Roger Penrose DROGA DO RZECZlWISTOSCI ~
Wyczerpujqcy przewodnik po prawach rzqdzqcych Wszechswiatem
Przetozyt Jerzy P...
156 downloads
1813 Views
21MB Size
Report
This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form
Roger Penrose DROGA DO RZECZlWISTOSCI ~
Wyczerpujqcy przewodnik po prawach rzqdzqcych Wszechswiatem
Przetozyt Jerzy Przystawa
Tytul oryginalu angielskiego THE ROAD TO REALITY A complete Guide to the Laws of the Universe Copyright © Roger Penrose, 2004 All Rights Reserved Recenzje merytoryczne Prof. dr hab. Marek Dernianski Prof. dr hab. Jerzy Lukierski Prof. dr hab. Kacper Zalewski Konsultacja naukowa przekladu Prof. dr hab. Marek Demianski Dr hab. Marek Wolf Opracowanie indeksu Prof. dr hab. Jerzy Przystawa Redaktor prowadzqcy i koordynacja wydawnicza Adam Rysiewicz Projekt okladki i stron tytulowych Roman Kirilenko Sklad i lamanie Wydawnictwo 6D, Warszawa Komputerowe opracowanie indeksu Aleksander Michalski Redakcja Anna Kaniewska Magdalena Korytowska Korekta Anna Kaniewska
Ksh!zka dofinansowana ze srodk6w Ministerstwa Nauki i Szkolnictwa Wyzszego (decyzja nr 814/DWP/P/2006)
ISBN 978-83-7469-179-6 Wydawca Proszynski i S-ka SA ul. Garazowa 7, 02-651 Warszawa Druk i oprawa Drukarnia Naukowo-Techniczna Oddzial Polskiej Agencji Prasowej SA ul. Minska 65, 03-828 Warszawa
Pamiyci DENNISA SCIAMY, kt6ry przekazal mi fascynacjy fizykq, ksiqzky ty poswiycam
Spis tresci Przedmowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
XIII
Podziykowania ...........................................................
XIX
Notacja ..................................................................
XXI
Prolog ................................................................... .
1 Korzenie nauki ......................................................
7
W poszukiwaniu sit, kt6re uksztaltowaly swiat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Prawda matematyczna .............................................. Czy swiat matematyczny Platona jest swiatem "rzeczywistym"? ............ Trzy swiaty i trzy glybokie tajemnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dobro, Prawda i Piykno .............................................
7 9 12 17 21
2 StaroZytne twierdzenie i wsp6lczesne zagadnienie . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
1.1
1.2 1.3
1.4 1.5
2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7
Twierdzenie Pitagorasa ............................................. Postulaty Euklidesa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dow6d twierdzenia Pitagorasa na podstawie podobienstwa figur ........... Geometria hiperboliczna: obraz konforemny ........................... Inne reprezentacje geometrii hiperbolicznej ............................ Nieco historii geometrii hiperbolicznej .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Zwiqzek z przestrzeniq fizycznq .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24 27 30 32 36 41 44
3 Rodzaje liczb w swiecie fizyki .......................................
50
3.1 3.2 3.3 3.4 3.5
Katastrofa pitagorejska? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . System liczb rzeczywistych ........................................... Liczby rzeczywiste w fizycznym swiecie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Czy liczby naturalne potrzebujq fizycznej rzeczywistosci? ................. Liczby dyskretne w swiecie fizyki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
50 53 58 62 64
4 Magiczne liczby zespolone ..........................................
69
4.1 4.2 4.3 4.4 4.5
Magiczna liczba "i" ................................................. Rozwiqzywanie r6wnan z liczbami zespolonymi ......................... Zbieznos6 szereg6w potygowych ...................................... Plaszczyzna zespolona Caspara Wessel a ............................... Jak skonstruowa6 zbi6r Mandelbrota? .................................
69 72 74 78 81
Spis tresci
5 Geometria logarytmow,
pot~g
i pierwiastkow ......................
84
Geometria algebry zespolonej ........................................ Idea zespolonego logarytmu ......................................... Wielowartosciowosc funkcji, logarytmy naturalne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Zespolone wyrazenia potygowe .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pewne odniesienia do wsp6lczesnej fizyki cZi!stek elementarnych ..........
84 88 90 94 98
6 Rachunek rozniczkowy i calkowy funkcji zmiennych rzeczywistych ........................................................
101
5.1 5.2 5.3 5.4 5.5
6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6
Czym si! porzi!dne funkcje? .......................................... Nachylenie funkcji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pochodne wyzszych rZyd6w; funkcje gladkie klasy C"" .................... Eulerowskie pojycie funkcji .......................................... Reguly r6zniczkowania ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Calkowanie .......................................................
7 Rachunek rozniczkowy i calkowy w zmiennych zespolonych ...... 7.1 7.2 7.3 7.4
120
Gladkosc zespolona; funkcje holomorficzne ............................ Calkowanie po konturze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Szeregi potygowe a gladkosc zespolona ................................ Przedluzenie analityczne ............................................
120 121 125 127
8 Powierzchnie Riemanna i odwzorowania zespolone ...............
133
8.1 8.2 8.3 8.4 8.5
Idea powierzchni Riemanna ......................................... Odwzorowania konforemne .......................................... Sfera Riemanna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Genus zwartej powierzchni Riemanna ................................. Twierdzenie Riemanna 0 odwzorowaniu konforemnym '" . . . . . . . . . . . . . . . .
9 Rozklad Fouriera i hiperfunkcje ................................... 9.1 9.2 9.3 9.4 9.5 9.6 9.7
133 136 140 143 146 150
Szeregi Fouriera ................................................... Funkcje na okrygu .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Rozszczepienie czystosci na sferze Riemanna ........................... Transformata Fouriera .............................................. Rozszczepienie czystosci w jyzyku transform at Fouriera .................. Jaki rodzaj funkcji jest odpowiedni? ................................... Hiperfunkcje. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
150 154 158 161 163 165 168
10 Powierzchnie ........................................................
175
10.1 10.2 10.3 10.4 10.5
VI
101 103 106 109 112 114
Wymiary zespolone i wymiary rzeczywiste .............................. Gladkosc, pochodne cZi!stkowe ....................................... Pola wektorowe i 1-formy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Skladowe, i10czyny skalarne .......................................... Warunki Cauchy'ego-Riemanna ......................................
175 177 181 186 188
11 Liczby hiperzespolone ..............................................
193
11.1 Algebra kwaternion6w .............................................. 11.2 Czy kwatemiony maji! znaczenie fizyczne? .............................
193 195
Spis tresci
11.3 Geometria kwaternion6w ........................................... .
11.4 Jak skladac obroty? ................................................ . ll.5 Algebry Clifforda ................................................. . 11.6 Algebry Grassmanna ............................................... .
12 Rozmaitosci n-wymiarowe ......................................... . 12.1 12.2 12.3 12.4 12.5 12.6 12.7 12.8 12.9
Dlaczego badamy rozmaitosci wyzszych wymiar6w? ..................... . Rozmaitosci i laty wsp6lrzydnosciowe ................................ . Skalary, wektory i kowektory ........................................ . Iloczyny grassmannowskie .......................................... . Calki form ....................................................... . Pochodna zewnytrzna .............................................. . Element objytosciowy; konwencja sumacyjna .......................... . Tensory: zapis abstrakcyjno-wskaznikowy i zapis graficzny ............... . Rozmaitosci zespolone ............................................. .
13 Grupy symetrii ..................................................... . 13.1 13.2 13.3 13.4
13.5 13.6 13.7 13.8 13.9
13.10
Grupy przeksztalcen ............................................... . Podgrupy i grupy proste ............................................ . Transformacje liniowe i macierze .................................... . Wyznaczniki i slady ................................................ . Wartosci wlasne i wektory wlasne .................................... . Teoria reprezentacji i algebry Liego .................................. . Przestrzenie reprezentacji tensorowych; redukowalnosc ................. . Grupy ortogonalne ................................................ . Grupy unit arne ................................................... . Grupy symplektyczne .............................................. .
14 Rachunek rozniczkowy i calkowy na rozmaitosciach ............. . 14.1 R6zniczkowanie na rozmaitosciach? .................................. . Przesuniycie r6wnolegle ............................................ . Pochodna kowariantna ............................................. . Tensory krzywizny i torsji ........................................... . Linie geodezyjne, r6wnolegloboki i krzywizna .......................... . Pochodna Liego ................................................... . Do czego potrzebna jest metryka .................................... . 14.8 Rozmaitosci symplektyczne ......................................... .
14.2 14.3 14.4 14.5 14.6 14.7
15 Wil!zki wlokniste i koneksje cechowania .......................... . 15.1 15.2 15.3 15.4 15.5 15.6
15.7 15.8
Fizyczne powody wprowadzenia wi,!zek w16knistych .................... . Matematyczna idea wi,!zki .......................................... . Ciycia wi,!zek ..................................................... . Wi'!zka Clifforda .................................................. . Wi'!Zki wektorowe zespolone, wi,!zki kostyczne ......................... . Przestrzenie rzutowe ............................................... . Nietrywialnosc w koneksji wi,!zki ..................................... . Krzywizna wi,!zki .................................................. .
198 201 203 205 211 211 214 216 220 222 224 229 232 235 239 239 242 246 252 254 257 261 265 271 276 282 282 284 287 291 293 298 305 308 312 312 315 318 320 324 327 331 334
VII
Spis tresci
16 Drabina nieskonczonosci ........................................... 16.1 16.2 16.3 16.4 16.5 16.6 16.7
Ciala skonczone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Jakiej geometrii potrzebuje fizyka: skonczonej czy nieskonczonej? ......... Rozne rozmiary nieskonczonosci ..................................... Argument przekqtniowy Cantora ..................................... Zagadki w podstawach matematyki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Maszyny Turinga i twierdzenie GOdla ................................. Fizyczne rozmiary nieskonczonosci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
341 343 347 351 355 357 361
17 Czasoprzestrzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
366
17.1 17.2 17.3 17.4 17.5 17.6 17.7 17.8 17.9
Czasoprzestrzen fizyki Arystotelesa ................................... Czasoprzestrzen wzglydnosci Galileusza ............................... Dynamika Newtona w terminach czasoprzestrzeni ....................... Zasada rownowaZnosci .............................................. Czasoprzestrzen newtonowska w ujyciu Cartana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Stala skonczona prydkosc swiatla ..................................... Stozki swietlne ..................................................... Rezygnacja z czasu absolutnego ...................................... Czasoprzestrzen ogolnej teorii wzglydnosci Einsteina ....................
366 368 370 373 377 382 383 386 390
18 Geometria Minkowskiego . .. . .. . .. . . .. . .. . .. . . . .. . .. .. . .. . . . . . . .. .. .
394
18.1 18.2 18.3 18.4 18.5 18.6 18.7
4-przestrzen Euklidesa i 4-przestrzen Minkowskiego ..................... Grupy symetrii przestrzeni Minkowskiego .............................. Ortogonalnosc lorentzowska; paradoks blizniqt ......................... Geometria hiperboliczna w przestrzeni Minkowskiego ................... Firmament niebieski jako sfera Riemanna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Energia newtonowska i moment pydu ................................. Energia relatywistyczna i moment pydu ................................
394 397 399 404 409 413 415
19 Pola klasyczne Maxwella i Einsteina ...............................
421
19.1 19.2 19.3 19.4 19.5 19.6 19.7 19.8
VIII
341
Stopniowe odejscie od dynamiki Newtona .............................. Teoria zjawisk elektromagnetycznych Maxwella ......................... Prawa zachowania i przeplywu w teorii Maxwella ........................ Pole Maxwella jako krzywizna cechowania ............................. Tensor energii-pydu ................................................ Rownanie pola Einsteina ............................................ Dalsze zagadnienia: stala kosmologiczna; tensor Weyla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Energia pola grawitacyjnego .........................................
421 423 427 429 435 438 442 444
20 Lagranzjany i hamiltoniany ........................................
450
20.1 20.2 20.3 20.4 20.5 20.6
Magiczny formalizm Lagrange'a ...................................... Bardziej symetryczny formalizm Hamiltona ............................ Male drgania ...................................................... Dynamika hamiltonowska jako geometria symplektyczna ................. Lagranzowskie ujycie pol ............................................ Rola lagranzjanu we wspolczesnej teorii ...............................
450 454 457 461 464 466
Spis tresci
21
Cz~stka
kwantowa ................................................. .
471
Zmienne nieprzemienne ........................................... . Hamiltoniany mechaniki kwantowej .................................. . R6wnanie Schrodingera ............................................ . Eksperymentalne podstawy mechaniki kwantowej ...................... . Zrozumienie dualizmu falowo-korpuskularnego ........................ . Czym jest rzeczywistosc kwantowa? .................................. . Holistyczna natura funkcji falowej ................................... . Tajemnicze "skoki kwantowe" ....................................... . Rozklad prawdopodobienstwa i funkcja falowa ......................... . Stany polozeniowe ................................................ . Opis w przestrzeni pyd6w ........................................... .
471 474 476 478 482 484 488 492 494 496 498
22 Kwantowa algebra, geometria i spin .............................. .
503
21.1 21.2 21.3 21.4 21.5 21.6 21.7 21.8 21.9 21.10 21.11
22.1 22.2 22.3 22.4 22.5 22.6 22.7 22.8 22.9 22.10 22.11 22.12 22.13
23
Procedury kwantowe U i R .......................................... . Liniowosc U i klopoty z R .......................................... . Unitarnosc, przestrzen Hilberta, zapis Diraca .......................... . Ewolucja unitarna: Schrodinger i Heisenberg .......................... . "Obserwable" kwantowe ........................................... . Pomiary TAK/NIE; operatory rzutowe .................................. . Pomiary zerowe; skrytnosc .......................................... . Spin i spinory ..................................................... . Sfera Riemanna uklad6w dwustanowych .............................. . Wyzsze spiny: przedstawienie Majorany ............................... . Harmoniki sferyczne ............................................... . Relatywistyczny kwantowy moment pydu .............................. . Ogolny, izolowany obiekt kwantowy .................................. .
Spl~tany
23.1 23.2 23.3 23.4 23.5 23.6 23.7 23.8 23.9 23.10
swiat kwantowy .......................................... .
552
Mechanika kwantowa ukladu wielu cial ............................... . Ogrom przestrzeni stanow wielocz,!stkowych .......................... . Spl,!tanie kwantowe, nierownosci Bella ............................... . Eksperymenty EPR typu Bohma ..................................... . Przyklad EPR Hardy'ego: prawie bez prawdopodobienstwa .............. . Dwie tajemnice spl,!tania kwantowego ................................ . Bozony i fermiony ................................................. . Stany kwantowe bozonow i fermion6w ................................ . Teleportacja kwantowa ............................................. . Quanglement ..................................................... .
552 554 557 559 563 565 567 569 571 576
antycz~stki
..................................... .
582
Konflikt miydzy teori,! kwantow'! a teori,! wzglydnosci .................. . Dlaczego antycz'!stki implikuj,! istnienie pol kwantowych? ............... . Dodatnia okreslonosc energii w mechanice kwantowej .................. . Trudnosci z relatywistyczn,! formul,! energii ........................... . Nieinwariantnosc %t .............................................. . Clifforda-Diraca pierwiastek kwadratowy z operatora D'Alemberta ....... . R6wnanie Diraca .................................................. . Droga Diraca do odkrycia pozytronu ................................. .
582 583 585 587 589 591 593 595
24 Elektron Diraca i 24.1 24.2 24.3 24.4 24.5 24.6 24.7 24.8
503 506 509 511 514 518 520 524 528 534 536 540 544
IX
Spis tresci
25 Model standardowy fizyki
cz~stek
elementarnych .................
600
Poczqtki wsp6lczesnej fizyki cZqstek elementarnych ...................... Zygzakowy model elektronu ......................................... Oddzialywania elektroslabe; asymetria odbiciowa ....................... Sprzyzenie ladunkowe, parzystosc i odbicie czasu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Grupa syrnetrii oddzialywan elektrostabych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Cz'!stki silnie oddziatujqce ........................................... "Kwarki kolorowe" ................................................. Wyjscie poza model standardowy? ....................................
600 601 605 610 613 616 619 623
26 Kwantowa teoria pol a ...............................................
627
25.1 25.2 25.3 25.4 25.5 25.6 25.7 25.8
26.1 26.2 26.3 26.4 26.5 26.6 26.7 26.8 26.9 26.10 26.11
Fundamentalny status KTP we wsp6lczesnej fizyce teoretycznej ........... Operatory kreacji i anihilacji ......................................... Algebry nieskonczenie wymiarowe .................................... Antycz'!stki w KTP ................................................. Pr6znie aiternatywne ............................................... Oddziatywania: lagranzjany i calki po drogach .......................... Rozbiezne calki po drogach: recepta Feynmana ......................... Konstrukcja diagram6w Feynmana; macierz S .......................... Renormalizacja .................................................... Jak z lagranzjan6w otrzymac diagramy Feynmana? ...................... Diagramy Feynmana i wyb6r pr6zni ...................................
27 Wielki Wybuch i jego termodynamiczne dziedzictwo .............. 27.1 27.2 27.3 27.4 27.5 27.6 27.7 27.8 27.9 27.10 27.11 27.12 27.13
x
627 629 631 633 635 637 641 643 647 651 652 657
Symetria czasowa w ewolucji dynamicznej .............................. Aspekty submikroskopowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Entropia .......................................................... Zywotnosc koncepcji entropii ........................................ Wyprowadzenie drugiego prawa termodynamiki - czy nie? ............... Czy caly WszechSwiat jest "uktadem izolowanym"? ...................... Rola Wielkiego Wybuchu ............................................ Czarne dziury . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Horyzonty zdarzen i osobliwosci czasoprzestrzeni ....................... Entropia czarnej dziury ............................................. Kosmologia ....................................................... Diagramy konforemne .............................................. Nasz nadzwyczaj wyj'!tkowy Wielki Wybuch ............................
657 659 660 663 666 670 672 677 682 684 687 693 696
28 Spekulacje teoretyczne na temat wczesnych stadiow rozwoju Wszechswiata ..............................................
705
28.1 28.2 28.3 28.4 28.5 28.6 28.7
Poczqtkowe spontaniczne zlamanie symetrii ............................ Kosmiczne defekty topologiczne ...................................... Ktopoty z pocz'!tkowym ztamaniem symetrii ............................ Kosmologia inflacyjna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Czy przestanki inflacji s,! prawidlowe? ................................. Zasada antropiczna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Czy wyjqtkowa natura Wielkiego Wybuchu stanowi klucz antropiczny? ......
705 709 713 716 722 727 731
Spis tresci
28.8 Hipoteza krzywizny Weyla .......................................... . 28.9 Propozycja "bez brzegu" Hartle'a-Hawkinga .......................... . 28.10 Status obserwacyjny parametr6w kosmologicznych ...................... .
734 738 741
29 Paradoks pomiaru ................................................. .
751
29.1 29.2 29.3 29.4 29.5 29.6 29.7 29.8 29.9
Konwencjonalne ontologie teorii kwantowej ........................... . Ontologie niekonwencjonalne ....................................... . Macierz gystosci .................................................. . Macierz gystosci dla spinu kula Blocha ............................. . Macierz gystosci w przypadku efekt6w EPR ........................... . Filozofia FAPP dekoherencji srodowiskowej ........................... . Kot Schrodingera w ontologii kopenhaskiej ............................ . Czy inne ontologie konwencjonalne mogq rozwiqzac problem "kota"? ..... . Kt6re niekonwencjonalne ontologie mogq pom6c? ..................... .
751 754 760 762 766 771 772 775 778
30 Rola grawitacji w redukcji stanu kwantowego .................... .
784
30.1 30.2 30.3 30.4 30.5 30.6 30.7 30.8 30.9 30.10 30.11 30.12 30.13 30.14
±;
Czy dzisiejsza teoria kwantowa wytrzyma pr6by czasu? .................. . Kluczowa rola kosmologicznej asymetrii czasu ......................... . Asymetria czasu w procesie redukcji stanu kwantowego ................. . Temperatura czarnej dziury Hawkinga ................................ . Temperatura czarnej dziury wynikajqca z periodycznosci zespolonej ....... . Wektory Killinga, przeplyw energii - i podr6ze w czasie! ................ . Wyplyw energii z orbit ujemnej energii ............................... . Eksplozje Hawkinga ............................................... . Perspektywa bardziej radykalna ..................................... . Grudka materii Schrodingera ....................................... . Fundamentalny konflikt z zasadami Einsteina ......................... . Preferowane stany Schrodingera-Newtona? ........................... . FELIX i propozycje z nim zwiqzane .................................. . Pochodzenie fluktuacji we wczesnym WszechSwiecie .................... .
784 785 787 791 795 800 803 805 809 813 816 819 822 826
31 Supersymetria, wymiary dodatkowe i struny ...................... .
835
31.1 Niewyjasnione parametry ........................................... . 31.2 Supersymetria .................................................... . 31.3 Algebra i geometria supersymetrii ................................... . 31.4 Czasoprzestrzen wyzej wymiarowa ................................... . 31.5 Poczqtkowa teoria strunowa hadron6w ............................... . 31.6 W kierunku strunowej teorii swiata ................................... . 31.7 Strunowe motywacje dla dodatkowych wymiar6w czasoprzestrzeni ........ . 31.8 Teoria strun jako kwantowa teoria grawitacji? ......................... . 31.9 Dynamika strun ................................................... . 31.10 Dlaczego nie obserwujemy dodatkowych wymiar6w czasoprzestrzeni? ..... . 31.11 Czy powinnismy zaakceptowac argument stabilnosci kwantowej? .......... . 31.12 Klasyczna niestabilnosc dodatkowych wymiar6w ........................ . 31.13 Czy strunowa KTP jest skonczona? ................................... . 31.14 Magiczne przestrzenie Calabiego-Yau; teoria M ....................... . 31.15 Struny i entropia czarnych dziur ..................................... .
835 839 842 845 849 852 855 856 859 861 866 869 872 874 879
XI
Spis tresci
31.16 Zasada holografiezna ............................................... 31.17 Perspektywa D-bran ................................................ 31.18 Jaki jest fizyezny status teorii strun? ...................................
883 886 889
32 Zawtrzenie podejscia Einsteina; zmienne ptrtlowe . . . . . . . . . . . . . . . . . .
898
32.1 32.2 32.3 32.4 32.5 32.6 32.7
Kanoniezna grawitaeja kwantowa ..................................... Chiralny wklad do zmiennyeh Ashtekara ............................... Postac zmiennyeh Ashtekara ......................................... Zmienne pytlowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Matematyka wyzlow i splotow ........................................ Sieei spinowe ...................................................... Jaki jest status pytlowej teorii grawitaeji kwantowej? .....................
898 899 902 905 907 910 916
33 Perspektywy bardziej radykalne; teoria twistorow . . . . . . . . . . . . . . . . .
921
33.1 Teorie z geometriq 0 elementaeh dyskretnyeh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33.2 Twistory jako promienie swietlne ..................................... 33.3 Grupa konforemna; uzwareona przestrzen Minkowskiego ................ 33.4 Twistory jako spinory wyzej wymiarowe ................................ 33.5 Zasady geometrii twistorow i wspolrzydne twistorowe .................... 33.6 Geometria twistorow jako bezmasowyeh eZqstek wirujqcyeh ............... 33.7 Twistorowa teoria kwantow .......................................... 33.8 Twistorowy opis pol bezmasowyeh .................................... 33.9 Twistorowa kohomologia snopow ..................................... 33.10 Twistory i rozszezepienie ezystosci na dodatnie i ujemne . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33.11 Grawiton nieliniowy ................................................ 33.12 Twistory i ogolna teoria wzglydnosci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33.13 W kierunku twistorowej teorii ezqstek elementarnyeh .................... 33.14 laka jest przysztosc teorii twistorow? ..................................
921 925 931 934 937 940 944 947 949 954 956 961 962 963
34 Ktortrdy wiedzie droga do rzeczywistosci? .......................... 34.1 34.2 34.3 34.4 34.5 34.6 34.7 34.8 34.9 34.10
Wielkie teorie XX wieku - i co dalej? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fizyka fundamentalna inspirowana matematyeznie ...................... Rola mody w fizyce teoretycznej ...................................... Czy eksperyment jest w stanie obalic zlq teoriy? ......................... Skqd nadejdzie kolejna rewolueja w fizyee? ............................. Co to jest rzeczywistosc? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Wplyw mentalnosei na teorie fizyczne ................................. Nasza zmudna matematyczna droga do rzeezywistosci .................... Piykno i euda ...................................................... Odpowiedzielismy na powazne pytania, ale jeszeze powazniejsze ezekajq na odpowiedz ........... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..
971 971 975 978 981 985 988 990 994 998 1002
Epilog . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 1007 Bibliografia .............................................................. 1009 Indeks rzeczowy .......................................................... 1057 Indeks nazwisk ........................................................... 1109
Przedmowa CHCIALBYM, zeby czytelnik tej ksiqzki mogl poczue smak jednej z najwazniejszych i najbardziej podniecajqcych wypraw odkrywczych, jakich dokonala ludzkose. Jest to wyprawa w poszukiwaniu zasad, ktore rzqdzq zachowaniem siy naszego Wszechswiata. Wyprawa ta trwa juz ponad trzy i pol tysiqca lat, nie jest wiyc rzeczq dziwnq, ze dokonalismy podczas niej waznych i zasadniczych odkrye. Okazalo siy jednak, ze jest to bardzo trudna ekspedycja i ze prawdziwe zrozumienie sensu tych odkrye dociera do nas bardzo wolno. Trudnosci te byly przyczynq wielokrotnego blqdzenia po manowcach; stqd przestroga, zeby posuwae siy ostroznie. J ednakZe XX wiek okazal siy plodny w nadzwyczajne odkrycia, ktore w calkiem nowym swietle postawily wyniki naszych bad an, do tego stopnia, ze wielu wspolczesnych badaczy oglosilo juz niejednokrotnie, ze jestesmy bardzo blisko wlasciwego zrozumienia wszystkich podstawowych zasad fizyki. W moim opisie obecnych teorii fundamentalnych, teraz, kiedy XX wiek jest juz za nami, bydy przyjmowal bardziej sceptyczny punkt widzenia. Dlatego nie wszystkie wyrazane przeze mnie opinie zostanq dobrze przyjyte przez tych "optymistow", tym bardziej ze oczekujy i spodziewam siy w najblizszym czasie jeszcze bardziej radykalnych zmian kierunkow naszych poszukiwan niz te, ktore nastqpily w minionym stuleciu. Czytajqcy ty ksiqzky zauwaZy, ze nie unikam w niej poslugiwania siy formulami matematycznymi, aczkolwiek zdajy sobie sprawy, iz moze to istolD.ie zredukowae liczby czytelnikow. Dlugo i powaznie nad tym siy zastanawialem i doszedlem do wniosku, ze to, co mam do powiedzenia, nie moze bye wlasciwie przekazane bez zapisu matematycznego i zbadania sensu pewnych istotnych pojye matematycznych. Nasze zrozumienie zasad, ktore lezq u podstaw zachowania siy fizycznego swiata, jest rzeczywiscie zwiqzane z ich matematycznq strukturq. Niektorych takie stwierdzenie moze zaniepokoie, poniewaZ utwierdzili siy w przekonaniu, ze nie Sq w stanie zrozumiee zadnej matematyki, i to na najbardziej nawet elementarnym poziomie. JakZe mogy ich zachycae - zapytajq - do proby zrozumienia sensu poszukiwan istoty teorii fizycznych, kiedy oni nie Sq w stanie poradzie sobie nawet z najprostszymi dzialaniami na ulamkach? Istotnie, z tym jest pewien klopot. Pomimo to jestem optymistq, jesli chodzi 0 mozliwose porozumienia siy miydzy nami. Bye moze jestem optymistq nieuleczalnym. Zastanawiam siy, czy ci
Przedmowa
XIV
czytelnicy, kt6rzy utrzymuj,!, ie nie S,! w stanie poradzic sobie z ulamkami, trochy samych siebie nie oszukuj,!, poniewaz spora ich czysc z pewnosci,! posiada w tym wzglydzie mozliwosci, z jakich nie zdaj,! sobie sprawy. lestem pewien, ze s,! wsr6d nich tacy, kt6rzy na widok szeregu matematycznych symboli, jakkolwiek prosto podanych, widz,! tylko surow'! twarz rodzica lub nauczyciela, kt6ry usiluje wymusic na nich udzial w jakims konkursie papuziego recytowania niezrozumialych formul - obowi,!zek i tylko obowi,!zek - i nie dostrzegaj'! ani sladu magii czy uroku tego przedmiotu, jakie, przy wlasciwym podejsciu, moglyby siy ujawnic. Byc moze dla niekt6rych juz jest za p6zno; niemniej pozostajy optymist'! i wierzy, ze wiele os6b, nawet wsr6d tych, kt6re nigdy nie opanowaly sztuki dzialan na ulamkach, potrafi uchwycic slady tego cudownego swiata, kt6ry powinien byc r6wniez i dla nich dostypny. ledna z serdecznych przyjaci6lek mojej mamy, jeszcze z czas6w szkolnych, r6wniez nie byla w stanie dae sobie rady z ulamkami. Opowiedziala mi 0 tym sarna, kiedy juz zakonczyla znakomit'! kariery artystki baletowej. Bylem w6wczas mlody i nie do konca oddalem siy jeszcze matematyce, ale juz uwazano mnie za kogos, komu ta dziedzina sprawia przyjemnosc. "To wszystko przez to upraszczanie" wyznala - "nigdy nie potrafilam poj,!c, na czym to polega". Byla to elegancka i bardzo inteligentna kobieta i nie mialem najmniejszej w'!tpliwosci, ze zdolnosci umyslowe osoby, kt6ra potrafi po mistrzowsku opanowac zawilosci choreografii, z pewnosci,! nie S,! mniejsze niz te, jakich wymaga rozwi,!zywanie problem6w matematycznych. Na tej podstawie, grubo przeceniaj,!c moje talenty dydaktyczne, podj,!lem, jak wielu innych przede mn,!, pr6by wytlumaczcnia jej prostoty i logicznego charakteru procedury "upraszczania". Przypuszczam, ze moje wysilki okazaly siy w r6wnym stopniu bezowocne jak wysilki moich poprzednik6w. (Przypadkiem tak siy sklada, ze jej ojciec byl wybitnym geologiem i czlonkiem Towarzystwa Kr6lewskiego, musiala wiyc miec wystarczaj,!ce przygotowanie do rozumienia zagadnien z zakresu nauk przyrodniczych. Moze to 6w czynnik "surowej twarzy" zdecydowal 0 jej negatywnym stosunku do tych spraw?) 1ednakie zastanawiam siy, czy w jej przypadku, tak jak i wielu innych, nie zachodzila jakas bardziej racjonalna przeszkoda, kt6rej, przy calej mojej matematycznej nonszalancji, nie bylem w stanie zauwaiyc. Albowiem rzeczywiscie tkwi w tym glybszy problem, kt6ry napotykamy nieustannie w matematyce i fizyce, i z kt6rym po raz pierwszy stykamy siy w przypadku niewinnej na poz6r operacji upraszczania wsp6lnego czynnika w liczniku i mianowniku zwyklego ulamka. Osoby, dla kt6rych upraszczanie ulamk6w, dziyki wielokrotnemu powtarzaniu tych operacji, stalo siy drug,! natur,!, mog,! nie zdawae sobie sprawy z trudnosci, kt6ra kryje siy za tymi z pozoru banalnymi dzialaniami. Bye moze wlasnie ci, dla kt6rych upraszczanie okryte jest mgl,! tajemnicy, dostrzegaj,! lepiej ten powazny problem. Co to za problem? Dotyka on samej istoty sposobu, w jaki matematycy nadaj,! byt matematycznym pojyciom, i stosunku, w jakim te pojycia pozostaj,! do fizycznej rzeczywistosci.
Przedmowa
Przypominam sobie swoje zaskoczenie, kiedy nauczyciel zadal nam pytanie, czym naprawdt( jest ulamek (na przyklad ~) - mialem wawczas okolo lllat! Pojawialy sit( razne sugestie, na przyklad dotycz'1ce podzialu tortu na kawalki i temu podobne, ale nauczyciel odrzucal te wyjasnienia na (slusznej) podstawie, ze one jedynie odnosz'1 sit( do nieprecyzyjnej sytuacji fizycznej, do ktarej precyzyjne matematyczne pojt(cie ulamka moze bye zastosowane; nie tiumacz'1 nam jednak wcaIe, jaka naprawdt( jest matematyczna trese tego pojt(cia. Byly tez i inne propozycje, na przyklad taka, ze ~ to jest "cos takiego z liczb '1 3 na garze i liczb '1 8 na dole, z lini'1 poziom'1 pomit(dzy nimi" i bylem naprawdt( zdziwiony, kiedy zauwaiylem, ze nauczyciel traktuje te pomysly calkiem serio! Dzisiaj juz nie pamit(tam, jak ta sprawa zostala ostatecznie rozstrzygnit(ta, ale na bazie moich doswiadczen i przemyslen jako studenta matematyki domyslam sit(, ze maj nauczyciel podj'1l odwazn'1 probt( zdefiniowania nam istoty ulamka na podstawie bardziej przystt(pnego pojt(cia Idasy r6wnowaznosci. Co to za pojt(cie? I w jaki sposob moze bye zastosowane do wyjasnienia, czym naprawdt( jest ulamek? Zacznijmy od propozycji mojego kolegi szkolnego, ze "jest to cos, co rna 3 na gorze i 8 na dole". Sugeruje nam w ten sposob, ze ulamek moze bye opisany uporz'1dkowan'1 par'1 liczb calkowitych, w tym przypadku 3 i 8. Z pewnosci'1 jednak nie mozemy powiedziee, ze dany ulamek jest tak '1 wlasnie par'1, gdyz na przyklad l~ jest t'1 sam'1 liczb '1 co~, podczas gdy para (6,16) z pewnosci '1 nie jest t'1 sam'1 par'1 co (3, 8). Tu wlasnie kryje sit( sens upraszczania, poniewaz mozemy l~ zapisae jako ~~~, uproscie przez czynnik 2 na gorze i na dole i uzyskae~. Dlaczego wolno nam tak zrobie i "zrownae" w pewnym sensie part( (6, 16) z par'1 (3, 8)? Matematyk nam na to odpowie - i bt(dzie to wygl'1dalo na uchylanie sit( od odpowiedzi - ze procedura upraszczania jest wbudowana w definicjy ulamka: kazd '1 pary liczb calkowitych (a x n, b x n) bt(dziemy uwazali za przedstawiciela tego samego ulamka co para (a, b), gdy n bt(dzie dowoln'1 liczb '1 calkowit'1 razn'1 od zera (i gdzie b tez nie moze bye zerem). Ale nawet w ten sposob nie odpowiadamy na pytanie, czym naprawdy jest ulamek; jedynie pokazujemy, jak moze bye przedstawiony. Czym wit(c jest ulamek? Posluguj'1c sit( pojt(ciem "klasy rownowaznosci", mozemy powiedziee, ze ulamek ~ przedstawia nieskonczon'1 kolekcjt( par liczb
(3,8), (-3, -8), (6, 16), (-6, -16), (9, 24), (-9, -24), (12,32), ... , przy czym kazda para moze bye uzyskana z kazdej innej pary z tej listy za pomoc'1 opisanej wlasnie procedury upraszczania *. Dla kompletnosci potrzebujemy juz tylko definicji okreslaj'1cych, jak mamy dodawae, odejmowae i mnoiye takie nieskonczone zbiory par liczb calkowitych zakladaj'1c, ze obowi'1zuj'1 reguly zwyklej alge* Ttt listtt nazywamy "klasq r6wnowaznosci", poniewaz jest to klasa element6w (elementami w tym przypadku Sq pary liczb calkowitych), w kt6rej kazdy element jest w pewnym sensie uwazany za r6wnowazny kazdemu innemu.
x:v
Przedmowa
XVI
bry. Musimy tei powiedziec, jak naleiy identyfikowac liczby calkowite jako szczegolny przypadek ulamkow. Taka definicja obejmuje wszystko, co trzeba wiedziec, aby poslugiwac sii( ulamkami w matematyce (na przyklad, ie ~ to taka liczba, ktora dodana do samej siebie daje w wyniku liczbi( 1 itd.), a operacja upraszczania, jak widzielismy, zawarta jest jui w tej definicji. lednakie wszystko to wydaje sii( bardzo formalne i mamy prawo w'!tpic, czy taka definicja pozwala na intuicyjne zrozumienie tego, czym jest ulamek. Aczkolwiek poslugiwanie sii( poji(ciem klasy rownowainosci, czego opisana procedura jest szczegolnym przypadkiem, stanowi poti(ine matematyczne narzi(dzie do ustalenia konsystencji i istnienia w sensie matematycznym, jednak z trudem pozwala nam intuicyjnie zrozumiec, co to jest ~! Trudno wii(c dziwic sii(, ie przyjaciolka mojej matki nie mogla sobie z tym poradzic. W moim opisie poji(C matematycznych bi(di( sii( staral w miari( moiliwosci unikac tego rodzaju matematycznej pedanterii, ktora prowadzi do definiowania ulamkow w terminach "nieskonczonej klasy par", choc taka definicja odznaczalaby sii( precyzj,! i scislosci,! matematycZll,!. W moim opisie bi(di( bardziej troszczyl sii( 0 intuicyjne przekazanie idei oraz urody i magii zawartych w wielu wainych poji(ciach matematycznych. 6w ulamek ~ moina przedstawic nasti(puj,!co: jest to element, ktory dodany do siebie 8 razy daje w wyniku 3. Urok polega na tym, ie ta idea odpowiada rzeczywistosci, pomimo ie w swiecie fizycznym na ogol nie mamy do czynienia z rzeczami dosti(pnymi w ilosciach ulamkowych, a przyslowiowe kawalki tortu tylko w sposob przybliiony oddaj,! to, 0 co chodzi. (Inaczej jest w przypadku liczb naturalnych, takich jak 1, 2, 3, gdyi one scisle odpowiadaj,! przedmiotom dosti(pnym w otaczaj,!cym nas swiecie.) 0 tym, ie poji(cie ulamka jest logicznie spojne, moiemy przekonac sii(, wykorzystuj,!c opisan,! "definicji(" podan,! w ji(zyku nieskonczonej kolekcji par liczb calkowitych. To jednak nie oznacza, ie ulamek ~ jest tak,! wlasnie kolekcj,!. lui lepiej myslec 0 ~ jako 0 pewnym bycie w sensie platonskim, istniej,!cym samoistnie, i 0 tym, ie nieskonczona kolekcja par jest dla nas wyl,!cznie konstrukcj,! pozwalaj,!c
Przedmowa
teoria wzgll(dnosci Einsteina czy teoria cechowania, ktore opisuj,! sHy przyrody zgodnie ze wsp6lczesn'! fizyk,! cz,!stek elementarnych. W fizyce wsp6lczesnej nie da sil( unikn,!c stanil(cia twarz'! w twarz z subtelnosciami bardzo wymyslnej matematyki. Z tego wlasnie powodu pierwszych 16 rozdzial6w tej ksi,!zki poswil(cilem przedstawieniu idei matematycznych. C6Z mogl( doradzic czytelnikowi, ktory zechce podj,!c ten trud? Ksi,!zkl( tl( mozna czytac na czterech r6znych poziomach. Byc moze ty jestes takim czytelnikiem, z jednego korka skali, kt6ry po prostu odwraca sil(, kiedy przed jego oczami pojawi sil( jakas formula matematyczna (i tu, zapewne, znajd,! sil( czytelnicy, ktorzy maj,! trudnosci z ulamkami). Rowniez w takim przypadku mozesz wiele dowiedziec sil( z tej ksi,!zki, po prostu pomijaj,!c formuly matematyczne i czytaj,!c zapisany pomil(dzy nimi tekst. Bl(dziesz wtedy postl(powal tak, jak ja to robilem w dziecinstwie, kiedy przegl,!dalem czasopisma przeznaczone dla szachist6w rozrzucone po domu rodzicow. Moi rodzice i bracia pasjonowali sil( szachami, mnie one nie interesowaly, ale lubilem czytac 0 przygodach szachist6w - owych wyj,!tkowych ludzi, kt6rzy poswil(cili sitt tej grze. Dowiadywalem sitt ciekawych rzeczy 0 blyskotliwych i kapitalnych posunil(ciach, mimo ze ich nie rozumialem i nawet nie pr6bowalem przebrn'!c przez notacjl( opisuj,!C'! poszczeg6lne pozycje. Bylo to zajl(cie frapuj,!ce, kt6re zajmowalo moj,! uwagl(. Podobnie mam nadziejtt, ze matematyczne relacje, ktore tu przedstawiam, bl(d,! w stanie przekazac cos interesuj,!cego i frapuj,!cego nawet czytelnikom najdalszym od matematyki, jesli tylko z ciekawosci,! i odwag,! zechc'! dol,!czyc do mnie w tej podr6Zy badania idei matematycznych i fizycznych, kt6re legly u podstaw naszego fizycznego swiata. Nie wahaj sil( pomin,!c r6wnania (ja sam CZttsto tak robiy), a nawet, jesli trzeba, calych rozdzial6w lub podrozdzial6w, gdy tylko zaczn'! bye zbyt uci'!iliwe czy pretensjonalne. Material w tej ksi,!zce jest bardzo zr6znicowany pod wzglttdem trudnosci i szczeg6low technicznych, i w innym miejscu moze siy okazac bardziej przyjazny i zachycaj,!CY. Mozesz wybrac techniktt przegl,!dania i smakowania tu i tam. W tekscie jest wystarczaj'!co duzo wzajemnych odsylaczy, kt6re pozwalaj,! dostatecznie oswietlic nieznane pojttcia i latwo je odnaleic dzittki powrotowi do nieprzeczytanych wczesniej fragment6w. Na drugim poziomie znajd,! sil( czytelnicy potrafi'!cy zrozumiec formuly matematyczne, ale kt6rzy nie maj,! ochoty (lub czasu), aby sam emu przekonac sil( o prawdziwosci wniosk6w, jakie z nich wyci,!gam. Potwierdzenie wielu z tych wniosk6w mozna znaleic, rozwi¥uj,!c ewiczenia, jakie rozrzucilem w matematycznej cZl(sci tekstu. Pozwolilem sobie zaznaczyc trzy stopnie trudnosci tych ewiczen: ~ -
bardzo proste
1m -
wymagaj,! chwili namyslu
~
- nieco trudniejsze.
Bttdzie jednak rzecz'! calkiem rozs'!dn'! przyj,!c te stwierdzenia na wiary i czytelnik w ten spos6b nie straci ci,!glosci w rozumieniu dalszego tekstu.
XVII
Przedmowa
Jesli jednak ktos chcialby wiycej skorzystae z tych roznych i waznych pojye matematycznych, ale czuje siy slabo obznajomiony z przedstawianymi ide ami, wowczas praca nad tymi ewiczeniami bydzie dla niego znaczqcq pomocq w ich opanowaniu. Z matematykq zawsze tak jest, ze niewielki wlasny wysilek samodzielnego przemyslenia spraw daje duzo wiyksze efekty niz tylko sarno 0 nich czytanie. W koncu jesteS bye moze ekspertem, ktory nie rna trudnosci z matematykq (i wiykszose tego, 0 czym tu piszy, moze bye ci juz wczesniej znana), a w takim razie nie zechcesz tracie czasu na te ewiczenia. Wtedy bydziesz mogl skorzystae z moich wlasnych przemyslen na temat wielu spraw, ktore mogq siy okazae nieco odmienne (a czasami nawet bardzo odmienne) od obiegowych poglqdow. Mozesz bye ciekaw moich poglqdow dotyczqcych wielu wspolczesnych teorii, takich jak na przyklad supersymetrie, kosmologia inflacyjna, natura Wielkiego Wybuchu, czarne dziury, teoria strun czy teoria M, zmienne pytlowe w kwantowej grawitacji, teoria twistorow, a nawet samych podstaw mechaniki kwantowej. Nie wqtpiy, ze w wielu przypadkach nie bydziesz siy ze mnq zgadzal. Jednakze kontrowersje Sq waznq czysciq naukowego poznania, dlatego nie waham siy prezentowae poglqdow, ktore mogq nieco odbiegae od glownych prqdow wspolczesnej fizyki teoretycznej. Mozna powiedziee, ze ta ksiqzka jest 0 relacjach miydzy matematykq a fizykq i 0 tyrn, jak mocno wzajemne oddzialywanie tych dwu dziedzin wiedzy stymuluje nasze poszukiwania lepszej teorii Wszechswiata. Zasadniczym czynnikiem stymulujqcym wiele z tych wspolczesnych poszukiwan jest dostrzezenie ich matematycznej urody, jej glybi i wyrafinowania. Jest oczywiste, ze tego rodzaju stymulacje matematyczne mogq miee ogromne znaczenie, tak jak przy wiykszosci odkrye XX wieku: odkryciu rownania Diraca opisujqcego relatywistyczny ruch elektronu, ogolnych ram mechaniki kwantowej, ogolnej teorii wzglydnosci Einsteina. We wszystkich tych przypadkach dopiero rozwazania fizyczne - glownie argumenty z obserwacji - dostarczaly przekonujqcych kryteriow do ich przyjycia. JednakZe w przypadku wielu wspolczesnych idei, majqcych zasadnicze znaczenie dla naszych prob zrozumienia praw WszechSwiata, adekwatne kryteria fizyczne - dane doswiadczalne, a nawet sarna mozliwose doswiadczalnego badania - Sq niedostypne. Dlatego mamy prawo pytae, czy dostypne narzydzia i dezyderaty matematyczne Sq wystarczajqce, abysmy mogli chociazby tylko ocenie szanse przydatnosci tych koncepcji? Jest to sprawa delikatna i dlatego bydy staral siy podnosie kwestie. ktore nie zostaly dostatecznie przedyskutowane gdzie indziej. Chociaz w niektorych miejscach bydy przedstawial opinie, ktore mogq bye uznane za kontrowersyjne, staram siy to zawsze sygnalizowae, by czytelnik mial swiadomose tego, na co sobie pozwalam. Dlatego ta ksiqzka moze bye rzeczywiscie traktowanajako wlasciwy przewodnik do poznania glownych idei (i dziwow) wspolczesnej fizyki. Mozna jq wiyc wykorzystae w szkolach roznego szczebla jako uczciwy wstyp do wspolczesnej fizyki teoretycznej - przedmiotu niezle juz dzisiaj rozumianego.
PodziQkowania JEST rzeczq naturalnq, ze w przypadku ksiqzki tych rozmiarow Uej napisanie zajylo mi okolo osmiu lat) znajdzie siy wiele osob, ktorym winien jestem wdziycznosc. Z pewnosciq wsrod nich bydzie znaczna liczba tych, ktorych wartosciowy wklad z winy mojego braku wlasciwej organizacji i zawodnej pamiyci - pozostanie niezauwazony. Dlatego moje przeprosiny i szczegolne wyrazy wdziycznosci kierujy do tych, ktorzy wielkodusznie udzielili mi swojej pomocy, ale ich nazwiska nie przychodzq mi teraz na mys!. Ci, ktorych wklad mocniej utkwil mi w pamiyci (i latwiej jest mi wskazac zagadnienia, przy ktorych okazali mi swojq pomoc), to: Michael Atiyah, John Baez, Michael Berry, Dorje Brody, Robert Bryant, Hong-Mo Chan, Joy Christian, Andrew Duggins, Maciej Dunajski, Freeman Dyson, Artur Ekert, David Fowler, Margaret Gleason, Jeremy Gray, Stuart Hameroff, Keith Hannabuss, Lucien Hardy, Jim Hartle, Tom Hawkins, Nigel Hitchin, Andrew Hodges, Dipankar Home, Jim Howie, Chris Isham, Ted Jacobson, Bernard Kay, William Marshall, Lionel Mason, Charles Misner, Tristan Needham, Stelios Negrepontis, Sarah Jones Nelson, Ezra (Ted) Newman, Charles Oakley, Daniel Oi, Robert Osserman, Don Page, Oliver Penrose, Alan Rendall, Wolfgang Rindler, Engelbert Schiicking, Bernard Schutz, Joseph Silk, Christoph Simon, George Sparling, John Stachel, Henry Stapp, Richard Thomas, Gerard 't Hooft, Paul Tod, James Vickers, Robert Wald, Rainer Weiss, Ronny Wells, Gerald Westheimer, John Wheeler, Nick Woodhouse i Anton Zeilinger. Na szczegolnq mojq wdziycznosc zasluiyli Lee Smolin, Kelly Stelle i Lane Hughston; na rozne sposoby okazali mi wielkq pomoc. Florence Tsou (Sheung Tsun) jestem zobowiqzany za ogromny wklad w sprawach dotyczqcych fizyki cZqstek elementarnych, Fay Dowker za pomoc przy roznych zagadnieniach, ale w szczegolnosci za przedstawienie pewnych spraw z dziedziny mechaniki kwantowej. Dziykujy Subir Sarkar i Vahe Gurzadyanowi za informacje dotyczqce danych kosmologicznych i ich interpretacjy, a Vahe Gurzadyanowi takze za wyniki jego kosmologicznych badan dotyczqcych ogolnej geometrii Wszechswiata. Abhayowi Ashtekarowi jestem wdziyczny za spojne przedstawienie mi teorii zmiennych pytlowych, a takZe wielu szczegolowych informacji dotyczqcych teorii strun. Dziykujy the National Science Foundation za granty: PHY 93-96246 i 00-90091, oraz Leverhulme Foundation za przyznanie mi dwuletniego stypendium Leverhulme Emeritus Fellowship w latach 2000-2002. Wielkie znaczenie dla pracy nad
Podzi~kowania
t'l ksiq.zk'l mialo zatrudnienie mnie w Gresham College London (1998-2001), w The Center for Gravitational Physics and Geometry na Uniwersytecie Stanu Pensylwania, jak rowniez pomoc sekretarska (szczegolnie Ruth Preston) i miejsce do pracy w Instytucie Matematycznym Uniwersytetu Oksfordzkiego. Bezcenna byla rowniez pomoc ze strony wydawcy wobec sztywnych limitow czasowych i w przypadku kiepsko zorganizowanego autora 0 tylu zlych nawykach. Niezwykle istotna byla rola Eddiego Mizziego, ktory zainicjowal pract( nad przeksztalceniem moich chaotycznych notatek w ksiq.zky, oraz Richarda Lawrence'a, bez ktorego fachowej skutecznosci, cierpliwosci i uporczywych nalegan nie ukonczylbym tej pracy. John Holmes wykonal rzeteln'l pracy opracowania odpowiedniego indeksu. J estern szczegolnie zobowiqzany Williamowi Shaw za pomoc w przygotowaniu swietnych grafik komputerowych (rys. 1.2 i 2.19 oraz zastosowanie transformacji niezbydnych do wykonania rys. 2.16 i 2.19), wykorzystanych przy prezentacji zbioru Mandelbrota i plaszczyzny hiperbolicznej. Jakiekolwiek podziykowania zlozone Jacobowi Fosterowi za jego herkulesow'l pracy w odszukaniu i uporz'ldkowaniu bibliografii, sprawdzaniu i przeszukiwaniu calego maszynopisu w niezwykle krotkim czasie, uzupelnieniu mnostwa brakow - nie oddadz'l mego dlugu. Rownie nieoceniony jest jego wklad w liczne przypisy. Rzecz jasna, zadna z osob, ktorym tutaj dziykujy, nie ponosi odpowiedzialnosci za wszystkie pozostale blydy czy opuszczenia. Szczegolne wyrazywdziycznosci naleZ'l siy The M.e. Escher Company z Holandii za zgody na reprodukcjy prac Eschera na rys. 2.11, 2.12, 2.16 i 2.22, a specjalnie na modyfikacjy rys. 2.11, jaka nastypnie zostala wykorzystana przy sporz'ldzaniu rys. 2.12 i 2.16, przy czym ten ostatni rysunek jest jawn~ transformacj~ matematyczn'l poprzedniego. Wszystkie prace Eschera maj'l copyright (2004) The M.e. Escher Company. Dziykujy rowniez Instytutowi Fizyki Teoretycznej Uniwersytetu w Heidelbergu oraz Charlesowi H. Lineweaverowi za zgody na reprodukcjy odpowiednich grafik na rys. 27.19 i 28.19. W koncu niezmierna wdziycznosc naleiy siy mojej ukochanej zonie Vanessie, nie tylko za wykonywanie na z'ldanie i natychmiast grafik komputerowych (rys. 4.1,4.2,5.7.6.2-6.8,8.15,9.1,9.2,9.8,9.12, 21.3b, 21.10, 27.5, 27.14, 27.15 oraz rysunki wieloscianow na rys. 1.1), lecz takZe za jej milosc i nieustaj'lC'l troskliwosc, za glybokie zrozumienie i cierpliwosc przez wszystkie te lata spydzone z myzem myslami tylko w polowie obecnym. Rowniez Maxowi, ktory przez cale swoje iycie mial szansy znac ojca tylko w stanie ci'lglego roztargnienia, nalez'l siy serdeczne slow a wdziycznosci - nie tylko za to, ze spowolnil pisanie tej ksi'lzki (przedluzaj'lC w ten sposob jej iycie na tyle, ze moglem w niej umiescic przynajmniej dwie niezwykle istotne informacje, co nie byloby mozliwe w przeciwnym wypadku) ale za jego nieustaj'lCY dobry humor i zarazliwy optymizm, ktore pozwalaly mi na komfort pracy z pogod'l ducha. Wszak w ostatecznym rachunku to dziyki odradzaniu siy iycia, ktore on ucielesnia, powstaje natchnienie dla idei i pomyslow umozliwiaj'lcych dalszy postyp na drodze poszukiwan glybszych praw, naprawdr,? rZ'ldz'lcych Wszechswiatem, w jakim iyjemy.
Notacja (CZYfELNIK powinien pomin,!c ten rozdzial, dop6ki nie zapozna siy z odpowiednimi pojyciami i dop6ki nie bydzie mial wrazenia, ze uiywane oznaczenia s,! myl,!ce lub niewystarczaj'!co zrozumiale). Staralem siy byc bardzo konsekwentny, uiywaj,!c sp6jnej notacji i odpowiednich font6w, jednakZe nie wszystkie s,! standardowe i dlatego warto wyjasnic reguly, jakich staralem siy przestrzegac. Litery pi sane zwykl,! kursyw'! (greckie lub lacinskie), takie jak w wyrazeniach typu w2 ,pn, In z, cos e, e iO lub eX, oznaczaj'! konwencjonalne zmienne matematyczne, liczbowe lub skalarne; ale powszechnie uiywane stale liczbowe, takie jak e, i lub 1I, alba zwykle funkcje, takie jak sin, cos lub In, pisane s,! prostym tekstem, natomiast stale fizyczne, takie jak c, G, h, fl, g lub k, zapisane s,! kursyw'!. Wielkosci wektorowe lub tensorowe, kiedy myslimy 0 nich jako (abstrakcyjnej) calosci, oznaczam pogrubion,! kursyw'!, na przyklad R dla oznaczenia tensora krzywizny Riemanna, natomiast kiedy zapisujemy ich zbi6r skladowych, uiywamy kursywy (zar6wno dla gl6wnego symbolu,jak i dla wskaznik6w), a wiycRabed. Zgodnie z zapisem abstrakcyjno-wskaznikowym wprowadzonym w rozdz. 12.8, wielkosc R abed , w przypadku gdy taka interpretacja jest wlasciwa, moze tez oznaczac caly tensor R, ale musi to jasno wynikac z tekstu. Abstrakcyjne transformacje liniowe maj,! r6wniez charakter tensorowy i dlatego dla nich tez uiywam pogrubionej kursywy, na przyklad T. Dla takich wielkosci uiywam tez abstrakcyjno-wskaznikowej notacji Tab' W kt6rej naprzemienne wskazniki precyzyjnie wskazuj,! porz'!dek mnozenia macierzowego. Zatem (abstrakcyjno-)wskaznikowe wyrazenie sabTbc oznacza iloczyn ST transformacji liniowych. W przypadku dowolnych tensor6w alternatywnie (w zaleinosci od kontekstu alba kiedy to jest specjalnie zaznaczone) uiywane S,! symbole typu sa b i The dla oznaczenia zbioru skladowych - kt6re s,! maCielZami - albo proste pogrubione litery SiT. Ich iloczyn macierzowy zapisujy jako ST. Ta "dwuznaczna" interpretacja symboli takich jak R abed czy sa b (kiedy raz traktujemy je jako zbi6r skladowych, a kiedy indziej jako abstrakcyjne oznaczenie tensor a) nie powinna wywolac zamieszania, poniewaZ zar6wno algebraiczne, jak i r6zniczkowe relacje pomiydzy tymi wielkosciami s,! identyczne w obu przypadkach. Czasami uiywam tez trzeciej formy zapisu tych wielkosci - zapisu grajiczne-
Notacja
ktory opisany jest na rys. 12.17, 12.18, 14.6, 14.7, 14.21, 19.1 i w innych miejscach ksiqzki. Wielokrotnie powstaje koniecznose odroznienia wielkosci 4-wymiarowych, wystypujqcych w czasoprzestrzeni teorii wzglydnosci, od odpowiednich 3-wymiarowych wielkosci przestrzennych. W przypadku wielkosci 4-wymiarowych uZywam wiyc pogrubionej kursywy, jak pix, podczas gdy dla wielkosci 3-wymiarowych rezerwujy litery pogrubione proste - pix. W analogii do zapisu T jako macierzy, w odroznieniu od T jako abstrakcyjnej transformacji liniowej, wielkosci pix bydq uiywane raczej dla oznaczenia trzech skladowych przestrzennych, podczas gdy p ix raczej jako wielkosci abstrakcyjne, w oderwaniu od skladowych (aczkolwiek regula ta nie jest zbyt surowo przestrzegana). Euklidesowq dlugose wielkosci 3-wektorowej a = (a" a2 , a3 ) zapisujemy jako a, gdzie a 2 = a~ + a~ + a~, a iloczyn skalarny a z wektorem b = (b l , b2, b) jako a • b = alb l + a 2b2 + a 3b3• Taki zapis "z kropkq" odnosi siy rowniez do wielkosci n-wymiarowych, w przypadku iloczynu skalarnego (lub wewnytrznego) a • ? kowektora a z wektorem ? Komplikacje pojawiajq siy jednak w zwiqzku z mechanikq kwantowq, poniewaz istnieje tendencja przedstawiania wielkosci fizycznych jako operatorow liniowych. W tej ksiqzce nie podporzqdkowujy siy standardowej notacji, ktora pol ega na tym, ze klasyczne wielkosci fizyczne odrozniamy od odpowiadajqcych im operatorow mechaniki kwantowej przez umieszczenie "daszka" nad odpowiedniq literq, poniewaz w moim odczuciu prowadzi to do zbytecznego nadmiaru symboli. Moim zdaniem wielkosci kwantowe i klasyczne Sq "tymi samymi wielkosciami fizycznymi", a wiyc mozemy je opisywae tymi samymi literami, z tq roinicq, ie w fizyce klasycznej zaniedbujemy wielkosci rZydu ft, w zwiqzku z czym w fizyce klasycznej zachowana jest relacja ab = ba, podczas gdyw fizyce kwantowej ab moie siy roinie od ba 0 wielkose rZydu n.) Konsekwentnie takie operatory liniowe powinny bye oznaczane pogrubionq kursywq (jak T), jednakie rodziloby to sprzecznose z rozroinieniem zaproponowanym w poprzednim akapicie. W takim razie w odniesieniu do wielkosci takich jak pydy p lub p, alba polozenia x lub x, bydy siy staral uiywae takich samych oznaczen jak w przypadku klasycznym, w zgodzie z tym, co lOstalo przedstawione w poprzednim akapicie. Wobec mniej popularnych operatorow kwantowych uiywae bydy zas pogrubionej kursywy, na przyktad Q. W matematyce standardowo stosuje siy, odpowiednio, litery N, 2:, JR, C i IF'q do oznaczenia zbioru liczb naturalnych (tzn. nieujemnych liczb catkowitych), liczb calkowitych, liczb rzeczywistych, liczb zespolonych i cial skonczonych q-elementowych (q jest pewnq potygq liczby pierwszej; lOb. rozdz. 16.1); podobnie jak W, 2:", JR", e i IF'; dla uporzqdkowanych n-ek takich liczb. Sq to kanoniczne wielkosci matematyczne uiywane standardowo. W tej ksiqice (co nie jest tak rzadkie) notacja ta lOstala zastosowana rowniei: w odniesieniu do innych standardowych struktur matematycznych, takich jak 3-przestrzen Euklidesa lEllub, bardziej ogolnie, euklidesowe n-przestrzenie ]E". Wielokrotnie uiywam litery M dla oznaczenia zwyklej plaskiej 4-wymiarowej czasoprzestrzeni Minkowskiego, ktora sarna
go -
XXII
Notacja
jest przestrzeniq "pseudoeuklidesowq". Podobnie M" oznacza jej n-wymiarowq wersjy - lorentzowskq czasoprzestrzen z 1 wymiarem czasowym i (n - 1) wymiarami przestrzennymi. Czasami stosujy symbol C przymiotnikowo dla oznaczenia procesu "kompleksyfikacji", a wiyc na przyklad zespolonq 4-przestrzen euklideSOWq oznaczam jako ClE". Podobnie przymiotnikowo uiywam litery lP' dla zaznaczenia, ze mamy do czynienia z wariantem "rzutowym" (zob. rozdz. 15.6). Rzeczownikowo oznaczam tq literq n-przestrzenie rzutowe, takie jak lP'n, rowniez w poiqczeniach takich jak lRlP''' lub ClP'n, aby zaznaczye, ze mowimy 0 rzeczywistej lub zespolonej n-przestrzeni rzutowej. W teorii twistorow (rozdz. 33) wystypuje zespolona 4-przestrzen T, ktora jest zwiqzana kanonicznie z M (lub z jej kompleksyfikacjq CM), a takZe jej rzutowa wersja lP'T. W teorii tej pojawia siy rowniez przestrzen twistorow zerowych N (podwojna rola tego znaku nie powinna prowadzie tutaj do nieporozumien) oraz jej wersja rzutowa lP'N. Przymiotnikowa rola znaku C nie powinna prowadzie do mylenia jej ze znakiem "bezszeryfowym" C, ktory oznacza "sprzyzony zespolony" Uak w rozdz. 13.1, 2). Jest to uZycie w zasadzie podobne do tego w teorii czqstek elementarnych, w ktorej oznaczamy w ten sposob operacjy splZ~zenia ladunkowego; dokonuje ona zamiany czqstki w antyczqstky (zob. rozdz. 25, 30). Operacja ta wystypuje zwykle w polqczeniu z dwiema innymi podstawowymi operacjami fizyki cZqstek elementarnych, a mianowicie P, tzn. operacji parzystosci, ktora oznacza odbicie zwierciadiane, oraz T, ktora oznacza odbicie w czasie. Pogrubione znaki bezszeryfowe sluzq rowniez dla innych celow, mianowicie dla oznaczenia wielkosci wektorowych V, W i H. Znaku H uiywam standardowo dla oznaczenia przestrzeni Hilberta w mechanice kwantowej, ktora jest n-wymiarowq przestrzeniq zespolonq. Przestrzenie wektorowe Sq, w scislym sensie tego slowa, plaskie. Przestrzenie, ktore Sq (lub mogq bye) zakrzywione, oznaczam literami pisanymi M, S lub T. Szczegolny symbol /7 zachowujy dla oznaczenia niesk011czonosci zerowej. Wreszcie stosujy siy do popularnej konwencji, ktora nakazuje uiywae pisanych znakow .c i 1i dla oznaczenia lagranzjanow i hamiltonianow w celu podkreslenia ich szczegolnej roli w fizyce teoretycznej.
Prolog byl zwierzchnikiem rzemieslnikow krolewskich i artystq 0 perfekcyjnych zdolnosciach. Owej gorqcej nocy spal w warsztacie na prowizorycznym lozu, zmyczony ciyzkq pracq tego wieczoru. lednakZe sen mial niespokojny, bye moze skutkiem jakiegos niewytlumaczalnego napiycia wyczuwalnego w powietrzu. I rzeczywiscie, nie mial wcale pewnosci, ze spal, kiedy to siy stalo. Nagle nastal dzien, podczas gdy jego kosci mowily mu, ze to wciqz jeszcze jest noc. Zerwal siy gwaltownie. Cos bylo nie tak. Swiatlo dnia nie moglo siy pojawie od strony polnocnej, tymczasem poprzez szerokie okno, wychodzqce na polnoc w strony morza, swiecilo cos groznego, ogromnego i czerwonego. Podszedl i wyjrzal przez okno, przyglqdajqc siy niezwyklemu zjawisku. Slonce jeszcze nigdy nie wschodzilo od strony polnocnej! Kilka dluzszych chwil minylo, zanim zdal sobie sprawy, ze to, co do niego dociera, nie moze bye swiatlem slonecznym: byl to odlegly strumien oslepiajqcego czerwonego swiatla, skierowany pionowo wprost z wody do nieba. Wtem zauwaZyl ciemnq chmury na czubku tego strumienia, nadajqcq calej strukturze ksztalt jakiegos gigantycznego parasola. Chmura blyszczala zlowrogo, wyrzucajqc z siebie jakqs dymiqcq, plonqcq materiy. 6w parasol stopniowo siy powiykszal i ciemnial- niczym jakis demon z podziemnego swiata. Noc byla pogodna, ale gwiazdy zaczyly znikae, polykane, jedna po drugiej, przez rozrastajqcego siy potwora z piekiel. Am-tep przez kilka minut nie byl w stanie siy poruszye, zaczarowany doskonalq symetriq tego obrazu i jego okrutnym piyknem. Nagle pod wplywem wichru potworna chmura zaczyla przechylae siy nieco w strony wschodniq. W tym momencie czar prysnql i ogarnyla go trwoga, gdyz poczul dziwne wstrzqsy podloza, ktorym towarzyszyly grozne, obce odglosy. Przerazony czlowiek nigdy przedtem nie byl swiadkiem tak okropnego gniewu bogow. Odruchowo zaczql siy zastanawiae, czy przypadkiem on sam nie byl przyczynq tego gniewu: dopiero co zakonczyl pracy nad czaszq ofiarnq i bardzo siy tym niepokoil. Moze przedstawiony na niej obraz boga-byka nie byl dostatecznie przerazajqcy? Czy bog nie poczul siy urazony? Szybko jednak uderzyla go absurdalnose takiego rozumowania. Furia, ktorej byl swiadkiem, nie mogla miee tak tryAM-TEP
Prolog
2
wialnej przyczyny i z pewnosciq nie byla skierowana specjalnie przeciwko niemu. Wiedzial co prawda, ze to oznacza klopoty w Wielkim Palacu. Krol-kaplan nie bydzie tracil czasu i od razu podejmie proby ulagodzenia demona. Niezbydne bydq ofiary. Tradycyjne owoce czy nawet zwierzyta nie wystarczq do przeblagania rozgniewanego b6stwa; konieczne bydq ofiary z ludzi. Nagle potyzny podmuch powietrza, po ktorym zerwal siy gwattowny wicher, rzucil go w tyl. Towarzyszyl temu okropny huk, ktory zupelnie go ogluszyl. Wiele jego przepiyknie zdobionych naczyn zostalo zmiecionych z polek i rozbitych 0 znajdujqcq siy za nim sciany. Gdy tak lezal na podlodze w odleglym kqcie pokoju, dokqd rzucil go straszny podmuch, wracajqc powoli do przytomnosci, zauwaZyl, ze caly jego warsztat obrocil siy w kupy gruzu. Porazil go widok jego ulubionych urn rozbitych na drobne kawalki, cudownych scen, ktorymi byly zdobione, teraz calkowicie zniszczonych. Am-tep podniosl siy niepewnie z podlogi i po chwili, z duszq na ramieniu, zbliZyI siy do okna, obserwujqc potworne sceny rozgrywajqce siy na morzu. Wyda10 mu siy, ze widzi jakqs nawalnicy, oswietlonq odleglym rubinowym swiatiem, nadciqgajqcq w jego strony. Ogromna sciana wody, za ktorq podqzaly fale niczym skalne urwiska, z wielkq szybkosciq zblizala siy do brzegu. Zamarl w bezruchu, patrzqc, jak fala rosnie i osiqga gigantyczne rozmiary. W koncu dopadla brzegu i natychmiast morze tuz przed nim wycofalo siy gwaltownie, pozostawiajqc na nowo powstalej plaZy szczqtki rozbitych statkow. Wtedy fala znalazla jeszcze jakqs nietkniytq niszy i uderzyla w niq z niewyobrazalnq sitq. Wszystkie okryty zostaly rozbite, a wiele pobliskich domow momentalnie rozpadlo siy na kawalki. Jego dom szczysliwie ocalal, bo chociaz fale osi,,!gnyly niebywal,,! wysokosc, stal na sporym wzniesieniu w wystarczaj"!cej odleglosci od morza. Wielki Palac tez ocalal. Am-tep przeczuwal jednak, ze najgorsze dopiero go czeka. Rozumial tylko tyle, ze zlozenie w ofierze jakiegos niewolnika nie wystarczy. Do usmierzenia gniewu tego okropnego boga trzeba czegos wiycej. Pomyslal o swoich synach i corkach i 0 nowo narodzonym wnuku. Nawet oni nie mogli siy czue bezpiecznie. Obawy Am-tepa byly w pelni uzasadnione. J uz wkrotce pewna mloda dziewczyna i chlopiec z dobrej rodziny zostali zabrani i doprowadzeni do pobliskiej swiqtyni, zbudowanej wysoko na zboczu gory. Podczas rytualu ofiarnego przyszlo nastypne uderzenie. Nast,,!pilwstrz,,!s 0 niesamowitej sile, sufit swi"!tyni run,,!l, grzebiqc pod sob,,! zarowno kaplanow, jak i ich przeblagalne ofiary. Jak siy okazalo, powstal w ten sposob naturalny grobowiec, okrywajqcy ich ciala - ktore spoczyly w rytualnej pozycji - na ponad trzy i pol tysi,,!ca lat! Zniszczenia byly okropne, ale nie kompletne. Na wyspie, na ktorej Zyl Am-tep i jego plemiy, wielu przeZylo trzysienie ziemi, aczkolwiek calkowitemu zniszczeniu ulegl Wielki Palac. Palac powoli odbudowano i nawet odzyskal wiele ze swojej oryginalnej wspanialosci. JednakZe Am-tep przysiqgl porzucic wyspy. Jego swiat zmienil siy nieodwracalnie. Dot,,!d panowala na nim Matka-Ziemia, przez tysi,,!c lat panowal
Prolog
pokoj, dobrobyt i rozkwitala kultura. Wspaniale rozwinyly siy sztuki piykne. Kwitl handel pomiydzy sqsiadujqcymi wyspami. Wielki Palac stanowil ogromny, z luksusem urzqdzony labirynt, prawdziwe miasto sarno w sobie, ze scianami zdobionymi wspanialymi freskami zwierzqt i roslin. Byl wyposazony w bieZqcq wody i doskonalq kanalizacjy. 0 wojnach nie slyszano i wydatki obronne byly zbydne. I nagle - rozumowal Am-tep - Matky-Ziemiy zaatakowalo cos obcego, przepelnionego nienawisciq. Uplynylo kilka lat, zanim Am-tep i jego rodzina mogli opuscic wyspy. Statek zbudowal jego najmlodszy syn, doskonaly ciesla i zeglarz. Podroz trwala wiele dni, ale pogoda byla znakomita. Pewnej pogodnej nocy Am-tep objasnial wnukowi, ktory okazal siy niezwykle wrazliwym dzieckiem, zainteresowanym wszystkim, co go otaczalo, rozmieszczenie gwiazd na firmamencie. I nagle zdal sobie sprawy z czegos niezmiernie dziwnego: Gwiazdy na niebie ani na jotf? nie zmienily swego p%ienia w stosunku do tego, ktore zajmowaly przed Katastrofq i pojawieniem sif? demona. Am-tep jako artysta znal dobrze polozenia gwiazd Z calq pewnosciq - rozumowal- te malutkie swiatelka na niebie przynajmniej trochy powinny siy przemiescic po gwaltownych wstrzqsach owej nocy, tak jak zniszczone zostaly jego wyroby i wspaniale urny. Rowniez ksiyZyc zachowal swoj poprzedni wyglqd, a jego droga po niebosklonie nie ulegla zadnej zmianie. Przez wiele sezonow ksiyZycowych tuz po Katastrofie na niebie dzialy siy dziwne rzeczy. Pojawialy siy ciemnosci i dziwne chmury, slonce i ksiyZyc czasami przyjmowaly niezwykle barwy, lecz teraz to wszystko juz minylo i ich ruchy pozostaly niezaklocone. Podobnie male gwiazdki na niebie: tkwily na miejscu. Am-tep zaczql rozumowac tak: jesli niebiosa tak niewiele robily sobie z Katastrofy, to musialy tam mieszkac bostwa znacznie potyzniejsze niz ow potworny demon. W takim razie dlaczego sily, zdolne kontrolowac demon a, mialyby siy przejmowac tym, co robiq mali ludzie na wyspie, ich rytualami i skladanymi ofiarami? Poczul siy zawstydzony swoim glupim podejrzeniem, ze jakis demon m6glby siy w ogole interesowac tym, co on umieszcza na swoich garnkach. Nadaljednak pytanie "dlaczego?" nie przestawalo go gnybic. Co to za sily kontrolujq swiat i dlaczego czasami wybuchajq gwaltownie w sposob, ktory wydaje siy calkiem niepojyty? Probowal rozwazac ty kwestiy ze swoim wnukiem, ale odpowiedzi nie bylo.
Minql wiek, minylo tysiqclecie, a odpowiedzi nadal nie bylo.
Rzemieslnik Amphos spydzil cale Zycie w tym samym malym miasteczku, w kt6rym Zyl jego ojciec, dziad i pradziadowie. Na Zycie zarabial, tworzqc przepiyknie zdobione zlote bransolety, kolczyki, naczynia ceremonialne i inne wytwory jego artystycznych talentow. Taka praca stanowila tradycjy w jego rodzinie przez
3
Prolog
4
prawie czterdziesci pokolen, nieprzerwanie przez jedenascie stuleci od czasu, gdy przodek Am-tep tam osiadl. JednakZe nie tylko zdolnosci artystyczne byly przekazywane z pokolenia na pokolenie. Problemy, kt6re myczyly Am-tepa, w takim samym stopniu nie dawaly spokoju Amphosowi. Historia Katastrofy, kt6ra zniszczyla star,! i pokojow,! cywilizacjy, byla przekazywana z ojca na syna. R6wnid: jego rozwazania na ten temat trwaly w pamiyci pokolen. Amphos rozumial, ze niebiosa S,! tak wielkie i nieodgadnione, ze nawet owo doniosle wydarzenie niewiele je obchodzilo, a przeciez Katastrofa zabila tylu ludzi, zniszczyla wspaniale miasta i swi'!tynie mimo skladanych ofiar i licznych rytual6w religijnych. Dlatego to wydarzenie musialo bye wynikiem dzialania jakichS ogromnych sit, calkowicie obojytnych wobec staran istot ludzkich. Natura owych zjawisk byla tak sarno nieznana w czasach Amphosa jak wepoce Am-tepa. Amphos badal budowy roslin, owad6w i innych malych stworzen, struktury skal. Jego doskonale oko i zmysl obserwacyjny swietnie sluiyly mu w pracy. Interesowal siy rolnictwem i byl zafascynowany tym, jak z ziarna wyrasta zboze i inne rosliny. Dryczylo go jednak, ze nigdzie nie znajdowal odpowiedzi na pytanie "dlaczego?". Byl przekonany, ze naprawdy gdzies glyboko jest ukryty sens tych wszystkich zjawisk, ale czul siy wobec nich bezsilny. Pewnej piyknej nocy obserwowal niebo i z polozenia gwiazd usilowal wyobrazie sobie, jak mog,! wygl,!dae ci bogowie i boginie, kt6rzy stworzyli konstelacje niebieskie. J ako artysta s,!dzil co prawda, ze uklady gwiazd nie przedstawialy ciekawych konfiguracji, on zaaranzowalby je lepiej. Dlaczego bogowie nie poukladali gwiazd w jakies bardziej intryguj,!ce formy? Pozornie wydawalo siy, ze ulozenie gwiazd przypomina raczej ziarna przypadkowo rozsypane przez rolnika niz jak,!s bosk,! struktury. I wtedy przyszla mu do glowy dziwna mysl: Nie szukaj przyczyny takiego a nie innego poloienia gwiazd ani innych rozproszonych obiektow; poszukaj raczej glfbszej uniwersalnej zasady, ktora kieruje ruchami cial. Amphos zdal sobie sprawy, ze porz,!dek rzeczy nie polega na tym, jak uloz'! siy nasiona rozrzucone na ziemi, lecz na cudownym sposobie, w jaki kazde nasionko rozwija siy w Zyw,! rosliny 0 zadziwiaj,!cej budowie, a kazda z nich okazuje siy podobna do drugiej. Nie pr6bujmy nadawae sensu figurom powstalym z rozsypanych ziaren, ale musi bye ukryty sens w tajemniczym sposobie, w jakim z kazdego nasionka wyrasta roslina i kazda z nich przechodzi podobne koleje losu. Prawa Natury musz'! miee naprawdy nadzwyczaj precyzyjn,! struktury, zeby to wszystko bylo mozliwe. Amphos doszedl do przekonania, ze bez precyzji w strukturze tych ukrytych praw nie bylby mozliwy porz'!dek swiata, podczas gdy ten porz,!dek przejawia siy niezbicie w tym, jak przyroda siy zachowuje. Musimy zatem precyzyjnie uporz'!dkowae nasze myslenie 0 tych sprawach, jeSli nie chcemy, aby nas zaprowadzilo na manowce. Tak siy zloiylo, ze Amphos uslyszal 0 jakims mydrcu, mieszkaj,!cym w innym zak,!tku ziemi, kt6rego pogl,!dy wydawaly siy zbiezne z jego wlasnymi. We-
Prolog
dJug tego mydrca nie mozna polegae na tradycyjnych naukach i poglqdach. Do tego, aby bye pewnym wartosci wlasnych sqdow, konieczne bylo precyzyjne wnioskowanie oparte na niekwestionowanych zasadach. To precyzyjne myslenie musialo bye matematyczne - a wiyc scisle zwiqzane z pojyciem liczby i jego zastosowaniem do form geometrycznych. Wobec tego zachowaniem siy przyrody rzqdzie winny liczby i geometria, a nie mity i przesqdy. Tak jak zrobil jego przodek 11 wiek6w wczesniej, Amphos wyruszyl na morze. Odnalazl drogy do miasta Kroton, gdzie iyl ow mydrzec, a razem z nim bractwo 571 uczonych myz6w i 28 mqdrych kobiet, kt6rzy zajmowali siy poszukiwaniem prawdy. Po pewnym czasie r6wniez Amphosa przyjyto do bractwa. Ich duchowy przyw6dca nazywal siy Pitagoras.
1 Korzenie nauki 1.1 W poszukiwaniu sit, kt6re uksztattowaty swiat
JAKIE prawa rz'!dz'! naszym WszechSwiatem? Jak mozemy je poznae? W jaki sposob zdobycie wiedzy 0 tych prawach moze nam pomoc w ich zrozumieniu, a moze nawet we wplywaniu na losy swiata? Od zarania dziejow kwestie te nurtowaly ludzi. Najpierw probowano wyobrazie sobie sHy i sposoby kontrolowania swiata na wzor tych, ktore byly dostt(pne bezposredniemu doswiadczeniu w otaczaj,!cej rzeczywistosci. Wyobrazano sobie, ze ktokolwiek czy cokolwiek sprawuje wladzt( nad swiatem, czyni to w sposob podobny do tego, w jaki ludzie sami podporz,!dkowuj,! sobie i kontroluj,! najblizsze otoczenie. Dochodzili wit(c do przekonania, ze ich wlasny los jest w rt(kach by tow kieruj,!cych sit( podobnymi motywami i impulsami jak oni. Byty te mialyby zatem bye motywowane przez uczucia i emocje, takie jak duma, milose, ambicja, gniew, zlose, strach, zemsta, namit(tnose, wdzit(cznose, lojalnose czy poczucie pit(kna. Z tego punktu widzenia zjawiska naturalne, na przyklad swiatlo sloneczne, deszcz, burza, glad, choroba czy zaraza, musialy bye rozumiane jako wynik nastrojow bogow i bogin, spowodowanych przez emocje podobne do ludzkich. W takim razie jedynymi dzialaniami, jakie ludzie mogliby podj,!e dla przeciwstawienia sit( tym humorom bogow, bylyby proby ich przeblagania i ulagodzenia. Powoli jednak przekonania te zaczt(ly sit( zmieniae dzit(ki obserwacjom innego rodzaju. Najbardziej typowego przykladu dostarcza tu precyzja, zjak,! Slonce porusza sit( po niebie, i jej scisly zwi,!zek z przechodzeniem nocy w dzien. Rowniez wzglt(dna pozycja Slonca w stosunku do polozen innych gwiazd dawala sit( scisle skorelowae ze zmian,! i bezwzglt(dn,! regularnosci,! par roku, nastt(pnie z ich wplywem na pogodt(, a w konsekwencji na wegetacjt( roslin i zachowanie sit( zwierz,!t. Wydawalo sit(, ze takZe ruchy Ksit(Zyca podlegaj,! scislym regulom, a jego fazy dawaly sit( okreslie na podstawie geometrycznych zwi,!zkow jego polozenia w stosunku do polozenia Slonca. W tych miejscach na Ziemi, w ktorych oceany dotykaj,! l'!dow, obserwacje pokazywaly, ze przyplywy i odplywy wykazuj,! regularnose sci§le zwi'!zan'! z fazami Ksit(Zyca. Kiedy wreszcie duzo bardziej skomplikowane ruchy planet zaczt(ly odslaniae swoje tajemnice, okazalo sit(, ze i te ruchy
Korzenie nauki
8
cechuje zadziwiaj,!ca regularnosc i precyzja. Jesli zatem byly one kierowane humorami i nastrojami bog6w, to ci bogowie sami musieli stosowac siy do jakichs precyzyjnych regul matematycznych. Podobnie przedstawiala siy sprawa regul, jakim musialy podlegac zjawiska ziemskie, takie jak dzienne i roczne wahania temperatury, przyplywy i odplywy ocean6w, wzrost roslin. Jesli mialy byc uzaleznione od nastroj6w i humor6w bog6w, to owe nastroje musialy wykazywac zadziwiaj,!c
Prawda matematyczna
1.2
Rys. 1.1. Wymyslne zwi,!zki, jakich dopatrywali sic;: staroZytni Grecy, pomic;:dzy pic;:cioma platonskimi brylami a czterema Zywiolami (ogniem, powietrzem, wod,! i ziemi,!) oraz firmamentem niebieskim, reprezentowanym przez dwunastoscian foremny.
1.2 Prawda matematyczna
Postawienie pierwszych krokow w kierunku zrozumienia rzeczywistych czynnikow rz£!dz£!cych zjawiskami przyrody wymagalo oddzielenia prawdy od czystych spekulacji i domyslow. Zanim jednak staroiytni mogli post£!Pic dalej w swoich wysitkach zrozumienia natury, musieli znaleie jakis sposob na oddzielenie prawdy od przypuszczen w samej matematyce. Konieczne bylo znalezienie procedury, ktora pozwalalaby ustalie, czy jakies spostrzezenie matematyczne moze bye uwazane za prawdziwe. Dopoki ta wstypna praca nie zostala wykonana, dopoty nie mozna bylo powaznie podejmowae znacznie bardziej zlozonych problemow, ktore dotyczyly sit rz£!dz£!cych zjawiskami swiata oraz ich zwi£!zku z prawd£! matematyczn£!. Dlatego pierwszym zasadniczym przelomem na drodze przyrodniczego poznania bylo zdanie sobie sprawy, ze kluczem do zrozumienia natury jest precyzyjna, niepodwazalna matematyka. Aczkolwiek roznego rodzaju prawdy matematyczne dostrzegano i formulowano od czasow staroiytnego Egiptu i Babilonu, to dopiero filozofowie greccy, Tales z Miletu (ok. 625-547 p.n.e.) i Pitagoras 1* z Samos (ok. 572-497 p.n.e.), wprowadzili pojycie dowodu matematycznego i w ten sposob poloiyli pierwszy
* Przypisy zaznaczone w tekscie indeksem liczbowym g6mym znajdujq sit( na koncu kai:dego rozdzialu.
9
Korzenie nauki
10
kamien wC(gielny pod budowC( gmachu matematycznego rozumienia swiata. Zapewne Tales byl pierwszym, kt6ry wprowadzil pojC(cie dowodu, ale wydaje siC(, ze dopiero Pit agoras po raz pierwszy pokazal, jak go uiywae do ustalenia relacji bynajmniej nie oczywistych. R6wnieZ Pitagoras chyba pierwszy dostrzegl znaczenie liczby i innych pojC(e arytmetycznych dla zrozumienia i opisu zjawisk fizycznego swiata. Uwaza siC(, ze waznym czynnikiem w tym procesie byla jego obserwacja faktu, iz najpiC(kniejsze harmonie diwiC(k6w wydawanych przez liry Czy fIety korespondowaly wprost z najprostszymi ulamkowymi stosunkami dlugo sci drgaj,!cych strun lub rur. To najprawdopodobniej Pitagoras wprowadzH "skalC( pitagorejsk'!", opisuj,!q relacje numeryczne tego, co dzisiaj uwazamy za czC(stotliwosci okreslaj,!ce zasadnicze interwaly, na kt6rych opiera siC( muzyka europejska2 • Slynne twierdzenie Pitagorasa, zgodnie z kt6rym w tr6jk,!cie prostok'!tnym suma kwadrat6w obu przyprostok,!tnych jest r6wna kwadratowi przeciwprostok'!tnej, bye moze bardziej niz cokolwiek innego pokazuje, ze rzeczywiscie istnieje precyzyjna relacja miC(dzy arytmetyk,! liczb a geometri,! fizycznej przestrzeni (zob. rozdz. 2). Pitagoras mial spoq gromadkC( uczni6w i nasladowc6w, nazwanych pozniej pitagorejczykami. Zyli razem w miescie Kroton, na poludniowym koncu P61wyspu Apeninskiego, jednakze ich wplyw nie siC(gal daleko, gdyz wszyscy czlonkowie bractwa pitagorejczyk6w byli zaprzysiC(zeni i zobowi,!zani do zachowania tajemnicy, dlatego prawie wszystkie szczeg6lowe wnioski ich filozoficznych dociekan przepadly. SzczC(sliwie niekt6re z nich "przeciekly" na zewn'!trz, co mialo tragiczne konsekwencje dla tych, kt6rzy zdradzili tajemniCC(: przynajmniej 0 jednym z nich wiemy, ze skazany zostal na smiere przez utopienie! Na dtuzsz,! metc( wplyw pitagorejczyk6w na rozw6j mysli ludzkiej okazal siC( ogromny. Pokazali bowiem, ze za pomoq dowodu matematycznego mozna bylo dojse do waznych i niepodwazalnych wniosk6w, do tego stopnia niepodwazalnych, ze pozostaly one prawdziwe az do naszych czas6w, niezaleznie od tego, jak ogromnie rozwinC(la siC( wiedza 0 swiecie. Przejawil siC( w ten spos6b ponadczasowy charakter matematyki. Ale czym jest dow6d matematyczny? Dowodem w matematyce jest niepodwazalna argumentacja, posluguj,!ca siC( wyl,!cznie logicznym rozumowaniem, kt6ra pozwala wykazae prawdziwose jakiegos matematycznego wniosku na podstawie wcze§niej dowiedzionej prawdziwosci innych wniosk6w matematycznych albo za pomoq odwolania do pewnych elementarnych zalozen - aksjomat6w - kt6rych prawdziwose uwaza siC( za oczywist'!. Wniosek w ten spos6b udowodniony nazywa siC( twierdzeniem. Wiele twierdzen, kt6rych dowodzeniem zajmowali siC( pitagorejczycy, mia10 charakter geometryczny; inne byly wnioskami dotycz'!cymi liczb. Te twierdzenia, kt6re dotyczyly liczb, pozostaly prawdziwe do dzis. A jak przedstawia siC( sprawa z twierdzeniami geometrycznymi, kt6re pitagorejczycy odkryli, po-
Prawda matematyczna
1.2
slugujqc si(( procedurq dowodu matematycznego? One rowniei zachowaly swojq slusznosc, lecz pojawila si(( pewna komplikacja. Natura tej komplikacji jest obecnie dla nas bardziej zrozumiala nii w czasach Pitagorasa. Staroiytni znali tylko jeden rodzaj geometrii, kton} obecnie nazywamy geometriq euklidesowq, ale teraz znamy jui wiele innych. Dlatego kiedy mowimy 0 twierdzeniach geometrycznych, jakie znali staroiytni Grecy, jest rzeCZq wainq, iebysmy podkreslali, ie poj((cia geometryczne, jakimi si(( poslugujemy, naleiq do geometrii Euklidesa. (Bardziej szczegolowo zapoznamy si(( z t q spraw'l w rozdz. 2.4, gdzie podam wainy przyklad geometrii nieeuklidesowej.) Geometria euklidesowa stanowila szczegolnq struktur(( matematycznq, opartq na jej wlasnym, specyficznym zbiorze aksjomatow (lqcznie z nieco mniej pewnymi zaloieniami, ktore nazywamy postulatami), ktora dawala znakomite przybliienie pewnych aspektow fizycznej rzeczywistosci. Byly to te aspekty rzeczywistosci - dobrze znane staroiytnym Grekom - ktore odnosily si(( do praw rzqdzqcych geometriq sztywnych przedmiotow i ich stosunkiem do innych sztywnych przedmiotow oraz do ich ruchow w trojwymiarowej przestrzeni. Niektore z tych wlasciwosci byly tak dobrze znane i rozumiane, ie zostaly uznane za oczywiste same przez si(( prawdy matematyczne i przyj((te za aksjomaty (albo postulaty). W rozdz. 17-19 i 27.8,11 zobaczymy, ie ogolna teoria wzgl((dnosci Einsteina - a nawet czasoprzestrzen Minkowskiego szczegolnej teorii wzgl((dnosci - dostarczajq przykladow geometrii opisujqcych swiat fizyczny, ktore nie tylko roiniq si((, ale Sq tei doktadniejsze nii geometria euklidesowa, pomimo ie geometria euklidesowa staroiytnych Grekow byla sarna nadzwyczaj dokladna. Dlatego musimy zachowac wielk'l ostroinosc, zanim przyjmiemy jakieS geometryczne stwierdzenie za aksjomat i zaakceptujemy jego prawdziwosc. Ale co w tym kontekscie oznacza slowo "prawdziwy"? Z tej trudnosci doskonale zdawal sobie spraw(( Platon, wielki filozof staroiytnej Grecji, ktory iyt w Atenach w latach 429-347 p.n.e., a wi((c okolo 100 lat po Pitagorasie. Platon zrozumial i wyjasnil, ie twierdzenia matematyczne - a wi((c uwaiane za niepodwaialnie prawdziwe - odnosily si(( nie do samych obiektow fizycznych (takich jak przybliione kwadraty, trojkqty, kola, kule czy szesciany, jakie moina skonstruowac, piszqc na piasku, czy zbudowac z drzewa czy kamienia), ale do pewnych by tow idealnych. Uwaial, ie te byty idealne zamieszkujq inny swiat, roiny od swiata fizycznego. Dzisiaj moglibysmy ten swiat okreSlic jako platonski swiat form matematycznych. Struktury fizykalne, takie jak kwadraty, kola czy trojkqty wyci((te z papirusu albo wykreSlone na ptaskiej powierzchni, czy tei szesciany, czworosciany lub kule wykrojone z marmuru mogq odpowiadac tym by tom idealnym, ale wyl'lcznie w sposob przybliiony. Prawdziwe matematyczne kwadraty, szesciany, okr((gi, kule, trojkqty itp. nie naleiq do swiata fizycznego, lecz do platonskiego swiata wyidealizowanych form matematycznych.
11
Korzenie nauki
1.3 Czy swiat matematyczny Platona jest swiatem "rzeczywistym"?
12
Byla to, w swoim czasie, znakomita idea, ktora okazala siy wielce doniosla i owocna. Ale czy swiat form matematycznych Platona istnieje w jakimkolwiek rozumnym sensie? Wielu ludzi, wl,!cznie z filozofami, bydzie sklonnych uwazac ten "swiat" za kompletn'! fikcjy - wytwor wyobraini niepoddanej zadnym rygorom. A jednak punkt widzenia Platona rna naprawdy glyboki sens. Poucza on nas przede wszystkim, ze trzeba zachowac wielk,! ostroznosc, aby odroznic prawdziwe byty matematyczne od ich przyblizonych realizacji, jakie dostrzegamy w otaczaj'!cym nas swiecie. Platon jest takze tworq metody naukowej stosowanej do dzisiaj. Uczeni badacze konstruuj,! modele swiat a - albo raczej pewnych aspektow tego swiata - ktore nastypnie testuj,! na podstawie wczesniejszych obserwacji i starannie zaprogramowanych eksperymentow. Modele te uwazamy za odpowiednie, jesli przetrwaj,! takie testowanie i ponadto maj,! wewnytrznie spojn,! struktury. W naszych obecnych rozwazaniach wazn,! cech,! tych mode Ii jest fakt, ze Sq to w zasadzie czysto abstrakcyjne modele matematyczne. Jesli chcemy odpowiedziec na pytanie, czy dany model jest spojny wewnytrznie, to musimy najpierw zadbac 0 to, zeby byl precyzyjnie sformulowany. Ten podstawowy wymog precyzji oznacza, ze model musi byc modelem matematycznym, gdyz inaczej nigdy nie bydziemy mieli gwarancji, ze na postawione pytania otrzymamy dobrze okreslon,! odpowiedi. Jesli wiyc modelowi mamy przypisac jak,!s formy "istnienia", to own istnienie musi go lokowac w platonskim swiecie form matematycznych. Oczywiscie, mozna przyj,!c przeciwny punkt widzenia: mozna uwazac, ze sam model istnieje tylko w naszym umysle, a nie wkladac go do jakiegos urojonego swiata platonskich idei. Jest jednak cos bardzo waZnego, co mozna zyskac, jesli siy przyjmie, ze struktury matematyczne istniej,! niezaleznie od nas. Tak siy bowiem sklada, ze nasze wlasne umysly notorycznie wykazuj,! brak precyzji w rozumowaniu, nie mozna na nich polegac i czysto wiklaj,! siy w sprzecznosciach. Dokladnosc, niezawodnosc i spojnosc, jakich wymagaj,! teorie naukowe, potrzebuj,! czegos wiycej niz nasze indywidualne i zawodne umysly. Otoz wlasnie te cechy znajdujemy w matematyce. Czy to nie wskazuje nam na jak,!s rzeczywistosc, ktora istnieje poza nami? Rzecz jasna, mamy prawo przyjmowac taki punkt widzenia, ze swiat matematyczny nie istnieje niezaleznie od nas, ze sklada siy on jedynie z pewnych idei stworzonych w roznych naszych umyslach, ktore to idee zostaly uznane za godne zaufania i zaakceptowane przez wszystkich. JednakZe nawet ten punkt widzenia nie przybliza nas specjalnie do tego, czego potrzebujemy. COZ bowiem mamy na mysli, mowi,!c "zaakceptowane przez wszystkich"? Czy mamy na mysli "wszystkich, ktorzy prawidlowo rozumuj'!" czy teZ "wszystkich, ktorzy uzyskali doktorat z matematyki" (z takiej definicji nie byloby wielkiego poZytku w czasach Platona) i ktorzy maj,! prawo wypowiadac "autorytatywne opinie"? Kryje siy w tym niebezpieczenstwo ankietowania; ocena tego, czy ktos "rozumuje prawidlowo", wymaga istnienia jakiegos zewnytrznego standardu. To sarno dotyczy pojycia
ezy swiat matematyczny Platona jest swiatem "rzeczywistym"?
1.3
"opinia autorytatywna", chyba ze przyjmiemy jakies standardy nienaukowe, takie jak opinia wit;kszosci (opinia wit;kszosci, bez wzglt;du na to, jak waznej i wplywowej, rna znaczenie dla decyzji podejmowanych przez demokratyczny rz'!d, ale jest bezuiyteczna jako kryterium naukowej wiarygodnosci). Sarna matematyka wykazuje Zywotnosc wykraczaj,!c,! daleko poza to, co poszczeg6lni matematycy s,! w stanie sobie wyobrazic. Ci, kt6rzy na co dzien obcuj,! z tym przedmiotem, czy to jako ludzie zaangazowani w badania matematyczne, czy jedynie korzystaj~c z wynik6w uzyskanych przez innych, maj,! zwykle poczucie, ze s,! tylko podroznikami w swiecie, jaki istnieje poza nimi, w swiecie, kt6rego realnosc wykracza daleko poza zbi6r wyl,!cznie opinii, bez wzglt;du na to, czy bt;d,! to ich wlasne opinie, czy tez jakas suma opinii innych os6b, nawet najbardziej kompetentnych i autorytatywnych. Spr6bujmy spojrzec na kwestit; istnienia platonskiego swiata nieco inaczej. Slowa "istnienie" uZywam tutaj w znaczeniu obiektywnosci prawdy matematycznej. Istnienie w sensie Platona, tak jak ja to widzt;, oznacza istnienie pewnego standardu zewnt;trznego, kt6re nie jest uzaleznione ani od naszych indywidualnych opinii, ani od szczeg6lnej kultury, w kt6rej iyjemy. "Istnienie" w tym sensie moze odnosic sit; r6wniez do sfer innych niz matematyka, na przyklad do moralnosci czy estetyki (zob. rozdz. 1.5), ale ograniczt; sit; tylko do rzeczywistosci matematycznej, gdyz tutaj sprawy przedstawiaj,! sit; najbardziej klarownie. Pozwolt; sobie zilustrowac to zagadnienie przez rozwazenie pewnego znanego przykladu prawdy matematycznej i pokazac jej zwi,!zek z kwesti,! "obiektywnego istnienia". W 1637 roku Pierre de Fermat dokonal wielkiego odkrycia znanego pod nazw'! "wielkie twierdzenie Fermata,,['j (twierdzenie to glosi, ze dodatnia n-ta pott;ga3 dowolnej liczby calkowitej nie moze byc sum'! dw6ch innych dodatnich n-tych pott;g liczb calkowitych, gdy n jest liczb,! wit;ksz,! od 2) i zapisal je na marginesie ksi
13
Korzenie nauki
14
nose matematyk6w musialaby przyj,!e poprawnose kontrprzykladu podanego przez X'a. Od tej pory, jakiekolwiek bylyby pr6by Wilesa udowodnienia twierdzenia Fermata, wszystkie bylyby daremne z tego powodu, ze argument X'a pojawil siC( pierwszy i, w wyniku tego, twierdzenie Fermata byloby falszywe! Co wiC(cej, mielibysmy prawo postawie nastC(pne pytanie: czy, maj,!c na uwadze poprawnose przyszlego kontrprzyktadu X'a, sam Fermat nie byl w blC(dzie, gdy wierzyt w poprawnose swego "doprawdy cudownego dowodu", kiedy robit te zapiski na marginesie? Przyjmuj,!c punkt widzenia subiektywnosci prawdy matematycznej, moina by uwaiae, ie Fermat byt w posiadaniu wainego dowodu (dowodu, kt6ry m6glby bye zaakceptowany jako taki przez autorytety jego czasu, gdyby Fermat go ujawnil), i ze tylko fakt, ii Fermat ten dow6d ukryt, pozwolil, by X p6Zniej znalazl kontrprzyklad! MyslC(, ie nie znajdzie siy taki matematyk, bez wzglydu na to, jaki jest jego stosunek do idei platonskich, kt6ry by nie uwaial takiej moiliwosci za kompletn,! bzdury. Oczywiscie, jest rzecz'! w pelni mozliw'!, ze dow6d podany przez Wilesa zawiera jakis bl,!d, i ie twierdzenie Fermata jest falszywe. Moie bye tei tak, ze jest jakis podstawowy bt,!d w rozumowaniu Wilesa, a pomimo tego twierdzenie Fermata jest prawdziwe. Albo tak, ie dow6d Wilesa jest poprawny w istotnych cZysciach, ale zawiera jakies "mniej scisle kroki", kt6re mog,! bye nie do przyjycia wedlug jakichS przyszlych standard6w matematycznej poprawnosci. lednakie nie o to mi chodzi. Zagadnieniem, kt6re rozwazamy, jest kwestia obiektywnej prawdziwosci twierdzenia Fermata, a nie to, czy jakas konkretna demonstracja jego prawdziwosci czy tei falszywosci zostata uznana za przekonuj'!C'! przez spolecznose matematyk6w danego czasu. Warto bye moze dodae, ze z punktu widzenia logiki matematycznej twierdzenie Fermata jest twierdzeniem matematycznym szczeg6lnie prostego rodzaju5 i jego obiektywnose jest widoczna. Tylko znikoma mniejszose6 matematyk6w bylaby sklonna uwazae takie twierdzenie za "subiektywne" w jakimkolwiek sensie aczkolwiek moie bye spraw,! subiektywn,!, czy spos6b jego dowodzenia jest przekonywaj,!CY. Istniej,! jednak innego rodzaju stwierdzenia matematyczne, kt6rych prawdziwose moie bye uwaiana za kwestiy przekonania. Bye moie najlepszym przykladem stwierdzenia tego rodzaju jest aksjomat wyboru. Zostawmy na razie pytanie 0 to, co ten aksjomat zawiera (zostanie opisany w rozdz. 16.3). Przywolujy go tylko dla ilustracji. Prawdopodobnie wiC(kszose matematyk6w sklonna bC(dzie uwaiae aksjomat wyboru za prawdziwy w spos6b oczywisty, podczas gdy inni maj,! co do tego w'!tpliwosci i nawet uwaiaj,!, ie jest falszywy (ja sam, do pewnego stopnia, przychylam siy do tej ostatniej opinii). Jeszcze inni byd,! zdania, ze sprawa "prawdziwosci" tego aksjomatu to rzecz gustu, ze moze on bye przyjC(ty za prawdziwy b,!di fatszywy w zaleinosci od tego, do jakiego systemu aksjomat6w i do jakiej procedury jestesmy przywi,!zani ("system formalny" - zob. rozdz. 16.6). Matematycy, kt6rzy podzielaj,! ostatni z tych punkt6w widzenia (kt6rzy jednak akceptuj,! obiektywn'! prawdziwose szczeg6lnie jasnych twierdzen matematycznych,
ezy swiat matematyczny Platona jest swiatem "rzeczywistym"?
1.3
takich jak dyskutowane wczesniej twierdzenie Fermata), mog,! bye uwazani za platonczyk6w wzgll(dnie umiarkowanych. Ci, kt6rzy utrzymuj,!, ze aksjomat wyboru jest prawdziwy, mog,! bye uwaiani za platonczyk6w bardziej zdecydowanych. Powr6cl( jeszcze do aksjomatu wyboru w rozdz. 16.3, poniewaZ rna on pewne znaczenie w matematyce opisuj,!cej swiat fizyczny, aczkolwiek nie jest cZl(sto przywolywany w fizyce teoretycznej. W tym momencie nie musimy specjalnie martwie sil( jego prawdziwosci,!. Jesli prawdziwose aksjomatu wyboru moze bye ustalona w taki czy inny spos6b na gruncie niepodwaialnego wnioskowania matematycznego?, w6wczas jego prawdziwose rna charakter obiektywny i wtedy albo on sam, alba jego zaprzeczenie, naleiy do swiata idei platonskich w sensie, w jakim ja interpretujl( pojl(cie "swiata platonskiego". Z kolei jesli przyjl(cie aksjomatu wyboru jest jedynie sprawl! swobodnej decyzji, w6wczas platonski swiat bezwzglydnie prawdziwych form matematycznych nie zawiera ani aksjomatu wyboru, ani jego zaprzeczenia (aczkolwiek do tego swiata moglyby nalezee formy takie jak: "to i to wynika z przyjl(cia aksjomatu wyboru" alba "aksjomat wyboru jest twierdzeniem wynikaj,!cym z regul takiego to a takiego systemu matematycznego"). Tylko takie stwierdzenia matematyczne mog,! nalezee do swiata idei platonskich, kt6re S,! obiektywnie prawdziwe. Dla mnie obiektywnose matematyczna tego rodzaju jest wlasnie istot'! byt6w matematycznych Platona. Powiedziee, ze jakies rnaternatyczne stwierdzenie jest bytem w sensie Platona, oznacza tyle sarno co powiedziee, ze jest obiektywnie prawdziwe. To sarno dotyczy poj~c matematycznych takich jak pojycie liczby 7 albo regula mnozenia liczb naturalnych, alba ze jakis zbi6r zawiera nieskonczenie wiele element6w. Wszystkie one istniej,! w sensie Platona, poniewaz s,! to pojycia maj,!ce charakter obiektywny. Dla mojego sposobu myslenia istnienie byt6w platonskich jest po prostu kwesti,! ich obiektywnego istnienia i dlatego nie mog,! bye uwaiane za "mistyczne" czy "nienaukowe", niezaldnie od faktu, ze r6zni ludzie za takie je uwazaj'!. Podobnie jak z aksjomatem wyboru kwestia, czy dana matematyczna propozycja powinna bye uwaiana za obiektywnie istniej,!cy byt, moze bye spraw,! delikatn,!, a czasami techniczn,!. Niezaleznie jednak od tego nie trzeba bye matematykiem, zeby zdae sobie sprawy z Zywotnosci wielu koncepcji matematycznych. Na rys. 1.2 przedstawilem szereg malych fragment6w slynnej koncepcji znanej pod nazw'! zbiorn Mandelbrota. Zbi6r ten rna nadzwyczaj wymysln,! struktury, nie zostal jednak zaprojektowany przez czlowieka. Jest rzecz'! godn,! uwagi, ze ta struktura jest okreslona bardzo prost,! regul,! matematyczn'!. Wr6cimy do tego tematu w rozdz. 4.5. W tym miejscu tylko pragny zwr6cie uwagy, ze nikt, nawet sam Benoit Mandelbrot, gdy po raz pierwszy dostrzegl niewiarygodn,! zlozonose detali tego zbioru, nie przeczuwal, jakie bogactwo w sobie zawiera. Z cal,! pewnosci,! zbi6r Mandelbrota nie zostal wymyslony przez czlowieka. Zbi6r ten naleiy w spos6b obiektywny do samej matematyki. Jesli w og6le rna sens m6wienie 0 istnieniu zbioru Mandelbrota, to nie jest on jak,!s form,! istnienia w naszych umyslach, poniewaz
15
Korzenie nauki
..
(a)
Rys. 1.2. (a) Zbi6r Mandelbrota. (b), (c) i (d) Szczeg6ly, ilustrujl\ce w powiykszeniu obszary zaznaczone na rys. 1.2, powiykszone, odpowiednio, liniowo 11,6, 168,9, i 1042 razy.
16
nikt nie jest w stanie zdae sobie sprawy z jego nieskonczonej roznorodnosci i nieograniczonej komplikacji. To istnienie nie moze tez bye przypisane zbiorowi wydrukow komputerowych, ktore probuj,! przedstawie niewyobrazaln,! wymyslnose jego szczegolow, poniewaz w najlepszym wypadku te wydruki komputerowe s,! w stanie uchwycie zaledwie cien przyblizenia do zlozonosci samego zbioru. Jednak jego istnienie nie ulega w'!tpliwosci, poniewaZ gdy dokladniej go badamy, odnajdujemy ty sam,! struktury we wszystkich jej zauwazalnych detalach, tylko z coraz wiyksz,! precyzj,! szczegolu, i jest to niezalezne od matematyka czy od komputera, za pomoc,! ktorego go badamy. Moze to bye tylko istnienie w platonskim swiecie idei matematycznych. Zdajy sobie sprawy, ze wielu czytelnikow bydzie nadal mialo trudnosci z przypisaniem strukturom matematycznym jakiejkolwiek formy rzeczywistego istnienia. Proszy wiyc ich tylko, zeby zechcieli zwrocie uwagy na fakt, ze sarno
Trzy swiaty i trzy gl~bokie tajemnice
1.4
pojycie "istnienia" moze miec sens nieco szerszy niz ten, do jakiego przywykli. Oczywiscie, matematyczne formy swiata Platona nie istniej,! w taki sam sposob, w jaki istniej,! zwykle obiekty fizyczne, takie jak krzesla czy stoly. Nie mozna ich umiejscowic ani w przestrzeni, ani w czasie. Obiektywne pojycia matematyczne nalei:y uwazac za byty ponadczasowe, a nie za powolane do i:ycia z chwil,! zauwazenia ich, po raz pierwszy, przez czlowieka. Formy wirowe zbioru Mandelbrota pokazane na rys. 1.2b nie zaczyly istniec z chwil,!, kiedy ujrzelismy je na monitorze czy na wydruku komputera. Nie powstaly tei: z chwil,!, w ktorej po raz pierwszy zostala sformulowana ogolna idea, ktora doprowadzila do odkrycia zbioru Mandelbrota ani przez samego Mandelbrota, ani przez R. Brooksa i J.P. Matelskiego, ktorzy dokonali tego odkrycia przed nim, bo w 1981 roku, ani wczesniej. Z cal,! pewnosci,! ani Brooks, ani Matelski, ani pocz'!tkowo sam Mandelbrot, nie mieli prawdziwego wyobrazenia 0 zlozonosci szczegolow deseni, ktore widzimy na rys. 1.2b. Te desenie "istnialy" od pocz'!tku czasow, w tym ponadczasowym sensie, w oczekiwaniu, ze zostan,! odkryte dokladnie w tej formie, w jakiej je widzimy obecnie, niewazne gdzie i kiedy jakas rozumna istota zdecyduje siy je zbadac.
1.4 Trzy swiaty i trzy
gf~bokie
tajemnice
Tak wiyc istnienie w sensie matematycznym rozni siy nie tylko od istnienia w sensie fizycznym, ale takZe od istnienia w sensie takim jak roznego rodzaju procesy myslowe w naszym umysle. Istnieje glyboki i zagadkowy zwi,!zek miydzy istnieniem matematycznym a tymi dwoma odmiennymi rodzajami istnienia: fizycznym i mentalnym. Na rys. 1.3 przedstawilem schematycznie te wszystkie trzy formy istnienia - fizyczn,!, matematyczn,! i mentaln'! - jako byty nalei:,!ce do trzech oddzielnych
Rys. 1.3. Trzy "swiaty": swiat platonskich idei matematycznych, swiat fizyczny i swiat mentalny oraz trzy rodzaje glybokich i zagadkowych zwillzk6w pomiydzy nimi.
mentalny
Swiat
17
Korzenie nauki
"swiatow", zaprezentowanych w postaci kul. Pokazane s~ rowniez tajemnicze potych swiatow. W ten sposob, kresl~c ow diagram, narzucilem czytelnikowi niektore z moich przekonan, wierzen czy tei: uprzedzen dotycz~cych tych tajemniczych zwi~zkow. NaleZy zauwaZye, ze w odniesieniu do pierwszej z tych zagadek - wi~z~cej matematyczny swiat idei platonskich ze swiatem fizycznym - tylko niewielka czyse swiata matematycznego odwoluje siy do fizycznej rzeczywistosci. Jest rzecz~ pewn~, ze ogromna wiykszose badan prowadzonych przez czystych matematykow nie rna zadnego oczywistego zwi~zku z fizyk~ ani z jak~kolwiek inn~ galyzi~ nauk przyrodniczych (zob. rozdz. 34.9), aczkolwiek niejednokrotnie mozemy bye zaskoczeni przez nieoczekiwane a wazne zastosowania ich wynikow. Podobnie sprawa przedstawia siy w odniesieniu do drugiej z tych zagadek: wskazuj~c, ze procesy myslowe s~ zwi¥ane z pewnymi strukturami fizycznymi (w szczegolnosci ze zdrowymi i ruchliwymi mozgami ludzkimi), nie twierdzy, ze wiykszose struktur swiata fizycznego indukuje procesy myslowe. Chociaz mozg kota moze wykonywae pewne procesy myslowe, to z pewnosci~ nie odnosi siy to na przyklad do skat. Wreszcie, co siy tyczy trzeciej zagadki, uwazam za rzecz oczywist~, ze tylko niewielka czyse naszej aktywnosci umyslowej jest zwi~zana z zagadnieniami prawdy matematycznej! (Juz duzo wiyksza czyse tej aktywnosci zwi¥ana jest z najrozniejszymi emocjami, gniewem, przyjemnosci~, troskami i innymi sprawami, ktore wypelniaj~ nasze codzienne Zycie). Te trzy fakty zostaly przedstawione w postaci niewielkich obszarow tworz~cych podstawy stozka l~cz~cego kazdy z tych swiatow ze swiatem nastypnym, w kolejnosci zgodnej z ruchem wskazowek zegara. Moje pogl~dy natomiast i moje zalozenia s~ zobrazowane w ten sposob, ze kazdy z tych stozkow, na drugim koncu, obejmuje caly kolejny swiat. A zatem, zgodnie z rys. 1.3, caly swiat fizyczny jest rz~dzony prawami matematycznymi. W dalszych rozdzialach zobaczymy, ze istniej~ potyzne, aczkolwiek niekompletne dowody, iz tak jest w istocie. Patrz~c na rzeczy w ten sposob, przyjmujemy, ze caly fizyczny wszechSwiat podlega w najdrobniejszych szczegolach regulom matematycznym, bye moze wyrazonym w formie rownan, takich jak te, 0 ktorych bydziemy mowie w nastypnych rozdzialach, a moze w formie jakichS przyszlych pojye matematycznych fundamentalnie roznych od tych, ktorym dzisiaj przypisujemy nazwy "rownan". Jesli mamy racjy, to nawet nasze wI asne dzialania fizyczne winny podlegae regulom matematyki, przy czym, oczywiscie, rozumiemy dopuszczalnose zdarzen losowych rz~dzonych scisle probabilistycznymi zasadami. U wielu osob taki pogl~d moze wywolywae powazny dyskomfort i muszy przyznae, ze mnie samemu tez nielatwo siy z tym pogodzie. JednakZe cal a moja wiedza sklania mnie do przyjycia tego punktu widzenia, gdyz trudno sobie wyobrazie, ktorydy moglaby przebiegae linia oddzielaj~ca te zjawiska fizyczne, ktore podlegaj~ scislej matematycznej kontroli, od tych, ktore im nie podlegaj~. W mojej opinii dyskomfort, ktory wielu z moich czytelnikow moze ze mn~ podzielae, wynika cZywi~zania
18
Trzy swiaty i trzy
gl~bokie
tajemnice
1.4
kiowo z bardzo ograniczonego zrozumienia pojt(cia "matematycznej kontroli". Jednym z celow tej ksi,!zki jest przyblizenie i ukazanie czytelnikowi tego nadzwyczajnego bogactwa, sily i pit(kna, ktore sit( rodz,!, kiedy udaje nam sit( odkryc wlasciwe pojt(cie matematyczne. Analizuj,!c tylko zbior Mandelbrota, taki jak przedstawiony na rys. 1.2, zaczynamy dostrzegac cien wielkosci i pit(kna zawartego w obiektach tego rodzaju. Ale nawet te struktury zajmuj,! zaledwie bardzo ograniczony zak'!tek swiata matematycznego, tego mianowicie, ktory jest rz,!dzony scislymi regulami rachunkowymi. Jak mozemy sit( czuc, kiedy dowiadujemy sit(, ze jest rzecz'! mozliw,!, iz wszystkie nasze dzialania i dzialania naszych przyjaciol w ostatecznym rachunku S,! opisywane regulami matematycznymi tego rodzaju? Jesli 0 mnie chodzi, to mogt( z tym :lyc. Osobiscie wolalbym, zeby moje dzialania rz'!dzone byly przez jakies byty zamieszkuj,!ce bajeczny platonski swiat pojt(c matematycznych, niz zeby byly poddane kontroli prymitywnych instynktow, takich jak chciwosc, zazdrosc, rozpasanie czy nienawisc, co do ktorych wielu utrzymuje, ze stanowi,! implikacjt( scisle naukowego punktu widzenia. Jestem w stanie sobie wyobrazic, ze wielu czytelnikom bt(dzie bardzo trudno przyj,!c do wiadomosci, ze wszystkie zjawiska we WszechSwiecie s,! calkowicie poddane prawom matematycznym. Podobnie wielu moze sit( nie zgadzac z dwoma innymi moimi przekonaniami, przedstawionymi graficznie na rys. 1.3. Mog,! oni na przyklad uwazac, ze zajmujt( zbyt sztywne naukowe stanowisko, kiedy rysujt( diagram, na ktorym przedstawiam koncepcjt(, ze wszystkie procesy umyslowe maj,! swoje korzenie w fizycznej rzeczywistosci. To jest zalozenie, bo aczkolwiek jest prawd,!, ze nie mamy naukowego dowodu istnienia procesow myslowych, ktore nie mialyby fizycznej podstawy, to jednak nie mamy takiej pewnosci. Co wit(cej, wychodz'!c z przekonan religijnych, wielu ludzi zdecydowanie opowiedzialoby sit( za stanowiskiem, ze istniej,! umysly calkowicie niezaleine od fizycznej rzeczywistosci, i odwolaloby sit( do czegos, co uwaiaj,! za pott(ine dowody, najzupelniej innej natury od tych, ktorych dostarcza zwykla nauka przyrodnicza. Innym moim zalozeniem wyobraZonym na rys. 1.3 jest przekonanie, ze caly platonski swiat idei miesci sit( w stozku l'!cz'!cym go ze swiatem mentalnym. Diagram ten ma na celu ukazanie, ze - przynajmniej w zasadzie - nie istniej,! prawdy matematyczne poza zasit(giem rozumu. Oczywiscie, s,! stwierdzenia matematyczne (nawet takie jak suma arytmetycznego dodawania) tak skomplikowane, ze trudno sobie wyobrazic, zeby znalazl sit( ktos, kto mialby wystarczaj'!co wielki potencjal umyslowy, aby przeprowadzic niezbt(dne rozumowanie. JednakZe takie sytuacje potencjalnie lezq w zasit(gu ludzkiego umyslu i bylyby koherentne z ideq rys. 1.3. Nale:ly jednak wzi,!c pod uwagt(, ze mog,! istniec inne twierdzenia matematyczne, niedostt(pne dla ludzkiego umyslu, i ich istnienie nie daloby sit( pogodzic z intencj,! rys. 1.3. (Sprawt( tt( omowimy szerzej w rozdz. 16.6, gdzie przedyskutujemy slynne twierdzenie Godla 0 nierozstrzygalnosd.)
19
Korzenie nauki
Swiat fizyczny
20
Rys. 1.4. Nowa wersja rys. 1.3, na kt6rej pierwotne zaloienia autora 0 charakterze zwiqzk6w pomi«dzy trzema "Swiatami" nie Sl! spelnione.
Rysunek 1.4 przedstawia ukion w strony tych, ktorzy nie podzielaj,! moich przekonan w tych sprawach, i dlatego narysowalem raz jeszcze zwi,!zki pomiydzy wszystkimi trzema swiatami, ale tak, zeby uwzglydnic ich zastrzezenia. W ten sposob zaIoZylismy mozliwosc dzialan fizycznych niepodlegaj,!cych regulom matematyki. Diagram wyraza rowniei: wiary, ze mog,! istniec procesy mentalne niezakorzenione w strukturach fizycznych. Wreszcie, rysunek ten dopuszcza istnienie prawdziwych twierdzen matematycznych, ktorych prawdziwosc nie moze byc dowiedziona na drodze rozumowania. Diagram ten zawiera nawet wiycej zagadek niz te, ktore umiescilem w preferowanym przeze mnie obrazie swiata, przedstawionym na rys. 1.3. W moim przekonaniu duzo lepiej zorganizowany naukowy punkt widzenia zaprezentowany na rys. 1.3 jest wystarczaj'!co zagadkowy. Tych zagadek nie rozwi'!zemy, przechodz,!c do bardziej swobodnego schematu rys. 1.4. Pozostaje bowiem glybok,! tajemnic,!, dlaczego prawa matematyczne stosuj,! siy do swiata fizycznego z tak fenomenaln,! precyzj,!. (Przyjrzymy siy nieco tej nadzwyczajnej dokladnosci podstawowych praw fizyki w rozdz. 19.8; 26.7 i 27.13.) Ponadto glyboko zagadkowa jest nie tylko dokladnosc tych teorii, ale takZe ich subtelne wyrafinowanie i matematyczna uroda. Jest rowniez wielk,! tajemnic,!, jak to siy moze dziac, ze odpowiednio wysoko zorganizowana materia - mam tutaj na mysli przede wszystkim mozgi Zyj,!cych ludzi (i zwierz'!t) - moze rozwin,!c siy do tego stopnia, zeby cechowaia j,! swiadomosc i zdolnosc myslenia. Wreszcie zagadk,! pozostaje, w jaki sposob dokonujemy percepcji prawdy matematycznej. Nasze umysly nie zostaly tak zaprogramowane, zeby byly w stanie "rachowac" we wlasciwy sposob. Jest cos duzo glybszego w fakcie, ze nawet najmarniejszy sposrod nas potrafi zdac sobie sprawy ze znaczenia pojyc ta" "Je . d en " , " d · h Ja . k "zero, klC wa" , "trzy " ,,,cztery" It. d .9 Niektore problemy, jakie siy pojawiaj,!, kiedy probujemy rozwi b 2 > O. Ponadto widzimy, ze liczba, ktora znajduje siy na prawej stronie ostatniego rownania, 2b 2 , jest liczb,! parzyst'!. Wobec tego liczba a tez musi bye liczb,! parzyst'!. (Nie moze bye liczb,! nieparzyst'!, gdyz kwadrat liczby nieparzystej bylby tez liczb,! nieparzyst'!.) W takim razie mozemy napisae, ze a =2c, gdzie c musi bye jak,!s dodatni,!liczb,! calkowit'!. Podstawmy wiyc 2c w miejsce a i podnieSmy do kwadratu. Otrzymamy:
4c 2 = 2b 2 , a po podzieleniu obu stron przez 2, b 2 = 2c 2 ,
i wnioskujemy, ze b 2 > c 2 > O. Teraz otrzymalismy identyczne rownanie jak poprzednio, ale w miejscu liczby a mamy teraz liczby b, a w miejscu liczby b mamy liczby c. Zauwazmy jednak, ze odpowiednie liczby calkowite S,! teraz mniejsze niz poprzednio. To rozumowanie mozemy powtarzae w nieskonczonose, otrzyrnuj,!c w efekcie ci,!g rownan:
a 2 = 2b z , b 2 = 2c 2 , c2 = 2d2 , d Z = 2e 2,
... ,
gdzie
51
3
Rodzaje liczb w swiecie fizyki
i wszystkie te liczby s,! liczbami naturalnymi (dodatnimi liczbami calkowitymi). J ednakZe kazdy malej,!cy ci,!g liczb naturalnych musi siy skonczye, co jest sprzeczne z nieskonczonosci,! tego ci,!gu. Doszlismy wiyc w naszym rozumowaniu, wynikaj,!cym z zalozenia, ze istnieje liczba wymierna, kt6rej kwadrat wynosi 2, do sprzecznosci. W takim razie istnienie takiej liczby jest niemozliwe, co bylo do udowodnienia 2 • Trzeba zwr6cie uwagy na kilka krok6w przedstawionego dowodu. Przede wszystkim, zgodnie z utartymi zwyczajami dowodzenia matematycznego, odwolywalismy siy do pewnych wlasnosci liczb, kt6re wydawaly siy "oczywiste" albo uwazalismy je za udowodnione gdzie indziej. Na przyklad uZylismy argumentu, ze drug a potyga liczby nieparzystej jest zawsze liczb,! nieparzyst'!, co wiycej, zakladalismy, ze jdli liczba naturalna nie jest nieparzysta, to musi bye parzysta. Przyjylismy tez za rzecz oczywist'!, ze kazdy malej,!cy ci,!g liczb naturalnych musi bye skonczony. Jednym z powod6w, dla kt6rych moze bye potrzebne tak staranne identyfikowanie wszystkich zalozen argumentacji - nawet jesli niekt6re z tych zalozen mog,! wydawae siy najzupelniej oczywiste - jest fakt, ze matematycy S,! czysto zainteresowani innymi konstrukcjami niZ tylko te, kt6rych dotyczy dow6d. Jesli te inne konstrukcje spelniaj,! te same zalozenia, w6wczas dow6d bydzie wazny r6wniez w odniesieniu do nich i w ten spos6b udowodnione twierdzenie moze miee znaczenie bardziej og61ne, niz pocz'!tkowo oczekiwano. Gdy siy zas okaie, ze jakid niezbydne do dowodu zalozenie nie jest spelnione w tym alternatywnym przypadku, to r6wniez i sarno twierdzenie moze okazae siy w6wczas nieprawdziwe. (Przykladowo, jest rzecz'! wazn,! uswiadomie sobie, ze do dowodu twierdzenia Pitagorasa w rozdz. 2.2 wykorzystano postulat r6wnoleglosci, poniewai w geometrii hiperbolicznej twierdzenie Pitagorasa nie jest prawdziwe.) W przytoczonym dowodzie pocz'!tkowymi elementami s,! liczby calkowite i z tych liczb konstruujemy liczby wymierne, zdefiniowane jako stosunki liczb calkowitych. Wsr6d nich, istotnie, niepodobna znaleze liczby, kt6rej kwadrat byiby r6wny 2. Istniej,! jednak inne liczby poza liczbami calkowitymi i wymiernymi. I rzeczywiscie, potrzeba znalezienia pierwiastka kwadratowego z 2 zmusila staroZytnych Grek6w, poniek,!d wbrew ich woli w tym czasie, do wyjscia poza zbiory liczb calkowitych i wymiernych - a wiyc tych liczb, kt6rych istnienie byli sklonni zaakceptowae. Ta koniecznose doprowadzila ich do odkrycia liczb, kt6re obecnie nazywamy liczbami rzeczywistymi. Dzisiaj przez to pojycie rozumiemy liczby, kt6re mog'! bye przedstawione w postaci ulamka dziesiytnego, skonczonego lub nieskonczonego (oczywiscie, takie przedstawienie liczby byio nieznane staroZytnym Grekom). Liczba 2 rna pierwiastek kwadratowy w zbiorze liczb rzeczywistych i mozemy go zapisae w postaci:
J2 52
=
1,414213 562 373095048801 68872 ...
Fizyczn,! roly takich liczb rzeczywistych rozpatrzymy w nastypnym rozdziale.
System liczb rzeczywistych
3.2
Z ciekawosci zapytajmy, dlaczego przedstawiony dow6d nieistnienia pierwiastka kwadratowego z 2 nie stosuje sit( do liczb rzeczywistych (albo do stosunk6w liczb rzeczywistych, co wychodzi na to sarno). Co sit( stanie, jesli w tym dowodzie zastqpimy liczby naturalne liczbami rzeczywistymi? Podstawowa r6znica sprowadza sit( do tego, ze w odr6znieniu od liczb naturalnych, dowolny scisle malejqcy ciqg dodatnich liczb rzeczywistych (a nawet ulamk6w) nie musi bye skonczony i w tym punkcie dow6d sit( zalamuje3 • (Rozwazmy, na przyklad, nieskonczony ciqg 1 1 1 1 1 ) R' . .meWla . . d omo, cow tym konte k"SCle mla . 10 by ' 1'2'4'8'16'32'.... owmez u1amkow oznaczae wyrazenie "parzysta" alba "nieparzysta" liczba rzeczywista. Akurat w tym miejscu dow6d nie napotyka przeszkody, poniewai kazda liczba rzeczywista moze bye uwazana za "parzystq", gdyz dla kaidej liczby rzeczywistej a mozna znaleie liczbt( rzeczywistq c takq, ze a = 2c i kazdq liczbt( rzeczywistq mozna zawsze podzielie przez 2.
3.2 System liczb rzeczywistych
Tak wit(c Grecy zostali zmuszeni do uswiadomienia sobie, ze jesli idee geometrii (Euklidesa) majq miee wlasciwe zastosowanie, nie wystarczy do tego poslugiwanie sit( liczbami wymiernymi. Obecnie, rzecz jasna, nie martwimy sit( zbytnio tym, ze jakies wielkosci geometryczne nie dajq sit( wyrazie za pomocq samych liczb wymiernych. Nie martwimy sit(, poniewai pojt(cie liczby rzeczywistej jest nam dobrze znane i oswojone. Aczkolwiek nasz kalkulator kieszonkowy podaje wyniki tylko za pomocq skonczonej ilosci cyfr, to rozumiemy dobrze, iz jest to jedynie przyblizenie, wymuszone przez fakt, ze sam kalkulator jest obiektem 0 skonczonych rozmiarach. Jestesmy gotowi pogodzie sit( z tym, ze idealne (platonskie) liczby matematyczne mogq wymagae nieskonczonych ulamk6w dziesit(tnych. Dotyczy to, oczywiscie, nawet dziesit(tnego rozwinit(cia wit(kszosci zwyklych ulamk6w, takich na przyklad, jak
t = 0,333333333 ... , i~
= 2,416666666 ... ,
~ = 1,285714285714285 ... , i~; = 1,60135135135 ....
JednakZe w przypadku ulamk6w ich rozwinit(cie dziesit(tne jest zawsze ostatecznie okresowe, to znaczy, ze od pewnego miejsca nieskonczona sekwencja cyfr sklada sit( ze skonczonej grupy cyfr, kt6ra powtarza sit( nieskonczonq ilose razy. W podanych przykladach te powtarzajqce sit( sekwencje cyfr stanowiq, odpowiednio, 3, 6, 285714 i 135. Staro.zytni Grecy nie znali rozwinit(cia dziesit(tnego, ale znaleili sw6j wlasny spos6b na to, zeby poradzie sobie z liczbami niewymiernymi. Odkryli mianowicie, ze mozna liczby przedstawiae w postaci czegos, co dzisiaj nazywamy ulamkiem
53
3
Rodzaje liczb w swiecie fizyki
ciqg/ym[*I. Nie rna potrzeby, zebysmy siy zaglybiali w ty sprawy, ale kilka kr6tkich uwag moze siy przydac. Ulamkiem ci,!glym4 nazywamy skonczone alba nieskonczone wyraZenie typu a + (b + (c + (d + .... t 1t 1t 1, gdzie a, b, c, d, ... s,! liczbami calkowitymi dodatnimi: 1
a + ------:-1--
b + ----:1;---
c+-d+ ...
Dowoln'! liczby wymiern,! wiyksz,! od 1 mozna przedstawie w postaci skonczonego ulamka ci,!glego (dla jednoznacznosci rozwiniycia wymagamy, zeby koncowa liczba naturalna byla wiyksza od 1), na przyklad: 52 9
=
5+
1 1+_1_ 1 3+2
a dla przedstawienia dodatniej liczby wymiernej mniejszej od 1 jako pierwsz,! liczby naturaln,! bierzemy zero. N atomiast dla przedstawienia liczb rzeczywistych, kt6re nie s,! wymierne, uZywamy nieskonczonych ulamk6w ci,!glych[3.l 1• Na przyklad takich jak te 5 :
71t =
J2 = 1 + (2 + (2 + (2 + (2 + ... t 1t l t l t\ J3 = 5 + (3 + (1 + (2 + (1 + (2 + ( 1 + (2 + .. ·tl t l t l tltltlt\ 3 + (7 + (15 + (1 + (292 + (1 + (1+ (1 + (2 + ... tltltltltltltltl.
