoff freigelegt wird. Bild 14 zeigt beispielhaft die Schdigung einer rotierenden Welle im Bereich des Radialwellendichtrings.
6.4.4 Reibkorrosion (Schwingverschleiß) Der Praktiker kennt diese Schadensart auch unter den Begriffen „Passungsrost“ oder „Bluten“. Die Folge ist ein Dauerbruch. Dabei luft folgender Mechanismus ab: Werden zwei metallische Werkstoffe kraftbertragend miteinander verbunden und bewegen sie sich (z. B. infolge wechselnder Biegemomente) oszillierend gegeneinander, wenn auch nur im Bereich der jeweiligen elastischen Verformbarkeit, dann knnen an den lokalen Kraftbertragungsorten feinste Ermdungsbrche auftreten, die zum Herausbrechen kleinster Werkstoffpartikel fhren. Die Bruchflchen sind im Moment ihrer Entstehung hoch aktiv und reagieren z. B. mit Luftsauerstoff (Oxidbildung), mit Stickstoff (Nitridbildung) oder Kohlenstoff (Karbidbildung). Da die entstehenden Reaktionsprodukte voluminser sind als der ursprngliche Werkstoff, bentigen sie Platz und fhren zu Zugspannungen in der Phasengrenze zwischen beiden Partnern. Diese Verspannung kann einen Dauerbruch herbeifhren. 6.4.5 Erosionskorrosion
Bild 14. Korrosionsverschleiß an einer hartverchromten Welle im Bereich der Dichtung (Dichtungswerkstoff: Elastomer, Korrosionselektrolyt: Trinkwasser)
Sie ist dem Korrosionsverschleiß nahe verwandt und tritt dort auf, wo mehrphasige Flssigkeiten zu einer abrasiven mechanischen Beanspruchung der beaufschlagten Feststoffoberflche fhren (Rohrkrmmer, Rhrwerke, Pumpen). Hierdurch werden Passiv- und andere schtzende Deckschichten auf dem Werkstoff lokal zerstrt, der Werkstoff wird lokal mechanisch aktiviert und kann dadurch mit dem Medium selbst beschleunigt reagieren. Eine Verstrkung der Korrosion kann eintreten, wenn stndig frisch reaktionsfhiges Medium an die Metalloberflche herangefhrt wird. In der Praxis ist Erosionskorrosion hufig in Wrmetauscherrohren zu beobachten. Neben dem rtlichen Wrmedurchgang (Deckschichtbildung) ist werkstoffabhngig insbesondere die maximale Strmungsgeschwindigkeit zu bercksichtigen (Bild 15). Bild 16 zeigt einen Erosionsschaden an einem Kupferrohr bei zu hoher Strmungsgeschwindigkeit im Bereich stark berhhter Wasserturbulenzen (bergang Schnittkante/90 Bogen).
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oder dampfgefllte Blasen im Unterdruckbereich, die im berdruckbereich sehr rasch wieder implodieren und dadurch sowohl Druckstße als auch Flssigkeitsschlge auf die Werkstoffoberflche wirken lassen. Hierdurch werden Passivund andere schtzende Deckschichten lokal zerschlagen, der ungeschtzte Werkstoff wird mechanisch aktiviert, auch plastisch verformt und dadurch seine Reaktionsfhigkeit mit dem Medium erhht. 6.4.7 Wasserstoffinduzierte Rissbildung
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Bild 15. Maximal zulssige Strmungsgeschwindigkeit fr Kupferwerkstoffe bei Meerwasserkontakt (nach Sick, 1972)
Dieses Phnomen wird gemeinhin auch als „Wasserstoffversprdung“ bezeichnet. Es tritt dann auf, wenn durch Korrosion nach dem Wasserstoffkorrosionstyp atomarer Wasserstoff entsteht, der rascher in den Werkstoff eindiffundiert als an der Oberflche zum indiffusiblen H2-Molekl zu rekombinieren. Er kann im Werkstoff Metallhydrid bilden, wie das bei Titan der Fall ist, und den Werkstoff dadurch versprden, er fhrt in jedem Fall aber auch zu gleitblockierenden und somit versprdend wirkenden Gitterverspannungen. Außerdem kann er an sogenannten inneren Oberflchen wie Korngrenzen und Seigerungen zum H2-Molekl rekombinieren und dadurch den Werkstoff zustzlich verspannen bzw. lokale Werkstofftrennungen (Blasenbildung) herbeifhren. Steht der betreffende Werkstoff unter ausreichend hohen Zugeigenund/oder -lastspannungen, dann ist die Gefahr des Auftretens eines so genannten verzgerten Sprdbruchs gegeben: ,,verzgert“, weil der Schdigungsmechanismus Zeit braucht; „Sprdbruch“, weil der Werkstoff aufgrund der beschriebenen Gleitblockierungen weitgehend verformungslos bricht.
6.5 Korrosionsschutz 6.5.1 Allgemeines Ein funktionstchtiger, sinnvoller Korrosionsschutz lsst sich nur dann erreichen, wenn die Beanspruchungsbedingungen bekannt sind. Demzufolge muss eine Betriebsbeanspruchungsanalyse erfolgen, in der auch die Einflsse mglicher Betriebsstrungen, Stillstnde, Wartungs- und Reinigungsarbeiten bercksichtigt werden mssen. Durchaus treten Flle auf, in denen der Korrosionsschutz fr den Transport von Bauteilen oder Gerten (z. B. Seetransport) aufwendiger sein muss als fr den eigentlichen spteren Betrieb. Hier empfehlen sich verstrkt temporre Korrosionsschutzmaßnahmen, die nur fr eine zeitlich begrenzte Dauer wirksam sind (z. B. Schutzlackierung, Verpackung in lpapier, Verwendung von Gasphasen-Inhibitoren in geschlossenen Rumen). Außerdem ist sicherzustellen, dass bei Transport und Montage nicht grßere mechanische Beanspruchungen auftreten als beim Betrieb. Sie knnen zu einer Vorschdigung von berzgen fhren. 6.5.2 Werkstoffreinheit
Bild 16 a, b. Erosionskorrosion an einem Kupferrohr. a bersicht, b Detailvergrßerung (Teilbild um 90 Grad gedreht)
6.4.6 Kavitationskorrosion Diese Schadensart tritt in kavitierenden Flssigkeiten auf, wobei nach Schwingungs- und Strmungskavitation unterschieden wird. Erstere findet sich beispielsweise auf der Khlmittelseite von Zylinderlaufbchsen, letztere in Strmungsmaschinen. Bei der Flssigkeitskavitation entstehen gas- und/
Grundstzlich gilt, dass hochkorrosionsbestndige Werkstoffe eine besondere Reinheit aufweisen mssen, damit beispielsweise keine Seigerungs- oder Lochkorrosion auftreten kann. An Korngrenzen vorliegende Ausscheidungen knnen sogar interkristalline Korrosion auslsen. Demzufolge sollten z. B. solche Chrom-Nickel-Sthle, die wegen verbesserter Zerspanbarkeit schwefellegiert sind, nicht bei Korrosionsgefahr verwendet werden. Selbstverstndlich gilt diese Reinheitsforderung auch fr die Werkstoffoberflche, wie zwei Beispiele zeigen mgen: Bauteile aus Aluminiumwerkstoffen drfen keinesfalls mit Werkzeugen bearbeitet werden, die zuvor mit Kupferwerkstoffen in Kontakt waren, da beim Eindrcken von Kupferteilchen in die Aluminiumoberflche ein Kontaktkorrosionselement entsteht, bei dem sich das unedlere Aluminium anodisch auflsen kann. Chrom- und Chrom-Nickel-
I6.5 Sthle drfen keinesfalls mit Stahlschrot gestrahlt oder mit Stahlbrsten gebrstet werden, da hierbei korrosionsanflliger Abrieb in die Werkstoffoberflche eingedrckt wird und sich deshalb dort die Passivschicht nicht mehr ausbilden kann. Besteht der Verdacht auf solche Fremdmetallrckstnde in der Bauteiloberflche, dann sollte sie in 15%iger wssriger Salpetersure von z. B. 40 C behandelt werden. Hierbei lst sich der Stahlabrieb, und die Oberflche wird zustzlich passiviert. 6.5.3 Legierungstechnische Maßnahmen Hier sind vor allem die hher korrosionsbestndigen Chromund Chrom-Nickel-Sthle als Beispiel fr eine legierungstechnisch begrndete Korrosionsbestndigkeit zu nennen: Chromgehalte von mindestens 13 Massenprozent bewirken die Ausbildung einer sogenannten Passivschicht. Nickelgehalte ber 8 Massenprozent vermindern die Reaktionsfhigkeit des Stahles im aktiven Zustand, wie er beispielsweise bei mechanischer Verletzung der Passivschicht eintritt. Gegen Lochkorrosion bis in den Temperaturbereich von maximal etwa 70 C wirkt sich ein Gehalt von 2–3,5 Massenprozent Molybdn positiv aus; bei hheren Temperaturen muß der Chromgehalt ber 18 Massenprozent erhht werden. Gegen die Gefahr interkristalliner Korrosion werden die Elemente Niob oder Titan in Gehalten des 8fachen vom Kohlenstoffgehalt zulegiert, da diese Elemente zu Kohlenstoff eine hhere Affinitt haben als das Chrom, so dass auch im kritischen Temperaturbereich nahezu keine Chromkarbide entstehen. Die heute sich mehr und mehr durchsetzende Schutzmethode der Wahl besteht in der Verwendung sogenannter ELC-Sthle (Extra Low Carbon) mit Kohlenstoffgehalten unter 0,03 Massenprozent. 6.5.4 Erzeugung von Diffusionsschichten Ganz allgemein wird dem Nitrieren und dem Borieren eine Verbesserung auch der Korrosionsbestndigkeit an sich nicht ausreichend korrosionsbestndiger Sthle nachgesagt. Dies gilt jedoch nicht fr Medien im sauren pH-Bereich. Außerdem sinkt der Korrosionsschutzwert bei hochlegierten Chrom-Nickel-Sthlen durch die zwangslufig auftretende Strung der Passivschichtbildung. Das Inchromieren zur Chromanreicherung in der Werkstoffoberflche von un- und niedriglegierten Sthlen ist eine weitere Maßnahme, wird aber heute kaum noch angewandt. 6.5.5 Schutz durch metallische berzge Von besonderer Bedeutung fr den Maschinenbau sind galvanisch oder in Schmelztauchverfahren aufgebrachte metallische berzge aus z. B. Zink, Kupfer, Nickel, Chrom, Kupfer-Zinn sowie Zink-Nickel und Zink-Eisen, wobei im Falle der Zink- und Zinklegierungs-berzge stets eine anschließende Chromatierung zur Erhhung des Korrosionsschutzwertes erfolgt. Hierbei muss unterschieden werden nach der Korrosionsbestndigkeit des berzugs selbst und nach dem Korrosionsschutzwert des berzugs fr den Grundwerkstoff. Reißt der berzug beispielsweise durch mangelnde plastische Verformbarkeit unter mechanischer Beanspruchung auf, dann kann sich ein Lokalelement ausbilden, in dem der (edlere) berzugswerkstoff als Kathode fungiert und der im Rissgrund freiliegende Grundwerkstoff beschleunigt anodisch aufgelst wird. Dies ist besonders bei Gefahr der Spannungs- und Schwingungsrisskorrosion zu bercksichtigen. In jedem Fall muß bei der Verwendung metallischer berzge darauf geachtet werden, dass die Bauteileigenschaften (z. B. Dauerfestigkeit) nicht unzulssig durch die berzugseigenschaften (z. B. Sprdigkeit) beeinflusst werden.
Korrosionsschutz
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6.5.6 Kathodischer Schutz Unter Nutzung der Kenntnisse ber die bei elektrochemischer Korrosion ablaufenden Mechanismen lsst sich ein Schutz korrosionsgefhrdeter Bauteile und Anlagen dadurch herbeifhren, dass man sie als Kathode in einem Korrosionselement polarisiert. Das geschieht in einfacher Weise dadurch, dass man den zu schtzenden Werkstoff (z. B. Eisen) elektronenleitend mit einem unedleren Metall (z. B. Zink) verbindet. Werden beide Metalle von derselben Elektrolytlsung beaufschlagt, dann entsteht ein Korrosionselement mit dem gewnschten Effekt: das Zink lst sich anodisch auf (es wird deshalb gern als „Opferanode“ bezeichnet), der Stahl ist Kathode und wird somit vor Auflsung bewahrt. Um den Verbrauch des unedleren Metalls zu begrenzen, wird diese Schutzmethode (z. B. bei Warmwasserbereitern in der Hausinstallation) als „sekundrer Korrosionsschutz“ eingesetzt: die wasserbeaufschlagte Innenwandung des Behlters wird beispielsweise emailliert oder kunststoffbeschichtet; die Schutzfunktion durch die „Opferanode“ tritt erst dann ein, wenn sich in der Beschichtung ein Fehler (Pore, Riss) zeigen sollte. Sicherer, weil besser regel- und damit beherrschbar, ist der kathodische Schutz durch Außenstrom. Hierbei wird das zu schtzende Bauteil an den negativen Pol einer Gleichspannungsquelle angeschlossen und somit als Kathode geschaltet, als Anodenmaterial wird Kohle oder Platin (hufig platiniertes Titan, zur Erhhung der Festigkeit und zur Minimierung der Kosten) verwendet. Mittels elektrochemischer Messungen kann nun genau die Schutzstromdichte eingestellt werden, die man zum sicheren Korrosionsschutz bentigt. Auch dieses System wird, soweit mglich (z. B. bei im Erdboden verlegten Bauteilen), in der Regel fr den sekundren Korrosionsschutz angewendet (erdverlegte Teile werden beispielsweise primr bituminiert; ein Stromverbrauch tritt erst dann ein, wenn diese Schutzschicht verletzt ist). 6.5.7 Korrosionsschutz durch Inhibitoren In geschlossenen Systemen und Kreislufen, wie z. B. im Khlsystem von Verbrennungsmotoren oder in Solaranlagen, kann die Elektrolytlsung mit geeigneten – metallspezifisch wirkenden – Zustzen konditioniert werden, die eine Reaktion des Werkstoffs mit dem Medium hemmen und deshalb als Korrosionsinhibitoren bezeichnet werden. Diese Vorgehensweise hat sich z. B. auch in der Offsetdrucktechnik eingefhrt, obwohl hier kein geschlossener Kreislauf des sogenannten Feuchtmittels vorliegt. Das Arbeiten mit Inhibitoren, die stets nur in geringen Konzentrationen von beispielsweise 2 Volumenprozent verwendet werden, hat den Vorteil, dass das eigentliche Betriebsmedium nicht besonders aufbereitet werden muss, dass ihm also nicht grundstzlich korrosionsfrdernde Inhaltsstoffe entzogen werden mssen. Ein Nachteil der Anwendung von Inhibitoren ist allerdings darin zu sehen, dass sie die Funktion des Betriebsmediums beeintrchtigen knnen. 6.5.8 Korrosionsschutzgerechte Konstruktion Schon in der Konzeptphase von Bauteilen, Gerten und Anlagen lassen sich die Erfordernisse einer korrosionsschutzgerechten Ausfhrung bercksichtigen und verifizieren. So mssen beispielsweise enge Spalte mglichst vermieden werden, ebenso unbelftbare Hohlrume, in denen aufgrund schlechter Splung eine Aufkonzentrierung korrosiver Stoffe stattfinden kann. Hufig wird dem Problem der guten, einfachen und sicheren Reinigungsfhigkeit zu wenig Aufmerksamkeit geschenkt. Vor allem drfen keine Kontaktkorrosionselemente zugelassen werden, wie sie sich beispielsweise in sogenannten Mischinstallationen (verzinktes Wasserlei-
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Werkstofftechnik – 6 Korrosion und Korrosionsschutz von Metallen
tungsrohr in Fließrichtung nach einem Kupferrohr montiert) immer wieder finden. Wertvolle Hinweise zum korrosionsschutzgerechten Konstruieren finden sich in den Merkblttern „Korrosionsschutzgerechte Konstruktion“ der DECHEMA. 6.5.9 Korrosionsschutzgerechte Fertigung
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blem einer wasserstoffinduzierten Rissbildung durch eindiffundierenden Korrosionswasserstoff – auch die einschlgige Norm DIN 50 969 zu nennen. 6.6.2 Hinweise zu den einzelnen Gruppen von Prfverfahren
Aus Schadensfllen ist hinlnglich bekannt, dass ein an sich fr einen bestimmten Zweck geeigneter Werkstoff durch unsachgemße Fertigung unbrauchbar werden kann. Dies gilt besonders bei Gefahr der Spannungs- und Schwingungsrisskorrosion: fertigungsbedingte Zugeigenspannungen, wie sie beispielsweise gerade auch beim berschleifen von Schweißnhten auftreten, knnen in Wechselwirkung mit dem Umgebungsmedium/Betriebsmedium bereits zur Anrissentstehung fhren. Sie berlagern sich den montage- und betriebsbedingten Spannungen und tragen damit wesentlich dazu bei, dass kritische, rissauslsende Gesamtspannungen eher erreicht werden. Neben der Notwendigkeit zur Vermeidung schdlicher Zugeigenspannungen lsst sich daraus auch die hilfreiche Wirkung des Einbringens von Druckeigenspannungen in die korrosionsgefhrdete Werkstoffoberflche ableiten: Chrom-Nickel-Sthle beispielsweise werden mit (stets sauberen) Glasperlen gestrahlt, um auf diese Weise Druckeigenspannungen aufzubauen, die das Bauteil vor halogeninduzierter Spannungsrisskorrosion zu schtzen vermgen, solange sie das Auftreten von Zugspannungen in kritischer Hhe verhindern. Bei Schwingungsrisskorrosions-Gefahr ist das Einbringen von Druckeigenspannungen in die Bauteiloberflche nur dann hilfreich, wenn lediglich Schwingungsrisskorrosion im passiven Zustand zu erwarten ist.
Freibewitterung
6.6 Korrosionsprfung
Elektrochemische Versuche
6.6.1 Allgemeines Die Korrosionsprfung hat die Aufgabe, Schwachstellen in einer Konstruktion oder in einem Korrosionsschutzsystem erkennen zu knnen und Qualittssicherung zu betreiben, sie soll aber auch darber Auskunft geben, ob ein Werkstoff oder eine Werkstoffkombination korrosionsschutzgerecht ausgewhlt wurde und welcher Werkstoff und welches Schutzsystem fr einen gegebenen Anwendungsfall am geeignetsten erscheinen. Fr den Fall der Schwachstellenfindung reichen normalerweise Kurzzeit-Korrosionsversuche unter verschrften Bedingungen aus, wie sie beispielsweise in den Normen DIN EN 12 329 oder DIN EN ISO 4541 festgeschrieben sind. Oft wird auch den langwierigeren Naturversuchen DIN EN ISO 8565 große Bedeutung beigemessen, weil man hieraus Hinweise auf das Verhalten von Bauteilen oder Schutzsystemen unter realen Bedingungen in der Freibewitterung (Land-, Stadt-, See- und Industrieklima) oder auch in Meerwasser erhlt. In vielen Fllen jedoch sind mglichst praxisnahe Versuche erforderlich. Hierzu werden oft Werkstoffproben unmittelbar in eine Industrieanlage (z. B. im by-pass) eingesetzt. Grundstzlich sollte die jeweils anzuwendende Versuchstechnik auf der Basis einer Betriebsbeanspruchungsanalyse festgelegt werden. Fr Grundlagenuntersuchungen, wie auch fr die Planung und Auslegung von Schutzsystemen steht außerdem eine Reihe von Normen und Technischen Regeln zur Verfgung. Zustzlich ist aber – in Verbindung mit dem Pro-
Auch wenn diese Prfung unter realen Umgebungsbedingungen erfolgt, so kann das Ergebnis doch nicht ohne weiteres auf andere Orte bertragen werden, da bei der Vielzahl von Einflussgrßen selbst anscheinend gleiche klimatische Bedingungen an verschiedenen Orten unterschiedlich sein knnen. Kurzzeit-Korrosionsprfung Sie hat den Zweck, in mglichst kurzer Zeit eine Aussage ber den Korrosionsschutzwert einer getroffenen Maßnahme zu erhalten. Aus diesem Grund wurden die Prfbedingungen (also die Korrosionsbedingungen) bewusst und definiert verschrft (hhere Temperatur, hhere Konzentration korrosiver Inhaltsstoffe, gezielte Verschmutzung der Oberflche). Dies allerdings bedeutet im Regelfall einen so erheblichen Eingriff in den Korrosionsmechanismus, dass es nicht gelingen kann, aus dem Prfergebnis irgendwelche quantifizierten Vorhersagen auf den Langzeitkorrosionsschutz unter realen Bedingungen zu machen. Tauchversuche Solche Versuche geben einen ersten berblick ber das im Betrieb zu erwartende Korrosionsverhalten eines Werkstoffs oder Schutzsystems und werden daher – auch aus Kostengrnden – allgemein und sehr hufig durchgefhrt.
Sie empfehlen sich vor allem fr die Grundlagenforschung sowie zur Prfung der Vertrglichkeit von Metallen und Medien aus korrosionstechnischer Sicht. Dies ist bedeutsam im Zusammenhang mit Zulassungsprfungen fr die Freigabe von Arbeitsstoffen (z. B. Feuchtmittel fr die Offsetdrucktechnik, Khlmittelzustze fr flssigkeitsgekhlte Verbrennungsmotoren, Khlschmierstoffe, Reinigungsmittel). Außerdem eignen sich derartige Methoden in der Regel sehr gut fr die Quantifizierung des momentanen Zustandes eines Betriebsstoffes im Hinblick auf seine korrosive Wirkung auf die betriebsrelevanten Metalle im Rahmen einer turnusmßig durchzufhrenden berwachungsprfung. Versuche unter gleichzeitiger mechanischer Beanspruchung Derartige Versuche sind im Regelfall schon etwas aufwendiger, wenn man von der einfachen Verspannungsprfung zur Erkennung der Gefahr einer Spannungsrisskorrosion absieht. Vor allem drfen die Versuchsbedingungen nur in geringem Maß von der Praxis abweichen. Beispielsweise ist bei der Schwingungsrisskorrosion die erzielbare Korrosionszeitfestigkeit unmittelbar abhngig auch von der eingestellten Prffrequenz. Es leuchtet ein, dass Ergebnisse, erhalten z. B. bei einer Prffrequenz von 50 Hz, nicht verwendbar sind fr Aussagen zum Betriebsverhalten einer Anlage mit einer Frequenz der dynamischen Beanspruchung von beispielsweise 1 Lastspiel pro Woche.
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Anhang E: Diagramme und Tabellen
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7 Anhang E: Diagramme und Tabellen
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Anh. E 1 Bild 2. Dauerfestigkeitsschaubild (Smith-Diagramm) fr Torsionsbeanspruchung [67]. 1 42 CrMo 4; 2 34 Cr 4; 3 16 MnCr 5; 4 C 45, Ck 45; 5 C 22, Ck 22; 6 St 60; 7 St 37
Anh. E 1 Bild 1. Dauerfestigkeitsschaubild (Smith-Diagramm) fr Zug-Druck-Beanspruchung [50]. Vergtungssthle nach DIN 17 200 (zurckgezogen) bzw. DIN EN 10 083: 1 30 CrNiMo 8; 2 42 CrMo 4; 36 CrNiMo 4; 50 CrMo 4, 51 CrV 4; 34 CrNiMo 6; 3 34 Cr 4; 41 Cr 4; 4 28 Mn 6 u. . 5 C 60; 6 C 45; 7 C 35; 8 C 22
Anh. E 1 Tabelle 1. Statisch bestimmter Elastizittsmodul und Querkontraktionszahl verschiedener Werkstoffe
Anh. E 1 Tabelle 2. bersicht ber Werkstoffkennwerte bei verschiedenen Temperaturen
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Werkstofftechnik – 7 Anhang E: Diagramme und Tabellen
Anh. E 1 Tabelle 3. Festigkeits- und Schwingfestigkeitswerte in N/mm2 nach [29]. Die Schwingfestigkeitswerte entsprechen einer berlebenswahrscheinlichkeit von 97,5%. sW:zd:N sSch:zd:N sW:b:N tW:s:N tW:s:N
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Zug Druck Wechselfestigkeit Zug Druck Schwellfestigkeit Biegewechselfestigkeit Schubwechselfestigkeit Torsionswechselfestigkeit
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Anhang E: Diagramme und Tabellen
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Fortsetzung Anh. E 1 Tabelle 3.
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Werkstofftechnik – 7 Anhang E: Diagramme und Tabellen
Fortsetzung Anh. E 1 Tabelle 3.
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Anh. E 1 Tabelle 4. Bruchzhigkeit einiger Sthle bei Raumtemperatur nach [68, 69]
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Anhang E: Diagramme und Tabellen
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Anh. E 1 Tabelle 5. Bruchmechanische Kennwerte bei statischer Beanspruchung von Bausthlen nach [70, 71]
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Anh. E 1 Tabelle 6. Bruchmechanische Kennwerte bei statischer Beanspruchung Gusseisen mit Kugelgraphit [72]
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Werkstofftechnik – 7 Anhang E: Diagramme und Tabellen
Anh. E 1 Tabelle 7. Bruchzhigkeiten verschiedener Magnesiumlegierungen nach [73]
Anh. E 1 Tabelle 9. Bruchmechanische Kennwerte bei statischer und zyklischer Beanspruchung fr verschiedene Aluminiumlegierungen, Rissfortschritt nach Forman [33] und Schwellenwerte nach [74] da C1 ðDKÞm1 ¼ dN ð1 RK ÞKc DK pffiffiffiffi DKth ¼ ð1 RK ÞDKth;0 und DKth;0 ¼ 2; 75 MPa m [BW1] pffiffiffiffi DK in MPa m und da/dN in mm/LZ, Werte in Luft, kein Einfluss von Orientierung und Probendicke, Mittelwerte
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Bruchmechanische Werkstoffkennwerte bei zyklischer Beanspruchung, Empfehlungen aus Regelwerken pffiffiffiffi Alle Angaben erfolgen mit K in MPa m und da=dN in mm/ LZ. C und m sind die Konstanten der Paris-Erdogan-Gleichung [32], E 1.3.4. Der British Standard 7910 [16] beschftigt sich mit der Bewertung von Fehlern in metallischen Bauteilen. Fr eine Abschtzung sind anzunehmen: Schwellenwert(untere Grenzwerte) fr – Sthle (auch austenitische) in Luft, T 100 C pffiffiffiffi DKth ¼ 2 MPa m – Aluminiumlegierungen in Luft, T 20 C pffiffiffiffi DKth ¼ 0,7 MPa m – Sthle (außer austenitische) in Luft, T 20 C pffiffiffiffi DKth ¼ 2 MPa m fr RK > 0,5 pffiffiffiffi DKth ¼ ð5,38 6,77 Rk MPa m fr 0 RK < 0,5 pffiffiffiffi DKth ¼ 5,38 MPa m fr RK < 0 pffiffiffiffi Schwellenwerte DKth > 2 MPa msind nicht fr Oberflchenrisse a < 1 mm anzuwenden. Rissfortschrittsrate Obere Grenzwertkurven (Mittelwert + 2x Standardabweichung) fr 97,7% berlebenswahrscheinlichkeit sind fr Sthle (außer austenitische) mit DKp0 2 > 600 MPa in Luft o.a. nicht agressiven Medien bei T < 100 C aus Anh. E 1 Tab. 8 zu entnehmen. Anh. E 1 Tabelle 8. Empfohlene Rissfortschrittskennwerte fr Sthle in Luft
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Anhang E: Diagramme und Tabellen
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Anh. E 1 Bild 3. Rissfortschrittsverhalten einiger Bau- und Feinkornbausthle nach [68]
Anh. E 1 Bild 4. Rissfortschrittsverhalten einiger Einsatz-, Vergtungs- und Druckbehltersthle nach [68, 75]
Anh. E 1 Bild 5. Rissfortschrittskurven verschiedener Aluminiumlegierungen nach [74], RK ¼ 0
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Werkstofftechnik – 7 Anhang E: Diagramme und Tabellen
Anh. E 1 Tabelle 10. Formzahlen symmetrischer Kerbsthle
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Anh. E 1 Bild 6. Risszhigkeit und 0,2%-Dehngrenze von Aluminiumlegierungen [37] Anh. E 1 Bild 7. Rissfortschrittsverhalten einiger Aluminiumknetlegierungen [76]
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Anhang E: Diagramme und Tabellen
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Anh. E 3 Bild 3. Einfluss der Temperatur auf den Elastizittsmodul von Aluminiumlegierungen
Anh. E 3 Bild 1. Temperaturabhngigkeit der Wrmeleitfhigkeit von NE-Metallen und Stahl
Anh. E 3 Bild 4. Kurzwarmfestigkeit von Aluminiumlegierungen
Anh. E 3 Tabelle 1. Grenzwerte der chemischen Zusammensetzung nach der Schmelzenanalyse zur Abgrenzung der unlegierten von den legierten Sthlen (gemß DIN EN 10 020)
Anh. E 3 Bild 2. Temperaturabhngigkeit des linearen Wrmeausdehnungskoeffizienten
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Werkstofftechnik – 7 Anhang E: Diagramme und Tabellen
Anh. E 3 Tabelle 2. Einteilung der Sthle und erste Hauptsymbole sowie Hinweise auf Merkmale, die fr die Anwendung der jeweiligen Stahlgruppe wichtig sind und zum Zweck der systematischen Bildung eindeutiger Kurznamen anhand weiterer Symbole nach DIN EN 10 027–1 verschlsselt werden knnen
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I7 Anh. E 3 Tabelle 3. Gtegruppen fr unlegierte Bausthle nach DIN EN 10 025–2
Anhang E: Diagramme und Tabellen
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Anh. E 3 Tabelle 5. Auswahl hufig angewendeter technischer Lieferbedingungen fr Sthle zum Kaltumformen
E Anh. E 3 Tabelle 4. Eine Auswahl hufig angewendeter technischer Lieferbedingungen fr unterschiedliche Erzeugnisformen aus Bausthlen fr unterschiedliche Anwendungsflle
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Werkstofftechnik – 7 Anhang E: Diagramme und Tabellen
Anh. E 3 Tabelle 6. Anforderungen an Werkzeugsthle je nach Verwendung, nach [5]
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Anh. E 3 Tabelle 7. bersicht ber die mechanischen Kennwerte verschiedener Gusseisenwerkstoffe
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Anhang E: Diagramme und Tabellen
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Anh. E 3 Tabelle 8. Europaweit einheitliches Bezeichnungssystem fr Gusseisenwerkstoffe (DIN EN 1560)
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Werkstofftechnik – 7 Anhang E: Diagramme und Tabellen
Anh. E 3 Tabelle 9. Physikalische Eigenschaften der Nichteisenmetalle und ihrer Legierungen
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Anhang E: Diagramme und Tabellen
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Anh. E 3 Tabelle 10. Kupfer-Zink-Knetlegierungen. Festigkeitseigenschaften. Auszug aus DIN CEN/TS 13 388; EN 12 449, 12 163, 12 164 und EN 1652
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Werkstofftechnik – 7 Anhang E: Diagramme und Tabellen
Anh. E 3 Tabelle 11. Kupfer-Zink-Legierungen mit weiteren Legierungselementen (Sondermessing). Auszug aus CEN/TS 13 388, EN 12 449, 12 163, 12 164 und EN 1652
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Anh. E 3 Tabelle 12. Guss-Messing und Gusssondermessing nach EN 1982 (Auszug)
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Anhang E: Diagramme und Tabellen
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Anh. E 3 Tabelle 13. Kupfer-Zinn-Legierungen (Zinnbronze) nach EN 1652
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Anh. E 3 Tabelle 14. Guss-Zinnbronze und Rotguss nach EN 1982
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Werkstofftechnik – 7 Anhang E: Diagramme und Tabellen
Anh. E 3 Tabelle 15. Kupfer-Aluminium-Legierungen nach EN 1652, EN 12 163, EN 1982
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Anh. E 3 Tabelle 16. Kupfer-Blei-Zinn-Gusslegierungen nach EN 1982
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Anhang E: Diagramme und Tabellen
E 117
Anh. E 3 Tabelle 17. Zustandsbezeichnungen fr Aluminiumknetwerkstoffe nach DIN EN 515
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Werkstofftechnik – 7 Anhang E: Diagramme und Tabellen
Anh. E 3 Tabelle 18 a. Mechanische Eigenschaften von gewalzten Aluminiumknetwerstoffen (Auswahl)
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Anhang E: Diagramme und Tabellen
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Anh. E 3 Tabelle 18 b. Mechanische Eigenschaften von gewalzten Aluminiumknetwerstoffen (Auswahl)
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Anh. E 3 Tabelle 18 c. Mechanische Eigenschaften von gewalzten Aluminiumknetwerstoffen (Auswahl)
Anh. E 3 Tabelle 19. Zustandsbezeichnungen fr Aluminiumgussstcke nach DIN EN 1706
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Werkstofftechnik – 7 Anhang E: Diagramme und Tabellen
Anh. E 3 Tabelle 20. Eigenschaften ausgewhlter Aluminiumgussstcke nach DIN EN 1780/1–3
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Anhang E: Diagramme und Tabellen
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Anh. E 3 Tabelle 21. Magnesiumlegierungen nach (DIN 1729 u. 9715)
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Anh. E 3 Tabelle 22. Titan und Titanlegierungen nach DIN 17 860
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E Werkstofftechnik – 7 Anhang E: Diagramme und Tabellen
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Anhang E: Diagramme und Tabellen
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Anh. E 3 Tabelle 23. Nickellegierungen
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Anh. E 3 Tabelle 24. Feinzink-Gusslegierungen nach DIN EN 1774
Anh. E 3 Tab. 25. Blei und Bleilegierungen nach DIN EN 12 659 und DIN EN 17 640–1
Anh. E 3 Tab. 26. Zinn und Zinnlegierungen nach DIN EN 610, DIN EN 611–1 und DIN EN 611–2
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Werkstofftechnik – 7 Anhang E: Diagramme und Tabellen
Anh. E 3 Tab. 27. Mechanische und physikalische Eigenschaften oxid- und nicht oxidkeramischer Werkstoffe (Anhaltswerte)
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Anh. E 3 Tab. 28. Anwendungen von Hochleistungskeramik
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Anhang E: Diagramme und Tabellen
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Anh. E 3 Tab. 29. Festigkeitseigenschaftena) von lufttrockenen Nutzhlzern (mittlerer Feuchtigkeitsgehalt etwa 15%)
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Werkstofftechnik – 7 Anhang E: Diagramme und Tabellen
Anh. E 4 Tabelle 1. Eigenschaften wichtiger Kunststoffgruppen (Auswahl). tr trocken, f feucht, NB: kein Bruch (non-break), o. Br: ohne Bruch (alt), kursiv: Kennwerte fr gefllte bzw. verstrkte Kunststoffe
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Anhang E: Diagramme und Tabellen
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Werkstofftechnik – 7 Anhang E: Diagramme und Tabellen
Anh. E 4 Tabelle 1. (Fortsetzung)
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Bild 2 Bild 1 Anh. E 5 Bild 1. Viskositts-Temperatur-Blatt (ISO VG-Reihe; Kurvenschar mit VI=100)
10 100 1 000
15 150 1 500
2 22 220
3 32 320
5 46 460
7 68 680
Sog. Mittelpunktviskositten in mm2/s bei 40 C mit 10% Toleranz Gesetz: unþ1 1;5 un Anh. E 5 Bild 2. Mischungsdiagramm fr Mineralle. Zur Beachtung: Es drfen nur solche le in das Diagramm eingetragen werden, deren Viskosittsangaben sich auf die gleiche Temperatur beziehen
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Anhang E: Diagramme und Tabellen
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Anh. E 4 Tabelle 1. (Fortsetzung)
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Anh. E 5 Bild 3. Temperaturabhngigkeit der Wrmeleitfhigkeit von flssigen Schmierstoffen
Anh. E 5 Bild 4. Temperaturabhngigkeit der Wrmekapazitt von flssigen Schmierstoffen
Anh. E 5 Tabelle 1. Viskosittsdruckkoeffizienten a von Schmierlen und Viskosittssteigerungen durch Druck [10]
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Werkstofftechnik – 8 Spezielle Literatur
Anh. E 5 Tabelle 2. SAE-Viskosittenklassen von Motoren-Schmierlen nach DIN 51 511
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Anh. E 5 Tabelle 3. Konsistenzklassen von Schmierfetten nach DIN 51 818 und Anwendungen [11]
8 Spezielle Literatur zu E 1 Grundlagen der Werkstoff- und Bauteileigenschaften [1] Kloos, K. H.; Broszeit, E.: Verschleißschden durch Oberflchenermdung. VDI-Ber. 243 (1975) 189–204. – [2] Scholtes, B.: Eigenspannungen in mechanisch randschichtverformten Werkstoffzustnden Ursachen, Ermittlung und Bewertung. Frankfurt, DGM Informationsgesellschaft mbH, 1990. – [3] Macherauch, E.; Wohlfahrt, H.; Wolfstieg, U.: Zur zweckmßigen Definition von Eigenspannungen. Hrterei-Techn. Mitt. 28 (1973) 200–211. – [4] Granacher, J.: Zur bertragung von Hochtemperaturkennwerten auf Bauteile. VDI-Berichte Nr. 852. Dsseldorf: VDI-Verlag (1991) 325–352. – [5] Granacher, J.; Kaiser, B.; Hillenbrand, P.; Dnkel, V.: Relaxation von hochfesten Schraubverbindungen bei mßig erhhten Temperaturen. Konstruktion 47 (1995) 318–324. – [6] Riedel, H.: Fracture at High Temperatures, Materials Research and Engineering. Berlin: Springer 1987. – [7] Granacher, J.; Tscheuschner, R.; Maile, K.; Eckert, W.: Langzeitiges Kriechrissverhalten kennzeichnender Kraftwerksthle. Mat.-wiss. u. Werkstofftech. 24 (1993) 367–377. – [8] Das Verhalten mechanischer Werkstoffe und Bauteile unter Korrosionseinwirkung. VDI-Ber. 235. Dsseldorf: VDI-Verlag 1975. – [9] Sphn, H.: Korrosionsgerechte Gestaltung. VDI-
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Spezielle Literatur
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Werkstofftechnik – 8 Spezielle Literatur
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Verfahren mit Dieseleinspritzdse, relativer Viskosittsabfall durch Scherung. – DIN 51 558 Teil 1: Prfung von Minerallen; Bestimmung der Neutralisationszahl, Farbindikator-Titration. – DIN 51 755: Prfung von Minerallen und anderen brennbaren Flssigkeiten; Bestimmung des Flammpunktes im geschlossenen Tiegel nach Abel-Pensky. – DIN 51 777 Teil 1: Prfung von Minerall-Kohlenwasserstoffen und Lsemitteln: Bestimmung des Wassergehaltes nach Karl-Fischer; Direktes Verfahren. – DIN 51 818: Schmierstoffe; KonsistenzEinteilung fr Schmierfette; NLGI-Klassen. – DIN EN ISO 2592: Minerallerzeugnisse; Bestimmung des Flammund Brennpunktes – Verfahren im offenen Tiegel nach Cleveland. – DIN ISO 2909: Minerallerzeugnisse; Berechnung des Viskosittsindex aus der kinematischen Viskositt. – DIN ISO 3733: Minerallerzeugnisse und bituminse Bindemittel; Bestimmung des Wassergehaltes, Destillationsverfahren. – ISO 3015: Minerallerzeugnisse; Bestimmung des Cloudpoint. – ISO 3016: Minerallerzeugnisse; Bestimmung des Pourpoint. – ISO 3771: Minerallerzeugnisse; Basenzahl – Potentiometrische Titration mit Perchlorsure. – DIN-Taschenbuch 20: Mineralle und Brennstoffe 1. Eigenschaften und Anforderungen. – DIN-Taschenbuch 32: Mineralle und Brennstoffe 2. Prfverfahren. – DIN-Taschenbuch 57: Mineralle und Brennstoffe 3. Normen ber Prfverfahren. – DINTaschenbuch 58: Mineralle und Brennstoffe 4. Prfverfahren. – DIN-Taschenbuch 228: Mineralle und Brennstoffe 5. Prfverfahren. – DIN-Taschenbuch 192: Schmierstoffe. Eigenschaften, Anforderungen, Probennahme. – DIN-Taschenbuch 203: Schmierstoffe; Prfung. – GfT-Arbeitsblatt 7: Tribologie. Moers: Gesellschaft fr Tribologie (GfT). zu E 6 Korrosion und Korrosionsschutz Martini, A.; Mennenh, S.: Stahl und Eisen 101 (1981) 79/ 85. – Wendler-Kalsch, E.; Grfen, H.: Korrosionsschadenkunde. Berlin: Springer 1988. – Bumel, A.: Werkstoffe und Korrosion 16 (1975) 433 ff. – Sphn, H.: Zur Schwingungsrisskorrosion metallischer Werkstoffe. Metalloberflche 16 (1962) 7, 197/202; 8, 233/239; 9, 267/272; 10, 299/307; 11, 335/340; 12, 369/373; 17 (1963) 1, 1/9. – Sphn, H.: Zur Schwingungsrisskorrosion metallischer Werkstoffe (IX). Passivierungs- und Aktivierungsvorgnge bei der Schwingungsrisskorrosion rostbestndiger Sthle. Z. physikal. Chemie 234 (1967) 1, 1/25. – Sphn, H.: Auswirkungen von Korrosion und vernderlicher mechanischer Spannung auf das Schwingungsrissverhalten von Bauteilen. Chem.-Ing.-Tech. 52 (1980) 2, 89/98. – Sick, H.: Werkstoffe und Korrosion 23 (1982) 12/18. – Korrosionsschutzgerechte Konstruktion – Merkbltter zur Verhtung von Korrosion durch konstruktive und fertigungstechnische Maßnahmen. Herausgegeben im Auftrag der Arbeitsgemeinschaft Korrosion (AGK) von der DECHEMA, Theodor-Heuss-Allee 25, 60486 Frankfurt. – DIN EN 12 329: Korrosionsschutz von Metallen; Galvanische Zinkberzge mit zustzlicher Behandlung auf Eisenwerkstoffen. Deutsche Fassung EN 12 329: 2000. – DIN EN ISO 1462: Andere als gegenber dem Grundwerkstoff anodische berzge, Beschleunigte Korrosionsverfahren. – DIN EN ISO 4541: Corrodkote-Korrosionsprfung (CORRTest). – DIN EN ISO 6988: Prfung mit Schwefeldioxid unter allgemeiner Feuchtigkeitskondensation. – DIN 50 021: Korrosionsprfungen; Sprhnebelprfungen mit verschiedenen Natriumchloridlsungen. – DIN EN ISO 8565: Metalle und Legierungen; Korrosionsversuche in der Atmosphre – Allgemeine Anforderungen an Freibewitterungsversuche. DIN 50 917, Teil 2: Korrosion der Metalle; Naturversuche, Naturversuche in Meerwasser. – DIN-Taschenbuch 219: Korrosion und Korrosionsschutz. Beurteilung, Prfung, Schutzmaßnahmen, Normen, Technische Regeln: Berlin/Kln: Beuth-Verlag. – DIN 50 969: Bestndigkeit hochfester Bauteile aus Stahl gegen wasserstoffinduzierten Sprdbruch;
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Grundlagen der Konstruktionstechnik J. Feldhusen, Aachen; H. Goldhahn, Dresden; J.-P. Majschak, Dresden; M. Orloff, Berlin; H. Schrmann, Darmstadt
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1 Grundlagen technischer Systeme und des methodischen Vorgehens J. Feldhusen, Aachen; M. Orloff, Berlin (Abschnitt 1.4.4 H. Schrmann, Darmstadt)
betrachten: Man knnte das Gesamtsystem „Kuppeln“ funktionsorientiert in die Teilsysteme „Ausgleichen“ und „Schalten“ gliedern, letzteres wiederum in die Untersysteme „Schaltkraft in Normalkraft wandeln“ und „Reibkraft bertragen“ usw.
1.1 Technische Systeme 1.1.1 Energie-, Stoff- und Signalumsatz Technische Gebilde (Anlagen, Apparate, Maschinen, Gerte, Baugruppen, Einzelteile) sind knstliche und konkrete Systeme, die aus einer Gesamtheit geordneter und aufgrund ihrer Eigenschaften miteinander durch Beziehungen verknpfter Elemente bestehen. Ein System ist dadurch gekennzeichnet, daß es von seiner Umgebung abgegrenzt ist, wobei die Verbindungen zur Umgebung – die Eingangs- und Ausgangsgrßen – von der Systemgrenze geschnitten werden. Ein System lßt sich in Teilsysteme untergliedern. Je nach Zweck knnen solche Systemunterteilungen nach unterschiedlichen Gesichtspunkten mehr oder weniger weit getrieben werden. So stellt in Bild 1 das System „Kupplung“ innerhalb einer Maschine eine Baugruppe dar, whrend es selbst in die beiden Teilsysteme „Elastische Kupplung“ und „Schaltkupplung“ wiederum als selbstndige Baugruppen unterteilt sein kann. Die Teilsysteme lassen sich weiter in Systemelemente, hier Einzelteile, zerlegen. Diese Unterteilung orientiert sich an der Baustruktur. Es ist aber auch denkbar, sie nach Funktionen zu
Bild 1. System „Kupplung“. a bis h Systemelemente (beispielsweise), i bis l Anschlußelemente, S Gesamtsystem, S1 Teilsystem „Elastische Kupplung“, S2 Teilsystem „Schaltkupplung“, E Eingangsgrßen (Inputs), A Ausgangsgrßen (Outputs)
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Grundlagen der Konstruktionstechnik – 1 Grundlagen technischer Systeme und des methodischen Vorgehens
Bild 2. Bilden einer Funktionsstruktur mit Energie-, Stoff- und Signalfluß durch Gliedern einer Gesamtfunktion in Teilfunktionen
F Technische Systeme dienen einem Prozeß, in dem Energien, Stoffe und Signale geleitet und/oder verndert werden (Bild 2). Dabei handelt es sich um einen Energie-, Stoff- und/ oder Signalumsatz. In technischen Prozessen ist von der Aufgabe oder der Art der Lsung her entweder der Energie-, Stoff- oder Signalfluß vorherrschend. Zweckmßig ist, diesen dann als Hauptfluß zu betrachten. Meist ist ein weiterer Fluß begleitend, hufig sind alle drei beteiligt. Bei jedem Umsatz ist die Quantitt und Qualitt der beteiligten Grßen zu beachten, damit die Kriterien fr die Przisierung der Aufgabe sowie die Auswahl und Bewertung einer Lsung eindeutig sind. 1.1.2 Funktionszusammenhang In einem technischen System mit Energie-, Stoff- und Signalumsatz mssen sowohl eindeutige, reproduzierbare Zusammenhnge zwischen den Eingangs- und Ausgangsgrßen des Gesamtsystems, den Teilsystemen, als auch zwischen den Teilsystemen selbst bestehen. Sie sind im Sinne der Aufgabenerfllung stets gewollt (z. B. Drehmoment leiten, elektrische in mechanische Energie wandeln, Stofffluß sperren, Signal speichern). Solche Zusammenhnge, die zwischen Eingang und Ausgang eines Systems zur Erfllung einer Aufgabe bestehen, nennt man Funktion. Die Funktion ist eine
Formulierung der Aufgabe auf einer abstrakten und lsungsneutralen Ebene. Bezieht sie sich auf die Gesamtaufgabe, so spricht man von der Gesamtfunktion. Sie lßt sich oft in erkennbare Teilfunktionen gliedern, die den Teilaufgaben innerhalb der Gesamtaufgabe entsprechen (Bild 2). Die Art und Weise, wie die Teilfunktionen zur Gesamtfunktion verknpft sind, fhrt zur meist zwangslufigen Funktionsstruktur. Hufig lßt sich schon mit der Variation der Zuordnung der Ansatz fr unterschiedliche Lsungen legen. Die Verknpfung von Teilfunktionen zur Gesamtfunktion muß sinnvoll und vertrglich geschehen. Zweckmßig ist, zwischen Haupt- und Nebenfunktion zu unterscheiden. Hauptfunktionen dienen unmittelbar der Gesamtfunktion. Nebenfunktionen tragen nur mittelbar zur Gesamtfunktion bei; sie haben untersttzenden oder ergnzenden Charakter und sind hufig von der Art der Lsung bedingt (Beispiele: Bilder 3 und 4). Die Funktionen setzen zu ihrer Erfllung ein physikalisches Geschehen voraus, wobei die physikalischen Grßen von Teilfunktion zu Teilfunktion einander entsprechen mssen; anderenfalls sind Wandlungsfunktionen zwischenzuschalten. Daneben gibt es noch logische Zusammenhnge, die eine Funktionsstruktur bestimmen bzw. beeinflussen. So werden gewisse Teilfunktionen erst erfllt sein mssen, bevor andere sinnvollerweise eingesetzt werden drfen (z. B. ist auf Bild 4
Bild 3. Funktionskette (Funktionsstruktur) beim Verarbeiten von Teppichfliesen
Bild 4. Funktionsstruktur beim Verarbeiten von Teppichfliesen nach Bild 3 mit Nebenfunktionen
I1.1 die Teilfunktion „Zhlen“ erst nach „Kontrollieren auf Qualitt“ sinnvoll). Logische Zusammenhnge sind aber auch in bezug auf eine Schaltungslogik ntig. Dazu dienen logische Funktionen, die in einer zweiwertigen Logik Aussagen wie wahr/unwahr, ja/nein, ein/aus, erfllt/nicht erfllt ermglichen. Es wird zwischen UND-, ODER- und NICHT-Funktionen sowie deren Kombination zu komplexen wie NOR(ODER mit NICHT), NAND- (UND mit NICHT) oder Speicher-Funktionen mit Hilfe von Flip-Flops unterschieden (s. A bzw. www.dubbel.de).
Technische Systeme
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Die Kombination mehrerer Wirkprinzipien fhrt zur Wirkstruktur, die das Prinzip der Lsung erkennen lsst.
1.1.4 Bauzusammenhang Der in der Wirkstruktur erkennbare Wirkzusammenhang ist die Grundlage bei der weiteren Konkretisierung, die zur Baustruktur fhrt. Diese bercksichtigt die Notwendigkeiten der Fertigung, der Montage u. a. In ihr werden die Bauteile, Baugruppen und ihr Zusammenhang im Erzeugnis festgelegt (Bild 6).
1.1.3 Wirkzusammenhang Physikalische Effekte
1.1.5 Systemzusammenhang
Teilfunktionen werden in der Regel vom physikalischen Geschehen erfllt, das durch das Vorhandensein physikalischer Effekte ermglicht wird. Der physikalische Effekt ist mittels physikalischer Gesetze, welche die beteiligten physikalischen Grßen einander zuordnen, auch quantitativ beschreibbar. Sind diese Effekte im konkreten Fall einer Teilfunktion zugeordnet, so erhlt man das physikalische Wirkprinzip dieser Teilfunktion (Bild 5). Eine Teilfunktion kann von verschiedenen physikalischen Effekten erfllt werden (s. Tab. 1).
Technische Erzeugnisse stehen nicht allein, sie sind Bestandteil eines bergeordneten Systems. In ihm wirkt vielfach der Mensch mit, indem er einwirkt. Dabei erfhrt er Rckwirkungen, die ihn zum weiteren Handeln veranlassen. Der Mensch untersttzt so die gewollten Zweckwirkungen des technischen Systems. Es treten aber auch Strwirkungen als ungewollte Eingangsgrßen und Nebenwirkungen als ungewollte Ausgangsgrßen auf (Bild 7). Alle Wirkungen mssen beachtet werden.
Geometrische und stoffliche Merkmale
1.1.6 Generelle Zielsetzung und Bedingungen
Die Stelle, an der das physikalische Geschehen zur Wirkung kommt, kennzeichnet den Wirkort. Die Erfllung der Funktion bei Anwendung der physikalischen Effekte wird von der Wirkgeometrie (Anordnung von Wirkflchen und Wahl von Wirkbewegungen) erzwungen. Die Gestalt der Wirkflche wird durch Art, Form, Lage, Grße und Anzahl einerseits variiert und andererseits festgelegt. In hnlicher Weise wird die erforderliche Wirkbewegung bestimmt (s. Tab. 2). Darber hinaus muß mindestens eine prinzipielle Vorstellung ber die Art des Werkstoffs bestehen, mit dem die Wirkgeometrie realisiert werden soll. Erst die Gemeinsamkeit von physikalischem Effekt und geometrischen und stofflichen Merkmalen (Wirkflche, Wirkbewegung und Werkstoff) lßt das Wirkprinzip sichtbar werden (Bild 5).
Die Lsung technischer Aufgaben wird durch zu erreichende Ziele und einschrnkende Bedingungen bestimmt. Dabei bestehen als generelle Zielsetzung stets die Erfllung der technischen Funktion, die wirtschaftliche Realisierung sowie die Sicherheit fr Mensch und Umgebung (Umfeld/Umwelt). Die einschrnkenden Bedingungen knnen durch die konkrete Aufgabe (aufgabenspezifische Bedingungen), den Stand der Technik, die wirtschaftliche sowie die allgemeine Situation (allgemeine Bedingungen) gegeben sein. Mit folgenden Merkmalen lassen sich Zielsetzung und Bedingungen bersichtlich und umfassend angeben: Funktion – Wirkprinzip – Gestaltung – Sicherheit – Ergonomie – Fertigung – Kontrolle – Montage – Transport – Gebrauch – Instandhaltung – Recycling – Aufwand.
Bild 5. Erfllen von Teilfunktionen durch Wirkprinzipien, die aus physikalischen Effekten und geometrischen und stofflichen Merkmalen aufgebaut werden
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Bild 6. Zusammenhnge in technischen Systemen
Bild 7. Zusammenhnge in technischen Systemen unter Beteiligung des Menschen
1.2 Methodisches Vorgehen 1.2.1 Allgemeine Arbeitsmethodik Das Lsen von Aufgaben besteht im wesentlichen in einer Analyse und einer Synthese. Analyse ist in ihrem Wesen Informationsgewinnung und Zerlegen, Gliedern und Untersuchen von Eigenschaften einzelner Elemente und der Zusammenhnge zwischen ihnen. Es geht dabei um Erkennen, Definieren, Strukturieren und Einordnen. Synthese ist in ihrem Wesenskern Informationsverarbeitung durch Bilden von Ver-
bindungen, Verknpfung von Elementen mit insgesamt neuen Wirkungen und Darstellen einer zusammenfassenden Ordnung. Es ist der Vorgang des Suchens und Findens (Kreation) sowie des Zusammensetzens und Kombinierens. Daneben mssen beim methodischen Vorgehen folgende Voraussetzungen erfllt werden: Motivation fr die Lsung der Aufgabe sicherstellen, Klarstellen von Rand- und Anfangsbedingungen, Vorurteile auflsen, Varianten suchen, Entscheidungen fllen. Die Lsungssuche wird sowohl durch intuitives (einfallsbetont, berwiegend im Unterbewußtsein, kaum beeinflußbar und nachvollziehbar) als auch diskursives (bewußt, schrittweise, mitteilsam) Denken untersttzt. Bei komplexen und umfangreichen Aufgaben ist eine Gliederung in bersehbare Teilaufgaben erforderlich. Komplexe Aufgaben lst man schrittweise, worber Teilergebnisse durchaus intuitiv gefunden werden knnen oder sollen. 1.2.2 Allgemeiner Lsungsprozeß Der Lsungsprozeß luft in Arbeits- und Entscheidungsschritten in der Regel vom Qualitativen immer konkreter werdend zum Quantitativen ab. Die Aufgabenstellung bewirkt im allgemeinen zunchst eine Konfrontation mit Problemen und (noch) nicht bekannten Realisationsmglichkeiten. Weitere allgemeingltige Stufen eines Lsungsprozesses bestehen in einer Information ber die Aufgabenstellung, Definition der wesentlichen Probleme, Kreation der Lsungs-
I1.2
Methodisches Vorgehen
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Bild 8. Generelles Vorgehen beim Entwickeln und Konstruieren nach [2]
ideen, Beurteilung der Lsungen in Hinblick auf die Ziele der Aufgabenstellung und Entscheidung ber das weitere Vorgehen [1]. Die VDI-Richtlinie 2221 [2] hat ein fr viele Anwendungsgebiete geeignetes Vorgehen beim Entwickeln und Konstruieren erarbeitet (Bild 8). 1.2.3 Abstrahieren zum Erkennen der Funktionen Beim Abstrahieren sieht man vom Individuellen und Zuflligen ab und versucht das allgemein Gltige und Wesentliche durch Analyse der Anforderungsliste zu erkennen. Eine solche Verallgemeinerung lßt den Wesenskern einer Aufgabe hervortreten. Wird dieser zutreffend formuliert, werden Gesamtfunktion (s. F 1.1.2) und wesentliche Bedingungen sichtbar. 1.2.4 Suche nach Lsungsprinzipien Allgemein anwendbare Methoden Bei der Lsungssuche stehen Informationsgewinnung und -verarbeitung mittels Analyse und Synthese im Vordergrund. Konventionelle Hilfsmittel dazu sind Literatur- und Patentrecherchen, Analyse natrlicher und bekannter technischer Systeme, Analogiebetrachtungen, Messungen, Modellversuche. Kreativittstechniken machen von folgenden Methoden Gebrauch, so daß man sie als allgemein anwendbare Grundlage ansehen kann [3]: gezieltes Fragen, Negation und Neukonzeption, bewußtes Vorwrtsschreiten, Rckwrtsschreiten, Gliederung in Teilprobleme (Faktorisierung) und Systematisieren.
Intuitiv betonte Methoden Diese Methoden sttzen sich weitgehend auf Ideenassoziation als Folge unbefangener ußerungen von Partnern, Analogievorstellungen und gruppendynamischer Effekte. Sie sind mehr oder weniger formalisiert als Brainstorming [4], Galeriemethode [5], Synektik [6], Methode 635 [7] und DelphiMethode [8] bekannt geworden. Am einfachsten und wenig aufwendig ist das Brainstorming, whrend die Galeriemethode bei Gestaltungsproblemen besonders hilfreich ist. Diskursiv betonte Methoden Diese Methoden streben eine Lsung durch bewußt schrittweises Vorgehen an, was aber die Intuition nicht ausschließt. Im wesentlichen wird zum einen eine systematische Untersuchung des beteiligten oder denkbaren physikalischen Geschehens angestellt, zum anderen werden aus bisher erkannten Zusammenhngen funktioneller, physikalischer oder gestalterischer Art ordnende Gesichtspunkte abgeleitet, die in einem Suchschema (Ordnungsschema) Anregung fr neue oder andere Lsungsprinzipien sein knnen. Systematische Untersuchung des physikalischen Geschehens fhrt – besonders bei Beteiligung mehrerer physikalischer Grßen – dadurch zu verschiedenen Lsungen, daß man die Beziehungen zwischen ihnen, also den Zusammenhang zwischen einer abhngigen und einer unabhngigen Vernderlichen, nacheinander analysiert, wobei die jeweils brigen Einflußgrßen konstant gehalten werden. Fr die Gleichung y ¼ f ðu; u; wÞ; werden Lsungsvarianten fr die Beziehungen y1 ¼ f ðu; u; wÞ; y2 ¼ f ðu; u; wÞ und y3 ¼
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f ðu; u; wÞ gesucht, wobei die unterstrichenen Grßen konstant bleiben sollen. Die sich ergebenden Zusammenhnge werden durch jeweils unterschiedliche Lsungsprinzipien, Wirkflchen oder schon bekannte Bauteile in konkreter Form realisiert [9].
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Systematische Suche mit Hilfe von Ordnungsschemata. Eine systematische, geordnete Darstellung von Informationen regt zum Suchen nach weiteren Lsungen an. Sie lßt wesentliche Lsungsmerkmale erkennen, die wiederum Anregung zur Vervollstndigung sein knnen, und ergibt einen berblick denkbarer Mglichkeiten und Verknpfungen. Ordnungsschemata sind beim Konstruktionsprozeß vielfltig als Suchschema, Vertrglichkeitsmatrix oder Katalog verwendbar [10]. Das allgemein bliche zweidimensionale Schema besteht aus Spalten und Zeilen, denen Parameter zugeordnet werden, die von einem ordnenden Gesichtspunkt abgeleitet sind. In den Schnittfeldern des Schemas (Matrix) werden die Lsungen eingetragen. Bei dem auf Bild 9 dargestellten Beispiel ist der ordnende Gesichtspunkt fr die Zeilen die Bewegungsart des Streifens und der fr die Spalten die Bewegungsart der Auftragsvorrichtung mit den Parametern ruhend, translatorisch, oszillierend und rotierend bewegt einschließlich der denkbaren Kombinationen. Hilfen zur Wahl von ordnenden Gesichtspunkten und Parametern knnen die Tab. 1 und 2 geben. Werden in der Kopfspalte Teilfunktionen und in die Kopfzeile Merkmale zur Lsungssuche eingetragen, ergeben sich in den Schnittfeldern Lsungen zu einzelnen Teilfunktionen, die zusammengefgt jeweils die Gesamtfunktion erfllen. Stehen m1 Lsungen fr die Teilfunktion F1 ; m2 fr die Teilfunktion F2 usw. zur Verfgung, so erhlt man bei einer vollstndigen Kombination N ¼ m1 m2 . . . mn theoretisch mgliche Varianten fr die Gesamtlsung (Bild 10). Selbstverstndlich sind
Tabelle 1. Ordnende Gesichtspunkte und Merkmale zur Variation auf physikalischer Suchebene
nicht alle Kombinationen sinnvoll und vertrglich. Nur die aussichtsreich erscheinenden werden weiter verfolgt [11]. Systematische Suche mit Hilfe von Katalogen. Bei wiederkehrenden Aufgaben und solchen, die eine gewisse Allgemeingltigkeit aufweisen, kann sehr vorteilhaft von Katalogen Gebrauch gemacht werden [12]. Dies knnen Kataloge von Zulieferern oder auch mehr oder weniger vollstndige Lsungssammlungen sein. Bei einer systematischen Zuord-
Bild 9. Mglichkeiten zum Beschichten von Teppichbahnen durch Kombination von Bewegungen der Teppichbahn (allg.: Streifen) und der Auftragsvorrichtung (Auszug)
I1.2 Tabelle 2. Ordnende Gesichtspunkte und Merkmale zur Variation auf gestalterischer Suchebene
Methodisches Vorgehen
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teil (ordnende Gesichtspunkte zur Einteilung, aus denen Umfang und Vollstndigkeit ersichtlich sind), Hauptteil (Inhalt in Form von Objekten mit erluternden Formeln und Skizzen) und dem Zugriffsteil (Eigenschaftsmerkmale, die eine sichere und einfache Auswahl ermglichen) bestehen. TRIZ. Die TRIZ (Abkrzung aus dem Russischen fr die so genannte Theorie des erfinderischen Problemlsens, entwickelt von G. Altschuller) bietet eine Methodologie, Modelle und Software einer algorithmischen, gerichteten und gesteuerten Lsung von komplizierten Problemen [14]. Der verallgemeinerte Meta-Algorithmus des Erfindens beinhaltet folgende Schritte, die Software-begleitet sind [15, 16]: Diagnostik (Definition und Lokalisation des Problems) – Reduktion (Konstruktion eines adquaten Modells) – Transformation (Auswahl und kreative Interpretation einer verallgemeinerten Umwandlung der Aufgabenstellung, um eine Idee zur Lsung des Ausgangproblems zu kreieren) – Verifikation (berprfung der Qualitt der Ideen). Die Hauptkonzeptionen der TRIZ fr die technische Anwendung bestehen in Folgendem: alle Systeme streben whrend ihres Lebenszyklus danach, ihre Effektivitt zu erhhen; jedes System und seine Komponenten entwickelt sich ungleichmßig; die Grundlage aller technischen Probleme bilden im Konflikt stehende Widersprche zwischen unvereinbaren Eigenschaften und Anforderungen; die Lsung eines solchen Widerspruchs (mit technischen Mittel) ist dann die Lsung des Problems, was oft auch bedeutet, eine Erfindung gemacht zu haben; die Anzahl verschiedener Typen von Widersprchen ist begrenzt, was die Mglichkeit bietet, sie in realen Problemen przise zu erkennen, um sie dann mit einer relativ geringen Anzahl adquater Methoden fr die Behandlung technischer Probleme lsen zu knnen; diese Adquaten Methoden der Lsung von Widersprchen wurden durch Untersuchung einer ausreichend großen Anzahl (einer reprsentativen Auswahl) realer Erfindungen anhand von Patentbeschreibungen und technischer Literatur entwickelt; Methoden der Lsung von Widersprchen knnen zusammen mit Verfahren zur Entwicklung und Stimulation des Gedchtnisses, der Aufmerksamkeit, des assoziativen Denkens, der Vorstellungskraft und verschiedener anderer ntzlicher Eigenschaften des Intellekts und der Psyche [16] und auch zusammen mit anderen Methoden der Steuerung der Entwicklung komplizierter Systeme, wie konomischer, kultureller und politischer Systeme, angewendet werden [17]. 1.2.5 Beurteilen von Lsungen Auswahlverfahren
Bild 10. Kombination zu Prinzipkombinationen, welche die Gesamtfunktion durch unterschiedliche Lsungsprinzipien der einzelnen Teilfunktionen erfllen
nung von Lsungsmerkmalen zu Bedingungen der jeweiligen Aufgabenstellung kann eine geeignete Lsung direkt bernommen oder aber weitere, neue Anregungen gewonnen werden [13]. Von besonderem Vorteil sind systematisch aufgebaute Kataloge, weil sie neben einem hohen Grad an Vollstndigkeit auch noch die charakteristischen Merkmale und Eigenschaften der Lsungen im Vergleich erkennen lassen. Die so erkennbare Systematik ist aber gleichzeitig eine ausgezeichnete Grundlage fr die eigene weiterfhrende Lsungssuche. Roth [10] hat neben einer großen Anzahl unterschiedlicher Kataloge Aufbau und Nutzung solcher Kataloge in ausfhrlicher Weise dargelegt: In der Regel soll er aus einem Gliederungs-
Ein formalisiertes Auswahlverfahren erleichtert durch Ausscheiden und Bevorzugen die Auswahl besonders bei einer großen Zahl von Vorschlgen oder Kombinationen. Grundstzlich sollte ein solcher Auswahlvorgang nach jedem Arbeitsschritt, bei dem Varianten auftreten, durchgefhrt werden. Weiterverfolgt wird nur das, was mit der Aufgabe und/ oder untereinander vertrglich ist, Forderungen der Anforderungsliste erfllt, eine Realisierungsmglichkeit hinsichtlich Wirkungshhe, Grße, Anordnung usw. erkennen und einen zulssigen Aufwand erwarten lßt. Eine Bevorzugung lsst sich dann rechtfertigen, wenn bei noch sehr viel verbliebenen Varianten solche dabei sind, die eine unmittelbare Sicherheitstechnik oder gnstige ergonomische Voraussetzungen bieten oder im eigenen Bereich mit bekannten Know-how, Werkstoffen oder Arbeitsverfahren sowie gnstiger Patentlage leicht realisierbar erscheinen [1]. Bewertungsverfahren Zur genaueren Beurteilung von Lsungen, die nach einem Auswahlverfahren weiter zu verfolgen sind, soll eine Bewertung den Wert einer Lsung in Bezug auf vorher gestellte Zie-
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le ermitteln. Hierbei sind technische und wirtschaftliche Gesichtspunkte zu bercksichtigen. Methoden: Nutzwertanalyse [18] und technisch-wirtschaftliche Bewertung nach VDIRichtlinie 2225, die im wesentlichen auf Kesselring [19, 20] zurckgeht. Generelle Arbeitsschritte der Bewertungsverfahren:
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Tabelle 3. Leitlinie mit Hauptmerkmalen zum Bewerten
Erkennen von Bewertungskriterien. Eine Zielvorstellung umfaßt in der Regel mehrere Ziele. Von ihr leiten sich die Bewertungskriterien unmittelbar ab. Sie werden wegen der spteren Zuordnung zu den Wertvorstellungen positiv formuliert (z. B. „geruscharm“ und nicht „laut“). Die Mindestforderungen und Wnsche der Anforderungsliste (erfllte Forderungen werden nicht mehr bercksichtigt, s. o.: Auswahlverfahren) und allgemeine technische Eigenschaften (Tab. 3) geben Hinweise fr die Bewertungskriterien. Die Bewertungskriterien mssen voneinander unabhngig sein, damit Doppelbewertungen vermieden werden. Untersuchen der Bedeutung fr den Gesamtwert. Wenn mglich, ist nur Gleichgewichtiges zu bewerten. Unbedeutende Bewertungskriterien scheiden aus. Unterschiedliche Bedeutung ist mittels Gewichtungsfaktoren zu bercksichtigen. Tabelle 4 zeigt beide Mglichkeiten. Zusammenstellen der Eigenschaftsgrßen. Das Zuordnen von Wertvorstellungen wird erleichtert, wenn quantitative Kennwerte fr die Eigenschaftsgrßen angegeben werden knnen, was aber nicht immer mglich ist. Dann sind qualitative verbale Aussagen zu formulieren (Tab. 4). Beurteilen nach Wertvorstellungen. Mit dem Vergeben von Werten (Punkten) geschieht die eigentliche Bewertung. Die Werte ergeben sich aus den ermittelten Eigenschaftsgrßen durch Zuordnen von Wertvorstellungen (wij bzw. wgij ). Die Nutzwertanalyse benutzt ein grßeres (0 = unbrauchbar bis 10 = ideal), die VDI-Richtlinie 2225 ein kleineres (0 bis 4) Spektrum. Bei der Zuordnung der Werte besteht die Gefahr subjektiver Beeinflussung. Deshalb ist die Vergabe von einer Gruppe von Beurteilenden durchzufhren, und zwar Kriterium nach Kriterium fr alle Varianten (Zeile fr Zeile), niemals Variante nach Variante. Bestimmen des Gesamtwerts. Die Addition der ungewichteten bzw. gewichteten Teilwerte (wj bzw. wgj ) ergibt den Gesamtwert. Vergleich der Varianten. Hierzu ist es zweckmßig, die Wertigkeit der Variante zu bestimmen, indem man den Ge-
samtwert auf den maximal mglichen Gesamtwert (Idealwert) bezieht. In vielen Fllen empfiehlt es sich, eine technische Wertigkeit Wt und eine wirtschaftliche Wertigkeit Ww getrennt zu ermitteln, besonders dann, wenn fr letztere die Herstellkosten oder Preise bekannt sind. Die technische Wertigkeit Wt wird bestimmt nach
Tabelle 4. Mit Werten ergnzte Bewertungsliste, Zahlenwerte beispielsweise (Auszug)
I1.2 n X
Wj ¼
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und bercksichtigt. Die Herstellkosten ergeben sich dann aus der Kostensumme aller Kostenstellen
wij
i¼1
ðungewichtetÞ bzw: wmax n n X gi wij
Wgj ¼
i¼1
wmax
n X
ðgewichtetÞ: gi
i¼1
Beide Wertigkeiten lassen sich in einem Wertigkeitsdiagramm zuordnen und auf ihre gegenseitige Ausgewogenheit berprfen [18, 19]. Abschtzen von Beurteilungsunsicherheiten. Bevor eine Entscheidung gefllt wird, ist abzuschtzen, in welchem Maße Unsicherheiten in der Wertvergabe aufgrund von Informationsmangel und unterschiedlicher Einzelbeurteilung bestehen knnten. Gegebenenfalls ist ein Wertigkeitsbereich oder eine Tendenz zustzlich zu vermerken. Wertigkeiten geringen Unterschieds legen dabei noch keine Rangfolge fest. Suchen nach Schwachstellen. Unterdurchschnittliche Werte bezglich einzelner Bewertungskriterien machen Schwachstellen erkennbar. In der Regel ist eine Variante mit etwas geringerer Wertigkeit aber ausgeglichenen Einzelwerten gnstiger als eine mit hherer Wertigkeit aber ausgeprgter Schwachstelle, die sich mglicherweise als nicht befriedigend herausstellen kann. Bewerten mit unscharf erfaßbaren Kriterien. Bei den in der Praxis verwendeten Bewertungskriterien handelt es sich hufig nicht um exakt quantifizierbare, sondern um verbale Beschreibungen, d. h. sie sind unscharf. Ihre Werte liegen in einem bestimmten Intervall mit einer prozentualen Zugehrigkeit (Wahrscheinlichkeit) zwischen 0 und 1. Gleiches gilt prinzipiell auch fr Gewichtungsfaktoren. Zur Objektivierung dieses Problems schlagen Breiing und Knosala [21] ein grafisch/mathematisches Verfahren auf Basis von Zugehrigkeitsfunktionen [21, 22] vor. Die prinzipiellen Arbeitsschritte dieser Bewertungsverfahren verlaufen wie zuvor in diesem Kapitel geschildert [23]. In der Praxis kommen diese Bewertungsverfahren fr Investitionen von großer unternehmerischer Tragweite zum Einsatz. Ermitteln der Herstellkosten Herstellkosten HK setzen sich aus Materialkosten MK (Fertigungs- und Zuliefermaterial) und Fertigungskosten FK zusammen [24]. HK=MK +FK. Gegebenenfalls werden noch Sonderkosten der Fertigung zugeschlagen. Bei der differenzierten Zuschlagskalkulation, wie sie bei der Herstellung technischer Produkte blich ist, ergeben sich die Materialkosten MK aus den Kosten fr Fertigungsmaterial FM (ggf. zuzglich Zuliefermaterial) und den Materialgemeinkosten MGK, welche die Kosten der Materialwirtschaft abdecken, sowie die Fertigungskosten FK aus den Fertigungslhnen FL und den Fertigungsgemeinkosten FGK. MK=FM+MGK und FK=FL+FGK. Materialkosten und Fertigungslohnkosten sind variable (vom Beschftigungsgrad abhngige) Kosten. Die neben dem Fertigungslohn mit der Fertigung verbundenen zustzlichen Kosten werden unterteilt in feste (fixe) Gemeinkosten (z. B. Amortisation der Fertigungsmittel, Raummiete, Gehlter) und mit der Fertigung unmittelbar verknpfte, variable (proportionale) Gemeinkosten (z. B. Energiekosten, Werkzeugkosten, Instandhaltung, Hilfslhne). Zur Erhhung der Kalkulationsgenauigkeit wird hufig eine Kostenstellenkalkulation durchgefhrt, die fr jede Kostenstelle aus dem dort geltenden Verhltnis von Gemeinkosten zu Einzelkosten einen gesonderten Zuschlagssatz ermittelt
FM1 þ MGK1 þ FL1 þ FGK1 þ FM2 þ MGK2 þ FL2 X þ FGK2 þ ¼ FMi ð1 þ gMi Þ þ FLi ð1 þ gLi Þ: Der Fertigungslohn ergibt sich aus der Summe der Grund-, Erholungs- und Verteilzeit, gegebenenfalls noch zuzglich Rstzeit, multipliziert mit einem Lohnsatz (Lohngruppe) in Geldeinheit (z. B. Euro)/Zeiteinheit. Eine wichtige Grße zur Preisfindung sind die Selbstkosten, die sich aus den Herstellkosten HK, den Entwicklungs- und Konstruktionskosten EKK, den Verwaltungsgemeinkosten VwGK und den Vertriebsgemeinkosten VtGK ergeben. SK = HK + EKK + VwGK + VtGK. Hinweise fr die konkrete Kostenermittlung s. VDI-Richtlinie 2225 (s. S 10.4). Kostenfrherkennung Fr den Konstrukteur ist es hilfreich, Kostentendenzen bereits bei der Variation von Lsungen zu erkennen. Dabei gengt es in der Regel, nur die variablen Kosten zu betrachten. Hierfr haben sich folgende Mglichkeiten entwickelt: Relativkostenkataloge. In diesen werden Preise bzw. Kosten auf eine Vergleichsgrße bezogen. Dadurch ist die Angabe sehr viel lnger gltig als bei Absolutkosten. Gebruchlich sind Relativkostenkataloge fr Werkstoffe, Halbzeuge und Normteile. Fr die Gestaltung von Relativkostenkatalogen sind in DIN 32 991 Grundstze erarbeitet worden. In [20] sind z. B. relative Werkstoffkosten zusammengestellt. Kostenschtzung ber Materialkostenanteil. Ist in einem bestimmten Anwendungsbereich das Verhltnis m von Materialkosten MK zu Herstellkosten HK bekannt und annhernd gleich, knnen nach [20] bei ermittelten Materialkosten die Herstellkosten abgeschtzt werden. Sie ergeben sich dann zu HK=MK/m. Dieses Verfahren versagt allerdings bei strkeren nderungen der Baugrße. Kostenschtzung mit Hilfe von Regressionsrechnungen. Durch statistische Auswertung von Kalkulationsunterlagen werden Kosten in Abhngigkeit von charakteristischen Grßen (z. B. Leistung, Gewicht, Durchmesser, Achshhe) ermittelt. Mit Hilfe der Regressionsrechnung (s. A bzw. www.dubbel.de) wird ein Zusammenhang gesucht, der mit Hilfe der Regressionskoeffizienten und -exponenten die Regressionsgleichung bestimmt. Mit ihr knnen dann die Kosten bei einer gewissen Streubreite errechnet werden. Der Aufwand zur Erstellung kann erheblich sein und ist meist nicht ohne Rechnereinsatz mglich. Die Regressionsgleichung sollte so aufgebaut werden, daß aus Grnden der Aktualisierung sich ndernde Grßen, wie Stundenstze, eigene Faktoren darstellen oder in Form von Relativkosten gebracht werden. Die Exponenten und Koeffizienten der Regressionsgleichung lassen in der Regel keinen Schluß auf den kostenmßigen Zusammenhang zu den gewhlten geometrischen oder technischen Kenngrßen zu, sie haben mathematisch formalen Charakter. Weitere Angaben zum Vorgehen und Beispiele der Anwendung s. [25, 26]. Kostenschtzung mit Hilfe von hnlichkeitsbeziehungen. Liegen geometrisch hnliche oder halbhnliche Bauteile in einer Baureihe (s. F 1.5) oder auch nur als eine Variante von schon bekannten vor, sind die Bestimmungen von Kostenwachstumsgesetzen aus hnlichkeitsbeziehungen zweckmßig. Der Stufensprung der Kosten jHK stellt das Verhltnis der Kosten des Folgeentwurfs HKq (gesuchte Kosten) zu denen des Grundentwurfs HK0 (bekannte Kosten) dar und wird ber hnlichkeitsberachtung ermittelt: X FKq HKq MKq þ X jHK ¼ ¼ : HK0 MK0 þ FK0
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Das Verhltnis der Materialkosten und der einzelnen Fertigungskosten bzw. -zeiten, z. B. fr Drehen, Bohren, Schleifen, zu den Herstellkosten wird am Grundentwurf berechnet:
Tabelle 5. Exponenten fr Zeiten je Einheit bei geometrischer hnlichkeit unterschiedlicher Fertigungsoperationen nach [29]
am ¼ MK0 =HK0 ; aF; k ¼ FKk; 0 =HK0 je k. Fertigungsoperation. Bei bekannten Kostenwachstumgsgesetzen der Einzelanteile ergibt sich das Kostenwachstumsgesetz des Ganzen mit: X aF; k jFK; k : jHK ¼ am jMK þ k
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In allgemeiner Form lßt sich in Abhngigkeit von einer charakteristischen Lnge schreiben: X jHK ¼ ai jxLi ; jL ¼ Lq =L0 ðs: F 5:1Þ i
mit
X
ai ¼ 1 und ai ^ 0:
i
Die Bestimmung der Exponenten xi in Abhngigkeit von den entsprechenden Abmessungen (charakteristische Lnge) ist fr geometrisch hnliche Teile einfach. Es kann noch mit ganzzahligen Exponenten gearbeitet werden: jHK ¼ a3 j3L þ a2 j2L þ a1 j1L þ ða0 =jz Þ mit jz ¼ zq =z0 ; z Losgrße. Fr Materialkosten gilt im allgemeinen jMK ¼ j3L . Fr die Fertigungsoperationen dient Tab. 5. Die Anteile ai werden in einem Schema (Beispiel in Tab. 6) aus dem Grundentwurf unter Zuordnung zu den einzelnen ganzzahligen Exponenten errechnet. Das Kostenwachstumsgesetz dieses Beispiels wre dann jHK ¼ 0;49 j3L þ 0;26 j2L þ 0;20 jL þ 0;05: Eine doppelt so große geometrisch hnliche Variante mit jL ¼ 2 wrde dann eine Kostensteigerung mit Stufensprung jHK ¼ 5;41 ergeben. Bei halbhnlichen Varianten sind nur die sich jeweils ndernden Lngen mit entsprechenden zugehrigen Exponenten einzusetzen. Die konstant bleibenden Anteile gehen dann in das letzte Glied der Gleichung. Beispiele und Anwendung auf Baugruppen sowie Ermittlung von Kostenstrukturen in [27, 28]. Regeln zur Kostenabsenkung s. [26, 29]. Wertanalyse Die Wertanalyse ist ein planmßiges Verfahren zur Minimierung der Kosten unter Einfluß umfassender Gesichtspunkte (DIN 69 910, [30–32]). Aus den kalkulierten Kosten der Einzelteile wird festgestellt, welche Kosten zur Erfllung der geforderten Gesamtfunktion und notwendigen Teilfunktionen entstehen. Solche „Funktionskosten“ sind eine aussagefhige Grundlage zur Beurteilung von Varianten, da gleichermaßen Gesichtspunkte des Vertriebs (sind alle Funktionen unbedingt erforderlich?), der Konstruktion (Wahl geeigneter Funktionsstrukturen und Lsungskonzepte sowie damit notwendiger Teilfunktionen) und der Fertigung (Gestaltung der Einzelteile) erfaßt und kritisch beleuchtet werden. Aus dieser Untersuchung ergeben sich wichtige Hinweise zur Suche nach neuen Lsungen mit merklicher Kostenminderung. Die Wertanalyse nutzt bei der nachtrglichen berprfung dieselben Methoden und Hilfsmittel wie das methodische Konstruieren. Beide sind daher miteinander vertrglich und ergnzen einander. Life Cycle Management. Die Qualitt und Lebensdauer vieler technischer Produkte wird zunehmend nicht mehr z. B. durch Verschleiß, als vielmehr durch eine technische beralterung begrenzt. Strategien fr eine maximale Produktnutzung mssen eine vorausschauende Lebenslaufplanung fr
Tabelle 6. Errechnung der Anteile ai fr das Kostenwachstumsgesetz an Hand des Standardablaufplans und der Einzelkosten des Grundentwurfs (Beispiel)
I1.3 das Produkt beinhalten. Ziel ist es, ein Gesamtoptimum der Produktleistung ber den gesamten Produktlebenslauf hinweg, also ber die Phasen der Konstruktion und Entwicklung (Entstehung), der Nutzungs- bis hin zur Entsorgungsphase zu erreichen. In diese Planung mssen alle Partner der Lebenslaufphasen einbezogen werden [32, 33]. Eine traditionelle Fokussierung auf Teilprozesse greift zu kurz. Synergiepotentiale knnen erst durch die bergreifende Koordination der Lebenslaufphasen visualisiert und ausgeschpft werden. Hierbei kommt der Entstehungsphase eine besondere Bedeutung zu, da in dieser frhen Phase ein Großteil der Produktfunktionen, sowie der gesamten Lebenslaufkosten und -erlse bereits festgelegt wird [34–36]. So werden durch konstruktive Einflsse nicht nur die Produktleistungsdaten festgelegt, sondern auch zuknftige Produktleistungspotentiale, die erst in spteren Phasen des Lebenslaufes genutzt werden, z. B. die Freischaltung schon bei Auslieferung implementierter Steuerungssoftware bei spterem Einbau einer moderneren Bremsanlage. Die Option des Produktupgrades (2. Produktlebenslauf) durch beispielsweise Nachrstung einer Klimaanlage bei Straßenbahnen oder Einbau modernster Stromrichter nach Erstnutzung, bietet weitreichende Potentiale zur berwindung der technischen beralterung mit entsprechenden positiven Effekten auf die Lebensdauer und der Wirtschaftlichkeit. Die Wechselbeziehungen zwischen den Qualitts-, Zeit-, Erls- und Kostenzielen sind nicht mehr phasenbezogenen zu analysieren, sondern mssen ber den gesamten Lebenslauf hinweg evaluiert werden.
1.3 Konstruktionsprozess Bei der Neu- oder Weiterentwicklung von Produkten wird der in F 1.2.2 dargelegte allgemeine Lsungsprozess unter Anwendung von Einzelmethoden (s. F 1.2.3, F 1.2.4, F 1.2.5 und unter Beachten von Gestaltungsgrundlagen (s. F 1.4) auf unterschiedliche Konkretisierungsstufen bertragen. Er gliedert sich in die Hauptphasen Klren der Aufgabenstellung, Konzipieren, Entwerfen und Ausarbeiten. 1.3.1 Klren der Aufgabenstellung Diese Phase dient zur Beschaffung von Informationen ber die Anforderungen, die an die Lsung gestellt werden, sowie die bestehenden Bedingungen und ihre Bedeutung. Sie fhrt zum Erarbeiten einer Anforderungsliste. Als Aufgabenstellung sind auch Lasten- oder Pflichtenhefte bekannt. Sie enthalten aber in der Regel nur Anforderungen des Kunden und sind nicht in der Sprache des Konstrukteurs gehalten. Anforderungsliste Sie enthlt die Ziele und Bedingungen (Anforderungen) der zu lsenden Aufgabe in Form von Forderungen und Wnschen: – Forderungen mssen unter allen Umstnden erfllt werden (Mindestforderungen sind zu formulieren und anzugeben, z. B. P > 20 kW; L % 400 mmÞ: – Wnsche (mit unterschiedlicher Bedeutung) sollten nach Mglichkeit bercksichtigt werden, eventuell mit dem Zugestndnis, daß ein begrenzter Mehraufwand dabei zulssig ist. Ohne bereits eine bestimmte Lsung festzulegen, sind die Forderungen und Wnsche mit Angaben zur Quantitt (Anzahl, Stckzahl, Losgrße usw.) und Qualitt (zulssige Abweichungen, tropenfest usw.) zu versehen. Erst dadurch ergibt sich eine ausreichende Information. Zweckmßigerweise wird auch die Quelle angegeben, aufgrund der die Forderungen oder Wnsche entstanden sind.
Konstruktionsprozeß
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nderungen und Ergnzungen der Aufgabenstellung, wie sie sich im Laufe der Entwicklung nach besserer Kenntnis der Lsungsmglichkeiten oder infolge zeitbedingter Verschiebung der Schwerpunkte ergeben knnen, mssen stets in der Anforderungsliste nachgetragen werden. Aufstellung der Anforderungen Als Hilfe zum Erkennen von Anforderungen wird eine Hauptmerkmalliste (Tab. 7) empfohlen. Sie bewirkt beim Bearbeiter eine Assoziation, indem er die dort angegebenen Begriffe auf die vorliegende konkrete Problemstellung bertrgt und Fragen stellt, zu denen er eine Antwort bentigt. Die notwendigen Funktionen und die spezifischen Bedingungen werden im Zusammenhang mit dem Energie-, Stoff- und Signalumsatz erfaßt (Merkmale Geometrie, Kinematik, Krfte, Energie, Stoff, Signal). Die anderen Merkmale bercksichtigen die sonst noch bestehenden allgemeinen und spezifischen Bedingungen. Die Begriffszusammenstellung hilft, Wesentliches nicht zu vergessen. Die nachfolgend dargestellte Struktur von Arbeitsschritten ist als ein idealtypischer Leitfaden zum zielfhrenden Handeln zu verstehen, der sicherstellt, daß prinzipiell folgerichtig vorgegangen wird und keine wesentlichen Schritte unbercksichtigt bleiben. Der wirkliche Arbeitsablauf wird immer von der
Tabelle 7. Leitlinie mit Hauptmerkmalen zum Aufstellen einer Anforderungsliste
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jeweiligen Problem- und Ausgangslage bestimmt und ist entsprechend anzupassen. So knnen bestimmte Arbeitsschritte entfallen oder in anderer Reihenfolge zweckmßiger sein. Wie in den Bildern angedeutet, sind Vor- oder Rcksprnge oder/und iterative Schleifen innerhalb eines Ablaufs notwendig oder zweckmßig. Auch knnen erzielte Arbeitsergebnisse oder unvorhersehbare Ereignisse zu einer nderung des Vorgehens zwingen. Der Denkprozeß des Konstrukteurs wird mit dieser Struktur nicht abgebildet. Er ist viel komplexer und lebt von Anregungen und Assoziationen sowie von bewußten und unbewußten Denkschritten, die von der Erfahrung und einer stndigen Reflexion der Teilergebnisse beeinflußt werden. Ungeachtet dessen ist die Beachtung des vorgestellten Vorgehens immer ein wichtiger Anhalt und zielfhrend, wenn nicht branchen- oder problemspezifische Aufgaben in einer festgelegten Organisation einen anderen Weg nahelegen. 1.3.2 Konzipieren Konzipieren (Bild 11) ist der Teil des Konstruierens, der nach Klren der Aufgabenstellung durch Abstrahieren, Aufstellen von Funktionsstrukturen und Suchen nach geeigneten Lsungsprinzipien und deren Kombination den grundstzlichen Lsungsweg mit dem Erarbeiten eines Lsungskonzepts festlegt. Das Abstrahieren zum Erkennen der wesentlichen Probleme dient dazu, den Wesenskern der Aufgabe hervortreten zu lassen und sich von festen Vorstellungen sowie konventionellen Lsungen zu befreien, damit neue und zweckmßigere Lsungswege erkennbar werden. Die Gesamtfunktion
(s. F 1.1.2) wird dann unter Bezug auf den Energie-, Stoffund Signalumsatz mglichst konkret mit den beteiligten Eingangs- und Ausgangsgrßen lsungsneutral definiert und in erkennbare Teilfunktionen aufgelst (Funktionsstruktur). Danach folgt die Suche nach den die einzelnen Teilfunktionen erfllenden Wirkprinzipien (s. F 1.1.3 u. F 1.1.4). Diese werden dann anhand der Funktionsstruktur so kombiniert, daß sie vertrglich sind, die Forderungen der Anforderungsliste erfllen und einen noch zulssigen Aufwand erwarten lassen. Die Auswahl erfolgt mit einem Auswahlverfahren (s. F 1.2.5). Die am geeignetsten erscheinenden Kombinationen werden anschließend so weit zu prinzipiellen Lsungsvarianten konkretisiert, daß sie beurteilbar und bewertbar werden (s. F 1.2.5). Dabei mssen ihre wesentlichen technischen und wirtschaftlichen Eigenschaften offenbar werden. 1.3.3 Entwerfen Unter Entwerfen wird der Teil des Konstruierens verstanden, der fr ein technisches Gebilde von der Wirkstruktur bzw. prinzipiellen Lsung ausgehend die Baustruktur nach technischen und wirtschaftlichen Gesichtspunkten eindeutig und vollstndig erarbeitet. Die Ttigkeit des Entwerfens erfordert neben kreativen auch sehr viele korrektive Arbeitsschritte, wobei Vorgnge der Analyse und Synthese einander abwechseln. Auch hier geht man vom Qualitativen zum Quantitativen, d. h. von der Grobgestaltung zur Feingestaltung. Bild 12 zeigt Arbeitsschritte, die je nach Komplexitt des Lsungskonzepts mehr oder weniger vollstndig zu durchlaufen sind. Das Gestalten ist von einem berlegungs- und berprfungsvorgang gekennzeichnet, der durch Befolgen der Leitlinie Tab. 8 wirksam untersttzt wird. Das jeweils vorhergehende Hauptmerkmal sollte in der Regel erst beachtet sein, bevor das folgende intensiver bearbeitet oder berprft wird. Diese Reihenfolge hat nichts mit der Bedeutung der Merkmale zu tun, sondern dient arbeitssparendem Vorgehen. 1.3.4 Ausarbeiten
Bild 11. Arbeitsschritte beim Konzipieren
Unter Ausarbeiten wird der Teil des Konstruierens verstanden, der den Entwurf eines technischen Gebildes durch endgltige Vorschriften fr Anordnung, Form, Bemessung und Oberflchenbeschaffenheit aller Einzelteile, Festlegen aller Werkstoffe, berprfung der Herstellungsmglichkeiten sowie der Kosten ergnzt und die verbindlichen zeichnerischen und sonstigen Unterlagen fr seine stoffliche Verwirklichung und Nutzung schafft [37]. Schwerpunkt ist das Erarbeiten der Fertigungsunterlagen, besonders der Einzelteil-Zeichnungen, ferner von Gruppen- und Gesamt-Zeichnungen sowie der Stckliste. Daneben knnen Vorschriften fr Fertigung, Montage und Gebrauch notwendig werden. Eine Kontrolle auf Vollstndigkeit und Richtigkeit sowie auf interne und externe Normenanwendung schließen diese Phase ab (Bild 13). Mit zunehmendem CAD-Einsatz, insbesondere von 3D-Modellen, ist nicht immer die Erstellung von klassischen technischen Zeichnungen erforderlich. Die produktdefinierenden Daten knnen auch nur im rechnerinternen Modell gespeichert sein. Je nach Notwendigkeit werden dann nur Teilinformationen, zweckdienliche Bilder und/oder angepaßte Darstellungen ausgegeben bzw. aufgerufen. In absehbarer Zeit werden hiervon auch die Zeichnungsnormen betroffen sein und an ihrer Stelle rechnerspezifische Prsentationsarten Platz greifen. Die Handhabung in der Industrie ist im Fluß und daher nicht einheitlich beschreibbar. Wie zwischen Konzept- und Entwurfphase berschneiden sich auch oft Arbeitsschritte der Entwurfs- und Ausarbeitungsphase.
I1.3
Konstruktionsprozeß
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Tabelle 8. Leitlinie mit Hauptmerkmalen beim Gestalten
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1.3.5 Effektive Organisationsformen
Bild 12. Arbeitsschritte beim Entwerfen. Hauptfunktionstrger: Einzelteile und Baugruppen, die eine Hauptfunktion erfllen; Nebenfunktionstrger: Einzelteile und Baugruppen, die eine untersttzende Nebenfunktion erfllen
Der Prozess des Planes und Konstruierens wird als ein integrierter und interdisziplinrer Produktentwicklungsprozess verstanden (vgl. [38, 39]). Die Schlagworte dazu heißen: Simultaneous Engineering oder Concurrent Engineering. Hierunter wird eine zielgerichtete, interdisziplinre (abteilungsbergreifende) Zusammen- und Parallelarbeit in der gesamten Produkt-, Produktions- und Vertriebsentwicklung fr den vollstndigen Produktlebenslauf verstanden. Die Aktivitten der einzelnen Bereiche verlaufen weitgehend parallel oder berlappen sich mindestens mit intensiven Kontakten zum Kunden unter Einbeziehung der Zulieferer. Darber hinaus erfolgt eine Produktberwachung bis zum Lebensende des Produkts (vgl. Bild 14). Ziele sind krzere Entwicklungszei-
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Grundlagen der Konstruktionstechnik – 1 Grundlagen technischer Systeme und des methodischen Vorgehens
und der Umweltproblematik u.., die nur zeit- oder abschnittsweise im Team mitarbeiten. Die Zusammenarbeit des Teams muß geplant vor sich gehen und richtet sich zweckmßigerweise nach dem zuvor beschriebenen methodischen Konstruieren. Viele der eingesetzten Einzelmethoden erfordern ohnehin die Bildung von interdisziplinren Gruppen. Die Teamarbeit konzentriert sich damit auf die Hauptarbeitsschritte mit gruppendynamischen Effekten, wie solche der Aufgabenklrung, der Lsungssuche (Brainstorming, Galeriemethode u. a.), der Lsungsbeurteilung mittels Auswahl- und Bewertungsverfahren, der Fehlerbaumanalyse, der Risikoabschtzung sowie dem Festlegen von Ablufen und Terminen. Der berwiegende Zeitanteil der Konstruktions- und Entwicklungsarbeit wird weiterhin in Einzelarbeit geleistet, wie z. B. Berechnen und das Erstellen von Festigkeitsnachweisen, Untersuchung von bestimmten Sachverhalten, Ausarbeitung und Darstellung von Lsungsvorschlgen und Details, Informationsgewinnung, Normenanwendung und -prfung, Vorbereitung von Teamsitzungen und von Kundenbesprechungen. Probleme der Fhrung und des Teamverhaltens vgl. [39, 40].
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1.3.6 Rapid Prototyping
Bild 13. Arbeitsschritte beim Ausarbeiten
ten, schnellere Produkterstellung, Kostenreduktion am Produkt und in der Produktentwicklung sowie eine Qualittsverbesserung. Ein Entwicklungsteam, das zeitlich befristet zusammengesetzt ist, arbeitet unter der Leitung eines Projektmanagers selbstndig und verantwortet seine Entscheidungen gegenber der technischen Entwicklungsleitung selbst. Die Abteilungsgrenzen werden dadurch berwunden. Zweckmßigerweise wird ein kleineres Kernteam gebildet, das verantwortliche Fachleute aus der Konstruktion, Arbeitsvorbereitung, Marketing und Vertrieb umfaßt. Die Zusammensetzung ist von der Problemstellung und von der Produktart abhngig. Ergnzt wird das Kernteam je nach Bedarf durch Fachleute aus der Qualittssicherung, Montage, Steuerung und Regelung, dem Recycling
Zwecks Verkrzung von Entwicklungszeiten und rascherer Markteinfhrung ( Rapid Product Development RPD) beginnt sich parallel zum Konstruktionsprozeß die mitlaufende und schnelle Herstellung von Modellen zur Anschauung und Variation, zur Funktions- und Maßberprfung sowie als Urmodell fr nachfolgende Abgießverfahren durchzusetzen. Rapid Prototyping (RP) als ein generatives Herstellverfahren von freigeformten Krpern (Solid Freeform Manufacturing SFM) ist eine hervorragende Ergnzung von abteilungsbergreifenden Entwicklungen, wie sie z. B. unter Simultaneous Engineering ablaufen (vgl. F 1.3.5). Voraussetzungen fr RP ist ein vollstndiges und konsistentes 3 D-CAD-Modell auf einem leistungsfhigen Rechner, die exakte Beherrschung numerischer Steuerungstechnik und die Anwendung von Lasertechnologie sowie die Auswahl geeigneter Materialien fr das Modell. Als Modellmaterial kommen z. Z. unter Temperatur aushrtbare Kunststoffe in Form von Flssigkeiten, Pulver, Folien, getrnktem Papier oder Strangmaterial in Frage. Entwicklungstrends gehen auch dahin, direkt Metallmodelle zu erzeugen. Allen Verfahren ist gemeinsam, daß aus dem rechnerinternen 3 D-Modell senkrecht zur Herstellebene dnne Querschnitte (Schnitte) abgerufen werden, die von einem Laserstrahl nach-
Bild 14. Produktentstehungs- und -verfolgungsprozeß unter Simultaneous Engineering mit mindestens berlappenden Bereichsaktivitten, Bildung eines Projektteams und engen Kontakten zu Kunden und Zulieferern
I1.4 gefahren und im jeweiligen Kunststoffmaterial durch Aushrtung unter Temperatur schichtweise den Krper aufbauen. Je nach Verfahren sind Schichtdicken zwischen 0,05 bis 0,3 mm und Spurbreiten zwischen 0,25 bis 2,5 mm mglich. Die Maßgenauigkeit und Oberflchengte des entstandenen Modells reicht an die Qualitt konventionell gefertigter Verfahren heran. Unter entsprechenden Umstnden (Festigkeit, Temperatur) kann das Modell auch als Fertigteil eingesetzt werden (vgl. S 5.5 und [41, 42]). 1.3.7 Konstruktionsarten Nicht immer ist das Durchlaufen aller Hauptphasen fr das gesamte technische System erforderlich. Vielfach ergibt sich eine Neukonstruktion nur fr bestimmte Baugruppen oder Anlagenteile. In anderen Fllen gengt eine Anpassung an andere Gegebenheiten, ohne das Lsungsprinzip ndern zu mssen, oder innerhalb eines vorausgedachten Systems nur Abmessungen oder Anordnungen zu variieren. Hieraus leiten sich drei Konstruktionsarten ab, deren Grenzen hinsichtlich der Bearbeitung einer Aufgabe fließend sein knnen: – Neukonstruktion. Erarbeiten eines neuen Lsungsprinzips bei gleicher, vernderter oder neuer Aufgabenstellung fr ein System (Anlage, Apparat, Maschine oder Baugruppe). – Anpassungskonstruktion. Anpassen der Gestaltung (Gestalt und Werkstoff) eines bekannten Systems (Lsungsprinzip bleibt gleich) an eine vernderte Aufgabenstellung; dabei auch Hinausschieben bisheriger Grenzen. Neukonstruktion einzelner Baugruppen oder -teile oft ntig. – Variantenkonstruktion. Variieren von Grße und/oder Anordnung innerhalb der Grenzen vorausgedachter Systeme. Funktion, Lsungsprinzip und Gestaltung bleiben im wesentlichen erhalten.
1.4 Gestaltung 1.4.1 Grundregeln Die Grundregeln eindeutig, einfach und sicher sind Anweisungen zur Gestaltung und leiten sich aus der generellen Zielsetzung ab (s. F 1.1.5, vgl. auch VDI-Richtlinie 2223: Methodisches Entwerfen technischer Produkte). Eindeutig: Wirkung, Verhalten klar und gut erkennbar voraussagen (Erfllung der technischen Funktion). Einfach: Gestaltung durch wenig zusammengesetzte, bersichtlich gestaltete Formen anstreben und den Fertigungsaufwand klein halten (wirtschaftliche Realisierung). Sicher: Haltbarkeit, Zuverlssigkeit, Unfallfreiheit und Umweltschutz beim Gestaltungsvorgang gemeinsam erfassen (Sicherheit fr Mensch und Umgebung). Werden diese Grundregeln bei der Gestaltung zusammen beachtet, ist eine gute Realisierung zu erwarten. Die Verknpfung der Leitlinie (s. Tab. 8 ) mit den Grundregeln gibt Anregungen fr Fragestellungen und ist eine Hilfe, Wichtiges nicht unbeachtet zu lassen und ein gutes Ergebnis zu erzielen.
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Allgemein wird angestrebt, viele Funktionen mit nur wenigen Funktionstrgern zu verwirklichen. Funktionsanalysen, Schwachstellen- und Fehlersuche knnen jedoch Hinweise geben, ob Einschrnkungen oder gegenseitige Behinderungen bzw. Strungen entstehen. Das ist meist der Fall, wenn Grenzleistungen angestrebt werden oder das Verhalten des Funktionstrgers hinsichtlich wichtiger Bedingungen eindeutig und unbeeinflußt bleiben muß. In solchen Fllen ist eine Aufgabenteilung zweckmßig, bei der die jeweilige Funktion von einem eigenen darauf abgestimmten Funktionstrger erfllt wird. Das Prinzip der Aufgabenteilung, nach dem jeder Funktion ein besonderer Funktionstrger zugeordnet wird, ergibt eine bessere Ausnutzung aufgrund eindeutiger Berechenbarkeit (bersichtlichkeit), eine hhere Leistungsfhigkeit durch Erreichen absoluter Grenzen, wenn diese allein maßgebend sind, ein eindeutiges Verhalten im Betrieb (Funktionserfllung, Eigenschaften, Lebensdauer usw.) und einen besseren Fertigungs- und Montageablauf (einfacher, parallel). Von Nachteil ist, daß der bauliche Aufwand meist grßer wird, was eine hhere Wirtschaftlichkeit oder Sicherheit ausgleichen muß. Beispiel: (Bild 15) Gestaltung des Rotorkopfs eines Hubschraubers. – Die Zentrifugalkraft wird allein ber das torsionsnachgiebige Glied Z vom Rotorblatt auf das mittige Herzstck geleitet. Das aus der aerodynamischen Belastung herrhrende Biegemoment wird allein ber Teil B auf die Rollenlager im Rotorkopf abgesttzt. Damit konnte jedes Bauteil seiner Aufgabe entsprechend optimal gestaltet werden. Weitere Beispiele sind die Trennung der Radial- und Axialkraftaufnahme bei Festlagern; die Ausfhrung von Behltern der Verfahrenstechnik mit austenitischem Futterrohr gegen Korrosion, kombiniert mit einer ferritischen Behlterwand zur Druckaufnahme; Keilriemen mit inneren Zugstrngen zur Zugkraftaufnahme, die in Gummi eingebettet sind und bei denen die Oberflche dieser Schicht einen hohen Reibwert zur Leistungsbertragung aufweist.
Prinzip der Selbsthilfe Nach diesem Prinzip wird versucht, im System selbst eine sich gegenseitig untersttzende Wirkung zu erzielen, die die Funktion besser zu erfllen und bei berlast Schden zu vermeiden hilft. Das Prinzip gewinnt die erforderliche Gesamtwirkung aus einer Ursprungswirkung und einer Hilfswirkung (Beispiel: Bild 16). Gleiche konstruktive Mittel knnen je nach Anordnung selbsthelfend oder selbstschadend wirken. Solange in dem Behlter ein gegenber dem Außendruck hherer Druck herrscht, ist die linke Anordnung selbsthelfend. Herrscht dagegen im Behlter Unterdruck, ist die linke Anordnung selbstschadend, die rechte selbsthelfend. Man unterscheidet: Selbstverstrkende Lsungen. Bei Normallast ergibt sich die Hilfswirkung in fester Zuordnung aus der Haupt- oder Ne-
1.4.2 Gestaltungsprinzipien Gestaltungsprinzipien stellen Strategien dar, die nicht total anwendbar sind. Prinzip der Aufgabenteilung Beim Gestalten ergibt sich fr die zu erfllenden Funktionen die Frage nach der zweckmßigen Wahl und Zuordnung von Funktionstrgern: Welche Teilfunktionen knnen gemeinsam mit nur einem Funktionstrger erfllt werden und welche Teilfunktionen mssen mit einem jeweils zugeordneten, also getrennten Funktionstrger erfllt werden?
Bild 15. Rotorblattbefestigung eines Hubschraubers nach dem Prinzip der Aufgabenteilung (Bauart Messerschmitt-Blkow)
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Bild 16. Anordnung eines Mannlochdeckels. U Ursprungswirkung, H Hilfswirkung, G Gesamtwirkung, p Innendruck
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Bild 17 a, b. Lagerabsttzung eines zweistufigen offenen Getriebes nach Leyer. a Extrem falsch, lange Kraftleitungswege, hohe Biegeanteile, schlechte Gußgestaltung; b gute Lsung, Lagerkrfte direkt im Verbund aufgenommen, steife Absttzung mit vorwiegender Zugund Druckbeanspruchung
bengrße, wobei sich eine verstrkende Gesamtwirkung aus Hilfs- und Ursprungswirkung einstellt. Selbstausgleichende Lsungen. Bei Normallast ergibt sich die Hilfswirkung aus einer begleitenden Nebengrße in fester Zuordnung zu einer Hauptgrße, wobei die Hilfswirkung der Ursprungswirkung entgegenwirkt und damit einen Ausgleich erzielt, der eine hhere Gesamtwirkung ermglicht. Selbstschtzende Lsungen. Bei berlast ergibt sich die Hilfswirkung aus einem neuen, meist zustzlichen Kraftleitungsweg fr die belastende Hauptgrße. Das fhrt zu einer Umverteilung und anderen Beanspruchungsart, bei der die betreffenden Teile tragfhiger sind. Prinzipien der Kraft- und Energieleitung Kraftleitung soll das Leiten von Biege- und Drehmomenten einschließen. Sie ist von Verformungen begleitet. Kraftflußgerechte Gestaltung. Der Kraftfluss ist eine physikalisch nicht begrndbare, aber anschauliche Vorstellung fr das Leiten von Krften. Im Querschnitt des betrachteten Bauteils stellt man sich die hindurch geleiteten Krfte und Momente als Fluß vor. Aus diesem Modell werden folgende prinzipiellen Forderungen fr eine kraftflußgerechte Gestaltung abgeleitet: Der Kraftfluß muß stets geschlossen sein (actio = reactio), scharfe Umlenkungen des Kraftflusses und schroffe nderungen der Kraftflußdichte infolge bergangsloser Querschnittsnderungen sind zu vermeiden (Auftreten von Kerbwirkung). Prinzip der gleichen Gestaltfestigkeit. Gleiche Ausnutzung der Festigkeit durch geeignete Wahl von Werkstoff und Form anstreben, sofern wirtschaftliche Grnde nicht dagegen sprechen (s. C 2 Tab. 2 und E 1.5). Prinzip der direkten und kurzen Kraftleitung. Krfte und Momente sind von einer Stelle zu einer anderen bei mglichst geringem Werkstoffaufwand zu leiten. Kleine Verformung fordert kurzen und direkten Weg sowie mglichst nur Zugund Druckbeanspruchung in den beteiligten Bauteilen (Beispiel: Bild 17). Große elastische Verformung fordert lange Kraftleitungswege sowie vorzugsweise Biege- und/oder Torsionsbeanspruchung (Beispiele: Schraubendruckfeder, Rohrleitung mit biege- und torsionsbeanspruchten Ausgleichsbgen). Prinzip der abgestimmten Verformung. Die beteiligten Komponenten sind so zu gestalten, daß unter Last eine weitgehende Anpassung mit gleichgerichteter Verformung bei mglichst kleiner Relativverformung entsteht. Ziel ist es, Spannungsberhhungen und Reibkorrosion zu vermeiden oder zu mildern sowie Funktionsstrungen infolge Verformungen zu beseitigen. Durch Lage, Form, Abmessung und Werkstoffwahl (E-Modul) kann eine Abstimmung erreicht werden (Bild 18).
Bild 18 a, b. Welle-Nabe-Verbindung. a Mit starker Kraftflussumlenkung, hier entgegengerichtete Torsionsverformung bei A zwischen Welle und Nabe (y Verdrehwinkel); b mit allmhlicher Kraftflußumlenkung, hier gleichgerichtete Torsionsverformung ber der ganzen Nabenlnge (y Verdrehwinkel)
Prinzip des Kraftausgleichs. Funktionsbedingte Hauptgrßen wie aufzunehmende Last, Antriebsmoment und Umfangskraft sind hufig mit begleitenden Nebengrßen wie Axialschub, Spann-, Massen- und Strmungskrften in fester Zuordnung verbunden. Diese Nebengrßen belasten die Kraftleitungszonen zustzlich und knnen eine entsprechend aufwendigere Auslegung erfordern. Nach dem Prinzip des Kraftausgleichs werden Ausgleichelemente bei vorwiegend relativ mittleren Krften und symmetrische Anordnung bei vorwiegend relativ großen Krften empfohlen (Bild 19).
Prinzipien der Sicherheitstechnik Nach DIN 31 000 unterscheidet man zwischen unmittelbarer, mittelbarer und hinweisender Sicherheitstechnik. Grundstzlich wird die unmittelbare Sicherheit angestrebt, bei der von vornherein und aus sich heraus keine Gefhrdung besteht. Dann folgt die mittelbare Sicherheit mit dem Aufbau von Schutzsystemen und der Anordnung von Schutzeinrichtungen. Eine hinweisende Sicherheitstechnik, die nur vor Gefahren warnen und den Gefhrdungsbereich kenntlich machen kann, lst kein Sicherheitsproblem. Das Prinzip der Aufgabenteilung (s. F 1.4.2) und die Grundregel „eindeutig“ (s. F 1.4.1) tragen zum Erreichen eines sicheren Verhaltens bei. Prinzip des sicheren Bestehens (safe-life-Verhalten). Es geht davon aus, daß alle Bauteile und ihr Zusammenhang die vorgesehene Einsatzzeit bei allen wahrscheinlichen oder mglichen Vorkommnissen ohne ein Versagen oder eine Strung berstehen. Prinzip des beschrnkten Versagens (fail-safe-Verhalten). Es lßt whrend der Einsatzzeit eine Funktionsstrung und/ oder einen Bruch zu, ohne daß es dabei zu schwerwiegenden Folgen kommen darf. In diesem Fall muß – eine wenn auch eingeschrnkte Funktion oder Fhigkeit erhalten bleiben, die einen gefhrlichen Zustand vermeidet,
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Bild 19. Grundstzliche Lsungen fr Kraftausgleich am Beispiel einer Strmungsmaschine, eines Getriebes und einer Kupplung
– die eingeschrnkte Funktion vom versagenden Teil oder einem anderen bernommen und solange ausgebt werden, bis die Anlage oder Maschine gefahrlos außer Betrieb genommen werden kann, – der Fehler oder das Versagen erkennbar werden, – die Versagensstelle ein Beurteilen ihres fr die Gesamtsicherheit maßgebenden Zustands ermglichen. Prinzip der Mehrfach- oder redundanten Anordnung. Es bedeutet eine Erhhung der Sicherheit, solange das ausfallende Systemelement von sich aus keine Gefhrdung hervorruft und die parallel oder in Serie angeordneten Systemelemente die volle oder wenigstens eingeschrnkte Funktion bernehmen. Bei aktiver Redundanz (Bild 20) beteiligen sich alle Systemelemente aktiv an der Aufgabe, bei passiver Redundanz stehen sie in Reserve, und ihre Aktivierung macht einen Schaltungsvorgang ntig. Prinzipredundanz liegt vor, wenn die Funktion gleich, aber das Wirkprinzip unterschiedlich ist. Die Systemelemente selbst mssen aber einem der vorstehenden Prinzipien folgen. Mittelbare Sicherheit. Zur mittelbaren Sicherheitstechnik gehren Schutzsysteme und Schutzeinrichtungen [43]. Letztere dienen zur Sicherung von Gefahrenstellen (z. B. Verkleidung, Verdeckung, Umwehrung) im Zusammenhang mit der Arbeitssicherheit (s. F 1.4.3). Schutzsysteme dienen dazu, eine Anlage oder Maschine bei Gefahr selbstttig aus dem Gefahrenzustand zu bringen, den Energie- bzw. Stofffluß zu begrenzen oder bei Vorliegen eines Gefahrenzustands das Inbetriebnehmen zu verhindern. Zur Auslegung von Schutzsystemen sind folgende Forderungen zu beachten: – Warnung oder Meldung. Bevor ein Schutzsystem eine nderung des Betriebszustands einleitet, ist eine Warnung zu geben, damit seitens der Bedienung und berwachung wenn mglich noch eine Beseitigung des Gefahrenzustands, wenigstens aber notwendige Folgemaßnahmen, ein-
geleitet werden knnen. Wenn ein Schutzsystem eine Inbetriebnahme verhindert, soll es den Grund der Verhinderung anzeigen. – Selbstberwachung. Ein Schutzsystem muß sich hinsichtlich seiner steten Verfgbarkeit selbst berwachen, d. h. nicht nur der eintretende Gefahrenfall, gegen den geschtzt werden soll, hat das System zum Auslsen zu bringen, sondern auch ein Fehler im Schutzsystem selbst. Am besten stellt das Ruhestromprinzip diese Forderung sicher, weil in einem solchen System stets Energie zur Sicherheitsbetti-
Bild 20. Redundante Anordnungen (Schaltungen von Systemelementen)
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Grundlagen der Konstruktionstechnik – 1 Grundlagen technischer Systeme und des methodischen Vorgehens
gung gespeichert ist und eine Strung bzw. ein Fehler im System diese Energie zur Schutzauslsung freigibt und dabei die Maschine oder Anlage abschaltet. Das Ruhestromprinzip kann nicht nur in elektrischen Schutzsystemen, sondern auch in Systemen anderer Energiearten angewandt werden. Mehrfache, prinzipverschiedene und unabhngige Schutzsysteme. Sind Menschenleben in Gefahr oder Schden grßeren Ausmaßes zu erwarten, mssen die Schutzsysteme mindestens zweifach, prinzipverschieden und unabhngig voneinander vorgesehen werden (primrer und sekundrer Schutzkreis). Bistabilitt. Schutzsysteme mssen auf einen definierten Ansprechwert ausgelegt werden. Die Auslsung hat unverzglich zu erfolgen, ohne daß ein Verharren in Zwischenzustnden auftritt. Wiederanlaufsperre. Anlagen drfen nach Beseitigen einer Gefahr nicht von selbst wieder in Betrieb gehen. Sie bedrfen einer neuen geordneten Inbetriebsetzung. Prfbarkeit. Schutzsysteme mssen prfbar sein. Dabei muß die Schutzfunktion erhalten bleiben.
1.4.3 Gestaltungsrichtlinien Die Gestaltungsrichtlinien ergeben sich aus den allgemeinen Bedingungen (s. F 1.1.5 u. F 1.1.6), aus der Leitlinie beim Gestalten (s. Tab. 8) und nicht zuletzt aus den Gesetzmßigkeiten und Aussagen im Zusammenhang mit den Maschinenelementen (s. G). Beanspruchungsgerecht Zu beachten sind die Aussagen der Festigkeitslehre (s. C), der Werkstofftechnik (s. E 1) und die Prinzipien der Kraftleitung (s. F 1.4.2). In Bau- und Anlageteilen ist eine mglichst hohe und gleichmßige Ausnutzung anzustreben (Prinzip der gleichen Gestaltfestigkeit), sofern wirtschaftliche Grnde nicht dagegen sprechen. Unter Ausnutzung wird das Verhltnis berechnete zu zulssige Beanspruchung verstanden. Formnderungsgerecht Beanspruchungen sind stets von mehr oder weniger großen Formnderungen begleitet (s. F 1.4.2). Formnderungen knnen auch aus funktionellen Grnden begrenzt sein (z. B. begrenzte Wellendurchbiegung bei Getrieben, Elektromotoren oder Strmungsmaschinen). Im Betriebszustand drfen Formnderungen nicht zu Funktionsstrungen fhren, da sonst Eindeutigkeit des Kraftflusses oder der Ausdehnung nicht mehr sichergestellt sind und berlastungen bzw. Bruch die Folge sein knnen. Zu beachten sind die die Beanspruchung begleitenden Verformungen und gegebenenfalls auch die aus der Querdehnung (Querkontraktion) sich ergebenden Betrge sowie das Prinzip der abgestimmten Verformung (s. F 1.4.2). Stabilitts- und resonanzgerecht Mit Stabilitt werden alle Probleme der Standsicherheit und Kippgefahr sowie der Knick- und Beulgefahr (s. C 7) aber auch die des stabilen Betriebs einer Maschine oder Anlage angesprochen. Strungen sollen durch ein stabiles Verhalten, d. h. selbstttige Rckkehr in die Ausgangs- bzw. Normallage, vermieden werden. Es ist darauf zu achten, daß indifferentes oder gar labiles Verhalten Strungen nicht verstrkt, aufschaukelt oder sie außer Kontrolle bringt. Resonanzen haben erhhte, nicht sicher abschtzbare Beanspruchungen zur Folge. Sie sind daher zu vermeiden, wenn die Ausschlge nicht hinreichend gedmpft werden knnen (s. B 4). Dabei soll nicht nur an die Festigkeitsprobleme gedacht werden, sondern auch an Begleiterscheinungen wie Gerusche und Schwingungsausschlge.
Ausdehnungsgerecht Maschinen, Apparate und Gerte arbeiten nur ordnungsgemß, wenn der Effekt der Ausdehnung bercksichtigt worden ist. Ausdehnung von Bauteilen. Die Ausdehnungszahl ist als Mittelwert ber den jeweils durchlaufenden Temperaturbereich zu verstehen; sie ist werkstoff- und temperaturabhngig (s. D 6.3.1). Die Ausdehnung der Bauteile hngt ab von der Lngenausdehnungszahl b, der betrachteten Lnge l des Bauteils und der mittleren Temperaturnderung DJm dieser Lnge. Die Ausdehnung hat Gestaltungsmaßnahmen zur Folge. Jedes Bauteil muß in seiner Lage eindeutig festgelegt werden und darf nur so viele Freiheitsgrade erhalten, wie es zur ordnungsgemßen Funktionserfllung bentigt. Im allgemeinen bestimmt man einen Festpunkt und ordnet dann fr die gewnschten Bewegungsrichtungen entsprechende Fhrungen an. Diese drfen nur einen Freiheitsgrad haben; sie sind auf einem Strahl durch den Festpunkt anzuordnen, wobei der Strahl Symmetrielinie des Verzerrungszustands sein muß. Der Verzerrungszustand kann durch die Ausdehnung sowie von last- und temperaturabhngigen Spannungen hervorgerufen werden. Da Spannungs- und Temperaturverteilung auch von der Form des Bauteils abhngen, ist die Symmetrielinie des Verzerrungszustands zunchst auf der Symmetrielinie des Bauteils und der des aufgeprgten Temperaturfelds zu suchen. Relativausdehnung zwischen Bauteilen. Sie ergibt sich aus dRel ¼ b1 l1 DJm1ðtÞ b2 l2 DJm2ðtÞ . Stationre Relativausdehnung. Ist die jeweilige mittlere Temperaturdifferenz zeitlich unabhngig, konzentrieren sich die Maßnahmen bei gleichen Lngenausdehnungszahlen auf ein Angleichen der Temperaturen und/oder bei unterschiedlichen Temperaturen auf ein Anpassen mittels Wahl von Werkstoffen unterschiedlicher Ausdehnungszahlen. Instationre Relativausdehnung. ndert sich der Temperaturverlauf mit der Zeit (z. B. bei Aufheiz- oder Abkhlvorgngen), ergibt sich oft eine Relativausdehnung, die viel grßer ist als im stationren Endzustand, weil die Temperaturen in den einzelnen Bauteilen sehr unterschiedlich sein knnen. Fr den hufigen Fall, Bauteile gleicher Lnge und gleicher Ausdehnungszahl, gilt dRel ¼ blðDJm1ðtÞ DJm2ðtÞ Þ. Die Erwrmungskurve ist in ihrem zeitlichen Verlauf durch die Aufheizzeitkonstante charakterisiert. Betrachtet man beispielsweise die Erwrmung DJm eines Bauteils bei einem pltzlichen Temperaturanstieg DJ des aufheizenden Mediums, so ergibt sich unter der allerdings groben Annahme, daß Oberflchen- und mittlere Bauteiltemperatur gleich seien, was praktisch nur fr relativ dnne Wanddicken und hohe Wrmeleitzahlen annhernd zutrifft, der in Bild 21 gezeigte Verlauf, der der Beziehung DJm ¼ DJð1 et=T Þ folgt. Hierbei bedeutet t die Zeit und T die Zeitkonstante mit T ¼ cm=ða AÞ; c spezifische Wrme des Bauteilwerkstoffs, m ¼ rV Masse des Bauteils, a Wrmebergangszahl an der beheizten Oberflche des Bauteils, A beheizte Oberflche am Bauteil. Bei unterschiedlichen Zeitkonstanten der Bauteile 1 und 2 ergeben sich verschiedene Temperaturverlufe, die zu einer bestimmten kritischen Zeit eine grßte Differenz haben. Wenn es gelingt, die Zeitkonstanten der beteiligten Bauteile gleich groß zu machen, findet eine Relativausdehnung nicht statt. Zur Annherung der Zeitkonstanten bieten sich konstruktiv zwei Wege an: die Angleichung der Verhltnisse V/A (Volumen zur beheizten Oberflche) oder die Korrektur ber die Beeinflussung der Wrmebergangszahl a mit Hilfe von z. B. Schutzhemden oder anderen Anstrmungsgeschwindigkeiten.
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Gestaltung
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– Spannungsrißkorrosion: empfindliche Werkstoffe vermeiden; Zugspannung an der angegriffenen Oberflche massiv herabsetzen oder ganz vermeiden; Druckspannung in die Oberflche einbringen (z. B. Schrumpfbandagen, vorgespannte Mehrschalenbauweise, Kugelstrahlen); Eigenzugspannungen durch Spannungsarmglhen abbauen; kathodisch wirkende berzge aufbringen; Agenzien vermeiden oder mildern durch Erniedrigung der Konzentration und der Temperatur.
Bild 21. Zeitliche Temperaturnderung bei einem Temperatursprung DJ des aufheizenden Mediums in zwei Bauteilen mit unterschiedlicher Zeitkonstante
Generell ist so zu gestalten, daß auch unter Korrosionsangriff eine mglichst lange und gleiche Lebensdauer aller beteiligten Komponenten erreicht wird. Lßt sich diese Forderung mit entsprechender Werkstoffwahl und Auslegung wirtschaftlich nicht erreichen, muß so konstruiert werden, daß die besonders korrosionsgefhrdeten Zonen und Bauteile berwacht und ausgewechselt werden knnen [46].
Korrosionsgerecht
Verschleißgerecht
Korrosionserscheinungen lassen sich nicht vermeiden, sondern nur mindern, weil die Ursache fr die Korrosion nicht beseitigt werden kann. Die Verwendung korrosionsfreier Werkstoffe ist oft unwirtschaftlich. Korrosionserscheinungen ist mit einem entsprechenden Konzept und zweckmßigerer Gestaltung entgegenzuwirken. Die Maßnahmen hngen von der Art der Korrosionserscheinungen ab (s. E 6 und [44, 45]).
Unter Verschleiß versteht man das unerwnschte Lsen von Teilchen infolge mechanischer Ursachen, wobei auch chemische Effekte beteiligt sein knnen (s. E 5.4). Ebenso wie Korrosion ist Verschleiß nicht immer vermeidbar. Aus konstruktiver Sicht sind Verschleißerscheinungen immer als Ergebnis eines tribologischen Systems zu sehen, das sich aus den die Funktion erfllenden Elementen, deren Eigenschaften und ihrer Umgebung sowie der gewhlten Zwischenschichten (Schmiermittel) als Wechselwirkung ergibt. Daraus folgt, dass allein die Wahl des Schmierstoffs nicht ausreichend sein kann, sondern stets konstruktive Merkmale entscheidend das Geschehen bestimmen. Dementsprechend ist zunchst zu sorgen fr: – eine ertragbare, eindeutige und rtlich gleichmßige Beanspruchung (u. a. mittels elastisch nachgiebiger oder sich selbst einstellender Elemente), – eine einen Schmierfilm aufbauende oder untersttzende Bewegung der Kontaktflchen, – eine auch unter Temperatur- oder sonstigen Einflssen definiert erhalten bleibende Geometrie der Bauteile (z. B. Spaltgeometrie, Einlaufzone), – eine funktionsgerechte Oberflche (Gestalt und Rauhigkeit), die sich auch whrend des Verschleißvorgangs nicht grundstzlich verschlechtert, – eine zweckmßige Werkstoffwahl, die aufgrund der Paarung adhsiven oder abrasiven Verschleiß mildert.
Ebenmßig abtragende Korrosion. Ursache und Erscheinung: Auftreten von Feuchtigkeit (schwach basischer oder saurer Elektrolyt) unter gleichzeitiger Anwesenheit von Sauerstoff aus der Luft oder dem Medium, insbesondere Taupunktunterschreitung. Weitgehend gleichmßig abtragende Korrosion an der Oberflche (bei Stahl z. B. etwa 0,1 mm/ Jahr in normaler Atmosphre). Abhilfe: Wanddickenzuschlag und Werkstoff; Verfahrensfhrung, die Korrosion vermeidet bzw. wirtschaftlich tragbar macht; kleine und glatte Oberflchen mit einem Maximum des Verhltnisses Inhalt zu Oberflche; keine Feuchtigkeitssammelstellen; keine unterschiedlichen Temperaturen, also gute Isolierung und Verhinderung von Wrme- bzw. Kltebrcken. Lokal angreifende Korrosion. Sie ist besonders gefhrlich, weil sie eine sehr große Kerbwirkung zur Folge hat und oft nicht leicht vorhersehbar ist. Korrosionsarten: Spaltkorrosion, Kontaktkorrosion, Schwingungsrißkorrosion, Spannungsrisskorrosion. Ursachen und Abhilfe s. E 6 und [44, 45]. Folgende Maßnahmen helfen bei – Spaltkorrosion: glatte, spaltenlose Oberflchen auch an bergangsstellen; Schweißnhte ohne verbleibenden Wurzelspalt, Stumpfnhte oder durchgeschweißte Kehlnhte vorsehen; Spalt abdichten, Feuchtigkeitsschutz durch Muffen oder berzge; Spalte so groß machen, daß infolge Durchstrmung oder Austausch keine Anreicherung mglich ist. – Kontaktkorrosion: Metallkombinationen mit geringem Potentialunterschied und daher kleinem Kontaktkorrosionsstrom verwenden; Einwirkung des Elektrolyten auf die Kontaktstelle verhindern, indem die beiden Metalle rtlich isoliert werden; Elektrolyt berhaupt vermeiden; notfalls gesteuerte Korrosion durch gezielten Abtrag an elektrochemisch noch unedlerem „Freßmaterial“, sogenannten Opferanoden, vorsehen. – Schwingungsrißkorrosion: mechanische oder thermische Wechselbeanspruchung klein halten, Resonanzerscheinungen vermeiden; Spannungsberhhung infolge von Kerben vermeiden; Druckvorspannung durch Kugelstrahlen, Prgepolieren, Nitrieren usw. erhhen (lngere Lebensdauer); korrosives Medium (Elektrolyt) fernhalten; Oberflchenschutzberzge (z. B. Gummierung, Einbrennlackierung, galvanische berzge mit Druckspannung) vorsehen.
Folgende Abhilfemaßnahmen knnen fr die in E 5.4 und [46] behandelten Grundmechanismen (Verschleißarten) zweckmßig sein: – Adhsiver Verschleiß. Die Wahl anderer Werkstoffe und das Einbringen andersartiger Zwischenschichten (z. B. Feststoffschmierstoffe) bringen grundstzlich Abhilfe. – Abrasiver Verschleiß. Hrte des weicheren Partners erhhen (z. B. Nitrieren, Hartmetallauflage [47]). – Ermdungsverschleiß. rtliche Beanspruchung mindern, verteilen. – Schichtverschleiß. Da dieser Vorgang in der Regel bei funktionell nicht schdlichen Verschleißvorgngen in der sogenannten Tieflage entsteht (Abtrag pro Zeit- oder Wegeinheit gering), ist er solange ertragbar, bis die Bauteildicke z. B. den Festigkeitsanforderungen nicht mehr gengt. – Reibkorrosion. Dieser Vorgang ist komplexer Natur (mechanisch-chemisch) und fhrt zur Absonderung harter Oxidationsprodukte, die die Funktion gefhrden, whrend die Scheuerstelle selbst unter vielfach schdlicher Kerbwirkung leidet. Abhilfe: Vermeiden von Relativbewegungen an Fgestellen durch Verstrken des Bauteils, andere Lastein- und -ableitung, Entlastungsnuten.
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Grundlagen der Konstruktionstechnik – 1 Grundlagen technischer Systeme und des methodischen Vorgehens
Arbeitssicherheits- und ergonomiegerecht
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Arbeitssicherheitstechnische Gestaltung. Der arbeitende Mensch und seine Umgebung sind vor schdlichen Einwirkungen zu schtzen. DIN 31 000 weist auf Grundforderungen fr sicherheitsgerechtes Gestalten technischer Erzeugnisse hin. DIN 31 001 Teil 1, 2 und 10 gibt Anweisungen fr Schutzeinrichtungen. Vorschriften der Berufsgenossenschaften, der Gewerbeaufsichtsmter und der Technischen berwachungsvereine sind branchen- und produktabhngig zu befolgen. Aber auch das Gertesicherheitsgesetz verpflichtet den Konstrukteur zum verantwortungsvollen Handeln. In einer allgemeinen Verwaltungsvorschrift sowie Verzeichnissen zu diesem Gesetz sind inlndische Normen und sonstige Regeln bzw. Vorschriften mit sicherheitstechnischem Inhalt zusammengestellt [48, 49]. Der mgliche Unverstand und die Ermdung des Menschen mssen ebenfalls bercksichtigt werden. Tabelle 9 gibt Mindestanforderungen fr eine arbeitssichere Gestaltung mechanischer Gebilde an.
Fertigungsgerechte Baustruktur. Sie kann unter den Gesichtspunkten einer Differential-, Integral- und Verbundbauweise vorgenommen werden. Unter Differentialbauweise wird die Auflsung eines Einzelteils (Trger einer oder mehrerer Funktionen) in mehrere fertigungstechnisch gnstige Werkstcke verstanden. Unter Integralbauweise wird das Vereinigen mehrere Einzelteile zu einem Werkstck verstanden. Typische Beispiele hierfr sind Guß- statt Schweißkonstruktionen, Strangpreß- statt gefgter Normprofile sowie angeschmiedete statt gefgte Flansche. Unter Verbundbauweise soll verstanden werden die unlsbare Verbindung mehrerer unterschiedlich gefertigter Rohteile zu einem weiter zu bearbeitenden Werkstck (z. B. die Verbindung urgeformter und umgeformter Teile), die gleichzeitige Anwendung mehrerer Fgeverfahren zur Verbindung von Werkstcken und die Kombination mehrerer Werkstoffe zur optimalen Nutzung ihrer Eigenschaften. Beispiele sind die Kombination von Stahlgußstcken mit Schweißkonstruktionen sowie Gummi-Metallelemente.
Ergonomiegerecht. Die VDI-Richtlinie 2242 [50] gibt Anleitung zum Konstruieren ergonomiegerechter Erzeugnisse. Sie greift dabei auf Suchlisten fr Objekte und Wirkungen zurck und verweist auf die entsprechende Literatur. Auszugsweise knnen nur einige fr den Konstrukteur wichtige Hinweise gegeben werden: krpergerechte Bedienung und Handhabung s. DIN 33 400 bis DIN 33 402 sowie [51, 52], Beleuchtung am Arbeitsplatz s. [53], Klima am Arbeitsplatz s. DIN 33 403, berwachungs- und Steuerungsttigkeiten s. DIN 3304, 33 413, 33 414 und [54], Lrmreduzierung s. [55, 56].
Fertigungsgerechte Werkstckgestaltung. Sie beeinflußt die Form, Abmessungen, Oberflchenqualitt, Toleranzen und Fgepassungen, Fertigungsverfahren, Werkzeuge und Qualittskontrollen. Ziel der Werkstckgestaltung ist es, unter Beachten der verschiedenen Fertigungsverfahren mit ihren einzelnen Verfahrensschritten den Aufwand in der Fertigung zu verringern und die Qualitt des Werkstcks zu verbessern. Vgl.: Urformen s. S 2, Umformen s. S 3, Fgen s. G 1 und Trennen s. S 4.
Formgebungsgerecht
Montagegerecht
In der VDI-Richtlinie 2224 (mit instruktiven Bildbeispielen) sind Empfehlungen fr den Konstrukteur zur Formgebung technischer Erzeugnisse zusammengestellt [57]. Außerdem ist in [58] eine systematische Betrachtung zu Form, Farbe und Graphik unter Verwendung von [59] zu finden.
Entscheidend ist eine montagegerechte Baustruktur, montagegerechte Gestaltung der Fgestellen und Fgeteile [58], wobei die automatische Montage an Bedeutung gewinnt (s. S 6). Bei der Montage lassen sich folgende Teiloperationen in unterschiedlicher Vollstndigkeit, Reihenfolge und Hufigkeit erkennen [60–62]: Speichern – Werkstck handhaben (Erkennen, Ergreifen, Bewegen) – Positionieren – Fgen – Einstellen (Justieren) – Sichern – Kontrollieren.
Fertigungs- und kontrollgerecht Beim Entwerfen und Ausarbeiten ist sowohl auf eine fertigungsgerechte Baustruktur als auch auf eine fertigungs- und kontrollgerechte Werkstckgestaltung zu achten, die mit einer auf die Fertigung abgestimmten Werkstoffwahl einhergeht.
Allgemeine Richtlinien zur Montage. Anzustreben sind einheitliche Montagearten, wenige, einfache und zwangslufige Montageoperationen sowie parallele Montagen von Baugruppen. Verbesserung einzelner Montageoperationen
Tabelle 9. Allgemeine Mindestanforderungen der Arbeitssicherheit bei mechanischen Gebilden
Speichern wird durch stapelbare Werkstcke mit ausreichenden Auflageflchen und Konturen zur eindeutigen Lageorientierung bei nichtsymmetrischen Teilen erleichert. Werkstck handhaben. Beim Erkennen ist ein Verwechseln hnlicher Teile auszuschließen. Das einwandfreie und sichere Ergreifen ist besonders fr automatische Montageverfahren wichtig. Grundstzlich sind beim Bewegen kurze Wege anzustreben, ergonomische Erkenntnisse und Sicherheitsaspekte zu beachten sowie eine einfache Handhabung der Werkstcke zu gewhrleisten. Positionieren. Gnstig ist, Symmetrie anzustreben, wenn keine Vorzugslage gefordert wird (bei geforderter Vorzugslage ist diese durch die Form zu kennzeichnen), das selbstttige Ausrichten der Fgeteile zu erzwingen oder, wenn das nicht mglich ist, einstellbare Verbindungen vorzusehen. Fgen. Oft zu lsende Fgestellen (z. B. zum Austausch von Verschleißteilen) mit leicht lsbaren Verbindungen ausrsten. Fr selten oder nach der Erstmontage berhaupt nicht mehr zu lsende Fgestellen knnen aufwendig lsbare Verbindungen vorgesehen werden. Gleichzeitiges Verbinden und Positionieren ist anzustreben. Zum Ermglichen wirtschaftlich vertretbarer Toleranzen ist ein Toleranzausgleich von Werkstcken mit hoher Federsteifigkeit mittels federnder Zwi-
I1.4 schenelemente oder Ausgleichstcke vorzusehen (toleranzgerecht). Das Einfgen, d. h. Einfhren eines Teils zu den Fgeflchen, wird erleichtert durch gute Zugnglichkeit fr Montagewerkzeuge, Sichtkontrollen, einfache Bewegungen an den Fgeflchen, Vorsehen von Einfhrungserleichterungen, Vermeiden gleichzeitiger Fgeoperationen und Vermeiden von Doppelpassungen. Einstellen. Feinfhliges, reproduzierbares Einstellen ermglichen. Rckwirkung auf andere Einstelloperationen vermeiden. Einstellergebnis meß- und kontrollierbar machen. Sichern. Gegen selbstndiges Verndern ist anzustreben, selbstsichernde Verbindungen zu whlen oder form- bzw. stoffschlssige Zusatzsicherungen vorzusehen, die ohne großen Aufwand montierbar sind. Kontrollieren. Mit gestalterischen Maßnahmen ist eine einfache Kontrolle (Messen) der funktionsbedingten Forderungen zu ermglichen. Kontrollieren und weitere Einstellungen mssen ohne Demontage bereits montierter Teile durchfhrbar sein. Gebrauchs- und instandhaltungsgerecht Die Gestaltung hat auf die Erfordernisse des Betriebs und der Instandhaltung, die sich in Wartung, Inspektion und Instandsetzung gliedert, Rcksicht zu nehmen. Generell soll der Gebrauch oder die Inbetriebnahme sicher und einfach mglich sein. Betriebsergebnisse in Form von Meldungen, berwachungsdaten und Meßgrßen sollen bersichtlich anfallen. Der Betrieb darf keine gravierende Belstigung der Umgebung verursachen. Wartungen sollen einfach und kontrollierbar durchgefhrt werden knnen, Inspektionen mssen kritische Zustnde erkennen lassen, und die Instandsetzung soll mglichst ohne zeitraubende Montageoperationen mglich sein. Recyclinggerecht Der Einsparung und Wiedergewinnung von Rohstoffen kommt zunehmende Bedeutung zu. VDI-Richtlinie 2243 [63] weist auf Verfahren zum Recycling hin und gibt konstruktive Hinweise: Wirtschaftliche Demontage, leichte Werkstofftrennung, geeignete vertrgliche Werkstoffwahl und -kennzeichnung. 1.4.4 Faser-Kunststoff-Verbunde H. Schrmann, Darmstadt Charakterisierung und Einsatzgebiete Faser-Kunststoff-Verbunde (FKV) besitzen die Charakteristika eines idealen Leichtbauwerkstoffs, nmlich hohe spezifische Steifigkeit E/r und Festigkeit R/r. Daher haben sie insbesondere im Flugzeug- und Hubschrauberbau Eingang gefunden. Die Ermdungsfestigkeit ist hoch. Hierzu tragen zum einen die hochfesten Fasern bei; zum anderen hemmt die Aufteilung des Querschnitts in eine Vielzahl von Fasern den Rissfortschritt. Risse werden immer wieder an Einzelfasern gestoppt, knnen also nicht zgig durch eine FKV-Struktur wachsen. Sowohl die Fasern als auch die Kunststoffe sind ausgezeichnet korrosionsbestndig. FKV-Bauteile sind daher weitgehend wartungsarm. Diese Eigenschaft – in Kombination mit den hohen Festigkeiten – werden im Rohrleitungsund Behlterbau, aber auch im Bootsbau genutzt. Ihre elektrischen Eigenschaften sind zwischen leitfhig – bei Einsatz von Kohlenstofffasern – und isolierend – bei Einsatz von Glasfasern – einstellbar. berwiegend nutzt man in der Elektrotechnik die sehr gute Isolationswirkung. FKV kommen immer dann zur Anwendung, wenn isolierende Komponenten gleichzeitig auch hoch mechanisch beansprucht werden. Aus dem Sportwagenbau bekannt geworden ist das hohe spezifi-
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sche Aufnahmevermgen von Schlagenergie. Vorteilhaft sind die freie Formgebung und die Mglichkeit, auch mit einfachen handwerklichen Mitteln hchstbelastbare Prototypen und Kleinserien anzufertigen. Als Nachteil sind die im Vergleich zu Stahl und Aluminium hheren Werkstoffkosten zu nennen. Fasern, Matrix-Kunststoffe und Halbzeuge Faser-Kunststoff-Verbunde sind weniger als Werkstoffe, sondern als Konstruktionen zu betrachten. Ihnen liegt das Konstruktionsprinzip der Aufgabenteilung zugrunde. Die Fasern nehmen die Lasten auf. Die Matrix (Bettungsmasse) aus Kunststoff verklebt sowohl die Fasern innerhalb einer Schicht als auch die Schichten miteinander und fixiert so den Verbund in der gewnschten Anordnung. Sie leitet die Krfte von Faser zu Faser und bernimmt unmittelbar auch Krfte bei Beanspruchungen quer zur Faserrichtung. Sie wirkt als Rissstopper und schtzt die Fasern vor Beschdigungen und aggressiven Medien. Fasern [64–69]. berwiegend kommen drei Fasertypen zum Einsatz: Glas-, Kohlenstoff- und Polymerfasern, bei letzteren konkret Aramid- und hochmolekulare Polyethylenfasern. Glasfasern isolieren sehr gut, und zwar sowohl thermisch als auch elektrisch. Sie sind elektromagnetisch transparent. Aus Glasfaser-Laminaten werden Abdeckungen fr Radar- und Sendeanlagen gefertigt; Antennen lassen sich direkt im Laminat integrieren. Glasfasern sind unbrennbar, und weisen eine sehr gute chemische und mikrobiologische Bestndigkeit auf. Da ihr Brechungsindex demjenigen von transparenten Kunststoffen entspricht, lassen sich durchsichtige Laminate fertigen. Entsprechend ist auch die Trnkung der Fasern sehr gut kontrollier- und qualittssicherbar. Besonders vorteilhaft ist, dass sie die preisgnstigste der genannten Fasertypen ist. Nachteilig ist hufig ihre fr viele Strukturanwendungen zu niedrige Steifigkeit. Gnstigstenfalls – bei ausschließlicher unidirektionaler Anordnung – lsst sich im Verbund mit 65% Faservolumenanteil ein Lngs-Elastizittsmodul von Ek ¼ 50 000 N=mm2 einstellen. Dies ist jedoch nicht immer von Nachteil, da es Bauteile gibt, fr die eine niedrige Steifigkeit wnschenswert ist, z. B. bei Blattfedern, Federlenkern und Biegegelenken. Da Glasfaser-Kunststoff-Verbunde ber sehr hohe Festigkeiten verfgen, eignen sie sich also vorzglich als Federwerkstoff [70–72]. Kohlenstofffasern (auch Carbon- oder C-Fasern) sind unter den Verstrkungsfasern diejenigen mit den herausragendsten Eigenschaften. Sie verfgen ber extrem hohe Steifigkeiten und Festigkeiten. Beide mechanischen Grßen sind in weitem Bereich bei der Herstellung einstellbar, so dass der Konstrukteur passend zur jeweiligen Anwendung den C-Fasertyp whlen kann. Die C-Faser verfgt auch ber beste Ermdungsfestigkeiten. Die Faser ist anisotrop, d. h. die hohen Steifigkeiten und Festigkeiten liegen nur in Faserlngsrichtung vor; in Querrichtung sind die Werte weitaus niedriger. Das anisotrope Verhalten findet sich auch bei den thermischen Dehnungen wieder: In Faserlngsrichtung ist der thermische Lngenausdehnungskoeffizient leicht negativ, quer zur Faserichtung stark positiv. C-Fasern sind hoch Temperatur-belastbar, bestndig gegen die meisten Suren und Alkalien und zeigen eine sehr gute Vertrglichkeit mit menschlichem Gewebe („Biokompatibilitt“). Nachteilig ist insbesondere der vergleichsweise hohe Preis. Er steigt mit dem E-Modul der Fasern und der Feinheit des C-Fasergarns. Aramid- und Polyethylenfasern besitzen die niedrigsten Dichten der genannten Verstrkungsfasern; bei der PE-Faser liegt die Dichte sogar unter eins. Beide zeigen hohe Steifigkeiten – etwas oberhalb der Glasfaser – und sehr hohe Zugfestigkeiten. Die Lngsdruckfestigkeit liegt deutlich unterhalb der Zugfestigkeit, so dass diese Fasern primr auf Zug bean-
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sprucht werden sollten. Herausragend ist ihre Zhigkeit, so dass sie weit verbreitet in Schutzwesten und Schutzhelmen eingesetzt werden. Auch die Chemikalienbestndigkeit ist außerordentlich gut. Limitiert ist bei diesen Polymerfasern die maximale Einsatztemperatur. Als nachwachsende Rohstoffe verwendet man – insbesondere in Verkleidungsbauteilen im Automobilbau – auch Naturfasern, meist Flachs-, Hanf- und Jutefasern. Fr Hochtemperaturanwendungen – dann allerdings nicht mit Kunststoff-, sondern mit Metall- oder Keramikmatrices – sind Aluminiumoxid- und Siliciumcarbidfasern erhltlich. Die Entscheidung fr einen bestimmten Fasertyp ist recht einfach. Reicht die Steifigkeit aus, so sollten aus Kostengrnden Glasfasern Anwendung finden. Immer wenn hohe Steifigkeiten, hohe Eigenfrequenzen und kleine Verformungen verlangt werden, sind C-Fasern die erste Wahl. Aramid- und hochmolekulare Polyethylenfasern werden gewhlt, wenn man extrem leicht bauen will, meist jedoch, um die Schlagzhigkeit von Laminaten zu erhhen. Dazu mischt man z. B. C-Fasern mit Aramidfasern. Fasern werden als Faserbndel (Rovings) oder mit wenigen Einzelfasern als Garne auf Spulen aufgewickelt geliefert. Faserhalbzeuge [68, 69]. Laminate werden flchig aus Einzelschichten gestapelt. Da man Garne nur schwerlich definiert in der Flche verlegen kann, verwendet man zur besseren Handhabbarkeit textile Halbzeuge. Dies sind in erster Linie Gewebe, Multiaxialgelege, Matten, Flechtschluche usw., Bild 22. Fr Krafteinleitungsbereiche knnen die idealen Faserrichtungen durch Sticken fixiert werden. Die Bindung der Garne, z. B. zu Geweben, bedingt Faserwelligkeiten, die die Steifigkeits- und Festigkeitswerte im Vergleich zur straffen, unidirektionalen Ausrichtung der Fasern etwas erniedrigen. Dies ist zumindest bzgl. der Lngs-Druckfestigkeit experimentell zu quantifizieren. Matrixsysteme [67, 69, 73]. Die wichtigsten Kriterien fr die Auswahl der Kunststoffmatrix sind die notwendige Bruchdehnung, die Temperatureinsatzgrenzen und als Verarbeitungsparameter die Viskositt. Um die maximale Festigkeit der Fasern nutzen zu knnen, sollte die Bruchdehnung der Matrix mindestens doppelt so hoch wie die der Fasern sein. Damit die Fasern bei Lngsdruck ausreichend gesttzt werden, ist ein Matrix-E-Modul von E 2000 3000 N=mm2 notwendig. Whrend zu niedrigen Temperaturen hin die Steifigkeit der Kunststoffe ansteigt, nimmt sie zu hohen Temperaturen hin ab. Ab einer bestimmten Temperaturhhe fllt sie dann innerhalb eines kleinen Temperaturintervalls – dem so genannten Glasbergangsbereich – auf einen sehr niedrigen Wert, der nicht mehr ausreicht, die Faser zu sttzen. Der Beginn des Steifigkeitsabfalls markiert die maximale Einsatztemperatur. Feuchte, die von nahezu allen Kunststoffen aufgenommen wird, wirkt als Weichmacher und senkt die max. Einsatztemperatur. Daher wird der Nachweis ausreichender Temperaturbelastbarkeit an Laminaten, die bei 80% rel. Luftfeuchte aufgefeuchtet wurden, durchgefhrt. Die Viskositt bestimmt die Trnkbarkeit der Fasern durch den Kunststoff. Sie sollte bei handwerklicher Verarbeitung etwa h 500 mPas betragen.
Bild 22 a–e. Faserhalbzeuge. a Kpergewebe; b Atlasgewebe; c vernhtes Multiaxialgelege; d Flechtschlauch; e Fasern einer Krafteinleitung durch Sticken fixiert
Sowohl duroplastische als auch thermoplastische Kunststoffe kommen als Matrixsysteme zum Einsatz. Aufgrund der niedrigeren Viskositt und der somit deutlich besseren Trnkbarkeit berwiegen die Duroplaste. Sie werden als Reaktionsharze verarbeitet, d. h. sie bestehen aus mehreren Komponenten – meist Harz und Hrter –, die nach dem Vermischen chemisch reagieren und zu einem festen Formstoff aushrten. Die Fasern werden mit dem gut vermischten Duroplasten getrnkt. Die Aushrtung startet mit dem Vermischungsvorgang und macht sich durch einen anfangs kontinuierlichen, spter beschleunigten Anstieg der Viskositt bemerkbar. Der Aushrtevorgang ist beendet, wenn praktisch alle reaktionsfhigen Bindungen im Harz-Hrtergemisch vernetzt sind. blicherweise beschleunigt man den Aushrteprozess durch Lagern des getrnkten Laminats bei erhhter Temperatur. Am weitesten verbreitet sind Ungesttigte Polyester (UP)- und Epoxidharze (EP). UP-Harze sind besonders kostengnstig, die EP-Harze verfgen ber etwas hhere Festigkeiten und werden insbesondere im Flugzeugbau eingesetzt. Besonders chemikalienbestndig – und daher fr den Rohr- und Apparatebau prdestiniert – sind Vinylesterharze (VE). Fr Hochtemperaturanwendungen empfehlen sich Polyetherimidharze (PEI).
Tabelle 10. Werkstoffdaten einer unidirektionalen Schicht mit dem relativen Faservolumenanteil j = 0,6; Prftemperatur 23 C; 90%-Werte
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Aufgrund der außerordentlich hohen Zhigkeit, des gnstigen Brandverhaltens und der sehr guten chemischen Bestndigkeit kommt als Thermoplast fr hchstbeanspruchte Bauteile Polyetheretherketon (PEEK) zur Anwendung. Polyamid (PA) ist ebenfalls ein geeigneter Matrixwerkstoff. Fr niedrig beanspruchte Verkleidungsbauteile hat sich Polypropylen (PP) durchgesetzt. Faser-Matrix-Halbzeuge [68, 69]. Um von einer handwerklichen Laminatherstellung abzukommen, die Fertigung zu rationalisieren und bessere Qualitten zu erzielen, wurden Halbzeuge entwickelt, bei denen die Faserhalbzeuge maschinell mit der Matrix vorimprgniert werden. Derartige Halbzeuge gibt es sowohl mit duroplastischer als auch mit thermoplastischer Matrix. Eine weitere Unterteilung ergibt sich aus der Faserlnge. Zugunsten eines großserientauglichen Fertigungsprozesses werden z. T. nur kurze Fasern von 25–50 mm Lnge eingesetzt, also ein Steifigkeits- und Festigkeitsverlust gegenber endlos langen Fasern hingenommen. Die Halbzeuge liegen bahnfrmig oder als „Sauerkrautmasse“ vor. Die vorimprgnierten Halbzeuge werden rationell presstechnisch in kurzen Taktzeiten verarbeitet. Im Fall von duroplastischen Harzen wird die Bahnware als Sheet Moulding Compound (SMC), die „Sauerkrautmasse“ als Bulk Moulding Compound (BMC) bezeichnet. Aus den SMC-Bahnen geschnittene Pakete legt man automatisiert in beheizte Presswerkzeuge ein. Durch den Pressdruck fließt die Masse auch in entfernte Werkzeugbereiche und hrtet dort aus. Da die Fasern sich wirr orientieren, existiert keine Vorzugsrichtung, man erhlt isotrope Eigenschaften. SMC-Bauteile besitzen sehr gute Oberflchen und lassen sich ausgezeichnet lackieren. Einsatzbeispiele sind Lkw-Fahrerhuser, Schaltschrnke usw. Wird als Matrix Polypropylen verwendet, so mssen die glasfaserverstrkten Matten (GMT) vor dem Einlegen ber die Schmelztemperatur der Matrix erhitzt werden. Im gekhlten Presswerkzeug erstarrt der geschmolzene Kunststoff dann nach der Umformung wieder. Die bestmglichen Festigkeiten innerhalb der Faserverbundtechnik erzielt man mit Prepregs. Hierbei handelt es sich um vorimprgnierte, endlose, unidirektionale Faser- oder Gewebebahnen. Prepregs werden meist aus C-Fasern und speziellen, zhmodifizierten Epoxidharzen gefertigt. Anwendungsgebiete sind der Flugzeug- und Hubschrauberbau sowie der Renn- und Yachtsport. Relativer Faservolumenanteil. Da die Lasten fast ausschließlich von den Fasern getragen werden, mssten bei einer Dimensionierung eigentlich die Fasermengen, d. h. die Anzahl der Faserbndel oder Gewebeschichten festgelegt werden. Da man jedoch die im Ingenieurswesen gngige Praxis bernommen hat, Wanddicken zu dimensionieren, muss sichergestellt werden, dass sich innerhalb der Wanddicke auch die bentigte Fasermenge befindet. Daher ist der relative, d. h. der auf das Gesamtvolumen bezogene Faservolumenanteil unbedingt immer mit anzugeben. Spannungs- und Festigkeitsanalyse Laminate bestehen aus einer Vielzahl gestapelter Einzelschichten, Bild 23. Im Gegensatz zu Konstruktionswerkstoffen wie Stahl und Aluminium ist bei Faser-Kunststoff-Verbunden nicht nur die Wanddicke zu dimensionieren. Der Konstrukteur hat zustzliche Parameter festzulegen: – den Faservolumenanteil in den Einzelschichten, – die Faserrichtung in den einzelnen Schichten, – die Dicke der Einzelschichten, – die Schichtreihenfolge. Dem gestapelten Aufbau eines Laminats entsprechend wird schichtenweise „gedacht“. Die bentigten Werkstoffdaten wie Elastizittsmoduln und Festigkeiten werden an der Ein-
Bild 23. Einzelne unidirektionale Schichten mit unterschiedlicher Faserausrichtung werden zu einem Schichtenverbund gestapelt
zelschicht, d. h. fast immer an der unidirektionalen Schicht (UD-Schicht) ermittelt. Der Schichtenverbund wird dann rechnerisch aus den Einzelschichten zusammengesetzt. Hierzu wurde die Klassische Laminattheorie (CLT) entwickelt (Programme sind unter www.klub.tu-darmstadt.de hinterlegt). Diese Vorgehensweise ermglicht es einerseits, auf einfache Art eine Vielzahl von Laminatvarianten zu analysieren und das Optimum zu bestimmen, und andererseits Spannungen, Verzerrungen, Versagensverhalten des gesamten Laminats, aber auch jeder Einzelschicht zu ermitteln [69, 74–77]. Schichtenweise wird vorgegangen bei – der Zusammensetzung des Elastizittsgesetzes des Laminats, – der Spannungs- und Verformungsanalyse bei gegebenen Schnittlasten, – der Festigkeitsanalyse, – der Degradationsanalyse. Aufgrund der unterschiedlichen thermischen Ausdehnung von Fasern und Matrix entstehen bei Temperaturnderung thermische Eigenspannungen. Sie treten einerseits mikromechanisch unmittelbar zwischen Faser und Matrix, und andererseits makromechanisch zwischen den einzelnen Schichten auf. Letztere werden bei der Laminatanalyse mittels CLT mit berechnet. Meist stellt die Abkhlung von der Hrtetemperatur bei der Laminatfertigung die grßte Temperaturdifferenz dar. Da sie genau bekannt ist, lassen sich auch die Abkhlspannungen gut berechnen. Leider berlagern sie sich den mechanischen Spannungen, so dass infolge der thermischen Eigenspannungen die mechanische Belastbarkeit des Laminats meist vermindert wird. Versagen tritt – der Werkstoffpaarung aus Fasern und Kunststoffmatrix entsprechend – in unterschiedlicher Form auf. Die erste grobe Unterscheidung differenziert zwischen Faserbruch (Fb) und Zwischenfaserbruch (Zfb), Bild 24. Letzterer beschreibt sowohl den Bruch innerhalb der Kunststoffmatrix als auch das Versagen der Verklebung zwischen Faser und Matrix. Hufig fhrt man die Trennung von Schichten, die Delamination separat auf. Sie kann allerdings als Zfb interpretiert werden. Die Festigkeitswerte bei Fb und bei Zfb sind stark unterschiedlich. Whrend bei Fb die sehr hohen Faserfestigkeiten erreicht werden, stellt die Belastung quer zur Faserrichtung und der daraus resultierende Zfb die Schwachstelle der Faserverbunde dar. Fb und Zfb mssen mit unterschiedlichen Bruchkriterien beschrieben werden. Neuere Zfb-Kriterien geben dem Konstrukteur sogar die Rissrichtung an. Bruchkriterien und damit die Festigkeits- und Degradationsanalyse sind blicherweise in CLT-Rechenprogrammen integriert [69, 74, 76]. Eine Degradationsanalyse wird jeweils fr diejenigen Schichten notwendig, bei denen schon Zfb eingetreten ist. Laminate zeigen ein ausgesprochenes fail-safe-Verhalten. Rissbildung in einer Einzelschicht fhrt nicht zum Totalversagen des La-
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Unidirektionale Schicht (UD-Schicht). Hierbei sind die Fasern ausschließlich in einer Richtung orientiert. Damit lassen sich die extrem hohen Faserfestigkeiten optimal nutzen. Leider ist dieser Laminattyp nur fr einachsige Zug- oder Druckbelastung geeignet; quer zur Faserrichtung ist die Belastbarkeit sehr gering. Anwendungsbeispiele sind Umfangsbandagen, Schwungrder, Blattfedern und die Gurte in Biegetrgern.
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Bild 24. a Faserbruch bei faserparalleler Zugbeanspruchung; b Versagen bei faserparalleler Druckbeanspruchung tritt in Form von Schubknicken auf; c Zwischenfaserbruch (Zfb) bei Querzugbeanspruchung; d Zfb bei Quer-Lngs-Schubbeanspruchung
minats. In der Umgebung des Risses werden die Krfte auf Nachbarschichten umgeleitet. Mittels CLT lsst sich diese sukzessive Degradation einzelner Schichten durch Rissbildung sowie die daraus resultierenden Spannungsumlagerungen bis zum vollstndigen Bruch des Laminats rechnerisch verfolgen. Allgemeine Festigkeitswerte lassen sich nicht angeben. Sie hngen von den Festigkeitswerten der Komponenten Faser und Matrix und von der Laminatkonstruktion ab und mssen fr den jeweiligen Fall per CLT berechnet werden. Hinweise zur Gestaltung von Bauteilen finden sich unter [69, 78]. Laminattypen Laminate mssen gezielt an eine vorliegende Spannungskombination angepasst werden. Zwar knnte man fr alle Flle einen einzigen Laminataufbau verwenden, allerdings wrde dies meist zu einer schlechten Werkstoffausnutzung fhren. In der Faserverbundtechnik haben sich einige Laminattypen herauskristallisiert, die auf eine spezielle Belastung abgestimmt und gleichzeitig besonders einfach herstellbar sind, Bild 25. Sie werden bevorzugt eingesetzt. Beschrnkt man sich auf diese bewhrten Laminattypen, so lsst sich rasch eine geeignete Laminat-Konfiguration finden [69].
Bild 25 a–e. Laminattypen. a Unidirektionale Schicht; b Kreuzverbund; c Schublaminat mit Fasern in den Hauptnormalspannungsrichtungen; d Ausgeglichener Winkelverbund; e Flugzeugbau-Laminat
Kreuzverbund (KV). Der Kreuzverbund besteht aus den Faserrichtungen 0 und 90. Er wird blicherweise mit einer Gewebeschicht, bei der Kette und Schuss senkrecht zueinander verlaufen oder aber durch Stapeln einzelner, um 90 zueinander verdrehter UD-Schichten erzeugt. Die Abstimmung auf den herrschenden Spannungszustand ist recht einfach. Die Fasern werden in Richtung der Hauptnormalspannungen orientiert. Die Schichtdicken sind entsprechend der Hhe der Hauptnormalspannung zu whlen. Der Hauptnormalspannungszustand darf sich im Betrieb nur wenig ndern. Eine typische Anwendung sind innendruckbelastete Rohre, bei denen man die Fasern entsprechend der Hauptnormalenrichtung in Umfangs- und Lngsrichtung orientiert. Schublaminat (SL). Das Schublaminat kann als Variante des KV betrachtet werden. Seine Faserorientierung betrgt a ¼ 45 . Es wird immer dann eingesetzt, wenn ausschließlich Schubspannungen herrschen. Die Fasern werden in Richtung der dem Schub quivalenten Hauptnormalspannungen orientiert. Man findet derartige Laminate in Torsionsrohren, Drehstabfedern, Torsionsnasen von Tragflgeln und Stegen von Biegetrgern. Ausgeglichener Winkelverbund (AWV). Kennzeichen des AWV ist, dass die UD-Schichten paarweise mit gleichem Winkel, jedoch entgegen gesetztem Vorzeichen geschichtet sind. Damit werden zwei senkrecht zueinander orientierte Symmetrieebenen erzeugt. Das Laminat zeigt dadurch orthotropes Verhalten. Im Gegensatz zur UD-Schicht ist der AWV in der Lage, einen zweiachsigen Spannungszustand aufzunehmen. Damit die Krfte hauptschlich in den Fasern konzentriert sind und nur geringfgig quer zur Faserrichtung auftreten, muss die Faserrichtung auf den herrschenden Hauptnormalspannungszustand abgestimmt werden. ndert sich dieser, so verlaufen die Krfte auch vermehrt ber die Matrix. Ein AWV empfiehlt sich somit nur dann, wenn sich der Hauptnormalspannungszustand im Betrieb nur wenig ndert. Typische Anwendungen sind innendruckbelastete Rohre und Behlter mit a ¼ 54,7 oder Antriebswellen mit a ¼ 15 . Flugzeugbau-Laminat (FBL). Whrend bei den obigen Laminattypen dem ebenen Spannungszustand mit nur zwei Faserichtungen begegnet wurde – dies ist allerdings mit dem Manko behaftet, dass sich der Hauptnormalspannungszustand nur geringfgig ndern darf – ist ein Laminat mit drei und mehr Faserrichtungen in der Lage, jeden ebenen Spannungszustand berwiegend durch Krfte in den Fasern zu ertragen. Derartige Laminate empfehlen sich immer dann, wenn man mit Spannungsnderungen im Betrieb rechnen muss. Sehr weit verbreitet – insbesondere im Flugzeugbau – ist das 0/ 90/ 45-Laminat. Die 0- und die 90-Schicht nehmen dabei primr die Normalspannungen eines ebenen Spannungszustands auf, die 45-Schichten berwiegend die Schubspannungen. Demzufolge wird mit diesem Laminataufbau jeder ebene Spannungszustand ertragbar. Die Anpassung, bzw. Optimierung ist einfach. Da die Faserrichtungen festliegen, muss der Konstrukteur nur die Schichtdicken der vier Faserrichtungen festlegen. Dies sollte mittels CLT erfolgen. Fertigungstechnisch lsst sich das Laminat aus Geweben aufbauen, die um 45 zueinander verdreht gestapelt sind. Gnstig ist ebenfalls, dass dieses Laminat sich besonders gut fr Nietund Schraubverbindungen eignet. Darber hinaus lsst sich
I1.5 ein Sonderfall konstruieren. Fhrt man alle Schichten des Flugzeugbaulaminats mit gleichen Schichtdicken aus, so verhlt sich es sich in der Laminatebene isotrop. Fgetechniken Klebung. Nahe liegend und fr FKV besonders gut geeignet sind Klebverbindungen. Ein Problem bei Klebverbindungen sind die hohen Schubspannungsspitzen, die bei berlappungsklebungen an den Enden der Fgeteile auftreten [79– 81]. Diese lassen sich bei FKV sehr stark mindern, indem man den schichtenweisen Aufbau des Laminats nutzt und die Einzelschichten im bergang abstuft. Ebenso bietet der Schichtenaufbau die Chance, sehr viele Klebflchen zu generieren und so fr die einzelne Klebung die zu bertragenden Spannungen niedrig zu halten. Niet- und Schraubverbindung. Faser-Kunststoff-Verbunde lassen sich vorzglich mittels Bolzen fgen. Besonders geeignet sind die Faserorientierungen des Flugzeugbaulaminats. Ausgelegt wird auf Lochleibungsversagen, da diese Versagensform sehr gutmtig ist und keine vollstndige Fgeteiltrennung mit sich bringt. Alle anderen Versagensformen mssen vermieden werden. Hierzu sollten die 0- und die beiden 45-Schichten des Flugzeugbaulaminats gleich dick sein, whrend die 90-Schicht nur etwa 10% von der gesamten Laminatdicke ausmachen sollte [69, 81, 82]. Gleichzeitig mssen die Mindest-Randabstnde eingehalten werden. Wird ein Laminat mit C-Fasern – das in feuchter Umgebung eingesetzt wird – genietet, so sollten die Niete aus rostfreiem Stahl oder einer Titanlegierung bestehen. Da die C-Fasern in der elektrolytischen Spannungsreihe als edel eingestuft sind, besteht zu einem Al-Niet eine große Potentialdifferenz. Ist ein Elektrolyt vorhanden, so lst sich der Al-Niet als Anode auf. Fertigungsverfahren Handlaminieren. Die meisten FKV werden immer noch handwerklich als Handlaminate hergestellt. Vorteilhaft ist, dass praktisch jedes Bauteil auf diese Weise gefertigt werden kann. Dies ist fr Prototypen, Kleinserien und fr sehr große Bauteile, die nicht in Maschinen passen, die sinnvollste Vorgehensweise. Die Faserhalbzeuge, z. B. Gewebe, werden dabei Schicht um Schicht in oder ber die vorab mit Trennmittel behandelte Form drapiert und mittels Pinsel mit dem flssigen Reaktionsharz getrnkt. Hierbei ist insbesondere auf Luftblasenfreiheit und minimale Faserwelligkeiten zu achten. Kalthrtende Matrixharze hrten nach gewisser Zeit bei Umgebungstemperaturen >20 C aus. Um optimale Festigkeiten und Bestndigkeiten zu erreichen, muss das Bauteil im Umluftofen nach Vorschrift des Harzherstellers nachgehrtet werden. Nach Entnahme und Erkalten wird das Bauteil entformt und nachbearbeitet, d. h. die Kanten besumt, Bohrungen gesetzt usw. Wickeltechnik [83, 84]. Fr Rohre, Behlter, Antriebswellen – kurzum alle rotationssymmetrischen Strukturen – ist die Wickeltechnik das ideale Fertigungsverfahren. Die dazu bentigten Wickelmaschinen hneln Drehmaschinen. Die Fasern werden auf einen Wickelkern numerisch gesteuert, przise und wellenfrei abgelegt. Die Fertigungsqualitt ist ausgezeichnet und das Verfahren lsst sich problemlos automatisieren. Bei Serienproduktionsanlagen bewickelt man mehrere Wickelkerne gleichzeitig. Sehr kurze Wickelzeiten erreicht man mit so genannten Ringfadenaugen, die es ermglichen, etwa 30–100 Faserrovings gleichzeitig auf dem Wickelkern abzulegen. Vorteilhaft ist, dass keine Halbzeug-Zwischenstufen bentigt, sondern die preisgnstigsten Ausgangsmaterialien, Rovings und Harz verarbeitet werden. Die Trnkung erfolgt in der Anlage, indem die Rovings unmittelbar vor dem Ablegen auf dem Wickelkern durch ein Trnkbad gezogen werden. Nach dem Bewickeln entnimmt man die Kerne der
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Wickelmaschine und hrtet das Laminat rotierend in einem Umluftofen. Die Kerne zieht man hydraulisch aus dem fertigen Rohr. Injektionsverfahren [83, 84]. Von dieser Technologie gibt es viele Varianten. Allen ist gemein, dass die Faserhalbzeuge in der gewnschten Reihenfolge und Orientierung trocken, d. h. ohne Harz, in eine Form eingelegt werden. Nachdem die Form geschlossen und abgedichtet ist, wird das Matrixharz – hufig untersttzt durch ein an der Form angelegtes Vakuum – an definierten Stellen in die Form injiziert. Die Unterschiede in den Verfahren beziehen sich meist auf die Art des Angusses und der Strmungsfhrung. Sobald das textile Halbzeug vollstndig getrnkt ist, wird der Injektionsvorgang beendet und das Laminat durch Temperaturerhhung der Form beschleunigt ausgehrtet. Vorteile des Verfahrens sind, dass aufgrund der geschlossenen Form eine hohe Arbeitshygiene eingehalten und eine reproduzierbare Qualitt gefertigt werden kann. Das Verfahren eignet sich insbesondere fr mittlere Serienumfnge. Prepregtechnologie [83, 84, 85]. Mit dieser Technologie lassen sich die besten FKV-Qualitten erzielen. Auf Prepregmaschinen – meist Walzenkalandern – werden die Faserhalbzeuge mit dem Matrixharz getrnkt. Die maschinelle Trnkung hat die Vorteile, dass eine luftblasenfreie, gleich bleibende Trnkqualitt erzielbar ist, und auch besonders risszhe, ermdungsfeste, dafr aber hochviskose Harze verarbeitet werden knnen. Die Prepregbahnen werden beim Bauteilhersteller CNC-gesteuert zugeschnitten und nach festgelegter Reihenfolge entweder per Hand – untersttzt durch den Positionierstrahl eines Laserprojektors – oder aber per Legeroboter in der Bauteilform gestapelt. Anschließend wird das Laminat mit Folie abgedeckt, unter der Folie Vakuum gezogen und im Ofen ausgehrtet. Bei hchsten Anforderungen – z. B. Bauteilen der Luft- und Raumfahrttechnik – wird im Autoklaven gehrtet; d. h., das Laminat wird zustzlich mit etwa 7 bar berdruck kompaktiert. Kleinere Bauteile knnen auch auf Pressen gefertigt werden. Nachteilig ist, dass die exzellenten Bauteileigenschaften, die die Prepregtechnologie bietet, mit hohen Investitionen und einem aufwndigen Fertigungsprozess erkauft werden mssen.
1.5 Baureihen- und Baukastenentwicklung Unter einer Baureihe versteht man technische Gebilde (Maschinen, Baugruppen, Einzelteile), die dieselbe Funktion mit der gleichen Lsung in mehreren Grßenstufen bei mglichst gleicher Fertigung in einem weiten Anwendungsbereich erfllen. Sind zustzlich zur Grßenstufung auch andere zugeordnete Funktionen zu erfllen, ist neben der Baureihe ein Baukastensystem zu entwickeln (s. F 1.5.6). Fr die Entwicklung von Baureihen sind hnlichkeitsgesetze zwingend und dezimalgeometrische Normzahlen zweckmßig. 1.5.1 hnlichkeitsbeziehungen Eine rein geometrische Vergrßerung ist nur statthaft, wenn hnlichkeitsgesetze es zulassen. Als Beurteilungskriterium bieten sich Gesetze an, wie sie in der Modelltechnik (s. B 7.2) blich sind. Es liegt nahe, diese Praxis auf die Entwicklung von Baureihen zu bertragen. Gedanklich kann man das „Modell“ dem ursprnglichen Entwurf, dem „Grundentwurf“, und die „Ausfhrung“ des Modells einem Glied der Baureihe als „Folgeentwurf“ gleichsetzen. Gegenber der Modelltechnik ergibt sich fr eine Baureihe eine andere Zielsetzung: gleich hohe Ausnutzung bei gleichen Werkstoffen und gleicher Technologie fr alle Glieder der Baureihe. Daraus folgt, daß bei gleich guter Erfllung der
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Tabelle 11. hnlichkeitsbeziehungen bei geometrischer hnlichkeit und gleicher Beanspruchung: Abhngigkeit hufiger Grßen vom Stufensprung der Lnge (Ca: Cauchy-Zahl)
Tabelle 12. Hauptwerte von Normzahlen (Auszug aus DIN 323)
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Funktion ber weite Grßenbereiche die Beanspruchung gleich bleiben muß. In maschinenbaulichen Systemen treten Trgheitskrfte (Massenkrfte, Beschleunigungskrfte, Zentrifugalkrfte usw.) und sogenannte elastische Krfte aus dem SpannungsDehnungs-Zusammenhang am hufigsten auf. Eine gleichbleibende Beanspruchung lßt sich erreichen, wenn alle Geschwindigkeiten konstant bleiben. Definiert man mit jL ¼ L1 =L0 den Stufensprung (Maßstab) der Lnge zwischen Folge- und Grundentwurf, so lassen sich fr alle wichtigen Grßen wie Leistung und Drehmoment unter der Bedingung jL ¼ jt ¼ const und mit jr ¼ jE ¼ js ¼ jv ¼ 1 entsprechende Stufensprnge bilden; sie sind in Tab. 11 zusammengestellt. Zu beachten ist, daß Werkstoffausnutzung und Sicherheit nur dann konstant sind, wenn innerhalb der Stufung der Grßeneinfluß auf die Werkstoffgrenzwerte vernachlssigt werden kann. Gegebenenfalls muß er entsprechend bercksichtigt werden.
1.5.2 Dezimalgeometrische Normzahlreihen Eigenschaften der dezimalgeometrischen Reihe Die dezimalgeometrische Reihe entsteht durch Vervielfachung mit einem Konstanten Faktor j und wird jeweils innerhalb einer Dekade entwickelt. j ist der Stufensprung der Reihe und ergibt sich zu pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffi j ¼ n an =a0 ¼ n 10, wobei n die Stufenzahl innerhalb einer Dekade ist. Fr z. B. zehn Stufen wrde die Reihe einen Stufensprung pffiffiffiffiffi j ¼ 10 10 ¼ 1;25 haben und R 10 genannt werden. Die Gliedzahl der Reihe ist z=n+1. In Tabelle 12 ist ein Auszug aus DIN 323 wiedergegeben, in der die Hauptwerte der Grundreihen festgelegt sind. Abgeleitete Reihen. Hier wird nur jedes k-te Glied einer Grundreihe benutzt. Zur Kennzeichnung wird dann die Zahl k als Nenner hinter die Reihenbezeichnung und in Klammern
die Zahl, mit der die Reihe beginnt, gesetzt, z. B. R 20=4ð1,4 . . .Þ R 10=3ð1 . . .Þ
1,4 1
2,24 2
3,55 4
5,6 8
usw:, usw:
Der Stufensprung ist dann immer das Verhltnis zweier aufeinanderfolgender Zahlen oder j ¼ 10k=n . Wahl der Grßenstufung Die Grßenstufung richtet sich nach den Bedarfserwartungen des Marktes (Vertriebs), bezogen auf die einzelnen Baugrßen, nach dem Marktverhalten bei Typbereinigung und den damit verbundenen Lcken, nach den Fertigungskosten und -zeiten bei unterschiedlichen Grßenstufungen und den Eigenschaften der Produkte bei unterschiedlichen Grßenstufungen. Nicht immer wird es zweckmßig sein, den geforderten Grßenbereich einer Baureihe mit einem konstanten Stufensprung aufzuteilen. Aus technischen und wirtschaftlichen Grnden ist es hufig gnstiger, ihn in unterschiedliche Grßenabstnde zu gliedern, d. h. durch Springen innerhalb und/ oder zwischen grberen und feineren Normalzahlreihen (R 5 bis R 40) aufzuteilen. Als Regel gilt, daß die Grßenstufung um so feiner sein muß, je grßer der Bedarf ist und je genauer bestimmte technische Eigenschaften einzuhalten sind [85]. Darstellung im Normzahldiagramm Fast alle technischen Beziehungen lassen sich in die allgemeine Form y ¼ cxp bringen, deren logarithmische Form lg y=lg c+p lg x ist. Jede Normzahl (NZ) kann mit NZ ¼ 10m=n oder wieder mit lgðNZÞ ¼ m=n geschrieben werden, wobei m die jeweilige Stufe in der NZ-Reihe und n die Stufenzahl der NZ-Reihe innerhalb einer Dekade angibt. my =n ¼ mc =n þ pðmx =nÞ: Alle Abhngigkeiten knnen als Geraden in einem doppeltlogarithmischen Diagramm dargestellt werden, wobei die Steigung dieser Geraden jeweils dem Exponenten p der technischen Beziehung (Abhngigkeit) entspricht (Bild 26). Statt
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der Logarithmen werden die Normzahlen selbst an die Koordinaten geschrieben [86]. Der Grundentwurf erhlt den Index 0, das erste nchstfolgende Glied der Baureihe (Folgeentwurf) den Index 1, das k-te den Index k. Hat man auf der Abszisse die Nenngrße x aufgetragen, so ist der Stufensprung jx ¼ x1 =x0 . Bei einer geometrisch hnlichen Abmessungsreihe ist er zweckmßigerweise gleich dem Stufensprung jL der Lnge. Alle anderen Grßen wie Abmessungen, Drehmomente, Leistungen und Drehzahlen ergeben sich bei Kenntnis des Grundentwurfs aus den bekannten Exponenten ihrer physikalischen bzw. technischen Beziehung (Tab. 11) und knnen als Gerade mit entsprechender Steigung (z. B. Gewicht jG ¼ j3L , also mit Steigerung 3 : 1) eingetragen werden. Beispiel: Bild 27.
1.5.3 Geometrisch hnliche Baureihe
Bild 26. Technische Beziehungen im NZ-Diagramm. n Stufenzahl der feinsten zugrundegelegten NZ-Reihe; jeder Rasterpunkt ist eine Normzahl dieser Reihe; jeder ganzzahlige Exponent fhrt wieder auf eine Normzahl
Ausgehend von einem Grundentwurf prft man, ob im wesentlichen nur Trgheits- oder/und elastische Krfte einwirken. Ist das der Fall, so knnen bei konstanter Umfangsgeschwindigkeit ber der Reihe die in Tab. 11 abgeleiteten hnlichkeitsbeziehungen verwendet werden. Sie geben den Exponenten an, der die Steigung der Linien im Normzahldiagramm festlegt (s. F 1.5.2) und damit fr die anderen Nenngrßen der Folgeentwrfe die Auslegungsdaten abzulesen gestattet (Bild 27).
Bild 27. Datenblatt einer Zahnkupplungsreihe ber dem Nenndurchmesser dt . Abmessungen geometrisch hnlich; Ausnahmen: Hlsenaußendurchmesser D bei der kleinsten Baugrße (aus Steifigkeitsgrnden), nicht nach Normzahlen gestufte Moduln und die Forderung nach ganzen, geraden Zhnezahlen (einige Teilkreisdurchmeser geringfgig angepaßt); unter der Abszisse angepaßte Passungsfestlegung
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Man beachte aber: Passungen und Toleranzen sind mit den Nennmaßen nicht geometrisch hnlich gestuft, sondern die Grße einer Toleranzeinheit folgt der Beziehung i ¼ 0;45 D1=3 þ 0;001 D, d. h., der Stufensprung der Toleranzeinheit i folgt im wesent1=3
lichen ji ¼ ji . Technologische Einschrnkungen fhren oft zu Abweichungen; z. B. kann eine Gußwanddicke nicht unterschritten, eine Wanddicke nicht durch und durch vergtet werden (Grßeneinfluss).
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bergeordnete Normen basieren nicht immer konsequent auf Normzahlen. Von ihnen beeinflußte Bauteile sind entsprechend anzupassen. bergeordnete hnlichkeitsgesetze oder andere Anforderungen knnen eine starke Abweichung von der geometrischen hnlichkeit erzwingen. Dann mssen halbhnliche Baureihen vorgesehen werden (s. F 1.5.4).
1.5.4 Halbhnliche Baureihen Bedeutende Abweichungen von der geometrischen hnlichkeit knnen durch folgende Grnde erzwungen werden (sie erfordern fr die Baureihe ein anderes Wachstumsgesetz und fhren zu halbhnlichen Baureihen): bergeordnete hnlichkeitsgesetze durch Einfluß der Schwerkraft, Einfluß thermischer Vorgnge und/oder andere hnlichkeitsbeziehungen [87, 88]. bergeordnete Aufgabenstellung. Bauteile, mit denen der Mensch bei der Arbeit in Berhrung kommt, mssen den Krperabmessungen entsprechen. Sie knnen sich im allgemeinen nicht mit den Baureihengliedern ndern. Eine bergeordnete Aufgabenstellung kann auch infolge technischer Bedingungen vorliegen, wenn Eingangs- oder Ausgangsprodukte keine geometrisch hnliche Abmessungen haben. bergeordnete wirtschaftliche Forderungen. In einer Baureihe knnen Einzelteile und Baugruppen, grber gestuft, eine hhere Stckzahl ergeben und so eine noch wirtschaftlichere Fertigung ermglichen. Fr die umgebenden oder anschließenden Bauteile erhlt man dann halbhnliche Baureihen. Aus diesen Beispielen geht hervor, daß nicht immer die geometrisch hnliche Baureihe eingehalten werden kann. Vielmehr muss man unter Beachten des physikalischen Vorgangs und sonstiger Anforderungen Maßstbe ableiten, die die Abmessungen oder sonstigen Kenngrßen bestimmen. Dabei ist es nicht mehr mglich, eine gleich hohe Ausnutzung der Festigkeit sicherzustellen, sondern man wird dann ber der Baureihe die Grße festhalten, die den insgesamt hheren Nutzen bestimmt. Je nach physikalischem Geschehen kann diese Grße sogar ber der Grßenstufung wechseln.
1.5.5 Anwenden von Exponentengleichungen Sie dienen als Hilfsmittel, die unter F 1.5.4 erluterten Bedingungen nach der Art von hnlichkeitsbeziehungen bei einer halbhnlichen Baureihe zu bercksichtigen. Fr das Wachstumsgesetz bei Potenzfunktionen ist unter Verwendung der Normzahldiagramme nur der Exponent wichtig, wenn man von einem Grundentwurf ausgehen kann. Die technische Beziehung fr das k-te Glied der Baureihe hat oft die Form yk ¼ ck xpkx zpkz : Diese abhngige Vernderliche y und die unabhngigen Vernderlichen x und z lassen sich stets, vom Grundentwurf (In-
dex 0) ausgehend, mit Normzahlen ausdrcken. yk ¼ y0 jyLe k ; xk ¼ x0 jxLe k ; zk ¼ z0 jzLe k : ðx kp þz kp Þ
Mit y0 ¼ c xp0x zp0z und ck ¼ c wird y0 jyLe k ¼ y0 gL e x e z . Man erhlt unabhngig von k durch Vergleich der Exponenten ye ¼ xe px þ ze pz : Hierin sind ye ; xe und ze die festzulegenden oder zu ermittelnden Stufenexponenten und px und pz die gegebenen physikalischen Exponenten von x und z. Nun ist jeweils der Exponent ye in Abhngigkeit von xe und ze zu bestimmen. Dazu stellt man die physikalischen Abhngigkeiten in Form einer Gleichung dar, fhrt die bestehenden besonderen Bedingungen ein und rechnet nur mit Exponentengleichungen [89]. Beispiel: Elektromotoren-Reihe. Die vom Motor abgegebene Leistung P ist proportional der Winkelgeschwindigkeit w, der Stromdichte G, der magnetischen Induktion B, den Leiterabmessungen b, h, t (Leitervolumen) sowie dem mittleren Abstand D/2 der Leiter von der Wellenmitte. D sei das Nennmaß der Reihe. – Wie wchst die Leistung P? P w G B b h t D. In Exponentenschreibweise Pe ¼ we þ Ge þ Be þ be þ he þ te þ De . w, G und B seien konstant, womit we ¼ Ge ¼ Be ¼ 0 werden. b, h, t und D mgen geometrisch hnlich wachsen, womit be ¼ he ¼ te ¼ De ist. Der Exponent der Leistung in Abhngigkeit von D ist dann Pe ¼ 4De . Die Leistung wchst mit der 4. Potenz von D bei geometrisch hnlicher Vergrßerung. Wie msste sich der abtriebseitige Lagerzapfendurchmesser ndern, wenn die Torsionsbeanspruchung konstant bleiben soll? – tt ¼ Mt =Wt ¼ Mt =ðdL3 p=16Þ; Mt P; P D4 . In Exponentenschreibweise tte ¼ 0 ¼ 4De 4dLe oder dLe ¼ ð4=3ÞDe . Der Lagerzapfendurchmesser dL wchst mit dem Exponenten 4/3 gegenber dem 4=3
Nennmaß D ðjdL ¼ jD Þ.
1.5.6 Baukasten Unter einem Baukasten versteht man Maschinen, Baugruppen und Einzelteile, die als Bausteine mit oft unterschiedlichen Lsungen durch Kombinationen entstehen und verschiedene Gesamtfunktionen erfllen. Bei mehreren Grßenstufen solcher Bausteine enthalten Bauksten oft auch Baureihen. Baukastensysteme sind aus Bausteinen aufgebaut. Es bietet sich an, sie nach wiederkehrenden Funktionsarten zu orientieren und zu definieren, die – als Teilfunktionen kombiniert – unterschiedliche Gesamtfunktionen (Gesamtfunktionsvarianten) erfllen. Auf Bild 28 wird deshalb eine Ordnung fr solche Funktionen vorgeschlagen. Aus ihr ergibt sich eine entsprechende Ordnung fr die Bausteinarten (Funktionstrgerarten). Je nach dem, ob ein Baustein in allen Funktionsvarianten eines Bausteinsystems vorkommen muß oder nur kann, spricht man von Muß- oder Kann-Bausteinen [89]. Nicht im Baukastensystem vorgesehene auftragsspezifische Funktionen werden ber „Nichtbausteine“ verwirklicht, die fr die konkrete Aufgabenstellung in Einzelkonstruktion entwickelt werden mssen. Ihre Verwendung fhrt zu einem Mischsystem als Kombination von Bausteinen und Nichtbausteinen. Zur Baukastenabgrenzung definiert man Bauprogramme mit endlicher, vorhersehbarer Variantenzahl (geschlossene Baukastensysteme) und Baumusterplne mit einer großen Vielfalt an Kombinationsmglichkeiten, die nicht im vollen Umfang geplant und dargestellt werden (offene Baukastensysteme). Produkte aus Baukastensystemen werden in der Regel nicht in allen Zonen gleich hoch ausgenutzt; sie sind daher oft schwerer und raumaufwendiger als eine spezielle Einzelanfertigung. Ihre Wirtschaftlichkeit ist in der Verwendung des Gesamtsystems zu suchen und nicht im Vergleich einer Kombination mit einer Einzelausfhrung.
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Normen- und Zeichnungswesen
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Bild 28. Funktions- und Bausteinarten bei Baukasten und Mischsystemen
1.6 Normen- und Zeichnungswesen 1.6.1 Normenwerk berbetriebliche Normen Nach DIN 820 ist Normung die planmßige, von interessierten Kreisen gemeinschaftlich durchgefhrte Vereinheitlichung materieller und immaterieller Gegenstnde zum Nutzen der Allgemeinheit [90]. Normen-Herkunft: DIN-Normen des DIN (Deutsches Institut fr Normung) einschließlich der VDE-Bestimmungen, europische Normen (EN-Normen) von CEN (Comite´ Europe´en de Normalisation) und CENELEC (Comite´ Europe´en de Normalisation Electrotechnique), Empfehlungen der IEC (International Electrotechnical Commission) und Empfehlungen, neuerdings auch Weltnormen, der ISO (International Organization for Standardization), sowie VDI-Richtlinien. Die Normung umfaßt Inhalt, Reichweite und Grad von Normen (DIN 820, EN 45 020). Nach dem Inhalt werden folgende Gebiete von der Normung erfaßt: Verstndigen, Sortieren, Typisieren, Planen, Maße, Stoffe, Qualitt, Verfahren, Gebrauchstauglichkeit, Prfen, Liefern und Sicherheit. Nach der Reichweite unterscheidet man Grundnormen (Normen von allgemeiner, grundlegender und fachbergreifender Bedeutung) und Fachnormen (Normen fr ein bestimmtes Fachgebiet). Der Grad einer Norm wird hinsichtlich Breite, Tiefe und Umfang bestimmt. Eine Norm kann mehreren Bereichsgruppen angehren, was der Regelfall ist. Sie kann als Vollnorm alle Zusammenhnge in ihrer Breite und Tiefe umfassend darstellen, als Teilnorm Einzelheiten aussparen oder als Rahmennorm einen groben Rahmen fr die behandelten Gegenstnde geben (damit die Normung die technische Entwicklung nicht behindert). Normen findet man im „DIN-Katalog fr technische Regeln“, die wichtigsten davon in der „Einfhrung in die DIN-Normen“. Neben den nationalen und internationalen Normen bestehen weitere berbetriebliche Vorschriften und Richtlinien (vgl. DIN-Katalog):
– VDE-Bestimmungen des Verbands Deutscher Elektrotechniker, die jetzt auch als DIN-Normen gelten, – Vorschriften der Vereinigung der Technischen berwachungsvereine, z. B. AD-Merkbltter (Arbeitsgemeinschaft Druckbehlter), die ebenfalls Normcharakter haben, – VDI-Richtlinien des Vereins Deutscher Ingenieure. Innerbetriebliche Normen Zur Erleichterung und Rationalisierung der Konstruktion und der Fertigung werden innerbetriebliche Normen aufgestellt. Sie sind zweckmßigerweise nach denselben Gesichtspunkten wie berbetriebliche Normen zu gestalten (DIN 820). Innerbetriebliche Normen knnen erfassen: Normen-Zusammenstellungen als Auswahl aus berbetrieblichen Normen bzw. Beschrnkung nach firmenspezifischen Gesichtspunkten; Kataloge, Listen und Informationsschriften ber Fremderzeugnisse; Kataloge oder Listen ber Eigenteile; Informationsbltter zur technisch-wirtschaftlichen Optimierung (z. B. ber Fertigungsmittel, Fertigungsverfahren, Kostenvergleiche); Vorschriften oder Richtlinien zur Berechnung und Gestaltung von Bauelementen, Baugruppen, Maschinen und Anlagen; Informationsbltter ber Lager- und Transportmittel; Festlegung zur Qualittssicherung (z. B. Fertigungsvorschriften, Prfanweisungen); Vorschriften und Richtlinien fr das Zeichnungs- und Stcklistenwesen, fr die Nummerungstechnik und die elektronische Datenverarbeitung. Normenanwendung Eine absolute Verbindlichkeit von Normen im juristischen Sinn gibt es nicht. Nationale und internationale Normen gelten aber als anerkannte Regeln der Technik, deren Beachtung in vielen Fllen vorteilhaft, zweckmßig und auch unerlsslich ist. Darber hinaus gelten vor allem aus wirtschaftlichen Erwgungen alle Werknormen (bernommene berbetriebliche und innerbetriebliche Normen) innerhalb ihres Gltigkeitsbereichs als verbindlich, wobei der Anwendungszwang abgestuft sein kann. Die Anwendungsgrenze einer Norm ist im wesentlichen dadurch gegeben, daß eine Norm nur so lange gltig und auch
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verbindlich sein kann, als sie nicht mit technischen, wirtschaftlichen, sicherheitstechnischen, ethischen oder auch sthetischen Anforderungen kollidiert. Empfehlungen und Hinweise zur Anwendung von Normen: Zunchst sind die DIN-Grundnormen [66] einzuhalten, da sich auf ihnen die brigen Normen aufbauen. Ein Verlassen der Grundnormen hat zur Folge, daß die Konsequenzen vor allem langfristig nicht mehr bersehbar sind. Je nach Fachgebiet ist ferner in Normen- und Richtlinienverzeichnissen nach zutreffenden Normen bzw. Richtlinien, insbesondere nach Sicherheitsnormen (DIN 31 000/VDE 1000, [91, 92]), zu suchen. Normzahlen und Normzahlreihen zur Grßenstufung und Typisierung, vor allem bei Baureihen- und Baukastenentwicklungen, sind mglichst anzuwenden (s. F 1.5.2). 1.6.2 Grundnormen Grundnormen sind von allgemeiner, grundlegender Bedeutung [93]. Technische Oberflchen Grundbegriffe. Ein fester Krper wird gegenber dem umgebenden Raum von seiner wirklichen Oberflche begrenzt. Die Istoberflche stellt die im Rahmen der Messgenauigkeit eines Messverfahrens erfassbare Oberflche dar. Der geometrisch vollkommen gedachte Krper hat eine ideale, die geometrische Oberflche, die durch die geometrische Beschreibung, z. B. in einer Zeichnung oder in einem rechnerinternen Modell, definiert ist. Die geometrische Oberflche ist praktisch nicht zu erreichen. Gestaltabweichungen sind die Gesamtheit aller Abweichungen der Istoberflche von der geometrischen Oberflche [94]. Sie gliedern sich in sechs Ordnungen, Tab. 13. Durch die berlagerung der 1. bis 4. Ordnung ergibt sich i. d. R. die Istoberflche. Die Erfassung von technischen Oberflchen in der Rauheitsmesstechnik erfolgt i. d. R. mit dem Tastschnittverfahren. Eine geometrisch ideale Tastspitze tastet die Krperoberflche ab und liefert als Ergebnis die Istoberflche als zweidimensionalen Profilschnitt. Hiervon werden alle in der DIN EN ISO 4287 definierten Profile durch Anwendung verschiedener Profilfilter abgeleitet, Bild 29: – Primrprofil (P-Profil) entsteht aus der Istoberflche durch Herausfiltern von Gestaltabweichungen mit sehr kurzer Wellenlnge mit dem Filter ls. – Rauheitsprofil (R-Profil) entsteht durch das Anwenden des Profilfilters lc auf das Primrprofil. – Welligkeitsprofil (W-Profil) resultiert aus dem sukzessiven Anwenden der Profilfilter lf und lc auf das Primrprofil. Alle drei Filter verwenden die gleiche bertragungscharakteristik (vgl. Bild 29), die in der DIN EN ISO 11562 beschrieben ist, unterscheiden sich aber in ihrer Grenzwellenlnge. Die Mittellinie des Primrprofils ist die Linie, die durch Einpassen der kleinsten Abweichungsquadrate der Nennform in das Primrprofil festgelegt wird, Bild 30. Die Mittellinien fr das R-Profil bzw. das W-Profil entsprechen den langwelligen Profilanteilen, die durch das lc-Filter bzw. das lf-Filter unterdrckt werden. Den im Folgenden vorgestellten Kenngrßen liegt ein Koordinatensystem zu Grunde, dessen X-Achse in Tastrichtung bzw. entlang der Mittellinie zeigt. Die Y-Achse liegt rechtwinklig dazu ebenfalls auf der Werkstckoberflche. Die ZAchse steht orthogonal zur Oberflche und zeigt nach außen. Als Bezugslinie dient die Mittellinie. Von der Definition der betrachteten Kenngrße hngt es ab, ob ihre Auswertung ber eine Einzelmessstrecke lp, lr, lw oder ber eine Messstrecke ln erfolgt. Die Lngen der Einzelmessstrecken lr und lw fr das P- bzw. W-Profil entsprechen der Grenzwellenlngen lc bzw. lf. Fr Rauheitsmessungen gilt der Zusammenhang: ln ¼ 5 lr (vgl. Tab. 15).
Bild 29. bertragungscharakteristik fr das Rauheits- und Welligkeitsprofil nach DIN EN ISO 4287 und DIN EN ISO 11562
Bild 30. Festlegung der Mittellinie des Primrprofils durch Einpassen der kleinsten Abweichungsquadrate der Nennform
Nach DIN EN ISO 4287 gilt: Der Ordinatenwert Z (x) ist die Hhe des gemessenen Profils an beliebiger Position x. Die Oberflchenkenngrßen knnen auf alle Profile angewendet werden. Das Bezugsprofil einer Kenngrße wird aus dem ersten Großbuchstaben ihrer Abkrzung ersichtlich.
I1.6 – Hhe der grßten Profilspitze Pp, Rp, Wp ist die Hhe der grßten Profilspitze Zp innerhalb einer Einzelmessstrecke. – Tiefe des grßten Profiltales Pv, Rv, Wv ist die Tiefe des grßten Profiltales Zv innerhalb einer Einzelmessstrecke. – Grßte Hhe des Profils Pz, Rz, Wz ist die Summe aus der Hhe der grßten Profilspitze Zp und der Tiefe des grßten Profiltales Zv innerhalb einer Einzelmessstrecke. Die Grße Rz ist nicht gleichbedeutend mit der ehemaligen Zehnpunktehhe Rz . – Gesamthhe des Profils Pt, Rt, Wt ist die Summe aus der Hhe der grßten Profilspitze Zp und der Tiefe des grßten Profiltales Zv innerhalb der Messstrecke (im Gegensatz zu Pz, Rz, Wz, die ber eine Einzelmessstrecke definiert sind). – Arithmetischer Mittelwert Pa, Ra, Wa ist der arithmetische Mittelwert der Betrge der Ordinatenwerte Z (x) innerhalb einer Einzelmessstrecke. – Mittlere Rillenbreite der Profilelemente PSm, RSm, WSm ist der Mittelwert der Breite der Profilelemente Xs innerhalb einer Einzelmessstrecke.
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Tabelle 14. Kennzeichung von Oberflchen in Zeichnungen durch Symbole, Rauheitsmaße und Zusatzangaben nach DIN EN ISO 1302. a Erste Anforderung an die Oberflchenbeschaffenheit, ggf. ergnzt durch die zu verwendende bertragungscharakteristik b ggf. zweite Anforderung an die Oberflchenbeschaffenheit, c Fertigungsverfahren, Behandlung, Beschichtung, etc., d Rillenart und -ausrichtung, e Bearbeitungszugabe in mm
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Festlegen der Rauhtiefe. Die zulssige Rauhtiefe einer Oberflche richtet sich nach der zu erfllenden Funktion (Traganteil, Setzmaß, Reibungsverhalten, Schichtgrund, Sichtflche, usw.; vgl. DIN 4764). Andererseits knnen nur bestimmte Fertigungsverfahren geringe Rauhtiefen erzielen, wobei die Herstellkosten zu bercksichtigen sind. Zeichnungsangaben fr Oberflchen. Die Oberflchenzeichen und die Zuordnung von Rautiefen sind nach DIN EN ISO 1302 geregelt. Hiernach ist zu unterscheiden, ob das Fertigungsverfahren freigestellt ist, oder ob die Oberflche durch Materialabtrag hergestellt werden soll bzw. ob Materialabtrag unzulssig ist, Tab. 14. Die einzelnen Zusatzangaben a bis e sind nur dann anzugeben, wenn es fr Funktion, Fertigung oder Prfung erforderlich ist. Kenngrßenermittlung. Die DIN EN ISO 4288 definiert Regeln und Verfahren zur Kenngrßenermittlung mit Hilfe des Tastschnittverfahrens. Bei der Messung und Auswertung von Kenngrßen, die ber eine Einzelmessstrecke definiert sind, wird der arithmetische Mittelwert aus den gemessenen Werten von fnf Einzelmessstrecken gebildet. Soll die Messung auf einer anderen Anzahl von Einzelmessstrecken basieren, ist dem Rauheitskurzzeichen ein entsprechender Index anzuhngen, z. B. Rz1, Rz3. Die Hchstwertregel besagt, dass kein Messwert einer Kenngrße die Vorgabe in der technischen Dokumentation berschreiten darf. Diese Anforderung ist durch den Index max zum Ausdruck zu bringen, z. B. Rz1 max. Bei der Messung von Kenngrßen ist wie folgt vorzugehen: Zunchst wird der Wert der Kenngrße mit geeigneten Mitteln geschtzt. Mit Hilfe von Tab. 15 wird die Lnge der zugehrigen Einzelmessstrecke ermittelt und die Messung durchgefhrt. Liegen die Messwerte innerhalb des zur gewhlten Einzelmessstrecke gehrenden Wertebereichs, ist die Messung reprsentativ. Andernfalls muss am Tastschnittgert entsprechend der gemessenen Werte eine krzere oder lngere Einzelmessstrecke eingestellt und die Messung wiederholt werden.
Grenzmaße und Passungen Toleranzen und Abmaße. Mit der bernahme der internationalen Norm ISO 286 haben sich einige Begriffe gegenber den bisherigen Normen DIN 7150 bis 7152, 7160, 7161, 7172, 7182 gendert, die Inhalte sind jedoch im wesentlichen bestehen geblieben. Zur Grßenangabe wird in einer Zeichnung das Nennmaß angegeben. Es ist nicht mglich, das Werkstck auf dieses Maß absolut genau zu fertigen. Infolgedessen wird am Werkstck ein Istmaß meßtechnisch erfaßt, das je nach Anwendung innerhalb einer Maßtoleranz, nmlich zwischen den Grenzmaßen, einem vorgegebenen Hchstmaß und einem Mindestmaß, liegen darf. Dabei sind die Toleranzen der Meßgerte zu bercksichtigen (s. W 4). Maßtoleranz ist die Differenz zwischen dem zulssigen Hchst- und Mindestmaß. Sie wird bestimmt durch Grße und Lage. Die Grße einer Maßtoleranz wird von den Grundtoleranzen (IT=Internationale Toleranz, IT 1 bis IT 18) bestimmt, die einerseits nach Nennmaßbereichen und andererseits nach Grundtoleranzgraden (frher Qualitt) bestimmt werden. Dazu wird ein Toleranzfaktor (frher Toleranzeinheit) errechnet mit i ¼ 0;45D1=3 þ 0;001D (i in mm, D in mm als geometrisches Mittel des jeweiligen Nennmaßbereichs bis 500 mm) und dann ab IT 5 entsprechend den Toleranzgraden zu Grundtoleranzen multiplikativ erweitert wird (vgl. Tab. 16). Die Lage des Toleranzfeldes zum Nennmaß (Nullinie) wird durch das Grundabmaß bestimmt. Das Grundabmaß ist jenes obere oder untere Abmaß, das der Nullinie am nchsten liegt. Bei Innenmaßen wird die Lage des Toleranzfeldes mit Großbuchstaben bezeichnet und von A bis H eine positive, bei K
Tabelle 15. Einzelmessstrecken fr die Messung von Ra, Rz, Rz1 max und RSm nach DIN EN ISO 4288
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Tabelle 16. ISO-Grundtoleranzen in mm nach ISO 286 (Auszug)
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bis Z eine negative und mit J eine symmetrische Lage zum Nennmaß festgelegt. Bei Außenmaßen gilt entsprechend: Kleinbuchstaben a bis h fr eine negative, ab k fr eine positive und bei j wiederum fr eine symmetrische Lage. Als oberes Abmaß (ES, es) wird die algebraische Differenz zwischen dem Hchstmaß und dem Nennmaß, als unteres Abmaß (EI, ei) die zwischen dem Mindestmaß und Nennmaß verstanden. Ausgehend vom Grundabmaß gelangt man durch Hinzufgen der Grundtoleranz (Toleranzfeldbreite) zum entsprechenden anderen Abmaß (Bild 31). Als Toleranzklasse wird die Kombination eines Grundabmaßes mit dem Toleranzgrad bezeichnet, z. B.: f 7, D 13 usw. (Tab. 17). Werden Maße ohne Toleranzfestlegung angegeben, gelten fr Lngen- und Winkelmaße Allgemeintoleranzen (frher Freimaßtoleranzen) nach ISO 2768, Teil 1. Normalerweise wird
Bild 31. Zuordnung von Nennmaß, Istmaß, Mindest- und Hchstmaß mit oberem (hier Grundabmaß) und unterem Abmaß in mm
die Toleranzklasse „ISO 2768-m“ (mittel) gewhlt. Solche Festlegungen bedrfen der Angabe auf der Zeichnung. Zu beachten sind auch die Toleranzen und zulssigen Abweichungen fr Gußrohteile (DIN 1680) und Schmiedestcke aus Stahl (DIN 7526) sowie andere Normen. Schließlich besteht neben der Maßtolerierung noch die Formund Lagetolerierung nach ISO 1101, die angewendet wird, wenn eine solche im Einzelfall notwendig erscheint. Mit ihr knnen Form-, Richtungs- Orts- und Lauftoleranzen festgelegt werden. Den Eintrag von Form- und Lagetolerierung in technische Zeichnungen regelt ISO 5459. Ferner bestimmt ISO 2768, Teil 2 Toleranzen fr Form und Lage ohne einzelne Toleranzeintragung im Sinne von Allgemeintoleranzen. Passungen. Sie entstehen durch die Beziehung der Toleranzfelder gepaarter Teile zueinander und stellen bei gleichem Nennmaß eine bestimmte Funktion (z. B. Gleit- und Fhrungsaufgaben, Reibschluß in Schrumpfverbindungen) aber auch die Austauschbarkeit sicher. Passungsarten werden unterschieden entsprechend Tab. 17. Die Zuordnung von Toleranzfeldlage und -grße bestimmt, welche Passungsart mit welchem Spiel bzw. bermaß vorliegt. Dabei wird zwischen den Passungssystemen Einheitsbohrung und Einheitswelle unterschieden. Einheitsbohrung. Alle Innenmaße erhalten das untere Abmaß 0, also Toleranzfeldlage H. Die unterschiedlichen Passungen werden mit der Wahl der Toleranzfeldlage bei den Außenmaßen bestimmt (z. B. H7/f7, H7/g6, H7/h6, H7/k6, H7/s6). Zu bevorzugen bei geringen Stckzahlen, beschrnkter Anzahl von Werkzeugen und Lehren fr Innenbearbeitung.
I1.6
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Tabelle 17. Passungsbeispiele in Anlehnung an [95] bei Bercksichtigung der nach ISO 286 empfohlenen Passungsauswahl. Mit * bezeichnete Passungen fr Einheitswelle, mit ( ) bezeichnete sind nur aus Reihe 2 gebildet
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Einheitswelle. Alle Außenmaße erhalten das obere Abmaß 0, also Toleranzfeldlage h (z. B. G7/h6, F8/h6, E9/h9). Zu bevorzugen bei gezogenem Halbzeug, nicht abgesetzten Wellen, Austauschgleitlagern. Eine gemischte Anwendung der Paßsysteme kann zweckmßig sein. ISO 286 empfiehlt eine beschrnkte Passungsauswahl, um Werkzeuge und Lehren einzusparen. Tabelle 17 gibt hierzu eine Anwendungsbersicht. Andere Passungen sind aus ISO 286 zu entnehmen. Wichtig ist dabei die Beachtung von Tolerierungsgrundstzen: International gilt das Unabhngigkeitsprinzip nach ISO 8015, nach dem jede einzelne Maß-, Form- oder Lagetoleranz nur fr sich allein geprft wird, ohne Rcksicht darauf, wie die jeweils anderen Abweichungen liegen. So sagt z. B.
die Durchmessertoleranz einer Welle nichts ber deren Geradheit oder Rundheit aus. National gilt das Hllprinzip nach DIN 7167, nach dem die Maßtoleranz das „Maximum-Material-Maß (MMS)“ fr das jeweils idealisierte Formelement (Zylinder, parallele Flchen (Quader) oder Kugel) bestimmt, das das wirkliche Formelement umhllt und innerhalb dessen die wahren Konturen liegen mssen. Bei einer Welle wre das MMS das Hchstmaß und bei einer Bohrung das Mindestmaß. Mit dem Hllprinzip sind die Formabweichungen insoweit mit erfaßt, als sie die Hlle nicht durchbrechen drfen. Fr Passungen muß generell das Hllprinzip angewendet werden, um immer eine funktionsgerechte Geometrie zu gewhrleisten. Da im internationalen Verkehr das Unabhngigkeits-
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prinzip verfolgt wird, muß bei Passungen hinter dem Paßmaß die Kennzeichnung E zustzlich eingetragen werden, um die Hllbedingung sicherzustellen. Besonders tckisch sind sogenannte Gleichdickformen oder hnliche, wie sie durch elastisches Verformen beim Spannen, durch Schwingungen beim spitzenlosen Schleifen und beim Bohren entstehen knnen. Entsprechend Bild 32 a und b wre eine Welle nach einem tolerierten Zeichnungsmaß von beispielsweise 200;2 mit einer entstandenen Gleichdickform nach dem Unabhngigkeitsprinzip zulssig, obwohl unter Einhaltung des Maximum-Maßes der Querschnitt an den „Dreiecksspitzen“ den Hllkreis mit dem Maximummaß von 20 mm deutlich berschreitet. Das Teil wre in eine entsprechend tolerierte Bohrung nicht einpaßbar. Abhilfe ist unter dem Unabhngigkeitsprinzip nur durch Kennzeichnung des E nach Bild 32 c zu erreichen. Es gilt dann jeweils Maßes mit das Hllprinzip. Bild 32 d zeigt, daß eine Gleichdickform nach dem Hllprinzip nur zulssig ist, soweit sie nicht die Hlle des Maximum-Material-Maßes auch hinsichtlich axialer Formabweichung durchbricht und das Mindestmaß 19,8 mm berall einhlt, was eine bedeutend schrfere Bedingung darstellt. Lageabweichungen bzw. -toleranzen, z. B. Rechtwinkligkeit, Koaxialitt, Symmetrie, sind, gleichgltig welcher Tolerierungsgrundsatz verfolgt wird, immer von den Maßtoleranzen unabhngig und mssen gegebenenfalls gesondert angegeben werden. Fr Allgemeintoleranzen, die vom Fertigungsverfahren abhngig sind, muß zur Kenntnis genommen werden, daß die dortigen Festlegungen nicht immer vollstndig sind oder unterschiedliche Tolerierungsgrundstze zugrunde gelegt wurden. Gegebenenfalls mssen klrende Angaben ber zulssige Formabweichungen ergnzt werden. Erluterungen und Beispiele vgl. [96]. 1.6.3 Zeichnungen und Stcklisten Zeichnungsarten DIN 199 unterscheidet technische Zeichnungen nach Art ihrer Darstellung, Art ihrer Anfertigung, ihrem Inhalt und ihrem Zweck. Hinsichtlich der Darstellungsart wird unterschieden zwischen Skizzen, maßstblichen Zeichnungen, Maßbildern, Plnen und sonstigen graphischen Darstellungen.
Hinsichtlich der Anfertigungsart unterscheidet man zwischen Original- oder Stamm-Zeichnungen als Grundlage fr Vervielfltigungen sowie Vordruck-Zeichnungen, die oft unmaßstblich sind. Es kann zweckmßig sein, Zeichnungen nach dem Baukastenprinzip aufzubauen. Bei diesem Vorgehen gliedert man Gesamt-Zeichnungen bausteinartig so in Zeichnungsteile, daß man aus diesen neue Gesamt-Zeichnungsvarianten zusammenstellen kann. Hinsichtlich des Inhalts gibt es viele Unterscheidungsmglichkeiten. Ein Gesichtspunkt ist die Vollstndigkeit eines Gebildes in einer Zeichnung. Hier wird unterschieden zwischen Gesamt-, Gruppen-, Einzelteil-, Rohteil-, Gruppen-Teil-, Modell- und Schema-Zeichnungen. Zur Rationalisierung der Zeichnungsherstellung dienen ferner Sammel-Zeichnungen, die als Sorten-Zeichnungen (fr Gestaltungsvarianten) mit aufgedruckter oder getrennter Maßtabelle oder als Satz-Zeichnungen (Zusammenfassung zusammengehrender Einzelteile) aufgebaut sein knnen. Beim Erarbeiten der Fertigungsunterlagen interessiert die geeignete Struktur eines Zeichnungssatzes. Entsprechend einer fertigungs- und montagegerechten Erzeugnisgliederung besteht der Zeichnungssatz grundstzlich zunchst aus einer Gesamt-Zeichnung als Zusammenstellungs-Zeichnung des Erzeugnisses, aus der sich mglicherweise noch weitere Zeichnungen (z. B. zum Versand, zur Aufstellung und Montage sowie zur Genehmigung) ableiten, aus mehreren GruppenZeichnungen verschiedener Rangordnung (Komplexitt), die den Zusammenbau mehrerer Einzelteile zu einer Fertigungsbzw. Montageeinheit zeigen, sowie aus Einzelteil-Zeichnungen, die noch fr unterschiedliche Fertigungsstufen aufgegliedert sein knnen (z. B. Rohteil-Zeichnung, Modell-Zeichnung, Vorbearbeitungs-Zeichnung, Endbearbeitungs-Zeichnung). Zeichnungen sind so aufzubauen, daß sie auch fr andere Anwendungsflle wiederverwendbar sind. Wiederholteile und Ersatzteile sind daher auf eigenen Zeichnungen darzustellen. Nach dem Zeichnungssatz ist auch der Stcklistensatz und das System der Zeichnungsnummern aufzubauen (s. „Stcklisten“ in diesem Abschnitt und F 1.6.4). Formate, Linien und Schrift Zeichnungsformate sind in DIN 6771, Teil 2 festgelegt. A 4 wird als Hochformat, die brigen als Querformat verwendet pffiffiffi (Tab. 18). Das Seitenverhltnis betrgt 2 : 1. Linienbreiten und Schrifthhen sind den Bedrfnissen der Mikroverfilmung angepaßt und folgen in ihrem Stufensprung pffiffiffi ebenfalls 2. Zu bevorzugen ist die Reihe 1 fr Linienbreiten (DIN 15) sowie kursive und vertikale Normschrift (DIN 6776). Die Schrifthhe bezieht sich auf Großbuchstaben. Kleinbuchstaben werden bei der Form A mit 10/14 und bei der Form B mit 7/10 der Schrifthhe ausgefhrt. Bevorzugte Schrifthhen sind 2,5; 3,5; 5 und 7 mm. Die Linienbreite der Mittelschrift soll 1/10 der Schrifthhe betragen. Darstellung und Bemaßung DIN ISO 5455 schreibt folgende Maßstbe vor:
Bild 32. a Bemaßter Rundquerschnitt; b Nach Unabhngigkeitsprinzip zulssige Formabweichung, die bei einer Gleichdickform trotz vollstndiger Einhaltung des Hchstmaßes d= 20 mm den Kreis des maximal zulssigen Durchmessers (Hllkreis) berschreitet; c Abhilfe: Kennzeichnung des Maßes mit E ; d Nach dem Hllprinzip eingeschrnkte zulssige Formabweichung, die die Hlle des idealisierten Krpers mit dem Maximum-Material-Maß nirgends durchbricht
Ansichten und Schnitte werden gewhnlich in Normalprojektion angeordnet (Bild 33). Weitere Projektionsarten s. A bzw. www.dubbel.de. Die Gegenstnde sind in Gesamt-Zeichnungen und GruppenZeichnungen in der Gebrauchslage, in Einzelteil-Zeichnun-
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Tabelle 18. Zeichnungsformate in mm nach DIN 6771, Teil 6
gen bevorzugt in der Fertigungslage darzustellen. Dabei sind mglichst wenige, aber ausreichende Ansichten (DIN 6, Teil 1) oder Schnitte (DIN 6, Teil 2) zu whlen, aus der die Gestalt eindeutig ersichtlich ist.
Tabelle 19. Aufbau einer Mengenbersichts-Stckliste fr Erzeugnisgliederung (ME Einheit der Menge)
Schnitte machen Zeichnungen bersichtlicher (Wegfall vieler unsichtbarer Kanten) und sind bei zylindrischen Hohlkrpern stets anzuwenden (sichtbare, umlaufende Kanten nicht vergessen). Das Klappen einfacher Querschnittsdarstellungen in die Zeichenebene senkt die Zahl notwendiger Ansichten. Oft vorkommende Teile werden nur einmal gezeichnet. Unsichtbare Kanten nur zeichnen, wenn dadurch Unklarheiten und einfache zustzliche Darstellungen vermieden werden knnen. Vereinfachte Darstellungen sind mglich, wenn dadurch die Erkennbarkeit von Funktion, rumlicher Vertrglichkeit und wesentlicher Bauteilgestalt im jeweiligen Einzelfall nicht beeintrchtigt wird (DIN 30, Teil 1). Die Bemaßung ist eindeutig und bersichtlich vorzunehmen. Regeln sind in den Normen enthalten [97]. Stcklisten Zu jedem Zeichnungssatz gehrt eine Stckliste bzw. ein Stcklistensatz, damit ein Erzeugnis vollstndig beschrieben werden kann. Eine Stckliste enthlt in der Reihenfolge von links nach rechts Spalten fr Positionsnummer, Menge, Einheit der Menge, Benennung der Gruppe oder des Teils (einschließlich Normteile, Fremdteile und Hilfsstoffe), Sachnummer und/oder Norm-Kurzbezeichnung zur Identifikation und Bemerkungen. Die Benennung ist nach der Bauform, nicht nach der Zweckbestimmung (Funktion), zu whlen. Eine Stckliste ist generell aus einem Schriftfeld und einem Stcklistenfeld aufgebaut, deren formaler Aufbau in DIN 6771, Teil 1 und Teil 2, festgelegt ist. Mengenbersichts-Stckliste. Sie enthlt fr das Erzeugnis (Bild 34 a) nur die Einzelteile mit ihren Mengenangaben. Mehrfach vorkommende Einzelteile erscheinen nur einmal, aber alle Teilenummern der Erzeugnisse sind angefhrt. Funktions- und fertigungsorientierte Gruppen sind nicht zu erkennen. Diese einfachste Form einer Stckliste reicht fr einfache Erzeugnisse mit nur wenigen Fertigungsstufen aus (Tab. 19), fr Erzeugnisgliederung nach Bild 34 a. Struktur-Stckliste. Sie gibt die Erzeugnisstruktur mit allen Baugruppen und Teilen wieder, wobei jede Gruppe sofort bis zur hchsten Stufe (Ordnung der Erzeugnisgliederung) ge-
Bild 33. Anordnung der Ansichten und Schnitte bei Normalprojektion
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gliedert ist. Die Gliederung der Gruppen und Teile entspricht in der Regel dem Fertigungsablauf (Tab. 20). Die Mengenangaben beziehen sich auf das im Stcklistenkopf beschriebene Erzeugnis. Struktur-Stcklisten knnen sowohl fr ein Gesamterzeugnis als auch nur fr einzelne Gruppen aufgestellt werden. Ihr Vorteil ist, daß in ihnen die Gesamtstruktur eines Erzeugnisses bzw. einer Gruppe erkennbar ist. Allerdings werden Stcklisten mit vielen Positionsnummern unbersichtlich, vor allem, wenn eine Reihe von Wiederholgruppen an jeweils verschiedenen Stellen wiederkehrt. Dadurch ergeben sich auch Nachteile im nderungsdienst. Baukasten-Stckliste. Sie umfaßt zusammengehrende Gruppen und Teile, ohne zunchst auf ein bestimmtes Erzeugnis Bezug zu nehmen. Die Mengenangaben beziehen sich nur auf die im Kopf genannte Baugruppe. Mehrere solche Baukasten-Stcklisten mssen, gegebenenfalls mit anderen Stcklisten, zu einem Stcklistensatz eines Erzeugnisses zusammengestellt werden, z. B. entsprechend Bild 34 b. Stckliste E1 besteht aus T1 und den Stcklisten G1, G2 und G3. Diese selbstndigen Stcklisten rufen ihrerseits andere ab, z. B. G11, G31 und G32. Ihre Verwendung empfiehlt sich dort, wo bei einem grßeren Erzeugnisspektrum Baugruppen lagermßig gefhrt und als Wiederholgruppen in grßeren Stckzahlen gefertigt werden. 1.6.4 Sachnummernsysteme Als Sachnummernsysteme werden solche Systeme bezeichnet, die die Nummerung von Sachen und Sachverhalten umspannen. Dabei ist es zweckmßig, einer Einzelteil-Zeich-
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Bild 35. Verknpfen einer Identnummer mit einer Klassifikationsnummer zu einem Parallel-Nummernsystem nach [98]
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Bild 36. Prinzipieller Aufbau einer Sachnummer als Verbund-Nummer nach [98]
Bild 34 a, b. Schema einer Erzeugnisgliederung. a Gliederung; b Baukasten-Stckliste Tabelle 20. Aufbau einer Struktur-Stckliste fr Erzeugnisgliederung
nung, der Position in der dazugehrigen Stckliste, dem betreffenden Arbeitsplan und dem Werkstck selbst (Fertigungsteil, Ersatzteil, Lagerteil oder Kaufteil) zur Identifizierung dieselbe Nummer zu geben.
Sachnummern mssen eine Sache identifizieren, sie knnen sie darber hinaus auch klassifizieren. Sachnummernsysteme knnen aus Parallelnummern und Verbundnummern aufgebaut sein. Unter einer Parallelnummer wird jede weitere Identnummer fr dasselbe Nummerungsobjekt verstanden, z. B. haben ein Hersteller von Zukaufteilen und der Kunde fr das gleiche Teil oft unterschiedliche Identnummern. Man spricht auch von einem Parallelnummernsystem, wenn eine Sachnummer (Identnummer) mit einer unabhngigen Klassifikationsnummer verbunden ist, Bild 35. Der Vorteil einer solchen Parallelverschlsselung liegt in einer großen Flexibilitt und Erweiterungsmglichkeit, da beide Nummern unabhngig voneinander sind. Dieses System ist deshalb fr die Mehrzahl von Einsatzfllen anzustreben und bietet Vorteile einer leichteren Daten-Verarbeitung, wenn nur die Identnummer bentigt wird [99, 100]. Unter einer Verbundnummer wird eine Nummer verstanden, die aus mehreren Nummernteilen besteht. So zeigt Bild 36 eine Sachnummer als Beispiel, bei der die identifizierende Sachnummer aus einem klassifizierenden Nummernteil und einer Zhl-Nr. besteht. Nachteilig ist ein schnelles „Platzen“ des Nummernsystems bei erforderlichen Erweiterungen. Vorteile liegen bei der Anschaulichkeit durch den Klassifikationsteil. Eine Klassifizierung von Sachen und Sachverhalten – sei es im Rahmen einer Sachnummer, sei es mittels eines eigenstndigen, von Identnummernsystemen unabhngigen Klassifizierungssystems – ist wichtig, damit Teile wiederholt verwendet und Sachaussagen wiedergefunden werden knnen. Im allgemeinen fhrt man eine abgestufte Klassifizierung durch (Grob- und Feinklassifizierung). Zur Kennzeichnung von Teilen und Gruppen, insbesondere von Normteilen, haben sich Sachmerkmale eingefhrt, die bestimmte Eigenschaften, die sich zum Beschreiben und Unterscheiden von Gegenstnden innerhalb einer Gegenstandsgruppe eignen, kennzeichnen (DIN 4000). Grundlagen und Anwendung s. [101].
I2.1
2 Anwendung fr Maschinensysteme der Stoffverarbeitung H. Goldhahn, Dresden und J.-P. Majschak, Dresden Energie- und signalverarbeitende Systeme vgl. Kap. P–R, T, U, X und Y
2.1 Aufgabe und Einordnung Maschinen und Maschinensysteme der Stoffverarbeitung realisieren die vielfltigen Funktionen zur Herstellung von Massenbedarfsgtern, insbesondere Verbrauchsgtern und werden als Verarbeitungsmaschinen und Verarbeitungsanlagen bezeichnet. Dazu gehren Kunststoff-, Glas-, Keramik-, Papier-, Papierverarbeitungs-, Nahrungsmittel-, Pharmazeutische, Druck-, Verpackungs- und zahlreiche Sondermaschinen. Nachgeordnet dem Wareneingang bzw. der so genannten Prozesstechnik (verfahrenstechnische Anlagen zur Bereitstellung der Rohstoffe oder Vorprodukte), vollziehen Verarbeitungsmaschinen falls erforderlich die Diskretisierung, Formung und schrittweise Weiterverarbeitung zum Endprodukt fr den Verbraucher inklusive der Verpackung in mehreren Stufen bis hin zur Ladeeinheit als Schnittstelle zur nachgelagerten Logistikkette. Die Grenzen zwischen den meist form- und lageabhngigen Vorgngen der Verarbeitungstechnik, verfahrenstechnischen Prozessen und Bearbeitungsschritten hnlich denen in der Fertigungstechnik sind teilweise fließend. Verarbeitungsmaschinen weisen jedoch bestimmte charakteristische Merkmale auf: – Verarbeitung von Verarbeitungsgtern aus vorwiegend nichtmetallischen, zu einem hohen Anteil biogenen Stoffen (z. B. Lebensmittel), deren Verarbeitungsverhalten wegen komplexer, schwankender und oft unbekannter Parameter entweder gar nicht, nur ungengend oder nur mit erheblichem Aufwand analysierbar und modellierbar ist, – Verarbeitungsgut durchluft in der Regel mehrere, untereinander verkettete und wechselwirkende Verarbeitungsvorgnge in einer Maschine, – oft komplizierte Bewegungsverlufe von Verarbeitungsgut und/ oder Arbeitsorgan (Weg, Geschwindigkeit, Beschleunigung und hhere Ableitungen davon), – typischerweise hohe Ungleichfrmigkeit in Kraft- und Momentenverlufen bei gleichzeitig extrem hoher Arbeitsgeschwindigkeit (z. B. beim Fllen von Tuben mit 600
Bild 1. Teilsysteme einer Verarbeitungsmaschine
Aufgabe und Einordnung
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Stck/min, bei der Herstellung von Zigaretten mit 18 000 Stck/min oder dem Verpacken von Sßwaren mit 2400 Stck/min), – zu komplexen Anlagen zusammengeschaltete Einzelmaschinen entsprechend des umzusetzenden technologischen Gesamtverfahrens, – verschiedene Produktvarianten, die auf ein und derselben Anlage zu produzieren sind, wobei durch die Individualisierung der Massenprodukte sowohl das Spektrum an Varianten als auch die Hufigkeit der entsprechenden Auftragswechsel pro Anlage tendenziell steigt, – branchenbedingt teilweise schwierige Einsatzbedingungen wie abrasive Stube, Reinigung mit chemischen, mechanischen, fluidtechnischen und thermischen Mitteln (hufig auch kombiniert eingesetzt). Der Maschinenkonstrukteur ist in der Regel ab der Konzipierung des Verfahrens, das von der Maschine oder Anlage zu realisieren ist, verantwortlich fr Funktion, Herstellbarkeit, Zuverlssigkeit, Kosteneffizienz und Umweltvertrglichkeit in Herstellung und Betrieb der Maschine sowie fr die Maschinensicherheit. Zu dieser gehrt entsprechend gesetzlicher Forderungen auch die Sicherheit des Verbrauchers vor schdlichen Einflssen der Maschine auf das herzustellende Konsumgut. Die Stoffverarbeitungsfunktion (Verarbeitungsaufgabe) ist die zu realisierende Hauptaufgabe. Die anderen Teilsysteme wie Energiezufhrung, Steuerung und Gestell mssen dieses Ziel optimal umsetzen helfen. Die Maschine oder Anlage hat stoffliche, energetische und informationstechnische Eingangsgrßen, die zu einer stofflichen Ausgangsgrße, dem Produkt mit bestimmten Quantitts- und Qualittsanforderungen zu verarbeiten sind. Stoffliche und energetische Ausgangsgrßen, die nicht dem Produkt zugeordnet werden knnen, sind als stoffliche und energetische Verluste auf ein Minimum zu reduzieren. Informationstechnische Ausgangsgrßen, wie Signale von Sensoren und aus Betriebsdatenerfassungssystemen (BDE), werden zur Steuerung von Maschinen und Anlagen bentigt. Die gesamte Verarbeitung erfolgt unter bestimmten Umweltbedingungen (Temperatur, Luftfeuchtigkeit, Aufstellungsort), die die Eigenschaften der zu verarbeitenden Stoffe oder den Verarbeitungsprozess direkt beeinflussen. Andererseits werden durch Maschinen und Anlagen Nebenwirkungen auf die Umgebung und den Menschen erzeugt (Abflle, Lrm, Staub, Dmpfe u. a.), die minimal zu halten sind.
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werden inklusive dieses Endproduktes als Verarbeitungsgut bezeichnet. Um die große Vielfalt von Verarbeitungsgtern hinsichtlich ihres Verarbeitungsverhaltens in der Maschine systematisch erforschen, beurteilen und kennzeichnen zu knnen, wurden sie anhand fr die Verarbeitung grundlegend wichtiger Eigenschaften zu Gutgruppen zusammengefasst [2, 3]: Strang- und Fadenformgut ist durch seine große bis unendliche Lnge im Verhltnis zu Hhe und Breite des Querschnitts und seine Biegsamkeit normal zur Lngsachse schon unter Einwirkung des Eigengewichts gekennzeichnet. Das Gut muss nicht im Querschnitt homogen sein. Beispiele: Textil-, Kunststofffaden, Seil, Draht, Teig-, Zigaretten-, Keramikstrang.
F Bild 2. Schema einer Wirkpaarung
2.2 Struktur von Verarbeitungsmaschinen Die Gesamtfunktion der Verarbeitungsmaschine, die selbst ein Teilsystem einer Verarbeitungsanlage ist, wird allgemein von vier miteinander in Wechselwirkung stehenden Funktionsbereichen realisiert [1]. Diese vier Funktionsbereiche erfllen durch ihre technische Struktur und den Aufbau des Teilsystems jeweils Teilfunktionen, die auf die optimale Erfllung der Gesamtfunktion gerichtet sind (Bild 1). Im Funktionsbereich Stoff wird durch das Verarbeitungssystem die Vernderung der Zustnde des Verarbeitungsgutes vom Anfangszustand (Rohstoff/Vorprodukt) ber verschiedene Zwischenzustnde bis zum Endzustand (Produkt) realisiert. Dabei werden sowohl Eigenschaftsnderungen als auch notwendige Operationen zur Gewhrleistung des Stoffflusses durchgefhrt. Im Funktionsbereich Energie wird durch das Antriebs- oder Energiebereitstellungssystem die fr den Funktionsvollzug im Verarbeitungssystem bentigte Energie in der erforderlichen Art, Form und Menge als Funktion der Zeit bereitgestellt. Im Funktionsbereich Signal werden die aus den anderen Funktionsbereichen gewonnenen und von außen eingegebenen Informationen so verarbeitet, dass das Antriebssystem die erforderlichen Steuerungsgrßen fr die Energieeinleitung in das Verarbeitungssystem erhlt und Informationen an das Bedienpersonal, verkettete Nachbarmaschinen bzw. das bergeordnete Informationsverarbeitungssystem gegeben werden knnen. Der Funktionsbereich Raum hat die Aufgabe, die rumliche Zuordnung der Elemente der anderen Funktionsbereiche und die Ableitung von Krften und Momenten zu sichern sowie unerwnschte Stoff- (z. B. Schmutz), Energie- (z. B. Wrme) und Informationsbergnge (Sichtschutz) zwischen dem System Maschine und dessen Systemumgebung zu verhindern.
Flachformgut ist durch seine große Flchenausdehnung im Verhltnis zur Dicke gekennzeichnet und hat bei Belastung normal zur Flche eine geringe Steifigkeit, so dass es sich unter Eigengewicht bereits durchbiegt. Entsprechend seiner Lngenausdehnung wird es in blattfrmiges und bahnfrmiges Flachformgut unterteilt. Beispiele: Papier, Pappe, Folie (Kunststoff, Metall), Gewebe, Furnier, Teigbahn, Leder, Fell. Stckgut hat im Verhltnis zwischen allen drei Dimensionen keine so enormen Unterschiede wie die zuvor genannten Gutgruppen. Es ist unter Normalbedingungen formbestndig. Eine Unterscheidung in rollfhige (darunter rotationssymetrische) und nicht rollfhige Formen ist hinsichtlich der maschinellen Handhabung sinnvoll. Beispiele: Obst, Eier, Seife, Bcher u. v. a. Schttgut ist eine Dispersion aus dispersem Feststoff, dessen Einzelteilchen selbst formbestndig sind und einem sie umgebenden Gas (in der Regel Luft). Es ist riesel- und schttfhig und kann in Abhngigkeit von Teilchengrße, -gewicht, Gasanteil und ußerer Belastung das Verhalten einer Flssigkeit aufweisen. Beispiele: Zucker, Mehl, Reis, Fasern, Tabletten u. v. a. Hochviskoses pastses Gut ist durch seine hohe Viskositt und durch sein meist nicht-Newtonsches Fließverhalten gekennzeichnet und besitzt meist eine Fließgrenze, die eine ge-
2.2.1 Verarbeitungssystem Das Verarbeitungssystem realisiert durch seine Elemente und Funktionsstruktur die Verarbeitungsaufgabe. Gleiche Verarbeitungsaufgaben knnen sowohl von den angewendeten physikalischen Effekten als auch von deren konstruktiver Umsetzung unterschiedlich realisiert werden. Durch die Vielzahl zu verarbeitender Stoffe in den vielfltigsten Formen und Abmessungen sowie durch die große Zahl zu produzierender Endprodukte gibt es sehr viele differenzierte Verarbeitungsaufgaben. Fr die Herstellung eines Endproduktes werden oft mehrere Rohstoffe und Vorprodukte bentigt, z. B. gefllte Flasche bestehend aus Flasche, Fllgut, Etikett, Leim, Verschluss. Alle Rohstoffe und Vorprodukte, die in der Verarbeitungsmaschine zu einem Endprodukt zu verarbeiten sind,
Bild 3. Innermaschinelles Verfahren einer Hartkaramellen-Verpackungsmaschine
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Bild 4. Arbeitsprinzip einer Hartkaramellen-Verpackungsmaschine. AO1 Zufhrteller, AO2 Unterstempel, AO3 Oberstempel, AO4 Abzugwalzen, AO5 Messer, AO6 Unterfalter, AO7 Greifer, AO8 Drehgreifer, AO9 Auswerfer
wisse Formbestndigkeit bewirkt. Beispiele: Schokolade (warm), Glas (heiß), Keramikmasse, Teig, Druckfarbe, Leim u. v. a.