W przypadku dwu pierwszych przyklad6w nieskonczone sekwencje liczb naturalnych, kt6re siy w nich pojawiaj,! -w pierwszym przykladzie 1,2,2,2, ... , oraz 5, 3, 1, 2, 1, 2, 1, 2 w drugim - maj,! ty wlasnose, ze wystypuj,! cyklicznie (w pierwszym przypadku powtarza siy nieskonczon,! ilose razy liczba 2, a drugim sekwencja 1, 2)13.21• Pamiytajmy, ze jak to juz wyjasnilismy, w notacji dziesiytnej tylko liczby wymierne mog,! bye przedstawione w postaci wyraZen okresowych (cyklicznych), skonczonych alba nieskonczonych. Z tego punktu widzenia odkrycie Grek6w, ze
[*] W Polsce uZywana jest tez nazwa "ulamek lancuchowy" (przyp. Hum.).
,a [3.1] Przeprowadi eksperyment z twoim kalkulatorem kieszonkowym (jesli rna on klawi-
"...r "
54
sze i "x-I ,,), aby uzyskac opisane wyrazenia z takq dokladnosciq, jaka jest dostypna. Wei 1C = 3,141 592653589793 (ffikazowka: za kazdym razem zwracaj uwagy na calkowitq czysc kazdej liczby, odejmij jq, a wtedy znajdi odwrotnosc reszty.) B [3.2] Zakladajqc okresowosc przedstawien tych dwu ciqglych ulamk6w, pokaz, ze Sq one r6wne liczbom zapisanym po lewej stronie r6wnosci. (ffikazowka: znajdi r6wnania kwadratowe, kt6rych te liczby Sq pierwiastkami, i zapoznaj siy z przyp. 6).
System liczb rzeczywistych
3.2
w przedstawieniu za pomoc,! ulamk6w ci,!glych liczby wymierne daj,! sit( zapisae w postaci ulamk6w skonczonych, moze bye uwaiane za powazne ulatwienie. Pojawia sit( naturalne pytanie: a jakie liczby, przedstawione w postaci ulamk6w ci,!glych, bt(d,! mialy zapis cykliczny? OdpowiedZ na to pytanie, w postaci naprawdt( godnego uwagi twierdzenia, jako pierwszy podal wielki matematyk XVIII wieku, Joseph C. Lagrange (z jego najwazniejszymi odkryciami spotkamy sit( p6zniej, szczeg6lnie w rozdz. 20); S,! to liczby, kt6re otrzymaly nazwt( liczb niewymiemych kwadratowych 6• C6Z to S,! kwadratowe liczby niewymierne i jakie jest ich znaczenie w geometrii Grek6w? S,! to liczby, kt6re mog,! bye zapisane w postaci
a+Jb, gdzie liczby a i b S,! ulamkami, ale liczba b nie moze bye kwadratem innej liczby wymiernej. Liczby tego rodzaju S,! wazne w geometrii euklidesowej, poniewaz to najczt(sciej spotykane liczby niewymierne, na jakie natrafiamy przy konstrukcjach geometrycznych wykonywanych za pomoC£! linijki i cyrkla. (Przypomnijmy sobie twierdzenie Pitagorasa, kt6re w rozdz. 3.1 doprowadzilo nas do problemu liczby J2.lnne proste konstrukcje prowadz'! do innych liczb 0 wskazanej postaci.) Szczeg6lnymi przypadkami kwadratowych liczb niewymiernych s,! te, w kt6rych pierwszy skladnik, a = 0, natomiast b jest liczb,! naturaln'! (ale nie kwadratem innej) alba liczb,! wymiern,! wit(ksz,! od 1, na przyklad: J2,
J3, 15, ./6,)7, J8,.JiQ, Jli, ....
Przedstawienie liczby tego rodzaju w postaci ulamka ci,!giego - a nawet, bardziej og6lnie, przedstawienie pierwiastka kwadratowego Fa z dowolnego ulamka a (dodajmy, ze a musi bye liczb,! wit(ksz,! od 1, ale nie moze bye kwadratem innego ulamka) - jest zdumiewaj,!ce! Sekwencja liczb naturalnych, kt6re definiuj,! tt( liczbt( w postaci ulamka ci,!giego, rna intryguj,!c£! charakterystyczn,! wlasnose. Zaczyna sit( ona od pewnej liczby naturalnejA, po kt6rej nastt(puje palindromiczna sekwencja (tzn. taka, kt6ra jest identyczna przy czytaniu od lewej do prawej ina odwr6t), B, C, D, ... , D, C, B, po czym pojawia sit( liczba 2A, a potem sekwencja B, C, D, ... , D, C, B, 2A powtarza sit( nieskonczon,! ilose razy. Dobrym przykladem jest liczba M, w przypadku kt6rej jest to sekwencja nastt(puj,!ca:
3, 1, 2, 1, 6, 1, 2, 1, 6, 1, 2, 1, 6, 1, 2, 1, 6 , ... W tym przypadku A = 3, a palindromiczna sekwencja B, C, D, ... , D, C, B jest sekwencj,! skladaj,!c£! sit( z trzech liczb 1, 2, 1. Jak wiele z tych spraw bylo znanych staroiytnym Grekom? Wydaje sit(, ze wiedzieli oni bardzo duzo, prawdopodobnie wszystko to, 0 czym m6wilismy (wl,!czaj,!c w to twierdzenie Lagrange'a), chociaz w niekt6rych przypadkach mogli nie posiadae rygorystycznych dowod6w. Prawdopodobnie wsp6lczesny Platonowi matematyk Theaetetos odkryl wiele tych zwi,!zk6w. R6wniei w dialektyce Platona7 znajdujemy wiele oznak, ze posiadal on tt( wiedzt( (l'!cznie z palindromiczn,! sekwencj,!, 0 kt6rej przed chwil,! m6wilismy).
55
3
Rodzaje liczb W swiecie fizyki
Aczkolwiek poszerzenie naszego zbioru 0 kwadratowe liczby niewymierne pozwala w znacznym stopniu uwzglydnie potrzeby geometrii Euklidesa, okazuje siy, mimo wszystko, niewystarczaj'!ce. W dziesi'!tej (i najtrudniejszej) ksi,!ice Euklidesa rozwaiane s,! liczby 0 postaci a + .Jb, gdzie a i b s,! dodatnimi liczbami wymiernymi. Nie s,! to na ogol kwadratowe liczby niewymierne, chociai pojawiaj,! siy one w konstrukcjach geometrycznych dokonywanych za pomoq linijki i cyrkla. Do konstrukcji tego typu wystarczylyby liczby, jakie jestesmy w stanie utworzye z liczb naturalnych dziyki zastosowaniu wielu dzialan, takich jak dodawanie, odejmowanie, mnoienie, dzielenie i wyci,!ganie pierwiastka kwadratowego. Jednakie operowanie wyl,!cznie takimi liczbami z jednej strony staje siy ogromnie skomplikowane, a z drugiej i tak nie wystarczaj,! one do opisu tych konstrukcji w geometrii Euklidesa, ktorych nie da siy wykonae jedynie za pomoc,! cyrkla i linijki. Wiycej zyskamy, jesli wykonamy krok bardziej odwainy - a jak bardzo odwainy, 0 tym przekonamy siy w rozdz. 16.3-5 - i uwzglydnimy takie liczby, ktore mog,! bye przedstawione za pomoq najzupelniej ogolnych nieskonczonych ulamkow ci,!glych. I w ten sposob Grecy odnalezli drogy do opisu wszystkich liczb potrzebnych w geometrii Euklidesa. We wspolczesnej terminologii liczby te nazywamy liczbami rzeczywistymi. W pelni zadowalaj'!ca ich definicja najprawdopodobniej zostala podana dopiero w XIX wieku, w pracach Dedekinda, Cantora i innych. Jednakie jeden z uczniow Platona, wielki grecki matematyk i astronom Eudoksos, jui w IV wieku p.n.e. posiadl zasadnicze zrozumienie tej idei, warto zatem, abysmy powiedzieli 0 niej kilka zdan. Przede wszystkim zauwaimy, ie w geometrii Euklidesa liczby wyraiane s,! raczej poprzez stosunki diu go sci odcinkow aniieli bezposrednio, poprzez same dlugosci. Dziyki temu nie potrzeba bylo jakiejs specjalnej miary dlugosci (takiej jak np. cal czy grecki daktylosl*l). Co wiycej, posluguj,!c siy stosunkami dlugosci, nie martwiono siy 0 zgodnose, kiedy zachodzila potrzeba mnoienia przez siebie kilku takich stosunkow (zaspokajaj,!c niejako potrzeby uwzglydnienia wyiszych wymiarow, jakichS "hiperobjytosci", kiedy trzeba by mnoZye przez siebie wiycej nii trzy dlugosci). Pierwszym krokiem w teorii Eudoksosa bylo ustalenie kryterium, co to znaczy, ie jakis stosunek dlugosci a : b mialby bye wiykszy nii stosunek innych dlugosci, c : d. Kryterium to jest nastypuj,!ce: stosunek a : b jest wiykszy od stosunku c : d, jesli istniej,! dwie liczby naturalne MiN takie, ie jeieli a dodamy do siebie M razy i dlugosc ta bydzie wiyksza od dlugosci, jak,! otrzymamy po dodaniu do siebie b N razy, to d dodane do siebie N razy bydzie dluisze od c dodanego do siebie M razy[3.31• Analogiczne kryterium formuluje warunek, ieby stosunek a: b byl mniejszy od stosunku c : d. Warunkiem rownosci tych stosunkow jest niespel-
J
56
[*] Obie te miary odpowiadajq staropoiskiej mierze "palec" rownej szerokosci 8 ziarenjyczmienia (przyp. dum.). liJ1 [3.3] Czy rozumiesz, jak dziaia to kryterium?
System liczb rzeczywistych
3.2
nienie zadnego z tych dwu kryteri6w. W ten spos6b dzit(ki pomyslowemu rozwiqzaniu problemu r6wnosci dwu stosunk6w Eudoksos otrzymal w rezultacie abstrakcyjne pojt(cie "liczby rzeczywistej" wyrazone przez stosunki dlugosci odcink6w. Udalo mu sit( teZ skonstruowae reguly dodawania i mnozenia takich liczb rzeczywistych[3.4l. lednakZe istnieje podstawowa r6znica w sposobie traktowania liczb rzeczywistych, inaczej bowiem pojmowali je Grecy, a inaczej traktuje je wsp6lczesna matematyka. Dla Grek6w liczby byly "dane" w relacjach pomit(dzy odleglosciami w przestrzeni fizycznej, a jedynym problemem bylo okreslenie, jak te miary "odleglosci" sit( zachowuj'!. Albowiem "przestrzen" wydawala sit( bytem idealnym w sensie Platona, podczas gdy r6znego rodzaju obiekty fizyczne wystt(puj,!ce w tej przestrzeni nie odpowiadaly pojt(ciu platonskiego idealu8• (Co prawda, jak sit( 0 tym przekonamy w rozdz. 17.9 i 19.6, 8, og6lna teo ria wzglt(dnosci Einsteina w spos6b fundamentalny zmienila nasze widzenie przestrzeni i materii.) Obiekt fizyczny, taki jak kwadrat wyrysowany na piasku czy szescian wykuty z marmuru, m6g1 bye rozpatrywany przez staroZytnych Grek6w jako dobre, a czasami nawet znakomite przyblizenie do geometrycznego idealu Platona. Kazdy taki obiekt byl jednak tylko przybIizeniem. Tymczasem sarna przestrzen - tak sit( przynajmniej wydawalo - byla czyms wykraczaj,!cym daleko poza takie przyblizenie: byla bytem na tyle abstrakcyjnym, ze z powodzeniem uWaZano j,! za bezposredni,! realizacjt( platonskiej rzeczywistosci. Nalezalo zdefiniowae, jak mierzye odleglosci w tej idealnej geometrii, i w tym celu trzeba bylo wydobye to idealne pojt(cie liczby rzeczywistej z geometrii przestrzeni Euklidesa, kt6q uWaZano za dan'!. I to zadanie, z powodzeniem, wykonal Eudoksos. W XIX i XX wieku pojawilo sit( przekonanie, ze matematyczne pojt(cie liczby powinno bye niezalezne od natury otaczaj,!cej nas przestrzeni fizycznej. Skoro udalo sit( wykazae, ze istniej,! matematycznie sp6jne geometrie inne niz geometria Euklidesa, to wydawalo sit( calkiem niewlasciwe, zeby matematyczne pojt(cie "geometrii" mialo bye koniecznie wyekstrahowane z hipotetycznej natury "aktualnej" przestrzeni fizycznej. Ponadto powinno bye rzecz'! bardzo trudn,!, 0 ile w og6le mozIiw,!, przedstawienie szczeg610wej natury tej hipotetycznej "platonskiej geometrii fizycznej" w terminach zachowan niedoskonalych obiekt6w fizycznych. Aby zbadae naturt( liczb, za pomoq kt6rych mamy zdefiniowae "odleglosci geometryczne", trzeba koniecznie zdae sobie dokladnie sprawt( z tego, co sit( dzieje w odleglosciach zar6wno nieskonczenie malych, jak i nieograniczenie duZych. Tymczasem nawet obecnie w tych sprawach nie mamy dostatecznej jasnosci (do tego tematu powr6ct( w p6zniejszych rozdzialach). Wlasnie dlatego daleko bardziej odpowiednie bylo rozwinit(cie pojt(cia Iiczby bez bezposredniego odwolywania sit( do fizycznych pomiar6w. Tak rozumuj,!c, Richard Dedekind i Georg Cantor rozwint(Ii teorit( liczb rzeczywistych bez uZywania pojt(e odnosz'!cych sit( bezposrednio do geometrii.
rm [3.4] Czy potrafisz sformulowac te reguly?
57
3
Rodzaje liczb W 5wiecie fizyki
Definicja liczby rzeczywistej sformulowana przez Dedekinda wychodzi z rozwaZenia nieskonczonych zbiorow liczb wymiernych. Pomyslmy sobie, ze wszystkie liczby wymierne (zarowno dodatnie, jak i ujemne oraz zero) zostaly uporzqdkowane od mniejszych do wiykszych. Mozemy sobie wyobrazic, ze to uporzqdkowanie biegnie od lewej do prawej i liczby wymierne ujemne rozciqgajq siy do nieskonczono sci w lewo, z zerem posrodku, a liczby wymierne dodatnie rozciqgajq siy do nieskonczonosci w prawo. (To rozwazanie sluZy tylko pewnej wizualizacji; procedura zastosowana przez Dedekinda jest calkowicie abstrakcyjna.) Dedekind proponuje rozwaZyc dokonanie "przekroju", ktory podzieli ten zbior dokladnie na dwie cZysci, przy czyrn wszystkie liczby po lewej stronie tego przekroju bydq mniejsze od tych po prawej. Jesli "ostrze noza", ktory dokonuje przekroju, "nie trafia" w jakqs liczby wymiernq, ale pomiydzy dwiema liczbami wymiernymi, to mowimy, ze definiuje one "niewymiernq liczby rzeczywistq". Bardziej poprawnie byloby powiedziec, ze tak siy dzieje, kiedy liczby po lewej stronie przeciycia nie majq liczby najwiykszej, a te po prawej - najmniejszej. Kiedy zbior takich "liczb niewymiernych" dolqczymy do znanego juz zbioru liczb wymiernych, otrzymamy kompletnq rodziny liczb rzeczywistych. Ta procedura Dedekinda prowadzi przez proste definicje do regul dodawania, odejmowania, mnozenia i dzielenia liczb rzeczywistych. Ponadto umozliwia nam dokonanie kroku nastypnego i zdefiniowanie pojycia gran icy. Poslugujqc siy tym pojyciem, jestesmy w stanie przyporzqdkowac nieskonczonym ulamkom ciqglym, takim jak
1 + (2 + (2 + (2 + (2 + ... t1 ) -1 ) -1 )
-1
alba jak nieskonczone sumy 111
1
1--+---+--... 3 5 7 9 ' konkretne liczby rzeczywiste. W ten sposob przedstawiony ulamek ciqgly daje h, podczas gdy nieskonczona suma daje w wyniku 1t. Mozliwosc przejscia do granicy jest sprawq fundamentalnq dla wielu pojyc matematycznych i na tym tei: zasadza siy wielka ui:ytecznosc liczb rzeczywistych9. (Czytelnik moglby pamiytac, ze mozliwosc "przejscia do granicy" byla niezbydna do podania ogolnej definicji pola figury; zob. rozdz. 2.3.)
t
3.3 Liczby rzeczywiste w fizycznym 5wiecie
58
W tym miejscu spotykamy siy z bardzo trudnym problemem. Jednym z powaznych czynnikow inspirujqcych postyp w rozwoju idei matematycznych byla zawsze proba stworzenia takich struktur i koncepcji, ktore mozliwie najbardziej precyzyjnie odzwierciedlalyby zachowanie siy swiata fizycznego. Na ogol nie jest jednak mozliwe zbadanie elementow swiata fizycznego w sposob tak precyzyjny, zeby bezpo-
Liczby rzeczywiste w fizycznym swiecie
3.3
srednio wyabstrahowac z nich klarowne pojt(cia matematyczne. Najczt(sciej postt(P jest dokonywany winny sposob: rozwoj pojt(c matematycznych rna swoj,! wIasn,! dynamikt( i nowe koncepcje rodz,! sit( same w jej wlasnych ramach. Idee matematyczne rozwijaj,! sit(, a razem z nimi, w sposob naturalny, pojawiaj,! sit( roznego rodzaju problemy. Niektore z nich (np. problem znalezienia dlugosci przek'!tnej kwadratu) mog,! doprowadzic do zasadniczego rozwinit(cia koncepcji matematycznych, za pomoq ktorych problem zostal pocz'!tkowo sformulowany. Czasem do przyjt(cia tych nowych koncepcji jestesmy po prostu zmuszeni, w innych przypadkach pojawiaj,! sit( one jako wynik poszukiwan sformulowania bardziej eleganckiego, prostszego czy wygodniejszego. Z tych powodow wydaje sit( czasem, ze droga postt(pu matematycznego zmierza w innym kierunku niz ten, ktory byl pocz'!tkowo zamierzony, czyli do wlasciwego przedstawienia swiata fizyki. J ednakZe w wielu przypadkach owo pragnienie matematycznej spojnosci i elegancji prowadzi nas do odkrycia pojt(c i struktur matematycznych, ktore, jak sit( okazuje, ujmuj,! zagadnienia swiat a fizyki w sposob glt(bszy i bardziej rozlegly, niZ tego pocz'!tkowo oczekiwalismy. Czasem sprawia to wrazenie, jakby sarna Natura kierowaia sit( wymogami elegancji i spojnosci, podobnymi do tych, ktore steruj,! matematycznym rozumowaniem. Dobrym przykladem jest przedstawiony tu problem liczb rzeczywistych. Natura nie dostarcza nam bezposrednich dowodow, ze fizyczne pojt(cie "odleglosci" moze byc ekstrapolowane do dowolnie duzej skali; w jeszcze mniejszym stopniu dostarcza nam dowodow na to, ze takie pojt(cie mozna stosowac na poziomie nieskonczenie malych rozmiarow. Nie rna zadnego dowodu na to, ze w zgodzie z geometri,!, ktora do ich opisu posluguje sit( liczbami rzeczywistymi, "punkty" w przestrzeni rzeczywiscie istniej,!. W czasach Euklidesa z trudem mozna bylo znalezc fizyczne uzasadnienie pogl,!du, ze euklidesowe pojt(cie "odieglosci" rna sens dalej niZ poza zasit(g, powiedzmy, 1012 metrow lO , alba ze mozna sensownie rozpatrywac odleglosci mniejsze niz 10-5 metra. Gdy jednak spojrzymy przez pryzmat elegancji i spojnosci koncepcji systemu liczb rzeczywistych, mozemy spostrzec, ze wszystkie dotychczasowe, otwarte i uiyteczne teorie fizyczne, bez zadnego wyj'!tku, posluguj,! sit( tym staroiytnym pojt(ciem liczby rzeczywistej. Jdeli w czasach Euklidesa bylo niewiele dowodow uzasadniaj,!cych takie podejscie, to dzisiaj nasza wiara w system liczb rzeczywistych zostala naprawdt( wynagrodzona. Rozwoj wspolczesnej kosmologii pozwolil nam rozci,!gn,!c zakres odleglosci mierzonych liczbami rzeczywistymi do 1026 metrow i wit(cej, podczas gdy dokladnosc naszych badan w dziedzinie cz'!stek elementarnych daje nam wgl,!d w rozmiary rzt(du 10-17 , a nawet jeszcze mniejsze. (Jedyna skala odieglosci, przy ktorej pojawiaj,! sit( powazne zastrzdenia, jest 0 18 rzt(dow wielkosci mniejsza od tej ostatniej, a wit(c dotyczy odieglosci rZt(du 10-35 metra. Jest to tak zwana "skala Plancka" grawitacji kwantowej i pojawi sit( ona w naszej dyskusji pMniej; zob. rozdz. 31.1, 6-12,14 i 32.7.) Mozemy uwazac za znakomite uzasadnienie stosowania takiej idealizacji matematycznej fakt, ze potrafilismy rozci,!gn,!c zakres stosowalnosci pojt(cia liczby
59
3
Rodzaje liczb w swiecie fizyki
60
rzeczywistej 026 rZyd6w wielkosci - od 17 rZyd6w (10 17 ) od wielkosci najmniejszych do najwiykszych w czasach Euklidesa - do rozpiytosci co najmniej 1043 we wsp6tczesnej fizyce. Ale mozliwosci zastosowan systemu liczb rzeczywistych w swiecie fizycznym s,! duzo wiyksze. Przede wszystkim powinnismy wzi,!e pod uwagy, ze wielkosciami fizycznymi, kt6re w spos6b precyzyjny mozemy opisae za pomoq liczb rzeczywistych, s,! nie tylko odlegiosci, ale r6wniez pola powierzchni i objytosci. Objytosci mierzymy jako trzecie potygi, a pola jako drugie potygi odlegiosci. Zgodnie z tym w przypadku objytosci musimy rozwazae liczby, kt6re stanowi,! trzecie potygi rozmiar6w uprzednio dyskutowanych. W czasach Euklidesa prowadziloby to do rozwaZania obszar6w 0 wielkosci (10 17 )3 = 1051 • Tymczasem we wsp6tczesnych teoriach musimy rozwazae wielkosci rZydu co najmniej (1043 )3 = 10129 • Ponadto, zgodnie ze stanem wsp6tczesnej wiedzy, s,! tei innego rodzaju pomiary fizyczne, do kt6rych niezbydne jest uiycie liczb rzeczywistych. Tutaj mamy przede wszystkim na mysli problem czasu. Wedlug teorii wzglydnosci czas musi bye dol'!czony do rozmiar6w przestrzeni i w ten spos6b przechodzimy do rozwazania czasoprzestrzeni (kt6r,! bardziej szczeg610wo zajmiemy siy w rozdz. 17). Objytose czasoprzestrzeni jest czterowymiarowa, w zwi,!zku z czym powinnismy poszerzye zakres stosowanych liczb 0 zakres odpowiadaj,!CY swiatowym rozmiarom czasowym (wedlug najnowszych teorii to jest skala 43 rZyd6w wielkosci), co razem z wielkosciami przestrzennymi daje w sumie co najmniej 10172 • P6zniej zobaczymy, ze istnieje potrzeba rozwaZania nawet jeszcze wiykszych liczb rzeczywistych (zob. rozdz. 27.13 i 28.7), aczkolwiek w pewnych przypadkach nie jest jasne, ze koniecznie trzeba poslugiwae siy liczbami rzeczywistymi (a nie wystarczylyby, na przyklad, tylko liczby calkowite). Jeszcze wazniejsza rola liczb rzeczywistych dla rozwoju teorii fizycznych, ito od czas6w Archimedesa, poprzez Galileusza i Newtona, do Maxwella, Einsteina, Schr6dingera, Diraca i innych, polega na tym, ze tworz'! one ramy, w kt6rych mozemy sformulowae zasady rachunku r6iniczkowego i calkowego (zob. rozdz. 6). Bez tego rachunku nie mozna skonstruowae zadnej skutecznej teorii dynamicznej. Konwencjonalne podejscie do rachunku r6zniczkowego wymaga infinitezymalnej natury liczb rzeczywistych. Inaczej m6wi,!c, na koncu skali, kt6ry odpowiada malym liczbom, konieczne jest wykorzystanie calego zakresu liczb rzeczywistych. Idee rachunku r6zniczkowego lez,! u podstaw okreslenia wielkosci fizycznych takich jak prydkose, pyd, moment pydu, energia. W konsekwencji system liczb rzeczywistych w spos6b fundamentalny wkracza do teorii fizycznych, umozliwiaj,!c okreslenie, czym S,! rozwazane przez nas wielkosci fizyczne. W tym miejscu, podobnie jak we wspomnianym juz przypadku obliczania p61 powierzchni (w rozdz. 2.3 i 3.2), musimy przywolae na pomoc system liczb rzeczywistych w zakresie liczb nieskonczenie malych. Pomimo to nadal wydaje siy uprawnione pytanie, czy system liczb rzeczywistych jest naprawdy "poprawn,! metod'!" opisu swiata fizycznego w jego najglybszych aspektach. Kiedy na pocz'!tku lat dwudziestych XX wieku rodzily siy idee
Liczby rzeczywiste w fizycznym swiecie
3.3
mechaniki kwantowej, wowczas wydawalo siy, ze w skali mikroswiata zaczynamy dostrzegae jakqs dyskretnq czy tez ziarnistq struktury materii ll . Wydawalo siy, ze energia moze bye rozwai:ana tylko w pewnych skonczonych porcjach - czy w "kwantach", a wielkosci fizyczne takie jak "dzialanie" czy "spin" mogq wystypowae tylko jako wielokrotnosci pewnych podstawowych jednostek (zob. rozdz. 20.1, 5, gdzie jest zdefiniowane klasyczne pojycie dzialania, a w rozdz. 26.6 jego kwantowy odpowiednik; czym jest spin - zob. rozdz. 22.8-12). Idqc w tym kierunku, wielu fizykow probowalo skonstruowae alternatywny obraz swiata, w ktorym dyskretne (0 skonczonych rozmiarach) procesy rzqdzityby wszystkimi zjawiskami na tym poziomie. Zgodnie z obecnym rozumieniem mechaniki kwantowej, teoria ta nie zmusza (ani nawet tego nie sugeruje) do przyjycia punktu widzenia, ze na najnizszych poziomach kwantowego mikroswiata przestrzen, czas czy energia majq struktury ziarnistq bqdz dyskretnq (zob. rozdz. 21 i 22, w szczegolnosci ostatnie zdanie rozdz. 22.13). Pomimo to idea, zgodnie z ktorq swiat kwantowy moglby miee u swoich fundamentow struktury dyskretnq, nie zostala zarzucona. Na przyklad wielki tworca teorii kwantow Erwin Schrodinger byt jednym z pierwszych, ktory sugerowal, ze konieczne moze bye przejscie do rozwazania jakiejs dyskretnej struktury przestrzeni 12. Koncepcja pnedziaiu ciqglego, tak popularna obecnie wsr6d matematyk6w, jest ogromn,!, bardzo przesadn'! ekstrapolacj,! tych obserwacji, kt6re s,! nam dostypne.
Idey dyskretnosci Schrodinger wiqzal z poglqdami staroi:ytnych Grekow, ktorzy tez rozwazali ziarnistq budowy Natury. Rowniez Einstein w swoich ostatnich opublikowanych pracach sugerowal, ze odpowiedniq dla przyszlej fizyki powinna bye jakas teoria algebraiczna oparta na wielkosciach dyskretnych I3 : "Mozna podae solidne powody, dla kt6rych rzeczywistose nie moze bye opisana za pomoq ci,!gtego pola. [... J Zjawiska kwantowe [... Jwskazuj,! na potrzeby znalezienia czysto algebraicznej tearii, kt6ra opisywataby rzeczywistose. Nikt jednak nie wie, jak skonstruowae podstawy takiej teorii,,14.
Inni naukowcy15 rowniez usitowali rozwijae te idee (zob. rozdz. 33.1). TakZe ja sam pod koniec lat piyedziesiqtych zajmowalem siy tq sprawq i nawet skonstruowalem schemat, ktory nazwalem teoriq "sieci spinowych". W tym kombinatorycznym podejsciu do fizyki podstawowym elementem konstrukcyjnym powinien bye dyskretny charakter kwantowy spinu (a wiyc dyskretny, ale niekoniecznie oparty na liczbach rzeczywistych; schemat ten zostanie krotko opisany w rozdz. 32.6). Aczkolwiek moje wlasne idee na tym polu nie rozwinyly siy do poziomu spojnej teorii (jednakZe, przeformulowane, zostaly wykorzystane w tzw. teorii twistorow; zob. rozdz. 33.2), to teoria sieci spinowych zostala ostatnio przejyta przez innych fizykow i wykorzystana w jednym z glownych program ow ataku na fundamentalny problem kwantowej grawitacji l6 • Krotki opis tych roznych pomystow przedstawiy w rozdz. 32. Ale tak czy inaczej, dzisiejsze stanowisko fizyki teoretycznej - i tak
61
3
Rodzaje liczb w swiecie fizyki
bylo przez 24 stulecia - polega na tym, ze liczby rzeczywiste wci,!z stanowi,! podstawowy skladnik naszego rozumienia fizycznego swiata.
3.4 Czy liczby naturalne
62
potrzebuj~
fizycznej rzeczywistosci?
W rozdz. 3.2, opisuj,!c podejscie Dedekinda do problemu liczb rzeczywistych, przyj,!lem zalozenie, ze "zrozumiale" jest pojycie liczb wymiernych. I faktycznie, nie jest rzecz'! trudn'! przejse od liczb calkowitych do wymiernych; liczby wymierne s,! po prostu stosunkami liczb calkowitych (zob. Przedmowa). Ale jak siy przedstawia sprawa ze zrozumieniem, czym s,! liczby calkowite? Czy to s,! liczby zakorzenione w ideach fizycznych? Z cal,! pewnosci,! dyskretne podejscie do fizyki, 0 kt6rym m6wilismy w dwu poprzednich rozdzialach, zwi,!zane jest z naszym zrozumieniem pojycia liczby naturalnej (a wiyc kolejnej liczby porz,!dkowej) oraz jego poszerzenia, poprzez wl,!czenie liczb ujemnych do pojycia liczby calkowitej. Grecy nie uwazali liczb ujemnych za "prawdziwe liczby", dlatego zapytajmy najpierw, jaki jest fizyczny status samych liczb naturalnych. Liczby naturalne S,! wielkosciami, kt6re obecnie oznaczamy symbolami 0, 1, 2, 3, 4 itd., a wiyc s,! to nieujemne liczby calkowite. (Wsp6lczesne procedury wl,!czaj,! do tego spisu liczb naturalnych r6wniez 0, co jest wlasciwe z matematycznego punktu widzenia, ale staroi:ytni Grecy nie uWaZali zera za "prawdziw,! liczby". Na wl,!czenie zera trzeba bylo czekae na hinduskich matematyk6w z Indii, poczynaj,!c od Brahmagupty w VII wieku, po kt6rym pojawili siy Mahawira w IX wieku i Bhaskara w XII w.) Znaczenie liczb naturalnych jest jasne i niedwuznaczne. S,! to rzeczywiscie najbardziej elementarne "liczby kolejne", kt6re odgrywaj,! zasadnicz'! roly przy formulowaniu wszystkich praw geometrii i fizyki. Na liczbach naturalnych mozemy wykonywae pewne dobrze nam znane operacje, przede wszystkim operacje dodawania (jak np. 37 + 79 = 116) i mnozenia (np. 37 x 79 = 2923), kt6re pozwalaj,! w okreslony spos6b l,!czye ze sob,! pary liczb naturalnych tak, aby w wyniku otrzymywae inne liczby naturalne. Te operacje S,! niezalezne od natury geometrii swiata. Mamy jednak prawo postawie pytanie: czy liczby naturalne, same w sob ie, maj,! jakis sens, a wiyc czy mozemy powiedziee, ze istniej,! w oderwaniu od natury swiata fizyki? Bye moze nasza idea liczb naturalnych jest uzalezniona od trwalego istnienia w tym swiecie dobrze okreSlonych obiekt6w materialnych. W koncu liczby naturalne pojawiaj,! siy wtedy, kiedy zamierzamy policzye jakieS konkretne rzeczy. Ale to by oznaczalo, ze liczby naturalne maj,! sens tylko wtedy, gdy w swiecie fizycznym istniej,! trwale dobrze odr6znialne rzeczy, kt6re maj,! ty wlasnose, ze mog,! bye "policzone". A co by bylo, gdyby nasz WszechSwiat mial tak'! wlasciwose, ze istniej,!ce w nim obiekty zmienialyby swoj,! licznose? Czy w takim swiecie pojycie liczb naturalnych byloby r6wnie "naturalne" i oczywiste jak w naszym? A moze nasz WszechSwiat zawiera tylko skonczon,! ilose "rzeczy", a w takim razie tych "naturalnych" liczb tez bylaby tylko skonczona ilose? Po-
ezy liczby naturalne potrzebujq fizycznej rzeczywistosci?
3.4
nadto jestesmy w stanie wyobrazie sobie wszechSwiat wypelniony tylko jakimis amorficznymi substancjami, do ktorych stosowanie pojycia liczby byloby najzupelniej nieodpowiednie. Czy w takim swiecie pojycie "liczby naturalnej" mialoby jakis zwi,!zek z rzeczywistosci,!? Nawet gdyby mieszkancy takiego swiata z trudem znajdowali jakis fizyczny odpowiednik naszego pojycia "liczby naturalnej", to trudno sobie wyobrazie, ze tak fundamentalne pojycie nie odgrywaloby zadnej istotnej roli. Istnieje wiele sposobow wprowadzenia liczb naturalnych do czystej matematyki i nie wydaj,! siy one zwi'!zane z naszymi wyobrazeniami 0 otaczaj,!cym swiecie. Podstawowym pojyciem, ktore musimy tutaj przywolae, jest pojycie zbioru - abstrakcyjne - w zaden sposob niezwi'!Zane ze specyficzn,! natur,! naszego WszechSwiata. Z tym pojyciem zwi'!zane s,! pewne subtelnosci, ktore na razie pominiemy, ale powrocimy do nich pozniej (w rozdz. 16.5). RozwaZmy pewien szczegolny sposob (antycypowany przez Cantora, ale ostatecznie rozwiniyty przez wybitnego matematyka Johna von Neumanna), w ktorym liczby naturalne zostaj,! wprowadzone za pomoc,! abstrakcyjnego pojycia zbioru. Procedura ta pozwala nam na zdefiniowanie czegos, co nazywamy "liczbami porz,!dkowymi". Najprostszy mozliwy zbior bydziemy nazywali "zbiorem zerowym" alba "zbiorem pustym". Charakteryzuje siy on tym, ze nie zawiera anijednego elementu! Zbior pusty jest zwykle oznaczany symbolem 0, i mozemy napisae definicjy:
0= {}, gdzie nawiasy klamrowe ograniczaj,! pewien zbior, ktorego elementy s,! wymienione w srodku. W danym przypadku wewn'!trz nawiasow nie rna zadnych elementow, a wiyc omawiany zbior jest istotnie zbiorem pustym. Przyporz,!dkujmy zbiorowi 0 liczby naturaln,! o. Mozemy teraz pojse krok dalej i zdefiniowae zbior, ktorego jedynym element em bydzie 0, czyli zbior {0}. Wazne jest, zebysmy mieli swiadomose, iz zbior {0} nie jest tym samym zbiorem co zbior pusty 0. Zbior {0} zawiera jeden element (tym elementem jest 0), podczas gdy 0 nie zawiera w ogoIe zadnego elementu. Przyporz,!dkujmy zbiorowi {0} liczby naturaln,! 1. Nastypnie zdefiniujemy zbior zawieraj,!cy dwa elementy i tymi element ami b,!d,! oba przed chwil,! rozwazane zbiory, 0 i {0}, a wiyc zbior {0, {0}}, i temu zbiorowi przyporz,!dkujmy liczby 2. Liczby 3 przyporz,!dkujemy zbiorowi, ktory bydzie zawieral wszystkie te trzy elementy, a wiyc {0, {0}, {0, {0}}, a liczby 4 zbiorowi {0, {0}, {0, {0}}, {0, {0, {0}}}} itd. Wprawdzie zwykle nie myslimy 0 liczbach naturalnych w ten sposob, ale tak wlasnie do definicji tego pojycia dochodz,! matematycy (por. z dyskusj,! przeprowadzon,! w Przedmowie). Ponadto ten przyklad pokazuje nam, ze liczby naturalne 17 mog,! bye wyprowadzone doslownie z niczego, dziyki posluzeniu siy jedynie abstrakcyjnym pojyciem zbioru. Mozemy skonstruowae nieskonczon'! sekwencjy calkowicie abstrakcyjnych (platonskich) bytow idealnychzbiorow - zawieraj,!cych, odpowiednio, jeden, dwa, trzy itd., elementow, po jednym zbiorze dla kazdej liczby naturalnej, zupelnie bez odniesienia do fizycznej
63
3
Rodzaje liczb w swiecie fizyki
natury naszego WszechSwiata. Na rys. 1.3 zilustrowalismy pewien rodzaj niezaleznego istnienia platonskich idei matematycznych, lecz "istnienie" moze bye wyprowadzone i rozpoznane jedynie na drodze pracy umyslowej i natyzenia wyobrazni, bez jakiegokolwiek zwiqzku ze szczegolami natury otaczajqcego nas swiat a fizyki. Co wiycej, konstrukcja Dedekinda pokazuje, jak ta czysto rozumowa procedura moze bye kontynuowana, umozliwiajqc nam "zbudowanie" calego systemu liczb rzeczywistych 18 , i wszystko to nadal bez odnoszenia siy do fizycznej realnosci. Pomimo ze, jak to juz podkreslalismy, liczby rzeczywiste majq bezposredni zwiqzek z realnq strukturq WszechSwiata - co ilustruje bardzo tajemniczy charakter "pierwszej zagadki" zobrazowanej na rys. 1.3.
3.5 Liczby dyskretne w swiecie fizyki
64
Wybieglismy nieco do przodu. Przypomnijmy sobie, ze przeprowadzajqc konstrukcjy Dedekinda, posluZylismy siy zbiorem liczb wymiernych, a nie bezposrednio zbiorem liczb naturalnych. Nadmienialismy juz, ze jesli mamy zdefiniowane pojycie liczby naturalnej, to nie jest trudno okreslie, co rozumiemy przez liczby wymierne. Ale, jako krok posredni, wlasciwe bydzie zdefiniowanie pojycia liczby calkowitej, ktora jest albo liczbq naturalnq, albo "przeciwienstwem" liczby naturalnej (liczba zero jest swoim wlasnym przeciwienstwem). W sensie formalnym nie jest trudno podae definicjy "przeciwienstwa": do kazdej liczby naturalnej (z wyjqtkiem liczby 0) dodajemy pewien "znak" zapisywany jako ,,-" i definiujemy logicznie wszystkie arytmetyczne reguly dodawania, odejmowania, mnozenia i dzielenia (z wyjqtkiem dzielenia przez 0). To jednak nie przybliza nas wcale do odpowiedzi na pytanie, jakie jest "fizyczne znaczenie" liczby ujemnej. COZ by to bowiem mialo na przyklad znaczye, ze na polu mamy minus trzy krowy? Mysly, ze w odroznieniu od samych liczb naturalnych, nie rna zadnej ewidentnej fizycznej tresci w pojyciu liczby ujemnej w odniesieniu do fizycznych przedmiotow. Ujemne liczby calkowite z calq pewnosciq majq ogromne znaczenie organizacyjne, na przyklad przy sporzqdzaniu bilansow bankowych i w innych operacjach finansowych. Ale czy one majq bezposredni zwiqzek ze .swiatem fizycznym? Kiedy uZywam slow "bezposredni zwiqzek", nie mam na mysli takich sytuacji, w ktorych moze siy wydawae, ze ujemne liczby rzeczywiste Sq wlasciwymi miarami; tak na przyklad odleglose mierzona w jednym kierunku moze bye uwazana za dod atniq, a mierzona w kierunku przeciwnym za ujemnq (albo w odniesieniu do czasu, kiedy czas rozciqgajqcy siy w przeszlose moglby bye traktowany jako ujemny). Raczej mam na mysli liczby dotyczqce wielkosci skalamych, a wiyc tych, w ktorych nie pojawia siy kwestia kierunku (przestrzennego czy czasowego). I w przypadku takich wielkosci okazuje siy, ze system liczb calkowitych zarowno dodatnich, jak i ujemnych rna bezposrednie fizyczne znaczenie. Jest faktem godnym uwagi, ze dopiero w ostatnim stuleciu stalo siy jasne, iz liczby calkowite rzeczywiscie majq bezposredni zwiqzek ze swiatem fizyki. Pierw-
Liczby dyskretne w swiecie fizyki
3.5
szym przyldadem wielkosci, ktora wydaje siy wlasciwie kwantyfikowana za pomoc<j, liczb calkowitych, jest ladunek elektrycznl 9• Zgodnie ze stanem wspolczesnej wiedzy (aczkolwiek nie rna jeszcze kompletnej teorii tego faktu) ladunek elektryczny dowolnego izolowanego ciala jest okreslony jako calkowita wielokrotnosc dodatnia, ujemna lub zero - pewnej szczegolnej wartosci, a mianowicie ladunkuprotonu (albo elektronu, ktorego ladunekjest negatywem ladunku protonu)20. Obecnie uwaza siy, ze same protony s<j, zlozone z jeszcze mniejszych elementow, nazywanych kwarkami (oraz dodatkowych cZ<j,stek, pozbawionych ladunku elektrycznego, zwanych gluonami). Na kazdy proton skladaj<j, siy trzy kwarki, ktorych ladunki elektryczne wynosz<j" odpowiednio, Te ladunki siy dodaj<j, i, jako ladunek wypadkowy protonu, otrzymujemy 1. Jesli kwarki S<j, fundamentalnymi elementami, wowczas ladunek elektryczny jest jedn<j, trzeci<j, ladunku uwazanego za taki pierwotnie. Wci<j,z jednak jest prawdziwe powiedzenie, ze ladunek elektryczny stanowi zawsze calkowit<j, wielokrotnosc ladunku elementarnego, tyle ze obecnie za ty elementarn<j, jednostky uwaza siy jedn<j, trzeci<j, ladunku protonu. (Roly kwarkow i gluonow we wspolczesnej fizyce cZ<j,stek elementarnych omowimy w rozdz. 25.3-7.) Ladunek elektryczny naleZy do wielkosci, ktore nazywamy addytywnymi liczbami kwantowymi. Liczby kwantowe sluz<j, do scharakteryzowania cZ<j,stek stanowi<j,cych elementarne skladniki Natury. Liczby kwantow<j" ktora jest zawsze liczb<j, rzeczywist<j" nazywamy addytywnq, jezeli dla scharakteryzowania jakiegos zlozonego elementu wystarczy dodac do siebie wartosci tej liczby dla poszczegolnych element6w skladowych, z uwzglydnieniem znak6w, tak jak to zrobi1ismy, dodaj<j,c do siebie ladunki elektryczne kwarkow tworz<j,cych jeden proton. Jest naprawdy uderzaj<j,ce, ze zgodnie ze stanem wspolczesnej wiedzy wszystkie addytywne liczby kwantowe 21 mozna zapisac za pomoc<j, liczb calkowitych - a nie og6lnych liczb rzeczywistych i liczb naturalnych - albowiem wystypuj<j, takZe ujemne wartosci. Istotnie, zgodnie ze stanem wiedzy fizyki XX wieku, ujemne wartosci liczb kwantowych maj<j, scisle okreslony sens fizyczny. Wielki fizyk angielski Paul Dirac przedstawil w latach 1929-1931 teoriy antycz<j,stek, zgodnie z kt6r<j, Uak to poiniej zrozumiano) dla kazdego typu cZ<j,stki mozna znaleic odpowiedni<j, antyczqstk~, kt6rej addytywna liczba kwantowa jest r6wna liczbie kwantowej samej cZ<j,stki, ale wziytej z przeciwnym znakiem; zob. rozdz. 24.2, 8. A zatem system liczb calkowitych (z ujemnymi wl<j,cznie) rna jasne odniesienie do fizycznej rzeczywistosci - ale sprawa ta stala siy klarowna dopiero w XX wieku, niezaleznie od faktu, ze liczby calkowite przez wieki odgrywaly ogromn<j, roly w matematyce, w han dIu i w wielu innych obszarach ludzkiej dzialalnosci. Trzeba tu zrobic jedno wazne zastrzezenie. W pewnym sensie jest prawd<j" ze antyproton jest "ujemnym protonem", ale to wcale nie oznacza, ze jest to "minus jeden proton". Wynika to st<j,d, ze znak przypisujemy tylko addytywnym liczborn kwantowym, podczas gdy pojycie masy nie jest wielkosci<j, addytywn<j, we wsp61czesnej fizyce teoretycznej. Powiemy 0 tym wiycej w rozdz. 18.7. Gdybysmy chcieli
65
t, t, -to
3
Rodzaje liczb W 5wiecie fizyki
uiye okreslenia "minus jeden proton", to musielibysmy miee na uwadze antyproton, ktorego masa odpowiadalaby masie protonu, ale z przeciwnym znakiem. Tymczasem cz'!stki fizyczne nie mog,! miee ujemnej masy. Antyproton rna tak'! sam,! masC( jak zwykly proton i jest to masa dodatnia. W pozniejszych rozdzialach zobaczymy, ze zgodnie z koncepcjami kwantowej teorii pola istniej,! takie twory (nazywane cz'!stkami "wirtualnymi"), ktorych mas a (a poprawniej byloby powiedziee energia) moze bye ujemna. Sformulowanie "minus jeden proton" oznaczae by musialo antyproton wirtualny. JednakZe cz'!stki wirtualne nie istniej,! samoistnie w tym sensie, w jakim istniej,! zwykle cz'!stki. Sprobujmy teraz przeanalizowae w podobny sposob zagadnienie liczb wymiernych. ezy liczby wymierne maj,! jakies bezposrednie odniesienie do fizycznej rzeczywistosci? Jak dot,!d, przynajmniej po rozwaieniu spraw w ramach istniej,!cych teorii, nie nam na ten temat nie wiadomo. S,! wprawdzie pewne intryguj,!ce zjawiska22 , w ktorych liczby wymierne mog,! odgrywae jak,!s rolC(, ale trudno na tej podstawie utrzymywae, ze to jakas zasadnicza sprawa. Rownoczesnie jest mozliwe, ze rola liczb wymiernych stanie siC( bardziej znacz'!ca w probabilistyce kwantowej (prawdopodobienstwo, wyraione liczb,! wymiern,!, mogloby przedstawiae wybor pomiC(dzy alternatywami, z ktorych kazda odpowiadalaby skonczonej ilosci mozliwosci). Tego rodzaju rozwaiania bC(d,! odgrywaly pewn'! rolC( w teorii sieci spinowych, 0 czym opowiemy w rozdz. 32.6. Na razie jednak wlasciwy status tych idei jest niejasny. Istniej,! jeszcze inne liczby, ktore, zgodnie z obowi,!zuj,!cymi teoriami, odgrywaj,! fundamentaln,! rolC( w zjawiskach Wszech§wiata. Najwazniejszymi z nich i najbardziej zadziwiaj,!cymi S,! liczby zesp%ne, wsrod nich nieomal mistyczna wielkose ~,oznaczana jako "i" i dol'!czona do systemu "prawdziwych" liczb. Ludzie zetknC(li siC( z nimi po raz pierwszy w XVI wieku, choe przez cale stulecia traktowane byly podejrzliwie. Stopniowo jednak uZytecznose matematyczna liczb zespolonych przekonywala coraz bardziej naukowcow, az wreszcie staly siC( one niezbC(dnym, w pewnym sensie nawet magieznym elementem naszego matematycznego myslenia. Teraz odkrywamy, ze te liczby maj,! znaczenie fundamentalne nie tylko dla matematyki: te niezwykle liczby zaczC(ly odgrywae nadzwyczajn,! i podstawow'! rolC( w zjawiskach zachodz'!cych w przestrzeni fizycznej w skali najmniejszych rozmiarow. Jest to prawdziwy powod zadziwienia i moze nawet bardziej uderzaj,!cy przypadek zbieznosci pomiC(dzy ide ami matematycznymi a zjawiskami fizycznymi niZ w wypadku liczb rzeczywistych, 0 ktorych dyskutowalismy w tym rozdziale. Zapoznajmy siC( wiC(c z liczbami zespolonymi.
Przypisy 1
66
Rozdzial 3.1 Notacja uiywana W tej ksi,!ice, >, 02, czyli e 2 + J2 # 0, i spokojnie mozemy dzielic przez e2 + d2• Wykonujqc proste ewiczenie[4.1 l, przekonamy sit( (mnozqc obie strony otrzymanego wyrazenia przez e + id), ze
(a + ib) (e + id)
---=
ae + bd . be - ad +1---. e2 + d 2 e2 + d 2
To wyrazenie rna takq samq postac jak poprzednie, a wit(c jest to znowu liczba zespolona. Kiedy przyzwyczaimy sit( do operowania liczbami zespolonymi, mozemy przestac myslec 0 liczbie a + ib jako 0 parze dwach liczb rzeczywistych a i b, a zaczqc uwaiac a + ib za twar samoistny i oznaczyc go jednq literq, powiedzmy z, ktara teraz bt(dzie oznaczala calq liczbt( zespolonqz = a + ib. Latwo przekonac sit(, ze tak zdefiniowane liczby zespolone spelniajq wszystkie reguly normalnej algebry[4.2l. W istocie jest to mniej skomplikowane niz sprawdzenie zastosowania tych regul do liczb rzeczywistych (w celu takiego sprawdzenia musielibysmy najpierw zalo:lyc, ze zbadalismy, iz te reguly dzialajq w przypadku ulamkaw, a nastt(pnie u:lyc przekroju Dedekinda, aby pokazac, ze dzialajq rawniez w przypadku liczb rzeczywistych). Z tego punktu widzenia wydaje sit( nadzwyczajne, ze liczby zespolone traktowano tak dlugo z nieufnosciq, podczas gdy duzo bardziej formalnie skomplikowane przejscie od liczb wymiernych do liczb rzeczywistych bylo ogalnie akceptowane juz od czasaw staro:lytnych Grekaw. Prawdopodobnie przyczynq tej nieufnosci byl fakt, ze w otaczajqcej rzeczywistosci trudno bylo dostrzec jakies oczywiste zastosowanie tych liczb. W przypadku liczb rzeczywistych odleglosci, czasy i inne wielkosci fizyczne dostarczaly odpowiednich przykladaw, wystarczajqcych do uznania ich realnego znaczenia; natomiast liczby zespolone wydawaly sit( calkowicie wymyslone, powolane do ist-
ta
70
[4.1] Wykonaj te obliczenia. Alternatywnie: czy mozesz sprawdzic ten wzor, mnozqc obie strony przez (c - id)? B [4.2] Sprawdi to. Odpowiednie reguly Sq nastt(pujqce: w +z =Z +w, w + (u +Z) = (w +u) +z, wz =zw, w(uz) = (wu)z, w(u +z) = wu + wz, w + 0 = w, wI = w.
Magiczna liczba "i"
4.1
nienia przez matematyk6w, kt6rzy potrzebowali liczb 0 jakims szerszym zakresie zastosowan od tych, jakimi do tej pory rozporzqdzali. War to w takim razie przypomniec sobie z rozdz. 3.3, ze zwiqzek liczb rzeczywistych z fizycznymi miarami odleglosci i czasu po blizszej analizie tez nie okazal siy tak oczywisty, jak na poczqtku uwazalismy. Wcale nielatwo bezposrednio przyjrzec siy szczeg610m przekroju Dedekinda, nie jest tez jasne, ze w przyrodzie istniejq dowolnie male czasy i odleglosci. Ktos m6g1by sqdzic, ze tak zwane liczby rzeczywiste Sq w takim samym stopniu jedynie wytworem wyobrazni matematyk6w jak liczby zespolone. Jednak zobaczymy, ze liczby zespolone, w takim samym stopniu jak rzeczywiste, a moze nawet bardziej, istniejq w zadziwiajqcej symbiozie z otaczajqcq nas rzeczywistosciq. To tak, jak gdyby Przyroda sarna byla pod podobnym jak my wrazeniem zakresu i sp6jnosci systemu liczb zespolonych i oddala w ich wladanie precyzyjne operacje swojego swiata w najbardziej mikroskopijnej skali. W rozdz. 21-23 zobaczymy, jak to siy dzieje. Ale sarno stwierdzenie stosowalnosci i logicznej sp6jnosci pojycia liczb zespolonych nie oddaje w pelni ich powabu. Posiadajq one jeszcze cos innego, co potrafiy okreslic tylko jako "magiy". W pozostalej czysci tego rozdzialu i w nastypnym spr6bujy przekazac czytelnikowi pewne odczucie tej magii. A w rozdzialach 7-9 zobaczymy ponownie, jak te magiczne wlasciwosci liczb zespolonych manifestujq siy w najbardziej zadziwiajqcy i nieoczekiwany spos6b. W ciqgu czterech stuleci, kt6re uplynyly od czasu odkrycia liczb zespolonych, poznalismy wiele ich magicznych wlasciwosci. Byl to jednak rodzaj magii, dostypnej tylko tym, kt6rzy zajmowali siy czystq matematykq, pozwalajqc im poruszac siy skutecznie w obszarach niedostypnych dla parajqcych siy samymi liczbami rzeczywistymi. Nie bylo natomiast zadnego powodu przypuszczae, ze bydq one kiedykolwiek uiyteczne w swiecie fizyki. Przez okolo 350 lat od czasu powstania prac Cardana i Bombellego urok liczb zespolonych objawial siy tylko poprzez ich roly w poszukiwaniach matematyk6w. Dla wszystkich, kt6rzy nie wierzyli w "praktyczne" aspekty liczb zespolonych, musialo bye ogromnym zaskoczeniem, kiedy w ostatnich trzech ewierewieczach xx stulecia okazalo siy, ze prawa rzqdzqce zachowaniem siy WszechSwiata w spos6b fundamentalny zwiqzane Sq z liczbami zespolonymi. Sprawa ta bydzie centralnym zagadnieniem w dalszych czysciach ksiqzki (szczeg6lnie w rozdz. 21-23, 26 i 31-33). Teraz spr6bujmy skoncentrowae siy na matematycznej stronie magii liczb zespolonych, pozostawiaj,!c strony fizyczn,! na p6zniej. Przypomnijmy wiyc, ze nasze z,!danie sprowadzalo siy do tego, aby znaIde liczby, kt6ra jest pierwiastkiem kwadratowym z liczby ,,-1", przy zachowaniu normalnych regul arytmetyki. Przekonalismy siy, ze wszystkie nasze wymagania mog,! bye spelnione i jak dot,!d, w spos6b calkiem naturalny i normalny. Przejdzmy wiyc teraz do magii!
71
4
Magiczne liczby zespolone
4.2
Rozwi~zywanie
r6wnaft z liczbami zespolonymi
W omawianych obecnie zagadnieniach konieczne jest wprowadzenie nieco wiycej wzor6w matematycznych nii w poprzednich rozdzialach. Bardzo mi przykro z tego powodu. Jednakie prawie niemoiliwe jest przedstawienie powainych idei matematycznych bez zastosowania pewnej liczby oznaczen matematycznych. Zdajy sobie sprawy, ie bydzie to klopotliwe dla wielu czytelnik6w. Mam dla nich rady nastypuj,!c,!: niech spr6buj,! czytac tekst, nie przejmuj,!c siy specjalnie zrozumieniem r6wnan matematycznych. Rzucic na nie okiem i przejsc dalej. Rzeczywiscie w ksi,!ice czai siy sporo powainych formul matematycznych, rozproszonych w r6inych cZysciach, szczeg6lnie w ostatnich rozdzialach. Wierzy, ie wiele przedstawionych problem6w moina poj,!c nawet bez szczeg610wego zrozumienia pojawiaj,!cych siy r6wnan i wyraien matematycznych. Mam tak,! nadziejy, poniewai magia liczb zespolonych jest sarna w sobie zjawiskiem cudownym i dlatego wartym bliiszego poznania. A jesli czytelnik jest w stanie poradziC sobie z zapisem matematycznym, tym lepiej. Zapytajmy najpierw, czy inne liczby maj,! pierwiastki kwadratowe. Na przyklad, czy istnieje pierwiastek kwadratowy z liczby -2? Odpowiedz jest prosta. Jesli podniesiemy do drugiej potygi liczby zespolon'! iJi, to otrzymamy -2 i taki sam bydzie wynik podniesienia do kwadratu liczby -iJi. Co wiycej, dla kaidej dodatniej liczby rzeczywistej a liczba zespolona i.,Ja, a takie liczba -i.,Ja, podniesione do kwadratu, daj,! w wyniku -a. Ale to rzecz normalna i w tym nie rna iadnej magii. A jak bydzie z dowoln'! liczb,! zespolon,!, a + ib, gdzie a i b s,! dowolnymi !iczbami rzeczywistymi? Okazuje siy, ie liczba zespo!ona
podniesiona do kwadratu daje w wyniku a + ib (i tyle sarno daje podniesienie do kwadratu liczby do niej przeciwnej)[4.31• Widzimy wiyc, ie dol,!czylismy tylko do naszego ukladu liczb rzeczywistych pierwiastek kwadratowy z jednej pojedynczej wielkosci, z liczby ,,-1", i od razu znalezlismy system liczbowy, w kt6rym dowolna liczba, automatycznie, rna pierwiastek kwadratowy! To zupelnie inna sytuacja nii ta, z kt6q mielismy do czynienia, gdy przechodzilismy od liczb wymiernych do rzeczywistych. W tamtym przypadku sarno dol,!czenie do ukladu liczb wymiernych Ji donik,!d by nas nie doprowadzilo. Ale to dopiero pocz'!tek. Moiemy teraz zapytac 0 istnienie pierwiastk6w trzeciego stopnia, pi,!tego stopnia, 999-go stopnia, n-go stopnia, a nawet i-go stopnia. W cudowny spos6b okazuje siy, ie gdy wezmiemy pierwiastek dowolnego stopnia z dowolnej liczby zespolonej (z wyj'!tkiem 0), zawsze znajdujemy liczby zespo-
72
f:8 [4.3] Sprawdi to.
Rozwiqzywanie r6wnan z liczbami zespolonymi
4.2
lonq, ktora rozwiqzuje problem. (W rzeczywistosci, jak to niebawem zobaczymy, bC(dzie kilka rozwiqza6. tego problemu. ZauwaZylismy juz, ze kiedy szukamy pierwiastka kwadratowego, zawsze znajdujemy dwa rozwiqzania, poniewaz jesli jakas liczba zespolona z jest pierwiastkiem, to pierwiastkiem jest rowniez liczba do niej przeciwna, -z. Gdy szukamy pierwiastkow wyzszego stopnia, zawsze znajdziemy wiC(cej rozwiqza6.; zob. rozdz. 5.4.) Wciqz jedynie slizgamy siy po powierzchni skrywajqcej dziwy liczb zespolonych. Wszystko to, 0 czym przed chwilq powiedzielismy, mozna udowodnie bardzo latwo (z chwilq gdy zrozumiemy, czymjest logarytm z liczby zespolonej, w rozdz. 5). Duzo bardziej godne uwagi jest tzw. podstawowe twierdzenie algebry, ktore glosi, ze rownanie wielomianowe, na przykiad
1-z +Z4 =
°
alba
1t+iz-.J417z 3 +Z999 =0, rna rozwiqzania w dziedzinie liczb zespolonych. Albo, mowi,!c bardziej precyzyjnie, kai:de rownanie typu
r
r
ao+ajz + a2 + a3 + ... + an:i' = 0, gdzie ao' al' az' a3 , ... , an Sq zadanymi liczbami zespolonymi ian *- 0, zawsze rna rozwiqzanie (zwykle szereg roznych rozwiqza6.)2. Dla porownania przypomnijmy sob ie, ze liczba "i" zostala wprowadzona glownie w tym celu, zeby mozna bylo rozwiqzae jedno szczegolne rownanie 1 +Z2 = 0. Wszystko inne dostaniemy za danno! Zanim przejdziemy dalej, warto wspomniee 0 problemie, ktorym zajmowal siy Cardano, mniej wiC(cej do 1539 roku, zanim natknql siy na liczby zespolone i uchylil rqbek zaslony ukrywajqcej ich magiczne wlasciwosci. Tym problemem bylo poszukiwanie ogolnego rozwiqzania (rzeczywistego) rownania algebraicznego trzeciego stopnia (tzn. n = 3). Cardano wiedzial, ze za pomocq prostego przeksztalcenia ogolne rownanie trzeciego stopnia moze bye zredukowane do postaci:
x 3 = 3px+ 2q. W tym wyrazeniu p i q Sq liczbami rzeczywistymi. Powrocilem takZe do zapisu niewiadomej jako x w miejscu z, aby podkreslie, ze szukamy rozwiqzania rownania w dziedzinie liczb rzeczywistych, a nie zespolonych. Peine rozwiqzanie problemu Cardano opublikowal w ksiqi;ceArs Magna w 1545 roku. Jak siy wydaje, przemyslenie Cardana bylo rozwiniyciem rozwiqzania szczegolnego przypadku, ktore wczesniej, w 1539 roku, znalazl Niccolo Fontana ("Tartaglia"), ale nawet i to szczegolne rozwiqzanie (a bye moze i peine rozwiqzanie) jeszcze wczesniej (przed 1526
73
4
Magiczne liczby zespolone rokiem) odkryl Scipione del Ferro3 • Posluguj,!c sit( wspolczesn'! notacj,!, rozwi'!zanie (del Ferro-)Cardano mozemy zapisae nastt(puj,!co: j
x=
j
(q+w)3 +(q-w)3,
gdzie j
w = (qZ _ p3)2 . Otoz nie rna wielkiego kiopotu ze znalezieniem rozwi,!zania tego rownania w dziedzinie liczb rzeczywistych, jesli
qZ
~ p3.
W takim przypadku istnieje dokladnie jedno rzeczywiste rozwi,!zanie i jest ono podane wzorem (del Ferro-)Cardano. 1ednakZe jesli
qZ 1, niezaleznie od faktu, ze tyrn razern funkcja nie rna osobliwosci w punktach x = ±1.
r
x
"odpowiedz", (1 +x2t\ nie zmierza do nieskonczonosci, inaczej niz w poprzednim przypadku. Mozemy siy 0 tymjawnie przekonac, biorlJ,c te same trzywartoscix = 1, x 2, x Widzimy, ze jak poprzednio zbieznosc otrzymujemy tylko dlax kiedy "odpowiedz" sprowadza siy do granicznej wartosci jako sumy calego szeregu:
= =t.
!
x = 2:
x=2: 1 2
X=-:
=t,
1,0,1,0,1,0,1 itd., 1, -3, 13, -51, 205, -819 itd. 1 ~ 13 ~ 205 819 itd , 4' 16' 64' 256' 1024 .
Zauwazmy, ze "rozbieznosc" w pierwszym przypadku polega na tym, iz sumy cZlJ,stkowe skaczlJ, od jednej wartosci do drugiej, a nie na tym, ze szereg rozchodzi siy do nieskonczonosci. Jesli wiyc chcemy pozostac w obszarze liczb rzeczywistych, mamy do czynienia z zadziwiajlJ,Cl! rozniCl! pomiydzy zachowaniem siy sum cZlJ,stkowych szeregu a "odpowiedzilJ," reprezentujlJ,Cl! sumy nieskonczonej ilosci wyrazow. Sumy cZlJ,stkowe po prostu "odbiegajlJ," od sumy calego szeregu (albo, raczej, odskakujlJ, raz w gory, raz w dol) dokladnie w tych samych punktach (x = ±1), w ktorych mielismy klopoty w poprzednim przypadku, pomimo ze spodziewana suma calego nieskonczonego szeregu (1 + x2tl nie rna w tych punktach zadnych ciekawych wlasnosci. RozwilJ,zanie tej zagadki znajdziemy, jesli nie bydziemy ograniczac siy tylko do dziedziny liczb rzeczywistych, lecz zbadamy zespolone wartosci tej funkcji.
4.4 Plaszczyzna zespolona Caspara Wessela
78
Aby zrozumiec, 0 co w tym wszystkim chodzi, wprowadzimy, dzisiaj juz standardowe, geometryczne przedstawienie liczb zespolonych na plaszczyznie euklidesowej. W 1797 roku Caspar Wessel, Jean Robert Argand w 1806 roku, John Warren w 1828 i Carl Friedrich Gauss okolo 1831 roku, wszyscy niezaleznie od siebie, wpadli na pomysl idei plaszczyzny zespolonej (zob. rys. 4.3), na ktorej pod ali klarownlJ, geometrycznlJ, interpretacjy operacji dodawania i mnozenia liczb zespolonych. Na tym
Plaszczyzna zespolona Caspara Wessela
4.4
rysunku uZylem standardowych kartezjanskich osi wsp61rzydnych, z poziorn,! osi,! xi pionow,! osi,!Y. Liczba zespolona Z =X
+ iy
jest na nim przedstawiona jako punkt na plaszczyznie 0 kartezjanskich wsp61rzydnych (x,y). W takim przedstawieniu liczba rzeczywista x jest szczeg6lnym przypadkiern liczby zespolonej Z = x + i y, gdy Y = O. W ten spos6b os x-6w na naszym wykresie jest liniq rzeczywistq (zawiera wszystkie liczby rzeczywiste, uporz,!dkowane, wzdluz linii prostej, od mniejszych do wiykszych). Teraz plaszczyzna zespolona daje narn bezposrednie, obrazowe przedstawienie, jak system liczb rzeczywistych zostaje rozci,!gniyty na system wszystkich liczb zespolonych. Liniy rzeczywist'!, x, bydziemy nazywali osiq rzeczywistq na plaszczyznie zespolonej. Os y-6w bydziemy nazywali osiq urojonq. Os ta zawiera wszystkie liezby rzeczywiste pomnozone przez liczby "i". Powr6cmy teraz do naszych dwu funkcji, kt6re usilowalismy przedstawic za pomoc,! szereg6w potygowych. Do tej pory traktowalisrny obie te funkcje, a wiyc (1-rt'i (1 +x2 jako funkcje zmiennej rzeczywistej,x; teraz przedluZymy je tak, ieby moiliwe bylo ieh stosowanie do liezb zespolonych. Z tym nie rna zadnego problemu, wystarczy wstawic w miejscu x zmienn,! zespolon'! z i otrzymamy funkcje (1-z 2t' i (1 +rt'. W przypadku pierwszej z tych rzeczywistych funkcji, (1-rt" bylismy w stanie latwo stwierdziC, gdzie zaczynaj,! siy klopoty z rozbieinosci,!, poniewaZ ta funkcja przybierala postac osobliwej (w tyrn sensie, ie jej wartosci stawaly siy nieskonczone) w dw6ch miejscach: x = -1 oraz x = +1. N atomiast w przypadku drugiej z tych funkcji, (1 +x2 nie widzielismy nie osobliwego ani w tych punktach, ani w iadnym innym punkcie. Kiedy jednak potraktujemy je jako funkcje zmiennej zespolonej z, zobaczymy, ie obie tak bardzo siy od siebie nie r6ini,!. ZauwaZylismy, ie funkcja (1-z 2 rna osobliwosci w dw6ch punktach, z = ±1, czyli na odleglosci jednostkowej od pocz'!tku ukladu wsp61rzydnych wzdlui osi rzeczywistej; teraz widzimy, ze funkcja (1 + z2 rna r6wniei osobliwosci w dw6ch punk-
t',
t',
t'
t'
os urojona 3i -1+2i -1+i -2
2i 1+2i Y --i
l+i
-1
0
1
-1-i
-i
l-i
1 -"X+iY
2+i
I I I
Hi
2 x
3
2-i
Rys. 4.3. Plaszczyzna zespo)ona
z =x + iy. We wspolrzitdnych kar-
3-i
os rzeczywista
tezjanskich (x, y) os pozioma, x, skierowana na prawo, jest osiq rzeczywistq; natomiast os pionowa, y, skierowana w gorit, jest osiq urojonq.
79
4
Magiczne liczby zespolone
/.~.~~::'.' . ~:~.:~ /'. Bieguny ... . /,' ... funkcji. '"
/ .' . (1
, .... .'.
2)-1' -1
.
:.
' . ' .."> ~ . . .\ . '
-1 / .. '. '... '. : 0 \'
..\
..\ 1
...
I:: ' . Obszar' ' \
... ~
'
b"
Rys. 4.4. Na plaszczyznie zespo\onej funkcje (1-z2f l i (1 +z2 1 majll ten sam okrllg zbie:i;nosci. Bieguny pierwszej z tych funkcji wypadajll w punktach z = ±1, a bieguny drugiej w punktach x = ±i, wszystkie w takiej samej Uednostkowej) od\eglosci od poczlltku ukladu wspolrzydnych.
J.'
r
" • • Z leznO"CI .
-;:.
,',' '.
'.'
.
'~~.~ ••r.
"
. '
--
-i
r ::
tach, z::: ±i (poniewaZ 1 + 0), i oba te punkty lez,! w takiej samej jednostkowej odleglosci od pocz'!tku ukladu wspolrzydnych, tyle ze tym razem liczonej wzdluz osi urojonej. Ale co te dwie zespolone osobliwosci maj,! wspolnego z problemem zbieznosci alba rozbieznosci odpowiednich szeregow potygowych? Odpowiedz na to pytanie jest naprawdy zadziwiaj,!ca. Teraz myslimy 0 naszych szeregach potygowych jako funkcjach zmiennej zespolonej z, a nie 0 funkcjach zmiennej rzeczywistej x, i stawiamy pytanie, dla jakich wartosci z na plaszczyznie zespolonej te szeregi staj,! siy rozbiezne, a dla jakich s,! zbiezne? OdpowiedZ jest nastypuj,!ca9 : dla dowolnego szeregu potygowego 0 postaci
ao +a,z+a 2 z 2 +a 3 z 3 + ...
80
mozemy na plaszczyznie zespolonej nakreslic okr,!g 0 srodku w pocz'!tku ukladu wspolrzydnych, ktory nazwiemy okr?giem zbieinosci, maj,!CY tak'! wlasciwosc, ze dla wszystkich wartosci z lez'!cych scisle wewn'!trz tego okrygu szereg bydzie zbiezny, a dla wszystkich z lez'!cych na zewn'!trz bydzie rozbiezny. (Jak to wygl,!da na samym okrygu - jest spraw,! delikatn,!, ktor,! w tym miejscu nie bydziemy siy przejmowac, ale wrocimy do niej w rozdz. 9.6, 7). W tym stwierdzeniu uwzglydnilismy dwa skrajne przypadki, a wiyc zarowno ten, gdy szeregjest rozbieiny dla wszystkich niezerowych wartosci z - w takim przypadku promien okrygu zbieznosci kurczy siy do zera - jak i gdy szereg jest zbiezny dla wszystkich liczb zespolonych wowczas promien zbieinosci staje siy nieskonczony. Aby znalezc okr,!g zbieinosci dla konkretnej zadanej funkcji, musimy najpierw znaleic osobliwosci tej funkcji na plaszczyinie zespolonej, a nastypnie narysowac najwiykszy okr,!g, 0 srodku z pocz'!tku ukladu wspolrzydnych, wewn'!trz ktorego nie ma zadnych punktow osobliwych (tzn. przechodz'!cy przez punkt osobliwy lei,!CY najbliZej srodka).
Jak skonstruowac zbi6r Mandelbrota?
t
4.5
tt,
W tych szczegolnych przypadkach funkcji (1 - z2 1 i (1 + z2 ktore przed chwil~ rozwaialismy, wystttPuj~ce osobliwosci s~ bardzo proste i nazywamy je biegunami (bieguny pojawiaj~ sitt, gdy jakis wielomian, wystttPuj~cy w mianowniku ulamka, znika). Te konkretne bieguny polozone s~ w tej samej jednostkowej odleglosci od pocz~tku ukladu wspolrzttdnych i okrttgi zbieznosci w obu przypadkach s~ okrttgami 0 promieniu jeden wokol pocz~tku ukladu. W obu przypadkach okr~g zbieinosci przecina os rzeczywist~ w tych samym punktach, Z = ±1 (zob. rys. 4.4). To wyjasnia, dlaczego obie te funkcje s~ zbiezne i rozbiezne w tych samych obszarach. Tego bysmy nie zauwaiyli, gdybysmy rozpatrywali je tylko jako funkcje zmiennej rzeczywistej. Widzimywittc, ze liczby zespolone pozwalaj~ nam na glttbszywgl~d w zachowanie sitt szeregow potttgowych, co nie byloby mozliwe, gdybysmy ograniczali sitt tylko do zmiennych rzeczywistych. 4.5 Jak skonstruowac zbi6r Mandelbrota?
Na zakonczenie tego rozdzialu przyjrzyjmy sitt zagadnieniu zbieznosci i rozbieznosci od nieco innej strony. Jest to zwi¥ane z problemem konstrukcji tej nadzwyczajnej figury, ktor~ w rozdz. 1.3 przedstawilismy na rys. 1.2 i nazwalismy zbiorem Mandelbrota. Jak sitt okazuje, zbior ten jest pewnym podzbiorem na plaszczyznie zespolonej Wessela i pomimo jego nieslychanego skomplikowania moze bye zdefiniowany w sposob niezwykle pro sty. Musimy jedynie zbadae wielokrotne podstawianie 2 zHz +e,
gdzie e jest pewn~ wybran~ liczb~ zespolon~. Mozemy sobie wyobrazie 1iczbtt e jako punkt na plaszczyznie zespolonej i rozpocz~e od z = O. Nastttpnie itentjemy ttt transformacjtt (tzn. powtarzamy j~ wci¥ i wci~z) i obserwujemy, dok~d przesuwa sitt punkt z na plaszczyznie zespolonej. Jesli punkt z wttdruje takim sposobem do nieskonczonosci, to odpowiadaj~cy mu punkt e zaznaczamy na bialo. Jesli natomiast punkt z krttci sitt w jakims ograniczonym obszarze i nigdy nie zmierza do nieskonczonosci, to punkt e zaznaczamy na czarno. Te czarne punkty dadz~ nam w efekcie zbior Mandelbrota. Przyjrzyjmy sitt tej procedurze nieco bardziej szczegolowo. Jak ta iteracja przebiega? Najpierw ustalamy e. Nastttpnie wybieramy jakis punkt z i poddajemy go naszej transformacji tak, ze ten punkt przechodzi w punkt Z2 + e. Teraz wartose z w wyrazeniu Z2 + e zastttpujemy wyrazeniem Z2 + e, w wyniku czego otrzymujemy (~ + e)2 + e. Z kolei z w wyraieniu Z2 + e zastttpujemy wyraieniem (Z2 + e)2 + e, co daje «Z2 + C)2 + e)2 + e. Teraz znowu zamieniamy z w wyraieniu Z2 + e przez «Z2 + e)2 + e)2 + e, co nam da «(Z2 + e)2 + e)2 + c) + e, i tak dalej. A teraz zbadajmy, co osi~gniemy, gdy jako startowy wybierzemy punkt z = 0 i wykonamy kroki iteracyjne wedlug tego przepisu. (Mozemy po prostu podstawie z = 0 do podanych formul). W ten sposob otrzymamy sekwencjtt 0, e, e2 + e, (e 2+ e)2 + e, «e 2+ e)2 + e)2 + e, ...
81
4
Magiczne liczby zespolone
punktow na plaszczyznie zespolonej. (Za pomoc,! komputera mozemy t~ iteracj~ wykonac bardzo prosto, czysto numerycznie, dla kazdej wybranej wartosci liczby c, zamiast operacji algebraicznych. Duzo "taniej" b~dzie wykonywac te dzialania arytmetyczne za kaidym razem od nowa.) Otoz dla kaidej konkretnej wartosci c istniej,! dwie mozliwosci: (i) alba kolejne punkty b~d,! si~ coraz bardziej oddalaly od pocz'!tku ukladu, czyli, inaczej mowi,!c, sekwencja tych punktow okaze si~ nieograniczona, alba (ii) wszystkie punkty znajd,! si~ wewn'!trz pewnego kola 0 srodku w pocz'!tku ukladu wspolrz~dnych, co oznacza, ze ta sekwencja jest ograniczona. Na rysunku 1.2a biale obszary to miejsca polozenia takich punktow c, ktore daj,! sekwencj~ nieograniczon,! (i), podczas gdy obszary zaznaczone na czarno s,! polozeniami punktow c, ktore prowadz'! do sekwencji ograniczonej (ii). Zbior Mandelbrota jest calym tym czarnym obszarem lO • Zlozonosc zbioru Mandelbrota wynika z faktu, ze istnieje bardzo wiele roznych, i cz~sto bardzo skomplikowanych, sposobow na to, zeby sekwencje otrzymane na drodze iteracyjnej byly ograniczone. Istniej,! bardzo wymyslne kombinacje "cykli" i "nibycykli" roznego rodzaju, ktore prowadz'! do niezwykle zawilych w~ drowek na plaszczyznie. J ednakZe rozwazanie tych mozliwosci odwiodloby nas daleko od naszych celow i wymagaloby zaj~cia si~ bardziej subtelnymi zagadnieniami analizy zespolonej i teorii liczb. Zainteresowanych czytelnikow odsylam do ksi,!zek Peitgena i Reichtera (1986) oraz Peitgena i Saupe (1988) po dalsze informacje i ilustracje (zob. rowniez Douady i Hubbard 1985). Przypisy
1
2
Rozdzial 4.1 Zob. ewiczenie 4.2, gdzie podane Sq te reguly. Rozdzial 4.2 lest to bezposrednia konsekwencja faktu[4.6 l , ze kazdy zespolony wielomian jednej zmiennej, z, mozna rozloiyc na czynniki pierwszego stopnia
ao + a1z + a2 z 2 + a3 z 3 + ... + anz n = an (z - bj)(z - b2) 3
82
...
(z -
bJ
ito sformulowanie jest zwykle podawane jako "podstawowe twierdzenie algebry". Historia prawdopodobnie przedstawia siy nastypujqCo: Tartaglia przedstawil swoje szczeg6lne rozwi¥anie Cardano i zaprzysiqgl go do zachowania sekretu. W zwiqzku z tym Cardano, nie chcqc zlamac przysiygi, nie m6g1 opublikowac swojego, bardziej og61nego rozwiqzania. lednakZe w czasie kolejnej podr6iy do Bolonii w 1543 r. Cardano mial okazjy zbadac posmiertne papiery del Ferro i wtedy doszedl do przekonania, ze priorytet naleiy tu do del Ferro. Uznal zatem, ze to zwalnia go z przysiygi dochowania tajemnicy, i opublikowal wszystkie wyniki wArs Magna w 1545 r. (oddajqc honor zar6wno Tartaglii, jak i del Ferro). Tartaglia nie zgodzil siy z tym i miydzy matematykami wywiqzal siy sp6r 0 bardzo przykrych konsekwencjach - zob. Wykes (1969). ~
[4.6] Udowodnij to. (WSkaz6wka: pokaz, ze ten wielomian dzieli siy bez reszty przez
z - b , gdzie z = b jest pierwiastkiem tego r6wnania.)
Przypisy
4 5
Aby uzyskac szczegolowe informacje, zob. van der Waerden (1985), s. 166-174. Przyczyn'! jest fakt, ze w ten sposob dodajemy do siebie dwie liczby, ktore s,! liczbami zespolonymi sprz?zonymi (zob. rozdz. 10.1), i suma dwoch takich liczb jest zawsze liczb,! rzeczywist'!.
Rozdzial 4.3
i,
Przypomnij sobie z przyp. 2.4, ze 0-1 oznacza czyli "jeden podzielone przez zero". Wygodnie jest oznaczyc wynik tej "niedozwolonej operacji" dzielenia przez zero jako 0-1 = 00. 7 "Dokladnie" oznacza, ze wartosci brzegowe -1 i +1 same do tego zakresu nie nalez'!. 8 Aby uzyskac wit(cej informacji, zob. np. Hardy (1949). 6
Rozdzial 4.4 9
10
Zob. np. Priestley (2003), s. 71 - gdzie mowa 0 promieniu zbieznosci - oraz Needham (2002), s. 67, 264. Na komputerowych obrazach zbioru Mandelbrota (takich jak rys. 1.2) niepodobna, oczywiscie, prowadzic obliczen w nieskonczonosc, aby sit( przekonac, ze sekwencje, jakie wydaj,! sit( skonczone, naprawdt( takie s'!. Zwykle konczymy iteracjt( po wykonaniu odpowiedniej liczby krokow. Dodawanie dalszych krokow niekoniecznie polepsza obraz, poniewaz zaczynaj,! gubic sit( szczegoly.
5 Geometria logarytm6w, potQg i pierwiastk6w 5.1 Geometria algebry zespolonej liczb zespolonych, ktorej aspekty rozwaialismy pod koniec poprzedniego rozdzialu, wiqze siy jednak z pewnymi delikatnymi kwestiami. Aby je naswietlic, musimy cofnqc siy nieco i przyjrzec dokladniej elementarnym, aczkolwiek rownie tajemniczym i wainym jej skladnikom. Zobaczmy najpierw, w jaki sposob reguly dodawania i mnozenia liczb zespolonych, z jakimi spotkalismy siy w rozdz. 4.1, mozna geometrycznie zilustrowac na ptaszczyinie zespolonej. Na rys. S.la, b zostaty przedstawione graficznie jako prawa: rownolegloboku i trojkqtow podobnych. Brzmiq one tak: dla dwu dowolnych liczb zespolonych, w i z, punkty przedstawiajqce sumy, w + z, oraz iloczyn, wz, mogq byc wyznaczone za pomocq nastypujqcych regut: MAGIA
punkty 0, w, w + z oraz z sq wierzcholkami rownolegloboku trojkqty 0 wierzcholkach 0, 1, w oraz 0, z, wz sq podobne. (Stosujemy tutaj normalnq konwencjy 0 kolejnosci wierzcholkow i orientacji figur. Rozumiem przez to, ze poruszamy siy po rownolegtoboku w sposob cykliczny, tak ze odcinek od w do w + z jest rownolegty do odcinka od do z itd.; ponadto w relacji podobienstwa dwoch trojkqtow nie rna "odbicia". Sq, poza tym, przypadki szcze-
°
Wl
(a)
(b)
Rys. 5.1. Geometryczne przedstawienie podstawowych praw algebry liczb zespolonych. (a) Prawo r6wnolegloboku w dodawaniu: 0, w, w + z, z tworzll wierzcholki r6wnolegloboku. (b) Prawo tr6jkllt6w podobnych w mnozeniu: tr6jkllty 0 wierzcholkach 0, 1, W oraz 0, z, wz sll podobne.
Geometria algebry zespolonej
5.1
golne, gdy trojkqty lub rownolegloboki degenerujq siy w rozny spOSOb[5.11.) Zainteresowany czytelnik moze pokusic siy 0 sprawdzenie tych regut za pomocq trygonometrii i bezposredniego rachunku[5.21. Jest jednak inny sposob podejscia do tego tematu, ktory nie tylko omija bezposrednie obliczenia, ale takZe pozwala na glybszy wglqd w istoty problemu. Przeanalizujmy dodawanie i mnozenie liczb zespolonych za pomocq roznych odwzorowaii (albo "transformacji"), calej plaszczyzny zespolonej w siebie. Dowolna liczba zespolona w definiuje "odwzorowanie dodawania" i "odwzorowanie mnozenia", polegajqce na tym, ze kiedy zastosujemy je do dowolnej liczby zespolonej z, to pierwsze z nich dodaje w do z, a drugie mnoZy z przez w: Z H W
+z orazz H
WZ.
Latwo zauwaZyc, ze odwzorowanie dodawania po prostu przesuwa rownolegle calq plaszczyzny zespolonq, bez obrotu i zmiany ksztaltu - jest to przyklad translacji (zob. rozdz. 2.1) - przez umieszczenie poczqtku ukladu, 0, w punkcie w; jak na rysunku 5.2a. I to jest wtasnie tresc prawa rownolegloboku. A jak siy sprawa przedstawia z odwzorowaniem mnozenia? Jest to przeksztalcenie, kt6re nie zmienia polozenia poczqtku ukladu wspolrzydnych, zachowuje ksztalty figur i przenosi punkt 1 do punktu w. Ogolnie przeksztalcenie to jest potqczeniem obrotu (bez odbicia) wokol punktu i jednorodnego wydluzenia (lub skr6cenia) dlugosci odcinkow; zob. rys. 5.2b[5.31. Ilustruje to prawo trojkqtow podobnych, a odwzorowanie takie bydzie mialo dla nas szczegolne znaczenie nieco p6iniej, w rozdz. 8.2.
°
wz
z.._____
w+z
\ ~
,
\z
w
{'
..----(al
l • (bl ""
)
1
---..
/'
Rys. 5.2. (a) Odwzorowanie dodawania,,+ W" oznacza r6wnolegle przesuni"cie calej plaszczyzny od 0 do punktu w. (b) Odwzorowanie mnozenia "x w" oznacza obrot wokol pocz 0), ktorajest funkcj'l klasy Coo.
Rozwazmy inny przyklad. Weimy funkcjC( hex) zdefiniowan£! nastC(puj£!Co:
o
h (x ) = { 1/x e-
dla x:( 0, dla x> 0.
Wykres tej funkcji przedstawiono na rys. 6.7. Z pewnosci£! rna ona wygl£!d funkcji gladkiej i jest w istocie bardzo gladka. Jest funkcj£! klasy en w calej dziedzinie liczb rzeczywistych. (Udowodnienie tego jest godziwym zajC(ciem dla student6w matematyki. PamiC(tam, ze sam musialem przeprowadzie ten dow6d w czasie moich studi6w uniwersyteckich[6.21.) Ale pomimo jej nieograniczonej gladkosci latwo jestesmy w stanie wyobrazie sobie, jak Euler krC(ci nosem na widok tak zdefiniowanej funkcji. To na pewno nie jest "jedna funkcja" w sensie Eulera. To s£! "dwie funkcje zlepione razem", i nie rna znaczenia, jak "gladkie" bylo to klejenie przy l£!czeniu ich w pocz£!tku ukladu wsp6IrzC(dnych. Przeciwnie, dla Eulera funkcja l/x jest "jedn£! funkcj£!", pomimo tego, ze jest rozerwana w pocz£!tku ukladu, gdzie nie tylko nie jest gladka, ale nawet nie jest ci£!gla (rys. 6.6). Dla Eulera funkcja hex) nie jest w niczym lepsza od funkcji Ixl czy O(x). W tych przypadkach widzimy wyrainie, ze "dwie funkcje zostaly zlepione w jedn£!", aczkolwiek to klejenie okazalo siC( duzo bardziej niedoskonale (a nawet, w przypadku funkcji O(x), klejone kawalki calkowicie siC( rozpadly).
6.4 Eulerowskie pOjflcie funkcji Jak odtworzye to eulerowskie przedstawienie funkcji, kt6ra nie bC(dzie mogla bye "sklejeniem" oddzielnych funkcji? Przyklad funkcji hex) pokazuje, ze nawet z£!danie nieskonczonej gladkosci, klasy en, nie jest wystarczaj£!ce. Okazuje siC(, ze istniej£! dwa zupelnie r6zne podejscia do tej trudnosci. Jedno z nich posluguje siC( liczbami zespolonymi i bardzo latwo je sformulowae, chociaz konsekwencje bynaj-
T!!J. [6.2] Sprobuj to zrobi6, jesli masz odpowiednie przygotowanie.
109
6
Rachunek roi:niczkowy i catkowy funkcji zmiennych rzeczywistych
mniej nie sC! banalne. ZC!damy po prostu, zeby nasza funkcjaf(x) dala siy przedluZye na plaszczyzny zespolonC!, do funkcjif(z) zmiennej zespolonej z, oraz zeby funkcja fez) byla gladka w tym sensie, by mozna jC! bylo zr6zniczkowae jeden raz po zmiennej z. (Tak wiyc, w tym zespolonym sensie, funkcja fez) jest funkcj,! gladk'! klasy C.) To zupelnie nadzwyczajny dow6d prawdziwej magii funkcji zespolonych, ze niczego wiycej nie trzeba. Jesli tylko funkcjaf(z) moze bye r6zniczkowanajeden raz ze wzglydu na zmienn,! z, to moze bye r6zniczkowana tyle razy, ile tylko nam siy spodoba. Zagadnieniem rachunku r6zniczkowego w zmiennych zespolonych zajmy siy w rozdziale 8. Ale jest jeszcze inne podejscie do problemu eulerowskiego pojycia funkcji, kt6re posluguje siy tylko liczbami rzeczywistymi. To podejscie operuje szeregami potygowymi, z kt6rymi zetknylismy siy w rozdz. 2.5. (J ednC! z dziedzin, w kt6rych Euler byl prawdziwym mistrzem, bylo operowanie szeregami potygowymi.) Dobrze bydzie, jesli jeszcze raz przyjrzymy siy szeregom potygowym, zanim zajmiemy siy zagadnieniem r6zniczkowania w zmiennych zespolonych. Zadziwia fakt, ze -lokalnie - r6zniczkowanie zespolone jest r6wnowazne badaniom rozwiniye w szeregi potygowe. Zajmy siy tym w swoim czasie, ale w tym momencie zatrzymajmy siy przy funkcjach zmiennych rzeczywistych. Przypusemy, ze pewna funkcja,f(x), moze bye rozwiniyta w szereg potygowy:
f(x)
=
r
ao + ajx + a2 + a3x 3 + a4x4 + ...
Istnieje prosty spos6b znalezienia wsp6lczynnik6w tego rozwiniycia. Warunkiem koniecznym (ale nie dostatecznym, jak siy 0 tym niebawem przekonamy) takiego rozwiniycia jest, zeby funkcjaf(x) byla klasy CO. Mamy wiyc moZliwose obliczenia nowych funkcji!'(x),f"(x),f"'(x),f""(x), ... , etc., kt6re s,!, odpowiednio, pierwszymi, drugimi, trzecimi, czwartymi itd., pochodnymi funkcji f(x). A naprawdy potrzebujemy tylko wartosci tych pochodnych w poczC!tku ukladu wsp6lrzydnych (x = 0) i jest nam potrzebna gladkose CO tylko w tym jednym punkcie. Wynik jest taki (czasami nazywany szeregiem Maclaunna 7 ): jeslif(x) moze bye rozwiniyta w szereg potygowy, tol 6.3J: fl_
-
-u-
1'(0) reO) a - r(O) a - r"(O) f(O) ''"1-l!'-l-~' 3-~' 4-~"" fl
-
fl_
-
(przypominam, ze n! = 1 x 2 x 3 x ... x n, zob. rozdz. 5.3). Ale co by bylo, gdybysmy spojrzeli na to z innej strony? Jdli wsp6lczynniki tego szeregu mozna obliczye, to sk,!d mamy pewnose, ze jego suma da nam wartose funkcji f(x) (przynajmniej w pewnym obszarze zawieraj,!cym pocz'!tek ukladu wsp6lrzydnych)? Powr6emy do funkcji hex), tak dziwnie sfaldowanej w pocz'!tku ukladu. Moze uda nam siy wykrye jakC!s niedokladnose? Zobaczmy wiyc, czy funkcja hex) moze bye przedstawiona w postaci szeregu potygowego. Kiad,!c w tym wzorze f(x) =hex)
110
la [6.3] Udowodnij to, stosuj,!c reguly po dane na koncu rozdzialu 6.5.
Eulerowskie
poj~cie
funkcji
6.4
i rozwazajllcwszystkiewspolczynnikia o' al'a 2, a3' a4 , ••• , stwierdzamy, ze one wszystkie zniknll, albowiem taki szereg potygowy musi dawae wartose hex) = 0, gdy tylko x przybiera wartosci z lewej strony poczlltku ukladu. Ale te wspolczynniki znikajll rowniez dla e- 1IX , co jest powodem, dla ktorego funkcja ta jest klasy C w poczlltku ukladu, a pochodne wszystkich rZydow, liczone z obu stron, pasujll do siebie. To oznacza, ze nie rna sposobu zapisania tej funkcji w postaci szeregu potygowego, poniewaz wszystkie wyrazy szeregu bylyby rowne zero (zob. ewicz. [6.1 J) i w zaden sposob nie sumujll siy do e- 11x • A wiyc rzeczywiscie jest niedokladnose w punkcie x = 0 i funkcja hex) nie moze bye przedstawiona w postaci szeregu potygowego. Mowimy dlatego, ze funkcja hex) nie jest analityczna w punkciex = 0. W przedstawionej dyskusji rozwazalismy rozwiniycie funkcji w szereg potygowy wokol poczlltku ukladu wspolrzydnych. Podobne rozumowanie moglibysmy przeprowadzie w dowolnym innym punkcie w jej dziedzinie liczb rzeczywistych. Musimy tylko w tym celu dokonae "przesuniycia poczlltku ukladu wspolrzydnych" do jakiegos innego punktu p, lezllcego w dziedzinie liczb rzeczywistych. To "przesuniycie" oznacza zastllpienie x, w rozwiniyciu w podany szereg, wyraieniem x - p. W ten sposob otrzymujemy:
f(x)
=
ao + a I (x - p) + a2(x - p)2 + a3 (x _ p)3 + ... ,
gdzie
a =f(p) o
n_
'.
= rep) a = rep) a = rep) ... 1!'
2
2!'
3
3!'
Rozwiniycie takie nazywamy rozwiniyciem w szereg potygowy wokol punktu p. Funkcjy f(x) nazywamy analitycznq w punkcie p, jesli mozemy jll rozwinlle w szereg potygowy w pewnym przedziale zawierajllcym x = p. leslif(x) jest analityczna we wszystkich punktach stanowillcych jej dziedziny, to nazywamy jllfunkcjq analitycznq alba funkcjq gladkq klasy Cwo Ale funkcje analityczne, w dobrze okreslonym sensie, Sll nawet bardziej "gladkie" nu funkcje klasy C. Majll one dodatkowo ty wlasnose, ze nie mozna ich "skleie" z dwu innych analitycznych funkcji w taki sposob, jak kleilismy O(x), Ixl,xlxl, xnlxl alba hex). Funkcje analityczne bardzo by siy podobaly Eulerowi, to Sll naprawdy "przyzwoite" funkcje! Trzeba jednak przyznae, ze wszystkie szeregi potygowe nie slliatwe do analizowania, nawet w wyobraini. "Zespolony" sposob widzenia tych spraw wydaje siy duzo bardziej praktyczny i ekonomiczny. W dodatku pozwala na glybsze ich zrozumienie. Na przyklad funkcja l/x nie jest analityczna w punkcie x = 0, ale jest to wci¥ "jedna funkcja,,[6.41• Nie odgadlibysmy tego, patrzllc przez pryzmat "filozofii szeregu potygowego". Natomiast, jak siy niebawem przekonamy, w jyzyku zmiennych zespolonych funkcja l/x jest jak najbardziej "pojedynczll funkcjll".
1m [6.4] Zbadaj "pojedyncz,! funkcj((" e-l!x2• Pokai, ie jest to funkcja ldasy CO, ale nie analityczna w x
=
o.
111
6
Rachunek r6iniczkowy i calkowy funkcji zmiennych rzeczywistych
6.5 Regufy r6zniczkowania Zanim wejdziemy glt(biej w ten problem, warto powiedziec kilka slow 0 cudownych regulach, ktore zawdzit(czamy rachunkowi rozniczkowemu, a ktore umozliwiajl! nam nieledwie automatyczne rozniczkowanie funkcji (ale, rzecz jasna, wymaga to trocht( wprawy!). Reguly te pozwalajl! od razu wyliczyc pochodne wielu funkcji, szczegolnie wtedy, gdy mozna je przedstawic w postaci szeregow pott(gowych. Pozwolt( sobie przypomniec, ze nieco wczesniej wspomniaiem, iz pochodnl! funkcji ~ jest 3xz. To szczegolny przypadek prostego, ale bardzo waznego wzoru: pochodnl! funkcjixn jest funkcja nx n- 1• Mozemy to zapisac nastt(pujl!Co:
d(xn) n-l --==nx . dx (Nie chct( sit( rozpraszac, dlatego pomint( dowod tego wzoru. Udowodnienie nie jest trudne i zainteresowany czytelnik znajdzie wszystko, co jest potrzebne, w dowolnym podrt(czniku elementow rachunku rozniczkowegoB• Warto tez zwrocic uwagt(, ze ten wzor jest prawdziwy tatie, gdy n nie jest liczbl! calkowitl!.) Rownanie to mozemy tez zapisae ("mnozl!c obie strony przez dx") w wygodny sposob jako:
d(xn) = nxn-1dx. Niewiele wit(cej trzeba wiedziec 0 rozniczkowaniu szeregow potygowych. Wystarczl! jeszcze dwie informacje. Po pierwsze, ze pochodna sumy funkcji jest suml! pochodnych tych funkcji:
d[f(x) + g(x)]
=
df(x) + dg(x).
Ta regula jest sluszna dla sumy dowolnej skonczonej liczby funkcjilO. Po drugie, pochodna iloczynu stalej i funkcji jest rowna iloczynowi pochodnej tej funkcji i tej stalej:
d[a f(x)] == a df(x). Przez termin "stala" rozumiem liczby, ktora nie zmienia siy wraz z x. Wsp6lczynniki rozwinit(cia szeregu pott(gowego ao' al' az' a3 , ••• , sl! stalymi. Poslugujl!c siy tymi regulami, jestesmy w stanie obliczyc pochodne dowolnego szeregu potygowego I6 .51• Innym sposobem zapisania faktu, ze liczba a jest stall!, jest
da == O. Majl!c to na uwadze, mozemy stwierdzic, ze poprzedni wzor jest szczegolnym przypadkiem - dla g(x) == a - bardziej ogolnego wzoru Leibniza:
d[f(x) g(x)] == f(x) dg(x) + g(x) df(x)
112
~ [6.5] Korzystajqc z rozwiniycia w szereg potygowy funkcji eX, podanego w rozdz. 5.3, pokaz, ze de = e\lx.
Reguty roi:niczkowania
6.5
(r6wniez wz6r d(xn)ldx = nx n-\ dla dowolnej liczby naturalnej n, moze bye wyprowadzony z wzoru Leibniza[6.61). Innym uiytecznym prawem jest
d[f(g(x»]
= f'(g(x»
g'(x)dx.
Na podstawie reguly pierwszej i dw6ch ostatnich, klad,!c f(x) [g(x)rl we wzorze Leibniza, mozemy wydedukowae, ze[6.71:
d(f(X)] = g(x) df(x)- f(x) dg(x). g(x) g(X)2 Wyposazeni w tych kilka regul (i, oczywiscie, mast( ewiczen), mozemy sit( stae "ekspertami r6zniczkowania" bez potrzeby rozumienia, dlaczego te reguly S,! prawdziwe! Na tym pol ega sila prawidlowego rachunku[6.81. Ponadto okazuje sit(, ze wystarczy znajomose pochodnych kilku szczeg61nych funkcji, aby stae sit( jeszcze lepszym ekspertem. Aby umozliwie czytelnikowi, kt6ry dopiero uslyszal 0 rachunku r6zniczkowym, przyjt(cie do "klubu ekspert6w r6zniczkowania", przytoczt( kilka waZnych przyklad6w[6.91.11:
d( eX) = eX dx, d(lnx) = dx, x
d( sin x ) = cosxdx, d(cosx) = -sinxdx,
dx
d(tgx) = - 2 - ' cos x
d(arcsinx) = d ( arc cos x) =
b' I-x dx
r:--?' '
'l/l-x 2 dx
d(arctgx) = - - 2 ' l+x Ilustruj,! one moje wczesniejsze spostrzezenie, zgodnie z kt6rym operacja r6zniczkowaniajest bardzo "latwa", pod warunkiem ze mamy do dyspozycjijawne formuly obliczania pochodnych z r6znych funkcji. Oczywiscie, nie sugerujt(, ze takie za-
~ [6.6] Pokaz to. ID [6.7] Wyprowadi t y relacjy. ID [6.8] Oblicz pochodne dy/dx dla funkcjiy = (l-rt orazy = (1 +x)/(l-x). ~ [6.9] Przyjrnujqc a za statq, wykonaj rozniczkowania: d(loga x), d(logx a), d(x X ).
113
6
Rachunek roiniczkowy i calkowy funkcji zmiennych rzeczywistych
dania mozna wykonywae z zamkniytymi oczami. W poszczegolnych przypadkach moze siy okazae, ze uzyskiwane wyrazenia stajq siy bardzo skomplikowane, ale mam tu raczej na mysli fakt, ze posiadamy procedury obliczeniowq, ktora pozwala nam na jawne przeprowadzenie rozniczkowania. Jesli wiemy, jak zrozniczkowae kazdy ze skladnikow jakiegos wyrazenia, to procedura rachunku rozniczkowego, taka jak przedstawiona, pozwala zrozniczkowae cale wyrazenie. Slowo "latwe" w tym przypadku oznacza w rzeczywistosci tyle, ze mozemy to zadanie bezpiecznie powierzye komputerowi. Sprawa jednak nie przedstawia siy tak latwo, kiedy probujemy pojse w odwrotnym kierunku.
6.6 Catkowanie
114
Jui: na poczqtku tego rozdzialu stwierdzilismy, ze calkowanie jest operacjq odwrotnq do operacji rozniczkowania. Oznacza to, ze istotq procedury calkowania jest znalezienie funkcjig(x), ktorej pochodnag'(x) = f(x). Innymi slowy, jest to poszukiwanie rozwiqzania,y =g(x), rownania dy/dx = f(x). Przykladowo na rys. 6.4 (lub na rys. 6.5) przechodzilismy od jakiejs funkcji y = f(x), idqc w dol, do jej kolejnych pochodnych. Calkowanie oznacza poruszanie siy w kierunku odwrotnym. Uroda "podstawowego twierdzenia rachunku calkowego" polega na tym, ze ta procedura pozwala nam obliczae pol a powierzchni pod kai:dq kolejnq krzywq. Spojrzmy na rys. 6.8. Przypomnijmy sob ie, ze dolna krzywa, u = f(x), moze bye uzyskana z krzywej gornej,y = g(x) , poniewazjest ona wykresem nachylen tej krzywej, af(x) jest pochodnq g(x). To wszystko juz poznalismy wczesniej, a teraz przyjrzyjmy siy temu od strony krzywej dolnej. Okazuje siy, ze goma krzywa po prostu wykresla pol a powierzchni pod krzywq dolnq. Mowiqc bardziej precyzyjnie: jesli rozwai:ymy dwie linie pionowe, w punktach x = a oraz x = b, wowczas pole powierzchni ograniczonej tymi dwiema liniami, osiq x-ow i samq krzywq dolnq, bydzie rowne roznicy wartosci wyznaczonych przez przeciycia tych dwoch linii prostych z krzywq gomq. Oczywiscie, przy tego rodzaju obliczeniach musimy uwazae na "znaki". Tam, gdzie dolna krzywa przyjmuje wartosci ujemne, a wiyc schodzi pod os x-ow, pol a powierzchni trzeba traktowae jako "powierzchnie ujemne". Ponadto na tym rysunku przyjqlem, ze a < b i, wobec tego, roznica "wartosci wysokosci" na gomej krzywej wynosi g(b) - g(a). Te znaki nalezaloby odwrocie, gdyby bylo a > b. Na rys. 6.9 probujy podae intuicyjne uzasadnienie, skqd bierze siy odwrotna relacja pomiydzy nachyleniami krzywych a pol ami powierzchni pod nimi. Wyobrazmy sobie, ze b jest nieco wiyksze od a. W takim przypadku pole powierzchni, ktore musimy rozwai:ye, pod dolnq krzywq, bydzie jedynie wqskim paskiem wyznaczonym przez blisko siebie polozone dwie linie proste x = a i x = b. Pole tej powierzchni jest w przyblizeniu rowne iloczynowi szerokosci tego wqskiego paska (tj. b - a) i jego wysokosci (liczonej od osix-ow do tej krzywej). Ale wysokose paskajest miarq nachylenia gomej krzywej w tym punkcie. Dlatego powierzchnia paska jest rowna iloczynowi tego nachylenia przez szerokose paska. Nachylenie gomej krzywej po-
Calkowanie
6.6
9
I
x
I I
I I
I
(a)
I I I I I
I I I I I I I
~ Powierzchnia
(b)
Rys. 6.8. Podstawowe twierdzenie rachunku calkowego: dokonaj reinterpretacji rysunku 6.4a, b, przechodz
w = - oraz z
1
=-, w
gdzie kaidy z punktow z = 0 i w = 0 daje 00 na drugiej lacie. Na rys. 8.6 pokazujer, jak taka transformacja odwzorowuje rzeczywiste i urojone linie plaszczyzny z.
140
[*] Autor urywa w tym miejscu nazwy odwzorowanie biliniowe (przyp. dum.).
Sfera Riemanna
/ i
i
/ -1
0
-i
1
'\.
"-
R
"-
~ P)
V
X-
8.3
I'f. r-~~ ~1 -1 \t: ~ ~.J ~ -i
'\. plaszczyzna z
V
plaszczyzna w
Rys. 8.6. Sklejanie sfery Riemanna z lat, jakimi s~ plaszczyzny zespolone z i w, za pomoc~ transformacji w = 1/z, z = 1/w. (Na plaszczyznie w pokazane s~ r6wniei linie siatki plaszczyny z.) Obszary nakladania wykluczaj~ tylko oba pocz~tki uklad6w, z = 0 i w = 0, z kt6rych kaidy produkuje 00 na drugiej lacie.
Wszystko to definiuje sfery Riemanna w sposob dose abstrakcyjny. Powod, dla ktorego ta powierzchnia Riemanna jest nazywana "sfen!", zobaczymy wyrazniej, analizujqc geometriy przedstawionq na rys. 8.7a. Na tym rysunku plaszczyzna z jest plaszczyznq rownikowq kuli. Punkty na powierzchni kuli Sq rzutowane na ty plaszczyzoy z bieguna poludniowego za pomocq procedury nazywanej rzutowaniem stereograJicznym. Oznacza to, ze w trojwymiarowej przestrzeni Euklidesa (wszystko na razie dzieje siy w tej przestrzeni) narysowalem linie proste, wychodzqce z bieguna poludniowego i przechodzqce przez punkt z na tej plaszczyznie. Tam, gdzie linia przecina ponownie powierzchniy kuli, powstaje punkt reprezentujqcy liczby zespolonq z. Na tej sferze jest jeden punkt dodatkowy, ktory reprezentuje z = 00, i tym punktem jest wlasnie biegun poludniowy. Aby zobaczye, jak w ten obraz wpisuje siy plaszczyzna zespolona w, wyobrazmy jq sobie jako plaszczyzny wlozonq "do gory nogami" (w = 1, i, -1, -i odpowiadajq punkty z = 1, -i, -1, i), a rzutowanie stereograficzne jest dokonywane z bieguna polnocnego (rys. 8. 7b YS.61. Piyknq i waznq wlasciwose rzutowania stereograficznego stanowi odwzorowanie okrygow na powierzchni kuli na okrygi (albo linie proste) na plaszczyznie 1. W tym przypadku przeksztaicenie M6biusa zamienia okrygi na okrygi na sferze Riemanna. Ten doniosly fakt rna znaczenie dla teorii wzglydnosci, 0 ktorej bydziemy mowie w rozdz. 18.5 (jest tez wazny dla teorii spinorow i twistorow; zob. rozdz. 22.8; 24.7 i 33.2, 4). Zauwazmy, ze z punktu widzenia sfery Riemanna os rzeczywista jest po prostu "jednym z okrygow" nierozniqcym siy istotnie od okrygu jednostkowego, tyle ze przebiega teraz pionowo, a nie horyzontalnie (rys. 8.7c). Okrygi te przechodzq
jll [8.6] Sprawdz, ze oba te rzuty stereograficzne s,! zwil!Zane ze sob,! reiacj,!
W =Z-I.
141
8
Powierzchnie Riemanna i odwzorowania zespolone
Sfera Riemanna dla z = sferze Riemanna dla w
=-}-
plaszezyzna w (obr6eona "do g6ry nogami"l (al
(bl
(e)
Rys. 8.7. (a) Sfera Riemanna przedstawionajako sferajednostkowa, ktorej rownik pokrywa siy z okry· giem jednostkowym na (poziomej) plaszczyinie zespolonej z. Punkty tej sfery rzutowane Sll na plasz· czyzny z za pomocll linii prostych przechodzllcych przez biegun poludniowy, ktory sam reprezentuje punkt z = 00. (b) Gdy reinterpretujemy plaszczyzny rownikowll jako plaszczyzny w, obroconll "do gory nogami", ale z tll samll osill rzeczywistll, rzutowanie stereograficzne przebiega z bieguna polnocnego (w = (0), a w = 1/z. (c) Os rzeczywista jest teraz okrygiem wielkim na sferze Riemanna, ale ustawionym pionowo, prostopadle do plaszczyzny.
w siebie przez obrot. Obrot jest z pewnosciq przeksztalceniem konforemnym, a wiyc daje holomorficznq transformacjy sfery na samq siebie. Rzeczywiscie kazde (bezodbiciowe) przeksztalcenie konforemne calej sfery Riemanna na siebie mozna otrzymac za pomocq transformacji Mobiusa. Ten konkretny, rozwaiany przez nas obrot mozna przedstawic w jawnej postaci, jako nastypujqcq relacjy miydzy sferami Riemanna parametrow zespolonych z i t[8.7J: z-l iz+i'
t=--
-t+i
Z=--. t+ i
N a rys. 8.8 przedstawilem ten zwiqzek za pomocq plaszczyzn zespolonych t i z oraz pokazalem, jak gorna polplaszczyzna t, ograniczona jej osiq rzeczywistq, jest odwzorowana na kolo jednostkowe z, ograniczone jego okrygiem jednostkowym. Przeksztalcenie to bydzie nam potrzebne w nastypnym rozdziale. Sfera Riemanna jest najprostszym przypadkiem zwartej - alba "zamkniytej" - powierzchni Riemanna z. W rozdz. 12.6 zajmujemy siy blizej zagadnieniem "zwartosci". W przeciwienstwie do niej powierzchnia Riemanna funkcji logarytmicznej - opisana wczesniej "slimacznica spiralna" - jest powierzchniq niezwartq. W przypadku powierzchni Riemanna funkcji (1 - Z3Y/Z, aby uczynic z niej powierzchniy zwartq, musimy wypelnic cztery dziury, pochodzqce od punktow rozgalyzienia (bo jest powierzchniq niezwartq, jesli tego nie zrobimy), ale taka procedura nie jest niczym niezwykiym. Jak juz wspominalismy, "wypelnianie dziur" jest mozliwe zawsze, pod warunkiem ze punkt rozgaiyzienia jest skonczonego rzydu. Jak stwierdzilismy pod koniec rozdz. 8.1, dla funkcji logarytmicznej punkty rozgalyzienia w zerze i w nieskonczonosci mozemy wypelnic jedno-
142
.B [8.7] Pokai to.
Genus zwartej powierzchni Riemanna
8.4
.' .
plaszczyzna t
plaszczyzna z
Rys. 8.8. Relacja t = (z - 1)/(iz + i) oraz z = (-t + i)/(t + i) przedstawiona na plaszczyznach zespolonych t i z. G6rna p61plaszczyzna t, ograniczona jej osi1! rzeczywist1!, jest rzutowana na kolo jednostkowe w z, ograniczone przez jej okr1!g jednostkowy.
cZeSnie, za pomocq jednego punktu, i otrzymac zwart'! sfery Riemanna. Istnieje kompletna klasyfikacja zwartych powierzchni Riemanna (uzyskana przez samego Riemanna), ktora przydaje siy w wielu dziedzinach (l'!cznie z teori,! strun) i ktor,! niebawem przedstawiy.
8.4 Genus zwartej powierzchni Riemanna Najpierw trzeba sklasyfikowac powierzchnie odpowiednio do ich topologii, a wiyc zgodnie z tymi wlasnosciami, ktore zostaj'! zachowane przy przeksztalceniach ci,!glych. Klasyfikacja topologiczna spojnych, dwuwymiarowych powierzchni zorientowanych (zob. pod koniec rozdz. 12.6) jest bardzo prosta. Mozna jej dokonac za pomocq pojedynczej liczby naturalnej nazywanej "genusem" powierzchni. Z grubsza mowi,!c, naleiy policzyc liczby "uchwytow", jakie ta powierzchnia posiada. W przypadku sfery genus wynosi 0, podczas gdy dla torusa jest rowny 1. Powierzchnia zwyklej filizanki rna genus 1 (tylko jedno ucho!), a wiyc topologicznie jest w tej samej klasie co torus. Powierzchnia zwyklego precla rna genus rowny 3. Na rys. 8.9 podano kilka przykladow. lednakZe sam genus nie definiuje powierzchni Riemanna, z wyj'!tkiem przypadku, kiedy wynosi O. Konieczna jest jeszcze znajomosc pewnych parametrow zespolonych znanych pod nazw'! moduli. Zilustrujy to na przykladzie torusa (genus 1). Latwym sposobem skonstruowania powierzchni Riemanna 0 genusie 1 jest rozwazenie obszaru plaszczyzny zespolonej ograniczonego rownoleglobokiem o wierzcholkach 0, 1, 1 + p, p (w kolejnosci cyklicznej); zob. rys. 8.10. Teraz trzeba sobie wyobrazic, ze sklejamy przeciwne krawydzie rownolegloboku, a wiyc bok od 0 do 1 sklejamy z bokiem od p do 1 + p, a bok od 0 do p
143
8
Powierzchnie Riemanna i odwzorowania zespolone
g=oO·~
·e,:·
. .-.......
~~
g=l:
g=2:
~~: ~
Rys. 8.9. Genus powierzchni Riemanna jest liczbl! jej "uchwyt6w". Genus sfery wynosi 0, powierzchnie torusa i filiZanki majl! genus 1. Powierzchnia precla rna genus 3.
Rys. 8.10. Aby skonstruowac powierzchni~ Riemanna, kt6rej genus wynosi 1, wezmy obszar plaszczyzny zespolonej ograniczony bokami r6wnolegloboku 0 wierzcholkach w punktach 0, 1, 1 +p, P (cyklicznie) i sklejmy przeciwlegle boki. Parametr p przedstawia modulus tej powierzchni Riemanna.
sklejamy z bokiem od od 1 do 1 +p. (Jesli trzeba, to zawsze moiemy znaleic dod atkowe taty, aby przykryc szwy). Uzyskana w ten sposob powierzehnia Riemanna jest rzeezywiscie, z topologicznego punktu widzenia, torusem. Okazuje sit(, ie dla roinyeh wartosei p uzyskane powierzehnie na ogol wea1e nie S,! sobie rownowaine, to znaezy, ie nie jest moiliwe przeksztalcenie jednej z nich w drug,! za pomoq transformaeji holomorficznej. (Istniej,! jednakie pewne rownowainosci dyskretne, jakie na przyktad powstaj'! podezas zamiany p na 1 + p alba na -p lub na IIp[8.8].) Jesli rozwaiy sit( dwa przypadki przedstawione na rys. 8.11, to moina intuicyjnie zrozumiec, dlaezego nie wszystkie powierzehnie Riemanna 0 tej samej topologii S,! sobie rownowaine. W jednym przypadku wybratem bardzo mat'! wartosc p i w efekcie powstal torus cieniutki i ehudziutki. W drugim przypadku wybralem p bliskie
Rys. 8.11. Dwie nier6wnowaine powierzchnie Riemanna 0 topologii (orusa.
!!J!J [8.8] Pokaz, ze takie podstawienia prowadz'l do przestrzeni r6wnowaznych holomorficz-
144
nie. Znajdz wszystkie szczeg61ne wartosci p, dla kt6rych te r6wnowaznosci prowadz'l do dodatkowych dyskretnych symetrii powierzchni Riemanna.
Genus zwartej powierzchni Riemanna
8.4
wartosci "i", w efekcie powstal sympatyczny, dusty torus. Intuicyjnie jest zrozumiale, ze nie moze bye konforemnej rownowai:nosci tych dwu powierzchni i rzeczywiscie okazuje siC(, ze jej nie rna. Gdy genus powierzchni wynosi 1, istnieje tylko jeden zespolony modulus p, ale kiedy genus wynosi 2, mamy juz trzy moduli. Aby skonstruowae powierzchniC( Riemanna 0 genusie 2, podobnie do metody rownolegloboku, jak,! zastosowalismy do powierzchni 0 genusie 1, a wiC(c przez sklejanie pewnego ksztaltu, moglibysmy to zrobie z kawalka plaszczyzny hiperbolicznej, jak na rys. 8.12. To sarno mozna przeprowadzie dla powierzchni 0 dowolnie wiC(kszym genusie. Liczba m zespolonych moduli dla genusa g, gdy g ~ 2, wynosi m = 3g - 3. Mogloby siC( wydawae dziwne, ze formula 3g - 3 jest spelniona dla wszystkich wartoscig = 2,3,4,5, ... , lecz nie dlag = 0 lub 1. "Powod", dla ktorego takjest, rna zwi'!zek z liczbll s parametrow zespolonych koniecznych do wyspecyfikowania roznych ci,!glych (holomorficznych) odwzorowan powierzchni Riemanna w siebie. Dla g ~ 2 takich ci,!glych transformacji nie rna (aczkolwiek mogll istniee transformacje dyskretne), st,!d s = O. JednakZe w przypadku g = 1 zespolona plaszczyzna rownolegloboku z rys. 8.10 moze zostae przesuniC(ta (sztywno i bez obrotu) w dowolnym kierunku na plaszczyinie. Wielkose (i kierunek) tego przesuniC(cia mozna wyspecyfikowae za pomoc,! pojedynczego zespolonego parametru a, translacjC( uzyskuje siC( przez odwzorowanie Z HZ + a, a wiC(c s = 1 dla g = 1. W przypadku sfery (genus 0) takie samoodwzorowanie uzyskuje siC(, stosuj,!c opisan,! transformacjC( homograficzn'! Z H (az + b)/(cz + d). Tutaj mamy wiC(ksz,! swobodC(, nadan,! przez trzy3 niezalezne stosunki a : b : c : d. A zatem dla g = 0 otrzymujemy s = 3. St,!d we wszystkich przypadkach roznica m - s pomiC(dzy liczb,! zespolonych moduli a liczb,! parametrow zespolonych wymaganych do wyspecyfikowania transformacji samoodwzorowania spelnia relacjC(:
m-s=3g-3. (Wzor ten jest wynikiem pewnych glC(bszych zwi'!Zkow, ktorych analiza wykracza poza zakres tej ksilliki4.)
Rys. 8.12. OSmiokqtny obszar plaszczyzny hiperbo\icznej, w przedstawieniu konforemnym jak na rys. 2.12, prowadzi do powierzchni Riemanna 0 genusie 2.
145
8
Powierzchnie Riemanna i odwzorowania zespolone
Rys. 8.13. KaZda geometria metryczna zg = 0 jest konforemnie identyczna z geometri'l standardowej ("okr'lglej") sfery jednostkowej.
Zrozumiale, ze w rodzinie transformacji konforemnych (holomorficznych) mamy spor,! swobody w modyfikowaniu widocznego "ksztaltu" powierzchni Riemanna, podczas gdy jej struktura jako powierzchni Riemanna pozostaje niezmieniona. Na przyldad w przypadku topologii sferycznej mozliwe s,! bardzo razne geometrie metryczne Oak to przedstawia rys. 8.13), choe wszystkie one s,! konforemnie identyczne ze standardow,! ("okr'!gl'!") sfer,! jednostkow'!. (Bardziej szczegalowo wypowiem siy na temat pojycia "metryki" w rozdz. 14.7.) Ponadto dla wyzszych wartosci genusa ta pozomie wielka swoboda "ksztaltu" powierzchni redukuje siy do skonczonej liczby zespolonych moduli, zgodnie z podanym uprzednio wzorem. JednakZe w ksztalcie powierzchni zakodowana jest pewna ogalna informacja zdefiniowana przez same moduli, ktarej nie mozna wyeliminowae, korzystaj,!c z tej konforemnej swobody. Jest spraw,! dose delikatn'!, jak dalece ta swoboda jest przydatna w sensie globalnym.
8.5 Twierdzenie Riemanna 0 odwzorowaniu konforemnym
146
Pewne pojycie 0 mozliwosciach zawartych w przeksztalceniach holomorficznych pozwala nam uzyskae znane twierdzenie Riemanna 0 odwzorowaniu konforemnym. Twierdzenie to glosi, ze dla kazdego "zamkniytego" obszaru na plaszczyznie zespolonej (zob. przyp. 2), ograniczonego nieprzecinaj,!C4 siy zamkniyt'! pyt1'!, istnieje przeksztalcenie holomorficzne odwzorowuj,!ce ten obszar na "zamkniyte" kolo jednostkowe (zob. rys. 8.14). Istniej,! drobne ograniczenia na "dzikose" tej pytli, ale nie przeszkadzaj,! one temu, zeby miala rogi, a nawet jeszcze gorsze miejsca, w ktarych nie jest razniczkowalna, jak to ilustruje przyldad pokazany na rys. 8.14. Mozna siy nawet posun'!e dalej i wybrae na tej pytli, w najzupelniej dowolny sposab, trzy razne punkty a, b, c i zaz'!dae, zeby zostaly odwzorowane na trzy okreslone punkty a', b', c' na okrygu jednostkowym (na przyklad: a' = 1, b' = w, c' =w 2 ), z jedynym ograniczeniem: uporz,!dkowanie cykliczne punktaw a, b, c musi odpowiadae uporz,!dkowaniu punktaw a', b', c' na okrygu jednostkowym. W ten sposab odwzorowanie jest okreslone jednoznacznie. Innym sposobem jednoznacznego okreSlenia odwzorowania jest zadanie pewnego punktu a na pytli ograniczaj,!cej oraz jednego dodatkowego punktu j wewn'!trz niej i zaz,!danie, zeby punkt a zostal odwzorowany na okreslony punkt a' na okrygu (powiedzmy, a' = 1), natomiast punktj na okreslony punktj' wewn'!trz okrygu (powiedzmy,j' = 0).
Twierdzenie Riemanna 0 odwzorowaniach
8.5
Rys. 8.14. Twierdzenie Riemanna 0 odwzorowaniach glosi, ze kaidy otwarty obszar na plaszczyfuie zespolonej, ograniczony jak~s zamknit(t~ (ale niekoniecznie gladk~) Pt(tl~, moze bye odwzorowany holomorficznie na wnt(trze okrt(gu jednostkowego, a tilie sarna granica daje sit( odpowiednio odwzorowae.
Wyobrazmy sobie teraz, ze chcemy zastosowae twierdzenie Riemanna do jakiegos obszaru leZ,!cego nie na plaszczyznie zespolonej, ale na sferze Riemanna. Z punktu widzenia sfery Riemanna nie ma r6znicy miydzy "wnytrzem" jakiejs zamkniytej pytli a jej "zewnytrzem" (wystarczy spojrzee na sfery z drugiej strony). W takim razie twierdzenie to moze bye z powodzeniem zastosowane zar6wno do "wnytrza", jak i "zewnytrza" pytli. Istnieje wobec tego "odwr6cona" postae twierdzenia Riemanna 0 odwzorowaniach, kt6ra m6wi, ze "zewnytrze" jakiejs pytli na plaszczyznie zespolonej moze zostae odwzorowane na "zewnytrze" okrygu jednostkowego, a jednoznacznose odwzorowania zapewni proste z,!danie, zeby okreslony punkt a na pytli zostal odwzorowany na okreslony punkt a' na okrygu jednostkowym (powiedzmy, a' = 1), natomiast 00 przejmuje teraz roly punkt6w j ij' opisanych pod koniec poprzedniego akapitu5 • Nierzadko zdarza siy, ze postae poszukiwanego odwzorowania mozna znaIde w jawnej formie, a powodem poszukiwan jest uzyskanie w ten spos6b rozwi,!zania interesuj'!cych problem6w fizycznych. Dobry przyklad stanowi zagadnienie przeplywu strumienia powietrza wok61 bryl aerodynamicznych (w wyidealizowanym przypadku, gdy strumien powietrza jest "nielepki", "niescisliwy" i "bezobrotowy"). Pamiytam moje zdumienie, kiedy jako student matematyki zapoznalem siy z transformacj,! Zukowskiego. Ilustruje j,! rys. 8.15. Rysunek ten przedstawia odwzorowanie "zewnytrza" okrygu przechodz'!cego przez punkt z = -1 za pomoq transformacji:
Otrzymany ksztalt rzeczywiscie dobrze oddaje przekr6j skrzydla samolotu z lat trzydziestych XX wieku, dziyki czemu (wyidealizowany) strumien powietrza wok61 niego moze bye wyprowadzony ze strumienia wok61 "skrzydla" 0 przekroju kolowym, kt6ry, z kolei, uzyskujemy za pomoq innej transformacji holomorficznej.
147
8
Powierzchnie Riemanna i odwzorowania zespolone
o
plaszczyzna z
plaszczyzna w
Rys. 8.15. Transformacja Zukowski ego w =t(z + 1/z) odwzorowuje zewnc' plaszczyzna z
-
...... ..:. ...'.:, . "
'.
.'
"
z=A
;,'
:.::.",."
(a)
(b)
r,
156
Rys. 9.S. (a) Piersciefl zbie:i:nosci szeregu Laurenta F(z) = F+ + a o + gdzie F+ = ... + a_zz- z + a_ 1 z-\ 2 1 F- = ... + a 1z + a 2z • Prorniefl zbie:i:nosci F- wynosi A, a dla szeregu F+, we wsp61rzydnych w = z-" wynosi B-1• (b) To sarno na sferze Riernanna (lOb. rys. 8.7), gdzie z odnosi siy do poszerlOnej p61kuli polnocnej, a w (= Z-1) do poszerzonej p61kuli poludniowej.
Funkcje na okr~gu
9.2
stypnym rozdziale.) W zwi,!zku z tym ta czyse szeregu, kt6ra zawiera potygi ujemne, bydzie zbiezna dla tych wartosei z, kt6rych moduly s,! wiyksze niz B. Jezeli B < A, to obszary zbieznosei byd,! siy nakladaly i, w rezultaeie, otrzymamy pierseien zbieznosei calego szeregu Laurenta. ZauwaZmy, ze pelny szereg Fouriera alba Laurenta dla funkcji f(x) = P( eiX ) = P(z) jest postaci
P(z) = p+ + a o + r, i w tej analizie trzeba uwzglydnie staly wyraz ao' Rozwazamy tutaj zbieznose na okrygu jednostkowym, poniewaz to jest obszar, na kt6rym z = eix dla rzeczywistych wartosei X i zagadnienie zbieznosei naszego szeregu Fouriera dlaf(x) jest w istoeie pytaniem 0 zbiei:nose szeregu Laurenta dla P(z), dla z lez'!cych na okrygu jednostkowym. W takim razie wydaje siy, ze potrzebujemy, aby B < 1 < A, co zapewni, iZ okr,!g jednostkowy bydzie lezal wewn'!trz pierseienia zbieznosci. Czy z tego wynika, ze dla zbiei:nosei szeregu Fouriera konieczne jest, by okr,!g jednostkowy lezal wewn'!trz pierseienia zbiei:nosci? Byloby tak rzeczywiseie, gdyby f(x) byla funkcj,! analityczn'! (tj. klasy C"; w6wczas bowiem funkcjaf(x) moglaby bye zamieniona na funkcjy P(z), holomorficzn,! w pewnym otwartym obszarze, zawieraj,!cym okr,!g jednostkowy4. Jesli jednakf(x) nie jest funkcj,! analityczn,!, powstaje eiekawa sytuacja. W takim przypadku albo pierseien zbieznosei kurczy siy do samego okrygu jednostkowego - co, seisle rzecz bior,!c, nie jest mozliwe w przypadku prawdziwego pierseienia zbieznosei, gdyz powinien to bye obszar otwarty, podczas gdy okr,!g jednostkowy takim obszarem nie jest - alba okr,!g jednostkowy staje siy zewnytrzn,! lub wewnytrzn,! granic,! pierseienia zbiei:nosei. Kwestie te stan,! siy dla nas istotne w rozdz. 9.6, 7. Na razie nie przejmujmy siy tym, co siy stanie, gdy funkcja f(x) nie bydzie analityczna, i zajmijmy siy prostszym przypadkiem, gdy ma ona wlasnose an alitycznosci. W takim razie okr'!gjednostkowy plaszczyzny z leZy dokladnie wewu'!trz pierseienia zbieznosei P(z), kt6ry jest ograniczony okrygami 0 srodku w pocz'!tku ukladu i 0 promieniachA i B, gdzie B < 1 < A. CZyse szeregu Laurenta zawieraj,!ca potygi dodatnie, r, jest zbiezna dla wszystkich z, kt6rych moduly s,! mniejsze odA, a czyse zawieraj,!ca potygi ujemne jest zbiezna dla wszystkich z, kt6rych moduly S,! wiyksze od B. Tak wiyc oba te szeregi s,! zbiezne wewn'!trz samego pierseienia (i, w trywialnym sensie, czlon staly, ao' jest wszydzie zbiezny). Mamy wiyc do czynienia z "rozszczepieniem" funkcji P(z) na dwie cZysei, jedn,! holomorficzn,! wewn'!trz okrygu zewnytrznego i drug,!, holomorficzn'! na zewn'!trz okrygu wewuytrznego; S,! one zdefiniowane na drodze rozwiniyeia w szereg dla P- i P+. Powstaje tu pewna (drobna) dwuznacznose, czy przy tym rozszczepieniu staly czlon a o ma bye dol'!czony do r czy do P +. Ale pozostanmy przy tej dwuznacznosei. Wystypuje bowiem symetria pomiydzy r a P+, kt6ra stanie siy lepiej widoczna, kiedy spojrzymy na to za posrednictwem obrazu sfery Riemanna, do czego nawi
157
9
Rozklad Fouriera i hiperfunkcje
9.3 Rozszczepienie cz,stosci na sferze Riemanna Wsp6lrzl(dne z i w (= liz) dajq nam teraz dwie laty pokrywajqce calq sferl( Riemanna. Roll( okrl(gu jednostkowego przejmuje r6wnik, a roll( pierscienia zbid:nosci "kolnierz" r6wnika. Mozemy uwazac, ze dokonalismy rozszczepienia funkcji F(z) na dwie cZl(sci: jednq z nich, kt6ra rozciqga sil( holomorficznie na poludniowq p61kull(, nazwiemy cZl(sciq cz?stosci dodatnich - bl(dzie sil( skladala z F + (z) wraz z wlqczonq w niq cZl(sciq czlonu stalego, a drugq, rozciqgajqcq sil( holomorficznie na p61kull( p6lnocnq, skladajqcq sil( z Y(z) i pozostalej cZl(sci czlonu stalego (podzial czlonu stalego jest zupelnie dowolny) - nazwiemy cZl(sciq cz?stosci ujemnych. Jesli pominiemy czlon staly, to takie rozszczepienie jest jednoznaczne dzil(ki wymogowi holomorficznosci rozszerzenia na jednq lub drugq p61kull([9.3 J• Wygodnie bl(dzie od czasu do czasu m6wic 0 "Wlll(trzu" albo 0 "zewnl(trzu" okrl(gu (albo jakiejs innej zamknil(tej pl(tli) narysowanym na sferze Riemanna. W tym celu spr6bujemy przypisac tym pl(tlom "kierunek" alba "orientacjl(". Standardowy (dodatni)l'l spos6b ukierunkowania okrl(gu jednostkowego na plaszczyznie zespolonej z polega na okresleniu kierunku wzrostu wsp6lrzl(dnej (), a wil(c kierunku przeciwnego do ruchu wskaz6wek zegara. Jesli zmienimy orientacjl( (np. zamieniajqc () na - ()), w6wczas przechodzimy od cZl(stosci dodatnich do ujemnych. Podobnq konwencjl( zastosujemy do dowolnych pl(tli zamknil(tych. Zorientowanie pl(tli rna kierunek dodatni, jesli wyobrazimy sobie "tarczl( zegara" umieszczonq wewnqtrz pl(tli, a orientacja jest przeciwna, gdybysmy umiescili "tarczl(" na zewnqtrz Pl(tli. W ten spos6b mozemy jednoznacznie zdefiniowac "wnl(trze" i "zewnl(trze" dowolnej zorientowanej pl(tli zamknil(tej. Wyjasnia to rys. 9.6. Mozliwosc rozszczepienia dowolnej funkcji na jej cZl(sci odpowiadajqce czI(stosciom dodatnim i CZl(stosciom ujemnym jest waznym elementem teorii kwantowej, w szczeg6lnosci kwantowej teorii pola, jak sil( 0 tym przekonamy w rozdz. 24.3 i 26.2-4. To szczeg6lne sformulowanie problemu, kt6re zaprezentowalem tutaj, nie jest najbardziej popularne, ale rna istotne zalety w licznych zastosowaniach
Rys. 9.6. Kierunek (orientacja) przyporzlldkowany pytli zamkniy· tej na sferze Riemanna definiuje, co rozumiemy przez "wnytrze", a co przez "zewnytrze" pytli: kierunek jest "przeciwny ruchowi wskaz6wek zegara" (dodatni), jesli "tarczy zegara" wyobrazimy sobie wewnlltrz pytIi (i na odwr6t).
a
158
[9.3] Czywiesz dlaczego? [*] Autor uiywa okreslenia anticlockwise, tzn. przeciwny wzglydem ruchu wskazowek zegara (przyp. dum.).
Rozszczepienie cZQstosci na sferze Riemanna
9.3
(np. jest bardzo przydatne w teorii twistorow; zob. rozdz. 33.10). Zwykle do jego przedstawienia nie poslugujemy sit( rozszerzeniem holomorficznym, ale od razu przechodzimy do rozwinit(cia Fouriera. Wowczas skladowe 0 cZt(stosci dodatniej zawieraj,! wielokrotnosci e-inx , gdzie n jest liczb,! dodatni,!, podczas gdy wyrazy zawieraj,!ce e inx nalez'! do szeregu cZt(stosci ujemnych. Funkcja cZt(stosci ujemnych zawiera wyl,!cznie skladowe 0 czt(stosciach dodatnich. lednakZe taki opis nie oddaje w pelni ogolnosci zwi,!zanej z tym rozszczepieniem. Istnieje wiele odwzorowan holomorficznych, ktore odwzorowuj,! sfert( Riemanna na siebie, przeksztaicaj,!c takZe na siebie kazd,! z polkul, ale ktore nie zachowuj,! ani bieguna poludniowego, ani polnocnego (tzn. punktow z = 0 lub z = (0)l9.41• Te transformacje zachowuj,! rozszczepienie na cZt(stosci ujemne i dodatnie, ale nie zachowuj,! poszczegolnych skladowych fourierowskich e-inx czy e inx • Tak wit(c sprawa rozszczepienia na czt(stosci dodatnie i ujemne (szczegolnie wazna dla teorii kwantowej) jest bardziej ogolnym pojt(ciem niz podzial na poszczegolne skladowe szeregu Fouriera. W zwyklej analizie kwantowomechanicznej problem rozszczepienia na cZt(stosci dodatnie i ujemne dotyczy funkcji zaleznych od czasu t, a 0 czasie nie zwyklismy myslec jako 0 wielkosci zmieniaj,!cej sit( wzdluZ okrt(gu. Mozemy jednak dokonac prostej transformacji, ktora zapewni, ze uzyskamy pelny przedzial czasowy, od "granicy w przeszlosci", t = -00, do "granicy w przyszlosci", t = 00, przeksztaicaj,!c zmienn,! X okreslon,! na okrt(gu, w przedziale X = -1t do X = 1t (co daje w efekcie, ze z = e ix zmienia sit( na okrt(gu jednostkowym, w kierunku przeciwnym do wskazowek zegara, odz = -1 na powrot do z = -1; zob. rys. 9.7). Takie przeksztalcenie jest zadane wzorem: 1
t = tg-X' 2
II
t
•1
t=-1
Rys. 9.7. W mechanice kwantowej rozszczepienie na cz«stosci dodatnie i ujemne odnosi si« do funkcji zaJeznych od czasu, t, ktore na ogol nie s'l periodyczne. Mimo to rozszczepienie z rys. 9.5 moze bye dokonane w pelnym zakresie czasowym (od - 00 do + 00), jesli zastosujemy transformacj« t na z (= e iX), gdzie z zmienia si« po okr«gu, przeciwnie do ruchu wskazowek zegara, od z =-1 z powrotem do z = -1, co daje zmian« X od -11 do +11.
~
[9.4] Czy mozesz podac te odwzorowania w jawnej postaci?
159
9
Rozklad Fouriera i hiperfunkcje
X
------------~~----~==~~~x=n
~~~==~----4---------------x=-n Rys. 9.S. Wykres re\acji t = tg
h.
Rys. 9.9. Geometria zwiljZku t = tg'k
Wykres tej zaleznosci podaje rys. 9.8, a rys. 9.9 przedstawia jej prost,! geometryczn,! interpretacjy. Zalet'! tej szczegolnej transformacji jest jej rozci,!ganie holomorficzne na cal,! sfery Riemanna, co sprowadza j,! do transformacji omawianej w rozdz. 8.3 (zob. rys. 8.8), ktora odwzorowuje okr,!g jednostkowy na plaszczyznie Z na os rzeczywist'! na plaszczyznie t [9.5):
z-l
t= . - -., lZ+l
-t+i t+i
Z=--.
Wnytrze okrygu jednostkowego na plaszczyznie Z odpowiada gomej polplaszczyznie t, a "zewnytrze" okrygu jednostkowego na plaszczyznie Z odpowiada dolnej polplaszczyznie t. St,!d funkcje t odpowiadaj,!ce cZystosciom dodatnim przechodz'! holomorficznie na doln,! polplaszczyzny t, a funkcje odpowiadaj,!ce cZystosciom ujemnym - na gom,! polplaszczyzny. (Jest w tym jeden znacz'!cy dodatkowy element techniczny: musimy uwazac na sposob odwzorowania punktu "w" z plaszczyzny t, ale sprawy ty rozwi'!iemy wlasciwie, jesli zawsze posluiymy siy koncepcj,! sfery Riemanna, a nie po prostu zespolon'! plaszczyzn£! t.)
160
~ [9.5] Pokai:, ze ta transformacja prowadzi do identycznego wyrazenia na t.
Transformata Fouriera
9.4
Jednilie w standardowym ujl(ciu koncepcja "czl(stosci dodatnich" w odniesieniu do wspolrzl(dnej czasowej t nie jest przedstawiana tak, jak to zrobilismy tutaj. Zwykle poslugujemy sil( transformatq Fouriera funkcji f(x). 0 przyczynie juz wspominalismf, ale poniewaz transformaty Fouriera odgrywaj,! wielk,! roll( w mechanice kwantowej (i w wielu innych dziedzinach), wil(c bl(dzie potrzebne zrozumienie, czym one naprawdl( S'!.
9.4 Transformata Fouriera W zasadzie transformata Fouriera jest granicznym przypadkiem szeregu Fouriera, kiedy okres I rozpatrywanej funkcji okresowej f(x) jest coraz wil(kszy, az staje sil( nieskonczony. W granicy nieskonczonosci nie rna zadnych ograniczen na okresowose funkcji: staje sil( ona po prostu zwykl,! funkcj,!6. To ujl(cie rna istotne zalety, gdy badamy rozchodzenie sil( fal i interesuje nas mozliwose wysylania "nieoczekiwanych" sygnalow. W takich przypadkach nie zaleiy nam wcale na periodycznosci sygnalu. Transformata Fouriera pozwala rozwaiae "jednorazowe" sygnaly i nadal analizowae je za pomoc,! rozkladu na okresowe "tony czyste". Mozna to osi,!gn,!e, traktuj,!c nasz'! funkcjl( f(x) jak funkcjl( okresow'! z okresem I d¥,!cyrn do nieskonczonosci. Gdy wielkose tego okresu rosnie, wowczas "czyste diwil(ki harmoniczne", 0 okresach lin, gdzie n jest dodatni,! liczb,! calkowit'!, uzyskuj,! cZl(stosci, ktore mog'!, w granicy, bye bliskie dowolnej dodatniej liczbie rzeczywistej. (Przypomnijmy sobie, ze dowolna liczba rzeczywista moze bye przyblizona, z dowoln'! dokladnosci,!, przez liczby wymierne.) Wniosek z tego jest taki, ze kazdy "czysty diwil(k" o dowolnej cZl(stosci moze bye dozwolon'! skladow,! rozkladu Fouriera. Teraz, zamiast rozwinil(cia funkcjif(x) na dyskretn,! suml( skladowych fourierowskich, mozemy j,! wyrazie przez ci,!gl,! suml( po wszystkich CZl(stosciach, innymi slowy, funkcjaf(x) bl(dzie teraz opisana calkq (zob. rozdz. 6.6) po CZl(stosciach. Sprawdzmy, pokrotce, jak to sil( robi. Przypomnijmy sobie najpierw nasz najbardziej "zgrabny" sposob zapisania szeregu Fouriera dla funkcji okresowej f(x), o okresie I:
F(z) =
L. a,z',
gdzie z = e iwx
(czl(stose k,!towa jest zwi'lZana z okresem relacj,! w = 2n/l). Przyjmijmy, na pocz'!tek, ze ten okres wynosi 2n, a wil(c W = 1. Sprobujmy teraz powil(kszye ten okres N razy (a wil(c I = 2rrN, gdzie N jest duz(! liczb(! calkowit(!), co oznacza odpowiednie zmniejszenie cZl(stosci (w = N-1). CZl(stose drgan fali, ktora stanowila jedn(! z cZI(stosci bazowych tonow czystych, staje sil( w ten sposob N-tym tonem harmonicznym w stosunku do tej nowej, niiszej CZl(stosci. Diwil(k czysty, ktory poprzednio stanowil n-ty ton harmoniczny, staje sil( teraz (nN)-tym diwil(kiem harmonicznym. Gdy z N przechodzimy do nieskonczonosci, traci sens sledzenie jakiejs szczegolnej skladowej drgaj(!cej przez znakowanie jej "liczb(! harmoniczn(!" (w tym wypadku liczb(! n), poniewaz ta liczba ci,!gle sil( zmienia. Innymi slowy, nie naleiy oznaczae
161
9
Rozklad Fouriera i hiperfunkcje
tej skladowej drgajllcej za pomoq liczby calkowitej r, jak w pokazanej sumie, gdyz ustalona wartose r oznacza konkretnll harmonicznll (r = ±n dla n-tej harmoniki); raczej powinnismy poslugiwae siy odpowiednill CZystoscill, ktora jest zwillzana z liczbll r/N, i dlatego potrzebna jest nam nowa zmienna do jej oznaczenia. Planujllc dalsze wykorzystanie transformat Fouriera (zob. szczegolnie rozdz. 21.11), do oznaczenia tej zmiennej uZyjy symbolu p. W zastosowaniach do cZllstek mechaniki kwantowej, w granicy N d¥llcego do nieskonczonosci, zmienna ta oznaczac bydzie p~d7 cZllstki, ktorej polozenie oznaczymy liteq X. Aczkolwiek, w tym przypadku, mozna by powrocie do konwencjonalnego uZycia litery x w miejscu X, podczas gdy przez X bydziemy oznaczae czyse rzeczywistllliczby zespolonej z. Dla skonczonych wartosci N napiszemy
r
p- -N' -
W granicy N ~ 00 parametr p staje siy zmiennll cillgill. Poniewaz w naszej sumie wspolczynniki a r bydll zalezee od tego rzeczywistego i cillglego parametru, a nie od parametru r wyraZanego w liczbach calkowitych, dlatego lepiej bydzie przejsc do standardowego oznakowania i pisae, na przyklad, g(p), zamiast uZywae dolnego indeksu (np. gp)' jak w przypadku ar' W efekcie w naszym sumowaniu L arz dokonamy zamiany
ar ~ g(p), ale musimy pamiytae, ze gdy N rosnie, rosnie rowniez liczba wyrazow leZllcych w jakims malym zakresie wartosci p (w zasadzie w proporcji do N, albowiem rozwaZamy ulamki n/N, ktore mieszczll siy w tym zakresie). W takim razie wielkosc g(p) staje siy miarll gystosci i trzeba, w granicy, w ktorej sumowanie L przechodzi w calkowanie f, polllczye jll z rozniczkll dp. Na koniec rozwazmy wyraz zw sumie L arz. Wiemy, ze z = e""X, ale gdy w = N-\ to z = e'llN. W takim razie z = e'lrlN = e'XP. LllCZllC to wszystko razem, w granicy N ~ 00, otrzymujemy wyrazenie +00
Larz r ~ f g(p)eiXPdp ktore przedstawia naszll funkcjy J(x). Zwykle dolllczamy jeszcze przed calkll pewien czynnik skalujllCY, (2nt1l2, dziyki czemu wzorywyrazajllceg(p) przezJ(x) i wyraZajllce J(x) przez g(p) - poza znakiem minus w eksponencie - Sll symetryczne: +00
+00
J(x) = (2nr1J2 fg(p)eiXPdp, g(p)=(2nt/2 fJ(x)e-iXPdx. Funkcje J(x) ig(P) Sll wzglydem siebie transJormatami Fouriera[9.61.
162
tm [9.6] Spr6buj pokazac, jak uzyskac wyrazenie na g(p) przez [ex), ui;ywaj,!c granicznej postaci wyrazenia na calkt( po konturze an = (21titl fZ-n-l F(z) dz z ewiczenia [9.2].
Rozszczepienie czestosci w iezyku transformat Fouriera
9.5
9.5 Rozszczepienie cz~stosci w j~zyku transformat Fouriera
o funkcji (zespolonej) f(X), okreslonej na calej osi rzeczywistej, mowimy, ze jest funkcjq 0 cz~stosciach dodatnich, jesli jej transformata Fouriera g(p) jest zerem dla wszystkich p :) O. A zatem funkcja taka sklada sit( wylqcznie ze skladowych fourierowskich 0 postaci e ixp z p < O. Dla Eulera bylaby to sytuacja trudna do zaakceptowania - zob. rozdz. 6.1 - i nie podobalaby mu siy taka funkcja g(p), powstala w wyniku sklejania niezerowej funkcji dla p < 0 i rownej zeru dla p > O. JednakZe w ten sposob funkcjaf(x) nie stracilaby nie ze swojej "holomorfieznosci". Ten warunek "dodatniej cZt(stotliwosci" moze tei bye wyrazony w terminach holomorficznej przedluzalnosci f(X), podobnie jak to poprzednio zrobilismy z szeregami Fouriera. Potraktujemy mianowicie zmiennq X jako oznaczenie punktow na osi rzeczywistej (a wiyc identyfikujemy X =X na tej osi), podczas gdy na sferze Riemanna ta "os rzeczywista" (wlqczajqc w to punkt X = OC)) staje siy teraz "okrt(giem rzeczywistym" (zob. rys. 8.7c). Okrqg ten dzieli sfert( na dwie polkule, przy czym polkula "zewnt(trzna" odpowiada dolnej polplaszczyznie w standardowym obrazie plaszczyzny zespolonej. Zqdanie, zeby funkcja f(x) byla funkcjq 0 "czt(stosciach dodatnich", jest teraz rownowazne warunkowi, ze mozna jq przedluZye holomorficznie na tt( "polkuly zewnt(trznq". Jest pewna subtelna sprawa, 0 ktorej musimy pamit(tae, kiedy porownujemy te dwie definicje "funkcji 0 cZt(stosciach dodatnieh", zwiqzana z tym, jak potraktujemy punktz = OC), poniewaz, w ogolnym przypadku, funkcjaf(x) bydzie miala w tym miejscu osobliwose. Jesli jednak przyjmiemy "hiperfunkcyjnq" koncepcjt(, ktorq przedstawit( niebawem (w rozdz. 9.7), to osobliwose w punkcie z = OC) nie prowadzi do zasadniczych trudnosci. Okazuje sit(, ze gdy traktujemy "f( OC))" w odpowiedni sposob, obie te definicje "dodatnich czt(stosci" Sq zgodnes. Czytelnik bardziej zainteresowany moze przeanalizowae, poslugujqc sit( koncepcjq sfery Riemanna, pewne aspekty geometryczne przejscia granicznego, opisanego w rozdz. 9.4, ktore pozwolilo nam zastqpiC szereg Fouriera transformatq Fouriera. W tym celu powroemy do rozwazanego wczesniej opisu na plaszczyznie z funkcji periodycznej f(x) 0 okresie 2n, kiedy zmienna X mierzy dlugose luku na obwodzie okrt(gu jednostkowego. Przypusemy, ze chcemy zmienie wielkose okresu do jakiejs wartosci wiykszej od 2n, w kolejnych krokach, zachowujqc przy tym interpretacjy X jako miary odleglosci na obwodzie okrygu. Mozemy to osiqgnqe, rozwazajqc sekwencjt( coraz wit(kszych okrt(gow, jednakZe zeby ta graniczna procedura miala geometryczny sens, zaloZymy, ze wszystkie te okrygi stykajq sit( ze sobq w punkcie startowym X = 0 (zob. rys. 9.lOa). Dla ulatwienia wybierzmy ten punkt jako poczqtek ukladu z = 0 (raczej niz punkt z = 1) i niech wszystkie te okrygi lezq w dolnej polplaszczyznie. W ten sposob nasz okrqg wyjsciowy, dla okresu I = 2n, staje sit( okrygiem jednostkowym 0 srodku w punkcie z = -i, a nie w poczqtku ukladuo Dla okresu I > 2n odpowiedni okrqg rna srodek w punkcie C = -il/2n plaszczyzny zespolonej, a gdy przechodzimy do granicy I ~ OC), okrqg przechodzi w os rze-
163
9
Rozklad Fouriera i hiperfunkcje
,
",
~;:
"
~ \" Przesuni~ty'\ okrljg jednostkowy I
/
I I
,
c = -it 21t
/
\
/
"
-'" /".......
/'(a)
(b)
Rys. 9.10. Warunek "czystosci dodatnich", gdy 1---+ 00, gdzie I jest okresern funkcji lex). (a) Zacznijrny z I = 21t, z funkcjil/okreslonil na okrygu jednostkowym, ale ze srodkiern przesuniytym do punktu z =-i. Ze wzrostern I okrilg staje siy okrygiern 0 prornieniu I, a jego srodek przesuwa siy do punktu C = -il/21t. W kai:dym przypadku zrnienna X jest rniaril dlugosci luku w kierunku zgodnyrn z ruchern wskaz6wek zegara. Warunek dodatniej cZystosci oznacza teraz zildanie, zeby funkcja I dawala si y holornorficznie przedluZyc do wnytrza okrygu, a w przypadku I = 00 na calil dolnil p6lplaszczyzny. (b) To sarno, ale na sferze Riernanna. Dla skoiiczonych wartosci I szereg Fouriera otrzyrnuje siy z szeregu Laurenta wok6l punktu z = -il/21t. J ednak na sferze ten punkt nie jest srodkiern okrygu i przechodzi w punkt 00 w granicy I = 00, a tam szereg Fouriera przechodzi w transforrnat y Fouriera.
czywist'! (a wiyc X =x), natomiast jego "srodek" przesuwa siy do nieskonczonosci wzdluz ujemnej osi urojonej. W kaZdym przypadku zmienna c mierzy dlugosc luku, zgodnie z ruchem wskazowek zegara (albo, w granicznym przypadku, zwykl,! odleglosc mierzon,! w dodatnim kierunku na osi rzeczywistej), przy czym punkt wyjsciowy X = 0 wypada w pocz'!tku ukladu. Poniewaz nasze okrygi maj,! teraz niestandardow,! orientacjy (tzn. zgodn,! z kierunkiem ruchu wskazowek zegara), w takim razie "wnytrza" tych okrygow "znajduj,! siy na zewn'!trz" (zob. rozdz. 9.3, rys. 9.6), a nasz warunek "czystosci dodatnich" odnosi siy do tego wnytrza. Zwi,!zek pomiydzy c a z mozna teraz przedstawic nastypuj,!col9.71 :
z_-it- (-iX e 21t
1) .
Dla skonczonej wartosci t szereg Fouriera dla !(x) staje siy teraz szeregiem Laurenta wokol punktu C = -il/21t. Transformaty Fouriera otrzymamy, przechodz'!c do granicy I ~ 00. Dla skonczonego I warunek "dodatniej czystosci" oznacza holomorficzn,! przedluzalnosc !(x) na "wnytrze" odpowiedniego okrygu; dla granicy I ~ 00 oznacza to holomorficzn'! przedluzalnosc na doln,! polplaszczyzny.
164
B
[9.7] Wyprowadz tt( relacjt(.
Jaki rodzaj funkcji jest odpowiedni?
9.6
Ale co sit( dzieje z szeregiem Laurenta w granicy I ~ oo? Aby to zrozumiee, musimy uwaznie przesledzie sytuacjt( na sferze Riemanna. Dla kaidej skonczonej wartosci I punkt C = -il/2rc jest srodkiem okrt(gu X, ale na sferze Riemanna punkt ten wcale nie musi bye srodkiem okrt(gu. Gdy I rosnie, punkt C przesuwa sit( wzdluz okrygu, ktory reprezentuje os urojonq na sferze Riemanna (zob. rys. 9.1Ob), i coraz mniej przypomina srodek okrygu. W koncu, gdy I = 00, punkt C przechodzi w punkt z = 00 na sferze Riemanna. Ale kiedy C = 00, spostrzegamy, ze punkt ten leZy na okr~gu, ktorego powinien bye srodkiem! (Ten okrqg jest teraz osiq rzeczywistq.) I tak stwierdzamy cos dziwnego (czy "osobliwego") w rozwijaniu w szereg wokol tego punktu, co jest naturalne, gdyz nie mamy obecnie do czynienia z sumq poszczegolnych wyrazow, ale z calkq.
9.6 Jaki rodzaj funkcji jest odpowiedni?
Powroemy teraz do kwestii postawionej na poczqtku tego rozdzialu, a mianowicie, jakiego rodzaju funkcje Sq najbardziej odpowiednie do naszych celow. Jakiego typu funkcje mogq bye przedstawione w postaci transformat Fouriera? Wydaje sit(, ze nie bt(dzie wlasciwe ograniezanie sit( tylko do funkcji analitycznych (tj. do funkcji klasy C poniewaz, jak juz widzielismy, transformata Fouriera g(p) funkcji 0 czt(stosciach dodatnich ICl) - a wit(c funkcji, ktora jest na pewno analityczna - przedstawia sobq wyrainie nieanalityczny "proces zszywania" funkcji niezerowej z funkcjq stalq 0 wartosciach zero. Relacja mit(dzy jakqs funkcjq a jej transformatq Fouriera jest symetryczna, wobec tego przyjmowanie dla nieh roznych standardow wydaje sit( niezbyt rozsqdne. Ponadto, jak juz wczesniej stwierdzilismy, zachowanie sit( funkcji ICl) w punkcie X = 00 jest zwiqzane ze spraWq rozszczepienia na cZt(stosci dodatnie i ujemne, ale tylko w bardzo szczegolnych okolieznosciach ICl) bydzie analityczna (C) w nieskonczonosci (gdyz to wymagaloby precyzyjnego dopasowania zachowania sit( ICl), gdy ICl) ~ +00 i gdy X ~ -00). Do tego wszystkiego dochodzijeszcze nasza poczqtkowa motywacjafizyczna, 0 ktorej mowilismy przy badaniu transformat Fouriera, ta mianowicie, ze chcielibysmy miee mozliwose rozwaiania sygnalow zdolnych przekazywae tresci "nieoczekiwane" (nieanalityczne). Musimy wiyc powrocie do zagadnienia, ktore postawilismy na poczqtku tego rozdzialu: jakiego typu funkcje powinnismy traktowac jako funkcje "porzqdne"? Przypomnijmy, ze z jednej strony Euler i jemu wspolczesni najprawdopodobniej zaakceptowaliby funkcje holomorficzne (czy analityczne) jako odpowiadajqce ieh pojyciu "przyzwoitej funkcji"; ale z drugiej strony zqdanie holomorfieznosci wydaje sit( zbyt restrykcyjne dla roznych prob1emow matematycznych i fizycznych, wlqczajqc w to zagadnienia zwiqzane z rozchodzeniem sit( fal, a zatem potrzebne jest ogolniejsze pojycie. Czy mozemy powiedziec, ze jeden z tych punktow widzenia jest bardziej "poprawny" od drugiego? Obecnie, prawdopodobnie, zwolennikow pierwszego punktu widzenia uznano by za "staromodnych", przewaza bowiem opinia, ze wspolczesna matematyka preferuje raczej drugi z nieh, W
),
165
9
Rozklad Fouriera i hiperfunkcje
czyli ze funkcje holomorficzne lub analityczne s~ po pro stu bardzo szczegolnym przypadkiem ogolnego pojycia "funkcji". Ale czy taki punkt widzenia jest z pewnosci~ sluszny i wlasciwy? Sprobujmy postawie siy w polozeniu XVlII-wiecznych matematykow. I oto na pocz~tku XIX stulecia pojawia siy Joseph Fourier. Ci matematycy, ktorzy nalezeli do "analitycznej" (eulerowskiej) szkoly myslenia, musieli bye zszokowani, kiedy Fourier pokazal im, ze pewne funkcje okresowe, na przyklad "fala kwadratowa" czy zyby pily przedstawione na rys. 9.11, maj~ bardzo dobre rozwiniycie w szereg Fouriera! Idea Fouriera nie zostala bynajmniej dobrze przyjyta przez matematyczny establishment i wielu uczonych absolutnie nie chcialo zgodzie siy z jego propozycj~. Jak moze istniee "wzor analityczny" na funkcjy typu fali kwadratowej? Fourier zas udowodnil, ze suma szeregu . 1'3 l· 1'7 s () X =smX+"3sm X+Ssm SX+"7 sm X+···
daje w efekcie faly kwadratow~, ktorej wartosci stalymi 1t/4 i -1t/4 w polokresie 1t (zob. rys. 9.12).
oscyluj~
pomiydzy wartosciami
X (a)
Rys. 9.11. Nieci,!gie funkcje okresowe (z eleganckimi szeregami Fouriera): (a) fala kwadratowa, (b) zyby pity.
x (b)
s
x
166
t
Rys. 9.12. Cz'!stkowe sumy szeregu Fouriera s(x) = sin X +tsin 3X + sin 5X + tsin 7X +t sin 9X + ... daj,!ce w efekcie faly kwadratow'! (podobn,! do przedstawionej na rys. 9.11a).
Jaki rodzaj funkcji jest odpowiedni?
9.6
A teraz, wedlug podanego przepisu, przejdzmy od szeregu Fouriera do szeregu Laurenta. Otrzymamy bardzo sympatycznie wyg1,!daj,!ce wyraienie[9.8] .
1
-5
1
-3
-1
1
3
1
5
2JS(X)= ... - - Z --z -z +z+-z +-z + ... , 5 3 3 5 gdzie z = e ix • Jest to przyklad szeregu, ktorego pierscien zbieznosci kurczy siy do okrt(gu jednostkowego, na dodatek bez pozostawienia zadnego obszaru otwartego. JednakZe wci,!z moglibysmy mys1ec w terminach funkcji ho10morficznych, gdybysmy rozszczepili szereg Laurenta na polowy: jedn,! zawieraj,!c,! ty1ko pott(gi dodatnie, co daloby w efekcie norma1ny szereg potygowy w z, i drug,!, zawieraj,!c,! pott(gi ujemne, co daloby w rezu1tacie szereg pott(gowy w Z-I. Okazuje sit(, ze s,! to dobrze znane szeregi i mozna je wysumowac explicite[9.9]:
(I+Z)
_ 1 3 1 5 1 S =z+"3 z +5 z + ... ="2 1n l-z oraz +
1 z -5
S =···-5
1 z -3
-"3
-z
-1
11 (I+Z-
=-"2 n
1
l-z- 1
J '
natomiast 2is(x) = S- + S+. Niewie1kie przegrupowanie tych wyraien prowadzi do wniosku, ze S- i -S+ rozni,! sit( od siebie 0 ±in/2, a zatem sex) = ±l/4n [9.10]. Jednak, aby stwierdziC, ze w ten sposob rzeczywiscie otrzymujemy faIt( kwadratow'! oscy1ujqCq pomit(dzy tymi dwiema wartosciami, musimy zbadac to zagadnienie dokladniej. Dokonamy tego za pomoc,! przeksztaicenia t = (z - 1)/(iz + i) z rozdz. 8.3, ktore zamienia wnt(trze kola jednostkowego na plaszczyznie z na gom,! polplaszczyznt( t (jak to pokazuje rys. 8.8). Wyraiona w zmiennej t wie1kosc S- odnosi sit( teraz do gomej polplaszczyzny, a S+ do do1nej. Teraz znajdujemy, ze (dopuszczaj,!c mozliwq niejednoznacznosc 2ni w wartosciach 10garytmow) 11nt+11· 11nt+11· n1, S+ =nl. S- =-2 2 2 2 Idqc sladem funkcji 10garytmicznej od odpowiednich punktow startowych t = i (gdzie S- =0) i t =-i (gdzie S+ =0), stwierdzamy, ze wzdluz dodatniej osi rzeczywistej t otrzymujemy S- + S+ = + tin, a wzdluz ujemnej osi rzeczywistej t mamy S- + S+ = = - tin [9.11]. Na tej podstawie wnioskujemy, ze wzdluz gomej polowy okrygu jednostkowego na plaszczyznie z s(x) = + ~n, podczas gdy wzdluz do1nej polowy sex) = -~n. To dowodzi, ze szereg Fouriera rzeczywiscie sumuje sit( do fa1i kwadratowej, dokladnie tak, jak twierdzil Fourier. IB [9.8] Pokai to. jlI [9.9] Zr6b to, posluguj,!c siy rozwiniyciem w szereg funkcji Inz wok6l punktu z = 1, podanym pod koniec rozdz. 7.4. IB [9.10] Pokaz to (zakiadaj,!c, ze IsCl)1 < 3n/2). jlI [9.11] Pokaz to.
167
9
Rozklad Fouriera i hiperfunkcje
Jakijest wniosek z tego przyldadu? Taki, ie konkretna funkcja okresowa nie jest nie tylko r6iniczkowalna (a wiyc jest klasy C-1), ale nie jest nawet ci,!gla, a mimo to moina j,! przedstawie za pomoq sensownego szeregu Fouriera. Albo, kiedy rozwaiamy funkcjy okrdlon,! na okrygu jednostkowym, moie bye ona przedstawiona przez szereg Laurenta, nawet gdy jej pierscien zbieinosci kurczy siy do samega okrygu jednostkowego. Zar6wno dodatnia, jak i ujemna czyse tego szeregu Laurenta sumuj,! siy do calkiem porz,!dnych funkcji holomorficznych na polowie sfery Riemanna. Jedna z nich jest okreslona po jednej stronie okrygu jednostkowego, a druga po drugiej. Moiemy powiedziee, ie "suma" tych dwu funkcji daje i,!dan,! faly kwadratow,! na samym okrygu jednostkowym. Jest tak dlatego, ie w punktach okrygu jednostkowego, z = ±l, mamy punkty rozgalyzienia, w kt6rych ta suma "skacze" z jednej strony na drug'!, daj,!c w efekcie faly kwadratow'!. Osobliwosci w tych punktach rozgalyzienia powoduj,!, ie szeregi potygowe po obu stronach nie s,! zbieine poza okrygiem jednostkowym.
9.7 Hiperfunkcje
168
Rozwaiany przyldad jest tylko specjalnym przypadkiem, ale pokazuje, co trzeba zrobie w przypadku og6lnym. Zastan6wmy siy wiyc nad najbardziej og6lnym rodzajem funkcji, kt6ra moie bye okreslona na okrygu jednostkowym (na sferze Riemanna) i przedstawiona jako "suma" pewnej holomorficznej funkcji F+, okreslonej w obszarze otwartym lei,!cym po jednej stronie tego okrygu, i innej holomorficznej funkcji Y, okreslonej w obszarze otwartym lei,!cym po drugiej stronie, tak jak w omawianym przypadku. Przekonamy siy, ie rozwi¥anie tego problemu prowadzi prosto do pewnego egzotycznego, ale wainego pojycia, jakim jest "hiperfunkcja". Okazuje siy, ie trzeba bardziej pogl,!dowo traktowae funkcjy f jako "r6inicy" miydzy Y a - F+; powodem jest to, ie w najbardziej og61nym przypadku moie nie istniee analityczne przedluienie zar6wno Y, jak i F+ na okr,!g jednostkowy, a wiyc nie jest jasne co, w takim przypadku, mialaby oznaczae "suma" na tym okrygu. Jednakie moiemy rozwaiae r6inic~ miydzy Y a -F+ jako reprezentuj,!c,! "skok" miydzy wartosciami tych funkcji, gdy ich dziedziny schodz,! siy na okrygu jednostkowym. Koncepcja "skoku" miydzy jak,!s funkcj,! holomorficzn'! po jednej stronie krzywej na plaszczyznie zespolonej a inn,! funkcj,! holomorficzn,! po drugiej - gdy iadna z tych funkcji nie musi rozci,!gae siy holomorficznie przez sam,! ty krzyw,! wprowadza nowe rozumienie "funkcji" okreslonej na krzywej. Jest to wlasnie definicja hiperfunkcji na krzywej (analitycznej). To kapitalne pojycie wprowadzil matematykjaponski Mikio Sato w 1958 roku 9 i jego definicja, jak siy 0 tym niebawem przekonamy, jest bardziej elegancka od tej, kt6r,! zaprezentowalismylO. Aby podae definicjy hiperfunkcji, nie potrzebujemy krzywej zamkniytej, kt6r,! na przyklad jest caly okr,!g jednostkowy, ale wystarczy rozwaiye tylko pewn'! czyse krzywej. Zwykle hiperfunkcjy definiujemy na pewnym odcinku y osi rzeczywistej.
Hiperfunkcje
9.7
Przyjmijmy, ze y jest odcinkiem zawartym mi~dzy punktami a i b, gdya i b s,! liczbami rzeczywistymi i a < b. Hiperfunkcj,!, okreslon,! na y, jest skok na y, rozpoczynajqcy si~ od holomorficznej funkcjiJ, okreslonej na otwartym obszarze R-(kt6rego g6rnym brzegiem jest y), a koncz'!cy na holomorficznej funkcji g, okreslonej na otwartym obszarze R+ (kt6rego y jest brzegiem dolnym; zob. rys. 9.13). lednakZe traktowanie w ten spos6b "skoku" nie daje namjasnego wyobrazenia 0 tym, czym on jest; nie jest tez bardzo precyzyjne z matematycznego punktu widzenia. Sato znalazl bardzo eleganckie wyjscie z tej sytuacji, ale wymaga ono postypowania w spos6b formalny i algebraiczny, choe jest nadzwyczaj proste. Skok przedstawimy jako par~ (f, g) funkcji holomorficznych. B~dziemy m6wili, ze taka para (f, g) jest rownowaina innej parze (fo' go)' jdeli ty drug,! par~ mozemy otrzymac przez dodanie do obu funkcji, Jig, tej samej holomorficznej funkcji h, okreslonej na pol'!czonym (otwartym) obszarze R, kt6ry sklada si~ z obszar6w R-i R+, pol'!czonych na odcinku y; zob. rys. 9.14. M6wimy wi~c
(f, g) jest r6wnowazna (f + h, g + h), gdzie holomorficzne funkcjeJig S,! zdefiniowane, odpowiednio, na R- i R+, natomiast funkcja h zdefiniowana jest na pol'!czonym obszarze R. Kazde z podanych wyrazen moze bye uZyte do przedstawienia tej samej hiperfunkcji. Matematycznie poprawnie byloby odnosie si~ do samej hiperfunkcji jako do klasy r6wnowaznosci takich par "redukowanych modulo"ll funkcje holomorficzne h zdefiniowane na R.
Plaszczyzna zespolona
Rys. 9.13. Hiperfunkcja, okresiona na odcinku y osi rzeczywistej, przedstawia sob1! "skok" od pewnej hoiomorficznej funkcji okresionej z jednej strony y do innej hoiomorficznej funkcji, okresionej po drugiej stronie.
169
9
Rozklad Fouriera i hiperfunkcje
~. • ~~
m,d.,
A
~
Rys. 9.14. Hiperfunkcjlt okreslonl! na odcinku y osi rzeczywistej przedstawia para funkcji holomorficznych if, g), z ktorych jedna,f, okreslona jest na pewnym otwartym obszarze n-, rozcil!gajl!cym silt w dol od odcinka y, a druga, g, okreslona jest na obszarze otwartym n+, rozcil!gajl!cym silt w gorlt od y. Hiperfunkcjl! h na y jest para if, g) modulo wielkosci if + h, g + h), gdzie h jest funkcjl! holomorficznl! w obszarze n, powstalym z poll!czenia obszarow n-, y i n+.
W tym miejscu czytelnik rna okazjy przypomniee sobie pojycie "klasy rownowaznosci", ktore pojawilo siy w Przedmowie przy okazji definiowania pojycia ulamka, poniewaz jest to ta sarna ogolna idea (i rownie klopotliwa). Istotne jest, ze dodanie h nie rna zadnego wplywu na wielkose skoku miydzy fag, ale moze zmieniae obie te funkcje w sposob, ktory jest bez znaczenia dla samego skoku (np. h moze miee wplyw na to, jak te funkcje zachowuj(! siy poza odcinkiem y, na obszarach n- i n+). Tak wiyc sam skok jest wlasciwie opisany jako ta klasa rownowaznosci. Czytelnik moglby zaniepokoie siy tym, ze ta sprytna definicja moze bye istotnie zwi(!Zana z naszym arbitralnym wyborem obszarow n- i n+, ktory jest ograniczony jedynie z(!daniem, zeby przechodzily jeden w drugi na ich wspolnej linH brzegowej y. Jest godne uwagi, ze definicja hiperfunkcji wcale nie zaleiy od tego wyboru. Istnieje zaskakuj(!ce twierdzenie 0 odci?ciu, ktore glosi, ze pojycie hiperfunkcji jest calkowicie niezalezne od szczegolnego wyboru obszarow n- i n+ (zob. trzy gome przyklady pokazane na rys. 9.15).
(a)
E3
(b)
170
Rys. 9.15. Twierdzenie 0 odciltciu mowi, ie pojltcie hiperfunkcji nie zaleiy od wyboru obszaru otwartego n, jesli tylko obszar ten zawiera zadanl! krZYWl! y. (a) Obszar n - ji moie skladac silt z dwu oddzielnych kawalkow (wowczas mamy dwie roine funkcje holomorficzne fig, jak na rys. 9.14) albo (b) obszar n - ji moie stanowic jeden, poll!czony kawalek, wowczas fig Sl! po prostu dwiema czltsciami tej samej funkcji holomorficznej.
Hiperfunkcje
9.7
Twierdzenie 0 odciyciu dostarcza nawet wiycej informacji. Nie potrzebujemy wcale z,!dac, zeby nasz obszar otwarty R, po wyjyciu y dzielil siy koniecznie na dwa osobne obszary (w tym przypadku R- i R+). Wymagamy, zeby otwarty obszar Rna plaszczyznie zespolonej zawieral otwarty12 odcinek y. Moze wiyc byc tak, ze R - y (a wiyc obszar, jaki pozostanie po wyjyciu y13) skladac siy bydzie z dwoch oddzielnych kawalkow, jak to rozwazalismy dot,!d, jednak w bardziej ogolnym przypadku usuniycie y z obszaru R moze nam dac pojedynczy obszar zwi'!Zany, tak jak to ilustruj'! dolne trzy przyklady na rys. 9.15. Wowczas musimy takZe usun'!c wszelkie wewnytrzne punkty koncowe, takie jak a i b odcinka y. W efekcie otrzymujemy zbior otwarty, ktory bydy nazywal R - y. W tym bardziej ogolnym przypadku nasze hiperfunkcje bydziemy okreslali jako "holomorficzne funkcje na R, zredukowane modulo funkcje holomorficzne na R - y". Ciekawe, ze ten bardzo swobodny wybar R nie rna wplywu na klasy hiperfunkcji, ktora zostala w ten sposob zdefiniowana[9. 121. Przypadek, w ktorym punkty a i b naleZ,! do R, jest wygodny, gdy chcemy calkowac hiperfunkcje, poniewaz wtedy mozemy posluZyc siy calkowaniem po konturze zamkniytym w obszarze R - y. Wszystko to znajduje zastosowanie w naszym poprzednim przypadku okrygu na sferze Riemanna. Fakt, ze obszarem R jest cala sfera Riemanna, rna pewn'! zalety, poniewaZ funkcje, ktore musimy "wymodelowac", S,! funkcjami holomorficznymi na calej sferze Riemanna. Tymczasem istnieje twierdzenie, ktore mowi, ze to S,! funkcje stale. (Wlasnie tymi "stalymi" a o mielismy siy nie przejmowac w rozdz. 9.2.) Tak wiyc, modulo stale, hiperfunkcja okreslona na jakims okrygu na sferze Riemanna jest zadana po prostu przez jedn,! funkcjy holomorficzn'! okreslon,! na calym obszarze po jednej stronie okrygu i przez inn,! funkcjy holomorficzn,! po drugiej stronie. W ten sposob otrzymujemy jednoznaczne (modulo stale) rozszczepienie dowolnej hiperfunkcji na okrygu na jej czysci odpowiadaj,!ce cZystosciom dodatnim i ujemnym. Zakonczmy te uwagi rozwazeniem pewnych podstawowych wlasnosci hiperfunkcji. UZywam notacji ~f, gD do oznaczenia hiperfunkcji zadanej przez pary funkcjifig, okreslonych holomorficznie, odpowiednio, na R- i R+ (powracam do przypadku, gdy y dzieli R na R- i R +). Tak wiyc jesli mamy dwa rozne przedstawienia tej samej hiperfunkcji, gD oraz goD, czyli gdy gD = goD, wowczas f - fa i g - go oznaczaj'! ty sam,! holomorficzn,! funkcjy h zdefiniowan,! na R, ale ograniczon,!, odpowiednio, do R- i R +. Mozna od razu zdefiniowac sum~ dwoch hiperfunkcji,pochodnq hiperfunkcji oraz iloczyn hiperfunkcji z funkcj,! analityczn'! q zdefiniowan,! na y:
V,
Va'
V,
Va'
ta [9.12] Wyjasnij, dlaczego okreslenie "holomorficzne funkcje na R, zredukowane modulo funkcje holomorficzne na R - jI" przechodzi w obszar R - jI rozdziela sit( na R- i R + •
poprzedni~
definicjt( hiperfunkcji, gdy
171
9
Rozklad Fouriera i hiperfunkcje
d(t,g~ =~df, dgh, dz
Udz dZp
qV,g~
= = ~qf, qg~,
gdzie, w tym ostatnim wzorze, funkcja analityczna q rozci~ga siy holomorficznie w otoczeniu 14 y[9.13 1. Sam~ funkcjy q mozemy rowniei: przedstawie jako hiperfunkcjy q = ~ q, ~ = ~ 0, -q ~. Nie mamy jednak ogolnej definicji iloczynu dwu hiperfunkcji. Ten brak nie jest wca1e wad~ hiperfunkcyjnego podejscia do problemu funkcji uogolnionych. Wad~ t~ obarczone s~ wszystkie podejscia15 , na przyklad to, ze nie potrafimy podniese do kwadratu funkcji delta Diraca (mowilismy 0 niej w rozdz. 6.6), jest nieustannym zrodlem klopotow w kwantowej teorii pola. Prostymi przykladami reprezentacji hiperfunkcjonalnej w przypadku, gdy y = JR., a R- i R + stanowi~, odpowiednio, gorn~ i doln~ polplaszczyzny zespolon~, s~ funkcja schodkowa Heaviside'a O(x) oraz funkcja delta Diraca (-Heaviside'a) 8(x) (= dO(x)ldx) (zob. rozdz. 6.1, 6):
°
O(x)
=ff~lnz,~lnz-1~,
U2m
~
»
2m
ox----1 ~, ( ) - 2 1. '2· 1tlZ
1tlZ
gdzie wybieramy ty gal~z logarytmu, dla ktorej In 1 = 0. Calka z hiperfunkcji ~J,g~ po calej osi rzeczywistej moze bye wyrazona jako calka zJ po pewnym konturze tuz poniZej osi rzeczywistej, minus calka z g po konturze tuz powyzej osi rzeczywistej (zakladaj~c, ze obie s~ zbiezne); oba calkowania od lewej do prawep-141. Zauwai:my, ze hiperfunkcja moze bye nie trywialna, nawet gdy funkcje Jig s~ przedluzeniami analitycznymi tej samej funkcji. J ak ogolne jest pojycie hiperfunkcji? Z pewnosci~ zawiera ono wszystkie funkcje analityczne, a taki:e funkcje nieci~gle, takie jak O(x) lub fala kwadratowa Uak to poprzednio pokazalismy), oraz inne funkcje klasy C-\ ktore powstaj~ w wyniku skladania takich struktur. W istocie wszystkie funkcje klasy C-1 Sq hiperfunkcjami. Co wiycej, skoro mozemy rozniczkowae hiperfunkcje i uzyskae w wyniku inne hiperfunkcje, a kai:da funkcja klasy C-2 moze bye otrzymana w wyniku rozniczkowania funkcji klasy C- 1, to z tego wynika, ze funkcje klasy C- 2 s~ rowniez hiperfunkcjami. Widzimy wiyc, ze w tym zawiera siy funkcja delta Diraca. Rozniczkowanie mozemy kontynuowae dowoln~ ilose razy. A zatem wszystkie funkcje klasy C-n , dla
.a [9.13] Mozna tu zauwaZyc pewnq subtelnosc. Wyjasnij, 0
172
co chodzi. Wskaz6wka: przemy§l starannie kwestitt dziedziny. .a [9.14] Sprawdz standardowq wlasnosc funkcji delta, q(x)8(x)dx = q(O), zakladajqc, ze funkcja q(x) jest analityczna.
f
Przypisy
oo dowolnej calkowitej wartosci n, S,! hiperfunkcjami. A co z funkcjami klasy C- , ktore bydziemy nazywali dystrybucjami (zob. rozdz. 6.6)? Tak, to wszystko s,! hiperfunkcje. Dystrybucjy16 definiuje siy zwykle jako element pnestneni dualnej funkcji gladkich klasy Coo. Pojycie przestrzeni dualnej omowimyw rozdz. 12.3 i 13.6. W istojest cie przestrzeni,! dualn,! (w odpowiednim sensie) przestrzeni funkcji klasy przestrzen funkcji klasy 2-.., dla dowolnego calkowitego n. Regula ta odnosi siy rownieZ do przypadku n = 00, jesli napiszemy -2 - 00 =- 00 oraz -2 + 00 = 00. W takim oo razie funkcje klasy C- s,! dualne wzglydem funkcji klasy Coo. Ale czy przestrzen funkcji COl jest dualna wzglydem COl? Tak jest; przy odpowiedniej definicji "dualOl nosci" te funkcje klasy C- s,! hiperfunkcjami! Zatoczylismy pelny kr,!g. Usiluj,!c uogolnic pojycie "funkcji", odchodz,!c mozliwie najdalej od restrykcyjnych pojyc funkcji "analitycznej" czy "homomorficznej" - a wiyc od typu funkcji, ktore uszczysliwilyby Eulera - dotarlismy do nadzwyczaj ogolnego i elastycznego pojycia hipeifunkcji. Ale, jak siy okazuje, same hiperfunkcje definiowane S,! w bardzo prosty sposob w jyzyku tych samych "eulerowskich" funkcji holomorficznych, 0 ktorych myslelismy, ze zostaly przez nas porzucone. W moim przekonaniu mamy tutaj do czynienia z jednym z najwspanialszych osi,!gniyc magii liczb zespolonych. Euler, gdyby Zyl, potrafilby docenic ten zdumiewaj,!CY fakt!
cn
c-
Przypisy Rozdzial9.1 Stosujy tutaj greck,! litery X ("chi") zamiast zwykle uiywanej litery x, kt6ra wydawalaby siy odpowiedniejsza, tylko dlatego, ze musimy j,! odr6znie od czysci rzeczywistej x liczby zespolonej z, co bydzie bardzo istotne w dalszej cZysci pracy. 2 Nie rna takiego wymogu, aby tunkcjaf(x) byla funkcj,! rzeczywist,! dla rzeczywistych wartosci X, a wiyc, zeby wsp6lczynniki an' bn , i c byly liczbami rzeczywistymi. Dopuszcza siy, by funkcja zmiennych rzeczywistych byla tunkcj,! zespolon'!. Funkcja f(x) w podanym rozwiniyciu bydzie rzeczywista, pod warunkiem ze wsp6lczynnik a -n bydzie zespolenie sprzyzony zan' Sprzyganie zespolone om6wimy w rozdz. 10.1. 1
Rozdzial 9.2 Dziwaczna anomalia uZycia oznaczenia F- dla cZysci szeregu potygowego zawieraj,!cej pOtygi dodatnie, a oznaczenia F+ dla cZysci z potygami ujemnymi bierze siy prawdopodobnie z dose niefortunnej konwencji powszechnie stosowanej w literaturze mechaniki kwantowej (zob. rozdz. 21.2, 3 i 24.3). Przykro mi z tego powodu, ale nic na to nie mogy poradzie! 4 Istnieje og6lna zasada, ze dla dowolnej funkcjifklasy Coo, okreslonej w dziedzinie rzeczywistej n, mozna ty dziedziny poszerzye do nieco wiykszej dziedziny en, nazywanej "pogrubieniem zespolonym" n , zawieraj,!cym n w swoim wnytrzu, tak ze f, w spos6b jednoznaczny, stalaby siy funkcj,! holomorficzn,! okreslon,! na en. S Zob. np. Bailey et al. (1982).
3
6
Rozdzial 9.4 Zwykle jednak naklada siy pewne warunki, zeby tunkcjaf(x) zachowywala siy "rozs'!dnie", kiedy zmierza do plus lub minus nieskonczonosci. Nie bydziemy siy tym przejmowae, gdyz
173
9
Rozktad Fouriera i hiperfunkcje
7
8
w podejsciu, ktore przyjylismy tutaj, zwykle wymogi i tak nadmiernie rzecz ograniczajq. W mechanice kwantowej pojawia siy stala wielkosc Ii, ktora ustala relacjt( skalujqcq pomit(dzy p a x (zob. rozdz. 21.2, 11), ale tu, dla ulatwienia, polozt( Ii = 1. W istocie stala Ii jest wprowadzonq przez Diraca wariacjq stalej Plancka l '] (a wit(c n = hI2T[, gdzie h jest oryginalnq stalq Plancka oznaczajqcq "kwant dzialania"). Polozenie Ii = 1 jest zawsze mozliwe przy odpowiednim wyborze ukladu jednostek; zob. rozdz. 27.10.
Rozdzial9.5 Zob. Bailey et a1. (1982).
Rozdzial 9.7 Zob. Sato (1958, 1959, 1960). 10 Zob. takZe: Bremermann (1965), chociaz autor nie uiywa pojt(cia "hiperfunkcji" explicite. 11 Inne zastosowanie pojt(cia "modulo" przedyskutujemy w rozdz. 16.1 (por. tez przyp. 17 wrozdz.3). 12 Przez pojt(cie "odcinka otwartego" rozumiemy fakt, ze do y nie nalezq punkty koncowe tego odcinka, a i b. W takim razie mowiqc, ze R zawiera y, nie mamy na mysli, ze zawiera takZe punkty a i b. 13 Zwykle tt( roznict( zbiorow R i y zapisujemy jako R\y. 14 "Otoczenie ... " oznacza "zbior otwarty zawierajqcy ... ". 15 Bardziej standardowe podejscie do idei funkcji uogolnionych ("dystrybucje") znaleic mozna w: Schwartz (1966), Friedlander (1982), Gel'fand, Shilov (1964). Alternatywne podejscie, uiyteczne w teoriach "nieliniowych", w ktorym problem nieistnienia i10czynu zastqpiano problemem niejednoznacznosci - zob.: Colombeau (1983, 1985); Grosser et a1. (2001). 16 Istniejq wazne zwiqzki mit(dzy hiperfunkcjami a kohomologiq snopow holomorficznych, ktorq omowimy w rozdz. 33.9. Takie idee odgrywajq waznq rolt( w teorii hiperfunkcji na powierzchniach wyzej wymiarowych, zob. Sato (1959, 1960); Harvey (1966). 9
[*] W pismiennictwie polskim mowimy ZWYkle 0 "zredukowanej stalej Plancka".
10 Powierzchnie 10.1 Wymiary zespolone i wymiary rzeczywiste JEDNYM z najbardziej imponuj,!cych osi,!gniye matematyki w ostatnich dwu stuleciach jest rozwoj roznych metod traktowania nieplaskich przestrzeni 0 rozmaitych wymiarach. Waine, zeby czytelnik dowiedzial siy 0 tych ideach, gdyz wielka czyse wspolczesnej fizyki jest z nimi w istotny sposob zwi,!zana. Do tej pory rozwazalismy przestrzenie maj,!ce tylko jeden wyrniar. To moze bye pewnym zaskoczeniem dla czyteinika, skoro w poprzednich rozdzialach powiedzielismy wiele 0 plaszczyZnie zespolonej, 0 sferze i roznych innych powierzchniach Riemanna. Jednak w kontekScie funkcji holomorficznych wszystkie te powierzchnie mozemy traktowae jako obiekty, w istocie, 0 jednym tylko wymiarze zespolonym (zetknylismy siy z tym w rozdz. 8.2). Punkty w takiej przestrzeni rozrozniane s,! miydzy sob,! (lokalnie) za pomoq tylko jednego parametru, a jest nim liczba zespolona. W zwi¥ku z tym takie "powierzchnie" mog,! bye uwaiane za "krzywe", co wiycej za "krzywe zespolone". Oczywiscie, liczby zespolon'! z mozemy zawsze rozszczepie na jej czyse rzeczywist'! i urojon,! (x, y), gdzie z = x + iy, i uwaiae, ze x i y S,! dwoma niezaleinymi parametrami. JednakZe taki proces rozszczepiania liczby zespolonej niespecjalnie pasuje do dziedziny operacji holomorficznych. Dopoki zajmujemy siy tylko strukturami holomorficznymi, dopoty powinnismy uwaiae, ze opis za pomoc,! jednego tylko parametru zespolonego oznacza tylko jeden wymiar. Ja, przynajmniej, zalecatbym przyjycie takiego punktu widzenia. Mozliwa do przyjycia jest tez przeciwna koncepcja, w ktorej operacje holomorficzne S,! rozpatrywane jako szczegolne przypadki operacji ogolnej natury, a zatern, jesli to byloby poz'!dane, x i y mogtyby bye uwazane za niezalezne parametry. W tym celu wprowadzimy pojycie sprzfgania zespolonego, ktore jest operacj,! nieholomorficzn,!. Sprzyzenie zespolone liczby zespolonej z = x + iy daje w wyniku liczby zespolon'! z:
z=x-iy. Na ptaszczyznie zespolonej z operacji sprzygania zespolonego jakiejs liczby zespolonej odpowiada operacja odbicia, czyli symetrii osiowej na ptaszczyznie wzglydem osi rzeczywistej (zob. rys. 10.1). Przypomnijmy sobie z dyskusji przeprowa-
10
Powierzchnie
...1
___ --- --- ---
--- ---
,, ,, , "
= x+iy
--Os rzeczywista
Rys. 10.1. Liczb'l zespoion'l sprzyzon'l do iiczby z =x + iy (x iy s'liiczbami rzeczywistymi) jest iiczba z = x - iy, kt6r'l, na plaszczyznie zespoionej, mozemy otrzymac, dokonawszy odbicia wzgiydem osi rzeczywistej.
....Z=X-iy
dzonej w rozdz. 8.2, ze operacje holomorficzne zawsze zachowuj~ orientacjy plaszczyzny zespolonej. Jesli chcemy rozwazae odwzorowania konforemne jakiejs cZysci plaszczyzny zespolonej, ktore zmieniaj~ orientacjy (na przyklad obrocenie calej plaszczyzny zespolonej na siebie), to musimy dol~czye operacjy sprzygania zespolonego. Ale kiedy tak~ operacjy dol~czymy do pozostalych standardowych operacji (takich jak dodawanie, mnozenie, przechodzenie do granicy), wowczas operacja sprzygania zespolonego pozwala nam uogolnie procedury odwzorowania do tego stopnia, ze nie musz~ one wcale bye konforemne. W rzeczywistosci dowolne odwzorowanie dowolnej cZysci plaszczyzny zespolonej na dowoln~ inn~ czyse plaszczyzny zespolonej (powiedzmy, przez przeksztakenie ci~gle) moze bye dokonane za pomoc~ kombinacji sprzyzenia zespolonego w pol~czeniu z innymi operacjami. Zatrzymajmy siy przez chwily nad t~ uwag~. Funkcje holomorficzne mozemy traktowae jako przeksztakenia zlozone z operacji na liczbach zespolonych: dodawania, mnozenia oraz procedury przechodzenia do granicy (s~ to bowiem operacje wystarczaj~ce do skonstruowania szeregow potygowych, a suma nieskonczonej ilosci wyrazow jest granic~ ci~gu sum czysciowych)iIO.lJ. Jesli do tego dol~ czymy operacjy sprzygania zespolonego, wowczas mozna wygenerowae ogolne (powiedzmy, ci~gle) funkcje xi y, poniewai:x i y mog~ bye teraz wyrai:one nastypuj~co:
z+z
z-z
x=-2-' y=2j' (Za pomoc~ operacji dodawania, mnozenia i przechodzenia do granicy ze zmiennych rzeczywistych x i y mozemy skonstruowae dowoln~ funkcjy ci~gl~ tych zmiennych.) Kiedy bydy rozwazal funkcje nieholomorficzne zmiennej zespolonej z, bydy ui:ywal notacji F(z, z).W ten sposob podkre§ly fakt, ze gdy tylko wychodzimy poza terytorium holomorficznosci, traktujemy nasze funkcje jako struktury okreslone raczej w przestrzeni 0 dwu wymiarach rzeczywistych niz w przestrzeni 0 jednym wymiarze zespolonym. Funkcjy F(z, z) mozemy rownie dobrze traktowae jako wyrazon~ przez rzeczywiste i urojone (x i y) cZysci zmiennej zespolonej z i zapisywae
176
~ [10.1] Wyjasnij, w jaki spos6b operacje odejmowania i dzielenia mogq bye skonstruowane z powyzszych operacji.
Gladkosc, pochodne cZqstkowe
10.2
jq, powiedzmy, jako J(x, y). W takim przypadku, oczywiscie, J(x, y) == F(z, z), chociaz, rzecz jasna, matematyczne wyraZenie na J moze bye zupelnie inne od postaci F. Na przyktad jesli F(z, z) =Z2 +.2'2, wowczasJ(x, y) = 2x2 - 2l. Za inny przyklad moze posluZye F(z,.2') = z .2', wowczas J(x, y) = + l, ktora to funkcja jest kwadratem modulu Izlliczby z, czyli [10.2]
r
10.2 Gladkosc, pochodne czqstkowe Kiedy rozwazamy funkcje wit(cej niz jednej zmiennej i wkraczamy w przestrzenie o wyzszych wymiarach, konieczne Sq wyjasnienia dotyczqce rachunku rozniczkowego i calkowego na takich przestrzeniach. J ak sit( 0 tym przekonamy w nastypnym rozdziale, przestrzenie - ktore bt(dziemy nazywali rozmaitosciami - mogq miee dowolny wymiar n, gdzie n jest dowolnq dodatniq liczbq calkowitq. (0 rozmaitosciach n-wymiarowych bt(dziemy mowili po prostu n-rozmaitosci). Ogolna teoria wzglt(dnosci Einsteina posluguje sit( 4-rozmaitosciq dla opisu czasoprzestrzeni, a wiele wspolczesnych teorii uZywa rozmaitosci 0 jeszcze wyzszych wymiarach. W rozdziale 12 zajmiemy sit( ogolnymi n-rozmaitosciami, ale tutaj, dla ulatwienia, rozwaZymy rzeczywistq 2-rozmaitose (czyli powierzchnit() S. W tym przypadku mozemy uZye lokalnych (rzeczywistych) wspolrzt(dnych xi y do oznaczenia roznych punktow S (w jakims lokalnym obszarze S). Jednak nasza dyskusja bt(dzie odnosie sit( do ogolnego przypadku n-wymiarowego. Przyktadem powierzchni 2-wymiarowej moglaby bye zwykla ptaszczyzna lub zwykla sfera. Ale mowiqc 0 takiej powierzchni, nie mamy na mysli "plaszczyzny zespolonej" alba "sfery Riemanna", poniewaZ nie interesujq nas struktury, ktore im przypisujemy w przypadku przestrzeni zespolonej (na przyklad funkcje holomorficzne okreslone na takiej powierzchni). Jedynym wymaganiem strukturalnym jest zqdanie, zeby to byla rozmaitosc gladka. Z geometrycznego punktu widzenia oznaeza to, ze nie rna potrzeby zachowania ezy sledzenia ewolueji jakiejs lokalnej struktury konforemnej, jak w przypadku powierzchni Riemanna (rozdz. 8.2), ale musimy dowiedziee sit(, kiedy jakas funkcja zdefiniowana na przestrzeni (tzn. ktorej dziedzinq jest ta przestrzen) moze bye uWaZana za funkcjt( "gladkq". Aby uzyskae intuicyjne wyobraZenie, co to znaczy rozmaitose "gladka", pomyslmy 0 sferze jako przeciwienstwie szescianu (oczywiscie, chodzi tu 0 powierzchnit(, a nie 0 wnt(trze). Jako przyklad gladkiej funkcji na sferze wyobrazmy sobie "funkcjt( wysokosci", ktora mierzy odleglose od plaszczyzny rownika (sfert( przedstawiamy umiejscowionq w zwyklej 3-przestrzeni Euklidesa, dlatego odleglosci poniZej plaszczyzny rownikowej liczymy jako ujemne); lOb. rys. 1O.2a. Z kolei jesli nasza funkcja oznacza wartosci bezwzglt(dne tej funkcji wysokosci (zob. rozdz. 6.1
ta [10.2] Wyprowadz obie te relacje.
177
10
Powierzchnie
t
~,~-,@ "-., I .
.:
lh
.
~ '. - Ih i .
..
h
•
(a)
--
'
.,:
....... ~
' .
(b)
. ...... '
It. h2
(c)
Rys. 10.2. Funkcje na sferze S urniejscowionej w 3-przestrzeni Euklidesa, gdy h jest rniar okreslonej na powierzchni S jest to wielkose dC/>, gdzie dC/>=
at dx+ at dy. ax ay
W ten spos6b sformulowana definicja dC/> moze bye zr6dlem pewnego chaosu terminologicznego, z kt6rego warto zdae sobie sprawy. Przede wszystkim takie wielkosci jak "dC/>" alba "dx", uwazane za "infinitezymalnie male", pojawiaj,! siy, gdy stosujemy procedury przejscia do granicy, zwi,!zane z rachunkiem r6zniczkowym i definicjq pochodnej "dy/dx" (zob. rozdz. 6.2). W niekt6rych formulach rozdz. 6.5 rozwazalem r6wniez wyrazenia typu d(1n x) = dx/x. Z jednej strony traktowalismy
a
[10.6] Znajdijawnq postacF(X, Y), gdy J(x,y) =x3 - / , gdzieX =x -y, Y =..\}'. ftSkaz6wl we wsp61rz~dnych X i Yi co to rna wsp61nego z funkcjqJ?
ka: jak si~ wyraza x 2 +..\}' +
181
10
Powierzchnie
je w6wczas jako wyrazenia w zasadzie formalne 2, a t« ostatniq formul« uwazalismy po prostu za wygodny spos6b ("mnozqc przez dx") zapisu bardziej "poprawnego" wzoru d(ln x)/dx = l/x. Z drugiej strony, kiedy pisz« wyrazenie typu "dlP", jak w podanym wzorze, to mam na mysli pewien rodzaj wielkosci geometrycznej, kt6ra nosi nazw« l-formy (aczkolwiek nie jest to najbardziej og6lny typ 1-formy; zob. rozdz. 10.4 i 12.6), i w takim przypadku odnosi si« to r6wniez do wyrazen typu d(ln x) = dx/x. I-forma nie jest wielkosciq "infinitezymalnq"; naleZy jq interpretowac winny spos6b, kt6ry z uplywem lat niezmiernie zyskuje na znaczeniu. Jest jednak godne uwagi, ze niezaleznie od istotnej zmiany interpretacji symbolu "d" formalne zwiqzki matematyczne (takie jak opisane w rozdz. 6.5) - pod warunkiem ze nie b«dziemy dzielic przez wyrazenia typu dx - pozostajq bez zmiany. lone potencjalne zr6dlo zamieszania wiqi:e si« z tym, ze w podanym wyrazeniu po lewej stronie uZylem symbolu lP, a po prawej f Zrobilem to, aby zaznaczyc r6znic« pomi«dzy tymi wielkosciami, 0 kt6rej wspominalem wczesniej. Wielkosc lP jest funkcjq, kt6rej dziedzinq jest rozmaitosc S, podczas gdy dziedzinq f jest pewien (otwarty) obszar na plaszczyznie (x, y), zwiqzany z ukladem wsp6lrz«dnych konkretnej laty. Jesli mam zastosowac poj«cie "pochodnej cZqstkowej po x", to musz« wiedziec, co to znaczy, ze "druga wsp6lrz«dna, y, rna miec ustalonq wartosc". Z tego powodu uZylem f po prawej stronie, a nie lP, poniewaz f "wie", co to Sq wsp6lrz«dne xi y, natomiast lP nie. Ale na tym nie konczy s~ zr6dlo mozliwych nieporozumien zwiqzanych z t q formulq, poniewaZ nie Sq ukazane argumenty funkcji. Funkcja
11.5 Aigebry Clifforda
Aby przejse do wyzszych wymiar6w i do idei algebry Clifforda, musimy zastanowie sit(, czym musi bye operacja analogiczna do "obrotu wok61 osi". W przypadku n wymiar6w podstawt( takiego obrotu stanowi "os", kt6rq jest przestrzen (n - 2)-wymiarowa, a nie po prostu 1-wymiarowa os liniowa, jak w przypadku obrot6w 3-wymiarowych. Niezaleznie od tego obr6t wok61 (n - 2)-wymiarowej osi jest podobny do zwyklego obrotu 3-wymiarowego wok61 1-wymiarowej osi, przy czym jest on calkowicie okreslony przez podanie kierunku tej osi i wielkose kqta obrotu. I podobnie jak poprzednio, mamy do czynienia z obiektami spinorowymi, kt6re charakteryzuje ta wlasnose, ze jesli dokonamy obrotu cillglego 0 kqt 21t, to obiekt ten nie powr6ci do stanu wyjsciowego, ale przejdzie w cos, co mozemy uwazae za "negatyw" tego stanu. Natomiast obr6t 0 kqt 41t zawsze sprowadza obiekt do stanu wyjsciowego. W tym wszystkim jest pewien nowy element, 0 kt6rym juz wspomnielismy: w przypadku wymiar6w wyzszych od 3 nie jest prawdq, ze zlozenie dw6ch obrot6w wok61 (n - 2)-wymiarowych osi da nam zawsze w wyniku inny obr6t wok61 jakiejs osi (n - 2)-wymiarowej. W wyzszych wymiarach, w og6lnym przypadku, zlozenie obrot6w nie da sit( tak latwo opisae. Obr6t uog61niony moze miee "os" (a wit(c przestrzen, kt6ra pozostaje niezmieniona w wyniku tego obrotu), kt6rej wymiar moze przyjmowae wiele r6znych wartosci. Z tego powodu dla algebry Clifforda w n wymiarach potrzebujemy hierarchii r6znego rodzaju element6w, kt6re bt(dq reprezentowae tego rodzaju obroty. I faktycznie, okazuje sit(, ze lepiej zaczqe od operacji nawet bardziej elementarnych niz obr6t 0 kqt 1t, a mianowicie od odbic wzglt(dem (n - 1)-wymiarowej hiperplaszczyzny. Zlozenie takich dw6ch odbie (wzglt(dem plaszczyzn wzajemnie prostopadlych) daje obr6t 0 kllt 1t; W ten spos6b te podstawowe obroty 0 kllt 1t stajq sit( operacjami wt6rnymi, a podstawowymi elementami stajll sit( odbicia[JI·61. Podstawowe odbicia oznaczymy symbolami)ll' )12' )13' ... )In' gdzie operacja)lr oznacza odwr6cenie r-tej osi ukladu wsp61rzt(dnych (wszystkie pozostale Sll niezmienione). W przypadku odpowiedniego "obiektu spinorowego" dokonanie dwu-
1m [11.6] Znajdz geometryczny charakter transformacji w 3-wymiarowej przestrzeni euklidesowej, gdy jest ona zloieniem dwoch odbic w plaszczyznach, ktore nie S'l wzajemnie prostopadle.
203
11
Liczby hiperzespolone
krotnego odbicia w tym samym kierunku daje w wyniku "negatyw" tego obiektu, a zatem mamy relacje typu kwaternionowego: )'~=-1, )'~=-1, )'~=-1, ... ,)'~=-1,
ktore te odbicia podstawowe spelniajq. Elementy wtorne, przedstawiajqce nasze wyjsciowe obroty 0 kqt Te, Sq iloczynami par roznych )' i te iloczyny spelniajq relacje antykomutacji (podobnie jak kwaterniony): )'p)'q = - )'q)'p (p 7:-
W szczegolnym przypadku trzech wymiarow (n ne wielkosci "drugiego rzt(du"
q). =
3) mozemy zdefiniowac trzy roz-
i = )'2)'3' j = )'3)'1' k = )'1)'2' i latwo przekonac sit(, ze te trzy wielkosci spelniajq prawa algebry kwaternionow (rownania "Mostu Broughama" Hamiltona)(11.71. Elementem ogolnym algebry Clifford a w przestrzeni n-wymiarowej jest suma rzeczywistych wielokrotnosci (tzn. kombinacja liniowa) iloczynow roznych),. Wielkosci pierwszego rZt(du ("pierwsze") stanowi n pojedynczych elementow )'p . Wielkosciami drugiego rzt(du ("wtornymi") Sq -21 n(n - 1) niezaleznych iloczynow )'p )'q (gdzie p < q); istnieje n(n - l)(n - 2) niezaleznych elementow trzeciego rZt(du )'p)'q)'r (gdzie p < q < r), nastC(pnie n(n - 1)(n - 2)(n - 3) niezaleznych iloczynow czwartego rzt(du, itd., ina koncu pojedynczy iloczyn n-go rZt(du )'1)'2)'3.·· )'n. WSzystkich razem, lqcznie z elementem zerowego rZt(du, ktorym jest 1, otrzymujemylILR1:
t
i4
1 + n + ~ n(n - 1) +
i
n(n -l)(n - 2) + ... + 1 = 2n
i dowolny ogolny element algebry Clifford a jest ich liniowq kombinacjq. W ten sposob elementy algebry Clifforda tworzq 2n-wymiarowq algebrt( nad cialem liczb rzeczywistych, w sensie opisanym w rozdz. 11.1. Tworzq one pierscien z jedynkq, ale, w odroznieniu od kwaternionow, nie tworzq pierscienia z dzieleniem. Jednym z powodow, dla ktorego algebry Clifford a Sq tak wazne, jest ich znaczenie dla definicji spinorow. Spinory pojawily sit( w fizyce w znanym rownaniu Diraca dla elektronu, w ktorym stan kwantowy elektronu okazal sit( wielkosciq spinorowq (zob. rozdz. 24). Spinory mozemy traktowac jako obiekty, na ktore elementy algebry Clifforda dzialajq jak opera tory, tak jak podstawowe odbicia i obroty "obiektow spinorowych", 0 ktorych juz mowilismy. Sarno pojt(cie "obiektu spinorowego" jest nieco klopotliwe i nieintuicyjne, niektorzy zatem wolq poslugiwac sit( czysto algebraicznym (Cliffordowskim)ll podejsciem przy ich badaniu. Takie podejscie rna z pewnosciq swoje zalety, szczegolnie wtedy, gdy chodzi 0 ogolnq i scislq analizC( zagadnien n-wymiarowych, ale wydaje sit( wazne, zebysmy nie stracili z oczu geometrii problemu, i to wlasnie staralem sit( tutaj podkreslic.
ta 204
[11.7] Pokaz to.
~ [11.8] Uzasadnij to wyliczenie. Wskaz6wka: pomysl 0 (1 + 1)".
Aigebry Grassmanna
11.6
W n wymiarach 12 pelna przestrzen spinorow (czasami nazywana przestrzeniq spinowq), w przypadku gdy n jest liczbq parzystq, jest przestrzeniq 0 2nl2 wymiarach, natomiast gdy n jest nieparzyste, wymiar przestrzeni spinorow to 2(n-l)/2. Gdy n jest parzyste, wowczas przestrzen spinorow rozszczepia siy na dwie niezalezne przestrzenie (czasami nazywane przestrzeniami "spinorow zredukowanych" albo "polspinorow"), kazda z nich 0 wymiarze 2(n-2)/2, co oznacza, ze kazdy element pelnej przestrzeni jest sumq dwoch elementow, po jednym z kazdej z dwu przestrzeni zredukowanych. Odbicie w przestrzeni n-wymiarowej (dla parzystego n) przeprowadza jednq z tych zredukowanych przestrzeni spinowych w drugq. Elementy jednej przestrzeni majq pewnq "chiralnose" albo "skrytnose"; natomiast elementy drugiej majq chiralnose przeciwnq. Ma to wazne znaczenie dla fizyki, przede wszystkim ze wzglydu na zwyklq 4-wymiarowq czasoprzestrzen. Te dwie zredukowane przestrzenie spinowe Sq 2-wymiarowe, jedna odnosi siy do elementow prawoskrytnych, druga do lewoskrytnych. Wydaje siy, ze Przyroda przypisuje rozne role tym dwom zredukowanym przestrzeniom spinowym, i ze wlasnie z tego powodu zachodzq procesy fizyczne, ktore nie Sq niezmienne wzglydem odbie. I rzeczywiscie, jednym z najbardziej zdumiewajqcych (niektorzy powiedzieliby nawet "szokujqcych"), bezprecedensowych odkrye fizyki XX wieku (przewidzieli to teoretycznie Chen Ning Yang i Tsung Dao Lee, a w 1957 roku potwierdzili doswiadczalnie Chien-Shiung Wu i jej wspolpracownicy) bylo to, ze w Przyrodzie zachodzq fundamentalne procesy, ktore nie zachowujq symetrii wzglydem odbie. Do tych zagadnien powrocy pozniej (rozdz. 25.3, 4, 32.2, 33.4, 7, 11, 14). Spinory znajdujq tei: zastosowanie, w roznych kontekstach, jako technika matematyczna l3 (zob. rozdz. 23.8-11, 22.4, 5, 24.6, 7, 32.3, 4, 33.4, 6, 8,11) i mogq bye praktycznie wykorzystane w obliczeniach pewnego typu. Ze wzglydu na wykladniczy zwiqzek miydzy wymiarem przestrzeni spinorowej (2n12 etc.) a wymiarem n przestrzeni wyjsciowej nie jest dziwne, ze spinory stanowiq lepsze narzydzie, gdy n jest sensownie male. Na przyklad dla zwyklej 4-wymiarowej czasoprzestrzeni kazda zredukowana przestrzen spinorowa rna wymiar zaledwie 2, podczas gdy we wspolczesnej 11-wymiarowej "teorii M" (zob. rozdz. 31.14) przestrzen spinorow rna wymiar 32.
11.6 Aigebry Grassmanna
Na koniec powroemy do algebry Grassmanna. Patrzqc przez pryzmat przedstawionej dyskusji, moglibysmy powiedziee, ze algebra Grassmanna jest pewnq zdegenerowanq formq algebry Clifforda, w ktorej zachodzq podstawowe relacje antykomutacji elementow generujqcych '11' '1 2' '1 3' ... , 'In' podobnie jak w przypadku elementow 1" 12, 13' ... , 1n algebry Clifforda, ale kazda z wielkosci 'I, podniesiona do kwadratu, daje w wyniku zero, a nie -1, jak w algebrze Clifforda: '1~=O, '1~=O, ... , '1~=O.
205
11
Liczby hiperzespolone
Reguly antykomutacji 'I/Iq= - 'Iq'lp
spelnione Sq jak poprzednio, z tq roznicq, ze w algebrze Grassmanna w sposob nawet bardziej "systematyczny" niZ w przypadku algebry Clifforda, gdyz nie potr~ebujemy juz specyfikowae, ze "p *- q". Wowczas relacja 'Ip'lq = - 'Iq'lp daje od razu 'Ip = O. W istocie algebry Grassmanna Sq zarowno prostsze, jak i bardziej uniwersalne niz algebry Clifforda, albowiem zalezq one w minimalnym stopniu od struktur lokalnych. Chodzi 0 to, ze algebra Clifforda musi "wiedziee", co to znaczy "prostopadle", aby mozliwe bylo wygenerowanie obrotow za pomocq odbie, podczas gdy pojycie "obrotu" nie jest potrzebne w algebrach Grassmanna. Inaczej mowiqc, takie pojycia jak "algebra Clifford a" i "spinor" wymagajq okreslenia metryki przestrzeni, podczas gdy algebry Grassmanna tego nie potrzebujq. (Metryki przestrzeni przedyskutujemy w rozdz. 13.8 i 14.7.) Podstawowym pojyciem algebry Grassmanna jest pojycie "elementu plaskiego" dla roznych wymiarow. Pomyslmy sobie 0 kazdej z wielkosci bazowych 'II' '1 2' '1 3' ••• , 'In' jako definiujqcej pewien element liniowy alba "wektor" (a nie hiperplaszczyzny odbicia), ktorego poczqtek znajduje siy w poczqtku ukladu wspolrzydnych w pewnej przestrzeni n-wymiarowej, i kazde 'I jest zwiqzane z jednq z n roznych osi wspolrzydnych. (Osie te mogq bye "skosne", poniewaz algebra Grassmanna nie wymaga ortogonalnosci; zob. rys. 11.5.) W ten sposob dowolnywektorwychodzqcy z poczqtku ukladu wspolrzydnych jest kombinacjq liniowq a = al'll + a 2'1 2 + ... + all'ln'
gdzie aI' a 2, ... an Sq liczbami rzeczywistymi. (Alternatywnie, a; mogq bye liczbami zespolonymi, w przypadku przestrzeni zespolonych, ale w tym algebraicznym po-
Rys. 11.5. Kai:dy element bazy
o 206
"1'
"n
"2' "3' ... , algebry Grassmanna definiuje pewien wektor w przestrzeni n-wymiarowej, kt6rego pocz'!tek znajduje si y w pocz'!tku ukladu wsp6lrz ydnych. Wektory te lei,! na r6inych osiach ukladu wsp6lrzydnych (osic te mog,! bye skosne, poniewai algebra Grassmanna nie wymaga ortogonalnosci). Dowolny wektorwychodz'!cy z punktu 0 jest kombinacj,! liniow,! a = al"l + aZ"2 + ... + an"",
Aigebry Grassmanna
11.6
dejsciu przypadki rzeczywisty i zespolony Sq traktowane w podobny sposob.) Aby opisae 2-wymiarowy element plaski rozpiyty przez dwa wektory a i b, gdzie
b = b1lf1 + b2lf2 + ... + bnlfn' tworzymy iloczyn grassmannowski tych wektorow. W celu unikniycia pomylek z innymi postaciami iloczynow zastosujtt tutaj notacjy standardowq a 1\ b (iloczyn ten nazywany jest "klinowym"). Zgodnie z tym to, co poprzednio zapisywalem jako If pIf q, , teraz bttdziemy zapisywali jako Ifp 1\ If q • Regula antykomutacji tych wielkosci bydzie miala postae Ifp 1\ Ifq = -If q 1\ Ifp'
Zakladajqc, ie dla takich iloczynow obowiqzuje prawo rozdzielnosci mnoienia wzglydem dodawania (zob. rozdz. 11.1), moiemy wykazae bardziej ogolnq wlasnose antykomutacji(I1.9 j
al\b=-bl\a dla dowolnych wektorow a i b. Wielkose a 1\ b daje algebraiczne wyraienie na istnienie "elementu plaskiego" rozpiytego przez wektory a i b (rys. 11.6a). Zauwaimy, ie zawiera ona informacjy nie tylko 0 orientacji tego e1ementu plaskiego (poniewai znak iloczynu a 1\ b zaleiy od kolejnosci tych wektorow), ale takie 0 rozmiarach (wielkosci) tego elementu. Moiemy zapytae, w jaki sposob wielkose taka jak a 1\ b moie bye wyraiona przez zbior skladowych, podobnie do sposobu, w jaki przedstawiamy wektor a jako (a I' a2, ... , an) i b jako (bl' b2, ... , bn), ktore to liczby Sq wspolczynnikami wyraienia a i b jako kombinacji liniowych Ifl' 1f2' 1f3' ••• , If n • Wielkose a 1\ b moina przedstawie jako kombinacjy liniowq iloczynow 1f1 1\ 1f2' 1f1 1\ 1f3 etc. i chcemy dowiedziee siy,
(al
(bl
Rys. 11.6. (a) Wielkosc a 1\ b reprezentuje element ptaski (odpowiednio zorientowany i przeskalowany) rozpiyty przez niezaleine wektory a i b. (b) Potr6jny iloczyn grassmannowski a 1\ b 1\ C reprezentuje element 3-wymiarowy rozpiyty przez niezaleine wektory a, b i c.
~
[11.9] Pokai: to.
207
11
Liczby hiperzespolone
jakie s,! wspolczynniki takiego przedstawienia. W zwi,!zku z tym potrzebne s,! nam jakies konwencje, poniewaz, na przyklad, 1/ 1 1\ 1/2oraz 1/2 1\ 1/1 nie s,! niezalezne (rozni,! siy tylko znakiem) i powinnismy siy umowic, ktory z tych iloczynow wybieramy. Okazuje siy, ze naj1epiej uZyc obu i tylko pO rowno rozdzielic pomiydzy nie wspolczynniki. Znajdujemy wowczas[II.IO], ze te wspolczynniki, czyli skiadowe iloczynu Q 1\ b, s,! wielkosciami, ktore mozemy zapisac jako alPb q1 , zas nawiasy kwadratowe wokol indeksow oznaczaj'! antysymetryzacj~: 1 A lPq ]= "2 (Apq - Aqp)'
aIPbq1
="21 (apbq -
aqbp)'
A jak przedstawia siy sprawa 3-wymiarowego "e1ementu plaskiego"? Bior,!c Q, b i C jako trzy nieza1ezne wektory, rozpinaj,!ce ten element 3-wymiarowy, mozemy utworzyc potrojny iloczyn grassmannowski Q 1\ b 1\ c. Ten iloczyn bydzie reprezentowal poszukiwany element plaski (rowniez okreslaj,!c jego orientacjy i wielkosc) i bydzie speinial reguly antykomutacji: Ql\bl\c=bl\cI\Q=cI\Ql\b=-bI\Ql\c=-Ql\cl\b=-cl\bI\Q
(zob. rys. 11.6b). Skiadowe iloczynu Q smy, s'!: aIPbqcr1 =
i
1\
b
1\
c, zgodnie z tym, co juz powiedzieli-
(apblr + aqb,cp + arblq - ailr - apbrcq - arblp)'
przy czym nawiasy kwadratowe znowu oznaczaj'! antysymetryzacjy, ukazan'! explicite w wyraieniu po prawej stronie. Podobne wyrazenia definiuj,! ogolne elementy r-wymiarowe, gdzie r moze przyjmowac dowoln'! wartosc do wymiaru n, ktory jest wymiarem caIej przestrzeni. Skladowe iloczynu klinowego r-go rZydu uzyskujemy, bior,!c zantysymetryzowane iloczyny skladowych poszczegolnych wektorow [1111],[1112]. Rzeczywiscie, algebra Grassmanna daje nam potyzne narzydzie do opisu podstawowych geometrycznych e1ementow liniowych w dowolnych (skonczonych) wymiarach. Algebra Grassmanna jest algebr,! stopniowanq ("algebq z gradacj'!") w tym sensie, ze zawiera elementy r-go rZydu (gdzie r oznacza liczby e1ementarnych wektorow 1/, ktore s,! "mnozone klinowo" w odpowiednich wyrazeniach). Liczba r (gdzie r= 0,1,2,3, ... , n) nazywa siy "stopniem" (grade) elementu algebry Grassmanna. NaieZy jednak zauwaZyc, ze ogolny element algebry stopnia r nie jest po prostu zwyklym iloczynem klinowym (takimjakQ 1\ b 1\ C w przypadku r= 3), ale moze byc
208
ED [11.10] Wypisz cale a 1\ b dla przypadku n = 2, aby zobaczyc, jak takie wyra.zenie powstaje. ED [11.11] Wypisz te wyrazenia explicite dla przypadku iloczynu klinowego czterech wektor6w. B [11.12] Poka.z, ze iloczyn klinowy nie zmieni siy, jezeJi a zastqpimy wektorem a dodanym do dowolnej wielokrotnosci kt6regokolwiek z wektor6w wystypujqcych w iloczynic klinowym.
Przypisy
sumq takich wyrazen. W takim razie istnieje wiele elementow algebry Grassmanna, ktore nie odpowiadajq wprost geometrycznym elementom stopnia r. Znaczenie takich "niegeometrycznych" elementow algebry Grassmanna omowimy pozniej (rozdz. 12.7). W ogolnym przypadku, jesli P jest elementem stopnia p, a Q jest elementem stopnia q, wowczas definiujemy ich iloczyn klinowy stopnia (p + q), P /\ Q, jako wielkosc 0 skladowych P1a,cQd'fl' gdzie Pa... c i Qd.J Sq, odpowiednio, skladowymi P i Q. Otrzymujemy wtedyllL13]. 1.14] p/\Q= {
+Q /\ P -Q /\ P
gdy p alba q, alba i p, i q Sq parzyste, gdy p, q Sq nieparzyste.
Suma elementow ustalonego stopnia r jest elementem stopnia r; mozemy dodawac do siebie elementy roznych stopni, dziyki czemu otrzymamy wielkosci "mieszane", ktore nie majq okreslonego stopnia. lednakZe takie elementy algebry Grassmanna pozbawione Sq bezposredniej interpretacji.
Przypisy Rozdzial11.1 Wedlug Eduarda i Kleina (1898) prawo mnozenia kwaternionow odkryl juz w 1820 roku Carl Friedrich Gauss, ale swojego odkrycia nie opublikowal (Gauss 1900). Z t'! rewelacj,! nie zgodzili sit( Tait (1900) i Knott (1900). Wit(cej informacji na ten temat zob. Crowe (1967). 2 Termin "wektor" rna cale spektrum znaczen. W tym wypadku nie potrzebujemy doszukiwac sit( zwi,!zku z rozniczkowym pojt(ciem "pola wektorowego", opisanym w rozdz. 10.3. 1
Rozdzialll.2 Nie jest dla mnie rzecz'! jasn,!, czy sam Hamilton ulegal tej pokusie. Przed odkryciem kwaternionow interesowal sit( algebraicznym opisem "zmiennosci w czasie" i na tej podstawie mozna by s,!dzic, ze byl przygotowany na zaakceptowanie czwartego wymiaru w algebrze kwaternionow. Zob. Crowe (1967), s. 23-27. 4 Mimo to wlozono wiele pracy, aby znalezc kwaternionow,! analogit( funkcji holomorficznych i ich wartosci dla teorii fizycznych. Zob. Giirsey (1983); Adler (1995). Mozna by rowniez traktowac wyrazenia twistorowe (rozdz. 33.8, 9) wykorzystywane przy rozwi'!zywaniu rownan bezmasowego pola swobodnego jako wlasciw,! 4-wymiarow,! analogit( metody funkcji holomorficznych w rozwi,!zywaniu rownania Laplace'a. W tym wypadku uZywa sit( jednak analizy matematycznej funkcji analitycznych, a nie kwaternionowej. lako literaturt( ogoln,! dotycz'!c'! kwaternionow i oktonionow mozna polecic: Conway i Smith (2003). 5 Zob. Adams i Atiyah (1966). 6 Zob. Clifford (1878). Wspolczesne odniesienia zob. Hestenes i Sobczyk (2001); Lounesto (1999). 7 Zob. Grassmann (1844); idem (1862); van der Waerden (1985); Crowe (1967), rozdz. 3. 3
8
Rozdziaf 11.3 Autor wyjasnia w tym miejscu, ze slowo "spinor" powinno sit( wymawiac tak, jakby to bylo slowo "spinnor". Zob. przyp. 12 w rozdz. 24. ~
[11.13] Pokaz to.
f8 [11.14] Wydedukuj, ze P /\ P = 0, gdy p jest nieparzyste.
209
Liczby hiperzespolone
11
9
Nie wiem, kto pierwszy zaproponowat takie przedstawienie kwatemionow. Na Miydzynarodowym Kongresie Matematycznym w Helsinkach w 1978 roku w prywatnej rozmowie przedstawit to J.R. Conway, ale zob. takZe Newman (1942) Penrose i Rindler (1984), s. 41-46.
Rozdzial 11.4 10
Zob. Pars (1968).
Rozdzial1l.5 11
12
13
Aby zapoznac siy blizej z podejsciem do wielu problemow fizycznych za posrednictwem algebry Clifforda, zob. Lasenby, Lasenby i Doran (2000), s. 21-39 i cytowana tam literatura. Zob. Cartan (1966); Brauer i Weyl (1935); Penrose i Rindler (1986); Harvey (1990); Budinich i Trautman (1988). Przyktady znalezc mozna w: Lounesto (1999); Cartan (1966); Crumeyrolle (1990); Chevalley (1954); Kamberov (2002).
12 Rozmaitosci n-wymiarowe 12.1 Dlaczego badamy rozmaitosci wyzszych wymiarow? PRZEJDZMY teraz do og6lnej procedury budowania rozmaitosci wyzszych wymiarow, w ktorych wymiar n moze bye dowoln'! dodatni,! liczb,! calkowit'! (a nawet 0, jesli pojedynczy punkt bydziemy uwazali za O-rozmaitose). Obecnie jest to zasadnicze pojycie dla prawie wszystkich wspolczesnych teorii podstaw fizyki. Czytelnika moze dziwie fakt, ze interesuj'!ce z fizycznego punktu widzenia jest rozwazanie n-rozmaitosci, ktorych wymiar n jest wiykszy od 4, poniewaz zwykla czasoprzestrzen rna dokladnie 4 wymiary, ale wiele wspolczesnych teorii, na przyklad teoria strun, posluguje siy pojyciem czasoprzestrzeni, ktorych wymiar jest duzo wiykszy niz 4.Wrocimy do tych spraw nieco pozniej (rozdz. 15.1,31.4, 10-12, 14-17), gdy zajmiemy siy fizycznym prawdopodobienstwem realizacji takiej ogolnej idei. Pomijaj,!c kwestiy, czy rzeczywista "czasoprzestrzen" fizyczna moze bye wlasciwie opisana jako n-rozmaitose, istniej,! jeszcze inne, rozne i bardzo powazne powody do zajmowania siy n-rozmaitosciami w fizyce. Na przyklad plZestrzen konfiguracyjna zwyklego ciala sztywnego w euklidesowej przestrzeni 3-wymiarowej - mam tu na mysli pewn,! przestrzen C, ktorej poszczegolne punkty przedstawiaj,! rozne fizyczne polozenia ciala - jest nieeuklidesow'! 6-rozmaitosci,! (zob. rys. 12.1). Dlaczego szese wymiarow? Poniewai mamy tu trzy wymiary (stopnie swobody) opisuj,!ce polozenie srodka ciyzkosci i trzy wymiary dla przedstawienia obrotowej orientacji ciala[12.11. Dlaczego nieeuklidesowa? lest wiele powodow, ale szczegolnie wymowny jest ten, ze nawet sarna topologia tej przestrzeni jest rozna od topologii 6-wymiarowej przestrzeni euklidesowej. Ty "nietrywialnose topologiczn'!" C mozemy zauwaZye, analizuj,!c 3-wymiarowy aspekt przestrzeni, ktory odnosi siy do obrotowej orientacji ciala. Nazwijmy ty przestrzen 3-wymiarow,! R tak, ze kaidy punkt R reprezentuje pewn,! szczegoln'! orientacjy ciala. Przypomnijmy sobie rozwazania nad obrotami ksi'!iki z poprzedniego rozdzialu. Niech naszym "cialem" bydzie wlasnie ta ksi'!ika (ksi'!ika musi, oczywiscie, pozostawae zamkniyta, w przeciwnym bowiem wypadku nasza przestrzen konfiguracyjna musialaby miee znacznie wiycej wymiarow, odpowiednio do ruchow stron). a [12.1] Objasnij dokladniej t y liczb y wymiar6w.
12
Rozmaitosci n-wymiarowe
Rys. 12.1. Przestrzen konfiguracyjna C, kt6rej kaidy pUnkt reprezentuje mozliwe polozenie pewnego ciata sztywnego w 3-wymiarowej przestrzeni Euklidesa ]E'. Przestrzen C jest nieeuklidesow~ 6-rozmaitosci~.
Jak rozpoznac "nietrywialnosc topologicznq"? Mozemy sobie wyobrazic, ze nie jest to latwe w przypadku 3-lub 6-rozmaitosci. Istnieje jednak szereg procedur matematycznych do rozstrzygniycia takich problemow. Przypomnijmy sobie, ze przy badaniu powierzchni Riemanna w rozdz. 8.4 (zob. rys. 8.9) rozwazalismy rozne rodzaje topologicznie nietrywialnych powierzchni 2-wymiarowych. Poza sferq (Riemanna) najprostszym przykladem takiej powierzchni jest torus (powierzchnia 0 genusie 1). Jak mozna odroznic torus od sfery? Jednym ze sposobow jest rozwazenie zamkniytych pytli na powierzchni. Intuicyjnie jest jasne, ze na torusie mozemy narysowac pytle, ktorych w zaden sposob nie da siy, w sposob ciqgly, tak zdeformowac, zeby kazdq "sciqgnqc" do punktu, tymczasem na powierzchni kuli kazda zamkniyta pytla moze byc w ten sposob "sciqgniyta" (zob. rys. 12.2). Na plaszczyznie euklidesowej, podobnie, kazdq zamkniytq pytly potrafimy zredukowac w ten sposob. Na podstawie tej wlasnosci uwazamy, ze sfera i plaszczyzna Sq jednosp6jne. Torus (i powierzchnie 0 wyzszym genusie) Sq natomiast wielosp6jne ze wzglydu na to, ze mozna na nich rysowac pytle, ktorych w ten sposob nie da siy "sciqgnqc"l. Mamy wiyc jeden jasny przepis na odroznienie torusa (i powierzchni 0 wyzszym genusie) od sfery i od plaszczyzny.
212
Rys. 12.2. Na torusie pewne pytle nie mog~ bye, w spos6b ci~gly, zredukowane do punktu, podczas gdy na sferze lub na plaszczyznie jest to mozliwe w odniesieniu do dowolnej pytli. W zwi~zku z tym plaszczyzny i sfery uwaiamy za powierzchnie jednosp6jne, natomiast torus (i powierzchnie 0 wyzszym genusie) s~ wielosp6jne.
Dlaczego badamy rozmaitosci wyzszych wymiar6w?
12.1
Tt( samq idet( mozemy wykorzystae do odroznienia topologii 3-rozmaitosci R od "trywialnej" topologii 3-wymiarowej przestrzeni Euklidesa albo topologii 6-rozmaitosci C od "trywialnej" 6-przestrzeni Euklidesa. Powroemy do przykladu z ksiqzkq, ktorq w rozdz. 11.3 wyobrazalismy sobie jako przywiqzanq do pewnej stalej struktury za pomocq wyimaginowanego paska. Kazde polozenie obrotowe tej ksiqzki odpowiada pewnemu punktowi w R. Gdy bt(dziemy kontynuowae obracanie ksiqzki aZ do kqta 21t tak, ze ksiqzka wraca do wyjsciowego polozenia, okaze sit(, ze ten ruch jest reprezentowany w R przez pewnq zamknit(tq pt(tlt( (zob. rys. 12.3). Czy jestesmy w stanie, deformujqc tt( pt(tlt( w sposob ciqgly, "sciqgnqe" jq do punktu? Taka deformacja pt(tli odpowiadalaby stopniowemu ruchowi obrotowemu ksiqzki do momentu zatrzymania. Pamit(tajmy jednak 0 naszym urojonym pasku (ktory eksperymentalnie mozemy zastqpie prawdziwym paskiem). Obrot 0 kqt 21t pozostawia pasek skrt(cony i tego skrt(cenia nie mozna usunqe przez ciqgly ruch paska bez przesunit(cia ksiqzki. Za pomocq ciqglej deformacji obrotu ksiqzki nie jestesmy w stanie wyeliminowae "skrt(cenia 21t" (albo zostaje ono zamienione na skrt(cenie odpowiadajqce obrotowi 0 nieparzystq wielokrotnose 21t), stqd wyciqgamy wniosek, ze obrot 0 21t nie moze bye w sposob ciqgly sprowadzony do obrotu zero. Dlatego, odpowiednio, nie rna sposobu, zeby nasza zamknit(ta pt(tla na R dala sit( sciqgnqe do punktu. A zatem 3-rozmaitose R (i podobnie 6-rozmaitose C) muszq bye wielospojne, a wit(c topologicznie rozne od jednospojnej 3-przestrzeni Euklidesa (tak jak od 6-przestrzenif Warto zauwaZye, ze wielospojnose przestrzeni RiC jest bardziej interesujqca niz ta, z jakq mamy do czynienia w przypadku torusa. Nasza pt(tla, ktora przedstawia obrot 0 kqt 21t, rna kuriozalnq wlasnose, bo jesli obejdziemy jq dwukrotnie (a wit(c wykonamy obrot 41t), to otrzymamy Pt(tlt(, ktora moze bye teraz w sposob ciqgly zredukowana do punktu[12.21• (Nic podobnego nie dzieje sit( na torusie.) Ta ciekawa cecha pt(tli na RiC nosi nazw y torsji topologicznej.
"nie sci<jga" do punktu
Rys. 12.3. Pojt(cie wielosp6jnosci zilustrowane na rys. 12.2 rozr6znia topologit( 3-rozmaitosci R (przestrzen obrot6w) lub 6-rozmaitosci C (przestrzen konfiguracyjna) od "trywialnych" topologii euklidesowych przestrzeni 3- i 6-wymiarowych. Pt(tla na R lub C, reprezentuj'!ca obr6t ci,!gly o 211, nie moze zostac zredukowana do punktu, a zatem R i C s,! wielosp6jne. Iednak kiedy obejdziemy j,! dwukrotnie (co oznacza obr6t 411), w6wczas taka pt(tJa daje sit( sprowadzic do punktu (torsja topologiczna). Zob. rys. 11.3 (Nota bene akurat przedstawiona tam 2-rozmaitosc nie rna takiej wlasnoSci, ale jest u:i:yta tylko ilustracyjnie.)
~ [12.2] Pokaz to, odwolujqc si y do przedstawienia R takiego jak w ewiczeniu [12.17].
213
12
Rozmaitosci n-wymiarowe
Polozenia n c1'lstek
Przestrzeri konfiguracyjna
Polozenia i pf)dy n cZ'lstek
(al
Przestrzeri fazowa
(bl
Rys. 12.4. (a) Przestrzen konfiguracyjna K, dla ukladu n cz'!stek w pewnyrn obszarze 3-wyrniarowej przestrzeni, rna 3n wyrniar6w, a kaidy punkt K reprezentuje poloienia wszystkich n cz'!stek. (b) Przestrzen fazowa P rna 6n wymiarow, a kaidy punkt P przedstawia poloienia i pydy wszystkich cz,!stek. (Nota bene pyd = prydkosc razy rnasa).
Na podstawie podanego rozumowania wnioskujemy, ze z punktu widzenia fizyki interesujqce jest badanie przestrzeni takich jak 6-rozmaitose C, ktore charakteryzujq sil( nie tylko wil(kszq liczbq wymiarow niz zwykla czasoprzestrzen, ale ktorych topologia moze bye nietrywialna. Ponadto liczba takich wymiarow przestrzeni, waznych dla fizyki, moze bye ogromna. Przestrzenie 0 bardzo wielkiej liczbie wymiarow mogq wystl(powae w fizyce jako przestrzenie konfiguracyjne, a takZe jako tzw. przestrzenie !azowe, dla ukladow zawierajqcych wielkie liczby indywidualnych czqstek. Przestrzen konfiguracyjna gazu, K, ktorego kai:da czqstkajest opisywana jako pojedynczy punkt w przestrzeni 3-wymiarowej, rna wymiar 3N, gdzie N jest liczbq czqstek tego gazu. Kazdy punkt przestrzeni K reprezentuje pewnq konfiguracjl( wszystkich czqstek gazu, w ktorej polozenie kazdej jest scisle okreslone (rys. 12.4a). W przypadku przestrzeni fazowej tego gazu, P, interesujemy sil( rowniei: pfdem kazdej z cZqstek (pl(d jest iloczynem prl(dkosci i masy cZqstki), a jest on wielkosciq wektorowq (trzy skladowe dla kazdej cZqstki), wobec czego catkowity wymiar przestrzeni fazowej wynosi 6N. W ten sposob kazdy punkt przestrzeni fazowej reprezentuje nie tylko polozenia wszystkich cZqstek gazu, ale takZe wszystkie ruchy poszczegolnych czqstek (rys. 12.4b). Naparstek powietrza zawiera okolo 10 19 cZqstek3, z czego wynika, ze P musi miee okolo 60 000 000 000 000 000 000 wymiarow! Przestrzenie fazowe Sq szczegolnie ui:yteczne przy badaniu zachowania sil( klasycznych fizycznych ukladow zawierajqcych wiele cZqstek, a wil(c przestrzenie 0 tak wielkiej liczbie wymiarow majq istotne znaczenie fizyczne.
12.2 Rozmaitosci i faty wsp6frzQdnosciowe
214
Zajmiemy sil( teraz matematycznym przedstawieniem n-rozmaitosci. N-rozmaitose M mozna skonstruowac w podobny sposob, w jaki w rozdz. 8 i 10 (zob. rozdz. 10.2) konstruowalismy powierzchnil( S z pewnej liczby lat z okreslonym ukladem wspolrZl(dnych. Teraz potrzebujemy wil(kszej ilosci wspotrzl(dnych na kazdej z tat, a nie
Rozmaitosci i laty wsp6lrz~dnosciowe
12.2
po prostu pary liczb (x,y) czy (X, Y). W istocie potrzebujemy n wspotrzt(dnych dla kazdej taty, gdzie n jest ustalon'! liczb,! - wymiarowosci,! M - i moze przyjmowac dowolne dodatnie wartosci catkowite. Z tego powodu nie bt(dziemy oznaczae kazdej wspotrzt(dnej osobn,! liter,!, lecz rozrozniae wspotrzt(dne
postuguj,!c sit( gornym indeksem liczbowym. Zeby unikn'!e nieporozumien: te liczby nie oznaczaj'! roznych pott(g jakiejs liczby x, ale niezalei:ne liczby rzeczywiste. Czytelnik moze dziwie sit(, ze celowo wywotujt( zamieszanie, uZywaj,!c indeksow gornych, a nie indeksow dolnych (np. xl' x 2' x 3' ••• , x n ), bo jak na przyktad odroznie wspotrzt(dn,!x3 od trzeciej pott(gi liczby x? I trudno odmowie mu racji. Muszt( przyznae, ze mnie samemu ta notacja nie tylko sprawia klopot, ale czasami naprawdt( irytuje. Z pewnych historycznych powodow przyjt(to standardowe konwencje zapisu w klasycznej analizie tensorowej (zajmiemy sit( ni,! bardziej szczegotowo w dalszej czt(sci rozdzialu). Te konwencje wprowadzaj'! scisle reguly stosowania gornych i dolnych indeksow i zgodny z nimi sposob oznaczania samych wspolrzt(dnych wymaga w tym miejscu uZycia gornych wskaznikow. (Te reguly w praktyce dziataj,! bardzo dobrze, ale szkoda, iz sposob oznaczania wspotrzt(dnych nie zostal ustalony winny sposob. Obawiam sit(, ze nie mamy wyboru i musimy pogodziC sit( z tym.) Jak mozemy wyobrazie sobie rozmaitose M? Przyjmijmy, ze powstaje ona w wyniku "sklejenia" pewnej liczby tat wspolrzt(dnosciowych, przy czym kazda lata stanowi obszar otwarty w przestrzeni ]Rn. Przez ]Rn rozumiemy "przestrzen wspolrzt(dnych", ktorej punktami s,! n-ki liczb rzeczywistych (xl, x 2 , x 3 , ... , r), a pamit(tamy z rozdziatu 6.1, ze ]R oznacza cialo liczb rzeczywistych. W naszej procedurze "sklejania" istniej'!fttnkcje przejscia, ktore wyrazaj'! wspolrzt(dne jednej laty przez wspolrzt(dne innej, wszt(dzie tam, gdzie w rozmaitosci M taty naktadaj,! sit( na siebie. Funkcje przejscia musz'! spetniae pewne warunki, aby zapewnie niesprzecznose catej procedury, ktor'! ilustruje rysunek 12.5a. Musimy przy tym uwazae, zeby w wyniku tej procedury otrzymae standardowy typ rozmaitosci\ jakim jest przestrzert Hausdorffa. (Rozmaitosci, ktore nie S,! rozmaitosciami Hausdorffa, mog,! "rozgatt(ziae" sit( w sposob zilustrowany na rys. 12.5b; zob. rowniez rys. 8.2c). Definiuj,!C'! wtasnosci,! przestrzeni Hausdorffa jest ta, ze dla kazdych dwu roznych punktow tej przestrzeni istniej,! zbiory otwarte, z ktorych kaZdy zawiera po jednym z tych punktow, i ktore sit( nie przecinaj,! (rys. 12.5c). Jest waZne, zebysmy nie mysleli 0 rozmaitosci M w taki sposob, ze ona "wie", gdzie znajduj,! sit( poszczegolne laty alba jakie S,! konkretne wspotrzt(dne w danym punkcie. NaieZy raczej wyobraZae sobie, ze M zostala skonstruowana przez zlozenie razem pewnej liczby tat wspolrzt(dnosciowych. Nastt(pnie zdecydowalismy sit( "zapomniee" 0 tym, jak te laty byty skladane. Rozmaitose jest samodzieln,! struktuq matematyczn,!, a wspolrzt(dne S,! elementami pomocniczymi, ktore mog,! bye
215
12
Rozmaitosci n-wymiarowe
Przypadek niehausdorffowski
~
Warunek Hausdorffa
Konieczny warunek niesprzecznosci przy naloieniu potrojnym (a)
(b)
(c)
Rys. 12.5. (a) Funkcje przejscia, ktore transformujl! mi«dzy sobl! wspolrz«dne nakladajl!cych si« lat, muszl! spelniae warunek niesprzecznosci na kazdym nalozeniu potrojnym. (b) Nakladajl!ce si« obszary (zbiory otwarte) lat muszl! bye odpowiednie, w przeciwnym wypadku moze wystl!pie "rozgal«zienie", charakterystyczne dla przestrzeni, ktore nie sl! przestrzeniami Hausdorffa. (c) Przestrzen Hausdorffa rna t« wlasnose, ze kaide dwa rozne jej punkty majl! otoczenia, kt6re si« nie nakladajl!. W przypadku (b), aby "sklejona" cz«se byta zbiorem otwartym, jej "kraw«dz", gdzie pojawia si« "rozgal«zienie", musi pozostae oddzielona i w tym miejscu warunek Hausdorffa przestaje bye spelniony.
w kazdej chwili wprowadzone, jesli uznamy to za potrzebne. lednak na tym etapie nie jest nam potrzebna scisla matematyczna definicja rozmaitosci (zresztq istnieje kilka alternatywnych definicji) i omawianie jej odciqgnyloby naszq uwagy od gl6wnego przedmiotu rozwazan 5•
12.3 Skalary, wektory i kowektory
216
lak pamiytamy, w rozdz. 10.2 wprowadzono pojycie gladkiej funkcji ,okreslonej na M (czasami nazywanej polem skalamym na M), gdzie jest zdefiniowana na kazdej ze skoordynowanych lat jako funkcja gladka n wsp6lrzydnych tej laty. Tutaj pojycie "gladka" bydzie rozumiane jako "gladka, klasy C"" (zob. rozdz. 6.3), w ten spos6b bowiem otrzymujemy najwygodniejszq teoriy. Na kazdym nalozeniu siy dw6ch lat wsp6lrzydne kazdej z lat Sq gladkimi funkcjami wsp6lrzydnych drugiej laty, gladkosc wyrazonej we wsp6lrzydnych jednej z lat zapewnia wiyc gladkosc tej funkcji we wsp6lrzydnych drugiej. A zatem lokalna (na lacie) definicja gladkosci skalarnej funkcji rozciqga siy na calq rozmaitosc M, i mozemy m6wic po prostu 0 gladkosci na M. Nastypnie zdefiniujemy pojycie pola wektorowego (na M, zwiqzanego z geometrycznq interpretacjq rodziny "strzalek" na M (rys. 10.5), gdzie (dziala na dowolne (gladkie) pole skalarne jak operator r6zniczkowy, w wyniku czego powstaje inne pole skalarne (rs ...11
(kazdy z indeksow r, s, ... , u przebiega wartosci od 1 do n), jest antysymetryczna we wszystkich indeksach r, s, ... , u, a tych indeksow jest p. Tak jak poprzednio, antysymetria oznacza, ze przestawienie dowolnej pary indeksow zmienia znak calej wielkosci. Uiywaj,!c zapisu za pomoq nawiasow kwadratowych (rozdz. 11.6), ty wlasnosc antysymetrii mozemy zapisae w postaci rownania ll27 \
Rozdzial12.9 Jest to warunek znikania wyrazenia zwanego "tensorern Nijenhuisa skonstruowanyrn zJ": Jd aJ c fa~ + JCd aJd[a fa>!'] = o. : «l b] 22 Newlander i Nirenberg (1957). 21
13 Grupy symetrii 13.1 Grupy przeksztalcen PRZESTRZENIE symetryczne maj,! fundamentalne znaczenie we wspolczesnej fizyceo Dlaczego? Wydawaloby siy, ze zupelnie dokladna symetria moze wyst,!pie tylko w wyj'!tkowych przypadkach albo bye jedynie wygodnym przyblizeniem. Aczkolwiek obiekty symetryczne, takie jak kwadrat czy kula, w sensie dokladnym, istniej,! w postaci wyidealizowanych struktur matematycznych ("byty platonskie"; zob. rozdz. 1.3), to jakakolwiekjizyczna ich realizacja moze bye rozumianajedynie jako pewna przyblizona reprezentacja idealu platonskiego, a wiyc pozbawiona rzeczywistej symetrii, ktor,! mozna by uwazae za dokladn'!. Warto jednak zwrocie uwagy, ze zgodnie z teoriami fizycznymi, jakie odniosly w XX wieku ogromne sukcesy, wszystkie oddzialywania fizyczne (wl,!czaj,!c w to oddzialywania grawitacyjne) podporz'!dkowane S,! idei, ktora, scisle rzecz biorqc, w sposob istotny zwi'!zana jest z pewnymi strukturami fizycznymi. S,! one wyposazone w takie wlasnosci symetrii, ktore na podstawowym poziomie opisu s,! najzupelniej dokladne! Na czym polega ta idea? Jest to koncepcja znana jako "koneksja cechowania". Sarna nazwa mowi niewiele. Ale idea jest niezwykle wazna, umozliwia znalezienie nowego i subtelnego pojycia rozniczkowania, ktore mozna stosowae do ogolnych struktur na rozmaitosci (struktur istotnie bardziej ogolnych niz p-formy, ktore podlegaj,! regulom rachunku rozniczkowego form zewnytrznych, opisanym w rozdziale 12). Problemy te byd,! przedmiotem rozwazan dwu kolejnych rozdzialow, lecz najpierw musimy zapoznae siy z podstawowym pojyciem grupy symetrii. Pojycie to znalazlo zastosowanie w wielu wa:i:nych dzialach fizyki, chemii i krystalografii, ale rna rowniez wielkie znaczenie w roznych dzialach samej matematyki. Rozwazmy pro sty przyklad: jakie wlasnosci symetrii rna kwadrat? Odpowiedz na to pytanie moze bye dwojaka, w zaleznosci od tego, czy dopuszczamy symetrie zmieniaj,!ce orientacjy kwadratu (czyli takie, ktore obracaj,! kwadrat "do gory nogami"). Rozwazmy najpierw przypadek, gdy operacje zmieniaj,!ce orientacjy nie S,! dozwolone. Wtedy symetrie kwadratu S,! generowane przez pojedynczy obrot o k,!t prosty w plaszczyznie figury, powtarzany wielokrotnie. Sprobujmy, dla wygody, przedstawie te ruchy, posluguj,!c siy liczbami zespolonymi, tak jak to robilismy w rozdziale 5. Mozna, jezeli chcemy, umiescie wierzcholki kwadratu na plaszczyz-
13
Grupy symetrii
nie zespolonej w punktach 1, i, -1, -i (rys. 13.la), a obrot podstawowy przedstawie jako pomnozenie przez i (tj. przez "i x") W ten sposob rozne potfgi i bydq przedstawialy wszystkie nasze obroty, i tych roznych obrotow bydzie dokladnie cztery: iO=l, il=i, i2 =_I, i3 =-i (rys. 13.1b). Czwarta potyga i4 = 1 sprowadza nas do polozenia wyjsciowego, a wiyc nie rna wiycej elementow. Iloczyn dowolnych dwu z czterech elementow jest znowu jednym z nich. Te cztery e1ementy dajq nam prosty przyklad grupy. Tworzy jq zbior elementow i regula "mnozenia" dowolnej ich pary (zapisujemy je przez postawienie odpowiadajqcych im symboli obok siebie), przy czym spelnione musi bye prawo lqcznosci mnozenia a(be) == (ab)c.
Ponadto istnieje element zwany "jedynkq" ("tozsamosciowy"), 1, spelniajqcy relacje la=al=a,
kazdy element grupy, a, rna zas element odwrotny, a-I, taki ze[13.lj a-Ia = aa- I = 1. Operacje syrnetrii, ktore przeprowadzajqjakis obiekt (niekoniecznie kwadrat) sam w siebie, zawsze spelniajq przedstawione prawa, ktore nazywamy aksjomatami grupy. Przypomnijmy konwencjy zaleconq w rozdziale 11: kiedy mamy do czynienia z iloczynem dwoch operacji, ab, to najpierwwykonujemy operacj« b, a nast«pnie a.
Rys. 13.1. Symetria kwadratu. (a) Wierzcholki kwadratu mozemy opisac punktami 1, i, -1, -i na plaszczyznie zespolonej C. (b) Grupa symetrii bez odbic na C jest przedstawiona jako mnozenie przez 1 = iO, i = iI, -1 = e, -i = e. (c) Symetrie odbiciowe na C s,! przedstawione przez operacjcr C (sprzcrzenie zespolone), Ci, -C oraz -Ci.
240
1ft [13.1] Pokai, ie jesli zatoiymy, ii 1a = a i a-Ia = 1 dla wszystkich a, a takZe przyjmiemy zaloienie lqcznosci a(be) = (ab)e, wowczas moiemy wydedukowac, ie a1 = a oraz aa- I = l. (Wskazowka: oczywiscie, a nie jest jedynym elementem majqcym element odwrotny.) Pokai tei, dlaczego z kolei zaloienia, ie a1 = a, a-Ia = 1 oraz a(be) = (ab)e, Sq niewystarczajqce.
Grupy przeksztalcer'l
13.1
Rozumiemy, ze te operacje dotyczq obiektu umieszczonego po prawej stronie tego iloczynu. A zatem ruch b, reprezentujqcy symetriy jakiegos obiektu 41, rozumiemy jako 41 H b(41), po kt6rym nastypuje ruch a, co daje b(41)Ha(b(41)). Efektem jest polqczone dzialanie 41 H a (b( (1)), kt6re zapisujemy jako 41 H abe (1), i te dwa ruchy, w takiej kolejnosci, reprezentujq iloczyn abo Operacja tozsamosciowa ("jedynka") pozostawia obiekt niezmieniony (a wiyc zawsze jest to operacja symetrii), natomiast element odwrotny oznacza operacjy odwrotnq do danej operacji symetrii i przenosi obiekt do takiego polozenia, jakie przyjmowal przedtem. W naszym szczeg6lnym przypadku grupy obrot6w (bez odbicia) kwadratu zachodzi dodatkowa wlasnose przemiennosci ab =ba. Grupy 0 tej wlasnosci nazywamy grupami abelowymi, na czese zmadego w tragicznie mlodym wieku matematyka norweskiego Nielsa Henrika Abela!. Jest oczywiste, ze kazda grupa, kt6rq mozna reprezentowae przez mnozenie liczb zespolonych, musi bye grupq abelowq (poniewaz mnozenie liczb zespolonych jest zawsze przemienne). Z przykladami takiej sytuacji mielismy do czynienia pod koniec rozdzialu 5, kiedy rozwazalismy og6lny przypadek skonczonej grupy cyklicznej IZn' generowanej przez n-ty pierwiastek z jedynki[13.21. Zbadajmy teraz, co siy stanie, jesli jako operacje symetrii naszego kwadratu dopuscimy operacje odbicia, a wiyc zmieniajqce orientacjy. Nadal bydziemy mogli posluZye siy liczbami zespolonymi do przedstawienia kwadratu, ale teraz potrzebujemy nowej operacji, kt6rq oznaczy symbolem C, mianowicie operacji sprzt;zenia zespolonego. (Odwraca ona kwadrat wok61linii poziomej; zob. rozdz. 10.1, rys. 10.1.) W tym przypadku znajdujemy (zob. rys. 13.1c) nastypujqce "reguly mnozenia,,[13.31
Ci = (- i)C, C(-l) = (-l)C, C(- i) = iC, CC = 1, 2
(gdzie od tej pory piszemy -iC w miejscu (-)C etc.). W rzeczywistosci wszystkie relacje mnozenia dla calej grupy mozemy uzyskae z relacji podstawowych[13.41 i4 = 1, C 2 = 1, Ci = ec; grupa jest nieabelowa, co ukazuje wyraznie ostatnia z tych relacji. Calkowitq liczby wszystkich r6znych element6w grupy nazywamy rzt;dem grupy. Rzqd tej szczeg61nej grupy wynosi 8. ~
[13.2] Wyjasnij, dlaczego dowolna przestrzen wektorowa jest grup,! abelow,! -
zwan'!
addytywnq grup,! abelow,! - dla kt6rej operacja "mnozenia" grupowego jest operacj,! "dodawania" w przestrzeni wektorowej. [13.3] SprawdZ prawdziwosc tych relacji (pamiytaj, ze Ci oznacza wykonanie operacji "ix", a nastypnie operacji C, itd. (~kaz6wka: relacje te mozna sprawdzic, badaj,!c ich efekt na 1 oraz na i. Dlaczego?) B [13.4] Pokaz to. ~
241
13
Grupy symetrii
Podgrupa syrnetrii bezodbiciowych
~ 0(3)
Przestrzen symetrii Sfera
~
Rys. 13.2. Symetria obrotowa kuli. Calkowita grupa symetrii, 0(3), jest niesp6jnl) 3-rozmaitoscil), skladajl)cl) sicr z dw6ch czcrsci. Czcrsc zawierajl)ca element jedynkowy 1 jest (normalnl)) podgrupl) SO(3), zawierajl)cl) wszystkie symetrie bezodbiciowe sfery. Czcrsc druga jest 3-rozmaitoscil) symetrii z odbiciem.
Rozwazmy teraz inny proSty przyklad, mianowicie grupy obrotow zwyklej sfery. Jak poprzednio, rozpatrzymy najpierw sytuacjy z wyl,,!czeniem odbic. Tym razem nasza grupa symetrii bydzie miala nieskonczenie wiele elementow, poniewaZ sfery mozemy obracac 0 dowolny k,,!t wokol dowolnej osi w 3-przestrzeni. Ta grupa symetrii rzeczywiScie tworzy przestrzen 3-wymiarow,,!, a mianowicie 3-rozmaitosc, ktor"! w rozdziale 12 oznaczalismy przez R. Nadajmy teraz tej grupie (3-rozmaitosci) jej oficjaln,,! nazwy. Nazywamy j,,! gruN SO(3)3, bezodbiciow,,! grup,,! ortogonaln"! w 3 wymiarach. Jesli teraz dol,,!czymy odbicia, to otrzymamy nowy zbior operacji symetrii - inn,,! 3-rozmaitosc - rozl"!czn"! z pierwsz,,!, tych mianowicie, ktore odwracaj,,! kierunki na sferze. Calkowita rodzina takich elementow grupy tworzy 3-rozmaitosc, ale tym razem jest ona niespojna, sklada siy z dwu oddzielnych, spojnych czysci. Ta cala grupa nosi nazwy grupy 0(3). Podane dwa przyklady reprezentuj"! dwie najwazniejsze kategorie grup: grupy skonczone i grupy ci,,!gle (inaczej grupy Liego; zob. rozdz. 13.6t Aczkolwiek miydzy tymi dwoma rodzajami grup wystypuje ogromna roznica, wiele waznych wlasnosci grup jest wspolnych dla jednych i drugich.
13.2 Podgrupy i grupy proste
242
W teorii grup szczegolne znaczenie rna pojycie podgrupy. Aby wyodrybnic podgrupy jakiejs grupy, wybieramy te elementy, ktore same tworz"! grupy, przy tych samych operacjach mnozenia i odwracania, jakie obowi,,!zuj,,! w calej grupie. Podgrupy odgrywaj,,! wazn"! roly w wielu wspolczesnych teoriach cz,,!stek elementar-
Podgrupy i grupy proste
13.2
nych. Fizycy sklaniajq sier do zalozenia, ze istnieje jakas fundamentalna symetria Przyrody, ktora wiqze ze sobq zarowno roznego rodzaju cZqstki elementarne, jak i oddzialywania mierdzy nimi. lednak ta domniemana pelna grupa symetrii nie przejawia sier w wyrazny sposob, wydaje sier, ze ulega ona "zlamaniu" do pewnej podgrupy i ta podgrupa odgrywa roler widocznej symetrii. Dlatego istotne jest poznanie mozliwych podgrup tej domniemanej "fundamentalnej" grupy symetrii w taki sposob, zeby te symetrie, ktory obserwujemy w Przyrodzie, mogly bye traktowane jako podgrupy owej domyslnej grupy. Problemem tym zajmer sier blizej w rozdz. 25.5-8, 26.11 i 28.1. Zbadajmy pewne szczegolne przypadki podgrup, na przyklad te, ktore wlasnie rozwaZalismy. Bezodbiciowe elementy symetrii kwadratu tworzq 4-elementowq podgruper {I, i, -1, -i} pelnej, 8-elementowej grupy symetrii kwadratu. Podobnie, grupa obrotow wlasciwych (bez odbicia) SO(3) jest podgrupq pelnej grupy obrotow 0(3). luna podgrupa symetrii kwadratu tez zawiera 4 elementy {I, -1, C, -C}; jeszcze inna podgrupa rna tylko dwa elementy {l, _l}.I13S] Ponadto kazda grupa rna zawsze podgruper "trywialnq", skladajqcq sier z jednego tylko elementu, jakim jest element tozsamosciowy {I} i, oczywiscie, cal a grupa jest, w podobnie trywialny sposob, swojq podgrupq. Te wszystkie rozne podgrupy opisane przed chwilq majq pewnq wspolnq, niezwykle donioslq wlasnose. Sq to przyklady tak zwanych podgrup nonnalnych l·]. Znaczenie podgrupy normalnej polega na tym, ze w pewnym okreslonym sensie dzialanie dowolnego elementu pelnej grupy nie zmienia podgrupy normalnej lub, mowiqc bardziej technicznie, kazdy element pelnej grupy komutuje z podgrupq normalnq. Sprobujy wyjasnie to bardziej szczegolowo. Oznaczmy pelnq gruper symbolem g, a jej podgrupy symbolem S. Wybierzmy element g grupy g i oznaczmy przez Sg zbior zawierajqcywszystkie elementy Spornnozone z prawej strony przezg (prawostronnie rnnozony przezg). Tak wiyc, wybierajqc S= {I, -1, C, -C} jako podgrupy grupy syrnetrii kwadratu i wybierajqc g = i, otrzyrnujerny Si = {i, -i, Ci, -Ci}. Podobnie piszqcgS, oznaczyrny zbior skladajqcy sier ze wszystkich elernentow podgrupy S pornnozonych z lewej strony przezg (mnozony lewostronnie przezg). A zatern powstanie zbior is = {i, -i, iC, -iC}. Warunkiern na to, zeby S byla podgrupq normalnq grupy g, jest zqdanie, by te dwa zbiory byly identyczne, to jest:
Sg = gS, dla wszystkich g naleZqcych do S. Jak widzimy, w szczegolnym przypadku ten warunekjest spelniony (poniewaz Ci = =-iC oraz -Ci = iC), przy czym powinnismy miee na uwadze, ze elernenty w nawiasach klarnrowych tworzq zbior nieuporzqdkowany (a wiyc nie rna znaczenia, gdy ID [13.5] Sprawdz, ze wszystkie wymienione w tym paragrafie podgrupy Sq rzeczywiscie podgrupami (majqc na uwadze 6wiczenie [13.4]). [*] W pismiennictwie polskim podgrupy normalne nazywa sit; tez podgrupami niezmienniczymi albo dzielnikami normalnymi (zob. J. Mozrzymas, ~t{?P do wsp6lczesnej teorii grup krystalograjicznych i ich reprezentacji, PWN, Wrodaw-Warszawa 1987) - przyp. dum.
243
13
Grupy symetrii
wypisujemy w jawnej postaci zbiory Si oraz is, ze elementy -iC oraz iC pojawiajq sit( w tych zbiorach w odwrotnej kolejnosci). Jako podgrupt( grupy symetrii kwadratu, kt6ra nie jest podgrupq normalnq, mozemy wskazac dwuelementowq podgrupt( {I, C}. Ta podgrupa nie jest normalna, poniewaz {l, C}i = ii, Ci}, podczas gdy HI, C} = ii, -Ci}. Zauwazmy, ze ta podgrupa pojawia sit( jako nowa (zredukowana) grupa symetrii, jesli nasz kwadrat udekorujemy strzalkq skierowanq w prawo (zob. rys. 13.3a). Innq nienormalnq podgrupt(, a mianowicie {l, Cil, otrzymamy, dekorujqc nasz kwadrat strzalkq skierowanq. po przekqtnej, w d61 i na prawo (rys. 13.3b)l13.6l. W przypadku grupy 0(3), jak sit( okazuje, istnieje tylko jedna nietrywialna podgrupa normalna(13.7l i jest to SO(3), natomiast jest wiele podgrup, kt6re nie Sq podgrupami normalnymi. Przyklady podgrup grupy obrot6w, kt6re nie Sq normalne, otrzymamy, jesli na powierzchni kuli wybierzemy odpowiedni skonczony zbi6r punkt6w i zapytamy 0 elementy symetrii grupy obrot6w sfery, kt6re zachowujq ten uklad. Jesli wybierzemy tylko jeden punkt, w6wczas odpowiednia podgrupa zawierac bt(dzie wszystkie obroty sfery wok61 osi lqczq.cej ten punkt ze srodkiem kuli (rys. 13.3c). Alternatywnie moglibysmy na przyklad zaznaczyc punkty bt(dqce wierzcholkami jakiegos prawidlowego wielokqta. W takim przypadku uzyskana podgrupa bt(dzie skonczona i powinna skladac sit( z element6w symetrii tego szczeg61nego wielokq.ta (rys. 13.3d). Jednym z powod6w, dla kt6rego podgrupy normalne Sq tak wazne, jest ten, ze jesli jakas grupa 9 ma nietrywialnq podgrupt( normalnq, w6wczas, w pewnym sensie, mozemy grupt( 9 rozloiyc na mniejsze grupy. Za16zmy, ze S jest podgrupq
(a)
(b)
(c)
(d)
Rys. 13.3. (a) Dekoruj,!c kwadrat z rys. 13.1 za pomoq strzalki skierowanej w prawo, redukujemy grupy symetrii kwadratu do podgrupy {I, C}, kt6ra nie jest podgrup,! normaln'!. (b) Dekoruj,!c kwadrat strzalk,! skierowan,! po przek'!tnej w prawo, w d61, redukujemy grupy symetrii do innej nienormalnej podgrupy symetrii {l, Ci}. (c) Dekoruj,!c sfery z rys. 13.2 jednym punktem, redukujemy grupy symetrii sfery do (nienormalnej) podgrupy 0(2) grupy 0(3): do grupy obrot6w wok61 osi przechodz,!cej przez ten punkt i srodek kuli. (d) Jesli sfery udekorujemy wierzcholkami jakiegos prawidlowego wielok'!ta (w tym przypadku jest to dwunastoscian foremny), to grupa symetrii staje siy skonczon,! (nienormaln,!) podgruP'! grupy 0(3).
244
B [13.6] Sprawdz te stwierdzenia i znajdz dwie kolejne nienormalne podgrupy oraz pokai, ze w ten spos6b rozpatrzylismy wszystkie mozliwosci. rfl!1 [13.7] Udowodnij to. (Wskazowka: kt6re zbiory obrot6w mozna uwazac za niezmiennicze wzglydem obrot6w?)
Podgrupy i grupy proste
13.2
normalnq grupy g. W takim razie rozne zbiory Sg, gdzie g przebiega wszystkie elementy g, same tworzq grupy. Zauwazmy, ze dla danego zbioru Sg wyb6r elementu g nie jest jednoznaczny; dla roznych elementow gl' gz grupy 9 mozemy miec Sgl = Sgz. Dla wszystkich podgrup S zbiory elementow postaci Sg nazywamy warstwami g; gdy S jest podgrupq normalnq, wowczas te warstwy tworzq grupy. Powod jest taki, ze jesli mamy dwie takie warstwy, powiedzmy Sg i Sh (g i h Sq element ami g), to mozemy zdefiniowac "iloczyn" Sg i Sh (Sg) (Sh) = S(gh).