Frdern ist das Bewegen des Verarbeitungsgutes innerhalb einer Maschine zwischen verschiedenen Wirkstellen bzw. zwischen verketteten Maschinen in einer Anlage.
Flssiges Gut hat eine geringe Viskositt und berwiegend newtonsches Fließverhalten. Sinnvoll ist eine Unterscheidung hinsichtlich der Neigung zur Schaumbildung, die bei so genannten stillen Flssigkeiten deutlich geringer ist als bei Flssigkeiten, die gelste Gase enthalten. Beispiele: Wein, Bier, Milch, Waschmittel u. v. a.
Ordnen ist das Bilden von Mengen bzw. Mengenstrmen an Verarbeitungsgut mit jeweils gleichen/hnlichen Eigenschaften der Elemente (Ordnungsmerkmalen): Geometrie, Lage, Farbe, Festigkeit, Masse, Dichte u. a. Durch die Kombination der Gutvarianten mit den Vorgangsgruppen knnen die vielfltigen Funktionen in einer Maschine unabhngig von ihrer maschinentechnischen Umsetzung verallgemeinernd erfasst werden. Das erlaubt eine systematische Beschreibung, Erforschung und Optimierung sowie eine branchen- und applikationsneutrale Speicherung und Verwaltung von Wissen zu diesen Vorgngen, Voraussetzung z. B. fr branchenbergreifenden Wissenstransfer. Das kleinste Teilsystem im Funktionsbereich Stoff, das eine Zustandsnderung des Verarbeitungsgutes bewirken kann, ist die Wirkpaarung (Bild 2), die aus den Elementen Verarbeitungsgut und Arbeitsorgan besteht. Die Elemente stehen strukturell ber Relationen so miteinander in Eingriff, dass die beabsichtigte Zustandsnderung (Funktionsvollzug) von Zustand 1 nach Zustand 2 durch die dosierte Zufhrung von Energie nach einem bestimmten zeitlichen Programm erzeugt wird. Der Eingriff des Arbeitsorgans kann durch direkten Kontakt mit dem Verarbeitungsgut (Messer-Papier) oder indirekt ber ein Wirkmedium (Wasserstrahl, Luft o. .) oder eine Wirkenergie (z. B. Infrarotstrahlung, Hochfrequenzfeld o. a.) erfolgen. Die Wirkpaarung ist das letzte Glied in der Energieleitungskette und stellt die Kreuzung zwischen Energie- und Stofffluss dar, so dass bei einer Optimierung sowohl energetische als auch stoffliche Parameter zu bercksichtigen sind. Der geometrische Ort, an dem der Eingriff des Arbeitsorgans stattfindet, wird als Wirkstelle bezeichnet. Es knnen mehrere Arbeitsorgane an der gleichen Stelle aber zu einem unterschiedlichen Zeitpunkt im Eingriff sein, so dass die Zahl der Wirkpaarungen und Wirkstellen verschieden sein kann, z. B. bei einem dauerbeheizten Schweißorgan mit integriertem Trennmesser.
Gase oder Aerosole sind reine Gase oder Gasgemische, die mit Feststoff- oder Flssigkeitsteilchen in geringer Konzentration versetzt sein knnen. Beispiele: Stickstoff, Kohlendioxid, Lacknebel u. v. a. Im Verarbeitungsprozess unterliegen die Verarbeitungsgter durch die an ihnen vollzogenen Zustandsnderungen meist einer fortlaufenden Wandlung der Gutgruppen, sei es durch Form, Trenn- oder Fgeprozesse. Um die Teilfunktionen, die in einer Verarbeitungsmaschine realisiert werden, unabhngig von ihrer maschinellen Umsetzung erfassen zu knnen, ist die Zusammenfassung zu Vorgangsgruppen zweckmßig: Trennen ist das Zerlegen eines Stoffes oder Stoffgemisches unter Aufhebung von Kohsions- und/oder Adhsionskrften. Fgen ist das Zusammenbringen von zwei oder mehreren Komponenten und das Herstellen neuer Bindungskrfte (stoff-, form-, kraftschlssig). Formen ist das Herstellen eines geformten Verarbeitungsgutes aus dem ungeformten oder vorgeformten Zustand ohne wesentliche Massenderung. Die Handhabungsfunktionen dienen der Manipulation und Mengennderung der Verarbeitungsgter, verndern aber nicht deren brige Eigenschaften: Speichern ist das Herstellen eines Vorrates zum Ausgleich von unterschiedlichem Anfall und Bedarf (Eingabe-, Zwischen-, Ausgabespeicher). Dosieren ist das Herstellen bestimmter Mengen (Stckzahl, Volumen, Masse) oder definierter Mengenstrme.
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Bild 5. Schttgut-Verpackungsanlage. 1 Packstoffrolle, 2 Packstoffzufhrung, 3 Zuschnittherstellung, 4 Packstofformung (Faltdorn), 5 Mehrkopf-Abfllwaage, 6 1. Kontrollwaage mit Tendenzsteuerung, 7 Nachdosierer, 8 2. Kontrollwaage (Fertigpackung), 9 Fehlpackungsausschleusung, 10 Verschließstation, 11 Verschlußanpressung
Zur systematischen Ordnung von Wirkpaarungen kann die Bewegung des Verarbeitungsgutes durch die Wirkstelle herangezogen werden [4]: I. Klasse von Wirkpaarungen: Das Verarbeitungsgut wird zur Wirkstelle gebracht und nach Funktionsvollzug von dort – oft ber den gleichen Weg – wieder entnommen. Es bewegt sich nicht durch die Wirkstelle hindurch. Beispiele: Rhrer, Mischer, Kneter.
II. Klasse von Wirkpaarungen: Das Verarbeitungsgut bewegt sich durch die Wirkstelle hindurch (der Weg des Zu- und Abfhrens sind in der Regel nicht die gleichen), steht aber whrend des Verarbeitungsvorganges still und wird von Position zu Position bewegt (Mehrpositionsmaschinen mit mehreren Paarwirkungen). Die Stillstandszeit wird durch die notwendige Verarbeitungszeit bestimmt.
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Bild 6 a–f. Arbeitsdiagramm einer Hartkaramellen-Verpackungsanlage (Auszug). a Zufhrteller (AO1 ); b Unterstempel (AO2 ); c Oberstempel (AO3 ); d Packmittel-Zufhrung (AO4 ); e Messer (AO5 ); f Unterfalter (AO6 )
Bild 7. Teilvorgnge des Folienschweißens
III. Klasse von Wirkpaarungen: Das Verarbeitungsgut bewegt sich kontinuierlich durch die Wirkstelle, und der Funktionsvollzug erfolgt whrend der Gutbewegung, d. h. der Arbeitsorganeingriff ist auf die Bewegung des Verarbeitungsgutes abgestimmt. Durch die geringe Zu- und Abfhrzeit sowie minimale dynamische Beanspruchungen des Verarbeitungsgutes und der Maschine wird eine hohe Produktivitt erzielt. Zur Erfllung der verarbeitungstechnischen Funktion sind die fr den Funktionsvollzug erforderlichen Wirkpaarungen zu einem
innermaschinellen Verfahren zusammengeschaltet. Es werden folgende Grundschaltungsarten von Wirkpaarungen angewandt: – Reihenschaltung verschiedener Wirkpaarungen, – Reihenschaltung gleichartiger Wirkpaarungen zur Erhhung der fr den Verarbeitungsvorgang zur Verfgung stehenden Zeit (z. B. Hauptdosieren und Nachdosieren an zwei aufeinander folgenden Stationen), – Parallelschaltung gleicher Wirkpaarungen mit direkter Kopplung (mehrbahnige Anordnung),
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Bild 8. Verarbeitungstechnische Vorgaben fr das Arbeitsdiagramm
– Redundanzschaltung gleicher Wirkpaarungen (parallel), die nicht gekoppelt sind, zur Erhhung der Gesamtverfgbarkeit, Zusammenfhrung und Verzweigung des Verarbeitungsgutstromes. Das innermaschinelle Verfahren (Bild 3) ist die schematische Darstellung des Funktionsablaufes, whrend das Arbeitsprinzip einer Maschine (Bilder 4 und 5) das Zusammenwirken und die rumliche Anordnung der Arbeitsorgane prinzipiell darstellt. Fr die Modellierung und Optimierung des Verarbeitungsvorganges sind die unter dynamischen Beanspruchungsbedingungen ermittelten Eigenschaftskennwerte des Verarbeitungsgutes erforderlich, die den whrend der Verarbeitung auftretenden Beanspruchungen entsprechen. Zahlreiche Vorgnge lassen sich in Teilvorgnge zerlegen, die durch unterschiedliche physikalische Prinzipien realisiert werden knnen (Bild 7). Ihre Kombination ergibt eine Vielzahl von Ausfhrungsvarianten und Optimierungsanstzen. Die optimale Gestaltung des Verarbeitungsvorgangs ist eine grundlegende Voraussetzung fr eine hochproduktive, zuverlssige und energetisch gnstige Maschine.
2.2.2 Antriebs- und Steuerungssystem Das Antriebssystem stellt entsprechend seiner Aufgabe die fr den Verarbeitungsvorgang erforderliche Energie in der erforderlichen Art, Form und Menge als Funktion der Zeit bereit. Da dies nicht nur Antriebsenergie fr mechanische Bewegungen, sondern z. B. auch fr Arbeitsorgane, die Wrme bertragen, sein kann, wird allgemein auch vom Energiebereitstellungssystem gesprochen. Die kinematischen Vorgaben knnen Weg-, Geschwindigkeits- oder Beschleunigungsvorgaben sein, die zu einem bestimmten Zeitpunkt oder ber einen bestimmten Zeitbereich einzuhalten sind. Oft existieren diese Vorgaben auch als untere oder obere Grenzwerte (Bild 8), die durch die Belastbarkeit des Verarbeitungsgutes bestimmt sind. Weg- oder Geschwindigkeitsvorgaben ergeben sich aus dem zeitlichen und rumlichen Zusammenwirken mehrerer Arbeitsorgane oder aus der Koordinierung zwischen Verarbeitungsgut und Arbeitsorgan und sind mit unterschiedlicher Genauigkeit einzuhalten. Die Bewegungen der Arbeitsorgane bzw. deren gesteuerte Energieabgabe, abgeleitet aus dem Zusammenwirken mit dem Verarbeitungsgut, werden in ihren kinematischen und zeitlichen Anforderungen durch das Ar-
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Bild 9 a–c. Antriebsstrukturen. a Zentraler Antrieb; b peripherer (dezentraler) Antrieb mit elektromechanischen Energiewandlern; c Antrieb eines Wirkpaares mit Steuerung im elektrischen Energiefluß. Est Eingangsgrße Stoff, EE Eingangsgrße Energie, ES Eingangsgrße Signal, Ast Ausgangsgrße Stoff, AE Ausgangsgrße Energie, As Ausgangsgrße Signal, WP Wirkpaar, EU Energieumformer, EW Energiewandler, SV Signalverarbeitung, e elektrisch, m mechanisch
beitsdiagramm dargestellt (Bild 6), das eine Grundlage fr die Antriebs- und Steuerungsauslegung ist. Die kinetischen Vorgaben kennzeichnen den zeitlichen und betragsmßigen Verlauf des Energieeintrags in die Wirkpaarung. Es gibt im Wesentlichen drei charakteristische Verlaufsformen: – zeitlich konstanter Energieeintrag bei stetig angetriebenen Maschinen, z. B. Mischer, Rotationsmesser, Pumpe, Walze, – Energieeintrag mit sinoidem Verlauf bei periodisch hin und her gehenden Antrieben, z. B. Vorschubeinrichtung, Greifer, Faltorgan, – Energieeintrag mit einem sehr hohen Spitzenwert whrend einer relativ kurzen Zeit des gesamten Arbeitsspiels, z. B. Stanzmesser, Prgewerkzeug, Preßstempel. Diese Verlaufsform stellt besondere Anforderungen an das Antriebssystem, weil der sehr hohe Kraft- oder Drehmoment-Spitzenwert oft im Gegensatz zu schnellen Bewegungsphasen
mit geringem Kraft- oder Momentenbedarf stehen (hohe Ungleichfrmigkeit). Die Antriebssysteme werden nach dem Ort der Energiewandlung in zentrale und dezentrale (periphere) Antriebsstrukturen unterteilt. Beim Zentralantrieb erfolgt die Energiewandlung in mechanische Energie zentral durch einen Motor und durch mechanische Energieverzweigungen und leitungen (Welle, Riemen, Zahnrder) wird sie bis zu den Arbeitsorganen geleitet, die dadurch entsprechend dem Arbeitsdiagramm zwangslufig miteinander verbunden sind (Bild 9 a). Das im Arbeitsdiagramm festgelegte Programm wird durch Kurvenscheiben und Mechanismen, die von einer Programmwelle gesteuert werden, realisiert. Die Steuerungsinformationen außer Start, Stop und Gesamtgeschwindigkeit werden dabei vom Antriebssystem mit bertragen. Der Steuerungsaufwand ist entsprechend gering, ebenso jedoch die flexible Reaktionsmglichkeit auf vernderte Verarbeitungsbedingungen.
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Bild 10 a–d. Bauweisen. a Karussell-/Trommelbauweise; b Linienbauweise; c Wandbauweise; d Tischbauweise (Rundtisch). VG Verarbeitungsgut
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Bild 11 a–e. Maschinengestelle – Bauformen. a Kastengestell (offen und geschlossen); b Portal- oder Brckengestell; c Einwandgestell; d Doppelwandgestell; e offenes Rahmengestell. 1 Verarbeitungsraum, 2 Antriebs- und Steuerungsraum
Bild 12. Fnffarben-Bogenoffsetdruckmaschine. 1 Bogenanleger, 2 Farbwerk, 3 Druckzylinder, 4 Drucktrommel, 5 bergabetrommel, 6 Heizung, 7 Bogengreifer, 8 Lfter
Beim peripheren Antrieb erfolgt die Leitung der elektrischen Energie bis zum Energiewandler, der direkt vor dem Arbeitsorgan angeordnet ist (Bild 9 b). Periphere Antriebe haben einen geringeren mechanischen Aufwand und sind aufgrund geringerer Reibungs- und Massenkrfte insgesamt verlustrmer. Die Steuerungsinformation aus dem Signalbereich wird modernerweise ber Bussysteme direkt bis zum Energiewandler vor dem Arbeitsorgan geleitet. Bewegungssynchronisation und Kollisionsfreiheit mssen auch im Havariefall gewhrleistet sein und erfordern einen erhhten Steuerungsaufwand. Die Energieleitungskette wird vereinfacht und die Anpassung an andere Verarbeitungsbedingungen und Verarbeitungsguteigenschaften ist bei dezentralen Antrieben einfacher durchzufhren (Bild 9 c). Problematischer als beim Zentralantrieb ist jedoch der innere Energieausgleich durch Speicherung. 2.2.3 Raumsystem Der Funktionsbereich Raum hat die Aufgabe, die rumliche Zuordnung der Elemente der anderen Funktionsbereiche und die Ableitung von Krften und Momenten zu sichern sowie unerwnschte Stoff- (z. B. Schmutz), Energie- (z. B. Wrme) und Informationsbergnge (Sichtschutz) zwischen dem System Maschine und dessen Systemumgebung zu verhindern.
Entsprechend den innermaschinellen Verfahren existieren verschiedene Bauweisen, die durch die rumliche Anordnung des Stoffdurchlaufes durch die Arbeitsorgane bestimmt sind. Karussell-/Trommelbauweise mit vertikaler oder horizontaler Achse wird angewendet, wenn bei langen Verarbeitungszeiten mitlaufende Arbeitsorgane die lange Einwirkzeit sicherstellen (Bild 10 a). Linienbauweise in ein- und mehrbahniger Ausfhrung wird bei geradlinigem Verarbeitungsgutdurchlauf besonders bei Stoffzufhrung von oben eingesetzt (Bild 10 b). Wandbauweise wird in den Fllen eingesetzt, in denen eine schmale Bahn zur Verarbeitung gelangt, der Stoffdurchlauf fr den Bediener gut zugnglich und die Antriebsund Steuerungseinrichtungen vom Stofffluss getrennt angeordnet sein sollen (Bild 10 c). Tischbauweise wird besonders bei taktweise angetriebenen Maschinen mit einer geringen Anzahl von Stationen, die rumlich konzentriert sind, angewendet (Bild 10 d). Die Bauweisen bestimmen die Bauformen der Maschinengestelle (Bild 11). Das Kastengestell (Bild 11 a) wird besonders in den Fllen verwendet, in denen hohe Krfte aufgebracht werden mssen (Presse, Stanze) oder in denen ein kurzer vertikaler Stofffluss vorhanden ist (Schlauchbeutelmaschine). Das Portal- oder Brckengestell (Bild 11 b) wird eingesetzt, wenn grßere Flchen oder Bahnbreiten vom Arbeitsorgan zu berdecken sind (Brckenstanze, Querschneider u. a.). Das
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Bild 13. Struktur einer Getrnkefllanlage nach [5]
Bild 14. Verpackungsanlage. 1 Form-, Fll- und Verschließmaschine, 2 Sammelpackmaschine, 3 Palettiermaschine
Einwandgestell (Bild 11 c) herrscht besonders bei der Verarbeitung von schmalen Bahnen vor, wenn ein ungehinderter Zugang zu den Arbeitsorganen angestrebt ist und unabhngig davon die Antriebs- und Steuerungseinrichtungen zugnglich sein sollen (Blistermaschinen, Kseverpackungsmaschinen u. a.). Das Doppelwandgestell (Bild 11 d) wird besonders bei Maschinen in Linienbauweise, die Bahnen verarbeiten und bei denen eine stabile Lagerung der Arbeitsorgane (Walzen) sowie eine hohe Steifigkeit gewhrleistet werden muss, ange-
wendet (Druckmaschine, Papierverarbeitungsmaschine, Durchlaufbackofen u. a.). Beide Seitenwnde des Gestells sind durch stabile Untergestelle sehr steif miteinander verbunden (Bild 12). Das offene Rahmengestell (Bild 11 e) wird bei Maschinen in Tischbauweise bzw. bei innermaschinellen Verfahren, die sehr verzweigt sind und geringe dynamische Massenkrfte haben, angewendet. Es wird meist aus Fertigprofilen hergestellt, die mit Blech oder Plexiglas verkleidet werden.
I3 2.3 Verarbeitungsanlagen Bei hheren Produktivittsanforderungen werden die Einzelmaschinen bereits in der Projektierungsphase entsprechend dem vorgesehenen Stoffdurchlauf nach dem technologischen Verfahren zu einer komplexen Anlage zusammengeschaltet und durch eine bergeordnete Anlagensteuerung gesteuert (Bild 13). Da die Einzelmaschinen unterschiedliches Ausfallverhalten aufweisen, werden variable Strukturen, Redundan-
3 Spezielle Literatur zu F 1 Grundlagen technischer Systeme und des methodischen Vorgehens [1] Pahl, G.; Beitz, W.; Feldhusen, J.; Grote, K.-H.: Konstruktionslehre, 5. Aufl. Berlin: Springer 2003. – [2] VDIRichtlinie 2221: Methodik zum Entwickeln und Konstruieren technischer Systeme und Produkte. Dsseldorf: VDI-Verlag 1993. – [3] Holliger, H.: Morphologie – Idee und Grundlage einer interdisziplinren Methodenlehre. Kommunikation 1. Bd. 1. Quickborn: Schnelle 1970. – [4] Osborn, A. F.: Applied imagination – principles and procedures of creative thinking. New York: Scribner 1957. – [5] Hellfritz, H.: Innovation via Galeriemethode. Knigstein/Taunus: Eigenverlag 1978. – [6] Gordon, W. J. J.: Synthetics, the development of creative capacity. New York: Harper 1961. – [7] Rohrbach, B.: Kreativ nach Regeln – Methode 645, eine neue Technik zum Lsen von Problemen. Absatzwirtschaft 12 (1969) 73–75. – [8] Dalkey, N. D.; Helmer, O.: An experimental application of the Delphi method to the use of experts. Management Sci. 9 (1963) 458–467. – [9] Rodenacker, W. G.: Methodisches Konstruieren, 4. Aufl. Konstruktionsbcher, Bd. 27. Berlin: Springer 1991. – [10] Roth, K.: Konstruieren mit Konstruktionskatalogen; Bd. 1: Konstruktionslehre, Bd. 2: Konstruktionskataloge, 2. Aufl. Berlin: Springer 1994; Bd. 3: Verbindungen und Verschlsse, Lsungsfindung. Berlin: Springer 1996. – [11] Zwicky, F.: Entdecken, Erfinden, Forschen im Morphologischen Weltbild. Mnchen: Droemer-Knaur 1966, 1971. – [12] VDI-Richtlinie 2222 Bl. 2: Konstruktionsmethodik. Erstellung und Anwendung von Konstruktionskatalogen. Dsseldorf: VDI-Verlag 1982. – [13] Kiper, G.: Katalog einfachster Getriebebauformen. Berlin: Springer 1982. – [14] Altschuller, G.: Erfinden – Wege zur Lsung technischer Probleme. Hrsg. Mhrle, M. Cottbus: BTU Cottbus 1998. – [15] Linde, H; Hill, B.: Erfolgreich erfinden: widerspruchsorientierte Innovationsstrategie fr Entwickler und Konstrukteure. Darmstadt: Hoppenstedt 1993. – [16] Orloff, M: Ein Instrument fr innovatives Konstruieren: CROST. In: Klein, B. (Hrsg.): Konstruktionsmanagement. Augsburg: WEKA Fachverlag 1998. – [17] Orloff, M.: Grundlagen der klassischen TRIZ. Berlin: Springer 2002. – [18] Zangemeister, Ch.: Nutzwertanalyse in der Systemtechnik. Mnchen: Wittemannsche Buchhandlung 1970. – [19] Kesselring, F.: Bewertung von Konstruktionen, ein Mittel zur Steuerung von Konstruktionsarbeit. Dsseldorf: VDI-Verlag 1951. – [20] VDI-Richtlinie 2225: Technisch-wirtschaftliches Konstruieren. Dsseldorf: VDI-Verlag 1977, Blatt 3: 1990, Blatt 4: 1994. – [21] Breiing, A.; Knosala, R.: Bewerten technischer Systeme. Berlin: Springer 1997. – [22] Bhme, G: Fuzzy Logik – Einfhrung in die algebraischen und logischen Grundlagen. Berlin: Springer 1993. – [23] Haberfellner R.; Nagel P.; Becker M.; Bchel A.; von Massow H.: Systems Engineering, Methoden und Praxis. Zrich: Verlag Industrielle Organisation, 1992. – [24] REFA Bd. 3: Methodenlehre des Arbeitsstudiums, Kostenrechnung, Arbeitsgestaltung. Mnchen: Hanser 1971. –
Spezielle Literatur
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zen in Form von Parallelschaltung von Maschinen sowie Strspeicher eingesetzt, um einen hohen Gesamtwirkungsgrad der Anlage zu gewhrleisten. Durch Simulation dieser Prozesse knnen bereits vor der Anlagenrealisierung die optimale Struktur und die zugehrigen Auslegungsparameter bestimmt werden [6]. Dadurch lassen sich sehr komplexe Anlagen bereits in der Projektierungsphase optimieren (Bild 14).
[25] VDI-Berichte Nr. 457: Konstrukteure senken Herstellkosten – Methoden und Hilfsmittel. Dsseldorf: VDI-Verlag 1982. – [26] VDI-Richtlinie 2235: Wirtschaftliche Entscheidungen beim Konstruieren, Methoden und Hilfen. Dsseldorf: VDI-Verlag 1982. – [27] Pahl, G.; Rieg, F.: Kostenwachstumsgesetze fr Baureihen. Mnchen: Hanser 1984. – [28] Pahl, G.; Beelich, K. H.: Kostenwachstumsgesetze nach hnlichkeitsbeziehungen fr Schweißverbindungen. VDI-Berichte Nr. 457. Dsseldorf: VDI-Verlag 1982. – [29] Ehrlenspiel, K.; Kiewert, A.; Lindemann, U.: Kostenfrherkennung im Konstruktionsprozeß. VDI-Berichte Nr. 347. Dsseldorf: VDI-Verlag 1979. – [30] VDI-Richtlinien 2801 u. 2802: Wertanalyse. Dsseldorf: VDI-Verlag 1970 u. 1971. – [31] VDI: Wertanalyse. VDI-Taschenbuch T 35. Dsseldorf: VDIVerlag 1972. – [32] VDI-Berichte Nr. 293: Wertanalyse 77. Dsseldorf: VDI-Verlag 1977 (mit umfangreichem Schrifttum). – [33] Trender, L.: Entwicklungsintegrierte Kalkulation von Produktlebenszykluskosten auf Basis der ressourcenorientierten Prozeßkostenrechnung. In: wbk Forschungsberichte aus dem Institut fr Werkzeugmaschinen und Betriebstechnik der Universitt Karlsruhe. Bd. 98, Karlsruhe 2000. – [34] Blanchard, B. S.: Design and manage to life cycle cost. Portland: MA Press 1978. – [35] Niemann, J.: Life Cycle Management – Das Paradigma der ganzheitlichen Produktlebenslaufbetrachtung, In: Bullinger, H.-J., Warnecke, H.-J., Westkmper, E. (Hrsg.), Neue Organisationsformen im Unternehmen. Ein Handbuch fr das moderne Management. Berlin: Springer 2002. – [36] Westkmper, E.; Niemann, J.: Life Cycle Controlling for Manufacturing systems in webbased environments. In: CIRP u. a.: CIRP Design Seminar: Proceedings, 16–18 May, Hong Kong 2002. – [37] VDIRichtlinie 2223: Begriffe und Bezeichnungen im Konstruktionsbereich. Dsseldorf: VDI-Verlag 1969. – [38] Ehrlenspiel, K.: Integrierte Produktentwicklung – Methoden fr Prozeßorganisation, Produkterstellung und Konstruktion. Mnchen: Hanser Verlag 1995. – [39] Pahl, G.; Beitz, W.: Konstruktionslehre. 4. Aufl. Berlin: Springer 1997. – [40] Drner, D.: Gruppenverhalten im Konstruktionsprozeß. VDI-Berichte Nr. 1120, S. 27–37. Dsseldorf: VDI-Verlag 1994. – [41] Kochan, D.: Solid Freeform Manufacturing – Neue Verfahren mit vielfltigen Anwendungen und Effekten. wt-Produktion und Management 84 (1994) 325–329. – [42] Steger, W.; Geiger, M.: Schnelle Wege zu innovativen Produkten. VDI-Z. 136 (1994) Nr. 4, 38–45. – [43] Peters, U. H.; Meyna, A.: Handbuch der Sicherheitstechnik. Mnchen: Hanser 1985. – [44] Sphn, H.; Fßler, K.: Zur konstruktiven Gestaltung korrosionsbeanspruchter Apparate in der chemischen Industrie. Konstruktion 24 (1972) 249–258, 321–325. – [45] Uhlig, H. H.: Korrosion und Korrosionsschutz. Berlin: AkademieVerlag 1970. – [46] Rubo, E.: Der chemische Angriff auf Wertstoffe aus der Sicht des Konstrukteurs. Der Maschinenschaden (1966) 65–74. – [47] Kloos, K. H.: Werkstoffoberflche und Verschleißverhalten in der Fertigung und konstruktiven Anwendung. VDI-Berichte Nr. 194. Dsseldorf: VDIVerlag 1973. – [48] VDI-Richtlinie 2244: Konstruktion sicherheitsgerechter Produkte. Dsseldorf: VDI-Verlag 1985. –
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Grundlagen der Konstruktionstechnik – 3 Spezielle Literatur
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I3 en und zulssige Abweichungen fr Gesenkschmiedestcke. – DIN 8570: Allgemeintoleranzen fr Schweißkonstruktionen, Teil 1 und 3. – DIN 8580: Fertigungsverfahren; Einteilung. – DIN 8588: Fertigungsverfahren Zerteilen; Einordnung, Unterteilung, Begriffe. – DIN 8593: Fertigungsverfahren Fgen; Einordnung, Unterteilung, Begriffe. – DIN 9005: Gesenkschmiedestcke aus Magnesium-Knetlegierungen. – DIN 31 000: Sicherheitsgerechtes Gestalten technischer Erzeugnisse; Allgemeine Leitstze. – DIN 31 000/VDE 1000: Allgemeine Leitstze fr das sicherheitsgerechte Gestalten technischer Erzeugnisse. – DIN/VDE 31 000 Teil 2: Allgemeine Leitstze fr das sicherheitsgerechte Gestalten technischer Erzeugnisse, Begriffe der Sicherheitstechnik, Grundbegriffe. – DIN 31 001: Sicherheitsgerechtes Gestalten technischer Erzeugnisse. (Teilweise ersetzt durch DIN EN 292 Teil 1 u. 2.) – DIN 31 051: Instandhaltung; Begriffe. – DIN 33 400: Gestalten von Arbeitssystemen nach arbeitswissenschaftlichen Erkenntnissen; Begriffe und allgemeine Leitstze. – DIN 33 401: Stellteile; Begriffe Eignung, Gestaltungshinweise. – DIN 33 402: Krpermaße des Menschen; Begriffe. Meßverfahren. – DIN 33 403: Klima am Arbeits-
Spezielle Literatur
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platz und in der Arbeitsumgebung. – DIN 33 404: Gefahrensignale fr Arbeitssttten. – DIN 33 413: Ergonomische Gesichtspunkte fr Anzeigeeinrichtungen. – DIN 33 414: Ergonomische Gestaltung von Warten. – DIN 69 910: Wertanalyse; Begriffe, Methode (1987). zu F 2 Anwendung fr Maschinensysteme der Stoffverarbeitung [1] Heidenreich, E. u. a.: Lehrwerk Verfahrenstechnik, Band Verarbeitungstechnik. Leipzig: Deutscher Verlag fr Grundstoffindustrie 1978. – [2] Goldhahn, H.: Beitrag zur Verallgemeinerung wirkpaarungstechnischer Zusammenhnge. Diss. B, TU Dresden 1978. – [3] Majschak, J.-P.: Rechneruntersttzung fr die Suche nach verarbeitungstechnischen Prinziplsungen. Diss. A, TU Dresden 1997. – [4] Hennig, J.: Ein Beitrag zur Methodik der Verarbeitungsmaschinenlehre. Diss. B, TU Dresden 1976. – [5] Rmisch, P.: Methoden- und objekttheoretische Grundlagen zur rationelleren Projektierung von Verarbeitungsanlagen. Diss. B, TU Dresden 1989. – [6] Hennig, J.; Weiß, M.; Iltzsche, L.: Simulation des prozeßdynamischen Verhaltens von Verpackungsanlagen. Verpackungsrundschau 5 (1996) 130–133.
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Mechanische Konstruktionselemente B. Corves, Aachen; L. Deters, Magdeburg; P. Dietz, Clausthal-Zellerfeld; B.-R. Hhn, Mnchen; M. Kaßner, Braunschweig; H. Kerle, Braunschweig; H. Mertens, Berlin; H.D. Motz, Solingen; H. Peeken, Aachen; G. Poll, Hannover; J. Ruge, Mnchen; K. Thomas, Braunschweig; H. Winter, Mnchen; H. Wohlfahrt, Braunschweig; H. Wsle, Braunschweig
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Bd. 1: Grundlagen der Berechnung und Gestaltung, 4. Aufl. 1994; Bd. 2: Verbindungselemente, 3. Aufl. 1993; Bd. 3: Elastische Elemente, Achsen und Wellen, Dichtungstechnik, Reibung, Schmierung, Lagerung, 1. Aufl. 1994. Berlin: Springer. – Tochtermann, W.; Bodenstein, F.: Konstruktionselemente des Maschinenbaus, Teil 1 und 2. 9. Aufl. Berlin: Springer 1979. – VDI-Handbuch: Konstruktion. Berlin: Beuth. – Wchter, K.: Konstruktionslehre fr Maschinenbauingenieure. 2. Aufl. Berlin: VEB Verlag Technik 1989. Zeitschriften: Konstruktion, Produktentwicklung im Maschinen-, Apparate- und Gertebau (Herausgeber: Birkhofer, Feldhusen, Lindermann). Dsseldorf: Springer-VDI Verlag fr technische Zeitschriften. – antriebstechnik Mainz: Vereinigte Fachverlage. – DINMitteilungen. Berlin: Beuth. – Schweißen und Schneiden. Dsseldorf: DVS-Verlag. zu G 1.1.1 Schweißverfahren Bcher: Aus der Fachbuchreihe Schweißtechnik. Dsseldorf DVS-Verlag: – Bhme, D.; Hermann, F.-D.: Handbuch der Schweißverfahren. Teil II: Autogenverfahren – Thermisches Schneiden – Elektronenstrahl- und Laserstrahlschweißen, Reib-, Ultraschallund Diffusionsschweißen. Bd. 76/II, 1992. – Killing, R.: Handbuch der Schweißverfahren. Teil I: Lichtbogenschweißverfahren, 3. Aufl., Bd. 76/I, 1999. – Kulina, P.; Richter, R.; Ringelhan, H.; Weber, H.: Materialbearbeitung durch Laserstrahlen. Bd. 119, 1993. – Mller, P.; Wolff, L.: Handbuch des Unterpulverschweißens. Teil I: Verfahren, Einstellpraxis, Gerte, Wirtschaftlichkeit, Teil II: Schweißzustze und Schweißpulver, Teil III: Draht/Pulver-Kombinationen fr Sthle, Schweißergebnisse, Schweißparameter, Teil IV: Schweißen mit Bandelektroden. Teil V: Berechnung und Gestaltung von Schweißkonstruktionen – Schweißtechnologie – Anwendungsbeispiele. 63/I bis IV, 1983, 1983, 1978, 1976, 1979. – Neumann, A.; Schober, D.: Reibschweißen von Metallen. Bd. 107, 1991. – Schultz, H.: Elektronenstrahlschweißen. Bd. 93, 1989. – Taschenbuch DVS-Merkbltter Widerstandsschweißen, Bd. 68/III, 5. 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Dsseldorf: VDI-Verlag 1990. – Killing, R.: Kompendium der Schweißtechnik, Bd. 1: Verfahren der Schweißtechnik. Fachbuchreihe Schweißtechnik Bd. 128/I. Dsseldorf: DVS-Verlag 2002. – Matthes, K.-J.; Richter, E.: Schweißtechnik – Schweißen von metallischen Konstruktionswerkstoffen, 2. Aufl. Leipzig: Fachbuchverlag-Carl Hanser 2003. zu G 1.1.2 Schweißbarkeit der Werkstoffe Bcher: Aus der Fachbuchreihe Schweißtechnik. Dsseldorf DVS-Verlag: – Lohrmann, G. R.; Lueb, H.: Kleine Werkstoffkunde fr das Schweißen von Stahl und Eisen. Bd. 8, 8. Aufl. 1995. – Boese, U.; Werner, D.; Wirtz, H.: Das Verhalten der Sthle beim Schweißen T. I: Grundlagen, 4. Aufl. Bd. 44/I, 1995. Boese, U.: Teil II: Anwendung. Bd. 44/II, 5. Aufl. 2005. – Klock, H.; Schoer, H.: Schweißen und Lten von Aluminiumwerkstoffen. 2. Aufl., Bd. 70, 1995. – Strassburg, F. W.; Wehner, H.: Schweißen nichtrostender Sthle. Bd. 67, 3. Aufl. 2000. – DASt-Richtlinie 009. Stahlsortenauswahl fr geschweißte Stahlbauten. 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Berlin: Springer 2002. – Neumann, A.: Schweißtechnisches Handbuch fr Konstrukteure. 6. Aufl., Teil 1: Grundlagen, Tragfhigkeit, Gestaltung, 6. Aufl. Teil 2: Stahl-, Kessel- u. Rohrleitungsbau, 5. Aufl. Teil 3: Maschinen- u. Fahrzeugbau, 4. Aufl. Neumann, A.; Hobbacher, A.: Teil 4: Geschweißte Aluminiumkonstruktionen. Fachbuchreihe Schweißtechnik, Bd. 80/I bis 80/IV. Dsseldorf: DVS-Verlag 1990, 1988, 1986, 1993. – Sahmel, P.: Grundlagen der Gestaltung geschweißter Stahlkonstruktionen, 11. Aufl. Fachbuchreihe Schweißtechnik Bd. 12. Dsseldorf: DVS-Verlag 2005. – Ruge, J.: Handbuch der Schweißtechnik, Bd. III: Konstruktive Gestaltung der Bauteile. Berlin: Springer 1985 und Bd. IV: Berechnung von Schweißkonstruktionen. Berlin: Springer 1988. – Aluminium-Zentrale Dsseldorf: Aluminium-
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Mechanische Konstruktionselemente
Taschenbuch, 16. Aufl. Dsseldorf: Alu-Verlag 2002. – Wiedemann, J.: Leichtbau Bd. 1: Elemente, Bd. 2: Konstruktion. Berlin: Springer 1986, 1989. – Neumann, A.; Neuhoff, R.: Kompendium der Schweißtechnik, Bd. 4: Berechnung und Gestaltung von Schweißkonstruktionen. Fachbuchreihe Schweißtechnik Bd. 128/4. 2. Aufl. Dsseldorf: DVS-Verlag 2002. – DASt-Richtlinie 014. Empfehlungen zum Vermeiden von Terrassenbrchen in geschweißten Konstruktionen aus Baustahl. Kln: Stahlbauverlag 1981. zu G 1.2 Lten Bcher: Mller, W.: Metallische Ltwerkstoffe – Arten – Eigenschaften – Verwendung. Fachbuchreihe Schweißtechnik, Bd. 108. Dsseldorf: DVS-Verlag 1990. – Zaremba, H.: Hart- und Hochtemperaturlten. Schweißtechnische Praxis, Bd. 20. Dsseldorf: DVS-Verlag 1989. Hart- und Hochtemperaturlten und Diffusionsschweißen. DVS-Berichte Bd. 125 und 148. Dsseldorf: DVS-Verlag 1989, 1992. – Mller, W.; Mller, J.-U.: Lttechnik – Leitfaden fr die Praxis. Fachbuchreihe Schweißtechnik Bd. 127. Dsseldorf: DVS-Verlag 1995. – Lison, R.: Schweißen und Lten von Sondermetallen. Fachbuchreihe Schweißtechnik Band 118. Dsseldorf: DVS-Verlag 1996.
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Zeitschriften: Colbus, J.: Probleme der Lttechnik. Schweißen und Schneiden 6 (1954) 187–196. – Colbus, J.: Die Prfung von Loten und Ltverbindungen zum Hart- und Schweißlten. Schweißen und Schneiden 9 (1957) 110–116. – Colbus, J.: Versuche zur Deutung der Bindevorgnge. Schweißen und Schneiden 10 (1958) 50–54. – Klug, K. Th.: Untersuchungen ber die Zeitstandfestigkeit von Weichltverbindungen. Beitrag zur Bestimmung der Warmfestigkeit von Weichloten. Schweißen und Schneiden 17 (1965) 200–206. Normen und Richtlinien: DIN-DVS-Taschenbuch 196: Schweißtechnik 5 – Lten, Hartlten, Weichlten, gedruckte Schaltungen. Berlin: Beuth 2001. zu G 1.3 Kleben Bcher: Matting, A.: Metallkleben. Berlin: Springer 1969. – Habenicht, G.: Kleben, 4. Aufl. Berlin: Springer 2003. – Saechtling, H.; Woebcken, W., Herausgeber: Kunststoff-Taschenbuch, 28. Aufl. Mnchen: Hanser 2001. – Kleben von Stahl und Edelstahl-Rostfrei. Stahl-Informations-Zentrum, Merkblatt 382, Dsseldorf. – Schmitz, B. H.: Auswirkungen der Feuchtigkeit auf das Alterungs- und Langzeitverhalten von Metallklebeverbindungen. Schweißtechnische Forschungsberichte, Bd. 28. Dsseldorf: DVS-Verlag 1989. – Taschenbuch: DVS-Merkbltter und DVS-Richtlinien Kunststoffe, Schweißen und Kleben. Fachbuchreihe Schweißtechnik, 9. Aufl., Bd. 68/IV. Dsseldorf: DVS-Verlag 2001. Normen und Richtlinien: DIN E 1465: Klebstoffe – Bestimmung der Zugscherfestigkeit hochfester berlappungsklebungen. – DIN 54 451: Prfung von Metallklebstoffen und Metallklebungen. – DVS-Richtlinie 3310: Qualittsanforderungen in der Klebtechnik. zu G 3 Kupplungen und Bremsen Bcher: Peeken, H.; Troeder, C.: Elastische Kupplungen: Ausfhrungen, Eigenschaften, Berechnungen. Berlin: Springer 1986. – Hinz, R.: Verbindungselemente: Achsen, Wellen, Lager, Kupplungen, 3. Aufl. Leipzig: Fachbuchverlag 1989. – Schmelz, F.; v. Seherr-Thoss, H.-Ch.: Gelenke und Gelenkwellen: Berechnung, Gestaltung, Anwendungen, 2. Aufl. 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1 Bauteilverbindungen 1.1 Schweißen H. Wohlfahrt, K. Thomas und M. Kaßner, Braunschweig Beim Verbindungsschweißen werden die Teile durch Schweißnhte am Schweißstoß zum Schweißteil zusammengefgt. Mehrere Schweißteile ergeben die Schweißgruppe und mehrere Schweißgruppen die Schweißkonstruktion. Durch Auftragschweißen knnen verschlissene Flchen von Werkstcken neu aufgetragen, Oberflchen weniger verschleißfester Werkstoffe mit Schichten aus Verschleißwerkstoffen gepanzert (Schweißpanzern), korrosiv unbestndige Trgerwerkstoffe mit korrosionsbestndigen Werkstoffen „plattiert“ (Schweißplattieren) oder zwischen nichtartgleichen Werkstoffen kann durch den Auftragwerkstoff eine beanspruchungsgerechte Bindung erzielt werden (Puffern). Neben Metallen lassen sich auch viele Kunststoffe durch Schweißen miteinander verbinden. 1.1.1 Schweißverfahren Verbindungsmglichkeiten. Beim Metallschweißen werden die metallischen Werkstoffe verbunden: Durch Erwrmen der Stoßstellen bis in den Schmelzbereich (Schmelzschweißen) meist unter Zusetzen von artgleichem Werkstoff (Zusatzwerkstoff) mit gleichem oder nahezu gleichem Schmelzbereich wie die zu verbindenden Werkstoffe. An der Stoßstelle ist eine flssige Zone vorhanden, die nach dem Erkalten Gussgefge aufweist. Durch Erwrmen der Stoßstellen (u. U. bis zum Schmelzen) und Anwenden von Druck (Pressschweißen). Soweit an der Verbindungsstelle kein Schmelzfluß, aber große plastische Verformung eingetreten ist, wird das Gefge nach dem Erkalten in der Regel feinkrnig sein. Durch Anwenden von Druck im kalten Zustand der Werkstoffe (Kaltpressschweißen). Die Verbindung lßt sich nur durch große plastische Verformungen der oxidfreien Oberflchen an der Stoßstelle herstellen; das Gefge ist sehr stark kaltverformt. Durch Erwrmen der Schweißzone im Vakuum oder in einem Schutzgas unter Anwendung von geringem Druck ohne plastische Verformung an der Verbindungsstelle (Diffusionsschweißen). Die Temperatur an der Verbindungsstelle muß eine fr die Diffusion der Metallatome ausreichende Hhe haben. Außerdem wird dafr eine hinreichende Zeit bentigt. Wrmequellen. Gasflamme (Gasschweißen), elektrischer Lichtbogen (Lichtbogenschweißen), Joulesche Wrme im Werkstck (Widerstandsschweißen), Induktion (Induktionsschweißen), Joulesche Wrme in der flssigen Schweißschlacke (Elektro-Schlacke-Schweißen), Relativbewegung zwischen den Grenzflchen (Reibschweißen und Ultraschallschweißen), Energie hoch beschleunigter Elektronen (Elektronenstrahlschweißen), Lichtenergie extremer Fokussierung oder Bndelung (Lichtstrahl-, Laserstrahlschweißen), exotherme chemische Reaktion (aluminothermisches Schweißen), flssiger Wrmetrger (Gießschweißen) und Ofen (Feuerschweißen). Verfahren. Beim Gas- und Lichtbogenschweißen berwiegen immer noch die Handschweißverfahren, bei denen die Wrmequelle, die Gasflamme oder der elektrische Lichtbogen, durch den Schweißer von Hand gefhrt wird. Zur Erhhung der Schweißgeschwindigkeit kann der Schweißstelle der Zusatzwerkstoff von Spulen (Drahtelektrode) zugefhrt werden – teilmechanische Verfahren –, wobei wegen der Stromzufhrung zur Elektrode in unmittelbarer Nhe des Lichtbogens
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eine wesentlich hhere Stromdichte als bei der Handschweißung mit umhllter Elektrode mglich ist. Insbesondere im Behlterbau oder bei Auftragschweißungen kann auch das Fortschreiten der Wrmequelle entlang der Schweißnaht durch eine Fahrbewegung des Schweißkopfes oder durch Bewegen – Fahren oder Drehen – des Werkstcks bewirkt werden – vollmechanische Schweißverfahren. In der Massenfertigung erfolgt das Schweißen in Spann- und Haltevorrichtungen mit automatischem – u. U. rechnergesteuertem – Ablauf des Schweißvorgangs – automatisches Schweißen –, meistens mit Robotern. Die hufig anzutreffenden Verfahren sind mit ihren Merkmalen und Hauptanwendungsgebieten in Tab. 1 zusammengestellt. Es werden weit ber 200 Schweißverfahren gezhlt. Neben den bereits aufgefhrten Merkmalen der Wrmequellen und dem Grad der Mechanisierung unterscheiden sich die Verfahren in den Anwendungsmglichkeiten. Bei manchen sind nur bestimmte Schweißpositionen mglich. Fugenform und Nahtart sind ebenfalls zum Teil oder ganz vom Schweißverfahren abhngig. Daneben bestehen beim Lichtbogenschweißen Unterschiede im Einbrandverhalten, unter dem die Aufschmelztiefe der Fugenflanken unter der Einwirkung des Lichtbogens zu verstehen ist. Die Auswahl des fr die Fertigung optimalen Schweißverfahrens wird von vielen technischen und wirtschaftlichen Faktoren bestimmt, so dass sich hierfr keine allgemein gltigen Regeln aufstellen lassen. 1.1.2 Schweißbarkeit der Werkstoffe Die Schweißbarkeit metallischer Werkstoffe wird nach DIN 8528 T1 in Schweißeignung (Verbindung kann aufgrund der Werkstoffeigenschaften hergestellt werden), Schweißmglichkeit (fachgerechte Herstellbarkeit) und Schweißsicherheit (Betriebsbewhrung des Bauteils) unterteilt. Bei Wahl eines zweckmßigen Schweißverfahrens und sachgerechter Ausfhrung sind nahezu alle Stahlsorten und Nichteisenmetalle schweißbar. Schweißeignung von Stahl Werkstoffbedingte Einflsse. Sie gliedern sich wie folgt: Erschmelzungsart. Massensthle (unlegierte Sthle) und niedriglegierte Sthle werden im Sauerstoff-Aufblaskonverter, Sondersthle vorwiegend im induktiven oder Kohlelichtbogen-Elektroofen (E-Stahl) erschmolzen. Vergießungsart (Desoxidation). Seigerungszonen im Kern unberuhigt vergossener Sthle sollen beim Schweißen nicht aufgeschmolzen („angeschnitten“) werden (Bild 1), da sie Anreicherungen an Schwefel (Rotbruch), Phosphor (Kaltbruch), Stickstoff (Alterung) und Kohlenstoff (Hrtung) enthalten. Durch Beruhigen der Schmelze (Zugabe von 0,1 bis 0,3% Si oder doppeltes Beruhigen mit Silizium und Aluminium) werden die Entmischungsvorgnge beim Erstarren vermieden. Alterung (Reckalterung). Wichtigstes Kennzeichen der Alterung von Stahl ist die Abnahme der Zhigkeit durch Lagern nach Kaltverformung, d. h. bergang vom zhen zum sprden Bruch (im Kerbschlagversuch bereits nahe Raumtemperatur). Alterung steigert beim Zusammentreffen ungnstiger Umstnde die Gefahr eines Sprdbruchs. C-Gehalt: In unlegierten Sthlen ist bis zu 0,25% unter normalen Schweißbedingungen keine wesentliche Aufhrtung neben der Schweißnaht zu erwarten; sie tritt erst auf, wenn die kritische Abkhlungsgeschwindigkeit verringert wird: durch hhere Kohlenstoffgehalte allein (ber 0,25%) oder durch Kohlenstoff in Verbindung mit Legierungselementen wie Mangan, Molybdn, Chrom, Nickel u. a. Gut schweißbar sind solche legierte Stahlwerkstoffe, z. B. Mn-Sthle mit bis 4% Mn, wenn der C-Gehalt niedrig ist.
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Tabelle 1. bersicht ber die wichtigsten Schweißverfahren
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Tabelle 1 (Fortsetzung)
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Tabelle 1 (Fortsetzung)
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Mn-Gehalt: In unlegierten Sthlen wirkt Mangan bis etwa 4% gnstig (Erhhung von Festigkeit und Kerbschlagzhigkeit), daher ist es Hauptelement (bis etwa 1,5%) in hherfesten Feinkornsthlen. Bei Gehalten ber 12% (Mangan-Hartstahl) sind Sondermaßnahmen beim Schweißen (sehr schnelle Abkhlung) wegen der Bildung von e-Martensit erforderlich. In austenitischen Cr-Ni-Sthlen setzt Mangan (bis etwa 6%) die Rissneigung herab.
Si-Gehalt: Unlegierte Sthle oberhalb etwa 0,6% neigen zur Poren- und Rissbildung. In Drahtelektroden fr das MetallAktivgas-Schweißen (z. B. CO2 ) sind jedoch etwa 1,1% fr die Desoxidation des Schweißguts erforderlich. Cu-Gehalt: Liegt allgemein nur als Verunreinigung vor. Gehalte um 0,5% in witterungsbestndigen Sthlen knnen zusammen mit hheren C-Gehalten (ber etwa 0,20%) Heißrissund Versprdungsgefahr bewirken.
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tung) und zunehmender Blechdicke. Weiter wird die Sprdbruchneigung durch solche Zustze im Stahl erhht, welche die Aufhrtung oder die Alterung begnstigen oder verstrken. Die Sprdbruchneigung nimmt vom Feinkornstahl (Alberuhigt) ber den beruhigt vergossenen zum unberuhigt vergossenen Stahl zu (vgl. DIN EN 10 025). Die ausreichende Sicherheit gegen Sprdbrche in geschweißten Bauteilen lsst sich durch die Werkstoffwahl nach DASt-Richtlinie 009 erreichen. Terrassenbruchgefahr besteht bei Walzerzeugnissen, wenn diese in Dickenrichtung beansprucht werden (Fertigungsbeanspruchung, z. B. durch Schweißeigenspannungen, oder Betriebsbelastung). Ursache sind flchenfrmig ausgewalzte Sulfideinschlsse. Die DASt-Richtlinie 014 enthlt Empfehlungen zum Vermeiden von Terrassenbrchen in geschweißten Konstruktionen aus Baustahl. Bild 1 a–d. Nahtanordnungen bei Walzprofilen. a bei I-Trger Widerstandsmoment durch eingeschweißtes Stegblech vergrßert; b Schweißungen an seigerungsfreien Zonen zweier U-Profile; c Stegaussteifungen mit Aussparungen in den Walzprofilecken (unberuhigter Stahl); d Eigenspannungen in U-Profilen (+Zug, Druck)
Cr-Gehalt: Liegt in unlegierten Sthlen nur als Verunreinigung (unter 0,2%) vor. In warmfesten Sthlen (bis 5%) starke Herabsetzung der kritischen Abkhlungsgeschwindigkeit (Lufthrter), sie sind daher nur mit Vorwrmung (bis etwa 400 C) schweißbar. Ferritische und martensitische Cr-Sthle (9 bis 30% Cr) sind wegen Grobkorn- und Sigmaphasen-Bildung in und neben der Naht nur bedingt, evtl. mit austenitischen Zusatzwerkstoffen und mit Vorwrmung und Wrmenachbehandlung, schweißbar. In austenitischen Cr-Ni-Sthlen (16 bis 25% Cr) besteht bei ungnstig hohen Cr-Gehalten und nicht zweckentsprechenden Schweißbedingungen die Gefahr einer Sigmaphasen-Versprdung. Ni-Gehalt: Vorwiegend in hochfesten Feinkorn- und Vergtungssthlen (bis etwa 2%). Erfordert wegen Frderung der Durchvergtbarkeit (Martensit) genaue Abstimmung der Schweißbedingungen und Verwendung wasserstoffkontrollierter Elektroden. Kaltzhe Ni-Sthle (vorwiegend 5 bis 9%) sind ebenfalls Vergtungssthle, jedoch mit niedrigem C-Gehalt (unter 0,1%). Sie sind mit austenitischen oder hochnickelhaltigen Zusatzwerkstoffen schweißbar. In austenitischen Cr-Ni-Sthlen wirkt Ni als Austenitbildner und beeinflusst in der Regel die Schweißbarkeit nicht nachteilig. Mo-Gehalt: Ist in hherfesten Feinkornsthlen (bis 0,5%) und in warmfesten Sthlen (bis 1%) ohne direkten Einfluss auf die Schweißbarkeit. In austenitischen Cr-Ni-Sthlen ber etwa 3% besteht Versprdungsgefahr durch Frderung von Sigmaund Laves-Phase bei ungnstigen Schweißbedingungen. Ti- und Nb-Gehalt: Ist in Feinkornsthlen (bis etwa 0,3%) ohne direkten Einfluss auf die Schweißbarkeit. In austenitischen Cr-Ni-Sthlen wird Ti zur Verhinderung des Kornzerfalls (Abbinden des Kohlenstoffs zu Sonderkarbiden) zulegiert. Bei zu hohen Gehalten (ber etwa 1%) besteht die Gefahr einer Versprdung der Grundmasse.
Schweißsicherheit Sie ist bei einer Konstruktion durch die konstruktive Gestaltung (Kraftfluss, Nahtanordnung, Werkstckdicke, Kerbwirkung, Steifigkeitssprnge) und den Beanspruchungszustand (Art und Grße der Spannungen, Mehrachsigkeitsgrad, Beanspruchungsgeschwindigkeit, Temperatur, Korrosion) bedingt. Grundregeln fr Nahtanordnung. Zahl der Schweißnhte klein halten, Nhte mglichst nicht an Stellen hchster und ungnstiger Beanspruchung anordnen, Nahtkreuzungen vermeiden, bei Nahtanordnung Kraftfluss beachten, bei Walzprofilen gnstige Nahtlage vorsehen, z. B. bei eingeschweißtem Stegblech eines I-Trgers (Bild 1 a), Verschweißen von UProfilen (Bild 1 b), Stegaussteifungen (Bild 1 c) in unberuhigten Zonen vermeiden und an Profilenden schweißen. In Zug-Eigenspannungszonen (Bild 1 d) Schweißungen vermeiden. Bauteildicke. Bei dnnen Blechen besteht nach dem Schweißen ein vorwiegend zweiachsiger Eigenspannungszustand in der Blechebene (Bild 2 a, b), die Spannung in der dritten Richtung steigt mit zunehmender Blechdicke an. Dreiachsiger Zugspannungszustand bedeutet erhhte Sprdbruchgefahr, da die Zugspannung der dritten Richtung (Blechdicke) die plastische Verformung und damit den Spannungsabbau behindert. Mit zunehmender Blechdicke nimmt außerdem die Gefahr der Aufhrtung neben der Schweißnaht (Wrmeeinflusszone) in Abhngigkeit von Schweißverfahren und Schweißbedingungen zu. Bei unlegierten Sthlen wird ab etwa 25 mm Blechdicke daher Vorwrmen auf 100 bis 400 C je nach Werkstoff und Dicke und/oder Spannungsarmglhen z. B. bei 550 bis 650 C angewendet. Bei legierten Sthlen sind die Vorwrmund Wrmenachbehandlungstemperaturen in Abhngigkeit von den Legierungselementen, den zu verschweißenden Querschnitten und dem Schweißverfahren festzulegen (Werkstoffbltter der Stahlwerke). Nach den Technischen Regeln fr Dampfkessel (TRD) und den Druckbehltervorschriften (AD) ist Normalglhen oder
Al-Gehalt: Liegt in Feinkornsthlen als Desoxidations- und Denitrierungsmittel mit gleichzeitiger Wirkung auf Feinkrnigkeit vor. Bei zu hohen Gehalten (ber etwa 0,03%) wird eine Rissneigung durch Korngrenzenausscheidungen im Schweißgut und in der wrmebeeinflussten Zone begnstigt. Werkstoffbedingte Bruchgefahren. Hochbeanspruchte Schweißverbindungen sollen auf etwaige berlastung durch plastische Verformung und nicht durch verformungslosen Bruch (Sprdbruch) reagieren. Die Neigung zum Sprdbruch wchst mit fallender Temperatur, steigender Beanspruchungsgeschwindigkeit, zunehmender Mehrachsigkeit der Beanspruchung (z. B. Kerbwirkung von Anrissen, ungnstige Gestal-
Bild 2 a, b. Schweißeigenspannungen. a In Nahtrichtung (Lngsspannungen); b quer zur Nahtrichtung (Querspannungen)
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Vergten nach dem Schweißen erforderlich, wenn die geforderten Eigenschaften der Schweißverbindungen nur dadurch erzielbar sind, wenn bei Kaltverformung die Reckung der ußeren Faser 5% (Biegeradius R >10 mal Blechdicke s, Betriebstemperatur > 10 C) bzw. 2% (R > 25 s, Betriebstemperatur < 10 C) berschreitet und wenn vor oder nach dem Schweißen Warmverformung bei einer Verformungstemperatur außerhalb des Normalglh-Temperaturbereichs erfolgt ist. Spannungsarmglhen bzw. Vergten wird je nach Werkstoffzusammensetzung, Wanddicke und Bauteilform gefordert (AD-Merkblatt HP 7/1 und HP 7/2). Nach den Normen fr geschweißte Stahlbauten mit vorwiegend ruhender Belastung (DIN 18 801) darf bei Stumpfstßen in Form- und Stabsthlen unberuhigter Stahl nur fr Dicken bis hchstens 16 mm verwendet werden, anderenfalls sind die zulssigen Beanspruchungen auf die Hlfte herabzusetzen. Fr kaltverformte Bausthle ist das Schweißen im Verformungsbereich einschließlich des Bereichs der anliegenden Flchen von der Breite 5 s nur bei einem Biegeradius R ^ 10 s an allen Blechdicken und bei R ^ 3; 0 s an Blechdicken s % 24 mm, bei R ^ 2 s an Blechdicken s % 12 mm, bei R ^ 1; 5 s an Blechdicken s % 8 mm und bei R ^ 1; 0 s an Blechdicken s % 4 mm zulssig. Fertigungsbedingte Schweißsicherheit. Sie wird durch die Vorbereitung zum Schweißen (Schweißverfahren, Zusatzwerkstoff, Stoßart, Fugenform, Vorwrmung), die Ausfhrung der Arbeit (Wrmefhrung, Wrmeeinbringung, Schweißfolge) und die Nachbehandlung (Wrmebehandlung, Bearbeitung, Beizen) beeinflusst. Bei dicken Querschnitten sind Schweißverfahren mit großer Wrmezufuhr zu bevorzugen (Ausnahme: Feinkornsthle, hochfeste vergtete Bausthle, vollaustenitische Sthle, Chrom-Sthle). Die Fugenform soll so gewhlt werden, dass die Schweißgutmenge bei sicherem Aufschmelzen der Fugenflanken mglichst klein gehalten wird. Die Mehr-LagenSchweißung ist bei grßeren Schweißquerschnitten der EinLagen-Schweißung vorzuziehen, da die erstgeschweißten Lagen durch die nachfolgenden wrmebehandelt (normalgeglht) werden. Die letzte Lage besitzt wie die Ein-LagenSchweißung Gussstruktur. Die Schrumpfung der Schweißnhte bedeutet Maß- und Formnderungen des Schweißteils oder Schweißeigenspannungen durch das Zusammenziehen des Schweißguts beim Abkhlen. Diese Wirkung wird dadurch verstrkt, dass zuvor beim Erwrmen der Schweißstelle der Werkstoff wegen der Behinderung durch den umgebenden kalten Werkstoff gestaucht wurde. Die Querschrumpfung ist abhngig von Schweißverfahren, Werkstckdicke und Anzahl der Schweißlagen (Bild 3 a), die Winkelschrumpfung tritt besonders bei Nhten mit unsymmetrischen Fugenformen auf, Bild 3 b. Die Maßund Winkelnderungen sind durch Zugaben und Winkelvorgabe zu bercksichtigen. Die Lngsschrumpfung fhrt bei kleineren Werkstckdicken und besonders bei Kehlnhten zu Verkrzungen (0,1 bis 0,3 mm/m), Krmmungen, Beulungen und Verwerfungen. Die verkrmmende Wirkung wird aber auch absichtlich und kontrolliert bei Brcken- und Krankonstruktionen genutzt. Knnen verschweißte Teile der Schrumpfung nicht ungehindert folgen, so entstehen die besonders gefhrlichen „Reaktionsspannungen“, die eine rissfreie Wurzelschweißung erschweren oder unmglich machen. Richten von Konstruktionsteilen vor und nach dem Schweißen kann entweder unter Aufbringen ußerer Krfte oder durch Schrumpfwirkung erkaltender Teile (Richten mit der Flamme) erfolgen. Kaltrichten ist wegen Rissgefahr mglichst zu vermeiden. Die Schweißfolge, d. h. die Reihenfolge der Schweißarbeiten innerhalb einer Naht und im ganzen Bauteil, beeinflusst die
Bild 3 a, b. Schrumpfungen bei einem Stumpfstoß nach Malisius. a Querschrumpfung; b Winkelschrumpfung
Maß- und Formnderung wie auch die Schweißeigenspannungen. Beide knnen durch zweckentsprechendes Festlegen der einzelnen Schweißschritte in einem Schweißfolgeplan in Grenzen gehalten werden. Bei Trommeln werden z. B. erst die Lngsnhte, dann die Rundnhte geschweißt; Schweißfolge bei Lngs- und Quernhten an Platten gemß Bild 4 a. Abschnittweises Schweißen im Pilgerschrittverfahren empfiehlt sich bei Lngsnhten, Bild 4 b. Der Schwierigkeitsgrad beim Schweißen wchst in der Reihenfolge der Schweißpositionen (DIN EN ISO 6947) von Wannen- (PA), Horizontal-Vertikal (PB) ber Fall- (PG), Steig- (PF), Quer- (PC) zu berkopfposition (PE), Bild 5. Position (PG) ist nur mit bestimmten Elektroden (Fallnahtelektroden) und Schweißbedingungen (Kurzlichtbogen beim MIG/MAG-Schweißen) mglich.
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Schweißbarkeit von Gusseisen, Temperguss und Nichteisenmetallen
Bild 4 a, b. Schweißfolge. a Reihenfolge der Schweißschritte 1 bis 7 in den 6 Lngsnhten und Schweißschritte 1 bis 3 in den Quernhten I bis XIII einer Plattenwand; b Pilgerschritt-Schweißung
Bild 5. Schweißpositionen (s. Text) PA ... PG nach DIN EN ISO 6947, ( ) frhere Bezeichnungen
Muss bei Temperaturen unterhalb des Gefrierpunkts geschweißt werden, so ist der Schweißplatz auf mindestens +10 C zu erwrmen und das Werkstck vorzuwrmen (50 bis 100 C); bei Arbeiten in großer Hhe muss ein Windschutz angebracht werden. Zusatzwerkstoff. Er soll so ausgewhlt werden, dass die Festigkeitswerte (Streckgrenze, Zugfestigkeit, Dehnung und Kerbschlagzhigkeit) der Schweißverbindung mindestens die Gewhrleistungs- (Berechnungs-) oder Normwerte des Grundwerkstoffs erreichen. Ausreichende Verformungsfhigkeit des Schweißguts ist besonders dann von Bedeutung, wenn der Grundwerkstoff geringe Schweißeignung hat oder wenn aus anderen Grnden Sprdbruchgefahr besteht. In diesem Fall sind Elektroden mit wasserstoffkontrollierter basischer Umhllung und erhhtem Mn-Gehalt (1,0 bis 1,8%) oder gleichwertige Drahtelektroden zu bevorzugen. Normen: DIN EN ISO 2560: Umhllte Stabelektroden zum Lichtbogenhandschweißen von unlegierten Sthlen und Feinkornsthlen. – DIN EN 12 536: Schweißzustze – Stbe zum Gasschweißen von unlegierten und warmfesten Sthlen. – DIN EN 14 700: Schweißzustze zum Hartauftragen. – DIN EN 12 072: Schweißzustze – Drahtelektroden, Drhte und Stbe zum Lichtbogenschweißen von nichtrostenden und hitzebestndigen Sthlen. – DIN EN 756: Drahtelektroden und Draht-Pulver-Kombinationen zum Unterpulverschweißen von unlegierten Sthlen und Feinkornsthlen. DIN EN 440: Drahtelektroden und Schweißgut zum Metall-Schutzgasschweißen von unlegierten Sthlen und Feinkornsthlen. ber die Schweißeignung der einzelnen Sthle s. E 3.1.
Grauguss (frher GG-15 bis GG-35 jetzt EN-GJL-150 bis EN-GJL-350) wird vorwiegend in Reparatur- und Ausbesserungsfllen geschweißt. Bei kleineren Wanddicken empfiehlt sich die Gasschmelzschweißung, bei dickeren Querschnitten die Lichtbogen-Handschweißung mit besonders legierten Gusseisen-Schweißstben unter Anwendung eines Flussmittels bzw. von Elektroden bei teilweiser Verwendung eines Flussmittels und Vorwrmen des Werkstcks auf 600 bis 700 C (Warmschweißung). Kaltschweißungen (LichtbogenHandschweißung) mit Nickel-, Nickel-Kupfer- (Monel-) oder Nickel-Eisen-Stabelektroden werden mit einer Vorwrmung von 100 bis 200 C ausgefhrt. Das Schweißgut ist gut, die Wrmeeinflußzone meist gut (abhngig von den Schweißbedingungen) bearbeitbar, dagegen nicht bei Verwendung normaler Stahlelektroden (B-Typ) oder Stahl-Sonderelektroden (erhhter C-Gehalt) ohne Wrmenachbehandlung. Schwarzer Temperguss (z.B. EN-GJMB-350-10) und weißer Temperguss (z.B. EN-GJMW-350-10) lassen sich stets weichlten. Schweißbarkeit muß mit dem Hersteller besonders vereinbart werden. Bei EN-GJMW-360-12 (frher GTW-S 38-12) ist bis 8 mm Wanddicke dagegen stets Schweißeignung fr Konstruktionsschweißungen vorhanden (ohne Wrmenachbehandlung). Fr untergeordnete Zwecke knnen auch schwarzer Temperguss (Temperkohle ber den ganzen Querschnitt) und weißer Temperguss (entkohlte Randzone) mit normalen oder niedriglegierten Zusatzwerkstoffen geschweißt werden, wobei schwarzer Temperguss wegen des im Schweißgut zustzlich gelsten Kohlenstoffs (aufgeschmolzene Temperkohle) harte und rissgefhrdete Nhte ergibt (Vorwrmen auf 200 bis 250 C). Gusseisen mit Kugelgraphit (z.B. EN-GJS-350-10) kann mit Sonderelektroden (Ni-legiert) unter Vorwrmung (500 C) und Wrmenachbehandlung (900 bis 950 C) sowie Anlassen (700 bis 750 C) geschweißt werden. Ohne Wrmebehandlung hnliches Verhalten wie bei schwarzem Temperguss. Aluminiumknetwerkstoffe sind unlegiert nahezu mit allen Verfahren schweißbar. Kaltverfestigung wird in der wrmebeeinflussten Zone durch Kristallerholung und Rekristallisation aufgehoben. Bauteile aus Aluminiumdruckguss knnen mit verschiedenen Schmelz- und Pressschweißverfahren gefgt werden, wenn ihr Gasgehalt hinreichend niedrig ist [1]. Aushrtende Aluminiumknetlegierungen blicher Zusammensetzung als Kalt- oder Warmaushrter lassen sich grßtenteils nach fast allen Verfahren schweißen. Im Schweißgut und in der wrmebeeinflussten Zone ist keine Aushrtung vorhanden, bzw. sie wurde durch die Wrmeeinwirkung aufgehoben. AlZnMg wird im ausgehrteten Zustand geschweißt. Anschließend ergibt sich ein Festigkeitsanstieg im Nahtbereich durch Kaltaushrtung. Schweißverfahren mit schmaler Wrmeeinflusszone sind aus Festigkeitsgrnden zu bevorzugen. Bei gleichartigem Zusatzwerkstoff kann eine Wrmebehandlung nach dem Schweißen gleiche Festigkeiten wie im Grundwerkstoff ergeben. Nichtaushrtende Aluminiumknetlegierungen lassen sich in der Regel gut mit allen Verfahren schweißen. Bei Magnesium als Legierungselement treten ber 5% Mg Schwierigkeiten auf, so dass diese Legierungen fr Schweißkonstruktionen nicht eingesetzt werden. Kupfer bereitet in den sauerstoffarmen Sorten keine Schwierigkeiten. Die Elektrotechnik verwendet aber viel sauerstoffhaltiges Kupfer, das beim Gasschweißen schumt. Mit Schutzgas-Schweißverfahren und u. U. besonders legierten Zusatzwerkstoffen lassen sich sowohl fr die Festigkeit als auch fr die Leitfhigkeit ausreichende Ergebnisse erzielen.
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Kupferlegierungen wie CuZn (Messing), CuSn (Bronze) und CuSnZn (Rotguß) lassen sich bei ausreichender Erfahrung zufriedenstellend schweißen. Aus dem Messing dampft bei Lichtbogen-Schweißverfahren jedoch Zink aus, so dass die Schweißnaht kupferreicher wird; bei verschiedenen Bronzen knnen Entmischungsvorgnge eintreten.
Schneidrichtung) oder Kohlelichtbogen-Brennfugen (durch Kohlelichtbogen geschmolzener Werkstoff wird mittels Pressluft aus der Fuge geschleudert) erfolgen. Die Anwendbarkeit dieser Verfahren richtet sich nach Werkstoff, Form der Naht (gerade, gekrmmt), konstruktiven Gegebenheiten und Zugnglichkeit.
Nickel und Nickellegierungen sind gut schweißbar (Ausnahme: Nickel-Eisen-Legierungen). Die hohe Gasaufnahme (Sauerstoff, Wasserstoff) erfordert ebenso wie die Neigung zur Grobkrnigkeit besondere Maßnahmen beim Schweißen (geringe Wrmezufuhr, Schutzgas) und bei den Zusatzwerkstoffen (desoxidierende Bestandteile). Sauberkeit (Fettfreiheit) der Fgebereiche ist erforderlich. Lichtbogen-Schweißverfahren sind zu bevorzugen.
Stumpfstoß. I-Naht: Einfachste Nahtart, fr hhere Belastung ist im allgemeinen ein Nachschweißen der Naht auf der Wurzelseite nach Ausfugen erforderlich.
Schweißzusatzwerkstoffe. Es gilt stets der Grundsatz der artgleichen Schweißung, von dem nur in begrndeten Ausnahmefllen oder wenn eine artgleiche Schweißung schweißtechnisch nicht mglich ist, abgewichen werden sollte. Normen. DIN EN ISO 18 273: Schweißzustze – Massivdrhte und -stbe zum Schmelzschweißen von Aluminium und Aluminiumlegierungen. – DIN EN 14 640: Schweißzustze – Massivdrhte und -Stbe zum Schmelzschweißen von Kupfer und Kupferlegierungen. – DIN EN ISO 14 172: Schweißzustze – Umhllte Stabelektroden zum Lichtbogenhandschweißen von Nickel und Nickellegierungen. – DIN EN ISO 18 274: Schweißzustze – Massivdrhte, -bnder und -stbe zum Schmelzschweißen von Nickel und Nickellegierungen. – DIN EN ISO 1071: Schweißzustze – Umhllte Stabelektroden, Drhte, Stbe und Flldrahtelektroden zum Schmelzschweißen von Gusseisen. 1.1.3 Stoß- und Nahtarten Die Stoßart ergibt sich aus der konstruktiven Anordnung der zu verschweißenden Teile. Sie ist mitbestimmend fr die Nahtart. Normen geben Richtlinien fr die Fugenformen in Abhngigkeit vom Schweißverfahren hinsichtlich Werkstckdickenbereich, ffnungswinkel, Stegabstand, Steg- und Flankenhhe. Normen. DIN EN ISO 9692 T 1 bis T 4: Schweißen und verwandte Prozesse – Empfehlungen zur Schweißnahtvorbereitung – T 1: Lichtbogenhandschweißen, Schutzgasschweißen, Gasschweißen, WIG-Schweißen und Strahlschweißen von Sthlen. – T 2: Schweißnahtvorbereitung – Unterpulverschweißen von Stahl. – T 3: Empfehlungen fr Fugenformen – Metall-Inertgasschweißen und Wolfram-Inertgasschweißen von Aluminium und Aluminiumlegierungen. – T 4: Empfehlungen zur Schweißnahtvorbereitung – plattierte Sthle. – DIN 8552 T 3: Schweißnahtvorbereitung, Fugenformen an Kupfer und Kupferlegierungen, Gasschmelzschweißen und Schutzgasschweißen. Fugenvorbereitung. Durch mechanische Trennverfahren und vor allem Brennschneiden (s. G 1.1.6). Mit neuzeitlichen Dsen lassen sich an unlegierten Sthlen, z. B. bei 20 mm Blechdicke. Schneidgeschwindigkeiten von 550 mm/min erreichen. Fr einwandfreie Schnittkanten ist eine maschinelle Fhrung des Brenners erforderlich. Nicht brennschneidbare Werkstoffe (z. B. Cr-Ni-Sthle, Kupfer, Nickel, Aluminium) schneidet man mit dem Plasma-Lichtbogen. Bei unlegierten und niedriglegierten Sthlen wird das Plasmaschneiden auch ohne Nachbearbeitung angewendet. Unlegierte Stahlbleche bis 12 mm Dicke lassen sich sehr wirtschaftlich mit dem Laser schneiden. Das Ausfugen der Wurzel fr die wurzelseitige Gegenschweißung kann durch Meißeln (Presslufthmmer mit Formmeißeln), Schleifen (Handschleifmaschinen), Hobeln, autogenes Brennfugen (Sonderbrenner hnlich dem beim Brennschneiden verwendeten, jedoch mit angenhert tangentialer
V-Naht (Bild 3 u. 6 a, e, d, g): Zum Herabsetzen der Winkelschrumpfung muß der ffnungswinkel klein ( 60°) gehalten werden. Kleinster ffnungswinkel fr noch einwandfreie Wurzelschweißung > 45°. Bei teil- und vollmechanischen Schweißverfahren sind auch kleinere ffnungswinkel mglich. Doppel-V-Naht (X-Naht) (Bild 6 c): Anwendung bei grßeren Blechdicken als V-Naht, da bei gleichem ffnungswinkel nur die halbe Schweißgutmenge bentigt wird. Winkelschrumpfung kann weitgehend vermieden werden, wenn Lagen abwechselnd von beiden Seiten eingebracht werden. Die Wurzel soll (in Abhngigkeit vom Schweißverfahren) vor dem Schweißen der Gegenlage ausgefugt werden. Weitere Nahtarten: Brdelnaht, Steilflankennaht, Y-Naht, U(Tulpen-)Naht und Doppel-U-Naht. Stumpfstoß bei Werkstcken ungleicher Dicke (Bild 6). Querschnitt mglichst in Kraftrichtung symmetrisch anordnen (Bild 6 c, f), bei Dickenunterschieden unter s1 s2 ¼ 10 mm und vorwiegend ruhender Beanspruchung kann auf Angleichung verzichtet werden, Bild 6 a, b, sonst abschrgen, Bild 6 d. Bei schwingender Beanspruchung schon oberhalb s1 s2 ¼ 3 mm anschrgen (Neigung 1 : 4 bis 1 : 5), um Steifigkeitssprung herabzusetzen, Bild 6 e, f. Bei hchster Beanspruchung dickeres Blech auf einer Lnge h ^ 2 s2 abarbeiten, Bild 6 g. berlappstoß (Bild 7). Der Krfteverlauf in einer Kehlnaht ist bei einer Hohlkehlnaht (Bild 7 c) gnstiger als bei der Flachnaht (Bild 7 b); die Wlbnaht (Bild 7 a) ist am ungnstigsten. Allgemein ist bei schwingender Beanspruchung jede Kraftumlenkung nachteilig. Die rechnerische Nahtdicke a ergibt sich aus der Hhe des eingeschriebenen gleichschenkligen Dreiecks. Sie soll nicht strker als rechnerisch erforderlich, hchstens jedoch mit a=0,7 s ausgefhrt werden. Bei Stirnkehlnhten schreibt der Stahlbau im Fall vorwiegend ruhender Beanspruchung eine Kehlnahtdicke von mindestens a=0,5 s und Ausfhrung mit h : b=1 : 1 oder flacher vor, Bild 7 d. Bei schwingender Beanspruchung (Eisenbahnbr-
Bild 6 a–g. Ausfhrungsformen von Stumpfstßen bei ungleichen Querschnitten. a–d fr vorwiegend ruhende; e–g fr schwingende Beanspruchung
I1.1
Schweißen
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spruchung angewendet. Es ist t ¼ s1 þ 2h=3 mit ungleichschenkliger Kehlnaht. Einbrandkerben und unverschweißte Wurzelspalte mssen besonders bei schwingender Beanspruchung vermieden oder ausgeschliffen werden. Kreuzstoß (Bild 10). Nahtarten wie beim T-Stoß, jedoch muss bei Zugbeanspruchung an den angeschweißten Stegen das mittlere Querblech auf Doppelungen (z. B. mittels Ultraschall) untersucht werden und garantierte Querzugeignung haben (DASt 014-Empfehlungen zum Vermeiden von Terrassenbrchen in geschweißten Konstruktionen aus Stahl. Kln: Stahlbau-Verlag). Bild 7 a–d. Nahtformen und Kraftfluss. a Wlb-; b Flach-; c Hohlkehl-; d unsymmetrische Stirnkehlnaht
ckenbau) soll g % 25 und die Kehlnahtdicke a0 ¼ 0; 5 s betragen. Parallelstoß (Bild 8 a). Wegen entfallender Fugenvorbereitung sind mglichst Kehlnhte anzuwenden. Zum Vermeiden der Kantenanschmelzung wird als berstand g ^ 1;4 a þ3 mm empfohlen. Bei Walzprofilen richtet sich die Kehlnahtdicke a % 0;7t nach der Dicke t des dnnsten Teils, Bild 8 b. Die Nhte sollen nicht dicker und nicht lnger als rechnerisch erforderlich ausgefhrt werden. Als Kehlnahtdicke sind in DIN 18 800 T1 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi mindestens 2 mm bzw. max s 0;5 vorgeschrieben, Kehlnahtlnge 150a. Außerdem wendet man im Maschinenbau (nicht Brcken- oder Stahlhochbau) Loch- oder Schlitzschweißungen an, Bild 8 c, d. Fr die Dicke des oberen Blechs soll s 15 mm eingehalten werden, fr die Abmessungen des Schlitzes werden b ^ 2;5 s (mindestens 25 mm) und l ^ 3 b (Behlterbau) oder l ^ 2 b (Maschinenbau) empfohlen. Das Ausfllen des Schlitzes mit Schweißgut unterbleibt wegen dadurch entstehender großer Schweißeigenspannungen; bei Korrosionsgefahr wird der Schlitz z. B. mit dauerelastischem Kunststoff ausgefllt. T-Stoß (Bild 9). Die einfachste Nahtart ist die Kehlnaht. Sie eignet sich besonders zum bertragen von Schubkrften. Die einseitige Kehlnaht (Bild 9 a, b) ist nur dann zu verwenden, wenn kleine Krfte auftreten. Bei der beidseitigen Kehlnaht, die mit einem Verfahren mit Tiefeinbrandwirkung (z. B. vollmechanisches MSG- oder UP-Schweißen) ausgefhrt ist, kann der Einbrand e (Bild 9 c) mit in die Berechnung eingesetzt werden (DIN 18 800 T 1). Die Bindungslcke mit Kerbwirkung an der Stoßstelle (Bild 9 d) entfllt, wenn das Profil hnlich Bild 10 durch Doppel-HV-(K-)Naht mit beidseitiger Kehlnahtabdeckung angeschlossen wird. Diese Nahtform wird fr hchste vorwiegend ruhende und schwingende Bean-
Schrgstoß (Bild 11). Nahtarten wie bei T-Stoß. Die Gte der Schweißnaht ist vom Winkel g abhngig. Es kann ohne Fugenvorbereitung geschweißt werden, wenn keine großen Krfte zu bertragen sind. Kehlnhte lassen sich nur einwandfrei ausfhren, wenn bei rechtwinkliger Stirnflche b 2 mm und bei beidseitiger Schweißung g ^ 60° ist. Eine Ausfhrung nach Bild 11 b ist entweder zu vermeiden oder die Stirnflche des schrg aufgesetzten Blechs muss bearbeitet werden (z. B. 60°-Abschrgung herstellen). Eckstoß (Bild 12 a). Der Eckstoß ist ausfhrungsmßig ein T-Stoß. Allgemein gilt, dass an Stellen mit Kraftumlenkung nicht geschweißt werden soll. Bei Druckbehltern wird daher die Schweißnaht außerhalb der Krmmung angeordnet, Bild 12 b. Der Mindestabstand der Schweißnaht von der Krmmung soll f ^ 5 s1 betragen. Beim Schweißen in kaltverformten Bereichen sind die Angaben im Abschnitt Schweißsicherheit zu beachten. Bei Abweichungen von den dort angegebenen Maßen ist ein Mindestabstand f (Bild 12 b) einzuhalten oder das kaltverformte Teil normalzuglhen. Mehrfachstoß (Bild 13). Wegen der unsicheren Erfassung der unteren Bleche (Einbrand) beim Schweißen von einer Seite ist diese Stoßart nur bei sorgfltiger Herstellungsmg-
Bild 9 a–d. Kehlnhte am T-Stoß. a Einseitige Naht; b Bindebild und Kraftfluss; c Doppelnaht; d Bindebild und Kraftfluss
Bild 10. DHV-(K-)Naht mit Doppel-Kehlnaht am Kreuzstoß
Bild 8 a–d. Blechverbindungen. a Parallelstoß; b Anschluss eines Walzprofils an ein Blech; c Lochschweißung; d Schlitzschweißung
Bild 11 a, b. Kehlnhte am Schrgstoß. a Ohne Kantenvorbereitung; b mit Kantenvorbereitung
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Mechanische Konstruktionselemente – 1 Bauteilverbindungen
Bild 12 a, b. Konstruktive Ecken. a Eckstoß; b Eckenausbildung bei vorverformten Teilen, z. B. Kesselbden
lichkeit oder in festigkeitsmßig untergeordneten Fllen anzuwenden, bei beiderseitiger Zugnglichkeit muss die Wurzel ausgefugt und gegengeschweißt werden. 1.1.4 Darstellung der Schweißnhte
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Symbole und Darstellung: DIN EN 22 553. Nahtarten. Sie knnen symbolhaft (Bild 14 a, c) oder erluternd (Bild 14 b, d) dargestellt werden. Die symbolhafte Darstellung ist zu bevorzugen. Die Stellung des Symbols zur Bezugslinie kennzeichnet die Lage der Naht am Stoß. Anhang G 1 Tab. 1 enthlt Grund- und Zusatzsymbole sowie erluternde Nahtdarstellungen. Schweißverfahren. Begriffe und Verfahrenskennzahlen nach DIN ISO 857 T1 und DIN EN ISO 4063. Die in frher gltigen Normen enthaltenen Abkrzungen sind weit verbreitet und werden hier nach der Verfahrenskennzahl eingeklammert aufgefhrt: Gasschweißen 3 (G) – Lichtbogenhandschweißen 111 (E), Unterpulverschweißen 12 (UP), Wolfram-InertgasSchweißen 141 (WIG), Metall-Inertgas-Schweißen 131 (MIG), Metall-Aktivgas-Schweißen 135 (MAG). Man unterscheidet zustzlich zwischen dem Handschweißen, dem teilmechanischen, vollmechanischen und automatischen Schweißen. Gte der Schweißverbindung. Nach Aufwand in Fertigung und Prfung werden in DIN EN ISO 5817 (Schmelzschweißverbindungen an Stahl, Nickel, Titan und deren Legierungen (ohne Strahlschweißen), Bewertungsgruppen von Unregelmßigkeiten) folgende Bewertungsgruppen unterschieden: Stumpfnhte und Kehlnhte: D (niedrig), C (mittel), B (hoch).
Die zu whlenden Bewertungsgruppen sind vom Konstrukteur mit Untersttzung der Fertigungsabteilungen, der Qualittsstellen, gegebenenfalls mit Aufsichtsbehrden und sonstigen Gremien festzulegen. Sie sind abhngig von der Belastungsart (vorwiegend ruhend, schwingend), den Umgebungseinflssen (chem. Angriffe, Temperatur) und zustzlichen Anforderungen (z. B. Dichtheit, Sicherheitsanforderungen). Zu gewhrleisten sind sie durch: Schweißeignung des Werkstoffs fr Verfahren und Anwendungszweck; fachgerechte und berwachte Vorbereitung; Auswahl des Schweißverfahrens nach Werkstoff, Werkstckdicke und Beanspruchung der Schweißverbindung; auf den Werkstoff abgestimmten, geprften und zugelassenen Zusatzwerkstoff; geprfte und bei der Arbeit durch Schweißaufsichtspersonal berwachte Schweißer; Nachweis einwandfreier Ausfhrung der Schweißarbeiten (z. B. Durchstrahlung); Sonderanforderungen (z. B. Vakuumdichtigkeit, allseitiges Schleifen der Nhte). Schweißposition. Kurzbezeichnung s. Bild 5. Beispiele: Bild 15 a: V-U-Naht, V-Naht hergestellt mit Metall-Aktivgas-Schweißen (135), U-Naht hergestellt mit UP-Schweißen (12), geforderte Bewertungsgruppe C, Wannenposition PA. Bild 15 b: Unterbrochene Kehlnaht mit Kehlnahtdicke a, Vormaß u, Zwischenraum e, Lnge l und Anzahl n der Einzelnhte, hergestellt durch Lichtbogenhandschweißen (111), geforderte Bewertungsgruppe C, HorizontalVertikalposition PB.
Nach DIN EN ISO 10 042 lassen sich Lichtbogenschweißverbindungen aus Aluminium und Aluminiumlegierungen bewerten. Fr Elektronenstahl- und Laserschweißverbindungen aus Sthlen gilt T1, fr strahlgeschweißte Verbindungen aus Aluminium und Aluminiumlegierungen T 2 der DIN EN ISO 13 919. 1.1.5 Festigkeit von Schweißverbindungen Tragfhigkeit Sie ist bei Schweißverbindungen abhngig von den Eigenschaften des Grundwerkstoffs, der wrmebeeinflussten bergangszone und des Schweißguts, der Beanspruchungsart (Zug, Druck, Schub, statische oder schwingende Beanspruchung), der Nahtform, Nahtanordnung und Nahtbearbeitung, dem Zusammenwirken der Betriebsspannungen mit den Schweißeigenspannungen (insbesondere bei Stabilittsfllen, unter bestimmten Voraussetzungen auch bei schwingender Beanspruchung) und der Nahtgte. Hchste Anforderungen an die Gestaltung und die Ausfhrung sind bei schwingender Beanspruchung zu stellen.
Bild 13. Mehrfachstoß
Bild 14 a–d. Darstellungsformen. a Stumpfstoß symbolhaft; b Stumpfstoß erluternd; c Doppelkehlnaht symbolhaft; d Doppelkehlnaht erluternd
Bild 15 a, b. Zeichnerische Darstellung. a Stumpfnaht (V-U-Naht) mit zustzlichen Fertigungsangaben; b unterbrochene Kehlnaht mit Vormaß u und zustzlichen Fertigungsangaben
I1.1 Vorwiegend ruhende Belastung. Bei vorwiegend ruhender Belastung einer senkrecht zur Zugrichtung gelegenen Stumpfnaht liegen die plastische Verformung und der Bruch in der Regel neben der Schweißnaht, bei Belastung parallel zur Schweißnaht haben Grundwerkstoff und Schweißgut gleiche Verformung, was bei Gefgearten mit niedriger Zhigkeit (z. B. Martensit in der wrmebeeinflussten Zone) zu Rissen und Brchen in dieser Zone fhren kann. Schwingende Belastung. Bei dieser tritt der Schwingbruch auch bei allseitig bearbeiteten Proben am hufigsten im bergangsbereich von Grundwerkstoff und Schweißnaht ein. Die Dauerfestigkeiten geschweißter Konstruktionsteile sind niedriger als die Dauerfestigkeit des Grundwerkstoffs, bei unbearbeiteten Schweißnhten niedriger als bei bearbeiteten. Fr die meisten Werkstoffe, Nahtformen und Nahtanordnungen liegen Dauerfestigkeitsschaubilder vor (s. E 1.3). Darin sind nicht bercksichtigt: Statische Vorlasten durch Eigenspannungen, die die Mittelspannungen je nach den Vorzeichen erhhen oder erniedrigen. Im Normalfall werden diese Eigenspannungen im Betrieb jedoch im Verlauf der vernderlichen Beanspruchung abgebaut [2]. Der Grßeneinfluß. Zeitweilige berlastungen sind ohne Einfluß, wenn gewisse Grenzwerte der Schwingspielzahl und der Spannung (Schadenslinie) nicht berschritten werden. Kleine Einschlsse in der Naht (rundliche Poren oder Schlacken) setzen die Dauerfestigkeit unbearbeiteter Schweißnhte nicht oder nur unwesentlich herab. Risse und Oberflchenfehler, wie z. B. Einbrandkerben, Endkrater, unsaubere Ansatzstellen und vom Znden des Lichtbogens neben der Naht herrhrende Zndstellen, knnen dagegen Ausgangspunkte fr den Schwingbruch sein und setzen somit die Dauerfestigkeit herab. Werkstofffestigkeiten bei schwingender Beanspruchung findet man in DIN 15 018 T1, DIN 4132, DIN EN 12 999, DIN CEN/TS 13 001 T 3–1, RIL 804, DIN V EN V 1993 T1.1 Eurocode 3 fr Sthle und fr Aluminiumlegierungen in DIN V EN V 1999–2 Eurocode 9, der britischen Norm BS 8118 Part I sowie in Neumann/Hobbacher Teil 4 (s. allg. Literatur zu G 1.1.5). Den Werkstofffestigkeiten muss die auftretende Beanspruchung gegenbergestellt werden, um die Tragfhigkeit bzw. Tragsicherheit zu ermitteln. Berechnung Bei den in Vorschriften, Regelwerken oder Richtlinien enthaltenen Vorgehensweisen zur Festigkeitsberechnung von schmelzgeschweißten Verbindungen und zur Bemessung von Schweißnhten (Anh. G 1 Tab. 2) wird zwischen dem Nennspannungskonzept und rtlichen Konzepten unterschieden. Fr vorwiegend ruhend beanspruchte Schweißverbindungen erfolgt im allgemeinen der Festigkeitsnachweis mit Nenn-
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spannungen, wobei dafr zulssige Spannungen oder Grenzzustnde mit unterschiedlichen Teilsicherheitsbeiwerten fr die Beanspruchungen sowie fr die Beanspruchbarkeiten heranzuziehen sind. Die Bemessung nach Grenzzustnden und mit Teilsicherheitsbeiwerten nach DIN 18 800 T 1 Ausgabe 1990 ist fr den Stahlbau vorgeschrieben. Bei vorwiegend ruhender Beanspruchung kann nach [3] der Festigkeitsnachweis von geschweißten Bauteilen auch auf der Grundlage von rtlichen Spannungen vorgenommen werden, die als Strukturspannungen auftreten [4–8]. Fr schwingend beanspruchte Verbindungen stehen fr den Nachweis der Ermdungsfestigkeit (Dauerschwing- und Betriebsfestigkeit) neben dem vor allem in Regelwerken aufgefhrten Nennspannungskonzept folgende lokale Berechnungskonzepte zur Verfgung, die in neueren Normen z. B. [9], in Richtlinien [10–12] und in Empfehlungen zur Schwingfestigkeitsbemessung [6] enthalten sind. Es sind dies das Strukturspannungskonzept, das Kerbspannungskonzept (Konzept der rtlich elastischen Spannungen), das Kerbdehnungskonzept (rtliche Konzept) und bruchmechanische Konzepte. Die lokalen Beanspruchungen kann man mit der Methode der Finiten Elemente und ausreichend feiner Elementierung des Verbindungsbereiches ermitteln. Die Anwendung und die Einsatzmglichkeiten dieser Konzepte sind in [4, 6, 10–13] angegeben, die auch Angaben fr die Abschtzung der Lebensdauer nach verschiedenen Schadensakkumulationshypothesen beim Betriebsfestigkeitsnachweis enthalten. Bruchmechanische Anstze verwendet man außerdem zum Abschtzen der Sprdbruchsicherheit und der Tragfhigkeit von Schweißverbindungen mit Unregelmßigkeiten [11, 14]. Nach dem Nennspannungskonzept mit zulssigen Spannungen erfolgt die Berechnung von Schweißverbindungen in nachstehender Reihenfolge: Ermitteln der angreifenden Belastungen. Fr Bauteile, die gesetzlichen oder vom Auftraggeber aufgestellten Vorschriften unterliegen, sind die darin enthaltenen Angaben fr die Festlegung zu den Lastannahmen, Stoß- und Sicherheitsbeiwerten anzuwenden, Anh. G 1 Tab. 2. In allen anderen Fllen knnen diese Vorschriften als Anhaltspunkte dienen. Unsicherheiten bei der Kraftermittlung werden durch entsprechendes Festlegen der zulssigen Spannung oder Wahl geeigneter Sicherheitsfaktoren bercksichtigt. Berechnen der Nennspannungen in den Schweißnhten und Anschlußquerschnitten. Die Nennspannungen werden aus den Belastungen nach den Regeln der Festigkeitslehre (s. C bzw. www.dubbel.de) berechnet. Zum Teil sind die anzuwendenden Gleichungen in Vorschriften festgelegt, Anh. G 1 Tab. 2. Bild 16 a enthlt die Bezeichnungen fr die Normalund Schubspannungen fr das Beispiel der Kehlnaht. Die in Stumpf- und Kehlnhten auftretenden Schnittgrßen sind Bild 16 b und Bild 16 c zu entnehmen.
Bild 16 a–c. Spannungen in Schweißnhten und Schnittgrßen an Schweißverbindungen sowie ihre Kennzeichnung. a Kehlnaht; b Stumpfstoß (VNaht); c T-Stoß
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Mechanische Konstruktionselemente – 1 Bauteilverbindungen
Im Bauteil und in dessen Schweißnhten treten hufig mehrere Spannungen gleichzeitig auf, aus denen man einen Vergleichswert sv bildet. Bei vorwiegend ruhender Beanspruchung darf der Vergleichswert nicht grßer als zul s sein. Liegt schwingende Beanspruchung vor, findet der Vergleich mit der zulssigen Spannungsschwingbreite der Zeitfestigkeit bzw. der Dauerfestigkeit statt. Bei der Rechnung ist jeweils zu smax das zugehrige t und zu tmax das zugehrige s zu whlen. Außerdem ist getrennt hiervon nachzuweisen, dass die Schubspannung t allein den zulssigen Schubspannungswert nicht bersteigt. Bei der Berechnung von Stumpfstßen wird als Nahtdicke stets die Blechdicke s des dnneren Blechs eingesetzt (Bild 6). Die maßgebende Nahtlnge ist l=b 2 a, wenn die Naht zwei Endkrater hat. Bei Verwendung von Vorsatzstcken (Bild 17) oder kraterfreier Ausfhrung gilt l=b. Bei Kehlnhten (Bild 16 a) ergibt sich die Kehlnahtdicke a aus der Hhe des eingeschriebenen gleichschenkligen Dreiecks. Die Spannung wird fr den in die Anschlussebene geklappten Querschnitt mit der Dicke a berechnet. Beim Schrgstoß drfen Kehlnhte mit kleineren ffnungswinkeln als g ¼ 60 nicht als tragend in die Berechnung eingesetzt werden (Ausnahme: Das Schweißverfahren gewhrleistet das sichere Erfassen des Wurzelpunkts). Bei zylindrischen Kesselschssen, Trommeln und Sammlern wird die notwendige Blechdicke nach der Kesselformel berechnet (s. K 2.2), wenn Da =Di % 1;2 (AD) bzw. 1,7 (TRD) eingehalten wird. Bei Ankern, Ankerrohren und Stehbolzen muß der Abscherquerschnitt der Schweißnhte mindestens 125% des Bolzen- und Ankerquerschnitts betragen. Die Anker sind auf beiden Seiten der zu verankernden Wandungen zu verschweißen. Festlegen der zulssigen Spannungen. Vorwiegend ruhende Beanspruchung. Fr den nicht geregelten Bereich des Maschinenbaus knnen Werte fr Sthle der DIN 15 018 T1 und T3 sowie der FKM-Richtlinie entnommen werden, Anh. G 1 Tab. 2. Bauteile aus Aluminiumlegierungen kann man nach DIN 4113 T1 bemessen. Fr den Kessel- und Rohrleitungsbau sind die Vorschriften und Merkbltter der Vereinigung der Technischen berwachungsvereine maßgebend. Der bliche Schweißfaktor (Schweißnahtwertigkeit) u ¼ 0;8 kann durch zustzliche Schweißer- und Arbeitsprfungen bis auf u ¼ 1;0 erhht werden. Im Druckbehlterbau (AD) ist u ¼ 1;0 blich, bei verringertem Prfaufwand wird auf 0,85 abgemindert. Vergleich der Nennspannungen mit den zulssigen Spannungen. Vorwiegend ruhende Beanspruchung vorh. sw % zul sw , vorh. tw % zul tw oder S ¼ Re =s bei Sicherheit gegen plastische Verformung. Im Kessel- und Rohrleitungsbau ist evtl. die Warm- oder Zeitstandfestigkeit zu bercksichtigen. Das Nennspannungskonzept nach Grenzzustnden und mit Teilsicherheitsbeiwerten, DIN 18 800 T 1, Ausgabe 11/ 1990, ist fr die Bemessung von Schweißverbindungen des Stahlbaus vorgeschrieben. Diese Norm kann auch im allgemeinen Maschinenbau fr die Berechnung von vorwiegend ruhend beanspruchten Schweißnhten herangezogen werden.
Es ist zweckmßig, den Festigkeitsnachweis wie folgt zu erstellen: Ermitteln der vorhandenen Einwirkungen. Die charakteristischen der z. B. durch Belastungen gegebenen Einwirkungen F haben den Index k und sind den gesetzlichen oder den Vorgaben des Auftraggebers zu entnehmen, Anh. G 1 Tab. 2. Hieraus ergeben sich durch Multiplizieren mit dem maßgebenden Teilsicherheitsbeiwert gF die Bemessungswerte Fd , wobei F als Symbol fr alle Einwirkungen (G, Q) verwendet wird. Man erhlt die Bemessungswerte der stndigen Einwirkungen Gd aus der Beziehung Gd ¼ gF Gk mit gF ¼ 1; 35: Fr die Bemessungswerte der verschiedenen vernderlichen Einwirkungen Qi gilt Qi; d ¼ gF yi Qi; k : Hierbei ist gF ¼ 1;5 und der Kombinationsbeiwert yi ¼ 0;9; mit dem das Auftreten aller ungnstig wirkenden vernderlichen Einwirkungen bercksichtigt wird. Falls nur eine vernderliche Einwirkung vorliegt, ist yi ¼ 1;0: Schweißnahtspannungen. Sie ergeben sich aus den Bemessungswerten Gd und Qd nach den Regeln der Statik und Festigkeitslehre, wobei nur von elastischem Werkstoffverhalten ausgegangen wird. Dieser Berechnungsschritt unterscheidet sich von dem Nennspannungskonzept mit zulssigen Spannungswerten dadurch, dass die Bemessungswerte Gd und Qd durch Multiplikation mit Teilsicherheitsbeiwerten grßer sind als die frher im Stahlbau angewendeten Haupt- und Zusatzlasten. Fr lichtbogengeschweißte Verbindungen ist die rechnerische Nahtdicke a Tab. 2 zu entnehmen. Fr Stumpfnhte stimmt die rechnerische Nahtlnge mit der geometrischen Lnge der Verbindung berein. Es erfolgt mithin kein Abzug fr den Nahtanfang und Endkrater. Kehlnhte gelten als tragend, wenn l 6 a ist und sie mindestens 30 mm lang sind. Die rechnerische Schweißnahtflche Aw ergibt sich aus Aw ¼ S a l; wobei nur Nhte bercksichtigt werden drfen, die aufgrund ihrer Lage vorzugsweise die vorhandenen Schnittgrßen bertragen. Bei unmittelbaren Laschen- und Stabanschlssen muß die Summe aller Kehlnahtlngen S l 150 a sein. Fr rechtwinklige Anschlsse ergibt sich die rechnerische Schweißnahtlnge aus der ausgefhrten Lnge der Naht am Stabanschluss. Dabei sind keine Endkrater zulssig. Bei schrgem Anschluss mit ringsumlaufender Kehlnaht, bei dem die Schwerachse des Profils nher zur lngeren Flankennaht als zur krzeren liegt, Bild 18, gilt S l ¼ l1 þ l2 þ 2 b: Befindet sich dagegen die Schwerachse des Profils nher zur krzeren Flankenkehlnaht (l1 Þ; ist S l ¼ 2 l1 þ 2 b: Bei Stabanschlssen ergeben sich Außermittigkeiten dadurch, dass die Schwerachse der Schweißnahtflchen von beiden Flankenkehlnhten nicht mit der Schwerachse des Stabes bereinstimmt. Dies fhrt zu zustzlichen Schweißnahtspannungen, die bei der Berechnung der genannten Anschlsse vernachlssigt werden drfen. Die Norm DIN 18 800 T 1 enthlt weitere Festlegungen fr Stabanschlsse, auch fr mittelbare Anschlsse. Die Schweißnahtspannung sw in Stumpf- und Kehlnhten besteht aus den Normalspannungen sk und s? sowie den Schubspannungen tk und t? (Bild 16 a). Fr den Nachweis wird der Vergleichswert qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi sw; v ¼ s2? þ t2? þ t2k ermittelt, wobei sk nicht bercksichtigt werden muß.
Bild 17. Stumpfstoß mit Vorsatzstck fr Schweißnahtauslauf
Nachweis fr Stumpf- und Kehlnhte. Die Grenzschweißnahtspannung sw; R; d (Index R, d fr Beanspruchbarkeit) ergibt sich aus dem charakteristischen Wert der Streckgrenze
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Schweißen
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Tabelle 2. Rechnerische Schweißnahtdicken a nach DIN 18 800 T 1
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fy; k (Tab. 3) gemß sw; R; d ¼ aw fy; k =gM mit dem Beiwert aw nach Tab. 4 und dem Teilsicherheitsbeiwert fr den Werkstoff gM ¼ 1; 1. Fr zugbeanspruchte Stumpfstße aus Formsthlen der Werkstoffe St 37-2 und USt 37-2 (unberuhigt vergossener Stahl S235 ist nicht mehr in DIN EN 10 025 T2 enthalten) mit Wanddicken ber 16 mm betrgt aw ¼ 0; 55, unabhngig von der Nahtgte. Es ist nachzuweisen, dass sw; v =sw; R; d 1 fr alle tragenden Schweißnhte erfllt wird. [15] enthlt weitere Hinweise fr die Bemessung von Schweißverbindungen aus Stahl. Geschweißte Aluminium-
konstruktionen unter vorwiegend ruhender Beanspruchung knnen nach DIN 4113 T 1 und T 2 berechnet werden, Anh. G 1 Tab. 2. Schwingende Beanspruchung – Bei konstanter Lastamplitude wird die Zeit- oder Dauerfestigkeit nachgewiesen, bei variablen Lastamplituden die Betriebsfestigkeit. Beides kann mit dem Nennspannungskonzept oder mit rtlichen Konzepten berechnet werden. Nennspannungskonzept. Die Berechnung der Spannungen erfolgt wie bei vorwiegend ruhender Beanspruchung nach den Regeln der Festigkeitslehre mit elastischem Stoffgesetz. Die zulssigen Spannungsschwingbreiten sind fr die verschiede-
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Mechanische Konstruktionselemente – 1 Bauteilverbindungen
Tabelle 2. (Fortsetzung)
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Bild 18. Stabanschluß mit schrg angeschweißtem Profil nach DIN 18 800 T 1
nen Anwendungen in unterschiedlichen Regelwerken und Richtlinien enthalten (Kranbau DIN 15 018, Eisenbahnbrckenbau RIL 804, Schienenfahrzeugbau DVS-Merkblatt 1612 [16], Druckbehlterbau AD-Merkbltter der Reihe B). Die zulssigen Spannungsschwingbreiten hngen ab vom Kerbfall (Verbindungsform, Schweißnahtausbildung) und hufig auch von der Mittelspannung sm bzw. dem Spannungsverhltnis k ¼ min s=max s bzw. k ¼ min t=max t (international statt k oft R). Die k- bzw. R-Werte kennzeichnen die Beanspruchungsbereiche: reine Wechselbeanspruchung (– 1), Wechselbereich (< 0), Zug- und Druckschwellbereiche (> 0) und statische Zug- oder Druckbeanspruchung (+ 1). Fr die meisten Regelwerke wurden die Schwingfestigkeitswerte an Kleinproben ermittelt.
Das IIW (IIW: International Institute of Welding) hat Empfehlungen verffentlicht fr den Festigkeitsnachweis geschweißter Bauteile aus Sthlen und Aluminiumlegierungen mit Nennspannungen, Struktur- und Kerbspannungen sowie nach dem Bruchmechanikkonzept [6]. Dabei kann die Beanspruchung mit konstanter oder variabler Lastamplitude erfolgen. Die IIW-Empfehlungen, der Eurocode 3 [15] und die FKM-Richtlinie [10] sind neuere Berechnungsrichtlinien, denen das von der Mittelspannung unabhngige Ds-Konzept zugrunde liegt. Sie enthalten an Bauteilen bestimmte Schwingfestigkeitswerte. Es wird davon ausgegangen, dass in geschweißten Bauteilen in der Regel hohe Eigenspannungen auftreten, diese wie Mittelspannungen wirken und somit das Spannungsverhltnis die Betrge der Schwingfestigkeitswerte nicht beeinflusst. [17] nennt Anwendungen, die als mittelspannungsabhngig betrachtet und deshalb wirtschaftlicher bemessen werden knnen, z. B. bei R ¼ 1, als dies bei Mittelspannungsunabhngigkeit der Fall ist. Nach den IIW-Empfehlungen lsst sich im Festigkeitsnachweis mit Nennspannungen auch die Wirkung von schwingfestigkeitssteigernden Nachbehandlungen, wie das WIG-Aufschmelzen oder Beschleifen der Nahtbergnge, erfassen. Fr geschweißte Bauteile aus Sthlen sind fr den Zeit- und Dauerfestigkeitsnachweis mit Nennspannungen im Bild 19 a Whlerlinien einiger Schwingfestigkeitsklassen (FAT-Klassen) fr Normalspannungen dargestellt. Fr Schubspannungen sind Whlerlinien [6, 9, 15] zu entnehmen. Im Bild 19 b werden einzelne Verbindungen mit den ihnen zugeordneten
I1.1
Schweißen
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Tabelle 3. Charakteristische Werte fr Walzstahl und Stahlguss nach DIN 18 800 T 1
G
Tabelle 4. aw -Werte fr Grenzschweißnahtspannungen nach DIN 18 800 T 1
FAT-Klassen wiedergegeben. Dabei handelt es sich um Bereiche wegen unterschiedlicher Nahtausfhrung und anderer Nebenbedingungen, wie z. B. der Lnge eines aufgeschweißten Blechs. Die Zahl, mit der eine FAT-Klasse gekennzeichnet ist, stimmt mit ihrer Spannungsschwingbreite bei 2 106 Lastspielen berein. Alle Whlerlinien geschweißter Bauteile haben bei doppeltlogarithmischer Darstellung im Zeitfestigkeitsgebiet die vom Werkstoff abhngige Neigung m. Betriebsfestigkeit. Der Betriebsfestigkeitsnachweis auf Sicherheit gegen Bruch ist bei zeitlich sich hufig ndernden
Belastungsamplituden zu fhren. Bei sthlernen Straßen- und Wegebrcken nach DIN 18 809 und Lastannahmen nach DIN 1072 werden die fr die Betriebsfestigkeit zulssigen Werte nach RIL 804 herangezogen. Im Maschinenbau wendet man oft die DIN 15 018 T 1 an. Nach DIN 15 018 T 1 hngen die zulssigen Werte der Normal- und Schubspannungen ab vom Spannungskollektiv (Bild 20), der Zahl der Spannungsspiele (Tab. 5), dem Kerbfall (Tab. 6), dem Werkstoff und dem Spannungsverhltnis k. Das durch Messungen ermittelte, aus dem Belastungsablauf errechnete oder anderweitig be-
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Mechanische Konstruktionselemente – 1 Bauteilverbindungen
G Bild 19 a. Whlerdiagramm fr Schweißverbindungen aus Stahl, beansprucht mit konstanter Spannungsamplitude, Normalspannungen, Neigung der Kurven fr die Klassen 36 bis 125 betrgt m=3, FAT-Klasse 160 mit m=5 gilt fr nahtlose gewalzte oder gepresste Profile aus Stahl; b Zuordnung zwischen Verbindungstyp und FAT-Klasse gemß [6]
kannte Spannungskollektiv wird mit dem idealisierten Spannungskollektiv von Bild 20 verglichen und einer Linie (S0 bis S3 ) zugeordnet. Spannungskollektiv und Spannungsspielbereich N1 bis N4 ergeben die Beanspruchungsgruppe B1 bis B6, Tab. 5. Dem an Bauteil oder Verbindungsstelle vorliegenden Kerbfall K0 bis K4 sind die in Tab. 7 enthaltenen zulssigen Spannungen fr die Werkstoffe St 37 (Gruppe S235J nach DIN EN 10 025) und St 52-3 (Gruppe S355J nach DIN EN 10 025) bei k = 1 zugeordnet. Die zulssige Spannung bei 1 < k þ1 ergibt sich mit den in Tab. 8 angegebenen Gleichungen aufgrund der Zusammenhnge in Bild 21. Zusammengesetzte Spannungen. Nach DIN 15 018 T 1 ist beim ebenen Spannungszustand unter Beachtung der Vorzeichen und der jeweiligen Spannungsverhltnisse fr Bauteil und Schweißnaht oder fr beide die Bedingung 2 2 2 syx sx sy sx þ þ zul sxD zul syD zul sxD j j zul syD 2 t 1,1 zul tD
zu erfllen. Darin bedeuten zul sxD , zul syD der Spannung sx bzw. sy entsprechende zulssige Spannung, zul tD der Spannung t entsprechende zulssige Spannung. Falls sich die ungnstigste Spannungskombination nicht erkennen lsst, mssen Nachweise fr max sx , max sy und max t jeweils mit zugeordneten, hierfr ungnstigsten Spannungen erstellt werden. Berechnungsbeispiel nach DIN 15 018 T 1: Mit StumpfnahtNormalgte quer zur Kraftrichtung verbundene Teile ! Kerbfall K1 nach Tab. 6, Werkstoff St 37, smax ¼ ^ 0 ; smin ¼ 60 N=mm2 ¼ s ^ u ! k ¼ 0;4 und 150 N=mm2 ¼ s 0 ¼ sm ¼ 45 N=mm2 . Aus Beanspruchungsverlauf bekannt s 0 sm s 2 ^ 0 ¼ 75 N=mm , ¼ 0;286. Die zulssigen 0;5 s ^ 0 sm s Schweißnaht- bzw. Grundwerkstoffspannungen am Nahtbergang werden tabellarisch fr drei verschiedene Spannungsspiele ermittelt:
Tabelle 5. Beanspruchungsgruppen nach Spannungsspielbereichen und Spannungskollektiven (DIN 15 018 T 1)
Schwingende Beanspruchung – Strukturspannungskonzept. Es ergnzt das in den Regelwerken enthaltene Nennspannungskonzept, fhrt zu einer hheren Werkstoffausnutzung und zur treffsicheren Bemessung neuer Schweißkonstruktionen [5, 11, 12 , 15, 18]. Das Strukturspannungskonzept darf nur angewendet werden, wenn die Normalspannungen vornehmlich senkrecht zur Schweißnaht wirken und sich der Schwingungsriß – sofern er auftritt – am Schweißnahtbergang ausbildet. Es gilt nicht fr von der Wurzel ausgehende Risse [4, 6]. Die Strukturspannung fr den Ort des „hot spot“, die erwartete Rissausgangsstelle, ergibt sich aus Dehnungsmessungen, Bild 22, oder aus einer Finite-Elemente-Berechnung nach [6, 8]. Man extrapoliert auf die Stelle des „hot
I1.1 Tabelle 6. Kerbwirkungen von Naht- und Anordnungsformen (Kerbflle) (DIN 15 018 T 1, Auszug)
Schweißen
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FAT-Klasse und die bis zu 107 Lastspielen ertragbare Schwingbreite DsR; L zu entnehmen. Die Werte gelten fr Blechdicken bis 25 mm, darber werden niedrigere Werte verwendet [6]. Pressschweißverbindungen Pressstumpf-, Abbrennstumpf- und Reibschweißen. Berechnungsquerschnitt ist der kleinste Querschnitt in bzw. neben der Naht, Tab. 10. Bei Anwendungen im bauaufsichtlichen Bereich ist die Beanspruchbarkeit der Verbindungen durch Gutachten einer vom Deutschen Institut fr Bautechnik anerkannten Stelle nachzuweisen. Widerstandspunkt- und Widerstandsnahtschweißen. Diese Verbindungen werden i. allg. auf Abscheren beansprucht. Es ergibt sich eine niedrige Dauerfestigkeit wegen erheblicher Kerbwirkung. Da der Punktdurchmesser nicht bekannt ist und auch durch zerstrungsfreie Prfverfahren kaum bestimmt werden kann, werden die ertragbaren Bruchlasten aus Versuchen bestimmt. Einzelheiten sind den Merkblttern DVS 2902 T 3 „Widerstandspunktschweißen von Sthlen bis 3 mm Einzeldicke, Konstruktion und Berechnung“, DVS 2906 T 1 „Widerstands-Rollennahtschweißen – Verfahren und Grundlagen“, DVS 2916 „Prfen von Punktschweißverbindungen“ und DIN 18 801 „Stahlhochbau“ zu entnehmen. 1.1.6 Thermisches Abtragen Verfahren der Autogentechnik Die zum Abtragen erforderliche Wrme entsteht aus Oxidation, der Werkstoffabtrag erfolgt im Sauerstoffstrahl. Brennschneiden. Das durch eine Brenngas-Sauerstoff-Flamme rtlich auf Zndtemperatur erwrmte Werkstck verbrennt im Schneidsauerstoffstrahl, die Schneidschlacke (Oxide und Schmelze) wird vom O2 -Strahl aus der Fuge getrieben. Schneidbedingungen: Das Metall muß im O2 -Strom verbrennen, die Entzndungstemperatur muß unter der Schmelztemperatur liegen, die Oxidschmelztemperatur unter der Schmelztemperatur des Werkstoffs. Die Bedingungen werden erfllt bei un- und niedriglegierten Sthlen, Titan und Molybdn, nicht erfllt bei Aluminium, Kupfer, Grauguss und i. allg. bei hochlegierten Sthlen. Vorwrmung ist bei Kohlenstoffgehalten > 0;3% erforderlich wegen Aufhrtung. Formteilgenauigkeit und Schnittflchengte sind abhngig von Brennschneidmaschine, Fhrungseinrichtung, Schneidgeschwindigkeit und -bedingungen (Senkrecht-, Schrg-, Ge-
spot“ mit linearen Ansatz, z. B. ehs ¼ 1; 67eA 0; 67 eB ; und erhlt die Strukturspannung shs ¼ E ehs : Bei drei Mess- bzw. Berechnungspunkten wird ein quadratischer Ansatz verwendet. [5, 6, 12] enthalten Strukturspannungs-Whlerkurven fr die verschiedenen Strukturdetails aus unlegiertem Baustahl und einigen Aluminiumlegierungen. Aus Tab. 9 sind fr die unterschiedlichen Strukturdetails die
Bild 20. Idealisierte bezogene Spannungskollektive. Dabei bedeuten: sm ¼ 12 ðmax s þ min sÞ Betrag der konstanten Mittelspannung; s0 ¼ Betrag der Oberspannung, die N-mal erreicht oder berschritten wird; ^ 0 ¼ Betrag der grßten Oberspannung des idealisierten Spannungss 0 ¼ Betrag der kleinsten Oberspannung des idealisierten kollektivs; s ^ ¼ 106 Umfang des idealisierten SpannungsSpannungskollektivs; N kollektivs
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Mechanische Konstruktionselemente – 1 Bauteilverbindungen
Tabelle 7. Zulssige Spannungen in N=mm2 beim Betriebsfestigkeitsnachweis (DIN 15 018 T 1, Auszug)
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Tabelle 8. Gleichungen fr zulssige Normalspannungen und Schubspannungen fr Bauteile und Schweißnhte (DIN 15 018 T 1) a) Gleichungen fr zulssigen Normalspannungen in Abhngigkeit von k und zul sDð1Þ
Bild 21. Zusammenhnge zwischen zul sDðkÞ und zul sDð1Þ
tet, ersetzt. Bei der SKL wird ein Rohr, das mit Drhten gefllt ist, verwendet. Das auf Weißglut erhitzte Rohrende wird in allen drei Fllen auf das Werkstck aufgesetzt und verbrennt unter Sauerstoffzugabe. Metallische Werkstoffe verbrennen, mineralische schmelzen und bilden mit Metalloxid dnnflssige Schlacke. Das Brennbohren ist bei allen Metallen, Nichtmetallen und mineralischen Werkstoffen anwendbar.
rad-, Kurven-, Hand-, Maschinenschnitt mit Ein- oder Mehrfachbrenneranordnung). Brennfugen. (Fugenhobeln). Muldenfrmiges Abtragen von Werkstckflchen durch besonders geformte Dse, aus der zustzlich Sauerstoff zum „Hobeln“ austritt. Brennflmmen. Es dient mit schichtfrmigem Werkstoffabtrag zum Subern von Stahlblcken, Knppeln und Rohrluppen vor der Weiterverarbeitung. Brennbohren. Mit Sauerstoff- (SL), Sauerstoff-Pulver- (SPL) oder Sauerstoff-Kernlanze (SKL) ist es ein thermisches Lochstechen, das bevorzugt an mineralischen Stoffen (Beton, Stahlbeton) angewendet wird. Die SL arbeitet nur mit einem Rohr und ist weitgehend durch die SPL, die mit einem Rohr und zustzlichem Eisen- oder Eisen-Aluminiumpulver arbei-
Flammstrahlen. Es dient zum Abtragen (Verbrennen oder Umwandeln) von Schichten und Belgen, zur Reinigung oder Vorbehandlung metallischer oder mineralischer Werkstcke. Elektrische Gasentladung Lichtbogen-Sauerstoffschneiden. Der Lichtbogen brennt zwischen einer umhllten Hohlelektrode und dem Werkstck. Sauerstoff wird der Schnittfuge durch die Bohrung der Elektrode zugefhrt. Lichtbogen-Druckluft-Fugen. Es dient zum Ausarbeiten von Schweißnhten und Rissen an metallischen Werkstoffen. rtliches Schmelzen des Grundwerkstoffs wird durch einen Lichtbogen zwischen verkupferter Kohleelektrode und Werkstck erreicht. Parallel zur Elektrode zugefhrte Pressluft dient zur teilweisen Verbrennung des aufgeschmolzenen Werkstoffs und treibt Schmelze und Schlacke aus der entstehenden Fuge.
I1.1 Plasma-Schmelzschneiden. Ein eingeschnrter Lichtbogen fhrt zur Dissoziation mehratomiger und zur Ionisation einatomiger Gase. Im Plasmastrahl hoher Temperatur und großer kinetischer Energie schmilzt der Werkstoff und verdampft teilweise. Durch die Werkstck- oder Brennerbewegung entsteht eine Schnittfuge. Plasmagase sind Argon, Wasserstoff oder deren Gemische, als Schneidgase kommen je nach Werkstoff Argon, Stickstoff, Wasserstoff oder deren Gemische, bei un- und niedriglegierten Sthlen auch Druckluft in Frage. Elektrisch leitende Werkstoffe werden mit bertragenem, nichtleitende mit nicht bertragenem Lichtbogen geschnitten. Hohe Schneidgeschwindigkeiten sind bei guter Schnittgte erreichbar. Anwendbar ist das Verfahren fr alle Sthle und NE-Metalle. Abtragen durch Strahl Verwendet wird ein energiereicher Strahl (Laser, Elektronen). Hohe Energiedichte des Nd:YAG-Festkrper- oder CO2 -Gaslaserstrahls fhrt zum Schmelzen, zum Verdampfen oder Sublimieren des Werkstoffs. Der Schneidvorgang wird bei leicht entzndlichen Werkstoffen durch inertes Gas und bei Metallen, insbesondere bei Stahl, durch Sauerstoff untersttzt: Laserbrennschneiden. Schmelzen des Werkstoffs und Verwendung inerten Gases: Laserschmelzschneiden. berfhrung des
Schweißen
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Bild 22. Aus dem Dehnungsmeßstellen A und B durch Extrapolieren berechnete Strukturspannung am Nahtrand
Werkstoffs unmittelbar in den gasfrmigen Zustand: LaserSublimierschneiden. Vorteile des Laserschneidens sind geringe Wrmeeinwirkung, schmale Schnittfuge, geringer Verzug und hohe Schneidgeschwindigkeit. Schneidbar sind neben Metallen auch organische Stoffe und Kunststoffe, Holz, Leder, Gummi, Papier, Keramik, Quarzglas, Porzellan, Glimmer, Steine und Graphit.
Tabelle 9. Zuordnung von Strukturdetails zu den Klassen der Spannungsschwingbreite; Einfluß der Eigenspannungen ist einbezogen, Winkel- und Kantenversatz sind unbercksichtigt und mssen bei der Spannungsermittlung erfaßt werden; gltig fr Stahl und die gewhnlich konstruktiv verwendeten Aluminiumlegierungen; Blechdicke 25 mm; die DsR;L -Werte gelten fr N ¼ 107 , s. Bild 19 a.
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Mechanische Konstruktionselemente – 1 Bauteilverbindungen
Tabelle 10. Richtwerte fr zulssige Spannungen von Pressstumpf-, Abbrennstumpf- und Reibschweißverbindungen von Sthlen
G Der Elektronenstrahl mit erhhter Leistungsdichte im Brennfleck (bis 108 W/cm2, beim Schweißen 106 W/cm2) fhrt zu einer großen Verdampfungsrate des Werkstoffs. Gengt ein Elektronenstrahlimpuls zum Durchstoßen des Werkstcks, spricht man von Perforieren. Als Bohren bezeichnet man das Mehrimpulsschneiden mit dem Elektronenstrahl.
1.2 Lten
1.2.2 Weichlten Weichlten wird bei einer Arbeitstemperatur unterhalb 450 C, vorwiegend bei Stahl, Kupfer und Cu-Legierungen, ausgefhrt. Die Lote sind meistens Legierungen der Metalle Blei, Zinn, Antimon, Cadmium und Zink; fr AluminiumWerkstoffe: Legierungen der Metalle Zink, Zinn und Cadmium, ggf. mit Zustzen von Aluminium; DIN 1707 T 100: Weichlote. Erwrmung der Ltstelle. Sie wird mit einem warmen Kupferkolben, einem Brenner, im Ofen, durch elektrischen Widerstand oder im Schmelzbad des Lotmetalls erwrmt. Der Beseitigung der Oxidschichten dienen bei Schwermetallen Flussmittel auf der Basis von Zink- u. a. Metallchloriden und/ oder Ammoniumchlorid, ferner organische Suren (Zitronen-, l-, Stearin-, Benzoesure) sowie Amine, Diamine und Harnstoff, Halogenverbindungen, natrliche oder modifizierte natrliche Harze mit Zustzen halogenhaltiger oder -freier Aktivierungszustze. Zu beachten ist, dass Flussmittelreste korrodierend wirken knnen. Auf geeigente Auswahl und Nacharbeit ist zu achten, DIN EN 29 454 T1: Flussmittel zum Weichlten. Festigkeit der Ltverbindung. Sie hngt von der chemischen Zusammensetzung der Lote, vom Grundwerkstoff und der Dauer der Belastung ab, weil die Weichlote bereits bei Raumtemperatur unter Last kriechen, Bild 23. Der Einfluss der Temperatur auf die Festigkeit ist Bild 24 zu entnehmen.
H. Wohlfahrt, K. Thomas und M. Kaßner, Braunschweig 1.2.1 Vorgang Unter Lten versteht man das Verbinden erwrmter, im festen Zustand verbleibender Metalle durch schmelzende metallische Zusatzwerkstoffe (Lote). Die Werkstcke mssen an der Ltstelle mindestens die Arbeitstemperatur erreicht haben. Sie ist immer hher als der untere Schmelzpunkt (Soliduspunkt) des Lots und kann unterhalb des oberen Schmelzpunkts (Liquiduspunkt) liegen. Eine Bindung zwischen Werkstck und Lotmetall tritt auch auf, wenn das Werkstck zwar die Arbeitstemperatur nicht ganz erreicht, dafr aber das Lotmetall eine wesentlich hhere Temperatur hat. Diese Werkstcktemperatur wird hufig mit Bindetemperatur oder Benetzungstemperatur bezeichnet. Sie ist stets niedriger als die Arbeitstemperatur und hat nur beim Fugenlten (Schweißlten) technische Bedeutung. Damit flssige Lote benetzen und fließen knnen, mssen die Werkstckoberflchen metallisch rein sein. Dicke Oxidschichten werden mechanisch entfernt und dnne Oxidschichten, die zum Teil noch whrend der Erwrmung auf Lttemperatur entstehen, durch Flussmittel gelst oder durch Flussmittel bzw. Gase reduziert. Die Bindung ist abhngig von den Reaktionen zwischen Lot und Grundwerkstoff und von der Verarbeitungstemperatur. Neben der reinen Oberflchenbindung im Fall fehlender Legierungsbildung zwischen Grundwerkstoff und Lot tritt in den meisten Fllen Diffusion einer oder mehrerer Komponenten des Lots in den Grundwerkstoff und umgekehrt ein. Beim Hartlten von weichem Stahl diffundiert hufig Kupfer entlang den Korngrenzen und fhrt dadurch zur Ltbrchigkeit. Die Festigkeit der Ltverbindung ist von der Spaltbreite abhngig. Unterhalb einer kleinsten Spaltbreite (etwa 0,02 mm) fllt die Festigkeit wegen zunehmender Bindefehler stark ab. Umgekehrt bringt auch zunehmende Spaltbreite eine Abnahme der Festigkeit mit sich. Der obere Grenzwert der Spaltbreite von etwa 0,5 mm sollte daher nicht berschritten werden. Als besonders gnstig haben sich Spalte von 0,05 bis 0,2 mm erwiesen. Bearbeitungsriefen vom Drehen oder Hobeln sollen, wenn ihre Tiefe 0,02 mm bersteigt, mglichst in Flussrichtung des Lots liegen.
1.2.3 Hartlten und Schweißlten (Fugenlten) Die Arbeitstemperaturen liegen ber 450 C, Lotmetalle: Tab. 11. Normen: DIN EN 1044: Hartlten; Ltzustze. DIN EN 1045: Hartlten; Flussmittel zum Hartlten. DIN 65 169: Luft- und Raumfahrt; Hart- und hochtemperaturgeltete Bauteile; Konstruktionsrichtlinien. Erwrmung der Ltstelle. Erwrmt wird vorwiegend mit der Flamme, im Schutzgasofen oder mittels Stromdurchgang. Als Flussmittel zur Beseitigung von Metalloxiden mit Wirktemperatur zwischen 550 und 800 C eignen sich Borverbindungen und komplexe Fluoride, zwischen 600 und 1000 C Chloride und Fluoride ohne Borverbindungen, zwischen 750 und 1100 C Borverbindungen und ab 1000 C Borverbindungen, Phosphate und Silicate. Festigkeit der Ltverbindung. Sie hngt stark von den Grund- und Lotwerkstoffen ab, sinkt je nach Lot unterschiedlich bei Langzeitbeanspruchung gegenber der Festigkeit des Kurzzeitversuchs und wird zudem maßgeblich von der Spaltbreite, Betriebstemperatur und, sofern schwingende Belastung vorliegt, von der Schwingspielzahl beeinflusst. Als Anhaltswert sei die Dauerumlaufbiegefestigkeit von 180 N=mm2 einer aus unlegiertem Baustahl mit dem Lot AG 205 (Ag 25%, Cu 40%, Zn 35%) hergestellten Stumpfltung genannt. Die Zeitstandzugfestigkeit bei verschiedenen Prftemperaturen fr Verbindungen mit dem Lot AG 306 (Ag 30%, Cu 28%, Zn 21%, Cd 21%) enthlt Bild 25. 1.2.4 Hochtemperaturlten Hochtemperaturgeltet wird bei Arbeitstemperaturen ber 900 C im Vakuum oder im Ofen unter Schutzgas, mitunter mit geringem Wasserstoffzusatz zur Reduktion von Oxiden, um teure Bauteile zu verbinden, die wegen ihrer Werkstoffkombination oder ihrer konstruktiven Ausbildung nicht schweißbar sind. Auch hohe Betriebstemperaturen knnen entscheidend sein. Als Lote dienen Legierungen, in denen Nickel, Kobalt, Gold oder ein anderes Edel- oder Sondermetall (Beryllium, Titan, Zirkonium, Hafnium, Vanadin, Niob,
I1.2
Lten
G 23
G Bild 23. Zeitstandscherfestigkeit von Ltverbindungen an E-Cu mit verschiedenen Sonderweichloten im Vergleich zu S-Pb50Sn50Sb [19]. 1 S-Pb97Ag3, 2 etwa S-Sn62Pb36Ag2, 3 S-Sn96Ag4, 4 SSn95Sb5, 5 etwa S-Sn50Pb32Cd18, 6 Cd 95%, Ag 5% (nicht genormt), 7 S-Cd82Zn16Ag2, 8 Sn 70%, Cd 52%, Zn 5% (nicht genormt), 9 etwa S-Cd68Zn22Ag10, 10 S-Pb50Sn50Sb
Bild 24. Zeitstandscherfestigkeit von Weichltverbindungen an Stahl S235JR mit S-Pb50Sn50 bei verschiedenen Prftemperaturen [19]
Tantal, Chrom, Molybdn, Wolfram) das maßgebliche Element ist. Geltet werden insbesondere hochwarmfeste Legierungen auf Eisen-, Nickel- oder Kobaltbasis sowie Sondermetalle. Auch Verbindungen zwischen Keramik und Hartmetallen sowie zwischen diesen Werkstoffen und metallischen Trgerwerkstoffen lassen sich herstellen. Da die hohe Arbeitstemperatur und die Gaszusammensetzung den Grundwerkstoff beeintrchtigen knnen, z. B. durch Grobkornbildung oder eine ungnstige Ausscheidung, mssen die Verfahrensbedingungen sorgfltig gewhlt werden. Die meisten Sondermetalle reagieren bereits bei mßig erhhten Temperaturen intensiv mit Sauerstoff, Stickstoff, Kohlenstoff und Wasserstoff. Deshalb drfen diese Stoffe nicht im Gas vorkommen
Bild 25. Zeitstandzugfestigkeit von Hartltverbindungen mit dem Lot AG 306 (Ag 30%, Cu 28%, Zn 21%, Cd 21%) bei verschiedenen Prftemperaturen [19]
Bild 26. Zeitstandzugfestigkeiten von NiCr20TiAl (Nimonic 80 A) und Hochtemperaturltungen aus diesem Werkstoff mit dem Lot Ni105 (Cr 19%, Si 10%, B bis 0,03%, C bis 0,06%, P bis 0,02%, Rest Ni) bei verschiedenen Prftemperaturen [19]. 1 Grundwerkstoff NiCr20TiAl nach Wrmebehandlung 8 h/1080 C, 2 Ltverbindung, gefertigt 15 min/1190 C, danach 20 h/1100 C+16 h / 710 C
und auch nicht aus Ofenbaustoffen entweichen. In den Verbindungen lsst sich die ungnstige Wirkung einiger sprder Zwischenschichten durch Lsungsglhen herabsetzen. Festigkeit der Hochtemperaturltungen. Sie hngt stark von den Grundwerkstoffen, der Bauteilgeometrie, der Oberflchenvorbehandlung, den Prozessparametern und der sich meist anschließenden Wrmebehandlung ab. In der Regel liegen die Festigkeitswerte ber denen vergleichbarer Hartltungen. Aus Bild 26 sind die Zeitstandfestigkeiten einer Nickelbasislegierung und einer Ltverbindung aus diesem Werkstoff mit dem Lot Ni 105 (Cr 19%, Si 10%, B bis 0,03%, C bis 0,06%, P bis 0,02%, Rest Ni) ersichtlich.
G 24
Mechanische Konstruktionselemente – 1 Bauteilverbindungen
Tabelle 11. Hartlote (DIN EN 1044, Auswahl)
G
1.3 Kleben K. Dilger und K. Thomas, Braunschweig 1.3.1 Anwendung und Vorgang Anwendung. Das Kleben ermglicht ein Fgen praktisch aller Werkstoffe. Es wird fr nahezu alle Materialkombinationen und viele Anwendungen eingesetzt, wobei das Kleben beim Verbinden von Metallen mit Nichtmetallen, wie z. B. Holz, Kunststoff, Gummi, Glas, Porzellan, oder in Fllen, in denen die zu fgenden Werkstoffe durch eine Schweißung nachteilige Vernderungen ihrer mechanisch-technologischen Eigenschaften erfahren (z. B. ausgehrtetes Duralumin), von besonderer Bedeutung ist. Auch dnne Werkstcke, die sich nur unter großem Aufwand oder gar nicht nieten oder schweißen lassen, knnen durch Kleben miteinander gefgt werden. berdies kann das Metallkleben im Großreihenbau fertigungstechnische und wirtschaftliche Vorteile bieten. Nicht nur die Sandwichkonstruktionen werden im Flugzeugbau mit gutem Erfolg geklebt, sondern auch Flgel und andere Bauteile z. B. fr Schubumkehrer großer Maschinen. Im Karosserie-Leichtbau nimmt das Kleben stark zu. Vorteilhaft gegenber der herkmmlichen Bauweise ist der Steifigkeitsgewinn bei gleichzeitiger Gewichtsverminderung. Durch neue Klebstoffgenerationen kann das Crash-Verhalten geklebter Strukturen verbessert werden. Anwendungen im Automobilbau sind z. B. Strukturschume in Hohlkrpern, spritzbare, heißhrtende Versteifungsmaterialien auf Blechen, neue crashfeste Strukturklebstoffe, flchige Innen-Außenblechverklebungen sowie tragende Verbindungen zwischen Glasscheiben und metallischen Strukturbauteilen. Die Verarbeitung von ein- und zweikomponentigen Produkten wird auch bei Großserien beherrscht. Die zerstrungsfreie Inline-Prfung ist durch die Thermografie mglich. Bindung. Sie wird bei Klebstoffen auf Kunstharzbasis vorwiegend auf die spezifische Adhsion zwischen Klebstoff
und Metall zurckgefhrt. Der Haftung infolge mechanischer Verankerung wird weitaus geringere Bedeutung zugemessen. Zur Herstellung einwandfreier Metallklebungen mssen folgende Bedingungen erfllt werden: Gute und gleichmßige Benetzbarkeit der Klebflchen durch den Klebstoff und mglichst geringe innere Spannungen nach dem Abbinden des Klebstoffs, d. h. geringe Neigung zum Schrumpfen beim Abbinden. Das Abbinden des Klebstoffs fhrt zur Ausbildung von Kohsionskrften, die fr die Kraftbertragung in der Klebschicht verantwortlich sind. Weitere Bedingungen sind die Verminderung von Gas- oder Lufteinschlssen in der Klebschicht und klebgerechte Sauberkeit der zu fgenden Teile, d. h. Freiheit von Schmutz, Fett und anderen Verunreinigungen. Hiervon ausgenommen ist der Karosserierohbau, in dem z. B. mit einkomponentigen warmaushrtenden Epoxidharzen auf geltem Blech geklebt wird. Oberflchenvorbehandlung der Fgeteile: Entfetten und mechanische Vorbehandlung durch Drehen, Hobeln, Frsen oder durch Strahlen mit fettfreiem feinkrnigen Sand, Korund oder Drahtkorn beim Verkleben von Eisen, Stahl und NE-Metallen. Chemische Verfahren wie Beizen mit nichtoxidierender Sure, tzen mit oxidierender Sure oder elektrochemische Behandlung ergeben bei Aluminium und Al-Legierungen, Magnesium und Mg-Legierungen, Kupfer und Cu-Legierungen hhere Bindefestigkeiten als die mechanischen Verfahren. Fr die Vorbereitung eignet sich auch eine Laser-Behandlung. Thermoplastische Kunststoffe, insbesondere Polyolefine, mssen vor dem Kleben vorbehandelt werden. Hierzu eignet sich eine Gascorona, ein Atmosphrenplasma oder eine Beflammung.
1.3.2 Klebstoffe Fr Klebungen werden nichthrtende Klebstoffe, durch physikalische Vorgnge abbindende und durch chemische Reaktionen warm oder kalt hrtende Klebstoffe verwendet. Haftklebstoffe bestehen aus hochviskosen Polymeren. Sie verlieren die Eigenschaften einer Flssigkeit nicht vllig und passen sich deshalb an die Konturen der Fgeteiloberflchen vollstndig
I1.3 an, so dass Adhsion eintritt. Zu den physikalisch hrtenden Klebstoffen gehren die als Kontaktklebstoffe bezeichneten lsungsmittelhaltigen Systeme, die nach dem Auftrag auf die Fgeflchen erstarren, wobei Lsungsmittel austritt. Danach werden die beschichteten Fgeflchen zusammengepresst. Durch Diffusion der Klebstoffmolekle beider Schichten verbinden sich diese. In hnlicher Weise kommt die Bindung zwischen den aufgetragenen Schichten bei den Wasser und etwas Lsungsmittel enthaltenden Dispersionsklebstoffen zustande, die auch physikalisch hrtende Klebstoffe sind. Zu dieser Gruppe gehren außerdem Plastisole. Sie bestehen aus einem in Lsungsmittel dispergierten Polymer, bevorzugt Polyvinylchlorid, das beim Verarbeiten das Lsungsmittel als Weichmacher aufnimmt. Eine Mischung mit Epoxydharzen ist mglich und ergibt Klebungen mit besserer Wrmebestndigkeit. Die chemisch hrtenden Klebstoffe werden als niedrigmolekulare Substanzen geliefert. Bei der Verarbeitung entstehen durch Polykondensation, Polyaddition oder Polymerisation Stoffe, in denen Makromolekle mit großen Molekulargewichten vorliegen, wobei in einigen Klebstoffen die Molekle auch rumlich vernetzten. Chemisch hrtend sind zum Beispiel Epoxidharze, Penolharze, Polyurethane, Silikonharze, Cyanacrylate und Diacylsure-Ester. Die Substanzen von Zweikomponentenklebstoffen mssen vor dem Verarbeiten in einem bestimmten Mengenverhltnis gemischt werden, damit die chemische Reaktion wie vorgesehen abluft. In Einkomponentenklebstoffen, die hufig aus mehreren, allerdings fertig gemischten Substanzen bestehen, beginnt die chemische Reaktion erst, wenn Wrme zugefhrt oder eine andere Bedingung, z. B. UV-Bestrahlung oder Luftabschluss, erfllt wird.
Kleben
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Besonders gut eignen sich fr Klebverbindungen die Leichtmetalle auf Aluminium- und Magnesiumbasis und Stahl, weniger gut die Buntmetalle. Die Scherzugfestigkeit, d. h. das Verhltnis der Bruchlast zur Klebflche einer einschnittigen Klebverbindung, nimmt mit wachsender Streckgrenze bzw. Dehngrenze des Metalls zu und mit steigender Klebfilmdicke ab, Bild 27. Die Festigkeit des Klebstoffs ist von seinem Aufbau und seinen Verarbeitungsbedingungen abhngig, Tab. 12. Die konstruktive Gestalt der Verbindung beeinflusst die Festigkeit erheblich. Die einschnittige Verbindung (Bild 28) ergibt durch die zustzliche Biegung und die damit verbundene Neigung zum Abschlen niedrigere Zugscherfestigkeiten als die zweischnittige. Auch die Schftung ist wegen der gleichmßigen Schubspannungsverteilung in der Klebfuge als klebgerechte Geometrie sehr gut geeignet. Wegen des inhomogenen Spannungszustands nimmt die Festigkeit der Klebung mit zunehmender berlappungslnge ab, Bild 29. Dagegen nimmt die Zugscherfestigkeit der einschnittigen Klebverbindung bei konstanter berlappungslnge lü mit wachsender Blechdicke bis zu einem Grenzwert zu, weil die Dehnung des Fgeteils und damit die Spannungsberhhung in der Klebschicht reduziert wird.
Polykondensationsklebstoffe knnen kalt appliziert werden. Die Aushrtung erfolgt unter Druck bzw. bei erhhten Temperaturen z. B. im Autoklaven. Polymerisationsklebstoffe sind meist einkomponentig und daher einfach zu verarbeiten, fhren aber im allgemeinen zu thermoplastischen Klebschichten, die eine geringere Bestndigkeit aufweisen als vernetzte Klebschichten, wie sie z. B. bei einigen additionsvernetzten Klebstoffen entstehen.
Bild 28. Nahtformen bei Klebverbindungen (Probestbe)
Polyadditionsklebstoffe hrten ohne Freiwerden von Spaltprodukten durch eine Additionsreaktion aus. Sie sind ohne Druck kalt und warm aushrtbar. Zur Auswahl einiger Klebstoffe mit Verarbeitungsbedingungen siehe Tab. 12, Habenicht, G.: Kleben, 4. Aufl. (Literatur zu G 1.3) sowie Ruge, J.: Handbuch der Schweißtechnik, Bd. II, 3. Aufl. (Literatur zu G 1.1.1).
1.3.3 Tragfhigkeit Die Tragfhigkeit von Klebverbindungen wird beeinflusst durch die mechanisch-technologischen Eigenschaften der zu verklebenden Werkstoffe und des Klebstoffs, die Herstellungsbedingungen, die konstruktive Gestalt und die Beanspruchungsart.
Bild 29. Scherzugfestigkeit von Klebverbindungen in Abhngigkeit der berlappungslnge
Bild 27 a, b. Scherzugfestigkeit von Klebverbindungen. a in Abhngigkeit von der Dehngrenze bei Leichtmetallen; b in Abhngigkeit von der Klebfilmdicke
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Mechanische Konstruktionselemente – 1 Bauteilverbindungen
Tabelle 12. Basis-Kunststoffe fr das Kleben von Stahl (Stahl-Informations-Zentrum, Merkblatt 382)
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Die Scherzugfestigkeit ist folglich vom berlappungsverhltnis =berlappungslnge l /Blechdicke s abhngig. Die Erhhung von ber einen optimalen Wert hinaus bringt keine Vorteile mehr, was auf die an den Enden der berdeckung auftretenden Spannungsspitzen zurckzufhren ist. Fr die Bemessung gilt ¼ l =s < 30: Richtwert: =20.
Die Festigkeit einer Klebung wird meistens durch Alterungseinflsse vermindert. Dieser Einfluss kann im Klimawechseltest geprft werden. Ein Abfall der Festigkeit auf 75% nach Alterung wird im Allgemeinen akzeptiert. Klebungen unterliegen einem grßeren Temperatureinfluss als reine Metallverbindungen, wobei bei Erwrmung auf Temperaturen unter der Glasbergangstemperatur Tg der Temperatureinfluss eher gering ist, ber Tg jedoch ein starker Festigkeitsabfall erfolgt. Klebungen weisen wegen der homogenen Lasteinleitung und der hieraus resultierenden geringen Kerbwirkung eine gute Schwingfestigkeit auf.
1.4 Reibschlussverbindungen H. Mertens, Berlin 1.4.1 Formen, Anwendungen Reibschlussverbindungen [20–37] mit zylindrischen oder kegeligen Wirkflchen werden in erster Linie als Welle-NabeVerbindungen zur Drehmomentbertragung zwischen Welle und Nabe mit und ohne Zwischenelemente (Bild 30) oder zum Einleiten von Axialkrften in Achsen oder Stangenkpfen (z. B. Bild 31) verwendet. Neben der Kraftbertragung – sicher bei Betrieb, durchrutschend bei berlastung mit Grundlagen nach B 1.11 – spielen bei der Auswahl dieser Verbindungen die Selbstzentrierung, die Einstell- bzw. Nachstellbarkeit in Umfangsrichtung, der Fertigungs- und Montageaufwand, die notwendigen Fertigungstoleranzen, die Lsbzw. Wiederverwendbarkeit eine Rolle. Schwer lsbar sind zylindrische Pressverbnde nach Bild 30 d, leichter lsbar Pressverbnde mit kegeligen Wirkflchen nach Bild 30 e sowie leichter fg- und lsbar die Verbindungen mit Zwischenelementen. Nicht selbstzentrierend sind die Klemmverbindung nach Bild 30 b, die Verbindung mit Flach- oder Hohlkeil nach Bild 30 c, der Ringfederspannsatz nach Bild 30 i, die Verbindung mit Sternscheiben nach Bild 30 j und mit Wellenspannhlse nach Bild 30 m. Pressverbnde (Lngs-,
Quer-, Kegel-Pressverbnde) erfordern eine hohe Fertigungsgenauigkeit, etwas geringere die hydraulische Hohlmantelspannhlse [32]. Auswahl von Welle-Nabe-Verbindungen mit Konstruktionskatalogen s. [24]. Reibschlussverbindungen mit ebenen Wirkflchen werden heute hufig anstelle von Nietverbindungen zur Kraftbertragung zwischen Blechen im Stahl- und Kranbau als gleitfeste Verbindung mit hochfesten Schrauben (GV-Verbindungen) verwendet. Reibschlssig erfolgt auch die bertragung von hufig auftretenden Betriebslasten in drehstarren, nichtschaltbaren Wellenflanschkupplungen [27]. 1.4.2 Pressverbnde Entwurfsberechnung. Sie erfolgt nach DIN 7190 fr zylindrische Pressverbnde fr das hchste sicher zu bertragende Drehmoment Mt oder die hchste sicher zu bertragende Axialkraft Fax zunchst ohne Bercksichtigung von Fliehkrften fr zwei konzentrische Ringe mit gleicher axialer Lnge lF ; nherungsweise kann diese Berechnung auch fr Klemmverbindungen nach Bild 31 angewendet werden. Durch die Berechnung soll sichergestellt werden, dass der w j zwischen Wellendurch das kleinste wirksame bermaß jP durchmesser und Nabenbohrung erzeugte niedrigste Fugendruck p die erforderliche Haftkraft (Reibkraft) aufbringt und ^ w j bewirkte Fugendruck ^ der durch das grßte bermaß jP p nicht zu einer berschreitung der zulssigen Bauteilbeanspruchungen bzw. -dehnungen fhrt; fr Fugendruck gilt damit p%p%^ p. Zum bertragen von Mt mindest erforderlicher Fugendruck pmin ¼ 2Mt Sr =ðpD2F lF mru Þ, pmin % p, bei Axialbeanspruchung pmin ¼ Fax Sr =ðpDF lF mrl Þ, mit Soll-Sicherheit Sr gegen Rutschen, Haftbeiwert mru bzw. mrl bei Rutschen in Umfangsbzw. Lngsrichtung Tab. 13, Fugendurchmesser DF nach dem Fgen (Rechnung mit Nennmaß), Fugenlnge lF : Fr rein elastisch beanspruchte Pressverbnde ohne Bercksichtigung von Kantenpressungen betrgt allgemein das bezogene wirksame bermaß xw ¼ jPw j=DF und gleichzeitig xw ¼ K p=EA mit der Hilfsgrße (Index A bzw. I fr Außenbzw. Innenteil): K¼
EA 1 þ Q2I 1 þ Q2A vI þ þ vA : 2 E I 1 QI 1 Q2A
I1.4 Elastizittsmoduln EA und EI , Durchmesserverhltnisse QA ¼ DF =DaA und QI ¼ DiI =DF , Querdehnzahlen vA und vI (v 0;3 fr St; v 0;25 fr GG 20 bis GG 25). Das wirksame bermaß jPw j ist infolge Glttung von Rauheitsspitzen beim Fgen kleiner als die vor dem Fgen messbare Istpassung jPi j, die aufgrund der Zeichnungsabmaße von Wellendurchmesser und Nabenbohrung zwischen den Gren^ Sofern keine experimen und jPj ^ liegt; jPj % jPi j % jPj: zen jPj tellen Werte vorliegen, gilt fr Lngs- und Querpressverbnde jPw j ¼ jPi j 0;8ðRzA þ RzI Þ mit den gemittelten Rauhtiefen der Fgeflchen RzA bzw. RzI . Sind die Mittenrauhwerte Ra vorgegeben, so knnen hierfr die nach Beiblatt 1 zu DIN 4768 Teil 1 ermittelten Mittelwerte der gemittelten w j=DF ¼ Rauhtiefe Rz eingesetzt werden. Wegen xw ¼ jP w j ¼ jPj 0;8ðRzA þ RzI Þ ist bei gegebener PasKp=EA und jP das wirksame bermaß jP w j und der Fugendruck p sung jPj bestimmt oder bei gegebenem Fugendruck p das wirksame berechenbar, wenn die w j bzw. die Passung jPj bermaß jP Hauptabmessungen von Außen- und Innenring festliegen. ^ w j=DF ¼ K^p=EA , sodass mit gegebener Analog gilt ^xw ¼ jP ^ der hchste Fugendruck ^p bekannt ist. PassungsPassung jPj beispiele s. F 1.6 Tab. 17. Die hchste Radialspannung sr ¼ ^p tritt an der Fuge des Außen- und Innenteils auf (Bild 32), die hchste Umfangsspannung im Außenring betrgt wieder an der Fuge p=ð1 Q2A Þ, die hchste Tangentialspannung sjA ¼ ð1 þ Q2A Þ^ am Innenring betrgt sjI ¼ 2^p=ð1 Q2I Þ fr QI > 0 und liegt am Innenrand bzw. sjI ¼ ^p berall fr eine Vollwelle mit QI ¼ 0: Nach der Schubspannungshypothese (SH) ergeben sich damit die hchsten Vergleichsspannungen im Außenring zu sv ¼ 2^ p=ð1 Q2A Þ; im Innenring mit QI > 0 zu sv ¼ 2^ p=ð1 Q2I Þ bzw. der Vollwelle zu sv ¼ ^p. Diese Ver-
Reibschlussverbindungen
G 27
gleichsspannungen werden nach DIN 7190 mit den Festigpffiffiffi pffiffiffi keitskennwerten (2ReLA = 3Þ bzw. ð2ReLI = 3Þ (modifizierte SH) verglichen, die mit den unteren Streckgrenzen ReL von Außenteil p=ð1 Q2A Þ% pffiffiffi und Innenteil festliegen; pz. ffiffiffi B. 2^ 2ReLA =ð 3 SPA Þ; ^ p % ð1 Q2A ÞReLA =ð 3 SPA Þ mit der SollSicherheit SP gegen plastische Dehnung. Analoge Bewertung fr Innenring oder Vollwelle. Flussplan fr elastische Auslegung [24]. Fr duktile Werkstoffe mit einer Bruchdehnung A ^ 10% und einer Brucheinschnrung ^30% wird in DIN 7190 fr Vollwellen und EA ¼ EI ¼ E sowie uA ¼ uI ¼ u ein einfaches Berechnungsverfahren fr elastisch-plastisch beanspruchte Pressverbnde beschrieben. Dabei bildet sich im Außenteil eine innenliegende plastische Zone aus, die von einer außenliegenden elastischen Restzone durch eine Zylinderflche mit dem Plastizittsdurchmesser DPA getrennt wird (Bild 32). Der bezogene Plastizittsdurchmesser z ¼ DPA =DF wird durch pLsen der transzendenten Gleichung 2 ln z ðQA zÞ2 ffiffiffi þ1 3 p=ReLA ¼ 0 bestimmt, wobei 1 % z % 1=QA gelten muss. Das fr den Fugendruck p erforderliche bezogene wirksame bermaß xw ¼ jPw j=DF ergibt sich zu xw ¼ pffiffiffi 2z2 ReLA =ð 3 EÞ. Schließlich ist noch der Anteil der plastisch beanspruchten Ringflche qPA am gesamten Querschnitt qA des Außenteils zu berprfen, mit qPA =qA ¼ ðz2 1ÞQ2A =ð1 Q2A Þ % 0;3 fr hochbeanspruchte Pressverbnde im Maschinenbau. Kontrolle, ob Vollwelle rein elastisch unter Druck p bleibt, erfolgt wie bei elastisch beanspruchten Pressverbnden. Kontrolle gegen vollplastische Bepffiffiffi anspruchung des Außenteils mit p % 2ReLA =ð 3 SPA Þ fr pffiffiffi QA < 1=e ¼ 0;368 bzw. p % 2ReLA ðln QA Þ=ð 3 SPA Þ fr QA > 0;368 mit Soll-Sicherheit SPA gegen vollplastische Beanspruchung. Flussdiagramme s. DIN 7190.
Bild 30 a–m. Reibschlussverbindungen nach Niemann. a Klemmverbindung mit geschlitzter Nabe; b mit geteilter Nabe; c mit Hohlkeil; d Zylindrischer Pressverband; e lpressverband; f Pressverband mit kegeliger Spannbchse; g Kegelpressverband; h Spannverbindung mit Kegelspannringen (nach Ringfeder); i Spannsatz (nach Ringfeder); j Sternscheiben (nach Ringspann); k Wellenspannhlse (nach Spieth); l Schrumpfscheiben-Verbindung (nach Stwe); m Wellenspannhlse (nach Deutsche Star)
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G 28
Bild 31. (z=4)
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Mechanische Konstruktionselemente – 1 Bauteilverbindungen
Axial-(lngs-)belastete
zylindrische
Klemmverbindung
Die Abschtzung der Dauerfestigkeit von Welle-Nabe-Verbindungen erfolgt zweckmßig ber die Berechnung der Nennspannungsamplituden und der zugehrigen Mittelspannungen aus Biegung und Torsion in der Welle unter Bercksichtigung von Versuchsergebnissen an hnlichen Welle-Nabe-Verbindungen. In DIN 743-2 findet man Kerbwirkungszahlen fr Biegung bkb und Torsion bkt (s. a. C 10). Einen ersten berblick gibt Tab. 14. hnliche Kerbwirkungszahlen mssen auch fr vergleichbare Kegelpressverbnde und kommerziell erhltliche reibschlssige Welle-Nabe-Verbindungen mit Zwischenelementen (Bild 30 h–m) angenommen werden. Zusammenstellung von Kerbwirkungszahlen [24, 28]. Grobgestaltung. In der Regel lF =DF % 1;5, wenn Auslegung auf statische Drehmomentbeanspruchung, da grßere Lngen kaum hhere Rutschmomente ergeben. Bei wechselnden oder umlaufenden Biegemomenten lF =DF ^ 0;5 sowie mglichst volle Innenteile, um axiales Auswandern der Welle aus der Nabe durch Mikrogleiten zu vermeiden. Um große Drehmo-
Tabelle 13. Haftbeiwerte bei Querpressverbnden in Lngs- und Umfangsrichtung beim Rutschen (nach DIN 7190) fr Entwurfsberechnung
mente bertragen zu knnen, soll mglichst eine volle Welle mit einer nicht zu dnnwandigen Nabe ðQA % 0;5Þ gepaart werden. Der grßtmgliche Gewinn an Fugendruck p gegenber der rein elastischen Auslegung ergibt sich im Bereich 0;3 % QA % 0;4. Optimal gestaltete Pressverbnde fr wechselnde oder umlaufende Biegemomente erzielt man durch Verstrkung des Wellendurchmessers DW auf Fugendurchmesser DF nach DF =DW 1;1 bis 1,15 mit bergangsradien r nach r=DF 0;22 bis 0,18, wobei fr hochfeste Wellenwerkstoffe der jeweils rechte Grenzwert zu whlen ist [26]. Sofern kein Wellenabsatz vorgesehen werden kann, knnen sinngemß kreisfrmige Welleneinstiche mit etwas berstehender Nabe eingesetzt werden. Keinesfalls sollen jedoch Nuten oder Einstiche innerhalb des Pressverbands, z. B. fr Passfedern, vorgesehen werden. Falls Welle und Nabe aus Werkstoffen mit ungleichen elastischen Konstanten gefertigt werden, so soll die Welle den grßeren Elastizittsmodul aufweisen ðEI > EA Þ. Hinweis: Hydraulisch gefgte Verbnde drfen erst nach erfolgtem lfilmabbau (10 min bis 2 h) beansprucht werden. Fgetemperaturen fr Naben aus Baustahl niedriger Festigkeit, Stahlguss oder Gusseisen mit Kugelgraphit maximal 350 C, fr Naben aus hochvergtetem Baustahl oder einsatzgehrtetem Stahl maximal 200 C (DIN 7190). Grobgestaltung von Kegelpressverbnden. Bauart nach Bild 30 g. Die Kegelneigung (durchmesserbezogen nach DIN 254) ist auf jeden Fall selbsthemmend zu whlen, bei Stahl/Stahl-Paarung also kleiner oder gleich 1 : 5. Da das Außenteil bei Erstbelastung durch Drehmoment eine schraubenfrmige Aufschubbewegung ausfhrt, wird die wirksame Reibungszahl in axialer Richtung praktisch aufgehoben. Deshalb sind Kegelpressverbnde, die grßere Drehmomente bertragen mssen, axial zu verspannen, da sich sonst bei berschreiten des maximal zulssigen Drehmomentes auch ein „selbsthemmender“ Pressverband augenblicklich lst. Passoder Scheibenfedern, die zur Lagesicherung in Umfangsrichtung in Kegelpresssitzen eingesetzt werden, z. B. DIN 1448, DIN 1449, verhindern die schraubenfrmige Aufschubbewegung, womit der Fugendruck nicht voll zur Drehmomentbertragung genutzt werden kann: In hochbelasteten Kegelpressverbnden sollen damit keine Pass- oder Scheibenfedern vorgesehen werden. berschlgige Berechnung als zylindrischer Pressverband mit mittlerem Fugendurchmesser DFm und axialer Fugenlnge lF . Der zum bertragen von Mt mindest erforderliche Fugendruck pmin ¼ 2Mt Sr =½pD2Fm ðlF = cos bÞ mru mit der Soll-Sicherheit Sr gegen Rutschen und dem Kegelwinkel a=2b. Die dafr notwendige Einpresskraft Fe ^ pmin DFm plF ðtan b þ mrl Þ; die Lsekraft vor Belastung durch Drehmoment Mt folgt mit negativem mrl . Der erforderliche Aufschubweg w j und das wird durch das kleinste erforderliche bermaß jP ^ w j unter Bercksichtigung des grßte zulssige bermaß jP Kegelwinkels a=2b bestimmt. Berechnungen unter Berck-
Bild 32 a, b. Spannungsverteilung in elastischen Pressverbnden mit Hohlwelle. a vor dem Fgen; b nach dem Fgen. sj Umfangs-, sr Radialspannungen, p Fugendruck; Nabe nach Fgen elastisch oder teilplastisch
I1.4 sichtigung der Winkelabweichung zwischen Innen- und Außenteil s. [24]. Feingestaltung. Pressverbnde werden im Betrieb hufig durch wechselnde bzw. schwellende Torsion und/oder umlaufende Biegung beansprucht. Die schwingenden Momente knnen in der Fuge Gleitbewegungen (Schlupf) mit wechselnden Richtungen hervorrufen. Mit zunehmendem Schlupf wird die Dauerhaltbarkeit von reibschlssig gepaarten Bauteilen zum Teil stark vermindert [25]. Entsprechend dem Prinzip der abgestimmten Verformung knnen z. B. bei Torsionsbelastung nach F 1.4 Bild 18 die Relativverschiebungen zwischen Nabe und Welle durch eine geeignete Kraftfhrung und Nabengestaltung vermindert werden. Genaue Ermittlung der Fugenpressung und der Relativverschiebung ist mit Finite Elemente Rechnungen mglich. Pressverbnde mit geringer Kerbwirkung und großer Tragfhigkeit entstehen, wenn Gestaltung ðDF =DW ^ 1;1Þ, Fertigung (Nabe elastisch-plastisch) und Wrmebehandlung (induktives Randschichthrten, Einsatzhrten oder Gasnitrieren) zweckmßig gewhlt bzw. aufeinander abgestimmt werden, wie in [24] anhand von statistisch gut abgesicherten Dauerfestigkeitsversuchen gezeigt wird. Die relativ geringe Kerbwirkung bei elastisch-plastisch gefgten biegebelasteten Querpressverbnden gegenber elastisch gefgten besttigt den in [23, 25] beschriebenen Wirkmechanismus bei Reibdauerbeanspruchung, mit der Konsequenz, dass der Fugendruck zur Vermeidung von Relativverschiebungen mglichst hoch gewhlt werden soll, was bei zustzlich wirkender Torsion Maßnahmen zur Anpassung der Torsionssteifigkeit nach F 1.4 Bild 18 einschrnkt. Die optimale Gestaltung hngt dann vom Verhltnis der zu bertragenden Biegemoment-Amplitude Mba zur Torsionsmoment-Amplitude Mta ab. Zur Beurteilung kann bei Vermeidung von Reibkorrosion (vgl. C 10, Gl. (5)) die Interaktionsformel 2 2 Mba Mta 1 þ % ðMba Þertr ðMta Þertr SD genutzt werden [26], wenn die ertragbaren Biege- und Torsionsmoment-Amplituden ðMba Þertr und ðMta Þertr unter Beachtung der statischen Momentenanteile aus Versuchen bekannt sind; Sicherheit gegen Dauerbruch SD . Wegen des quadratischen Zusammenhangs dominiert in der Praxis hufig ein Belastungsanteil, sodass die konstruktiven Maßnahmen sich dann an der Hauptbelastungskomponente orientieren knnen. Wird ein Pressverband zustzlich durch Fliehkrfte beansprucht, so sind wegen der zustzlichen Aufweitung besonders der Nabe, verfeinerte Berechnungen zur Ermittlung des Tabelle 14. Kerbwirkungszahlen fr Pressverbnde (nach TGL 19340) mit Fugendurchmesser DF ¼ 40 mm [24], modifiziert
Reibschlussverbindungen
G 29
Fugendrucks eventuell erforderlich. – Vereinfachte Abschtzung nach DIN 7190 oder [22]. 1.4.3 Klemmverbindungen Leicht lsbare Klemmverbindungen entstehen im einfachsten Fall dadurch, dass eben begrenzte Teile durch Schraubenkrfte aufeinander gepresst werden. Solche einflchigen, ebenen Klemmverbindungen werden auch zur Feststellung von Gleitfhrungen nach T 1 Bild 52 in vielfltigen Formen herangezogen. Im Stahl- und Kranbau werden Klemmverbindungen als gleitfeste Verbindungen mit hochfesten Schrauben (GV-Verbindungen) eingesetzt. In GV-Verbindungen nach DIN 18 800 sind die Schrauben planmßig nach Norm vorzuspannen. Damit lassen sich in besonders vorbehandelten Berhrungsflchen der zu verbindenden Bauteile Krfte senkrecht zu den Schraubenachsen durch Reibung bertragen. Bei Verwendung mit hochfesten Passschrauben wird gleichzeitig die Kraftbertragung durch Abscheren und Lochleibungsdruck herangezogen (GVP-Verbindungen), s. G 1.5. Gleitfeste Verbindungen drfen mit einem Lochspiel Dd % 1 oder 2 mm (GV-Verbindungen) und mit einem Lochspiel Dd % 0;3 mm (GVP-Verbindungen) ausgefhrt werden. Nachweis der Tragsicherheit der Verbindungen und deren Gebrauchstauglichkeit nach Norm. Fr berschlgige Berechnungen kann eine Reibungszahl m ¼ 0;5 bei einer Sicherheitszahl SG gegen Gleiten von 1,25 (Hauptlasten) mit vorgeschriebener Reibflchenbehandlung (Stahlgusskiesstrahlen oder zweimal Flammstrahlen oder Sandstrahlen oder Aufbringen eines gleitfesten Beschichtungsstoffs) angewendet werden. Fr die Bauteilquerschnitte mit Lochschwchung darf dabei beim Allgemeinen Spannungsnachweis angenommen werden, dass 40% von der bertragbaren Kraft derjenigen hochfesten Schrauben, die im betrachteten Querschnitt mit Lochabzug liegen, vor Beginn der Lochschwchung durch Reibschluss angeschlossen sind (Kraftvorabzug). Außerdem ist der Vollquerschnitt mit der Gesamtkraft nachzuweisen. Klemmverbindungen mit zylindrischer Wirkflche nach Bild 31 oder Bild 33 (Bild 30 a) mit geschlitzter Nabe (Hebel) oder Bild 30 b mit geteilter Nabe bertragen Drehmomente Mt oder Axialkrfte Fax hnlich wie Pressverbnde (G 1.4.2), wenn im noch ungeklemmten Zustand eine bergangspassung und keine Spielpassung vorliegt. Bei einer Spielpassung liegt dagegen eine Linienberhrung vor. Geschlitzte Hebel nach Bild 33 werden nur zur bertragung geringer und wenig schwankender Drehmomente verwendet. Sie haben den Vorteil, dass die Hebel- oder Nabenstellung leicht in Lngs- und Umfangsrichtung verndert werden kann. Genaue Berechnung: [20, 21]. Entwurfsberechnung Fr Klemmverbindung nach Bild 31 mit z Schrauben und Vorspannkraft Fs je Schraube und Linienberhrung. bertragbare Lngskraft F ¼ 2mzFs =S. Wenn durch berlagerte Schwingbewegungen oder Stße die Reibungszahl m herabgesetzt werden kann, soll hierfr die Reibungszahl der Bewegung mr gewhlt werden. Anhaltswerte Tab. 13. Darf man annehmen, dass statt der Linienberhrung sich bei spielfreier Passung eine gleichmßig verteilte Flchenpressung p ber den Bohrungsumfang pd und die Klemmlnge l einstellt, dann betrgt die bertragbare Lngskraft F ¼ pmzFs =S: Die Reibungszahl m kann durch geeignete Oberflchenbehandlung, durch Carborundum-Pulver in der Fuge, oder einseitig geklebte oder genietete nichtmetallische Beilagen erhht werden. Fr Klemmverbindung mit exzentrischem Kraftangriff nach Bild 34. Zur Berechnung der Selbsthemmgrenze wird angenommen, dass das Biegemoment (kF) und die Lngskraft F
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G 30
Mechanische Konstruktionselemente – 1 Bauteilverbindungen
1.5 Formschlussverbindungen H. Mertens, Berlin 1.5.1 Formen, Anwendungen
G Bild 33. Momentenbelastete Klemmverbindung mit geschlitztem Hebel
Bild 34. Lngsbelastete Klemmverbindung mit exzentrischem Kraftangriff
Die einfachsten Verbindungselemente im Maschinenbau sind Stifte, Bolzen, Passfedern, Scheibenfedern, Keile [38–48]. Sie dienen zur Lagesicherung von Bauteilen gegeneinander, zur gelenkigen Verbindung und Lagerung, zur Kraftbertragung. Die Verbindungen entstehen durch das Ineinandergreifen von Teilekonturen der Verbindungselemente. Werden die Verbindungselemente in Bauteile integriert, so entstehen fertigungstechnisch aufwendigere, aber meist genauere und hher belastbare Formschlussverbindungen, wie z. B. Keil- und Zahnwellen-Verbindungen zwischen Welle und Nabe oder Stirnkerbverzahnungen zur Verbindung zwischen Wellen und Naben oder zur Verbindung von Wellen untereinander. Eine Demontage dieser Verbindungen ist meist mit nur kleinem Kraftaufwand mglich, wobei Vorzugsrichtungen bestehen. Nicht vorgespannte Formschlussverbindungen besitzen wegen des ungnstigen Kraftflusses und relativ starker Kerben meist eine sehr niedrige dynamische Tragfhigkeit. Die statische Tragfhigkeit ist dagegen bei geeigneter Werkstoffwahl wesentlich gnstiger einzuschtzen, sodass in der Praxis Kombinationen von Reibschlussverbindungen fr hufig auftretende Betriebslasten und Formschlussverbindungen fr seltene hohe Lasten vorkommen, z. B. starre Wellen-Flanschverbindungen mit Schrauben und Stiften. Als Sonderfall der Formschlussverbindungen knnen Nietverbindungen behandelt werden, deren Demontage z. B. durch Ausbohren der Niete mglich ist. 1.5.2 Stiftverbindungen
durch rtlich konzentrierte Krfte Fres in den ReibungskegelMantellinien an den Nabengrenzen im Abstand b aufgenommen werden. Bedingung fr sicheres Klemmen unter ruhender Kraft F: k ^ b=ð2mrl Þ, also mit mrl ¼ 0;07 fr St/St k ^ 7;0 b. Klemmen kann allerdings bei mrl ¼ 0;16 und Angriff des resultierenden Normalkrftepaars in der Bohrung im Abstand (2/3) b bereits bei k 2 b eintreten. Zur Berechnung der Flchenpressung wird eine lineare Flchenpressungsverteilung hnlich Bild 35 angenommen. Als Richtwert fr zulssige Flchenpressungen gelten pzul ¼ 50 bis 90 N=mm2 fr Paarung St/St und pzul ¼ 32 bis 50 N=mm2 fr St/GG.
Bild 35. Querkraftbelastete Steckverbindung mit linear angenommener Flchenpressungsverteilung
Stifte zur formschlssigen Verbindung von Naben, Hebeln, Stellringen auf Wellen oder Achsen und zur Lagesicherung von Verschraubteilen und als Steckstifte (einseitig eingespannte Biegetrger zur Krafteinleitung in Schraubenfedern, Zugseile u. a.) werden mit Lngs-Presssitz und bermaß in Bohrungen eingeschlagen. Bohrungen fr Zylinderstifte werden auf Passmaß aufgerieben; Bohrungen fr Spannstifte (Spannhlsen) werden mit H 12 und fr Kerbstifte i. Allg. mit H 11 gefertigt. Kegelstifte in vor der Montage gemeinsam geriebenen Bohrungen geben beste Lagesicherung. Die Toleranzfelder der Zylinderstift-Durchmesser (DIN EN 22 338) werden durch die Formen der Stiftenden unterschieden, Bild 36. Normen: DIN EN 22 339: Kegelstifte. – DIN EN 22 338: Zylinderstifte. – DIN 258: Kegelstifte, mit Gewindezapfen und konstanten Kegellngen. – DIN 1469: Passkerbstifte mit Hals. – DIN EN ISO 8 739: Zylinderkerbstifte mit EinfhrEnde. – DIN EN ISO 8 744: Kegelkerbstifte. – DIN EN ISO 8 745: Passkerbstifte. – DIN EN ISO 8 740: Zylinderkerbstifte. – DIN EN ISO 8 741: Steckkerbstifte. – DIN EN ISO 8 742: Knebelkerbstifte. – DIN EN ISO 8 746: Halbrundkerbngel. – DIN EN ISO 8 747: Senkkerbngel. – DIN 1481: Spannstifte (Spannhlsen), schwere Ausfhrung. – DIN 6325: Zylinderstifte, gehrtet, Toleranzfeld m6. – DIN EN ISO 8 750: Spiral-Spannstifte, Regelausfhrung. – DIN EN ISO 8 748: Spiral-Spannstifte, schwere Ausfhrung. – DIN 7346: Spannstifte (Spannhlsen), leichte Ausfhrung. – DIN EN 28 737: Kegelstifte, mit Gewindezapfen und konstanten Zapfenlngen. – DIN EN 28 736: Kegelstifte mit Innengewinde. – DIN EN ISO 8 733: Zylinderstifte mit Innengewinde. Steckstifte nach Bild 35 werden im Einspannquerschnitt vorwiegend auf Biegung mit Biegemoment Mb ¼ Fl beansprucht. Bei Annahme einer linearen Flchenpressungsverteilung zwischen Stift und Bohrung (starrer Stift) wird zustzlich zur
I1.5
Formschlussverbindungen
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Flchenpressung durch bermaß ein maximaler Druck pmax ¼ pd þ pb ¼ Fð4 þ 6l=tÞ=ðdtÞ errechnet. Genaueres Berechnungsmodell als gebetteter Balken mit Schubverformung [44]. Analoge berlegungen erlauben die Abschtzung der Flchenpressung pmax zwischen Querstift und Welle in einer Welle-Nabe-Verbindung unter Torsionsmoment Mt nach Bild 42 a zu pmax ¼ 6Mt =ðdD2 Þ. Richtwerte fr zulssige Flchenpressungen von Stiftverbindungen Tab. 15 und Spannungen Tab. 16. 1.5.3 Bolzenverbindungen Genormte Bolzen nach Bild 37 mit Durchmessern (3, 4, 5, 6), 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 24 . . . 100, dienen vielseitig als Achs- und Gelenkbolzen mit einem Freiheitsgrad, Bild 38. Normen: DIN EN 22 340: Bolzen ohne Kopf. – DIN EN 22 341: Bolzen mit Kopf. – DIN 1445: Bolzen mit Kopf und Gewindezapfen. – Nicht mehr fr Neukonstruktionen verwenden: ISO 2340: Bolzen ohne Kopf, Ausfhrung m, DIN 1434: Bolzen mit kleinem Kopf, Ausfhrung m, DIN 1435: Bolzen mit kleinem Kopf, Ausfhrung mg, DIN 1436: Bolzen mit großem Kopf, Ausfhrung mg.
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Entwurfsberechnung. Fr Bild 38: Bolzenbeanspruchung unter Biegemoment Mb ¼ ðF=2Þðb1 =2 þ b=4Þ; Flchenpressung innen p ¼ F=ðbdÞ, außen p ¼ F=ð2b1 dÞ; Schubspannung im Bolzen ts ¼ 2F=ðpd2 Þ wird meist vernachlssigt. Stangenund Gabelbeanspruchung aus Zugspannungen in Stangenoder Gabel-Restquerschnitten in Querebene durch Bolzenachse (Stangenkopfweite t, Laschenweite t1 ) sowie aus Tabelle 15. Richtwerte fr zulssige Flchenpressungen bei Bolzenund Stiftverbindungen
Bild 36. Genormte Stifte (Auswahl)
Bild 37. Genormte Bolzen (Auswahl)
Schubspannungen in Stangenkopf- und Laschenenden in den durch Abscheren gefhrdeten Lngsflchen b(h d/2) bzw. 2b1 ðh1 d=2Þ beiderseits des Bolzens. Richtwerte fr Abmessungen: b=d ¼ 1;5 . . . 1;7; b1 =d ¼ 0;4 . . . 0;5; h1 =d h=d ¼ 1;2 . . . 1;5; t1 =d t=d ¼ 2 . . . 2;5. Richtwerte fr zulssige Flchenpressungen Tab. 15 und Spannungen Tab. 16. Feingestaltung der Bolzenverbindung [45] – wie Passungswahl zwischen Bolzen, Lasche und Gabel – hat erheblichen Einfluss auf die angenommene Lastverteilung.
Tabelle 16. Richtwerte fr zulssige Biege- und Schubnennspannungen fr Bolzen und Stiftverbindungen
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Mechanische Konstruktionselemente – 1 Bauteilverbindungen
Bild 41 a, b. Flachkeilverbindung zum Verbinden von Stange und Hlse fr Zug- oder Druckbelastung. a Stange mit Bund; b Stange mit Konus
G Bild 38. Bolzenverbindung als Gelenk (mit vereinfachter Momentenverteilung als Berechnungsgrundlage). 1 Bolzen, 2 Gabel, 3 Stange, 4 Lasche
1.5.4 Keilverbindungen Formschlssige Verbindungen bentigen zumindest bei wechselnden Belastungen geeignet eingesetzte Vorspannkrfte, um spielfrei zu sein. Zum Verspannen wird i. Allg. die Keilwirkung mit Keilwinkeln im Bereich der Selbsthemmung gentzt (s. B 1.11). In Bild 39 wird eine Formschlussverbindung mit Kerbverzahnung durch eine Befestigungsschraube vorgespannt. Mit solchen Verbindungen kann z. B. der Werkzeugwechsel bei Drehmaschinen erleichtert werden, weil sich neben dem Reibschluss in Richtung der Zhne in den dazu senkrechten Richtungen das Werkzeug spielfrei positionieren lsst. In hnlicher Weise wirken Stirnzahn-Kupplungen mit Hirth-Verzahnungen (s. G 3 Bild 2 c). Zum Verbinden von Stangen miteinander werden Keilverbindungen nach Bild 40, zum Verbinden von Stangen mit Hlsen (z. B. Kreuzkpfen) oder Stangen mit Traversen Keilverbindungen hnlich Bild 41 a mit Anschlagbund an der Stange oder Bild 41 b mit Kegelpassung verwendet. Sie blockieren alle Freiheitsgrade, die ein Gelenk haben wrde.
Bild 39. Formschlussverbindung mit Kerbverzahnung
Feingestaltung der Keilverbindung unter Bercksichtigung der Verformung der zu verbindenden Teile in Anlehnung an die bei der Auslegung von Schraubenverbindungen bekannten Verspannungsschaubilder (z. B. Bild 66) mit Dauerschwingfestigkeitsberechnung. 1.5.5 Pass- und Scheibenfeder-Verbindungen Die Passfederverbindung ist die bei einseitiger (schwellender) Belastung am hufigsten verwendete Welle-Nabe-Verbindung, Bild 42 c. Bei geeigneter Passungswahl sind axiale Relativverschiebungen zwischen Nabe und Welle mglich, Bild 42 d; die Passfeder (Gleitfeder) wird in der Wellennut mit Zylinderschrauben festgelegt. Die billige Scheibenfeder (Bild 42 b) wird fr kleine Drehmomente verwendet, besonders bei Werkzeugmaschinen und Kraftfahrzeugen. Normen: DIN 6885 Bl. 1: Passfedern-Nuten, hohe Form. – DIN 6885 Bl. 2: Passfedern-Nuten, hohe Form fr Werkzeugmaschinen, Abmessungen und Anwendung. – DIN 6885 Bl. 3: Passfedern – niedrige Form, Abmessungen und Anwendung. – DIN 6888: Scheibenfedern, Abmessungen und Anwendung. – DIN 6892: Passfedern – Berechnung und Gestaltung. Entwurfsberechnung. Fr Passfeder nach Bild 42 c: Flchenpressung p zwischen Passfeder und Nabe: p ¼ 2Mt = ½Dðh t1 Þltr mit Torsionsmoment Mt , Wellendurchmesser D, Passfederhhe h, Wellennuttiefe t1 und tragender Lnge ltr . Tragende Lnge ltr von Passfederstirnform (geradestirnig, rundstirnig) abhngig. Wegen der Fertigungstoleranzen und zur Vermeidung von Doppelpassungen wird i. Allg. nur eine Passfeder eingesetzt. Fr seltene hohe Drehmomente und bei zhem Werkstoffverhalten wird manchmal auch eine zweite Passfeder zugelassen und so gerechnet, als ob eineinhalb Passfedern tragen wrden. Richtwerte fr zulssige Flchenpressungen nach [42]: Fr GG-Nabe pzul % 50 N=mm2 fr ltr =D ¼ 1;6 . . . 2;1; St-Nabe pzul % 90 N=mm2 fr ltr =D ¼ 1;1 . . . 1;4, wobei in Einzelfllen fr seltene hohe Sonderlasten auch p ¼ 200 N=mm2 zulssig sind. Dauerfestigkeit der Welle mit Kerbwirkungszahlen bk nach Zusammenstellung in [43]. Anhaltswerte: Wellendurchmesser D=34 mm, Welle Ck 35/St 50; Biegung bkb ¼ 2;4 . . . 2;6, Torsion bkt ¼ 1;7 . . . 1;8, wobei die Nennspannungen mit dem Außendurchmesser der Welle berechnet werden. Mit wachsendem Durchmesser steigen die Kerbwirkungszahlen!
Bild 40. Querkeilverbindung zum Verbinden von Stangen unter Zugbelastung
Grobgestaltung. Passungen fr Passfedern mit Toleranzfeld h 9 nach DIN 6885: Gleitsitz (Nutenbreite H 9 fr Welle, D 10 fr Nabe; Nenndurchmesser g 6 fr Welle, H 7 fr Nabe); bergangssitz, leicht montierbar (Nutenbreite N 9 fr Welle, JS 9 fr Nabe; Nenndurchmesser h 7 fr Welle, H 8 fr Nabe); fester Sitz, noch gut abziehbar, fr niedrige wechselnde Momente (Nutenbreite P 9 fr Welle und Nabe; Nenndurchmesser
I1.5
Formschlussverbindungen
G 33
G Bild 42 a–l. Formschlussverbindungen nach [42]. a Querstift; b Scheibenfeder; c Passfeder; d Gleitfeder; e Keilwelle (Zahnwelle); f Kerbzahnprofil; g Polygonprofil; h Kegelstift (Stirnkeil); i Scheibenkeil; j Flachkeil; k Nasenkeil; l Tangentkeile. h bis l vorgespannter Formschluss
j 6 fr Welle, H 7 fr Nabe); fester Sitz, schwer abziehbar (Nutenbreite P 9 fr Welle und Nabe; Nenndurchmesser fr Welle k 6 und Nabe H 7). Wie bei den reibschlssigen Welle-NabeVerbindungen (s. F 1.4 Bild 18) kann durch einen gnstigen Kraftfluss die Flchenpressung zwischen Passfeder und Nabe vergleichmßigt werden, wenn bei relativ dnnen Naben die Drehmomenteinleitung und -abnahme konstruktiv entkoppelt werden. Bei dickwandigen und normalen Naben (mit Di =Da % 0;6) hngt die maximale Flchenpressung kaum vom Ort der nabenseitigen Lastabnahme ab. Bei Gleitfedern sind zur Vermeidung von Verschleiß die Oberflchen von Welle und Passfeder eventuell hrter auszufhren als die der Nabe. Feingestaltung. berschlgige und verfeinerte Berechnungen nach DIN 6892. Maßnahmen zur Dauerfestigkeitssteigerung durch Nuten mit grßeren Kerbgrundradien sind nur sinnvoll, wenn nicht Schwingungsverschleiß aus Umlaufbiegung vorzeitig zum Bruch der Welle fhrt. Entwurfsberechnung fr Scheibenfeder nach Bild 42 b: Analog Passfederverbindung, allerdings mit hherer Wellenschwchung. Zuordnung von Scheibenfeder und Wellendurchmesser nach DIN 6888: Fr Scheibenfedern, die vorrangig zur Feststellung der Lage der Nabe gegenber Welle dienen, werden grßere Wellendurchmesser vorgesehen als fr lediglich drehmomentbertragende Scheibenfedern. Werden Scheibenfedern in Verbindung mit Kegelpressverbindungen eingesetzt, so sind sie grundstzlich fr das gesamte Drehmoment zu bemessen (s. auch G 1.4.2). 1.5.6 Zahn- und Keilwellenverbindungen Fr hohe wechselnde oder stoßende Drehmomentbelastungen sind Passfeder- und Stiftverbindungen ungeeignet, außerdem bewirken diese i. Allg. mehr oder weniger starke Unwuchten. Hhere Drehmomente lassen sich mit Zahn- und Keilwellenverbindungen (Bild 42 e) oder Kerbverzahnungen (Bild 42 f) bertragen. Normen: DIN ISO 14: Keilwellen-Verbindungen mit geraden Flanken und Innenzentrierung (frhere Ausgaben DIN 5461, DIN 5462, DIN 5463). – DIN 5466-1: Tragfhigkeitsberechnung von Zahn- und Keilwellen-Verbindungen, Grundlagen. – DIN 5471 bis 5472: Werkzeugmaschinen; Keilwellen- und Keilnabenprofile mit 4 bzw. 6 Keilen, Innenzentrierung, Maße. – DIN 5480: Zahnwellen-Verbindungen mit Evolventenflanken. – DIN 5481: Kerbzahnnaben- und KerbzahnwellenProfile (Kerbverzahnungen). Feingestaltung. Tragfhigkeitsberechnung fr flankenzentrierte Zahn- und Keilwellenverbindungen mit Spiel- und bergangspassung nach DIN 5466-1 (Entwurf) einschließlich
Abschtzung des Verschleißverhaltens. Nachrechnung der Nabe auf Aufweitung – insbesondere bei Kerbverzahnung. 1.5.7 Polygonwellenverbindungen Whrend bei den Keil- und Zahnwellen-Verbindungen ausgeprgte Formschlusselemente (Keile, Zhne) die Kerbwirkung hinreichend bekannt ist, wird sie bei Wellen mit Polygonprofil Bild 42 g stark unterschtzt [46]. In der Praxis werden vor allem die genormten P3G- und P4C-Profile nach DIN 32 711 und DIN 32 712 eingesetzt. Naben mit P4C-Profil lassen sich unter Drehmomentbelastung relativ zur Welle verschieben, was bei P3G-Profilen nicht mglich ist. Da die Naben durch die Keilwirkung der Polygonflchen sehr hoch beansprucht werden, werden hufig gehrtete Stahlnaben eingesetzt; hierfr kommt nur das innenschleifbare P3G-Profil in Betracht. Normen: DIN 32 711: Antriebselemente; Polygonprofile P3G. – DIN 32 712: Antriebselemente; Polygonprofile P4C. 1.5.8 Vorgespannte Welle-Nabe-Verbindungen Bauformen nach Bild 42 h bis l. Sie verbinden hnlich wie Keilverbindungen nach G 1.5.4 den Vorteil des Formschlusses mit der Vorspannung, neigen aber zur Exzentrizitt zwischen Welle und Nabe; auch als Hohlkeil ohne Nut in Welle mit nur Reibschluss (G 1.4). Normen: DIN 268: Tangentkeile und Tangentkeilnuten, fr stoßartige Wechselbeanspruchungen. – DIN 271: Tangentkeile und Tangentkeilnuten, fr gleichbleibende Beanspruchung. – DIN 6883: Flachkeile. – DIN 6884: Nasenkeile. – DIN 6886: Keile, Nuten. – DIN 6887: Nasenkeile, Nuten. – DIN 6889: Nasenhohlkeile. Entwurfsberechnung. Das durch Reibschluss bertragbare Drehmoment ist von der Eintreibkraft des Keils abhngig und damit z. B. bei Hohlkeilen ungewiß. Formschlssige vorgespannte Verbindungen werden deshalb nur auf Formschluss nachgerechnet und die Spielfreiheit fr schwankende bzw. wechselnde Belastungen ber eine erfahrungsabhngige zulssige Flchenpressung bercksichtigt. Anhaltswerte: G 1.5.4. Mit Ausnahme der Tangentkeile eignen sich verspannte Welle-Nabe-Verbindungen nur zur bertragung kleinerer Drehmomente sowie zur axialen Fixierung. Sie sind nur bei verhltnismßig geringen Umfangsgeschwindigkeiten einsetzbar, da die einseitige Verspannung einerseits zu grßeren Unwuchtbeitrgen fhrt, andererseits die Fliehkrfte der Nabe die Verspannung mindern. Bei Tangentkeilen ist zu beachten, dass im Rahmen der Entwurfsberechnung nur ein Keilpaar das Drehmoment aufnimmt und bei geteilten Naben die Trennfuge den 120-Winkel halbiert.
G 34
Mechanische Konstruktionselemente – 1 Bauteilverbindungen
1.5.9 Axiale Sicherungselemente Sicherungselemente auf Wellen oder Achsen dienen zur Lagesicherung oder zur Fhrung mit zum Teil erheblichen Axialkrften. Die gleiche Funktion bernehmen Wellenbunde, Wellenmuttern und Deckel. In Bild 43 sind Sicherungselemente mit Reib- und Formschluss zusammengestellt. Fr große Krfte werden vorzugsweise formschlssige Sicherungen eingesetzt. Normen: siehe Bild 43.
G
Entwurfsberechnung. Belastbarkeit der Sicherungselemente entweder nach entsprechenden Normen oder Firmenunterlagen [47]. Sicherungsringe nach DIN 471 erfordern getrennte Berechnungen fr die Tragfhigkeiten von Nut und Sicherungsring [43] sowie die Kontrolle der vom Wellendurchmesser abhngigen Ablsedrehzahl. Die in der Norm angegebenen Tragfhigkeiten enthalten keine Sicherheiten gegen Fließen bei statischer Beanspruchung und gegen Dauerbruch bei schwellender Beanspruchung; gegen Bruch bei statischer Beanspruchung ist eine mindestens zweifache Sicherheit vorhanden. Es werden fr die axiale Tragfhigkeit des Sicherungsrings Zahlenwerte fr scharfkantige Anlage und Anlage mit Schrgung oder Rundung angegeben. Fr die Minderung der Dauerschwingfestigkeit der Wellen durch axialkraftbelastete Sicherungsringe liegen Untersuchungsergebnisse vor [39].
Bild 44. Schlagen einer einschnittigen Vollnietverbindung; 1 Dpper, 2 Niederhalter zum Blechschließen bei Maschinennietung, 3 Schließkopf (als Halbrundkopf nach DIN 124), 4 Setzkopf, 5 Gegenhalter
1.5.10 Nietverbindungen Nieten ist ein Fgen durch Umformen eines Verbindungselements, wobei eine i. Allg. unlsbare und zumindest bei hohen Belastungen formschlssig tragende Verbindung der zu fgenden Teile entsteht [42]. Je nach Art des Niets und seiner Zugnglichkeit kann das Umformen durch axiales Stauchen (Schlagen) des Schafts eines Vollniets und Anstauchen eines Schließkopfes (Bild 44), durch Anbrdeln oder Aufweiten eines Bunds an einem Hohlniet sowie durch Stauchen eines Schließrings um den Schließringbolzen eines zweiteiligen Nietverbindungselements erfolgen, Bild 45 und 46. Technische Zeichnungen fr Metallbau DIN ISO 5261. Als dichte und kraftbertragende Verbindung ist die Nietverbindung bei Kesseln, Behltern und Rohren mit hohem Innendruck in den letzten 50 Jahren weitgehend durch die Schweißverbindung ersetzt worden. Auch im Stahlbau ist die Bedeutung gegenber Schweißverbindungen und hochfesten HVSchraubenverbindungen (formschlssig und/oder reibschlssig) zurckgegangen. Die klassische Niettechnik verursacht relativ hohe Zeitkosten und ein hohes Maß an Erfahrung, besonders beim Erzielen dichter berlappungsstße. Im Leicht-
Bild 45. Genormte Nietformen (Auswahl)
metallbau werden hochbeanspruchte Teile aus LeichtmetallLegierungen vereinzelt statt durch Nieten durch Schmelzschweißen oder gar Kleben verbunden, wenngleich diese Verbindungen Nachteile aufweisen. Durch die hheren Temperaturen beim Schweißen knnen Gefgenderungen, Eigenspannungen und Verzug auftreten, beim Kleben muss der Temperatureinsatz und das Kriechverhalten beachtet werden. Bisweilen erhalten Klebeverbindungen zustzliche Niete zur Erhhung der Sicherheit gegen Schlen. Auch werden Nieten noch dort angewandt, wo z. B. die Verbindung von Stahl mit Aluminium ein Schweißen unmglich macht (fr dichte Verbindungen in Blechschornsteinen oder Rohren ohne inneren berdruck) [38].
Bild 43 a–g. Axiale Sicherungselemente. a Splinte; b Sicherungsringe; c Achshalter; d Stellringe; e Klemmringe; f selbstsperrender Sicherungsring; g selbstsperrender Dreieckring
I1.6
Schraubenverbindungen
G 35
Bild 47. Beispiel einer Doppellaschennietung (zweischnittig)
Bild 46 a–d. Blindnietformen und Schließringbolzen-Verbindung. a DIN 7337 Blindniet; b POP-Becher-Blindniet; c Sprengniet; d Passniet DIN 65 155. 1 Nietdorn, 2 Sollbruchstelle
Wenn mglich werden Vollniete meist durch Hohlniete, Blindniete und Schließring-Bolzen-Verbindungen aus Stahl oder Aluminium ersetzt. Blindniete nach Bild 46 knnen von einer Seite aus gesteckt und angeschlossen werden. Die frher blichen Sprengniete werden heute durch neue Systeme wie Hohlniete mit Durchzieh-Nietdorn, Becher-Blindniete (luftund wasserdicht aufgrund der becherfrmigen Nietschaftausfhrung) oder Modifikationen abgelst [48]. Diese Nietsysteme bentigen geeignete Nietwerkzeuge, die ebenfalls von den Nietherstellern angeboten werden. Schließringbolzen-Verbindungen nach Bild 46 setzen voraus, dass die zu verbindenden Teile von beiden Seiten zugnglich sind, whrend das Verarbeitungswerkzeug i. Allg. nur von einer Seite angreift. Es packt den in die vorbereitete Bohrung eingefhrten Bolzen außerhalb des Schließrings im geriffelten Zugteil E an, bt eine Zugkraft auf den Bolzen aus, whrend es gleichzeitig eine Druckkraft auf den konischen Ansatz des Schließrings ausbt. Dadurch werden bei Bettigung des Werkzeugs zunchst die zu verbindenden Teile mit der im Bolzen zulssigen Zugkraft zusammengedrckt und anschließend der Schließring in die Schließrillen im Teil C eingestaucht. Ist die Verformung des Schließrings beendet, reißt der Zugteil des Bolzens in der Sollbruchstelle D ab. Entwurfsberechnung. Zur Auslegung sind die jeweils gltigen Berechnungsvorschriften zu beachten. Fr Stahlbauten DIN 18 800-1, fr Krane DIN 15 018-1, fr sthlerne Straßenbrcken DIN 18 809, fr Aluminiumkonstruktionen DIN 4113-1, fr Luftfahrt DIN 29 730-1, DIN 29 731-1. Nietverbindungen nach Bild 47 versagen bei statischer Belastung, wenn die Scherfestigkeit des Nietwerkstoffs oder die Lochleibungsfestigkeit des Bauteilwerkstoffs berschritten werden, auch wenn die Lochleibungsverformung zu groß wird. Zur vereinfachten Auslegung werden in den Vorschriften Randund Lochabstnde e1 , e2 , e3 , e abhngig vom Lochdurchmesser dL und/oder der kleinsten zu verbindenden Materialdicke t angegeben. Dieselben Vorschriften gelten auch fr HV-Verbindungen! Bei Stabanschlssen drfen in Kraftrichtung hchstens sechs Schrauben oder Nieten hintereinander angeordnet werden. Gestaltungshinweise Normenbersicht zu Nieten nach DIN 4000-9: SachmerkmalLeisten, Leiste Nr. 3; Auswahl: DIN 124: Halbrundniete. – DIN 302: Senkniete. – DIN 660: Halbrundniete. – DIN 661: Senkniete. – DIN 662: Linsenniete. – DIN 674: Flachrundniete. – DIN 675: Flachsenkniete. – DIN 6791: Halbhohlniete mit Flachrundkopf. – DIN 6792: Halbhohlniete mit Senkkopf. – DIN 7337: Blindniete mit Sollbruchdorn. – DIN 7338:
Niete fr Brems- und Kupplungsbelge. – DIN 7339: Hohlniete, einteilig. – DIN 7340: Rohrniete. – DIN 65 155: Passniete. – DIN 65 156: Passniete. Wo Stahlniete mit d1 > 10 mm verwendet werden, mssen sie i. Allg. vor dem Nieten auf Hellrotglut erwrmt werden. Kleinere Stahlniete etwa bis 10 mm Durchmesser, Leichtmetall-, Messing- und Kupferniete werden kaltgeschlagen. Nietwerkstoff und Fgeteilwerkstoff mssen mit Rcksicht auf Korrosionsbestndigkeit aufeinander abgestimmt werden. Tabelle 17 gibt eine Zuordnung Nietwerkstoff-Fgeteilwerkstoff nach [38] wieder. Oft muss der Korrosionsschutz durch einen (abdichtenden) Anstrich verbessert werden. Besondere Vorschriften fr Luftfahrt (v. a. LN 9198) und den Hochbau (DIN 18 801) sind zu beachten.
1.6 Schraubenverbindungen H. Mertens, Berlin 1.6.1 Aufgaben Eine Schraubenverbindung [49–61] ist eine lsbare Verbindung von zwei oder mehreren Teilen durch eine oder mehrere Schrauben. Die wichtigsten Verbindungsarten zeigt Bild 48 [53]. Die Befestigungsschrauben dieser Schraubenverbindungen mssen die auf die Teile wirkenden ruhenden oder schwingenden Betriebskrfte ohne nennenswerte Relativbewegungen der Teile gegeneinander sicherstellen, sofern nicht Formschlusselemente nach G 1.5 oder Zentrierbunde teilweise diese Aufgabe bernehmen. Sollen dagegen definierte Relativbewegungen zwischen den Teilen erzielt werden, so eignen sich dafr Bewegungsschrauben, durch die Drehbewegungen in Lngsbewegungen umgesetzt werden; wie z. B. bei Werkzeugmaschinenspindeln oder Schraubstcken. 1.6.2 Kenngrßen der Schraubenbewegung Beim Anziehen oder Lsen von Befestigungsschrauben bzw. Bettigen von Bewegungsschrauben wird eine Schraubenbewegung (Schraubung) um und lngs einer festen Achse, der Schraubenachse, ausgefhrt. Bei einer vollen Schraubenumdrehung entsteht lngs der Schraubenachse eine (relative) Tabelle 17. Zuordnung Niet- und Fgeteilwerkstoffe [38]
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G 36
Mechanische Konstruktionselemente – 1 Bauteilverbindungen
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Bild 48. Einteilung der Verbindungsarten [53]
Bild 49. Schraubenspindel mit zweigngigem Flachgewinde. Ph Steigung, P Teilung (Ph ¼ 2P), bm mittlerer Steigungswinkel
Axialverschiebung, die der Steigung Ph (flank lead) in Bild 49 entspricht. Die Abwicklung einer auf einem Zylinder mit dem Radius rm ¼ dm =2 liegenden Schraubenlinie ergibt eine ansteigende Gerade mit dem Steigungswinkel bm mit tan bm ¼ Ph =ðpdm Þ. Allgemein ergibt sich fr den Radius r der Steigungswinkel b zu tan b ¼ ðrm =rÞ tan bm , er ist fr kleinere Radien grßer als fr grßere. Der achsparallele Abstand aufeinanderfolgender gleichgerichteter Flanken heißt Teilung P (flank pitch). Bei eingngigem Gewinde ist die Steigung Ph gleich der Teilung P. Fr n-gngiges Gewinde gilt Ph ¼ nP. 1.6.3 Gewindearten bersicht zu allgemein oder fr grßere Sondergebiete angewendete Gewinde in DIN 202. Fr zylindrische Gewinde sind Begriffe und Definitionen in DIN 2244 festgelegt (Deutsch, Englisch, Franzsisch). Das Gewindeprofil ist der Umriss eines Gewindes im Achsschnitt, die Gewindeflanken sind in der Regel die geraden Teile des Gewindeprofils, die nicht zur Schraubenachse parallel sind.
zeichnet. Mit dem Kerndurchmesser d3 wird der Kernquerschnitt A3 ¼ pd32 =4 berechnet. Auf dem Flankendurchmesser d2 des Bolzens bzw. D2 der Mutter haben die Gewinderille und der Gewindezahn in Achsrichtung gleiche Breite. Fr den (mittleren) Steigungswinkel gilt: tan b ¼ P=ðpd2 Þ: H ist die Hhe des theoretischen, scharf geschnittenen Dreieckprofils mit dem Flankenwinkel a ¼ 60. Die Flankenberdeckung H1 wird auch Gewindetragtiefe genannt. Der Ausrundungsradius am Außendurchmesser der Mutter ist nicht vorgeschrieben, da er sich aus der Fertigung zwangslufig ergibt und weil die Beanspruchungen dort nicht so groß sind. Als Bezugsquerschnitt fr Festigkeitsberechnungen wird der Spannungsquerschnitt AS ¼ pðd2 þ d3 Þ2 =16 bentigt. In DIN 14 sind metrische ISO-Gewinde fr Durchmesser unter 1 mm genormt. In Anh. G 1 Tab. 4 sind Nenndurchmesser d, Steigung P, Kernquerschnitt A3 und Spannungsquerschnitt AS fr Auswahlreihen von (metrischen ISO-)Regel- und Feingewinden nach DIN 13 T 12 und T 28 zusammengestellt. DIN 13 T12 wurde in DIN ISO 261 integriert. Regelgewinde, d. h. Gewinde mit grßerer Steigung, sind hinsichtlich der Belastbarkeit gegenber Feingewinden zu bevorzugen. Das Whitworth-Rohrgewinde nach DIN 259 T 1 bis 5, DIN ISO 228, mit zylindrischem Innen- und Außengewinde wird noch fr Rohre und Rohrverbindungen verwendet, es ist nicht selbstdichtend. Fr Neukonstruktionen ist DIN EN ISO 228-1 zu verwenden. Fr selbstdichtende Verbindungen knnen bei Gewindedurchmessern bis 26 mm kegelige Außengewinde
Spitzgewinde fr Befestigungsschrauben Das Metrische ISO-Gewinde nach DIN 13-19 ist ein verbessertes und weltweit vereinheitlichtes Gewinde. Das Fertigungsprofil fr Bolzen und Mutter (Nullprofil bei Gewindepassung ohne Flankenspiel) s. Bild 50. Der Außendurchmesser d des Bolzengewindes ist gleich dem Außendurchmesser D des Muttergewindes; er wird auch als Nenndurchmesser be-
Bild 50. Metrisches ISO-Gewinde (DIN 13 T 19). D1 ¼ d 2H1 ; d2 ¼ D2 ¼ d 0;64952P; d3 ¼ d 1;22687P; H ¼ 0;86603P; H1 ¼ 0;54127P; h3 ¼ 0;61343P; R ¼ H=6 ¼ 0;14434P
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Bild 51. Metrisches ISO-Trapezgewinde (DIN 103-1). D1 ¼ d 2 H1 ¼ d P, H1 ¼ 0,5 P, H4 ¼ H1 þ ac ¼ 0,5 P þ ac , h3 ¼ H1 þ ac ¼ 0,5 P þ ac , z ¼ 0,25P ¼ H1 =2, D4 ¼ d þ 2 ac , d3 ¼ d 2 h3 , d2 ¼ D2 ¼ d 2z ¼ d 0,5 P, R1 ¼ max 0,5 ac , R2 ¼ max ac , ac ¼ Spiel ðIndex c von crest = SpitzeÞ
nach DIN 158, z. B. fr Verschlussschrauben und Schmiernippel eingesetzt werden. Whitworth-Rohrgewinde fr Rohrverschraubungen auch nach DIN 3858. Flachgewinde fr Bewegungsschrauben Das Trapez- und Sgengewinde fhren zu geringerer Reibung zwischen Bolzen und Mutter als das Spitzgewinde. Die Nennprofile von Bolzen und Mutter eines Metrischen Trapezgewindes nach DIN 103-1 mit Spiel im Außen- und Kerndurchmesser und ohne Flankenspiel mit genormten Bezeichnungen s. Bild 51. Das Trapezgewinde ist flankenzentriert und sollte deshalb nur durch Lngskrfte (und Drehmomente) belastet werden; es sperrt bei Verkantung. Mehrgngige Trapezgewinde haben das gleiche Profil wie eingngige Gewinde mit der Steigung Ph ¼ Teilung P. Anh. G 1 Tab. 5 enthlt Nennmaße fr Trapezgewinde. Das Metrische Sgengewinde nach DIN 513-1 mit asymmetrischem Gewindeprofil hat tragende Gewindeflanken mit Teilflankenwinkeln (Winkel zwischen Flanke und der Senkrechten zur Gewindeachse im Achsabschnitt) von 3 und Spiel im Kerndurchmesser und zwischen den nichttragenden Gewindeflanken. Rundgewinde, Wlzschraubtriebe Rundgewinde (allgemein DIN 405 oder mit großer Tragtiefe nach DIN 20 400) werden fr Befestigungs- und Bewegungsschrauben bei Gefahr von Verschmutzung verwendet. Noch geringere Reibmomente als Sgengewinde weisen Wlzschraubtriebe mit Wlzkrpern zwischen den Schraubenflchen von Mutter und Spindel auf; die Erzeugenden der Schraubenflchen sind meist gekrmmte Linien (z. B. Kreisbogen oder gotisches Profil) [59].
Schraubenverbindungen
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-freistiche auch fr Gewindegrundlcher (Sackbohrungen) nach DIN 76. Die Schaftform wird durch die Fertigung oder zustzliche Anforderungen festgelegt. Bei Dehnschaftschrauben (Dehnoder Taillenschrauben) mit hoher Nachgiebigkeit ist der Schaftdurchmesser kleiner als der Kerndurchmesser. Bei Passschrauben (z. B. Sechskant-Passschrauben nach DIN 609) wird der Schaftdurchmesser mit Passsitz (z. B. k6) zur Lagesicherung ausgefhrt. Bei Vollschaftschrauben ist der Schaftdurchmesser gleich dem Gewindedurchmesser, bei Dnnschaftschrauben ungefhr gleich dem Flankendurchmesser (Durchmesser des Ausgangsmaterials fr gerolltes Gewinde). Stiftschrauben (Bild 52 b). Sie haben ein 2 d-langes Einschraubende nach DIN 835 zum Einschrauben vorwiegend in Aluminiumlegierungen, ein 1;25 d-langes Einschraubende nach DIN 939 zum Einschrauben in Gusseisen oder ein 1 dlanges Einschraubende nach DIN 938 zum Einschrauben vorwiegend in Stahl. Schraubenbolzen. DIN 2509. Sie dienen z. B. zum Verbinden von Teilen mit Hilfe beiderseits aufgeschraubter Muttern. Ein Zweikantzapfen an einem Gewindeende soll die Mglichkeit geben, ein Drehen des Schraubenbolzens bei der Montage zu verhindern. Schraubenbolzen und Durchsteckschrauben erfordern Durchgangslcher , die nach den jeweiligen konstruktiven Gegebenheiten festgelegt werden; Durchgangslcher nach DIN EN 20 273 (fein, mittel, grob; z. B. dh = 10,5 mm, = 11 mm, = 12 mm fr M 10). Gewindestifte. Diese besitzen durchgehendes Gewinde, einen Schlitz oder Innen-Sechskant auf der einen Seite und Kegelkuppe (DIN EN ISO 2342, 24 766 bzw. 4026), Zapfen (DIN EN ISO 27 435 bzw. DIN EN ISO 4028), Ringschneide (DIN EN 27 436 bzw. DIN EN ISO 4029) oder Spitze (DIN EN 27 434 bzw. DIN EN ISO 4027) auf der anderen Seite. Sie werden auch mit Druckzapfen nach DIN 6332 hergestellt und eignen sich als Bauelemente fr Spannschrauben mit Kreuzgriff nach DIN 6335, Sterngriff nach DIN 6336 und Kegelgriff nach DIN 99 (bis M 24) oder mit Druckstck nach DIN 6311. Schraubensonderformen (Bild 52 c). Sie haben z. B. Passsitz und geriffelte Drehsicherung; s. auch DIN 4000-2 (Sachmerkmal-Leisten fr Schrauben und Muttern). DIN 7999 (Sechskant-Passschrauben, hochfest, mit großen Schlsselweiten fr Stahlkonstruktionen). Muttern. Im Maschinenbau werden am hufigsten Sechskantmuttern verwendet; die frher bliche Hhe von 0,8 d galt fr Muttern aus Stahl nach DIN 934. Fr Neukonstruktionen sind
1.6.4 Schrauben- und Mutterarten Die Benennung von Schrauben, Muttern und Zubehr ist in DIN ISO 1891 international festgelegt. Bild 52 zeigt Grundund Sonderformen der Schraubenverbindungen. Kopfschrauben (Bild 52 a). Sie unterscheiden sich durch Kopfform, Schaftform und Schraubenenden. Die Kopfform wird durch die Antriebsart mitbestimmt; Beispiele: Sechskantschrauben (DIN EN ISO 4014, 4017, 8765, 8676), Innensechskantschrauben, Schlitz- und Kreuzschlitzschrauben (DIN EN ISO 1207). In DIN 74 werden Senkungen genormt. Senkdurchmesser fr zylindrische Senkungen nach DIN 974-1. Das Schraubenende wird u. a. durch die Schraubenfertigung oder Montage bestimmt. Schrauben zum automatisierten Montieren in Fertigungsstraßen bentigen Suchspitzen mit 90 Spitze; zum Aufnehmen von in das Muttergewinde eingedrungenen gewissen Lackmengen dienen Schabenuten. – Gewindeenden nach DIN EN ISO 4753, Gewindeauslufe und
Bild 52 a–c. Grundformen und Sonderformen der Schraubenverbindungen. a Zylinderschraube mit Innensechskant als Kopfschraube; b Stiftschraube in Gussgehuse, mit Sicherungsblech mit Lappen; c Durchsteckschraube in Sonderbauform fr PleuellagerdeckelVerschraubung
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Mechanische Konstruktionselemente – 1 Bauteilverbindungen
1.6.5 Schrauben- und Mutternwerkstoffe
G
Bild 53 a–h. Genormte Mutter-Sonderformen. a Hutmutter DIN 917 und DIN 1587; b Nutmutter DIN 1804 und DIN 981 Feingewinde (M 6 bis M 200); c Flgelmutter DIN 315 (M 5 bis M 24); d Schlitzmutter DIN 546 (bis M 20); e Sechskant-Schweißmutter DIN 929 (bis M 16); f Kreuzlochmutter DIN 1816 (Feingewinde M 6 bis M 200); g Sechskantmutter mit Zentrieransatz DIN 2510-5; h Kapselmutter fr Schraubenverbindungen mit Dehnschaft DIN 2510-6
bis 64 mm Gewindedurchmesser Sechskantmuttern nach DIN EN ISO 4032, 4034 mit Regelgewinde und DIN EN ISO 8673, 8674 mit Feingewinde zu verwenden. Wird fr Sonderflle eine niedrigere Mutterhhe notwendig, dann kann eventuell DIN EN ISO 4035, 4036, 8675 eingesetzt werden. Hutmuttern (Bild 53 a) nach DIN 917 (niedrige Form) und DIN 1587 (hohe Form) bieten mitunter Verletzungsschutz, sie werden auch in Verbindung mit Dichtscheiben verwendet, um Aus- oder Eindringen von Flssigkeiten zu vermeiden. Zur axialen Lagesicherung von Naben und Ringen auf Wellen oder zur axialen Kraftbertragung werden fr den Werkzeugmaschinenbau entwickelte Muttersonderformen, wie Nutmuttern (Bild 53 b) verwendet, die mit einem Hakenschlssel nach DIN 1810 anzuziehen sind, mitunter auch Kreuzlochmuttern (Bild 53 f) nach DIN 548 und DIN 1816. Fr geringe Vorspannkrfte kommen Rndelmuttern nach DIN 6303, Schlitzmuttern nach DIN 546 oder Flgelmuttern (Bild 53 c) in Frage. Bei Stahlkonstruktionen und im Karosseriebau verwendet man mitunter Vierkant-Schweißmuttern nach DIN 928 oder Sechskant-Schweißmuttern (Bild 53 e), die auf dem Grundmaterial durch Punktschweißen befestigt werden. Fr Schraubenverbindungen mit Dehnschaft wurden Sechskant-Muttern mit Zentrieransatz (Bild 53 g) und Kapselmuttern (Bild 53 h) entwickelt. Einen gleichmßigen bergang des Kraftflusses vom Zug im Bolzen auf Druck in der Mutternauflageflche verschaffen Zugmuttern. Unterlegscheiben. Sie mssen unter Schrauben und Muttern verwendet werden, wenn der Werkstoff der Unterlage zum Setzen neigt oder berbeansprucht wrde; Form z. B. nach DIN EN ISO 7089. Bei U- und I-Trgern mssen viereckige Unterlegscheiben zum Ausgleich der 8- bzw. 14%igen Neigung verwendet werden, DIN 434 bzw. DIN 435. Passschrauben nach DIN 7968 erfordern i. Allg. Unterlegscheiben nach DIN 7989.
Nach DIN EN ISO 898-1 werden Schraubenwerkstoffe nach Festigkeitsklassen bezeichnet. Das Kennzeichen der Festigkeitsklasse besteht aus zwei Zahlen, die durch einen Punkt getrennt sind. Beispiel: 5.6, 6.8, 8.8, 9.8, 10.9, 12.9 . . . Die erste Zahl entspricht 1/100 der Nennzugfestigkeit Rm in N=mm2 ; die zweite Zahl gibt das 10fache des Verhltnisses der Nennstreckgrenze ReL bzw. Rp0;2 zur Nennzugfestigkeit Rm (Streckgrenzenverhltnis) an. Die Multiplikation beider Zahlen ergibt ein Zehntel der Nennstreckgrenze in N=mm2 . Muttern mit festgelegten Prfkrften werden nach DIN EN 20 898-2 mit einer Festigkeitsklasse zwischen 4 und 12 gekennzeichnet. Die Kennzahl entspricht i. a. 1/100 der Mindestzugfestigkeit einer Schraube in N=mm2 , die bei Paarung mit der Mutter bis zu der Mindeststreckgrenze belastet werden kann. Beispiel: Schraube 8.8 – Mutter 8, bis zur Mindeststreckgrenze der Schraube belastbar. Im Allgemeinen knnen Muttern hherer Festigkeitsklassen anstelle von Muttern der niedrigen Festigkeitsklassen verwendet werden. Dies ist ratsam fr eine Schraube-Mutter-Verbindung mit Belastungen oberhalb der Streckgrenze oder oberhalb der Prfspannung. DIN EN ISO 898 gilt nicht fr spezielle Anforderungen wie Schweißbarkeit, Korrosionsbestndigkeit, Warmfestigkeit ber +300 C und Kaltzhigkeit unter 50 C, Dauerfestigkeit. Die erforderliche Tiefe von Gewindebohrungen hngt vom Werkstoff des Muttergewindeteils ab. Empfohlene Einschraubtiefe fr Sacklochgewinde gibt Tab. 18. In Grauguss oder Leichtmetall sind Stiftschrauben mit Muttern anstelle von Kopfschrauben zu empfehlen[60].
1.6.6 Krfte und Verformungen beim Anziehen von Schraubenverbindungen Anziehdrehmoment. Wird eine symmetrische DurchsteckSchraubenverbindung nach Bild 54 durch Drehen der Mutter angezogen, dann entsteht eine Zugkraft, genannt Vorspannkraft FV , im Schraubenbolzen und eine gleich hohe Druckkraft zwischen den Platten. Dadurch lngt sich der Schraubenbolzen um fS und die Platten werden um fP zusammengedrckt. Die Platten werden etwa im Bereich der Rtscher-Kegel zusammengepresst, die sich von Kreisen unter Kopf bzw. Mutter mit jeweils Schlsselweiten-Durchmesser s, allgemeiner Kopfauflage- bzw. Mutterauflagedurchmesser (dw bzw. Dw ) unter 45 erstrecken. Beim Drehen der Mutter mssen das mit FV steigende Reibungsmoment im Gewinde MG und das Reibungsmoment in der Mutterauflage MK berwunden werden; Anziehdrehmoment MA ¼ MG þ MK . Nach B 1.11 wird MG ¼ FV ðd2 =2Þ tanðbm þ r0 Þ mit Flankendurchmesser d2 , mittlerem Steigungswinkel bm und Gewindereibungszahl m0 ¼ tan r0 ¼ mG =cosða=2Þ mit Flankenwinkel a und Reibungszahl mG im Gewinde. Fr Spitzgewinde mit a ¼ 60° ist m0 ¼ 1;155mG .
Tabelle 18. Mindesteinschraubtiefen in Sacklochgewinde [50]
I1.6
Bild 54. Durchsteckschraube zum Verspannen zweier Platten (Flansche) unter Anziehen der Mutter. (FV Vorspannkraft in der Schraubenverbindung bei fehlender ußerer Betriebskraft FA )
Das Moment MK betrgt MK ¼ FV mK Dkm =2 mit der Reibungszahl mK in der Mutterauflage und wirksamen Durchmesser Dkm fr das zugehrige Reibungsmoment. Reibungszahlen s. [61], z. B. Schraube aus Stahl, phosphatiert sowie Mutter aus Stahl, blank, trocken: mG ¼ mK ¼ 0;12 bis 0,18; gelt: mG ¼ mK ¼ 0;10 bis 0,16; MoS2 : 0,08 bis 0,12. Fr Spitzgewinde mit a ¼ 60 und Steigung P, also tan bm ¼ P=ðpd2 Þ, folgt vereinfacht wegen tanðbm þ r0 Þ tan bm þ tan r0 MA FV ½0;159P þ mG 0;577d2 þ Dkm mK =2:
ð1Þ
Beispiel: Fr eine Sechskantschraube M 10 mit metrischem ISOSpitzgewinde (d2 ¼ 9;03 mm, P ¼ 1;5 mm) nach DIN EN ISO 4014, Mutter nach DIN EN ISO 4032 (dw ¼ 14;6 mm), Durchgangsloch nach DIN EN 20 273 (mittel: dh ¼ 11 mm) ohne Ansenkung gilt annhernd: Dkm ¼ ðdw þ dh Þ=2 ¼ 12;8 mm. Mit z. B. mG ¼ mK ¼ 0;16 wird MA ¼ FV (0,238+0,833+1,024) mm. Die Summe der Reibungsmomente betrgt dann etwa 90% des Gesamtanziehdrehmoments. Bei geschmierten Schrauben, meist auch bei galvanisch aufgebrachten berzgen, ist der Reibungsanteil geringer, sodass solche Schrauben bei gleichem Anzugsmoment eine hhere Vorspannung FV erhalten.
Das zum Lsen notwendige Reibmoment im Gewinde MGL betrgt MGL ¼ FV ðd2 =2Þ tanðr0 bm Þ. Man spricht von Selbsthemmung, solange zum Lsen ein Moment MGL > 0 erforderlich ist. Selbsthemmung hrt auf, sobald MGL ¼ 0 wird, d. h. bm ¼ r0 , falls Reibmoment MK in der Mutter- bzw. Kopfauflage vernachlssigt wird. Das Gesamtmoment ML zum Lsen ist, sofern keine Erschtterungen die wirksame Reibungszahl m0 verringern, bei metrischem ISO-Spitzgewinde etwa gleich dem 0,7- bis 0,9fachen des Anziehdrehmoments MA . Vorspannkraft FV und Anziehmoment MA bewirken Zug- und Torsionsspannungen in der Schraube. Die Nenn-Zugspannung sz wird entweder mit dem Gewinde-Spannungsquerschnitt AS oder falls kleiner, mit dem Taillenquerschnitt AT berechnet, die Nenn-Torsionsspannung t analog mit den entsprechenden Widerstandsmomenten. Die Mises-Vergleichsspannung sV ergibt dann die Materialanstrengung. Wird eine 90%ige Ausnutzung der Schraubenwerkstoff-Mindeststreckgrenze als zulssig angesehen, dann lassen sich fr vorgegebene Reibungszahlen zulssige Montagevorspannkrfte Fsp und die zugehrigen Anziehdrehmomente Msp Tabellen wie in VDI-Richtlinie 2230, Ausgabe 1986, entnehmen oder mit den von Herstellerfirmen zu beziehenden Schraubenrechnern bestimmen. Einen Auszug aus solchen Tabellen gibt Anh. G 1 Tab. 6.
Schraubenverbindungen
G 39
Anziehverfahren. Erforderliche Anziehdrehmomente sind vom Anziehverfahren abhngig. Das Verhltnis der sich beim Anziehen praktisch ergebenden maximalen zur minimalen Vorspannkraft FM max =FM min wird als Anziehfaktor aA bezeichnet, die Spannweite betrgt DFM ¼ FM max FM min ¼ FM min ðaA 1Þ: Der allein auf die Streuung der Reibungszahlen entfallende Anteil liegt erfahrungsgemß in den Grenzen 1,25 : 1 bis 2 : 1. Fr die Dimensionierung von Schraubenverbindungen knnen in Anlehnung an VDI-Richtlinie 2230, Ausgabe 1986, Richtwerte fr aA (Werte in Klammern) angegeben werden [58]: Impulsgesteuertes Anziehen mit Schlagschrauber (2,5 bis 4) und drehmomentgesteuertes Anziehen mit Drehschrauber (1,7 bis 2,5), wobei das Einstellen des Schraubers entsprechend einem experimentell ermittelten Nachziehmoment erfolgt. Fr drehmomentgesteuertes Anziehen mit Drehmomentschlssel, signalgebendem Schlssel oder Przisionsdrehschrauber mit dynamischer Drehmomentmessung: (1,6 bis 1,8), wenn Sollanziehmoment durch Schtzen der aktuellen Reibungszahl oder (1,4 bis 1,6), wenn Sollanziehmoment durch Messung von FM an der Verschraubung bestimmt wird. Hydraulisches Anziehen durch Einstellen ber Lngen- bzw. Druckmessung (1,2 bis 1,6), wobei die Vorspannkraft ber zustzliche Mutter auf dem verlngerten Gewinde und Beidrehen der Schraubenmutter erfolgt. Verlngerungsmessung der kalibrierten Schraube (1,2). Drehwinkelgesteuertes Anziehen , motorisch oder manuell (1,1 bis 1,3) mit versuchsmßig bestimmten Voranziehmoment und Drehwinkel; Streuung wird wesentlich durch Streuung der Streckgrenze im verbauten Schraubenlos bestimmt, sodass bei Dimensionierung entsprechend FM min formal der Wert aA ¼ 1 gesetzt werden kann. Streckgrenzengesteuertes Anziehen, motorisch oder manuell (1,1 bis 1,3, formal bei Dimensionierung fr FM min wieder aA ¼ 1). Thermisch kontrolliertes Anziehen wird im Turbinenbau angewendet und ist bezglich der Vor- und Nachteile mit dem hydraulischen Anziehen vergleichbar; die Schrauben zur Befestigung des Gehusedeckels sind dabei mit einer Mittelbohrung zum Heizen und berwachen ihrer Temperatur ausgerstet. Neufassung der VDI-Richtlinie 2230 vom Okt. 2001 enthlt detailliertere Angaben zu Anziehfaktor, Streuung und Einstellverfahren. Montagekraft. Krfte und Verformungen nach dem Anziehen richten sich nach der wirksamen Montagekraft FM . Unter der Annahme linearen Steifigkeitsverhaltens lassen sich die grafischen Einzeldarstellungen der Kraft-Verformungs-Kennlinien fr Schrauben und Platten in einem Geradlinien-Schaubild, dem sog. Verspannungsdreieck zusammenfassen, Bild 55. Mit den angegebenen Bezeichnungen gilt fr die Steifigkeit cS der Schrauben cS ¼ FS =fS ; fr die elastische Nachgiebigkeit dS der Schrauben dS ¼ 1=cS . Die Steifigkeit der Platten zwischen Schraubenkopf- und Mutternauflage ist cP ¼ FP =fP , die elastische Nachgiebigkeit dP ¼ 1=cP bei zentrischer Verspannung. Nach dem Anziehen der Mutter gilt fr die Montagekrfte in Schraubenbolzen und Platten FSM ¼ FPM ¼ FM ; fr die Verformung gilt fSM þ fPM ¼ sM , mit sM als Axialverschiebung der Mutter auf dem Gewinde, vorausgesetzt, dass Kopf und Mutter vor dem Anziehen allseitig satt auf den ebenen Platten oder passenden Ansenkungen aufliegen. Nachgiebigkeit der Schraube. Die Schraube setzt sich aus einer Anzahl von Einzelelementen zusammen, die durch zylindrische Krper verschiedener Lngen li und Querschnitte Ai gut ersetzbar sind, Bild 56. Die Nachgiebigkeit eines zylindrischen Einzelelements folgt zu di ¼ li =ðES Ai Þ mit dem Elastizittsmodul ES des Schraubenwerkstoffs. Die Nachgiebigkeit der Schraube dS insgesamt wird dS ¼ Sdi . Die elastische Nachgiebigkeit des Kopfes wird in VDI-Richtlinie 2230,
G
G 40
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Mechanische Konstruktionselemente – 1 Bauteilverbindungen
Bild 55. Verspannungsdreieck als grafische Darstellung der Krfte und Verformungen beim Anziehen. FS Zugkraft in Schraube FS ¼ FS ðfS Þ; fS Lngung der Schraube, FP Druckkraft in den Platten, FP ¼ FP ðfP Þ; fP Zusammendrckung der Platten, FM Vorspannkraft bei Montage, sM Weg der Mutter auf dem Gewinde
Bild 57 a–c. Ersatzdruckzylinder zur Berechnung der elastischen Nachgiebigkeit von verspannten Hlsen und Platten nach VDI-Richtlinie 2230, Ausgabe 1986 a Aers ¼ p4 ðD2A dh2 Þ 2 sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi !2 3 3 lK dw 15 þ 1 D2A
b Aers ¼ p4 ðdw2 dh2 Þ þ p8 dw ðDA dw Þ4
2 sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi lK dw 3
Bild 56. Aufteilung einer Schraube in einzelne zylindrische Krper zur Berechnung ihrer elastischen Nachgiebigkeit (VDI-Richtlinie 2230, Ausgabe 1986)
Ausgabe 1986, fr genormte Sechskant- und Innensechskantschrauben mit dK ¼ 0;4d=ðES AN Þ bei AN ¼ pd2 =4 angegeben, fr die Nachgiebigkeit des eingeschraubten Gewindekerns gilt dG ¼ 0;5d=ðES A3 Þ mit Kernquerschnitt A3 ¼ pd32 =4 und fr die Nachgiebigkeit der Schrauben- und Mutterprofile dM ¼ 0;4d=ðES AN Þ fr Muttern nach DIN EN ISO 4032 (DIN 934), fr das freiliegende Gewindeteil mit Lnge lf und Kernquerschnitt A3 gilt df ¼ lf =ðES A3 Þ. Fr Bild 56 gilt also dS ¼ dK þ d1 þ d2 þ df þ dG þ dM . Detailliertere Berechnungsvorschlge siehe Neufassung der VDI-Richtlinie 2230 vom Okt. 2001. Nachgiebigkeit zentrisch verspannter Platten. Die Nachgiebigkeit der Platten dP bei zentrischer Verspannung lsst sich nach Birger [51] nherungsweise bestimmen, indem man die Nachgiebigkeit des unter einem Winkel jers (mit tan jers ¼ 0;5) unter Schraubenkopf und Mutter sich ausbreitenden Doppelkegels mit Bohrung dh und gleichmßig verteilter Druckspannung in den einzelnen Querschnitten ermittelt, Bild 61. Fr solche Platten gibt auch die VDI-Richtlinie 2230, Ausgabe 1986, Nherungsformeln; die Steifigkeit cP oder die Nachgiebigkeit dP der Platten werden aus Steifigkeit oder Nachgiebigkeit eines Ersatzzylinders mit einem Querschnitt Aers berechnet: Aers nach Bild 57; dP ¼ lK = ðAers EP Þ mit dem Elastizittsmodul EP der verspannten Platten.
c Aers ¼ p4 ðdw2 dh2 Þ þ p8 dw lK 4
ðlK þ dw Þ
þ1 2
!2
3 15:
den Platten eingeebnet. Aber auch danach wird durch zeitlich vernderliche Betriebskrfte ein Setzen in den Trennfugen mit weiterem Einebnen von Oberflchenrauhigkeiten auftreten. Die Hhe des Setzbetrags fZ ist sowohl von der Anzahl der Trennfugen als auch von der Grße der Rauigkeit der Fugenflchen abhngig. Er wchst im Mittel mit dem Klemmlngenverhltnis (lK =d). Fr massive Verbindungen mit Schrauben nach DIN EN ISO 4014 (DIN 931) gilt fZ 3;29ðlK =dÞ0,34 103 mm:
ð2Þ
Detaillierte Angaben zu fZ siehe VDI-Richtlinie 2230, Neufassung 2001. Durch das Setzen der Verbindung um den Betrag fZ verringert sich die Montagevorspannkraft FM nochmals um den Betrag FZ . Von FM min bleibt damit nur die Vorspannkraft FV ¼ FM min FZ brig (Bild 58). FV muss mindestens gleich der erforderlichen Vorspannkraft FV erf sein. Der Setzbetrag bewirkt eine Verringerung der Schraubenlngung um FZ dS und der Plattenzusammendrckung um FZ dP ; es gilt also fZ ¼ FZ dS þ FZ dP und somit FZ ¼ fZ =ðdS þ dP Þ. Um das Setzen nicht unntig zu vergrßern, drfen bei hochfesten, stark vorgespannten Schrauben keine Sicherungsbleche, Unterlegscheiben oder Federringe unter Schraubenkopf oder
Streuungen beim Anziehen. Die beim Anziehen auftretenden Streuungen der Montagekraft FM zwischen FM min und FM max knnen nach Bild 58 bersichtlich im Verspannungsschaubild bercksichtigt werden. Die maximale Vorspannkraft FM max muss kleiner bleiben als die zulssige Schraubenkraft, die nach VDI-Richtlinie 2230, Ausgabe 1986, fr die nicht streckgrenzen- oder drehwinkelgesteuerten Anziehverfahren einer 90%igen Streckgrenzenausnutzung fr Schrauben bis M 39 entspricht – Grenze FM max ¼ FSp . Setzen. Whrend des Anziehens bis zur Montagevorspannkraft FM im Bereich FM min bis FM max werden die Auflageflchen unter Kopf und Mutter sowie die Trennfugen zwischen
Bild 58. Verspannungschaubilder zur Ermittlung des Einflusses von Setzen und Vorspannkraftstreuung
I1.6 Mutter verwendet werden. Auch sollen die Auflageflchen unter Schraubenkopf und Mutter stets gut bearbeitet sein und rechtwinklig zur Schraubenachse stehen [60, 61]. 1.6.7 berlagerung von Vorspannkraft und Betriebslast Zentrische Verspannung und Belastung. Greift an einer symmetrisch gestalteten und (zentrisch) vorgespannten Schraubenverbindung nach Bild 54 eine axiale Zugkraft FA zentrisch unter Kopf und Mutter der Durchsteckschraube an, dann wird die Schraube um einen Betrag fSA zustzlich verlngert und die Zusammendrckung der Platten um den gleichen Betrag fPA vermindert; d. h. Schraube und Platte sind weggleich (parallel) bezglich der Zugkraft FA geschaltet, solange kein Klaffen der Schraubenverbindung in der Trennfuge auftritt. Es gilt fr die Schraubenzusatzkraft FSA ¼ cS fSA und fr FA ¼ ðcS þ cP Þ fSA ; die Klemmkraft in den Platten wird um FPA ¼ FA FSA ¼ cP fSA vermindert. Die Krfte knnen zweckdienlich in das Verspannungsschaubild eingezeichnet werden, Bild 59. Weiter gilt FSA ¼ ðcS =ðcS þ cP ÞÞFA FK FA mit dem Kraftverhltnis FK fr Angriff der ußeren Kraft FA direkt unter Kopf und Mutter. Mit dS ¼ 1=cS und dP ¼ 1=cP wird dann FK ¼ cS =ðcS þ cP Þ ¼ dP =ðdS þ dP Þ:
ð3Þ
Die Restklemmkraft in der Trennfuge FKR nach Belastung und Setzen ist FKR ¼ FV FPA ¼ FV ð1 FK ÞFA ; sie muss mindestens gleich der erforderlichen Klemmkraft sein: FKR ^ FK erf . Damit ergibt sich fr die erforderliche Vorspannkraft FV erf ¼ FK erf þ FPA % FV und fr die minimale Montage-Vorspannkraft FM min ¼ FV erf þ FZ mit dem Vorspannkraftverlust FZ infolge Setzens. Mit dem Anziehfaktor aA wird die maximale Montage-Vorspannkraft FM max ¼ aA FM min ¼ aA ½FK erf þ ð1 FK ÞFA þ FZ :
ð4Þ
Schraubenverbindungen
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Anh. G 1 Tab. 6 bzw. VDI-Richtlinie 2230, Ausgabe 1986, erreichen. Damit nach Aufbringen der Betriebslast FA die Streckgrenze dann nicht berschritten wird, darf FSA nicht grßer als etwa 13% der maximalen Montage-Vorspannkraft FM max sein, was mglichst niedrige Werte des Kraftverhltnisses FK erfordert. Krafteinleitung ber die verspannten Teile. Im Allgemeinen greift die ußere Axialkraft auch bei zentrischem Angriff nicht unmittelbar unter Kopf und Mutter an, sondern innerhalb der verspannten Teile. Nimmt man an, dass die Kraftangriffspunkte nicht die Entfernung lK zwischen Kopf- und Mutterauflage haben, sondern nur die Entfernung nlK (z. B. n ¼ 0;5), dann werden nicht mehr alle Plattenbereiche durch die Axialkraft FA entlastet – die Steifigkeitsverhltnisse der be- und entlasteten Bereiche der Schraubenverbindung ndern sich. Die Zusammenhnge sind in Bild 60 dargestellt, wobei Setzen und Vorspannkraft-Streuungen nicht bercksichtigt wurden. Die Schraubenzusatzkraft FSA berechnet man nun mit FSA ¼ Fn FA mit dem Kraftverhltnis Fn fr zentrische Einleitung der Axialkraft FA in Ebenen im Abstand ðnlK Þ: Fn ¼ nFK ¼ ncS =ðcS þ cP Þ ¼ ndP =ðdS þ dP Þ:
ð5Þ
Schwingende ußere Lasten. Bei schwingender ußerer Last werden sowohl die maximale Betriebskraft FAo und die minimale Betriebskraft FAu unter Beachtung des Vorzeichens in das Verspannungsschaubild eingetragen (Bild 61 a) und hieraus die Schwingbelastung fr die Schraube abgeleitet. Bei wechselnder Betriebslast ist FAo ¼ FAu ; sodass der Wechselkraftanteil FSAa der Schraubenzusatzlast gleich FSAo ist. Bei schwellender Betriebslast ist FAo ¼ FA und FAu ¼ 0, womit der Wechselkraftanteil durch FSAa ¼ FK FA =2 bzw. FSAa ¼ Fn FA =2 gegeben ist, Bild 61 b. In Bild 61 c ist eine zentrisch angreifende statische Druckkraft FA eingezeichnet.
Wird nach dem Anziehvorgang eine 90%ige Streckgrenzenausnutzung zugelassen, dann darf FM max hchstens FSp nach
Belastung bis in den plastischen Bereich. Wird eine Schraube durch eine zentrisch angreifende ußere Zugkraft FA in den plastischen Bereich hinein beansprucht, dann folgt nde-
Bild 59. Verspannungsschaubild zur Ermittlung der Schraubenzusatzkraft FSA , der max. Schraubenkraft FS max und der Restklemmkraft FKR mit tan gS ¼ cS und tan gP ¼ cP
Bild 60. Verspannungsschaubild fr innerhalb der verspannten Teile eingeleitete Betriebskraft FA (ohne Bercksichtigung von Setzen und Vorspannkraftstreuung)
Bild 61 a–c. Verspannungsschaubilder fr ußere Betriebskrfte FA . a als schwingende Zug-Druckkraft (FAu negativ!); b als schwellende Zugkraft; c als statische Druckkraft
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Mechanische Konstruktionselemente – 1 Bauteilverbindungen
Bild 62. Verspannungsschaubild bei Beanspruchung der Schraube bis in den plastischen Bereich (unter Einfluss der Betriebskraft FA )
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Bild 63 a–c. Vorgespannte und belastete prismatische Schraubenverbindung. a mit Zugkraft FA bei e ¼ FK s; b mit reiner Biegemomentbelastung MB ; c mit Zugkraft FA im Abstand a von der Schwerlinie des prismatischen Balkens mit Bohrung
rung des (gestrichelt dargestellten) Vorspanndreiecks nach Bild 62. Nach dem Entlasten, dem Entfernen der ußeren Kraft FA , bleibt nur die um FZ verminderte Vorspannkraft zurck; FZ erhlt man mit FZ ¼ fSpl =ðdS þ dP Þ mit fSpl als plastischem Verformungsanteil unter der gesamten Schraubenkraft FS max nach Aufbringen von FA . Analoge Betrachtungen sind bei Druckkrften und einem Setzen der verspannten Platten erforderlich.
Bild 64. Richtlinien fr die Gestaltung von Zylinderverbindungen nach [53, 61], ergnzt
Exzentrische Verspannung und Belastung. Der bisher behandelte Fall einer zentrisch verspannten und zentrisch belasteten Schraubenverbindung ist konstruktiv nur selten exakt zu verwirklichen. Wenn die Schraubenachse und die Resultierende der ußeren Kraft FA nicht mit der Schwerlinie der verspannten Teile zusammenfallen, sondern nach Bild 63 parallel zu dieser liegen, wird die Schraubenzusatzlast dadurch u. U. wesentlich beeinflusst; zustzlich wird meist ein Biegemoment in der Trennfuge der Schraubenverbindung erzeugt, sodass die exzentrisch belastete Schraubenverbindung zum Abheben (Klaffen) in der Trennfuge neigt. Es ist anzustreben, das Klaffen der Schraubenverbindung durch geeignete Gestal-
tung zu verhindern; Gestaltungshinweise fr Einschraubenverbindungen nach Bild 64 (Zylinderverbindungen). Zur Berechnung der Krfte und Momente in exzentrisch belasteten Schraubenverbindungen sind in Tab. 19 die Ergebnisse verschiedener Modellrechnungen zusammengefasst; vorausgesetzt wird, dass kein Klaffen in der Trennfuge auftritt und dass die Krafteinleitung ber die verspannten Teile im Abstand ðnlK Þ=2 von der Trennfuge der Schraubenverbindung erfolgt. Neben der Schrauben-(Zug-Druck-)Nachgiebigkeit dS ¼ 1=cS und der Platten-(Zug-Druck-)Nachgiebigkeit dP ¼ 1=cp nach Bild 55 werden die Schrauben-Biegenachgie-
Tabelle 19. Schrauben- und Platten(zusatz)krfte bzw. -(zusatz)momente infolge ußerer Belastung sowie Vorspannung
I1.6
Schraubenverbindungen
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bigkeit bS und eine Platten-Biegenachgiebigkeit bp bentigt. Fr prismatische Biegestbe gilt b ¼ lK =ðEIB Þ mit dem Elastizittsmodul E, der Klemmlnge lK und dem Trgheitsmoment des Biegekrpers IB . Der Abstand e der Kraft FA von der Schwerlinie der verspannten Teile nach Bild 63 a wurde mit e ¼ FK s sowie FK nach Gl. (3) so festgelegt, dass die Schraubenzusatzlast FSA gleich der Schraubenzusatzlast einer zentrisch verspannten und belasteten Schraubenverbindung und das Zusatzbiegemoment in der Schraube MSb gleich Null wird; eine vorhandene Plattendruckkraft wird um die Plattenentlastung FPA vermindert und in der Trennfuge ein vorhandenes Biegemoment um MPb verndert. Eine reine Biegemomentbelastung MB nach Bild 63 b erzeugt eine Schraubenzusatzlast FSA ¼ nFmK MB =s mit dem Kraftverhltnis FmK ¼
bS bP s2 =ðbS þ bP Þ bP s 2 ð6Þ dP þ dS þ ðbS bP s2 Þ=ðbS þ bP Þ dP þ dS þ ðbP s2 Þ
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da meist bP bS . Fr eine exzentrische Schraubenlast FA nach Bild 63 c ergibt sich dann durch berlagerung der Belastungen nach Bild 63 a, b mit MB ¼ FA ða eÞ die Schraubenzusatzlast FSA ¼ nFeK FA mit FeK
dP þ ðbP a sÞ : dP þ dS þ ðbP s2 Þ
ð7Þ
Die Schraubenvorspannkraft FV (Zug) erzeugt in der Trennfuge der Schraubenverbindung eine gleich große Druckkraft FP , auch ein Schraubenbiegemoment MSb ¼ FV sbP =ðbS þ bP Þ YK FV s und in der Trennfuge ein Biegemoment MPb ¼ FV sbS =ðbS þ bP Þ FV s: Fr prismatische Balken mit einer Ersatzflche Aers und einem Ersatztrgheitsmoment IB ers gilt bP =dP ¼ Aers =IB ers : In der VDI-Richtlinie 2230, Ausgabe 1986, werden als Beispiele die Berechnung einer Pleuellagerdeckelverschraubung und die Berechnung einer Zylinderdeckelverschraubung behandelt [61]. Die neuen Berechnungsvorschlge in der Neufassung der VDI-Richtlinie 2230 vom Okt. 2001 sind in der Praxis zu erproben; wegen der sehr niedrigen Werte fr n sollten in kritischen Fllen eigene FEM-Berechnungen erfolgen! Abhebegrenze. Zur Bestimmung der Grenzbelastung FAab bzw. MBab bei der in der Trennfuge der Schraubenverbindung gerade noch kein Klaffen auftritt, wird die Druckspannung aus der minimalen Vorspannkraft FV und den Betriebsbelastungen FA und MB in der Trennfuge berechnet. Fr NichtKlaffen ist erforderlich, dass diese Druckspannung an keiner Trennfugenstelle, z. B. an der Stelle U in Bild 63 c bei positivem FA , in den Zugbereich gelangt. Stlpen von Flanschen. Bei Flanschverbindungen mit dnnen Flanschblttern knnen sich diese unter den ußeren Zugkrften wie Tellerfedern stlpen oder unter ußeren Momenten wie Hutrnder krempeln. Konstruktive Gestaltungshinweise fr Mehrschraubenverbindungen mit Flanschen s. Bild 65. Bei elastischen Dichtungen zwischen den Flanschen ist deren Nachgiebigkeit zur Nachgiebigkeit der Flansche zu addieren. 1.6.8 Auslegung und Dauerfestigkeitsberechnung von Schraubenverbindungen Betriebsbelastungen. Zur Auslegung der Schraubenverbindung mssen die im Betrieb auftretenden ußeren Belastungen mglichst genau bekannt sein. Fr den Entwurf ist es zweckmßig zwischen selten auftretenden hohen Sonderlasten und hufig auftretenden Betriebslasten zu unterscheiden. Die seltenen, hohen Sonderlasten wird man im Sinne der Festigkeitsberechnung statisch bewerten, fr die hufig auftretenden Betriebslasten wird man meist eine Dauerfestigkeitsbewertung zumindest in der Entwurfsphase anstreben. Ideal – aber nicht oft realisierbar – ist eine Schraubenverbindung, die
Bild 65. Richtlinien fr die Gestaltung von Mehrschraubenverbindungen nach [53, 61], ergnzt
die anschließenden Bauteilquerschnitte fr die auftretenden Betriebs- und Sonderlasten vollwertig ersetzt. Einschraubenverbindung. Aus den ußeren Belastungen einer Mehrschraubenverbindung sind im ersten Schritt die Belastungen der hchstbeanspruchten Einschraubenverbindung abzuleiten. Fr diesen Schritt stehen vielfltige Rechnerprogramme zur Verfgung, z. B. [54]. In einfachen Fllen lassen sich die auf die Einschraubenverbindungen wirkenden Betriebs- und Sonderlasten auch ohne Rechnereinsatz ermitteln, was aber bei der Abschtzung der Lasteinleitungshhe nlK erhebliche Erfahrung erfordert. Zur Auslegung der Einschraubenverbindung mssen danach die ußere Axialkraft FA , die gegebenenfalls ber die Trennfuge zu bertragenden Querkrfte Fx und Fy , sowie die Biegemomente Mx und My sowohl fr die Sonderlasten als auch fr Betriebslasten bekannt sein, Bild 66. Weiterhin sind zur Festlegung einer MindestRestklemmkraft die erforderliche Dichtpresskraft und/oder
G 44
Mechanische Konstruktionselemente – 1 Bauteilverbindungen
Birger-Kegels (Bild 54) in der Trennfugenebene nicht berschreiten.
Bild 66. Mgliche Belastungen einer Einschraubenverbindung. FA qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi Axialkraft; FQ ¼ Fx2 þ Fy2 Querkraft; Mx ; My Biegemomente
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zur Aufnahme von Fugenreibungskrften FQ ¼
qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi Fx2 þ Fy2 ¼
mFN die erforderliche Normalkraft FN anzugeben und das voraussichtlich angewandte Anziehverfahren mit dem Anziehfaktor aA festzulegen. Vordimensionierung. Die maximale Schraubenkraft FSmax kann fr eine erste berschlgige Rechnung zu FSmax aA ðFK erf þ FA Þ angenommen werden. Sie muss, wenn eine 90%ige Streckgrenzenauslastung beim Anziehen als zulssig angesehen wird, kleiner als FSp =0;9 nach Anh. G 1 Tab. 6 oder einer Tabelle der VDI-Richtlinie 2230, Ausgabe 1986, sein. Fr eine gewnschte Festigkeitsklasse kann damit der erforderliche Schraubendurchmesser d gefunden werden oder fr einen im ersten Entwurf zunchst festgelegten Schraubendurchmesser die notwendige Festigkeitsklasse der Schraube. Anhand des gegebenenfalls bereits hier zu korrigierenden Konstruktionsentwurfs ist die Klemmlnge lK festzulegen, deren Kenntnis fr die Berechnung der Schraubennachgiebigkeit dS und der Plattennachgiebigkeit dP erforderlich ist. Falls die berschlgig mit FS max ¼ FSp =0;9 bei elastischem Anziehen oder FS max ¼ 1;2FSp =0;9 fr streckgrenz- bzw. streckgrenzberschreitendes Anziehen zu berechnende Flchenpressung p unter Kopf und Mutter eine Klemmlngennderung wegen zustzlich erforderlicher hochfester Unterlegscheiben notwendig macht, ist auch dies zu bercksichtigen. Die Flchenpressung wird hierbei mit der Grße der Auflageflche AP nach der Formel p ¼ FS max =AP berechnet und darf nicht grßer als die Grenzflchenpressung pG nach Anh. G 1 Tab. 7 sein. Fr exzentrisch verspannte und exzentrisch belastete Schraubenverbindungen ist nun zu prfen, ob unter den ungnstigsten Belastungen Klaffen in der Trennfuge oder zumindest im Bereich des Birger-Kegels nach Bild 54 verhindert werden kann und ob die erforderliche Mindestklemmkraft FK erf unter Bercksichtigung von Setzen und Exzentrizitt gewhrleistet ist. Es ist auf jeden Fall anzustreben, dass die hufig auftretenden Betriebslasten quer zur Schraubenachse reibschlssig bertragen werden – zur bertragung von selten auftretenden hohen Sonderlasten knnen eventuell zustzliche Formschlusselemente (Stifte) eingesetzt werden [27]. Kraftverhltnisse. Die Zug-Druck-Nachgiebigkeiten dS und dP sind nach Bild 56 und Bild 57 zu bestimmen; die Biegenachgiebigkeiten bS und bP werden durch Aufsummieren der maßgebenden Teilnachgiebigkeiten bi ¼ li =ðEIBi Þ mit den Teillngen li , dem Elastizittsmodul E und den Flchentrgheitsmomenten IBi abgeschtzt. Fr eine Schraube nach Bild 56 gilt analog zur Ermittlung von dS sinngemß: bS bk þ b1 þ b2 þ bf þ bG þ 8dM =d 2 mit den Flchentrgheitsmomenten IBi ¼ pdi4 =64 und der Nachgiebigkeit fr die Mutterverschiebung dM . Die Biegenachgiebigkeit des Ersatzbiegebalkens ist wesentlich ungenauer zu berechnen. In erster Nherung gilt bP ¼ dP Aers =Iers mit Aers nach Bild 57 und Iers ¼ bh3B =12 mit geschtzten Werten fr die Breite b und die Hhe hb eines Rechteck-Biegebalkens; fr b und hB drfen hchstens Werte gewhlt werden, die den Durchmesser des
Schraubenbelastungen. Fr die Einschraubenverbindungen nach Bild 63 werden die Schraubenkrfte FS und SchraubenBiegemomente MSb mit Tab. 19 bestimmt. Richtwerte fr den Faktor n s. Bild 64. Im Zweifelsfall ist jeweils der ungnstigere Wert von n zu whlen. Die Formeln setzen planparallele Auflageflchen fr Schraubenkopf und Mutter voraus. Die maximale Montage-Vorspannkraft wird mit Gl. (4) mit FK ! nFeK festgelegt, das Gewindereibungsmoment beim Anziehen nach G 1.6.6. Maximale Schraubenspannung. Unter der maximalen Montage-Vorspannkraft wird eine Vollschaftschraube im Bolzengewinde durch die Nenn-Zugspannung szM ¼FM max =AS und eine Nenn-Torsionsspannung ttM ¼MG =Wp (mit dem polaren Widerstandsmoment Wp des Spannungsquerschnitts AS ) belastet; das durch FM max in einer exzentrisch verspannten Schraubenverbindung erzeugte Biegemoment MSb darf meist unbercksichtigt bleiben. Zustzlich wirkt die aus den axialen Betriebskrften und -momenten resultierende Zusatzkraft FSAo und deshalb z. B. bei exzentrischer Betriebskraft FAo die zustzliche Zugspannung sSAo ¼ nFeK FAo =AS . Die berlagerung dieser Spannungen nach der Mises-Hypothese ergibt die Vergleichsspannung sz red , die nach VDI-Richtlinie 2230, Ausgabe 1986, bei elastischem Anziehen bis dicht an Rp 0;2 heranreichen, bei streckgrenz- bzw. streckgrenzberschreitendem Anziehen Rp 0;2 sogar rechnerisch beschrnkt berschreiten darf. Diese berschlgige Betrachtungsweise setzt voraus, dass das Material auch im gekerbten Zustand ausreichend fließfhig bleibt, dass das Gewinde nicht abgestreift wird und dass die bei Betriebslast auftretenden Setzerscheinungen bei der Bestimmung der Restklemmkraft jeweils beachtet werden. Bei großen Schrauben reicht diese einfache Berechnungsmethode zur Beurteilung des Bauteilversagens nicht mehr aus [55, 56]. Fr Dehnschaft- und Taillenschrauben ist statt des Spannungsquerschnitts AS der engste Querschnitt AT zu bercksichtigen, analoges gilt fr die Widerstandsmomente Wp . Flchenpressung unter Kopf und Mutter. Die Einhaltung der zulssigen Flchenpressung p in der Kopf- und Mutterauflage ist fr eine maximale rechnerische Schraubenkraft FS max ¼ fa ðFM max þFFAo Þ nachzuprfen, mit fa ¼ 1 fr elastisches Anziehen und fa ¼ 1;2 fr streckgrenz- bzw. streckgrenzberschreitendes Anziehen sowie dem ungnstigsten Kraftverhltnis F. Zulssige Flchenpressungen nach Anh. G 1 Tab. 7. Flchenpressung im Gewinde. Fr Schrauben-Mutter-Kombinationen mit festgelegten Prfkrften nach DIN EN 20 898-2 ist die Flchenpressung im Gewinde bei zgiger Belastung nicht nachzurechnen. Bei Bewegungsschrauben bestimmt die Flchenpressung p im Gewinde die erforderliche Mutterhhe. Die tragende Flche eines Gewindegangs ergibt sich aus den Abmessungen nach Bild 50 und Bild 51. Mutterhhen mit h > 1;5d werden nicht ausgenutzt und sind nicht mehr zu bercksichtigen; als zulssige Flchenpressung kann dann unter der Annahme einer gleichmßigen Pressungsverteilung fr Bewegungsschrauben mit Bronzemuttern angenommen werden: pzul ¼ 7;5 N=mm2 bei unlegierten Maschinenbausthlen, pzul ¼ 15 N=mm2 bei hochfestem Stahl. Abstreiffestigkeit von Schrauben- und Muttergewinde. Die Tragfhigkeit der Gewindeverbindung bei zgiger Belastung wird durch die Schubfestigkeit tB 0;6Rm von Schraube oder Mutter und durch die zugeordneten effektiven Scherflchen ASG , die wiederum von der Mutteraufweitung, der plastischen Gewindeverbiegung und den Fertigungstoleranzen abhngen, bestimmt. Fr Muttern mit einem Verhltnis von Schlsselweite/Nenndurchmesser = 1,5 ist beispiels-
I1.6
Schraubenverbindungen
G 45
Tabelle 20. Dauerhaltbarkeit des Gewindes von Schrauben der Festigkeitsklassen 8.8, 10.9 und 12.9 (Anhaltswerte) mit Gewinde-Nenndurchmesser d bis 40 mm und Druckmuttern, Schraubenkraft an der 0,2%-Dehngrenze F0;2 , Vorspannkraft FV (nach VDI-Richtlinie 2230, Ausgabe 1986)
G
Bild 68. Einfluss der Gestaltung von Gewindeauslufen auf den ertragenen Wechselspannungsausschlag sA am bergang vom Gewinde zum Schaft [50]
Bild 67. Dauerhaltbarkeitsgrenzen fr schlussvergtete Schrauben mit geschnittenem Gewinde und Druckmutter (Schraubengewinde werden heute vorzugsweise gerollt; Dauerhaltbarkeitswerte deshalb auf sicherer Seite)
weise fr Mutteraufweitung und plastische Gewindeverformung zustzlich eine Reduktion der geometrischen Scherflche um 25% anzunehmen; der Einfluss der Reibung beim Anziehen der Schraubenverbindung kann durch einen Abschlag von 10 bis 15% bercksichtigt werden [61], Ausgabe 1986. Dauerschwingbeanspruchung. Der maßgebende Spannungsausschlag sSa bei Dauerschwingbeanspruchung mit 106 oder mehr Lastspielen wird aus der Nennspannungsamplitude sza ¼ nFeK ðFAo FAu Þ=ð2A3 Þ und der zugehrigen Biegenennspannungsamplitude sba ¼ ½ðMSb Þo ðMSb Þu =ð2W3 Þ ermittelt – Bild 61 und Tab. 19, Kernquerschnitt A3 und zugehriges Biegewiderstandsmoment W3 ¼ pd33 =32. Spannungsausschlag sSa muss kleiner als der zulssige Wert sA zul bleiben, der mit der erforderlichen Sicherheitszahl SD nach sA zul ¼ sA =SD und Tab. 20 fr Schrauben der Festigkeitsklassen 8.8, 10.9 und 12.9 nach VDI-Richtlinie 2230 abgeschtzt werden kann. Der Faktor 0,75 in der Formel fr sASV bercksichtigt, dass die Streuung der Dauerhaltbarkeit um den Versuchsmittelwert 25% betragen kann [61, Ausgabe 1986; leicht modifizierte Vorschlge siehe Neufassung]. Die Dauerhaltbarkeit sA ist wegen der scharfen Kerben des Spitzgewindes und der Krafteinleitung ber eine Druckmutter, z. B. nach Bild 54, sehr niedrig im Vergleich zur Dauerhaltbarkeit eines glatten Stabes aus gleichem Werkstoff. Die Lasteinleitung ber eine Druckmutter ist deshalb sehr ungnstig, weil durch die Formnderung des belasteten Gewindes die Zugkraft im Bolzen nicht gleichmßig ber alle Gewindegnge verteilt wird und durch die Kraftfluss-Umlenkung aus der Zugkraft im Bolzen eine Druckkraft in der Mutter wird.
Man kann annehmen, dass bei einer blichen Druckmutter im ersten Gang bereits bis zu 40% der Zugkraft FS bertragen werden, wenn keine Lastumverteilung durch Fließvorgnge (Setzen) beim Anziehen der Schraube erfolgt. Schraubenverbindungen mit schlussvergteten Schrauben bis d=40 mm erweisen sich wegen solcher plastischer Lastumverteilungsvorgnge als relativ mittelspannungsunempfindlich, Bild 67. Die erhhte Dauerhaltbarkeit schlussgewalzter Schrauben geht dagegen mit wachsender Vorspannung zurck. Gewindeauslauf und Kopf-Schaft-bergang. Wird durch Vergten und Rollen die Dauerfestigkeit des Bolzengewindes erheblich gesteigert, so mssen auch Kerbstellen an anderen Stellen der Schrauben, wie z. B. der Gewindeauslauf nach DIN 76-1, auf Dauerhaltbarkeit nachgerechnet und wenn ntig konstruktiv verbessert werden. In Bild 68 ist der im Mittel ertragbare Spannungsausschlag in verschiedenen bergngen zwischen Gewinde und Schaft aufgefhrt [50]. Der bergangsradius fr den Kopf-Schaft-bergang ist in den Normen fr Schrauben festgelegt. Die Ausfhrung als tolerierter bergangsradius reicht fr Normschrauben mit relativ niedrigen Kpfen auch meist noch aus, wenn durch Kaltverfestigung das Gewinde auf hchste Dauerhaltbarkeitswerte gebracht wird. Durch Erhhung der bergangsradien auf 0;08d knnen besonders dauerhafte Schrauben, allerdings mit geringer Vergrßerung des Kopfaußendurchmessers, konstruiert werden. Große Schrauben [55–57]. Der Erhhung der Dauerfestigkeit durch Rollen sind abmessungsseitig Grenzen gesetzt. Fr große Schrauben werden deshalb bei hohen dynamischen Belastungsanteilen weitere Maßnahmen zur Steigerung der Dauerhaltbarkeit angewendet. In Bild 69 werden die ersten Gewindegnge an der Mutter durch eine Verlagerung der Kraftflussumlenkung und am Sacklochgewinde durch den kegeligen bergangsradius zum Schaft mit bergreifendem Gewinde entlastet. Die Dehnschraube ist biegeweich und wird mit einer Ansatzkuppe im Sacklochgrund verspannt. Die relativ biegeweiche Dehnschraube wird hydraulisch vorgespannt und durch eine Scherbchse von hohen seltenen Querkrften ent-
G 46
Mechanische Konstruktionselemente – 1 Bauteilverbindungen
Bild 70. Konstruktive Maßnahmen mit steigender Dauerhaltbarkeit und steigender Losdrehsicherheit der Schraubenverbindung
G
Bild 69. Konstruktive Maßnahmen zur Steigerung der Dauerfestigkeit großer Schrauben
lastet, whrend die hufig auftretenden Betriebs-Querkrfte durch Reibschluss bertragen werden. Die Vorspannkrfte beim Anziehen sind unter Beachtung bruchmechanischer Berechnungen festzulegen [55]. Schraubenverbindungen mit Sonderanforderungen. Sie werden bezglich hherer oder tieferer Temperaturen und/ oder Korrosion z. B. in [50, 58, 60] behandelt. 1.6.9 Sicherung von Schraubenverbindungen Eine konstruktiv richtig ausgelegte Schraubenverbindung, die zuverlssig vorgespannt ist, braucht i. Allg. keine zustzliche Schraubensicherung, insbesondere bei hochfesten Schraubenwerkstoffen, gengender Schraubennachgiebigkeit dS , gengender Klemmlnge ðlK ^ 5dÞ und einem Minimum von Trennfugen. Maßnahmen zur Vergrßerung der Klemmlnge oder zur Erhhung der Nachgiebigkeit dS (Bild 70) haben nicht nur den Vorteil, dass sie die Schraubenzusatzlast FSA herabsetzen, sondern auch den Vorteil erhhter Sicherheit gegen Losdrehen. Durch Lockern infolge Setzens bzw. Kriechens der Verbindungselemente oder durch selbstttiges Losdrehen als Folge von Relativbewegungen zwischen den Kontaktflchen kann in manchen Fllen die erforderliche Vorspannkraft jedoch unterschritten werden, sodass bereits bei der konstruktiven Auslegung geeignete Sicherungselemente vorzusehen sind. Kriechen kann z. B. beim Verspannen von niederfesten Kupferoder lackierten Stahl-Blechen selbst bei Raumtemperatur beobachtet werden, whrend Relativbewegungen zwischen den Kontaktflchen vor allem bei dnnen verspannten Teilen und Belastungen senkrecht zur Achsrichtung der Schraube bei unzureichender Vorspannkraft auftreten. Man unterscheidet zwischen „Setzsicherungen“ zur Kompensierung der Kriechund Setzbetrge und „Losdrehsicherungen“, die in der Lage sind, das bei Relativbewegung entstehende „innere“ Losdrehmoment zu blockieren oder zu verhindern; „Verliersicherungen“ knnen ein teilweises Losdrehen nicht verhindern, wohl aber ein vollstndiges Auseinanderfallen der Schraubenverbindung. Tabelle 21 gibt einen berblick ber die Funktion und Wirksamkeit verschiedener Sicherungselemente [50, 58, 60, 61], s. auch DIN 25 201 fr Schienenfahrzeuge. Mitverspannte federnde Elemente vermgen in der Regel Losdrehvorgnge infolge wechselnder Querverschiebung nicht zu verhindern. Fr axialbeanspruchte sehr kurze Schrauben der unteren Festigkeitsklassen ( 6.8) kann die Verwendung als Setzsicherung empfohlen werden. Die Federwirkung muss jedoch auch unter voller Vorspannkraft und hchster Betriebskraft vorhanden sein. Zu beachten ist die Gefahr von Spaltkorrosion in entsprechender Atmosphre [49, 60, 61].
Formschlssige Elemente knnen ein begrenztes Losdrehmoment aufnehmen und sollten daher auch nur bei Schrauben im unteren Festigkeitsbereich ( 6.8) eingesetzt werden. Da sie in der Regel nur eine geringe Restvorspannkraft aufrechterhalten, sichern sie die Verbindung insbesondere nach Setzen gegen Verlieren, Bild 71. Fr Nutmuttern nach DIN 1804 werden i. Allg. und insbesondere im Werkzeugmaschinenbau Sicherungsbleche mit Innennase nach DIN 462 verwendet, Bild 71 d. Klemmende Elemente in „selbstsichernden“ Muttern nach DIN EN ISO 7040, 7042, 10 511 z. B. Bild 72 a bieten einen hohen Reibschluss und knnen zumindest als Verliersicherungen angesehen werden. Kontermutter (mit einer niedrigeren Mutter als untere Mutter) nach Bild 72 b schtzen nicht zuverlssig gegen Losdrehen. Sperrende Elemente (Rippen oder Zhne) in der Auflageflche von Schraube oder Mutter nach Bild 72 c und Bild 72 d vermgen in den meisten Anwendungsfllen das innere Losdrehmoment zu blockieren und somit die Vorspannkraft in Tabelle 21. Einteilung der Sicherungselemente nach Funktion und Wirksamkeit nach [50, 58, 60, 61 ]
I2.1
Aufgaben, Eigenschaften, Kenngrßen
G 47
Bild 72 a–d. Reibschlssige und sperrende Schraubensicherungen. a Selbstsichernde Mutter; b Kontermutter; c Sperrzahnschraube; d Sperrzahnmutter
voller Hhe zu erhalten, da sie sich in nicht gehrtete Oberflchen eingraben; allerdings ist die Kerbwirkung der Oberflchenverformung zu beachten [52].
Bild 71 a–f. Formschlssige Schraubensicherungen. a Sicherungsblech mit Lappen DIN 93; b Sicherungsblech mit zwei Lappen DIN 463; c Sicherungsblech mit Außennase DIN 432; d Sicherungsblech mit Innennase DIN 462 fr Nutmutter DIN 1804; e Kronenmutter DIN 935 mit Splint DIN 94; f Drahtsicherung
2 Federnde Verbindungen (Federn) H. Mertens, Berlin; H.D. Motz, Solingen (Abschn. 2.6)
2.1 Aufgaben, Eigenschaften, Kenngrßen 2.1.1 Aufgaben Eine Feder ist ein Konstruktionselement mit der Fhigkeit Arbeit auf einem verhltnismßig großen Weg aufzunehmen und diese ganz oder teilweise als Formnderungsenergie zu speichern. Wird die Feder entlastet, so wird die gespeicherte Energie ganz oder teilweise wieder abgegeben. Eine Feder kann damit durch ihre energiespeichernden und -verzehrenden Eigenschaften (durch Speicher- und Dmpfungsvermgen) beschrieben werden. Hieraus knnen folgende Aufgaben abgeleitet werden: – Aufrechterhalten einer nahezu konstanten Kraft bei kleinen Wegnderungen durch Bewegung, Setzen und Verschleiß, z. B. Kontaktfedern, Ringspannscheiben zur Schraubensicherung, Andrckfedern in Rutschkupplungen, – Vermeiden hoher Krfte bei kleinen Relativverschiebungen zwischen Bauteilen durch Wrmedehnungen, Setzen oder andere eingeprgte Verformungen, z. B. Kompensatoren in Rohr- und Stromleitungen, Dehnfugenausgleich in Plattenkonstruktionen, Laschen oder Membranen in Kupplungen; – Belastungsausgleich oder rumlich gleichmßiges Verteilen von Krften, z. B. fr Federung von Fahrzeugen, fr Federkernmatratzen, – Spielfreies Fhren von Maschinenteilen, z. B. mit parallelen Blattfedern, mit Gummigelenken,
Klebende Elemente bewirken einen Stoffschluss im Gewinde und verhindern damit Relativbewegungen zwischen Bolzenund Muttergewindeflanschen, sodass die inneren Losdrehmomente nicht wirksam werden [60]. Klebende Sicherungselemente sind insbesondere bei gehrteten Oberflchen geeignet, wo sperrende Elemente nicht mehr anwendbar sind. Zu beachten ist die zum Teil stark strende Gewindereibung beim Anziehen sowie die Anwendungsgrenze von etwa 90 C. Im Großmaschinenbau werden Schrauben und Muttern oft durch Kehl-Schweißnhte an einer oder zwei Sechskantflchen gegen Losdrehen gesichert.
– Speichern von Energie, z. B. Uhrenfedern oder Federmotoren fr Spielzeuge, – Rckfhren eines Bauteils in seine Ausgangslage nach einer Auslenkung, z. B. Ventilfedern, Rckstellfedern in hydraulischen Ventilen und Messgerten – auch fr Rckschlagventile, – Messen von Krften und Momenten in Mess- und Regeleinrichtungen bei reproduzierbarem, gengend linearem Zusammenhang zwischen Kraft und Verformung, z. B. Federwaagen, – Beeinflussen des Schwingungsverhaltens von Antriebsstrngen, insbesondere Tilgung oder Dmpfung angeregter Schwingungen bei stationrem oder instationrem Betrieb, aber auch umgekehrt zur Erzeugung von Resonanzschwingungen z. B. in Schwingfrderern oder Schwingprfmaschinen, s. B 4 und U 6.3.2, – Schwingungsisolierung, Schwingungsdmpfung, Verstimmung; aktive und passive Isolierung von Maschinen und Gerten, s. O 2.3, – Mildern von Stßen durch Auffangen der Stoßenergie auf lngeren Wegen, z. B. Fahrzeug-Gasfeder-Dmpfer, Pufferfedern, Stoßisolierung von Hammerfundamenten, s. Q 1.5.3. Eine vom Verwendungszweck unabhngige Einteilung der Federn kann ber den Federwerkstoff: Metallfedern, Gummifedern, faserverstrkte Kunststoffedern, Gasfedern erfolgen. Bei Metallfedern ist die Werkstoffdmpfungsfhigkeit verhltnismßig gering, bei Federn aus Gummi oder Kunststoff technisch nutzbar. Die federnden Eigenschaften von Metallen lassen sich nur durch bestimmte Formgebung ausnutzen (Formfederung); auch Gummi ist noch relativ steif und praktisch inkompressibel. Nur bei Gasfedern kann die Volumenfederung ausgenutzt werden.
G
G 48
Mechanische Konstruktionselemente – 2 Federnde Verbindungen (Federn)
Bild 1. Federkennlinien bei zgiger Belastung. 1 geradlinige Federkennlinie, 2 progressive Federkennlinie, 3 degressive Federkennlinie, Arbeitsaufnahmefhigeit W fr Kennlinie 1 schraffiert
2.1.2 Federkennlinie, Federsteifigkeit, Federnachgiebigkeit
G
Federkennlinie. Sie gibt die Abhngigkeit der auf die Feder wirkenden Federkraft F (oder des Federdrehmoments Mt ) vom Federweg s (bzw. dem Verdrehwinkel j), der Auslenkungsdifferenz zwischen den Kraftangriffsstellen, wieder, Bild 1. Die Steigung der Kennlinie dF=ds wird Federsteifigkeit c oder nach DIN EN 13 906 Federrate R genannt. Solange der Federwerkstoff dem Hookeschen Gesetz gengt und die Federn reibungsfrei sind, knnen fr kleine Federwege geradlinige Federkennlinien auftreten. Es gilt dann c ¼ d F=d s ¼ F=s ¼ Fmax =smax bzw. ct ¼ d Mt =d j ¼ Mt =j ¼ Mt max =jmax :
ð1Þ
Der Kehrwert der Federsteifigkeit (oft auch kurz Federsteife) heißt Federnachgiebigkeit d d ¼ 1=c ¼ d s=d F bzw: dt ¼ 1=ct ¼ d j=d Mt :
ð2Þ
2.1.3 Arbeitsaufnahmefhigkeit, Nutzungsgrad, Dmpfungsvermgen, Dmpfungsfaktor Die Flche unter der Kennlinie (Bild 1) ist ein Maß fr die Arbeitsaufnahmefhigkeit oder das Arbeitsvermgen einer Feder (s. B 3.2), W¼
Zsmax
F d s bzw: Wt ¼
0
Zjmax
ð3Þ
0
2 W ¼ Fmax smax =2 ¼ cs2max =2 ¼ Fmax =ð2cÞ
bzw. Wt ¼ Mtmax jmax =2 ¼ ct j2max =2 ¼ Mt2max =ð2ct Þ:
ð4Þ
Mit dem Hookeschen Gesetz s=Ee=E(s/ l) gilt fr die Arbeitsaufnahmefhigkeit eines Werkstoffs bei ber Federquerschnitt A und Federlnge l gleichmßig verteilter Zug- oder Druckbeanspruchung sowie dem Volumen V=Al: Zsmax 0
F ds ¼
Zsmax
ðF=AÞðAlÞdðs=lÞ ¼ Vs2max =ð2EÞ
0
bzw. Wt ¼ Vt2max =ð2GÞ
ð5Þ
bei Schubbeanspruchung. Bei nicht gleichmßig verteilter Beanspruchung gilt W ¼ hA Vs2max =ð2EÞ bzw. Wt ¼ hA Vt2max =ð2GÞ
Vergleich verschiedener Federarten hinsichtlich Werkstoffausnutzung gibt. Bei zyklischer Verformung, z. B. schwellendem Federweg nach Bild 2 a oder wechselndem Federweg nach Bild 2 b, ist die von der Kennlinie umschlossene Flche ein Maß fr die whrend eines Lastspiels dissipierte Energie WD . Fr linear viskoelastische Federwerkstoffe wird zur Kennzeichnung des hieraus resultierenden Dmpfungsvermgens der Dmpfungsfaktor y genutzt: Er gibt bei reiner Wechselverformung entsprechend Bild 2 b das Verhltnis der kennlinienumschlossenen, WD -proportionalen Flche zur Dreiecksflche mit der Verformungsamplitude ^s als Grundlinie und der zugehrigen Federkraftamplitude Fc als Hhe wieder; die Dreiecksflche ist ein Maß fr die in der Umkehrlage gespeicherte elastische Verformungsenergie Wpot : y ¼ WD =Wpot :
ð7Þ
Erweiterung auf nichtlineares Verhalten bei zyklischer Verformung, s. G 2.3 [1]. Zur Kennzeichnung des nichtlinearen Federverhaltens, insbesondere bei nichtstationrer Beanspruchung, sind erweiterte Feder-Dmpfer-Simulations-Modelle, s. G 2.3 [2] erforderlich, s. auch Q 1.8.
2.2 Metallfedern Mt d j:
Fr Federn mit geradliniger Kennlinie gilt zwischen s=0 und s ¼ smax
W¼
Bild 2 a, b. Federkennlinien bei schwingender Belastung. a Kennlinie bei schwellend beanspruchten, zweistufig geschichteten Blattfedern; b Hystereseschleife in Ellipsenform fr einen wechselbeanspruchten viskoelastischen Federwerkstoff mit geschwindigkeitsproportionaler Dmpfungskraft
ð6Þ
mit dem Volumennutzungsgrad hA , der von der jeweiligen Federgestalt und der Belastungsart abhngt und einen ntzlichen
Metallfedern [3–16] werden meist aus hochfesten Federwerkstoffen (s. E 3.1.4) hergestellt. Alle Normen ber Federsthle enthalten Anforderungen zur Oberflchenbeschaffenheit, da die Zeit- und Dauerfestigkeit von Federn wesentlich von einer kerbfreien Oberflche abhngt. Diese Forderungen mssen auch auf gefertigte und montierte Federn bertragen werden, was bedeutet, dass Riss- und Scheuerstellen bei Montage und Betrieb zu vermeiden sind, Qualittssicherung ist unerlsslich. Auch durch Korrosionseinfluss kann die Lebensdauer stark herabgesetzt werden. Als Korrosionsschutz knnen organische oder anorganische Schutzberzge aufgebracht werden, s. E 6.5. Bei galvanischen Schutzberzgen ist die Gefahr von Wasserstoffversprdung zu beachten, s. E 6.4.7. Weiterhin knnen je nach Korrosionsbelastung verschiedene Chrom-Nickel-Sthle oder NE-Metalle eingesetzt werden. Bei Berechnung und Gestaltung von Federn sind die jeweils im Folgenden genannten DIN-Normen zu beachten. In technischen Zeichnungen werden Federn nach DIN ISO 2162 dargestellt. 2.2.1 Zug/Druck-beanspruchte Zug- oder Druckfedern Zugstbe, Druckstbe. Anwendung. Wegen hoher Federsteife nur in hochfrequenten Prfmaschinen und Schwingungserregern sowie als Einzelelemente in Schraubenverbindungen (s. G 1.6). Grundlagen. Fr Stab mit Lnge l, Querschnitt A und Elastizittsmodul E gilt fr Federsteife c ¼ EA=l. Der Nutzungsgrad des federnden Volumens ist hA ¼ 1; falls Einspannkerbwir-
I2.2
Metallfedern
G 49
der Dicke t und der Breite b oder als Dreieck- (Tab. 1 b) oder Trapezfeder (Tab. 1 d) mit gleichbleibender Dicke t und linear vernderlicher Breite b(x) oder als Parabelfeder (Tab. 1 c) mit gleichbleibender Breite b und parabolischem Verlauf der Hhe h(x) oder als Rechteck-Parallelfeder (Tab. 1 e).
Bild 3 a, b. Ringfeder. a Querschnitt; b Kennlinie vor dem Blockieren
kung durch entsprechende bergnge vermieden wird: Schulterstbe. Ringfedern. Anwendung. Wegen hoher dissipierter Energie als Pufferfeder sowie als berlastsicherung und Dmpfungselement im Pressenbau [9]. Bauform (Bild 3 a). Zug- und druckbeanspruchte Ringe mit konischen Wirkflchen; (Innenringquerschnitt Ai zu Außenringquerschnitt Aa ) 0;8: (Außenring-Außendurchmesser da zu Ringbreite b) 5 bis 6. Grundlagen. Zur Vermeidung von Selbsthemmung wird bei feinbearbeiteten Ringen mit Reibungswinkel r 7 der Neigungswinkel a 12 gewhlt; bei unbearbeiteten grßeren, im Gesenk geschlagenen Ringen mit r 9 der Neigungswinkel a 14. Fr Belastung F " und Entlastung F # gilt analog zu Bewegungsschrauben (s. B 1.11): F "¼ Fc tanða þ rÞ= tan a ð1;5 . . . 1;6ÞFc ;
ð8Þ
F #¼ Fc tanða rÞ= tan a;
ð9Þ
mit der Federkraft Fc ohne Reibungsbercksichtigung nach Bild 3 b. Fr Arbeitsaufnahme W " bei Belastung gilt W "¼ ðF "Þs=2, fr Arbeitsabgabe W # bei Entlastung W #¼ ðF #Þs=2, dissipierte Energie WD ¼ W " W # 3=4W ". Fr die Zugspannung sz im Außenring und die Druckspannung sd im Innenring gilt aus Gleichgewichtsgrnden sz Aa ¼ sd Ai . Die Flchenpressung p in der Reibflche wird damit p ¼ sz Aa =ðldm Þ, mit der berlappungslnge l einer Kegelpaarung. Die Tangentialkraft Ft im Außenring Ft ¼ sz Aa begrenzt die maximale Tragkraft Fmax , da gilt F "¼ Ft p tanða þ rÞ ¼ sz Aa p tanða þ rÞ:
Entwurfberechnung. Formeln fr die zulssige Querkraft Fzul , die Verformung s bzw. zulssige Verformung szul abhngig von der Querkraft F bzw. der zulssigen Biegenennspannung sb zul , die Federsteife c, die Federarbeit W und den Volumennutzungsgrad hA : Tab. 1. Ist die Breite b sehr groß gegenber der Dicke t, dann ist der E-Modul in den Formeln durch E=ð1 u2 Þ zu ersetzen, mit der Poissonschen Querkontraktionzahl u 0;3 (s. C 3). Die Dreieckfeder und die Parabelfeder sind Trger gleicher Rand-Biegebeanspruchung (s. C 2.4.5). Wird die Rechteck-Parallelfeder fr die vertikale Absttzung eines Schwingtisches mit dem Gewicht G=mg verwendet, dann ist bei der Berechnung der Eigenkreisfrequenz we die astatische Pendelwirkung zu bercksichtigen: pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi we ¼ c=m g=lred , mit lred als Krmmungsradius der Bahnkurve der durch die sttzenden Blattfedern parallel gefhrten Masse, lred 0;82l; bei Aufhngung an senkrechten Blattfedern ist das Minuszeichen unter der Wurzel in ein Pluszeichen umzukehren. Feingestaltung. Um die Einspannkerbwirkung niedrig zu halten, mssen die Einspannkanten gerundet und Beilagen aus Papier, Kunststoff, Messing, Kupfer u. a. oder Verkupferung (oder Verzinkung) im Einspannbereich vorgesehen werden. Befestigungsbohrungen mssen von der Einspannkante der Federbltter um mindestens 3 t entfernt sein. Deckscheiben sollten mindestens 3 t dick sein. Die Einspannkerbwirkung kann durch Dickenanpassung oder Breitenanpassung vermieden werden, Bild 4. Geschichtete Blattfedern. Anwendung. Zur Federung und Radfhrung in Land-, Schienen- und Straßenfahrzeugen. Bauformen. Als elliptisch vorverformte Blattfedern mit Rechteckquerschnitt und Lngsrippen nach DIN 11 747 fr
ð10Þ
Die Zusammendrckung s einer Ringfedersule mit insgesamt n Ringen, darunter je zwei halben Endringen wird s ¼ 0;5nðsz dma þ sd dmi Þ=ðE tan aÞ:
ð11Þ
Entwurfsberechnung. Fr bearbeitete Ringe aus gehrtetem und angelassenem Edelstahl und seltene Hchstbeanspruchung kann als zulssige Beanspruchung sz zul ¼ 1000 N=mm2 angenommen werden; zulssige Druckbeanspruchung sd zul etwa 20% hher ðE ¼ 2;1 105 N=mm2 Þ. Feingestaltung. Abhngig von Schmierung (auch Lebensdauerschmierung). Serienprodukte nach Herstellerangaben. 2.2.2 Einfache und geschichtete Blattfedern (gerade oder schwachgekrmmte, biegebeanspruchte Federn) Einfache Blattfedern. Anwendung. Als Andrckfedern von Schiebern, Ankern, Klinken in Gesperren, als Kontaktfeder in Schaltern, als Fhrungsfedern. Grundformen (Tab. 1). Als Rechteckfeder (Tab. 1 a) mit einem ber die Lnge gleichbleibenden Rechteckquerschnitt
Bild 4 a–c. Feingestaltung schwingend beanspruchter Blattfedern. a 1 Dreiecksfeder (mit auf 2 b0 verbreiterter Einspannbreite), 2 Spannflche mit Anschlag, 3 Deckscheibe, 4 Schrauben (lackgesichert); b Dickenverlauf bei einer Brninghaus-Parabelfeder; c beiderseitig eingespannte Blattfeder (Fhrungsfeder), Einspannkerbwirkung durch beiderseitige Dickenreduzierung auf 2/3 t bercksichtigt
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G 50
Mechanische Konstruktionselemente – 2 Federnde Verbindungen (Federn)
Tabelle 1. Grundformen und Berechnungsformeln zur Grobgestaltung von Blattfedern
G
ein- und zweiachsige landwirtschaftliche Transportanhnger; als vorverformte Trapez- und Parabelfedern nach DIN 2094; als vorverformte Parabelfedern nach DIN 5544 T 1, 2 nach Bild 5 fr Schienenfahrzeuge. Entwurfsberechnung. In Anlehnung an Tab. 1 unter Beachtung der eventuell von der Belastung abhngigen Federschaltung (B 4.1). In erster Nherung knnen weggleich geschaltete Federteile gleicher Blechdicke als nebeneinanderliegend (mit derselben neutralen Faser) betrachtet werden. Die rechnerisch nicht erfaßbare, stark von der Schmierung und der Oberflchenbeschaffenheit der Bltter abhngige Reibung hat den (begrenzten) Vorteil der Dmpfung, aber gegenber anderen Dmpfern den Nachteil, dass Krperschall ungedmmt weitergeleitet wird. Feingestaltung. Gestaltungshinweise fr Federenden und Lasteinleitungsstellen s. Normen. Bild 5 zeigt eine beanspruchungsgerecht gestaltete Mehrblatt-Parabelfeder fr Gterwagen [7]. Bei niedriger Belastung trgt alleine die Hauptfeder, nach einem bestimmten Federweg wird zustzlich die Zusatzfeder wirksam, was zu einer (geknickt) progressiven Kennlinie fhrt. Die Kennlinie nimmt den in Bild 2 a gezeigten Verlauf an. Zur Steigerung der Dauerfestigkeit werden die aus lhrtenden Edelstahl 50 CrV4 bestehenden Federbltter so gestaltet, dass die geschichteten Federbltter sich nicht in hochbeanspruchten parabelfrmigen Bereichen berhren; die Federbltter werden auf Rm ¼ 1450 bis 1600 N=mm2 vergtet, vorgesetzt, auf der Zugseite kugelgestrahlt und allseitig mit Zinkstaubfarbe gegen Korrosion geschtzt. Erzielte Dauerfestigkeitswerte im Versuch, s. [7].
2.2.3 Spiralfedern (ebene gewundene, biegebeanspruchte Federn) und Schenkelfedern (biegebeanspruchte Schraubenfedern) Spiralfedern. Anwendung. Als Triebfedern fr Uhren, als Rckstellfedern in elektrischen Messgerten nach DIN 43 801. Bauformen. Als archimedische Spirale nach Tab. 2 a mit rechteckigem Querschnitt und beidseitig fest eingespannten Federenden, als spiralfrmig um einen Federkern (Welle) gewickeltes Federband nach DIN 8287. Entwurfsberechnung (Tab. 2 a). In den Gleichungen ist die durch die Krmmung hervorgerufene Spannungserhhung innen im Federquerschnitt nicht bercksichtigt, da i. Allg. das Wickelverhltnis w = Krmmungsradius/(halbe Banddicke) gengend groß ist und bei Beanspruchung im Wickelsinne dort eine Druckspannung mit hherer zulssiger Beanspruchung wirkt. Anhaltswerte fr zulssige Beanspruchung wie fr schraubenfrmig gewundene Biegefedern. Feingestaltung der Federn und der Befestigungsenden fr Triebfedern s. DIN 8287. Schraubenfrmig gewundene Biegefedern. Anwendung. Zum Rckfhren oder Andrcken von Hebeln, Deckeln und dergleichen („Mausefallenfeder“). Bauformen. Nach DIN EN 13 906-3 mit festeingespannten Federschenkeln oder Fhrung des ruhenden Schenkels auf einem Dorn nach Tab. 2 b. Wickelverhltnis w ¼ Dm =d ¼ 4 bis 20.
I2.2
Metallfedern
G 51
Feingestaltung. Wird auf Dorn nach Tab. 2 b gefhrt, dann Spiel zwischen Feder und Fhrung notwendig (Dorndurchmesser 0;8 bis 0;9Di ), genauere Angaben, auch fr die Federsteife, s. DIN EN 13 906-3. 2.2.4 Tellerfedern (scheibenfrmige, biegebeanspruchte Federn) Anwendung. Wegen geringen Platzbedarfs (meist zu Sulen geschichtet) und/oder wegen großer Krfte bei kleinen Wegen als Spannelement in Vorrichtungen und Werkzeugen, zur Bettigung von Ventilen, fr Puffer- und Stoßdmpferfedern, zur Absttzung von Maschinen und Fundamenten, fr Lngsund Toleranzausgleich und dergleichen. Bauarten. Gebruchliche Tellerfedern nach DIN 2093 sind kegelschalenfrmig gestaltete, in Achsrichtung belastbare Ringscheiben. Sie werden mit und ohne Auflageflchen gefertigt, Bild 6.
Bild 5 a–c. Zweistufige Parabelfeder fr Gterwagen. a Ansicht; b Draufsicht; c Querschnitt in Mitte. 1 Federblatt, 2 Hauptfederblatt (Zugseite kugelgestrahlt), 3 Zusatzfeder, 4 Federbund, 5 Zwischenlage (verzinkt), 6 Nasenkeil, 7 Treibkeil
Tabelle 2. Grundformen und Berechnungsformeln zur Grobgestaltung von Spiralfedern und Schenkelfedern mit gleichmßiger Biegebeanspruchung
Grobgestaltung. De =Di 2; fr Reihe A gilt De =t 18; h0 =t 0;4; fr Reihe B gilt De =t 28; h0 =t 0;75; De und Di sind mit h12 bzw. H12 toleriert; Belastbarkeit im Bereich De ¼ 8 bis 250 mm z. B. fr Reihe B normgemß mit Fmax 120 N bis 120 kN bei Federweg s 0;75h0 . Entwurfsberechnung. Bei Krafteinleitung ber die Kreislinien I und III nach Bild 6 gelten fr h0 =t % 0;4 (Reihe A) die Nherungsformeln 4E ðt3 sÞ 4E t3 oder c ð1 u2 Þ K1 D2e ð1 u2 Þ K1 D2e
ð12Þ
sI; II FK3 =t2 sowie sIII; IV ðDi =De ÞsI; II
ð13Þ
F
fr die Federkraft F, die Federsteife c, die Randspannung s, mit dem nach DIN 2092 fr Edelsthle gltigen 4E=ð1 u2 Þ ¼ 905;5 kN=mm2 . Fr De =Di ¼ 2 sind die vom Durchmesserverhltnis abhngigen dimensionslosen Beiwerte: K1 ¼ 0; 69; K3 ¼ 1; 38. Fr h0 =t > 0; 4 knnen die Nichtlinearitten der Federn nicht mehr vernachlssigt werden; hierfr sind die von Almen und La´szlo´ abgeleiteten Formeln [1] nach DIN 2092 bei Tellerfedern ohne Auflageflchen ausreichend genau. Die Auswertung dieser Gleichungen fhrt zu den Federkennlinien nach Bild 7. Die in Bild 8 dargestellte typische Spannungsverteilung [14] zeigt, dass abhngig von der Lage des lastabhngigen Spannungspols die grßten rechnerischen Zugspannungen an der Tellerfederunterseite an den Stellen II oder III auftreten, die grßte Druckspannung ist an der Stelle I zu erwarten. Bei Tellerfedern nach DIN 2093, die nur statisch ohne Lastnderung oder mit gelegentlichen Lastnderungen in grßeren Zeitabstnden und weniger als 104 Lastspielen belastet werden, darf die rechnerische Druckspannung sI bei s ¼ 0; 75h0 bis zu sI ¼ 2 000 bis 2400 N=mm2 betragen, ohne dass wesentliche Setzerscheinungen zu befrchten sind. Bei schwingender Beanspruchung zwischen den Federweggrenzen so und su sind die zugehrigen Ober- und Unterspan-
Entwurfsberechnung (Tab. 2 b). Wegen der Einspannbedingungen nahezu gleichmßige Biegebeanspruchung im Wickelbereich. Bei ausnahmsweise nicht im Wickelsinne wirkender schwellender Belastung ist der die Spannungsvergrßerung am Innenrand bercksichtigende Faktor q fr Rundfedern q ¼ ðw þ 0; 07Þ=ðw 0; 75Þ in die Rechnung einzubeziehen. Zulssige Beanspruchungen nach DIN EN 13 906-3 oder vereinfacht mit um den Faktor 1,42 erhhten Werten fr torsionsbeanspruchte Schraubendruckfedern. Auch die Spannungen in den Drahtabbiegestellen an den Schenkeln sind nachzurechnen.
Bild 6 a, b. Einzeltellerfeder und Querschnittsstellen der nach AlmenLa´szlo´ zu berechnenden Spannungen (nach DIN 2092). a ohne Auflageflchen. Gruppe 1 (t 105 min1 Þ. Das Kreuzgelenk (Bild 3 f) gestattet Beugewinkel bis zu 40 , formt aber eine gleichfrmige Winkelgeschwindigkeit w1 in eine mit 2 w1 pulsierende Winkelgeschwindigkeit w2 um. Dabei gilt w2 ¼ w1 cos b= ð1 sin2 b sin2 a1 Þ; wobei b der Beugewinkel ðD Kw Þ nach DIN 740 und a1 der Drehwinkel der Welle 1 ist. Die Maximal- und Minimalwerte sind w2 max ¼ w1 = cos b; w2 min ¼ w1 cos b und der Ungleichfrmigkeitsgrad U ¼ ðw2 max w2 min Þ=w1 ¼ tan b sin b: Bei der Kreuzgelenkwelle (Bild 3 g) [1–2] wird ber ein zweites Kreuzgelenk die Pulsation zwischen An- und Abtrieb aufgehoben, die Zwischenwelle erfhrt diese aber und wird dynamisch angeregt. Hierfr mssen die Gabeln der Verbindungswelle und die An- und Abtriebswelle in einer Ebene liegen und gleiche Beugungswinkel b1 ¼ b2 besitzen. Ein großer Beugungswinkel b mindert aufgrund der dynamischen Krfte die bertragbare Leistung. Zahnkupplungen (Bild 3 h) [3–8] bertragen das Drehmoment ðMmax ¼ 5 106 Nm; nmax ¼ 105 min1 Þ ber ineinander gefgte Außen- und Innenverzahnungen. Whrend die Innenverzahnung gerade ist, wird die Außenverzahnung nahezu ausschließlich ballig (bombiert) ausgefhrt. Dies ermglicht den Ausgleich von winkligem Wellenversatz ðD Kw bis 1; 5 ). Spezielle Bombierungsformen lassen fr Sonderanwendungen auch grßere Auslenkwinkel ðD Kw bis 4,0 Þ zu. Der zulssige radiale Wellenversatz fr Doppelzahnkupplungen ist proportional der Entfernung L zwischen den beiden Verzahnungspaarungen ðD Kr ¼ L tan D Kw Þ: Vorteilhaft sind die geringe Baugrße (hohe Leistungsdichte), die Unempfindlichkeit gegen berlastungen und die Eignung fr hohe Drehzahlen [9]. Der Wartungsaufwand fr die Schmierung zur Erhaltung der Betriebssicherheit ist ein wesentlicher Nachteil. Daneben knnen die Unbestimmtheit axialer und radialer Rckwirkungen auf die Lager, Unwuchten und Spiel den stabilen Lauf negativ beeinflussen. Diese Einflussfaktoren zeigen eine große Abhngigkeit von unbestimmten Grßen wie dem Reibbeiwert und der Lastverteilung. Die Schmierung kann mittels Fett, l- bzw. ldurchlaufschmierung erfolgen. Bei hheren Drehzahlen wird i. d. R. l verwendet, was aber das Problem des Abdichtens mit sich bringt. Die Schmierung mit Fett hat hingegen verschiedene Nachteile wie die Fettkragenbildung, das Entstehen von Unwuchten, das Auszentrifugieren von Fett, die Bindung von Verschleißpartikeln sowie das schlechte Erreichen und die damit verbundene ungengende Schmierung der Zahnflanken. Die zulssigen Flchenpressungen in den aktiven Zahnflanken sind abhngig von der Werkstoffpaarung und Oberflchen- bzw. Wrmebehandlung. Sie sind starken Schwankungen unterworfen (Richtwerte bei ungehrteten, vergteten Sthlen 10 bis 15 N=mm2 ). Zu beachten ist die zulssige spezifische Reibleistung. Fr Anwendungen mit nicht so hohen Anforderungen kann die Hlse aus Kunststoff gefertigt werden (Bild 3 j), die Schmierungsprobleme vermindern sich dadurch erheblich. Gleichlaufgelenke bertragen im Gegensatz zu den Kreuzgelenken bei Ablenkwinkeln bis zu 50 das Drehmoment homokinetisch (gleichfrmig). Gleichlaufgelenke knnen in drei verschiedene Bauarten unterteilt werden: Doppelkreuz-, Kugel- und Polypodengelenk. Das Doppelkreuzgelenk entsteht durch zwei Einzelkreuzgelenke, die mit einem dazwischen liegenden starren und kurzen Mittelteil verbunden sind. Gleichlauf-Kugelgelenke bertragen das Drehmoment mittels Kugeln, die in Fhrungsrillen laufen. Sie knnen als Fest- und Verschiebegelenke ausgefhrt werden (Bild 3 i) (max. Beugewinkel bmax
50 bzw. bmax 25 ). Das Prinzip des Polypodengelenks zeichnet sich dadurch aus, dass eine durchbohrte Kugel von einem Zylinderzapfen (Pode) in einem geschlitzten Hohlzylinder gefhrt wird. Fr den praktischen Einsatz haben sich Tripodegelenke bewhrt. Wie bei den Kugelgelenken kann hier ebenfalls in Fest- und Verschiebegelenke (max. Beugewinkel bmax 45 bzw. bmax 25 ) unterschieden werden. Die Membrankupplung (Bild 3 k) gleicht axiale und winklige Wellenverlagerungen durch elastische Verformung von Blechringen aus, die jeweils am ußeren und inneren Durchmesser befestigt sind ðD Kw ¼ 0,5 . . . 1 ; D Ka ¼ 5 mm). Die Kraftrckwirkungen sind berechenbar! Die berlastempfindlichkeit ist durch die Betriebsfestigkeit der Membranen gegeben und kann fr bestimmte Einsatzflle gegenber Zahnkupplungen nachteilig sein [10]. Die Federlaschenkupplung (kein Bild) gleicht durch wechselseitig an die Kupplungsflansche angeschraubte, zugbeanspruchte Laschenpakete Winkel-, Axial- und beim Einsatz von zwei Kupplungselementen auch Radialverlagerungen aus. Sie ist wie die Membrankupplung schmierungs- und wartungsfrei und damit auch fr hhere Temperaturen geeignet. Sind die Laschen in Stahl ausgefhrt, werden Drehmomente bis Mmax ¼ 1,45 106 Nm erreicht. Bei der Federscheiben- bzw. Federlamellenkupplung (Bild 3 l), die sich durch die Ausfhrung der Ausgleichselemente von der Federlaschenkupplung unterscheidet, werden die Kupplungsflansche ber biegeweiche, aber in Umfangsrichtung starre Scheiben bzw. Lamellen verbunden ðMmax ¼ 0; 125 106 NmÞ: Die Kupplungsflansche sind wechselseitig auf gleichem Durchmesser mit den flexiblen Elementen verbunden. So knnen winklige und axiale Verlagerungen ausgeglichen werden. Bei Bauformen mit Zwischenstck ist es zudem mglich, radiale Verlagerungen auszugleichen ðD KW bis 3 , D Ka ¼ 0,7 . . . 3,5 mm, D Kr ¼ 1 . . . 5,8 mm). Zwischenstcke knnen so gestaltet sein, dass ein radialer Ausbau mit oder ohne Verschieben der angeflanschten Aggregate mglich ist.
3.3 Elastische, nicht schaltbare Kupplungen Elastische Kupplungen enthalten elastische bertragungselemente aus metallischen oder nichtmetallischen Werkstoffen. Aufgrund ihrer Eigenschaften konzentriert sich ihr Einsatzfeld auf den Ausgleich von axialen, radialen und winkligen Fluchtungsfehlern (z. B. wegen Wrmedehnung oder betriebsbedingter Verlagerungen der Wellen), die schlupffreie bertragung von Drehbewegungen und die Verringerung von Drehmomentschwankungen und Schwingungen (z. B. bei Kolbenmaschinen, Frdermaschinen usw.) sowie von Drehmomentstßen (z. B. Anfahrstße im Antriebsstrang, Havarie). 3.3.1 Feder- und Dmpfungsverhalten Feder- und Dmpfungsverhalten einer elastischen Kupplung verndern die dynamischen Eigenschaften eines Antriebssystems. Stoßanregungen werden durch die elastische Speicherwirkung der bertragungselemente verringert. Ein großer Verdrehwinkel Dj verringert bei gegebener eingeleiteter ArZj2 MK d j das Spitzendrehmoment MS bzw. den beit D W ¼ j1
Drehmomentstoß. Die Schwingungsdmpfung erfolgt durch die „verhltnismßige Dmpfung y“, eine kombinierte Wirkung aus „innerer“ Dmpfung (Werkstoffdmpfung) und „ußerer“ Dmpfung (Reibungsdmpfung im Bereich der Kontaktflchen). Dabei ist die „innere“ Dmpfung bei Elastomerkupplungen aufgrund ihrer viskoelastischen Eigenschaften im Vergleich zu metallischen Kupplungen erheblich grßer, bei
I3.3
Elastische, nicht schaltbare Kupplungen
G 63
metallischen Kupplungen ist sie i. Allg. vernachlssigbar. Resonanzfrequenzen im Antriebsstrang knnen durch den Einsatz elastischer Kupplungen zu unkritischen Betriebsbereichen hin verlagert werden. Elastizitt. Sie wird durch Federn aus Metall oder Elastomer (Gummi, Kunststoff) bewirkt. Kennwerte fr die Elastizitt sind die Drehfedersteife CT ¼ d Mt =d j (Tangente an Federkennlinie, Bild 4), die Axial- und Radialfedersteifen Ca bzw. Cr sowie die Winkelfedersteife CW [DIN 740]. Whrend metallische Federn ein berwiegend linearelastisches Verhalten aufweisen, werden viele Elastomere im Kurzzeitbereich durch ein nichtlineares, im Langzeitbereich durch ein viskoelastisches Materialverhalten beschrieben. Das dynamische Verformungsverhalten von Elastomerkupplungen ist eine Funktion von Geometrie, Frequenz, Amplitude, statischer Vorspannung, Temperatur, Belastungsdauer und Alter. Diese Parameter sind bei der dynamischen Auslegung entsprechend den Herstellerangaben zu bercksichtigen. Danach ergibt sich zumeist eine mit steigendem Drehmoment progressive Federkennlinie (Bild 5), die fr metallelastische Ausfhrungen besondere konstruktive Maßnahmen erfordert. Die dynamische Drehfedersteife von Elastomerkupplungen ist proportional zur Frequenz und zur statischen Vorlast und grßer als die statische Drehfedersteife CT dyn 1; 3 . . . 1; 4 CT stat (bei f=10 Hz und T=20 C). Sie verringert sich mit steigender Temperatur und Amplitude sowie mit zunehmendem Alter. Mit fallender Temperatur kommt es bei Elastomeren im Bereich der „Glasumwandlungstemperatur“ zur Kaltsprdigkeit, in deren Folge ein Anstieg des Elastizitts- und Schubmoduls sowie eine Abnahme der Bruchdehnung verzeichnet werden. Bei hheren Temperaturen stellt sich eine Beschleunigung der Alterungsprozesse durch Oxidation des Gummis mit Luftsauerstoff ein. Synthetische Elastomere sind zur Verstrkung meist mit Gewebeeinlagen versehen, haben eine hhere Alterungsbestndigkeit und sind in aggressiver Umgebung bestndiger [11, 12]. Sie sollten auf Schub oder Druck, nicht auf Zug beansprucht werden. Die maximale Umgebungstemperatur ist bei Elastomerkupplungen mit 10 Hz : Sf ¼ f =10: Der Vergrßerungsfaktor Vfi fr einen zwangserregten Zweimassenschwinger gibt die Vergrßerung des mit der anregenden Frequenz fi wirkenden Drehmoments an vffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2 u u y u 1þ u 2p u Vfi ¼ u 2 2 : t f2 y 1 i2 þ fe 2p Die Eigenfrequenz fe berechnet sich aus den Trgheitsmomenten JA und JL der Antriebs- bzw. Lastseite sowie der Drehfedersteife CT dyn zu sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1 1 1 : fe ¼ þ CT dyn 2p JA JL Sie soll nicht mit torsionserregenden Frequenzen fe wie z. B. der Betriebsfrequenz oder Vielfachen davon zusammenfallen (Abstand mindestens 20% fr alle Harmonischen der Erregerfrequenz). Zu beachten ist, dass Asynchronmotore beim Anfahren unabhngig von ihrer Nenndrehzahl mit der Netzfrequenz (50 Hz) erregen [17]. Manche Kupplungen (Kardan, Doppelzahn) knnen mit zweipffiffiffi facher Betriebsfrequenz erregen. Ist fi < 2 fe ; so luft die elastisch angekuppelte Maschine ruhiger als die erregende. Beim Durchfahren der Resonanz wird das sich dabei einstellende Moment umso kleiner, je grßer die Dmpfung y ist. Fr 3. und 4. kann es notwendig sein, eine Frequenzanalyse der Anregungsmomente vorzunehmen, um Lage und Amplitude zu ermitteln. 5. Die zulssigen axialen, radialen und winkligen Verlagerungsmglichkeiten der Kupplung ðD Ka ; D Kr ; D KW ) mssen grßer sein als die tatschlich auftretenden Wellenverlagerungen ðD Wa Sq , D Wr Sq Sn , D WW Sq Sn Þ unter Beachtung des Drehzahlfaktors Sn, der die Walkarbeit bei großem Radial- oder Winkelversatz bercksichtigt. Durch Verlagerungen entstehen mit den Kupplungssteifigkeiten Ca ; Cr und CW Rckstellkrfte und -momente auf die benachbarten Bauteile, die auf ihre Zulssigkeit zu berprfen sind [18]. Eine gute Ausrichtung, besonders bei Dauerbetrieb und hoher Drehzahl, ist die wichtigste Maßnahme zur Verlngerung der Kupplungslebensdauer. 6. Durch die hohen Dmpfungswerte von Elastomeren wird verhltnismßig viel mechanische Leistung in Wrme umgewandelt, die bei periodischen Belastungen zu einer inneren Aufheizung des Gummikerns und schließlich zur chemischen Zersetzung fhren kann. Es ist sicherzustellen, dass die auftretende Dmpfungsleistung PWi kleiner als die zulssige Wrmeleistung PKW der Kupplung ist PKW
2 pMWi fi : VR CT dyn
Die Mglichkeit c) zur Kupplungsauslegung ist die Anwendung hherer Berechnungsverfahren in Form von Dreh-
I3.3 schwingungsrechnungen unter Bercksichtigung von nichtlinearen Zusammenhngen und komplexeren Einflssen des Gesamtantriebsstrangs. Diese Berechnungsverfahren sind nach DIN 740 Teil 2 bei Mehrmassensystemen, nichtlinearen (Feder-)Kennlinien, Spiel und Stoßanregungungen, die keine Rechtecksfunktionen darstellen, anzuwenden. Wenn bei Resonanzdurchlufen die Drehmomentberhhungen zu ermitteln sind, die Dmpfungswrme nicht mit einer harmonischen Anregung berechnet werden kann und Kennwerte fr transiente Betriebszustnde gefordert sind, mssen ebenfalls Drehschwingungssimulationen im Zeitbereich durchgefhrt werden, um das dynamische Verhalten des Antriebsstrangs zu ermitteln und die Kupplungen auszulegen.
Elastische, nicht schaltbare Kupplungen
G 65
sich im Bereich von einigen mm, D KW bis 3 ; und D Ka bis 20 mm. Elastomerkupplungen hoher Elastizitt. Dies sind Kupplungen mit Verdrehwinkeln von j ¼ 5 . . . 30 , typisch >10 bei Nenndrehmoment ðD Kr ¼ 6 . . . 10 mm, D Kw ¼ 8 ; D Ka ¼ 10 . . . 15 mm). Diese Kupplungen fallen meist schon durch ihr großes Gummivolumen auf, z. B. die Wulstkupplungen (Bild 8 c) mit einem Wulst, der bei Flanschkupplungen (Schwungradanbau) zur Scheibe werden kann. Die Feder-
3.3.3 Bauarten
G
Metallelastische Kupplungen. Die Bauarten unterscheiden sich im Wesentlichen durch die Verwendung unterschiedlicher Federarten (Verdrehwinkel j ¼ 2 . . . 25 Þ bei unterschiedlicher Dmpfung (Bild 7 a–d). Ferner kann durch konstruktive Mittel die an sich lineare Federkennlinie in eine meist progressive gendert werden, z. B. bei der Schlangenfederkupplung durch sich axial verjngende „Zhne“. Dadurch wird die freie Federlnge bei steigendem Drehmoment verkrzt, D Kr einige mm, D Kw bis 2 , D Ka bis 20 mm. Elastomerkupplungen mittlerer Elastizitt. Sie haben Verdrehwinkel j < 5 und sind entweder Bolzenkupplungen (Bild 8 a), die zylindrische, ballige oder gerillte Elastomerhlsen aufweisen, oder Klauenkupplungen (Bild 8 b) mit auf Biegung oder Druck beanspruchten Elementen. D Kr bewegt
Bild 7 a–d. Metallelastische Kupplungen. a Schlangenfederkupplung (Malmedie-Bibby) mit konstruktiv erzwungener progressiver Kennlinie (j=1,2 ); b Schraubenfederkupplung (Cardeflex) mit tangentialen, vorgespannten Schraubendruckfedern (j bis 5 ); c Voith-Maurer-Kupplung mit linearer Kennlinie; d Geislinger-Kupplung mit radial angeordneten Blattfederpaketen; Reibungs- und einstellbare ldmpfung durch lverdrngung aus Federkammern (j bis 9 )
Bild 8 a–f. Elastomerkupplungen. a Bolzenkupplung (ELCO-Kupplung, Renk), durch profilierte, vorgespannte Gummihlsen progressive Kennlinie j ¼ 2 . . . 3 ; b Klauenkupplung mit druckelastischen, ohne Axialverschiebung wechselbaren Elementen (TSCHAN), durchschlagsicher, Federkennlinie progressiv (j bis 2,5 ); c hochelastische Wulstkupplung (Periflex, Stromag) mit ringfrmigem, senkrecht zur Umfangsrichtung aufgeschnittenem Gummireifen, Federkennlinie progressiv; d Scheibenkupplung (Kegelflex-Kupplung, Kauermann) mit anvulkanisierter Gummischeibe, lineare Federkennlinie vernderbar durch unterschiedliche Gummisorten (j bis 10 ); e Gummikupplung (TRI-Konzept, Stromag) mit einer Kombination aus Gummielementen fr hohe radiale und axiale Nachgiebigkeiten ðj ¼ 5 . . . 12 Þ; f Rollen-Kupplung (Centaflex-R) nach dem ROSTA-Prinzip mit leicht progressiver Kennlinie (j bis 15 )
G 66
Mechanische Konstruktionselemente – 3 Kupplungen und Bremsen
kennlinien sind meist linear, wie auch bei den Scheibenkupplungen (Bild 8 d). Eine weitere Bauart ist die Rollenkupplung (Bild 8 f), bei der zylindrische Rollen, eingepresst zwischen einer Nabe und einer dazu winklig versetzten Ausnehmung, das eingeleitete Drehmoment bertragen. Eine Mglichkeit zur Realisierung unterschiedlicher Kennlinienverlufe bieten Kombinationen aus Klauen- und Rollenkupplung (Bild 8 b und 8 f) oder die Kombination von Gummielementen in Parallel- oder Reihenschaltung (Bild 8 e). Sie weisen hinsichtlich des Torsionsverhaltens zum einen oft eine weiche Kennlinie fr das Einwirken von geringen Lasten und zum anderen eine harte Federkennlinie fr hohe Torsionsbelastungen auf. 3.3.4 Auswahlgesichtspunkte
G
Einfache gleichfrmige Antriebe (Elektromotoren, Kreiselpumpen, Ventilatoren u. a.) werden zum Ausgleich von Anfahrstßen und Wellenlagefehlern mit Elastomerkupplungen mittlerer Elastizitt ðj < 5 Þ gekuppelt, die zudem preisgnstig und wartungsfrei sind. Stark ungleichfrmige Antriebe (Kolbenmaschinen, Brecher, Pressen, Walzwerke) oder die Verlegung der Resonanzdrehzahl erfordern hochelastische Kupplungen ðj ¼ 5 . . . 30 Þ; die auch fr große Wellenverlagerungen besonders gut geeignet sind. Große Axialverschiebungen sind vor allem mit Bolzen- und Klauenkupplungen gut beherrschbar. Da Elastomerkupplungen i. Allg. das schwchste Glied im Antriebsstrang darstellen, bernehmen sie im Falle einer Havarie eine zustzliche Sicherheitsfunktion. Dennoch muss bei vielen Anwendungsfllen die Durchschlagsicherheit, d. h. die Fhigkeit, Drehmoment auch bei Zerstrung der elastischen Elemente zu bertragen, gewhrleistet sein (z. B. bei Aufzugsantrieben oder Schiffsantrieben). Diese Eigenschaft ist ohne konstruktiven Mehraufwand bei Bolzen- und Klauenkupplungen schon vorhanden. Die zulssigen Drehzahlen sind bei drehelastischen Kupplungen allgemein niedriger als bei drehstarren (z. B. Zahn- und Membrankupplungen).
lungen fr unterschiedliche Charakteristiken auszulegen bzw. einzustellen. Im Gegensatz zu den bisher betrachteten Bauarten arbeiten drehnachgiebige Kupplungen immer mit einer Drehzahldifferenz zwischen An- und Abtriebsseite, dem sogenannten Schlupf s mit s ¼ 1 u, der durch die Betriebsbedingungen einstellbar ist. Bei der Induktionskupplung dienen magnetische Felder als bertragungsmedium. Die Magnetkrfte werden durch die induktive Wirkung unterschiedlich schnell rotierender, aneinander vorbeilaufender Polpaare erzeugt. Diese Kupplungen arbeiten verschleißfrei, die Magnetisierung umgebender Bauteile und die Zufhrung des Stroms ber Schleifringe sind jedoch problematisch. Außerdem bauen sie groß im Vergleich zu allen anderen Kupplungsarten.
3.5 Fremdgeschaltete Kupplungen Schaltbare Kupplungen werden eingesetzt, um Teile eines Antriebsstrangs wahlweise miteinander zu verbinden oder zu trennen. Dabei erfolgt das ffnen und Schließen des Drehmomentflusses bei den fremdgeschalteten Kupplungen auf ein externes Signal durch mechanische, hydraulische, pneumatische oder elektromagnetische Bettigung. Entsprechend dem zur Drehmomentbertragung verwendeten physikalischen Prinzip unterscheidet man mechanisch, hydrodynamisch und
3.4 Drehnachgiebige, nicht schaltbare Kupplungen Drehnachgiebige, nicht schaltbare Kupplungen vereinen die Funktionen von Anlauf- und Sicherheitskupplung und dienen weiterhin zur Torsionsschwingungsdmpfung (vgl. G 3.3); durch zustzliche Einrichtungen knnen sie auch schaltbar ausgefhrt werden. Die bekannteste Bauart der drehnachgiebigen Kupplungen ist die hydrodynamische Kupplung [19–22]. Ihre Hauptelemente sind Pumpenrad, Turbinenrad und viskoses Medium (Bild 9 a und 9 b). Beide Schaufelrder bilden zusammen mit der Gehuseschale einen Arbeitsraum, in dem das viskose Medium – angetrieben durch das Pumpenrad – umluft (Fliehkraftwirkung). Das Turbinenrad wird durch den Flssigkeitsstrom beaufschlagt und mitgenommen [19]. Das bertragbare Drehmoment MT ist proportional dem Quadrat der Antriebswinkelgeschwindigkeit wP und betrgt nach der hydrodynamischen Modellgleichung MT ¼ l r w2P D5P (Dichte des viskosen Mediums r, Durchmesser des Pumpenschaufelrades DP ). Weitere Hinweise zur Auslegung dieser Kupplungsart gibt die VDI-Richtlinie 2153. Das Betriebsverhalten einer hydrodynamischen Kupplung wird von der Leistungszahl l ¼ f ðuÞ und dem Drehzahlverhltnis u ¼ nT =nP (Abtriebsdrehzahl nT , Antriebsdrehzahl nP ) bestimmt. Beeinflusst durch Bauart und -form sowie durch unterschiedliche Fllungsgrade der Pumpe ergeben sich vielfltige Drehmoment-Drehzahl-Kennfelder M lðu; F Þ (Bild 10 a, b). Damit ist es mglich, hydrodynamische Kupp-
Bild 9 a, b. Hydrodynamische Schlupfkupplung. a Schematische Darstellung: 1 Gehuse, 2 Turbinenrad, 3 Pumpenrad; b Schnittdarstellung: 1 Gehuse mit Verzgerungskammer, 2 Turbinenrad, 3 Pumpenrad, 4 Einspritzdse (TSCHAN)
I3.5
Fremdgeschaltete Kupplungen
G 67
Bild 11 a, b. Formschlssige Schaltkupplungen. a Mechanisch bettigte Zahnkupplung mit axial angeordneten Zhnen (Zahnradfabrik Friedrichshafen); b Schleifringlose Elektromagnet-Zahnkupplung mit radial angordneten Zhnen (Ortlinghaus) Bild 10 a, b. Kennfelder hydrodynamischer Kupplungen. a Konstantfllungskupplung; b Stell- und Schaltkupplung
magnetisch wirkende Kupplungen. Mechanische Kupplungen, werden weiterhin nach der Verbindungsart in formschlssige und kraftschlssige Schaltkupplungen untergliedert. In der Regel erlauben Schaltkupplungen keine Wellenverlagerungen, sie werden deshalb oft mit Ausgleichskupplungen (drehstarre, drehelastische oder drehnachgiebige nichtschaltbare Kupplungen) kombiniert. Fremdgeschaltete Kupplungen knnen nach folgenden Kriterien eingeteilt werden: Schaltprinzip. Schließende Kupplungen bertragen im eingeschalteten Zustand das Drehmoment, whrend ffnende Kupplungen beim Einschalten den Drehmomentfluss unterbrechen. Bei elektromagnetisch bettigten Kupplungen werden arbeitsstrombettigte Kupplungen schließend und ruhestrombettigte Kupplungen ffnend genannt. Bettigungsart. Im Maschinenbau werden berwiegend elektromagnetisch oder durch Druckmittel (hydraulisch, pneumatisch) bettigte Kupplungen eingesetzt, weil die Schaltvorgnge im Vergleich zu mechanisch bettigten Kupplungen leichter automatisierbar sind (vgl. G 3.5.2). Mechanische Bettigungen ermglichen jedoch Direktschaltungen ohne zustzliche Energiebereitstellung (Kfz-Kupplung, Bootswendegetriebe).
3.5.1 Formschlssige Schaltkupplungen Bei den formschlssigen Schaltkupplungen dienen Klauen, Zhne oder andere Formschlusselemente zur Kraftbertragung. Sie sind deshalb nur im Stillstand oder im Synchronlauf der Wellen einschaltbar, einige Bauformen erlauben jedoch das Ausrcken unter Last und bei voller Drehzahl, sofern die Trennkrfte nicht zu hoch sind. Die formschlssigen Schaltkupplungen bertragen, bezogen auf ihre Abmessungen, sehr hohe Drehmomente und sind vergleichsweise preisgnstig. In den meisten Fllen gestatten sie axiale Wellenverschiebungen bei oft hohen Verschiebekrften (Reibkrften). Bauarten. Die ausrckbare Klauenkupplung (vgl. Bild 3 a) ist die einfachste und am hufigsten im Allgemeinen Maschinenbau verwendete formschlssige Schaltkupplung. Schaltbare Zahnkupplungen werden vor allem im Getriebebau eingesetzt (Bild 11 a), wobei das Schalten whrend des Betriebs durch Synchronisierungseinrichtungen erleichtert wird. Die elektromagnetisch bettigte Zahnkupplung in Bild 11 b verfgt ber zwei Planrder, die bei genau fluchtenden Achsen, zum Teil auch bei geringen Relativgeschwindigkeiten, durch Magnetkraft eingeschaltet und durch Federkraft ausgekuppelt werden.
3.5.2 Kraft-(Reib-)schlssige Schaltkupplungen Bei den reibschlssigen Kupplungen erfolgt die Drehmomentbertragung durch das Aneinanderpressen von mindestens zwei Reibflchen [23–29]. Dabei muss die Anpresskraft ein dem zu bertragenden Drehmoment entsprechendes Reibmoment erzeugen. Reibungskupplungen bieten den Vorteil, dass sie unter Last und auch bei großen Drehzahlunterschieden ein- und ausschaltbar sind. Da das bertragbare Drehmoment durch den Reibschluss begrenzt ist, arbeiten sie gleichzeitig als Sicherheitskupplung. Nachteilig ist die beim Einschalten entstehende Reibungswrme (Rutschen) und der Verschleiß der Reibflchen. Bauarten. Nach der Form (eben, zylindrisch, kegelig) und Anzahl der Reibflchen unterscheidet man Einflchenkupplungen (Bild 12 a), Zweiflchen-(Einscheiben-)kupplungen (Bild 12 b), Mehrflchen-(Lamellen-)kupplungen (Bild 12 c), Zylinder- und Kegelkupplungen (Bild 12 d). Die Reibpaarungen dieser Kupplungen knnen entweder trocken- oder nasslaufend (lgeschmiert) ausgefhrt werden. Fr den Nasslauf kommen Reibpaarungen wie Stahl/Stahl, Stahl/Papier und Stahl/Sinterbronze zur Anwendung, fr den Trockenlauf meist Stahl/Sinterbronze oder Stahl/organischer Belag [23]. Lamellenkupplungen (vgl. Bild 12 c) bertragen durch Parallelschaltung mehrerer Reibflchen trotz ihrer kleinen Außenabmessungen hohe Drehmomente und sind preisgnstig. Nachteilig sind die im nicht geschalteten Zustand auftretenden Leerlauf- und Schleppmomente, die zu Leistungsverlusten und zu einer bermßigen Kupplungserwrmung fhren knnen [24]. Da die Lamellenkupplungen wegen ihres geringen Bauvolumens nur geringe Wrmemengen speichern und abgeben knnen, sind sie i. d. R. nasslaufend. Dabei kommt der Bestimmung des erforderlichen Khllstroms und der thermischen Nachrechnung besondere Bedeutung zu [25–28]. Im Vergleich zu Lamellenkupplungen kann bei Ein-, Zweiflchen-, Kegel- und Zylinderkupplungen (vgl. Bild 12 a, b, d) die Reibungswrme gut abgefhrt werden, außerdem verfgen sie ber klar definierte Trennspalte, sodass die Leerlaufdrehmomente vergleichsweise gering sind. Diese Kupplungen bauen jedoch bei vergleichbaren bertragungsmomenten grßer. Kupplungs-Brems-Kombinationen (Bild 13) stellen die Kombination einer Schaltkupplung mit einer Bremse in einer Baueinheit dar. Sie sind besonders geeignet fr hohe Schaltfrequenzen und schnelle, positionsgenaue Schaltungen. Um krzeste Schaltintervalle zu erreichen, knnen bei der (getrennten) Schaltung von Kupplung und Bremse berschneidungen gewhlt werden. Die Magnetpulverkupplung (Bild 14) ist eine elektromagnetisch bettigte Reibungskupplung. Das in einem Hohlraum zwischen An- und Abtrieb befindliche Magnetpulver wird durch Anlegen eines elektro-
G
G 68
Mechanische Konstruktionselemente – 3 Kupplungen und Bremsen
magnetischen Feldes verdichtet, so dass eine reibschlssige Verbindung der beiden Kupplungsseiten entsteht [29]. Dabei ist der Schlupf abhngig von der Strke des Magnetfeldes, die zulssige Schlupfleistung wird von der realisierbaren Wrmeabfuhr begrenzt. Die Kupplung ermglicht ein weiches Anfahren und kann durch entsprechende Steuerung als berlastkupplung verwendet werden.
G Bild 12 a–d. Bauarten reibschlssiger Schaltkupplungen. a Schleifringlose elektromagnetisch bettigte Einflchenkupplung (Ortlinghaus); b mechanisch bettigte Einscheibenkupplung (Membranfederkupplung) fr Nutzfahrzeuge (Sachs); c hydraulisch bettigte, nasslaufende Lamellenkupplung (Ortlinghaus); d mechanisch bettigte Kegelkupplung (Conax, Desch)
Bild 13. Hydraulisch bettigte Kupplungs-Brems-Kombination (Ortlinghaus). 1 Bremse hydraulisch gelftet, 2 Kupplung hydraulisch gegen Federvorspannung geschlossen, 3 Federvorspannung, 4 leinfhrung
Bettigungsarten. Hydraulisch bettigte Kupplungen besitzen geringe ußere Abmessungen und ermglichen die bertragung hoher Drehmomente. Sie bentigen ein lversorgungssystem. Bei hydraulisch bettigten Kupplungen ist zu beachten, dass die Viskositt des Druckmittels Schaltverzgerungen verursachen kann. Die Masse des Druckmittels fhrt zu Fliehwirkungen, die bei der Druckberechnung bercksichtigt werden mssen und besondere Maßnahmen zum Trennen der Kupplungen erfordern. Fr Anwendungsflle, bei denen ein schnelles und genaues Schalten erforderlich ist, eignen sich besonders Kupplungen mit pneumatischer Bettigung. Generell zeichnen sich druckmittelbettigte Kupplungen durch Fernbedienbarkeit und Steuerbarkeit des Drehmomentes aus, sie erfordern im Allgemeinen fr die Druckmittelzufuhr ein freies Wellenende. Elektromagnetisch bettigte Kupplungen eignen sich aufgrund der einfachen Energiezufuhr besonders fr die Automatisierung. Nachteilig sind u. a. die Wrmeentwicklung der Magnetspulen, Streustrme in der Zufhrung und die Magnetisierung der Umgebung. Mechanische Bettigungseinrichtungen werden im Allgemeinen Maschinenbau selten eingesetzt, vorrangig dort, wo kleine Schaltkrfte erforderlich sind, die Schaltgenauigkeit ausreichend und eine feinfhlige Bedienung vorgesehen ist (z. B. Kfz-Kupplung). Betriebsarten. Trockenlaufende Kupplungen werden mit maximal drei Reibscheiben ausgelegt, fr die ein Lftungsspiel von 0,5 mm bis 1 mm pro Reibflche blich ist. Im normalen Betriebszustand ist deshalb das Leerlaufmoment vernachlssigbar klein. In Ausnahmefllen knnen Taumelbewegungen der Reib- und Innenscheibe (durch Axialschwingungen im Antriebsstrang) oder auch die Sogwirkung zwischen schnell rotierenden Kupplungsscheiben (durch Unterdruck) zu einer betrchtlichen Erhhung des Leerlaufmomentes fhren. Trockenlaufende Kupplungen haben kurze Ansprechzeiten. Nasslaufende Kupplungen werden berwiegend dort eingesetzt, wo die Umgebung nicht lfrei gemacht werden kann (z. B. Getriebe) oder wenn hohe Schaltfrequenzen eine entsprechend hohe Wrmeabfuhr erfordern. Das l wird hierbei gezielt als Khlmittel eingesetzt (Innenlkhlung). Die Nachteile nasslaufender Reibsysteme sind niedrige Gleitreibungszahlen und ein relativ hohes Leerlaufmoment. Letzteres kann u. a. durch die Reibflchenausbildung (Nuten, Rillen) und eine gegebenenfalls eingesetzte Lamellenwellung beeinflusst werden. Reibwerkstoffe (Anh. G 3 Tab. 1) sollten mglichst geringe Unterschiede in den Reibungszahlen m0 und m aufweisen, da dann eher der Stick-Slip-Effekt (Rattern) vermieden werden kann. Dies ist besonders fr den Trockenlauf wichtig. 3.5.3 Der Schaltvorgang bei reibschlssigen Schaltkupplungen
Bild 14. Magnetpulverkupplung (AEG-EMG) mit eingetragenem Magnetfluss. 1 Eisenkrper mit 2 Magnetringspule, 3 Lufer, 4 Luftspalt mit Magnetpulver
Die Grundlagen der Kupplungsberechnung werden am vereinfachten Modell einer von w20 auf w11 zu beschleunigenden Last erlutert (Bild 15). Der Motor mit dem Antriebsmoment MA besitzt das Massentrgheitsmoment JA und luft mit der Winkelgeschwindigkeit w10 um. Die Last (Lastmoment ML , Massentrgheitsmoment JL , Winkelgeschwindigkeit w20 ) kann ber die Schaltkupplung (Kennmoment MK , Außenradius R und Innenradius r der Reibflchen, Anpresskraft F) mit dem Antrieb verbunden werden. In Bild 16 ist der prinzipielle Schaltvorgang vereinfacht dargestellt.
I3.5
Fremdgeschaltete Kupplungen
G 69
Gleichung (1) gilt fr ML ¼ const und w10 ¼ w11 ¼ const, d. h. die Motordrehzahl sinkt beim Kuppeln nicht ab. Die Anstiegszeit t12 ist eine kupplungs- bzw. bettigungsspezifische Grße, whrend die Rutschzeit t3 u. a. von der Last abhngt JL ðw10 w20 Þ t12 ML t3 ¼ þ 1þ : ð2Þ 2 MK MK ML Bild 15. Ersatzmodell eines Antriebssystems
Nach Gl. (2) steigt die Rutschzeit t3 mit grßerer Last ðML ; JL Þ und grßerer Anstiegszeit t12 ; whrend ein großes Kennmoment der Kupplung MK die Rutschzeit verringert. Die beim Einkuppeln in Wrme umgewandelte Schaltarbeit Q ergibt sich bei vorhandenem Kennmoment MK und der jeweiligen Differenz der Winkelgeschwindigkeiten zu D Q ¼ D w MK D t. Gemittelt ber die gesamte Rutschzeit t3 gilt D w ðw10 w20 Þ=2. Mit den Vereinfachungen von Gl. (1) kann die Schaltarbeit nach Gl. (3) berechnet werden Q¼
Bild 16. Schaltvorgang fremdbettigter Reibkupplungen
Vor Bettigung der Kupplung liegt im Antriebssystem das Leerlaufmoment Mr vor (z. B. unvollstndige Trennung von Lamellen). Nach Bettigung und dem Ansprechverzug t11 wird whrend der Anstiegszeit t12 die Drehmomentbertragung aufgebaut. Das nach der Anstiegszeit im Kupplungsstrang wirkende Schaltmoment MS setzt sich aus dem Lastmoment ML und einem zur berwindung der Massentrgheiten notwendigen Beschleunigungsmoment Ma zusammen. Das Moment MS muss somit um Ma grßer sein als ML , um die Drehzahl der Last erhhen zu knnen (vgl. Bild 16). MS ist i. Allg. nicht konstant und hngt u. a. von der Gleitgeschwindigkeit, der Reibflchentemperatur sowie von konstruktiven Randbedingungen ab. Bei der Differenzgeschwindigkeit Null bildet sich kurzzeitig das Synchronmoment Msyn aus, bevor beim Gleichlauf von An- und Abtrieb schließlich das in diesem Beispiel konstante Lastmoment ML vorliegt. Fr die Berechnung des Kennmoments der Kupplung wird der reale Drehmomentverlauf durch einen linearen Anstieg (in der Zeit t12 ) mit nachfolgend konstantem Moment angenhert. Das dadurch definierte Kennmoment MK kann somit nach Gl. (1) vereinfacht bestimmt werden. pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi MK ¼ C C 2 B ð1Þ mit C ¼
ML t3 þ JL ðw10 w20 Þ t12 ML2 und B ¼ : 2 t3 t12 2 t3 t12
ðw10 w20 Þ2 2
JL ðw10 w20 Þ þ t12 ML : ML 2 1 MK
ð3Þ
Diese Schaltarbeit setzt sich aus der vom Lastmoment herrhrenden statischen Schaltarbeit Qstat und der dynamischen Schaltarbeit Qdyn zur berwindung der Massentrgheit JL zusammen (vgl. Bild 16 oben). Bei einer Beschleunigung von w2 ¼ w20 auf w2 ¼ w21 ¼ w11 wird also die Hlfte der whrend des Schaltens zugefhrten Energie in Wrme umgewandelt. Da die Motordrehzahl normalerweise absinkt und damit der Gleichlauf der Kupplungsscheiben frher erreicht wird, ergibt sich eine gegenber dieser vereinfachten Betrachtung verringerte Reibarbeit. Wenn MS nach dem Einschalten erst langsam ansteigt, vergrßert sich die Reibarbeit, weil bis zum Erreichen von MS ¼ ML kein Drehzahlanstieg auftritt. Ebenso steigt t3 an. Wenn die Reibarbeit minimiert werden soll, muss der Ausdruck 1 ðML =MK Þ mglichst große Werte annehmen, d. h. es muss MK ML gewhlt werden. Bei gegebenem ML besteht demnach die Forderung nach einer „harten“ Kupplung mit einer entsprechend kurzen Rutschzeit t3, um die Wrmebelastung klein zu halten. Eine derartige Kupplung kann aber u. U. starke Drehmomentstße erzeugen; der gesamte Antriebsstrang muss auf das Kupplungsmoment ausgelegt sein. Das andere Extrem einer zu „weichen“ Kupplung mit MK ! ML ergibt ein sanftes Einkuppeln, aber auch eine hohe Erwrmung der Reibflchen. Die Wrmebelastung kann bei großer Rutschzeit t3 und hufigem Schalten zur thermischen Zerstrung der Kupplung fhren. Die beim einmaligen Kuppeln anfallende Wrme ist hauptschlich von der Winkelgeschwindigkeitsdifferenz und der Reibflchenpressung abhngig. Bei mehrmaligem Schalten steigt die Reibflchentemperatur mit der Schalthufigkeit an. Vom Kupplungshersteller werden Werte fr die maximal zulssige Wrmebelastung QE bei einmaliger Schaltung sowie Qzul bei mehrmaligem Schalten ermittelt. Dabei ist QE vom Reibflchenwerkstoff und der Wrmekapazitt der Kupplung abhngig, Qzul wird hauptschlich von der Khlung und Wrmeabfuhr bestimmt. Empirisch oder ber aufwendige mathematische Anstze gewonnene Werte fr QE und Qzul knnen als Kennlinien fr bestimmte Kupplungen dargestellt werden (Bild 17). Hier wird die zulssige Schaltarbeit Qzul (pro Schaltvorgang) als Funktion der Schalthufigkeit Sh aufgetragen. Die bergangsschalthufigkeit Sh bildet einen charakteristischen Wert der Kennlinie und wird vom Kupplungshersteller bestimmt. Mit den Kenngrßen QE und Sh kann somit die zulssige Wrmebelastung Qzul nach Gl. (4) in Abhngigkeit von der Schalthufigkeit Sh bestimmt werden Qzul ¼ QE ð1 eSh =Sh Þ:
ð4Þ
G
G 70
Mechanische Konstruktionselemente – 3 Kupplungen und Bremsen
Fr eine beanspruchungsgerechte Reibflchendimensionierung bietet sich der Vergleich mit reibpaarungsspezifischen Kennwerten, wie die zulssige, flchenbezogene Schaltarbeit bei einmaliger Schaltung qAE und die zulssige, flchenbezogene Reibleistung q_ A0 , an (vgl. Anh. G 3 Tab. 1). Die vorhandene flchenbezogene Schaltarbeit qA kann nach Gl. (8) berechnet werden, wobei ARg ¼ AR z ¼ p ðR2 r 2 Þ z die gesamte Reibungsflche der Kupplung angibt (z, R, r Anzahl bzw. Amessungen der Reibflchen). qA ¼
Q < qAE ARg
ð8Þ
Bild 17. Zulssige Schaltarbeit nach Gl. (4) als Funktion der Schalthufigkeit
Bezogen auf die Rutschzeit t3 ergibt sich die vorhandene flchenbezogene Reibleistung q_ A zu qA ð9Þ q_ A ¼ ¼ pR uR m < q_ A0 , t3
3.5.4 Auslegung einer reibschlssigen Schaltkupplung
wobei pR die Reibflchenpressung, uR die Gleitgeschwindigkeit und m die Gleitreibungszahl bezeichnet.
G Reibschlssige Kupplungen werden in Abhngigkeit der Belastungsart nach verschiedenen Kennwerten ausgelegt. Schaltkupplungen, die im Wesentlichen das Anlagenmoment bertragen mssen und lediglich zur Beschleunigung geringer Massen dienen, werden nach dem Schaltmoment MS ausgelegt. Schaltkupplungen, die bei einem definierten Drehmoment durchrutschen sollen (Sicherheitskupplungen), werden nach dem zu bertragenden maximalen Moment M dimensioniert. Kupplungen, die zur Beschleunigung großer Massen eingesetzt werden und die deshalb eine große Schaltarbeit aufnehmen mssen, werden nach der ertragbaren Wrmebelastung ausgelegt [30, 31]. Neue theoretische Anstze zielen darauf ab, durch die Vernderung des Kupplungsmomentes whrend der Rutschzeit die Reibtemperatur zu senken und somit die zulssige Schalthufigkeit zu erhhen [32]. Das zu bertragende Moment M richtet sich nach dem Nennmoment der Kraft- und Arbeitsmaschine, wobei Ungleichfrmigkeiten (z. B. bei Kolbenmaschinen) oder das Kippmoment ð2 . . . 3 MN Þ bei Kurzschlusslufermotoren zu bercksichtigen sind. Im Allgemeinen ist das bertragbare Moment M , das sich im Synchronlauf der Reibflchen einstellt, grßer als das Schaltmoment MS der Kupplung, weil die Gleitreibungszahl m kleiner als die Haftreibungszahl m0 ist (vgl. Anh. G 3 Tab. 1). Dies gilt insbesondere fr nasslaufende Kupplungen. Fr die praktische Auslegung einer Reibkupplung wird das geforderte Moment MK in Gl. (5) eingesetzt, sodass die notwendige Anpresskraft F, die Reibflchenzahl z und der notwendige mittlere Halbmesser der Reibflchen rm ¼ ðR þ rÞ=2 iterativ festgelegt werden knnen (vgl. Bild 15). MK ¼ F m z r m
ð5Þ
Ist beispielsweise ein kleiner Durchmesser der Kupplung gefordert, kann die Zahl der Reibbelge oder die Anpresskraft (maximal zulssige Flchenpressung, vgl. Anh. G 3 Tab. 1) erhht werden. Fr die Berechnung der Schaltzeit tges ist nach Bild 16 der Ansprechverzug t11 zu beachten: tges ¼ t11 þ t3 : Im Sinne einer vereinfachten Auslegung kann die Anstiegszeit t12 vernachlssigt werden. Die Rutschzeit t3 (vgl. Gl. (2)) ergibt sich damit zu t3 ¼
JL ðw10 w20 Þ MK ML
ð6Þ
und die Schaltarbeit Q (vgl. Gl. (3)) kann wie folgt bestimmt werden Q¼
ðw10 w20 Þ2 JL : ML 2 1 MK
ð7Þ
3.5.5 Auswahl einer Kupplungsgrße Ausgehend vom Lastmoment ML , der (reduzierten) Massentrgheit JL , der Winkelgeschwindigkeitsdifferenz Dw, der ungefhr geforderten Rutschzeit t3 und der Anstiegszeit t12 kann das erforderliche Kennmoment MK der Kupplung abgeschtzt werden (vgl. G 3.5.3, Gl. (1)). Damit erfolgt die Auswahl einer passenden Kupplungsgrße entsprechend den Angaben eines Herstellers. Anschließend kann mit den zugeordneten Katalogwerten fr die Anstiegszeit t12 der gewhlten Kupplung die Rutschzeit t3 und die Schaltarbeit Q bestimmt werden (vgl. Gln. (2) und (3)). Sind keine Angaben ber die Anstiegszeit verfgbar, kann eine vereinfachte Berechnung nach Gl. (6) bzw. (7) durchgefhrt werden. Soll das Abfallen der Antriebsdrehzahl beim Einkuppeln sowie die Massentrgheit des Antriebs (mit Getriebe) bercksichtigt werden, so ist weiterfhrende Literatur heranzuziehen. Die berechnete Schaltarbeit Q kann mit den zulssigen Katalogwerten QE fr die gewhlte Kupplung verglichen werden. Bei hufigem Schalten ðSh > Sh Þ ist die zulssige Schaltarbeit mit Hilfe von Gl. (4) zu bestimmen und mit der tatschlich verrichteten Schaltarbeit zu vergleichen. 3.5.6 Allgemeine Auswahlkriterien [33] Betriebsarten und Bettigungssysteme, Eigenschaften Einflchenkupplungen. Um bei gegebenem Drehmoment mglichst kleine Durchmesser zu erlangen, werden trockenlaufende Reibpaarungen bevorzugt. Ein geschlossener Axialkraftfluss innerhalb der Kupplung ist nur unter Verwendung einer elektromagnetischen Bettigung mglich; schnelles Ansprechen bei kurzen Lftwegen; geringes Leerlaufmoment. Einscheibenkupplungen. Ebenfalls Trockenlauf fr grßere Drehmomente; smtliche Bettigungsarten kommen vor, die hydraulische Bettigung wird aber wegen der Gefahr der Leckverluste meist vermieden (Reibbelge werden lverschmiert); gute Khlung (Khlrippen); schnelles Ansprechen; geringes Leerlaufmoment; relativ ratterfrei (Werkstoffe mit degressiver m=vR -Charakteristik). Lamellenkupplungen [24–28]. Kleine Baugrße auch bei großen Drehmomenten, bei hoher Schaltarbeit (z. B. Schaltungen unter Last in Getrieben) ist eine wirksame Khlung nur mit Hilfe eines lumlaufs zu erreichen, d. h. nasslaufend. Es sind alle Bettigungsarten mglich. Bei durchfluteten Lamellen (elektromagnetische Bettigung) knnen nur ferromagnetische Reibpaarungen gewhlt werden. Schnelles Ansprechen bei Nasslauf kann durch dnnes l, lnebel oder Nuten in den Lamellen erreicht werden; vergleichsweise hohes Leer-
I3.5 laufmoment (kann u. a. durch gewellte Lamellen, Nuten und Rillen in der Reibflche begrenzt werden); geringer Verschleiß bei Nasslauf, d. h. grßere Lebensdauer. Konuskupplung (Kegelkupplung). Geeignet fr hohe Drehmomente und hohe Schaltarbeiten im Trockenlauf; Bettigung meist mechanisch oder pneumatisch. 3.5.7 Bremsen Bei Bremsen handelt es sich vom Funktionsprinzip her um Schaltkupplungen mit unbeweglichem Abtrieb und 100% Schlupf mit der Aufgabe, die Geschwindigkeit einer bewegten Masse zu verringern, eine Bewegung zu verhindern oder ein Lastmoment zu erzeugen. Im Vordergrund der Gestaltung steht deshalb eine mglichst rasche Wrmeabfuhr. Den physikalischen Wirkprinzipien der Schaltkupplungen entsprechend gibt es mechanische, hydraulische, pneumatische und elektromagnetische Bremsen. Nach dem Verwendungszweck unterscheidet man Sperren (Richtungskupplung), Haltebremsen (verhindert unbeabsichtigtes Anlaufen einer Welle aus dem Stillstand), Regelbremsen (Einhalten einer bestimmten Wellendrehzahl) und Leistungsbremsen (Leistungsumwandler). Weiterhin ist es mglich, Kupplung und Bremse zu einer konstruktiven Einheit – einer Kupplungs-Brems-Kombination – zusammenzufassen (vgl. Bild 13) [34]. Genauere Beschreibungen und Berechnungen knnen den Hauptanwendungsgebieten entsprechend Abschnitt Q, R bzw. U entnommen werden. Die Berechnung mechanischer, schaltbarer Bremsen erfolgt analog der Kupplungsberechnung, wobei das Kupplungsmoment MK durch das Bremsmoment und das Beschleunigungsmoment MA durch das Verzgerungsmoment ersetzt wird. Zu beachten ist der Einfluss und zeitliche Verlauf des Lastmoments, z. B. bei Leistungsbremsen, beim Abbremsen gegen laufenden Antrieb und beim Abbremsen ablaufender Lasten in der Frdertechnik. Gestaltungsgrundstze fr Bremsen sind den Normen DIN 15 431 bis DIN 15 437 zu entnehmen. DIN 15 434-1 enthlt Berechnungsgrundstze fr Trom-
Fremdgeschaltete Kupplungen
G 71
mel- und Scheibenbremsen. Weitere Hinweise enthlt die VDI-Richtlinie 2241. Bauarten. Bild 18 zeigt verschiedene Bremsenbauarten. Prinzipiell knnen alle Schaltkupplungsarten auch als Bremsen ausgefhrt werden (vgl. Bilder 12 und 14), hinzu kommen spezielle Bauarten. Zu den mechanischen Bremsen zhlen Backen-, Scheiben- und Bandbremsen. Backenbremsen lassen sich in Außen- und Innenbackenbremsen (Bilder 18 b und 18 c) unterteilen (Fahrzeuge, Hebezeuge). Bandbremsen (Bild 18 a) erfordern wegen der selbstverstrkenden Wirkung der Umschlingungsreibung nur geringe Bettigungskrfte bzw. knnen selbstverstrkend ausgefhrt werden. Scheibenbremsen (Bild 18 d) weisen – insbesondere bei innenbelfteter Bauweise – gnstige Khlungsverhltnisse auf. Neue Systeme aus C/C-SiC-Faserkeramiken weisen eine hohe Temperaturstabilitt, eine geringe Wrmedehnung sowie ein geringes Gewicht auf (Rennsport, Flugzeugbau) [35]. Scheibenbremsen – im Automobilbau schon lange bewhrt – setzen sich auch in der Industrie aufgrund ihrer kompakten Bauweise und der Mglichkeit einer parallelen Anordnung immer strker durch. Pneumatisch bettigte, mechanische Bremsen eignen sich besonders zur Verzgerung großer Massen, z. B. bei Antrieben von Scheren und Pressen. Bei Bremsen mit elektromagnetischer Bettigung unterscheidet man die Bettigung gegen Federn oder Permanentmagneten (Industrieroboter). Durch die Verwendung temperaturstabiler Seltene-Erden-Magnete werden hohe, konstante Bremsmomente erreicht [36]. Leistungsbremsen werden berwiegend mit hydraulischem (Wasser oder l als Medium) oder elektromagnetischem Wirkprinzip (Generator- und Wirbelstrombremsen) ausgefhrt (Bilder 18 e und 18 f). Generator- und elektrische Wirbelstrombremsen sind verschleißfrei und erlauben eine leichte Abfuhr der anfallenden Verlustenergie. Bei Generatorbremsen kann die gewonnene Bremsenergie in das Leitungsnetz zurckgespeist werden. Wirbelstrombremsen haben den Vorteil einer reibungsunabhngigen Bremswirkung (Schienen-
Bild 18 a–f. Bremsbauarten (Bettigungskraft FB teilweise eingetragen). a Bandbremse; b Außenbackenbremse (doppelt); c Innenbackenbremse (Trommelbremse, Simplex); d pneumatisch bettigte Scheibenbremse (Ortlinghaus); e Induktionsbremse mit Lfterrad (Stromag); f Permanentmagnetbremse (Lenze)
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Mechanische Konstruktionselemente – 3 Kupplungen und Bremsen
fahrzeuge, Hebezeuge). Das Bremsmoment zeigt bei Leistungsbremsen ein stark drehzahlabhngiges Verhalten [37]. Eine weitere Bremse mit elektromagnetischem Wirkprinzip ist die Magnetpulverbremse, die sich durch einfachen Aufbau, niedriges Gewicht und geringen Platzbedarf auszeichnet (vgl. G 3.5.2).
3.6 Selbstttig schaltende Kupplungen Als selbstttig schaltende Kupplungen werden alle Kupplungen bezeichnet, deren Schaltvorgang durch einen der Betriebsparameter Drehzahl, Drehmoment oder Drehrichtung ausgelst wird [38].
G
3.6.1 Drehmomentgeschaltete Kupplungen Drehmomentgeschaltete Kupplungen werden hauptschlich zur Drehmomentbegrenzung zwischen Antriebs- und Abtriebsseite verwendet. In dieser Funktion werden sie auch als Sicherheitskupplungen bezeichnet [39]. Die Dimensionierung aller Komponenten einer Anlage auf maximale Spitzenmomente des Gesamtsystems kann durch Einbau einer Sicherheitskupplung entfallen. Bauarten. Rutschkupplungen (Bild 19 a) sind als reibschlssige Kupplungen mit fest einstellbarer Kupplungskraft auszufhren. Dabei ist darauf zu achten, dass sich die Vorspannkraft nur wenig mit dem Verschleißweg ndert, um einen wartungsarmen Betrieb sicherzustellen (flache Federkennlinien). Mittels Schlupfwchter knnen diese Kupplungen berwacht werden, damit sie im Dauerschlupfbetrieb nicht berhitzen. Hufiges Schalten dieser Kupplungen fhrt zu starker Erwrmung, die bei der Auslegung bercksichtigt werden muss. Drucklverbindungen (Bild 19 b) bertragen in Abhngigkeit des anliegenden ldrucks das Drehmoment reibschlssig. Die radiale Anpresskraft wird mit Druckl erzeugt, das sich in einer zylindrischen Druckkammer des Antriebsflansches befindet. Beim Rutschmoment setzt ein Abscherring das Druckl und somit die Drehmomentverbindung frei [40]. Sperrkrperkupplungen verwenden Ausrckelemente (Bild 19 c), z. B. federkraftbelastete Kugeln oder Bolzen, die bei einem vorberechneten Grenzmoment aus der Einrastposition herausgleiten. Bei einigen Ausfhrungen koppeln die Elemente automatisch bei Unterschreiten des Grenzmoments wieder ein. Bei Brechbolzen-, Brechring- und Zugbolzenkupplungen (Bild 19 d) [41, 42] versagen die dafr vorgesehenen Elemente beim Erreichen des Grenzmoments durch einen kontrollierten Bruch (Sollbruchstelle). Bedingt durch Unterschiede in den Werkstoffeigenschaften und durch Fertigungseinflsse kann das Bruchmoment der Sollbruchstelle schwanken. Alle drehmomentgeschalteten Kupplungen knnen elektromechanische oder elektronische Schalter zur Abschaltung des Antriebsmotors auslsen. 3.6.2 Drehzahlgeschaltete Kupplungen Bei diesen Kupplungen wird meist ab einer bestimmten Drehzahl die Drehmomentbertragung zwischen Antriebs- und Abtriebsseite zugeschaltet (Anlaufkupplungen); es gibt auch Bauformen, die bei Drehzahlberschreitung ein Abschalten bewirken. Anlaufkupplungen ermglichen ein lastfreies Hochfahren der Antriebsmaschine (Elektro- oder Verbrennungsmotor) und ein Zuschalten der Arbeitsmaschine bei der gewnschten Drehzahl. Damit knnen die Arbeitsmaschine entsprechend dem niedrigeren Arbeitsmoment und die Antriebsmaschine fr lastfreies Beschleunigen bzw. reines Arbeitsmoment ausgelegt werden. Bauarten. Bei Fliehkraftkupplungen nach Bild 20 a bertragen federkraftbelastete Segmente [43] beim berschreiten ei-
Bild 19 a–d. Drehmomentgeschaltete Kupplungen (Sicherheitskupplungen). a Zweiflchen-Rutschkupplung mit Federvorspannung (Ringspann); b Kupplung mit Druckl-Pressverband (Voith): 1 Drucklraum, 2 Abschergabel fr vollstndige Entlastung im Rutschfall; c Sperrkrperkupplung mit Endschalter (Mayr); d Brechbolzenkupplung, 3 Bolzen am Umfang
ner Grenzdrehzahl das Drehmoment MK in Abhngigkeit des Reibfaktors m, der Anzahl der Segmente i, des Radius des Schwerpunkts der Segmente rm , ihrer Masse m, der Winkelgeschwindigkeit w und des Reibradius R nach der Beziehung MK ¼ m i ðm rm w2 FF Þ R. Whrend des Schaltvorgangs wird durch die Zentrifugalkraft die Rckhaltekraft der Federn FF berwunden. Bei der Auslegung von reibschlssigen Kupplungen fr eine hohe Schalthufigkeit (Dauerschaltung) bzw. lnger andauerndes Durchrutschen, z. B. bei der Nutzung dieser Kupplungsart als Sicherheitskupplung, ist eine Wrmebilanz aufzustellen (vgl. G 3.5). Statt Segmenten wird bei Fllgutkupplungen (Bild 20 b) von einem sternfrmigen Rotor Fllgut, wie Pulver, Kugeln oder Rollen, gegen die Mantelflche des Abtriebsteils geschleudert. Dadurch wird ein Reibschluss zwischen Antriebs- und Abtriebsseite hergestellt. Auch hier steigt das bertragbare Moment mit dem Quadrat der Drehzahl. Bei Nenndrehzahl laufen diese Kupplungen schlupf- und damit verlustfrei. Diese Bauart wird hauptschlich bei hheren Drehzahlen eingesetzt.
I3.6
Bild 20 a, b. Drehzahlgeschaltete Kupplungen. a Fliehkraftkupplung mit Segmenten [43]; b Fllgutkupplung
Selbstttig schaltende Kupplungen
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Fliehkraftentkopplung zwischen Antrieb und Abtrieb der Verschleiß herabsetzen oder bei einer vlligen Fliehkraftabhebung sogar vermeiden. Fr eine einwandfreie Funktion ist eine exakte radiale und axiale Lagerung wichtig (Baueinheiten mit Wlzlagern). In die Schaltung kann auch von außen eingegriffen werden: Abschaltung (vollkommener Freilaufzustand), Umschaltung, vollkommene Sperre, Zuschaltung nur whrend einer Umdrehung (Eintouren-Kupplung). Reibfreilufe sind Reibkupplungen mit Funktionsflchen in Scheibenoder Kegelform, bei denen ber Stellmechanismen die Elemente in einer Drehrichtung angepresst werden. Bei Klauenoder Zahnfreilufen (Bild 21 c) [22] werden Zhne zur Drehmomentbertragung verwendet. Diese Zahnkupplung schaltet automatisch, wenn sich die Kupplungsmuffe axial auf dem Steilgewinde aufgrund einer Drehzahldifferenz zwischen Antriebs- und Abtriebsseite verschiebt. Allgemein wird diese Kupplungsart fr wenige Schaltungen ausgelegt. Die rechnerische Auslegung von Kupplungen als Rcklaufsperren [50] ist durch die hohe Dynamik der Krfte der Arbeitssysteme, z. B. Frderbnder, nur mittels Berechnung des Schwingungsverhaltens des Gesamtsystems mit hoher Genauigkeit mglich [51].
3.6.3 Richtungsgeschaltete Kupplungen (Freilufe) Kupplungen, die durch die relative Drehrichtung der An- und Abtriebsseite geschaltet werden, gehren zu den richtungsbettigten Kupplungen [44]. Bei diesen Kupplungen werden in einer Drehrichtung die Antriebs- und Abtriebsseite reib- oder formschlssig gekoppelt (Sperrzustand), in der Gegendrehrichtung erfolgt eine Entkopplung der Antriebselemente (Freilaufzustand). Freilaufkupplungen werden im Maschinenbau z. B. als Rcklaufsperren (in Frdermitteln, Strmungsmaschinen, automatischen Kfz-Getrieben), berholkupplungen (in Mehr-Motor-Antrieben, Anlasserantrieben, Fahrradnaben) und Schrittschaltfreilufen (bei Vorschubeinrichtungen und Schaltwerkgetrieben) eingesetzt. Bauarten. Klinkenfreilufe (Sperrrder und Ratschen) nehmen in einer Drehrichtung den Antrieb formschlssig mit. Bei Klemmfreilufen fassen hingegen die Elemente in jeder Stellung fast geruschlos, mit grßerer Schaltgeschwindigkeit und bei kleineren geometrischen Abmessungen. Bei der Bauform in Bild 21 a handelt es sich um Klemmrollenfreilufe mit Innenstern, bei denen einzeln gefederte Rollen in keilfrmige Taschen gedrckt werden. Klemmkrperfreilufe nach Bild 21 b [45–48] besitzen unrunde Klemmkrper zwischen kreiszylindrischen Laufbahnen. Sie bertragen bei gleicher Baugrße mehr Drehmoment und sind gegen Fertigungstoleranzen wie Rundlauffehler unempfindlicher. Den grßten Einfluss auf die Lebensdauer und die Schaltgenauigkeit haben Verschleiß mindernde Additive im Schmierstoff [49]. Bei Rcklaufsperren in Fliehkraftausfhrung lsst sich durch eine
Bild 21 a–c. Freilufe. a Klemmrollenfreilauf mit Innenstern und Einzelfederung: 1 Wirkflche, 2 Feder, 3 Klemmrolle; b Klemmkrperfreilauf (Ringspann); c Zahnfreilauf: 1 Klinke, 2 Kupplungsverzahnung, 3 Kupplungsmuffe, 4 Steilgewinde, 5 Antrieb, 6 Abtrieb, 7 Klinkenverzahnung; A offen, B geschlossen
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Mechanische Konstruktionselemente – 4 Wlzlager
4 Wlzlager G. Poll, Hannover
4.1 Kennzeichen und Eigenschaften der Wlzlager
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Wlzlager bertragen – wie auch Gleitlager – Krfte zwischen relativ zueinander bewegten Maschinenteilen und fhren sie. Durch Zwischenschaltung von Wlzkrpern wird das Gleiten durch ein Rollen mit kleinem Gleitanteil (Wlzen) ersetzt, Bild 1, mit den Vorteilen: – leichter Aufbau eines elastohydrodynamischen Schmierfilms, – geringer Bewegungswiderstand auch beim Anlauf aus dem Stillstand, – geringer Khlungs- und Schmierstoffbedarf; Fettschmierung meist ausreichend, – radiale, axiale und kombinierte Belastbarkeit mit geringem Aufwand erzielbar, – annhernd spielfreier bzw. vorgespannter Betrieb mglich, – Wlzlager sind als einbaufertige Normteilbaureihen weltweit verfgbar. Nachteile sind: – radialer Raumbedarf der Wlzkrper (weniger bei Nadellagern und Dnnringlagern), – hohe Anforderungen an die Fertigungsgenauigkeit der Umbauteile, – Empfindlichkeit gegenber Stßen, Stillstandserschtterungen, oszillierenden Bewegungen kleiner Amplitude und Stromdurchgang, – Ein- und Ausbau oft schwieriger als bei Gleitlagern, da nur in Sonderausfhrung teilbar, – hohe Anforderungen an die Sauberkeit, – starke Streuung der Lebensdauer einzelner Lager. berlebenswahrscheinlichkeit nur fr eine hinreichend große Gruppe gleichartiger Lagerungen berechenbar, – Schwingungsanregung (Gerusche) durch die bewegten Einzelkontakte, – begrenzte Drehzahl u. a. durch Fliehkraft der umlaufenden Wlzkrper.
Bild 2. Rillenkugellager
bar sind, als Einzellager sowohl Radial- als auch Axialkrfte in beiden Richtungen aufnehmen, hohe Drehzahlen bei geringen Laufgeruschen ertragen, geringe Ansprche an die Schmierung stellen und den Schmierstoff wenig beanspruchen. Rillenkugellager werden in großer Stckzahl auch als befettete und abgedichtete Einheiten gefertigt. Die Standardausfhrung hat keine Einfllnuten und daher eine beidseitig gleich hohe axiale Tragfhigkeit, allerdings weniger Kugeln. Sie nimmt auch geringe Kippmomente auf (daher z. B. in Spannrollen ein einzelnes Lager ausreichend). Fr hohe radiale Belastungen gibt es zweireihige Lager. Rillenkugellager sind nicht zerlegbar. Aufgrund der relativ großen Axialluft sind mehrere Winkelminuten Schiefstellung zwischen den Lagerringen zulssig. Entsprechend der Wlzkrpergeometrie unterscheidet man Kugel- und Rollenlager, Bild 3. Rollen knnen als Zylinder-
4.2 Bauarten der Wlzlager In allen Wlzlagern rollen kugel- oder rollenfrmige Wlzkrper, meist von einem Kfig gehalten, auf Laufbahnen hoher Festigkeit, Oberflchengte und Formtreue, die in den Innen- bzw. Außenring des Lagers oder in die anschließenden Bauteile eingearbeitet sind. 4.2.1 Lager fr rotierende Bewegungen Rillenkugellager (DIN 625), Bild 2, sind am vielseitigsten einsetzbar, da sie besonders kostengnstig und leicht verfg-
Bild 1. Wirkprinzip eines Wlzlagers im Vergleich zum Gleitlager
Bild 3. Punktberhrung (Kugellager) und Linienberhrung (Rollenlager)
I4.2 abschnitte, als Kegelstmpfe oder als symmetrische bzw. asymmetrische Tonnen mit Kreisbogenprofil geformt sein. Theoretisch ergibt sich damit im unbelasteten Zustand eine Linienberhrung, whrend Kugellager Punktberhrung aufweisen, da der Kugelradius kleiner ist als die Laufbahnkrmmungsradien. Infolge der grßeren Berhrflchen, die bei Belastung durch elastische Verformung entstehen, nehmen Rollenlager bei gleicher Werkstoffbeanspruchung hhere Krfte auf. Praktisch herrscht eine „modifizierte Linienberhrung“: Um die bei reiner Linienberhrung unvermeidlichen Spannungsspitzen an den Enden abzubauen, erhielten Zylinderrollen zunchst zu den Stirnflchen hin ballige bergangszonen. Heute bevorzugt man fr Zylinder- und Kegelrollen leicht konvexe (z. B. logarithmische) Profile, sodass auch bei mehreren Winkelminuten Schiefstellung zwischen Innen- und Außenring keine unstetigen Spannungsverlufe mit Spitzen auftreten. Sphrische Rollen haben hnlich Kugellagern einen geringfgig kleineren Profilkrmmungsradius als ihre Laufbahnen. Da Rollen anders als Kugeln eine definierte Rotationsachse haben, mssen besondere Maßnahmen einen Schrglauf („ Schrnken“) verhindern. Kugellager sind daher i. Allg. hinsichtlich der Schmierung weniger anspruchsvoll als Rollenlager, erreichen lngere Fettgebrauchsdauern und hhere Drehzahlen und neigen weniger zum katastrophalen Versagen. Rollen werden zwischen zwei Borden mit Spiel gefhrt (Zylinderrollenlager, frhere Bauformen von Pendelrollenlager und Tonnenlager), an einem festen Bord oder an einem losen Fhrungsring mit Spannfhrung (Kegelrollenlager, Pendelrollenlager), vorwiegend durch den Kfig (Nadellager) oder durch Reibungskrfte zwischen Rollen und Laufbahnen (Pendelrollen- und Toroidallager). Entsprechend dem Druckwinkel a und damit der bevorzugten Lastrichtung unterscheidet man reine Radial- ða ¼ 0°Þ, reine Axial- ða ¼ 90°Þ und Schrglager ð0° < a < 90°Þ. Der Druckwinkel gibt die Orientierung der Drucklinie an (die Senkrechte auf der Berhrtangente zwischen Wlzkrpern und bordloser Ringlaufbahn, Bilder 4, 6, 7 und 8). Der Schnittpunkt der
Bild 4 a–f. Lager fr ausschließlich radiale Belastung. a, b, d Zylinderrollenlager mit Borden an einem Ring: a Bauform NU; b Bauform N; d Bauform NN (zweireihig); c Nadellager; e Tonnenlager; f Toroidallager. . radiale Last
Bauarten der Wlzlager
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Drucklinien mit der Lagerachse (der Druckmittelpunkt) ist gedachter Angriffspunkt der ußeren Krfte. Die axiale Tragfhigkeit nimmt mit dem Druckwinkel zu, die Eignung fr hohe Drehzahlen jedoch ab (ungnstigere Zerlegung von Fliehkrften, grßerer Bohrschlupf). Lager fr ausschließlich oder berwiegend radiale Belastung Zylinderrollenlager der Bauform NU mit Fhrungsborden am Außenring gestatten das kostengnstige Centerless-Schleifen der bordlosen Innenringlaufbahnen und deren visuelle Inspektion im Einbauzustand sowie die Demontage von Innenringen mit festem Sitz durch Erwrmen. Bei horizontaler Welle bilden die Borde ein lreservoir, das beim Anfahren aus dem Stillstand hilft. Die ltere Bauform N (heute z. B. bei zweireihigen Zylinderrollenlagern NN fr Werkzeugmaschinenspindeln) mit Fhrungsborden am Innenring erreicht bei drehender Welle und niedrigen Belastungen hhere Drehzahlen und Winkelbeschleunigungen, da die Rollenstze durch die Reibung an den Borden nicht gebremst, sondern angetrieben werden und sich berschssiges l nicht zwischen den Borden staut. Vollrollige Zylinderrollenlager ohne Kfig ertragen hohe radiale Belastungen bei mßigen Drehzahlen. Nadellager haben eine große Zahl langer, dnner Rollen (Lngen-Durchmesserverhltnis grßer oder gleich 2,5), sodass die Tragfhigkeit trotz geringer Bauhhe hoch ist, vorausgesetzt, die Laufbahnen fluchten sehr genau. Die Ursprungsbauform hat Wlzkrper mit abgerundeten Stirnflchen und fhrt diese hauptschlich ber den Kfig, der meist durch abnehmbare Borde gehalten wird; heutige Ausfhrungen arbeiten auch mit Bordfhrung. Zylinderrollenlager und Nadellager zeichnen sich durch folgende Vorteile aus: – hohe radiale Tragfhigkeit, – Eignung fr hohe Drehzahlen (gilt fr Zylinderrollenlager), – optimale Loslagerfunktion, da langsame Axialverschiebungen in den Wlzkontakten fast widerstandsfrei mglich sind, wenn die Lager umlaufen, – Zerlegbarkeit, sodass die Ringe einschließlich zugehriger Rollenstze getrennt montiert und demontiert werden knnen; feste Sitze beider Ringe sind damit mglich, ohne Ein- und Ausbaukrfte ber die Wlzkontakte zu leiten, – bordlose Laufbahnen knnen auch vom Anwender in die Umbauteile integriert werden. Dafr werden Einzelkomponenten (z. B. Nadelkrnze oder Nadelbchsen) angeboten. Nachteilig sind die Empfindlichkeit gegen Schiefstellung und die kostspieligen engen Fertigungstoleranzen bei Fhrung der Rollen zwischen zwei Borden. Zylinderrollenlager mit Fhrungsborden an einem Ring und zustzlichen Halteborden bzw. Bordscheiben oder Winkelringen am anderen Ring, Bild 5, knnen bei ausreichender Radialbelastung auch dauernd geringe und kurzzeitig mittlere Axialkrfte aufnehmen und damit als Festlager oder Sttzlager dienen (Steigerung der Axialbelastbarkeit durch hydrodynamisch gnstige „offene“ Bordgeometrien). Die Bauform NJ hat einen Haltebord am Innenring fr Axialkrfte in einer Richtung und ggf. einen Winkelring (HJ) fr die andere Richtung (zustzlicher axialer Bauraum!). Die Bauart NUP hat eine lose Bordscheibe und einen verkrzten Innenring (dadurch Breite wie Standardlager NU, aber kein Auffdelkegel fr die Wlzkrper). Entsprechende Varianten sind auch in der Grundbauform N mglich. Fr eine eindeutige Fhrung muss das Axialspiel zwischen den Fhrungsborden immer kleiner sein als zwischen den Halteborden und den Bordscheiben bzw. Winkelringen. Toroidallager und Tonnenlager (DIN 635) sind einreihige Radiallager mit hohlkugelfrmigen (sphrischen) Laufbahnen
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Mechanische Konstruktionselemente – 4 Wlzlager
Bild 5 a–c. Axial belastbare Zylinderrollenlager mit Borden innen und außen. a Bauform NJ (nur einseitig axial belastbar); b Bauform NJ + HJ; c Bauform NUP; . radiale Hauptlast; c mgliche axiale Zusatzlast
und tonnenfrmigen Rollen. Dadurch beeintrchtigen auch große Fluchtungsfehler und Schiefstellungen die Ermdungslebensdauer und die Funktion nicht. Langsame Winkelnderungen erfolgen bei umlaufenden Lagern verschleißfrei und nahezu widerstandslos durch Querschlupf innerhalb der Wlzkontakte genauso wie bei Pendelkugellagern und Pendelrollenlagern, siehe Abschnitt „Lager fr radiale und axiale Belastungen“ (Vorsicht jedoch bei schnellen Taumelbewegungen und großen Schiefstellungen bei umlaufendem Außenring!). Winkeleinstellbarkeit wird auch bei anderen Lagerbauarten erreicht, indem man die Außenringmantelflche sphrisch gestaltet und in hohlkugelige Gehuse einsetzt (z. B. Y-Lager als Abart der Rillenkugellager und spezielle Nadellager) oder Standardlager in die Bohrung von sphrischen Gelenkgleitlagern einbaut. (Nachteil: unvollkommene Einstellung bei Wellendurchbiegungen unter Last wegen Gleitreibung.) Im Gegensatz zu den lteren Tonnenlagern werden die Rollen der Toroidallager nicht zwischen Borden, sondern durch Reibungskrfte gefhrt. Aufgrund der inneren Lagergeometrie entspricht einem kleinen Radialspiel eine so große Axialluft, dass das Lager anstelle eines Zylinderrollenlagers als Loslager verwendet werden kann (jedoch weniger montagefreundlich, da nicht zerlegbar). Lager fr ausschließlich oder berwiegend axiale Belastung Reine Axiallager (Bild 6) sind Axialrillenkugellager (DIN 711, DIN 715), Axialzylinderrollenlager (DIN 722), Axialnadellager und Axialkegelrollenlager. Axialpendelrollenlager (DIN 728) und Vierpunktlager (DIN 628) sind vom Druckwinkel her eigentlich Schrglager, knnen aber nur bei berwiegender Axialbelastung zustzlich kleine Radialkrfte aufnehmen (sonst bei Vierpunktlagern keine kinematisch einwandfreie Zweipunktberhrung und bermßiger Bohrschlupf). In Kombination mit Radiallagern werden Axiallager mit radialem Spiel zwischen Außenring und Gehuse eingebaut, um Radialkrfte auszuschließen. Eine mit der Drehzahl zunehmende Mindestaxialbelastung ist erforderlich, damit die Wlzkrper trotz Fliehkrften und Kreiselmomenten kinematisch richtig abrollen. Nur Vierpunktlager knnen mit einer Wlzkrperreihe Axialkrfte in beiden Richtungen und Kippmomente aufnehmen. Die brigen Axiallager wirken nur als zweireihige Ausfhrung oder als Lagerpaar zweiseitig. Axialpendelrollenlager sind in sich winkeleinstellbar, die brigen Axiallager reagieren empfindlich auf Schiefstellungen (ungleichmßige Lastverteilung auf die Wlzkrper; Abhilfe durch ballige Gehusescheiben, in Bild 6 a fr Axialrillenkugellager dargestellt, Nachteil: Gleitreibung). Andererseits gleichen Axialzylinderrollen-, Axialnadel- und asymmetrische Axialkegelrollenlager mit einer planen Scheibe radiale
Bild 6 a–g. Lager fr ausschließlich oder berwiegend axiale Belastung. a Einseitig wirkendes Axialrillenkugellager (hier winkeleinstellbar dank sphrischer Gehusescheibe); b doppelseitig wirkendes Axialrillenkugellager; c Vierpunktlager; d Axialzylinderrollenlager mit unterteilten Rollen; e Axialkegelrollenlager, symmetrische Bauform; f Axialkegelrollenlager, asymmetrische Bauform; g Axialpendelrollenlager; . axiale Hauptlast; . mgliche radiale Zusatzlast; [ { Kippmoment
Verlagerungen der Welle durch Verschiebung im Lager reibungsfrei aus. Bohrschlupf tritt nur bei Axialkegelrollenlagern und Axialpendelrollenlagern nicht auf, dafr Gleitreibung an den Borden. Die grßte Bohrreibung haben Axialzylinderrollen- und Axialnadellager, weshalb die Wlzkrper hufig in Segmente mit unterschiedlichen Drehzahlen unterteilt werden. Lager fr radiale und axiale Belastungen (Schrglager) Schrglager sind fr radiale, axiale und kombinierte Belastungen geeignet, da die Drucklinien geneigt sind. Schrglager mit festen Druckwinkeln sind Schulterkugellager (DIN 615), Schrgkugellager (DIN 628), Kegelrollenlager (DIN 720), Kreuzkegel- und Kreuzzylinderrollenlager (Bild 7), Pendelkugellager (DIN 630) und Pendelrollenlager (DIN 635). Rillenkugellager haben je nach resultierender Lastrichtung vernderliche Druckwinkel und werden dadurch bei Axialbelastung zu Schrglagern (Bild 8). Einreihige Schrgkugellager und Kegelrollenlager nehmen Axialkrfte nur in einer Richtung auf. Durch den Druckwinkel entsteht bei Radialbelastung eine innere Axialkraftkomponente. Bei wechselnder axialer Belastungsrichtung oder radialen Belastungen, deren innere Axialkraftkomponente nicht durch eine ußere Axialkraft im Gleichgewicht gehalten wird, mssen Schrglager daher zusammen mit einem Sttzlager, vorzugsweise einem weiteren Schrglager, fr die jeweils andere Lastrichtung eingesetzt werden oder es sind zweireihige Schrgkugellager (DIN 628-3), zweireihige Kegelrollenlager, Kreuzzylinderrollenlager oder Kreuzkegelrollenlager zu verwenden. Bei den Kreuzzylinder- und Kreuzkegelrollenlagern sind die Rollen, deren Durchmesser grßer ist als ihre Lnge, abwechselnd um 90° gegeneinander verschwenkt angeordnet, sodass die beiden Wlzkrperreihen hnlich wie bei Vierpunktlagern in einer Ebene liegen. Sie bauen dadurch kompakt, haben aber bei axialer Belastung nur die halbe Tragf-
I4.2
Bauarten der Wlzlager
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G Bild 8. Radiale und axiale Lagerluft sowie Druckwinkel von Rillenkugellagern links bei radialer, rechts bei axialer Belastungsrichtung
Bild 9. O-, X- und Tandemanordnung, hier z. B. mit Schrgkugellagern
Bild 7 a–i. Lager fr radiale und axiale Belastungen (Schrglager). a Schulterkugellager; b einreihiges Schrgkugellager; c zweireihiges Schrgkugellager; d einreihiges Kegelrollenlager; e Kreuzkegelrollenlager; f Kreuzzylinderrollenlager; g Pendelkugellager; h Pendelrollenlager mit festen Fhrungsborden; i Pendelrollenlager mit losem Fhrungsring. ., c radiale bzw. axiale Last; [ { Kippmoment
higkeit echter zweireihiger Lager, da jeweils nur die Hlfte der Wlzkrper trgt. Zweireihige Schrglager haben in der Regel O-Anordnung und eine fest vorgegebene Fertigungslagerluft. Sie werden zunehmend auch als befettete Lagerungseinheiten mit Dichtungen und teilweise auch integrierten Umbauteilen wie z. B. Flanschen gefertigt. Werden zwei einzelne Schrglager eingebaut, ist eine O- oder X-Anordnung mglich, Bild 9. Dabei muss der Anwender das Axialspiel durch „Anstellen“ der Lager gegeneinander bei der Montage einstellen. Hufig werden daher gepaarte Lager mit definierten Fertigungslagerluftwerten verschiedener Grßenklassen eingesetzt. Zusammen mit den Einbaupassungen ergibt sich bei Anordnung unmittelbar nebeneinander entweder ein positives Lagerspiel oder leichte, mittlere bzw. hohe Vorspannung. Solche Lager werden auch im Tandem verbaut, um hohe Axiallasten gleichmßig zu verteilen (Druckmittelpunkte beider La-
ger auf derselben Seite). Bei O-Anordnung liegen die Druckmittelpunkte in weitem Abstand voneinander auf den voneinander abgewandten Seiten der Lager, bei X-Anordnung in kleinerem Abstand auf den einander zugewandten. Die O-Anordnung nimmt daher beachtliche Kippmomente auf und reicht oft alleine als Lagerung einer Welle aus. Zusammen mit einem weiteren Lager entsteht ein statisch unbestimmtes System (nur vorteilhaft, wenn hohe Biegesteifigkeit erforderlich). Schrgkugellager werden mit einer Reihe unterschiedlicher Druckwinkel gefertigt (bis Druckwinkel a ¼ 45° Radial-, darber Axialschrgkugellager). Lager mit kleinen Druckwinkeln sind radial steif und fr hohe Drehzahlen geeignet, Lager mit großen Druckwinkeln axial steif und fr hohe Drehzahlen weniger geeignet. Schrgkugellager sind zumindest im eingebauten Zustand nicht zerlegbar, wohl aber Schulterkugellager (veraltet); sie erlauben wegen der zylindrischen Laufbahnabschnitte auch eine begrenzte Axialverschiebung im Lager bei verringerter Tragfhigkeit wegen schlechter Schmiegung (das Verhltnis des Laufbahn- zum Wlzkrperkrmmungsradius). Kegelrollenlager sind zerlegbar und damit montagefreundlich (wie Zylinderrollen- und Nadellager, jedoch keine Loslagerverschiebung im Lager mglich). Wegen der Spannfhrung an nur einem Bord sind Kegelrollenlager kostengnstiger (axiale Lngentoleranzen unkritisch). Die kegelige Form der Rollen (fr ein bohrschlupffreies Abrollen Schnittpunkt
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aller Wlzkrpermantellinien in einem Punkt auf der Lagerachse) erzeugt immer eine Kraftkomponente mit entsprechendem Gleitreibungsanteil auf den Bord. Da alle Krfte primr als Normalkrfte ber die Laufbahnen bertragen werden und im Gegensatz zu Zylinderrollenlagern NJ oder NUP nur ein Bruchteil einer ußeren Axialkraft am Bord wirksam wird, sind Kegelrollenlager auch rein axial belastbar (um so hher, je grßer der Druckwinkel). Infolge der Neigung der Rollenachsen ist bei Kegelrollenlagern die Berhrgeometrie zwischen Rollen und Bord fr eine hydrodynamische Schmierung und genaue Fhrung der Rollen gnstig (bei lteren Lagerausfhrungen erst nach Einlauf mit Verschleiß; dadurch anfnglich hhere Reibung, aber automatisierte Lufteinstellung ber das Reibmoment leichter). Pendelkugellager und Pendelrollenlager sind zweireihige, nicht zerlegbare Schrglager, bei denen die Druckmittelpunkte der beiden Reihen zusammenfallen und die Außenringlaufbahn hohlkugelig ausgebildet ist. Dadurch sind sie wie die Tonnenlager und Toroidallager (siehe Abschnitt „Lager fr ausschließlich oder berwiegend radiale Belastung“) in sich winkeleinstellbar. Im Gegensatz zu diesen sind Pendelkugellager und Pendelrollenlager – je nach Baureihe und Druckwinkel unterschiedlich hoch – axial belastbar. Wegen der ungnstigen Schmiegung zwischen Kugeln und Außenringlaufbahn sind Pendelkugellager weniger tragfhig als Rillenkugellager. Dank der Tonnenform der Wlzkrper haben Pendelrollenlager hingegen eine gnstige Schmiegung und eine hohe Tragfhigkeit. ltere Ausfhrungen mit festen Borden und anfnglich auch asymmetrischen Rollen sind heute durch symmetrische Rollen ohne festen Bord, teilweise mit losem Fhrungsring, verdrngt. Dadurch kann sich bei axialer Belastung selbstttig ein grßerer Druckwinkel einstellen. Eine bermßige Axialbelastung im Verhltnis zur Radialkraft ist jedoch bedenklich, da dann eine Wlzkrperreihe vllig entlastet wird. 4.2.2 Linearwlzlager Bei einfachen Kugelfhrungen (Bild 10 a) und Flachfhrungen (Bild 10 c) werden die Wlzkrper in hlsen- bzw. leiterfrmigen Kfigen gehalten, die dem Hub annhernd mit der halben Geschwindigkeit folgen. Dadurch ist der Weg begrenzt und es besteht infolge unsymmetrischen Schlupfes die Gefahr eines allmhlichen Auswanderns in Lngsrichtung. Bei Kugelumlaufbchsen (Bild 10 b) und Rollenumlaufschuhen wird dies vermieden, indem die Wlzkrper durch entsprechende Bahnen wieder zum Anfang des Kontaktbereiches
zurckgefhrt werden. Die Bauformen mit Kugeln laufen auf geraden, runden Stangen mit entsprechend bearbeiteten Oberflchen. Die Bauformen mit Rollen eignen sich fr Flachfhrungen mit ebenen Gegenflchen.
4.3 Wlzlagerkfige Lagerkfige haben je nach Lagerbauart unterschiedliche Aufgaben: – Weiterleitung von Massen- und Schlupfkrften, – Verhinderung einer unmittelbaren Berhrung der Wlzkrper, da sich dann wegen der einander entgegengerichteten, gleich großen Umfangsgeschwindigkeiten kein hydrodynamischer Schmierfilm aufbauen kann (nur bei niedrigen Geschwindigkeiten zulssig, siehe vollrollige Lager und Linearlager), – gleichmßige Verteilung der Wlzkrper bei teilgefllten Lagern (z. B. Rillenkugellager), – Fhrung von Wlzkrpern. Die Mehrzahl der Kfige ist wlzkrpergefhrt, entweder ber Stege auf deren ußeren Mantelflchen oder ber Bolzen in den Bohrungen hohler Rollen (dadurch grßere Rollenanzahl). Bei hohen Beschleunigungen werden bordgefhrte Kfige eingesetzt. Dabei sind einteilige Fensterkfige mehrteiligen genieteten, geklammerten, geschweißten oder geschraubten Ausfhrungen vorzuziehen, da diese Verbindungen eine Schwachstelle darstellen. Kunststoffkfige (meist aus glasfaserverstrktem Polyamid, fr hohe Temperaturen auch aus Polyimid, Polyethersulfon und Polyetheretherketon gespritzt, fr hohe Drehzahlen aus harzgetrnkten gewickelten Textilfasern) sind auch bei Rillenkugellagern einteilig, da infolge ihrer Elastizitt die Wlzkrper in die Taschen einschnappen. Sie bauen Zerrkrfte elastisch ab und haben gute Notlaufeigenschaften (kein katastrophales Versagen mit Blockieren des Lagers). Weitere gngige Kfigwerkstoffe sind Messing und Stahl, in Sonderfllen Leichtmetall. Aus ihnen werden entweder Massivkfige spanend gefertigt bzw. gegossen oder Blechkfige geformt. Stahlblechkfige werden phosphatiert; bei selbstschmierenden Kfigen fr Spezialanwendungen sind in die Matrix (z. B. Polyimid) Festschmierstoffe (z. B. MoS2 oder PTFE) eingelagert, die sich auf die Wlzkrper bertragen, oder man versilbert metallische Kfige.
4.4 Wlzlagerwerkstoffe Die Tragfhigkeit der Wlzlager beruht darauf, dass die wlzbeanspruchten Werkstoffe sehr rein und in den hochbeanspruchten Zonen ausreichend hart und zh sind. Dies wird durch entsprechende Erschmelzungsverfahren und Vergten (Hrten und anschließendes Anlassen) auf 670 + 170 HV erreicht. Dazu mssen Standard-Wlzlagersthle durchhrtbar, einsatzhrtbar oder fr Flamm- und Induktionshrtung geeignet sein, z. B.: – durchhrtender Stahl 100 Cr 6 oder – Einsatzstahl 17 MnCr 5, beide nach DIN 17 230.
Bild 10 a–c. Lngsfhrungen (s. Text)
Wlzkrper werden meist durchgehrtet (mit Ausnahme hohlgebohrter Rollen z. B. im Verband mit Bolzenkfigen). Wlzlagerringe kleiner und mittlerer Durchmesser werden in Europa ebenfalls meist durchgehrtet; in USA (insbesondere bei Kegelrollenlagern) wird jedoch vorwiegend einsatzgehrtet. Bei Lagern mit geringen Anforderungen an die Tragfhigkeit werden auch naturharte Sthle eingesetzt, in Spezialanwendungen mit hohen Temperaturen, z. B. Triebwerkslagern, warmfeste Sthle. Hybridlager mit Stahlringen und Keramikwlzkrpern (z. B. aus Siliziumnitrid) eignen sich wegen deren geringerer Dichte besonders fr hohe Drehzahlen und stellen geringere Ansprche an die Schmierung (vollstndig
I4.6 keramische Lager fr extrem hohe Temperaturen und aggressive Medien). Im Kontakt mit Lebensmitteln und korrosiven Medien bei niedrigen Belastungen setzt man Kunststofflager ein, bei hheren Belastungen korrosionsbestndige Sthle, von denen es auch hrtbare oder nicht magnetisierbare Varianten gibt. Bei unzureichender Schmierung werden Beschichtungen aufgebracht, z. B. Wolframkarbid-Kohlenstoff im PVD-Verfahren. Weitere Informationen zu Lagerwerkstoffen siehe Abschnitt E 3.1.4.
Konstruktive Ausfhrung von Lagerungen
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die Breitenreihe (B, C, D, E) und der dreistellige Bohrungsdurchmesser in mm. Die Nachsetzzeichen kennzeichnen die Stabilisierungstemperatur, Dichtungs- und Kfigausfhrung, Genauigkeit, Lagerluft etc.
4.6 Konstruktive Ausfhrung von Lagerungen [1–5] 4.6.1 Fest-Loslager-Anordnung
4.5 Bezeichnungen fr Wlzlager Kurzzeichen fr Wlzlager setzen sich nach DIN 623 Teil 1 aus Vorsetzzeichen, Basiszeichen und Nachsetzzeichen zusammen. Vorsetzzeichen bezeichnen Teile von vollstndigen Wlzlagern (z. B.: L freier Ring eines nicht selbsthaltenden Lagers, R der dazu gehrige andere Ring mit dem Rollenkranz), Basiszeichen Art und Grße des Lagers, Tab. 1. Die Abmessungen (Bohrung d, Außendurchmesser D, Breite B) der Wlzlager sind so aufgebaut, dass jeder Lagerbohrung mehrere Breitenmaße und Außendurchmesser zugeordnet sind, um einen großen Lastbereich abzudecken (DIN 616). Die Stufung erfolgt fr Radiallager nach Breitenreihen (7, 8, 9, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6) und Durchmesserreihen (7, 8, 9, 0, 1, 2, 3, 4, 5). Durch Verbindung der beiden Kennzahlen (B vor D!) wird die Maßreihe gebildet, Bild 11. Daneben gelten Maßplne fr Kegelrollenlager und Axiallager (Hhenreihe 7, 9, 1, 2; Durchmesserreihe 0, 1, 2, 3, 4, 5). Fr Bohrungsdurchmesser von 20 bis 480 mm wird die Bohrungskennzahl angegeben. Ausgenommen fr die Lagergrßen bis d=17 mm Bohrung ergibt sich d in mm durch Multiplikation der Bohrungskennzahl mit 5. Zum Beispiel bedeutet das Basiskennzeichen 6204: Rillenkugellager einreihig (Lagerreihe 62), Maßreihe 02 (Breitenreihe 0 mit B=14 mm, sie wird bei Rillenkugellagern in der Bezeichnung weggelassen, und Durchmesserreihe 2 mit D=47 mm), Bohrung d=5 04=20 mm. Bei Bohrungsdurchmessern unter 20 und ber 480 mm ersetzt die Millimeterangabe (teilweise durch Schrgstrich getrennt) die Bohrungskennzahl. Fr Kegelrollenlager sieht DIN ISO 355 eine neue Kennzeichnung vor: T fr Kegelrollenlager (engl. taper), anschließend die Winkelreihe (2, 3, 4, 5, 7) fr den Druckwinkel a, die Durchmesserreihe (B, C, D, E, F, G),
Wellen mssen durch ein oder, je nach Lastrichtung abwechselnd, durch zwei Lager axial positioniert werden. Das jeweils nicht fhrende Lager muss – außer bei Anstellung von Schrglagern – axial beweglich sein, um unzulssige Verspannungen aufgrund der Lngentoleranzen bzw. ungleicher Wrmedehnung der Welle und des Gehuses zu vermeiden. Bei Fest-Loslagerung, Bild 12, fhrt das Festlager in beiden Richtungen. Dafr eignen sich axial beidseitig belastbare Lager oder Lagerpaare, also Rillenkugellager, zweireihige oder gepaarte Schrglager in O- oder X-Anordnung, Bild 13, Pendelrollenlager und Pendelkugellager, doppelseitig wirkende Axiallager und Zylinderrollenlager mit Halteborden. Als Loslager knnen Rillenkugellager, alle Radiallager und zweireihige Schrglager bzw. Schrglagerpaare in O- oder X-Anordnung eingesetzt werden, Bild 12 und Bild 13, meist muss dann aber der Innenring auf der Welle oder der Außenring im Gehuse verschiebbar sein (Nachteil: Reibungswiderstand, Gefahr der Passungsrostbildung, des Verschleißes oder des Ausschlagens der Sitze; Abhilfe: auf Schneiden oder elastisch gelagerte Gehuse). Die gnstigere Verschiebung in den Wlzkontakten des Lagers (bei rotierendem Lager annhernd widerstandslos, Presssitz fr beide Ringe erlaubt) ist bei Zylinderrollenlagern, Bild 12 a und Bild 13 b, Nadellagern und Toroidallagern mglich. Andererseits bieten Rillenkugellager als Loslager den Vorteil, dass sie ber Federn axial belastet werden knnen, siehe folgender Abschnitt.
Tabelle 1. Basiszeichen fr Wlzlager
Bild 11. Aufbau der Maßplne fr Radiallager
Bild 12 a, b. Fest-Los-Lagerungen (Prinzip) mit Loslagerverschiebung im Lager (a) und zwischen Außenring und Gehuse (b), hier fr nicht umlaufende Lastrichtung (Punktlast) am Außenring und umlaufende (Umfangslast) am Innenring
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Mechanische Konstruktionselemente – 4 Wlzlager
G Bild 13 a, b. Zwei mgliche konstruktive Ausfhrungen von FestLos-Lagerungen. a Mit Rillenkugellagern als Fest- und Loslager (mit Verschiebung zwischen Außenring und Gehuse fr nicht umlaufende Lastrichtung am Außenring und umlaufende am Innenring); b mit gepaarten Schrgkugellagern als Festlager und einem Zylinderrollenlager als Loslager (mit innerer Verschiebung)
4.6.2 Schwimmende oder Sttz-Traglagerung und angestellte Lagerung Eine wechselseitige Fhrung durch zwei Lager kann mit Axialspiel sals schwimmende bzw. Sttz-Traglagerung (Bild 14) oder ohne Axialspiel als angestellte Lagerung (Bild 15) ausgefhrt werden (schwimmende Lagerungen mit Rillenkugellagern oder Zylinderrollenlagern mit einem Haltebord; bei Rillenkugellagern i. d. R. beide Lager mit Schiebesitzen innen oder außen; starr angestellte Lagerungen i. d. R. mit Schrglagern). Oft stellt man die Lager ber Federn axial gegeneinander an, Bild 16 a, um die Laufruhe zu erhhen bzw. eine Mindestbelastung sicherzustellen (bei hufigen Richtungswechseln der Axialkraft mit berschreitung der Federvorspannung Anlagewechsel mit Gleitbewegungen, dann Fest-Loslager-Anordnung mit federbelastetem Loslager besser, Bild 16 a gestrichelt). Federanstellung wird vorwiegend mit Rillenkugellagern ausgefhrt und hat den Vorteil eines zwanglosen Ausgleichs von Toleranzen und thermisch bedingten Lngennderungen. Bei Schrglagern ist die starre Anstellung funktionssicherer; bei Federanstellung knnen Innen- und Außenring unter unzulssiger Spielvergrßerung und ggf. Druckwinkelnderung auseinandergleiten, wenn die innere Axialkraftkomponente die Federvorspannung ber-
Bild 14. Zwei Mglichkeiten der schwimmenden Lagerung
Bild 15. Zwei Varianten einer starr angestellten Lagerung (Prinzip)
steigt. Bei starrer Anstellung wird die Luft in der Einbausituation ber Muttern oder Schrauben eingestellt oder ber Passscheiben bzw. zugepaßte Zwischenringe festgelegt, Bild 15 und Bild 16 b. Bei entsprechend genauer Fertigung der Lagersitze kann mit Hilfe der im Abschnitt „Lager fr radiale und axiale Belastungen“ beschriebenen gepaarten Lagerstze die Lufteinstellung beim Einbau entfallen. Bei starrer Anstellung beeinflussen Wrmedehnungen im Allgemeinen die Lagerluft; nur bei Schrglagern in O-Anordnung gibt es einen optimalen Lagerabstand, bei dem sich radiale und axiale Wrmedehnungen genau kompensieren.
Bild 16 a, b. Zwei konstruktive Ausfhrungen angestellter Lagerungen (nicht umlaufende Lastrichtung fr die Außenringe und umlaufende fr die Innenringe). a Mit federnd angestellten Rillenkugellagern; b mit starr angestellten Schrgkugellagern
I4.7
Wlzlagerschmierung
G 81
4.6.3 Lagersitze, axiale und radiale Festlegung der Lagerringe Zur axialen Festlegung von Lagerringen dienen Gehusedeckel, Achskappen, Muttern, Sprengringe, Spann- und Abziehhlsen. Eine radiale Absttzung ber feste Sitze ist mglichst vorzuziehen (Vermeidung von Relativbewegungen mit Passungsrostbildung, insbesondere bei Schwingungen z. B. in Fahrzeugen, gute Untersttzung der Lagerringe zur Vermeidung von Biegespannungen und zur Verteilung der Belastung auf mglichst viele Wlzkrper). Lose Passungen oder bergangssitze sind aber hufig erforderlich, um Axiallager radial freizusetzen, nicht zerlegbare Lager einzubauen, ohne die Wlzkontakte zu beschdigen und in sich nicht verschiebbare Lager als Loslager einzusetzen. Sie sind nur bei nicht umlaufender radialer Lastrichtung (Punktlast) relativ zum betrachteten Lagerring zulssig. Das Grßtspiel ist mglichst klein zu halten, um den Lagerring ausreichend zu untersttzen. Eine umlaufende Lastrichtung (Umfangslast) erfordert in der Regel, eine unbestimmte meist einen Festsitz (sonst Passungsrost und Verschleiß). Eine bermßige Streuung der Einbaulagerluft bis hin zu unzulssigen Verspannungen, zu lose Sitze oder zu große Zugspannungen in den Ringen sind dabei durch enge Tolerierung zu vermeiden (Hinweise zur Wahl des Sitzcharakters bei verschiedenen Lastfllen in Bild 17, detaillierte Empfehlungen zur Passungswahl in den Katalogen der Wlzlagerhersteller). Dabei ist zu beachten, dass nach DIN 620 Innen- und Außendurchmesser der Lager jeweils vom Nennmaß aus nach Minus toleriert sind, sodass sich mit einer Einheitsbohrung ein Schiebesitz und mit einer Einheitswelle ein bergangssitz ergibt, Bild 18, entsprechend dem hufigsten Lastfall mit Punktlast fr den Innenring und Umfangslast fr den Außenring. Die Außenringe von zur reinen Axialkraftaufnahme radial freigesetzten Lagern werden mit Haltenut und Stift am Mitdrehen gehindert, ebenso wie Außenringe, die trotz unbestimmter radialer Lastrichtung nur einen bergangssitz erhalten (z. B. bei geteilten Gehusen); ein axiales Festklemmen von Lagerringen reicht grundstzlich nicht aus. Aufgrund der geringen Dicke der Lagerringe sind starre Lagersitze mit geringen Form- und Lageabweichungen vorgeschrieben. Fr die Lager selber sieht DIN 620 die Toleranzklassen P0 (Normaltoleranz) P6, P6X, P5, P4 und P2 (in der Reihenfolge steigender Genauigkeit) vor. Fr hochgenaue Lagerungen z. B. von Werkzeugmaschinenspindeln werden auch
Bild 18. Wlzlagertoleranzen und ISO-Toleranzen fr Wellen und Gehuse
die Toleranzklassen SP (Spezial-Przision), UP (Ultra-Przision) und HG (hochgenau) verwendet. Zllige Kegelrollenlager gibt es in den Toleranzklassen Normal und Q3. 4.6.4 Lagerluft Die Radial- bzw. Axialluft ist das Maß, um das sich die Lagerringe in radialer bzw. axialer Richtung von einer Endlage in die andere gegeneinander verschieben lassen, Bild 8. Außer bei Zylinderrollenlagern gibt es eine eindeutig durch die innere Lagergeometrie festgelegte Beziehung zwischen radialer und axialer Lagerluft. Die Betriebslagerluft resultiert aus der Einbaulagerluft und Luftnderungen durch Temperaturdifferenzen. Die Einbaulagerluft ergibt sich aus der Herstelllagerluft und Durchmessernderungen der Laufbahnen infolge von Passungsbermaßen. Diese Einflsse mssen bei der Wahl der Herstellagerluft beachtet werden. Fr unterschiedliche Einsatzbedingungen werden die Luftklassen C1, C2, CN (frher C0: Normalluft, in der Lagerbezeichnung nicht angegeben), C3, C4 und C5 (in der Reihenfolge wachsender Luft) gefertigt. Die Einbaulagerluft muss ausreichen, um unzulssig hohe Verspannungen durch Temperaturunterschiede sicher zu vermeiden. Bei Rillenkugellagern ist zu beachten, dass die Druckwinkel und damit die axiale Belastbarkeit mit steigender Betriebslagerluft zunehmen. Bei Toroidallagern gilt dasselbe fr die mgliche Axialverschiebung im Lager. Ansonsten sollte die Betriebslagerluft aber in Hinblick auf eine mglichst gleichmßige Lastverteilung auf die Wlzkontakte im Lager, die Fhrungsgenauigkeit und die Steifigkeit im Idealfall gerade nur so groß sein, dass keine Funktionsstrung oder Verminderung der Lebensdauer eintritt. Mit zunehmender radialer Belastung verlagert sich das Optimum vom Wert Null in den Vorspannungsbereich.
4.7 Wlzlagerschmierung 4.7.1 Allgemeines
Bild 17. Passungswahl abhngig vom Lastfall
Fette, le und Festschmierstoffe erfllen im Wlzlager folgende Aufgaben: – Verhinderung oder Verminderung von Verschleiß an Kontaktstellen mit gleitenden Bewegungsanteilen, – Abbau von Spannungsspitzen und zustzlichen Reibungsschubspannungen an der Oberflche der Wlzkontakte, die zu vorzeitiger Ermdung fhren knnen, – Korrosionsschutz und – Khlung, indem sie die Abfuhr der Verlustleistung aus dem Lager untersttzen (nur mit len bei ausreichender Durchstrmung mglich).
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Mechanische Konstruktionselemente – 4 Wlzlager
Die beiden ersten Aufgaben erfordern es, die metallischen Oberflchen durch einen hydrodynamischen Flssigkeitsfilm oder eine schtzende Reaktionsschicht zu trennen. Bei der hydrodynamischen Schmierfilmbildung spielen bei Punkt- und Linienberhrung die elastischen Verformungen eine wesentliche Rolle, sodass man von elastohydrodynamischer Schmierung spricht. Dadurch ergibt sich ein etwas anderer Druckverlauf als nach Hertz, Bild 19. Man kann nach der Theorie von Dowson und Higginson berechnen [6], ob die Schmierfilmdicke die Rauheiten der Oberflchen weit genug bersteigt oder berprfen, ob die tatschliche, bei Betriebstemperatur vorliegende, kinematische Viskositt mindestens die erforderliche Viskositt v1 erreicht (d. h.: ein Viskosittsverhltnis k ¼ v=v1 grßer als eins). Die Bezugsviskositt v1 reicht bei gegebener Rollgeschwindigkeit im Wlzkontakt gerade zur vollstndigen Trennung der Oberflchen aus. Sie ist in Bild 20 abzulesen, wobei die Rollgeschwindigkeit durch die Drehzahl und den mittleren Durchmesser des Lagers gegeben ist, oder lsst sich nach folgenden Gleichungen berechnen: 0,5 fr n < 1000 min1 v1 ¼ 45 000 n0,83 dm
ð1Þ
0,5 fr n 1000 min1 , mit : v1 ¼ 4 500 n0,5 dm
ð2Þ
2
v1 [mm /s] kinematische Bezugsviskositt, dm ¼ ðd þ DÞ=2 [mm] mittlerer Lagerdurchmesser, d [mm] Bohrungsdurchmesser, D [mm] Außendurchmesser, n [min–1] Lagerdrehzahl. An die Stelle von k kann auch unmittelbar der Schmierfilmparameter l, das Verhltnis aus Schmierfilmdicke und Sum-
Bild 20. Zur vollstndigen hydrodynamischen Trennung der Oberflchen in den Wlzkontakten notwendige kinematische Bezugsviskositt v1 von Minerallen in Abhngigkeit des mittleren Lagerdurchmessers dm und der Lagerdrehzahl n
menrauheit der Oberflchen, treten. Die Angaben von Bild 20 gelten fr Mineralle; fr andere le sind sie nur anwendbar, wenn sie das gleiche Druck-Viskositts-Verhalten haben. Es hat wegen der in Wlzkontakten herrschenden hohen Drcke von bis zu 4000 MPa einen großen Einfluss auf die Schmierfilmausbildung. Bei Fetten wird nach heutigem Kenntnisstand mit der kinematischen Viskositt des Grundls gerechnet. 4.7.2 Fettschmierung
Bild 19. Elastohydrodynamischer Schmierfilm, Beispiel Rolle/Innenring [6, 8]. h0 ½mm kleinste Schmierfilmdicke im Rollkontakt, a [mm2/N] Druck-Viskositts-Koeffizient, h [mPa s] dynamische Viskositt, u ½m=s ¼ ðu1 þ u2 Þ=2 hydrodynamisch wirksame Geschwindigkeit, r1 [mm] Radius der Rolle, r2 [mm] Radius der Innenringlaufbahn, Q [N] Rollenbelastung, l [mm] Rollenlnge, E [N=mm2 ] Elastizittsmodul = 2,08 105 fr Stahl, 1/m [–] Poissonsche Konstante=0,3 fr Stahl
Fette bestehen aus einem Seifengerst (Verdicker, dient als lspeicher) und einem Grundl. Fettschmierung ist die Standardlsung fr ber 90% aller Wlzlagerungen, da sie wenig konstruktiven Aufwand fr die Versorgung der Lagerstellen und fr die Dichtungen erfordert und eine Art Minimalmengenschmierung mit sehr geringen Reibungsverlusten darstellt. Neuerdings werden abgedichtete oder gedeckelte Lager mit Fettschmierung auch in ansonsten lgeschmierten Getrieben ohne Filtersystem eingesetzt, um sie vor Partikeln zu schtzen und dadurch ihre Ermdungslebensdauer zu steigern. Fette verlieren ihre Gebrauchseigenschaften nach einem Zeitraum, der von den physikalisch-chemischen Fetteigenschaften, der Lagerbauart, der Drehzahl und der Temperatur abhngt. Bei offenen Lagern ist ein Fettwechsel oder Nachschmieren sinnvoll, wenn die Fettgebrauchsdauer deutlich unter der geforderten Ermdungslebensdauer des Lagers liegt (bei Lagern mit integrierten Deck- oder Dichtscheiben unmglich, d. h. gleichzeitig Ende der Lagergebrauchsdauer). Beim Fettwechsel wird das Lager gereinigt und neu befettet (rechtzeitig vor Schdigung durch unzureichende Schmierung). Dagegen wird beim Nachschmieren die Lagerstelle nicht geffnet, sondern durch Bohrungen neues Fett bei betriebswarmem, sich drehendem Lager eingebracht und das gebrauchte Fett soweit wie mglich verdrngt. Es darf noch nicht verhrtet sein, weshalb die Nachschmierfristen wesentlich krzer anzusetzen sind als die Fettwechselfristen. Fettmengenregler (mit der Welle umlaufende Scheiben, die berschssiges Fett in seitliche Gehuserume oder nach außen abschleudern, kombiniert mit Stauscheiben, die eine ausreichende Fettmenge zurckhalten, Bild 21) erlauben dabei, grßere Mengen Neufett zuzufhren ohne das Lager dauerhaft zu
I4.7 berfllen. Bei Neubefettung oder einem Fettwechsel empfiehlt sich mit Rcksicht auf Gebrauchsdauer und Reibung eine Fllmenge von rund 30% des nicht von bewegten Teilen berstrichenen freien Volumens fr mittlere Drehzahlen (niedrige mehr, hhere weniger). Im Betrieb stellt sich im Lagerinnern drehzahlabhngig die notwendige Fettmenge selbstttig ein, wenn das berschssige Fett in seitliche Freirume ausweichen kann. Richtwerte fr die Nachschmier- und Fettwechselfrist von Lithiumfett ergeben sich aus Bild 22, wobei die Beiwerte kf aus Tab. 2 hervorgehen. Die Schmierfrist tf entspricht dabei der Fettgebrauchsdauer F10 (maximale Fettwechselfrist mit Ausfallwahrscheinlichkeit 10% bei Standardbedingungen, d. h. Temperaturen von bis zu +70 C am Lageraußenring, darber Halbierung je 15 K Temperaturerhhung). Mit weiteren Minderungsfaktoren fn fr Verunreinigungen, Schwingungen, Luftstrmungen durch das Lager, Zentrifugalkrfte, vertikale Einbaulage und hhere Lagerbelastungen ergibt sich die verminderte Schmierfrist: tfq ¼ tf f1 f2 f3 f4 f5 f6 ¼ tf q,
Wlzlagerschmierung
G 83
Tabelle 2. Beiwerte kf zur Bercksichtigung der Wlzlagerbauart bei der Schmierfrist [8]
G
ð3Þ
mit q als dem Gesamtminderungsfaktor. Die lngsten Fristen bis zum Nachschmieren liegen erfahrungsgemß bei: tfn ¼ 0,5 . . . 0,7 tfq . Bei gnstigen Betriebsbedingungen und speziellen Fetten knnen die Gebrauchsdauern und Schmierfristen auch erheblich hher liegen. Eine bersicht ber Aufbau und Eigenschaften der wichtigsten Fettarten gibt Anh. G 4 Tab. 1. Zur Wlzlagerschmierung werden berwiegend Schmierfette der Konsistenzklassen 1, 2
Bild 21. Wlzlager mit Fettmengenregler
und 3 (NLGI-Werte) eingesetzt. Wenn – wie bei Wlzlagern in unsauberer Umgebung empfohlen – keine nach innen frdernden Dichtungen verwendet werden, mssen Fettverluste durch ausreichende Konsistenz (hher bei hohen Betriebstemperaturen, intensiven Schwingungen und vertikaler Welle) begrenzt werden. Fr geringe Anlaufreibung und die Fettfrderung in Nachschmieranlagen ist hingegen eine niedrige Konsistenz vorteilhaft. Fr viele Gebrauchseigenschaften der Fette, wie z. B. die Schmierfilmbildung und die Reibung im eingelaufenen Zustand, sind die Grundlviskositt und das labgabeverhalten wesentlich wichtiger als die Konsistenz (bei bermßiger labgabe, z. B. infolge Schwingungen, „Ausbluten“; bei zu geringer, z. B. infolge niedriger Temperaturen, Mangelschmierung). Weitere Richtlinien fr die Fettauswahl enthlt Anh. G 4 Tab. 2. Fetten hnlich sind Polymerschmierstoffe, deren schwammhnliche Matrix, z. B. aus Polyethylen, mit l gefllt ist und aufgrund ihrer Formstabilitt im Lager verbleibt. 4.7.3 lschmierung
Bild 22. Schmierfrist tf fr Standard-Lithiumseifenfette, gltig bei P/C 0,1 und 70 C, ohne Minderungsfaktoren [7, 8]
lschmierung herrscht vor, wo benachbarte Maschinenelemente ohnehin mit l versorgt werden, wo die Gebrauchsdauer von Fetten, z. B. wegen hoher Drehzahlen, zu kurz und hufiges Nachschmieren nicht mglich ist oder wo man z. B. wegen hoher Drehzahlen und Reibungsverlusten zustzlich Wrme abfhren muss. Die Gebrauchsdauer von len ist ebenfalls begrenzt, jedoch wegen der grßeren Volumina i. Allg. lnger als die der Fette; lwechsel sind außerdem leichter durchzufhren als Nachschmieren oder Fettwechsel. Zwei Wege verhelfen zu einer niedrigen Lagertemperatur: eine sparsame oder eine sehr reichliche lzufuhr. Bei hohen Drehzahlen bevorzugt man zwecks Minimierung der Scherverluste heute kleinste lmengen (Tropflschmierung, lne-
G 84
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Mechanische Konstruktionselemente – 4 Wlzlager
belschmierung oder l-Luft-Schmierung). Bei leinspritzschmierung (mit mindestens 15 m/s zwischen Kfig und einem Ring, ausreichende Ablaufkanle erforderlich) fr hohe und lumlaufschmierung (drucklos, ggf. mit Hilfe von Frderringen oder der Frderwirkung von Lagern mit unsymmetrischen Querschnitten) fr mittlere Drehzahlen hingegen steht die Wrmeabfuhr im Vordergrund. Bei beiden kann man das umlaufende l filtern und so lebensdauermindernde Laufbahnbeschdigungen durch berrollte Partikel bekmpfen. Richtwerte fr die lmenge bei Umlaufschmierung in Abhngigkeit vom Wlzlageraußendurchmesser D enthlt Bild 23. Die lbad- oder ltauchschmierung ist fr niedrige Drehzahlen geeignet (lstand i. Allg. nur bis Mitte des untersten Wlzkrpers, sonst Schaumbildung bzw. hohe Planschverluste!). Bei normalen Bedingungen knnen unlegierte (Mindestanforderungen nach DIN 51 501), bevorzugt aber inhibierte Mineralle (DIN 51 502, Kennbuchstabe L; verbesserte Alterungsbestndigkeit nach DIN 51 517) verwendet werden. Hohe Belastungen erfordern bei einem Viskosittsverhltnis k < 1 und/oder hohen Gleitreibungsanteilen le mit verschleißmindernden Zustzen (DIN 51 502: P bzw. EP-Additive). Synthetische le werden bei extrem hohen oder tiefen Temperaturen angewandt, Silikonle nur bei geringen Belastungen. Kennwerte verschiedener le enthlt Anh. G 4 Tab. 3. 4.7.4 Feststoffschmierung Festschmierstoffe, z. B. Graphit, Wolframdisulfid, Molybdndisulfid (MoS2), Polytetrafluorethylen (PTFE) und Weichmetallfilme, z. B. aus Silber, werden bei sehr hohen Temperaturen bzw. im Vakuum eingesetzt oder bei sehr langsamen bzw. oszillierenden Bewegungen (dabei kein trennender hydrodynamischer Flssigkeitsfilm und keine verschleißmindernden Grenzschichten durch Additivreaktionen). Sie sind hnlich Reaktionsschichten aufgrund ihrer besonderen Struktur schmierwirksam (haftfhig und gegen Normalbeanspruchung stabil, aber niedriger Scherwiderstand). Weiteres zur Wahl des Schmierverfahrens in Anh. G 4 Tab. 4.
4.8 Wlzlagerdichtungen [9, 10] Wlzlager mssen vordringlich gegen Zutritt von festen und flssigen Verunreinigungen geschtzt werden (sonst Korrosion, Verschleiß und vorzeitige Ermdungsschden; ohne hinreichende Sauberkeit keine Dauerwlzfestigkeit auch bei geringen Belastungen). Aktive Dichtelemente werden daher bei Fettschmierung bevorzugt nach außen frdernd eingebaut. Bei ausreichender Konsistenz des Fettes und normaler lab-
Bild 23. lmenge bei Umlaufschmierung. a Zur Schmierung ausreichende lmenge; b obere Grenze fr Lager symmetrischer Bauform; c obere Grenze fr Lager unsymmetrischer Bauform
gabe gengt dabei die Stauwirkung nicht berhrender Dichtungsteile, um ausreichend Schmierstoff im Lager zu halten. Die sehr kleine nach außen gefrderte Grundlmenge schtzt berhrende Dichtungen vor Verschleiß und hilft, Verunreinigungen fernzuhalten. Bei berschmierung kann berschssiges Fett entweichen. Hufig reichen berhrungsfreie Dichtungen aus; wirksamer sind berhrende Dichtungen, am besten mit vorgeschaltetem Labyrinth, Bild 24. Bei lschmierung ist es vordringlich, das l im Lagergehuse zu halten. Es werden aktive Dichtelemente eingesetzt, die nach innen frdern, Bild 25, solange der lstand die Dichtflchen nicht erreicht auch Labyrinthdichtungen, bei hherem lstand i. Allg. berhrende Dichtungen. Dem Schutz gegen Verunreinigungen dienen ußere Zusatzdichtungen oder zustzliche ußere Schutzlippen (Fettreservoir als Schutz gegen Verschleiß vorteilhaft). Berhrende Dichtungen sind Filzringe, Radialwellendichtringe (die als Spezialbauform, z. B. Dichtscheiben, Nachsetzzeichen RS, auch in das Lager integriert werden knnen) und Gleitringdichtungen. Sie knnen nach einem Einlauf verschleißfrei arbeiten, solange eine mikro-elastohydrodynamische Schmierung vorliegt und der Werkstoff nicht altert oder die Kontaktflchen durch lkohlebildung geschdigt werden. Dichtlippen aus Nitril-Butadien-Kautschuken (NBR) verhrten und versprden um so schneller, je hher die Betriebstemperaturen sind; Fluorkautschuke (FKM) und Polytetrafluorethylen (PTFE) sind hingegen alterungsbestndig, haben aber infolge lkohlebildung ebenfalls eine begrenzte Lebensdauer. Bei allen diesen Werkstoffen baut sich die Anpresskraft im Laufe der Zeit durch bleibende Formnderungen ab, sofern nicht metallische Federn eingesetzt werden. Nicht berhrende Dichtungen sind in das Lager integrierte Deckscheiben (Nachsetzzeichen Z) oder ußere Labyrinthe als anwendungsspezifische Konstruktion bzw. als Kaufteile wie Z-Lamellen und federnde Dichtscheiben (Nilosringe, nach Einlaufverschleiß berhrungsfrei). Sie erlauben wegen der geringeren Reibungsverluste hhere Drehzahlen als berhrende Dichtungen und verschleißen auch bei unzureichender Schmierung i. Allg. nicht. ußere Labyrinthe, Z-Lamellen und Radialwellendichtringe (Pumpwirkung vom kleinen zum großen Kontaktwinkel) frdern je nach Einbaurichtung aktiv nach innen oder außen.
4.9 Belastbarkeit und Lebensdauer der Wlzlager 4.9.1 Grundlagen Werkstoffanstrengung und Ermdung im Wlzkontakt Bei ausreichender Schmierung und Sauberkeit und mittleren bis hohen Belastungen endet die Lagerlebensdauer durch Ermdungsschden, die vom Werkstoffinnern bis zur Laufflche fortschreiten (Ausbrckelungen von Werkstoffpartikeln, Schlen und Grbchenbildung bei Schmierung). Wahrscheinlich beginnt der Ermdungsprozess an Werkstoffinhomogenitten durch berschreiten der Schubschwellfestigkeit. Bei reiner Normalbeanspruchung bestimmen die Druckflchenabmessungen und die hchste Flchenpressung p0 (in Kontaktflchenmitte) die rumliche Verteilung und die Hhe der Werkstoffbeanspruchung (Bild 26 fr Linienberhrung nach verschiedenen Vergleichsspannungshypothesen). Sie folgen nach der Hertzschen Theorie (s. C 4; Annahmen: homogene und isotrope Krper, elastisches Verhalten, Druckflche eben und klein gegenber Krperabmessungen) aus der Berhrgeometrie (Schmiegung) und der Wlzkrperbelastung Q. Die grßte Schubspannung tmax ¼ 0,31 p0 (Vergleichsspannung nach der Schubspannungshypothese sv ¼ 0,61 p0 , nach der Gestaltnderungsenergiedichtehypothese sv ¼ 0; 56 p0 ) wirkt im Punkt x=0, bei Linienberhrung im Abstand von
I4.9
Belastbarkeit und Lebensdauer der Wlzlager
G 85
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Bild 24. Dichtungen gegen Zutritt von Verunreinigungen und Fettaustritt
gibt sich ber deren elastische Formnderungen aus dem Gleichgewicht mit den von außen am Lager angreifenden Krften (Radialkraft Fr , Axialkraft Fa ), s. z. B. Bild 28 fr Schrglager. Die Wlzkontaktkrfte Q wirken in Richtung des Druckwinkels a, whrend die radiale Lastkomponente Fr mit der Resultierenden F aus Fr und Fa den Winkel b bildet. Unterhalb eines Grenzwertes von Fa =Fr bzw. von b wird die Laufbahn nur ber einen Teil des Umfangs belastet, darber verteilt sich die Belastung gleichfrmiger auf immer mehr Wlzkrper (daher mit Fr zunehmende begrenzte axiale Vorspannung vorteilhaft). Eine vllig gleiche Belastung aller Wlzkrper ist nur bei reiner Axiallast ohne Schiefstellung mglich. Die Hertzsche Theorie ergibt fr Punktberhrung: Qy =Qmax ¼ ðdy =dmax Þ3=2 (Qy Wlzkontaktbelastung an der Stelle y, Qmax maximale Wlzkontaktbelastung, dy Verschiebung der Krper an der Stelle y, dmax maximale Verschiebung). Bei e ¼ 0;5 (Bild 28, halber Lagerumfang belastet) gilt z. B.: Qmax ¼ 4,37Fr =ðz cos aÞ mit z Anzahl der Wlzkrper. ð4Þ Bei Linienberhrung (z. B. einreihiges Kegelrollenlager) folgt die Lastverteilung zu Qr =Qmax ¼ ðdr =dmax Þ1;08 : Fr e ¼ 0;5 ist die maximale Wlzkrperbelastung Bild 25. Dichtungen gegen Austritt von l
0,78 b von der Oberflche (b: halbe Breite der rechteckigen Druckflche), bei Punktberhrung im Abstand 0,47 a (a: kleine Halbachse der Druckellipse). Schubspannungen infolge Gleitbewegungen erhhen das Spannungsmaximum, Bild 27, und verschieben es in Richtung Oberflche.
Qmax ¼ 4;06Fr =ðz cos aÞ:
ð5Þ
Mit a ¼ 0° sind diese Gleichungen auch fr spielfreie Radiallager und rein radial belastete Rillenkugellager gltig. Sie liegen der Berechnung der Tragzahlen zugrunde. 4.9.2 Statische bzw. dynamische Tragfhigkeit und Lebensdauerberechnung
Lastverteilung im Wlzlager
Grundlagen
Die i. Allg. ungleichmßige Lastverteilung auf mehrere Wlzkontakte (Wlzkontaktbelastung Qy , Maximalwert Qmax ) er-
Obwohl die Spannungen im Werkstoff unterhalb der Kontaktflche fr die Beanspruchung des Werkstoffs maßgeblich
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Mechanische Konstruktionselemente – 4 Wlzlager
G Bild 27. Dimensionslose Vergleichsspannung sv =p0 in der Kontaktzone bei Linienberhrung und berlagerter Normal- und Tangentialbelastung [12]
Bild 28. Lastverteilung im einreihigen Schrgkugellager [13]. a Druckwinkel, dL Laufbahndurchmesser, Fa Axialkraft, Fr Radialkraft, b Richtungswinkel der Lagerbelastung F, Qy Wlzkrperbelastung, y Lagewinkel des Wlzkrpers, Qmax maximale Wlzkrperbelastung, e dL Erstreckung der Laufbahnbelastung
Volumens und der Werkstoffeigenschaften aus den zulssigen Spannungswerten. quivalente Lagerbelastung Bild 26 a–c. Dimensionslose Vergleichsspannungen sv =p0 [11] in der Kontaktzone bei Linienberhrung und reiner Normalbelastung. a Hauptschubspannungshypothese; b Gestaltnderungsenergiedichtehypothese; c Wechselschubspannungshypothese
sind, werden in der Praxis bei der Lagerberechnung Kennzahlen mit der Dimension einer Kraft verwendet: die quivalente statische bzw. dynamische Belastung P0 bzw. P fr die Beanspruchung und die statische bzw. dynamische Tragzahl C0 bzw. C als Maß fr die Tragfhigkeit. Steht ein Lager still, schwenkt oder luft langsam um, so gilt es als statisch beansprucht. Auch wenn umlaufende Lager kurzzeitig starke Stße erleiden, ist die statische Tragsicherheit zu berprfen. Die dynamische Tragzahl C gilt fr umlaufende Lager. Die Begriffe statisch und dynamisch beziehen sich somit nicht auf nderungen der ußeren Belastung. Die Tragzahlen ergeben sich nach DIN ISO 76 und DIN ISO 281, Teil 1, unter Bercksichtigung der Lastverteilung auf die Wlzkrper und ihrer Anzahl, der Schmiegung, der Grße des beanspruchten
Zusammengesetzte Radial- und Axialbelastungen werden durch die quivalenten Lagerbelastungen P0 (statisch) bzw. P (dynamisch) ersetzt, die im Lager die gleichen Beanspruchungen hervorrufen: quivalente statische Belastung P0 ¼ max ðX0 Fr þ Y0 Fa , Fr Þ
ð6Þ
quivalente dynamische Belastung P ¼ ðX Fr þ Y Fa Þ
ð7Þ
Hierin sind Fr die Radialkomponente der Belastung, Fa die Axialkomponente der Belastung, X, X0 die Radialfaktoren und Y, Y0 die Axialfaktoren des Lagers (Tab. 2 und 3 der DIN ISO 76, unterschiedlich entsprechend dem Druckwinkel je nach Lagerbauart und Grßenreihe). Statische Tragfhigkeit Bei statischer Beanspruchung entsprechen die zulssigen Spannungen und dementsprechend die statische Tragzahl C0 nach DIN ISO 76 einer bleibenden (plastischen) Formnderung von 0,01% des Wlzkrperdurchmessers (entsprechend einer maximalen Hertzschen Pressung p0 von 4600 N=mm2
I4.9 bei Pendelkugellagern, 4200 N=mm2 bei Kugellagern und 4000 N=mm2 bei Rollenlagern; sie kann bei geringen Anforderungen an die Laufruhe bzw. sehr langsam umlaufenden Lagern auch berschritten werden; physikalisch begrndete Grenze ist das „ Shakedown-Limit“ [14, 15], oberhalb dessen lokales Fließen bei jeder berrollung trotz Eigenspannungsaufbau und Verfestigung weiter fortschreitet). Forderung (statische Sicherheit S0 nach Anh. G 4 Tab. 5): P0 C0 =S0 :
ð8Þ
Bei dynamischer Beanspruchung geht die gegenwrtig in ISO 281:1990 genormte Berechnungsmethode davon aus, dass Wlzlager immer im Zeitfestigkeitsbereich arbeiten. Die Anzahl der Umdrehungen der Lagerringe oder der Lagerscheiben relativ zueinander bis zum Ausfall durch Werkstoffermdung, die sogenannte Lagerlebensdauer, streut auch bei identischer Belastung betrchtlich (Ursache: Unregelmßigkeiten des Werkstoffgefges und der wlzbeanspruchten Funktionsflchen, die sich nach Grße, Anzahl und Lage von Lager zu Lager unterscheiden), sodass die Vorausberechnung einer Lebensdauer fr ein bestimmtes Lager nicht mglich ist. Die dynamische Tragzahl wurde daher als diejenige quivalente Belastung definiert, bei der 90% einer grßeren Anzahl gleichartiger Lager unter Standardbedingungen eine Million Umdrehungen berleben. Die Lebensdauer ist definitionsgemß erschpft, wenn die ersten Schden infolge Werkstoffermdung an einer der wlzbeanspruchten Oberflchen erkennbar werden. Von der Ermdungslebensdauer ist die u. U. wesentlich krzere Gebrauchsdauer zu unterscheiden (die tatschliche funktionsfhige Einsatzzeit unter Einbezug aller Versagensmechanismen). Die Berechnung der sogenannten nominellen Lebensdauer (Ausfallwahrscheinlichkeit: 10%) fr beliebige Belastungen erfolgt ber das Verhltnis C/P der dynamischen Tragzahl zur tatschlich vorliegenden quivalenten dynamischen Belastung, potenziert mit einem Exponenten p (p betrgt nach Norm 3 fr Kugellager und 10/3 fr Rollenlager, wobei gewisse Abweichungen von einer gleichmßigen Spannungsverteilung entlang der Berhrlinie bereits eingerechnet sind; bei idealer Spannungsverteilung gilt p=4): L10 ¼ ðC=PÞp in 106 Umdrehungen des Lagers: Bei konstanter Drehzahl n des Lagers in min bensdauer L10 h in Stunden: L10 h ¼ 106 L10 =ð60 nÞ:
ð9Þ
gilt fr die Le-
ð10Þ
Die nominelle Lebensdauer dient hufig lediglich als hnlichkeitskennzahl (Vergleich der Lebenserwartung von Lagern bzw. Erfahrungswerte fr die notwendige nominelle Lebensdauer in verschiedenen Anwendungen s. Anh. G 4 Tab. 6). Die Hersteller erweitern aber die Berechnungsverfahren zunehmend mit dem Ziel genauerer quantitativer Angaben: die Lebensdauern fr von 90% abweichende Erlebenswahrscheinlichkeiten werden mit dem Faktor a1 berechnet; Werkstoffeigenschaften, die von Standard-Wlzlagersthlen abweichen, werden mit dem Faktor a2 und besondere Betriebsbedingungen, insbesondere Schmierungszustnde mit einem Viskosittsverhltnis k 6¼ 1, ber den Faktor a3 bercksichtigt. So entsteht die modifizierte Lebensdauer Lna (der Index n steht fr die Ausfallwahrscheinlichkeit in %, berlebenswahrscheinlichkeit S ¼ ð100 nÞ%): Lna ¼ a1 a2 a3 L10 ¼ a1 a2 a3 ðC=PÞp in 106 Umdrehungen des Lagers.
ð11Þ
G 87
Tabelle 3. Lebensdauerbeiwert a1 fr die Erlebenswahrscheinlichkeit
Tabelle 3 gibt a1 in Abhngigkeit von n fr eine WeibullVerteilung der Ausflle mit einem Exponenten e = 1,5 an; fr beliebige Werte von e gilt: 2
Dynamische Tragfhigkeit und Berechnung der Ermdungslebensdauer
–1
Belastbarkeit und Lebensdauer der Wlzlager
31 100 e 6 S 7 : a1 ¼ 4 100 5 ln 90 ln
ð12Þ
Eine Bercksichtigung des Werkstoffeinflusses an sich erfolgt nicht ber den Faktor a2 , sondern unmittelbar ber Beiwerte zu den Tragzahlen: – den Faktor bm fr die kontinuierliche Verbesserung der Wlzlagersthle, – den statischen Hrtefaktor (fH0 ; CH0 ¼ fH0 C0 ) und den dynamischen Hrtefaktor ðfH ; CH ¼ fH CÞ Hrtefaktor fr vom Standardwert HV ¼ 670 N=mm2 abweichende Oberflchenhrten, Anh. G 4 Tab. 7 und – den Temperaturfaktor fT ðCT ¼ fT CÞ fr Betriebswerte ber 150 C, s. Anh. G 4 Tab. 8. Darber hinaus gibt es einen wechselseitigen Einfluss von Werkstoff und Schmierstoff, sodass die Faktoren a2 und a3 sinnvollerweise zum Beiwert a23 verschmelzen: Lna ¼ a1 a23 L10 ¼ a1 a23 ðC=PÞP
ð13Þ
in 106 Umdrehungen des Lagers. Er bercksichtigt, dass die Schmierfilmdicke auch oberhalb k = 1 (gerade vollstndige Trennung der Oberflchen) die Werkstoffbeanspruchung beeinflusst, sodass die Lebensdauer bei k 1 (dicke Filme) bis zum 2,5-fachen ansteigen kann. Bei niedrigen Drehzahlen oder Viskositten (k < 1), kann die Ermdungslebensdauer hingegen auf 1/10 des nominellen Wertes abfallen. Anh. G 4 Bild 1 und Anh. G 4 Bild 2 zeigen entsprechende Verlufe des Faktors a23 nach Angaben verschiedener Hersteller. Bei k < 1 knnen Lager statt durch Wlzermdung auch durch Verschleiß ausfallen; a23 bercksichtigt dies nicht. Die schdliche Wirkung von k < 1 wird bei ausreichender Sauberkeit durch geeignete Additivierung mit Hilfe verschleißschtzender und reibungsmindernder Reaktionsschichten gemildert. Bei ausreichend dicken Schmierfilmen und hoher Sauberkeit hingegen steigt nach neueren Erkenntnissen die Lebensdauer ber den Faktor 2,5 hinaus bis zur Dauerwlzfestigkeit, wenn die quivalente Belastung kleiner als die Ermdungsgrenzbelastung Pu oder Cu bleibt. Diese entspricht fr Standard-Wlzlagersthle und Fertigungstoleranzen ungefhr einer maximalen Hertzschen Pressung p0 ¼ 1500 N=mm2 (ideale Bedingungen: p0 2200 N=mm2 ; schlechtere Fertigungsqualitt und Werkstoffe: p0 2200 N=mm2 ). Sie kann aus der statischen Tragzahl C0 fr Lager mit einem Bohrungsdurchmesser dm < 150 mm wie folgt abgeschtzt werden: Rollenlager Pendelkugellager : brige Kugellager :
Pu ,Cu C0 =8,2; Pu ,Cu C0 =35,5,
ð14Þ
Pu ,Cu C0 =27:
Der Normvorschlag DIN ISO 281/A3 (1998) benutzt daher einen kombinierten Faktor axyz , der auf einer Systembetrachtung beruht, zur Berechnung der erweiterten Lebensdauer Lnm ¼ a1 axyz L10 ¼ a1 axyz ðC=PÞP in 106 Umdrehungen des Lagers.
ð15Þ
G
G 88
G
Mechanische Konstruktionselemente – 4 Wlzlager
Die Buchstaben „xyz“ geben an, dass ein Hersteller oder eine Firma eine beliebige Buchstabenkombination whlen kann. Im Entwurf DIN UA8 AK8.2 geht axyz , hier aDIN genannt, bei Dauerfestigkeit gegen unendlich. Im Zeitfestigkeitsbereich wird axyz zur Korrektur der nominellen Lebensdauer dem Belastungsverhltnis Pu =P bzw. Cu =P, dem Viskosittsverhltnis x und einem Faktor ec oder hc fr die Verschmutzung entsprechend Anh. G 4 Bild 3 bis Anh. G 4 Bild 6 fr die unterschiedlichen Lagerhauptbauarten zugeordnet. Der Faktor hc bzw. ec erfaßt verschiedene Grade der Verunreinigung, Anh. G 4 Tab. 9. Beim berrollen von festen Partikeln mit einer Grße von mehr als 10 bis 20 m mit hinreichend hoher Streckgrenze und Duktilitt werden die Oberflchen so verformt, dass von lokalen Spannungsberhhungen bei nachfolgenden berrollungen vorzeitige Ermdungsschden ausgehen (weiche Partikel verformen sich im Wlzkontakt plastisch, whrend große sprde Partikel in kleine Teilchen zerbrechen; beide sind daher weniger schdlich). Fr k > 4 ist jeweils die Kurve k = 4 zu verwenden. Fr hc Pu =P gegen Null geht aDIN fr alle k-Werte gegen 0,1 (gilt fr Schmierstoffe ohne EP-Zustze, mit Additiven ggf. hher). Auch mit diesen Modifikationen knnen die herstellerspezifischen Wlzkrper- und Laufbahnprofile, die Lagerluft, Schiefstellungen, zustzliche Spannungen in den Ringen durch Presssitze, Gehuseverformungen [16, 17] und Fliehkrfte bei der Ermdungslebensdauer nicht ber das genormte Berechnungsverfahren mit quivalenten Belastungen und Tragzahlen, sondern nur mit speziellen Berechnungsprogrammen der Lagerhersteller oder angenhert mit Beiwerten erfaßt werden. Nicht bercksichtigt sind weitere, die Gebrauchsdauer mglicherweise begrenzende, Ausfallursachen: Verschleiß der Laufbahnen oder der Kfige, Ermdungsbrche von Kfigbauteilen, Schmierstoff- oder Dichtungsversagen, Korrosion und Wlzkrperschlupf infolge zu niedriger Belastung. Die notwendige Mindestbelastung richtet sich unter anderem nach der Drehzahl und etwaigen Winkelbeschleunigungen. Lebensdauerberechnung bei zeitlich vernderlicher Belastung und Drehzahl Luft ein Wlzlager bei vernderlichen Drehzahlen und Belastungen, so kann man die Ermdungslebensdauer aus Gl. (9) nach der Palmgren-Miner-Regel mit der mittleren Drehzahl nm und der mittleren quivalenten dynamischen Belastung Pm bestimmen. Beliebig vernderliche Drehzahl und Lagerbelastung: sind die Drehzahl und die Lagerbelastung im Zeitraum T eindeutig definierte Zeitfunktionen n ðtÞ und p ðtÞ, gilt: vffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi u T uZ u u nðtÞ Pp ðtÞ dt u ZT p u 1 0 nðtÞ dt: ð16Þ und nm ¼ Pm ¼ u u ZT T u u 0 nðtÞ dt t 0
Bei stufenweise vernderlichen Beanspruchungsgrßen ni und Pi im Zeitraum T gilt fr Pm die aus (16) abgeleitete Summenformel ber z Zeitabschnitte D ti , wobei qi ¼ ðD ti =TÞ 100 die jeweiligen Zeitanteile der Wirkungsdauer in % sind: sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi p p p p q1 n1 P þ q2 n2 P þ . . . þ qz nz P 1 2 z Pm ¼ q1 n1 þ q2 n2 þ . . . þ qz nz und nm ¼ q1 n1 þ q2 n2 þ . . . þ qz nz :
ð17Þ
4.10 Bewegungswiderstand und Referenzdrehzahlen der Wlzlager Der Bewegungswiderstand von Wlzlagern ergibt sich bei vollstndiger Trennung der Oberflchen durch einen Schmierfilm aus zwei Beitrgen: Hystereseverluste im Werkstoff bei der zyklischen Verformung der Wlzkrper und der Ringe whrend jeder berrollung und Scherverluste im Schmierstoff im Wlzkontakt, zwischen Kfig und Wlzkrpern (bei bordgefhrten Kfigen auch zwischen Kfigen und Ringen) sowie durch Strmungen im Lager außerhalb der eigentlichen Kontakte. Diese Reibungskomponenten lassen sich formal ohne nhere Bercksichtigung der physikalischen Zusammenhnge zu einem Ausdruck mit zwei Termen zusammensetzen [18]: MR ¼ M0 þ M1
ð18Þ
In den ersten Term gehen die Drehzahl und die Schmierstoffviskositt exponentiell sowie ein Beiwert f0 linear ein; der zweite Term ist der sogenannte lastabhngige Anteil, der linear von der fr das Reibungsmoment maßgebenden quivalenten Lagerbelastung P1 (Berechnung siehe Kataloge der Wlzlagerhersteller) und einem Reibungskoeffizienten f1 abhngt: 3 MR ¼ 107 f0 ðv nÞ2=3 dm þ f1 P1 dm fr v n 2000 bzw: (19) 3 MR ¼ 107 f0 160 dm þ f1 P1 dm
fr v n < 2000
ð20Þ
mit: MR [Nmm] Reibmoment, v [mm2/s] kinematische Viskositt bei Betriebstemperatur, n [min–1] Lagerdrehzahl, dm ¼ ðd þ DÞ=2 [mm] mittlerer Lagerdurchmesser, d [mm] Lagerbohrungsdurchmesser, D [mm] Lageraußendurchmesser. Die Koeffizienten f0 und f1 sind von der Schmierungsart und von der Lagerbauart abhngig (f0r und f1r fr Referenzbedingungen in Anh. G 4 Tab. 10). Absolute Maximaldrehzahlen von Wlzlagern lassen sich nicht angeben. Mit zunehmender Drehzahl wachsen die Beanspruchungen der Außenringlaufbahn und des Kfigs, die Gefahr von Wlzkrperschlupf am Innenring, die Verlustleistung und damit die Lagertemperatur. Die Wlzfestigkeit des Lagerwerkstoffs und seine Dimensionsstabilitt, die Zeitstandfestigkeit nichtmetallischer Kfigwerkstoffe und Dichtungen und die Schmierstoffgebrauchsdauer bestimmen die zulssigen Betriebstemperaturen. Mit Rcksicht auf den Schmierstoff strebt man an, die sogenannte Referenztemperatur nicht zu berschreiten. Diejenige Drehzahl, bei der unter Referenzbedingungen (Erwrmung des Lagers ausschließlich durch seine eigene Verlustleistung, natrliche Wrmeabfuhr mit der Referenzwrmeflussdichte qr ber die Referenzoberflche ohne zustzliche Khlung) eine Temperaturerhhung von 50 C gegenber der Referenzumgebungstemperatur 20 C auf die Referenztemperatur 70 C eintritt, wird als thermische Referenzdrehzahl nq r bezeichnet. Die weiteren Referenzbedingungen nach ISO CD (Committee Draft) 513 12, Referenz-Nr. ISO/TC 4/SC 8 N224 sind: – Referenzbelastung fr Radiallager (0 a 45): P1r ¼ 0:05 C0 (reine Radialbelastung), – Referenzbelastung fr Axiallager (45 a 90): P1r ¼ 0:02 C0 (reine zentrische Axialbelastung), – Referenzviskositt eines Schmierles bei Referenztemperatur 70 C: vr = 12 mm2/s fr Radiallager, vr =24 mm2/s fr Axiallager, – Referenz-Grundlviskositt eines Lithiumseifenfettes mit mineralischem Grundl bei 40 C: vr = 24 mm2/s, Fettfllung: 30% des freien Volumens. Referenzoberflche der Radiallager außer Kegelrollenlager: Ar ¼ pðD þ dÞ B mit:
ð21Þ
I5.1 Ar [mm2] Referenzoberflche, D [mm] Lageraußendurchmesser, d [mm] Lagerbohrungsdurchmesser, B [mm] Lagerbreite. brige Lagerbauarten s. Normentwurf. Fr Radiallager bzw. Axiallager betragen die Referenzwrmeflussdichten qr : Ar 50 000 mm2 : qr ¼ 16 kW=m2 bzw: qr ¼ 20 kW=m2 ; Ar > 50 000 mm2 : qr ¼ 16 ðAr =50 000Þ0:34 kW=m2 bzw: qr ¼ 20 ðAr =50 000Þ0:16 kW=m2 :
ð22Þ
Im Referenzzustand fließt ber die Referenzoberflche der Wrmestrom Fr ¼ qr Ar ,
ð23Þ
der ohne zustzliche Khlung gleich der Lagerverlustleistung Nr bei Referenzdrehzahl nq r ist:
5 Gleitlagerungen L. Deters, Magdeburg
5.1 Grundlagen 5.1.1 Aufgabe, Einteilung und Anwendungen Gleitlager sollen relativ zueinander bewegte Teile mglichst genau, reibungsarm und verschleißfrei fhren und Krfte zwischen den Reibpartnern bertragen. Je nach Art und Richtung der auftretenden Krfte werden statisch oder dynamisch belastete Radial- und Axialgleitlager unterschieden. Gleitlager werden mit l, Fett oder Festschmierstoffen, welche auch aus dem Lagerwerkstoff stammen knnen, geschmiert. Gleitlager sind unempfindlich gegen Stße und Erschtterungen und wirken schwingungs- und geruschdmpfend. Sie vertragen geringe Verschmutzungen und erreichen bei permanenter Flssigkeitsreibung, richtiger Werkstoffwahl und einwandfreier Wartung praktisch eine unbegrenzte Lebensdauer. Gleitlager knnen auch bei sehr hohen und bei niedrigen Gleitgeschwindigkeiten eingesetzt werden. Der Aufbau ist relativ einfach und der Platzbedarf gering. Sie knnen ungeteilt, aber auch geteilt ausgefhrt werden, was den Ein- und Ausbau stark vereinfacht. Nachteilig sind bei Gleitlagern das hohe Anlaufreibmoment und der verschleißbehaftete Betrieb bei niedrigen Drehzahlen (Ausnahme: hydrostatische Gleitlager) und die hhere Reibung gegenber Wlzlagern. Gleitlager werden in Maschinen und Gerten jedweder Art verwendet. Hauptschlich werden Gleitlager u. a. in folgenden Anwendungen genutzt: Verbrennungsmotoren (Kurbelwellen-, Pleuel-, Kolbenbolzen- und Nockenwellenlager), Kolbenverdichter und -pumpen, Getriebe, Dampf- und Wasserturbinen, Generatoren, Kreisel- und Zahnradpumpen, Werkzeugmaschinen, Schiffe, Walzwerke, Pressen, aber auch in Fhrungen und Gelenken (hufig bei Mischreibung und trockener Reibung) bei niedrigen Geschwindigkeiten, in der Land- und Hauswirtschaftstechnik, Brotechnik und Unterhaltungselektronik.
5.1.2 Wirkungsweise Fr eine hydrodynamische Schmierung sind ein sich verengender Schmierspalt, ein viskoser, an den Oberflchen haftender Schmierstoff und eine Schmierstofffrderung in Richtung des sich verengenden Spaltes erforderlich. Wird gengend
Grundlagen
G 89
Fr ¼Nr ¼ 2 p nqr ðM0r þ M1r Þ ¼ 3 þ f1r p1r dm Þ, s: Gl: ð19Þ 2 p nqr ð107 f0r ðv nÞ2=3 dm
ð24Þ
Die Referenzdrehzahl nq r ergibt sich als Lsung dieser Gleichungen. (Berechnung der Grenzdrehzahl fr eine Betriebstemperatur von 70 C bei beliebigen Betriebszustnden durch Einsetzen der zugehrigen Werte). Bei lumlaufschmierung wird zustzlich ein Wrmestrom Fl ¼ V_ l c rðTA TE Þ ber das l abgefhrt, daher im Referenzzustand: Nr ¼ Fr þ Fl
ð25Þ
mit: V_ l Volumenstrom, c spezifische Wrmekapazitt (1,7 bis 2,4 kJ/(kg K)) und r Dichte des ls, TA laustritts- und TE leintrittstemperatur.
Schmierstoff in den konvergierenden Spalt gefrdert, kommt es zu einer vollkommenen Trennung der Oberflchen durch den Schmierstoff. Bei zylindrischen Radialgleitlagern wird der sich verengende Schmierspalt ohne weitere Maßnahmen durch die Exzentrizitt der Welle im Lager erzeugt. Sie stellt sich so ein, dass das Integral der Druckverteilung ber der Lagerflche mit der ußeren Lagerkraft im Gleichgewicht steht, Bild 1. Bei Mehrgleitflchenlagern (Radiallager mit Mehrkeilbohrungen und Kippsegmentlager) werden konvergierende Spalte durch spezielle Spaltformen realisiert. Selbst im unbelasteten bzw. sehr niedrig belasteten Zustand, d. h. bei zentrischer Wellenlage im Lager, weist die Welle gegenber den Gleitflchen jeweils die Herstellungs-Exzentrizitt eman auf, sodass sich selbst bei diesem Betriebsfall Tragdrcke im Schmierspalt ausbilden, die die Welle zentrieren. Bei Last verlagert sich dann die Welle um die Exzentrizitt e gegenber dem Schalenmittelpunkt, Bild 14.
Bild 1. Zylindrisches Radialgleitlager (schematisch) mit Druckverteilung. F Lagerkraft, wF Winkelgeschwindigkeit der Lagerkraft, wJ Winkelgeschwindigkeit der Welle, wB Winkelgeschwindigkeit des Lagers, DJ Wellendurchmesser, D Lager-Nenndurchmesser (Lagerinnendurchmesser), B Lagerbreite, h ðjÞ Schmierspalthhe, hmin kleinste Schmierspalthhe (minimale Schmierfilmdicke), e Exzentrizitt, p ðj; zÞ Druckverteilung im Schmierfilm, pmax grßter Schmierfilmdruck, p spezifische Lagerbelastung, b Verlagerungswinkel (Winkel zwischen der Lage der Wellenzapfen – Exzentrizitt e und der Lastrichtung), j und z Koordinaten
G
G 90
G
Mechanische Konstruktionselemente – 5 Gleitlagerungen
Bei Axialgleitlagern wird der konvergierende Spalt beispielsweise durch Keilflchen, die in einer feststehenden Spurplatte eingearbeitet sind, oder durch mehrere unabhngig voneinander kippbewegliche Gleitschuhe sichergestellt (Bild 7 und 8). Bei hydrostatischer Schmierung werden in die Lagerschale (Radiallager; Bild 17) bzw. in die Spurplatte (Axiallager; Bild 18) Taschen eingebracht, in die von außen ein Fluid mit Druck eingepresst wird. Der Schmierstoffdruck, der außerhalb des Lagers durch eine Pumpe erzeugt wird, sorgt fr die Tragfhigkeit des Lagers. Bei Feststoffschmierung wird ein gewisser Verschleiß bentigt, um den im Lagerwerkstoff eingebundenen Festschmierstoff (z. B. PTFE, Graphit) oder den Lagerwerkstoff selbst (z. B. PA, POM) freizusetzen, wenn dieser als Schmierstoff wirken soll. Der Festschmierstoff wird besonders beim Einlauf auf den Gegenkrper bertragen und setzt dort die Rauheitstler zu (Transferschicht), sodass bei gnstigen Bedingungen der Kontaktbereich vollstndig mit Festschmierstoff gefllt ist. 5.1.3 Reibungszustnde Die im Bild 2 dargestellte Stribeck-Kurve gibt einen guten berblick ber die in Gleitlagern vorkommenden Reibungszustnde. Es wird der Zusammenhang zwischen der Reibungszahl f und dem bezogenen Reibungsdruck hwJ =p gezeigt. Die Reibungszahl f ist definiert als f ¼ Ff =F mit Ff als Reibungskraft und F als Lagerkraft. Beim Anfahren aus dem Stillstand wird zunchst das Gebiet der Grenzreibung durchlaufen, da die Oberflchen in der Regel wenigstens mit einem molekularen, vom Schmierstoff stammenden Film bedeckt sind. Das Reibungsverhalten wird hier von den Werkstoffen und den Oberflchenrauigkeiten der Reibpartner sowie von den molekularen Oberflchenfilmen bestimmt. Mit zunehmender Gleitgeschwindigkeit wird die Schmierung mehr und mehr wirksam. Bei Mischreibung liegen Grenz- und Flssigkeitsreibung nebeneinander vor. Die Reibungszahl f erreicht innerhalb des Mischreibungsbereichs bei A ein Minimum. Der bergang von der Mischreibung in den Zustand der Flssigkeitsreibung erfolgt erst bei B. Nur bei Flssigkeitsreibung findet eine vollkommene Trennung der Oberflchen durch den Schmierfilm statt, sodass kein Verschleiß auftritt. Der Betriebspunkt C sollte von B weit genug entfernt liegen, damit beim An- und Auslauf die zu Verschleiß fhrenden Gebiete der Misch- und Grenzreibung mglichst schnell durchfahren werden und sich das Lager nicht zu stark erwrmt.
5.2 Berechnung hydrodynamischer Gleitlager 5.2.1 Stationr belastete Radialgleitlager Die Berechnung basiert auf numerischen Lsungen der Reynoldsschen Differentialgleichung fr ein vollumschlossenes Lager mit endlicher Lagerbreite 1 ¶ ¶ ¶h 3 ¶p 3 ¶p h h ð1Þ þ ¼ 6heff weff ¶j ¶z ¶z ¶j ðDJ =2Þ2 ¶j (Bezeichnungen nach Bild 1, ferner weff ¼ wJ þ wB 2wF als effektive Winkelgeschwindigkeit mit wF als Winkelgeschwindigkeit der konstanten Lagerlast und wJ und wB als Winkelgeschwindigkeiten von Welle und Lager, heff als effektive dynamische Viskositt des Schmierstoffs und h ¼ ðD=2Þyeff ð1 þ e cos jÞ als idealisierte Spalthhe ohne Bercksichtigung von Deformationen und Rauigkeiten mit yeff als effektives relatives Lagerspiel und e ¼ 2e=ðD DJ Þ als relative Exzentrizitt). Die Lsungen gelten fr in Betrag und Richtung konstante Belastungen, wobei sowohl die Welle als auch das Lager mit gleichfrmiger Geschwindigkeit rotieren knnen. Außerdem knnen Flle berechnet werden, bei denen eine konstante Last mit der Winkelgeschwindigkeit wF umluft (z. B. Unwuchtkraft). Im Schmierfilm tritt Turbulenz auf, wenn die Reynoldszahl pffiffiffiffiffiffiffiffi Re ¼ rweff DJ ðD DJ Þ=ð4heff Þ 41; 3= yeff ð2Þ ist mit r als der Dichte des Schmierstoffs [1]. Es entstehen dann hhere Reibungsverluste und infolgedessen hhere Lagertemperaturen. Andererseits kann die Tragfhigkeit steigen. Lager mit turbulenten Strmungsverhltnissen im Schmierfilm lassen sich mit dem nachfolgend aufgefhrten Berechnungsverfahren nur nherungsweise auslegen. Spezifische Lagerbelastung, relative Lagerbreite, effektives relatives Lagerspiel und dynamische Viskositt des Schmierstoffs Zur Beurteilung der mechanischen Beanspruchung der Lagerwerkstoffe wird bei Radialgleitlagern die Lagerkraft F auf die projizierte Lagerflche BD bezogen und die spezifische Lagerbelastung p ¼ F=ðBDÞ gebildet, die dann anhand der zulssigen spezifischen Lagerbelastung plim aus Anh. G 5 Tab. 1 zu berprfen ist. Fr die relative Lagerbreite B ¼ B=D werden im Allgemeinen Werte von B=D ¼ 0; 2 bis 1 gewhlt. Bei Konstruktionen mit B=D > 1 sollte eine Einstellbarkeit der Lager vorgesehen werden, um der Gefahr von Kantenpressungen vorzubeugen. Das sich in Betrieb einstellende effektive Lagerspiel CD, eff ¼ Deff DJ; eff mit den im Betrieb auftretenden effektiven Lagerinnen- und Wellendurchmessern Deff und DJ, eff beeinflusst das Betriebsverhalten von Radialgleitlagern. Richtwerte fr das effektive relative Lagerspiel yeff ¼ CD, eff =Deff werden hufig berschlagsmßig nach [2] in Abhngigkeit von der Umfangsgeschwindigkeit der Welle UJ mit Hilfe der Bepffiffiffiffi ziehung yeff , rec ¼ 0,8 4 U J mit UJ in m/s und yeff , rec in ‰ abgeschtzt. Erfahrungsrichtwerte fr yeff sind auch in Anh. G 5 Tab. 2 zu finden. Das sich aufgrund von Passungen und Einbauverhltnissen nach dem Einbau ergebende mittlere re kann berechnet werden aus lative Lagerpiel y ¼ 0; 5ðymax þ ymin Þ y
Bild 2. Stribeck-Kurve (schematisch). f Reibungszahl, h Schmierstoffviskositt, wJ Winkelgeschwindigkeit der Welle, p spezifische pÞtr bezogeLagerbelastung, ðhw= pÞ bezogener Reibungsdruck, ðhwJ = ner Reibungsdruck beim bergang von Misch- zur Flssigkeitsreibung
ð3Þ
mit dem maximalen relativen Lagerspiel ymax ¼ ðDmax Þ=D und dem minimalen relativen Lagerpiel ymin ¼ D J;min Dmin DJ; max =D. DJ; max und DJ; min beschreiben den maximalen und minimalen Wellendurchmesser aufgrund der Fertigungstoleranz. Dmax und Dmin reprsentieren den maximalen und minimalen Innendurchmesser des Lagers, wobei die Werte gelten, die sich nach dem Einbau bei Umgebungstemperatur einstellen. Fr die Berechnung von Radialgleitlagern ist
I5.2
Berechnung hydrodynamischer Gleitlager
G 91
jedoch nicht das mittlere relative Lagerspiel im Einbauzustand, das sog. Kaltspiel, von Interesse, sondern das effektive relative Lagerspiel yeff , das sich bei der effektiven Schmierfilmtemperatur Teff im Betrieb ergibt. yeff kann aus yeff ¼ þ Dyth bestimmt werden, wenn die thermische nderung y des relativen Lagerspiels Dyth bekannt ist. Knnen sich Welle und Lager frei ausdehnen, wird mit den linearen Wrmeausdehnungskoeffizienten al, J und al; B und den Temperaturen TJ und TB von Welle und Lager und der Umgebungstemperatur Tamb die thermische nderung des relativen Lagerspiels Dyth ermittelt aus Dyth ¼ al, B ðTB Tamb Þ al, J ðTJ Tamb Þ:
ð4Þ
Es kann aber auch der Fall auftreten, dass sich der Wellendurchmesser infolge Erwrmung vergrßert, whrend sich das Lager im klteren Maschinenrahmen nur nach innen ausdehnen kann und zuwchst. Die nderung des relativen Lagerspiels ergibt sich dann mit der Lagerwanddicke s zu Dyth ¼ 2al, B ðs=DÞðTB Tamb Þ þ al; J ðTJ Tamb Þ : ð5Þ Nherungsweise kann in Gl. (4) und (5) TJ TB Teff gesetzt werden. Neben den zuvor aufgefhrten geometrischen Lagerkenngrßen ist fr die Lagerberechnung auch die Kenntnis der im Betrieb auftretenden dynamischen Viskositt des Schmierstoffs erforderlich. Wenn der Schmierstoff gegeben ist und die effektive Temperatur entweder bekannt ist oder zunchst geschtzt wird, kann die Schmierstoffviskositt nach der Beziehung h ¼ a exp ½b=ðT þ 95Þ
G
Bild 3. Sommerfeldzahl So fr vollumschlossene Radialgleitlager in Abhngigkeit von B=D und e nach DIN 31652
ð6Þ
von Vogel berechnet werden mit der Schmierstofftemperatur T in C. Fr die Konstanten werden in [3] unter Bercksichtigung der Dichte r15 (bei 15 C in kg/m3) und des ISO-Viskosittsgrades VG nach DIN 51 519 folgende Beziehungen angegeben: a ¼ h40 expðb=135Þ mit h40 ¼ 0,98375 106 r15 VG, b ¼ 159,55787 ln ðh40 =0,00018Þ; h40 ist die dynamische Viskositt in Pas bei T ¼ 40 C (Nennviskositt). Bei Gleitlagern kann die Abhngigkeit der Viskositt vom Druck im Allgemeinen vernachlssigt werden. Tragfhigkeit Die Tragfhigkeit von hydrodynamischen Radialgleitlagern kann mit Hilfe der dimensionslosen Sommerfeldzahl So ¼ py2eff =ðheff weff Þ
ð7Þ
beschrieben werden. Wenn die relative Exzentrizitt e mittels So und B=D anhand von Bild 3 bestimmt wird, kann anschließend die minimale Schmierfilmdicke hmin berechnet werden: hmin ¼ ðD=2Þyeff ð1 eÞ:
ð8Þ
Um Verschleiß zu vermeiden, sollte die im Betrieb auftretende minimale Schmierfilmdicke hmin grßer als die zulssige minimale Schmierfilmdicke im Betrieb hlim sein ðhmin > hlim Þ. Erfahrungsrichtwerte fr hlim knnen Anh. G 5 Tab. 3 oder der VDI-Richtlinie 2204 entnommen werden. Die Lage der kleinsten Schmierspalthhe im Lager wird durch den Verlagerungswinkel b angegeben, Bild 4. Die Verlagerung des Wellenmittelpunktes liegt angenhert auf einem Halbkreis, dem sog. Gmbelschen Halbkreis. Reibung Die Reibung ergibt sich aus der Scherung des Schmierstoffes im Schmierspalt und kann mit Hilfe des Newtonschen Schubspannungsansatzes t ¼ hðUJ UB =h ermittelt werden.
Bild 4. Verlagerungswinkel b fr vollumschlossene Radialgleitlager in Abhngigkeit von B=D und e nach DIN 31 652
Die im Radialgleitlager anfallende Reibungsleistung wird berechnet mit der Gleichung Pf ¼ f F ðU J UB Þ:
ð9Þ
Die auf das effektive relative Lagerspiel yeff bezogene Reibungszahl f ist im Anh. G 5 Bild 1 dargestellt. Sie lsst sich nach [4] auch nherungsweise aus pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ð10Þ f =yeff ¼ p=ðSo 1e2 Þ þ ðe=2Þ sinb bestimmen. Die im Lager entstehende Reibungsleistung ist eine Verlustleistung und wird nahezu vollstndig in Wrme umgewandelt. Schmierstoffdurchsatz Der Schmierstoff im Lager soll einen tragfhigen Schmierfilm bilden, der die beiden Gleitflchen mglichst vollstndig voneinander trennt. Infolge der Druckentwicklung im Schmierfilm fließt Schmierstoff an beiden Seiten des Lagers ab, der durch dem Spaltraum neu zugefhrten Schmierstoff
G 92
Mechanische Konstruktionselemente – 5 Gleitlagerungen
ersetzt werden muss. Fr diesen Anteil Q3 des Schmierstoffdurchsatzes gilt nach DIN 31 652: Q3 ¼ D3 yeff weff Q3 :
ð11Þ Q3
Die Schmierstoffdurchsatz-Kennzahl fr den durch den hydrodynamischen Druckaufbau bewirkten Seitenfluss ist Anh. G 5 Bild 2 zu entnehmen. Die Zufuhr von Q3 kann drucklos erfolgen. Wenn der Schmierstoff mit dem Druck pen zugefhrt wird, erhht sich der Schmierstoffdurchsatz, was sich gnstig auf den Wrmetransport aus dem Lager auswirkt. Dieser Anteil Qp des Schmierstoffdurchsatzes infolge Zufhrdrucks ergibt sich nach DIN 31 652 aus Qp ¼ D3 y3eff pen Qp =heff
G
ð12Þ Qp
mit der Schmierstoffdurchsatz-Kennzahl infolge Zufhrdrucks, die je nach Schmierstoff-Zufhrungselement (Schmierloch, Schmiernut oder Schmiertasche) mit Hilfe von Anh. G 5 Tab. 4 bestimmt werden kann. Der Schmierstoffzufhrdruck pen liegt blicherweise zwischen 0,5 und 5 bar, damit hydrostatische Zusatzbelastungen vermieden werden. Bei Verwendung einer umlaufenden Ringnut entstehen zwei unabhngige Druckberge, Bild 5. Die Berechnung wird hier je Lagerhlfte mit der halben Belastung durchgefhrt. Bei der Wrmebilanz ist von Q3 nur der halbe Wert einzusetzen, da der Schmierstoff, der in die Ringnut strmt, nicht an der Wrmeabfuhr teilnimmt. Bei Verwendung von Schmiertaschen sollte die relative Taschenbreite bP =B < 0; 7 : : : 0; 8 sein. Der gesamte Schmierstoffdurchsatz betrgt bei druckloser Schmierung Q ¼ Q3 und bei Druckschmierung Q ¼ Q3 þ Qp . Wrmebilanz Zur Berechnung der Tragfhigkeit und der Reibung ist die im Betrieb auftretende effektive Schmierstoffviskositt erforderlich, die wiederum von der effektiven Schmierstofftemperatur abhngt. Diese resultiert aus der Wrmebilanz von im Lager erzeugter Reibungsleistung und den abfließenden Wrmestrmen. Bei drucklos geschmierten Lagern, z. B. bei Ringschmierung, wird die Wrme hauptschlich durch Konvektion an die Umgebung abgefhrt. Lager mit Umlaufschmierung geben die Wrme vorwiegend durch den Schmierstoff ab. Fr die Lagertemperatur TB gilt bei reiner Konvektionskhlung TB ¼ ½Pf =ðkA AÞ þ Tamb
ð13Þ
mit dem der Flche A zugeordneten ußeren Wrmedurchgangskoeffizienten kA . Bei freier Konvektion (Luftgeschwindigkeit wamb > 1 m=s) betrgt kA ¼ ð15 : : : 20Þ W=ðm2 K Þ,
wobei der untere Wert fr Lager im Maschinengehuse gilt [4]. Bei Anstrmung des Lagergehuses mit Luft (erzwungene Konvektion) mit einer Geschwindigkeit wamb > 1; 2 m=s pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi kann kA berechnet werden aus kA 7 þ 12 wamb mit wamb in m/s. Bei zylindrischen Lagergehusen kann die wrmeabgebende Oberflche A aus A ðp=2ÞðD2H D2 Þ þ pDH BH mit dem Gehusedurchmesser DH und der axialen Gehusebreite BH bestimmt werden, bei Stehlagern nherungsweise aus A ¼ pH ðBH þ H=2Þ mit der Stehlagergesamthhe H und bei Lagern im Maschinenverband berschlagsmßig aus A = (15 . . . 20) BD. Die effektive Schmierstofftemperatur Teff kann bei Wrmeabfuhr durch Konvektion angenhert gleich der Lagertemperatur gesetzt werden ðTeff ¼ TB Þ: Bei Umlaufschmierung werden i. Allg. die Schmierstofftemperatur am Eintritt ins Lager Ten , der Schmierstoffzufhrdruck pen und die Art des Zufhrungselements mit der entsprechenden Geometrie vorgegeben. Bestimmt werden mssen der gesamte Schmierstoffdurchsatz durchs Lager Q ¼ Q3 þ Qp nach Gl. (11) und (12), die Schmierstofftemperatur beim Austritt aus dem Lager Tex und die effektive Schmierstofftemperatur Teff . Die beiden Temperaturen Tex und Teff werden ermittelt aus Tex ¼ Pf = cp r Q þ Ten ð14Þ und Teff ¼ ðTen þ Tex Þ=2:
ð15Þ
Die volumenspezifische Wrmekapazitt des Schmierstoffs cp r weist fr Minerall einen Wert von ungefhr cp r ¼ 1; 8 106 Nm=ðm3 KÞ auf. Bei hohen Umfangsgeschwindigkeiten empfiehlt es sich, anstelle des Mittelwertes fr Teff einen Wert zu whlen, der nher an Tex liegt. Da bei steigender Lagertemperatur Hrte und Festigkeit der Lagerwerkstoffe abnehmen, was sich besonders stark bei Pb- und Sn-Legierungen bemerkbar macht, und bei Temperaturen ber 80 C mit einer verstrkten Alterung der Schmierstoffe auf Minerallbasis zu rechnen ist, sollte sichergestellt werden, dass TB und Tex die hchstzulssige Lagertemperatur Tlim aus Anh. G 5 Tab. 5 nicht berschreiten. Im Berechnungsablauf zur Bestimmung von Teff sind am Anfang hufig nur Tamb und Ten bekannt. Zunchst werden daher je nach Wrmeabgabebedingung TB oder Tex geschtzt (Empfehlung: TB ¼ Tamb þ 20 C und T ex ¼ T en þ 20C). Aus der Wrmebilanz ergibt sich dann ein neuer Wert fr TB bzw. Tex ; der durch Mittelwertbildung mit dem zuvor zugrunde gelegten Temperaturwert solange iterativ korrigiert wird, bis in der Rechnung die Differenz zwischen Ein- und Ausgangswert akzeptabel ist. Betriebssicherheit
Bild 5. Radialgleitlager (schematisch) mit Druckverteilung in Breitenrichtung bei Schmierstoffzufuhr durch eine umlaufende Schmiernut
Wird ein Radialgleitlager mit variierenden Betriebsparametern betrieben, so ist zu beachten, ob der Wechsel von einem Betriebszustand zum nchsten allmhlich oder innerhalb einer kurzen Zeitspanne stattfindet. Wenn beispielsweise auf einen Betriebszustand mit hoher thermischer Belastung unmittelbar ein anderer mit hohem p und niedrigem weff folgt, sollte der neue Betriebspunkt auch mit den Viskositts- und Lagerspieldaten des vorhergehenden Falls berechnet werden. Der bergang in die Mischreibung kann durch die mindestzulssige bergangsschmierfilmdicke hlim, tr gekennzeichnet werden. Diese kann aus den Mittelwerten der quadratischen Rauheits-Mittelwerte Rq, J und Rq, B von Welle und Lager, der Verkantung und Durchbiegung der Welle qB=2 bzw. fb =2 innerhalb der Lagerbreite mit dem Verkantungswinkel q im Bogenmaß und der Durchbiegung fb und den effektiven Welligkeitsamplituden wt, J und wt, B von Welle und Schale ermittelt
I5.2
Berechnung hydrodynamischer Gleitlager
G 93
werden und hngt vom Einlaufzustand ab. Es gilt: qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi hlim, tr ¼ 3 R2q, J þ R2q, B þ wt, J þ wt, B þ fb =2 þ qB=2 ð16Þ Mit bekanntem hlim, tr kann dann nach [5] die Gleitgeschwindigkeit fr den bergang in die Mischreibung Utr nherungsweise aus folgender Gleichung bestimmt werden: pyeff hlim, tr Utr ¼ ð17Þ i2=3 pffiffiffi pffiffiffi h pD=ðErsl hlim, tr Þ heff 3=2 1 þ 2 mit dem resultierenden Elastizittsmodul Ersl aus 1=Ersl ¼ ð1=2Þ 1 v2J =EJ þ 1 v2B =EB , wobei EJ und EB die E-Module von Welle und Lager darstellen und vJ und uB die dazugehrigen Querkontraktionszahlen. Dabei wird bercksichtigt, dass sich infolge elastischer Deformationen die tragende Druckzone in Umfangsrichtung vergrßert und sich in diesem Bereich ebenfalls das effektive Lagerspiel verringert, was sich beides tragfhigkeitssteigernd auswirkt. Das Lager sollte so ausgelegt werden, dass Utr < Ulim, tr , die zulssige Gleitgeschwindigkeit fr den bergang in die Mischreibung, ist. Fr Ulim, tr gilt nach [6]: Ulim, tr ¼ 1 m/s fr U > 3 m/s und Ulim, tr ¼ U=3 fr U < 3 m/s. Um die Erwrmung des Lagerwerkstoffs beim hufigeren Durchfahren des Mischreibungsgebiets im zulssigen Bereich zu halten, sollte nach [5] fr den Bereich 0; 5 m=s < U tr < 1 m=s der Grenzwert ðpUtr Þlim ¼ 25 105 W=m2 nicht berschritten werden. Fr Utr < 0; 5 m=s sollte die Bedingung p 5 N=mm2 eingehalten werden, weil sonst die Werkstofffestigkeit infolge zu großer spezifischer Lagerbelastung und zu hoher Reibflchentemperaturen bertroffen wird. 5.2.2 Radialgleitlager im instationren Betrieb Bei instationr belasteten Radialgleitlagern sind Lagerkraft (Betrag und Richtung) und effektive Winkelgeschwindigkeit weff von der Zeit abhngig. Demzufolge hngen auch Tragfhigkeit, Reibung, Schmierstoffdurchsatz und effektive Schmierstofftemperatur von der Zeit ab. Wenn sich Lagerkraft und effektive Winkelgeschwindigkeit periodisch ndern, wie z. B. in Lagern von Kolbenmaschinen, zeigt die Verlagerungsbahn des Wellenmittelpunktes einen geschlossenen Verlauf. Zur Berechnung von instationr belasteten Radialgleitlagern wird die Reynoldssche Differentialgleichung (Gl. (1)) auf der rechten Seite um das Glied 12¶ h=¶ t erweitert, denn neben den Drehbewegungen treten hier auch Verdrngungsbewegungen in radialer Richtung auf. Zur Lsung der Differentialgleichung kann z. B. das Verfahren der berlagerten Traganteile eingesetzt werden [7, 8]. Zur Berechnung der Wellenmittelpunktsbahn wird dabei hufig auf Nherungsfunktionen nach [9] fr die Sommerfeldzahl der Drehung SoD und die der Verdrngung SoV zurckgegriffen. Bei periodischer Lagerbelastung wird die Iteration solange durchgefhrt, bis sich eine geschlossene Verlagerungsbahn ergibt. 5.2.3 Stationr belastete Axialgleitlager Der zur hydrodynamischen Druckentwicklung erforderliche konvergierende Spalt wird bei Axialgleitlagern dadurch erzeugt, dass beispielsweise Keilflchen in feststehende Spurplatten eingearbeitet oder mehrere unabhngig voneinander kippbewegliche Gleitschuhe (segment- oder kreisfrmig) eingesetzt werden, bei denen sich, je nach Wahl der Untersttzungsstelle, der Lagerkonstruktion und der Betriebsbedingungen, die Neigung der Gleitschuhe und die kleinste Schmierspalthhe am Schmierspaltaustritt oder kurz davor selbststndig einstellt, Bilder 6, 7 und 8. Zwischen den Lagersegmen-
G
Bild 6 a–c. Ausfhrungsvarianten fr Axialgleitlager. a kippbeweglicher segmentfrmiger Gleitschuh fr eine Drehrichtung mit starrer kugelfrmiger Absttzung und Schmierlversorgung mittels Einspritzung zwischen den Gleitschuhen; b kippbeweglicher kreisfrmiger Gleitschuh fr gleichbleibende und wechselnde Drehrichtung mit elastischer Absttzung ber eine Tellerfeder (d Durchmesser des Kreisgleitschuhs); c kippbeweglicher segmentfrmiger Gleitschuh fr gleichbleibende und wechselnde Drehrichtung mit elastischer Absttzung
ten angeordnete Freirume dienen der Schmierstoffzufuhr. Mittig untersttzte Gleitschuhe sind fr beide Drehrichtungen geeignet, weisen aber gegenber den im optimalen Bereich abgesttzten Gleitschuhen eine geringere Tragfhigkeit und eine hhere Reibung auf. Bei Kippsegmentlagern wirken sich im Betrieb auftretende Verformungen der Gleitschuhe aufgrund von Schmierfilmdrcken und Temperaturunterschieden zwischen Gleitschuhober- und -unterseite tragfhigkeitsmindernd, aber reibungssenkend aus. Die Auswahl der Lagerbauart hngt von den Betriebsbedingungen ab. Bei hohen Flchenpressungen und hufigem Anund Auslaufen unter Last sind Kippsegmentlager zu bevorzugen, da sich die Keilneigung, den Betriebsbedingungen entsprechend, selbstndig einstellt und die Segmente im Stillstand parallel zur Spurscheibe stehen. Um bei Segmentlagern mit fest eingearbeiteten Keilflchen im Stillstand das Gewicht des Rotors und eventuell eine zustzliche Lagerkraft aufnehmen zu knnen, sollte bei allen Lagersegmenten eine Rastflche vorgesehen werden. Wenn keine nennenswerten Axialkrfte aufzunehmen sind, werden hufig ebene Anlaufbunde ohne eingearbeitete Keilflchen eingesetzt, die zur sicheren Versorgung mit Schmierstoff und zur besseren Khlung mit radial verlaufenden Nuten versehen sind. Geringfgige thermisch bedingte ballige Wlbungen bewirken dann eine – allerdings geringe – hydrodynamische Tragfhigkeit.