Jesli S jest podgrupq normalnq, to wszystkie aksjomaty grupowe Sq speinione, bo prawa strona jest dobrze okreslona, bez wzglydu na to, ktore elementy g i h zostaly wybrane do reprezentowania warstw wystypujqcych po lewej stronie rownania[13.sl. Grupa w ten sposob utworzona nosi nazwy grupy ilorazowej 9 przez jej podgrupy normalnq S. Grupy ilorazowq 9 przez S oznaczamy g/S. Symbolu g/S bydziemy uZywac dla oznaczenia przestrzeni ilorazowej (nie grupy) roznych warstw Sg nawet w przypadku, gdy S nie jest podgrupq normalnq[13.9 l. Grupy, ktore nie majq nietrywialnych podgrup normalnych, noszq nazwy grup prostych. Przykladem takiej grupy jest grupa SO(3). Grupy proste stanowiq podstawowe elementy, z ktorych zbudowana jest teoria grup. Wielkim osiqgniyciem matematyki XIX i XX wieku jest to, ze wszystkie skonczone grupy proste, jak rowniez wszystkie ciqgle grupy proste, Sq obecnie znane. W przypadku grup ciqglych (czyli grup Liego) stanowi to kamien milowy matematyki. Pracy nad tym zapoczqtkowal niezwykle wplywowy matematyk niemiecki, Wilhelm Killing (1847-1923), ktorego fundamentalne publikacje pojawily siy w latach 1888-1890. Badania te zostaly zasadniczo zakonczone w 1894 roku opublikowaniem jednego z najwaZniejszych artykulow w historii matematyki5 , autorstwa wielkiego geometry i algebraika Elie Cartana (z ktorym zetknylismy siy jui w rozdziale 12 i ktorego ponownie spotkamy w rozdziale 17). Ta klasyfikacja do czasow obecnych odgrywa fundamentalnq roly w wielu dzialach matematyki i fizyki. Okazuje siy, ze istniejq cztery rodziny grup, znane pod symbolami Am' Bm, Cm, D m(dla m = 1, 2, 3, ... ), 0 wymiarach wynoszqcych, odpowiednio, m(m + 2), (2m + 1), m(2m + 1), m(2m -1), noszqce nazwy grup klasycznych (zob. koncowe akapity rozdz. 13.10); oraz piyC grup sporadycznych, oznaczanych symbolami E 6, E 7, E s' E 4, G z' 0 wymiarach 78, 133, 248,52 i 14. Klasyfikacja skonczonych grup prostych jest osiqgniyciem czasow p6Zniejszych (moze nawet trudniejszym) i w XX wieku pracowalo nad niq wielu matematykow (takZe za pomocq komputerow), a zostala zakonczona dopiero w 1982 roku 6 •
Jjj [13.8] Sprawdi to i pokaz, ze aksjomaty grupowe nie s'l spelnione, jesli S nie jest podgrup'l normaln'l. Jjj [13.9] Wyjasnij, dlaczego liczba elementow giS, dla dowolnej skoiiczonej podgrupy S grupy skoiiczonej g, jest rowna ilorazowi rZl(du grupy g przez rZ'ld podgrupy S.
245
13
Grupy symetrii
Talcie w tym przypadku mamy do czynienia z pewnymi systematycznymi rodzinami oraz z kolekcj,! sporadycznych skonczonych grup prostych. Najwierksza z grup sporadycznych znana jest jako monstrum i jej rz'!d wynosi
= 808017424794512875886459904961710757005754368000000000. =
246 X 320 X 59 x 76 x
112 X
133 X 17 x 19 x 23 x 29 x 31 x 41 x 47 x 59 x 71.
Grupy sporadyczne wydaj,! sier szczegolnie atrakcyjne dla wielu wspolczesnych fizykow teoretykow. Grupa E8 pojawia sier w teorii strun (rozdz. 31.14), a wielu badaczy wyraza nadziejy, ze ogromne, ale skonczone monstrum moze znaleic zastosowanie w jakiejs przyszlej teorii 7 • Klasyfikacjer grup prostych mozna traktowac jako zasadniczy krok w kierunku ogolnej klasyfikacji grup, poniewaz, jak juz powiedzielismy, wszystkie grupy uwazamy za zbudowane z grup prostych (wl,!czaj,!c w to grupy abelowe). Nie wystarczy jednak takie przekonanie, wiemy bowiem, jak jedn,! gruper prost,! mozna budowac na innej. Nie mam zamiaru wchodzic glerbiej w szczegoly tej teorii, ale moze warto pokazac najprostszy sposob takiej konstrukcji. Jesli 9 i H s,! dowolnymi grupami, to mozna z nich utworzyc gruper 9 x H, ktorej elementami s,! pary (g, h), gdzie g naleiy do 9 i h naleiy do H, a regula mnozenia grupowego mierdzy elementami (gp hI) i (g2' h 2) grupy 9 x H zdefiniowana jest nasterpuj'!co:
(gp hI) (g2' h 2) = (glg2' h lh 2), i latwo sprawdzic, ze wszystkie aksjomaty grupowe s,! spelnione. Grupa ta nosi nazwer iloczynu prostego 9 x H. Liczne grupy wazne dla fizyki cz,!stek elementarnych s,! iloczynami prostymi grup prostych (albo elementarnymi modyfikacjami takich grup )f13.lOl .
13.3 Transformacje liniowe i macierze W teorii grup istnieje specjalna klasa grup symetrii 0 kluczowym znaczeniu. S,! to grupy symetrii przestrzeni wektorowych. Symetrie przestrzeni wektorowej reprezentowane S,! przez transfonnacje liniowe, ktore zachowuj,! strukturer przestrzeni wektorowej. Przypomnijmy sobie na podstawie rozdz. 11.1 i 12.3, ze definiuj,!c strukturer jakiejs przestrzeni wektorowej V, poslugujemy sier regulami dodawania wektorow i mnozenia wektorow przez liczby. Zwrocmy uwager, ze geometryczn,! reprezentacjer dodawania wektorow podaje prawo rownolegloboku, podczas gdy mnozenie przez liczber obrazuje skalowanie dlugosci wektora (w gorer lub w dol) przez ter liczber (rys. 13.4). Na tym rysunku poslugujemy sier skalowaniem przez liczber rze-
246
a
[13.10] Sprawdz, ze dla dowolnych dwu grup 9 i 7-i ich iloczyn prosty 9 x 7-i jest grup,!, a takZe ze grup,! ilorazow'! (9 x 7-i)/9 jest grupa 7-i.
Transformacje liniowe i macierze
Or---UU--~--__~A~U-.~
13.3
Rys. 13.4. Transformacja Iiniowa zachowuje struktur« przestrzeni wektorowej, na kt6r~ dziala. Struktura ta jest zdefiniowana przez operacj« dodawania (kt6r~ ilustruje prawo r6wnolegloboku) i operacj« mnozenia przez skalar A (kt6rym moze bye Iiczba rzeczywista albo, w przypadku zespolonej przestrzeni wektorowej, Iiczba zespolona). Transformacja taka zachowuje "prostot«" linii i sens "r6wnoleglosci", a tahe nie zmienia ustalonego pocz~tku ukladu, O.
czywistl!, ale mozemy rozwazac zespolone przestrzenie wektorowe (i te przestrzenie okazujl! siC( nadzwyczaj wazne w wielu przypadkach, dziC(ki magicznym wlasnosciom liczb zespolonych!), chociaz ich graficzne przedstawienie jest raczej trudne. Transformacja liniowa przestrzeni V jest przeksztalceniem, ktore przeprowadza V w saml! siebie, zachowujl!c jej strukturC( zdefiniowanl! przez te podstawowe wlasnosci przestrzeni wektorowej. W bardziej ogolnym przypadku mozemy rozwazac rowniez takie transformacje liniowe, ktore przeksztalcajl! jednl! przestrzen wektorowl! w innl!. TransformacjC( liniowl! mozna jawnie przedstawic za pomocl! uporzl!dkowanej tablicy liczb, ktorl! nazywamy macierzq. Macierze odgrywajl! waZnl! rolC( w wielu roznych kontekstach matematycznych. W tym rozdziale (i w rozdz. 13.4, 5) zapoznamy siC( z niezwykle pOZytecznymi strukturami i elegancjl! regul matematycznych, jakim podlegajl!. W istocie rozdz. 13.3-7 mozna potraktowac jako szybkie korepetycje z teorii macierzy i ich zastosowan w teorii grup cil!glych. Przedstawione tu pojC(cia Sl! bardzo istotne dla wlasciwego zrozumienia teorii kwantowych, ale czytelnicy juz zorientowani w tym przedmiocie albo ci, ktorzy woleliby mniej szczegolowe przedstawienie elementow mechaniki kwantowej - mogl! opuscic tc( czc(sc materialu, przynajmniej na razie. Aby zorientowac siC(, jak wygll!da transformacja liniowa, rozwazmy przypadek 3-wymiarowej przestrzeni wektorowej i sprawdzmy jej zwil!zek z gruPl! obrotow 0(3) albo SO(3), omawianl! w rozdz. 13.1, ktora opisuje symetriC( sfery. Mozemy uwazac, ze sfera ta jest wlozona w 3-przestrzen euklidesowl! ]E3 (przestrzen tc( traktujemy jako wektorowl! z poczl!tkiem ukladu w srodku kuli, 0 8), jako miejsce geometryczne punktow
x 2 +l+z2 = 1 w zwyklym kartezjanskim ukladzie wspolrzC(dnych (x, y, z)l13.1l 1• Obroty tej sfery bC(dl! teraz wyrazone w jC(zyku transformacji liniowych przestrzeni ]E3, ale transformacji szczegolnego rodzaju, mianowicie ortogonalnych, ktorymi zajmiemy siC( w rozdz. 13.8 (ale zob. takZe rozdz. 13.1).
r:a
[13.11] Pokaz, w jaki sposob to rownanie wynika z twierdzenia Pitagorasa (rozdz. 2.1), dla punktow polozonych w odleglosci jeden od O.
247
13
Grupy symetrii
Og6lne transformacje liniowe moglyby zdeformowae kuly do elipsoidy, jak to ilustruje rys. 13.5. Z geometrycznego punktu widzenia transformacja liniowa zachowuje "prostoty" linii i ich "rownoleglose" przy ustalonym poczqtku O. Nie musi jednak zachowywae kqtow prostych ani zadnych innych kqtow, dlatego ksztalty mogq bye deformowane, w sposob jednorodny, ale anizotropowy. Jak przedstawie transformacjy liniowq we wspolrzydnychx,y, z? Odpowiedi jest nastypujqca: kazdq nowq wspolrzydnq przedstawiamy w postaci (jednorodnej) kombinacji liniowej wspolrzydnych poczqtkowych, czyli przez oddzielne wyrazenia typu ax + f3y + yz, gdzie a, f3 i y sqliczbami stalymi[I3.l2]. Mamy zatem trzy takie wyraZenia, po jednym dla kazdej ze wspolrzydnych. Aby to zapisae w zwartej postaci, posluzmy siy zapisem wskainikowym z rozdzialu 12. W tym celu zmienimy oznaczenia wspolrzydnych na (Xl, x 2, x 3), gdzie Xl =X, x 2=y, x 3=z
(pamiytajqc, ze gome indeksy nie oznaczajq wykladnikow potyg; zob. rozdz. 12.2). Dowolny punkt naszej 3-przestrzeni euklidesowej rna wspolrzydne xa, gdzie a = 1, 2, 3. Zaleta notacji wskainikowej pol ega na tym, ze nasze rozwazania latwo zastosowae do dowolnej liczby wyrniarow, w ktorym to przypadku a (i wszystkie pozostale indeksy literowe) moze przebiegae wartosci 1, 2, ... , n, gdzie n jest ustalonq dodatniq liczbq calkowitq. W przypadku przez nas rozwazanym n = 3. W zapisie wskainikowyrn, stosujqC konwencjy sumacyjnq Einsteina (rozdz. 12.7), dowolnq transformacjy liniowq mozna zapisae w postad' [13.13] XaH
lb~'
Jesli ty transformacjy liniowq nazwiemy T, to widzimy, ze jest ona okreslona przez zbior jej skladowych lb' Tego rodzaju zbior skladowych nazywamy macierzq n x n, zwykle zapisujemy jq w postaci kwadratowej - alba w innym kontekscie (zob.
Rys. 13.5. Transformacja liniowa dzialajllca na ]E3 (wyraiona w kartezjailskich wspolrzt;dnych x, y, z) moglaby zdeformowac sfert; jednostkowll x 2 + y2 + Z2 = 1 do elipsoidy. Grupa ortogonalna 0(3) zawiera tylko takie transformacje liniowe ]E3, ktore zachowujll sfert; jednostkowll.
248
B [13.12] Czy potrafisz wyjasnic dlaczego? Zr6b to, dla ulatwienia, w przypadku 2-wymiarowym. fa [13.13] Pokaz to explicite w przypadku 3-wymiarowym.
Transformacje liniowe i macierze
13.3
dalej) prostokqtnej m x n - tablicy liczb. W rozpatrywanym przez nas przypadku 3-wymiarowym napiszemy przeksztalcenie
ktore zastypuje trzy oddzielne relacje, zaczynajqc odx l H T\ Xl + T\x 2 + T\X 3 J13.l4] Relacjy ty mozemy rowniez zapisac bez uZycia indeksow i bez jawnego wypisywania wspolrzydnych, jakox H Tx. Mozemy tei przyjqczapis abstrakcyjno-wskainikowy (rozdz. 12.8) i pisac "x a H Tab ~", jednak musimy pamiytac, ze to nie jest wyrazenie w skladowych, lecz przedstawia ono abstrakcyjnq (oderwanq od konkretnego ukladu wspolrzydnych) transformacjy x H Tx. (Tam, gdzie jest wazne odroznienie zapisu abstrakcyjnego od zapisu w jyzyku skladowych, bydzie to specjalnie zaznaczone). Alternatywnie mozemy zastosowac zapis grajiczny przedstawiony na rys. 13.6a. W moim opisie, wszydzie tam, gdzie roznica miydzy zapisem macierzowym (a wiyc zaleznym od konkretnego ukladu wspolrzydnych opisujqcych naSZq przestrzen wektorowq V) (T" b) a abstrakcyjnym zapisem transformacji liniowej T nie jest istotna, bydy tych notacji uiywal zamiennie.
x" H
tj.
X
H
T"b
xb
Tx (b)
(a)
Rys.13.6. (a) Transformacja Iiniowax
a
H
(c)
Tabxb, alba zapisana bez indeksow jakox H Tx (albo odczy-
tywana w zapisie abstrakcyjno-wskainikowym, jak w rozdz. 12.8), w postaci graficznej. (b) Diagramy dla transformacji Iiniowych S, T, U oraz ich iloczyny ST i STU. Kolejne czlony iloczynu rysujemy w linii pionowej, jeden pod drugim. (c) Delta Kroneckera 0;, czyli transformacja toisamosciowa J, przedstawiona jako oddzielna Iinia, dzi Przestrzenie reprezentacji tensorowych; redukowalnosc
13.7
Jest to szczegolnie wazne w mechanice kwantowej, w ktorej same elementy algebry Liego w zadziwiaj,!CY sposob interpretuje sit( czt(sto bezposrednio jako wielkosci fizyczne (np. moment pt(du, gdy grupa Q jest grup,! obrotow. Przekonamy sit( o tym w rozdz. 22.8). Macierze algebry Liego maj,! na ogol znacznie prostsz,! strukturt( niz macierze odpowiedniej grupy Liego, gdyz s,! poddane ograniczeniom bardziej liniowym niz nieliniowym (zob. rozdz. 13.10 dla przypadku grup klasycznych). Fizycy kwantowi uwielbiajq procedury tego rodzaju!
13.7 Przestrzenie reprezentacji tensorowych; redukowalnosc Istniejq sposoby konstruowania bardziej zlozonych reprezentacji grupy Q, kiedy punktem wyjscia jest jakas szczegolna reprezentacja. Jak to sit( robi? Zalozmy, ze grupt( Q reprezentuje pewna rodzina T transformacji liniowych dzialajqcych na n-wymiarowq przestrzen wektorow'! V, ktora nosi nazwt( pnestneni reprezentacji grupy Q. Kazdy element t nalez'!cy do Q jest reprezentowany przez odpowiedniq transformacjt( liniowq T nalezqcq do T, przy czym x f-7 Tx dla kazdego x nalezqcego do V. W zapisie (abstrakcyjno-)-wskainikowym (rozdz. 12.7) przyjmuje to postac x a f-7 TabX b, jak w rozdz. 13.3 alba w zapisie graficznym, jak na rys. 13.6a. Sprawdimy, w jaki sposob mozna znaleic inne przestrzenie reprezentacji dla grupy Q, przyjmujqc za punkt wyjscia danq przestrzen V. Jako pierwszy przyklad przywolajmy definicjt( przestrzeni V* dualnej wobec przestrzeni V (z rozdz. 12.3). Elementy przestrzeni V* Sq zdefiniowane jako mapy liniowe z V na skalary. Dzialaniey (w przestrzeni V*) na elementxw przestrzeni V zanotujemy jako yax a , w zapisie wskainikowym rozdz. 12.7. Wczesniej, w rozdz. 12.3, uiylibysmy zapisuy.x (poniewazy.x = yax a), ale teraz mozemy posluiyc sit( zapisem macienowym yx =yax a, gdzie y traktujemy jako wektor wierszowy (tzn. macierz prostokqtnq 1 x n), a x jako wektor kolumnowy (macierz n x 1). Zgodnie z naszq transformacjq x f-7 Tx, ktorq teraz traktujemy jako transformack macienowq, przestrzen dualna V* podlega transformacji liniowej Y f-7 yS, czyli Y f-7 ybSb , a
gdzie S jest odwrotnosciq T S = T- 1, a wipc Y
a
sabTbe=e8a'
poniewaz, jesli x f-7 Tx, musimy miec y f-7 yT-J, aby zapewnic, ze iloczyn yx jest zachowany przez relacjt( f-7. Uiycie w podanych formulach wektora wierszowego y wprowadzilo niestandardowy porzqdek mnozenia. Zwykle wolimy zapisywac te relacje w odwrotnej kolejnosci, poslugujqc sit( pojt(ciem macierzy AT, ktorq nazywamy macierzq trans-
261
13
Grupy symetrii
ponowanq (albo transpozycjq) macierzy A. Elementy macierzy AT s£! identyczne z elementami macierzy A, z t£! roznic£!, ze wiersze i kolumny zostaly zamienione miejscami. Jesli macierz A jest macierz£! kwadratow£! (n x n), to tak£! jest rowniez macierz AT, z tym ze w porownaniu z macierz£! A jej elementy zostaly jakby odbite wzglydem glownej przek£!tnej (zob. rozdz. 13.3). Jesli macierz Ajest macierz£! prostok£!tn£! (m x n), wowczas macierz AT jest macierz£! n x m, z odpowiednim odbiciem. W tej konwencji yT jest standardowym wektorem kolumnowym i poprzedni£! relacjy y ~ yS mozemy zapisae jako yT ~STyT, albowiem transpozycja Todwraca porz£!dekmnozenia: (AB)T =BTAT. Widzimywiyc, ze przestrzen V·, dualna wobec jakiejkolwiek przestrzeni reprezentacji V, jest sarna przestrzeni£! reprezentacji grupy Q. Zwroemy uwagy, ze operacja wziycia odwrotnosci -I rowniez odwraca porz£!dek mnozenia, (ABtl = B-1A-1 [13.37], a zatem niezbydny dla regul mnozenia reprezentacji porz£!dek jest zachowany. Te same rozwazania stosuj£! siy do roznych przestrzeni wektorowych tensorow konstruowanych z V; zob. rozdz. 12.8. Przypomnijmy, ze tensor Q 0 walentnosci [P] (nad przestrzeni£! wektorow£! V) w zapisie wskaznikowym moze bye przedq stawiony jako wielkose
Q!"'\ a ... c o q indeksach dolnych i p gomych. Wektory 0 tej samej walentnosci mozemy do siebie dodawae, a takZe mnoZye przez skalary; tensory 0 ustalonej walencji [P ] tworz£! przestrzen wektorow£! 0 wymiarze n p +q (calkowita liczba skladowych)l13.3'S]. Tensor Q traktujemy jako nalez£!cy do przestrzeni wektorowej, ktor£! nazywamy iloczynem tensorowym
V· ® V· ® ... ® V· ® V ® V ® ... ® V q kopii przestrzeni dualnych V· oraz p kopii przestrzeni V (p, q :? 0). (Pojycie "iloczynu tensorowego" omowimy szczegolowo w rozdz. 23.3.) Do naszych celow w tym miejscu wystarczy abstrakcyjna definicja tensora jako funkcji wieloliniowej, podana w rozdz. 12.8 (aczkolwiek s£! pewne subtelnosci, dotycz£!ce przypadku przestrzeni V 0 nieskonczonej liczbie wymiarow, ktore maj£! znaczenie w zastosowaniach do wielocz£!stkowych stanow kwantowych; bydziemy ich potrzebowae w rozdz. 23.8)15. Za kaZdym razem gdy transformacja liniowax a ~ Tabxhwykonywana jest na V, indukuje ona odpowiedni£! transformacjy liniow£! na podanej przestrzeni iloczynu tensorowego. Jawna postae tej transformacji jest nastypuj£!ca[13.39]: h
Qaf......c ~
[13.37] Dlaczego? [13.38] Skqd ta liczba? ~ [13.39] Udowodnij to. ~
262
L--'
r-7
sa' a .•• SC' c Tf f' ••• Th h' Qf'a', .....c'· h'
Przestrzenie reprezentacji tensorowych; redukowalnosc
13.7
Rys.13.13. Transformacja liniowax" ~ T'bx!', zastosowana do x w przestrzeni wektorowej V (transformacja T zobrazowana jest jako bialy tr6jkllt), przenosi sil( na przestrzen dualn,! V· poprzez transformacjl( odwrotn,! S = T-! (na diagramie odpowiada jej tr6jk,!t czarny) i st,!d na przestrzenie V· ® ... ® V· ® V ® ... ® V [P]-walentnych tensor6w Q. Rysunek ilustruje przyq 'Jest przez padekp =3, q =2.Q Tensor reprezentowany owal 0 trzech ramionach i dw6ch nogach, co odpowiada relacji Qabcde ~ S' a,Sb' b' T C c', Td d" T e e" Qa,/d'e'.
Zapis taki wymaga zarowno dobrego wzroku, jak i wielkiej starannosci, aby miec pewnosc, co z Czym siy sumuje; dlatego rekomendujy znacznie bardziej czytelny zapis graficzny, pokazany na rys. 13.13. Widzimy, ze kazdy indeks dolny Q'" transformuje siy przez macierz odwrotnl! 8 =.1 (albo raczej przez 8 T), takjaky~; a kaZdy indeks gomy przez T, jakx a • W takim razie przestrzen tensorow [:]-walentnych nad V jest rowniez przestrzenil! reprezentacji grupy g, 0 wymiarze n p + q • Takie przestrzenie reprezentacji sl! jednak na ogol redukowalne. Aby zilustrowac to pojycie, rozwazmy przypadek [~]-walentnego tensora OOb. KaZdy taki tensor mozna rozloZyc na jego cz~§c symetrycznq. Q(ab) i CZySC antysymetrycznq. Q[ab] (rozdz. 12.7 i 11.6):
gdzie
t
Q(ab) = (OOb + ~a),
t
Q[ab] = (OOb _ Qba).
Wymiar przestrzeni symetrycznej V+ wynosi tn(n + 1), a wymiar przestrzeni antysymetrycznej V_ jest n(n - 1)l13.401. Nietrudno przekonac siy, ze przy transformacji
t
x a ~ TabX b, takiej ze OOb ~ TacTbdQCd, cZysci symetryczna i antysymetryczna transformujl! siy do tensorow, ktore Sl! nadal, odpowiednio, symetryczne i antysymetryczne[13.411. W takim razie przestrzenie V+ i V_ sl!, oddzielnie, przestrzeniami reprezentacji grnpy g. Gdy dokonamy takiego wyborn bazy przestrzeni V, ktory zapewnia, ze n(n + 1) elementow tej bazy naleZy do V+' a pozostaie n(n - 1) do V_, otrzymujemy reprezentacjy, ktorej wszystkie macierze Sl! kwadratowe 0 wymiarze n 2 x n 2 i majl! "blokowo-diagonalnl!" postac
t
t
(~ ~} gdzie A oznacza macierz kwadratowl! tn(n + 1) x tn(n + 1), a B macierz kwadratowl! n(n - 1) x n(n - 1). Dwa 0 oznaczajl! odpowiednie prostokl!tne bloki elementow zerowych.
t
t
~ [13.40] Pokai: to. i9 [13.41] Wyjasnij to.
263
13
Grupy symetrii
Tak,! postae reprezentacji nazywa si~ sumq prostq reprezentacji zadanej przez macierze A i reprezentacji zadanej przez macierze B. Reprezentacja wyraZona przez m-tensory jest w tym sensie redukowalna[13.42l. Poj~cie "sumy prostej" rozci,!ga si~ rowniez na dowoln,! liczb~ (bye moze nieskonczon'!) mniejszych reprezentacji. Istnieje ogolne poj~cie "reprezentacji redukowalnej", w ktorym dzi~ki odpowiedniemu wyborowi bazy wszystkie macierze reprezentacji daj,! si~ zapisae w nieco bardziej skomplikowanej postaci
gdzie A jest macierz,!p x p, B rna wymiar q x q, a C jest macierz,!p x q, przy czym p, q ~ 1 (dla ustalonych p i q). ZauwaZmy, ze jesli wszystkie macierze reprezentacji maj,! tak,! postae, wowczas macierze A i B tworz'! z osobna (mniejsze) reprezentacje grupy Q[13.43l. Jesli wszystkie macierze C S,! zerowe, wowczas mamy do czynienia z poprzednim przypadkiem, gdy reprezentacja jest sum'! prost,! dwoch mniejszych reprezentacji. Reprezentacj~ nazywamy nieredukowalnq['l, jesli nie jest redukowalna (bez wzgl~du na to, czy istniej,! niezerowe macierze C czy tei nie). Natomiast reprezentacj~, w ktorej nie pojawiaj,! si~ niezerowe macierze C, a wi~c ktora jest sum'! prost,! reprezentacji nieredukowalnych, nazywamy reprezentacj,!
calkowicie redukowalnq. Istnieje waZna klasa grup ci,!glych 0 nazwie grup p6lprostych. Ta szeroko badana klasa zawiera w sobie grupy proste, 0 ktorych mowilismy w rozdz. 13.2. Zwarte grupy polproste maj,! t~ wlasnose, ze wszystkie ich reprezentacje s,! calkowicie redukowalne (zob. rozdz. 12.6, gdzie omowilismy poj~cie "zwartosci", rys. 12.12). W takim przypadku wystarczy badae ich reprezentacje nieredukowalne, poniewaz kazda reprezentacja jest sum'! prost,! reprezentacji nieredukowalnych. W istocie kazda reprezentacja nieredukowalna takiej grupy jest skonczenie wymiarowa (a nie jest tak w przypadku niezwartych grup polprostych, kiedy mog,! si~ pojawie reprezentacje niecalkowicie redukowalne). Co to jest grupa polprosta? Przypomnijmy sobie "stale strukturalne" Y:/l z rozdz. 13.6, ktore okreslaj,! nawiasy Liego i definiuj,! struktur~ lokaln,! grupy Q. Istnieje waZna wielkose pod nazw'!16 formy Killinga K, ktor'! konstruujemy z wielkosci ya/[13.44 l :
264
~ [13.42] PokaZ, ze przestrzen reprezentacji [;]-tensor6w jest r6wniez redukowalna. ftSkazowka: roz16z dowolny tensor tego rodzaju na czysc, kt6rej slad wynosi zero, i na czysc o sladzie r6znym od zera. i8 [13.43] Uzasadnij to. [*] W literaturze polskiej uiywa siy tez terminu nieprzywiedlna (zamiast nieredukowalna) i terminu przywiedlna (zamiast redukowalna) - przyp. Hum. i8 [13.44] Dlaczego Kaf!= K(Ja?
Grupy ortogonalne
"Forma Killinga":
A I I
=
(
M N
13.8
Rys.13.14. "Forma Killinga" Ka{J zdefiniowana przez stale strukturalne Yat
Ka{J
=YaJ;' Yp/-
Na rysunku 13.14 przedstawiono graficznie to wyrazenie. Warunkiem, zeby grupa 9 byla grup,! polprost'!, jest, aby macierz Ka{3 nie byla macierz,! osobliw'!. Wypada uczynic kilku uwag odnosnie do warunku zwartosci grup polprostych. Dla danego zbioru stalych strukturalnych Ya{3 x, zakladaj,!c, ze S,! to liczby rzeczywiste, mozemy otrzymac zarowno rzeczywist'!, jak i zespolon'! algebrC( Liego. W przypadku zespolonym nie otrzymamy zwartej grupy g, a mozemy j,! otrzymac w przypadku rzeczywistyrn. Zwartosc pojawia siC( wtedy, gdy -Ka{3 jest wielkosci,! dodatnio okreSlonq (pojC(cie to wyjasnimy bliZej w rozdz. 13.8). Dla ustalonych Ya{3 x, w przypadku rzeczywistej grupy g, mozemy zawsze przeprowadziC kompleksyfikack (co najmniej lokalnie) cg grupy g, ui:ywaj,!c tych samych Ya{3 x, ale z zespolonymi wspolczynnikami w algebrze Liego. Jednak rozne rzeczywiste grupy 9 mog,! czasami prowadzic do tej samej17 grupy cg. Rozne grupy rzeczywiste nosz'! nazwC( roznych fonn rzeczywistych grupy zespolonej. Ich znaczenie poznamy w dalszych rozdzialach, szczegolnie w rozdz. 18.2, gdzie bC(dziemy porownywali ruchy euklidesowe w czterech wymiarach i symetrie szczegolnej teorii wzglC(dnosci Lorentzal Poincarego. Godn,! uwagi wlasnosci,! kazdej zespolonej polprostej grupy Liego jest tylko jedna rzeczywista forma g, ktora jest zwarta.
13.8 Grupy ortogonalne Powrocmy teraz do grup ortogonalnych. Na pocz'!tku rozdz. 13.3 dowiedzielismy siC(, jak mozna wiemie reprezentowac grupy 0(3) lub SO(3) jako transformacje liniowe 3-wymiarowej rzeczywistej przestrzeni wektorowej, w zwyklych wspolrzC(dnych kartezjanskich (x, y, z), ktore pozostawiaj,! inwariantn'! sferC(
r+l+z2= 1 (gomy indeks 2 oznacza podnoszenie do kwadratu). Zapiszmy to rownanie za pomoC'! notacji wskaznikowej (rozdz. 12.7), zebysmy mogli latwo dokonac uogolnienia na n wymiarow. W tym zapisie rownanie sfery przyjmie postac
gab xaxb = 1' co jest wygodnym zapisem rownania (Xl)2 + ... + (xn)2 = 1, natomiast skladowe gab S,! dane przez
gb= { a
I gdy a = b, 0 gdy a*, b.
W zapisie graficznym proponujC( dla oznaczenia gab UZyC "zacisku" jak na rysunku 13.15a. Dla wielkosci odwrotnej, g"b (maj,!cej identyczne skladowe jak gab)' bC(dC( ui:ywal "zacisku odwroconego" (ryS. 13.15a):
265
13
Grupy symetrii
(a)
gab~n, Rys. 13.15. (a) Metryka gab oraz jej odwrotnosc g"b w zapisie graficznym. (b) Zapis graficzny relacji gab = gba (CzyJigT=g),g"b =1", oraz gab If< =
Ii:.
b gabEf< = 8~ =t gba' Czytelnik w tym miejscu rna prawo bye zdziwionym i zapytae, w jakim celu wprowadzilem dwie nowe formy zapisu, mianowicie gab i fb, dla dokladnie tej samej wielkosci, ktor,! w rozdz. 13.3 oznaczylem jako 8~! Chodzi 0 pewn'! konsekwencjy zapisu oraz 0 zwi'!zek z tyro, co siy dzieje, gdy dokonujemy transformacji liniowej wspolrzydnych, czyli zamieniamy
x a Hfb x b' gdzie f b nie jest transformacj,! osobliw,!, a wiyc istnieje transformacja odwrotna l'b: fb i e= e 8a =sab t.c
Formalnie jest to ten sam typ transformacji liniowej, jaki rozwaZalismy w rozdz. 13.3, 7, ale teraz traktujemy to w zupelnie inny sposob. W poprzednich rozdzialach rozpatrywalismy nasze transformacje liniowe jako aktywne, to znaczy uWaZalismy, ze dokonujemy rzeczywistego pnesuni{?cia przestrzeni wektorowej V (w ramach samej tej przestrzeni). Teraz uwazamy nasz'! transformacjy za biemq, w tym sensie, ze rozwaZany obiekt - sarna przestrzen V - pozostaje nieruchomy, ale zmieniaj,! siy reprezentacje wyraZone w odpowiednich ukladach wspolrzydnych. Inaczej mowi,!c, baza (e l' ... , en)' ktorej poprzednio uiywalismy (do przedstawienia wielkosci wektorowych i tensorowych przez ich skladowe 18), zostala teraz zast,!piona jak,!s inn,! baz'!; zob. rys. 13.16.
,, v
266
,,
,, ,,
v
,,
,,
Rys. 13.16. Bierna transformacja liniowa w przestrzeni wektorowej V nie zmienia polozen punktow w tej przestrzeni, ale zmienia ich wspolrzt(dne, a wit(c baza e" ... , en zostaje zast,!piona jak,!s inn,! baz,! (na rysunku przedstawiono przypadek n = 3).
Grupy ortogonalne
13.8
Odpowiednio do tego, co przedstawilismy w rozdz. 13.7 dla przypadku ak-
tywnej transformacji tensora, znajdujemy koresponduj(!ce z tamtym wyraZenie na biern1! zmian y skladowych Q ap ......cr tensora Q [13,45J Qpa......rc
L--'r--7'
t a d .. • t
C
f
Qd .. I si i ...1
P .. •
Sl
r'
Po aplikacji tego do deIty Kroneckera 8~ stwierdzamy, ze jej skladowe nie ulegaj(! zmianie[13.46J, natomiast nie jest tak w przypadku gab' Co wiycej, w og6lnym przypadku, przy takiej zmianie wsp61rzydnych, skladowe g"b byd(! zupelnie inne od skladowych gab (S(! to macierze odwrotne). Dodatkowe symbole gab i g"b wprowadzilismy dlatego, ze mog1! one miee te same elementy macierzowe co 8~ tylko w przypadku specjalnych uklad6wwsp61rzydnych (kartezjanskich), lecz, w og6lnosci, byd(! inne. To wazne w og6lnej teorii wzglydnosci, kiedy musimy poslugiwae siy innymi ukladami wsp61rzydnych i odejse od wsp61rzydnych kartezjanskich. Dowolne przeksztalcenie ukladu wsp61rzydnych moze bardzo skomplikowae skladowe gab' ale nie doprowadzi do macierzy najzupelniej og6lnej postaci. Jesli ta macierz jest symetryczna, to takie przeksztalcenie zachowa symetriy miydzy indeksami a a b. Slowo "symetryczna" oznacza, ze kwadratowa tablica skladowa jest symetryczna wzglydem gl6wnej przek(!tnej, tj. gT = g (uZylismy tutaj symbolu transpozycji z rozdz. 13.7). W zapisie wskainikowym symetriy ty mozemy wyrazie za pomoq dw6ch r6wnowaznych[13.47 J relacji:
gab =gba' g"b =Ia, a rysunek 13.1Sb przedstawia graficzn1! postae tych wyraZen. A co by bylo, gdybysmy prowadzili rozwaZania w odwrotnym kierunku? Czy dowolna, nieosobliwa, rzeczywista, symetryczna macierz kwadratowa n x n moze bye sprowadzona do postaci deIty Kroneckera? Niezupelnie, w kazdym razie nie przez rzeczywist(! liniow1! transformacjy wsp61rzydnych. W ten spos6b uzyskamy postae diagonaln1!, jak delta Kroneckera, z t(! r6znic(!, ze na diagonali wyst(!pi(! wyrazy +1 i -1. Niech liczba skladowych +1 bydzie p, a liczba wyraz6w -1 wyniesie q. Liczby te nie ulegn1! zmianie, jesli przejdziemy do jakiejs innej rzeczywistej transformacji liniowej. Stanowi(! wiyc one inwariant macierzy. Ten inwariant (p, q) macierzy g jest nazywany sygnaturq g. (Czasami nazwa ta okresla r6znicy p - q; a czasami piszemy po pro stu + ... + - ... - z odpowiedni(! liczb(! plus6w i minus6w.) Zasada ta dziala r6wniez w odniesieniu do osobliwych macierzy g, ale na diagonali pojawie siy mog1! zera i liczba tych zer stanowi czyse sygnatury, tak jak liczba jedynek i minus jedynek. Jesli na diagonali wystypuj1! tylko same +1, a wiyc q = 0 i macierz g nie jest osobliwa, w6wczas m6wimy, ze g jest dodatnio okreilona. Nieosobliw1! macierz g, dla kt6rej p = 1, a q 7= 0 (albo q = 1 i p 7= 0), nazywamy tensorem
.s [13.45] Aby to pokazac, skorzystaj z przyp. 18. la [13.46] Dlaczego? la [13.47] Dlaczego te wyraienia Sq r6wnowazne?
267
13
Grupy symetrii
Lorentza[Ol, na czesc fizyka holenderskiego H.A. Lorentza (1853-1928), kt6rego prace na ten temat stanowily fundament pod budowy szczeg6lnej teorii wzglydnosci; zob. rozdz. 17.6-9 i 18.1-3. Alternatywn,! charakterystyk'!, kt6ra bydzie miala istotne znaczenie w innym kontekscie (zob. rozdz. 20.3, 24.3, 29.3), dodatnio okreslonej macierzy A, jest z,!danie, zeby rzeczywista i symetryczna macierz spelniala warunek
xTAx> 0, dla wszystkich x "* O. W zapisie wskaznikowym oznacza to, ze Aabxax b > 0, jesli wektor x a nie znika[13.481. M6wimy, ze A jest nieujemnie okreslona (albo dodatnio p6Iokreslona), jesli znak nier6wnosci "ostrej", >, zast,!pimy znakiem nier6wnosci slabej, ~ (a wiyc dopuszczamy, zeby xTAx = 0 dla pewnych niezerowych x). W odpowiednich okolicznosciach symetryczny i nieosobliwy [~]-tensor gab nazywany jest metrykq, a czasami, gdy g nie jest dodatnio okreslony, pseudometrykq. Tymi terminami poslugujemy siy, kiedy uZywamy wielkosci ds, zdefiniowanej przez jej kwadrat ds 2 = gabdxadxb, kt6ra daje nam pewn'! miary "odleglosci" wzdluz krzywej. W rozdz. 14.7 przekonamy siy, jak zastosowac to pojycie do rozmaitosci zakrzywionych (zob. rozdz. 10.2, 12,1, 2), a w rozdz. 17.8 - jak w przypadku lorentzowskim zapewnia nam miary odleglosci, kt6r,! okazuje siy czas teorii wzglydnosci. Czasami tei: wielkosc
Ivl = (gabvavb)~ nazywamy dlugosciq wektora v, kt6ry w notacji wskaznikowej zapisujemy jako va. Powr6cmy teraz do definicji grupy ortogonalnej O(n). Jest to po prostu grupa transformacji liniowych w n wymiarach - nazywamy je ortogonalnymi - kt6re zachowuj'! zadany dodatnio okreslony tensor g. "Zachowanie" g oznacza, ze ortogonalna transformacja T musi spelniac warunek
gabT'Jbd =gcd· Oto przyklad zastosowania reguly (aktywnej) transformacji tensorowej do gab (rys. 13.17 przedstawia graficzn,! postac tego r6wnania). Wyrai:aj,!c to winny spos6b, mozemy powiedziec, ze transformacje ortogonalne nie zmieniaj,! metrycznej postaci di z poprzedniego akapitu. Mozemy nalegac, ze skladowe gab S,! zadane przez deIty Kroneckera, co wykorzystamy do zdefiniowania grupy 0(3), jak w rozdz. 13.1, 3 - ale bez wzglydu na to, jak,! dodatnio okreslon,! macierz n x n wybierzemy, dla gab grupy otrzymamy identyczne 19[13.491.
y
ortogonalna, gdy
268
it
=
n
Rys. 13.17. T jest transformacj~ ortogonaln~, gdy gabT'J"d =g,d·
[*] Autor uiywa nazwy "Lorentzian", ale nazwy tej nie stosuj,! polscy fizycy; m6wi,! raczej "metryka lorentzowska" alba "tensor metryczny Lorentza" (przyp. dum.). B [13.48] Czy potrafisz to wykazac? B [13.49] Wyjasnij dlaczego.
Grupy ortogonalne
13.8
Gdy, w szczegolnym przypadku, gab rna postac deIty Kroneckera, maeierze opisujqce nasze transformacje liniowe spelniajq warunek[13.501
T-1 = TT i noszq nazwy maeierzy ortogonalnych. Rzeczywiste ortogonalne maeierze n x n stanowiq konkretnq realizacjy grupy O(n). Aby z nich wydzielic maeierze grupy obrotow niezawierajqcych odbic, a wiyc SO(n), musimy wybrac maeierze, ktorych wyznacznik wynosi jeden[13.511: det T= 1. Mozemy rowniez rozwaZyc odpowiedniegrnpy pseudoortogonalne, O(p, q) i SO(p, q), ktore otrzymamy, gdy g, choeiaz nie jest tensorem osobliwym, nie musi byc dodatnio okreslonym i moze miec bardziej ogolnq sygnatury (p, q). Przypadek, gdy p = 1 i q = 3 (albo, rownowaznie,p = 3 i q = 1), nazywamy grupq Lorentza; odgrywa ona fundamentalnq roly w teorii wzglydnosei. Mozemy siy tez przekonac (jesli zaniedbamy odbicia w czasie), ze grupa Lorentza jest taka sarna jak grupa symetrii hiperbolicznej 3-przestrzeni opisana w rozdz. 2.7, a takZe (jesli pominiemy odbieia przestrzenne) jak grupa symetrii sfery Riemanna, ktore mozemy uzyskac przez transformacje biliniowe (M6biusa), opisane w rozdz. 8.2. Jednak bydzie lepiej, jesli wyjasnienie tych znaczqcych faktow pozostawimy do czasu, gdy zapoznamy siy blizej z geometriq przestrzeni Minkowskiego w szczegolnej teorii wzglydnosei (rozdz. 18.4,5). W rozdz. 33.2 przekonamy siy, ze fakty te majq wielkie znacznie dla teorii twistorow. Jak bardzo "rozne" Sq te rozmaite grupy O(p, q) dla p + q = n, przy ustalonym n? (Na rys. 13.18 porownujemy przypadki z metrykq dodatnio okreslonq i z metrykq Lorentza dla n = 2 i dla n = 3.) Sq one seisle zwillZane i wszystkie majq ten sam wymiar~n(n -1); nazywamy jeformami neczywistymi jednej i tej samej grupy zespolonej O(n, q, ktora stanowi kompleksyfikacj~ grupy O(n). Ta grupa zespolona jest zdefiniowana w taki sam sposob jak O(n) (= O(n, R.)), z tq roznicq, ze dopuszczamy teraz zespolone transformacje liniowe. W tym rozdziale wszystkie rozwazania prowadzilismy w terminach rzeczywistych transformacj i liniowych, ale takq samq dyskusjy mozna przeprowadzic rownolegle, zastypujqC wszydzie slowo "rzeczywiste" slowem "zespolone". (A wiyc wspolrzydne X' stajq si~ zespolone, podobnie tez elementy naszych maeierzy). Jedyna istotna roznica pojawia siy, kiedy mowimy 0 sygnatune. Istniejq zespolone transformacje liniowe, ktore zamieniajq elementy -1 na diagonali tensora gab W +1 i vice versa[13.521, a wiyc nie mamy sensowne1 ~ [13.50] Wyjasnij to. Jak wyglqda macierz T- W przypadku pseudoortogonalnym (zdefiniowanym w nastypnym akapicie)? ~ [13.51] Wyjasnij, dlaczego to zqdanie jest r6wnowazne zqdaniu zachowania formy objytosciowej ea ...c ' czyli ea ... Ja p ... T r = ep .. ) Ponadto dlaczego wystarczy tylko zachowanie znaku tej formy? ~ [13.52] Dlaczego? C
269
13
Grupy symetrii
(a)
(b)
Rys. 13.18. (a) Porownanie 0(2, 0) i 0(1, 1). (b) Podobne przeciwstawienie 0(3, 0) i 0(1, 2), a w kaidym przypadku zaznaczono "sfery jednostkow'l". Dla 0(1, 2) (zob. rozdz. 2,4, 5, 18.4) ta "sfera" jest plaszczyzn'l hiperboliczn'l (albo dwiema kopiami plaszczyzny hiperbolicznej).
270
go okreslenia sygnatury. W przypadku zespolonym jedynym niezmiennikiem 20 g jest to, co nazywamy rz~dem, czyli liczba wyrazow niezerowych w jego diagonalnej postaci. Dla nieosobliwych g ten rzqd musi bye maksymalny, a wiyc n. Kiedy roznica miydzy tymi roznymi formami rzeczywistymi jest waZna, a kiedy nie? Jest to delikatna sprawa, ale fizycy czysto wykazujq niefrasobliwe podejscie do takich rozroznien, nawet wtedy, gdy mogq one bye istotne. Przypadek z dodatnio okreslonq metrykq rna ty zalety, ze grupa jest zwarta, a w takiej sytuacji matematyka staje siy latwiejsza (zob. rozdz. 13.7). Zdarza siy, ze bez zastanowienia przenosimy wyniki z przypadku zwartego na przypadek grup niezwartych (p *- 0 *- q), ale jest to cZysto nieusprawiedliwione. (Na przyklad w przypadku grup zwartych wystarczy ograniczye siy do reprezentacji skonczenie wymiarowych, podczas gdy w przypadku grup niezwartych pojawiaj'l siy dodatkowe reprezentacje 0 wymiarach nieskonczonych.) Sq co prawda takie sytuacje, w ktorych mozna wyciqgnqe sensowne wnioski, ignorujqc te roznice. (Mozemy to porownae z odkryciem wzoru Lamberta, podanego w rozdz. 2.4, wyrazajqcego powierzchniy trojkqta hiperbolicznego poprzez kqty. Lambert otrzymal ten wzor, gdy rozwazal mozliwose urojonego promienia kuli. Jest to sytuacja podobna do zmiany sygnatury, co w efekcie sprowadza siy do tego, ze niektore wspolrzydne przyjmujq wartosci urojone. W rozdz. 18.4 ina rys. 18.9 sprobujy pokazae przypadek, w ktorym podejScie Lamberta do geometrii nieeuklidesowej jest w pelni uzasadnione.)
Grupy unitarne
13.9
Rozmaite formy rzeczywiste O(n, q mozemy rozroznic za pomoc,! pewnego zbioru nierownosci, jakie spelniaj,! elementy macierzowe (na przyldad det T> 0). W teorii kwantowej te nierownosci s,! w procesach fizycznych czysto naruszone. Na przyklad wielkosci urojone mog,!, w pewnym sensie, miecneczywiste znaczenie w mechanice kwantowej, tak ze zaciera siy roznica miydzy roznymi sygnaturami. Odnoszy jednak wrazenie, ze fizycy traktuj,! te problemy czysto bardziej beztrosko, niz wypada. Przekonamy siy 0 tym przy okazji analizy wielu wspolczesnych teorii fizycznych (rozdz. 28.9, 31.13, 32.3). To jest wlasnie ta "puszka Pandory", o ktorej wspominalem w rozdz. 11.2!
13.9 Grupy unitarne Grupa O(n, q jest jedn,! z mozliwych drog uogolnienia pojycia "grupy obrotow" na dziedziny liczb zespolonych. Jest jednak inna droga, ktora w pewnych kontekstach rna nawet wiyksze znaczenie. Stanowi j,! pojycie grupy unitamej. Co to jest "unitarnosc"? Istotn,! wlasciwosci,! grupy ortogonalnej jest zachowanie formy kwadratowej, ktor'! mozna zapisywac, rownowaznie, jako gabxaxb alba jako xTgx. W przypadku grupy unitarnej poslugujemy siy zespolonymi transformacjami liniowymi, ktore zachowuj'!form~ hermitowskq (od nazwiska dziewiytnastowiecznego matematyka francuskiego Charles'a Hermite'a, 1822-1901). Co to jest forma hermitowska? Powrocmy do przypadku ortogonalnego. Zamiast formy kwadratowej (w x) rownie dobrze moglibysmy uiyc symetrycznej formy biliniowej (w x iy) g(x,y) =gab xa/ = xTgy.
Taka sytuacja powstaje w szczegolnym przypadku uiycia definicji tensora jako funkcji wieloliniowej, podanej w rozdz. 12.8, do [~]-tensora g (gdy kladziemy y = x, uzyskujemy poprzedni,! formy kwadratow'!). Symetria g moze byc zapisana jako g(x,y) =g(y,x),
natomiast wlasnoscliniowosci ze wzglydu na drug,! zmienn,!, y, jako g(x,y + w) = g(x,y) + g(x, w),
g(x, AY) =,1 g(x,y).
Dla biliniowosci wymagamy rowniez liniowosci ze wzglydu na pierwszq zmienn,!, x, ale to wynika juz z wlasnosci symetrii. W przeciwienstwie do tego forma hermitowska h(x,y) rna symetriy hermitowsk,! h(x,y) = h(y,x),
wraz z wlasnosci,! liniowosci wzglydem drugiej zmiennej, y: h(x,y + w) = h(x,y) + h(x, w),
h(x, AY) =Ah(x,y).
JednakZe symetria hermitowska naldada teraz na pierwsz,! zmienn,! warunek anty-
liniowoSci: h(x + w,y) = h(x,y) + h(w,y),
h(Ax,y) = I h(x,y).
271
13
Grupy symetrii
Podczas gdy grupa ortogonalna zachowuje (nieosobliwq) symetrycznq former biliniowq, zespolone transformacje liniowe, ktore zachowujq nieosobliwq former hermitowskq, tworzq gruper unitarnq. Jakie to rna znaczenie? Nieosobliwa (niekoniecznie symetryczna) forma biliniowa g daje nam mozliwosc identyfikacji przestrzeni wektorowej V, do ktorej nalezqx iy, z jej przestrzeniq dualnq V*. Dlatego jdli v naleiy do V, wowczasg(v, ) dostarcza nam mapy liniowej na V, ktora sprowadza element x przestrzeni V do liczby g(v, x). Innymi slowy, g(v, ) jest elementem przestrzeni V*(zob. rozdz. 12.3).W notacji wskaZnikowej element V' jest kowektorem vagab , ktorego glownq literq jest to sarno v, ale jego wskaZnik jest obnizony (zob. rozdz. 14.7) za pOmOCq gab do postaci
Odwrotnosc tej operacji uzyskamy przez podniesienie indeksu Va przy uiyciu tensora odwrotnego do [~]-tensora metrycznego gab: if =gabVb .
Potrzebne nam Sq analogiczne wyrazenia dla przypadku hermitowskiego. Tak jak poprzednio, kazdy wybor elementu V z przestrzeni wektorowej V daje nam element h(v, ) przestrzeni dualnej V'. Tym razem jednak h(v, ) nie zaleiy od v liniowo, lecz antyliniowo; stqd h(AV, ) = I h(v, ). Rownowainie moglibysmy powiedziec, ze h(v, ) jest wielkosciq liniowq w v, gdzie wektor v traktujemy jako wielkosc zespolonq sprZerZonq z v. W~ktory zespolone sprzerzone tworZq oddzielnq przestrzen wektorowq wektorow V. Taki punkt widzenia jest szczegolnie uZyteczny, kiedy stosujemy (abstrakcyjny) zapis wskaznikowy. Mozemy wtedy posluiyc sier oddzielnym "alfabetem" wskaznikow, na przyklad, a', h', c' , ... , dla oznaczenia elementow zespolonych sprzerzonych, zastrzegajqc, ze kontrakcja (a wierc sumowanie) mierdzy wskaznikami primowanymi a nieprimowanymi nie jest dozwolona. Operacja sprzergania zespolonego zamienia indeksy primowane na nieprimowane. W tym zapisie nasza forma hermitowska jest przedstawiona jako zbior wielkosci h a'b' W ktorych wystcrpuje po jednym wskazniku kaidego typu: h(x,y) = ha'bx-t:!
N?,
T~t,
ST~~, /, t
lustro
~
·N
Co
en
274
~~?,
,. " . .+,(ST)"~
,..s--->-
t'
lustro
('f,t)
=
1
~~
Rys. 13.19. Operacja sprzyzenia hermitowskiego (*) wygodnie przedstawiona jako odbicie w plaszczyznie horyzontalnej. To odbicie zamienia "ramiona" z "nogami" i odwraca porzlldek mnozenia: (STf = T' S'. Mamy tez graficzne przedstawienie hermitowskiego iloczynu skalarnego (vlw) =v'w (a wiyc wziycie jego sprzyzenia zespolonego odwroci do gory nogami graf znajdujllCY siy na prawym skraju rysunku).
Grupy unitarne
W szczegolnym przypadku w = v otrzyrnujemy operacjt( *:
norm~
13.9
wektora v ze wzglt(du na
Ilvll = (vlv). Mozemy wybrac baz~ (e p liczby zespolone
••• ,
en) dla V, a wowczas skladowymi ha'b w tej bazie s,! n 2 ha'b
= h(ea , eb ) = (e a I eb ),
ktore tworz'! elementy macierzy hermitowskiej. Bazt( (e p ortonormalnq ze wzglt(du na *, jesli (e i
I e) = { j
±1 gdy i = j
°
gdy
i:;t:.
.•• ,
en) nazywamy pseudo-
.
j'
w przypadku gdy wszystkie znaki ± s,! +, a wit(c gdy wszystkie ±1 s,! 1, wowczas baza jest ortonormalna. Zawsze mozna znaleic bazt( pseudoortonorrnaln,!, i to roznymi sposobarni. W kazdej z tych baz macierz ha'b jest macierz,! diagonaln,! z + 1 i-I na diagonali. Dla danej operacji * calkowita liczba plus jedynek, p, jest zawsze taka sarna i taka sarna jest liczba minus jedynek, q. Umozliwia to zdefiniowanie niezrnienniczego pojt(cia sygnatury (p, q) dla danej operacji *. Jesli q = 0, to rnowimy, ze * jest dodatnio okrdlona. W tym przypadku 21 norma dowolnego niezerowego wektora jest zawsze dodatnia[13.541:
v :;t:. 0
irnplikuje
I vii> O.
Zauwazmy, ze pojt(cie "dodatniej okreslonosci" jest uogolnieniern pojt(cia zdefiniowanego w rozdz. 13.8 na przypadek zespolony. Transformacjt( liniow,! T, ktorej odwrotnosci,! jest T*, a wit(c tak,!, ze
T- 1 = T,* czyh. TT * = I = T*T, nazywamy transformacj,! unitamq, gdy operacja ,,*" jest dodatnio okreslona; w przeciwnym wypadku nazywarny j,! pseudounitamq[13.551• Termin "rnacierz unit am a" odnosi sit( do macierzy T spelniaj,!cej podany warunek, gdzie symbol" *" oznacza zwykle sprzt(zenie zespolone, a wit(c gdy T- 1 = T. Grupa transformacji unitamych w n wyrniarach, czyli rnacierzy unitamych (n x n), nosi nazwt(grupy unitamej U(n). W ogolnym przypadku, gdy operacja ,,*" rna sygnaturt( (p, q), mamy do czynienia z pseudounitam,! grup,! U(p, q)22. Jesli te transformacje maj,! wyznacznik jeden, wowczas otrzyrnujerny, odpowiednio, grupy SU(n) i SU(p, q). Transforrnacje unitame odgrywaj,! zasadnicz'! rolt( w mechanice kwantowej (ale maj,! tez wielkie znaczenie w kontekscie czysto maternatycznym). B [13.54] Pokaz to. B [13.55] Pokaz, ze te transformacje zachowuj,! hermitowsk,! odpowiedniosc pomiydzy wektorami va kowektorami v' oraz ze te transformacje zachowuj,! hab"
275
13
Grupy symetrii
13.10 Grupy symplektyczne W dwu poprzednich rozdzialach zetknylismy siy z grupami ortogonalnymi i unitarnymi. Oba rodzaje grup nazywamy grupami klasycznymi, a pojycie to oznacza grupy Liego inne niz grupy sporadyczne (zob. rozdz. 13.2). Listy grup klasycznych uzupelnia rodzina grup symplektycznych. Grupy symplektyczne maj,! wielkie znaczenie w fizyce klasycznej, jak siy 0 tym przekonamy w rozdz. 20.4, ale s,! wazne rowniei: w fizyce kwantowej, szczegolnie w dziedzinie zagadnien nieskonczenie wielowymiarowych (rozdz. 26.3). Co to jest grupa symplektyczna? Powroemy raz jeszcze do pojycia formy biliniowej, ale teraz, w miejscu symetrii (g(x, y) = g(y, x», jaka jest wymagana przy definicji grupy ortogonalnej, naloi:ymy warunek antysymetrii:
s(x,y) =-s(y,x), wraz z warunkiem liniowosci:
s(x,y + w) = s(x,y) + sex, w), sex, AY) = AS(X,y), gdzie liniowose wzglydem pierwszej zmiennej, x, wynika z antysymetrii. Nasz'! formy antysymetryczn,! mozemy tez zapisae w postaci
s(x,y) =xasabl = xTSy, podobnie jak w przypadku symetrycznym, ale teraz sab S,! antysymetryczne:
sba = - sab' czyli ST = -S, gdzie elementami macierzy S S,! sab. Z'!damy, zeby macierz S byla macierz,! nieosobliw'!. W takim przypadku Sab S,! zwi,!zane z elementami macierzy odwrotnej, sab, relacjame3
gdzie sab = _ia. Zauwazmy, ze - analogicznie do macierzy symetrycznej - macierz antysymetryczna S jest rowna jej transpozycji wziytej ze znakiem minus. Wazne jest tei:, zebysmy zauwaZyli, ze antysymetryczna macierz S 0 wymiarze (n x n) moze bye macierz,! nieosobliw,! tylko wtedy, gdy n jest liczb,! parzyst'![13.S61• Tutaj n jest wymiarem przestrzeni V, do ktorej nalez'! x i y, a wiyc rzeczywiscie n jest parzyste. Elementy T grupy GL(n), ktore zachowuj,! tak'! nieosobliw,! antysymetryczn,! macierz sab (albo, rownowaznie, formy biliniow'! s), w sensie takim, ze
sabTacTbd=sCd' czyli TTST=S, nazywamy symplektycznymi, a grupa tych elementow nosi nazwy grupy symplektycznej (jak przekonamy siy w rozdz. 20.4, odgrywa ona wazn,! roly w mechanice
276
~ [13.56] Udowodnij to.
Grupy symplektyczne 13.10
klasycznej). W literaturze matematycznej mamy do czynienia z pewnym ldopotem terminologicznym. Matematycznie bardziej poprawne byloby zdefiniowanie (rzeczywistej) grupy symplektycznej jako formy rzeczywistej zespolonej grupy symplektycznej Sp(~n, q, ktora jest grupq zespolonych macierzy Tab (albo T) spelniajqcych po dane relacje. Ta szczegolna forma rzeczywista, ktorq wlasnie zdefiniowalismy, jest grupq niezwartq. Jednak, zgodnie z uwagami, ktore poczynilismy pod koniec rozdz. 13.7- Sp( tn, q jest grupq polprostq - istnieje inna forma rzeczywista grupy zespolonej, ktora jest zwarta, i wlasnie ty zwartq grupy zwykle nazywamy (rzeczywistq) grupq symplektycznq Sp(tn). Jak znajdujemy te rozne formy rzeczywiste? Podobnie jak w odniesieniu do grup ortogonalnych, istnieje pojycie sygnatury, ktore jednak nie jest tak dobrze znane jak w przypadku grup ortogonalnych i unitarnych. Grupa symplektyczna transformacji rzeczywistych zachowujqcych sab bylaby przypadkiem "sygnatury rozszczepionej" i mialaby sygnatury (tn, tn). W przypadku zwartym grupa symplektyczna mialaby sygnatury (n, 0) alba (0, n). Jak definiujemy takq sygnatury? Dla kazdej pary liczb naturalnychp i q, takiej, ze p + q = n, mozemy zdefiniowac odpowiedniq "formy rzeczywistq" grupy zespolonej Sp(tn, q, biorqc tylko te elementy, ktore Sq rowniez pseudounitarne dla sygnatury (p, q), a wiyc nale:lq do grupy U(p, q) (zob. rozdz. 13.9). W ten sposob otrzymujemy24 pseudosymplektycznq grupy Sp(p, q). Inaczej mowiqc, grupa Sp(p, q) stanowi przeciycie grupy Sp(tn, q z grupq U(p, q). W zapisie wskainikowym mozemy zdefiniowac grupy Sp(p, q) jako grupy zespolonych transformacji liniowych Tab' ktore zachowujq antysymetryczne Sab' jak poprzednio, oraz macierz hermitowskq H 0 elementach h a'b' W sensie takim, ze
fa'b' Tab ha'a =hb'b gdzie H rna sygnatury (p, q), a wiyc mozemy znaleic pseudoortonormalnq bazy, w ktorej H przyjmuje postac diagonalnq z p jedynkami i q minus jedynkami; zob. rozdz. 13.925 • Zwartq klasycznq grupq symplektycznq Sp(tn) jest moja grupa Sp(n, 0) alba Sp(O, n), lecz w fizyce klasycznej formq najwazniejszq jest Sp( tn, t n )l13.571• Podobnie jak w przypadku grup ortogonalnych i unitarnych mozemy dokonac wyboru bazy, w ktorej sldadowe sab przyjmujq szczegolnie prostq postac. Nie powinnismy jednak oczekiwac, ze ta postac bydzie diagonalna, poniewaz jedynq antysymetrycznq macierzq diagonalnq jest macierz zerowa! Potrafimy wszakZe znaleic takq bazy, w ktorej macierz sab bydzie miala na glownej przekqtnej bloki macierzy 2 x 2 0 postaci
t1l11 [13.57] Stosuj,!c ten przepis, znajdz jawny opis Sp(l) i Sp(l, 1). Czy rozumiesz, dlaczego grupy Sp(n, 0) S,! zwarte?
277
13
Grupy symetrii
t
W znajomym przypadku rozszczepionej sygnatury Sp( tn, n) bierzemy rzeczywiste transformacje liniowe, kt6re zachowuj,! t
279
13
Grupy symetrii
W wielu cZl(sciach tej ksiqzki wygodnie bl(dzie - a czasami rowniez okaZe sil( to istotne rozmieszczae indeksy w formie tensorowej. W przypadku transformacji liniowej jest to potrzebne do ukazania porzqdku mnozenia macierzowego. 10 Obszarem tym jest jakas przestrzen wektorowa 0 wymiarze r (gdzie r < n). r nazywamy rzf?dem macierzy transformacji liniowej T. Nieosobliwa macierz n x n rna rzqd n. (Pojl(cie "rzl(du" stosuje sil( rowniez do macierzy prostokqtnych.) Por. przyp. 18 w rozdz. 12. 11 Historil( teorii macierzy znaleze mozna w ksiqzce: MacDuffee (1933). 9
Rozdzial13.5 12
W sytuacjach z degeneracjq, gdy wektory wlasne nie rozpinajq calej przestrzeni (a wil(c gdy d jest mniejsze od odpowiedniego r), wciqi: mozemy uzyskae postae kanonicznq, ale musimy dopuscie pojawienie sil( jedynek tuz ponad glownq przekqtnq, w ramach kwadratowych blokow, ktorych wyrazy diagonalne Sq rowne wartosciom wlasnym (postac normalna Jordana); zob. Anton i Busby (2003). lak sil( wydaje, tl( postae normalnq odkryf w 1868 r. Weierstrass, dwa lata przed lordanem; zob. Hawkins (1977).
Rozdzial13.6 Aby zilustrowae ten punkt, rozwaZmy SL(n, R) (czyli podgrupl( GLJn, IR) zawierajqc,! tylko elementy 0 wyznaczniku 1). Grupa ta rna "podwojne pokrycie" SL(n, IR) (zakladajqc, ze n ;?:' 3), ktore otrzymujemy z SL(n, IR). W taki sam sposob otrzymamy "podwojne pokrycie" SO(3) dla SO(31, jesli rozwai:ymy obroty ksiqzki z przytroczonym paskiem, jak w rozdz. 11.3. Tak wil(c SO(3) jest grupq (bezodbiciowych) obrotow obiektu spinorowego w 3-przestrzeni. W identyczny sposob mozemy rozwazae "obiekty spinorowe" podlegajqce bardziej ogolnym transformacjom liniowym, ktore umozliwi'!,jq "kurczenie" lub "rozciqganie", jak w rozdz. 13.3. W ten sposob dochodzimy do grupy SL(n, IR), ktora jest lokalnie taka sarna jak SL(n, IR), ale ktora nie moze bye wiernie reprezentowana w zadnej grupie GL(m). Zob. przyp. 9 w rozdz. 15. 14 lest to pojl(cie dobrze zdefiniowane; zob. przyp. 4. 13
Rozdzial 13.7 Zob. Thirring (1983). W tym miejscu znowu mamy do czynienia z kaprysami nazewnictwa matematycznego. Aczkolwiek wiele pojl(e 0 ogromnym znaczeniu dla tego przedmiotu, z ktorymi zwyczajowo wiqze sil( nazwisko Cartana (takie jak "podalgebra Cartana", "liczba calkowita Cartana"), w rzeczywistosci wynalazl Killing (zob. rozdz. 13.2), to wielkose, jakq nazywamy "formq Killinga", wprowadzil do literatury Cartan (oraz Hermann Weyl); zob. Hawkins (2000), rozdz. 6.2. lednak "wektor Killinga", z ktorym spotkamy sil( w rozdz. 30.6, zostal rzeczywiscie wprowadzony przez Killinga - zob. Hawkins (2000), przyp. 20 na s. 128. 17 W tym kontekscie, kiedy ui:ywam slow "tej samej", popelniam (Swiadomie) niedokladnose. Scisly matematyczny termin, ktorego powinnismy tu ui:ye, to "izomorficzny".
15
16
Rozdzial13.8 Dot,!d problemu tego nie przedstawialem szczegolowo. Baza e = (el' ... , en) przestrzeni V jest zwiqzana z bazq dualnq - ktorq stanowi baza e* = (e l , ••• , en) dla przestrzeni V* 0 wlasnosci ei • e.J = 8Ji• Skladowe a[P]-tensora Q otrzymamy, biorqc funkcjl( wieloliniowq z rozdz. 12.8 q roznych wybor6w p elementow bazy dualnej i q elementow bazy: Qfh = Q(/, ... , e\ ea , ... , e). 9 a ... c c 1 Zob. przyp. 3. 20 Zob. przyp. 10. Czytelnik moze bye zdziwiony, dlaczego T'b z rozdz. 13.5 moze miee wiele inwariantow, a mianowicie swoje wartosci wlasne A1' A2, ••• , An' podczas gdy gab nie. Odpowiedz zawarta jest w roznych zachowaniach tych przeksztalcen wynikaj,!cych z r6znego polozenia indeksow. 18
280
Przypisy Rozdzial 13. 9 Zauwazmy, ze w przypadku dodatnio okreslonym baza (e:, e;, ... , e;) jest bazq dualnq wobee bazy (el' ... , e), w sensie przyp. 18. 22 Wszystkie grupy U(p, q) dla ustalonego p + q = n, podobnie jak grupy GL(n, lR), majq ty samq kompleksyfikaejy, a mianowieie grupy GL(n, q i dlatego mogq wszystkie bye uwazane za rozne formy rzeezywiste tej grupy zespolonej. 21
Rozdzial13.10 Mozemy wiye uZyc Sab i sab do obnizania i podnoszenia indeksow tensorowyeh, podobnie jak gab i gab, ezyli Va = SabVb a Va = SabVb (zob. rozdz. 13.8); jednakie, ze wzglydu na antysymetriy, musimy uwazac, zeby porzqdek indeksow byl spojny. Ci z ezytelnikow, ktorzy Sq zaznajomieni z raehunkiem 2-spinorowym (zob. Penrose i Rindler 1984), mogq zauwaZyc pewnq niekonsekwenejy w zapisie miydzy sab a wielkoseiq EAB tam stosowanq. 24 Nie wiem, jaka jest standardowa terminologia lub forma zapisu dla tyeh roznyeh form rzeczywistyeh, a wiye oznaezenie Sp(p, q) proszy traktowac jako wprowadzone dorainie i ograniezone do niniejszyeh rozwazan. 25 W istoeie, kazdy element grupy Sp(t n, q rna wyznaeznik jeden, dlatego nie potrzebujemy grupy "SSp(~n)" w analogii do SO(n) ezy SU(n). Powodem jest to, ze istnieje wyrazenie ("pfaffian") dla tensora E Levi-Civity przez sab' ktore musi bye zaehowane. 26 Zob. przyp. 17.
23
14 Rachunek rozniczkowy i catkowy na rozmaitosciach 14.1 R6zniczkowanie na rozmaitosciach? W POPRZEDNIM rozdziale (13.3, 6-10) przekonalismy siy, jak grupy symetrii, reprezentowane przez transformacje liniowe, mog,! dzialae na przestrzenie wektorowe. W przypadku okreslonej grupy mozemy uwazae, ze przestrzen wektorowa rna szczegoln,! struktur?, ktora zostaje zachowana przez te transformacje. Pojycie "struktury" jest bardzo wai:ne, a moze ni,! bye na przyklad struktura metryczna, w przypadku grupy ortogonalnej (rozdz. 13.8), alba struktura hermitowska, ktorq zachowuje grupa unitarna (rozdz.13.9). Jakjui: powiedzielismy, teoria reprezentacji grup jako dziaIan na przestrzeniach wektorowych, w ogolnym sensie, rna wielkie znaczenie w wielu galyziach matematyki i fizyki, szczegolnie w teorii kwantowej, w ktorej, jak to pozniej zobaczymy (glownie w rozdz. 22.3), przestrzenie wektorowe ze struktur,! hermitowsk'! (hermitowski iloczyn skalarny) stanowi,! fundamentalne elementy tej teorii. Przestrzen wektorowa jest jednak szczegolnym rodzajem przestrzeni, a matematyka duzej czysci wspolczesnej fizyki potrzebuje czegos bardziej ogolnego. Nawet staroi:ytna geometria Euklidesa nie jest przestrzeni,! wektorow'!, poniewaz przestrzen wektorowa wymaga okreslenia wyroznionego punktu, mianowicie poczqtku (zadanego przez wektor zerowy), podczas gdy w geometrii Euklidesa zaden punkt nie jest wyrozniony. W istocie przestrzen euklidesowa stanowi przyklad przestrzeni aJinicznej. Przestrzen afiniczna jest podobna do wektorowej, ale "zapominamy" w niej 0 pocz'!tku; w rezultacie jest to przestrzen, w ktorej funkcjonuje niesprzeczne pojycie rowno[egloboku[14.1 1, [14.21. Z chwil,! wyspecyfikowania konkretnego punktu jako pocz'!tku mozemy zdefiniowae dodawanie wektorow za pomoq reguly rownoiegloboku (zob. rozdz. 13.3, rys. 13.4). B [14.1] Niech [a, b; e, d] oznacza zdanie "abed tworz'! rownoleglobok" (gdzie a, b, die stoj,! w porz'!dku cyklicznym, jak w rozdz. 5.1). Przyjmijmy jako pewniki, ze (i) dla dowolnych a, b i e istnieje takie d, ze [a, b; c, d]; (ii) jesli [a, b; c, d], wtedy [b, a; d, c] i [a, c; b, d]; (iii) je§li [a, b; c, d] i [a, b; e,!] wowczas [c, d; e,!]. Pokai:, ze jesli dowolny punkt wyroznimy i oznaczymy jako pocz'!tek ukladu, to ta struktura algebraiczna redukuje sift do struktury "przestrzeni wektorowej", ale bez operacji "mnozenia skalarnego", takiej jak w rozdz. 11.1 - inaczej mowi,!c, otrzymujemy reguly addytywnej grupy abelowej; zob. ewiczenie [13.2]. fa [14.2] Czy wiesz, jak mozna to uogolnic na przypadek nieabelowy?
R6i:niczkowanie na rozmaitosciach?
14.1
Zakrzywiona czasoprzestrzen ogolnej teorii wzglydnosci Einsteina jest z cal,! pewnosci,! pojyciem bardziej ogolnym niz przestrzen wektorowa: to 4-rozmaitose. J ednak einsteinowskie pojycie geometrii czasoprzestrzennej wymaga istnienia pewnej (lokalnej) struktury, czegos wiycej niz tylko rozmaitosci gladkiej (ktor,! omawialismy w rozdz. 12). Podobnie w przypadku przestrzeni konfiguracyjnych lub przestrzeni fazowych ukladow fizycznych (rozwazalismy je krotko w rozdz. 12.1), ktore rowniei zakladaj,! istnienie struktur lokalnych. W jaki sposob mozemy przyporz'!dkowae przestrzeni potrzebn,! struktury? Taka struktura lokalna moglaby dostarczye miary "odleglosci" miydzy punktami (w przypadku struktury metrycznej) albo "pol a" powierzchni (jak w przypadku struktury symplektycznej; zob. rozdz. 13.10), albo "k,!ta" miydzy krzywymi (jak w konforemnej strukturze powierzchni Riemanna; zob. rozdz. 8.2) etc. We wszystkich tych przypadkach potrzebujemy pojye przestrzeni wektorowej, aby okreslie, czym jest ta lokalna geometria, a przestrzen wektorowa, 0 ktoq pytamy, jest n-wymiarow,! przestrzeniq stycznq ~ typowego punktu p rozmaitosci M (mozemy myslee 0 Tp jako 0 bezposrednim otoczeniu punktu p w M, "rozci,!gniytym nieskonczenie"; zob. rys. 12.6). Zgodnie z tym rozne struktury grupowe i wielkosci tensorowe, z jakimi zetknylismy siy w rozdz. 13, mog,! miee znaczenie lokalne w poszczegolnych punktach rozmaitosci. Przekonamy siy wiyc, ze zakrzywiona czasoprzestrzen Einsteina rzeczywiscie rna struktury lokaln,!, zadan'! przez lorentzowsk,! (pseudo )metryky (rozdz. 13.8) w kaidej przestrzeni stycznej, podczas gdy przestrzenie fazowe (zob. rozdz. 12.1) mechaniki klasycznej maj,! lokalne struktury symplektyczne (rozdz. 13.10). Oba te przyklady rozmaitosci ze struktur,! odgrywaj,! istotn'! roly we wspolczesnej fizyce teoretycznej. Ale jaki rodzaj analizy matematycznej mozna zastosowac do takich przestrzeni? Jakjuz zauwaiylismy, n-wymiarowe rozmaitosci, ktore badalismyw rozdz. 12, musz'! jedynie bye gladkie i nie potrzebuj,! specyfikowania zadnej struktury lokalnej. W takiej nieustrukturyzowanej gladkiej rozmaitosci M mozemy przeprowadzie stosunkowo niewiele sensownych operacji opartych na zasadach analizy matematycznej (rachunku rozniczkowego i calkowego). Co wazniejsze, nie mamy nawet wystarczaj,!co ogolnego pojycia rozniczkowania, ktore mozna zastosowae w M. Sprobujy wyjasnie ten problem. W przypadku dowolnej konkretnej latywspolrZydnosciowej moglibysmy po pro stu rozniczkowae rozmaite interesuj,!ce nas wielkosci ze wzglydu na wspolrzydne x\ x2, ... , X' tej laty, uiywaj,!c operatorow pochodnych cz'!stkowych alax\ alar, ... , alaX' (zob. rozdz. 10.2). Jednak w wiykszosci przypadkow wyniki bylyby pozbawione sensu geometrycznego, poniewaz zalezalyby od specyficznego (dowolnego) wyboru wspolrzydnych i nie pasowalyby do siebie przy przechodzeniu z jednej laty na inn,! (zob. rys. 10.7). W rozdz. 12.6 zwrocilismy uwagy na wain,! koncepcjy rozniczkowania, ktora moze bye uiyta w przypadku ogolnej, gladkiej (nieustrukturyzowanej) rozmaitosci, zapewniaj,!cej dopasowanie przy przechodzeniu z jednej laty na inn,!, mianowicie pojycie r6iniczkowania formy zewn~trznej. Zakres zastosowania takiej opera-
283
14
Rachunek roiniczkowy i calkowy na rozmaitosciach
cji jest co prawda nieco ograniczony, poniewaz nadaje sit( tylko do rozniczkowania p-form i nie dostarcza wielu informacji, jak taka p- forma sit( zmienia. Czy mozemy wprowadzie inne, bardziej kompletne pojt(cie "pochodnej" jakiejs wielkosci na ogolnej, gladkiej rozmaitosci, takiej jak na przyklad pole wektorowe lub tensorowe? Takie pojt(cie musialoby bye zdefiniowane niezaleznie od konkretnych ukladow wspolrzt(dnych, ktore wybieramy, aby oznaczye punkty na jakiejs lacie wspolrZt(dnych. Przydalby sit( rzeczywiscie jakis rodzaj rachunku rozniczkowego i calkowego, niezaleznego od wyboru ukladu wspolrzt(dnych, ktory mozna by zastosowae do struktur na rozmaitosciach i ktory pozwalalby wyrazie zmiant( pola wektorowego czy tensorowego przy przechodzeniu z jednego miejsca winne. Ale jak to zrobie?
14.2 Przesuni'1cie r6wnolegfe
284
Przypomnijmy sobie na podstawie rozdz. 10.3 i 12.3, ze w przypadku skalarnego pol a l/J, na ogolnej gladkiej n-rozmaitosci M, rzeczywiscie bylismy w stanie znale.ze wlasciw,! miart( jego "stopnia zmiany", mianowicie 1-formt( dl/J, gdzie rownanie dl/J = 0 jest warunkiem stalosci pola l/J (na pol'!czonych obszarach M). Rozwi'!zania tego jednak nie mozna zastosowae do bardziej ogolnych wielkosci tensorowych, a nawet do pol a wektorowego ,. Dlaczego tak sit( dzieje? Jednym ze :irodel klopotow jest fakt, ze w przypadku rozmaitosci ogolnego typu nie mamy odpowiedniego pojt(cia stalego pol a ,Oak sit( 0 tym zaraz przekonamy), podczas gdy kazda przyzwoita procedura rozniczkowania ("gradient") zastosowana do , powinna miee tt( wlasnose, ze jej znikanie sygnalizuje stalose, (takjak dl/J = 0 sygnalizuje stalose skalarnego pol a l/J). Inaczej mowi,!c, oczekiwalibysmy, ze dla "niestalego" pola ,taka procedura rozniczkowania powinna dawae miart( odchylenia , od wartosci stalej. Dlaczego mamy problem z pojt(ciem "stalosci" wektora na ogolnej n-rozmaitosci M? Otoz stale pole wektorowe " w zwyklej przestrzeni euklidesowej, powinno miee tt( wlasnose, ze wszystkie "strzalki" w jego geometrycznym opisie S,! do siebie rownolegle. W takim razie jakies pojt(cie "rownoleglosci" powinno bye cZt(sci,! struktury M. Mamy powod do niepokoju, jesli pamit(tamy klopoty z pi,!tym postulatem Euklidesa - postulatem rownoleglosci - ktory byl centralnym punktern dyskusji przeprowadzonej w rozdz. 2. Na przyklad geometria hiperboliczna nie pozwala na wprowadzenie pol wektorowych, ktore moglyby, w sposob jednoznaczny, bye wszt(dzie uwazane za "rownolegle". A w kazdym razie pojt(cie "rownoleglosci" nie jest wtasnosci,!, ktor,! M mogtaby miee automatycznie, z tego powodu, ze jest rozmaitosci,! gladk'!. Rys. 14.1 ilustruje tt( trudnose w przypadku 2-rozmaitosci zlozonej z dwoch tat plaszczyzny euklidesowej. Zwyklego euklidesowego pojt(cia rownolegtosci nie mozna po prostu przeniese z jednej laty na drug'!. Aby zrozumiee, jakie pojt(cie rownoleglosci jest tutaj odpowiednie, najpierw przeanalizujemy wewnt(trzn,! geometrit( zwyklej 2-wymiarowej sfery S2. Wybierzmy konkretny punkt p na S2 (powiedzmy, niech to bt(dzie biegun polnocny) i kon-
Przesuni~cie
r6wnolegle
14.2
Rys.14.1. Euklidesowe pojycie "rownoleglosci" moze okazac siy niespojne tam, gdzie nakiadaj'l siy rozne laty wspolrzydnych. Biegun p61nocny p
p Poludnik
(a)
(b)
Rys. 14.2. Problem rownoleglosci na sferze S2. Wybierzmy punkt p na biegunie polnocnym, z wektorem stycznym v skierowanym wzdluz poludnika Greenwich. Ktore wektory, styczne w innych punktach S2, mozemy uwazac za "rownolegle" do v? (a) Bezposrednie zastosowanie euklidesowego pojycia "rownoleglosci", przez wlozenie S2 do Iffi3, nie zdaje egzaminu, poniewai (z wyj'ltkiem wektorow stycznych do poludnika prostopadlego do poludnika Greenwich) wektory rownolegle do v nie s'l styczne do S2. (b) Sposobem usuniycia tej trudnosci jest nastypuj'lca procedura: przesuwajmy v rownolegle wzdluz krzywej y, rzutuj'lC go w sposob ci'lgly na plaszczyZlly StyCZll'l do sfery. (Traktujmy y jako zlozon'l z wielkiej ilosci bardzo malych odcinkow PoPl'P1P2,P2P3' ... , za kaidym razem odpowiednio zrzutowanych. Nastypnie przejdzmy do granicy z coraz mniejsz'l dlugosci'l tych odcinkow.) Ta koncepcja przesuniycia rownoleglego przedstawiona jest dla poludnika Greenwich, a takZe dla dowolnej krzywej y.
kretny wektor V, styczny w tym punkcie (niech wektor ten bC(dzie skierowany wzdluz poludnika Greenwich, zob. rys. 14.2a). Jakie inne wektory, styczne w innych punktach S2, mozemy uwazae za "rownolegle" do wektora v? Jesli sprobujemy posluZye siC( euklidesowq koncepcjq rownoleglosci, umiejscawiajqc sferC( S2 w 3-przestrzeni Euklidesa, wowczas okaze siC(, ze dla wiC(kszosci punktow q na S2 nie mozna skonstruowae wektorow stycznych do S2 i rownoleglych w tym sensie do wektora v, poniewaz plaszczyzny styczne w punkcie q nie zawierajq kierunku v. (Jedynie wielki okrqg, przechodzqcy przez p i prostopadly do poludnika Greenwich, zawiera punkty, w ktorych istniejq wektory styczne do S2 i ktore moglyby bye rownolegle do v w tym sensie.) Wlasciwe pojC(cie rownoleglosci na S2 moze odnosie siC( tylko do wektorow stycznych, dlatego musimy zrobie wszystko, aby kierunek wektora v lezal na plaszczyznie stycznej w punkcie q, gdy punkt q oddalamy od pl. Taki paralelizm zaleiny
285
14
Rachunek roiniczkowy i calkowy na rozmaitosciach
od drogi stanowi istotny nowy element, a jego odpowiednie wersje, w dodatku do ogolnej teorii wzglydnosci Einsteina, lezq u podstaw sukcesow wspolczesnych teorii oddzialywan czqstek elementarnych. Sprobujmy zrozumiec to zagadnienie nieco dokladniej. Rozwazmy drogy y na SZ, rozpoczynajqc w punkcie pi konczqc w innym punkcie q. Wyobrazmy sobie, ze y sklada siy z wielkiej ilosci, powiedzmy N, malenkich odcinkow PoP I' P1PZ' PzP3' ... , PN - 1PN , gdzie punktem wyjsciowym jest Po = P, a odcinek ostatni konczy siy w punkcie P N = q. Przyjmijmy teraz, ze przesuwamy wektor v wzdluz drogi y, w taki sposob, ze wzdluz kazdego z tych odcinkow Pr-1Pr wektor v przesuwamy rownolegle do samego siebie - w takim sensie, jak to siy zwykle czyni w otaczajqcej go euklidesowej 3-przestrzeni - a nastypnie rzutujemyv na przestrzen stycznq w punkcie Pr (zob. rys. 14.2b). Za pomocq takiej procedury otrzymujemy wektor styczny w punkcie q, 0 ktorym uwazamy, ze zostal, z grubsza mowiqc, przesuniyty rownolegle wzdluz y od P do q, mozliwie najbardziej precyzyjnie na tej powierzchni. Wprawdzie ta procedura zaleiy w pewnym stopniu od tego, jak dokladnie krzywa y zostala przybliZona przez ten ciqg odcinkow, ale mozna pokazac, ze w granicy coraz mniejszych odcinkow otrzymamy dobrze okreslonq odpowiedZ, ktora nie zaleiy od tego, jak rozbilismy drogy y na odcinki. Procedura ta nosi nazwy plZesuni~cia rownoleglego wektora v wzdluz drogi y. Na rys. 14.3 pokazalem, jak wyglqdaloby takie przesuniycie rownolegle wzdluz piyciu roznych drog (wszystkie Sq okrygami wielkimi), jesli wyjdziemy z tego samego punktu p. Na czym wiyc polega ta zaleznosc od drogi, na ktorq powolywalismy siy poprzednio? Na rys. 14.4 zaznaczylem punkty pi q na SZ oraz dwie drogi od P do q, z ktorych jedna jest prostq drogq wzdlui wielkiego okrygu, a druga sklada siy z dwoch lukow wielkich okrygow, tqczqcych siy w pewnym punkcie posrednim, r. Na podstawie geometrii rys. 14.3 stwierdzamy, ze przesuniycie rownolegle wzdluz tych dwu drog (z ktorychjedna skryca pod kqtem prostym, ale nie rna to istotnego znaczenia) prowadzi do wynikow koncowych rozniqcych siy miydzy sobq, w tym konkretnym przypadku, obrotem 0 kqt prosty. Zwrocmy uwagy, ze roznica sprowadza siy do
286
Rys. 14.3. Przesuni'tcie rownolegle wektora v wzdluz pi'tciu roznych dr6g (wszystkie S,! okr'tgami wielkimi).
Pochodna kowariantna
14.3
Rys. 14.4. Zaleinosc przesunic;cia rownoleglego od drogi. Ilustrujemy to, wybieraj,!c dwie roine drogi od p do q, z ktorych jedna jest prost,! drog,! po wielkim okrC;gu, a druga sldada siC; z pary lukow dwoch wielkich okrC;gow, l'!cz'!cych siC; w punkcie przecic;cia r. Przesunic;cie rownolegle wzdlui tych drog daje, w punkcie q, wyniki roini,!ce siC; od siebie obrotem 0 k,!t prosty.
obrocenia kierunku wektora. Istniej,! ogolne powody, dla ktorych tak zdefiniowane przesuniycie rownolegle bydzie zawsze zachowywalo dlugosc wektora. (W innych rodzajach "przesuniycia rownoleglego" tak nie bydzie, a znaczenie tego faktu omowimy w dalszych rozwaianiach; zob. rozdz. 14.7, 15.7,8, 19.4.) Ty rozbieznosc k,!tow'! mozemy zauwaZyc w formie skrajnej, gdy nasza droga y jest zamkniyt'! pytI'! (a wiyc gdy p = q), w ktorym to przypadku moze siy pojawic rozbieznosc miydzy pocz'!tkowym a koncowym kierunkiem przesuwanego rownolegle wektora stycznego. W istocie, w przypadku idealnej geometrycznej sfery 0 promieniu jednostkowym, ta rozbieZnosc k,!towa jest dokladnie rowna calkowitemu polu powierzchni pytli (przy czym obszary otoczone w sensie ujemnym liczymy ze znakiem minus)[14.31•
14.3 Pochodna kowariantna W jaki sposob taka koncepcja "przesuniycia rownoleglego" moze byc wykorzystana do zdefiniowania odpowiedniej procedury r6iniczkowania pol wektorowych (i ogolnie pol tensorowych)? Istota pomyslu polega na tym, ze mozemy porownywac zachowanie pola wektorowego (albo tensorowego) w jakims kierunku z dala od punktu p z przesuniyciem rownoleglym tego samego wektora, w tym samym kierunku co p, a nastt(pnie odejmuj,!c jedno od drugiego. Procedury tt( stosujemy do skonczonego przesuniycia wzdluz jakiejs krzywej y, ale do zdefiniowania (pierwszej) pochodnej pola wektorowego potrzebujemy jedynie przesuniycia infinitezymalnego od punktu p, i to ostatnie zaleiy tylko od tego, jak krzywa "zaczyna odchodzic" od p; inaczej mowi,!c, zaleiy tylko od wektora w stycznego do krzywej y w punkcie p (rys. 14.5). Tak okreslone rozniczkowanie zwykle opatrujemy symbolem V i nazywamy operatorem pochodnej kowariantnej albo, prosciej, koneksjq. ~ [14.3] Sprawdz, czy potrafisz to wykazac dla przypadku tr6jkqta sferycznego (tr6jkqta na S2 utworzonego z luk6w wielkich okrt(g6w), gdy mozemy posluZyc sit( wzorem Hariota z 1603 roku na obliczanie pol a tr6jkqta sferycznego, podanym w rozdz. 2.6.
287
14
Rachunek r6i:niczkowy i calkowy na rozmaitosciach Rys. 14.5. Pojycie pochodnej kowariantnej latwo zrozumiec z pomoq pojycia przesuniycia rownoIeglego. Zmiennosc pol a wektorowego ( na M od punktu do punktu (strzalki z czarn~ glowk~) mierzona jest przez jego odchylenie od wartosci standardowej, ktor~ daje przesuniycie rownolegle (strzalki z bial~ glowk~). Takie porownanie mozemy przeprowadzic na calej dlugosci dowolnej krzywej y (startuj~c z punktu p), ale aby wzi~c pierwsz~ pochodn~ kowariantn~ V w punkcie p, powinnismy znac tylko wekt~r w styczny do y w punkcie p, kt6ry determinuje pochodn~ kowariantn~ V (pola (w punkcie p w kierunku w. w
Podstawow£! wlasnosci£! takiego operatora (kt6ra odnosi sit( teZ do pojt(cia naszkicowanego wczesniej dla S2) jest jego lin iowa zaleznosc od wektora w. Dlatego, zapisuj£!c pochodn£! kowariantn£! okreslon£! przez przesunit(cie (kierunek) wektora w jako V, dla dwu takich wektor6w przesunit(cia w i u, z£!damy, zeby w V =V + V, w u
w+u
a w przypadku mnozenia przez wielkose skalarn£! A: V =AV. AW W Moze sit( wydawae, ze umieszczanie symbolu wektora pod symbolem nabla wygl£!da dziwacznie, z czym trudno sit( nie zgodzie! Byloby lepiej uZye raczej symbolu V w' jednak taki operator w odmienny spos6b traktuj£! matematycy, a winny fizycy. Dla matematyka ten symbol oznaczalby to sarno, co ja mam na mysli, gdy piszy y, podczas gdy fizyk interpretowalby "w" jako indeks, a nie jako pole wektorowe. W notacji fizyka operator VW naleZaloby zapisae jako V =w"Va' w
288
a po dane warunki Iiniowosci jako (wa + ua)Va = w"Va + uaVa oraz (AWa)Va =A(WaVa). Umieszczenie dolnego indeksu na V jest sp6jne z tym, ze stanowi on wielkose dualn£! wobec pola wektorowego (i znajduje swoje odbicie w podanym warunku Iiniowosci; zob. rozdz. 12.3), tj. V jest operatorem kowektorowym (co oznacza operator 0 walencji [~]). Dlatego jeSli V dziala na pole wektorowe ( (walencja [~]), otrzymujemy w wyniku wielkose V(, kt6ra jest C]-tensorem. Widae to wyraznie w zapisie wskaznikowym, gdzie tensor V(zapiszemy jako VJb. W istocie, w spos6b naturalny, mozemy poszerzye zakres stosowalnosci operatora V od wektor6w do tensor6w 0 dowolnej walencji, a dzialanie V na [~]-tensor T daje w wyniku [q~l] -tensor VT. Reguly takich operacji wygodnie przedstawiamy w zapisie wskaznikowym, natomiast przestaje to bye takie proste, gdy przechodzimy do zapisu stosowanego przez matematyk6w, 0 czym za chwilt(.
Pochodna kowariantna
14.3
W dzialaniu na pola wektorowe operator V spelnia te same reguly jak operator roiniczkowy d z rozdz. 12.6: V(,+")=V,+V,, oraz wzor Leibniza V(A~ =AV'+~A,
gdzie , i " s,! polami wektorowymi, a A jest polem skalarnym. Od operatora pochodnej kowariantnej wymagamy, ieby dzialanie V na skalar bylo identyczne z dzialaniem gradientu (pochodnej formy zewnytrznej) d na ten skalar: VlP=dlP.
Poszerzenie zakresu dzialania V na ogolne pola tensorowe jest okreslone jednoznacznie[14.4] przez dwa naturalne warunki. Pierwszym z nich jest i,!danie addytywnosci (dla tensorow T i U 0 tej samej walencji) V(T+ U) = VT+ VU, a drugim spelnianie odpowiedniej postaci wzoru Leibniza. Z zapisem wzoru Leibniza jest pewien klopot, szczegolnie w notacji matematykow, ktorzy unikaj,! wskaznikow. Z grubsza bioqc, prawo to (dla tensorow T i U 0 dowolnej walencji) moina zapisac nastypuj,!co: VeT. U) = (VT). U + T· VU, ale to wymaga wyjasnienia. Kropka • oznacza tutaj formy iloczynu z kontrakcj,!, w ktorym pewien zbior wskaznikow gornych i dolnych tensora T poddany jest kontrakcji ze zbiorem wskafnikow dolnych i gornych tensora U (przy czym dopuszczamy, ie te zbiory s,! puste, a wtedy iloczyn staje siy zewn~trznym, bez jakiejkolwiek kontrakcji). W podanym wzorze kontrakcje w obu wyrazach po prawej stronie dokladnie odzwierciedlaj,! kontrakcje po stronie lewej, a indeks przypisany operatorowi V pozostaje taki sam w calym wyraieniu. Sytuacja staje siy szczegolnie zloiona w zapisie matematycznym, gdy nie chcemy uiywac indeksow, poniewai nie jest tak latwo przedstawic, co rozumiemy przez tensorowe prawo Leibniza. Trudnosc ty nieco zmniejszymy dziyki uiyciu notacji V, zamiast po prostu V, wtedy bowiem symbol w na V wi'!ie siy ze wskafnikiem na V w i, jesli chcemy, moiemy podobnie post,!pic z innymi indeksami, dokonuj,!c kontrakcji kaidego z nich z polem wektorowym lub kowektorowym (niepoddanym dzialaniu V). Uwaiam, ie sytuacja jest bardziej klarowna, jesli uiywamy indeksow, ale najlepszym sposobem jest zapis graficzny, w ktorym roiniczkowanie jest zaznaczone przez narysowanie kolka wokol wielkosci, ktor'! mamy zroiniczkowac. N a rys. 14.6 przedstawilem reprezentatywny przyklad tensorowego prawa Leibniza. B [14.4] Wyjasnij, dlaczego to jest jednoznaczne. Wskaz6wka: rozwaz dzialanie V na a' (etc.
289
14
Rachunek roiniczkowy i calkowy na rozmaitosciach
12\7 f ~hA.(e
at
he[d
IY..)c} ..... gh]
+
+
Rys. 14.6. W zapisie graficznym ro:miczkowanie kowariantne moina wygodnie przedstawic, rysujljC kolko wokol wielkosci, ktorlj mamy zroiniczkowac. Tutaj jest to zilustrowane przez przyklad tensorowego prawa Leibniza zastosowanego do wyraienia Va {~bA.t[)J~} (zob. rys. 12.17). W wyniku antysymetrii wskainikow mamy czynnik 12.
Wszystkie te wlasnosci bylyby zachowane, gdybysrny w rniejsce operatora Va uZyli zwyklego zapisu operatora "pochodnej cZqstkowej we wspolrzydnych" a/ax a• W rzeczywistosci na kazdej lacie wspolrzydnosciowej rnozerny uZyc a/ax a do zdefiniowania pochodnej kowariantnej na tej lacie; bydy jq nazywal pochodnq kowariantnq we wsp6lrz~dnych albo koneksjq wsp6Irz~dno§ciowq. To pojycie nie jest specjalnie interesujqce, poniewaz wspolrzydne Sq najzupelniej dowolne. (Wprowadza to specjalne pojycie paralelizmu, gdyz wszystkie linie wspolrzydnych uwazane Sq za "rownolegle".) W rniejscu gdzie laty wspolrzydnosciowe nakladajq siy, pochodne kowariantne zdefiniowane we wspolrzydnych z reguly nie odpowiadajq sobie (zob. rys. 14.1). Mirno ze takie koneksje nie Sq interesujqce z fizycznego punktu widzenia, to bywajq czysto uZyteczne, gdy potrzebujemy jawnych wyrazen. Dzieje siy tak dlatego, ze kiedy bierzemy roznicy pomiydzy dwiema koneksjami, to dzialanie tej roznicy na jakqs wielkosc tensorowq T moze byc zawsze wyrazone w sposob calkowicie algebraiczny (tzn. bez jakiegokolwiek roi:niczkowania) za pomocq tensora T i pewnej wielkosci tensorowej r 0 walencji [;][14.5]. Daje to rnozliwosc jawnego wyraZenia dzialania V na dowolny tensor T przez pochodne czqstkowe 2 skladowych T~:::; plus pewne dodatkowe wyrazenia wprowadzajqce skladowe r;}14.6].
!!JIl [14.5] Sprawdi, czy potrafisz to pokazac i wyprowadzic wyrazenie explicite. Wskazowka:
e,
najpierw rozwaz dzialanie r6znicy dwu koneksji na pole wektorowe wyrazaj
300
tB [14.16] Zr6b to.
Pochodna Liego
14.6
(b)
(a)
(c)
Rys. 14.15. Operacje algebry Liego, interpretowane geometrycznie na ci'lgiej rozmaitosci grupowej g. (a) Uprzednie pomnoienie kaidego elementu 9 przez infinitezymalny element grupy (element algebry Liego) daje przesuni"cie infinitezymalne g, czyJi pole wektorowe (na g. (b) W pierwszym rz"dzie wielkosci i10czyn dwoch takich ruchow infinitezymalnych ( i " daje po prostu , + II, co odzwierciedla jedynie struktur" przestrzeni stycznej (w punkcie I). (c) LokaIna struktura grupy pojawia si" w drugim rz"dzie wielkosci, e2[(, Ill, i prowadzi do szczeliny O(e 2 ) w "rownolegloboku" 0 bokach e(i ell w punkciel.
odpowiada szczelinie rZydu O(f2) w wierzcholku "rownolegloboku", ktorego boki w punkcie poczqtkowym I wynoszq f, i f'1. Odpowiednie pojycie "rownoleglosci" wynika z dzialania grupowego i, wraz z niezbydnq koncepcjq "przesuniycia rownoleglego", daje w wyniku koneksjy z torsjq, ale bez krzywizny[14.171; zob. rys. 14.15c. Jak zauwaiylismy w rozdz. 13.6, algebra Liego tych pol wektorowych zapewnia calkowitq (lokalnq) struktury grupy. Tutaj ukaiemy procedury, w jaki sposob uzyskac norrnalny, skonczony (tzn. nie infinitezymalny) element grupy, x, z elementu, algebry Liego. Procedura ta nosi nazwy eksponencjacji (zob. rozdz. 5.3, 13.4)
x = e' = I + , + ~
,2 + i ,3 + ...
,2
W tym wypadku oznacza "operator drugiej pochodnej polegajqcy na dwukrotnym zastosowaniu operatora ," itd. (J jest operatorem tozsamosci). W zasadzie jest to pewna forma twierdzenia Taylora, ktore przedstawilismy w rozdz. 6.4[14.181. Iloczyn
m [14.17] Spr6buj wyjasnic, dlaczego wystypuje tutaj torsja, lecz nie wystypuje krzywizna. B [14.18] Wyjasnij (na poziomie formalnym), dlaczego eadldYf(y) = f(y + a), gdzie a jest stat'!.
301
14
Rachunek r6iniczkowy i catkowy na rozmaitosciach
dwu skonczonych element6w grupy, X iy, uzyskujemy teraz zwyraienia e' e~. Iloczyn ten r6zni sil( od e'+~ (zob. rozdz. 5.3) 0 wielkose, kt6ra jest w calosci zbudowana z wyrazen algebry Lieg0 6 w operatorach ,i '1. Warto zauwaZye, ze pewna wersja operacji eksponencjacji e' moze bye r6wniez zastosowana do pola wektorowego ,na og6lnej rozmaitosci M (zakladamy, ze zar6wno M, jak i 'S,! analityczne, czyli 0 gladkosci C', zob. rozdz. 6.4). Przypomnijmy sobie z rozdz. 12.3 (i rys. 10.6), ze dla malego f, f,(lP) mierzy, w rZl(dzie O(f), przyrost funkcji skalarnej lP od pocz'!tku do konca "strzalki", jaka przedstaM6wi,!c bardziej precyzyjnie, wielkose e,(lP) mierzy calkowitq wartose lP, wia kt6r'! to pole osi,!ga wzdluz "strzalki ,", od punktu pocz'!tkowego 0 do punktu koncowego zadanego przez wartose parametru u = t, gdzie parametr u jest wyskalowany tak, ze ,(u) = 1 (zob. rozdz. 14.5 i rys. 14.8). Wszystkie pochodne, tzn. pochodne r-go rZl(du, czyli ,r(lP)) w rozwinil(ciu w szereg potl(gowy e'(lP), obliczamy w punkcie 0 (zakladamy zbieznose szeregu potl(gowego). Kiedy m6wimy "wzdluz strzalki", mamy na mysli poruszanie sil( wzdlui: "krzywej calkowej" pola " a wil(c wzdluz krzywej, kt6rej wektorami stycznymi S,! wektory ,; zob. rys. 14.167 • Jaka jest zatem definicja pochodnej Liego? N ajpierw przepiszmy nawias Liego jako operacjl( £ (zalezn,! od (), dzialaj,!c,! na pole wektorowe '1:
f,.
,
,'1=[','1]. To bylaby definicja pochodnej Liego £ (ze wzgll(du na pole () [~]-tensora (tzn. wektora) '1. Potrzebujemy zapisu za poinoq wolnej od torsji koneksji V. Poszukiwane wyraienie (jego graficzn,! wersjl( przedstawia rys. 14.17a) jest nastl(puj,!ce:
,'1 = y'1 -
:' \(
Do czego potrzebna jest metryka
14.7
Istnieje jeszcze inny sposob rozumienia faktu, ze metryka g (powiedzmy, dodatnio okreslona) determinuje koneksjy. Bezposrednio z metryki mozemy wyprowadzie pojycie linii geodezyjnej. Krzywa na M, ktora daje najkrotszl! drogy (wielkose ty ilustruje rys. 14.20) pomiydzy dwoma ustalonymi punktami, jest linil! geodezyjnl! dla metrykig. Znajomose polozen linii geodezyjnej to podstawowa czyse informacji niezbydnych do znajomosci koneksji V. Aby w pelni okreslie ty koneksjy, potrzebna jest jeszcze znajomose parametrow ajinicznych wzdluz linii geodezyjnych, czyli parametrow mierzl!cych dlugosci lukow wzdluz krzywych, oraz stalych wspolczynnikow tych parametrow i wszystko to wynika z g[14.281• W przypadku gdy tensor g nie jest dodatnio okreslony, argument jest w zasadzie taki sam, ale a calka ta staje siy "stacjonarnl!" na teraz linie geodezyjne nie minimalizujl! linii geodezyjnej. (Do problemu tego wrocimy p6Zniej; zob. rozdz. 17.9 i 20.1.) W przypadku geometrii (pseudo )riemannowskiej metryki gab oraz jej odwrotnosciEtb (zdefiniowanej rownaniem Etbgbe = 8~) uZywamy do podnoszenia lub obnizania wskaznikow tensora. W szczegolnosci wektory mogl! bye zamieniane na kowektory, zas kowektory - na wektory (i z powrotem), jak w rozdz. 13.9:
fds
fds,
a.
v =g vbiaa=,.,ab . 5 ab Zwykle uZywamy tego samego symbolu glownego (w tym wypadku v i a) po obu stronach, a polozenie indeksow pozwala rozroznie geometryczny charakter danej wielkosci. Stosujl!C ty procedury do obniZenia gornego indeksu tensora krzywizny, definiujemy tensor Riemanna albo tensor Riemanna-Christoffela
R abed = Rabe' ged' ktory jest tensorem 0 walencji [~]. Jego waZoe wlasnosci symetrii stanowil! dodatek do dwoch relacji, ktore poznalismy wczesniej (antysymetrii w indeksach ab oraz symetrii Bianchiego, tj. znikania czysci antysymetrycznej w indeksach abc). Mamy wiyc[14.291 antysymetriy w indeksach cd oraz symetriy ze wzglydu na zamiany indeksowab i cd:
R abed = -Rabde = R edab · Rys. 14.21 przedstawia zapis graficzny tych zwil!zkow. Ogolny tensor 0 walencji [~] na n-rozmaitosci rna n 4 skladowych; jednakZe w przypadku tensora Riemanna, ze wzglydu na te symetrie, tylko n 2(n 2 - 1) tych skladowych jest niezaleznych[14.301• Chcialbym teraz zwrocie uwagy czytelnika na wektor Killinga na (pseudo-)riemannowskiej rozmaitosci M. Jest to pole wektorowe K, na ktorym pochodna Liego zeruje metryky:
fz
£g=O. "
tm
[14.28] Podaj szczeg61y tego rozumowania.
jlI [14.29] Wyprowadz te relacje. Najpierw na podstawie V'[a V'blged = 0 pokaz antysymetri y
w indeksach cd, a nast«pnie, korzystajqc z tych antysymetrii i symetrii Bianchiego, wyprowadz koncowq symetri y zamiany cd i ab. jlI [14.30] Sprawdz, ze te symetrie, w przypadku n = 4, dopuszczajq tylko 20 niezaleznych skladowych.
307
14
Rachunek roiniczkowy i calkowy na rozmaitosciach
va
~ 6,
Va
~?
(1
=
R~~~O ~ ~o- ~
0
Q,
=
61, 6 lJ =
= '()
~i~~ ~Om~I~'~WoO
Rys. 14.21. Podnoszenie i obniianie wskaznik6w w zapisie "pa11lkowatym": Va =gab!! = vbgba , if =(bVb = =Vi"', Rabed =Rabe' g,d' Rabed = Rabe,g'd, Rabed = -Rabdc = R edab ; /Ca jest wektorem Killinga, jesli V(a/Cb) = O.
R6wnanie to mozna przepisae w zapisie wskaznikowym (tam nawiasy zwykle oznasymetryzacje(, jak w rozdz. 12.7; zob. r6wniez rys. 14.21):
czaj~
VaKb
+ VbKa
=
0, tj.
V(aKb) =
0,
gdzie V oznacza standardow~ koneksjC( Levi-Civity[14.31 1• Wektor Killinga na rozmaitosci (pseudo-)riemannowskiej M jest generatorem pewnej ci~glej symetrii M (kt6ra moze bye tylko symetri~ 10kaln~12, jesli M jest rozmaitosci~ niezwart~). Jezeli M zawiera wie(cej niz jeden niezalezny wektor Killinga, w6wczas komutator tych dwu wektor6w jest kolejnym wektorem Killinga[14.32]. Wektory Killinga s~ szczeg61nie wazne w teorii wzglC(dnosci, 0 czym przekonamy siC( w rozdz. 19.5 i 30.4,6,7.
14.8 Rozmaitosci symplektyczne Nalei:y przyj
316
fft [15.1] Wyjasnij, dlaczego wymiar M
x
V jest sumq wymiar6w M i V.
Matematyczna idea wiqzki
.
15.2
Zero-
-.:
Q-!-d (a)
(b)
Rys. 15.4. Aby zrozumiee, jak powstaje to "skr~eenie", rozwaimy przypadek, gdy M jest okr~giem sl, a wlokno V jednowymiarow1} przestrzeni1} wektorow1} (a wicre przestrzeni1} wzorowan1} na JR, ale gdzie zaznaezono tylko poez1}tek 0, ale nie jak1}s inn1} wartose, np. element toisamosciowy 1). (a) Przypadek trywialny przestrzeni M x V, ktor1} tutaj jest zwykly dwuwymiarowy walee. (b) W przypadku skrcreonyrn otrzymujemy wstcrgcr Mobiusa (jak na rys. 12.15).
nad M, z wl6knem V? Rozwazmy wstC(gC( Mobiusa (zob. ryS. 15.4b i rys. 12.15). Przyjrzyjmy siC(, jak ta wi,!zka jest "lokalnie" identyczna z wa1cem. Usuwaj'!c jakis punkt p z S1, mozemy utworzyc odpowiedni obszar "lokalny" w przestrzeni bazowej SI. W ten spos6b okr,!g bazowy zostanie zamieniony w jednosp6jny4 odcinek5 SI -p, ita czC(sc B, kt6ra leZy ponad takim odcinkiem, jest doldadnie taka sarna jak czC(sc walca stoj,!ca nad SI - p. R6znica pomiC(dzy wi,!zk,! Mobiusa B a wa1cem pojawia siC( tylko wtedy, gdy patrzymy na to, co leZy nad catym okr~giem SI. Mozemy sobie wyobrazic, ze SI jest zlozony z dw6ch takich lat, SI - P i SI - q, gdzie p i q s,! dwoma r6znymi punktami na SI ; w takim przypadku cal,! wi,!zkC( B mozemy zszyc z dw6ch odpowiednich lat, z kt6rych kazda bC(dzie wi,!zk,! trywialn,! nad odpowiedni,! tat'! SI. W tym procesie "zszywania" dw6ch tat wi'!zek trywialnych pojawia siC( "skrC(cenie" wi,!zki Mobiusa (rys. 15.5). I rzeczywiscie, widac wyrainie, ze wstC(ga Mobiusa powstaje przy jednym prostym skrC(ceniu, jesli zredukujemy rozmiary naszych tat z SI tak, jak to pokazuje rysunek 15.5b, przy czym ta redukcja nie rna zadnego znaczenia dla struktury wi,!zki B. Jest rzecz'! wazn'!, zebysmy mieli swiadomosc, iz mozliwosc skrC(cenia jest wynikiem pewnej szczeg61nej symetrii wt6kna V, tej mianowicie, kt6ra pozwala na zmianC( znaku element6w jednowymiarowej przestrzeni wektorowej V. (To znaczy v H -v, dla kazdego v w V.) Ta operacja zachowuje strukturC( V jako przestrzeni wektorowej. Powinnismy zauwaZyc, ze taka operacja nie jest elementem symetrii ciata liczb rzeczywistych ~. W istocie ~ nie rna w og6le jakiejkolwiek symetrii. (Liczba 1 jest z pewnosci,! inn,! liczb,! nn -1, dlatego x H -x nie jest operacj,! symetrii ~ i nie zachowuje multiplikatywnej struktury ~[15.21.) To z tego powodu jako
~
[15.2] Wyjasnij to.
317
15
Wiqzki wl6kniste i koneksje cechowania
(a)
(b)
Rys. 15.5. (a) Mozemy utworzyc odpowiedni "lokalny" (jednosp6jny) obszar w bazie SI, usuwaj'!c z niej jeden punkt p, otrzymamy w efekcie czysc wi,!zki nad obszarem SI - p. To sarno otrzymamy, jezeli obierzemy inny punkt q. Jesli te dwie cZysci wi,!zki B dopasujemy do siebie bezposrednio, to otrzyma· my w wyniku walec, ale jesli dokonamy odbicia g6ra/d6l (symetria wl6kna V) w jednej z tych dopasowy· wanych czysci - jak pokazuje rysunek - to otrzymamy wi¥ky M6biusa. (b) Powstala wi¥ka M6biusa staje siy bardziej widoczna, jesli zredukujemy rozmiary obu czysci SI tak, zeby tylko male obszary pokry· waly siy ze sob,!.
w16kno V wybieramy jednowymiarow,! rzeczywist,! przestrzen wektorow'!, a nie po prostu sam,! os rzeczywist'! R Czasami m6wimy, ze V jest wzorowana na osi rzeczywistej. Wkr6tce zobaczymy, jak inne symetrie w16kien daj,! mozliwosc wykonywania innych skrycen.
15.3 CiQcia wi'lzek
318
R6znicy pomiydzy walcem a wi'!Zk,! M6biusa mozemy przedstawiC, posluguj,!c siy pojyciem ci~cia wiqzki. Geometrycznie mozemy sobie wyobraiac ciycie wi,!zki B nad M jako ci,!gle odwzorowanie M w B, kt6re przecina kazde w16kno w jednym punkcie (zob. rys. 15.6a). Jest to jakby "podniesienie" M na wi,!zky. Zwr6cmy uwagy, ze jesli dokonamy tego odwzorowania, kt6re "wzniesie" M do B, a nastypnie wykonamy rzutowanie kanoniczne, w6wczas uzyskamy odwzorowanie tozsamosciowe M na sam,! siebie (a wiyc kaidy punkt M przejdzie z powrotem w siebie).
Ci~cia
wiqzek
15.3
W przypadku wi'!Zki trywialnej M x V ci«cia te mozemy interpretowae jako funkeje ciqgle na przestrzeni bazowej M, ktoryeh wartosci lezq w przestrzeni V Gest to wi«c odwzorowanie ciqgle M na V). I tak jakies ci«cie M x V przyporzqdkowuje6, w sposob ciqgly, jakis punkt VkaZdemu punktowi M. Przypomina to zwyklq ide« wykresu funkcji, ktorq ilustruje rys. 15.6b. Mowiqe bardziej ogolnie, w przypadku wiqzki skr«conej B kazde ci«cie B definiuje pewnq "funkcj« skr«conq", ktora jest poj«ciem bardziej ogolnym niz poj«cie zwyklej funkeji. Powroemy do naszego przykladu w rozdz. 15.2. W przypadku wa1ca (wiqzka iloezynowa M x V) nasze ci«cia mogq bye wyobrazone jako krzywe, ktore oplatajq walee, przecinajq kazde wlokno dokladnie jeden raz (rys. 15.7a). PoniewaZ wiqzka jest przestrzeniq iloezynowq, mozemy traktowae kazde wlokno jako kopi« osi rzeczywistej i przyporzqdkowae kaZdemu z wlokien wspolrz«dnq rzeczywistq. Wspolrz«dna 0, na kaZdym wloknie, daje nam cif?cie zero we "zaznaczonych punktow", ktore reprezentujqzera przestrzeni wektorowych V. Dowolne ci«cie tworzy funkcj« ciqglq na okr«gu 0 wartosciach rzeczywistych ("wysokose" ponad ci«ciem zerowym daje wartose funkcji w kaZdym punkcie okr«gu). Jasne jest, ze istnieje wiele ci«e, ktore nie przecinajq si« z przekrojem zerowym (funkcje, ktore nie przyjmujq na Sl wartosci zero). Mozemy na przyklad wybrae takie ci«cie wa1ca, ktore jest rownolegle do ci«cia zerowego, ale nie rna z nim punktow wspolnych. Ci«cie takie przedstawia niezerowq funkcj« stalq na okr«gu. JednakZe,jesli rozwaZymywiqzk« Mobiusa B, to zobaczymy, ze sytuacja przedstawia si« inaczej. Mam nadziej«, ze czytelnik nie b«dzie mial problemu z zaakceptowaniem faktu, iz kazde ci«cie wi'!Zki B musi si« przecinae z ci«ciem zerowym (rys. 15.7b). (Poj«cie ci«cia zerowego rna tutaj zastosowanie, gdyz V jest przestrzeniq wektorowq, a wi«c z zaznaczonym punktem 0.) Ta roznica jakosciowa z poprzednim przypadkiem pokazuje, ze B musi bye topologicznie rozna od M x V. Mowiqc bardziej precyzyjnie: mozemy rozpoczqe przyporzqdkowywanie rzeczywi-
.; M ~------------~~ (a)
I I I I \
'--~------------------~ (b)
Rys. 15.6. (a) Cittcie wiqzki B przedstawia sobi\ cii\gle odwzorowanie M w B przecinaji\ce kai:de wlokno w jednym punkcie. (b) Jest to uogolnienie idei normalnego wykresu funkcji.
319
15
Wiqzki w16kniste i koneksje cechowania
- - Zero -
(a)
(b)
Rys. 15.7. CiC(cie wi~zki liniowej nad Sl przedstawia pC(tlc( przeeinaj~e~ kaide w16kno doldadnie jeden raz. (a) Walee: istniej~ eiC(cia, kt6re w iadnym miejseu nie przeeinaj~ eiyeia zerowego. (b) Wi~zka Mobiusa: ka.ide ciC(cie przecina siC( z ciyciem zerowym.
stych wsp61rzydnych r6znym wl6knom V, jak poprzednio, musimy jednak przyj,!c konwencjy, ze w pewnyrn punkcie okrygu nastypuje odwr6cenie znaku (x ~ -x). Ciycie wi¥ki B odpowiada funkcji 0 wartosciach rzeczywistych na okrygu, kt6ra jest ci,!gla, z wyj'!tkiem tego, ze zmienia znak przy okr
15.4 WiClzka Clifforda
To bardzo powazny przyklad! Przestrzen bazowa M jest teraz dwuwymiarow,! sfer,! S2, natomiast wi,!zka B sfer,! tr6jwyrniarow,! S3. Wl6kna V S,! okrygami Sl (1-sferami). Przyklad tej konstrukcji topologicznej, zaproponowany przez Heinza Hopfa (1931), znamy pod nazw'! rozwl6knienia Hopfa sfery S3. Procedura Hopfa zostala w spos6b jawny (z odpowiednimi referencjami) oparta na znacznie wczeSniejszej geometrycznej konstrukcji "r6wnoleglych Clifforda", kt6r'! wykonal znany juz (z rozdz. 11) William Clifford (1873). Z tego powodu sfery S3, uwl6knion,! geometrycznie w ten spos6b, bydy nazywal wiq,zkq Clifforda. Niezwykle pouczaj'!cyrn sposobem otrzymania wi,!zki Clifford a bydzie rozwazenie najpierw przestrzeni C 2, kt6ra jest przestrzeni,! par liczb zespolonych
320
~ [15.3] Wyjasnij to, konstruuj,!c B z dwoch tat, jak to pokazywaJismy poprzednio.
Wiqzka Clifforda
15.4
(w, z). (Tutaj C2 jest po prostu 2-wymiarow
Iwl2 + Izl2 =l. Zastt(puje ono rownanie w zmiennych rzeczywistych u 2 + v 2 +X2 + i = 1, ktore jest rownaniem 3-sfery, gdzie w = u + iv i z =X + iy wyraiaj
w
Stera Riemanna iloraz6w A : 8
Rys. 15.8. Wi¥ka Clifforda. Rozwaimy 1[2 we wsp6trzydnych (w, z), zawierajljclj 3-sfery B = S3, zadanlj r6wnaniem Iwl2 + Izl2 = 1. Kaide wt6kno V = S' jest okrygiem jednostkowym na zespolonej linii prostej przechodzljcej przez Aw + Bz = 0 (zespolona l-wymiarowa wektorowa podprzestrzen 1[2) i jest okreslone przez iloraz A : B. Przestrzen takich iloraz6w, sfera Riemanna S2, stanowi przestrzen bazowlj B.
321
15
Wiqzki wt6kniste i koneksje cechowania
wac wartose zero, ale nie jednoczesnie. Przestrzen takich iloraz6w jest sferq Riemanna, kt6r'! omawialismy w rozdz. 8.3. W takim razie identyfikujemy przestrzen bazow'! M naszej wiC!Zki jako sfery Riemanna S2. Widzimy wiyc, ze S3 mozna uwazae za WiC!Zky SI nad S2. Takich relacji, w kt6rych zar6wno wi,!zka, jak jej przestrzen bazowa i wl6kna s,! sferami, nie oczekujemy w przypadku innych wymiar6w. Okazuje siy jednak, ze S7 moze bye uwazana za wiC!Zky S3 nad S\ kt6r'! otrzymujemy (postypuj,!c ostroznie), gdy zastypujemy liczby zespolone w i z kwaternionami.[15.4] Podobnie S15 moze bye uwazana za wi,!zky S7 nad S8, gdzie w i z zostaly zast,!pione oktonionami (zob. rozdz. 11.2 i 16.2), ale schemat ten nie dziala w przypadku sfer wyzej wymiarowych7. Rodzina okryg6w na S3, zwana rownoleglymi Clifforda, jest szczeg6lnie interesuj,!ca. S'! to okrygi wielkie, kt6re oplataj,! siy wok61 siebie, choe pozostaj,! caly czas w tej samej odleglosci (dlatego m6wimy, ze s,! "r6wnolegle"). Kazde dwa okrygi s,! "zwi'!zane", a wiyc wichrowate (niewsp6Isferyczne). W 3-przestrzeni Euklidesa linie proste wichrowate (niewsp6Iplaszczyznowe) maj,! ty wlasnose, ze zmierzaj,!c do nieskonczonosci, coraz bardziej oddalaj,! siy od siebie. 3-sfery natomiast maj,! dodatni,! krzywizny, dlatego okrygi Clifforda, kt6re S,! liniami geodezyjnymi w S3, wykazuj,! tendencjy nachylania siy ku sob ie, zgodnie z efektern odchylenia geodezyjnego, jaki omawialismy w rozdz. 14.5 (zob. rys. 14.12). W przypadku r6wnoleglych Clifforda te dwa efekty kompensuj,! siy wzajemnie, zob. rys. 15.9. Aby uzyskae obraz rodziny r6wnoleglych Clifforda, mozemy przeprowadzie rzutowanie stereograficzne S3 z jej "bieguna poludniowego" na euklidesow'! 3-przestrzen r6wnikow'!, w dokladnej analogii do rzutowania stereograficznego S2 na plaszczyzny Euklidesa, kt6re rozwazalismy przy badaniu sfery Riemanna w rozdz. 8.3 (zob. rys. 8.7). Tak jak przy rzutowaniu stereograficznym S2, okrygi na S3 zostaj'! odwzorowane na okrygi w 3-przestrzeni Euklidesa; zob. rys. 33.15, na kt6rym widzimy rodziny zrzutowanych okryg6w Clifforda. Konfiguracja ta rna wielkie znaczenie dla teorii twistor6w8, i odpowiedni,! do tego geometriy om6wimy w rozdz. 33.6.
(a)
(b)
Rys. 15.9. (a) W 3-przestrzeni Euklidesa proste wichrowate oddalaj,! si 0,
°...,
330
fa [15.9] Wyjasnij, jak to zrobic. Wskazowka: rozwai wsp6lrzydne kartezjanskie (x,y, z). Za kaidym razem wez dwie z nich, a poloienie pl6tna wyznaczy jedynka wziyta jako trzecia wsp6lrzydna. ~ [15.10] Wyjasnij, dlaczego mamy n niezaleinych stosunk6w. Znajdz n + 1 zbior6w zwyklych wsp6lrzydnych (utworzonych z z), dla n + 1 r6inych lat wsp6lrzydnosciowych, kt6re razem pokrywajq calq ]p>n.
Nietrywialnosc w koneksji wiqzki
15.7
~n+1
_ 0 jest sp6jna)l15.111. W przypadku zespolonym wl6knem jest C - 0 (zwykle zapisywane jako Co), kt6re jest sp6jne. W kazdym z tych przypadk6w moze okazae siy, ze chcemy miee wi,!zky wektorow'!, co wymaga umieszczenia zera na wl6knie. Ale jei:eli tak zrobimy, to znaczy wiycej niz po prostu dodanie zera do ~n+1 lub e+ l • Podobnie jak w szczeg6lnym, rozwazanym poprzednio przypadku C 2 musimy umiescie zero na kazdym wl6knie oddzielnie, a wiyc musimy przeprowadzie operacjy rozdmuchania poczqtku. W ten spos6b przestrzen wi¥ki staje siy ~n+1 Z lRlP'n wlozon'! w miejsce 0 alba e+ 1 z ClP'n w miejsce O. W przypadku zespolonym rozwazamy r6wniei: jednostkow,! (2n + 1)-sfery S2n+1 w e+l, podobnie jak to zrobilismy w szczeg6lnym przypadku n = 1, gdy konstruowalismy wi¥ky Clifforda. Kazde wl6kno przecina S2n+1 na okrygu SI w taki spos6b, ze otrzymujemy teraz S2n+1 jako wi,!zky SI nad ClP'n . Struktura ta leZy u podstaw geometrii mechaniki kwantowej - aczkolwiek ten piykny geometryczny aspekt bardzo rzadko zajmuje specjalist6w od fizyki kwantowej - okazuje siy bowiem, ze dla ukladu 0 (n + 1) stanach przestrzen ClP'n jest przestrzeni,! fizycznie r6znych stan6w kwantowych. Ponadto istnieje wielkose znana pod nazw'!!azy, kt6r,! traktuje siy zwykle jako liczby zespolon'! 0 module 1 (e i8 , gdzie () jest liczb,! rzeczywist'!; zob. rozdz. 5.3), podczas gdy jest to w rzeczywistosci skrfcona liczba zespolona o module jeden15. Do tych spraw powr6cimy przy koncu rozdzialu oraz gdy bydziemy szerzej omawiae mechaniky kwantow,! w rozdz. 21 i 22 (zob. rozdz. 21.9, 22.9).
15.7 Nietrywialnosc w koneksji wiClZki
Odbylismy wlasnie blyskawiczny wypad w dziedziny wi'!zek wl6knistych i pojye z nimi zwi,!zanych. Niekt6re z element6w geometrii i topologii S,! dose zlozone i czytelnik nie powinien siy niepokoie, jesli nie wszystko udalo mu siy od razu zrozumiee. Powr6cimy teraz do spraw duzo prostszych, w tym sensie, ze aby je zrozumiee, nie bydziemy potrzebowali tak wielu wymiar6w (przynajmniej na pocz'!tku!). Aczkolwiek m6j kolejny przyklad jest rzeczywiscie bardzo prosty' ilustruje wazn,!, now'! cechy zwi,!zan,! z pojyciem wi,!zki. We wszystkich wi¥kach, z jakimi spotkalismy siy do tej pory, nietrywialnose przejawiala siy w pewnym topologicznym aspekcie ich geometrii, a "skrycenie" ("twist") mialo charakter topologiczny. lednak jest zupelnie mozliwe, zeby wi,!zka byla nietrywialna w pewnym waznym sensie, pomimo ze jest trywialna topologicznie. Wr6emy do naszego pocz'!tkowego przykladu, w kt6rym przestrzen bazowa M byla zwyklym okrygiem sl, a wl6kno V bylo 1-wymiarow,! rzeczywist,! przestrzeni,! wektorow'!. Teraz skonstruujemy nasz'! wi,!zky B w nieco inny spos6b niz w6wczas, gdy po prostu "odwracalismy" wl6kno V podczas okr,!zania M, co dalo !!& [15.11] Objasnij tcr geometricr, pokazuj,!c, ze wi'!Zka JR"+! - 0 nad JRlP'" moze bye rozumiana jako zlozenie wi,!zki JR"+! - 0 nad S" (w16kno JR+ jest cialem liczb rzeczywistych dodatnich) oraz S" jako dwukrotnego pokrycia JRlP'".
331
15
Wi(lZki wl6kniste i koneksje cechowania Rys. 15.16. "Rozcil!gnicrta" wil!zka liniowa B nad M = SI, uzyskana z wykorzystaniem innej
Pr6ba -dokonania ci~cia
Baza SI
b
332
symetrii wl6kna V nii symetria na rys. 15.4, 15.5 i 15.7 (gdzie V wci¥jest l-wymiarowl! rzeczywistl! przestrzenil! wektorowl! VI), a mianowicie symetrii rozcil!gnicrcia przez czynnik dodatni (w tym wypadku przez 2). Topologiajest topologil! walca SI x JR, ale teraz pojawia sicr "naprcrienie", kt6re opiszemy za pomOCI! koneksji na B. Ta koneksja definiuje lokalne pojcrcie "horyzontalnosci" dla krzywych w B. Rozwaimy w bazie dwie drogi od a dob,jednl! bezposrednil! (wskazanl! czaml! strzalkl!) i drogcr okrcrinl! (biala strzalka). Kiedy dochodzimy do b, znajdujemy r6iniccr (0 czynnik 2), kt6ra pokazuje, ie pojcrcie "horyzontalnosci" jest tutaj zaleine od drogi.
w efekcie wiqzky Mobiusa. Zamiast tego dokonamy jej rozciqgnif?cia 0 czynnik 2; przedstawia to rys. 15.16. W ten sposob wykorzystujemy symetriy l-wymiarowej rzeczywistej przestrzeni wektorowej innl! niz symetria "odbicia" v H -v, ktorej uiylismy do konstrukcji wil!zki Mobiusa. Transformacja rozcil!gniycia v H 2v zachowuje struktury przestrzeni wektorowej V rownie dobrze. Teraz jednak nie interesuje nas topologia wil!zki. Z topologicznego punktu widzenia mamy po prostu walec Sl x JR, dokladnie tak jak w naszym pierwszym przykladzie na rys. 15.4a, ale teraz pojawilo siy "napryzenie" wil!zki, ktore opiszemy, wprowadzajl!c wlasciwy rodzaj koneksji na wiqzce. Poprzedni rodzaj koneksji, omawiany w rozdz. 14, zwil!zany byl z pojyciem "rownoleglosci" wektorow stycznych przenoszonych wzdluz krzywych na rozmaitosci M. W kontekscie obecnych rozwaZan powinnismy pomy§lee 0 wil!zce stycznej T(M) rozmaitosci M. PoniewaZ kazdy punkt T(M) reprezentuje wektorv styczny do M w pewnym punkcie a, to przesuniycie v wzdtuz jakiejs krzywej y w M bydzie reprezentowane przez krzyw~ Yv w T(M); zob. rys. 15.17a. Je§li wiemy, co oznacza slowo "rownolegly" w odniesieniu do przesuniycia v, to rozumiemy tez, co oznacza slowo "horyzontalna" w odniesieniu do krzywej Yv w wil!zce (poniewaz utrzymywanie krzywej Yv w polozeniu "horyzontalnym" na wi~zce oznacza, ze v pozostaje "staty" wzdluz krzywej y w bazie). Chcemy teraz uogolnie to pojycie, zeby mozna je bylo zastosowae do wil!zek innych niz wi~zka styczna (zob. rys. 15.17b). W rozdz. 14 zetknylismy siy juz z takim postulatem, poniewaz tam uogolnilismy pojycie koneksji, zeby je stosowae do obiektow innych niz wektory styczne, mianowicie do kowektorow i, ogolnie, do [~]-tensorow. Jednak, jak zaznaczylismyw rozdz. 15.1, owo uogolnienie jest dose ograniczone, poniewaz uogolnienie pojycia koneksji z wektorow na te inne rodzaje obiektow jest okreslone jednoznacznie i nie pozostawia nam dodatkowej swobody (glownie dlatego, ze wil!zka kostyczna i wil!zki tensorowe s~ calkowicie zdeterminowane przez wi~zky styczn(!). Dowolnej wil!zki nad M nie naleiy kojarzye z wi(!zk(! styczn(!, zeby spo-
Nietrywialnosc w koneksji wiClZki
15.7
Horyzontalna
Horyzontalna Y.