G 94
Mechanische Konstruktionselemente – 5 Gleitlagerungen
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Bild 7. Axialkippsegmentlager (schematisch) mit Druckverteilung. pðx; zÞ Druckverteilung im Schmierfilm, U Gleitgeschwindigkeit auf dem mittleren Gleitdurchmesser, D mittlerer Gleitdurchmesser, Di Innendurchmesser der Gleitflche, Do Außendurchmesser der Gleitflche, B Segmentbreite, L Segmentlnge in Umfangsrichtung, aF Abstand der Untersttzungsstelle vom Spalteintritt in Umfangsrichtung, Cwed Keiltiefe, hmin kleinste Schmierspalthhe, x; y und z Koordinaten
Bild 8. Axialsegmentlager mit fest eingearbeiteten Keil- und Rastflchen (schematisch) mit Druckverteilung. pðx; zÞ Druckverteilung im Schmierfilm, U Gleitgeschwindigkeit auf dem mittleren Gleitdurchmesser, D mittlerer Gleitdurchmesser (mittlerer Tragringdurchmesser), Do Tragringaußendurchmesser, Di Tragringinnendurchmesser, B Segmentbreite, L Segmentlnge in Umfangsrichtung, lwed Keillnge, Cwed Keiltiefe, hmin kleinste Schmierspalthhe, x; y und z K
Nachfolgend werden Kippsegmentlager (Bild 7) und Segmentlager mit fest eingearbeiteten Keil- und Rastflchen (Bild 8) behandelt. Bei Letzteren soll das Verhltnis von Keilflchenlnge lwed zu Segmentlnge L den optimalen Wert lwed =L ¼ 0; 75 aufweisen [10] . Es wird außerdem davon ausgegangen, dass die Oberflchen eben sind und sich im Betrieb nicht verformen. Wenn die Reynoldszahl Re ¼ rUhmin =heff grßere Werte als die kritische Reynoldszahl aufweist, liegen turbulente Strmungsverhltnisse vor, ansonsten laminare (Recr ¼ 600 fr Keilspalte mit hmin =Cwed ¼ 0,8). Das nachfolgend beschriebene Berechnungsverfahren ist fr turbulente Strmung im Schmierspalt nur begrenzt anwendbar. Untersttzungsstelle Bei Kippsegmentlagern werden durch die Wahl des relativen Abstands der Untersttzungsstelle aF ¼ aF =L vom Spalteintritt in Bewegungsrichtung und der relativen Lagerbreite B/L sowohl die bezogene minimale Schmierfilmdicke hmin =Cwed als auch die Tragfhigkeits-, Reibungs- und Schmierstoffdurchsatz-Kennzahl festgelegt. Diese Werte ndern sich auch bei wechselnden Betriebsbedingungen nicht im Gegensatz zu Segmentlagern mit fest eingearbeiteten Keilflchen, bei denen sich neben der bezogenen minimalen Schmierfilmdicke (anderes hmin ) auch alle anderen Kennzahlen den wechselnden Bedingungen anpassen. Die Lage der Untersttzungsstelle aF sollte anhand von Bild 9 so gewhlt werden, dass hmin =Cwed ¼ 0; 5 . . . 1,2 (optimal 0,8) betrgt, wenn hohe Tragfhigkeit gewnscht wird, oder dass hmin =Cwed Werte von 0,25 bis 0,4 aufweist, wenn hoher Schmierstoffdurchsatz zur Khlung bentigt wird. Tragfhigkeit Die Tragfhigkeit von hydrodynamischen Axialgleitlagern ist auf die sich in den Schmierspalten bildenden Druckverteilungen zurckzufhren. Die Tragfhigkeit von Axialkippsegmentlagern wird durch die dimensionslose Tragkraftkennzahl F bestimmt: F ¼ p h2min =ðheff ULÞ:
ð18Þ
Bild 9. Bezogene Untersttzungsstelle aF fr Axialkippsegmentlager in Abhngigkeit von B=L und hmin =Cwed nach DIN 31 654
Da bei Segmentlagern mit fest eingearbeiteten Keil- und Rastflchen zu Beginn der Auslegung weder hmin noch heff und F bekannt sind und um eine zweifache Iteration ber hmin und Teff zu vermeiden, wird F nach DIN 31 653 zur Tragkraftkennzahl fr Segmentlager FB modifiziert: FB ¼ F ðCwed =hmin Þ2 ¼ pC2wed =ðheff ULÞ:
ð19Þ
F und FB sind im Bild 10 bzw. Bild 11 dargestellt, und zwar abhngig von hmin =Cwed und dem Verhltnis von Segmentbreite zu Segmentlnge B=L: Fr die Segmente werden Werte von B=L ¼ 0; 75 . . . 1,5 (meist B=L 1; 0) gewhlt. Grßere B=L-Werte wirken sich i. Allg. gnstig auf das Temperaturniveau im Schmierfilm aus. Die spezifische Lagerbelastung p berechnet sich aus p ¼ F=ðZBLÞ mit der Segmentanzahl Z , wobei diese je nach Lagergrße i. Allg. zwischen Z=4 und Z=12 liegt. p sollte p hlim nach Anh. G 5 Tab. 6 ist. Richtwerte fr die mindestzulssige Schmierfilmdicke im Betrieb hlim knnen nach DIN 31 653 und DIN 31 654 auch aus der Beziehung pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi hlim ¼ C UDFst =F 105 gewonnen werden mit U in m/s, D in m und der im Stillstand auftretenden Belastung Fst in N. Wenn hlim 1; 25 hlim; tr wird, so ist die Beziehung hlim ¼ 1; 25 hlim; tr zu verwenden, wobei hlim, tr die minimale Schmierfilmdicke fr den bergang von Misch- zur Flssigpffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi keitsreibung darstellt und aus hlim, tr ¼ C DRz=12 000 berechnet wird mit dem mittleren Gleitdurchmesser D und der gemittelten Rautiefe der Spurscheibe Rz jeweils in m: In den Beziehungen fr hlim und hlim, tr ist fr Kippsegmentlager C ¼ 1 und fr Segmentlager C ¼ 2 zu setzen. Reibung Die Reibung von hydrodynamischen Axialgleitlagern resultiert aus der Scherung des Schmierstoffes in den Schmierspalten. Die in den Gleitschuhzwischenrumen auftretende Reibung wird vernachlssigt. Die Reibungsverluste von Axialkippsegmentlagern lassen sich mit Hilfe der Reibungskennzahl f erfassen: f ¼ f p hmin =ðheff UÞ:
ð20Þ
Fr Segmentlager gilt entsprechend: fB ¼ f ðC wed =hmin Þ ¼ f pCwed =ðheff UÞ:
ð21Þ
fB
Die Kennzahlen f und sind im Anh. G 5 Bild 3 bzw. Anh. G 5 Bild 4 aufgezeichnet. Fr die Reibungsleistung ergibt sich bei Kippsegmentlagern Pf ¼ f heff U 2 ZBL=hmin und bei Segmentlagern Pf ¼ fB heff U 2 ZBL=Cwed . Schmierstoffdurchsatz
Bild 11. Tragfhigkeitskennzahl FB fr Axialsegmentlager mit fest eingearbeiteten Keil- und Rastflchen in Abhngigkeit von B=L und hmin =Cwed nach DIN 31 653
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi schlagsmßig mit L F=½plim Z ðB=LÞ dimensioniert. Der mittlere Gleitdurchmesser D ergibt sich aus D ¼ ZL=ðpfÞ mit dem Ausnutzungsgrad der Gleitflche f ¼ ZBL=ðpDBÞ 0; 8: Ausnutzungsgrade kleiner als f ¼ 0; 8 senken in der Regel die Lagertemperatur ab. Mit der Winkelgeschwindigkeit der Spurscheibe w wird die mittlere Gleitgeschwindigkeit U aus U ¼ ðD=2Þw bestimmt. Bei vorgegebenem Schmierstoff und bekannter oder geschtzter effektiver Schmierstofftemperatur im Schmierfilm Teff kann die effektive Schmierstoffviskositt heff mit Gl. (6) berechnet werden. Bei Wahl von aF kann un-
Von dem an jedem Segment mit der Temperatur T1 in den Schmierspalt eintretenden Schmierstoffstrom Q1 wird an beiden Seiten der Segmente infolge des hydrodynamischen Druckaufbaus jeweils der Teil Q3 =2 mit der Temperatur ðT1 þ T2 Þ=2 wieder herausgefrdert. Der Rest Q2 verlsst den Spalt am Austritt mit der Temperatur T2 , Bild 12. Daraus folgt: Q1 ¼ Q2 þ Q3 mit Q1 ¼ Q1 Q0 ; Q3 ¼ Q3 Q0 , Q2 ¼ Q1 Q3 und Q0 ¼ Bhmin U. Die bezogenen Grßen Q1 und Q3 knnen Anh. G 5 Bild 5 fr Kippsegmentlager und Anh. G 5 Bild 6 fr Segmentlager entnommen werden. Der zur hydrodynamischen Lastbertragung mindest erforderliche Schmierstoffvolumenstrom fr das Lager ergibt sich aus Qhyd, min ¼ ZQ1 . Wrmebilanz Drucklos geschmierte Axialgleitlager leiten die im Schmierfilm durch Reibung entstehende Wrme berwiegend durch Konvektion ab. Fr die sich einstellende Lagertemperatur TB gilt damit TB ¼ Pf =ðkA AÞ þ Tamb :
ð22Þ
Der ußere Wrmebergangskoeffizient kA wird wie bei den Radiallagern berechnet. Die wrmeabgebende Flche A kann nach DIN 31 653 und DIN 31 654 bei Axiallagern mit zylindrischen Lagergehusen aus A ðp=2ÞD2H þ pDH BH (Bezeich-
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Mechanische Konstruktionselemente – 5 Gleitlagerungen
Bild 12. Schmierstoffdurchsatz- und Wrmebilanz in Zwischenrumen und Schmierspalten (schematisch) von hydrodynamischen Axialgleitlagern mit Segmenten nach [11]. Z Anzahl der Segmente, Q Schmierstoffdurchsatz durchs Lager, Q1 Schmierstoffdurchsatz am Spalteintritt, Q2 Schmierstoffdurchsatz am Spaltaustritt, Q3 Schmierstoffdurchsatz an den Seitenrndern, M Mischungsfaktor, Ten Schmierstofftemperatur am Eintritt ins Lager, T1 Schmierstofftemperatur am Spalteintritt, T2 Schmierstofftemperatur am Spaltaustritt
nungen wie bei den Radiallagern) und bei Lagern im Maschinenverband aus A ð15 : : : 20Þ ZBL bestimmt werden. Die effektive Schmierfilmtemperatur Teff entspricht bei Khlung mit Konvektion der Lagertemperatur TB , d. h. Teff ¼ TB : Bei der Wrmeabfuhr durch Umlaufschmierung mit Schmierstoffrckkhlung werden meistens die Erwrmung DT ¼ Ten Tex und die Eintrittstemperatur Ten des zuzufhrenden frischen Schmierstoffs vorgegeben. Dabei sollte die Temperaturdifferenz DT zwischen der Schmierstofftemperatur am Eintritt ins Lager Ten und derjenigen am Austritt aus dem Lager Tex ungefhr DT ¼ 10: : : 30 K betragen. Bestimmt werden muss dann noch der erforderliche Durchsatz von frischem Schmierstoff durch das Lager Q, die effektive Schmierstofftemperatur im Schmierfilm Teff und die Schmierstofftemperatur am Austrittsspalt T2 , die der Lagertemperatur TB entspricht, d. h. T2 ¼ TB : Q kann ermittelt werden aus ð23Þ Q ¼ Q Q0 ¼ Pf = cp rDT mit dem bezogenen Schmierstoffdurchsatz des Lagers p= F cp rDT fr Kippsegmentlager und Q ¼ Q ¼ f Z p=[FB cp rDT ðhmin =Cwed Þ] fr Segmentlager mit fest eingefB Z arbeiteten Keil- und Rastflchen. Fr Teff und T2 folgen aus Bild 13: Teff ¼ Ten þ DT1 þ DT2 =2
ð24Þ
und T2 ¼ Ten þ DT1 þ DT2 :
ð25Þ
Mit Hilfe von Bild 12 kann nach [11] unter der Annahme, dass die Reibungswrme alleine durch den Schmierstoff abtransportiert wird und dass sich der Schmierstoff am Spaltaustritt um DT2 und der an den Seitenrndern austretende Schmierstoff um DT2 =2 erwrmt hat, fr die Temperaturerhhung des Schmierstoffs im Spalt DT2 die Beziehung DT2 ¼ T2 T1 ¼ DTQ = Q1 0,5Q3 Z abgeleitet werden und fr die Temperaturdifferenz DT1 ¼ T1 Ten zwischen der Schmierstofftemperatur am Spalteintritt T1 und der Temperatur des frisch zugefhrten Schmierstoffs Ten die Gleichung DT1 ¼ DT2 Q1 Q3 = ðMQ =ZÞ þ ð1 MÞQ3 : Der Mischungsfaktor M, der zwischen M ¼ 0 (keine Mischung) und M ¼ 1 (vollkommene Mischung) variieren kann, bercksichtigt Mischungsvorgnge in den Zwischenrumen, Bild 12. Erfahrungsgemß liegt der Mischungsfaktor zwischen M ¼ 0; 4
Bild 13. Temperaturverlauf im Schmierfilm (schematisch) von Axialgleitlagern mit Segmenten. Ten Schmierstofftemperatur am Eintritt ins Lager, T1 Schmierstofftemperatur am Spalteintritt, T2 Schmierstofftemperatur am Spaltaustritt, Teff effektive Schmierstofftemperatur, DT1 Temperaturdifferenz zwischen T1 und T en , DT2 Temperaturdifferenz zwischen T2 und T1
und 0,6. Er hngt von den Betriebsbedingungen, den konstruktiven Gegebenheiten, dem Schmierstoff und der Art der Schmierstoffzufuhr ab [12]. Zum Schluss muss berprft werden, ob TB (bei Konvektion) bzw. T2 (bei Umlaufschmierung) kleiner als die hchstzulssige Lagertemperatur Tlim nach Anh. G 5 Tab. 5 ist. Wie bei den Radiallagern sind auch bei den Axiallagern im Berechnungsablauf zur Bestimmung von Teff am Anfang hufig nur Tamb und Ten bekannt. Zunchst wird daher je nach Wrmeabgabebedingung TB bzw. Teff geschtzt. Aus der Wrmebilanz ergibt sich dann ein neuer Wert fr TB bzw. Teff , der durch Mittelwertbildung mit dem zuvor zugrunde gelegten Temperaturwert solange iterativ korrigiert wird, bis in der Rechnung die Differenz zwischen Ein- und Ausgabewert akzeptabel ist. Betriebssicherheit Betriebssicherheit wird erreicht, wenn die errechneten Bep die entsprechenden triebskennwerte hmin , TB bzw. T2 und zulssigen Betriebsrichtwerte nicht unter- bzw. berschreiten. Wenn hmin < hlim, tr wird, tritt Mischreibung auf und damit verbunden Verschleiß. Um das Mischreibungsgebiet beim An- und Auslaufen mglichst schadensfrei zu durchfahren, sollten fr die mittlere Gleitgeschwindigkeit fr den bergang in die Mischreibung Utr Werte grßer als Utr ¼ 1; 5 . . . 2 m/s vermieden werden, da sonst unzulssig hohe Temperaturen im Schmierfilm und den Gleitflchen auftreten knnen. Fr Kippsegmentlager ergibt sich Utr aus Utr ¼ ph2min; tr =ðheff F LÞ und fr Segmentlager mit fest einge C2wed = arbeiteten Keil- und Rastflchen aus Utr ¼ p ðheff FB , tr LtÞ, wobei FB , tr aus Bild 11 mit hmin =Cwed ¼ hmin, tr =Cwed und B=L gewonnen wird. Bei Lagern mit konstanter Last sollte der Auslegungspunkt weit genug oberhalb von Utr liegen. Treten nur drehzahlabhngige Belastungen auf (z. B. Strmungskrfte beim Ventilator mit waagerechter Welle), kommt Mischreibung erst bei hohen Drehzahlen vor, da die Belastung schneller ansteigt als die Tragfhigkeit des Lagers. Hier sollte U < Utr sein. Ferner gibt es Anwendungsflle, bei denen neben einer konstanten Axialkraft noch ein drehzahlabhngiger Anteil dazu addiert werden muss (z. B. bei Wasserturbinen mit senkrechter Welle). Dann existieren ein unterer und ein oberer Mischreibungsbereich. U sollte weit genug entfernt von beiden liegen. 5.2.4 Mehrgleitflchenlager Leichtbelastete und schnelllaufende Wellen (z. B. in Schleifspindeln, Gas- und Dampfturbinen, Turboverdichtern, Turbogetrieben usw.) neigen in zylindrischen Radialgleitlagern zu instabilem Laufverhalten. Bei Mehrgleitflchenlagern mit
I5.4 drei und mehr Gleitflchen tritt dieses Problem i. Allg. nicht auf, da sie selbst im unbelasteten Zustand bei zentrischer Wellenlage mehrere konvergierende Spalte am Umfang aufweisen, die bei Wellendrehung zur Bildung von annhernd gleichen stabilisierenden Druckverteilungen fhren. Die am Umfang verteilten Druckberge bleiben auch unter Last, allerdings in genderter, an die Last angepasster Form erhalten, wobei deren Tragkrfte sich geometrisch addieren und der Lagerkraft das Gleichgewicht halten, Bild 14. Aufgrund der hydrodynamischen Verspannungswirkung im Betrieb ist bei Mehrgleitflchenlagern die Fhrungsgenauigkeit besonders hoch, allerdings ist gegenber zylindrischen Radialgleitlagern die Tragfhigkeit verringert und die Reibungsleistung erhht. Die guten Fhrungseigenschaften von Mehrgleitflchenlagern werden vor allem da genutzt, wo eine besonders gute Fhrungsgenauigkeit erforderlich ist, z. B. bei vertikalen Pumpen, bei Turbomaschinen und bei Werkzeugmaschinenlagerungen. Eine umlaufende Lagerkraft kann bei Mehrgleitflchenlagern Schwingungen anregen, da die Lagersteifigkeit richtungsabhngig ist, Bild 14. Um bei hohen Umfangsgeschwindigkeiten die Lagertemperaturen von vollumschließenden Lagern im zulssigen Bereich zu halten, sind relativ große Spiele erforderlich, die jedoch den bergang zu turbulenter Strmung begnstigen. Mit Radial-Kippsegmentlagern (Bild 15) knnen die hohen Reibungsverluste und die Lagertemperaturen verringert werden, da sie die Welle nur teilweise umschließen und klterer Schmierstoff in den Schmierspalt gelangen kann. Außerdem sind sie bei punktfrmiger Absttzung unempfindlich gegen Schiefstellungen der Welle. Die Anwendung eines Radialgleitlagers mit Kippsegmenten bei vertikaler Wellenanordnung ist im Bild 16 zu sehen.
Berechnung hydrostatischer Gleitlager
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Bild 15. Radialgleitlager mit Kippsegmenten (Sartorius, Gttingen)
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Bild 16. Vertikallager-Einsatz mit einem Radialgleitlager aus einzeln einstellbaren Kippsegmenten und einem Axiallager aus kippbeweglichen Kreisgleitschuhen (Renk, Hannover)
5.3 Hydrostatische Anfahrhilfen Wenn bei hydrodynamischen Gleitlagern hufiges Anfahren unter hoher Startlast ð p > 2; 5 : : : 3 N=mm2 Þ, Trudelbetrieb mit niedrigen Drehzahlen oder sehr lange Auslaufzeiten auftreten, kann der Einsatz von hydrostatischen Anfahrhilfen empfehlenswert sein. Hierzu werden eine oder gnstiger zwei Schmiertaschen (bessere radiale Wellenfhrung) in der unte-
ren Lagerschale im Kontaktbereich mit der Welle eingebracht, die mit einem unter Druck stehenden Schmierstoff von einer externen Pumpe mit einem Pumpendruck von max. 200 bar beim Anheben und von ca. 100 bar beim Halten der Welle versorgt werden.
5.4 Berechnung hydrostatischer Gleitlager Bei hydrostatischen Gleitlagern wird der zum Tragen erforderliche Druck im Schmierspalt von einer externen Pumpe erzeugt. Der unter Druck stehende Schmierstoff kann den Schmiertaschen im Lager mit jeweils einer Pumpe pro Tasche oder mit einer Pumpe fr alle Schmiertaschen und jeweils einer Drossel (Kapillare, Blende usw.) vor jeder Tasche zugefhrt werden. Die Schmierspalthhe im Lager stellt sich entsprechend der Belastung ein. 5.4.1 Hydrostatische Radialgleitlager
Bild 14 a, b. Vollumschlossene Mehrgleitflchenlager mit Druckverteilungen und Krftegleichgewichten (schematisch). a Kraftrichtung mittig auf die Gleitflche; b Kraftrichtung auf lversorgungsnut; F Lagerkraft, wJ Winkelgeschwindigkeit der Welle, e Exzentrizitt, eman ¼ ðD DJ Þ=2 Herstellexzentrizitt, D Durchmesser der Gleitflche, b Verlagerungswinkel (Winkel zwischen der Lage der Wellenzapfen-Exzentrizitt e und der Lastrichtung), p1 bis p3 Druckverteilungen an den entsprechenden Gleitflchen, F1 bis F3 Tragkrfte aus den Druckverteilungen, Fres Tragkraft des Lagers
Es werden Lager mit und ohne Zwischennuten zwischen den Schmiertaschen hergestellt. Nachfolgend werden Lager mit Zwischennuten (Bild 17) behandelt, die z. B. bei schnelldrehenden Wellen eingesetzt werden. Fr die Berechnung, die sich an DIN 31 656 anlehnt, wird auf die Bezeichnungen in Bild 17 verwiesen. Es gelten folgende Voraussetzungen: Lastrichtung mittig auf Schmiertasche, konstanter Pumpendruck pen , Kapillare vor jeder Tasche, Drosselverhltnis x ¼ 1, relative Exzentrizitt e < 0; 4: Fr die effektive Tragkraftkennzahl Feff gilt: Feff ¼ pF=ðZbc bax pen Þ
ð27Þ
mit Z als Anzahl der Schmiertaschen. Die minimale Schmier-
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Mechanische Konstruktionselemente – 5 Gleitlagerungen
Um den nicht linearen Trgheitsanteil am Strmungswiderstand der Kapillare im Bereich a ¼ 0,1 . . . 0,2 zu halten, sollte die Reynolds-Zahl fr die Kapillare Recp Werte von Recp ¼ 1000 . . . 1500 mglichst nicht berschreiten. Die Pumpenleistung betrgt ohne Bercksichtigung des Pumpenwirkungsgrades Pp ¼ Q pen ¼ Q p2en CR3 =hB :
ð30Þ
Die Reibungsleistung Pf folgt aus Pf ¼ Pf hB w2J BD3 =ð4CR Þ
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Bild 17. Hydrostatisches Radialgleitlager mit Zwischennuten (schematisch). F Lagerkraft, wJ Winkelgeschwindigkeit der Welle, e Exzentrizitt, b Verlagerungswinkel, Z Anzahl der Schmiertaschen, a Stellwinkel der 1. Tasche bezogen auf Taschenmitte, B Lagerbreite, D Lagerdurchmesser, DJ Wellendurchmesser, hmin kleinste Spalthhe, hP Schmiertaschentiefe, lax axiale Steglnge, lc Umfangssteglnge, bG Zwischennutbreite, jG ¼ lc =D þ bG =D halber Umfangswinkel von lc und bG ; bax ¼ ½ðp=Z Þ jG D Abstrmbreite in axialer Richtung, bc ¼ B lax Abstrmbreite in Umfangsrichtung
filmdicke hmin kann berechnet werden aus hmin ¼ CR ð1 eÞ
ð28Þ
mit CR ¼ ðD DJ Þ=2 als radiales Lagerspiel. Die relative Exzentrizitt e folgt aus e ¼ 0; 4 Feff =½ðFeff =Feff; 0 Þ ðe ¼ 0; 4Þ Feff; 0 ðe ¼ 0; 4Þ mit der effektiven Tragkraftkennzahl Feff , 0 ðe ¼ 0,4Þ fr wJ ¼ 0 aus Anh. G 5 Bild 7 und dem Tragkraftkennzahlenver =Feff hltnis ðFeff , 0 Þ ðe ¼ 0; 4Þ aus Anh. G 5 Bild 8. Darin bedeuten k ¼ lax bc =ðlc bax Þ das Widerstandsverhltnis und Krot, nom ¼ ½k=ð1 þ kÞ x pf ðlc =DÞ die nominelle Dreheinflusskennzahl mit dem bezogenen Reibungsdruck pf ¼ hB wJ = pen y2 , wobei die dynamische Schmierstoffviskositt im Lager hB aus Gl. (6) und das relative Lagerspiel aus y ¼ 2 CR =D berechnet werden. Der Schmierstoffdurchsatz Q lsst sich unter der Annahme, dass Q ðe < 0; 5Þ Q ðe ¼ 0Þ ist, folgendermaßen bestimmen:
Q ¼ Q CR3 pen =hB mit
ð29Þ
Q ¼ðZ=6Þf½1=ð1 þ xÞ ðB=DÞ½ðk þ 1Þ=k ½1 ðlax =BÞ=ðlc =DÞg als der Schmierstoffdurchsatzkennzahl. In dieser Gleichung ist 1=ð1 þ xÞ ¼ ðpP, 0 =pen Þ mit dem Taschendruck pP, 0 bei e ¼ 0 und dem Drosselverhltnis x ¼ Rcp =RP, 0 , wobei sich der Strmungswiderstand der Kapillare Rcp aus Rcp ¼ 128hcp lcp ð1 þ aÞ=ðpd4cp Þ mit der dynamischen Schmierstoffviskositt in der Kapillare hcp nach Gl. (6), der Lnge und dem Durchmesser der Kapillare lcp und dcp und dem Trgheitsanteil des Strmungswiderstandes a ¼ 0; 135 rQ= hcp lcp Z mit der Dichte r des zugefhrten Schmierstoffs berechnen lsst und der Strmungswiderstand einer Tasche RP, 0 bei e ¼ 0 der Gleichung RP, 0 ¼ 6hB lax = bax C3R ½1 þ k gengt. Die berprfung, ob laminare oder turbulente Strmungsverhltnisse vorhanden sind, erfolgt mit der Bedingung Rec, p ¼ 4rQ=ðphcp dcp ZÞ < 2300 fr die Kapillare und mit der Bedingung Rep ¼ Uhp r=hcp < 1000 fr die Tragtasche. Wenn die Bedingungen erfllt werden, liegt jeweils eine laminare Strmung vor.
ð31Þ
mit der Reibungsleistungskennzahl Pf aus der Beziehung Pf ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pAlan fð1= 1 e2 Þ þ ð4CR =hP Þ½ð1=Alan Þ 1g in der Alan ¼ ð2=pÞfpðlax =BÞ þ Z ðlc =DÞ½1 2ðlax =BÞ Z ðlax =BÞðbG =DÞg die bezogene Stegflche bedeutet. Fr die aufzubringende Gesamtleistung Ptot gilt dann Ptot ¼ Pp þ Pf :
ð32Þ
Die Gesamtleistung lsst sich minimieren, wenn fr das Leistungsverhltnis P ¼ Pf =Pp ungefhr P ¼ 2 gesetzt und die Bedingung qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ffi pf ¼ hB w= pen y2 ¼ ð1=2Þ P Q = Pf ðB=DÞ eingehalten wird. So weist z. B. ein Lager mit Z ¼ 4; B=D ¼ 1; e ¼ 0; 4; hP ¼ 40 CR ; a ¼ 0; bG =D ¼ 0; 05; P ¼ 2 und lax =B ¼ 0; 1 eine optimierte Umfangssteglnge von lc =D ¼ 0; 1 auf und die dazugehrigen Kenngrßen lauten: ¼ 0; 3927; pf ¼ 1; 288; Pf ¼ 1; 531; Q ¼ 5; 08 k ¼ 1; 416; Feff und Ptot ¼ Ptot =ðFwCR Þ ¼ 10; 349: In den Kapillaren wird der Schmierstoff durch Dissipation erwrmt. Die Temperaturerhhung des Schmierstoffes beim Durchstrmen der Kapillaren betrgt bei e ¼ 0 : DTcp ¼ ðpen pÞ=ðcp rÞ ¼ ðpen =cp rÞ ½x=ð1 þ xÞ: Der Temperaturanstieg des Schmierstoffes beim Durchfließen des Lagers beluft sich bei e ¼ 0 auf: DTB ¼ p=ðcp rÞ þ Pf =ðcp rQÞ ¼ ðpen =cp rÞ½1=ð1 þ xÞ þ P : Damit knnen die mittlere Temperatur in den Kapillaren Tcp und die mittlere Temperatur im Lager TB bestimmt werden zu: Tcp ¼ Ten þ DTcp =2 und TB ¼ Ten þ DTcp þ DTB =2. Die wirksamen Viskositten in den Kapillaren hcp und im Lager hB lassen sich dann mit Gl. (6) zu hcp ¼ hðTcp Þ und hB ¼ hðTB Þ ermitteln.
5.4.2 Hydrostatische Axialgleitlager Es soll hier ein Mehrflchen-Axiallager mit Schmiertaschen und Kapillaren als Drosseln vorgestellt werden. Fr die Berechnung gelten die in Bild 18 angegebenen Bezeichnungen. Es wird angenommen, dass bei der Bestimmung der Tragkraft und des Schmierstoffdurchsatzes die Scher- gegenber der Druckstrmung vernachlssigt werden kann (gltig fr kleine Umfangsgeschwindigkeiten). Außerdem bleiben die Tragfhigkeit und die Reibung im Stegbereich zwischen den Schmiertaschen unbercksichtigt. Die Tragkraft F kann dann nherungsweise bestimmt werden aus F ¼ðZjP =16Þ ½ pen =ð1 þ xÞ ½ðD21 D22 Þ = lnðD1 =D2 Þ ðD23 D24 Þ=lnðD3 =D4 Þ
ð33Þ
mit dem Umfangswinkel der Schmiertasche jP ¼ ð2p=ZÞ 2 lc =D und dem mittleren Spurplattendurchmesser D ¼ ðD1 þ D4 Þ=2: Der Schmierstoffdurchsatz Q ergibt sich
I5.6
Bild 18. Hydrostatisches Mehrflchen-Axialgleitlager (schematisch). F Lagerkraft, w Winkelgeschwindigkeit der Spurscheibe, p Druckverteilung, pP Taschendruck, pen Zufhrdruck (Pumpendruck), jP Umfangswinkel der Schmiertasche, Z Anzahl der Schmiertaschen, Q Schmierstoffdurchsatz des Lagers, D1 Spurplattenaußendurchmesser, D2 Schmiertaschenaußendurchmesser, D3 Schmiertascheninnendurchmesser, D4 Spurplatteninnendurchmesser, lc Stegbreite in Umfangsrichtung auf dem mittleren Spurplattendurchmesser
aus Q ¼ðZjP =12Þ ðh3min =hB Þ ½pen =ð1 þ xÞ ½1=lnðD1 =D2 Þ þ 1=lnðD3 =D4 Þ: Fr das Reibungsmoment Mf gilt: Mf ¼ ðp=32ÞðhB w=hmin Þ D41 D42 þ D43 D44 :
ð34Þ
ð35Þ
Die Reibungsleistung Pf folgt aus Pf ¼ Mf w und mit der Pumpenleistung Pp ¼ pen Q kann die Gesamtleistung Ptot ¼ Pf þ Pp ermittelt werden. Das Drosselverhltnis x sollte bei x ¼ 1 liegen und die Spaltweite hmin grßer als pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi hlim ¼ 1; 25 ðDRzÞ=3000 sein mit D als dem mittleren Spurplattendurchmesser und Rz als der gemittelten Rauhtiefe der Spurscheibe jeweils in m.
5.5 Dichtungen An Gleitlagern haben Wellendichtungen die Aufgabe, den Austritt von l und lnebel zu verhindern bzw. zu minimieren und das Eindringen von Fremdkrpern und Wasser in schdlichen Mengen zu verhten. Die Art der Dichtung richtet sich nach dem jeweiligen Anwendungsfall. Folgende Dichtungsarten werden serienmßig eingesetzt: Schneidendichtungen, schwimmende Schneiden- und Spaltdichtungen, einstellbare Kammerdichtungen, Schneidendichtungen mit Zusatzlabyrinth oder mit Zusatzkammer, Dralldichtungen, Weichdichtungen, Filzringe, fettgeschmierte Dichtungen, Spritzringdichtungen usw.
Wartungsfreie Gleitlager
G 99
Bild 19. Zulssige Betriebsbereiche fr verschiedene wartungsfreie bzw. wartungsarme Gleitlager nach [13]. 1 Gleitlager aus Sinterbronze; 2 Gleitlager aus Sintereisen; 3 metallkeramische Gleitlager; 4 Verbundgleitlager mit Acetatharz; 5 Verbundgleitlager mit PTFESchicht; 6 Vollkunststoff-Gleitlager (Polyamid). (Der zulssige Einsatzbereich liegt jeweils unterhalb der Kurve.)
Als Lagerbauarten werden beispielsweise Sintergleitlager, metallkeramische Gleitlager, Vollkunststofflager aus Thermoplasten oder Duroplasten, Gleitlager aus Verbundwerkstoffen oder aus Kunstkohle eingesetzt. Der typische Aufbau eines Gleitlagers aus Verbundwerkstoffen ist im Bild 20 dargestellt. Wartungsfreie Gleitlager bentigen fr die Funktion einen gewissen Verschleiß, um den Festschmierstoff (z. B. PTFE, Graphit) oder den Lagerwerkstoff selbst freizusetzen, wenn dieser als Schmierstoff wirken soll. Der Festschmierstoff wird besonders beim Einlauf auf den Gegenkrper bertragen und setzt dort die Rauheitstler zu, so dass bei gnstigen Bedingungen der Kontaktbereich zwischen Lager und Welle vollstndig mit Festschmierstoff ausgefllt ist. Die Berechnung der wartungsfreien Gleitlager umfasst die mechanische Belastbarkeit, die Lagertemperatur, wobei die richtige Erfassung der Wrmeabgabebedingungen entscheidend ist, den Verschleiß und damit die Lebensdauer [14]. Anwendung finden wartungsfreie Gleitlager vor allem da, wo ein hydrodynamischer Schmierfilmaufbau wegen niedriger Gleitgeschwindigkeiten nicht mglich, eine hydrostatische Lagerung zu aufwendig oder ein Einsatz von flssigen Schmierstoffen unerwnscht ist. Fr Lager mit oszillierenden Schwenkbewegungen werden in weiten Bereichen des Maschinenbaus auch Gelenklager eingesetzt, die am Innen- und Außenring sphrische Gleitflchen besitzen [15].
5.6 Wartungsfreie Gleitlager Wartungsfreie Gleitlager zeigen ihre hchste Tragfhigkeit bei kleiner Gleitgeschwindigkeit. Hier knnen sie oft um ein Vielfaches hher belastet werden als hydrodynamische Gleitlager, die bei niedriger Gleitgeschwindigkeit im Mischreibungsgebiet laufen. Mit zunehmender Geschwindigkeit nimmt die ertragbare spezifische Belastung p jedoch ab pU ð pU Þzul , weil durch die zunehmende Reibungswrme die Lagertemperatur unzulssig hoch ansteigen wrde. Typische Einsatzbereiche fr unterschiedliche wartungsfreie Gleitlager sind in Bild 19 dargestellt.
Bild 20. Aufbau eines wartungsfreien Gleitlagers aus Verbundwerkstoffen nach [13]
G
G 100
Mechanische Konstruktionselemente – 5 Gleitlagerungen
5.7 Konstruktive Gestaltung 5.7.1 Konstruktion und Schmierspaltausbildung
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Die Berechnung hydrodynamischer Radialgleitlager legt eine in axialer Richtung parallele Schmierspaltform zugrunde, Bild 1. Durch die sich unter Belastung einstellende Verformung der Welle (Krmmung) und durch Fluchtungsfehler (Schiefstellung) wird in starr angeordneten Lagern die Parallelitt des Schmierspaltes gestrt, Bild 21. Das fhrt zu Kantentragen (erhhte Kantenpressung) und zu Tragkraftminderungen, die bei Lagerbreiten B=D > 0; 3 deutlich sprbar werden. Durch konstruktive Maßnahmen zur Anpassung des Lagers an den Verformungszustand der Welle kann dem entgegengewirkt werden. Grundstzlich ist das mglich durch Anwendung mglichst kleiner Lagerbreiten. Bei Endlagern, die strker von Wellenschiefstellungen betroffen sind, kann eine Anpassung aber auch erreicht werden durch elastische Nachgiebigkeit des Lagerkrpers (Bild 22 a) oder durch eine kippbewegliche Anordnung, Bild 22 b. Bei Mittellagern, bei denen hufiger eine Wellenkrmmung zu Problemen fhrt, lsst sich das Kantentragen dadurch vermindern, indem die Lagerbohrungsenden leicht konisch erweitert werden (Bild 22 c) bzw. die Lagerschale nicht ber die ganze Lnge im Lagerkrper abgesttzt wird, Bild 22 d und e. Weitere Anpassungen zur Tragfhigkeitssteigerung werden ber Einlaufvorgnge erreicht. Bei Axiallagern knnen Schiefstellungen der Spurplatte durch eine elastische Absttzung der Spurplatte oder der einzelnen Segmente ausgeglichen werden, Bild 6 b. Letzteres bewirkt auch ein gleichmßiges Tragen aller Segmente.
5.7.2 Lagerschmierung Ein Lager muss so konstruiert sein, dass sich der Gleitraum hinreichend mit Schmierstoff versorgen lsst. Das kann geschehen durch feste oder lose Schmierringe (Bild 23) oder durch Umlaufschmierung (Bild 24). Feste Schmierringe mit Abstreifer (Bild 23 a) sind nach VDI 2204 fr Geschwindigkeiten von 10 m/s am Ringaußendurchmesser geeignet. Bei hheren Geschwindigkeiten schleudert das l ab, und es bildet sich Schaum im lvorrat. Bei festen Schmierringen im geschlossenen Ringkanal oder mit geeignetem Ringquerschnitt (Bild 23 b) nimmt dagegen die Frdermenge mit steigender Ringgeschwindigkeit zu. Hier liegt der Einsatzbereich nach VDI 2204 bei 14 bis 24 m/s. Bei losen Schmierringen (Bild 23 c) wchst das Frdervolumen zunchst mit steigender Ringgeschwindigkeit an, erreicht ein Maximum und fllt dann wieder ab. Lose Schmierringe knnen nach VDI 2204 zwischen 10 und 20 m/s eingesetzt werden, wobei die Einsatzgrenze von der Ringform, der Schmierstoffviskositt, der Reibung zwischen Ring und Wel-
Bild 21 a, b. Kantentragen bei starren Lagerkrpern [16]. a Wellenschiefstellung in einem Endlager; b Wellenkrmmung in einem Mittellager
Bild 22 a–e. Konstruktive Maßnahmen zur Minderung des Kantentragens. a Elastische Nachgiebigkeit [16]; b Kippbeweglichkeit des Lagerkrpers [17]; c konische Erweiterung der Lagerbohrungsenden [17]; d und e elastische Verformung der Lagerbuchse bei verringerter Sttzbreite im Lagerkrper [17]
le und der Eintauchtiefe abhngig ist. Sie knnen zwischen 1 und 4 l/min frdern. Die oberen Werte werden aber nur mit profilierten Ringen erreicht. Bei dynamischer Belastung oder Stßen sind lose Ringe ungeeignet. lumlaufschmiersysteme, im Wesentlichen bestehend aus Pumpe, lbehlter, Khler, Volumenstromregler, Filter, Zu-
Bild 23 a–c. Ringschmierung. a Fester Schmierring mit Abstreifer fr beidseitige lversorgung; b fester Schmierring fr innere lbergabe und Abstreifer fr einseitige lversorgung (Gefahr des labschleuderns geringer als bei Variante a); c loser Schmierring
I5.7
Bild 24. lumlaufschmierung mit Khlung (schematisch)
fhr- und Rcklaufleitungen und Mess- und Regeleinrichtungen fr ltemperatur und -druck versorgen meist mehrere Lager zentral mit gekhltem und gefiltertem l, wobei der Zufhrdruck zwischen 0,5 und 5 bar liegen kann. Die Geschwindigkeit in den Zufhrleitungen sollte 1,5 bis 2 m/s nicht berschreiten. Die Rohrdurchmesser der Rcklaufleitungen sollte 4- bis 6-mal so groß wie die der Zufhrleitungen sein und ein gleichmßiges Geflle von ca. 15 aufweisen. Die Schmierstoffzufuhr sollte in der unbelasteten Zone im Bereich des divergierenden Spalts erfolgen, um in der belasteten Zone einen ungestrten Druckaufbau mit maximaler Tragwirkung zu erzielen und die Verschumungsgefahr fr den Schmierstoff zu mindern. Bei instationr belasteten Radialgleitlagern kann die gnstigste Lage der Schmierstoffzufuhr aus der Wellenverlagerungsbahn ermittelt werden. Die gleichmßige Verteilung des Schmierstoffs ber der Lagerbreite erfolgt in der Regel entweder ber eine oder mehrere Taschen oder Bohrungen oder ber eine Ringnut. Letztere (ganz oder teilweise umlaufend) wird hufig bei rotierender oder unbestimmter Lastrichtung eingesetzt. Bei einem schmalen Lager wird i. Allg. eine Bohrung eingebracht. Die axiale Breite von Schmiertaschen sollte weniger als 70% der Lagerbreite betragen, um den Seitenfluss klein zu halten. Abstreifer knnen verhindern, dass heiß austretender Schmierstoff wieder in den Gleitraum eintritt. Bei Axiallagern fr vertikal angeordnete Wellen ist darauf zu achten, dass trotz der Wirkung der Fliehkraft die innenliegenden Bereiche der Gleitflchen ausreichend mit Schmierstoff versorgt werden. 5.7.3 Lagerkhlung Bei Lagern mit Ringschmierung wird die Reibungswrme berwiegend ber das Lagergehuse an die Umgebung abgegeben. Dabei hngt die Khlwirkung von den Umstrmungsverhltnissen am Lagergehuse ab. Bei Umlaufschmierung wird die Wrme hauptschlich mit dem Schmierstoff abgefhrt. Ohne zustzliche Khlung des lvorrats sind dabei labkhlungen bis zu 10 K mglich [18]. Durch den Einbau von Rohrschlangen, die von gekhltem Wasser oder Khll durchflossen werden, in den lsumpf oder -sammelbehlter (Bild 24), lsst sich eine lrckkhlung von 20 bis 30 K erzielen. 5.7.4 Lagerwerkstoffe Neben ausreichender Festigkeit, Widerstandsfhigkeit gegen Korrosion und Kavitation und chemischer Bestndigkeit gegen den Schmierstoff und die sich darin befindlichen Stoffe (Additive) sollten die Lagerwerkstoffe auch besondere Gleiteigenschaften besitzen. Hierfr spielen eine gute Benetzbarkeit und eine hohe Kapillaritt durch den eingesetzten Schmierstoff, Notlaufeigenschaften und ausreichendes Einlauf-, Einbettungs- und Verschleißverhalten eine wichtige Rolle. Bei guter Benetzbbarkeit wird die Gleitlageroberflche
Konstruktive Gestaltung
G 101
vollstndig von einem Schmierfilm bedeckt, und bei hoher Kapillaritt kann der Schmierstoff auch in den engen Spalt zwischen Welle und Lagerschale eindringen und dort fr einen Schmierfilmaufbau zur Verfgung stehen. Von Bedeutung sind diese Eigenschaften vor allem im Mischreibungsgebiet beim An- und Auslauf des Lagers, wenn nur wenig Schmierstoff in der Kontaktzone vorhanden ist. Der Lagerwerkstoff sollte auch Notlaufeigenschaft aufweisen, damit bei Versagen der Schmierung das Lager kurzzeitig ohne große Schdigung betriebsfhig gehalten werden kann. Dabei wirken noch Restlmengen sowie eventuell im Lagerwerkstoff vorhandene Festschmierstoffe (Graphit, Molybdndisulfid) mit. Hauptschlich werden die Notlaufeigenschaften aber durch die Eigenschaften der Lagermetalle bestimmt. Am besten eignen sich niedrig schmelzende Metalle geringer Hrte, die bei rtlicher Erhitzung aufschmelzen und so die Reibung niedrig halten. Wichtig ist in diesem Zusammenhang auch die Unempfindlichkeit gegen Fressen, d. h. der Widerstand des Gleitlagerwerkstoffs gegen die Bildung von adhsiven Bindungen mit dem Gegenkrper. Gnstig ist außerdem ein gutes Einlaufverhalten. Ziel ist es, die Oberflchen und die Form der Laufflchen durch Abrieb und Verformung ohne merkliche Beeintrchtigung der Funktionen in kurzer Zeit so anzupassen, dass die durch Fertigung, Montage und elastische Verformungen bedingten Abweichungen von der Sollform des Gleitraumes weitgehend ausgeglichen werden. In Verbindung mit Stahlwellen nehmen die Gleiteigenschaften und das Einlaufverhalten von Lagerwerkstoffen in folgender Reihenfolge ab: Weißmetall (WM) auf Bleibasis, WM auf Zinnbasis, Bleibronzen, Rotguß, Zinnbronzen, Sondermessing [19]. Durch das Einbettungsverhalten knnen Fremdkrper (Schmutz- und/oder Verschleißpartikel) in die Gleitflche eingelagert und dadurch deren schdigende Wirkung gemildert werden. Dennoch verlangen auch einbettungsfhige Werkstoffe, die Lager vor Verschmutzung zu schtzen und den Schmierstoff durch Filterung sauber zu halten. Die Verschleißfestigkeit der Lagerwerkstoffe nimmt ausgehend von den Bronzen ber Messing, Al-Pb-Bronzen, Rotguss, Al-Zn- und Kadmiumlegierungen bis hin zu den Weißmetallen ab [19]. Lagerwerkstoffe mit einer hohen Verschleißfestigkeit zeichnen sich dadurch aus, dass sie dem Herauslsen kleiner Teilchen aus der Laufschicht einen hohen Widerstand entgegenbringen. In Gleitlagern tritt Verschleiß dann auf, wenn sie bei Mischreibung (z. B. whrend des Anund Auslaufs) betrieben werden. Wegen der starken Abhngigkeit von den Betriebsbedingungen und den Eigenschaften der Reibpartner und des Schmierstoffs lassen sich allgemeingltige Aussagen zum Verschleiß kaum machen. Als metallische Lagerwerkstoffe werden Blei-, Zinn-, Kupferund Aluminium-Legierungen eingesetzt. Fr eine Auswahl von Lagerwerkstoffen sind im Anh. G 5 Tab. 1 Werte ber die hchstzulssige spezifische Lagerbelastung angegeben. Fr bestimmte Anwendungsflle (Wasserschmierung, Trockenlauf, chemisch aggressive Medien) werden auch nichtmetallische Werkstoffe, wie z. B. Gummi, Kunststoff und Keramik, verwendet. Dabei sind deren von den Metallen abweichende physikalische Eigenschaften (Festigkeit, Elastizitt, Wrmeleitfhigkeit, thermische Stabilitt) besonders zu beachten. Bei wartungsfreien Lagern kommen z. B. Kunststoffe, Sintermetalle mit inkorporierten Festschmierstoffen oder auch lgetrnkte Sintermetalle zum Einsatz. Der Werkstoff, der mit einer Umfangslast beaufschlagt wird (meistens die Welle oder bei Axiallagern die Spurscheibe) sollte eine hhere Hrte aufweisen als der Werkstoff, der mit einer Punktlast beansprucht wird (meistens die Lagerbuchse oder bei Axiallagern das Gleitsegment). Nach [20] gilt:
G
G 102
Mechanische Konstruktionselemente – 6 Zugmittelgetriebe
ðH=EÞUmfangslast ¼ 1,5 bis 2ðH=EÞPunktlast mit H als Hrte und E als E-Modul. Der Werkstoff, auf den die ußere Last als Punktlast wirkt, sollte als Lagerwerkstoff ausgebildet sein (Konstruktionsregel: Punktlast fr Lagerwerkstoff!). 5.7.5 Lagerbauformen
G
Als Bauarten werden bei Gleitlagern grundstzlich Axial- und Radiallager unterschieden. Bei Radiallagern werden die Lagerbuchsen geteilt (2 Halbschalen) oder ungeteilt jeweils mit oder ohne axiale Gleitflchen ausgefhrt, Bild 25. Die Buchsen und Halbschalen knnen dick- oder dnnwandig sein. Dickwandige Buchsen und Schalen sind auch ohne steifes Gehuse formstabil. Bei ihnen wird die gewnschte Gleitflchengeometrie auch bei geringem oder ohne Presssitz im Gehuse gewhrleistet. Die Oberflchenstruktur der Gehuseaufnahmebohrung hat bei ihnen keinen nennenswerten Einfluss auf die Gleitflchen. Sie werden in der Regel aus einem einzigen Lagerwerkstoff (Massivlager) hergestellt oder aus einem Sttzkrper mit einer Lagerwerkstoff-Ausgussschicht (Verbundlager). Buchsen werden i. Allg. aus einem Rohr oder aus Stangenmaterial produziert. Dnnwandige Buchsen und Schalen erreichen erst nach dem Einbau ins Gehuse bei ausreichender Pressung zwischen Ge-
Bild 25 a–c. Bauformen von Radialgleitlagern: a dnnwandige Buchse; b dickwandige Buchse mit einseitiger axialer Gleitflche; c dnnwandige Halbschale mit Arretierungsnocken
6 Zugmittelgetriebe
huse und Lager ihre endgltige Form. Im freien Zustand sind sie nicht formstabil und unrund. Sie werden meistens aus einem Bandabschnitt (Platine) durch Biegen, Pressen oder Rollen hergestellt, welches aus einem einzigen (massiv) oder aus einem mehrschichtigen (2-, 3- oder 4-schichtigen) Werkstoff (meistens mit Stahlrcken) besteht. Bei Mehrschichtlagern werden die guten Eigenschaften der einzelnen Werkstoffschichten zu einem optimalen Gesamtverhalten des Lagers verknpft. Die Schichtdicke des Lagerwerkstoffs sollte so gering wie mglich sein, wobei die untere Grenze durch fertigungstechnische Grnde, durch eine gengende Verschleißdicke und durch eine ausreichende Einbettfhigkeit von Verschleiß- und Schmutzpartikeln gegeben ist. Die Belastbarkeit (Quetschgrenze und Ermdungsfestigkeit) steigt an, wenn die Schichtdicke abnimmt. Neben zylindrischen Radialgleitlagern werden auch Mehrgleitflchenlager eingesetzt, letztere vor allem bei hohen Drehzahlen und als Przisionslager mit sehr hoher Steifigkeit. Bei Mehrgleitflchenlagern knnen die Gleitsegmente fest eingearbeitet oder kippbeweglich ausgefhrt sein. Gelenklager mit sphrischen Gleitflchen kommen bei niedrigen Geschwindigkeiten bei Gefahr von Schiefstellungen und Fluchtungsfehlern zum Einsatz. In den meisten Anwendungsfllen werden Lagerschalen und Buchsen in die Gehusebohrung eingepresst, Bild 25. Wichtig ist, dass die Pressung bei allen Betriebszutnden so groß bleibt, dass eine Verschiebung der Schale in der Bohrung verhindert wird. Die bei Lagerschalen und gerollten Buchsen auftretenden Teilfugen sollten beim Einbau so gelegt werden, dass sie sich senkrecht zur Lastrichtung befinden. Als Axiallager werden z. B. Axialsegmentlager mit fest in einen Spurring eingearbeiteten Keilflchen oder Axialkippsegmentlager mit kippbeweglichen Segmenten verwendet. In beiden Fllen knnen die Gleitsegmente entweder aus Massivwerkstoff oder aus Verbundmaterial hergestellt werden.
Drehbertragung mit der Frequenz der einlaufenden Zhne oder Kettenglieder (Polygoneffekt) vernachlssigt wird.
H. Mertens, Berlin
6.1 Bauarten, Anwendungen Zugmittelgetriebe dienen zur Wandlung von Drehzahlen und Drehmomenten zwischen zwei oder mehr nichtkoaxialen Wellen, auch mit grßeren Wellenabstnden, bei geringem Bauaufwand. Als Zugmittel finden endlose Flachriemen, Keilriemen, Synchronriemen oder Ketten Verwendung, die die Riemenscheiben oder Kettenrder von An- und Abtriebswellen umschlingen und dabei Umfangsgeschwindigkeiten und Umfangskrfte bertragen [1, 2].
Bild 1 a–c. Reibschlssige Zugmittel. a Flachriemen; b Keilriemen; c Rundriemen, jeweils mit Riemenscheibe
Reibschlssige Zugmittelgetriebe. Sie erfordern zur Aufrechterhaltung des Reibschlusses stets eine Mindestvorspannkraft. Die Drehzahlwandlung erfolgt bei richtiger Auslegung mit einem geringen, lastabhngigen Schlupf (Dehnschlupf) und nahezu konstanter (Bild 1) oder stufenlos verstellbarer (z. B. Bild 8 c) bersetzung. Formschlssige Zugmittelgetriebe. Sie erfordern zur Erzielung eines optimalen Laufverhaltens mit hoher Lebensdauer und/oder zur Vermeidung von bersetzungsfehlern (berspringen von Zhnen) ebenfalls eine bauartabhngige Mindestvorspannkraft, Bild 2. Sie erzeugen dann eine konstante bersetzung, wenn die meist geringe Ungleichfrmigkeit der
Bild 2 a–c. Formschlssige Zugmittel. a Rollen- bzw. Hlsenkette auf Kettenrad; b Zahnkette auf Zahnrad; c Synchronriemen auf Synchronscheibe
I6.2
Flachriemengetriebe
G 103
bertragung im Ruhebogen, dann gilt nach Grashof fr das Trumkraftverhltnis F10 =F20 ¼ embw . In Entwurfsberechnungen wird der Bemessungslast der volle Umschlingungswinkel b der kleineren Scheibe zugeordnet F10 =F20 ¼ m ¼ emb :
ð1Þ
Die in den Umschlingungsbgen des Riemens wirkenden Fliehkrfte, die dort den Auflagedruck vermindern, werden durch die freien Trume abgesttzt und wirken daher als Fliehkraft Ff ¼ ru2 A ¼ qu2 gleichmßig im gesamten Riemen (r mittlere Dichte, A Querschnitt des Riemens, q Masse eines Zugmittels je Lngeneinheit). Nutzbare Trumkrfte F10 ¼ F1 Ff ¼ mF20 ; F20 ¼ F2 Ff ¼ F10 =m; Umfangskraft (Nutzkraft) Fu ¼ F1 F2 ¼ F10 F20 ¼ F10 ð1 1=mÞ, maximale Trumkraft Fmax ¼ F1 ¼ F10 þ Ff ¼ F20 þ Fu þ Ff :
Bild 3 a–e. Ebene (a bis c) und rumliche (d und e) Antriebe. a offenes Riemengetriebe; b gekreuztes Riemengetriebe; c Vielwellenantrieb mit Flachriemen; d rumlicher Flachriementrieb mit drei Leitrollen L; e rumliches Synchronriemengetriebe
Flachriemen, Keilriemen und Synchronriemen ermglichen wegen ihrer leichten Tordierbarkeit den Aufbau rumlicher Antriebe mit nichtparallelen Wellen, Bild 3 d, e. Stahlketten sind nur fr Antriebe zwischen parallelen Wellen geeignet. Die mit wachsender Umfangsgeschwindigkeit u des Zugmittels wachsenden Fliehkrfte vermindern die bertragbaren Umfangskrfte. Die maximale Leistung wird daher bei einer, allerdings meist vom kleinsten Scheibendurchmesser abhngigen, optimalen Umfangsgeschwindigkeit uopt des Zugmittels bertragen.
Die Wellenspannkraft FW , die i. Allg. nicht in Richtung der Winkelhalbierenden von b weist, die aber fr die Lagerbelastung maßgebend ist, betrgt nach Bild 5 qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi FW ¼ F102 þ F202 2F10 F20 cos b: ð2Þ Der Durchzugsgrad F kennzeichnet die zur Erzeugung der Umfangskraft mindestens erforderliche Wellenspannkraft in Abhngigkeit von Reibungszahl m und Umschlingungswinkel b pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ð3Þ F ¼ Fu =FW ¼ ðm 1Þ= m2 þ 1 2m cos b: Die Ausbeute k kennzeichnet die mit der zulssigen Trumkraft F10 erzielbare Umfangskraft Fu in Abhngigkeit von m und b k ¼ Fu =F10 ¼ 1 ð1=mÞ:
ð4Þ
Die Verminderung der Ausbeute mit abnehmendem Umschlingungswinkel wird durch den Winkelfaktor cb ausgedrckt, der auf b ¼ p bzw. 180 bezogen ist. Winkelfaktor cb ¼ kb =kp bei m ¼ const; es gilt fr b > p: cb ^ b=p ¼ ðb ½GradÞ=180.
6.2 Flachriemengetriebe
6.2.2 Beanspruchungen
6.2.1 Krfte am Flachriemengetriebe
Homogene Flachriemen. Aus den Krften und dem Riemenquerschnitt A ¼ bs ergeben sich die Spannungen fr homogene Riemen. Fr Mehrschichtriemen sind diese Spannungen nur als fiktive, rechnerische Mittelwerte zu betrachten.
Die bertragung der Umfangskraft zwischen Riemen und Riemenscheibe erfolgt durch Schubspannungen. Fr den Grenzfall des Gleitens im gesamten Umschlingungsbogen (Gleitschlupf, s. B 1.11) gilt nach Eytelwein F10 =F20 ¼ emb mit den Trumkrften F10 und F20 ohne Fliehkraft und dem Umschlingungswinkel b ½rad ¼ ðp=180Þ b ½Grad (e=2,718) (Bild 4). Im normalen Betrieb durchluft der Riemen auf jeder Riemenscheibe zuerst einen Ruhebogen br , in dem der Riemen auf der Riemenscheibe nicht gleitet und dann den Wirkbogen bw ¼ b br . Schubspannungen werden im Ruhebogen durch Haftreibung bertragen, im Wirkbogen durch Gleitreibung [3]. Vernachlssigt man die Schubspannungs-
Bild 4. Bezeichnungen am offenen Riemengetriebe mit Index 1 fr die kleinere Scheibe
Trumspannungen s1 ¼ F1 =A, s2 ¼ F2 =A, Nutzspannung sn ¼ Fu =A ¼ s1 s2 , Fliehspannung sf ¼ Ff =A ¼ ru2 : Die Biegespannung ergibt sich aus der Biegedehnung im Umschlingungsbogen der kleineren Scheibe. Biegespannung sb ¼ Eb eb ¼ Eb s=dw1 (Eb Elastizittsmodul bei Biegung, eb Riemendehnung bei Biegung, s Riemendicke). Max. Beanspruchung smax ¼ s1 þ sb ¼ s2 þ sn þ sb : ð5Þ
Bild 5. Auf eine Riemenscheibe wirkende Krfte
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G 104
Mechanische Konstruktionselemente – 6 Zugmittelgetriebe
Bei halb gekreuzten (geschrnkten) und gekreuzten Riemengetrieben erfhrt der Riemen eine zustzliche Schrnkspannung ss an seinen Rndern, sodass hier smax; s ¼ s1 þ sb þ ss ist.
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Mehrschicht-Flachriemen. Bei Mehrschichtriemen (Bild 10), die aus einer hochfesten tragenden Zugschicht Z, einer Laufschicht L zur bertragung der Reibkraft auf der Innenseite und hufig noch aus einer Deckschicht D oder einer weiteren Laufschicht (fr Mehrscheiben-Antriebe) auf der Außenseite des Riemens zusammengesetzt sind, entstehen bei Dehnungen sehr unterschiedliche Spannungen in den einzelnen Schichten. Bei Biegung hngt die Lage der neutralen Biegefaser im Riemen von Dicke und E-Modul der einzelnen Schichten ab. Bild 6 zeigt die Spannungsverteilung bei Zug- und Biegebeanspruchung qualitativ. Fr die praktische Auslegung auch von Mehrschichtriemen wird vereinfacht nur die fr den jeweiligen Riementyp zulssige Umfangskraft pro Riemenbreite Fu zugrundegelegt, die auch die ertragbare Wechselbiegebeanspruchung fr zulssige Mindestscheibendurchmesser dmin und die zugeordnete, maximal zulssige Biegefrequenz fB bercksichtigt. Die neutrale Faser bei Biegung wird in der Mitte der Riemendicke bei s/2 angenommen; die Dehnung e bei Zugbeanspruchung mit einem mittleren Zug-Modul ðEAÞ berechnet: e ¼ F =ðEAÞ.
Bild 7 a, b. Riemengeometrie am geschrnkten Riemengetriebe. a stumpfwinklig geschrnkt; b rechtwinklig geschrnkt
Wegen Schrnkspannungen ss empfiehlt sich e ^ 20b. Lebensdauer wegen gegenlufiger Biegung geringer als bei offenem Riemengetriebe. Geschrnktes Riemengetriebe (Bild 7). Kreuzungswinkel d 6¼ 0. Lnge der mittleren Faser des halbgekreuzten Riemens mit d ¼ 90: L90 2e þ dw1 ðp þ gÞ=2 þ dw2 ðp þ jÞ=2
6.2.3 Geometrische Beziehungen Der wirksame Laufdurchmesser dw eines Riemens ist durch die Lage seiner biegeneutralen Faser im Umschlingungsbogen gegeben. Fr berschlgige Rechnungen kann man vereinfacht den Scheibendurchmesser d statt dw einsetzen. Fr homogene Riemen gilt: dw1 ¼ d1 þ s; dw2 ¼ d2 þ s; fr Schichtriemen gilt dies angenhert. Offenes Riemengetriebe (Bild 4). Umschlingungswinkel b1 ¼ 2 arccos½ðd2 d1 Þ=2e; b2 ¼ 2 p b1 ; Riemenlnge (gestreckte Lnge der neutralen Biegefaser) Lw ¼ 2e sinðb1 =2Þ þ ðdw1 b1 þ dw2 b2 Þ=2: Nherungsformel fr Wellenmittenabstand e bei gegebener Riemenlnge pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi e ðp þ p2 qÞ mit p ¼ 0;25Lw pðdw1 þ dw2 Þ=8 und q ¼ ðdw2 dw1 Þ2 =8. Die Vergrßerung De des Wellenabstands zum Vordehnen des Riemens um e0 ¼ DL=L ergibt sich aus je einer Rechnung fr Lw und ð1 þ e0 Þ Lw oder De ðe0 Lw =2Þ= sinðb1 =2Þ. Gekreuztes Riemengetriebe. Bild 3 b mit Bezeichnungen nach Bild 4. Umschlingungswinkel b1 ¼ b2 ¼ bkr ¼ 2 p bR mit bR ¼ 2 arccos½ðdw1 þ dw2 Þ=ð2eÞ: Lnge des gekreuzten Riemens (mittlere Faser) Lkr ¼ 2e sinðbR =2Þ þ ðdw1 þ dw2 Þbkr =2Þ:
mit tanðg=2Þ ¼ dw1 =ð2eÞ und tanðj=2Þ ¼ dw2 =ð2eÞ. Konstruktionsmaße e1 und e2 (%b=2) beachten, damit der Riemen in der richtigen Scheibenebene aufluft! Das ablaufende Trum darf im Winkel (bis 25) zur Scheibenebene liegen, Laufrichtung nicht umkehrbar. Wegen Schrnkspannung ss empfiehlt sich e ^ 20b und e > 2ðdw Þmax . 6.2.4 Kinematik, Leistung, Wirkungsgrad Riemengeschwindigkeiten u1 ¼ pnan dw; an ; u2 ¼ pnab dw; ab :
ð6Þ
Infolge der grßeren Dehnung muss die Geschwindigkeit u1 des Lasttrums zum Aufrechterhalten eines stationren Betriebs etwas grßer als die Geschwindigkeit u2 des Leertrums sein. Der Ausgleich zwischen den Dehnungen von Last- und Leertrums erfolgt praktisch durch Dehnschlupf in den Wirkbgen von Antriebs- und Abtriebsscheibe. Der Dehnschlupf y ergibt sich zu y ¼ e1 e2 ¼ ðs1 s2 Þ=E ¼ sn =E ðu1 u2 Þ=u1 . Die bersetzung i ist daher im normalen Betrieb geringfgig lastabhngig: i ¼ nan =nab ¼ dw, ab u1 =ðdw, an u2 Þ dw, ab =½dw, an ð1 sn =EÞ:
ð7Þ
Bei Leerlauf gilt i dab =dan : Biegefrequenz (Anzahl der Biegewechsel je s; zs Anzahl der Scheiben.) fB ¼ zs u=Lw ¼ ðzs pdw1 n1 Þ=Lw
ð8Þ
Die Drehmomente folgen aus den Trumkrften M1 ¼ Fu dw1 =2; M2 ¼ Fu dw2 =2: Leistungen: Pan ¼ 2pMan nan ; Pab ¼ 2pMab nab :
Bild 6 a, b. Dehnungen und Spannungen in Mehrschichtriemen. a bei Zugbeanspruchung; b bei Biegebeanspruchung (n neutrale Faser)
ð9Þ
Bemessungsleistung cB Pan mit Betriebsfaktor cB nach Tab. 1 fr ersten Entwurf ohne Schwingungsrechnung (in Anlehnung an DIN 2218 oder Richtlinie VDI 2758). Wirkungsgrad h ¼ Pab =Pan ¼ Mab =ðMan iÞ ð1 sn =EÞ ¼ 1 y. Der Wirkungsgrad hngt bei Vernachlssigung von Lagerreibung und Ventilationsverlusten praktisch nur vom Schlupf ab, weil die Umfangskraft eines jeden Trums an bei-
I6.2
Flachriemengetriebe
G 105
Tabelle 1. Betriebsfaktor cB zur angenherten Bercksichtigung des dynamischen Verhaltens von Antriebs- und Arbeitsmaschine sowie der tglichen Betriebsdauer fr offene Zugmittelgetriebe ohne Spannrolle
G
den Scheiben als gleich groß anzunehmen ist. Wirkungsgrade im Bestpunkt h ¼ 0;96 (Chromleder) und h ¼ 0;98 (Elastomer-Laufschicht). 6.2.5 Riemenlauf und Vorspannung Konusscheiben bei Verstellgetrieben. Auf einer konischen Scheibe nimmt der auf den grßeren Durchmesser auflaufende Riemenrand eine hhere Geschwindigkeit an als der andere, sodass das folgende Riemenstck zum grßeren Durchmesser hin gekippt wird und dadurch auf einen grßeren Laufdurchmesser dL auflaufen will, Bild 8 a. Ein im Umschlingungsbogen nicht gleitendes Riemenstck muss die unterschiedlichen Geschwindigkeiten ber Dehnungen ausgleichen, es muss die Form eines Kegelstumpfmantels annehmen und gleichsam hochkant gebogen werden, Bild 8 b. Gleichgewicht tritt ein, wenn das durch diese Biegeverformung bei A entstehende Biegemoment durch Schrgzug des Trums ausgeglichen wird, Bild 8 c. Axialversatz etwa 0;6 Riemenbreite, der genaue Versatz ergibt sich nach kurzer Einlaufzeit. Flachriemengetriebe mit konstanten bersetzungen. Die Scheiben blicher offener und gekreuzter Flachriemengetriebe werden mit leicht kreisfrmig gewlbten Laufflchen nach DIN 111 (ISO 22) ausgefhrt (Tab. 2), um den stets zum grßten Scheibendurchmesser strebenden Riemen axial zu fhren. Bei offenen Riemengetrieben mit waagerechten Wellen kann bei einer bersetzung i>3 die kleinere Scheibe zylindrisch ausgefhrt werden. Voraussetzungen fr guten Riemenlauf sind: Achsparallelitt beider Wellen, zentrisch laufende Riemenscheiben, Ausrichten der grßten Durchmesser gewlbter Riemenscheiben fluchtend in einer Ebene, Riemenrnder innerhalb der Scheibenbreite bs > b, glatte Scheiben-
Bild 8. a Axiales Auflaufen des Riemens zum grßeren Durchmesser; b Gleichgewicht beim tangentialen Auflaufen des Riemens auf konische Scheibe; c Antrieb mit zwei konischen Scheiben fr stufenlos verstellbare bersetzung
laufflchen nach DIN 111. „Griffige“, porse oder wellige Oberflchen oder klebende Haftmittel behindern den natrlichen Dehnschlupf im Wirkbogen, erhhen den Verschleiß und knnen durch Stick-Slip-Effekte Lngsschwingungen des Riemens anregen. Rumliche Riemengetriebe (Bild 3 d, e) erhalten zylindrische Riemenscheiben. Zur sicheren Riemenfhrung bei halbgekreuzten Riemengetrieben ðd ¼ 90°Þ werden empfohlen: Scheibenbreite bs ¼ 2b, axialer Abstand der Scheibenmittelebene vom jeweiligen Gegenrad e1 ; e2 ¼ ð0;2 . . . 0;5Þb (Bild 7 b), d2 =d1 ¼ 1 . . . 2;5, e ^ 20b. Erzeugung der Vorspannung. Die fr den Reibschluss mindestens erforderliche Wellenbelastung FW kann mit den Verfahren nach Bild 9 a, b erzeugt werden durch:
G 106
Mechanische Konstruktionselemente – 6 Zugmittelgetriebe
Tabelle 2. Empfohlene Wlbhhen h entsprechend DIN 111
G a. Auflegedehnung bei starrem Achsabstand. Hierbei wird die Riemenlnge so bemessen, dass der Riemen beim Auflegen auf die Scheiben durch elastische Dehnung vorgespannt wird. Bei einstellbarem Achsabstand (z. B. Antriebsmotor auf Spannschienen) kann die Vorspannung auch nach dem Auflegen durch Vergrßerung des Achsabstands erzeugt werden. Bei starrem Achsabstand bleibt die Riemenlnge bei allen Betriebszustnden konstant. Deshalb werden die Trumkrfte F 0 und die Wellenspannkrfte FW durch die Fliehkraft vermindert. Die Auflegedehnung muss daher entsprechend sf grßer gewhlt werden, um bei Betriebsdrehzahl den erforderlichen Reibschluss sicherzustellen. Die Wellenbelastung steigt schwach mit zunehmendem Drehmoment, sie wird durch die genaue Dehnungsverteilung festgelegt [3]. Da die Auflegedehnung ber lange Betriebszeiten aufrechterhalten werden soll, eignet sich dieses Spannverfahren vor allem fr Riemen mit hoher Maßstabilitt, z. B. Mehrschichtriemen mit Polyamid- oder Polyester-Zugschichten; es ist das dafr berwiegend angewandte Spannverfahren. b. Spannrolle am Leertrum. Die bewegliche feder- oder gewichtsbelastete Spannrolle erzeugt konstante Trumkraft F2 bei allen Betriebszustnden. Bei Anwendung der Spannrolle auf der Außenseite des Riemens wird zugleich der Umschlingungswinkel b erhht und dadurch der Winkelfaktor cb verbessert. Die zustzliche Spannrolle erhht jedoch die Biegefrequenz und mindert dadurch bei grßeren Riemengeschwindigkeiten die zulssige Nutzspannung. Ihr Durchmesser soll mit Rcksicht auf die Lebensdauer des Riemens grßer als d1, min , ihre Laufflche stets zylindrisch sein. Dieses Spannverfahren fhrt bei kleinen Drehmomenten zu niedrigen Trum- und Wellenbelastungen, es ist daher geeignet fr Antriebe mit berwiegend Teillastbetrieb und Riemen mit zeitabhngiger Nachdehnung, wobei auch hier die Gefahr von Schwingungen zu beachten ist. Wird eine feste (einstellbare) Spannrolle am Leertrum zur Einstellung der Auflegedehnung und auch zur Vergrßerung von b benutzt, so stellt sich das gleiche Betriebsverhalten wie im Spannverfahren nach (Bild 9 a) ein.
Bild 9 a, b. Abhngigkeit der Trumkrfte und der Wellenbelastung FW von der Umfangskraft Fu bei konstanter Drehzahl mit verschiedenen Spannverfahren a, b (fr b1 ¼ b2 ¼ 180°). Index 0: Krfte im Stillstand
6.2.6 Riemenwerkstoffe Frher bliche Riemen aus Leder wurden wegen ihrer geringeren Festigkeit, krzeren Lebensdauer und starken Nachdehnung im Betrieb von Kunststoff-Mehrschichtriemen (Verbundriemen) abgelst. Die Riemen werden entweder in passender Lnge endlos hergestellt oder am Einsatzort an ihren schrg geschnittenen, zugeschrften Enden unter Erwrmung endlos geklebt. Bild 10 und Tab. 3 zeigen Aufbau und Werkstoffe gebruchlicher Riemenbauarten, Tab. 4 die Werkstoffkennwerte von Flachriemen-Zugschichten. 6.2.7 Entwurfsberechnung Die zulssige Beanspruchung von Riemen wird nicht durch deren Zugfestigkeit, sondern durch Zerrttung (Zermrbung) und bei ungengender Vorspannung durch Verschleiß begrenzt. So betrgt die Zugfestigkeit Rm bei Flachriemen das 10- bis 20fache der zulssigen Betriebsbeanspruchung sn . Die Schdigung von Riemen wird beschleunigt durch hhere Temperaturen und hhere Walkarbeit, d. h. durch hhere Biegefrequenzen und kleinere Biegeradien. Die zulssige Betriebsbelastung wird aus Versuchen bestimmt. Die berschlgige Auslegung eines offenen Flachriemengetriebes der hufigsten Bauart nach Bild 10 d geht von der zulssigen auf 1 mm Riemenbreite bezogenen (Index ) Nennumfangskraft bei einem zugeordneten kleinsten zulssigen ScheibenFuN durchmesser d1, min der kleineren Riemenscheibe nach Anh. G 6 Tab. 1 aus. Die Riemengeschwindigkeit umax und die Biegefrequenz fB; max nach Tab. 3 sollen nicht berschritten werden. Mit Durchmesser der kleinsten Scheibe d1 ; Umschlingungswinkel b1 ; Winkelfaktor cb ; Riemenbreite b und Antriebsdrehzahl nan ergeben sich fr Riemen nach Bild 10 d in An-
Bild 10 a–d. Aufbau von Schichtriemen. a Einlagiger Textilriemen; b mehrlagiger Textilriemen; c Polyestercordriemen; d Bandriemen mit breiten Zugbndern, berwiegend verwendete Bauart; D Deckschicht, Z Zugschicht, L Laufschicht
I6.3
Keilriemen
G 107
Tabelle 3. Aufbau und Anwendung der Riemen nach Bild 10 (Richtwerte, maßgebend sind die Herstellerangaben)
G
Tabelle 4. Werkstoffkennwerte von Flachriemen-Zugschichten
lehnung an Herstellerangaben [4]: ð2 d zul: bezogene Umfangskraft Fu; zul cb FuN 1, min =d1 Þ Bemessungsleistung c P % F bd pn B an
u; zul
w; an
an
Riemenbreite b ^ cB Pan =ðFu; zul dw; an pnan Þ:
6.3 Keilriemen
Verbesserungen der Berechnung entsprechend Gl. (11) bei Keilriemen sind zu erwarten. Wird ein Riemengetriebe mit starrem Achsabstand nach Bild 9 a vorgesehen, muss der Riemen mit elastischer Auflegedehnung montiert werden. Whlt man bei Betrieb mit Fu; zul die Summe ðF10 þ F20 Þ ¼ kv Fu; zul b und bercksichtigt die Fliehkraft im Betrieb nach Bild 9 a, so errechnet sich die Auflegedehnung ea zu ea ¼ DL=L ¼ e0 þ ef ¼ ½ðkv =2ÞFu; zul þ Ff =ðEAÞ mit Ff ¼ r0 u2 ; ðEAÞ und r0 nach Anh. G 6 Tab. 1. Anhaltswerte fr kv ¼ ðm þ 1Þ=ðm 1Þ mit m nach Gl. (1), z. B. fr b1 ¼ p und m ¼ 0;51: kv ¼ ð5 þ 1Þ=ð5 1Þ ¼ 1;5 oder m ¼ 0;4: kv ¼ 1;8. Riemenlnge entspannt, d. h. um die Auflegedehnung kleiner: L ¼ Lw =ð1 þ ea Þ: Wellenbelastung durch Vorspannung im Stillstand mit Zuschlag Ff und F1 ¼ F2 ¼ ½ðkv =2ÞFu, zul þ Ff b ¼ ea ðEAÞ b pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi FW0 ¼ F1 2ð1 cos b1 Þ ¼ 2 F1 sinðb1 =2Þ:
DIN 740–2 fr Nachgiebige Wellenkupplungen und fr Saitenschwingungen. Die Erfahrungen der Riemenhersteller sollten im Einzelfall stets erfragt werden, Hersteller [5].
ð10Þ
Vergleich der Biegefrequenz fB mit der zulssigen Biegefrequenz fB; max fr kleinsten Riemenscheibendurchmesser d1, min nach Herstellerangaben. Maßgebend fr eine abschließende Entscheidung ist auch das Schwingungsverhalten des Riementriebs mit Berechnungen in Anlehnung an
6.3.1 Anwendungen und Eigenschaften Keilriemen (Bild 1 b) dienen der reibschlssigen Bewegungs- und Leistungsbertragung ber mittlere Wellenabstnde [10]. Sie werden in den Keilriemenscheiben in allen Lagen sicher gefhrt, auch bei kurzem Durchrutschen und bei Winkeltrieben. Fast alle Typen sind auch zum Kuppeln (Spannen des Keilriemens bei laufender Antriebsscheibe mittels radialbeweglicher Welle oder Spannrolle) geeignet. Abmessungen sind fr die Grundtypen international genormt, s. Anh. G 6 Tab. 2. Weitere Typen fr Sonderzwecke, Bild 12. Die reibschlssige bertragung der Umfangskraft erfolgt nur ber die seitlichen Keilflchen des Riemenprofils. Verstellbarkeit des Wellenabstands um Betrge x nach ISO 155 oder Herstellerangaben ist vorzusehen; berschlgig reicht meist x ^ þ 0; 03Lw zum Spannen und Nachspannen des Riemens und jxj ^ 0; 015Lw zum zwanglosen Auflegen des Riemens ber den Scheibenrand hinweg. Die Wirkdurchmesser dw (Bild 1 b) und zugeordneten Wirkbreiten bw (Bild 12 a und Anh. G 6 Tab. 2) von Riemen und Keilriemenscheibe kennzeichnen die Lage der biegeneutralen Zugschicht im Keilriemenprofil. Sie sollten mit dem entsprechenden Richtdurchmesser dr und der Richtbreite br der Keilriemenscheiben mglichst bereinstimmen (gilt nicht fr Keilrippenriemen nach DIN 7867). Der Scheibenwinkel a wird wegen der Querdehnung des Riemens abhngig von dr vorgeschrieben. Hufige ðfB Þ und große ð1=dw Þ Biegeverformungen steigern die innere Erwrmung des Riemens und mindern bei gleicher
G 108
Mechanische Konstruktionselemente – 6 Zugmittelgetriebe
c. Endlose Schmalkeilriemen nach DIN 7753, b0 =h 1; 2 . . . 1; 4 mit Schmalkeilriemenscheiben nach DIN 2211 (Maße und Werkstoff). Sie bertragen hhere Leistung als Keilriemen gleicher Wirkbreite nach DIN 2215. Meistverwendeter Riementyp. d. Endlose Breitkeilriemen fr industrielle Drehzahlwandler nach DIN 7719, gilt nicht fr Kraftfahrzeuge oder Landmaschinen. b0 =h ¼ 2; 8 . . . 3; 25. Rillenwinkel a=24 . . . 30. Kleinere Keilwinkel ergeben grßeren Stellbereich, aber Gefahr der Selbsthemmung (Festklemmen des Keilriemens in der Scheibenrille). Stellbereich imax =imin ¼ 4 . . . 12 mglich bei zwei Verstellscheiben.
G
Bild 11 a, b. bertragbare Leistung von Schmalkeilriemen nach DIN 7753 bei gleicher Lebensdauer [6, 7]. a ummantelte Keilriemen; b Verhltnis der Leistung Pfo flankenoffener zur Leistung Pum ummantelter Schmalkeilriemen. dw; min nach Anh. G 6 Tab. 2
Lebensdauer seine bertragbare Leistung, Bild 11 a. Voraussetzung fr hohe Lebensdauer sind: stndige Aufrechterhaltung (Kontrolle) der richtigen Vorspannung, genaue Ausrichtung sowie glatte Oberflchen der Rillenscheiben, dw; min und Wellenmittenabstand e nicht kleiner als ntig, Gegenbiegung (Rckenspannrolle) vermeiden. Spannrollen, wenn unvermeidbar, als Keilriemenscheiben mit dw > dw; min ausbilden. Betriebsgrenzen. Umgebungstemperaturen = 30 bis 80 C ( 55 bis 70 C); imax 10; e ð0; 7 . . . 2Þðdw1 þ dw2 Þ; FW ¼ ð1; 5 . . . 2; 5ÞFu ; Leistungen bis Pmax >1 000 kW (bis zu 35 parallele Strnge), hmax ¼ 0; 97 fr Einzelriemen; hmax bis 0,95 fr Keilrippenriemen. 6.3.2 Typen und Bauarten von Keilriemen Die Typen sind gekennzeichnet durch die geometrischen Abmessungen des Riemenprofils, die Bauarten durch den inneren Aufbau. Bild 12 a–i zeigt die hufigsten Typen von Keilriemen: a. Endlose Keilriemen nach DIN 2215 (auch klassische Keilriemen). b0 =h 1; 5 . . . 1; 6; Profile bezeichnet nach Breite b0 ; Keilriemenscheibenmaße und Werkstoffe s. DIN 2211 und DIN 2217. b. Endliche Keilriemen nach DIN 2216. Meterware, starke Gewebeeinlagen, vorgelocht fr Riemenschloß, fr mittlere Umfangsgeschwindigkeiten. Pmax bis zu 15% niedriger, dw; min bis zu 15% grßer als bei endlosen Keilriemen nach DIN 2215 mit gleichem Profil. Grßere bleibende Dehnung, daher fteres Nachspannen oder Krzen erforderlich.
e. Gezahnte Keilriemen. Keilriemen nach a bis d mit Quernuten in der Profilinnenflche zur Erhhung der Biegewilligkeit. Nuten verursachen – sofern keine ungleiche Teilung der Quernutenabstnde gewhlt wird – periodische Einlaufstße und Gerusch. f. Endlose Hexagonalriemen fr Landmaschinen (Doppelkeilriemen) nach DIN 7722. bmax =h 1; 3. Fr ebene Vielwellenantriebe mit gegenlufigen Scheiben. bertragbare Leistung etwa wie bei Keilriemen nach DIN 2215 mit gleicher maximaler Profilbreite. g. Flankenoffene Keilriemen. Profile nach DIN 2215 und DIN 7753 Teil 1. Sie haben nur eine ußere Gewebedeckschicht, jedoch keine Gewebeummantelung an den tragenden Flanken und der „gezahnten“ Innenflche. Sie bertragen hhere Leistungen insbesondere bei kleinen Scheibendurchmessern und hohen Geschwindigkeiten (Bild 11 b), vertragen kleinere Scheibendurchmesser (etwa 0,7 bis 0,8 dw; min nach Anh. G 6 Tab. 2) als ummantelte Keilriemen, erfordern dadurch auch weniger Bauraum bei gleicher Leistung und sind weniger empfindlich gegen l, Wrme, Schlupf und Abrieb. h. Verbund-Schmalkeilriemen (Kraftbnder). Sie bestehen aus bis zu fnf gleich langen (satzkonstanten) Schmalkeilriemen oder klassischen Keilriemen, die durch ein Deckband fest miteinander verbunden sind. Deckband verhindert Verdrillen oder starkes Schwingen einzelner Riemen des Satzes. Rillenscheiben nach ISO 5290. i. Keilrippenriemen (Rippenbnder) nach DIN 7867. Weiterentwicklung von Verbundkeilriemen in Richtung Flachriemen [8]. Fnf Profile mit Rippenabstand in mm: PH 1,60; PJ 2,34; PK 3,56; PL 4,70; PM 9,40. PK vorzugsweise fr Kraftfahrzeugbau, PJ, PL, PM vorzugsweise fr industrielle Riemenantriebe, PH fr spezielle Anwendungen. Breite bis zu 60 Rippen. bertragbare Leistung mit bersetzungszuschlag pro Rippe nach Herstellerangaben. Umfangsgeschwindigkeiten je nach Profil bis u 60 m/s. Kleinere Scheibendurchmesser und hhere bersetzungen je Stufe als bei Keilriemen vermindern den erforderlichen Bauraum, Laufruhe und Gleichfrmigkeit der Bewegung sind grßer; Gegenbiegung mglich. 6.3.3 Entwurfsberechnung Zur Berechnung der lebensdauerabhngigen Nennleistung PN offener Keilriemengetriebe wird eine in ISO 5292 angegebene, an Versuchsergebnisse anpaßbare Zahlenwertgleichung zunehmend verwendet. Durch Einfhrung von Bezugskenngrßen lsst sich diese Gleichung bersichtlicher gestalten: u dw, min 1 PN ¼ cb P0 1 þ K2 1 dw1 Ki u0 " 2 # # ð11Þ u u0 Lw þ K4 ln þ K3 1 u L0 u0
Bild 12 a–i. Typen von Keilriemen. a bis i s. Text
mit dem Winkelfaktor cb ¼ 1;25 ð1 5b1 =p Þ; Umschlingungswinkel b1 der kleineren Scheibe; Nennleistung P0 bei
I6.5 Umfangsgeschwindigkeit u0 fr Mindest-Scheibendurchmesser dw; min bei bersetzung i=1 ðb1 ¼ 180 bzw: pÞ sowie Riemenlnge L0 ; Nennleistung PN bei Umfangsgeschwindigkeit u fr Wirkdurchmesser der kleineren Scheibe dw1 bei bersetzung i 6¼ 0 ðb1 6¼ 180 bzw: pÞ sowie Riemenlnge Lw ; Ki 1;124 0;124 expð3ði 1ÞÞ und i ^ 0. In Anh. G 6 Tab. 2 ist eine Auswertung der Katalogangaben eines Herstellers zur ersten Orientierung angegeben. Zur Orientierung knnen auch die Normen DIN 2218 und DIN 7753 genutzt werden. Die richtige Bemessung eines Riementriebs hngt von einer Reihe von Faktoren und Umweltbedingungen ab. – Es wird deshalb empfohlen, besonders bei schwierigen Antriebsproblemen die Erfahrungen der Firmen dieses Fachgebiets, d. h. [5] Hersteller und Anwender [9]von Keilriemen und Antrieben zu bercksichtigen. Die Bemessungsleistung cB Pan % zPN fr z parallellaufende Riemen wird mit Schtzwerten fr cB nach Tab. 1 bestimmt, sodass die erforderliche Riemenanzahl z ^ cB Pan =PN ist. Berechnung aller anderen Systemgrßen wie bei Flachriemen oder nach Richtlinie VDI 2758.
6.4 Synchronriemen (Zahnriemen) 6.4.1 Aufbau, Eigenschaften, Anwendung Synchronriemen (Bild 13) haben eine einseitige oder doppelseitige Verzahnung, mit der sie die Umfangskrfte formschlssig ohne Schlupf bertragen, Bild 2 c. Der Riemenkrper besteht aus Neoprene oder Polyurethan mit Zugstrngen aus hochfesten Glasfasern oder Stahl-, Kevlar- bzw. Polyestercord, die bei den meist endlos in Normlngen hergestellten Riemen schraubenfrmig gewickelt sind. Der Zugstrang bestimmt die neutrale Biegeebene, seine Lnge ist zugleich die Wirklnge Lw des Riemens, er luft auf den Wirkdurchmessern dw1; 2 ¼ z1, 2 pb =p um die Synchronscheiben (Zahnscheiben) mit den Zhnezahlen z1 , z2 und der Zahnteilung pb . Synchronriemen (Zahnriemen) laufen bei richtiger Einstellung wartungsfrei, keine Schmierung erforderlich. Bei grßeren Geschwindigkeiten, Leistungen, Vorspannungen und Riemenbreiten entstehen Zahneingriffsgerusche, Grundfrequenz f0 ¼ n1 z1 . Synchronriemen eignen sich wegen der formschlssigen Bewegungsbertragung fr bersetzungstreue Antriebe (z. B. Ventilsteuerungen), bei beidseitiger Verzahnung auch fr Vielwellenantriebe mit gegenlufigen Scheiben, bei grßeren Achsabstnden auch fr rumliche Antriebe, Bild 3 e. Normen: DIN 7721 und DIN ISO 5296 zu Abmessungen und Messung der Wirklnge. Scheiben DIN ISO 5294.
Kettengetriebe
G 109
men montiert. Spannrollen mglichst als Zahnscheiben ðdw > dw1 Þ ausbilden und zur Vermeidung von Gegenbiegung am Leertrum innen anordnen, aber nicht federnd, weil keine Nachdehnung des Riemens bei richtiger Auslegung zu erwarten ist. Empfohlene Grenzwerte: e ð0;5 : : : 2Þðdw1 þ dw2 Þ, d1 =b ^ 1. Bei rumlichen Synchronriementrieben muss die Gerade zwischen Auf- und Ablaufpunkten zugleich Schnittlinie der beiden mittleren Radebenen sein, sodass der Riemen nur verdrillt, nicht aber seitlich abgezogen wird (s. Bild 3 e); seitliche Borde knnen entfallen; Wellenabstand je 90 Verdrillung e90 ^ 12b. Betriebsgrenzen. Umgebungstemperatur = 40 bis 90 C; Pmax ¼ 400 kW; umax ¼ 40 (Typ T 20). . . 80 (T 5) m/s; fB; max 100 s1 ; imax 12; hmax 0;98. 6.4.3 Entwurfsberechnung Berechnung von Lw (angenhert), e und u wie fr Flachriemengetriebe; genau: Lw ¼ pb zb mit zb = Riemenzhnezahl; Zahl der eingreifenden Zhne ze1 ¼ z1 b1 =2 p (auf ganze Zahl abgerundet); bersetzung i ¼ z2 =z1 ; Wahl des Riemens nach der gegebenen Leistung und der Zhnezahl z1 ^ z1, min mit Leistungsangaben fr Bezugsbreite bs0 nach Anh. G 6 Tab. 3 und Breitenfaktor kw ¼ ðbs =bs0 Þ1;14 nach ISO 5295 sowie Lasteinleitungsfaktor kz ¼ 1 fr ze1 ^ 6 bzw. kz ¼ 1 0;2ð6 ze1 Þ fr ze1 < 6. Mit der bertragbaren Leistung ( 2 ) u bs bs 0;14 u 1;5 0;5 cB Pan % kz P0 bs0 u0 bs0 u0 und u ¼ n1 z1 pb ¼ n2 z2 pb ergibt sich die mindest erforderliche Riemenbreite bs . Maximale Riemenbreiten bs; max ð4 . . . 10Þpb : Empfohlene Wellenvorspannkraft FW0 Fu : Der Betriebsfaktor cB ist bei bersetzungen ins Schnelle fr 1=i 1;24 gegenber Tab. 1 nach Herstellerangabe zu erhhen. Hhere Leistungen sind mit HTD-(High Torque Drive-) Riemen [10] und RPP-Riemen (Riemen mit parabolischem Profil) [11] als weiterentwickelte Trapezzahnriemen sowie mit AT-Riemen [12] als verstrkte T-Typen bertragbar. Zustzliches Entscheidungskriterium bei der Riemenauswahl, insbesondere im Automobilbau, ist eine mglichst niedrige Geruschentwicklung, die durch modifizierte Trapezzahnformen angestrebt wird. Hersteller [5]. Rechengang fr Trapezprofil und kreisbogenfrmiges Profil s. Richtlinie VDI 2758.
6.5 Kettengetriebe 6.5.1 Bauarten, Eigenschaften, Anwendung
6.4.2 Gestaltungshinweise Bei ebenen Getrieben mssen die Synchronriemen durch seitliche Borde an mindestens einer Zahnscheibe beidseitig oder wechselseitig an zwei Zahnscheiben axial gefhrt werden. Zum Auflegen und Vorspannen sollte eine Welle oder Spannwelle radial beweglich sein. Bei festem Wellenabstand werden die Zahnscheiben gemeinsam mit dem aufgelegten Rie-
Bild 13 a–c. Profilformen von Zahnriemen. a, b einfach und doppelt verzahnt nach DIN 7721 mit metrischer und DIN ISO 5296 mit ZollTeilung; c HTD-(High Torque Drive-)Profil
Kettengetriebe (Bild 2 a, b) bertragen formschlssig und schlupflos Leistungen bis 200 kW je Einzelkette mit niedrigen Umfangsgeschwindigkeiten zwischen parallelen Wellen, bei mehr als zwei Wellen auch gegenlufig. Leistungen bis ber 500 kW sind mit Mehrfachketten (ausgefhrt bis 12fach, berwiegend bis 3fach) mglich. Bei kleinen Zhnezahlen des kleineren Kettenrads wird die Drehbertragung wegen des rhythmisch vernderlichen Kettenab- bzw. -auflauforts, des sog. Polygoneffekts, ungleichmßig. Daraus folgen periodisch schwankende Trumgeschwindigkeiten, Anregung von Schwingungen und Geruschen bei hheren Kettengeschwindigkeiten. Milderung bei grßerer Zhnezahl und kleinerer Teilung. Andererseits mildert die Kette Betriebsstße aufgrund ihrer Lngselastizitt. Die Lebensdauer einer Kette wird begrenzt durch die maximal ertragbare Verschleißlngung und vermindert durch ungengende Schmierung, Verschmutzung, Stoß- und Schwingungsbeanspruchung. Hufigste Bauarten sind die Buchsenkette nach DIN 8154, Bild 14 a (im geschlossenen Getriebegehuse bei sehr guter Schmie-
G
G 110
Mechanische Konstruktionselemente – 7 Reibradgetriebe
Bild 14 a, b. Getriebeketten. a einfache Buchsenkette; b einfache Rollenkette; 1 Innenglied mit eingepressten Hlsen, 2 Außenglied mit Bolzen, 3 bewegliche Rolle
G
rung), die Rollenkette nach DIN 8187 und DIN 8188, Bild 14 b (meistverwendete Bauart, die geschmierte Rolle vermindert Verschleiß und Gerusch) und die Zahnkette nach DIN 8190 (Bild 2 b) (ruhiger Lauf bei hheren Umfangsgeschwindigkeiten). Weitere Stahlgelenkketten s. DIN 8194 mit Bauformen und Benennungen (deutsch, englisch, franzsisch). Stufenlos verstellbare Kettengetriebe (sogenannte CVT-Getriebe – Continuously Variable Transmission) werden entweder mit radialverzahnten Kegelscheiben und Ketten mit querbeweglichen, in die Zhne der Kegelscheiben eingreifenden Lamellen (berwiegend Formschluss) oder mit glatten Kegelscheiben und reibschlssig zwischen diesen laufenden Ketten (Zylinder- und Ringrollenketten, Wiegedruckstckketten, Keilketten) ausgefhrt [13, 14]. Als Alternative zur zugkraftbelasteten Stahlgelenkkette sind auch Schubgliederbnder (Ganzmetall-Keilriemen) bekannt, deren Glieder im wesentlichen auf Druck beansprucht werden [15]. 6.5.2 Gestaltungshinweise Wellenabstnde mglichst fr eine gerade Zahl von Kettengliedern (Teilung p) bemessen, um gekrpfte Glieder zu vermeiden. Achsabstand so, dass Umschlingungswinkel mindestens 120 auf Kleinrad, normal: e ¼ 30 . . . 50 p. Der Durchhang im Leertrum soll etwa 1% des Achsabstands betragen. Die maximal zulssige Verschleißlngung der Kette Dl sollte i. Allg. 3% der ursprnglichen Kettenlnge l nicht berschreiten, bei Kettenrdern mit mehr als 67 Zhnen nur Dl=l % 200=z2 in %, jedoch bei festem Wellenabstand ohne Spannvorrichtung nur Dl=l % ð0;6 . . . 1;5Þ% . Ausgleich des Kettenverschleißes durch querverschiebliche Wellen oder, bei festem Wellenabstand, durch zylindrische Spannrolle (bis u ¼ 1 m/s) oder verzahntes Spannrad, jeweils im Leertrum,
7 Reibradgetriebe H. Peeken, Aachen; berarbeitet von G. Poll, Hannover
durch Federn oder Gewicht gering belastet. Wegen des Polygoneffekts sollten Rder mit mindestens 17 Zhnen gewhlt werden. Fr mittlere bis hohe Geschwindigkeit oder hchstzulssige Belastung soll das Kleinrad gehrtete Zhne und mglichst 21 Zhne aufweisen. Kettenrder sollten normalerweise hchstens 150 Zhne besitzen. Bevorzugte Zhnezahlen: 17, 19, 21, 23, 25, 38, 57, 76, 95 und 114. Wenn Kettentrieb mit Neigung zur Waagerechten grßer als 60 angeordnet, dann notwendige Kettenspannung durch Spannrollen, Spannrder oder andere geeignete Hilfsmittel. Von Spannund Umlenkrdern sollen mindestens drei Zhne im Eingriff sein. bersetzung i: 3 bis 7 gnstig, bis ber 10fach mglich. Erforderliche Schmierung ist abhngig vom Kettentyp und Kettengeschwindigkeit u. Hinweise zu Rollenketten s. DIN ISO 10 823. Gestaltungs- und Berechnungshinweise siehe [14, 15]. Anwendungsgebiete s. Q 1.3.2 und T 1.2.2, meistens in Kombination mit nachgeschaltetem Zahnradgetriebe. Stellbereiche bis etwa 6, Leistungsbereiche fr formschlssige Lamellenketten bis 13,5 kW, fr reibschlssige Ketten bis 175 kW. 6.5.3 Entwurfsberechnung Kettengeschwindigkeit u ¼ n1 z1 p ¼ n2 z2 p, Teilkreisdurchmesser (Rollenmitten) dw1; 2 ¼ p= sinðp=z1, 2 Þ, Kettenlnge l= Xp mit Gliederanzahl X (volle, gerade Anzahl), X ^ X0 mit X0 ¼ 2e=p þ ðz1 þ z2 Þ=2 þ pðz2 z1 Þ2 =ð4ep2 Þ, Achsabstand " rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi # p z1 þ z2 z1 þ z2 2 z2 z1 2 2 e X : þ X 2 2 p 4 Die Teilung p der Rollenketten nach DIN 8187 (europische Bauart, Kennbuchstabe B) und DIN 8188 (amerikanische Bauart, Kennbuchstabe A) ist in Zollstufung genormt, s. Anh. G 6 Tab. 4. Zur Drehzahl n0 gehrt die Leistung P0 ; fr n1 % n0 , i 7 gilt in erster Nherung 0;9 z 1;073 i 0;18 e 0;26 n1 1 PN P0 N 0;97 n0 19 3 40p mit Bemessungsleistung cB Pan % PN , wobei der Betriebsfaktor in Anlehnung an Tab. 1 geschtzt werden kann N=1 fr Einfachkette, N=2 fr Zweifachkette, N=3 fr Dreifachkette. Genauere Auswahl nach DIN ISO 10 823. Typisches Leistungsdiagramm zur Auslegung nach Herstellerunterlagen s. Anh. G 6 Bild 1. Hersteller [5].
bertragung erfolgt durch Umfangskrfte Ft , die zwischen den rotationssymmetrischen Rdern unter der Anpresskraft Fn (Bild 1 a) wirken. Man definiert einen Kraftschlussbeiwert
7.1 Wirkungsweise, Definitionen Reibradgetriebe oder auch Wlzgetriebe sind gleichfrmig bersetzende Reibschlussgetriebe [1], bei denen im Gegensatz zu Zugmittelgetrieben keine großflchige Berhrung auftritt, sondern nherungsweise punkt- oder linienfrmige Kontakte vorliegen. Die Grße der durch Abplattung entstehenden Berhrflche sowie die Pressungsverteilung lassen sich mit Hilfe der Hertzschen Gleichungen (s. C 4) bestimmen. Bei weichen nichtmetallischen Werkstoffen findet die Theorie der Stribeckschen Wlzpressung Anwendung. Die Momenten-
Bild 1 a–c. Krfte und bersetzung bei Reibrdern. a Mit parallelen Achsen; b mit einander schneidenden Achsen, ohne Bohrreibung; c mit einander schneidenden Achsen, mit Bohrschlupf in der Berhrlinie
I7.2
Bauarten, Beispiele
G 111
f bzw. Nutzreibwert (s. a. Tab. 2) mN ¼ f ¼ Ft =Fn ,
ð1Þ
der stets kleiner als der tatschliche Reibwert m ist. Damit ist die Kraftschlussausnutzung bzw. der tangentiale Nutzungsgrad ut ¼ mN =m ¼ f =m:
ð2Þ
Die Drehachsen liegen zumeist in einer Ebene, um den bei windschiefen Achsen auftretenden Schrglauf zu vermeiden. Bei Verstellgetrieben muss jedoch eine Bohrbewegung (s. G 7.3.1) in Kauf genommen werden. Nur wenn die Spitzen der beiden Wlzkegel in einem Punkt zusammenfallen, ist reines Rollen mglich (Bild 1 b). Die bersetzung ist definiert als Drehzahlverhltnis von Antriebs- (Index 1-) und Abtriebs(Index 2-)welle: i ¼ n1 =n2 ¼ d2 =d1 :
ð3Þ
In der Literatur findet man fr die bersetzung, insbesondere von Verstellgetrieben auch den u. U. vorzeichenbehafteten Kehrwert i ¼ n2 =n1 . Die in der Praxis oft konstante Antriebsdrehzahl n1 dient dabei als Bezugsgrße, mit der Folge, dass bei stillstehender Abtriebswelle ðn2 ¼ 0Þ nicht i= 1 wird.
7.2 Bauarten, Beispiele Reibradgetriebe bestehen in der einfachsten Ausfhrung aus zwei Rotationskrpern, die unmittelbar auf An- und Abtriebswelle angeordnet sind. Zur Verringerung der hohen Anpresskrfte, die in diesem Fall vollstndig von den Lagern aufgenommen werden mssen, bevorzugt man Paarungen mit grßeren Reibwerten (Bild 2). Besondere Eigenschaften lassen sich durch Konstruktionen mit Zwischengliedern erzielen, was mit dem Nachteil einer Reihenschaltung zweier Kontaktstellen im Leistungsfluss verbunden ist, jedoch eine Parallelschaltung mehrerer Zwischenglieder ermglicht, wodurch sich die Leistung erhhen und die Lagerbelastung verringern lsst (z. B. planetenartige Anordnung zur Verringerung der Radialkrfte). Bei Verstellgetrieben knnen An- und Abtriebswelle dann raumfest angeordnet werden, und die Bohrbewegung lsst sich im gesamten Verstellbereich minimieren. Die Anpresskraft Fn wird entweder durch Federkraft erzeugt, wodurch sie in der Regel konstant ist und ein Durchrutschen bei berlast ermglicht wird, oder sie wchst mit zunehmender Belastung. Die Kraft ist dabei prinzipbedingt lastabhngig (Bild 5 b, d) oder sie wird durch drehmomentabhngige Anpressvorrichtungen, wie z. B. in Bild 3 dargestellt, gezielt beeinflusst. Dadurch ndert sich die bersetzung mit schwankender Belastung nur geringfgig, das Getriebe ist „drehmomentensteif“.
Bild 2 a–c. Reibrder mit Reibbelgen, wobei B>b. a Harter organischer Reibbelag; b Reibring aus Gummi, aufvulkanisiert; c Reibring aus Gummi, aufgespannt
Bild 3. Vorrichtung zur Erzeugung einer drehmomentabhngigen Axialkraft Fa ¼ Ft tan a ¼ ðM=rÞ tan a
7.2.1 Reibradgetriebe mit festem bersetzungsverhltnis Bei allen Anwendungen, die keinen Synchronlauf erfordern, stehen Reibradgetriebe mit festem bersetzungsverhltnis in direkter Konkurrenz zu formschlssigen Getriebetypen wie z. B. Zahnradgetrieben. Sie zeichnen sich durch einfachen Aufbau aus, der kostengnstige Konstruktionen erlaubt und knnen gleichzeitig die Aufgabe einer berlastkupplung bernehmen. Eine zweifache Funktion erfllen sie auch bei Lagerung und Antrieb großer rohrfrmiger Behlter. Da die Geometrie der Kontaktzone zeitlich unvernderlich ist, sind im Gegensatz zu Zahnradgetrieben keine periodischen Schwingungsanregungen (Eingriffsstoß, Zahnsteifigkeitsschwankung) zu befrchten. Es lassen sich daher sehr geruscharme Getriebe realisieren (Bild 4) und auch sehr hohe Drehzahlen (z. B. bis 16 000 1/s bei Texturiermaschinen) sind bei bersetzung ins Schnelle erreichbar. 7.2.2 Wlzgetriebe mit stufenlos einstellbarer bersetzung Der fehlende Formschluss bei Wlzgetrieben ermglicht eine stufenlose Vernderung ihrer bersetzung in den Grenzen imin und imax . Diese Eigenschaft wird durch das Stellverhltnis j ¼ imax =imin gekennzeichnet. Durch Kombination mit einem Planetengetriebe zu einem Stellkoppelgetriebe (s. G 8.9) kann das Stellverhltnis beliebig erweitert oder eingeengt werden, wodurch z. B. mit jeder Bauart eine Drehrichtungsumkehr mglich ist. Verstellgetriebe oder auch kurz Stellgetriebe werden oft als komplette Antriebseinheiten mit anmontierten Asynchronmotoren angeboten, womit man durch Polumschaltung den Verstellbereich zustzlich vergrßern kann. In den meisten Fllen knnen abtriebsseitige Untersetzungsgetriebe montiert werden, mit deren Hilfe beliebige Drehzahlbereiche mglich sind. Bild 5 zeigt eine Auswahl gebruchlicher Funktionsprinzipien. (Getriebe nach Bild 5 a trockenlaufend mit Kunststoff-Reibring, alle brigen mit geschmierten Wlzkrpern aus Stahl.) Die große Vielfalt entsteht durch die unterschiedlichen Anforderungen, die an Reibradgetriebe gestellt werden,
Bild 4. Planeten-Reibradgetriebe nach [2]. 1 Antriebswelle fr geteiltes Sonnenrad, 2 feststehender Außenring, 3 ballige Planetenrder, 4 Einrichtung zur drehmomentabhngigen Anpassung der beiden auf Welle 1 axial verschieb- und drehbaren Sonnenradhlften (vgl. Bild 5). s Planetentrger als Abtrieb
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G 112
Mechanische Konstruktionselemente – 7 Reibradgetriebe
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Bild 5 a–j. Schematische Darstellung einiger Wlzgetriebe (vgl. Tab. 1). 1 Antrieb, 2 Abtrieb, 3 Zwischenglied, 4 Einrichtung zur drehmomentenabhngigen Anpassung der Wlzkrper
Bild 6. Schematische Abtriebskennlinie der Wlzgetriebe nach Bild 5. Die bei den einzelnen Bauarten vorhandenen Bereiche sind in Tab. 1 angegeben
wie Wirtschaftlichkeit (Preis, Wirkungsgrad, Lebensdauer), Verstellung im Stillstand, Verstellung bis n2 ¼ 0 usw. Die Auswahl eines geeigneten Verstellgetriebes fr einen bestimmten Anwendungsfall erfolgt unter der Voraussetzung, dass der Antrieb den Drehmomentenbedarf der Arbeitsmaschine im gesamten Drehzahlbereich decken muss. Der als Abtriebskennlinie bezeichnete Verlauf des Abtriebsmoments ber der Drehzahl n2 ist somit eine wichtige Eigenschaft des
Verstellantriebs. Bei konstanter Antriebsdrehzahl n1 lsst sich das Verhalten der Bauarten nach Bild 5 durch verschiedene Bereiche (Tab. 1) der schematischen Abtriebskennlinie nach Bild 6 darstellen. Das bei vielen Bauarten in einem gewissen Verstellbereich II konstante zulssige Drehmoment kann bei extremen bersetzungen (Bereiche I und III) oft nicht mehr bertragen werden, da dann z. B. die zulssigen Hertzschen Pressungen durch kleinere Krmmungsradien berschritten werden oder die Bohrbewegung zu erhhtem Verschleiß fhrt. Der hufig hyperbelfrmige Drehmomentabfall im Bereich wird zudem durch die begrenzte Antriebsleistung verursacht. Gegenwrtig stehen drei Bauarten von Reibradgetrieben als stufenlose Fahrzeugantriebe (CVT) zur Diskussion [3–7]: – das Halbtoroidgetriebe, Bild 5 i, – das Volltoroidgetriebe, Bild 7 und – das Kegelringgetriebe, Bild 8. Es wird erwartet, dass sie hhere Leistungsdichten erreichen werden als die konkurrierenden Umschlingungsmittelgetriebe. Toroidgetriebe haben torusfrmige An- und Abtriebsscheiben, zwischen denen Momente ber Zwischenrollen bertra-
I7.2
Bauarten, Beispiele
G 113
Tabelle 1. Kenndaten der Wlzgetriebe (Bild 5) nach Herstellerkatalogen (Stand 1989). Werte fr jeweils grßten und kleinsten Typ mit angeflanschtem Antriebsmotor, n1 ¼ 24 1/s
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Bild 7. Volltoroidgetriebe, schematische Darstellung [4]
gen werden; sie befinden sich im Torusraum zwischen diesen Zentralscheiben und werden zur Einstellung der gewnschten bersetzung um Achsen geschwenkt, die den Torusmittenkreis tangieren. Meist werden zwei Halbgetriebe parallel geschaltet, um die fr die Leistungsbertragung ntige axiale Vorspannung ohne verlustreiche Axiallager zu erzeugen und eine hhere Leistung bertragen zu knnen. Die beiden Antriebsscheiben sitzen dabei auf der inneren, die zwei Abtriebsscheiben auf der ußeren Zentralwelle. Halbtoroidgetriebe (Bild 5 i) ntzen nur die innere Hlfte des Torusraumes aus ðe < 180°Þ. Die Berhrflchennormalen der beiden Kontaktstellen schließen einen Winkel ein, sodass eine erhebliche Axialkraft auf die Zwischenrolle entsteht, die durch eine entsprechende Lagerung mit hohen Bohrschlupfverlusten abgefangen werden muss. Hingegen sind die Bohrschlupfverluste in den eigentlichen Traktionskontaktstellen gering (1% im optimalen Betriebspunkt bei 80% Kraftschlussausnutzung), da sich die Berhrtangenten und die Drehachsen annhernd in einem Punkt schneiden (Bohr/ Wlzverhltnis i. Allg. 0 bis 0,2, maximal bis 0,5).
Bei Volltoroidgetrieben (Bild 7) durchstßt die Verbindungslinie zwischen den beiden Kontaktstellen einer Zwischenrolle den Mittenkreis des Torus (e=180), sodass keine Axialkraft auf die Rollen wirkt. Allerdings sind die Bohrschlupfverluste in den Traktionskontaktstellen hher (2 bis 3%, Bohr/Wlzverhltnis 0,8 bis 1,0). Das Kegelringgetriebe (Bild 8) besteht aus einem Ausgangsreibkegel und einem Eingangsreibkegel, um den ein Reibring angeordnet ist. Die Position dieses Reibrings bestimmt die aktuelle bersetzung. Die erforderliche Anpressung entsteht durch Verschieben des Ausgangsreibkegels. Mit entsprechend schlanken Kegeln knnen hnlich gnstige Bohr/Wlzverhltnisse ( 0,18) erzielt werden wie mit Halbtoroidgetrieben, jedoch bei geringen Axialkrften. Im Vergleich zu Kegelgetrieben mit zwischengeschalteten Rollen ist die spezifische Belastung der Kontaktstellen kleiner. Durch Aufprgen eines Schrglaufwinkels kann erreicht werden, dass Zwischenrollen und Reibringe mit geringem ußeren Kraftaufwand durch Querreibkrfte in Positionen mit genderten bersetzungen gelenkt werden.
Bild 8. Kegelringgetriebe, schematische Darstellung [7]
G 114
Mechanische Konstruktionselemente – 7 Reibradgetriebe
7.3 Berechnungsgrundlagen 7.3.1 Bohrbewegung
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Zur Berechnung der Relativbewegung im Kontaktbereich werden die beteiligten Reibrder durch Kegel ersetzt, die die als eben angenommene Berhrflche tangieren. Im Allgemeinen fallen die in der Berhrebene liegenden Spitzen dieser Wlzkegel nicht in einem Punkt zusammen, wie in Bild 9 dargestellt. Die Umfangsgeschwindigkeiten sind dann nur im Punkt P identisch, entlang der Mantellinien nimmt ihre Differenz zu. Diese dem reinen Abrollen berlagerte Bewegung lsst sich durch eine Relativdrehung mit der Winkelgeschwindigkeit wb beschreiben, die normal zur Berhrebene gerichtet ist. Allgemein ergibt sich die Relativbewegung von Wlzkrper 2 gegenber 1 durch die Vektorgleichung ~ wrel ¼ ~ w2 ~ w1 . Durch Zerlegung in Anteile senkrecht und parallel zur Berhrflche lassen sich die gesuchten Bohr- und Wlzgeschwindigkeiten bestimmen: ~ wb þ ~ ww ¼ ~ w2 ~ w1 mit den Betrgen wb ¼ jw2 sin a2 w1 sin a1 j
ð4Þ
ww ¼ jw2 cos a2 w1 cos a1 j
ð5Þ
Pluszeichen, wenn P zwischen S1 und S2 liegt, Minuszeichen, wenn ein Wlzkegel Hohlkegel ist. Das Bohr/Wlzverhltnis wb =ww kennzeichnet das Ausmaß der Bohrbewegung und der damit verbundenen Verluste. Es wird durch die Bauart bestimmt und variiert im Verstellbereich (z. B. 0 bis 15 Bild 5 a und 0 bis 0,5 Bild 5 i).
durch die Drehachsen aufgespannten Ebene sind das die Radien r1 und r2 . Die dazu und wiederum zur Berhrflche senkrechte Ebene erzeugt Kegelschnitte mit den Krmmungsradien r01 und r02 im Berhrpunkt. Bei vorhandener Bohrbewegung sind die Umfangsgeschwindigkeiten der Wlzkrper nur in einem Punkt, dem Drehpol P, identisch. Seine Lage bestimmt infolgedessen die jeweilige bersetzung. Im Leerlauf liegt P in der Mitte M der Berhrellipse (Bild 9 a), womit das Drehzahlverhltnis w02 =w01 ¼ r01 =r02 festliegt. In Richtung der Gleitgeschwindigkeiten entstehen Reibkrfte, die zwar ein Moment um P erzeugen, jedoch aus Symmetriegrnden keine resultierende Umfangskraft ergeben. Bei Momentenbertragung und unvernderlicher Lage der Berhrflche muss der Drehpol demzufolge außerhalb der Mitte M liegen [8]. Die integrale Wirkung der Reibkrfte mp dA in Umfangsrichtung ergibt dann die gewnschte Tangentialkraft Ft . Weiterhin entsteht ein Bohrmoment Mb um P. Diese Schnittreaktionen lassen sich zu einer resultierenden Kraft Ft zusammenfassen, deren Wirkungslinie durch den fiktiven Kraftangriffspunkt K geht. Damit gilt Mb ¼ Ft lN . Um das Bohrmoment zu minimieren, sollte die Berhrflche mglichst klein sein. Bei vorhandenen Bohrbewegungen bevorzugt man daher Punktberhrung. Die wiederum in P bereinstimmenden Umfangsgeschwindigkeiten beider Wlzkrper liefern das Drehzahlverhltnis unter Last w2 =w1 ¼ r1 =r2 : Die relative bersetzungsnderung gegenber dem Leerlauf bezeichnet man als Wlzschlupf sw w02 =w01 w2 =w1 r1 =r2 ¼ 1 w02 =w01 r01 =r02 ðr01 l sin a1 Þ=ðr02 þ l sin a2 Þ ¼1 ; r01 =r02 ðr01 l sin a1 Þ=r01 sw ¼ 1 ðr02 þ l sin a2 Þ=r02
sw ¼ 7.3.2 Schlupf Die Grße und Form, d. h. die Halbachsen a und b der Hertzschen Berhrellipse werden u. a. durch die Hauptkrmmungsradien der Wlzkrper im Berhrpunkt bestimmt. In der
ð6Þ
Bild 9 a–d. Wlzkontakt mit Bohrbewegung. a im Leerlauf; b unter Last; c vergrßerte Berhrellipse mit Reibkrften in Richtung der Gleitgeschwindigkeit, Verlagerung des Drehpols P um l bei Auftreten einer Umfangslast Ft ; d geklappte Schnittdarstellung von a mit Hauptkrmmungsradien r01 und r02
I7.3
Berechnungsgrundlagen
G 115
Bei konstanter Anpresskraft Fn sowie unvernderlichem Reibwert m vergrßert sich der Schlupf demnach mit steigender Belastung, d. h. zunehmender Polauswanderung l. Große Raddurchmesser sowie kleine Kegelwinkel a und damit kleinerer Bohrschlupf wirken sich gnstig auf den Wirkungsgrad aus, da sie den Lngsschlupf verringern. Auch bei a1,2 ¼ 0, das heißt ohne Bohrschlupf (z. B. Bild 1 a, b), ist der Nutzreibwert mN bzw. der Kraftschlussbeiwert f vom Lngsschlupf in hnlicher Weise abhngig; allerdings ist der Kraftanstieg mit dem Schlupf steiler, da die Gleitgeschwindigkeitsvektoren in der Berhrflche nicht in die Richtung der gewnschten Kraftbertragung gedreht werden mssen, um den hchstmglichen Kraftschluss zu erzielen. Dies liegt daran, dass sowohl bei trocken laufenden als auch bei geschmierten Wlzkontakten elastischer Formnderungsschlupf auftritt [9–11], dem sich bei geschmierten Kontakten zustzlich die Scherung im Fluidfilm berlagert. Der Wlzschlupf wird dann definiert als: sw ¼ ðr01 w1 r02 w2 Þ=r01 w1
G
ð7Þ
Berechnungsverfahren zur Bestimmung der bertragbaren Umfangskrfte und der die Kinematik bestimmenden Lnge l setzen zumeist eine von Tangentialkrften unbeeinflusste Geometrie und Druckverteilung in der Hertzschen Berhrflche voraus. Fr den einfachsten Fall eines konstanten Reibwerts liegen Zustandsdiagramme vor [8, 12], die in anschaulicher Weise die gegenseitige Abhngigkeit der Einflussgrßen l, lN , a, b und ut darstellen. Aktuelle Theorien [13] bercksichtigen vom Schlupf bzw. von der Gleitgeschwindigkeit abhngige Schubspannungen in der Kontaktflche, speziell fr den hufigsten Fall geschmierter Hertzscher Kontaktflchen. Die gleichzeitige Berechnung elastischer Verformungen und hydrodynamischer Vorgnge charakterisiert diese EHD-(elasto-hydrodynamischen) Kontakte. Der Druckverlauf in der Kontaktzone hnelt der Hertzschen Pressungsverteilung mit Maximalwerten von einigen 1000 N=mm2 . Dadurch werden die Schmierstoffeigenschaften im Spalt stark verndert. Insbesondere spezielle Reibradle, sog. traction fluids [14], verfestigen sich dabei und ermglichen eine Trennung der Oberflchen (Spaltweite < 1 m [15]) bei gleichzeitig hoher zulssiger Scherbeanspruchung in der Grßenordnung von t ¼ 100 N=mm2 . Bild 10 zeigt gemessene Reibungszahlkurven fr ein herkmmliches Minerall mit gnstigem, hohem Naphtengehalt und ein synthetisches Reibradl bei unterschiedlichen Bohr/Wlzverhltnissen. Unabhngig von dem hier untersuchten Wlzschlupf tritt bei unterschiedlichen elastischen Eigenschaften der Wlzkrper eine bersetzungsnderung durch nderung der Reibradien infolge lastabhngiger elastischer Verformungen auf. Es sind Konstruktionen denkbar, bei denen der Wlzschlupf dadurch sogar vollstndig kompensiert wird. Die Schlupfwerte sw ausgefhrter Stellgetriebe liegen bei Nennlast zwischen 1,5 und 5%, ausnahmsweise darber.
Bild 10. Reibungszahlkurven nach [16] eines naphtenbasischen Mineralls und eines synthetischen Reibradls (hhere mN -Werte) bei verschiedenen Bohr/Wlzverhltnissen
wa eine Grßenordnung geringer als die von Zahnradgetrieben (Bild 11), weil diese bei gleicher Beanspruchung der Berhrflchen die volle Normalkraft Fn , reibschlssige Getriebe jedoch nur mFn als Umfangskraft bertragen knnen. Leistungsverluste treten vor allem in den Lagern und im Reibkontakt selbst auf. Nur bei Wlzpaarungen ohne Bohrbewegung kann die Reibleistung unmittelbar angegeben werden. Die Differenz der Umfangsgeschwindigkeiten in der Kontaktflche ist dabei nherungsweise berall gleich und hat im Leerlaufberhrpunkt den Wert Du ¼ w1 r01 w2 r02 ¼ w1 r01 ð1 w2 r02 =w1 r01 Þ ¼ w1 r01 sw :
7.3.3 bertragbare Leistung und Wirkungsgrad Tabelle 1 gibt die Leistungsdaten der in Bild 5 gezeigten Getriebebauarten nach Herstellerkatalogen fr den jeweils grßten und kleinsten Typ wieder. Die angegebene Leistung ist die zur Verfgung stehende mechanische Leistung P2 an der Abtriebswelle. Der damit gebildete Gesamtwirkungsgrad berechnet sich unter Zugrundelegung der aufgenommenen elektrischen Leistung Pel . Neben der durch Werkstoffestigkeit und Reibungsverschleiß begrenzten Hertzschen Pressung bestimmen die bei zunehmender Baugrße infolge schlechter Wrmeabfuhr ansteigenden Temperaturen die Leistungsgrenze von Wlzgetrieben. Bei gleichem Gewicht und damit etwa gleicher Wellen- und Lagerbelastbarkeit ist die Nennleistung von Wlzgetrieben et-
Bild 11. Leistungsgewicht von Wlzgetrieben im Vergleich
ð8Þ
G 116
Mechanische Konstruktionselemente – 7 Reibradgetriebe
Damit ist die Reibleistung PV ¼ Du mN Fn ¼ w1 r01 sw mN Fn :
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ð9Þ
Zusammengehrige Reib- und Schlupfwerte mN und sw entnimmt man z. B. vorhandenen Reibungszahlkurven oder rechnet berschlgig mit den in Tab. 2 angegebenen Daten. Bei vorhandener Bohrbewegung lsst sich die Reibleistung nach [17] folgendermaßen abschtzen. Zunchst ermittelt man den zu dem vorliegenden Kraftverhltnis mN ¼ Ft =Fn zugehrigen Schlupf aus der Kraftschluss-Schlupfkurve fr Bohrbewegung und setzt diesen in obige Gleichung ein. Den Nutzreibwert whlt man dann jedoch fr diesen Schlupf aus der Kurve ohne Bohrbewegung aus. Von diesem hohen Reibwert wird bei Bohrbewegung nur ein Teil fr die bertragung der Umfangskraft ausgenutzt, der Rest ist den Bohrreibungsverlusten zuzuordnen. Genauere Berechnungsverfahren findet man z. B. in [13]. 7.3.4 Gebruchliche Werkstoffpaarungen Tab. 2 zeigt eine Auswahl verwendeter Reibradwerkstoffe mit Richtwerten fr die Berechnung. Bei metallischen Werkstoffen ist die zulssige Hertzsche Pressung pHzul angegeben, sonst die erlaubte Stribecksche Wlzpressung kzul ¼ Fn =ðbd1 Þ;
ð10Þ
¼ F =ðd bÞ mit d ¼ d d =ðd þ d Þ, vgl. Bild 2 b bzw. kzul n 0 0 1 2 1 2 Bild 2 a. Die angegebenen Nutzreibwerte mN enthalten eine gewisse, bliche Sicherheit. Angaben nach [17], sonstige Quellen sind gekennzeichnet. Die an Reibpaarungen gestellten Anforderungen in bezug auf hohe Wlz- und Verschleißfestigkeit bei gleichzeitig hohem Reibwert sind nicht gleichzeitig optimal zu erfllen. Wegen der bei Verstellgetrieben gnstigen Punktberhrung findet
Tabelle 2. Eigenschaften einiger Werkstoffpaarungen
man dort fast ausschließlich Ganzstahlgetriebe. Reibradgetriebe mit festem bersetzungsverhltnis weisen demgegenber meist Linienberhrung auf und lassen sich preisgnstig mit Elastomer-Reibrdern gestalten, da die auftretenden Wellen- und Lagerbelastungen gering sind. Schmierstoffe und Schmutz mssen jedoch unbedingt von den Laufflchen ferngehalten werden, um den hohen Reibwert gewhrleisten zu knnen.
7.4 Hinweise fr Anwendung und Betrieb Reibradgetriebe mit festem bersetzungsverhltnis werden hufig in feinmechanischen Antrieben zur bertragung geringer Leistungen eingesetzt. Durch Abheben der Rder wirken sie als Schaltkupplung (Tonbandgerte). Bei weichem Gummireibbelag sind sie besonders geruscharm, leise bei gehrteten, feingeschliffenen und geschmierten Stahlreibflchen, aber laut bei schnellaufenden trockenen metallischen Reibpaarungen. Verstell-Reibradgetriebe dienen zum Antrieb solcher Gerte und Maschinen, deren Antriebsgeschwindigkeit stufenlos einstellbar sein soll (Fahrzeuge, Rhrwerke, sanftanlaufende Frderbnder), aber auch zur Konstanthaltung einer Drehzahl durch manuelle bersetzungseinstellung oder automatische Regelung. Der Verstellbereich sollte so klein wie mglich gewhlt werden, um ihn voll auszunutzen. So wird rtlicher Verschleiß, d. h. Laufrillenbildung bei lngerer Laufzeit mit gleicher bersetzung vermieden. Eine Ausnahme stellt das Getriebe nach Bild 5 f dar, da die Kugelrollbahnen sich auch bei gleicher bersetzung mit jedem Umlauf ndern [19]. Bei langsam laufenden Antrieben ist die Verwendung einer kleinen Baugrße mit vorgeschalteter bersetzung ins Schnelle und nachge-
I8.1
Stirnrder – Verzahnungsgeometrie
G 117
schalteter bersetzung ins Langsame meist gnstiger als eine schwere Baugrße ohne Zusatzgetriebe, da die Wirtschaftlichkeit von Reibradgetrieben mit steigendem Drehzahlniveau zunimmt [20]. Wenn fr Feinregelungen nur ein geringes Stellverhltnis erforderlich ist, sollte ein Planeten-Stellkoppelgetriebe (s. G 8.9.8) verwendet werden, wodurch das Stellgetriebe nur einen Teil der Gesamtleistung bertragen muss und entsprechend klein gewhlt werden kann.
Bei den meisten ausgefhrten Getrieben steigt die Anpresskraft entweder bauartbedingt oder infolge drehmomentabhngiger Anpressvorrichtungen mit steigender Belastung an. Im Teillastbereich erreicht man dadurch eine Entlastung der Wlzkrper und vermeidet bei Lastberschreitungen starken Verschleiß durch Rutschen. Zur Verringerung der bei großer berlastung drohenden Bruchgefahr bieten manche Hersteller ihre Getriebe mit zustzlichen Rutschkupplungen an.
8 Zahnradgetriebe
trieben feiner Qualitt lsst sich Geruschpegel nur durch bergang von Gerad- auf Schrgverzahnung (mglichst ganzzahlige Sprungberdeckung eb ¼ 1 besser eb ¼ 2) entscheidend senken. Bei niedrig belasteten Getrieben (Feingerte) berwiegt Einfluss der Verzahnungsgenauigkeit. Bei kleinen Leistungen Kunststoffzahnrder (Ritzel aus Metall), Geruschminderung bis 6 dB; Paarung Kunststoff/ Kunststoff bis 12 dB gegenber Stahl/Stahl [2].
B.-R. Hhn und H. Winter, Mnchen Vorteile: Schlupflose bertragung von Bewegungen (Feingerte) sowie von Leistungen (bis 120 MW in einem Eingriff). Hohe Leistungsdichte. Hoher Wirkungsgrad (beachte Bedingungen bei Schnecken- und Schraubradgetrieben). Nachteile: Starre Kraftbertragung (evtl. elastische Kupplung vorsehen), Schwingungsanregung durch Zahneingriff; Reduzierung durch feinere Verzahnungsqualitt, Schrgverzahnung, usw. Rderpaarungen (Bild 1), Parallele Wellen: Stirnrder, einfachste Herstellung, am sichersten beherrschbar, bis zu hchsten Leistungen und Drehzahlen; – Innenverzahnung teurer, eingeschrnkte Herstellmglichkeiten, u. U. „fliegende Ritzel“, hauptschlich fr Planetengetriebe. – Sich schneidende Wellen (meist unter 90): Kegelrder. – Kleine Achsversetzung: Hypoidrder, wegen Lngsgleitens bei Punktberhrung EP-Schmiermittel erforderlich [1]. Große Achsversetzung (Achsabstand): Stirnschraubrder, fr kleine Krfte (Punktberhrung) außer bei kleinen Kreuzungswinkeln. Schneckengetriebe fr hohe Tragkraft (Linienberhrung) bei grßeren bersetzungen; bei Umkehr des Kraftflusses u. U. selbsthemmend. Geruschverhalten (s. O 3). Gnstig sind hohe Gleitanteile: Schneckengetriebe (bis 10 dB niedrigerer Geruschpegel als bei Stirnradgetrieben erreichbar), Hypoidgetriebe. Bei hochbelasteten Stirnradge-
Bild 1. Zahnradpaarungen
Wirkungsgrad h. Bei voller Belastung einschließlich Plansch-, Lager-, Dichtungsverlusten bei lschmierung: Einstufiges Stirnradgetriebe mit Wlzlagern ca. 98% (1% Verlust je Welle) bei bester Qualitt (Turbogetriebe) bis 99%, langsam laufende, fettgeschmierte Stirnradstufe, gegossen h ¼ 93%, gefrst 95%; Kegelradgetriebe 97%; Hypoidgetriebe 85 bis 96%, Schneckengetriebe 40 bis 95% (s. G 8.8.5). Reibungszahl bei lgeschmierten Zahnflanken mm ¼ 0;025 . . . 0;07. Gesamtwirkungsgrad h ¼ h1 h2 . . . mit h1 Wirkungsgrad der 1. Stufe, usw. Bei Teillast und Anfahren (niedrigere Temperatur) Wirkungsgrad erheblich niedriger.
8.1 Stirnrder – Verzahnungsgeometrie Ein Zahnradpaar soll Drehbewegung gleichfrmig von Welle a auf Welle b bertragen: wa =wb ¼ const: Dies geschieht, wenn zwei gedachte Wlzzylinder aufeinander abrollen, Bild 2. Die Zahnformen mssen so beschaffen sein, dass diese Bedingung eingehalten wird. 8.1.1 Verzahnungsgesetz Bild 3 gilt fr ebene Verzahnung: Die Umfangsgeschwindigkeiten beider Wlzkreise mssen im Berhrpunkt – Wlzpunkt C – gleich sein. Statt Drehung um O1 und O2 lsst man Rad 2 (Wlzkreis 2) auf stillstehendem Rad 1 (Wlzkreis 1) abrollen. Jeder Punkt auf Rad 2 – auch der momentane Berhrpunkt Y2 – macht dabei eine Drehbewegung um den jeweiligen Momentanpol – den Wlzpunkt C. Damit sich Flanke 2 dabei weder von Flanke 1 abhebt noch in diese eindringt, muss gemeinsame Tangente TT in Y auch Tangente an Kreis mit Radius CY um C sein. Das heißt TT muss senkrecht auf YC stehen – fr jede Wlzstellung: Die Berhrnormale muss stets durch den Wlzpunkt gehen. Rumliche Verzahnung. Die Bewegung wird auch dann gleichfrmig bertragen, wenn das Verzahnungsgesetz nur fr eine Eingriffsstellung im Stirnschnitt eingehalten ist und
Bild 2. Wlzzylinder mit gemeinsamer Wlzebene. 1 Achse des Kleinrades (Ritzel); 2 Achse des Großrades (Rad); Ritzel treibend: w1 ¼ wa , w2 ¼ wb ; Rad treibend: w2 ¼ wa ; w1 ¼ wb ; Gerade O1O2: Mittenlinie, Strecke O1 O2 : Achsabstand a
G
G 118
Mechanische Konstruktionselemente – 8 Zahnradgetriebe
Bild 4. Punktweise Konstruktion von Eingriffslinie und Gegenflanke
G Bild 3. Zum Verzahnungsgesetz
der Berhrpunkt bei der Drehbewegung ber die Breite wandert. Schrgverzahnung mit Sprungberdeckung Gl. (13) eb > 1. Wildhaber-Novikov-Verzahnung (s. G 8.1.8). 8.1.2 bersetzung, Zhnezahlverhltnis, Momentenverhltnis bersetzung (Bild 2) i ¼ wa =wb ¼ na =nb ¼ rb =ra :
ð1Þ
Gesamtbersetzung i ¼ i1 i2 . . . mit i1 bersetzung der 1. Stufe, usw.
Bild 5 a–c. Stirnrder. a Gerad-; b Schrg-; c Doppelschrgverzahnung
Zhnezahlverhltnis (bei Stirnrdern = Radienverhltnis) u ¼ z2 =z1 ¼ r2 =r1 ¼ w1 =w2 stets > 1:
ð2Þ
u zur Berechnung der Ersatzkrmmungsradien (s. G 8.1.7) erforderlich. bersetzung ins Langsame (Rad 1 treibt): i ¼ u. bersetzung ins Schnelle (Rad 2 treibt): i ¼ 1=u. Wlzpunkt C teilt demnach Achsabstand a im umgekehrten Verhltnis der Winkelgeschwindigkeiten, Gl. (6). Bei Verzahnungen mit nicht konstanter bersetzung (z. B. elliptischen Zahnrdern) muss C seine Lage auf Mittenlinie O1 O2 nach Gl. (1) ndern. Momentenverhltnis iM ¼ Mb =Ma :
ð3Þ
Bei Leistungsgetrieben mit hohem Wirkungsgrad praktisch iM ¼ i. 8.1.3 Konstruktion von Eingriffslinie und Gegenflanke Flanke 1 und Wlzkreise gegeben, Bild 4. Normale in Punkt Y1 schneidet Wlzkreis 1 in C1 . Dreht man Rad 1 mit Dreieck Y1 C1 O1 bis C1 in C fllt, so ist Y ein Punkt der Eingriffslinie (geometrischer Ort aller Eingriffspunkte), da YC Flankennormale. Zurckdrehen des Dreiecks YCO2 um Bo_ _ genstck CC2 ¼ CC1 fhrt Y in den Y 1 zugeordneten Punkt der Gegenflanke Y 2 . 8.1.4 Flankenlinien und Formen der Verzahnung Flankenlinien (Bild 5). Geradverzahnung fr kleine Umfangsgeschwindigkeiten; Vorteil: keine Axialkrfte, einfache Herstellung, geeignet fr Schieberder; Nachteil: weniger laufruhig. Schrgverzahnung fr hhere Tragfhigkeit und Umfangsgeschwindigkeit wegen gleichfrmigere und geruschrmere
Drehmomentbertragung unter Belastung, bessere Laufruhe; Nachteil: Axialkrfte. Doppel-Schrgverzahnung ermglicht Ausgleich der Axialkrfte. Nachteil: Spalt fr Werkzeugauslauf, Lastaufteilung nicht immer sicher, u. U. Axialschwingungen. Beachte: Wlz– und Gleitbewegungen vollziehen sich auch bei Schrgverzahnung im Stirnschnitt. Einzelverzahnung. Einfaches Zahnprofil eines Rades vorgegeben. Profil des Gegenrades nach G 8.1.3 konstruieren bzw. gegebenes Profil wird beim Abwlzen durch Werkzeug nachgebildet [1]. Paarverzahnung. Erzeugen der Verzahnungen durch Abwlzen eines gemeinsamen Bezugsprofils der Planverzahnung: Fr Stirnrder ist dies die Verzahnung einer ebenen Platte – d. h. einer Zahnstange (z. B. Bild 10), fr Kegelrder die eines ebenen Rades – des Planrades, Bezugsprofil und Gegenprofil sind nicht identisch, zwei Werkzeuge erforderlich [1]. Satzrderverzahnung. Profil und Gegenprofil (Zahnstangen-Werkzeug fr Rad und Gegenrad) der Planverzahnung sind hier identisch, sodass ein Werkzeug gengt, um smtliche Rder herzustellen, die auch smtlich miteinander kmmen knnen, wenn bei Herstellung Profilmittellinie = Wlzbahn ist. Evolventen-Satzrder [3]. 8.1.5 Allgemeine Verzahnungsgrßen Bild 6 und Bild 7. Die Gleichungen gelten auch fr Schrgstirnrder (knftige Schreibweise fr Schrgstirnrder: ==Schr: : . . . ==Þ: Stirnschnittwerte (Bild 5) werden mit Index t und Normalschnittwerte mit n gekennzeichnet. Bei Geradverzahnung knnen Indizes t und n wegfallen. Angaben zur Innenverzahnung s. G 8.1.7. Teilung p. Abstand zweier gleichliegender Flanken auf dem Wlzkreis. Wenn p durch genormten Modul m ¼ p=p be-
I8.1
Stirnrder – Verzahnungsgeometrie
G 119
Tabelle 1. Modulreihe (DIN 780 und ISO-Norm 54-1977). Ohne Zeichen: Vorzugsreihe I, mit Zeichen siehe 20. Auflage: Reihe II
Zahnhhe h ¼ ha þ hf ; gemeinsame Zahnhhe hw ¼ ha1 þ ha2 :
Bild 6. Bezeichnungen und Maße der Stirnradverzahnung
Kopfkreisdurchmesser da ¼ d þ 2ha ¼ 2a df Gegenrad 2c:
ð8Þ
Fußkreisdurchmesser df ¼ d 2hf :
ð9Þ
Kopfspiel c. Abstand des Kopfkreises vom Fußkreis des Gegenrades (normal = 0;1 m . . . 0;3 m), //Schr.: mit m ¼ mn ==, ) c1 ¼ h1 hw ¼ a ðda1 þ df2 Þ=2, ð10Þ c2 ¼ h2 hw ¼ a ðda2 þ df1 Þ=2: Zahndicke im Teilkreis s¼pe
ð11Þ
mit Lckenweite e. s1 und s2 werden um Zahndickenabmaß AS kleiner als das Nennmaß ausgefhrt. Dadurch entsteht Drehflankenspiel jt ¼ p s1 s2 ;
ð12Þ
Bild 7. Verzahnungsmaße der Stirnradpaarung (Evolventenverzahnung). B innerer Einzeleingriffspunkt: Vorauseilendes Zahnpaar tritt gerade außer Eingriff (Pkt. E). D ußerer Einzeleingriffspunkt: Nachfolgendes Zahnpaar tritt gerade in Eingriff. – Fr Rad 2 ist B der ußere Einzeleingriffspunkt
Normalflankenspiel jn ¼ jt cos a; krzester Abstand zwischen den Rckflanken; erforderlich, um Klemmen bei Erwrmung, Quellen (Kunststoffe!) oder infolge Fertigungstoleranzen zu vermeiden. //Schr.: jn ¼ jt cos an cos b==: Anhaltswerte fr As nach Tab. 4.
stimmt ist, wird zugehriger Kreis als Teilkreis bezeichnet. (Bei Evolventenverzahnung evtl. Teilkreis 6¼ Wlzkreis.)
Eingriffsstrecke ga . Fr den Eingriff ausgenutzter Teil der Eingriffslinie. Normalerweise durch Kopfkreise begrenzt, bei unterschnittenen Zhnen schon vorher, Bild 7, 11.
p ¼ pd=z ¼ pm, ==Schr.: pn ¼ pt cos b ¼ pmn ; pt ¼ pmt ==:
ð4Þ
Teilungen von Ritzel und Rad mssen bereinstimmen.
ð5Þ
Profilberdeckung ea . Verhltnis Eingriffslnge zu Teilung. Fr gleichfrmige Bewegungsbertragung bei Geradverzahnung ea ¼ l=p > 1 erforderlich; meist 1;1 . . . 1;25 (auch fr Schrgverzahnung) gefordert. ea bei Evolventenverzahnung s. G 8.1.7.
ð6Þ
Eingriffswinkel. Winkel zwischen Tangente an Wlzkreis in C und jeweiliger Eingriffsnormalen YC (Bild 4 und 7); a bei Evolventenverzahnung s. G 8.1.7, //Schr.: tan at ¼ tan an = cos b //, mit dt Stirneingriffswinkel und dn Normaleingriffswinkel.
Teilkreisdurchmesser d1 ¼ 2 r1 ¼ z1 p=p ¼ z1 m, d2 ¼ 2r2 ¼ z2 p=p ¼ z2 m, ==Schr.: d1 ¼ z1 pt =p ¼ z1 mt , d2 ¼ z2 pt =p ¼ z2 mt ==:
)
Achsabstand (Bild 2): a ¼ r1 þ r2 ¼ mðz1 þ z2 Þ=2 ¼ mz1 ð1 þ uÞ=2 ==Schr.: mit m ¼ mt ==:
)
Eingriffsprofil, aktives Profil, Bild 7: Der fr den Eingriff ausgenutzte Teil der Zahnflanke AK.
Evolventenverz. s. Gl. (30, 33). Bei Innenverzahnung z2 ; d2 ; a negativ (s. G 8.1.7).
Zustzliche Grßen fr Schrgverzahnung:
Modul m. Wichtige Maßstabsgrße. Kopf- und Fußhhen meist abhngig von m gewhlt. Zur Beschrnkung der Werkzeuganzahl mn aus Normreihe whlen, Tab. 1. //Schr.: mt ¼ mn = cos b==: (In England und USA Diametral Pitch blich: Pd ¼ z=d: Mit d in Zoll: m in mm = 25,4/Pd .) Zahnhhen. Kopfhhe ha (normal= m), Fußhhe hf ðnormal ¼ 1,1 m . . . 1,3 mÞ: ==Schr.: mit m ¼ mn ==;
Eingriffslnge l. Von Beginn bis Ende des Eingriffs durchlaufener Drehweg A1 bis E1 auf Wlzkreis, Bild 7.
ð7Þ
Sprung (bei Schrgverzahnung) U: Abstand der Endpunkte einer Flankenlinie ber die Breite, gemessen auf dem Teilkreisbogen. U ¼ b tan b; Bild 8. Flankenrichtung. Rechtssteigend: b positiv, linkssteigend: b negativ. Bei Außenverzahnung mssen Flankenrichtungen von Ritzel und Rad entgegengesetzt, bei Innenverzahnungen gleich sein.
G
G 120
Mechanische Konstruktionselemente – 8 Zahnradgetriebe
Gleitfaktor Kg Kg ¼ ug =ut ¼ gy ð1=ra þ 1=rb Þ ¼ gy ð1 þ 1=iÞ=ra :
ð18Þ
Minus-Zeichen an Fuß a oder b, Plus-Zeichen an Kopf a oder b. Das Vorzeichen kennzeichnet die Richtung der Reibkraft, Bild 9 b.
8.1.7 Evolventenverzahnung Bild 8. Sprung U und Schrgungswinkel b an einem Schrgstirnrad (DIN 3960)
G
Sprungberdeckung eb ¼ U=pt ¼ b sin b=ðmn pÞ:
ð13Þ
Auch bei kleinen Zahnhhen (Grenzfall Null) gleichfrmige Bewegungsbertragung mglich, wenn eb > 1: Gesamtberdeckung eg ¼ ea þ eb :
ð14Þ
8.1.6 Gleit- und Rollbewegung Nach Bewegungsgesetz (s. B 2.1.2) Absolutgeschwindigkeit in Richtung der Eingriffstangente TT (Bild 9) ) wa ¼ wa ra ¼ ðut =ra Þðra sin a gy Þ ¼ ut ðsin a gy =ra Þ, ð15Þ wb ¼ wb rb ¼ ðut =rb Þðrb sin a gyÞ ¼ ut ðsin a gy =rb Þ: Oberes Vorzeichen fr Eingriffspunkt auf Fußflanke a oder Kopf b, unteres Zeichen auf Kopfflanke a oder Fuß b. + am Kopf ( a oder b); am Fuß (a oder b). Summengeschwindigkeit, wichtig fr Schmierdruck (s. G 8.3), uS ¼ wa þ wb ¼ ut ½2 sin a gy ð1=ra þ 1=rb Þ ¼ ut ½2 sin a gy ð1 þ 1=iÞ=ra ; Minus-Zeichen am Fuß a oder Kopf b; Plus-Zeichen am Fuß b oder Kopf a. Summenfaktor KS ¼ uS =ut ¼ ½2 sin a gy ð1 þ 1=iÞ=ra : ð16Þ Gleitgeschwindigkeit, wichtig fr Erwrmung, Fressbeanspruchung (s. G 8.5.1), uga ¼wa wb ; ugb ¼ wb wa ¼ uga ; ug ¼ ut gy ð1=ra þ 1=rb Þ:
ð17Þ
Im Maschinenbau fast ausschließlich verwendet: Einfaches genaues Herstellen im Hllschnittverfahren (geradflankiges Bezugsprofil, Bild 10), Satzrdereigenschaften, gleichfrmige Bewegungsbertragung auch bei Achsabstandsabweichungen, unterschiedliche Zahnformen, Zhnezahlen und Achsabstnde mit gleichen Werkzeug durch Profilverschiebung mglich, Richtung und Grße der Zahnnormalkraft (Lagerkraft) whrend des Eingriffs konstant. Besonderheiten der Evolventenverzahnung. Eingriffslinie ist Gerade unter Eingriffswinkel a, wirksame Profile der Zahnflanken sind Kreisevolventen, wobei die Zahnflanken der Planverzahnung (Zahnstange) gerade, die der Außenrder konvex und die der Hohlrder konkav sind. Kreisevolventen werden beschrieben von Punkten einer Geraden, der „Erzeugenden“, die sich auf einem Kreis, „Grundkreis“, abwlzt (s. A bzw. www.dubbel.de). Das geradflankige Bezugsprofil ist fr den Maschinenbau in DIN 867 genormt (Bild 10 a); (nheres siehe DIN 3972). Fr die meisten Anwendungsflle erhlt man hiermit geeignete und ausgewogene Verzahnungen. – Bezugsprofil fr die Feinwerktechnik DIN 58 400. Sonderflle. Protuberanzprofil (Bild 10 b), das Zahnfuß freischneidet, um Kerben durch Verzahnungsschleifen zu vermeiden. – Grßere Zahnhhe ðhw 2; 5 m statt 2 m) fr besonders laufruhige Getriebe (Hochverzahnung, Fressgefahr beachten!). – Eingriffswinkel 15 bei verstellbaren Achsabstnden (grßere Profilberdeckung). – ISO-Norm: ISO 53; und durch ISO 6336 ersetzen. Evolventenfunktion. Zur Berechnung zahlreicher Grßen der Evolventenverzahnung, z. B. der Zahndicke an beliebiger Stelle, benutzt man zweckmßig Evolventenfunktion „inv a“ (sprich „involut a“), die als Funktion von a tabelliert ist und in Rechnerprogrammen vorliegt. _ inv a ¼ tan a a:
ð19Þ
Bild 9 a, b. Geschwindigkeiten an den Zahnflanken. a Maße zur Berechnung, Index a: treibend, b: getrieben; b Geschwindigkeiten der Flankenberhrpunkte whrend des Eingriffs
I8.1
Stirnrder – Verzahnungsgeometrie
G 121
9 Achsabstand ay aus Zahndicken bei spielfreiem > > > Eingriff (Stirnschnittwerte): ay ¼ a cos a= cos ay > > > = mit a nach Gl: ð6Þund ay aus inv ay ¼ inv a þ ½z1 ðs1 þ s2 Þ 2 p r1 =½2 r1 ðz1 þ z2 Þ > > > > mit s1 am Radius r1 , s2 und > > ; r2 ðGl: 27Þ: a bei r1 und r2 :
ð26Þ
Unterschnitt (Bild 11). Bei kleinen Zhnezahlen unterschneidet die Kopfflanke der Zahnstange den Zahnfuß des Rades dann, wenn Schnittpunkt H unterhalb T1 liegt. Die Bahn des abgerundeten Zahnstangenkopfes (relative Kopfbahn) schneidet beim Abwlzen Evolvente in U; entsprechender Punkt auf Eingrifflinie: U0 . Unterschnitt kann berdeckung verringern, Bild 11 („schdlicher“ Unterschnitt) und schwcht den Zahnfuß. Grenzzhnezahl folgt aus Bedingung, dass H in T1 fllt. zG ¼ 2 cos bðhNaP0 xmn Þ=ðmn sin2 at Þ mit hNaP0 ¼ haP0 raP0 ð1 sin an Þ s. Bild 11. Durch Abrcken des Werkzeuges (positive Profilverschiebung x), kleineres hNaP0 oder Schrgverzahnung kann man demnach Unterschnitt vermeiden, d. h. die Grenzzhnezahl verringern, Bild 13. Bild 10 a–c. Bezugsprofile der Evolentenverzahnung. a Bezugs-Zahnstange nach (DIN 867); b Protuberanz-Werkzeug nach [4], aprP0 ð0; 3 . . . 0; 6Þan (der Kopfhhe haP0 des Werkzeug-Bezugprofils entspricht die Fußhhe hfP des Verzahnungs-Bezugsprofils); c mit b erzeugte Zahlenflanke
Verzahnungsgrßen der Evolventenverzahnung. Es gelten die allgemeinen Beziehungen in G 8.1.5. Weitere Maße siehe Bild 7: Grundkreis: rb1 ¼ r1 cos a; rb2 ¼ urb1 ; ==Schr: : rb ¼ r cos at ==:
ð20Þ
9 > > > > 2 2 1=2 > db2 Þ ,= rC2 ¼ CT2 ¼ urC1 , rA2 ¼ AT2 ¼ 0,5ðda2 ð22Þ 2 2 1=2 > > db1 Þ , rB1 ¼ T1 B ¼ rE1 pet , rE1 ¼ 0,5ðda1 > > > ; r ¼ BT ¼ a sin a r rC1 ¼ T1 C ¼ 0,5db1 tan aw ¼ 0,5d1 sin aw ,
2
w
Maße profilverschobener Rder Zahndicke am Teilkreisradius r: s ¼ mðp=2 þ 2x tan aÞ þ As mit (negativem) Zahndickenabmaß As ; Anhaltswerte fr As , Tab. 4 (s. G 8.2);
Eingriffsteilung pe ¼ p cos a ¼ pb Grundkreisteilung, //Schr.: Stirneingriffsteilung pet ¼ pt cos at Normaleingriffsteilungpen ¼ pn cos an ==: Krmmungsradien //Schr.: Im Stirnschnitt // nach Bild 7 und 9 a:
B2
Profilverschobene Verzahnung (Normalfall der Evolventenverzahnung). Beim Herstellen wird Werkzeug-Bezugsprofil um Betrag xm vom Teilkreis (Radius r) abgerckt (Profilverschiebung =+ xm) oder hineingerckt (–xm) und auf diesem abgewlzt. Grundkreisradien rb ¼ r cos a bleiben unverndert. – Hiermit Unterschnitt vermeidbar, grßere Krmmungsradien, dickerer Zahnfuß und Einhalten bestimmter Achsabstnde bei genormtem Modul mglich. berdeckung meist kleiner, Radialkraft grßer als Folge des grßeren Betriebseingriffswinkels. Nur geringe nderung der Zahnform bei großen Zhnezahlen.
==Schr: : sn ¼ st cos b ¼ mn ðp=2 þ 2x tan an Þ þ Asn ==:
ð27Þ
Fußkreisdurchmesser df ¼ d þ 2xm 2hfP ; ==Schr: : mit m ¼ mn ==:
ð28Þ
Kopfkreisdurchmesser da ¼ 2a df gegen 2c da ¼ d þ 2xm þ 2haP þ 2km,
ð29Þ
B1
mit db ¼ 2rb ; da (Bild 6), aw Betriebseingriffswinkel, //Schr.: aw ¼ awt //. (r mit Index 2 bei Innenverzahnung negativ!) 9 Eingriffsstrecke: ga ¼ gf þ ga mit > > > > Fußeingriffsstrecke: gf ¼ AC ¼ rA2 rC2 und > > > > = Kopfeingriffsstrecke 1: ga ¼ CE ¼ rE1 rC1 , 2 1=2 > ga ¼ 0,5db1 ð½ðda1 =db1 Þ 1 > > > > > þ u½ðda2 =db2 Þ2 11=2 tan aw ½u þ 1Þ, > > ; ==Schr: : aw ¼ awt ==:
//Schr.: mit m ¼ mn ==; hfP ; haP ; c; s. Bild 10 a. k m Kopfhhennderung (= Zusammenschiebung, Bild 12), Gl. (32), zur Aufrechterhaltung des Kopfspiels negative Wer-
ð23Þ
Profilberdeckung: ea ¼ ga =pe , ==Schr: : ea ¼ ga =pet :
ð24Þ
9 Zahndicke am Radius ry ðStirnschnittwerteÞ: > > > > sy ¼ 2 ry ðs=2 r þ inva invay Þ = mit ay aus cos ay ¼ rb =ry ¼ r cos a=ry > > bei gegebenem s und a am Radius r: > > ; Am Kopf san > 0,2 mn , Bilder 13 und 14:
ð25Þ
Bild 11. Unterschnitt: Beginn des Eingriffs erst bei U mglich; verbleibende Eingriffsstrecke: ga . „Schdlicher“ Unterschnitt, wenn Kopfkreisradius des Gegenrades > O2 U 0 .
G
G 122
Mechanische Konstruktionselemente – 8 Zahnradgetriebe
Bild 12. Profilverschobene Verzahnung (V-Verzahnung). Links: Verzahnung von Rad und Gegenrad mit gemeinsamem Bezugsprofil (beachte: keine Flankenberhrung!); rechts: Betriebsstellung der Verzahnung nach Zusammenschieben und Kopfhhennderung k m (beachte: kein gemeinsames Erzeugungs-Bezugsprofil)
G
schrg ber die Zahnflanken und wandern beim Eingriff ber die Zahnbreite. Die Profilverschiebung wird in Vielfachen des Normalmoduls angegeben. Im Normalschnitt ist die Zahnform der einer Evolventen-Geradverzahnung mit einer Ersatzzhnezahl znx hnlich: znx ¼ z=ðcos2 bb cos bÞ z=cos3 b;
ð34Þ
wird benutzt bei Wahl der Profilverschiebungen, fr Festlegung der geometrischen Grenzen (z. B. Kopfdicke) und fr die Festigkeitsberechnung. ) Grundschrgungswinkel bb aus tan bb ¼ tan b cos at ð35Þ oder sin bb ¼ sin b cos an : Sonderverzahnungen mit Ritzelzhnezahlen 1 bis 4 siehe [6]. Bild 13. Bereich der ausfhrbaren Profilverschiebungen nach DIN 3960 fr Evolventenverzahnungen mit Bezugsprofil nach DIN 867. 1 Mindest-Zahnkopfdicke; 2 Unterschnitt; 3, 4 Mindest-Kopfkreisdurchmesser; 5 Mindest-Lckenweite; E Empfohlener Bereich fr VNull-Verzahnung bei Innenradpaaren
te bei Außenradpaaren (positive bei Innenradpaaren, dann meist null gesetzt). Achsabstand: a ¼ 0; 5mðz1 þ z2 Þ cos a= cos aw ¼ ad cos a= cos aw ;
ð30Þ
//Schr.: mit m ¼ mt ¼ mn = cos b; a ¼ at ; aw ¼ awt ==, ad Achsabstand der Null-Verzahnung. Fertigungstoleranz ( Achsabstandsabweichung Aa ¼ Aa1 þ Aa2 ) vergrßert oder verkleinert Flankenspiel. Anhaltswerte fr Aa1 ; Aa2 s. Tab. 4 (s. G 8.2 ). Betriebseingriffswinkel aw aus inv aw ¼ inv a þ 2 tan aðx1 þ x2 Þ=ðz1 þ z2 Þ;
ð31Þ
//Schr.: inv awt ¼ inv at þ 2 tan an ðx1 þ x2 Þ=ðz1 þ z2 Þ:// Kopfhhennderung kmn ¼ a ad mn ðx1 þ x2 Þ
ð32Þ
mit ad (Achsabstand der Nullverzahnung) nach Gl. (33). Fr Bezugsprofil nach DIN 867: a ¼ 20 ; cos a ¼ 0;940; tan a ¼ 0;364; inv a ¼ 0;0149:
Zustzliche Angaben fr Evolventen-Innenverzahnung. Man kann alle Gleichungen der Verzahnungsgeometrie ungendert anwenden, wenn die Zhnezahl des Hohlrades z2 negativ eingesetzt wird. Alle Rechenwerte der Durchmesser werden damit negativ, so auch Zhnezahlverhltnis und Achsabstand eines Innenradpaars. (In den Zeichnungen sind jedoch die Absolutwerte anzugeben!) Profilverschiebung zum Kopf hin – also bei Innenverzahnung nach innen wird als positiv bezeichnet. Lediglich der Fußkreisdurchmesser ergibt sich aus dem erzeugenden Werkzeug: df2 ¼ 2a0 da0 ; mit a0 Achsabstand beim Verzahnen, da0 Schneidrad-Kopfkreisdurchmesser. Wahl der Profilverschiebung. Gnstig: V-Null-Verzahnung mit x ¼ 0,5 . . . 0,65: Bei z2 < 40 (extrem – 26), z1 ^ 14 (extrem 12) und z1 þ z2 % 10 Bedingungen fr Herstellung und Montage (radialer Zusammenbau) beachten. Andere VNull-Verzahnungen s. (DIN 3993). – V-Verzahnung ergibt keine wesentlich hhere Tragfhigkeit, jedoch grßere Freiheit in der Gestaltung, erfordert allerdings Nachprfung auf Eingriffsstrungen, Kopfdicken und Lckenweiten, Bild 13. Bei Planetengetrieben Planetenzhnezahl zP um 0,5 bis 1,5 kleiner whlen als sich aus zZ (Sonnenrad) und zH (Hohlrad) fr Nullverzahnung ergbe. Mit Gl. (30) und (31) bestimmt man xZ þ xP ; xP þ xH % 0 anstreben. – Steigungsrichtung bei Schrgverzahnung s. G 8.1.5. Umfassende Darstellung der Geometrie-Beziehungen: (DIN 3993) [7–9].
Null-Verzahnung: x1 ¼ x2 ¼ 0; aw ¼ a; a ¼ ad ¼ 0;5mðz1 þ z2 Þ;
ð33Þ
//Schr.: awt ¼ at //. V-Null-Verzahnung: x1 ¼ x2 ; aw ¼ a, a ¼ ad . Zur Beseitigung des Unterschnitts und zur Verstrkung des Ritzels auf Kosten des Rads bei u 6¼ 1. V-Verzahnung: x1 þ x2 6¼ 0: Viele brauchbare Profilverschiebungssysteme [3, 5]. Zustzliche Angaben fr Evolventen-Schrgverzahnung. Die Berhrlinien sind auch hier Geraden, verlaufen jedoch
8.1.8 Sonstige Verzahnungen (außer Evolventen) und ungleichmßig bersetzende Zahnrder Zykloidenverzahnung. Flankenformen entstehen durch Abwlzen zweier Rollkreise auf den Wlzkreisen. Außer fr Kapselpumpen kaum noch angewendet, da genaue Herstellung schwierig (fr jede Zhnezahl eigener Wlzfrser), empfindlich gegen Achsabstandsabweichungen und nicht momententreu.
I8.2
Verzahnungsabweichungen und -toleranzen, Flankenspiel
G 123
Bild 14. Triebstockverzahnung. Konstruktion von Eingriffslinie und Zahnflanke, Abmessungen Bild 15. W-N-Verzahnung. Ritzelflanke konvex, Radflanke konkav (links: Grundform; rechts: praktische Ausfhrung r2 > r1 )
Triebstockverzahnungen. Angewendet fr Drehkrnze bei großen Durchmessern und rauhem Betrieb, Zahnstangenwinden, Bild 14. Bei Abwlzen von W2 auf W1 beschreibt M Kurve Z; quidistante mit Bolzenradius ergibt Ritzelflanke. Anhaltswerte. Kleinste Ritzelzhnezahl min z1 8 . . . 12 fr Umfangsgeschwindigkeit ut ¼ 0; 2 . . . 1; 0 m/s; Bolzendurchmesser dB 1; 7 m; Zahnkopfhhe ha mð1 þ 0; 03z1 Þ; Zahnbreite b 3,3 m, mittlere Auflagelnge des Bolzens l b+m+5 mm; Lckenradius rL 0; 5dB +0,02 m; Abstand aL 0; 15 m; Flankenspiel jt 0; 04 m. – Tragkraft nach praktischen Erfahrungen: Tab. 2. Tabelle 2. Anhaltswerte fr Triebstockverzahnung von Krandrehwerken mit Ritzel aus St70 und Bolzen aus St60 bei schwerem Betrieb [10]
Wildhaber-Novikov-(W-N-)Verzahnung Zahnformen. In der Grundform besteht Ritzelflanke aus konvexem und Radflanke aus konkavem Kreisbogen mit Radius r1 ¼ r2 um Wlzpunkt C, Bild 15. Berhrung auf gesamtem Kreisbogen nur in dieser Eingriffsstellung, d. h. keine Profilberdeckung vorhanden. Gleichmßige Bewegungsbertragung nur durch Schrgverzahnung mit Sprungberdeckung eb > 1 mglich. – Um Kantentragen an Kopf oder Fuß bei Achsabstandsabweichungen zu vermeiden, wird r2 etwas grßer als r1 ausgefhrt – Punktberhrung. – Bei Drehbertragung wandert Berhrpunkt ber die Zahnbreite. Einheitliche Werkzeuge (je Modul und Schrgungswinkel) fr Ritzel und Rad erhlt man bei Verzahnung mit konvexem Kopf- und konkavem Fußprofil [1, 11, 12 ]. Tragfhigkeit. Hertzsche Abplattungsflche ist sphrische Flche. Wegen der guten Anschmiegung in Breitenrichtung ist die entsprechende Ausdehnung grßer als die in Hhenrichtung. ber die Zahnbreite wandernde Druckflche gnstig fr Schmierdruckbildung; Reibleistung gering. Gleitgeschwindigkeit im Stirnschnitt fr jeden Flankenberhrpunkt gleich. Dadurch Verschleiß gleichmßig (gnstig fr Einlauflppen). Flankentragfhigkeit (aus Vergleich der Hertzschen Pressung), Drehmoment ca. 2- bis 3mal so hoch wie bei Evolventenverzahnung. Zahnfußtragfhigkeit etwa gleich wie bei Evolventenverzahnung. Wegen des punktfrmigen Kraftangriffs Gefahr von Eckbrchen bei eb 1 und Ausbrchen in Zahnmitte (Einzeleingriff) bei eb > 1; 2. Betriebsverhalten. Bei genauer, steifer Ausfhrung gnstiges Gerusch- und Schwingungsverhalten. Teilungs- und Flankenlinienabweichungen fhren zu Stßen bei Zahneingriffsbeginn. Achsabstands- und Achsneigungsabweichungen
(auch durch Verformung) bewirken u. U. beachtliche Verlagerung des Eingriffs zu Kopf bzw. Fuß, d. h. Erhhung von Flanken- und Fußbeanspruchung sowie verstrktes Laufgerusch. Exzentrische Zahnrder [13–18]. Unrunde Zahnrder [19–23].
8.2 Verzahnungsabweichungen und -toleranzen, Flankenspiel Verzahnungsgenauigkeit durch Angabe der Qualitt nach DIN 3961 bis 67 vorschreiben! Qualitt 1: Hchste Genauigkeit, Qualitt 12 grbste. Beispiele: Lehrzahnrder Q 2 bis 4; Schiffs- und Turbogetriebe Q 4 bis 6; Schwermaschinenbau Q 6 bis 7; kleinere Industriegetriebe, Kran- und Bandgetriebe Q 6 bis 8; langsame, offene Getriebe Q 10 bis 12; Drehkrnze Q 9 (gegossen > Q 12). – Bei großen Zahnbreiten empfehlen sich Flankenlinien- oder Profilkorrekturen, d. h. bewusste Abweichungen zum Ausgleich von Verformungen, um ein gleichmßiges Tragbild zu erreichen [1] (s. W 2.3). Toleranzen der Einzelabweichungen (Profil, Teilung, Rundlauf, Flankenlinien): DIN 3962, der Wlzabweichungen – Erfassung durch Einflanken- und Zweiflankenwlzprfung. – Toleranzen der Achsabstnde DIN 3964, der Zahndicken DIN 3967. – fHb s. Tab. 3. Durch verschiedene Fertigungs- und Wrmebehandlungsverfahren erreichbare Genauigkeiten und Vergleich der DIN- mit den ISO- und AGMA-Qualitten s. Bild 16. Empfehlungen zur Wahl der Zahndicken-Abmaße Asne , Zahndicken-Toleranzen Tsn und Achsabstandsabmaße Aa : Tab. 4. Damit theoretisches Flankenspiel: jt ¼ ½ðAsn 1 þ Asn 2 Þ þ Aa tan an = cos b;
ð36Þ
max jt mit Asn ¼ Asne Tsn und Aa max , min jt mit Asn ¼ Asne und Aa min . Theoretisches Verdreh-Flankenspiel jn ¼ jt = cos an cos b. Abnahme-Flankenspiel durch Fertigungsabweichungen meist kleiner. Betriebs-Flankenspiel z. B. beim Anlaufen durch schnellere Erwrmung der Rder gegenber dem Gehuse u. U. wesentlich kleiner als jn, t .
Tabelle 3. Abschtzung der Flankenlinien-Winkelabweichung fHb . Genauwerte s. DIN 3961: fHb ¼ Hj 4;16b0;14 ; Tabellen: DIN 3962
G
G 124
Mechanische Konstruktionselemente – 8 Zahnradgetriebe
Tabelle 4. Empfehlungena; b ) fr obere Zahndickenabmaße Asne und -toleranzen Tsn nach DIN 3967 (Mai 1977) und Achsabstandsabmaße Aa nach DIN 3964 (Febr. 1976)
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l < 0;7: Bereich vieler Industriegetriebe, Grenzschmierung berwiegt. Graufleckenrisiko prfen! Schmierstoff und Schmierungsart Bild 16. Verzahnungsqualitt und Herstellverfahren (ungefhre Zuordnung der DIN-, ISO- und AGMA-Qualitten nach der Einzelteilungs-Abweichung, m ¼ 6; d ¼ 75 . . . 150 mmÞ: Herstellverfahren s. S 5.2
8.3 Schmierung und Khlung Schmierfilmdicke: Zur Beurteilung des Schmierzustandes, insbesondere bezglich Gleitverschleiß, Kaltfressen und Grauflecken, eignet sich die minimale Schmierfilmdicke im Wlzpunkt nach der EHD-Theorie. Fr Stahlzahnrder gilt nach Oster auf der Basis von [24] mit dem bei der Innenverzahnung negativen Zhnezahlverhltnis u als Nherung die Zahlenwertgleichung hC ¼ 0;003½ðauÞ=ðu þ 1Þ2 0;3 ðv0 ut Þ0,7 ðpC =840Þ0;26 in mm rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ð37Þ Ft u þ 1 nach Gl:ð48Þ : pC ¼ ZH ZE d1 b u Die Schmierfilmstoffzhigkeit v0 in mm2 /s ergibt sich aus der Massentemperatur J0 ¼ JL þ 7400½ðPVZP þ PVZOÞ =ðabÞ0,72 JL þ 2;2 104 ðea m=aÞ0,72 u0t ,576 p1C,73 in C: Hierbei bedeuten: Achsabstand a und Breite b in mm, Umfangsgeschwindigkeit ut in m/s, Leerlauftemperatur JL ltemp. in C, Zahnverlustleistung PVZP þ PVZO aus Gl. (39) in kW, Hertzsche Pressung im Wlzpunkt pC in N=mm2 (s. Gl. (37)) und ea die Profilberdeckung. Zur qualitativen Beurteilung dient die spezifische Schmierfilmdicke l¼
hc ; ðRa1 þ Ra2 Þ=2
ð38Þ
l>2: berwiegend hydrodynamische Schmierung, kaum Verschleiß.
Hinweise zur Auswahl: Tab. 5 Schmierstoffzhigkeit (DIN 51 502) bzw. Walkpenetration (DIN 51 804) je nach Temperatur: Handauftrag; Haftschmiermittel NLGI-Klasse 1 bis 3 (NLGI = National Lubricating Grease Institut). Zentralschmieranlagen: Schmierfette NLGI 1 bis 2 (frderbar); Sprhauftrag: Fließfette NLGI 00-0 (sprhbar); Tauchschmierung: Fließfette NLGI 000-0 (fließfhig); Schmierlzhigkeit: Anhaltswerte nach Bild 17. (Einfluss von Rauheit, Temperatur, Schmierungsart, Betriebsart [1]). EP-Zustze bei Fressgefahr; synthetische le (kleine Reibungszahl, hoher Viskosittsindex, teuer) bei extremen Betriebsbedingungen. Schmiereinrichtungen, Gehuseanschlsse s. G 8.10.4 . Wrmehaushalt. Verlustleistung PV soll Khlleistung PK nicht berschreiten. Fr kleine bis mittlere Getriebe meist Luftkhlung durch Gehusewnde (Khlflche A in m2 ) und Temperaturunterschied von Gehuse zur Umgebungsluft JG J1 ausreichend. berschuss an Verlustleistung durch Wasserkhlung abfhren. PV ¼ PVZP þ PVZ0 þ PVLP þ PVL0 þ PVD þ PVX0
ð39Þ
berschlgig: lastabhngige Verzahnungsverluste PVZP ¼ 0,5 : : : 1% der Nennleistung je Stufe (bei u > 20 m=s lastunabhngige Verzahnungsverluste PVZ0 zustzlich bercksichtigen [1]); Lagerverluste: lastabhngige PVLP und lastunabhngige PVL0 (s. G 5.2; sonstige Verlustquellen, wie z. B. Dichtungen (PVD ) (s. G 5.5). Khlleistung (Wrmeabgabe) des Gehuses: PKG ¼ aAðJG J1 Þ mit a ¼ 15 . . . 25 W=ðm2 KÞ
ð40Þ
fr ruhende Luft und unbehinderte Konvektion (untere Grenze: hoher Schmutz- und Staubabfall, kleine Drehzahlen, große Getriebe). Bei Lfter auf schnellaufender Welle erhht sich a um Faktor fK : Stirnradgetriebe mit 1 Lfter fK 1;4; 2 Lfter fK 2;5; Kegelradgetriebe mit 1 Lfter fK 2;0. – Einfluss von Windgeschwindigkeit sowie Sonneneinstrahlung beachtlich.
I8.3
Schmierung und Khlung
G 125
Tabelle 5. Wahl von Schmierstoff und Schmierungsart
G
Bild 17. Wahl der Schmierl-Viskositt fr Stirn-, Kegel- und Schneckengetriebe. Nherungsweise Zuordnung der ISO- und SAE-Viskosittsklassen; Vorzugsklassen schraffiert. Tauchschmierung bei hheren ut auch mglich, wenn abgeschleudertes l durch Rippen oder lleitbleche dem Zahneingang zugefhrt wird
G 126
Mechanische Konstruktionselemente – 8 Zahnradgetriebe
8.4 Werkstoffe und Wrmebehandlung – Verzahnungsherstellung Tragfhigkeit der Werkstoffe und entsprechende Qualittsanforderungen s. Tab. 14. Daneben sind Kosten von Werkstoff und Wrmebehandlung, Zerspanbarkeit bzw. Verarbeitbarkeit, Geruschverhalten, Stckzahl (Herstellverfahren) entscheidend (in manchen Bereichen allein wichtig) fr die Auswahl. Typische Beispiele aus verschiedenen Anwendungsgebieten
G
Zahnrder fr Kleingerte, Instrumente, Haushaltsgerte usw. (d. h. fr Bewegungsbertragung oder kleine Krfte): Zn-, Ms-, Al-Legierungen. Thermoplaste (Spritzguss); Automatensthle, Bausthle; Al-, Zn-, Cu-Knetlegierungen, Hartgewebe, Thermoplaste (Strangpressen, Kaltziehen, Pressen bzw. Stanzen, bzw. Frsen); Sintermetalle (Fertigsintern). Kraftfahrzeug-Zahnrder. Legierte Einsatzsthle – gefrst oder gestoßen, geschabt – einsatzgehrtet – (evtl. geschliffen statt geschabt); niedrig legierte Vergtungssthle – gefrst oder gestoßen, geschabt – carbonitriert. Turbogetriebe-, Schiffsgetriebe-Zahnrder. Legierte Vergtungssthle – gefrst evtl. geschabt; Al-freie Nitriersthle – gefrst, geschabt (oder geschliffen) – gasnitriert (evtl. geschliffen); legierte Einsatzsthle – gefrst – einsatzgehrtet – geschliffen. Großzahnrder, Drehkrnze. Legierter Stahlguss (Ausschussrisiko durch Lunker beachten) legierter Vergtungsstahl (gewalzt) – gefrst – evtl. Induktions- oder Flamm-Einzelzahnhrtung. Industriegetriebe, Baukastengetriebe Unlegierte und legierte Vergtungssthle – wlzgefrst oder gestoßen oder -gehobelt. Legierte Einsatzsthle – wlzgefrst o. . – einsatzgehrtet – geschliffen (evtl. mit HartmetallWlzfrser fertiggefrst, evtl. gehont). Al-freie Nitriersthle – wlzgefrst o. . (evtl. geschabt oder geschliffen, evtl. gelppt) – gasnitriert. Unlegierte und legierte Vergtungssthle – wlzgefrst o. ., geschabt – nitrocarburiert, oder induktiv – oder flammgehrtet.
Vergtungssthle – Einzelzahn – Beidflankenhrtung (Flamm- oder Induktion). Kostengnstig fr Großrder (d bis ca. 3000 mm, m>8 mm); im mittleren Hrtebereich (HRC=45 bis 56) beherrschbar. Sorgfltige Vorbereitung (Hrteprobestcke), konstante d. h. laufend berwachte Hrte-Einstelldaten erforderlich. Verzugsarm, Verzahnungsschleifen meist nicht erforderlich. Zahngrund ungehrtet, reduzierte Fußfestigkeit [26]. Vergtungssthle – Einzelzahn – Lckenhrtung (Flamm- oder Induktion). Zahngrund mitgehrtet. Kostengnstig fr Großrder im mittleren Hrtebereich (wie bei Beidflankenhrtung, aber Flamme nur bei m > 16 mm) (HRC=45 bis 52, evtl. 56). Geringes Hrterisiko (Hrterisse) nur bei entsprechender Vorbereitung und berwachung, langjhrigen Erfahrungen, geeigneten Werkstoffen und optimalen Hrtebedingungen (Hrteprobestcke). Verzugsarm, aber hufig Teilungsfehler bei Hrtebeginn; Verzahnungsschleifen oft erforderlich [26]. Al-freie Nitriersthle, Vergtungssthle, Einsatzsthle – nitriert (Langzeitgasnitriert). Verzugsarmes, diffiziles Verfahren. Normal: Nitrierhrtetiefe Nht 0;3 mm; d < 300 mm; m % 6 mm; schwieriger: Nht 0;6 mm; d < 600mm; m < 10 mm. Bei Nitriersthlen fr grßere d und m geringere Festigkeit ansetzen! Hierbei und bei dnnwandigen Rdern wegen Verzug meist Verzahnungsschleifen nach dem Nitrieren. Hohe Festigkeit sicher erreichbar nur bei besonderer Werkstoffqualitt, langjhriger Erfahrungen, optimalen Fertigungs- und Kontrolleinrichtungen. Sonst starke Schwankungen der Festigkeit mglich. Besonders Nitriersthle sind empfindlich gegen Stße und Kantentragen. Verbindungsschicht < 15 m anstreben. Vergtungssthle – nitrocarburiert (kurzzeit-gasnitriert). Neues verzugsarmes Verfahren, das viele Probleme des Kurzzeit-Badnitrierens vermeidet [27] und dieses weitgehend verdrngt hat. Nur wenig berlastbar. Vergtungssthle – nitrocarburiert (kurzzeit-badnitriert). Verzugsarmes Verfahren. Normal: d < 300 mm; m < 6 mm; schwieriger: d bis 600 mm, m bis 10 mm. Praktisch keine Diffusionszone, d. h. reduzierte Tragfhigkeit, wenn Verbindungsschicht ( 1 m/s. Rauheit in der Fußausrundung Rz < 16 mm. Schmierstoff nach Tab. 5 und Bild 18. Bei Schrgverzahnung eb ^ 1: Bei abweichenden Voraussetzungen Berechnung nach DIN 3990, [1]. Kraftfaktoren Sie dienen zur Bestimmung der maßgebenden Kraft pro mm Zahnbreite, gltig fr alle Beanspruchungsgrenzen. Die Faktoren werden nherungsweise wie folgt berechnet: Kv mit Qualitt der Verzahnung und KHb oder KFb mit Umfangskraft Ft KA Kv =b. Manche Kraftfaktoren werden bei kleinen Fehlern und hohen ußeren Umfangskrften zu 1.
Anwendungsfaktor K A. Er bercksichtigt die von Antrieb oder Abtrieb eingeleiteten Zusatzkrfte. – Anhaltswerte siehe Tab. 11. – Rechnet man mit dem Maximalmoment (s. Tab. 11 c), so ist KA ¼ 1 zu setzen. Dynamikfaktor Kv bercksichtigt innere dynamische Zusatzkrfte: Bild 20. Breitenfaktor KHb (Flanke) KFb (Fuß) bercksichtigt Einfluss von Herstelltoleranzen fma und Gesamt-Verformung fshg auf Kraftverteilung ber die Zahnbreite: Man bestimmt Fby ¼ xb Fbx ¼ xb ðfma þ fshg Þ
ð44Þ
und entnimmt KHb ð KFb Þ aus Bild 21. xb s. Tab. 12. fma fHb eines Rades nach Tab. 3 oder nach Sondervorschrift einsetzen. fshg nach bewhrten Getrieben Tab. 13; die Konstruktion ist entsprechend steif auszufhren. Im Zweifelsfalle Verformung – insbesondere der Ritzelwelle – nachprfen. Kontrolle nach Tragbild unter Last mit lfestem Tragbildlack mglich (DIN 3990). Stirnfaktoren K Ha (Flanke) und K Fa (Fuß) bercksichtigen ungleichmßige Aufteilung der Umfangskraft auf die im Eingriff befindlichen Zahnpaare infolge von Teilungs- und Formabweichungen.
I8.5
Tragfhigkeit von Gerad- und Schrgstirnrdern
G 129
Tabelle 7. K -Faktoren ausgefhrter Stirnradgetriebe (fr Nennleistung, wenn nicht anders angegeben) nach Firmenangaben und [1, 32– 34]. Werkstoff: Stahl (wenn nicht anders angegeben). Wrmebehandlung: v; vergtet; eh einsatzgehrtet; n nitriert. Bearbeitung: f gefrst, gehobelt gestoßen; s geschabt; g geschliffen
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Tabelle 8. Grßtwerte fr b=d1 von ortsfesten Stirnradgetrieben mit steifem Fundament; besonders bei Maximalwerten empfehlen sich Profil- und Breitenkorrekturen zur Erreichung eines gleichmßigen Tragbildes bei Nennmoment
Tabelle 9. Minimale Ritzelzhnezahlen z1 .
Fr berschlagsrechnungen oder grobe Verzahnung bei niedriger Belastung: Geradverz.: Schrgverz.:
KH a ¼ 1=Ze2 ^ 1,2; KH a ¼ ean ^ 1,4:
Geradverz.:
KF a ¼ 1=Ye ^ 1,2;
Schrgverz.:
KF a ¼ ean ^ 1,4:
ð45Þ
) ð46Þ
G 130
Mechanische Konstruktionselemente – 8 Zahnradgetriebe
Tabelle 10. Mindestwerte fr den Modul
G dingung fr die Sicherheit: pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi SH ¼ sH lim ZX =ðsH0 KA Kv KHb KHa Þ ^ SH min :
ð48Þ
Hierin ist sH lim die Dauer-Wlzfestigkeit nach Prfstandversuchen und Erfahrungen mit ausgefhrten Getrieben Tab. 14. sHO Nennwert der Flankenpressung: rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffi Ft u þ 1 sH0 ¼ ZH ZE Ze Zb ¼ ZH ZE K Ze Zb : ð49Þ d1 b u |fflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl} pC
Bild 20 a, b. Dynamikfaktor Kv (DIN 3990/ISO 6336). a Geradstirnrder; b Schrgstirnrder mit eb ’1 (fr eb < 1 s. DIN 3990, [1])
pC : Hertzsche Pressung im Wlzpunkt ZX Grßenfaktor fr Grbchenfestigkeit Bild 22. ZH Zonenfaktor, erfasst Krmmung im Wlzpunkt: sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2 cos bb cos awt ZH ¼ : cos2 at sin awt
ð50Þ
ZE Elastizittsfaktor: pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi2 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi2 St=St : ZE 190 N=mm ; St=GG : ZE 165 N=mm ; pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi2 GG=GG : ZE 145 N=mm : Ze berdeckungsfaktor, Zb Schrgenfaktor: pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 9 Ze ¼ pð4 ffi ea Þ=3 fr Geradverzahnung, = ffiffiffiffiffiffiffiffiffi Ze ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1=ea fr Schrgverzahnung ðeb ^ 1Þ,;ð51Þ Zb ¼ cos b: u Zhnezahlverhltnis z2 =z1 , bei Innenradpaaren negativ.
Bild 21. Breitenfaktor KHb ð KFb Þ (DIN 3990/ISO)
Man rechnet hiermit auf der sicheren Seite, Ze s. Gl. (51), Ye s. Gl. (52). Fr normalbelastete Getriebe (Dauerbruchsicherheit SF % 2, Grbchensicherheit SG % 1; 3) mit DIN Qualitt 8 oder feiner bei Geradverzahnung bzw. 7 oder feiner bei Schrgverzahnung: KHa ¼ KFa 1:
ð47Þ
Sicherheit gegen Grbchenbildung Die Flankenpressung (Hertzsche Pressung s. C 4.2 ) im Wlzpunkt muss kleiner als die zulssige Pressung sein; damit Be-
Bild 22. Grßenfaktor fr Zahnfußfestigkeit (Index F). Grßenfaktor fr Grbchentragfhigkeit (Index H) n. DIN 3990
I8.5 Tabelle 11. Anwendungsfaktoren fr Zahnradgetriebe
Tragfhigkeit von Gerad- und Schrgstirnrdern
G 131
Tabelle 12. Einlauf-Kennwert fr Gl. (44)
Tabelle 13. Anhaltswerte fr zulssige Flankenlinienabweichungen durch Gesamt-Verformung fshg in mm (fr das Radpaar im Getriebe)
Schmierfilmeinfluss: Bei anderen Schmierstoffen und Zhigkeiten als nach Tab. 5 und Bild 17: Einfluss auf sH lim nach DIN 3990 bercksichtigen. Bei gefrsten Zahnflanken 85% von sH lim einsetzen (Rauigkeitseinfluss). Bei gehrteten, geschliffenen Gegenrdern kann sH lim vergteter Rder um Werkstoffpaarungsfaktor ZW erhht werden: ZW ¼ 1; 2 ðHB 130Þ=1 700
ð52Þ
mit HB des vergteten Rades. Gleichung (49) gilt fr Schrgverzahnungen mit eb ^ 1. Andernfalls s. DIN 3990. Bei zn1 < 20 : sHO auf inneren Einzelgriffspunkt B (s. Bild 7) umrechnen (DIN 3390), [1]. Mindest-Sicherheit SH min : Anhaltswerte s. Tab. 15. Graufleckigkeit s. [31, 35], nherungsweise: lkrit 0;7: Bei l > lkrit ist nach bisherigen Erfahrungen nicht mit Grauflecken zu rechnen, l s. G 8.3. Sicherheit gegen Dauerbruch Die am Zahnfuß auftretende rtliche Spannung (unter Bercksichtigung der Kerbwirkung) muss kleiner als die zulssige Spannung sein. Damit Bedingung fr die Sicherheit: SF ¼ sFE YX =ðsFO KA Kv KFb KFa Þ ^ SF min :
ð53Þ
Hierin ist sFE ¼ sF lim 2;0; sF lim die Biege-Nenn-Dauerfestigkeit des Standard-Referenz-Prfrades mit Spannungskorrekturfaktor ( Kerbformzahl)=2,0; Anhaltswerte fr sFE nach Prfstandsversuchen s. Tab. 14. YX Grßenfaktor fr Zahnfußfestigkeit Bild 22. sFO Nennwert der Grundspannung: sFO ¼
Ft YFS Ye Yb : bmn
ð54Þ
YFS Kopffaktor, erfasst Zahnform einschließlich Kerbform bei Kraftangriff am Kopf. Fr Bezugsprofil nach DIN 867 s. Bild 23.
G
G 132
Mechanische Konstruktionselemente – 8 Zahnradgetriebe
Ye berdeckungsfaktor erfaßt Umrechnung auf Kraftangriff im ußeren Einzeleingriffspunkt (bei Schrgverzahnung fr die Ersatzverzahnung im Normalschnitt, Gl. (34)). Yb Schrgenfaktor. ) Ye ¼ 0,25 þ 0,75=ean ð55Þ Yb ¼ 1 b =120 ^ 0,75: Bei großen Fußausrundungen muss man die Kerbempfindlichkeit bercksichtigen (DIN 3990), [1]. Einfluss von grßerer Rauheit, Schleifkerben, Kugelstrahlen, Ausschleifen der Kerben [36–38]. Sicherheit gegen Warmfressen und Kaltfressen
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Oft nachtrgliche Abhilfemaßnahmen mglich G 8.5.1)[1, 39, 40]. Berechnung s. [1] und DIN 3990.
(s.
Sicherheit gegen Gleitverschleiß Notwendig bei Geschwindigkeiten unter 0,5 m/s. Nach [19] ist mit erhhtem Verschleiß zu rechnen, wenn die rechnerische Mindestschmierfilmdicke nach Gl. (37) 0,1 mm unterschreitet (Verschleißhochlage bei ca. 0,01 bis 0,02 mm. Abhilfemaßnahmen (s. G 8.5.1). Berechnung s. [1]. Berechnung von Zeitgetrieben, Getrieben mit selten auftretenden Belastungsspitzen oder mit Lastkollektiven: [1, 41].
Rechenschema mit Beispiel Nachrechnung der Tragfhigkeit der 1. Stirnradstufe eines Rhrwerks. Antrieb: E-Motor. h bedeutet Zeichnungsangabe. Gegeben: Motordrehzahl: n1 ¼ 1 000 min1 , Leistung P= 51 kW; ruhiger Lauf gefordert, s. a. G 8.5.3. Achsabstand a vorgegeben
Nachrechnung der Tragfhigkeit Umfangskraft, Gl. (42), Ft ¼ 7561 N. K -Faktor, Gl. (41) = 1,74 nach Tab. 7 ausreichend dimensioniert.
h Verzahnungsqualitt 6 nach DIN 3962 (s. a. Tab. 3), fHb ¼ 10 m m.
Umfangsgeschwindigkeit Gl. (43): ut ¼ 6;7 m/s.
h Bezugsprofil nach DIN 867, an ¼ 20 ; Bild 10.
Schmierlviskositt bei 40 C, Bild 17: v40 1;3 102 mm2 =s, ISOVG 220.
h Zahnradwerkstoff: Ritzel 16 Mn Cr 5 (Tab. 14, Nr. 30), Rad 42 CrMo 4 V (Tab. 14, Nr. 15).
Kraftfaktoren
h Hrte: Ritzel 60 HRC, Rad 300 HB.
Anwendungsfaktor: KA ¼ 1;3 angesetzt (s. auch Tab. 11).
h Flankenbearbeitung (Rauheit): geschliffen, Ra ¼ 0;5 mm (entsprechend Rz 3 mm).
Dynamikfaktor: Kv 1;08 ½u2 =ð1 þ u2 Þ1=2 ¼ 2;1:
h Rauheit am Zahnfuß: Ra % 2 mm (entsprechend Rz 12 mm).
Breitenfaktor, KHb ð KFb Þ:
nach
Bild 20 b
mit
ðut z1 =100Þ
Bild 23. Kopffaktor (ISO 6336). YFS ð¼ YFa YSa Þ fr Bezugsprofil: an ¼ 20; ha =mn ¼ 1; ha0 =mn ¼ 1; 25; ra0 =mn ¼ 0; 25; fr Zahnstange YFS ¼ 4; 62; fr Innenstirnrder mit rF ¼ ra0 =2 : YFS ¼ 5; 79.
I8.5
Tragfhigkeit von Gerad- und Schrgstirnrdern
G 133
Tabelle 14. bliche Zahnradwerkstoffe, Anwendung, Festigkeit
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G 134
Mechanische Konstruktionselemente – 8 Zahnradgetriebe
Einlauf-Kennwert nach Tab. 12 fr sH lim ¼ 750 N=mm2 /eins. geh.: xb ¼ 0;55=0;85; fma fHb ¼ 10 mm(Verzahnungsqualitt 6, s. oben), Flankenlinienabweichung durch Gesamtverformung: fshg ¼ 8 mm nach Tab. 13. Mit Gl. (43): Fby =12,6 mm. Aus Bild 21, mit Ft KA Kv =b ¼ 200 N=mm2 : KHb ð KFb Þ 1;6. Stirnfaktor, KHa und KFa : Schrgverzahnung, DIN Qualitt 7, Gl. (47): KHa ¼ KFa ¼ 1:
Sicherheit gegen Grbchenbildung Zonenfaktor, Gl. (50) mit bb nach Gl. (35), at ; awt : ZH 2;3: pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi2 Elastizittsfaktor, fr St/St: ZE 190 N=mm . berdeckungs- und Schrgenfaktor Gl. (51): Ze Zb 0;8: Nennwert der Flankenpressung, Gl. (49): sHO ¼ 466 N=mm2 .
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Grßenfaktor, Bild 22: ZX ¼ 1: Grbchen-Dauerfestigkeit, Tab. 14 angesetzt fr Ritzel sH lim ¼ 1 500 N=mm2 , fr Rad 300 HB sH lim ¼ 750 N=mm2 . Werkstoffpaarungsfaktor (Rad) Gl. (52): ZW ¼ 1;1. Sicherheitsfaktor fr Grbchenbildung, Gl. (48): Ritzel SH ¼ 2;1, Rad SH ¼ 1;2: Nach Tab. 15 ausreichend.
Sicherheit gegen Dauerbruch Kopffaktor, Bild 23: YFS 1 4; 32; YFS 2 4; 35 (mit Gl. (34): zn1 ¼ 38;3; zn2 ¼ 67). berdeckungs- und Schrgenfaktor, Gl. (55): Ye Yb 0; 67: Nennwert der Grundspannung, Gl. (54): sFO 1 ¼ 157 N=mm2 ; sFO 2 ¼ 158 N=mm2 . Grunddauerfestigkeit, nach Tab. 14 angesetzt fr Ritzel sFE ¼ 900 N=mm2 , fr Rad sFE ¼ 600 N=mm2 . Grßenfaktor, Bild 22: YX ¼ 1: Sicherheitsfaktor fr Dauerbruch, Gl. (53): Ritzel SF 1 ¼ 3;4, Rad SF 2 ¼ 2;2. Nach Tab. 15 ausreichend.
8.6 Kegelrder Eigenschaften (s. G 8, Einleitung). Gegenber Schneckengetrieben hherer Wirkungsgrad und bei grßeren Leistungen (oft als Kegel-Stirnradgetriebe, s. G 8.10.1) kostengnstiger. Gegenber Stirnrdern schwieriger herstellbar (Hhenversatz, Achsenwinkelabweichungen, starke Hrteverzge, axiale Lage von Rad und Ritzel, Ausbiegung bei fliegendem Ritzel).
Tabelle 15. Anhaltswerte fr Sicherheitsfaktoren
Gegenmaßnahmen: Beschrnkung der Zahnbreite, breitenballige Verzahnung, Zusammen-Lppen und -Paaren von Ritzel und Rad oder Schleifen bzw. Hartschneiden, axiales Einstellen von Ritzel und Rad, Wlzlager (kleines Lagerspiel), steife Gehuse (s. G 8.6.5). 8.6.1 Geradzahn-Kegelrder Normal bis u=6 m/s, geschliffen bis 50 m/s (Flugzeugbau). Zahnhhe i. Allg. zur Kegelspitze abnehmend (proportionaler Zahnhhenverlauf) [42]. Herstellung durch Frsen oder Hobeln. Hufig auch durch Gesenkschmieden oder Gießen fr Verwendung bei Kegelrad-Differentialen und kleinen Verstellgetrieben. 8.6.2 Kegelrder mit Schrg- oder Bogenverzahnung Geruscharmer Lauf; gefrst oder gehobelt und gelppt bis u=40 m/s; geschliffen oder hartgeschnitten bis 80 m/s (extrem bis 130 m/s); Axialkrfte beachten! Verwendung: Industriegetriebe, Fahrzeuggetriebe. Schrgverzahnung. Konstanter Schrgungswinkel ber die Breite, i. Allg. proportionaler Zahnhhenverlauf. Herstellung durch Frsen oder Hobeln. Bogenverzahnung. Spiralwinkel (Schrgungswinkel) ber die Breite vernderlich. Flankenlinienverlauf, Zahnhhenverlauf (proportional oder parallel = konst. Zahnhhe) und Spiralwinkel weitgehend durch Herstellverfahren bedingt, traditionell abhngig von einzelnen Maschinenherstellern (s. S 5.2). Moderne CNC-Maschinen sind zunehmend fr verschiedene Verfahren einsetzbar. Detaillierte Auslegung von Bogenverzahnungen nach Vorschriften der Maschinenhersteller. 8.6.3 Zahnform Geradflankiges Bezugsplanrad, realisiert durch Werkzeuge mit geraden Schneiden (meist getrennt fr beide Flanken), fhrt zu Oktoiden-Verzahnung [43]. Deshalb Profilverschiebung nur als V-Null-Verzahnung (s. G 8.1.7), daneben Verstrkung des Ritzels zu Lasten des Rades durch Zahndickennderung (Profil-Seitenverschiebung) und/oder unterschiedliche Flankenwinkel auf Vor- und Rckflanke mglich. 8.6.4 Kegelrad-Geometrie Verzahnungsabmessungen (Bild 24). Maße am ußeren Teilkegel (Rckenkegel): Index e. Die Zahnform ist (auf dem Rckenkegel RK) nherungsweise gleich der einer Stirnradverzahnung mit den Radien rv1 und rv2 auf den Mantellinien der Rckenkegel. Fr Schrg- und Bogenverzahnungen gelten die folgenden Beziehungen fr die Stirnschnittwerte der Kegelrder und Ersatzstirnrder, d. h. m = mt = mn/cos b. Achsenwinkel S ¼ d1 þ d2 , meist S ¼ 90 : (56) (57) Teilkegelwinkel d1 aus tan d1 ¼ sin S=ðu þ cos SÞ; (58) fr S = 90: tan d1 ¼ 1=u; tan d2 ¼ u: (59) ußere Teilkegellnge Re ¼ 0; 5 de =sin d; pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi (60) fr S = 90: Re ¼ ðde1 =2Þ u2 þ 1: ußerer Teilkreisdurchmesser de1 ¼ z1 me ; de2 ¼ z2 me ;(61) mit Modul am Rckenkegel me. Zhnezahlverhltnis u ¼ z2 =z1 ¼ de2 =de1 ¼ sin d2 = sin d1 ; (62) fr S = 90, siehe Gl. (58). (63) Kopfkreisdurchmesser dae1 ¼ de1 þ 2hae1 cos d1 ; (64) dae2 ¼ de2 þ 2hae2 cos d2 ; (65) normal: hae1 ¼ me ð1 þ xh Þ; hae2 ¼ me ð1 xh Þ: Maße am inneren Teilkegel: Index i statt e. Ersatz-Stirnrder, bezogen auf Mitte Zahnbreite (Maße: Index m) – maßgebend fr die Tragfhigkeitsberechnung (unabhngig vom Zahnhhenverlauf), Bild 24.
I8.6
Kegelrder
G 135
G
Bild 24. Kegelradpaar und Ersatzstirnrder zur Berechnung der Tragfhigkeit. 1 Ferse, 2 Zehe
dm1 ¼ de1 b sin d1 ; dm2 ¼ udm1 ; pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi fr S = 90: dm1 ¼ de1 ðb= u2 þ 1Þ: dvm1 ¼ dm1 = cos d1 ; dvm2 ¼ dm2 = cos d2 ; pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi fr S = 90: dvm1 ¼ dm1 ðu2 þ 1Þ=u2 ; dvm2 ¼ dvm1 u2 mm ¼ dm1 =z1 ¼ dm2 =z2 ¼ mvm ¼ dvm1 =zv1 ¼ dvm2 =zv2 : pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi zv1 ¼ z1 ðu2 þ 1Þ=u2 ; zv2 ¼ zv1 u2 :
(66) (67) (68) (69) (70) (71)
Empfehlungen zur Wahl von Zhnezahl, Modul, Zahnbreite, Profilverschiebung, Tab. 16, Flankenspiel Tab. 17. Bezugsprofil fr Geradzahn-Kegelrder s. Bild 10, ISO 677. 8.6.5 Tragfhigkeit Die Tragfhigkeit wird fr alle Kegelrder unabhngig vom Herstellverfahren fr die Ersatz-Stirnrder nach Gl. (66) bis (71) mit Ft ¼ 2M1 =dm1 bestimmt. Detaillierte Berechnungsverfahren nach DIN 3991, ISO 10 300 und [1, 44–46], hnlich der Tragfhigkeitsberechnung fr Stirnrder (s. G 8.5.4), jedoch unter Bercksichtigung kegelradtypischer Besonderheiten. Anhaltswerte fr Kba ¼ ðKHb KHa Þ ðKFb KFa Þ nach Gl. (48) und (53) wegen begrenzten Tragbildes (breitenballige Verzahnung): Kba ¼ 2,0 bei beidseitiger Lagerung von Ritzel und Rad, Kba ¼ 2,2 bei fliegendem Ritzel und beidseitig gelagertem Tellerrad, Kba ¼ 2,5 bei fliegend gelagertem Ritzel und Tellerrad. Kontrolle: Tragbild darf bei keinem Betriebszustand an einem Zahnende liegen (s. G 8.6.7). 8.6.6 Lagerkrfte Berechnung der Kraftkomponenten nach Tab. 18 und Bild 25. Bei Berechnung der Radial-Lagerkrfte Kippmoment der Axialkrfte beachten. 8.6.7 Hinweise zur Konstruktion von Kegelrdern Bei Ritzeln, auf Welle aufgesteckt: Zahnkranzdicke unter der Zehe 2 m (evtl. Nut beachten). – Abstand der Lager nach Bild 25: l1 ¼ ð1;2 . . . 2Þd1 bei u ¼ 1 . . . 2; l1 ¼ ð2 . . . 2;5Þd1 bei u ¼ 3 . . . 6; ein Lager mglichst dicht am Ritzelkopf;
Bild 25. Zahnkraft-Komponenten zur Berechnung der Lagerkrfte
l2 > 0;7d2 : – Tragbild unter Vollast ca. 0;85b (Zahnenden frei) bei hoher Verzahnungs- und Gehusegenauigkeit und steifer Ausfhrung, sonst kleiner (ca. 0;7b). – Schrgungsrichtung so whlen, dass Axialkraft das Ritzel vom Eingriff weg drckt (Sichern des Flankenspiels). – Lagerung muss axiales Einstellen von Ritzel und Rad gestatten (Tragbild und Flankenspiel). – Zahnbreiten von Ritzel und Rad mglichst gleich (Einlaufkanten!). 8.6.8 Sondergetriebe Hypoidgetriebe. Kegelrder mit sich kreuzenden Achsen (Bild 1). Ausfhrung durchweg mit Bogenverzahnung nach Angaben der Maschinenhersteller [47–50]. Verwendung insbesondere in Kfz-Hinterachsgetrieben. Tragfhigkeitsberechnung mit Hilfe von Ersatz-Kegelrdern [1] und anschließender Vorgehensweise nach G 8.6.5. Kronenradgetriebe (Bild 26). Ritzel ist Gerad- oder Schrgstirnrad, Kronenrad wird durch Wlzstoßen mit Schneidrad, hnlich dem Ritzel, hergestellt; auch Achsversetzung des Ritzels ist mglich. Ritzel unempfindlich gegen Tragbildverlagerung, muss nicht axial eingestellt werden. Tragfhigkeit geringer als bei Kegelrdern gleicher Baugrße [32]. Kegelige Stirnrder (Bild 27). Gerad- oder Schrgstirnrder mit ber der Breite vernderlicher Profilverschiebung. Nach Bild 27 a geeignet zur Einstellung auf spielfreien Eingriff, nach Bild 27 b fr kleine Teilkegelwinkel, die auf KegelradVerzahnmaschinen nicht eingestellt werden knnen [51–53].
G 136
Mechanische Konstruktionselemente – 8 Zahnradgetriebe
Tabelle 16. Anhaltswerte fr die Wahl von Ritzelzhnezahla ), Zahnbreite und Profilverschiebungsfaktorb ) bei Kegelrdern mit S ¼ 90 und ohne Achsversetzung
Tabelle 17. Normale Flankenspiele fr Kegel- und Schneckengetriebe
G
Paarungsarten, Bild 28; am gebruchlichsten sind ZylinderSchneckengetriebe Bild 28 a. Globoid-Schneckengetriebe s. [59], Stirnrad-Schneckengetriebe [60] . Flankenform ergibt sich aus der Herstellung (s. S 5.2). ZA-, ZN-, ZK- und ZI-Schnecken unterscheiden sich nur wenig in Wirkungsgrad und Flankentragfhigkeit. ZC-(Hohlflanken-) Schnecken sind diesbezglich etwas gnstiger, jedoch empfindlicher gegen Belastungsschwankungen (Schneckendurchbiegungen).
8.8.1 Zylinderschnecken-Geometrie
Bild 26. Kronenradgetriebe mit Achsversetzung a
Bild 27 a, b. Kegelige Stirnrder. a als Stirnradpaar (parallele Achsen); b als Kegelradpaar (Achsenwinkel S)
8.7 Stirnschraubrder Eigenschaften (s. G 8, Einleitung), Verwendung: Tachoantriebe, kleine Gerte, Textilmaschinen, Zentrifugen u. . [1, 4, 33, 34, 54–57].
8.8 Schneckengetriebe Eigenschaften (s. G 8, Einleitung): bliche bersetzung in einer Stufe 5 . . . 70 ins Langsame, 5 . . . 15 ins Schnelle. Selbsthemmung bei treibendem Rad (d. h. h0 % 0) bedingt Wirkungsgrad h < 50% bei treibender Schnecke! Jede nderung der Schnecke erfordert nderungen des Werkzeugs (Paarverzahnung, s. G 8.1.4). Hauptanwendung bis Achsabstand a 160 mm, n1 bis 3 000 min1 ; ausgefhrt bis a=2 m und 1 000 kW Leistung. – Spielarme Duplex-Schnecken fr Teilgetriebe [58].
Fr Achsenwinkel S ¼ 90 : Ausgangsgrßen sind Mittenkreisdurchmesser der Schnecke dm1 und Zahnprofil im Axialschnitt, Bild 29. Bei anderen Achsenwinkeln gelten die Beziehungen fr zylindrische Schraubenrder sinngemß (s. G 8.7). Gleichungen folgen aus den Beziehungen zwischen Zahnstangenprofil der Schnecke (im Axialschnitt) und Schneckenrad (Zeichen: Z) oder aus Betrachtung der Schnecke als Schrgstirnrad (Zeichen: S) oder als Gewindespindel (Zeichen: G).
I8.8
Schneckengetriebe
G 137
Tabelle 18. Berechnung der Zahnkraft-Komponenten am Kegelrad. – Werte der Winkel b; a und d des Zahnrads verwenden, fr das die Belastung bestimmt wird
G
Achsabstand a, bersetzung i und Leistung P1 gegeben Zhnezahl z1 nach Erfahrung [BS 721] whlen (a in mm) Zahlenwertgleichung z1 ð7 þ 2,4 a1=2 Þ=i;
Berhrlinien (B-Linien) Berhrpunkte und Zahnform des Rads knnen aus gegebenem Achsschnittprofil A der Schnecke bei gegebenem Wlzkreis (= Teilkreis) des Rads nach dem Verzahnungsgesetz berechnet oder konstruiert werden (s. G 8.1.1). Dasselbe gilt fr jeden Schnitt P parallel zum SchneckenAchsschnitt. So erhlt man B-Linien; Beispiel s. Bild 29. Da das Zahnprofil der Schnecke im Schnitt P von dem im Achsschnitt abweicht, ergibt sich hier auch ein anderes Gegenprofil. Konstruktion s. [1], Berechnung [61, 62]. 8.8.2 Auslegung Vorab alle Anforderungen und Einflsse auf Beanspruchung und Funktion sorgfltig klren. Vergleiche Pflichtenheft fr Stirnradgetriebe, Tab. 6. Man bestimmt Abmessungen und kontrolliert gemß DIN 3996 die Sicherheiten SH ; SF ; SW, Sd bei hohen Drehzahlen sowie die Temperatursicherheit ST und korrigiert – wenn ntig – die angenommenen Werte.
ð86Þ
Zhnezahl z1 auf nchste ganze Zahl auf- oder abrunden; dann nach Gl. (73) z2 . Beachten: Nicht ganzzahliges Verhltnis z2 =z1 erleichtert Herstellen des Rades mit Schlagzahn und verringert schdliche Wirkung von Teilungsabweichungen. Mit der Radzhnezahl z2 wchst die Laufruhe; mglichst z2 ^ 30 bei ax ¼ 20 und normaler Zahnhhe. Wahl des Durchmesser-Achsabstands-Verhltnisses dm1 =a nach Bild 30. Tendenzen von SH ; Sd und hz beachten! Hinsichtlich eines mglichst hohen Wirkungsgrads strebt man also ein kleines dm1 =a an, jedoch ist die Durchbiegung zu beachten, Gefahr des Schneckenwellenbruchs. Dann dm1 ¼ a ðdm1 =aÞ und tan gm nach Gl. (84). Schließlich ist zu prfen, ob vorhandene Werkzeuge (insbesondere Wlzfrser) verwendet werden knnen. Damit liegt meist auch die Zahnform fest. Empfehlung fr Profilverschiebungsfaktor x – ZI-Schnecken: – 0,5 x + 0,5, vorzugsweise: x 0; – ZC-Schnecken: 0 x 1,0, vorzugsweise: x 0,5. Weitere Grßen: nach Gln. (75)–(82). Anhaltswerte fr weitere Maße (s. Bild 29): b1 2 m ðz2 þ 1Þ1=2 ; b2H 2 m ½0; 5 þ ðdm1 =m þ 1Þ1=2 :
ð87Þ
Schnecke ðdm1 ; z1 ; mÞ und bersetzung i gegeben Interessant, wenn Wlzfrser fr das Verzahnen des Rades vorhanden sind. Weiter beachten, dass eine Schnecke (d. h. auch ein Wlzfrser) fr verschiedene bersetzungen verwendbar ist und hierfr unterschiedliche Achsabstnde ergibt. Zunchst z2 nach Gl. (73) bestimmen und x2 whlen, dm2 nach Gl. (79) und a nach Gl. (74). Weiter wie oben beschrieben. Bild 28 a–c. Paarungsarten der Schneckengetriebe. a ZylinderSchneckengetriebe (Zylinderschnecke – Globoidrad); b StirnradSchneckengetriebe (Globoidschnecke – Stirnrad); c Globoid-Schneckengetriebe (Globoidschnecke – Globoidrad)
Radmoment T 2 , Drehzahl n2 , bersetzung i gegeben Achsabstand a aus Gl. (106) und den dort angegebenen Grßen berechnen. a auf nchsthheren Wert der Reihe nach (DIN 3976) aufrunden. Weiter wie oben beschrieben.
G 138
Mechanische Konstruktionselemente – 8 Zahnradgetriebe
G Bild 29. Bestimmungsgrßen eines Zylinderschneckengetriebes. Sk Kranzdicke, rK Kopfkehlhalbmesser, J Umfassungswinkel
8.8.3 Zahnkrfte, Lagerkrfte Berechnung der Umfangskraft Ft aus Drehmoment M, das sich mit Anwendungsfaktor KA aus dem Nennmoment MN bestimmt, s. Tab. 11. Auch die Zahnkrfte profilverschobener Rder werden fr rm angegeben [1]. Ftm1 ¼ Ftm2 tanðgm þ arctan mzm Þ ¼ Fxm2 :
ð88Þ
mzm nach Gl. (100) (s. G 8.8.5). Ftm2 ¼ Fxm1 ;
ð89 aÞ
Frm1 ¼ Frm2 ¼ Ftm2 tan ax :
ð89 bÞ
Lagerkrfte ergeben sich aus diesen Kraftkomponenten, Radien und Lagerabstnden, Bild 31. Dabei Kippmomente beachten: MK1 ¼ Ftm2 rm1 ; MK2 ¼ Ftm1 rm2 :
ð90Þ
Ebenso evtl. ußere Querkrfte auf Eingangs- oder Ausgangswelle bercksichtigen.
ð91Þ
– Beanspruchungskennwerte: Zur Beurteilung der Tragfhigkeit von Schneckengetrieben sind dimensionslose Kennwerte (p*m fr die mittlere Flankenpressung sHm , h* fr die mittlere Schmierspaltdicke h, s* fr den mittleren Gleitweg sgm) eingefhrt, die nur von der Geometrie der verwendeten Verzahnung abhngen. Diese sind fr ZI-, ZA-, ZN- und ZK-Schneckengetriebe in Gl. (92) bis Gl. (94) als Nherungsgleichungen beschrieben. x b2H p*m ¼ 1;03 0;4 þ þ 0;01 z2 0;083 mx u ð92Þ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2 q 1 q þ 50 ðu þ 1Þ=u þ þ ; 6;9 15; 9 þ 3; 75 q
ð96Þ
ð97Þ
– Mittlere Flankenpressung sHm : 0;5 4 p*m M2 103 Ered sHm ¼ : 3 a p
ð98Þ
2 : ð1 u21 Þ=E1 þ ð1 u22 Þ=E2
ð99Þ
Fr verschiedene Werkstoffe ist der E-Modul sowie die Querkontraktionszahl u in Tab. 19 angegeben. – Mittlere Schmierspaltdicke: hmin m ¼ 21 h*
0;7 0;7 0;03 1;39 c0;6 Ered a h0M n1 a 0;13 TM 2
:
ð100Þ
Nherungswert fr Druckviskosittsexponenten fr Mineralle ca ¼ 1; 7 108 m2 =N, fr Polyglykole ca ¼ 1; 3 108 m2 =N; h0M dynamische Viskositt bei Massentemperatur JM , s. DIN 3996.
8.8.5 Reibungszahl, Wirkungsgrad – Mittlere Zahnreibungszahl:
h* ¼ 0;018 þ
s* ¼ 0;78 þ 0;21 u þ 5;6=tan gm :
s* ¼ 0;94 þ 0;25 u þ 6;7=tan gm :
Ered ¼
– Gleitgeschwindigkeit am Mittenkreis:
q 1 x u þ þ 7;86 ðq þ z2 Þ z2 110 36 300 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi b2H 2q 1 ; þ 213;9 370;4 mx
q 1 x u þ þ 5,83 ðq þ z2 Þ z2 81;6 26 920 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi b2H 2q 1 ; þ 158;6 274;7 mx
h* ¼0; 025 þ
– Ersatz-E-Modul:
8.8.4 Geschwindigkeiten, Beanspruchungskennwerte
ugm ¼ p dm1 n1 = cos gm :
Fr ZC-Schneckengetriebe sind Gl. (95) bis Gl. (97) relevant: x b2H p*m ¼1; 03 0;31 þ 0;78 þ 0;008 z2 0;065 mx u pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2 q 1 q þ 50 ðu þ 1Þ=u þ þ ; ð95Þ 8;9 20;3 þ 47;9 q
mzm ¼ m0T YS YG YW YR : ð93Þ
ð94Þ
ð101Þ
Grundreibungszahl m0T ist aus Bild 32 zu bestimmen; Baugrßenfaktor YS ¼ ð100=aÞ0;5 im Bereich von a= 65 . . . 250 mm; Geometriefaktor YG ¼ ð0; 07=h Þ0;5 ; Werkstoffaktor YW nach Tab. 19; Rauheitsfaktor YR ¼
I8.8
Schneckengetriebe
G 139
G
Bild 30. Durchmesser-Achsabstands-Verhltnis dm1 =a; nach Gl. (84) mit x=0; (linke Ordinate), Einfluss (Tendenzen) auf Sicherheiten Sd , SH , ST und Wirkungsgrad hz . Verzahnungswirkungsgrad bei treibender Schnecke hz nach Gl. (102) (rechte Ordinate). Schraffiertes Feld begrenzt Bereich industriell ausgefhrter Schneckengetriebe
Bild 32. Grundreibungszahl m0T des Standard-Referenzgetriebes
Bild 31. Zahnkrfte an einem Schneckengetriebe
ðRa1 =0; 5Þ0;25 mit Ra1 als arithmetische Mittenrauheit der Schnecke. – Verzahnungswirkungsgrad hZ (Schnecke treibt): hz ¼
tan gm tan ðgm þ arc tan mzm Þ;
ð102Þ
– Verzahnungsverlustleistung PVz bei treibender Schnecke: 0;1 M2 n1 1 PVz ¼ 1 : ð103Þ u hz Gesamtwirkungsgrad Gesamtwirkungsgrad h ist mittels Gesamtverlustleistung PV zu bestimmen: hges ¼ P2 =ðP2 þ PV Þ ¼ ðP1 PV Þ=P1
ð104Þ
PV ¼ PVz þ PV0 þ PVLP þ PVD
ð105Þ
PV0 Leerlaufverlustleistung, PVLP Lagerverlustleistung infolge der Lagerbelastung und PVD Dichtungsverlustleistung nach DIN 3996. Anhaltswerte s. Tab. 20. Tendenzen bezogen auf die dort angegebenen Werte decken einen Streubereich von 2 . . . 3 % ab: – Radwerkstoff CuSn-Bronze gnstiger als GG, Al-Bronze, Messing; – Gehrtete, geschliffene Schnecke gnstiger als vergtete, gefrste Schnecke; – ZC-Schnecke gnstiger als brige Zahnformen; – Geeignete Synthesele gnstiger als Mineralle (Einlaufeigenschaft beachten);
G 140
Mechanische Konstruktionselemente – 8 Zahnradgetriebe
Tabelle 19. Werkstoffkennwerte fr Schneckengetriebe
G Tabelle 20. Gesamtwirkungsgrade in % von Zylinderschneckengetrieben (Anhaltswerte), Wlzlagerung, bliches Polyglykol. Unterer Wirkungsgradbereich fr Achsabstnde a< 200 mm, oberer Bereich fr a bis 500 mm. Bei Verwendung von Minerall sind die Werte um etwa 2% (niedrige bersetzung) bis 10% (hohe bersetzung) zu verringern. Fr Wirkungsgrade geringer als 50% besteht Selbsthemmung oder Gefahr der Selbsthemmung
– Große Steigung (mehrgngige und dnne Schnecken – Durchbiegung beachten) gnstiger als kleine Steigung (eingngige und dicke Schnecken). 8.8.6 Nachrechnung der Tragfhigkeit Nachrechnung der Sicherheit gegen Grbchenbildung SH Zahlenwertgleichung SH ¼ sH lim Zh Zv Zs Zoil =sHm SH lim ¼ 1;0
ð106Þ
(Einheiten s. Tabellen). sH lim Grbchenfestigkeit s. Tab. 19, sHm mittlere Flankenpressung nach Gl. (98). – Lebensdauerfaktor Zh ¼ ð25 000=Lh Þ1=6 1; 6 mit Lh in h; Geschwindigkeitsfaktor Zv ¼ ½5=ð4 þ ugm Þ0;5 ; Baugrßenfaktor Zs ¼ ½3 000=ð2 900 þaÞ0;5 ; Schmierstoffaktor Zoil ¼ 1,0 fr Polyglykole bzw. Zoil ¼ 0,89 fr Mineralle. Nachrechnung der Verschleißsicherheit SW Gefhrdet sind in erster Linie die Flanken geringerer Hrte, d. h. meist die Radflanken. SW ¼ dW lim n Ered =ðJ0 WML s sHm a NL Þ
Bild 33 a, b. Bezugsverschleißintensitt, Radwerkstoff GZ-CuSn 12 Ni (Mittelwerte und Streubereich) [63]. a Schmierung mit Minerall; b Schmierung mit Polyglykol
stoffaktor WML nach Tab. 21. s nach Gln. (94, 97); sHm nach Gl. (98); NL Lastspielzahl bis Lebensdauerende; Ered nach Gl. (99). Nachrechnung der Zahnbruchsicherheit SF
ð107Þ
Durch zu hohe Zahnfußspannungen knnen die Schneckenradzhne plastisch verformt werden oder ausbrechen.
dW lim n Grenzwert des Flankenabtrages – hierfr sind diverse Kriterien ansetzbar, z. B. Flankenspielkriterium dW lim n ¼ 0; 3 mx cos gm oder Spitzgrenze dW lim n ¼ mx cos gm ðp=2 2 tan a0 Þ. J0 Grundverschleißintensitt nach Bild 33; Schmierfilmdickenkennwert KW ¼ hmin m WS mit hmin m nach Gl. (100) und Schmierstoff-Strukturfaktor WS ¼ 1 fr Minerall, WS ¼ 1=h0;35 0M fr Polyglykole; die dynamische Viskositt h0M ist fr die Radmassentemperatur JM einzusetzen, welche nach DIN 3996 zu bestimmen ist. Werkstoff/Schmier-
SF ¼ tF lim YNL b2H mx =½Ftm2 Yeps YF Yg YK ð108Þ SF min ¼ 1,1:
SW min ¼ 11:
tF lim Schubdauerfestigkeit s. Tab. 19, wenn Qualittsverschlechterung tolerierbar sind nach DIN 3996 hhere Werte zugelassen. – Lebensdauerfaktor YNL nach Bild 34; berdeckungsfaktor Yeps ¼0,5; Formfaktor YF ¼ 2; 74 mx =½ðmt2 p=2 D sÞ þ ðd m2 d f2 Þ tan a0 =cos gm mit Ds als Abnahme der Zahnfußdickensehne durch Verschleiß innerhalb der ge-
I8.8 Tabelle 21. Bekannte Werkstoff/Schmierstofffaktoren WML fr Schnecken aus 16 MnCr5E
Schneckengetriebe
G 141
dlim Grenzwert der Durchbiegung, nach Praxiserfahrungen dlim ¼ 0; 01 mx : Nachrechnung der Temperatursicherheit ST Mit steigender Temperatur sinkt die Schmierstofflebensdauer rapide, Radialwellendichtringe werden angegriffen. Bei Einspritzschmierung kann ST ¼ PK =PV durch Steigerung der Khlleistung PK erhht werden. Bei Tauchschmierung ist die lsumpftemperatur JS gemß DIN 3996 zu berprfen. ST ¼ JS lim =JS ST min ¼ 1;1:
ð110Þ
Nachrechnung der Fresssicherheit SS Fressen fr Rder aus CuSn-Bronzen unkritisch, fr Rder aus Eisenwerkstoffen kritisch fr ugm > 0,5 m/s; Anhaltswert nach [65]. 8.8.7 Gestaltung, Werkstoffe, Lagerung, Genauigkeit, Schmierung, Montage Gestaltung von Gehusen (s. G 8.10). Beispiel s. Bild 35. Lage der Schnecke bei Tauchschmierung mglichst unten, bei u1 < 10 m/s auch seitlich, bei u1 < 5 m/s auch oben; bei Einspritzschmierung Lage beliebig. Schnecke optimal aus Einsatzstahl ð58 . . . 62 HRC) oder legiertem Vergtungsstahl randgehrtet (HRC0) wird beliebig gewhlt. Drehzahlen mit entgegengesetzter Drehrichtung sind dann negativ. Daraus folgt bersetzungen i und freie Drehzahlverhltnisse k sind bei gleichsinnig laufenden Wellen positiv (i, k>0), bei gegenlufigen Wellen negativ (i, k0), wenn es in der positiv definierten Drehrichtung auf (!) das Getriebe wirkt; in der entgegengesetzten Wirkungsrichtung ist es negativ (M 0Þ, weil eine Antriebswelle stets die Drehrichtung im Drehsinn des antreibenden Drehmoments annimmt. Abtriebsleistungen sind dagegen negativ ðPab < 0Þ, weil das ußere, auf das Getriebe bremsend wirkende Abtriebsmoment der Abtriebsdrehrichtung entgegengerichtet ist. Verlustleistungen sind als abgefhrte Leistungen negativ ðPv < 0Þ. 8.9.4 Drehmomente, Leistungen, Wirkungsgrade Drehmomente. Das Verhltnis der Drehmomente wird allein durch die Standbersetzung i12 und die Standwirkungsgrade h12 und h21 bestimmt. Es verndert sich nicht, wenn einem laufenden Standgetriebe beliebige Kupplungsdrehzahlen ns (verlustfrei) berlagert werden.
Ms ¼ i12 hw1 0 1; M1
ð117Þ
Ms 1 ¼ 1: M2 i12 hw1 0
ð118Þ
Dabei folgt der Exponent w1 aus dem Vorzeichen der Wlzleistung Pw1 der Welle 1 : Ist Pw1 > 0, fließt die Wlzleistung von Welle 1 nach 2, ist Pw1 < 0, von 2 nach 1. Daraus folgt die Definition von hw1 0 fr die Berechnung: Ist Pw1 ¼ M1 ðn1 ns Þ > 0 : w1 ¼ þ1 ! hw1 0 ¼ h12 2p ð119Þ < 0 : w1 ¼ 1 ! hw1 0 ¼ 1=h21 wobei M1 das vorgegebene Drehmoment ist, oder bei Vorgabe von M2 oder Ms , mit hw1 0 ¼ 1 (!) aus Gl. (116) oder (117) berechnet wird. Die Gln. (116) bis (118) zeigen, dass die Verhltnisse der drei Wellenmomente zueinander nur von der Standbersetzung i12 und den Standwirkungsgraden hw1 0 bestimmt werden und somit bei jedem der beiden Wlzleistungsflsse konstant sind M1 : M2 : Ms ¼ f ði12 ; hw1 0 Þ ¼ const:
ð120Þ
Diese fr Differentialgetriebe charakteristische Gleichung gilt unabhngig von den jeweiligen Drehzahlen, auch wenn eine Welle stillgesetzt ist. Wird ber die drei Wellen eines Umlaufgetriebes Leistung zwischen drei Maschinen bertragen, so mssen Gl. (112) fr die Drehzahlen wie auch Gl. (115) und (120) fr die Drehmomente erfllt sein. Dabei regelt sich ein Betriebszustand ein, bei dem die noch freie gegenseitige Zuordnung von Drehzahlen und Drehmomenten durch die Kennlinien M=f(n) der angeschlossenen Maschinen erfolgt [67]. Ist damit kein stabiler Zustand erreichbar, geht die Anlage durch oder bleibt stehen. Ist eines der Drehmomente M=0 (z. B. Maschine abgekuppelt), so werden nach Gl. (120) auch die brigen Momente gleich Null, das Getriebe luft leer, Leistungsbertragung ist nicht mglich. Zusammenfassung der Drehmomentgleichungen s. Tab. 23. Nach Gl. (115) muss eines der drei Wellenmomente das entgegengesetzte Vorzeichen der beiden brigen haben und im Betrag gleich deren Summe sein. Diese Welle heißt Summenwelle, die anderen beiden Differenzwellen. Bei Umlaufgetrieben mit negativer Standbersetzung (Minusgetriebe) ist die Stegwelle stets Summenwelle, bei positiver Standbersetzung (Plusgetriebe) ist es die langsamer laufende StandgetriebeTabelle 23. Formeln fr die Drehmomente. Mit w1 ¼ þ1 : hw1 0 ¼ h12 oder w1=-1: hw1 0 ¼ 1=h21 , w1 aus Tab. 24 fr bersetzungsgetriebe, aus Tab. 25 fr berlagerungsgetriebe oder aus Gl. (103)
Bild 37. Beispiel fr drei kinematisch gleichwertige Planetengetriebe
I8.9 welle. Wird die Summenwelle stillgesetzt, entsteht an den beiden laufenden Differenzwellen wegen ihrer gleichsinnigen Drehmomente stets eine negative bersetzung, bei Stillsetzung einer Differenzwelle eine positive. Daher kann jedes einfache Umlaufgetriebe zwei reziproke negative und vier paarweise reziproke positive bersetzungen erzeugen. Leistungen. Mit M in Nm (kNm), n in s1 , werden die Wellenleistungen und die Verlustleistung Pv : P1 ¼ M1 n1 2 p W ðkWÞ;
ð121Þ
P2 ¼ M2 n2 2 p W ðkWÞ;
ð122Þ
Ps ¼ Ms ns 2 p W ðkWÞ
ð123Þ
Pv ¼ M1 ðn1 ns Þ2 p ð1 hw1 0 Þ W ðkWÞ:
ð124Þ
Ein charakteristisches Merkmal der Umlaufgetriebe ist die Entstehung der Wellenleistungen P1 und P2 als Summe (berlagerung) von Wlz- und Kupplungsleistung. Mit w ¼ 2pn wird: Wellenleistung ¼ Wlzleistung þ Kupplungsleistung P1 ¼ Pw1 þ Pk1 ¼ M1 ðw1 ws ÞþM 1 ws P2 ¼ Pw2 þ Pk2 ¼ M2 ðw2 ws Þþ M2 ws Ps ¼ Pks ¼ Ms ws : Je nach Wahl der Drehzahlen knnen Wlz- und Kupplungsleistung gleiche oder entgegengesetzte Vorzeichen, d. h. gleich- oder einander entgegengerichtete Leistungsflsse aufweisen. Daher knnen sich die Wellenleistungen P1 und P2 als Summe oder als Differenz dieser beiden Teilleistungen ergeben. Im ersten Fall bleibt die verlustbehaftete Wlzleistung kleiner als die Wellenleistung, dann wird der Gesamtwirkungsgrad hher als der Standwirkungsgrad. Bei entgegengerichteten Teilleistungsflssen kann die Wlzleistung aber beliebig grßer als die Wellenleistung werden; der Gesamtwirkungsgrad wird dann entsprechend niedriger als der Standwirkungsgrad. Er kann sogar negativ werden und dadurch zur Selbsthemmung des Getriebes fhren, s. G 8.9.5. Diese Betrachtung der Teilleistungen gibt Einblick in das Betriebsverhalten eines einfachen Planetengetriebes, sie ist aber zur Berechnung der Betriebsdaten nicht erforderlich. Durch berlagerung beliebiger Wlz- und Kupplungsleistungen kann bei jedem Umlaufgetriebe jeder der sechs mglichen Leistungsflsse erzeugt werden: je drei mit Welle 1, 2 oder s als alleiniger Antriebswelle und zwei Abtriebswellen (Leistungsteilung) oder 1, 2 oder s als alleiniger Abtriebswelle mit zwei Antriebswellen (Leistungssummierung). Welches die alleinige An- oder Abtriebswelle (Gesamtleistungswelle GLW) ist, wird allein durch die Standbersetzung i12 und ein beliebiges freies Drehzahlverhltnis k bestimmt, s. Tab. 25. Soll ein berlagerungsgetriebe mit seiner GLW als einziger Antriebswelle (Motor) und zwei Abtriebswellen (Arbeitsmaschinen) laufen, so knnen die Drehzahlverhltnisse k12 , k1s bzw. k2s nur innerhalb der in Tab. 25 dafr angegebenen Bereiche liegen. Werden einem berlagerungsgetriebe bei Anschluss von zwei Motoren und einer Arbeitsmaschine die Drehzahlen vorgegeben und ist dabei die Abtriebswelle zugleich GLW, so herrscht Leistungssummierung. Ist jedoch einer der beiden Motoren an die GLW angeschlossen, so treibt er allein das Getriebe an, whrend der andere Motor neben der Arbeitsmaschine einen Abtrieb bilden muss und bersynchron als Bremse angetrieben wird, vgl. G 8.9.7. Wirkungsgrad. Mit den allgemeinen Definitionen Wirkungsgrad h ¼ ðPab =Pan Þ ¼ 1 z
ð125Þ
Verlustgrad z ¼ ðPv =Pan Þ ¼ 1 h
ð126Þ
Umlaufgetriebe
G 145
wird der Gesamtwirkungsgrad eines Planetengetriebes mit zwei oder drei laufenden Wellen hges ¼ 1 þ
Pv M1 ðn1 ns Þ2pð1 hw1 0 Þ ¼1 SPan SPan
ð127Þ
mit Pv nach Gl. (124) und der einen oder den beiden Wellenleistungen nach Gl. (121) bis (123), die sich durch ihr positives Vorzeichen als Antriebsleistungen Pan ausweisen. (Bei einem selbsthemmungsfhigen Getriebe darf jedoch eine Abtriebswelle, deren Leistung nur infolge von Selbsthemmung (s. G 8.9.5) ein positives Vorzeichen annimmt, jedoch ohne Sh. mit M aus Gln. (116)–(118) fr hw1 0 =1 negativ wre, nicht bercksichtigt werden.) Die Minuszeichen in den Definitionsgleichungen (125) und (126) sind erforderlich, damit h und z, wie gewohnt, trotz der negativen Quotienten ðPv ; Pab < 0Þ einen positiven Wert annehmen. Der Wirkungsgrad lsst sich bei bersetzungsgetrieben auch allein durch Standbersetzung und Standwirkungsgrad, bei berlagerungsgetrieben zustzlich durch ein freies Drehzahlverhltnis, z. B. k12 , das die GLW bestimmt, ausdrcken, Tab. 24, 25 [67], wobei die zutreffende Gleichung noch vom jeweils zugehrigen Leistungsfluss abhngt. Einfache Zahnrad-Planetengetriebe sind als Standgetriebe wie bliche Zahnrad-bersetzungsgetriebe praktisch verlustsymmetrisch, d. h. h12 ¼ h21 . Bei Umlaufgetrieben, insbesondere bei Plusgetrieben, knnen die Wirkungsgrade in jeweils entgegengesetzten Leistungsflussrichtungen wegen der berlagerung von Wlz- und Kupplungsleistung jedoch sehr unterschiedlich sein. Bei Minusgetrieben sind die Umlaufwirkungsgrade stets hher als der Standwirkungsgrad. In Gl. (127) und Tab. 24, 25 wird – wie auch in der brigen Literatur – angenommen, dass bei umlaufendem Steg die Zahnreibungs- und Planetenlagerverluste bei bertragung der Wlzleistung Pw der Last proportional und gleich groß wie beim Standgetriebe seien. Nur diese Verluste werden der Berechnung zugrunde gelegt. Bei mitrotierendem Steg auftretende zustzliche Plansch- und Ventilationsverluste, Verluste durch Dichtringreibung sowie Einflsse durch die Schmierlfhrung knnen gegebenenfalls nach der Berechnung von hges zustzlich bercksichtigt werden. Bei der Bestimmung des Standwirkungsgrads drfen nur die genannten lastabhngigen Verluste herangezogen werden. Liegen genauere Angaben nicht vor, so gengt es fr prakti-
Tabelle 24. Wirkungsgrade der Umlauf-bersetzungsgetriebe (Fr einfache Zahnradplanetengetriebe gilt: h12 h21 , fr Planeten-Koppelgetriebe hI II und hII I getrennt bestimmen; erster Index Antriebswelle, zweiter Abtriebswelle.)
G
G 146
Mechanische Konstruktionselemente – 8 Zahnradgetriebe
Tabelle 25. Wirkungsgrade der berlagerungsgetriebe und Zuordnung der Bereiche von k12 , k1s und k2s zur Lage der Gesamtleistungswelle GLW [67]; Lfl. Leistungsfluss
G
sche Berechnungen, einen Wlzwirkungsgrad hwa 0;99 fr eine außenverzahnte Stirnradpaarung und hwi =0,995 fr eine Hohlradstufe mit einer Innenverzahnung anzunehmen, vgl. Bild 34; fr genauere Wirkungsgradbestimmung s. [71]. 8.9.5 Selbsthemmung und Teilhemmung Bei Selbsthemmung (Sh) kann ein Getriebe auch mit beliebig großen Antriebsmomenten nicht bewegt werden; es wird durch den Antriebsmoment proportionale Reibkrfte innerlich blockiert. Seine Reibungsverlustleistung Pv wre grßer als die Antriebsleistung Pan . Es luft jedoch, wenn ihm die zur berwindung der Reibung noch fehlende Leistung bzw. das zum Lsen der Verklemmung erforderliche „Lsemoment“ durch Antreiben der Abtriebswelle in Abtriebsdrehrichtung zustzlich zugefhrt wird. Beispiel: Selbsthemmende Hubwerke mssen zum Senken einer (antreibenden) Last am eigentlichen Abtrieb angetrieben werden.
Einfache Planetengetriebe mit zwei oder drei angeschlossenen Wellen sind bei einer Standbersetzung h12 < i12 < 1=h21 selbsthemmungsfhig. Selbsthemmung tritt jedoch nur ein, wenn Welle s einzige Abtriebswelle ist. Analog sind beliebig zusammengesetzte Planetengetriebe mit hab < iab < 1=hba und Laufgrad 2 selbsthemmungsfhig aber nur selbsthemmend, wenn Welle c die einzige Abtriebswelle bildet (vgl. G 8.9.2). Bei Leistungsfluss in Selbsthemmungsrichtung kehren das Drehmoment Mj der Abtriebswelle j und somit die „Abtriebsleistung“ Pj im Vergleich zu einem reibungsfreien Betrieb (h12 ¼ h21 ¼ 1) ihr Vorzeichen um. Die dabei positiv werdende „Abtriebsleistung“ Pj wird aber nicht zu einer „echten“ Antriebsleitung. So bleiben z. B. die tragenden Flanken die-
selben wie wenn j eine Abtriebswelle wre, sie wechseln nicht auf die bei „echtem“ Antrieb tragende andere Seite. Deshalb darf die positiv gewordene „Abtriebsleistung“ nicht als Pan in Gln. (125) bis (127) eingesetzt, sondern nur als Pab > 0 in Gl. (125) bercksichtigt werden! Damit ergibt sich als Kriterium fr Selbsthemmung ein negativer Wirkungsgrad fr den Laufzustand mit Leistungsfluss in Selbsthemmungsrichtung. Ist Welle s (bzw. c) eines selbsthemmungsfhigen Getriebes nur eine von zwei Abtriebswellen, so tritt Teilhemmung ein, ausfhrlich s. [67, 68]. 8.9.6 Konstruktive Hinweise Planetengetriebe weisen gegenber einfachen bersetzungsgetrieben einige konstruktive Besonderheiten auf [72]. Mittels Leistungsverzweigung ber q am Umfang angeordnete Planetenrder oder Planetenradstze lsst sich die bertragbare Leistung von Planetengetrieben oder gleichartig aufgebauten Standgetrieben, Verzweigungs- oder Sterngetriebe genannt, um den Faktor q steigern, wenn gleichmßiges Tragen aller Verzahnungen einer solchen statisch berbestimmten Anordnung gesichert ist, z. B. dadurch, dass die elastische Nachgiebigkeit im Verzahnungsbereich grßer ist als die hier wirksamen Maßabweichungen. Bei q=3 Planeten(stzen) am Umfang ist das Getriebe statisch bestimmt, wenn eines der drei Getriebeglieder 1, 2 oder s, wie hufig ausgefhrt, ohne Lagerung im Getriebegehuse nur durch die Zahneingriffe unter Last zentriert wird. Trotzdem sind dynamische Zusatzbelastungen vorhanden s. [73]. Alle vorstehenden Berechnungen werden von der Anzahl q dieser Planeten(stze) nicht beeinflusst. Eine gleichmßige Verteilung mehrerer Planeten am
I8.9 Unfang ist geometrisch nur mglich, wenn die Zhnezahlbedingungen nach Bild 36 (fr andere Getriebebauformen s. [67]) ganzzahlig erfllt sind. Bei „Stufenplaneten“, Bild 36 b, d, e ist zustzlich eine genaue gegenseitige Lagezuordnung ihrer beiden Planetenzahnkrnze und eine Markierung der in Montagestellung kmmenden Zahnpaare erforderlich. Getriebe mit Einfachplaneten sind deshalb einfacher zu fertigen. Bei der Lebensdauerberechnung der Planetenlager sind die Fliehkrfte der Planeten zu bercksichtigen und deren Relativdrehzahlen (np ns ) gegenber dem Steg zugrunde zu legen [74]. Fr Getriebe nach Bild 36 sind diese ðnp1 ns Þ ¼ ðn1 ns Þz1 =zp1 ¼ ðnp2 ns Þ ¼ ðn2 ns Þz2 =zp2 : Bei Getrieben nach Bild 36 a, c, f ist zp1 ¼ zp2 ¼ zp und np1 ¼ np2 ¼ np zu setzen. 8.9.7 Auslegung einfacher Planetengetriebe bersetzungsgetriebe Beispiel: isoll ¼ þ3, kleinste Zhnezahl zn ¼ 19, q=3 Planeten am Umfang. Es gibt drei mgliche Standbersetzungen nach Gl. (113), mit jeweils geeigneten Bauarten nach Bild 36: isoll ¼ i12 ¼ þ3, Bauarten d, f, isoll ¼ i1s : i12 ¼ 1 i1s ¼ 1 3 ¼ 2, Bauarten a, b, isoll ¼ is1 : i12 ¼ 1 1=is1 ¼ 1 1=3 ¼ 2=3, Bauarten d, e, f, isoll ¼ i21 ; is2 ; i2s ergibt gleiche Getriebe mit vertauschten Bezeichnungen 1 und 2. Geeignete Bauart: Getriebe nach Bild 36 a mit i12 ¼ 2 fhrt zur einfachsten Konstruktion, s. Bild 37. Bestimmung der Zhnezahlen: Zugleich mssen die Gleichungen B und D nach Bild 36 a sowie fr die Achsabstnde a1p ¼ a2p erfllt sein. Fr ein Nullgetriebe ðx1 ¼ x2 ¼ 0, G 8.1.5) folgt: z2 ¼ i12 z1 ¼ ð2Þ34 ¼ 68: a1p ¼ a2p ¼ ðz1 þ zp Þm=2 ¼ ðjz2 j zp Þm=2; somit werden zp ¼ ðjz2 j z1 Þ=2 ¼ 17: ðz1 þ jz2 jÞ=q ¼ ð34 þ 68Þ=3 ¼ 34 ganzzahlig, Montagebedingung erfllt. Falls sie nicht erfllt ist, zmin variieren und Achsabstnde mittels Profilverschiebung angleichen, s. G 8.1.7. Abschließend die Berechnung des Moduls nach G 8.5 und den konstruktiven Entwurf unter Bercksichtigung der auf die Planetenradlager wirkenden Fliehkrfte ausfhren.
berlagerungsgetriebe Bei jedem berlagerungsgetriebe sind mit dessen Standbersetzung i12 und zwei Drehzahlen n oder einem freien Drehzahlverhltnis k die Gesamtleistungswelle bestimmt und durch ein Drehmoment zustzlich der Leistungsfluss (Lfl) und der Gesamtwirkungsgrad hges festgelegt. Daher kann die Zuordnung eines gewollten Lfl zu vorgegebenen Drehzahlen nur in begrenzten Bereichen der freien Drehzahlverhltnisse k realisiert werden, s. Tab. 25. Die Bereichsgrenzen sind jeweils durch Stillstand einer Welle bei einer Stand- oder Umlaufbersetzung oder durch den „Kupplungspunkt“ ðn1 ¼ n2 ¼ ns Þ gekennzeichnet. Drehzahlen konstant. Werden drei konstante Drehzahlen na ; nb ; nc vorgegeben, so ergibt sich die dazu erforderliche Standbersetzung i12 ¼ isoll aus Gl. (111). Setzt man dabei na ; nb ; nc in den sechs mglichen Kombinationen als n1 ; n2 und ns ein, so erhlt man drei Paare von zueinander reziproken Standbersetzungen und damit drei verschiedene, kinematisch gleichwertige Getriebe, z. B. nach Bild 37, mit jeweils vertauschten Indices 1 und 2 der Standgetriebewellen. Aus der kinematischen Gleichwertigkeit dieser drei Getriebe folgt, dass bei jedem die Welle mit derselben Drehzahl na ; nb oder nc Gesamtleistungswelle ist. Somit liegt bei Vorgabe von drei Drehzahlen die Leistungsverteilung zwischen den zugehrigen Wellen fest und zwar unabhngig davon, wo und wie diese Wellen in der schließlich gewhlten Getriebebauart angeordnet sind, s. Tab. 25.
Umlaufgetriebe
G 147
Beispiel: na ; nb ; nc ¼ 18, 9, 12 s1 . Mit z. B. n1 ¼ 9, n2 ¼ 12, ns ¼ 18 folgt mit Gl. (111): i12 ¼ 1;5, k12 ¼ 9=12, damit aus Tab. 25 unter i12 > 1 und k12 ¼ 0 . . . 1 ! GLW ist Welle 2, d. h. die Welle mit n=12 s1 .
Werden zwei konstante Drehzahlverhltnisse, z. B. kab ; kcb vorgegeben, so errechnet man iab aus Tab. 22 und findet mit iab ¼ isoll drei Standbersetzungen sowie geeignete Bauarten wie im Abschnitt bersetzungsgetriebe. Drehzahlen stufenlos vernderlich. Bei einem berlagerungsgetriebe mit stufenlos vernderlichen Drehzahlen erfolgen die Berechnungen jeweils fr dessen beide, beliebig mit und * bezeichneten Drehzahl-Verstell grenzen wie bei konstanten Drehzahlen. Bei einer Anordnung nach Bild 38 seien den Getriebewellen a, b und c, Drehzahlen wie folgt zugeordnet: na variable Abtriebsdrehzahl ja ¼ na =na ¼ kab =kab Stellverhltnis Welle a
ð128Þ
nb = konstant vorgegeben (Hauptmotor H) nc einstellbar vorgegeben (Nebenmotor N) jc ¼ nc =nc ¼ kcb =kcb Stellverhltnis Welle c:
ð129Þ
Bei einer Drehzahlumkehr innerhalb eines Stellbereichs wird j2; f einfaches Stellgetriebe mit stufenlos verstellbarer bersetzung, stillstehendem Gehuse und Wellenbezeichnungen >2, z. B. Keilriemen-Stellgetriebe
Bild 39. Abhngigkeit der Leistungsverhltnisse e0 von der Kombination der Stellverhltnisse ja und jc eines berlagerungsgetriebes nach Bild 38 sowie j ð¼ ja ) und j0 ð¼ jc ) eines Stellkoppelgetriebes nach (Bild 43)
Bild 41. Beispiel eines dreistufigen Reihen-Planetengetriebes. a Schema; b Symbol mit den aus a bertragenen Wellenbezeichnungen, hier iAB ¼ i1s i10 s0 i100 s00 ; hAB ¼ h1s h10 s0 h100 s00 ; hBA ¼ hs00 100 hs0 10 hs1
I8.9
Umlaufgetriebe
G 149
wobei iea die bersetzung des Hauptgetriebes bei stillstehend gedachter Welle f bedeutet. Beispiel: Fr das Getriebe nach Bild 42 gilt: i12 ¼ 4;3, i10 20 ¼ 0;36. Damit wird in vorstehender Gleichung kfa ¼ k2s ¼ i20 10 ¼ 1= 0;36 ¼ 2;778 und iea ¼ i1s ¼ 1 i12 ¼ 1 þ 4;3 ¼ 5;3, somit Gl. (134) iIS ¼ kea ¼ 2;778ð1 5;3Þ þ 5;3 ¼ 17;24. Gleiches Ergebnis und zustzlich die Wirkungsgrade erhlt man, wenn man das einem einfachen Planetengetriebe analoge Planeten-Koppelgetriebe erzeugt: Nach Bild 42 d, c und Gl. (113) wird iI II ¼ ief if 0 e0 ¼ i12 i20 s0 ¼ i12 ð1 1=i10 20 Þ ¼ 4;3 ð1 1= 0;36Þ ¼ 16;24. Daraus mit Gl. (113) iIS ¼ 1 iI II ¼ 1 ð16;24Þ ¼ 17;24. Reihenwirkungsgrad: hI II ¼ hef hf 0 e0 ¼ h12 h20 s0 ¼ 0;985 0;989 ¼ 0;974; mit h20 s0 ¼ ði10 20 h20 10 Þ=ði10 20 1Þ nach Tab. 24 und mit h12 ¼ h21 ¼ h10 20 ¼ h20 10 ¼ 0;985. Daraus nach Tab. 24 unter i12 < 0 : hIS ¼ ðiI II hI II 1Þ=ðiI II 1Þ ¼ ð16;24 0;974 1Þ=ð16;24 1Þ ¼ 0;976: Die durch das Nebengetriebe fließende Leistung hngt bei Vernachlssigung der Reibung (Index 0) nur von den bersetzungen ab und lsst sich mit Bezeichnungen nach Bild 42 d leicht abschtzen: Mit der Definition des Leistungsverhltnisses Bild 42 a–d. Beispiel eines Planeten-Koppelgetriebes als Turboprop. Reduktionsgetriebe [77]. a Schnittzeichnung; b Schema mit Wellenbezeichnungen; c Getriebesymbol mit lagegerecht aus b bernommenen Wellenbezeichnungen; d Symbol eines Planeten-Koppelgetriebes mit funktionsorientierter Bezeichnung seiner Wellen nach ihrer Lage: a; a0 angeschlossene Koppelwelle, f ; f 0 freie Koppelwelle, e; e0 Einzelwellen; I, II, S analog dem einfachen Umlaufgetriebe bezeichnete ußere Anschlusswellen
e0 ¼
¼
Antriebsleistung des Nebengetriebes Antriebsleistung des Koppelgetriebes Pf 0 Pa0 ¼ gilt ½59 PI PS
ð135Þ
e0 ¼ 1 iea =kea ¼ 1 iea =iIS oder auch e0 ¼ ð1 1=iIS Þ=ð1 1=if 0 a0 Þ:
analog einfachen mehrstufigen bersetzungsgetrieben, Bild 42 (s. auch G 8 Einleitung und G 8.1.2). Planeten-Koppelgetriebe, Bild 44, bestehen aus zwei Planetengetrieben, die mit je zwei Wellen miteinander gekoppelt sind. Solche Getriebe erreichen als bersetzungs- oder berlagerungsgetriebe besonders geringes Leistungsgewicht und -volumen bei bersetzungen bis zu i>|50| [68, 76]. Mit den ußeren Anschlusswellen I, II und S nach Bild 42 b bis d hat ein Planeten-Koppelgetriebe drei Anschlusswellen mit dem Freiheitsgrad F=2, wie ein einfaches Planetengetriebe. Daher hat es als Gesamtgetriebe auch das gleiche Betriebsverhalten und lsst sich genau wie ein solches mit denselben Gleichungen und den Tab. 22 bis 25 berechnen, wenn man die Indices 1, 2 und s statt der analogen Wellenbezeichnungen I, II und S einsetzt [67]. Wird die angeschlossene Koppelwelle S festgehalten, so wirkt das Getriebe als Reihengetriebe wie ein Standgetriebe und seine „Reihenbersetzung“ (analoge Standbersetzung) iI II sowie seine Reihenwirkungsgrade (analoge Standwirkungsgrade) hI II und hII I lassen sich wie fr Reihengetriebe, Bild 41, bestimmen, s. Beispiel. Luft ein Planeten-Koppelgetriebe als berlagerungsgetriebe, so sind seine beiden Teilgetriebe in ihren Funktionen gleichwertig. Wird eine seiner Einzelwellen, z. B. Welle II, Bild 42 b, c, festgehalten, so luft das zugehrige Teilgetriebe als bersetzungsgetriebe und kann durch ein Planetengetriebe mit einer stillgesetzten Welle oder durch ein einfaches bersetzungsgetriebe mit stillstehendem Gehuse gebildet werden. Als „Nebengetriebe“ N hat es hier nur die Aufgabe, das Drehzahlverhltnis k2s ¼ i20 10 des mit den ußeren Anschlusswellen verbundenen „Hauptgetriebes“ H vorzugeben. Die ußere bersetzung des Planeten-Koppelgetriebes iIS ¼ kea lsst sich dann mit Tab. 22 berechnen. Ersetzt man die Funktionsorientierten Bezeichnungen nach Bild 42 d durch die allgemeinen Bezeichnungen (s. G 8.9.2), z. B. e ! a, a ! b, f ! c, so wird in Tab. 22, 1. Zeile, das gesuchte Drehzahlverhltnis kea ¼ kab ¼ kcb ð1 iab Þ þ iab und rcktransformiert zu den ursprnglichen Bezeichnungen nach Bild 42 d: iIS ¼ kea ¼ kfa ð1 iea Þ þ iea ;
ð134Þ
Mit diesen Gleichungen wird fr das Beispiel zu Bild 42 e0 ¼ ð1 1=17; 24Þ=1 1= 2; 778Þ ¼ 0;693:
Stellkoppelgetriebe (Bild 43) sind Planeten-Koppelgetriebe, die als Nebengetriebe ein Stellgetriebe mit stufenlos verstellbarer bersetzung if 0 a0 enthalten und damit auch eine stufenlos verstellbare Gesamtbersetzung iIS bieten. Ihre Wirkungsweise entspricht derjenigen eines berlagerungsgetriebes mit stufenlos vernderlichen Drehzahlen, Bild 38, bei dem statt eines drehzahlvernderlichen Nebenmotors N ein Nebengetriebe N mit stufenlos vernderlicher bersetzung eingesetzt wird, Bild 43 c. Das Stellverhltnis j (Stellbereich) eines Stellkoppelgetriebes ist fr ein beliebiges Stellverhltnis j0 des Nebengetriebes N bei geeigneter Auslegung des Hauptgetriebes H beliebig whlbar. In der Regel wird als Nebengetriebe ein handelsbliches Stellgetriebe verwendet, dessen Gehuse als festgehaltene „Stegwelle“ der Einzelwelle e0 des Nebengetriebes entspricht. Die Berechnung erfolgt, wie fr Planeten-Koppelgetriebe mit konstanter bersetzung, je einmal fr die beiden bersetzungsgrenzen des Stellbereichs. Dabei werden alle einander zugeordneten Grßen an einer beliebigen der beiden bersetzungsgrenzen mit , die entsprechenden Werte der anderen bersetzungsgrenze mit bezeichnet. Damit werden die Stellverhltnisse j des Koppelgetriebes und j0 des Nebengetriebes wie folgt definiert: j ¼ iIS =iIS ; j0 ¼ if0 a0 =if 0 a0
ð136Þ
Bei Drehzahlumkehr innerhalb eines Stellbereichs werden j und/oder j0 negativ. Der durch das Nebengetriebe fließende Anteil e0 der ußeren Leistung lsst sich bei reibungsfrei (Index 0) gedachtem Betrieb bereits aus den Stellverhltnissen abschtzen: Mit e0 nach Gl. (135) werden an den Stellgrenzen e0 ¼ ð1 jÞ=ð1 j0 Þ;
e0 ¼ e0 j0 =j:
Bild 39 zeigt die Bereiche fr e0 |0,5| fr die mglichen Kombinationen der Stellverhltnisse j und j0 . Zur Verwirklichung der vorgegebenen Stellverhltnisse j und j0 ist ein Planetengetriebe mit der bersetzung iea zwischen den Wellen e und a bei stillstehend gedachter Welle f auszulegen.
G
G 150
Mechanische Konstruktionselemente – 8 Zahnradgetriebe
G Bild 43 a–d. Stellkoppelgetriebe mit stufenlos verstellbarem Keilriemengetriebe [78]. a Symbol einer Ausfhrung mit zum Nebengetriebe zhlenden Ergnzungsgetrieben III und V; b Rderschema eines Stellkoppelgetriebes nach a mit Ergnzungsgetriebe III; c symbolische Darstellung mit ußeren Ergnzungsgetrieben III und V; d Rderschema eines Getriebes nach c mit Ergnzungsgetriebe V und einem zustzlichen zweistufigen Getriebe mit i=1 zur Achsabstandsberbrckung
Je nachdem, ob dabei von der bersetzungsgrenze iIS oder if 0 a0 ausgegangen wird, ergibt sich iea ¼ iIS ðj j0 Þ=ð1 j0 Þ
ð137Þ
oder 1=iea ¼ 1 þ ð1 jÞ=½if 0 a0 ðj j0 Þ:
Bild 44 a–d. Reduziertes Planeten-Koppelgetriebe. a Schema des reduzierten Koppelgetriebes; b bis d schematische Darstellung und Symbole (mit Doppelstrich fr Summenwelle) der drei davon herleitbaren kinematisch gleichwertigen einfachen Planeten-Koppelgetriebe mit c als dem wirkungsgleichen
ð138Þ
Die jeweils nicht vorgegebene bersetzungsgrenze if 0 a0 bzw. iIS ergibt sich dann mit kfa ¼ if 0 a0 aus Gl. (134). Sie weicht in der Regel von der gewollten Sollbersetzung isoll ab, sodass Ergnzungsgetriebe III und/oder V nach Bild 43 a, b bei Auslegung mit Gl. (137) oder nach Bild 43 c, d mit Gl. (138) erforderlich sind. Die bersetzungen dieser Ergnzungsgetriebe werden sinngemß wie in Unterabschnitt G 8.9.7 berlagerungsgetriebe bestimmt. Die Zuordnung von iIS zu if 0 a0 ergibt sich fr beliebige Betriebspunkte innerhalb des Stellbereichs aus Gl. (134), ausfhrlicher s. [78]. Reduzierte Planeten-Koppelgetriebe sind Planeten-Koppelgetriebe, bei denen die Stege der beiden Teilgetriebe die freie Koppelwelle f f 0 (Bild 42 d) bilden und dadurch zu einem Bauteil zusammengefaßt werden knnen. Außerdem sind die auf der angeschlossenen Koppelwelle sitzenden Zahnrder der beiden Teilgetriebe und die mit ihnen kmmenden Planetenrder gleich groß; sie lassen sich deshalb auf ein einziges Rderpaar reduzieren [67, 79], Bild 44. Ein gegebenes reduziertes Koppelgetriebe lsst sich jedoch zu drei verschiedenen Planeten-Koppelgetrieben erweitern, je nachdem, ob Welle A, B oder C als dessen angeschlossene Koppelwelle S betrachtet wird. Alle drei haben bezglich der Wellen A, B und C das gleiche Drehzahlverhalten und sind deshalb kinematisch gleichwertig, jedoch knnen ihre Wirkungsgrade erheblich voneinander abweichen. Das einzige, dem reduzierten Koppelgetriebe „wirkungsgleiche“ einfache Koppelgetriebe ist dasjenige, bei dem die Drehmomente der zur angeschlossenen Koppelwelle gehrigen Zentralrder gleiche Wirkungsrichtungen haben und somit gleichgerichtete Leistungsflsse erzeugen. Sein Kennzeichen: Seine Einzelwellen I und II bilden je eine Differenz- und eine Summenwelle ihres Teilgetriebes, G 8.9.4 [67, 69]. Dieses hat zugleich den hchsten Wirkungsgrad. Seine Ermittlung geschieht durch einen einfachen For-
malismus [69]: Ist eine Standbersetzung ixy > 1, so ist y Summenwelle, andernfalls, also auch bei negativer Standbersetzung, ist y eine Differenzwelle. Man bezeichne nacheinander die Welle S in Bild 44 b bis d mit x und die jeweils mit I und II verbundenen Wellen der Teilgetriebe I, II und III mit y. Dann wird i12 oder i21 zu ixy . In Bild 44 sind die Summenwellen in den Symbolen durch Doppelstriche markiert. Kombination Bild 44 c erweist sich als das wirkungsgleiche Planeten-Koppelgetriebe, das nun stellvertretend fr das reduzierte Koppelgetriebe analysiert wird, wie es zum Bild 42 beschrieben wurde.
8.10 Gestaltung der Zahnradgetriebe Die hier angegebenen Regeln und Anhaltswerte basieren auf vielen ausgefhrten Konstruktionen im Maschinenbau fr mittlere Verhltnisse. Die so ermittelten Maße sind sinnvoll aufzurunden. Andere Abmessungen sind nach Erfahrungen in bestimmten Bereichen oder nach Einzeluntersuchungen zweckmßig oder notwendig. Wenn mglich, sind Festigkeit und Steifigkeit nachzurechnen. 8.10.1 Bauarten Stirnradgetriebe Normalbauform nach Bild 45 a, b – einfach, betriebssicher, gut zugnglich. Koaxialer An- und Abtrieb. Nach Bild 45 c kleinere und leichtere Getriebe, durch Lastausgleichsmomente wird innere Leistungsverzweigung erreicht, siehe auch Planetengetriebe (s. G 8.9). Aufteilung der Gesamtbersetzung fr die Bedingung: Minimales Gesamtvolumen der Rder, freie Wahl von b/d oder
I8.10 Gestaltung der Zahnradgetriebe
G 151
Bild 45 a–c. Getriebe mit seitlich versetztem An- und Abtrieb. a einstufig fr i 10 m : hA m; bei b < m : hA 1 þ 0;1 m: P1 Richtflchen (innen oder außen) fr Zahnrder, die nicht auf Welle oder Spanndorn verzahnt werden knnen, ab ca. 700 mm Durchmesser: hP 0;1 mm; bP 10 mm. 2. Richtflche P2 bei b>500 mm. Planlaufabweichung: N bei ut % 25 m/s, T bei ut > 25 m/s.
Transport-, Spann- und Erleichterungslcher, Anzahl n: da< 300: – (Spannen durch Bohrung) 300 < da< 500: n = 4, 500 < da 2;5 m; – Einsatz-, Flamm-, Induktions-, Flanken-, oder – Lckenhrtung hR > 3;5 m; – flamm- oder induktive Umlaufhrtung hR > 6 m (Lage der Passfeder und Schrumpfspannung beachten).
Bild 46. Kegelstirnradgetriebe aus einem Getriebebaukastensystem (SEW-Eurodrive, Bruchsal). Nennleistung P=1,16 MW, Tauchschmierung 80 l l, Gewicht ohne l 1300 kg, lstandkontrolle durch lmessstab, lniveauglas oder lniveauwchter, Stirn- und Kegelrder einsatzgehrtet und geschliffen. Gehuse 1 in Monoblockausfhrung, Anschlag fr Kupplungsnabe an Wellenschulter 2, Schutz des Wellendichtrings 3 durch Staubschutzdeckel, Fest-Los-Lagerung der Kegelritzelwelle 4 durch ein gepaartes Kegelrollenlagerpaar 5 und ein Pendelrollenlager 6, Lagerung der Zwischen- und Abtriebswelle durch Kegelrollenlager in X-Anordnung 7, Einstellung der Lagerungen durch Deckel mit Zentrierrand 8 sowie mit Beilegscheiben, Formschlssige Welle-Nabe-Verbindung (z. B. fr Hubanwendungen) durch Passfedern 9
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G 152
Mechanische Konstruktionselemente – 8 Zahnradgetriebe
Bei Oberflchenhrtung angeben, welche Bereiche weich bleiben mssen, z. B. Gewindelcher, evtl. Bohrungen). Schnecken-Stirnradgetriebe Je nach Baugrße ab i>12 wirtschaftlich. Mglichst Schneckengetriebe in 1. Stufe (Wirkungsgrad, Gerusch, Baugrße); Ausnahme: Wenn Stirnritzel direkt auf Motorwelle sitzt, z. B. bei Getriebemotoren (keine Kupplung, keine gesonderte Ritzellagerung erforderlich). 8.10.2 Anschluss an Motor und Arbeitsmaschine
G
Bei Getriebemotoren bis 50 kW (meist 0,4 bis 4 kW) E-Motor oft direkt am Getriebe angeflanscht (keine Kupplung, keine getrennte Aufstellung, kein Ausrichten). Bei grßeren Leistungen meist getrennte Aufstellung, Anschluss an Motor und Arbeitsmaschine durch Ausgleichkupplungen (s. G 3). Durch Quer- und Winkelversatz oder berhngende Kupplungen, Axialbewegungen des Motorankers und des Abtriebs knnen – trotz Ausgleichkupplungen – erhebliche Krfte eingeleitet werden (bei Dimensionierung der Lager, Gehuse, Wellen und Kraftaufteilung auf zwei Pfeilhlften beachten!). Dies trifft bei Zapfen-(Aufsteck-)getrieben fr die Abtriebswelle nicht zu, bei angeflanschtem Motor auch nicht fr die Antriebsseite. Die Getriebe-Abtriebswelle ist fest mit der Welle der Arbeitsmaschine verbunden, das Getriebe reitet auf ihr. Getriebegewicht und Querkrfte aus dem Absttzmoment mssen von dieser Welle und einer Drehmomentsttze aufgenommen werden.
Bild 47 a–c. Radkrperabmessungen – allgemein
Bei grßeren Getrieben mitunter steifer Unterkasten mit aufgesetzten Lageroberteilen. Oberkasten hat dann nur Schutzfunktion, gute Inspizierbarkeit [1].
8.10.3 Gestalten und Bemaßen der Zahnrder
Allgemeine Gestaltungsregeln
Fertig – einschließlich Verzahnung – gegossene (auch Spritzguss-)Zahnrder bei kleinen Abmessungen, geringen Beanspruchungen und großen Stckzahlen, evtl. mit angegossenen Nocken, Klauen usw., fr hohe Belastungen auch fertiggeschmiedet (z. B. Differentialkegelrder). Im Maschinenbau fr kleine und mittlere Abmessungen meist Voll- oder konturgedrehte Scheibenrder; bei grßeren Abmessungen haben geschweißte Rder (auch bei Legierungssthlen bis 300 HB evtl. 340 HB) Guss-, Schrumpf- und Schraubkonstruktionen weitgehend verdrngt (s. G 8.4).
Gegossene Gehuse bei mehr als drei Stck vorzugsweise aus GG 20, Großgetriebe GG 18 (leicht vergießbar, Schwund und Verzug gering, leicht zerspanbar), GGG 40, GS 38.1 (schweißbar!) (hhere Festigkeit, schwierigere Verarbeitung). Bei Leichtmetallen hhere Wrmedehnung und geringere Steifigkeit beachten.
Zahnradbauarten
Ungeteilte Gehuse bei Kleingetrieben bevorzugt; Einbau durch seitliche ffnungen. Im brigen waagerechte Teilfuge in Wellenebene gnstig fr Abdichtung, Montage, Inspektion.
Bei d 1 000 . . . 1 500 mm: Dreischeibenrder). – bergang bei den kleineren Werten bei hoher Beanspruchung, dicker Bandage, senkrechter Welle, wenn hohe axiale Steifigkeit ntig (großes b), bei feinerer Verzahnungsqualitt (Steifigkeit beim Verzahnen)! Allgemeine Gestaltungsregeln. Bild 47. Wenn hR den hier angegebenen Grenzwert unterschreitet, muss die Verzahnung in die Welle geschnitten werden. Bei aufgeschrumpften, dnnen Zahnkrnzen Schrumpfspannung und Zahnfußbeanspruchung beachten [81]. – Stets prfen, ob Spannen zum Verzahnen und Verzahnungschleifen mglich. Angaben fr Verzahnungen und Radkrpermaße in Zeichnungen s. DIN 3966 und DIN 7184. 8.10.4 Gestalten der Gehuse Meist Gesamtgehuse als tragende Konstruktion, Beispiele s. Bilder 46 und 35.
Geschweißte Gehuse ermglichen Gewichtsersparnis (Versteifung durch Rippen oder Profile); geeignet fr Einzelfertigung und Stoßbeanspruchung. Werkstoff meist St 37-1 oder 2 (hochbeansprucht: St 52-3).
Lagerschrauben entsprechend statischer Zahnfußtragfhigkeit auslegen. Anziehen auf 70 bis 80% Re . – Mindestens 2 Passstifte (d 0;8 Flanschschraubendurchmesser) im Teilfugen-Flansch vorsehen, bei grßeren Getrieben weitere nahe den Lagern. – Schrauben im Getriebeinneren sichern. – Im Oberflansch mind. zwei gegenberliegende Gewinde fr Abdrckschrauben vorsehen. Fußschrauben aus Absttzmoment des Getriebes berechnen. – Bei Stahlrahmenfundamenten Passstifte und Einstellschrauben (mit Feingewinde) im Getriebefuß zweckmßig. Abstand zwischen Rdern und Gehusewnden groß genug, um Einklemmen von Bruchstcken zu vermeiden. Abstand zwischen Rdern sowie zwischen Rdern und Gehusewnden seitlich und am Durchmesser nach Zahlenwertgleichung sA 2 þ 3 m þ B mit B ¼ 0;65ðut 25Þ ^ 0; ðut in m=sÞ zum Boden etwa 2 sA , sofern der lvorrat ausreicht. Bei Einspritzschmierung große Ablaufffnung wichtig: Durchmesser ca. ð3 . . . 4ÞsA : Bei Tauchschmierung lablaßschraube (evtl. mit Magnetkerze s. unten) an der tiefsten Stelle. Neigung des Getriebebodens zur Ablaßffnung 5 bis 10%.
I8.10 Gestaltung der Zahnradgetriebe Ausrichtflchen bei grßeren Getrieben an den Schmalseiten des Unterflansches ca. 120 mm 40 mm vorstehend, bei Großgetrieben auch an den ußeren Lagerstellen. Bearbeitung der Flanschflchen Rz ¼ 25 m, Lagersitze und Lagerstirnflchen Rz ¼ 16 mm, Schaulochdeckel, Fußflchen Rz ¼ 100 m. Schaulochdeckel soll Inspektion aller Zahneingriffe ber die ganze Zahnbreite und der Schmierlversorgung gestatten. Bei Verliergefahr Klappdeckel und -schrauben vorsehen (z. B. bei Krangetrieben). Durchgangsbohrungen zum Gehuseinneren vermeiden (ldichtigkeit). Hebenasen, Ringschrauben o. . zum Abheben des Oberkastens und zum Heben des Getriebes (am Unterkasten) vorsehen. Entlftung zum Druckausgleich mit Filter (gegen Schmutz und Feuchtigkeit) an der hchsten Stelle (Spritzrichtung beachten!). – Bei Tauchschmierung Schauglas oder Peilstab erforderlich. Der Peilstab kann mit Magnetkerze versehen werden (Verschleißkontrolle). Bei Einspritzschmierung Anschlsse fr berwachung von ldruck, Durchflussmenge, Temperatur [1]. Gehuseabmessungen werden durch die Formsteifigkeit (nicht die Festigkeit) bestimmt. Anhaltswerte siehe Tab. 26.
G 153
8.10.5 Lagerung Wlzlager durchweg bevorzugt (s. G 4). Gleitlager nur bei Schnellaufgetrieben (etwa ut > 30 m=s), sehr großen Abmessungen oder besonderer Laufruhe (s. G 5). Lager mglichst dicht neben den Zahnrdern (Mindestabstand s. G 8.10.4), jedoch Mindest-Lagerabstand 0;7d2 (Auswirkung von Achsabstandsabweichungen, Lagersteifigkeit, Kippmoment aus Axialkraft). Fliegende Lagerung vermeiden. Gegebenenfalls Lagerabstand ca. 2- bis 3mal berhang whlen, Wellendurchmesser > berhang. Bei Doppelschrgverzahnung nur eine Welle axial festlegen, i. Allg. die Radwelle (mit den grßeren Massen; ber die oft grßere Axialkrfte von außen eingeleitet werden). Bei kleinen Getrieben meist Rillen-Kugellager, Fest-Los-Lagerung wirtschaftlich, bei mittleren Grßen Rillenkugellager als Festlager, Zylinderrollenlager als Loslager oder Kegelrollenlager in 0-Anordnung (sofern Lagerabstand nicht zu groß). – Bei Gerad- oder Schrgstirnrdern mit Fa =Fr % 0;3 Zylinderrollenlager mglich. – Hohe Axialkrfte in getrennten Axiallagern aufnehmen: Vierpunktlager (auch bei Umkehr der Axialkraft), Pendelrollenlager bis Fa =Fr ¼ 0;55; hierbei beachten: Bei Fa =Fr > 0;1 . . . 0;25 zentrieren die Lager ein, darunter nicht;
Tabelle 26. Anhaltswerte fr die Maße von Getriebegehusen (L = grßte Gehuselnge in mm)
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G 154
Mechanische Konstruktionselemente – 9 Getriebetechnik
evtl. Schiefstellung bei Umkehr der Axialkraft und relativ großes Axialspiel beachten. Zweireihige Kegelrollenlager fr hohe Axialkrfte und Richtungswechsel geeignet, Bild 35. Einstellbare Lagerung z. B. durch Exzenterbchsen bei Großund Schnellaufgetrieben zum Einstellen des Tragbildes angewendet. Lagerschmierung bei Seriengetrieben durch Spritzl oder durch lfangtaschen, von denen aus l oder Bohrungen
(d 0;01Lageraußendurchmesser, mindestens 3 mm) hinter die Lager geleitet wird. Bei Groß- und Schnellaufgetrieben meist Einspritzschmierung (ldsendurchmesser ^2;5 mm wegen Verstopfungsgefahr, entsprechend ca. 3 l/min); lrcklauf aus dem Raum hinter dem Lager durch Bohrung (d 0;03Lageraußendurchmesser, mindestens 10 mm oder mehrere Bohrungen) sicherstellen (in der Hhe der unteren Wlzkrper, dadurch lvorrat fr Anfahren).
9 Getriebetechnik
G
B. Corves, Aachen, und H. Kerle, Braunschweig
9.1 Getriebesystematik 9.1.1 Grundlagen Getriebedefinition. Getriebe sind mechanische Systeme zum Wandeln oder bertragen von Bewegungen und Krften (Drehmomenten). Sie bestehen aus mindestens drei Gliedern, eines davon muss als Gestell festgelegt sein [R1]. Hinsichtlich Vollstndigkeit unterscheidet man zwischen der kinematischen Kette, dem Mechanismus und dem Getriebe. Der Mechanismus entsteht aus der Kette, wenn von dieser ein Glied als Gestell gewhlt wird. Das Getriebe entsteht aus dem Mechanismus, wenn dieser an einem oder mehreren Gliedern angetrieben wird. Getriebe zur Bewegungs- und Leistungsbertragung zwischen An- und Abtrieb werden bertragungsgetriebe genannt, Getriebe zum Fhren von Punkten auf Gliedern oder von Gliedern insgesamt heißen Fhrungsgetriebe [R1, R2]. Eine bersicht ber die Lsung von Bewegungsproblemen mit Hilfe von Getrieben ist in [R3] zu finden. Getriebeaufbau. Strukturelle Untersuchungen hinsichtlich der Art, Anzahl und Anordnung der Glieder und der sie verbindenden Gelenke beginnen meist bei der kinematischen Kette. Es gibt offene und geschlossene sowie offene verzweigte und geschlossene verzweigte kinematische Ketten, Bild 1. Punkte auf Gliedern ebener Getriebe bewegen sich auf Bahnen in zueinander parallelen Ebenen; Punkte auf Gliedern (allgemein) rumlicher Getriebe bewegen sich auf Raumkurven oder auf Bahnen in nicht zueinander parallelen Ebenen;
Bild 1 a–d. Kinematische Ketten. a offen; b geschlossen; c offen verzweigt; d geschlossen verzweigt
Bild 2 a–c. Getriebebeispiele. a eben; b allgemein rumlich (Wellenkupplung); c sphrisch. 1 Gestell, 2–7 bewegte Getriebeglieder
sphrische Getriebe sind spezielle rumliche Getriebe mit Punktbahnen auf konzentrischen Kugeln, Bild 2. Ein Elementenpaar aus zwei sich berhrenden Elementen(teilen) bestimmt das Gelenk. Ebene Getriebe brauchen zum Aufbau ebene Gelenke mit bis zu zwei Gelenkfreiheiten (Drehungen und Schiebungen), rumliche Getriebe dagegen neben ebenen Gelenken sehr oft zustzlich rumliche Gelenke mit bis zu fnf Gelenkfreiheiten, Bild 3. Beispielsweise ist das Dreh- und das Drehschubgelenk durch Welle und Bohrung, das Schubgelenk durch Voll- und Hohlprisma, das Schraubgelenk durch Schraube und Mutter, das Kugelgelenk durch Vollkugel und Kugelpfanne gekennzeichnet. Niedere Elementenpaare oder Gleitgelenke berhren einander in Flchen (z. B. Welle und Bohrung), hhere in Linien (z. B. Kurvenscheibe und Rolle) oder in Punkten (z. B. Kugel auf Platte). Formschlssige Gelenke sichern die Berhrung der Elemente durch angepasste Formgebung; bei kraftschlssigen Gelenken bedarf es einer oder mehrerer zustzlicher ußerer Krfte, um die Berhrung dauernd aufrechtzuerhalten. Bei ebenen Getrieben mit zumeist Dreh- und Schubgelenken ist es sinnvoll, die Getriebeglieder mit der Zahl der Elemententeile in binre (n2 -), ternre (n3 -) und quaternre (n4 -) Glieder zu unterteilen (Bild 4), zumal zustzlich ein ebenes Kurvengelenk kinematisch durch ein binres Glied ersetzt werden kann (vgl. G 9.1.2). Getriebe-Laufgrad (Getriebe-Freiheitsgrad). Der Laufgrad oder Freiheitsgrad F eines Getriebes ist von der Zahl n der Glieder (einschließlich Gestell), der Zahl g der Gelenke mit dem jeweiligen Gelenkfreiheitsgrad f (= Anzahl der Gelenk-
I9.1
Getriebesystematik
G 155
renzialgetriebe oder selbsteinstellende Getriebe). Fr F>2 gelten entsprechend hhere Mindestvoraussetzungen. 9.1.2 Arten ebener Getriebe Viergliedrige Drehgelenkgetriebe. Ein viergliedriges Drehgelenkgetriebe ist umlauffhig, wenn die Grashof-Bedingung erfllt ist: Die Summe aus den Lngen des krzesten und des lngsten Glieds muss kleiner sein als die Summe aus den Lngen der beiden anderen Glieder. Es kann nur ein „krzestes“ (lmin Þ, aber bis zu drei „lngste“ Glieder (Lngengleichheit) geben. Je nach Zuordnung von lmin zu den vier Lngen a, b, c, d (Bild 5 a) entsteht die Kurbelschwinge (lmin ¼ a; c), die Doppelkurbel (lmin ¼ d) oder die Doppelschwinge (lmin ¼ b). Die nicht umlauffhigen viergliedrigen Drehgelenkgetriebe werden als Totalschwingen bezeichnet. Smtliche RelativSchwingbewegungen erfolgen symmetrisch zum benachbarten Glied. Es gibt Innen- und Außenschwingen. Totalschwingen knnen nur ein „lngstes“, aber bis zu drei „krzeste“ Glieder enthalten. Als dritte Gruppe gibt es die durchschlagfhigen Getriebe mit Lngengleichheit je zweier Gliederpaare, z. B. Parallelkurbelgetriebe. Viergliedrige Schubgelenkgetriebe. Beim Ersatz von Drehgelenken durch Schubgelenke entstehen Schubgelenk-Ketten und -Getriebe. Schleifenbewegungen entstehen, wenn das Schubgelenk zwei bewegte Glieder verbindet. Aus dem Gelenkviereck (kinematische Kette jedes viergliedrigen Getriebes) kommen drei Ketten zustande (Bild 6): Kette I mit einem Schubgelenk, Kette II mit zwei benachbarten und Kette III mit zwei Diagonal-Schubgelenken. Die drei Ketten fhren durch kinematische Umkehrung (Elementenumkehrung und Gestellwechsel) zu sechs viergliedrigen Schubgelenkgetrieben. Jedes Schubgelenk verursacht – unbeeinflusst von den Getriebeabmessungen – Winkelgeschwindigkeits-Gleichheiten, z. B. bei der Kette I w12 ¼ w13 und w24 ¼ w34 . Allgemein gilt: wij ¼ wji ist die Winkelgeschwindigkeit des Glieds i gegenber dem Glied j. Schubgelenkgetriebe sind deshalb
Bild 3. Gelenke und Gelenksymbole
freiheiten) und dem Bewegungsgrad b abhngig: F ¼ bðn 1Þ
g X
ðb fi Þ:
ð1Þ
i¼1
Fr allgemein rumliche Getriebe ist b=6, fr sphrische und ebene Getriebe b=3 einzusetzen. Wenn obendrein einzelne Glieder bewegt werden knnen, ohne dass das ganze Getriebe bewegt werden muss (z. B. drehbar gelagerte Rolle auf Kurvenscheibe), ist F um diese identischen Freiheiten zu verringern. Fr ebene Getriebe, die nur Dreh- und Schubgelenke mit f=1 besitzen, gilt die Grblersche Laufbedingung F ¼ 3ðn 1Þ 2 g:
Bild 4 a–f. Gliedersymbole fr ebene Getriebe. a binres (n2 -)Glied mit zwei Drehgelenkelementen; b binres (n2 -)Glied mit zwei Schubgelenkelementen; c ternres (n3 -)Glied mit drei Drehgelenkelementen; d quaternres (n4 -)Glied mit vier Drehgelenkelementen; e quaternres (n4 -)Glied mit zwei Drehgelenk- und zwei Schubgelenkelementen; f Gestellglied
ð2Þ
F=1 bedeutet Zwanglauf nach der Definition von Reuleaux, z. B. fr das viergliedrige Getriebe (Bild 5 a) mit n=4 und g=4. Fr ein fnfgliedriges Getriebe (Bild 5 b) mit n=5 und g=5 gilt F=2. Der Laufgrad eines Getriebes gibt an, wieviel Antriebe bzw. Antriebsimpulse ein Getriebe mindestens erhalten muss, um eine im Voraus berechenbare Funktion zu erfllen. Bei F=2 mssen an zwei Stellen unabhngig voneinander Bewegungen eingeleitet werden (z. B. Haupt- und Verstellantrieb), oder es sind zwei voneinander unabhngige Krfte bzw. Momente als Abtriebsimpulse wirksam (Diffe-
Bild 5 a, b. Ebene Drehgelenkgetriebe. a viergliedriges Getriebe (F=1); b fnfgliedriges Getriebe (F=2). 1 Gestell, 2–5 bewegte Getriebeglieder, a–d Abmessungen (Lngen)
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G 156
Mechanische Konstruktionselemente – 9 Getriebetechnik
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Bild 6 a–f. Viergliedrige Schubgelenkgetriebe. a Kurbelschleife; b Schubkurbel; c Doppelschieber; d Kreuzschubkurbel; e Doppelschleife (OldhamKupplung); f Schubschleife
teilweise gleichmßig bersetzende Getriebe (konstante bersetzungsverhltnisse). Mehrgliedrige Gelenkgetriebe. Fr jede Gruppe kinematischer Ketten gleicher Gliederzahl und gleichen Laufgrads gibt es eine eindeutig bestimmbare Zahl unterschiedlicher Ketten und Getriebe. Bild 7 zeigt sechsgliedrige zwanglufige Ketten (F=1) auf der Grundlage der Wattschen und Stephensonschen Kette (Varianten durch Gestellwechsel) mit zwei Anwendungsbeispielen. Bei Verwendung von Doppelgelenken kommen noch fnf unterschiedliche Ketten hinzu. Die Aufbaugleichungen (Bild 8) fhren zu achtgliedrigen zwanglufigen Ketten mit zwei quaternren und sechs binren, mit einer quaternren, zwei ternren und fnf binren sowie mit vier ternren und vier binren Gliedern. Wenn auch Mehrfachgelenke bercksichtigt werden, gibt es nach Hain 60 unterschiedliche achtgliedrige zwanglufige Ketten, aus denen durch kinematische Umkehrung insgesamt 330 Getriebe entstehen [1]. Kurvengetriebe. Die Standard-Kurvengetriebe sind dreigliedrige Kurvengetriebe, bestehend aus Kurvenglied, Eingriffsglied (Stßel bzw. Schieber oder Schwinge) und Steg.
Kurvenglied und Eingriffsglied berhren einander im Kurvengelenk (Berhrpunkt K) – in vielen Fllen verbessert dort ein zustzliches Abtastglied, z. B. eine drehbar im Eingriffsglied gelagerte Rolle mit einer identischen Freiheit, die Laufeigenschaften, ohne die Kinematik zu verndern – ; der Steg verbindet Kurvenglied und Eingriffsglied [R4]. Im Normalfall ist der Steg das Gestell 1, das Kurvenglied das Antriebsglied 2 und das Eingriffsglied das Abtriebsglied 3. Alle dreigliedrigen Kurvengetriebe lassen sich durch Gestellwechsel aus der dreigliedrigen Kurvengelenkkette mit Drehund Schubgelenken ableiten, die wiederum aus einer entsprechenden viergliedrigen Kette (Ersatzkette) hervorgeht (Bild 9). In dieser Ersatzkette verbindet ein binres Glied die augenblicklich im Berhrpunkt K zugeordneten Krmmungsmittelpunkte von Kurvenglied und Eingriffsglied bzw. Abtastglied. Der in der Getriebetechnik bekannte „Dreipolsatz“ sagt aus, dass die Relativbewegungen dreier Glieder i, j, k (beliebige Gliednummern) zueinander durch die drei auf einer Geraden (Polgerade) liegenden Momentan(dreh)pole ij, ik und jk festgelegt werden (Doppel- und Mehrfachgelenke stellen in einem Punkt entartete Polgeradenstcke dar). Gerade bei Kurvengetrieben hat dieser Satz sowohl fr die Sys-
Bild 7 a–e. Sechsgliedrige zwanglufige kinematische Ketten und Getriebebeispiele (I: Wattsche, II: Stephensonsche Kette)
I9.1
Getriebesystematik
G 157
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Bild 8 a–p. Achtgliedrige zwanglufige kinematische Ketten und Getriebebeispiele
Bild 9 a–r. Systematik dreigliedriger Kurvengetriebe mit Dreh- und Schubgelenken
tematik (Ersatzgetriebe, Gleit- oder Wlzkurvengetriebe) als auch fr die Analyse (Geschwindigkeitsermittlung) als auch fr die Synthese (Ermittlung der Hauptabmessungen) besondere Bedeutung. Allgemein entstehen aus jeder Kette mit Drehgelenken und mindestens vier Gliedern Kurvengelenkketten, wenn je ein binres Glied durch ein Kurvengelenk ersetzt wird. Ist das Verbindungsgelenk dieses binren Glieds zum Nachbarglied ein Umlaufgelenk [2], so wird die zugehrige Kurve als geschlossene Kurve voll umrollt, ist ein Schwinggelenk vorhanden, so kann nur eine teilberollte Kurve (Kulisse) mit Hin- und Rck-
gang des Abtastglieds in dieser Kulisse vorgesehen werden. Die Austauschbarkeit zwischen Ketten bzw. Getrieben mit Dreh- und Kurvengelenken (Theorie der Ersatzgetriebe) reicht bis zur Beschleunigungsstufe bei den kinematischen Berechnungsmethoden, vgl. G 9.2. Im Allgemeinen stellt sich im (ebenen) Kurvengelenk Gleiten und Wlzen (= Rollen) der sich berhrenden Glieder entsprechend den beiden Gelenkfreiheiten ein; die meisten Kurvengetriebe sind deshalb Gleitkurvengetriebe. Im speziellen Fall der Wlzkurvengetriebe findet im Kurvengelenk reines Rollen statt, weil der Momentanpol 23 in einem dreigliedrigen Kur-
G 158
Mechanische Konstruktionselemente – 9 Getriebetechnik
vengetriebe (Bild 9) mit dem Berhrpunkt K zusammenfllt. Zahnradgetriebe mit zwei kmmenden Kurvenflanken ordnen sich als Gleitkurvengetriebe hier problemlos ein.
9.2 Getriebeanalyse 9.2.1 Kinematische Analyse ebener Getriebe Zeichnungsfolge-Rechenmethode
G
bertragungsfunktionen der viergliedrigen Getriebe. Lagenbeziehungen. Bei Gelenkgetrieben im Allgemeinen und bei viergliedrigen Getrieben im Besonderen besteht eine wichtige Aufgabe darin, bestimmte Relativlagen zweier Getriebeglieder zueinander festzulegen. Diese Zuordnung wird als „bertragungsfunktion nullter Ordnung“ bezeichnet. Bei der Schubkurbel mit der kinematischen Versetzung e ist die augenblickliche Lage des Gleitsteins c als Abtriebsglied der Lage der Kurbel a als Antriebsglied in Abhngigkeit vom Kurbelwinkel j zuzuordnen (Bild 10 a): qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ð3Þ s ¼ a cos j þ b2 ða sin j eÞ2 : Fr die Kurbelschleife (Bild 10 b) kennzeichnet die Lage y des Schleifenhebels c die Beziehung zur Lage der Kurbel a: y ¼ y arcsinðe=mÞ:
ð4Þ
Beim viergliedrigen Drehgelenkgetriebe gilt in bereinstimmung mit Bild 10 c 2 m þ c2 b2 y ¼ y K arccos : ð5Þ 2m c K=+1 fr y>y bzw. K ¼ 1 fr ya+e) und die umlaufende (d50 m/s werden in der Regel Mehrgleitflchenlager mit festen Keilflchen oder Radial-Kippsegmentlager eingesetzt. Fr diese Lager gelten andere Richtwerte!)
Anh. G 5 Tabelle 3. Erfahrungsrichtwerte fr die kleinstzulssige minimale Schmierfilmdicke hlim im Betrieb in mm nach DIN 31 652
Anh. G 5 Tabelle 4. Schmierstoffdurchsatz-Kennzahl infolge Zufhrdruck QP nach DIN 31 652 (Auszug). dH Bohrungsdurchmesser des Schmierlochs, bP Schmiertaschenbreite, bG Schmiernutbreite
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Mechanische Konstruktionselemente – 10 Anhang G: Diagramme und Tabellen
Anh. G 5 Tabelle 5. Erfahrungswerte fr die hchstzulssige Lagertemperatur Tlim nach DIN 31 652
G Anh. G 5 Tabelle 6. Richtwerte fr die mindestzulssige Schmierfilmdicke im Betrieb hlim in mm fr Axialkippsegmentlager bei Fst =F ¼ 1 nach DIN 31 654. Werte in Klammern gelten bei Fst =F ¼ 0,25. Fr Segmentlager mit fest eingearbeiteten Keil- und Rastflchen nach DIN 31 653 Tabellenwerte fr hlim verdoppeln. Bei Fst =F ¼ 0 Werte der 1. Spalte verwenden
Anh. G 5 Bild 2. Schmierstoffdurchsatz-Kennzahl infolge hydrodynamischer Druckentwicklung Q3 fr vollumschlossene Radialgleitlager in Abhngigkeit von B/D und e nach DIN 31 652
Anh. G 5 Bild 3. Reibungskennzahl f* fr Axialkippsegmentlager in Abhngigkeit von B/L und hmin =Cwed nach DIN 31 654
Anh. G 5 Bild 1. Bezogene Reibungszahl f =yeff fr vollumschlossene Radialgleitlager in Abhngigkeit von B/D und So nach DIN 31 652
Anh. G 5 Bild 4. Reibungskennzahl fB fr Axialsegmentlager mit fest eingearbeiteten Keil- und Rastflchen in Abhngigkeit von B/L und hmin =Cwed nach DIN 31 653
I10 Anhang G: Diagramme und Tabellen
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G
Anh. G 5 Bild 5. Schmierstoffdurchsatz-Kennzahlen fr Axialkippsegmentlager nach DIN 31 654. a Schmierstoffdurchsatz-Kennzahl am Eintrittsspalt Q1 in Abhngigkeit von B/L und hmin =Cwed ; b Schmierstoffdurchsatz-Kennzahl an den Seitenrndern Q3 in Abhngigkeit von B/L und hmin =Cwed
Anh. G 5 Bild 6. Schmierstoffdurchsatz-Kennzahlen fr Axialsegmentlager mit fest eingearbeiteten Keil- und Rastflchen nach DIN 31 653. a Schmierstoffdurchsatz-Kennzahl am Eintrittsspalt Q1 in Abhngigkeit von B/L und hmin =Cwed ; b Schmierspaltdurchsatz-Kennzahl an den Seitenrndern Q3 in Abhngigkeit von B/L und hmin =Cwed
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Mechanische Konstruktionselemente – 10 Anhang G: Diagramme und Tabellen
Anh. G 6 Tabelle 1. Flachriemen (Siegling, Hannover) Extremultur 80/85 G (Laufschicht Elastomer) oder L (Laufschicht Chromleder). Zugmodul (EA), Riemendicke s. Riemenmasse pro Laufflche r0 , = bezogen auf 1 mm Riemenbreite
G
Anh. G 5 Bild 7. Effektive Tragkraftkennzahl Feff , 0 bei e = 0,4 in Abhngigkeit von k und jG fr z = 4, a = 0, x = 1 und wJ ¼ 0 nach DIN 31 656
Anh. G 6 Tabelle 4. Genormte Rollenketten (Auswahl)
Anh. G 5 Bild 8. Verhltnis der effektiven Tragkraftkennzahlen Feff =F eff; 0 bei e = 0,4 in Abhngigkeit von K rot; nom und jG fr z = 4, a = 0, x = 1 und k = 1 bis 2 nach DIN 31 656
Anh. G 6 Tabelle 2. Keilriemen-Abmessungen (Auswahl) und Riemenkennwerte zur Abschtzung der bertragbaren Nennleistung PN nach Gl. (11) in Anlehnung an Herstellerangaben [8, 10], gltig fr Drehzahlen der kleineren Scheibe n1 n1, max und u umax . Profilbezeichnung nach DIN 7753-1 (entspricht ISO 4184) bzw. DIN 2215 (Zahl) oder ISO (Buchstabe)
I10 Anhang G: Diagramme und Tabellen
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Anh. G 6 Tabelle 3. Kennwerte gebruchlicher Synchronriemen fr berschlagsberechnung in Anlehnung an Herstellerangaben mit Glasfaserlitze Gf [10] und Stahllitze St [12]
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Anh. G 6 Bild 1. Leistungsbereiche von Rollenketten nach DIN 8187 (ISO 606) fr Schmierungsbereiche I: Handschmierung, II: Tropfschmierung, III: Tauchschmierung, IV: Druckumlaufschmierung (Arnold & Stolzenberg, Einbeck [16])
G 182
Mechanische Konstruktionselemente – 10 Anhang G: Diagramme und Tabellen
Anh. G 8 Tabelle 1. Evolventenfunktion eva ¼ tan a arc a (neue Schreibweise: inv a ¼ tan a arc a)
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11 Spezielle Literatur zu G 1 Bauteilverbindungen [1] Wohlfahrt, H. u. a.: Schweißen von Druckguss – Verfahren und Metallurgie. Jahrbuch der Schweißtechnik 1996, S. 39–46. Dsseldorf: DVS-Verlag 1996. – [2] Nitschke-Pagel, T.: Eigenspannungen und Schwingfestigkeitsverhalten geschweißter Feinkornbausthle. Diss. TU Braunschweig 1995. – [3] Seeger, T.: Betriebsfestigkeit. In: Stahlbauhandbuch – Band 1, Teil B. Dsseldorf: Stahlbau-Verlagsgesellschaft mbH 1996. – [4] Niemi, E.: Structural stress approach to fatigue analysis of welded components. IIW document XIII1819–00/XV-1090–01/XIII-WG3–06–99, Paris 2001. – [5] Radaj, D.; Sonsino, C. M.: Ermdungsfestigkeit von Schweißverbindungen nach lokalen Konzepten. Fachbuchreihe Schweißtechnik Band 142. Dsseldorf DVS-Verlag 2000. – [6] Hobbacher, A. u. a.: Recommendations for fatigue design of welded joints and components. IIW document. XIII-1965– 03/XV-1127–03, Paris 2003. – [7] Jaenicke, B.: Festigkeitsnachweis fr ermdungsbeanspruchte Schweißverbindungen nach deutschen und europischen Regelwerken. In: VDI Berichte 1442. Dsseldorf: VDI-Verlag 1998. – [8] Maddox, S. J.: Hot-spot Fatigue Design Method for Welded Structures. Forschungsberichte des Instituts fr Schweißtechnik, Technische Universitt Braunschweig, Band 1, S. 89–100. Aachen: Shaker-Verlag 2001. – [9] DIN V ENV 1999–2 Eurocode 9, Bemessung und Konstruktion von Aluminiumbauten, Teil 2 Ermdungsanfllige Tragwerke. – [10] Hnel, B. u. a.: FKMRichtlinie Rechnerischer Festigkeitsnachweis fr Maschinenbauteile aus Stahl, Eisenguss- und Aluminiumwerkstoffen. FKM-Richtlinie 5. Aufl. Frankfurt/Main: VDMA-Verlag 2003. – [11] Zerbst, U. u. a.: SINTAP: Entwurf einer vereinheitlichten europischen Fehlerbewertungsprozedur – eine Einfhrung. Bericht GKSS 99/E/65, GKSS-Forschungszentrum Geesthacht 1999, ISN 0344–9629. – [12] Germanischer Lloyd: Rules and Guidelines-V. Berechnungstechnik Kapitel
2, Germanischer Lloyd Facility Service 20459 Hamburg. – [13] Radaj D.: Ermdungsfestigkeit – Grundlagen fr Leichtbau, Maschinen- und Stahlbau. 2. Aufl. Berlin: Springer 2003. – [14] DVS-Fachbuch: Bruchmechanische Bewertung von Fehlern in Schweißverbindungen, 2. Aufl. Fachbuchreihe Schweißtechnik Bd. 101. Dsseldorf: DVS-Verlag 1996. – [15] DIN V ENV 1993–1.1 Eurocode 3, Bemessung und Konstruktion von Stahlbauten. – [16] DVS-Merkblatt 1612: Gestaltung und Bewertung von Stumpf- und Kehlnhten im Schienenfahrzeugbau – Bauformen-Katalog. Dsseldorf: DVS-Verlag 2006. – [17] Krebs, J.; Hbner, P.; Kaßner, M.: Eigenspannungseinfluss auf Schwingfestigkeit und Bewertung in geschweißten Bauteilen. DVS-Berichte Bd. 234. Dsseldorf: DVS-Verlag 2004. – [18] AD 2000–Merkblatt S2, Berechnung auf Wechselbeanspruchung. Berlin: Beuth Verlag. – [19] Mller, W.; Mller, J.-U.: Lttechnik – Leitfaden fr die Praxis. Fachbuchreihe Schweißtechnik. Bd. 127. Dsseldorf: DVS-Verlag 1995. Zu G 1.4-1.6 Reibschlussverbindungen, Formschlussverbindungen, Schraubenverbindungen [20] Eberhard, G.: Klemmverbindungen mit geschlitzter Nabe. Konstruktion 32 (1980) 389-393. – [21] Eberhard, G.: Theoretische und experimentelle Untersuchungen an Klemmverbindungen mit geschlitzter Nabe. Diss. Universitt Hannover, 1980. – [22] Gamer, U.; Kollmann, F. G.: A theory of rotating elastoplastic shrink fits. Ing. Arch. 56 (1986) 254-264. – [23] Husler, N.: Zum Mechanismus der Biegemomentbertragung in Schrumpfverbindungen. Diss. TH Darmstadt (1974). – [24] Kollmann, F. G.: Welle-Nabe-Verbindungen. Konstruktionsbcher Bd. 32. Berlin: Springer 1984. – [25] Kreitner, L.: Die Auswirkung von Reibkorrosion und von Reibdauerbeanspruchung auf die Dauerhaltbarkeit zusammengesetzter Maschinenteile. Diss. TH Darmstadt (1976). – [26] Leidich, F.: Beanspruchung von Pressverbindungen im elastischen Bereich und Auslegung gegen Dauerbruch. Diss. TH Darmstadt, 1983. – [27] Michligk, Th.: Statisch berbe-
I11 Spezielle Literatur stimmte Flanschverbindungen mit gleichzeitigem Reib- und Formschluss. Diss. TU Berlin 1988. – [28] Seefluth, R.: Dauerfestigkeit an Wellen-Naben-Verbindungen. Diss. TU Berlin 1970. Firmendruckschriften: [29] Bikon-Technik: Welle-Nabe-Verbindungen. Grevenbroich, 1989. – [30] Fenner: Taper-LockSpannbuchsen. Nettetal-Breyell 1988. – [31] Hochreuter & Baum: DOKO Spannelemente. Ansbach (ohne Jahr). – [32] Lenze, Sdtechnik: ETP-Spannbuchsen fr Wellen-Nabenverbindungen. Waiblingen (ohne Jahr). – [33] Ringfeder: Spannstze. Spannelemente, Schrumpfscheiben. Krefeld 1988. – [34] Ringspann: TOLLOK Konus-Spannelemente, Sternscheiben und Spannscheiben fr Welle-Nabe-Verbindungen. Bad Homburg 1989. – [35] SKF Kugellagerfabriken: Drucklverband. Schweinfurt 1977. – [36] Spieth-Maschinenelemente: Druckhlsen. Esslingen (ohne Jahr). – [37] Stwe: Schrumpfscheiben-Verbindung. Hattingen 1989. – [38] Aluminium-Taschenbuch. 15. Aufl. (Aluminium-Zentrale Dsseldorf). Dsseldorf: Aluminium-Verlag 1995. – [39] Beitz, W.; Pfeiffer, B.: Einfluss von Sicherungsringverbindungen auf die Dauerfestigkeit dynamisch belasteten Wellen. Konstruktion 39 (1987) 7-13. – [40] Gerber, H. W.: Statisch berbestimmte Flanschverbindungen mit Reib- und Formschlusselementen unter Torsions-, Biege- und Querkraftbelastung. Forschungsheft 356 der Forschungsvereinigung Antriebstechnik e.V., Frankfurt 1992. – [41] Michligk, Th.: Statisch berbestimmte Flanschverbindungen mit gleichzeitigem Reibund Formschluss. Diss. TU Berlin 1988. – [42] Niemann, G.: Maschinenelemente, Bd. 1. 2. Aufl. Berlin: Springer 1981. – [43] Pahl, G.; Heinrich, J.: Berechnung von Sicherungsringverbindungen – Formzahlen, Dauerfestigkeit, Ringverhalten. Konstruktion 39 (1987) 1-6. – [44] Sollmann, H.: Ein Beitrag zu Elastizitt der Bolzen-Laschen-Verbindung. Wiss. Z. d. TU Dresden 14 (1965) 1417–1424. – [45] Willms, V.: Auslegung von Bolzenverbindungen mit minimalem Bolzengewicht. Konstruktion 34 (1982) 63–70. – [46] Winterfeld, J.: Einflsse der Reibdauerbeanspruchung auf die Tragfhigkeit von P4C-Welle-Nabe-Verbindungen. Diss. TU Berlin, 2001. Firmendruckschriften zu Axialen Sicherungselementen: [47] Seeger-Orbis GmbH, 61462 Knigstein. – [48] zu Nietverbindungen: Gebr. Titgemeyer, Gesellschaft fr Befestigungstechnik, 490 Osnabrck. – Gesipa Blindniettechnik GmbH, 64546 Mrfelden-Walldorf. – Honsel, Alfred: Nieten- und Metallwarenfabrik, 58730 Frndenberg/Ruhr. – [49] Bauer, C.D.: Ungengende Dauerhaltbarkeit mitverspannter federnder Elemente. Konstruktion 38 (1986) 59-62. – [50] Blume, D.; Jllgner, K. H.: Schrauben-Vademecum. 7. Aufl., Neuß/Rhein: Bauer & Schaurte Karcher GmbH 1988. – [51] Birger, J. A.: Die Stauchung zusammengeschraubter Platten oder Flansche (russ.). Russ. Eng. J. (1961) Nr. 5, S. 35-38. Auszug in: Konstruktion 15 (1963) 160. – [52] Esser, J.: Verriegelungsrippen an Sicherungsschrauben und Muttern. Ingenieurdienst Nr. 34. Neuss/Rhein: Bauer & Schaurte Karcher GmbH 1986. – [53] Galwelat, M.: Rechneruntersttzte Gestaltung von Schraubenverbindungen. Diss. TU Berlin 1979. – [54] Galwelat, M.: Programmsystem zum Auslegen von Schraubenverbindungen. Konstruktion 31 (1979) 275-282. – [55] Kober, A.: Schden an großen Schraubverbindungen – Spannungsanalyse – Bruchmechanik – Abhilfemaßnahmen. Maschinenschaden 59 (1986) 1-9. – [56] Kober, A.: Zum betriebsfesten Dimensionieren großer Schraubenverbindungen unter schwingender Beanspruchung mit besonderem Bezug auf den Abmessungsbereich M 220 DIN 13. Maschinenschaden 60 (1987) 1-8. – [57] Koenigsmann, W.; Vogt, G.: Dauerfestigkeit von Schraubenverbindungen großer Nenndurchmesser. Konstruktion 33 (1981) 219-231. – [58] Kbler, K. H.; Mages, W.: Handbuch der hochfesten Schrauben. Essen: Girardet 1986. – [59] Spieß, D.: Das Steifigkeits- und Reibungsverhal-
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ten unterschiedlich gestalteter Kugelschraubtriebe mit vorgespannten und nicht vorgespannten Muttersystemen. Diss. TU Berlin 1970. – [60] Wiegand, H.; Kloss, K.-H.; Thomala, W.: Schraubenverbindungen. 4 Aufl. Konstruktionsbcher Bd. 5. Berlin: Springer 1988. – [61] VDI-Richtlinie 2230 Bl. 1: Systematische Berechnung hochbeanspruchter Schraubenverbindungen – Zylindrische Einschraubenverbindungen. VDI EKV Ausschuss Schraubenverbindungen. Berlin: Beuth 1986. Neufassung Okt. 2003. Normen und Richtlinien (Reibschlussverbindungen): DIN 254: Kegel, Begriffe und Vorzugswerte. – DIN 1448: Kegelige Wellenenden mit Außengewinde, Abmessungen. – DIN 1449: Kegelige Wellenenden mit Innengewinde, Abmessungen. – DIN 7154-1/ -2: ISO-Passungen fr Einheitsbohrung; Toleranzfelder, Abmaße und Passtoleranzen, Spiele und bermaße. – DIN 7190: Pressverbnde, Berechnungsgrundlagen und Gestaltungsregeln. Berlin: Beuth 2001. Normen und Richtlinien (Formschlussverbindungen): DINTaschenbuch 43: Mechanische Verbindungselemente 2, Bolzen, Stifte, Niete, Keile, Stellringe, Sicherungsringe. Berlin: Beuth 2004. – DIN-Taschenbuch 69: Stahlhochbau. (Normen). Berlin: Beuth 2005. – DIN 18809: Sthlerne Straßenund Wegebrcken, Bemessung, Konstruktion, Herstellung. – DIN 4113-1: Aluminiumkonstruktionen unter vorwiegend ruhender Belastung; Berechnung und bauliche Durchbildung 1980. – DIN 15018-1: Krane; Grundstze fr Stahltragwerke; Berechnung. – DIN 15018-2: Krane; Stahltragwerke; Grundstze fr die bauliche Durchbildung und Ausfhrung. – DIN 15018-3: Krane, Grundstze fr Strahltragwerke; Berechnung von Fahrzeugkranen. – DIN 18800-1: Stahlbauten, Bemessung und Konstruktion, Nov. 1990. – DIN 29730: Nietrechnungswerte bei statischer Beanspruchung fr Universal-Nietverbindungen. – DIN 29731: Nietrechnungswerte bei statischer Beanspruchung fr Senknietverbindungen. Normen und Richtlinien (Schraubenverbindungen): DIN-Taschenbuch 10: 55, 140: Fasteners. Berlin: Beuth 2001. – DINTaschenbuch 45: Gewinde. Berlin: Beuth 2006. – VDI-Richtlinie 2230 Bl. 1: Systematische Berechnung hochbeanspruchter Schraubenverbindungen – Zylindrische Einschraubenverbindungen. Berlin: Beuth 2003. zu G 2 Federnde Verbindungen [1] Federn, K.: Dmpfung elastischer Kupplungen (Wesen, Frequenz- und Temperaturabhngigkeit. Ermittlung). VDIBer. 299 (1977) 47-61 – [2] Kmmlee, H.: Ein Verfahren zur Vorhersage des nichtlinearen Steifigkeits- und Dmpfungsverhaltens sowie der Erwrmung drehelastischer Gummikupplungen bei stationrem Betrieb. Diss. TU Berlin 1985 und VDI-Fortschrittsber. 1/136. Dsseldorf: VDI-Verlag 1986. – [3] Almen, J. O.; Laszlo, A.: The uniform-section disk spring. Trans. ASME 58 (1936) 305-314. – [4] v. Estorff, H.E.: Einheitsparabelfedern fr Kraftfahrzeug-Anhnger. Brninghaus-Information Nr. 2 (1973). – [5] v. Estorff, H.-E.: Technische Daten Fahrzeugfedern. Teil 1, Drehfedern. Stahlwerke Brninghaus Werdohl 1973. – [6] v. Estorff, H.-E.: Technische Daten Fahrzeugfedern. Teil 3, Stabilisatoren. Stahlwerke Brninghaus Werdohl 1969. – [7] v. Estorff, H.E.: Parabelfedern fr Gterwagen. Techn. Mitt. Krupp 37 (1979) 109-115. – [8] Federn, K.: Federnde Verbindungen (Federn). In Dubbel: 16. Aufl. Berlin: Springer 1987. – [9] Friedrichs, J.: Die Uerdinger Ringfeder (R). Draht 15 (1964) 539-542. – [10] Go, G. D.: Problematik der Auslegung von Schraubendruckfedern unter Bercksichtigung des Abwlzverfahrens. Automobil Ind. 3 (1982) 359-367. – [11] Groß, S.: Berechnung und Gestaltung von Metallfedern. Berlin: Springer 1960. – [12] Hegemann, F.: ber die dynamischen Festigkeitseigenschaften von Blattfedern fr Nutzfahrzeuge.
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Mechanische Konstruktionselemente – 11 Spezielle Literatur
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zu G3 Kupplungen und Bremsen [1] Hartz, H.: Antriebe mit Kreuzgelenkwellen. Teil 1: Kinematische und dynamische Zusammenhnge. Antriebstechnik 24 (1985) 72–75. – [2] Hartz, H.: Antriebe mit Kreuzgelenkwellen. Teil 2: Probleme und ihre Lsungen. Antriebstechnik 24 (1985) 61–69. – [3] Benkler, H.: Zur Auslegung bogenverzahnter Zahnkupplungen. Konstruktion 24 (1972) 326–333. – [4] Heinz, R.: Untersuchung der Zahnkraft und Reibungsverhltnisse in Zahnkupplungen. Konstruktion 30 (1978) 483– 492. – [5] Pahl, G.; Strauß, E.; Bauer, H. P.: Fresslastgrenze nichtgehrteter Zahnkupplungen. Konstruktion 37 (1985) 109–116. – [6] Pahl, G.; Mller, N.: Temperaturverhalten lgefllter Zahnkupplungen. VDI-Berichte 649 (1987) 157– 177. – [7] Stotko, H.: Moderne Entwicklungen bei Bogenzahn-Kupplungen. Konstruktion 36 (1984) 433–437. – [8] Kunze, G.: Untersuchungen zur Beurteilung von Verzahnungen fr Mitnehmerverbindungen, insbesondere von Zahnkupplungen. Diss. TU Dresden 1988. – [9] Basedow, C.: Zahnkupplungen fr hohe Drehzahlen. Antriebstechnik 23 (1984) 18–21. – [10] Henkel, G.: Membrankupplungen – Theoretische und experimentelle Untersuchung ebener und konzentrisch gewellter Kreisringmembranen. Diss. Uni. Hannover 1980. – [11] Bhm, P.; Mehlan, A.: Silikonkautschuk – Ein Werkstoff fr elastische Kupplungen ffnet neue Einsatzgebiete. VDI-Bericht Nr. 1323 Kupplungen in Antriebssystemen '97, Problemlsungen, Erfahrungen, Trends. Tagung Fulda 3.–4.3.1997, S. 177 ff. – [12] Fritzemeier. E.: Langzeitverhalten von druckbelasteten Elastomerelementen. VDI-Bericht Nr. 1323 Kupplungen in Antriebssystemen '97, Problemlsungen, Erfahrungen, Trends. Tagung Fulda 3.–4.3.1997, S. 161 ff. – [13] Mesch, A.: Untersuchung zum Wirkmechanismus drehmomentbertragender elastischer Kupplungen mit komplexen Dmpfungseigenschaften. VDI Fortschrittsberichte Nr. 262 (1996). Dsseldorf: VDI-Verlag. – [14] Gnilke, W.: Zur Grßenauswahl drehnachgiebiger Kupplungen. Maschinenbautechnik 31 (1982) 537–540. – [15] Peeken, H.; Troeder, C.; Dpper, R.: Angenherte Bestimmung des Temperaturfeldes in elastischen Reifenkupplungen. Konstruktion 38 (1986) 485–489. – [16] Troeder, C.; Peeken, H.; Elspass, A.: Berechnungsverfahren von Antriebssystemen mit drehelastischer Kupplung. VDI-Berichte 649 (1987) 41–68. – [17] Hartz, H.: Anwendungskriterien fr hochdrehelastische Kupplungen. Teil 1: Antriebsarten und deren Besonderheiten. Antriebstechnik 25 (1986) 47–52. – [18] Heyer, R.; Mllers, W.: Rckstellkrfte und -momente nachgiebiger Kupplungen bei Wellenverlagerungen. Antriebstechnik 26 (1987) 43–50. – [19] Hller, H.: Hydrodynamische Kupplungen im Antrieb von Gurtfrderern. F+H Frdern und Heben 5 (1996) 396– 399. – [20] Menne, A.: Einflsse von hydrodynamischen Kupplungen auf Torsionsschwingungen in Antriebssystemen. Antriebstechnik 3 (1997) 56–61. – [21] Huitenga, H.: Verbesserung des Anlaufverhaltens hydrodynamischer Kupplungen durch Modifikation der Kreislaufgeometrie. FortschrittsBerichte, VDI Reihe 7 Nr. 332, 1997. – [22] Stlzle, K.; Rossig, F.: Synchronisierende, selbstschaltende Kupplungen fr Ein-Wellen-Cogeneration-Kraftwerke. Zeitschrift Antriebstechnik Nr. 8, 1995. – [23] Gauger, D.: Wirkmechanismen und Belastungsgrenzen von Reibpaarungen trockenlaufender Kupplungen. VDI Fortschrittsberichte Reihe 1 Konstruktionstechnik/Maschinenelemente. Dsseldorf: VDI-Verlag 1998. – [24] Funk, W.: Leerlaufverhalten lgekhlter Lamellenkupplungen. FVA-Forschungsreport 1998. – [25] Hhn, B.-R.; Winter, H.: Einfluss von Lamellenbehandlung und modernen Getriebelen auf das Lebensdauer- und Schaltverhalten von nasslaufenden Lamellenkupplungen. FVA-Forschungsreport 1997. – [26] Hhn, B.-R.; Winter, H.: Programm zur Auslegung und thermischen Nachrechnung von Lamellenkupplungen. FVA-Forschungsreport 1997. – [27] Federn, K.; Beisel,
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-bremsen. – VDI 2722 (E): Gelenkwellen und Gelenkwellenstrnge mit Kreuzgelenken – Einbaubedingungen fr Homokinematik, 4/2001 zu G 4 Wlzlagerungen [1] Jrgensmeyer, W.; v. Bezold, H.: Gestaltung von Wlzlagerungen. Berlin: Springer 1953. – [2] Eschmann, P.: Das Leistungsvermgen der Wlzlager. Berlin: Springer 1964. – [3] Brndlein, J.; Eschmann, P.; Hasbargen, L.; Weigand, K.: Die Wlzlagerpraxis. 3. Aufl., Mainz: Vereinigte Fachverlage GmbH 1995. – [4] Hampp, W.: Wlzlagerungen, Berechnung und Gestaltung. Berlin: Springer 1971. – [5] Albert, M.; Kttritsch, H.: Wlzlager – Theorie und Praxis. Wien: Springer 1987. – [6] Dowson, D.; Higginson, G. R.: Elasto-hydrodynamic lubrication. 2. Aufl., Oxford: Pergamon Press Ltd. 1977. – [7] Gesellschaft fr Tribologie (GfT): GfT – Arbeitsblatt 3: Wlzlagerschmierung. Mai 1993. – [8] FAG Kugelfischer Georg Schfer Publ. Nr. WL 81115 DA: Schmierung von Wlzlagern. Schweinfurt 1985. – [9] Halliger, L.: Abdichtung von Wlzlagerungen. TZ fr praktische Metallbearbeitung, 60 (1966) 4, 207–218. – [10] Mller, H. K.: Abdichtung bewegter Maschinenteile. Waiblingen: Medienverlag U. Mller 1990. – [11] Schlicht, H.; Zwirlein, O.; Schreiber, E.: Ermdung bei Wlzlagern und deren Beeinflussung durch Werkstoffeigenschaften. FAG-Wlzlagertechnik 1987-1. – [12] Stcklein, W.: Aussagekrftige Berechnungsmethode zur Dimensionierung von Wlzlagern. Wlzlagertechnik. Teil 2: Berechnung von Lagerungen und Gehusen in der Antriebstechnik. Kontakt und Studium, B. 248. Grafenau: Expert-Verlag 1988. – [13] Palmgren, A.: Grundlagen der Wlzlagerpraxis. 3. Aufl. Stuttgart: Franckh'sche Verlagsbuchhandlung, W. Keller & Co 1964. – [14] Harris, T. A.: Rolling Bearing Analysis. 3. Aufl., New York: John Wiley & Sons Inc. 1991. – [15] Rydholm, G.: On Inequalities and Shakedown in Contact Problems. Linkping Studies in Science and Technology, Dissertations, 61 (1981). – [16] Mnnich, H.; Erhard, M.; Niemeyer, P.: Auswirkungen elastischer Verformungen auf die Krafteinleitung in Wlzlagern. Kugellager-Z. 155, 3–12. – [17] Sommerfeld, H.; Schimion, W.: Leichtbau von Lagergehusen durch gnstige Krafteinleitung. Z. Leichtbau der Verkehrsfahrzeuge 3 (1969) 3–7. – [18] Palmgren, A.: Neue Untersuchungen ber Energieverluste in Wlzlagern. VDIBerichte, Band 20 (1957), 117–121. – [19] Paland, E.-G.: Technisches Taschenbuch. Hannover: Selbstverlag 1995. – [20] SKF Hauptkatalog. Katalog 4000/1V Reg. 47–28000– 1994–12. – [21] FAG Standardprogramm. Katalog WL 41510/2 DB. 1987. Firmenschriften: FAG, Schweinfurt. – Hoesch Rothe Erde, Dortmund. – INA, Herzogenaurach. – Koyo, Hamburg. – NSK, Ratingen. – NTN, Erkrath-Unterfeldhaus. – SKF, Schweinfurt. – SNR, Stuttgart. – TIMKEN, Canton, Ohio (USA). Normen und Richtlinien: DIN-Taschenbuch Nr. 24: Wlzlager, 5. Aufl. Berlin: Beuth 1985. – DIN 611: bersicht ber das Gebiet der Wlzlager. – DIN 615: Schulterkugellager. – DIN 616: Wlzlager, Maßplne. – DIN 617: Nadellager mit Kfig. – DIN 618: Nadelhlsen-Nadelbuchsen. – DIN 620: Toleranzen. – DIN 622: Tragfhigkeit von Wlzlagern. – DIN 623: Bezeichnungen. – DIN 625: Rillenkugellager. – DIN 628: Schrgkugellager. – DIN 630: Pendelkugellager. – DIN 635: Tonnenlager-Pendelrollenlager. – DIN 711: AxialRillenkugellager. – DIN 715: zweiseitige Axial-Rillenkugellager. – DIN 720: Kegelrollenlager. – DIN 722: Axial-Zylinderrollenlager. – DIN 728: Axial-Pendelrollenlager. – DIN 736–739: Stehlagergehuse fr Wlzlager. – DIN 981: Nutmuttern. – DIN 4515: Spannhlsen. – DIN 5401: Kugeln. – DIN 5402: Zylinderrollen – Walzen – Nadeln. – DIN 5404: Axial-Nadelkrnze. – DIN 5405: Radial-Nadelkrnze. –
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Mechanische Konstruktionselemente – 11 Spezielle Literatur
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Mechanische Konstruktionselemente – 11 Spezielle Literatur
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I11 Spezielle Literatur
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Auslndische Normen: BS 721. – BS 436. – AGDA 201.02. – AGDA 207.06. zu G 9 Getriebetechnik [1] Hain, K.; Zielstorff, A.-W..: Die zwanglufigen achtgliedrigen Getriebe mit Einfach- und Mehrfachgelenken. Maschinenmarkt 70 (1964) 12–18. – [2] Hain, K.: Ermittlung der Umlauf- und Schwingbewegungen in durchlauffhigen sechsgliedrigen Getrieben. Grundl. d. Landtechn. 16 (1966) 129– 139. – [3] Shigley, J. E.; Uicker, J. J. jr.: Theory of machines and mechanisms. Tokyo: McGraw-Hill 1980. – [4] Luck, K.; Mller, W.; Strauchmann, H.: Kinematische Analyse rumlicher Mechanismen mit Hilfe der Vektorrechnung. Wiss. Zeitschr. TU Dresden 29 (1980) 837–841. – [5] Uhing, J.: Einfache Raumgetriebe fr ungleichfrmige Dreh- und Schwingbewegung. Konstruktion 9 (1957) 18–21. – [6] Lohe, R.: Berechnung und Ausgleich von Krften in rumlichen Mechanismen. Fortschr.-Ber. VDI-Z., Reihe 1, Nr. 103 (1983). – [7] Marx, U.: Ein Beitrag zur kinetischen Analyse ebener viergliedriger Gelenkgetriebe unter dem Aspekt Bewegungsgte. Fortschr.-Ber. VDI-Z., Reihe 1, Nr. 144
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Fluidische Antriebe
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1 Grundlagen der fluidischen Energiebertragung Fluidgetriebe bertragen Energie mittels eines strmenden Fluids (Flssigkeit oder Gas), wobei die eingespeiste Leistung auf die spezifische Energie des Massenstroms bertragen und abtriebsseitig in die mechanische Form rckgewandelt wird. Fluide knnen in gleicher Weise mittels des Energiezustands (z. B. Druckgrße) oder der Stromstrke Signale bertragen.
1.1 Der Fließprozess Die Wandlung zwischen mechanischer und fluidischer Energie erfolgt im stationren Fließprozess gemß Bild 1 (zugefhrte Grßen positiv). Im bei 1 eintretenden Massenstrom m_ mit seiner spezifischen Energie ht1 (spezifische Totalenthalpie) fließt die Leistung P1 ¼ m_ ht1 zu, entsprechend tritt bei 2 die Leistung P2 ¼ m_ ht2 aus. Die Differenz ist die zu/abgefhrte mechanische Leistung Pm ¼ m_ ðht2 ht1 Þ ¼ m_ ½h2 h1 þ ðc22 c21 Þ=2 þ g ðz2 z1 Þ : Die Enthalpiedifferenz h2 h1 ¼ D h12 ¼ ðD hs Þ12 þ Pv12 =m_ enthlt den reversiblen Anteil ðD hs Þ12 und die irreversiblen _ Beim Energietransport in fluidischen GeVerluste Pv12 =m: trieben treten gegenber der spezifischen Enthalpie die brigen Anteile zurck. Die Leistungsbilanz vereinfacht sich zu Pm ¼ m_ ðD hs Þ12 þ Pv12 ; mithin fr
Bild 1. Schema des offenen Fließprozesses
Pumpe ðþPm , h2 > h1 Þ: Ph ¼ m_ ðD hs Þ12 ¼ Pm Pv12 ¼ Pm htP , Motor ðPm , h2 < h1 Þ: Pm ¼ m_ ðD hs Þ12 þ Pv12 ¼ Ph htM : 1.1.1 Energiebertragung durch Flssigkeiten Die in Hydrogetrieben verwendeten le und Sonderflssigkeiten sind wenig kompressibel (ca. 1 %/150 bar). Wegen der fast konstanten Dichte ist die Zustandsnderung 0 2 1 Z Z2 1 @ ðD hs Þ12 ¼ d p=rA ¼ d p ¼ D p12 =r r 1
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nahezu isochor. Die Energie wird als Druck im Strom transportiert, d. h. die bertragene Fluidarbeit Wh ist die Differenz der Ausschub- zur Einschubarbeit („Hydrostatisches GetrieTabelle 1. Formelgrßen und Indizes
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Fluidische Antriebe – 1 Grundlagen der fluidischen Energiebertragung
be“). Die Leistung Ph ¼ d Wh =d t ¼ V_ D p12 wird vorzugsweise bei konstanter Stromstrke bertragen (Gleichstromhydraulik; Wechselstromhydraulik mit pulsierendem Strom bzw. Druck technisch noch unbedeutend). Grundformeln. Wegen r const vereinfachte Form der Kontinuittsgleichung: V_ ¼ cm A. Betriebsgrßen fr theoretische (verlustfreie) und reale Maschinen (+ fr Pumpe, – fr Motor): Zylinder (Kolbenflche A, einseitig wirkend, mit u bewegt, mit p beaufschlagt)
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Rotationsmaschine (Hubvolumen VH ; mit n angetrieben, mit p beaufschlagt)
Leistungsbilanz. Vereinfachte Erluterung von Leistungsumsatz und Verlusten im Leistungsflussbild (Bild 2), beispielhaft fr eine Hydropumpe. – Die zugefhrte mechanische Leistung Pm ¼ MP 2 p nP wird durch die Reibung im Triebwerk, zwischen den Verdrngerelementen und an den Dichtungen um die Reibverlustleistung Pvr ¼ Mr 2 p nP gemindert: Die Wandlungsleistung ist Pw ¼ Pm Pvr ¼ ðMP Mr Þ 2 p nP , mechanischer Wirkungsgrad: hm ¼ Pw =Pm ¼ 1 Mr =MP : – Die Wandlungsleistung Pw wird auf den Verdrngungsvolumenstrom V_ th ¼ VH n bertragen: Pwm ) Pwh ¼ V_ th D pi : Die (Innen-)Druckdifferenz D pi bewirkt einen Leckverluststrom (innere und ußere Leckverluste), der den Verdrngungsvolumenstrom auf den effektiven Pumpenfrderstrom V_ P ¼ V_ th V_ vl ¼ V_ th hvol reduziert. Der zugehrige volumetrische Leistungsverlust Pv vol ¼ V_ vl D pi ¼ Pw Pi wird erfasst durch den volumetrischer Wirkungsgrad hvol ¼ Pi =Pw ¼ 1 V_ vl =V_ th : – Der Frderstrom erfhrt innerhalb der Maschine Strmungsdruckverluste D pvh : Die hydraulische Verlustleistung Pvh ¼ V_ P D pvh setzt die Innenleistung Pi herab auf die Pumpenfrderleistung PhP ¼ Pi Pvh ¼ Pi hh ¼ V_ P D pP : Der hydraulische Wirkungsgrad ist hh ¼ PhP =Pi ¼ 1 D pvh =D pi : – Mechanische und hydraulische Verluste erscheinen gleichsinnig als Moment- bzw. Druckverluste und sind messtechnisch mit einfachen Mitteln nicht zu trennen. Daher Zusammenfassung zum hydraulisch-mechanischen Wirkungsgrad hhm ¼ hh hm :
– Die Bilanz der Wandlung mechanischer Antriebsleistung PmP ¼ MP 2 p nP in die hydraulische Frderleistung PhP ¼ V_ P D pP wird zusammengefasst im Gesamtwirkungsgrad ht ¼ PhP =PmP ¼ hvol hhm : – Die Leistungsbilanz eines Motors wird in entsprechender Weise aufgestellt, wobei die hydraulische Leistung PhM ¼ V_ M D pM zugefhrt wird und PmM Ausgangsleistung ist. Bei der Betrachtung eines Hydrogetriebes sind zustzlich die Strom- und Druckverluste in den Ventilen und Leitungen zu bercksichtigen. Bild 3 zeigt typische Wirkungsgradkennlinien von Verdrngermaschinen. Funktion. Die hohe Energiedichte (Arbeitsdruck, s. Tab. 2) ermglicht, mit kleinen Maschinenabmessungen bei translatorischen Bewegungen große Krfte und bei rotatorischen Bewegungen große Momente zu erzeugen. Aus kleinen Abmessungen folgen kleine bewegte Massen und Trgheitsmomente; hydraulische Antriebstechnik ermglicht hohe Dynamik. Der bei hohem Druck niedrige Volumenstrom erfordert nur kleine Nennweiten der Leitungen und Ventile. Im Vergleich zum Arbeitsdruck sind die Druckverluste niedrig. Die Verlustenergien gehen als Wrme in das Fluid ber und werden von diesem vom Ort der Entstehung abgefhrt; Temperaturanstieg im Betriebsmedium, ggf. durch Khler zu begrenzen, auf Betriebstemperatur von 50 bis 80 C bei stationren und 90 bis 110 C bei mobilen Anwendungen. Strmungsgeschwindigkeiten: < 100 bar: cm ¼ 4 . . . 5 m=s > 200 bar: cm ¼ 7 m=s Saugleitungen u ¼ 150 mm2 =s; cm ¼ 0,5 m=s u ¼ 30 mm2 =s; cm ¼ 1,5 m=s Rcklaufleitungen 1,5 . . . 4,5 m=s
Druckleitungen
Bei instationren Betriebszustnden ist die Kompressibilitt der Betriebsflssigkeit zu beachten (siehe 1.2: Kompressions-
Bild 3 a, b. Typischer Verlauf der Wirkungsgradkennlinien einer Konstantpumpe, abhngig a vom Betriebsdruck, b von der Betriebsdrehzahl
Tabelle 2. Arbeitsdruckbereiche in der Hydrostatik
Bild 2. Leistungsflussbild einer Hydropumpe
I1.2 modul), Getriebe sind als Feder-Masse-Systeme schwingungsfhig. Die Berechnung des dynamischen (Schwingungs-)Verhaltens des Getriebes ist aufwendig, da Massen, Federeigenschaften und Widerstnde rtlich verteilt angeordnet sind. Bei nicht zu langen Leitungen liefern Rechnungen mit rtlich konzentriert angenommenen Leitungsparametern und linearisierten Widerstandskennlinien ausreichend genaue Ergebnisse (Resonanzfrequenz, Resonanzberhhung). 1.1.2 Energiebertragung durch Gase Erzeugung der Druckluft zentral in Kompressor-/Speichereinheiten mit Khlung und Trocknung, Verteilung durch Leitungsnetze. Begrenzung des Druckbereichs mit Rcksicht auf einstufige Verdichtung und hohen Wrmeumsatz bei grßeren Drcken (Kompressionswrme, Entspannungsklte). Arbeitsdruck fr Standardanwendungen 6 bar, fr sog. Hochdruckanwendungen 10 bis 16 bar. Aufbereitung der Druckluft an der Entnahmestelle durch Wartungseinheiten, aufgebaut aus Filter, Druckregler und ler. Gase sind stark kompressibel, daher Arbeitsgeschwindigkeiten lastabhngig bis zum (vorteilhaften) Stillstand bei Grenzlast. Energiebertragung nur im kleinen Leistungsbereich, z. T. bei polytroper Zustandsnderung mit Expansionsverhltnis bis 1 : 2, hufig ohne Entspannung im Volldruckbetrieb (Geruschentwicklung!). Anwendung in sog. Drucklufttechnik: Handgefhrte Drucklufthmmer, Bohr- und Schleifmaschinen, Schrauber u.. Einsatz der sog. Pneumatik in der Betriebsmittelautomatisierung fr Pressen, Transport-, Handhabungs- und Spannvorrichtungen. Positionierung vorzugsweise durch mechanische Anschlge. Steuerungen pneumatisch als Ablauf- und Speicher-(Taktstufen-)Steuerungen, starke Zunahme der Einfhrung elektronischer Steuerungen (SPSSteuerungen). Genaue Geschwindigkeitswerte bei pneumatischen Vorschubeinrichtungen durch parallelgeschaltete hydraulische Regeleinheiten (Pneumohydraulik). Zunehmende Einfhrung direktwirkender Drosselsteuerungen mit berlagerten elektronischen Reglern zur Positions- und Geschwindigkeitseinstellung.
1.2 Hydraulikflssigkeiten Als Betriebsflssigkeit in hydrostatischen Systemen werden Mineralle, Pflanzenle, synthetische Flssigkeiten, Wasser und Wasser-l-Emulsionen verwendet, die Wahl des Flssigkeitstyps hngt von den Anforderungen des jeweiligen Anwendungsfalls ab. In der berwiegenden Zahl der Standardanwendungen werden heute additivierte Mineralle eingesetzt, die als HL- und HLP-le in DIN genormt sind. HL-le enthalten Zustze, die eine schnelle Alterung der Flssigkeit durch Oxydation verhindern (besonders wichtig bei hheren Betriebstemperaturen und ungehindertem Luftzutritt), HLP-le zustzlich Substanzen, die das Lasttragevermgen des Schmierstoffs insbesondere bei Mischreibung in Gleitkontakten erhhen. Daneben werden Additive zur Verhinderung von Korrosion, zur Verbesserung des Luftabgabevermgens und zum in Schwebe halten von Abrieb und Wasser beigegeben. In mobilen Anwendungen werden hufiger auch Dieselmotorenle der Typen API-CC und -CD eingesetzt. Wenn unkontrollierter Austritt von Hydraulikflssigkeiten nicht sicher verhindert werden kann (mobile Arbeitsmaschinen und am Einsatzort aufzubauende Anlagen), werden heute zunehmend biologisch schnell abbaubare und nicht toxische Flssigkeiten eingesetzt: pflanzliche le, vorwiegend Rapsl, synthetische Esterle und Polyglykole (VDMA 24 568); auch hier werden die Grundflssigkeiten additiviert, um Alterungsbestndigkeit u. a. Eigenschaften zu verbessern. Fr die Ein-
Hydraulikflssigkeiten
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stufung als biologisch schnell abbaubare Flssigkeit wird eine Abbaurate >80 % in 21 Tagen (CEC-Test) verlangt, nicht toxisch heißt Einstufung in die Wassergefhrdungsklasse 0. Flssigkeitsentwicklung und -anwendung zeigen eine starke Dynamik, erfolgreiche Labortests und Feldanwendungen besttigen das große technische Potential dieser neuartigen Flssigkeiten. Bei der Umlung ist auf die Einhaltung der Restgehaltsgrenze fr Fremdflssigkeit (siehe Angabe des Flssigkeitsherstellers) zu achten, im Betrieb auf niedrigen Wassergehalt und die Einhaltung der spezifizierten Temperaturgrenzen. In Anwendungen, bei denen sich austretendes l entznden und verbrennen kann (Beispiele: Walzwerksanlagen, Untertagebergbau, Flugzeug) wird die Verwendung sogenannter schwer entflammbarer Flssigkeiten der Typen HFA, HFB, HFC oder HFD (DIN 51 502) gefordert bzw. vorgeschrieben. Mit den wasserhaltigen Typen HFA und HFB werden z. T. spezielle Komponenten (Pumpen, Ventile etc.) eingesetzt. HFD-Flssigkeiten (z. B. Skydrol) knnen toxisch sein und Schleimhute angreifen. Glykolbasierende Flssigkeiten und reines Wasser sind in hydrostatischen Anlagen der Nahrungsmittelverarbeitung zu finden. Fr die Reinwasserhydraulik sind spezielle Bauelemente erforderlich. Fr den Betrieb sind die physikalischen Kennwerte Viskositt v, Dichte r und Kompressionsmodul B von Bedeutung; sie beeinflussen unmittelbar Funktion, Energienutzungsgrad und dynamisches (Schwingungs-)Verhalten des Systems. Die Schmierfhigkeit der Flssigkeit, beschrieben durch die FZGLaststufe, beeinflußt den Bauteilverschleiß, das Luftabgabevermgen den Gehalt an ungelster Luft. Zur Bestimmung des Alterungszustands der Flssigkeit wird hufig die Neutralisationszahl (NZ) genutzt. Minerallbasierende Hydraulikflssigkeiten werden in 6 Viskosittsklassen von v=10 bis 100 mm2/s bei 40 C (100 F) angeboten (DIN 51 524), andere Flssigkeiten z. T. in einem engeren Viskosittsbereich. Die Viskositt ndert sich sehr stark mit der Temperatur (s. Anh. H 1 Bild 1), durch Additivzugabe (VI-Verbesserer) kann die Abhngigkeit verringert werden; bei Berechnungen ist auch die Viskosittsnderung mit dem Druck zu bercksichtigen (bei einem HLP 46 und 50 C steigt sie von 35 bei pat auf 160 mm2/s bei 800 bar, s. auch Anh. H 1 Bild 2). Die Wahl der Viskosittsklasse hngt vom vorgesehenen Betriebstemperaturbereich und der vom Hersteller der Pumpen und Motoren spezifizierten Maximalund Mindestviskositt am Eingang in die Maschinen ab. Die minimale Betriebstemperatur wird durch die Anwendung bestimmt (bis 30 C), die maximale Temperatur kann durch Khlung kontrolliert werden (typisch 70 C bei stationren, 100 C bei mobilen Anwendungen). Die Dichte r der Flssigkeiten liegt bei 40 C zwischen 0,85 (typ. Minerall) und 1,2 kg/dm3 (schwer entflammbare Phosphatester), sie fllt im Betriebstemperaturbereich mit steigender Temperatur um etwa 10 % ab. Der Kompressionsmodul B beschreibt die Volumennderung bei Drucknderung (und damit natrlich auch die Dichtenderung mit dem Druck), er nimmt mit steigender Temperatur ab und steigendem Druck zu. Fr ein Minerall wurde bei 20 C B zu 2,1104 bar bei Atmosphrendruck und 2,3 104 bar bei 250 bar Druck und bei 80 C zu 1,4 bzw. 1,6 104 bar gemessen (s. Anh. H 1 Bild 3). Der B entsprechende E-Modul von Stahl ist 2; 1 106 bar.
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dienbarkeit sowie in Kombination mit elektrischen/elektronischen Steuerungen die Mglichkeit der Automatisierung. 1.3.2 Ordnung der Fluidgetriebe Der Energietransport mittels der beliebig verformbaren Fluide ermglicht translatorische wie rotatorische Bewegungen sowie den Wechsel zwischen diesen innerhalb eines Getriebes und gestattet eine nahezu unbegrenzte Wandlung der durch das Getriebe fließenden Leistung innerhalb ihrer Parameter Kraft/Drehmoment und Geschwindigkeit/Drehzahl. Nach ußeren Bedingungen lassen sich unterscheiden: Bild 4. Blockschaltbild des Fluidgetriebes
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1.3 Systematik 1.3.1 Aufbau und Funktion der Hydrogetriebe In Hydrogetrieben sind die Komponenten (Pumpen, Motoren, Steuerelemente) mittels Rohrleitungen verbunden und im sog. Kreislauf geschaltet, in dem das Betriebsfluid zur Leistungsbertragung umluft (Bild 4). Wegen des hohen Druckniveaus werden als Pumpen und Motoren nur Verdrngermaschinen eingesetzt. Ihre jeweiligen Frder- bzw. Schluckstrme sind, sieht man von dem Einfluss der Leckverluste ab, belastungs-, d. h. druckunabhngig. Das Druckmittel wird in Rohren und Schluchen geleitet, was Freizgigkeit in der Anordnung von Pumpen, Motoren und Steuerung bietet. Motoren lassen sich direkt am Wirkort positionieren und knnen mit Schwenkrohr- oder Schlauchanschluss dessen Bewegung folgen. Die Steuerung dient der Einstellung der Bewegungsfunktion und der bersetzung gemß den Arbeitsbedingungen sowie der Begrenzung der Getriebebelastung (Maximaldruck). Sie wirkt auf den Flssigkeitsstrom unmittelbar durch das Schalten von Strmungswegen, durch Richtungsvorgabe und Stromabzweigung sowie mittelbar durch Hubvolumenverstellung der Pumpen und Motoren. Die jeweilige Funktion erfolgt bedingt (Drucksteuerung, Positionierung) oder wird manuell oder signalgesteuert ausgelst. Die Steuerelemente sind vorherrschend als Ventile in Schieberbauart (Kolbenschieber), seltener als Sitzventile ausgebildet und werden direkt oder indirekt (vorgesteuert) bettigt. Dadurch besteht gute Fernbe-
2 Bauelemente hydrostatischer Getriebe Eine Auswahl von Sinnbildern zur Darstellung von Bauelementen in Schaltplnen gibt Anh. H1 Bild 4.
2.1 Verdrngermaschinen mit rotierender Welle Hydropumpen und -motoren sind Umlaufverdrngermaschinen oder Hubverdrngermaschinen, s. Bild 1. Allen Maschinen gemeinsam ist das Frderprinzip: Das zu frdernde Fluid tritt zulaufseitig in einen sich vergrßernden Verdrngerraum ein, der Raum wird abgeschlossen, dann mit der Ablaufseite verbunden und Fluid wird aus dem sich verkleinernden Verdrngerraum ausgeschoben. nderung der Grße des Verdrngerraums durch Drehen der Maschinenwelle; die Volumendifferenz zwischen Maximum und Minimum wird durch Form und Abmessungen des Verdrngerraums, seine Vernderung mit der Drehung der Welle und die volumenverndernde Kinematik der
Leistungsgetriebe: Getriebe, die grßere Leistungen kontinuierlich bertragen. Wichtig sind hoher Betriebswirkungsgrad bzw. Energienutzungsgrad bei gutem Beschleunigungs- und Bremsvermgen. Typische Anwendungen: Httenwerkshydraulik und Fahrantriebe von Arbeitsmaschinen; vorteilhaft: Bauraum und Masse sind klein, bersetzung stetig vernderbar. Kraft-/Vorschubtriebe: Getriebe mit diskontinuierlicher Arbeitsweise, mit denen große Krfte/Momente bei kleinen Bewegungsgrßen oder genaue Bewegungen bei nur kleinen Krften przise gesteuert bzw. geregelt ausgefhrt werden. Wichtige Gesichtspunkte sind Energiespeicherung, Halten von Lasten ber lngere Zeit in gegebener Position, Erzeugung großer Bewegungswandlung. Typische Anwendungen: Pressen, Spritzgießmaschinen, Vorschubtriebe an Werkzeugmaschinen, Arbeitsgerte bei mobilen Maschinen. Stelltriebe: Getriebe fr einfache Stell-, Verschiebe- und Hubaufgaben. Wichtig ist einfacher und robuster Aufbau. Anwendung vielfltig im Transport- und Werkstattbereich. Funktional lassen sich unterscheiden: Getriebe ohne Stromteilung (Volumenschluss): Der Getriebekreislauf ist so geschaltet, dass der Motorstrom bis auf die Leckverluste gleich dem Pumpenfrderstrom ist. Die Bewegungswandlung (bersetzung) ist wegen der gegeb. Hubvolumina von Pumpe und Motor prinzipiell lastunabhngig („steife“ Kennlinie). Gleiches Verhalten zeigen mit Stromregelung ausgefhrte Stromteilgetriebe. Getriebe mit Stromteilung (Druckschluss): Beim Stromteilgetriebe wird aus der Druckleitung zwischen Pumpe und Motor ein druckabhngiger Teilstrom durch eine Drossel abgeleitet. Die Bewegungswandlung ndert sich mit der Belastung („weiche“ Kennlinie).
Maschine bestimmt. Umlaufverdrngermaschinen frdern in Zellen, deren Volumen sich durch die geometrische Gestaltung der Begrenzungswnde zyklisch ndert, bei Hubverdrngermaschinen ndert sich das Zellenvolumen durch die hinund hergehende Bewegung des Kolbens in einem Zylinder. Wegen der inneren Strmungsumkehr bentigen die Hubverdrngermaschinen eine Schieber- oder Ventilsteuerung zwischen Verdrngerraum und Zu- und Ablauf. Es gibt Maschinen mit festem Verdrngungsvolumen pro Umdrehung (Konstantmaschinen, Hubvolumen VH : Zahnrad-, Schrauben-, Sperrschiebermaschinen) und Maschinen, die sowohl mit konstantem als auch mit einstellbarem Hubvolumen ausgefhrt sein knnen (Verstellmaschinen: Flgelzellen-, Reihenkolben-, Radialkolben- und Axialkolbenmaschinen in unterschiedlichen Ausfhrungsformen). Eine weitere Gemeinsamkeit aller Bauarten ist, dass sie baugrßenabhngig mit Drehzahlen bis zu 5 000 min 1 und mehr betrieben werden (s. Tab. 1, Ausnahme: Langsamlufermotoren); daraus resultieren hohe Relativgeschwindigkeiten zwi-
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Bild 1. Bauarten von Verdrngermaschinen
schen Bauteiloberflchen (z. B. Kolben und Bohrung, Zahnkopf und Gehuse, Flgel und Laufring). Deshalb kann die Abdichtung von Rumen hohen gegen solche niedrigen Drucks nicht durch Elastomerdichtungen, sondern nur durch Spalte und ggf. metallische oder keramische Dichtelemente vorgenommen werden. Soll das durch die Dichtspalte strmende Volumen pro Zeit (Leckage, Verlust) klein sein, mssen die Spalte eng und die Spaltlnge groß sein. Unter Druck stehendes Medium fhrt in der Regel zu einer Spaltaufweitung, kann aber bei unsymmetrischem Gehuse auch zu einer
Spaltverringerung und als Folge zum Klemmen fhren. Eine Kontrolle der Spalthhe erfolgt bei vielen Maschinen durch besondere konstruktive Lsungen. Typisch sind druckbeaufschlagte Seitenplatten (z. B. bei Zahnradpumpen und Flgelzellenpumpen), die die Vergrßerung axialer Spalte bei Druckanstieg verhindern. Selbsteinstellende Spalte liegen vor bei hydrostatisch/hydrodynamisch wirkenden axialen Lagern, z. B. an den Gleitschuhen und dem Blockzylinder von Axialkolbenmaschinen, whrend nicht einstellende, d. h. in der Regel mit steigendem Druck grßer werdende Spalte bei Sperr-
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Tabelle 1. Typische Kennwerte von Verdrngermaschinen
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schieberpumpen und Schraubenpumpen, nicht kompensierten Zahnradpumpen und an der Paarung Kolben/Bohrung aller Kolbenpumpen vorliegen. Je besser enge Spalte in der Fertigung hergestellt und im Betrieb eng gehalten werden knnen, desto besser eignet sich eine Maschine fr hohe Drcke. Hier liegt ein Grund dafr, dass fr hohe Drcke ber 250 bar nur Kolbenpumpen eingesetzt werden. Krfte auf Bauteile und insbesondere auf Lager sind ein weiterer Konstruktionsaspekt, in dem sich die verschiedenen Bauformen unterscheiden. Große Krfte auf Gleitlager stellen hohe Anforderungen an die Schmierfhigkeit des Hydraulikmediums und die Werkstoffwahl der Gleitpartner (Stahl/ Guss, Stahl/Bronze); mit Gleitlager sind hier alle aufeinander gleitenden Flchen, also nicht nur Wellenlager gemeint. Hohe Lagerpressungen findet man z. B. bei der Paarung Kolben/ Bohrung von Schrgscheiben-Axialkolbenmaschinen oder der Paarung Flgel/Hubring und Flgel/Rotor bei Flgelzellenpumpen. Hydrodynamischer Druckaufbau fhrt hier zur Entlastung, er setzt allerdings eine ausreichende Gleitgeschwindigkeit voraus. Hufig knnen Gleitlager vorteilhaft hydrostatisch entlastet werden, z. B. Lagerung der Gleitschuhe auf der Schrgscheibe bei Radial- und Axialkolbenmaschinen und Lagerung des Zylinderblocks auf dem Endgehuse. Hydrostatische Entlastung bedeutet aber Volumenstrombedarf und damit Einbuße an volumetrischem Wirkungsgrad. Belastung von Wlzlagern: Hohe Belastung bei gleichzeitig hohen Drehzahlen fhrt zu vergleichsweise großen Lagern, typisch zu sehen bei Schrgachsen-Axialkolbenmaschinen, wenn eine ausreichend hohe Lebensdauer erreicht werden soll. Drcke im Frderraum fhren zu Spannungen in den Wandungen, die vom Werkstoff ertragen werden mssen. Große unter Innendruck stehende Volumina erfordern bei hohen Drcken große Wandstrken und hochfeste Materialien; in Maschinen fr hohe Drcke wird der Verdrngerraum deshalb durch die Parallelschaltung mehrerer kleiner Kolben/Zylinder-Einheiten gebildet. Fr Kolbenmaschinen generell gilt die Gesetzmßigkeit der konstanten mittleren Kolbengeschwindigkeit. Es ergeben sich zwei technisch wichtige Fakten: – Mit zunehmender Maschinengrße nimmt die Nenndrehzahl (oder die maximal zulssige Antriebsdrehzahl) ab, es gilt n ðVH Þ1=3 ¼ const und
– mit Verringerung des Hubvolumens einer Verstellmaschine erhht sich die zulssige maximale Drehzahl; das ist primr bei Hydromotoren von Bedeutung. Fr die Auswahl des Maschinentyps sind bei gefordertem Hubvolumen die folgenden Parameter ausschlaggebend: Verstellbarkeit, Druckhhe, maximale Drehzahl, Leistungsgewicht, Anlaufverhalten (bei Motoren), Betriebsmittel und -viskosittsbereich und schließlich das Wirkungsgradkennfeld. Die Grundlagen zur Berechnung des stationren Betriebsverhaltens der Maschinen und des mit ihnen aufgebauten Getriebes sind in H 1.1.1 und H 3.2.1 gegeben. 2.1.1 Zahnradpumpen und Zahnring-(Gerotor-)pumpen Zahnrad- und Zahnringpumpen weisen zwei um ortsfest liegende Achsen drehende Zahnrder auf; der durch Zhne, Zahnlcken und die Gehusewnde gebildete Verdrngungsraum ndert mit der Drehung der Rder und dem Zahneingriff sein Volumen, wodurch die Frderung zustande kommt. Die resultierende Frderstrompulsation hngt in ihrer Grße und Frequenz von der Verzahnungsgeometrie und der Zahl der Zahneingriffe pro Umdrehung ab. Frderstrompulsation hat Druckpulsation zur Folge, daraus resultiert Schallemission, stark bei der Außenzahnradpumpe, weniger stark bei der Innenzahnrad- und der Zahnringpumpe. Das Frdervolumen pro Umdrehung ist konstant, eine Vernderung des Frderstroms einer Pumpeneinheit ist durch Verwendung einer Mehrfachpumpe (Doppel- oder Dreifachpumpe) und geeigneter Steuerung der Pumpenstrme mglich. Mehrfachpumpen auch zur unabhngigen Versorgung mehrerer Verbraucher. Außenzahnradpumpe mit zwei evolventenverzahnten Rdern sind preisgnstig, berdecken einen großen Hubvolumenbereich und sind fr mittlere Drcke geeignet. Bei einfachstem Aufbau (Plattenbauweise) haben die Pumpen bei hohem Druck einen mßigen volumetrischen Wirkungsgrad; Verbesserung durch selbstndig betriebsdruckgesteuerte Radial- und Axialspaltkompensation, Bild 2. Volumetrischer Wirkungsgrad kompensierter Pumpen grßer 0,9, hydraulisch-mechanischer Wirkungsgrad bei 0,9, so dass Gesamtwirkungsgrade von 0,8 bis 0,9 erreicht werden. Außenzahnradpumpen sind robust, Wellenlager (meist Gleitlager) haben
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H Bild 2. Außenzahnradpumpe mit axialer und radialer Spaltkompensation (Bosch Rexroth). 1 treibendes Zahnrad, 2 getriebenes Zahnrad, 3 Lagerdekkel, 4 Pumpengehuse, 5 Axialfelddichtung mit Sttzring, 6 Lagerbuchsen, 7 Verschlussdeckel, 8 Gehuseabdichtung, 9 Wellendichtung
gute Notlaufeigenschaften, Pumpen sind selbstsaugend. Es werden Versionen mit integrierter Druck- und/oder Volumenstromsteuerung angeboten. Geruschemission kann durch Parallelschaltung von 2 Zahnradstzen reduziert werden, die um eine halbe Zahnteilung gegeneinander verdreht auf der Welle angeordnet sind. Dadurch Reduzierung der Frderstrompulsation von 15 % auf 3,5 % bei gleicher Zhnezahl.
Drcke geeignet. Wegen geringer Zhnezahl erfolgt die Zellenvergrßerung langsam, die Pumpe hat ein gutes Saugvermgen und eine geringe Geruschemission. Typische Einsatzgebiete: Fllpumpen fr geschlossenen Kreislauf, Lenkhilfepumpe; kostengnstig.
Innenzahnradpumpen (Bild 3) haben durch angepasste Zahnformen gnstige Zahneingriffsverhltnisse, geringe Volumenstrompulsation, durch Radial- und Axialkompensation enge Leckspalte und eignen sich daher fr hhere Betriebsdrcke (300 bar) bei gutem Wirkungsgrad von um 0,9. Sie zeichnen sich durch niedrige Schalldruckpegel aus: Eine Pumpe NG 20 mit 20 cm3/U, 300 bar, 1 450 l/min und einer Antriebsleistung von 15 kW hat einen Schalldruckpegel von 62 dB(A). Die Herstellung von Innenzahnradpumpen ist aufwendiger als die von Außenzahnradpumpen, sie sind entsprechend teurer. Bei Zahnringpumpen (Bild 1, Nr. 3) haben die Zhne des außenverzahnten Ritzels und des innenverzahnten Rings Trochoidenform. Die Abdichtung zwischen Saug- und Druckraum erfolgt am Umfang des Ritzels, ein Zahn ist immer im Kontakt mit der Gegenflche des Hohlrads, die Dichtwirkung und damit der volumetrische Wirkungsgrad lassen mit steigendem Druck deutlich nach. Pumpe ist gut fr niedrigere
Bild 4 a zeigt eine Flgelzellenpumpe. Durch Drehung des exzentrisch zum Stator gelagerten Rotors, in dessen radialen Schlitzen die Flgel angeordnet sind, ndern die durch Flgel-, Rotor- und Gehuseflchen begrenzten Verdrnger-
Bild 3. Innenzahnradpumpe mit axialer und radialer Spaltkompensation (Bucher, Baureihe QRH)
2.1.2 Flgelzellenpumpen
Bild 4. a Flgelzellenpumpe mit Nullhub-Druckregler (Bosch Rexroth). 1 Hubring, 2, 3 Stellkolben, 4 Druckregler; b Schaltbild; c Kennlinie
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rume ihr Volumen, so dass es auf der Zulaufseite (Saugseite) zu einer Volumenvergrßerung und Flssigkeitsaufnahme, auf der Druckseite entsprechend zu einer Volumenabnahme und damit Abgabe von Flssigkeit in die Druckleitung kommt. Der Stator wird in der Regel als ein in das Gehuse eingelegter Hubring aus hochfestem Stahl ausgefhrt; durch Verschiebung des Hubrings senkrecht zur im Gehuse festgelagerten Welle wird das Frdervolumen pro Umdrehung verndert, wie man unmittelbar aus der Gleichung VH ¼ 4 p rm b e erkennt; e ist die Exzentrizitt des Hubrings, rm ein mittlerer Radius des ausgefahrenen Flgels und b die Hubringbreite. Durch Verschieben des Hubrings ber die zentrische Lage hinaus wird bei gleich bleibender Wellendrehrichtung die Frderrichtung umgekehrt. Flgelzellenpumpen sind fr mittlere Drcke geeignet. Die spezifischen Belastungen der Gleitpartner des Triebwerks sind hoch, ebenso die Lagerbelastungen. Zur Lagerentlastung werden mehrhubige Pumpen ausgefhrt, deren Hubvolumen dann nicht vernderbar ist. Die Volumenstrompulsation ist relativ niedrig, die Geruschemission flgelzahlabhngig (Frequenz) mittelmßig. Wirkungsgrad 0,75 bis 0,85 (bis 0,9, wenn mehrhubig). 2.1.3 Kolbenpumpen Der Einsatz von Kolbenpumpen hat in der jngeren Vergangenheit stark zugenommen. Wesentliche Grnde fr die zunehmende Anwendung sind – Eignung fr hohe Drcke bei gutem volumetrischem Wirkungsgrad, – guter hydraulisch-mechanischer Wirkungsgrad, – Verstellbarkeit des Hubvolumens (vom Prinzip her), – hohe Leistungsdichte, – gleich gute Eignung fr Pumpen und Motoren. Pumpen haben in der Regel mehrere parallel wirkende Zylinder, deren Frderstrme sich addieren. Die Pulsation des Gesamtfrderstroms (Ungleichfrmigkeitsgrad) nimmt mit steigender Kolbenzahl ab, von 14 % bei 3 Kolben auf 1,5 % bei 9 (gerade Kolbenzahlen fhren zu erheblich grßerer Ungleichfrmigkeit als ungerade). Durch laufende Entwicklungen sollen die relativ hohe Geruschemission (bei Anwendung der hohen Drcke) und die konstruktionsbedingt hheren Kosten reduziert werden. Kostendegression ist zu erreichen durch Fertigungsentwicklung (-verfahren, -maschinen) und Anpassung der Konstruktion an das Anwendungsspektrum (statt einer mehrere Baureihen, Entfeinerung, Reduzierung der Funktionsvarianten). Anwendung neuartiger Werkstoffe wird untersucht, z. B. Keramik und Kunststoffe. Verstellung des Hubvolumens zunehmend durch elektrohydraulische Stellsysteme. Schrgachsenpumpen Prinzip Thoma (Bild 5) werden heute im wesentlichen im offenen Kreislauf als direkt ansaugende,
in eine Richtung frdernde Pumpen eingesetzt. Es sind (im Vergleich zur Schrgscheibenkonstruktion) grßere Schwenkwinkel mglich, damit knnen bei gleichen Abmessungen des Triebwerks grßere Frderstrme erreicht werden. Wellenlager drehen unter hoher Lagerbelastung, das fhrt zu großen Lagern. Volumenstromsteuerung durch Schiebersteuerung, in das Triebwerk integriert, moderne Konstruktionen mit Steuerlinse (aufwendige Herstellung der sphrischen und zylindrischen Funktionsflchen, aber baulich unaufwendig). Schrgscheibenpumpen (Bild 6) haben sich fr Anwendungen im geschlossenen Kreislauf durchgesetzt. Sie bauen prinzipbedingt kompakt, auf die Wellenlager wirken kleine Krfte, daher weniger aufwendige Lagerung; hochbelastete Schwenkscheibenlagerung hat Drehzahl nahe Null. Welle kann durch die Pumpe hindurchgefhrt werden und weitere Pumpen (Fllpumpe, 2. Hauptpumpe, Arbeitshydraulikpumpen) antreiben (Durchtriebspumpe). Schrgscheibenpumpen sind in der Regel nicht selbstansaugend. Schiebersteuerung zwischen Blockzylinder und Endgehuse, nur ein relativ bewegtes Dichtflchenpaar, typischerweise ebene Funktionsflchen. Radialkolbenpumpen mit rotierendem Zylinderstern, ußerer Kolbenabsttzung durch Gleitschuhe und zentralem Steuerzapfen fr mittlere Hubvolumina und Drcke bis 300 (350) bar (Bild 7 a). Gutes Regelverhalten, relativ niedrige Geruschemission, guter Wirkungsgrad um 0,9. Große Pumpen mit Wlzlagerabsttzung der Kolben fr Anwendungen mit besonders hohen Anforderungen an Lebensdauer und Zuverlssigkeit. Radialkolbenpumpen mit innerer Kolbenabsttzung als Hochdruckpumpen fr Drcke ber 600 bar. Kolben bewegen sich radial im Gehuse und sttzen sich auf angetriebenem Exzenter ab. Wegen der hohen Drcke Ventilsteuerung zur Erzielung eines guten volumetrischen Wirkungsgrads. Kleine Hubvolumina, in der Regel nicht verstellbar. Mehrreihige Pumpen fr grßere Frderstrme oder unabhngige Versorgung mehrerer Verbraucher. Sonderbauform ist die sauggeregelte Pumpe, deren Frderstrom ab einer Grenzzahl nicht mehr zunimmt, weil der Verdrngerraum im Saughub nicht mehr vollstndig gefllt wird. Fr Drcke bis 160 bar, Drehzahlen bis 6 000 min–1. Anwendung Kfz-Hydraulik. 2.1.4 Andere Pumpenbauarten Schraubenpumpen (Bild 1, Nr. 4) sind Konstantpumpen; sie werden dort eingesetzt, wo es auf besondere Laufruhe ankommt, z. B. bei Fahrstuhlantrieben in Wohngebuden. Wegen fehlender Kompensationsmglichkeiten im Druckbereich beschrnkt. Sperrschieberpumpen (Bild 1, Nr. 6) sind ebenfalls Konstantpumpen ohne Spaltkompensation, ihr Hauptanwendungsfeld sind geruscharme Antriebe mit mittlerem Druckniveau und Mehrfachpumpenanordnungen. Reihenkolbenpumpen (Bild 1, Nr. 7) werden in hydrostatischen Systemen als langsamlaufende Pumpen zur Frderung schlecht schmierender Fluide bei hohen Drcken eingesetzt, z. B. zur Frderung von HFA (l in Wasser-Emulsion) bei 400 bar. Langsamlauf durch bersetzungsgetriebe vor dem Pumpentriebwerk. Taumelscheibenpumpen (Bild 1, Nr. 10) findet man als Spezialpumpen z. B. in der Flugzeughydraulik. Der Zylinderblock steht fest, die Taumelscheibe wird angetrieben. Pumpen sind meist ventilgesteuert, d. h. eine Frderrichtung, aber beliebige Antriebsrichtung.
Bild 5. Schrgachsen-Verstellpumpe mit hydraulisch-mechanischem Leistungsregler fr offenen Kreislauf (Bosch Rexroth/Brueninghaus, Baureihe A7V)
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Verdrngermaschinen mit rotierender Welle
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H Bild 6. Schrgscheiben-Axialkolbenpumpe mit mechanisch-hydraulischer Servoverstellung und Fllpumpe fr geschlossenen Kreislauf (Sauer-Danfoss, Baureihe 90). 1 Fllpumpe, 2 Wiege, 3 Wiegenrckstellung, 4 Blockzylinder, 5 Wiegenverstellhebel, 6 Wiegenlagerung, 7 Servoventil, 8 Servokolben, 9 Kolben mit Gleitschuh
Bild 7. a Radialkolbenpumpe (Moog). 1 Zylinderstern, 2 Steuerzapfen, 3 Kolben, 4 Hubring, 5 Gleitschuh, 6 Steuerventil, 7 Positionsaufnehmer; nicht dargestellt Druckaufnehmer (8); b Schaltbild
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Fluidische Antriebe – 2 Bauelemente hydrostatischer Getriebe
2.1.5 Hydromotoren in Umlaufverdrngerbauart Außenzahnradmotoren sind schnellaufende Maschinen und eignen sich fr Antriebe, bei denen die Motoren erst bei hheren Drehzahlen belastet werden; sie haben kein besonders gutes Anlaufverhalten unter Last. Bei Mehrquadrantenbetrieb ist auf richtige Lecklabfuhr zu achten.
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Zahnringmotoren (Orbit-, Gerotormotor) werden bevorzugt als Langsamlufermotoren gebaut. Im Gegensatz zur Pumpe ist hier der Zahnring (das Hohlrad) gehusefest, das Ritzel macht eine exzentrische Bewegung um die Achse des Zahnrings und dreht sich dabei langsam um die eigene Achse (2welliges Umlaufrdergetriebe). Durch eine Kardanwelle wird die Ritzeldrehung auf die Ausgangswelle bertragen. Die Motoren sind fr einen mittleren Druckbereich geeignet und zeigen gutes Anlaufverhalten. Auch das Flgelprinzip eignet sich zum Bau von Motoren, die wie die Pumpen aufgebaut sind. 2.1.6 Hydromotoren in Hubverdrnger-(Kolben-)bauart Unterschieden werden Schnellufer- und Langsamlufermotoren. Schnellufer sind typisch Axialkolbenmaschinen aller in Bild 1 gezeigten Bauarten, dabei sind Taumelscheibenmaschinen weniger verbreitet. Schrgachsenmaschinen haben ein etwas besseres Anlaufverhalten als Schrgscheibenmaschinen; vorteilhaft, wo Anlauf unter hoher Last erfolgen muss. Das Schrgachsenprinzip lßt große Schwenkwinkel bis zu 45 zu (Schrgscheibe typisch bis 20 ), siehe dazu Bild 8, dadurch große Momente und großer Verstellbereich (Selbsthemmung bei ungefhr 5 ); wichtig dort, wo durch Reduzierung des Motorhubvolumens die Motordrehzahl erhht werden soll, unter Inkaufnahme eines abnehmenden Drehmoments. Langsamlufer sind typisch Radialkolbenmotoren. Bei Maschinen mit ußerer Kolbenabsttzung laufen die Kolben auf dem wellenfrmigen Profil des Hubrings, siehe Bild 9. Die Motoren werden u. a. mit drehendem Gehuse und stehendem Zylinderstern/Welle als sog. Radnabenmotoren und als Aufsteckmotoren mit stehendem Gehuse und drehender Hohlwelle ausgefhrt. Bei Motoren mit innerer Kolbenabsttzung wird die Kolbenkraft ber Pleuel auf den Wellenexzenter bertragen (Kolben bewegen sich rein radial), oder es werden pleuellose Konstruktionen verwendet (z. B. drehbare Kolben oder Pentagon auf Exzenterwelle), auf die hier nicht nher eingegangen werden kann. Langsamlufer-Radialkolbenmo-
toren haben in der Regel einen sehr guten volumetrischen und guten hydraulisch-mechanischen (Anlauf-)Wirkungsgrad. Sie bauen groß und stehen im Wettbewerb mit Schnellufermotor – Reduziergetriebe – Aggregaten. In der Regel handelt es sich um Konstantmotoren, bauartabhngig knnen sie aber auch als Verstellmotoren (stufig oder stetig-)ausgefhrt werden.
2.2 Verdrngermaschinen mit translatorischem (Ein- und) Ausgang Zylinder werden einfachwirkend (Tauchkolbenzylinder) und doppeltwirkend (Differentialzylinder, Bild 10) gebaut. Bei der nur fr Schub geeigneten Tauchkolbenbauart ist die Kolbenstange zugleich Kolben und in der Stangenfhrung im Kopf gedichtet. Erforderliche Fhrungslnge ca. 2,5 Stangendurchmesser. Rckhub erfolgt durch ußere Krfte oder eingebaute Feder. Differentialzylinder sind durch wechselweise Kolbenbeaufschlagung fr Drcken und Ziehen einsetzbar. Stangenseitige Ringflche AR ist um den Stangenquerschnitt kleiner als die Kolbenflche AK : Daher unterschiedliche Druck- und Zugkrfte bei gleichem Betriebsdruck sowie verschiedene Geschwindigkeiten fr Vorschub und Rcklauf bei gleichem Speisevolumenstrom. Eilvorlauf durch Verbinden beider Anschlsse mit der Zulaufleitung; aktive Flche ist dann der Stangenquerschnitt. Gleichgangzylinder mit beidseitiger Stangenausfhrung oder als Differentialzylinder mit Flchenverhltnis j=2 und stndiger Verbindung der beiden Zylinderanschlsse (siehe Eilvorlauf). Zylinderbauformen und Hauptmaße weitgehend standardisiert („Normzylinder“). Nach DIN-ISO 3320 Zylinderbohrungen 8 . . . 400 mm, gestuft gemß R 10, und Kolbenstangendurchmesser 4 . . . 360 mm (nach Reihe R 20, jeweils Rundwerte). Zuordnung der Werte fr Hydrozylinder gem. DIN-ISO 7181 so, dass das Flchenverhltnis j ¼ AK =AR ungefhr gleich ist den Vorzugsgrßen 1,06–1,12–1,25–1,4–1,6–2–2,5–5. Kolbenhub-Grundreihe nach DIN-ISO 4393, Nenndrcke nach DIN-ISO 3322, typisch bis 320 bar. Berechnung erfolgt nach den Grundformeln in 1.1.1, dabei ggf. hohen Rcklaufdruck beim schnellen Einziehen beachten. Wirkungsgrade: Differentialzylinder bei Vorlauf ht ¼ 0,9 . . . 0,95, bei Zug ht ¼ 0,85 . . . 0,9. Bei Hubendgeschwindigkeiten > 0,1 m/s Endlagendmpfung vorsehen. Wegen der verschieden großen Arbeitsvolumenstrme auf Kolbenboden- und Stangenseite erfordert der Einsatz von Differentialzylindern im geschlossenen Kreislauf große Fllpumpe und besonderes Aussplventil; Anwendung von Gleichgangzylindern bietet sich an. Einbaurichtlinien: Zylinder nicht als tragende Konstruktion benutzen, von Biegemomenten und Querkrften freihalten (Gelenkanschlsse an Boden und Stangenkopf). Last auf krzestem Wege funktionsgerecht absttzen, Dehnung ermglichen, Durchbiegung bei langen Zylindern.
2.3 Hydroventile Ventile sind in den Leistungsfluss zwischen Pumpen und Motoren eingefgte Stellorgane mit unstetiger (Schaltventile) oder stetiger (Stellventile) Wirkungsweise. Einteilung s. Tab. 2. 2.3.1 Wegeventile
Bild 8. Schrgachsenmotor mit großem Schwenkbereich (Parker, V12). 1 Endgehuse, 2 Servoventil, 3 Servokolben, 4 Ventil-/Steuersegment, 5 Zylinderblock, 6 sphrischer Kolben mit laminiertem Kolbenring, 7 Zylinderblockmitnahme, 8 Wellenlager, 9 Lagergehuse, 10 Antriebswelle
Bezeichnung fr Ventile, die durch von außen eingeleitete Stellbewegungen Verbindungen zwischen den Anschlssen herstellen und dadurch Lauf und Fließrichtung des lstroms bestimmen. Sie haben in der Mehrzahl eine Schaltfunktion (Auf–Zu), doch ist auch eine stetige Stellfunktion (Drosselwirkung) mglich, d. h. Beeinflussung der Stromstrke. We-
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Hydroventile
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Bild 9. a Langsamlaufender Radialkolbenmotor in 2-Stufen-Ausfhrung als Radnabenmotor (Sauer-Danfoss, Baureihe 60); b Schaltbild
Bild 10. Differentialzylinder (Montanhydraulik)
Tabelle 2. Funktion, Arbeitsweise und Bauformen von Hydroventilen
gen des damit verbundenen Verlusts ist diese Funktion nur fr kleine Leistung anwendbar (vgl. Proportionalventil). Bezeichnung der Ventile nach Anzahl der geschalteten Anschlsse (Wege) und Anzahl der Schaltstellungen (z. B. 4 Anschlsse, 3 Schaltpositionen: 4/3-Wegeventil). Bezeichnung der Anschlsse: P Druckanschluss; T Ablaufanschluss; A, B Arbeitsanschlsse; X, Y Steueranschlsse.
Sitzventile sind unempfindlich gegen Medium und Verschmutzung, daher funktionssicher und fr hohen Druck geeignet. Nachteilig sind begrenzte Funktion und hohe Bettigungskrfte. Bei direktbettigten Ventilen Schließfunktion durch Druckbelastung der Dichtelemente, ffnen mit Schaltmitteln. Dabei Beschrnkung auf Anschluss-DN 2 fmax [1]. Dies ist insbesondere dann erforderlich, wenn außer zeitdiskreten Amplitudenwerten auch das Signalfrequenzspektrum zur Verfgung stehen soll. In diesem Fall bietet sich zur Entlastung des Mikrocomputers der Einsatz eines DSP zur Durchfhrung der FFT an. Allerdings erhlt man selbst bei Nutzung schneller DSPs infolge der begrenzten Datenmenge und der endlichen Signallnge nur eine Approximation des Signalspektrums. Dies lßt sich durch Signalmodelle und den Einsatz von Formfiltern verbessern [2]. Bussysteme. Infolge der dezentralen Anordnung von Mikrocontrollern und Mikrorechnern sowie der Zunahme des digitalen Signalaustauschs im Echtzeitbetrieb, wurde es notwendig, die Form des Datenverkehrs echtzeittauglich zu strukturieren. Hierfr wurden Bussysteme geschaffen, die einerseits als standardisierte Schnittstelle fr die einzelnen Bauteile eines mechatronischen Systems dienen, andererseits aber auch anstatt der sternfrmigen Vielfachverdrahtung von Sensoren und Aktoren an einer Zentraleinheit, die Mehrfachnutzung von Leitungen ermglichen. Im Bereich der prozeßnahen Meß- und Regelungstechnik haben sich eine Reihe von Feldbussystemen etabliert, die teilweise genormt sind. Hierzu gehren: PROFIBUS und INTERBUS-S [6] sowie CAN-Bus [14], die serielle bertragungstechniken nutzen, d. h. die Binrzeichen zur Informationsbertragung erscheinen zeitlich nacheinander. Hierbei lassen sich preisgnstige Zweidrahtleitungen einsetzen, die aus Grnden der Strsicherheit verdrillt sind (twisted-pair). CAN (Controller Area Network) wurde von Bosch zunchst fr die Vernetzung von Bauteilen in Kraftfahrzeugen entwikkelt. CAN-Netze haben jedoch aufgrund hoher bertragungsraten und guter Strsicherheit inzwischen eine weite Verbreitung gefunden. Bild 8 zeigt den prinzipiellen Aufbau eines CAN-Netzes. Am Knoten 1 werden Sensorsignale ber Mi-
Bild 8. Schematischer Aufbau eines CAN-Netzes
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Mechatronische Systeme – 2 Elektronische Bauelemente
kroprozessoren verarbeitet und zur Prozeßregelung lokal fr die Aktorbettigung eingesetzt (z. B. Durchflußregelung). Am Knoten 2 wird z. B. eine Temperatur gemessen und ber Relais nach Bedarf Heizleistung geschaltet. Die Teilprozesse kommunizieren miteinander und mit einem bergeordneten Zentralrechner, der zur zentralen Steuerung und berwachung dient. Als Verbindung dienen Twisted-pair Kabel, die jeweils an den Enden durch Widerstandsnetzwerke zur Reflexionsminderung terminiert sind. Infolge der Mehrfachnutzung der Leitung darf whrend einer bertragung nur ein einziger Sender wirksam sein, um Kollisionen zu vermeiden. Beim CAN-Bus prft ein sendewilliger Teilnehmer zunchst nach, ob die gemeinsame Busleitung frei ist (carrier sense). Dabei ist jede Station gleichberechtigt.
Wenn die Busleitung frei ist, darf jede Station spontan zugreifen (multiple access). Das beim CAN-Bus genutzte CSMA/ CA (carrier sense multiple access collision avoid) Medienzugangsverfahren beruht darauf, daß fr alle Teilnehmer eine Vereinbarung besteht, welcher logische Pegel (Bit) als „dominant“ gilt. Sendet Station 1 eine Bitfolge, so berprft eine andere sendewillige Station 2 den Identifierteil am Kopf der Nachricht bitweise, ob ihre Bitfolge durch dominante Bits berschrieben ist. Falls dies eintrifft, bricht Station 2 die bertragung ab und schaltet auf „zuhren“. Die Busvergabe wird also durch die Teilnehmer direkt geregelt. CAN Bausteine knnen bis zu 1 Mbit/s bertragen, identifizieren anhand Prfsummen fehlerhafte Nachrichten und veranlassen die Wiederholung dieser Nachrichten.
2 Elektronische Bauelemente
blematisch ist die Integration von Induktivitten, großen Kapazitten und Leistungsbauelementen.
H.-J. Gevatter y, Heidelberg, und U. Grnhaupt, Karlsruhe 2.1.2 Widerstnde
2.1 Passive Komponenten
Grundlagen
2.1.1 Aufbau elektronischer Schaltungen
Ein elektrischer Widerstand R stellt ein bestimmtes Verhltnis zwischen elektrischer Spannung U, die am Widerstand anliegt, und elektrischem Strom I, der durch diesen Widerstand hindurchfließt, her. Es gilt (im Idealfall) das Ohmsche Gesetz (s. V 1): I ¼ U=R: Es gilt unabhngig davon, ob der Widerstand mit einer Spannungsquelle (U als Ursache, I als Wirkung) oder mit einer Stromquelle (I als Ursache, U als Wirkung) betrieben wird. Im letzteren Fall wird auch der elektrische Leitwert G (reziproker Widerstand) verwendet: U ¼ I=G. Falls zur Abgrenzung gegenber komplexen Widerstnden erforderlich, spricht man vom Wirkwiderstand bzw. vom Wirkleitwert.
Um elektronische Bauelemente mechanisch fixieren und elektrisch miteinander verbinden zu knnen, sind folgende Techniken gebruchlich: Leiterplatten: Sie bestehen aus flexiblen oder starren Isolierstoffen wie z. B. Polyimid oder Epoxidharz, auf oder in denen mit feinen Leiterbahnen in mehreren Lagen elektrische Verbindungen realisiert werden knnen, Bild 1. Leiterplatten werden bevorzugt mit oberflchenmontierbaren Bauelementen (engl.: Surface Mounted Devices, abgek.: SMD) automatisch bestckt. Verglichen mit bedrahteten Bauelementen haben SMD-Bauteile sehr kleine Abmessungen und bentigen keine vorgebohrten Montagelcher [1, 2]. Dickschicht- und Dnnschicht-Technologie Auf keramischem Trgermaterial wie Aluminiumoxid (Al2 O3 ) werden im Siebdruckverfahren (Dickschicht) oder durch Aufdampfen (Dnnschicht) Schichten aufgebracht und damit passive Bauelemente oder leitende Verbindungen hergestellt. Integrierte Schaltungen Auf Siliziumwafern lassen sich hoch integrierte (> 106 Bauelemente/cm2 ) monolithische analoge und digitale Schaltungen realisieren. Von Nutzen ist, dass benachbarte Bauelemente weitestgehend bereinstimmende Parameter besitzen. Pro-
Widerstandswert. Er ist eine Funktion der Geometrie und des Materials. Im Falle eines Widerstandsdrahts mit der Lnge l, dem Querschnitt A und dem spezifischen Widerstand r des Drahtmaterials gilt: R ¼ ðr lÞ=A. Flchenwiderstand. Er ist der Widerstand einer quadratischen Scheibe mit der Kantenlnge a und der Dicke x. Dann gilt (Stromfluss parallel zur Flche): Rh ¼ r=x, wobei x ¼ 25 mm ein typischer Wert ist. Widerstandswerkstoffe [1] werden nach dem jeweiligen Anwendungszweck ausgewhlt. Die Auswahlkriterien sind insbesondere spezifischer Widerstand: klein/groß, Temperaturabhngigkeit: klein/groß. Es werden vorzugsweise Schichtwiderstnde aus Kupfer/Mangan-, Chrom/Nickel-, Gold/ Chrom- sowie Silberlegierungen eingesetzt. Temperaturabhngigkeit. Die Temperaturabhngigkeit eines Widerstands spiegelt sich in seinem Temperaturkoeffizienten a wider, der definiert ist als Widerstandsnderung (R1 R0 )/R0 pro Temperaturdifferenz T1 T0 . R1 entspricht dem Widerstand bei der Temperatur T1 und R0 dem Widerstand bei der Temperatur T0 . Es gilt: R1 ¼ R0 ½1 þ aðT1 T0 Þ: Spezielle Kupfer/Manganlegierungen (u. a. Manganin, Konstantan) haben einen sehr kleinen Temperaturkoeffizienten.
Bild 1. Mehrebenen (Multilayer)-Leiterplatte mit Durchkontaktierung [1]
Heißleiter haben eine sehr ausgeprgte, jedoch nichtlineare, negative Temperatur-Widerstands-Kurve (NTC) [1]. Sie werden nach einem speziellen Sinterverfahren aus polykristalliner Mischoxidkeramik hergestellt. Der negative Temperaturkoeffizient liegt im Bereich von 3 bis 6%/K. Nherungsweise
I2.1 gilt (B Materialkonstante in Kelvin, R Widerstand bei der Temperatur T, RN Nennwiderstand bei Nenntemperatur TN ): 1 1 R ¼ RN exp B : T TN Typische Werte fr B sind 2 000 bis 5 000 K. Kaltleiter haben in einem bestimmten Temperaturbereich eine ausgeprgte, sehr nichtlineare positive Temperatur-Widerstands-Kurve (PTC) [1]. Der Widerstandsanstieg betrgt mehrere Zehnerpotenzen. Maßgebend ist die Bezugstemperatur Jb , bei der der steile Widerstandsanstieg beginnt. Typische Werte fr Jb liegen im Bereich von 30 bis +220 C. PTCWiderstnde werden durch Pressen und Sintern aus speziellen Metalloxiden hergestellt. Festwiderstnde Festwiderstnde werden meistens in Rohrform mit Drahtwicklung (Drahtwiderstand) oder Beschichtung (Kohleschicht, Metallschicht) hergestellt. Sie werden mittels Kappen und Drahtenden kontaktiert. Zunehmend an Bedeutung gewonnen haben SMD-Bauformen (surface mounted device) und Widerstandsnetzwerke. Abstufung, Toleranzen. Die Nennwerte einer Widerstandsbaureihe werden in E-Reihen [1] geometrisch gestuft. Die feinste Abstufung erfolgt nach E 24 (Stufenfaktor p ffiffiffiffiffi 24 10 ¼ 1;1). Weitere Reihen sind E 12 und E 6. Die festgelegten Toleranzen (Abweichungen vom Nennwert) einzelner Exemplare betragen je nach E-Reihe 0;1 bis 30%. Konstanz des Widerstandswerts. Er kann sich in Folge von Alterung, Temperatur- und Klimaeinflssen ndern. Przisionswiderstnde erfllen besonders hohe Anforderungen an Langzeit- und Temperaturkonstanz. Frequenzabhngigkeit. Bei Betrieb mit hohen Frequenzen sind die parasitren induktiven und kapazitiven Blindwiderstandskomponenten zu beachten. Hier haben SMD-Bauformen Vorteile. Grenzwerte. Die elektrischen Grenzwerte eines Widerstands sind durch seine hchstzulssige Betriebstemperatur bestimmt. Typische Nennleistungen fr Anwendungen in der Informationselektronik liegen im Bereich von 0,25 bis 20 W. Einstellbare Widerstnde Einstellbare Widerstnde werden als Trimmer fr Abgleichund Einstellzwecke mit geringer Verstellhufigkeit verwendet (Belastbarkeit max. 1 bis 2 W). Drehwiderstnde (Potentiometer) sind fr hufige Verstellungen vorgesehen und knnen fr hhere Nennlast ausgelegt werden. Bei Schiebewiderstnden erfolgt die Widerstandsvernderung durch eine Linearbewegung des Schleifers. Die Funktion Widerstandsnderung/ Einstellbewegung ist i. allg. linear, sie kann in Sonderfllen auch eine nichtlineare, z. B. eine logarithmische Funktion darstellen. Przisions-Potentiometer werden auch als Messumformer fr das elektrische Messen von Dreh- und Linearbewegungen verwendet.
2.1.3 Kapazitten Grundlagen Ein Kondensator mit der Kapazitt C speichert eine elektrische Ladung Q, deren Grße proportional zur anliegenden Spannung U ist: Q=CU. Bestimmende Grßen fr die Kapazitt eines Kondensators sind seine Geometrie und das Material seines Dielektrikums mit er relative Dielektrizittskonstante, e0 absolute Dielektrizittskonstante des Vakuums (Anh. V 1 Tab. 1 und Tab. 2). Die hufigste Bauform ist der Plattenkondensator, dessen Ka-
Passive Komponenten
I7
pazitt mit der Plattenflche A und dem Plattenabstand d, C=e0 er (A/d) betrgt (V 1.2.3). Verluste. Ein idealer Kondensator hat keine Wirkverluste. Ein mit Verlusten behafteter Kondensator kann ersatzweise durch einen idealen Kondensator mit einem in Reihe oder parallel geschalteten ohmschen Widerstand dargestellt werden. Die Verluste werden durch den Verlustwinkel d beschrieben. Temperatureinfluss. Luftkondensatoren ðer ¼ 1Þ haben eine hohe Temperaturkonstanz. Feststoff-Dielektrika haben eine hohe relative Dielektrizittskonstante, jedoch in Verbindung mit nicht mehr zu vernachlssigenden Temperaturkoeffizienten im Bereich von 20 106 bis 750 106 K1 . Parasitre Kapazitten. In Schaltungen der Hochfrequenzund Computertechnik mssen parasitre Kapazitten, die z. B. zwischen zwei benachbarten Leitungen auftreten, in Betracht gezogen werden. Festkondensatoren Es existieren zahlreiche Bauformen: Keramikkondensatoren mit einer keramischen Masse als Dielektrikum, Wickelkondensatoren mit einem Wickel aus metallisierter Isolierfolie sowie Elektrolytkondensatoren mit großer Kapazitt bei kleinem Volumen mit einem elektrochemisch erzeugten Dielektrikum. Elektrolytkondensatoren sind gepolt, sie drfen nur mit einer Spannung vorgeschriebener Polaritt betrieben werden. Typische Bauformen sind selbstheilende Metall/Papier(MP-) und Metall/Kunststoff-(MKV-)Kondensatoren [1]. Einstellbare Kondensatoren Wie bei den variablen Widerstnden unterscheidet man auch bei den Kondensatoren zwischen Trimmern und Kondensatoren fr hufige Verstellung. Der technische Aufbau von Trimmern leitet sich meist vom Platten- oder Rohrkondensator ab. Drehkondensatoren in Form des drehwinkelabhngigen Mehrfach-Plattenkondensators sind fr hufige Verstellungen ausgelegt. Die Verstellfunktion kann in Abhngigkeit vom Plattenschnitt linear oder nichtlinear (z. B. logarithmisch) sein. 2.1.4 Induktivitten Grundlagen Eine Spule mit der Induktivitt L und der Windungszahl N speichert einen magnetischen Fluss N F, der proportional zu dem die Spule durchfließenden Strom I ist: N F ¼ L I. Bestimmende Grßen fr die Induktivitt einer Spule sind die Geometrie, die Windungszahl und das Kernmaterial der Spule mit mr relative Permeabilitt des Kernmaterials, m0 absolute Permeabilittskonstante (Anh. V 1 Tab. 1). Die Induktivitt einer mit ferromagnetischem Material (mr 1) gefllten Ringspule mit der Windungsflche A und der magnetischen Weglnge l ist (V 1.2.5) A L ¼ m0 mr N 2 : l Verluste. Wirkstromverluste entstehen durch den Widerstand der Wicklung. Bei Betrieb von Induktivitten mit ferromagnetischem Kernmaterial mit Wechselstrom kommen Wirbelstromverluste und Ummagnetisierungsverluste hinzu, die mit zunehmender Frequenz stark ansteigen. Eine mit Verlusten behaftete Induktivitt kann ersatzweise durch eine ideale Induktivitt mit einem in Reihe und parallel geschalteten ohmschen Widerstand dargestellt werden. Spulen mit fester Induktivitt Luftspulen, meistens als Zylinderspulen konfiguriert, werden vorzugsweise fr hohe Frequenzen verwendet. Sie haben rela-
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Mechatronische Systeme – 2 Elektronische Bauelemente
tiv kleine Induktivittswerte, aber weisen nur geringe Wirkverluste auf. Zur Erhhung der Induktivitt werden die Spulen mit ferromagnetischem Kern ausgefhrt. Die Kerne werden zur Reduzierung der Kernverluste aus dnnen Blechschnitten (UI-Schnitt, M-Schnitt, EI-Schnitt) oder aus Ferrit-Schalenkernen hergestellt. Zur Verbesserung der Langzeitkonstanz der Induktivitt wird ein kleiner definierter Luftspalt eingestellt [1]. Spulen mit einstellbarer Induktivitt Einstellbare Induktivitten werden vorzugsweise zum Abgleich als Trimmer eingesetzt. Sie bestehen aus einem Plastikrohr mit Innengewinde als Spulenkrper. In das Innengewinde wird ein Ferritkern hineingeschraubt. Mit zunehmender Schraubtiefe erhht sich die Induktivitt.
2.2 Dioden
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Dioden leiten den Strom bevorzugt in einer Richtung (Durchlassrichtung). Die Anschlsse der Diode werden mit Kathode K und Anode A bezeichnet. In entgegengesetzter Richtung (Sperrrichtung) kann nur ein sehr kleiner Sperrstrom fließen [3]. 2.2.1 Diodenkennlinien und Daten Die Kennlinie einer Diode ist durch den Sperrbereich und den Durchlassbereich gekennzeichnet, Bild 2. Die ideale Kennlinie folgt der aus der Halbleitertheorie abgeleiteten Funktion eUAK 1 I ¼ Is exp kT mit T absolute Temperatur, k Boltzmannkonstante, e Elementarladung, UAK Spannung an der Diode und IS Sperrsttigungsstrom.
2.2.2 Schottky-Dioden Schottky-Dioden bestehen aus einem Metall-Halbleiterkontakt. Der Durchlassbereich weist eine besonders niedrige Durchlassspannung UD (kleiner als 0,4 V) sowie eine kleine parasitre Kapazitt auf. Die bevorzugten Anwendungsgebiete sind Schutz- und Stromversorgungsschaltungen, bei denen die niedrige Durchlassspannung ausgenutzt wird und die Hochfrequenztechnik wegen der kleinen Sperrschichtkapazitt. 2.2.3 Kapazittsdioden Bei Kapazittsdioden nutzt man die nderung ihrer Sperrschichtkapazitt in Abhngigkeit der anliegenden Sperrspannung UAK und verwendet sie als spannungsgesteuerte, vernderbare Kondensatoren (Bild 3). Kapazittsdioden haben mechanische Drehkondensatoren weitestgehend abgelst. 2.2.4 Z-Dioden Beim berschreiten der maximalen Sperrspannung steigt der Sperrstrom lawinenartig an (Avalanche-Effekt, Zener-Effekt). Der scharfe Einsatz des Durchbruchs (Bild 4) wird zur Spannungsstabilisierung genutzt. Die stabilisierende Wirkung der Z-Diode wird dadurch erreicht, dass eine große Stromnderung DI nur eine relativ kleine Spannungsnderung DU verursacht. Maßgebend fr die Stabilisierungswirkung ist der differentielle Innenwiderstand rZ ¼ DU=DI. Typische Durchbruchsspannungswerte (Stabilisierungsspannung, Z-Spannung) liegen zwischen 3 und 200 V. Der Temperaturkoeffizient ist bei Z-Spannungen unter 5,7 V (Zener-Effekt) negativ, bei Spannungen ber 5,7 V (Avalanche-Effekt) positiv: Typische Werte 0;1%=K. Noch stabilere Referenzspannungen liefern Bandgap-Referenzelemente (Temperaturkoeffizient z. B. 5 ppm/K) [1].
Die Kennlinie in Durchlassrichtung, die nherungsweise dieser Funktion folgt, ist durch die Kenndaten UD (0,2 bis 0,4 V bei Germaniumdioden, 0,5 bis 0,8 V bei Siliziumdioden) bei ID ¼ 0;1 Imax und den maximal zulssigen Durchlassstrom Imax gekennzeichnet. Der Sperrbereich ist durch den Sperrsttigungsstrom Is (typische Werte bei Raumtemperatur sind 100 nA bei Germaniumdioden und 10 pA bei Siliziumdioden) und die maximal zulssige Sperrspannung USperr max gekennzeichnet. Temperaturabhngigkeit. Die Kenndaten sind temperaturabhngig. UD ndert sich nherungsweise um 2 mV/K. Is verdoppelt sich bei 10 K Temperaturerhhung. Die Sperrschichtkapazitt beeinflusst das dynamische Verhalten einer Diode. Die Sperrschichtkapazitt entsteht durch Querschnitt und Weite der Raumladungszone des pn-bergangs. Sie steigt mit abnehmender Sperrspannung an.
Bild 2. Schaltsymbol und Kennlinie einer Diode [4]
Bild 3. Kennlinien verschiedener Kapazittsdioden [4]
Bild 4. Schaltsymbol und Kennlinie einer Z-Diode [4]
I2.3
Transistoren
I9
2.2.5 Leistungsdioden Dioden fr die Leistungselektronik haben prinzipiell die gleiche Kennlinie wie vorher beschrieben. Sie sind jedoch fr hhere Durchlassstrme (ab ca. 1 bis zu einigen 1 000 A) und hhere Spannungen (bis ca. 5 000 V) ausgelegt. Durch entsprechende konstruktive Gestaltung der Gehuse (Flachbodengehuse, Scheibengehuse) ist fr eine gute Ableitung der Verlustwrme, meistens in Verbindung mit Khlkrpern, gesorgt.
2.3 Transistoren Der Transistor ist eine dreipolige Halbleiterkomponente mit der Fhigkeit, ein elektrisches Signal zu verstrken. Man unterscheidet bipolare und unipolare Transistorkonfigurationen sowie Transistoren fr Informations- und Leistungselektronik. Gemeinsames Merkmal aller Transistorkonfigurationen: Die Steuerelektrode muss (im Gegensatz zu den Thyristoren) stndig angesteuert werden, um den beabsichtigten Aussteuerungszustand aufrechtzuerhalten [1–5].
Bild 6. Polung eines npn-Transistors [4]
Stromverstrkung. Die Stromverstrkung des Bipolartransistors ist gegeben durch das Verhltnis von Kollektorstrom IC zu Basisstrom IB . Dabei durchfließt der Basisstrom, der Eingangssteuerstrom, die Basis/Emitter-Diode in Durchlassrichtung, whrend der Kollektorstrom als Ausgangsstrom die Kollektor/Basis-Diode in Sperrrichtung durchfließt. Differentielle Stromverstrkung und Steilheit. Die Kleinsignalverstrkung im Arbeitspunkt ist gegeben durch die differentielle Stromverstrkung b bzw. die Steilheit S: ¶IC ¶IC und S ¼ : b¼ ¶IB U CE ¼ const ¶UBE U CE ¼ const
2.3.1 Bipolartransistoren Einen Bipolartransistor kann man als zwei gegeneinander geschaltete Dioden (Bild 5) mit den drei Elektroden Basis B, Emitter E und Kollektor C betrachten. Die Verstrkerwirkung eines Transistors kommt jedoch erst durch seinen unsymmetrischen Aufbau – unterschiedliche Dotierungskonzentrationen und Schichtdicken der E-, B- und C-Zone – zustande. Die in der Schaltung auftretenden Spannungen und Strme am Beispiel eines npn-Transistors zeigt Bild 6. Bei einem pnp-Transistor kehren alle Spannungen und Strme ihr Vorzeichen um.
Transistorkennlinien. Die wesentlichen Transistoreigenschaften zeigen das IB =UBE - und das IC =UCE -Kennlinienfeld in Bild 7. Der Eingangsstromkreis ist durch einen niedrigen differentiellen Eingangswiderstand DUBE =DIB gekennzeichnet, whrend der Ausgangsstromkreis einen relativ hohen differentiellen Ausgangswiderstand DUCE =DIC aufweist. Grenzdaten, die in keinem Betriebszustand berschritten werden drfen, sind insbesondere die Emitter/Basis-Sperrspannung UEBO , die Kollektor/Basis-Sperrspannung UCBO , die Kollektor/Emitter-Sperrspannung UCEO , der maximale Kollektorstrom IC max und die maximale Verlustleistung Pv max , die von der im Transistor in Wrme umgesetzten Leistung Pv ¼ UCE IC þ UBE IB nicht berschritten werden darf. Die Verlustleistung, bei der die maximal zulssige Temperatur Jj der Sperrschicht erreicht wird, ist PJj . Die Sperrschichttemperatur hngt von der Umgebungstemperatur JA , dem gesamten Wrmewiderstand RthJA zwischen Sperrschicht und Umgebung sowie der als Wrme abzufhrenden Verlustleistung Pv ab. Es muss immer gewhrleistet sein: Pv PJj ¼ ðJj JA Þ=RthJA :
Bild 5. a npn-Transistor; b pnp-Transistor mit Dioden-Ersatzschaltbild [4]
Bild 7. IB =UBE - und IC =UCE -Kennlinienfeld [4]
Bei Kollektor/Emitter-Spannungen in der Nhe von UCEO kann dieser Grenzwert nicht voll genutzt werden. Tatschlich zulssiger Arbeitsbereich (SOA, Safe Operating Area): Bild 8.
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I 10
Mechatronische Systeme – 2 Elektronische Bauelemente
geffnetem Zustand (Aus-Zeitdauer TA ) verglichen werden. Der whrend TA fließende Kollektor-Reststrom IC min kann vernachlssigt werden. Der Mittelwert der Leistung in RL bei periodischem Schaltbetrieb betrgt PA ¼
TE ðUC UCE sat ÞIC1 : TE þ TA
Die Verlustleistung im Transistor betrgt nherungsweise nur Pv ¼
TE UCE sat IC1 : TE þ TA
2.3.2 Feldeffekttransistoren
Bild 8. Zulssiger Arbeitsbereich eines Transistors [4]
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Gehuse. Mit zunehmender maximaler Verlustleistung muss das Gehuse fr eine ausreichende Wrmeabfuhr ausgelegt sein. Diese Gehuse werden auf Khlkrper geschraubt, um die Wrmeableitung an die Umgebung zu verbessern. Leistungstransistoren. Leistungstransistoren sind fr hohe Verlustleistungen (bis zu einigen 100 W) ausgelegt, jedoch geht das zu Lasten der Stromverstrkung, die bei hohen Kollektorstrmen auf Werte bis ca. 10 absinkt. Darlington-Schaltung. Um die Stromverstrkung, z. B. eines Leistungstransistors zu verbessern, wird diesem ein weiterer Transistor vorgeschaltet und in einer sog. Darlington-Schaltung in einem Gehuse zusammengefasst. Die DarlingtonSchaltung kann als ein Transistor mit den Anschlssen E0 , B0 und C0 aufgefasst werden, Bild 9. Die Parallelschaltung eines Widerstands dient dazu, den Transistor T2 schneller sperren zu knnen. Die Gesamtstromverstrkung entspricht dem Produkt der Stromverstrkungen von T1 und T2 . Linearbetrieb. Schaltungen fr Kleinsignalverstrkungen werden linear betrieben. Das heißt, jeder differentiellen nderung des Eingangssignals, die dem Arbeitspunkt berlagert wird, folgt das Ausgangssignal verstrkt und linear. Der Arbeitspunkt eines linear betriebenen Transistors liegt auf der durch RL festgelegten Arbeitsgeraden etwa bei UCE ¼ UC =2, Bild 10; dort, wo der Kollektorstrom IC nur wenig von UCE abhngt. Wird eine hohe Ausgangsleistung im Linearbetrieb gefordert, ist zu beachten, dass die linear ausgesteuerte Ausgangsleistung nherungsweise gleich groß wie die dabei auftretende Verlustleistung im Transistor ist. Daher ist der Linearbetrieb nur fr kleine Ausgangsleistungen geeignet.
Feldeffekttransistoren (FET) sind Halbleiter, deren Verstrkungsfunktion auf der Wirkung eines elektrischen Felds beruht. Eine zwischen Steuerelektrode (Gate G) und Source S angelegte positive Spannung UGS beeinflusst den Widerstand des Inversionskanals zwischen Drain D und Source S. Jedoch fließt nur ein Gateleckstrom (1 pA bis 1 nA), da das Gate vom Inversionskanal der Lnge L durch eine sehr dnne, nicht leitende Schicht aus SiO2 getrennt ist, wovon die Bezeichnung MOSFET (Metal Oxide Semiconductor) abgeleitet ist. In Bild 11 handelt es sich um einen selbstsperrenden nKanal MOSFET, den am hufigsten eingesetzten Typ, der auch als Enhancement-MOSFET (Anreicherungstyp) bezeichnet wird. Ohne Gatespannung ist er stromlos aufgrund der 2 gegeneinander geschalteten pn-bergnge zwischen Source und Drain. Erst mit einer Gatespannung UGS > UTh (Bild 12 a) bildet sich ein n-leitender Kanal aus [2, 4]. Ist UDS < UDsat , so verhlt sich der MOSFET wie ein nichtlinearer Widerstand und im Sttigungsbereich des Drainstroms fr UDS > UDsat annhernd wie eine von UGS gesteuerte Stromquelle. Neben den selbstsperrenden MOSFETs gibt es auch selbstleitende FETs, den Depletion-MOSFET (Verarmungstyp) und den JFET (Sperrschicht-FET) [1], die bereits ohne anliegende Gatespannung UGS einen leitenden Kanal besitzen.
Schaltbetrieb. Eine wesentlich hhere Ausgangsleistung mit ein und demselben Transistor ist mglich, wenn man unter Verzicht auf Verzerrungsfreiheit und Linearitt zum Schaltbetrieb bergeht, Bild 10. Der Transistor kann mit einem Schalter im geschlossenen Zustand (Ein-Zeitdauer TE ) und
Bild 9. Darlington-Schaltung und Schaltsymbol [4]
Bild 10 a, b. Transistor im Schaltbetrieb. a Schaltung; S in Stellung 1 EIN, S in Stellung 2 AUS; b Arbeitspunkte EIN und AUS [5]
I2.4
Thyristoren
I 11
Bild 11 . Aufbau eines n-Kanal Enhancement-MOSFET [2]
CMOS-Schaltungstechnik. Die komplementren Eigenschaften von n- und p-Kanal-MOSFETs werden in der CMOS-Schaltungstechnik (Complementary MOS) zum Aufbau von Logikschaltungen genutzt. Bild 13 zeigt das einfache Beispiel eines CMOS-Inverters. Nur whrend der Schaltphase fließt kurzzeitig Strom, im statischen Zustand dagegen nicht, Bild 14. Daraus resultiert eine geringe Verlustleistung, die den Aufbau sehr hoch integrierter Schaltkreise (IC) ermglicht. Leistungs-MOS-Fets. Whrend bei den FETs in integrierten Schaltungen die DS-Kanle in lateraler Richtung liegen (Bild 11), werden Leistungs-MOS-Fets mit vielen tausend parallel geschalteten vertikal angeordneten DS-Kanlen ausgefhrt, wodurch sich Drainstrme ber 200 A erzielen lassen. Leistungs-MOS-Fets zeichnen sich im Vergleich zu Bipolartransistoren durch kurze Schaltzeiten, reine Spannungssteuerung und den nicht auftretenden Durchbruch zweiter Art (Bild 8) aus.
Bild 13. CMOS-Inverterschaltung
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Bild 14. bertragungskennlinie eines CMOS-Gatters bei 5 V Betriebsspannung [4]. Schraffiert: Toleranzgrenzen. Gestrichelt: Stromaufnahme
2.3.3 IGB-Transistoren Der IGBT (Insulated Gate Bipolar Transistor) gehrt zu der Gruppe der abschaltbaren Leistungshalbleiter und vereinigt die niedrigen Durchlassverluste eines bipolaren Transistors mit der hohen Eingangsimpedanz eines MOS-Fet. Damit findet der IGBT sein bevorzugtes Anwendungsgebiet in der elektronischen Antriebstechnik. Der IGBT besteht ebenso wie der MOS-Fet aus vielen einzelnen parallel geschalteten Zellen. Das Ersatzschaltbild (Bild 15) zeigt die Darlington-Schaltung eines MOS-Fet und eines bipolaren Transistors. Betrgt die Steuerspannung zwischen G und E Null, fließt kein Strom. Bei einer ausreichend hohen positiven Spannung zwischen G und E beginnt im MOS-Fet ein Strom zu fließen (n-Kanal-Enhancement-MOSFet), der als Basisstrom fr den pnp-Transistor dient und diesen in den Durchlasszustand steuert. Somit hat der IGBT die Steuerkennlinien eines MOS-Fet und das Ausgangskennlinienfeld eines bipolaren Transistors, Bild 16.
2.4 Thyristoren Unter diesem Oberbegriff wird heute eine ganze Familie von schaltenden Halbleiter-Leistungsbauelementen zusammengefasst, die in vielen Bereichen der Leistungselektronik eingesetzt werden. Typisches Anwendungsgebiet ist die Steuerung elektrischer Antriebe in der Produktion und der Verkehrstechnik [7]. Die Nennstrme liegen in Bereichen von 1 bis ca. 2 000 A bei Nennspannungen bis zu ca. 5 000 V. Die einzelnen Thyristortypen unterscheiden sich nach Hhe der Betriebsfrequenz (Netzthyristoren, Frequenzthyristoren), Verhalten in Rckwrtsrichtung (rckwrts sperrende und rckwrts leitende Thyristoren) und der Abschaltbarkeit (abschaltbarer Thyristor, Gate-turn-off-Thyristor GTO). Am Anfang der Entwicklung stand der Netzthyristor, aus dem die anderen Thyristortypen hervorgegangen sind.
Bild 12 a, b. Steuerkennlinie (a) und Ausgangskennlinienfeld (b) eines n-Kanal Enhancement-MOSFET [2]
I 12
Mechatronische Systeme – 2 Elektronische Bauelemente
Bild 15. Schaltsymbol und Ersatzschaltbild fr einen n-Kanal-IGBT
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Bild 16. Typisches Ausgangskennlinienfeld eines IGBT
2.4.1 Thyristorkennlinien und Daten Wirkungsweise. Der Thyristor ist ein steuerbarer Leistungshalbleiter mit einer Vierschichtanordnung, d. h. es sind drei pn-bergnge vorhanden, Bild 17. In Sperrrichtung verhlt sich ein Thyristor wie eine Diode. In Vorwrtsrichtung gibt es zwei stabile Zustnde. Der mittlere pn-bergang sperrt, somit fließt praktisch kein Strom in Vorwrtsrichtung. Erst wenn
Bild 18. Prinzipkennlinie und charakteristische Kennwerte eines Thyristors
Bild 17. a Vierschichtanordnung des Thyristors, A Anode, K Kathode, G Zndelektrode (Gate); b Dioden-Ersatzschaltbild; c Schaltsymbol
ein Zndstrom von der Steuerelektrode G zur Kathode K fließt, wird der mittlere pn-bergang mit Ladungstrgern berschwemmt und der Thyristor wird in Vorwrtsrichtung leitend. Somit verhlt er sich wie eine Diode in Durchlassrichtung. Wesentlich ist, dass nach Abschalten des Zndstroms der in Vorwrtsrichtung leitende Zustand selbstttig aufrechterhalten bleibt. Thyristorkennlinie und die wesentlichen Kennwerte: Bild 18. Bezglich des Betriebs in Sperrrichtung und Durchlassrichtung im vorwrtsleitenden Zustand sowie bezglich der thermischen Verhltnisse gelten die gleichen Kennwerte wie bei der Diode. Weitere wesentliche Kennwerte [5–8] sind: Vorwrtssperrspannung UD ist die Spannung zwischen den Hauptanschlssen des Thyristors in Vorwrtsrichtung im Sperrzustand. Rckwrtssperrspannung UR ist die Spannung zwischen den Hauptanschlssen eines Thyristors in Rckwrtsrichtung. Spitzensperrspannung ist der hchste zulssige Augenblickswert der Spannung in Vorwrtsrichtung ðUDRM Þ im gesperrten Zustand bzw. in Rckwrtsrichtung ðURRM Þ.
I2.5
Operationsverstrker
I 13
Rckwrtssperrstrom IR ist der in Rckwrtsrichtung fließende Sperrstrom (im Datenblatt wird i. allg. der obere Streuwert angegeben).
digkeit lste die Entwicklung der abschaltbaren Thyristoren aus.
Vorwrtssperrstrom ID ist der in Vorwrtsrichtung im gesperrten Zustand ber die Hauptanschlsse fließende Strom.
2.4.3 Triacs, Diacs
Haltestrom IH ist der unterste Wert des Durchlassstroms, bei dem der Thyristor noch im Durchlasszustand bleibt. Oberer Zndstrom IGT ist der grßte Streuwert des Zndstroms, bei dem auch sicheres Znden gewhrleistet ist. Obere Zndspannung UGT ist der grßte Streuwert der Zndspannung. Kritische Spannungssteilheit SUkrit ist der hchstzulssige Wert der Sperrspannungsanstiegsgeschwindigkeit in Vorwrtsrichtung, bei der der Thyristor ohne Zndstrom noch nicht in den Durchlasszustand umschaltet. („ber-Kopf-znden“). Bei berschreiten von SUkrit wird der so gezndete Thyristor zerstrt. Kritische Stromsteilheit SIkrit ist der hchstzulssige Wert der Stromanstiegsgeschwindigkeit beim Durchschalten, den der Thyristor noch ohne Schaden vertrgt. Freiwerdezeit tq ist die Mindestzeitdauer, die der Thyristor bentigt, um nach dem Nulldurchgang des abkommutierenden Durchlassstroms die Sperrfhigkeit in Vorwrtsrichtung wiederzuerlangen. Frequenzthyristoren haben eine im Vergleich zu Netzthyristoren krzere Freiwerdezeit und knnen deshalb mit hheren Frequenzen betrieben werden. 2.4.2 Steuerung des Thyristors Der Thyristor wird bei Betrieb in Vorwrtsrichtung durch den Zndstrom IGT vom Sperrzustand in den Durchlasszustand geschaltet. Der Durchlasszustand bleibt nach Abschalten des Zndstroms selbstttig erhalten und kann ber die Steuerelektrode nicht mehr beeinflusst werden. Erst wenn der Durchlassstrom unter den Wert IH sinkt, erlischt der Thyristor und gewinnt seine Vorwrtssperrfhigkeit zurck. Prinzipschaltung des Thyristorsteuerkreises: Bild 19. Bei Speisung des Thyristors aus dem Netz geht die Speisespannung periodisch durch Null, so dass der Thyristor periodisch erlischt und damit wieder neu gezndet werden kann. Mit Hilfe der Verschiebung des Zndwinkels a kann der Wert des periodisch an der Last liegenden Stromzeitintegrals (schraffierte Flche in Bild 20) gesteuert werden. Bei Speisung aus einer Gleichspannungsquelle muss durch zustzliche Schaltungsmaßnahmen im Hauptstromkreis dafr gesorgt werden, dass der Durchlassstrom kurzfristig unter IH gedrckt werden kann, z. B. mit Hilfe eines zustzlichen Lschthyristors und eines Lschkondensators. Diese Notwen-
Bild 19. Prinzipschaltbild des Steuerkreises eines Thyristors
Triacs Der Triac ist eine weiterentwickelte Form innerhalb der Thyristorfamilie. Er besteht aus zwei antiparallel arbeitenden Thyristoren, die in einem einzigen Chip integriert sind. Es wird nur eine Steuerelektrode bentigt, die in beiden Richtungen den Triac zndet. Auch der Zndstrom kann ein Wechselstrom sein. Damit ist der Triac eine bevorzugte Komponente fr die Steuerung von Wechselspannungen. 2.4.4 Abschaltbare Thyristoren Beim Einsatz von konventionellen Thyristoren in Schaltkreisen, die aus einem Gleichstromzwischenkreis oder einer Gleichspannungsquelle, z. B. einer Batterie, gespeist werden, sind relativ aufwendige zustzliche Schaltelemente erforderlich, um den gezndeten Thyristor wieder lschen zu knnen. Dieser anwendungstechnische Nachteil fhrte zur Entwicklung von Thyristoren, die man mittels eines Steuerstroms durch die Steuerelektrode lschen kann (Gate-Turn-Off-Thyristor, GTO). Die Herstellung solcher GTO wurde mglich, nachdem man gelernt hatte, die dafr erforderliche aufwendige Diffusionstechnologie zu beherrschen. Schaltzeichen und Kennlinie eines GTO: Bild 21. Fr den Vorwrtsbereich gelten alle Merkmale eines Thyristors. Der Rckwrtsbereich kann symmetrisch (rckwrtssperrend) oder asymmetrisch (rckwrtsleitend) ausgelegt werden. Im asymmetrischen Fall ergeben sich optimale Thyristorkennwerte. Die Abschaltung des GTO erfolgt mittels eines Rckwrts-Steuerstroms durch die Steuerelektrode, der in der Grßenordnung des Durchlassnennstroms liegt. Wegen des komplizierten Innenlebens des GTO muss der Steuerstromschaltkreis sorgfltig dimensioniert werden. Ein Vergleich der Grenzdaten verschiedener Leistungshalbleiter findet sich in (V 4.1.3).
2.5 Operationsverstrker Operationsverstrker wurden ursprnglich zur Durchfhrung mathematischer Operationen in Analogrechnern eingesetzt, woher auch ihre Bezeichnung stammt. Heute sind sie die wichtigste Gruppe innerhalb der analogen integrierten Schaltkreise [1, 2]. Sie zeichnen sich dadurch aus, dass ihre Wirkungsweise einfach durch die ußere Beschaltung festgelegt
Bild 20. Ansteuerung eines Thyristors durch Verschieben des Zndwinkels
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Mechatronische Systeme – 2 Elektronische Bauelemente
Bild 21. Schaltzeichen und schematische Kennlinie eines Abschaltthyristors.
werden kann (W 3.2.3, W 3.2.4). Dazu muss ein Operationsverstrker eine hohe Verstrkung, einen großen Eingangswiderstand und einen niedrigen Ausgangswiderstand aufweisen. Vom Prinzip her besteht ein Operationsverstrker aus mindestens 3 gleichspannungsgekoppelten Verstrkerstufen: Differenzverstrker, Spannungsverstrker und Stromverstrker, Bild 22. Das Ein- und Ausgangsruhepotential eines Operationsverstrkers ist idealerweise Null, Bild 23.
2.6 Optoelektronische Komponenten
Bild 22. Prinzipschaltung eines Operationsverstrkers [1]
Bild 23. Schaltbild und bertragungskennlinie eines Operationsverstrkers [2]
Diese formen optische Energie in elektrische Energie (Empfnger) bzw. elektrische Energie in optische Energie (Sender) um [1]. Sie spielen eine besondere Rolle in der Nachrichtentechnik (Lichtwellenleiter-bertragungen), der Automatisierungstechnik (Lichtschranken, Positions-Messungen u. .), der galvanischen Trennung (Optokoppler) in elektrischen Signalbertragungssystemen und der optischen Anzeige (LEDDisplays) zur Darstellung von Zeichen und Symbolen [9].
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Bild 24. Relative spektrale Empfindlichkeit h des menschlichen Auges (Tagessehen) sowie von Silizium Si und Germanium Ge [4]
2.6.1 Optoelektronische Empfnger Alle optoelektronischen Empfnger haben eine bestimmte spektrale Empfindlichkeit (Bild 24), deren Maximum je nach Halbleitermaterial im sichtbaren oder unsichtbaren (infraroten) Bereich liegt. Optoelektronische Empfnger werden in optoelektronischen Systemen auch als Sensoren, z. B. in Lichtschranken oder fr die Messung einer Lageabweichung, angewendet. Fotodioden Pin-Fotodioden besitzen eine eigenleitende (i:intrinsic) hochohmige Halbleiterschicht, die zwischen hochdotierten pþ und nþ -Zonen eingebettet ist, Bild 25. Eine in Sperrrichtung anliegende Spannung – UAK fllt dadurch im wesentlichen ber der i-Schicht ab und sorgt dort fr eine rasche Trennung der Elektronen/Loch-Paare, die bei der Absorption von Strahlung entstehen. Vorteile durch Einfhrung der i-Schicht sind eine kleinere Sperrschichtkapazitt (d. h. hhere Grenzfrequenz), ein niedrigerer Sperrstrom (Dunkelstrom) sowie eine hhere Empfindlichkeit im IR-Bereich. Die Strom-/Spannungskennlinie der pin-Fotodiode resultiert aus der Diodenkennlinie (Bild 2). Der Fotostrom IFoto hat die Flussrichtung des Sperrsttigungsstroms IS und verschiebt die Kennlinie nach unten, Bild 26. Es gilt e UAK 1 IFoto : IA ¼ IS exp kT
Optoelektronische Komponenten
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Bild 26. Schaltzeichen und Kennlinienfeld einer Fotodiode [4]
schichtfrei. Sie arbeiten stromrichtungsunabhngig und lassen sich somit nicht nur in Gleichstromkreisen, sondern auch in Wechselstromkreisen einsetzen. Bei Beleuchtung des Fotowiderstands werden die Photonen absorbiert. Dadurch entstehen zustzliche freie Ladungstrger, so dass sich die Leitfhigkeit erhht, was einer Abnahme des Widerstands entspricht. Als halbleitendes Material zur Herstellung von Fotowiderstnden fr den sichtbaren Spektralbereich verwendet man vorzugsweise Cadmiumsulfid (CdS). Fr den IR-Bereich wird u. a. Bleisulfid (PbS) oder Indiumantimonid (InSb) verwendet. 2.6.2 Optoelektronische Sender Diese formen elektrische Energie in optische Energie um, deren Wellenlnge je nach Halbleitermaterial vom sichtbaren bis zum nahen infraroten Bereich reicht. Lumineszenzdioden
Diese sind optoelektronische Komponenten, deren Widerstand bei Beleuchtung abnimmt. Fotowiderstnde sind sperr-
Das Spektrum der Strahlung von Lumineszenzdioden ist relativ schmalbandig. Die Wellenlnge wird durch das verwendete Halbleitermaterial bestimmt. LED’s (Light Emitting Diode) sind Lumineszenzdioden fr den sichtbaren Spektralbereich (Halbleitermaterial z. B. Galliumarsenidphosphid). Verfgbar sind LEDs mit Emissionswellenlngen von 380 bis 780 nm sowie Weißlicht-LEDs. Bevorzugtes Anwendungsgebiet der LED sind Indikatoranzeigen, Siebensegment-Zifferanzeigen oder alphanumerische Anzeigen sowie optische Sender in Plastik-Lichtwellenleiterbertragungssystemen. Vorteile der LED sind ihre hohe mechanische Stabilitt, eine lange Lebensdauer (typ. > 100 000 h), kleine Abmessungen (Plastikgehuse) und leichte Modulierbarkeit der Emission bei kleinen Ansteuerstrmen und Spannungen, Bild 27. IRED (Infrared Emitting Diode) verwenden z. B. Galliumarsenid als Halbleitermaterial. Sie sind in Plastikgehusen oder dichten Glas-Metallgehusen montiert.
Bild 25. Aufbau einer pin-Fotodiode [1]
Bild 27. LED in Plastikgehuse. 1 LED-Chip, 2 Reflektorwanne, 3 Kathode, 4 Anode, 5 Au-Draht, 6 Kunststoff
Im Kurzschlussbetrieb (UAK ¼ 0) nimmt der Diodenstrom IA linear mit der Beleuchtungsstrke zu, die Diodenspannung UAK im Leerlauf (IA ¼ 0) dagegen logarithmisch. Im 4. Quadranten arbeitet eine Fotodiode im Generatorbetrieb und wandelt Strahlungsenergie in elektrische Energie um (V 1.5.3). Fotowiderstnde
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Mechatronische Systeme – 3 Aufbau mechatronischer Systeme
Laserdioden
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Bei diesen erfolgt die interne Lichtverstrkung durch induzierte Emission. Das emittierte kohrente Licht ist nahezu monochromatisch. Durch Variation der Zusammensetzung des Halbleitermaterials kann die Wellenlnge des Laserlichts festgelegt werden. Die z. Z. erhltlichen Laserdioden emittieren blaues oder rotes Licht bzw. IR-Strahlung im Bereich von 780 nm bis neuerdings 10 mm (Quantenkaskadenlaser). Laserdioden haben einen nicht zu vernachlssigenden Temperaturkoeffizienten der Wellenlnge (ca. 0,25 nm/K). Das erfordert gegebenenfalls besondere Khlmaßnahmen (z. B. Peltier-Khler). Laserdioden haben geringe Abmessungen, leichte Modulierbarkeit bis zu sehr hohen Frequenzen und sind sehr robust, was fr viele Anwendungsflle sehr vorteilhaft ist. Typische Anwendungsgebiete sind z. B. CD- und DVD-Brenner und Abspielgerte sowie optische Sender fr Lichtwellenleiter-bertragungssysteme [10]. Bild 28 zeigt den schematischen Aufbau einer (GaAl)As-Laserdiode. Die Licht emittierende aktive Zone ist sehr dnn (ca. 0,2 mm). Dadurch wird die Strahlaustrittsflche so klein, dass Beugung auftritt. Das emittierte Licht ist deshalb stark divergent. Die flchige Kontaktierung sorgt fr eine gute Wrmeableitung.
Bild 28. Schematischer Aufbau einer Laserdiode [10]
2.6.3 Optokoppler Diese sind optoelektronische Isolatoren, die im Zuge einer elektrischen Signalbertragung galvanische Trennung zwischen Eingangs- und Ausgangssignal herstellen. Dabei erfolgt die Signalbertragung in der Isolatorstrecke auf optischem Wege, Bild 29. Das elektrische Eingangssignal wird in einem Sender in ein optisches Signal umgeformt, auf optischem Wege weitergeleitet und von einem Empfnger in das elektrische Ausgangssignal zurckgewandelt. Als Sender dient eine infrarot strahlende Lumineszenzdiode, der Empfnger ist ein Fototransistor. Isolationseigenschaften. Die galvanische Trennung ermglicht unterschiedliches Spannungspotential zwischen Eingangs- und Ausgangssignal. Die maximal zulssige Potentialdifferenz hngt von den Isolationseigenschaften ab. Isolationsprfspannung ist die maximal zulssige Spannung, die zwischen Eingang und Ausgang kurzzeitig anliegen darf. Gngige Typen haben Werte bis ca. 5 kV. Sonderausfhrungen mit Lichtwellenleiter berbrcken bis zu einigen MV.
3 Aufbau mechatronischer Systeme H. Lehr, Berlin
3.1 Einfhrung Der Aufbau mechatronischer Systeme beruht auf der engen Verknpfung mechanischer, elektrischer und elektronischer Komponenten. Bei der Systementwicklung muß fachbergreifendes Wissen verfgbar sein, das insbesondere folgende Bereiche abdeckt: Przisions- und Elektromechanik, Aktorik, Sensorik, Elektronik, Informations- und Regelungstechnik, Systemtheorie. Mechatronik ist somit nicht nur als Fachdisziplin zu sehen, sondern auch als Anleitung und Denkweise zur rationellen Produktentwicklung. Die kompetente Bearbeitung komplexer Aufgaben erfordert ein Team von Spezialisten aus verschiedenen Disziplinen, das zunchst Funktionsblcke und deren Zusammenwirken defi-
Bild 29. Aufbau eines Reflexionsoptokopplers [1]
Isolationsnennspannung ist die maximal zulssige Spannung, die zwischen Eingang und Ausgang dauernd anliegen darf. Isolationswiderstand ist der Gleichstromwiderstand zwischen Eingang und Ausgang (ca. 100 GW). Isolationskapazitt ist die Koppelkapazitt zwischen Eingang und Ausgang (ca. 0,3 bis 2 pF). Schnelle nderungen der Potentialdifferenz zwischen Eingang und Ausgang knnen wegen dieser kapazitiven Kopplung zu Strungen fhren. Die bertragungskennlinie zwischen Eingangs- und Ausgangssignal ist nicht linear. Daher liegt das bevorzugte Anwendungsgebiet der Optokoppler in der galvanischen Trennung bei der bertragung binrer Signale. Fr die bertragung von NF-Signalen ist eingangsseitig ein Arbeitspunkt einzustellen, der im linearen Bereich der Sendediode liegen muss.
niert und diese sukzessiv anhand konkreter technischer Komponenten realisiert. Mechatronische Systeme zeichnen sich daher i. allg. durch einen modularen und bersichtlichen Aufbau aus, wodurch die Integration verschiedener Technologien und Bauteile erleichtert wird. Hierdurch wird es mglich, die Funktionsaufteilung von mechanischen und elektronischen Komponenten sowie deren informationstechnische Verknpfung so aufzuteilen und zu gestalten, daß der mechanische Aufbau einfacher und der fertigungstechnische Aufwand geringer wird. Dies wird im folgenden Abschnitt anhand einiger Beispiele demonstriert.
3.2 Beispiele mechatronischer Systeme Hochprziser Positioniertisch. Ein Scanning-Tunneling-Mikroskop (STM) [1] erlaubt auf einfache Weise, dreidimensionale Bilder elektrisch leitfhiger Oberflchen mit hchster Auflsung aufzunehmen. Hierzu wird eine leitfhige spitze
I3.2 Probe (wenige Atomlagen) mit sehr geringem Abstand zur Oberflche des Materials bewegt und mit einer Spannung beaufschlagt. Dabei fließt ein Tunnelstrom, der sich als Funktion des Abstands exponentiell verndert. Die z-Bewegung der Spitze erfolgt ber einen Piezosteller, gesteuert durch den Tunnelstrom. Fr die Lateralbewegung des Materials lassen sich u. a. Positioniertische einsetzen, die prinzipiell dem Aufbau in Bild 1 entsprechen. Ein Piezoaktor (PZT) steht mit einem an einer Blattfederfhrung (Invar) aufgehngten Tisch in kraftschlssiger Verbindung. Durch Anlegen einer Spannung an das PZT-Element lßt sich der Tisch in x-Richtung auslenken, wobei in z-Richtung eine hohe Steifigkeit besteht. Die Tischbewegung wird durch einen Abstandssensor detektiert. Der hier genutzte preisgnstige kapazitive Abstandssensor besitzt eine nichtlineare Kennlinie (C / 1=x), die jedoch in einem mP leicht linearisierbar ist. Durch den Abstandssensor lassen sich gleichermaßen Hysterese und Nichtlinearitt des Piezoaktors kontrollieren (closed loop system), so daß insgesamt eine Positioniergenauigkeit von 1 nm bei einem Hub von 100 mm erreichbar ist. Die hierbei erzielbare Przision wird erst durch das Zusammenwirken der mechanischen und elektronischen Komponenten mglich und ließe sich durch einen rein mechanischen oder elektromechanischen Aufbau nicht erreichen. Eine noch hhere Genauigkeit und Auflsung erhlt man durch die Beschrnkung auf kleinere Lateralhbe. Einsatzgebiete von Nanopositioniertischen: Zellbiologie, Nanoelektronik, Nanospeichertechnik u. v. a. m. Sogenannte Atomic-Force-Mikroskope (AFM) ermglichen auch die Vermessung nichtleitender Oberflchen. Allgemein werden STM und AFM unter dem Begriff Scanning-ProbeMikroskope (SPM) zusammengefaßt. Die Anwendungen in Biologie, Physik, Chemie usw. sind ußerst vielfltig. Ein Vergleich der lateralen Auflsung von Lichtmikroskop (0,5 mm), Rasterelektronenmikroskop (5 nm) und SPM (0,1 nm) zeigt die große Bedeutung der lateralen Positioniergenauigkeit der Proben.
Beispiele mechatronischer Systeme
dmax dmin ; so lßt sich mit Wlzlagern ein Wert von fR ¼ 0; 5 mm erreichen. Bei speziellen Anwendungen in der Luftfahrt und der optischen Kommunikationstechnik reicht dies jedoch nicht aus. Hier sind Werte von fR < 0; 3 mm gefordert. Dies lßt sich z. B. durch den Einsatz einer luftgelagerten Spindel erreichen [3]. Eine andere Mglichkeit besteht darin, die Rundlauffehler der Spindel beim Drehprozeß zu detektieren und durch eine aktive Bewegung des Drehmeißels auszugleichen. Bild 2 zeigt die prinzipielle Anordnung einer solchen Einrichtung [2]. Drei ortsfeste Abstandssensoren dienen zur Bestimmung der winkelabhngigen Lageabweichung (Winkelaufnehmer) in x- und y-Richtung und erlauben somit eine direkte Kontrolle der Rundheit des Werkstcks (oberes Bild). Ein mP errechnet die erforderliche Korrekturbewegung des an Blattfedern aufgehngten Werkzeugs durch einen Piezoaktor (Bild 2 unten). Hysterese und Nichtlinearitt des Piezoaktors lassen sich durch einen Wegaufnehmer korrigieren. In [2] wird berichtet, daß eine solche Anordnung nach kurzem Lernprozeß eine Rundheit des Werkstcks von fR ¼ 30 nm beim Drehen von Aluminiumzylindern mit einem Durchmesser von 42 mm ermglicht. Rundlauffehler einer Spindel lassen sich daher durch eine preisgnstige Anordnung aus Sensoren, Aktor, mP und geigneter Software ausgleichen. Die dabei erzielten Rundheitswerte sind besser als sie mit handelsblichen Drehspindeln erreichbar sind [3]. ABS. Systeme zur automatischen Verhinderung des Blockierens von Bremsen sind schon geraume Zeit bei PKWs im Einsatz und tragen entscheidend zur Fahrstabilitt und Lenkbarkeit der Fahrzeuge bei [4]. Bei einer Bremsung sorgt das ABS fr eine optimale Ausnutzung der Bremsfhigkeit und verhindert auch bei nasser (Aquaplaning) sowie glatter Fahrbahn ein Blockieren der Rder. Die prinzipielle Funktionsweise eines solchen Systems lßt sich anhand Bild 3 demonstrieren.
Hochprzisionsdrehvorrichtung. Bei der hochprzisen Feindrehbearbeitung von Leichtmetallen mit Diamant- oder Hartmetallwerkzeugen treten infolge kleiner Schnittiefen geringe Schnittkrfte auf. Die Rundheit des Werkstcks wird daher wesentlich durch Abweichungen der Spindel von der idealen Rundlaufbewegung bestimmt. Definiert man Rundheit fR durch die Differenz von maximalem (dmax ) und minimalem (dmin ) Durchmesser eines Werkstcks: fR ¼
Bild 1. Hochprziser Positioniertisch (schematisch)
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Bild 2. Hochprzisionsdrehvorrichtung (schematisch)
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Mechatronische Systeme – 4 Spezielle Literatur
Bild 3. Prinzipieller Aufbau einer ABS-Anlage
deren nderung. bersteigt die Verzgerung einen kritischen Wert, wird durch Steuerung von Regelventilen ein weiterer Druckaufbau im Radzylinder verhindert und bei Bedarf ber einen Speicher Druck abgebaut. Die ABS-Anlage sorgt dabei nicht nur fr einen optimalen Bremsvorgang und kurzen Bremsweg, sondern verhindert auch durch Einzelregelung der Druckwerte in den Radzylindern das Ausbrechen des Fahrzeugs (Bild 3).
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Bild 4. Aktive Luftspaltregelung bei einem Radiallager mit Außenlufer (schematisch)
Bei einem Bremsvorgang wirken Krfte von der Fahrbahn auf die Rder, die sich elastisch verformen. Es tritt eine Differenz zwischen Radumfangs- und Fahrzeuggeschwindigkeit auf, definiert durch l ¼ Du=u 100 %, wobei ein frei rollendes Rad die Winkelgeschwindigkeit wR aufweist und ein gebremstes Rad die Winkelgeschwindigkeit wS : Der Schlupf wird damit l ¼ ðwR wS Þ=wR 100 %, so daß ein frei rollendes Rad einen Schlupf von l ¼ 0 % und ein blockiertes Rad einen Schlupf von l ¼ 100 % aufweist. Wird der Schlupf zu groß, ist keine stabile Bremsung mglich. Durch Bettigung des Hauptbremszylinders wird Bremsdruck in den Radzylindern aufgebaut. Drehzahlsensoren ermitteln an den Reifen sowohl die aktuellen Drehzahlwerte als auch
4 Spezielle Literatur zu I 1 Mechatronik: Methodik und Komponenten [1] Unbehauen, H.: Regelungstechnik, Bnde I bis III. Braunschweig/Wiesbaden: Vieweg 1997. – [2] Isermann, R.: Identifikation dynamischer Systeme, Bnde I und II. Berlin: Springer 1992. – [3] Karnopp, D.; Margolis D. L.; Rosenberg
Magnetlager. Magnetlager (ML) bieten eine Reihe einzigartiger Vorteile: es lassen sich bei rotatorischen Anwendungen sehr hohe Drehzahlen erreichen, da vernachlssigbare Reibmomente wirken. Weiterhin ist keine Schmierung erforderlich, so daß ML im Vakuum und in Reinrumen einsetzbar sind. Schließlich sind sie ber einen weiten Temperaturbereich (–250 C bis 450 C) nutzbar. ML werden vornehmlich in Motorspindeln fr die Hochgeschwindigkeitszerspanung, in Turbomolekularpumpen sowie bei Zentrifugen eingesetzt [5]. Als Linear-Magnetfhrung werden sie fr Werkzeugmaschinen und z. B. beim Transrapid angewandt. Bei Motorspindeln erfolgt die Lagerung der Drehachse mit voneinander unabhngigen Axial- und Radiallagern, wobei z. T. große Lagerdurchmesser mit hoher Gesamtsteifigkeit zum Einsatz kommen. Bild 4 zeigt schematisch den Aufbau eines aktiven Radiallagers mit außenliegendem Rotor aus ferromagnetischem Material. Die Polaritt der innen liegenden geblechten Polpakete wechselt ber dem Umfang. Zur Stabilisierung der x, y-Koordinaten erfolgt eine aktive Luftspaltregelung. Die z-Achse ist nicht eigenstabil, so daß noch ein Axiallager erforderlich ist. Die Lageabweichung des Rotors wird ber induktive Abstandssensoren detektiert und im vorliegenden Beispiel zur Stromnderung in den Polspulen genutzt. Infolge der großen Geschwindigkeit moderner mPs sind inzwischen auch digitale Regelsysteme im Einsatz [5]. ber die Regelparameter lßt sich die Lagersteifigkeit einstellen und die Vibrationsneigung unterdrcken, die insbesondere bei passiven ML unangenehm in Erscheinung treten kann. Da die herrschenden Krfte stark nichtlinear vom Luftspalt abhngen und die Stellkrfte nichtorthogonal wirken, ist eine Modellierung und Analyse der Systemeigenschaften besonders wichtig, um mit sorgfltig eingestellten Regelparametern die geforderte Lagegenauigkeit des Rotors von etwa 1 mm zu erreichen.
R. C.: System Dynamics – A Unified Approach. New York: John Wiley & Sons 1990. – [4] Janocha H.: Aktoren, Grundlagen und Anwendungen. Berlin: Springer 1992. – [5] Jendritza, D. J.: Technischer Einsatz neuer Aktoren. RenningenMalmsheim: expert verlag 1995. – [6] Gevatter, H.-J. (Hrsg.): Handbuch der Meß- und Automatisierungstechnik. Berlin: Springer 1999. – [7] Trnkler, H.-R.; Obermeier, E. Sensor-
I4 technik. Berlin: Springer 1998. – [8] Ristic, Lj. (Ed.): Sensor Technology and Devices. Boston, London: Artech House 1994. – [9] Kallenbach, E.; Bgelsack, G. (Hrsg.): Gertetechnische Antriebe. Mnchen, Wien: Hanser 1991. – [10] Frischgesell, T.: Modellierung und Regelung eines elastischen Fahrwegs. VDI Fortschr.-Ber. Reihe 11, Nr. 248, Dsseldorf: VDI 1997. – [11] Scholze, R.: Einfhrung in die Mikrocomputertechnik. Stuttgart: Teubner 1990. – [12] Frh, K. F. (Hrsg.): Handbuch der Prozeßautomatisierung. Mnchen, Wien: Oldenbourg 1997. – [13] Olsson, G.; Piani, G.: Steuern, Regeln, Automatisieren. Mnchen, Wien: Hanser, London: Prentice-Hall Int. 1993 – [14] Lawrenz, W.: CAN Controller Area Network. Heidelberg: Hthig 1994. zu I 2 Elektronische Bauelemente [1] Hering, E; Bressler, K; Gutekunst, J.: Elektronik fr Ingenieure und Naturwissenschaftler. Berlin: Springer 2005. – [2] Reisch, M.: Halbleiter-Bauelemente. Berlin: Springer 2005. – [3] Mller, R; Schmitt-Landsiedel, D.: Halbleiter-Elektronik. Grundlagen und Bauelemente. Berlin: Springer 2007. – [4] Tietze, U.; Schenk, C.: Halbleiter –Schaltungstechnik. Berlin: Springer 2002. – [5] Lappe, R.(Hrsg.): Handbuch Leistungselektronik: Grundlagen, Stromversorgung, Antriebe. Berlin:
Spezielle Literatur
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Verl. Technik, 1994. – [6] Michel, M.: Leistungselektronik. Berlin: Springer 2003. – [7] Schrder, D.: Leistungselektronische Bauelemente fr elektrische Antriebe. Berlin: Springer 2006. – [8] Applikationshandbuch Leistungshalbleiter. Nrnberg: Semikron GmbH 2004. www.semikron.de/internet/ – [9] Hering, E., Martin, R. (Hrsg.): Photonik. Grundlagen, Technologie und Anwendung. Berlin: Springer 2006. – [10] Voges, E.; Petermann, K.: Optische Kommunikationstechnik: Handbuch fr Wissenschaft und Industrie. Berlin: Springer 2002. zu I 3 Aufbau mechatronischer Systeme [1] Binnig, G.; Rohrer, H.; Gerber, C.; Weibel, E.: Phys. Rev. Lett. 49 (1982) 57. – [2] Li, C. J.; Li, S. Y.: To Improve Workpiece Roundness in Precision Diamond Turning by in situ Measurement and Repetitive Control. Mechatronics Vol. 6, No. 5 (1996) pp. 523–535. – [3] Weck, M.: Werkzeugmaschinen – Fertigungssysteme 2. Berlin: Springer 1997. – [4] Seiffert, U.: Kraftfahrzeugtechnik. In: Dubbel, Taschenbuch fr den Maschinenbau, 19. Aufl. Berlin: Springer 1997. – [5] Youcef-Toumi, K.: Modeling, Design and Control Integration. IEEE/ASME Transactions on Mechatronics Vol. 1, No. 1 (1996) pp. 29–38.
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Komponenten des thermischen Apparatebaus H. Gelbe, Berlin, und L. Mrl, Magdeburg Wir danken J. Dalichau fr seine Mitarbeit
Allgemeine Literatur zu K 1 bis K 4 Bcher: Buchter, H.H.: Apparate und Armaturen der Chemischen Hochdrucktechnik, Berlin: Springer 1967. – Grassmann, P.: Physikalische Grundlagen der Verfahrenstechnik, 3. Aufl. Frankfurt: Salle 1983. – Graßmuck, J.; Houben, K.-W.; Zollinger, R.M.: DINNormen in der Verfahrenstechnik, 2. Aufl. Stuttgart: Teubner 1994. – Gregorig, R.: Wrmeaustausch und Wrmeaustauscher, 2. Aufl. Aarau: Sauerlnder 1973. – Hausen, H.: Wrmebertragung im Gegenstrom, Gleichstrom und Kreuzstrom, 2. Aufl. Berlin: Springer 1976. – Klapp, E.: Apparate- und Anlagentechnik. Berlin: Springer 1980. – Perry, H.R.; Chilton, C.H.: Chemical Engineers' Handbook, 7. Aufl. New York: McGraw-Hill 1997. – Plank, R. (Hrsg.): Handbuch der Kltetechnik, Bd. 3. Berlin: Springer 1959. – Schrder, K. (Hrsg.): Große Dampfkraftwerke, Bd. 1. Berlin: Springer 1959. – Tochtermann, W.; Bodenstein, F.: Konstruktionselemente des Maschinenbaues, Teil 1, 9. Aufl. Berlin: Springer 1979. – VDI-Wrmeatlas: Berechnungsbltter fr den Wrmebergang, 10. Aufl. Berlin: Springer 2006.
1 Grundlagen
ten- und Spiral-, Doppelmantel- und Lamellen-Wrmebertrager Verwendung.
1.1 Unterscheidungsmerkmale von wrmebertragenden Apparaten
Grße. Kompakt-Wrmebertrager mit Wrmebertragungsflchen grßer als 700 m2 pro m3 Bauvolumen (Raumfahrt, Flugzeuge).
Wrmebertrager sind Apparate, die Wrme in Richtung eines Temperaturgeflles zwischen zwei oder mehr fluiden Stoffstrmen bertragen. Sie dienen der gezielten Zustandsnderung dieser Fluide (Khlen, Erwrmen, ndern des Aggregatzustands und/oder sonstiger physikalischer Eigenschaften) und helfen Prozesse wirtschaftlich werden zu lassen (Abwrmenutzung). Unterscheidungsmerkmale sind: Betriebsweise. Es werden kontinuierlich durchstrmte (Rekuperatoren) und diskontinuierlich durchstrmte (Regeneratoren) Wrmebertrager unterschieden. Wrmebertragung. Sie kann direkt („ohne Wand“, auch Kontaktwrmebertragung) oder indirekt (Transport durch Trennwnde infolge Wrmeleitung) erfolgen. Beispiele fr direkte Wrmebertragung sind Einspritzkondensatoren, Trennstufen fr die thermische Trennung von Stoffgemischen, Anlagen zur Sonnendestillation u. a. Durch Flammen oder Rauchgase indirekt aufgewrmt werden Kessel, Rohrsysteme oder Pfannen, gelegentlich unter Verwendung eines Wrmezwischentrgers (organische Wrmetrger, Salz- oder Metallschmelzen). Aggregatzustand der Fluide. Man unterscheidet Apparate mit Strmen ohne Phasennderung (Vorwrmer, Luftkhler, rauchgasbeheizter berhitzer u. a.) und solche mit Phasennderung (Kondensatoren, Eindampf-Apparaturen, Verdampfungskhler u. a.). Die Berechnung wird erschwert, wenn auf beiden Seiten mit Phasennderungen (Verdampfer/Kondensator) gerechnet werden muß.
1.2 Wrme- und strmungstechnische Auslegung Das Ziel besteht im Erreichen hoher Wrmebertragungsleis_ tungen Q=A bei optimalem bzw. max. zulssigem Druckverlust (s. K 1.2.3), wobei die Summe der Kosten fr den Apparat, fr den erforderlichen umbauten Raum und fr die Energiekosten, einschließlich Erzeugung und Transport (Pumpen, Rohrleitungen) zu minimieren sind. 1.2.1 Wrmetechnische Auslegung von Rekuperatoren Die wrmetechnische Auslegung erfolgt nach der bertragungsgleichung (s. D 10.2) Q_ ¼ k A DtM , wobei sich Q_ aus den Bilanzgleichungen Q_ ¼ m_ 1 cp1 ðt1 t2 Þ ¼ m_ 2 cp2 ðt10 t20 Þ (Bild 1) errechnet. Wrmedurchgangskoeffizient. Wegen 1=k ¼ 1=a1 þ d=lþ 1=a2 (s. D 10.2) ist k stets kleiner als der kleinste Wert von a. Daher muß dieser kleinste Wert verbessert werden durch Beeinflussung der Strmung (Querstrom, Turbulenzerzeugung), durch Erhhung der Geschwindigkeit (Zahl der Rohr- oder Mantelwege oder Umlenkbleche erhhen, Druckverlust steigt!) oder durch Einbau zustzlicher Rippen oder Lamellen (vor allem bei Gasen mit kleinen a-Werten). Die Ermittlung
Temperatur und Druck. Je nach der Verwendung unterscheidet man Wrmeaustauscher fr tiefe (bis 100 C), normale (50 bis 500 C) und hohe (bis 1400 C, Abhitzekessel in der Petrochemie) Temperaturen, sowie Vakuum-, Niederdruck- (wenige bar), Hochdruck- (100 bis 500 bar) und Hchstdruck- (einige 103 bar) Wrmebertrager. Bauart. Die Rohrbndelapparate (Glattrohre, Haarnadelrohre, Doppel-(Field-)rohre und Rohrregister) gehren zu den am weitesten verbreiteten. Diese werden weiter unterschieden nach Befestigung (Rohrplatten, Sammler) und Fhrung des Bndels (Spiralrohr-, Wickelbndel). Daneben finden Plat-
Bild 1 a, b. Temperaturverlauf in beiden Medien. a Gegenstrom; b Gleichstrom
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K2
Komponenten des thermischen Apparatebaus – 1 Grundlagen
Tabelle 1. berschlgige k-Werte in W=ðm2 K) fr Rohrbndel-Wrmebertrager (VDI-Wrmeatlas)
der Intensitt des Wrmebergangs (bertragungseinheiten _ p ) beeinflusst. Sind Dtgr und Dtkl die große und N ¼ k A=mc die kleine Temperaturdifferenz bei Gleich- und Gegenstrom (Bild 1), so gilt fr ihren Mittelwert DtM ¼
Dtgr Dtkl : lnðDtgr =Dtkl Þ
ð1Þ
Fr die Nachrechnung eines gegebenen Wrmebertragers (k A bekannt) lassen sich aus zwei Temperaturen die restlichen mittels Bild 2 ermitteln (eingekreiste Temperaturen gesucht, nicht eingekreiste gegeben). Die Grßen A und B folgen fr Gleich- bzw. Gegenstrom (Index Gl bzw. Ge) aus 9 t1 t2 w 1 1 > > AGl ¼ ¼ 1 exp þ kA ; > = t1 t10 w þ W w W ð2Þ 0 > t1 t2 W w 1 1 > ¼ þ exp þ kA ; > BGl ¼ ; 0 t1 t1 w þ W W w W
K
von Wrmebergangskoeffizienten a erfolgt in Abhngigkeit vom Phasenzustand und der Strmungsform des Fluids, sowie von der Geometrie der Oberflche (Platte, Rohrinnen- bzw. -außenseite, glatt, gewellt, gerippt) und der Lage des Apparats (waagerecht, senkrecht) mit Hilfe von Potenzfunktionen dimensionsloser Kennzahlen (s. D 10.4 und [1]). Leck- und By-pass-Strmungen sowie ungleichfrmige Anstrmungen bei Rohrbndeln lassen sich durch Korrekturfaktoren bercksichtigen [1]. Tabelle 1 zeigt berschlgige k-Werte. Die Verschlechterung des Wrmedurchgangs durch Schmutzschichten ist zu beachten. Temperaturberechnung. Der Verlauf der Fluidtemperaturen und die mittlere integrale Temperaturdifferenz DtM werden von der Strmungsfhrung (Gleich-, Gegen-, Kreuzstrom, Quervermischung, gleich- und gegensinnige Kombinationen in mehrgngigen und von gekoppelten Apparaten) sowie von
AGe ¼
t1 t2 ¼ t1 t 10
t1 t 20 BGe ¼ t1 t 10
9 1 1 > > kA > > w W > , > > > > 1 1 > exp kA > = w W > W > > 1 > > > w : > > > 1 1 > ; exp kA > w W
1 exp 1
¼ 1
W w
W w
ð3Þ
Hierin bedeuten W bzw. w die Wasserwerte des Stoffstroms mit der hheren bzw. der tieferen Temperatur, wobei w bzw. _ p mit dem Massenstrom m_ und der Wrmekapazitt W ¼ mc cp bestimmt ist. Weiterhin stellen t1 ; t2 bzw. t10 ; t20 die Einund Austrittstemperaturen des wrmeren bzw. klteren Mediums dar. Bei vom Gleich- oder Gegenstrom abweichenden Strmungsfhrungen ergeben sich kleinere Werte fr DtM DtM ¼ e DtM; G :
ð4Þ
Der Korrekturfaktor e ist hierbei auf den mittleren Temperaturunterschied fr Gegenstrom, DtM; G bezogen, der fr dieselben Anfangs- und Endtemperaturen berechnet wird. e ist in Bild 3 fr den gegensinnigen Kreuzgegenstrom ber der Betriebscharakteristik S ¼ ðt20 t10 Þ=ðt1 t10 Þ mit R ¼ w=W ¼
Bild 2. Temperaturverlauf bei Gegenstrom, Kreuzstrom, Gleichstrom nach Plank
Bild 3. Mittlerer Temperaturunterschied fr einen Sonderfall des Kreuzgegenstroms nach Plank
I1.2
Bild 4. Korrekturfaktoren e fr einen 1,2-Wrmebertrager und technisch annehmbarer Bereich nach [2]
ðt1 t2 Þ=ðt20 t10 Þ als Parameter aufgetragen. Hierbei ist der Stoff St nicht durchmischt und der Stoff St0 durchmischt. Bild 4 zeigt ein analoges Diagramm fr einen 1,2-Wrmebertrager (p = 1 Mantelweg, r = 2 Rohrwege). Fr R = 1 sind Wirkungsgrade = Betriebscharakteristik S grßer als 0,57 nicht mglich. Die gestrichelte Kurve verbindet Punkte konstanter Steigung und grenzt das Gebiet mit steilem Abfall der Kurven (hohe Empfindlichkeit gegen Strungen der Betriebsbedingungen) gegen den Bereich technisch annehmbarer Werte von e ab [2], (s. K 1.3).
Wrme- und strmungstechnische Auslegung
K3
Bild 6. Hilfsfunktion F zur Berechnung des Wrmedurchgangskoeffizienten (nach Hausen). I Platte, II Zylinder, III Kugel, d Plattendicke oder Durchmesser, a Temperaturleitkoeffizient
k=k0 < 1 unter Bercksichtigung der Oberschwingungen nach [1, 4] und mit 1 1 1 1 d þ þ þ F : 1=k0 ¼ ðT1 þ T2 Þ a1m T1 a2m T2 T1 T2 lB Hierbei sind mit Angabe der gebruchlichen Einheiten in Klammern
1.2.2 Wrmetechnische Auslegung von Regeneratoren Die Wrmebertragung erfolgt in zwei Perioden (Heiz- und Khlperiode), Schaltungsweise nach Bild 5. Bauweise mit ruhender oder bewegter Speichermasse (Bauart Ljungstrm) [1, 3]. Unterscheidungsmerkmale sind ferner Art und Aufbau der Speichermasse sowie die Schaltzeit. Die Temperatur der Speichermasse unterliegt periodischen Schwankungen. Der auf einer Isotherme „mitfahrende“ Beobachter nimmt einen Rekuperator wahr. Die Berechnung der in einer Vollperiode in einem Regenerator bertragenen Wrmemenge folgt nach [1, 3] der Beziehung QPer ¼ k DtM ðT1 þ T2 Þ
ð5Þ
mit k=k0 ¼ 1 fr die Grundschwingung (Nherung) und
1.2.3 Druckverlustberechnung Die Grße eines Wrmebertragers wird entscheidend vom Druckverlust bestimmt. Daher gehrt die Druckverlustberechnung zu den ersten Auslegungsschritten, um die Geometrie des Rohrbndels (Durchmesser und Lnge des Bndels und der Rohre, Strmungsquerschnitte) fr die wrmetechnische Auslegung festzulegen. Zum Reibungsdruckabfall bei ausgebildeter Rohrstrmung kommen Anteile zv fr die Ein- und Austrittsverluste, fr Umlenkungen und Einbauten (s. B 6.2). Man erhlt als Gesamtdruckabfall in den Rohren fr einen Rohrweg r L X zv : ð6Þ Dpges ¼ w2 l þ 2 d Bild 5. Schaltung von Regeneratoren (fr Gas dargestellt). Indices: 0 Eintritt, 0 0 Austritt, H Heizperiode, K Khlperiode, St 1 und St 2 Stoffstrom kalt und warm, UV Umschaltventil
Werte fr l(Re, d/k) s. B 6 Bild 8, Anhaltswerte fr zv s. B 6.2.4. Ist die Zahl der Rohrwege nR , wird fr konstanten
K
K4
Komponenten des thermischen Apparatebaus – 1 Grundlagen
Volumenstrom und w nR der Druckverlust im Vergleich zu einem Rohrweg Dpges, nR ¼ n3R Dpges, 1 :
ð7Þ
Fr die Berechnung des Druckabfalls beim Durchstrmen mehrreihiger Rohrbndel im Querstrom (Außenraum von Wrmebertragern mit Umlenkblechen) wird auf die Literatur verwiesen [1]. In den Gln. (6) und (7) bedeuten l Rohrreibungszahl, zv Widerstandsbeiwerte, w Fluidgeschwindigkeit, r Fluiddichte, L und d Lnge, bzw. Innendurchmesser des Strmungskanals. Der Einfluss des Reibungsdruckverlustes auf die Wrmebergangszahl a eines glatten lngsdurchstrmten Rohrs bzw. Rohrbndels wird fr Re-Zahlen >6 000 nherungsweise von Grassmann [5] beschrieben: 0,291 _ a ¼ ðK=dh0,127 ÞðVDp=AÞ
K
ð8Þ
mit K Stoffkonstante, dh hydraulischer Durchmesser des Strmungskanals, V_ Volumenstrom und A Wrmebertragungsflche. Aus der bertragungsgleichung Q_ ¼ kA DtM und Gl. (8) folgt mit k ¼ k=a ffi const (k hngt von den Widerstnden beider Fluide und von Rauigkeiten ab) 1,41 0,179 Q_ dh A¼ : ð9Þ 0,41 _ k KDtM ðVDpÞ Hieraus lsst sich die Flche A bei vorgegebenem Druckverlust abschtzen.
1.3 Stromfhrung und Betriebscharakteristik wrmebertragender Apparate Werden die Korrekturfaktoren nach Gl. (4) zu klein (s. Bild 4), ist Hintereinanderschaltung von 1,2-, 1,4- bzw. 2,4Wrmebertragern zu erwgen; dadurch Steigerung des wirksamen Temperaturgeflles bis in die Nhe des Optimums mglich. Zur wirtschaftlichen Bewertung sind die Kosten dieser Lsung (kompakte Bauweise, bessere a-Werte, kleinere e-Werte) mit den Kosten fr reine Gegenstrmer zu verglei-
Bild 8. Einfluss der Stromfhrung auf die bertragungsleistung fr gleiche Kapazittsstrme |R|=1 (durchgezogene Linie) und fr R=0 (gestrichelte Linie). 1 Gegenstrom, 2 idealer, 3 einseitig, 4 beidseitig quervermischter Kreuzstrom, 5 Gleichstrom [6]
chen. Bild 7 zeigt einen solchen Vergleich: Die Temperaturnderung S ¼ 0;67, die nur 1,1-Apparate im Gegenstrom zulsst, wird auf zwei 1,2-Apparate mit je S1 ¼ S2 ¼ 0;5 aufgeteilt: e ¼ 0;81 fr R=1. Apparate mit mehr als p=2 Mantelwegen lassen sich kaum wirtschaftlich herstellen und betreiben. Teilt man die bertragungsgleichung und die Bilanzgleichungen (s. K 1.2.1) durch die grßte Temperaturdifferenz t1 t10 und durch m_ 1 cp1 bzw. m_ 2 cp2 , so erhlt man sechs dimensionslose Kenngrßen: S1 , S2 , N1 , N2 , R und Q. Fr eine gegebene Stromfhrung legen zwei dieser Kennzahlen die anderen vier fest. Fr die Betriebscharakteristik gilt S1 ¼ N1 Q ¼ S2 N1 =N2 ¼ S2 R:
ð10Þ
Hierin bedeuten (analog S2 ; N2 ) S1 ¼
t1 t2 kA DtM ; N1 ¼ ; Q¼ : t1 t10 t1 t10 m_ 1 cp1
ð11Þ
Den Einfluß der Stromfhrung auf die Betriebscharakteristik zeigt Bild 8. Eine ausfhrliche Beschreibung unterschiedlicher Strmungsfhrungen und Schaltungsvarianten auf die bertragungsleistung und die Berechnung der Temperaturverlufe gibt Martin [6], Tabellen in [1].
1.4 Wirkungsgrade, Exergieverluste 1.4.1 Wirkungsgrade Der Reversibilittsgrad ist ein Maß fr die thermodynamische Vollkommenheit eines Apparats bzw. eines Prozesses [5]. hR ¼ E_ w =E_ a
ð12Þ
ist das Verhltnis der vom Bilanzgebiet an die Umgebung abgegebenen Exergiestrme E_ w (Nutzleistung) zu den verbrauchten Exergiestrmen E_ a . Um den Einfluss des Wrmebertragers auf den Prozess zu beurteilen, kann der verfahrenstechnische Gesamtgtegrad nach Glaser [7] dienen X E_ w =E_ a ; ð13Þ hG ¼ Bild 7 a, b. Hintereinanderschaltung von a zwei Gegenstrom-(2,2-) bzw. b zwei 1,2-Apparaten zu einem 2,4-Wrmebertrager
worin die Summe der verbrauchten Exergiestrme aller Apparate mit verlustfreiem Wrmebertrager zu bestimmen ist.
I2.2 1.4.2 Exergieverluste Exergieverluste werden vor allem durch folgende Vorgnge hervorgerufen: endliche Temperaturdifferenzen, Wrmeleitung oder Rckvermischung, Druckverluste, Wrmeaustausch mit der Umgebung (Isolierverluste). Ausfhrliche Beispiele fr Wrmebertrager sind in [8] zu finden. Verluste infolge endlicher Temperaturunterschiede. Fließt die Wrmemenge Q_ von der absoluten Temperatur T zur Temperatur T 0 , so ist der bezogene Exergieverlust E_ v =Q_ ¼ ðTu DTÞ=½TðT DTÞ
ð14Þ
0
mit DT ¼ T T und Tu Umgebungstemperatur. Fr Wrmebertrager kann nherungsweise mit mittleren logarithmischen Werten gerechnet werden (isobar, konstante cp -Werte):
Zylindrische Mntel und Rohre unter innerem berdruck
K5
Analog fr T 0 . Indices 1 und 2 bezeichnen die Ein- bzw. Austrittstemperaturen. Bild 9 zeigt Gl. (14): Mit abnehmender Temperatur (Tieftemperaturtechnik!) steigen die Verluste steil an, zur Begrenzung sind kleine Temperaturdifferenzen notwendig. Wrmeleitung oder Rckvermischung. Verluste durch molekulare oder turbulente axiale Transportvorgnge sind wegen der meist hohen Strmungsgeschwindigkeiten klein. Thermische Rckvermischungen durch mehrgngige Bauweisen, s. K 1.3. Verluste infolge Reibung. Der spezifische Exergieverlust betrgt ev ¼ Tu
Z2
ðv=TÞ dp:
ð16Þ
1
T ¼ ðT1 T2 Þ=lnðT1 =T2 Þ:
ð15Þ
Die Verluste steigen mit dem spezifischen Volumen v des Fluids und mit sinkender Temperatur. Nherungsweise kann man die Pumpenleistung zur Verlustbestimmung einsetzen [5]. Da u. U. ein Teil der dissipierten Energie als Wrme zurckgewonnen werden kann, ist eine genau Analyse notwendig [8]. Isolierverluste. Setzt man in Gl. (14) fr T 0 ¼ Tu und fr Q_ ¼ ðl=dÞAðT Tu Þ (mit l Wrmeleitfhigkeit und d Dicke der Isolierung), so wird [5]: ðT Tu Þ2 E_ v ¼ : ðl=dÞ A T
Bei tiefen Temperaturen macht sich eine gute Isolierung rasch bezahlt!
Bild 9. Exergieverluste durch endliche Temperaturunterschiede
Berechnungstemperatur bei Rohrleitungen ist DIN EN 134803 zu beachten.
2 Konstruktionselemente von Apparaten und Rohrleitungen 2.1 Berechnungsgrundlagen Hchstzulssiger Betriebsberdruck PS eines Druckraumes bei normaler Betriebsbelastung ist an einer festgelegten Stelle zu definieren. Dies ist entweder der Anschlusspunkt von Sicherheits- und/oder Begrenzungseinrichtungen oder der hchste Punkt des Druckraumes. Berechnungsdruck P, pc muss die auftretende maximale statische und dynamische Druckhhe einschließen und auf der grßtmglichen Druckdifferenz zwischen Behlterinnenseite und Behlteraußenseite basieren. Druckbehlter unter Außendruckbelastung sind fr den maximalen Differenzdruck auszulegen [1–4]. Eine Analyse der Ermdung ist nicht erforderlich, wenn die Anzahl der Druckzyklen n ber die volle Schwingbreite (d. h. von Null bis zum zulssigen Druck P oder Pmax ) unter 500 liegt oder bei kleinerer Druckschwingbreite DPj eine grßere Anzahl nj zugelassen wird. Die quivalente Anzahl der Druckzyklen neq entsprechend der quivalenzformel neq ¼
X DPj 3 nj Pmax
ð17Þ
ð1 aÞ
muss unter 500 liegen. Berechnungstemperatur t darf nicht niedriger sein als die im Betrieb zu erwartende tatschliche Wandtemperatur oder, wenn die Temperaturnderung ber die Wanddicke bekannt ist, als die mittlere Wandtemperatur. Fr die Festlegung der
Berechnungsnennspannung. Der maximal zulssige Wert fr die Berechnungsnennspannung an drucktragenden Teilen (außer Schrauben) wird nach Tab. 1 aus den Mindestwerten der 0,2 % Dehngrenze bzw. 1,0 % Dehngrenze Rp 0;2=t bzw. Rp 0;1=t oder der Mindestzugfestigkeit Rm=t bei der entsprechenden Temperatur t ermittelt. Je nach Bedingung ist fr die Berechnungsspannung f gleich die Berechnungsspannung im Betriebsfall fd oder die Berechnungsspannung im Prflastfall ftest zu setzen [5]. Zuschlge. Man unterscheidet: c Korrosions- bzw. Erosionszuschlag (entfllt, wenn Wnde von beiden Seiten ausreichend geprft werden knnen, Erosion ausgeschlossen werden kann und die verwendeten Werkstoffe ausreichend gegen Einflsse des Beschickungsmittels geschtzt sind) und de Absolutwert der Minustoleranz, der den zugehrigen Werkstoffnormen entnommen werden kann. Fr die Nennwanddicke en gilt: en e þ c þ de
ð1 bÞ
2.2 Zylindrische Mntel und Rohre unter innerem berdruck Die erforderliche Wanddicke e betrgt fr die Zylinderschale eines Druckbehlters mit dem Außendurchmesser De unter Bercksichtigung eines Schweißnahtfaktors z bei einem Wandstrke-Durchmesserverhltnis von e=De 0; 16 e¼
pc De : 2f z þ pc
ð2 aÞ
K
K6
Komponenten des thermischen Apparatebaus – 2 Konstruktionselemente von Apparaten und Rohrleitungen
Tabelle 1. Berechnungsspannungen
K
Der Verschwchungsbeiwert ist bei nahtlosen Mnteln z ¼ 1, bei geschweißten Verbindungen in der Schale z ¼ 0; 7 . . . 0; 85 . . . 1 abhngig von der Prfgruppe. Die Prfgruppen sind in DIN EN 13445-5 festgelegt. Fr gerade Rohre wird die erforderliche Wanddicke in Abhngigkeit vom Verhltnis Außen- zu Innendurchmesser wie folgt berechnet: fr De =Di 1; 7 ist pc De e¼ 2fd z þ pc fr De =Di > 1; 7 ist sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi! De fd z pc 1 e¼ : 2 fd z þ pc
ð2 bÞ
ð2 cÞ
Die Rohrwanddicke wird außer dem Innendruck durch die Handhabungsmglichkeit bei Transport und Montage, das Gewicht von Rohrleitung und Inhalt, klimatische Belastungen, dynamische Effekte des Fluids, Bewegung von Untergrund und Bauwerken, Schwingungen, Erdbeben, Durchbiegung zwischen Absttzungen, ußere Beschdigungsmglichkeiten (mechanisch, Korrosion), Art der Rohrverbindungen, Verkehrslasten und behinderte Wrmedehnung beeinflusst. Wenn die Gesamtzahl der Lastzyklen aus allen Quellen bei Rohrleitungen mehr als 1000 betrgt, ist eine detaillierte Ermdungsanalyse nach DIN EN 13480-3 erforderlich. Wrmespannungen De =Di < 1,7. Lngennderung Dl durch Temperaturdifferenz J J0 zwischen Betriebs- und Montagetemperatur ist Dl ¼ a l0 ðJ J0 Þ:
ð3 bÞ
l0 Montagelnge, a Wrmeausdehnungskoeffizient (s. D 3.1.2), E Elastizittsmodul. Bei Druckkrften Rohrknickung beachten. Treten in der Wand durch Heizen oder Khlen Temperaturdifferenzen auf, so entstehen an der Innen- bzw. Außenfaser (mit den Indizes i bzw. a) jeweils gleich große Tangentialund Axialspannungen, positiv bei der niedrigeren, negativ bei der hheren Temperatur: a E 3De þ Di ; ðJa Ji Þ 2ðDe þ Di Þ 2 1n a E De þ 3Di : sJe ¼ ðJa Ji Þ 2ðDe þ Di Þ 2 1n
pðDe þ en Þ þ sJi ; 2;3 en pðDe 3en Þ sv, a ¼ þ sJa : 2;3 en
sv, i ¼
sJi ¼
ð4Þ
ð5Þ
Hierin bedeuten en die ausgefhrte Wanddicke, n die Querkontraktionszahl und J die Temperaturen. Diese Nherungsformeln sind in der Praxis ausreichend genau, solange nur die jeweils grßte der beiden Vergleichsspannungen sv, i bzw. sv, a betrachtet wird, bzw. solange gilt: pðDe þ en Þ ; 4 en pðDe 3 en Þ sJe ^ : 4 en sJi ^
ð6Þ
Alle Gleichungen gelten fr nicht eingespannte Zylinder ohne zustzliche Axialspannungen aus ußeren oder Lagerkrften. berlagerte Spannungen aus Druck- und Temperaturdifferenzen fhren gemß Gl. (5) bei entgegengerichteten Gefllen ðpi > pa ; Ji < Ja Þ zu großen Spannungsspitzen an der Innenfaser (ungnstig!), dagegen bei gleichgerichteten Gefllen zu gleichmßigeren Spannungsverteilungen (prfen, ob u. U. sv, a > sv, i Þ. Die Wrmespannungen nach Gl. (4) nehmen mit zunehmender Wanddicke bei konstanter Temperaturdifferenz Ja Ji zu. Bei vorgegebener Wrmemenge Q_ und Lnge des Rohrs l0 muss, wegen des zunehmenden Wrmeleitwiderstands, auch die Temperaturdifferenz mit der Wanddicke grßer werden:
ð3 aÞ
Bei verhinderter Lngennderung entsteht die Axialspannung sJ ¼ E aðJ J0 Þ;
Hieraus lassen sich nherungsweise die maximalen, stationren Spannungen innen und außen berechnen:
Ja Ji ¼
Q_ De ln : 2 p l0 l Di
ð7Þ
Die Wrmespannungen steigen logarithmisch an, whrend die Druckspannungen abnehmen. Die summierten Vergleichsspannungen bilden ausgeprgte Minima, die sich bei zunehmenden Wrmespannungen zu kleineren Wanddicken verschieben.
2.3 Zylindrische Mntel unter ußerem berdruck Die Wanddicke von Bauteilen unter ußerem berdruck muss mindestens gleich der Wanddicke vergleichbarer Bauteile unter gleich hohem innerem berdruck sein. Sie muss mindestens dem nach folgenden Verfahren ermittelten Wert entsprechen.
I2.4 Tabelle 2. Werte fr pr =py fr Zylinderschalen nach DIN EN 13445–3
Ebene Bden
K7
bndelapparaten oder bei Deckeln von Hochdruckgefßen bzw. -verschlssen der Fall. Wo die Forderung der Ebenheit entfllt, ist zu prfen, ob die Trenn- oder Abschlussfunktion von gewlbten Bauteilen bernommen werden kann. Diese erlauben eine gnstigere Werkstoffausnutzung. Als ebene, nicht gelochte Abschlsse von Großbehltern oder -apparaten finden sich auch Anwendungen bis 8 000 mm. Die Dicke der Bden schwankt zwischen wenigen Millimetern als Untergrenze (Membranboden) und rund 650 mm als Obergrenze bei Dampferzeugern fr Kernkraftwerke. Neben der am hufigsten herangezogenen Kreisplatte werden auch rechteckige oder elliptische Platten, Kreisringplatten oder ebene, am Rande gekrempte Bden eingesetzt. Ebene Wandungen knnen grundstzlich unversteift oder durch Profile oder Zuganker versteift ausgefhrt werden. Die Plattendicke kann in Richtung des Radius vernderlich sein. Wanddicke verschweißter runder ebener Bden ohne Ausschnitt. Sie berechnen sich in Abhngigkeit von der Bodenform zu
a) Fr die ausgefhrte Wanddicke ea ist ein Wert zu schtzen und der Druck py , bei dem die mittlere Umfangsspannung einer Zylinderschale in der Mitte zwischen den Versteifungen die Fließgrenze erreicht, ist mit dem mittleren Radius der Zylinderschale R wie folgt zu berechnen: se ea : py ¼ R
ð8Þ
b) Der theoretische elastische Beuldruck pm bei Versagen einer perfekten Zylinderschale der Lnge L wird in Abhngigkeit von dem Elastizittsmodul E und der mittleren elastischen Dehnung in Umfangsrichtung bei Versagen e berechnet: pm ¼
E ea e R
ð9Þ
ð10 aÞ
pR L
! eeq ; A1 ¼ B1 1 B1 2 Di þ eeq 2 eeq 3f pc Di þ eeq 4 3 eeq pc 3 2Di þ eeq e2eq þ : f 4 Di þ eeq 3 16 Di þ eeq
ð11 cÞ
ð11 dÞ
Dabei sind eeq die quivalente Wanddicke der Zylinderschale nahe am Boden, r der innere bergangsradius eines Ansatzes und Deq ¼ Di r:
Dabei sind Z¼
mit den Beiwerten C1 , A1 und B1 Di þ eeq eeq C1 ¼ max 0; 40825A1 ; 0; 299 1 þ 1; 7 ; ð11 bÞ Di Di
B1 ¼1
mit 1 e¼ 2 2 ncyl 1 þ Z2 8 9 > < = 2 > 1 e2a 2 2 : 2 2 þ 12R2 ð1 u2 Þ ncyl 1 þ Z > > : ncyl þ 1 ; Z2
a) Ebene Bden mit Ansatz (gekremte ebene Bden), Bild 1a rffiffiffiffiffi pc ð11 aÞ e ¼ C1 Deq f
ð11 eÞ
ð10 bÞ
u die Querkontraktionszahl, L die ungesttzte Schalenlnge und ncyl die Anzahl der Beulwellen die beim Versagen des unversteiften Teils des Zylinders in Umfangsrichtung auftreten knnen (ncyl ganzzahlig 2). c) Das Verhltnis pm =py ist zu berechnen, und das Verhltnis pr =py aus Tab. 2 zu entnehmen. d) Der Wert fr den berechneten unteren Versagensdruck pr ist aus pr =py und py zu berechnen. Der geforderte Auslegungsaußendruck P muss folgende Bedingung erfllen: P < pr =S:
ð10 cÞ
Als Sicherheitsbeiwert S ist je nach Bedingung fr die Auslegung 1,5 oder fr die Prfung 1,1 zu setzen.