T(M)
la}
B
Ib}
Rys.15.17. Por6wnanie r6znych rodzaj6w koneksji na rozrnaitosci og61nej M. (a) Poprzednio opisana koneksja (rozdz. 14.3), definiuj,!ca pojycie przesuniycia r6wnoleglego wektor6w stycznych wzdluZ krzywych w M, przedstawiona jest w terminach wi,!zki stycznej T(M); rys. 15.12a. Konkretny wektor styczny v w punkcie a rozrnaitosci M reprezentowany jest w T(M) przez odpowiedni punkt wl6kna nad a. "Horyzontalna" krzywa Yv w T(M) reprezentuje przesuniycie r6wnolegle v wzdluz krzywej y w M. (b) Ta sarna idea znajduje zastosowanie w odniesieniu do wi
16.3
kie. Odnosi si~ to do moich wlasnych prob zbudowania przestrzeni w sposob skonczony, gdy korzystalem z teorii sieci spinowych (krotko przedstawi~ jq w rozdz. 32.6), ktora opiera si~ na fakcie, ze zgodnie ze standardow~ mechanik~ kwantow~ spin kazdego obiektu fizycznego jest calkowit~ (dodatni~) wielokrotnosciq pewnej ustalonej wielkosci kwantowej (til). Rzeczywiscie, jak juz 0 tym byla mowa w rozdz. 3.3, we wczesnych latach mechaniki kwantowej mielismy ogromn~ nadziej~, niespelnion~, niestety, na dalszy jej rozwoj. Liczylismy mianowicie, ze teoria kwantow doprowadzi fizyk~ do takiego obrazu swiata, w ktorym na poziomie wielkosci najmniejszych swiat staje si~ dyskretny i skonczony. Jak siy okazuje, w teoriach, ktore obecnie odnoszq najwi~ksze sukcesy, czasoprzestrzen traktujemy jako kontinuum nawet wtedy, gdy poslugujemy si~ poj~ciami kwantowymi, natomiast schematy, w ktorych wprowadzamy dyskretnosc czasoprzestrzeni w malej skali, musimy uznawac za "niekonwencjonalne" (rozdz. 33.1). Kontinuum pojawia si~ tam w sposob istotny nawet wtedy, gdy probujemy zastosowac idee mechaniki kwantowej do samej struktury przestrzeni i czasu. Odnosi si~ to w szczegolnosci do teorii zmiennych p~tlowych Ashtekara-Rovellego-Smolina-Jacobsona, w ktorej idee dyskretne (kombinatoryczne), takie jak w teorii w~zlow i l~czy, odgrywaj~ istotn~ roly, a do podstawowej struktury wchodz~ rowniez sieci spinowe. (Zarys tego interesuj~cego schematu poznamy w rozdz. 32, a w rozdz. 33.1 zetkniemy si~ z pewnymi innymi pomyslami dotyczqcymi "dyskretnej czasoprzestrzeni".) Okazuje siy, przynajmniej w chwili obecnej, ze nieskonczonosc musimy traktowac powaZnie, szczegolnie ze wzglydu na jej znaczenie w matematycznym opisie kontinuum fizycznego. Ale jaki rodzaj nieskonczonosci niezbydny jest tutaj? W rozdz. 3.2 przedstawilem krotko metody "przekroju Dedekinda", ktora pozwalala nam skonstruowac cialo liczb rzeczywistych w terminach nieskonczonych zbiorow liczb wymiernych. Jest to rzeczywiscie wielki krok naprzod, wprowadzaj~cy poj~cie nieskonczonosci, ktore ogromnie przewyzsza idey nieskonczonosci zwi¥anq z samymi liczbami wymiernymi. Sprobujmy przyjrzec si~ temu nieco bliZej. W 1874 roku wielki dunsko-rosyjsko-niemiecki matematyk Georg Cantor pokazal, jako cZysc teorii, ktoq rozwijal do 1895 roku, ze istniej~ nieskmlczonosci roinyeh rozmiarow! Okazuje siy, ze nieskonczonosc zbioru liczb naturalnych jest najmniejsz~ z nich i ze rozne nieskonczonosci pojawiaj~ siy bez konca, na corazwi~ksz~ skaly. Postarajmy si~ uchwycic r~bek tych fundamentalnych i zapieraj~cych dech idei Cantora.
16.3 R6i:ne rozmiary nieskonczonosci
Glownym skladnikiem rewolucyjnej idei Cantora jest pojycie odpowiedniosei wzamaj~ ty sam~ moe (co w jyzyku potocznym oznacza, ze majq "t~ sam~ liczby elementow"), jesli mozliwe jest przyporz~dkowanie elementow jednego zbioru elementom drugiego zbioru, jeden do jednego, w taki sposob, ze ani jeden z elementow kaZdego z tych zbiorow nie zostanie pominiyty. Jest rzecz~ zrozumial~, ze procedura ta daje prawidlow~ odpowiedz
jemnie jednoznaczne/. Mowimy, ze dwa zbiory
347
16
Drabina nieskoriclonosci
("tt( sam1! liczbt( element6w") w przypadku zbior6w skonczonych (tzn. zbior6w ze skonczon1! liczb1! 1, 2, 3, 4, ... element6w, a nawet element6w, w kt6rym to przypadku z1!damy, zeby ta odpowiedniosc byla pusta). JednakZe w przypadku zbior6w nieskonczonych pojawia sit( nowa cecha (zauwazona juz w 1638 roku przez wielkiego fizyka i astronoma Galileusza)5, kt6ra polega na tym, ze jakis zbi6r nieskonczony moze miec tt( sam1! moc co jego podzbi6r wlasciwy (przez slowo "wlasciwy" rozumiemy, ze jest to zbi6r inny niZ caly). Zobaczmy to na przykladzie zbioru liczb naturalnych N:
°
N = {a, 1,2,3,4, 5, ... }. Jesli z tego zbioru usuniemy 06, to otrzymamy nowy zbi6r, N - 0, kt6ry oczywiscie rna tt( sam1! moc co zbi6r N, poniewaZ mozna ustalic odpowiedniosc wzajemnie jednoznaczn1!, w kt6rej elementowi r w N odpowiada element r + 1 w N - 0. Alternatywnie mozemy posluZyc sit( przykladem Galileusza i przekonac sit(, ze zbi6r liczb kwadratowych {a, 1, 4, 9, 16, 25, ... } musi r6wniez miec tt( sam1! moc co N, niezaleinie od faktu, iz w dobrze okreslonym sensie liczby kwadratowe stanowi1! znikomo mal1! czt(sc calego zbioru liczb naturalnych. Mozemy tez zobaczyc, ze tt( sam1! moc rna r6wniez zbi6r wszystkich liczb calkowitych, Z. Wystarczy bowiem ustawiC liczby calkowite w porz1!dku
{a, 1, -1,2, -2, 3, -3, 4, -4, ... }, gdzie po prostu kolejnym parom przyporz1!dkujemy elementy {a, 1,2,3,4, 5, ... } zbioru N. Faktem bardziej zaskakuj1!cym jest to, ze zbi6r liczb wymiernych rna tt( sam1! moc co N. Jest wiele sposob6w, zeby sit( 0 tym przekonac bezposrednio[16.7J, [16.8J. Zamiast jednak przedstawic tt( odpowiedniosc szczeg610wo, zobaczmy raczej, jak ten szczeg6lny przypadek uklada sit( w og6lny schemat wspanialej teorii nieskonczonych liczb kardynalnych Cantora. Najpierw ustalmy, czym jest liczba kardynalna. W zasadzie jest to "liczba" element6w jakiegos zbioru, gdy uwazamy, ze dwa zbiory maj
R6i:ne rozmiary nieskonczonosci
16.3
naloienie pewnych ograniczen na rozmiary "wszechSwiata mozliwych zbiorow". Na temat tych klopotow powiem wi«cej, ale w tej chwili sprobujemy obejse t« trudnose, uciekaj,!c si« do sposobu, jakiego uiylem w Przedmowie, kiedy poslugiwatern si« poj«ciem "klasy rownowaznosci" do zdefiniowania liczb wymiernych. Potraktujemy liczby kardynalne jako byty matematyczne (mieszkancow swiata Platona), ktore mozemywyabstrahowae z poj«cia odpowiedniosci wzajemnie jednoznacznej mi«dzy zbiorami. B«dziemy wi«c mowie, ze zbior A "rna moc a" alba ze "rna a elementow", pod warunkiem ze 0 zbiorze B powiemy, iz "ma moc a" lub ze "ma a elementow" wtedy i tylko wtedy, gdy pomi«dzy A a B zachodzi odpowiedniose wzajemnie jednoznaczna. Zauwazmy, ie liczby naturalne mozemy w tym sensie uwaiae za liczby kardynalne i b«dzie to definicja znacznie blizsza intuicyjnemu zrozumieniu, "czym jest" liczba naturalna, niz "zwykla" definicja (0 = {}, 1 = {a}, 2 = {a, {O}}, 3 = {a, {O}, {a, {O}}}, ... ), jak,! podalismy w rozdz. 3.4! W istocie liczby naturalne s,! po prostu skmiczonymi liczbami kardynalnymi (w tym sensie, ie nieskoftczone liczby kardynalne S,! mocami zbiorow takich jak N, ktore zawieraj,! podzbiory 0 tej samej mocy co caty zbior). Nast«pnie ustalmy zwi,!zki pomi«dzy liczbami kardynalnymi. Powiemy, ie liczba kardynalna a jest mniejsza lub rowna liczbie kardynalnej {3 i napiszemy
a::::; {3 (albo, rownowaznie, {3 :? a), jesli elementy zbioruA 0 mocy a mog,! bye postawione w odpowiedniose wzajemnie jednoznaczn,! z element ami pewnego podzbioru (niekoniecznie musi to bye podzbior wtasciwy) elementow pewnego zbioru B 0 mocy {3. Powinno bye jasne, ie jesli a ::::; {3 i {3 ::::; y, to a ::::; y[I6.91• Jeden z pi«knych wynikow tej teorii liczb kardynalnych brzmi nast«puj,!co: jeieli
a ::::; {3 i {3::::; a, wowczas a ={3,
co oznacza, ie mi«dzy zbiorami A a B zachodzi odpowiedniose wzajemnie jednoznaczna[I6. I01. Mozemy zadae pytanie: czy istniej,! takie pary liczb kardynalnych a i {3, dla ktorych nie zachodzi zadna z relacji a ::::; {3 i {3 ::::; a? Takie liczby kardynalne bylyby nieporownywalne. I rzeczywiscie, z zalozenia znanego pod nazw'! aksjomatu wyboru (0 ktorym wspominalismy w rozdz. 1.3) wynika, ze liczby kardynalne nieporownywalne nie istniej,!.
ta
[16.9] Objasnij to szczeg610wo.
m [16.10] Udowodnij to. Szkic dowodu: istnieje odwzorowanie 1-1 b, kt6re odwzorowujeA na pewien podzbi6r bA (= b(A)) zbioru B, i odwzorowanie 1-1, odwzorowujqce B na pewien podzbi6r aB zbioruA; rozwazmy odwzorowanieA na B, kt6re wykorzystuje b do odwzorowaniaA-aB na bA-baB i abA-abaB na babA-babaB etc. i wykorzystuje a-I do odwzorowania aB-abA na B-bA i abaB-ababA na baB-babA, etc. Ustal, co naleiy zrobic z pozostalymi elementami A i B.
349
16
Drabina nieskoriclonosci
Aksjomat wyboru stwierdza, ze jesli mamy zbior A, ktorego wszystkie elementy s'l, zbiorami niepustymi, wowczas istnieje pewien zbior B, ktory zawiera dokladnie po jednym elemencie z kaZdego zbioru nalez'l,cego doA. Na pierwszy rzut oka wydawaloby siy, ze aksjomat wyboru stwierdza jedynie cos absolutnie oczywistego! (zob. rys. 16.4). lednakZe powszechna akceptacja jego prawdziwosci jest kontrowersyjna. Moim zdaniem naleiy zachowac ostroznosc. Ten aksjomat zawiera tylko czyste stwierdzenie 0 "istnieniu", bez jakiejkolwiek wskazowki, wedlug jakiej reguly naleiy wyspecyfikowac zbior B. Aksjomat wyboru zatem prowadzi do niepokoj'l,eych wnioskow, a przykladem jest twierdzenie Banacha-Tarskiego7 • ledna z wersji tego twierdzenia mowi, ze zwykla kula jednostkowa w trojwymiarowej przestrzeni euklidesowej moze zostac pociyta na piyc kawalkow 0 takiej wlasnosci, iZ za pomoC'l, ruchow euklidesowych (tzn. translacji i obrotow) mozna je zloiyc tak, aby powstaly dwie peIne kule jednostkowe! Oczywiscie, te "kawalki" nie s'l, cialami sztywnymi, ale skomplikowanymi ukladami punktow i S'l, zdefiniowane w sposob bardzo niekonstruktywny, a ich "istnienie" jest zagwarantowane jedynie na moey aksjomatu wyboru. Podam teraz, bez dowodu, kilka podstawowych wlasnosci liczb kardynalnych. Po pierwsze, symbol ~ rna zwykle znaczenie (zob. przyp. 1 w rozdz. 3) w odniesieniu do liczb naturalnych (liczb kardynalnych skonczonych). Po drugie, kazda liczba naturalna jest mniejsza lub rowna ( ~) od dowolnej nieskonczonej liczby kardynalnej - i, oczywiscie, jest sciSle mniejsza, tzn. mniejsza niz «), a nie rowna. Przypuscmy teraz, ze f3 ~ a, gdzie a jest nieskonczone, wowczas (do czego nie przywyklismy w przypadku liczb skonczonych) moc sumy A U B jest liczb'l, wiyksz'l, z tych dwu, a mianowicie a, i moc iloczynu A x B jest rowniez a. Przyklady iloczynow poznalismy w rozdz. 13.2 i 15.2. Zbior A x B zawiera wszystkie pary (a, b), gdzie a jest wziyte ze zbioru A i b z B. Dla zbiorow skonczonych moc ich iloczynu, jako zbiorow, jest zwyklym liczbowym iloczynem ich moey, a wiyc w przypadku zbiorow skonczonych zawieraj'l,cych wiycej niz jeden element jest on zawsze wiykszy od mocy kaZdego z tych zbiorow oddzielnie. Nie wydaje siy, zebysmy daleko zaszli drag'l, poszukiwania nieskonczonosci wiykszych od tych, jakie do tej pory poznalismy. Wydaje siy, ze utknylismy na a. W nastypnym podrozdziale zobaczymy, jak z tego wybrn'l,c. W tym mom encie nasze dokonania co najmniej wystarczaj'l" aby pokazac, ze ilosc liczb wymiernych jest taka sarna jak ilosc liczb naturalnych. Za Cantorem uiyjemy symbolu Xo
350
A
Rys. 16.4. Aksjomat wyboru stwierdza, ze dla kazdego zbioru A, kt6rego wszystkie elementy s~ zbiorami niepustymi, istnieje zbi6r B, kt6ry zawiera dokladnie po jednym elemencie z kaZdego ze zbior6w nalez~cych doA.
Argument przekqtniawy Cantara
16.4
(alef zero) dla oznaezenia mocy zbioru liezb naturalnyeh N, kt6ra, jak juz widzielismy, jest taka sarna jak moc zbioru liczb ealkowitych Z. W rzeczywistosci liczba nieskonczona Xo jest najmniejszq z liczb kardynalnyeh nieskonczonych. A jaka jest moc p zbioru liczb wymiernych? Dowolna liezba wymierna moze bye (na wiele sposob6w) zapisana jako alb, gdzie a i b Sq liczbami calkowitymi. Wybierajqc jeden z tych sposob6w (powiedzmy, najbardziej "uproszczony") dla kazdej liczby wymiernej, mamy odpowiedniose wzajemnie jednoznacznq miydzy zbiorem liczb wymiernych ajakims podzbiorem N x N. Z tego wynika, ze p jest mniejsza lub r6wna mocy zbioru N x N. Jednakie, na podstawie tego, co juz powiedzielismy (albo ewiczenia [16.8]), moe zbioru N x N jest r6wna mocy zbioru N, a wiyc Xo. Tak wiye p ~ XQ" Zbi6r wszystkich liczb calkowitych zawiera siy w zbiorze liczb wymiernych, z czego wynika, ze Xo ~ p. Stqd p = Xo.
16.4 Argument przekCltniowy Cantora Przejdziemy teraz do zdumiewajqcego osiqgniycia Cantora, a mianowicie do sposobu, w jaki ukazal, ze naprawdy istniejq, w sensie scislym, nieskonczonosci wiyksze niZ Xo' i ze moc zbioru liczb rzeczywistych lR. jest wlasnie takq nieskonczonosciq. Wynik przedstawiy jako specjalny przypadek bardziej og6lnego rezultatu Cantora
gdzie a < f3 oznacza a ~ f3 oraz a *- f3 (i, oczywiscie, mozemy r6wniez zapisywae a < f3 jako f3 > a). Przeprowadzony przez Cantora blyskotliwy dow6d tego wyniku (i sam wynik, rzeez jasna) stanowiq jedno z najbardziej oryginalnych i znaczqcych osiqgniye w calej historii matematyki. Przy tym jest on na tyle pro sty, ze mogy podae go tutaj w calosci. Najpierw wyjasniy notacjy. Jesli mamy dwa zbiory A i B, w6wczas zbi6r Jr oznacza zbi6r wszystkich odwzorowan A w B. Do czego jest nam potrzebna taka notacja? Wyobrazmy sobie, ze zbi6r A leZy przed nami, a kazdy jego element reprezentowany jest przez pewien "punkt". Aby sobie wyobraziC zbi6r Jr, kaidemu z tych punkt6w przyporzqdkujemy jakis element B. Jest to odwzorowanieA na B, poniewaz przyporzqdkowuje element B kazdemu elementowi A (zob. rys. 16.5). Powodem wykladniczej notacji Jr jest fakt, ze gdy ty proeedury zastosujemy do zbior6w skonczonych, powiedzmy do zbioru A 0 a elementaeh i do zbioru Bob elementach, w6wczas calkowita ilose sposob6w przyporzqdkowania elementu B a kazdemu elementowi A wynosi rzeczywiscie b • (Istnieje b mozliwosci dla pierwszego elementuA; istnieje b mozliwosci dla drugiego; tyle sarno dla trzeciego; i tak dalej, dla kazdego elementuA. Calkowita ilose jest wiyc b x b x b x b x ... x b, b a wystypuje tutaj a razy, a wiyc mamy b .) W zapisie Cantora mamy
na oznaczenie mocy zbioru Jr, gdzie a i f3 stanowiq, odpowiednio, moce zbior6w A i B.
351
16
Drabina nieskonclonosci
B xA
B
Rys. 16.5. Dla dowolnych zbior6w A, B zbi6r wszystkich odwzorowan
I
I
I
I
I
111111
A
Ana B oznaczamy Er (zob. r6wniez rys. 6.1). KaZdemu elementowi A przyporzlIdkowany jest jakis element B. Powstaje w ten spos6b przekr6j B x A, traktowany jako wiljZka nad A (jak na rys. 15.6a) z tym wyWkiem, ze pojycie cillglosci nie jest tu potrzebne.
Specjalne znaczenie rna przypadek f3 = 2. Niech B bt(dzie zbiorem dwuelementowym i niech tymi dwoma element ami bt(d,! znaczki "in" i "out". W tej sytuacji kaidy element zbioru F oznacza przyporz'!dkowanie znaczka "in" lub "out" kazdemu elementowi zbioruA. Takie przyporz,!dkowanie oznacza dokonanie wyboru jakiegos podzbioru A (mianowicie podzbioru z elementami "in"). Tak wit(c F w tym przypadku jest po prostu zbiorem podzbiorow A (ten zbior podzbiorow A jest zwykle oznaczany jako z4). A zatem: a
2 jest calkowit'! liczb,! podzbiorow dowolnego zbioru
352
0
a elementach.
Przejdzmy teraz do zdumiewaj,!cego dowodu Cantora. Przeprowadzimy go klasyczn,! metod,! staroiytnych Grekow przez reductio ad absurdum (zob. rozdz. 2.6 i 3.1). Najpierw zalozmy, ze a = 2a , a wit(c istnieje odpowiedniosc wzajemnie jednoznaczna mit(dzy zbioremA a jego zbiorem podzbiorow z4. W takim przypadku kazdy element A, przy tej odpowiedniosci, odpowiada pewnemu konkretnemu podzbiorowi Sea) zbioruA. Mozemy sit( spodziewac, ze niekiedy zbior Sea) bt(dzie zawieral a jako swoj element, a niekiedy nie. Rozwaimy wybor wszystkich elementow a, dla ktorych podzbior Sea) nie zawiera a. Ten wybor bt(dzie pewnym podzbiorem Q zbioru A (i ten podzbior, jesli potrzeba, moze byc zbiorem pustym, a moze tei byc calym zbiorem A). Przy zalozonej odpowiedniosci wzajemnie jednoznacznej dla pewnego q musi zachodzic Q = Seq). Teraz mozemy zapytac: czy q naleZy do Q, czy nie? Najpierw zalozmy, ze q nie naleZy do Q. W takim razie q musi nalezec do zbioru, ktory wlasnie wybralismy jako podzbior Q, a wit(c, w rezultacie, q naleZy do Q: mamy sprzecznosc. Musimy wit(c przyj,!c zalozenie altern atywne, ze q naleZy do Q. Ale wtedy q nie moze nalezec do zbioru, ktory wybralismy i nazwalismy Q, a zatem w efekcie q nie naleZy do Q: znowu sprzecznosc. NaleZy wit(c wyci,!gn,!c wniosek, ze nasza zalozona odpowiedniosc wzajemnie jednoznaczna mit(dzy zbiorami A a z4 nie istnieje.
Argument przekqtniawy Cantara
16.4
Wreszcie trzeba pokazac, ze a ::;;: 2a , a wiyc ze istnieje odpowiedniosc wzajemnie jednoznaczna miydzy A a jakims podzbiorem zbioru Y. Uzyskujemy to, wykorzystuj,!c odpowiedniosc wzajemnie jednoznaczn'!, ktora przyporz,!dkowuje kazdy element a zA szczegolnemu podzbiorowiA, zawieraj,!cemu tylko ten jeden element a i zadnego innego. W ten sposob dowiedlismy, ze a < Y, co bylo do okazania, poniewaz pokazalismy, ze a::;;: 2a , ale a"# 2a • Aczkolwiek ta argumentacja moze bye zrodtem pewnej niejasnosci (zachycam kazdego nieprzekonanego czytelnika do przeanalizowania tego dowodu jeszcze raz), jest nadzwyczaj "elementarna", w tym sensie, ze do jej zrozumienia nie potrzeba specjalnej znajomosci matematyki. Z tego punktu widzenia jej dalekosiyzne implikacje S,! naprawdy imponuj,!ce. Przekonujemy siy nie tylko, ze w sensie fundamentalnym liczb rzeczywistych jest wiycej niZ liczb naturalnych, ale takZe ze nie rna kresu wielkosci mozliwych liczb nieskonczonych. Ponadto, w nieco zmodyfikowanej postaci, pokazuje ona, ze nie istnieje sposob obliczeniowy, ktory pozwolilby nam rozstrzygn'!e, czy jakas ogolna procedura obliczeniowa zostanie doprowadzona do konca (Turing). Jej konsekwencj,!jest tez slynne twierdzenie G6dla o nierozstrzygalnosci, ktore glosi, ze nie istnieje taki zbior wiarygodnych regu! matematycznych, ktory obejmowalby wszystkie procedury niezbydne do ustalenia prawdy matematycznej. W nastypnym rozdziale sprobujy przybliZye czytelnikowi urok myslenia matematycznego, ktore prowadzi do tego rodzaju wynikow. Teraz jednakZe sprobujmy zrozumiee, w jaki sposob przedstawiony wynik prowadzi do dokonanego przez Cantora pierwszego wielkiego przelomu w naszym mysleniu 0 nieskonczonosci, a mianowicie do zrozumienia, ze istnieje duzo wiycej liczb rzeczywistych niz liczb naturalnych, pomimo ze wszystkich ulamkow jest dokladnie tyle, Be jest liczb naturalnych. (Przelom ten polega rowniei: na tym, ze doprowadzil do wniosku 0 istnieniu nietrywialnej teorii nieskonczonego!) Do takiego wniosku dojdziemy, jesli potrafimy zauwaZyc, ze moc zbioru liczb rzeczywistych, ktor,! zwykle oznaczamy liter'! C, jest rowna 2xo :
C = 2xo. Na tej podstawie dochodzimy do wniosku, ze C > Xo' jak tego potrzebowalismy. Jest wiele sposob6w pokazania, ze C = 2xo. Aby z kolei pokazae, ze 2xo::;;: C (i to jest w zasadzie wszystko, czego potrzebujemy, zeby C > Xo)' wystarczy ustalic, ze miydzy zr'l a pewnym podzbiorem ~ zachodzi odpowiedniosc wzajemnie jednoznaczna. Kaidy element 2N mozemy traktowac jako przyporz'!dkowanie 0 lub 1 ("in" alba "out") kazdej liczbie naturalnej, tzn. taki element mozna sobie wyobrazic jako ci,!g nieskonczony, na przyk!ad: 100110001011101.. . Ten konkretny element zbioru 2N przyporz,!dkowuje 1liczbie naturalnej 0, przyporZ,!dkowuje 0 liczbie naturalnej 1, przyporz,!dkowuje 0 liczbie naturalnej 2, przyporz,!dkowuje 1 liczbie naturalnej 3, przyporz,!dkowuje 1 liczbie naturalnej 4 itd.,
353
16
Drabina nieskoliclonosci
zatem naszym podzbiorem jest {O, 3, 4, 8, .. .}. Mozemy spr6bowac odczytac caly ten ci,!g cyfr jako binarne rozwiniycie pewnej liczby rzeczywistej, w kt6rej przecinek dziesiytny umieszczamy na samym koncu po lewej stronie. Niestety, taki przepis nie do konca siy sprawdza ze wzglydu na irytuj,!cy fakt pewnej dwuznacznosci w przedstawieniach, kt6re prowadz'! do nieskonczonego ci,!gu skladaj,!cego siy z samych zer alba z samych jedynek[16.111. Mozemy sobie z tym poradzic wieloma prostymi sposobami. Jednym z nich byloby przeplatanie cyfr binarnych na przyklad cyfq 3, w wyniku czego otrzymalibysmy ,313030313130303031303131313031 ... , co moglibysmy traktowac jako zwykle rozwiniycie dziesiytne jakiejs liczby rzeczywistej. W ten spos6b istotnie ustanowilismy odpowiedniosc wzajemnie jednoznaczn'! miydzy zbiorem 2M a pewnym podzbiorem]R (tym mianowicie, w kt6rym rozwiniycia dziesiytne maj,! ty dziwaczn'!, poprzeplatan,! tr6jk,! postac). St,!d 2Ko :::; C (i to daje nam wynik Cantora C > Xo)' czego potrzebowalismy. Aby wydedukowac, ze C = 2Ko, musimy pokazac, ze C :::; 2Ko. Zauwazmy, ze kazda liczba rzeczywista lez'!ca scisle w przedziale od 0 do 1 rna rozwiniycie binarne (takie jak poprzednio rozwazane), aczkolwiek czasami niejednoznaczne. Wobec tego ten konkretny zbi6r liczb rzeczywistych rna z pewnosci,! moc :::; 2Ko. Istnieje wiele prostych funkcji, kt6re odwzorowuj,! ten przedzial na caly zbi6r ]R[16.121, co oznacza, ze C :::; 2Ko, a zatem C = 2Ko, jak chcielismy wykazac. Oryginalna wersja tego dowodu, podana przez Cantora, r6znila siy nieco od tutaj przedstawionej, ale zasadnicze argumenty s,! te same. Wersja Cantora byla bardziej bezposrednia, ale r6wniez stanowila dow6d przez sprowadzenie do niedorzecznosci. Hipotetyczna odpowiedniosc wzajemnie jednoznaczna miydzy N a zbiorem liczb rzeczywistych, lei,!cych dokladnie w przedziale pomiydzy 0 i 1, byla przedstawiona jako ulozona w porz'!dku pionowym lista wszystkich liczb rzeczywistych, zapisanych w rozwiniyciu dziesiytnym. Sprzecznosc z zalozeniem, ze lista ta jest kompletna, Cantor uzyskal za pomoc,! tzw. argumentu przek'!tniowego, polegaj,!cego na tym, ze now'! liczby rzeczywist'!, nieznajduj,!C'! siy na tej liscie, uzyskuje siy, id'!c wzdluz g16wnej przek,!tnej tego ukladu liczb, zaczynaj'!c w lewym g6rnym rogu i zmieniaj,!c tak, zeby w n-tym miejscu znalazla siy jakas liczba inna od n-tej liczby rzeczywistej na liscie. (Istnieje wiele popularnych wersji tego dowodu; zob. np. wersjy podan,! w rozdz. 3 mojej ksi,!zki Nowe szaty cesarza. )[16131 a Ten typ dowodzenia (wl,!czaj,!c w to m6j spos6b pokazania, ze a < 2 ) jest nazywany "argumentem przek'!tniowym" Cantora.
ta [16.11] Wyjasnij to. ta [16.12] Przedstaw jeden z tych sposob6w. Wskaz6wka: zob. np. rys. 9.S.
354
~ [16.13] Wyjasnij, ze jest to w zasadzie ten sam argument, kt6ry przedstawilem w tekscie, a w przypadku a = Xo' aby pokazac, ze a < 2 •
Zagadki w podstawach matematyki
16.5
Jak zauwaZylismy, moc continuum (a wi((c JR.), 2Ko, oznaczana jest zwykle literq C. Cantor niewqtpliwie wolalby oznaczye jq jako ~1' przez co rozumial "nast((pnq najmniejszq" liczb(( kardynalnq po ~o. WloZyl wiele wysilku w udowodnienie, ze 2Ko = ~1' co si(( nie powiodlo, i od tej pory ta supozycja, znana pod nazwq hipotezy continuum, stala si(( jednym z najbardziej znanych nierozwiqzanych problemow matematycznych. W sensie "bezwzgl((dnym" pozostaje nierozwiqzana do dnia dzisiejszego. Kurt G6del i Paul Cohen potrafili pokazae, ze hipoteza continuum (podobnie zresztq jak aksjomat wyboru) nie moze bye wykazana metodami standardowej tearii mnogosci. Jednakze, ze wzgl((du na twierdzenie o nierozstrzygalnosci G6dla, do ktorego powroc(( za chwil((, a takze rozne zwiqzane z tym sprawy, nie rozwiqzuje to zagadnienia prawdziwosci hipotezy continuum. Jest nadal mozliwe, ze jakies bardziej pot((zne metody dowodzenia niz te, jakimi dysponuje standardowa teoria mnogosci, moglyby rozstrzygnqe kwesti((, czy hipoteza continuum jest prawdziwa, czy nie; a moze jej prawdziwose czy falszywose moze bye zalezna od tego, jakq "filozofiq matematyki" si(( kierujemy8. Wspominalismy 0 tym w rozdz. 1.3, ale raczej w kontekscie aksjomatu wyboru, a nie hipotezy continuum. Relacja a < 2a mowi nam, ze nie moze istniee nieskonczonose najwi((ksza; poniewaZ, gdybysmy chcieli przyjqe jakqs liczb(( kardynalnq Q jako najwi((kszq, to liczba kardynalna 2[1 musialaby bye uznana za jeszcze wi((kszq. Ten fakt (i argument Cantora, ktory tego dowiodl) mial ogromne znaczenie dla samych podstaw matematyki. Bertrand Russell, ktory byl poczqtkowo przekonany, ze musi istniee najwi((ksza liczba kardynalna (ta mianowicie, ktora jest liczbq klas wszystkich klas), powqtpiewal w scislose dowodu Cantara, jednakZe okolo 1902 roku po jego szczegolowym przestudiowaniu zmienil zdanie. W rezultacie sam zastosowal argument Cantora do "zbioru wszystkich zbiorow", co doprowadzilo do odkrycia slawnego "paradoksu Russella"! Paradoks ten przedstawia si(( nast((pujqCo. RozwaZmy zbi6r R, ktory zawiera "wszystkie zbiory, jakie nie Sq swoimi wlasnymi elementami". (W tej chwili nie rna znaczenia, czy czytelnik jest gotow uwierzye w istnienie zbior6w, kt6re mogq bye swoimi elementami. Jesli zaden zbior nie naleZy do samego siebie, to R jest zbiorem wszystkich zbiorow.) Zapytajmy teraz: a co z samym zbiorem R? Czy R jest swoim wlasnym elementem? Zalozmy, ze jest. Jesli tak, poniewaz naleZy on do zbioru R, zawierajqcego zbiory, ktore nie Sq swoimi wlasnymi elementami, to znaczy, ze nie jest swoim wlasnym elementem - mamy wi((c sprzecznose! Alternatywnym zalozeniem jest to, ze nie naleZy on do samego siebie. Ale w takim razie musi bye czlonkiem calej rodziny zbiorow, ktore nie Sq swoimi elementami, to znaczy musi nalezee do zbioru R. W takim razie R naleZy do R, co zaprzecza zalozeniu, ze nie naleZy on do samego siebie. Jest to sprzecznose oczywista! Warto zauwaZye, ze taka sytuacja powstaje w przypadku dowodu Cantora, ze a < 2a, jesli probujemy go zastosowae do przypadku, gdy przez a rozumiemy "zbior
355
16.5 Zagadki w podstawach matematyki
16
Drabina nieskoriclonosci
wszystkich zbior6w,,[16.14J. I rzeczywiscie, wlasnie w ten spos6b Russell doszedl do odkrycia owego paradoksu9 • Naprawdl( ten argument jedynie wykazuje, ze nie istnieje cos takiego jak "zbi6r wszystkich zbior6w". (Cantor zdawal sobie z tego spralO Wl( i wiedzial 0 paradoksie Russella na cale lata przed nim .) Moze wydawae sil( dziwne, ze takie naturalne pojl(cie jak "zbi6r wszystkich zbior6w" jest wrl(cz zakazane. Mozna sobie wyobraiae, ze uprawniony jest kaidy opis zbioru, kt6ry podaje dobrze zdefiniowanq regull(, jak rozstrzygnqe 0 tym, czy cos naleiy, czy tei nie naleiy do tego zbioru. W tym przypadku wydaje sil(, ze taka regula istnieje z calq pewnosciq, gdyz do tego zbioru naleiy kaidy zbi6r! Kruczek w tym wypadku polega raczej na tym, ze pozwalamy, aby ten sam status przyznae zar6wno tej monstrualnej kolekcji wszystkich zbior6w, jak kaidemu z jej element6w, a mianowicie okreslajqc je tq samq nazwq: zbi6r. Rzecz cala sprowadza sil( do jasnego wyobrazenia 0 tym, czym w istocie jest zbi6r. A kiedy jui odpowiemy sobie na to pytanie, w6wczas powstaje kwestia: czy kolekcjl( wszystkich takich "rzeczy" mozemy uwaiae za zbi6r? Dowiedzielismy sil( od Cantora i Russella, ze odpowiedi na to pytanie musi brzmiee: NIE! Sposobem, jakim matematycy pr6bujq obejse tl( oczywiscie paradoksalnq sytuacjl(, jest rozr6znienie mil(dzy "zbiorami" a "klasami". (Pomyslmy sobie, ze za klasy uwazamy jakies wielkie i "buntownicze" byty, jakich nie chcemy widziee w naszym klubie, podczas gdy zbiory Sq zawsze dostatecznie porzqdne i godne szacunku.) Z grubsza m6wiqc, przez klaSfi bl(dziemy rozumieli dowolnq kolekcjl( zbior6w, kt6rq wolno bl(dzie uwaiae za pewnq calose. Niekt6re klasy Sq wystarczajqco poprawne, aby mozna je same uwazae za zbiory, podczas gdy inne mogq bye "zbyt duze" lub "zbyt balaganiarskie", zeby je traktowae jako zbiory. Z kolei nie zawsze wolno nam lqczye klasy, aby utworzye wil(ksze kolekcje. Tak wil(c nie jest dozwolone utworzenie "zbioru wszystkich zbior6w" (ani "klasy wszystkich klas"), ale w pelni uprawnione jest utworzenie "klasywszystkich zbior6w". TI( "najwyzszq" klasl( Cantor oznaczylliterq Q i przypisywal jej nieomal boskie znaczenie. Nie mamy prawa tworzye klas wil(kszych niz Q. Klopot z 2n polegalby na tym, ze prowadzilby do "skolekcjonowania" wszystkich r6znych "podklas" Q, kt6rych wil(kszose nie nalezalaby do kategorii zbior6w, a zatem jest to niedozwolone. Muszl( wyznae, ze ja sam jestem zdecydowanie nieusatysfakcjonowany tym wszystkim. Procedura taka moglaby bye rozsqdna, gdyby istnialo jasne kryterium pozwalajqce jednoznacznie okreslie, kiedy jakas klasa kwalifikuje sil( do tego, zeby jq nazwae zbiorem. Jednakie, jak sil( okazuje, to rozr6znienie dokonuje sil( bardzo okrl(znq drogq. Klasl( proponujemy uwaiae za zbi6r wtedy i tylko wtedy, gdy ona sarna moze bye elementem jakiejs innej klasy. Wedlug mnie w ten spos6b wpl(dzamy sil( w jeszcze wil(ksze klopoty, polegajqce na tym, ze nie spos6b wskazae oczywistego miejsca do wytyczenia granicy. Jeslijuz takq granicl( wytyczymy, to po chwili okazuje sil(, ze zostala okreslona zbyt wqsko. Wydaje sil(, ze nie rna zadnego powodu, bysmy nie mogli do naszego klubu zbior6w dolqczye jakichS wil(kszych (lub
356
r!1i [16.14] Pokai, ze tak jest.
Maszyny Turinga i twierdzenie GOdla
16.6
bardziej nieporz,!dnych) klas. Oczywiscie, musimywystrzegac siy jawnych sprzecznosci. Okazuje siy, ze im bardziej liberalne s,! reguly przyjycia do tego klubu zbiorow, tym potyzniejsze staj,! siy metody matematycznego dowodzenia na podstawie takiej koncepcji zbioru. Sprobujmy jednak otworzyc drzwi naszego klubu 0 wlos za szeroko i od razu katastrofa - SPRZECZNOSCl - i cala budowa natychmiast siy wali. Dlatego narysowanie linii demarkacyjnej okazuje siy jedn,! z najbardziej subtelnych i trudnych procedur matematycznych ll . Wielu matematykow wolaloby wycofac siy z takiego ekstremalnego liberalizmu, sklaniaj,!c siy do bardziej sztywnego podejscia "konstruktywistycznego", zgodnie z ktorym 0 zbiorze mowimy tylko wtedy, gdy mozemy podac bezposredni przepis konstrukcyjny pozwalaj'!cy na okrdlenie, kiedy jakis element naleiy do zbioru, a kiedy nie. Z pewnosci,! zbiory zdefiniowane jedynie na podstawie aksjomatu wyboru nie spelnialyby takich sztywnych regul. Okazuje siy jednak, ze takZe ci radykalni konserwatysci nie s,! wcale mniej narazeni na "argument przek,!tniowy Cantora" niz radykalni liberalowie. W nastypnym rozdziale dowiemy siy, na czym polega ktopot.
16.6 Maszyny Turinga i twierdzenie Godla Najpierw musimy sobie wyjasnic, co to znaczy "skonstruowac" cos w matematyce. W tym miejscu, dla naszych niezbyt wyrafinowanych rozwazail, najlepiej bydzie ograniczyc siy do podzbiorow zbioru wszystkich liczb naturalnych, N. Mozemy postawic pytanie: ktore z tych podzbiorow S,! zdefiniowane w sposob "konstruktywny"? Na szczyscie mamy do dyspozycji kapitalne pojycie, ktore rozwazali rozni dwudziestowieczni 10gicy12, a ostatecznie sprecyzowal w 1936 roku Alan Turing. Jest to pojycie obliczalnoSci. PoniewaZ znajomosc komputerow jest dzisiaj rzecz'! zwykt'!, wiyc moze wystarczy, jesli dla wyjasnienia tego pojycia odwolam siy raczej do funkcjonowania tych fizycznych urz'!dzen, zamiast podejmowac proby precyzyjnego matematycznego sformulowania. Mowi,!c z grubsza, obliczeniem (albo algorytmem) jest cos, co wykonatby idealny komputer, a przez slowo "idealny" rozumiemy taki komputer, ktory moglby pracowac bez "wyczerpania" dowolnie dlugo, nigdy nie popelniaj,!c blydu i dysponuj,!c nieograniczon,! pamiyci,!. W matematyce taki wyidealizowany twor nazywamy maszyn,! Turinga13. Kazda konkretna maszyna Turinga T oznacza pewne specyficzne obliczenie wykonywane na liczbach naturalnych. Dzialanie T na jak,!s liczby naturaln,! n zapisujemy jako T(n) i zwykle otrzymujemy w wyniku jak,!s inn,! liczby naturaln,! m:
T(n) =m. Maszyna Turinga moze miec ty cechy, ze siy "zapytli", poniewaz wykonywane obliczenie moze nie miec konca. Maszyny Turinga, ktora nie konczy pracy, gdy zaczyna od pewnej liczby naturalnej n, bydy nazywal wadliwq. Maszyny bydy nazywal skutecznq, jesli, przeciwnie, wykonuje obliczenia do konca, bez wzglydu na to, od jakiej liczby zaczyna.
357
16
Drabina nieskonclonosci
Przyldadem wadliwej maszyny Turinga bylaby taka, ktora zaczynaj
(ook)oc!'
=
ookoc!'.
Kiedy pola spelniaj,! odpowiednie cz'!stkowe rownania rozniczkowe, wowczas mog,! bye calkowicie wyznaczone przez wartosci pocz'!tkowe tych pol (zob. w szczegolnosci rozdz. 27.1), a wiyc przez pomocnicze dane wyspecyfikowane na pewnej, nizej wymiarowej przestrzeni S, powiedzmy, 0 q wymiarach. Jesli te dane mog,! bye swobodnie okreslone na S (to znaczy jesli nie wystypuj,! wi~zy, jakie mog,! miee postae rownan rozniczkowych lub algebraicznych, ktore musz'! bye spelnione na S) i jesli dane te oznaczaj'! r niezaleznych skladowych w kazdym punkcie S, wowczas powiemy, ze liczba stopni swobody takiego pol a wynosi exfocfl. W wielu przypadkach nie jest wcale latwe znalezienie r i q, ale istotne jest, ze s,! to wielkosci niezmiennicze, a wiyc niezaleine od tego, jak te pol a mog,! bye wyrazone w terminach innych rownowaznych wielkosci 18 • Sprawy te byd,! waine w dalszych czysciach tej ksi,!zki (zob. rozdz. 23.2, 31.10-12,15-17).
Przypisy Rozdzial16.2 Zob. Howie (1989), s. 269-271; Hirschfeld (1998), s. 098. Kola magiczne Sq rownowazne tzw. zbiorom roinic doskonalych. 2 Jak sit( wydaje, nie wiemy, czy istniejq kola magiczne (oczywiscie nie na plaszczyznie JP'2(lF'q)), do ktorych nie stosuje sit( twierdzenie Desargues'a (lub, rownowaznie, Pappusa); innymi slowy: czy istniejq "niedesarguesowskie" (czy tez "niepappusowskie") skonczone plaszczyzny rzutowe. 3 Od czasu do czasu pojawiajq sit( koncepcje promujqce fizycznq rolt( oktonionow zob. np. Giirsey, Tze (1996); Dixon (1994); Manogue, Dray (1999); Dray, Manogue (1999); istniejq jednak fundamentalne problemy z ogolnq "oktonionowq mechanikq kwantowq" - Adler I
363
16
Drabina nieskoriclonosci (1995). Niewiele lepiej przedstawiaja si~ proby stworzenia "kwaternionowej mechaniki kwantowej". Innym cialem liczbowym, sugerowanym jako kandydat do odegrania znacz'!cej roli fizycznej, jest system "liczb p-adycznych". Liczby te twOfZ,! system, do ktorego stosuj,! si~ reguly rachunku rozniczkowego i calkowego. Mog,! one bye przedstawiane podobnie jak zwykle rozwini~cie liczb dziesi~tnych, ale wyst~puj,! tu cyfry 0, 1,2,3, .. .,p -1 (gdzie p jest wybran,! liczb,! pierwsz'!) i rozwijane w nieskonczonose w kierunku przeciwnym niz w przypadku zwyklych liczb dziesi~tnych (i nie potrzebujemy znaku "minus"). Na przyklad ... 24033200411,3104 przedstawia liczb~ 5-adycZll,!. Reguly dodawania i mnozenia s,! takie same, jak bylyby w przypadku "zwyklej" p-owej arytmetyki (w ktorej zamiast symbolu ,,10" wyst~puje liczba pierwszap, itd.). Zob. Mahler (1981); Gouvea (1993); Brekke, Freund (1993); Vladimirov, Volovich (1994); Pitkaenen (1995).
Rozdzial 16.3 Wspolczesna terminologia matematyczna nazywa to izomorfizmem zbiorow. Istniej,! tez inne poj«cia, takie jak "endomorfizm", "epimorfizm", "monomorfizm" (lub, po prostu, "morfizm"), jakich matematycy uZywaj,! do scharakteryzowania odwzorowan jednych zbiorow lub struktur na inne. W ksi,!zce staram si~ unikae tego rodzaju terminologii, s,!dz« bowiem, ze przyzwyczajenie si~ do niej wymaga wi~cej wysilku ze strony czytelnika, niz to jest niezb«dne do naszych celow. 5 0 wczesniejszych poszukiwaniach w tym kierunku zob. Moore (1990), rozdz. 3. 6 Przypomnijmy na podstawie przyp. 5 w rozdz. 15, ze jestem sklonny naduZywae zapisu, w ktorym przez N - 0 rozumiemy zbior niezerowych liczb naturalnych. Ironia polega na tym, ze gdybysmy przyj«li, na pozor "bardziej poprawny", zapis N - {O}, adaptuj,!c rowniez procedury z rozdz. 3.4, gdzie {O} = 1, wowczas powstalaby sytuacja jeszcze bardziej klopotliwa, gdyz mielibysmy wtedy do czynienia ze zbiorem "N - I"! 7 Zob. Wagon (1985); w populamym uj«ciu zob. Runde (2002). 4
Rozdzial16.5 Podobne uwagi odnosz'! si~ do uogolnionej hipotezy continuum Cantora: 2Nn. = l'{a+l (gdzie a jest "liczb,! porz'!dkow'!", ktorej definicji nie omawialismy), a takZe do aksjomatu wyboru. 9 Zob. Russell (1903), s. 362, przyp. 2 (edycja z 1937 roku). 10 Zob. van Heijenoort (1967), s. 114. 1J Zob. Woodin (2001), ktory informuje 0 nowych podejsciach do tych problemow. Ogolne referencje do podstaw matematyki znaleze mozna w: Abian (1965) i Wilder (1965). 8
Rozdzial16.6 Tymi prekursorami byli, w pierwszym rz«dzie, Alonzo Church, Haskell B. Curry, Stephen Kieene, Kurt G6del i Emil Post; zob. Gandy (1988). 13 Szczegolowy opis maszyny Turinga znajdziemyw: Penrose (1989), rozdz. 2; a takZe np. w: Davis (1978). Zrodlo: Turing (1937). 14 Zob. Singh (1997); Wiles (1995). 12
Rozdzial16.7 Zob. Penrose (1989, 1994, 1997). 16 Zob. Komar (1964); Geroch, Hartle (1986), rozdz. 34.7. 17 T~ poiyteczn'! notacj~ zawdzi«czam Johnowi A. Wheelerowi; zob. Wheeler (1960), s. 67. 18 Zob. Cartan (1945), szczegolnie rozdz. 68, 69 na s. 75, 76 (w wydaniu oryginalnym). Wymaq 364 gana jest tu ostroznose, aby wielkose r w ooroo zostala prawidlowo obliczona. Dwa systemy 15
Przypisy mogq bye r6wnowaine, choe ich wartosci r na pierwszy rzut oka zdajq si y r6zne. JednakZe
nie moze bye dwuznacznosci przy okresleniu wartosci q. Scisle wsp6lczesne podejscie w ramach teorii wiqzek dietowych wyjasnia te sprawy - zob. Bryant et al. (1991). Naleiy tez wspomniee, ze istnieje udoskonalona wersja zapisu Wheelera - zob. Penrose (2003), gdzie oo2 na przyklad (Xl +3OO '+5 oznacza, ze "pola zalezq od 2 funkcji 2-zmiennych, 3 funkcji 1-zmienOO nej i 5 stalych". W ten spos6b musimy rozwazae wyrazenia typu rx/ ), w kt6rych p oznacza nieujemne wsp6lczynniki calkowite.
17 Czasoprzestrzen 17.1 Czasoprzestrzefl fizyki Arystotelesa W POPRZEDNICH rozdzialach zajmowalismy sit( przede wszystkim rozwazaniami matematycznymi. Od tego momentu uwagt( skierujemy na aktuainy obraz swiata fizycznego, do ktorego doprowadzily nas teoria i obserwacje. Rozpocznijmy od proby zrozumienia areny, na ktorej rozgrywajq sit( wszystkie zjawiska fizycznego WszechSwiata: od czasoprzestrzeni. Przekonamy sit(, ze to pojt(cie odgrywa istotnq roIt( w pozostalej czt(sci pracy! Najpierw musimy zapytae: dIaczego "czasoprzestrzen,,?1 Co jest niewlasciwego w oddzieinym mysleniu 0 czasie i przestrzeni, dIaczego potrzebujemy polqczye te dwa na pozor rozne pojt(cia w jedno? NiezaIeznie od obecnie powszechnej opinii na ten temat i niezaleznie od nadzwyczajnego zastosowania tej koncepcji przez Einsteina w konstrukcji ogoInej teorii wzgIt(dnosci, czasoprzestrzen nie byla jego oryginainym pomyslem; jak sit( zdaje, nie byl on nawet jej specjainym entuzjastq, kiedy po raz pierwszy 0 niej uslyszal. Co wit(cej, kiedy teraz przyjrzymy sit( wspanialym, znacznie starszym zasadom wzgIt(dnosci Galileusza i Newtona, zobaczymy, ze oni rowniez mogli wiele skorzystae, gdyby rozpatrywali zjawiska w perspektywie czasoprzestrzeni. Aby to zrozumiee, cofnijmy sit( znacznie w historii, zeby dowiedziee sit(, jaki rodzaj struktury czasoprzestrzennej bylby odpowiedni w dynamice Arystotelesa i jego wspolczesnych. W fizyce Arystotelesa istnieje koncepcja euklidesowej 3-przestrzeni lE\ ktora reprezentuje przestrzen fizycznq, a punkty w tej przestrzeni zachowujq swojq tozsamose w czasie. Dzieje sit( tak dlatego, ze w dynamice Arystotelesa stan spoczynku jest preferowany w porownaniu ze wszystkimi pozostalymi stanami ruchu. Przyjmujemy takie stanowisko, ze jakis wybrany punkt przestrzenny w jednej chwili jest tym samym punktem przestrzennym w jakiejs pozniejszej chwiIi, jesli cZqstka materialna, umiejscowiona w tym punkcie, pozostaje w spoczynku od jednej chwili do drugiej. N asz obraz rzeczywistosci jest podobny do ekranu kinowego, na ktorym konkretny punkt zachowuje swojq tozsamose bez wzglt(du na to, jak bardzo dynamiczne ruchy moglyby bye na ten punkt rzutowane; zob. rys. 17.1. Rowniez czas jest przedstawiany jako przestrzen euklidesowa, ale raczej jako przestrzen trywialna, w tym wypadku przestrzen jednowymiarowa, lEI. A zatem
Czasoprzestrzen fizyki Arystotelesa
17.1
Rys. 17.1. ezy na ekranie kinowym mamy do czynienia z ruchem? Konkretny punkt na ekranie (tutaj zaznaczony jako "x") zachowuje swoj~ tozsamosc bez wzgllYdu na to, jakie ruchy na niego rzutujemy.
o czasie myslimy tak jak 0 przestrzeni fizycznej, a wiyc obdarzonej "geometri~ Euklidesa", a nie jako 0 kopii osi rzeczywistej R Dzieje siy tak dlatego, ie os lR rna wyr6iniony punkt 0, kt6ry reprezentowalby czas "zero", podczas gdy zgodnie z zasadami dynamiki Arystotelesa iaden punkt nie powinien bye wyr6iniony jako pocz~tek. (W tym miejscu, oczywiscie, przyjmujy wyidealizowane spojrzenie na to, co moina by nazwae "dynamik~ Arystotelesa" lub "fizyk~ Arystotelesa", i nie przejmujy siy tym, co prawdziwy Arystoteles m6g1by 0 tym myslee!)2 Gdyby "poczqtek czasu" mial bye wyr6iniony, w6wczas prawa dynamiki powinny siy zmieniae w czasie w miary odchodzenia od punktu pocz~tkowego. Jesli pocz~tek nie jest wyr6iniony, to prawa dynamiki musz~ pozostawae niezmienne w czasie, poniewai: nie istnieje wyr6iniony parametr czasowy, od kt6rego te prawa bylyby zaleine. Podobnie przyjmujy, ie nie istnieje wyr6iniony pocz~tek przestrzenny i ie przestrzen rozci~ga siy nieskonczenie we wszystkich kierunkach, z zachowaniem catkowitej jednorodnosci w prawach dynamiki (r6wniei bez wzglydu na to, co sam Arystoteles m6g1by 0 tym myslee!). W geometrii Euklidesa, zar6wno w l-wymiarowej, jak i w 3-wymiarowej, istnieje pojycie odleglosci. W 3-wymiarowym przypadku przestrzennym jest to zwykla odleglosc euklidesowa (mierzona, powiedzmy, w metrach lub w stopach), w przypadku l-wymiarowym t~ od1eglosci~ moie bye zwykly interwal czasowy (mierzony, powiedzmy, w sekundach). W fizyce Arystotelesa - oraz w p6zniejszych dynamicznych schematach Galileusza i Newtona - istnieje absolutne pojycie jednoczesnoSci czasowej. Oznacza to, ie - zgodnie z tymi dynamicznymi obrazami swiata - bezwzglydny sens rna stwierdzenie, ii czas tutaj, w dokladnie tym samym momencie, w kt6rym siedzy, pisz~c ty ksi¥ky przy moim biurku w Oksfordzie, jest"tym samym czasem", w kt6rym zachodzi jakies zdarzenie w galaktyce Andromedy (na przyklad wybuch supernowej).Wracaj~c do naszej analogii do ekranu kinowego, mamy prawo zapytae, czy dwa rzutowane obrazy, pojawiaj~ce siy na dw6ch daleko od siebie odleglych miejscach ekranu, wystypuj~ jednoczesnie, czy tei nie. W tym przypadku odpowiedz jest klarowna. Dwa zdarzenia uwaiamy za jednoczesne wtedy i tylko wtedy, gdy pojawiaj~ siy w tym samym kadrze rzuconym na ekran. A zatem mamy
367
17
Czasoprzestrzen
Rys. 17.2. Czasoprzestrzen Arystotelesa A = ]&1 X ]&3 jest przestrzeni~ par (t, x), gdzie t ("czas") zmienia sit( w euklidesowej I-przestrzeni ]&\ a x ("punkt przestrzenny") zmienia sit( w euklidesowej 3-przestrzeni ]&3.
nie tylko jasn,! koncepcjy tego, czy dwa (czasowo oddzielone) zdarzenia wystypuj,! w tym samym miejscu na ekranie, ale mamy tez klarown'! koncepcjy tego, czy dwa (oddzielone przestrzennie) zdarzenia zachodz'! w tym samym czasie. Co wiycej, jesli przestrzenne polozenia dw6ch zdarzeii s,! r6zne, posiadamy tez jasn,! koncepejy odleglosci miydzy nimi, niezaleznie od tego, czy zaehodz,! one w tym samym czasie (tzn. odleglosc mierzymy na ekranie). Gdy czasy, w jakich wystypuj,! te zdarzenia, s,! r6zne, mamy r6wniez jasn,! koncepcjy interwalu czasowego miydzy nimi, bez wzglydu na to, czy zachodz'! w tym samym, czy w r6znych miejscach. Wszystko to oznacza, ze w naszym schemacie fizyki Arystotelesa mozemy traktowac czasoplZestrzeft po prostu jako iloczyn
A
= lffil X lffi3
i nazywac j,! czasoplZestlZeniq Arystotelesa. To po prostu przestrzeii par (t, x), gdzie t jest elementem lffi\ "czasem", a x elementem lffi3, "punktem w przestrzeni"; zob. rys. 17.2. Dla dwu r6znych punkt6w lffil x lffi3, powiedzmy (t, x) i (t', x') - a wiyc dla dwu r6znych zdalZeft - rnamy dobrze okreslone pojycie ich odleglosci przestrzennej, mianowicie odleglosci miydzy punktarni x i x' w przestrzeni lffi3, a takZe dobrze okreslone ich rozr6znienie czasowe, mianowieie odleglosc miydzy t a t ' mierzon,! w lffil. W szczeg6lnosci wiemy, czy dwa zdarzenia zachodz,! w tym samym miejscu (ich odleglosc przestrzenna znika), a takZe czy zachodz'! w tym samym czasie (znika r6znica czas6w).
17.2 Czasoprzestrzeri
368
wzgl~dnosci
Galileusza
Przyjrzyjrny siy teraz, jaka koncepcja czasoprzestrzeni odpowiada schematowi dynamiki wprowadzonemu przez Galileusza w 1638 roku i jak wl,!czyc zasad~ wzgl~dnosci Galileusza do naszego czasoprzestrzennego obrazu. Spr6bujmy przypornniec, co ta zasada glosi. Trudno wyrazic j,! lepiej, niz to zrobil sam Galileusz, i dlatego po prostu zacytujmy go (na podstawie tlumaczenia Stillman a Drake'a3, kt6re w skr6cie przytaczam; bardzo polecam zapoznanie siy z caiosci,! cytowanego fragmentu):
Czasoprzestrzeri
wzgl~dnosci
Galileusza
17.2
Zamknij sit( z przyjacielem w gl6wnej kabinie, pod pokladem jakiegos wielkiego statku, w towarzystwie much, motyli i innych malych latajqcych stworzen [... ] powies butelkt(, z kt6rej kropla po kropli bt(dzie kapala ciecz na wielkq podlogt( statku [... ] niech statek plynie z takq szybkosciq, jaka ci odpowiada, pod warunkiem ze jest to szybkose jednostajna i statek nie jest rzucany to w tt(, to w tamtq stront( [... ] Te krople bt(dq spadaly na podlogt( statku bezposrednio pod butelkq, a nie bt(dq skrt(caly w stront( steru, pomimo tego, ze podczas gdy krople poruszajq sit( w powietrzu, statek przesunql sit( juz na pewnq odleglose [... ] muchy i motyle bt(dq kontynuowaly swoje loty w kazdym kierunku i nigdy sit( nie zdarzy, zeby skupialy sit( blizej steru, jakby mialy dose trzymania sit( kursu, kt6rym podqia statek [... ]
Galileusz uczy tutaj, ze prawa dynamiki S(! takie same w kaZdym jednostajnie poruszaj(!cym siy ukladzie. (Takie przekonanie stanowilo zasadniczy pow6d, dla kt6rego Galileusz calkowicie zaakceptowal pogl(!d Kopernika, ze Ziemia moze byc w ci(!glym ruchu, mimo iz ruch ten jest dla nas niedostrzegalny. Byl to pogl(!d sprzeczny z pogl,!dem Arystotelesa, kt6ry wymagal, zeby Ziemia pozostawala w spoczynku.) Nie istnieje spos6b, kt6ry by pozwalal odr6znic stan spoczynku od stanu ruchu jednostajnego. Ale co to oznacza w swietle informacji podanych w poprzednim podrozdziale? Przyjycie takiego stanowiska prowadzi do wniosku, ze stwierdzenie, iz jakis wybrany punkt przestrzeni w jak,!s chwily p6zniej jest albo nie jest tym samym punktem, nie rna zadnego sensu z dynamicznego punktu widzenia. Innymi slowy, nasza analogia do kadr6w na ekranie kinowym nie rna tutaj zastosowania! Nie istnieje zadna przestrzen "da", jakis "ekran", kt6ry pozostaje nieruchomy z uplywem czasu. Nie mozemy sensownie powiedziec, ze jakis konkretny punkt p w przestrzeni (powiedzmy, punkt oznaczaj'!cy wykrzyknik na klawiaturze mojego laptopa) jest, albo nie jest, tym samym punktem w przestrzeni, w jakim znajdowal siy minuty temu. Bardziej przystypnie: pomyslmy 0 obrocie Ziemi. Zgodnie z tym ruchem, kazdy punkt na powierzchni Ziemi (powiedzmy, na szerokosci geograficznej Oksfordu) w ci(!gu tej minuty przesun(!l siy na odleglosc 10 mil. W takim razie punkt p, kt6ry przed chwil,! wybraiem, znajduje siy teraz w okolicy s,!siedniego miasta Witney, alba nawet jeszcze dalej. Ale chwileczky! Przeciez nie wzi,!lem pod uwagy ruchu Ziemi dookola Slonca. Jesli i ten ruch uwzglydniy, w6wczas okaze siy, ze punkt p znajduje siy juz w odleglosci okolo stu razy wiykszej, w dodatku w przeciwnym kierunku (poniewaz, gdy to piszy, jest juz nieco po poludniu i powierzchnia Ziemi w tym miejscu przesuwa siy w kierunku przeciwnym do jej ruchu wok6l Slonca), a w takim razie oddalilismy siy od punktu p na tak'! odleglosc, ze znajduje on siy juz poza zasiygiem atmosfery ziemskiej! Ale czy nie powinienem wzi,!c pod uwagy ruchu Slonca wok61 centrum galaktyki Drogi Mlecznej? A co, w takim razie, z "ruchem wlasnym" samej Drogi Mlecznej w tej grupie galaktyk? Albo ruchem tej lokalnej grupy galaktyk wok6l srodka gromady Virgo, kt6rej stanowi malenki fragment, alba ruchem gromady Virgo w odniesieniu do ogromnej supergromady Coma, albo, byc moze, gromady Coma w kierunku "Wielkiego Atraktora" (rozdz. 27.11)?
369
17
Czasoprzestrzeri
'~!\-- -\---Ll -/-;' /"-.
. "._
~ 370
Ten "wi£!zkowy" obraz czasoprzestrzeni jest bardzo interesuj£!cy, ale jak w tym jyzyku przedstawic dynamik~ Galileusza-Newtona? Nie jest bynajmniej dziwne, ze Newton, kiedy zacz£!l formulowac swoje prawa dynamiki, znalazl siy w sytuacji, w kt6rej uznal za konieczne posluzenie siy koncepcj£! "przestrzeni absolutnej".
Dynamika Newtona w terminach czasoprzestrzeni
17.3
W rzeczywistosci Newton, przynajmniej na poczqtku, byl w nie mniejszym stopniu "galileuszowskim relatywistq" niz sam Galileusz. Wiemy to stqd, ze w oryginalnym sformulowaniu praw ruchu Newtona pojawia siy explicite zasada wzglydnosci Galileusza jako fundamentalne prawo (jest to zasada, ze dzialanie fizyczne powinno byc nieczule na przejscie od jednego ukladu poruszajqcego siy ruchem jednostajnym, do innego. W takim podejsciu pojycie czasu rna charakter absolutny, tak jak to demonstruje rysunek przedstawiajqcy czasoprzestrzen Galileusza, g). Poczqtkowo Newton zaproponowal piyc (lub szesc) zasad, z kt6rych czwarta byla wlasnie zasadq wzglydnosci Galileusza5 , ale p6zniej, w Principiach, zredukowal ten schemat do trzech "zasad Newtona", kt6re Sq powszechnie znane. Zdal sobie bowiem sprawy, ze te trzy zasady wystarczajq, aby z nich wywiesc pozostale. Dla scislosci swojego formalizmu musial przyjqc koncepcjy "przestrzeni absolutnej", w kt6rego jego ruchy mogly byc opisywane. Gdyby w czasach Newtona dostypne bylo pojycie "wiqzki wl6knistej" (bardzo dalekosiyzna ewentualnosc), to wolno przypuszczac, ze sformulowalby swoje zasady w spos6b calkowicie "galileuszowsko niezmienniczy". J ako ze nim nie dysponowal, trudno sobie wyobrazic, jak m6glby rozwinqc swojq teoriy bez koncepcji "przestrzeni absolutnej", kt6rq siy ostatecznie posluiyl. Jaki rodzaj struktury musimy przyporzqdkowac "czasoprzestrzeni Galileusza" Q? Z pewnosciq zalozeniem zbyt mocnym byloby obdarowanie naszej wiqzki w16knistej 9 koneksjq wiqzki (rozdz. 15.7)117.1]. Zamiast tego musimy wprowadzic cos, co bylobyw zgodzie zpierwszq zasadq Newtona. Zasada ta glosi, ze ruch CZqstki, na kt6rq nie dzialajq zadne sHy, jest ruchem jednostajnym i prostoliniowym. Taki ruch nazywa siy ruchem inercjalnym. W terminach czasoprzestrzeni ruch (tzn. "historia") dowolnej cZqstki, bez wzglydu na to, czy jest to ruch inercjalny, czy nie, przedstawia krzywa zwana liniq swiata czqstki. W rzeczywistosci, w naszej czasoprzestrzeni Galileusza, linie swiata muszq byc zawsze ci~ciami wiqzki Galileusza (zob. rozdz. 15.3[17.2] i rys. 17.3). Pojycia "jednostajny i prostoliniowy", w terminach normalnej przestrzeni (ruch inercjalny), w jyzyku czasoprzestrzeni interpretujemy jako "ruch prosty". Dlatego wiqzka Galileusza 9 musi miec struktury, kt6ra jakos koduje pojycie "prostoty" linii swiata. Jednym ze sposob6w wyrazenia tego jest stwierdzenie, ze 9 jest przestrzeniq aJinicznq (rozdz. 14.1), w kt6rej struktura afiniczna, kiedy jq ograniczymy do poszczeg6lnych w16kien lBi, pozostaje w zgodzie z afinicznq strukturq euklidesowq kazdej z 18,;3. Innym sposobem jest po prostu wyspecyfikowanie rodziny 006 linii prostych, kt6re naturalnie rezydujq w 18,;1 X 18,;3 (arystotelesowskie ruchy jednostajne), zbudowanie z nich struktury "linii prostych" wiqzki Galileusza; jednoczesnie powinnismy zapomniec 0 tym, ze czasoprzestrzen Arystotelesa A jest w istocie przestrzeniq iloczynowq (przypomnijmy sobie, ze 006 oznacza rodziny 6-wymiarowq; zob. rozdz. 16.7). Jeszcze innym sposobem jest S [17.1] Dlaczego? t'8 [17.2] Wyjasnij przyczyny.
371
17
CzasoprzestrzeIi
stwierdzenie, ze czasoprzestrzen Galileusza, traktowana jako rozmaitose, rna koneksjy zarowno 0 zerowej krzywiZnie, jak i zerowej torsji (to cos innego od posiadania koneksji wiqzki, jeSli traktujemy jq jako wiqzky nad ]EJl)f17.3l. W istocie najbardziej satysfakcjonuje ten trzeci punkt widzenia, poniewaZ pozwala na dokonanie niezbydnych uogolnien, ktore bydq potrzebne w rozdz. 17.5, 9 do opisu grawitacji w zgodzie z ideq Einsteina. Kiedy dysponujemy koneksjq zdefiniowanq na g, wowczas zyskujemy pojycie linii geodezyjnej (rozdz. 14.5), a linie geodezyjne (oprocz tych, ktore Sq po prostu liniami prostymi w poszczegolnych ]E3) definiujq ruchy inercjalne Newtona. Mozemy rowniez rozpatrywae linie swiata, ktore nie Sq liniami geodezyjnymi. W terminach normalnej przestrzeni reprezentujq one cZqstki poruszajqce siy ruchem przyspieszonym. Miarq tego przyspieszenia, w terminach czasoprzestrzeni, jest krzywizna linii swiataI17.4l. Zgodnie z drugq zasadq Newtona przyspieszenie jest rowne sile dzialajqcej na cZqstky, podzielonej przez jej masy. (Jest to prawo NewtonaJ = ma, wyraZone w formie a =tim, gdzie a oznacza przyspieszenie cZqstki, m jej masy, a J jest silq wypadkowq na niq dzialajqq.) W ten sposob krzywizna linii swiata dla czqstki 0 zadanej masie przedstawia bezposredniq miary calkowitej sHy dzialajqcej na ty czqstky. W standardowej mechanice Newtona calkowita sila dzialajqca na czqstky jest sumq (wektorowq) wkladow pochodzqcych od wszystkich pozostalych CZqstek (rys. 17.4a). W kazdej konkretnej ]E3 (a wiyc w kazdej konkretnej chwili) wklad do sily dzialajqcej na okreslonl} cZl}stky, pochodzl}cy od jakiejs innej cZl}stki, dziala wzdluz linii ll}czl}cej te dwie cZqstki i ta linia leZy w tej konkretnej ]E3. Oznacza to, ze sila ta dzialajednoczeSnie na obie cZl}stki; zob. rys. 17.4b. Trzecia zasada Newtona stwierdza, ze sila, jakq jedna z tych cZqstek wywiera na drugl}, jest zawsze rowna co do wielkosci i przeciwnie skierowana w stosunku do sily, jakl} ta druga cZl}stka wywiera na pierwszq. Ponadto w przypadku dzialania wielu sil istnieje prawo sil, mowil}ce 0 tym, jak wielkose tych sil zalezy od przestrzennej odleglosci miydzy oddzialujl}cymi cZqstkami i jakie parametry muszl} bye uZyte, zeby opisae ogolnl} skaly tych silo W przypadku grawitacji funkcja ta jest odwrotnoscil} kwadratu odleglosci, a skaly podaje pewna stala, zwana stall} grawitacyjnl} Newtona G, pomnozona przez iloczyn mas cZqstek oddzialujl}cych. Poslugujl}c siy symbol ami, mozemy zapisae dobrze znany wzor Newtona na sily przycil}gajqcl} cZl}stky 0 masie m, jakl} wywiera cZl}stka 0 masie M, znajdujl}ca siy w odleglosci r:
GmM
372
B [17.3] Objasnij te trzy sposoby bardziej szczeg61owo, pokazujqc, dlaczego wszystkie dajq ty samq struktury. /!lfJ [17.4] Spr6buj zapisac wyrazenie na ty krzywizny za pomocq koneksji V. Jaki warunek normalizacyjny jest potrzebny dla wektor6w stycznych Uesli W og61e taki warunek jest potrzebny)?
Zasada rownowainosci
I
17.4
•
I
•, , ,
,,
--. (b)
Rys.17.4. (a) SHy newtonowskie: w kazdej chwili calkowita sila dzialaj,!ca na cz'!stky (podw6jna strzalka) jest sum'! wektorow'! wklad6w (przyci,!gaj,!cych lub odpychaj,!cych) pochodz,!cych od pozostalych cZ'lstek. (b) Linie swiata dw6ch cz'!stek i sHy miydzy nimi, dzialaj'lce "natychmiastowo" wzdluz linii l'lcz'lcej te dwie cz,!stki, w kazdym momencie, w ramach konkretnej przestrzeni lEJ3, kt6r'! ten moment okresla. Trzecia zasada Newtona glosi, ze sHa, jak'l jedna cZ'lstka wywiera na drug,!, jest r6wna co do wielkosci i przeciwnie skierowana w stosunku do sHy, jak,! druga wywiera na pierwsz'!.
Jest naprawdt( godne uwagi, ze z tych prostych elementow skladowych powstaje teoria 0 ogromnej sile i roznorodnosci, ktora moze bye u:i:yta do nieslychanie dokladnego opisu zachowania sit( cial makroskopowych (a takZe podstawowej analizy zachowan cz,!stek submikroskopowych), pod warunkiem ze prt(dkosci rozpatrywanych cial s,! znacz'!co mniejsze od prt(dkosci swiatla. W przypadku grawitacji zgodnose mit(dzy teori'! a obserwacjami jest szczegolnie wyrazna dzit(ki bardzo precyzyjnym obserwacjom ruchow planet w naszym Ukladzie Slonecznym. Dokladnose teorii Newtona oszacowujemy dzisiaj na jeden na 107, co jest niezwykle imponuj,!cym wynikiem, zwa:i:ywszy, ze dane, jakimi mogl dysponowae Newton, mialy dokladnosc 10 tysit(cy razy mniejsz,! (jeden na 103).
17.4 Zasada r6wnowaznosci Niezale:i:nie od tej niebywalej dokladnosci i faktu, ze wielka teoria Newtona nie byla podwazana prawie dwa i pol stulecia, dzisiaj wiemy, ze nie jest ona absolutnie dokladna; co wit(cej, aby poprawie schemat Newtona, konieczna byla glt(bsza i bardziej rewolucyjna zmiana perspektywy, z ktorej Einstein rozpatrzyl naturt( grawitacji. Jednak ten szczegolny sposob widzenia, sam w sobie, nie zmienia w najmniejszym stopniu konsekwencji obserwacyjnych teorii Newtona. Zmiany nadeszly dopiero, gdy ta einsteinowska perspektywa zostala wsparta innymi argumentami, zwi,!zanymi z kwesti,! skonczonej prt(dkosci swiatla oraz z ide ami szczegolnej teorii wzglt(dnosci, ktore opiszemy w rozdz. 17.6-8. Ich peIne pol,!czenie, prowadz'!ce do ogolnej teorii wzglt(dnosci, omowimy w kategoriach jakosciowych w rozdz. 17.9, a bardziej szczegolowo w rozdz. 19.6--8.
373
17
Czasoprzestrzen
Na czym wiyc polega ten glybszy, einsteinowski punkt widzenia? Trzeba zdac sobie sprawy z fundamentalnego znaczenia zasady rownowainosci. A coz to jest zasada rownowaznosci? Sam,! idey jestesmy w stanie odszukac, cofaj,!c siy (znowu!) do wielkiego Galileusza (pod koniec XVI stulecia - aczkolwiek znaleic mozemy i jego prekursorow, takich jak Simon Stevin w 1586 roku czy nawet jeszcze wczesniejszych, jak na przyklad Ioannes Philiponos w V lub VI wieku). Przypomnijmy sobie doswiadczenie, przypisywane Galileuszowi, polegaj,!ce na zrzuceniu w tej samej chwili dwoch kamieni, jednego duzego, drugiego malego, ze szczytu Krzywej WieZy w Pizie (rys. 17.5a). Wielka intuicja Galileusza podpowiadala mu, ze oba kamienie byd,! spadaly z t'! sam,! szybkosci,! i jesli pominiemy opor powietrza, spadn,! na ziemiy jednoczesnie. Bez wzglydu na to, czy Galileusz osobiscie przeprowadzil doswiadczenie z Krzywej WieZy, z cal,! pewnosci,! dokonal innych, ktore utwierdzily go w tym przekonaniu. Pierwszym wnioskiem, ktory z tych eksperymentow naleZy wyci,!gn,!c, jest obecnosc szczegolnej wlasciwosci pola grawitacyjnego, ktorej nie powinnismy siy spodziewac po zadnej innej sile dzialaj,!cej na ciala materialne. Ta wlasciwosc sily ciyzkosci, na ktorej opiera siy spostrzezenie Galileusza, polega na tym, ze wielkosc sHy, jak,! jakies zadane pole grawitacyjne wywiera na cialo, jest proporcjonalna do masy tego ciala, podczas gdy opor, jaki cialo stawia temu ruchowi (wielkosc m, ktora pojawia siy w drugiej zasadzie Newtona), jest rowniez rowny tej masie. PoZyteczne bydzie rozroznienie miydzy tymi dwiema masami i pierwsz,! z nich nazwiemy masq grawitacyjnq, a drug,! masq bezwladnq. (Mozemy tez odroznic masy biemq
(a)
374
(b)
Rys. 17.5. (a) Eksperyment przypisywany Galileuszowi. Dwa kamienie, jeden duZy, drugi maly, zrzucone ze szczytu Krzywej WieZy w Pizie. Galileusz dowodzil, ze jesli mozemy pomin,!c opor powietrza, to oba kamienie spadn,! z t'! sam,! szybkosci,!. (b) Kulki masy korkowej (0 rownych, niewielkich masach) naladowane roznoimiennie, w polu elektrycznym skierowanym ku ziemi. Jedna kulka bydzie spadac, a druga wznosic siy ku gorze.
Zasada r6wnowainosci
17.4
od aktywnej masy grawitacyjnej. Mast( biern,! przedstawia wielkose m we wzorze Newtona GmM/r, kt6ry demonstruje silt( cit(zkosci, jak,! cialo 0 masie M wywiera na cialo 0 masie m. Gdy rozpatrujemy silt(, jak,! ciato m wywiera na cialo 0 masie M, wtedy masa m pojawia sit( w roli aktywnej. Trzecia zasada Newtona stwierdza, ze masy bierna i aktywna s,! sobie r6wne, wobec czego nie bt(dt( dalej ich rozr6zniaI 6.) A zatem trafnose intuicji Galileusza opiera sit( na r6wnosci (a scislej, na proporcjonalnosci) masy grawitacyjnej i masy bezwladnej. Z og6lniejszej perspektywy dynamiki Newtona moze sit( wydawae, ze r6wnose masy grawitacyjnej i masy bezwladnej jest pewnym kaprysem Przyrody. Gdyby pole sH nie bylo polem grawitacyjnym, ale, powiedzmy, polem elektrycznym, w6wczas wynik bylby zupelnie inny. Elektryczn'! analogit( biernej masy grawitacyjnej stanowi ladunek elektryczny, podczas gdy rola masy bezwladnej (tzn. oporu wobec przyspieszenia) jest identyczna jak w przypadku sHy cit(zkosci (a wit(c nadal druga zasada Newtona f = ma). Ta r6znica staje sit( szczeg6lnie oczywista, jesli w analogii do pary kamieni Galileusza weimiemy part( identycznych kulek z masy korkowej, ale naladowanych r6znoimiennie. W przypadku gdy pole elektryczne skierowane jest pionowo w d61, jeden z tych ladunk6w bt(dzie spadal na ziemit(, podczas gdy drugi bt(dzie sit( wznosH do g6ry, a wit(c przyspieszenia bt(d,! mialy kierunek przeciwny! (Zob. rys. 17.5b.) Dzieje sit( tak, poniewaz ladunek elektryczny zgromadzony na jakims ciele nie rna zwi¥ku z jego mas,! bezwladn,!, do tego stopnia, ze nawet znaki mog,! bye przeciwne. Obserwacja Galileusza nie dotyczy sil elektrycznych, jest to specjalna cecha samej sily cit(zkosci. Dlaczego tt( cecht( pol a grawitacyjnego nazywamy "zasad'! r6wnowaznosci"? Slowo "r6wnowainose" odnosi sit( tutaj do faktu, ze jednorodne pole grawitacyjne jest r6wnowazne przyspieszeniu. Jest to zjawisko znane kazdemu, kto podr6zowal samolotem, kiedy pasazer odnosi zupelnie blt(dne wrazenie co do tego, gdzie znajduje sit( "d61", gdy siedzimy wewn'!trz samolotu w momencie wykonywania ruchu przyspieszonego (moze to bye tylko zmiana kierunku). Nie jestesmy w stanie odr6znie, co jest efektem przyspieszenia, a co skutkiem dzialania przyci,!gania ziemskiego, opieraj,!c sit( tylko na tym, jak to odczuwamy wewn'!trz samolotu. Te dwa efekty mog,! sit( sumowae w r6znych kierunkach i wywolae w nas wrazenie, ze "d61" powinien bye tu alba tam, podczas gdy wystarczy wyjrzee przez okno, aby sit( przekonae, ze jest calkiem gdzie indziej. Aby zrozumiee, dlaczego r6wnowainose mit(dzy przyspieszeniem a skutkami sHy cit(zkosci jest rzeczywiscie istot'! koncepcji Galileusza, rozwaimy raz jeszcze spadaj,!ce kamienie ze szczytu Krzywej Wieiy. Wyobraimy sobie, ze do jednego z nich przylgn,!l jakis owad, obserwuj,!CY ruch drugiego kamienia. Dla takiego owada ten drugi kamien pozostawaiby w spoczynku, tak jakby w og6le nie bylo pola grawitacyjnego; zob. rys. 17.6a. Przyspieszenie, kt6rego owad doswiadcza podczas swobodnego spadania razem z kamieniem, r6wnowaZy pole grawitacyjne, tak jakby sila cit(zkosci w og6le nie istniala, dop6ki, razem z kamieniem, nie uderzy w ziemit(, i wtedy "doswiadczenie nieobecnosci sHy cit(zkosci,,7 gwaitownie sit( zakonczy.
375
17
Czasoprzestrzeli
;
'I
(a)
Rys. 17.6. (a) Dla owada przyczepionego do jednego z kamieni na rysunku 17.5a drugi kamien po prostu wisi w powietrzu bez ruchu, zupelnie tak, jakby pole grawitacyjne nie wystypowalo. (b) Podobnie swobodnie orbituj'lCY astronauta doswiadcza "braku pola grawitacyjnego" i jemu r6wniei: wydaje siy, ze stacja orbitalna wisi bez ruchu, jesli pominie oczywist'l obecnosc Ziemi.
376
Wiemy, ze podobnego efektu doznajq astronauci, ale oni nie doswiadczajq przykrego zakonczenia tego eksperymentu, gdy pozostajq na orbicie okoloziemskiej (albo na pokladzie samolotu, ktory w ostatniej chwili wykonuje manewr unikajqcy zderzenia z ziemiq). Oni, podobnie do naszego owada, po prostu spadajq swobodnie, tylko po bardziej wymyslnie wybranej drodze_ Fakt, ze sHt( cit(zkosci mozna w taki sposob zrownowaZyc przyspieszeniem (na podstawie zasady rownowaznosci), jest bezposredniq konsekwencjq tego, iz (bierna) masa grawitacyjna jest taka sarna (albo proporcjonalna do) masy bezwladnej, co stanowi istott( koncepcji Galileusza. Jesli zasadt( rownowaznosci mamy potraktowac powaznie, to musimy przyjqC innq perspektywt( niz w rozdz. 17.3 w odniesieniu do pytania 0 to, co powinnismy uwazac za "ruch inercjalny". Poprzednio przez ruch inercjalny rozumielismy rodzaj ruchu, jaki wystt(puje, gdy cialo poddano zerowej sile zewnt(trznej, lecz w przypadku pola grawitacyjnego wystt(puje pewien klopot. Ze wzglt(du na zasadt( rownowaznosci nie istnieje lokalny sposob rozroznienia, czy mamy do czynienia z dzialaniem sHy cit(zkosci, czy tez "czujemy dzialanie sHy cit(zkosci", a to jest po prostu efekt przyspieszenia. Ponadto, podobnie jak w przypadku naszego owada na kamieniu Galileusza alba naszego astronauty na orbicie okoloziemskiej, silt( cit(zkosci mozemy "usunqc", po pro stu spadajqc swobodnie zgodnie z niq. A skoro jest taki sposob eliminacji, to musimy traktowac jq inaczej. I to byl wlasnie nowy sposob widzenia, ktory przyjql Einstein: za ruchy inercjalne uWaZac naleZy takie, ktore ciala wykonujq, gdy wszystkie niegrawitacyjne sHy na nie dzialajqce sumujq sit( do zera, a wit(c muszq one spadac swobodnie zgodnie z kierunkiem pol a grawitacyjnego (czyli efektywna sHa cit(zkosci rowniez redukuje sit( do zera). Dlatego zarowno trajektorit( spadku naszego owada, jak i ruch astronauty na orbicie okoloziemskiej musimy traktowac jako ruchy inercjalne. Z kolei osoba stojqca na ziemi w koncepcji Einsteina nie wykonuje ruchu inercjalnego, poniewaz pozostawanie
Czasoprzestrzen newtonowska w uj~ciu Cartana
17.5
w bezruchu w polu grawitacyjnym nie jest spadaniem swobodnym. Dla Newtona taki ruch bylby ruchem inercjalnym, albowiem "stan spoczynku" w jego koncepcji musi byc zawsze uwazany za ruch inercjalny. Sila ciyzkosci, dzialajqca na osoby stojqCq na ziemi, jest skompensowana przez sily reakcji podloza, ale te sily, kazda z osobna, nie Sq rowne zeru, jak tego wymaga Einstein. Einsteinowskie ruchy inercjalne, ktore wykonujq owad i astronaut a, nie Sq zas ruchami inercjalnymi w koncepcji Newtona.
17.5 Czasoprzestrzeft newtonowska w uj~ciu Cartana
W jaki sposob mozna wlqczye einsteinowskie pojycie ruchu inercjalnego do struktury czasoprzestrzeni? Jako krok w kierunku pelnej teorii Einsteina sprobujmy rozwaZyc pewne przeformulowanie teorii grawitacji Newtona zgodnie z punktem widzenia przyjytym przez Einsteina. J ak juz 0 tym wspomnialem na poczqtku rozdz. 17.4, to wcale nie oznacza zmiany w teorii Newtona, jest jedynie nieco innym jej opisem. PostypujqC w ten sposob, pozwalam sobie na pewien liberalizm w przedstawieniu historii problemu, albowiem to przeformulowanie zaprezentowal inny wybitny geometra i algebraik, Elie Cart an (0 ktorego wielkim wplywie na teoriy grup ciqglych mowilismy w rozdz. 13; przypomnijmy takZe rozdz. 12.5), szese lat po tym, jak Einstein przedstawil swoj rewolucyjny punkt widzenia. Z grubsza biorqc tym, co konstytuuje "proste" linie swiata czasoprzestrzeni, Sq ruchy inercjalne w sensie Einsteina, a nie w sensie Newtona. Geometria jest zas podobna do geometrii Galileusza, omawianej w rozdz. 17.2. Bydy jq nazywal czasoprzestrzeniq newtonowskq, N, a newtonowskie pole grawitacyjne jest calkowicie zakodowane w jej strukturze. (Bye moze powinienem nazwae jq "cartanowskq", ale nie podoba mi siy takie okreslenie. W koncu Arystoteles nie mial pojycia 0 istnieniu przestrzeni iloczynowych, a Galileusz - 0 wiqzkach wloknistych!) Czasoprzestrzen N jest wiqzkq z przestrzeniq bazowq lBi i wloknem ]E3, dokladnie tak jak w przypadku rozpatrywanej przez nas poprzednio czasoprzestrzeni Galileusza Q. Teraz jednak w przestrzeni N mamy pewnq struktury odmiennq od struktury przestrzeni Q, poniewaz rodzina "prostych" linii swiata, reprezentujqcych ruchy inercjalne, jest inna; zob. rys. 17.7a. Jest ona istotnie inna we wszystkich przypadkach, z wyjqtkiem tych, w ktorych pole grawitacyjne moze bye calkowicie wyeliminowane przez wybor jakiegos swobodnie spadajqcego globalnego ukladu odniesienia. Takim wyjqtkiem moze bye newtonowskie pole grawitacyjne, niezmienne zarowno pod wzglydem wielkosci, jak i kierunku, w calej przestrzeni, ale ktore ewentualnie moze siy zmieniae w czasie. Obserwatorowi spadajqcemu swobodnie w takim polu bydzie siy wydawalo, ze pole grawitacyjne w ogole nie wystypuje[17.51! ~
[17.5] Znajdz jawne wyrai:enie na transformacjy x jako funkcjy t, kt6ra rna ty wlasnosc, dla zadanego newtonowskiego pola grawitacyjnego F(t), ii w kai:dej chwili t jest stale przestrzennie, lecz zrnienia siy w czasie zar6wno pod wzglydern wielkosci, jak i kierunku.
377
17
Czasoprzestrzen
(a)
(e)
Rys. 17.7. (a) Czasoprzestrzen Newtona-Cartana N, podobnie jak czasoprzestrzen Galileusza g, jest wi 0) rna prost,! interpretacjy fizyCZll,! jako rzeczywisty czas fizyczny, mierzony przez idealny zegar na tej linii swiata. Bydy dalej uiywal sygnatury (+ - - -) dla mojego tensor a (pseudo )metrycznego g, w zapisie wskaznikowym gab' a wobec tego po dane wyrazenie moze bye zapisane, w postaci wskaznikowej, jako (zob. rozdz. 13.8)
Czasopodobne:
ds 2 dodatnie
Zerowe: zar6wno ds 2, jak i dR2 r6wne zero
Przestrzennopodobne: dCZ dodatnie
Rys. IS. 1. W przestrzeni Minkowskiego MI metryka dR2 podaje miary kwadratu odleglosci przestrzennej dla przesuniyc przestrzennopodobnych (a wiyc takich, kt6re nie lezq ani na stozkach zerowych przesz!osci bqdz przyszloSci, ani wewnqtrz nich). Dla przesuniyc czasopodobnych (wewnqtrz stozka zerowego) ds 2 przedstawia miary kwadratu interwalu czasowego, gdzie jest czasem fizycznym mierzonym przez zegar idealny. Dla przesuniyc zerowych (wzdluz stozka zerowego) zar6wno de 2, jak i ds 2 dajq zero.
fds
395
18
Geometria Minkowskiego
Powinnismy jednak przypomniee sobie na podstawie rozdz. 17.8, ie inaczej nii w przypadku cz'!stek masywnych ds wynosi zero dla linii swiata fotonu (to znaczy, ie na linii swiata mog,! bye punkty niepokrywaj,!ce siy, ktorych odleglose wynosilaby "zero"). To sarno odnosi siy do wszelkich innych cz'!stek poruszaj,!cych siy z prydkosci,! swiatla. Czas "doswiadczany" przez tak'! cz'!stky wynosilby zawsze zero, bez wzglydu na to, jak wielk,! odleglose ta cz'!stka przebyla! Taka sytuacja jest dozwolona dziyki nieokreslonej dodatnio (lorentzowskiej) naturze tensora gab' We wczesnych latach stosowania teorii wzglydnosci panowala tendencja podkreslania podobienstwa geometrii M i E\ przyjmowano tylko, ie zmienna czasowa t jest czysto urojona, czyli
f
t = iw,
396
co powoduje, ie metryka Minkowskiego "de z" wygl,!da identycznie jak "dsz" przestrzeni E4. Oczywiscie, te podobienstwa S,! cokolwiek iluzoryczne ze wzglydu na nienaturalnie wygl,!daj,!CY, ukryty warunek "rzeczywistosci", zgodnie z ktorym czas jest mierzony w czysto urojonych jednostkach, podczas gdy wspolrzydne przestrzenne mierzy siy w zwyklych, rzeczywistych jednostkach. Ponadto w ukladzie poruszaj'!cym siy warunki rzeczywistosci staj,! siy skomplikowane, poniewai nastypuje dokladne wymieszanie wspolrzydnych rzeczywistych i urojonych. Faktycznie istnieje taka wspolczesna tendencja, ieby postypowae bardzo podobnie w stosunku do tak zwanej "euklidesowej kwantowej teorii pola". Poiniej, w rozdz. 28.9, wyjasniy, dlaczego tego typu procedury nie satysfakcjonuj,! mnie specjalnie (przynajmniej jesli stanowi,! glowny element podejscia do nowej fundamentalnej teorii fizycznej; pomysl ten jest rowniei stosowany jako "trik" do uzyskania rozwi'!zan pewnych kwestii w kwantowej teorii pol a i w takim przypadku moie okazac siy poiyteczny). Zamiast stosowac procedury tego rodzaju, ktora (wedlug mnie) wygl,!da dosc nienaturalnie, dlaczego "nie pojsc na calose" i zgodzic siy, ieby wszystkie nasze wspolrzydne byly zespolone (zob. rys. 18.2)? W takim przypadku nie rna roinicy miydzy roinymi sygnaturami, a nasze wspolrzydne zespolone w, t rJ, ~ odnosz'! siy do zespolonej przestrzeni C4 , ktor'! moiemy uwaiae za kompleksyfikacjy CE 4 przestrzeni E4. lako zespolona przestrzen afiniczna - zob. rozdz. 14.1 - jest tym samym co kompleksyfikacja CM przestrzeni M. Ponadto kaida zespolona 4-przestrzen, tak CE\ jak CM, rna calkowicie ekwiwalentn,! plask,! (0 znikaj,!cej krzywiinie) zespolon'! metryky Cg. Za metryky tak,! moiemy przyj,!c wyraienie ds z = dw 2 + d~2 + drJ2 + d~2, gdzie E4 jest rzeczywist,! podprzestrzeni,! CM, dla ktorej wszystkie w, ~, rJ, ~ s,! rzeczywiste, natomiast M jest podprzestrzeni,!, w ktorej rzeczywiste jest w, ale ~, rJ, ~ s,! wszystkie czysto urojone. Alternatyw'! jest rzeczywista podprzestrzen Minkowskiego Mr, w ktorej w jest czysto urojone, ale t rJ, ~ S,! rzeczywiste. W takiej podprzestrzeni w miejscu ds z mamy inn,! wersjy metryki Minkowskiego, a mianowicie zadan'! przez di. Te trzy podprzestrzenie, E\ M i Mr, nosz'! nazwy (alternatywnych) neczywistych pnekrojow CE4. Moiemy wyodrybnic
Grupy symetrii przestrzeni Minkowskiego
18.2
I IClE' Rys. 18.2. Zespolona przestrzen Euklidesa IClE4 ma zespolon
f
403
18
Geometria Minkowskiego
Minkowskiego M. Z fizycznego punktu widzenia oznacza to, ze zaniedbalismy pole grawitacyjne. Kiedy uwzglt(dniamy pola grawitacyjne, musimy tez wprowadzic zakrzywionC! metrykt( ogolnej teorii wzglt(dnosci Einsteina. Spraw« tt( omowimy szerzej w nastt(pnym rozdziale.
18.4 Geometria hiperboliczna w przestrzeni Minkowskiego Sprobujmy przypatrzyc sit( dalszym aspektom geometrii Minkowskiego i jej relacji z geometriC! Euklidesa. W geometrii Euklidesa miejscem geometrycznym punktow znajdujC!cych sit( w okreslonej odleglosci od jakiegos punktu 0 jest sfera. W przestrzeni lE\ rzecz jasna, jest to 3-sfera S3. A jak to wyglC!da w M? Musimy rozwaZyc dwa przypadki, w zaleznosci od tego, czy a jest liczbC! rzeczywistc! (powiedzmy, dodatniC!), czy tez ( w rezultacie) czysto urojonC! (tutaj przyjmujt( sygnaturt( preferowanC! przeze mnie + - - -; w przeciwnym wypadku te role bt(dC! odwrocone). Rys. 18.7 ilustruje oba te przypadki. Przypadek urojonej wartosci a nie bt(dzie nas w tym miejscu specjalnie interesowal. Zalozmy wit(c, ze a> 0 (przypadek a < 0 jest rownowazny). Teraz nasza "sfera" sklada sit( z dwoch cZt(sci, z ktorych jedna rna ksztalt czaszy, H+, leZC!cej wewnC!trz stozka przyszlosci, a druga, H-, 0 ksztalcie czaszy odwroconej, leZy calkowicie wewnC!trz stozka przeszlosci. Skoncentrujmy naszC! uwagt( na H+ (przypadek H- jest analogiczny). J aka jest metryka wewnt(trzna podprzestrzeni H+? Z pewnosciC! rna ona jakC!s metrykt(, indukowanC! przez fakt jej wlozenia w przestrzen M.
404
Rys. 18.7. "Sfery" w M Sl! miejscami geometrycznymi punkt6w 0 takiej samej odleglosci a od ustalonego punktu O. Jesli a > 0 (z sygnaturl! + - - - dla ds 2 ), to otrzymujemy dwie czysci "hiperboliczne",jednl! 0 ksztalcie czaszy, H+ (wewnl!trz stozka przyszlosci), drugl! o ksztalcie czaszy odwr6conej. H- (wewnl!trz stozka przeszlosci). Dla a urojonego (albo z a rzeczywistym, lecz z sygnaturl! + + + - dla dR 2) otrzymujemy jednoplatowl! hiperboloidy, w przestrzennopodohnej odleglosci od O.
Geometria hiperboliczna w przestrzeni Minkowskiego
18.4
(Na przyklad dlugose krzywej na H+ jest okreSlona tak, jakby to byla krzywa w M.) W rzeczywistosci, w tyrn przypadku, lepsz,! miary dawaloby di (z sygnatur,! + + + -), poniewaz kierunki w H+ S,! przestrzennopodobne. Mamy wielk,! szansy na odgadniycie metryki H+, poniewaz w istocie jest ona swego rodzaju "sfer,!", ale z pewnym "odwroceniem znaku". COZ by to moglo bye? Przypomnijmy sobie rozwaiania Johanna Lamberta z 1786 roku na temat mozliwosci skonstruowania geometrii, w ktorej nie obowi,!zywalby pi,!ty postulat Euklidesa. Doszedl on do wniosku, ze tak,! geometriy mialaby "sfera" 0 urojonyrn promieniu - w wyniku czego powstal model geometrii hiperbolicznej - ale teraz "sfera" winna bye 3-wymiarowa. Aby otrzymae nieeuklidesow,! plaszczyzny Lamberta (plaszczyzny hiperboliczn'!), musimy pozbye siy jednego wymiaru przestrzennego. W kazdym z przypadkow "hiperboliczne linie proste" (linie geodezyjne) powstaj,! w wyniku przeciycia H+ z 2-plaszczyzn,! przechodz,!C'! przez 0 (rys. 18.8). Oczywiscie, fantazjujemy tutaj, wyobraiaj,!c sobie, ze Lambert mogl miee na mysli konstrukcjy tego rodzaju. Ilustruje ona spojnose wewnytrzn,! takiej koncepcji, w ktorej dokonujemy "odwrocenia" sygnatury, w wyniku czego wielkosci rzeczywiste staj,! siy urojone i vice versa. Jest to z pewnosci,! sytuacja, w ktorej instynkt nie zawiodlby Lamberta. Bye moze bydzie poiyteczne przeanalizowanie rys. 18.9. Narysowalem tutaj stozek swietlny t 2 - x 2 - l - Z 2 = 0 (z pominiyciem wspolrzydnej y), w 4-przestrzeni Minkowskiego M, w ukladzie wspolrzydnych (t, x, y, z) i rodziny przekrojow tego stozka plaszczyznami
z+t+A(t-z)=2, przechodz'!cymi przez plaszczyzny A. Przekroj ten jest 2-wymiarowy (sam stozek Swietlny jest 3-wymiarowy) i okazuje siy, ze dla kaidej dodatniej wartosci Ametryka
Rys. 18.8. "Hiperboliczna linia prosta" (linia geodezyjna) w rt+ powstaje w wyniku przeciycia rt+ 2-plaszczyzn'l przechodz'lc'l przez O. (Na rysunku przedstawiony jest przypadek 2-wymiarowy, ale w przypadku 3-wymiarowym sytuacja jest podobna.)
405
18
Geometria Minkowskiego
r -i
Rys. 18.9. Przekroje stozka swietlnego -i'_Z2 = 0, 3-plaszczyznarni (z + t) +A(t-Z) = 2, przecinaj'lcyrni siy na 2-plaszczyznie t = 1 =z. Porninylisrny wspolrzydn'l y, a wiyc zredukowalisrny obraz 0 jeden wymiar. Gdy A > 0, przekroj S rna rnetryky 2-sfery de 2, co ilustruje przypadek plaszczyzny poziornej z A = 1. Gdy A = 0, otrzyrnujerny plask'l rnetryky euklidesow'l di, odpowiednio dla paraboloidalnego przekroju E. Gdy A < 0, otrzyrnujerny hiperbolicZll'l rnetryky dl, co ilustruje pionowy przekroj hiperboliczny H dla przypadku A = -1.
tej 2-powierzchni jest dokladnie taka jak metryka sfery 0 promieniu ,1,-1/2 = lIJi (w metryce di). Gdy A = 0, otrzymujemy metryky zwyklej plaszczyzny Euklidesa. (Przekroj ten nie wyglqda na "plaski", 1ecz na "paraboloidalny", chociaz jego wewnytrzna metrykajest plaska.)[18.61• Gdy A przyjmuje wartose ujemnq, przekroj staje siy sferq Lamberta 0 urojonym promieniu (= lIJi). Istotnie, jego metryka wewnytrzna (z di) to metryka geometrii hiperbolicznej. W ten sposob intuicja Lamberta, ktory byl przekonany, iz moze miee sens rozpatrywanie sfer 0 urojonym promieniu, okazala siy w pelni uzasadniona, aczkolwiek cale wieki poiniej. Konstrukcjy geometrii hiperbolicznej jako "pseudosfery" H+ mozemy bezposrednio zwiqzae z modelami Beltramiego, konforemnym i rzutowym, ktore omawialismy (w przypadku 2-wymiarowym) w rozdz. 2.4, 5. Na rys. 18.10 pokazalem sposob, w jaki oba te przypadki mogq bye otrzymane bezposrednio z H+, e.xplicite umieszczajqc 2-wymiarowe pseudosfery w 3-przestrzeni Minkowskiego M3 (ze wspolrzydnymi t, x, y). Zakladajqc, ze 1-t+ jest dana rownaniem t2 - x 2 -l = 1, otrzymujemy Beltramiego odwzorowanie "Kleina" (a wiyc rzutowe) przez zrzutowanie jej z poczqtku ukladu (0, 0, 0) na plaszczyzny t = 1, natomiast Beltramiego odwzorowanie "Poincarego" (a wiyc konforemne) otrzymujemy, rzutujqC z "bieguna poludniowego" (-1,0,0) na "plaszczyzny rownikowq" t = 0 (tzn. dokonujemy "rzutowania stereograficznego"; zob. rozdz. 8.3, rys. 8.7)[18.71• li11 [18.6] Pokaz to. Wskazowka: wygodnie jest uZyc wsp6trzt(dnych x, y i w, gdzie w = -z -l/Je).JI = (1- t -z).JI. li11 [18.7] Wyjasnij, dlaczego hiperboliczne linie proste s'l w przypadku "Kleina" reprezen-
= (t
406
towane jako linie proste, natomiast w przypadku "Poincarego" przez okrt(gi ortogonalne do brzeg6w. Pokaz, uZywaj'lc "odwr6cenia sygnatury", dlaczego ten ostatni przypadekjest rzeczywiscie odwzorowaniem konforemnyrn.
Geometria hiperboliczna w przestrzeni Minkowskiego
J-._ _ _ _
18.4
-J.~---:!------\...loKonforemna
Rys. 18.10. W 3-przestrzeni Minkowskiego M3 hiperboliczna 2-geometria 1i+ (zadana rownaniem t2 _x2 - y2 = 1) prowadzi bezposrednio do konforemnej i rzutowej reprezentacji Beltramiego (obie Sil przedstawione odpowiednio na rys. 2.11 i 2.16, gdzie zamiescilismy obraz M.e. Eschera oraz jego znieksztalconil wersj~). Model rzutowy Beltramiego ("Kleina") uzyskujemy po zrzutowaniu 1i+ z pocziltku ukladu (0, 0, 0) na wn~trze kola jednostkowego w plaszczyznie t = 1. Model konforemny Beltramiego (Poincarego) otrzymamy po zrzutowaniu 1i+ z (-1, 0, 0) na wn~trze kola jednostkowego z t = 0; zob. rowniez geometri~ Beltramiego, przedstawionil na rys. 2.17). Analogicznil konstrukcj~ mozemy przeprowadzic rowniez dla hiperbolicznej 3-geometrii w M.
Zauwaimy, ie czasopodobne kierunki przyszlosci Sq reprezentowane przez punkty na 7-l+ (gdzie, dla okreslonosci, przyjqlem a = 1). Przedstawiajq one moiliwe prydkosci cZqstki masywnej. Takwiycw szczeg6lnej teorii wzglydnosci 7-l+ moie bye uwaiana za przestrzen pr~dko§ci. (Przypomnijmy, ie sprawy ty podnosilismy przy koiicu rozdz. 2.7.) Jest to jeden z tych aspekt6w teorii wzglydnosci, kt6ry wielu ludzi uwaia za najbardziej niepokojqcy, poniewai teraz nie moina dodawae prydkosci w zwykly spos6b. Gdyby na przyklad statek kosmiczny wydrowat w jakims kierunku z prydkosciq c w stosunku do Ziemi i gdyby z tego statku wystrzelana rakiety w tym samym kierunku przestrzennym, r6wniei z prydkosciq w stosunku do statku, w6wczas ta rakieta poruszalaby siy w stosunku do Ziemi jedynie z prydkosciq ~~ c, a nie z prydkosciq wiykszq od prydkosci swiatla (t + t)c = c. (Tutaj c oznacza prydkose swiatla; wprowadzilismy jq ponownie tylko dla jasnosci, gdyi poslugujemy siy ukladem jednostek, w kt6rym c = 1). Jest to zrozumiale jako wynik dodawania dlugosci w geometrii hiperbolicznej (zob. rys. 18.11)l18.8J•
t
tC
t
i!J!J [18.8] Uiyj argumentu "odwracania sygnatury", aby stwierdzic, dlaczego dodawanie dIugosci w geometrii hiperbolicznej prowadzi do formuly dodawania, jakiej tutaj musimy uiyc, a mianowicie (u + v)c/(1 + uv), kiedy dodajemy prcrdkosci uc i vc w tym samym kierunku przestrzennym. Rozwaz dodawanie dlugosci luk6w wok61 pewnego okrcrgu lub sfery, w kt6rych "prcrdkosc" odpowiada za kazdym razem dlugosci luku, jakim jest tangens kqta srodkowego na nim opartego.
407
18
Geometria Minkowskiego
Rys. 18.11. Przestrzeni'l prydkosci w teorii wzglydnosci jest (jednostkowa) przestrzen hiperboliczna H+, w kt6rej raptownosc p (= arc tgh v) stanowi miary odleglosci hiperbolicznej wzdluz H+ (prydkosc swiatla c = 1 odpowiada nieskonczonej wartosci p). Jest to analogiczne (przez "odwr6cenie sygnatury") do odleglosci wzdluz okrygu jednostkowego, gdzie () jest k'ltem srodkowym.
Aby zdac sobie z tego Sprawy, musimy zrozumiec, jaki jest sens fizyczny tej hiperbolicznej "dtugosci". W rzeczywistosci jest to wielkosc znana pod naZWq raptownoSci (albo pospiesznosci), kt6rq bydy oznaczal greckq liteq p, a jej definicjy podaje nastypuj,!ca formula (graficznie przedstawiona na rys. 18.12): ___ 1In1+V P
2
I-v
tzn.
eP-e-P eP +e- P
V=---
(wyrazenie po prawej stronie definiuje "tangens hiperboliczny" p, co zapisujemy jako "tgh p"). Raptownosc jest po pro stu miar,! "odlegtosci" w przestrzeni hiperbolicznej 1i+ (0 pseudopromieniu jednostkowym - zob. rozdz. 2.4, 6 - poniewaz a = 1). Dla prydkosci v duzo mniejszych od prydkosci swiatla raptownosc jest r6wna tej prydkosci'18.9J• Zauwazmy, ze granice przedstawione na obrazie Eschera na rys. 2.11, kt6re odpowiadaj,! nieskonczonosci w geometrii hiperbolicznej (p = 00), reprezentuj,! nieosi,!galn,! graniczn,! prydkosc c (=1). Skladanie prydkosci w tym samym kierunku sprowadza siy do dodawania ich raptownosci (tzn. dodajemy dlugosci hiperboliczne); zob. rys. 18.13a. Skladanie prydkosci w r6znych kierunkach mozemy wykonac za pomoc,! procedury podanej dla zwyktych obrot6w w rozdz. 11.4, a ilustruje to rys. 11.4 (z odpowiedni,! inwersj,!
v
-----------------
-------~-,-~-------
p -----------~-~-~.------
v=-l
408
B
-----------------
Rys. 18.12. Wykres prydkosci v (gdzie c = 1) jako funkcji raptownoscip, zdefiniowanej jako p = ~ In{(l + v)/(l - v)}, tzn. v = (e P- e-P)/(e P+ e-P) = tghp.
[18.9] Wykai: prawdziwosc tego stwierdzenia; pokai rownowartosc podanych dwu wzorow.
Firmament niebieski jako sfera Riemanna
(a)
18.5
(b)
Rys.18.13. Skladanie prt(dkosci w hiperbolicznej przestrzeni prt(dkosci 7-r. (a) W przypadku dodawania prt(dkosci w tym samym kierunku po prostu dodajemy ich raptownosci. (b) W przypadku dodawania prt(dkoSci w roznych kierunkach do ich zlozenia stosujemy prawo trojkl)ta; dlugosci hiperbolicznych bokow Sl) rowne polowie odpowiednich raptownosci; por. to z rys. 11.4b, przedstawiajl)cym zlozenie zwyklych obrotow w 3-przestrzeni. Dowod jest identyczny.
sygnatury). Stosujemy tutaj hiperboliczne prawo tr6jkqta do dwu prydkosci, jakie majq bye dodane, z ktorych kazdq przedstawia odcinek hiperboliczny 0 dlugosci rownej dokladnie polowie raptownosci reprezentowanej prydkosci (co odpowiada faktowi, ze dlugosci lukow na rys. 11.4 Sq dokladnie rowne polowie dlugosci kqta obrotu); zob. rys. 18.13b.
18.5 Firmament niebieski jako sfera Riemanna Zajmijmy siy teraz wewnytrznq geometriq "granicy w nieskonczonosci" dla geometrii hiperbolicznej przestrzeni 1t+, przy czym trzeba powiedziee jasno, ze interesuje nas 4-wymiarowa czasoprzestrzen Minkowskiego, a wiyc jej graniq bydzie teraz sfera S2, a nie okqg (st) jak w przypadku rysunku Eschera (rys. 2.11). Kazdy punkt na tej sferze przedstawia pewien kierunek wzdluz samego stozka zerowego, a wiyc reprezentujqcego granicznq prydkose swiatia, jaka jest nieosiqgalna dla CZqstek masywnych. lednakZe te prydkosci Sq osiqgalne dla cZqstek bezmasowych; w istocie Sq to jedyne prydkosci swobodnego ruchu takich czqstek. Na szczyscie fotony Sq takimi cZqstkami i mozemy je obserwowae. Kiedy patrzymy na niebo w jasnq, bezchmurnq noc, wydaje nam siy, ze widzimy nad sobq polkulistq kopuly, ozdobionq miriadami gwiazd. W rzeczywistosci wszystko to stanowi realistyczny obraz rodziny promieni swietlnych, biegnqcych wzdluz stozka swietlnego, ktorego wierzcholkiem jest zdarzenie 0, jakim jest nasze oko w chwili patrzenia na ty niebieskq sceny. Tak naprawdy obserwujemy jedynie polowy promieni biegnqcych wzdluz stozka swietlnego; gdybysmy wyobrazili sobie, ze jestesmy w przestrzeni kosmicznej, z pelnym widokiem na calq otaczajqq nas sfery niebieskq, mielibysmy wowczas lepszy obraz sfery zlozonej z promieni swiatla tworzqcych caly stozek swietlny z wierzcholkiem w 0. Bye moze wygodniej jest myslee 0 tym obrazie jako o realizacji stozka przeszlosci 0, albowiem obserwujemy promienie, ktore docie-
409
18
Geometria Minkowskiego
410
raj,! do naszego oka, a nie wychodz'!ce z niego. Ale promienie swiatia, w sensie zerowych linii prostych, biegn,! w obu kierunkach, od przeszlosci do przyszlosci, a zatem sfera niebieska moie bye traktowana jako reprezentuj,!ca rodzin(( Swszystkich promieni swietlnych przechodz'!cych przez 0; zob. r6wniei rozdz. 33.2. Ta przestrzen S jest z pewnosci,! topologicznie 2-sfer,!, ale czy rna jak,!s godn,! uwagi struktur((? Moglibysmy na przyklad zaopatrzye j,! w metryk(( i traktowae jako 2-wymiarow,! przestrzen riemannowsk'!. Najbardziej oczywistym sposobem byloby wzi,!e jak,!s warstwt( stoika swiatia, na przyklad przecinaj,!c go 3-plaszczyzn,! przestrzenn'! t = -1, aby uzyskae sfert( metryczn,! 0 jednostkowym promieniu, x 2 + l + Z2 = 1 (z r6wnania stoika f - ~ -l- Z2 == 0), kt6ra bt(dzie reprezentowae sfer(( S. Alternatywnie moglibysmy dokonae przecit(cia plaszczyzn,! t = 1, uzyskuj,!c znowu sfert( jednostkow,!, a zwi,!zek mit(dzy jedn,! a drug,! daje odwzorowanie antypodalne (kt6re zachowuje metrykt(). Jednak w tym przecinaniu stoika nie rna niczego szczeg6lnego, dop6ki nie wybierzemy jednej specjalnej linii swiata obserwatora, przechodz'!cej przez 0, i nie uiyjemy "wsp6Irzt(dnej t" tego obserwatora. Dla inn ego obserwatora uczestnicz'!cego w tym samym zdarzeniu 0, kt6ry porusza sit( z jak,!s dui,! pr((dkosci,! w stosunku do pierwszego, mapy sfer niebieskich, jakie ci obserwatorzy tworz,!, mog,! bye wzglt(dem siebie znieksztakone. I rzeczywiscie, zauwaiamy tu pewien rodzaj odchylenia ze wzglt(du na efekt znany pod nazw'! aberracji gwiezdnej, zaobserwowany po raz pierwszy przez Jamesa Bradleya w 1725 roku. Zjawisko to polega na tym, ie obserwowane poloienia gwiazd na sferze niebieskiej, w r6inych porach roku, okazuj,! sit( lekko przesunit(te, poniewai prt(dkose Ziemi w ruchu dookola Slonca zaIeiy od jej poloienia na orbicie. To efekt podobny do tego, jaki powszechnie zauwaiaj,! osoby podr6iuj,!ce samochodem w czasie deszczu. Pasaierom siedz,!cym w samochodzie wydaje sit(, ie strugi deszczu padaj,! od przodu nieomal prosto na nich, podczas gdy obserwator stoj'!cy na ulicy widzi, ie spadaj,! pionowo w d6l. Wraienie owo powstaje na skutek tego, ie skonczona prt(dkose kropel deszczu sumuje sit(, odpowiednio, z prt(dkosci,! samochodu. W rzeczywistosci w takiej sytuacji prt(dkose samochodu uwaiamy za duio wit(ksz,! od prt(dkosci kropei deszczu, a wi((c zasadniczy efekt pochodzi od samochodu. W przypadku gwiazd jest odwrotnie, orbitalna prt(dkose Ziemi jest duio mniejsza od prt(dkosci swiatla gwiazd, kt6re wt(druje w nasz'! stront(. W zwi¥ku z tym sezonowa zmiana obserwowanej pozycji gwiazd na firmamencie niebieskim jest bardzo mala (dla najblizszych gwiazd wynosi ona okolo 20 sekund w mierze lukowej). Efekt ten przedstawia zalezn,! od prt(dkosci mapt( sfery niebieskiej, z czego wynika, ze sferze tej nie mozna przypisae naturaInej struktury metrycznej, niezaleinej od pr((dkosci obserwatora. Stawiamy tu nastt(puj,!ce pytanie: czy istnieje jakas struktura matematyczna S, slabsza od struktury metrycznej, kt6ra jest zachowana, kiedy przechodzimy od mapy nieba sporz,!dzonej przez jednego obserwatora do innej, sporz,!dzonej przez innego obserwatora, gdy obaj spotykaj,! sit( w zdarzeniu 0, przechodz'!c ze stosunkowo wysokimi prt(dkosciami? Okazuje sit(, ze taka struktura istnieje i jest dokladnie t'!,
Firmament niebieski jako sfera Riemanna
18.5
ktorq badalismy wczesniej, w rozdz. 8.2, 3, omawiajqc sfery Riemanna. Przypomnijmy wiyc, ze sfera Riemanna rna struktury konforemnq, dlatego - aczkolwiek nie rna przypisanej zadnej szczegolnej metryki, a wiyc nie rna ani okreslonej odleglosci pomiydzy sqsiednimi punktami, ani okreslonej dlugosci krzywych - zawiera scisle okreslone pojycie kqta miydzy krzywymi na sferze. Kai:da dozwolona, a wiyc konforemna transformacja na sferze Riemanna musi zachowywae tak zdefiniowane kqty. Konsekwentnie transformacje te zachowujq (infinitezymalnie) male ksztalty, aczkolwiek ich rozmiary mogq siy zmieniae. Ponadto okrygi, dowolnych rozmiarow, na sferze zawsze przechodzq w okrygi. I taka wlasnie jest struktura sfery niebieskiej S. Wobec tego, jesli jeden obserwator postrzega jakies ulozenie gwiazd jako rozmieszczenie na okrygu, to podobnie bydzie je postrzegal kai:dy inny[18.101• To sugeruje, ze wygodnym sposobem oznakowania gwiazd na firmamencie niebieskim mogloby bye przyporzqdkowanie kazdej z nich liczby zespolonej (dopuszczamy tatie OCJ)! Nie wiem, czy takq propozycjy wykorzystano juz w astronomii, ale posluzenie siy parametrem zespolonym nazywanym "wspolrzydnq stereograficznq", zwiqzanq ze standardowymi sferycznymi kqtami biegunowymi (rozdz. 2.11, rys. 22.16) wzorem S = ei'l'ctg -to[l8.111, jest normalnq praktykq w ogolnej teorii wzglydnoscC. Wlasnose ta moze robie wrazenie dziwnej, szczegolnie osobom znajqcym kontrakcjy FitzGeralda-Lorentza, wedlug ktorej sfera, poruszajqca siy z duzq szybkosciq v, doznaje splaszczenia w kierunku ruchu 0 czynnik y =~1_v2/c2, zob. rys. 18.14. (Nie omawiam tutaj szerzej tego efektu. Pojawia siy on, kiedy rozwai:a-
Rys. 18.14. "Efekt splaszczania" FitzGeralda-Lorentza. Sferyczna planeta porusza siy na prawo z prydkosci'l v (blisk'l prydkosci swiatla) w jakims ustalonym ukladzie odniesienia, w kt6rym przyjmuje ona ksztalt splaszczony w kierunku ruchu 0 czynnik (1 - V2/c2) 112.
~ [18.10] Sprobuj podac szczegoly tego bardzo pomyslowego argumentu, znalezionego przez niezwykle oryginalnego i wplywowego teoretyka irlandzkiego, Johna L. Synge'a. Argument ten nie wymaga zadnych obliczen! Przedstawia siy nastypujqco: rozwaimy konfiguracjy geometrycznq skladajqcq siy ze stozka przeszlosci C zdarzenia 0 oraz (czasopodobnej) 3-plaszczyzny P przechodzqcej przez O. Niech ~ bydzie przeciyciem C i P. Opisz "historiy" w czasie odpowiednich opisow przestrzennych C, P i ~, w jakims stosownym ukladzie odniesienia przestrzeni Minkowskiego. Wyjasnij, dlaczego kaidy obserwator w 0 postrzega ~ jako okrqg, a co wiycej, ze ta konstrukcja geometryczna charakteryzuje, w sposob niezalezny od ukladu odniesienia, wiqzki promieni swietlnych, ktore obserwator postrzega jako okrqg. ~ [18.11] Wyprowadi ten wzOr.
411
18
Geometria Minkowskiego
my opis przestrzenny obiektu poruszajqcego sit(, i jego szczegolowq charakterystykt( znajdziemy w wit(kszosci standardowych opracowan teorii wzglt(dnoscL)8,[18.12j Wyobrazmy sobie, ze ta sfera przesuwa sit( nad nami horyzontalnie z prt(dkosciq bliskq prt(dkosci swiatla. Latwo przyjqC, ze to splaszczenie powinno byc zauwazalne przez obserwatora pozostajqcego w spoczynku na Ziemi. Zgodnie z zasadq wzglt(dnosci zjawisko powinno byc identyczne z tym, jakie postrzegalby obserwator, gdyby to on poruszal sit( z prt(dkosciq v w kierunku przeciwnym, a sfera pozostawalaby w spoczynku. Jednak obserwatorowi pozostajqcemu w spoczynku wydaje sit(, ze sfera rna ksztalt sferyczny. Pozornie pojawia sit( sprzecznosc ze stwierdzeniem z poprzedniego akapitu, iz "okrt(gi zawsze przechodzq w okrt(gi". Nie rna tu wcale sprzecznosci, poniewaz "efekt splaszczenia" FitzGeralda-Lorentza nie jest bezposrednio obserwowalny. Wynika to ze szczegolowego rozwaienia dlugosci drogi swiatla docierajqcego do obserwatora, w stosunku do ktorego sfera pozostaje w ruchu; zob. rys. 18.15. Swiatio, ktore na pozor pochodzi z tylu sfery, dociera do oka obserwatora z bardziej odleglego punktu niz to, ktore mialoby pochodzic z przedniej czt(sci sfery9,[18.13 j •
Rys. 18.15. Sp\aszczenie FitzGeralda-Lorentza nie jest bezposrednio obserwowalne, poniewai to, co obserwatorowi jawi sit( jako tyl sfery, dociera do niego po dlui:szej drodze nii: to, co wydaje mu sit( przodem sfery (tyl sfery wykonuje ruch od drogi swiaUa, podczas gdy prz6d porusza sit( w stront( promienia swietlnego). Zgodnie z tym, obserwowany tyl sfery odnosi sit( do poloi:enia wczesniejszego nii: poloi:enie przodu i efekt splaszczenia zostaje skompensowany.
412
rm. [18.12] Sprobuj wyprowadzic ten wzor, stosujqC zaloienia opisanej wlasnie geometrii czasoprzestrzeni. rm. [18.13] Rozwin ten argument w szczegolach, aby pokazac, dlaczego splaszczenie FitzGeralda-Lorentza dokladnie kompensuje efekt pochodzqcy od roinicy dlugosci drog. Pokai, ie dla niewielkiej srednicy kqtowej widocznym efektem jest raczej obrot sfery nii jej splaszczenie.
Energia newtonowska i moment pedu
18.6
p~du
18.6 Energia newtonowska i moment
W tym rozdziale chcialbym przedyskutowae jeszcze jeden aspekt geometrii Minkowskiego, ktory dotyczy waznych zagadnien energii,Pfdu i momentu Pfdu w teorii wzglydnosci. Do tych spraw przejdziemy w rozdz. 18.7, ale najpierw muszy zrobie kilka uwag na temat tych istotnych pojye w teorii Newtona, albowiem nie omawialismy ich jeszcze w tej pracy. Szczegolna rola tych wielkosci wynika przede wszystkim z tego, ze Sq dobrze zdefiniowane w teorii Newtona i majq ty cechy, iZ w ukladach, na ktore nie dzialajq sily zewnytrzne, sq zachowane, co oznacza, ze calkowita energia, pyd i moment pydu pozostajq stale w czasie. Energiy ukladu mozemy uwazae za wielkose skladajqcq siy z dwoch cZysci, a mianowicie energii kinetycznej (tzn. energii ruchu) i energii potencjalnej (a wiyc energii zgromadzonej w silach dzialajqcych miydzy czqstkami). W teorii Newtona energia kinetyczna czqstki (nieposiadajqca struktury) jest zadana wyrazeniem
Imv 2 2
'
gdzie m oznacza masy cZqstki, a v jej prydkose. Aby otrzymac calkowitq energiy kinetycznq ukladu, po prostu dodajemy do siebie energie kinetyczne wszystkich cZqstek (aczkolwiek w przypadku gdy uklad sklada siy z bardzo wielu cZqstek poruszajqcych siy chaotycznie, mozemy mowie 0 energii cieplnej; zob. rozdz. 27.3). Aby otrzymae calkowitq energiy potencjalnq, musimy miee informacje 0 charakterze sil dzialajqcych w tym ukladzie. Ani calkowita energia kinetyczna, ani calkowita energia potencjalna nie mUSZq bye oddzielnie zachowane, a calkowita energia pozostaje stala. (Pierwsze podejrzenia, ze tak musi bye, mozemy przesledzie jeszcze w pracach Galileusza nad ruchem cial w polu sily ciyzkosci. Gdy porusza siy ramiy wahadla, zaczynajqc z wysokiego polozenia, jego energia potencjalna, ktorej miarq jest wysokose podniesienia, zamienia siy w energiy kinetycznq, ktora nastypnie zamienia siy w energiy potencjalnq, ktora przechodzi z powrotem w energiy kinetycznq, itd., itd.) Pyd P naszej cZqstki 0 masie m jest wielkoSciq wektorowq okreslonq wyraZeniem
p=mv, gdzie v jest wielkosciq wektorowq opisujqcq jej prydkose. Aby otrzymae pyd calkowity ukladu, dodajemy do siebie pydy poszczegolnych czqstek. Ten pyd calkowity jest rownieZ zachowany w czasie[18. 141. Przypomnijmy sobie teraz, na podstawie rozdz. 17.3, ze w teorii Newtona obowiqzuje zasada wzglydnosci Galileusza. W jaki sposob nasze prawa zachowania mogq przetrwae podczas przechodzenia od jednego inercjalnego ukladu odB [18.14] UZyj zasady zachowania energii i pydu do pokazania, ze jesli spoczywaj,!ca kula bilardowa zostaje uderzona przez inn,! kuly 0 tej samej masie, w6wczas rozchodz,! siy one pod k,!tem prostym wzglydem siebie (zakladamy, ze zderzenie jest spryZyste, a wiyc nie zachodzi zamiana energii kinetycznej w cieplo).
413
18
Geometria Minkowskiego
niesienia do innego, gdy ani energia, ani pyd nie pozostaj
x=
(Xl,
x 2, r),
gdzie Xl, x 2, x 3 oznaczaj
M=2x/\p (definicjy symbolu /\ znajdziemy w rozdz. 11.6)10. Aby otrzymae moment pydu calego ukladu, dodajemy po pro stu momenty pydu poszczegolnych cz
N =tp -mx, gdzie t oznacza czas. Calkowit
[18.15] Udowodnij to wszystko. [18.16] Dlaczego lYZwiarze wykonujqcy pimet skladajq ramiona, aby zwiykszyc prydkosc obrotu? ~ [18.17] Pokaz to. (Notabene wektor polozenia srodka masy jest sumq wielkosci mx podzielonq przez sumy wszystkich mas m.) ~
414
Energia relatywistyczna i moment p~du
-
~
...
t
18.7
•
'\" 1 ....~, .I'
..L.::::> \
Jl ...'-». t;r ~ ..!! ..... "'" t ~-::::.. - - - - - ~ .... ~~ .. t
~
1,
-~
~
I
~J
"".;I
~'\." ~
Rys. 18.16. Ruch jednostajny srodka masy. Wieikosc N = tp - mx, gdzie t oznacza czas, a x wektor polo:i:enia srodka masy, jest zachowana. Wyra:i:a to fakt, :i:e srodek masy porusza siy ruchem jednostajnym i prostoiiniowym, z prydkosci'l p/m.
wo zachowania energii, l'!cz'! siC( w jedno. W sensie najzupelniej scislym masa i energia staj,! siC( sobie calkowicie rownowazne i, zgodnie z najbardziej znanym wzorem Einsteina gdzie E oznacza calkowit,! energiC( ukladu, m jego calkowit'! masC(, a c prC(dkosc swiatla. W ostatnim rozdziale zobaczymy, jak to funkcjonuje.
18.7 Energia relatywistyczna i moment
p~du
Przypomnijmy sposob, w jaki przestrzen i czas zostaly pol,!czone w teorii wzglC(dnosci w jednym bycie, "czasoprzestrzeni", w ktorej wspolrzC(dna czasowa t zostala dol,!czona do 3-przestrzennego wektora polozenia x = (Xl, r, x3), tworz'!c 4-wektor
(xO,xl,r,r) = (t, x). W podobny sposob dokonamy teraz pol,!czenia energii i pC(du. KaZdy skonczony uklad w szczegolnej teorii wzglC(dnosci bC(dzie mial okreslon,! energiC( calkowit'! E i calkowity 3-wektor pC(du p. Razem tworz'! one tzw. 4-wektor energii-Ndu, ktorego przestrzenne skladowe s,! (P\p2,p3) = c2p, podczas gdy skladowa czasowa, pO, mierzy nie tylko calkowit,! energi y, lecz takZe, rownowaznie, calkowitq mas~ ukladu, zgodnie z relacj,!
pO=E =mc 2, ktora przedstawia znany zwi,!zek masy i energii Einsteina. Przy bardziej naturalnym wyborze ukladu jednostek, w ktorym c = 1, energia i masa s,! po prostu rowne. lednakZe specjalnie wypisalem tutaj prC(dkosc swiatla c (a wiC(c nie wybieraj,!c jednostek czasowo-przestrzennych, w ktorych c = 1), aby ulatwic korespondencjC( z opisem nierelatywistycznym. W konwencji, ktor,! tutaj przyj,!lem, jako tensor metryczny gab wybieramy macierz, ktorej niezerowe elementy znajduj,! siC( na glownej przek'!tnej i wynosz'! (1, _c-2 , _c- Z, _c-2 ); a jej odwrotnosc, o skladowych g"b, rna na tej diagonali elementy (1, _c z, _c 2, _c 2).
415
18
Geometria Minkowskiego
Mimo ze na poczqtku wydaje siy, iz wektor energii-pydu wygodnie jest traktowac jako czasoprzestrzenny, okazuje siy jednak, ze bardziej wlasciwe jest uznanie go za kowektor (zob. rozdz. 20.2 i 21.2), opisywany przez wielkosci z dolnymi wskainikami, p a' 0 skladowych
(PO,PI'P2,P3)
=
(E, -p).
W wyrazeniu tym wystypuje znak minus (chociaz zniknylo c). Ktorejkolwiek wersji uZyjemy dla czteropydu (Pa czy p a), prawo zachowania bydzie speinione. Tak wiyc, bez wzglydu na to, czy rozpatrujemy proces zderzenia dwu lub wiycej cZqstek, czy proces rozpadu pojedynczej czqstki (lub ukladu) na dwie lub wiycej, czy wychwyt jednej czqstki przez innq, suma wszystkich 4-pydow przed zajsciem tego procesu bydzie rowna sumie tych pydow po procesie. W ten sposob prawo zachowania energii, prawo zachowania pydu, a takZe prawo zachowania masy - wszystkie zostaly poiqczone w jedno prawo zachowania. Wygodnie jest polqczye je w taki sposob, gdyz przy zmianie ukladu odniesienia te wielkosci, wedlug regul teorii wzglydnosci, transformujq siy jedne w drugie tak, jak tego wymaga zapis wskaznikowy (zob. rozdz. 12.8). Zauwazmy, ze w teorii wzglydnosci calkowita masa ukladu nie jest wielkosciq skalarnq, a wiyc jej wartosc zaleZy od ukladu odniesienia, w ktorym siy jq mierzy. Na przyklad czqstka 0 masie m w jej wlasnym ukladzie spoczynkowym pozornie rna wiykszq masy, niz jesli jq zmierzymy w ukladzie, w odniesieniu do ktorego siy porusza. Zeby jednak efekt ow byl obserwowalny, wzglydne prydkosci tych dwu ukladow mUSZq bye porownywalne z prydkosciq swiatla[ 18181. Przedstawione uwagi odnoszq siy jedynie do masy, ktora jest masq konserwatywnq (zachowawczq) , w opisanym juz sensie addytywnosci (dla ukladu, na ktory nie dzialajq sHy zewnytrzne). W teorii wzglydnosci istnieje jeszcze inne pojycie, tzw. masy spoczynkowej /1 (? 0), ktorej wielkose nie zaleZy od ukladu odniesienia. Jest ona rowna masie mierzonej we wlasnym spoczynkowym ukladzie odniesienia, w ktorym pyd wynosi zero. Masa spoczynkowa /1 jest rowna c-2 razy energia spoczynkowa (Papa) 1/2, a wiyc (C 2/1)2 = Papa = E2 _ c2 p2; skqd mamy, ze /1 = c-2 (E2 - c2p2)l!2. W tym miejscu zaadaptowalem zwyklq notacjy do wektorow 3-przestrzeni, wedlug ktorej, dla dowolnego wektora 3, definiujemy 2 3 = 3 •3 = + + a~. "Kropka" oznacza tutaj "iloczyn skalarny" (podobnie jak w zapisie w rozdz. 12.3):
a; a;
3 •
gdzie
~
416
3 = (al' a 2 , a 3 )
b = alb l + a 2b2 + a3b3 ,
i b = (bl' b2, bJ Taka notacja okaze siy wygodna pozniej.
[18.18] Pokaz, ze wzor na ten przyrost masy to m(1 czqstki w drugim ukladzie odniesienia; zob. daJej.
V
/c 2t1!2, gdzie v oznacza pr((dkosc
2
Energia relatywistyczna i moment p~du
18.7
Dla pojedynczej czqstki masywnej w tym sensie, ze fl > 0, mozemy przyjqc, iz 4-pt(d jest 4-prrdkosciq przeskalowanq przez mast( spoczynkowq fl. Ta 4-prt(dkosc va jest czasopodobnym (w stozku przyszlosci) wektorem stycznym do linii swiata cZqstki, 0 dlugosci c (w geometrii Minkowskiego), czyli jest wektorem jednostkowym w ukladzie jednostek, w kt6rym c = 1: pa =
2
fl Va , gdzie va va = c ;
zob. rys. 18.17. Jak juz powiedzielismy, masa spoczynkowa czqstki masywnej jest masq (masq-energiq) tej cZqstki, mierzonq w jej wlasnyrn, spoczynkowyrn ukladzie odniesienia. Skoro przyjmiemy, ze zwykla 3-prt(dkosc tej cZqstki wynosi v, a wit(c v = (dx1/dt, &2/dt, dx3/dt), gdzie t =xo, otrzymujemy[18.191.[18.201
p =mv, m =Yfl,
va
=y(c 2, v),
gdzie
Rys. 18.17. Dla CZqstki masywnej 4-p«d pa jest rowny 4-pr«dkosci va, przeskalowanej przez mas« SpOczynkowq f1. (> 0), gdzie va jest (czasopodobnym, w stozku przyszlosci) jednostkowym 4-wektorem StyCZnym do linii swiata cZqstki (jesli c = 1) .
.§1 [18.19] Dlaczego? .§1 [18.20] Wykorzystaj szereg Taylora z rozdz. 6.4, aby pokazac, ze (1 + X) 112 = 1 +JX -tx2 + + l~ X3 - ... Na tej podstawie wyprowadi rozwinit;:cie w szereg pott;:gowy dla energii
E = [(C2.u? + C2p2f!2 cz
417
18
Geometria Minkowskiego
Cz'!stki mog,! bye tez bezmasowe (tzn. 0 zerowej masie spoczynkowej, f1 = 0), foton jest tutaj najlepszym przykladem. W takim przypadku 4-pt(d jest wektorem zero»ym. Poniewaz masa spoczynkowa nie jest zachowana, dlatego nie rna przeszkod, zeby cz'!stka masywna rozpadala sit( na cz'!stki bezmasowe alba zeby cz'!stki bezmasowe l,!czyly sit( w cz'!stki masywne. I rzeczywiscie, cz'!stka masywna znana pod nazw'! "neutralnego pionu" (oznaczana jako nO) zwykle rozpada sit( na dwa fotony w czasie ok. 10-16 sekundy. W kazdym konkretnym ukladzie odniesienia calkowita masa-energia (ale nie masa spoczynkowa) jest addytywnie zachowana, a masa-energia kazdego fotonu jest rozna od zera. Sposob, w jaki 4-pt(dy sit( dodaj,!, ukazuje rys. 18.18. Wreszcie zobaczmy, jak w szczegolnej teorii wzglt(dnosci traktujemy moment pt(du. Opisujemy go wielkosci,! tensorow'! M ab , antysymetryczn,! w jej obu wskainikach: ~b=_Mba.
(W rozdz. 22.12 poznamy znaczenie tensor a M ab w mechanice kwantowej.) W przypadku pojedynczej cz'!stki punktowej (bez struktury wewnt(trznej) mozemy napisae l1 ~b = Xapb _ xbpu,
gdziex a jest 4-wektorem polozenia (w zapisie wskainikowym) punktu na linii swiata cz'!stki w momencie, w ktorym rozwazamy jej moment pt(du. Jesli cz'!stka porusza sit( ruchem inercjalnym, wowczas ~b jest taki sam dla wszystkich punktow na jej
418
Rys. 18.18. Rozpad masowego "pionu neutralnego" 'ITo na dwa bezmasowe fotony. 4-wektor masy-energii jest zachowany addytywnie (natomiast masa spoczynkowa nie).
Przypisy
linii swiata[18.21 1. Chcqc otrzymac catkowity relatywistyczny moment pl(du, dodajemy po prostu tensory momentu pl(du wszystkich cz~stek. Dla pojedynczej cz~stki (bezspinowej) trzy niezalezne czysto przestrzenne sldadowe M 23 , M 31 , MI2 s~ (pomnozonymi przez c1 ) skladowymi zwyklego momentu pl(du M = 2x /\ p, kt6ry rozpatrywalismy w rozdz. 18.6, natomiast pozostate niezalezne skladowe ~I, ~z, ~3 2 odpowiadaj~ wielkosci N = tp - mx (x c ). (Zachowanie calkowitego N odpowiada ruchowi jednostajnemu srodka masy; zob. rys. 18. 16.)[18.22J Przypomnijmy sobie z rozdz. 18.2, ze w lO-wymiarowej grupie Poincarego symetrii przestrzeni Minkowskiego 4 wymiary odpowiadaj~ translacjom czasoprzestrzennym, a pozostale 6 obrotom (lorentzowskim). W rozdz. 20.6 przekonamy sil(, jak wazna zasada mechaniki klasycznej, twierdzenie N6ther, wi(!ze te symetrie z prawami zachowania, a w rozdz. 21.1-5 i w rozdz. 22.8 dowiemy sil(, ze podobnie jest w teorii kwantowej. To wyjasnia gll(bokie przyczyny praw zachowania dla 4-pl(du Pa i dla 6 skladowych momentu pl(du Arb, albowiem wynikaj(! one z 4 symetrii translacyjnych i 6 (lorentzowskich) symetrii obrotowych przestrzeni Minkowskiego. Prawa zachowania Pa i Arb odegraj~ szczeg6lnie wazn~ roll( w rozwazaniach rozdz. 21 i 22.8, 12, 13.
Przypisy Rozdzial 18.1 Tom Banchoff z Uniwersytetu Browna przez wiele pracowal nad interakcyjnym systemem komputerowym, kt6rego celem bylo rozwiniycie intuicji 4-wymiarowej, a w szczeg6lnosci wizualizacji funkcji zespolonych w terminach powierzchni Riemanna w (:2; zob. Banchoff (1990, 1996); zob. talcie: http//wwwJacultyJairfield.edu/jmac/c1/tb42.htm. 2 Wielkosci "ds" w tym wyrazeniu naleiy rozumiec po prostu jako "wielkosci infinitezymalne" (jak f w rozdz. 13.6). Por. przyp. 8 w rozdz. 12. 1
Rozdzial18.2 Szczeg610wq dyskusjc,: roli Lorentza, Poincarego i Einsteina w rozwoju szczeg6lnej teorii wzglc,:dnosci znaleic mozna w pracy: Stachel (1995), s. 249-356. Moim zdaniem jednak nawet Einstein w 1905 roku nie mial jeszcze kompletnej teorii i potrzebna byla dopiero 4-wymiarowa perspektywa Minkowskiego, kt6rq przedstawil w 1908 roku, aby obraz byl zupelny; zob. rozdz. 17.8. 4 W grupie Poincarego istniejq elementy odbicia czasu, kt6re przeksztalcajq czasopodobne kierunki przyszlosci w czasopodobne kierunki przeszlosci. 3
5
Rozdzial 18.3 Muszc,: podkreslic, szczeg6lnie na uiytek czytelnik6w zaznajomionych z mechanikq kwantOWq, ze zespolone pojycie "ortogonalnosci", kt6rym sic,: tutaj poslugujc,:, jest holomorficzne (tego bowiem dotyczy "kompleksyfikacja"), a nie jest hermitowskie (w pojc,:ciu rozdz. 13.9); to drugie wprowadza sprzc,:zenie zespolone i znajduje szerokie zastosowanie w wielu dzialach matematyki i fizyki. ~ ~
[18.21] Dlaczego? [18.22] Wyjasnij to szczeg610wo w przypadku relatywistycznym.
419
18
Geometria Minkowskiego
6
Zob. np. Rindler (1982, 2001); Synge (1956); Taylor, Wheeler (1963); Hartle (2004).
Rozdzial18.5 Zob. w szczeg6lnosci Newman, Penrose (1966); Penrose, Rindler (1984), rozdz. 1.2-4,4.15; Penrose, Rindler (1986), rozdz. 9.8. 8 Zob. np. Rindler (1982, 2001). 9 Zob. np. Terrell (1959); Penrose (1959). 7
\0
11
Rozdzial 18.6 Niekt6rzy czyte1nicy mogq bye zdziwieni pojawieniem sit( czynnika ,,2" w tym wyrazeniu, ale powinni przeanalizowae definicjt( ,,/\" podanq w rozdz. 11.6. Skladowymi iloczynu x /\ P S,! liczby Xlpil = ~ (xpi - xip) Stqd wynika, ze skladowymi M Sq liczby xipi - Xipi. W rozdz. 22.8 przekonamy sit(, ze wit(kszose cZqstek (kwantowych) rna wewn~trzny spin prowadzqcy do (stalego) spinowego wkladu w Mb (zob. rozdz. 22.12), kt6ry sit( dodaje do "orbitalnego M b , , _ 0 nim tutaj m6wimy.
19 Pola klasyczne Maxwella i Einsteina 19.1 Stopniowe odejscie od dynamiki Newtona W OKRESIE, ktory uplyn,!l od czasu sformulowania genialnego modelu dynamiki Newtona, czyli od ukazania siy jego Principi6w w 1687 roku do pojawienia siy szczegolnej teorii wzglydnosci, co mozemy datowac na rok 1905, kiedy Einstein opublikowal pierwsz,! pracy na ten tern at, dokonano wielu odkryc w istotny sposob zmieniaj,!cych nasze widzenie podstaw fizyki. Prawdopodobnie najbardziej doniosle bylo zdanie sobie sprawy, gtownie dziyki dziewiytnastowiecznym pracom Faradaya i Maxwella, ze istnieje cos takiego jak pole jizyczne, przenikaj,!ce przestrzen, wspolistniej,!ce z "newtonowsk,! rzeczywistosci'!" indywidualnych cz,!stek, oddzialuj,!cych miydzy sob,! za posrednictwem sit dziataj,!cych natychmiastowo 1• Pozniej pojycie "pola" stalo siy kluczowym elementem przedstawionej przez Einsteina w 1915 roku zakrzywionej czasoprzestrzeni jego teorii grawitacji. Obecnie polami klasycznymi nazywamy w istocie pole elektromagnetyczne Maxwella i pole grawitacyjne Einsteina. Obecnie wiemy juz, ze natura swiata fizycznego jest bardziej zlozona i jej opis wymaga duzo wiycej, niz zaoferowac moze fizyka klasyczna. Juz w 1900 roku Max Planck odkryl potrzeby stworzenia "teorii kwantow", aczkolwiek dopiero po nastypnym ewierewieczu ujrzala swiatlo dzienne spojna i dobrze sformulowana teoria. Trzeba tez podkreslic, ze poza tymi glybokimi zmianami w newtonowskich podstawach fizyki nastqpily rownid inne doniosle zmiany, zarowno wczesniejsze od tamtych, jak i wspolistniej,!ce, polegaj,!ce na rozwoju potyznych instrumentow matematycznych, ktore znalazly zastosowanie w ramach samej teorii Newtona. Te instrumenty matematyczne omowimyw rozdziale 20. Sq one w istotny sposob zwiqzane z teori,! pol klasycznych, a nawet, co wazniejsze, tworzq niejako warunki wstypne do wlasciwego zrozumienia mechaniki kwantowej. Problemem tym zajmiemy siy w nastypnych rozdzialach. Innym dzialem fizyki, w ktorym zostal dokonany ogromny postyp, jest termodynamika i jej bardziej finezyjna wersja, znana pod nazw'! fizyki statystycznej. S,! to zagadnienia zachowania siy ukladow wielkiej liczby cial, w ktorych szczegoly indywidualnych ruchow nie s,! uwazane za istotne, a caly system opisywany jest w terminach wartosci srednich odpowiednich wielkosci fizycznych. Ten rozwoj zostal zapoczqtkowany w polowie XIX i poczqtkach XX wieku; w tym kontekscie wypada wymienic nazwiska takich uczonych jak Carnot,
19
Pala klasyczne Maxwella i Einsteina
422
Clausius, Maxwell, Boltzmann, Gibbs i Einstein. Najbardziej fundamentalne i zagadkowe aspekty termodynamiki omowiy poiniej, w rozdziale 27. W biezqcym rozdziale zajmy siy opisaniem teorii pol fizycznych przedstawionych przez Maxwella i Einsteina: "pol klasycznych" w teorii elektromagnetyzmu i w teorii grawitacji. Teoria zjawisk elektromagnetycznych odgrywa waznq roly takZe w formulowaniu teorii kwantowej, albowiem wprowadza "pole" stanowiqce archetyp dla poiniejszego rozwoju kwantowej teorii pola, ktorq poznamy w rozdziale 26. Co prawda, wlasciwe kwantowe podejscie do teorii pola grawitacyjnego pozostaje nadal sprawq enigmatycZllq i kontrowersyjnq. Zagadnienie kwantyzacji pola grawitacyjnego stanowiC bydzie istotnq cZysc dalszych rozdzialow tej ksiqzki (poczynajqc od rozdzialu 28). Jednak dla rozpatrzenia zagadnien fizycznych, ktorymi siy teraz zajmiemy, ograniczymy siy do badania pol fizycznych w ich klasycznej postaci. Na poczqtku tego rozdzialu wspomnialem, ze glyboka reform a newtonowskich podstaw fizyki rozpoczyla siy w XIX wieku, zanim jeszcze (w XX wieku) pojawily siy zwiastuny rewolucji relatywistycznej i teorii kwantow. Zwiastunem potrzeby takich reform byly odkrycia eksperymentalne Michala Faradya okolo 1833 roku i wylaniajqcy siy z nich nowy obraz rzeczywistosci, pozwalajqcy na ich zrozumienie. W zasadzie fundamentalnq zmianq, ktorej te doswiadczenia wymagaly, bylo uznanie, ze "czqstki newtonowskie" i "sily" miydzy nimi oddzialujqce nie Sq jedynymi mieszkancami naszego WszechSwiata. Konieczne okazalo siy powazne rozwazenie idei "pola" jako samoistnego, oddzielnego bytu fizycznego. Wielki szkocki fizyk James Clerk Maxwell w 1864 roku sformulowal rownania, ktorym te nowe byty muszq podlegac, i pokazal, ze pol a Sq w stanie przenosic energiy z jednego miejsca winne. Rownania te polqczyly w jedno zachowanie siy pol elektrycznych, magnetycznych, a nawet swiatla i obecnie wystypujq pod nazwq rownan Maxwella i Sq to pierwsze rownania pol relatywistycznych. Z perspektywy dokonan XX wieku, w ktorym wspaniale rozwinyly siy techniki matematyczne (odwolujy siy tutaj specjalnie do rachunku rozniczkowego i calkowego na rozmaitosciach, 0 ktorym mowilismy w rozdz. 12-15), wydaje siy, ze rownania Maxwella majq takq zniewalajqcq naturalnosc i prostoty, iz moze wrycz dziwic, ze pola elektryczne i magnetyczne mogq podlegac jakims innym prawom. Jednak taka perspektywa ignoruje fakt, ze to same rownania Maxwella prowadzily do wielkich postypow matematyki. To wlasnie postac rownan Maxwella doprowadzila Lorentza, Poincarego i Einsteina do czasoprzestrzennych transformacji szczegolnej teorii wzglydnosci, ktore z kolei umozliwily Minkowskiemu wysuniycie jego koncepcji czasoprzestrzeni. W ramach tej koncepcji rownania Maxwella przyjyly takq postac, ktora w naturalny sposob doprowadzila do teorii form rozniczkowych Cartana (rozdz. 12.6); natomiast prawa zachowania ladunku i strumienia magnetycznego w teorii Maxwella przyczynily siy do powstania calej konstrukcji wyrazen calkowych, ktore obecnie mozemy najpelniej oddac przez cudownq formuly z rozdz. 12.5, 6, a ktorq nazywamy podstawowym twierdzeniem rachunku roiniczkowego i calkowego fonn zewn{?trznych.
Teoria zjawisk elektromagnetycznych Maxwella
19.2
Byc moze, przypisujqc te wszystkie osiqgnit(cia wplywowi rownan Maxwella, przyjqlem nieco zbyt ekstremalny punkt widzenia. Rzeczywiscie, aczkolwiek rownania Maxwella niewqtpliwie majq znaczenie kluczowe, wielu prekursorow tej teorii wywarto rownid znaczqcy wplyw. Wymienic tu wypada przede wszystkim takie nazwiska jak Laplace, D' Alembert, Gauss, Green, Ostrogradski, Coulomb, Ampere, ale takZe i inne. Wszystkie badania pomagajq zrozumiec, czym Sq pol a elektryczne i magnetyczne, ktore stanowiq "silt( napt(dowq" rozwoju, a takZe czym jest pole grawitacyjne. Reszta tego rozdzialu jest poswit(cona wyjasnieniu natury tych pol i sposobu, w jaki ukladajq siy w ramy wspolczesnej matematyki.
19.2 Teoria zjawisk elektromagnetycznych Maxwella Czym wit(c Sq rownania Maxwella? To rownania rozniczkowe czqstkowe (zob. rozdz. 10.2), ktore opisujq ewolucjt( w czasie trzech skladowych, EI' E 2, E3 pola elektrycznego oraz trzech skladowych pola magnetycznego BI' B 2 , B 3, gdzie gt(stosc ladunku elektrycznego p oraz trzy skladowe gt(stosci prqdu jl' j2' j3 uWaZamy za wielkosci zadane. W rownaniach tych wystt(powae mogq pewne inne wielkosci, charakteryzujqce osrodek, w ktorym te pola mogq sit( propagowac. JednakZe przy dyskusji fundamentalnych aspektow fizycznych, co nas tutaj glownie interesuje, zwykle pomijamy te aspekty rownan Maxwella, ktore odnoszq sit( do wlasciwosci osrodka, poniewaz sam osrodek sklada sit( w rzeczywistosci z wielkiej ilosci elementow skladowych, a one same z kolei powinny bye rozpatrzone na bardziej fundamentalnym poziomie. Bt(dzie tez wygodnie posluZyc sit( tak zwanymi "jednostkami Gaussa" oraz standardowymi wsp6lrz~dnymi Minkowskiego (z rozdz. 18.1), a mianowicie i 2 Xo = t,x =x,x =y,~ =Z (sygnatura + - - -), przy czym dobor jednostek czasoprzestrzennych jest taki, ze prt(dkosc swiatla c = 1. Pole elektromagnetyczne i gt(stosc prqdu ladunkowego przedstawiamy, odpowiednio (zgodnie z przepisem zaproponowanym przez Minkowskiego), w postaci czasoprzestrzennej 2-formy F, ktorq nazywamy tensorem pola Maxwella, oraz czasoprzestrzennego wektora], nazywanego wektorem prqdu ladunkowego. Ich macierzowa postae przedstawia sit( nastt(pujqCo:
FOi
Foz
Fm [FOO F;o F;1 F;2 F;3 F'zo F21 F'zz FZ3 F'zo F'z1 F3Z F;3
Jl =
0 -El -Ez
E, 0 B3
Ez -B3 0
-E3
-B2
B1
[}lD
E, Bz ] -B1 '
0
423
19
Pala klasyczne Maxwella i Einsteina
Zauwazmy, ze spelniony jest warunek antysymetrii Pba = -Pab , jak tego wymagaj,! wlasnosci 2-formy. Wykorzystam tez wielkosci znane pod nazw,! dualnych Hodge'a, dualnych wzglydem P i J. Byd,! to, odpowiednio, 2-forma *p oraz 3-forma *J, zdefiniowane nastypuj,!co:
*Pol
*Po2
*~l
*~2
F'zo *F21 *F;l
*F22
F'z3
*F32
*F;3
:~:
[OR
*F;o
OF., :~3
II
0 j
-Bl 0
B2 B3
E3 -E2
= B
[OJml ?023 = [-Pl _j~
-B2 -E3 0
-B']
E1
0
E2 -Ej '
.
h j3
JOB 'J012
Obie wielkosci spelniaj,! wymagane warunki antysymetrii 'Pab = 'P[ab] oraz *Jabc = *J[abcr Ui;ywaj,!c antysymetrycznego tensora Levi-Civity cO wlasnosciach c abcd = c[abcd] i c 0123 = 1, te wielkosci dualne mogy zapisac w postaci: 'p 1 pcd. *J Jd ab
= ICabcd
1
abc
= c abcd
'
gdzie tensor pb =gacgbdPcd ' zgodnie z rozdz. 14.7. ZauwaZmy, ze wersja tensora C z podniesionymi indeksami c abcd = ftPfl'itrg'-'cpqrs spelnia warunek c0123 = -1, a zatem tensor E z rozdz. 12.7 jest dany przez[19.1] ~bcd = _cabcd• Zob. rys. 19.1, kt6ry przedstawia graficzn,! postac tych operacji "dualizacji" (a takZe samych r6wnan Maxwella). Znaczenie "dualnosci", w tym i w zblizonym sensie, okaze siy dla nas wazne p6zniej, w r6znych kontekstach. Wlasciwa bydzie uwaga dotycz'!ca geometrycznego znaczenia gwiazdki Hodge'a[*]. Przypomnijmy z rozdz. 12.7, ze operacja przejscia od dwuwektoraH, opisanego przez wielkosc antysymetryczn'!H"b, do jego 2-formy dualnej W, danej wyrazeniem ~CabcdHd, nie prowadzi do jakiejs zasadniczej r6znicy w interpretacji geometrycznej. lezeli na przyklad H jest prostym dwuwektorem, tak ze jego 2-forma dualna W jest r6wniez prost a (zob. koniec rozdz. 12.7), w6wczas 2-plaski element okreslony przez W bydzie dokladnie takim samym elementem jak okreslony przez H Gedyna r6znica, scisle bior,!c, sprowadza siy do tego, ze, jak to podkreslalismy w rozdz. 12.7, W rna charakter gystosci). Z kolei operacja podnoszenia wskaznik6w, kt6ra przeprowadza 2-formy Hab w dwuwektor H"b (= HCdgcagdb), rna wiyksze znaczenie geometryczne. W przypadku dwuwektora prostego 2-plaski element okreslony przez Hab jest dopelnieniem ortogonalnym 2-plaskiego elementu zdefiniowanego przez H"b (zob. rozdz. 18.3). Dualnosc (gwiazdka) Hodge'a, zastosowana do 2-formy H ab , przeksztaicaj,!c j,! w~cabcdHd (a wiyc w W), wykorzystuje podno~
424
[19.1] Sprawdz obie reiacje. [*] Operacja przejscia od F do *F nosi czt(sto nazwt( "gwiazdki Hodge'a" (przyp. Hum.).
Teoria zjawisk elektromagnetycznych Maxwelia
II = +fro· Eabcd
~
'Fab - - -
rm O~.
19.2
g = lliJ
IllI
024
(=-
.l(F Fe + *Facb 'Fe). 8naeb lone pol a fizyczne r6wniez maj1! swoje tensory energii-pydu i nalezaloby dodac wszystkie takie wklady, aby otrzymac pelny tensor energii-pydu T, spelniaj1!CY prawo zachowania VaTab = O. Jednak,jak to niebawem zobaczymy, cos bardzo odmiennego dzieje siy z energi1!-pydem samej grawitacji. Gdy grawitacja nie wystypuje, w6wczas czasoprzestrzen jest plaska (tzn. jest przestrzeni1! Minkowskiego) i mozemy uZyc plaskich wsp61rzydnych Minkowskiego. W6wczas kazdy z czterech wektor6w Tao' Tal' T az oraz T" 3 indywidualnie spelnia dokladnie takie sarno prawo zachowania jak wektor .!" (a wiyc VJa o = 0, itd., analogicznie do Va.!" = 0) i fakt ten implikuje, ze istnieje calkowe prawo zachowania, dokladnie analogiczne do prawa zachowania ladunku (tzn. analogiczne do SQ*J = 0), dla kazdej z 4 skladowych energii-pydu oddzielnie. A zatem zachowana jest calkowita masa i wszystkie trzy skladowe calkowitego pydu. Ale przypomnijmy sobie dyskusjy zasady r6wnowaznosci Einsteina w rozdz. 17 ito, jak prowadzi nas ona do zakrzywionej czasoprzestrzeni. Dlatego, gdy pojawia siy grawitacja, musimy uwzglydnic fakt, ze "Va" nie jest juz po pro stu "%x a", ale (zgodnie z rozdz. 14.3) pojawia siy wyraz dodatkowy rae' kt6ry zmienia znaczenie Va T" 0 i uniemozliwia wyprowadzenie calkowego prawa zachowania energii-pydu z naszego r6wnania Va Tab = O. Problem ten mozna sformulowac tak, ze dodatkowy indeks b w Tab powoduje, iz tensor ten nie moze juz bye postaci1! dualn1! jakiejs 3-formy i nie mozemy juz napisac prawa zachowania w postaci r6wnania w sformulowaniu niezaleznym od ukladu wsp61rzydnych (tak jak znikanie pochodnej zewnytrznej 3-formy *J w d*] = 0). Wygl1!da na to, ze utracilismy najbardziej kluczowe dla fizyki prawa zachowania: prawa zachowania energii i pydu! W rzeczywistosci istnieje bardziej obiecuj1!ca perspektywa dla zachowania energii/pydu, kt6ra odnosi siy zar6wno do pewnych zakrzywionych czasoprzestrzeni M, jak i do przestrzeni Minkowskiego i daje siy zastosowae r6wniei: do zachowania momentu pydu (zob. rozdz. 18.6 i 22.8, 11). Przypuscmy, ze mamy wektor Kil-
436
~ [19.13] Pokaz, ze taka wielkosc spelnia prawo zachowania VaTah = 0, jesli J = O. Znajdz skladowi! 00 tego tensora i wyprowadz oryginalne wyrazenie Maxwella (£2 + B2)!8rr na gystosc energii pola elektromagnetycznego 0 skladowych (El' E 2, £,) i (Bl' B 2, BJ
Tensor energii-p~du
19.5
linga K dla M (spelniajC!cy r6wnanie V(aKb) = 0; zob. rozdz. 14.8), kt6ry opisuje pewnC! ciqglq w M. W przestrzeni Minkowskiego istnieje 10 niezaleZnych takich
symetri~
symetrii, a wi((c 4 niezaleine symetrie translacyjne (3 przestrzenne i 1 czasowa) oraz 6 niezaleZnych obrot6w czasoprzestrzennych (bezodbiciowa CZ((SC grupy Lorentza 0(1,3); zob. rys. 18.3b). Tak wi((c przestrzen Minkowskiego rna 10 niezaleinych wektor6w Killinga. Przekonamy si(( w nast((pnym rozdziale, ie formalizm lagraniowski (twierdzenie Nother) pozwala na wyprowadzenie prawa zachowania z kaidej symetrii ciC!giej, wobec kt6rej prawa opisujC!ce dany uklad sc! niezmiennicze. Symetria wobec translacji czasu prowadzi do prawa zachowania energii, podczas gdy przestrzenne symetrie translacyjne dajC! prawa zachowania 3-p((du. Symetrie obrotowe sc! zwiC!zane z moment em p((du. (Zwykie obroty przestrzenne dajC! nam 3 skladowe zwyklego momentu p((du, ale istniejC! r6wniei 3 skladowe pochodzC!ce od ruch6w lorentzowskich, kt6re przeksztalcajC! jednC! pr((dkosc w innC!. DajC! one prawo zachowania ruchu srodka masy; zob. rozdz. 18.6, 7, rys. 18.16.) Aby wyprowadzic odpowiednie prawo zachowania odpowiadajC!ce jakiemus wektorowi Killinga, konstruujemy wielkosc przedstawiajC!C
kt6ry spelnia prawo zachowania VaL" = 0, jesli symetryczny tensor Tab spelnia r6wnanie VaTab = 0 [19.14]. Na tej podstawie, podobnie jak w rozdz. 19.3, wyprowadzamy calkowe prawo zachowania fQ *L = o. Te prawa zachowania majC! moc tylko w czasoprzestrzeni, kt6ra rna odpowiedniC! symetri((, danC! wektorem Killinga K. Fizycznym powodem tej sytuacji jest fakt, ie stopnie swobody w geometrii czasoprzestrzeni - w tym przypadku grawitacyjne - nie sC! sprz((ione z polami. Geometria czasoprzestrzeni sluiy jedynie za do, niezaburzone przez pola w niej wyst((pujC!ce; te pola dzi((ki symetrii nie sC! w stanie ani "pobrac" danej wielkosci z tego tla, ani "oddac". Rozwaiania tego rodzaju okaiC! si(( waine p6iniej, w szczeg6lnosci w rozdz. 30.6, 7. Niestety, nie pomagajC! nam w zrozumieniu, co si(( stanie z prawami zachowania, gdy grawitacja zostanie wlC!czona jako czynnik aktywny. Nadal nie wiemy, jak odzyskac ntracone prawa zachowania energii i p((du, gdy pojawia si(( grawitacja. Ta sytuacja od poczC!tku istnienia og6lnej teorii wzgl((dnosci budzila najmocniejsze zastrzeienia i byla przez dlugie lata powodem niepokoju wielu fizyk6w 6 • W rozdz. 19.8 zobaczymy, ie teoria Einsteina uwzgl((dnia zachowanie energii-p((du w raczej sofistyczny spos6b, przynajmniej w tych warunkach, w kt6rych takie prawo zachowania jest najbardziej potrzebne. W tym momencie zauwaimy tylko, ie w teorii Einsteina symetryczny [~]-tensor T, kt6ry pojawia si(( w jego r6wnaniu pola,
1m [19.14] Dlaczego? Dlaczcgo ta procedura wiqze siy z podanym rownaniem VaTab = 0 itd.?
Czy potrafisz znalezc analogiy prawa zachowania pola ciqglego Va(TabK b) = 0 dla dyskretnego ukladu cZqstek, gdzie 4-pyd jest zachowany przy zderzeniach? TfSkaz6wka: dla zadanego wektora Killinga K a znajdz wielkosc, ktora jest stala dla kazdej z cZqstek pomiydzy zderzeniami.
437
19
Pala klasyczne Maxwella i Einsteina
rna uwzgll(dniae energil(-pl(d wszystkich pol (i cZqstek) niegrawitacyjnych. Jak qkolwiek energil( rna sarno pole grawitacyjne, nie wchodzi ona do tensora T. Taki punkt widzenia wydaje sit( uprawniony, jesli rozwazamy problem na podstawie zasady rownowaznosci. Wyobraimy sobie obserwatora na swobodnej orbicie, w rakiecie bez okien, ktoremu moze sil( wydawae, co najmniej w pierwszym przyblizeniu, ze nie rna zadnego pola grawitacyjnego. Taki obserwator oczekiwalby, ze wewnqtrz rakiety obowiqzuje prawo zachowania energii, a wil(c ze spelnione jest rownanie va Tab = 0, bez jakiegokolwiek wkladu ze strony pol a grawitacyjnego. Takie "zachowanie" jest jedynie przyblizeniem, ktore bl(dzie wymagalo poprawki, kiedy tylko zacznq odgrywae roll( efekty (plywowe) zwiqzane ze wzgll(dnym przyspieszeniem w wyniku niejednorodnosci pola grawitacyjnego (0 czym mowilismy w rozdz. 17.5; zob. rys. 17.8a, 17.8b i 17.9). Jest to jednak sprawa delikatna i konieczne staje sil( zbadanie "rzl(du wielkosci", w jakim roznego rodzaju efekty odgrywajq roll(. Ostateczny wynik tych dociekan jest taki, ze wielkose T i opisujqce jq rownanie VaTab = powinny pozostae niezaburzone przez niejednorodnose pola grawitacyjnego - a wil(c przez krzywiznl( R koneksji czasoprzestrzennej V - i ze ten wklad od grawitacji do prawa zachowania energii-pl(du powinien stanowie jakqs nielokalnq poprawkl( do obliczenia calkowitej energii-pl(du. (Jedyne rzeczywiste odstl(pstwo od tej zasady mogloby sil( pojawie, gdybysmy rozwazali poprawki od krzywizny czasoprzestrzennej do tych matematycznych wyrazen, ktore mowiq nam, jak pol a fizyczne dajq wklad do T. Zwykle takich poprawek nie rna, czyli nie jest to wazne dla rozwazan, ktore tutaj prowadzimy.) Patrzqc z tej perspektywy, mozna powiedziee, ze grawitacyjne wklady do energii-pl(du "przeslizgujq sil( przez szczeliny w plocie" oddzielajqcym rownanie lokalne VaTab = od calkowego prawa zachowania calkowitej energii-pl(du.
°
°
19.6 R6wnanie pol a Einsteina
438
Powrocl( do tego zagadnienia w rozdz. 19.8, ale juz w tym momencie przyda sil( znajomose postaci rownania pol a Einsteina. Rownanie zapisane jest w formalizmie tensorowym imam nadziejl(, ze czytelnikowi nie sprawi to klopotu. Formalizm tensorowy jest niezbl(dny glownie z tego powodu, ze w czterech wymiarach krzywizna czasoprzestrzeni jest bardzo skomplikowana. Przypomnijrny sobie Alberta, naszego astronautl( A z rozdz. 17.5, swobodnie orbitujqcego w polu grawitacyjnym Ziemi. W zaleznosci od kierunku wobec A wystl(pujq przyspieszenia skierowane zarowno w jego stronl(, jak i od niego. Reprezentujq one sily plywowe, ktorych doswiadcza astronauta. Te sHy plywowe Sq przejawern krzywizny czasoprzestrzeni. Aby te skomplikowane efekty przedstawie w zwartej postaci, poslugujerny sil( wielkosciq tensorowq R abed , ktora rna 10 niezaleznych skladowych w pustej przestrzeni, natomiast juz 20, gdy mamy do czynienia z masq zawartq w tej przestrzeni. W rzeczywistosci R abed jest zapisem wskaznikowyrn tensora Riemanna (-Christoffela) R, z ktorym zetknl(lismy sil( juz w rozdz. 14.7.
R6wnanie pola Einsteina
19.6
Istnieje jednak inny powod, poza tymi komplikacjami w uporz,!dkowaniu informacji, dla ktorego rachunek tensorowy odgrywa tak fundamentaln,! roly w teorii Einsteina. Wracamy tutaj do pods taw tej teorii, czyli do zasady r6wnowainosci, od ktorej wszystko siy zaczylo. Grawitacji nie naleZy traktowae jak sily; obserwator, ktory spada swobodnie (nasz astronauta A), w ogole nie odczuwa dzialania zadnej sHy. Zamiast tego grawitacja przejawia siy w postaci zakrzywienia czasoprzestrzeni. Teraz powinnismy zdae sobie sprawy, ze jesli ta idea rna zadzialae, to w teorii nie moze bye zadnych preferowanych ukladow wspolrzydnych 7. Albowiem gdyby jakas specjalna klasa ukladow wspolrzydnych byla uprzywilejowana przez Przyrody, wowczas okreslalyby one "naturalne uklady wspolrzydnych obserwatora", w ktorych mozna by wprowadzie pojycie "sHy ciyzkosci", i nie byloby juz miejsca dla centralnej roli zasady rownowai:nosci. Problem jest, oczywiscie, raczej delikatnej natury i wielu fizykow od czasu do czasu w taki czy inny sposob probuje go obejse. W moim przekonaniu jest istotne dla ducha teorii Einsteina, zeby ta niezalei:nose od ukladu wspolrzydnych zostala zachowana. Wymog ten mozemy okreslie jako zasad? og6lnej kowariantnosci, ktora nie tylko mowi nam, ze nie istnieje wyr6Zniony uklad wspolrzydnych, ale rowniez ze jesli mamy dwie rozne czasoprzestrzenie, reprezentuj'!ce dwa rozne pola grawitacyjne, wowczas nie powinna istniee mozliwose punktowej identyfikacji tych czasoprzestrzeni, a wiyc nie rna sposobu, aby powiedziec, iz jakis konkretny punkt jednej czasoprzestrzeni jest tym samym punktem co jakis inny punkt w tej drugiej! To filozoficzne zagadnienie bydzie istotne pozniej (rozdz. 30.11), przy rozwazaniu relacji miydzy teori,! Einsteina a zasadami mechaniki kwantowej. W tym miejscu znaczenie zasady ogolnej kowariantnosci polega na tym, ze zmusza nas do opisu fizyki grawitacyjnej za pomoq wyrazen niezaleznych od wyboru ukladu wspolrzydnych. I to jest wlasnie glowny powod, dla ktorego formalizm tensorowy zajmuje centralne miejsce w teorii Einsteina. Teraz przyjrzyjmy siy, jak wygl,!da rownanie Einsteina. Postae tego rownania wynika w zasadzie z dwu dalszych wymogow: po pierwsze, ze (lokalnym) zrodlem grawitacji powinien bye w rezultacie tensor energii-pydu T, spelniaj,!cy rownanie VaTab = 0, oraz po drugie, ze wykonuj,!c odpowiednie newtonowskie przejscie graniczne (prydkosci male w porownaniu z prydkosci,! swiatla i slabe pol a grawitacyjne), powinnismy otrzymac standardow,! teoriy grawitacji Newtona. Musimy powrocic do dyskusji w rozdz. 17.5, gdzie wyjasnilismy, ze w teorii Newtona wystypuje efekt redukcji objytosci w odniesieniu do linii geodezyjnych, lei:,!cych w poblizu i poczqtkowo rownoleglych do geodezyjnej Iinii swiata obserwatora y. Te s,!siednie linie geodezyjne przyspieszaj,! w stosunku do y w taki sposob, ze ograniczona nimi (infinitezymalna) przestrzenna 3-obktosc 8V rna calkowite przyspieszenie rowne4nG 8M, gdzie 'OM jest aktywnq mas,! grawitacyjnq zawartq w tej (infinitezymalnej) objytosci. Znak minus jest odzwierciedleniem faktu, ze chodzi tu 0 redukcj? obj?tosci; zob. rys. 17.8b. Oddaje to w pelni teoriy Newtona w odniesieniu do aktywnego efektu grawitacyjnego rozmieszczenia mas.
439
19
Pola klasyczne Maxwella i Einsteina
W jaki spos6b mozemy to przeniesc na jyzyk r6wnania wiqzqcego krzywizny czasoprzestrzeni R z tensorem energii-pydu T? Kluczowym faktem geometrycznym jest to, ze przyspieszenie dosrodkowe objytosci, kt6re siy w tej sytuacji pojawia, jest okreslone przez symetryczny [~]-tensor, nazywany tensorem Ricciego, zdefiniowany relacjq Rab =Racbe' gdzie R abed jest tensorem Riemanna[19.l5]; rys. 19.7 przedstawia ty relacjy w zapisie graficznym. I znowu istnieje wiele rozmaitych konwencji dotyczacych znak6w, uporZqdkowania indeks6w, sygnatur etc. Tak jak poprzednio, korzystam ze swobody i mogy narzucic czytelnikowi moje wlasne preferencje (zob. rozdz. 14.4). Przyspieszenie objytosci (rozpoczynajqce siy w stanie spoczynku) jest dane wyrazeniem[19.16]
D2(SV) = Ra/atbSV. Tutaj D przedstawia tempo zmiany ze wzglydu na czas wlasny obserwatora (zob. rozdz. 17.9) wzdluz linii swiata obserwatora y, a wiyc D2 rzeczywiscie oznacza przyspieszenie. Mamy wiyc
D = taVa=tV' gdzie t jest czasopodobnym jednostkowym wektorem przyszlosci stycznym do y (a wiyc tata = 1). Gfstosc masy (kt6ra na mocy E = mc 2 z c = 1 jest tym samym co gystosc energii; zob. rozdz. 18.6), kt6rq mierzy obserwator, jest skladowq 00 tensora Tab b W lokalnym ukladzie odniesienia obserwatora. To wlasnie wielkosc Ta/at , a zatem mas a SM w objytosci Sv, wyznaczonej przez sqsiednie linie geodezyjne, wynosi
SM = TabtatbSv. Tak wiyc newtonowskie ,,-4nG SM" (rozdz. 17.5) dla przyspieszenia objytosci wywolanego gystosciq materii wynosi
-4nG TabtatbSv. Ale wlasnie zauwaiylismy, ze efekt przyspieszenia objytosci w wyniku zakrzywienia czasoprzestrzeni wynosi RabtatbSV, a zatem otrzymujemy
R ab tatbSV = -4nG T ab tat b SV.
Rys. 19.7. Zapis graficzny definicji tensora Ricciego (zob. rys. 14.21).
Rab
= Racbc
is [19.15) Dlaczego Rab jest tensorem symetrycznym?
440
~ [19.16] SprawdZ, czy potrafisz to udowodnic, korzystajqc z tozsamosci Ricciego i wtasnosci pochodnej Liego.
R6wnanie pola Einsteina
19.6
Dzielqc przez oV i zdajqc sobie sprawt(, ze stosuje sit( to do wszystkich obserwatorow tego samego zdarzenia, mozemy usunqc tt [19.17] i otrzymac sugerowane rownanie pola
Rab = -41tG Tab' ktore, istotnie, bylo poczqtkowo zaproponowane przez Einsteina. Nie jest ono jednak satysfakcjonujqce, poniewaz "prawo zachowania" ,.,rTab = 0 prowadzi do rownania ,,;aRab = 0, no i mamy klopot! Na czym on polega? Przypomnijmy sobie z rozdz. 14.4 toisamosc Bianchiego V[aRbclde = O. Dokonujqc kontrakcji, otrzymujemy[19.18]
t
Va(Rab - R gab) = 0, gdzie sknlar Ricciego (albo krzywizna skalama - aczkolwiek ,,-R" pasowaloby nawet lepiej do wit(kszosci konwencji matematycznych zwiqzanych z dodatniq okreslonosciq) zdefiniowany jest relacjq: (uwaga: R nie naleZy mylic z pogrubionym R, ktore reprezentuje caly tensor krzywizny). Klopot z zaproponowanym rownaniem Rab = -41tG Tab polega na tym, ze jesli polqczymy je z tozsamosciq Bianchiego, to dojdziemy do wniosku, ze slad tensora energii-pt(du T musi byc staly w calej czasoprzestrzeni[19.191• Tutaj mamy oczywistq sprzecznosc ze zwyklq (niegrawitacyjnq) fizykq. W zwiqzku z tym Einstein doszedl do wniosku (w 1915 roku), ze trzeba zaloZyc, iz te dwa tensory, spelniajqce "rownania zachowania", Va( ... ) = 0, powinny byc rowne (z dokladnosciq do stalego czynnika), i zaproponowal cos, co dzisiaj znamy pod nazwq rownania pola Einsteina: 8,[19.20]
Rab -tRgab = -81tGTab · W szczegolnej sytuacji, gdy materia nie wystt(puje (wlqczajqc w to wystt(powanie pola elektromagnetycznego), Tab = O. Mowimy wowczas, ze mamy do czynienia z proiniq. Rownanie Einsteina - rownanie proiniowe - przyjmuje postac Rab - Rgab = 0, i mozemy je przepisac w postaci[19.2l]
t
Rab = O. Przestrzen, w ktorej tensor Ricciego znika, jest niekiedy nazywana plaskq prze-
strzeniq Ricciego. ~
[19.17] Podaj peine wyjasnienie, dlaczego mozemy sit( pozbyc wszystkich f, pokazuj,!c rolt( symetrii tensor6w. ~ [19.18] Pokaz to, wykorzystuj,!c na przyklad zapis diagramowy. ~ (19.19] Dlaczego? ~ (19.20] Wyjasnij, sk,!d bierze sit( wsp6lczynnik -81tG w miejscu -41tG. ~ [19.21] Dlaczego?
441
19
Pola klasyczne Maxwella i Einsteina
19.7 Dalsze zagadnienia: stafa kosmologiczna; tensor Weyla W tym miejscu powinnismy rozwaZyc dodatkowy wyraz, ktory Einstein wprowadzil w 1917 roku, znany jako stala kosmologiczna. Jest to nadzwyczaj mala stala wielkosc A, na ktorej istnienie mocno wskazuj,! wspolczesne obserwacje kosmologiczne, a rozni sit( ona od zera nie wit(cej niz 0 10-55 cm-2. Stala ta nie rna bezposredniego znaczenia obserwacyjnego i ujawnia sit( dopiero w skali kosmicznej. Zgodnie z t'! propozycj,! wielkosc Rab - Rgab w podanym rownaniu zostaje zast'!piona przez Rab - Rgab + Agab . W ten sposob "prawo zachowania" jest nadal spelnione, poniewaZ A jest stal'! (i Vg = 0). Po tych zmianach rownanie Einsteina przyjmuje postac
t
t
Rab -
t Rgab + Agab = -81tG Tab'
Pocz'!tkowym powodem, dla ktorego Einstein wprowadzil ten dodatkowy czlon, bylo oczekiwanie, ze w ten sposob otrzyma, w skali kosmologicznej, model wszechSwiata statycznego i przestrzennie zamknit(teg09. Dzit(ki obserwacji Edwina Hubble'a w 1929 roku stalo sit( jasne, ze Wszechswiat sit( rozszerza, a zatem nie jest statyczny, i Einstein zrezygnowal z wprowadzenia stalej kosmologicznej, utrzymuj,!c, ze byl to jego "najwit(kszy bl,!d" (prawdopodobnie dlatego, ze bez jej wprowadzenia moglby sam przewidziec rozszerzanie sit( WszechSwiatal). Okazuje sit( jednak, ze kiedy jakas idea sit( pojawi, to nie jest latwo jej sit( pozbyc. Od czasu kiedy Einstein wyst,!pil z t'! sugesti'!, stala kosmologiczna niczym duch przemieszcza sit( za kurtyn,! kosmologii, powoduj,!c zmartwienie jednych i budz,!c nadzieje drugich. Calkiem niedawno obserwacje od1eglych supernowych sklonily wit(kszosc teoretykow do ponownego wprowadzenia A alba czegos zblizonego, okreslanego jako "ciemna energia", jako sposobu pogodzenia wynikow tych obserwacji z innymi wymogami teorii lO • Do zagadnienia stalej kosmologicznej powroct( pozniej (zob. w szczegolnosci rozdz. 28.10). Pod tym wzglt(dem zgadzam sit( z wit(kszosci,! specjalistow od teorii wzglt(dnosci i chociaz nie widzt( przeszkod dla pojawienia sit( niezerowej wartosci A w tych rownaniach, mam wielkie opory przed przyjt(ciem pogl,!du, ze Przyroda posluguje sit( tego rodzaju wyrazeniem. Co prawda, jak sit( 0 tym przekonamy w rozdz. 28.10, wydaje sit(, ze nowsze kosmiczne dane obserwacyjne wskazuj,!, iz tak wlasnie jest. Rownanie pol a Einsteina (z uwzglt(dnieniem stalej kosmologicznej) mozeTgab ) + Agab . W lokalmy zapisac takZe w sposob odwrotnyI19.221: Rab = -81tG(Tab nym ukladzie wspolrzt(dnych, z osi,! czasu zadan'! przez f w taki sposob, ze kontrakcja z ft daje skladow,! 00, dosrodkowe przyspieszenie objt(tosci jest dane przez 81tG(Too - Tgoo ) - A, co daje 41tG(p + PI + P 2 + P 3) - A, gdzie PI' P2 i P3 s,! wartosciami cisnienia materii wzdluz trzech (ortogonalnych) osi przestrzennych. Dokonajmy teraz porownania z wynikiem otrzymanym na podstawie teorii Newtona,
-t
t
442
a
[19.22] Dlaczego?
Dalsze zagadnienia: stala kosmologiczna; tensor Weyla
19.7
a mianowicie 4rcG oM, i przekonajmy siy, ze gystose aktywnej masy grawitacyjnej, Po, w ogolnej teorii wzglydnosci Einsteina bydzie rowna A
PG = P+~ +P2 +~ ---, 4rcG a nie Po = p, czego moglibysmy oczekiwae na podstawie relacji E = me 2 • (Jednostki s<j. wybrane tak, ze e = 1.) Wklad A jest niezwylde maly, takZe dodatkowe wyrazy cisnieniowe s<j. na ogol bardzo male w porownaniu z energi<j., poniewaz, mowi<j.c w uproszczeniu, male cZ<j.stki, ktore konstytuuj<j. rozpatrywany material, w porownaniu z prydkosci<j. swiatla poruszaj<j. siy bardzo wolno. lednak te wklady cisnieniowe do aktywnej masy grawitacyjnej odgrywaj<j. znacz<j.C'! roly w pewnych warunkach ekstremalnych. Kiedy gwiazda 0 bardzo wielkiej masie osi<j.ga stan bliski zapadniycia siy pod dzialaniem jej wlasnej sily dosrodkowej, wowczas okazuje siy, ze rosn<j.ce wewnytrzne cisnienie w gwiezdzie, po ktorym spodziewalibysmy siy, ze przeciwstawi siy temu zgniataniu, wtasnie wspomaga proces zapasci ze wzgl((du na dodatkow<j. masy grawitacyjn<j., ktoq produkuje! Jak juz podkreslalismy (w rozdz. 19.5), tensor energii-pydu Tab jest w teorii Einsteina analogonem wektora pr<j.du ladunku fa W teorii Maxwella. Wielkose Tab winna wiyc bye uwazana za irodlo pola grawitacyjnego, w taki sam sposob jak fa jest zrodlem pol a elektromagnetycznego. Mozemy zatem zadae pytanie: co mogtoby bye odpowiednim analogonem tensora pola Maxwella Fab , opisuj<j.cym grawitacyjne stopnie swobody? Wielkosci<j. t<j. nie moze bye tensor metryczny g, ktory jest raczej odpowiednikiem potencjatu elektromagnetycznego A. Niektorzy mogliby s<j.dzie, ze analogiem F jest pelny tensor krzywizny Riemanna, R abed , ale okazuje siy, ze bardziej wtasciwy jest tensor Weyla (albo tensor konforemny) Cabed' ktory jest podobny do pelnego tensora Riemanna, ale z "usuniyt<j." czysci<j. odpowiadaj<j.C'! tensorowi Ricciego. To jest rozs<j.dne, poniewaz tensor Ricciego moze bye scisle utozsamiony ze zrodlem Tab' wobec tego musimy USUn<j.e te "zrodta stopni swobody", jesli chcemy dokonae identyfikacji takich, ktore bezposrednio opisuj<j. pole grawitacyjne. W pustej przestrzeni, w ktorej materia nie wystypuje (i powiedzmy stala kosmologiczna A = 0), tensor Weyla jest rowny tensorowi krzywizny Riemanna, ale w ogolnym przypadku tensor Weyla jest zdefiniowany przez nieco skomplikowan<j. formut((, ktora usuwa czyse odpowiadaj<j.c<j. tensorowi Ricciego z pelnego tensora krzywizny (w tym wzorze dokonalem podniesienia dwoch indeksow, aby mozna bylo w petni skorzystae z zapisu za pomoC<j. nawiasow kwadratowych z rozdz. 11.6)l19.23]:
C
ab
cd
=R
cd _ ab
2R [eg d] + 1Rg eg d [a b] 3 [a b]·
Kluczowe fizyczne znaczenie tensora Weyla poznamy w rozdz. 28.8. Znikanie tej wielkosci jest warunkiem konforemnej plaskosci czasoprzestrzeni.
~ [19.23] Pokaz, ze wszystkie slady tensora C znikaj'l (np. obliczenia, jesli chcesz, w zapisie graficznym.
c
a abe
=
0 etc.). Przeprowadi te
443
19
Pala klasyczne Maxwella i Einsteina
19.8 Energia pola grawitacyjnego Powroemy teraz do kwestii masy/energii w samym polu grawitacyjnym. Aczkolwiek w tensorze energii-pydu T nie rna na to miejsca, to s,! takie sytuacje, w ktorych sarna energia grawitacyjna odgrywa roly fizyczn'!. Wyobrazmy sobie dwa ciala o wielkiej masie (powiedzmy, dwie planety). Jesli ciala te znajduj,! siy w poblizu siebie (i zakladamy, ze w danym momencie S,! wzglydem siebie w stanie spoczynku), wowczas pojawi siy (ujemny) wklad do grawitacyjnej energii potencjalnej, ktory spowoduje, ze energia calkowita, a zatem i calkowita masa, bydzie mniejsza niz wtedy, gdy ciala S,! daleko od siebie (zob. rys. 19.8). Pomijaj,!c bardzo male efekty, takie jak deformacja ksztaltu kaZdego z tych cial w wyniku plywowego pola grawitacyjnego drugiego ciala, widzimy, ze wklad calkowity od tensora energii-pydu bydzie taki sam, niezaleznie od tego, czy te ciala s,! blisko, czy daleko od siebie. Jednak calkowita masa/energia byd,! w tych dwu przypadkach rozne i ty roznicy musimy przypisae energii samego pola grawitacyjnego (jest to wklad negatywny, bardziej zauwazalny wtedy, gdy te ciala znajduj,! siy bliZej siebie, niz gdy S,! odd alone ). A teraz rozwaZmy sytuacjy, gdy ciala te S,! w ruchu i orbituj'! wokol siebie. Konsekwencj,! rownania pol a Einsteina s'!fale grawitacyjne - zaburzenia struktury czasoprzestrzeni - ktore zostan,! wzbudzone w ukladzie i byd,! rozchodzie siy, przenosz'!c (dodatni,!) energiy. W normalnych warunkach ta strata energii bydzie znikoma. Na przyklad najwiykszy efekt tego rodzaju w naszym Ukladzie Slonecznym powstanie w ukladzie Jowisz-Slonce i straty energii z tym zwi,!zane S,! mniej wiycej takie, jakie emituje zarowka 40-watowa! W przypadku gwaltownych procesow w ukladach 0 duzo wiykszej masie, takich jak pol,!czenie dwoch czarnych dziur zderzaj,!cych siy ze sob,!, wywolane tym straty energii powinny bye tak duze, ze obecne ziemskie detektory byd,! w stanie wykrye powstale fale grawitacyjne w odleglosci 15 megaparsekow, czyli okolo 4,6 x 1023 metrow. Miydzy tymi skrajnymi przypadkami lokuj,! siy fale grawitacyjne emitowane przez ciekawy uklad podwojnej gwiazdy neutronowej, znany pod nazw,! PSR 1913 +16, ktory badali laureaci Nagrody Nobla, Joseph Taylor i Russell Hulse; zob. rys. 19.9.
C'\
..
~
':.' ()
(al
444
(bl
Rys. 19.8. Nielokalnosc grawitacyjnej energii potencjalnej. Wyobrazmy sobie dwie planety (dla ulatwienia zakladamy, ze w danej chwili znajduj,! siy wzglydem siebie w spoczynku). Jesli (a) S,! one daleko od siebie, wowczas (newtonowski) ujemny wklad do energii potencjalnej nie jest tak duZy jak w przypadku (b), gdy S,! blisko siebie. Tak wiyc energia calkowita (a zatem i masa calkowita ukladu) jest wiyksza w przypadku (a) nii w przypadku (b) niezaleznie od tego, ie gystosc calkowitej energii, mierzona tensorem energii-pydu, pozostaje w zasadzie taka sarna w obu przypadkach.
Energia pola grawitacyjnego
19.8
PSR 1913+16
Rys.19.9. System podw6jnej gwiazdy neutronowej PSR 1913+16 Hulse'a-Taylora. Pulsarwysylaz wielk'l precyzj'l regularne impuisy elektromagnetyczne, kt6re S'l odbierane na Ziemi i umoiiiwiaj'l bardzo dokladne wyznaczenie orbit. Obserwuje siy, ie system traci energiy dokladnie tak, jak to przewiduje teo ria Einsteina dla przenoszenia energii przez fale grawitacyjne emitowane przez taki uklad. Fale te s'l zaburzeniami pr6:i:ni czasoprzestrzennej, w kt6rej tensor energii-pydu znika. (Rysunek nie zachowuje skali.)
(Gwiazda neutronowa to niezwykle gysta gwiazda, utworzona glownie z neutronow upakowanych tak scisle, ze jej srednia gystosc jest porownywalna z gystosci~ j~dra atomowego_ Pileczka tenisowa wypelniona materialem 0 takiej gystosci mialaby masy porownywaln~ z mas~ Deimosa, ksiyiyca Marsa!) Uklad ten byl obserwowany przez okolo 25 lat i szczegoly jego ruchu zostaly zbadane z wielk~ dokladnosci~ (co okazalo siy mozliwe, gdyz jedna z tych gwiazd jest pulsarem, wysylaj~ cym w przestrzen kosmiczn~ bardzo regularne impulsy elektromagnetyczne okolo 17 razy na sekundy). CZystotliwosc wysylania tych impulsow jest tak precyzyjna, a sam uklad jest tak "czysty", ze porownanie obserwacji z wynikami obliczen teoretycznych daje potwierdzenie slusznosci ogolnej teorii wzglydnosci Einsteina z do1 kladnosci~ 1 do 10 \ co nie rna precedensu w naukowych porownaniach wynikow jakiejkolwiek teorii z eksperymentem. Przypomny, ze regularnosc ty badano przez ponad 20 lat l1 . Przy badaniach obserwacyjnych tego rodzaju - a takZe wobec godnych podziwu efektow grawitacyjnego soczewkowania, 0 czym powiemy w rozdz. 28.8 ogolna teoria wzglydnosci przeiyla wielk~ ewolucjy od swego stadium pocz~tko wego. Miydzy rokiem 1915 a 1969 (rok 1969 jest tu dat~ graniczn~, poniewaZw tym roku radioobserwacje odleglych kwazar6w zapocz~tkowaly now~ seriy testow jej prawdziwosci l2 ) udalo siy przeprowadzic jedynie znane, ale stosunkowo malo imponuj~ce "trzy testy" na poparcie teorii. Najbardziej znacz~cym z nich bylo wyjasnione przez Einsteina "anomalne przesuniycie peryhelium" Merkurego_ W ci~gu obserwacji prowadzonych przez ponad pol wieku 13 udalo siy zauwaiyc niewielkie odchylenie od przewidywan teorii grawitacji Newtona (zaledwie 43 sekundy miary lukowej w ci~gu stu lat, czyli 0 jeden obrot orbitalny na 3 miliony lat! Zob_ rowniez rozdz. 30.1 i 34.9.) Drugim testem bylo odkrycie przez Arthura Eddingtona zjawiska niewielkiego ugiycia swiatla gwiezdnego przez Slonce podczas wyprawy naukowej na Wyspy Ksi~zyq (obok wybrzeZa Afryki Zachodniej), w celu obserwacji zacmienia Slonca w 1919 roku. Jest to przyktad tego samego zjawiska "soczewkowania grawitacyjnego", juz wzmiankowanego, obecnie intensywnie wykorzystywanego do uzyskania waznych informacji na temat rozmieszczenia mas we Wszech-
445
19
Pola klasyczne Maxwella i Einsteina
446
swiecie na odleglosciach kosmologicznych; zob. rozdz. 28.8. Wreszcie mamy zjawisko spowolnienia tempa zegarow w polu grawitacyjnym, przewidziane przez teoriy Einsteina. Pierwsze (i podwazane) jego obserwacje zostaly przeprowadzone w 1925 roku przez WS. Adamsa na przykladzie "bialego karla" znanego jako towarzysz Syriusza (gwiazdy 0 gystosci tysi,!ce razy wiykszej od gystosci Slonca). Duzo bardziej przekonuj,!ce dane na ten tern at uzyskano pozniej w sUbtelnym doswiadczeniu przeprowadzonym przez Pounda i Rebky w 1960 roku w polu grawitacyjnym Ziemi. (Ten efekt jednak wynika z zasadniczo kwantowych rozwazan energetycznych i nie bardzo nadaje siy na test teorii Einsteina). Istnieje rownieZ inny fenomen "spowolnienia czasu", odnosz'!cy siy do sygnalow swietlnych docieraj,!cych na Ziemiy z obiektow znajduj,!cych siy bezposrednio z tylu Slonca. Zjawisko takie jako pierwszy zaproponowal (w 1964 roku) Irwin Shapiro, nastypnie sam je potwierdzil w latach 1968-1971 w obserwacjach Merkurego i Wenus, pozniej, z wiyksz,! precyzj,! (w 1971 roku, z dokiadnosci,! do 0,1 %), razem z Reasenbergiem, porownuj,!c wyniki przesylane przez transpondery w rakiecie kosmicznej Viking orbituj,!cej wokol Marsa i umieszczone na powierzchni planety. Dzisiaj jest jasne, ze teoria Einsteina rna podstawy obserwacyjne. Na istnienie fal grawitacyjnych wyraZnie wskazuje eksperyment Hulse'a-Taylora, nawet jesli fale takie nie zostaly bezposrednio wykryte. Istnieje obecnie wiele projektow badawczych zmierzaj,!cych do bezposredniej detekcji fal grawitacyjnych, stanowi,!cych wspolny, na skaly swiatow,!, wysilek wykorzystania tych fal do badania gwaltownych procesow (takich jak zderzenia czarnych dziur), zachodz'!cych w odleglych obszarach WszechSwiata. W rezultacie spodziewamy siy, ze te pol,!czone wysilki14 doprowadz,! do zbudowania teleskopu fal grawitacyjnych i w ten sposob teoria Einsteina dostarczy nam jeszcze innego potyznego narzydzia badania odleglych zak'!tkow kosmosu. A zatem, niezaleznie od zmartwien niektorych badaczy w sprawie zachowania energii, ogolna teoria wzglydnosci uzyskala bardzo znamienne potwierdzenie obserwacyjne. Powroemy wiyc do problemu energii grawitacyjnej. Istotnym elementem zgodnosci teorii i obserwacji jest przyjycie, ze pofaldowania pustej przestrzeni, ktore konstytuuj,! fale grawitacyjne emitowane przez PSR 1913+16 i podobne ukiady, rzeczywiscie przenosz'! energiy. Tensor energii-pydu w pustej przestrzeni wynosi zero, a zatem energia fali grawitacyjnej musi bye mierzona w jakis inny sposob niZ ten, ktory jest lokalnie przypisywany "gystosci" energii. Energia grawitacyjna jest w istocie wielkosci,! nielokaln,!. Nie oznacza to wcale, ze nie istnieje matematyczny opis takiej energii, choe trzeba uczciwie przyznae, iZ nie mamy jeszcze kompletnego zrozumienia grawitacyjnej masy/energii, choe znamy cal,! wain,! klasy zagadnien, ktore jestesmy w stanie wyjasnie w sposob zupelnie scisly. S'! to zagadnienia, w stosunku do ktorych uiywamy pojycia asymptotycznej plaskosci, i S,! to uklady grawitacyjne, ktore mozemy uwaiae za odizolowane od reszty Wszechswiata, w tym sensie, ze S,! bardzo odlegle od wszystkiego innego. Moze to bye na przyklad gwiazda podwojna, taka jak pulsar binarny Hulse'a-Taylora, ktory traci energiy na skutek promieniowa-
Energia pola grawitacyjnego
19.8
nia grawitacyjnego. Prace Hermanna Bondiego i jego wspolpracownikow, uogolnione nastypnie przez Raynera Sachsa 15 (ktory usunql upraszczajqce zaloienie Bondiego 0 symetrii osiowej), dostarczyly klarownego matematycznego opisu masy/energii wypromieniowanej z takiego ukladu w postaci fal grawitacyjnych, przy czym spelnione jest zachowanie energii-pydu 16 ; zob. rys. 19.10. Prawo zachowania nie rna tutaj charakteru lokalnego, jak w przypadku pol niegrawitacyjnych, wyraiajqcego siy "rownaniem zachowania" r,rTab = 0, ktore stosuje siy tylko w granicy ukladow, jakie Sq calkowicie izolowane przestrzennie od wszystkiego innego. lednakie jest cos niemalie cudownego w tym, ie wszystko tutaj do siebie pasuje, wlqcznie z pozniej udowodnionymi pewnymi twierdzeniami 0 "dodatniosci", ktore mowiq, ie calkowita masa ukladu (z uwzglydnieniem "ujemnego wkladu grawitacyjnej energii potencjalnej" omawianego poprzednio) nie moie bye ujemna 17 • Istniejq przepisy matematyczne przewidujqce, w jaki sposob otrzymae prawa zachowania dla ukladow pol oddzialujqcych. Sq one podane w ramach formalizmu lagraniowskiego, 0 ktorym bydziemy mowie w nastypnym rozdziale. Formalizm lagraniowski jest bardzo potyiny, ogolny i piykny, niezaleinie od faktu, ie nie daje nam (a przynajmniej nie bezposrednio) wszystkiego, czego potrzebujemy w przypadku grawitacji. Formalizm lagraniowski i scisle z nim zwiqzany formalizm hamiltonowski stanowiq centralnq czyse wspolczesnej fizyki teoretycznej i jest waine, iebysmy siy z nimi bliiej zapoznali. Przeniesmy siy wiyc teraz na to bajeczne terytorium.
/
, \
,,
(
Ciata orbituj~ce
Czas
I
I
Rys. 19.10. Dla ukladu izolowanego emitujilcego fale grawitacyjne, w ktorym mozemy przyjilc, ze czasoprzestrzen jest asymptotycznie plaska, istnieje dokladna miara calkowitej masy/energii-pt(du i jej utraty w wyniku promieniowania grawitacyjnego. Okresla sit( to jako prawo zachowania masy/energii Bondiego-Sachsa. Odpowiednie wielkosci matematyczne sil nielokalne i zdefiniowane w "nieskonczonosci zerowej" (ktorej geometryczny sens zostanie wyjasniony w rozdz. 27.12).
447
19
Poia kiasyczne Maxwella i Einsteina
Przypisy
1
2
Rozdzial19.1 Wydaje Silt wl!tpliwe, zeby sam Newton byl tak dogmatycznie przywil!zany do obrazu korpuskulamego (zob. Newtona Queries w jego Opticks z 1730 roku). Jednak ten "newtonowski" pogll!d byl nieslychanie mocno propagowany w XVIII stuleciu przez Rudjera Boskovica; zob. Barbour (1989). Rozdzial 19.3 Wynik taki otrzymalibysmy takZe w topologicznie trywialnej zakrzywionej czasoprzestrzeni, zatem (m6wil!c bardziej konkretnie) zamkni((ta 2-powierzchnia zawsze rozpina zwartl! 3-obj((tosc.
Rozdzial 19.4 3 Zob. np. Flanders (1963). 4 Zob. Weyl (1928), s. 87-88 (wersja angielska: s. 100-101). Na pomysl ten wpadli niezaleznie W. Gordon oraz Pauli i Heisenberg; zob. Pais (1986), s. 345. 5 Zob. Aharonov, Bohm (1959). W rzeczywistosci efekt ten zostal zauwazony 10 lat wczesniej przez Ehrenberga i Sidaya - Ehrenberg, Siday (1949). Jego eksperymentalnej weryfikacji dokonal Chambers, a nast((pnie, bardziej przekonujl!co, Tonomura et al. (1982, 1986). 6
Rozdzial19.5 Zob. Pais (1982).
Rozdzial19.6 To wypowiedziane w tekScie zl!danie, zeby nie bylo "preferowanego ukladu wsp6Irz((dnych", jest nie tylko malo precyzyjne, ale moze tez wydawac silt zbyt stanowcze. Na przyklad w przypadku przestrzeni plaskiej mozna by calkiem sensownie uwazac, ze "wsp6Irz((dne kartezjanskie" (a wi((c wsp6lrz((dne Minkowskiego (t, x, y, z) z rozdz. 18.1, w kt6rych metryka przyjmuje szczeg6lnie prostl! postac ds 2 = df - ctr - dl- dz2) sl! jak najbardziej "preferowane" w stosunku do wszystkich innych uklad6w wsp6Irz((dnych, alba ze modele kosmologiczne opisywane Sl! r6wniez w ukladach wsp6Irz((dnych, w kt6rych metryka przyjmuje szczeg6lnie prostl! form(( (zob. rozdz. 27.11, ewiczenie [27.18]). Problem jest jednak bardziej subtelny i sprowadza silt do tego, ze szczeg6lne uklady wsp61rz((dnych nie powinny odgrywac zadnej roli fizycznej, a wi((c najbardziej naturalne wyrazenia teorii nie mogl! byc zwil!zane z zadnym wyr6znionym ukladem wsp6Irz((dnych. 8 Zob. Stachel (1995), s. 353-364; do najlepszych prac na temat og6lnej teorii wzgl((dnosci nalezl!: Synge (1960); Weinberg (1972); Misner, Thome et al. (1973); Wald (1984); Ludvigsen (1999); Rindler (1977, 2001); Schutz (2003); Hartle (2003). 7
Rozdzial 19. 7 Modelem Einsteina byla przestrzen eO topologii S3 x E\ z kt6rl! zapoznamy siy w rozdz. 31.16. 10 Wprowadzenie przez Einsteina stalej kosmologicznej bylo jednl! z licznych modyfikacji oryginalnej og6lnej teorii wzgl((dnosci, kt6re byly proponowane przez lata. Opr6cz teorii Weyla, kt6rl! dyskutowalismy w rozdz. 19.4, i wyzej wymiarowych koncepcji Kaluzy-Kleina (0 kt6rych powiemy wiycej w rozdz. 31.4, obecnie zwykle ll!czonych z idel! supersymetrii; zob. rozdz. 31.2, 3), istnieje modyfikacja Bransa-Dicke'a, w kt6rej wprowadza silt dodatkowe pole skalame, a takZe rozliczne pr6by stworzenia przez Einsteina "jednolitej teorii pola", przedstawiane w latach 1925-1955; zob. Einstein (1925, 1945, 1948); Einstein, Straus (1946); Einstein, Kaufman (1955); Schr6dinger (1950); a nowsze prace omawia Antoci (2001). 448 Wiykszosc tych pomysl6w miala na celu w1l!czenie w ramy og6lnej teorii wzglydnosci pola 9
Przypisy
elektromagnetycznego i moze nawet innych pol. Warta zauwazenia jest takZe proba znana pod nazw,! teorii Einsteina-Cartana-Sciamy-Kibble'a, ktora wprowadza torsjy (rozdz. 14.4) do opisu bezposredniego efektu grawitacyjnego zwi,!zanego z gystosci,! spinow (zob. rozdz. 22.8); zob. Kibble (1961); Sciama (1962); Trautman (1972, 1973) oraz zawarte tam odeslania do Cartana (1923, 1924, 1925).
Rozdzial19.8 W tym miejscu teoria Einsteina obejmuje teoriy Newtona i naleiy podkreslie, ze liczba ,,10 14 " nie oznacza wzrostu dokladnosci teorii Einsteina w porownaniu z teori,! Newtona. Ponadto naleiy miee na uwadze, ze czyse tej dokladnosci zwi'!zana jest z nieznanymi parametrami, takimi jak masy, nachylenie orbit itp., ktore S,! konieczne do przeprowadzenia obliczen detali ukladu. Dlatego ,,10 14 " jest miar,! ogolnej spojnosci tego obrazu. 12 W 1991 r. D.S. Robinson i jego wspolpracownicy, stosuj,!c techniky VLBI (Very Long Baseline Interferometry), potwierdzili przewidywane przez ogoln,! teoriy wzglydnosci efekty ugiycia swiatla z dokladnosci,! do 10-4. 13 Szczegoly teorii i obserwacji anomalii peryhelium Merkurego znaleie mozna w: Roseveare (1982). 14 Te poszukiwania fal grawitacyjnych oznaczane S,! akronimami: UGO, LISA i GEO. Zob. Shawhan (2001); Abbott et al. (2004); Grishchuk et al. (2001); Thome (1995b), jak r6wniez bardzo poiyteczn'! strony intemetow'! Johna Baeza http://math.ucr.edu!home!baez/weekl43.html. 15 Prace te byly antycypowane czysciowo przez Trautmana (1958); zob. dalej: Bondi (1960); Bondi i in. (1962); Sachs (1961, 1962a). 16 Zob. takZe: Newman, Unti (1962); Penrose (1963, 1964); Sachs (1962b); Bonnor, Rotenberg (1966); Penrose, Rindler (1986), s. 423-427. 17 Schoen, Yau (1979,1982); Witten (1981); Nester (1981); Parker, Taubes (1982); Ludvigsen, Vickers (1982); Horowitz, Perry (1982); Reula, Tod (1984); zob. takZe: Penrose, Rindler (1986), oraz rozdz. 32.3, a szczegolnie przyp. 11 ibidem. II
20 Lagranzjany i hamiltoniany 20.1 Magiczny formalizm Lagrange'a W CL\GU stuleci, kt6re uplynyly od czasu, gdy Newton sformulowal prawa dynamiki, na ich podstawie zbudowano niezwykle imponujqcy gmach fizyki teoretycznej. Po Newtonie przyszli Euler, Laplace, Lagrange, Legendre, Gauss, Liouville, Ostrogradski, Poisson, Jacobi, Hamilton i inni, a dziyki wkladowi kazdego z nich uzyskalismy glyboki i jednolity obraz zjawisk. Spr6bujy przedstawiC kr6tkie wprowadzenie do problem6w teoretycznych, chociaz obawiam siy, ze moja prezentacja ograniczy siy do bardzo nieadekwatnego przekazu wielkosci i donioslosci tych osiqgniyc. Wypada przy tym zauwaZyc, ze sarno istnienie eleganckiego matematycznego opisu dostarcza waznych informacji 0 matematycznych podstawach swiata fizycznego, nawet tylko na poziomie praw sformulowanych w siedemnastowiecznej mechanice Newtona. Niewiele z zaproponowanych do tej pory opis6w praw Przyrody osiqgnylo tak zwartq i urzekajqcq struktury matematycznq. Jakiz to elegancki i jednolity obraz wylania siy z mechaniki Newtona? W zasadzie pojawia siy on w dwu r6znych, lecz scisle ze sobq zwiqzanych postaciach, z kt6rych kazda rna charakterystyczne cechy i zalety. Pierwszq z nich nazwiemy obrazem iagraniowskim, a drugq hamiltonowskim. (Jak zawsze pojawia siy trudnosc z wlasciwym przyporzqdkowaniem nazwisk. Wydaje siy, ze Lagrange znal oba te schematy na dlugo przed Hamiltonem, natomiast formalizm lagranzowski byl przynajmniej czysciowo znany juz Eulerowi.) Zal6zmy, ze mamy uklad newtonowski skladajqcy siy ze skonczonej liczby pojedynczych cZqstek i pewnej liczby sztywnych cial, z kt6rych kazde uwazac mozemy za niepodzielnq calosc. W takim przypadku istnieje przestrzen konfiguracyjna C 0 bardzo wielkiej liczbie wymiar6w N, a kazdy punkt tej przestrzeni reprezentuje jeden konkretny rozklad przestrzenny wszystkich tych cZqstek i cial (zob. rozdz. 12.1). Z uplywem czasu ten pojedynczy punkt przestrzeni C, reprezentujqcy caly uklad, bydzie siy w tej przestrzeni poruszal zgodnie z jakims prawem, kt6re opisuje zachowanie siy systemu newtonowskiego; zob. rys. 20.1. Jest zdumiewajqce (i niezwykle przyjemne z obliczeniowego punktu widzenia), ze prawo to mozna uzyskac na drodze bezposredniej procedury matematycznej, z jednej funkcji. W formalizmie lagranzowskim (a przynajmniej w jego najprostszej i najbardziej powszechnej postaci 1) funkcja ta - noszqca na-
Magiczny formalizm Lagrange'a
20.1
Rys. 20.1. Przestrzen konfiguracyjna. Kazdy punkt Q N-wymiarowej rozmaitosci C reprezentuje calli mozliwlI konfiguracjy rodziny newtonowskich cZlIstek punktowych i cial sztywnych. Gdy system ewoluuje w czasie, wowczas punkt Q porusza siy po pewnej krzywej w C.
ZWy lagranzjanu - jest zdefiniowana na wiqzce stycznej T( C) przestrzeni konfiguracyjnej C (rys. 20.2a; zob. rozdz. 15.5). W formalizmie hamiltonowskim odpowiednia funkcja - nosz'!ca nazwy hamiltonianu - zdefiniowana jest na wiqzce kostycznej T*(C); zob. rozdz. 15.5, zwanej przestrzeniq Jazowq (rys. 20.2b). Zauwazmy, ze T( C) (ktorej kazdy punkt reprezentuje pewien punkt Q przestrzeni C, wraz z wektorem stycznym w punkcie Q) i T* (C) (ktorej kazdy punkt reprezentuje pewien punkt Q przestrzeni C, wraz z wektorem kostycznym w punkcie Q) s,! rozmaitosciami 2N-wymiarowymi. Zajmiemy siy teraz opisem lagranzowskim, zostawiaj,!c na razie formalizm hamiltonowski. Wspolrzydne lagranzowskiej T( C) posluz,! nam do wyznaczenia polozen wszystkich cial newtonowskich (wl,!czaj,!c w to odpowiednie k,!ty niezbydne do wyspecyfikowania orientacji przestrzennej cial sztywnych etc.) oraz ich prydkosci (wl,!cznie z prydkosciami k,!towymi cial sztywnych etc.). Wspolrzydne polozen q\ ... , qN, zwykle nazywane "wspolrzydnymi uogolnionymi", oznaczaj'! rozne punkty q przestrzeni konfiguracyjnej (moze nawet w sensie "lat wspolrzydnosciowych", zob. rozdz. 12.2). Kaidy (adekwatny) uklad wspolrzydnych jest dozwolony, wca1e nie musz'! to bye wspolrzydne kartezjanskie ani zadne inne standardowe uklady wspolrzydnych. Na tym miydzy innymi polega urok podejscia lagranzowskiego (a takZe hamiltonowskiego). Przy wyborze ukladu wspolrzydnych kierujemy siy wyl,!cznie wzglydami wygody. Wspolrzydne graj,! tu podobn,! roly jak w rozdz. 8, 10, 12, 14 i 15, w ktorych omawialismy roznego typu ogolne rozmaitosci. Tym uogolnionym wspolrzydnym odpowiadaj,! "prydkosci uogolnione" Ii, ... ,qN, gdzie kropka oznacza tempo zmiany w czasie "d/dt": .1 dql .N dqN q = dt , ... , q = d!'
Lagranzjan £: jest funkcj,! wszystkich tych wielkosd £: = £:(q\ ... , qN; ql, ... , qN).
451
20
Lagranijany i hamiltoniany
T(C)
:c· ;·: · .;r .. T"'
C
( ...... .
~"'~"' 462
~ [20.15] Wykaz to. fa [20.16] Dlaczego?
Dynamika hamiltonowska jako geometria symplektyczna
20.4
energia ukladu zamkni~tego jest stala. Tak wiyc kai:da trajektoria leZy na (N - 1)-wymiarowej powierzchni zadanej r6wnaniem 11 == constant; zob. tys. 20.5. Moiemy teraz uwaiac, ie cala historia ukladu jest reprezentowana przez jego trajektoriy na T*(C). Przestrzen tych trajektorii dla ustalonej wartosci 11 jest (N - 2)-wymiarowa; zob. tys. 20.8. (Jeden wymiar tracimy, poniewai utrzymujemy stale 11, a drugi, poniewai "dzielimy" przez 1-wymiarowe trajektorie.) Warto podkreslic, ie powstala (N - 2)-rozmaitosc jest znowu symplektyczna. Procedura ta (nie tylko wtedy, gdy jako (/J wybieramy 11) znajduje wiele wdziycznych zastosowan w mechanice klasycznej i geometrii symplektycznej. Ten cudownie sp6jny obraz dynamiki newtonowskiej urzeka nas swoim piyknem, chociai:, jak siy tym przekonamy r6wniei w zwi¥ku z p6zniejszymi teoriami fizycznymi, nie powinnismy dac siy calkowicie urzec urodzie i pozornej kompletnosci tej tak starannie zbudowanej struktuty matematycznej. Wielokrotnie w przeszlosci Przyroda potrafila najpierw kusic nas i wprowadzac w nieledwie eufotyczny zachwyt sit,! i elegancj,! koncepcji matematycznych, jakie wydawaly siy wlasciwym kluczem do zagadek WszechSwiata, ieby potem bolesnie potrz,!sac nami i sprowadzac na ziemiy, pokazuj,!c, ie obraz, jaki sobie uksztaltowalismy, jest niezupelnie poprawny! Tak siy jednak skladalo, ie wprowadzone konieczne zmiany byly subtelne i pozwalaly, by zachowala siy poprzednia konstrukcja, pomimo ii fundamenty, na kt6tych byla wznoszona, zostaly kompletnie wymienione.
°
(2N - 2} wymiarow; zredukowana przestrzen fazowa
2N wymiar6w; przestrzen fazowa
Rys. 20.S. Przestrzen fazowa T' (C) jest 2N-wyrniarowl! rozrnaitoscil! syrnplektycznl! dla N-wymiarowej c. Dla danej wartosci energii (stale 1-£, jak na rys. 20.5) marny (2N - l)-wyrniarowy obszar zawierajl!cy (2N - 2)-wyrniarowl! rodzincr trajektorii strurnienia harniltonianu. Zredukowana przestrzen fazowa, kt6rej punkty reprezentujl! te trajektorie, sarna jest 2(N - 1)-wyrniarowl! rozrnaitoscil! syrnplektycznl!.
463
20
Lagranijany i hamiltoniany
Formalizm hamiltonowski przedstawia znakomity przyklad takiej sytuacji. Aczkolwiek mechanika klasyczna, ktor [21.9] Dlaczego? Liniowa niezaleznosc moze tutaj oznaczac wprowadzenie sum ci(!glych, a wiyc calek.
483
21
Czqstka kwantowa
polozenia lub momentu pydu, do ktorych niebawem przejdziemy) nazywane s,! zmiennymi dynamicznymi. Nasza funkcja falowa, ktora pocz'!tkowo odgrywala roly "niewidzialnej funkcji", ukrytej w cieniu, po prawej stronie wszystkich operatorow, zaczyna teraz grac roly aktywn'!. MySlimy 0 niej jako 0 stanie ukladu fizycznego. Czasami nazywamy j,! wektorem stanu (aczkolwiek jest to w istocie bardziej ogolne okreslenie, do ktorego nie potrzebujemy uiywac opisu za pomoC'! wspolrZydnych czasu i przestrzeni, jak w przypadku 1/J). Takjak w przypadku rozwazanego 4-pydu, w stanach wlasnych jakiejs zmiennej dynamicznej, ta szczegolna zmienna dynamiczna przyjmuje "okreslon,! wartosc" i wlasnie wartosc wlasna jest ow'! "okreslon,! wartosci'!" zmiennej dynamicznej w tym stanie. Chcialbym tu zwrocic uwagy, ze do tej pory traktowalem nasze pydowe stany wlasne w calkowicie 4-wymiarowy sposob czasoprzestrzenny, zgodnie z wymogami szczegolnej teorii wzglydnosci. Jest to podejscie ekonomiczne, w tym sensie, ze wyrazenie[21.10j
(gdzie Pa = (E, -P) oraz x a = (t, x), jak w rozdz. 18.7) zawiera zarowno zaleznosc przestrzenn'!, oznaczaj'!C'!, ze jest to stan wlasny zwyktego przestrzennego 3-pydu p = (-PI' - P2' - P3) = -iii (
a~l ' a~2 ' a~3 )
z wartosci'! wlasn,! P, jak i zaldnosc czasowq, ktora mowi, iz jest to rozwi,!zanie rownania Schrodingera z wartosci,! wlasn,! energii E. Formalizm Schrodingera nie jest jednak relatywistyczny w tym sensie, ze traktuje w rozny sposob czas i zmienne przestrzenne. Z tego powodu w dalszej dyskusji tego rozdzialu powrocimy do opisu nierelatywistycznego.
21.6 Czym jest rzeczywistosc kwantowa? Odejdzmy na chwily od tych szczegolowych kwestii i zapytajmy, czego dowiadujemy siy z tego wszystkiego 0 "rzeczywistosci". Czy zmienne dynamiczne s,! elementami "rzeczywistosci"? Czy charakter "obiektow rzeczywistych" maj,! stany? Czy tez powinnismy raczej powiedziec, ze rzeczywistosci dotykamy dopiero wtedy, gdy przechodzimy do "klasycznych" wielkosci, ktore pojawiaj,! siy jako wartosci wlasne zmiennych dynamicznych (czy tez innych operatorow)? W istocie fizycy kwantowi maj,! sklonnosc do unikania jasnych odpowiedzi na te pytania. Wiykszosc z nich nie bardzo lubi, kiedy zmusza siy ich, aby w ogole odniesli siy do problemu "rzeczywistosci". Wielu powie, ze ich stanowisko jest pozytywistyczne, i nawet odmo-
484
a
[21.10] Dlaczego mozna dokonac takiego rozdzielenia?
Czym jest rzeczywistosc kwantowa?
21.6
wi,! dyskusji na temat tego, czym jest "rzeczywistose", utrzymuj,!c, ze takie rozwazania nie maj,! charakteru naukowego. Wszystko, czego mozemy oczekiwae od naszego formalizmu matematycznego - powiedz,! - to fakt, ze daje on odpowiedzi na konkretne pytania dotycz'!ce naszego ukladu i ze te odpowiedzi s,! zgodne z danymi uzyskiwanymi na drodze doswiadczenia. Gdybysmy przypuszczali, ze w formalizmie kwantowym istnieje taka cecha, ktorej moglibysmy przypisae atrybut "rzeczywistosci" w odniesieniu do ukladu kwantowego, to moim zdaniem musi ni,! bye funkcja falowa (czyli wektor stanu), ktora opisuje rzeczywistose kwantow'!. (lnne mozliwosci przedstawi(( w rozdz. 29; zob. tez koniec rozdz. 22.4.) Uwazam, ze w mechanice kwantowej zagadnienie "rzeczywistosci" musi zostae podj((te - szczegolnie w sytuacji, gdy wielu fizykow raczej uWaZa, iz formalizm kwantowy znajduje uniwersalne zastosowanie w calej fizyce - albowiem gdyby nie istniala rzeczywistose kwantowa, wowczas w ogole nie mozna by mowie 0 rzeczywistosci na jakimkolwiek poziomie (poniewaz, zgodnie z t'! filozofi,!, wszystkie poziomy s,! kwantowe). Wedlug mnie negowanie rzeczywistosci w taki sposob pozbawione byloby sensu. Koniecznie potrzebujemy koncepcji rzeczywistosci fizycznej, chociazby tylko prowizorycznej i przyblizonej, gdyz bez niej nasz obiektywny WszechSwiat, a zatem i cala nauka, po prostu wyparowuje przed naszymi oczami, pogr,!zonymi w gt((bokiej kontemplacji! COZ wi((c mamy myslee 0 wektorze stanu? N a czym polega trudnose z przyj((ciem, ze przedstawia on rzeczywistose? Olaczego fizycy cZysto wykazuj,! daleko posuni((t'! niech((e wobec zaj((cia takiego stanowiska filozoficznego? Aby zrozumiee te trudnosci, musimy jeszcze staranniej przyjrzee si(( naturze funkcji falowej i jej fizycznym interpretacjom. Zbadajmy najpierw, bardziej szczegolowo, nasz stan p((dowy l/J = eiP.x/h (przyj,!lem tutaj dla wygody, ze t = 0). Zauwazmy, ze w zaden sposob nie mozemy go traktowae jako stanu zlokalizowanego w taki sposob, jak zlokalizowana jest zwykla cz'!stka. Rozci,!ga si(( on w sposob jednorodny na caly Wszechswiat. "Wielkose" stanu, mierzona jego modulem leiP'X/hl, jest taka sarna w calej przestrzeni (zob. rozdz. 5.1). Musimy wybaczye czytelnikowi, jesli wydaje mu si(( to raczej dziwnym obrazem pojedynczej cz'!stki z dobrze okreslonym p((dem w jakims kierunku przestrzennym. Co wi((c stalo si(( z naszym normalnym obrazem cz'!stki jako z obiektern (przynajmniej w przyblizeniu) zlokalizowanym w jakims pojedynczym punkcie przestrzeni? No coz, moglibysmy powiedziee, ze stan p((dowy jest jedynie pewn'! idealizacj,!. Mozemy przyj,!e, ze mamy do czynienia z dobrze zdefiniowanym (choe moze nie bardzo precyzyjnie) p((dem, jesli przejdziemy do podobnych stanow, okreslanych mianem "paczek falowych". S,! one opisane funkcjami falowymi, ktore maj,! ostre maksimum wielkosci w jakims polozeniu i s,! "nieomal" funkcjami wlasnymi p((du w okreslonym sensie. W przypadku jednowymiarowym takie paczki falowe mog'! bye przedstawione explicite, tworz'! bowiem iloczyn stanu p((dowego z funkcj,! rozkladu Gaussa e~x2 albo, jeszcze lepiej, z bardziej ogoln,! form,! tego rozkladu A e~82(x~C)2
485
21
Czqstka kwantowa
(gdzie A, B i C S,! stalymi rzeczywistymi). To dobrze znany "dzwonowy" rozklad statystyczny (jego ilustracjy znajdziemy na rys. 27.5 w rozdz. 27.4), w ktorym, w tej konkretnej relacji, jego "pik" wypada w punkciex = C. Jest interesuj,!ce (i bardzo pomaga w obliczeniach), ze uzyskana w ten sposob paczka falowa moze bye zwiyzIe przedstawiona przez dopuszczenie, ze liczba C w podanym wzorze jest liczbq zespolonq[21.111. W pelnej przestrzeni 3-wymiarowej paczky falow,! mozemy skonstruowae podobnie, uiywaj,!c rozkladu GaussaAe-B2 (x 2 + y2 + z2l, Z jej maksimum przesuniytym w kierunku zespolonym. W kazdym z tych przypadkow B-1 podaje miary jej rozpiytosci. Mamy twierdzenie wyrazaj'!ce "zasady nieoznaczonosci Heisenberga", ktore mowi, ze istnieje bezwzglydna granica tej rozpiytosci, czyli podaje, jak maly moze bye ten rozmiar w relacji do tego, jak blisko ten stan jest dokladnego stanu pydowego. Zajmiemy siy tym zagadnieniem blizej w rozdz. 21.11. Na razie sprobujmy uzyskae lepsze wyobraienie 0 tym, jak wygl,!daj,! stany pydowe i paczki falowe. Musimy pamiytae, ze funkcja falowa jest fal,! 0 wartosciach zespolonych i ze jej "falowy" charakter niekoniecznie przejawia siy jako oscylacje jej wielkosci (lub natyzenia). W przypadku stanu pydowego charakter "falowy" rna argument funkcji falowej (rozdz. 5.1), a mianowicie -Paxa/h mierzony na obwodzie okrygu, tj. e-iPaxa/h wziyty na okrygu jednostkowym na plaszczyznie zespolonej. W mechanice kwantowej zwyklismy nazywae argument funkcji falowej jejfazq. Okazuje siy, ze ta faza rna nie tyle charakter "fali", ile raczej, powiedzielibysmy, "kryci siy w kolko". Na rys. 21.5a probowalem pokazae zachowanie siy takiej funkcji falowej w jakims konkretnym kierunku, kresl,!c ten kierunek jako ukazan,! tam osx, a plaszczyzna prostopadla do tego kierunku (z osiami u i v wskazanymi na rysunku) reprezentuje plaszczyzny zespolon'! wartosci, jakie funkcja falowa moze przyjmowae (a wiyc tp = u + iv na tej plaszczyznie). Kierunek x na
la)
Ib)
Rys. 21.5. Przyklad funkcji falowej cZllstki: 1/J jako funkcja zespolona polozenia x. (a) Stan pydowy A2x2 e-U'xlh 0 ksztalcie korkocillgu (funkcja wlasna pydu p). (b) Paczka falowa ee-U'xIh.
486
B [21.11] Zamieniaj'lc liczby rzeczywist'l C w podanym wyraieniu na liczby zespolon'l C + iD (C i D s'lliczbami rzeczywistymi), znajdz cZystosc paczki falowej i polozenie jej maksimum.
Czym jest rzeczywistosc kwantowa?
21.6
moim rysunku odpowiada zatem pewnemu rzeczywistemu kierunkowi w zwyklej przestrzeni, ale u i v nie s,! normalnymi kierunkami przestrzennymi; zostaly wskazane, aby przedstawic plaszczyzny zespolon'! mozliwych wartosci funkcji falowej. Widzimy, ze w przypadku naszego stanu pydowego funkcja falowa przypomina korkoci,!g (ktory jest prawoskrytny dla pydow dodatnich w kierunku przestrzennym zobrazowanym przez kierunek x na rysunku). Na rys. 21.5b przedstawilem odpowiedni rysunek paczki falowej. Przypomina ona korkoci,!g tylko w sensie rozci,!glosci (a zatem rna umiarkowanie dobrze okreslony pyd), ale to podobienstwo do korkoci,!gu zanika w obu kierunkach i funkcja falowa staje siy bardzo mala poza pewnym przedzialem. Oczywiscie, aby uzyskac pelny obraz tych fal, musielibysmy sprobowac wyobrazic sobie, ze wszystko dzieje siy we wszystkich kierunkach przestrzennych od razu, co jest raczej trudne, poniewaZ potrzebujemy dwoch dodatkowych wymiarow (co daje l,!cznie piyc), aby wprowadzic i plaszczyzny zespolon,!, i wszystkie wymiary przestrzenne! Sprawy nie przedstawiaj,! siy jednak tak zle w przypadku stanu pydowego, jesli bydziemy rozwazali plaszczyzny stalej lazy. S,! to plaszczyzny prostopadle do kierunku pydu, a odleglosc miydzy kolejnymi plaszczyznami wynosi 21thlp, gdzie p oznacza wielkosc (przestrzennego) 3-pydu; zob. rys. 21.6. Opis tego rodzaju jest uiyteczny do wyobrazenia sobie np. funkcji falowej fotonu wchodz,!cego do sieci krystalicznej, co przedstawia rys. 21.2. Przyda nam siy rowniez do zrozumienia eksperymentu dwoch szczelin, jesli wyobrazimy sobie te szczeliny daleko od ekranu. W takim przypadku mozemy traktowac funkcjy falow'! kazdej cz,!stki, zblizaj,!cej siy do jakiegos lokalnego obszaru na ekranie, jako skiadaj,!c,! siy z dwoch cZysci, z ktorych kazda jest prawie dokiadnie stanem pydowym (a wiyc zasadniczo fal,! pi ask,! 0 jednej cZystosci - dziyki duzej odleglosci szczelin od ekranu), ale kierunki rozchodzenia siy tych czysci s,! nieco rozne. W pewnych miejscach na ekranie te dwie fale wzajemnie wzmocni,! siy, podczas gdy w innych na-
~. ~
,"
.:, : ~
{'. ~:~.
Rys. 21.6. Plaszczyzny stalej fazy dla stan6w wlasnych pydu, oddalone od siebie 0 hp-l, gdzie p jest wielkoscilj przestrzennego 3-pydu (por. rys. 21.2).
487
21
Czqstka kwantowa
Rys. 21.7. Funkcja falowa elektronu, kt61)' zbliza si« do ekranu z I)'s. 21.4 przedstawiaj,!cego ekspel)'ment dw6ch szczelin, moze bye traktowana jako superpozycja dw6ch fal plaskich z I)'s. 21.6, nieznacznie skr«conych wobec siebie 0 maly k,!t. Gdy ich fazy S,! zgodne (wzdluz linii przerywanych), te fale wzmacniaj,! si« i daj,! najwi«ksze prawdopodobienstwo, ze elektron dotrze w tym miejscu do ekranu. W polowie drogi mi«dzy tymi maksimami fazy s,! przeciwne i fale wygaszaj'! si«, daj,!c zerowe prawdopodobienstwo dotarcia elektronu do ekranu.
wzajem sit( wygasz'!, w wyniku czego powstanie obraz 0 obszarach wit(kszej i mniejszej intensywnosci, jak pokazalem na rys. 21.4d. Geometrit( tt( ilustruje rys. 21.7, na ktorym plaszczyzny przedstawiaj,! obszary, gdzie kaida fala skladowa rna stal,! wartose swojej fazy. Pelna funkcja falowa powstaje wtedy, gdy te czt(sci skladowe dodamy do siebie. Dlatego jesli zaloZymy, ze kaida z tych czt(sci skladowych rna tt( sam,! intensywnose, to wygasz'! sit( one calkowicie w miejscach 0 fazach przeciwnych, natomiast maksymalnie sit( wzmocni,! w miejscach 0 fazach zgodnych. W ten sposob powstaje obraz, 0 ktorym mowilismy w przypadku eksperymentu dwoch szczelin. Dobrze, dobrze, wszystko pit(knie, wykrzyknie niecierpliwy czytelnik, ale to jest jedynie opis tego, jak zachowuj,! sit( fale! Na razie nie podj,!lem zagadnienia, ze nasze fale/cz,!stki s,! falami-cz,!stkami. Poza drobnym upit(kszeniem, pokazuj,!cym, ze moje fale S,! falami zespolonymi, opisalem interferencjt( falow'!, ktora moglaby zaistniee w przypadku zwyklych fal na morzu alba fal glosowych czy fal Maxwella zbudowanych z klasycznego pola elektromagnetycznego (fal radiowych, swiatla widzialnego, promieni Roentgena etc.). Tymczasem istota eksperymentu dwoch szczelin - staralem sit( to podkreslie - polegala na tym, ze ukazala konflikt mit(dzy obrazem falowym a obrazem korpuskulamym. I rzeczywiscie; najbardziej oczywista manifestacja natury cz,!stek w tym eksperymencie pojawia sit( wtedy, gdy elektrony, docieraj,!c do ekranu, zostawiaj,! tam swoj slad: pojedynczo, tylko jeden w danej chwili!
21.7 Holistyczna natura funkcji falowej
488
W tym miejscu chct( zwrocie uwagt( na jedno zagadnienie. Ktos moglby sobie wyobrazae, ze malenka plamka na ekranie pojawia sit( od czasu do czasu, gdy lokalne natt(zenie padaj,!cej fali osi,!ga jak,!s krytycznC! wartose, alba ze istnieje pewne prawdopodobienstwo pojawienia sit( plamki na ekranie i ono wzrasta, gdy wzrasta natt(zenie fali. Dobry pomysl! Ale, niestety, jak w przypadku eksperymentu dwoch szczelin, ktory przedstawilem poprzednio (w wyidealizowanej postaci), pomysl ten na nie sit( nie zda. Albowiem gdyby to byla kwestia poszczegolnych prawdopodobienstw
Holistyczna natura funkcji falowej
21.7
w poszczegolnych miejscach, powinnismy oczekiwae, ze od czasu do czasu przy emisji pojedynczej fali wychodzqcej ze zrodla na ekranie pojawiq siy dwie plamki, w miejscach od siebie odleglych, ale w ktorych natyzenie byloby odpowiednie. Trudnose ta poglybia siy, kiedy zdamy sobie sprawy z faktu, ze nasze cZqstki Sq obdarzone ladunkiem elektrycznym, tak jak na przyklad elektrony. Gdyby emisja pojedynczego elektronu ze zrodla spowodowala dotarcie do ekranu dwoch elektronow, choeby tylko nieslychanie rzadko, mielibysmy do czynienia ze zlamaniem prawa zachowania ladunku. To sarno odnosi siy do praw zachowania innych "liczb kwantowych", takich jak prawo zachowania liczby barionowej (rozdz. 25.6), gdybysmy zamiast elektronow rozwazali na przyklad neutronyI21.121. Zlamanie prawa zachowania staloby w sprzecznosci z mnostwem faktow doswiadczalnych. Tymczasem elektrony i neutrony majq ty wlasnose samointerferencji, ktora przejawia siy w opisanym eksperymencie dwoch szczelin! Poirytowany czytelnik rna prawo w tym miejscu zauwaiye, ze w naszej probie zrozumienia dualizmu fala-czqstka dotarlismy dokladnie donikqd. Cierpliwosci, jeszcze nie skonczylismy z interpretacjq funkcji falowej! Powinnismy traktowae calq faly jako opisujqcq (albo "stanowiqcq") dokladnie jednq czqstky. Aczkolwiek determinuje ona w okreslonym sensie prawdopodobienstwo, ze plamka pojawi siy w jakims miejscu ekranu, to prawdopodobienstwo odnosi siy tylko do tej jednej czqstki. Taka interpretacja nie zadziala, jesli bydziemy traktowali funkcjy falowq w sposob lokalny, czyli jako dajqcq nam niezalezne prawdopodobienstwa pojawienia siy sladu w oddzielnych miejscach ekranu. Funkcjy falowq musimy traktowae jako jednq calose. Je§li ona powoduje, ze plamka pojawia siy w jakims miejscu, to zadanie zostalo wykonane i ten widoczny akt tworczy nie pozwala, zeby plamka mogla siy pojawie jeszcze w jakims innym miejscu. Z tego punktu widzenia funkcje falowe Sq zupelnie niepodobne do fal fizyki klasycznej. Rozne czysci fali nie mogq bye traktowane jako zaburzenia lokalne, z ktorych kazde rozchodzi siy niezaleznie od tego, co dzieje siy w jakims odleglym miejscu. Funkcje falowe majq silnie nielokalny charakter i w tym sensie Sq wielkosciami calkowicie holistycznymi. To stanowisko staje siy bardziej zrozumiale w nieco innej sytuacji eksperymentalnej. Przekonujemy siy przy tym jasno, ze obraz cZqstki/fali jako paczki falowej jest sam w sobie zupelnie nieodpowiedni do wyjasnienia kwantowego charakteru korpuskularnego. Wyobrazmy sobie, ze dysponujemy zrodlem cZqstek, jak poprzednio, i ze to zrodlo jest w stanie emitowae pojedyncze czqstki. Zamiast uiywac przeszkody z dwiema szczelinami, przypusemy, ze na drodze czqstek umiescilismy urzqdzenie, ktore jest w stanie rozszczepiae wiqzky. Mozemy wspomoc naSZq wyobrainiy, przyjmujqc, ze tq cZqstkq jest foton, a urzqdzeniem rozszczepiajqcym
n
[21.12] Pokaz, ze prawdopodobienstwo pojawienia sit; podwojnego sladu w takim scenariuszu musi bye znaczne, bez wzgIt;du na to, jakie jest prawo prawdopodobienstwa pojawienia sit; plamki w zaleznosci od natt;zenia funkcji falowej. ffSkaz6wka: podziel ekran na dwie czt;sci, zakladaj,!c jednakowe prawdopodobienstwo pojawienia sit; plamki na kazdej z nich.
489
21
Czqstka kwantowa
jest zwierciadlo polprzepuszczajqce7, ktore rozszczepi naszq fotonowq paczky falowq na dwie szeroko rozdzielone czysci. Dla jasnosci koncepcji zalozmy, ze "eksperyment" przeprowadzamy w przestrzeni miydzygwiezdnej (czytelnik powinien miec swiadomosc, ze nie proponujy w tym miejscu zadnego rzeczywistego eksperymentu - nasz przyklad rna jedynie posluZyc do ukazania pewnych bardzo podstawowych konsekwencji mechaniki kwantowej w warunkach ekstremalnych). Mozemy wyobrazic sobie, ze funkcja falowa fotonu zaczyna siy od zrodla w postaci malej wqskiej paczki falowej, ktora po dojsciu do urzqdzenia rozszczepiajqcego zostaje rozdzielona na dwie; jedna cZysc zostaje odbita, a druga przechodzi przez nie w kierunku prostopadlym (rys. 21.8). Cala funkcja falowa jest sumq tych dwu CZysci. Powiedzmy, ze mozemy poczekac rok, zanim zdecydujemy siy przechwyci6 funkcjy falowq fotonu za pomocq kliszy fotograficznej lub jakiegos innego stosownego detektora. Te dwie cZysci bydq przez bardzo dlugi czas ogromnie daleko od siebie, ale wyobrazmy sobie, ze mam dwoch kolegow (w dwoch roznych laboratoriach kosmicznych), w odleglosci 1,4 roku swietlnego od siebie. Kazdy z nich dysponuje oddzielnym detektorem i chociaZ kazda z tych dwu czysci paczki falowej mogla ulec znacznemu rozproszeniu, to kazdy z nich rna tez wielkie paraboliczne zwierciadlo, ktore zbiera rozproszone czysci paczki falowej i kieruje je w strony detektora kolegi. Co mowi mechanika kwantowa 0 wynikach takiego doswiadczenia? Mechanika kwantowa odpowiada, ze jeden z dwoch kolegow dokona detekcji wyslanego fotonu, ale nie zrobiq tego obaj. To jest zupelnie nowa sytuacja w porownaniu z zachowaniem siy klasycznej fali. Pamiytajmy, ze ci dwaj koledzy oddaleni Sq od siebie 0 ponad 1,4 roku swietlnego. Teoria wzglydnosci wymaga, zeby zaden sygnal nie zostal wymieniony miydzy nimi w czasie krotszym niz 1,4 roku swietlnego (rozdz. 17.8); ale fakt, ze jeden z nich zaobserwowal paczky falowq fotonu, uniemozliwia dokonanie podobnej obserwacji drugiemu i vice versa. Informacje od kazdego z nich docierajq do mnie po roku i stqd dowiadujy siy, ze tylko jeden z nich zaobserwowal wyslany przeze mnie foton. Ta cZysc paczki falowej, do ktorej kazdy z nich rna dostyp, jakby "wiedziala" 0 tym, co siy dzieje z resztq! Za kazdym razem gdy przeprowadzam to doswiadczenie, przekonujy ~Detektor I,~ I'V,
t.
D
If;
,~il ~
ifl /IP' Zr6dlo
O_!0
490
1 k
,-t
Ilji) miydzy dwoma element ami przestrzeni H, 11/», i Ilji). Inaczej mowi,!c, pytamy, czy (I/>Ilji) jest zachowany w czasie: d(l/>llji)/dt = O? (Z dyskusji, jak,! juz przeprowadzilismy, wynika, ze zachowanie normy i zachowanie iloczynu skalarnego S,! wymaganiami rownowaznymi.) W zasadzie wymagamy od naszego hamiltonianu kwantowego H dwoch warunkow: po pierwsze, nie wyprowadza nas poza przestrzen Hilberta oraz po drugie, jest operatorem hermitowskim. S,! to wymagania minimalne i byd,! spelnione przez kazdy rozs,!dnie zaproponowany hamiltonian. Na przyklad z,!danie, aby byl hermitowski, wynika z chyci zapewnienia, zeby jego wartosci wlasne - mozliwe wartosci energii ukladu - byly liczbami rzeczywistymi. Zwykle z'!damy tez, zeby H byl operatorem dodatnio okreslonym, co oznacza, iz (ljiIHllji) > 0 dla wszystkich niezerowych Ilji), w zwi,!zku z czym wszystkie wartosci wlasne (wartosci energii) s,! dodatnie - chociaz to z,!danie nie jest konieczne, aby zapewnic unitarnosc ewolucji. Gdy skorzystamy ze wzoru Leibniza do obliczenia pochodnej iloczynu (zob. rozdz. 6.5) oraz podanych wlasnosci, otrzymujemy od razu:
:t
(I/>Ilji)=\! 1/>1 ljiJ + \1/>1 ! ljiJ = (-iti-1HI/> Ilji) + (I/> l-iti-1Hlji) = iti-1(1/>IHllji)-iti-1(I/>I HI lji) =0,
511
22
Kwantowa algebra, geometria i spin
co dowodzi, ze iloczyn skalarny jest rzeczywiscie zachowany, a to znaczy, ze ewolucja schr6dingerowska jest unitarna[22.71. Taki sam argument stosuje siy do innych operatorow hermitowskich, takich jak generatory translacji przestrzennych lub generatory obrotow, co pokazuje, ze sl! to rowniez transformacje unitarne przestrzeni H. Przedstawione rownanie dowodzi, ze szybkose zmiany iloczynu skalarnego (ifJl'ljJ) wynosi zero. Wynika stl!d, ze (ifJl'ljJ) pozostaje niezmieniony przez caly czas, w ktorym lifJ) i 1'ljJ) indywidualnie przechodzl! ewolucjy schrOdingerowskl! pod dzialaniem tego samego 1t. Przypusemy, ze mamy stany kwantowe lifJ) i 1'ljJ), w chwili t = 0, i niech stany te ewoluujl! wedlug regul ewolucji schr6dingerowskiej do chwili T, stajl!c siy, odpowiednio, stanami lifJ T) i I'ljJT):
lifJ) ~ lifJ T) oraz 1'ljJ) ~ I'ljJT) (poslugujemy siy tu notacjl! z rozdz. 22.2). Wowczas
(ifJl'ljJ) = (ifJTI'ljJT)· Wszystko to mowi nam, ze dzialanie liniowe ewolucji schrOdingerowskiej na przestrzeni Hilberta H, od momentu t = do okreslonego czasu t = T, jest dzialaniem unitamym w tym sensie, ze dokonuje tej transformacji taki operator UT' ii:
°
lifJ T) = UTlifJ), I'ljJT) = UTI'ljJ) etc., gdzie operator UTjest unitarnyw sensie okre§lonym w rozdz.13.9, to znaczy, ze jego odwrotnose jest rowna operatorowi sprzyzonemu do niego po hermitowsku:
U1 = U~, tzn. UTU~ = U~UT =1. Ioznacza tutaj operator tozsamosciowy na H. (Zob. rozdz. 13.9, w ktorym pokazanajest ta wlasnose U r ) W rozdz. 22.1 wspomnielismy, ze istniejl! inne sposoby opisu ewolucji ukladu kwantowego, a najbardziej znanym z nich jest tzw. obraz Heisenberga. W obrazie Heisenberga zaklada siy, ze "stan" ukladu nie ulega zmianie w czasie, natomiast call! ewolucjy czasowl! przejmujl! na siebie zmienne dynamiczne. Czytelnik rna prawo zadae w tym miejscu pytanie, jakim cudem stan kwantowy moze bye uwai:any za "niezmienny" nawet pomimo tego, ze w ukladzie kwantowym dokonano fizycznych zmian! To prawda, ale przejscie od obrazu Schr6dingera do obrazu Heisenberga jest w istocie tylko kwestiq redefinicji ui:ywanych symboli. Rozwai:my najpierw zwykly, do tej chwili zakladany obraz Schr6dingera. Powiedzmy, ze mamy jakis stan kwantowy 1'ljJ) w chwili t = 0, ktory podlega ewolucji Schr6dingera, zdefininowanej przez zadany hamiltonian kwantowy 1t tak, ze po czasie T mamy stan I'ljJT):
~
512
[22.7] Przedstaw ten argument w spos6b bardziej kompletny. Czy potrafisz wyjasnic, dlaczego powinnismy oczekiwac, ze prawo Leibniza stosuje si y do iloczynu skalamego w przestrzeni Hilberta?
Ewolucja unitarna: SchrOdinger i Heisenberg
22.4
Zwr6cmy uwagy, ze dzialanie UT stosuje siy liniowo do calej przestrzeni Hilberta H, co powoduje, ze kai:dy inny stan I¢) bydzie przechodzil identyczn,! ewolucjy I¢) ~ I¢T) = UTI¢) z tym samym Up jakiego ui:ylismy dla Itp). W obrazie Heisenberga myslimy po prostu 0 "stanie" w czasie T, jako Itp)H = U~1 Itp)
= If, Itp)·
Jasne jest, ze ten "stan heisenbergowski" Itp) nie zmienia siy w czasie (w zasadzie z definicji!). Aby jednak zachowac poprzednie procedury algebraiczne i zeby wartosci wlasne (czyli mierzone fizyczne parametry) byly takie same jak w obrazie Schrodingera, musimy zai:,!dac kompensuj,!cej ewolucji zmiennych dynamicznych. Tak wiyc kazdy liniowy operator Q (na H) musi ulec zamianie na jego heisenbergowsk,! wersjy -1
•
QH = Ut QUt = UtQUt · Z tego bezposrednio wynika, ze w obrazie Heisenberga kai:da wartosc wlasna i kai:dy iloczyn skalarny S,! takie same jak w obrazie Schrodingera[22.8j • Ewolucja heisenbergowska odnosi siy teraz do operator6w (kt6re w obrazie Schrodingera S,! niezmienne), a w szczeg6lnosci do zmiennych dynamicznych. Otrzymujemy wi YC[22.9j r6wnanie in
!
QH
= 1iQH
- QH 1i,
znane jako r6wnanie ruchu Heisenberga. (Zauwai:my, ze oczywist,! konsekwencj,! tego r6wnania jest zachowanie energii, wystarczy poloZyc QH= 1i.) Czytelnik rna prawo zapytac, jaki jest poZytek z tego przeformulowania teorii. W niekt6rych sytuacjach obraz Heisenberga rna pewne techniczne zalety, ale nie pomaga nam w pr6bach rozwi'!Zania zagadek interpretacyjnych mechaniki kwantowej. Nie wyjasnilismy kwestii "skok6w kwantowych", mamy tylko wyb6r, czy zrzucic winy na stany, dozwalaj,!c, ze Itp)H "przeskoczy", pod wplywem R, do jakiegos innego stanu, czy tei: wolimy, zeby "przeskakiwaty" heisenbergowskie zmienne dynamiczne! Moim zdaniem w obrazie Heisenberga sprawy tych "przeskok6w" staj,! siy jeszcze bardziej mgliste, a zaden problem nie zostaje rozwi'!Zany. W obrazie Schrodingera mamy przynajmniej ewoluuj,!CY wektor stanu, kt6ry daje szansy uchwycenia r,!bka "rzeczywistosci kwantowej"! Nie wydaje siy, zeby podobn,! mozliwosc stwarzat nam obraz Heisenberga, poniewai: wektor stanu tkwi tam nieporuszony, pomimo ze zachodz'! jakieS procesy fizyczne. Co wiycej, ewolucja zmiennych dynamicznych nie moze odzwierciedlac konkretnego uktadu fizycznego, poniewaz nie opisuj,! one w og6le konkretnych uklad6w, implikuj,! tylko pytania, kt6re stawiamy w odniesieniu do tych uktad6w, na przyktad "jakie jest twoje polozenie" itp. ~
~
[22.8] Wyjasnij to szczegolowo. [22.9] Sprawdz, czy potrafisz to wyprowadzic.
513
22
Kwantowa algebra, geometria i spin
Powody poslugiwania sil( tymi dwoma roznymi obrazami s,! w duiym stopniu historyczne. Heisenberg byl pierwszym, ktory przedstawil swoj schemat w lipcu 1925 roku, natomiast Schrodinger wyst,!pil z wlasn,! propozycj,! pol roku poiniej, w styczniu 1926, a dopiero potem zdal sobie sprawl( z rownowaznosci obu obrazow. Z kolei Max Born pierwszy rozpoznal probabilistyczny sens kwadratu modulu 11/'12 funkcji falowej Schrodingera (rozdz. 21.9) i bylo to w czerwcu 1926 roku. Sam Schrodinger by! przywiqzany do obrazu funkcji falowej jako "pola klasycznego". Ogolne operatorowe sformulowanie mechaniki kwantowej wyroslo z prac Heisenberga, Borna i Pascual a Jordana, a peiny ksztalt nadal mu dopiero Dirac i przedstawil szczegolowo w swojej niezwykle waznej ksi,!zce, The Principles of Quantum Mechanics (Zasady mechaniki kwantowej), opublikowanej po raz pierwszy w 1930 roku 7 • Oczywiscie, naleiy dopuscic, ze kiedy dokonamy odpowiednich korekt teorii kwantowej, mog,! pojawic sil( powody, dla ktorych jeden z tych obrazow rna przewagl( nad drugim i ich rownowaznosc moze zostac zlamana. W pewnym stopniu podobna sytuacja wystl(puje w kwantowej teorii pola (zob. rozdz. 26), kiedy probujemy znaleic wspolny i spojny schemat do pol,!czenia teorii kwantow i (szczegolnej) teorii wzgll(dnosci. Dirac przedstawil pewne argumenty8, dla ktorych obraz Heisenberga moze byc w tym przypadku bardziej przydatny. Jednak ani obraz Heisenberga, ani obraz Schrodingera nie Sq relatywistycznie inwariantne i dlatego w tym kontekscie preferujemy czasami ich hybrydl( znan'! jako "obraz oddzialywania,,9.
22.5 "Obserwable" kwantowe
514
RozwaZmy teraz, w jaki sposob nasz formalizm ujmuje problem pomiaru w ukladzie kwantowym. W rozdz. 22.1 zauwaiylismy, ze omawiane przyklady pomiarow polozenia i pl(du dobrze ilustruj,!, co dzieje sil( w ogolnym przypadku pomiaru kwantowego. KaZda "mierzalna" wlasnosc ukladu kwantowego powinna byc reprezentowana przez pewien rodzaj operatora Q - operator taki nazywamy "obserwablq" - ktorym moglibysmy dzialac na stan kwantowy. Przykladami obserwabli S,! zmienne dynamiczne (powiedzmy, polozenia lub pl(dyyo. Teoria wymaga, zeby obserwabla Q byla reprezentowana przez operator liniowy (taki jak operatory pl(du i polozenia) w taki sposob, zeby jego dzialanie na przestrzen H prowadziio do jej transformacji liniowej, aczkolwiek transformacja ta moze byc osobliwa (rozdz. 13.3). Mowimy, ze stan 1/' rna okreSlonq wartosc obserwabli Q, jesli 1/' jest stanem wlasnym operatora Q, a jego wartosc wlasna q bl(dzie t'! okreslonq wartosci,!l1. Z dokladnie t'! sam,! terminologiq zetknl(lismy sil( juz w rozdz. 21.5, 10, 11, w przypadku pl(du i polozenia. W konwencjonalnej mechanice kwantowej wymaga sil( zwykle, zeby wszystkie wartosci wlasne byly liczbami rzeczywistymi. Warunek ten bl(dzie speiniony,
"Obserwable" kwantowe
22.5
jesli zazqdamy, by operator Q byl hermitowski w tym sensie, ze Q jest rowny operatorowi sprzyzonemu do niego po hermitowsku, Q*[22.101:
Q* =Q. Moim zdaniem zqdanie to jest nadmiernie wygorowane, poniewaz liczby zespolone Sq czysto uiywane w fizyce klasycznej, na przyklad w rozpatrywanym przez nas przypadku reprezentacji sfery niebieskiej przez sfery Riemanna (rozdz. 18.5), w wielu standardowych dyskusjach ruchu oscylatora harmonicznego (rozdz. 22.13) itp.12 Istotnym zqdaniem jest wymog, zeby wektory wlasne rozpatrywanej obserwabli, odpowiadajqce roznym wartosciom wlasnym, byly wzajemnie ortogonalne. Jest to cecha charakterystyczna dla operatorow nazywanych operatorami "normalnymi". Operatorem normalnym nazywamy operator, ktory komutuje z operatorem do niego hermitowsko sprzyzonym:
i w przypadku takiego operatora kazda para wektorow wlasnych, odpowiadajqcych roznym wartosciom wlasnym, jest parq wektorow ortogonalnych[22.11 1• Poniewaz jestem usatysfakcjonowany, jesli wyniki pomiarow (wartosci wlasne) Sq liczbami zespolonymi, podczas gdy spelniony jest standardowy wymog ortogonalnosci miydzy wynikajqcymi z pomiaru alternatywnymi stanami, dlatego bydy wymagal, zeby moje "obserwable" kwantowe byly operatorami liniowymi normalnymi, bez nakladania mocniejszego zqdania, jakim jest wymog hermitowskosci. W tym miejscu powinienem skomentowae jeszcze jeden warunek nakladany na obserwable kwantowe, taki mianowicie, ze domagamy siy, aby ich wektory wlasne rozpinaly calq przestrzen Hilberta H (co oznacza, ze dowolny element tej przestrzeni moze bye wyrazony jako kombinacja liniowa tych wektorow wlasnych). W przypadku skonczonej liczby wymiarow wlasnose ta jest matematycznq konsekwencjq hermitowskiej (albo normalnej) natury operatora Q. Wobec nieskonczonej liczby wymiarow stanowi to oddzielne zalozenie, ktore musimy zrobie, zeby Q moglo bye obserwablq kwantowq. Operator hermitowski Q 0 takiej wlasnosci nazywamy operatorem samosprz?zonym. Dla procesu pomiaru kwantowego istotny jest wymog ortogonalnosci nakladany na obserwable kwantowe. Zgodnie z regulami mechaniki kwantowej wynikiem pomiaru wielkosci odpowiadajqcej operatorowi Q bydzie zawsze jeden z jego stanow wlasnych; na tym polega "przeskok" stanu kwantowego, ktory wystypuje podczas procesu R (zob. rozdz. 22.1). Jakikolwiek byl stan ukladu przed dokonaniem pomiaru, z chwilq gdy pomiar zostal przeprowadzony, musial on
~ [22.10] Pokaz, ze wszystkie wartosci wlasne operatora hermitowskiego Q Sq liczbami rzeczywistymi. rm. [22.11] Sprawdz, czy potrafisz to udowodnic. Wskazowka: rozwazajqc wyrazenie (1JII(Q* -lI)(Q - AI)I1JI), pokaz najpierw, ze jesli QI1JI) = AI1JI), wowczas Q*I1JI) = 111Jl).
515
22
Kwantowa algebra, geometria i spin
przeskoczyc do jednego ze stan6w wlasnych Q, zgodnie z procedur,! R. Po dokonaniu pomiaru ten stan uzyskuje okreSlon,! wartosc dla obserwabli Q, a jest ni,! odpowiednia wartosc wlasna q. Dla kazdego z mozliwych wynik6w pomiaru obserwabli Q - czyli dla wszystkich r6znych wartosci wlasnych ql' %, %, ... - otrzymujemy zatem jeden ze zbior6w alternatywnych powstalych stan6w, z kt6rych wszystkie s,! wzajemnie ortogonalne. Dlaczego to jest wazne? Zaraz poznamy kwantowe reguly obliczania prawdopodobienstwa pojawienia siy tych alternatywnych wynik6w. Jedn,! z implikacji owych regul jest to, ze prawdopodobienstwo zdarzenia, iZ w wyniku pomiaru stan przeskoczy do stanu ortogonalnego, wynosi zawsze zero. Zgodnie z tym, jezeli dokonamy powt6rnego pomiaru tej samej obserwabli, w6wczas drugi pomiar da nam ten sam wynik co pierwszy. Aby otrzymac inny wynik, musialby nast,!pic przeskok z jednego stanu do stanu wzglydem niego ortogonalnego, a prawdopodobienstwo takiego zdarzenia jest wykluczone. J ednakZe ten szczysliwy wniosek wi,!ze siy z ortogonalnosci,! stan6w wlasnych Q naleZ,!cych do r6znych wartosci wlasnych, i to jest wlasnie pow6d, dla kt6rego z'!damy, zeby Q byl operatorem normalnym. Powr6cmy teraz do przyporz,!dkowania prawdopodobienstw pojawienia siy r6znych alternatywnych stan6w wlasnych obserwabli Q dla danego stanu 11Jl), kt6ry mamy zamiar "obserwowac". Jest godn,! uwagi cech,! kwantowego procesu R, ze prawdopodobienstwo kwantowomechaniczne zaleZy tylko od tego, z jakimi stanami mielismy do czynienia przed dokonaniem pomiaru i po nim, a nie od jakichs innych cech obserwabli Q (na przyklad od wielkosci mierzonej wartosci wlasnej). Regula jest taka, ze prawdopobienstwo przeskoku od stanu 11Jl) do jakiegos stanu wlasnego I 517
22
Kwantowa algebra, geometria i spin
22.6 Pomiary
TAK/NIE;
operatory rzutowe
W przypadku operatorow takich jak operatory polozenia i pydu, ktorych stany wlasne nie s,! normowalne, prawdopodobienstwo znalezienia cz'!stki w takim stanie jest zerowe. Taka opinia jest "poprawna", poniewaz prawdopodobienstwo, ze polozenie albo pyd przyjmuj,! jak,!s okreslon,! wartose, wynosi rzeczywiscie zero (polozenie i pyd S,! parametrami ci,!glymi). Niewiele to pomaga, albowiem chcielibysmy miee obserwable, ktore pomog,! odpowiedziee na pytanie: "czy polozenie cz'!stki miesci siy w takim-to-a-takim przedziale wielkosci", i podobne pytanie chcielibysmy moc zadae w odniesieniu do pydu (albo jakiejkolwiek innej ci,!giej obserwabli). Pytania 0 odpowiedz typu TAK/NIE mog,! bye wl'!czone do formalizmu kwantowego, na przyklad przez przyporz'!dkowanie wartosci 1 odpowiedzi TAK i wartosci 0 odpowiedzi NIE. Takie obserwable['] s,! opisywane przez tzw. operatory nutowe. Operator rzutowy E charakteryzuje siy tym, ze jest operatorem samosprzyzonym i rownym swojemu kwadratowi[22.13] E2 =E =E'.
Uzyskujemy w ten sposob najbardziej prymitywny rodzaj pomiaru, ale takie operatory stanowi,! najlepsz,! drogy rozwi,!zania wielu kwestii, jakie wi,!z,! siy z "pomiarem" w mechanice kwantowej. To jeden aspekt problemu, ktory staje siy szczegolnie wyrazny, kiedy dokonujemy pomiaru TAK/NIE, albowiem (w przypadku wiycej niz dwoch wymiarow) operatory takie S,! (calkowicie) zdegenerowane. Mowimy, ze operator Q jest zdegenerowany ze wzglydu na wartose wlasn,! q, jezeli przestrzen wektorow wlasnych nalez,!cych do q jest wiycej niz 1-wymiarowa, a wiyc gdy istniej,! nieproporcjonalne do siebie wektory wlasne Q odpowiadaj,!ce tej samej wartosci wlasnej q (rozdz. 13.5). Cal,! liniow,! podprzestrzen przestrzeni H, utworzon'! przez wszystkie wektory wlasne nalez'!ce do tej samej wartosci wlasnej q, nazywamy pnesmeniq wlasnq operatora Q odpowiadaj,!c,! q. W takich przypadkach "wynik" pomiaru (a wiyc wyznaczenie wartosci wlasnej) sam w sobie nie dostarcza informacji 0 tym, do ktorego stanu nastypuje "przeskok". Rozwi,!zanie daje natomiast tzw. postulat nutowy, ktory stwierdza, ze poddany pomiarowi stan Il/J) zostaje zrzutowany ortogonalnie na przestrzen wlasn,! 13 operatora Q odpowiadaj,!c,! wartosci q. Istotnie, termin "postulat rzutowy" odpowiada czysto standardowej procedurze kwantowomechanicznej z rozdz. 22.1 (wyjasnia to von Neumann 14 ), zgodnie z ktor,! jako wynik pomiaru obserwabli Q stan przeskakuje do stanu wlasnego Q, nalez'!cego do tej wartosci wlasnej, ktor'! uzyskalismy, dokonuj,!c pomiaru. W tym, i nastypnym rozdziale podkreslam znaczenie aspektu rzutowego tego postulatu w przypadku zdegenerowanych wartosci wlasnych15. [*] Po polsku uZywa sit( czasem slowa "rzutnik" (przyp. dum.). [22.13] Poka:i:, ze jesli jakas obserwabla Q jest pierwiastkiem pewnego wieiomianu, to pierwiastkiem identycznego rownania jest kazda jej wartosc wlasna. ~
518
Pomiary TAK/NIE; operatory rzutowe
22.6
To rzutowanie najlepiej przedstawic za pomocq takiego operatora rzutowego
E, ktorego przestrzen wlasna odpowiadajqca jego wartosci wlasnej 1, a wiyc TAK, jest identyczna z przestrzeni'! wlasnq Q odpowiadajqcq wartosci wlasnej q. (Tak mozna zawsze zrobic; operator E stawia po prostu bardziej podstawowe pytanie nn Q, a mianowicie: "czy q jest wynikiem pomiaru Q?".) Wowczas postulat rzutowy stwierdza, ze rezultatem pomiaru (albo Q z wynikiem q, alba E z wynikiem 1) jest, ze Itp) przeskakuje do Eltp)· Nie przejmowalem siy tutaj problemem unormowania (bo nie potrzebowalem, chyba ze ktos sobie tego iyczy). lesli zaleiy nam na uzyskaniu stanu unormowanego, to mozemy zaZ,!dac, aby przeskok z Itp) nastypowal do stanu bardziej skomplikowanego Eltp)(tpIEltpr1!2. lednak wygodniej w tym miejscu nie poslugiwac siy stanami unormowanymi, dziyki czemu wiele wzorow zyskuje bardziej przejrzystq postac. Na rys. 22.4 przedstawiam geometryczny sens postulatu rzutowego w ramach przestrzeni Hilberta H. Zauwazmy, ze zamieniajqc projektor E na 1 - E (operator ten jest rowniez operatorem rzutowym), dokonujemy po prostu zamiany przestrzeni wlasnej TAK na NIE i vice versa. (Tutaj operator 1 jest operatorem tozsamosciowym na H.) A zatem jesli pomiar E daje w wyniku 0, to oznacza, ze Itp) przeskakuje do (I -E)ltp)(= Itp) - Eltp»)· Zauwazmy, ze Itp) jest sumq dwoch stanow, Eltp) i (I -E)ltp), ktore s,! do siebie ortogonalne[22.14 J, a pomiar E dokonuje wyboru miydzy nimi, dajqc odpowiedi TAK w przypadku pierwszego z nich i odpowiedi NIE dla drugiego: Itp) =Eltp) + (I -E)ltp)· Mamy tu bezposredni geometryczny sposob wyrazenia prawdopodobienstw tych alternatywnych mozliwosci, w ktorym "norma" (kwadrat dlugosci) stanu przy takim rzutowaniu nie jest potrzebna[22.l5 J• Ten prosty geometryczny sens zostaje zamazany, jesli nalegamy na poslugiwanie siy stanami unormowanymi! Rys. 22.4. Sens geometryczny postulatu rzutowego w przestrzeni H. Pokazane Sl! przestrzenie wlasne projektora E, plaszczyzna pozioma reprezentuje wartosc wlasnl! 1 (TAK), a plaszczyzna pionowa 0 (NIE). Na rysunku przedstawiony jest rozklad stanu I1/') = EI1/') + (/ - E) 11/') na dwie ortogonalne czysci, z ktorych EI1/') jest rzutem I1/') na przestrzen TAK (wynik pomiaru daje TAK), a (/ - E) 11/') jest rzutem na przestrzen NIE (wynik pomiaru NIE). W kai:dym przypadku prawdopodobienstwo jest wyznaczone przez dokladny czynnik proporcjonalnOSci, a w rzutowaniu (hermitowski) kwadrat dlugOSci 111/'11 wektora I1/') zostaje zredukowany (wektory stanu nie Sl! unormowane).