2.4 Ebene Bden Ebene Platten finden stets Verwendung, wenn die Drcke oder Druckdifferenzen klein sind oder wenn die Notwendigkeit besteht, dass die Trennflche eben ist. Das ist bei Rohr-
Bild 1 a-c. Ebene Bden. a Boden mit Ansatz; b Kehlnahtverschweißter Boden; c verschraubter Boden
K
K8
Komponenten des thermischen Apparatebaus – 2 Konstruktionselemente von Apparaten und Rohrleitungen
b) kehlnahtverschweißte ebene Bden, Bild 1b – bei normalen Betriebsbedingungen mit dem Beiwert C2 nach Bild 2 rffiffiffiffiffi rffiffiffiffiffiffiffi pc pc ; C 2 Di e ¼ max C1 Di : ð11 fÞ f fmin Als Berechnungsnennspannung fmin ist die geringere der beiden Berechnungsnennspannungen des Bodens f oder der Schale fs zu setzen. fmin ¼ minff ; fs g, – bei Prfbedingungen rffiffiffiffiffiffiffiffi ptest e ¼ C1 Di : ftest
ð11 hÞ
sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ffi 3ðC GÞ W , eA ¼ pG fA
eP ¼
sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 3ð3 þ uÞ 3 G pc G þ3 þ 2b m ðC GÞ : f 32 4
ð11 iÞ
Bild 2. Beiwert C2
b) Bden mit durchgehender Dichtung Die erforderliche Dicke des Bodens e berechnet sich zu rffiffiffiffiffi pc e ¼ 0; 41C : ð11 oÞ f
Wanddicke ebener Bden mit Ausschnitten
( sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi) j 3 ; jd
Y1 ¼ min 2;
Y2 ¼
sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi j jd
ð11 qÞ
ð11 rÞ
ð11 kÞ
und die verschraubter ebener Bden zu
ð11 lÞ
mit e0 als erforderliche Dicke des Bodens ohne Ausschnitt. Der Grße j ist ein aus der Lage eines Ausschnitts ermittelter Faktor, der bei Bden mit einem Ausschnitt in Gl. (11 q) gleich dem doppelten des Abstandes h und in Gleichung (11 r) gleich Di ist. Bei Bden mit zwei Ausschnitten ist j gleich dem Abstand der Mittelpunkten zweier benachbarter Ausschnitte. Der Abstand vom Mittelpunkt des Ausschnittes zum Außenrand des Bodens wird mit h bezeichnet. Bei Bden mit mehreren Ausschnitten ist jeder Ausschnitt als Einzelausschnitt und darber hinaus jede mgliche Ausschnittpaarkombination zu berechnen.
e ¼ Y2 e0
Hierin bedeuten C der Lochkreisdurchmesser, G der wirksame (mittlere) Dichtungsdurchmesser, m der Dichtungsbeiwert (nach Herstellerangaben oder DIN EN 13445-3, Anhang H), b die wirksame Dichtungsbreite, W die Schraubenkraft und u die Querkontraktionszahl des Bodenwerkstoffs. Die erforderliche Dicke des Flanschbereichs e berechnet sich zu e ¼ maxfeA ; eP1 g,
ð11 nÞ
Die Wanddicke ebener verschweißter Bden e berechnet sich mit den Berechnungsbeiwerten Y1 , Y2 zu rffiffiffiffiffi pc e ¼ max ðY1 e0 Þ; C1 Y2 Di ; ð11 pÞ f
a) Bden mit innen liegender Dichtung Die erforderliche Dicke des Bodens innerhalb der Dichtung e berechnet sich zu e ¼ maxfeA ; eP g,
sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi rffiffiffiffiffi G pc : 3 þ 2 b m ðC GÞ f 4
ð11 gÞ
Wanddicke verschraubter runder ebener Bden ohne Ausschnitt, Bild 1c
K
ePl ¼
ð11 mÞ
ð11 sÞ
I2.5
Gewlbte Bden
K9
0;825 #ð1=1;5Þ pc Di 111fb r
ð12 dÞ
2.5 Gewlbte Bden Die Formen gewlbter Bden liegen zwischen dem ebenen Boden und dem Halbkugelboden als Grenzflle. In Deutschland berwiegen torisphrische Bden, die sich aus einer Kugelkalotte (Radius R) und einer Krempe (Radius r) zusammensetzen, Bild 3. Bekannte Bauformen sind Klpperboden (R ¼ De , r ¼ 0; 1 De ) und Korbbogenboden (R ¼ 0; 8 De ; r ¼ 0; 154 De ). Die Bordhhen sollen bei Klpperbden 3,5 e und bei Korbbogenbden 3,0 e nicht unterschreiten. Bei Bden, die aus einem Krempen- und einem Kalottenteil zusammengeschweißt werden, soll ein Mindestabstand x zwischen Verbindungsschweißnaht und Krempe eingehalten werden. Bei Klpperbden ist x ¼ 3; 5 e, bei Korbbogenbden x ¼ 3; 0 e, mindestens jedoch 100 mm. In angelschsischen Lndern berwiegt die ellipsoidische Form, in der Regel mit einem Achsenverhltnis von 2:1. In allen Fllen gewhrleisten gewlbte Bden eine bessere Werkstoffausnutzung als ebene Bden. Gegenber Halbkugelbden bieten sie den Vorteil geringerer Bauhhe und vielfach besserer Zugnglichkeit. Die Abmessungen bewegen sich zwischen 50 und 12 000 mm als Grenzflle. Die Verbindung von Bden mit anschließenden Bauteilen ist mglichst als Stumpfstoß auszufhren. Querschnittsbergnge sind konisch auszubilden. Die Berechnungsregeln gelten fr gewlbte Bden mit dem Kalottenradius R De , dem Krempenradius r 0; 2 Di , r 0; 06 Di bzw. r 2 e und der erforderliche Wanddicke e des gewlbten Bodens e 0; 08 De und e 0; 001 De . Erforderliche Wanddicke. Halbkugelbden sind nach Gl. (12 a) zu berechnen. Die Wanddicke des zylindrischen Bords bis zur Tangente muss mindestens der Wanddicke der Zylinderschale nach Gl.(2 a) entsprechen. e¼
pc De , 4f z þ pc
ð12 aÞ
mit De Außendurchmesser, pc Berechnungsdruck, f Berechnungsnennspannung, z Schweißnahtfaktor. Die erforderliche Wanddicke torisphrischer Bden e ist gleich dem grßten der folgenden Werte es , ey , eb . pc R es ¼ 2f z 0; 5pc ,
ð12 bÞ
Bild 3. Torisphrischer Boden
" eb ¼ ð0; 75R þ 0; 2Di Þ
mit es erforderliche Wanddicke des Bodens zur Begrenzung der Membranspannung in der Mitte, ey erforderliche Wanddicke der Krempe zur Verhinderung achssymmetrischen Fließens, eb erforderliche Wanddicke der Krempe zur Verhinderung plastischen Beulens, f Berechnungsnennspannung, fb Berechnungsnennspannung in der Beulgleichung, Di Innendurchmesser des zylindrischen Bords. Fr alle Werkstoffe, ausgenommen kaltumgeformte nahtlose Bden aus austenitischem rostfreiem Stahl gilt: fb ¼ f
fb ¼ 1; 6 f
Bild 4. Berechnungsbeiwert b
ð12 cÞ
ð12 fÞ
Der Beiwert b wird nach Bild 4 ermittelt. Die erforderliche Wanddicke elliptischer Bden e gilt fr Bden mit 1; 7 < K < 2; 2 und z ¼ 1. Sie wird quivalent torisphrischer Bden berechnet, wobei gilt: 0; 5 0; 08 ð12 gÞ r ¼ Di K und R ¼ Di ð0; 44K þ 0; 02Þ
ð12 hÞ
und K¼
b pc ð0; 75R þ 0; 2Di Þ ey ¼ , f
ð12 eÞ
Fr kaltumgeformte nahtlose Bden aus austenitischem rostfreiem Stahl gilt:
Di 2hi
hi ist die Innenhhe des gewlbten Teils des Bodens.
ð12 iÞ
K
K 10
Komponenten des thermischen Apparatebaus – 2 Konstruktionselemente von Apparaten und Rohrleitungen
2.6 Ausschnitte Schalen unter innerem berdruck mit Ausschnitten mssen im Ausschnittbereich angemessen verstrkt werden, um die Verschwchung der Querschnittsflche auszugleichen. Die Verstrkung kann durch eines oder eine Kombination der nachfolgenden Verfahren erfolgen: a) erhhen der Wanddicke der Schale gegenber der erforderlichen Mindestdicke der unverschwchten Schale, b) aufschweißen scheibenfrmiger Verstrkungen, c) einschweißen ringfrmiger Verstrkungen, d) erhhen der Stutzenwanddicke ber den fr die Membranspannung geforderten Wert.
K
Die Abmessungen der zu verstrkenden Querschnittsflche eines Ausschnitts mssen zunchst geschtzt werden. Mit Gl. (13 a) wird nachgewiesen, dass die Reaktionskraft des Werkstoffs, die sich als Produkt aus der mittleren Membranspannung und allen spannungsbeanspruchten Querschnittsflchen des Werkstoffs Af ergibt, grßer oder gleich der Summe des Produkts von Druck und druckbeanspruchten Querschnittsflchen Ap ist (Bilder 5 und 6). ðAfs þ Afw Þðfs 0; 5pc Þ þ Afp fop 0; 5pc ð13 aÞ þ Afb ðfob 0; 5pc Þ pc Aps þ Apb þ Apj Dabei ist: fob ¼ minðfs ; fb Þ;
ð13 bÞ
fop ¼ minðfs ; fp Þ:
ð13 cÞ
Spannungsbeanspruchte Querschnitte – Effektive Querschnittsflche der Schale Afs mit der berechneten Wanddicke ea; s und der angenommenen Wanddicke
der Schale ec; s , der zur Ausschnittverstrkung anrechenbaren maximalen Lnge einer Schale lso und der konstruktiven Lnge der Schale vom Rand eines Ausschnitts bis zu einer Strstelle der Schale ls . Afs ¼ ec; s l0s ;
ð14 aÞ
l0s ¼ minflso ; ls g
ð14 bÞ
lso ¼
qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2ris þ ec;s ec;s :
ð14 cÞ
– effektive Querschnittsflche der Verstrkungsscheibe Afp mit der mittragenden Wanddicke einer Verstrkungsscheibe ep und der Breite einer Scheibe lp Afp ¼ ep l0p ; l0p ¼ min lso ; lp ;
ð14 eÞ
ep ¼ min ea;p ; ea;s ;
ð14 fÞ
ea;p 1; 5ea;s :
ð14 gÞ
– effektive Querschnittsflche des Stutzens Afp mit der mittragenden Wanddicke eines Stutzens zur Verstrkungsberechnung eb , der aus der Schale herausragenden mittragenden Lnge eines Stutzens zur Verstrkungsberechnung l0b , der in die Schale hineinragenden mittragenden Lnge eines Stutzens zur Verstrkungsberechnung l0bi und der Einstecktiefe eines Stutzen in die Schalenwand bei nicht vollstndig durchgestecktem Einschweißstutzen e0s . Afb ¼ eb l0b þ l0bi þ e0s ; ð14 hÞ l0b ¼ minflbo ; lb g,
ð14 iÞ
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi lbo ¼ ðdeb eb Þ eb ,
ð14 kÞ
l0bi ¼ minf0; 5lbo ; lbi g
ð14 lÞ
mit lb aus der Schale herausragende Lnge eines Stutzens; siehe Bilder 5 und 6. Druckbeanspruchte Querschnittsflchen Ap – Drucktragende Flche der Schale Aps Aps ¼ As þ 0; 5 d ea;s þ 0; 5 di ep : Bild 5. Zylinderschale mit Einzelausschnitt
Fr Zylinderschalen in Lngsrichtung mit dem inneren Krmmungsradius der Schale im Ausschnittmittelpunkt ris und dem Durchmesser eines Ausschnitts d gilt fr die Teilflche As : As ¼ ris ðl0s þ 0; 5dÞ: Fr Kegelschalen in Lngsrichtung gilt: As ¼ 0; 5ðl0s þ aÞ ris þ ris þ l0s þ a tan a :
Bild 6. Kugelschale oder gewlbter Boden mit Einzelausschnitt
ð15 aÞ
ð15 bÞ
ð15 cÞ
Hierin sind a der Abstand zwischen dem Ausschnittmittelpunkt und der Außenkante eines Stutzens, gemessen am mittleren Krmmungsradius der Schale und a der halbe ffnungswinkel der Kegelschale. Fr gewlbte Bden oder Kugelschalen in jeder Schnittrichtung und fr Zylinderschalen in Querrichtung mit dem mittleren Krmmungsradius der Schale im Ausschnittmittelpunkt rms gilt: l0 þ rms arcsin 2rdms 2 s ð15 dÞ As ¼ 0; 5ris 0; 5ea;s þ ris
I2.7
Flanschverbindungen
K 11
Tabelle 3. Krmmungsradius ris
mit rms ¼ ris þ 0; 5ea;s :
ð15 eÞ
– Drucktragende Flche Apb eines Stutzens mit dem Innendurchmesser dib Apb ¼ 0; 5dib l0b þ ea;s : ð15 fÞ – Zustzliche druckbeanspruchte Flche Apj aufgrund der Schrgstellung j eines Stutzens Apj ¼
2 dib tan j: 2
ð15 gÞ
Eine gegenseitige Beeinflussung zweier Ausschnitte kann vernachlssigt werden, wenn folgende Bedingung erfllt ist: Lb a1 þ a2 þ lso1 þ lso2
ð15 hÞ
mit Lb Mittelpunktabstand zwischen zwei Ausschnitten oder Stutzen, gemessen am mittleren Krmmungsradius der Schale, a1 Abstand zwischen dem Ausschnittmittelpunkt und der Außenkante eines Stutzens, gemessen am mittleren Krmmungsradius der Schale fr Stutzen 1, a2 Abstand zwischen dem Ausschnittmittelpunkt und der Außenkante eines Stutzens, gemessen am mittleren Krmmungsradius der Schale fr Stutzen 2, lso1 zur Ausschnittverstrkung anrechenbare maximale Lnge einer Schale nach Gl. (14 c), lso2 zur Ausschnittverstrkung anrechenbare maximale Lnge einer Schale nach Gl. (14 c).
2.7 Flanschverbindungen 2.7.1 Schrauben Dehnschrauben sollen bei Betriebstemperaturen ber 300 C oder Betriebsdrcken ber 40 bar verwendet werden. Dabei werden als Dehnschrauben nur solche Schrauben bewertet, deren Schaftdurchmesser oder deren Maße DIN 2510 entsprechen. Schrauben mit durchgehendem Gewinde gelten hinsichtlich ihrer Bewertung als Starrschrauben. Schrauben unter M 10 sollten mglichst nicht verwendet werden. Es mssen mindestens vier Schrauben pro Flanschverbindung verwendet werden [6, 7]. Flansche, die einer DIN EN-Norm fr Rohrleitungsflansche entsprechen, knnen ohne weitere Berechnung fr Druckbehlter verwendet werden, wenn sie smtliche nachstehende Bedingungen erfllen. – Unter normalen Betriebsbedingungen liegt der Berechnungsdruck unter dem in den Tabellen der einschlgigen DIN EN-Norm angegebenen Nenndruck fr Flansch und Werkstoff bei Berechnungstemperatur. – Unter Prfbedingungen oder außergewhnlichen Belastungen berschreitet der Berechnungsdruck nicht das 1,5fache des in den genannten Tabellen angegebenen Nenndrucks bei der entsprechenden Temperatur. – Die Dichtung ist nach Tab. 4 fr den Flansch der betreffenden PN-Reihe oder Klasse zugelassen.
– Die Schrauben gehren mindestens zu der Festigkeitskategorie (Tab. 5), die als Mindestforderung nach Tab. 4 fr den in der Flanschverbindung verwendeten Dichtungstyp festgelegt ist. – Der Behlter ist berwiegend nichtzyklischen Belastungen ausgesetzt. – Die Differenz zwischen mittlerer Temperatur von Schrauben und Flansch berschreitet unter keinen Bedingungen 50 C. – Die Wrmeausdehnungskoeffizienten von Schrauben- und Flanschwerkstoff bei 20 C differieren um mehr als 10 % (z. B. Flansche aus austenitischem und Schrauben aus ferritischem Stahl), die Betriebstemperatur betrgt jedoch maximal 120 C, oder die Wrmeausdehnungskoeffizienten von Schrauben- und Flanschwerkstoff bei 20 C differieren um maximal 10 %. Belastungsverhltnisse. Nach Bild 7 greifen am Flansch mit innen liegender Dichtung folgende Krfte an: Rohrlngskraft HD , Kraft durch Innendruck auf den Kreisringquerschnitt an der Flanschdichtflche HT , Dichtungskraft HG und Schraubenkraft W, die den vorstehenden Krften das Gleichgewicht halten muss. Die infolge eines Biegemoments in anschließenden Rohrleitungen auftretenden Krfte werden blicherweise nicht bercksichtigt. Die Schraubenkrfte und Schraubenquerschnitte sind fr den Einbauzustand vor Druckaufgabe und fr den Betriebszustand zu ermitteln. Es kann erforderlich sein, die Berechnung auch fr mehr als einen Betriebszustand durchzufhren. WA ¼ p b G y
ð16 aÞ
mit WA erforderliche Schraubenkraft fr den Einbauzustand, b Wirkbreite der Dichtung, G Durchmesser der wirksamen
Bild 7. Krfte am Vorschweißflansch
K
K 12
Komponenten des thermischen Apparatebaus – 2 Konstruktionselemente von Apparaten und Rohrleitungen
Tabelle 4. Dichtungen fr Standardflansche nach DIN EN 13445–3
K
Tabelle 5. Schraubenfestigkeitskategorien nach DIN EN 13445–3
Dichtungsflche, y Setzdruck von Dichtung oder Verbindung nach Herstellerangaben oder DIN EN 13445–3, Anhang H. Die erforderliche Schraubenkraft im Betriebszustand Wop setzt sich aus der Innendruckkraft H und der Kraft an der Dichtung zur Gewhrleistung der Dichtheit der Verbindung HG zusammen. Wop ¼ H þ HG :
ð16 bÞ
Die Wirkbreite der Dichtung oder Verbindung b wird in Abhngigkeit von der konstruktiv festgelegten Breite der Dichtung w, die durch Dichtungsbreite und Flanschdichtflche begrenzt wird, angenommen. Fr Flansche, außer Flansche mit Ringnut, ist die theoretische Sitzbreite der Dichtung bo bo ¼
w 2
ð16 cÞ
und fr Flansche mit Ringnut w bo ¼ : 8
ð16 dÞ
Fr bo 6; 3 mm gilt: b ¼ bo
ð16 eÞ
mit G = mittlerer Durchmesser der Dichtungsauflageflche. Fr bo > 6; 3 mm gilt: pffiffiffiffiffi b ¼ 2; 52 bo ð16 fÞ mit G = Außendurchmesser der Dichtungsauflageflche minus 2b.
Der Gesamtwert der Innendruckkraft H und die Kraft an der Dichtung zur Gewhrleistung der Dichtheit der Verbindung HG berechnen sich zu p H ¼ G2 P; 4
ð16 gÞ
HG ¼ 2 p G m P
ð16 hÞ
mit P Berechnungsdruck (ußerer berdruck), m Dichtungsbeiwert nach Herstellerangaben oder DIN EN 13445–3, Anhang H. Die erforderliche Gesamtquerschnittsflche aller Schrauben AB; min wird wie folgt berechnet: AB; min ¼ max
WA Wop : ; fB;A fB
ð16 iÞ
Sowohl fr die Montage als auch fr den Betrieb gelten im Hinblick auf die Festlegung der Berechnungsnennspannungen bei Montagetemperatur fB; A bzw. bei Betriebstemperatur fB – fr Kohlenstoffsthle und andere nichtaustenitische Sthle der kleinere Wert von Rp 0;2 =3 bei Auslegungstemperatur und Rm =4 bei Umgebungstemperatur, – fr austenitische nichtrostende Sthle Rm =4 bei Auslegungstemperatur. Fr Prfbedingungen und außergewhnliche Betriebsbedingungen knnen die Werte der zulssigen Spannung mit dem Faktor 1,5 multipliziert werden. Die Schraubenfestigkeitskategorien sind in Abhngigkeit von den Dichtungen und dem Flanschwerkstoff fr die PN-Reihen nach Tab. 4 und Tab. 5 festzulegen. Die Gesamtkernquerschnittsflche der Schrauben im kleinsten Durchmesser AB muss grßer oder gleich AB;min sein. Der Gewindekerndurchmesser dBe einer Starrschraube bzw. der Schaftdurchmesser dBs einer Dehnschraube in einer Ver-
I2.7 bindung mit n Schrauben ist rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 4AB; min þ c: dBe bzw: dBs ¼ pn
K 13
Festflansch mit innen liegender Dichtung unter Innendruck (s. Bild 7) ð16 kÞ
Als Konstruktionszuschlag c fr den Betriebszustand kann bei Starrschrauben c ¼ 3 mm bis M24 und c ¼ 1 mm ab M52 oder entsprechendem Gewindekerndurchmesser eingesetzt werden. Im Zwischenbereich ist linear zu interpolieren, bei Dehnschrauben ist c ¼ 0 zu setzen (s. Anh. K 2 Tab. 1). 2.7.2 Flansche Die vom Flansch aufzunehmende Schraubenkraft (s. Bild 7) ist fr die unterschiedlichen Belastungszustnde nach K 2.7.1 zu ermitteln. Die Schwchung des Flanschs durch die Schraubenlcher wird in der Rechnung durch einen Korrekturfaktor CF in Abhngigkeit vom Schraubenaußendurchmesser db , Abstand zwischen den Mittellinien benachbarter Schrauben db , Dichtungsbeiwert m und der erforderliche Flanschdicke e bercksichtigt: (sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ) db ;1 : ð17 aÞ CF ¼ max 6e 2db þ mþ0;5 Die berechneten Spannungen am Flansch in radialer sr und tangentialer Richtung QQ sowie im Ansatz sH drfen folgende Grenzwerte f und fH nach K 2.1 Tab. 1 nicht berschreiten: k sH 1; 5 minf f ; fH g;
Flanschverbindungen
Die Lngsspannung im Ansatz sH ist sH ¼
l¼
e bF þ l0 e 3 bV þ bT l0 bu l0 g20
k sQ f ;
ð17 dÞ
ð18 bÞ
und den Beiwerten nach Bild 8, Bild 9, Bild 10. Der Beiwert bT berechnet sich zu: K 2 ð1 þ 8; 55246 log10 ðKÞÞ 1 : ð1; 0472 þ 1; 9448K 2 ÞðK 1Þ
bT ¼
ð18 cÞ
Mit dem Flanschaußendurchmesser A werden das Verhltnis K zu K¼
A B
und der Lngenparameter l0 zu pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi l0 ¼ B g0
ð18 dÞ
ð18 eÞ
berechnet. Die Radialspannung im Flansch sr betrgt sr ¼
ð1; 333 e bF þ l0 ÞM : l e2 l0
ð18 fÞ
Die Tangentialspannung im Flansch sQ betrgt sQ ¼
ð17 cÞ
ð18 aÞ
mit dem Beiwert l
ð17 bÞ
k sr f ;
jM l g21
bY M K2 þ 1 sr 2 e2 K 1
ð18 gÞ
1 K 2 log10 ðKÞ 0; 66845 þ 5; 7169 : K 1 K2 1
ð18 hÞ
mit bY ¼ 0; 5 kðsH þ sr Þ f ;
ð17 eÞ
0; 5 kðsH þ sQ Þ f :
ð17 fÞ
Der Spannungsbeiwert k betrgt in Abhngigkeit vom Flanschinnendurchmesser B k ¼ 1; 0 fr B 1 000 mm und k ¼ 1; 333 fr B 2 000 mm. Zwischenwerte sind wie folgt zu berechnen: 2 B k¼ 1þ : ð17 gÞ 3 2 000 Die Spannungen am Flansch werden aus dem Flanschmoment M berechnet. Fr den Einbauzustand ist M ¼ MA
CF : B
ð17 hÞ
Fr den Betriebszustand ist M ¼ Mop
CF : B
ð17 iÞ
Die Gesamtmomente MA und Mop werden wie folgt berechnet: a) Einbauzustand MA ¼ W hG ;
ð17 kÞ
W ¼ 0; 5ðAB; min þ AB Þ fB; A
ð17 lÞ
mit W Auslegungsschraubenlast fr den Montagezustand, fB, A Berechnungsnennspannung der Schrauben bei Montagetemperatur.
Losflansch mit innen liegender Dichtung unter Innendruck Fr die Losflanschverbindung (Bild 11) sind die Radialspannungen im Flansch sr und die Lngsbeanspruchung im Ansatz sH gleich Null. Die Tangentialspannung im Flansch wird wie folgt berechnet: sQ ¼
ð17 mÞ
ð19 aÞ
Der fr smtliche Lastkomponenten einwirkende Hebelarm ist als hL anzunehmen. Es gilt hL ¼
ðC G1 Þ 2
ð19 bÞ
mit dem Schraubenlochkreisdurchmesser C und dem angenommenen Durchmesser der Belastungsreaktion zwischen Losflansch und Bund G1 . G1 ¼
ðA2 þ B2 Þ 2
ð19 cÞ
Mop ¼ Wop hL
ð19 dÞ
MA ¼ W hL :
ð19 eÞ
Fr das Flanschmoment M gelten die Gln. (17 h) und (17 i). Die Spannung sb an der Kontaktflche Ac wird fr den Montagezustand und die Betriebsbedingungen wie folgt ermittelt:
b) Betriebszustand Mop ¼ HD hD þ HT hT þ HG hG :
bY M : e2
sb ¼
Wop ; Ac
ð19 fÞ
K
K 14
K
Komponenten des thermischen Apparatebaus – 2 Konstruktionselemente von Apparaten und Rohrleitungen
Bild 8. Korrekturbeiwert j
Bild 9. Beiwert bF
sb ¼
W : Ac
ð19 gÞ
Die Kontaktflche Ac ergibt sich nach Gleichung (19 h) aus dem Außendurchmesser der Kontaktflche zwischen Losflansch und Bund A2 und dem Innendurchmesser der Kontaktflche zwischen Losflansch und Bund B2 . p Ac ¼ min A22 G21 ; G21 B22 : ð19 hÞ 2 Die Spannung an der berlappung sb darf das 1,5fache des niedrigeren der zulssigen Spannungswerte von Losflansch und Bund nicht berschreiten. Flansche mit innen liegender Dichtung unter Außendruck Flansche, die sowohl durch Innen- als auch durch Außendruck beansprucht werden, mssen auch fr beide Zustnde
berechnet werden. Der Außendruck kann vernachlssigt werden, wenn der Berechnungsaußendruck Pe kleiner als der Berechnungsinnendruck P ist. Die Berechnung der Flansche unter Außendruck erfolgt analog der Berechnung unter Innendruck mit folgenden Abweichungen: a) P wird durch Pe ersetzt; P Berechnungsinnendruck, Pe Berechnungsaußendruck. b) Mop ¼ HD ðhD hG Þ þ HT ðhT hG Þ,
ð20 aÞ
hD ¼ ðC BÞ=2;
ð20 bÞ
hT ¼ ð2 C B GÞ=4;
ð20 cÞ
hG ¼ ðC GÞ=2:
ð20 dÞ
c) Wop ¼ 0:
ð20 eÞ
I2.8
Rohrleitungen
K 15
K Bild 10. Beiwert bV
2.8.2 Strmungsverluste Bei inkompressiblen Fluiden entstehen Druckverluste, bei kompressiblen Fluiden (Gasen) Druckverluste, Volumenvergrßerungen und Beschleunigungen. Der Wrmeaustausch mit der Umgebung ist abhngig von der Isolierung. Druckverluste setzen sich zusammen aus den Verlusten in geraden Rohrstcken, in Formstcken und Armaturen (Einzelwiderstnde). Ausfhrliche Berechnungsunterlagen s. B 6.2 und [10]. Druckverluste in Stahlrohren s. Anh. K 2 Bild 1 [11], in Armaturen s. K 2.9.1 und Anh. K 2 Bild 2.
2.8.3 Rohrarten, Normen, Werkstoffe Allgemeines Bild 11. Losflansch
2.8 Rohrleitungen 2.8.1 Rohrdurchmesser Der innere Rohrdurchmesser d ergibt sich aus der Kontinuittsgleichung mit dem Volumenstrom V_ und dem Rohrquerschnitt bei gewhlter Strmungsgeschwindigkeit u zu qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi _ d ¼ 4 V=ðuÞ . Bei vorgegebenem V_ ist p u so zu whlen, dass die Rohrleitungs- und Betriebskosten niedrig sind und d den genormten Werten entspricht. Großes u bedeutet kleinen Rohrdurchmesser, kleine Armaturen, geringen Aufwand fr Isolierung und Anstrich, andererseits hohe Druckverluste (grßerer Aufwand fr Pumpen, hhere Betriebskosten) und hheren Geruschpegel. Wirtschaftlicher Rohrdurchmesser ergibt sich aus geringster Summe von Anlage- und Betriebskosten unter Bercksichtigung des Anlage-Ausnutzungsgrads (= Betriebszeit/(Betriebszeit + Stillstandszeit)). Richtwerte fr Geschwindigkeiten in [8, 9] und Anh. K 2 Tab. 2.
Wichtige Normen und Vorschriften fr den Rohrleitungsbau: DIN EN 1333 Rohrleitungsteile – Definition und Auswahl von PN. – DIN EN ISO 6708 Rohrleitungsteile – Definition und Auswahl von DN (Nennweite). – DIN 2408 T 1 u. T 2 Rohrleitungen verfahrenstechnischer Anlagen; Planungs- und Ausfhrungsunterlagen. – DIN 2410 T 1 – T 3 bersicht ber Rohrarten. – DIN EN 13480 – 3 Metallische industrielle Rohrleitungen – Teil 3: Konstruktion und Berechnung. – DIN EN 805 Wasserversorgung – Anforderungen an Wasserversorgungssysteme und deren Bauteile außerhalb von Gebuden. DIN 4279 T 2 bis T 10 Innendruckprfung von Druckrohrleitungen fr Wasser; verschiedene Werkstoffe (außer Stahl). – ISO 4200 Nahtlose und geschweißte Rohre; bersicht ber Maße. – EU-Richtlinie fr Druckgerte 97/23/EG v. 29. Mai 1997. – VdTV Merkbltter ber verschiedene Prfverfahren an Rohrleitungsanlagen. Maximilian-Verlag, Herford. – DVGW Arbeitsbltter fr den Rohrleitungsbau im Gas- und Wasserfach. ZfGW-Verlag, Frankfurt a. M. Fr genormte Bauteile von Rohrleitungssystemen, die das PN-Kenngrßensystem verwenden, gilt der Begriff PN. PN ist eine alphanumerische Kenngrße fr Referenzzwecke, bezogen auf eine Kombination von mechanischen und maßlichen Eigenschaften eines Bauteils eines Rohrleitungssystems. Die Zahl hinter den Buchstaben PN ist kein messbarer Wert.
K 16
Komponenten des thermischen Apparatebaus – 2 Konstruktionselemente von Apparaten und Rohrleitungen
Der zulssige Druck eines Rohrleitungsteils hngt von der PN-Stufe, dem Werkstoff und der Auslegung des Bauteils, der zulssigen Temperatur usw. ab. Alle Bauteile mit gleichen PN- und DN-Stufen sollen gleiche Anschlussmaße fr kompatible Flanschtypen haben. Die PN-Stufen mssen ausgewhlt werden aus:
Rohre aus Gusseisen Druckrohre aus duktilem Gusseisen (DIN EN 545, DIN EN 969) mit Schraubmuffen (Wasser bis PN 40, DN 80 bis DN 600), Stopfbuchsenmuffen (Wasser bis PN 25, DN 500 bis DN 1 200), und TYTONMuffen (Wasser bis PN 40, DN 80 bis DN 600), fr Gas bis PN 1 s. a. DIN EN 969.
Weitere Rohrwerkstoffe Nennweite DN ist die Kenngrße (kennzeichnendes Merkmal) fr zueinander passende Teile, z. B. Rohre mit Formstcken oder mit Armaturen. Die Nennweite DN wird ohne Einheit angegeben; sie stimmt etwa mit der lichten Weite in mm berein. Rohre aus Stahl
K
Allgemeine Angaben ber geschweißte Rohre aus unlegierten Sthlen DIN 1626: Handelsgte: fr allgemeine Anforderungen bei Leitungen und Behltern sowie im Apparatebau. Bis 120 C: fr Flssigkeiten bis 25 bar, fr Luft und ungefhrliche Gase bis 10 bar Betriebsdruck; bis 180 C: fr Sattdampf bis 10 bar. Werkstoffe: St 33, USt 37.0, St. 37.0, St. 44,0, St. 52,0. Mit Gtevorschriften: fr hhere Anforderungen, geeignet zum Biegen, Brdeln u..; bis 120 C: bis 64 bar, ber 120 bis 300 C auch bis 64 bar Betriebsdruck, wenn Wandtemperatur in C multipliziert mit Betriebsdruck in bar % 7 200; mit besonderem Abnahmezeugnis ohne vorgeschriebene Begrenzung. Besonders geprfte Rohre mit Gtevorschriften: fr besonders hohe Anforderungen; bis 300 C ohne vorgeschriebene Begrenzung des Betriebsdrucks. Allgemeine Angaben ber nahtlose Rohre aus unlegierten Sthlen DIN 1629: Anwendungsbereiche und Werkstoffe hnlich DIN 1626. Przisionsstahlrohre: nahtlos (DIN 2391, fr alle Drcke, 4 bis 120 mm Außendurchmesser), geschweißt (DIN 2393, fr alle Drcke, 4 bis 120 mm Außendurchmesser), geschweißt und maßgewalzt (DIN 2394, bis PN 100, 6 bis 120 mm Außendurchmesser) fr Verwendungszwecke mit großer Genauigkeit, besonders Oberflchenbeschaffenheit, geringe Wanddicken. Bezeichnung und Werkstoff: Rohr 30 2 DIN 2391 St52 zugblank, weich, hart, weich geglht usw. Gewinderohre, nahtlos oder geschweißt, mittelschwer (DIN 2440) und schwer (DIN 2441) aus St 33. Nahtlose Stahlrohre (2445, 2448) aus verschiedenen Sthlen St 33 bis St 52 (entspricht DIN 1629) mit 10,2 bis 558,5 mm Außendurchmesser. Bei gleichen Außendurchmessern geringere Wanddicken als DIN 2440, z. B. bei da ¼ 60;3 mm nach DIN 2448 s ¼ 2;9 mm normal (jedoch große Auswahl mglich) gegenber s ¼ 3;65 mm nach DIN 2440. Bis PN 100, dadurch fr die verschiedensten Zwecke im Maschinen- und Apparatebau verwendbar. Geschweißte Stahlrohre (DIN 2458) aus Sthlen St 33 bis ST 52-3 fr alle Nenndrcke mit 10,2 bis 1 016 mm Außendurchmesser und noch geringeren Wanddicken als DIN 2448, z. B. bei da ¼ 60;3 mm s ¼ 2;3 mm normal (jedoch ebenso große Auswahl wie DIN 2448, daher weites Anwendungsgebiet).
Kupfer: DIN EN 12 449, DIN EN 12 451, DIN EN 12 168, fr Außendurchmesser 3 mm (Wanddicke max. 1 mm) bis 419 mm (Wanddicke max. 4 mm); Werkstoff: Kupfer mit Festigkeitsangabe F 20 (sB ¼ 200 . . . 250 N=mm2 ; d5 ¼ 40%) bis F 37 (sB ¼ 360 N=mm2 , d5 ¼ 3%), blich F 30 (sB ¼ 290 . . . 360 N=mm2 , d5 ¼ 6%). Aluminium: DIN EN 754–7, Vorzugsmaße fr Rohrleitungen aus Reinst-Al, Rein-Al und Al-Knetlegierungen mit Außendurchmesser 3 mm (Wanddicke max. 1 mm) bis 273 mm (Wanddicke max. 5 mm). Polyvinylchlorid (PVC) hart fr Entwsserungsanlagen, Entlftungsleitungen, Wasser- und Gasleitungen. Allgemeine Gteanforderungen s. DIN 8061, Maße s. DIN 8062: Außendurchmesser 5 mm (Wanddicke max. 1 mm) bis 1 000 mm (Wanddicke max. 29,2 mm). Richtlinien fr chemische Bestndigkeit s. DIN 8061 Beiblatt 1. Sonstige Kunststoffe [12]: DIN 8072 Rohre aus Polyethylen weich. – DIN 8074 Rohre aus Polyethylen hoher Dichte. – DIN 8077 Rohre aus Polypropylen. – DIN 16 868 und DIN 16 869 T 1 Rohre aus glasfaserverstrktem Polyesterharz. – DIN 16 870 und DIN 16 871 T 1 Rohre aus glasfaserverstrktem Epoxidharz.
2.8.4 Rohrverbindungen Fr Rohre aus Stahl Flanschverbindungen (Bild 12). Vorzugsweise fr hhere Drcke und leicht lsbare Verbindungen. Fr Stahl und Gusseisen gibt DIN 2500 eine bersicht, Anschlussmaße s. DIN 2501 – T 1. Normen fr Flanschformen Bild 12 a und b: DIN 2558, DIN EN 1092-1; Bild 12 c: DIN EN 1092-1, -2; Bild 12 d: GG, GGG: DIN EN 1092-2; GS: DIN EN 1092-1, DIN 2548, DIN 2549, DIN 2550, DIN 2551; Bild 12 e: DIN EN 1092-1, DIN 2638, DIN 2628, DIN 2629, DIN 2627; Bild 12 f: DIN EN 1092-1; Bild 12 g: DIN 2527.
Schraubverbindungen. Stahlfittings fr chemische Industrie und Schiffbau s. DIN EN 10 241. Lsbare Verschraubungen fr die Verbindung mit reparaturgefhrdeten Apparaten oder fr mglichen Umbau mit flacher Dichtung (Klingerit-Dichtung) oder konischer Dichtung (direkte Metallberhrung, Bild 13). Hierzu auch DIN 2353. Vorteile dieser Rohrverschraubungen: Hohe Druckbelastbarkeit (bis DN 630), einfache Montierbarkeit, geringer Platzbedarf, Eignung fr verschiedene Rohrqualitten.
Stahlrohre fr Wasserleitungen: nahtlos und geschweißt (DIN 2460) aus verschiedenen Sthlen: 88,9 bis 2020 mm Außendurchmesser. Mit geschtzter Oberflche: Außenschutz: bituminse Stoffe mit Glasvliesband und Kalkanstrich; Innenschutz: Anstrich aus Bitumen, Leinl, Zementmrtel oder andere Schutzfilm bildende Stoffe. Verwendung: Wasserleitungen außerhalb der Gebude im Erdreich oder oberirdisch. Stahlrohre fr Fernleitungen: fr brennbare Flssigkeiten und Gase (DIN EN 10 208–2) aus Stahl fr alle Drcke, ab 100 mm Außendurchmesser.
Bild 13. Rohrverschraubung. 1 Stahlrohr, 2 berwurfmutter, 3 Dichtscheibe, 4 Innenkonus
Bild 12 a–g. Flanschformen. a Gewindeflansch, oval, glatt; b Gewindeflansch mit Ansatz, rund; c Flansch glatt, zum Lten oder Schweißen; d Flansch aus GGL, GS oder GGG; e Vorschweißflansch; f lose Flansche; g Blindflansch
I2.8 Schweißverbindungen. Geschweißte Rohrverbindungen haben den Vorteil unvernderter Dichtheit (daher bei wichtigen Fernleitungen Schweißnaht durch Rntgenaufnahmen oder Ultraschall auf Dichtheit prfen) und – im Gegensatz zu Flanschverbindungen – geringeren Wrmeverlust. Auch Abzweige, Richtungs- und Querschnittsnderungen aller Art werden aus Rohrteilen hergestellt. Moderne Rohranlagen haben meist nur noch an den Armaturen Flansch- oder Schraubverbindungen. Bei kleinen Nennweiten (etwa unter DN 50) ist bei nicht sorgfltigem Schweißen auf Verengung des Querschnitts und damit auf Widerstandsvergrßerung zu achten. Verfahren: Gasschweißen (fr unlegierte und niedriglegierte Sthle bis etwa 3 mm Wanddicke), Lichtbogenschweißen (fr Wanddicke ber 3 mm), Schutzgasschweißen und Unter-Pulver-Schweißen (fr automatisierte Schweißung von Großrohrleitungen), s. DIN EN 12732 Gasversorgungssysteme – Schweißen von Rohrleitungen aus Stahl – Funktionale Anforderungen. Weitere Normen, Richtlinien und Vorschriften sind zu beachten [12]: DIN 2559 T 1 Schweißnahtvorbereitung, Richtlinien fr Fugenformen. – DIN EN 1708-1 Schweißen – Verbindungselemente beim Schweißen von Stahl; Druckbeanspruchte Bauteile. – DIN EN 287-1 Prfung von Schweißern – Schmelzschweißen. – DIN EN 729-1 Schweißtechnische Qualittsanforderungen; Schmelzschweißen metallischer Werkstoffe; Richtlinien zur Auswahl und Verwendung. – DIN EN 25 817 Lichtbogenschweißverbindungen an Stahl. Fr Rohre aus Gusseisen Steckverbindungen (Bild 14) werden fr GG und GGG vorzugsweise verwendet. Strmungsrichtung vom Muffenende zum Spitzenende eines Rohrs. Vorteilhaft schnelle Montage, nachteilig genaue Rohrbaulnge erforderlich und empfindlich gegen Lngskrfte. Fr Rohre aus Kupfer Flansch- und Schraubverbindungen hnlich wie fr Stahlrohre, jedoch mit anderen Druckbereichen (Festigkeit).
Rohrleitungen
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Bild 15. Verbindung von Kunststoffrohren
Bild 16. Rohrverschraubung fr PVC-Rohre. 1 Gewindebuchse, 2 berwurfmutter aus PVC hart oder aus Temperguss (GTW) bzw. CuZn-Legierung, 3 Flachringdichtung, 4 Bundbuchse, eingeklebt
2.8.5 Dehnungsausgleicher Dehnungsausgleicher dienen zur Aufnahme von thermisch bedingten Lngennderungen (s. Gl. (3) u. Anh. K 2 Bild 3) zwischen zwei Festpunkten. Konstruktiv unterscheidet man: Dehnungsausgleich durch Rohrverlegung (ohne Zusatzelemente, Bild 17). Festpunkte mglichst an Armaturen. Bei großen Temperaturunterschieden Rohre mit Vorspannung entgegen Wrmedehnung montieren (z. B. fr Druckkrfte bei warmgehender Leitung Montage unter Zugbelastung). bliche Vorspannung gleich 50% der zu erwartenden Kraft [13]. Rohrschenkelausladung l fr Stahl mit Rohraußendurchmespffiffiffiffiffiffiffiffi ser D und Rohrlngennderung Dl ist l ¼ 0;0065 DDl, fr pffiffiffiffiffiffiffiffi Kupfer l ¼ 0;0032 DDl, Berechnung s. [11]. Nherungsweise Berechnung der Festpunktkrfte. Sie erfolgt mit Zahlenwertgleichungen fr St 35, die Temperatur 400 C, mit 50% Vorspannung und dem Biegeradius R=5 d, Umrechnungen auf andere Temperaturen und Werkstoffe s. Bild 18.
Schweißverbindungen im Apparatebau sehr verbreitet. Fr Rohre aus PVC und anderen Kunststoffen Flanschverbindungen s. DIN 8063, fr grßere Durchmesser mit losen Flanschen (meist aus Metall; Bild 15). Schraubverbindungen (Bild 16) s. DIN 8063. Schweiß- und Klebverbindungen. Verfahren s. DIN 19 533. PVC meist heißluftgeschweißt mit Zulagestab, PE durch Aufschmelzen. PVC auch klebbar mit vorgeformten oder angeklebten Klebmuffen (hnlich Ltmuffen). Klebemittel meist Lsungskleber (Tetrahydrofuran). PE ist nicht klebbar.
Bild 17 a–c. Einfache Dehnungsausgleicher. a Rohrschenkel; b Z-Bogen; c U-Bogen
Bild 14 a–c. Muffenverbindungen. a Stopfbuchsenmuffe; 1 Stopfbuchsenring, 2 Dichtring, 3 Hammerschraube mit Mutter, 4 Stopfbuchsenmuffe; b Steckmuffe; c Schraubmuffe, 1 Schraubring, 2 Dichtring, 3 Schraubmuffe
Bild 18. Temperaturbeiwert zur Umrechnung der Festpunktkrfte
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Komponenten des thermischen Apparatebaus – 2 Konstruktionselemente von Apparaten und Rohrleitungen
Bild 19 a, b. Beiwerte zur Berechnung der axialen Rohrkraft. a U-Bogen; b Z-Bogen und Rohrschenkel
U-Rohrbogen: Fu ¼ 10IDl=ðl3 CÞ in N. Gesamtdehnung zwischen den Festpunkten Dl in cm, axiales Flchentrgheitsmoment des Rohrs I in cm4 und Beiwert C nach Bild 19 a. Rohrschenkel: Fx ¼ b1 I=l2 , Fy ¼ b2 I=l2 in N.
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Z-Bogen: Fx ¼ b3 I=l2 , Fy ¼ b4 I=l2 in N. Fr beide gilt I in cm4 , l ¼ lx þ ly in m als Gesamtlnge der Schenkel, d.h. l ¼ 2l1 þ l2 in Bild 17 b, Beiwerte b1 bis b4 nach Bild 19 b. Dehnungsausgleich durch besondere Bauelemente [14]. Lyra-Bogen (Bild 20 a) sind wie U-Bgen sehr betriebssicher und wartungsfrei, jedoch sehr platzaufwendig; fr Leitungen im Gelnde geeignet. Ausfhrung in glatten, gewellten oder gefalteten Rohren. Mglichst so anordnen, dass der Scheitelpunkt der Lyra sich selbst nicht verschiebt, jedoch als Lospunkt befestigen. Festpunktkrfte wie beim U-Bogen. Balg-Kompensatoren sind wartungsfreie Dehnungsausgleicher mit geringstmglichem Platzbedarf. Linsenkompensatoren mit wenigen aber hohen Wellen fr sehr große Durchmesser (um DN 5 000), Ein- und Mehrlagenblge (Bild 20 b) mit vielen niedrigen Wellen aus ein- oder mehrlagigen kaltverformten Stahlblechen mit großem Dehnungsvermgen fr hohe Drcke (DN 600: PN 100, DN 250: PN 250). Gummi-Kompensatoren (Bild 20 d) verschiedener Ausfhrungen fr DN 40 bis DN 400 und Temperaturen bis 100 C bei PN 10.
Aufhngungen sollen die Leitung tragen, das Geflle genau einrichten lassen und eine gewisse Bewegung ermglichen. Konstruktionen reichen bis zu „Konstanthngern“, bei denen die Aufhngekraft in Abhngigkeit von der Dehnung ber Druckfeder und Kniehebelsystem konstant gehalten wird. Sttzen haben dieselbe Funktion wie Aufhngungen mit dem Unterschied der Kraftableitung nach unten, Bild 21. Festpunkte dienen zum eindeutigen Festlegen der Dehnungsrichtungen, sie nehmen Krfte und Momente auf. Die auf den Festpunkt wirkende Kraft ist meist Resultierende verschieden gerichteter Krfte. Fhrungen mit der Funktion von Lospunkten zur Ergnzung der Festpunkte erlauben Axial- und teilweise auch Drehbewegungen, Bild 21 [14].
2.9 Absperr- und Regelorgane 2.9.1 Allgemeines Funktion Armaturen (Rohrschalter) in Rohrleitungen dienen als: Absperrorgane. die die Strmung eines Fluids unterbinden. Sie mssen dicht absperren und so schließen, dass die Ge-
Gelenk-Kompensatoren bernehmen außer Axialdehnungen auch Querverformungen. Beim Einbau Axialkrfte beachten! Gleitrohr-Kompensatoren (Bild 20 c) sind vorgefertigt. Das Degenrohr wird geschlichtet, manchmal auch hartverchromt, damit der Reibungswiderstand gering ist. Packungswerkstoffe: Dauerelastische Perbunandichtungen sind wartungsfrei und fr fast alle Medien verwendbar, plastische Dichtungen (Hanftalg fr Wasser, Bleilamellen-Asbest fr Gas) sind nachzudichten. 2.8.6 Rohrhalterungen Ihre Aufgabe ist die betriebssichere Befestigung von freiliegenden Rohrleitungen, bezogen auf das Rohr und die Umgebung (z. B. Gebude).
Bild 21 a–e. Rohruntersttzungen. a Rohrwagen; b Rollenlager; c Gleichschelle; d Walzenlager; e Pilzkopf
Bild 20 a–d. Dehnungsausgleicher. a Lyra-Bogen; b Axial-Kompensator mit Innenrohr (Balg-Kompensator); c Gleitrohr-Kompensator; d GummiKompensator
I2.9 schwindigkeit nicht schlagartig null wird, um Stoßbeanspruchungen zu vermeiden (Ausnahme: Schnellschlussschieber);
Absperr- und Regelorgane
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Tabelle 6. Vor- und Nachteile der einzelnen Bauarten
Regelorgane (Stellglieder), die den Volumenstrom in Abhngigkeit von einer zu regelnden Grße beeinflussen sollen; Sicherheitsorgane, die bei unzulssigem berdruck einen Querschnitt zur Druckentlastung freigeben. Bauarten (bersicht) Man unterscheidet bei den Armaturen (DIN EN 736-1): Ventile: Ein Absperrkrper (Platte, Kegel, Kolben, Kugel) gibt mit einer Abhebebewegung parallel zur Strmungsrichtung einen zylindrischen Ringquerschnitt als Strmungsquerschnitt frei, Bild 22 a. Ventilhnliche Absperrorgane, in denen wegen besonders gnstiger Strmungsverhltnisse oder besonderer Aggressivitt des Fluids eine Membrane zusammengedrckt wird, sind Membranventil (Bild 22 g) und Ringkolbenventil (Bild 22 h) mit rotationssymmetrischer Strmungsfhrung. Schieber: Der Absperrkrper (kreisfrmige Platte mit parallelen oder keilfrmig gestellten Flchen) gibt bei Bewegung quer zur Strmungsrichtung einen teilmondfrmigen bis kreisfrmigen Strmungsquerschnitt frei, Bild 22 b. Hhne oder Drehschieber: Der Absperrkrper (eingeschliffener Kegelstumpf oder Kugel mit Querbohrung) wird um seine Achse quer zur Strmungsrichtung gedreht und gibt einen linsen- bis kreisfrmigen Querschnitt frei, Bild 22 c. Klappen: Eine zunchst senkrecht zur Strmungsrichtung stehende Scheibe wird um eine Achse in der Scheibe in eine Stellung parallel zur Rohrachse geschwenkt und gibt damit den ganzen Rohrquerschnitt frei oder bleibt im Rohrquerschnitt parallel zur Rohrachse stehen, Bilder 22 d–f. Schieber und Hhne mit vollstndig zu ffnenden Kreisquerschnitten sind fr den Einsatz von Molchen (durchziehbare Krper) geeignet, die zur Trennung von verschiedenen gefrderten Fluiden oder zur Reinigung dienen. Werkstoffe Der Werkstoff fr das Gehuse wird gewhlt entsprechend den Anforderungen des strmenden Fluids (Erosion, Korrosion), der Betriebstemperatur (Warmfestigkeit) und dem Betriebsdruck (Festigkeit, eventuell Schwellfestigkeit). Auswahl metallischer Werkstoffe in DIN 3339. Etwa 80% aller Gehuse werden gegossen, vorwiegend aus Grauguss, aber auch aus Stahlguss und Nichteisen-Gusswerkstoffen (Messing und
Rotguss in der Installationstechnik). In der chemischen und Wasseraufbereitungstechnik ist eine starke Zunahme von Gehusen aus Kunststoff (meist gepresst) zu verzeichnen. Ein Teil der Armaturen wird aus Stahl im Gesenk geschmiedet hergestellt (Hochdruck). Einen berblick ber Vor- und Nachteile der einzelnen Bauarten zeigt Tabelle 6. Grauguss: fr Wasser, Dampf, l und Gas, mit Gummi- oder Emailauskleidung fr aggressive Medien; GGL-20 bis PN 16 bei 120 C, GGL-25 bis PN 16 (25) bei 300 C; GGG-45 bis 70 fr Speisewasser und Frischdampf bis PN 40 bei 450 C. Stahlguss: GS-C 25 fr Dampf, Wasser und Heißl bis PN 320 bei 450 C, gut schweißbar; GS-20 MoV 84 fr Dampf und Heißl bis PN 400 bei 550 C, schweißbar; GSX 12 CrNiTi 18.9 fr surefeste und heiße Armaturen. Stahl: C 20 fr gesenkgeschmiedete Gehuse, Aufstze und Klappschrauben, schweißbar; 50 CrV 4 fr Flansche, Spindel, Schrauben und Muttern bis 520 C, bedingt schweißbar; X 20 Cr 13 fr Teile in Armaturen mit starker mechanischer Beanspruchung, kaum schweißbar; X 10 CrNiTi 18.9 mit sehr guter chemischer Bestndigkeit (organische und mineralische Suren), schweißbar; X 10 CrNiMoTi 18.10 bei starkem Sureangriff und hheren Temperaturen, auch fr Kltearmaturen bis 200 C, schweißbar. Nichteisenmetalle: G–Cu 64 Zn, G–CuSn 10, G–CuSn 5 Zn 7, G–AlMg 3 und andere fr Trinkwasserarmaturen, physiologisch einwandfrei, Al-Legierungen seewasserfest (Schiffbau), auch in der chemischen Industrie. Kunststoffe und andere: PVC hart, Polyamide, PTFE und Silikone sowie keramische Stoffe in der chemischen Industrie, der Sanitrtechnik usw. Hydraulische Eigenschaften
Bild 22 a – g. Grundformen der Absperrorgane. a Ventil; b Schieber; c Hahn; d Drehklappe im Rohr; e Klappe auf Rohrstutzen; f einklappbare Scheibe; g Ventil mit Membranabschluss; h tropfenfrmiger Krper im Rohr
Armaturen verursachen bei scharfen Umlenkungen (Ventile) große Druckverluste, was beim Einsatz als Regelorgane erwnscht ist. Widerstandsziffer zR und Geschwindigkeit u werden auf den Anschlussquerschnitt AR bezogen. Der Volumenstrom V_ ergibt sich p aus dem Strmungsdruckverlust ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi D p ¼ zR ru2 =2 zu V_ ¼ AR 2 D p=ðr zR Þ. Bei großen Reynolds-Zahlen ðRe > 105 Þ ndert sich zR nur noch wenig (zR Werte s. Anh. K 2 Bild 2). Fr vollstndig geffnete Absperrorgane kann zR ¼ 0;2 . . . 0;3 angenommen werden [15]. Der in VDI-VDE-Richtlinie 2173 fr Stellventile und in VDIVDE-Richtlinie 2176 fr Stellklappen definierte kv -Wert ist fr die Regelungstechnik wichtig (s. Teil X und [16]). Dabei sind die Ventilkennlinien bei konstantem Dp im Ventil zu unterscheiden von den Betriebskennlinien, die durchflussabhngig vom Verhltnis des Ventildruckverlustes zum Gesamtdruckverlust der Rohrleitung beeinflusst werden [17].
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2.9.2 Ventile
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Unabhngig von ihrer Funktion werden Ventile als Gerad-, Schrgsitz- oder Eckventile ausgefhrt. Geradsitzventile (Bild 23): gnstige Anordnung in Rohrleitungssystemen, gute Bedienbarkeit und Wartung, gleichmßige Belastung der Ventilbauteile, aber hoher Druckverlust. Schrgsitzventile (Bild 24): niedrige Widerstandsziffer zR . Eckventile: Vorteile, wenn zustzlich Funktion eines Krmmers erwnscht, aber hhere Druckverluste. Abmessungen von Armaturen s. DIN EN 558-1. Bauelemente von Ventilen (Bild 23): Ventilgehuse 1 (Guss-, Schmiede-, Schweiß- oder Presskonstruktion); Ventilteller 2 mit Sitzringen (plattenfrmig, kegelig oder parabolisch); Sitzringe aus Gummi, GG, Cu-Legierungen, hochlegierten Sthlen, Stellit oder Nitrierstahl je nach Fluid, Druck und Temperatur; Ventilspindel 3 und Mutter 4; Stopfbuchse 5 zur Abdichtung der Spindel; Ventil- bzw. Spindelantrieb 6 (Handrad, elektromotorischer, hydraulischer, pneumatischer oder elektromagnetischer Antrieb mit Fernbedienung). Bei großen Sitzquerschnitten ist ein Vorhubventil zur Verminderung der ffnungskraft zweckmßig, Bild 24. Ein Hochdruck-Regelventil zeigt Bild 25. Es ist geschmiedet, Drosselkegel und Spindel sind aus einem Stck, die Spindel ist im selbstdichtendem Deckel gefhrt, strmungsgnstige Gehuseform, Spindelmutter drehbar gelagert (Hhe des Handrads konstant).
Bild 25. Hochdruck-Regelventil, geschmiedet nach Sempell. 1 Drosselkegel, 2 Spindelfhrung, 3 Deckel, selbstdichtend, 4 Uhde-Bredtschneider-Dichtung mit 5 geteiltem Ring, 6 Ventilstangenanzeige, verhindert Mitdrehen der Spindel, 7 drehbare Spindelmutter
Ventilbauformen mit unterschiedlicher Funktion Wechselventil: Fr einen Fluidstrom, der wechselweise in zwei Leitungen gefhrt werden soll. Rckschlagventil (Rckflussverhinderer): Flssigkeitsstrom nur gegen Feder- oder Gewichtskraft mglich. Druckminderventil: Vordruck wird auf einstellbaren Hinterdruck (Minderdruck) reduziert, wobei dieser unabhngig von Vordruck- und Durchflussnderungen mit großer Genauigkeit gleich groß gehalten wird. Beispiel (Bild 26): Fllt der Hinterdruck bei steigendem Durchfluss oder fallendem Vordruck oder wird der Sollwert erhht, so bewegen sich Membrane 6 mit Sitz 7 nach rechts und geben einen grßeren Querschnitt frei. Schwimmerventil: Angelenk-
Bild 23. Geradsitzventil (J. Erhard)
Bild 24. Sitz eines Schrgventils mit Vorhub
Bild 26. Druckminderer in Axialbauweise (Samson). 1 Muffennippel, 2 Sollwerteinstellung, 3 Feder, 4 Abdichtungsmetallbalg, 5 Kegel, 6 Arbeitsmembran, 7 Sitz, 8 Anschlussnippel
Bild 27. Thermisch wirkender Kondensatableiter mit Membranregler (GESTRA AG). 1 Gehuse, 2 Regelmembran, 3 Gehusedeckel, 4 Rckschlagkegel, 5 Schmutzfnger, 6 Siebtrger
ter Schwimmkrper hebt oder senkt Ventilspindel bzw. Ventilteller. Kondensatableiter (Bild 27): Ableitung der flssigen Phase (z. B. Wasser aus Sattdampfapparaten), Schwimmerableiter, thermischer Ableiter, thermodynamischer Ableiter. Sicherheitsventil: Verhindert Steigen des Betriebsdrucks ber zulssigen Druck, Ansprechdruck gleich zulssiger Betriebsberdruck, Gewichtsbelastung (sehr genau) oder Federbelastung (Ventilkraft wird durch Druckfeder beim Anheben grßer). Schnellschlussventil: Zum Abschluss von Leitungen bei
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Rohrbruch oder hnlichen Schadensfllen. Direkte Schließbewegung durch Feder-, Gewichts- oder pneumatische Kraft (Ruhestromprinzip). 2.9.3 Schieber Anwendungsbereich: Große Nennweiten, hohe Strmungsgeschwindigkeiten, kleine bis mittlere Nenndrcke, kleine Baulngen (s. DIN EN 558-1). Bauelemente. Entsprechen bis auf Sitz und Dichtung denen des Ventils (s. Bild 23). Einen einfachen Absperrschieber zeigt Bild 28, mit innenliegender Spindelmutter (Gefahr des Festfressens durch Schmutz und hohe Temperaturen), ORingabdichtung statt Stopfbuchse. Bauformen (Bild 29). Nach der Form des Kopfstckflansches unterscheidet man Rundschieber (große Baulnge, hohe Druckfestigkeit des Deckelstutzens), Ovalschieber (verkrzte Baulnge, geringe Druckfestigkeit oder grßere Wanddicken) und Flachschieber (weitere Verringerung der Baulnge, oft Verstrkung des Deckelstutzens mittels Rippen, vorzugsweise bei großen Nennweiten). berblick ber Werkstoffe und Einsatzgrenzen von Schiebern s. DIN 3352 und [15]. Im Gegensatz zu Ventilen sind Schieber immer fr beide Strmungsrichtungen geeignet, sie lassen sich aber nur als Absperrorgane einsetzen. Generell Durchgangsform (keine Eckform). Große Bedeutung kommt der Form der Abdichtung zu, da die Spindelkraft nicht direkt auf die Dichtflchen wirkt. Bild 29 a: Einfache Konstruktion; eine Platte wird im abgesperrten Zustand durch berdruck angedrckt. Dichtwirkung gering, bei Hubbewegung wegen Gleitreibung Verschleißgefahr; Anwendung bei Ferngasleitungen. Bild 29 b: Gelochte Scheibe gibt bei Hubbewegung ffnung frei. Gegebenenfalls mittels Federn gespannte Dichtungen; Anwendung bei Gas und l (auch mit Staub verunreinigt). Bild 29 c: Hufige Konstruktion; die Absperrung erfolgt durch Einschieben eines starren, keilfrmigen Abschlusskrpers in den Durchgang des Gehuses. Der Spindeldruck verstrkt die Dichtwirkung. Wird viel verwendet im Klein- und Mitteldruckbereich. Bild 29 d: Zwei parallel laufende Dichtplatten werden am Ende der Schließbewegung durch Kniehebel- oder Keilwirkung auf die Sitze gepresst. Dadurch erheblich kleinere Gleitbewegung und geringerer Verschleiß. Bild 29 e: Verbesserte Form des Keilschiebers; zwei gegeneinander bewegliche und keilfrmig angeordnete Dichtplatten
Bild 29 a–e. Formen der Schieberabdichtung. a Plattenschieber; b Scheibenabschlussschieber; c Keilschieber; d Doppelplattenparallelschieber; e Doppelplattenkeilschieber
werden ber ein halbkugelfrmiges Druckstck am Ende der Schließbewegung mit großer Kraft auf die Sitzflchen gepresst. Eine robuste Bauart mit hoher Dichtkraft und geringem Verschleiß bis PN 400. Bettigung der Schieber von Hand, auch mit bersetzungsgetriebe, elektromotorisch mit Getriebe oder mit hydraulischem bzw. pneumatischem Kraftkolben. Normen. DIN 3352-1, -2, -3, -4, -5, -11, -12, -13. 2.9.4 Hhne (Drehschieber) Ihre Vorteile sind einfache und robuste Bauweise, geringer Platzbedarf, rasche Schließ- und Umschaltmglichkeit, geringe Strmungsverluste, mgliche Ausbildung als Mehrwegehahn mit mehreren Anschlussstutzen. Nachteilig sind die großen Dichtflchen, die aufeinander gleiten, und der dadurch bedingte Verschleiß. Die Reibungskrfte sind je nach Vorspannung des Dichtkegels (Hahnkken), Bearbeitungsgte der Dichtflchen, Schmiermittel sowie Art und Temperatur des Fluids recht hoch. Zur Gruppe der Kegelhhne gehren weiter der Packhahn, besonders in der chemischen Industrie fr giftige Medien (Gehuse unten geschlossen, Hahnkken durch Packung und Stopfbuchsbrille abgedichtet und festgehalten), der Schmierhahn fr aggressive, dickflssige und verunreinigte Medien in Kokereien sowie der petrochemischen Industrie (das Hahnkken wird hier ber eine Nut und Schmierstoffkammer geschmiert), der Leichtschalthahn fr zhflssige Medien wie Latex (das Hahnkken wird hier vor dem Drehen etwas angehoben und nach dem Drehen wieder in den Sitz gedrckt), der Mehrwegehahn, z. B. Dreiwege- oder Vierwege-Hahn, zum Umschalten in verschiedene Strmungsrichtungen. Eine wesentliche technische Weiterentwicklung ist der Kugelhahn, Bild 30. Der Dichtkrper ist hier eine Kugel mit einer zylindrischen Bohrung fr geraden Strmungsdurchgang praktisch ohne jeden Widerstand (Widerstandsziffer zR ¼ 0;03 bei vollstndig geffnetem Kugelhahn, das entspricht dem Widerstand eines etwa gleich langen Rohrstcks). Solche Kugelhhne werden gebaut von DN 80 bis DN 1400 fr PN 10 bis PN 64. 2.9.5 Klappen
Bild 28. Absperrschieber. 1 Dichtkeil, 2 Gehuse, 3 Kopfstck, 4 Spindel, 5 Verschlussmutter, 6 Spindelmutter, 7 Abschirmring, 8 Gleitring, 9 Sechskantschraube, 10 bis 12 O-Ringe, 13 Zylinderkerbstift
Die hnlich Bild 31 gebauten Klappen werden als Absperr-, Drossel-, seltener als Sicherheitsklappen, in der Wasserversorgung (Pumpwerke, Filteranlagen), im Kraftwerkbau
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(Verstrken der Schließkraft durch hydrostatische Wirkung). Rckschlagklappen dienen als Sicherheitsorgan; die Klappenscheibe wird von der Strmung offengehalten. Bei Stillstand oder Druckumkehr schließt sie, untersttzt vom Fallgewicht, gegebenenfalls abgebremst durch lbremse.
2.10 Dichtungen
Bild 30. Kugelhahn fr Großleitungen (J. Erhard)
Dichtungen sollen das Hindurchtreten von Fluiden durch die Fugen miteinander verbundener Bauteile (normalerweise Flansche s. K 2.7.2) verhindern. Sie mssen leicht verformbar sein, um Rauigkeiten der Dichtflchen auszugleichen, und ausreichende Festigkeit haben, dem Anpressdruck und dem Innendruck standzuhalten. Auf Temperatur- und chemische Bestndigkeit ist zu achten, ebenso darauf, die elektrochemische Zersetzung von Metalldichtungen oder der Berhrungsflchen durch elektrochemische Anodenbildung zu vermeiden. Einen berblick ber Dichtungen, ihre Funktionen und Benennungen gibt DIN 3750. 2.10.1 Berhrungsdichtungen an ruhenden Flchen Bild 32 gibt einen berblick der wichtigsten Dichtungsarten. Sie unterscheiden sich nach a) unlsbar oder bedingt lsbar (bl) und b) lsbar. Dazwischen liegen 1 Stoffschlussverbindungen mit Dichtmassen oder Klebern. Zu der Gruppe a) gehren: 2 Schweißverbindung, 3 Schweißlippendichtung (bl), 4 Presspassung (bl), 5 Walzverbindung. Zu der Gruppe b) gehren: 6 Flachdichtung (weich oder hart), 7 dichtstofflose Verbindung, 8 Mehrstoffflachdichtung, 9 Schneidendichtung (plastische Verformung), 10 fließende Dichtung, 11 Runddichtung (O-Ring aus Weichstoff oder Metall, elastische Verformung), 12 Hartstoffdichtung (ring joint, elastisch), 13 selbstttige Weichdichtung (Pressung durch Innendruck), 14 selbstttige Hartdichtung (Delta-Ring), 15 bis 17 Stopfbuchsartige Dichtungen. Ausfhrungsformen der Dichtungen mit Dichtungskennwerten nach DIN 2505 s. Anh. K 2 Tab. 1.
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Flachdichtungen sind Scheiben, Ringe oder Rahmen, die sich mit ihrer ganzen Breite der Dichtflche anpassen. Sie bestehen entweder aus einem einheitlichen Werkstoff oder anorganischen Fllstoffen und einem Elastomer als Bindemittel, aus mehreren Werkstoffen wie kaschierte Metall(Al, Cu)-Folien oder verbunden mit Stahlblech oder ganz aus Metall (s. K 2.7.1). Flachdichtung als Flanschdichtung s. Bild 33.
Bild 31. a Drosselklappe nach Bopp & Reuther; b linsenfrmige Platte mit Dichtringen aus Gummi, Dichtung aus nichtrostendem Stahl im Gehuse
(Khlkreise), in der chemischen Industrie (Betriebswasser, auch saure und alkalische Medien) und in der Abwassertechnik (Klranlagen, Pumpwerke) eingesetzt. In steigendem Maße werden sie verwendet anstelle von Ovalschiebern in Trinkwasser- und Gasfernleitungen. Sie schließen tropfdicht ab wie Schieber. Klappen werden gebaut fr grßte Nennweiten (DN 5300), allgemein fr PN 4 bis DN 2400 und fr PN 16 bis DN 1200. Der Platzbedarf ist nicht viel grßer als der Rohrquerschnitt. Antrieb der Klappe von Hand, elektromotorisch ber Stirnradsegment- oder Schneckengetriebe oder mittels hydraulischem Kraftkolben und gegebenenfalls Fallgewicht zum Verstrken oder zum Ausgleich der Strmungskrfte. Im Allgemeinen wird die Klappe so angeordnet, dass die stromauf zeigende Scheibenhlfte beim Schließen nach unten geht
Profildichtungen (Bild 32, 9 und 10) sind Scheiben oder Ringe, die wegen ihrer Querschnittsform nicht mit ihrer ganzen Breite aufliegen, wodurch eine hhere Flchenpressung bewirkt wird. Sie bestehen aus elastomeren Werkstoffen, Weichmetall oder kombinierten Werkstoffen und sind – je nach Werkstoff – fr hohe Drcke (PN 400) und hohe Temperaturen (etwa 500 C) geeignet (nur zum einmaligen Gebrauch). Rundschnurdichtungen (O-Ringe) sind Ringe mit Kreisquerschnitt aus elastischen Werkstoffen oder Metallen, die aufgrund geringer Vorspannung beim Einbau, untersttzt vom Betriebsdruck, abdichten (Bild 32, 11 und 13). Abmessungen ðd1 ¼ 2 . . . 800 mm; d2 ¼ 1;6 . . . 10 mmÞ. Anwendung: le, Wasser, Luft, Glykogemische bei -50 bis +200 C und mittleren Drcken (zum mehrmaligen Gebrauch geeignet). Hochdruckdichtungen. a) DN klein (Rohre): (s. Anh. K 2 Tab. 1) Kammprofildichtung, Ring-Joint-Dichtung (hufiges ffnen), Linsendichtung; b) DN groß (Apparateflansche): (s. Bild 32) Delta-Ring 14, Spaltdichtung 17 oder nach Bild 34 a Doppelkonusdichtung selbstttig mit 0;3 bis 1 mm Aluminiumfolie als Zwischenlage und Uhde-Bredtschneider-Dichtung (Bild 34 b), druckuntersttzt, bentigt keine Schrauben und teuren Flansche.
I2.10 Dichtungen
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K Bild 32. Dichtungen an ruhenden Flchen [18]
Bild 34. a Doppelkonusdichtung; b Uhde-Bredtschneider-Dichtung. 1 Deckel, 2 Keildichtring, 3 Behlterkopf, 4 geteilter Ring, 5 Vorspannschrauben, 6 Halteschrauben, 7 Haltering
Bild 33 a – c. Flachdichtungen und Flanschdichtflchen [19]. a Flansch mit glatter Arbeitsleiste und Flachdichtung nach DIN EN 1514-1 (PN1 6, 10, 16, 25, 40); b Flansch mit Nut und Feder nach DIN 2512 und Flachdichtung nach DIN EN 1514-1 (PN10, 16, 25, 40, 64, 100); c Flansch mit Vor- und Rcksprung nach DIN EN 1092-1 und Flachdichtung nach DIN EN 1514-1 (PN10, 16, 25, 40, 64, 100) Bild 35. Stopfbuchsendichtung (Goetze)
2.10.2 Berhrungsdichtungen an gleitenden Flchen Stopfbuchsendichtungen (Packungen) Packungen sind Dichtelemente, die gegeneinander bewegte Zylinderflchen gegen Flssigkeiten und Gase abdichten. Die Stopfbuchsendichtung (Bild 35) besteht aus dem feststehenden Teil 1 des Gehuses mit Stopfbuchsraum, dem Dichtmaterial 2 (Packung), der mit dem Gehuse verschraubten Brille 3 (Flansch oder Gewinde; nachspannbar), der Zwischenlaterne 4 (gegebenenfalls fr Schmierlverteilung) sowie der rotierend oder axial beweglichen Welle oder Spindel 5. Packungen sind verwendbar fr relativ geringe Gleitgeschwindigkeiten (bis etwa 0,3 m/s), hohe Temperaturen (bis etwa 520 C, hohe Drcke (bis etwa 300 bar) und Wellendurchmesser 10 bis 200 mm; Außendurchmesser der Packung 18 bis 245 mm (bis 800 mm fr Dehnungskompensatoren in Gasleitungen). Dichtungsprinzip: Verschraubung in axialer Richtung bewirkt Querverformung und Anpressen an die zy-
lindrischen Dichtflchen. Breite von Weichstoffpackungen pffiffiffi pffiffiffi ¼ d fr kleine und ¼ 2 d fr große Spindeldurchmesser d. Lamellenpackungsringe (Bild 36): Aus gewellten, schichtweise in Asbest bzw. Baumwolle eingebetteten Metalleinlagen wie Weichblei, Kupfer, Nickel oder Chromstahl. Die Ringe sind schrg geschlitzt, sie lassen sich so aufbiegen und um die Welle legen. Bei mehreren Ringen Fugen versetzen. Bei Gasen Dichtung mittels Schmierl verbessern und damit Reibung verringern. Blei- oder Kupfer-Hohlring (Bild 37 a): Ungeteilt oder zweigeteilt. Blei- oder Kupfermantel mit Graphitschmierstoff gefllt, der selbstschmierend durch kleine Radialbohrungen austritt; geschliffene Gleitflchen erforderlich, Anwendung z. B. in hydraulischen Presspumpen. Folien-Packungsringe: Baumwollkern, mit Al-Folie umwickelt.
K 24
Komponenten des thermischen Apparatebaus – 3 Bauarten von Wrmebertragern
Bild 36. Packungsraumtiefen fr Lamellenpackungsringe (Goetze) Bild 38. Axial-Gleitringdichtung (Burgmann). 1 Rotierender Gleitring, 2 stationrer Gegenring, 3 Druckfeder, 4 Unterlegring, 5 Dichtring, 6 Lagerring
Keilmanschetten-Packungsringe (Bild 37 b): Axiale Spannkraft wird aufgrund der Keilform auf die Laufflche bertragen. Einwandfreie Fremdschmierung erforderlich. Geeignet fr sehr hohe Drcke (ber 400 bar) bei Autoklaven, Pressund Hchstdruckpumpen.
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Gleitringdichtungen
Bild 37 a, b. Packungsringe (Goetze). a Hohlring, 1 Blei oder Kupfer, 2 Graphit-Schmierstoff, 3 Radialbohrungen; b Keilmanschettenring, 1 Keilring, 2 Weichstoffeinlage, 3 Manschettenring
3 Bauarten von Wrmebertragern 3.1 Rohrbndelapparate Wegen der vielseitigen Verwendbarkeit fr gasfrmige und flssige Stoffe in weiten Temperatur- und Druckbereichen in vielen Industriezweigen eingesetzt. Bild 1 zeigt einen Apparat gemß DIN 28 183 mit festen Rohrbden, je einem Rohrund Mantelweg, Mantelkompensator und gewlbten Bden aus Behlterhauben. Bei gleichen Werkstoffen fr Rohre und Mantel und nicht zu großen Temperaturunterschieden knnen hier, wegen der Sttzwirkung der Rohre, dnne Rohrbden eingesetzt werden. Mechanische Reinigung des Rohrraums (Rohrinnen- und Haubenraum) gut mglich. Apparate mit Haarnadelrohren (U-Rohrapparat Bild 2 a) erfordern dickere Rohrplatten. Ausfhrung mit zwei Rohrwegen und als Gegenstrmer mit zwei Mantelwegen (Trennwnde gut abdichten!) und ebenem Boden als Behlterabschluss. Beim Schwimmkopfapparat (Bild 2 b) knnen gegenber dem Festrohrapparat grßere Temperaturdifferenzen zwischen den Rohren und dem Mantel aufgenommen werden. Gute Reinigungsmglichkeiten von Mantel- und Rohrraum. Ausfhrung mit vier Rohrwegen und einem Mantelweg. Innenhaube mit geteiltem Gegenflansch gedichtet. Der Pullthrough-Apparat (Bild 2 c) lsst gegenber einem Apparat nach Bild 2 b einen Ausbau des Rohrbndels ohne Zerlegen des Schwimmkopfes zu. Nachteile: Großer Abstand zwischen Bndel und Mantel, By-pass-Strme, Einbau von Gleitschienen als Verdrngungskrper (Bild 3). Wichtige Normen: DIN
Axiale und radiale Gleitringdichtungen haben Stopfbuchspackungen bei rotierenden Wellen zunehmend verdrngt. Bild 38 zeigt den prinzipiellen Aufbau einer Axial-Gleitringdichtung. Beherrschbar 5 bis 500 mm Wellendurchmesser, 10 5 bar bis 450 bar Druck, ber 100 m/s Umfangsgeschwindigkeit, –200 bis +450 C Temperatur. Gestaltungsvarianten, Leckverluste, Gleitringverschluss, Reibungsverluste, Betriebssicherheit, s. [18, 20].
28 008 Toleranzen, DIN 28 080 Sttel, DIN 28 180 Stahlrohre fr Wrmebertrager, DIN 28 182 Rohrteilungen und Rohrverbindungen, DIN 28 191 Geflanschter Schwimmkopf. Rohrbndelapparate finden auch Anwendung bei Phasennderungen: Eindampfer, Zwangs- und Naturumlaufverdampfer, Kondensatoren (s. K 4), Abhitzekessel mit Dampferzeugung. Einen Fallfilmverdampfer zur schonenden Eindampfung zeigt Bild 4. Durch eine geeignete Vorrichtung am Eintritt der Frischlsung wird auf der Innenseite der Rohre ein dnner Flssigkeitsfilm erzeugt, der der Schwerkraft folgt und zusammen mit den erzeugten Brden nach unten strmt. Dabei wird bei geeigneter Auslegung eine vorgegebene Eindickung der Lsung bei einmaligem Durchlauf durch den Wrmebertrager erreicht. In Bild 5 werden die Wnde des Wrmebertragers durch eingebaute Rohrschlangen (Dampferzeugung) vor unzulssig hohen Temperaturen geschtzt. Die Abkhlung der Gase erfolgt in dem eingebauten Festrohrapparat durch Wrmebertragung an ein anderes Prozessgas. Wegen der hohen Wrmespannungen dickwandiger Rohrbden bei großen Temperaturdifferenzen sind Sonderkonstruktionen erforderlich [2]. Einen ankergesttzten und gekhlten Boden zeigt Bild 6. Durch geeignete Strmungsfhrung werden gleichmßige Khlung erreicht und Ablagerungen aus dem Wasser (Temperaturspitzen) vermieden. Bei sehr hohen Temperaturen des Gases (1 000 bis 1 500 C) mssen zustzlich Einsteckrohre zum Schutz der Rohre und der Platten vorgesehen werden oder die Rohre einzeln am Gaseintritt wassergekhlt werden [2, 3].
I3.2
Sonstige Bauarten
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Bild 1. Rohrbndel-Wrmebertrager mit zwei festen Rohrplatten [1]. Benennungen nach DIN 28 183: 1 Mantel, 2 Rohr, 3 Umlenksegment, Sttzplatte, 4 Mantelstutzen, 5 Entlftungsstutzen, 6 Entleerungsstutzen, 7 Rohrboden, Rohrplatte, 8 Haubenstutzen, 9 Haubenboden, 10 Haubenflansch, 11 Dichtung, 12 Kompensator, 13 Haltespange, 14 Abstandhalter, 15 Entlftungsmuffe, 16 Entleerungsmuffe, 17 Sattel, 18 Mantelflansch, 19 Flanschzarge, 20 Prallplatte, 21 Tragse, 22 Haubenmantel, 23 Mantelzarge
3.2 Sonstige Bauarten Hierzu zhlen Wrmebertrager mit berippten Oberflchen [4], die insbesondere bei Gasstrmungen (Luftkhler) den Wrmedurchgangswiderstand vermindern. Berippte Oberflchen finden auch Einsatz bei der Verdampfung (niedrige Rippen), wenn auf der heißen Seite hohe Wrmebergangskoeffizienten, z. B. bei Dampfkondensation auftreten. Weiter sind Plattenwrmebertrager [4] zu nennen, die vielseitig in der Strmungsfhrung der Medien zu variieren und leicht zu reinigen sind (Nahrungsmittelindustrie). Sie bestehen aus einem Paket profilierter Platten, die, durch Weichdichtungen getrennt, mit einer Pressvorrichtung zusammengehalten werden. Bei kleinem Volumen lassen sich große bertragungsflchen unterbringen. Eine Sonderform sind Spiralwrmebertrager, Bild 7. Sie werden durch Wickeln von zwei oder vier mit Abstandsbolzen versehenen Platten um einen stabilen Kern, bis zu 2 m Durchmesser, gefertigt. Die Stirnflchen sind durch Kopfplatten mit Weichdichtungen abgedichtet. Vorteile: Hohe Strmungsgeschwindigkeiten, hohe Wrmebertragungskoeffizienten (1 500 bis 2 300 W/(m2 K)), kompakte Bauweise (20 bis 70 m2 =m3 ), geringe Verschmutzung, leichte Reinigung. Nachteile: Niedrige Drcke und Temperaturen (bis 20 bar und 400 C).
Bild 2 a–c. Einige Bauformen von Rohrbndelapparaten (nach Dupont). I mantelraumseitiges Medium, II rohrraumseitiges Medium. 1 ebener Boden (Behlterabschluss), 2 Trennwand
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Komponenten des thermischen Apparatebaus – 3 Bauarten von Wrmebertragern
Bild 3. Geschweißter Schwimmkopf [1] nach DIN 28 190. Ausfhrung: zwei Rohrwege (Gnge), Nenndurchmesser 350 mm, Hllkreisdurchmesser 288 mm. 1 Ausfhrung mit ebener Platte, 2 Ausfhrung mit gewlbtem Boden, 3 Gleitschiene Fl 30 10, 4 Innenrohr, 5 Haltestange Durchmesser 12 mm
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Bild 4. Fallfilmverdampfer nach Wiegand
Bild 5. Wrmebertrager in Salpetersure-Anlagen mit eingebautem Restgaserhitzer nach Steinmller. 1 wasserdurchstrmte Rohrschlangen als Wandschutz, 2 Wrmebertragerpakete (Spiralrohre zur Dampferzeugung), 3 Restgaserhitzer
I4.1
Grundbegriffe der Kondensation
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Bild 7. Spiralwrmebertrager in Gegenstromschaltung nach Kapp. 1, 2 Ein-, Austritt des kalten Mediums, 3, 4 Ein-, Austritt des warmen Mediums
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Bild 6. Abhitzekessel mit wassergekhltem und ankergesttztem Doppelboden nach Borsig. 1 Wasserzulauf, 2 Verteilerspalt, 3 Leitbleche, 4 Anker, 5 gekhlter tragender Boden, 6 gesttzter Membranboden, 7 Wassereinlufe, 8 Verdampfungsraum, 9 Rohrspalt, 10 Ausmauerung
4 Kondensation und Rckkhlung
stehenden Khlflchen kondensiert werden (die Bauweise ist „geschlossen“);
4.1 Grundbegriffe der Kondensation
Einspritz-(Misch-)Kondensatoren, in denen Dmpfe in direkten Kontakt mit eingespritztem Khlwasser gebracht und niedergeschlagen werden;
Bei der Abkhlung kondensierbarer Dmpfe unter die Sttigungstemperatur, den Taupunkt, werden die Dmpfe in den flssigen Zustand berfhrt. Anwendungsgebiete. Fr Kondensatoren sind es die Erzeugung eines mglichst hohen Vakuums (Dampfkraftmaschinen), die Wiedergewinnung des Kondensats als wertvolle Flssigkeit (Destillationsanlagen), die Niederschlagung von umweltbelstigenden Abdmpfen (Brden mit aggressiven Stoffen) sowie die Aufheizung und Verdampfung von Stoffen (Wasserdampf als Wrmetrger). Kltetrger. Wasser, Luft, Khlsole und aufzuheizende Substanzen sind Kltetrger. Arten. Unterschieden wird zwischen Oberflchenkondensatoren, in denen Dmpfe durch indirekten Kontakt mit einem Khlmittel ber meist aus Rohren be-
direkte Luftkhlung, also luftgekhlte Kondensatoren mit offener Bauweise, in denen Dmpfe durch Wrmeabfuhr an die Umgebungsluft verflssigt werden; indirekte Luftkhlung, bei der Wasser als Khlmedium in Oberflchen- oder Einspritzkondensatoren verwendet wird, das die Wrme ber Khltrme oder Flusslufe an die Luft bertrgt. Oberflchen- und luftgekhlte Kondensatoren ermglichen die Gewinnung reiner Kondensate und hhere Vakua als Mischkondensatoren (im Einspritzwasser gelste Luft!); diese bieten sich besonders zur Niederschlagung von wertlosen Brden an. Zur Aufheizung und Verdampfung ist die geschlossene Bauweise von Oberflchenkondensatoren notwendig.
K 28
Komponenten des thermischen Apparatebaus – 4 Kondensation und Rckkhlung
Nichtkondensierbare Gase. Sie reichern sich an den Stellen niedrigsten Drucks (niedrigster Temperatur) an und bilden hier eine wachsende Wrmewiderstandsschicht. Da die Dmpfe hier durchdiffundieren mssen, um an die Khlflche zu gelangen, verschlechtert sich das Vakuum. Bei konstantem Gesamtdruck verringern sich der Dampfteildruck und das treibende Temperaturgeflle zwischen Dampf- und Khlmitteltemperatur. Kondensatoren sind daher bei berdruck zu entlften und bei Vakuumbetrieb durch Abpumpen von Inertgasen freizuhalten.
4.2 Oberflchenkondensatoren 4.2.1 Wrmetechnische Berechnung Abzufhrender Wrmestrom Q_ ¼ m_ D ðhD hK Þ ¼ m_ W cW ðt2 t1 Þ:
ð1Þ
Khlflche des Kondensators A ¼ m_ D ðhD hK Þ=k D tM :
K
ð2Þ
m_ D ; m_ W Dampf- bzw. Khlmittel-Massenstrom; hD ; hK spezifische Enthalpien von Dampf bzw. Kondensat; cW Wrmekapazitt des Khlmittels; t1 ; t2 Ein- bzw. Austrittstemperatur des Khlmittels; k Wrmedurchgangskoeffizient; DtM mittlere Temperaturdifferenz (s. K 1.2.1). Wrmedurchgangskoeffizient k (s. D 10.2). Er wird meist von der Wrmebertragung auf der Khlmittelseite bestimmt, da die Wrmebergangskoeffizienten auf der Kondensationsseite – besonders bei Wasserdampf – groß sind. k wchst mit der Khlmittelgeschwindigkeit und kleiner werdenden Rohrdurchmessern. Fr Wasserdampfkondensation mit Khlwasserstrmung auf der Rohrseite zwischen 1,5 und 2,5 m/s ist k 3 000 . . . 4 000 W=ðm2 KÞ (s. K 1.2.1). Die hiermit aus Gl. (2) berechnete Khlflche A wird konstruktiv aufgeteilt und k mit den so erhaltenen geometrischen Daten nachgerechnet [1, 2]. Dabei sind Schmutzschichten und der Einfluss von Inertgasen gesondert zu bercksichtigen [3]. berhitzter Dampf. Hier bildet sich ein Kondensatfilm auf der Wand, wenn die Wandtemperatur gleich oder kleiner als die Sattdampftemperatur ist; die Wrmebergangszahlen fr Kondensation (s. D 10.4.2) ndern sich hierbei nur unwesentlich. Die Bereiche fr Dampfkhlung (trockene Wand) und Kondensatkhlung sind gesondert zu berechnen. 4.2.2 Kondensatoren in Dampfkraftanlagen Ziel ist die Erzeugung eines mglichst großen Druck- und Wrmegeflles fr Kraftmaschinen. Wegen des großen spezifischen Volumens der Dmpfe bei Vakuum sind große Eintrittsquerschnitte notwendig, damit die Druckverluste den Gefllegewinn nicht bersteigen; wirtschaftlich erreichbare Enddrcke p1 sind bei Kolbenmaschinen 0,1 bar, bei Turbinen 0,025 bar (niedrige Khlwassertemperaturen t1 vorausgesetzt, die rtlich und jahreszeitlich variieren). In Mitteleuropa gelten fr t1 und p1 : Brunnenwasser 10 bis 15 C sowie 0,03 bar, Flusswasser 0 bis 25 C sowie 0,04 bar, Rckkhlwasser 15 bis 30 C sowie 0,06 bar. Der Druck p1 ist um 0,005 bis 0,01 bar hher als der zur Khlwasser-Austrittstemperatur gehrende Sattdampfdruck. Khlwassermenge m_ W 70 m_ D bei Dampfturbinen, m_ W 40 m_ D bei Kolbenmaschinen. Ist tD die Sattdampftemperatur am Khlwasseraustritt, so gilt tD t2 ¼ 3 . . . 5 K. Kondensatunterkhlung t0 tK < 3 K, da anderenfalls Inertgas gelst und dem Kreislauf wieder zugefhrt wird. Die Absaugung des Inertgases ist an der kltesten Stelle (niedrigster Gesamtdruck) mit Abschirmung gegen Dampfzutritt (s. K 4.2.4) vorzusehen.
4.2.3 Kondensatoren in der chemischen Industrie Oberflchenkondensatoren zur Gewinnung wertvollen Kondensats hinter Kolonnen und Reaktoren werden entweder mit Wasser oder mit Luft (s. K 4.4) gekhlt. In strkerem Maße werden zur Energieeinsparung auch Produkte, die vorgewrmt oder verdampft werden mssen, als Khlmittel verwendet. Wasser als Khlmittel fließt auf der Rohrseite (bessere Reinigungsmglichkeit), kondensierender reiner Stoff auf der Mantelseite von Bndeln (grßerer Querschnitt und kleinerer Druckverlust). Letzteres ist besonders bei Vakuumbetrieb zu beachten, der bei temperaturempfindlichen Substanzen angewendet wird. Wrmebergangskoeffizienten. Fr kondensierende organische Stoffe sind sie niedriger als die von Wasserdampf. Kommt es hierbei auf hohe Werte an, ist die Kondensation an waagerechten Rohrbndeln gnstiger als an senkrechten. Dies gilt vor allem bei niedrigen Siedetemperaturen und kurzen Rohrlngen. Der Wrmebergang wird durch Queranstrmung der Bndel verbessert. Auf der Khlmittelseite ist fr guten Wrmebergang durch hohe Wassergeschwindigkeiten und Vermeidung von Schmutzschichten zu sorgen. Hierfr bieten sich eine sorgfltige Wasservorreinigung und automatisch schaltende Brsten- oder Kugelreinigungsvorrichtungen an. Bei ungnstigen Wasserverhltnissen ist auch eine Beschichtung der Rohre (glatte Oberflchen) vorteilhaft. Aufheizung und Verdampfung von Stoffen. Sie erfolgt vielfach in Kondensatoren, wobei Kraftwerksdampf als Wrmetrger benutzt wird. Da hierbei hohe Kondensations-Wrmebergangskoeffizienten auftreten, werden die Phasenfhrung und die geometrische Anordnung von der Verdampfungsseite – mit dem meist kleineren Wert – bestimmt. So findet man vielfach senkrechte Bndelanordnungen mit Kondensation auf der Mantelseite in Umlaufverdampfern an Kolonnen, aber auch waagerechte Bndelanordnungen mit Kondensation auf der Rohrseite im „Kettle-Type-Reboiler“. Zur genauen Berechnung solcher Verdampferkondensatoren muss abschnittsweise der Verlauf der Wrmebergangskoeffizienten fr Kondensation und Verdampfung bestimmt werden. Mehrkomponentengemische. Besonders aufwendig wird die Berechnung, wenn diese Gemische kondensieren (Teilkondensatoren, Dephlegmatoren), eventuell unter Beteiligung von Inertgasen, und auf der Khlmittelseite Mehrkomponentenprodukte vorgewrmt und verdampft werden (Teil-, Flashverdampfer). Hierbei sind zunchst die sich lngs des Apparats ndernden Siede- bzw. Tautemperaturen aus Gleichgewichtsberechnungen zu bestimmen und in einem EnthalpieTemperatur-Diagramm darzustellen. Diese Wrmebertrager dienen an exotherm arbeitenden Reaktoren zur Aufheizung der Reaktionsstoffe durch das Reaktionsprodukt. Wegen der hohen Temperaturen (Wrmespannungen) und Verschmutzungsgefahren wird der Schwimmkopfapparat (s. K 3) bevorzugt.
4.2.4 Konstruktive Gesichtspunkte Niederdruck-Sattdampfkondensatoren Sie werden berwiegend als liegende Rohrbndelapparate ausgefhrt. Kleine Druckverluste. Bei großem Dampfvolumen befinden sich ein weiter Dampfraum unter dem großen Eintrittsstutzen und keilfrmige Dampfgassen im oberen Rohrbndel. (Bild 1). Hierbei besteht die Gefahr, dass in den Teilbndeln partielle Druckminima entstehen, in denen sich Inertgas sammelt und den Wrmebergang behindert, wenn das Gas nicht von dort abgesaugt wird. Gnstiger wre es, den Kondensator nach unten zu verengen oder mit nach unten abnehmender
I4.4
Luftgekhlte Kondensatoren
K 29
der Rohrwege!). Bei Kondensation im Rohr wird das Bndel zum besseren Kondensatabfluss geneigt. Neben Rohrbndeln gibt es auch Schlangenrohr-, Doppelrohr- und Rieselkhler als Kondensatoren.
4.3 Einspritz-(Misch-)Kondensatoren
Bild 1. Einflutiger Balcke-Drr-Kondensator. Durchmesser 2,5 m, Lnge 12 m; Rohre: Zahl 4 960, Abmessungen 19,05 mm 0,89 mm, Teilung 26 mm; Dampf 44,2 kg/s, Wasser 2,1 m3 /s, Leistung 97 MW. 1 Dampfschlitze in der Rohrtragwand, 2 Kondensatfhrungsbleche, 3 Kondensataustritt, 4 Luftsaugstutzen
Rohrteilung zu versehen [2]. Dies hat sich aus konstruktiven Grnden und wegen der Kosten bisher nicht durchgesetzt. Entfernung der Inertgase. Sie erfolgt restlos von der kltesten Stelle (Druckminimum) mit minimalem Dampfanteil. Die gnstigste Lsung ist nach [4] die Absaugung in den Zentren der Bndelteile durch Rohre von der Lnge des Bndels mit vielen Saugffnungen. Leitbleche schirmen gegen Dampfzutritt ab, tote Ecken sind zu vermeiden. Vermeiden der Kondensatunterkhlung. Hierzu halten Fhrungsbleche 2 das Kondensat von den Khlrohren fern, Bild 1. Kondensatableiter bzw. Saugpumpen fhren das Kondensat stndig ab. Konstruktion: Mntel ber 500 mm Durchmesser (Dmr.) aus Stahlblech geschweißt, Lnge 2 Dmr: Rohrbden 20 bis 30 mm dick aus Stahl oder Messing (bei saurem oder salzhaltigem Wasser). Rohre 15 bis 25 mm Dmr., Rohrteilung = ð1;4 . . . 1;5Þ Außendmr:, nach unten enger. Leitbleche auf der Mantelseite sind bei Kondensation nicht notwendig. Zur Vermeidung von Schwingungen sind Sttzbleche im Abstand ð50 . . . 70Þ Rohrdmr: vorzusehen. Zur Schwingungsauslegung s. [5]. Wrmedehnungen ist durch Dehnungsausgleicher oder S-frmig vorgebogene Rohre (Wendestellen liegen im Sttzblech) Rechnung zu tragen. Bei zweiflutiger Ausfhrung kann eine Hlfte gereinigt werden, ohne die Anlage stillzusetzen. Am Dampfeintritt ist ein Notauspuffventil vorzusehen. Kondensatoren in der chemischen Industrie Dampfgassen normalerweise (hhere Drcke und Druckverluste) nicht notwendig. Lnge ð3 . . . 4Þ Dmr:, je nach Druckverlust und Stromfhrung. Gnstig ist Dampfzufhrung in der Mitte und Stromteilung durch Trennblech in Bndellngsrichtung (Split-flow) [6]. Rohre (18 bis 25) mm Dmr., Rohrteilung (1,3 bis 1,5) Außendmr. nach DIN 28 182. Schwimmkopfapparate knnen in der einfacheren Pullthrough-Ausfhrung (s. [3]) mit Dichtstreifen hergestellt werden, da Platz fr die Dampfverteilung und Kondensatsammlung erwnscht ist. Falls zwei Rohrwege ausreichend sind, ist auch der U-Rohr-Typ geeignet (keine Reinigungsmglichkeit
Durch Einspritzen feinverteilten Khlwassers in den Dampf ergeben sich im Vergleich zu den Oberflchenkondensatoren grßere Wrmedurchgangszahlen. Diese wurden von [7] fr frei fallende Filme, Strahlen und Tropfen sowie bei Druckzerstubung gemessen. Im letzten Fall wurden Werte von k ¼ 100 000 W=ðm2 KÞ an Trpfchen mit 0,6 mm Durchmesser und 15 m/s Geschwindigkeit bei einer Wrmestromdichte von 230 000 W=m2 festgestellt. Diese Werte reduzieren sich erheblich mit abnehmender Tropfengeschwindigkeit bzw. zunehmender Verweilzeit sowie mit abnehmendem Kondensatordruck und zunehmendem Inertgasgehalt (Reduziergang 50% bei 1% Gasmassengehalt). Da die Phasengrenzflche pro Volumeneinheit ebenfalls groß wird, sind die Abmessungen von Mischkondensatoren kleiner als die von Oberflchenkondensatoren. Einbauten zur Erhhung der Kontaktflche und der Verweilzeit sind relativ billig. Der spezifische Khlwasserbedarf m_ W =m_ D errechnet sich nach Gl. (1). Da t2 ¼ tK , ist m_ W =m_ D mit 15 bis 30 kg/kg kleiner als bei Oberflchenkondensatoren. Fr große Leistungen und niedrige Drcke ist die Gegenstromfhrung (trockene Absaugung der Inertgase am Kopf) wirtschaftlicher als die Gleichstromfhrung (nasse Absaugung). Der Kondensat- und Khlwasserabzug erfolgt meist ber eine Flssigkeitsvorlage oder eine Wasserstrahlpumpe, bei Gleichstromfhrung auch ber einen Strahlkondensator. Wegen der Vermischung des Khlwassers mit Kondensat lsst sich dieses gnstige Verfahren nur bei wertlosen Brden anwenden. Eine Ausnahme bildet das Heller-Verfahren [8], bei dem Dampf in einem Einspritzkondensator mit seinem eigenen Kondensat niedergeschlagen wird, das vorher mit Luft in einem Trockenkhlturm heruntergekhlt wurde. Dieses indirekte Luftkhlverfahren (s. K 4.6) wird bei Wasserknappheit angewandt. Der Einspritzkondensator ist nur ein Drittel so groß wie der Oberflchenkondensator gleicher Leistung, dagegen sind die Investitionskosten fr die Kondensatkhlung erheblich. Mit dem dreifachen Luftdurchsatz wird das gleiche Vakuum erreicht wie beim nassen Khlturm [9].
4.4 Luftgekhlte Kondensatoren Bei Wasserknappheit wird neben der indirekten in zunehmendem Maße die direkte Luftkhlung angewandt, die kleinere Oberflchen bentigt. Gekhlt wird zumeist durch Anblasen der berippten Außenflchen mit Lftern, seltener durch natrliche Belftung. Aufgrund gesetzlicher Auflagen nehmen langsam laufende, geruscharme Lfter mit breiten Schaufeln zu. Die Investitionskosten sind hher als fr Oberflchenkondensatoren. Vergleicht man jedoch Luftkhlung mit Oberflchenkondensatoren unter Einschluss des Rckkhlwerks, so sind die Investitionskosten etwa gleich groß, die Betriebskosten bei Luftkhlung aber geringer, solange die Produkttemperatur ber 60 C liegt. Anlagen fr Kraftwerke. Sie werden mit einer Leistung bis zu etwa 1 100 t/h Kondensation (400 MW) gebaut. Die Rohrbndel knnen vertikal, horizontal oder geneigt (A- oder Vfrmig) und platzsparend oberhalb von Rohrbrcken oder auf Gebuden angeordnet werden. Weit verbreitet ist die A-Anordnung (Bild 2) mit oberer Dampfzufhrung (Gleichstromfhrung von Dampf und Kondensat). Sinkende Kondensationsleistung der Rohrreihen, die im angewrmten Luftstrom
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K 30
Komponenten des thermischen Apparatebaus – 4 Kondensation und Rckkhlung
fllung geeignet. Vorteile der Strahlpumpe gegenber mechanischen Pumpen sind die mglichen Ausfhrungen in Sondermaterialien bei korrosiven Medien.
Bild 2. Luftgekhlter Kondensator in A-Anordnung. 1 Rippenrohre mit unterschiedlichem Rippenabstand, 2 Dampfzufhrung, 3 Kondensatabzug, 4 Ventilator
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liegen, werden durch engere Rippenteilung ausgeglichen (1 in Bild 2). Bei Frost und Vakuumbetrieb besteht Erfriergefahr am unteren Rohrende durch Totzonenbildung (Dampfrckstrmung in Rohre mit vollstndiger Kondensation, Einschluss und Anreicherung von Inertgas). Hier bietet sich die untere Dampfzufhrung (Gegenstrom) an, die mit einem schlechteren Wrmebergang verbunden ist, oder eine Kombination beider Schaltungen, die sicherstellt, dass im vorgeschalteten Gleichstromkondensator in allen Rohren Teilkondensation stattfindet und eine Kondensatunterkhlung verhindert wird. Bei variierenden Betriebsbedingungen ist es sicherer, jede Rohrreihe mit getrennten Sammlern zu versehen. Raffinerien und chemische Fabriken. Auch hier setzen sich luftgekhlte Kondensatoren verstrkt durch. Als Kopfkondensatoren fr Destillationskolonnen werden sie heute bis zu 40 GJ/h gebaut.
4.5 Hilfsmaschinen Aus Kondensatoren sind das Kondensat und die mit dem Dampf, dem Khlwasser und durch Undichtigkeiten (Rohrleitungen, Maschinenstopfbuchsen) eindringende Luft mittels Pumpen laufend zu entfernen. Nassluftpumpen werden fast ausschließlich fr Mischkondensatoren im Gleichstrom benutzt; sie frdern gleichzeitig Kondensat und Luft auf Atmosphrendruck. Fr grßere Anlagen werden Trockenluftpumpen und getrennte Kondensatpumpen verwendet.
Wasserstrahl-Luftpumpen. Sie werden nur einstufig gebaut. Die Luft wird isotherm verdichtet, da die Kompressionswrme in das Wasser geht. Theoretisches Vakuum (entsprechend der Wassereintrittstemperatur) wird zu 98% erreicht. Der Wirkungsgrad ist wegen des hohen Wasserverbrauchs (20 bis 40 m3 je kg Luft) niedrig, aber grßer als bei Dampfstrahlsaugern. Parallelschaltung zur Erreichung großer Leistungen whlen. Strahlwasserdruck ber 2 bar. Vorteile: Große Saugleistung, d. h. rasche Inbetriebnahme des Kondensators, einfache Bauart, keine bewegten Teile, hohe Betriebssicherheit auch wegen Unempfindlichkeit gegen verunreinigtes Wasser. Nachteile: Leistungsverluste in Wasserpumpe, Kondensatverluste. Dampfstrahl-Luftpumpen. Ein Treibdampfstrahl wird durch Expansion in einer Lavaldse auf berkritische Geschwindigkeit gebracht. Luft wird durch Unterdruck angesaugt. Maximal einstufiges Verdichtungsverhltnis ist 1 : 7 entsprechend 0,15 bar Ansaugdruck bei Frderung in die Atmosphre. Bei niedrigeren Drcken mehrstufig arbeiten, wobei kondensierbare Anteile zur Einsparung von Energie und zur Verkleinerung der folgenden Stufen in Zwischenkondensatoren niedergeschlagen werden. Zur Khlung kann Turbinenkondensat (Speisewasservorwrmung) benutzt werden. Bild 3 zeigt eine zweistufige Ausfhrung. Neben Oberflchenkondensatoren werden auch Mischkondensatoren verwendet. Vielfach ist als letzte Stufe (Druckbereich 0,2 bis 1,0 bar) eine WasserstrahlLuftpumpe oder eine Wasserringpumpe wirtschaftlicher. Vorteile: Wie bei Wasserstrahl-Luftpumpen. Dazu kommen niedrigere Saugdrcke, Kondensatrckgewinn. Nachteile: Zustzlicher Kondensator notwendig, niedrigerer Wirkungsgrad. 4.5.2 Khlwasser- und Kondensatpumpen Khlwasserpumpen. Es sind meist Radialpumpen fr grßere Frdermengen (bis 15 000 m3 /h) bei geringen Frderdrkken (0,8 bis 2 bar). Doppelter Antrieb durch Dampfturbine und Elektromotor bei Kraftwerken aus Sicherheitsgrnden. Aufteilung auf mehrere parallele Pumpenstze blich; durch Zu- und Abschalten Anpassung an Leistung ohne Drehzahlregelung. Kondensatpumpen. Sie werden ebenfalls als Kreiselpumpen ausgefhrt (s. R 3.4). berdimensionierung fr den Fall der Undichtigkeit von Khlwasserrohren. Positive Zulaufhhe notwendig. Zumeist mehrstufige Ausfhrung. Anordnung hufig mit der Khlwasserpumpe auf einer Welle. Leistungs-
4.5.1 Trockenluftpumpen Im Mittel kann fr die Auslegung mit Luftmengen von etwa 0,1 bis 0,25 Massen-% der maximalen Kondensatmenge fr Turbinen bzw. Dampfkolbenmaschinen gerechnet werden, falls keine Erfahrungswerte vorliegen. Der mit der Luft abgesaugte Dampfstrom m_ D ist auch bei guter Khlung der Luft auf tL grßer als der Luftstrom m_ L .
Niedrige Werte fr etwa 0,02 bar, hohe Werte fr 0,1 bar Gesamtdruck. Khlung so gestalten, dass tD tL > 4 K wird (tD Sattdampftemperatur am Eintritt des Kondensators). Die gebruchlichsten Pumpen sind Wasser- und Dampfstrahlpumpen. Daneben finden bei nicht zu niedrigem Druck Wasserring-Luftpumpen Anwendung, die gegebenenfalls auch mit Sperrflssigkeiten niedrigen Dampfdrucks betrieben werden knnen. Fr hohes Vakuum sind Drehkolbenpumpen mit l-
Bild 3. Dampfstrahl-Luftpumpe (Bauart Krting), zweistufig mit Zwischenkondensation. a, b Dampfstrahlpumpe 1. bzw. 2. Stufe, c, d Oberflchen-Doppelkondensator 1. bzw. 2. Stufe. 1 Sauganschluss, 2 Treibdampf, 3, 4 Khlwasserein- bzw. -austritt, 5 Kondensatabzug, 6 Luftaustritt
I4.6 bedarf der Kondensationsanlage 0,4 bis 0,5% der Normalleistung der Kraftmaschine.
4.6 Indirekte Luftkhlung und Rckkhlanlagen Die indirekte Wrmeabfuhr an die Luft ber ein Zwischenkhlmittel (fast ausschließlich Wasser) ist notwendig, wenn kein Frischwasser zur Verfgung steht oder Flusseinleitungstemperaturen vorgeschrieben sind. Hinsichtlich des Wasserstroms gibt es trockene und nasse Khltrme. Bei trockenen Khlern wird die Wrme durch Konvektion ber Khlflchen (Rippenrohrbndel) bertragen, mit hherem Wrmebergangswiderstand und kleinerem Enthalpiegeflle als beim nassen Verfahren. Im letzteren Fall wird die Wrme berwiegend durch Verdunstung des Wasser bertragen. Etwa 1 bis 2% des zu khlenden Stroms gehen verloren und mssen ersetzt werden. Das umweltfreundliche trockene Verfahren erfordert eine grßere Ventilationsleistung und hhere Investitionskosten. Es wird verstrkt benutzt, wenn die Nachteile des nassen Verfahrens – Nebelschwaden, Sprhregen, Eisbildung, Zusatzwasser, Verkrustungen, Korrosion – stren und geschlossene Kreislufe unabdingbar sind, z. B. bei Kernkraftwerken oder beim Heller-Verfahren mit Mischkondensatoren (s. K 4.3). Die geplante Kombination beider Verfahren [10, 11] gestattet es, im Winter vorzugsweise auf Trockenbetrieb (Kennlinie abhngig von der Lufttemperatur) und im Sommer auf teilweise Nassbetrieb (Kennlinie abhngig von Feuchtthermometer-Temperatur) berzugehen.
Indirekte Luftkhlung und Rckkhlanlagen
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4.6.1 Bauarten Offene Khlteiche (0,5 m3 /h zu khlendes Wasser pro m2 Grundflche bei 10 K Khlzonenbreite) oder Gradierwerke mit 1 bis 2 m3 /(h m2 ) sind inzwischen selten. Fr große Leistungen whlt man heute berwiegend geschlossene Khltrme aus Beton (5 bis 10 m3 /(h m2 )) fr kleine Einheiten Kleinkhler aus Kunststoff (bis 4 000 m3 /h) und fr mittlere Leistungen Zellenkhltrme aus Stahlbetonfertigteilen. Arten der Khltrme. Es gibt zwangs- und natrlich belftete Trme. Naturzugkhltrme sind fr große Wrmeleistungen im Grundlastbetrieb wirtschaftlicher als Ventilatorkhltrme trotz hherer Investitionskosten. Abmessungen ca. 110 m Durchmesser und 150 m Hhe bei 14 cm Betonwanddicke (Leistung 1 000 bis 1 200 MW als Nasskhlturm). Grßere Abmessungen, wie sie fr Trockenkhltrme gleicher Leistung notwendig wren (200 bis 300 m Durchmesser und Hhe), lassen sich kostengnstig mit der Seilnetzkonstruktion (Bild 4) verwirklichen. Die Paraboloidform mit Einschnrung soll Kaltlufteinbrche von oben verhindern [12, 13]. Ventilatorkhltrme. Sie sind fr große Leistungen (bis 100 000 t/h) nur fr Spitzenlastbetrieb, z. B. als Ablaufkhlturm (Khlung des ablaufenden Flusswassers im Sommer), wirtschaftlich. Normale Anwendung fr kleine bis mittlere Maschinenleistungen. Durchmesser der Rundkhltrme bis 70 m, der saugenden Ventilatoren bis 26 m; Antriebsleistung 0,55 kW=m2 beregnete Grundflche. Drckende Ventilatoren fr Schalldmmung (Kulissenschalldmpfer am Lufteintritt); Durchmesser 7 bis 8 m, Turmhhe kleiner als
Bild 4. Seilnetz-Trockenkhlturm Schmehausen [12]. 1 Mast, 2, 3 Speichenrder, 4, 5 Netzschale bzw. -verkleidung, 6 Flugbefeuerung, 7 Steigleiter, 8 Aufzug, 9 Laufstege, 10, 11 Innen- und Außenbefahranlagen, 12 Wrmebertrager A-Form, 13 Kran
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Komponenten des thermischen Apparatebaus – 4 Kondensation und Rckkhlung
50 m, Schale leichter herstellbar, Baukosten 10 bis 15% niedriger, Leistungsbedarf 10 bis 15% hher als mit saugendem Ventilator. Nasse Khltrme. Das zu khlende Wasser wird auf Verteilereinrichtungen im unteren Drittel des Turms gepumpt und fließt dann, durch Dsen zerstubt oder von berlaufrinnen auf Einbauten verteilt, in dnne Schichten aufgelst dem Luftstrom entgegen; Fallhhe des Wassers 6 bis 8 m. Die Luft tritt unten seitlich ein. Ausfhrungen im Gegenstrom ber Tropflatten in Deutschland und Querstromfhrung in den USA verbreitet.
Le ¼ a=ðbx cLm Þ:
ð4Þ
Fr verdunstendes Wasser ist Le 1. Merkel-Zahl. Aus Gl. (3) folgt unter Vernachlssigung der Wassermengennderung Z b A cW dtW Me ¼ x ¼ : ð5Þ 00 m_ W hL hL 00
Sie wird im Mittelwertverfahren fr hL und hL [1] oder graphisch nach Sherwood ermittelt. Zahl der bertragungseinheiten. Mit den Massenstrmen m_ L der Luft und m_ W des Wassers wird
4.6.2 Berechnung Der Wrmebergang in Trockenkhltrmen lsst sich wie in Rippenrohrkhlern berechnen. In Naturzugtrmen ist der Luftdurchsatz aus dem Gleichgewicht zwischen Auftrieb und Druckverlust zu bestimmen [1]. Fr den nassen Khlturm gilt nherungsweise die von Merkel [14] aufgestellte Hauptgleichung:
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Lewis-Zahl. Ist a der Wrmebergangskoeffizient und cLm die mittlere Wrmekapazitt der feuchten Luft, so gilt
Wrmestrom. Der von der Luft dem Wasser durch Wrmebergang und Verdunstung entzogene Wrmestrom 00
dQ_ ¼ m_ W cW dtW ¼ bx ðhL hL Þ dA
ð3Þ
ist proportional der Phasengrenzflche dA zwischen Wasser 00 und Luft und der Differenz der Enthalpie hL gesttigter Luft bei der Wassertemperatur tW und der Enthalpie hL der Luft, bx ist der Stoffbergangskoeffizient (Massenstrom pro Flcheneinheit).
NTU ¼ bx A=m_ L ¼ m_ W Me=m_ L :
ð6Þ
Der Wasserverlust setzt sich aus bx A zuzglich der mitgerissenen Tropfen ð0;3 bx AÞ zusammen und muss durch aufbereitetes Zusatzwasser ersetzt werden. Die Khlwirkung nimmt mit steigender Wassertemperatur zu. Unterhalb der Khlgrenztemperatur (Feuchtthermometer-Temperatur), die bei ungesttigter Luft niedriger ist als die Trockenlufttemperatur, kann Wasser nicht abgekhlt werden. Bei den blichen mittleren Bemessungswerten fr die Lufttemperatur 15 C und 70% rel. Feuchtigkeit betrgt die Khlgrenztemperatur etwa 12 C. bliche Khlzonenbreite tW2 tW1 ¼ 10 K. Zur Berechnung und Verfolgung der Zustandsnderungen im Mollier- h, x-Diagramm s. D 6.2.2. Werte fr bx A bzw. NTU sind der Literatur zu entnehmen oder in Versuchen zu ermitteln [1].
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Anhang K: Diagramme und Tabellen
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5 Anhang K: Diagramme und Tabellen Anh. K 2 Tabelle 1. Dichtungskennwerte fr Gase und Dmpfe nach DIN 2505 [21]
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Anh. K 2 Tabelle 2. Richtwert fr Geschwindigkeiten in m/s [8]
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Komponenten des thermischen Apparatebaus – 5 Anhang K: Diagramme und Tabellen
K
Anh. K 2 Bild 1. Druckverluste in Stahlrohren DIN 2448 fr Kaltwasser (+10 C) [11]
Anh. K 2 Bild 2 a, b. Widerstandszahl zR . a von Absperrschiebern mit Reduzierstcken; b von Ventilen und Klappen nach [15]
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Spezielle Literatur
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Anh. K 2 Bild 3. Lngennderung verschiedener Werkstoffe in Abhngigkeit von der Temperatur
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Komponenten des thermischen Apparatebaus – 6 Spezielle Literatur
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K
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Energietechnik und Wirtschaft
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L 1 Grundstze der Energieversorgung Eine florierende Wirtschaft ist von einer preisgnstigen, vor allem aber kontinuierlichen und sicheren Energieversorgung abhngig. Derzeit ist der steigende lpreis an den auch meist der Gaspreis gebunden ist, infolge verstrkter Nachfrage auf dem Weltmarkt von großem Einfluß. Die Energiewirtschaft umfaßt alle technischen und wirtschaftlichen Maßnahmen der Primrenergieerschließung und -gewinnung, deren Umwandlung, Transport und Verteilung bis hin zur Energieanwendung beim Endverbraucher. Der Energiebedarf ist mit der Entwicklung der Bevlkerung verknpft und beeinflußt ihren sozialen Fortschritt. In den letzten 50 Jahren war das Wachstum des Energieverbrauchs und des Bruttosozialprodukts in etwa gleich groß. Eine Entkopplung wird besonders in den Industrielndern angestrebt. Der Primrenergieverbrauch lag in 2005 in Deutschland bei 227,2 kg SKE/1000 EUR Bruttoinlandsprodukt (BiP) in den Preisen von 2000 gegenber 1990 von 295,8 kg SKE/1000 EUR. Beim Stromverbrauch sind die Vergleichszahlen wie folgt 285 kWh/1000 EUR BiP in 2005
Bild 1. CO2 -Emissionen (2002) (Quelle: DIW)
zu 320,3 i. 1990. Der Weltenergiebedarf stieg 2005 auf rd. 14,65 Mrd. t SKE (Steinkohleneinheiten). Bei einer Weltbevlkerung von ber 6 Mrd. Menschen liegt der derzeitige Energieverbrauch pro Jahr bei 2,4 t SKE/Kopf. Der Primrenergieverbrauch der Bundesrepublik ist durch die wirtschaftlichen Vernderungen auf 485 Mio.t SKE (spez. 5,9 t SKE/ Kopf) zurckgegangen und damit auch die CO2 -Emissionen auf 807,8 Mio. t/a (9,5 t/Kopf). In Deutschland stagniert seit etwa 1997 der CO2 Ausstoß, whrend erhebliche Anstiege in USA, China, Indien und Afrika zu verzeichnen sind (Bild 1). Auf die Stromerzeugung in Deutschland entfallen ca. 300 Mio. t CO2 . Wenn auch die aufgestellte These von der physikalischen Endlichkeit der Primrenergie-Ressourcen durch die Erkenntnis einer konomisch determinierten Endlichkeit von Reserven abgelst worden ist, und auch die Nutzungsmglichkeit fr erneuerbare Energietrger durch die Wirtschaftlichkeit relativiert wurde, so bleibt jedoch fr die Zukunft als energiewirtschaftliches Problem die Beeinflussung der Atmosphre durch entstehendes CO2 aus der Energieumwandlung, d. h.
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Energietechnik und Wirtschaft – 1 Grundstze der Energieversorgung
vorrangig aus den Verbrennungsprozessen. Gegenwrtig wird 87% des Energiebedarfs durch fossile Energietrger gedeckt, die bei einer Verbrennung zu ca. 23 Mrd. t CO2 fhren. CO2 ist in der Erdatmosphre nur als Spurengas (1 : 1 Mio.) vorhanden und wird noch zu 30% in den Ozeanen und in tropischen Regenwldern, die 14 % der Landflche ausmachen, zu ca. 36 % gelst. Die Unsicherheit der Daten liegt bei 7 Mrd. t. Der Prozeß der Anreicherung der Atmosphre muß gestoppt werden, um die Abnahme der globalen Pflanzenmenge, zunehmende Sttigung im Oberflchenwasser der Weltmeere und Zunahme des Energieverbrauchs mindestens zu kompensieren. Die Energiepolitik und Wirtschaft sollten darauf ausgerichtet sein, Verbrennungsprozesse einzuschrnken, Solar- und Nukleartechnik verstrkt einzusetzen und die erforderliche Energie so rationell wie mglich zu nutzen. In den Industrielndern ist der Energieverbrauch seit 1980 zwar rcklufig, jedoch in den restlichen Lndern steigt er weiter an. Der Einsatz der verschiedenen Primrenergien zeigt Bild 2. Die CO2 Emissionen werden zuknftig geringfgig entschrft durch einen verstrkten Erdgaseinsatz. Aktuelle Berechnungsdaten der CO2 -Emissionen sind Anh. L 1 Tab. 1 zu entnehmen. Nach den Vereinbarungen der Weltklimakonferenz von Buenos Aires 1998 sollen die CO2 -Emissionen bis 2005 um mindestens 20% reduziert werden. Deutschland hat als grßter Verursacher in der EU in den letzten 10 Jahren einen Rckgang von 18,5 % erreicht. Eine weitere Reduzierung um 21% bezogen auf 1990 wird bis zum Jahre 2012 angestrebt (2005: 807,8 Mio. t). Im Kyoto Plus, also sptestens nach 2012 wird der Klimaschutz nach dem Prinzip „Ein Mensch – ein Emissionsrecht“, d. h. zunchst 5 t CO2 /a u. Kopf, angestrebt. Ab ca. 2015 sollte der weltweite CO2 -Ausstoß auf 30 Mrd t/a zur Trendumkehr begrenzt werden. Den Schwerpunkt der heutigen Energiewirtschaft bilden die Umwandlungsprozesse der fossilen und nuklearen Primrenergien und Nahenergiekonzepte. Z. Zt mindern Kernenergie um 165 Mio. t CO2 und regenerative Energien um etwa 50 Mio. t CO2 den Ausstoß. Der technologische Fortschritt durch rationellere Verwendung und bessere Energienutzung einschließlich der Energierckgewinnung im Anwendungsbereich ist gekennzeichnet durch den Energienutzungsgrad. Die Kennzahl „Erntefaktor“= Energiegewinn/Energieaufwand
Bild 2. Entwicklung der Marktanteile von Energietrgern (Quelle: „Energy in a Finite World“, IIAASA). (Aktualisiert 2002)
wird heute hufig zur energetischen Beurteilung von Systemen verwendet, die regenerative Energiequellen nutzen. Neben den recht unterschiedlichen Energiegewinnungs- und Transporttechniken fr die einzelnen Primrenergien, liegt der Schwerpunkt der modernen Energiewirtschaft im Bereich der Erzeugung und Verteilung von Elektrizitt, Gas und Fernwrme. Sie werden als „leitungsgebundene Energien“ bezeichnet. Den Energieverbrauch in der Welt und in der Bundesrepublik Deutschland zeigt Bild 3. Die Importabhngigkeit an Primrenergien nimmt weiter zu. Derzeit liegt sie bei rd. 75% ohne und mit Kernenergie bei 61%. Dies bedeutet erhebliche Verfgbarkeits- und Preisrisiken.
1.1 Planung und Investitionen Planung der Energieversorgung. Alle technischen und wirtschaftlichen Maßnahmen, die fr die Umwandlung von Primrenergie in Sekundrenergie, d. h. Anwendung beim Endverbraucher, erforderlich werden, sind außerordentlich kapitalintensiv. Der grßte Teil der erforderlichen Investitionsgter weist Nutzungsdauern von 25 bis 50 Jahre auf, so daß Entscheidungen mit langfristigen Auswirkungen verbunden sind. Dies ist bedingt neben der umfangreichen, komplizierten Anlagentechnik durch die zustzlichen Anforderungen zur Minderungen der Emissionen in die Atmosphre und Beeinflussung der Gewsser, akustische Belastung der Umgebung und optische Beeintrchtigung. Fr die Entwicklung und den Ausbau der Energietechnik sind energiewirtschaftliche Prognosen fr ein Zeitraum von mindestens zehn Jahren erforderlich. Sie sind infolge der privaten und staatlichen Maßnahmen in ihrer Wirkung auf das Wirtschaftswachstum mit erheblichen Unsicherheiten behaftet. Die Entwicklung der Weltwirtschaft, die Whrungsproblematik (Preisentwicklung der einzelnen Primrenergien) und Umweltaspekte beeinflussen die technologische Entwicklung und die Anwendung einzelner Energien. Daher sind Planungen von entscheidender Bedeutung fr die Betriebswirtschaft des Energieversorgungsunternehmens. Investitionsentscheidungen. Die Sicherung der verfgbaren Energietrger, deren mgliche Lager- oder Speicherkapazitt, die wirtschaftliche Gestaltung der Energieumwandlungsanlage, die rationelle Energienutzung bei Koppelproduktion, das Einrumen des Wegerechts fr Energietransportleitungen, oder Versorgungsmodalitten sowie Umweltbeeinflussung bestimmen die Investitionsentscheidungen. Diesen liegen Planungsrechnungen zugrunde. Die Art und Weise, wie investiert wird, ist fr die knftige Kostenlage entscheidend. Mit der Entscheidung zur Investition wird der Spielraum fr grßere Dispositionen weitgehend eingeengt. Die Investitionsplanung ist nur ein Teilgebiet, das in ein Gesamtsystem der Finanzund Erfolgsplanung (Gewinn- und Verlustrechnung und Kostentrgerrechnung) zu integrieren ist. Derzeit investieren die Stromversorger ca. 4 Mrd. EUR/a. Die Aufgabe der Planungsrechnung ist es, die voraussichtliche Wirtschaftlichkeit von Investitionen zu errechnen. Sie arbeitet mit erwarteten Einnahmen (Erlse) und Ausgaben (Kosten) in ihrer Verteilung ber den jeweiligen Betrachtungszeitraum. Um die zu verschiedenen Zeiten anfallenden Einnahmen und Ausgaben miteinander vergleichen zu knnen, mssen sie finanzmathematisch durch Abzinsung bzw. Aufzinsung auf einen gleichen Bezugszeitpunkt bezogen werden. Bei den aufzuwendenden Kosten fr die Energieumwandlung und ihr leitungsgebundener Transport bis zum Verbraucher ist zu unterscheiden zwischen leistungs- und arbeitsabhngigen Kosten.
I1.2
Elektrizittswirtschaft
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Bild 3. Energieverbrauch 2003 in der Welt mit 13,96 Mrd. t SKE (9741 Mio. t OE) sowie in 2004 in der Bundesrepublik Deutschland 492,6 Mio. t SKE (Quelle: BP und VDEW)
Leistungsabhngige Kosten sind der Kapitaldienst und die Steuern, Versicherungen und andere leistungsabhngige Betriebsaufwendungen. Arbeitsabhngige Kosten enthalten den Aufwand fr die Umwandlungsenergie (z. B. Brennstoffkosten der Primrenergien) und den arbeitsabhngigen Anteil fr Bedienung, Unterhalt, Hilfsmittel und Entsorgung. Beide Kosten werden von dem Umwandlungswirkungsgrad beeinflußt. Eine Optimierung setzt eine Abschtzung der Vernderungen der Kostenelemente wie z. B. Brennstoff- und Lohnkosten whrend der Nutzungsdauer oder fr den Abschreibungszeitraum voraus. Barwertmethode. Hiermit kann bei Projekten die wirtschaftlichste Variante gefunden werden. Der Barwert b betrgt fr die n Jahre lang auftretenden Kosten K0 beim Zinsfuß p und dem Zinsfaktor q: qn 1 b ¼ bK0 mit dem Rentenbarwertfaktor b ¼ n und dem Aufq ðq 1Þ zinsungsfaktor qn ¼ ð1 þ p=100Þn . Der Annuittsfaktor ist 1/b. Einschrnkend ist zu bemerken, daß Erlse und Kosten gegen Ende der Nutzungsdauer hierbei geringer bewertet werden als solche, die bei Baubeginn anfallen; auch die Hhe der angenommenen Verzinsung, wie die Differenz zwischen Soll- und Habenzinsen, ist auf die Wichtung von Einfluß.
1.2 Elektrizittswirtschaft Die Elektrizittswirtschaft ist ein Zweig, der sich mit der Erzeugung und Verteilung der elektrischen Energie befaßt. Die Elektrizitt ist eine Sekundrenergie, die sich vielfltig verwenden lßt. Im Unterschied zu anderen Primr- und Sekundrenergien sind folgende Merkmale bestimmend: – die Leitungsgebundenheit, – die sehr beschrnkte Speicherfhigkeit (in Batterien oder anderen Energiespeicherformen z. B. Pumpspeicherung, Dampfspeicherung, Luftspeicherung, Schwungradspeicherung), – die allgemeine Versorgungspflicht (Anschlußverpflichtung), – die außergewhnliche Kapitalintensitt und
– die staatliche Fach-, Preis- und Kartellaufsicht ber das Versorgungsunternehmen. Als Maßstab fr die Bedeutung der Elektrizittswirtschaft innerhalb dieser Volkswirtschaft kann ihr Anteil am Primrenergieverbrauch, der in der Bundesrepublik Deutschland derzeit rd. 35% betrgt, angesehen werden. Wegen der wirtschaftlichen Bedeutung und des durch die Anlagentechnik verbundenen großen Investitionen sind Prognosen ber den zuknftigen Strombedarf erforderlich. Die Unsicherheiten, die auch von der wirtschaftlichen Entwicklung und seinem Lebensstandard abhngig sind. Der zuknftige Strommehrbedarf hat sich derzeit um 1%/a eingependelt. Er ist stark temperatur- und besonders konjunkturabhngig. Die einzelnen Primrenergietrger sind sehr unterschiedlich an der Erzeugung von Elektrizitt beteiligt. Betrachtet man jetzt Gesamt-Deutschland, so hat die Braunkohle jetzt einen gering hheren Leistungs- und Arbeitsanteil wie die Steinkohle. Diese Verschiebung ergibt sich durch den ca. 80% Anteil ostdeutscher Braunkohle. Der Anteil gasgefeuerter Anlagen wird durch Bau von Kombiblcken und regionalen KraftWrme-Kopplungsanlagen steigen, Bild 4 zeigt die Erzeugung in den einzelnen Primrenergietrgern. Eine Leistungsbersicht ergibt ein falsches Bild, da die Windkraftleistung, die nur beschrnkt ausnutzbar ist, auf ber 18,500 MW angestiegen ist. Die Leistung konventioneller Kraftwerke betrug weiterhin ca. 100 GW in der ffentlichen Versorgung. Die Hchstlast in Deutschland trat am 16.12.2004 um 18.00 Uhr mit einer Gesamtlast von 77,2 GW auf. Die Leistungsbemessung von Windanlagen mit 16 629 MW derzeit und netzgekoppelter fotovoltaischer Strahlungsnutzung in 2004 von ca. 700 MW wird in der Leistungsbilanz nicht bercksichtigt. Infolge der schwankenden Einsatzfhigkeiten bei Vollaststundenzeiten von 1300 h/a (Wind) und 900 h/a (Fotovoltaik) ist die Leistung nur beschrnkt verfgbar. Außerdem speist sie ungesichert ins Niederspannungsnetz ein. Sie wird fr den Regelleistungsbedarf von Bedeutung. Die Struktur der ffentlichen Elektrizittsversorgung in der Bundesrepublik Deutschland ist pluralistisch und dezentral
Bild 4. Energiemix bei der deutschen Stromerzerzeugung (2004). Angegeben ist die gesamte Netto-Stromerzeugung in Prozent und in Milliarden Kilowattstunden (570,1 TWh) (Quelle VDEW)
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Energietechnik und Wirtschaft – 1 Grundstze der Energieversorgung
im Vergleich zu vielen zentralen Strukturen im Ausland. Die EVU sind recht unterschiedlich hinsichtlich der rechtlichen Organisationsform als auch nach der wirtschaftlichen Aufgabenstellung und Bedeutung. Den einen Schwerpunkt der Elektrizittswirtschaft bildet die Erzeugung dieser Energie in Kraftwerken (s. L 3). Der zweite Teil umfaßt die vielfltigen Netzanlagen mit ihrer Vielzahl von Umspannwerken auf den verschiedenen Spannungsebenen (s. L 4.1.3 und V 6.1). Die neue EU Elektrizittsrichtlinie hat aus Wettbewerbsgrnden eine Trennung von Erzeugung und Verteilung vorgeschrieben. Die Bundesrepublik Deutschland wird mit Elektrizitt sowohl durch ffentliche und industrielle Unternehmen als auch durch die bahneigenen Werke versorgt (Bild 5). Um die elektrische Energie von den Kraftwerken zu den Verbrauchern zu bringen, haben die EVU ein dichtes Leitungsnetz aufgebaut. Der Rckgang der Niederspannungs-Freileitungen ist auf fortschreitende Verkabelungen zurckzufhren. Hier ist ein großer Nachholbedarf in den neuen deutschen Lndern. Das 380- und 220-kV-Hchstspannungsnetz (36 800 km) mit seinen Leitungen und Umspannanlagen dient dem weitrumigen Transport zwischen den Kraftwerken und den Verbraucherschwerpunkten. Auf dieser Spannungsebene wird vorwiegend der Energieaustausch auch mit dem Ausland abgewickelt (s. L 4.1.3). Durch den wirtschaftlichen Einsatz grßerer Kraftwerkseinheiten >300 MW auf der Basis Braunkohle, Kernenergie und Steinkohle muß die erzeugte elektrische Energie ber große Entfernungen transportiert werden. Zur Zeit speisen ber 34 000 MW Engpaßleistung in die 380-kVEbene ein. Auf dieser Spannungsebene wird die strkste Einbindung neuer Kraftwerksleistung erwartet. Vorwiegend kleinere (100 bis 300 MW) und ltere thermische Kraftwerksblcke, Gasturbinen, Laufwasser- und Pumpspeicher-Kraftwerke sind in die 110- bzw. 220-kV-Netze eingebunden. Das unterlagerte 60-110-kV-Hochspannungsnetz (ca. 75 500 km Stromkreislnge) bernimmt die regionale Verteilung. In den großen Stdten wird diese Spannungsebene verstrkt ausgebaut und auch einige Großbetriebe haben einen derartigen Versorgungsanschluß. In 2005 gab es ein Zubau
von 20 000 km. In 2005 wurden 2,4 Mrd EURO fr Netze investiert. Hier spielt derzeit die Einbindung der Windkraftanlagen eine dominierende Rolle. Beim Vergleich des Erscheinungsbilds deutscher Netze mit dem auslndischer Netze fllt auf, daß die Verteilungsnetze mit 220/380 V und 10 bzw. 20 kV in geschlossenen Ortschaften, selbst in kleinen Orten, weitgehend verkabelt sind und die Hochspannungsleitungen mit zwei, heute aber meistens mit vier oder noch mehr Stromkreisen ausgerstet werden. Damit trgt der Leitungsbau den Anforderungen des sthetischen Aussehens und der Knappheit an Leitungstrassen Rechnung (Leitungslnge ca. 1,5 Mio km). Aus Bild 5 gehen sowohl die Beitrge der drei Versorgungstrger (ffentliche, industrielle und bahneigene Versorgung) an das Gesamtstromaufkommen als auch deren Anteile an der Bedarfsdeckung der einzelne Verbrauchergruppen und Industriezweige hervor. Fr die EVU gilt nach § 6 des Energiewirtschaftsgesetzes (EnWG) die allgemeine Anschluß- und Versorgungspflicht. Die AVBELT-Netzanschluß enthlt auch diese Bedingung der Versorgungspflicht im Niederspannungsbereich. Aus dem Netz der ffentlichen Versorgung, derzeit ca. 1 Mio. km Lnge (0,4 kV), wurden 1997 rd. 435,9 TWh elektrischer Energie an 42,4 Mio. Tarifkunden und 0,29 Mio. Sondervertragskunden geliefert. Die Tarifkunden werden nach den „Allgemeinen Bedingungen fr Elektrizittsversorgung von Tarifkunden AVB-Elt“, seit dem 8.11.2006 durch die Niederspannungsanschlußverordnung – NAV abgelst, nach den verffentlichten Allgemeinen Tarifen versorgt. Die Bundestarifordnung Elektrizitt (BTO Elt) wurde zum 01.01.1990 novelliert. Sie enthlt neben Gliederungsvorschriften fr die Tarifpreise auch inhaltliche Kriterien fr die Preisgestaltung. Zu den Tarifkunden zhlen Haushalte sowie gewerbliche und landwirtschaftliche Betriebe. Der Rest setzt sich aus Pumpenstrom, Ausfuhr und Netzverlusten zusammen. Grßere Anlagen, vor allem Industriebetriebe, werden nach einzeln abgeschlossenen Sondervertrgen versorgt. Seit der Marktffnung haben weniger als 4 % der Privatkunden und bei Gewerbekunden ca. 12 % den Stromanbieter gewechselt.
Bild 5. Die Elektrizittsversorgung in der Bundesrepublik Deutschland 2003 Brutto-Stromerzeugung 642,8 Mrd. kWh (Quelle: VDEW)
I1.3 Entsprechend der Zusammensetzung der Kosten aus leistungs- und arbeitsabhngigen Kosten sehen die Preisregelungen fr beide Kundengruppen i. allg. zwei Preisbestandteile vor: – einen festen Betrag als Grundpreis bei den allgemeinen Tarifen und als Leistungspreis entsprechend der in Anspruch genommenen Leistung bei Sondervertrgen, – einen Preis fr die abgenommene elektrische Arbeit (Arbeitspreis je kWh). Am 29.04.1998 ist das Gesetz zur Neuregelung des Energiewirtschaftsrechtes in Kraft getreten. Damit wurde ein neuer Ordnungsrahmen mit folgenden Kernpunkten geschaffen. Die Demarkationsvertrge (Wettbewerbsbeschrnkung in geschlossenen Versorgungsgebieten) werden aufgehoben. Der Bau paralleler und zustzlicher Versorgungsleitungen ist fr Dritte mglich. Dadurch ist ein direkter Wettbewerb am Einzelkunden gegeben. In der neuen Ordnung ist die Durchleitung zum Verbraucher die Regel. Die Einzelheiten der Durchleitung – insbesondere die Entgeltfestsetzung fr die Nutzung des bestehenden Netzes – sind im Rahmen der Verbndevereinbarung II seit Dezember 1999 geregelt. Es gilt der Cride Code, der die Anschlußbedingungen, die Netznutzung, die Systemdienstleistungen sowie den Netzausbau, die Betriebsplanung und -fhrung regelt. Die EVU sind in der Rechnungslegung zu getrennter Kontenfhrung fr die Bereiche Erzeugung, bertragung und Netzfhrung (Hochspannung) und Verteilung (Mittel- und Niederspannung) verpflichtet (sog. unbundling) Bild 6 zeigt im Beispiel eine derzeitige Zusammensetzung des Strompreises. Bei der Diskussion um die hohen Strompreise, darf nicht vergessen werden der erhebliche Anteil an Steuern und Abgaben (ca. 36%). Die allgemeine Anschluß- und Versorgungspflicht einschließlich der Preisaufsicht bleibt. Damit wird der ffnung des Binnenmarktes auf diesem Sektor entsprechend den Richtlinien der Europischen Union Rechnung getragen. Das Stromeinspeisegesetz wurde vom 01. 04. 2000 durch das „Gesetz fr den Vorrang Erneuerbarer Energien (Erneuerbare-Energien-Gesetz-EEG)“ abgelst. Durch das EEG wird die vorrangige Einspeisung von Strom aus erneuerbaren Energie festgelegt und es werden hhere Vergtungen mit einer Laufzeit bis zu 20 Jahren vorgeschrieben. Ab 01. 04. 1999 ist eine kosteuer, die Stromsteuer, auf jede verkaufte kWh Strom zu entrichten. Sie wird an die Kunden weiterverrechnet. Die Stromsteuer wurde seither sukzessive erhht. Seit dem 01. 01. 2003 betrgt sie 2,05 ct/kWh. Am 01.04.2002 ist das Gesetz fr die Erhaltung, die Modernisierung und den Ausbau der Kraft-Wrme-Kopplung (KWK) in Kraft getreten. Nach dem Gesetz wird der KWK-
Bild 6. Zusammensetzung des Strompreises. Beispiel: Strompreis von 18,3 Cent pro Kilowattstunde
Gaswirtschaft
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Anteil der produzierten Strommenge (KWK-Strom) gefrdert, der in Netze der allgemeinen Versorgung eingespeist wird. Der jeweils aufnahmepflichtige Netzbetreiber zahlt fr den eingespeisten KWK-Strom einen vom Anlagentyp abhngigen Zuschlag auf die marktbliche Einspeisevergtung (s. L 3.1.4 Bild 9).
1.3 Gaswirtschaft Bis Ende der 20er Jahre wurde das fr die ffentliche Versorgung bentigte Gas aus Kohle bzw. Koks durch Entgasung oder Vergasung erzeugt. Um 1960 wurde in Westeuropa die Gaserzeugung aus Kohle wegen der niedrigen Erdlpreise auf diesen Rohstoff in Form von Rohbenzin bis hin zum Schwerl umgestellt. Gleichzeitig wurde mit der Entdeckung namhafter Erdgasvorkommen in Holland ein lnderbergreifendes Verteilungssystem aufgebaut bzw. auf das hohe kalorische trockene Erdgas (Zustand 80 bis 86% CH4 , Brennwert H0 ¼ 11,06 kWh/m3 ) umgestellt. Zur Zeit werden nur noch in wenigen Lndern mittelkaloriges Brenngas (z. B. 4,88 kWh/m3 Stadtgas) erzeugt oder in speziellen Anlagen, so z. B. durch Druckvergasung von Braunkohlen oder durch Verschneiden hergestellt. Die Gasreserven wurden um 2004 auf etwa 170 000 Mrd. m3 geschtzt. Die Erdgasfrderung und sein Verbrauch betrug 2005 weltweit ca. 2,42 Mrd. m3 , in Deutschland 80,3 Mio. m3 (77,3 Mio. t OE (Oeleinheiten=1,12 m3 )). Das verflssigte Erdgas (LNG), derzeit 155 Mrd m3 z. B. aus Algerien und Libyen, spielt nur eine unwesentliche Rolle im Verbrauch. Die Zusammensetzung der Gase und ihre energiewirtschaftlichen Kennzahlen sind aus L 2.4 zu entnehmen. Erdgas hat in der Bundesrepublik Deutschland einen Primrenergieanteil von rd. 22,7 (110,4 Mio. t SKE). Der Erdgasbedarf ist weltweit steigend (s. Bild 2). Gasquellen und Gasverbraucher liegen nur in seltenen Fllen nahe beieinander, so daß das Gas meist ber erhebliche Entfernungen transportiert werden muß. In den meisten Fllen erfolgt der Ferntransport in Stahlrohrleitungen unter hohem Druck (bis 84 bar in Deutschland). Die grßten Erdgastransportleitungen haben weltweit eine Ausdehnung von ber 1 Mio. km erreicht. Die Versorgung mit Gas wird hufig von mehreren Unternehmen durchgefhrt (RWE Gas, EWE, Thyssengas, Wirgas, Thuga, VNG, BEB, Ruhrgas). Das Ferngasleitungsnetz in der Bundesrepublik Deutschland (s. L 4.1.2) wird von mehreren Ferngasgesellschaften betrieben. Infolge der Vielzahl von Einspeisestellen, Speichern und Abgabestellen ist eine weitgehend zentrale berwachung und Steuerung, die als „Dispatching“ bezeichnet wird, erforderlich. Die Großabnehmer von Erdgas, also regionale und kommunale Gasgesellschaften sowie gasgefeuerte Kraftwerke und grßere Industriebetriebe, verfgen ebenso wie die Ferngasgesellschaften ber solche Zentralen. Im Zuge der Liberalisierung werden alle Verteilnetzbetreiber mit der ffnung des Massenkundengeschfts mit zustzlichen berwachungs-, Allokations-, und Abrechnungsaufgaben, konfrontiert, die ohne IT-Systeme kaum zu bewltigen sind. Eine Gruppe von europischen Gesellschaften entwickelt z. Zt. eine neue Gleichung fr die thermodynamischen Eigenschaften des Gases als Ersatz fr die AGA8-DC92 Gleichung. Da der Gasbedarf stets vom Wrmeverbrauch abhngt, sind große zeitliche Belastungsunterschiede festzustellen, die jahreszeitlich in Ballungsrumen von 1: 5 bis zu 1: 10 schwanken knnen. Um die Transportkapazitt der Fernleitungen wirtschaftlich auszunutzen, sind große Gasspeicher in Form von Untertagespeichern (31), als Poren- (18) oder Kavernenspeicher (13 in Deutschland) erforderlich. Ferner werden z. B. fr Kraftwerke unterbrechbare Gaslieferungsvertrge geschlossen
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Energietechnik und Wirtschaft – 1 Grundstze der Energieversorgung
und es erfolgen zur Spitzenlastdeckung Flssiggaszumischungen. Der Gasbedarf hngt stark von den klimatischen Verhltnissen ab. Die Gasnachfrage wird speziell in Westeuropa ansteigen. Gas wird damit zur Wachstumsenergie Nr. 1. Inzwischen sind rd. 47; 2% (17,8 Mio. Wohnungen) erdgasbeheizt. Im Bereich der Kesselfeuerung ist durch die Energieeinsparverordnung EnBV ein erheblicher Mehrbedarf entstanden. Die Aufteilung des Erdgasverbrauchs in der Bundesrepublik von 2004 ist: Haushalt und Kleinverbrauch 49%, Industrie 26%, Kraftwerke 14%, sonstiger Verbrauch 11%. In der Gaswirtschaft wird in Tageswerten disponiert, da die Schwankungen im Tagesverlauf durch das Leitungsvolumen des Ferntransportsystems ausgeglichen werden kann. Der Außentemperatureinfluss ist fr den Verbrauch von großem Einfluss. Infolge des hohen Methangehalts von ber 80% erreicht die CO2 -Emission bezogen auf die freigesetzte Energiemenge den geringsten Wert. Fr einen verstrkten Erdgaseinsatz spricht der geringe CO2 -Anteil bei der Verbrennung. Daten (siehe L 1 Tab. 1). Die Bedarfsdeckung besteht zu 6% auf eigener Frderung und zu 94% auf Importen (35% aus Rußland, 19% aus Norwegen, 24% aus den Niederlanden und zu 16% aus England u. Dnemark). Die weltweiten Erdgasreserven sind erheblich schneller gestiegen als die Erdlreserven, liegen jetzt in der gleichen Grßenordnung, und haben heute eine Lebensdauer erreicht, die eine strkere Nutzung ber mindestens die nchsten 60 Jahre zulassen. Die Nettoimportquote der EU wird von 49% (2002) auf 81% (2030) ansteigen. Um die Importabhngigkeit zu mildern soll Biogas inlndisch erzeugt und in das Gasnetz eingespeist werden. Die Versorgungssysteme werden daher weltweit verstrkt ausgebaut, wobei die sicherheitstechnischen Maßnahmen das weitere Forschungs- und Entwicklungsprogramm bestimmen, um Unflle zu vermeiden. Erdgas spielt neuerdings fr PKW eine Rolle. 2004 gab es bereits rd. 27 000 Erdgas betriebene Fahrzeuge. Die mgliche Gasversorgung mit Wasserstoff – vorwiegend jetzt fr PKWs und in der chemischen Industrie als Syntheseoder Reduktionsgas verwendet – spielt im nchsten Jahrzehnt nur eine untergeordnete Rolle, da seine Erzeugung z. Zt. viel zu teuer ist und bei seinem Transport gegenber Erdgas auf das 3fache Volumen in den Zwischenverdichterstationen komprimiert werden muß. Auch Erdgas ist seit 1989/91 hnlich wie l (zur Zeit 2 Cent/l) besteuert (zur Zeit 0,16 Cent/kWh).
Die Gasunternehmen fhren derzeit in Deutschland als Steuer die geringere Erdgassteuer an den Staat ab. Sie kassieren jedoch vom Kunden den vollen Heizlsteuersatz, weil die Preise von Heizl und Gas ber feste Formeln gekoppelt sind. Das Heizl bezogen auf den Energieinhalt wird mit 0,58 Cent/kWh besteuert, whrend der staatliche Erdgassteuersatz nur 0,35 Cent/kWh betrgt. Dies soll bei der anstehenden Steuerreform auf 0,55 Cent/kWh korrigiert werden.
1.4 Fernwrmewirtschaft Von dem Gesamtenergieverbrauch in der Bundesrepublik Deutschland entfallen ber 60% auf den Wrmeverbrauch fr Raumheizung und Prozeßwrme in Haushalten, ffentlichen Gebuden, industriellen und gewerblichen Betrieben. Es ist deshalb verstndlich, daß gerade auf dem Wrmesektor der Druck zu Einsparungen an Primrenergie, vor allem an Importenergien, besonders stark ist. Hinzu kommen die wachsenden Anforderungen an den Schutz vor Umweltbelastungen und -schden. Neben anderen Mglichkeiten zur Verringerung des Energieaufwands und zur Umweltentlastung von Schadstoffen spielt die Fernwrmeversorgung eine wichtige Rolle, da mit ihr bevorzugt heimische Brennstoffe, Abwrme aus ffentlichen und industriellen Kraftanlagen sowie Mll und sonstige Abfallstoffe Verwendung finden knnen. Wird Wrme aus den Stromerzeugungsprozessen ausgekoppelt und zeitgleich fr Fernheizzwecke verwandt, so spricht man von Kraft-WrmeKopplung (s. L 3.2). Unter Fernwrmeversorgung versteht man die Lieferung von Wrme in Form von Heizwasser oder Dampf sowohl fr Raumheizzwecke und Brauchwassererwrmung als auch fr Produktionszwecke aus zentralen Heizkraftwerken und Heizwerken. Diese befinden sich meist in ffentlicher Hand. Daneben gibt es im industriellen Bereich zahlreiche Wrmeerzeugungsanlagen mit oder ohne KraftWrme-Kopplung. Ab 18.04.2000 steht nach dem KWK-Vorschaltgesetz den Betreibern fr diese umweltfreundlichen KWK-Anlagen eine Soforthilfe zu. Netzbetreiber mssen Strom aus den KWK-Anlagen abnehmen und mit mindestens 0,46 EUR/kWh vergten. Das entspricht einer Subventionierung von ca. 0,15 EUR/kWh. Zustzlich bestehen Heizzentralen und Blockheizwerke vorwiegend kleinerer Leistung, die privat oder genossenschaftlich betrieben werden (siehe L 3.1.4 Bild 9).
Bild 7. Fernwrme, Anschlußwertentwicklung in der Bundesrepublik Deutschland (Quelle: BEWAG, Berlin). (Der Raumwrmebedarf betrgt z. Zt. 95 Mio. t SKE). Die Fernwrme hat in Deutschland an dem Endenergieverbrauch (64% des Primrenergieverbrauchs) einen Anteil von 3,6%. Der spezifische Endverbrauch fr Raumheizung liegt bei 80 130 kWh=ðm2 aÞ
I2.2
Feste Brennstoffe
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Stand der Fernwrmeversorgung und Entwicklungsmglichkeiten Eine ffentliche Fernwrmeversorgung gibt es seit ca. 1900, aber zu einem leistungsfhigen Zweig der Energiewirtschaft, der im Wettbewerb und im Leistungsvergleich mit anderen Energieangeboten auf dem Wrmemarkt seinen Anteil an der Bedarfsdeckung stndig erhhen konnte, hat sie sich mit Ausnahme einiger großer Stdte besonders im letzten Jahrzehnt entwickelt, Bild 7. Whrend seit jeher die Heizkraftwerke nahe dem Verbraucher mit gekoppelter Kraft-Wrme-Erzeugung den Hauptanteil der Wrmelieferungen ausmachen, wurden seit 1960 zumeist von privaten Gesellschaften der Kohle- und Minerallwirtschaft zunehmend auch Heizwerke zur Versorgung neuer geschlossener Siedlungsgebiete errichtet. Der Anteil der Fernwrme im Wrmemarkt der alten Bundeslnder liegt heute bei ca. 8 bis 9% (s. a. Bild 8). Etwa 2,3 Mio. Wohnungen werden hier zur Zeit fernbeheizt. 47% der Fernwrmeabgabe entfallen auf Wohnungen, 53% auf ffentliche Gebude, Industrie und Gewerbe. Trotz volkswirtschaftlicher und kologischer Vorteile der Fernwrmeversorgung durch Heizkraftwerke, die einen beschleunigten Ausbau wnschenswert erscheinen lassen, bleibt der Einsatz von Fernwrme im wesentlichen auf Gebiete mit hoher Wrmedichte, insbesondere große und mittlere Stdte, beschrnkt. Dies hat seine Ursache darin, daß die Wrmeverteilungskosten mit abnehmender Wrmedichte ansteigen. Ausgehend von den jeweiligen rtlichen Bebauungsstrukturen und der Wrmebeschaffungssituation muß daher geprft werden, inwieweit eine Fernwrmeversorgung auf- bzw. ausgebaut werden kann. Die meisten deutschen Netze erreichen Wrmelastdichten zwischen 10 und 30 MJ/s km2 (mittl. spez. Trassenleitung 3,1 MW/km) mit Wiederbeschaffungskosten von im Mittel 317 TEuro/(MJ/s). Die Fernwrmekosten werden vorrangig von den Kapitalkosten fr Heiznetze und Heizstationen und mit einem gerin-
2 Primrenergien
Bild 8. Wohnungsbestand 37 Mio. In den Bundeslndern sind 87% aller Wohnhuser zentral beheizt oder an das Fernheizungsnetz angeschlossen. Nur wenige heizen noch mit Einzelfen
gen Anteil von den Brennstoffkosten der Erzeugung besonders bei der Kraft-Wrme-Kopplung bestimmt.
dung erfolgt. Da der Wert vom Bestimmungsverfahren abhngt, ist dieses anzugeben (s. DIN 51 794).
2.1 Definitionen Die in den Brennstoffen als chemische Energie gespeicherte Sonnenenergie wird durch Oxidation der brennbaren Bestandteile Kohlenstoff, Wasserstoff und andere Elemente wieder in Wrme umgesetzt. Als Oxidationsmittel dient meist Luft, mitunter auch mit Sauerstoff angereichert, seltener reiner Sauerstoff. Verbrennungsvorgang s. D 10.1. Einen Vergleich auf der Basis Steinkohleneinheiten (SKE) zeigt Anh. L 2 Tab. 1. Heiz- und Brennwert (s. DIN 5499). Zu unterscheiden sind der spezifische Brennwert Ho (oberer Heizwert) mit Rckgewinnung der Kondensationswrme des bei Verbrennung gebildeten Wasserdampfs und der in der Verbrennungstechnik bliche Wert, der spezifische Heizwert Hu (unterer Heizwert) ohne sie. Einen berblick fr fossile Brennstoffe gibt Anh. L 2 Tab. 2 u. D 10 Tab. 2. Maximaler CO2 -Gehalt. Dies ist der CO2 -Gehalt des bei vollstndiger Verbrennung ohne Luftberschuß entstehenden trockenen Rauchgases. Er stellt die Grundlage fr die Messung und Berechnung der Rauchgasmenge und -zusammensetzung dar. Er ist um so niedriger, je hher der Wasserstoffgehalt ist. Fr den Klimaschutz ist die CO2 –Emission bedeutungsvoll, siehe Anh. L1 Tab. 1. Zndtemperatur. Niedrigste Temperatur, bei der die durch Reaktion entwickelte Wrme grßer als die durch Strahlung abgegebene ist, so daß die Verbrennung unter Flammenbil-
2.2 Feste Brennstoffe Natrliche feste Brennstoffe Sie sind aus Pflanzenteilen durch Erhitzung unter Luftabschluß und hohem Druck whrend Millionen von Jahren entstanden. Dabei wurden vor allem O2 -haltige Moleklgruppen abgespalten, wodurch sich Bitumen und Wachse in Kohlenstoff umwandelten und der Kohlenstoffgehalt immer hher wurde (Inkohlung). Gleichzeitig nahm der Wasserstoffgehalt ab. Damit ist der Inkohlungsgrad ein Maßstab fr das Alter des festen Brennstoffs. Eigenschaften natrlicher fester Brennstoffe zeigt Anh. L 2 Tab. 3 (s. Anh. D 10 Tab. 2). Torf. Er ist die jngste Form der natrlichen festen Brennstoffe und wird entweder als Sodentorf gestochen und durch Lufttrocknung von 90% Anfangsfeuchte auf 30 bis 40% Endfeuchte gebracht oder als Frstorf mit Baggern gewonnen und mit 50 bis 60% Feuchte verfeuert. Braunkohle. Die jngste Form ist die erdige oder Weichbraunkohle. In Dampferzeugerfeuerungen wird sie mit der ursprnglichen Feuchte von 55 bis ber 60% verwendet. Wegen der Sandeinschlsse kann der Aschegehalt bis zu 24% betragen. Die lteste Form ist die Hartbraunkohle, die eine amorphe Struktur und matt glnzende Bruchflchen hat. Jhrlich werden ca. 182 Mio. t in der Bundesrepublik gefrdert. Davon
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Energietechnik und Wirtschaft – 2 Primrenergien
werden 92% verstromt und fr Fernwrme eingesetzt. Eine Verfeuerung ist jedoch mit hohen CO2 -Emissionen verbunden (Anh. L1 Tab. 1).
L
Steinkohle. Sie kommt in der Bundesrepublik Deutschland in Flzen mit 60 cm bis 2 m Mchtigkeit in Tiefen bis 1 500 m vor. Der Gehalt an flchtigen Bestandteilen entsprechend dem Inkohlungsgrad ergibt die verschiedenen Sorten. Zur Aufbereitung wird die Frderkohle durch Sieben vom Groben ber 120 mm Korngrße und von der Feinkohle unter 10 mm getrennt. Vorher werden durch Waschen die „Berge“ mit ber 50% und das Mittelgut mit 20 bis 40% Asche getrennt, so daß Nußkohlen unter 10% Asche enthalten. Schlamm mit hohem Aschegehalt, Feinkohle und Mittelgut knnen in Dampferzeugern verbrannt werden, Nußkohle fr andere Zwecke (Hausbrand). Die Steinkohlenproduktion fr die Verstromung und Stahlindustrie beluft sich zur Zeit auf ca. 30 Mio. t vF (verwertbare Frderung)/a und liegt damit in der gleichen Grßenordnung wie der Import aus Polen, Sdafrika, Australien und Kolumbien. Die Schichtleistung pro Beschftigter unter Tage betrgt derzeit 6735 kg bei ca. 150 EUR/t. Sie soll bis 2005 auf 28 Mio. t/a (26,6 Mio. t SKE) in 9 Zechen reduziert werden. Zur Zeit gibt es in Deutschland noch einen staatlichen Frderzuschuß, der jhrlich reduziert wird. In 2005 betrug der Preis fr Kraftwerkskohle aus Drittlnder frei deutscher Grenze ca. 65 Euro/t. Der Spotmarkt erreichte infolge der hohen Nachfrage aus Fernost (China) fr Koks 95 Euro/t. Knstliche feste Brennstoffe Brikettieren. Steinkohlen feinster Fraktionen werden mit Pechblende als Bindemittel unter hohem Druck zu Eier- oder Nußbrikett gepreßt. Braunkohlen mit geringem Aschegehalt lassen sich nach dem Trocknen und Zerkleinern ohne Bindemittel brikettieren. Schwelen. Darunter versteht man das Erhitzen gasreicher Stein- oder Braunkohle unter Luftabschluß bis 500 C, wobei Bitumen teilweise verdampft. Es ergibt Tieftemperaturkoks (Schwel-, Grudekoks), Schwelgas und Teer. Verkoken. Es ist ein Erhitzen auf 800 bis 1 200 C unter Luftabschluß, wobei flchtige Bestandteile ausgetrieben werden (Entgasung). Dabei entsteht Hochtemperaturkoks (Htten-, Zechen-, Gaskoks) und Koksofengas. Fettkohle ergibt die gnstigsten Kokseigenschaften, Gaskohle ist aber auch gut geeignet. Bei zu hohem Gasgehalt wird Koks wegen der Hohlraumbildung zu weich. Abfallbrennstoffe Mll. Der Anfall von Haus- oder Stadtmll hat in seinem Heizwert stark zugenommen. Das Abfallaufkommen in der Bundesrepublik Deutschland betrug trotz Rckgang 1998/99 an Rest-Siedlungsabfllen, unter Siedlungsabfllen wird Hausmll, hausmllhnlicher Gewerbemll und Sperrmll verstanden, 24,7 Mio. t/a davon wurden 60% auf Deponien entsorgt. Außerdem sind Bauschutt, Bodenaushub und Schlmme zu beseitigen. In jedem Privathaushalt fallen 240 bis 380 kg Abfall pro Person und Jahr an. Die Verpackungsverordnung hat durch getrennte Sammlung der Abfallstoffe die Menge stark reduziert. Von dem Hausmll wurden 25% in Mllverbrennungsanlagen (Schweden 55%) beseitigt. Es werden z. B. in Berlin derzeit 600 000 t/a Mll mit einem Heizwert Hu ¼ 8 500 kJ/kg verbrannt. Beim Verbrennen kann das zu deponierende Abfallvolumen (derzeit 79%) stark reduziert und bei der Aufbereitung eine Reihe von Stoffen einer Wiederverwertung zugefhrt werden. Auch Schlamm aus Klranlagen wird heute in speziellen Anlagen verbrannt. Der Bau von Mllverbrennungsanlagen hat in den letzten Jahren stark zugenommen. Die Anlagen sind mit einer Kapazitt von 3 Mio. t Mll/a im Betrieb. Die Benutzungsdauer betrgt im
Mittel 4 000 h/a. Die durchschnittliche Jahresleistung von Verbrennungsanlagen betrgt 150 000 t/a. Es fallen etwa 1,5 Mio. t Asche zur Verwertung im Straßen-, Wege- und Erdbau dabei an. Industriemll hat viele hochwertige Anteile (Gummi, Kunststoffe; Textilabflle, Verpackungsmaterial); der Heizwert betrgt bis zu 25 000 kJ/kg. Pflanzliche Abflle. Dazu zhlen Rckstnde von Frchten (Kerne, Samen, Schalen), Rinde, Holzabflle (Sgemehl, Schleifstaub, Abschnitte), Bagasse (Zuckerrohrschnitzel). Sie haben einen hohen Gehalt an flchtigen Bestandteilen und wenig Asche. Holzverbrennungsanlagen sind in der Diskussion bzw. die ersten in Betrieb. Eigenschaften Heizwert. Wenn die Elementarzusammensetzung bekannt ist, lßt er sich bestimmen aus der Formel Hu ¼33,9c þ 121,4 ðh o=8Þ þ 10,5s 2,44 w in MJ=kg,
ð1Þ
wobei c, h, o, n, s, a und w in dieser und den folgenden Gleichungen Gewichtsanteile der Rohkohle sind, deren Summe eins ist (Anh. L 2 Tab. 3 und 4 sowie D 10.2). Nach Boie [1] gilt fr jngere Brennstoffe mit besserer Genauigkeit Hu ¼ 35c þ 94;3h þ 10;4s þ 6;3n 10;8o 2;44w:
ð2Þ
Bestimmung des Heizwerts nach DIN 51 900 oder nherungsweise nach [2] aus flchtigen Bestandteilen, Bild 1. Umrechnung auf Reinkohlenheizwert (waf), Hu, waf ¼ ðHu, roh þ rwÞ=ð1 a wÞ;
ð3Þ
wobei r die Verdampfungswrme bedeutet. Umrechnung auf Trockenkohle (wf) Hu, wf ¼ ðHu, roh þ rwÞ=ð1 wÞ ¼ Hu, waf ð1 a wÞ=ð1 wÞ:
ð4Þ
Umrechnung bei Trocknung von einem Wassergehalt w1 auf einen anderen w2 w1 w2 1 w1 Hu, 2 ¼ Hu, l þ r ; ð5Þ 1 w2 1 w2 dabei werden ðw1 w2 Þ=ð1 w2 Þ kg Wasser je kg des ursprnglichen Brennstoffs verdampft. Weitere Kennwerte [3]. CO2, max s. Bild 2, Schttgewichte s. Tab. 1, Zndtemperaturen s. Tab. 2. Mineralische Bestandteile Sie stammen teilweise von den ursprnglichen Pflanzen (Pflanzenasche), teilweise von ußeren Verunreinigungen (Fremdasche).
Bild 1. Brennwert Ho (oberer) und Heizwert Hu (unterer) der wasserund aschefreien Steinkohlen von Ruhr, Saar und Aachen [1]
I2.3
Flssige Brennstoffe
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Bild 2. Maximaler CO2 -Gehalt der Rauchgase fester Brennstoffe [1]
Tabelle 1. Schttgewichte fester Brennstoffe in kg/m3 [1]
Bild 3. Dynamische Viskositt h geschmolzener Kohlenaschen nach Endell; K ¼ MgO þ 0; 5ðFe2 O3 +1,11 FeO+CaO) [1]
(Bild 3) [4] angenhert bestimmt werden. Der Fließpunkt nach Leitz entspricht etwa 100 Pa s. Im Schlackenschacht darf die Schlackenviskositt 30 Pa s nicht berschreiten (gutes Fließen bei 5 Pa s) [5].
2.3 Flssige Brennstoffe Zusammensetzung
Tabelle 2. Zndtemperaturen fester Brennstoffe im Sauerstoffstrom in C [2]
Sie bestehen aus einem Gemisch verschiedener Kohlenwasserstoffe aus folgenden Gruppen mit unterschiedlichen Verbrennungseigenschaften. Paraffine oder Aliphate. Gesttigte kettenfrmige Molekle (Endsilbe -an, z. B. Propan, Butan) in Normal- oder Isoform (bei Isoparaffinen CH3 -Gruppen in Seitenketten), Bruttoformel Cn H2nþ2 . Relativ stabil, wenig reaktionsfreudig. Olefine. Ungesttigte Paraffine mit einer Doppelbindung, Bruttoformel Cn H2n , ebenfalls in Normal- und Isoform vorhanden (Endsilbe -ylen, z. B. Propylen). Wesentlich reaktionsfreudiger als Paraffine, kommen nur in gecrackten Erdlprodukten vor.
Asche. Steinkohlenasche: Pflanzlich SiO2 und P2 O5 , Fremdasche meist Ton (Al2 O3 ), Quarz (SiO2 ) und Eisenverbindungen (Pyrit FeS2 , Eisenoxide Fe2 O3 und FeO). Braunkohlenasche: Wenig pflanzlich, Fremdasche von berflutungen (kalkhaltige Schalen, CaCO3 ) und Verwerfungen (Sand, SiO2 ). Bei richtiger Mischung niedriger Schmelzpunkt. Schmelzverhalten. Bei Kohlenstaubfeuerungen mit trockenem Ascheabzug mssen Anbackungen an Feuerraumwnden und Heizflchen vermieden werden, bei Schmelzfeuerungen muß der Schlackefluß sicher sein. Beides hngt vom Schmelzverhalten ab, das die Gestaltung von Feuerung und Dampferzeuger somit weitgehend beeinflußt. Bestimmung mit Leitz-Erhitzungsmikroskop nach DIN 51 730. Verschmutzungseinflsse. Ist die Temperaturdifferenz zwischen Erweichungs- und Fließpunkt klein (kurze Schlacken), besteht die Gefahr des Einfrierens von Schmelzfeuerungen bei Teillast. Ist sie groß (lange Schlacken), kommt es zu zhem Schlackefluß und zu Ansatzbildung im Schlackenschacht. Da Probekrper aus vorbehandelter Asche sind, in Feuerungen aber die Veraschung sehr schnell stattfindet, knnen Unterschiede auftreten. Bei schneller Erhitzung in Staubfeuerungen entstehen SiO-Dmpfe, die bei Oxidation zu SiO2 Aerosole unter 1 mm bilden und die Grundschicht fr die Verschmutzung ergeben. SiO und SiS fhren zu klebrigen Filmen auf den Heizflchen. Schlackenviskositt. Da die Messung mit Kugelzieh- oder Rotationsviskosimeter unsicher ist, kann sie bei bekannter Schlackenanalyse mittels der Kenngrße K nach Endell
Naphtene. Cycloparaffine mit ringfrmigen Moleklen, Bruttoformel Cn H2n (meist mit n=5 oder 6), auch als Isomere mit CH3 in Seitenketten und mit Doppelbindung (z. B. Cyclohexen). Gute Reaktionsfhigkeit. Aromaten. Ringfrmige, ungesttigte Molekle aus Benzolringen C6 H6 , bilden Doppelringe oder Seitenketten, riechen stark (daher der Name), sind aber trotz Doppelbindung relativ stabil. Verwendung fr Treibstoffe mit erhhter Klopffestigkeit. Asphalte. Hochmolekulare Stoffe, aus Kohlenwasserstoffen bestehend, oft in festem Zustand. Natrliche flssige Brennstoffe Vorkommen und Zusammensetzung. In bis zu 7 000 m tiefen Lagern vorhanden, fließt das l unter eigenem Druck durch Bohrungen an die Erdoberflche. Dadurch sind nur 30% der Vorrte gewinnbar (bei knstlichem Druck bis 50%). Der Erdlvorrat betrgt derzeit 165 Mrd. t. Die Reichweite bei gleich bleibender Produktion schwankt seit den neunziger Jahren um einen Wert von 40 Jahren. Allein 63% werden dem Nahen Osten zugeordnet. Die jhrliche Frderung liegt derzeit bei 3,9 Mrd. t. Neben Festlandsbohrungen werden auch Bohrungen im Kstenschelf (off-shore) vorgenommen. Die Bestandteile des Erdls haben stetig ineinander bergehende Siedebereiche. Je nach berwiegen einer Kohlenwasserstoffgruppe spricht man von paraffin- (Pennsylvania/ USA), naphten- (Venezuela, Mexiko), gemischt- (Nahost) oder asphaltbasischen Rohlen. Fr die Gewinnung von lsand (177 Mrd Barrel geschtzt) in Kanada Provinz Alberta ist die grßte Rauchgasentschwefe-
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lungsanlage der Welt entstanden. Aus einer Tonne lsand werden derzeit 80 l l gewonnen. Der Rohlpreis ist in den letzten 8 Jahren auf ber 300 EUR/t angestiegen. Der Verbrauch ist in L1 Bild 3 angegeben. Die russische Frderation hat sich neben Saudi-Arabien (458 Mio t/a) als weltweit grßte Frdernation herausgebildet mit 461 Mio t/a (2005). Verarbeitung. Sie wird nacheinander in folgenden Schritten durchgefhrt: Fraktionierte Destillation. Aufgrund des Siedeverhaltens ergeben sich verschieden schwere Fraktionen (Schnitte), wobei das Siedeende bei Atmosphrendruck etwa bei 400 C liegt. (Straight-run-)Produkte: Flssiggas (Propan, Butan), Leichtbenzin (Siedebereich 40 bis 120 C), Schwerbenzin (100 bis 200 C), leichtes Gasl (200 bis 250 C), schweres Gasl (250 bis 380 C; daraus Heizl EL und Diesell), Schmieroder Spindell (300 bis 400 C), Destillationsrckstand (350 bis 400 C; daraus schweres Heizl S), Vakuumdestillation. Cracken (Spalten). Zur Erhhung der Ausbeute an Benzin werden durch Erhitzen auf 450 bis 500 C (thermisches Crakken) leichtere Fraktionen (Benzin und leichtes Gasl) mit Katalysatoren aus dem Vakuum-Destillationsrckstand gewonnen. Rckstand ist Heizl ES oder Petrolkoks. Unter Zusatz von Wasserstoff und bei einem Druck von 100 mbar (Hydrocracken) ist daraus weiteres Benzin gewinnbar.
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Reformieren. Zur Erhhung der Oktanzahl (Klopffestigkeit von Treibstoffen) katalytische Bildung klopffester Aromaten und Naphtene (Dehydrierung) und Umformung von geradkettigen Paraffinen in Cycloparaffine bei 2 bis 17 bar und 520 bis 750 C. Bei Platin als Katalysator spricht man von Platformen. Raffinieren. Im Rckstand aus der Vakuumdestillation angereicherter Schwefel muß aus den Crackprodukten entfernt werden. Liegt er in Form von H2 S vor, mit Natronlauge auswaschen. Andere Schwefelverbindungen werden durch katalytisches Hydrieren in H2 S umgeformt (Hydrofinen). Knstliche flssige Brennstoffe Steinkohlen-Teerl. Es wird durch Destillation des beim Verkoken von Steinkohle entstehenden Teers gewonnen. Leichtes Steinkohlen-Teerl (Siedebereich bis 170 C), mittleres (170 bis 230 C), schweres (230 bis 270 C). Es enthlt viele Aromaten, aber auch Schwefel- und StickstoffverbinTabelle 3. Anforderungen an Heizle nach DIN 51 603
dungen, dadurch hheres c/h-Verhltnis (s. Anh. L 2 Tab. 4), niedrigerer Heizwert und geringe Viskositt, Gefahr der Naphtenausscheidung (Leitungen knnen verstopfen) (s. Anh. D 8 Tab. 3). Schwell. Beim Schwelen von Stein- und Braunkohle entsteht neben Koks und Gas auch Schwelteer, er besteht vorwiegend aus hochmolekularen Paraffinen. Beim Destillieren zu Benzin und Heizl fllt ein schweres Heizl – Stein- oder Braunkohlen-Schwell – an, das hnliche Eigenschaften wie Teerl hat. Schieferl. Aus lschiefer, einem lhaltigen porsen Gestein, und lsanden wird durch Schwelung in fen oder Retorten bzw. durch Destillation ein Heizl gewonnen, das dnnflssiger als Heizl S ist und viele Olefine und Naphtene enthlt. Die Vorrte an lschiefer und lsand sollen etwa 150 Gt betragen; die Gewinnung ist jedoch schwierig und teuer. Abfallbrennstoffe Altl. Gebrauchte Schmierle und der Rckstand aus der Aufarbeitung enthalten viele Rckstnde (Sand, Metall), nach der Aufarbeitung auch Schwefel und Chlor. Zellstoffablauge. Sulfit- oder sulfathaltige Ablauge bei der Zellstoffherstellung mit 5% Feststoff. Die Asche ist sulfatreich und verschmutzt die Kesselheizflchen. Eigenschaften Heizlsorten. Aus den Destillationsprodukten des Erdls werden die Sorten EL (Extra Leicht), S (Schwer) und ES (Extra Schwer) gewonnen. Die nur noch selten verwendeten Sorten L (Leicht) und M (Mittel) stammen meist aus Teerlen, Tab. 3. Die Heizlqualitten sind nach steigender Dichte geordnet und besitzen in dieser Reihenfolge steigende Aschen- und Schwefelgehalte sowie steigendes c/h-Verhltnis [7, 8]. Chemische Zusammensetzung. Flssige Brennstoffe sind wesentlich wasserstoffreicher als feste (niedrigeres c/h-Verhltnis (s. Anh. L 2 Tab. 4), wogegen es bei Braunkohle zwischen 10 und 14, bei Steinkohle zwischen 15 und 20 liegt). Fr die Dichte gilt die Zahlenwertgleichung r ¼ 0;124 c=h þ 0;02 in g=cm3 :
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I2.4 Auch Viskositt, Stockpunkt und Conradsonzahl steigen mit der Dichte, whrend c, h, Heiz- und Brennwert fallen. Die Verbrennungseigenschaften hngen von der Art der Kohlenwasserstoffe ab, da – z. B. zwischen Olefinen und Naphtenen – trotz gleicher Bruttoformel große Unterschiede im Reaktionsverhalten wegen unterschiedlicher Bindungen bestehen. Flammpunkt, Zndtemperatur. Der Flammpunkt, die tiefste Temperatur, bei der der Brennstoff unter Atmosphrendruck in einem geschlossenen Tiegel durch Fremdzndung entflammt, wird fr Siedepunkte unter 65 C nach DIN 51 755 (Methode Abel-Pensky) und oberhalb 65 C nach DIN 51 758 (Methode Pensky-Mertens) bestimmt. Die Zndtemperatur (Anh. L 2 Tab. 4) ist nach DIN 51 794 die niedrigste Temperatur, bei der sich der Brennstoff von selbst entzndet. Gefahrenklassen. ber den Verkehr mit brennbaren Flssigkeiten werden je nach Flammpunkt (F. P.) die Gefahrenklassen I (F. P. unter 21 C), II (F. P. 21 bis 55 C) und III (F. P. 55 bis 100 C) unterschieden und verschiedene Sicherheitsvorkehrungen vorgeschrieben. Heizl und Diesell (s. Tab. 3) gehren danach in Gefahrenklasse III, Benzin (F. P. unter 0 C) dagegen in Gefahrenklasse I. Heiz- und Brennwert. Berechnung aus der Zusammensetzung nach Gl. (1), experimentelle Bestimmung nach DIN 51 900.
Gasfrmige Brennstoffe oder Brenngase
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2.4 Gasfrmige Brennstoffe oder Brenngase Wegen der relativ klimafreundlichen Eigenschaften nehmen die Erdgasfeuerungen zu. Einteilung. Neben der Herkunft (natrlich, knstlich, Abfall) erfolgt sie nach dem Heizwert Hu in MJ/m3 (hier wie im gesamten Abschnitt auf den Normzustand nach DIN 1343 bezogen): Schwachgase Hu < 8, Mittelgase Hu ¼ 8 . . . 14; Normalgase Hu ¼ 14 . . . 21 und Starkgase Hu > 21 sowie nach dem Gehalt an schweren Kohlenwasserstoffen: Armgase ohne, Reichgase mit erheblichem Anteil an Kohlenwasserstoffen (s. DIN 1340). Natrliche Brenngase Erdgas kommt in eigenen Quellen (trockenes Erdgas) oder in Domen ber Erdl (nasses Erdgas) vor. Trockenes Erdgas hat in den brennbaren Bestandteilen meist ber 80% Methan (CH4 ). Nasses Erdgas enthlt einen grßeren Anteil an hheren Paraffinen und hat einen grßeren Heizwert, Anh. L 2 Tab. 5. Einige Quellen enthalten mehr H2 S (Lacq, saures Erdgas) oder mehr CO2 und N2 (Emsland, Niederlande). Bohrungen auf dem Festland und im Kstengebiet (off-shore), Transport ber Land durch Rohrleitungen, ber See in Tankern im verflssigten Zustand bei Atmosphrendruck bei 161 C (LNG). Sein Volumen wird dazu auf 6/100 reduziert. Welt-
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Siedebereich. Er wird als Kurve dargestellt, die den abdestillierten Anteil in Abhngigkeit von der Temperatur angibt. Beginn bei erster Dampfbildung, Ende bei Beendigung der Dampfbildung, wobei feste Rckstnde bleiben knnen. Bei Heizlen soll der Siedebeginn bei 200 C (Heizl EL), das Siedeende bei 360 C liegen und der Verlauf mglichst linear sein. Viskositt und Stockpunkt. Die kinematische Viskositt n ist fr die Pumpen- und Rohrleitungsauslegung sowie fr die Zerstubung im Brenner maßgebend. Fr die Pumpfhigkeit sind maximal 600 106 m2 =s zulssig, die gnstigste Zerstubung erfolgt bei 12 bis 30 106 m2 =s. Aus den Viskositten fr Heizle (Tab. 4) geht hervor, daß Heizl M und S zur Zerstubung, S auch zum Pumpen vorgewrmt werden muß. Die ntige Vorwrmung kann aus Bild 4 ermittelt werden (Abhngigkeit von der Temperatur linear im doppeltlogarithmischen Maßstab). Fr Heizl S ergibt sich dann fr Pumpen 50 C und fr Zerstuben 120 C. Die Temperatur nach DIN 51 597 und DIN EN 6, bei der das l unter Einwirkung der Schwerkraft nicht mehr fließt, heißt Stockpunkt (wichtig fr Lagerung) [7]. Verkokungsneigung. Bestimmung des Koksrckstands nach Conradson (nach DIN 51 551); Anteil der ursprnglichen Menge in %, die nach dem Verdampfen und Cracken als Koks zurckbleibt. Sie gibt einen Anhalt, ob bei Aufschlagen der Flamme auf eine Wand Koks entsteht und ob der Brennstoff fr Verdampfungsbrenner geeignet ist. Maximaler CO2 -Gehalt. Abhngig vom Heizwert, Bild 5. Die llieferanten und Preise zeigt Bild 6. Die inlndische lfrderung betrug ca. 3,5 Mio. t. Zusammen mit den Produkteinfuhren von 35,1 Mio. t betrgt die Mineralleinfuhr 110,1 Mio. t/a. Zur Absicherung der l- und Gaslieferungen aus dem Ausland empfiehlt z. Zt. die EU-Kommission die staatliche Reservehaltung in den einzelnen Lndern von 90 auf 120 Tage Verbrauch aufzustocken, um gegen lpreiskrisen, an die auch der Gaspreis gebunden ist, besser gewappnet zu sein. Die staatliche Reservevorratung von derzeit 24 Mio. t l bedeutet jedoch einen Preisaufschlag von etwa 0,5 Cent/Liter Kraftstoff. Energiemaße fr l und Erdgas siehe Anh. L 2 Tab. 6.
Bild 4. Abhngigkeit der kinematischen Viskositt v der Heizle EL, L, M, S und ES von der Temperatur t (obere Grenzwerte nach DIN 51 603) [1]
Bild 5. Maximaler CO2 -Gehalt der Rauchgase flssiger Brennstoffe [1]
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Bild 6. Deutschlands llieferanten. (Quelle, DIW, BGW Stand 2004)
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weit werden heute bereits rd. 125 Mio. t/a (155,2 Mrd m3 ) LNG vorwiegend im asiatischen Raum gehandelt. Der Erdgasverbrauch in Deutschland betrug 2005 86,6 Mrd m3 wobei 35% aus Russland, 24% aus Norwegen, 19% aus den Niederlanden und 16% aus dem eigenen Land bezogen wurden.
C þ 2H2 ! CH4 þ87;5 MJ=kmol oder durch Methanisierung von Synthesegas nach CO þ 3H2 ! CH4 þ H2 Oþ206;0 MJ=kmol erzeugt werden.
Knstliche Brenngase Entgasungsgase. Schwelgase. Sie entstehen beim Schwelen fester Brennstoffe (s. Anh. D 10 Tab. 4). Die Unterschiede liegen in den verwendeten festen Brennstoffen begrndet. Verkokungsgase. Bei der Erzeugung von Htten- und Zechenkoks bei 1 000 C fallen sie mit geringem CO-Gehalt an. Stadtgas. Es fllt beim Verkoken von Steinkohle bei 1 200 C in Gaswerken an und wird zum Erreichen des gewnschten Heizwerts mit Wassergas vermischt. Vergasungsgase. Feste (Koks, nichtbackende Steinkohle, Braunkohle) oder flssige (Destillationsrckstnde) Brennstoffe werden mit Vergasungsmitteln (Wasserdampf, O2 -angereicherte oder natrliche Luft) restlos vergast, d. h. es entsteht kein Koks, sondern nur Asche. Generatorgas. Es entsteht durch Vergasung mit Luft und besteht vorwiegend aus CO und H2 . Fr CO-Bildung gilt C þ ð1=2ÞO2 ! CO þ 123;1 MJ=kmol:
Knstliches Erdgas. Es kann durch hydrierende Vergasung von Kohle oder Heizl nach
ð7Þ
H2 entsteht aus Feuchtigkeit nach CO þ H2 O ! CO2 þ H2 þ 42;3 MJ=kmol und aus flchtigen Bestandteilen. Gichtgas. Es entsteht im Hochofen durch Reduktion des bei Verbrennung in tieferen Schichten entstandenen CO2 an frischem Koks nach C þ CO2 ! 2CO 160;0 MJ=kmol und ist deshalb sehr CO-reich. Wassergas. Es entsteht durch Vergasung von Koks mit Wasserdampf nach C þ H2 O ! CO þ H2 118;5 MJ=kmol; es wird auch als Synthesegas bezeichnet. Druckvergasungsgas. Mit O2 -angereicherter Luft oder reinem O2 und Wasserdampf wird Feinkohle bei Drcken von 20 bis 30 bar im Festbett vergast.
Abfallbrenngase. Raffineriegase. Diese Restgase der Erdlverarbeitung haben eine stark schwankende Zusammensetzung zwischen sehr H2 -haltigen Armgasen und Reichgasen mit hohem Anteil an Kohlenwasserstoffen bis Oktan. Damit schwanken Dichte und Heizwert sehr. Teilweise enthalten sie wertvolle Hilfsstoffe fr die Vergasung. Klrgas. In stdtischen und industriellen Klrwerken entsteht beim Faulen des Klrschlamms (Zersetzung durch Bakterien) in Faultrmen ein Gas mit hohem CH4 -Gehalt, das meist fr den Eigenbedarf des Klrwerks (zur Dampferzeugung) verbraucht wird. Neuerdings wird der boomende Biogasmarkt von der Gaswirtschaft entdeckt und soll mit integriert werden (s. L2.6). Eigenschaften Brenn- und Heizwert. Aus den Bestandteilen und dem Brenn- bzw. Heizwert der reinen Gase kann fr das Brenngas angenhert berechnet werden: Ho ¼12,62 CO þ 12,75 H2 þ 39,81 CH4 þ 63,43 Cm Hn þ 25,46 H2 S:
ð8Þ
Hu ¼12,62 CO þ 10,78 H2 þ 35,87 CH4 þ 59,50 Cm Hn þ 23,37 H2 S:
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Dabei ist die Summe der Volumenanteile gleich eins. Cm Hn sind ungesttigte Kohlenwasserstoffe und werden als C2 H4 gerechnet, schwere Kohlenwasserstoffe sind zustzlich zu bercksichtigen. Wobbe-Zahl. Sie ist ein Maß fr die Wrmeleistung eines Brenners. ndern sich die Gasqualitt (Brennwert, Dichte) und der Druck p, so ndert sich die Wrmeleistung im Verpffiffiffiffiffiffiffiffi hltnis Wobbe-Zahl nach Schuster Wo ¼ Ho p=d : Hierbei ist d das Verhltnis der Dichten von Gas und Luft. Fr Verbrennungsregelung wird deshalb oft statt des reinen Brennwerts (Messung mit Kalorimeter) die Wobbe-Zahl gemessen,
I2.5 da der Luftbedarf praktisch proportional der Wrmeleistung des Brenners ist.
2.5 Kernbrennstoffe Die bei der Kernspaltung von Atomkernen des Urans, Thoriums und Plutoniums freigesetzte Energie wird in Wrme umgesetzt und kann thermodynamisch in Kraftwerksprozessen genutzt werden. Die aus der kontrollierten Kernspaltung gewonnene Wrmeenergie wird in den Kernkraftwerken in elektrische Energie umgewandelt. Großtechnisch sind solche Anlagen seit Anfang der 50er Jahre in Betrieb. Als Brennstoffe, in diesem Fall Spaltstoffe, die im wesentlichen durch thermische Neutronen spaltbar sind, werden folgende Isotope angesehen: Uran 235 und 233, Thorium 232, Plutonium 239 und 241. Die fr die Zukunft geplante technische Energienutzung bei der Kernverschmelzung von schweren Wasserstoffkernen (Deuterium und Tritium) zu Heliumkernen, die sog. Kernfusion, befindet sich noch im Experimentierstadium. Der Gesamtprozeß erzeugt aus 1 g Deuterium (schwerer Wasserstoff 2 H)
Kernbrennstoffe
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12,5 MWd (Megawatt-Tage) an Energie, ein vielfaches der Uranspaltung. Ein Fusionsreaktor ist deshalb den Kernspaltungsreaktoren berlegen, weil das zur Verfgung stehende Wasser als Energiequelle dienen kann und der verbleibende radioaktive Abfall geringer ist. Seine großtechnische Anwendung zur Energieerzeugung ist noch nicht absehbar (s. L 7.5). In den heutigen Kernkraftwerken wird Uran als Brennstoff eingesetzt. Natrliches Uran besteht zu 99,29% aus dem schwerspaltbaren Uranisotop U 238 und zu 0,71% aus dem leichter spaltbaren Isotop U 235. Das Natururan wird bei den meisten Reaktoren fr den Brennstoffeinsatz auf rd. 3% U 235 angereichert. Die Kernspaltung entsteht bei Beschuß des U 235 Isotops mit einem thermischen Neutron (im Moderator abgebremstes Neutron, auf ein Energieniveau von ca. 0,025 eV – Elektronenvolt –), da diese Atomkerne eine relativ geringe Stabilitt aufweisen. Die von einem thermischen Neutron ausgelste Gleichgewichtsstrung des Urankerns erzeugt Schwingungen, durch die Teile des Kerns außerhalb der Reichweite der Kernbindungskrfte geraten. Der Kern zerreißt wegen der abstoßenden Coulombkrfte. Dabei bilden sich zwei gelegentlich auch drei zumeist ungleiche Teilkerne und einige (2 bis 3) schnelle Neutronen.
Tabelle 4. Kernspaltung und Energiebilanz
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Zu den Spaltprodukten des Uran 235, die mit grßter Hufigkeit auftreten, zhlen Strontium 89 und 90, Zirkonium 95, Molybdn 95, Xenon 133, Csium 137 und Barium 140, Gl. (10). Die Spaltprodukte und Neutronen werden in der sie umgebenden Materie (vorwiegend Brennelement des Reaktorkerns) abgebremst. Ihre kinetische Energie wird in Wrme umgewandelt, Tab. 4. Je Spaltung eines U-235-Kerns, wird eine Energie von 192 MeV=3;1 1011 J=3;1 1011 Ws gewonnen. Theoretisch lßt sich aus 1 kg Uran 235 durch Kernspaltung in einem thermischen Reaktor eine Wrmeenergie von 192 MeV=Spaltung 6;0247 1023 Atome ðLoschmidt-ZahlÞ 235;04 ðAtomgewicht von U 235Þ ¼ 4;92 1026 MeV ¼ 22 GWh
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freisetzen. Dies wrde einem theoretischen Brennstoffbedarf von rd. 2 700 t SKE Steinkohle entsprechen. In einem Kernreaktor knnen jedoch nicht alle Atome des Uran 235 gespalten werden. Es werden aber auch andere oder neu im Reaktor erzeugte Isotope gespalten, insbesondere entsteht das Plutonium 239 aus dem Uran 238. Die tatschliche Brennstoffausnutzung bei Leichtwasserreaktoren (LWR) wird mit dem Begriff „Abbrand“ in GWd/t (24 Mio. kWh/t) eingesetztem Brennstoff definiert. Sie ist bei Druckwasserreaktoren (DWR) mit 32,5 GWd/t (Anreicherung 3,1% U 235) und bei Siedewasserreaktoren (SWR) mit 27,5 GWd/t (Anreicherung 2,6% U 235) anzusetzen. Fr die Herstellung von 1 kg auf 3% angereichertes Uran sind 5,479 kg Natururan als sog. „Feed“ erforderlich, wobei nach den Anreicherungsverfahren 4,479 kg auf 0,2% abgereichertes Uran als Restprodukt („tail“) verbleibt. Das bedeutet bei einem Abbrand von 32,5 GWd/t Uran (=780 GWh/t), bezogen auf 1 kg Natururan, 17,48 t SKE Steinkohle bzw. etwa 12 t Erdl, (s. Anh. L 2 Tab. 2). Bei diesen Werten ist keine Rckfhrung von Uran und Plutonium unterstellt. Wird durch eine Wiederaufbereitung das im Brennstoff noch verbliebene spaltbare Material in den Brennstoffkreislauf zurckgefhrt, erhht sich der Energieinhalt pro eingesetztes kg Natururan bei seiner Verwendung in Leichtwasserreaktoren auf etwa 26 t Steinkohle bzw. 19 t Erdl. (s. Anh. L 2 Tab. 2). Die Uranvorrte in der wichtigsten Kostenklasse 80 bis 130 $/kg U wurden 2003 auf 4,6 Mio. t beziffert. Seine Nutzungsreichweite wird mit 67 Jahren angegeben. Die Urankosten haben jedoch einen Stromerzeugungskostenanteil von 8–10%. Derzeit betrgt der Uranbedarf weltweit 68 000 t/a, davon entfallen auf Deutschland etwa 3000 t/a. Zur Wrmegewinnung im thermischen Kernreaktor sind folgende Funktionen bedeutungsvoll: Wrmeabfuhr aus dem Reaktorkern, Moderation der Spaltneutronen (Abbremsung der schnellen Neutronen – ber 1 MeV auf 0,025 eV=2 200 m/s – thermische Neutronen –), Steuerung der Kernspaltungsvorgnge durch Absorption von Neutronen. Die Khlung und die Wrmeabfuhr erfolgt durch Flssigkeiten oder Gase, hauptschlich leichtes Wasser (H2 O), schweres Wasser (D2 O) sowie Helium, CO2 und Natrium. Man unterscheidet danach wasser- und gasgekhlte Reaktoren. Flssiges Natrium wird als Khlmittel fr den schnellen Brter verwendet. In thermischen Reaktoren ist zur Abbremsung der Neutronen ein Moderator erforderlich, z. B. Wasser oder Graphit. Durch die Regelstbe (Silber-Indium-Cadmium-Legierungen), die große Neutronenabsorber sind, erfolgt eine Steuerung des Neutronenflusses innerhalb des Reaktorkerns. Borlsungen werden besonders fr Schnell- und Notabschaltungen verwendet.
Brutprozeß Erzeugung. Das bei der Absorption langsamer Neutronen in U 238 entstehende U 239 ist instabil und wandelt sich nach der Reaktion um in Pu 239. Pu 239 ist gegen Spaltung hnlich instabil wie U 235 und damit ein knstlicher Spaltstoff. Da meist viel mehr U 238 als U 235 im Reaktor ist, luft der „Konversionsprozeß“ nach Gl. (11) immer neben der Spaltung ab. Die Hufigkeit der Konversion hngt von den Neutronenverlusten ab. Da im Mittel 2,5 Neutronen je Spaltung entstehen, verbleiben 1,5 Neutronen fr die Pu-Erzeugung, d. h. es knnte also mehr PuSpaltstoff entstehen als U-Spaltstoff verbraucht wird, solange gengend U 238 vorhanden ist. Diesen Vorgang nennt man „Brten“ (von Spaltstoff). Konversionsfaktoren ber eins knnen nur bei hoher Anreicherung ohne Moderator (zum Vermeiden von Absorptionsverlusten) erzielt werden, d. h. mit schnellen Neutronen (hier spricht man vom „Schnellen Brter“). Thermische Reaktoren haben wegen der inneren Verluste Konversionsfaktoren von 0,7 bis 0,9; sie werden „Konverter“ genannt. Im Laufe des Betriebes eines Reaktors trgt die Spaltung von Pu 239 zunehmend zur Reaktion bei. Da Brter die Nutzung der großen Masse U 238 ermglichen, lßt sich unter Bercksichtigung der Verluste bei der Wiederaufbereitung die aus Uran gewinnbare Energie auf das etwa 60fache gegenber der bloßen Verwendung von U 235 in Konverten steigern. Thoriumumwandlung. Eine andere Mglichkeit, Spaltstoff aus nichtspaltbaren Isotopen zu erbrten, ist die Neutronenbestrahlung von Thorium Th232 90 , dem einzigen in der Natur vorkommenden Thoriumisotop, das sich wie folgt umwandelt: 232 1 90 Th þ0
0 233 0 233 n !233 90 Th !1 e þ 91 Pa !1 e þ 92 U:
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U 233 hat hnlich gute Spalteigenschaften wie U 235, bei hheren Temperaturen einen grßeren Spaltungs-Wirkungsquerschnitt ss und ist deshalb besonders geeignet fr Hochtemperaturreaktoren (s. L 7.4.3). Der Hauptteil der Erze besteht aus stark neutronenabsorbierenden Seltenen Erden, von denen das Thorium bei der Aufbereitung getrennt werden muß. Dazu wird es mit Phosphaten ausgefllt, in Nitrate umgewandelt und durch Flssigextraktion von den restlichen Seltenen Erden befreit. Brennstoffkreislauf Er umfaßt außer der Gewinnung des Spaltstoffs die Wiederaufbereitung bestrahlter Brennelemente und die Abfallbeseitigung. Fr die Jahresverbrauchsmenge eines 1300-MW-Kernkraftwerks von 35 t Uran ist die Frderung von 120 000 t uranhaltigem Gestein erforderlich. Durch Auswaschen werden 220 t Erzkonzentrat U3 O8 gewonnen. Die Anreicherung, d. h. Trennung, erfolgt in der Form des gasfrmigen Uranhexafluorids UF6 nach drei Verfahren: dem Gasdiffusionsverfahren, wobei gasfrmiges Uranhexafluorid unter hohem Druck durch feinporige Membranen hindurchgepreßt wird, dem Zentrifugalverfahren und dem Trenndsenverfahren. Alle Verfahren nutzen das unterschiedliche Molekulargewicht zwischen U 235 und U 238 aus, um das erstere auf etwa 3% anzureichern. Das angereicherte Uranhexafluorid U3 O8 (yellow cake) wird in Tablettenform bei 1 700 C gesintert. Diese Pellets werden in Brennstbe eingefllt. hnlich werden die „coated particles“ fr Kugelelemente hergestellt. Bei einem Abbrand von 33 000 MWd/t bleiben 32 t/a Uran unverbraucht, die in die Anreicherung zurckgehen, sowie 125 kg Pu 239. In die Endlagerung gehen jhrlich etwa 2 t radioaktiver Spaltprodukte. Bild 7. Die Wirtschaftlichkeit der Wiederaufarbeitung ergibt sich im brigen auch aus den hohen Kosten der Erzgewinnung, Aufbereitung und der Isotopentrennung (Kosten der
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Regenerative Energien
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Tabelle 5. Zusammensetzung der Brennelemente vor und nach Einsatz
Bild 7. Brennstoffkreislauf und Rckfhrung von Uran [9]
Wiederaufbereitung ca. 1 800 DM/kg Spaltmaterial). Im Juni 2000 wurde mit den deutschen Kernkraftwerksbetreibern vereinbart, die Wiederaufbereitung verbrauchter Brennelemente ab 2005 einzustellen. Gegenwrtig betrgt der Abbrand in Deutschland 35 GWd/t. Die Brennstoffkosten betragen ca. 1125 EUR/kg U bei einem unterstellten Uranpreis von 33 $/kg U3 O8 (derzeit 26 (US $/ kg U). Bei den Siedewasser-Reaktoren von Framatom mit den Brennelementen von Typ Atrium 10 wurde nach Einsatzzyklen ein mittlerer Abbrand von 31 GWd/t Uran erzielt. Die genaue Zusammensetzung der Brennelemente vor und nach Einsatz ist Tab. 5 zu entnehmen. Die Kostenstruktur im Brennstoffkreislauf (heute mit 1,2 Cent/kWh) gliedert sich in: 11% Uranerzkosten (z. Zt. um 35% gestiegen von rd. 7 auf 9 US $/lb U2 O8 , 20,9 US $/kg), 3% UF6 -Herstellung, 16% Anreicherung von 0,7% auf 2,5 bis 3% U 235, 10% Fertigungskosten der Brennelemente, 60% Wiederaufbereitung, Endlagerung, einschließlich Transporte, 2,8% Refabrikation und –2,8% Plutoniumgutschrift. In den USA rechnet man mit 1,7 US ct/kWh Stromerzeugungskosten in 2001. Endlagerung radioaktiver Abflle Bei der Endlagerung muß der radioaktive Abfall ber die Dauer des Abklingens ihrer Strahlung absolut sowie wartungs- und berwachungslos von der Biosphre isoliert werden. Dies ist durch Einlagern in Kavernen oder Stollen in tiefen und sicheren geologischen Formationen zu erreichen. Schwach- (bis 18 Bq/m3 ) und mittelaktive Abflle (bis 7 500 Bq/m3 ) werden in Bitumen oder Beton verfestigt und in Stahlfssern gelagert, derzeitig z. B. im Salzbergwerk Asse bei Wolfenbttel. Dies sind 95% des gesamten nuklearen Abfallvolumens. Fr die zu erwartenden grßeren Abfallmengen ist die behlterlose Endlagerung dieser Rckstnde in weiteren Salzkavernen geplant. Hochradioaktive Abflle (bis zu 15 Mio. Bq/ m3 ), die mengenmßig einen Anteil von 5% ausmachen, werden durch Eingießen verfestigt – entsprechend ihrer Strahlung in Bitumen, Beton oder Borsilikatglser – und einer Endlage-
rung z. B. auch in Stollen in Salzformationen oder Kavernen zugefhrt. Vorher werden sie 20 bis 40 Jahre fr den Abklingprozeß oberirdisch gelagert. Die deutschen hochradioaktiven Abflle in der Wiederaufbereitungsanlage La Hague (Frankreich) werden verglast nach Gorleben zurcktransportiert und oberirdisch gelagert. Dafr wird der Castor-Transportbehlter verwendet. Dieser ist auch fr abgebrannte Brennelemente einsetzbar. In keinem Land wird vor 2010 an eine Endlagerung hochradioaktiver Abflle gedacht. Durch Verfestigung, große Lagertiefe (ca. 1 000 m) und erwiesene Unvernderlichkeit von Salzformationen in der Grßenordnung von 100 Mio. Jahren soll erreicht werden, daß innerhalb von 10 000 Jahren die Radiotoxiditt der Abflle auf die von Pechblende mit sehr hohem Urangehalt abgeklungen ist, ohne ber das Grundwasser in den Lebensbereich wieder zurckzukehren. Radioaktive Abflle als kumuliertes Volumen der Abfallgebinde sind bis 1996 ca. 61,8 103 m3 angefallen, das bis zum Jahre 2001 auf ca. 200 000 m3 angestiegen ist. In der Grube Konrad ist nach Abschluß des Planfeststellungsverfahrens seit 1990 ein Ablagerungsvolumen von ca. 650 000 m3 verfgbar, jedoch wurde der Sofortvollzug zurckgezogen. Es besteht derzeit ein Moratorium. Gorleben steht weiter zur Diskussion. Das Endlagerungsproblem ist die wichtigste Existenzfrage fr die Kerntechnologie. In Deutschland soll wissenschaftlich und gesellschaftlich nach den Vorgaben der Bundesregierung ein Endlagerkonzept erarbeitet werden.
2.6 Regenerative Energien Die natrlichen Energiequellen, die sog. regenerativen Energien, bilden ein nahezu unerschpfliches Energiereservoir. Zu diesen Quellen zhlen Wasser, Wind, Sonnenstrahlung und Erdwrme (geothermische Energie). Sie werden in Zukunft einen immer grßeren Anteil erhalten, fr die Energieversorgung aber zunchst nur einen kleinen Beitrag leisten. Den strksten Anteil hat dabei die Nutzung der Wasserkraft. In 1998 wurden allein von Energieversorgungsunternehmen in Deutschland 2,3 Mrd. DM fr regenerative Energien ausgegeben. Im Jahr 2005 wurden 75,74 Mio. EUR/a aus den Bundeslndern veranschlagt. Die Stromversorger haben 2005 nach dem Gesetz der erneuerbaren Energien rd. 43 TWh/a gekauft. Insgesamt wurden 62,1 TWh/a gekauft. Es entfielen auf Wasser 21,5 TWh, Wind 26,5 TWh, Biomasse 13,1 TWh und Fotovoltaik 1 TWh.
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Energietechnik und Wirtschaft – 2 Primrenergien
Wasserenergie
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Zur Gewinnung mechanischer Arbeit in Form von Wasserrdern, schon vor Jahrhunderten genutzt, dient die Wasserkraft heute vorwiegend der Stromerzeugung (s. R 2 und L 5). Vor allem in Lndern der Dritten Welt bestehen noch Mglichkeiten, durch Bau von Wasserkraftwerken die Energiegrundlage, die Trink- und Nutzwasserversorgung und die Verkehrsverhltnisse auf den Wasserlufen zu verbessern. Der Einfluß solcher Maßnahmen auf Klima und Grundwasserspiegel ist zu beachten. Langjhrige Aufzeichnungen ber Niederschlagsmengen im Einzugsbereich und ber Wasser- und Geschiebefhrung der in Frage kommenden Gewsser sind Voraussetzung fr wirtschaftliche Auslegung, bei der auch bertragungskosten der gewonnenen elektrischen Energie und Kosten der Leistungsreserve bei Trockenperioden zu bercksichtigen sind. Die durch Stauseen zustzlich berfluteten Gebiete sind zu bewerten. Die derzeitige Nutzung der Wasserkraft zur Stromerzeugung ist in Bild 8 dargestellt. Sie ist auch von der Niederschlagsmenge abhngig. In 2004 wurde gegenber dem Vorjahr aufgrund hherer Niederschlge etwa 3% mehr Strom erzeugt. In Deutschland sind derzeit 5709 Anlagen verfgbar (s. L2.6). Neben Lauf- und Speicherkraftwerken (Leistung in der Bundesrepublik Deutschland 8,9 GW=7,1% der installierten Kraftwerksleistung), die teilweise modernisiert und damit in der Leistung erhht werden (z. B. Waldeck), gibt es noch Gezeitenkraftwerke, die das durch den Tidenhub entstehende Geflle nutzen. Hohe Investitionskosten, Behinderung der Schiffahrt durch Staudammschleusen, tidenabhngige und daher zeitlich beschrnkte Stromerzeugung ergeben geringe wirtschaftliche Mglichkeiten. Im europischen Raum ist bisher nur das Gezeitenkraftwerk an der Rance bei St. Malo 1966 mit 24 Maschineneinheiten 10 MW in Betrieb gegangen, das vor kurzem vllig berholt werden mußte (Staudamm 750 m, Tidenhub bis 14 m). Die Ausnutzung der tiefenabhngigen Temperaturdifferenz im Meereswasser sowie auch die Nutzung der dynamischen Krfte der Meereswellen zur Energiegewinnung werden in absehbarer Zeit auch nichts Nennenswertes zur Energieversorgung beitragen. Unter den Wellenenergiekonvertern sind die OWC-Kraftwerke (oscillating water column) die bisher erfolgversprechenden Anlagen. Ein 2 MW Prototyp soll vor der schottischen Kste
in 2003 installiert werden. Ein Quadratmeter Rotorflche erzeugt bei einer Meeresstrmungsturbine etwa 8 soviel Leistung wie bei einem Windrad. Entscheidend ist die gute Verankerung im Boden. Windenergie Die Windenergie ist nach der Wasserkraft die zweitgrßte derzeit genutzte erneuerbare Primrenergie. Die Leistung des Windes auf eine zur Strmungsrichtung senkrechte Flche betrgt: P ¼ 0; 5 r u3 F
ð13Þ
P = Windleistung, r = Luftdichte (1,23 kg/m3 ), u = Strmungsgeschwindigkeit, F = Rotorflche. Die einem frei umstrmten Rotor entziehbare Leistung ergibt sich aus dem Verhltnis der Strmungsgeschwindigkeiten vor und nach dem Rotor. Die Leistung des Windes lßt sich nach Betz maximal zu 59,3% in andere Energieformen umwandeln. Ende 2005 waren knapp 17 574 netzgekoppelte Windkraftanlagen als Onshore-Anlagen mit rd. 18 428 MW installiert bei einem Jahresenergieertrag von 26,5 TWh/a, d. h. 76% der potenziellen Jahresstromerzeugung. Die Anlagen waren fr 1400 h/a verfgbar. Weltweit sind derzeit ca. 50 000 MW, davon in Europa derzeit ca. 36 000 MW, installiert. Solarenergie Die Sonnenstrahlung stellt eine praktisch unerschpfliche Energiequelle dar. Sie trifft mit einer Leistung von 1367 W/ m2 senkrecht auf die Erdatmosphre. Dieser Wert wird als Solarkonstante bezeichnet. Beim Atmosphrendurchgang wird die Strahlung durch Reflexion, Absorption und Diffusion geschwcht. Sie trifft bei wolkenlosem Himmel als Globalstrahlung mit einer Leistung von 1000 W/m2 auf die Erdoberflche. Die Strahlung auf die Erdoberflche wird in direkte und diffuse Strahlung unterschieden. Im wesentlichen kann die direkte Strahlung in Nutzenergie gewandelt werden. Auf die Erde entfllt eine gesamte Sonneneinstrahlung von 1,5 1018 kWh/a. Die durchschnittliche jhrliche Sonneneinstrahlung betrgt in Berlin etwa 1000 kWh/m2 , in guten sddeutschen Lagen, z. B. Freiburg 1100 kWh/m2 . In sonnenreichen Gegenden der Welt kann gut der doppelte Ertrag erzielt werden. Sonnenenergie ist nur in Verbindung mit wirtschaftlichen Speichersystemen sinnvoll nutzbar (s. L 4.2). Die Sonnenstrahlung wird direkt genutzt durch (s. L 3.3.2) – Fotovoltaik-Anlagen zur direkten Stromerzeugung, netzgekoppelt oder nicht netzgekoppelt (z. B. Parkautomaten), – solarthermische Anlagen zur Erzeugung von Wrme fr Brauchwasser und Heizung, – Solarkraftwerke zur indirekten Stromerzeugung (mit der solar erzeugten Wrme wird ein Dampfprozeß angetrieben). Die Fotovoltaikanlagen erzeugen derzeit 1,2 TWh/a bei einer Peakleistung von rd. 15 000 MW (800 h/a). Geothermische Energie
Bild 8. Nutzung der Wasserkraft zur Stromerzeugung weltweit. Summe weltweit: 2 566 Mrd. kWh (Stand 1999), 2990 TWh (2005)
Der aus dem Erdinnern strmende Wrmefluß von 0,06 bis 0,08 W/m2 ist zu 80% auf den Zerfall radioaktiver Isotope in Gesteinen (U 238, Th 232 und K 40) und zu 20% auf die Ursprungswrme bei der Erdentstehung zurckzufhren. Normalerweise betrgt die Temperaturzunahme durchschnittlich 3 K pro 100 m Tiefe, im Oberrheingraben kann der Wert auf 5 K oder in der Toskana auf 20 K ansteigen. Die Speicherwrme in der Erdkruste liefert je nach rtlichkeit aus dort vorhandenem Wasser Heiß- oder Sattdampf bzw. Heißwasser. Diese Energietrger dienen zur Elektrizittserzeugung, als Prozeßwrme und zur Raumheizung. Von ihnen mitgefhrte Fremdstoffe knnen zu Korrosionen und zu Um-
I3.1 weltbelastungen fhren und die Ausnutzung erschweren. Bei unter Druck stehendem Heißwasser, das oft in Verbindung mit Naturgas steht, wird auch die Entspannungsenergie bei der Freisetzung genutzt. Beim Hot-Dry-Rock-Verfahren wird kaltes Fremdwasser in großer Tiefe (3000–4000 m) durch trockene, heiße Gesteinsfelder gepumpt und erhitzt. Als Heißwasser wieder nach oben gefrdert dient es der Elektrizittsund Wrmeerzeugung. Die Nutzung der geothermischen Energie ist lediglich von lokaler Bedeutung und auf die Energieversorgung grßerer Regionen nur von geringem Einfluß (derzeit 30 Anlagen in Deutschland). Die oberflchennahe Wrmenutzung des Erdreiches erfolgt mittels Erdkollektoren in einer Tiefe von 1,5–2 m oder mit Erdspießen bis zu einer Tiefe von 50 m als Wrmequelle fr Kompressionswrmepumpen (derzeit 110 000 Anlagen). Biogas Organische Abflle werden in Faulgruben gesammelt und mikrobiell in Faulgase, vorwiegend Methan und immissionsfreien Dnger umgewandelt. Das Biogasverfahren ist in dicht besiedelten Industrielndern wichtig in bezug auf Umweltschutz. Eine weitere Verflssigung des Gases als Treibstoff wre wegen des erforderlichen Kompressionsaufwands unwirtschaftlich. Angelegte Mlldeponien werden zu ihrer Entgasung mittels Motore – BHKW fr Strom- und Fernwrmeerzeugung – genutzt (Deponiegasanlagen). Die grßte Biogaserzeugung stammt aus einer Deponie von New York, die tglich rd. 0,5 Mio. m3 Methan liefert. In Deutschland gingen allein 2005 rd. 680 Anlagen (2004: 250) mit einer Gesamtleistung von 420 MW (55 MW) vorwiegend im landwirtschaftlichen Bereich in Betrieb mit einer Jahresstromproduktion von 4,3 TWh/a. Eine neue Biomethananlage mit einer Aufbereitungskapazitt von 3,9 Mio m3 Gas/a wird derzeit in Pliening bei Mnchen fr rd. 9 Mio EUR gebaut. Fr die Einspeisung
3 Wandlung von Primrenergie in Nutzenergie Zur Gewinnung der Nutzenergie, die entweder als Strom, Wrme oder mechanische Energie abgesetzt wird, sind vorwiegend Verbrennungsprozesse unter Einsatz von Primrenergie wie Kohle, l, Gas und Kernenergie erforderlich. Der Umwandlungsprozeß ist sehr aufwendig. Die vielseitigste verwendbare Nutzenergie ist der Strom. Der Umwandlungswirkungsgrad ist direkt mit dem CO2 -Ausstoß verbunden. Der Umwandlungswirkungsgrad ist z. Zt. nur mit maximal 40% zu veranschlagen, so daß alle zuknftigen Verbesserungen in der Kraftwerkstechnik eine Erhhung auf ber 50% anstreben. Der Verbesserung des Wirkungsgrades wirkt der notwendige, erhhte Aufwand fr die Rauchgasreinigung bis hin zur CO2 -Reduzierung entgegen. Laut Europischer Energieagentur (IEA) werden allein in der Bundesrepublik etwa 40 000 MW an Ersatz- und Neubauten erforderlich.
3.1 Erzeugung elektrischer Energie 3.1.1 Wrmekraftwerke Anlagentechnik der Kraftwerke Neben energiewirtschaftlichen Einflußfaktoren haben betriebswirtschaftliche Kriterien den Strukturwandel mitbestimmt. Hier stand die Senkung der spezifischen Anlagen-
Erzeugung elektrischer Energie
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ins Erdgasnetz muss das Biogas, das einen Methangehalt zwischen 50 % und 75% hat, vorbehandelt werden. Schweden versucht derzeit seine limportabhngigkeit (z .Zt. 30%) vorwiegend im Kraftfahrzeugbereich durch Erzeugung und Einsatz von Bioethanol (Kraftstoff E85 – 85% Ethanol u. 15% Benzin) zu reduzieren. Biomasse Biomasse ist in chemischer Form gespeicherte Sonnenenergie. Sie ist weltweit auch heute noch die bedeutendste erneuerbare Energiequelle, in vielen Regionen auch die einzige Energiequelle berhaupt. Die energetische Nutzung von Biomasse ist aufgrund des geschlossenen Kohlenwasserstoffkreislaufes vor dem Hintergrund Umweltvertrglichkeit unbedenklich. Die Biomasse ist CO2 -neutral. Biomasse sind rezente Energietrger, also organische Primrund Sekundrstoffe, die durch Fotosynthese entstanden und Zucker, Strke, Zellulose und le in mehr oder weniger großem Anteil enthalten. Whrend des Wachstums der Pflanzen wurde CO2 gebunden. Bei der Verbrennung wird die gleiche Menge an CO2 wieder freigesetzt, der Kreislauf ist geschlossen, die CO2 -Bilanz ist neutral. Aus Biomasse lassen sich je nach Ausgangsmaterial chemisch-thermisch, mikrobiell oder mit Hilfe von Enzymen Ethanole, le, Fette oder Schmierstoffe herstellen. Sammlung, Transport zur Verarbeitungsstelle, Verarbeitung zu Nutzstoffen und Entsorgung der Restprodukte erfordert besondere technische und organisatorische Maßnahmen. Biomassen dienen als Erdlersatz. ber die Hlfte des Biomassenanteils ist Holz. Die AbfallHolzverbrennung gewinnt an Bedeutung. Ende 2005 waren in Deutschland viele Anlagen zur Nutzung von Biomasse einschließlich Mllanteil installiert mit einer Netzeinspeisung von geschtzten 13,1 TWh/a und Wrme von 322 PJ.
kosten im Vordergrund. Sie fhrte zu einer stndigen Erhhung der Einheitenleistung und zu einem recht frhen bergang vom Sammelschienen- zum Blockkraftwerk. Die Steigerung der Dampfparameter und gengend Betriebserfahrungen haben den bergang auf Leistungen von 600 MW und grßer in den 70er Jahren relativ schnell bewerkstelligt (s. R 6). Technischer Fortschritt bei SteinkohleDampfkraftwerken waren Staudinger (siehe Tab. 1) und Rostock mit berkritischem Dampfzustand [1]. Die neuen Kraftwerksblcke auf der Basis ostdeutscher Braunkohle waren die Anlagen in Lippendorf (Sachsen) die 2000 in Betrieb ging mit 933 MW (Wirkungsgrad 42,8%), Boxberg 907 MW (Brutto Wirkungsgrad 48,5%). Der neue BOA (Block mit optimierter Anlagentechnik) des RWE in Niederaußem ist mit 1027 MW brutto bei einem Wirkungsgrad von 45,2% in 2003 ans Netz gegangen. Rußland hat seit sieben Jahren bereits einen Erdgasblock mit 1200 MW (Einwellensatz, berkritischer Druck) im Kraftwerk Kostroma an der Wolga im Einsatz. In den USA entschied man sich gleichzeitig mit der Vergrßerung der Maschineneinheiten auch fr hhere Frischdampfzustnde. Bemerkenswert ist, daß der schnelle Anstieg der Einheitenleistung mit der hheren Drehzahl bei 60 Hz bereits 1957 zu Zweiwellenkonstruktionen fhrte. Jedoch ist auch in den USA auf die Einwellenanordnung zurckgegriffen worden, wenn sich technische Lsungen dafr anboten. Geringerer Maschinenpreis, geringerer Platzbedarf und geringerer Aufwand an Rohrleitungen sind die wesentlichen Grnde. Die Steigerung der Einheitenleistung hatte in der Bundesrepu-
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Energietechnik und Wirtschaft – 3 Wandlung von Primrenergie in Nutzenergie
blik Deutschland keine negativen Einflsse auf die Verfgbarkeit. Die Entwicklung des Dampfprozesses ist durch die Erhhung der Anzahl der regenerativen Vorwrmstufen von 2 bis 8 gekennzeichnet; hierbei wuchs die Einheitenleistung von kleiner 100 MW bis auf 900 MW. Der Einsatz von preisgnstigem Heizl und Erdgas im letzten Jahrzehnt fhrte zu kombinierten Gas- und Dampfturbinenprozessen. Die verbrauchsorientierte Kraft-Wrme-Kopplung wird auch in Zukunft kleinere steinkohlebefeuerte Einheitenleistungen unter 300 MW, mit der an der Wrmeabgabe orientierten mehrstufigen Auskopplung, als zweckmßig erachten. Durch die Steigerung der Einheitenleistung konnte der spezifische Flchenbedarf pro Kilowatt stndig reduziert werden. Aber auch hier fhren die wachsenden Umweltschutzmaßnahmen wieder zu einem Anstieg des Flchenbedarfs, wobei der „Umweltanteil“ jetzt nahezu gleich viel Flche beansprucht wie das Kesselhaus. Dieser Umweltanteil bedingt auch zustzliche Aufwendungen. Bis 1970 waren nur wenige Prozent der Gesamtinvestitionen fr Umweltschutzmaßnahmen aufzuwenden zur Reduzierung von Lrm- und Staubbelastung. Seit Mitte der 70er Jahre sind stndig wachsende „Umweltaufwendungen“ erforderlich, die derzeit rund 25% der Gesamtinvestitionen ausmachen. Bei den Gasturbinen setzte die Entwicklung zu grßeren Einheiten ber 20 MW im wesentlichen erst Anfang der 70er Jahre ein; sie erreichten danach aber schon innerhalb von 3 Jahren 90 MW. Heute sind Leistungen ber 200 MW einsetzbar (s. R 8). Gasturbinen werden als Spitzenlast- oder Reserveanlagen installiert. Ihre Startzeit von Null auf Vollast ist mit 15 min zu veranschlagen. Dauer der Spitzenlast, schnelle Lastwechsel, Starthufigkeit und Startgeschwindigkeit verringern in großem Maße die Lebensdauer. Gasturbinen im offenen Prozeß sollten mglichst mit Nennlast und bei Vollast im Dauerbetrieb mit einer solchen Temperatur gefahren werden, um Korrosionen an den heißen Teilen zu vermeiden. Die meisten Bauarten mssen wegen des direkt gekuppelten Verdichters mit fester Drehzahl laufen; der Luftstrom ist in einigen Fllen und geringem Maße durch Verstellen der vorderen Verdichterleitschaufeln regelbar, geringe Lastnderungen sind also durch nderung des Rauchgasdurchsatzes und nicht durch Rauchgastemperaturnderungen mglich. Neben der Forderung nach hheren Leistungen wurden bessere Wirkungsgrade, die auf etwa 32% anstiegen, die Konzeption von Standard-Serienprodukten angestrebt. Die Turbineneintrittstemperatur stieg dabei seit 1950 von rund 650 C bis knapp ber 1 000 C. Weitere Steigerungen des Wirkungsgrads hngen von der Erhhung der Gaseintrittstemperatur (bis etwa 1 250 C) und des Verdichterdruckverhltnisses von derzeit etwa 10 auf 16 ab. Der Wirkungsgrad kann sich dann bei reinen Gasturbinenprozessen auf ber 35% verbessern bei gleichzeitiger Anhebung der auf den Luftdurchsatz bezogenen Leistung von 250 auf etwa 380 kJ/kg. Die thermodynamischen Grundlagen und die Prozeßfhrung als „offener“ oder „geschlossener“ Prozeß sind in R 8.1 beschrieben. Dampfprozesse Neben den primr energiewirtschaftlich bedingten Ursachen dieses Strukturwandels hat aber auch die Verbesserung des Wasser-Dampfkreislaufs einen wesentlichen Anteil an der gesamten Weiterentwicklung der Kraftwerkstechnik. Mitte der 50er Jahre wurde der Dampfprozeß mit einfacher Zwischenberhitzung erstmals installiert. Dieser Prozeß ist, wenn man von Detailentwicklungen, wie z. B. der Erhhung der Vorwrmstufen, absieht, bis heute der Standardprozeß geblieben (Beispiel Bild 1). Derzeitige Wirkungsgradsteigerungen von 40% auf 46% werden von den CO2 -Abgaben beeinflußt. Eine
700 C Demonstrationsanlage (Comtes 700) wird z. Zt. realisiert. Im Gegensatz zu anderen Lndern wie den USA, Frankreich und England nutzte man in der Bundesrepublik Deutschland fr Steinkohlekraftwerke die wirtschaftlichen Vorteile der Zwischenberhitzung und der hohen bzw. berkritischen Dampfzustnde mit 180 bis 270 bar und etwa 530 C im ferritischen Bereich. Diese Temperatur wurde auch fr die Zwischenberhitzung (Z) gewhlt. Mit dem Z-Druck von etwa 40 bis 50 bar wurde in der Regel die oberste Regenerativanzapfung gekoppelt, so daß die Speisewasservorwrmung bei etwa 245 bis 260 C lag. Mit einer 6- bis 8stufigen Vorwrmung – je nach den Khlwasserverhltnissen – wurde dann der Prozeß optimal gestaltet. Bei brennstoffrevierfernen Kraftwerken lohnt sich eine Speisewasservorwrmung bis auf 300 C. Mit unterkritischem Dampf lassen sich Wirkungsgrade von 38–40,5% und mit berkritischen Dampfzustand bis 44,5% erzielen. Der gebaute Steinkohleblock mit 553 MW elektrischer Bruttoleistung (KW Staudinger) wird vielfach als frhere Referenzanlage angesehen; Niederaußem Block K (BoA-Konzept) 1,33 Mrd. Euro Investition, optimierte Anlagentechnik (Tab. 1). Die Vernderungen der Khlwasserverhltnisse infolge einer nicht mehr zu vergrßernden Wrmebelastung der Flsse oder durch eine Standortwahl fern von Flußlufen verlangten andere Khlverfahren. Von der direkten Frischwasser- ging man zur Rckkhlung ber, bei der das hhere Temperaturniveau der Abwrmesenke vermehrten Brennstoffeinsatz erfordert. Die Kraftwerke mit Rckkhlung haben einen Anteil von rund 90% erreicht. Im Rahmen dieser Arbeiten wurde auch die Anwendung der zweifachen Zwischenberhitzung untersucht. Die Ergebnisse zeigen, daß nur im Grundlastbereich unter bestimmten Bedingungen eine Wirtschaftlichkeit gegeben ist (z. B. Großkraftwerk Mannheim). Ein mit fossilen Brennstoffen betriebener Kraftwerksblock erfordert folgende Komponenten (Schaltbilder Bild 1): Brenn-
Tabelle 1. Kraftwerk, Hauptauslegungsdaten
I3.1 stofftransport und Lagerung, Aufbereitung zur Verbrennung, Verbrennung im Feuerraum des Kessels, Wrmeentbindung an Wasser, Dampf und Luft (Wasser-Dampfkreislauf), Abgasreinigung und Ableitung ber den Kamin, Umwandlung der Wrmeenergie mittels Turbogeneratoren in elektrische Energie, elektrische Leistungsabfuhr, Umspannung und Sicherung des elektrischen Eigenbedarfs (s. V 6), Regelung und berwachung. Im Forschungsprojekt Comtes 700 (Scholven F) werden derzeit alle bei 700 C kritischen Komponenten wie Verdampfer, berhitzer, Armaturen und Turbinenregelventile bis zu 30 000 h getestet. Dabei werden Nickelbasiswerkstoffe eingesetzt. Ziel ist es elektrische Wirkungsgrade von ber 50% zu erzielen, um weitere CO2 -Emission zu mindern [7] (Bild 1 b). Bereits eine verbesserte HD-Turbine durch eine Stufe mehr (15 statt 16) und bessere Abdichtung ergab eine Leistungssteigerung von 10,5 MW (HD-Turbinenwirkungsgrad h 92%), die allein den Gesamtwirkungsgrad um 1% erhht. Fossiler Brennstoff Er beeinflußt den Kraftwerksbau in bezug auf: Brennstofftransport, -lagerung und -aufbereitung, auf Dampferzeugerbauart und -wirkungsgrad, Speisewasservorwrmung, alle Rauchgas und Luft fhrenden Anlageteile sowie Kraftwerkslage; je grßer der Ballastanteil der Kohle, desto nher das Kraftwerk an der Grube, je niedriger der Brennstoffheizwert, desto grßer die zu transportierenden und aufzubereitenden Mengen, das Asche-, Luft- und Rauchgasvolumen, das Kesselvolumen sowie der umbaute Raum des Kesselhauses (s. L 5.1). Mit sinkendem Heizwert vergrßert sich die Entstaubungsanlage und der brennstoffabhngige Anteil des Eigenbedarfs. Schwefel- und Wassergehalt des Brennstoffs beeinflussen Sure- und Wassertaupunkt der Rauchgase, erzwingen hhere Abgastemperatur und senken den Kesselwirkungsgrad. Wegen der großen Rauchgasmenge wasserreicher Brennstoffe ist Temperaturabbau auf dem Rauchgasweg geringer als bei wasserarmen Brennstoffen. Bei vertretbaren Heizflchengrßen ergeben sich entweder hhere Abgastemperaturen oder niedrigere Speisewassereintrittstemperaturen, Bilder 2 und 3. Die Herstellungskosten gliedern sich etwa folgendermaßen auf: maschinentechnischer Teil 60 bis 70%, bautechnischer Teil 20 bis 25%, elektrotechnischer Teil 10 bis 15% der Bausumme. Der brennstoffabhngige Teil betrgt 40 bis 50% des maschinentechnischen Teils und kann unterteilt werden in 35 bis 45% fr Dampferzeuger einschließlich Feuerung, Entstaubung, Entaschung und Montage und 1 bis 5% fr Bekohlung. Die Kraftwerkskosten sind aus Tab. 2 ersichtlich.
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bedarf der Speisepumpe kleiner. Verringerter Abdampfstrom erhht ebenfalls, wie regenerative Speisewasservorwrmung, Grenzleistung des Turbosatzes und senkt Kondensations- und Khlaufwand. Beide Maßnahmen, bei siebenstufiger Speisewasservorwrmung und einmaliger Zwischenberhitzung, ergeben bei blichen Auslegungsdaten (190 bar, 540 C und 540 C berhitzungstemperatur) eine Senkung des Wrmeund damit Brennstoffaufwands um etwa 11,5%. Etwa 63% der Kohlekraftwerke im Europischen Raum sind lter als 20 Jahre, so daß Ersatzinvestitionen anstehen. Moderne Kraftwerke erlangen bessere Wirkungsgrade (ber 50%), um die CO2 Emissionen zu senken. Wie weit sich die Wirkungsgrade thermischer Kraftwerke dem theoretischen Grenzwert (Carnot-Faktor) annhert zeigt Bild 4. Khlwasser Es bt nach Menge und Temperatur einen starken Einfluß auf Wrmeverbrauch und Auslegung der Anlage aus, Bild 5. Khlwassertemperatur und -menge. Sie beeinflussen den Kondensatordruck. Dadurch knnen Unterschiede im Wrmeverbrauch bis zu 8% auftreten. Da eine Verringerung des spezifischen Wrmeverbrauchs um so wirkungsvoller ist, je mehr sie gegen Ende der Prozeßkette erfolgt, ist die Optimierung des kalten Endes eines Kondensationskraftwerks besonders wichtig. Die Verbesserung des Wrmeverbrauchs mindert die Anlagekosten und senkt die Betriebskosten. Bei großen Anlagen sind Abdampffluten und Schaufellngen der Turbine begrenzt, so daß niedrige Kondensatordrcke nicht ausreichend genutzt werden knnen. Die maximal zulssige Khlwassertemperatur am Austritt betrgt derzeit 30 C und wird zuknftig auf 28 C begrenzt. Frischwasserkhlung. Bei dieser betrgt die Khlwassermenge etwa das 60- bis 90fache der Abdampfmenge. Das Khlwasser wird im Einlaufbauwerk durch Rechen und Siebe aus Fluß, Teich oder der See entnommen und frei von groben Verunreinigungen, mit Sauerstoff angereichert, etwa 6 bis 12 C wrmer ber Auslaufbauwerk dem Gewsser so zugefhrt, daß seine Auslaßstrmung die Schiffahrt nicht behindert (Querstrmung 50 MWth ) und Brennstoff (Stein- und Braunkohle) betragen die zulssigen Staubemissionen im Abgas hinter den Dampferzeugern am Kamin 20 bis 125 mg/m3 , bei lfeuerungen 50 mg/m3 . Dabei sind die verschiedenen Staubinhaltsstoffe mit unterschiedlichen Werten belegt. Bei Großkesseln kommen vorrangig Elektrofilter zum Einsatz (s. L 5.6.1). Gase. Zu dem emissionsbegrenzenden Rauchgasen zhlen die beiden Massenschadstoffe SO2 und die Stickoxide NOx und andere Schadstoffe wie Chlor, Fluor und CO. Chlor und Fluor sind besonders bei Mllverbrennungsanlagen zu beachten. Die Wirkung auf die Immissionen in Form von Langzeit(IW 1) und Kurzzeitwerten (IW 2) auf eine Beurteilungsflche (1 km2 ) wird durch die Emissionsbegrenzungen und nicht mehr durch hohe Kamine erreicht. Die Berechnung der Mindestschornsteinhhe enthlt die TA-Luft von 1986. Zum Schutz vor Gesundheitsgefahren sind Immissionswerte festgelegt, Tab. 1. Schwefeloxid. Fr Feuerungsanlagen >300 MWth mit festem oder flssigen Brennstoff ist nach § 20 der 13. BImSchV ein Emissionsgrenzwert von 400 mg/m3 bezogen auf 6% O2 vorgeschrieben. Oftmals werden noch niedrigere Werte als Tagesmittelwert (z. B. 300 mg/m3 ) den Anlagenbetreibern auferlegt. Fr diese Anlagen ist ein Entschwefelungsgrad von mindestens 85% (Schwefelemissionsgrad 300 MWth einen Grenzwert fr Feuerungen mit Kohle von 200 mg/m3 , mit l von 150 mg/m3 und Gas von 100 mg/m3 (Tab. 2) empfohlen, nach dem heute Anlagen ausgelegt werden. Zur Einhaltung dieser Forderungen werden sowohl Primrmaßnahmen, d. h. feuerungstechnische Umgestaltung an den Brennern und gestufte Verbrennung vorgenommen, als auch sekundre Maßnahmen vorwiegend durch
Tabelle 2. Begrenzung der NOx -Emission nach Beschluß der Umweltministerkonferenz von 5. 4. 1984
I5.2 Einbau von Katalysatoren getroffen. Meist wird NH3 mit Wasser, Dampf oder Luft eingedst, um eine Spaltung der Stickoxide in Stickstoff und Wasser (Dampf) mit Hilfe des Katalysators zu erreichen. Das ist jedoch nur bei einer Rauchgastemperatur von 250 bis 400 C wirkungsvoll. Bei Einsatz einer Aktivkohle als Katalysator kann die Rauchgastemperatur niedriger, d. h. bei 90 bis 120 C gehalten werden. In solchem BF-Verfahren (Bergbau-Forschung) kann trocken simultan SO2 und NOx entfernt werden (s. L 5.6.3). CO2 . Die Bildung von CO2 kann bei der energetischen Nutzung fossiler Brennstoffe zwar nicht vermieden werden, die Abgabe in die Atmosphre lßt sich jedoch durch Rckhalteverfahren reduzieren. Das setzt jedoch eine CO2 Entsorgung voraus. In den weltweit installierten Kohlekraftwerken entstehen ca. 4 Gt CO2 =a. An diesem Problem wird gearbeitet. Das weltweit erste CO2 freie Gasturbinen Kraftwerk mit einer Leistung von 350 MW soll bis 2009 im Nordosten von Schottland gebaut werden. Im speziellen Prozeß soll das Verbrennungsgas in Wasserstoff und Kohlendixyd aufgespalten werden. Das so gewonnene CO2 soll per Pipeline in das 240 km entfernte Miller-Erdlfeld 4 km tief unter die Lagersttte gepumpt werden. Unter Leitung der TU Clausthal erkunden E.on-Ruhrgas, Vattenfall, Wintershall und die EEG-Erdgas Erdl Berlin wie sich mit Hilfe der CO2 Injektion die Ausbeute von Erdgaslagersttten steigern lßt. Vattenfall will das erste CO2 freie Braunkohlekraftwerk der Welt im Kraftwerk Schwarze Pumpe (Spremberg) nach dem Oxyfuel-Verfahren bauen. Es ist ein Kraftwerk mit Sauerstoff/CO2 Feuerung, dessen Rauchgas nach Kondensation und Reinigung nur aus CO2 besteht. Lrm. Forderungen nach der TA-Lrm sind von der rtlichen Situation abhngig. Daher werden Kraftwerke heute als geschlossene Bauwerke errichtet und Khltrme nur noch schallgedmpft ausgefhrt.
5.2 Feuerungen fr feste Brennstoffe 5.2.1 Rostfeuerungen Rostfeuerungen verbrennen den Brennstoff im Anlieferungszustand. Der Leistungsbereich ist von 0,25 bis 150 MJ/s (etwa 55 kg/s Dampf), abhngig von Bauart und Brennstoff. Anwendung finden sie in kleineren Industrie- und Heizwerken sowie in Mll- und Abfallverbrennungsanlagen. Verbrennung. Sie findet in der Schicht statt, durch die die Luft von unten durch Spalten im Rostbelag geblasen wird. Diese mssen so klein sein, daß nicht zu viel Feinkohle durchfllt. Die freie Rostflche muß aber so groß sein, daß die Luftgeschwindigkeit nicht grßer als 15 bis 20 m/s ist, da sonst zu viel Feinanteil als Flugkoks mitgerissen wird. Je nach Brennstoff liegt der Luftberschuß bei n ¼ 1;4 . . . 1;6; bei Mll bei n ¼ 1;8 . . . 2;2: Kenngrßen Gesamte Rostflche. AR wird zwischen Schichtregler, seitlicher Begrenzung und Staupendel bzw. Ausbrennrost gemessen (max. 90 m2 , 12 m Breite und 7,5 m Lnge). Freie Rostflche. Sie ist die Summe aller Luftdurchtrittsffnungen im Rostbelag. Je nach Krnung des Brennstoffs und der entsprechenden Spaltweite betrgt sie bei Planrosten 15 bis 35% von AR , bei Vorschubrosten 10 bis 20% von AR , bei Zonenwanderrosten 3 bis 10% von AR . Rostbelastung. qB ¼ m_ B =AR ist der je Einheit der gesamten Rostflche verbrannte Brennstoffstrom. Eindeutiger, da von der Brennstoffsorte unabhngig, ist die Rostwrmebelastung.
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Rostwrmebelastung. qR ¼ m_ B Hu =AR ist der je Einheit der gesamten Rostflche entbundene Wrmestrom. Die zulssige Belastung hngt von den Brennstoffeigenschaften, der Luftvorwrmung, der Wirbelluftzufuhr, der Flugstaub-Rckfhrung und des zugelassenen Ausbrandverlusts ab. Emissionen an SO2 und NOx sind durch Additive hnlich wie bei Wirbelschichtfeuerungen zu reduzieren. Bauarten Sie unterscheiden sich bezglich des Prinzips des Brennstofftransports durch die Feuerung und sind dementsprechend jeweils fr besondere Brennstoffsorten geeignet. Planrost. Er hat meist Wurfbeschickung, ist fr Entschlackung von Hand konzipiert und wird nur fr Innenfeuerung von Flammenrohrkesseln verwendet. Der Wurfbeschicker wirft mit Federkraft in einstellbaren Zeitabstnden Brennstoffportionen mit einstellbarer Wurfweite. Zur Verhinderung von Rußbildung ist zustzliche Wirbelluft ntzlich. Die maximale Leistung betrgt 3,5 MJ/s bzw. 1,5 kg/s Dampf. Vorschubrost. Er ist 10 bis 20 geneigt und besteht aus festen und beweglichen Stufen im Wechsel. Die beweglichen Stufen werden mit vernderlicher Hubzahl vor und zurck geschoben, wodurch der Brennstoff transportiert und gewendet wird; die Schlacken werden dabei aufgebrochen. qR ¼ 0,9 1,5 MJ=ðm2 sÞ: Rckschubrost. Er hat Roststbe mit kleinem Khlverhltnis und ist deshalb vor allem fr minderwertige Brennstoffe geeignet (besonders fr Mll verwendet). Wanderrost. Er besteht aus einem aus Roststben mit Luftschlitzen aufgebauten, endlosen Band, das ber zwei Wellen luft, die Kohle durch den Feuerraum transportiert und die Schlacke abwirft, und einen zwischen dem oberen und dem unteren Rostband eingebauten Zonen-Luftkasten, dem die Luft von der Seite steuerbar in die einzelnen Zonenksten zugefhrt wird (bis acht Zonen), wodurch man die Luft entsprechend dem Abbrand ber die Lnge verteilt unter den Rostbelag zufhren kann. qR ¼ 0,8 1,2 MJ=ðm2 sÞ: Walzenrost. Er ist speziell fr die Mllverbrennung entwikkelt worden, bei der die Schicht immer wieder gewendet werden muß, damit bereits gezndete Teile in den noch nicht gezndeten Brennstoff kommen und so die Durchzndung beschleunigen. Dies wird beim bergang von einer Walze auf die nchste erreicht, Bild 2. Der Verbrennungsrost hat eine Neigung von ca. 30 und besteht aus sechs hintereinanderliegenden Walzen von ca. 5,5 m Lnge mit einem Durchmesser von ca. 1,50 m. Durch die langsame, regelbare Drehbewegung der Walzen wandert der Mll nach unten und verbrennt auf diesem Wege. Abhngig vom Heizwert knnen bis zu max. 26,25 t/h Mll je Kessel verbrannt werden. Am Ende des Rostes fllt der ausgebrannte Mll als Schlacke in ein Wasserbad, wird ber Preßkolbenentschlacker entwssert und dann mittels Schwingrinnen in den Rostaschebunker gefrdert. Von hier aus erfolgt anschließend der Abtransport per Lkw. Die Verbrennungsluft wird durch Geblse aus der Entladehalle ber den Mllbunker angesaugt und der Feuerung zugefhrt. Diese Art der Luftfrderung bewirkt in der Entladehalle eine weitgehend staub- und geruchsfreie Atmosphre. Bei Bedarf kann die Verbrennungsluft ber einen Dampfluftvorwrmer aufgewrmt werden. Die bei der Verbrennung entstehenden Rauchgase haben unmittelbar ber dem Walzenrost eine Temperatur von ca. 1 000 C. Sie geben ihre Wrme in den drei Kesselzgen an die Heizflchen und die in diesen strmenden Medien Wasser und Dampf ab und khlen sich dabei auf ca. 200 bis 230 C ab.
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Energietechnik und Wirtschaft – 5 Feuerungen
einer vorgegebenen Richtung in den Feuerraum einblasen und die Zndung sicherstellen. Bauteile der Staubfeuerung sind Zuteiler unter dem Rohkohlenbunker, Fallschacht, Mhle mit Sichter und Verteiler, Mhlenkalt- und Heißluftleitungen bzw. Rauchgas-Rcksaugeschchte, die Staubleitungen, die Brenner mit Sekundrluftleitungen und der Feuerraum [1]. Vorteile: fr fast alle festen Brennstoffe geeignet, auch fr backende und blhende Steinkohlen sowie sehr feuchte Kohlen (Rohbraunkohle, Torf, deren Staub nach der Mahltrocknung gezndet werden kann); hohe Luftvorwrmung mglich und damit hohe Speisewassertemperaturen durch Anzapfdampf bei niedrigen Abgastemperaturen: geringe Ausbrandverluste (0,1 bis 1%). Nachteile: hoher Leistungsbedarf fr Mhlen- und Geblseantrieb (1 bis 2% der erzeugten elektrischen Leistung); großer Flugstaubgehalt der Rauchgase, der je nach Einbindegrad der Feuerung bei trockenen Staubfeuerungen und hohem Aschegehalt bis zu 50 g/m3 betrgt und einen hohen Abscheidegrad der Elektrofilter erfordert (s. L 5.6.1), wobei der hohe Anteil an Feinstaub die Abscheidung erschwert. Staubeinblasung. Der Staub wird meist direkt eingeblasen, da die Konstruktion und der Betrieb einfach sind. Fr schwierige Brennstoffe ist einblasen mit Zwischenbunkerung des brennfertigen Staubs vorzusehen.
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Mahlanlagen
Bild 2. Schnittbild eines Dampferzeugers (Mllkraftwerk Karnap). 1 HD-Austritt, 2 Khler 2, 3 Khler 1, 4 Rauchgase zum Elektrofilter, 5 Speisewassereintritt, 6 Schlacke, 7 Primrluft, 8 Mll, 9 Sekundrluft
Die in dem Naturumlaufkessel erzeugte Dampfleistung liegt im Maximum bei 68,5 t/h. Sie steht ber die Frischdampfsammelleitung mit einem Druck von 40 bar und einer Temperatur von 400 C einer weiteren Nutzung zur Verfgung. Schttelrost. Bei diesem erfolgt der Vorschub durch Schtteln eines unter 1 : 5 geneigten Rostes, der aus Einzelstben besteht. qR ¼ 1,3 1,7 MJ=ðm2 sÞ: 5.2.2 Kohlenstaubfeuerung Arbeitsweise. Der Brennstoff wird außerhalb der Feuerung aufbereitet (gemahlen und getrocknet). Als Staub eingeblasen, verbrennt er in der Schwebe. Dieses Verfahren, das fr große Leistungen geeignet ist, wird in Kraftwerkskessel fr feste Brennstoffe ausschließlich verwendet. In der Mhle wird durch Mahlung und gleichzeitiger Trocknung (Mahltrocknung) der Wassergehalt verringert (Steinkohle bis auf 2%, Rohbraunkohle bis auf 30%). Die Krnung wird so verfeinert, daß eine spezifische Oberflche von mehreren Tausend m2 /kg entsteht. Dies ermglicht eine schnelle Zndung und Verbrennung sowie die pneumatische Frderung und das Einblasen in den Feuerraum. Zur Trocknung muß Heißluft (Primrluft) oder Heißgas aus dem Feuerraum in die Mhle gefhrt werden. Die entstehenden Brden (Gemisch der Heißluft bzw. des Heißgases mit Wasserdampf) dienen als Frdermedium (Tragluft). Der grßere Teil der Verbrennungsluft wird als Sekundrluft am Brenner zugemischt. Der Brenner soll eine mglichst gleichmßige Mischung von Staub und Luft erzeugen, den Brennstoffstrahl in
Staubeigenschaften. In der Mhle entsteht ein Gemisch von Korngrßen, die von Null bis zu einem Grßtwert dem Spritzkorn, reichen. Die Mahlfeinheit wird in einer Siebanalyse durch Prfsiebung mit Drahtgeweben nach DIN 4188 beurteilt. Als Siebsatz werden Siebe verschiedener Feinheit verwendet. Die Kornfraktion zwischen zwei aufeinanderfolgenden Siebgrßen wird Rckstand auf dem feineren Sieb und ergibt die Verteilungskurve (auf die Einheit des Korndurchmessers bezogen, meist in mm). Fr die Summen der Rckstnde R in % unterhalb einer Korngrße d, die Summenkurve, gilt nach Rosin, Rammler [2] und Sperling hufig die RRS-Verteilung R ¼ 100 exp½ðd=dÞn in %
ð7Þ
(d ein die Feinheit kennzeichnender Durchmesser, n Gleichmßigkeitskoeffizient). Je grßer n ist, desto gleichmßiger ist das Gemisch; fr n ! 1 ist nur Korn mit d vorhanden. Fr solche Korngemische gengt die Angabe von zwei Rckstandswerten; dafr wird meist R DIN 200 mm und R DIN 90 mm gewhlt, wobei die Zahlen die Maschenweite der Prfsiebe nach DIN 4188 angeben. Mahlfeinheit. Sie ist mit regelbaren Sichtern (Umlenk- oder Zentrifugalsichter) einstellbar. Fr eine zufriedenstellenden Ausbrand kann bei Steinkohlen mit hhererm Gehalt an flchtigen Bestandteilen grber ausgemahlen werden als bei niedrigen, dadurch reduzieren sich Mahlarbeiten und Verschleiß. Bei Kohlen mit niedrigem Gehalt an flchtigen Bestandteilen ist R DIN 90 mm etwa gleich ihrem Gehalt, bei hherem Gehalt (von 15% an) etwa 80% davon. Je nach Mhlenbauart stellt sich R DIN 200 mm bei Feinausmahlung zur etwa 10%, bei grberer Ausmahlung zu etwa 20% von R DIN 90 mm ein. Fr Braunkohle kann R DIN 90 mm etwa gleich dem Gehalt an flchtigen Bestandteilen sein, R DIN 200 mm wird dann etwa 20 bis 40% davon. Bei sichterloser Mahlung, die aus Kostengrnden fter durchgefhrt wird, liegen die Werte hher. Meist wird nicht nur vom Ausbrandverlust ausgegangen, sondern es werden die gesamten Mahlkosten, die sich aus den Kosten fr Ausbrandverlust, Energieverbrauch und Verschleiß zusammensetzen, optimiert. Mit grberer Ausmahlung steigen die Ausbrandverlustkosten, whrend die Energie- und besonders stark die Verschleißkosten sinken.
I5.2
Feuerungen fr feste Brennstoffe
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Spezifische Mahlarbeit. Sie wird auf das Gewicht der Kohle bezogen (z. B. kWh/t) und hngt fr eine bestimmte Mhlenbauart von der Mahlfeinheit und der Kohlenmahlbarkeit ab. Je feiner gemahlen wird, desto grßer ist die Zerreißarbeit, die etwa proportional der spezifischen Oberflche ist. Die Mahlbarkeit wird als eine empirisch mittels eines von Hardgrove angegebenen Probemahlverfahrens ermittelte Zahl im Vergleich zu einer Normkohle angegeben. Je hher die Hardgrove-Zahl ist, desto besser ist die Mahlbarkeit. Fr Kohlen liegt sie zwischen 50 und 110 H. Leistungsangaben fr Mhlen, d. h. maximaler Durchsatz bei gegebener Antriebsleistung, beziehen sich immer auf eine bestimmte Mahlfeinheit und Mahlbarkeit (z. B. 60 H, 35% R DIN 90 mm). Mhlenverschleiß. Er ist auf das Gewicht der Kohle bezogen (z. B. g/t) und hngt außer von der Mahlbarkeit und Feinheit auch von der Art der Beimengungen ab. Besonders verschleißend wirken Pyrit (Hrte 9, in oberschlesischen Steinkohlen) und Quarz (Hrte 7, in rheinischen Braunkohlen). Mahltrocknung. Beim Mahlen ist der grßte Teil der Kohlefeuchtigkeit zu verdampfen, da die Mhle sich sonst zusetzen wrde. Fr diese Mahltrocknung muß die mit Heißluft oder Rauchgasen zugefhrte Wrme die Verdampfungswrme, die Aufwrmung der Trockensubstanz und der Restfeuchtigkeit auf Sichtertemperatur (das ist die Temperatur, mit der das Gemisch die Mhle verlßt), sowie die Strahlungsverluste dekken. Der Mhlenluftstrom bei Heißlufttrocknung soll mglichst klein sein (15 bis 20% des Gesamtluftstroms), damit bei allen Lasten gengend Sekundrluft vorhanden ist. Die Geschwindigkeit in den Staubleitungen soll 18 m/s wegen der Ablagerung nicht unterschreiten und 24 m/s wegen Verschleißes nicht berschreiten. Die Staubbeladung der Tragluft liegt zwischen 200 und 500 g/m3 , bezogen auf Trockenkohle und Sichterzustand. Dadurch ist das Heißluftvolumen gegeben. Sichtertemperatur. Sie soll wegen der Zndung so hoch wie mglich liegen: bei Magerkohle 150 C, Gaskohle 110 C, Rohbraunkohle mit Rauchgastrocknung 170 C. Die Strahlungswrme ist durch Wrmedmmung der Mhle auf hchstens 10% der der Mhle zugefhrten Wrme zu begrenzen. Die Mahltrocknungs-Rechnung ergibt meist, daß die Heißlufttemperatur nur bis zu einer Rohkohlenfeuchte von 12 bis 15% ausreicht, darber ist Rauchgas aus dem Feuerraum zur Trocknung auszufhren. Mhlenbauarten. Nach der Art der zerkleinerten Kraft unterscheidet man: Schwerkraftmhlen. Hier zerschlagen herabfallende Krper die Kohle. Schwerkraftmhlen dienen bei Dampferzeugern als Mahlanlagen fr die gesamte Anlage (hufig mit Zwischenbunkerung). Die Rohrmhle besteht deshalb aus einer rotierenden Trommel (fr Kohlenmahlung 18 bis 28 min 1 , bis 7,5 m lang, bis 4 m Durchmesser), deren Fllung aus Stahlkugeln beim Drehen der Trommel von der Innenpanzerung mitgenommen wird und beim Herunterfallen die Kohle zerschlgt. Fremdkraftmhlen. Bei ihnen zerquetschen Rollkrper wie Kollergnge die Kohle. Es gibt zwei Bauarten: – mit einem angetriebenen Teller oder einer Schssel gegen die auf einer feststehenden Achse laufende Walzen von Fremdkraft (Feder oder Hydraulik) gepreßt werden (Walzenmhle), – mit zwei Ringen, von denen der obere mit Fremdkraft angedrckt und durch Anschlge gegen Mitnehmen gesichert ist und der untere angetrieben wird, zwischen denen Kugeln oder Walzen – freibeweglich oder wie bei den Walzenmhlen beschrieben – laufen (Kugel- und Walzenringmhlen), Bild 3.
Bild 3. MPS-Walzenringmhle (Dt. Babcock AG, Oberhausen). 1 Mahlschssel, 2 Mahlwalze, 3 Kohlenzufuhr, 4 Antriebsmotor, 5 Getriebe, 6 Mhlenlufteintritt, 7 Sichter, 8 Staubaustritt (grßte Mhle KW Heyden: 120% Mhlenlast 103 t/h, 33% Mhlenlast 29 t/h)
Die Kohle wird durch ein Zentralrohr von oben zugefhrt, das auch in der Achse des ber der Mhle angeordneten Fliehkraftsichters sitzt. Die Tragluft wird durch ein vor der Mhle angeordnetes Geblse gefrdert. Dadurch wird zwar mehr Antriebsleistung bentigt als bei einer Anordnung hinter der Mhle, aber man vermeidet staubbedingten Verschleiß. Die Mhle arbeitet dadurch im berdruck. Die Luft wird mit großer Geschwindigkeit durch einen Ringspalt oder durch Dsen am Umfang der Mahlbahn von unten eingeblasen und nimmt dabei die gemahlene Kohle zum Sichter mit. Dadurch entsteht in Mhle und Sichter ein gesamter Druckverlust von 30 bis 60 mbar. Wegen der ungnstigen Stoffaustauschbedingungen fr die Mahltrocknung sind diese Mhlen nur fr Brennstoffe mit bis zu 25% Feuchtigkeit geeignet. Fliehkraft- oder Schlagmhlen. Rotierende Teile schleudern die Kohle gegen feste Wnde, wobei sowohl am Rotor als auch an der Wand Zerkleinern durch Aufschlagen erfolgt. Wegen der guten Wrme- und Stoffbertragung sind diese Mhlen beim Mahlvorgang auch fr sehr feuchte Brennstoffe geeignet (Rohbraunkohle). Die Frderwirkung des Rotors erbrigt meist ein Mhlengeblse. Bei hohem Sandgehalt der Rohbraunkohle erhalten die Mhlen keinen Sichter, um den Verschleiß niedrig zu halten. Brenner und Feuerraum Aufgabe des Brenners ist es, Staubgemisch und Sekundrluft so in den Feuerraum einzubringen, daß gut gemischt und schnell gezndet wird. Die Brenner sind so anzuordnen, daß der Feuerraum mglichst vollstndig – ohne Totrume und Wirbel – ausgefllt wird. Die Mischung erfolgt am Brenneraustritt durch Fliehkraft beim Wirbelbrenner oder durch Freistrahlen unterschiedlicher Geschwindigkeit im Verlauf des Brennwegs beim Strahlbrenner. Wirbelbrenner finden vor allem fr Steinkohle Anwendung, Strahlbrenner fr Braunkohle. Durch die Forderung nach NOx -armer Verbrennung und der damit verbundene Anstieg der Feuerungsverluste bzw. des C-Gehalts in der Flugasche wird die Verweilzeit des Kokskorns bei hoher Temperatur entscheidend fr die Brennergestaltung und die Feuerraumauslegung (s. L 5.1.2).
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Energietechnik und Wirtschaft – 5 Feuerungen
Nach der Anordnung der Brenner am Feuerraum sind zu unterscheiden: Frontfeuerung. Bei ihr sind parallel einblasende Brenner bis zu Kesselleistungen fr 300 MWel an einer Wand, bei hherer Leistung an zwei einander gegenberliegenden Wnden angeordnet. Im ersten Fall kommt es zu einer ungleichmßigen Beaufschlagung des Feuerraums und zu großen Wirbeln ber den Brennern. Beim Einblasen von zwei Wnden aus werden die Brenner meist versetzt gegeneinander angeordnet, was zu einer besseren Ausfllung und einer gleichmßigeren Temperaturverteilung fhrt. Die Frontfeuerung wird hauptschlich fr Steinkohlenfeuerung mit trockenem Schlackenabzug mit Wirbelbrennern ausgefhrt.
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Tangentialfeuerung. Die Brennerstrahlen werden tangential auf einen Kreis gerichtet, dessen Durchmesser nicht mehr als 10% der Feuerraum-Kantenlnge betragen soll. In der Feuerraumachse entsteht ein Wirbel, der die Verbrennung zwar beschleunigt, aber Luftmangel sowie eine ungleichmßige Raumausfhrung und Temperaturverteilung verursacht. Die Brenner sind in den vier Ecken (Eckenfeuerung) oder an den vier Seiten (Seitenfeuerung) angeordnet. Verwendet werden Strahlbrenner; bei Steinkohle meist von einer Mhle Staubeinblasung zu jedem Brenner einer Ebene; bei Braunkohle ist jeder Mhle ein Brenner zugeordnet, um kurze Staubleitungen zu erhalten. Hinzu kommt die „Over Fire Air-Technik“. Sie wird verstrkt als NOx -arme Verbrennungstechnik angewendet durch eine gestufte verzgerte Verbrennung. Deckenfeuerung. Bei der vor allem fr Schmelzfeuerungen gebruchlichen Deckenfeuerung sind in der Feuerraumdecke parallel einblasende Brenner angeordnet. Der erste abwrts durchstrmte Feuerraumteil ist gut ausgefllt. Hinter der Umlenkung nach oben entsteht jedoch ein Wirbel, der einen Totraum bildet. Mit dem Einziehen der Rckwand ist seine Unterdrckung mglich. Brennerbauart: Wirbelbrenner. Ascheeinflsse. Die Austrittstemperatur beim Verlassen des Feuerraums muß unter der Erweichungstemperatur der Asche liegen. Auch im Feuerraum darf die Asche nicht zum Schmelzen kommen, da sonst Anbackungen entstehen. Bei diesen Feuerungen wird die Asche unter dem Feuerraum trocken abgezogen (trockene Staubfeuerungen). Um Anbackungen zu vermeiden, die Asche in verwertbarer Form zu erhalten sowie Zndung und Verbrennung durch hohe Temperatur zu beschleunigen, wurden die Schmelzfeuerungen entwickelt. Bei ihnen wird durch Wrmedmmung der aus Verdampferrohren gebildeten Feuerraumwnde eine Temperatur von 1 500 bis 1 800 C erzeugt, so daß die geschmolzene Asche ausgetragen werden kann. Damit die gesamte Asche eingeschmolzen wird, ist der im Filter abgeschiedene Staub in die Feuerung zurckzufhren. Zu hoher Ascheumlauf im Dampferzeuger kann Erosion an den Heizflchen und schwierige Abscheidebedingungen am Filter ergeben. Deshalb muß der Gesamteinbindegrad b, der das Verhltnis von eingebundener zu insgesamt im Feuerraum vorhandener Asche (Kohle und Rckfhrung) ist, mglichst hoch sein. Dies wird durch Ankleben der Flugasche an den mit flssiger Schlacke bedeckten Wnden erzielt, so daß die verschiedenen Schmelzfeuerungen Einbindegrade zwischen 60 und 80% erreichen, whrend Trockenstaubfeuerungen nur 10 bis 15% der Asche im Feuerraum einbinden. Der Gesamtentaschungsgrad g, d. h. der Anteil der im Feuerraum abgezogenen Asche zur zugefhrten Asche, betrgt bei Schmelzfeuerungen ber 90%. Kenngrßen. Aus dem Gesamteinbindungsgrad b und dem Filterwirkungsgrad e ergeben sich mit der Abkrzung N ¼ 1 eð1 bÞ
Gesamtentaschungsgrad Rckfhrgrad Rohgas Staubgehalt Staubauswurf
9 g ¼ b=N; > > = r ¼ eð1 bÞ=N; l s ¼ ð1 bÞ=N; > > ; d ¼ ð1 bÞð1 eÞ=N:
ð8Þ
Diese Grßen sind auf die nichtverflchtigte Asche bezogen. Ausgefhrte Kohlenstaubfeuerungen Da der Feuerraum einen großen Teil des Dampferzeugers einnimmt, bestimmt die Wahl der Feuerung weitgehend die Konstruktion des Dampferzeugers. Durch die starke Importabhngigkeit wird das Kohleband immer breiter und damit steigen die Anforderung an die Feuerungen. Dies fhrt vorwiegend zu Vernderungen bei der Verschmelzung und Verschlackung. Trockene Staubfeuerung. Steinkohlenfeuerungen werden als Frontfeuerungen mit Wirbelbrennern in zwei Wnden gegeneinander blasend gebaut. Sie eignen sich auch fr grßte Leistungen: in den USA bis zu 1 100 kg/s Dampf oder 1 300 MW elektrischer Leistung. Um bei großen Feuerrumen eine ausreichende Rauchgasabkhlung zu erreichen, wird mitunter eine den Feuerraum in zwei Hlften teilende Mittelwand aus Kesselrohren eingebaut. Die Brenner sind in vier bis sechs horizontalen Reihen bereinander angeordnet (32 bis 96 Brenner bei großen Anlagen). Braunkohlefeuerungen werden als Ecken- oder Seitenfeuerungen bis 1000 MW ausgefhrt. Die Absenkung des Luftberschusses auf 10 bis 15% kann bei der Steinkohlenfeuerung die NOx -Bildung verbessern. Mit der Babcock-DS-Brennertechnologie wurde eine stabile Feuerung bei l ¼ 1; 25 erreicht. Der NOx -Wert lag unter 580 mg/m3 bei 6% O2 . Schmelzfeuerungen. Die Feuerraumwnde sind aus dichtliegenden, meist verschweißten Rohren aufgebaut, auf die Sicromalstifte von 10 bis 12 mm Lnge und 10 mm Durchmesser maschinell geschweißt sind (2 000 bis 4 000 Stifte/m2 ). Sie werden mit SiC-Stampfmasse, die mit V-haltigen Zustzen bestndig gegen Schlacken gemacht ist, dicht ausgestampft. Den Abschluß der Schmelzkammer gegen den Strahlraum bildet ein aus Rohrplatten bestehender „Schlackenfangrost“. Die flssige Schlacke fließt durch den Schlackenschacht in einen Naßentschlacker, in dem sie granuliert und ausgetragen wird. Trotz verschiedener Vorteile gegenber Trockenfeuerungen sowie Verbesserungen in der Ausfhrung und Feuerfhrung (Vermeiden von Totrumen) tritt Korrosion auf. Dies und die fr grßte Leistungen schwierige Konstruktion sind der Grund, daß heute fr Steinkohle Trockenfeuerungen vorgezogen werden. Wirbelfeuerungen. Diese spezielle Schmelzfeuerungskonstruktion erhht den Einbindegrad durch Drallbewegung, das Berhren der Flammen mit der Wand muß durch starke Außenluft verhindert werden. Dazu gehren: Horizontalzyklon (Babcock), Vertikalzyklon (EVT) und Wirbelschmelzfeuerung mit Deckenbrennern (Balcke-Drr). Zubehr fr Feuerungen fester Brennstoffe Bekohlung. Die Kohle wird von Bahn oder Schiff mit Portalkrnen oder fahrbaren Frderbndern auf das Kohlenlager bernommen, hier mit Motorschiebern gestapelt und festgewalzt, um Selbstzndung zu verhindern (Schichthhe ca. 10 m). Neuere geschlossene Systeme oberirdisch hnlich ltanks (HKW Tiefstock Hamburg) oder unterirdisch (HKW Salmisaari Helsinki) kommen zur Anwendung. Der Abzug wird mit Bndern vorgenommen, bei Tiefbunkern auch mit Plattenbndern, Pendelbecherwerken oder hnlichem (fr große Leistungen mit Schaufelfrderern in Verbindung mit Frderbndern). Oberhalb der Kesselbunker wird die Kohle vom Frderband auf ein verfahrbares, reversierba-
I5.2 res Band gegeben, das sie auf die einzelnen Kesselbunker verteilt. Auf dem Frderband wird sie oft mittels Bandwaagen gewogen, bei kleineren Anlagen (Rostkessel) unterhalb des Bunkerauslaufs mit Kippwaagen. Den Mhlen wird die Kohle mittels Plattenband- oder Trogkettenfrderer zugeteilt. Sie mssen so gebaut sein, daß weder ein Durchschießen der Kohle noch Verstopfungen (bei feuchter Kohle) mglich sind. Schrge Abwurfkanten fhren zu einer kontinuierlichen Zuteilung. Die aus Blech oder Beton hergestellten Bunker enthalten bei Großanlagen nur fr wenige Stunden Vorrat (Tagesverbrauch). Da bei feuchter Kohle Schwierigkeiten aufgrund von Brckenbildung zu befrchten sind, sollen die Seitenwnde unterschiedliche Neigungen haben (nicht unter 75). Entstaubung. Fr den groben Flugstaub von Rostfeuerungen gengen Fliehkraftentstauber , bei Staubfeuerungen werden Elektrofilter bentigt (s. L 5.6.1). Entaschung und Ascheverwertung. Grßere Schlackenstcke aus dem Feuerraum werden mit Brechern zerkleinert und in Wasser abgekhlt. Geschmolzene Schlacke aus Schmelzfeuerungen wird in einem großen Wasserbad granuliert. Die Schlacke wird dann von Entschlackern ausgetragen. Kratzentschlacker bestehen aus zwei an den Seiten ber Zahnrder umlaufende Ketten, zwischen denen Kratzeisen befestigt sind. Plattenband hat den Vorteil, auf der ganzen Flche auszutragen und damit grßere Frderleistungen zu bringen. Bei der Splentaschung wird die Schlacke in einem starken Wasserstrom granuliert und in ein Absetzbecken gefrdert, wobei das Wasser im Kreislauf gefahren wird. Zur Rckfhrung des Flugstaubs (s. Schmelzfeuerungen) dienen pneumatische Systeme. In unter 5 geneigten Frderrinnen wird der Staub mit geringen Luftmengen von 50 mbar Druck fluidisiert und mittels Dsen und Preßluft von 0,5 bis 0,8 bar gefrdert. Bei trockenen Staubfeuerungen wird die Flugasche meist nicht zurckgefhrt, sondern durch Splentaschungen in Absetzbecken gefrdert und die abgesetzte Flugasche abtransportiert. Eine Verwertung durch Sintern im Schachtofen ist mglich, wenn der Anteil an Verbrennlichem nicht ber 7% liegt. So dienen Schlackenstcke als Zuschlag zu Beton; unter Zusatz von Zement werden auch Gasbetonsteine daraus hergestellt. Ein anderer Weg ist das Granulieren mit Zusatz von Zement und Wasser; dieses Verfahren ist unabhngig vom Kohlenstoffgehalt der Flugasche [3].
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5.2.3 Wirbelschichtfeuerung Der Begriff „Wirbelschicht“ geht auf ein Verfahren von Winkler zur Synthesegaserzeugung aus Braunkohle zurck. Der Anwendungsbereich einer Wirbelschichtfeuerung liegt zwischen der Rost- und der Staubfeuerung. Die zirkulierende Wirbelschicht hat ihren Vorteil bei der Verbrennung von verschiedenen Kohlegemische und Biomassen. Durch die Integration der Rauchgasentschwefelung und Entstickung infolge der Kalksteinzugabe in der Brennkammer und aufgrund der niedrigen Verbrennungstemperatur (ca. 850 C) und gestufter Luftzufuhr im Feuerungsprozeß hat die alte Technik ein neues Anwendungsgebiet erfahren. Eine bersicht der einzelnen Wirbelschichtprinzipien zeigt Bild 4. Die stationre Wirbelschichtfeuerung arbeitet mit Rauchgasgeschwindigkeiten von 1,5 bis 3 m/s, so daß ein Austragen von Asche weitgehend vermieden wird. Die Wrmeabfuhr aus dem Wirbelbett erfolgt durch Tauchheizflchen 1 bei 850 C. Dieses Prinzip gilt auch fr die druckbetriebene Ausfhrung, wobei sich sie spezifische thermische Wirbelbettbelastung etwa proportional mit dem Rauchgasdruck erhht. Bei der atmosphrischen Ausfhrung wird anschließend die Temperatur mit Konvektionsheizflchen auf etwa 350 C abgebaut 2 (Bild 5); bei der druckbetriebenen Anlage geschieht das in der Gasturbine. Die stationre Wirbelschichtfeuerung kann jedoch aufgrund der großen Wirbelbettflche und der damit verbundenen Mischungs- und Konstruktionsprobleme nur schwer in den Bereich einer Feuerungswrmeleistung oberhalb 100 MW vorstoßen. Außerdem bereitet die Einhaltung des NOx -Grenzwerts von 200 mg/m3 Schwierigkeiten. Bei der zirkulierenden Wirbelschichtfeuerung ist die Rauchgasgeschwindigkeit mit 5 bis 8 m/s dagegen so hoch, daß der grßte Teil der Asche ausgetragen wird. Die Asche wird in einem Zyklon 3 abgeschieden und in die Brennkammer zurckgefhrt. Die Wrmezufuhr aus der Brennkammer erfolgt bei 850 C durch Wand- und Schottenheizflchen 2 und durch Rauchgasrezirkulation sowie in einigen Fllen durch Aufheizung der rezirkulierenden Asche. Besondere Eigenschaften dieses Prinzipes sind die hohe spezifische Wirbelbettbelastung, die niedrige NOx -Emission aufgrund der gestuften Luftzufuhr sowie die langen Reaktionszeiten der einzelnen Reaktionspartner mit der Folge eines guten Ausbrands und eines hohen Schwefeleinbindungsgrads. Außerdem fllt kein Abwasser an. Der bis 1989 grßte Kessel, der gebaut wurde,
Bild 4. Wirbelschichtfeuerung, Gegenberstellung von Prinzipien und technischen Daten (Erluterungen im Text)
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Energietechnik und Wirtschaft – 5 Feuerungen
L Bild 5. Wirbelschicht-Dampferzeuger, Lngsschnitt (Bewag, Berlin). 1 Wirbelkammer, 2 Rckfhrzyklon, 3 Nachschalt-Heizflchen, 4 HeißgasElektrofilter, 5 Luftvorwrmer, Feuerungsleistung 240 MWth ), Dampfleistung 326 t/h (HD-Teil), 269 t/h (Zwischenberhitzer), Dampfdruck 196 bar (HD-Teil), 42 bar (Zwischenberhitzer), Dampftemperatur 540 C (HD-Teil, 540 C (Zwischenberhitzer), Kesselwirkungsgrad 92,3%
hat eine Feuerungswrmeleistung von 240 MWth (in Berlin HKW Moabit Block A). Die grßte Anlage mit 250 MW ist seit 1995 in der Nhe von Marseille in Betrieb. Seit Mrz 2000 ist in Cottbus die erste Druckwirbelschichtanlage fr Braunkohle in Betrieb, die 74 MW Strom (h = 40%) und bis zu 220 MWth Wrme liefert. Mehr als 500 Anlagen im Leistungsbereich 50–400 MW sind in Betrieb bzw. im Bau. Aufgrund hervorragender Betriebserfahrungen von ZWSF-Anlagen des Leistungsbereichs um 300 MWel sind Anlagen bis zu 600 MWel geplant. Die grßte Anlage nach der Bauart Foster Wheeler mit 460 MW steht im Kraftwerk Lagisza. Erzeugt wird 1300 t/h Dampf bei 275 bar und 560/580 C. Von der erhhten Leistung sind die Schlsselkomponenten wie Brennkammer, die Zyklone und die externen Fließbettkhler betroffen. Zur Senkung der Betriebskosten trgt ein NiD-Filter (Normal Integrated Desulfurization) bei. Dabei kann die Primrentschwefelung je nach Qualitt des Kalksteins auf rd. 90% begrenzt werden. Wirbelschichtkessel, Bild 5. Wirbelschichtfeuerung und Dampferzeuger stellen eine Weiterentwicklung der bereits in Betrieb befindlichen Anlagen Duisburg (226 MWth ) und Flensburg (110 MWth ) dar. Die wesentlichen Maßnahmen sind: – die Wirbelkammer wird nicht mehr ausgemauert, sondern erhlt eine Wandberohrung, die als Verdampferheizflche geschaltet ist. Auf eine eingehngte Heizflche wird wegen der Erosionsgefhrdung verzichtet. Der untere Teil der Wirbelkammer ist gestampft, um Korrosionen im Bereich der reduzierenden Atmosphre (zwischen Primr- und Sekundrlufteinfhrung) zu verhindern; – die Rckfhrzyklone und die außenliegenden Heizflchen (Fließbettkhler) erhalten ebenfalls eine Wandberohrung; – die Heizflche fr den Zwischenberhitzer wird aufgeteilt in Fließbettkhler und Nachschaltheizflche; – die Brennstoffaufgabe wird an vier Stellen vorgesehen. Mit diesen Maßnahmen wird eine drastische Verringerung der Anfahrzeit aus dem kalten Zustand erreicht und eine hhere Verfgbarkeit erwartet. Außerdem werden Regelgte und Lastnderungsgeschwindigkeit verbessert. Die Aufteilung der ZwischenberhitzerHeizflche hat das Ziel, bei einer Strung im Ascheumlauf eine unzulssige Senkung der Z-Temperatur zu vermeiden, d. h. den Schnellschluß der Turbine auszuschließen.
Der Kesselschnitt zeigt auch die Grße des heißgehenden Elektrofilters (rd. 320 C), das eine Entstaubung der Rauchgase auf 20 mg/m3 sicherstellt.
5.3 Feuerungen fr flssige Brennstoffe 5.3.1 Besondere Eigenschaften Vor und Nachteile. lfeuerungen [4, 5] werden trotz ihrer Vorteile gegenber Feuerungen fr feste Brennstoffe wegen der unsicheren Versorgung aus politischen Grnden und der vor Jahren gestiegenen und schwankenden lkosten im Kraftwerksbau nur wenig eingesetzt. In Industriebetrieben werden sie hufig verwendet, wobei fr grßere Leistungen das billigere schwere Heizl bevorzugt wird, whrend leichtes Heizl in kleineren Betrieben, als Zndfeuerung fr Staubfeuerungen sowie zum Hochfahren von Schwerlfeuerungen Anwendung findet. Vorteile: geringere Investitionskosten; Fortfall der Entaschung; bessere Automatisierbarkeit, dadurch geringere Bedienungskosten; schnellere Betriebsbereitschaft (gegebenenfalls automatischer Betrieb ohne Beaufsichtigung). Nachteile: Notwendigkeit der Vorwrmung von schwerem Heizl; Korrosionsgefahr und Entschwefelung. Korrosionen bei Heizlfeuerungen Niedertemperaturkorrosion. Der Schwefelgehalt – besonders bei Heizl S – fhrt zu SO2 , bei Luftberschuß zu SO3 und mit Wasserdampf zu H2 SO4 . Bei Heizflchentemperaturen von 130 bis 140 C wird der Sure-Taupunkt unterschritten, und es fllt ein hochkonzentriertes Kondensat aus, das den Stahl der Rohre zu Eisensulfat korrodiert. Dieses bildet auf der Heizflche einen klebrigen Film, der die Rauchgaswege verstopft. Hochtemperaturkorrosion. Die lasche enthlt je nach Herkunft des ls wechselnde V2 O5 -Gehalte (USA nur einige %, Nahost 14 bis 40%, Venezuela 40 bis 60%) und Alkalien (Na2 O; K2 OÞ. Diese bilden niedrigschmelzende Eutektika
I5.4 (560 C bei 0,66 Mol Na2 O pro Mol V2 O5 ), die eine klebrige Grundschicht auf der Heizflche bilden, was wegen der oxidierenden Wirkung des V2 O5 zu Korrosion fhrt. Abhilfe. Der Betrieb mit niedrigstem Luftberschuß (1 bis 3% entsprechend 0,2 bis 0,6% O2 ) verhindert die Oxidation zu SO3 sowie die Bildung von V2 O5 (V2 allein ist ungefhrlich). Voraussetzungen dazu sind eine genaue Feuerungsregelung, die jedem Brenner einzeln zuzuteilende Luft, feine Zerstubung und eine gleichmßige Mischung mit Verbrennungsluft. 5.3.2 Brenner Als Zerstubungsprinzipien kommen fr Feuerungen mit Leistungen ber 1 MJ/s Druck, Rotation und Injektion in Betracht. Als Geschrnke werden Einzel- (dynamische) und Luftkasten- (statische) Geschrnke verwendet. Druckzerstuber (Babcock, Balcke-Drr, Sonvico). Die Zerstubung findet in der Dralldse statt, wo der Druck in tangentialen Kanlen einer Wirbelkammer teilweise in Geschwindigkeit umgesetzt wird. Der Rest wird bei der radialen Abstrmung zu der Austrittsffnung in der Stirnwand der Wirbelkammer zur Erhhung der Umfangsgeschwindigkeit nach dem Drallsatz verwendet. Die große Umfangsgeschwindigkeit ergibt eine feine Zerstubung, die Resultierende aus Umfangs- und Axialgeschwindigkeit die Richtung, in die einzelnen Tropfen wegfliegen, woraus sich der Winkel des Zerstuberkegels ergibt. Fr gute Zerstubung ist eine kinematische Viskositt von 10 10 6 bis 20 10 6 m2 =s ntig. Das Heizl wird meist mit Dampf vorgewrmt, geregelt durch Viskosittsregler in Abhngigkeit vom Druckabfall in einer Kapillare. Simplex-Zerstuber. Da er einen lastabhngigen ldurchsatz hat, geht die Zerstubungsfeinheit bei Teillast wegen des sinkenden Dralls zurck. Ein Regelbereich von 1 : 2 ist mit dieser einfachsten und billigsten Bauart zu erreichen, wenn mit hohem ldruck (bis 70 bar) gefahren wird. Wenn ein grßerer Regelbereich erwnscht ist, sind Konstruktionen ntig, die den Drall bei Teillast konstant halten. Erreichbar ist dies entweder durch nderung des Einstrmquerschnitts, z. B. mit dem Verschieben eines Kolbens, der die Hhe der Wirbelkammer und damit der Eintrittsschlitze ndert (Sonvico), oder durch Konstanthalten des ldurchsatzes und Rckfhren eines mit sinkender Last steigenden lanteils durch eine Bohrung im Boden der Wirbelkammer (Rcklauf-Druckzerstuber). Der Rcklaufstrom wird von einem Ventil in der Rcklaufleitung eingestellt, das mit sinkender Brennerleistung weiter ffnet und damit den Rcklaufdruck senkt. Ein berlaufventil, das eine mit steigender Brennerleistung zunehmende Menge zum lbehlter zurckstrmen lßt, hlt den ldruck im Vorlauf konstant. Die Pumpenleistung muß das 1,2- bis 1,3fache der maximalen Brennerleistung der Pumpendruck 32 bar betragen. Der Regelbereich ist 1 : 8. Rotationszerstuber. Die hohe Relativgeschwindigkeit zwischen dem l das aus einem rasch rotierenden Becher austritt, und der umgebenden Luft fhrt zur Zerstubung. Beispiel Saacke-Zerstuber. Injektionszerstuber (Babcock, Balcke-Drr). Die sehr feine Zerstubung beruht auf der pltzlichen Entspannung eines Gemischs aus Heizl und Zerstubungsmittel, fr das Dampf verwendet wird, da er billig ist und verbrennungstechnisch gnstig wirkt (Einleitung der Vergasung). Der Dampfverbrauch betrgt etwa 0,5% der erzeugten Dampfmenge und entspricht etwa dem Energiebedarf der anderen Brennerbauarten. Dampfzustand: 10 bar, 300 C. Der ldruck betrgt 18 bar bei Vollast, die erforderliche Viskositt entspricht der
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bei Druckzerstubern. Der Regelbereich ist 1 : 6, die maximale Leistung betrgt 4,2 kg/s. Der Aufwand an Armaturen und Leitungen ist etwas hher als bei Druckzerstubern, deshalb liegen auch die Investitionskosten hher. 5.3.3 Gesamtanlage Zur Gesamtanlage einer Feuerung gehren: Brennstoffaufbereitung und -verteilung. Komponenten: Tageslbehlter mit Fllpumpen und Fllstandmeß- und -regelungsgerten, Saugfilter, Brennerpumpen mit vorgeschalteten lvorwrmern und zuschaltbaren Reservepumpen, Ausblaseinrichtungen beim Abschalten der Brenner. Angefahren wird mit leichtem Heizl oder mit vorgewrmtem l. Brennstoffzufuhr. Komponenten: Flammenwchter zur automatischen Abschaltung, wenn die Flamme erlischt, Verriegelungssysteme zum erzwungenen Wiedereinschalten einer Anlage in einer bestimmten Reihenfolge. Zndung. Die meisten Mglichkeiten einer Strung und dadurch verursachter Verpuffungen sind bei der Zndung gegeben. Gezndet wird meist mittels gas-elektrischer Zndbrenner. Dabei wird das Zndgas (Propan, Stadtgas) elektrisch gezndet und der Zndbrenner durch eine Ionisationsstrecke berwacht. Eine Zndung kann erst nach der zwischen 15 s und einigen Minuten einstellbaren Vorlftzeit erfolgen, die sicherstellt, daß keine brennbaren Gasreste im Feuerraum oder in den Rauchgaszgen vorhanden sind. Brenner- und Zndgas-Magnetventil schließen, wenn der Flammenwchter nach 5 s keine Flamme „sieht“ (Sicherheitszeit). Dabei wird ein optisches und ein akustisches Signal gegeben. Ein neuer Zndversuch ist erst nach Durchlftung mglich. Bei Erlschen der Flamme im Betrieb schaltet der Flammenwchter nach 1 s ab. Bei vollautomatischen Anlagen werden alle Vorgnge in Abhngigkeit von einer Regelgrße (Dampfdruck) in der richtigen Reihenfolge eingeleitet, auch der zweite Zndversuch, bei halbautomatischen nur die Flammenberwachung und die Abschaltung. Sicherheitsvorkehrungen. Da flssige Brennstoffe beim Verdampfen leicht zndfhige Gemische bilden, so daß bei Verpuffungen Unflle entstehen knnen, mssen Einrichtungen vorhanden sein, die ein Einstrmen von Brennstoff in den Feuerraum ohne Flamme oder unter ungengenden Verbrennungsbedingungen verhindern und sicherstellen, daß vom vorhergehenden Betrieb keine unverbrannten Gasreste vorhanden sind.
5.4 Feuerungen fr gasfrmige Brennstoffe 5.4.1 Verbrennung und Brennereinteilung Verbrennung. Sie luft schneller ab als bei festen oder flssigen Brennstoffen, da keine Vergasung oder Verdampfung des Brennstoffs mehr ntig ist [6]. Fr die Gte der Verbrennung ist deshalb die Mischung entscheidend. Daneben sind ein Betrieb mit niedrigstem Luftberschuß wegen des eventuellen H2 S-Gehalts (Taupunkt) und eine kurze, heiße Flamme anzustreben. Da H2 meist mit blauer Flamme verbrennt und der Anteil hherer Kohlenwasserstoffe gering ist, ist die Strahlungszahl C 2;3 W/m2 K4 viel niedriger als bei Verbrennung von Kohle oder l. Brennereinteilung. Nach der Art der Mischung unterscheidet man Brenner mit Vormischung – bei ihnen werden Gas und Luft im Brenner vor der Zndung gemischt und Brenner mit Nachmischung, bei denen Gas und Luft erst am Brenneraustritt unmittelbar vor der Zndung gemischt werden. Nach der Gasart unterscheidet man Armgas- und Reichgasbrenner, nach der Hhe des Drucks Niederdruck- (10 bis
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50 mbar) und Hochdruckbrenner (bis 3 bar). Da Armgase meist mit niedrigem Druck, Reichgase aber mit hohem Druck anstehen, decken sich die Begriffe. 5.4.2 Brennerbauarten Niederdruckbrenner. Da Armgas (Gichtgas, Generatorgas) das mit niedrigem Druck anfllt (unter 200 mbar), immer weniger fr Kesselfeuerungen verwendet wird, nimmt die Bedeutung dieser Brenner ab. Hochdruckbrenner. Als Reichgas mit einem Druck ber 200 mbar wird heute meist Erdgas verwendet, das auch mit l kombiniert verfeuert wird. Erdgas wird aus Umweltschutzgrnden verstrkt eingesetzt. Das Gas wird durch Lanzen zugefhrt, die an der Spitze und am vorderen Teil Dsenbohrungen in verschiedenen Richtungen tragen. Der Dsendurchmesser betrgt 3 bis 5 mm, die Austrittsgeschwindigkeit maximal 190 m/s. Die vielen Bohrungen mssen weit auseinander liegen, damit sich die Gasstrahlen nicht zu grßeren Strahlen vereinigen, bevor sie sich mit Luft gemischt haben.
lung, die fr schnelle Druckregelung vorhanden, aber durch Folgeregelung der Drehzahlverstellung in den gnstigen Regelbereich zurckgefhrt wird. Bei Axialgeblsen ergibt die Laufschaufelverstellung hheren Wirkungsgrad und vermeidet bei Parallelbetrieb zweier gleicher Geblse die Pumpgrenze. 5.5.2 Schornstein Er dient zum Abfhren der Rauchgase in Hhen, die unzulssige Immissionen am Boden verhindern (s. L 5.1.4). Berechnung. Da Rauchgas infolge der hheren Temperatur eine geringere Dichte als Luft hat, entsteht am inneren unteren Ende des Schornsteins ein kleinerer statischer Druck als außen (Differenzdruck, Zug), der die Frderung der Rauchgase durch den Kessel untersttzt. Durch die Rauchgaswsche bei der Entschwefelung (s. L 5.6.2) erfolgt eine Abkhlung auf ca. 50 C, so daß eine Wiederaufheizung teilweise regenerativ auf 70 bis 100 C notwendig ist. Dies ist durch die modifizierte 13. BImschV aufgehoben worden. Bisher betragen die Abgastemperaturen 110 bis 180 C. Statische Druckdifferenz. Gegenber außen ist Dpst ¼ HgðrL rG Þ ¼ Hg T0 ðrL, 0 =TL rG, 0 =TG Þ
5.5 Allgemeines Feuerungszubehr 5.5.1 Geblse
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Luft wird als Verbrennungs-, Wirbel- (bei Rostfeuerungen), Heiß- (fr Mhlen) und Frderluft (fr Kohlen und Flugstaub) bentigt. Verbrennungsgase werden als Rckfhr- (fr Regelung) und Abgas gefrdert. Diese verschiedenartigen Zwecke fhren zu sehr unterschiedlichen Auslegungsbedingungen, Tab. 3. Bauarten. Radialgeblse werden bei kleineren Leistungen (Wirkungsgrad bis 85%), Axialgeblse fr grßere Leistungen (Wirkungsgrad ber 90%) verwendet (s. R 7.1 und R 7.2). Hochfrequenter Schall und strkerer Verschleiß sind die Nachteile des Axiallfters, deshalb sind Schalldmpfer in der Saugleitung (bei Frischlfter) bzw. vor dem Schornstein (bei Saugzug) ntig und mit Leistungsverlusten verbunden. Antriebsleistung. Sie betrgt an der Geblsewelle _ P ¼ VTDp=ðT 0 hÞ
ð9Þ
(V_ Frderstrom, Dp Druckdifferenz, h Wirkungsgrad, T Gastemperatur, T0 ¼ 273 K). Da die Geblse fr Spitzenbetrieb und aus Regelungsgrnden im Frderstrom um etwa 10%, also in der Frderhhe um etwa 21%, grßer ausgelegt werden, arbeiten sie meist im Teillastbereich. Eine gute Regelung ist also zum wirtschaftlichen Betrieb notwendig.
ð10Þ
(H Schornsteinhhe, r Dichte, g Erdbeschleunigung; Index L fr Umgebungsluft, G fr Rauchgas, 0 fr Normzustand nach DIN 1343). Effektiver Unterdruck. In Wirklichkeit stellt sich ein Dpeff ¼ Dpst Dpr Dpa
ð11Þ
(Dpr Reibungsdruckverlust im Schornstein, fr die mittlere Geschwindigkeit wm bei Tg wie fr einen Kanal (s. B 6.2.3) zu berechnen; pa Austrittsdruckverlust). Austrittsdruckverlust. Er betrgt Dpa ¼ rG, 0 T0 w2a =ð2 TG, a Þ:
ð12Þ
Austrittstemperatur. TG, a ist etwa 10 K niedriger als die Kesselaustrittstemperatur. Austrittsgeschwindigkeit. wa ist bei TG, a zu berechnen, bei Vollast nicht unter 10 m/s zu whlen, meist 15 bis 20 m/s ausgefhrt. ber 20 m/s besteht die Gefahr von Resonanzschwingungen der Gassule. Große Geschwindigkeit ergibt dynamische Schornsteinberhhung (s. TA Luft) und verbessert die Ausbreitung.
5.6 Umweltschutztechnologien
Regelungsarten. Drallregelung mit verstellbaren Leitschaufeln am Eintritt, Schleifringlufer-Motoren mit Steueranlasser oder Kurzschlußlufer: Motoren mit hydraulischer Kupplung bringen Verbesserungen gegenber der reinen Drosselrege-
Das BlmSchG hat zu einer wesentlichen Umgestaltung der Dampfkraftwerke gefhrt. Die neu einzubauenden Technologien beziehen sich verstrkt auf die Entstaubung, Entschwefelung und Entstickung [7–9], neuerdings die CO2-Reduzierung (s. L 5.1.4 u. L 3.1.1).
Tabelle 3. Betriebsbedingungen von Geblsen an Dampferzeugern
5.6.1 Rauchgasentstaubung Mit dem Einsatz von Kohlenstaubfeuerungen werden auch Elektrofilter verwandt, Bild 6. Der Abscheidegrad e in % und die Niederschlagsflche F (Elektroflche je elektrischer Blockleistung) bestimmen Aufbau und Bauvolumen des Filters. Bei einem Rohgasstaubgehalt von 16,75 g/m3 werden Entstaubungsgrade von 99,8% erreicht (50 mg/m3 ). Fr Altanlagen wird oftmals im Genehmigungsverfahren fr die Entschwefelung ein verschrfter Grenzwert von 50 mg/m3 wie bei Neuanlagen gefordert. Durch die Entstickungstechnik wird neuerdings besonders die Eingangstemperatur beeinflußt, die bisher im Temperaturbereich von 130 bis 160 C liegt.
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Umweltschutztechnologien
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Bei den Additivverfahren erfolgt die Entschwefelung durch Kalk oder Kalkhydratzugabe in den Feuerraum oder mit der Kohle. Bei Wirbelschichtfeuerungen wird der geforderte Entschwefelungsgrad bzw. eine Restemission von unter 200 mg SO2 /m3 erreicht. Entschwefelungsgrad hSO2 ¼
ðSO2 Þ Einig: ðSO2 Þ Rest > 85%: ðSO2 Þ Einig:
Beispiel: Zahlenangaben s. Bild 10: 220 t/h Kohle mit 1,3% Schwefelgehalt
hSO2 Bild 6. Elektrofilter (Lurgi, Frankfurt a. M.). 1 Drosselwnde, 2 Gehuse, 3 Niederschlagselektroden, 4 Sprhelektroden, 5 Staubbunker, 6 Klopfvorrichtung fr Sprhelektroden
Auch bei Kesseln mit Wirbelschichtfeuerung ist das heißgehende Elektrofilter z. B. fnffeldrig ausgefhrt (s. Bild 5), um Emissionsgrade von 99,9% zu erreichen. So kann trotz hoher Staubbelastung der Feuerung im Normalbetrieb ein Emissionswert fr Staub von 20 mg/m3 erreicht werden. Dabei hat das Elektrofilter bereits Abmessungen, die in etwa 50% des Kesselvolumens einschließlich Wirbelbrennkammern entsprechen. Fr Neuanlagen betrgt der Investitionsaufwand fr die Entstaubung ca. 23 EUR/kW. Fr den groben Flugstaub von Rostfeuerungen gengen Fliehkraftentstauber. Fliehkraftentstauber. Fr kleine Anlagen werden Großzyklone mit 0,5 bis 1,5 m Durchmesser, fr grßere Anlagen Multizyklone vorgesehen, die aus einer großen Zahl kleinerer Zyklone mit 100 bis 500 mm Durchmesser aufgebaut sind. Elektrofilter (Bild 6). Sie ionisieren durch Sprhelektroden 4 (profilierte Drhte), die an einer negativen Gleichspannung von 20 bis 70 kV liegen, den Flugstaub und scheiden ihn an den Niederschlagselektroden 3 (geerdete Platten) ab. Diese bilden Gassen, in deren Mitte die Sprhelektroden in Rahmen aufgehngt sind. Beide Elektroden mssen mittels Klopfvorrichtungen gereinigt werden. Elektrofilter sind meist als Mehrzonenfilter gebaut; die elektrische Spannung wird fr jede Zone entsprechend dem unterschiedlichen Staubanfall so geregelt, daß die hchste Abscheideleistung erzielt wird. Da die Gasgeschwindigkeit nur 1 bis 2 m/s betragen darf, werden die Querschnitte und Volumen der Elektrofilter sehr groß (100 m3 /MW), doch knnen mit ihnen die wegen der Luftreinhaltevorschriften (s. L 5.1.4) erforderlichen Abscheidewirkungsgrade bis ber 99% erreicht werden. Der Druckverlust betrgt 0,5 bis 1 mbar, der Energiebedarf 0,08 bis 0,17 Wh/m3 im Normzustand. Fr kleine Feuerungsanlagen werden auch Schlauchfilter verwendet.
¼ 2,86 t S=h oder 2; 86 g ¼ ¼ 1; 240 mgS=m3 2; 3 m3 ¼ 2 480 mg SO2 =m3 2 480 400 ¼ ¼ 0; 839 2 480
bei 300 mg/m3 Restemission hSO2 ¼ 0; 879:
Die Trockenverfahren sind gekennzeichnet durch die deutlich unter dem Taupunkt des Wasserdampfes liegenden Rauchgastemperaturen und die Abwasserfreiheit. Eine Wiederaufheizung der Rauchgase kann daher nicht entfallen. Hierzu zhlt auch das Verfahren der Bergbauforschung mit Aktivkoks als Katalysator, das auch zur simultanen Abscheidung von Schwefel- und Stickoxiden zweistufig mit NH3 -Zugabe eingesetzt wird. Das am hufigsten eingesetzte Naßverfahren (Bild 7) zeigt vier Mglichkeiten. Das sog. Walther-Verfahren 2 hat sich nicht bewhrt. Die Verfahren mit Regeneration der Absorbermittel 3 und 4 sind im Einsatz, zu 86% das Verfahren 3. Das sog. Wellmann-Lord-Verfahren, mit Schwefel z. B. als Endprodukt (KW Buschhaus mit Salzkohle hohem Schwefelgehalt >2% S und im KW Klingenberg in Berlin) ist besonders aufwendig. Dies ist bei bestimmten Braunkohlen erforderlich. Die Anlagen im Rheinland setzen Naß-Verfahren ein. Kalkwasch-Verfahren 3 entsprechend Bild 8. Bei diesem Verfahren werden die Rauchgase in einem Absorber 1 mit einer wsserigen Suspension von Kalkstein besprht 2 und weitgehend von den Schadstoffen SO2 , HCL und HF befreit. Nach Passieren eines Tropfenabscheiders werden die Reingase im Regenerativvorwrmer 5 wieder aufgeheizt und zum Kamin gefhrt. Das bei der Reaktion im Absorber primr entstehende Calciumsulfit wird mit Oxidationsluft zu Gips aufoxidiert. Ein Teilstrom der Suspension wird aus dem Prozeß herausgeschleust 3 und nach Voreindickung 4 auf eine Restfeuchte von weniger als 10% entwssert (Summenreaktionen) Tab. 4. Alle fr die physikalischen und chemischen Vorgnge notwendigen Prozeßschritte wie Absorption, Oxidation, Neutralisation und Tropfenabscheidung laufen im Wscher ab. Die Waschsysteme sind unterschiedlich in der Rauchgasfhrung
Tabelle 4. Entschwefelung auf Kalkbasis (Summenreaktionen)
5.6.2 Rauchgasentschwefelung Der Einbau von Rauchgasentschwefelungsanlagen ist fr Kohle und schweres Heizl gefeuerte Dampfkessel erforderlich. Diese Anlage wird im Rauchgasstrom nach dem Elektrofilter angeordnet. Bestimmend fr die Verfahrenswahl ist der Schwefelgehalt im Brennstoff. Die Entschwefelungsverfahren lassen sich in Additiv-, Trocken- und Naßverfahren unterteilen.
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L Bild 7. Naßverfahren zur Rauchgasentschwefelung (Erluterung im Text)
Bild 8. Naßverfahren fr Rauchgasentschwefelung mit Gipserzeugung (Erluterungen im Text). Blockleistung: 750 MW, Restemission: 400 mg/m3 , Kohlemenge: 220 t/h, S-Gehalt der Kohle: 1,3 Gew.-% (Ruhr- und Saarkohle meist nur 0,9%)
ausgebildet, wobei diese bei der Verrieselung im Gegen- oder Gleichstrom oder sogar in Kombination erfolgt. Außerdem sind Unterschiede in der Art der Tropfenabscheidung, Grße und Anzahl der Waschebenen, Eindsungsart und in der Gestaltung des Sumpfes festzustellen. Fr einen 100-MW-Block ergeben sich Wscherbauhhen einschließlich Einhausung von 39 bzw. 45 m. Die Durchmesser betragen 9 bis 11 m. Bei der Gestaltung der Wscher muß auf die unterschiedlichen Rauchgasgeschwindigkeiten wegen der
Kontaktzeiten Rcksicht genommen werden. Die Wscher sind gummiert. Etwa alle 30 000 Betriebsstunden sollten sie einer Inspektion unterzogen werden. Die Rauchgaswscher sollen im Normalbetrieb bei einem L/ G-Verhltnis von 14/16 l/m3 (im Normzustand trocken) betrieben werden. Der maximale Chloridgehalt, bezogen auf die Materialgarantie, soll 30 000 ppm (Normalwert 15 000 ppm) nicht berschreiten. Der pH-Wert im Sumpf wird je nach Verfahren bei 4 bis 6 liegen. Die Suspensionsverweilzeit ist mit 6
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bis 9 min zu veranschlagen, whrend die Kontaktzeit des Rauchgases im Sekundenbereich liegt. Eine Hochchlorid-Fahrweise fr dieses Verfahren kann die Einsatzstoffe und Reststoffe einschließlich der Abwsser und Salze aus den Rauchgasentschwefelungsanlagen minimieren. Gleichfalls soll der zustzlich erforderliche elektrische und Dampf-Eigenbedarf klein gehalten werden. Zur Wiederaufheizung der Rauchgase werden regenerative Rauchgasvorwrmer installiert. Diese mssen, um Verschmutzungen und Ablagerungen zu vermeiden, mit Wasser und Druckluftreinigungseinrichtungen ausgerstet werden. Der Gesetzgeber hat der verminderten Verfgbarkeit des Kraftwerksblocks dadurch Rechnung getragen, indem er fr maximal 72 h hintereinander und 240 h im Jahr bei Strungen in der Rauchgasentschwefelungsanlage (REA) eine Umfahrungsmglichkeit zulßt. Ein Bypass soll in Strfllen z. B. Luvoausfall mit Anstieg der Eintrittstemperatur zu keinem REA-Schaden fhren und auch ein ordnungsgemßes Abfahren des Blocks gestatten. Zuknftig wird die Behandlung und Entsorgung des REAAbwassers eine bedeutende Rolle spielen. Neuerdings werden die REA-Abwsser (2000 m3 im KW Reuter Berlin) in einer biologischen Abwasseranlage mittels zehn Rieselstromreaktoren in 5 Straßen gereinigt und in die Spree eingeleitet. Bild 9. Rohgas- und Reingasschaltung. 1 Schmelzkammerkessel, 2 Luvo, 3 E-Filter, 4 zum Kamin, 5 Rohgas-SCR, 6 Reingas-SCR
5.6.3 Rauchgasentstickung Die Stickoxidbildung ist verstrkt abhngig von der Verbrennungstemperatur im Feuerraum. Daher kommen Brenner mit verzgertem Verbrennungsablauf durch versptete Luftzugabe und gestufte Zufhrung der Verbrennungsluft zum Einsatz. Diese sog. Primrmaßnahmen sind wirtschaftlicher als alle Sekundrmaßnahmen mit Katalysatoren. Durch Primrmaßnahmen lßt sich eine Reduzierung auf 650 mg=m3 NOX erreichen. Die bisher sehr hohen NOx -Werte bei Schmelzfeuerungen knnen so um 20 bis 30% reduziert werden. Reduzierung an NOx knnen auch durch Rauchgasrezirkulation erzielt werden. Bei lfeuerungen kommt dies zur Anwendung. Fr die sekundre Entstickung nach dem SCR-Verfahren (Selective Catalytic Reduction) kommen zwei Schaltungen in Betracht (Bild 9), die Rohgasschaltung (high-dust) und die Reingasschaltung. Da die katalytische Reduktion, d. h. die Aufspaltung der Stickoxide in Stickstoff und Wasserdampf unter Zugabe von NH3 bei Anwesenheit eines Katalysators (Keramik oder Metall) nur mit hohem Wirkungsgrad im Temperaturfenster von 270 bis 400 C erfolgt, wird die Rohgasschaltung verstrkt eingesetzt. Die Katalysatoren sind vor Luvo und Elektrofilter angeordnet. Der DeNOx -Reaktor ist daher staubbeladen und wird verkrzte Standzeiten (ca. fnf Jahre) aufweisen. Bei der Reingasschaltung ist infolge der vorgeschalteten REA und E-Filter das Rauchgas rein (Reingas SCR). Er lßt Standzeiten von acht Jahren erwarten, jedoch muß das nach REA auf rund 50 C abgekhlte Rauchgas auf die Reaktionstemperatur von ca. 300 C gebracht werden. Auch wenn dies regenerativ geschieht, bleibt ein Temperaturverlust von 30 bis 50 C, der mit zustzlicher Brennstoffenergie dem Prozeß zugefhrt werden muß. Die zum Einsatz kommenden Katalysatoren sind als Platten mit Metalltrger und als Waben mit Keramikkrpern ausgefhrt. Die Platten haben Fertigungsvorteile, geringeren Bruchverlust und kleinere Verstopfungen. Katalysatoren knnen auch als Schichtelemente im Luvo angeordnet werden. Entscheidend fr die Grße der in mehreren Lagen (3 bis 4) angeordneten Katalysatoren ist der Ausgangswert an NOx nach Feuerung, um den jeweiligen Grenzwert (Kohle 200 mg/m3 , l 150 mg/m3 und Gas 100 mg/m3 , s. Tab. 2) einhalten zu
knnen. Der Katalysatorpreis liegt derzeit bei 10 000 EUR/ m3 (ca. 1,6 m3 /MW). Ein Wechsel der Lagen ist alle Jahre bei der Revision des Kessels vorgesehen. Das Bauvolumen ist erheblich und oftmals als Rucksack beim bergang zum zweitem Zug angeordnet (s. L 6.2). Die Baukosten sind hierfr mit ca. 60 EUR/m3 /h Rauchgasvolumen zu veranschlagen. 5.6.4 Entsorgung der Kraftwerksnebenprodukte Die Reststoffe aus der Rauchgasreinigung sind zu entsorgen, um die Folgebelastungen von Boden und Wasser in umweltrelevanten Grenzen zu halten (Bundesemissionsschutzgesetz § 5.3 und Abfallbeseitigungsgesetz § 3.2). Das bedeutet mglichst eine Verwendung bzw. Deponierung der Kraftwerksnebenprodukte. Bei der Entstaubung entsteht wie bisher nur jetzt im verstrkten Umfang in den Abscheidesystemen (elektrische und filternde Abscheider) Flugasche. Bei diesem durchschnittlichen Aschegehalt der Steinkohle von 9 Gew.-% fallen bei Kohlenstaubfeuerungen mit trockenem Ascheabzug (s. L 5.2.2) Mengen zwischen 8 und 10 g/kWhel an. Fr die Verwertung ist entscheidend der Gehalt am unverbrannten Kohlenstoff (auch Glhverlust). Aschen knnen als Zuschlge fr den Zement, Beton und Betonerzeugnisse, Mrtel, Estriche, Ziegel und Gasbeton und als Straßenbaustoffe verwendet werden. Andere Aschen wie aus der Wirbelschichtfeuerung (20 bis 25 g/ kWhel ) oder bei Behandlung der Rauchgase nach dem Trocken-Additiv-Verfahren (5 bis 15 g/kWhel ) bzw. einer Spezialabsorption (3 bis 10 g/kWhel ), sind infolge der integrierten Entschwefelung mit Komponenten des Kalkeintrags in Form von CaSO4 , CaO und CaCO3 belastet. Nur unter weiterer Behandlung durch Mischung mit anderen Aschen, Oxidation und Aufbereitung werden in der Zukunft auch dafr Verwertungen in der Baustoffindustrie (z. B. Kiesersatz) erwartet. Der bei den Entschwefelungsverfahren anfallende REA-Gips (ca. 16 g/kWhel ) hat zu erhhten Qualittsanforderungen der Baustoffindustrie gefhrt. Es knnen inzwischen keine Unterschiede zum Naturprodukt nachgewiesen werden, auch wenn
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der Gips unterschiedlich in der Farbe ist (braun oder grau statt weiß, abhngig vom Kalkstein). Der Anteil der Inertstoffe ist wesentlich geringer und die Kornform (30 bis 60 mm) einheitlicher. Aus Kraftwerksanlagen ist mit ca. 7 Mio. t Gips pro Jahr zu rechnen. Die Bauwirtschaft verbrauchte 1995 ca. 9,3 Mio. t Gips (berechnet als CaSO4 2 H2 O), davon 3,2 Mio. t aus REA-Gips. Die Nachteile des REA-Gipses sind seine Restfeuchte bis zu 10% und daß er nur als Dihydrat anfllt. Zur Herstellung seiner Bindeeigenschaften muß er wie der Naturgips auch thermisch behandelt werden. Durch den Kalk werden Eisen-, Aluminium- sowie Magnesiumverbindungen eingeschleppt. Aus der Kohle stammen Chlor und Fluor. Chlor kann durch Waschen entfernt werden. Fluor bleibt als schwerlsbares CaF2 im Gips. Schwermetalle gelangen sowohl durch den Reingasstaub als auch durch den Kalkstein und das Prozeßwasser in den REA-Gips. Eine Hochchlorid-Fahrweise der REAs vermindert die Abwassermenge, die oftmals auch nicht mehr in die Kanalisation eingeleitet werden darf. Dies fhrt zu
REA-Abwasser-Eindampfungen. Die Restsalze, vorwiegend Calciumchlorid mit einem Wassergehalt von 30 bis 50%, sollen weiter aufbereitet werden oder mssen mit Zementzusatz deponiert werden (2 g/kWhel Eindampfrckstand). Bei dem Wellmann-Lord-Verfahren (s. L 5.6.2) mit dem Endprodukt Elementarschwefel oder Schwefelsure ist besonders wegen des besonders hohen Reinheitsgrads dem Elementarschwefel mindestens gleichwertig. Bei der sekundren Entstickung nach dem SCR-Verfahren werden bei der High-dust-Schaltung durch den auftretenden Ammoniakschlupf die Reststoffe wie z. B. Flugasche und der Gips beeinflußt. Werden NH3 -Konzentrationen von 50 bis 100 ppm berschritten, kann es zu Geruchsbelstigungen und Verwertungseinschrnkungen kommen. Außerdem ist ebenfalls ein Einfluß auf das REA-Abwasser gegeben [9]. Bisher schließen die Katalysatorlieferanten die Rcknahme mit ein. Selbst ber das Recycling in Japan ist wenig bekannt. Beigaben von zermahlenem Gut zu Bau- und Fllstoffen wird dort praktiziert.
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form ist das beheizte Rohr, deshalb auch Einrohrkessel genannt, in das Wasser eingespeist wird und aus dem (berhitzter) Dampf austritt.
Der Begriff „Dampfkessel“ umfaßt nach der Dampfkesselverordnung auch Heißwassererzeuger. Da hier nur dampferzeugende Anlagen behandelt werden, sind die einzelnen Anlagen mit „Dampferzeuger“, die Bauarten mit „Kessel“ bezeichnet worden [1–3].
6.1 Angaben zum System 6.1.1 Bauarten Bei der ursprnglichen Bauart der Dampfkessel waren die Rauchgase von Wasser umgeben (Flammrohr-Rauchrohrkessel Bild 3). Ihr Wasserinhalt ist zwangslufig im Verhltnis zur Dampferzeugung groß, d. h. gleich oder grßer als die stndlich erzeugte Dampfmenge (Großwasserraumkessel). Der große Wasserinhalt erhht die Speicherwirkung bei Druckschwankungen, aber auch die Abkhlungsverluste bei Stillstand und die Anfahrzeit. Da sie fr hhere Drcke ungeeignet waren, wurden die Wasserrohrkessel entwickelt, bei denen die Rauchgase die wassergefllten Siederohre umgeben. Sie haben Wasserinhalte, die kleiner als die stndliche Dampferzeugung sind. Zunchst wurden sie als Schrgrohrkessel mit geraden Rohren (zur besseren Reinigung) gebaut, spter als Steilrohrkessel mit zwischen zwei Trommeln eingebauten Rohrbndeln, auch hier zunchst mit geraden Rohren (Garbekessel), spter mit gebogenen Rohrbndeln. Da hier noch ungekhlte Feuerrume vorgebaut wurden, erfolgte die Wrmebertragung im Rohrbndel vor allem durch Rauchgasberhrung. Je mehr jedoch der Feuerraum durch Siederohre gekhlt wurde, desto mehr wurde Wrme durch Strahlung bertragen (Strahlungskessel). Die Siederohre der Wasserrohrkessel werden von einem Wasser-Dampf-Gemisch gekhlt, das im Naturumlauf durchstrmt (s. L 6.2.2). Zum Vermeiden dadurch gegebener Einschrnkungen der Konstruktion wurden die Zwangumlaufkessel entwickelt, bei denen das Wasser mit einer Umwlzpumpe durch die Rohre gedrckt wird. Bei beiden Bauarten muß das Wasser-Dampf-Gemisch in einer Trommel getrennt werden. Diese mit steigendem Druck und hherer Leistung immer teurer werdende Trommel entfllt beim Zwangdurchlaufkessel. Wegen des verringerten Wasserinhalts ist dieser Dampferzeuger schneller reaktionsfhig und im Aufbau einfacher. Grund-
6.1.2 Dampferzeugersysteme Die drei klassischen Verdampfersysteme sind in Bild 1 dargestellt. Bei Großkesseln bieten sich die zwangdurchstrmten Verdampfersysteme (Benson und Sulzer) an, da diese Dampferzeuger mit hchsten Drcken und den entsprechenden Heißdampftemperaturen (HD) betrieben werden knnen, wobei in der Regel aus Materialgrnden (ferritische Werkstoffe) die HD-Temperaturen auf etwa 540 C begrenzt werden. Werden die Betriebsdrcke weiter gesteigert, so muß aus thermodynamischen Grnden der Turbinenabdampf (Hochdruckteil) zwischenberhitzt werden (s. L 3.1.1). Diese Art von Systemen erfordert neben einem hohen investiven Aufwand (z. B. hochwertige Werkstoffe) auch einen erheblichen Energiemehraufwand im unteren Lastbereich, Bild 2. Beim Sulzerkessel erfolgt die Khlung der Verdampferrohre im gesamten Lastbereich (Kurve 2 in Bild 2) mittels Umwlzpumpen, dagegen ist beim Benson- bzw. Zwangdurchlaufdampferzeuger erst ab etwa 35% Last abwrts der Umwlzbetrieb notwendig (Kurve 3 in Bild 2). Vorteilhaft beim Zwangdurchlaufdampferzeuger ist die von der Last unabhngige hohe Konstanz der Heißdampftemperatur (wandernder Verdampfungsendpunkt), was fr den Wirkungsgrad des Gesamtprozesses von Interesse ist. Beim Sulzerkessel ist das nur durch besondere und damit kostspielige berhitzerkonzeptionen (Strahlungsberhitzer) mglich.
Bild 1 a–c. Dampferzeugersysteme. a Naturumlauf; b Sulzer; c Benson. 1 Speisewasservorwrmer, 2 Verdampfer, 3 Entspanner, 4 berhitzer, 5 Fallrohr, 6 Steigrohr, 7 Speisewasserpumpe
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Bild 2. Massenfluß im Verdampfer, abhngig von der Kessellast. 1 Naturumlauf, 2 Zwangsdurchlauf mit berlagertem Umlauf, 3 Benson-System
Angaben zum System
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Der Nenndruck richtet sich bei Industrieanlagen nach der bentigten Prozeßtemperatur. Bei Kraftwerkskesseln werden die Druckstufen 40, 64, 80 und 125 bar je nach dem gewnschten Strom/Wrme-Verhltnis und der Anlagengrße ausgefhrt. Fr Kraftwerke wurden auch schon Trommelkessel mit 148 und 168 bar Nenndruck realisiert. Heute werden vorrangig Zwangdurchlaufdampferzeuger fr Kraftwerke gebaut. Bei ihnen wird als hchster zulssiger Betriebsdruck der Austrittsdruck plus 10% angegeben. Hufig ausgefhrt werden 210 bar Betriebsdruck mit 190 bar Austrittsdruck. Wegen des großen Gesamtdruckgeflles (50 bis 55 bar) dieser Bauarten wird fr die Berechnung der Einzelteile der Betriebsdruck des betreffenden Teils plus 10% des Austrittsdrucks zugrunde gelegt. Fr niedrigere Drcke werden diese Bauarten wegen des dann unwirtschaftlich hohen Druckverlustes kaum gebaut, dagegen sind sie die einzig mgliche Bauart bei berkritischem Druck. Hier wurden bereits 250, 300 und 350 bar Austrittsdruck ausgefhrt (s. L 3.1.1).
6.1.4 Temperaturen Das Naturumlaufsystem lßt sich im Gegensatz zu den bereits genannten Verdampfern ohne Mehraufwand mit der Minimallast des Dampferzeugers leicht betreiben (Kurve 1 in Bild 2). Die Khlung der Verdampferrohre selbst erfolgt durch die umlaufenden Wassermengen, die sich in Abhngigkeit von der Beheizung selbstndig einstellen. Aufgrund dieser Tatsache kann sich der Naturumlaufverdampfer mit seinen geringen Totzeiten schnellen Lastnderungen gut anpassen. Daher findet dieses Verdampfersystem sehr oft in Heizkraftwerken bzw. in Industriebetrieben Anwendung. Nachteilig neben der steilen berhitzercharakteristik, ist auch die Begrenzung des HD-Drucks am berhitzeraustritt auf etwa 150 bar bei senkrechter Rohrfhrung im Verdampfer (Strahlungsverdampfer). Konvektionsverdampfer mit leicht steigender Rohrfhrung sind grundstzlich auch im Naturumlauf zu betreiben, wobei hier der mgliche Betriebsdruck niedriger liegt als bei senkrechten Rohren. Die Hhe der Verdampfereintrittsgeschwindigkeit und der umlaufenden Wassermenge hngt neben dem Druck u. a. auch von der konstruktiven Ausfhrung ab. Bei Verwendung kompaktbauender Rippenrohrheizflchen sind die Verdampferrohre aus konstruktiven Grnden waagerecht angeordnet, wodurch die notwendigen Massenstrme auf der Rohrseite nur durch Zwangumwlzung mit Umlaufzahlen von 4 bis 6 erreicht werden (Vollast). Der Verdampferdruck bei Dampferzeugern mit festgehaltenem Verdampfungsendpunkt bei Zwangumwlzung ist durch den sich verschlechternden Wirkungsgrad des Abscheiders bei 105 bar begrenzt.
Sie sind durch den Dampfkreislauf bei Kraftwerken mit dem Druck gekoppelt. Bei den Nenndrcken 40, 64 und 125 bar werden die Frischdampftemperaturen 450, 500 und 540 C ausgefhrt. Hhere Dampftemperaturen erfordern austenitische Sthle (bis 570 C nur fr Endberhitzer, bis 650 C auch fr Rohrleitungen und erste Stufen des Hochdruck- bzw. Mitteldruckteils der Turbine), aus Kosten- und Betriebsgrnden selten ausgefhrt. Neuerdings sind durch noch zu erprobende Nickel-Basis-Legierungen Frischdampfdrcke von 375 bar und 700 C sowie bei zweifacher Zwischenberhitzung auf je 720 C in der Diskussion (L 3.1.1). Eine zu hohe Endnsse in den letzten Turbinenstufen lßt sich vermeiden, wenn bei Drcken ber 125 bar Zwischenberhitzung auf Frischdampftemperatur bei Drcken von 30 bis 50 bar vorgesehen wird, bei berkritischem Hochdruck auch doppelte Zwischenberhitzung [4] (s. L 3.1.1).
6.1.5 Leistung Im Kesselbau bedeutet „Dampfleistung“ den erzeugten Massenstrom. Man unterscheidet hchste Dauerleistung oder Nennleistung des Kessels, fr die er ausgelegt wird, kurzzeitig erzielbare Spitzenleistung (meist 10% ber der maximalen Dauerleistung) und Regel- oder Normalleistung, die 80% der hchsten Dauerleistung betrgt und die Leistung mit dem gnstigsten Wirkungsgrad ist. Die grßte ausgefhrte Nennleistung betrgt in den USA z. Z. 1 000 kg/s, in der Bundesrepublik Deutschland 775 kg/s (L 6.2.2 Bild 4). Bestimmte Leistungsstufen haben sich bei Industrie-Dampferzeugern nicht herausgebildet.
6.1.3 Drcke Sie werden als berdrcke gegen Außendruck nach DIN 1314 angegeben. Zu unterscheiden sind Nenndruck, hchster zulssiger Betriebsdruck, Trommeldruck, Speisewasser-Eintrittsdruck und Frischdampf-Austrittsdruck. Bei Trommelkesseln ist der Nenndruck auch der bei Nennleistung auftretende Trommeldruck. Der hchste zulssige Betriebsdruck wird um etwa 5% hher festgelegt, um ein Ansprechen der Sicherheitsventile bei Druckschwankungen zu vermeiden (s. L 6.1.5). Der Speisewasser-Eintrittsdruck ist um die Druckverluste der Speisewasser-Regelventile und des Speisewasser-Vorwrmers hher, der Frischdampf-Austrittsdruck um den Druckverlust des berhitzers (etwa 10% des hchsten zulssigen Betriebsdrucks), jeweils fr Nennleistung gerechnet, niedriger als der Nenndruck.
6.1.6 Sicherheit Der Betrieb fr zulssigen Betriebsdruck ber 0,5 bar (Hochdruckkessel) bedarf nach der Dampfkessel-Verordnung der Genehmigung. Sie wird vom zustndigen Gewerbeaufsichtsamt aufgrund eines Gutachtens des zustndigen Technischen berwachungsvereins (TV) erteilt. Seine Aufgaben sind die Prfung der Konstruktion, die Beurteilung der Sicherheit der Bauart und der Bemessung nach den Technischen Regeln fr Dampfkessel (TRD) und den AD-Merkblttern (s. Z Bezugsquellen), die berwachung der Herstellung (besonders der Schweißverfahren), die Erteilung von Bescheinigungen fr die Einzelteile und die Abnahme auf der Baustelle (Druckprobe).
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6.2 Ausgefhrte Dampferzeuger 6.2.1 Großwasserraumkessel Flammrohrkessel. Sie wurden mit ein bis drei Flammrohren gebaut, um mit vergrßerter Heizflche die Rauchgaswrme besser zu nutzen. Das Nachschalten zustzlicher Rauchrohrteile ergab die Flammrohr-Rauchrohrkessel. Sie sind die heute am hufigsten ausgefhrte Bauart fr kleinere Leistungen und Drcke in der Industrie und als Heizwerk. Diese Kessel werden meist mit drei horizontalen Zgen (ein Flammrohr und zwei Rauchrohrzge) fr Sattdampf, leicht und hoch berhitzten Dampf bis 25 bar und 450 C bei Leistungen bis 3,5 kg/s mit einem Flammrohr, bis 7 kg/s mit zwei Flammrohren gebaut. Die Heizflche betrgt bis 500 m2 , die Heizflchenbelastung etwa 40 kg/(m2 h). Dabei wird fast nur l und Gas im berdruckbetrieb verfeuert. Der geringe Raumbedarf, der niedrigere Preis (ca. 45 DM/kg/h Dampf), die weitgehende Fertigstellung in der Werkstatt, die Montage auch von Zubehr (Speisepumpe, lvorwrmer und -pumpe, Feuerungsautomatik) auf einem Grundrahmen sowie die kurze Zeit fr die Aufstellung im Betrieb sind die Vorteile dieser Bauart, Bild 3. 6.2.2 Naturumlaufkessel fr fossile Brennstoffe
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Wasserumlauf. In den beheizten Siede- oder Steigrohren entstehen Dampfblasen, wodurch die Dichte des Gemischs in diesen Rohren geringer ist als in den weniger oder nicht beheizten Fallrohren. Dadurch bildet sich am unteren Ende der Fallrohre ein berdruck, der das Gemisch in den Steigrohren nach oben zur Trommel drckt, whrend aus den Fallrohren Wasser nachfließt. Durch diesen aus der Natur der Verdampfung entstehenden Wasserumlauf werden die Rohre gekhlt. Die Strmungsgeschwindigkeit stellt sich so ein, daß der berdruck den Reibungsdruckverlust in den Steigrohren deckt. Der Umlaufstrom muß bei Nennlast mindestens das Fnf- bis Siebenfache des gebildeten Dampfstroms sein (Umlaufzahl), damit bei Mindestlast keine Dampfblasen hngen bleiben, was zu berhitzung und zum Aufreißen der Siederohre fhren wrde. Richtlinien. Fallrohrquerschnitt und Querschnitt der berstrmrohre zur Trommel mindestens 1/3 bis 1/4 des Querschnitts der zugehrigen Steigrohre. Hhe der Gemischsulen mit verschiedener Dichte mglichst groß (Beheizung der
Steigrohre nur im oberen Teil vermeiden). ußerer Durchmesser der Steigrohre 44;5 mm. Steigrohre mit stetiger Steigung, sonst Dampfsack und Strmungsunterbrechung; Steigung nicht zu flach (5 bis 7 bei von unten, 10 bei von oben beheizten Rohren). Trommeldruck nicht zu hoch, da mit steigendem Druck Differenz der Dichten von Wasser und Dampf geringer wird (um ausreichende Geschwindigkeit zu erzeugen, hchstens 180 bar). Kein Anschluß sehr verschieden beheizter Steigrohrsysteme an dasselbe Fallrohrsystem (der strker beheizte Teil zieht so viel Wasser ab, daß im schwcher beheizten Teil zu geringe oder sogar nach unten gerichtete Wassergeschwindigkeiten entstehen, sog. Umkehrrohre, in denen Dampfblasen nach oben und Wasser nach unten strmt – bei großen Rohrbndeln nicht immer vermeidbar –, dadurch besteht Gefahr, daß Dampfblasen hngen bleiben und Rohre berhitzt werden). Bauarten Steilrohrkessel. Bei den frheren Bauarten mit ungekhltem Feuerraum bildeten steil oder senkrecht stehende Rohrbndel zwischen Ober- und Untertrommel die Verdampferflche. Da heute der Feuerraum dicht mit Siederohren ausgekleidet wird, nimmt er einen großen Teil der Verdampfungswrme auf. Bei Drcken unter 64 bar reicht dies nicht aus, deshalb sind Siederohrbndel nachzuschalten. Eckrohrkessel. Fr Leistungen bis 65 kg/s wird das Gerst eingespart, indem der gesamte Verdampfer in ein Rohrgestell eingehngt wird, dessen senkrechte Rohre – besonders die die Trommel tragenden – als Fallrohre wirken, whrend die unteren horizontalen Rohre als Verteiler und die oberen durch berstrmrohre mit der Trommel verbundenen Rohre als Sammler dienen. Die in diesen Sammlern eintretende Vorabscheidung des mitgefhrten berschußwassers wird dazu genutzt, durch zustzliche senkrechte Rcklaufrohre einen internen Umlauf innerhalb des Rohrgersts zu erzeugen. Strahlungskessel. Aufbau. Die den Feuerraum und den anschließenden Strahlraum auskleidenden Verdampferheizflchen nehmen die Wrme grßtenteils durch Strahlung auf. Mitunter bilden die Tragrohre und die den 2. Zug auskleidenden Wandrohre zustzliche Verdampferheizflchen. Bei Drcken ber 100 bar kann die fr die Feuerung erforderliche Wandheizflche fr die Verdampfung – insbesondere wenn volle berhitzung bis zu tiefen Teillasten gefordert wird – zu
Bild 3. Dreizug-Flammrohr-Rauchrohrkessel (Dt. Babcock AG, Oberhausen). 1 Kesselkrper, 2 gewelltes Flammrohr, 3 hintere Wendekammer, 4 (1) und 5 (2) Rauchrohrzug, 6 vordere Wendekammer, 7 Speisewassereintritt, 8 Speiserohr, 9 Dampflenkblech, 10 Dampfaustritt, 11 Sicherheitsventil, 12 Niveauwchter, 13 Speisewasserregler, 14 Wasserstandsanzeiger, 15 Speisepumpen, 16 Grundrahmen, 17 Entlftung, 18 Ablaß, 19 Brennergeschrnk, 20 Brennermuffel, 21 Geblse, 22 lpumpe, 23 lvorwrmer, 24 Schaltschrank, 25 Rauchgasaustritt
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Bild 4 a. Einzug-Benson-Dampferzeuger mit Rohbraunkohlen-Feuerung (EVT Energie- und Verfahrenstechnik GmbH, Stuttgart). Dampfleistung: _ HD =520 kg/s, pzul: HD ¼ 196 bar, pHD ¼ 176 bar, tHD ¼ 530 C, m_ MD ¼ 480 kg/s, pMD, a ¼ 30; 6 bar, tMD, e ¼ 299 C, tMD, a ¼ 530 C, tsp ¼ 235 C; m tabg ¼ 140 C; 1 Speiseleitung, 2 Eco, 3 Verbindungsleitung zum Verdampfer, 4 Verdampfer, 5 ußere Tragrohre, 6 Heizflchen-Tragrohre, 7 Abscheider, 8 Niveauflasche, 914 Hochdruckberhitzer 1 bis 4, 1013 Verbindungsleitungen der Hochdruckberhitzer, 113 Hochdruckkhler, 122 Wrmebertrager Hochdruck-Mitteldruck-Dampf, 13 Hochdruckdampfleitung, 1413 Zwischenberhitzer 1 bis 3, 15 Mitteldruck-Einspritzkhler, 16 kalte Zwischenberhitzerleitung, 17 heiße Zwischenberhitzerleitung, 18 Rauchgaskanal zum Luvo, 19 Regenerativluvo, 20 Frischlfter, 21 Naßkohlenmhlen, 22 Rohkohlenzuteiler, 23 Staubleitungen, 24 Heißluftleitungen mit Durchflußmessung, 25 Rauchgas-Rcksaugekanle, 26 Brenner, 27 Feuerraumentascher. Gleiche Bauart bei den neuen 800-MW-Blcken im Braunkohlekraftwerk der VEAG, Boxberg, jedoch mit berkritischen Wasser_ HD =672 kg/s=2410 t/h; FD 285 bar, 550 C; KZ 69 bar, 350 C; HZ 66 Dampf-Prozeß. Kesselhaushhe 166 m statt 125 m. Dampfleistung: m bar, 568 C; Rauchgasvolumen 1,8 106 m3 /h. Niederanßem Block K Kesselhaushhe 172 m (s. L 3.1.1) eingehngt in 4 Stahlpfeiler mit 66 kt; b _ HD =774,4 kg/s (2788 t/h); Zwischendampf: 69 bar (BerechHhe: 167,5 m; Frischdampf: 279 bar (Berechnungsdruck), 542 C, Dampfleistung: m nungsdruck), 568 C, 687,6 kg/s (2475 t/h); Speisewasser; 273 C; Brennstoff: Steinkohle
groß sein, weshalb sie teilweise mit Strahlungsberhitzern ausgekleidet wird. Die Trommel wird entweder ber viele in der Wrmedmmung des Feuerraums oder in der schwach beheizten Rckwand des 2. Zugs verlegte Fallrohre oder ber zwei oder mehrere große Hauptfallrohre mit den unteren Verteilern der Strahlungsheizflche verbunden. Das Dampf/Wasser-Gemisch aus den oberen Sammlern der Strahlungsheizflchen wird durch berstrmrohre der Trommel zugefhrt. Zuganordnung. Gebaut werden Zweizug-, Eineinhalbzugund Einzug-(Turm-)Dampferzeuger. Zweizug-Dampferzeuger haben den Rauchgasaustritt unten. Sie bauen niedriger als die anderen Bauarten und haben geringere Gerstkosten, da die nachgeschalteten Heizflchen, Filter und Geblse getrennt aufgestellt werden (oft außerhalb des Kesselhauses). EinzugDampferzeuger erfordern weniger Platz und werden hufig aus Verschleißgrnden (Braunkohle) erforderlich. Bei nicht zu großer Leistung knnen die Luftvorwrmer (Luvo), das
Geblse und der dann niedrige Schornstein auf das Kesselgerst aufgesetzt werden. Sonst werden die Rauchgase durch einen Leerkanal nach unten gefhrt (Bild 4) und die nachgeschalteten Teile wie beim Zweizug-Dampferzeuger getrennt aufgestellt. Bei kleinerer Leistung und l- oder Gasfeuerung wird mitunter das Unterteil des Schornsteins als Kesselgerst verwendet und die Heizflchen und die Feuerung in den Schornstein eingebaut. 6.2.3 Zwanglaufkessel fr fossile Brennstoffe Zwangumlaufkessel Die Beschrnkungen, die der Naturumlauf fr die Fhrung und die lichte Weite der Steigrohre bedeutet, entfallen, wenn zwischen die Fall- und Steigrohre eine oder mehrere Umwlzpumpen geschaltet werden, die das Wasser durch die Steigrohre drcken. Ihr Frderstrom muß das Fnf- bis Achtfache
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des Dampfstroms betragen, da mit die Geschwindigkeit in den Rohren die Mitnahme der Dampfblasen nach unten sicherstellt. Damit lassen sich die Steigrohre auf- und abwrts fhren (Manderbandwicklung) und ußere Durchmesser bis 32 mm verwenden (kleinere Wanddicke, Materialersparnis). Fr die Trennung des Dampf/Wasser-Gemischs ist eine Trommel notwendig (nur fr unterkritische Drcke brauchbar). Da der Umlauf nicht vom Druck abhngt, ist eine Annherung des Drucks an den kritischen Druck eher mglich als mit Naturumlauf. Damit das Wasser gleichmßig auf alle parallel geschalteten Steigrohre verteilt wird, ist in den Eintritt jedes Steigrohrs eine Drosseldse eingebaut (LaMont-Dse, deshalb auch La-Mont-Kessel genannt). Ohne sie ist Instabilitt (s. Zwangdurchlaufkessel) mglich. Von Umwlzpumpen ausgehende Komplikationen sind in Kauf zu nehmen. Eine Reservepumpe wird gefordert, die bei Ausfall einer Pumpe schnell und automatisch eingeschaltet wird. Der elektrische Antrieb der Pumpen verlangt bei einem Druckabfall in den Dsen und Steigrohren von maximal 3 bar etwa 0,4% der Turbinenleistung. Die Manderband-Bauweise findet man bei Abhitzekesseln, Khlflchen hinter Konvertern, Ofentren und hnlichem. Zwangumlaufkessel werden in deutschen Kraftwerken nicht mehr verwendet. In Frankreich und Großbritannien werden sie hnlich den Naturumlauf-Strahlungs-Dampferzeugern mit einigen Hauptfallrohren gebaut, in die die Umwlzpumpen eingesetzt sind. Die Dsen werden in Verbindungsrohren zu kleinen Verdampferrohrgruppen eingebaut. Zwangdurchlaufkessel Stabilitt der Strmung. Sie ist das Hauptproblem bei Zwangdurchlaufkesseln [5]. Die beiden Bauarten – Bensonund Sulzerkessel – unterscheiden sich in der Art, wie die Stabilitt der Strmung bei allen Lasten sichergestellt wird. Eine Strmung durch mehrere parallel zwischen Sammler und Verteiler geschaltete Rohre ist stabil, wenn die gleichmßige Verteilung des Durchsatzes auf alle Rohre in allen Betriebszustnden eingehalten wird. Der Druckverlust in jedem Rohr ist immer gleich der Druckdifferenz zwischen Sammler und Verteiler. Bei gleichen Widerstandszahlen haben die einzelnen Rohre bei homogenem Medium auch gleichen Durchfluß. Bei Verdampfung (im Zwanglauf durchstrmte Verdampferrohre oder Rohre von Speisewasservorwrmern) knnen aber auch bei gleichen Widerstandszahlen unterschiedliche Durchstze in den einzelnen Rohren entstehen und dadurch Rohre mit kleinerem Durchsatz berhitzt und beschdigt werden. Der gleiche Druckverlust kann nmlich bei großem Durchsatz ohne oder mit geringer Verdampfung und bei kleinem Durchsatz mit starker Dampfbildung und der dabei eintretenden Volumenvergrßerung entstehen. Dadurch ist es mglich, daß sich in den einzelnen Rohren zwei (oder drei) stark unterschiedliche Durchstze, d. h. eine instabile Strmung einstellen, die durch ungleiche Widerstandszahlen und unterschiedliche Beheizung noch verstrkt werden. Ein gengend großer Druckverlust (wie beim Zwangumlaufkessel) oder eine geeignete Rohrfhrung (s. Bensonkessel) verhindert Instabilitt. Bei einer stabilen Rohrcharakteristik wchst im gesamten Durchflußbereich mit steigendem Durchsatz auch der Druckverlust, bei einer instabilen Charakteristik nimmt in einem Teil des Durchsatzbereichs mit wachsendem Durchsatz der Druckverlust ab. Gleitdruckbetrieb. Bei Blockschaltung von Dampferzeuger und Turbine wird meist der Austrittsdruck des Dampferzeugers konstant gehalten Festdruck (Androsselung durch Dsengruppen der Turbine). Wenn man aber die Stellventile der Turbine geffnet hlt, stellt sich ein Druck am Austritt des Dampferzeugers entsprechend der Schluckfhigkeit der Turbine je nach Last ein (Gleitdruck). Da der Druck bei Teillast stark abnimmt, ergibt sich ein Gewinn an Speisepumpenar-
beit, der aber infolge erhhten Wrmeverbrauchs des Kreisprozesses bei niedrigerem Druck teilweise wieder verbraucht wird. Wegen des schonenden Betriebs und Minderung der Drosselverluste hat sich der Gleitdruckbetrieb aber weitgehend eingefhrt (s. R 6). Bensonkessel Damit in einem mglichst großen Lastbereich stabile Strmung herrscht, wird bei dieser Bauart ein großer Teil (30 bis 40 bar) des Gesamtdruckverlusts (50 bis 60 bar) in den Verdampfer gelegt. Dadurch ist bis hinunter zu 30 bis 45% Teillast eine stabile Strmung sichergestellt, wenn die Verdampferrohre steigend verlegt sind (steigende Mander- bzw. Schraubenwicklung bei verschweißten Wnden). Das gesamte zugefhrte Wasser – 95% Speisewasser und 5% Einspritzwasser in den berhitzerkhlern – wird als berhitzter Dampf abgegeben. Beim Anfahren und bei tieferen Teillasten wird mit zustzlich umgewlztem Wasser der stabile Mindestdurchfluß im Verdampfer erhalten. Verdampfungspunkt. Der Verdampfungspunkt, an dem das Wasser vllig verdampft und die berhitzung beginnt, soll bei Vollast nicht an einer thermisch hochbelasteten Stelle liegen. Deshalb wird die Strahlungsheizflche im Feuerraum meist als Verdampfungsflche geschaltet. Da sie bei Teillast einen grßeren Anteil der gesamten Erzeugungswrme aufnimmt, verschiebt sich dabei der Verdampfungspunkt gegen den Eintritt in die Verdampfungsheizflche, und die berhitzerheizflche wird grßer. Anfahren. Hierbei wird der Wasserstrom in Hhe der kritischen Teillast von einer Umwlzpumpe durch den Vorwrmer und den Verdampfer ber eine Abscheideflasche umgewlzt. Bei Dampfbildung wird der Dampf im Abscheider vom Wasser getrennt und zum berhitzer abgefhrt; das Wasser wird zur Umwlzpumpe zurckgeleitet. Dadurch wird mit steigender Dampfbildung der Umwlzstrom immer kleiner und der von der Speisepumpe gefrderte Speisewasserstrom, der den Dampf ersetzt, grßer. Das Speisewasser-Regelventil wird dabei wie bei einem Trommelkessel vom Wasserstand in der Abscheideflasche gesteuert, whrend das Umwlz-Regelventil (zwischen Umwlzpumpe und Speisewasserleitung) den Gesamtdurchfluß durch den Verdampfer konstant hlt. Die auch fr hchste Betriebsdrcke geeignete Umwlzpumpe ist eine einstufige Kreiselpumpe mit im Wasser laufendem Elektromotor. Umwlzbetrieb. In dieser Betriebsart kann auch Schwachlast von 15 bis 35% lange Zeit gefahrlos gefahren werden. Dabei wird der Verdampfungspunkt durch die Abscheideflasche festgehalten (ebenso wie beim Sulzerkessel im gesamten Betrieb). Die Dampftemperatur ist wie bei Trommelkesseln zu regeln. Abfahren. Zur Abfuhr der Speicherwrme muß beim Abfahren Speisewasser eingespeist oder auf Umwlzbetrieb bergegangen werden. Damit der heiße Endberhitzer nicht abgeschreckt wird, ist vor ihm eine Abfahrleitung vorzusehen. Der Endberhitzer muß dabei so im Dampferzeuger eingebaut sein, daß er nicht durch Speicherwrme gefhrdet wird. Regelung. Die Dampfaustrittstemperatur wird durch das Verhltnis Brennstoff/Wasser eingehalten. Infolge der Durchlaufzeit (mehrere Minuten) und der verzgernden Wirkung der Speicherwrme von Eisen und Mauerwerk wrde eine nderung des Speisewasserstroms bei nderung der Feuerung (z. B. bei Lastnderung) zu trge wirken, und die Dampftemperatur wrde zu stark vom Sollwert abweichen. Deshalb werden zur Regelung etwa 5% des Speisewassers in Einspritzkhlern zwischen berhitzerteilen eingespritzt. Dabei wird jeder berhitzerteil als Regelkreis fr sich betrachtet, fr den die Temperatur hinter dem Khler die Regelgrße mit
I6.3 eventuell lastabhngigem Sollwert und die Temperatur am Austritt des berhitzerteils eine Korrekturgrße ist (s. L 6.3.2). Eine schnelle und genaue Temperaturregelung mit mglichst geringem Einspritzwasser ist besonders notwendig [6–10]. In die Speisewasserregelung wird neben der Regelgrße (meist Druck am berhitzerausgang) das Verhltnis Speisewasser/Einspritzwasser als Korrektur zugeschaltet, damit immer gengend Wasser im Verdampfer ist. Wegen der Abhngigkeit der Dampftemperatur von der Wrmezufuhr muß derselbe Impuls die Brennstoffmenge regeln. Zwischenberhitzer. Beim Anfahren wird er mit dem Dampf gekhlt, der aus dem Hochdruckberhitzer durch eine Umgehungsleitung um die Hochdruckturbine und ein kombiniertes Reduzier- und Einspritz-Khlventil zugefhrt wird. Im Betrieb wird die Dampftemperatur mittels Wrmebertragung vom Hochdruck- an den Mitteldruckdampf geregelt. Eine Khlung durch Einspritzung wird nur zu Beginn einer nderung oder bei schnellen Vorgngen (Lastabwurf) als Notmaßnahme vorgenommen, da eine Vergrßerung des MitteldruckDampfstroms wegen der grßeren Kondensationswrme vermieden werden sollte. Ausfhrungsbeispiele Einzug-Benson-Dampferzeuger mit Rohbraunkohlen-Feuerung, Bild 4. Diese Bauart wurde gewhlt, weil jede Umlenkung des Rauchgasstroms wegen des Sandgehalts der verfeuerten Rohbraunkohle zur Erosion der Heizflchen fhrt. Deshalb wurde auch die Rauchgasgeschwindigkeit so niedrig wie konstruktiv ausfhrbar gewhlt. Der Dampferzeuger versorgt eine 600-MW-Turbine und war mit 125 m Hhe einer der hchsten in Deutschland. Aus statischen Grnden wurden deshalb Luvo, Elektrofilter und Geblse in ein vom Kesselgerst getrenntes, relativ niedriges Gerst gesetzt. Die Rauchgase werden vom Austritt aus den Heizflchen durch einen großen Leerkanal 18 nach unten gefhrt. Das Speisewasser fließt durch den Vorwrmer 2, durch die Leitung 3 zum Eintritt im Aschetrichter in die dicht geschweißten, schraubenfrmig gewickelten Feuerraumwnde 4, durch die sich anschließenden senkrechten Rohre der Umfassungswnde des Berhrungszugs zur Decke, durch die ußeren Tragrohre 5 (fr den Abscheider 7 und das Niveaugefß 8) und die Heizflchen-Tragrohre 6 zum Abscheider 7, von hier durch den vierteiligen Hochdruck-berhitzer 91 bis 94 , von dem 93 und 94 Schottberhitzer mit weiter Teilung sind, zur Hochdruckdampfleitung 13. Zur Regelung des dreiteiligen Zwischenberhitzers 1413 dienen der Wrmebertrager 122 und die Noteinspritzung 15. Alle Hochdruck- und Mitteldruckberhitzer sind vierstrngig ausgefhrt und zum Ausgleich ungleichfrmiger Beheizung mehrfach gekreuzt (z. B. Hochdruckkhler 111 , 113 und Zwischenberhitzer-Khler n ; der Wrmebertrager 122 wirkt als Mischstelle). Die Feuerung besteht aus acht Mhlen mit je 38 kg/s Rohkohlendurchsatz (sieben Mhlen gengen fr Vollast), je zwei auf einer Kesselseite. Jeder Brenner von 15 m Hhe ist in drei Gruppen aufgeteilt, von denen jede zwei Staubdsen, Ober-, Zwischen und Kernluft enthlt. Eineinhalbzug-Benson-Dampferzeuger mit Kohlenstaub-Heizlfeuerung, Bild 5. Diese Kesselbauart entstand aufgrund strmungstechnischer Untersuchungen. Der Zweizugkessel mußte in der Bauhhe gesenkt werden. Die Kesselumfassungswnde bestehen, soweit es die Hhe der Rauchgastemperatur erforderlich macht, aus glatten verschweißten Rohrwnden. Aus Umweltschutzberlegungen (niedrige NOx -Bildung) wurde eine Feuerung mit trockenem Ascheabzug gewhlt. Der Feuerraum wird aus gleichem Grund durch eine Mittelwand geteilt. Als besondere Primrmaßnahme zur NOx -Emissionsminderung wird hier das Prinzip der Zweistufenverbrennung angewendet. Bei den Brennern handelt es sich um Wirbelstufenbrenner mit getrennten Kernluft-, Primrluft- und geteilten Sekundrluftstrmen. Zustzlich wird ber besondere Feuerraumffnungen in den Vorder- und Rckwnden ober- und unterhalb des Brennergrtels Verbrennungsluft eingegeben. Mit diesen Primrmaßnahmen werden die NOx -Emissionen auf Werte unter 650 mg/m3 gesenkt. Großaggregate werden einstrngig ausgefhrt. Dazu gehren u. a. Frischluft- und Mhlenluftgeblse, Luftvorwrmer, Umwlzpumpe. Die Rußblser werden mit Druckluft betrieben.
Teile und Bauelemente von Dampferzeugern
L 55
6.2.4 Dampferzeuger fr Kernreaktoren [10] Druckwasserreaktoren. Hier sind der U- und der GeradrohrDampferzeuger zu unterscheiden (s. L 7 Bild 1, 3, 4). U-Rohr-Naturumlauf-Dampferzeuger, Bild 6. Das unter 158 bar stehende 15 660 t/h Primrwasser strmt durch etwa 4 000 U-frmige Heizrohre aus Incoloy 600 (22 mm ußerer Durchmesser; 1,2 mm Wanddicke) und khlt sich dabei von 326 auf 290 C ab. Auf der Sekundrseite wird 6 934 t/h Sattdampf von 68 bar im Naturumlauf erzeugt. Die Heizrohre 7 werden durch Haltegitter 8 aus Flacheisen wrmebeweglich gehalten. Das Sekundrspeisewasser wird bei 10 in zwei Vorwrmkammern 11 eingespeist und bis nahe an die Sttigungstemperatur vorgewrmt; dabei wird das Primrwasser mglichst weit abgekhlt. Das auf der Sekundrseite entstehende Dampf/Wasser-Gemisch mit einem Dampfgehalt von etwa 33% wird in 50 Arbeitszyklonen 12 getrennt. Das Umlaufwasser strmt durch den Spalt zwischen der Behlterinnenwand und der Umlaufschrze 9 nach unten und vermischt sich mit dem vorgewrmten Speisewasser. Die Fhrung von Umlauf- und Speisewasser sorgt fr eine gute Splung der Rohrplatte 4, so daß sich keine Korrosionsprodukte ansammeln knnen. Der abgeschiedenen Dampf wird im Dampftrockner 13 auf 0,25% Feuchtigkeit gebracht und strmt durch den Frischdampfstutzen 14 zur Turbine. Die Heizrohre sind in der 700 mm dicken, auf der Ober- und Unterseite mit Inconel plattierten Rohrplatte 4 eingewalzt und mit der unteren, primrseitigen Plattierung verschweißt. Dadurch wird eine Korrosion der Rohrplatte verhindert. Gasgekhlte Reaktoren. Fr diese haben sich vor allem die Schraubenrohr-Zwangdurchlauf-Dampferzeuger eingefhrt (z. B. beim THTR 300 eingesetzt, s. L 7.4.4). Schnelle Brter. Hier werden fr Verdampfer und berhitzer (s. L 7.4.5) Geradrohr- und Wendelrohr-Module verwendet. In beiden Fllen fließt Wasser bzw. Dampf von unten nach oben in den Rohren und das Natrium im Zwischenraum von oben nach unten (Gegenstrom).
6.3 Teile und Bauelemente von Dampferzeugern 6.3.1 Verdampfer Trommel Bei Natur- und Zwangsumlauf-Dampferzeugern wird das entstehende Dampf/Wasser-Gemisch in mglichst trockenen Sattdampf und in zum Verdampfer zurckfließendes Umlaufwasser mittels einer unbeheizten Trommel getrennt. Die dabei entstehende Oberflche des Wasserinhalts, der Wasserstand, trennt Dampf- und Wasserraum. Die Speisewasserzufuhr wird so geregelt, daß der Wasserstand konstant bleibt. Als Grundlage der Speisewasserregelung dient der Wasserstandsanzeiger. Bemessung. Wenn die Trennung von Wasser und Dampf nur durch Schwerkraft geschieht, muß gengend Zeit dafr zur Verfgung stehen, d. h., der Dampfraum muß eine Mindestgrße haben. DampfraumbelastungD. Sie dient zur Berechnung des Dampfraums und stellt den Sattdampf-Volumenstrom, der je Einheit des Dampfraums durchgesetzt wird, bzw. die reziproke Aufenthaltszeit dar. Es gilt p 0;7 L 0;61 D ¼ 259 : m3 =ðm3 sÞ bar mS=cm
L
L
Bild 5. Kraftwerksquerschnitt zu L 3 Bild 12. 1 Kessel (1000 t/h Dampfleistung), 2 Turbosatz (300 MW), 3 Transformator, 4 380-kV-Leitung, 5 Speisewasserpumpe, 6 Speisewasser (293 C), 7 Dampfaustritt 267 kg/s, 196 bar/540 C, zu 48,5 bar/540 C, 8 Entspanner, 9 Fernheizung, 10 Entascher, 11 Rauchgaskanle, 12 Druckluft-Rußblser, 13 Luftvorwrmer, 14 Verbrennungsluft (900 000 m3 =h), 15 Mhlenluft, 16 Geblse, 17 Kohlebunker, 18 Kohlemhle, 19 Kohlestaubleitungen, 20 Brennkammer fr Wiederaufheizung, 21 Waschwasserpumpen, 22 Mischluftkanal, 23 Heißgaskanal, 24 Katalysator (Entstickung 160 kg/h Ammoniak, 4200 m3 =h Mischluft 8 t/h), 25 Elektrofilter (Entstaubung), 26 Rauchgaswscher (Entschwefelung 6t/h Gips, 14 m3 =h Abwasser)
L 56 Energietechnik und Wirtschaft – 6 Dampferzeuger
I6.3
Teile und Bauelemente von Dampferzeugern
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D 11.5) und den Rest durch Berhrung auf. Da wegen der Verschmutzungsgefahr bei festen Brennstoffen am Ende des Strahlungsraums (1 000 bis 1 200 C) keine Rohrbndel eingebaut werden knnen, ordnet man zur weiteren Abkhlung der Rauchgase auf 800 bis 900 C aus eng liegenden berhitzerrohren gebildete Wnde in Abstnden von 400 bis 1 000 mm ber die ganze Kesselbreite verteilt an. Diese Schottberhitzer nehmen etwa 90% der Wrme durch Gasstrahlung auf. Erst bei Gastemperaturen zwischen 900 und 500 C sind Rohrbndel verwendbar. Diese Berhrungsberhitzer bauen kompakter und nehmen 50 bis 80% der Wrme durch Konvektion und den Rest durch Gasstrahlung auf. Da die Rohre von Strahlungsberhitzern einseitig beheizt werden, entstehen infolge der Temperaturdifferenz zwischen der Vorder- und Rckseite des Rohrs Lngsspannungen, die zu Rundrissen fhren knnen. Die Rohre der Schottberhitzer werden beidseitig, die des Berhrungsberhitzers fast gleichmßig ber den Umfang beheizt, so daß hier solche Spannungen nicht auftreten. Heizflchen werden heute meist liegend ausgefhrt, damit sie entwssert werden knnen.
Betriebsverhalten
Bild 6. U-Rohr-Naturumlauf-Dampferzeuger fr Druckwasserreaktoren (Kraftwerk Union AG (KWU), Mlheim/Ruhr), z. B. KKW Brokdorf. m_ D ¼ 530 kg/s, pD ¼ 68 bar, tD ¼ 285 C (Sattdampf), m_ W ¼ 4 700 kg/s, pw ¼ 158 bar, tW, e ¼ 326 C, tW, a ¼ 290 C; 1 Behlter, 2 Primrwassereintritt, 3 Primrwasseraustritt, 4 Rohrplatte, 5 Trennblech, 6 Tragpratzen, 7 Heizrohrbndel, 8 Rohrhaltegitter, 9 Umlaufschrze, 10 Speisewasserstutzen, 11 Vorwrmkammern, 12 Zyklonabscheider, 13 Dampftrockner, 14 Frischdampfaustritt
Daraus berechnet sich der Dampfraum VD ¼ m_ D =ðr00 DÞ (p Trommeldruck, L Leitfhigkeit des Kesselwassers, m_ D Dampfstrom, r00 Dichte des Sattdampfs). Wasseroberflche. Sie muß so groß sein, daß die Austrittsgeschwindigkeit der Dampfblasen nicht grßer ist als die Fallgeschwindigkeit der mitgerissenen Wassertropfen. Um eine große Wasseroberflche zu erhalten, werden die Trommeln meist waagerecht eingebaut. Einbauten. Sie ersetzen die Schwerkraft als Trennkraft meist durch die viel wirksamere Fliehkraft oder durch Aufprallen der Wassertropfen auf Ableitbleche, so daß die Dampfraumbelastung hher sein knnte. Da die Einbauten aber einen Teil des Raums versperren und die Strmungsgeschwindigkeiten klein bleiben sollen, geben die Gleichungen fr D und VD einen guten Anhalt fr die Bemessung. 6.3.2 berhitzer und Zwischenberhitzer Bauarten Einteilung. Je grßer der Anteil der berhitzungswrme an der gesamten Wrmeleistung des Kessels ist (hherer Druck, hhere Dampftemperatur, Zwischenberhitzung), in desto hheren Rauchgastemperaturen liegen die Heizflchen. Bei Drcken ber etwa 120 bar ist die Verdampfungswrme so gering, daß die Wrmeaufnahme der Feuerraum- und Strahlraumwnde grßer als diese ist. Deshalb ist ein Teil der Wnde mit berhitzerrohren auszukleiden. Diese Strahlungsberhitzer nehmen etwa 95% der Wrme durch Strahlung (s.
Charakteristik. Bei Trommelkesseln wird der erzeugte Dampfstrom durch die Wrmeaufnahme in den Verdampferheizflchen bestimmt, die im Feuerraum und Strahlraum liegen. Da alle Strahlungsflchen bei Teillast einen grßeren Wrmeanteil aufnehmen und deshalb die Austrittstemperatur sinkt, nehmen die Berhrungsheizflchen wegen geringerer Temperaturdifferenz und kleinerer Geschwindigkeit (kleinerer Wrmedurchgangskoeffizient) weniger Wrme auf. Deshalb nimmt die Aufwrmung hier ab, whrend sie im Strahlungsberhitzer zunimmt und im Schottberhitzer etwa gleich groß bleibt (fallende Charakteristik des Berhrungsberhitzers, steigende Charakteristik des Strahlungsberhitzers). Bei Bensonkesseln kann die Hochdrucktemperatur durch das Wasser/Brennstoff-Verhltnis gehalten werden. Eine Verschiebung des Verdampfungspunkts ist die Folge. Fr Zwischenberhitzer gilt dasselbe wie fr berhitzer von Trommelkesseln. Die Kombination eines Strahlungs- (bzw. Schott-) berhitzers mit einem Berhrungsberhitzer ermglicht es, die Dampftemperatur ber einen Lastbereich fast konstant zu halten, fr den restlichen Abfall und fr bergangszustnde muß die Temperatur geregelt werden [9]. Temperaturregelung Eine konstante Dampftemperatur ber einen großen Lastbereich kann durch eine der beiden folgenden Maßnahmen erreicht werden: Die anteilige Wrmeaufnahme des berhitzers wird konstant gehalten. Dazu dient die Rauchgasrckfhrung (Bild 5). Mit einem Rckfhrgeblse wird abgekhltes Rauchgas (meist vom Kesselaustritt) abgesaugt und in den Feuerraum eingeblasen, wodurch hier die Wrmeaufnahme wegen der niedrigeren Temperatur sinkt. Im Berhrungsberhitzer wird aber mehr Wrme aufgenommen, da die Geschwindigkeit und damit der Wrmedurchgangskoeffizient sowie der Gasstrom und damit seine Wrmekapazitt zunehmen. Der berhitzer wird so groß ausgelegt, daß er bei der geforderten Teillast (bei Trommelkesseln 50 bis 80%) die volle berhitzung erreicht. Dann ist er fr hhere Lasten berdimensioniert und nimmt zuviel Wrme auf, die durch Khlung an den Verdampfer abgefhrt werden muß. Das kann geschehen mittels Oberflchenkhler, das sind Rohrbndel in der Trommel oder einer dazu parallel geschalteten Flasche, die zwischen zwei Teile des berhitzers geschaltet ist und durch die mittels Mischschiebers ein der jeweiligen Last entsprechender Teil des teilweise berhitzten Dampfes geleitet wird, durch speisewasserdurchflossene Rohrbndel in einem Zwi-
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Energietechnik und Wirtschaft – 6 Dampferzeuger
schensammler oder durch Einspritzkhler, die schneller reagieren. Bei großen Kesseln wrde wegen der langen Durchlaufzeit des Dampfes durch den berhitzer eine zu große Totzeit entstehen, wenn nur eine Einspritzung (z. B. vor dem Endberhitzer) vorgesehen wre. Deshalb sind mehrere Khler zwischen den berhitzerteilen mit jeweils getrennter Regelung gesetzt. Zwischenberhitzer Bei Drcken ber 150 bar ist ein Zwischenberhitzer ntig, um eine zu hohe Endnsse in der ND-Turbine zu vermeiden. Er erhht aber auch den Wirkungsgrad, da das nutzbare Geflle in der Turbine vergrßert wird. Bei knapp unterkritischen Drcken liegt die Zwischenberhitzung bei 30–60 bar und entsprechend die Frischdampftemperatur. Bei berkritischen Drcken und auch zweifacher Zwischenberhitzung (bei 100– 180 bar und die zweite wieder bei 30–40 bar) wird jeweils die Frischdampftemperatur angestrebt. Die wird nur selten ausgefhrt (GKM – Mannheim) (s. L 3.1). Die Heizflchenrohre mssen wegen des grßeren Dampfvolumens grßere Durchmesser (44,5 bis 76,1 mm Außendurchmesser) haben als die Hochdruckberhitzer. Ein Druckverlust bis etwa 2 bar ist einzuhalten, da sonst der thermische Vorteil verlorengeht. Bauarten. Aus den vorstehend genannten Grnden kommen meist nur Schott- und Berhrungsberhitzer zur Anwendung.
L
Temperaturregelung. Fr die Regelung wird Wrme in außen liegenden Wrmebertragern vom Hochdruck- in den Mitteldruckteil verschoben. Die Einspritzregelung ist nur eine Notoder vorbergehende Maßnahme bei schnellen Lastnderungen, da die anderen Regelungen zu trge sind. Die Vergrßerung des Mitteldruck-Dampfstroms verschlechtert nmlich wegen der grßeren Kondensationswrme den Wirkungsgrad. 6.3.3 Speisewasservorwrmer (Eco) Speisewasservorwrmer khlen die mit hoher Temperatur aus dem Verdampfer eines Kessels austretenden Rauchgase auf wirtschaftlich tragbare Abgastemperatur. Dies ist nur bei niedrigen Drcken und geringer Speisewasservorwrmung
durch Anzapfdampf mglich, soweit der Taupunkt nicht unterschritten wird. Bei hohen Drcken und Anzapfvorwrmung bis 300 C muß noch ein Luftvorwrmer nachgeschaltet werden (s. L 6.3.4). Nach den sicherheitstechnischen Richtlinien fr Abgas-Wasservorwrmer wird in diesen Heizflchen, die vom Kessel wasserseitig absperrbar sein mssen, betriebsmßig kein Dampf erzeugt. Diese Vorwrmer sind unterschiedlich konstruiert. 6.3.4 Luftvorwrmer (Luvo) Sie stellen die einzige Mglichkeit dar, bei hoher Speisewasservorwrmung durch Anzapfung ausreichend niedrige Abgastemperaturen zu erreichen. Luftvorwrmung hat aber auch feuerungstechnische Vorteile wie beschleunigte Zndung und besseren Ausbrand infolge hherer Feuerraumtemperatur. Bei lfeuerung ist eine zu hohe Vorwrmung zu vermeiden, da es sonst zur Verkokung am Brenner kommt. Bei Armgasfeuerung (Gichtgas) mit viel Ballast im Brennstoff ist neben dem Luft- auch ein Gasvorwrmer notwendig, da die Wrmekapazitt des Rauchgases viel grßer ist als die der Verbrennungsluft und sonst keine ausreichende Abkhlung des Rauchgases mglich ist. Luvos sind keine druckfhrenden Heizflchen, dementsprechend sind sie dnnwandig und billig. Wegen des niedrigen Wrmebergangskoeffizienten auf beiden Seiten werden aber große Heizflchen bentigt. Taupunkt. Bei Gefahr der Taupunktunterschreitung wird das kalte Ende durch Email, Glas oder Keramik gegen Korrosion geschtzt und mit einer Splvorrichtung zur Beseitigung klebriger Anstze ausgerstet (sonst Zusetzen). Taupunktunterschreitung lßt sich durch Vorwrmen der Luft (meist mit Dampfluvo) verhindern; dabei erhht sich aber die Abgastemperatur. Beispiel: Ljungstrm-Luvo, Bild 7. Der Rotor ist aus radialen und tangentialen Wnden und dem Mantel 3 aufgebaut, in die Ksten mit 0,5 m dicken, gewellten Heizblechen 2 eingesetzt sind. Bei Gefahr der Taupunktunterschreitung werden am kalten Ende emaillierte Bleche in die Ksten 10 eingesetzt. Bei vertikaler Achse und maximal 10 m Durchmesser wird der Rotor am Traglager 4 aufgehngt, bei
Bild 7. Ljungstrm-Luvo mit vertikaler Welle (Kraftanlagen AG, Heidelberg). 1 Nabe, 2 Heizbleche, 3 Rotormantel, 4 Traglager, 5 Sterntrger, 6 Sttzen, 7 Gehusemantel, 8 Hydraulikantrieb, 9 Bolzenkranz, 10 Heizblechksten am kalten Ende, 11 Mantelabdichtung, 12 Radialabdichtung, 13 Rauchgasstutzen
I6.4 mehr als 10 m Durchmesser auf einem darunter liegenden Brckentrger gelagert. Bei horizontaler Achse ruht der Rotor auf zwei Pendelsttzen. Einstellbare Abdichtungen 11 und 12 halten die Luftverluste so klein, daß unter 1% CO2 -Abfall im Rauchgas eintritt. Angetrieben wird der Luvo von einem Hydraulikantrieb 8. Gereinigt wird er mit Rußblsern und Splvorrichtung, wegen Brandgefahr ist eine Lscheinrichtung vorhanden. Die Rotordrehzahl betrgt 1,5 bis 3 min1 . Die grßten Abmessungen sind 20 m Durchmesser und 2,5 m Heizblechhhe bei 1 000 t Gewicht und einer Antriebsleistung von 45 kW. Ein beschichteter Luvo zur DeNOx -Minderung ist in der Entwicklung.
Dampfluvo Zum Vermeiden von Taupunktkorrosion wird Verbrennungsluft mittels Anzapfdampf auf bis zu 80 C vorgewrmt. Der Dampf strmt durch runde oder elliptische Rohre mit aufgeschobenen und mittels z. B. Verzinkens gut leitend verbundenen, dnnen Blechrippen mit Teilungen von 2 bis 4 mm. Die Rohre werden durch Sammler fr die Dampfzufuhr und Kondensatabfuhr zu Registern von meist zwei Reihen hintereinander zusammengefaßt und in den Luftkanal eingebaut. Die Regelung wird mit dem Abschalten von Registerteilen vorgenommen. Bei staubhaltiger Luft besteht Verschmutzungsgefahr. 6.3.5 Speisewasseraufbereitung Entsprechend den Eigenschaften des Wassers (Verunreinigungen, Hrte, Salzgehalt, pH-Wert, Alkalitt) und deren Wirkungen sowie den Anforderungen an die Speise- und Kesselwasserbeschaffenheit (Tab. 1) mssen Wasseraufbereitungsmaßnahmen durchgefhrt werden. Diese sind: Klrung. Beseitigung der Schweb- und Sinkstoffe. Filterung. Entfernung grobdisperser Stoffe von Oberflchenund Grundwssern. Enteisung und Entmanganung. berfhren von Eisencarbonat oder Eisensulfat in wasserunlsliche Eisen-(III) Hydroxidform durch Belften. Entcarbonisierung und Enthrtung. Durch Ausfllung mit direkter Zugabe von Chemikalien.
Tabelle 1. Grenzwerte fr das Speisewasser [11, 12]
Wrmetechnische Berechnung
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Ionenaustauschverfahren. Durch Stoffe, die die in ihnen gelagerten Ionen gegen andere im Wasser vorhandene austauschen knnen. Entgasung. Durch mechanische, thermische und chemische Entgasung Austreiben der im Wasser gelsten Gase (O2 und CO2 ). Verdampfung. Je nach Zusammensetzung des Rohwassers und den betrieblichen Verhltnissen kann eine Aufbereitung auch durch Verdampfen erfolgen (s. K 4.2). Literatur [11, 12] .
6.4 Wrmetechnische Berechnung 6.4.1 Energiebilanz und Wirkungsgrad Meist wird der Kesselwirkungsgrad, mitunter werden aber auch die Einzelverluste (besonders der Abgasverlust), die Abgastemperatur, der Oberflchen-Verlustwrmestrom und der Strahlungsverlust gewhrleistet. Zur Bestimmung des Kesselwirkungsgrads wird eine Energiebilanz aufgestellt und nach DIN 1942 [13] (Abnahmeversuche von Dampferzeugern) eine Systemgrenze um das DampfWasser-System und die Feuerung gelegt. Je nach Lieferumfang oder Zweckmßigkeit der Messungen werden verschiedene Systemgrenzen (z. B. unter Einschluß der Geblse, des Entstaubers usw.) gewhlt. Dann werden alle dem System zuund abgefhrten Energiestrme festgestellt. Fr die Wrmestrme wird eine Bezugstemperatur tb angegeben (meist tb ¼ 25 C, da der Heizwert darauf bezogen wird), von der der Kesselwirkungsgrad abhngt. Computergesttzte Bilanzierungen und die Simulation von Auslegungsparametern werden fr die Berechnung von Dampferzeugern angewendet. Direktes Verfahren Hierbei ist der Kesselwirkungsgrad das Verhltnis von allen genutzt abgefhrten zu allen zugefhrten Energiestrmen hK ¼ Q_ n =Q_ zu, ges :
ð1Þ
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Energietechnik und Wirtschaft – 6 Dampferzeuger
Nutzwrmeleistung. Sie ist X Q_ Z, i þ Q_ Ab : Q_ n ¼ Q_ D þ
ð2Þ
i
(i=1, 2 Zahl der Zwischenberhitzungen Z). Fr die Wrmestrme des Frischdampfs, der Zwischenberhitzung und der Abschlmmung (Indizes D, Z und Ab) gelten die Beziehungen X Q_ D ¼ m_ sp ðhD hsp Þ þ ð3 aÞ m_ E, D ðhD hE, D Þ;
Faktor 1 Q_ zu hK =Q_ n multipliziert, lSt, N mit hK . Aus Gl. (7) folgt X 1 lB X hK ¼ : ð8Þ lB Þ=Q_ n 1 þ lSt, N þ ðQ_ V Q_ zu Da Q_ v Q_ zu hK ¼
j
Q_ Z, i ¼ m_ Z, e ðhZ, a hZ, e Þ þ
X
m_ E, Z ðhZ, a hE, Z Þ;
ð3 bÞ
1
X X
lB meist sehr klein ist, gilt
lB
1 þ lSt, N
ð9Þ
:
Die Kesselwirkungsgrade hK ¼ 92 . . . 94% betragen.
sollten
im
Bestpunkt
j
6.4.2 Ermittlung der Heizflche Q_ Ab ¼ m_ Ab ðhAb hsp Þ
ð3 cÞ
m_ Massenstrom, h Enthalpie, j Zahl der Einspritzungen (Index E) im jeweiligen berhitzerteil, Indizes: sp Speisewasser, a Austritt, e Eintritt. Zugefhrte Wrmeleistung. Sie betrgt Q_ zu, ges ¼ Q_ zu, B þ Q_ zu :
L
ð4Þ
Q_ zu, B ist die Summe der dem zugefhrten Brennstoffstrom (Index B) proportionalen Energiestrme (chemische und fhlbare Brennstoffenergie, Energie der Verbrennungsluft (Index L) und des Zerstuberdampfs (Index ZD) bei flssigen Brennstoffen). Q_ zu, B ¼m_ B, zu ½Hu þ cB ðtB tb Þ þ mZD ðhZD r0 cpm, D tb Þ þ m_ B mL cpm, L ðtL tb Þ ¼ m_ B Hu, B, ges
ð5Þ
(m_ B, zu zugefhrter Brennstoffstrom, m_ B verbrannter Brennstoffstrom, m Masse pro Masseneinheit des Brennstoffs, cp spezifische Wrmekapazitt, r0 Verdampfungswrme des Wassers bei 25 C). r0 ¼ 2 442;5 kJ=kg; cpm, D ¼ 1;884 kJ=ðkgKÞ; cpm, L ¼ 1;011 kJ=ðkgKÞ: Die unabhngig vom Brennstoffstrom zugefhrten Energien Qzu sind Leistungen der Mhlen, Geblse, Pumpen und Motoren (Luvo, Flugstaubrckfhrung) und, soweit Entstauber innerhalb der Systemgrenze liegen, die bei Elektrofiltern zugefhrte elektrische Leistung. Indirektes Verfahren Da die gesamte zugefhrte Energie auch die Summe der Nutzwrmeleistung und der gesamten nicht nutzbaren Energiestrme (Verluste) QV, ges ist, gilt Q_ zu, ges ¼ Q_ n þ Q_ V, ges :
ð6Þ
Damit ist der Kesselwirkungsgrad hK ¼ Q_ n =Q_ zu, ges ¼ ðQ_ zu, ges Q_ V, ges Þ=Q_ zu, ges X ¼ 1 Q_ V, ges =Q_ zu, ges ¼ 1 l
ð7Þ
(l Einzelverluste). Wirkungsgrad. Die Verluste lA (Abgas), lCO (unvollstndige Verbrennung CO) und lS, F (Enthalpie und Unverbranntes in Schlacke – S – und Flugstaub – F –) sind auf Q_ zu, B bezogen, lSt, N ist auf Q_ n bezogen. Um sie in Gl. (7) einsetzen zu knnen, sind sie auf Q_ zu, ges zu beziehen. Die auf den Brennstoff X bezogenen Verluste lB ¼ lA þ lCO þ lS, F werden mit dem
Die Nutzwrmeleistung ist Q_ n ¼ Q_ vs þ Q_ þ Q_ Z, i :
ð10Þ
Dabei betragen die Vorwrmer- und Verdampferleistung Q_ vs und die berhitzerleistung Q_ (Zwischenberhitzerleistung Q_ Z, i s. Gl. (3 b)) Q_ vs ¼ m_ sp ðh00 hsp Þ þ m_ Ab ðhAb hsp Þ;
Q_ ¼ m_ sp ðhD h00 Þ þ
X
m_ E, D ðhD hE, D Þ:
ð11Þ
Aus den Gln. (1) und (4) folgt Q_ zu, B ¼ ðQ_ n =hK Þ Q_ zu ¼ m_ B Hu, B, ges :
ð12Þ
Mit hK aus Gl. (8) ergibt sich m_ B . Mit mL bzw. mA , den Luftund Rauchgasmassen je Masseneinheit des Brennstoffs bei dem gewnschten Luftberschuß folgen die Luft- und Rauchgasstrme. Aus den Forderungen der Feuerung ergeben sich der Feuerraum, seine Heizflchen und die Wrmeaufnahme. Aus der geforderten Rauchgastemperatur vor den Heizflchen folgen der Strahlraum und seine Wrmeaufnahme. Ist die gesamte Wrmeaufnahme kleiner als Q_ vs und sind alle Wnde mit Verdampferflchen ausgekleidet, so ist der Rest im Vorwrmer aufzunehmen. Ist sie (bei niedrigen Drcken) kleiner als Q_ v ¼ m_ sp ðh00 h0 Þ, so ist ein Vorverdampfer vorzusehen. Ist die Wrmeaufnahme grßer als Q_ vs , so sind Wandberhitzer anzubringen. Literatur [12–14]. 6.4.3 Strmungswiderstnde Wasser- und Dampfseite. Der Druckverlust infolge Reibung, Beschleunigung und Umlenkung ergibt sich aus X x m_ D 2 Dp ¼ ð13Þ S 2rm (S Summe der Querschnitte aller parallel durchstrmten Rohre, Reibungsbeiwerte x s. B 6.2). Fr die Beschleunigung infolge Einschnrung am Eintritt und fr die Erhhung der Geschwindigkeit infolge Volumenvergrßerung auf die Austrittsgeschwindigkeit (ist fr jeden Abschnitt zwischen Sammlern zu bercksichtigen) ist xb =1,2 und als Dichte ra einzusetzen. Die Massenstromdichte m_ D =S kann auch schaltungstechnisch oder von der Rohranordnung beeinflußt werden. Sie ist so groß zu halten, daß das resultierende ai zu einer zulssigen ußeren Wandtemperatur (s. D 11.4) fhrt, die aus ln ðda =di Þ 1 þ tw, a ¼ tD þ qa da ð14Þ 2lw ai di folgt. Luft- und Rauchgasseite. Hier ist eine Berechnung der Widerstnde fr die Bestimmung der Geblseleistungen erfor-
I7.2 derlich. Kanalwiderstnde werden nach Gl. (13) mit m_ und r fr das jeweilige Gas berechnet, wobei x von Re und dem Strmungszustand (s. B 6.2.1) abhngt. Bei Rohrbndeln ist außerdem noch die Lngs- und Querteilung zu bercksichtigen [20]. Fr Rippenrohr-Heizflchen und Regenerativvorwrmer gelten die Angaben der Hersteller. Da sich bei mehreren Kesselzgen wegen der mit der Abkhlung zunehmenden Dichte des Rauchgases der Einfluß der Hhe nicht ausgleicht, ist der Druckverlust Dp fr jeden Zug um
7 Kernreaktoren Thermische Reaktoren [1–4] werden als Wrmequelle in Kernkraftwerken genutzt (s. L 3.1.2). Dabei wird die durch Kernspaltung von Atomkernen freigesetzte Energie in Wrme umgesetzt, die dann in elektrische Energie umgewandelt wird (s. L 2.5). Sie reprsentieren in Deutschland ein volkswirtschaftliches Vermgen von mehr als 30 Mrd. Euro. Ein bedeutendes Argument fr den weiteren Betrieb und Bau neuer Anlagen sind die vermiedenen CO2 -Emissionen. Durch die Nutzung der Kernenergie werden 2,7 Mrd. t CO2 /a weltweit (Bundesrepublik 170 Mio. t CO2 /a, d. h. 22%) vermieden. Die weltweite Stromerzeugung in 444 Kernkraftwerken in 31 Lndern (370 GW netto) betrug 2005 rd 2700 TWh/a netto (16% der weltweiten Stromerzeugung). In den letzten 15 Jahren hat sich die Erzeugung fast verdoppelt.
Sicherheitstechnik von Kernreaktoren
Dph ¼ r0 T0 gHð1=Tu, m 1=TG, m Þ
L 61 ð15Þ
zu korrigieren, d. h. bei Aufwrtsstrmung abzuziehen und bei Abwrtsstrmung zuzurechnen.
6.4.4 Festigkeitsberechnung Berechnung der Zylinderschalen und Bden s. K 2. Literatur [15].
(Flugzeugabsturz, ußere Explosion, Erdbeben) widersteht, ohne daß am Reaktor und den sicherheitstechnisch wichtigen Teilen Schden entstehen, durch die Aktivitt freigesetzt oder der sichere Zustand gefhrdet wrde. Das Reaktorgebude ist nur durch Schleusen zu betreten, so daß es immer von den anderen Gebuden getrennt ist. Die Belftung erfolgt so, daß immer Unterdruck gegen außen besteht. Die Abluft wird auf Aktivitt berwacht und ber Filter durch einen Kamin abgefhrt, so daß bei der maximal zulssigen Aktivittsabgabe ein berschreiten der zulssigen Strahlenbelastung am Boden ausgeschlossen ist. Im Strfall wird das Reaktorgebude luftdicht abgeschlossen. Als Folge der Terroranschlge vom 11.09.01 auf das World Trade Center in New York wurde der Schutz gegen Flugzeugabstrze diskutiert. Als Ergebnis kann festgestellt werden, daß Kernkraftwerke infolge ihrer derzeitigen Auslegung den besten Schutz aller zivilen Einrichtungen berhaupt aufweisen.
7.1 Bauteile des Reaktors und Reaktorgebude Reaktorkern. Er besteht aus Brennelementen, in denen die Kettenreaktion abluft, die vom Moderator umgeben sind und vom Khlmittel umflossen werden. Die Brennelemente sitzen im Kerngerst, das Schwingungen verhindert und den Khlmittelfluß leitet (s. L 2.5). Reflektor. Er besteht aus einer den Kern umgebenden Schicht aus Wasser oder Beryllium oder Graphit, um die am ußeren Reaktorkern ausdiffundierenden Neutronen zu reflektieren bzw. die Verluste zu verringern. Die Flußverteilung im Kern wird dadurch vergleichmßigt. Thermischer Schild. Er ist ein dickwandiger Stahl- oder Gußeisenmantel um den Reflektor. Er soll die bei der Spaltung entstehenden hochenergetischen g-Strahlen vom umschließenden Druckgefß stark vermindern, um dessen Versprdung zu vermeiden. Druckbehlter. Er enthlt die Anschlsse fr die Zu- und Abfuhr des Khlmittels (bei integrierter Bauweise mit Spannbeton-Druckbehlter fr Speisewasser und Dampf beim HTR oder AGR) sowie Mglichkeiten fr den Ein- und Ausbau der Brennelemente (bei LWR Deckel, bei D2 O-Reaktoren Druckschleusen fr die einzelnen Brennelemente) und Steuerelemente. Biologischer Schild. Als eine 1 bis 2 m dicke Betonschale umgibt er den Druckbehlter und schirmt vorrangig die gStrahlung soweit ab, daß die zulssigen Strahlungsintensitten außerhalb nicht berschritten werden. Reaktorgebude. Hier sind alle mit aktivem Material in Berhrung kommenden Teile der Anlage untergebracht. Es besteht aus einer Stahlhlle (Containment), die den bei pltzlicher Freisetzung des gesamten Khlmittels im Innern entstehenden Druck aushlt, und einer ußeren Betonhlle von 1,5 bis 2 m Dicke, die jeder denkbaren ußeren Einwirkung
7.2 Sicherheitstechnik von Kernreaktoren Die im Betrieb unvermeidlich abgegebene Aktivitt belastet die Bevlkerung mit weniger als 1% der natrlichen und zivilisatorischen Strahlenbelastung. Die einzige mgliche Gefhrdung stellt die große Aktivitt des Kerns dar, herrhrend von den Spaltprodukten (ein 1 300-MWel -Reaktorkern enthlt eine Aktivitt von etwa 1017 Bq). Alle Sicherheitsmaßnahmen bezwecken, daß auch bei den unwahrscheinlichsten denkbaren Unfllen keine Spaltprodukte in die Umgebung entweichen knnen. Die Sicherheitskonzepte der bisherigen deutschen Reaktoren beruhen auf einer Kombination inhrenter, passiver und aktiver Maßnahmen. Aktive Maßnahmen. Begutachtung des Sicherheitsberichts und kontinuierliche Prfung der Konstruktion, der Werkstoffe und der Fertigung durch die Beauftragten der Zulassungsbehrde (TV) und die Reaktorsicherheitskommission (RSK), woraus behrdliche Auflagen folgen. Fr alle Bauabschnitte und zur Inbetriebsetzung sind Teilerrichtungsgenehmigungen (TEG) ntig. Im Betrieb sind die Aufzeichnungen laufend zu kontrollieren, bei – meist mit Brennelementwechsel verbundenen – Revisionen sind am Druckbehlter Wiederholungsprfungen durchzufhren. Strungen sind der Genehmigungsbehrde zu melden, die dann Untersuchungen durchfhrt. Die Reaktorschutzausgangssignale steuern mit Vorrang. Reaktorschnellabschaltung, Kernnot- und Nachkhlung, Notspeiseversorgung und Gebudeabschluß. Passive Maßnahmen. Vorschriften bei der Standortwahl bezglich geologischer, hydrologischer und meteorologischer Bedingungen sowie der Bevlkerungsdichte in bestimmten Umkreisen mssen beachtet werden. Konstruktive Barrieren zwischen Spaltprodukten und Umgebung, also Brennelementhlle, Druckbehlter, biologischer Schild, Stahlhlle und Betonhlle des Reaktorgebudes, sowie Notkhlmaßnahmen bei Khlmittelverlust sind vorzusehen.
Grßter anzunehmender Unfall (GAU). Dieser muß vom Reaktorsystem noch beherrscht werden. Er bildet die Grund-
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Energietechnik und Wirtschaft – 7 Kernreaktoren
lage fr alle Sicherheitsmaßnahmen. Er unterstellt beim LWR den Bruch einer Hauptkhlmittelleitung sowie beim HTR den Ausfall des Hauptkhlgeblses. Deshalb sind Notkhlsysteme beim LWR und das Notkhlgeblse beim HTR mehrfach vorhanden (Redundanz). Eine Schnellabschaltung bringt den Reaktor bei Strungen – besonders beim GAU – in einen sicheren Zustand. Reaktorschutzschaltungen schalten die Notkhlanlage ein. Ferner wird mit einer Logikschaltung das Reaktorgebude abgesperrt bei hoher Aktivitt. Außerdem reagiert es bei Druckverlust in den Leitungen, Temperaturberschreitung und pltzlichem Leistungsanstieg. So rechnete IG-ChemieChef H. Rappe vor, daß pro Reaktor alle 100 Mio. Jahre ein GAU erwartet werden kann (math. Restrisiko 108 ). Bild 1 zeigt die sicherheitstechnischen Maßnahmen eines DWR (Bezeichnungen s. L 3.1.2, L 7.4, L 7.4.6 Tab. 1). Ergnzungen beim EPR (s. L 7.4.2): Doppelkontainment mit Ringabsaugung, integriertes Flutbecken, Schmelze, Aufbereitungsflche, Containment fr Wrmeabfuhrsystem [5]. Untersuchungen zum zeitlichen Verlauf der Strflle, die mit ihnen verbundenen Belastungen und das Eingreifen der zur Strfallbeherrschung vorgesehenen Sicherheitssysteme wurden im Rahmen der DRS-B (Deutsche Risiko-Studie Phase B) analysiert. Hierbei wurde die Bedeutung von anlageninternen Notfallmaßnahmen (Accident-Management-Maßnahmen) festgestellt, daß Kernkraftwerke in vielen Fllen auch dann noch ber Sicherheitsreserven verfgen, wenn Sicherheitssysteme nicht wie vorgesehen eingreifen und sicherheitstechnische Auslegungsgrenzen berschritten werden. Eine BMFT-Abschtzung der untersuchten Notfallmaßnahmen zur Druckentlastung des Primrkhlkreislaufs und der Wiederherstellung der Kernkhlung zeigt, daß das Ereignis einer beginnenden Kernschmelze unter hohem Druck mit einer Hufigkeit von 5 107 pro Jahr anzusetzen wre. Fr Kernschmelzen unter niedrigem Druck wird eine Hufigkeit von 3 106 pro Jahr angegeben. Damit erfllen die westeuropischen Anlagen die von EPRI geforderten Kernschmelzhufigkeit von 105 pro Jahr. Ein weiteres Ergebnis zeigt, daß sich ein Kernschmelzunfall selbst bei einem weitgehenden Versagen von Sicherheitseinrichtungen nur langsam entwickeln wrde. Damit besteht grundstzlich die Mglichkeit, durch interne Notfallmaßnahmen die Anlage in einen sicheren Zustand zu berfhren.
7.3 Funktionsbedingungen fr Kernreaktoren Langsame Leistungsnderungen. Sie werden durch den negativen Temperaturkoeffizienten der Reaktivitt ausgeglichen. Mit steigender Temperatur sinkt der thermische Neutronenfluß infolge Dichtenderungen und niedrigerer Spaltungswirkungsquerschnitte; damit nimmt auch die Leistung ab, und die Temperatur geht wieder zurck. Man nennt dies „inhrente Sicherheit“. Schnelle Leistungsnderungen. Hierfr sind Regelstbe oder -platten aus stark neutronenabsorbierendem Material vorhanden, die je nach Leistung mehr oder weniger tief in den Kern eintauchen. Weiterhin knnen die Regelstbe den im Laufe des Betriebs durch Spaltprodukte (vor allem Xe 135; Xenonvergiftung) verringerten Multiplikationsfaktor ausgleichen, wozu aber auch ein „abbrennbares Neutronengift“ verwendet werden kann. Weitere Mglichkeiten sind beim SWR die nderung der Umwlzmenge und dadurch ein vernderter Dampfblasengehalt und beim HTR die nderung des Khlgasstroms, damit die nderung der Gastemperatur und ber den besonders großen Temperaturkoeffizienten die nderung der Leistung. Schnellabschaltung. Sie erfolgt durch Auslsung der Regelstbe und Einfahren unter Eigengewicht oder mittels hydraulischen Antriebs in voller Lnge innerhalb weniger Sekunden. Die Regelbarkeit hngt ab von den 0,72% verzgerten Neutronen (s. L 2.5), da bei prompter Neutronenvermehrung bei einer Spaltung der Regelungszeitraum zu gering ist. Grundbegriffe der Reaktortheorie Fr die Berechnung eines Reaktorkerns, der Eigenschaften (Flußverteilung, hchste Brennstoff- und Staboberflchentemperatur) und Kennzahlen (spezifische Leistung, maximaler Abbrand, Oberflchenbelastung) werden der Multiplikationsfaktor k1 fr den unendlichen homogenen Reaktor, also ohne Neutronenaustrittsverluste, sowie die Verluste ohne und mit Reflektor ermittelt. Fr einen heterogenen Reaktor werden dieselben Kennzahlen fr die Elementarzelle und daraus die Abweichungen des gesamten Kerns vom homogenen Reaktor ermittelt, wobei bei gengend feiner Unterteilung die Rechnung fr letzteren nur mit geeigneten Koeffizienten durchgefhrt wird.
Bild 1. Sicherheitstechnische Einrichtungen fr Druckwasserreaktoren. 1 Reaktor, 2 Dampferzeuger, 3 Hauptkhlmittelpumpe, 4 biologischer Schild, 5 Brennelementbecken, 6 berstromffnung, 7 Dampferzeuger-Absttzung, 8 Materialschleuse, 9 Gebudesprheinrichtung, 10 Ringraumabsaugung, 11 Sicherheitshlle, 12 Sekundrabschirmung, 13 Borwasser-Flutbehlter (4 50%), 14 HD-Sicherheitseinspeisepumpe (4 50%), 15 ND-Sicherheitseinspeisepumpe und Nachwrmekhler (4 50%), 16 Druckspeicher, 17 Anfahrnetz-Einspeisung, 18 Notstrom-Dieselgenerator, 19 Batterie, 20 Deionatbecken, 21 Trmmerschutzzylinder, 22 Rckpumpeinrichtung, 23 Unterdruckhaltung
I7.4 Fr einen unendlichen homogenen Reaktorkern gilt fr die mittlere Neutronenproduktion u pro Spaltung und dem Verhltnis a von Einfang- zu Spaltungswirkungsquerschnitt der Vermehrungsfaktor h h ¼ u=ð1 þ aÞ:
Resonanzfluchtwahrscheinlichkeit. U238 hat Maxima des Absorptionswirkungsquerschnitts bei verschiedenen Energien zwischen 6,8 und 101 eV. p40%. Aktivittsgrad. Die Aktivitt (Ttigkeit) wird erfasst durch die Wrmeabgabe (Grundumsatz) bezogen auf die Krperoberflche oder die abgegebene Wrmeleistung der Person bei einer mittleren Krperoberflche von ca. 1; 8 m2 . Als Maß fr die Aktivitt wird der Aktivittsgrad in W/m2 (DIN 33 403) bzw. im angelschsischen Schrifttum die Einheit 1 met = 58 W/m2 (metabolic-rate) angewendet (ISO 7730), Tab. 2. Bekleidung. Die Wrmeabgabe des Menschen wird durch die Kleidung beeinflusst. Maßgebend hierfr ist deren Wrmeleitwiderstand (m2 K/W). Als bezogene Grße wird auch der Wrmeleitwiderstand in clo ausgedrckt (abgeleitet von clothing value: untere Grenze unbekleidet 0, obere Grenze Polarkleidung 5). Der Wrmeleitwiderstand der Gesamtkleidung kann durch Addition der Einzelwiderstandswerte der Kleidungsstcke bestimmt werden.
Bild 7 a, b. Art der verschiedenen Wrmeabgaben des Menschen
Gerusch. Beim zulssigen Schallpegel ist fr Wohnrume nach Tag und Nacht (Schlafen) zu unterscheiden (s. O 3). Der Mittelwert, auch fr allgemeine Kommunikationsrume, liegt bei 35 dB(A). Als unterer Grenzwert gilt ein mittlerer Pegel von 25 bis 30 dB(A), als oberer (tags) von 30 bis 40 dB(A). Kurzzeitige (1% der Zeit) Spitzen knnen bis zu 10 dB(A) hher liegen (Z Tab. 19 und VDI-Richtlinie 2081). Belichtung, Beleuchtung. Die Belichtung durch Tageslicht und die Beleuchtung durch Kunstlicht ben ebenfalls einen differenzierten Einfluss aus. Die empfohlenen Nenn-Beleuchtungsstrken liegen fr leichte bis schwierige Sehaufgaben im Bereich von 120 bis 1000 lx (Z Tab. 18 und DIN 5035, Teil 1, 2).
Bild 8. Wrmeabgabe des Menschen [3]. bliche Bekleidung, sitzende bis schwere Ttigkeit
65% relative Feuchte nicht berschritten werden sollen. ber die untere Grenze der relativen Luftfeuchte liegen keine gesicherten Erkenntnisse vor. Als Behaglichkeitsgrenze knnen – weitgehend unabhngig von der Lufttemperatur – 30% relative Feuchte gelten; gelegentliche Unterschreitungen bis auf 20% sind noch vertretbar. Luftgeschwindigkeit. Unter Luftgeschwindigkeit wird die Bewegung der Umgebungsluft in der Aufenthaltszone verstanden. In Bild 9 werden die zulssigen Luftgeschwindigkei-
Bild 9. Zulssige Luftgeschwindigkeit im Aufenthaltsbereich, in Abhngigkeit von der Wrmeabgabe und Bekleidung des Menschen sowie Raumlufttemperatur und Turbulenzgrad nach DIN 1946 Teil 2 vom Jan. 1994
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Klimatechnik – 1 Grundlagen
Tabelle 2. Gesamtwrmeabgabe je Person in Abhngigkeit von der Ttigkeit (siehe auch DIN 33 403 Teil 3)
fhrung von Luft mit hherer Geschwindigkeit als Luftdusche oder durch Strahlungsschirme eine Erleichterung schaffen. Bei sehr hoher Wrmebelastung ist die Arbeitszeit zu begrenzen. Der Mensch kann sich in betrchtlichem Umfang an erschwerte Klimabedingungen anpassen (DIN 33 403). Klimabewertung. Zur Bewertung des ertrglichen Klimas sind Klimasummenmaße gebildet worden. Von diesen hat fr das Arbeitsklima die Normaleffektivtemperatur (N. E. T.) die weiteste Verbreitung gefunden [6]. Sie beschreibt Kombinationen von Umgebungstemperatur, Luftfeuchtigkeit und Luftbewegung, die sich gefhlsmßig als gleichwertig erwiesen haben, Bild 10. 20 N. E. T., bedeutet eine Lufttemperatur von 20 C, eine relative Feuchtigkeit von 100% und eine Luftbewegung von 0,15 m/s oder eine Lufttemperatur von 25 C und eine relative Feuchte von 35% bei gleicher Luftbewegung. 25 N. E. T. wird als Grenze der uneingeschrnkten Leistungsfhigkeit, 32 N. E. T. als ertrgliche Grenze bei einer Luftbewegung von 0,5 m/s bezeichnet (VDI-Richtlinie 2085). Gerusch. Vom Gerusch her ist in Werksttten ein Schallpegel von 70 bis 80 dB(A) als zulssige obere Grenze einzuhalten; bei einem Schallpegel von 85 dB(A) knnen bereits Gehrschden auftreten.
1.3.4 Ertrgliches Raumklima in Arbeitsrumen und Industriebetrieben
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Ertrglichkeit. Wegen klimatischer Umgebungsbedingungen fr das Verarbeitungsverfahren, die Fabrikation oder fr das Material in Werk- und Produktionssttten ist oft ein ertrgliches Raumklima nur als Kompromiss zwischen Prozess- und Behaglichkeitsbedingungen zu erreichen. Als ertrglich wird ein raumklimatischer Zustand bezeichnet, bei dem keine gesundheitlichen Schden zu erwarten sind. Durch die Thermoregulation des Krpers steigt bei hherer Belastung und Temperatur die Schweißproduktion und somit die Abgabe der Wrme durch Verdunstung an, Bild 8. Von besonderem Einfluss auf die Ertrglichkeit ist die Bekleidung. Temperatur. Bei schwerer Arbeit wird allgemein eine Lufttemperatur von 15 bis 16 C gefordert, bei niedrigeren Temperaturen besteht die Mglichkeit, sich durch Kleidung zu schtzen. Bei hheren Temperaturen, insbesondere bei erhhter Wrmezustrahlung in Hitzebereichen lsst sich durch Zu-
Luftbewegung. Wird vom Herstellungsverfahren eine besondere Reinheit der Raumluft vorgeschrieben, so bei der Herstellung von Przisionsgerten oder von Medikamenten in der pharmazeutischen Industrie oder in Operationsrumen, richten sich der Luftwechsel und die Luftbewegung im Raum nach der angestrebten Verdnnung an Partikeln und Keimen. Die hchsten Anforderungen werden in der Reinraumtechnik gestellt, wobei die Partikelfreiheit nach Klassen unterschieden wird, Tab. 3.
1.4 Kltetechnische Verfahren C. Hainbach, Essen 1.4.1 Allgemeines Die eigentliche Kltetechnik, d. h. eine Klteerzeugung durch Nutzung thermodynamischer Prozesse zu realisieren, insbesondere das Verdampfen eines Kltemittels, wurde im Jahre
Bild 10. Effektive Temperatur in Abhngigkeit von Trocken- und Feuchttemperatur
I1.4 Tabelle 3. Reinheitsklassen (VDI 2083 Blatt 1)
1755 durch Evakuieren eines teilweise gefllten Wasserbehlters begonnen. Nach den ersten Verdichterkltemaschinen mit ther als Kltemittel (England 1834, J. Perkins) gelang mit der Ammoniakkltemaschine die entscheidende kltetechnische Erfindung (erste Anlage um 1876 von Carl von Linde gebaut). Bereits um 1850 waren die ersten Kaltluftmaschinen mit offenem Kreislauf (Bild 11) und 1862 mit geschlossenem Kreislauf bekanntgeworden. Weder die Kaltluftmaschinen noch die spter entwickelten Dampfstrahlkltemaschinen fanden, obwohl fr spezielle Verfahren durchaus zweckmßig und wirtschaftlich, die Verbreitung der Kaltdampfmaschinen, die auf der Verdampfung eines Kltemittels beruhen. Anlagen zur maschinellen Klteerzeugung wurden in grßerer Anzahl ab Mitte des 19. Jahrhunderts gebaut und waren fr die Lebensmittelfrischhaltung und -verarbeitung bald unentbehrlich. Neben der Verwendung von Ammoniak als Kltemittel in Großklteanlagen, wurde in kleineren Leistungsbereichen Methylchlorid (CH3 Cl) oder Schwefeldioxid (SO2 ) eingesetzt. Ab 1931 wurden diese Stoffe durch die Einfhrung der Sicherheitskltemittel auf Basis halogenierter Kohlenwasserstoffe (FCKW) sukzessive abgelst. Wegen ihres schdigenden Einflusses auf die Erdatmosphre (bekannt als „Ozonloch“ [7]) wurde von den Vereinten Nationen im September 1987 beschlossen (Montreal-Protokoll), Verbrauch und Produktion dieser sogenannten „FCKW“-Kltemittel stufenweise zu reduzieren. Inzwischen sind weitere Einschrnkungen und Verbote wirksam (s. M 1.4.5), da diese anthropogenen Stoffe auch einen nicht unerheblichen Treibhauseffekt in der Atmosphre verursachen. In der heutigen Zeit spezialisiert sich die Forschungs- und Entwicklungsttigkeit auf die Suche nach Stoffen, welche als Kltemittel mit wesentlich geringerer Umweltbelastung verwendet werden knnen. Hierbei werden insbesondere im Bereich kleiner Klteleistungen die natrlichen Stoffe, wie Was-
Bild 11. Prinzip der Kaltluftmaschine mit offenem Kreislauf. 1 Luftfilter, 2 Verdichter, 3 Antriebsmotor, 4 Wrmetauscher fr Druckgasabkhlung, 5 Entspannungsmaschine, 6 Khlmedium
Kltetechnische Verfahren
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ser, Kohlendioxid, Ammoniak, brennbare Fluide (Propan, Butan) besonders bercksichtigt. Zu den Kaltdampfkompressionsanlagen (Verdichterklteanlagen) kam mit der Ammoniak/Wasser-Absorptionskltemaschine (Kaltdampfabsorptionsanlagen) ein weiteres Verfahren hinzu, mit dem etwa ab 1910 Abwrme aus industriellen Prozessen genutzt werden konnte, um wirtschaftlich Klte zu erzeugen. Technisch interessante Verfahren der Klteerzeugung, die jedoch nur in Sonderfllen und mit relativ großem Energiebedarf angewendet werden knnen, sind: – das Peltier-Element aus Halbleitermaterial, mit dem auf thermoelektrischem Wege kleine Khl- und Heizleistungen auf engstem Raum (Medizin) und unter Schwerelosigkeit (Raumfahrt) erzeugt werden knnen, – das Wirbelrohr, in dem ein Druckluftstrom – im Zentrifugalfeld entspannt – sich in einen kalten und einen heißen Teilstrom aufteilt, – die Trockeneisherstellung aus hochverdichtetem und verflssigtem Kohlendioxidgas, das nach Unterkhlung und pltzlicher Entspannung Kohlensureschnee bildet, der durch Pressen zu Blcken geformt wird (Sublimationstemperatur 78,9 C), – sog. „neue Kreislufe“: Magnetokalorische und osmotische Klteerzeugung fr Temperaturen nahe dem absoluten Nullpunkt.
Einsatzgebiete Kltetechnische Anlagen wurden zunchst eingesetzt fr Brauereien und Eisfabriken, Schlachthuser, Fleisch- und Fisch-Gefrieranlagen, Malztennen- und Hopfenlagerkhlung, Molkereien, Marktkhlhallen, Margarinefabriken, Schokoladenherstellung, Champagnerbereitung, Gummifabriken, Leim- und Gelatinekhlung, Farbstoffherstellung, Glaubersalzkristallisation, Leichenkhlung, Transportkhlung auf Schiene, Straße und auf See, Khlhuser aller Art, gewerbliche Khlrume, Paraffin- und lindustrie, Kunsteisbahnen, Schachtabteufen, klimatechnische Anlagen. Weitere Bedarfsflle mit zum Teil erhhten Anforderungen an die Regelgenauigkeit kamen hinzu in der chemischen und pharmazeutischen Industrie, der Medizin, bei der Luft- und Drucklufttrocknung, bei der Speiseeisherstellung, bei der Werkzeugkhlung und bei Kltekammern fr Industrie und Forschung sowie fr die Vielzahl der Khlmbel. Fr das Erzeugen von Temperaturen unter –80 C werden Gase durch Entspannen oder Drosseln mit Hilfe des Thomson-Joule-Effekts abgekhlt. Anlagen dieser Art dienen z. B. der Luft- und Chlorverflssigung und der Edelgasgewinnung. Anlagen zum Erzeugen von Temperaturen etwa von –150 C bis nahe zum absoluten Nullpunkt zhlen zum Gebiet der Tieftemperatur-Verfahrenstechnik. Hierbei spielen als Kltemittel Stickstoff, Wasserstoff und Helium mit dem niedrigsten Siedepunkt von 4,25 K eine besondere Rolle. Wichtige kryotechnische Anwendungen sind das Erzeugen von Hochvakuum [8] und die Supraleittechnik (Kammerlingh Onnes, 1911). Die im Jahre 1986 entdeckten Werkstoffe bzw. Werkstoffkombinationen, deren Sprungtemperatur, d. h. der bergang von Normal- zu Supraleitung, oberhalb der Siedetemperatur des flssigen Stickstoffs (–196 C bei Atmosphrendruck) liegt, werden zuknftig vielfltige Anwendungen fr die Hochtemperatur-Supraleitung erschließen. Neben der industriellen Anwendung der Kltetechnik hat die Bedeutung dieser Disziplin im Bereich der Haustechnik und speziell in der Klimatechnik in den letzten Jahrzehnten deutlich zugenommen. Ein großer Bedarf an Klteanlagen der unterschiedlichsten Leistungen entstand durch die klimatechni-
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Klimatechnik – 1 Grundlagen
schen Anlagen fr Aufenthalts- und Arbeitsrume sowie fr Fabrikationsverfahren. Als Beispiel fr eine der ersten Anlagen dieser Art wurde 1910 ber das Theater von Rio de Janeiro (1 700 Sitzpltze) berichtet, fr das eine Kltemaschinenanlage mit einer Klteleistung von 200 000 kcal/h (233 kW) in Verbindung mit einem Kltespeicher von 120 m3 Sole-Inhalt installiert wurden. Der Aufschwung der Klimatechnik in Europa ab 1960 wurde durch die moderne Leichtbauweise der Gebude und die zunehmenden inneren Khllasten wesentlich gefrdert. USamerikanische Hersteller nahmen hierbei – z. B. mit ihren anschlussfertigen Kaltwasserstzen (Wasserkhlstzen) mit Turboverdichtern und den Absorptionskltemaschinen mit dem Arbeitsstoffpaar Wasser/Lithiumbromid – eine fhrende Stellung ein. Ausgelst durch die Energiepreiskrise im Jahre 1973 wurden energiesparende Investitionen und Forschungsprogramme fr neue Technologien staatlich untersttzt. Einerseits fhrte der Anstieg der Energiepreise zu geringeren installierten Klteleistungen, andererseits wurden konstruktive Verbesserungen vorgenommen, um Energie zu sparen. Es ergaben sich Fortschritte z. B. bei den selbstttigen Ventilplatten, den Triebwerken der Verdichter, den Antriebsmotoren, den Frequenzumformern zur Drehzahlregelung, den Einspritzventilen und beim Einsatz der Mikroelektronik zum Steuern und Regeln eines energiesparenden Klte- und Wrmepumpenbetriebs. Neben den sowohl wrmerckgewinnenden (auch „klterckgewinnenden“) Einrichtungen (z. B. kreislaufverbundene Systeme, Regenerativ- und Rekuperativ-Wrmeaustauscher) haben als wirtschaftliche, energiesparende Klteerzeugung whrend der kalten Jahreszeit die „ freien Khlsysteme“ mit Hilfe der Außenluft dort an Bedeutung gewonnen, wo hohe innere Khllasten ganzjhrig abzufhren sind. Fr die Kltebreitstellung in der Klimatechnik werden in der Regel zwei Anlagentypen – Kaltdampf-Kompressionsklteanlagen und Absorptionsklteanlagen – teilweise in Verbindung mit Anlagen der freien Khlung bzw. mit Verdunstungskhlung verwendet.
1.4.2 Kaltdampf-Kompressionsklteanlage Dieser Anlagentyp beruht auf den linkslufigen Kreisprozess (thermodynamisch „Klteprozess“, s. D 8.5.1). Das Blockschaltbild eines einfachen Anlagenaufbaus ist in Bild 12 dargestellt: Durch den im Verdampfer b bei niedrigem Druck und tiefer Temperatur aufgenommenen Wrmestrom Q_ 0 wird flssiges Kltemittel verdampft. Der entstehende Dampf wird vom Verdichter a angesaugt und verdichtet, so dass im wasseroder luftgekhlten Verflssiger c das Kltemittel bei hherer Temperatur wieder verflssigt wird. Der Verflssigungsdruck ist um so hher, je wrmer das Khlwasser bzw. die Khlluft sind. Vom Druckverhltnis Verflssigungs- zu Verdampfungsdruck wird der Leistungsbedarf P des Verdichters beeinflusst. Das verflssigte und gegebenenfalls unterkhlte, unter Druck p stehende Kltemittel wird durch die Drosseleinrichtung 4 auf den niedrigeren Druck p0 entspannt, wobei hier eine Teilverdampfung erfolgt. Das Zweiphasengemisch (Flssigkeit und Dampf) wird dem Verdampfer wieder zugefhrt. In dem fr die Kltetechnik gebruchlichen log p,h-Diagramm kann der Vergleichsprozess entsprechend Bild 13 eingetragen werden. Die Gesamtklteleistung errechnet sich wie folgt (s. D 8): Q_ 0 ¼ Q_ 41 ¼ m_ R ðh10 h3 Þ
ð4Þ
Bild 12. Schema einer einstufigen Verdichterkltemaschine. a Verdichter, b Verdampfer, c Verflssiger, d Drosseleinrichtung. Q_ 0 Verdampfer-Wrmestrom, Q_ Verflssiger-Wrmestrom, P VerdichterAntriebsleistung
Die Verflssigerleistung ergibt sich zu Q_ c ¼ Q_ 0 þ P
ð5Þ
Die energetische Bewertungsgrße ist das Verhltnis Nutzen zu Aufwand und wird als Leistungszahl bezeichnet. Der Nutzen der Kltetechnik ist der aufgenommene Wrmestrom am Verdampfer (Klteleistung), der Aufwand ist die Antriebsleistung. Die Leistungszahl e0 , bezogen auf die Gesamtklteleistung, ergibt sich zu (s. D 8.5.1): eKM ¼ Q_ 0 =P:
ð6Þ
Als Antriebsleistung P kann bei offenen Verdichtern die an der Verdichterwelle gemessene Leistung und bei saug- oder druckgasgekhlten Motorverdichtern in hermetischer oder halbhermetischer Ausfhrung die Klemmenleistung des Motors angegeben werden. Ein Vergleich der Leistungszahlen unterschiedlicher Klteanlagen ist nur mglich, wenn die Energieart der Antriebsleistungen gleich sind. Die mechanische Antriebsleistung unterscheidet sich von der elektrischen um die Kupplungs-, Motor- und gegebenenfalls Getriebewirkungsgrade. Fr Wrmepumpen ist die Verflssigerleistung der Nutzen der Anlage und somit Bezugsgrße zur Bestimmung der Leistungszahl eWP ¼ Q_ c =P:
ð7Þ
Bild 13. Vergleichsprozess des Kaltdampf-Verdichterverfahrens im p, h-Diagramm (p im logarithm. Maßstab). 4–1 Verdampfungswrme, 1–1' Saugdampfberhitzung, 1'–2 Verdichtung, 2–2' berhitzungswrme, 2'–3' Verflssigungswrme, 3'–3 Unterkhlungswrme, 3–4 Drosselung
I1.4 Im verlustlosen Prozess ist also die Leistungszahl der Wrmepumpe stets um 1 grßer als die Leistungszahl der Klteanlage. Zur exergetischen Bewertung wird der Gtegrad einer Anlage bestimmt, er ist das Verhltnis der Leistungszahl der realen Anlage zu der Leistungszahl des linkslufigen Carnot-Prozesses. Fr die Klteanlage vKM ¼ eKM =ecKM :
ð8Þ
Fr die Wrmepumpe vWP ¼ eWP =eCWP
ð9Þ
1.4.3 Absorptionsklteanlage Ein Problem bei dem Einsatz von Kaltdampf-Kompressionskltemaschinen besteht in dem großen Aufwand an Antriebsenergie, der durch die Verdichtung des Arbeitsmittels in der Gasphase erforderlich wird. Wird hingegen ein gleichgroßer Druckunterschied in der flssigen Phase berwunden, so ist dies mit weitaus geringerem Aufwand an massenbezogener Antriebsenergie mglich. Dieser physikalische Effekt wird bei den sog. Absorptionsklteanlage, deren Anlagenschema in Bild 14 dargestellt ist, gezielt genutzt. Als Antriebsenergie Q_ H ist Wrme in Form von niedriggespanntem Dampf oder Heißwasser oder Direktbefeuerung erforderlich. Im industriellen Bereich ist dies ein mit großem wirtschaftlichen Erfolg eingesetztes Verfahren, insbesondere fr tiefe Temperaturen – auch in mehrstufiger Ausfhrung – mit dem Arbeitsstoffpaar Ammoniak/Wasser (NH3 =H2 O). Fr klimatechnische Anlagen werden anschlussfertige Kaltwasserstze mit dem Arbeitsstoffpaar Wasser/Lithium-Bromid (H2 O/LiBr) bevorzugt. Q_ ZU ¼ Q_ 0 -Verdampfer-Wrmestrom, Q_ Ab -Absorber-Wrmestrom, Q_ ab ¼ Q_ C -Verflssiger-Wrmestrom, Q_ H -AustreiberWrmestrom Das flssige Kltemittel (Wasser) strmt vom Verflssiger ber die Drosselstelle zum Verdampfer, wo es unter Wrmeaufnahme weiter verdampft und das fr die Klimatisierung umgewlzte Kaltwasser abkhlt. Im Absorberteil wird der Kltemitteldampf (Wasserdampf) von der versprhten starken Salzlsung absorbiert und die entstehende Lsungswrme durch Khlwasser abgefhrt. Die anfallende, verdnnte wsserige Lsung wird von der Solepumpe angesaugt und gelangt in den Austreiber. Der im Austreiber – auch Generator genannt – durch Erwrmen ausgetriebene Kltemitteldampf wird im Verflssiger niedergeschlagen (verflssigt), whrend die angereicherte Lsung wieder zum Absorber zurckfließt. Um die in der Nhe der Sttigungslinie bestehende Kristallisationsgefahr zu vermeiden, wird die starke Lsung mit einem kleinen Mengenstrom verdnnter Lsung vermischt, be-
Bild 14. Schema einer H2 O=LiBr-Absorptionskltemaschine.
Kltetechnische Verfahren
M9
vor sie ber die Absorberkhlrohre versprht wird. Alle Apparate arbeiten im Unterdruck. Die Verflssigerleistung betrgt etwa 70% der Absorberleistung; entsprechend teilt sich der Khlwasserstrom oder – bei Hintereinanderschaltung von Absorber und Verflssiger – die Temperaturdifferenz des Khlwasserstroms auf. Die Darstellung des Prozesses in dem lg p, -1/T–Diagramm in Bild 15 gibt hierbei die Konzentrations-, Druck- und Temperaturnderungen der Einzelschritte wieder. Die diagonalen Verbindungslinien zwischen dem hohen und dem niedrigen Druckniveau kennzeichnen dabei Zustnde gleicher Arbeitsmittelkonzentrationen bezogen auf den Gesamtmassenstrom. Die Berechnung von Absorptionskltemaschinen erfolgt mit Hilfe der Enthalpie-Konzentrations-Diagramme (h, x-Diagramm) der wsserigen Lsungen von Ammoniak bzw. Lithium-Bromid. Bei der meßtechnischen berprfung von Absorptionsanlagen wird die Lsungskonzentration mit Hilfe von Dichte- und Temperaturmessungen bestimmt. Wrmeverhltnis Die Bewertung der Absorptions-Klteprozesse erfolgt blicherweise nicht ber die bei Kompressions-Klteanlagen bliche Leistungszahl, sondern ber das Wrmeverhltnis von Nutz- und Heizwrmestrom, welcher dem Austreiber zugefhrt werden muss. Diese Vorgehensweise ist fr die Bewertung von Absorptions-Prozessen besser geeignet, da hier die Hauptzufuhr an hochwertiger Energie ber den Heizwrmestrom am Austreiber erfolgt. Fr die Klteanlage ist diese Bewertungsgrße: Q_ 0 : zKM ¼ Q_ H
ð10Þ
Fr die Absorptionswrmepumpe ist das Wrmeverhltnis: zWP ¼
Q_ ab þ Q_ Ab: : Q_ H
ð11Þ
Der zustzlich erforderliche Energieaufwand fr den Antrieb der Lsungsmittelpumpe ist im Regelfall vergleichsweise gering, jedoch bei einer gesamtenergetischen Betrachtung des Prozesses nicht vernachlssigbar. Die Hhe der Antriebsleistung fr die Pumpe variiert mit dem Temperaturunterschied zwischen Wrmequelle und -senke sowie dem Stoffsystem Lsungsmittel/Kltemittel. Darber hinaus bestimmt der Konzentrationsunterschied zwischen reicher und armer Lsung, die sogenannte Ausgasungsbreite, den spezifischen Lsungsmittelumlauf, der zur Aufnahme des verdampften Kltemittels von der Pumpe auf das hohe Druckniveau gebracht werden muss. Eine neutrale Bewertung der Absorptionsprozesse aus primrenergetischer Sicht ist gegeben, wenn der zur Bereitstellung der Lsungspumpenarbeit notwendige Wrmestrom mit in die Bewertungsgrße einfließt. Da bei der Erzeugung von elektrischer Antriebsleistung in einem Wrmekraft-
Bild 15. Darstellung des Absorptions-Kltekreislaufs im lg p, –1/TDiagramm
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M 10
Klimatechnik – 1 Grundlagen
prozess nur etwa ein Drittel der eingesetzten Wrme als Antriebsleistung nutzbar ist und die Lsungspumpen fast ausschließlich elektrisch angetrieben werden, muss bei dem Wrmeverhltnis beim Aufwand die dreifache Antriebsleistung mit bercksichtigt werden. Daher gilt: zKM ¼
Q_ 0 Q_ H þ 3 P
ð13Þ
Bei der Auslegung von Absorptionskreislufen ist somit eine hinreichend große Ausgasungsbreite sicherzustellen, da ansonsten die Arbeitsaufnahme der mechanisch angetriebenen Lsungsmittelpumpe einen zu großen Anteil an der gesamten Energieaufnahme einnimmt und die energetische Bilanzierung entsprechend schlechter ausfllt. Dieses ist auch einer der Grnde fr aktuelle Entwicklungen, welche die Substitution der mechanisch angetriebenen Lsungsmittelpumpe zum Ziel haben. Konzepte bestehen derzeit sowohl zu thermisch angetriebenen Pumpen, die nach dem Verdrngungsprinzip arbeiten, als auch zu diffusionsgesttzten Druckanhebungen. Das Wrmeverhltnis der Absorptionskltemaschine und die Leistungszahl der Kompressions-Klteanlage sind nicht unmittelbar miteinander vergleichbar; es besteht der Zusammenhang
M
V ¼ h e:
m_ V cpW tWa
ð19Þ
m_ W cpW ðtWe tWa Þ ¼ m_ L ðhLa hLe Þ
ð20Þ
ðtfa Feuchtkugeltemperatur der Außenluft, tWe Wassereintrittstemperatur, tWa Wasseraustrittstemperatur, xLe Lufteintrittsfeuchte (absolut), xLa Luftaustrittsfeuchte (absolut), hLe Lufteintrittsenthalpie, hLa Luftaustrittsenthalpie, m_ W tatschlicher Wasserstrom, m_ V Verdunstungswasserstrom, m_ L Luftmassenstrom, cpW spezifische Wrmekapazitt des Wassers).
Bei Teillastbetrieb und der damit verbundenen Annherung an die Khlgrenze fhrt das Vernachlssigen des Ausdrucks Gl. (19) zu einer zunehmenden Ungenauigkeit, und der Wassergehalt der Austrittsluft kann nicht mehr bestimmt werden. Mit Hilfe von Rechenprogrammen nach Vorschlag gemß [10] knnen Fortluftzustand und sog. „thermische bergangseinheiten“ fr Großkhltrme ermittelt werden. Bei den kleinen Rckkhlwerken, wie sie fr gebudetechnische Anlagen nur in Frage kommen, ist der Einfluss der Feuchtkugeltemperatur insbesondere wegen der geringen Khlgrenzabstnde von grßerer Bedeutung und muss zustzlich zum Lastverhalten bercksichtigt werden [11]. Die Kenntnis des Fortluftzustands ist wichtig zum Beurteilen der Belstigung durch Schwadenbildung, vor allem in Stadtgebieten.
ð14Þ
Wird das Absorptionsklteverfahren zur Heizwrmeerzeugung eingesetzt, so kann aus dem Verflssiger ein niedrig temperierter Wrmestrom und aus dem Absorber ein hher temperierter Wrmestrom ( 1 C, Verflssigungstemperatur 45 C. Zentrale Klteerzeugung ber Tage. Es knnen serienmßige Wasserkhlstze verwendet werden. Im Vergleich zu blichen Systemen der Gebudetechnik ergeben sich jedoch folgende Unterschiede: – Aus wirtschaftlichen Grnden ist eine große Temperaturspreizung im Kaltwasserkreis (etwa 20 K) und deshalb die Reihenschaltung mehrerer Verdampfer zweckmßig. – Die Kaltwasser-Vorlauftemperatur soll mglichst niedrig sein, um große Klteleistungen ber kleine Rohrquerschnitte bertragen zu knnen. – Hohe statische Drcke im Kaltwassernetz zwingen zum Zwischenschalten von Wrmetauschern oder zu Sonderlsungen. Verflssigerkhlung Unter Tage. Die Verflssigungswrme der unter Tage aufgestellten Klteerzeuger ber luftgekhlte Verflssiger abzufhren, bereitet mit steigenden Leistungen Schwierigkeiten, da die ausziehenden Wetterstrme hierfr nicht ausreichen. Alternativen sind: Verdunstungsverflssiger, offene Rckkhlwerke, geschlossene Rckkhlwerke. Rckkhleinrichtungen unter Tage werden in ausziehenden Schchten errichtet, die mit Wassersprhvorrichtungen, Sammelbecken und Luftleiteinrichtungen versehen werden [3]. Die Verdunstungskhlung ist grundstzlich an ausziehende Schchte gebunden, da andernfalls unzumutbare Luftzustnde mit Tauwasserniederschlag und entsprechenden Korrosionsschden in den betroffenen Strecken auftreten wrden. ber Tage. Fr die Rckkhlung ber Tage ergeben sich Nachteile infolge des hohen statischen Drucks, der sich je nach hydraulischer Schaltung im Khl- oder Kaltwassernetz einstellt und hohe Wasserumwlzkosten. Bauteile der Wasserkreislufe unter Tage Besondere konstruktive Maßnahmen sind ntig, um die Funktion, Betriebssicherheit und Wartung der Anlagenteile zu sichern, die den hrtesten Belastungen vor Ort ausgesetzt sind.
Grubenkhlanlagen
M 85
Dies betrifft: Strebkhlrohre. Glatte Stahlrohre in DN 100 von etwa 3 m Lnge, beweglich aneinander gekuppelt. Strebkhlgerte. Khler aus Kupferrohren mit ein- oder beidseitig aufgelteten Kupferplatten. Große Probleme bereitet die Verschmutzung der Wrmetauscherflchen, so dass in kurzen Zeitabstnden mit Hilfe von Druckwasser-Sprheinrichtungen gereinigt werden muss. Streckenkhler. Konstruktionen wie große Strebkhler, Khlwnde ohne Zwangsbelftung fr Sonderflle, Sprhkhler (Nassluftkhler) in horizontaler und vertikaler Anordnung zum Vorkhlen der Wetter. Fr kleine Leistungen (bis 500 kW) werden ortsbewegliche Kammern mit Stahlblechgehusen gebaut, große Sprhkammern werden in den Strecken selbst angelegt; die Luftabkhlung kann 20 K erreichen, wenn die Kaltwasserverdsung mehrstufig ausgefhrt wird. Hochdruck/Niederdruck-Rohrbndel-Wrmetauscher. Die hohen statischen Drcke bei bertgiger Aufstellung der Klteerzeuger zwingen zu schweren, teuren Khlerkonstruktionen. Um dies zu vermeiden, wird eine Temperaturdifferenz zwischen Kaltwasser-Erzeugerkreis und -Verbraucherkreis in Kauf genommen und ein HD/ND-Wrmetauscher zwischengeschaltet. Die Grdigkeit dieses Wrmetauschers sollte kleiner 2,5 K sein. Dreikammer-Rohraufgeber. Eine andere Lsung des Problems der hohen statischen Drcke bietet der sog. Dreikammer-Rohraufgeber, der mit dem hohen statischen Druck des Primrkreises den Inhalt der mit warmem Sekundrwasser gefllten Kammern zyklisch austauscht. Systeme der Grubenklteanlagen Die grßer werdenden Khllasten in den Gruben verlangen grßere Klteerzeuger und damit eine zentrale Aufstellung [4]. Die frheren Wetterkhlmaschinen fr dezentrale Aufstellung haben nur noch Bedeutung bei sog. Satellitenmaschinen in sonderbewetterten Vortrieben. Es sind zu unterscheiden: Klteanlagen unter Tage in Schachtnhe. Geeignet fr mittlere bis große Leistungen bei entsprechend großem Wetterstrom, wirtschaftlich bei großen Teufen. Klteanlagen ber Tage in Schachtnhe. Geeignet fr große Leistungen, wirtschaftlich durch optimierte Betriebsweise. Klteerzeugung unter Tage und Rckkhlung ber Tage. Geeignet bei nicht allzu großen Teufen. Klteerzeugung ber- und untertgig sowie bertgige Rckkhlung, Bild 1. In der Regel wird der grßere Teil der Klteleistung bertgig erzeugt (etwa 60 bis 70%), whrend der Rest auf die Satellitenmaschinen unter Tage entfllt. Zweikreis-Khlsystem ber und unter Tage mit Energierckgewinn durch Pelton-Turbine. Um das u. U. weitverzweigte Kaltwassernetz eines Bergwerks nur fr normalen Betriebsdruck auslegen zu knnen, muss blicherweise ein Wrmetauscher zwischengeschaltet werden. Eine Lsung, diesen Wrmetauscher mit seiner Grdigkeit zu vermeiden, bietet sich mit Hilfe einer Pelton-Wasserturbine, die den hohen statischen Druck des Kaltwassers auf Atmosphrendruck entspannt. Die dabei gewonnene Energie deckt zu etwa 55% die Antriebsleistung, die fr die nunmehr erforderliche Wasserhebepumpe bentigt wird. Sonderverfahren der Klteerzeugung Bei sehr großen Teufen wachsen die Khllasten und die Kosten fr die Khlsysteme unverhltnismßig an. Es werden daher auch Verfahren der Klteerzeugung und -verteilung erprobt, die fr die Luftkhlung i. Allg. nicht wirtschaftlich sind.
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M 86
Klimatechnik – 7 Sonderklima- und Khlanlagen
Bild 1. Kombinierte ber- und untertgige Klteerzeugung. 1 u. 2 Wasserkhlsatz, 1.1 u. 2.1 Verdampfer, 1.2 u. 2.2 Verflssiger, 1.3 u. 2.3 Khlwasserpumpe, 3 offenes Rckkhlwerk, 4 Zuspeisewasserleitung, 5 geschlossenes Rckkhlwerk, 5.1 Sprhwasserpumpe, 6 Primrkreis-Kaltwasserpumpe, 7 Kltegedmmte Vorlaufleitung, 8 Ausdehnungsgefß, 9 Schraubenverdichter, 9.1 Verdampfer, 9.2 Verflssiger, 9.3 Kltemittel-Regelventil, 10 Hochdruck/Niederdruck-Wrmetauscher, 11 Sekundr-Kaltwasserpumpe, 12 Wetterkhler, 13 Regelventil
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Bild 2. Induktions-Klimasystem in Reisezugwagen (Luwa). 1 Verflssigungssatz, 1.1 Kltemittelverdichter, 1.2 Verflssiger, 1.3 Kltemittelverbindungsschluche, 2 Luftaufbereitungseinheit, 2.1 Luftfilter, 2.2 Außenluft, 2.3 Umluft, 2.4 Primrluft, 3 Primrluftkanal, 3.1 Jettair-Luftauslass, 3.2 Sekundrluft, 3.3 Zuluft, 3.4 Fortluft
Vakuum-Eiserzeugung. Durch Absenken des Drucks unter den Tripelpunkt der entsprechenden Wasserqualitt wird mit untersttzender Khlung ein Eisbrei erzeugt. Nach Brikettieren wird das vom Wasser befreite Vakuum-Eis ber Rohrleitungen den Grubenrumen zugefhrt, so dass die Schmelzwrme fr entsprechende Abkhlung sorgen kann. Diese Art der Khlung setzt wasserunempfindliches Nebengestein voraus. Kaltlufterzeugung. Zum Khlen tiefer Gruben eignet sich auch das unter M 1.4.1 erwhnte Kaltluftverfahren mit offenem Kreislauf. Nach Verdichten der Außenluft durch Turboverdichter und Abfhren der Verdichtungswrme wird die Luft ber die unter Tage aufgestellten Entspannungsturbinen geleitet und dabei erheblich abgekhlt. Dieser gekhlte Teilstrom wird den einziehenden Wettern beigegeben.
Wartung, Reparatur und Ersatzteile Unter Tage sind Wartung und Reparatur erschwert. Schweißund Ltarbeiten drfen nur an speziellen Orten vorgenommen werden. Ebenso sind grßere Reparaturarbeiten unter Tage nur schwer durchzufhren. Grßere Beschdigungen der Gerte whrend des Rcktransports zur Generalberholung erhhen oft die Instandhaltungskosten. Wegen kostengnstiger Ersatzteilhaltung und kurzfristigem Austausch kompletter Maschinenaggregate wird angestrebt, gleiche Baugrßen zu verwenden.
7.2 Fahrzeuganlagen Das Khlen und Heizen in Verkehrsmitteln wie Flugzeugen, Eisenbahnen, Personenkraftwagen, Autobussen und Schiffen
I7.3 sind Aufgaben, die in jedem Fall spezielle Lsungen und Konstruktionen erfordern. Flugzeuge Die Flugzeuge fr Personenbefrderung werden fast ausschließlich mit Hilfe von Kaltluftmaschinen mit offenem oder geschlossenem Kreis klimatisiert. Die niedrige Leistungszahl dieses Prozesses wird aufgewogen durch das geringe Gewicht des Systems, seine Einfachheit und dem umwelt- und sicherheitstechnisch problemlosen Arbeitsstoff Luft.
Klimaprfschrnke und -kammern
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– bei großen Nutzfahrzeugen jedoch eigenes Antriebssystem und Leistungsregelung durch Drehzahlvernderung; – die bisher vorwiegend eingesetzten Hubkolbenverdichter (z. B. 5-Zylinder-Taumelscheibenverdichter) werden von Rotationsverdichtern, insbesondere von Spiralverdichtern und zweiflutigen Flgelzellenverdichtern mit Hubraumregelung mittels Steuerscheibe abgelst. Damit knnen die Ein- und Ausschaltstße des Aussetzbetriebs vermieden werden. Die praktischen Leistungszahlen der im Drehzahlbereich von 1 000 bis 4 000 betriebenen Verdichter liegen zwischen 1,1 bis 1,6.
Schienenfahrzeuge In die Fernverkehrs-Reisezugwagen der Deutschen Bundesbahn werden aus Grnden der Einheitlichkeit und wegen ihrer Vorzge ausschließlich Splitanlagen mit Direktkhlung (frher mit Kltemittel R 12, jetzt mit R 134a) eingebaut. Die fr eine mobile Klteanlage gnstigen Eigenschaften dieses Kltemittels (relativ niedrige Drcke, Verhalten des l/Kltemittel-Gemisches, Kltemittelbestndigkeit der Schluche) sowie die Vorteile der Standardisierung wirken kostendmpfend auf Montage, Wartung, Reparatur- und Ersatzteilhaltung. Bild 2 zeigt den Aufbau eines Induktionsklimasystems mit der Luftfhrung in einem Reisezugwaggon. Das Gert besteht aus dem luftgekhlten Verflssigungssatz 1, der Luftaufbereitungseinheit 2, die ber zusammensteckbare Kltemittelschluche 1.3 miteinander verbunden sind. Die Einheit 2 enthlt außer dem Luftfilter 2.1, Kltemittelverdampfer, Radialventilator und elektrisches Heizregister sowie die Luftkanalanschlsse fr Außenluft 2.2, Umluft 2.3 und Primrluft 2.4. ber Luftkanal 3 strmt die Primrluft zu den Jettair-Luftauslssen 3.1, vermischt sich mit der Raumluft als Sekundrluft 3.2 und tritt als Zuluft 3.3 an den Fenstern in die Abteile bzw. den Großraumwagen. Individuelle Temperaturregelung ist mit Hilfe eines elektrischen Nacherhitzers am Luftauslass mglich. Der Fortluftanteil 3.4 strmt ber Dachauslsse ab, der Umluftanteil 2.3 zum Gert zurck. Straßen- und Wasserfahrzeuge Heizgerte. Neben den fahrzeugeigenen Heizungen sind fr viele Fahrzeuge die motorunabhngigen Heizungen Voraussetzung fr ihren erfolgreichen Einsatz. Vorteilhaft ist, dass solche Heizungssysteme mit dem Betriebsstoff des Fahrzeugs arbeiten (Benzin oder Diesel); daher sind keine zustzlichen Tanks erforderlich. Die Luft- bzw. Wasserheizgerte werden im Innenraum oder gegebenenfalls Unterflur eingebaut. Sie stellen sicher, dass auch im Stand des Fahrzeugs der Fahreroder Fahrgastraum ausreichend geheizt wird. Leistungsbereiche: – Luftheizgerte 1 800 bis 4 000 W, – Wasserheizgerte 5 000 bis 20 000 W. Khlgerte. Fahrzeuge im Stand knnen durch einfallende Strahlung auf 60 C und mehr aufgeheizt werden. Dies hat dazu gefhrt, dass die Fahrzeug-„Klimatisierung“ weltweit zum grßten Einzelposten innerhalb des Klimagertemarkts angewachsen ist (1988 rd. 22 Mio. Stck Kltemittelverdichter zur Pkw-Klimatisierung produziert) [5]. Um die Solltemperatur von 25 C einzuhalten, werden Klimaanlagen mit Klteleistungen von 3 bis 4 kW in Pkw und von 20 bis 30 kW in Bussen eingebaut [6]. Das bisher verwendete Kltemittel R 12 wird durch R 134a abgelst [7] (s. Q 1.7.2). Vorhandene R 12Anlagen mssen umgerstet werden. Bei Umrstung auf R 134a sind die Kltemittel-Schluche auszutauschen. Merkmale: – Antrieb ber Magnetkupplung vom Fahrzeugmotor ber Keilriemen, mit Regelung durch Aussetzbetrieb oder berstrmung,
7.3 Klimaprfschrnke und -kammern Klimaschrnke und -kammern, zum Teil mit aufwndigen Zusatzeinrichtungen, dienen zu Forschungszwecken, zur Tierund Pflanzenzucht, zu Werkstoff-, Gerte- und Maschinenprfungen, in speziellen Fllen als Operations- und Intensivpflegekabinen [8] sowie als Labor. In solchen Anlagen knnen Konstant- und Wechselklimate in weiten Temperaturund/oder Luftfeuchtebereichen mit hoher Genauigkeit eingehalten und reproduziert werden. Standardmßige Mikroprozessor-Regeleinrichtungen erlauben es, Prfklimate zu programmieren. Das Befeuchten der Luft muss bei bestimmten Prfaufgaben mit hoher Feuchtekonstanz aerosolfrei erfolgen; d. h. Befeuchten mit Hilfe eines Wasserbads o. . Umfang und Kosten der klimatechnischen Einrichtungen werden wesentlich von den zugelassenen Toleranzbereichen bestimmt, die bei hohen Anforderungen zu hohen Luftwechselzahlen im Umluftbetrieb fhren [9]. Ausfhrungen Es werden zwei grundstzliche Ausfhrungen unterschieden: – direkte Temperierung und – indirekte Temperierung mit zwischengeschaltetem Solekreis. In der Mehrzahl der Bedarfsflle liegen die gestellten Anforderungen in folgenden Bereichen:
Die genannten Werte knnen mit manteltemperierten Anlagen und extrem hochwertiger Regeleinrichtung in Sonderfllen noch ber- bzw. unterschritten werden. Gnstig fr die Temperaturnderungsgeschwindigkeiten und die Betriebskosten ist ein geringes Wrmespeichervermgen der Umfassungswnde.
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Klimatechnik – 8 Wirtschaftlichkeit und Energieverbrauch
Sonderausstattungen je nach Verwendungszweck, z. B. Einrichtungen fr Vakuum, berdruck, Begasung, Besprhung, Verregnung, Vibration, Wind- und Sandsturmerzeugung, Trockner zum Simulieren von arktischen und Wstenklima-
ten, Beleuchtung mit Leuchtstoff- oder Quecksilberhochdruck- oder Xenonlampen bis zu 100 000 lx in 1 m Abstand; in Verbindung mit Filterglsern kann annhernd das Sonnenlichtspektrum simuliert werden.
8 Wirtschaftlichkeit und Energieverbrauch
tisationszeit als Vergleichsmaßstab ermittelt (s. VDI-Richtlinie 2067, Bl. 1, Beiblatt 1). Andererseits kann mit der theoretischen Nutzungsdauer auch der Zinssatz fr das eingesetzte Kapital berechnet, und so ein anschaulicher Vergleich zum Kapitalmarktzins hergestellt werden. Dies erscheint fr Bauinvestitionen der gewerblichen und der Dienstleistungsbranchen zweckmßig. Neben dem Wirtschaftlichkeitsvergleich wird versucht, Gebude nach ihrem Energiebedarf zu bewerten und gleichartige miteinander zu vergleichen. Zu diesem Zweck wird eine Energiekennzahl E vorgeschlagen, die den jhrlichen Energiebedarf der haustechnischen Anlagen eines Gebudes auf die Geschoßflche bezieht. Dabei kann die Kennzahl sowohl aus der Summe der Teilkennzahlen der Energietrger (l, Gas, Strom) als auch der Verwendungszwecke (Heizwrme, Brauchwasserwrme, Khlung u. a.) gebildet werden, um die Art der unter- und berdurchschnittlichen Verbrauchswerte zu analysieren [4].
C. Hainbach, Essen, und S. Schdlich, Raesfeld
8.1 Allgemeines
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Energiesparende Einrichtungen und Systeme sind fast immer mit erheblich hheren Anschaffungskosten gegenber der fr den vorliegenden Bedarfsfall bentigten Mindestausrstung verbunden. Die Frage, ob die Mehrkosten annehmbar oder von Vorteil sind, kann mit Hilfe einer vergleichenden Wirtschaftlichkeitsberechnung beantwortet werden. Allerdings mssen die dafr im Einzelfall notwendigen Kostenanstze umfassend und zutreffend ermittelt werden. Dies betrifft die Kosten bzw. Kostendifferenzen fr Lieferungen und Leistungen einschließlich Bauleistungen, die Energietarife einschließlich Aufschlge und Rabatte, die Aufwendungen fr Bedienung, Instandhaltung und Ersatzteile [1] sowie die zu erwartende Nutzungsdauer (Richtwerte s. VDI-Richtlinie 2067). Beim Berechnen des Strom-, Wrme- und Kltebedarfs sowie des kalten und warmen Brauchwassers fr die klte-, wrmeund raumlufttechnischen Anlagen sind Außenluftzustnde sowie externe und interne Belastungen im Jahresverlauf (TestReferenzjahr, TRY-Daten [2]) zu bercksichtigen. Diese Werte knnen bei komplexen energiesparenden Systemen praktisch nur mit Rechenprogrammen ausreichend genau und rationell erfasst werden [3]. Insbesondere ist auch das Teillastverhalten, abhngig von den jeweiligen Betriebsbedingungen des konzipierten Systems, wirklichkeitsgetreu zu bewerten. Das Einsetzen von Mittelwerten kann zu gravierenden Fehlern fhren, wie sich oft herausgestellt hat; z. B. hhere Khllasten bei starker Besucherfrequenz, geringerer Warmwasserbedarf fr Restaurants, geringere mgliche Betriebsstundenzahl fr Wrmepumpenbetrieb wegen berschreitens der Einsatzgrenze u. a. Das bewertbare Ergebnis der Wirtschaftlichkeitsberechnung sind die Jahreskosten, die sich aus Kapital- und Betriebskosten zusammensetzen: Kapitalkosten = Kapitaldienst aus Abschreibung und Verzinsung fr die technischen Anlagen und die zugehrigen bauseitigen Aufwendungen. Betriebskosten = Energiekosten und Kosten fr das Betreiben und Instandhalten der Anlagen (Bedienungs-, Wartungs-, Reparatur-, Ersatzteil- und Betriebsmittelkosten sowie Kosten fr allgemeine Verwaltung, Versicherungen und Gebhren). Bei den als Kapitalrckfluss-, Annuitten- und als Barwert(Kapitalwert-)Methode bekannten Verfahren wird die Amor-
Beispiel: Berechnung des Zinssatzes: Der erreichbare Kapitaldienst bei n=16 Jahren angenommener Nutzungsdauer und Gleichheit der Jahreskosten von dem installierten System und der Vergleichsanlage soll 132 300,– Euro/a betragen. Kapitaldienstfaktor fr ein eingesetztes Kapital von 882 000,– Euro: k¼
132 300; ¼ 0;15: 882 000;
Zinsfuß p ¼ 12;95 aus Tabelle der jhrlichen nachtrglichen Annuitten entnehmen, interpolieren und Kontrollrechnung nach k¼
ðq 1Þ qn p mit q ¼ 1 þ durchfhren; ðqn 1Þ 100
ergibt: k ¼ 0;151. Ohne Benutzen der Tabelle der jhrlichen Annuitten: Der mathematische Weg fhrt zur Gleichung (n þ 1)ten Grads, die z. B. mit Hilfe der „Regula falsi“ annhernd gelst werden muss. y ¼ f ðxÞ ¼ qnþ1 ðk þ 1Þ qn þ k: x ¼ q; angenommen q1 ¼ a; q2 ¼ b; bei n ¼ 16; x : a ¼ 1;12 b ¼ 1;13 y : f ðaÞ ¼ 0;0339 f ðbÞ ¼ 0;0086 ðb aÞ f ðaÞ 0;01 ð0;0339Þ ¼ 1;12 þ ¼ 1;12798: xm ¼ a þ f ðaÞ f ðbÞ ð0;0339 0;0086Þ p ¼ 100 ðxm 1Þ ¼ 12;798: Restwert mit y ¼ f ðxm Þ bestimmen; ergibt 0; 00123. Probe mit Formel fr „k“ (s. o.) durchfhren; ergibt: k¼
ð1;12798 1Þ 1;1279816 ¼ 0;14979: ð1;1279816 1Þ
Abweichung vernachlssigbar gering!
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Anhang M: Diagramme und Tabellen
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9 Anhang M: Diagramme und Tabellen
Anh. M 1 Tabelle 1. Klimadaten nach [1]
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Klimatechnik – 9 Anhang M: Diagramme und Tabellen
Anh. M 2 Tabelle 1. Mittlere Zahl der Sonnenscheinstunden pro Einzelmonat und Jahr Zeitraum 1951 bis 1970 nach DIN 4710
Anh. M 2 Tabelle 2. Gesamtstrahlung durch einfach verglaste Flchen in W/m2 nach VDI-Richtlinie 2078, a Trbungsfaktor
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I10 Spezielle Literatur
10 Spezielle Literatur zu M 1 Grundlagen [1] Jurksch, G.: Langjhrige Durchschnittswerte heiztechnischer Kenngrßen fr ausgewhlte Orte der BRD. Heizung – Lftung – Haustechnik 27 (1976) 5–9. – [2] Fanger, P. O.: Thermal Comfort. New York: McGraw-Hill 1973. – [3] Rietschel; Raiß: Heiz- und Klimatechnik 15. Aufl., Bd. 1 u. 2. Berlin: Springer 1968, 1970. – [4] Recknagel/Sprenger, Hnmann: Taschenbuch fr Heizungs- und Klimatechnik, 66. Aufl. Mnchen: Oldenbourg 1992/93. – [5] MAK-Wertliste vom Bundesminister fr Arbeit und Sozialordnung, Bundesinstitut fr Arbeitsschutz Koblenz. – [6] Wenzel, H. G.: Die Einwirkung des Klimas auf den arbeitenden Menschen. Heizung – Lftung – Haustechnik 13 (1962) 149–359. – [7] Deutscher Klte- und Klimatechnischer Verein (DKV): „Das FCKWOzon-Problem“ und Mglichkeiten der Emissionsreduzierung von Fluorchlorkohlenwasserstoffen fr die Klte-, Klimaund Wrmepumpentechnik. DKV-Statusbericht 2, 08.87. – [8] Obert, W.: Kryopumpen. Ki Klima-Klte-Heizung 9 (1989) 393–399. – [9] Maier-Laxhuber, P.; Kaubek, F.: Von der Entdeckung zur Anwendung: Das neue, umweltfreundliche Kltestoffpaar Zeolith/Wasser. Ki Klima-Klte-Heizung 1 (1985) 23–26. – [10] VDI-Wrmeatlas, Abschn. Mh. 4. Aufl. Dsseldorf: VDI-Verlag 1984. – [11] Bttcher, C.: „Freie Khlung“ mit ventilatorbelfteten Khltrmen – eine energiesparende Klteerzeugung bei niedrigen Außenluftzustnden. Ki Klima-Klte-Heizung 5 (1987) 238–242. – [12] Kruse, H.: Derzeitiger Stand der FCKW-Problematik – mgliche Ersatzstoffe und ihre Bewertung. Ki Klima-Klte-Heizung 7/8 (1989) 343–346. – [13] Hesse, U.; Kruse, H.: Das FCKW-Problem fr die Kltetechnik. Ki Klima-Klte-Heizung 5 (1988) 173–177. – [14] DKV aktuell 05: Derzeitiger Stand der FCKW-Problematik. Stuttgart: Deutscher Klteund Klimatechnischer Verein e. V., 1989. – [15] Deutscher Klte- und Klimatechnischer Verein (DKV): Beitrag der deutschen Klte- und Klima- und Wrmepumpentechnik Verringerung der Treibhausbelastung bis zum Jahr 2005 (TEWI-Bericht). Statusbericht Nr. 13. – [16] RENISO Kltemaschinenle. Fuchs Tech. Mitt. FTM 120, 09/1985. – [17] Lenz, H.; Raiß, W.: Warmwasserheizung mit Radiatoren und Konvektoren. Berlin: Ernst 1956. – [18] Bitzer Khlmaschinenbau GmbH, Sindelfingen: Kltemittel-Report 2, berarbeitete Auflage 9/93. – [19] Deutscher Klte- und Klimatechnischer Verein: Sicherheit- und Umweltschutz bei Ammoniak-Klteanlagen. DKV-Statusbericht Nr. 5. 4. Aufl. 01/93. Normen: DIN 1946 Teil 1: Raumlufttechnik, Grundlagen. – DIN 1946 Teil 2: Raumlufttechnik, Gesundheitstechnische Anforderungen. – DIN 1946 Teil 4: Raumlufttechnische Anlagen in Krankenhusern. – DIN 4109: Schallschutz im Hochbau. – DIN 4710: Meteorologische Daten. – DIN 33 403: Klima am Arbeitsplatz und in der Arbeitsumgebung. – DIN 5035: Innenraumbeleuchtung bei knstlichem Licht. – E DIN 7003: Klteanlagen und Wrmepumpen mit brennbaren Kltemitteln der Gruppe L 3. – DIN 8941: Formelzeichen, Einheiten und Indizes fr die Kltetechnik. – DIN 8943: Prfung von Stoffen fr den Kltemittelkreislauf; Bestimmung der mit Lsungsmittel extrahierbaren Bestandteile. – DIN 8944: Prfung von Stoffen fr den Kltemittelkreislauf; Bestimmung der mit Kltemittel extrahierbaren Bestandteile. – DIN 8960: Kltemittel; Anforderungen. – DIN 8962: Kltemittel; Kurzzeichen. – DIN 8972 Teil 1: Fließbilder kltetechnischer Anlagen; Fließbildarten, Informationsinhalt. – DIN 8972 Teil 2: Fließbilder kltetechnischer Anlagen; zeichnerische Ausfhrung, graphische Symbole. – DIN 51 351: Prfung von Schmierstoffen; Bestimmung des Flockpunktes von Kltemaschinen-len. – DIN 51 503 Teil 1: Schmier-
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stoffe; Kltemaschinen-le; Mindestanforderungen. – DIN 51 503 Teil 2: Schmierstoffe; Kltemaschinen-le; Gebrauchte Kltemaschinen-le. – DIN 51 590 Teil 1: Prfung von Schmierstoffen; Bestimmung des Gehaltes an R12-Unlslichem in Kltemaschinen-len; Verfahren bei –30 C. – DIN 51 590 Teil 2: Prfung von Schmierstoffen; Bestimmung des Gehaltes an R12-Unlslichem in Kltemaschinen-len; Verfahren bei –40 C. – DIN 51 593: Prfung von Schmierstoffen; Prfung von Kltemaschinenlen auf Kltemittel-Bestndigkeit (Philipp-Test). VDI-Richtlinien: VDI-Richtlinie 2052: Raumlufttechnische Anlagen fr Kchen. – VDI-Richtlinie 2053: Lftung von Garagen und Tunneln. – VDI-Richtlinie 2058, Bl. 3: Beurteilung von Lrm unter Bercksichtigung unterschiedlicher Ttigkeiten. – VDI-Richtlinie 2081: Geruscherzeugung und Lrmminderung in raumlufttechnischen Anlagen. – VDI-Richtlinie 2082: Lftung von Geschftshusern und Verkaufssttten. – VDI-Richtlinie 2085: Lftung von großen Schutzrumen. – VDI-Richtlinie 2088: Lftungsanlagen fr Wohnungen. – VDI-Richtlinie 2262: Staubbekmpfung am Arbeitsplatz. – VDI-Richtlinie 2310: Maximale Immissionswerte. – VDIRichtlinie 3802: Raumlufttechnische Anlagen fr Fertigungssttten. Gesetzliche und behrdliche Vorschriften: Die Arbeitssttten-Verordnung. – Die Arbeitssttten-Richtlinie (ASR) 6/1,3 Raumtemperaturen. – Arbeitssttten-Richtlinie (ASR) 5 Lftung. – ZH 1/535: Sicherheitsregeln fr Bro-Arbeitspltze. – Gertesicherheitsgesetz; Gesetz ber technische Arbeitsmittel (GSG) vom 23. Oktober 1992, gendert am 14.9.1994. – Verordnung ber Druckbehlter, Druckgasbehlter und Fllanlagen (Druckbehlterverordnung – Druckbeh V) vom 27.02.1980. – E ISO 5149 Sicherheitstechnische Anforderungen an Klteanlagen und Wrmepumpen; ISO/DP 5149, Ausgabe 1987. – UVV VBG 20 Unfallverhtungsvorschriften. Klteanlagen, Wrmepumpen, Khleinrichtungen. – VBG 20 DA Durchfhrungsanweisungen zur Unfallverhtungsvorschrift „Klteanlagen, Wrmepumpen und Khleinrichtungen“. – Gesetz ber die Vermeidung und Entsorgung von Abfllen (Abfallgesetz AbfG) vom 27.08.86. – FKWMerkblatt Merkblatt fr den Umgang mit Fluorkohlenwasserstoffen. Hauptverband der gewerblichen Berufsgenossenschaften. zu M 2 Berechnungs- und Bemessungsgrundlagen der Heizund Raumlufttechnik [1] Schrameck, E.-R. (Hrsg.).: Taschenbuch fr Heizung und Klimatechnik 2005/06, 72. Aufl. Mnchen: Oldenbourg 2004. – [2] Masuch, J.: Die Bercksichtigung von Wrmespeichervorgngen in den VDI-Khllastregeln. Heizung – Lftung – Heiztechnik 21 (1970) 430–434. – [3] Fitzner, K.: Luftstrmungen in Rumen mittlerer Hhe bei verschiedenen Arten von Luftauslssen. Gesundheits-Ingenieur 97 (1976) 293–300. – [4] Paikert, P.: Erfahrungen bei der Projektierung von Luftkhlern mit digitalen Rechnern. Kltetechnik 23 (1971) 8–14. – [5] Rietschel/Raiß: Heiz- und Lftungstechnik, 15. Aufl., Bd. 2 Berlin: Springer 1970. – [6] Kopp, W.: Regelung des Heizwasserdurchsatzes in Gebude-Heizungsanlagen bei Fernwrmeversorgung. Heizung – Lftung – Haustechnik 22 (1971) 42–47. – [7] Ra´ko´czy, T.: Optimierung von Kanlen fr raumlufttechnische Anlagen. Ki 6 (1977). – [8] Ra´ko´czy, T.: Kanalnetzberechnungen raumlufttechnischer Anlagen. Dsseldorf: VDI-Verlag 1979. – [9] Regenscheit, B.: Die Berechnung von radial strmenden Freiund Wandstrahlen sowie von Rechteckstrahlen. GesundheitsIngenieur 72 (1971) 193–201. – [10] Regenscheit, B.: Die Archimedeszahl. Gesundheits-Ingenieur 71 (1970) 172–177. – [11] Ra´ko´czy, T.: Aufbau, Funktion und Einsatz von lftungstechnischer Anlagen mit variablen Volumenstrom. Gesundheits-Ingenieur 95 (1974) H. 7 u. 8. – [12] Bouwmann, H. B.;
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Klimatechnik – 10 Spezielle Literatur
van Guest, E.: Die Luftbewegung in der großen Konzerthalle „Die Doelen“ in Rotterdam. Kltetechnik – Klimatisierung 19 (1967) 257–263. – [13] N. N.: Neues Laboratorium fr Klimatechnik. Heizung – Lftung – Haustechnik 26 (1975) 150/151. Normen: DIN 4108: Wrmeschutz im Hochbau. – DIN 4701: Regeln fr die Berechnung des Wrmebedarfs von Gebuden. Teil 1: Grundlagen der Berechnung; Teil 2: Tabellen, Bilder, Algorithmen. – DIN 1946 Teil 2: Raumlufttechnik, Gesundheitstechnische Anforderungen (VDI-Lftungsregeln). – DIN 1946 Teil 4: Raumlufttechnische Anlagen (VDI-Lftungsregeln) Raumtechnische Anlagen in Krankenhusern. – DIN 1946 Blatt 5: Lftungstechnische Anlagen (VDI-Lftungsregeln) Lftung von Schulen. – DIN 18 017 Teil 1, 3, 4: Lftung von Bdern und Splaborten ohne Außenfenster. VDI-Richtlinien: VDI-Richtlinie 2078: Berechnung der Khllast klimatisierter Rume (VDI-Khllastregeln). – VDI-Richtlinie 2087: Luftkanle, Bemessungsgrundlagen, Schalldmpfung, Temperaturabfall und Wrmeverluste. – VDI-Richtlinie 2089 Blatt 1: Heizung, Raumlufttechnik und Brauchwasserbereitung in Hallenbdern. – VDI-Richtlinie 3802: Raumlufttechnische Anlagen fr Fertigungssttten. Gesetzliche und behrdliche Vorschriften: Energie-Einsparungsgesetz vom 3.6.1976. – Wrmeschutz-Verordnung vom 11.8.1977. – Arbeitssttten-Richtlinie (ASR) 5 – Lftung.
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zu M 3 Systeme und Bauteile der Heizungstechnik [1] Marx, E.: Wirtschaftliche Betriebsweise von l-Gasbrennern in grßeren Leistungsbereichen unter Bercksichtigung der Entlastung der Umwelt durch Emissionen. Heizungs-Journal 2 (1988) 26–35. – [2] Schmidt, P.: Fußbodenheizsysteme. Gesundheits-Ingenieur 1 u. 2 (1985) 7–11 u. 74–78. – [3] Laing, K.: Bringt die Systemtrennung eine Trendwende bei der Fußbodenheizung. Heizungs-Journal 1986. – [4] Mller, F.: Der Montagestand der Solartechnik. Klima Ingenieure 5 (1985) 199–203. – [5] Zentralverband Sanitr Heizung Klima (ZVSHK): Richtlinien fr den Kachelofenbau. St. Augustin 1984. – [6] Zentralverband Heizungskomponenten e. V. (ZVH): Richtlinie 12.02 fr Membrandruckausdehnungsgefße. Ennepetal-Voerde 1986. – [7] Mann, W.: Niedertemperaturstahlheizkessel. Wrmetechnik 5 (1988) 216–221. – [8] Jannemann, T.: Entwicklungsstand der Brennwerttechnik. Heizung Lftung Haustechnik 10 (1985) 501–506. – [9] Marx, E.: Messungen und Reduzierung von Emissionen in Feuerungsanlagen in kleinen Leistungsbereichen. Wrmetechnik 4 (1983) 262–268. – [10] Rolles, W.: Die bivalente Wrmepumpenanlage. Elektrowrme im technischen Ausbau 35 (1977) A5, A286–A290. – [11] Dietrich, B.: Brauchwassererwrmung mit Sonnenenergie. Heizung, Lftung. Haustechnik 28 (1977) 331–336. – [12] Mayer, E.: Elektronische Heizkrperregelung. Klima-Klte-Heizung 7–8 (1988) 335– 338. – [13] Kreuzberg, J.: Die neue Heizkostenverordnung und ihr Zusammenhang mit weiteren Folgerungen aus der Energie-Sparpolitik. Heizung Lftung Haustechnik 7 (1984) 307–316. – [14] Goettling, D.; Kuppler, F.: Heizkostenverteilung. Technische Grundlagen und praktische Anwendung. KWK43. Karlsruhe: Mller. Normen (Auswahl): DIN 2403: Kennzeichnung von Rohrleitungen nach dem Durchflussstoff. – DIN 2404: Kennfarben fr Heizungsrohrleitungen. – DIN 2428: Rohrleitungszeichnungen. – DIN 3018: lstandsanzeiger. – DIN 3258: Flammenberwachung an Gasgerten. – DIN 3320 Teil 1: Sicherheits-Absperrventile; Begriffe; Grßenbemessung; Kennzeichnung. – DIN 3334/35/36: Heizungsmischer; Baumaße. – DIN 3364 Teil 1: Gasverbrauchseinrichtungen; Raumheizer; Begriffe; Anforderungen, Kennzeichnung; Prfung; Teil 2: Gasgerte; Raumheizer; Schornsteingebundene Heizeinstze
mit atmosphrischen Brennern. – DIN 3368 Teil 2: Gasgerte; Umlauf-/Kombi-Wasserheizer; Anforderung; Prfung; Teil 4: Gasverbrauchseinrichtungen; Durchlauf-Wasserheizer mit selbstttiger Anpassung der Wrmebelastung; Anforderung und Prfung; Teil 5: Gasgerte; Wasserheizer mit geschlossener Verbrennungskammer und mechanischer Verbrennungsluftzufhrung o. mechanischer Gasabfhrung; Anforderung und Prfung. – DIN 3372 Teil 1–4: Gasverbrauchseinrichtungen; Heizstrahler mit Brennern ohne Geblse; Teil 6: Gasgerte; Heizstrahler; Dunkelstrahler mit Brennern mit Geblse. – DIN 3394 Teil 1: Automatische Stellgerte, Ventile; Sicherheits-Absperreinrichtungen, Gruppen A, B, C; Sicherheitstechnische Anforderungen und Prfung. – DIN 3398 Teil 1– 4: Druckwchter fr Gas in Gasverbrauchseinrichtungen; Sicherheitstechnische Anforderungen, Prfung. – DIN 3440: Temperatur-Regel- und -Begrenzungseinrichtungen fr Wrmeerzeugungsanlagen; Sicherheitstechnische Anforderungen und Prfung. – DIN 3841 Teil 1: Heizungsarmaturen; Heizkrperventile PN 10; Maße; Werkstoffe; Ausfhrung. – DIN 3842: Heizkrperverschraubungen PN 10. – DIN 4140 Teil 1, 2: Dmmen betriebstechnischer Anlagen; Wrmedmmung, Kltedmmung. – DIN 4701 Teil 1: Regeln fr die Berechnung des Wrmebedarfs von Gebuden; Grundlagen der Berechnung; Teil 2: Tabellen; Bilder; Algorithmen; Teil 3: Auslegung der Raumheizeinrichtungen. – DIN 4702 Teil 1: Heizkessel; Begriffe; Nennleistung; Heiztechnische Anforderungen; Kennzeichnungen; Teil 2: Prfregeln; Teil 3: GasSpezialheizkessel mit Brenner ohne Geblse. – DIN 4703 Teil 1: Raumheizkrper; Maße; Normwrmeleistungen; Teil 3: Begriffe; Grenzabmessungen; Umrechnungen; Einbauhinweise. – DIN 4704 Teil 1–4: Prfung von Raumheizkrpern; Prfregeln. – DIN 4705 Teil 1–3: Berechnung von Schornsteinabmessungen; Begriffe; Berechnungsverfahren. – DIN 4713 Teil 1–4: Verbrauchsabhngige Wrmekostenberechnung; Allgemeines; Begriffe; Teil 5: Betriebskostenverteilung und Abrechnung. – DIN 4714 Teil 2: Aufbau der Heizkostenverteiler; Heizkostenverteiler nach dem Verdunstungsprinzip. – DIN 4725 Teil 1–4: Warmwasser-Fußbodenheizung; Begriffe, Prfung, Auslegung, Konstruktion. – DIN 4731: lheizeinstze mit Verdampfungsbrennern; Begriffe; Bau; Leistung; Gte und Prfung. – DIN 4732: lherde mit Verdampfungsbrennern. – DIN 4733: lspeicher – Wasserheizer mit Verdampfungsbrennern. – DIN 4736 Teil 1, 2: lversorgungsanlagen fr lbrenner; Bauelemente; lfrderaggregate; Steuer- und Sicherheitseinrichtungen; lversorgungsbehlter; Sicherheitstechnische Anforderungen und Prfung. – DIN 4737 Teil 1, 2: lregler fr Verdampfungsbrenner; Sicherheitstechnische Anforderungen u. Prfung. – DIN 4739 Teil 2, 3: Regel-, Steuer- und Zndeinrichtungen fr lverdampfungsbrenner; Elektrische Steuergerte; Sicherheitstechnische Anforderungen und Prfung. – DIN 4750: Sicherheitstechnische Anforderungen an Niederdruckdampferzeuger. – DIN 4751 Teil 1–4: Heizungsanlagen; Sicherheitstechnische Ausrstung von Warmwasserheizungen mit Vorlauftemperaturen bis 110 C. – DIN 4752: Heißwasser-Heizungsanlagen mit Vorlauftemperaturen ber 110 C (Absicherung auf Drcke ber 0,5 at); Ausrstung und Aufstellung. – DIN 4753 Teil 1–11: Wassererwrmer und Wassererwrmungsanlagen fr Trink- und Betriebswasser; Anforderungen; Kennzeichnungen, Ausrstung und Prfung, Korrosionsschutz, Wrmedmmung. – DIN 4754: Wrmebertragungsanlagen mit organischen Flssigkeiten; Sicherheitstechnische Anforderungen und Prfung. – DIN 4755 Teil 1, 2: lfeuerungsanlagen; lfeuerungen in Heizungsanlagen; Sicherheitstechnische Anforderungen. – DIN 4756: Gasfeuerungsanlagen; Gasfeuerungen in Heizungsanlagen; Sicherheitstechnische Anforderungen. – DIN 4757 Teil 1: Sonnenheizungsanlagen; mit Wasser oder Wassergemischen als Wrmetrger; Anforderungen an die sicherheitstechnische Ausfhrung. – Teil 2: mit organischen Wrmetrgern; Teil 3: Sonnenkollek-
I10 Spezielle Literatur toren; Begriffe; Sicherheitstechnische Anforderungen; Prfung der Stillstandstemperatur; Teil 4: Best. von Wirkungsgrad, Wrmekapazitt und Druckabfall. – DIN 4759 Teil 1: Wrmeerzeugungsanlagen fr mehrere Energiearten; Eine Feststoff-Feuerung und eine l- oder Gas-Feuerung und nur ein Schornstein; Technische Anforderungen und Prfung; Teil 2: Einbindung von Wrmepumpen mit elektrisch angetriebenen Verdichtern in bivalent betriebenen Heizungsanlagen. – DIN 4787 Teil 1: lzerstubungsbrenner; Begriffe; Sicherheitstechnische Anforderungen; Prfung; Kennzeichnung. – DIN 4788 Teil 1–3: Gasbrenner; Gasbrenner ohne und mit Geblse, Flammenberwachungseinrichtungen. – DIN EN 226: lzerstubungsbrenner; Anschlussmaße zw. Brenner und Wrmeerzeuger; Deutsche Fassung EN 226: 1987. – DIN 4794 Teil 1–3, 5, 7: Ortsfeste Warmlufterzeuger; mit und ohne Wrmeaustauscher; Allgemeine und lufttechn. Anforderungen; Prfung, Sicherheitstechn. Anforderungen. – DIN 4795: Nebenluftvorrichtungen fr Hausschornsteine; Begriffe; Sicherheitstechnische Anforderungen; Prfung; Kennzeichnung. – DIN 4797: Heiz- und Raumlufttechnik; Nachstrmffnungen; Bestimmung des Strmungswiderstandes. – DIN 4798: Schlauchleitungen fr Heizl EL; Sicherheitstechnische Anforderungen; Prfung; Kennzeichnung. – DIN 4800: Doppelwandige Wassererwrmer; aus Stahl mit zwei festen Bden fr stehende und liegende Verwendung. – DIN 4801: Einwandige Wassererwrmer mit abschraubbarem Deckel; aus Stahl. – DIN 4803: Doppelwandige Wassererwrmer; mit abschraubbarem Deckel; aus Stahl. – DIN 4805 Teil 1, 2: Anschlsse fr Heizeinstze fr Wassererwrmer in zentralen Heizungsanlagen; el. Heizeinstze. – DIN 4806: Ausdehnungsgefße; fr Heizungsanlagen. – DIN 4807 Teil 1: Begriffe; Gesetzliche Bestimmungen; Prfung und Kennzeichnung; Teil 2: offene und geschlossene Ausdehnungsgefße fr Wasserheizungsanlagen; Auslegung; Anforderungen und Prfung; Teil 3: Membranen aus elastomeren Werkstoffen; Anforderungen und Prfung. – DIN 4809 Teil 1, 2: Kompensatoren aus elastomeren Verbundwerkstoffen fr Wasserheizungsanlagen; fr eine max. Betriebstemperatur von 100 C und einen zulssigen Betriebsdruck von 10 bar; Anforderungen und Prfung, Bau- und Anschlussmaße. – DIN 6608 Teil 1, 2: Liegende Bltter (Tanks) aus Stahl; fr die unterirdische Lagerung wassergefhrdender, brennbarer und nichtbrennbarer Flssigkeiten. – DIN 6618 Teil 1–4: Stehende Behlter (Tanks) aus Stahl; fr oberirdische Lagerung brennbarer Flssigkeiten. – DIN 6619 Teil 1, 2: Stehende Behlter; fr unterirdische Lagerung brennbarer Flssigkeiten. – DIN 6620 Teil 1, 2: Batteriebehlter (Tanks) aus Stahl; fr oberirdische Lagerung brennbarer Flssigkeiten der Gefahrenklasse AIII; Behlter. – DIN 6622 Teil 1–3: Haushaltsbehlter (Tanks) aus Stahl; fr oberirdische Lagerung von Heizl. – DIN 6223 Teil 1, 2: Stehende Behlter aus Stahl; mit weniger als 1 000 l Volumen; fr oberirdische Lagerung brennbarer Flssigkeiten. – DIN 6624 Teil 1, 2: Liegende Behlter aus Stahl; von 1 000 bis 5 000 l Volumen; fr oberirdische Lagerung brennbarer Flssigkeiten der Gefahrenklasse AIII. – DIN 6625 Teil 1, 2: Standortgefertigte Behlter (Tanks) aus Stahl; fr die oberirdische Lagerung von wassergefhrdenden, brennbaren Flssigkeiten der Gefahrenklasse AIII und wassergefhrdenden, nicht brennbaren Flssigkeiten; Bau- und Prfgrundstze, Berechnung. – DIN 18 147 Teil 1–5: Baustoffe und Bauteile fr dreischalige Hausschornsteine; Beschreibung; Prfung und Registrierung von Schornsteinsystemen, Dmmstoffe. – DIN 18 150 Teil 1, 2: Baustoffe und Bauteile fr Hausschornsteine; Formstcke aus Leichtbeton; einschalige Schornsteine; Anforderungen. – DIN 18 160 Teil 1, 2, 5, 6: Hausschornsteine; Anforderungen; Planung und Ausfhrung, Prfbescheinigungen. – DIN 18 880 Teil 1, 2: Dauerbrandherde fr feste Brennstoffe; zur bevorzugten
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Verfeuerung von Kohleprodukten; Anforderungen; Prfung; Kennzeichnung. – DIN 18 882 Teil 1: Heizungsherde fr feste Brennstoffe; Verfeuerung von Kohleprodukten. – DIN 18 889 Speicher-Kohle/Wasser-Heizer; drucklos fr 1 At Prfdruck; Begriffe; Bau; Gte; Leistung; Prfung. – DIN 18 890 Dauerbrandfen fr feste Brennstoffe. – DIN 18 891 Kaminfen fr feste Brennstoffe. – DIN 18 892 Teil 1, 2: Dauerbrand-Heizeinstze fr feste Brennstoffe. – DIN 18 893 Raumheizvermgen von Einzelfeuersttten; Nherungsverfahren zur Ermittlung der Feuerstttengrße. – DIN 32 725 Teil 1: Sicherheits-Absperreinrichtungen fr Feuerungsanlagen mit flssigen Brennstoffen und Flssiggas in der Flssigphase; Sicherheitstechnische Anforderungen und Prfung. – DIN 32 729 Regel- u. Steuereinrichtungen fr Heizungsanlagen; Witterungsgefhrte Regler der Vorlauftemperatur. – DIN 44 567 Teil 1–3: El. Raumheizgerte; Direktheizgerte; Strahlungsheizgerte; Begriffe, Anforderungen, Prfung. – DIN 44 568 Teil 1–3: El. Raumheizgerte; Konvektionsheizgerte mit natrlicher Konvektion; Begriffe, Anforderungen, Prfung. – DIN 44 569 Teil 1–3: El. Raumheizgerte: Konvektionsheizgerte mit erzwungener Konvektion; Begriffe, Anforderungen, Prfung. – DIN 44 570 Teil 1–4: El. Raumheizgerte; Speicherheizgerte mit nicht steuerbarer Wrmeabgabe; Gebrauchseigenschaften; Begriffe, Anforderungen, Prfung, Bemessung. – DIN 44 572 Teil 1–5: El. Raumheizgerte; Speicherheizgerte mit steuerbarer Wrmeabgabe; Gebrauchseigenschaften; Begriffe, Anforderungen, Prfung, Bemessung. – DIN 44 573 El. Raumheizgerte, Anlagen mit Speicherheizung; Begriffe und Klemmenbezeichnungen. – DIN 44 574 Teil 1–6: El. Raumheizgerte; Aufladesteuerung fr Speicherheizung; Gebrauchseigenschaften; Begriffe, Prfung, Anforderungen, Anwendungen. – DIN 44 576 Teil 1–3: El. Raumheizung; Fußboden-Speicherheizung; Gebrauchseigenschaften; Begriffe, Prfungen, Anforderungen, Bemessungen. – DIN 45 635 Teil 56: Geruschmessung an Maschinen; Luftschallemission; Hllflchen- und Kanalverfahren; Warmlfter; Luftheizer, Ventilatorteile von Luftbehandlungsgerten. – DIN 55 900 Teil 1, 2: Beschichtungen fr Raumheizkrper; Begriffe; Anforderungen; Prfung; Grundbeschichtungsstoffe; Industriell hergestellte Grundbeschichtungen. – VDE 0116: Elektrische Ausrstung von Feuerungsanlagen. – VDE 0631: Temperaturregler, Temperaturbegrenzer und hnliche Vorrichtungen. Richtlinien: Technische Regeln fr Gas-Installationen DVGW-TRGI 1972. – VDI-Richtlinie 2035: Verhtung von Schden durch Korrosionen und Steinbildung in Warmwasser-Heizungsanlagen. – VDI-Richtlinie 2050: Heizzentralen; Technische Grundstze fr Planung und Ausfhrung. – VDIRichtlinie 2055: Wrme- und Klteschutz fr betriebs- und haustechnische Anlagen; Berechnungen; Gewhrleistungen, Meß- und Prfverfahren, Gtesicherung, Lieferbedingungen. – VDI-Richtlinie 2076: Leistungsnachweis fr Wrmeaustauscher fr zwei Massenstrme. – VDI-Richtlinie 2089, Bl. 1: Heizung, Raumlufttechnik in Brauchwasserbereitung in Hallenbdern. – VDI-Richtlinie 2089, Bl. 2: Schwimmbder; Wasseraufbereitung fr Schwimmbeckenwasser. – VDIRichtlinie 2115: Auswurfbegrenzung; Zentralheizungskessel mit Koksfeuerung. – VDI-Richtlinie 2116: Emissionsminderung; lfeuerungen mit Zerstubungsbrennern. – VDI-Richtlinie 2117: Auswurfbegrenzung; Feuersttten fr Heizl EL mit Verdampfungsbrenner. – VDI-Richtlinie 2118: Auswurfbegrenzung; Feuersttten fr Einzelheizung mit festen Brennstoffen. – VDI-Richtlinie 2715: Lrmminderung an Warmund Heißwasser-Heizungsanlagen. – VDI-Richtlinie 3811: Aufteilung des Energieverbrauches fr Heizung und Warmwasserbereitung bei kombinierten zentralen Heizungsanlagen. Gesetzliche und behrdliche Vorschriften: Musterbauordnung fr die Lnder des Bundesgebietes, Jan. 1980, Bundesministe-
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Klimatechnik – 10 Spezielle Literatur
rium fr Wohnungsbau. – Musterfeuerungsverordnung, Feuerung, Jan. 1980 (Argebau). – Schornsteinfegergesetz vom 15.09.69 (BGBL. I, S. 1634) und 22.07.76 (BGBL. I, S. 1873). – Druckbehlterverordnung vom 27.02.80 (BGBL. I 1980, S. 173). – Dampfkesselverordnung vom 27.02.80; gendert 27.04.89 (BGBL. I, Nr. 20/1989, S. 830/842). – Verordnung ber brennbare Flssigkeiten (VbF) vom 27.02.89 (BGBL. I, S. 173). – Technische Regeln fr brennbare Flssigkeiten (TRbF) vom April 1980. – Gesetz zur Ordnung des Wasserhaushaltes (Wasserhaushaltsgesetz) vom 16.10.76 und 23.09.86. – Technische Anleitung zum Schutz gegen Lrm (TA Lrm). (Allgemeine Verwaltungsvorschrift ber genehmigungsbedrftige Anlagen nach § 16 der Gewerbeordnung). Bek. der Bundesregierung vom 16.07.68 (Bundesanzeiger Nr. 137 vom 26.07.68). – Gesetz ber technische Arbeitsmittel (Maschinenschutzgesetz) vom 26.04.68, Bundesgesetzblatt Teil I, 1968, Nr. 42, vom 28.06.68. – Verordnung ber gefhrliche Stoffe (Gefahrstoff-VO) vom 28.08.86. – Bundesimmissionsschutzgesetz vom 15.03.74, Bundesgesetzblatt I, S. 721 und nderung vom 04.03.82 (BGBl. I, S. 281). Hierzu zahlreiche Durchfhrungsverordnungen und Verwaltungsvorschriften u. a.: Erste Allgemeine Verwaltungsvorschrift zum BlmSchG: Technische Anleitung zur Reinhaltung der Luft vom 27.02.86 (TA Luft). Erste Verordnung (Kleinfeuerungsanlagen-Verordnung) vom 28.08.74, 05.02.79, 23.02.83, 24.07.85, Neufassung 15.07.88. Dazu Allgemeine Verwaltungsvorschrift vom 19.10.81. Dritte Verordnung (Schwefelgehalt von leichtem Heizl) vom 15.01.75 und erste Verwaltungs-V. vom 23.06.78. Gendert zum 01.03.88 und 15.07.88. Vierte Verordnung (genehmigungsbedrftige Anlagen) vom 24.07.85. Gendert zum 01.03.88 und 15.07.88. Dreizehnte Verordnung (Verordnung ber Großfeuerungsanlagen) vom 22.06.83. – Energieeinsparungsgesetz der Bundesregierung vom 27.07.76 und 20.06.80. Wrmeschutzverordnung – Wrmeschutz V vom 16.08.1994. Heizungsanlagen-VerordnungHeizAnlV vom 22.03.1994. – Heizkostenverordnung vom 23.02.81 und 05.04.84. Verordnung ber die gebrauchsabhngige Abrechnung der Heiz- und Warmwasserkosten. Novellierung am 20.01.89. zu M 4 Systeme und Bauteile der Raumlufttechnik [1] Frimberger, R.: Einfhrung in Aerodynamik der Bauwerke im Hinblick auf deren Einfluss auf die Funktion von Heizungs- und Lftungsanlagen, DVGW-Schriftenreihe (1975) Nr. 12, S. 7–24. – [2] Marchand, D.: Natrliche Lftung von Arbeitsrumen, VDI-Bildungswerk, Lehrgang 42-03, Beitrag Nr. 1726. Dsseldorf: VDI-Verlag 1970. – [3] Hansen, N.: Die Lftung von Werkshallen, Lftungstechnik und Klimaanlagen, H. 151. Essen: Vulkan 1967. – [4] Hausladen, G.: Wohnungslftung. Fortschrittsber. VDI-Z. Reihe 6 Nr. 73. Dsseldorf: VDI-Verlag 1980. – [5] Ra´ko´czy, T.: Entwicklungstendenzen der Luftdurchlsse bei raumlufttechnischen Anlagen. Klima-Klte-Heizung (Ki) (1980) 924–931. – [6] Lampe, E.; Pfeil, H.; Schmittlutz, R.; Tokarz, M.: Lftungsund Klimaanlagen in der Bauplanung. Berlin: Bau-Verlag 1974. – [7] Pielke, R.: Luftkanle, Lftungsrohre, Schluche, Blge, Dichtungsmaterial, Befestigungsmaterial. Sanitr-, Heizungs- und Klimatechnik (sbz) (1970) H. 20. – [8] Mrmann, H.: Auslegung von Luftfiltern. TAB (1979) 223–225. – [9] GEA (Luftkhler-Gesellschaft Happel), Werksunterlagen: GEA-Lufterhitzer – Luftkhler – Stahl, verzinkt, Kupfer/Aluminium; GEA-Lufterhitzer – Luftkhler – Stahl, verzinkt, Konstruktions-Richtlinien; Kupfer-Aluminium-Konstruktions-Richtlinien. – [10] Henne, E.: Luftfeuchtung. Karlsruhe: Mller 1972. – [11] Iselt, P.: Planung und Ausfhrung von Dampfluftbefeuchtungsanlagen. Ki (1979) 807– 812. – [12] Netz, H.: Luftbefeuchtung. Heizung – Lftung – Haustechnik 12 (1961) 139–141. – [13] Kurtze, G.: Physik und Technik der Lrmbekmpfung, 2. Aufl. Karlsruhe: Braun
1975. – [14] Rox, Kln, Werksunterlagen: Prospekt Nachbehandlungsgerte. Kln 1980. – [15] Brockmeyer, H.: Wrmerckgewinnung in lftungstechnischen Anlagen am Beispiel des Klein-Wrmepumpen-Systems Versatemp. elektrowrme international 28 (1970) 82–85. – [16] Jahrbuch der Wrmerckgewinnung, 5. Ausgabe. Essen: Vulkan 1985/86. – [17] Steinbach, W.: Wrmerckgewinnung und Maßnahmen zur Energieeinsparung in Großbauten. elektrowrme international 36 (1978) 313–319. – [18] Ra´ko´czy, T.: Volumenstromregelung im Kanalnetz und am Ventilator. Gesundh.-Ing. 97 (1976) 153–163. – [19] Ra´ko´czy, T.: RLT-Anlagen mit Fensterlftung und Khlung. Heizung – Lftung – Haustechnik 40 (1989) Nr. 3.. Normen: DIN 1946 T 1: Raumlufttechnik, Grundlagen. – DIN 4102 T 6: Brandverhalten von Baustoffen und Bauteilen; Lftungsleitungen, Begriffe, Anforderungen und Prfungen. – DIN 8957 T 1–4: Raumklimagerte. – DIN 18 017 T 1: Lftung von Bdern und Splaborten ohne Außenfenster; Einzelschaltanlagen ohne Ventilatoren. – DIN 18 017 T 3: Lftung von Bdern und Splaborten ohne Außenfenster mit Ventilatoren. – DIN 18 017 T 4: Lftung von Bdern und Splaborten ohne Außenfenster mit Ventilatoren; rechnerischer Nachweis der ausreichenden Volumenstrme. – DIN 18 032 T 1: Sporthallen, Hallen fr Turnen und Spiele; Richtlinien fr Planung und Bau. – DIN 18 910: Klima in geschlossenen Stllen; Wasserdampf und Wrmehaushalt im Winter, Lftung, Beleuchtung. – DIN 24 145: Lufttechnische Anlagen; Wickelfalzrohre, Anschlussenden, Verbinder. – DIN 24 146 T 1 u. 3: Lufttechnische Anlagen, flexible Rohre. – DIN 24 147 T 1– 13: Lufttechnische Anlagen, Formstcke. – DIN 24 151: Lufttechnische Anlagen; Rohre fr Schweißverbindungen. – DIN 24 152: Lufttechnische Anlagen; Rohre fr Falzverbindungen. – DIN 24 153: Lufttechnische Anlagen; Rohre fr Brdelverbindungen. – DIN 24 154 T 2–5: Lufttechnische Anlagen; Flachflansche. – DIN 24 155 T 2–4: Lufttechnische Anlagen; Winkelflansche. – DIN 24 190: Kanalbauteile fr lufttechnische Anlagen; Blechkanle gefalzt, geschweißt. – DIN 24 191: Blechkanal-Formstcke, gefalzt, geschweißt. – DIN 24 194 T 1: Dichtheitsprfung fr Blechkanle und Blechkanal-Formstcke. – DIN 25 414: Lftungstechnische Anlagen in Kernkraftwerken, Sicherheitstechnische Anforderungen. – DIN 4740 T 1: Raumlufttechnische Anlagen; Rohre aus weichmacherfreiem Polyvinylchlorid (PVC-U); Mindestwanddicken. – DIN 4741 T 1: Raumlufttechnische Anlagen; Rohre aus Polypropylen (PP); Mindestwanddicken. – DIN 24 184: Typprfung von Schwebstoff-Filtern. – DIN 24 185: Prfung von Luftfiltern. – DIN 18 379: VOBVerdingungsordnung fr Bauleistungen, Teil C: Allgemeine technische Vorschriften fr Bauleistungen; Raumlufttechnische Anlagen. Richtlinien: VDI-Richtlinie 2051: Raumlufttechnik in Laboratorien. – VDI-Richtlinie 2052: Lftung von Kchen. – VDIRichtlinie 2053: Lftung von Garagen und Tunneln. – VDIRichtlinie 2071, Bl. 1: Wrmerckgewinnung in raumlufttechnischen Anlagen; Begriffe und technische Beschreibungen. – VDI-Richtlinie 2071, Bl. 2: Wrmerckgewinnung in raumlufttechnischen Anlagen; Wirtschaftlichkeitsberechnung. – VDI-Richtlinie 2082: Lftung von Geschftshusern und Verkaufssttten. – VDI-Richtlinie 2083: Reinraumtechnik. Bl. 1: Grundlagen, Definition und Festlegung der Reinheitsklassen. Bl. 2: Bau, Betrieb und Wartung. Blatt 3: Meßtechnik. – VDI-Richtlinie 2085: Lftung von großen Schutzrumen. – VDI-Richtlinie 2087: Luftkanle. – VDI-Richtlinie 2088: Lftungsanlagen fr Wohnungen. – VDI-Richtlinie 2089, Bl. 1: Heizung, Raumlufttechnik und Brauchwasserbereitung in Hallenbdern. – VDI-Richtlinie 2262: Staubbekmpfung am Arbeitsplatz. – VDI-Richtlinie 2463, Bl. 1: Messen von Partikeln in der Außenluft, bersicht. – VDI-
I10 Spezielle Literatur Richtlinie 2567: Schallschutz durch Schalldmpfer. – VDIRichtlinie 2711: Schallschutz durch Kapselung. – VDI-VDERichtlinie 3252: Regelung von RLT-Anlagen, Bl. 1: Grundlagen. – VDI-Richtlinie 3802: Raumlufttechnische Anlagen fr Fertigungssttten. – VDI-Richtlinie 3814 Bl. 1: Zentrale Leittechnik fr betriebstechnische Anlagen in Gebuden (ZLTG); Begriffsbestimmungen. – VDI-Richtlinie 3814 Bl. 2: Schnittstellen in Planung und Ausfhrung. – VDI-Richtlinie 3814 Bl. 3: Hinweise fr den Betreiber. – VDI-Richtlinie 3814 Bl. 4: Ausrstung der BTA zum Anschluss an die ZLT-G. – VDI-Richtlinie 3803: Raumlufttechnische Anlagen, Bauliche und Technische Anforderungen. – VDMA-Einheitsbltter: 24 161–24 166: Lufttechnische Gerte und Anlagen; Ventilatoren. – 24 168: Lufttechnische Gerte und Anlagen; Luftdurchlsse, Bestimmung des Luftstromes mit der Druckkompensationsmethode (Null-Methode). – 24 175: Lufttechnische Gerte und Anlagen; Dach-Zentraleinheiten fr die Raumlufttechnik; Anforderungen an das Gehuse. – 24 176: Lufttechnische Gerte und Anlagen: Leistungsprogramm fr die Inspektion. – 24 186: Lufttechnische Gerte und Anlagen; Leistungsprogramm fr die Wartung. – 24 187: Lufttechnische Gerte und Anlagen; Luftfilter; Datenblatt fr Anfragen, Angebot und Bestellung. Gesetzliche und behrdliche Vorschriften: ASR 5: Lftung. – ASR 34, 1–5: Umkleiderume. – ASR 35, 1–4: Waschrume. – ASR 37/1: Toilettenrume. – ASR 38/2: Sanittsrume. – Bundesanzeiger: Technische Grundstze fr Ausfhrung, Prfung und Abnahme von lftungstechnischen Bauelementen in Schutzrumen (Beilage Nr. 25/69 zum Bundesanzeiger Nr. 192 vom 5.10.1969) NRW. – Bauaufsichtliche Richtlinie ber die brandschutztechnischen Anforderungen an Lftungsanlagen (Musterentwurf). zu M 5 Systeme und Bauteile der kltetechnischen Anlagen [1] Jakobs, R. M.: Hermetische Kltemittelverdichter kleiner Leistung. Ki Klima-Klte-Heizung 10 (1989) 466–475. – [2] Bose´e, R.: Der Vielzellen-Rotationsverdichter – Macht der Vielzellen-Rotationsverdichter dem herkmmlichen Kolbenverdichter die Stellung streitig? Ki Klima-Klte-Heizung 11 (1989) 472–477. – [3] Heyer, I.: Schraubenverdichter mit variablem Volumenverhltnis. Ki Klima-Klte-Heizung 6 (1988) 277–284. – [4] Engelhorn, H. R.; Reinhart, A.: Untersuchungen an Platten-Wrmebertragern in einer Klteanlage. Ki Klima-Klte-Heizung 7 u. 8 (1989), 338–341. – [5] ASHRAE: Cooling towers and spray ponds. Guide and Data Book, Fundamentals and Equipment 1965, p. 743–744. – [6] Gesetz zur Ordnung des Wasserhaushaltes (Wasserhaushaltsgesetz – WHG) vom 19.08.2002. Bundesgesetzblatt I, S. 1530. – [7] Paul, J.: Water as Refrigerant and Coolant. Flensburg: Integral Technologie GmbH (1992). – [8] Paul, J.: FLO-ICE, ein Durchbruch in der Klte- und Eistechnologie. Flensburg: Integral Technologie GmbH (1992). – [9] Paul, J.: Betrieb von Klteanlagen mit Wasser als Kltemittel, Binres Eis als Kltetrger. Flensburg: Integral Technologie GmbH (1992). – [10] Backes, E; Krug, N.: FLO-ICE-TEC, Technische Informationen. Magstadt: FLO-ICE.TEC GmbH (1992). – [11] Paul, J.: Wasser als Arbeitsmittel fr Khlanlagen, Wrmepumpen und Abwrmekraftwerke. Luft- und Kltetechnik 1 (1991) 15–25. – [12] Paul, J.: Binary icetechnologies for the production of pumpable ice-slurries. Proc. Institute of Refrigeration London (1992–93). – Normen und Richtlinien: DIN 1947 Wrmetechnische Abnahmemessungen an Nass-Khltrmen (VDI-Khlturm-Regeln). – DIN 2405: Rohrleitungen in Klteanlagen; Kennzeichnung. – DIN 3158: Kltemittel-Armaturen; Sicherheitstechnische Festlegungen; Prfung, Kennzeichnung. – DIN 3167: Raumluft-Entfeuchter; Begriff, Prfung der Gebrauchseigenschaften. – DIN 4140 T 2: Dmmen betriebstechnischer Anlagen;
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Kltedmmung. – DIN 8905 T 1: Rohre fr Klteanlagen mit hermetischen und halbhermetischen Verdichtern; Außendurchmesser bis 54 mm; Technische Lieferbedingungen; T 3 Zustzliche technische Lieferbedingungen fr Kapillar-Drosselrohre. – DIN 8927: Offene Verdichter fr Kltemaschinen – Normbedingungen fr Leistungsangaben, Prfung, Angaben in Kenndaten-Blttern und auf Typen-Schildern. – DIN 8928: Kltemittelverdichter; Angaben der Leistungsdaten. – DIN 8948: Trockenmittel fr das Trocknen von Kltemitteln; Prfung. – DIN 8949: Trockner fr Kltemittel; Prfung. – DIN 8955: Ventilator-Luftkhler; Begriff, Prfung, Normleistung. – DIN 8957 T 1: Raumklimagerte; Begriffe; T 2 Prfbedingungen, Prfumfang, Kennzeichnung; T 3 Prfung bei Khlbetrieb. – DIN 8964 T 1: Kreislaufteile fr Klteanlagen mit hermetischen und halbhermetischen Verdichtern, Prfungen; T 2 Anforderungen. – DIN 8970: Ventilatorbelftete Verflssiger und Trocken-Khltrme; Begriffe, Prfung, Normwrmeleistung. – DIN 8971: Einstufige Verflssigungsstze fr Kltemaschinen; Normbedingungen fr Leistungsangaben; Prfung; Angaben in Kenndaten-Blttern und auf Typen-Schildern. – DIN 8973 Motorverdichter fr Kltemaschinen; Normbedingungen fr Leistungsangaben; Prfung; Angaben in Kenndaten-Blttern und auf Typen-Schildern. – DIN 8974 Dauerschaltprfung fr hermetische Motorverdichter in Klteanlagen; Prfbedingungen. – DIN 8975 T 1 bis 10 Klteanlagen; Sicherheitstechnische Grundstze fr Gestaltung, Ausrstung und Aufstellung. Wird abgelst durch prEN 378 T 1 bis 4 Klteanlagen und Wrmepumpen, Sicherheitstechnische und umweltrelevante Anforderungen. – DIN 8976 Leistungsprfung von Verdichter-Kltemaschinen. – DIN 8977 Leistungsprfung von Kltemittel-Verdichtern. – DIN 8978 Verschleißprfung von Kltemittel-Verdichtern. – DIN 8979 Hochtemperaturprfung von Motorverdichtern in Klteanlagen. – DIN 16 125 Anzeigebereiche, Folge der Teilstriche und Teilpunkte und Bezifferung fr berdruck-Meßgerte in der Kltetechnik. – DIN 32 733 Sicherheits-Schalteinrichtungen zur Druckbegrenzung in Klteanlagen und Wrmepumpen; Anforderung und Prfung. – VDI-Richtlinie 3814 Bl. 2 Zentrale Leittechnik fr betriebstechnische Anlagen in Gebuden (ZLT-G); Schnittstellen in Planung und Ausfhrung; Bl. 3 Hinweise fr den Betreiber; Bl. 4 Ausrstung der BTA zum Anschluss an die ZLT-G. – VDE 0100 „Bestimmungen fr das Errichten von Starkstromanlagen mit Nennspannung bis 1000 V“. – VDI 2055 Wrme- und Klteschutz fr betriebs- und haustechnische Anlagen; Berechnungen, Gewhrleistungen, Meß- und Prfverfahren, Gtesicherung, Lieferbedingungen. – AGI Q 151 Dmmarbeiten; Korrosionsschutz bei Klte- und Wrmedmmung an betriebstechnischen Anlagen. – TRB 801 Technische Regeln Druckbehlter. „Besondere Druckbehlter“ nach Anhang II zu § 12 DruckbehV. – VDMA 24 176 Lufttechnische Gerte und Anlagen, Leistungsprogramm fr die Inspektion. – VDMA 24 186 Leistungsprogramm fr die Wartung von lufttechnischen und anderen technischen Ausrstungen in Gebuden; Kltetechnische Anlagen. – VDMA 24 243 T 1–5 Kltemaschinen und -anlagen; Emissionsminderung von Kltemitteln, insbesondere Fluorchlorkohlenwasserstoffen, aus Klteanlagen (s. a. CECOMAF-Code GT 9/88). zu M 6 Bauteile und Systeme der Wrmepumpenanlagen [1] Eder, F. X.: Vuilleumier-Prozess ermglicht regenerative Wrmepumpe und Kltemaschine; Clima Commerce Int. Karlsruhe: Mller 1982, S. 57–59. – [2] Grane, R.; Blumenberg, J.: Analyse von Wrmespeichersystemen; Ki 10 (1981) 10, 467–472. – [3] Altenkirchen, E.: Absorptionskltemaschinen. Berlin: VEB-Verlag Technik, 1954. – [4] Nesselmann, K.: Zur Theorie der Wrmetransformation. Wiss. Verff. Siemens-Konzern, Band XII, 1933. – [5] Niebergall, W.: Sorptions-Kltemaschinen, Handbuch der Kltetechnik, Band 7.