Ea [22.14] Udowodnij to. Ea [22.15] Dlaczego?
519
22
Kwantowa algebra, geometria i spin
22.7 Pomiary zerowe; skr,tnosc Niektorzy fizycy wyrazaj'! w'!tpliwosci wobec postulatu rzutowego (jedni uwa:i:aj,!, ze jest "zbydny", inni, ze "nieobserwowalny"), a trudnose pol ega na tym, ze nie mamy sposobu okreslenia, jaki jest dokladnie stan po dokonaniu pomiaru. Dzieje siy tak bye moze dlatego, ze sam proces pomiaru powoduje "spl'!tanie" mierzonego ukladu z ukladem pomiarowym, w wyniku czego badany stan nie moze bye rozpatrywany jako samodzielny. Te zastrzezenia staj,! siy zasadne w przypadku jakichS skomplikowanych zagadnien, ale zeal'! pewnosci,! istniej,! okolicznosci, w ktorych postulat rzutowy znakomicie opisuje pomiar (nawet w przypadku zdegenerowanym). Najbardziej klarowna sytuacja powstaje w przypadku tzw. porniam zerowego (czyli "bez oddzialywania"). Jest to fascynuj,!ce zjawisko i warte zainteresowania sarno w sobie, ale ilustruje jeden z najdziwniejszych aspektow zachowania siy kwantowomechanicznego. Przypatrzmy siy paru przykladom. Rozwa:i:my raz jeszcze sytuacjy dyskutowan,! w rozdz. 21.7: pojedynczy foton zostal skierowany na plytky rozdzielaj,!c,! swiatlo i czyse jego stanu zostala odbita, a czyse przepuszczona. Po takim zdarzeniu stan fotonu jest sum'! tych dwu ortogonalnych cZysci: przepuszczonej IT) i odbitej IP) (dla ulatwienia odpowiednie czynniki fazowe zaabsorbowalismy w definicjy IT) i IP); mamy wiyC zwykl,! sumy i nie przejmujemy siy unormowaniem):
It/J) = IT) + IP)
520
(zob. rys. 22.5). Przypusemy, ze na drodze przepuszczonej wi,!zki umiescilismy detektor i, dla uproszczenia argumentacji, zalozmy, ze detektor pracuje ze lOO-procentow,! skutecznosci,!. Zalozmy, ze rowniei: kazdy fakt emisji jest (w zrodle) rejestrowany ze lOO-procentow,! dokladnosci,!. (S,! to oczywiscie idealizacje i w realnym eksperymencie byloby raczej trudno przybli:i:ye siy do takiej precyzji, lecz te zalozenia maj,! sens, ukazuj,! bowiem, jak dziala mechanika kwantowa.) Jesli wykryjemy, ze zrodlo wyemitowalo foton, ale detektor tego nie zarejestrowal, to mamy pewnose, ze foton "powydrowal inn,! drog,!", a wiyc ze jego stan jest stan em odbitym:IP). Jest niezwykle interesuj,!ce, ze pomiar "niewykrycia" fotonu spowodowal, iz stan fotonu dokonal skoku kwantowego (ze stanu superpozycji It/J) do stanu odbitego IP», pomimo iZ foton w ogole nie wszedl w jakiekolwiek oddzialywanie z aparatem pomiarowym! I to jest wlasnie przyklad pomiaru zerowego. Imponuj,!ce zastosowanie tego rodzaju idei zaproponowali Avshalom Elitzur i Lev Vaidman 16 • Wyobraimy sobie, ze nasz rozdzielacz wi¥ki jest cZysci,! interferometru typu Macha-Zehndera (przypomnijmy ostatni'! czyse mojego astronomicznego eksperymentu myslowego opisanego w rozdz. 21.7; zob. rys. 21.9), ale tak skonstruowanego, ze nie jestesmy pewni, czy na drodze wi¥ki przepuszczonej przez pierwszy rozdzielacz zostal umieszczony detektor C. Przypusemy, ze detektor C jest czyms w rodzaju zapalnika bomby, ktora wybuchnie, gdyby foton do niego dotarl. S,! dwa detektory koncowe, Ai B, i wiemy (z rozdz. 21.7), ze tylko A - ale nie B - moze zarejestrowae foton, pod warunkiem ze nie rna C; zob. rys. 22.6.
Pomiary zerowe;
skr~tnosc
22.7
Rys. 22.5. Pomiar zerowy zgodny z postulatem rzutowym. Pojedynczy foton zostaje wyslany w kierunku plytki rozdzieiaj,!cej swiat/o. Powstaly w wyniku tego stan 11/1), czysciowo odbity, czysciowo przepuszczony, jest sum'! I1/') = 11:) + Ip) stanu przepuszczonego 11:) i odbitego Ip) (odpowiednie czynniki fazowe zostaly ujyte w definicji tych stanow i nie dbamy 0 ich unormowanie). Jesli wykrywamy, :i:e irodlo wyemitowalo foton, ale detektor go nie zarejestrowal, wowczas wiemy, :i:e foton jest w stanie Ip), pomimo :i:e nie wszedl on w jakiekolwiek oddzialywanie z detektorem.
... liP) ~
I
~~ ____ .J1:~ __~(] Rys. 22.6. Test bombowy Elitzura-Vaidmana. W interferometrze typu Macha-Zehndera (zob. rys. 21.9) mo:i:e, ale nie musi, bye umieszczony detektor C podI'!czony do bomby. (Biale prostok'!ty oznaczaj'! plytki swiatlodzielne, a czame - zwierciadla). Dlugosci ramion interferometru S,! jednakowe, zatem foton wyemitowany przez zrodlo musi dotrzee do detektora A, pod warunkiem :i:e nie rna C. W przypadku gdy foton zostaje zarejestrowany przez detektor B (a bomba nie wybucha), wiemy, :i:e na drodze wi,!zki znalazl siy detektor C, chocia:i: foton do niego nie dotarl.
Chcemy miee pewnose obecnosci detektora C (i bomby), ale tak, zeby go nie stracie w wyniku eksplozji. To jest mozliwe, gdy detektor B rejestruje przybycie fotonu; albowiem tak moze sit( stac tylko wtedy, gdy detektor C dokona pomiaru, ze foton do niego nie dotarl! Taki pomiar oznacza bowiem, ze foton wybral alternatywnq drogt(, w zwiqzku z czym prawdopodobienstwo rejestracji fotonu przez kazdy z detektorow A i B wynosi (poniewaz nie wystt(puje teraz interferencja dwu wiqzek), podczas gdy w razie obecnosci C foton moze bye zarejestrowany tylko przez detektor A17_ W opisanych przykladach degeneracja nie wystt(puje, wobec czego nie mamy tu do czynienia z opisanym problem em, w ktorym sam wynik pomiaru nie pomoze nam rozstrzygnqe kwestii, do jakiego stanu nasz uklad "przeskakuje". Na podstawie rozdz. 22.6 przypominamy sob ie, ze wlasciwy uiytek z postulatu rzutowego mozemy zrobic dopiero wtedy, gdy mamy do czynienia ze zdegenerowanymi wartosciami wlasnymi. Wprowadzmy zatem dodatkowe stopnie swobody, na przyklad dodajmy do rozwazan zjawisko polaryzacji fotonu. Mamy tutaj do czynienia z nOWq jakosciq fiZYCZllq, do ktorej juz wczesniej sit( odwolywalismy, a mianowicie ze spinem kwantowomechanicznym. Zagadnieniem spinu zajmt( sit( bardziej szczegolowo nieco pozniej, w rozdz. 22.8-1 L W tym miejscu bt(dzie potrzebna tylko pewna bardzo podstawowa wlasnosc spinu cZqstki bezmasowej. Fotony istotnie majq spin,
t
521
22
Kwantowa algebra, geometria i spin
// (a)
(b)
Rys. 22.7. CZl}stka bezmasowa, jakl} jest foton, moie krC(cie siC( tylko wok61 swojego kierunku ruchu. Wartose
lsi tego spinu dla danego typu cZl}stki bezmasowej jest zawsze taka sarna, ale jesli jej skrC(tnose
s jest r6ina od zera (jak w przypadku fotonu), w6wczas jej spin moie bye alba (a) prawoskrC(tny (s > 0; skrC(tnose dodatnia), alba (b) lewoskrC(tny (s < 0; skrytnose ujemna). W przypadku fotonu mamy lsi = 1 (w jednostkach Ii), co prowadzi do dw6ch przypadk6w: s = 1 dla polaryzacji kolowej prawoskrC(tnej oraz s = -1 dla polaryzacji kolowej lewoskrytnej. Na mocy zasady kwantowej superpozycji moiemy utworzye zespolone liniowe kombinacje tych stan6w, kt6re prowadzl} do innych moiliwych stan6w polaryzacyjnych fotonu, jak to i1ustrujl} rys. 22.12 i 22.13.
ale poniewai Sq to cZqstki pozbawione rnasy, ich spiny zachowujq sitr inaczej nu w przypadku cZqstek rnasywnych (na przyldad elektronow czy protonow) i tym aspektern zajrnierny sitr w rozdz. 22.8-10. Foton (albo innq CZqstktr bezrnasowq) rnusirny sobie wyobraiae jako CZqstktr krtrCqCq sitr wokol jej kierunku ruchu; zob. rys. 22.7. Dla danej czq.stki bezrnasowej wielkose spinu lsi jest zawsze taka sarna, ale ten spin rnoze bye albo prawoskrtrtny (s > 0), alba lewoskrtrtny (s < 0) wzgltrdern kierunku ruchu. Ponadto, zgodnie z ogolnyrni zasadami rnechaniki kwantowej, stan spinowy rnoze bye dowolnq (kwantowq) kornbinacjq liniowq. tych dwoch stanow. Sarna wielkose s nosi nazwtr skr~tno§ci cZqstki bezmasowej (rozdz. 22.12), a jej wartose zawsze rnusi bye calkowita bqdz polowkowa (albo, wprowadzajqc odpowiednie jednostki, powinnisrny powiedziee, ze skrtrtnose jest caikowitq wielokrotnosciq th). 0 cZqstce bezmasowej mowirny, ze rna spin j, jesli lsi =j (albo, w tych nowych jednostkach, lsi = jh). Foton rna spin 1 (a witrc jego skrtrtnose wynosi ±1); grawiton rna spin 2 (skrtrtnose ±2). Neutrina rnajq spin a jesli istniejq neutrina bezmasowe 18, to takie neutrino powinno miee skrtrtnose zas odpowiadajqce mu antyneutrino skrtrtnose W przypadku fotonu stany skrtrtnosciowe (stany 0 okreslonej skrtrtnosci) Sq stanami polaryzacji kolowej, odpowiednio, prawoskrtrtnej dla s = 1 i lewoskrtrtnej dla s = -1. Istniejq tei inne stany polaryzacyjne fotonu, takie jak polaryzacja piaska, ale stany takie Sq po prostu kombinacjami liniowymi stanow prawo- i lewoskrtrtnych. Geometriq tych stanow zajrntr sitr wkrotce, w rozdz. 22.9, a w tym rniejscu to nie jest konieczne. Teraz chcemy wiedziee, jak spolaryzowany kolowo foton zachowuje sitr przy odbiciu. Zakladam, ze foton w stanie kolowo spolaryzowanym pada na plytktr swiatiodzielnq (albo na jakikolwiek inny rodzaj zwierciadla, ktorego moglibysmy u.zye) prostopadle, a witrc tak, ze odbita wiqzka porusza sitr doldadnie w kierunku, z ktorego przyszla. Musirny wiedziee, ze stan polaryzacji fotonu odbitego jest plZeciwny do stanu fotonu padajqcego, podczas gdy ta cztrse fotonu, ktora przeszla przez rozdzielacz wiqzki, rna takq. sarnq polaryzacjtr jak foton wyemitowany
t,
t.
522
-t,
Pomiary zerowe;
skr~tnosc
22.7
~---NIE" Ir+)---~~(] 1)1" Rys. 22.8. Powr6t do eksperymentu z rys. 22.5, ale teraz foton pada na plytky prawie prostopadle. Zr6dlo emituje foton prawoskrytny. Po przejsciu przez plytky swiatlodzieln~ stan fotonu wygl~da nastypuj~co: 111'+) = IT+) + Ip-), znaki ,,+" i ,,- " wewn~trz ketu odnosz~ siy do znaku skrytnosci. Jesli detektor (nieczuly na polaryzacjy) rejestruje niedotarcie fotonu, w6wczas wnioskujemy, ze stan przeskoczyl (w wyniku braku detekcji) do odbitego stanu lewoskrytnego Ip-). Wymaga to zastosowania pelnego postulatu rzutowego (do punktu Liidersa; zob. rys. 22.9), poniewaz zachodzi degeneracja zar6wno w przypadku NIE (2-przestrzen rozpiyta przez Ip+) i Ip-), jak i w przypadku TAK (dwuwymiarowa przestrzen rozpiyta przez IT+) i Ir-). Aby zdecydowac, do jakiego stanu nast~pi przeskok po pomiarze (w tym wypadku pomiar braku detekcji), musimy znac aktualny stan wyjsciowy IT+) + Ip-).
przez zrodlo[22.16[. Jesli chcemy, to mozemy zaloZyc, ze padaj,!ca wi¥ka jest nieznacznie odchylona tak, zeby foton odbity nie wracal po prostu do zrodla. Takie zalozenie nie wplynie w znacz'!cy sposob na nasze rozwazania. Powrocmy do pierwszego eksperymentu "pomiaru zerowego" z rys. 22.5, ale tym razem z fotonem padaj,!cym prostopadle, jak na rys. 22.S. Zalozmy, ze nasze zrodlo zostalo wyregulowane tak, ze emituje swoje fotony w stanach kolowo spolaryzowanych, alba prawo-, alba lewoskrytnie. Powiedzmy, ze w pewnym akcie emisji wysyla foton spolaryzowany prawoskrytnie i fakt ten zostaje zarejestrowany. Po spotkaniu z rozdzielaczem wi,!zki stan fotonu jest kombinacj,! liniow,! (tzn. sum'!, przy czym, jak poprzednio, zastosowalismy odpowiedni,! umowy co do czynnikow fazowych): 11jJ+) = Ir+) + Ip-),
gdzie znaki + i - odnosz,! siy do odpowiednich znakow skrytnosci. Umiescmy nasz detektor jak poprzednio na drodze wi,!zki przechodz,!cej (i zalozmy, ze nie jest on czuly na polaryzacjy). Wowczas, jesli jak poprzednio zrodlo zarejestrowalo emisjy fotonu prawoskrytnego, ale detektor niczego nie wykryl, a zatem foton do niego nie dotarl, to musimy wyci,!gn,!c wniosek, ze stan fotonu przeskoczyl do odbitego stanu lewoskrytnego IP-). Chcy zwrocic w tym miejscu uwagy, ze do okreslenia natury tego stanu kwantowego konieczny jest pelny postulat rzutowy; zob. rys. 22.9 .. Pomiar w tym wypadku jest pomiarem typu TAK/NIE, poniewaz jego wynik to: alba "detekcja nie nast,!pila" (NIE), alba "detekcja fotonu" (TAK). Mamy tu do czynienia z degeneracj,! tych alternatyw, gdyz przestrzeii. wlasna odpowiedzi NIE jest 2-przestrzeni,! rozpiyt,! przez Ip+) i Ip-), natomiast przestrzeii. wlasna odpowiedzi TAK jest rozpiyta przez IH) i li-). Poniewaz w tym przypadku stanem wyjsciowym jest IH)+lp-), wiyc w przypadku NIE postulat rzutowy19 poprawnie prowadzi nas do stanu Ip-), a nie do Ip+) lub Ip+)+lp-) (czy do jakiejs innej kombinacji liniowej Ip+) i Ip-) )20,[22.17[. B [22.16] Cz:y mozesz podac jakies proste uzasadnienie tego faktu? B [22.17] Wyjasnij bardziej szczeg61owo, dlaczego "rzutowanie" daje nam poprawnq odpowiedi.
523
22
Kwantowa algebra, geometria i spin Rys. 22.9. Opis rzutowej przestrzeni Hilberta lP'H4 (zob. rys. 15.15) postulatu rzutowego z rys. 22.4 dla stanow fotonu spolaryzowanego z rys. 22.8. Wyjsciowy stan Ir+) + IP-) jest ukazany w ramach lP'H 2, a cala przestrzenjest rozpi«ta przez stany Ir+), Ir-), IP+), IP-). Biala trojklltna strzalka pokazuje rzutowanie na (punkt Liidersa) IP-), ktore przebiega wzdluz linii jednoznacznie Illczllcej linie TAK i NIE Z punktem wyjsciowym (Ir+) + IP-». Sam brak detekcji informuje nas tylko, ze stan koncowy leZy na linii NIE, jednak, zgodnie z pelnym postulatem rzutowym, wybor stanu POczlltkowego znosi t« degeneracj«.
22.8 Spin i spinory Nie jest to z pewnosci~ bardzo ekscytuj~cy eksperyment, ale wyjasnia, 0 co chodzL o wiele ciekawsze zagadnienia znajdziemy w rozdz. 23. Zanim jednak do nich przejdziemy, warto powiedziec cos wit(cej 0 problemie spinu. W przypadku cZlIstek maj~cych mast( to pojt(cie odnosi sit( do ich momentu pt(du wzglt(dem srodka masrl. W rozdz. 21.1-5 zapoznalismy sit( ze znaczeniem praw zachowania masy-energii i perdu jako odzwierciedleniem, odpowiednio, symetrii naszych praw kwantowych wzglt(dem przesunit(cia w czasie i wzglt(dem translacji przestrzennych. W podobny sposob symetria obrotowa prowadzi do zachowania momentu perdu (zob. rowniez rozdz_ 18.7 i 20_6). W przypadku cz~stki masywnej mozemy sobie wyobrazic, ze jestesmy w spoczynkowym ukladzie odniesienia cZlIstki, wobec czego odpowiednimi obrotami s~ te, ktore tworz~ grupt( obrotow 0(3) wokol polozenia cz~st ki w tym ukladzie. Podobnie jak skladowej perdu w mechanice kwantowej odpowiada iii razy operator generuj~cy translacjt( infinitezymaln~ w kierunku odpowiedniej skladowej polozenia (rozdz. 21.1, 2), tak rowniez skladowej momentu pt(du odpowiada iii razy generator obrotu wokol odpowiedniej (przestrzennej, kartezjanskiej) osi. A zatern w mechanice kwantowej algebra skladowych momentu pt(du odpowiada algebrze obrotow infinitezymalnych (rozdz. 13.6-8), tzn. algebrze Liego grupy obrotow 0(3) albo, rownowaznie, grupy SO(3), gdyz algebra Liego ich nie rozroznia. Poniewaz grupa SO(3) nie jest gruplI abelowlI, to nie wszystkie elementy algebry Liego komutuj~ ze soblI. W istocie genera tory tej algebry, tl' t 2, t3' reprezentuj~ce infinitezymalne rotacje wokol trzech kartezjanskich osi przestrzennych, spelniajlI relacje[22.18] tl2 - til
= t 3, ti3 - tl2 = tl' tll - tlt3 = t 2·
Wielkosci te, zgodnie z regulami mechaniki kwantowej, zwilIzane slI ze skladowymi momentu pt(du, LI' L 2, L 3, wokol odpowiednich osi nastt(pujlIcymi relacjami: LI
524
= ilitl' L2 = ifit2' L3 = ifit3'
~ [22.18] Sprawdz te reJacje przy uZyciu kwaternionow.
Spin i spinory
22.8
A zatem mamy nastypuj,!ce reguly komutacji naszego momentu pydu 22
Ll L2 - L; Ll =i1iL 3, L2 L3 - L3 L2 =i1iLl' L3 Ll - Ll L3 =i1iL 2· Praktycznie w kaidym przypadku w mechanice kwantowej skladowe momentu pydu,
Ll' L 2, L 3, musz'! dzialac jak operatory liniowe na przestrzeni Hilberta H. Uklad kwantowy maj,!CY moment pt(du daje nam wit(c reprezentacjy algebry Liego grupy SO(3) w postaci transformacji liniowych H (zob. rozdz. 13.6--8, 14.6). To prowadzi nas do jednego z najladniejszych, bogatych aspektow mechaniki kwantowej, a trud wlozony w bliZsze zapoznanie siy z nim bydzie z pewnosci,! zrekompensowany z nawi,!zk,!. Teraz nie rna jednak czasu ani miejsca na szczegolow'! prezentacjy i dlatego ograniczy siy tylko do kilku najwazniejszych elementow. Zauwaimy przede wszystkim, ze macierze
~
n(O1
="2
1)
0'
n(Oi
Lz ="2
-i)
0 '
n(1 0)
~ ="2 0 -1'
spelniaj,! wymagane relacje komutacji[22.191• Macierze te (bez czynnika h/2) nosz'! nazwt( macierzy Pauliego. Tworz'! one najprostsz'! (nietrywialn,!) reprezentacjy momentu pydu i mozemy sobie wyobrazic, ze te macierze 2 x 2 dzialaj,! na funkcjy falow,! o dwoch skladowych (!j'o(x), lPt(x)} Gesli traktujemy j,! jako wektor kolumnowy). Kiedy dokonujemy obrotu tego stanu, wowczas skladowe lPo(x) i lPt(x) zostaj(! odpowiednio obrocone zgodnie z regulami mnozenia wlasciwych macierzy Pauliego. Tt( dwuskladnikow,! funkcjy falow'! mozemy oznaczyc jako lPA' ui:ywaj,!c dolnego indeksu A (ktory przybiera wartosci 0 i 1; alternatywnie mozemy go traktowac jako wskainik abstrakcyjny, zgodnie z "zapisem abstrakcyjno-wskainikowym" omawianym w rozdz. 12.8). Wielkosc opisywan(! przez lPA nazywamy spinorem, a indeks A indeksem 2-spinorowym. Okazuje sit(, ze lPA jest rzeczywiscie obiektem spinorowym w sensie przedstawionym w rozdz. 11.3 (ci(!gly obrot 0 k(!t 2n zmienia jego znak). Istotnie, jesli w sposob ci(!gly dokonamy "eksponencjacji" (zob. rozdz. 14.6) jednej z ma~ierzy Pauliego do momentu uzyskania pelnego obrotu 0 k(!t 2n, otrzymamy operator -I, ktory zamienia lPA na _lP)22.201• Zapis ten jest czysci(! potyznego formalizmu, ktory zostal stworzony w celu uzupelnienia (a moze nawet zast,!pienia 23 ) rachunku tensorowego przez wprowadzenie "tensoropodobnych" wielkosci zbudowanych na bazie takich elementow jak lPA • Chociaz w tym miejscu nie korzystamy w pelni z prawdziwej sily formalizmu spinorowego, to ujawnia sit( ona w jego relatywistycznej wersji. Bydziemy potrzebowali rowniez wskainikow "primowanych" A', B', C', ... , oprocz wskainikow "nieprimowanych" A, B, C, ... ; wskainiki primowane i nieprimowane S(!, w odpo-
i'8 [22.19] Sprawdz to. Wyjasnij, jak ich reguly mnozenia sl! zwil!zane z regulami mnozenia kwaternionow. ~ [22.20] Wykonaj to explicite.
525
22
Kwantowa algebra, geometria i spin
wiednim sensie, wzajemnie sprzyzone zespolenie; zob. rozdz. 13.9[*]. Notacja ta rna szczeg6lnie duze znaczenie dla kwantowej teorii pol a (ten fakt, bye moze, nie jest doceniany tak, jak na to zasluguje 24 ; zob. rozdz. 25.2 i 34.3) i dla og6lnej teorii wzglydnosci 25 (a znaczenie wrycz podstawowe dla teorii twistor6w; zob. rozdz. 33.6). Do tego zagadnienia wr6cimy w rozdz. 25.2, jednak teraz przyda siy czysciowe skorzystanie z formalizmu 2-spinorowego. Tu i w rozdz. 22.9-11 powinnismy dowiedziee siy, jak zgrabnie zapisywae dowolne stany spinowe. Na razie (do rozdz. 25.2,3 i 33.6, 8) nie bydziemy korzystae z indeks6w primowanych, poniewaz rozwaZamy jedynie zagadnienia nierelatywistyczne. Zanim jednak do tego przejdziemy, chcialbym wprowadzie pewne uproszczenie zapisu. Do konca rozdz. 22.11 posluzy siy wygodnym zalozeniem, ze wszystkie wielkosci fizyczne Sq podawane w ukladzie jednostek, w kt6rym n= 1. Zastosowanie takiej konwencjijest zawsze mozliwe, a w rozdz. 27.10 (oraz 31.1) przekonamy siy, ze ten kierunek wiedzie znacznie dalej i mozna wyraZae wszystko w ukladzie znanym jako "jednostki Plancka", w kt6rym takZe prydkose swiatla i staia grawitacji Sq r6wne 1. Nie musimy ise teraz tak daleko i w kazdej chwili mozemy powr6cie do normalnej wartosci n przez zwykle rozwazenie wymiar6w fizycznych. (Na przyklad, chcqc powr6cie do normalnego ukladu jednostek we wzorze, w kt6rym przyjylismy n = 1 wystarczy zastqpie kazdq wielkose pojawiajqcq siy jako q-ta potyga masy - ignorujqc dlugose i czas - tq wielkosciq pomnozonq przez n- q• W szczeg6lnosci wielkosci takie jak mas a, energia, pyd i moment pydu wystarczy po prostu podzielie przez n.) Wracajqc teraz do formalizmu 2-spinorowego, przypomnijmy, ze wielkosci 1/JA' czyli spinora 0 walencji 1, mozna uZye do opisu cZqstki 0 spinie Ten sam rodzaj zapisu stosujemy do wyzszych wartosci spinu, odpowiadajqcych innym reprezentacjom algebry Liego grupy SO(3). Wartose spinu jest zawsze nieujemnq calkowitq wielokrotnosciq
t.
t:
(albo, jesli przywr6cimy n, Sq to wartosci spinu podzielone przez n). Funkcja falowa moze bye przedstawiona jako 1/JAB ... F ("tensor spinowy"), kt6ry, dla przypadku spinu jest calkowicie symetryczny w jego n wskaznikach:
I'
1/JAB .. F
=
1/J(AB ... F)
(gdzie nawiasy okrqgle oznaczajq symetryzacjy po wszystkich n wskaznikach; zob. rozdz. 12.7). Istotnie, wszystkie reprezentacje grupy SO(3) - wlqcznie z 2-wymiarowymi reprezentacjami spinorowymi - mog£! bye skonstruowane jako sumy pro-
526
[*] W monografii J. Lopuszanskiego Rachunek spinor6w (PWN, Warszawa 1985) zamiast indeksow primowanych wprowadza siy spinory kropkowane; nad wskaznikiem spinorowym stawia siy kropky (przyp. Hum.).
Spin i spinory
22.8
ste tych szczegolnych reprezentacji nieredukowalnych (zob. rozdz. 13.7). Jest to rownowazne stwierdzeniu, ze dowolna reprezentacja moze bye przedstawiona jako zbior (takZe nieskonczony) funkcji falowych {'IjIAB ... F'
¢GH ...
K'XLM ... R ,···},
z ktorych kazda jest calkowicie symetryczna w swoich wskainikach spinorowych. Funkcja falowa pojedynczej cz'!stki bydzie opisana tylko jednym takim polem symetrycznym, na przyklad 'IjIAB ... F' (Blydem, ktory w tym miejscu latwo popelnie, byloby przekonanie, ze w przypadku dwoch cz,!stek potrzebujemy dwu oddzielnych takich funkcji, dla trzech - trzech itd. W nastypnym rozdziale zobaczymy, w jaki sposob opisujemy uklady wiykszej liczby cz,!stek. Jest to duzo bardziej subtelna sprawa.) W przypadku cz'!stki 0 spinie 0, ktor,! nazywamy czqstkq skalamq (tak,! jak mezon 1t), funkcja falowa rna indeksow i przypadek ten rozpatrywalismy w rozdz. 21. Wszystkie najbardziej znane cz,!stki, elektrony, miony, neutrina, protony, neutrony, a takZe tworz'!ce je kwarki, maj,! spin t (a wiyc tylko jeden indeks). Deuteron G,!dro ciyzkiego wodoru) i bozon W (zob. rozdz. 25.4) charakteryzuje siy spinem 1 (dwa symetryczne indeksy spinorowe). Wiele ciyzkich j,!der, a nawet cale atomy, mozna traktowae jak cz'!stki 0 duzo wyzszym spinie. W przypadku spinu tn funkcja 0 n indeksach 'IjIAB ... F rna n + 1 niezaleznych Z6 skladowych[zz.Zl]. Aczkolwiek tensor spinowy 'IjIAB ... F jest cZysto nazywany spinorem n-wskainikowym, to jest on obiektem spinorowym (rozdz. 11.3) tylko wtedy, gdy jego spin jest liczb,! polowkow,! (nieparzyst,! wielokrotnosci,! t), a nie calkowit'!. (~o), okresla wartosewlasn'!j(j + 1) Naleiy tez dodae, ze sarna wartose spinu,j operatora "spinu calkowitego"Z7
°
=tn
JZ=L2+L2+LZ' 1 2 3' i to jest wlasnie "kwadrat dlugosci" operatorowego 3-wektora J = (Ll' L 2, LJ Operator spinu calkowitego J2 komutuje[Z2.Z2], [2Z.Z3] z kazd,! ze skladowych Ll' L 2, L3 momentu pydu (mimo ze te operatory nie komutuj,! ze sob,!). Wlasnose ta charakteryzuje J2 jako operator Casimira dla grupy SO(3); zob. rozdz. 22.12. Dla pelnego okreslenia stanu kwantowego zwykle konstruujemy zupelny zbi6r komutujqcych operator6w (rozdz. 22.12) i szukamy stanow, ktore s,! jednoczesnie stanami
IB [22.21] Sprawdz, czy na podstawie podanych informacji jestes w stanie to wykazac. B [22.22] Sprawdz to bezposrednio na podstawie regul komutacji dla operatorow mom entu pydu. rm. [22.23] RozwaZ operatory L + = L j + iLz oraz L - = L j - iLz i znajdz ich relacje komutacji z operatorem L 3 • Wyraz JZ przez V i L 3 • Pokai, ie jesli 111') jest stanem wlasnym L 3 , to rowniei stan em wlasnym tego operatora jest kaidy ze stanow L ±11P) (gdy wynik jest roiny od zera), i znajdz wyraienie na wartosci wlasne przez wartosc wlasn,! w stanie 111'). Pokai, ie jesli It{!) naleiy do skonczenie wymiarowej przestrzeni reprezentacji nieredukowalnej, rozpiytej przez takie wektory wlasne, wowczas wymiar tej przestrzeni to 2j, gdzie j(j + 1) jest wartosci,! wlasn,! operatora JZ wszystkich tych stanow wlasnych.
527
22
Kwantowa algebra, geometria i spin
wiasnymi wszystkich operatorow tego zbioru. W przypadku momentu pydu zwykle robimy to w ten sposob, ze wybieramy operator L 3, reprezentuj,!CY moment pydu wokol dodatniego kierunku osi Z, i operator J 2. W takim przypadku stan charakteryzuj,! dwie "liczby kwantowe" jim, gdzie j(j + 1) jest wartosci'! wlasn,! operatora J2, am -wartosci,! wlasn,! operatoraL 3• Wowczasj;? 0 oraz-j ~ m ~j, gdziej im s,! alba obie liczbami polowkowymi (przypadek spinorowy), alba obie S,! liczbami calkowitymi. 2j + 1(= n + 1) roznych mozliwych wartosci m odpowiada roznym skladowym 1/JAB...P" Oczywiscie, wybor "dodatniego kierunku z" jest calkowicie dowolny i odpowiada wyborowi bazy "strzalka w gory/strzalka w dol" (wektory 11'), Iw) z rozdz. 22.9) dla skladowych spinu. Dowolny inny kierunek przestrzenny moglby rowniez zostac wybrany w miejsce kierunku "w gory". Zgodnie z tym czasami bydy mowil o "wartosci m" w odniesieniu do innego zadanego kierunku Oak w przypadku przedstawienia Majorany w rozdz. 22.10).
22.9 Sfera Riemanna ukfad6w dwustanowych Rozwaimy niezwykle prost,! - nawet magicznie prost,! - geometriy kwantow'! stanow spinowych pojedynczej cz'!stki 0 spinie (na przyklad elektronu, protonu, neutronu czy kwarka). Pozwoli nam to na ogolne zrozumienie ukladow kwantowych zbudowanych na dwu stanach. Uklad taki opisujemy w 2-wymiarowej zespolonej przestrzeni Hilberta, H2, a przypadek spinu przejrzyscie reprezentuje jego geometriy. W przypadku cz'!stki 0 spinie bydziemy zainteresowani wyl,!cznie spinowymi stopniami swobody w jej ukladzie spoczynkowym. Aby to uj,!c w sposob jawny, wyobraimy sobie, ze cz'!stka znajduje siy "w spoczynku", w tym sensie, ze jest w stanie wlasnym pydu zerowego, wobec czego jej stan w przestrzeni zmiennych x musi byc stal'![22.241• Wowczas funkcje 1/Jo i 1/J1 S,! po prostu liczbami zespolonymi, 1/Jo = w i 1/Jo = z, i stan taki zapisujemy jako {w, z}. Mozemy siy umowic, ze stan ze spinem "w gory" 11') (prawoskrytny, wokol osi pionowej skierowanej w gory) bydzie stanem spinowym {I, D} i, odpowiednio, stan ze spinem "w dol" Iw) (prawoskrytny, wokol osi pionowej skierowanej w dol) bydzie stanem {D, I}. Te dwa stany bazowe S,! wzajemnie ortogonalne
t
t
t
(l'lw) = o. Mozemy je unormowac:
(1'11') = 1 = (wlw). Dowolny stan 0 spinie nacj,! liniow,!
t, 1/J
A
= {w, z} (ogolny element przestrzeni H2) jest kombi-
{w, z}
528
ta
[22.24] Dlaczego?
=
wll')+ zlw)
Sfera Riemanna uklad6w dwustanowych
22.9
tych dwu stanow. Iloczyn skalarny innego stanu ogolnego {a, b} (tzn. all') + bl-J.-» ze stanem {w, z} dany jest relacjq[Zz.z5] ({a,b}l{w,z}) =aw+oz
--t
Okazuje siy, ze kazdy stan spinu musi bye czystym stanem spinowym, to znaczy stanem prawoskrytnym wokol pewnego kierunku w przestrzeni, a wiyc mozemy napisae (powiedzmy):
gdzie ,,71" oznacza pewien konkretny kierunek w przestrzeni![ZZ.26] Daje nam to interesujqcq identyfikacjy miydzy przestrzeniq rzutowq IP'Hz (rozdz. 15.6) a geometriq kierunkow w przestrzeni, ktore to kierunki utozsamiamy z kierunkami spinow. Rozne fizycznie stany spinow mozemy rzeczywiscie przedstawie w tej przestrzeni rzutowej (zob. rozdz. 21.9), a roznym punktom IP'Hz odpowiadajq rozne stosunki
-t
z:w.
Innymi slowy, IP'Hz jest po prostu kopiq naszej starej znajomej, sfery Riemanna, ktorq poznalismy w rozdz. 8.3. Kazdy punkt tej sfery odpowiada konkretnemu stanowi 0 spinie - tzn. stanowi wlasnemu z wartosciq wlasnq m = jaki otrzymalibysmy w wyniku pomiaru spinu w kierunku wskazanym przez strzalky lqczqcq ten punkt ze srodkiem sfery (rys. 22.10). Ten zwiqzek geometryczny poznamy lepiej, jesli poslu:iymy siy opisanym w rozdz. 8.3 rzutem stereograficznym sfery z jej bieguna poludniowego na plaszczyzny rownikowq (rys. 8.7a). Plaszczyzny ty mozemy uwazae za plaszczyzny zespolonq stosunkow u = z/w (a nie samych z, jak w rozdz. 8.3) kwantowomechanicznych amplitud prawdopodobienstwa z i w. Wiqze to konkretny punkt na sferze, odpowiadajqcy kierunkowi przestrzennemu 71, bezposrednio ze stosunkiem z/w. Skorzystajmy teraz z operatora rzutowego E7I do oznaczenia pomiaru, ktory stawia pytanie "czy spin jest skierowany w strony 7I?", a jego wartose wlasna wynosi 1 (TAK), gdy znalezionym stanem spinowym (czyli jego rzutem) jest 171), natomiast wynosi 0 (NIE), jesli spin jest zrzutowany na ortogonalny stan spinowy I~), w przeciwnym kierunku przestrzennym, co odpowiada punktowi do niego antypodalnemu na sferze Riemanna. (Zauwazmy, ze slowo "ortogonalny" w przestrzeni Hilberta nie odpowiada znaczeniu "prostopadly przestrzennie", ale, w tym przykladzie, znaczeniu "przeciwnie skierowany".) Jesli wyjdziemy od stanu 11'),
-t,
-t,
fS [22.25] WyprowadZ to wyrazenie. jl! [22.26] Sprawdz, czy potrafisz uzyskae ten rezultat dwoma sposobami: (i) znajdujqc ten kierunek explicite w odpowiednim kartezjanskim ukladzie wsp61rzy dnych, w kt6rym stan {a, b} definiuje b/a jako punkt na plaszczyznie zespolonej z rys. 8.7a; (ii) nie wykonujqc bezposrednich obliczen, korzystajqc z faktu, ze skoro H2 jest przestrzeniq reprezentacji SO(3), to zawiera wszystkie kierunki spin6w, chociaz lPW nie jest "dostatecznie duza", aby zawierae jakies inne stany niz ten.
529
22
Kwantowa algebra, geometria i spin
Rys. 22.10. Przestrzen rzutowa PH 2 dla ukladu dwoch stanow jest sferlj Riemanna (zob. rys. 8.7). Dla stanow spinowych cZljstki masywnej 0 spinie mozemy wybrac biegun polnocny jako reprezentujljCY stan 11') (spin "w gory"), a biegun poludniowy jako stan l-v) (spin "w dol"). Ogolny stan spinowy 171) jest reprezentowany (z wlasciwymi fazami dla 11') i l-v» przez punkt na sferze, ktory leZy w kierunku okreslonym przez 171) od jej srodka (tzn. takim, ze pomiar spinowy E 71 przeprowadzony w tym kierunku daje na pewno wynik "TAK"), jak to ilustruje podwojna strzalka. Stan 171) mozemy wyrazic jako kombinacjy liniowlj 171) = wl1') + zl-v) (w ktorej liczby zespolone z, w uWaZamy za skladowe w = 1/10 ' z = 1/11 2-spinora 1/IA)' Punkty na sferze odpowiadajlj roznym wartosciom stosunkow z : w. Kazdy z nich reprezentuje na plaszczyznie zespolonej liczba zespolona u =zlw (dopuszczamy tez CX), przy czym plaszczyzny ty wybieramy jako plaszczyzny rownikowlj sfery. W rzucie stereograficznym z bieguna poludniowego punkt u przechodzi w ten punkt na sferze, ktory reprezentuje stan 171).
t
wowczas prawdopodobienstwo otrzymania wyniku TAK dla pomiaru E7I wynosi IwI2/(lwI2 + Izn. Jezeli spin jest pocz'!tkowo w pewnym stanie I"), natomiast pomiar przeprowadzamy, aby siy upewnic, czy nie jest to stan w jakims innym kierunku 171), a k,!t miydzy kierunkami" a 71 w zwyklej 3-przestrzeni euklidesowej wynosi e, wowczas prawdopodobienstwo uzyskania rezuItatu TAK jest rowne[22. 27l
t(1 + cos e). Prawdopodobienstwo to mozemy otrzymac bezposrednio z geometrii sfery, na ktorej " i 71 S,! dane przez dwa punkty, odpowiednio, A i B, i kiedy punkt B zrzutujemy prostopadle na punkt C, leZ,!CY na srednicy przechodz'!cej przez punkt A (rys. 22.11). Jesli A' jest punktem antypodalnym wzglydem A, wowczas prawdopodobienstwo wyniku TAK jest rowne dlugosci odcinka A'C podzielonej przez dlugosc srednicy AA'[22. 28l. Zauwazmy, ze "sfera Riemanna", z ktor'! tutaj mamy do czynienia, rna bogatsz,! struktury niz sfera z rozdz. 8.3 lub sfera niebieska z rozdz. 18.5, albowiem do jej struktury naleiy teraz "punkt antypodalny", ktorego potrzebujemy do okreslenia, jakie stany S,! "ortogonalne" w sensie przestrzeni Hilberta. Sfera ta jest teraz raczej "sfeq metryczn'!", a nie "sfer,! konforemn'!", w zwi,!zku z czym jej
530
n
[22.27] Pokaz to.
is [22.28] Udowodnij to.
Sfera Riemanna uklad6w dwustanowych
22.9
Rys. 22.11. Przypuscmy, ie stan poczlltkowy ukladu dwustanowego (podobnego do przedstawionego na rys. 22.10) jest reprezentowany przez punkt B na sferze Riemanna i ie chcemy przeprowadzic pomiar TAK/NIE, odpowiadajllcy pewnemu innemu punktowi na sferze. Wynik TAK oznaczalby znalezienie stanu w punkcie A, a wynik NIE oznaczalby, ie stan znajduje sit( w punkcie A', antypodalnym do A. Przyjmujllc, ie promien kuli wynosi i rzutujllc B prostopadle na C na osi AA', otrzymujemy prawdopodobienstwo odpowiedzi TAK r6wne dlugosci odcinka A' C, kt6ra wynosi (1 + cosO), a prawdopodobienstwo odpowiedzi NIE r6wne dlugosci CA, czyli (1 - cosO), gdzie 0 jest klltem mit(dzy OB a OA, zas 0 jest srodkiem kuli.
t
t
t
element ami symetrii Sq obroty w zwyklym sensie i tracimy w ten sposob ruchy konforemne, ktore przejawialy siy w zjawiskach aberracji na sferze niebieskiej. Mimo to nasze obecne ui)'cie sfery Riemanna jasno przedstawia jawny zwiqzek miydzy stosunkami liczb zespolonych, ktore wystypujq w mechanice kwantowej, a zwykiymi kierunkami w przestrzeni. A zatem liczby zespolone, pojawiajqce siy w formalizmie stanow kwantowych, nie Sq calkowicie abstrakcyjnymi tworami; Sq one scisle zwiqzane z ich geometriq i dynamikq. (Przypomnijmy takZe roly faz zespolonych w dynamice stanu pydowego, ktorq opisalismy w rozdz. 21.6.) Nalei)' podkreslic, ze geometria rys. 22.11, obrazujqca prawdopodobienstwa, jakie wynikajq przy pomiarze kwantowym zwiqzanym z JP>H 2, nie jest ograniczona do przypadku spinu, ale charakteryzuje ogolne uklady dwustanowe. Szczegolne tylko w przypadku spinu jest to, ze mamy tu natychmiastowy zwiqzek miydzy zwyklymi kierunkarni plZestlZennyrni a punktami sfery Riemanna JP>H2. W przypadku ukladow dwustanowych zawsze mamy do czynienia ze sferq Riemanna, ktora umozliwia nam "kwantowe rozszerzenie" dla pary klasycznych alternatyw. Jednak w wielu sytuacjach fizycznych geometryczna rola tej sfery i zasadnicza rola kwantowomechanicznych liczb zespolonych (amplitud) nie jest tak oczywista i fizycy czysto traktujq je jako zwiqzki czysto formalne. Taki stosunek wynika czysciowo z faktu, ze calkowitq fazy wektora stanu calego ukladu fizycznego traktuje siy jako wielkosc nieobserwowalnq, wobec czego pojawia siy tendencja ignorowania potencjalnego bogactwa geometrycznego, ukrytego w wewnytrznych wspolczynnikach zespolonych. Tymczasem wzglfdne fazy miydzy jednq a drugq czysciq ukladu z calq pewnosciq majq znaczenie obserwacyjne. Jednq z drog przekonania siy 0 tym jest zrozumienie faktu, ze zespolona geometria calej rzutowej przestrzeni Hilberta JP>H danego ukladu rna sens fizyczny. Chociaz calkowita faza jest wyjyta z definicji JP>H, to wszystkie fazy wzglydne odgrywajq roly w jej geometrii. Istniejq bardzo eleganckie podejscia do mechaniki kwantowej, ktore wykorzystujq zespolonq geometriy rzutowq przestrzeni JP>H28.
t
531
22
Kwantowa algebra, geometria i spin
Istniej,! rowniez inne sytuacje, w ktorych geometria sfery Riemanna wi£!:le liczby zespolone mechaniki kwantowej bezposrednio z przestrzennymi wlasnosciami spinu. Najwyrazniej przejawia sit( to w przypadku ogolnych stanow spinowych cz,!stek masowych 0 wyzszych wartosciach spinow, do czego przejdziemy w rozdz. 22.11. Na koniec tego rozdzialu powrocmy do zagadnienia polaryzacji fotonu, z ktorym zetknt(lismy sit( pokrotce w rozdz. 22.7. Przypomnijmy sobie, ze ogolny stan pol aryzacyjny fotonu jest zespolon'! kombinacj,! liniow,! stanow 0 skrt(tnosci dodatniej 1+) i ujemnej 1-):
I
Wektor poJa eJektryeznego
•
(a)
(b)
(e)
Rys. 22.12. Polaryzacja fotonu (zob. rys. 21.7) jako cecha elektromagnetycznej fali plaskiej. (a) Fala liniowo spolaryzowana oddala si« od patrzqcego. Wektory pola elektrycznego (strzalki czame) i wektory pola magnetycznego (strzalki biale) oscylujq tam i z powrotem w dwu ustalonych, wzajemnie prostopadlych plaszczyznach. (b) W przypadku fali spolaryzowanej kolowo wektory pol e1ektrycznego i magnetycznego obracajq si« wokol kierunku ruchu, pozostajqc caly czas wzajemnie prostopadle i zachowujqc stalq dlugosc. (c) Patrzqc od tylu, widzimy, jak wektory pol elektrycznego i magnetycznego obracajq si« wokol kierunku rozchodzenia si« fali (przypadek skr«tnosci dodatniej). Rysunek dolny pokazuje przypadek polaryzacji kolowej, a rysunek gomy ogolny przypadek polaryzacji eliptycznej gdy konce strzalek zakreslajq nalozone na siebie elipsy, ktorych osie glowne Sq wzajemnie prostopadle. Takie zachowanie jest typowe dla funkcji falowej pojedynczego fotonu.
Rys. 22.13. Stany polaryzacyjne fotonu na sferze Riemanna. Niech biegun polnocny reprezentuje stan 0 skr«tnosci dodatniej, 1+), a biegun poludniowy 0 skr«tnosci ujemnej, 1-), przy czym zakladamy, ze p«d fotonu skierowany jest ku polnocy. Ogolny stan polaryzacyjny wl+) + zl-) reprezentuje punkt q = (Z/W)1I2. Rozwai:my pro mien kuli skierowany do q, tak zwany "wektor Stokesa", i narysujmy wielkie kolo lezqce w plaszczyznie do niego prostopadlej. Zorientujmy ten okrqg prawoskr«tnie wzgl«dem wektora Stokesa. Nast«pnie wykonajmy rzut prostopadly tego okr«gu na plaszczyzn« rownikowq sfery. W wyniku otrzymamy elips« polaryzacyjnq 0 wlasciwej orientacji.
533
22
Kwantowa algebra, geometria i spin
22.10 Wyzsze spiny: przedstawienie Majorany lako kolejny przyklad ilustrujqcy scisly zwiqzek miydzy na pozor abstrakcyjnymi liczbami zespolonymi w mechanice kwantowej a geometriq przestrzeni rozwaimy n. Poprzednio twierstany spinowe czqstki masywnej -lub atomu - 0 spiniej dzilismy (rozdz. 22.8), ie stany takie moina opisywae za pomocq symetrycznego n-wskaznikowego tensora spinowego 1/JAB ... F" Istnieje twierdzenie, ktore mowi, ie kaidy taki tensor moina - jednoznacznie, z dokladnosciq do czynnikow skalujqcych i porzqdku - "rozloiye kanonicznie" na zsymetryzowany iloczyn 1-wskaznikowych spinorow[22.30 J:
=t
1/JAB ... F
=
a(Af3B •••
CfJF)'
gdzie, jak w rozdz. 12.7, nawiasy okrqgle oznaczajq symetryzacjy wskaznikow. Korzystajqc z obrazu na rys. 22.10, gdzie spinor 1-wskaznikowy 1/JA jest geometrycznie reprezentowany (z dokladnosciq do ogolnego czynnika zespolonego) przez punkt na sferze Riemanna (a wiyc przez pewien kierunek w przestrzeni), dochodzimy do wniosku, ie tensor spinowy 1/JAB ... F moie takie bye przedstawiony na sferze Riemanna, z dokladnosciq do ogolnego czynnika skalujqcego, jako nieuporzqdkowany zbior n punktow (a wiyc n nieuporzqdkowanych kierunkow w przestrzeni); zob. rys. 22.14. Taka reprezentacja dowolnego stanu n-spinowego nosi nazwy plZedstawienia Majorany. Odkrycia tego dokonal w 1932 roku (ale innq metodq29, 0 ktorej krotko opowiem w rozdz. 22.11) genialny fizyk wloski Ettore Majorana. (W wieku lat 31[*] tajemniczo zaginql podczas rejsu okrytem w Zatoce Neapolitanskiej, bye moie bylo to samob6jstwo.)
Rys. 22.14. W obrazie Majorany dowolny (rzutowy) stan spinowy cZ'lstki masywnej 0 spinie przedstawia zbior n nieuporz'ldkowanych punktow na sferze Riemanna. Kazdy wektor od srodka sfery do ktoregos z tych punktow, zgodnie z przepisem podanym na rys. 22.10, przedstawia spin Zsymetryzowany iloczyn tych spinow daje spin calkowity. (W notacji 2-spinorowej zupelny stan spinowy jest symetrycznym spinorem 0 walencji n, 1J'AB.F =a(AfJB ·•• 'PF)' gdzie a A , fJA ,···, 'PA , oznaczaj'l odpowiednie punkty, jak na rys. 22.10.
1
t.
rm.
534
[22.30] Sprawdz, cVf potrafisz to udowodnic, opierajqc siy na "podstawowym twierdzeniu algebry" podanym w prVfP. 2 w rozdz. 4. fVskaz6wka: rozwaz wielomian 1/JABF~A~B ••• ~F, kt6rego skladowymi ~A Sq {l, z}. [*] Zdaje siy, ze Majorana byl w dniu zaginiycia nieco starsVf. Urodzil siy w 1905 roku, zaginql w 1938 (prVfp. Hum.).
Wyzsze spiny: przedstawienie Majorany 22.10
=t
Istnieje standardowa baza stan6w dla spinu j n. W przedstawieniu Majorany Sq to stany, kt6rym odpowiadajq punkty alba na biegunie p61nocnym, alba na poludniowym:
11'1'1' ... 1'), I-J... l' l' ... 1'), 1-w-J...1' ... 1'), ... , I-J...-J...-J... ... -J...). Te n + 1 stan6w to stany wlasne obserwabli L3 (os x 3 wyznacza kierunek "w g6rl("), a zatem Sq wszystkie wzajemnie ortogonalne. Stany te nalezq do r6znych n + 1 wartosci wlasnych spinu, nazywanych wartosciami m (rozdz. 22.8), kt6re wynOSZq, odpowiednio:j,j - 1,j - 2, ... , -j.Wil(cej na ten temat powiemy w rozdz. 22.11. Istnieje standardowe urzqdzenie pomiarowe, znane jako aparat Sterna-Gerlacha, kt6rego mozna uiye do pomiaru "wartosci m" atomu. Aby taki pomiar byl mozliwy, atom musi miee moment magnetyczny (a wil(c bye malenkim magnesem), a wektor momentu magnetycznego atomu jest pewnq wielokrotnosciq jego wektora spinu. Atomy przechodzq przez silnie niejednorodne pole magnetyczne. To pole odchyla trajektorie atom6w i wielkose owego odchylenia zaleiy od wartosci m, gdyz m okresla orientacjl( kazdego wektora momentu magnetycznego atomu wzgll(dem niejednorodnego pola magnetycznego; zob. rys. 22.15. Aczkolwiek stany odpowiadajqce r6znym wartosciom m Sq wszystkie wzajemnie ortogonalne, to warunki ortogonalnosci w ogolnym przypadku przedstawienia Majorany Sq dose skomplikowane3o• N aleiy jednak zauwaZye, ze stan Majorany, w kt6rym pojawia sil( jakis kierunek 71, jest zawsze ortogonalny do stanu lit It It ... It), gdzie It oznacza kierunek przeciwny do 71. Ponadto, jesli 71 wystl(puje w przedstawieniu Majorany z krotnosciq r, w6wczas ten stan jest ortogonalny do kazdego innego stanu 0 spinie n, kt6rego przedstawienie Majorany wprowadza kierunek przeciwny It z wielokrotnosciq co najmniej n - r + 1 [2231]. Mozemy teraz podae interpretacjl( fizycznq kierunk6w Majorany. To dokladnie te kierunki, kt6rym pomiar w eksperymencie Sterna-Gerlacha daje prawdopodobienstwo zero, ze spin jest skierowany w kierunku dokladnie przeciwnym. W przedstawieniu Majorany z wielokrotnosciq r prawdopodobienstwo tego, ze wartose m w tym kierunku jest jednq z liczb z przedzialu -j do -j + r - 1, wynosi zero 31 •
t
Rys. 22.15. Aparat Sterna-Gerlach a do pomiaru "wartosci m" momentu magnetycznego atomu (kt6ry jest zwi<jZany z jego spinem). Atomy przechodz'l przez silnie niejednorodne pole magnetyczne, kt6re odchyla ich trajektorie w spos6b zaleiny od wartosci m.
m [22.31] Sprawdz, czy potrafisz to wszystko wykazac, korzystaj,!c z geometrii w rozdz. 22.9. Zastosuj ten wynik do ortogonalnosci roi:nych stanow wlasnych operatora L 3 •
535
22
Kwantowa algebra, geometria i spin
Trzeba podkreslie, ze przedstawiona wlasnie procedura opisu ogolnego stanu spinowego cZqstki rnasywnej nie jest specjalnie znana wiykszosci fizykow. Zarniast niej poslugujq siy procedurq, ktora wprowadza do tego zagadnienia tzw. analiz~ harmonicznq. Jest to zagadnienie wazne z wielu innych powodow i w nastypnyrn rozdziale znajdzierny krotkie ornowienie zwiqzanych z nirn idei.
22.11 Harmoniki sferyczne W rozdz. 20.3 zetknylisrny siy z klasycznq teoriq drgan (0 rnalej arnplitudzie i bez tlurnienia). Nasza dyskusja dotyczyla glownie ukladow 0 skonczonej liczbie stopni swobody. Wspornnielisrny jednak takZe 0 ukladach - takich jak drgania bybna czy slupa powietrza - w ktorych liczby stopni swobody naleZy traktowae jako nieskonczonq. Drgania te (w kazdyrn przypadku) skladajq siy z rnodow norrnalnych, z ktorych kazdy rna wlasnq cZystose drgan, nazywanq cZystosciq norrnalnq. Jesli obiekt drgajqcy jest zwarty (zob. rozdz. 12.6, rys. 12-14, gdzie wyjasniarny znaczenie tego terrninu), wowczas jego rnody tworzq rodziny dyskretnq, z czego wynika dyskretne spektrurn roznych cZystosci norrnalnych. W szczegolnyrn przypadku sfery S2 rozne rnody drgan (rnozerny je sobie wyobrazae na przyklad jako drgania banki rnydlanej czy sferycznego balonu) odpowiadajq tak zwanyrn harmonikom sferycznym. Ale co to rna wspolnego z rnechanikq kwantowq rnornentu pydu? Odpowiedz poznarny niebawern. Aby sklasyfikowae te harrnoniki, szukarny stanow wlasnych operatora Laplace'a \72 zdefiniowanego na sferze S2. W rozdz. 10.5 zetknylisrny siy ze zwyklyrn, 2-wyrniarowym operatorern Laplace'a zdefiniowanyrn na plaszczyznie euklidesowej, \7 2 = if/OX- + iffj)l. Na sferze jednostkowej S2 wyrazenie to rnusi bye zrnodyfikowane, aby uwzglydnie fakt, ze rnarny do czynienia z rnetrykq zakrzywionq. Metryka ta w zwyklych wsp611Z~dnych sferycznych rna postae ds 2 =gabdx"d.t = dfP + sin2e dqi, gdzie (e, <jJ) Sq wspolrzydnyrni punktu na sferze, ktorego wspolrzydne kartezjanskie wynoszq x = sine cos<jJ, y = sine sin<jJ, z = cose; rys. 22.16. Tak wiyc zrnienna ¢ z
Rys. 22.16. Standardowe wsp6lrzydne sferyczne 0 i I/J S't zwi'tzane ze wsp6lrz ydnymi kartezjanskimi re\acjami
x = sinO cosl/J,y = sinO sinl/J, z = cosO. Zatem I/J jest zasad-
536
niczo miar't dlugosci geograficznej (zaznaczonej zar6wno na biegunie p6lnocnym, jak i na r6wniku), a 1t/2 - 0 szerokosci geograficznej.
Harmoniki sferyczne 22.11
tn -
jest miarq dlugosci geograjicznej, a eszerokosci geograjicznej (wyrazone w radianach). Laplasjan (wyrazony przez pochodne kowariantne Va; zob. rozdz. 14.3) wynosi [22.32J V2 =gabV V a
b
=~+ cose ~+_1_~. 8(i
sin e ()()
sin 2e 8 N > 0 Sq liczbami calkowitymi. 50 Niekt6re z takich przejse mogq bye zabronione, albowiem z praw zachowania wynikajq pewne "reguly wyboru". 51 Por. przyp. 44 w tym rozdz. 45
23 Splqtany swiat kwantowy 23.1 Mechanika kwantowa uktadu wielu ciat W POPRZEDNICH dwu rozdzialach widzielismy, jak tajemnicze jest zachowanie siy pojedynczych cz,!stek kwantowych, ze spinem lub bez, i jak zdumiewaj,!CY i urzekaj,!CY jest formalizm matematyczny niezbydny, aby uporae siy z tym problemem. Poniewaz formalizm ten tak dobrze poslui:yl nam do opisu pojedynczych, izolowanych obiektow, to nie bydzie rzecz'! nierozs,!dn,! spodziewae siy, ze przyda nam siy rowniez do opisu ukladow zawieraj,!cych wiele oddzielnych cz'!stek, nawet, bye moze, oddzialuj,!cych ze sob,! w rozny sposob. I jest to do pewnego stopnia prawda, poniewaz formalizm przedstawiony w rozdz. 21.2 jest wystarczaj,!co ogolny, jednaki:e z chwil,! gdy w uldadzie wystypuje wiycej cz,!stek, pojawiaj,! siy natychmiast nowe cechy, charakterystyczne dla ukladu wielu cial. Tak,! cech,!, stanowi,!c,! now'! jakose problemu, jest zjawisko spiqtania kwantowego, w wyniku ktorego uklad skladaj,!CY siy z wiycej niz jednej cz'!stki musi bye traktowany jako calosc - pojedyncza jednostka holistyczna - a rozne przejawy tego fenomenu stawiaj,! nas wobec jeszcze wiykszych zagadek kwantowego swiata niz te, z jakimi zetknylismy siy do tej pory. Co wiycej, cz'!stki, ktore S,! identyczne, a wiyc nierozroznialne, S,! zawsze ze sob,! spl,!tane automatycznie, aczkolwiek, jak siy przekonamy, to spl,!tanie moze dokonywae siy na dwu calkiem odmiennych drogach, w zaleznosci od natury cz'!stek wystypuj,!cych w tym uldadzie. Powroemy zatem do tego, co przedstawilismy w dwu poprzednich rozdzialach, a wiyc do istotnych elementow matematyki systemu kwantowego. Kwantowe, hamiltonowskie podejscie, ktore doprowadzilo nas do rownania SchrMingera, opisuj,!cego ewolucjy kwantowego wektora stanu, nadal nadaje siy do zastosowania w przypadku wielu cz'!stek oddzialuj,!cych miydzy sob,!, maj,!cych spin, podobnie jak to bylo w przypadku pojedynczej, bezspinowej cz,!stki. Potrzebny nam jest tylko odpowiedni hamiltonian, uwzglydniaj,!cy wszystkie te nowe cechy. Nie mamy teraz oddzielnej funkcji falowej dla kazdej oddzielnej cz'!stki ukladu, lecz jeden wektor stanu opisuj,!cy caly uklad. W reprezentacji polozen ten pojedynczy wektor stanu moze nadal bye traktowany jako funkcja falowa 'P, ale musi to bye funkcja polozen wszystkich cz,!stek, a wiyc w rzeczywistosci bydzie to funkcja na przestrzeni konfiguracyjnej ukladu cz'!stek (zob. rozdz. 12.1), zalezna taki:e od pew-
Mechanika kwantowa ukladu wielu cial
23.1
nych parametrow dyskretnych, oznaczaj'!:cych stany spinowe (np. jeSli zastosujemy notacjer 2-spinorow,!: I['AB"F do opisu cz'!:stek ze spinem jak w rozdz. 22.8, wowczas "parametry dyskretne" zostan,!: uiyte do znakowania roznych skladowych). Rownanie Schrodingera opisze nam ewolucjer I[' w czasie, a zatem I[' musi tez zalezec od zmiennej t. Wazn,!: cech,!: standardowej teorii kwantowej jest to, ze w przypadku ukladu wielu cz'!:stek mamy tylko jedn,!: wspolrzerdn,!: czasow'!:, podczas gdy wszystkie niezalezne cz'!:stki skladaj,!:ce sier na ten uklad charakteryzuj,!: sier wlasnymi, niezaleznymi wspolrzerdnymi przestrzennymi. Jest to ciekawa cecha nierelatywistycznej mechaniki kwantowej, 0 ktorej musimy pamiertac, jesli chcemy j,!: traktowac jako jakies przyblizenie graniczne "bardziej zupelnej" teorii relatywistycznej. Albowiem w teorH wzglerdnosci czas i przestrzen traktujemy w sposob zasadniczo podobny. Skoro kazda cz'!:stka rna swoje wlasne wspolrzerdne przestrzenne, to powinna rowniez charakteryzowac sier wlasn,!: wspolrzerdn,!: czasow'!:. Ale zwykla mechanika kwantowa tak nie dziala. Jest tylko jeden czas, wspolny dla wszystkich cz'!:stek. Kiedy myslimy 0 zjawiskach fizycznych w zwykly, nierelatywistyczny sposob, takie podejscie wydaje sier bardzo sensowne, poniewaz w fizyce nierelatywistycznej czas jest zewnertrzny i absolutny, po pro stu zegar odmierzaj,!:CY czas "tyka w tIe", niezaldnie od tego, co w danym momencie dzieje sier we Wszechswiecie. JednakZe od czasu pojawienia sier teorii wzglerdnosci wiemy, ze taki obraz jest jedynie przybliZeniem. "Czas" dla jednego obserwatora jest mieszanin,!: przestrzeni i czasu dla innego, i vice versa. Zwykla teoria kwantowa wymaga, zeby kazda cz'!:stka, indywidualnie, "niosla ze sob,!:" swoje wlasne wspolrzerdne przestrzenne. Zgodnie z tym poprawna, relatywistyczna teoria kwantowa wymaga, zeby rowniez, indywidualnie, "niosla swoj zegar" - a wierc swoj,!: wspolrzerdn,!: czasow'!:. I rzeczywiscie, ten punkt widzenia, od czasu do czasu, od poinych lat 20. ubieglego wieku przyjmowa10 wielu autorow 1, ale nie doprowadzilo to do rozwiniercia pelnej teorii relatywistycznej. Podstawowa trudnosc sprowadza sier do tego, ze zgadzaj,!:c sier na to, zeby kazda cz'!:stka charakteryzowala sier oddzielnym czasem, musimy przyj,!:c, iz kaida cz'!:stka rna prawo odejsc w jakies oddzielne wymiary czasowe, a zatem musimy wprowadzic jakies nowe elementy, aby powrocic do rzeczywistosci. W rozdz. 26.6 wprowadzer podejscie "calek po drogach" do relatywistycznej teorH kwantowej, ktora jest oparta nie na formalizmie hamiltonowskim, lecz na relatywistycznym formalizmie lagranzowskim, co pozwala na obejscie problemu "jeden czas - wiele przestrzeni"; jednaki:e, jak zobaczymy poiniej, pojawiaj,!: sier nowe powazne problemy; i takjest zawsze, bez wzglerdu na to, jak,!: (znan'!:) procedurer zastosujemy. Co wiercej, jak sier wkrotce przekonamy, zwykle rownanie Schrodingera jest narazone na trudnosci zwi,!:zane z "powrotem do rzeczywistosci". W moim przekonaniu ta prost a asymetria czasoprzestrzenna podejscia Schrodingera kryje w sobie cos glerbszego, co wci,!:z umyka naszemu kwantowemu obrazowi rzeczy; ale odlozmy te klopoty na potem. W tym momencie pozwo-
553
23
Spltjtany swiat kwantowy
It( sobie zignorowae te trudnosci i przedstawit( sprawy tak, jakje widzimy z pozycji nierelatywistycznej teorii kwantowej, w kt6rej stosujemy koncepcjt( uniwersalnego czasu zewnt(trznego. Nie pozbt(dziemy sit( jednak calkowicie problem6w wzglt(dnosci i bt(dziemy musieli do nich wr6cie pod koniec tego rozdzialu, 23.10. Jak wit(c mamy traktowae uklad wielu cZ'lstek zgodnie ze standardowym, nierelatywistycznym obrazem Schrodingera? Tak jak to referowalismy w rozdz. 21.2, posluiymy sit( jednym hamiltonianem, w kt6rym musz'l pojawie sit( wszystkie zmienne pt(dowe wszystkich cZ'lstek wystt(puj'lcych w ukladzie. Zgodnie z procedur'l kwantyzacji w reprezentacji polozen (formalizm Schrodingera), kai:dy z tych pt(d6w zostaje zast'lpiony cZ'lstkowym operatorem r6zniczkowym, odpowiadaj'lcym konkretnej wsp6lrzt(dnej polozen danej cZ'lstki. Wszystkie te opera tory musz'l na cos dzialae i aby ta interpretacja byla konsystentna, musi bye to sarno "cos" dla wszystkich. Tym "czyms" jest funkcja falowa. Jak juz zaznaczylismy, musimy miee jedn'l funkcjt( falow'l If'dla calego ukladu i musi ona bye funkcj'l r6znych wsp61rZt(dnych polozenia wszystkich oddzielnych cZ'lstek.
23.2 Ogrom przestrzeni stan6w wieloczi:lstkowych
554
Wszystko to brzmi dosye niewinnie, ale jakjest w rzeczywistosci? Zatrzymajmy sit( na chwilt(, aby zdae sobie sprawt( ze znaczenia tego na poz6r prostego wymogu. Gdyby kai:da cZ'lstka opisywana byla swoj'l indywidualn'l funkcj'l falow'l, wowczas w przypadku n skalarnych (a wit(c bezspinowych) cZ'lstek powinnismy miee n roznych zespolonych funkcji polozen. Chociaz dla n niewielkich cZ'lstek wymaga to pewnego napit(cia naszej wyobrazni wzrokowej, jest to cos, z czym jeszcze damy sobie radt(. (W tych rozwazaniach pomijam sprawt( czasu; zalozmy, ze wszystko dzieje sit( w jednym momencie.) Aby pomoc naszej wyobrai:ni, mozemy 0 tym myslee na podobienstwo pola w przestrzeni, maj'lcego n roznych skladowych, a kai:da z nich moze bye traktowana jako opisuj'lca oddzielne "pole". (Kazde takie oddzielne pole moze przedstawiae indywidualn'l funkcjt( falow'l cZ'lstki.) Bye moze powinnismy uwazae, ze mamy do czynienia z 2n skladowymi, jesli mowimy 0 skladowych rzeczywistych, gdyz funkcje falowe S'l zespolone. W koncu pole elektromagnetyczne rna szese rzeczywistych skladowych - a wit(c sZeSe funkcji trzech zmiennych (analogicznie do trzech zespolonych skalarnych funkcji falowych), a wektory pol a elektrycznego i magnetycznego nie s'l takie trudne do wyobrazenia! Jak mamy policzye "stopnie swobody" zespolonego pola skalarnego, takiego jak funkcja falowa cZ'lstki skalarnej w 3-przestrzeni? He wynosi "liczba" roznych mozliwych takich pol? Przypomnijmy, z rozdz. 16.7, ze wyrazenie ocf ocP okreSIa swobodt(, jakq. rna dowolnie wybrane (gladkie) pole 0 a rzeczywistych skladowych w przestrzeni 0 b rzeczywistych wymiarach. Tak wit(c dla zespolonego pol a skaIarnego a = 2 (poniewaz liczba zespolona liczy sit( jako dwie liczby rzeczywiste), swoboda wyniesie 002003 • Tak jest, gdy rozwazamy pole w jednym momencie - tzn. przy ustalonym t - a wit(c mowimy 0 zwyklej 3-przestrzeni, gdzie b = 3 (a nie
Ogrom przestrzeni stanow wieloczqstkowych
23.2
o czasoprzestrzeni, gdzie mielibysmy b = 4). Moglibysmy podobnie mowie 0 czasoprzestrzeni, ale w tym przypadku mamy do czynienia z rownaniami pola, ktore ograniczaj,! swobod«. W przypadku funkcji falowej ograniczeniem jest rownanie Schrodingera, ktore redukuje liczb« stopni swobody do tego, co moze bye swobodnie zadane jako dane pocz'!tkowe, w wyjsciowej 3-przestrzeni, a wi«c liczba 2003 ta wyniesie 00 . Przykladowo mozemy rozwaZye przypadek swobodnego pol a Maxwella bez :hodel (bez ladunkow). Mamy tutaj szese rzeczywistych skladowych w zwyklej 3-przestrzeni, a zatem, jesli wszystko bierzemy w ustalonym czasie t i pomijamy 6003 ograniczenia nakladane rownaniami Maxwella, to nasza swoboda wynosi 00 . Ale rownania Maxwella nakiadaj,! wi«zy na warunki pocz'!tkowe w 3-przestrzeni, a mianowicie znikanie dywergencji wektorow pola elektrycznego i magnetycznego[23.1 1• Redukuje to efektywnq liczb« swobodnych skladowych w danych poczqtkowych 4003 w 3-przestrzeni 0 2, a wi«c swoboda ta wyniesie, efektywnie, 00 . Rozwazmy teraz kwantowomechaniczny opis n skalarnych czqstek. Gdyby ten opis sprowadzal si« do n roznych funkcji falowych, wowczas liczba stopni swo3 body wynioslaby 000.00 , poniewaz tyle mamy mozliwosci wyboru n liczb zespolonych na jeden punkt w 3-przestrzeni. Ale w przypadku kwantowej funkcji falowej opisujqcej n czqstek skalarnych mamy do czynienia z jedn,! funkcjq zespolonq 3n zmiennych rzeczywistych. A wi«c jest to tak, jakbysmy mieli do czynienia z zespo2003 lonym polem skalarnym w przestrzeni 3n-wymiarowej, zatem swoboda wynosi 00 ", czyli wielokrotnie wi«cej. Bye moze nie jest tak latwo zdae sobie spraw« z ogromu tych wielkosci, bo wszystkie te ,,00" temu przeszkadzajq. Wyobrazmy sobie wi«c taki wszechSwiat-zabawk«, ktory sklada si« tylko z 10 punktow. Oznaczmy te punkty kolejnymi liczbami 0, 1,2,3,4,5,6, 7, 8, 9. Funkcja falowa czqstki skalarnej w takim wszechswiecie skladae si« b«dzie z liczb zespolonych, zadanych w kazdym z tych 10 punktow, czyli z 10 liczb zespolonych zo' zl' Z2"" zS' Z9' Przestrzen wszystkich tych funkcji falowych b«dzie 10-wymiarowq zespolonq (20-wymiarowq rzeczywistq) przestrzeniq Hilberta Woo Jesli te funkcje falowe unormujemy tak, zeby suma kwadratow ich modulow wynosila jeden, wowczas IzJ przedstawiae b«dzie prawdopodobienstwo, iz pomiar poiozenia czqstki znajdzie jq w punkcie 6, itd. Przyklad ten nie jest tak absurdalny, jak mogloby si« zdawae. W jakiejs sytuacji fizycznej mozemy miee do czynienia z czyms, co odpowiada szeregowi 10 pudelek, w ktorych moze si« znajdowae jeden elektron; zob. rys. 23.1. Doswiadczalnicy Sq dzisiaj w stanie wytworzye uklady tak zwanych kropek kwantowych, co wiqie si« z teoretycznq mozliwosciq zbudowania komputerow kwantowych, ktore moglyby wykorzystae ow ogrom wymiarow przestrzeni funkcji falowych. jll [23.1] Czy mozesz wyjasni6 to "znikanie"? Przypomnij sobie 4-wymiarowe pojycie "dywergencji" opisane w rozdz. 19.3; tutaj potrzebujemy jej 3-wymiarowej wersji. WSkaz6wka: zob. ewiczenie [19.2].
555
23
Splqtany swiat kwantowy
Rys. 23.1. Wyobraiamy sobie "wszecMwiat-zabawkl(", w kt6rym jest 10 moiliwych poloien dla cz'!stek, co ilustruje 10 pudelek. Pokazane s,! dwie rozr6inialne cz'!stki, A i B, z kt6rych kaida moie znajdowac sil( w kaidym z pudelek, niezaleinie od drugiej.
Przypusemy wi~c, ze w naszym wszechswiecie mamy do czynienia z dwiema cz'!stkami. Z powodow, do ktorych przejd~ pozniej, wygodniej b~dzie uwazae, ze nie S,! to cz'!stki tego samego rodzaju. Nazwijmy je A i B. Kazda z nich moze bye umieszczona w 10 roznych miejscach, mamy wi~c 100 roznych mozliwosci rozmieszczenia tej pary cz,!stek (dopuszczam, ze obie cz'!stki mog,! znaleie sit( w tym samym pudelku), W celu zdefiniowania funkcji falowej potrzebujemy teraz 100 roznych liczb zespolonych, powiedzmy, zoo' ZOI"'" Z09' ZJO' ZIP"" Z19' Z20"'" Z99; jedna liczba zespolona jest przyporz'!dkowana jednej z mozliwych par potozen. Jesli unormujemy je tak, zeby sum a kwadratow ich modulow dawala jeden, wowczas Iz3 na przyklad, przedstawiae bt(dzie prawdopodobienstwo znalezienia cz'!stkiA w pudelku 3, a cz'!stki B w pudelku 8. Mamy wit(c do czynienia z przestrzeni,! Hilberta Woo, Gdybysmy mieli do czynienia z trzema cz'!stkami, powiedzmy, A, B i C, wowczas funkcja falowa skladalaby sit( z 1000 liczb zespolonych, zooo' ZOOI"'" Z999' i przestrzen Hilberta bylaby przestrzeni,! W Ooo , Gdyby reguly mechaniki kwantowej byly takie, ze funkcja falowa sklada sit( z trzech indywidualnych funkcji falowych, to mielibysmy do czynieniajedynie z przestrzeni,! H30. W przypadku czterech roznych cz'!stek nasza przestrzen rozrasta sit( do Woooo , podczas gdy cztery indywidualne funkcje falowe prowadzilyby do przestrzeni H40, i tak dalej. Wracaj,!c do notacji "oc/oo3n ", jak,! posluiylem sit( poprzednio, widzimy, ze gorne "cd" odnosi sit( do "liczby punktow" w 3-przestrzeni Euklidesa E3. Liczba ta zostala teraz zast,!piona przez 10, tj. liczbt( punktow w naszej imitacji wszechSwiata, czyli ze oc/",3n zostala zast,!piona przez ooaID" (ktora oznacza "liczbt( punktow" n w (a x 10")-wymiarowej przestrzeni rzeczywistej). Tak wit(c zamiast 002XlO dla liczby stopni swobody n-cz'!stkowej funkcji falowej w E3 mamy teraz 002",3n dla n-cz'!stkowej funkcji falowej w naszym "wszechSwiecie". Zespolona przestrzen Hilberta w tym wszechswiecie jest teraz przestrzeni,! HID", a nie WOn, jak,! bylaby w przypadku n oddzielnych 1-cz,!stkowych zespolonych funkcji falowych. A zatem nasza n-cz'!stkowa funkcja falowa jest zdefiniowana na 2x10"-wymiarowej przestrzeni (tj, 10"-wymiarowej zespolonej przestrzeni Hilberta), a nie jedynie 20n-wymiarowej przestrzeni, co mialoby miejsce w przypadku oddzielnych funkcji falowych, Gdyby na przyklad tych cz'!stek bylo tylko 8, mielibysmy do czynienia z 200 000 000 wymiarow, zamiast jedynie 160.
l,
556
Splqtanie kwantowe, nier6wnosci Bella
23.3
23.3 Splqtanie kwantowe, nier6wnosci Bella Jakie znaczenie majq te wszystkie dodatkowe informacje? Otoz wyrazajq one fakt okreslany jako relacje "splqtania" pomit(dzy czqstkami. Jak to naleiy rozumiec? Pojt(cia tego po raz pierwszy uiyl Schrodinger, rozwazajqc niezwykle zagadkowe, ale obserwowalne doswiadczalnie zjawiska znane pod naZWq efektow Einsteina-Podolsky'ego-Rosena (EPR)2. Sq to jednak bardzo subtelne wlasciwosci swiata kwantowego i bardzo trudne do przekonywajqcej demonstracji eksperymentalnej. Jest rzeCZq ciekawq, ze musimy uciekac sit( do czegos rownie ezoterycznego i umykajqcego doswiadczeniu, podczas gdy w przypadku ukladow wielu cial cala stosowna informacja zawarta jest w funkcji falowej! Jest to zagadka i zajmt( sit( niq niebawem (rozdz. 23.6). W moim przekonaniu wskazuje ona, w jakich kierunkach powinny pojsc nasze poszukiwania dalszego rozwoju teorii kwantowej. Ale bez wzglt(du na to, co z tego moze wyniknqc, z pewnosciq mowi nam ona cos waZnego o mozliwosciach obliczen kwantowych 3 , jakie Sq obecnie przedmiotem niezwykle oiywionych badan w celu wykorzystania ogromu zrodel "informacji" ukrytych w relacjach splqtania. Czym wit(c jest splqtanie kwantowe? Na czym polegajq efekty EPR? Najlepiej uda nam sit( to zrozumiec, jesli rozwaZymy sytuacjt( 0 skonczonej liczbie wymiar6w, powiedzmy, koncentrujqc naSZq uwagt( na zagadnieniu stanow spinowych. Najprostszq sytuacjq jest ta, jakq rozpatrywal David Bohm4• Wyobraimy sobie part( spin6w niech to bt(dq spiny czqstek P LiP R' kt6re poczqtkowo znajdujq sit( w stanie 0 lqcznym spinie 0, a nastt(pnie rozchodzq sit(, jedna na lewo, druga na prawo, trafiajqc do detektor6w L i R, daleko od siebie (zob. rys. 23.2). Przypuscmy, ze kaZdy z tych detektor6w jest w stanie dokonac pomiaru spinu nadbiegajqcej CZqstki w kierunku, kt6ry jest okreslony dopiero wtedy, gdy te czqstki Sq daleko od siebie. Problem polega na tyro: czy jest rzeCZq mozliwq odtworzyc oczekiwania mechaniki kwantowej, poslugujqc sit( modelem, w kt6rym te cZqstki Sq traktowane jako niezwiqzane, niezaldne, podobne do klasycznych obiekty, kt6re nie Sq w stanie porozumiewac sit( ze sobq wtedy, gdy tylko nastqpilo ich rozdzielenie? Okazuje sit( (i jest to zasluga kapitalnego twierdzenia sformulowanego przez fizyka z Irlandii P6lnocnej, Johna S. Bella), ze w taki sposob nie da sit( odtworzyc przewidywan teorii kwantowej. Bell wyprowadzil nierownosci5 wiqzqce lqczne praw-
-t,
t,
Rys. 23.2. Eksperyment myslowy EPR-Bohma. Para cz'!stek, P LiPR' 0 spinie pocz'!tkowo znajduje sit< w stanie 0 I'!cznym spinie 0 i wt 1), gdzie 11jJ) naleiy do tiP, a II/» naleiy do Hq. Takie stany bt(dq stan ami niesplqtanymi. Natomiast dowolny element tiP 0 Hq bt(dzie kombinacj,! liniowq tych stanow niesplqtanych (moie nawet nie-
Eksperymenty EPR typu Bohma
23.4
skonczonq sumq lub calkq, jesli zarowno p, jak i q Sq nieskonczone )8. Musimy jednak miec na uwadze, ze sarno pojC(cie splqtania zwiqzane jest ze szczegolnym rozszczepieniem naszej calkowitej przestrzeni Hilberta W q na cos 0 postaci W ® Hq. (Zadne takie rozszczepienie ogolnej przestrzeni Hilberta ~ nie jest preferowane. Z algebraicznego punktu widzenia istnieje zawsze wiele roznych mozliwosci przedstawienia Hn jako iloczynu tensorowego, w przypadku gdy n daje siC( rozloZyc na czynniki.) W sytuacjach, w ktorych zajmujemy siC( zagadnieniem "splqtania", jest rzeczq dosc oczywistq, ze interesuje nas, z fizycznego punktu widzenia, konkretne rozszczepienie, szczegolnie wtedy, gdy mowimy 0 "pojedynczych" CZqstkach daleko od siebie, a tak jest wlasnie w przypadku eksperymentu EPR. Przy takich operacjach wygodnie jest czasami posluZyc siC( zapisem abstrakcyjno-wskainikowym (zob. rozdz. 12.8). Wektor ket 11J!) moze byc zapisany jako 1J!a, z gornym indeksem abstrakcyjnym, a odpowiadajqcy mu (sprzC(zony zespolony) wektor bra (1J!1 jako i[Ja' z indeksem dolnym. Peiny "bracket" (1J!I1» zapiszemy jako i[JJpa, a wyrazenie (1J!IQI1» przyjmie postac i[Ja~f31>f3. Iloczyn tensorowy 11J!)I1» wektora 1J!a i qI bC(dzie teraz 1J!aql. Stany niesplqtane zawsze rozszczepiajq siC( w ten sposob, ale dowolny stan (prawdopodobnie splqtany) bC(dzie na ogol wielkosciq typu 1>afJ. W dalszej czC(sci tego rozdzialu przekonamy siC( 0 uZytecznosci takiego zapisu.
23.4 Eksperymenty EPR typu Bohma Powrocmy teraz do wersji EPR zaproponowanej przez Bohma. Rozwazmy stan poczqtkowy tuz przed dokonaniem na nim pomiaru. Dwie oddzielne cZqstki 0 spinie rozpatrywane razem, muszq tworzyc stan 0 wypadkowym spinie 0, dlatego ze moment pC(du jest zachowany i cz
t,
lil) = 11')1-.11) -1-.11)11') (w dalszym ci
ta
[23.2] Jesli stany 11') i I-J...)
s~
unormowane, to jaki czynnik musi wystt(powae w stanie
1.0), aby byt rowniei stanem unormowanym? (Moiesz zatoiye, ie
..fi [23.3] Czy widzisz od razu, dlaczego stan ten ma spin O?
Illa)IP)11 = IlallllPll.)
~kaz6wka:
jednym ze sposobow przekonania sit( 0 tym jest postuienie sit( zapisem wskaznikowym, aby pokazae, ie taka kombinacja antysymetryczna musi bye w istocie skalarem; naleiy przy tym pamit(tae, ie przestrzen spinowa jest 2-wymiarowa.
559
23
Sp1iltany swiat kwantowy
o poiozeniu cz
t(1- cosO),
TT
lub
NN,
niezgodne:
t(1 + cosO)
natomiast "niezgodne" oznacza TN lub
NT).
rm [23.4] Dlaczego nie? Znajdz spos6b, aby to zrobi6, gdy la) i 1/3) nie s,! tak zlokalizowane. 560
~ [23.5] Sprawdz relacje przedstawione w tym nawiasie oraz sprawdz rachunkiem wyrazenia dla 112). Wskaz6wka: zob. ewiczenie [22.26].
Eksperymenty EPR typu Bohma
23.4
~----~--~--~----~ Moje ustawienia alternatywne
Ustawienia alterroatywne mojego kolegi
Rys. 23.3. Ustawienia polaryzacji dla wersji Stappa eksperymentu EPR-Bohmajako przyklad nierownosci Bella. Pocz~tkowo urz~dzenia pomiarowe zostaly tak przygotowane, zeby dokonac pomiaru spinow w kierunkach wskazanych przez peine strzalki, ale po namysle jedno lub oba urz~dzenia przestawiono w kierunkach wskazanych przez strzalki przerywane. Zaden klasyczny model cz~stek zachowuj~cych siy, jakby byly nieza1eznymi obiektami, niekomunikuj~cymi siy miydzy sob~, bez uprzedniej znajomosci kierunkow pomiarowych nie jest w stanie wyznaczyc prawidlowo l~cznych prawdopodobienstw wynikow pomiarow.
A teraz rozwazmy przyklad Stappa. Urzqdzenia Sq tak ustawione, ze moj aparat moze mierzyc spin alba w kierunku pionowo do gory, 1', albo w kierunku prostopadlym, poziomo 7. Aparat mojego kolegi jest zorientowany tak, ze mierzy spin alba w kierunku 71, ktory leZy w plaszczyznie kierunkow l' i ~, pod kqtem 45° do kazdego z nich, alba w kierunku ", ktory leZy w tej samej plaszczyznie, ale pod kqtem 45° do l' i 135° do ~ (rys. 23.3). Mamy zatem trzy mozliwosci, w ktorych kierunek mojego pomiaru tworzy kqt 45° z kierunkiem pomiaru mojego kolegi i jest tylko jedna mozliwosc, ze kqt miydzy nimi wynosi 135°. Dla przypadkow 45° prawdopodobienstwo zgodnosci wynosi nieco ponizej 15%, podczas gdy dla 135° przekracza 85%. Dopuscmy takq sytuacjy, ze odloZymy decyzjy 0 tym, ktory z dwu mozliwych pomiarow przeprowadzy, do momentu, w ktorym cZqstki bydq juz w pelnym biegu, i to sarno niech zrobi moj kolega. Umiescmy kolegy na Tytanie (jednym z ksiyZycow Saturna) i niech zrodlo cZqstek znajduje siy gdzies miydzy nami tak, zebysmy nawet w przypadku cZqstek wydrujqcych z prydkosciq swiatla mielijakies trzy kwadranse na podjycie decyzji! Popatrzmy na rys. 23.4. Czqstki nie mogq miec pojycia o tym, jakq decyzjy (niezalei:nie od siebie) ja i moj kolega zechcemy podjqc. Przypuscmy, ze ja wybralem 1', a moj kolega 71, i do kazdego z nas dociera strumien, wydawaloby siy, losowo zorientowanych czqstek. Docierajq pojedynczo,
o Ziemia
Tytan
~
- - - - . . .---- - - - .. .D' Zr6dlo clCjstek EPR
Rys. 23.4. Autor, umiejscowiony na Ziemi, wyobrai:a sobie, ze jest odbiorc~ jednej z cz~stek z pary EPR, podczas gdy druga dociera do jego kolegi na Tytanie. Zrodlo cz~stek znajduje siy gdzies posrodku, mniej wiycej w rownej odleglosci miydzy nimi. Nawet jesli cz~stki wydrujil z prydkosci~ swiatla, to i tak kazdy z nich rna okafo 45 minut na podjycie decyzji, jak zorientowac swoje przyrzildy.
561
23
Splqtany swiat kwantowy
562
kaida jest jedn,! z pary EPR-Bohma, wyemitowan'! przez zr6dlo znajduj,!ce siy miydzy nami, jedna do mnie, druga do mojego kolegi. Jesli por6wnamy zapisy wynik6w (powiedzmy, kilka lat p6zniej, gdy m6j kolega powr6ci na Ziemiy), odkryjemy, ze zgodnose naszych wynik6w jest nieco mniejsza od 15%, jak to juz przewidzielismy. Ot6z jesli te cz'!stki nie maj,! uprzedniej wiedzy 0 tym, jak zorientowalismy nasze przyrz,!dy pomiarowe, i zachowuj,! siy niezaleznie od siebie, nie komunikuj,! siy miydzy sob,! (niczym klasyczne obiekty), to dla wynik6w pomiar6w mojego kolegi powinno bye zupelnie bez znaczenia, gdybym ja nagle, w ostatniej chwili, zmienil zdanie i postanowil przeorientowae m6j detektor tak, zeby dokonywae pomiaru w kierunku 7 zamiast 1'. Za16zmy, ze z kolei to ko1ega zmienil zdanie i zacz'!l mierzye w kierunku " zamiast /I, natomiast ja pozostalem przy starej koncepcji. W6wczas to, co zrobi kolega, nie powinno miee najmniejszego znaczenia dla wyniku moich pomiar6w w kierunku 1'. Okazuje siy, ze zgodnose miydzy pomiarami kolegi w kierunku" i moimi w starym kierunku bydzie nadal nieco ponizej 15%. Przypusemy, ze obaj zdecydowalismy siy w ostatniej chwili zmienie ustawienia naszych przyrz'!d6w tak, ze ja bydy mierzyl w kierunku 7, a m6j kolega w kierunku ". Teraz k,!t jest bliski 135°, wobec czego z mechaniki kwantowej wynika, ze zgodnose powinna osi,!gn,!e nieco ponad 85%. Czy to nie jest niesprzeczne z l,!cznymi prawdopodobienstwami, jakie obliczymy dla par cz'!stek mierzonych przez pary detektor6w zorientowanych w ten spos6b? No c6z, przekonajmy siy. Pary cz,!stek musz'! bye przygotowane na zetkniycie siy z czterema mozliwymi kombinacjami ustawien detektor6w i w kazdym przypadku powinnismy uzyskae poprawne wartosci kwantowomechanicznych prawdopodobienstw. Przypomnijmy je. Wyniki moich pomiar6w przy ustawieniu w kierunku 7 powinny bye zgodne z wynikami pomiar6w mojego kolegi w kierunku /I w stopniu nie wiykszym niz 15%. Zgodnose jego pomiar6w w takim kierunku nie powinna bye wiyksza od 15% przy moich pomiarach w kierunku 1', ate z kolei powinny bye zgodne w nie wiycej niz 15% z pomiarami kolegi w kierunku ". Jesli jakas konkretna para rna dae nam zgodnose w przypadku 7, ", nie moze to bye niezgodne ze wszystkimi trzema przypadkami 7, /I oraz 1', /I i 1', ". (Tr6jkrotna niezgodnose musi dawae w wyniku niezgodnose, a nie zgodnose.) A zatem co najmniej w jednym z tych przypadk6w musimy uzyskae zgodnose, choe zgodnose dla kaidej pary mozliwych ustawien wystypuje w mniej niz 15% wszystkich przypadk6w. S,! tylko trzy mozliwosci, a to oznacza, ze zgodnose w przypadku 7,,, moze siy zdarzye w nie wiycej niz 15% + 15% + 15% = 45% zdarzen. (W rzeczywistosci procent zgodnosci musi bye nieco mniejszy, poniewai uwzglydnilem zgodnose dla wszystkich trzech par ustawien trzy razy.) Ale 45% jest bardzo dalekie od 85%, a zatem mamy tu do czynienia z oczywist'! sprzecznosci,! z zalozeniem "klasycznego" zachowania siC( naszych par cz,!stek! Ktos m6g1by postawie zarzut, ze caly ten argument jest wyrazony w terminach hipotetycznych pomiar6w, czegos w rodzaju "co by bylo, gdyby bylo" (filozofowie nazwaliby je "kontrfaktycznym"). Tymczasem istotne jest to, ze przyjC(lismy zalozenie, iz cz'!stki po opuszczeniu zr6dla zachowuj,! siy niezaleznie od siebie
Przyktad EPR Hardy'ego: prawie bez prawdopodobier'lstwa
23.5
i mamy uzyskac prawidlowe, lqczne, kwantowe prawdopodobienstwa detekcji, bez wzglydu na to, jakie jest ustawienie detektorow. Zachowanie siy cZqstek musi odpowiadac oczekiwaniom mechaniki kwantowej. Okazuje siy, ze tego nie mozna uzyskac, jesli bydziemy rozwazali prawdopodobienstwa oddzielnie dla kaZdej z CZqstek. Jedynym sposobem na uzyskanie poprawnych wynikow kwantowomechanicznych jest zalozenie, ze do momentu detekcji jednej z nich obie czqstki Sq ze sobq "polqczone". To tajemnicze "polqczenie" jest wlasnie splqtaniem kwantowym. Oczywiscie, nie odbyl siy zaden eksperyment na takich odleglosciach. Jednak przeprowadzono wiele podobnych doswiadczen typu EPR (zwykle wykorzystujqC polaryzacje fotonow, a nie kierunki spinow czqstek 0 spinie ale nie jest to istotne). We wszystkich tych eksperymentach potwierdzone zostaly oczekiwania mechaniki kwantowej, a nie to, co dyktowalby "zdrowy rozsqdek"! Aczkolwiek nie przeprowadzono bezposredniego pomiaru na odleglosciach typu Ziemia-Saturn, to uzyskano potwierdzenie pogwalcenia nierownosci Bella przy odleglosciach przekraczajqcych 15 km 8 •
t,
23.5 Przyklad EPR Hardy'ego: prawie bez prawdopodobielistwa Przejdzmy teraz do piyknego przykladu, jaki zaproponowal Lucien Hardy9. Ponownie moj kolega i ja przygotowujemy siy do przeprowadzenia pomiarow, przy czym ja wybieram kierunki l' i 7 (prostopadle w gory i poziomo w prawo), tak jak poprzednio, ale kolega rowniez wybiera te same kierunki, niezaleZnie ode mnie. Zasadniczym nowym elementem jest to, ze zrodlo par cZqstek nie emituje ich teraz w stanie, ktorego wypadkowy spin rna wartosc 0, lecz w stanie 0 lqcznym spinie 1. Taki stan poczqtkowy, w przedstawieniu Majorany, zapiszemy jako If- /I) (rozdz. 22.10, rys. 22.14), gdzie kierunek /I leZy w ewiartce plaszczyzny okreslonej przez prostopadle kierunki l' i 7 i rna nachylenie ~ (tzn. kqt miydzy kierunkami 7 a /I spelnia warunek cose =t), i gdzie kierunek f- jest przeciwny do kierunku 7; zob. rys. 23.5. Stan taki mozemy przedstawic jako[23.6]
e,
z dokladnosciq do ogolnego czynnika. Ma on ty charakterystycznq wlasnosc, ze gdy nie jest ortogonalny do stanu
1"-' )1"-') (gdzie kierunek "-' jest przeciwny do kierunku 1'), to jest ortogonalny do kaZdego ze stanow[23.7]
I"-')If-), If- )1"-'), 17)17).
ta
[23.6] Dlaczego? [23.7] Sprawdz, czy potrafisz to wykazac. Wskaz6wka: skorzystaj ze geometrycznego opisu w rozdz. 22.9. ~
wsp6lrz~dnych
lub
563
23
Spl~tany
swiat kwantowy
DZiyki tym relacjom ortogonalnosci mozliwe s,! nastypuj,!ce wyniki pomiarow TAKJNIE:
(0) czasami ja otrzymujy NIE dla kierunku l' i kolega otrzymuje NIE dla kierunku 1'; (1) jesli ja otrzymujy NIE dla kierunku 1', wowczas kolega musi otrzymae TAK dla kierunku ~; (2) jesli kolega otrzymuje NIE dla kierunku 1', wowczas ja muszy otrzymae TAK dla kierunku ~; (3) ja nigdy nie otrzymujy TAK dla kierunku ~, gdy moj kolega dostaje TAK dla kierunku + Naleiy zaznaczye w odniesieniu do przypadku (0), ze w takim eksperymencie, jesli zaloiymy, ze kazdy z nas dokonuje pomiaru 1', faktyczne kwantowe prawdopodobienstwo, iz obaj otrzymamy wynik NIE, wynosi dokladnie -{z[23.8 1• Zauwazmy, ze -{z = 8,33%, podczas gdy optymalna wartose uzyskana przez Hardy'ego, przy niewielkim dopasowaniu, jest bardzo bliska10 i wynosi 9,01 %. Chcialbym, zeby bylo calkiem jasne, dlaczego nie ma zadnego sposobu uzyskania wynikow (0) do (3), jesli obie cz'!stki s,! niezalezne i nie komunikuj,! siy miydzy sob,! oraz nie maj,! pojycia 0 tym, w jakim kierunku maj,! bye przeprowadzone pomiary. Ze wzglydu na (0) obie cz'!stki (niekomunikuj,!ce siy i bez wiedzy o ustawieniach przyrz,!dow) musz'! bye przygotowane na to, ze od czasu do czasu (-{z wszystkich zdarzen) obie udziel,! odpowiedzi NIE w sytuacji, gdy ja i kolega jednoczesnie przeprowadzimy pomiary w kierunku 1'. Ponadto przygotowanie cz'!stek, jeszcze gdy s,! razem, musi uwzglydniae taki przypadek (a wiyc gdy jednoczesnie daj,! odpowiedz NIE na nasze jednoczesne pomiary 1'), by musialy definitywnie udzielie odpowiedzi TAK, gdyby ktorys z nas postanowil przeprowadzie pomiar ~ - aby nie doszlo do naruszenia (1) i (2). lednak taka decyzja powoduje, ze niemozliwe jest (3), poniewaz zarowno ja, jak i moj kolega mozemy czasami dokonae pomiaru ~ i uzyskae wynik TAK, TAK, co jest zabronione.
Spin~
--~-
(9 R
Moje ustawienia alternatywne
Ustawienia alternatywne kolegi
Rys. 23.5. EPR w wersji Hardy'ego, "prawie" bez prawdopodobienstw. Stanem pocz~tkowym jest stan I~ /I) = I~ )1/1) + I/I)I~), w kt6rym kierunek /I leZy w ewiartce plaszczyzny wyznaczonej przez strzalky pionow~ l' i poziom~ ~, z nachyleniem Kazdy z detektor6w jest tak ustawiony, ze mierzy spiny przybywaj~cych cz~stek tylko w kierunku pionowym b~d:i poziomym.
!.
564
~ [23.8] Udowodnij to.
Dwie tajemnice
23.6 Dwie tajemnice
spl~tania
spl~tania
kwantowego
23.6
kwantowego
Wydaje mi si~, ze istniej,! dwie zasadnicze kwestie, ktorych dotyczy problem spl,!tania kwantowego, i jestem przekonany, ze odpowiedz na kazd,! z nich musi miec zupelnie rozny (chociaz wzajemnie zwi,!zany) charakter. Pierwsz'! zagadk~ przedstawia sam fenomen spl,!tania. J ak mamy pogodzic si~ z faktem spl,!tania kwantowego i wyrazic je w terminach idei i poj~c dla nas zrozumialych w taki sposob, aby mozna je bylo zaakceptowac jako istotny element funkcjonowania rzeczywistego WszechSwiata? Druga kwestia jest niejako komplementarna do pierwszej. Jezeli, zgodnie z mechanik,! kwantow'!, spl,!tanie jest tak powszechnie obecnym zjawiskiem - przypomnijmy, ze ogromna wi~kszosc stanow kwantowych to stany spl,!tane - jak to si~ dzieje, ze zjawiska tego prawie nie zauwazamy w bezposrednich obserwacjach otaczaj'!cego nas swiata? Dlaczego nie natrafiamy na nie na kazdym kroku? Nie wydaje mi si~, zeby ta druga zagadka byla przedmiotem naleznego zainteresowania, wygl,!da na to, ze uwaga badaczy skoncentrowana jest nieomal wyl,!cznie na pierwszej. Pozwolcie mi wi~c zaj,!c si~ najpierw drug,! tajemnicz,! kwesti,!. Do pierwszej powroc~ w odpowiednim miejscu. Glownym elementem zagadki jest to, ze spl,!tanie rna tendencj~ do rozprzestrzeniania si~. Wydawac by si~ moglo, ze w koncu kaZda cz'!stka we WszechSwiecie musi stac si~ spl,!tan,! z kazd,! inn,!. ezy tez moze s,! one spl,!tane od samego pocz,!tku? Dlaczego nie doswiadczamy po prostu jednej ogromnej, spl,!tanej g~stwiny, nieprzypominaj,!cej nieomal w niczym klasycznego swiata, jaki normalnie postrzegamy? Ewolucja Schrodingera nie pomaga nam specjalnie w rozwi¥aniu tej zagadki; w istocie kazdy jej krok jakby pogarszal sytuacj~, powoduj,!c, ze z uplywem czasu coraz wi~cej cz~sci otaczaj'!cego nas Wszechswiat a jest spl,!tanych z ukladem wyjsciowym. Wydaje mi si~ obecnie rzecz'! ogolnie przyj~t'!, ze w ramach przestrzeni Hilberta H sarno rownanie Schrodingera (proces U) nie pomoze nam w wyjsciu z tych klopotow. Jesli nasz'! ewolucj~ rozpoczniemy w stosunkowo bezpiecznej, niespl,!tanej cz~sci H, wowczas ewolucja Schrodingera natychmiast (na ogol) pogr,!Zy nas w g~stwinie spl'!tania i nie znajdziemy w niej zadnej drogi ani nawet wskazowki, aby wydostac si~ z tego niezmierzonego koszmaru stanow spl'!tanych (zob. rys. 23.6).
Rys. 23.6. Ewolucja schrbdingerowska od niesplqtanego stanu poczqtkowego (reprezentowanego przez skal« w prawym dolnym rogu) nieomal zawsze prowadzi do rosnqcego splqtania (ilustruje je plqtanina morskich wodorostow). Jak to si« dzieje, ze obiekty dost«pne naszemu doswiadczeniu wyst«pujq na ogol jako oddzielone od siebie i niezalezne?
565
23
Splqtany swiat kwantowy
566
Tymczasem w Zyciu codziennym raczej dajemy sobie calkiem dobrze radl(, nawet nie zauwazajqc tego calego splqtania. Jak to mozliwe? Jesli nie mamy czego sil( spodziewae ze strony procesow U, to musimy sprobowae skorzystae z innego zasadniczego skladnika teorii kwantowej: procesu R. Faktycznie, pewnq wskazowkl( w tym kierunku moglismy zauwaZye podczas analizy efektow EPR. Przypomnijmy sobie, ze planowalem przeprowadzenie pomiaru na jednej cZqstce z pary CZqstek EPR, podczas gdy druga miala docierae do mojego kolegi na Tytanie. Jesli ja pierwszy przeprowadzl( pomiar, to sam akt dokonania takiego pomiaru uwolni CZqstkl( docierajqcq do mojego kolegi ze splqtania z mojq cZqstkq i od tej pory (do chwiIi, w ktorej moj kolega przeprowadzi pomiar) bl(dzie ona miala swoj wlasny wektor stanu, w zaden sposob niezwiqzany z drugq, bez wzgll(du na to, co ja z tq cZqstkq zrobil(. Tak wil(c wydaje sil(, ze to pomiar dokonuje przecil(cia tych wil(zOW splqtania. Czy to prawda? Czy R daje nam ogolne rozwiqzanie tej drugiej zagadki, ktorq stawia przed nami fenomen splqtania kwantowego? Mysll(, ze tak musi bye, przynajmniej jesli traktujemy problem w taki sposob, w jaki zaleca mechanika kwantowa. Jest to zwiqzane ze sposobem przeprowadzania eksperymentow kwantowych, takich na przyklad jak rozwaZane wlasnie doswiadczenia (myslowe). Przypomnijmy sobie, ze analizujqc efekty EPR, wymagalismy, zeby rozwazane pary cZqstek znajdowaly sil( w okreslonym stanie kwantowym: w stanie 0 spinie 0 w eksperymencie Stappa i w stanie 0 spinie 1 w doswiadczeniu Hardy'ego. Jesli poslugujemy sil( tylko formalizmem procesow U, to jak mozemy bye pewni, ze nasze cZqstki nie Sq juz na poczqtku potwornie splqtane ze wszystkim dookola? Wydaje mi sil(, ze cos, co naleZy do samej natury pomiaru, stanowi zawsze istotnq cZl(se przygotowania eksperymentu kwantowego, co rna zapewnie, ze stan ukladu nie jest zanieczyszczony dzunglq niepozqdanych splqtan. Nie mam tu na mysli, ze eksperymentator rozmyslnie przygotowuje swoje ustawienia tak, zeby osiqgnqe taki efekt. Moim zdaniem to Przyroda sarna nieustannie kreuje procesy R, bez zadnej takiej intencji ze strony eksperymentatora lub jakiejkolwiek interwencji "swiadomego" obserwatora. Mam swiadomose, ze wyplywam na niebezpieczne wody, i do sprecyzowania mojego wlasnego stanowiska w tych sprawach powrocl( pozniej (w rozdz. 30.9-13). A jak te sprawy rozstrzyga "konwencjonalna" mechanika kwantowa? Wydaje mi sil(, ze "w praktyce" fizycy zawsze zakladajq mozliwose zignorowania calego splqtania ze swiatem zewnl(trznym. W przeciwnym razie ani mechanika klasyczna, ani konwencjonalna mechanika kwantowa nie zaslugiwalyby na zaufanie. Uwaza sil(, ze wszystkie te splqtania dajq sil( jakos "usrednie" i w konkretnej sytuacji nie mUSZq bye uwzgll(dniane. Nie znam jednak nawet choe trochl( przekonujqcego przykladu, ze tak rzeczywiscie jest. Zamiast "wyplqtania sil(" przez "usrednienie" okazaloby sil(, ze wszystko w coraz mniejszym stopniu przypomina swiat, jaki znamy, a poszczegolne obiekty tego swiata nie mialyby nawet w przyblizeniu okreslonych polozen, gdyz bylyby one zwiqzane i uwarunkowane ogromnq ilosciq zdarzen w calym WszechSwiecie. Nie widzl( zadnej drogi wyjscia z tej pulapki, jesli chcemy roz-
Bozony i fermiony
23.7
patrywae zagadnienie w izolacji od paradoksu VIR, ktory stanowi centralny problem interpretacyjny mechaniki kwantowej. Jakkolwiek jednak patrzymy na kwestiy tego przenikaj,!cego wszystko spl,!tania z reszt'! WszechSwiata, to nie mozemy jej oddzielie od szerszego zagadnienia: jak to siy dzieje, ze z jednej strony procedury V znakomicie dzialaj,! w przypadku wystarczaj'!co prostych ukladow, podczas gdy z drugiej strony, od czasu do czasu, musimy natychmiast rezygnowae z V i ukradkiem wprowadzae procesy R. Dlaczego, ale takZe kiedy i jak? To jest problem pomiaru alba raczej (i chyba bardziej wlasciwie), wedlug slow laureata Nagrody Nobla Tony'ego Leggetta, paradoks pomiaru. Powrocy do tego w rozdz. 29. Nie skonczylem jeszcze z przedstawieniem innych zagadek, przed jakimi stawia nas fakt spl'!tania. Niektore z nich wi,!z,! siy z faktem, ze przeprowadzanie pomiar6w ukladow spl'!tanych jest czynnosci,! bardzo delikatn,!, jesli chcemy uwzglydnie wymogi teorii wzglydnosci, albowiem pomiar jednej cZysci spl,!tanej pary obiektow musi wplywae na drug,!jednoczesnie, z czym, jak widzielismy w rozdz. 17, nie powinnismy miee do czynienia, gdy chcemy pozostae wierni zasadom tej teorii. Zanim sprobujy zmierzye siy z tym problemem, przejdy do rozwazenia innego aspektu spl'!tania, z ktorym spotykamy siy nawet czysciej niz z omawianymi w kilku poprzednich akapitach. Jest to fenomen tak powszechnie obecny, ze nawet dokonanie pomiaru nie rozcina tego spl,!tania, jakkolwiek podchodzilibysmy do paradoksu pomiaru. Co wiycej, jest to cecha charakterystyczna mechaniki kwantowej calkiem niezalezna od dotychczas rozwazanych. Mam na mysli zdumiewaj,!cy sposob, w jaki mechanika kwantowa traktuje uklady identycznych czqstek.
23.7 Bozony i fermiony Przypomnijmy sobie (rozdz. 23.2) koncepcjy "wszechSwiata-zabawki", w ktorym mielismy do dyspozycji 10 roi:nych polozen, ponumerowanych cyframi 0, 1,2, ... ,9. W kazdym z nich mozna bylo ulokowae cz'!stky. Kiedy rozwazalem, w jaki sposob mozna by w takim wszechSwiecie umiejscowie dwie cz'!stki, wowczas od razu zrobilem zastrzezenie, ze nie mog,! to bye "cz'!stki tego samego rodzaju", i mowilem 0 nich jako 0 "cz,!stce N i "cz,!stce B", zamiast na przyklad uZye okreslenia "dwa elektrony" lub czegos w tym rodzaju. Powodem tej ostroznosci byl fakt, ze mechanika kwantowa traktuje rzeczywiste cz'!stki wystypuj,!ce w Przyrodzie za pomoc,! pewnych charakterystycznych procedur, ktore s,! zupelnie inne niZ te, jakimi poslugiwalismy siy wczesniej. W tym miejscu powinnismy zdae sobie sprawy z istnienia dwu takich odmiennych procedur. Jedna z nich znajduje zastosowanie w odniesieniu do cz'!stek znanych pod nazw,! bozonow, a druga do fennionow. Bozonami s,! cz'!stki charakteryzuj,!ce siy spinem calkowitym (a wiyc ktorych spin, w jednostkach Ii, przyjmuje wartosci 0, 1, 2, 3, ... ), a fermionami cz'!stki 0 spinie polowkowym, czyli 0 wartosciach ~"" (Zwiqzek ten wynika ze znanego twierdzenia matematycznego w kwantowej teorii pola, twierdzenia 0 zwiqzku spinu ze statystykq; zob. rozdz. 26.2.)
t, t, t,
567
23
Splqtany swiat kwantowy
CZllstki zlozone, takie jak jlldra atomowe czy cale atomy, albo poszczegolne hadrony, takie jak protony czy neutrony (zbudowane z kwarkow), mog~, w dobrym przyblizeniu, rowniez bye traktowane jako bozony Iub fermiony. Tak wiyc bozonami Sll na przyklad fotony, ale takZe mezony (piony, kaony etc.), cZllstki odpowiedzialne zarowno za oddzialywania slabe (bozony Wi Z), jak i za silne (gluony). Oczywiscie, cZllstki zlozone, takie jak ex, (2 protony, 2 neutrony), deuterony (1 proton, 1 neutron) etc., rowniez zachowujll siy jak bozony. Z kolei elektrony, protony, neutrony, tworzllce je kwarki, neutrina, miony i inne cZllstki sll fermion ami. Powinnismy miee na uwadze fakt, ze funkcje falowe fermionow s~ obiektami spinorowymi, w sensie terminologii przedstawionej w rozdz. 11.3 (por. rozdz. 22.8), podczas gdy funkcje falowe bozonow nie majll tych wlasciwosci. Aby zdae sobie sprawy z tego, co naprawdy rozni bozony od fermionow, powroemy do naszego modelu wszechSwiata skladajllcego siy z 10 punktow, oznakowanych jako 0, 1, ... , 9. Przypomnijmy, ze analogiy funkcji falowej stanowie bydzie teraz zbior Iiczb zespolonych. Dla jednej cZllstki bydzie to zbior Iiczb zO' zp' .. , Zg; dia pary rozroznialnych cZllstek bydzie to zoo' zap"" Z99; dla trojki takich cZllstek Zoo a, zoo!"'" Z999; itd. Dla pary bozonow wymagania mechaniki kwantowej Sll takie, ze musi to bye kolekcja liczb zespolonych Zij symetrycznych we wskaznikach, tzn., ze
a wiyc, na przyklad, Z38 = Z83' Wobec tego nie rna znaczenia, przynajmniej jesli chodzi 0 funkcjy falowll, ktora z cZllstek znajduje siy w miejscu 3, a ktora w 8. Jest to po prostu para czqstek, zajmujllca miejsca 3 i 8. ZauwaZmy przy tym, ze para bozonow moze znakomicie okupowae jedno i to sarno miejsce; na przyklad Z33 bydzie zespolonym czynnikiem wagowym dla przypadku, gdy dwa bozony jednoczeSnie zajmujll miejsce 3. Widzimy wiyc, ze istnieje tylko t(lO x 11) = 55 rozroznialnych sposobow rozmieszczenia (nieuporzlldkowanych) par cz~stek na 10 miejscach ijedynie taka ilose liczb zespolonychjest potrzebna (tzn. potrzebujemy W5, a nie WOO). W przypadku trzech identycznych bozonow wystypuje symetria we wszystkich trzech wskaznikach: Zijk =Zjik =Zjki =Zkji =Zkij =Zikj'
i
mamy zatem (10 x 11 x 12) = 220 liczb zespolonych do zdefiniowania stanu, ktory jest elementem przestrzeni H 220 zamiast H lOOO • Dla n identycznych bozonow ilose niezalei:nych Iiczb zespolonych (9 + n)!/9!n!, spelniaj~cych warunek symetrycznosci we wszystkich wskaznikach Zij ... m =zW ... m)'
wynosiz..l) ... m (zob. rozdz. 12.4,7 i 14.7). A teraz rozwazmy fermiony. Roznill siy one od bozonow przede wszystkim tym, ze ich funkcje falowe muszll bye antysymetryczne w ich argumentach, Zij = -ZjP
568
Zijk = Zjik = Zjki = -Zkji = Zkij = -Zikj'
Stany kwantowe bozon6w i fermion6w
Zij ... m
=
23.8
Z[ij ... m]'
mamy wiyc t(10 x 9) = 45 liczb zespolonych w przypadku dwoch identycznych fermionow, i(10 x 9 x 8) = 120 liczb zespolonych w przypadku trzech identycznych fermionow i 1O!/n!(10 - n)! dla n identycznych fermionow[23.91. Te roinice liczbowe wynikaj,! z faktu, ie dwa fermiony nie mog,! znalezc siy w tym samym punkcie, albowiem antysymetria wymaga, ieby wagi zespolone Z •.. w takich przypadkach znikaly, a wiyc na przyklad Z33 = 0, Z474 = 0, etc. Zauwaimy, ie gdy w naszym "wszechSwiecie" planujemy rozmiescic wiycej nii 5 fermionow, liczba moiliwosci maleje. Gdy dochodzimy do 10 fermionow, istnieje tylko jeden moiliwy stan, a rozmieszczenie wiykszej liczby fermionow bydzie niemozliwe. W ten sposob, na tym prostym modelu, mozna przedstawic realizacjy zasady znanej jako zakaz Pauliego. Mowi on a, ze dwa identyczne fermiony nie mog,! bye w tym samym stanie kwantowym (i jest to po prostu konsekwencja antysymetrii fermionowej funkcji falowej). Dziyki tej zasadzie ciala stale mog,! istniec i nie zapadae siy w sobie. Zwyczajne ciala stale zbudowane S,! z fermionow: elektronow, protonow, neutronow. Ze wzglydu na zakaz Pauliego musz'! one "trzymac siy z daleka od siebie". Inaczej przedstawiaj,! siy te wlasciwosci w przypadku bozonow. Bozony wykazuj,! niewielk,! sklonnose do przebywania w tym samym stanie. (Fakt ten rna charakter czysto statystyczny, kiedy porownujemy liczby roznych dozwolonych stanow bozonowych do liczby roznych dozwolonych stanow klasycznych.) Gdy temperatura staje siy bardzo niska, ow efekt okazuje siy bardzo wazny i moze pojawie siy fenomen znany jako kondensacja Bosego-Einsteina, w ktorym wiykszose cz,!stek ukladu znajdzie siy w tym samym stanie. Przykladem tego rodzaju efektow jest zjawisko nadcieklosci, S,! one takie wykorzystywane w laserach. W nadprzewodniku elektrony l'!cz'! siy w pary, tzw. pary Coopera, ktore zachowuj,! siy, jak gdyby byly pojedynczymi bozonami. Takie zachowania "kolektywne" prowadz'! do najbardziej zdumiewaj,!cych i calkowicie sprzecznych z intuicj,! praktycznych zastosowan mechaniki kwantowej.
23.8 Stany kwantowe bozon6w i fermion6w W poprzednim rozdziale sformulowalem wymagania symetrii i antysymetrii dla bozonow i fermionow jedynie w odniesieniu do naszego "wszechswiata-zabawki", ale wymagania dla zbioru bozonow i fermionow w zwyklej przestrzeni s,! w zasadzie takie same. Funkcja falowa bydzie funkcj,! pewnej liczby punktow w przestrzeni, oznaczmy je przez u, V, ... , y, oraz funkcj,! roznych dyskretnych parametrow, ktore oznaczymy, odpowiednio, przez u, v, ... ,y, aby uwzglydnie indeksy (spinorowe lub
~ [23.9] Wyjasnij, skqd biOIq sit( wartosci wszystkich tych liczb w przypadku bozon6w i fermion6w.
569
23
Splqtany swiat kwantowy
tensorowe) kazdej grupy cz(!stek. Sprecyzujmy najpierw, jak wygl(!da funkcja falowa 1jJ dla pary identycznych bozon6w. Z(!damy, zeby funkcja 1jJ = 1jJ(u, u; v, v) byla symetryczna wobec zamiany polozen cz(!stek: 1jJ(u, u; v, v) = 1jJ(v, v; u, u).
W przypadku trzech identycznych bozon6w funkcja falowa musi bye symetryczna wzglydem permutacji wszystkich trzech cz(!stek: 1jJ(u, u; v, v; w, w)
= '1jJ(v, v;
U, u;
w, w) = 1jJ(v, v; W, w;
U, u)
= ... ,
i tak dalej. Dla fermion6w te relacje zostaj(! zast(!pione relacjami antysymetrii wobec przestawienia cz(!stek: 1jJ(U, u; v, v) = -1jJ(v, v; u, u). 1jJ(u, u; v, v; W, w)
= -1jJ(v, v; U, u; W, w) = 1jJ(v, v; W, w;
U, u)
= ... ,
i tak dalej. ZauwaZmy, ze w kazdym przypadku stan spinowy (zaznaczony przez zmienne dyskretne u, v, ... ) musi bye przenoszony, przy tych permutacjach, razem z cz(!stk(!. Gdy stosujemy zatem zakaz Pauliego, mozemy uwazae stany za identyczne tylko wtedy, gdy opr6cz identycznych polozen r6wniez stany spinowe Sq identyczne. To wazne na przyklad w chemii - dwa elektrony mogq dzielie ten sam orbital, pod warunkiem ze ich spiny Sq przeciwne (zob. rozdz. 24.8, rys. 24.2). W tym miejscu bardzo poryczny okazuje siy (abstrakcyjny) zapis wskainikowy, 0 kt6rym wspominalismy w rozdz. 23.3 (mozemy r6wniei zastosowae zapis graficzny, opisanyw rozdz. 12.8, co ilustruje rys. 26.1). Zgodnie z tym moglibysmy uiye zapisu 1jJa do oznaczenia funkcji falowej cZqstki, kt6rej przypisalismy znaczek a, a ¢f3 dla czqstki oznakowanej jako f3 itd. Jesli cZqstki nie S(! identyczne, w6wczas funkcja falowa pary takich czqstek bylaby stanem opisanym przez nastypujqcy iloczyn tensorowy 1jJa ¢f3,
podczas gdy w przypadku identycznych bozon6w ich stan (nie przejmujemy siy teraz normalizacj(!) wynosi 1jJa¢f3 + ¢a1jJf3. (Jedna uwaga odnosnie do zapisu abstrakcyjno-wskaznikowego: mnozenie przemienne oznacza np., ze ¢a~ = ~¢a. Iloczyn tensorowy nieprzemienny zaznaczamy przez uporz(!dkowanie indeks6w, a zatem iloczyn 1¢)I1jJ) "* 11jJ)I¢) zapisujemy jako ¢a~"* 1jJa¢P.) Ten zsymetryzowany stan zapisujemy (pomijajqc czynnik 2) jako 1jJ(a ¢f3l,
nawias okr(!gly oznacza tu symetryzacjy (rozdz. 12.7, 22.8). Ma to ty zalety, ze pozwala natychmiast zapisae stan kwantowy n identycznych bozon6w, kt6rych indywidualne stany bylyby 1jJ", ¢f3, ... , X:, jako iloczyn zsymetryzowany w postaci
570
1jJ(a¢f3 ...
x:).
Teleportacja kwantowa
23.9
Podobnie mozemy post,!pie w przypadku fermionow. Gdy rozpatrujemy kolekcjy stanow n poszczegolnych fermionOW'ljla, ql ,... ,x", ich wspolny, zantysymetryzowany stan (rozdz. 12.4) zapiszemy jako 'IjIlarpfJ ... , x"l.
ZauwaZmy, ze wszystkie te stany wielocz'!stkowe S,!, z technicznego punktu widzenia, splqtane (widzimy to w szczegolnosci przy opisie pary identycznych fermionow, gdy mamy do czynienia z kombinacj,! 'IjIarpfJ - rpa'ljlfJ). Jest to raczej lagodny rodzaj spl'!tania, albowiem superpozycja zachodzi tylko miydzy stanami, ktore s,! "nierozroznialne fizycznie", i stosuje siy jedynie do identycznych cz'!stek. Stany 'IjI(arpfJ ... x") i 'IjI[arpfJ ... x"l, odpowiednio dla bozonow i fermionow, S,! mozliwie najblizsze stanom "niespl,!tanym" i moglibysmy wrycz traktowae je jako stany "niespl,!tane". (W tym zapisie ogolny stan n bozonow, pafJ ... = p(afJ ... nie moze bye w ten sposob rozszczepiony. Podobnie nie da siy rozszczepie ogolnego stanu kwantowego n fermionow ~afJ .. K = ~lafJ.Kl). Posluguj,!c siy zapisem za pomoc,! wektorow "ket", moglibysmy uczynie zadose tym wymogom symetrii i antysymetrii dziyki wykorzystaniu pojycia "iloczynu klinowego" 1'IjI) /\ Irp) /\ •.• /\ Ix)l1, w ktorym odpowiednie wyrazy komutuj,! lub antykomutuj,! w zaleznosci od "stopnia" (gradacji, grades) poszczegolnych czynnikow (zob. rozdz. 11.6). Aczkolwiek ten rodzaj "spl'!tania", z jakim mamy do czynienia w przypadku identycznych bozonow lub fermionow, jest stosunkowo "nieszkodliwy" (pozwala raczej na zredukowanie niz zwiykszenie wielkiej liczby alternatywnych mozliwosci, jakie S,! dozwolone dla stanow kwantowych), to znamy przynajmniej jedn,! jego znacz'!C'! konsekwencjy w odniesieniu do efektow na dUZych odleglosciach. Hanbury Brown i Twiss (1954, 1956) wykorzystali bozonow'! "spl'!tan'!" natury fotonow docieraj,!cych na Ziemiy z przeciwnych krancow jednej z pobliskich gwiazd do pomiaru jej srednicy. Kiedy po raz pierwszy zaproponowali swoj,! metody pomiaru, spotkala siy ona z opozycj,! ze strony wielu (nawet wybitnych) specjalistow od fizyki kwantowej, ktorzy utrzymywali, ze "fotony mog,! interferowae jedynie ze sobq, a nie z innymi fotonami". W tej argumentacji przeoczyli fakt, ze te "inne fotony" stanowi,! czyse spl,!tanej bozonowej calosci. K
K
)
23.9 Teleportacja kwantowa Aby zakonczye ten rozdzial, wrocimy raz jeszcze do zagadek zwi,!zanych z interpretacj,! efektow EPR. W szczegolnosci przypomnijmy narzucaj,!CY siy konflikt ze szczegoln'! teori'! wzglydnosci: mozna odniese wrazenie, ze "porozumiewanie siy miydzy sob,!" cz'!stek w eksperymencie EPR nie respektuje warunku Einsteina, ze zaden sygnal nie moze rozchodzie siy z prydkosciq wiyksz,! niz prydkose swiatla. Aby rzucie wiycej swiatla na ten problem, przedstawiy inn,! tajemnicz,! implikacjy spl,!tania kwantowego, znan,! pod nazw'! teleportacji kwantowej. W moim przekonaniu wiedzie nas ona w kierunku zagadnien, ktore musimy przeba-
571
23
Splqtany swiat kwantowy
572
dae, jesli chcemy wlasciwie zrozumiee problemy, jakie przed nami stawiaj,! efekty EPR. Co prawda wchodzimy w ten sposob na terytoriurn, ktore wielu wolaloby omijae z daleka i - jak zobaczymy - wcale nie bez racji! Co oznacza termin "teleportacja"? Pojycie to wywoluje wyobrazenia wydrowek miydzygwiezdnych, gdy obraz Kapitana Kirka i jego zalogi zostaje przeslany na powierzchniy niezbadanej planety, ale aby przy tym przesylaniu zachowana byla "tozsamose" osoby, konieczne jest wierne przekazanie aktualnych stanow kwantowych wszystkich cz,!stek, a nie tylko przeslanie jakiegos klasycznego rejestru ich polozen. Taka perspektywa rna ty filozoficzn'! zalety, ze procedura teleportacji nie moze bye uZyta do wyprodukowania duplikatu teleportowanego osobnika, co pozwala nam unikn'!e rozstrzygania subtelnej zagadki, ktory z nich reprezentuje swoj prawdziwy "strumien swiadornosci"12. Dlaczego nie jest mozliwe skopiowanie nieznanego stanu kwantowego? Kwestia ta zostala w sposob przekonuj'!cy rozstrzygniyta w 0publikowanej literaturze 13 , ale na podstawie przedstawionych tu zasad mozemy zauwaZye, ze taka mozliwose prowadzi do sprzecznosci z procedurami kwantowymi VIR. Jezeli nie zamierzamy zniszczye oryginalu, to nie jestesmy w stanie utworzye dokladnej kopii, wiyc z cal,! pewnosci,! nie rnozemy utworzye dwu identycznych kopii nieznanego stanu kwantowego. Dlaczego? Albowiem, gdyby to bylo mozliwe, powtarzaj,!c proces kopiowania, moglibysmy wyprodukowae 4 kopie, nastypnie 8, 16 itd. Wyobrazmy sobie, ze mamy do czynienia z prostym spinowym stanem kwantowym 171) cz'!stki masywnej o spinie Kopiuj,!c ten stan wielokrotnie, moglibysmy otrzymae stan 171)171) ... 171) = \7171 ... 71), ktory, dla dostatecznie dUZych rnomentow pydu, moglby zostae zmierzony klasycznie, i wyznaczye przestrzenny kierunek 71. Oznacza to, ze uzyskalismy metody pomiaru aktualnego stanu kwantowego (z dokladnosci,! do czynnika proporcjonalnosci). Nie zezwalaj'! na to standardowe procedury VIR rnechaniki kwantowej. Jedyny pomiar na stanie kwantowym 171) jest okreslony przez pewien operator hermitowski (albo normalny); zezwala na niego procedura R, ale stawia ona nastt(puj,!C'! kwestit(: "Czy spin stanu jest ustawiony w kierunku ~? Odpowiedz TAK lub NIE". Po dokonaniu pomiaru spin ukladu znajdzie siy alba w badanym kierunku ~ (TAK), alba w kierunku przeciwnym" (NIE). Istniej,! tei: inne mozliwosci pomiarow, ktore mozemy przeprowadzie, jesli uwai:amy, ze stan spinowy jest spl,!tany z innymi (wkrotce zapoznamy sit( z ich znaczeniem). Jezeli jednak badany stan traktujemy jako niespl,!tany ze swiatem zewnytrznym, to nic nie mozemy zrobie poza przeprowadzeniem na nim bezposredniego pomiaru. Wszystko, czyrn dysponujemy, to prost a odpowiedz TAK/NIE, a wit(c zaledwie jeden bit (cyfra w systemie binarnym) informacji. Mozemy obracae aparatem pomiarowym, jak nam siy tylko podoba, ale w zaden sposob nie dowiemy siy, w jakim kierunku, 71, wektor spinu aktualnie wskazuje. To prawda, ze ten kierunek jest wyrozniony, bo jest jedynyrn, w ktorym odpowiedz TAK uzyskujemy z cal,! pewnosci,! (z prawdopodobienstwern 1), ale z gory go nie znamy. (Gdyby ktos ustalil ten stan kwantowy i powiedzial
t.