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Klimatechnik – 10 Spezielle Literatur
Berlin, Heidelberg, New York. Springer: 1981. – [6] Holldorf, G.; Malewski, Q.: Cogeneration for the simultaneous supply of power and refrigeration. Trans. 1986 Citrus Eng. Conf. Vol. XXXII, 1–20; Florida, section of ASME 1986. – [7] Malewski, W.: Integrated absorption and compression heat pumps cycle using mixed working fluid ammonia and water. Proc. Inst. Refrigeration, Vol. 1982, p. 83–93; Großbritannien, 1985/86.
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Normen und Richtlinien: DIN EN 255 T 1 bis 3 Wrmepumpen; Anschlussfertige Wrmepumpen mit elektrisch angetriebenen Verdichtern zum Heizen oder zum Heizen und Khlen. – DIN 8900 T 2 Wrmepumpen; anschlussfertige Heizwrmepumpen mit elektrisch angetriebenen Verdichtern; Prfbedingungen, Prfumfang, Kennzeichnung; T 3 Prfung von Wasser/Wasser- und Sole/Wasser-Wrmepumpen; T 4 Prfung von Luft/Wasser-Wrmepumpen. – DIN 8901 Wrmepumpen; Wrmepumpen mit halogenierten Kohlenwasserstoffen, Schutz von Erdreich, Grund- und Oberflchenwasser; Anforderungen und Prfung. – DIN 8947 Wrmepumpen; Anschlussfertige Wrmepumpen-Wassererwrmer mit elektrisch angetriebenen Verdichtern; Begriffe, Anforderungen, Prfungen. – DIN 8957 T 4 Raumklimagerte; Prfung bei Heizbetrieb der Kltemaschine/Wrmepumpe. – DIN 33 830 T 1 bis 4 Wrmepumpen; anschlussfertige Heiz- Absorptions-Wrmepumpen. – DIN 33 831 T 1 bis 4 Wrmepumpen; anschlussfertige Heiz-Wrmepumpen mit verbrennungsmotorisch angetriebenen Verdichtern. – DIN 45 635 T 35 Geruschmessung an Maschinen; Luftschallemission, Hllflchenverfahren; Wrmepumpen mit elektrisch angetriebenen Verdichtern. – VDE E 0700 T 40 Sicherheit elektrischer Gerte fr den Hausgebrauch und hnliche Zwecke; Elektrische Luft/Luft-Heizwrmepumpen; T 222 Heizwrmepumpen; T 243 Wrmepumpen-Wassererwrmer. zu M 7 Sonderklima- und Khlanlagen [1] Bergverordnung zum Schutz der Gesundheit gegen Klimaeinwirkungen (KlimabergV) 09/1983; Bundesgesetzblatt I, 685. – [2] Uhlig, H.: Zusammenhang zwischen Betriebsbedingungen und Leistungen von Wetterkhlern; Glckauf-Forschungsh. 46 (1985) H 4, 171–179. – [3] Mcke, G.; Uhlig, H.: Neuentwicklungen in der Klimatechnik des Sdafrikanischen Goldbergbaus und ihre Anwendungsmglichkeiten im Steinkohlebergbau; Glckauf 117 (1981) 1591–1599. – [4] Reiff, W.; Seidel, D.: Stand und Entwicklung der Khltechnik bei der Bergbau AG Lippe; Glckauf 119 (1983) 1193–1201. – [5] Reichelt, J.: Tendenzen in der Entwicklung von Kltegerten, Wrmepumpen und deren Komponenten; Schriftenreihe des Schweizerischen Vereins fr Kltetechnik Nr. 11
(1989) 5–21. – [6] Frank, W.: Mehr Verkehrssicherheit durch die integrierte Klimaanlage; VDI-Ber. 744 (1989). – [7] Kern, J.; Wallner, R.: Impact of the Montreal Protocol on automotive air-conditioning; Rev. Int. Froid Vol. 11 (1988) Juli. – [8] Weller, W.; Ulmer, W. T.: Aufbau und Funktion einer Klimaanlage fr klinische Untersuchungen zur Prfung klimatischer Einflsse auf die Atmung; Int. Arch. Arbeitsmed. 28 (1971) 141–150. – [9] Bach; Zitzelberger: Tolerierung von Prfklimaten, erlutert am Beispiel des Feuchtwarm-Klimas 40/93; Klima- und Klteingenieur 3 (1975) 79–82. – Normen: DIN 27175 Elektro- und klimatechnische Einrichtungen von Schienenfahrzeugen; Verdichter-Verflssiger-Satz. – DIN 50 012 T 1 bis 5 Klimate und ihre technische Anwendung; Luftfeuchte-Meßverfahren. – DIN 50 010 T 1 Klimate und ihre Technische Anwendung; Klimabegriffe, Allgemeine Klimabegriffe. – DIN 50 014 –; Normalklimate. – DIN 50 015 –; Konstante Prfklimate. – DIN 50 016 –; Werkstoff-, Bauelemente- und Gerteprfung; Beanspruchung im Feuchtwechselklima. – DIN 50 017 –; Kondenswasser-Prfklimate. – DIN 50 018 –; Prfung im Kondenswasser-Wechselklima mit schwefeldioxidhaltiger Atmosphre. zu M 8 Wirtschaftlichkeit und Energieverbrauch [1] Hasekster, H.: Instandhaltungsleistungen in der Technischen Gebudeausrstung; Ki Klima-Klte-Heizung 9 (1989) 396–392. – [2] Blmel, K.; Hollan, E.; Khler, M.; Peter, R.; Jahn, A.: Entwicklung von Testreferenzjahren (TRY) fr Klimaregionen der Bundesrepublik Deutschland; BMFT-FB-T 86-051. – [3] Grosche, R.; Klein, R.: EDV-gesttzte Gebudesimulation; Ki Klima-Klte-Heizung 9 (1985). – [4] Gabanyi, P.: Die Energiekennzahl fr Gebude; Sonnenenergie & Wrmepumpe 11 (1986) H. 3. – Normen: DIN 4710: Meteorologische Daten zur Berechnung des Energieverbrauchs von heiz- und raumlufttechnischen Anlagen. – DIN 4710 Beiblatt: Lufttemperatur-Luftfeuchte nach Monatssummen. – Richtlinien: VDI-Richtlinie 2067: Berechnung der Kosten von Wrmeversorgungsanlagen. – Bl. 1: Betriebstechnische und wirtschaftliche Grundlagen. – Bl. 2: Raumheizung. – Bl. 3: Raumlufttechnik. – Bl. 4: Warmwasserversorgung. – Bl. 5: Dampfbedarf in Wirtschaftsbetrieben. – VDI-Richtlinie 2071: Wrmerckgewinnung in raumlufttechnischen Anlagen. – Bl. 1: Begriffe und technische Beschreibung.Bl. 2: Wirtschaftlichkeitsberechnung. – VDI-Richtlinie 2079: Abnahmeprfung an raumlufttechnischen Anlagen. – – VDI-Richtlinie 2080: Meßverfahren und Meßgerte fr raumlufttechnische Anlagen. – VDI-Richtlinie 3801: Betreiben von raumlufttechnischen Anlagen. – VDI-Richtlinie 3810: Betreiben von heiztechnischen Anlagen.
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Grundlagen der Verfahrenstechnik M. Bohnet, Braunschweig; D. C. Hempel, Braunschweig; A. Mersmann, Mnchen; J. Schwedes, Braunschweig, A. Seidel-Morgenstern, Magdeburg
Allgemeine Literatur zu N1 Einfhrung Bcher: Blaß, E.: Entwicklung verfahrenstechnischer Prozesse. Berlin: Springer 1997. – Brauer, H.: Grundlagen der Einphasen- und Mehrphasenstrmungen. Frankfurt: Sauerlnder 1971. – Brauer, H.; Mewes, D.: Stoffaustausch einschließlich chemischer Reaktion. Frankfurt: Sauerlnder 1972. – Dialer, K.; Onken, U.; Leschonski, K.: Grundzge der Verfahrenstechnik und Reaktionstechnik. Mnchen: Hanser 1986. – Eck, B.: Technische Strmungslehre. Bd. 1 Grundlagen, Bd. 2 Anwendungen. Berlin: Springer 1978, 1981. – Grassmann, P.: Einfhrung in die thermische Verfahrenstechnik. Berlin: de Gruyter 1974. – Grassmann, P.: Physikalische Grundlagen der Verfahrenstechnik. Frankfurt: Sauerlnder 1983. – Kgl, B.; Moser, F.: Grundlagen der Verfahrenstechnik. Berlin: Springer 1981. – Mayinger, F.: Strmung und Wrmebertragung in Gas-Flssigkeitsgemischen. Berlin: Springer 1982. – Mersmann, A.: Thermische Verfahrenstechnik. Berlin: Springer 1980. – Molerus, O.: Fluid-Feststoff-Strmungen. Berlin: Springer 1982. – Perry's Chemical Engineers' Handbook. New York: McGraw-Hill 1997. – Prandtl, L.: Fhrer durch die Strmungslehre. Wiesbaden: Vieweg 1969. – Schlichting, H.: Grenzschicht-Theorie. Karlsruhe: Braun 1982. – Ullmann's Encyclopedia of Industrial Chemistry VCH: Weinheim, ab 1985. – Vauck, W. R. A.; Mller, H. A.: Grundoperationen chemischer Verfahrenstechnik. Leipzig und Stuttgart: Deutscher Verlag fr Grundstoffindustrie 1994. – VDI-Wrmeatlas, 8. Aufl. Berlin: Springer 1997. Zeitschriften: American Institute of Chemical Engineering Journal, New York: American Institute of Chemical Engineering. – Canadian Journal of Chemical Engineering, Ottawa: Canadian Society for Chemical Engineers. – Chemical Engineering and Processing. New York: Elsevier Sequoia. – Chemical Engineering and Technology. Weinheim: VCH. – Chemical Engineering Communications. Amsterdam: Gordon and Breach Publishers. – Chemical Engineering Science. Amsterdam: Elsevier. – ChemieIngenieur-Technik. Weinheim: VCH. – Chemische Technik. Leipzig und Stuttgart: Verlag fr Grundstoffindustrie. – Computers and Chemical Engineering. Amsterdam: Elsevier. – Multiphase Flow. Oxford: Pergamon Press. zu N 2 Mechanische Verfahrenstechnik Bcher: Dialer, K.; Onken, U.; Leschonski, K.: Grundzge der Verfahrenstechnik und Reaktionstechnik. Mnchen: Hanser 1986. – Hffl, K.: Zerkleinerungs- und Klassiermaschinen. Berlin: Springer 1986. – Lffler, F.: Staubabscheiden. Stuttgart: Thieme 1988. – Schubert, H.: Aufbereitung fester mineralischer Rohstoffe. Leipzig: Deutscher Verlag fr Grundstoffindustrie, Bd. 1, 4. Aufl. (1989); Bd. 3, 2. Aufl. (1984). – Schubert, H. (Hrsg.): Handbuch der Mechanischen Verfahrenstechnik. Weinheim: Wiley-VCH 2002. – Schubert, H.; Heidenreich, E.; Liepe, F.; Neeße, T.: Mechanische Verfahrenstechnik. Bd. I u. II. Leipzig: Deutscher Verlag fr Grundstoffindustrie 1977, 1979. – Schulze, D.: Pulver und Schttgter – Fließeigenschaften und Handhabung. Heidelberg: Springer 2006. – Technik der Gas-Feststoffstrmung, Sichten, Abscheiden, Frdern, Wirbelschichten. Dsseldorf: VDI-GVC 1981. – Mechanische Flssigkeitsabtrennung, Filtrieren, Sedimentieren, Zentrifugieren, Flotieren. Dsseldorf: VDI-GVC 1987. zu N 3 Thermische Verfahrenstechnik Bcher: Grassmann, P.; Widmer, F.: Einfhrung in die thermische Verfahrenstechnik. Berlin: de Gruyter 1974. – Grassmann, P.: Physikalische Grundlagen der Verfahrenstechnik. Aarau: Sauerlnder 1983. – Kast, W.: Adsorption aus der Gasphase. Weinheim. Verlag Chemie 1988. – Krischer, O.; Kast, W.: Die wissenschaftlichen Grundlagen der Trocknungstechnik. Berlin: Springer 1978. – Mersmann, A.: Crystallization Technology Handbook. New York: Marcel Dekker 2001. – Mersmann, A.: Stoffbertragung. Berlin: Springer 1986. – Perry's Chemical Engineer's Handbook. Singapore: McGraw Hill 1984. – Mersmann, A.; Kind, M.; Stichlmair, J.: Thermische Verfahrenstechnik. Berlin: Springer 2005. – Rautenbach, R.; Albrecht, R.: Membrantrennverfahren: Ultrafilter und Umkehrosmose. Aarau: Sauerlnder 1981. – Schlnder, E. U.: Einfhrung in die Wrme- und Stoffbertragung. Braunschweig: Vieweg 1975. – Schlnder, E. U.: Destillation, Absorption, Extraktion. Stuttgart: Thieme 1986. – Ullmann's Encyclopedia of Industrial Chemistry. Weinheim: Verlag Chemie 1988. Zeitschriften: Mersmann, A.: Brauchen wir Stoffaustausch-Maschinen? Chem.-Ing.-Tech. 58 (1986) 87–96. – Mersmann, A.; Kind, M.: Chemical engineering aspects of precipitation from solution. Chem. Eng. Technol. 11 (1988) 264–276. zu N 4 Chemische Verfahrenstechnik Bcher: Baerns, M.; Hofman, H.; Renken, A.: Chemische Reaktionstechnik, 3. Aufl. Weinheim: Wiley-VCH 1999. – Ertl, G.; Knzinger, H.; Weitkamp, J.: Handbook of Heterogeneous Catalysis. Weinheim: Wiley-VCH 1997. – Fitzer, E.; Fritz, W.; Emig, G.: Technische Chemie. Berlin: Springer 1995. – Fogler, S. H.: Elements of Chemical Reaction Engineering, 4. Aufl. Upper Saddle River: Prentice-Hall PTR 2005. – Froment, G. F.; Bischoff, K. B.: Chemical reactor analysis and design. New York: Wiley 1990. – Jakubith, M.: Grundoperationen und chemische Reaktionstechnik. Weinheim: Wiley-VCH 1998. – Levenspiel, O.: Chemical Reaction Engineering. New York: Wiley 1999. – Misser, R. W.; Mims, Ch. A.; Saville, B. A.: Chemical Reaction Engineering and Kinetics. New York: Wiley 1999. – Richardson, J. F.; Peacock, D. G.: Chemical Engineering, Vol. 3. Chemical & Biochemical Reactors & Process Control. Oxford: Pergamon 1994. – Schmidt Lanny D.: The Engineering of Chemical Reactions, 2. Aufl. Oxford: Oxford University Press 2004. zu N 5 Mehrphasenstrmungen Bcher: Brauer, H.: Grundlagen der Einphasen- und Mehrphasenstrmungen. Aarau und Frankfurt: Sauerlnder 1971. – Eck, B.: Technische Strmungslehre. Berlin: Springer 1978/1981. – Govier, G. W.; Aziz, K.: The flow of complex mixtures in pipes. New York: von Norstrand Reinhold 1972. – Mayinger, F.: Strmung und Wrmebergang in Gas-Flssigkeits-Gemischen. Berlin: Springer 1982. – Molerus, O.: Fluid-Feststoff-Strmungen. Berlin: Springer 1982. – Prandtl, L.: Strmungslehre. Braunschweig: Vieweg 1944. – Schlichting, H.: Grenzschicht-Theorie. Karlsruhe: Braun 1982.
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N2
Grundlagen der Verfahrenstechnik – 1 Einfhrung
zu N 6 Bioverfahrenstechnik Bcher: Atkinson, B.; Mavituna, F.: Biochemical Engineering and Biotechnology Handbook. New York: Stockton Press 1991. – Bailey, J. E.; Ollis, D. F.: Biochemical Engineering Fundamentals. New York: McGraw Hill 1986. – Fritsche, W.: Mikrobiologie. Jena: G. Fischer 1990. – Hempel, D. C.: Fundamentals of Scale-up for Biotechnological Processes in Stirred Fermentors. In: Finn, R. K. et al. (eds.): Biotechnology Focus. Mnchen: Hanser 1988. – Prve, P.; Faust, U.; Sittig, W.; Sukatsch, D. A. (eds.): Fundamentals of Biotechnology. Weinheim: VCH 1987. – Sahm, H.: Biological Fundamentals. In: Rehm, H.-J.; Reed, G. (eds.): Biotechnology, Vol. 1. Weinheim: VCH 1993. – Schlegel, H. G.: Allgemeine Mikrobiologie. Stuttgart: G. Thieme 1992. – Stephanopoulos, G.: Bioprocessing. In: Rehm, H.-J.; Reed, G. (eds.): Biotechnology, Vol. 3. Weinheim: VCH 1993. – Ward, O. P.: Bioreaktionen: Prinzipien, Verfahren, Produkte. Berlin: Springer 1994.
1 Einfhrung M. Bohnet, Braunschweig Verfahrenstechnik ist Stoffwandlungstechnik. Sie befasst sich mit der industriellen Umwandlung von Ausgangsstoffen in einer Folge von physikalischen, chemischen oder biologischen Prozessen zu verkaufsfhigen Zwischen- oder Endprodukten. Sie hat ihren Ursprung in der chemischen Industrie, wobei die Ingenieure insbesondere die Aufgabe hatten, die vom Chemiker in Laborversuchen erarbeiteten Ergebnisse in den techni-
schen Produktionsmaßstab zu bertragen. Diese (Maschinenbau-)Ingenieure waren dafr verantwortlich, dass die Vorstellungen der Chemiker, Physiker und Biologen interdisziplinr verbunden wurden. Aus ihrer Ttigkeit hat sich eine eigenstndige Ingenieurwissenschaft, die Verfahrenstechnik entwickelt. Hier war es zunchst der Apparatebau, der Forderungen an die Entwicklung neuer Fertigungsverfahren und neuer Werkstoffe stellte. Besonders erfolgreich wurden die Kenntnisse des Maschinenbaus bei der Entwicklung der Hochdruckverfahren, z. B. der Ammoniak- und der Methanolsynthese umgesetzt.
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Bild 1. Mehrphasenstrmungen als Bindeglied zwischen den vier verfahrenstechnischen Hauptgebieten, letztere erlutert an ausgewhlten Verfahrensschritten
I2.2
Zerkleinern
N3
Um Stoffe wandeln zu knnen, ist Energie erforderlich. Dies kann Wrme oder mechanische Energie sein. Darber hinaus nutzt man ganz wesentlich auch die Mglichkeit der chemischen Umwandlung von Stoffen sowie die Fhigkeit von Mikroorganismen, Stoffe zu wandeln. Die meisten Prozesse spielen sich dabei in Apparaten ab, wobei die Wrmebergangs- und Stoffbergangsvorgnge an den Phasengrenzen der beteiligten festen, flssigen oder gasfrmigen Phasen ablaufen, die sich innerhalb des Apparats bewegen. In Einzelfllen setzt man auch Stoffaustauschmaschinen ein. Da in praktisch allen verfahrenstechnischen Prozessen mehrphasige Strmungen vorliegen, stellen die mehrphasigen Strmungen das Bindeglied zwischen vielen Prozessstufen eines Verfahrens dar. Wrme- und Stoffaustausch werden maßgeblich durch Strmungsvorgnge bestimmt und damit auch der Umsatz und die Ausbeute sowie der Energiebedarf. Die komplexen Verhltnisse macht Bild 1 deutlich, in dem wichtige Prozessschritte der thermischen, mechanischen, chemischen und biologischen Verfahrenstechnik ber die Mehrphasenstrmungen verknpft sind.
Alle verfahrenstechnischen Prozesse lassen sich in Grundoperationen (unit operations) zerlegen. Dies hat zunchst den Vorteil, dass man die Gesetzmßigkeiten der stoffwandelnden Vorgnge losgelst von einem bestimmten Stoffsystem behandeln kann. Die Zusammenfgung der Einzelschritte zum Prozess ist Aufgabe der Systemverfahrenstechnik, die insbesondere die dynamische Aufeinanderfolge der Teilschritte umzusetzen hat. Hier finden sich dann wichtige Verknpfungen mit der Mess-, Regel- und Automatisierungstechnik. Die Schwerpunkte der ingenieurwissenschaftlichen Bearbeitung liegen derzeit noch auf der thermischen, mechanischen und chemischen Verfahrenstechnik, wobei die biologische Verfahrenstechnik in Zukunft zunehmend an Bedeutung gewinnen wird. Ihr Vorteil liegt darin, dass Mikroorganismen in der Lage sind, in einem Syntheseschritt Stoffe zu erzeugen, fr die man bei chemischer Umsetzung mehrere Umwandlungsschritte bentigt. Ihr Nachteil liegt in der geringen Konzentration, in der die erzeugten Produkte vorliegen. Die verfahrenstechnische Aufarbeitung der Bioprodukte entscheidet also ber Erfolg oder Misserfolg eines Verfahrens.
2 Mechanische Verfahrenstechnik
Im Folgenden werden die Grundverfahren Zerkleinern, Agglomerieren, Trennen, Mischen und Bunkern dargestellt, wobei jeweils nach einer kurzen Darlegung der physikalischen Grundlagen exemplarisch auf einige wenige technische Anwendungen eingegangen wird. Auf die Partikelmesstechik muss aus Platzgrnden verzichtet werden. Bezglich des pneumatischen und hydraulischen Frderns sei auf den Beitrag ber Mehrphasenstrmungen hingewiesen (s. N 5).
J. Schwedes, Braunschweig
2.1 Einfhrung Die Mechanische Verfahrenstechnik behandelt die Wandlung stofflicher Systeme durch vorwiegend mechanische Einwirkungen. Darunter versteht man die Umwandlung und den Transport mechanisch beeinflussbarer disperser Systeme. Mit mechanischen Krften lassen sich Partikeln (Feststoffpartikeln, Flssigkeitstropfen, Gasblasen) bis herab auf 1 mm Partikelgrße beeinflussen, in extrem hohen Fliehkraftfeldern noch eine 10er Potenz weiter. Die Mechanische Verfahrenstechnik umfasst somit den grobdispersen Bereich (0,1 mm bis 1 m) im Gegensatz zur Thermischen Verfahrenstechnik, deren Elemente molekulardispers und kolloiddispers sind (s. N 3). Die Stoffumwandlungen durch mechanische Einwirkungen lassen sich in Grundverfahren aufgliedern. Man unterscheidet zwei Hauptgruppen, die Verfahren mit nderung der Partikelgrße und die Verfahren ohne nderung der Partikelgrße. Beide Gruppen knnen weiter in Trenn- und Vereinigungsverfahren unterteilt werden. Zur ersten Gruppe gehren das Zerkleinern und das Agglomerieren (Tablettieren, Brikettieren, Pelletieren, usw.), zur zweiten das Trennen (Sortieren, Klassieren, Abscheiden, Filtrieren) und das Mischen. Zu den Transportvorgngen zhlen das pneumatische und hydraulische Frdern, das Lagern und das Dosieren von Schttgtern. Zur Charakterisierung der Grundverfahren hat sich eine spezielle Messtechnik entwickelt, die Partikelmesstechnik. Sie ist eine eigene Messtechnik der Mechanischen Verfahrenstechnik und dient zur Messung der das disperse System beschreibenden Grßen. Das sind Partikelgrßen, Partikelgrßenverteilung, Partikelform, spezifische Oberflche, Schttgutdichte, Porositt u. a. Die Partikelmesstechnik ist unabdingbar. Sonst fehlen die wesentlichen Aussagen ber die betrachteten Systeme. Diese Dispersittsgrßen haben fr die Mechanische Verfahrenstechnik die Bedeutung, die die Zustandsgrßen Druck, Temperatur, Mischungszustand u. a. fr die thermischen Verfahren haben. Nur sind sie ungleich schwieriger zu messen.
2.2 Zerkleinern Der Bedeutung des Zerkleinerns wird man sich bewusst, wenn man Art und Menge der industriell zerkleinerten Stoffe betrachtet. Erze werden zerkleinert und aufbereitet, um sie zur Metallgewinnung zu verhtten. Getreide wird gemahlen, um Mehl zum Brotbacken zu erhalten. Die mit Mahlsteinen betriebenen Mhlen gehren zu den ltesten Techniken der Menschen und werden heute noch – zumindest dem Prinzip nach – hnlich eingesetzt. Nahezu alle anorganischen festen Rohstoffe mssen aufgeschlossen und zerlegt werden, wozu Zerkleinerungsvorgnge ntig sind. Das gleiche gilt heute fr die festen Abflle. Auch sie werden in speziellen Zerkleinerungs- und Trennverfahren aufbereitet, um zumindest anteilmßig in den industriellen Stoff- und Energiekreislauf zurckgefhrt zu werden (Recycling). Zerkleinerungsprozesse sind sehr energieaufwendig. Weltweit werden nahezu 4% des Gesamtstromverbrauchs dafr bentigt, wobei allein auf die Zementherstellung 1% entfllt. Bei Massenprodukten wie Zement, Kohle und Erzen belastet das Zerkleinern die Herstellungskosten beachtlich, z. B. bei Zement mit fast 25%. 2.2.1 Bruchphysik; Zerkleinerungstechnische Stoffeigenschaften Eine theoretisch umfassende Beschreibung des Zerkleinerungsverhaltens realer Partikeln ist ußerst problematisch, da zu viele Einflussgrßen bestehen. Man geht deshalb in drei Schritten vor: – physikalische Betrachtung der Zerkleinerung idealer Partikeln, – phnomenologische Erfassung des Zerkleinerungsverhaltens realer Partikeln unter idealen Bedingungen,
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N4
Grundlagen der Verfahrenstechnik – 2 Mechanische Verfahrenstechnik
– Erfassung der Vorgnge in und Optimierung von technischen Zerkleinerungsmaschinen.
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Die Bruchphysik lehrt uns, welche Energien ntig sind, um die molekulare Zerreißfestigkeit zu berwinden. Sind wie in allen realen Partikeln Inhomogenitten und Mikroanrisse vorhanden, muss die molekulare Zerreißfestigkeit nur an der Rissspitze aufgebracht werden. Die Kerbtheorie liefert die Kenntnis des Spannungsverlaufs in der Umgebung des sich ausbreitenden Risses. An der Rissspitze ist die Energiekonzentration sehr hoch. Es kommt zu mikroplastischen Verformungen und Strukturnderungen. Damit muss fr den Rissfortschritt wesentlich mehr Energie bereitgestellt werden als es der Zunahme der freien Grenzflchenenergie entspricht. Die Erkenntnisse der Bruchphysik und Bruchmechanik nutzen dem Verstndnis der Brucherscheinungen, reichen aber nicht aus, das Verhalten von zu zerkleinernden Partikeln aufgrund der physikalischen Einsichten vorauszuberechnen. Hierfr sind zwei Grnde anzufhren: – Reale Partikeln sind unregelmßig geformt, d. h. die bei Beanspruchung entstehenden Spannungszustnde sind kaum berechenbar. – Die Kenntnis der Anriss- und Fehlstellen in der Partikel, die fr Bruchauslsung und Bruchfortschritt verantwortlich sind, ist gering. Bei der Beanspruchung eines Partikelkollektivs in einer Zerkleinerungsmaschine wird die Lage noch komplizierter, da nicht bekannt ist, wie die von außen zugefhrte Energie auf die Einzelpartikeln bertragen wird. Neben der bruchphysikalischen Betrachtung ist eine phnomenologische Behandlung der Zerkleinerung notwendig. Durch umfangreiche Versuche an realen Einzelpartikeln unter definierten Beanspruchungsbedingungen haben sich Erkenntnisse angesammelt, die als „Zerkleinerungstechnische Stoffeigenschaften“ bezeichnet werden. Diese lassen sich in zwei Gruppen einteilen: 1. Kennwerte fr den Widerstand gegen die Zerstrung (Festigkeit, flchenbezogene Reaktionskraft, spezifische Zerkleinerungsarbeit, Bruchwahrscheinlichkeit) und 2. Kennwerte fr das Ergebnis der Beanspruchung (Verteilungsfunktion der Bruchstcke, erzeugte spezifische Oberflche). Aus einer Kombination beider Kennwerte lassen sich Aussagen ber Energieausnutzung und Mahlbarkeit machen. Die zerkleinerungstechnischen Stoffeigenschaften lassen sich nicht aus bekannten Stoffeigenschaften wie Elastizittsmodul, Festigkeit, Querdehnungszahl berechnen. Eine besondere Schwierigkeit bringt die unregelmßige Partikelform und der Einfluss der Partikelgrße mit sich. Unterhalb einer gewissen Partikelgrße nimmt die Festigkeit zu, da die Wahrscheinlichkeit fr das Vorhandensein bruchauslsender Fehlstellen immer geringer wird. Die Art der Beanspruchung ist ebenfalls von Einfluss. Technisch relevant sind die Beanspruchungen durch Druck (zwischen zwei Flchen), durch Prall (an einer Flche) und durch das umgebende Medium (im Schergeflle einer Flssigkeitsstrmung). Mit den Ergebnissen aus Untersuchungen an Einzelpartikeln lassen sich Zerkleinerungsmaschinen beurteilen, wenn man von der Hypothese ausgeht, dass die Beanspruchung einer Einzelpartikel die energiegnstigste Methode darstellt. Als Effektivitt wird der Quotient aus Energiebedarf des idealen Prozesses (Einzelpartikel) geteilt durch den der Zerkleinerungsmaschine definiert. Als Richtwerte knnen angegeben werden: Backen- und Walzenbrecher 0,7 bis 0,9; Prallbrecher 0,3 bis 0,4; Wlzmhlen 0,07 bis 0,15; Kugelmhlen 0,05 bis 0,1; Prallmhlen 0,01 bis 0,1.
Zerkleinerung haben zur Entwicklung einer großen Anzahl von Zerkleinerungsmaschinen gefhrt. Nach der Partikelgrße des Fertigguts unterscheidet man Brecher (> einige mm) und Mhlen (90%). Die Abscheidung erfolgt im Inneren (Tiefenfiltration). Abreinigungsfilter finden bei Gasstrmen mit hoher Staubbeladung Anwendung. Die Abscheidung verlagert sich nach einer kurzen Anfangsphase an die Filteroberflche. Es entsteht eine Staubschicht mit hoher Filterwirkung. Der Druckverlust steigt an, so dass eine periodische Abreinigung ntig wird. Elektrische Abscheider, die vor allem bei sehr feinen Partikeln wirksam sind, werden bevorzugt bei großen Gasvolu-
I2.4 menstrmen in Kraftwerken, Mllverbrennungsanlagen u. a. eingesetzt. Nach der Aufladung der Partikeln ber Sprhelektroden wandern die Partikeln quer zur Gasstrmung an die Niederschlagselektroden, die periodisch abgereinigt werden mssen. 2.4.2 Abscheiden von Feststoffpartikeln aus Flssigkeiten Die Grundaufgabe der Fest-Flssig-Trennung besteht darin, – eine mglichst feststofffreie Flssigkeit zu erhalten (Klren) oder – einen mglichst trockenen Feststoff zu gewinnen (Entwssern, Eindicken). Entsprechende Aufgaben sind in vielen Industriezweigen anzutreffen: Entwssern von Kohle und Erzen, Reinigung von Bier und Sften, Trinkwasseraufbereitung, Papierherstellung, Farbpigmentherstellung, viele Prozesse in Chemie und Pharmazie. Zur Lsung der verschiedenen, unterschiedlichen Trennaufgaben stehen drei physikalische Grundvorgnge zur Verfgung, das Sedimentieren, Filtrieren und Auspressen. Sedimentieren. Partikeln mit gegenber der Flssigkeit hherer Dichte bewegen sich in Richtung des Kraftfelds (Schweroder Fliehkraft) und bilden ein Sediment. Die klare Flssigkeit ordnet sich darber an. Ihre Reinheit ist eine Frage von Zeit und wirkendem Kraftfeld. Die Hohlrume zwischen den Partikeln des Sediments bleiben immer mit Flssigkeit gefllt, so dass kein trockener Feststoff gewonnen werden kann. Filtrieren. Beim Filtriervorgang strmt die Suspension unter Einwirkung einer Kraft (Schwerkraft, Fliehkraft, Druckgeflle) auf ein porses Filtermittel zu, auf oder in dem die Feststoffpartikeln zurckgehalten werden. Die Flssigkeit passiert als Filtrat das Filtermittel. Die Feststoffpartikeln bilden auf dem Filtermittel eine Feststoffschicht, den Filterkuchen. Der Filterkuchen wirkt selbst als Filtermittel und setzt mit der Zeit dem Flssigkeitsstrom einen immer grßeren Widerstand entgegen. hnlich wie beim trockenen Abreinigungsfilter ist eine periodische Entfernung des Filterkuchens notwendig. Vor Entnahme wird im Normalfall Luft durch den Filterkuchen gefhrt, um den Feststoff mglichst weitgehend zu entwssern. Auspressen. Zur weiteren Entfernung von Restflssigkeit aus dem Filterkuchen kann der durch Sedimentation oder Filtration entstandene Filterkuchen durch ußere Krfte im Volumen verringert werden. Das Porenvolumen wird reduziert und die Flssigkeit verdrngt. Die Vielzahl der auf dem Markt befindlichen Apparate zur Fest-Flssig-Trennung lassen sich in drei Gruppen einteilen: Eindicker, Zentrifugen, Filter.
Trennen
N7
Siebmantelzentrifugen Sedimentation und Filtration beteiligt sind. Diese Apparate werden kontinuierlich und absatzweise betrieben. Obwohl absatzweise arbeitende Apparate in kontinuierlichen Prozessen von Nachteil sind, sind sie noch weit verbreitet, weil jeder Filtrationsschritt (Fllen, Trockenschleudern, Waschen) einzeln einstellbar ist und eine schonende Behandlung des Feststoffs, insbesondere beim Ausrumen, ermglicht wird. Bild 5 zeigt beispielhaft eine Schlzentrifuge mit Rotationssyphon. Durch diesen wird der Wirkung des Fliehkraftfelds ein Saugeffekt berlagert, der bis zum Dampfdruck der Flssigkeit unter dem Filtermedium gesteigert werden kann. In Bild 5 nicht dargestellt ist ein radial verschiebliches Messer, ber das absatzweise nach Abstellen der Suspensionszufuhr der getrocknete Filterkuchen ausgeschlt werden kann. Bei den kontinuierlich betriebenen Siebmantelzentrifugen erfolgt der Transport des Filterkuchens ber die Gestaltung des Siebkorbs oder ber zustzlich wirkende Krfte. Bei der Gleitzentrifuge ist der Siebkorb konisch ausgefhrt. Die Suspensionszugabe erfolgt im engsten Querschnitt. Der sich bildende Filterkuchen gleitet nach außen. Bei der Schwing- und Taumelzentrifuge sorgen Schwing- und Taumelbewegung fr den Transport. Bei der Schubzentrifuge erfolgt die Bewegung zwangsweise durch einen oder mehrere sich periodisch in Achsrichtung bewegende zustzliche Schubbden. In Vollmantelzentrifugen werden extrem hohe Fliehkraftfelder erzeugt. Die bekanntesten Bauarten sind der Dekanter, bei dem der Feststofftransport ber eine Schnecke erfolgt, die mit einer gegenber der Drehzahl des Zentrifugenkrpers geringen Differenzdrehzahl rotiert, und der Separator, der im wesentlichen zum Abscheiden feinster Partikeln bei geringen Feststoffkonzentrationen oder zum Trennen zweier nicht mischbarer Flssigkeiten (z. B. Milch : Wasser/Fett-Gemisch) eingesetzt wird. In Dekantern und Separatoren werden Schleuderziffern, das ist das Vielfache der Erdbeschleunigung, bis zu 2 500 bzw. 14 000 erreicht. Filter. Die praktische Ausfhrung eines Filtervorgangs lßt sich in vier Schritte unterteilen, die nacheinander auszufhren sind: Kuchenbildung, Kuchenbehandlung (Waschen, Entwssern, Nachpressen), Kuchenabnahme, Reinigung des Filtermittels. Unter Waschen, das auch bei Siebmantelzentrifugen mglich ist, versteht man das Durchsplen des Filterkuchens mit einer anderen Flssigkeit als derjenigen, die die ursprngliche Suspension gebildet hat. Einfachstes diskontinuierliches Filter ist das Sandfilter. Hier besteht das Filtermittel aus Sand oder Kies. Die lteste Bauart ist die Nutsche, die im Saug- oder Druckbetrieb anzutreffen ist und vor allem im Laborbereich Verwendung findet. Groß-
Eindicker. Diese werden im wesentlichen zur Wasserreinigung verwendet und mit rechteckigem Querschnitt (bis ca. 10 40 m, 4 m tief) und mit Kreisflche (bis 120 m Durchmesser und ca. 2,5 m Tiefe) gebaut. Konstruktives Augenmerk ist auf die Ausrumvorrichtung und den Suspensionszulauf zu richten. Die Ausrumvorrichtung (langsam laufende Kratzer und Krlwerke) muss den aussedimentierten Feststoff kontinuierlich entfernen, ohne den Sedimentationsvorgang zu stren. hnlich vorsichtig, d. h. gleichmßig und mit geringer Geschwindigkeit, muss der Zulauf erfolgen. In den letzten Jahren haben Flockungsklrbecken zunehmend an Bedeutung gewonnen. Flockmittel werden bei niedrigen Feststoffkonzentrationen und feinen Partikeln zugegeben. Diese Chemikalien lagern sich an die Feststoffe an und bewirken eine Koagulation der feinen Partikeln zu Agglomeraten, die sich dann schneller absetzen. Zentrifugen. Diese werden als Siebmantel- oder Vollmantelzentrifugen gebaut. Im zweiten Fall beruht die Fest-FlssigTrennung allein auf einer Sedimentation, wogegen bei den
Bild 5. Schlzentrifuge mit Rotationssyphon. 1 Zentrifugentrommel, 1.1 Syphonscheibe, 1.2 Filtermedium, 2 Filtratkammer, 3 Ringtasse, 4 Schlrohr, 5 Suspension, 6 Flssigkeit, 7 Feststoff
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N8
Grundlagen der Verfahrenstechnik – 2 Mechanische Verfahrenstechnik
Bild 6. Vakuumfiltrationsanlage. 1 Filtertrommel, 2 Filtertrog, 3 Suspension, 4 Steuerkopf, 5 Waschflssigkeit, 6 Waschfiltrat, 7 Mutterfiltrat, 8 Feststoff
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technisch weit verbreitet sind Rahmenfilter- und Kammerfilterpressen (z. B. Farbstoffherstellung), wo eine große Zahl von Filterplattenpaketen (in manchen Fllen grßer als 150) mit Abmessungen bis 2 m 2 m in einer Einheit zusammengefasst werden. Filtrationsdrcke bis 15 bar werden realisiert. Als Vertreter kontinuierlicher Filter ist in Bild 6 ein Vakuumfilter mit Waschband und ablaufendem Filtertuch dargestellt. ber einen entsprechend gestalteten Steuerkopf werden die einzelnen, gegeneinander abgedichteten Zellen zeitlich hintereinander an die Zonen der Kuchenbildung und Kuchenbehandlung (Trockensaugen, Waschen, Trockensaugen, usw.) herangefhrt. Zur vereinfachten Kuchenabnahme wird das Filtertuch von der Trommel abgefhrt und bei kleinem Krmmungsradius umgelenkt. 2.4.3 Klassieren in Gasen Das Trennen in mehrere Grßenklassen in gasfrmiger Umgebung nennt man Windsichten. Je nach Partikelgrße greifen in einer Gasstrmung unterschiedlich große Krfte an. Unter idealisierten Bedingungen lassen sich Bahnkurven berechnen, die ihrerseits zur Trennung in unterschiedliche Grßenklassen verwendet werden knnen. Die Grße, nach der getrennt wird, ist primr nicht die Partikelgrße, sondern die stationre Sinkgeschwindigkeit w, die eine Partikel in einem Kraftfeld annimmt. Bei der Gegenstrom-Schwerkraftsichtung mit einer Gasgeschwindigkeit u entgegen der Schwerkraft werden Partikeln mit Sinkgeschwindigkeiten wg im Schwerefeld, die kleiner als u sind, mit dem Gas ausgetragen (Feingut), wogegen das Grobgut mit Sinkgeschwindigkeiten wg > u in Richtung der Schwerkraft aussedimentiert. In einem Spiralwindsichter, in dem eine Trennung im Fliehkraftfeld realisiert wird, wird Gas durch einen einstellbaren, rotierenden Leitschaufelkranz entgegen der Fliehkraft nach innen gesaugt. Auf die im Gasstrom dispergierten Partikeln wirken Zentrifugalkraft, Auftriebs- und Widerstandskraft. Ist die Radialkomponente ur der Gasstrmung grßer als die Sinkgeschwindigkeit wb im Fliehkraftfeld, erfolgt ein Abzug nach innen (Feingut). Das Grobgut wird außen gesammelt. Whrend im Schwerefeld Trennkorngrßen im Bereich 10 bis 100 mm blich sind, knnen im Fliehkraftfeld Trennkorngrßen bis hinab zu 1 mm erreicht werden. Die Trennkorngrße, die theoretisch aus der Bedingung w=u folgt, ist jeweils durch Eichversuche zu ermitteln.
2.5 Mischen von Feststoffen Ziel eines jeden Mischvorgangs ist es, dass auch kleine Teilelemente, Teilvolumina, Teilmengen usw. die zu vermischenden Komponenten in mglichst derselben Zusammensetzung enthalten. In einer realen Mischung ist das selten der Fall. Je-
de Teilmenge wird in ihrer Zusammensetzung mehr oder weniger von der der Gesamtmenge abweichen. Je grßer die Abweichung ist, desto schlechter ist die Mischung. Die Abweichung wird damit zum Gtemaß einer Mischung. Neben der erreichbaren Mischgte stehen bei der Auslegung von Mischern Fragen der Leistungsaufnahme und der Mischzeit im Vordergrund, wobei Mischzeit und Mischgte verknpft sind. Das mechanische Mischen erfolgt durch aufgeprgte Zufallsbewegungen. Die Bewegung der Einzelelemente der Komponenten ist stochastisch. Die bestmgliche Mischung, die in technischen Gerten erreichbar ist, ist die gleichmßige Zufallsmischung. Auch nach beliebig großen Mischzeiten werden die rtlichen und zeitlichen Konzentrationen schwanken. Sind diese Schwankungen zufllig und liegen sie innerhalb gewisser Grenzen (Vertrauensbereiche), liegt eine gleichmßige Zufallsmischung vor. Eine Mischungskontrolle erfolgt ber Probenahme. Aus der Analyse der Stichproben kann geschlossen werden, ob die Konzentrationsschwankungen innerhalb der Vertrauensbereiche liegen, die fr jedes Mischproblem berechenbar sind. Liegen die Schwankungen außerhalb der zulssigen Grenzen, ist entweder noch ungengend gemischt worden oder Entmischungserscheinungen verhindern das Erreichen des bestmglichen Ergebnisses. Beim Mischen von Feststoffen in Form des Schttguts erfolgt die zum Vermischen notwendige Relativbewegung von Teilbereichen durch die Bewegung der Mischbehlter, durch bewegte Mischelemente bei ortsfesten Behltern oder durch Umwlzung mittels eines Gases, i. allg. Luft. Apparate zum Mischen von Feststoffen knnen in drei Gruppen eingeteilt werden: rotierende Mischer, Mischer mit bewegten Mischwerkzeugen und pneumatische Mischer. Rotierende Mischer, auch Schwerkraft- oder Freifallmischer genannt, werden bis zu Baugrßen von 10 m3 angeboten. Im einfachsten Fall rotiert ein zylindrischer Behlter um seine horizontale Achse. Das Schttgut wird durch die Rotation einseitig angehoben und rutscht ber die sich bildende Bschung ab. Eine Mischwirkung stellt sich lediglich an der Oberflche ein. Vorteile sind einfache Bauart, leichte Reinigung, milde Mischwirkung, geringer Abrieb. Nachteile sind die Beschrnkung auf rieselfhige Schttgter, die Gefahr des Entmischens nach Partikelgrße und -dichte und lange Mischzeiten. Durch Schrgstellen der Behlter, durch Einbauten oder durch entsprechende nichtzylindrische Form lassen sich die Mischzeiten erheblich reduzieren. Bei Mischern mit bewegten Mischwerkzeugen (Wendel-, Pflugschar-, Schaufel-, Wirbel-, Kegelschnecken- usw. Mischer) erfolgt die Mischwirkung durch eine Scherbeanspruchung im Schttgut und nur geringfgig an der Schttgutoberfche, d. h. die o. g. Entmischungserscheinungen knnen vermieden werden. Beim Pflugscharmischer als Vertreter diese Gruppe sind in einem horizontal liegenden Zylinder auf dem in der Symmetrieachse liegenden Rhrwerk an radialen Stben Pflugscharen angeordnet, die bei Rotation des Rhrwerks die Schttung durchpflgen, d. h. sie verdrngen das Schttgut zur Seite. Beim Wiederzusammenfließen hinter den Pflugscharen findet der eigentliche Mischvorgang statt. Verglichen mit den rotierenden Mischern ist der Energiebedarf hoch. Entsprechend grßer sind Abrieb (bezogen auf das Schttgut) und Verschleiß (bezogen auf die Mischelemente). Auch Schttgter mit schlechten Fließeigenschaften (hoher Feingutanteil, Feuchtigkeit) knnen gemischt werden. Beim Kegelschneckenmischer als weiterem Vertreter dieser Gruppe (Bild 7) frdert eine nahe der konischen Behlterwand gefhrte Schnecke Schttgut nach oben. Da die Schnecke ber den oben angeordneten Arm gleichzeitig den gesamten Konusmantel abfhrt, kommt der gesamte Behlterinhalt in Bewegung. Durch den Zwangstransport knnen auch feuchte Schttgter befriedigend vermischt werden.
I2.6
Bunkern
N9
– Entmischung: Bildet sich beim Fllen eines Bunkers ein Schttgutkegel, gelangt das Grobgut in die Peripherie, wogegen sich das Feingut im Zentrum ansammelt. Bildet sich beim Entleeren ein Abflusstrichter, wird zunchst vorwiegend Feingut und gegen Ende vorwiegend Grobgut ausgetragen. – Verweilzeitverteilung: Bei Bunkern mit toten Zonen wird Schttgut, das beim Fllen in diese Zonen gelangt, erst beim vlligen Entleeren ausgetragen, wogegen spter eingeflltes Schttgut sofort wieder ausgetragen wird.
Bild 7. Kegelschneckenmischer
Baut man den Boden eines Zylinders mit vertikaler Achse als Belftungsboden aus, der gas-, aber nicht schttgut-durchlssig ist, und erzeugt durch Einleiten von Luft durch den Ausstrmboden ein Fließbett (s. N 5), stellt dieses Fließbett einen idealen Mischer dar. Baugrßen bis 1 000 m3 in der chemischen Industrie und bis 20 000 m3 in der Zementindustrie sind realisiert. Durch verstrkte Belftung in Teilbereichen, die periodisch wechseln, kann ein Umlaufstrom eingestellt werden. Damit knnen der Luftvolumenstrom und die erforderliche Mischzeit reduziert werden.
2.6 Bunkern 2.6.1 Fließverhalten von Schttgtern Das Lagerungs- und Bewegungsverhalten von Schttgtern ist gegenber dem von Flssigkeiten sehr verschieden. Befindet sich eine Flssigkeit in Ruhe, bildet sie eine horizontale Oberflche und kann keine Scherkrfte bertragen. In einem Behlter nimmt der Druck linear mit der Tiefe zu und ist nach allen Richtungen gleich. Ein Schttgut kann dagegen beliebig geformte Oberflchen bilden bis zu Neigungen, die seinem Bschungswinkel entsprechen. Es kann statische Scherkrfte bertragen und die Drcke, die es in einem Bunker auf Boden und Wnde ausbt, nehmen nicht linear mit der Tiefe zu, sondern streben einem Maximalwert zu. Zudem ist der Druck von der Richtung abhngig und verschieden beim Fllen und Entleeren. Das Schttgut soll im Bunker fließen und die Bildung von Brcken, Schchten und toten Zonen muss vermieden werden. Es ist ein Fließkriterium – Fließkriterium im Sinne der Plastizittslehre – aufzustellen, das besagt, ob ein Schttgutelement unter bestimmten Spannungszustnden fließt oder nicht. Zur Ermittlung dieser Fließgrenze sind Scherversuche durchzufhren. Diese werden heute in der Mechanischen Verfahrenstechnik routinemßig durchgefhrt und liefern u. a. folgende Werte: innere Reibungswinkel fr beginnendes und stationres Fließen; Zugfestigkeit, Druckfestigkeit und Kohsion in Abhngigkeit von der Schttgutdichte; Reibungswinkel zwischen Schttgut und beliebigen Wandmaterialien.
Die Reibungsverhltnisse im Schttgut und an der Wand und die Bunkerausfhrung in ihrem untersten Bereich beeinflussen das Fließprofil. Es wird zwischen Massenfluss und Kernfluss unterschieden, Bild 8. Bei Massenfluss ist die gesamte Fllung in Bewegung, sobald Schttgut abgezogen wird. Damit dies eintritt, mssen die Wnde entsprechend glatt und steil sein. Sind der innere Reibungswinkel und der Wandreibungswinkel bekannt (Scherversuche), kann aus entsprechenden Diagrammen die maximal mgliche Neigung des Auslauftrichters gegen die Vertikale abgelesen werden, die Massenfluss garantiert. Ist Brckenbildung ausgeschlossen, treten weitere Probleme nicht auf. Ist die Neigung des Trichters zu gering oder sind die Wnde zu rauh, tritt Kernfluss auf und alle genannten Probleme mssen beachtet werden. Brckenbildung ber der Auslaufffnung ist mglich, wenn die dort herrschende Schttgutfestigkeit grßer als die Spannung ist, die im Auflager einer stabilen Brcke aufgrund des Gewichts der Brcke und der Brckenbelastung herrscht. Diese Auflagerspannung lßt sich fr jeden Ort im Bunker abschtzen. Bei stationrem Bunkerbetrieb lassen sich fr alle Bunkerbereiche und insbesondere fr den Auslauftrichter, in dem die Gefahr der Brckenbildung besteht, die Spannungen im Schttgut berechnen. Diesen Spannungen entsprechen jeweils Schttgutdichten, denen ihrerseits aufgrund der Scherversuche Schttgutfestigkeiten zuzuordnen sind. Damit sind die Verlufe von Auflagerspannung und Schttgutfestigkeit bekannt. Im Auslauftrichter nehmen beide in Richtung Auslauf ab. Die Auflagerspannung nimmt strker ab, so dass es zum Schnittpunkt beider Verlufe kommen kann. Unterhalb dieses Schnittpunkts (kritischer Querschnitt) reicht die Schttgutfestigkeit aus, um eine stabile Brcke zu bilden. Zur Vermeidung von Brckenbildungen mssen im Bereich zwischen kritischem Querschnitt und geplanter Auslaufffnung Austraghilfen angeordnet werden, die eine Schttgutbewegung erzwingen. Oberhalb des kritischen Querschnitts ist ein ungehinderter Schwerkraftfluss gewhrleistet. Mgliche Austraghilfen sind das gezielte Einblasen von Luft, ein dem Problem angepasster, sinnvoller Einsatz von Vibrationen oder der Einbau von Rhrwerken. Viele Schttgter unterliegen beim Lagern in Ruhe einer Zeitverfestigung, die die Schttgutfestigkeit und damit den kritischen Querschnitt vergrßert. Dieser Zeiteinfluss wie auch Einflsse von Temperatur und Feuchte knnen an reprsentativen Proben im Labormaßstab durch Scherversuche quantitativ ermittelt werden.
2.6.2 Dimensionierung von Bunkern Beim Bunkern von Schttgtern treten u. a. folgende Probleme auf: – Brckenbildung: Ein stabiles Gewlbe bringt den Schttgutfluss zum Erliegen. – Schachtbildung: Nur das Schttgut, das sich zentral ber der Auslaufffnung befindet, fließt aus. Bild 8. a Massenfluss; b, c Kernfluss
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N 10
Grundlagen der Verfahrenstechnik – 3 Thermische Verfahrenstechnik
3 Thermische Verfahrenstechnik
von Packungskolonnen bei großem Volumenanteil der Partikel- bzw. Filmphase.
A. Mersmann, Mnchen 3.1.1 Durchsatz In Apparaten und Maschinen der Thermischen Verfahrenstechnik werden fluide Gemische getrennt. Das Trennprinzip kann – auf unterschiedlichen Dampfdrcken (Verdampfen, Destillieren, Rektifizieren), – auf unterschiedlichen Lslichkeiten (Eindampfen, Kristallisieren, Extrahieren, Absorbieren), – auf unterschiedlichem Sorptionsverhalten (Adsorption, Desorption, Chromatografie, Trocknen), – auf unterschiedlicher Durchlssigkeit durch Membranen (Dialyse, Umkehrosmose, Ultrafiltration, Pervaporation) und – auf unterschiedlichen (elektr.) Feldkrften der einzelnen Komponenten ða; b; c; . . . ; i; . . . ; kÞ beruhen. Beim Trennvorgang gehen eine oder mehrere Komponenten von einer Phase (z. B. feste S- (Solid-), flssige L- (Liquid-) oder gasfrmige G-(Gas-)Phase) in eine andere Phase ber (Tab. 1), wobei die Phasenstrme im Apparat hufig im Gegenstrom zueinander gefhrt werden (s. K 1.1). Stoffaustauschmaschinen mit bewegten Maschinenteilen sind bisher in der Industrie wenig verbreitet.
3.1 Absorbieren, Rektifizieren, Flssig-flssig-Extrahieren
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Bild 1 zeigt Prinzipskizzen von Gas-flssig-Gegenstromkolonnen (Absorber, Rektifikatoren), Bild 2 dagegen verschiedene Bauformen von Flssig-flssig-Gegenstromkolonnen (Extraktoren). Solche Kolonnen knnen Bden (Sieb-, Glocken-, Ventilbden) oder Packungen (geordnete Packungen oder regellose Fllkrperschttungen) enthalten und werden so konzipiert, dass sowohl große Durchstze der im Gegenstrom gefhrten Phasen wie eine mglichst große Grenzflche zwischen den Phasen im Hinblick auf einen großen bertragenen Stoffstrom fr ein bestimmtes Partialdruck- oder Konzentrationsgeflle erzielt werden. Große Grenzflchen entstehen durch kleine Blasen oder Tropfen in Boden- bzw. breite dnne Flssigkeitsfilme oder kleine fluide Partikel auf oder in Packungen
Der Durchmesser solcher Gegenstromapparate ist so groß zu whlen, dass ein sicherer Gegenstrom der beiden Phasen gewhrleistet ist und nicht Fluten eintritt (eine Phase reißt die andere Phase mit, Gleichstrom der Phasen). Handelt es sich um Bodenkolonnen, werden mit zunehmender Volumenstromdichte v_ c der kontinuierlichen oder kohrenten Phase (Index c) immer mehr und immer grßere fluide Partikel (Blasen oder Tropfen) der dispersen oder zerteilten Phase (Index d) mitgerissen, bis schließlich Fluten eintritt. Aus diesem Sachverhalt ergibt sich ein einfaches Flutpunktdiagramm, das in Bild 3 dargestellt und fr berschlgige Auslegungen ausreichend genau ist. In Packungskolonnen fr die Flssig-flssigExtraktion sowie Absorption und Rektifikation knnen sich neben fluiden Partikeln (Tropfen bzw. Blasen) auch noch Flssigkeitsfilme und -rinnsale auf den Packungselementen im Gegenstrom zur anderen Phase bewegen. Die Vorhersage des Flutpunkts ist dann schwieriger, doch erlaubt Bild 4 berschlgige Berechnungen. 3.1.2 Stofftrennung Whrend sich der Durchmesser D von Gegenstromkolonnen nach zulssigen Phasendurchstzen und somit nach den Gesetzen der Mehrphasenstrmung (s. N 5) richtet, hngt deren Hhe Z von der Trennschwierigkeit des Gemisches ab, die bei Bodenkolonnen durch die Zahl der Trennstufen n und bei Packungskolonnen durch die Zahl der bergangseinheiten NTU (number of transfer units) beschrieben wird. Die Zahl der Trennstufen ist gleich der Zahl der Stufen einer Treppenlinie, die sich zwischen einer Gleichgewichtslinie y ¼ f ðxÞ und einer Bilanzlinie y ¼ f ðxÞ in einem Arbeitsdiagramm einzeichnen lßt, Bild 5 und Bild 6. Es ist der Molenbruch y
Tabelle 1. bersicht ber thermische Trennverfahren
Bild 1 a–d. Rektifizier- und Absorptionsanlagen. a Gegenstrom-Rektifizierkolonne; b Gegenstrom-Absorber; c Gegenstrom-Sprhkolonne; d Absorptionskolonne mit Waschmittelregenerierung
I3.1
Absorbieren, Rektifizieren, Flssig-flssig-Extrahieren
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N Bild 2 a–c. Extraktionsanlagen. a einstufige Fest-Flssig-Extraktionsanlage mit nachgeschalteter Aufbereitung des Lsungsmittels, 1 Khlen, 2 Heizen; b einstufige Flssig-Flssig-Extraktionsanlage mit zwei nachgeschalteten Rektifizierkolonnen zur Aufbereitung von Extrakt und Raffinat; c Gegenstrom-Extraktoren, 1 Sprhkolonne, 2 Fllkrperkolonne, 3 Siebbodenkolonne, 4 pulsierte Fllkrperkolonne, 5 pulsierte Siebbodenkolonne, 6 Karr-Kolonne, 7 Rotating Disc Contactor, 8 Rhrzellen-Extraktor
(oder die Beladung Y) der G-Phase (Index G) abhngig vom Molenbruch x (oder der Beladung X) in der L-Phase (Index L) aufgetragen. Es gelten die Umrechnungen x ¼ X=ð1 þ XÞ und y ¼ Y=ð1 þ YÞ. Bild 5 zeigt ein Arbeitsdiagramm fr die Rektifikation binrer Gemische und Bild 6 fr die Absorption oder Flssig-flssig-Extraktion fr den Fall, dass nur eine Komponente bertragen wird. Handelt es sich um die Rektifikation von Vielstoffgemischen oder die Absorption oder Extraktion mehrerer Komponenten, sind fr die einzelnen Komponenten und jeweiligen Kolonnenelemente (Bden bei Bodenkolonnen, differentielle Kolonnenhhe bei Packungskolonnen) Stoffbilanzen zu formulieren und mit Hilfe von Stoffaustausch- und erforderlichenfalls auch Wrmeaustauschvorgngen Konzentrationsnderungen zu beschreiben. Nach Bild 5 wird bei der Rektifikation das binre Gemisch in ein Destillat D mit der Konzentration xD und in ein Bodenprodukt B entsprechend xB zerlegt. Im Falle der Absorption reichert sich die vom Gas abgegebene und vom flssigen Waschmittel (Lsungsmittel) absorbierte Komponente und bei der Flssig-flssig-Extraktion die vom Raffinat abgegebene und vom Extraktionsmittel (Lsungsmittel) extrahierte Komponente jeweils von der Beladung Ye am einen (hier unten) Ende der Kolonne auf die Beladung Ya am anderen Ende ab. Entsprechend wird die andere Phase von Xa auf Xe angereichert. Die dargestellten Bilanzlinien y ¼ f ðxÞ bzw. Y ¼ f ðXÞ ergeben sich aufgrund von Stoffbilanzen der bertragenen Komponente (bei der Rektifikation der leichtersiedenden Komponente) als Bilanz um einen Kolonnenabschnitt.
Dagegen stellen Gleichgewichtslinien y ¼ f ðxÞ (der Stern steht im folgenden fr Gleichgewicht) thermodynamische Aussagen zum Stoffsystem dar; sie knnen allgemein fr den Gesamtdruck p aus der Beziehung yi gi xi
j0i ðp0i Þp0i ji p
zwischen der Konzentration xi der Komponente i in der LPhase und der Konzentration yi in der G-Phase (bzw. anderen L-Phase bei der Flssig-flssig-Extraktion) berechnet werden. Der Aktivittskoeffizient gi beschreibt das reale Verhalten der Komponente i in der kondensierten Phase, whrend die Fugazittskoeffizienten ji und j0i deren reales Verhalten in Gasen oder Dmpfen bercksichtigen; p0i ist der Sttigungsdampfdruck der Komponente i. Im Falle eines kleinen reduzierten Drucks pr ¼ p=pc gilt mit ji ¼ j0i 1 im Falle der Absorption bei kleinen Konzentrationen xi das Henrysche Gesetz yi ¼ ðxi =pÞgi p0i ¼ xi ðHei =pÞ: Fr die Flssig-flssig-Extraktion erhlt man fr kleine Werte von xi das Nernstsche Gesetz yi ¼ xi ðgI =gII Þ ¼ xi K: Die Aktivittskoeffizienten gi sind bei idealen Gemischen 1 und bei realen Gemischen mit 0 < g < 1 von den Wechselwirkungsenergien der verschiedenen Molekle in der flssigen Phase abhngig. Die Fugazittskoeffizienten ji hngen
N 12
Grundlagen der Verfahrenstechnik – 3 Thermische Verfahrenstechnik
Bild 3. Fluten von Bodenkolonnen fr G/L (Absorber und Rektifikatoren) und LI = LII -Systeme (Extraktoren), (c = continuous phase, d = dispersed phase, p = particle, ws ¼ Partikel-Sinkgeschwindigkeit)
Bild 5. Rektifizierkolonne mit dem dazugehrigen Arbeitsdiagramm. 1 Verstrkungsteil, 2 Abtriebsteil, 3 Khlen, 4 Heizen, a Gleichgewichtskurve, b Verstrkungsteil-Bilanzlinie, c Abtriebsteil-Bilanzlinie
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Bild 6. Absorber oder L/L-Extraktor mit dazugehrigem Arbeitsdiagramm. 1 Bilanzlinie Y=f(X), 2 Gleichgewichtslinie Y ¼ f ðXÞ Bild 4. Fluten von Packungskolonnen fr G/L-Systeme, at ; et volumenbezogene trockene Packungsoberflche bzw. -lckenvolumen, Dpt Druckverlust des Gases beim Durchstrmen der trockenen Packung, hL; Fl auf das Packungsvolumen bezogenes Flssigkeitsvolumen am Flutpunkt. s Grenzflchenspannung, 1 Flutgrenze
vom reduzierten Druck pr ¼ p=pc und der reduzierten Temperatur Tr ¼ T=Tc ab und nehmen bei sehr kleinen Werten von pr den Wert 1 an (s. D 9). Handelt es sich nicht um Boden-, sondern um Packungskolonnen, ist die Zahl der bergangseinheiten NTU dann gleich der Zahl der Trennstufen n, wenn Bilanz- und Gleichgewichtslinien parallel sind. Andernfalls ergibt sich NTU der G-Phase aus NTUG ¼
Zya ye
dy : ðy yÞ
Mit den partiellen Stoffbergangskoeffizienten bG in der GPhase und bL in der L-Phase folgt dann die erforderliche H~ G in der he Z der Packung mit dem G-Strom G_ ¼ u_ G f rG =M Kolonne aus ~G ~L G_ M M þ m : Z ¼ NTU af rG bG rL bL Hierin ist f der durchstrmte Querschnitt der Kolonne (f ¼ D2 p=4 bei zylindrischer Kolonne) und die Grße a die auf das Packungsvolumen bezogene Stoffaustauschflche (Phasengrenzflche) zwischen den beiden Phasen. Die Grße ~ ist die molare Masse und m ¼ dy das Steigungsmaß der M dx
I3.2
Verdampfen und Kristallisieren
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Gleichgewichtskurve. Handelt es sich dagegen um eine Bodenkolonne, ergibt sich die erforderliche Kolonnenhhe Z zu Z ¼ nH=E0G ; mit dem G-seitigen Verstrkungsverhltnis 0 1 bG aZ 0 B C u_ G B C E0G ¼ 1 expB : ~ LC @ A bG r G M 1þm ~G bL rL M Hierin ist u_ G die Volumenstromdichte (Volumenstrom/Flche) des Gasstroms. Der Bodenabstand H wird hufig zwischen 0,2 m (Extraktion) und 0,4 m (Absorption, Rektifikation) gewhlt. Diese Gleichungen zeigen, dass die Hhe Z einer Bodenkolonne gleich nH und die Hhe Z einer Packungskolonne dann sehr klein sind, wenn die volumenbezogene Phasengrenzflche a groß (d. h. kleine Blasen und Tropfen bzw. kleine Fllkrper) und die Stoffbergangskoeffizienten bG und bL ebenfalls groß sind. Volumenbezogene Phasengrenzflchen a und Stoffbergangskoeffizienten bG , bL , bc und bd knnen aus den Gleichungen nach Tab. 2 und Bild 7 abgeschtzt werden.
3.2 Verdampfen und Kristallisieren In Bild 8 sind industriell hufig eingesetzte Verdampfer dargestellt. Die Heizflche A von Verdampfern ist so zu dimen_ i resultierende sionieren, dass der aus dem Brdenstrom M Wrmestrom Q_ entsprechend _ i DhLG ¼ kAðDJÞm ¼ Q_ ¼ M
1 AðDJÞm 1 s 1 þ þ ai l aa
Bild 7. Stoffbergang in fluiden Partikeln
bertragen wird (s. D 11.2). Hierin sind die Grßen ðDJÞm die mittlere Temperaturdifferenz zwischen dem Heizmedium und der verdampfenden Lsung und DhLG die spez. Verdampfungsenthalpie. Angaben zu Wrmeleitfhigkeiten s. D 11.1 Tab. 1. Die Dampf-Flssigkeits-Trenngefße oberhalb der siedenden Flssigkeitsoberflche sind so zu dimensionieren, dass ein unzulssiges Mitreißen von Trpfchen vermieden wird. Als Anhaltswerte der Dampf-Leerrohrgeschwindigkeit knnen zulssige Dampfgeschwindigkeiten in Rektifizier-Bodenkolonnen dienen (Bild 3). Handelt es sich um das Verdampfen eines binren Gemisches mit einem sehr weiten Siedeabstand der beiden Komponenten, ergibt sich die Konzentration ð1 x1 Þ an
Tabelle 2. Stoffbergang in Gegenstromkolonnen. ws Steig- oder Sinkgeschwindigkeit fluider Partikel, Dr Dichtedifferenz, g Erdbeschleunigung, DAB Diffusionskoeffizienten, dN Lochdurchmesser bzw. Packungselementabmessung, j Bodenlochanteil, tB Bildungszeit fluider Partikel, at volumenbezogene Oberflche der trockenen Packung, e Volumenanteil einer Phase, Z 0 Hhe der Zweiphasenschicht auf dem Boden
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Grundlagen der Verfahrenstechnik – 3 Thermische Verfahrenstechnik
gelstem Stoff aufgrund von Massen- und Stoffbilanzen zu (Bild 9) ð1 x1 Þ ¼ ð1 x0 ÞL_ 0 =L_ 1 ¼ ð1 x0 Þ=ð1 G_ 1 =L_ 0 Þ: Zur Energieeinsparung sind u. a. die Vielstufenverdampfung und die Brdenverdichtung geeignet. In Bild 10 sind Schaltungen von Anlagen nach dem Gleichstrom- (in der letzten Stufe treten niedrige Temperaturen auf, verbunden mit hoher Flssigkeitsviskositt und schlechtem Wrmebergang) und dem Gegenstromprinzip (hohe Temperaturen mit Zersetzungsgefahr temperaturempflindlicher Stoffe) dargestellt. Theoretisch lsst sich der Energieverbrauch bis auf 1/n bei n Stufen reduzieren, praktisch liegt er um 10 bis 30% hher. Die Kristallisation aus der Lsung erfordert, eine bersttigte Lsung durch Verdampfen von Lsungsmittel oder Khlen der Lsung oder Verdrngen des gelsten Stoffes durch einen dritten (Verdrngungsmittel) oder durch Reaktion von zwei
Bild 9. Verdampfer mit Kondensator (Stoffbilanz)
oder mehreren Edukten zu einem Produkt mit einer die Lslichkeit c* bersteigenden Konzentration c ¼ c þ Dc herzustellen (Verdampfungs-, Khlungs-, Verdrngungs- bzw. Reaktions- oder Fllungskristallisation). Bild 11 zeigt einige Kristallisatorbauarten fr grobe Massenprodukte. Die mittlere Produktkorngrße L50 fllt mit der Keimbildungsrate B0 (Keime/(m3s)) und nimmt mit der Kristallwachstumsgeschwindigkeit G ¼ dL=dt ¼ 2 u und der Zeit t zu, wobei B0 stark mit der relativen bersttigung s ¼ Dc=c ansteigt, die Grße u dagegen schwcher, siehe Bild 12 oben (gltig fr nichtdissoziierende Molekle idealer Gemische). Hieraus ergibt sich die in einstufigen Kristallisatoren zu erwartende Grßenordnung der mittleren Korngrße L50 abhngig von s (Bild 12 unten).
3.3 Adsorbieren, Trocknen, Fest-flssigExtrahieren Bei Stofftrennungen durch Adsorbieren, Trocknen und Festflssig-Extrahieren ist stets eine feste Phase vorhanden, in die oder aus der ein oder mehrere Stoffe bertragen werden. Der Feststoff kann in Form von Partikeln (Fest-, Wander- und Fließbetten, Gegenstrom- und Gleichstromapparate fr die Phasenpaarungen S/G und S/L) oder auch als dnne Schicht (z. B. Bnder oder Schttschichten aus z. B. Papier, Textilien, Holz, land- und forstwirtschaftlichen Produkten wie Krner, Bltter, Fasern usw.) vorliegen. Bei der Adsorption wird Stoff (Adsorptiv) aus einem Gas (Gasphasenadsorption) oder aus einer Flssigkeit (Flssig-
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Bild 8 a–g. Verdampfer. a Umlaufverdampfer, bei dem Heizregister und Ausdampfbehlter getrennt sind; b Umlaufverdampfer mit schrg angeordnetem Heizregister; c Zwangsumlaufverdampfer mit getrenntem Abscheidegefß; d Fallfilmverdampfer mit innen berieselten Rohren; e Dnnschichtverdampfer mit starrem Wischersystem, 1 Wischer; f Verdampferblase mit liegendem Rohrbndel; g Naturumlaufverdampfer mit weitem inneren Zirkulationsrohr
I3.3
Adsorbieren, Trocknen, Fest-flssig-Extrahieren
N 15
Bild 10 a, b. Vielstufenverdampfung; a dreistufige Gleichstrom-Verdampferanlage; b dreistufige Gegenstrom-Verdampferanlage
phasenadsorption) in ein Adsorbens (Aktivkohle und Kohlenstoffmolekularsiebe vorzugsweise fr hydrophobe Komponenten; Silicagel, Aluminiumoxid und zeolithische Molekularsiebe fr anorganische und organische Stoffe) vorzugsweise in den Mikroporen (kleiner als 2 nm) des Adsorbens adsorbiert, nachdem er zunchst Makroporen (mit mehr als 50 nm) passiert hat. Fast immer besteht eine Adsorptionsanlage aus zwei Festbetten (Bild 13), von denen das eine beladen und das andere durch Temperaturerhhung (Temperaturwechselverfahren) oder durch Druckabsenkung (Druckwechselverfahren) regeneriert wird, Bild 14. Durch das Bett bewegt sich eine Stoffbergangszone, in der der bertragene Stoff von der fluiden Phase an die Kornoberflche und von dort durch die Makroporen und gegebenenfalls durch die Mikroporen an die „aktiven“ Adsorptionspltze transportiert wird. (Bei der Desorption wird dieser Weg in umgekehrter Richtung durchschritten.) In der Stoffbergangszone (mass transfer zone MTZ, Bild 13) fallen die Adsorptivkonzentrationen und die Adsorbensbeladung von den Werten der stromaufwrts befindlichen Gleichgewichtszone auf die der stromabwrts vorhandenen Gleichgewichtszone ab. Wenn die Stoffbergangszone sich dem Bettende nhert, muss das Bett auf Regenerierung durch
Bild 12. Raten der homogenen Keimbildung und des Kristallwachstums (oben) und mittlere Korngrße (unten) abhngig von der relativen bersttigung, rc ¼ Kristalldichte
Temperaturerhhung oder Druckabsenkung umgeschaltet werden. Das regenerierte Bett wird beladen, das beladene Bett regeneriert. Im Falle einer (technisch nicht mglichen) RechteckDurchbruchskurve eines isothermen Betts ergibt sich die Durchbruchszeit tD aufgrund einer Stoffbilanz der bertragenen Komponente i mit der Adsorbensmasse S und dem Volumenstrom V_ der fluiden Phase zu tD ¼
SXi : _ 0; i Vc
Die Durchbruchszeit steigt mit der Beladung Xi des Adsorptivs i auf dem Adsorbens, fllt mit zunehmender Konzentrati-
Bild 11 a–c. Kristallisatorbauarten (nach Whlk, Hofmann). a Rhrwerk, M Motor; b Forced Circulation; c Fließbett
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Grundlagen der Verfahrenstechnik – 3 Thermische Verfahrenstechnik
Mit der Stoffbilanz m_ I ¼ rs sðdX=dtÞ eines Guts mit der Dichte rs , mit der Schichtdicke s und der volumenbezogenen Gutsoberflche a lsst sich die Trocknungszeit t ermitteln, um ein Gut von der Anfangsfeuchte Xa bis zur sog. Knickpunktsfeuchte XKn zu trocknen: srs sr DhLG ðXa XKn Þ ¼ s ðXa XKn Þ aðDJÞm m_ I rs DhLG ¼ ðXa XKn Þ: aaðDJÞm
tI ¼
Bild 13. Adsorptionsanlage mit zwei Festbetten (Ad- und Desorber). 1 Heizen
N Bild 14. Temperatur- und Druckwechseladsorption dargestellt im Beladungs-Partialdruckdiagramm. 1 Adsorptionsisothermen, 2 Druckwechselverfahren, 3 Temperaturwechselverfahren
on c0; i dieser Komponente in der fluiden Phase am Eintritt und nimmt mit dem Verhltnis S=V_ zu. Da die Durchbruchskurve mehr oder weniger steil ist und die Adsorptionswrme Bett und Fluid erwrmt, ist die tatschliche Durchbruchszeit krzer. Steile Durchbruchskurven ergeben sich fr kleine Adsorbenspartikel (in isothermen Betten), große Diffusionskoeffizienten des bertragenen Stoffs in den hufig den Stoffbergang limitierenden Makroporen sowie bei einem fr die Adsorption gnstigen, aber fr die Desorption ungnstigen Phasengleichgewicht. Whrend bei der Adsorption die Adsorptionswrme (ungefhr das 1,5fache der Kondensationswrme bei kleiner Adsorbensbeladung X) frei wird, ist diese bei der isothermen Desorption zuzufhren. Dies gilt auch fr das Trocknen von Feststoffen wie Holz, Papier, Textilien, landwirtschaftliche Produkte, Nahrungs- und Genussmittel, Chemikalien, Pharmazeutika etc. Hierbei ist dem Trocknungsgut im Falle großer Feuchtebeladung X (kg Feuchte/kg trockenes Gut) die Verdampfungsenthalpie DhLG pro kg Feuchte zuzufhren. Je nach der Art der Wrmebertragung unterscheidet man Kontakt- (Wrmeleitung), Konvektions- und Strahlungstrockner, Bild 15. Solange die Gutoberflche A dank der Saugwirkung der Poren (Kapillaren) feucht ist und damit im sog. ersten Trocknungsabschnitt getrocknet wird, entscheidet nur der Wrmebergang aufgrund der mittleren Temperaturdifferenz ðDJÞm entsprechend
Wenn die Knickpunktsfeuchte XKn (Bild 16) unterschritten wird, wirkt das feuchte Gut nicht mehr wie eine Flssigkeitsoberflche, weil nur noch die feinen Poren aufgrund von Kapillarkrften bis zur Oberflche gefllt sind. Nach dem sog. Trocknungsspiegelmodell (angenhert gltig bei relativ grobdispersen und deshalb schwach-hygroskopischen Trocknungsgtern) lßt sich die Endtrocknungsgeschwindigkeit m_ II,w aus folgender Gleichung mit der Wrmeleitfhigkeit l des Guts und dem Umwegfaktor mp 5 ermitteln: l JG Jw m_ II,w ¼ sDhLG 1 þ ðl=asÞ 1 ðp0w pi Þ ¼ : smp 1 RT þ ð1 ðpi Þm =pÞ bh DAB;G Die „richtige“ Trocknungsgeschwindigkeit ergibt sich aus der Gleichheit der Ausdrcke, wobei die Endtemperatur Jw und der Dampfdruck p0w ber die Dampfdruckkurve der durch Trocknen zu entfernenden Komponente verknpft sind. Liegt dagegen die Restfeuchte im hygroskopischen Trocknungsgut eher adsorptiv gebunden vor, entspricht das Trocknen der Desorption, also der Umkehrung der Gasphasenadsorption. Die Stoffbertragung (und damit Stoffbergangs- oder Trocknungsgeschwindigkeiten sowie Sorptions-, Trocknungs- und Extraktionszeiten) bei der Ad- und Desorption, beim Trocknen wie auch bei der Fest-flssig-Extraktion von oder an Feststoffe lßt sich mit Hilfe der Gleichung DX 8 Deff t p2 ¼ 2 exp 2 s DXa p beschreiben. Aus dieser Gleichung folgt, dass die fr eine bestimmte Be- bzw. Entladedifferenz DX bezogen auf die maximal mgliche Ladedifferenz DXa ¼ Xa X mit der Gleichgewichtsbeladung X erforderliche Zeit t um so krzer ist, je grßer der effektive Diffusionskoeffizient Deff des bertragenen Stoffs im Feststoff mit der Schichtdicke s (z. B. in kugeligen Partikeln mit dem Radius R ¼ s) ist. So ergibt sich z. B. die Trocknungszeit kapillaraktiver hygroskopischer Gter zu t
s2 lnðDX=DXa Þ: p2 Deff
Allgemein erhlt man im ersten und zweiten Trocknungsabschnitt dann kurze Trocknungszeiten, wenn Schichtdicken s oder Pelletradien R klein sind. Entsprechendes gilt fr Extraktionszeiten bei der Fest-flssig-Extraktion.
_ i DhLG ¼ aAðDJÞm Q_ ¼ M ber die Trocknungsgeschwindigkeit _ i =A ¼ ðaðDJÞm Þ=DhLG m_ i ¼ M der Komponente i. Bild 16 zeigt typische Trocknungsverlaufskurven.
3.4 Membrantrennverfahren Tabelle 3 und Bild 17 geben eine bersicht ber verschiedene Membrantrennverfahren und die dabei wirksamen Triebkrfte. Diffusion und Sorption bewirken den Stofftransport durch dichte Lsungs-Diffusionsmembranen, whrend der
I3.4
Membrantrennverfahren
N 17
N Bild 15 a–f. Trocknerbauarten. a Walzentrockner; b Doppelschnecken-Trockner; c zweistufiger Wirbelschichttrockner, 1 Heizen; d Fnfbandtrockner; e Schaufeltrockner, 1 Heizmittelraum; f Gleichstrom-Zerstubungstrockner, 1 Heizen
konvektive Transport in porsen Membranen vorherrscht. Je nach der Geometrie und Konstruktion unterscheidet man Rohr-(Hohlfaser-), Platten- und Wickelmodule, die aus Kunststoffen (Polyethylen, Polypropylen, Polystyrol, Polyamid, Polykarbonat, Polyethylenterephtalat, Polytetrafluorethylen, Silicongummi, Celluloseacetat) bestehen. Die durch die Membran mit der Flche A permeierenden Mas_ i =A der Komponente i sind i. allg. der senstromdichten m_ i ¼ M treibenden Potentialdifferenz Dpi oder Dci direkt und der Membrandicke s umgekehrt proportional. Im Falle der Dialyse erhlt man mit dem Permeationskoeffizienten KM (Index M = Membran)
Tabelle 3. Membrantrennverfahren
m_ i ¼ KM ðDci Þm : Dagegen muss bei der Umkehrosmose die transmembrane Druckdifferenz Dp den osmotischen Druck D pi ci RT der Lsung mit der Konzentration ci an gelstem Stoff i mit der ~ i berschreiten, damit eine Permeatflussmolaren Masse M dichte m_ i zustande kommt: m_ i ¼ ðPM =sÞðDp D pÞ: Bei der Ultrafiltration kommt zum Transportwiderstand durch die Membran (Transportkoeffizient PM ) noch ein weiterer Widerstand aufgrund einer darauf abgelagerten Gelschicht (Transportkoeffizient PG , Index G = Gel) hinzu: m_ i ¼
ðPM þ PG Þ ðDp D pÞ: s
Probleme stellen die Membranverschmutzung und die Konzentrationspolarisation dar, die zu einer Rckdiffusion des permeierenden Stoffs von der Gelschicht wegen des dort vorhandenen Konzentrationsanstiegs entgegen der Fließrichtung des Permeats fhrt.
N 18
Grundlagen der Verfahrenstechnik – 4 Chemische Verfahrenstechnik
N Bild 17 a–c. Prinzip von a Rohr-, b Platten- und c Wickelmodulen. 1 hohle, dnnwandige Kunststoffrhrchen, 2 porse Platten, 3 Abstandshalter, 4 Membran
Bild 16. a Gutsfeuchte abhngig von der Zeit; b zeitliche Feuchtenderung abhngig von der Zeit und c abhngig von der Gutsfeuchte (Erluterung des I. und II. Trocknungsabschnitts); d normierte Trocknungsverlaufskurve. 1 hygroskopisches Gut, 2 nicht hygroskopisches Gut
4 Chemische Verfahrenstechnik A. Seidel-Morgenstern, Magdeburg
4.1 Einleitung Mit chemischen Reaktionen verbundene Stoffwandlungsprozesse besitzen in der Verfahrenstechnik eine zentrale Bedeutung. Die offensichtlichsten Anwendungen liegen dabei im Bereich der chemischen Industrie. Die zielgerichtete Nutzung, die sichere Beherrschung und die quantitative Beschreibung chemischer Reaktionen spielen allerdings auch in vielen anderen Industriezweigen eine wichtige Rolle. Hauptgegenstand der Chemischen Verfahrenstechnik ist die quantitative Analyse des Ablaufes chemischer Reaktionen und die Berechnung von Reaktoren. Typische Fragestellungen sind:
Ist eine erwnschte chemische Reaktion mit nennenswerten Umsatzgraden durchfhrbar? Welche Art der Reaktionsfhrung ist geeignet, um ein gewnschtes Zielprodukt effektiv herzustellen? Welcher Reaktortyp ist fr die Aufgabenstellung geeignet? Wie ist ein Reaktor fr eine bestimmte Aufgabenstellung zu dimensionieren? Welches sind die optimalen Reaktionsbedingungen? Ist eine angestrebte Reaktion sicher beherrschbar? Um diese und weitere damit im Zusammenhang stehende Fragen zu beantworten, sind verschiedene Teilgebiete fr die Chemische Verfahrenstechnik wichtig. Dazu gehren: – die Stchiometrie, die gewissermaßen die Buchhaltung einer chemischen Reaktion darstellt; – die Chemische Thermodynamik, die Aussagen zur „Wrmetnung“ und zur prinzipiellen Durchfhrbarkeit einer chemischen Reaktion liefert; – die Reaktionskinetik, die die Geschwindigkeit chemischer Reaktionen quantifiziert und
I4.3 – die Berechnung des Umsatzverlaufes in unterschiedlichen chemischen Reaktoren unter Bercksichtigung verschiedener Betriebsweisen und Gestaltungsprinzipien.
Chemische Thermodynamik
N 19
ponente die Bercksichtigung von M Reaktionslaufzahlen xj erforderlich: dni ¼
M X
vij dxj
j¼1
4.2 Stchiometrie
bzw.
Die Stchiometrie beschreibt grundlegende Gesetzmßigkeiten, denen die nderung der Zusammensetzung eines Reaktionsgemisches whrend des Ablaufes chemischer Reaktionen unterliegt. Ausgangspunkt ist folgende allgemeine Formulierung einer chemischen Reaktion: N X
vi Ai ¼ 0:
ð1Þ
i¼1
M X
vij xj
ð7Þ
j¼1
mit i ¼ 1; N. Dabei gilt auf Grund der Massenerhaltung fr alle L an den Reaktionen beteiligten chemischen Elemente: N X
bhi ni ¼ consth
i¼1
Mit dieser Gleichung wird die Vernderung der Molzahl von N an einer Reaktion beteiligten chemischen Komponenten A1 , A2 , . . . , AN beschrieben. Die vi sind die zu jeder Komponente gehrenden reaktionsspezifischen stchiometrischen Koeffizienten. Als Konvention wird eingefhrt, dass die Ausgangsstoffe einer Reaktion (Edukte) mit negativen und die Produkte mit positiven stchiometrischen Koeffizienten gekennzeichnet werden. So lßt sich beispielsweise die Synthese von Methanol aus Kohlenmonoxid und Wasserstoff folgendermaßen beschreiben: CO 2 H2 þ CH3 OH ¼ 0
ð2Þ
mit vCO ¼ 1, vH2 ¼ 2, vCH3 OH ¼ 1. Laufen gleichzeitig M Reaktionen ab, gilt verallgemeinernd: N X
ni ni0 ¼
vij Ai ¼ 0
ð3Þ
i¼1
mit j ¼ 1; M. Die Koeffizienten vij bilden die stchiometrische Matrix v. Die Zusammensetzung einer beliebigen Komponente Ai aus L verschiedenen chemischen Elementen Bh (h ¼ 1; L) lsst sich folgendermaßen beschreiben: Ai ¼
L X
bhi Bh
ð4Þ
h¼1
mit i ¼ 1; N. Die Matrix b wird Element-Spezies-Matrix genannt. Zur Berechnung der Vernderung der Molzahl einer Komponente i infolge einer Reaktion lassen sich unter Einfhrung einer reaktionsspezifischen und komponentenunabhngigen Reaktionslaufzahl x folgende differentiellen bzw. integrierten Bilanzen formulieren:
und folglich N X
bhi dni ¼ 0
i¼1
bzw. N X
bhi Dni ¼ 0
ð8Þ
i¼1
mit h ¼ 1; L. Unter Verwendung der stchiometrischen Bilanz, Gl. (6), resultiert fr den Zusammenhang zwischen den Elementen der beiden Matrizen b und v: N X
bhi vij ¼ 0
ð9Þ
i¼1
h ¼ 1; L; j ¼ 1; M. Mit den beschriebenen Gleichungen lassen sich unter Verwendung des Instrumentariums der linearen Algebra u. a. folgende, fr eine Reaktorberechnung wichtige Fragen beantworten: Wie viele und welche Reaktionsgleichungen bentigt man, um die Molzahlnderungen aller Komponenten eines Reaktionssystems zu beschreiben? Von wievielen und welchen Schlsselkomponenten mssen die Molzahlnderungen mindestens bekannt sein, damit eine Berechnung der Molzahlnderungen fr weitere Komponenten mglich ist? Wie sind bei einem komplexen Reaktionssystem die gemessenen Molzahlnderungen der Komponenten und der Fortschritt der einzelnen Reaktionen miteinander verknpft? Fr die Beantwortung dieser Fragen sind die Rnge der das konkrete Reaktionssystem beschreibenden Matrizen v und b von entscheidender Bedeutung.
dni ¼ vi dx bzw. ni ni0 ¼ vi x
ð5Þ
mit i ¼ 1; N. In der integrierten Form sind die ni0 die Stoffmengen der Komponenten zu Beginn der Reaktion. Aus Gl. (5) ergibt sich die wichtige Regel, dass die durch die Reaktion verursachte Vernderung der Stoffmenge einer Komponente i und die entsprechende Vernderung fr eine beliebige Komponente k folgendermaßen verknpft sind: dx ¼
dni dnk ¼ vi vk
Die Quantifizierung der mit dem Ablauf chemischer Reaktionen verbundenen energetischen Effekte ist eine wichtige Aufgabe der Chemischen Thermodynamik. Die reaktionsbedingte nderung der Enthalpie bezeichnet man als Reaktionsenthalpie DHR . Sie ergibt sich aus den Enthalpien der Bildung aller an der Reaktion beteiligten Komponenten aus ihren chemischen Elementen, DHB; i , und aus den stchiometrischen Koeffizienten, vi : DHR ¼
bzw. ni ni0 nk nk0 x¼ ¼ vi vk
4.3 Chemische Thermodynamik
N X
vi DHB, i :
ð10Þ
i¼1
ð6Þ
mit i ¼ 1; N; k ¼ 1; N. Fr M gleichzeitig ablaufende Reaktionen ist zur Erfassung der Stoffmengennderung einer Kom-
Reaktionsenthalpien sind fr exotherme Reaktionen negativ und fr endotherme Reaktionen positiv. Die Bildungsenthalpien sind bei Standardbedingungen (p ¼ pO ¼ 1 bar und T ¼ T O ¼ 298; 15 K) fr sehr viele Komponenten zugnglich.
N
N 20
Grundlagen der Verfahrenstechnik – 4 Chemische Verfahrenstechnik
Die Standardreaktionsenthalpie der exothermen Methanolsynthese, Gl. (2), lßt sich mit Gl. (10) folgendermaßen berechnen: DHRO ðpO , T O Þ ¼ DHBO,CO 2DHBO, H2 þ DHBO, CH3 OH kJ kJ ¼ 110,6 2ð0Þ þ 201,3 mol mol kJ : ¼ 90,7 (11) mol Nicht alle Reaktionen knnen jedoch bei Standardbedingungen durchgefhrt werden. Man bentigt folglich Methoden, um die Temperatur- und Druckabhngigkeit der Reaktionsenthalpie zu beschreiben. In der Regel ist dabei die Druckabhngigkeit relativ gering. Fr Reaktionen idealer Gase ist DHR vom Druck unabhngig. Der Zusammenhang zwischen Reaktionsenthalpie und Temperatur wird durch die meist zugngliche Temperaturabhngigkeit der Wrmekapazitten der an der Reaktion beteiligten Komponenten bestimmt. Es gilt:
DHR ðTÞ ¼ DHRO ðT O Þ þ
N X i¼1
N
ZT vi
cp, i ðTÞ dT:
ð12Þ
TO
Chemische Reaktionen streben ein dynamisches Gleichgewicht an, in dem sich das Verhltnis der Konzentrationen von Edukten und Produkten nicht mehr ndert. In einigen Fllen sind in diesem Zustand die Konzentrationen der Edukte vernachlssigbar klein. Derartige Reaktionen verlaufen einseitig bzw. irreversibel. Verbleiben nennenswerte Mengen nicht umgesetzter Edukte, spricht man von reversiblen Reaktionen. Die Berechnung von Gleichgewichtszusammensetzungen ist eine wichtige Aufgabe der Chemischen Thermodynamik. Im Unterschied zu mechanischen Systemen hngt die Lage des Gleichgewichtes bei chemischen Systemen nicht nur vom Energie-, sondern auch vom Ordnungszustand des Systems ab. Das Gleichgewicht ist deshalb durch ein Minimum der freien Reaktionsenthalpie, GR ; gekennzeichnet. Die freie Reaktionsenthalpie hngt vom Druck, der Temperatur und der Zusammmensetzung ab, und es gilt im Gleichgewicht: N X ¶GR ¶GR ¶GR dp þ dni ¼ 0: ð13Þ dGR ¼ dT þ ¶p T , n ¶T ¶ni p, T , nj6¼i i¼1 p, n
Die partiellen Ableitungen der freien Reaktionsenthalpie nach den Stoffmengen bezeichnet man als chemisches Potential mi : ¶GR mi ¼ ð14Þ ¶ni p, T , nj6¼i mit i ¼ 1; N. Unter isobaren und isothermen Bedingungen sowie unter Bercksichtigung von Gl. (5) gilt damit im Gleichgewicht: N X
mi vi ¼ 0:
ð15Þ
i¼1
Das wesentliche Problem bei der Berechnung von chemischen Gleichgewichten besteht in der korrekten Beschreibung der Abhngigkeit des chemischen Potentials mi vom Druck, der Temperatur und der Zusammensetzung. Dabei werden unterschiedliche Standardzustnde als Bezugspunkt verwendet. Hufig geht man vom idealen Gas und einem Druck von 1 bar aus. Fr diesen Zustand knnen fr unterschiedliche Temperaturen relativ zuverlssig chemische Standardpoten= (pO , T), berechnet werden. Ausgehend von diesen tiale, mO i Standardpotentialen gilt fr das chemische Potential einer Komponente i bei einem bestimmten Partialdruck pi : pi O = ð16Þ mi ðpi , TÞ ¼ mi ðpO , TÞ þ RT ln O p
mit i ¼ 1; N. Verknpft man die Gleichgewichtsbedingung, Gl. (15), mit Gl. (16), erhlt man: N N Y X pi vi O = vi mi ðpO , TÞ ¼ RT ln ð17Þ O p i¼1 i¼1 bzw. unter Verwendung der freien Standardreaktionsenthalpie und einer Gleichgewichtskonstanten Kp : O =
DGR ðpO , TÞ ¼ RT ln Kp ðpO , TÞ
ð18Þ
mit O =
DGR ðpO , TÞ ¼
N X
O =
vi mi ðpO , TÞ
ð19Þ
i¼1
und Kp ðpO , TÞ ¼
N Y pi vi i¼1
pO
:
ð20Þ
Bei Kenntnis von Kp kann mit Gl. (20) unter Verwendung der stchiometrischen Bilanz die Gleichgewichtszusammensetzung ermittelt werden. In der Regel ist dazu eine iterative Berechnung erforderlich. Hingewiesen sei auf die Tatsache, dass fr reale Reaktionssysteme hufig verschiedene weitere Aspekte zu bercksichtigen sind, die eine Berechnung des chemischen Gleichgewichtes verkomplizieren. Dazu gehren Abweichungen vom Idealverhalten, das simultane Ablaufen von mehreren Reaktionen und das Vorliegen mehrerer Phasen.
4.4 Kinetik chemischer Reaktionen Die berlegungen des vorigen Abschnitts basierten auf der Annahme, dass fr die betrachteten chemischen Reaktionen unendlich viel Zeit zur Verfgung steht. Fr die Berechnung der tatschlich in einem Reaktor erzeugbaren Produktmengen bentigt man Angaben zur Reaktionsgeschwindigkeit, d. h. zur zeitlichen nderung der Stoffmengen der an der Reaktion beteiligten Komponenten. Basierend auf der stchiometrischen Bilanz, sind diese Stoffmengennderungen verknpft (Gl. 6). Dieser Tatsache sowie der Zielstellung, eine maßstabsunabhngige Beschreibung zu erreichen, ist in folgender Definition der Reaktionsgeschwindigkeit r Rechnung getragen: r¼
1 dni vi V dt
ð21Þ
mit i ¼ 1; N. In Gl. (21) stellt V das Reaktionsvolumen dar. Bleibt dieses Volumen whrend der Reaktion unverndert, ist es mglich, anstelle der Stoffmengennderungen die Konzentrationsnderungen zu verwenden: r¼
1 dci vi dt
ð22Þ
mit i ¼ 1; N. Neben der in den Gln. (21) und (22) angegebenen volumenbezogenen Reaktionsgeschwindigkeit sind unter Umstnden andere Bezge sinnvoll (Phasengrenzflchen, Katalysatormassen oder -oberflchen). In der Regel lßt sich die Geschwindigkeit einer Reaktion in einen temperaturabhngigen und in einen konzentrationsabhngigen Anteil aufspalten: r ¼ kðTÞ f ðcÞ
ð23Þ
mit c ¼ ðc1 ; c2 , :::, cN Þ. Abgesehen von wenigen Ausnahmen erlauben es die entwickelten theoretischen Konzepte gegenwrtig noch nicht, die Reaktionsgeschwindigkeitskonstante k (T) und die Funktion f ðcÞ fr eine konkrete Reaktion zuver-
I4.5 lssig vorherzusagen. In der Regel sind systematische experimentelle Untersuchungen erforderlich. Die Temperaturabhngigkeit von Reaktionsgeschwindigkeitskonstanten kann in guter Nherung mit der Arrhenius-Gleichung beschrieben werden: EA : ð24Þ kðTÞ ¼ k0 exp RT Dabei sind k0 der sogenannte Stoßfaktor und EA die Aktivierungsenergie. Beide Grßen knnen bei Kenntnis einer Reihe von Wertepaaren aus einer logarithmischen Auftragung von ln k ber 1/T durch lineare Regression bestimmt werden. Die Dimension von k hngt dabei von der Funktion f ðcÞ ab. Ein Problem bei der korrekten Formulierung von f ðcÞ ist die Tatsache, dass die interessierenden Reaktionen hufig ber mehrere Zwischenschritte ablaufen, so dass neben den eigentlichen Reaktionspartnern weitere Zwischenprodukte die Kinetik beeinflussen. Deshalb bemht man sich, unter Einbeziehung dieser Zwischenprodukte plausible Reaktionsmechanismen als Abfolge einfacher Elementarreaktionen zu postulieren. Fr die Elementarreaktionen lassen sich auf der Grundlage der sogenannten Stoßtheorie die Konzentrationsabhngigkeiten direkt aus der Stchiometrie ableiten. Hufig verwendete Elementarreaktionen und die entsprechenden Funktionen f ðcÞ sind z. B.: Rekombinationsreaktionen AþB!C
ð25Þ
f ðcÞ ¼ cA cB ; Zerfallsreaktionen C ! AþB f ðcÞ ¼ cC :
ð26Þ
Fr eine in einer homogenen Phase ablaufende Bruttoreaktion A + B ! C, die durch eine reversible Aktivierung der Komponente A mittels eines Katalysators K beschleunigt wird, lassen sich die folgenden drei Elementarschritte postulieren: A þ K ! AK
r1 ¼ k1 cA cK ;
ð27Þ
AK ! A þ K
r2 ¼ k2 cAK ;
ð28Þ
AK þ B ! C þ K
r3 ¼ k3 cAK cB :
ð29Þ
Hufig ist dabei die Konzentration des Komplexes AK, cAK , messtechnisch nicht zugnglich. Zur Berechnung der interessierenden Produktbildungsgeschwindigkeit r3 aus den messbaren Konzentrationen cA , cB und cK kann oft auf vereinfachende Annahmen zurckgegriffen werden. Falls der Komplex AK relativ kurzlebig ist und sich nicht im Reaktor anreichert, kann von der Gltigkeit des Bodensteinschen Quasistationarittsprinzips ausgegangen und postuliert werden: dcAK ¼ 0 ¼ r1 r2 r3 : dt
Ideale isotherme Reaktoren
N 21
Die Exponenten nl in Gl. (32) werden als Reaktionsordnungen der einzelnen Edukte l bezeichnet. Die Summe aller nl bezeichnet man als Gesamtreaktionsordnung n . Diese Ordnungen lassen sich nur fr Elementarreaktionen direkt aus der Stchiometrie ableiten (vgl. Gln. 25, 26), im allgemeinen mssen sie jedoch auf der Basis von experimentellen Daten durch Anpassung ermittelt werden. Bei Kenntnis der Konzentrationsabhngigkeit der Reaktionsgeschwindigkeiten knnen durch Integration sogenannte Zeitgesetze ermittelt werden. Diese beschreiben die Konzentrationsverlufe der einzelnen Komponenten in einem geschlossenen und konstanten Volumen unter isothermen Bedingungen. Den Fall bercksichtigend, dass mehrere Reaktionen (j = 1, M) ablaufen und autokatalytische Prozesse keine Rolle spielen, resultiert folgendes System gewhnlicher Differentialgleichungen: ! M M Edukte X Y nlj dci X ð33Þ ¼ vij rj ¼ vij kj cl dt j¼1 j¼1 l mit i ¼ 1; N. Zur Lsung der Gln. (33) sind Anfangskonzentrationen c0i vorzugeben. Fr verschiedene einfache Grenzflle lassen sich analytische Lsungen ableiten. Einige Zeitgesetze sind in Tab. 1 zusammengefaßt. Bild 1 illustriert fr eine Reaktion A ! B den Einfluss der Reaktionsordnung auf den zeitlichen Verlauf der Konzentration der Komponente A. Man erkennt, dass unter sonst gleichen Bedingungen bei hheren Reaktionsordnungen lngere Reaktionszeiten erforderlich sind, um gleiche Umstze zu erzielen. Bild 2 zeigt berechnete Konzentrationsverlufe bei Folgereaktionen des Typs A ! B ! C. Abhngig von den konkreten Geschwindigkeitskonstanten und Reaktionsordnungen kann dabei der zeitliche Konzentrationsverlauf des hufig interessierenden Zwischenprodukts B sehr unterschiedlich sein. Fr komplexe Reaktionssysteme mit nicht ganzzahligen Reaktionsordnungen knnen die Zeitgesetze nur numerisch ermittelt werden. Es sei außerdem angemerkt, dass die zuverlssige Beschreibung der Kinetik chemischer Reaktionen weiterhin eine große Herausforderung darstellt. Das trifft insbesondere fr heterogen katalysierte Reaktionen zu, bei denen die eigentliche Reaktionskinetik hufig von Stoff- und Wrmetransportprozessen am und im Katalysator berlagert ist.
4.5 Ideale isotherme Reaktoren Um chemische Reaktionen effizient und sicher durchzufhren, werden die unterschiedlichsten Reaktortypen eingesetzt. Hauptursache fr die anzutreffende Vielfalt ist die Spezifik jeder einzelnen chemischen Reaktion.
ð30Þ
Daraus folgt cAK ¼ k1 cA cK =ðk2 þ k3 cB Þ und fr r3 ergibt sich: r3 ¼
k1 k3 cA cB cK : k2 þ k3 cB
ð31Þ
Generell ist eine realistische Zerlegung einer Bruttoreaktion in Elementarschritte schwierig. Deshalb, und um mglichst einfache Anstze fr eine Reaktorberechnung bereitzustellen, verwendet man hufig formalkinetische Potenzanstze zur Beschreibung der Konzentrationsabhngigkeit der Geschwindigkeit einer Reaktion. Diese Anstze haben folgende allgemeine Struktur: r¼k
Edukte Y l¼1
cnl l :
ð32Þ
Bild 1. Normierte Konzentrationsverlufe des Edukts A als Funktion der Reaktionsordnung. (A ! B, vgl. Tab. 1, k ¼ 1; n ¼ 0; 1 oder 2)
N
N 22
Grundlagen der Verfahrenstechnik – 4 Chemische Verfahrenstechnik
den ideal durchmischten, diskontinuierlich betriebenen Rhrkesselreaktor knnen die zeitlichen Konzentrationsverlufe durch das bereits bekannte System gewhnlicher Differentialgleichungen beschrieben werden (vgl. Gl. (33) und einige Lsungen in Tab. 1): BR:
M dci X ¼ vij rj dt j¼1
ð35Þ
mit i ¼ 1; N. Fr das ideale Strmungsrohr, in dem sich die Konzentrationen entlang einer axialen Koordinate z ndern, gilt unter stationren Bedingungen und unter Annahme einer konstanten Strmungsgeschwindigkeit u: M dci X PFTR : 0 ¼ u þ vij rj dz j¼1
Bild 2. Typische normierte Konzentrationsverlufe der Komponenten einer Folgereaktion. (A ! B ! C, vgl. Tab. 1, k1 ¼ 1, k2 ¼ 0,5)
N
Wesentliche Klassifizierungskriterien fr Reaktoren basieren auf den vorliegenden Phasen- und Strmungsverhltnissen sowie auf den Betriebsweisen. Letztere gestatten eine einfache Einteilung in diskontinuierlich (chargenweise) und kontinuierlich betriebene Reaktoren. Um die verschiedenen Reaktoren einer einheitlichen mathematischen Beschreibung und Bewertung zugnglich zu machen, verwendet man als Ausgangspunkt vereinfachende Modelle. Dabei wird neben der genannten Unterscheidung zwischen diskontinuierlichen und kontinuierlichen Reaktoren weiterhin zwischen den beiden Grenzfllen der idealen Vermischung und der idealen Verdrngung unterschieden. Die wichtigsten Idealreaktoren sind schematisch in Bild 3 dargestellt. Es handelt sich um – den ideal durchmischten, diskontinuierlich betriebenen Rhrkesselreaktor (Batch reactor, BR), – das nicht rckvermischte, kontinuierlich betriebene Strmungsrohr (Plug flow tubular reactor, PFTR) und – den ideal durchmischten, kontinuierlich betriebenen Rhrkesselreaktor (Continuous stirred tank reactor, CSTR). Entsprechend der mit ihrer Einfhrung verbundenen Zielstellung ist die mathematische Beschreibung der Idealreaktoren einfach. Unter Verwendung der zustzlichen Annahme, dass im Reaktor isotherme Verhltnisse vorliegen, reduziert sich die Berechnung auf die Lsung der folgenden Stoffbilanz, die fr eine Komponente i und ein differentielles Volumenelement die Beitrge der Akkumulation, der Konvektion und der Reaktion bercksichtigt: M X ¶ci ¼ divðu ci Þ þ vij rj ¶t j¼1
ð34Þ
mit i ¼ 1; N. Aus Gl. (34) lassen sich die fr die drei genannten Idealreaktoren geltenden Bilanzgleichungen ableiten. Fr
ð36Þ
mit i ¼ 1; N. Gleichung (36) lßt sich nach Einfhrung der Verweilzeit t (t ¼ z=u) umformulieren: M dci X PFTR : ¼ vij rj dt j¼1
ð37Þ
mit i ¼ 1; N. Vergleicht man die Gln. (35) und (37), erkennt man die Analogie zwischen den zeitlichen Verlufen der Konzentrationen im BR und den rtlichen Verlufen der Konzentrationen im PFTR. Zur Formulierung des konvektiven Beitrags in der Stoffbilanz des ideal durchmischten, kontinuierlich betriebenen Rhrkesselreaktors ist es ebenfalls zweckmßig, eine mittlere Verweilzeit t einzufhren, die sich als Quotient aus dem Reaktor_ volumen und dem Volumenstrom berechnen lßt (t ¼ V=V). Folgende Stoffbilanz gilt fr stationre Bedingungen und unter Bercksichtigung der Zulaufkonzentrationen c0i : CSTR: 0 ¼
M c0i ci X þ vij rj t j¼1
ð38Þ
mit i ¼ 1; N. Die Gemeinsamkeiten und Unterschiede zwischen den drei Reaktoren lassen sich fr einfache Reaktionen durch eine dimensionslose Betrachtung veranschaulichen. Dazu bietet es sich an, den Umsatz U eines Edukts i als Konzentrationsmaß zu verwenden: Ui ¼
n0i ni n0i
bzw. bei konstantem Volumen: Ui ¼
c0i ci : c0i
ð39Þ
Wesentlich fr den Umsatzverlauf ist das Verhltnis aus einer fr die Reaktion zur Verfgung stehenden charakteristischen Zeit tR , mit tR ¼ t (BR) bzw. tR ¼ t (PFTR und CSTR), sowie
Bild 3 a–c. Schematische Darstellung der Idealreaktoren. a Diskontinuierlich betriebener Rhrkesselreaktor (BR); b kontinuierlich betriebenes Strmungsrohr (PFTR); c kontinuierlich betriebener Rhrkesselreaktor (CSTR)
I4.6
Reale Reaktoren
N 23
Tabelle 1. Zeitgesetze einfacher Reaktionen (t ¼ 0 : ci ¼ c0i )
N
einer von der Reaktionskinetik abhngigen charakteristischen Reaktionszeit. Dieses Verhltnis wird als Damkhler-Zahl, Da, bezeichnet. Fr eine Reaktion 1. Ordnung (A ! Produkte) mit r ¼ kcA gilt: Da ¼ tR k:
ð40Þ
Daraus folgt nach Integration der Stoffbilanzen fr die Komponente A ðdUA =dt ¼ kð1 UA Þ bzw. dUA =dt ¼ kð1 UA ÞÞ der folgende Umsatzverlauf fr den BR und den PFTR: UA ¼ 1 eDa :
ð41Þ
Der sich aus der entsprechenden Bilanz ðUA =t ¼ kð1 UA ÞÞ ergebende Umsatz des CSTR ist: UA ¼
Da : 1 þ Da
ð42Þ
Bild 4 zeigt die durch die Gln. (41) und (42) beschriebenen Verlufe. Neben der Analogie von BR und PFTR erkennt man einen wesentlichen Unterschied zwischen den beiden kontinuierlich betriebenen Reaktoren. Um den gleichen Umsatz zu erzielen, sind bei positiven Reaktionsordnungen im CSTR stets hhere Da-Zahlen erforderlich als im PFTR. Eine Erhhung der Da-Zahl kann dabei durch Vergrßerung des Reaktorvolumens und/oder durch eine Absenkung des Volumenstromes erfolgen. Ursache des Unterschiedes ist die durch Vermischung mit den gebildeten Produkten im CSTR hervorgerufene Absenkung der Eduktkonzentrationen und damit der Reaktionsgeschwindigkeit.
4.6 Reale Reaktoren Die im vorigen Abschnitt beschriebenen isothermen Idealreaktoren basieren auf Annahmen, die die realen Verhltnisse sehr stark vereinfachen. Eine quantitative Beschreibung von in der Industrie eingesetzten Reaktoren erfordert in der Regel eine genauere Bercksichtigung verschiedener Abweichungen vom Idealverhalten. Auf einige besonders wichtige Aspekte soll in diesem Abschnitt kurz eingegangen werden. Reaktoren knnen hufig nicht isotherm betrieben werden. Teilweise treten betrchtliche Temperaturgradienten auf. Zur Erfassung von Temperatureinflssen und zur energetischen Quantifizierung von Reaktionsprozessen ist neben der Stoffbilanz folgende fr ein differentielles Volumenelement gltige Energiebilanz zu lsen: M X ¶ðr cp TÞ ¼ div r cp uT þ ðDHRj Þ rj ¶t j¼1
ð43Þ
þ divðl grad T Þ: Diese Bilanz weist eine starke Analogie zu Gl. (34) auf. Neben den Beitrgen der Akkumulation, Konvektion und Reaktion wird auch die Mglichkeit des konduktiven Energietransportes erfasst. Die Grßen r; cp und l bezeichnen dabei die mittleren Dichten, Wrmekapazitten und Wrmeleitfhigkeiten des im Volumenelement vorliegenden Reaktionsgemisches. In der Regel ist in der Energiebilanz ein weiterer
N 24
Grundlagen der Verfahrenstechnik – 4 Chemische Verfahrenstechnik
Bild 5 a, b. Autotherme Fhrung exothermer Reaktionen. a Mit separatem Wrmebertrager; b mit integriertem Wrmeaustausch Bild 4. Abhngigkeit des Umsatzes von der Damkhler-Zahl fr eine in den Idealreaktoren durchgefhrte Reaktion 1. Ordnung (Gln. 39– 42)
Term zu bercksichtigen, der einen ber die Reaktorwand erfolgenden Energieaustausch mit einem Khl- oder Heizmedium bewertet. Die entsprechende Energiebilanz fr ein ideales Strmungsrohr (PFTR) im stationren Zustand lautet unter Bercksichtigung der Wrmebergangszahl a, der Temperatur des Khl- oder Heizmediums TM und des Rohrradius R:
N
M dðrcp uTÞ X 2 0¼ þ ðDHRj Þ rj þ aðTM TÞ: R dx j¼1
ð44Þ
Es sei darauf hingewiesen, dass kontinuierlich betriebene chemische Reaktoren unter Umstnden mehrere stationre Zustnde aufweisen knnen. Dabei sind in der Regel nicht alle Zustnde stabil. Dieser Tatsache ist bei der thermischen Auslegung von Reaktoren Rechnung zu tragen. Hufig bentigen exotherme Reaktionen vorgeheizte Edukte damit ihre Geschwindigkeit fr eine technische Nutzung groß genug ist. Bei den in diesem Fall sinnvoll einsetzbaren autothermen Betriebsweisen wird die durch die Reaktionen freigesetzte Wrme effizient fr den Aufheizprozess genutzt. Zwei typische, industriell eingesetzte Schaltungsvarianten zeigt Bild 5. Untersucht man die Strmungs- und Vermischungsverhltnisse in realen Reaktoren genauer, stellt man in der Regel mehr oder weniger große Abweichungen von den beiden Grenzfllen (perfekte Mischung im BR und CSTR bzw. vollstndige Verdrngung im PFTR) fest. Typische Situationen illustriert Bild 6. Eine genaue Beschreibung der fluiddynamischen Verhltnisse in chemischen Reaktoren ist in der Regel ußerst kompliziert. In den letzten Jahren konnten allerdings durch die Weiterentwicklung der CFD-Techniken (Computa-
tional fluid dynamics) bemerkenswerte Fortschritte erzielt werden. Hufig kann zur Bercksichtigung realer Vermischungseffekte vereinfachend auf das klassische Modell der Rhrkesselkaskade zurckgegriffen werden. Dabei wird ein kontinuierlich betriebener, stationr arbeitender Reaktor durch eine Reihenschaltung einer diskreten Anzahl von Rhrkesselreaktoren beschrieben. Diese Reaktoren werden jeweils als ideal vermischt (CSTR) betrachtet. Die fr die NK Reaktoren einer derartigen Kaskade gltigen Stoffbilanzgleichungen lauten in Erweiterung von Gl. (38): Rhrkesselkaskade: 0¼
M ck1 cki X i þ vij rj tk j¼1
ð45Þ
mit i ¼ 1; N; k ¼ 1; NK . Es lßt sich zeigen, dass diese Bilanzgleichungen fr NK ¼ 1 bzw. NK ! 1 die beiden Grenzflle des CSTR bzw. des PFTR beschreiben. Das Kaskadenmodell ist damit in der Lage, unter Verwendung eines einzigen Parameters eine Brcke zwischen diesen beiden Idealmodellen zu schlagen. Die quivalente Rhrkesselzahl NK kann durch die Auswertung von Verweilzeitmessungen mit Markierungssubstanzen abgeschtzt werden. Ein fr die Auswahl und Auslegung von Reaktoren besonders wichtiger Aspekt resultiert aus der Tatsache, dass whrend des Reaktionsablaufes hufig mehrere Phasen koexistieren. In der Regel folgt daraus die Aufgabe, den Austausch zwischen diesen Phasen zu intensivieren und Transportwiderstnde zu reduzieren. Den mglichen unterschiedlichen Phasenverhltnissen Rechnung tragend, existiert eine große Zahl verschiedener Reaktortypen. Einige Bauformen und Betriebsweisen sind in den Bildern 7–9 schematisch dargestellt.
Bild 6 a, b. Abweichungen vom idealen Verhalten. a Ungleiche Verweilzeiten im Rohrreaktor; b Effekte in einem Rhrkesselreaktor
I4.6 Bild 7 illustriert Reaktorprinzipien, die bei Gas-Flssig-Reaktionen zum Einsatz kommen. Sie unterscheiden sich im wesentlichen hinsichtlich der Art der Zufuhr der beiden Phasen sowie der Techniken, die zum Erreichen eines effizienten Stoffaustausches eingesetzt werden. Unterschiede bestehen weiterhin bei den im Reaktor vorliegenden Anteilen der beiden Phasen (Bild 7 a, b: relativ wenig Flssigkeit, Bild 7 c, d: relativ viel Flssigkeit). Viele chemische Reaktionen knnen durch den Einsatz fester Katalysatoren betrchtlich beschleunigt werden. Dennoch erfordert eine effiziente Reaktionsfhrung weiterhin hufig hhere Temperaturen, bei denen oft alle Edukte gasfrmig vorliegen. Einige der bei der Durchfhrung von Gas-FeststoffReaktionen eingesetzten Festbettreaktoren sind in Bild 8 dar-
Reale Reaktoren
N 25
gestellt. Neben dem klassischen Vollraumreaktor haben sich besonders bei stark exothermen Reaktionen andere Prinzipien durchgesetzt, bei denen die Wrmeabfuhr durch abschnittsweise Zwischenkhlung (Hordenreaktor) bzw. durch Einsatz eines Rohrbndels (teilweise mehrere tausend Rohre) realisiert wird. Zur Reduzierung von Druckverlusten durchstrmen die Reaktanden Katalysatorschttungen teilweise radial. Zahlreiche technisch interessante Reaktionen laufen bei Anwesenheit von drei Phasen ab. In der Regel reagieren dabei Gase und Flssigkeiten unter Anwesenheit fester Katalysatoren miteinander. Bei diesen Reaktionssystemen kommt der Sicherstellung eines optimalen Stoffaustausches besondere Bedeutung zu. Bild 9 zeigt Prinzipskizzen verschiedener Reaktoren zur Durchfhrung von Dreiphasenreaktionen.
N Bild 7 a–d. Prinzipien fr Gas-Flssig-Reaktoren. a Sprhturm; b Bodenkolonne; c Blasensule; d gepackte Blasensule
Bild 8 a–d. Prinzipien fr Festbettreaktoren. a Vollraumreaktor; b Mehrschichtreaktor (Hordenreaktor); c Rohrbndelreaktor; d Radialstromreaktor. G Gas
N 26
Grundlagen der Verfahrenstechnik – 5 Mehrphasenstrmungen
Bild 9 a–d. Dreiphasenreaktoren. a Dreiphasenfestbett; b Rieselbettreaktor; c Fließbettreaktor; d Rhrkesselreaktor mit suspendiertem Katalysator. G Gas, L Flssigkeit, K Katalysator
5 Mehrphasenstrmungen M. Bohnet, Braunschweig
N
In den meisten verfahrenstechnischen Prozessen finden an den Phasengrenzflchen disperser Systeme Wrme- und Stoffaustauschvorgnge, aber auch chemische Reaktionen statt. Diese Vorgnge werden ganz wesentlich von den Strmungsverhltnissen beeinflusst. Fortschritte bei der Verbesserung verfahrenstechnischer Prozesse sind oftmals nur zu erreichen, wenn die Strmungsverhltnisse gezielt beeinflusst werden knnen. Hierzu bedarf es jedoch guter Kenntnisse der physikalischen Vorgnge, die sich in mehrphasigen Systemen abspielen.
5.1 Einphasenstrmung Grundlage fr die Behandlung mehrphasiger Strmungen ist die Einphasenstrmung. Abhngig von der Reynolds-Zahl Re =wdr/h unterscheidet man laminare und turbulente Strmungen (s. B 6.2). Der bergang von der laminaren zur turbulenten Strmung erfolgt bei Rohrstrmung bei einer kritischen Reynolds-Zahl Rekrit 2 300. Dabei stellt sich bei laminarer Strmung ein parabolisches, bei turbulenter ein abgeflachtes Geschwindigkeitsprofil ein (s. B 6 Bild 7). r 2 wax ¼1 ; w ¼ 0;5wmax . Laminare Rohrstrmung: wmax R Turbulente Rohrstrmung: wax r 1=7 ¼ 1 ; w 0;817wmax : wmax R w mittlere Strmungsgeschwindigkeit, Bild 1. Fr den Druckverlust der Rohrstrmung gilt (s. B 6.2) Dp ¼ lðr=2Þw2 Dl=d. Der Reibungskoeffizient l hngt bei laminarer Strmung nur von der Reynolds-Zahl ab: l ¼ 64=Re fr Re < 2 300. Bei turbulenter Strmung beeinflusst auch die Rauhigkeit der Rohrwand den Reibungskoeffizienten. Fr hydraulisch glatte Rohre gilt nach Blasius l ¼ 0;3164=ðRe1=4 Þ und fr technisch rauhe Rohre mit guter Genauigkeit nach Colebrook , 2;51 0;27 2 pffiffiffi þ ; l¼1 2 lg Re l d=k wobei k die Rauhigkeitshhe ist (s. B 6.2.2).
Bild 1. Geschwindigkeitsprofile bei 1 laminarer bzw. 2 turbulenter Rohrstrmung
Hat das Rohr keinen kreisfrmigen Querschnitt, so ist in die Beziehungen der hydraulische Durchmesser dh ¼ 4 A=U (A Querschnittsflche, U benetzter Umfang) einzusetzen. Angaben ber Reibungskoeffizienten, Druckverlustkoeffizienten fr Krmmer, Rohrverzweigungen, Querschnittsnderungen s. B 6.2.4.
5.2 Widerstand fester und fluider Partikel Bei Zweiphasenstrmungen ist die kontinuierliche Phase Gas (Dampf) oder Flssigkeit. Die disperse Phase kann von festen Partikeln, Flssigkeitstropfen oder Gasblasen gebildet werden. Die Strmung des Zweiphasengemisches wird ganz entscheidend von der Partikelbewegung bestimmt, die wiederum von der Sink- oder Steiggeschwindigkeit der Partikel abhngt. Bewegt sich eine Partikel in einem ruhenden Fluid ausschließlich unter dem Einfluss der Schwerkraft, so gilt fr den Fall der beschleunigungsfreien Bewegung fr die Sink- oder Steiggeschwindigkeit sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 4 1 j rp rj dp g: ð1Þ ws ¼ 3 x r Bei festen kugeligen Partikeln kann fr den Widerstandskoeffizienten x nherungsweise gesetzt werden, Bild 2: 24 fr Rep < 4; Rep 12 x ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffi fr 4 < Rep < 744; Rep x¼
x ¼ 0,44
fr Rep > 744; mit Rep ¼ ws dp r=h:
ð2Þ
I5.3
Bild 2. Gemessener Widerstandskoeffizient einer Kugel in Abhngigkeit von der Reynolds-Zahl im Vergleich mit Nherungsbeziehungen
Feststoff/Fluidstrmung
N 27
Bild 3. Sinkkennzahl als Funktion der Archimedeszahl fr Kugeln
Tabelle 1. Konstanten zur Berechnung des Widerstandskoeffizienten nach Gl. (6)
Der Bereich 101 < Rep < 3 105 lßt sich auch mit der Beziehung von Yilmaz beschreiben x¼
4;83 103 Re0;5 24 3;73 p þ pffiffiffiffiffiffiffiffi þ 0;49: Rep Rep 1 þ 3 106 Re1;5 p
ð3Þ
N
Fhrt man Kennzahlen ein, so lßt sich ein allgemeingltiges Diagramm zeichnen, Bild 3. Darin bedeuten Sinkkennzahl :
Si ¼
w3s r r : hg jrp rj
ð4Þ
dp3 g rjrp rj: h2
ð5Þ
Archimedeszahl : Ar ¼
Bild 3 gilt fr formbestndige, kugelige Partikeln mit starrer Oberflche. Fr nicht-kugelige Partikeln hat Muschelknautz den Widerstandskoeffizienten gemessen. Fr 0; 5 < Rep < 103 gilt x¼
A B þ pffiffiffiffiffiffiffiffi þ C; Rep Rep
ð6Þ
mit den in Tab. 1 angegebenen Zahlenwerten fr einige technisch wichtige Partikelformen. Dabei gilt Gl. (6) nur bis zu den angegebenen Reynolds-Zahlen ReGr . Besteht die disperse Phase aus einem Fluid, so ist bei laminarer Umstrmung der Partikeln die Korrektur von Hadamard und Rybczynski zu bercksichtigen: KHR ¼
1 þ hp =h 24 ; x¼ : 2=3 þ hp =h Rep KHR
ð7Þ
Wenn die Partikeln bei turbulenter Anstrmung ihre Form bei der Bewegung verndern, gelten die genannten Widerstandsgesetze nicht mehr.
5.3 Feststoff/Fluidstrmung Eine der wichtigsten Anwendungen dieser Strmungsform ist die Rohrstrmung. Ist die kontinuierliche Phase Gas, spricht man von pneumatischer Frderung, ist sie Flssigkeit, handelt es sich um die hydraulische Frderung.
5.3.1 Pneumatische Frderung Bild 4 zeigt verschiedene Frderzustnde. Ist die Gasge_ _ p =M schwindigkeit hoch und die Feststoffbeladung m ¼ M klein, so beobachtet man Flugfrderung, bei der sich die Partikeln nahezu mit Gasgeschwindigkeit bewegen. Verringert man die Gasgeschwindigkeit, so kann bei berschreiten einer bestimmten Feststoffbeladung das Gas den Feststoff nicht mehr schwebend transportieren. Ein Teil des Feststoffs sedimentiert aus und bewegt sich am Rohrboden in Form einer Strhne, deren Geschwindigkeit nur noch 10 bis 20% der Gasgeschwindigkeit betrgt. Eine weitere Verringerung der Gasgeschwindigkeit fhrt zu Strhnenfrderung ber einer ruhenden Ablagerung bzw. zur Pfropfenfrderung. Anhaltswerte zu den Frderzustnden: Tab. 2. Trgt man ber der Gasgeschwindigkeit den bezogenen Druckverlust auf, so ergibt sich fr unterschiedliche Feststoffbeladungen das Zustandsdiagramm: Bild 5.
N 28
Grundlagen der Verfahrenstechnik – 5 Mehrphasenstrmungen
Dem Strmungswiderstand entgegengesetzt wirken die Wandreibungskraft der Partikeln FR ¼ Mp w2p lp =2 d, die Gewichtskraft Fs ¼ Mp gb und die Beschleunigungskraft FB ¼ Mp dwp = dt. bliche Werte des Partikelwandreibungskoeffizienten sind dabei lp ¼ 0,002 bis 0,005. Im waagerechten Rohr ist fr den Schwerkraftkoeffizienten zu setzen: b ¼ ws =w bei schwebend transportiertem Feststoff, b ¼ 0;3 bis 0,6 bei springender Partikelbewegung und b 0;8 bei Strhnenfrderung. Bei Frderung senkrecht nach oben ist b=1 und bei Frderung senkrecht nach unten ist b=–1 zu setzen. Aus dem Krftegleichgewicht FW FR FS FB ¼ 0 folgt fr die Bewegungsgleichung in einem geraden Rohr w wp 2k w2p l p wp dwp b ¼ 0: ws 2gd g dl
ð9Þ
Mit den Kennzahlen
Bild 4 a–d. Frderzustnde bei pneumatischer Frderung. a Flugfrderung; b Strhnenfrderung; c Strhnenfrderung ber ruhender Ablagerung; d Pfropfenfrderung
Bewegungsgleichungen Die Feststoffpartikeln werden durch den Strmungswiderstand w wp 2k ð8Þ Fw ¼ Mp g ws
N
angetrieben. Fr den Exponenten des Widerstands kann nherungsweise gesetzt werden: Stokesscher Bereich: bergangsbereich : Newtonscher Bereich: mit Rep ¼ ðw wp Þdp r=h.
Rep < 4 4 < Rep < 744 744 < Rep < 2 105
k ¼ 1, k ¼ 0,5, k ¼ 0,
w2 w2k wk ; Fr ¼ s ; dg dg lg w p L ¼ 2k k ; W p ¼ w ws w
Fr ¼
und dem Wandreibungsparameter R ¼ Fr lp =2 bzw. dem Schwerkraftparameter S ¼ ðFr =FrÞb erhlt man die dimensionslose Bewegungsgleichung dW p 1 ¼ fð1 W p Þ2k RWp 2 Sg: dL W p
ð10Þ
Bei abwrtsgerichteter Feststoffrderung ndert sich das Vorzeichen des Schwerkraftkoeffizienten und damit auch des Schwerkraftparameters. Ist die Feststoffbeschleunigung abgeschlossen, so folgt aus Gl. (10): ð1 W p Þ2k RWp 2 S ¼ 0:
Bild 5. Zustandsdiagramm fr die pneumatische Frderung rieselfhiger Schttgter (Rohrdurchmesser 100 mm) Tabelle 2. Anhaltswerte fr verschiedene Frderzustnde bei pneumatischer Frderung (Rohrdurchmesser 100 mm)
ð11Þ
I5.3 Die bezogenen Feststoffgeschwindigkeiten fr unterschiedliche Betriebszustnde zeigt das Bild 6 beispielhaft fr den Stokesschen Bereich. Die Feststoffgeschwindigkeit bei Beschleunigung im waagerechten Rohr ist Bild 7 zu entnehmen. Besonders kritisch hinsichtlich des Verstopfens der Rohrleitung sind Krmmer. Durch die Zentrifugalkrfte, die bei der Umlenkung auftreten, findet eine Entmischung von Gas und Feststoff statt. Der Feststoff wird an die Krmmeraußenwand geschleudert und gleitet als Strhne durch den Krmmer. Durch die Wandreibung wird die Strhne abgebremst. Fr die Abbremsung ist es dabei wichtig, ob sie in einer waagerechten oder senkrechten Ebene stattfindet. Fr die Umlenkung waagerecht – senkrecht nach oben folgt aus Bild 8 fr die nderung der Feststoffgeschwindigkeit (Bild 9): w2p wp dwp þ sin e þ b cos e þ b ¼ 0, gR de gR
ð12Þ
Feststoff/Fluidstrmung
N 29
und fr die Umlenkung senkrecht – waagerecht nach oben: w2p wp dwp cos e b sin e þ b ¼ 0: gR de gR
ð13Þ
Herrscht Gleichgewicht zwischen Zentrifugalkraft und dem zum Krmmermittelpunkt gerichteten Anteil der Schwerkraft, so wird w2p =R ¼ g sin e:
ð14Þ
Die Strhne lst sich von der Krmmerwand ab, eine weitere Abbremsung des Feststoffs erfolgt nicht. Fr den Krmmerparameter gilt K ¼ gR=w2pe . Erfolgt die Umlenkung in einer waagerechten Ebene, so ist wp =wpe ¼ ebe :
ð15Þ
Druckverlust Der Druckverlust bei pneumatischer Frderung hngt wesentlich von der Gasgeschwindigkeit und vom Feststoffmassenstrom ab, Bild 10. Der Gesamtdruckverlust fr die Frderung von Gas und Feststoff ist: r Dp ¼ Dpg þ Dpp ¼ ðl þ mlp Þ w2 Dl=d: 2
ð16Þ
Der Druckverlustkoeffizient fr die Feststoffrderung lp wird dabei von den Stoffeigenschaften des Feststoffs und der Rohrwand sowie der Beschaffenheit der Rohrwand bestimmt. Fr grobkrnige Feststoffe gilt
N
Bild 8. Krftegleichgewicht an Feststoffstrhne (1) im Krmmer
Bild 6. Bezogene Feststoffgeschwindigkeit fr den Stokesschen Bereich (k=1)
Bild 7. Bezogene Feststoffgeschwindigkeit bei Beschleunigung im waagerechten Rohr
Bild 9. Bezogene Feststoffgeschwindigkeit bei Abbremsung der Strhne in einem Krmmer
N 30
Grundlagen der Verfahrenstechnik – 5 Mehrphasenstrmungen
Bild 10. Abhngigkeit des Druckverlustes bei Gas-/Feststoffstrmung von der Gasgeschwindigkeit und dem Feststoffmassenstrom
lp ¼
wp 2b lp þ w ðwp =wÞFr
ð17Þ
und fr feinkrnige Feststoffe lp ¼
N
m 1 w p1 m 2 2b lp þ : m w m ðwp2 =wÞFr
ð18Þ
Fr die Geschwindigkeitsverhltnisse gilt nherungsweise fr feinkrniges Gut wp1 =w 0;9 bis 1,0 und wp2 =w Fr 1=4 . Der Beginn der Strhnenbildung kann mit m1 2 104 Fr 5=4 abgeschtzt werden. Gemessene Werte fr lp zeigen Bild 11 (feinkrniges Gut) und Bild 12 (grobkrniges Gut). Ist bei Pfropfenfrderung die Pfropfenlnge und die Porositt des Feststoffpfropfens bekannt, findet man den Druckverlust mit Dpp ¼ bG þ ½Frðwp =wÞ2 0;2 ; rp ð1 ep Þglp
ð19Þ
wobei die Pfropfengeschwindigkeit mit wp =w 1 1=w, abgeschtzt wird. Angaben fr die Koeffizienten: Tab. 3. Sind
Bild 11. Druckverlustkoeffizient fr feinkrnige Feststoffe. 1 Flugasche dp ¼ 24 mm, ws ¼ 0;04 m=s, 2 Katalysator dp ¼ 70 mm, ws ¼ 0;22 m=s, 3 Feuerlschpulver dp ¼ 40 mm; ws ¼ 0;11 m=s, 4 Quarzsand dp ¼ 70 mm, ws ¼ 0;38 m=s, 5 berechnet mit lp ¼ 0;005; b ¼ 0;5; wp1 =w ¼ 1;0; wp2 =w ¼ 0;05 Fr0;25
die Frderleitungen sehr lang, so kann zur Verringerung des Druckverlusts die Rohrleitung stromabwrts stufenweise erweitert werden. Der Reibungsdruckverlust bei isothermer Expansion ist ðp2 p20 Þ=2p0 ¼ ðl þ mlp Þðr0 =2Þw20 l=d0 :
ð20Þ
Der Index 0 kennzeichnet die Bedingungen am Ende der Frderleitung. Der Rohrdurchmesser ist stromaufwrts immer
Bild 12. Druckverlustkoeffizient fr grobkrnige Feststoffe. a Polystyrol-Granulat; b Styropor-Granulat
I5.3
Feststoff/Fluidstrmung
N 31
Tabelle 3. Wandreibungs-, Schwerkraft- und Gleitreibungskoeffizienten
Bild 13. Kritische Geschwindigkeit von Quarzsand/Wasser-Gemischen
dann zu verringern, wenn die Gasgeschwindigkeit einen kritischen Wert erreicht. Als kritische Bedingung gilt: feinkrniger Feststoff : Frkrit ¼ w2krit =dg mit p=p0 ¼ ðd0 =dÞ2,5 ,
ð21Þ
grobkrniger Feststoff : pdynðkritÞ ¼ ðrkrit =2Þw2krit mit p=p0 ¼ ðd0 =dÞ4 :
ð22Þ
5.3.2 Hydraulische Frderung Die hydraulische Frderung mit Flssigkeit als kontinuierlicher Phase zeigt ein hnliches Druckverlustverhalten wie die pneumatische Frderung. Wegen des wesentlich kleineren Dichtequotienten von Feststoff und Flssigkeit bewegen sich die frei schwimmenden Partikeln nahezu mit Flssigkeitsgeschwindigkeit. Da hydraulische Frderleitungen hufig geneigt verlegt werden, ist bei der Druckverlustberechnung der hydrostatische Flssigkeitsdruck zu bercksichtigen: Dp ¼ ðlF þ cv lp Þðr=2Þw2 Dl=d þ rg sin a Dl
ð23Þ
mit a als dem Neigungswinkel der Rohrleitung gegen die Waagerechte. Der Reibungsdruckverlustkoeffizient fr die Flssigkeit wird nach N 5.1 berechnet. Fr den Druckverlustkoeffizient, der den Feststofftransport beschreibt, gilt rp wp 2 2b rp 1 þ l p lF : ð24Þ lp ¼ r w Fr r Mit b ¼ sin a þ ðws =wp Þ cos2 a und lp ¼ 102 als guter Nherung. Bei der Auslegung ist darauf zu achten, dass die kritische Frdergeschwindigkeit, bei der sich Feststoffpartikeln am Boden
ablagern, nicht unterschritten wird. Fr die kritische Geschwindigkeit gilt " p d 2 cv wk ¼ 2 r a l p ð25Þ 1 Dp 1=2 ðrp rÞgðsin a þ l cos aÞ K: p 1 e Dl In Gl. (25) ist fr die Breite der Feststoffstrhne am Rohrboden zu setzen: a ¼ d sinðg=2Þ. Der Sektorenwinkel g berechnet sich aus der Feststoffvolumenkonzentration und der Poro2cv g 1 sitt der Feststoffstrhne ¼ sin g. Weiter ist 1 e 180 p lp ¼ 0; 45; lp ¼ 0; 085ðdp50 =dÞ1=3 ; e=0,4 und 1=6 1=6 dp50 dp50 cos a þ ws sin a: K¼ 5 2 10 d Gemessene Werte der kritischen Geschwindigkeit zeigt Bild 13. 5.3.3 Wirbelschicht In einer Wirbelschicht wird eine Schttung aus Feststoffpartikeln so von unten durch Gas oder Flssigkeit angestrmt, dass die Partikeln vom Fluid getragen werden. Je nach Gasgeschwindigkeit unterscheidet man die in Bild 14 gezeigten Flle. Fr die Lockerungsgeschwindigkeit gilt h wf ¼7,19ð1 ef Þ Ov r 8 !1=2 9 < = ðrp rÞgr e3f 1 þ 0,067 1 : ; h2 O3v ð1 ef Þ2
ð26Þ
mit ef als der Porositt der Schttung am Lockerungspunkt und Ov als der spezifischen Oberflche der Schttung. Der Druckverlust bei der Durchstrmung der ruhenden Schttung bis zum Erreichen des Lockerungspunkts ist Dp ¼ Y½ð1 eÞ=e3 w2 rh=dp mit h als der Hhe der Feststoffschttung.
ð27Þ
N
N 32
Grundlagen der Verfahrenstechnik – 5 Mehrphasenstrmungen
Bild 15. Zustandsdiagramm fr Gas-/Feststoff-Systeme Bild 14 a–e. Wirbelschichtzustnde. a Ruhende Schicht, Festbett; b Lockerungszustand; c blasenbildende; d stoßende; e hochexpandierende Wirbelschicht
N
Der Widerstandskoeffizient hngt stark von den Feststoffeigenschaften ab. Fr Gleichkorn-Granulatschttungen gilt Y ¼ ð150=Rep Þð1 eÞ þ 1;75. Fr den Druckverlust bei der Durchstrmung der Wirbelschicht gilt D p ¼ hg½ð1 eÞrp þ er:
ð28Þ
Am Lockerungspunkt mssen Gln. (27) und (28) den gleichen Wert ergeben. Dort gilt 1 ¼ ðY=e3 Þ½r=ðrp rÞFrp . Diese Gleichung gilt so lange, bis die Feststoffpartikeln ausgetragen werden und die Wirbelschicht in die pneumatische Frderung bergeht. Zur Bestimmung der Strmungszustnde bei homogener Wirbelschicht dient das Diagramm, Bild 15. Hierin bedeuten definitionsgemß ! ! r w2 r wdp r ; Frp ¼ ; Rep ¼ dp g rp r rp r h ! ! r h2 r rw3 K¼ ; M¼ rp r r2 gdp3 rp r gh und n das Verhltnis der Druckkraft zur Massenkraft der Feststoffschttung. Es gilt also: ruhende Schttung: Wirbelschicht: Frderung:
e ¼ 0; 4 ¼ const 0; 4 < e 1 e1
bei n 1; bei n ¼ 1; bei n 1:
5.4 Gas-/Flssigkeitsstrmung 5.4.1 Strmungsform Abhngig vom Massenstromverhltnis Gas/Flssigkeit stellen sich bei Rohrstrmung die unterschiedlichsten Phasenverteilungen ein. Ist der Gasgehalt gering, beobachtet man Blasenstrmung. Mit zunehmendem Gasgehalt gewinnen die Strmungskrfte an Einfluss gegenber der Schwerkraft. In waagerechten Rohren ndert sich die Phasenverteilung ber Kolben-, Schichten-, Wellen-, Schwall- und Pfropfenstrmung hin zur Film- bzw. Nebelstrmung, Bild 16. Fr die Bestim-
Bild 16 a–g. Strmungszustnde bei Gas/Flssigkeitsstrmung im waagerechten Rohr. a Blasenstrmung; b Kolbenblasenstrmung; c Schichtenstrmung; d Wellenstrmung; e Schwallstrmung; f Ringstrmung; g Nebelstrmung
mung der Strmungsform kann die sog. Strmungskarte nach Baker (Bild 17) genutzt werden, die neben dem Gas- und Flssigkeitsmassenstrom zwei Stoffwertefunktionen enthlt: rG 1 000 1=2 ; l ¼ 1,2 rF " ð29Þ #1=3 73 103 hF 1 000 2 Y¼ : s 103 rF Dabei werden die Stoffwerte von Gas und Flssigkeit jeweils auf die Stoffwerte eines Luft-/Wasser-Gemisches bezogen.
I5.4
Gas-/Flssigkeitsstrmung
N 33
Bild 18. Zweiphasenmultiplikator zur Berechnung des Druckverlusts Bild 17. Strmungskarte nach Baker
5.4.3 Filmstrmung
5.4.2 Druckverlust Die genaue Vorausberechnung des Druckverlusts von Gas/ Flssigkeits-Gemischen ist wegen der sehr unterschiedlichen Phasenverteilungen schwierig. Lockhart und Martinelli haben deshalb versucht, den Zweiphasendruckverlust durch Einfhren eines Zweiphasenmultiplikators aus dem Druckverlust der Einphasenstrmung zu berechnen. Dabei ist es gleichgltig, ob man hierzu von der Gas- oder der Flssigkeitsstrmung ausgeht. Es gilt Dp Dp Dp ¼ f2G ¼ f2F : ð30Þ Dl 2ph Dl G Dl F Dabei wird der bezogene Druckverlust ðDp=DlÞG bzw. ðDp=DlÞF fr die Gas- bzw. Flssigkeitsstrmung so berechnet, als wre im Rohr nur die eine Phase vorhanden. Der Zweiphasenmultiplikator f hngt wesentlich vom Druckverlustverhltnis der beiden Einphasenstrmungen ðDp=DlÞF 1=2 X¼ ð31Þ ðDp=DlÞG und davon ab, ob das Gas bzw. die Flssigkeit laminar oder turbulent strmen. Dies wird im Diagramm, Bild 18, durch die vier Kurven bercksichtigt. In technischen Apparaten ist im Regelfall davon auszugehen, dass beide Phasen turbulent strmen. Der Zweiphasenmultiplikator kann auch mit folgenden Beziehungen berechnet werden: c 1 f2F ¼ 1 þ þ 2 ; f2G ¼ 1 þ cX þ X 2 : X X
Technisch von großer Bedeutung ist die Filmstrmung an senkrechten Wnden, Bild 19. Fr die Geschwindigkeitsverteilung gilt bei Rieselfilmstrmung im Rohr bei laminarer Strmung r 2 r 2 r grR2 d 1 þ2 ln : ð33Þ w¼ 4h R R R Da fr die meisten technischen Flle rd =R > 0;8 gilt, kann auch fr gekrmmte Flchen mit der Beziehung fr die ebene Wand gerechnet werden: grd2 y 1 y2 : ð34Þ w¼ h d 2 d ¼ ð1=3Þgrd2 =h Fr die mittlere Filmgeschwindigkeit gilt w w: ber die und fr die Oberflchengeschwindigkeit wd ¼ 1;5 _ dr=h ¼ Vr=Uh Einfhrung der Reynolds-Zahl Re ¼ w mit U als der benetzten Flche folgt fr die Filmdicke d ¼ ð3h2 =r2 gÞ1=3 Re1=3 :
ð35Þ
Fhrt man die bezogene Filmdicke d ¼ ð2gr2 =h2 Re2 Þd3 ein, so folgt fr den laminar strmenden Flssigkeitsfilm dl ¼ 6=Re und fr den turbulent strmenden Film dt ¼ 0,165=Re0,4 . Der Umschlag laminar/turbulent erfolgt bei Re 400. Wird der Rieselfilmstrmung eine Gasstrmung berlagert, so sind drei Flle zu unterscheiden: – Gleichstrom von Flssigkeit und Gas – abwrts,
ð32Þ
Fr c gelten dabei folgende Werte:
Bild 19 a–d. Geschwindigkeitsprofile bei Gas/Flssigkeitsstrmung. a Rieselfilm; b Gleichstrom abwrts; c Gegenstrom; d Gleichstrom aufwrts
N
N 34
Grundlagen der Verfahrenstechnik – 6 Bioverfahrenstechnik
– Gegenstrom: Filmstrmung abwrts – Gasstrmung aufwrts, – Gleichstrom von Flssigkeit und Gas – aufwrts. Die Geschwindigkeitsverteilung des Flssigkeitsfilms wird jetzt von der Schubspannung td beeinflusst, die an der Filmoberflche von der Gasstrmung ausgebt wird w¼
grd2 y 1 y2 td y : h d 2 d grd d
ð36Þ
Fhrt man die dimensionslosen Grßen y ¼ y=d; w ¼ w=ðgrd2 =hÞ und td ¼ td =grd ein, so folgt w ¼ y½1 ð1=2Þy td :
ð37Þ
Bild 20 zeigt berechnete dimensionslose Geschwindigkeitsprofile des Flssigkeitsfilms.
Bild 20. Dimensionsloses Geschwindigkeitsprofil des Flssigkeitsfilms
6 Bioverfahrenstechnik
Die mRNA (Messenger-RNA) dient zur bertragung von genetischen Informationen von der DNA an die Ribosomen. Die Cytoplasmamembran (semipermeabel) begrenzt das Cytoplasma. Sie hat entscheidende Stoffwechselfunktionen, denn in ihr erfolgen bei Prokaryonten z. B. die fr die Lebensfunktionen der Zellen wichtigen energieliefernden Reaktionen (Atmung oder Photosynthese), bei denen ATP (Adenosintriphosphat) als Energietrger fr den Stoffwechsel und die aktive Stoffaufnahme produziert wird. Beim aktiven Transport werden Substrate durch einen in der Cytoplasmamembran befindlichen Trger (Carrier) unter Verbrauch von ATP gegen einen Konzentrationsgradienten in das Zellinnere transportiert. Die Zellwand begrenzt die Zelle nach außen und bernimmt die Sttzfunktion. Zwischen Zellwand und Cytoplasmamembran befindet sich der sogenannte periplasmatische Raum. Aufgrund von unterschiedlicher Durchlssigkeit der Zellwand fr einen Kristallviolett-Iod-Komplex ist eine taxonomische Unterscheidung von Bakterien mittels der nach Gram (1884) benannten Gram-Frbung mglich: gramnegativ (nicht gefrbt) und grampositiv (dunkelviolett gefrbt). Weitere hufig vorkommende Bestandteile der Zellen sind u. a. Lamellenkrper und Mesosomen (beides Einstlpungen der Cytoplasmamembran), Polysaccharid- und Polyphosphatgrana (Speicher) und Lipidtropfen. Viele Bakterien nutzen eine oder mehrere Geißeln zur Fortbewegung. Die Kapsel umhllt die Zelle und besteht aus schleimartigen Polysacchariden; sie hat eine schtzende Funktion. Eine Mglichkeit zur Unterscheidung bietet die Morphologie: u. a. Kugeln (Kokken), Stbchen (Bacillus, Pseudomonas), gekrmmte Stbchen (Vibrionen), Keulenform (Corynebacterium), Spiral- oder Schraubenform (Spirillen). Die Grße und Gestalt von Bakterien kann sehr stark variieren (Kugeln von 0,1 m [ bis zu Stbchen von 40 m 5 m [, hufig 5 m 1 m [). Das spezifische Gewicht ist etwa 1,1 g/cm3 , der Wassergehalt betrgt 70–90% und das Gewicht einer Zelle etwa 1012 g. Bakterien vermehren sich in der Regel durch Zellteilung, d. h. durch die Ausbildung zweier identischer Tochterzellen. Erfolgt nach der Teilung keine Trennung der Tochterzellen, entsteht ein vielzelliges Filament, das teilweise mycelartig und den Fden (Hyphen) der Pilze hnlich ist (z. B. Streptomyceten, Actinomyceten). Bakterien der Gattungen Bacillus und Clostridium aus der Familie Bacillaceae bilden Sporen aus. Diese Endosporen bestehen aus Kernmaterial, Cytoplasma und mehreren Sporen-
D. C. Hempel, Braunschweig
N
Mit der Expansion der Industriezweige Biotechnologie und Umwelttechnik bildete sich die Bioverfahrenstechnik („Biochemical Engineering“) als eigenstndige Ingenieurdisziplin aus. Um biologische und biochemische Stoffumwandlungsprozesse aus dem Labor in den industriellen Maßstab bertragen und technisch realisieren zu knnen, sind fr den Bioverfahrenstechniker, zustzlich zu seinem Wissen ber das der klassischen Verfahrenstechnik hinaus, auch biologische und chemische Kenntnisse erforderlich. Die Bioverfahrenstechnik bildet somit eine Schnittmenge zwischen Biologie, Chemie und Technik. Die wesentlichen Aufgaben der Bioverfahrenstechnik im engeren Sinne sind demnach: 1. die quantitative Erfassung von biotechnologischen Prozessen, d. h. von stofflichen Umsetzungen durch Biokatalysatoren (Enzyme, Zellen), 2. der Entwurf geeigneter Bioreaktoren und Apparate und 3. die Anwendung von Laborergebnissen und theoretischen Konzepten in der technischen Praxis (Scale-up). Die Bioverfahrenstechnik gewinnt besonders im Zusammenhang mit pharmazeutischen Produkten, Grundchemikalien aus nachwachsenden Rohstoffen, Nahrungsmitteln und Kosmetika sowie in biologischen Verfahren der Umwelttechnik zunehmend an Bedeutung.
6.1 Mikroorganismen mit technischer Bedeutung Eine immer grßer werdende Zahl von Mikroorganismen wird fr technische Zwecke verwendet. Aus der Vielzahl von Mikroorganismen sollen einige wenige exemplarisch aufgefhrt werden, um die Gestalt und grundstzlichen biologischen Funktionen darzustellen. 6.1.1 Bakterien Bakterien gehren zu den Prokaryonten, d. h. der Zellkern ist nicht von einer Membran umgeben und die DNA (Desoxyribonucleinsure) liegt frei in der Kernregion. Im Cytoplasma befinden sich Proteine (einschließlich Enzyme), lsliche RNA (Ribonucleinsure), Plasmide (extrachromosomale DNA, DNA-Bruchstcke) und Ribosomen („Proteinfabrik“).
I6.1 hllen, die die Keimzelle schtzen (Hitzeresistenz, Resistenz gegen Austrocknung, pH-Einflsse u. a.). Nach dem Auskeimen der Sporen gehen diese resistenten Eigenschaften verloren. Eine Auswahl technisch wichtiger Bakterien ist in Tab. 1 zusammengestellt. 6.1.2 Pilze Pilze gehren zu den Eukaryonten, bei denen der Zellkern von einer Membran umgeben ist. Eukaryonten sind komplizierter strukturiert und etwa 10mal grßer als Prokaryonten. Eine Sonderklasse der Pilze sind die Hefen (siehe N 6.1.3). Pilze (außer Hefen) bilden i. allg. vielzellige Fden (Hyphen). Diese bestehen im wesentlichen aus der Zellwand, dem Cytoplasma mit diversen Einschlssen und dem Zellkern. Eine Hyphe kann Querwnde (Septen) besitzen oder querwandlos (nicht septiert) sein. Die Gesamtmenge der Hyphen bildet das Mycelium, das oft gewebeartig verfilzt ist und zu erheblichen Viskosittserhhungen im Kultivierungsmedium fhren kann. Die energieliefernden Reaktionen sind in Eukaryonten in spezialisierten intrazellulren Krpern (Organellen) lokalisiert: In Mitochondrien erfolgt der Energiegewinn durch die oxidative Phosphorylierung oder in Chloroplasten durch die Nutzung der Energie des sichtbaren Lichts (Photosynthese). Die
Mikroorganismen mit technischer Bedeutung
N 35
Plasmamembran ist der Cytoplasmamembran der Prokaryonten sehr hnlich (semipermeabel). Eukaryontische Mikroorganismen knnen jedoch auch flssige und feste Nahrung aufnehmen, wobei membranumschlossene Vakuolen bei der Speicherung von Substraten und Metaboliten sowie beim Ausscheiden von Produkten mitwirken. Pilze vermehren sich sexuell und asexuell. Der letztere Vermehrungsweg ist bei den meisten technischen Prozessen von Bedeutung. Bei der Kernteilung (Mitose) wird das genetische Material identisch reproduziert. Die asexuelle Vermehrung kann durch endogene Sporen oder berwiegend durch exogene Sporen (Conidien) erfolgen, die durch Abschnrungen am Hyphenende (Lufthyphen) entstehen. Technisch wichtige Pilzfamilien sind in Tab. 2 aufgelistet.
6.1.3 Hefen Hefen sind eine Sonderklasse der Pilze, bilden jedoch i. allg. keine vielzelligen Hyphen. Fr sie ist die einzellige Form, meist rund mit 10 mm [, charakteristisch. In der Regel vermehren sich Hefen durch Sprossung (Knospung), bei der sich aus der Mutterzelle heraus durch Ausbuchtung eine neue Tochterzelle bildet. Aber auch die Vermehrung ber Sporen ist mglich.
Tabelle 1. Technisch relevante Bakterien
N
Tabelle 2. Technisch relevante Pilze
N 36
Grundlagen der Verfahrenstechnik – 6 Bioverfahrenstechnik
Tabelle 3. Technisch relevante Hefen
Tabelle 3 zeigt technisch wichtige Hefefamilien. Allen gemeinsam ist die Fhigkeit, Kohlenhydrate zu vergren. Die Verwertung der Kohlenstoffquelle kann aerob (Atmung, Respiration) und anaerob (durch Grung) erfolgen. Bei der ersteren werden insbesondere krpereigene Substanzen produziert, whrend bei der Grung vorwiegend Produkte wie Ethanol, organische Suren oder Glycerin ausgeschieden werden.
findlich sind, wird der Sauerstoff oftmals blasenfrei ber Begasungsschluche zugefhrt. Die technische Kultivierung pflanzlicher und tierischer Zellen dient dem Zweck der Produktion von Naturstoffen (Proteine, Enzyme; mit tierischen Zellen: Wachstumshormone, Interferon, monoklonale Antikrper; mit pflanzlichen Zellen: Alkaloide, Geschmacks- und Duftstoffe, essentielle le usw.), der Aufklrung der Wirkung von Xenobiotica (Insektizide, Herbizide) und als Wachstumssubstrat fr Viruskulturen.
6.1.4 Algen
N
Algen bilden den Hauptbestandteil des Planktons im Meer. Sie enthalten immer Chlorophyll, d. h. sie gewinnen ihre Energie aus dem sichtbaren Licht und bilden krpereigene Substanzen aus CO2 und Wasser unter Freisetzung von O2 (Photosynthese). In Dunkelheit ist auch Respiration mglich. Algen besitzen Wachstumsvorteile bei hohen Stickstoff- und Phosphorgehalten und fhren daher zur Eutrophierung von Gewssern. Die Morphologie der Algen ist vielfltig: einzellig, Zellaggregate, Filamente, pflanzenartig. Außer den auch als Blaualgen bezeichneten Cyanobakterien sind alle echten Algen Eukaryonten. Sie vermehren sich sexuell oder asexuell. Der technische Einsatz beschrnkt sich heute noch auf die Proteingewinnung (SCP: Single Cell Protein). 6.1.5 Viren Die Grße von Viren liegt zwischen 20 nm und 300 nm. Sie werden daher in bakteriendichten Filtern (Porendurchmesser etwa 0,2 mm) nicht abfiltriert. Viren werden wegen ihrer sehr einfachen Struktur als nichtzellulr oder akaryontisch bezeichnet. Da sie keinen eigenen oder einen nur sehr unvollkommenen Stoffwechsel besitzen, sind sie keine selbststndigen Organismen, sondern nur in Verbindung mit einer lebenden Wirtszelle existenzfhig. Gewhnlich werden sie daher nach ihrer Wirtszelle benannt (z. B. ist Escherichia-coli-Bakteriophage bzw. Coliphage, ein Virus, das Escherichia coli angreift). Die Massenzchtung von Viren ist nur in Verbindung mit der Kultivierung mikrobieller, pflanzlicher oder tierischer Wirtszellen mglich. Beispiele fr technisch bedeutsame Produkte aus der Virusmassenzucht sind Wirkstoffe gegen die Maulund Klauenseuche, die Herstellung von Interferonen sowie von insektenpathogenen Viren.
6.2 Kultivierungsbedingungen Mikroorganismen sind ubiquitr, d. h. in Erde, Luft und Wasser verbreitet. Ihnen gelingt es, sich dem jeweiligen Lebensraum anzupassen (Evolution) und auch unter Extrembedingungen zu existieren. Fr das Auffinden (Screening) und die Isolierung technisch wichtiger Stmme sind die kologischen Bedingungen am Standort der Wildstmme das erste wichtige Auswahlkriterium. 6.2.1 Wachstumsbedingungen Nhrstoffansprche Mikroorganismen lassen sich nach Ernhrungstypen unterscheiden (Tab. 4). Die essentiellen Komponenten der Nhrlsung sind: Kohlenstoff. Heterotrophe Organismen wachsen beispielsweise auf Zucker, Strke, organischen Suren, Kohlenwasserstoffen u. a. Diese Organismen nutzen hufig dieselbe organische (energiereiche) Verbindung als Energiequelle und Elektronenlieferant, d. h. sie sind chemoorganotroph. Autotrophe Organismen nutzen anorganische Kohlenstoffquellen, wie CO2 (oder CO). Bei der Verwertung von energiearmen Substanzen, wie CO2 oder CO, bentigen die Organismen immer eine zustzliche Energiequelle: Die chemolithotrophen Organismen knnen Energie durch Oxidation reduzierter anorganischer Verbindungen gewinnen, z. B. NH þ 4 (Nitrifizierer), H2 S (Schwefelbakterien). Bei phototrophen Organismen wird Licht mit Hilfe photosynthesefhiger Pigmente (Chlorophyll) als Energiequelle genutzt, z. B. von Algen, Cyanobakterien, Purpurbakterien. Stickstoff. Je nach Organismenart und Milieubedingungen werden anorganische Verbindungen (Ammoniumionen, Ni-
6.1.6 Pflanzliche und tierische Zellen (Gewebe) Die Zellstrukturen pflanzlicher und tierischer Zellen sind prinzipiell von denen der Mikroorganismen zu unterscheiden. Dennoch lassen sie sich mit gleichen oder hnlichen Methoden wie Einzeller kultivieren (z. B. Wachstum in Suspension oder fixiert auf Trgern). Ein typisches Merkmal ist ihre meist ausgeprgte Fragilitt. Tierische (z. B. Nieren- und Leberzellen, Tumorzellen, Blutund Lymphocytenzellen) und pflanzliche Zellen (z. B. Farne, Moose, Tabak, einige Blumen, aber auch pathologische Zellen) lassen sich technisch kultivieren. In knstlicher Kultivierung wachsen sie allerdings meist sehr langsam und degenerieren nach hufigen berimpfungen. Da sie sehr scheremp-
Tabelle 4. Ernhrungstypen von Mikroorganismen
I6.2 trationen), molekularer Stickstoff (von Azotobacter) oder komplexe organische Verbindungen (Harnstoff, Aminosuren, Proteine u. a.) als Stickstoffquelle genutzt. Schwefel und Phosphor. Mikroorganismen verwerten in der Regel anorganische Verbindungen (Sulfat- und Phosphationen). Sauerstoff und Wasserstoff. Mikroorganismen entnehmen Sauerstoff und Wasserstoff aus dem Wasser, das immer in ausreichender Menge zur Verfgung stehen muss. Kalium, Calcium, Magnesium, Eisen u. a. Metallionen werden in Form geeigneter Salze aufgenommen. Spurenelemente. Mangan, Kupfer, Zink, Molybdn, Nickel und Kobalt sind meist als Verunreinigungen in anderen Nhrbodenbestandteilen (Salzen, Substraten) enthalten und mssen daher selten gezielt dem Medium zugegeben werden. Aminosuren, Vitamine, Purine. Auxotrophe Mikroorganismen (mit beschrnkter Biosynthese) bentigen im Kultivierungsmedium Wachstumsfaktoren, die zum Grundbestandteil der Zelle gehren. Hufig werden (insbesondere im Laborbereich) die gewnschten Wachstumsfaktoren in komplexen Nhrmedien (Hefeextrakt, Fleischextrakt, Pepton, Malzextrakt) bereitgestellt. Technische Substrate sind in der Regel komplex und nur teilweise definierte Medien, in denen gelegentlich fehlende Substanzen (Stickstoff, Nhrsalze) und organische Vorstufen (precursor) fr die Produktbildung zu ergnzen sind. Technische Substrate sind z. B. Melasse, Rohrzucker, Molkepulver (Milchzucker), Zellstoffablaugen, Holzzuckerlsungen, Getreide, Moste, Kartoffeln, Maisquellwasser (cornsteep), Sojabohnenmehl, Fischmehl, Kohlenwasserstoffe oder Baumwollsamenmehl. Technische Substrate stehen oftmals als Abfallprodukte anderer Prozesse preiswert zur Verfgung. Physikochemische Wachstumsansprche Wachstum und Produktbildung der Mikroorganismen werden durch das physikochemische kosystem beeinflusst: Wasser. Grundstzliche Voraussetzung fr ein Mikroorganismen-Wachstum ist das Vorhandensein von Wasser, aus dem die Mikroorganismen das zur Zellsynthese und zum Energiegewinn erforderliche, meist gelste Substrat aufnehmen. Mikroorganismen knnen aber Trockenheit berdauern, besonders, wenn sie bei niedrigen Temperaturen austrocknen. pH-Wert. Bakterien wachsen gut in neutralem bis leicht alkalischem Milieu (pH 6,5–8,5), aber auch Extremwerte sind mglich (Thiobacilli: pH 0; Nitrosomonas: pH 9). Pilze bevorzugen dagegen ein leicht saures Milieu (pH 5–7). ber pH-Regelung oder Zugabe von Puffer (meist anorganische Phosphate) wird der optimale pH-Wert eingestellt. Die Bildung und Ausscheidung der Stoffwechselprodukte ist ebenfalls pH-abhngig und oftmals unabhngig vom Wachstumsoptimum. Temperatur. Der optimale Temperaturbereich fr das Wachstum muss nicht mit dem Optimum der gewnschten Produktbildung bereinstimmen. Psychrophile (oder kryophile) Organismen haben bei 4 bis 20 C ihr Wachstumsoptimum, mesophile bei 20 bis 45 C und thermophile bei 45 bis 80 C. Die meisten technisch eingesetzten Mikroorganismen sind mesophil. Temperaturen oberhalb von 80 C sind dagegen eher zur Keimabttung geeignet (s. N 6.3.1). Sauerstoff. Mikroorganismen werden bezglich des Einflusses von Sauerstoff auf ihren Energiehaushalt charakterisiert: – Obligat aerobe Organismen bentigen Sauerstoff als terminalen Elektronenakzeptor (entsprechend Wasserstoffakzeptor). Bei der Atmung oder Respiration wird Wasserstoff auf molekularen Sauerstoff bertragen. Dabei wird der
Kultivierungsbedingungen
N 37
Kohlenstoff des Substrats meist bis zum CO2 oxidiert. Aber auch eine unvollstndige Oxidation bis zu Essigsure, Citronensure, Gluconsure, Brenztraubensure u. a. Endprodukten ist mglich. – Obligat anaerobe Organismen wachsen nur in einem sauerstofffreien Milieu; fr sie ist Sauerstoff toxisch. Diese Organismen nutzen anorganische terminale Elektronenakzeptoren (Nitrat, Sulfat, Kohlendioxid, Stickoxide), in denen der Sauerstoff „in gebundener Form“ vorliegt (anaerobe Atmung). Eine andere Mglichkeit der Energiegewinnung von Anaerobiern ist die Grung. Bei ihnen wird kein zustzlicher Elektronenakzeptor bentigt, und der Wasserstoff wird auf organische Endprodukte (Milchsure, Buttersure, Alkohol) bertragen. Die Grungsprodukte sind stark reduziert und energiereich. Entsprechend gering ist bei der Grung der Energiegewinn der Zelle und die Ausbeute an Zellmaterial, die beide nur bis zu einem Zehntel des aeroben Wachstums ausmachen knnen. Mikroorganismen, die sowohl unter Sauerstoffgegenwart als auch -abwesenheit wachsen bzw. Produkte bilden, werden fakultativ anaerob genannt. Osmotischer Druck. In der Regel wachsen Mikroorganismen bei Salzgehalten von 0,1 bis 2%. Halotolerante Organismen tolerieren Salzgehalte bis 10%, halophile wachsen in konzentrierter Salzlsung. Hydrostatischer Druck. Der hydrostatische Druck hat in der Regel keinen Einfluss auf das Wachstum. Starke pltzliche Druckentspannungen knnen Mikroorganismen allerdings zum Platzen bringen (Druckentspannung bei Bakterien 500 bar, Hefen und Pilzen 300 bis 400 bar). Strahlung. Sichtbares Licht ist fr phototrophe Organismen als Energiequelle notwendig. Elektromagnetische (z. B. ultraviolette) und ionisierende Strahlung schdigen bei zu großer Dosis die DNA und werden zur Sterilisation bzw. Desinfektion eingesetzt. 6.2.2 Phnomenologie des Wachstums Messung des Wachstums Das Wachstum einer Zellkultur lsst sich ber die Messung der Zellzahl (in Zhlkammern, Coulter-Counter oder durch Ausplattieren auf festen Nhrbden) oder durch Messung der Zelldichte (Zellmasse) quantifizieren. Wird die Zelldichte als Kriterium fr Wachstum herangezogen, gibt es mehrere Messmethoden: – Bestimmung des Trockengewichts in gBTM /L (ber Zentrifugation oder Filtration, Trocknung, Wgung), – Messung der Menge einer typischen Zellkomponente (DNA, Proteine) oder der katalytischen Fhigkeit (Enzymaktivitt), – Bestimmung wachstumsgekoppelter Stoffwechselgrßen (Sauerstoffaufnahme, Kohlendioxidabgabe) und – Messung der Trbung einer Zellsuspension (Extinktion). Bei der Messung der Extinktion (Schwchung des Lichts beim Durchstrahlen der Zellsuspension, optische Dichte) ist eine Linearitt zwischen Lichtintensitt und Zelldichte Voraussetzung (Lambert-Beersches Gesetz), d. h. die Methode ist nur bei Einzelzellen (kein Mycel, keine Flockulation, kein festes Substrat) und geringen Zelldichten geeignet. Batch-Kultivierung Ein typischer Wachstumsverlauf einer absatzweisen Kultivierung ist in Bild 1 dargestellt. Nachdem der Ansatz sterilisiert und beimpft wurde, bleibt die Zellmenge zunchst konstant (Inkubationsphase, Lagphase) bis sich der Stoffwechsel der Organismen auf die Kulturbedingungen eingestellt hat (Acce-
N
N 38
Grundlagen der Verfahrenstechnik – 6 Bioverfahrenstechnik
Wird anstelle der Zellzahl die Zelldichte X (als Biotrockenmasse in gBTM /L) als Maß fr das sich autokatalytisch vermehrende System gewhlt, so ist die zeitliche Zunahme der Zelldichte der vorhandenen proportional (Reaktionsgesetz 1. Ordnung): dX ¼ mX: dt
ð3Þ
Die Proportionalittskonstante wird als spezifische Wachstumsgeschwindigkeit bzw. Wachstumsrate m bezeichnet, die bei unlimitiertem Wachstum ihren maximalen Wert mmax annimmt. Die Integration liefert die Zelldichte bei unlimitiertem Wachstum (Exponentielle Wachstumsphase): X ¼ X0 expðmmax tÞ,
Bild 1. Wachstumsverlauf in einer absatzweisen Kultivierung
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lerationsphase). Die Geschwindigkeit der Stoffwechselreaktion und damit des Wachstums strebt dem bei den vorliegenden Umweltbedingungen maximalen Wert zu. In dieser unlimitierten Wachstumsphase hat die Wachstumsgeschwindigkeit der Zellen einen konstanten und maximalen Wert. Die Zellmasse nimmt exponentiell zu (exponentielle Phase), bis schließlich aufgrund des Verbrauchs essentieller Nhrstoffe oder der Ansammlung toxischer Stoffwechselprodukte die Wachstumsrate abnimmt (Retardationsphase) und das Wachstum schließlich ganz zum Erliegen kommt (stationre Phase). Bei anhaltendem Nahrungsmangel oder dauerhafter Einwirkung toxischer Stoffwechselprodukte lysieren (zerfallen) die Zellen und verstoffwechseln sich selbst (Absterbephase, lethale Phase).
Liegt ein Gemisch mit zwei verwertbaren Nhrstoffen vor, kommt es hufig zu einem zweiphasigen Wachstum. In dem Gemisch Glucose und Sorbit wird durch E. coli beispielsweise zunchst Glucose genutzt und gleichzeitig die Synthese der zur Sorbitverwertung notwendigen Enzyme unterdrckt (reprimiert). Diese werden in einer zweiten Inkubations- und Accelerationsphase erst nach Verbrauch der Glucose produziert, so dass in einer erneuten exponentiellen Wachstumsphase allein Sorbit als Kohlenstoffquelle dient. Kontinuierliche Kultivierung Bei einer kontinuierlichen Kultivierung wird fortlaufend frische (u. U. sterile) Nhrlsung in den Bioreaktor zu der wachsenden Organismenpopulation gegeben. Mit gleichem Volumenstrom werden simultan Zellen, ihre Stoffwechselprodukte und nicht umgesetztes Substrat abgezogen. Die Wachstumsgeschwindigkeit der Organismen wird dabei durch die Geschwindigkeit der Nhrstoffzufuhr reguliert. Andererseits ist der Volumenstrom durch den Reaktor dadurch begrenzt, dass der Organismenzuwachs durch die (organismenspezifische) maximale Wachstumsrate beschrnkt ist. Sind die Auswaschverluste grßer als durch den maximalen Zuwachs kompensiert werden kann, wird der Kultivierungsansatz an Organismen ausgednnt (wash out). Exponentielles Wachstum Bei unlimitiertem Wachstum von Mikroorganismen, die sich durch Zweiteilung (Zellteilung, Sprossung) vermehren, lsst sich die Zellvermehrung ohne Kenntnis der Reaktionskinetik rechnerisch erfassen: ð1Þ
mit N0 , der Zellzahl zu Beginn des Wachstums. Die Generationszahl n ist mit der (mittleren) Generationszeit tG verknpft, so dass die Zellzahl zum Zeitpunkt t sich ergibt: N ¼ N0 2t=tG :
tD ¼ ln 2=mmax :
ð5Þ
Generationszeit tG und Verdopplungszeit tD sind milieuabhngig. Ihre Zahlenwerte sind nur dann gleich, wenn kein Nhrstoffmangel vorliegt (unlimitiertes Wachstum) und die mittlere Zellgrße und Zellmasse der mikrobiellen Individuen zu allen Zeiten gleich bleiben. 6.2.3 Ablauf technischer Fermentationen Eine technische Fermentation durchluft in der Regel die in Bild 2 aufgezeigten Grundoperationen. Substratvorbereitung
Diauxie (zweiphasiges Wachstum)
N ¼ N0 2n ;
ð4Þ
mit der Anfangszelldichte X0 . Die Verdopplungszeit tD , die Zeit zur Verdopplung der Zellmasse (X/X0 =2), ergibt sich aus
ð2Þ
Die Substratvorbereitung umfasst im wesentlichen die Herstellung der Nhrlsung (Kultivierungsmedium) und die Sterilisation des Substrats sowie der Reaktoren und Apparate. Die Herstellung der Nhrlsung ist substratspezifisch. Das Ausgangsmaterial (Rohstoff) muss hufig von Hemmstoffen befreit werden, z. B. von Schwermetallionen. So werden Rben- und Zuckerrohrmelassen durch Fllung und Zentrifugation geklrt, Zellstoffablaugen durch Erhitzen und Belften oder durch Neutralisation von SO2 befreit. Andere Rohstoffe mssen vor ihrer Verwendung aufgeschlossen werden, damit sie von Mikroorganismen assimiliert werden knnen. Dazu gehren beispielsweise strkehaltige Rohstoffe, die durch Mahlen, Dampfbehandlung und/oder enzymatische Verzuckerung vorbereitet werden, sowie cellulosehaltige Rohstoffe, die erst nach Hydrolyse (enzymatisch oder durch Surebehandlung) von Mikroorganismen umgesetzt werden knnen. Die Rohstoffe werden direkt im Bioreaktor (seltener in beheizbaren Vorlagen) mit Wasser angemischt, gelegentlich erhitzt und filtriert. Bevor der Produktionsstamm berimpft wird, durchluft das Kultivierungsmedium eine Sterilisation (meist gemeinsam mit der Produktionsanlage) (s. N 6.3). Konservierung Technisch eingesetzte Mikroorganismen werden durch Umzchtung und Mutantenherstellung mit dem Ziel optimaler Produktivitt dem technischen Prozess angepasst. Damit keine Produktivittsverluste auftreten, muss der Produktionsstamm in seinen Eigenschaften mglichst konstant gehalten werden, d. h. es mssen beralterung, Rckmutationen und andere Degenerationen vermieden werden. – Das berschichten mit inerten Flssigkeiten (Paraffinl) findet besonders bei Pilzen und mycelbildenden Bakterien (z. B. Streptomyceten) Anwendung. – Durch Lyophilisieren (Gefriertrocknung im Vakuum) lassen sich Bakterien und Pilze jahrelang ohne große Aktivittsverluste konservieren.
I6.2
Kultivierungsbedingungen
N 39
Bild 3. Impflinie, Anzucht einer Impfkultur (Inokulum)
Bild 2. Ablauf technischer Fermentationen
– Mit einer schonenden Vakuum-Sprhtrocknung ist eine begrenzte Lagerung von Bakterien und Hefen mglich. – Fast alle Organismen lassen sich schocktiefgefroren (in flssigem Stickstoff oder Kohlendioxid), hufig mit Glycerin vermischt und/oder mit Paraffin berschichtet, ber Jahre hinweg ohne Aktivittsverluste bei –80 C lagern. Fr eine begrenzte Zeit (je nach Organismenart Wochen bis Monate) ist die Lagerung in feuchtem Zustand auch bei –18 C mglich. Anzucht der Impfkultur (Inokulum) Der Verlauf der Fermentation ist hufig von der Menge und Aktivitt der berimpften Mikroorganismen abhngig. Um eine relativ große Menge an aktivem Inokulum berimpfen zu knnen, wird die Kultur aus der Konserve stufenweise vermehrt (Impflinie) bis ausreichend Impfmaterial vorhanden ist (Bild 3).
blicherweise wird das Volumen in den Impfschritten um den Faktor 10 erhht, in einigen Fllen (z. B. bei einigen Hefearten) mssen kleinere Impfschritte (Faktor 3) vorgenommen werden. Um das Infektionsrisiko aufzufangen, werden aus Sicherheitsgrnden bei jedem Impfschritt mindestens zwei Vorkulturen bereitgehalten. Wichtige Kriterien fr eine optimierte Impflinie sind: – ein aktives Inokulum, das vorzugsweise aus dem letzten Drittel der exponentiellen Wachstumsphase der Vorkultur entnommen wird, – Kulturmedien in der Vorkultur, die der Nhrlsung im Produktionsfermenter mglichst hnlich sind (hufig werden in den ersten Laborstufen Optimalmedien gewhlt) und – mglichst große Impfgutmengen, da es einerseits unwirtschaftlich ist, die großvolumigen Produktionsreaktoren zur Anzucht einzusetzen, und andererseits grßere Verluste von intrazellulren Aktivatoren (Vitamine, Cofaktoren, Ionen) durch Diffusion vermieden werden sollen. Bei einigen Prozessen kann auf eine derartige Impflinie verzichtet werden, indem entweder ein Teil der Kulturlsung im Bioreaktor als Impfgut verbleibt (semikontinuierlich) oder in kontinuierlicher Kultivierung stndig Kulturlsung abgefhrt und Nhrlsung zugegeben wird. Fermentation und Produktaufarbeitung Hinsichtlich der biochemischen Reaktion stellt der Mikroorganismus als Individuum den eigentlichen, mikroskopischen Reaktor dar. Der Fermenter (Bioreaktor) hlt die Umweltbedingungen fr die Mikroorganismen aufrecht, sorgt fr die Substratzufuhr und die Abfuhr von Produkten und Prozesswrme. Fr die Bewertung des Bioreaktors gelten demnach dieselben Kriterien wie in chemisch-technischen Reaktoren, z. B. Mischgte, Stoffbertragungseigenschaften, Leistungseintrag, Wrmeaustausch (s. N 6.4). Innerhalb der Zellen bernehmen Enzyme die Aufgabe von Katalysatoren, d. h. die Fermentation lsst sich als biochemische Reaktion definieren, die durch Enzymsysteme katalysiert wird und in der die Enzyme je nach Bedarf von intakten Organismen synthetisiert werden. Die Reaktionsablufe und Re-
N
N 40
Grundlagen der Verfahrenstechnik – 6 Bioverfahrenstechnik
aktionskinetiken gehorchen somit Gesetzmßigkeiten, wie sie in derselben oder hnlicher Form von chemischen Reaktionen bekannt sind. Auch die auf die Fermentation folgende Aufarbeitung, z. B. die Abtrennung der Mikroorganismen und Produkte sowie die Isolierung, Konzentrierung, Reinigung und Konfektionierung des Produkts laufen nach Verfahren ab, die in modifizierter Form aus der chemischen, thermischen oder mechanischen Verfahrenstechnik bernommen werden knnen (s. hierzu N 2, N 3 und N 4). Prozessbeispiel Fermentationsprozesse knnen hinsichtlich des Produkts eingeteilt werden in Prozesse zur Produktion von Biomasse, Produktion von Stoffwechselprodukten der Mikroorganismen (primre und sekundre Stoffwechselprodukte sowie indirekt im Stoffwechsel gebildete Produkte) und zur mikrobiellen (bzw. enzymatischen) Stoffumwandlung. Aus der Vielzahl von Fermentationsprozessen kann als Beispiel einer technischen Fermentation das Fließbild der Produktion von Penicillin (Bild 4) herangezogen werden. Jeder Fermentationsprozess erfordert insbesondere auch in der Aufarbeitung eine Anzahl spezieller, charakteristischer Arbeitsschritte, die in ihrer Gesamtheit teilweise sehr kostenintensiv sind.
6.3 Sterilisation Vor Beimpfung eines Kultivierungsansatzes werden zum Ausschluss von Fremdkeimen Gerte, Apparaturen und die
N
Bild 4. Fließbild einer Penicillinproduktionsanlage
Nhrlsung sterilisiert; bei aeroben Prozessen muss mit steriler Luft belftet werden. Darber hinaus werden hufig Nhrsubstrat-Bestandteile nachdosiert, die vor der Zugabe sterilisiert werden mssen. Fr die Sterilisation gibt es verschiedene anwendungsspezifische Methoden: 1. Hitzesterilisation: Gerte, Leitungen und Apparate, Nhrlsungen und Luft, Schaumdmpfungsmittel, 2. Sterilfiltration: hitzeempfindliche Nhrlsungen und Luft, 3. Sterilisation durch chemische Substanzen: Desinfektion von Rumen, Arbeitsflchen, Gerten, Leitungen und Apparaten durch Detergentien, aktivchlorhaltige und phenolische Verbindungen, Alkohol, Formaldehyd u. a., 4. Sterilisation durch Bestrahlung: Luftentkeimung in Rumen (UV-Strahlen bei 240 bis 280 nm). 6.3.1 Hitzesterilisation Die Hitzesterilisation ist die am weitesten verbreitete Methode. In Bild 5 sind Sterilisationsergebnisse unter der Einwirkung von feuchter Hitze (Wasser oder gespannter Dampf) fr vegetative Mikroorganismen (Escherichia coli) und fr Sporen von Bacillus stearothermophilus dargestellt. Die Absterberate von vegetativen Mikroorganismen (Bild 5 a) folgt meistens formal einer Reaktionskinetik 1. Ordnung, so dass sich die Anzahl der lebenden Organismen berechnen lsst aus N ¼ expðk tÞ: N0
ð6Þ
I6.3
Sterilisation
N 41
Bild 6. Dezimale Reduktionszeit (N/N0 =0,1) von Sporensuspensionen unter Einwirkung von feuchter Hitze
Bild 5 a, b. Einwirkung von feuchter Hitze (Wasser oder gespannter Dampf) auf die Lebendkeimzahl von a Escherichia coli und b Sporen von Bacillus stearothermophilus
Einwirkung von feuchter Hitze dargestellt. Fr den gleichen Sterilisationseffekt werden mit zunehmender Temperatur krzere Zeiten bentigt. Da die Aktivierungsenergien zur thermischen Zerstrung von Nhrstoffkomponenten geringer sind als zum Abtten von Mikroorganismen, sind bei gleichem Sterilisationseffekt die Verluste an Nhrstoffkomponenten bei Temperaturerhhung geringer (vgl. hierzu Gl. (7)). Ziel sollte folglich eine mglichst hohe Sterilisationstemperatur bei entsprechend kurzen Sterilisationszeiten sein. Sterilisation in feuchter Hitze
N0 ist die Anfangs-Lebendkeimzahl und k die im wesentlichen von der Temperatur abhngige Geschwindigkeitskonstante der Absterbekinetik, die sich durch die klassische Gleichung von Arrhenius ausdrcken lsst: E k ¼ k0 exp : ð7Þ RT T ist die absolute Temperatur, R die allgemeine Gaskonstante, E die Aktivierungsenergie fr chemische Vernderungen in der Zelle, die zum Tod fhren, und k0 ein Hufigkeits- oder Frequenzfaktor. Neben der Temperatur ist der Abttungseffekt noch abhngig von Milieubedingungen (pH-Wert, Ionenstrke, Zuckergehalt usw.). Außerdem bestehen Abhngigkeiten vom Wassergehalt und Alter der Zellen und Sporen. Aus Bild 5 b wird deutlich, dass Sporen der Hitzesterilisation einen erheblich hheren Widerstand als vegetative Zellen bieten. Außerdem folgt die Absterbekinetik der Sporen nicht einer Reaktion 1. Ordnung. Bakteriensporen haben eine um den Faktor 106 grßere Hitzeresistenz als vegetative Bakterien, Pilze (Hefen) und die meisten Viren und Bakteriophagen sowie eine um den Faktor 105 grßere als Pilzsporen. Um ein sicheres Sterilisationsergebnis zu erzielen, wird die Hitzesterilisation des Fermentationsansatzes auf der Grundlage des Abttens von Bakteriensporen ausgelegt. Als Leitorganismus werden dabei in der Regel Sporen des thermophilen Bacillus stearothermophilus gewhlt. Da mit keinem Sterilisationsverfahren eine absolute Sterilitt zu erreichen ist, bietet auch die Hitzesterilisation nur eine gewisse Wahrscheinlichkeit, mit der die anfngliche Kontamination auf ein gewnschtes Maß reduziert wird. Da unter Einwirkung von Hitze auch Nhrbestandteile thermisch zerstrt werden (im wesentlichen Vitamine und Proteine, aber auch Zucker durch Karamelisierung u. a.) muss die Zeitdauer der Hitzeeinwirkung so kurz wie mglich gewhlt werden. In Bild 6 sind dezimale Reduktionszeiten (Abttungseffekt entsprechend N/N0 =0,1) von Sporensuspensionen bei
In erhitztem Wasser kann bei Temperaturen unter 100 C teilentkeimt, d. h. nur vegetative Mikroorganismen werden abgettet (Pasteurisation bei 60 bis 90 C), oder fraktioniert sterilisiert werden. Bei letzterem knnen durch wiederholtes Erhitzen und Auskeimen bei Raumtemperatur auch Sporenbildner abgettet werden. In fast allen industriellen Fermentationen werden mit einer einmaligen Sterilisationsbehandlung die gesamte Anlage und die Nhrlsung durch gespannten Dampf (bei 120 bis 150 C) sterilisiert. In der Batch-Sterilisation werden durch Manteltemperierung oder durch direktes Einleiten von gespanntem Dampf der Bioreaktor, die Zu- und Ableitungen und das Substrat im Reaktor auf etwa 121 C erhitzt und fr eine Dauer von 10 bis 20 Minuten gehalten. Der gesamte Sterilisationsvorgang umfasst abhngig von der Reaktorgrße einen Zeitraum von 3 bis 5 Stunden (vgl. Bild 7). Im Laborbereich werden Kleinstreaktoren, Glser, Kolben und Flaschen im sogenannten Autoklaven etwa 30 Minuten bei 121 C im Wasserdampf sterilisiert. Zur Schonung von Substraten, Vitaminen u. . werden hufig kontinuierliche Sterilisationsverfahren eingesetzt, bei denen die Nhrlsung vor dem Einbringen in den Bioreak-
Bild 7. Typischer Temperaturverlauf der Sterilisation
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Grundlagen der Verfahrenstechnik – 6 Bioverfahrenstechnik
tor ber Wrmetauscher oder mit direkter Dampfinjektion innerhalb weniger Minuten auf 130 bis 150 C ultrahocherhitzt wird (Haltezeit etwa 1–2 Minuten, vgl. Bild 7, thermische Belastung von Milch beispielsweise nur fr einige Sekunden). Nachteilig bei diesen Verfahren ist die getrennt erforderliche Sterilisation des Bioreaktors sowie der Zuund Ableitungen. Sterilisation in trockener Hitze Durch trockene Hitze in einem Ofen (0,5 bis 2 Stunden bei 160 bis 180 C) werden hitzeunempfindliche Gerte im Labor (Glasgefße, Pipetten) sowie Antischaummittel (le, Fette) sterilisiert. Im industriellen Bereich werden hufig Temperaturen von 240 bis 360 C bei sehr kurzen Zeiten verwendet, um z. B. als Hitzefalle die Abluft aus dem Fermenter zu sterilisieren. 6.3.2 Sterilfiltration
N
Nhrlsungen, die thermolabile Substanzen enthalten, und Gase, wie die Zu- und Abluft, werden durch Filtration entkeimt. Zur Sterilfiltration von flssigen Medien haben sich Membranfilter mit Porengrßen zwischen 0,2 bis 0,45 m als geeignet erwiesen. Die Mikroorganismen werden hierbei in erster Linie aufgrund eines Siebeffekts an der Oberflche der Membranen abgeschieden. Filtermaterialien sind natrliche Polymere (Zellulosederivate) und synthetische Polymere (z. B. Polycarbonat, Polysulfon, Teflon, u. a.). Sie werden mit Porengrßen von 0,01 bis 0,5 m hergestellt. In diesen als bakteriendichte Filter bezeichneten Filtermaterialien ist die sichere Abtrennung von Viren (20 bis 300 nm) und genetischem Material nicht mglich. Da die Filtrationsgeschwindigkeit nicht nur von Druck, Viskositt und Porengrße, sondern auch von Partikelgehalt und -grße abhngt, ist es vorteilhaft, einen Vorfilter zur Abtrennung grberer Bestandteile einzusetzen. Die Sterilfiltration von Luft kann ebenfalls durch bakteriendichte Filter geschehen. Als Materialien werden mikroporige Metall-, Porzellan- und Glassinterfritten (Porengrße Dmax kommt es zum Auswaschen der Zellkultur. Beim Vorgang des Auswaschens lsst sich mit der Durchflussrate D1 > mmax und X0 ¼ 0 die maximale spezifische
Bild 15. Zelldichte, Substratkonzentration und Produktivitt an Zellmasse einer kontinuierlichen Kultivierung (Chemostat)
Wachstumsrate nherungsweise aus der Bilanzgleichung, Gl. (44) bestimmen: d ln X ¼ mmax D1 : dt
ð47Þ
Bilanzen fr Substrat und Produkt Die Bilanzgleichungen fr Substrat und Produkt lauten dS 1 mX ¼ DðS0 SÞ dt YX=S
ð48Þ
bzw. dP ¼ DðP0 PÞ YP=X mX: dt
ð49Þ
Hierin sind P die Produktkonzentration, YX=S der Zellertragskoeffizient, Gl. (28) und YP=X der Produktertragskoeffizient YP=X
dP=dt : dX=dt
ð50Þ
Beim Wachstum mit einer einfachen Substratlimitierung (Ansatz von Monod Gl. (29)) folgen im stationren Zustand die Zelldichte aus DKS X ¼ YX=S S0 ð51Þ mmax D und die Substratkonzentration aus S¼
Bild 14. Kontinuierliche Kultivierung (Chemostat)
DKS : mmax D
ð52Þ
Die Konzentration S am Reaktoraustritt ist unabhngig von der Eintrittskonzentration S0 . Eine nderung von S0 wirkt sich nur auf X aus (vgl. Bild 15 b).
I6.6 Die Produktivitt an Zellmasse ergibt sich aus DKS Pr ¼ DX ¼ DYX=S S0 : mmax D
Kinetik des mikrobiellen Wachstums
N 51
ð53Þ
Die kritische (bzw. maximale) Durchflussrate beim Auswaschpunkt (X ¼ 0, S ¼ S0 ) folgt bei Gltigkeit der MonodKinetik aus Gl. (29) mit m ¼ Dmax : Dmax ¼ mmax
S0 : KS þ S0
ð54Þ
Bild 15 zeigt die Zelldichte, Substratkonzentration und Produktivitt eines kontinuierlich betriebenen Bioreaktors, wie sie fr fast alle mikrobiellen Prozesse so besttigt wurden. Mgliche Abweichungen vom Idealverhalten sind: – KS ist nicht konstant, sondern eine Funktion von X (vgl. Wachstumsmodell von Fujimoto, Gl. (31)). – Wachstumseffektoren (Inhibitoren oder Aktivatoren) beeinflussen den Prozess. – Der Ertragskoeffizient YX=S hngt von der spezifischen Wachstumsrate ab, beispielsweise wenn bei langsam wachsenden Zellen ein großer Anteil des Substrats als Energiequelle zur Zellerhaltung genutzt wird. – Die Mikroorganismen haften an der Wand (Zellrckhaltung durch Immobilisierung). – Ungengende Durchmischung im Reaktor fhrt zu Transportproblemen, vgl. auch N 6.6.3. Wachstumseffektoren Der Einfluss von Wachstumseffektoren lsst sich auch in kontinuierlicher Kultivierung mit den bereits genannten kinetischen Anstzen (Gln. (35) bis (40)) bercksichtigen. Im Fall der Substratberschusshemmung, vgl. Gln. (39) und (40), ergibt sich die Besonderheit von mehrfachen stationren Zustnden. Aus der Substratbilanz (Gl . 48) folgt im stationren Betriebszustand (dS=dt ¼ 0): DðS0 SÞ ¼
1 mX; YX=S
ð55Þ
d. h. Substratzufuhr (DðS0 SÞ) und -verbrauch ðmX=YX=S Þ sind im stationren Zustand gleich, was zu zwei stabilen (Punkte 1 und 3 im Bild 16) und einem instabilen, stationren Betriebszustand (Punkt 2) fhrt. Unter Substratberschusshemmung zeigt der kontinuierlich betriebene Bioreaktor demnach einen stabilen (sich selbst einstellenden) und einen instabilen Betriebsbereich, Bild 17. Bei Gltigkeit der Monod-Haldane-Kinetik (Gl. (39)) ergibt sich die Substratkonzentration aus m S ¼ 12 1 max KI D rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi : ð56Þ m 2 1 4 1 max KI2 KI KS D
Bild 16. Substratverbrauchs- und Substratzufuhrrate bei kontinuierlichem Betrieb mit Substratberschusshemmung
Bild 17. Zelldichte und Substratkonzentration bei kontinuierlichem Betrieb mit Substratberschusshemmung (S Skrit : stabiler Betriebszustand)
Zellrckhaltung und -rckfhrung Durch Ausscheiden von Polymeren (meist Exopolysaccharide) vermgen Mikroorganismen an Wandungen und festen Oberflchen zu haften (Immobilisierung). Dies fhrt in vielen Prozessen durch Ausbildung von Biofilmen zu einer gewnschten Rckhaltung an Biomasse. Das unkontrollierte und zufllige Wandwachstum fhrt dagegen zu unerwnschten Ablagerungen. In den Bilanzgleichungen fr Biomasse, Substrat und Produkt (Gln. (44), (48) und (49)) lsst sich das Wandwachstum durch Einfhren einer (zustzlichen) immobilisierten Zellmasse bercksichtigen. ber Immobilisierung (Trgerfixierung von Zellen) und ber externe oder interne Zellabtrennung (Sedimentation, Flotation, Zentrifugation, Filter) lassen sich Zellen rckhalten oder rckfhren, so dass die Verweilzeit der Biomasse im System von der Verweilzeit der Flssigkeit entkoppelt und somit die Biomassekonzentration erhht wird. Aus den Bilanzgleichungen eines Reaktors mit Zellrckfhrung ergeben sich stationre Zustnde, bei denen die Durchflussrate D sehr viel grßer ist als die spezifische Wachstumsrate m, und auch Zustnde D > mmax knnen realisiert werden (Bild 18). 6.6.5 Fed-Batch-Kultivierung Oft ist es hilfreich, bestimmte Komponenten der Nhrlsung whrend des Verlaufs der Kultivierung im Batchbetrieb nachzuspeisen (Fed-Batch-Kultivierung):
Bild 18. Zelldichte und Produktivitt eines Bioreaktors bei kontinuierlicher Kultivierung mit Rckfhrung der Biomasse (Kurven 1–3) und ohne. 1 Zelldichte im Bioreaktor, 2 Zelldichte im Auslauf, 3 Produktivitt XD, 4 Zelldichte ohne Rckfhrung, 5 Produktivitt ohne Rckfhrung
N
N 52
Grundlagen der Verfahrenstechnik – 6 Bioverfahrenstechnik
– Zugabe von Precursor (Vorstufen des Produkts), – Einhalten niedriger Nhrstoffniveaus, wenn Substratberschusshemmung vorliegt, – Nachspeisen von Substrat zur Erzielung hoher Zelldichten (Hochzelldichtefermentation), – Einhalten niedriger Konzentrationen von leicht metabolisierbaren Kohlenstoffquellen, beispielsweise Glucose (Vermeidung der sog. Katabolit-Repression), – Aufrechterhalten einer Batch-Kultivierung ber lngere Zeitrume. Wird das Nhrmedium kontinuierlich zugegeben, ohne dass Kulturflssigkeit abfließt, ergibt sich eine der Bilanzgleichung des Chemostaten formal identische Bilanzgleichung fr die Biomasse, vgl. Gl. (44) mit X0 ¼ 0: dX ¼ mX DðtÞ X: dt
ð57Þ
In der VerdnnungsrateD(t) einer Fed-Batch-Kultivierung, die hier der Durchflussrate in kontinuierlicher Kultivierung, Gl. (43), formal entspricht, sind jedoch das Volumen und im Allgemeinen auch der Feed-Volumenstrom nicht konstant sondern zeitvernderlich: DðtÞ
V_ FðtÞ : VðtÞ
ð58Þ
Unter Bercksichtigung der zeitlich variablen Verdnnungsrate gelten die Gesetzmssigkeiten der kontinuierlichen Kultivierung formal auch fr die Fed-Batch-Kultivierung.
N
6.6.6 Zellerhaltung In den meisten Fllen, in denen eine Wachstumslimitierung durch die Kohlenstoffquelle auftritt, ist der Zellertragskoeffizient YX=S (vgl. Gl. (28)) von der spezifischen Wachstumsrate m abhngig, da energielieferndes Substrat außer zur Synthese von Zellmaterial zustzlich fr die Erhaltung der Zellstruktur verbraucht wird. Der Gesamtverbrauch an Substrat lsst sich nach einem Ansatz von Pirt (1965) additiv aus den Anteilen fr Wachstum und Zellerhaltung ermitteln: dS mX mX mX: ¼ ¼ dt YX=S YX=S W
Bild 19. Kontinuierliche Kultivierung mit Erhaltungsstoffwechsel
ð59Þ
Hierin ist m der Zellerhaltungskoeffizient, YX=S der wachstumsabhngige Zellertragskoeffizient inklusive Zellerhaltung und (YX=S ÞW ein von m unabhngig angenommener Zellertragskoeffizient. Der Ansatz Gl. (59) erfllt die Annahme,
dass der Zellerhaltungsstoffwechsel proportional zur Zelldichte und unabhngig von der spezifischen Wachstumsrate ist. (YX=S ÞW und m lassen sich experimentell bestimmen ber die Auftragung von 1 1 1 þm : ¼ YX=S m YX=S W
ð60Þ
Die Bilanzgleichung fr das Substrat in kontinuierlicher Kultivierung (vgl. Gl. (48)) lautet bei Bercksichtigung des Substratverbrauchs fr Zellerhaltung: dS mX mX ¼ DðS0 SÞ dt YX=S W
ð61Þ
Bei der Auftragung der stationren Werte fr die Zelldichte ber der Durchflussrate bei kontinuierlicher Kultivierung (Bild 19) wird deutlich, dass mit abnehmender Durchflussrate (d. h. wegen m ¼ D abnehmender spezifischer Wachstumsrate) der relative Anteil des Substratverbrauchs fr den Erhaltungsstoffwechsel grßer wird, und die Zelldichte mit abnehmender Durchflussrate deswegen sinken muss, um den Erhaltungsstoffwechsel aufrecht zu halten (vgl. hierzu auch Bild 15).
O
Maschinendynamik P. W. Gold, Aachen, und R. Nordmann, Darmstadt Kapitel O1 basiert auf den Ausfhrungen von K. H. Kttner
Allgemeine Literatur zu O 1 Kurbelbetrieb, Massenkrfte und -momente
Bcher: Haffner, K. E.; Mass, H.: Theorie der Triebwerksschwingungen in der Verbrennungskraftmaschine. In List, H.: Die Verbrennungskraftmaschine, Bd. 3. Wien: Springer 1984. – Haffner, K. E.; Mass, H.: Torsionsschwingungen in der Verbrennungskraftmaschine. In List, H.: Die Verbrennungskraftmaschine, Bd. 4. Wien: Springer 1985. – Holzweissig, F.; Dresig, H.: Lehrbuch der Maschinendynamik, 2. Aufl. Wien: Springer 1982. – Kttner, K. H.: Kolbenmaschinen, 5. Aufl. Stuttgart: Teubner 1984. – Lang, O. R.: Triebwerke schnellaufender Verbrennungsmotoren, Konstruktionsbcher, Bd. 22. Berlin: Springer 1966. – Maas, H.; Klier, H.: Krfte, Momente und deren Ausgleich in der Verbrennungskraftmaschine. In: List, H.: Die Verbrennungskraftmaschine, Bd. 2. Wien: Springer 1981. – Ziegler, G.: Maschinendynamik. Mnchen: Hanser 1977. zu O 2 Schwingungen Bcher: Biezeno, C. B.; Grammel, R.: Technische Dynamik, 2. Aufl., Bd. 2. Berlin: Springer 1953. Reprint 1971. – Klotter, K.: Technische Schwingungslehre, Bd. 1, 3. Aufl. u. Bd. 2, 2. Aufl. Berlin: Springer 1981 u. 1960. – Profos, P.: Einfhrung in die Systemdynamik. Stuttgart: Teubner 1982. zu O 3 Maschinenakustik Bcher: Heckl, M.; Mller, H. A. (Hrsg.): Taschenbuch der Technischen Akustik. Berlin: Springer 1994. – Kurtze, G.; Schmidt, H.; Westphal, W.: Physik und Technik der Lrmbekmpfung, 2. Aufl. Karlsruhe: Braun 1975. – Schirmer, W. u. a.: Lrmbekmpfung. Berlin: Tribne 1971. – Schmidt, H. : Schalltechnisches Tagebuch. Dsseldorf: VDI-Verlag 1976. – VDI-Berichte 239: Lrmarm Konstruieren. Dsseldorf: VDI-Verlag 1975. Normen und Richtlinien: Akustik, Grundbegriffe. – DIN 45 635: Geruschmessung an Maschinen. – DIN EN ISO 9614-1: Bestimmung der Schallleistungspegel von Geruschquellen aus Schallintensittsmessungen, Teil 1: Messungen an diskreten Punkten. Berlin: Beuth 1995. – DIN EN ISO 9614-2: Bestimmung der Schallleistungspegel von Geruschquellen aus Schallintensittsmessungen, Teil 2: Messungen mit kontinuierlicher Abtastung. Brssel: CEN 1996. – VDI 3720 Blatt 1 bis Blatt 8: Lrmarm Konstruieren.
O 1 Kurbeltrieb, Massenkrfte und -momente, Schwungradberechnung K. H. Kttner, Berlin berarbeitet von R. Nordmann, Darmstadt Die vom Medium am Kolben und von den Massen der Triebwerksteile erzeugten Krfte und Momente dienen zur Berechnung der Maschine einschließlich Triebwerk, der Gleichfrmigkeit ihres Gangs, der Drehschwingungen [1] der Kurbelwelle (s. O 2), der Massenwirkungen in der Umgebung und von Resonanzerscheinungen [2].
1.1 Drehkraftdiagramm von Mehrzylindermaschinen Einfluss hierauf haben die Bauart der Maschine, der Versatz ihrer Kurbeln, die oszillierenden Triebwerksmassen und der Druck des Mediums im Zylinder sowie die Zndfolge [3] bei Motoren. Druckverlauf. Der Druckverlauf wird als p=f(j) dem Kathodenstrahloszillogramm (P 4 Bild 43) oder als p= f(x) dem Indikatordiagramm (P 1 Bild 2) entnommen [4]. Hierbei dient der dimensionslose Wert (s. P 1 Gl. (21)) x l l3 x ¼ ¼ 1 cos j þ sin2 j þ sin4 j þ . . . 8 r 2
ð1Þ
der Umrechnung des Kolbenwegs x in den Kurbelwinkel j ¼ wt, wofr meist die ersten drei Glieder gengen.
Drehmoment. Die Kolbenkraft FKðjÞ setzt sich aus der Gasdruckkraft Fs und der Massenkraft Fo zusammen (nach P 1.3.3). Sie bestimmt zusammen mit der Kinematik des Kurbeltriebs das Drehmoment eines Triebwerks ! l sin 2j ffi ð2Þ Md ¼ FT ðjÞr ¼ FK ðjÞ r sin j þ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2 1 l2 sin2 j mit der Periode jA ¼ 360 aT (aT ¼ 2 beim Viertaktmotor, sonst aT ¼ 1), FT Tangentialkraft und den Nullstellen nach P 1.3.3. Bei steigender Drehzahl entlasten die Massenkrfte zunchst die Gaskrfte, um sie dann spter zu bersteigen, was sich auch auf die Drehmomentenschwankungen auswirkt (s. P 1 Bild 10). Gesamtmoment. Das Gesamtmoment fr eine Maschine mit mehreren Zylindern (Anzahl z) ergibt sich durch phasengerechte berlagerung der Drehmomente der Einzeltriebwerke (Gl. (2)). Dabei ist zu bercksichtigen, welche Bauart (Reihenmaschine, V-Maschine) vorliegt, wie der Kurbelversatz ist und ob alle Kolben gleich sind. Bei Reihenmaschinen betrgt es X Md ges ¼ Md ½j þ ðK 1Þjp : ð3Þ Bei einer Periode jp ¼ jA =z, also dem Winkel zwischen zwei Kurbeln, wiederholt sich das Gesamtmoment. Dabei nehmen die Momentenschwankungen mit zunehmender Zylinderzahl ab. Bild 1 zeigt Drehmomentendiagramme fr verschiedene Verdichter und Motoren. Beim einstufigen W-Verdichter erkennt man deutlich die berlagerung der drei Einzelmomente Md1 ,
O2
Maschinendynamik – 1 Kurbeltrieb, Massenkrfte und -momente, Schwungradberechnung
O
Bild 1 a–d. Drehmomentendiagramme. a Einstufiger W-Verdichter gF ¼ 60 ; b Viertaktmotor M mit einstufigen Kolbenverdichter V mit je zwei Zylindern in Reihe, MdmM ¼ MdmV ; jPM ¼ jPV ; c Zweitaktmotor beim Leerlauf; d harmonische Analyse des Moments eines zweistufigen Verdichters pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2 þ M 2 bzw: tan j ¼ M =M mit Spektrum der Momentenamplituden und ihrer Phasenwinkel Mk ¼ Mka ak bk k kb
Md2 , Md3 zum Gesamtmoment Md ges (Bild 1 a). Dargestellt ist auch das mittlere Drehmoment Mdm . Bei der Kupplung von Kraft- und Arbeitsmaschinen sind beide Drehmomente zu bercksichtigen (Bild 1 b). Fr Schwingungsuntersuchungen ist eine harmonische Analyse des Drehmomentenverlaufs vorzunehmen (Bild 1 d). Hier bedeuten die Mak bzw. die Mbk die cos- bzw. sin-Glieder der Fourierreihe.
Ws ¼
Mittleres Moment. Es betrgt Mdm ¼
1 jP
Schwungrad. Ein Schwungrad hat die Aufgabe, Abweichungen des Moments (Md Mdm) so aufzunehmen, dass die Ungleichfrmigkeit der Drehbewegung mglichst gering bleibt. Die ausgetauschte Energie im Winkelbereich jk bis jkþ1 ist (Bild 2) Zjkþ1
ðMd Mdm Þ d j
ð5Þ
jk
ZjP Md ges d j
ð4Þ
0
und wird durch Integration von Md ges ber eine Periode ermittelt. Im Beharrungszustand ist es dem Mittelwert der angekuppelten Maschine gleich und von den Massenkrften unabhngig.
Dabei treten die jk bzw. jkþ1 an den Stellen auf, wo Md ¼ Mdm ist. Trgheitsmoment. Aus dem Energiesatz folgt mit Ws max ¼ Jðw2max w2min Þ=2, dem Mittelwert wm ¼ ðwmax þ wmin Þ=2 und dem Ungleichfrmigkeitsgrad d ¼ ðwmax wmin Þ=wm
I1.2
Massenkrfte und Momente
O3
Bild 3. Scheibenschwungrad
Auslegung. Das Schwungrad (Bild 3) besteht aus k-Scheiben mit der Breite bk ; dem Außen- bzw. Innendurchmesser Dk und dk und hat die Dichte r. Seine Masse bzw. sein Trgheitsmoment betrgt also p X 2 ms ¼ r ðDk dk2 Þbk 4 ð8Þ 1X p X 4 J ¼ mk ðD2k þ dk2 Þ ¼ r ðD k d 4k Þbk ; 8 32 Bild 2 a, b. Ermittlung des Arbeitsvermgens. a Drehmoment; b Energieverlauf
nach Tab. 1. Ws max Ws max ¼ 2 2: J¼ d w2m 4p dn
ð6Þ
mit Ws max kinetischer Energie und n Drehfrequenz. Es umfasst auch die Anteile der angekuppelten Maschine und der Triebwerke und ist vom Schwungrad aufzubringen, das ebenfalls der Regelung dient [5]. Anhaltswerte fr Viertaktmotoren [6] folgen mit der indizierten Leistung Pi und der Konstanten k nach Tab. 2 aus J¼k
Pi dðn=100Þ3
:
ð7Þ
Bei gleicher Leistung nimmt also das Trgheitsmoment mit der dritten Potenz der Drehzahl, der Zylinderzahl und dem Ungleichfrmigkeitsgrad ab. Tabelle 1. Anhaltswerte fr Ungleichfrmigkeitsgrade
wobei Dkþ1 ¼ dk ist. Hiernach hat der ußere Kranz den grßten Einfluss und nimmt etwa 90% des Trgheitsmoments bei Scheiben- und 95% bei Speichenschwungrdern [7, 8] auf. Zur besseren Materialausnutzung soll der ußere Durchmesser so groß sein, wie es die Fliehkraftspannungen zulassen. Die Grenzen liegen bei den Umfangsgeschwindigkeiten u=50 m/s bei Graugussund u=75 m/s bei Stahlgussrdern.
1.2 Massenkrfte und Momente Bei den Massenkrften eines Triebwerks unterscheiden wir Krfte, die sich aus Drehbewegungen ergeben, und Krfte, die aus translatorischen Bewegungen resultieren. Es sind dies die rotierenden Krfte Fr ¼ mr r w2 bzw. die in der Zylinderachse wirkenden Krfte I. und II. Ordnung FI ¼ mo r w2 cos j ¼ PI cos j und FII ¼ l PI cos 2 j nach P1 Gl. (36), wobei die hheren Harmonischen vernachlssigt wurden. Bei Mehrzylindermaschinen mssen die resultierenden Krfte und Momente durch vektorielle Addition gebildet werden. Die Addition erfolgt gemß der Stellung der Kurbeln und der Lage der Mittellinien. Bei Motoren sind die Massen mr und mo der Triebwerke nach P 1, die Zylinderabstnde a und die Differenz D ak des Kurbelversatzes konstant und ihre Schwerelinie SS liegt in der Kurbelwellenmitte, Bild 4. Die Krfte und Momente verursachen Schwingungen in Triebwerk und Maschine [9], insbesondere Torsionsschwingungen der Kurbelwelle [10]. 1.2.1 Analytische Verfahren Reihenmaschinen. Der Abstand hk und der Versatz ak der k-Kurbel von z-Zylindern betrgt mit der Taktzahl aT (Bild 4 a)
Tabelle 2. Konstante k in kgm 2/(KW min3) fr Viertaktmotoren
ak ¼ ðn 1Þ360 aT =z; hk ¼ ½0;5ðz þ 1Þ ka ¼ uk a: ð9Þ wobei uk ¼ 0; 5 ðz þ 1Þ k und a Zylinderabstand. Zhler k=1 bis z bezeichnet die Triebwerke lngs der Kurbelwelle von der Kupplung ab, und der Zhler n=1 bis z bestimmt den Winkel ak und rechnet in der Drehrichtung.
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O4
Maschinendynamik – 1 Kurbeltrieb, Massenkrfte und -momente, Schwungradberechnung
fr den Momentanwert der Momente bzw. ihr Maximum mit qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi cm ¼ c2m 1 þ c2m 2 ; ð15Þ M ¼ P aðc cos m j c sin m jÞ; m res
m
m1
m2
Mm max ¼ Pm a cm : Sie treten auf bei dem Kurbelwinkel j ¼ arctanðcm 2 =cm 1 Þ=m:
ð16Þ
Hierbei ist cI 1 ¼ cr 1 und cI 2 ¼ cr 2 : Krfte. Fr sie gilt in Gln. (9) und (14) hk ¼ a uk ¼ 1. Damit folgt fr ihre Konstanten X X km 1 ¼ cos m ak und km 2 ¼ sin m ak : ð17Þ Gnstige Kurbelfolgen. Die Krfte verschwinden, wenn die Kurbelsterne m-ter Ordnung mit den Winkeln mak (Bild 4 a) symmetrisch sind. Zweitaktmaschinen (Bild 5) haben die kleinsten Momente, wenn ihr Kurbelstern I. Ordnung in der Reihenfolge 1, z, 2, z – 1, n, n(z – n+1) durchlaufen wird [11, 12]. In Viertaktmaschinen heben sich die Momente auf, wenn bei je zwei Kurbeln der Winkel ak und der Betrag ihrer Hebelarme hk gleich sind. V-Maschinen. Beim Zweizylinder-Motor bilden die um eine Schubstangenbreite versetzten Mittellinien der Triebwerke A und B den Gabelwinkel g ¼ jA þ jB , Bild 6. Die vertikalen bzw. horizontalen Komponenten der Kraft I. Ordnung betragen dann, da jA ¼ g=2 þ jk und jB ¼ g=2 jk ist, mit FI A ¼ PI A cos jA und FI B ¼ PI B cos jB FI x ¼ ðFI A FI B Þ sinðg=2Þ
O
Bild 4 a, b. 7-Zylinder-Reihenmotor. a Kurbelschema mit Stern I. und II. Ordnung; b vektorielle Ermittlung des resultierenden rotierenden Moments
Rotierende Momente. Zur Ermittlung der Momente Mrx, Mry werden die Komponenten Fr sinðj þ ak Þ, Fr cosðj þ ak Þ der rotierenden Krfte mit dem jeweiligen Hebelarm hk multipliziert und aufaddiert. X Mrx ¼ Fr hk sinðj þ ak Þ und X hk cosðj þ ak Þ: Mry ¼ Fr Mit den dimensionslosen Konstanten X X uk cos ak und cr 2 ¼ uk sin ak ð10Þ cr 1 ¼
Bild 5. Gnstige Kurbelfolgen fr Zweitaktmotoren mit gerader und ungerader Zylinderzahl
folgt daraus fr die Resultierende und ihren Lagewinkel qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2 þ M 2 ; tan c ¼ M =M ¼ c =c ð11Þ Mr res ¼ Mrx rx ry r2 r1 ry bzw. mit cr ¼
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi c2r 1 þ c2r 2
Mr res ¼ Fr a cr und aL ¼ 90 þ j þ c:
ð12Þ
Momente m-ter Ordnung. Mit den Kraftamplituden Pmk ¼ Fmk = cosðm jÞ nach P1 Gl. (35) die in den Zylindermittellinien wirken, gilt analog zum obigen Ansatz X Pmk hk cos mðj þ ak Þ: Mm res ¼ Das Maximum folgt hieraus mit dMm res =dj ¼ 0 X X Pm hk cos m ak ; tan m j ¼ Pm hk sin m ak =
ð13Þ
wobei der Winkel j fr seine Berechnung und Richtung maßgebend ist. Sind die Kolben, also die Krfte Pmk gleich, so ergibt sich mit den Konstanten X X uk cos m ak und cm 2 ¼ uk sin m ak ð14Þ cm 1 ¼
Bild 6 a–c. V-Maschine. a Anordnung der Triebwerke; b Ermittlung der Kraft I. Ordnung aus den Komponenten; c vektorielle Ermittlung der Kraft II. Ordnung
I1.2
Massenkrfte und Momente
O5
und FI y ¼ ðFI A þ FI B Þ cosðg=2Þ: Ihre Resultierende und deren Lagewinkel sind damit qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi FI ¼ FI2x þ FI2y bzw: tan aI ¼ FI x =FI y :
ð18Þ
Fr gleiche Kolbenmassen wird dann mit PIA ¼ PIB ¼ PI FI x ¼ 2PI sin 2 ðg=2Þ sin jk und FI y ¼ 2PI cos 2 ðg=2Þ cos jk :
ð19Þ
Bei g ¼ 90 folgt aus Gln. (18) und (19) FI ¼ PI und aI ¼ j. Die Krfte I. Ordnung sind durch Gegengewichte an den Wangen ausgleichbar. Ihre Extremwerte treten bei cos j ¼ 1 bzw. 0 auf und stellen die Halbachsen der Ellipsen nach Gl. (19) dar und betragen hiernach FI a ¼ 2 PI cos2 ðg=2Þ und FI b ¼ 2 PI sin2 ðg=2Þ:
ð20Þ
Sie liegen vertikal bzw. horizontal und fr g < 90 ist FI a das Maximum und FI b das Minimum (s. Tab. 3). Fr die Krfte II. Ordnung gilt dann, mit den Komponenten FII A ¼ PII A cos 2jA und FII B ¼ PII B cos 2jB FII x ¼ ðFII A FII B Þ sinðg=2Þ
Bild 7 a, b. V-Reihenmaschinen. a Schematischer Aufbau und Momente I. Ordnung; b Kurbelstern II. Ordnung mit Momenten
und FII y ¼ ðFII A þ FII B Þ cosðg=2Þ mit den Resultierenden und Lagewinkel FII ¼
qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi FII2 x þ FII2 y
und tan aII ¼ FII x =FII y . Bei gleichen Kolbenmassen gilt FII x ¼ 2 PII sinðg=2Þ sin g sin 2 jk ; FII y ¼ 2 PII cosðg=2Þ cos g cos 2 jk :
ð21Þ
Ihre Extremwerte, die bei cos 2 jk ¼ 1 bzw. 0 auftreten, sind
ð22Þ
Hierbei ist FII a das Maximum und FII b das Minimum, wenn g