Teleportacja kwantowa
23.9
nam, ze kierunek spinu jest /I, wowczas moglibysmy go skopiowae; ale problem jest postawiony inaczej: my badamy nieznany uprzednio stan kwantowy i taki stan chcielibysmy skopiowae.) Teleportacja kwantowa zmierza do pneslania stanu kwantowego z jednego miejsca winne, powiedzmy, ze statku kosmicznego Enterprise Kapitana Kirka na powierzchniy niezbadanej planety. Mechanika kwantowa nie stawia zadnych przeszkod takiemu przedsiywziyciu; istotnie, mozemy fizycznie przeniese caly obiekt kwantowy z jednego miejsca winne. Przypuszczamy jednak, ze przy takim transporcie wyst,!pi zbyt wiele czynnikow zaklocaj,!cych, aby to przeniesienie obiektu kwantowego czy dowolnego sygnalu kwantowego bylo wiarygodne. Warunki takie dopuszczaj'! jedynie przesylanie zwyklych, klasycznych informacji, lecz klasyczny system przekazu sygnalow nie pozwala na przeslanie stanu kwantowego. Przyczyna tego powinna bye jasna: sygnaly klaSYCZne, ze wzglydu na ich natury, mog,! bye kopiowane. Gdybysmy mogli uZywae ich do przesylania stanow kwantowych, to stany kwantowe teZ moglyby bye kopiowane, a to, jak wykazalismy, jest niemozliwe. Najpierw powinnismy odpowiednio przygotowae siy do takich operacji. Poniewaz "niezbadana planeta" niespecjalnie siy do tego nadaje, sprobujmy skorzystae z pomocy mojego kolegi na Tytanie i moze uda siy przeslae do niego nieznany stan kwantowy cz'!stki 0 spinie To "przygotowanie siy" wymaga, zeby kazdy z nas dysponowal po jednym elemencie z pary cz,!stek 0 spinie jakie wystypuj,! w doswiadczeniu EPR. Przypusemy, ze mamy do czynienia z cz,!stkami, ktorych wspolny stan wyjsciowy charakteryzuje siy spinem 0, tak jak w eksperymencie EPR w wersji Bohma. Zakladamy, ze nie powinnismy polegae na transmisji stanow kwantowych przez niezmierzone przestworza miydzy Ziemi,! a Tytanem. Ale wyobrazmy sobie, ze jakies piye lat temu, zanim moj kolega wyruszyl w podroz na Tytana, kazdy z nas zabral sobie po jednej z cz,!stek tej spl,!tanej pary i udalo siy nam utrzymae je w doskonalej izolacji od wszystkich zewnytrznych zaburzen. Jesli nasze cz'!stki pozostan,! w takim stanie do czasu powrotu kolegi na Ziemiy, to wtedy bydziemy mogli dokonae ich pol,!czenia i powinnismy znowu uzyskae stan 0 spinie o. Przypusemy teraz, ze inny moj kolega przyniosl mi inn,! cz'!stky 0 spinie ktor'! zachowywal w doskonalej izolacji od czynnikow zewnytrznych, i prosil, zebym natychmiast przeslal stan spinowy tej cz'!stki, nienaruszony, do kolegi na Tytanie. Maj,!c na uwadze fakt, ze obecne warunki nie zezwalaj,! na wiarygodne przeslanie stanu kwantowego przez przestworza miydzy Ziemi,! a Tytanem, mogy wyslae jedynie sygnal klasyczny. Zanim jednak do tego przyst,!piy, przenoszy ty now'! cz'!stky do miejsca, w ktorym przechowujy moj,! cz'!stky z eksperymentu EPR, i l'!czy je ze sob'!. Kazda z cz'!stek rna spin a wiyc razem ich stany tworz'! uklad 4-wymiarowy (gdyby nie spl'!tanie miydzy moj,! cz'!stk'! a cz'!stk'! u mojego kolegi na Tytanie, bylaby to przestrzen H4). Nastypnie dokonujy pomiaru na tej parze cz,!stek i pomiar ten rozroznia cztery ortogonalne stany (stany te nazywamy stanami Bella):
573
t.
t,
t,
t,
23
Splqtany swiat kwantowy
(0) 11')1-.1.-) - 1-.1.- )11'), (1) 11')11') -1-.1.-)1-.1.-), (2) 11')11') + 1-.1.-)I.J...), (3) 11')1.J...) + 1.J...)11')· Wynik tego pomiaru przesylam do kolegi na Tytanie, posluguj,!c si« zwykl,! klasyczn,! metod'! przesylania sygnalow, powiedzmy, koduj« odpowiednio kazdy z otrzymanych stanow za pomoq liczb 0, 1, 2, 3. Kolega po otrzymaniu ode mnie sygnalu wyjmuje drugi skladnik pary EPR, do tej pory starannie zabezpieczony przed jakimikolwiek zaburzeniami, i wykonuje na nim nast«puj,!ce obroty: (0) nie robi nic, (1) obraca 0 k,!t 1800 wokol osix, (2) obraca
0
k,!t 1800 wokol osiy, 0
(3) obraca 0 k,!t 180 wokol osi z. Mozemy sprawdzie bezposrednim rachunkiem, ze t'! drog,! uzyskujemy skuteczn'! "teleportacj«" stanu kwantowego cz'!stki mojego kolegi na Tytana[23.lO J• Szczegolnie zadziwiaj,!ce w przypadku teleportacji kwantowej jest to, ze choe przeslalem mojemu koledze zaledwie 2 bity klasycznej informacji (jedn,! z liczb 0, 1,2,3, ktore moglyby bye zakodowane jako, odpowiednio, 00, 01,10,11), udalo mi si« przekazae "informacj«" 0 polozeniu punktu na calej sferze Riemanna; przypomnijmy sobie rys. 22.10. W przypadku klasycznym do uzyskania pelnej dokladnosci potrzebowalibysmy informacji zawartej w nieograniczonej mozliwosci wyboru jednego punktu z calego kontinuum: dokladnie ~o bitow (zob. rozdz. 16.3, 4). W jaki sposob tego dokonalismy? W tym miejscu musz« powiedziee, ze zostaly przeprowadzone rzeczywiste eksperymenty, ktore w peini potwierdzaj,! przewidywania teleportacji kwantowomechanicznej (oczywiscie, na odleglosciach rz«du metrow, a nie Ziemia-Saturn)l\ wi«c musimy to traktowae jak najbardziej powaznie. I nie tylko to, rowniez szybko rozwijaj,!ca si« dziedzina kryptografii kwantowej zalei:y od post«pu w analizie tak ogolnych problemow, podobnie jak wiele innych koncepcji komputeryzacji kwantowej. Spojrzmy na rys. 23.7. Jest to diagram czasoprzestrzenny, na ktorym ukazane zostaly linie swiata: moja i obu moich kolegow oraz, co wazniejsze, wszystkich cz,!stek bior'!cych udzial w tym zdarzeniu, razem z klasycznym sygnalem, ktory wyslalem do kolegi na Tytanie. W jakis sposob "informacja" 0 kierunku spinu, jakim charakteryzuje si« cz'!stka przyniesiona przez me go przyjaciela (zaznaczona
574
1m [23.10] Sprawdi to, korzystajqc Z odpowiednich konwencji dotyczqcych osi itp.
Teleportacja kwantowa Ja
23.9
Kolega
II.e)
Przyjaciel
Rys. 23.7. "Teleportacja kwantowa" ukazuj~ca akauzaln~ propagacjl( quanglementu. Diagram czasoprzestrzenny ilustruje proces, w trakcie ktorego nieznany stan kwantowy (11.e» cz~stki 0 spinie dostarczonej przez mega przyjaciela, moie bye przekazany do innego kolegi na Tytanie za pomoc~ transmisji zaledwie 2 bitow klasycznej informacji (przy zaloieniu, ie ten kolega i ja podzielilismy sil( uprzednio par~ cz~stek EPR). Linia kropkowana ukazuje akauzaln~ drogl( quanglementu.
t,
Spin 0
przez ket 11l:», zostala przekazana na powierzchnit( Tytana, pomimo ze wyslany sygnal zawieral tylko 2 bity informacji. Jak to sit( stalo, ze do mojego kolegi dotarly wszystkie (~o) bity? Niektorzy uwazajq, ze pozbt(dziemy sit( tych klopotow, jesli przyjmiemy stanowisko, iz stany kwantowe nie Sq "czyms realnym", poniewaz - powiedzmy"nie Sq mierzalne". Taki sposob patrzenia na otaczaj<j.CY nas swiat jest dla mnie nie do przyjt(cia. Kierunek, jaki spin przyjmuje w stanie kwantowym, dostarcza bowiem bardzo konkretnej informacji 0 otaczaj,!cej rzeczywistosci. Na przyklad jesli ktos (na Tytanie) zdecyduje sit( dokonac pomiaru spinu w tym szczegolnym kierunku, i tylko w tym szczegolnym kierunku, to otrzyma odpowiedZ TAK ze stuprocentow<j. pewnosciq. Co wit(cej, moj przyjaciel albo jakis przyjaciel mega przyjaciela mogl przygotowac swoj,! cZ<j.stkt( w taki sposob, zeby jej spin byl skierowany w stront( z gory zadanq, a mimo to wynik pomiaru na Tytanie w tym samym (lub odwrotnym) kierunku bylby rowniez calkowicie pewny. Wszystko to wydaje mi sit( w pelni realne. (Nie naleZy zrazac sit( faktem, ze moje przyklady S,! trocht( fantastyczne; istotna jest zasada!) Przyjrzyjmy sit( raz jeszcze rys. 23.7. Od mojego przyjaciela do ko1egi na Tytanie zostala przekazana informacja, ale kanal klasyczny (zaledwie 2 bity) jest stanowczo za w<j.ski, aby mozna bylo przeslac pozostalych ~o bitow. Jednak odpowiednie lqcze istnieje. Sklada sit( z niewielkiego odcinka drogi od mojego przyjaciela do mnie, dlugiego odcinka - wstecz w czasie - ode mnie do naszej zrodlowej pary czqstek EPR, oraz bardzo dlugiej drogi od tego pocz'!tku do mojego kolegi umiejscowionego na Tytanie. To naprawdt( jedyne pol,!czenie mit(dzy nami, ktore sluZy do przekazania poz,!danej informacji. Prob1emem jest, oczywiscie, ow fragment drogi sit(gaj,!cy 5 lat wstecz!
t
575
23
Splqtany swiat kwantowy
23.10 Quanglement Chcy powiedziec jasno, ze nie mam zamiaru popierac pomyslu przesylania w przeszlosc zwyldej informacji (ani tego, ze za pomocq efektow EPR klasyczna informacja maze rozchodzic siy z szybkosciq przekraczajqcq prydkosc Swiatla; zob. dalej). Takie koncepcje prowadzilyby do wielu paradoksow, a jednak ich nie znajdujemy (powrocy do tych problemow w rozdz. 30.6). Informacja, w potocznym sensie tego slowa, nie maze cofac siy w czasie. Przedmiot moich rozwaian nazywamy zwykle informacjq kwantowq. Maim zdaniem dodanie przymiotnika "kwantowa" w niedostatecznym stopniu zrywa asocjacjy ze zwyldq informacjq i dlatego wysuwam propozycjy nowego okreslenia15 , ktore lepiej oddaje istoty rzeczy, a mianowicie terminu QUANGLEMENT A zatem, przynajmniej na uiytek czytelnikow tej ksiqiki, to, co powszechnie nazywa siy "informacjq kwantowq", ja bydy okreslal jako quanglement (QY·l. Termin ten przywoluje zwiqzek z "mechanikq kwantowq" (quantum mechanics) i kojarzy siy ze "splqtaniem" (entanglement), w sposob jak najbardziej wtasciwy. W tym tkwi istota Q, ktory rna rowniei wiele wspolnego z informacjq, ale sam informacjq nie jest. Nie istnieje mozliwosc przeslania zwyldego sygnalu za pomocq samego Q. Wynika to z faktu, ze mozemy rownie dobrze uZyc kanalow Q skierowanych ku przyszlosci, jak i tych skierowanych ku przesztosci. Gdyby Q stanowil przekazywalnq informacjy, to mozliwe byloby wysylanie wiadomosci w przeszlosc, a tak nie jest. J ednak Q moze byc uZyty w polqczeniu ze zwyldymi kanalami transmisji informacji i w ten sposob umozliwia nam osiqgniycie rezultatow, ktorych niepodobna uzyskac za pomocq normalnych technik sygnalizacyjnych. Sq to bardzo delikatne sprawy. Mozemy powiedziec, ze w pewnym sensie wlasnosci Q i jego zwiqzki z normalnq informacjq majq kluczowe znaczenie dla rozwiqzania takich zagadnien jak komputery kwantowe, kwantowa kryptografia i, z calq pewnosciq, kwantowa teleportacja. ile jestem w stanie to uzasadnic, scieiki Q Sq zawsze ograniczone stozkami swietlnymi, podobnie jak sciezki normalnej informacji, jednak sciezki Q majq takq nowq wlasnosc, ze mogq prowadzic zygzakiem w czasie, w przod i w tyl16, dajqc w efekcie "propagacjy przestrzennopodobnq". Poniewaz Q nie jest informacjq, wiyc nie rna mozliwosci, zeby sygnaty informacyjne byly przekazywane z szybkosciq wiykszq ad prydkosci swiatla. Istnieje rowniez zwiqzek miydzy Q a zwyldq geometriq przestrzennq (przez zwiqzek spinu ze sferq Riemanna, jak to przedstawiajq rys. 22.10, 22.13, 22.14), i ta relacja znajduje swoje odbicie przestrzenne w odwroceniu kierunku czasu, co rna interesujqce implikacje 17 • Bardziej szczegolowe omowienie tych zagadnien odwiodtoby jednak za daleko od naszego glownego celu.
o
576
[*] Ten nowy termin, wprowadzony przez Autora, nie znalazl do tej pory polskiego odpowiednika. Zostawiaj~c znalezienie wlasciwego slowa specjalistom w tym zakresie, ze wzgl ydu na sztucznosc okreslenia quanglement w brzmieniu polskim, zdecydowalem sit; na uZycie w tym miejscu samej litery Q (przyp. dum.).
Quanglement 23.10 ___ --t>--..... ___
bL:-:J---I~'''''''''''''Q.-1~ Krysztal nieliniowy
- - -__~-
- ~ -- -
Rys. 23.8. Parametryczna konwersja w d61. Emitowany przez laser foton, przechodz'lc przez odpowiedni "krysztal nieliniowy", wytwarza par~ foton6w spl'ltanych. 0 ich spl'ltaniu Swiadczy zachowanie si~ (tak jak w zjawisku EPR) skorelowanych stan6w polaryzacyjnych foton6w wt6mych, jak r6wniei fakt, ie ich 3-wymiarowe pl(dy musz'l sil( sumowac do wartosci pl(du fotonu wyjsciowego.
Jedno z najbardziej bezposrednich zastosowan idei Q pojawia siy w szczegolnych doswiadczeniach, w ktorych para spl'!tanych fotonow jestwytwarzana w wyniku procesu znanego pod nazw'! parametrycznej konwersji w dol (zob. rys. 23.8). Efekt taki wystypuje wtedy, gdy foton, emitowany przez laser, natrafia na specjalny rodzaj krysztalu (krysztal "nieliniowy"), ktory dokonuje jego konwersji w pary fotonow. Wytworzone w ten sposob fotony s,! spl,!tane na rozne sposoby. Ich pydy musz'! siy sumowae do wartosci pydu zrodlowego fotonu, a ich polaryzacje S,! ze sob,! zwi'!zane w podobny sposob jak w eksperymentach EPR, w przykladach poprzednio omawianych. W jednym z najbardziej zadziwiaj,!cych eksperymentow tego typu jeden z fotonow (foton A) po drodze do detektora D A przechodzi przez otwor 0 specjalnie dobranym ksztalcie. Drugi foton (foton B) przechodzi przez soczewky ustawion'! tak, zeby ognisko wypadalo w polozeniu detektora DB' Przy emisji kazdej pary fotonow polozenie detektoraD B zostaje nieznacznie przesuniyte. Obrazuje to schematycznie rys. 23.9a. Gdy tylko D A zarejestruje przechwycenie fotonu i foton zostanie zarejestrowany rowniez przez DB' zapisujemy ustawienie DB' Powtarzamy ty operacjy wiele razy, zapisuj,!c polozenia DB tylko wtedy, gdy jednoczeSnie nastypuje rejestracja w DA' W wyniku czego stopniowo powstaje obraz. Detektor DB odtwarza obraz otworu, przez ktory przechodzi foton A, pomimo ze zaden foton B nigdy tam nie dotarl! To tak, jakby detektor DB "widzial" ksztalt otworu, przez ktory przechodz,! fotony A, patrz,!c w czasie wstecz do momentu emisji fotonow w punkcie C, gdzie jest umiejscowiony krysztal, a nastypnie w prz6d, obserwuj,!c dalsze losy fotonu A. To jest mozliwe, albowiem ow proces "widzenia" jest osi,!gany dziyki fenomenowi spl'!tania. Owo przeskakiwanie tam i z powrotem w czasie jest wlasciwosci,! Q. Q pozwala rowniez wyznaczye sHy skupiania i polozenie soczewki. W tym celu wyobrazmy sobie, ze w punkcie emisji fotonow, C, ustawilismy zwierciadlo. Soczewky (skupiaj,!C 583
24
Elektron Diraca i antycz~stki
584
wysokie prawdopodobienstwo, ze energia ta moze doprowadzie do wykreowania cz'!stki razem z jej antycz'!stk'!. A zatem nie dose, ze za kazdym razem moze powstawae antycz,!stka, zawsze istnieje mozliwose, ze pojawi siy coraz wiycej cz'!stek, a kazdej z nich bydzie towarzyszyla odpowiadaj,!ca jej antycz'!stka. Nasza teoria relatywistyczna nie moze bye wiyC po prostu teori,! pojedynczych cz'!stek ani tez teori,! jakiejkolwiek ustalonej liczby cz'!stek. (W teorii kwantowej, jak siy o tym przekonamy, w szczegolnosci w rozdz. 25 i 26, jeZeli pojawia siy mozliwose jakiegos zdarzenia - na przyklad produkcji wielu par cz'!stka/antycz'!stka - to daje ona okreslony wklad w stan kwantowy.) Dlatego jesli chcemy skonstruowae teoriy cz'!stek relatywistycznych, to musi w niej wyst,!pie mozliwose kreacji nieograniczonej liczby cz'!stek. Takie stanowisko wyprowadza nas poza ramy zakreslone w rozdz. 21-24; ale w rozdz. 26 przekonamy siy, w jaki sposob kwantowa teoria pol a rozwi(!Zuje ten problem. I rzeczywiscie, zgodnie z powszechnie przyjytym pogl,!dem, zasadniczymi elementami takiej teorii s,! pola kwantowe, natomiast same cz'!stki traktuje siy jako "wzbudzenia pol". Dowiemy siy jednak, ze nie jest to jedyny mozliwy sposob ujycia kwantowej teorii pola. W rozdz. 25 i 26 zapoznamy siy z metod,! diagramow Feynmana, ktorej cech,! jest "cz'!stkowopodobny" punkt widzenia na podstawowe procesy konstruuj,!ce kwantow,! teoriy pola i zgodnie z ktor,! rzeczywiscie istnieje mozliwose kreacji i anihilacji nieograniczonej liczby cz,!stek. Warto zatrzymae siy nieco dluzej nad przyczynami, ktore lez,! u podstaw koncepcji kreacji cz,!stek jako podstawowej wlasciwosci relatywistycznej teorii kwantowej. Wci'!i zakladam, ze antycz,!stki istniej,!. Zasadniczym powodem, dla ktorego spodziewamy siy kreacji cz'!stek, jest znana formula Einsteina E = me 2• Energia jest, w zasadzie, wymienna z mas,! (e 2 jest jedynie wspolczynnikiem umozliwiaj,!cym przejscie od ui;ytych jednostek energii do jednostek masy). Jesli mamy dostatecznie duzo energii, wowczas mozna z niej wykreowae masy cz'!stki. Sarna mozliwose wyprodukowania masy cz'!stki nie wystarcza, aby w ten sposob utworzona zostala okreslona cz'!stka. Na ogol wystypuj,! roznego rodzaju zaehowane (addytywne) liczby kwantowe, takie jak ladunek elektryczny (lub inne, na przyklad liczba barionowa), ktore nie powinny ulec zmianie w wyniku jakiegos procesu fizycznego. Sarno przeksztalcenie energii, na przyklad w naladowan'! cz'!stky, stanowiloby pogwalcenie zasady zachowania ladunku (i to sarno dotyczy innych zachowanych wielkosci, takich jak liczba barionowa etc.). J esli jednak przyjmiemy zalozenie, ze kazdej cz,!stce odpowiada jej antycz'!stka, ktorej addytywne liczby kwantowe maj,! znak przeciwny do odpowiednich liczb kwantowych cz'!stki, wowczas z czystej energii mozemy wykreowae cz'!stky razem z odpowiadaj,!C'! jej antycz'!stk'! (zob. rys. 24.1). W takim procesie wszystkie addytywne liczby kwantowe byd,! zachowane. Masa spoczynkowa antycz,!stki (jest ona wielkosci,! nieaddytywn,!) jest jednak taka sarna jak mas a odpowiadaj,!cej jej cz,!stki. Aby wykreowae zarowno cz,!stky, jak i antycz'!stky, potrzebujemy dostatecznej ilosci energii - co najmniej dwa
Dodatnia okreslonosc energii w mechanice kwantowej
24.3
Rys. 24.1. Z energii moze powstac cz'!stka i odpowiadaj,!ca jej antycz'!stka. Wszystkie addytywne liczby kwantowe charakteryzuj,!ce antycz,!stk~ maj,! znaki przeciwne do odpowiednich liczb kwantowych cz'!stki. W ten spos6b zagwarantowane jest zachowanie tych wielkosci w procesie kreacji cz,!stek.
razy wi~cej, niz wynosi spoczynkowa masa/energia samej cz'!stki. I odwrotnie, jesli jakas cz'!stka okreslonego typu spotyka inn,! cz,!stk~, kt6ra odpowiada jej antycz,!stce, w6wczas mog,! one anihilowae si~ wzajemnie i wyprodukowae odpowiedni,! ilose energii. Ilose powstalej w ten spos6b energii musi bye co najmniej dwa razy wi~ksza od spoczynkowej masy/energii pojedynczej cz'!stki. W kaZdym procesie kreacji i anihilacji energia moze bye nawet wi~ksza od tej wartosci, poniewaZ cz,!stka i antycz,!stka mog,! bye w ruchu wzgl~dem siebie i z tym ruchem b~dzie zwi¥ana dodatkowa energia - energia kinetyczna - kt6r,! naleiy dodae do energii calkowitej. Wobec tego pojawienie si~ antycz'!stek zmusza nas do odejscia od schematu teorii kwantowej indywidualnych cz'!stek, kt6ry przedstawilismy w rozdzialach 21-23.
24.3 Dodatnia okreslonosc energii w mechanice kwantowej Powr6emy teraz na drog~, kt6ra nieodwolalnie wiedzie do z,!dania pojawienia si~ antycz'!stek w relatywistycznej teorii kwantowej. W tym celu konieczne b~dzie przeanalizowanie schematu mechaniki kwantowej z nieco bardziej fundamentalnego punktu widzenia niz do tej pory. Przypomnijmy najpierw podstawow'! postae r6wnania Schrodingera iii mp
at
= 'H1jJ.
Przypusemy, ze chcemy, aby nasz uklad kwantowy mial okreslon,! wartose energii E. Oznacza to (skoro 'H jest operatorem calkowitej energii ukladu) z,!danie, 'zeby 'H1jJ =E1jJ.
Zgodnie z kwantowomechanicznym procesem R (rozdz. 22.1, 5) taki stan 1jJ powstaje w wyniku przeprowadzenia na nim pomiaru, w kt6rym postawilismy pytanie: "jaka jest twoja energia?" i otrzymalismy odpowiedz ,,E". W6wczas r6wnanie Schrodingera m6wi nam, ze
585
24
Elektron Diraca i antycz~stki
Rozwi,!zanie tego rownania przyjmuje postae[Z4.1] ljJ =
C e-iEtln,
gdzie C nie zaleZy" od t (tzn. jest funkcj,! zespolon'! jedynie zmiennych przestrzennych). Teraz jest waine, zeby wartose energii E byla liczb,! dodatni,!. Stany 0 ujemnych wartosciach energii z roznych powodow nie s,! korzystne dla procesow kwantowomechanicznych (ich pojawienie sit( zwiastuje katastrofalne niestabilnosci ukladu 1)f24.Z1. Gdy energia E jest rzeczywiscie dodatnia, wowczas wspolczynnik -iE/ii, ktory stoi przed t w wykladniku (w e-iEt/h), jest ujemnq wielokrotnosci,! liczby i. Przypomnijmy sobie z rozdz. 9.5 (oraz przyp. 3 z rozdz. 9), ze funkcjt( ljJ(t) 0 takim charakterze albo kombinacjt( liniow,! takich funkcji nazywamy (choe to moze powodowae nieporozumienia) funkcj,! 0 cz~stosciach dodatnich. Przypomnijmy sobie rowniez, ze w rozdz. 9.3 rozwazalismy zagadnienie rozszczepienia funkcji f(x) (funkcji zmiennej rzeczywistej x) na jej czt(sci 0 czt(stosciach dodatnich i ujemnych, ale w zupelnie inny sposob, a mianowicie w terminach geometrii sfery Riemanna z• Wowczas mielismy do czynienia z porcj,! czystej matematyki. W takim przypadku os rzeczywista okrt(ca sit(, jeden raz, wokol rownika sfery Riemanna, czt(se funkcji f 0 czt(stosciach dodatnich moze rozci,!gae sit( - holomorficznie (zob. rozdz. 7.1) - na polkult( poludniow,!, a czt(se o czt(stosciach ujemnych na polnocn'!. W ten sposob odkrywamy godny uwagi Jizyczny powod, dla ktorego to pojt(cie jest takie wazne. Kazd,! porz'!dn'! funkcjt( falow'! (chociaz ona sarna nie musi bye stanem wlasnym operatora energii) powinnismy moc wyrazie w postaci kombinacji liniowej stanow wlasnych energii, a kazda wartose wlasna energii powinna bye dodatnia. Tak wit(c zaleznose od czasu kazdej przyzwoitej funkcji falowej powinna rzeczywiscie miee tt( kluczow'! wlasnose, ze jest funkcj,! 0 czt(stosciach dodatnich. Wydaje mi sit(, ze ten godny uwagi zwi,!zek mit(dzy istotnym wymogiem fizycznym a eleganck,! charakterystyk,! matematyczn,! jest kapitalnym przykladem glt(bokiej, subtelnej i rzeczywiscie tajemniczej spojnosci wyrafinowanych idei matematycznych i wewnt(trznej struktury naszego WszechSwiata. W nierelatywistycznej mechanice kwantowej czt(stosci dodatnie pojawiaj,! sit( niejako automatycznie, jako naturalna wlasciwose teorii, przy zalozeniu, ze hamiltonian odpowiada sensownemu problemowi fizycznemu, w ktorym energie klasyczne S,! dodatnie. Na przyklad w przypadku pojedynczej, swobodnej, nierelatywistycznej (bezspinowej) cz'!stki 0 (dodatniej) masie f1 otrzymujemy pro sty ha-
ta [24.1] Sprawdi, ze to jest rzeczywiscie rozwiqzanie tego r6wnania.
586
~ [24.2] Wyjasnij, dlaczego dodanie stalej K do hamiltonianu prowadzi do tego, ze wszystkie rozwiqzania r6wnania Schrodingera zostajq pomnozone przez ten sam czynnik. Wyznacz ten czynnik. ezy taka zmiana rna istotny wplyw na dynamiky kwantowq? Za16zmy, ze interesuje nas wplyw grawitacji na uklad kwantowy. Dlaczego nie mozemy w takiej sytuacji po prostu "zrenormalizowac" energii w ten spos6b?
Trudnosci z relatywistyczn~ formul~ energii
24.4
miltonian H = p2/2/1 (zob. rozdz. 20.2, 21.2). Wyraienie p2, a st,!d sam hamiltonian H, jest "dodatnio okreslone,,3 (rozdz. 13.8,9). Gdy rozpatrujemy rzecz w ramach fizyki klasycznej, mozemy powiedziee, ze dzieje siy tak, gdyz p2 jest sum'! kwadratow, a ta nie moze bye ujemna: p2 = P . P = (p/ + (py + (P3)2. W mechanice kwantowej p musimy zast,!pie przez -iVIi, gdzie V = (a/ax\ aJax2 , aJax3 ), "dodatnia okreslonose" odnosi siy teraz do wartosci wlasnych operatora _V2 (stany musz'! bye normalizowalne, a wiyc bye element ami odpowiedniej przestrzeni Hilberta H), i te wartosci znowu nie mog,! bye ujemne, z podobnych powodow jak w przypadku klasycznym [24.3].
24.4 Trudnosci z
relatywistyczn~ formul~
energii
Rozwazmy teraz relatywistyeznq cz'!stky kwantow'!. W tym przypadku hamiltonian otrzymujemy z relatywistycznego wyrazenia dla energii, w ktorym nie mamy p2/2/1, lecz [(e 2/1)2 + e2p2]~. Wyrazenie to bierze siy wprost z rownania (e 2/1)2 = E2 - e2p2 z rozdz. 18.7, gdzie /1 oznacza masy spoczynkow,! cz'!stki. Czytelnik, ktory martwi siy, ze to wyraienie nie wygl,!da tak jak p2/2/1, powinien wrocie do ewiczenia [18.20]. Mowi ono, na podstawie rozwiniycia [(e 2/1)2 + e2p2]! w szereg potygowy, ze znana relacja Einsteina E = me 2 zawarta jest w pierwszym czlonie tego rozwiniycia. Ten czlon stanowi wklad do energii, pochodzi od masy spoczynkowej cz'!stki i naleZy go dodae do energii kinetycznej ruchu cz'!stki. Natomiast drugi czlon rozwiniycia daje nam hamiltonian newtonowski p2/2/1 (energiy kinetyczn,!). W ten sposob moglibysmy uspokoie czytelnika, ze nasz hamiltonian relatywistyczny zostal wybrany wlasciwie! Chociai wygl,!daloby to dziwnie (i byloby niepedagogiczne), gdybysmy usilowali korzystae z rozwiniycia w szereg dla naszego hamiltonianu choeby dlatego, ze w przypadku gdy p2 > /1 2, szereg klasyczny nie jest nawet zbieZny. Co wiycej, przekonamy siy, ze pierwiastek kwadratowy (potyga polowkowa) w dokladnym wyrazeniu [(e 2/1)2 + ep2]~ i tak wprowadza wlasne, bardzo powazne klopoty w zwi,!zku z koniecznosci,! sprostania wymogowi zachowania dodatnich czystosci. Sprobujmy zrozumiee znaczenie tych problemow.
~ [24.3] R6wnanie Schrodingera rna w tym przypadku postae
iftp/at = (ih/21l )V21jJ. Pokaz najpierw, ze dla stanu wlasnego energii E mamy _V21jJ = A1jJ, gdzie A = 21l1i-2E. Zastosuj twierdzenie Greena J"ljiv21jJd3x = - JV"Iji • V1jJd 3x, aby pokazae, ze dla stan6w normowalnychA musi bye dodatnie. (I odwrotnie, jest prawd1!, ze dla dodatnich A istnieje wiele rozwi1!zan r6wnania _V21jJ = A1jJ, kt6re zanikaj1! w nieskonczonosci, tak ze norma II1fJII pozostaje skonczona4 i mozemy je, jesli to potrzebne, unormowae do 1.) Pokaz, jak wyprowadzie twierdzenie Greena z podstawowego twierdzenia rachunku r6zniczkowego i calkowego form zewnytrznych.
587
24
Elektron Diraca i antyczqstki
Aby uniknqe niepotrzebnego nagromadzenia znakaw w naszych wyraZeniach, przejd(( z powrotem do jednostek, w ktarych pr((dkose swiatla jest rawna jednosci
c = 1, wobec czego nasz hamiltonian relatywistyczny przyjmie postae (z uwzgl((dnieniem energii spoczynkowej): 7-{
= (",Z + pZ)!.
Musimy pami((tae, ze w mechanice kwantowej pZ jest w rzeczywistosci operatorem razniczkowym cZqstkowym drugiego rz((du, _1izVz, a zatem potrzebujemy sporego wyrafmowania matematycznego, jesli chcemy przypisae sens wyraZeniu ("'Z - 1izVZ)t, ktare oznacza pierwiastek kwadratowy z cZqstkowego operatora razniczkowego! (Aby zdae sobie spraw(( z tej trudnosci, proSZ(( pomyslee 0 okresleniu sensu czegos takiego jak na przyklad ~1- d 2j dx 2 124 .41). Z tym wyrazeniem pierwiastkowym wiqze si(( powazniejsza trudnose, albowiem mamy tutaj niejednoznacznosc W okre.sleniu znaku. W fizyce klasycznej nie przejmujemy si(( takimi sprawami, poniewaZ wielkosci, ktare tam rozwazamy, Sq zwyklymi funkcjami rzeczywistymi i zawsze mozemy oddzielie wartosci dodatnie od ujemnych. W mechanice kwantowej jednak to zagadnienie nie przedstawia si(( tak latwo. Powodem jest cz((sciowo fakt, ze kwantowe funkcje falowe Sq zespolone i dwa razne pierwiastki kwadratowe z liczby zespolonej nie dzielq si(( tak ladnie na "dodatnie" i "ujemne" w sposab globalnie konsystentny (rozdz. 5.4). Nie mozemy zapominae 0 fakcie, ze mechanika kwantowa rna do czynienia z operatorami, ktare dzialajq na funkcje zespolone, i na przyklad pierwiastki kwadratowe mogq prowadzie do istotnych niejednoznacznosci, ktarych nie da si(( rozwiqzae po prostu przez powiedzenie "wezmy dodatni pierwiastek". Trudnose t(( mozemy zobrazowae inaczej. W mechanice kwantowej trzeba wziqe pod uwag(( razne fizyczne sytuacje, ktare "mogq" si(( zdarzye, mogi! dawae wklad do stanu kwantowego i dlatego majq wplyw na to, co rzeczywiscie si(( zdarza. Kiedy pojawia si(( pierwiastek kwadratowy, kazdq z dwu wartosci tego pierwiastka trzeba traktowae jako "mozliwose", a zatem nawet "niefizyczna energia ujemna" musi bye uwazana za "fizyczni! ewentualnose". Gdy tylko pojawia si(( mozliwose istnienia takiego stanu 0 ujemnej energii, implikuje ona zdolnose spontanicznego przejscia od stanu 0 energii dodatniej do energii ujemnej i to moze prowadzie do katastrofalnej niestabilnosci. W przypadku nierelatywistycznej czqstki swobodnej nie wyst((puje mozliwose pojawienia si(( ujemnej energii, poniewaZ dodatnio okreslona wielkose p2f2", nie zawiera tego nieprzyjemnego pierwiastka kwadratowego. Tymczasem wyraZenie relatywistyczne (",2 + p2)t jest bardziej problematyczne, nie mamy bowiem jasnej procedury pozbycia si(( ujemnych wartosci pierwiastkaw kwadratowych.
tm. [24.4] Zaproponuj cos, uZywaj,!c transform at Fouriera (rozdz. 9.4) albo rozwiniycia w sze-
588
reg potygowy, albo calki po konturze, albo czegokolwiek innego.
Nieinwariantnosc a/at
24.5
Okazuje siy, ze w przypadku pojedynczej cz'!stki swobodnej (albo w ukladzie nieoddzialuj,!cych ze sob,! takich cz'!stek) nie powoduje to rzeczywistej trudnosci, poniewaZ mozemy ograniczye siy do superpozycji takich rozwi,!zan swobodnego rownania Schrodingera, rozwazanych w rozdz. 21.5, ktore S,! falami plaskimi 0 dodatniej energii, i nie rna przejscia do stanow 0 energiach ujemnych. Kiedy jednak mamy do czynienia z oddzia/ywaniem, sytuacja siy komplikuje. Nawet w przypadku pojedynczej naladowanej cz'!stki relatywistycznej, w stalym zewnytrznym polu elektromagnetycznym, na ogol nie jestesmy w stanie ograniczye siy do CZystosci dodatnich. I tutaj zaczynamy odczuwae to "napiycie" miydzy zasadami mechaniki kwantowej i zasadami teorii wzglydnosci. Jak przekonamy siy w rozdz. 24.8, wielki fizyk Paul Dirac znalazl wyjscie z tej klopotliwej sytuacji. Na pocz,!tek zaproponowal niezwykle odkrywcze posuniycie o glybokich konsekwencjach - slynne rownanie dla elektronu - w ktorym w genialny i nieoczekiwany sposob potrafil pozbye siy tego klopotliwego pierwiastka kwadratowego. Odkrycie to pozwolilo wyeliminowae z rozwaZan energie ujemne, ale w efekcie prowadzilo do zdumiewaj,!cego wniosku: istnienia antyczqstek. Aby je zrozumiee, wroemy do rozwazenia tej istotnej cechy teorii wzglydnosci, ktora prowadzi do pojawienia siy pierwiastka kwadratowego.
24.5 Nieinwariantnosc
a/at
2 p2i'
Przypomnijmy zasadniczy powod, dla ktorego przyjylismy hamiltonian (11 + w przypadku relatywistycznym. Wziylo siy to st,!d, ze rownanie SchrMingera wprowadza operator a/at (tzn. "szybkose zmianyw czasie"), podczas gdyw teorii wzglydno sci a/at nie jest wielkosci,! niezmiennicz,!, gdyz czas i przestrzen nie mog,! bye rozwazane oddzielnie, lecz S,! jedynie szczegolnymi aspektami l,!cz,!cej je "czasoprzestrzeni". Z tego powodu nie jest "relatywistycznie niezmiennicze" rozwazanie a/at jako operacji 0 fundamentalnym znaczeniu. W rozdz. 21.3 stwierdzilismy, ze a/at w rownaniu SchrMingera jest wynikiem ogolnego "triku kwantyzacyjnego", polegaj,!cego na tym, ze standardowe czasoprzestrzenne 4-pydy Pa (a wiyc energiy E i ujemne 3-pydy -p) zastypujemy operatorami rozniczkowymi ina/ax: (tzn. energiy zastypujemy przez ilia/at, a -p przez iIiV). "Relatywistyczna nieinwariantnose" operatora a/at jest wiyc zwi,!zana z nieinwariantnosci,! energii. Podobnie jak w teorii wzglydnosci zmieszane s,! czas i przestrzen, tak zmieszane S,! rowniez energia i pydy (widzielismy to juz w rozdz. 18.7). Przypomnijmy sobie rowniez, ze relacja Einsteina E = mc 2 (w konwencji c = 1) oznacza, iz energia to masa, a masa to energia, a zatem masa rownieZ jest "nieinwariantna". Odnosi siy to jednak do addytywnej koncepcji "masy" (skladowej czasowej 4-wektora energii-pydu), ktora nie stanowi cechy wlasciwej samej cz'!stce, lecz jest mas,! mierzon,! w pewnym ukladzie odniesienia, ktory nie porusza siy z t'! sam,! prydkosci,! co cz'!stka. 1m wiyksza jest prydkose cz'!stki, tym wiyksza bydzie "dostrzegana" masa (i z tego wlasnie powodu m nie jest wielkosci,!
589
24
Elektron Diraca i antyczqstki
inwariantn,!). Dla danej cz'!stki masa spoczynkowa 11 jest niezmiennicza, ale klopot z mas,! spoczynkow,! polega na tym, ze nie jest addytywna i nie jest wielkosci,! zachowan'! przy transformacjach cz'!stki, dlatego nie nadaje sit( specjalnie na wielkose, ktor'! mozna przyrownae do hamiltonianu. Co wit(cej, 11 jest dana jako pierwiastek kwadratowy wyrazenia zawieraj,!cego energit( i pt(d, a mianowicie (skoro c = 1)
112 =Papa = m 2- p2, tzn. 11 = (m 2_ p2)t, jest nieco innym zapisem poprzedniego wyrazenia dla masy/energii m = E(= 1t), czyli m = (11 2+ p2)~. Warto tez rozwaZye, co by sit( stalo, gdybysmy w rownaniu typu rownania SchrMingera posluZyli sit( inwariantn,! energi,! spoczynkow,! 11 alba jej kwadrateml12 zamiast nieinwariantnej skladowej energii m. lesli zastosujemy "trik kwantyzacyjny" (tzn. zast,!pimy m przez ilia/at, a p przez -inV) do kwadratu energii spoczynkowej, a wit(c do 112 = m 2 - p2, to otrzymamy w wyniku (in)2 pomnozone przez operatorS CO
we wspolrzt(dnych Minkowskiego (f, x, y, z). Operator ten nosi nazwt( operafora falowego alba dalambercjanu['] i jest rzeczywiscie niezmienniczy. (Przypomnij-
my, ze (a/ax)2 oznacza operator drugiej pochodnej cz'!stkowej a2/ax 2itd.) Aczkolwiek konwencjonalne rownanie Schrodingera nie pozwala na bezposrednie zastosowanie tego operatora - z powodow wylozonych poprzednio rownanie Schrodingera wymaga uZycia pochodnej pierwszego rZt(du, a/af, a nie pochodnej drugiego rzt(du, (a/af)2 - to jednak mamy prawo antycypowae, ze rownanie drugiego rzt(du (in )20¢ = 112¢ (gdzie (in )20 uzyskuje sit( z 112 przez "trik kwantowania", a wystt(puj,!ce w rownaniu 11 oznacza mast( spoczynkow'!) bt(dzie mialo sens rownania falowego dla cz'!stki relatywistycznej. Rownanie to mozemy przepisae w postaci
(0 + Af)¢ = 0, gdzie M = l1/n i jest ono bardzo wazne w relatywistycznej teorii kwantowej. Zwykle nazywa sit( je "rownaniem Kleina-Gordona", choe wydaje sit(, ze Schrodinger pierwszy odkryl to niezmiennicze relatywistycznie rownanie wczesniej nawet niz bardziej znane "rownanie Schrodingera" (przedstawione w rozdz. 21.3t W kontekscie wspolczesnej kwantowej teorii pol a rownanie Kleina-Gordona interpretowane we wlasciwy sposob moze bye zastosowane do opisu masywnych cz,!stek bezspinowych, glownie tych, ktore nazywamy mezonami (s,! to cz,!stki 0 masach posrednich, takie jak piony lub kaony). lednak taka interpretacja wy-
590
[*] Od nazwiska matematyka francuskiego Jeana LeRond D'Alemberta. W polskich szkolach uZywa sit( na og6l nazwy "dalambercjan" alba "operator D'Alemberta" (przyp. dum.).
Clifforda-Diraca pierwiastek kwadratowy Z operatora D'Alemberta
24.6
maga rozwiniytego formalizmu kwantowej teorii pola, ktory byl w fazie zaledwie pocz'!tkowej, gdy Dirac w 1928 roku zaproponowal rownanie elektronu 0 zupelnie odmiennej postaci. Dirac uwazat, ze w takim rownaniu pochodna czasowa, a/at, powinna wyst,!pie jako pochodna pierwszego rZydu (jak w rownaniu Schrodingera), a nie w drugim rZydzie, jak w operatorze D'Alemberta. Argumenty Diraca byly w zasadzie podobne do poprzednio przedstawionych, ale gtowny z nich sprowadzal siy do tego, ze funkcja falowa cz'!stki powinna dawae nam wyrazenie na gystose prawdopodobienstwa znalezienia cz'!stki w dowolnie wybranym miejscu, tak j ak 'P'P w standardowej, nierelatywistycznej mechanice kwantowej (rozdz. 21. 9), i wielkose ta powinna bye dodatnio okrdlona, zeby prawdopodobienstwo nie moglo bye nigdy ujemne. To nie to sarno co zqdanie dodatniej okrdlonosci energii, ale z,!danie komplementarne 0 rownie istotnym znaczeniu 7 •
24.6 Clifforda-Diraca pierwiastek kwadratowy Z operatora 0' Alemberta Ten pozornie nierozwi,!zalny konflikt miydzy wymogami teorii wzglydnosci a potrzeb'! zachowania pochodnej pierwszego rZydu po czasie Dirac rozwi'!Zal genialnie i niezwykle prosto, uzyskat bowiem rownanie, ktorejest pierwszego rZydu w aJat, bior,!c jawnie pierwiastek kwadratowy z operatora D'Alemberta w subtelnie niezmienniczy relatywistycznie sposob. Udalo mu siy to dziyki wprowadzeniu dodatkowych wielkosci niekomutujqcych. W mechanice kwantowej takie wielkosci Sq uprawnione, poniewaz traktujemy je jako operatory liniowe dzialaj,!ce na funkcjy falow'! w podobny sposob jak niekomutuj,!ce operatory polozenia i pydu, z ktorymi zetknylismy siy juz w rozdz. 21.2. Jak siy wkrotce przekonamy, jest godne podziwu, ze te niekomutuj,!ce operatory wprowadzone przez Diraca opisuj,! zarowno fizyczne spinowe stopnie swobody najbardziej fundamentalnych fermionow wystypujqcych w Przyrodzie (zob. rozdz. 23.6), a mianowicie elektronow i protonow - znanych w czasach Diraca - jak i neutronow, mionow, kwarkow i wielu innych cz'!stek 0 spinie t, znanych obecnie. W istocie, wprowadzaj,!c te niekomutujqce wielkosci "spinowe", Dirac odkryl ponownie pewn'! realizacjy algebr Clifforda, z ktorymi zapoznalismy siy w rozdz. 11.5. Wydaje siy, ze nie wiedzial 0 istnieniu wczdniejszych prac Williama Kingdona Clifforda ani 0 fakcie, iz Clifford (1877), a wczesniej Hamilton, zauwaiyli, ze elementy tych algebr mog,! bye uiyte do "wyciqgniycia pierwiastka kwadratowego" z laplasjanu - a operator D'Alemberta stanowi szczegolny przypadek uogolnionego operatora Laplace'a, w ktorym mamy do czynienia z wymiarem 4 i sygnaturq + - - -. W rzeczy samej, 0 czym Clifford wiedzial, William Rowan Hamilton juz okolo 1840 roku pokazal, ze mozna wyci,!gn,!e pierwiastek kwadratowy z 3-wymiarowego operatora Laplace'a za pomoq kwaternionow 8 :
591
24
Elektron Diraca i antyczqstki
(zob. rozdz. 11.1). Procedura Clifforda pozwala na uogolnienie tego na wyisze wymiary9. Bye moie nie naleiy siy dziwie, ie Dirac nie zdawal sobie sprawy z odkryc Clifforda, dokonanych ponad pol wieku wczesniej, poniewai prace Clifford a nie byly znane takie wsrod licznych algebraikow w latach dwudziestych ubieglego stulecia. Ale nawet gdyby Dirac wczeSniej znal algebry Clifforda, to nadal za genialne trzeba uznae zrozumienie, ie tego rodzaju wielkosci maj,! wielkie znaczenie w mechanice kwantowej elektronu ze spinem, a to stanowi niespodziewany krok milowy w rozumieniu fizyki problemu. W przypadku Diraca musimy wyci,!gn,!e pierwiastek kwadratowy z operatora D'Alemberta, ktory jest 4-wymiarowyn (lorentzowskim) operatorem Laplace'a w geometrii Minkowskiego:
Stosujemy wiyc elementy lorentzowskiej algebry Clifforda, 10" " , 13, speiniaj,!ce relacje 1~ = 1, 1~
= -1,
1~ = -1, 1~
= -1.
W standardowej algebrze Clifford a (sygnatura + + '" +) kaidy z tych kwadratow winien bye rowny -1. Tutaj przyjmujy w odniesieniu do znakow standardow'! konwencjy stosowan,! przez fIzykow, w ktorej tylko kwadraty gamm przestrzennych zachowuj,!, jak u Clifford a, wartosci ujemne lO • Kwadrat gammy czasowej, 10 , jest dodatni. W tym sensie zastosowana przez Diraca algebra Clifforda jest "lorentzowska". Dla roinych gamm spelnione S,! relacje antykomutacji Clifforda (rozdz. 11.5):
1i1j = -'Yi 1j (i # j). Dirac posluiyl siy kluczowym faktem, ie operator D' Alemberta moie bye przedstawiony jako kwadrat operatora roiniczkowego pierwszego rZydu, zdefiniowanego za pomoc,! tych elementow algebry Clifforda[Z4.5] 0= (10a/at - 1Ia/ax -1za/ay - 13a/az)z.
Wyraienie to moiemy zapisac w bardziej zwarty sposob w notacji wektorowej, gdzie 1 = (11' 1z' 13), jako lub, jeszcze krocej, jako
Wielkose
592
a
(24.5] Sprawdz to.
R6wnanie Diraca
24.7
(z 'Ya = gab'Yb) nosi nazwy operatora Diraca. Ten wygodny "zapis z przekresleniem" a wprowadzil Richard Feynman. W tym zapisie dowolny wektor A moze bye przedstawiony za pomoq elementu algebry Clifforda-Diraca jako
24.7 R6wnanie Diraca Powroemy teraz do rownania Kleina-Gordona (0 + lvf)rp = O. Poslugujqc siy operatorem Diraca ~, mozemy sfaktoryzowae wielkose 0 + M-, ktora wystypuje w tym rownaniu:
0+ M- = ~2 + M- = (~ + iM)(~ - iM). gdzie M czyJi
= {tin.
Teraz rownanie Diraca dla elektronu przyjmuje postae
(~
+ iM)'ljJ = 0,
~'ljJ = -iM'ljJ.
Albo, przywracajqc jawnie ni masy spoczynkowq {t, n~'ljJ = -i{t'ljJ.
Z podanej faktoryzacji wynika jasno, ze kiedy spelnione jest rownanie Diraca, to spelnione musi bye rowniez rownanie Kleina-Gordona. (Odnosi siy to rowniez do "rownania anty-Diraca" (~ - iM)'ljJ = 0, ale jesli umowimy siy, ze dotyczy cZqstki o masie ujemnej -hM). Tak wiyc funkcje falowe, ktore spelniajq rownanie Diraca, mUSZq rowniez spelniae "rownanie falowe" rzqdzqce zachowaniem siy cZqstek relatywistycznych 0 masie spoczynkowej hM. Rownanie Diraca rna ty przewagy nad rownaniem Kleina-Gordona, ze jest rownaniem pierwszego rZydu w a/at. Dziyki temu rownanie Diraca mozna zapisae w postaci rownania Schr6dingera [24.6J
in
Z=
(in'Yo'Y·
v + 'Yo{t)'ljJ,
gdzie in'Yo'Y· v + 'Yo{t odgrywa roly operatora Hamiltona. Oczywiscie, takie wydzielenie operatora a/at nie jest relatywistycznie inwariantne, ale niezmiennicze jest cale rownanie Diraca ~'ljJ = - iM'ljJ. Aby siy 0 tym przekonae, konieczna jest staranna analiza relacji miydzy elementami algebry Clifforda a transformacjami Lorentza[24.7J. Wielu fizykow tamtego czasu doznalo swego rodzaju szoku, kiedy dowiedzieli siy, ze istniejq niezmienniki relatywistyczne niemieszczqce siy w ramach
tS [24.6] Pokaz to. ~
[24.7] Wyjasnij to. Wskaz6wka: uogolnij ewiczenie [22.18].
593
24
Elektron Diraca i antyczqstki
rachunku wektorowego i tensorowego (rozdz. 12 i 14). Od czasu powstania prac Diraca datuje siy rozw6j nowego formalizmu, znanego jako rachunek spinorowy't, kt6rego moiliwosci wykraczaj,! daleko poza 6wczesny konwencjonalny rachunek tensorowy/wektorowy. "Cen'!", jak,! musimy zaplacie za to kapitalne pozbycie siy pierwiastka kwadratowego mimo zachowania niezmienniczosci relatywistycznej, jest pojawienie siy dziwnych, niekomutuj,!cych element6w algebry Clifforda. Jakie jest ich znaczenie? No c6i, musimy traktowae je jako operatory dzialaj,!ce na funkcjy falow,!. Skoro te opera tory S,! nowymi elementami, niepochodz,!cymi bezposrednio od (niekomutuj,!cych) zmiennych poloienia i pydu cz,!stki, to musz'! one odnosie siy do nowych stopni swobody cz'!stki i dzialae na nie. Postawmy pytanie, jakiemu celowi fizycznemu slui,! te nowe stopnie swobody. Z obecnej perspektywy widzimy, ie odpowiedz zawiera siy w samym slowie "spinor" - nowe stopnie swobody opisuj,!spin elektronu'2. Przypomnijmy sobie, co stwierdzilismyw rozdz. 11.5: "Spinor moiemy traktowae jak obiekt, na kt6ry elementy algebry Clifforda dzialaj,! jak operatory". W r6wnaniu Diraca elementy algebry Clifford a dzialaj,! na funkcjy falow'! 'IjJ, a zatem sarna funkcja falowa musi bye spinorem. Ma ona dodatkowe stopnie swobody (ich natury poznamy niebawem), poza zaleinosci,! od poloienia i czasu, jak,! charakteryzuje siy zwykla skalarna funkcja falowa, i rzeczywiscie, te dodatkowe stopnie swobody opisuj,! spin elektronu! Teraz zaczynamy dostrzegae, jak niewiarygodnego osi,!gniycia dokonalismy za ceny sfaktoryzowania operatora Kleina-Gordona za pomoq element6w algebry Clifforda! Nie tylko otrzymalismy teoriy precyzyjnie opisuj,!c,! spin elektronu, ale po dodaniu do hamiltonianu standardowego wyrazu oddzialywania z zewnytrznym polem elektromagnetycznym - wyrazu, kt6ry wprowadza elektrodynamiky dokladnie zgodnie z "przepisami cechowania,,13 z rozdz. 19.4 i 21.9 - przekonujemy siy, ie elektron Diraca reaguje na pole elektromagnetyczne tak, jak powinna reagowae naladowana cz'!stka, z uwzglydnieniem subtelnych efekt6w zwi'!zanych z jego ruchem relatywistycznym. Nie tylko uzyskujemy poprawny opis zachowania siy elektronu jako cz'!stki naladowanej; elektron Diraca reaguje na pole elektromagnetyczne, jakby mial moment magnetyczny 0 bardzo specyficznej wielkosci:
h2e/4j1c, gdzie -e jest ladunkiem elektronu, a j1 jego mas'!. Inaczej m6wi,!c, elektron Diraca jest nie tylko elektrycznie naladowany, ale zachowuje siy jak maly magnes, kt6rego sHy przedstawia podana wartose. Zdumiewaj,!ce: precyzyjnie okreslona przez Diraca wielkose momentu magnetycznego elektronu jest bardzo bliska, z dokladnosci,! do jednego promila, wartosci wyznaczonej eksperymentalnie. Najdokladniejsze wsp6lczesne pomiary momentu magnetycznego elektronu r6ini,! siy od wartosci podanej przez Diraca 0 czynnik multiplikatywny
594
1,001 159 652 1188 ...
Diraca droga do odkrycia pozytronu
24.8
Ale nawet ta drobna roznica daje siy dzisiaj wyjasnie, z rownq dokladnosciq, za pomocq poprawek, ktore do tej teorii wnosi elektrodynamika kwantowa. W takiej teorii rownanie Diraca stanowi skladnik fundamentalny. Zgodnose przewidywan niewielkiego, subtelnego rownania Diraca ~l/J = - iMl/J z Naturq jest doprawdy nadzwyczajna!
24.8 Droga Diraca do odkrycia pozytronu
Ale to jeszcze nie koniec opowiesci; przedstawilismy zaledwie jej skromny pOCZqtek. Wydawae by siy moglo, ze w matematyce rownania Diraca dostrzegamy pewnq anomaliy, zwiqzanq ze spinem elektronu. Dotyczy ona liczby niezaleznych skladowych, ktore powinny charakteryzowae spinor Diraca l/J. Okazuje siy, ze l/J Diraca rna cztery niezaleZne skladowe, gdy tymczasem wydawaloby siy, ze stan spinowy czqstki 0 spinie powinien miee tylko dwie (zob. rozdz. 22.8). Sprobujmy przeanalizowae ten problem nieco dokladniej. W 1925 roku, niecale trzy lata przed pojawieniem siy rownania Diraca (1928), George Uhlenbeck i Samuel Goudsmit doszli do wniosku, ze elektron musi miee spin kwantowomechaniczny, zbudowany z dwoch podstawowych stanow spinowych. W 1927 roku Wolfgang Pauli pokazal, jak mozna opisae transformacje tych stanow pod wplywem obrotow za pomocq pojycia, nazwanego obecnie "macierzami Pauliego" (zob. rozdz. 22.8, a takZe obraz sfery Riemanna stanow spinu przedstawiony na rys. 22.10). Macierze Pauliego (ktore Sq w istocie kwaternionami z czynnikiem i) Sq rownieZ elementami algebry Clifforda, ale w przypadku grupy obrotow 3-wymiarowych[24.8J• Rzeczywiscie, istniejq powazne powody fizyczne, dla ktorych elektron powinien charakteryzowae siy dwoma stanami spinowymi. Cala nauka chemii, tak jak jq dzisiaj znamy, na tym siy opiera. W atomie elektrony otaczajqce jqdro Sq ograniczone do poruszania siy na orbitach okolojqdrowych, w okreslonych stanach kwantowych nazywanych "orbitalami" (zob. rozdz. 22.13). Na mocy zakazu Pauliego oczekujemy, ze zadna orbita elektronowa nie moze bye zajyta przez wiycej nizjeden elektron, tymczasem okazuje siy, iz na kazdej z nich znajdowae siy mogq dwa elektrony. Taka para moze wspolistniee i spelniae wymogi zakazu Pauliego, gdyz stany tych elektronow nie sq identyczne i charakteryzujq siy przeciwnymi spinami. Ten sam orbital mogq jednak zajmowae maksymalnie dwa elektrony, poniewaz mamy tylko dwa niezalezne stany spinowe elektronu. Zwiqzana jest z tym chemiczna koncepcja "wiqzania kowalentnego": dwa wspolne elektrony mogq koegzystowae w tym samym stanie, poniewaz ich spiny Sq przeciwne; zob. rys. 24.2.
t
t
jlI [24.8] Wyjasnij tc: uwagc:, posiuguj'lc sic: relacjami mic:dzy kwaternionami a elementami algebry Clifforda, przedstawionymi w rozdz. 11.5.
595
24
Elektron Diraca i antycz/tstki Rys. 24.2. Dow6d, ze spin elektronu wynosi (a) W atomie dwa elektrony, ale nie wi~cej, mogll zajmowac ten sam orbital. Dzieje si~ tak wtedy, gdy ich spiny Sll przeciwne, wobec czego zakaz Pauliego nie jest naruszony. (b) Chemiczne "wi1lZanie kowalentne" wprowadza pary eIektron6w 0 przeciwnych spinach na orbital, kt6ry jest wsp61ny dla dwu atom6w.
t.
(a)
(b)
W opisie Pauliego elektron jest wielkosci£! dwuskladnikow£!, l/JA = (l/Jo' l/Jj)' co odpowiada faktowi, ze macierze Pauliego s£! macierzami 2 x 2. Aby jednak spelnione byly reguly mnozenia Clifforda, algebry Clifforda-Diraca (70, 71' 72, 73) wymagaj£! macierzy 4 x 4[24.91. Tak wit(c elektron Diraca jest wielkosci£! 4-komponentoW£!, w odroznieniu od 2-skladnikowego "spinora Pauliego", ktory opisuje 2 niezalezne stany spinowe cz£!stki nierelatywistycznej 0 spinie (jak w rozdz. 22.8). Spin cz'!stki opisywanej rownaniem Diraca rna tylko dwie skladowe, niezaleZnie od faktu, ze funkcja falowa rna ich cztery. Z matematycznego punktu widzenia przyczyna tego wi,!ze sit( z faktem, ze rownanie Diraca ~l/J = - iMl/J jest pierwszego rzt(du, wobec czego przestrzen jego rozwi£!zan jest rozpit(ta przez jedynie polowt( rozwi£!zan w stosunku do rownania falowego drugiego rzt(du (0 + M)l/J = O. (To rownanie spelnione jest rowniez przez rownanie "anty-Diraca", ~l/J = +iMl/J, ktore jest rownaniem Diraca, ale z ujemn£! mas£! spoczynkow,! -M.) Natomiast z fizycznego punktu widzenia takie "liczenie,,14 rozwi£!zan rownania Diraca musi uwzglt(dniae fakt, ze w tych rozwi,!zaniach ukryte s£! rowniez stopnie swobody antycz£!stki elektronu, mianowicie pozytronu. Byloby jednak blt(dem uwazae, ze dwie skladowe rownania Diraca odnosz'! sit( do elektronu, a dwie pozostale do pozytronu. Problem jest duzo bardziej subtelny, 0 czym niebawem sit( przekonamy. Przypomnijmy, ze glownym powodem, ktory sklonil nas do zajt(cia sit( rownaniem Diraca, byly niepoz£!dane rozwi£!zania rownania Schrodingera 0 czt(stosciach ujemnych (tj. ujemnej energii). Okazalo sit(, pomimo calego naszego (czy raczej Diraca) sprytu i cit(zkiej PraCY przy eliminowaniu pierwiastka kwadratowego w hamiltonianie, ze rozwi'!Zaniami rownania Diraca nie s£! jedynie te 0 dodatnich czt(stosciach. Tak jak we wczesniejszych podejsciach, wl,!czenie oddzialywan, na przyklad z zewnt(trznym polem elektromagnetycznym, powoduje, ze fale pocz'!tkowo charakteryzuj£!ce sit( czt(stosciami dodatnimi nabieraj,! czt(stosci ujemnych. To jednak nie zniecht(cilo Diraca. Kiedy przekonal sit(, ze rozwi,!zania 0 czt(stosciach ujemnych nie mog£! bye z teorii wyeliminowane, przyj£!l inny punkt widzenia. COZ w koncu jest takiego groznego w rozwi,!zaniach 0 ujemnych czt(stosciach? Problem polega na tym, ze jesli istnialyby stany 0 ujemnej energii, wowczas
t
!§ [24.9] Wyjasnij, dlaczego macierze 2 x 2 takich wymagaiJ. nie spelniajq. Znajdz odpo-
596
wiedni zbi6r macierzy 4 x 4.
Diraca droga do odkrycia pozytronu
24.8
elektron moglby spasc na taki stan, emituj,!c energil(, a gdyby takich stanow byla nieograniczona ilosc, to moglaby sil( pojawic katastrofalna niestabilnosc, kiedy wszystkie elektrony wpadalyby w te stany ujemnej energii, 0 coraz wil(kszej energii ujemnej, emituj1!c, bez ograniczen, coraz wil(cej energii. Dirac rozumowal w ten sposob: elektrony spelniaj1! zakaz Pauliego, a z niego wynika, ze elektron nie moze przejsc do stanu, ktory jest juz zajl(ty przez inny elektron. Przedstawil wil(c zdumiewaj,!c,! sugestil(, ze wszystkie stany energetyczne 0 ujemnej energii powinny byc juz zajl(te! Ten obszar zajl(tych stanow 0 ujemnej energii nazywamy obecnie "morzem Diraca". A zatem, zgodnie z t'! "szalon1! koncepcj1!" Diraca, rzeczywiscie uwazamy, ze stany 0 ujemnej energii s1! zajl(te, wobec czego, na mocy zakazu Pauliego, elektron nie moze sil( tam juz dostac. Dalej Dirac rozumowal nastl(puj,!co: co by sil( moglo zdarzyc, gdyby kilka takich stanow 0 energii ujemnej okazalo sil( niezajl(tych? Taka "dziura" w morzu stanow 0 ujemnej energii zachowywalaby sil( podobnie do cz'!stki 0 energii dodatniej (a wil(c 0 dodatniej masie), ale ktorej ladunek elektryczny bylby przeciwny do ladunku elektronu. Taki pusty stan 0 ujemnej energii moglby teraz zostac zajl(ty przez elektron; a wil(c elektron moglby "wpasc" do takiego stanu, emituj,!c przy tym energil( (normalnie, w postaci promieniowania elektromagnetycznego, a wil(c fotonow). Wynikiem takiego zdarzenia bylabywzajemna anihilacja "dziury" i elektronu, w taki sposob, jaki dzisiaj przypisujemy anihilacji cz'!stki i jej antycz'!stki (rys. 24.3a). I odwrotnie, gdyby pocz1!tkowo w tym "morzu" nie bylo zadnej dziury, wowczas wprowadzenie do ukladu dostatecznej ilosci energii (powiedzmy, w postaci fotonow) mogloby wyrzucic elektron ze stanu 0 ujemnej energii i wykreowac dziurl( (rys. 24.3b). "Dziura" Diraca jest rzeczywiscie antycz,!stk,! elektronu i nosi obecnie nazwl( pozytronu. Pocz'!tkowo Dirac wstrzymywal sil( z ogloszeniem, ze jego teoria rzeczywiscie przewiduje istnienie antycz'!stek elektronow, podejrzewaj,!c (w 1929 roku), ze
lal
Ibl
Rys. 24.3. Pozytrony jako "dziury" w morzu Diraca stan6w elektronowych 0 ujemnej energii. Dirac zasugerowal, ze prawie wszystkie stany elektronowe 0 ujemnych energiach sll zaj~te, wobec czego zakaz Pauliego uniemozliwia elektronowi pojawienie si~ w takim stanie. Gdyby gdzies pojawil si~ jakiS stan niezaj~ty - "dziura" w tym morzu stan6w ujemnej energii - wygllldalby on jak antyelektron (pozytron), majllcy energi~ dodatnill. (a) Wpadni~cie elektronu w takll dziur~ moze bye interpretowane jako anihilacja elektronu i pozytronu z wydzieleniem energii r6wnej sumie dodatnich wklad6w od elektronu i pozytronu. (b) I odwrotnie, jesli w morzu nie rna zadnej dziury, w6wczas dostarczenie energii moze wytworzye par~ elektron-pozytron. (Rysunek jest wy1llcznie schematyczny i narysowana struktura siatkowa nie rna zwillzku z rzeczywistym morzem Diraca.)
597
24
Elektron Diraca i antyczqstki
tymi "dziurami" moglyby bye protony, jedyne w6wczas znane cZqstki masywne 0 ladunku dodatnim. Nie trzeba bylo jednak dlugo czekactS na dow6d, ze masa kazdej z tych dziur jest dokladnie r6wna masie elektronu, a nie masie protonu, kt6ra jest okolo 1836 razy wiyksza. W 1931 roku Dirac doszedl ostatecznie do wniosku, ze dziury muszq bye "antyelektronami" - cZqstkami w6wczas nieznanymi, a dzisiaj zwanymi pozytronami. W rok po ogloszeniu teorii Diraca Carl Anderson oznajmil o odkryciu cZqstki, kt6ra rna dokladnie takie wlasnosci, jakie przewidzial Dirac: zostala odkryta pierwsza antyczqstka!
Przypisy Rozdzial 24.3 Z technicznego punktu widzenia katastrofy mozemy unikn,!c, jesli energia jest "ograniczona z dolu", co oznacza, ze jest zawsze wiyksza od pewnej ustalonej wartosci Eo, kt6ra moze byc ujemna. W takim przypadku mozemy "zrenormalizowac" energiy przez dodanie -Eo do hamiltonianu, co spowoduje, ze wszystkie wartosci wlasne energii byd,! znowu dodatnie. 2 Powstaje pewna subtelnosc przy traktowaniu punktu 00, poniewaz istnieje prawdopodobieiistwo, ze funkcja f bydzie tam osobliwa. W takim przypadku odpowiednie jest podejscie hiperfunkcyjne z rozdz. 9.7; zob. Bailey et al. (1982). 3 Dla scislosci powinnismy powiedziec, ze jest p610kreslony dodatnio, poniewaz spektrum (ci,!gle) wartosci wlasnych rozci,!ga siy do zera (i zawiera zero). 4 Zob. Shankar (1994) na temat zastosowania do mechaniki kwantowej, a Arfken, Weber (2000) - dyskusja og6lna. 1
Rozdzial24.5 Niekt6rzy definiuj,! ten operator z przeciwnym znakiem, poniewaz zwykle przyjmuje siy konwencjy + + + - dla sygnatury, podczas gdy ja uZywam tutaj sygnatury + - - -. 6 Zob. Pais (1986); Miller (2003); Dirac (1983). Jak siy wydaje, Schr6dingerem kierowac mogly motywacje natury zar6wno estetycznej, jak i erotycznej! 7 Pol,!czenie obu tych warunk6w stanowi istotny element dowodu twierdzenia CPT, z kt6rym zapoznamy siy w rozdz. 25.4.
5
Rozdzial 24.6 Zob. Trautman (1997), czytelnik znajdzie tu om6wienie tych "pierwiastkowych" idei. 9 Zob. Clifford (1882), s. 778-815; zob. takZe Lounesto (2001) tu problem jest potraktowany bardziej og6lnie. 10 Ta konwencja raczej nie zgadza siy z t'!, jakiej zwykle uZywaj,! matematycy zob. Harvey (1990); Budinich, Trautman (1988); Lounesto (2001); Lawson, Michelson (1990) - a takZe z moj,! wlasn'!, por. Penrose, Rindler (1986, dodatek), jesli, jak tutaj, przyjmuje siy dla czasoprzestrzeni sygnatury + - - -. R6wnanie definiuj,!ce dla og6lnej algebry Clifforda to: 7/Yj - 7j1i = -2gij' Rozdzial 24.7 11 Zob. Clifford (1878); Cartan (1966); van der Waerden (1929); Infeld, van der Waerden (1933). W zapisie 2-spinorowym z rozdz. 22.8 prowadzi to do "zygzakowej" postaci r6wnania Diraca, ktor'! poznamy w rozdz. 25.2. 12 Jak siy wydaje, termin "spinor" wprowadzil, w liscie do Bartela van der Waerdena, Paul Ehrenfest. 8
598
Przypisy
13
Ten dodatkowy wyraz wynosi ieJ, gdzie J = gabA;h iAa jest potencjalem elektromagnetycznym. Sprowadza sit( to w istocie do zastqpienia operatora 1 przez 1- ieJ[24.101•
Rozdzial24.8 14 W r6wnaniach relatywistycznych najlatwiej przeprowadzic liczenie rozwiqzan za pomocq metody "zbior6w dokladnych" w rachunku 2-spinorowym, zob. Penrose, Rindler (1984). 15 Pract( tt( wykonali Igor Tamm, Hermann Weyl i J. Robert Oppenheimer. W pracy Oppenheimera (1930) przedstawiony jest spos6b rozumowania, kt6ry ich inspirowal. Z zagadnieniem pozytronu zwiqzane Sq pewne subtelnosci, kt6rych omawianie w tym miejscu zaprowadziloby nas za daleko; zob. Zee (2003), gdzie przedstawiona jest kompletna, scisla i urzekajqca teoria tego problemu.
~
[24.10] Wyjasnij, dlaczego m6wimy, ze jest to standardowy "przepis cechowania".
25 Model standardowy fizyki cZ'lstek elementarnych 25.1 Poczqtki wsp6fczesnej fizyki czqstek elementarnych
POJAWIENIE siy r6wnania Diraca dla elektronu stanowilo pod wieloma wzglydami punkt zwrotny w dziejach wsp6lczesnej fizyki. Gdy Dirac przedstawil je w 1928 roku, jedynymi znanymi czqstkami elementarnymi byly elektrony, pro tony i fotony. Swobodne r6wnania Maxwella opisujq foton, kt6rego istnienie przewidzial w 1905 roku Einstein. Te idee zostaly nastypnie rozwiniyte przez Einsteina, Bosego i innych, aZ w 1927 roku Jordan i Pauli przedstawili calosciowy schemat matematyczny opisujqcy swobodne fotony, zgodnie ze skwantowanq teoriq swobodnego pola Maxwella. Ponadto wydawalo siy, ze zar6wno proton, jak i elektron zostaly dobrze opisane r6wnaniem Diraca. Istoty oddzialywania elektromagnetycznego, kt6re przedstawia wplyw foton6w na elektrony i protony, znakomicie oddaje pomysl Diraca wprowadzajqcy transformacjy cechowania (idey ty pierwszy przedstawil w 1918 roku Weyl; zob. rozdz. 19.4). W ten spos6b sam Dirac, juz w 1927 roku, stworzyl podwaliny pelnej teorii elektron6w (tub proton6w) oddzialujqcych z fotonami (tzn. elektrodynamiki kwantowejt Wydawalo siy, ze mamy juz w rykach wlasciwe narzydzie i mozna przystqpic do opisu wszystkich znanych czqstek elementarnych Przyrody oraz ich najbardziej widocznych oddzialywan. Pomimo to wielu 6wczesnych fizyk6w nie bylo tak latwowiernych, zeby uwazac, iz w tym stanie rzeczy mozna juz zbudowac "teoriy wszystkiego". Zdawali sobie sprawy, ze bez dalszego zasadniczego postypu nie da siy wyjasnic ani sil wiqzqcych jqdra atomowe - dzisiaj nazywamy je oddzialywaniami silnymi - ani mechanizmu odpowiedzialnego za rozpad radioaktywny - w tym przypadku m6wimy o oddzialywaniach slabych. Gdyby protony i elektrony Diraca, oddzialujqce tylko silami elektromagnetycznymi, stanowily jedyne skladniki atom6w, lqcznie z ich jqdrami, w6wczas wszystkie normalne jqdra atomowe (opr6cz pojedynczego protonu, kt6ry sam stanowi jqdro atomu wodoru), w wyniku odpychania elektrostatycznego miydzy ich ladunkami dodatnimi, musialyby siy natychmiast rozpasc. Koniecznie muszq istniec jakies inne czynniki, dziyki kt6rym powstaje bardzo silne oddzialywanie przyciqgajqce wewnqtrz jqdra! W 1932 roku Chadwick dokonal odkrycia neutronu i wtedy zdano sobie sprawy, ze popularny do tej pory model proton/elektron zostanie zastqpiony innym, w kt6rym obecne bydq zar6wno protony,
Zygzakowy model elektronu
25.2
jak i neutrony oraz bardzo silne oddzialywanie proton-neutron, utrzymuj,!ce j,!dro w catosci. Jednak nawet wprowadzenie tego silnego oddzialywania nie wystarcza do wyjasnienia wszystkich zagadkowych faktow. Od czasow odkrycia przez Henri Becquerela w 1896 roku zjawiska radioaktywnosci uranu fenomen ten zostal uznany za wynik jeszcze innego rodzaju oddzialywan, tak zwanych oddzialywafi slabych, roinych od oddzialywan silnych i elektromagnetycznych. Nawet neutron podlega samoistnemu rozpadowi radioaktywnemu w okresie okolo 15 minut. Jednym z tajemniczych produktow tego rozpadu okazalo sit( nieuchwytne neutrino, ktorego istnienie jeszcze w 1929 roku postulowal Pauli, ale ktorego nie moina bylo doSwiadczalnie zaobserwowae ai do 1956 roku. To wlasnie badanie promieniotworczosci nadalo fizykom i fizyce rozglos i wplywy, szczegolnie pod koniec II wojny swiatowej i bezposrednio po niej ... Od tamtych czasow zrobilismy ogromny krok naprzod w zrozumieniu fizyki cz,!stek elementarnych. W XXI wiek wchodzimy z bardziej kompletnym modelem, znanym pod nazw,! modelu standardowego. Jestesmy przekonani, ie ujmuje on znakomicie prawie wszystkie znane obecnie fakty dotycz'!ce ogromnego zbioru cz,!stek. Do fotonu, elektronu, protonu, pozytronu, neutronu i neutrina dol,!czyly roine inne neutrina, mion, piony (przewidziane teoretycznie przez Yukawt( w 1934 roku), kaony, cz'!stki lambda i sigma oraz slynna ze wzglt(du na sposob jej odkrycia cz'!stka omega-minus. W 1955 roku udalo sit( bezposrednio zaobserwowae antyproton, a w 1956 antyneutron. Znaleziono ponadto cz'!stki, takie jak kwarki, gluony, bozony W i Z; cal,! mast( cz'!stek tak krotko iyj,!cych, ie nigdy nie udalo sit( zaobserwowae ich bezposrednio; mowi sit( 0 nich jedynie jako 0 "rezonansach". Formalizm wspotczesnej teorii wymaga rowniei istnienia bytow przejsciowych, nazywanych cz,!stkami "wirtualnymi", s,! takie wielkosci znane jako "duchy", ktore jeszcze trudniej zaobserwowae bezposrednio. Mamy do czynienia z oszalamiaj,!c,! ilosci,! roinych cz'!stek, dot,!d niezaobserwowanych, ale przewidywanych przez pewne modele teoretyczne, aczkolwiek ich istnienie nie wynika z powszechnie akceptowanej teorii cz'!stek elementarnych. Nalei,! do nich rozmaite "bozony X", "aksjony", "fotina", "skwarki", "gluina", "monopole magnetyczne", "dylatony" etc. Pojawia sit( wreszcie tajemnicza cz,!stka Higgsa, wci
B nv A 'f3B' =
2-1I2M a A •
Operatory VA B' i VB'A S,! po prostu 2-spinorow,! wersj,! zwyklego operatora gradientu V. Nie przejmujmy siy wszystkimi tymi indeksami, czynnikiem 2-112 ani tym, sk,!d wziyly siy takie wyrazenia. Zapisalem je tutaj, aby pokazac, w jaki sposob rownanie Diraca miesci siy w ogolnym formalizmie rachunku 2-spinorowego oraz ze kiedy siy tego dokona, mozemy odkryc nowe wlasnosci tego rownania4• Z postaci tych rownan wnioskujemy, ze elektron Diraca mozna traktowac jako skladaj,!CY siy z dwoch skladnikow, aA i f3B ,. Jestesmy tei w stanie przedstawic interpretacjy fizyczn,! tych skladnikow. Wyobraimy sobie, ze S,! to dwie "cz'!stki", jedna reprezentowana przez a A , a druga przez f3A " kazda z nich bezmasowa[2S.1 J, ktore nieustannie "zamieniaj,! siy" jedna w drug'!. Nazwijmy te cz'!stki "zyg" i "zak", niech a A opisuje zyg, a f3A , - zak[·J. Poniewaz S,! bezmasowe, mog,! wiyc poruszac siy z prydkosci,! swiatia, jednak wyobraiamy sobie, ze poruszaj,! siy "zygzakiem", w ktorym ruch do przodu cz'!stki zyg jest nieustannie zamieniany na ruch wstecz cz'!stki zak i vice versa. W rzeczywistosci jest to obraz zjawiska okreslanego jako Zitterbewegung, w ktorym chwilowy ruch elektronu odbywa siy zawsze z prydkosci,! swiatla, ale ze wzglydu na to zygzakowanie w przod i w tyl srednia prydkosc ruchu elektronu jest mniejsza od prydkosci swiatlas. Kazdy z tych skladnikow charakteryzuje spin wokol kierunku ruchu, 0 wielkosci przy czym spin cz'!stki zyg jest lewoskrytny, a zak - prawoskrytny. (Wi'!ze siy to z faktem, ze spinor aA , odpowiadaj,!cy cz,!stce zyg, rna indeks nieprimowany, co wynika ze skrytnosci ujemnej, podczas gdy f3 B , dla zak rna indeks primowany, co oznacza skrytnosc dodatni'!. Wszystko to odnosi siy do dyskusji, ktor'! przeprowadzimy w rozdz. 33.6-8, wiyc
tn,
602
fa [25.1] Korzystajqc z r6wnania Weyla opisujqcego neutrino, podanego w rozdz. 25.3, wyjasnij, dlaczego a A i fJA , mozna uwazac za bezmasowe cZqstki, sprzygniyte oddzialywaniem, kt6re zamienia jednq w drugq. [*] W tym miejscu Autor wprowadza terminologiy w pelni niestandardowq i w Polsce, jak dotqd, nieuiywanq (przyp. Hum.).
Zygzakowy model elektronu
25.2
nie wchodzimy tutaj w szczegoly.) Zauwazmy tylko, ze chociaz kierunek prt(dkosci stale sit( zmienia, to w spoczynkowym ukladzie odniesienia elektronu kierunek spinu pozostaje zachowany (rys. 25.1). W takiej interpretacji czqstka zyg odgrywa rolt( zrodla dla czqstki zak, i odwrotnie, natomiast wielkosc stalej sprzt(zenia jest okreslona przez M. Na rys. 25.2 przedstawilem graficznie wklad tego procesu do pelnego "prop agatora Feynmana" (zob. rozdz. 26.7) w duchu diagramow Feynmana6, ktorymi zajmiemy sit( bliZej w nastt(pnym rozdziale. KaZdy element tego "zygzakowego" procesu rna skonczonq dlugosc, ale wszystkie razem, z "zygzakami" 0 stale rosnqcej dlugosci, skladajq sit( na calkowity propagator elektronu, co obrazuje macierz 2 x 2 na rys. 25.2. Czqstka zyg staje sit( cZqstkq zak, nastt(pnie zak przechodzi w zyg, zyg staje sit( z powrotem zak i tak dalej. Okazuje sit(, ze w calym tym procesie srednia czt(stosc zmiany jest odwrotnie proporcjonalna do masowej stalej sprzt(zenia M; istotnie, odpowiada ona cz~stosci fali de Broglie'a elektronu (zob. rozdz. 21.4). W tym miejscu muszt( zrobic zastrzdenie do interpretacji diagramow Feynmana. Mamy peIne prawo uwazac przedstawiony schemat za czasoprzestrzenny opis procesu, ktory rzeczywiscie zachodzi; jednak na poziomie kwantowym musimy pamit(tac, ze nawet w przypadku pojedynczej cZqstki jednoczesnie zachodzi bardzo wiele takich procesow. Kazdy indywidualny proces musimy rozpatrywac jako biorqcy udzial w jakiejs ogromnej kwantowej superpozycji wielkiej liczby roznych procesow. Aktualny stan kwantowy ukladu jest okreslony przez calq tt( superpozycjt(. Pojedynczy graf Feynmana reprezentuje jedynie jeden jej element.
(b)
(a)
t)
Rys. 25.1. Zygzakowy obraz elektronu. (a) Elektron (albo innll cZllStky masywnll 0 spinie mozemy sobie wyobraZae w czasoprzestrzeni jako oscylujllcll miydzy bezmasowll !ewoskrytnll cZllstkll zyg (skrytnose jak opisana przez nieprimowany 2-spinor aA albo, w czysciej stosowanej wsrod fizykow notacji, przez czyse uzyskanll w wyniku rzutowania za pomocll 75 oraz prawoskrytnll bezmasowll cZllstkll zak (skrytnose + jak opisana przez 2-spinor primowany f3B" jest to czyse wyrzutowana przez + 75 KaZda z nich stanowi zrodlo dla drugiej, przy czym masa spoczynkowa odgrywa roly stalej sprzyzenia. (b) W 3-przestrzeni, w ukladzie spoczynkowym elektronu, mamy do czynienia z nieustannym odwracaniem kierunku prydkosci (zawsze rownej prydkosci swiada), jednak kierunek spinu pozostaje staty. (Dla przejrzystosci narysowany obraz niezupetnie odpowiada sytuacji w ukladzie spoczynkowym elektronu, ktory jest tutaj przedstawiony jako nieznacznie dryfujllCY na prawo).
-t,
t,
t(l -
»
t(l
»'
603
25
Model standardowy fizyki cZqstek elementarnych
I
~
'" + + i
+ + }+
- 2; zob. rozdz. 15.8, 19.2.) Z ograniczonego charakteru zbioru diagramow na rys. 25.12 wynika, ze raczej nie moze istniec zupelna symetria miydzy wszystkimi bozonami cechowania. W jaki sposob mozemy pogodzic to pozornie oczywiste zlamanie symetrii z postawionym celem stworzenia jednolitej symetrycznej teorii? Przede wszystkim powinnismy sobie uswiadomic, ze w diagramach Feynmana ukrywa siy duzo wiycej symetrii, niz siy na pierwszy rzut oka wydaje. W istocie, jesli przyjrzymy sit( im w odpowiedni sposob, to okaZe siy, ze majq one symetriy grupy V(2). Przeanalizujmy najpierw dwa diagramy na rys. 25.12. Aby 1epiej zrozumiec ty ukrytq symetriy, wyobrazmy sobie macierz hermitowskq (zob. rozdz. 13.9) 2 x 2. Niech jej dwa neczywiste elementy diagonalne odpowiadajq ZO i y, natomiast pozostale dwa elementy poza diagonalq - zespolone sprzyzone wzglydem siebie - odpowiadajq W+ i W-. Rzeczywisty charakter elementow diagonalnych ZO i y jest taki sam jak odpowiadajqcych im antyczqstek (linie bez strzalek na rys. 25.12), natomiast sprzyzony zespolony charakter elementow pozadiagonalnych jest odzwierciedleniem faktu, ze W+ i W- Sq swoimi wzajemnymi antyczqstkami (co odpowiada odwroceniu kierunku strzalki przy przechodzeniu od jednej do drugiej). Ogolna transformacja V(2) zastosowana do tej macierzy hermitowskiej (musimy pamiytac, ze oznacza to pomnozenie z lewej strony przez odpowiedniq macierz V (2) i pomnozenie z prawej przez jej odwrotnosc) dokonuje "przemieszczenia" jej elemen tow w scis1e okreslony sposob, ale charakter hermitowski zawsze zostaje zachowany. W bardzo podobny sposob grupa V(l) dziala w teorii elektroslabej Uedyna komplikacja jest zwiqzana z tym, ze musimy dopuscic kombinacjy liniowq elementow diagonalnych ze sladem, ktory w tej identyfikacji jest zwiqzany z "kqtern Weinberga", do czego przejdziemy w rozdz. 25.7). Asymetria, ktorq pozornie dostrzegamy w rzeczywistym swiecie, w odniesieniu do tych czqstek pojawia siy w teorii elektroslabej stqd, ze Natura wybiera pewne specjalne kombinacje liniowe - tzn. szczegolne superpozycje kwantowe tych element6w - ktore wystt(pujq jako rzeczywiste czqstki swobodne. Ale co z innymi wyraznymi przejawami asymetrii w naszych diagramach Feynmana, na ktorych ZO oraz W± mogq byc dolqczone jedynie do linii zyg, podczas gdy y moze byc dolqczone zarowno do zyg, jak i do zak? Tutaj znowu pojawia siy kwestia tego rodzaju: jakie superpozycje Natura dopuszcza jako cz'!stki swobodne? Na przyklad wezmy szczegoln'! superpozycjy ZO i y, nazwijmy jq Y, ktora dostrzega tylko czysc zak czqstki. (Z grubsza biorqc: "wyjmijmy" ZO z y tak, zeby wyeliminowac oddzialywanie zyg, pozostawiajqc jedynie zak.) Gdyby Natura dokonala innego wyboru, moglibysmy odtworzyc nasze poczqtkowe y z ZO i Y, lecz wtedy pojawiloby siy wiele innych mozliwych superpozycji, ktore moglyby rownie dobrze odgrywac roly fotonu. Dlatego nasuwa siy kluczowe pytanie: wedlug jakich kryteriow Natura pozwala nam odkryc pewne szczegolne superpozycje kwantowe jako cz'!stki swobod-
Grupa symetrii oddzialywan elektroslabych
25.5
ne, a innych nie? Zasadniczo odpowiedz tkwi w tym, ze w przypadku cZqstki swobodnej wymagamy, by realizowala ona stan wlasny masy, a zatem musimy wiedziee, co determinuje w ogolnym przypadku masy czqstek. W takim razie nie mozemy oczekiwae pelnej symetrii wzglydem grupy U(2); innymi slowy, pojawienie siy masy jest zwiqzane zjakimszlamaniem symetrii. lak to siy przedstawia w modelu standardowym? Zwykle uwaza siy, ze ta asymetria, ktorq obecnie obselWUjemy w oddzialywaniach cZqstek, jest rezultatem pewnego spontanicznego zlamania symetrii, z wczesnego okresu rozwoju naszego WszechSwiata. Zanim to nastqpilo, warunki panujqce we WszechSwiecie byly istotnie rozne od tych, ktore obecnie postrzegamy, a standardowa teoria oddzialywan elektrostabych glosi, ze w nadzwyczaj wysokich temperaturach, jakie wystypowaly we wczesnym okresie rozwoju, symetria U(2) byla spelniona dokladnie. W takich warunkach W+, W-, ZO i Y bylyby najzupelniej ekwiwalentne wielu innym zbiorom superpozycji kwantowych stanow tych cZqstek, a foton y bylby traktowany na rowni z wszelkiego rodzaju kombinacjami liniowymi, jakie mozna by w ten sposob utworzye. lednak zgodnie z tq hipotezq wraz z obniZeniem siy temperatury Wszechswiata (do okolo 1016 K po uplywie mniej wiycej 10-12 sekundy po Wielkim Wybuchu; zob. rozdz. 28.1-3) te szczegolne W+, W-, ZO i y, ktore dzisiaj obselWUjemy, zostaly "wymrozone" przez proces spontanicznego lamania symetrii. Z tego calkowicie symetrycznego zbioru rozmaitych mozliwosci wydzielone wiyc zostaly cztery cZqstki, z ktorymi mamy do czynienia. Trzy z nich uzyskaly masy, Sq to dzisiejsze W+, W- i ZO, podczas gdy czwarta pozostala bezmasowa i nosi nazwy fotonu. W pieIWotnej, "czystej", niezlamanej wersji tej teorii, gdy wystypowala pelna symetria U(2), zarowno W+, W-, ZO, jak i y musiaty bye efektywnie bezmasowe. lako fundamentalny aspekt tej hipotezy lamania symetrii pojawia siy cZqstka/pole znane pod naZWq cZqstki/pola Higgsa. Pole Higgsa uwaza siy za odpowiedzialne za przyporzqdkowanie masy wszystkim tym cZqstkom (tqcznie z samq czqstkq Higgsa), a takZe kwarkom, z ktorych zlozone Sq inne cZqstki wystypujqce we WszechSwiecie. W jaki sposob pole Higgsa tego dokonuje? Peine przedstawienie szczegotow tych nadzwyczaj pomyslowych i godnych podziwu koncepcji musi pozostae poza zakresem tej ksi,!zki, ale niektore ich elementy przedstawiy pozniej, w rozdz. 26.11 i 28.1. W tej chwili najlatwiej zrozumiemy roly pola Higgsa (aczkolwiek w sposob dalece niepelny), odwolujqc siy do "zygzakowego" opisu elektronu Diraca, przedstawionego na rys. 25.2. Przypomnijmy wiyc, ze elektron rozpatrywalismy tam jako ciqgte oscylacje miydzy lewoskrytnq cZysci,! zyg (aA) a prawoskrytnq zak (/3B')' przy czym kazda z nich osobno byla bezmasowa. Wystypowata tam "stata sprzyzenia" 2-l/2M odpowiedzialna za wzajemne przechodzenie, jedna w drugq, tych czysci spinora Diraca. Teoria Higgsa kaie patrzee na 2-1!2M jako na pole - pole Higgsa - ktore wchodzi w oddziatywanie w tym miejscu, w ktorym poprzednio pojawiala siy ta stala sprzyzenia (zob. rys. 25.13). Jej wartose pozwala ustalie ogoln,! skaly wartosci mas wszystkich cZqstek, przy czym roznice poszczegolnych mas zwiqzane Sq z czynnikami 615 liczbowymi, zaleznymi od detali charakterystycznych dla kaidej konkretnej czqstki.
25
Model standardowy fizyki cZqstek elementarnych
,,
,
Rys. 25.13. W zygzakowym obrazie cZ'lstki Diraca wierzcholki tego diagramu moina uwaiac za oddzialywania ze (stalym) poJem Higgsa.
BliZsze om6wienie tych niezwyklych idei znajdziemy w rozdz. 28.1-3. Warto pamiC(tac, ze dziC(ki nim powstala jednolita teoria oddzialywan slabych i elektromagnetycznych - teoria oddzialywan elektroslabych 13 - i okazala siC( wielkim sukcesem. Potrafila ona przewidziec istnienie ZO Oak r6wniei W±, aczkolwiek istnienie W± przewidywaly juz wczeSniejsze koncepcje), a takZe szczeg6lne wartosci mas W± i ZO (okolo 80 i 90 Gev, odpowiednio)14. Cz'!stki W± i ZOzostaly po raz pierwszy zaobserwowane w 1983 roku w eksperymencie przeprowadzonym w CERN w Genewie. Wyznaczone wartosci mas bardzo dobrze zgadzaly siC( z przewidywaniami teorii i wynosily odpowiednio 81,4 i 91,2 Ge V. Przy tej okazji potwierdzono tei obserwacyjnie wiele innych przewidywan teorii i obecnie teoria oddzialywan elektroslabych rna bardzo mocn,! pozycjC(.
25.6 Czqstki silnie oddziafujqce
616
Ajak przedstawia siC( sprawa oddzialywan silnych? Wsp6lczesna teoria, kt6raje opisuje, stanowi drug,! "polowC(" modelu standardowego i nazywana jest chromodynamikq kwantowq lub kr6tko QCD. Nazwa ta zaskakuje, poniewaZ pochodzi od greckiego slowa chroma - "kolor" i dlatego nasuwa siC( pytanie: jakie moze byc miejsce "koloru" w teorii silnych oddzialywan, kt6re rz,!dz,! silami j,!drowymi? Jest to po prostu niezbyt precyzyjne okreslenie i nie rna zadnego zwi(!Zku z normalnym rozumieniem koloru, kt6re odnosi siC( do czC(stosci drgan widzialnego Swiatla15. Abywyjasnic, jak,! rolC( moze odgrywac pojC(cie "koloru" w O,!drowej) fizyce cz,!stek, musimy cofn,!c siC( troszkC( i rozwaZyc zbi6r cz,!stek znanych pod nazw,! hadronow, kt6rych szczeg6lnymi przykladami S,! neutrony i protony. Slowo "hadron" jest pochodzenia greckiego, a hadros znaczy "gruby, duZy". Hadrony nalez'! do bardziej masywnych podstawowych cz'!stek Przyrody i uczestnicz,! w silnych oddzialywaniach (energetyczny wklad tych oddzialywan odpowia-
Czqstki silnie oddzialujqce
25.6
da za znaczn"! czt(se ich masy). Rodzina hadron6w zawiera te fermiony, kt6re okreslamy mianem "barion6w", oraz te bozony, kt6re nazywamy "mezonami". W teorii konwencjonalnej uwaza sit(, ze wszystkie hadrony s,,! zlozone z kwarkow, 0 kt6rych zaraz powiemy wit(cej. W szczeg61nosci hadron ami wystt(puj,,!cymi pod nazw,,! barionow s,,! zwykie "nukleony" (neutrony i protony) oraz ich cit(zsi kuzyni, nosz,,!cy nazwt( "hiperon6w" (cz"!stki te zostaly odkryte w strumieniach promieni kosmicznych oraz w akceleratorach cz,,!stek). Istnienie mezon6w przewidziai teoretycznie w 1934 roku japonski fizyk Hideki Yukawa na podstawie analizy sit j,,!drowych. Mezony te, nazywane dzisiajpionami (mezonami n), znalezione zostalyw 1947 roku przez c.F. Powella w badaniach slad6w promieni kosmicznych. Dzisiaj znamy jui wiele innych mezon6w, pokrewnych pionom. Termin "barion" pochodzi od greckiego barys, co znaczy "cit(zki", w przeciwienstwie do "leptonu", kt6ry pochodzi od leptos - "maly". Leptonami s,,! elektron i jego cz"!stki siostrzane, takie jak mion, taon oraz odpowiadaj,,!ce im neutrina; ich antycz"!stki okreslane s,,! mianem antyleptonow. Zar6wno leptony, jak i bariony s,,! fermionami 0 spinie Leptony odr6znia od barion6w fakt, ze nie bior,,! one udzialu w silnych oddzialywaniach, co jest moze bye gl6wnym "powodem", dla kt6rego leptony nie s,,! tak masywne jak bariony (chociai wyj"!tkiem jest tu taon, kt6rego masa jest prawie dwa razy wit(ksza od masy protonu lub neutronu). Od konca lat 40. ubieglego wieku w promieniach kosmicznych i akcelerato"had ronow: ' AO, ",± ~- ~O A++ A± AO grac h 0 dkryto ogromn,,! 1'1osc """ , ",0 """ , .:::. , .:::. ,u , u , u , , p°, p± ,w°, TlO, K±, KO oraz szereg cit(zszych wersji wielu z nich, charakteryzuj,,!cych sit( wyzszym spinem (co tutaj bt(dziemy zaznaczali przez dodanie gwiazdki do odpowiedniego symbolu, np. S*-), 0 kt6rych m6wimy jako 0 "rekurencjach Reggego" (zob. rys. 31.6). Wszystko to mogloby nas kompletnie zniecht(cie, gdyby nie fakt, ze cz"!stki te grupuj,,! sit( w pewne rodziny, nazywane multipletami. Naturt( multiplet6w udalo sit( zrozumiee (dokonali tego Murray Gell-Mann i Yuval Ne'eman w 1961 roku) dzit(ki temu, ze tworz"! one reprezentacje grupy SU(3) albo, scislej m6wi,,!c, grupy SU(3)/Z3 (zob. rozdz. 13.6, gdzie wyjasniamy pojt(cie "reprezentacji", oraz rozdz. 13.2, w kt6rym przedstawiamy pojt(cie "grupy ilorazowej", co zaznaczamy za pomoc,,! symbolu "dzielenia" /. Tutaj Z3 oznacza grupt( cykliczn,,! 0 3 elementach, kt6ra pojawia sit( w spos6b naturalny, jako podgrupa normalna grupy SU(3)f2S.31; zob. r6wniez rozdz. 5.4, 5). Najlepszym sposobem zrozumienia pojt(cia reprezentacji jest przyjycie hipotezy (postawilij,,! explicite Zweig i Gell-Mann w 1963 roku), ze kazdy hadron ziozony jest z pewnych podstawowych element6w 0 spinie Elementy te Gell-Mann ochrzcil mianem "kwark6w" (trzy rodzaje) oraz "antykwark6w" (teZ trzy rodzaje). Uwaza sit(, ze kazdy barion jest zbudowany z dokladnie trzech kwark6w, a kazdy mezon sklada sit( z jednego kwarka i jednego antykwarka. Te trzy rodzaje kwark6w r6zni,,! sit( mit(dzy sob,,! zapachem i nosz"! nazwy: kwark "u", kwark "d" i kwark
t.
t.
.e [25.3] Wyznacz ty podgrupy normalnq. TfSkaz6wka: pomysl 0 wyznaczniku macierzy 3 x 3.
617
25
Model standardowy fizyki cZqstek elementarnych
dziwny - kwark "s"[']. Tajemnicz,! wlasciwosci,! kwark6w jest posiadanie przez nie ulamkowego ladunku elektrycznego (jesli potraktujemy ladunek protonu jako jedi nostkt(). Kwarki u, dis maj,!, odpowiednio, ladunki Bye moze ze wzglt(du na te nieprawdopodobne wartosci ich ladunk6w elektrycznych, a takZe dlatego, ze nie udale sit( zaobserwowae oddzielnych kwark6w (wszystkie znane cz'!stki maj,! calkowite wartosci ladunk6w elektrycznych; zob. rozdz. 5.5) - pocz'!tkowo nie traktowano kwark6w jak rzeczywiste cz'!stki. S'!dzono, ze przedstawiaj,! one jedynie wygodny spos6b "ksit(gowania" r6znych reprezentacji grupy SU(3)/Z3' Aby jednak takie "ksit(gowanie" moglo bye skuteczne, naleiy przyj,!e, ze kwarki, jako cz'!stki 0 spinie podlegaj,! "zlej statystyce". Inaczej m6wi,!c, aby prawidlowo skonstruowae odpowiednie multiplety, naleiy kwarki traktowae jak bozony, podczas gdy na mocy twierdzenia 0 zwi,!zku spinu ze statystyk,! powinny bye uwazane za fermiony (zob. rozdz. 23.7 i 26.2). Aby zrozumiee sens tej ostatniej uwagi, rozpatrzmy dwa przyklady. Najbardziej klarowny jest przypadek dekupletu 10 cz,!stek 0 spinie kt6rego analiza doprowadzila w 1962 roku Gell-Manna i Ne'emana do przewidzenia istnienia cz,!stki g- (wszystkie pozostale cz'!stki z tego multipletu byly juz wczesniej znane). Te przewidywania zostaly potwierdzone doswiadczalnie w 1964 roku 16 :
t, -t -to
t,
t,
~++ ~+ ~o ~-
3*0 g*-
Sens takiego ukladu stanie sit( jasny, jesli potraktujemy kazd,! cz'!stkt( jako zlozenie trzech kwark6w 0 r6znych zapachach; za16zmy, ze litera "u" oznacza kwark u, "d" - kwark d, a "s" - kwark dziwny[25.4]: uuu uud udd ddd uus uds dds uss dss sss Ot6z wszystko to dobrze dziala, pod warunkiem ze trzy kwarki znajduj,! sit( w symetrycznym stanie kwantowym. Oznacza to, na przyklad, ze stan uud nie r6zni sit( od stanu udu. Co wit(cej, stany, w kt6rych wystt(puj,! dwa identyczne kwarki, jak na przyklad uuu lub uud, nie znikaj,! tozsamosciowo, co musialoby sit( zdarzye, gdyby
618
[*] Te trzy zapachy (flavours) pochodzl! od angielskich terminow: u - od up, d - od down is - od strange (dziwny). Kwark "u" nazywany tez bywa "kwarkiem gomym", a kwark "d" - "kwarkiem dolnym" (przyp. dum.). lD [25.4] Sprawdi, czy w ten sposob otrzymujemy prawidlowe wartosci ladunkow elektrycznych, zgodnie z tymi, ktore zaznaczono przez wskainiki g6me w pierwszym schemacie.
"Kwarki kolorowe"
25.7
stany byly antysymetryczne i podlegaly zakazowi Pauliego. Fakt, ze spin danego stanu wynosi oznacza, iZ spiny wszystkich trzech kwarkow (kazdy z nich rna spin Sq tak sarno skierowane, a zatem wystC(puje pelna symetria spinowej czC(sci funkcji falowej tego stanu. Gdyby kwarki zachowywaly siC( jak fermiony, wowczas przy zamianie polozen kwarkow mielibysmy do czynienia z antysymetriq, a nie z symetriq, a to nie zgadzaloby siC( z przedstawionym modelem[25.5l. Podobne rozumowanie (aczkolwiek nieco bardziej zlozone) mozna przeprowadzie w przypadku bardziej skomplikowanej sytuacji, ktora powstaje w zwiqzku z oktetern 8 czqstek 0 spinie do ktorego nalezq zwykly proton (N+) i neutron (N°t:
t)
t,
t,
N+
N°
~+ ~oAo
~
W tym przypadku powinnismy uWaZae, ze ~o i AO zajmujq w zasadzie "to sarno miejsce" w centrum tego heksagonalnego schematu. Przyczynq pojawienia siC( takiego ukladu jest fakt, ze wypadkowy spin tych stanow wynosi z czego wynika, ze spiny dwoch kwarkow mUSZq bye rownolegle, a jeden antyrownolegly do nich. Istniejq wiC(c dokladnie dwie niezaleine kombinacje, ktore pozwalajq uzyskae stan uds, przedstawiony w srodku schematu (odpowiadajqce parze ~o i AO); nie rna takiej moiliwosci dla stanow uuu, ddd i sss, co wyjasnia, dlaczego schemat rna ksztalt heksagonalny, a nie trojkqtny, oraz tylko jedna mozliwose dla stanow pozostalych[25.6l.
t,
25.7 "Kwarki kolorowe" W jaki sposob moiemy traktowae kwarki jako rzeczywiste cZqstki, skoro w ich przypadku nie dziala twierdzenie 0 zwiqzku spinu ze statystykq (zob. rozdz. 23.7 i 26.2)? W modelu standardowym rozwiqzujemy ten problem tak18, ze iqdamy, aby zapach kaidego kwarka pojawial siC( w trzech "kolorach", w wyniku czego kaida czqstka zloiona z kwarkow moie bye w stanie calkowicie antysymetrycznym w "kolorowych" stopniach swobody. Ta antysymetria odnosi siC( td do samych stanow kwarkowych, wobec czego antysymetria miC(dzy poszczegolnymi (fermionowymi) kwarkami staje siC( w koncu symetriq w odniesieniu do czqstki skladajqcej siC( z trzech
~
[25.5] Wyjasnij to w spos6b bardziej kompletny, korzystajqc z zapisu 2-spinorowego dla spin6w kwark6w, jak w rozdz. 22.8, oraz wprowadzajqc nowy 3-wymiarowy "indeks SU(3)", kt6ry przyjmuje wartosci u, dis. 1m [25.6] Sprawdi, czy potrafisz wyja§nic to wszystko szczeg610wo. Jesli masz zamiar posluiyc siy 2-spinorowymi indeksami spinowymi, to niezbydna jest pewna ostromosc. Antysymetria pary takich indeks6w pozwala na jej usuniycie Oak w przypadku stan6w 0 spinie 0, przedstawianych jako para czqstek 0 spiniet,jakw rozdz. 23.4). Tutajjednakistnieje jeszcze (ukryta) symetria, poniewai kaidy kwark moze wystypowac tylko w dwu niezalemych stanach spinowych.
619
25
Model standardowy fizyki cZqstek elementarnych
kwark6w[25.71. Te kolory nie ujawniaj,! siy nigdy w przypadku swobodnych cz,!stek, zatem kolor jest wlasnosci,! zasadniczo "nieobserwowaln,!". Kazda cz'!stka swobodna musi bye "kolorowo obojytna". Nie znamy na przyklad trzech r6znych wersji cz'!stki ~+, w zaleznosci od tego, z jakim kolorem wystypuje kwark d w "uud". W przypadku konkretnej cz'!stki zapewnia to antysymetria w kolorowym stopniu swobody[2s.81. Te "kolory" S,! niekiedy opisywane jako "czerwony", "bialy" i "niebieski", co wydaje mi siy zar6wno niewlasciwe (poniewaZ nie potrafiy myslee 0 bielijako 0 kolorze), jak i wskazuj'!ce na pewien rodzaj zle pojytego patriotyzmu. Czasami kolory te okresla siy jako "czerwony", "zielony" i "niebieski", co juz jest lepsze. Poniewaz jednak miydzy "kolorem kwarka" a receptorami barw w oku nie rna zadnego, naukowo uzasadnionego zwi,!zku, bydy tutaj uiywal "czerwonego" (R - jak red), "z6ltego" (Y - jakyellow) i "niebieskiego" (B - jak blue). W takiej terminologii latwiej "mieszae" moje kolory i przekonamy siy, ze "pomaranczowy", "zielony" i "purpurowy" (rozpatrywane jako superpozycje kwantowe oryginalnych R, Y i B) mog,! bye wykorzystane z powodzeniem jako zbi6r wyjsciowy. Istotnie, obserwujemy tu symetriy, kt6ra prowadzi dalej nu tylko do przestawiania kolor6w. Naleiy siy spodziewae pelnej 8-wymiarowej rzeczywistej grupy SU(3) symetrii kolorowej, w kt6rej R, Y i B stanowi,! tylko jeden zbi6r element6w bazowych przestrzeni wektorowej, na kt6q dziaiaj,! macierze grupy SU(3) (zob. rozdz. 13.9). Na tym etapie wprowadzenie owych nieobserwowalnych "kolorowych" stopni swobody wydaje siy dose sprytne, ale budzi tez mieszane uczucia, poniewaz mamy teraz dziewiye kwark6w podstawowych (wraz z r6znymi antycz'!stkami i superpozycjami kwantowymi): zaden z nich nie moze bye bezposrednio obserwowany. W rzeczywistosci, w modelu standardowym, sytuacja jest "dwukrotnie gorsza", poniewaZ musimy wprowadzie jeszcze trzy dodatkowe kwarki "smakowe", nazywane (z r6wnym brakiem wyobrazni): "powabny" (c), "denny" (b) i "szczytowy" (tfl. W ten spos6b mamy dziewiye dodatkowych: daje to w sumie osiemnascie niezaleinych kwark6w, z kt6rych zaden nie jest bezposrednio obserwowalny.
620
~ [25.7] Wyjasnij sens tej uwagi, posiuguj,!c si y zapisem indeksowym, w ktorym oprocz 3-wymiarowych indeksow zapachowych, jak w ewiczeniu [25.5], pojawiaj,! si y 3-wymiarowe indeksy kolorowe grupy SU(3). ~ [25.8] Wyjasnij to. [*] (C) - od angielskiego charm - powab; (b) - od bottom - dolny; (t) - od top szczyt. W literaturze spotyka si y tez inne nazwy: (b) od beautiful- piykny, (t) od trueprawdziwy (przyp. dum.).
"Kwarki kolorowe"
25.7
Gdyby jedynym poZytkiem takiej operacji - wprowadzenia hipotetycznych nieobserwowalnych cz,!:stek - mialo byc pokazanie zwi,!:zku spinu ze statystyk'!:, bylby to schemat zdecydowanie sztuczny. Tymczasem ta kompletna nieobserwowalnosc "swobodnych" kolorow kwarkow przynosi zysk wielokrotny! Okazuje siy bowiem, ie nieobserwowalnosc, wraz z scisle z ni,!: zwi,!:zan,!: "niezlaman,!:" natur,!: kolorowej symetrii SU(3), daje moiliwosc zastosowania tej symetrii jako podstawy kapitalnej idei koneksji cechowania, ktor'!: opisywalismy w rozdz. 15.1,8. Przypomnijmy sobie, ie w taki sposob opisujemy oddzialywania elektromagnetyczne, w ktorych grup,!: cechowaniajest grupa U(I); zob. rozdz. 19.4, 21.9 i 24.7. I rzeczywiscie, symetriy U(I), ktora jest symetri,!: cechowania oddzialywan e1ektromagnetycznych, uwaiamy za dokladn,!: i niezlaman,!:19. Zwrocmy uwagy, ie u samej podstawy idei wi,!:zek wloknistych, przedstawionej w rozdz. 15, leZy istnienie pewnej grupy dokladnej symetrii dzialaj,!:cej na wloknach. Hadronowa SU(3), "grupa kolorow" silnych oddzialywan, jest wlasnie tak,!: grup,!: dokladnej symetrii, analogiczn,!: do grupy U(I), ktora stanowi grupy cechowania oddzialywan elektromagnetycznych. Uogolnieniem elektromagnetyzmu, opartego na koneksji cechowania dla abelowej grupy U(I), jest teoria Yanga-Millsa 20 , oparta na koneksji cechowania dla grup nieabelowych, takich jak SU(2) lub SU(3). I to jest rzeczywiscie podstawa QeD (chromodynamiki kwantowej). Podobnie jak w przypadku elektromagnetyzmu, moiemy uZyc wielkosci odpowiadaj,!:cej potencjalowi e1ektromagnetycznemu Aa do zmodyfikowania pochodnej a/ax a i w dzialaniu na pol a kwarkowe wprowadzic odpowiednie pojycie "operatora pochodnej kowariantnej" (podobnie do ajax a - ieA a w teorii e1ektromagnetyzmu), ktore daje nam koneksjy wi,!:zki (zob. rozdz. 15.8 i 19.4). Poniewai przestrzen kolorowa jest 3-wymiarowa, sytuacja komplikuje siy bardziej nii w przypadku elektromagnetyzmu, w ktorym mielismy zagadnienie l-wymiarowe, wobec tego wygodnie jest wprowadzic indeksy odpowiedzialne za te dodatkowe stopnie swobody. Najbardziej istotn'!: roinicy miydzy przypadkiem elektrodynamiki i oddzialywan silnych stanowi fakt, ie U(I) jest grup,!: abelow,!: (a wiyc przemienn'!:; zob. rozdz.13.1), a grupa kolorowa SU(3) jest nieabelowa, w zwi,!:zku z czym teoria ta jest nazywana nieabelowq. teoriq. cechowania. Wynikaj,!: z tego skomplikowane, lecz interesuj,!ce wlasciwosci. Aby uzupelnic informacje, odsylam czytelnika do literaturfl, ale zasadnicze elementy opisu silnych oddzialywan zostaly tu przedstawione. "Bozony cechowania" chromodynamiki kwantowej - analogony fotonow dla grupy SU(3) - nosz'!: nazwy gluonow. W przedstawieniu za pomoq diagramow Feynmana linie gluonowe l'!:cz'! siy z liniami kwarkow w taki sam sposob, jak linie fotonowe l'!:cz'! siy z liniami naladowanych cz'!:stek (rys. 25.14a). Nieabelowy charakter grupy SU(3) przejawia siy w tym, ie linie gluonowe same maj,!: "ladunek kolorowy", wobec czego moiliwe S,!: trzykrotne (i wiycej) gluonowe wierzcholki diagramow Feynmana (rys. 25.14b), a wittc zjawisko, ktore nie moie zajsc w abelowym przypadku elektromagnetyzmu.
621
25
Model standardowy fizyki
cz~stek
elementarnych Rys. 25.14. Gluony S,! "bozonami cechowania" w QeD. (a) Wymiana gluonu mi == yaPa (zob. rozdz. 24.6, 7), a wielkose P" jest 4-pt(dem, jaki cz'!stka posiada na rozwazanej drodze. Wielkose "f" oznacza bardzo mal,! liczbt( dodatni,!, ktora jest potrzebna, aby propagator Feynmana spelnial odpowiednie z,!danie dodatniej/ujemnej czt(stosci. Okazuje sit(, ze w granicy f ~ 0 propagator staje sit( osobliwy - przyjmuje wartose nieskonczon,! - gdy "masa spoczynkowa" (Pfa)1!2, jak,! cz'!stka uzyskuje na tej wybranej drodze, staje sit( rowna rzeczywistej wartosci masy spoczynkowej cz,!stki, M[26.111. Gdybysmy mieli do czynienia z cz'!stk'! klasyczn'!, wowczas z,!dalibysmy, zeby ta "masa spoczynkowa" przybierala tak,! wartose, tzn. aby Papa == M2, lecz w przypadku kwantowomechanicznej sumy po historiach musimy dopuscie, ze cz'!stka uzyskuje takie wartosci pt(du, dla ktorych otrzymujemy "niewlasciw,!" mast( spoczynkow'!. Ze wzglt(du na tt( osobliwose stwierdzamy jednak, ze amplituda staje sit( bardzo duza, gdy Papa uzyskuje wartose blisk,! M2, a wit(c klasyczna wartose masy daje wklad dominuj,!CY. Ta wlasciwose formalizmu nie jest charakterystyczna tylko w przypadku cz'!stki Diraca, lecz rna charakter ogolny.
rl,
26.8 Konstrukcja diagramow Feynmana; macierz S
Zagadnienie przedstawione w poprzednim rozdziale stanowi pierwszy krok w kierunku zbudowania diagramu Feynmana. Wymaga jednak dalszego wyjasnienia. To, co odkrylismy, jest zaledwie pojedyncz,! lini,! takiego diagramu. Taka linia na diagramie Feynmana jest z reguly czt(sci,! skomplikowanego wyrazenia, zawieraj,!cego linie innych cz'!stek oraz rozne wierzcholki, w ktorych te linie sit( zbiegaj,!. Wklady do amplitudy calkowitej pochodz,!ce od wierzcholk6w S,! zwykle 21 prostymi czynnikami, zawieraj,!cymi jak,!s skalarn,! stal,! sprzt(zenia (tak,! jak ladunek elektryczny) okreslaj'lC'! silt( oddzialywania, bye moze wyraz taki jak Ya' potrzebny do "dopasowania wskainikow", oraz czynnik "deltt( Diraca" (rozdz. 9.7), ktora zapewnia, ze jedyne niezerowe wklady do amplitudy calkowitej pochodz,! od wierzcholkow, w ktorych spelniona jest zasada zachowania 4-pt(du 22 • Bt(dziemy mieli do
{f/g [26.11] Wyjasnij, jak ta osobliwosc powstaje, rozpisujqc
mianownik wynosi PaP" - M2 -
2
10 •
ct - M + ier jako iloraz, kt6rego 1
643
26
Kwantowa teoria pola
czynienia z roznego typu wyrazami pochodz,!cymi od roznego rodzaju linii diagramu (w zaleznosci od spinu i masy spoczynkowej cz,!stki, jak,! dana linia reprezentuje). Nieskonczonosci w tych wyrazeniach pojawiaj,! siy (pomijaj,!c te zwi'!zane z funkcjami delta, ktore jedynie przedstawiaj,! wiyzy zapewniaj,!ce zachowanie 4-pydu), gdy Pa przyjmuj,! wartosci odpowiadaj,!ce drogom klasycznym (w zasadzie gdy Par = M2). To zrozumiale, poniewaz spodziewamy siy, ze klasyczne zachowanie zdominuje calky po drogach. Wystypowanie tych osobliwosci (poza nieskonczonosciami pochodz,!cymi od funkcji delta) jest wiyc scisle zwi,!zane z z,!daniem, zeby, z grubsza bior,!c, zachowanie klasyczne dawalo glowny wklad do amplitudy kwantowomechanicznej. Pomimo to, jak niebawem zobaczymy, kryje siy w tym powazne niebezpieczenstwo. Aby podkreslie koniecznose wystypowania tych osobliwych wyrazen, powinienem zwrocie uwagy na fakt, ze warunku Papa = M2 nie mozemy traktowae jako wiyzow (jak zachowanie pydu w wierzcholkach) ze wzglydu na istnienie podstawowych procesow, podobnych do przedstawionych na rys. 26.5, w ktorych dwa elektrony "wymieniaj,! siy fotonem" (foton jest przedstawiony za pomoc,! linii falistej, jak w rozdz. 25.3-5). Jest to podstawowy kwantowomechaniczny przejaw elektrostatycznego odpychania (Coulomba) miydzy dwiema ujemnie naladowanymi cz,!stkami (rozpraszanie M011era). Dwie linie wchodz'!ce (u dolu diagramu) reprezentuj,! dwa elektrony w stanie pocz'!tkowym, a dwie linie wychodz'!ce (u gory23 diagramu) przedstawiaj,! elektronyw ich stanie koncowym. Uwazamy je za "wielkosci zadane" - okreslaj,! wartosci pydow zewm;trznych - i nie podlegaj,! one "wycalkowaniu" przy obliczaniu koncowej amplitudy. Dla tych stanow zewnytrznych (i tylko dla nich) spelniona jest klasyczna relacja miydzy skladowymi pydu Par = M2. Mowimy, ze masa cz'!stki leZy na powierzchni, na ktorej spelniona jest ta relacja. Powierzchniy ty nazywamy "powlok,! masow'!" i w przestrzeni pydow jest ona wersj,! hiperboloidy 0 ksztalcie czaszy przedstawionej na rys. 18.7; zob. rys. 26.6. Rzeczywiste cz'!stki (czyli te, ktore mozemy obserwowae jako cz'!stki swobodne) s,! zawsze na powloce masowej. Warunek ten nie dotyczy jednak linii wewn~tlZnych na diagramie Feynmana. W szczegolnosci wymieniany foton na diagramie Feynmana na rys. 26.5, gdy tylko mamy do czynienia z nietrywialnym oddzialywaniem, nie moze Idee na powloce maso-
644
Rys. 26.5. Rozpraszanie elektronow Mollera: najprostsza kwantowa demonstracja sily elektrostatycznej (Coulomb a) miydzy dwiema naladowanymi cZ'lstkami. Sila elektrostatyczna pojawia siy tutaj w wyniku "wymiany" pojedynczego fotonu (linia falista) miydzy dwoma elektronami. Foton jest z koniecznosci "poza powlok'l masow'l", a wiyc wirtualny, co wynika z zachowania 4-pydu w kazdym z wierzcholkow.
Konstrukcja diagram6w Feynmana; macierz S
26.8
Powloka masowa
--~
:
--~------------------,
t
Czqstki rzeczywiste: Czqstki wirtualne:
•
Czqstki masywne Czqstki bezmasowe
Rys. 26.6. Powloka masowa w przestrzeni p((d6w. (Por. rys. 18.7 i 18.17). Dla rzeczywistych (swobodnych) cz~stek 0 masie spoczynkowej M 4-p((d pa leZy na powloce masowej (a wi((c pa jest czasopodobnym wektorem przyszlosci albo wektorem zerowym przyszlosci z paPa = M), jednak cz~stki wirtualne, wewn~trz diagram6w Feynmana, mog~ bye poza "powlok~ masow~".
wej (tzn. jego 4-pctd nie spetnia relacji Papa = 0)126121. Takie cz'!stki poza powlok,! masow'! nazywamy czqstkami wirtualnymi i wystctpuj'! one jedynie wewn'!trz diagramu Feynmana. Foton wymieniany na rys. 26.5 jest wirtualny i nie moze sict "uwolnie", aby mozna go bylo zaobserwowae na dUZych odleglosciach. Proces przedstawiony na rys. 26.5 stanowi raczej szczeg61ny przypadek, w tym sensie, ze stan opisany lini,! wewncttrzn'! (foton wirtualny) jest calkowicie zdeterminowany przez linie zewncttrzne. W6wczas wymagane "calkowanie po stanach wewncttrznych" jest zupelnie trywialne i sprowadza sict do jednego wyrazu. lednak w procesach bardziej skomplikowanych, takich jak zilustrowane na rys. 26.7a,b, w kt6rych wymieniane s,! dwa fotony, mamy pewn'! swobodct w przypisaniu 4-pctdow liniom wewncttrznym[26.131. Idea polega na tym, ze w takich przypadkach (i w niezliczonej ilosci znacznie bardziej skomplikowanych; zob. rys. 26.7c) musimy rzeczywiscie wycalkowae po wszystkich dozwolonych wartosciach pctdow dla linii wewncttrznych, a nastctpnie dodae wszystkie rozne wklady od wszystkich mozliwych topologicznie roznych diagramow Feynmana, zgodnych z pctdami zadanych linii zewncttrznych. (Przez "topologict" rozumiemy rozne sposoby, w jakie diagram Feynmana moze bye pol'!czony; nie zwracamy przy tym uwagi na konkretne wartosci 4-pctdow, jakie mog,! bye przypisane liniom tego diagramu.) W procesie tym rna powstae amplituda calkowita dla konkretnego zbioru pctdow wchodz'!cych i wychodz,!cych, ktore zostaly wyspecyfikowane jako "zadane". Zbior amplitud dla roznych mozliwych stanow wchodz'!cych i wychodz'!cych tworzy swego rodzaju macierz (aczkolwiek nieskonczenie wymiarow'!), ktorej "wiersze" i "kolumny" odpowiadaj,! bazie stanow wychodz'!cych i wchodz,!cych. Ma-
~ [26.12] Dlaczego nie? Wyjasnij, w jaki sposob zachowanie 4-pt(du w kazdym wierzcholku determinuje 4-pt(d wirtualnego fotonu. Wskaz6wka: wszystkie elektrony majq tt( samq mast( spoczynkowq! B [26.13] Na czym polega ta swoboda?
645
26
Kwantowa teo ria pola
(a)
(b)
(e)
Rys. 26.7. Procesy wy:i:szego rZydu daj'lce poprawki do rozpraszania M(IIllera. (a) i (b) ilustruj'l 2-fotonow'l wymiany miydzy dwoma elektronami, podczas gdy (c) przedstawia proces du:i:o wy:i:szego rZydu, na ktory skladaj'l siy kreacje i anihilacje par cZ'lstek wewnytrznych. Ka:i:dy taki diagram Feynmana oznacza pewn'l calky, a wklady od wszystkich diagramow dodajemy.
cierz ty nazywamy macienq rozproszen albo pO prostu macienq S. Obliczenie macierzy S uwaza siy za glowny cel KTP24. Przedstawiona procedura stanowi ogromne ulepszenie, w sensie obliczeniowym, w stosunku do pocz'!tkowej "sumy po historiach", poniewai: oznacza, ze potrafimy efektywnie przeprowadzie nieskonczenie wymiarowe (i z pozoru beznadziejnie rozbiezne) calkowanie po drogach, ktore reprezentuje pojedyncza, oddzielna linia diagramu. Kazdy topologicznie rozny graf Feynmana przedstawia zwykl,! skonczenie wymiarow,! calky (podobn,! do calek rozwazanych w rozdz. 12.6) i jest to wazny krok naprzod w porownaniu z dzikimi osobliwosciami calek nieskonczenie wymiarowych, do jakich prowadzilaby bezposrednia interpretacja calek po drogach. Co wiycej, te calki skonczenie wymiarowe mog,! bye zaatakowane potyznymi metod ami zespolonego calkowania po konturach (zob. rozdz. 7.2). Parametr Feynmana e, jaki pojawia siy w propagatorze (zob. ostatni akapit rozdz. 26.7), jest jedynie przepisem, przy calkowaniu po konturze, na obejscie pojawiaj,!cych siy w danym wyrai:eniu osobliwosci.
646
Rys. 26.8. Diagram-drzewo nie zawiera :i:adnych pytli. Pydy wewnytrzne S'l konsekwentnie zdeterminowane przez pydy zewnytrzne, a zatem :i:adne calkowanie nie jest potrzebne. Diagramy takie daj'l wyniki odpowiadaj'lce teorii kJasycznej.
Renormalizacja
26.9
A jednak mimo tego postypu nie wydostalismy siy jeszcze zbyt daleko "z lasu", poniewaz skonczenie wymiarowe calki, jakie odpowiadaj~ kaidej topologii diagramu Feynmana, s~ same w sobie rozbiezne, jesli tylko w tym diagramie wystypuj~ zamkni~te p~tle. Wydaje siy, ze to bardzo zla wiadomose, albowiem koniecznose obliczania calek pojawia siy tylko w przypadku zamkniytych pytli. We wszystkich pozostalych przypadkach (tzw. diagramow-drzew, ktore nie zawieraj~ zamkniytych pyt1i; zob. rys. 26.8) pydy wewnytrzne s~ calkowicie okreslone przez wartosci pydow zewnytrznych. Diagramy-drzewa jedynie reprodukuj~ teoriy klasyczn~!
26.9 Renormalizacja S~dzy,
ze pomimo naszych (czy raczej Feynmana) ogromnych wysilkow utknylismy na problemie rozbieinych wyrazen na amplitudy calkowit~ kazdego prawdziwie kwantowego procesu. W tym miejscu znuzony czytelnik rna peine prawo zapytae, jaki jest poiytek z tego wszystkiego. Istotnie, z punktu widzenia matematycznej scislosci doszlismy "donik~d", albowiem wszystkie nasze wyraienia s~ nadal pozbawione "matematycznego sensu" (podobnie jak suma Eulera 1 + 22 + 24 + 26 + ... = lednak fizycy nie poddaj~ siy tak latwo. I najzupelniej slusznie. Ich wysilki zostaly w efekcie wynagrodzone 25 , gdy okazalo siy, ze w przypadku EK (elektrodynamiki kwantowej: teorii oddzialuj~cych elektronow, pozytronow i fotonow) wszystkie osobliwe cZysci poszczegolnych diagramow Feynmana daj~ siy pogrupowae w taki sposob, zeby wystypuj~ce w nich nieskonczonosci mozna bylo traktowae jako jedynie czynniki "przeskalowania", ktore, zgodnie z procedur~ znan~ pod nazw~ renormalizacji, mozna usun~e (0 takiej mozliwosci wspominalismy w rozdz. 26.5). Nieskonczonosci te pojawiaj~ siy, poniewai diagramy Feynmana zawieraj~ calki, kt6re S,! rozbieine, gdy wart asci pyd6w staj,! nieskonczenie duze - alba, r6wnowainie, gdy odleglosci staj,! siy nieskonczenie male. (Przypomnijmy relacjy nieoznaczonosci Heisenberga dla pydow i polozen.1p.1x ~ t1i; zob. rozdz. 21.11.) Osobliwosci tego rodzaju nazywamy rozbieznosciami ultrafioletowymi. Chociaz nie s,! to jedyne osobliwosci KTP, to uwaza siy je za najpowazniejsze. Istniej~ rowniei rozbieinosci podczefWone, kt6re powstaj~ na nieskonczenie dUZych odleglosciach (a wiyc dla nieskonczenie malych pydow). Te ostatnie uwazane s,! za mniej grozne i latwe do wyeliminowania, najczysciej w ten sposob, ze ograniczamy zakres pytan, jakie mozna sensownie postawie w odniesieniu do konkretnego ukladu. Aby zdae sobie sprawy, a co chodzi w przypadku osobliwosci ultrafioletowych, sprobujmy przeanalizowae sens fizyczny najprostszego przypadku renormalizacji. Dotyczy on wartosci ladunku elektrycznego, jakim charakteryzuje siy elektron. Wyobrazmy sobie, ze elektron jest ladunkiem punktowym umieszczonyrn w pewnym punkcie E przestrzeni. Istnieje zjawisko znane pod nazw~ polaryzacji proini, kt6re mozemy przedstawie nastypuj~co. Przypusemy, ze w pewnym punkcie w poblizu E nast~pilo wykreowanie (wirtualnej) pary cz~stek: elektronu i pozytronu, potem, po bardzo krotkim czasie, nast~pila ich wzajemna anihilacja. Czas
t).
647
26
Kwantowa teoria poi a
ten uwazamy za wystarczaj'!co krotki, zeby energia konieczna do wyprodukowania takiej pary lezala w przedziale okreslonym przez relacjy nieoznaczonosci Heisenberga dla czasu i energii L1E L1t ) 11 (rozdz. 21.11). Rys. 26.9a przedstawia diagram Feynmana odpowiedni dla tego procesu. Obecnosc linii (wirtualnego) fotonu na pocz'!tku (a takZe na koncu) procesu wskazuje, ze proces kreacji (a nastypnie anihilacji) zachodzi w polu elektrycznym wytworzonym przez elektron w punkcie E. (Moglibysmy rowniez rozwazac zupelnie niepowi,!zane "pytle" Feynmana - zob. rys. 26.9b, w ktorych procesy kreacji i anihilacji zachodz,! bez obecnosci pol a elektrycznego elektronu w E; jednak takie "calkowicie niepowi'!zane" procesy nie prowadz,! do fizycznie obserwowalnych efektow.) Wplyw tego pol a elektrycznego polega na tym, ze wykreowany elektron jest delikatnie odpychany przez elektron znajduj,!CY siy w E, podczas gdy wykreowany pozytron jest delikatnie przyci,!gany, w zwi,!zku z czym nastypuje niewielkie odseparowanie tych ladunkow podczas ich krotkotrwalego istnienia. Procesy takie zachodz'! nieustannie wokol elektronu w punkcie E, a ich efekt wypadkowy, okreslany jako "polaryzacja prozni", sprowadza siy do redukcji26 wartosci ladunku tego elektronu, mierzonego przez jego wplyw na inne ladunki; rys. 26.10[26.141. Proznia sluZy tutaj jako "oslona" ladunku
t
E (b)
(a)
o
\id E
648
B [26.14] Czy wiesz, dlaczego tak musi bye?
Rys. 26.9. (a) Diagram Feynmana odpowiadaj,!CY renormalizacji ladunku. Przedstawia on kreacjy pary pozytron--elektron, a nastypnie jej anihilacjy w polu wytworzonym przez elektron tla (zob. rys. 26.10). (b) Niespojne diagramy Feynmana. Uwaza siy, ze nie daj,! one wkladu do obserwowalnych efektow.
Rys. 26.10. Polaryzacja prozni: fizyczna podstawa renormalizacji ladunku. Elektron E indukuje nieznaczne rozdzielenie wirtualnej pary elektron-pozytron, wykreowanej chwiIowa w prozni. Powoduje to nieznaczne zmniejszenie efektywnego ladunku E w porownaniu z jego nag,! wartosci,!. Jak jednak wykazuje bezposrednie obliczenie, czynnik redukcji jest nieskonczony.
Renormalizacja
26.9
elektrycznego i powoduje, ze jego wartose jest jakby rnniejsza - nazywarny j1J, wartosci1J, ubranq iadunku - w odr6znieniu od rzeczywistej, gole} wartosci iadunku elektronu. To wiasnie ta ubrana wartose ladunku bydzie mierzona bezposrednio w eksperyrnentach fizycznych. Wszystko to wydaje siy bardzo rozs1J,dne. Kiopot jednak polega na tym, ze obliczony czynnik liczbowy, kt6ry przeskalowuje nag1J, wartose ladunku w stosunku do wartosci ubranej, okazuje siy nieskonczony! Nieskonczonose ty mozemy wyrainie zidentyfikowae jako jedn1J, z nieskonczonosci pojawiaj1J,cych siy w obliczeniach elektrodynamiki kwantowej (w zasadzie S1J, to diagramy typu 26.9a i ich pochodne). Mozna przyj1J,e, ze zgodnie z jak1J,s przyszi1J, teori1J, te osobliwe caiki zostan1J, zast1J,pione wielkosciarni skonczonymi, bye moze dziyki temu, ze istnieje parametr obcit;cia ("cut-off") na bardzo rnalych odlegiosciach, a wiyc dla dUZych pyd6w (rozdz. 21.11), w wyniku czego poprawny czynnik renormalizacyjny bydzie jak1J,s duz1J, skonczon1J, liczb1J" a nie 00. (Rzeczywiscie, ubrana wartose ladunku elektronu mierzona w "jednostkach naturalnych", do kt6rych przejdzierny w rozdz. 27.10, wynosi ok. 0,0854 i istnieje pokusa, zeby wyobrazae sobie, ze gola wartose powinna wyniese 1. Odpowiadaioby to czynnikowi skaluj1J,cemu 11,7062, czyli okoio .J137, a nie 00.) Inny punkt widzenia zaklada, ze goly ladunek jest jedynie wygodnym pojyciem, a pojt;cie "golego iadunku" jest "bez sensu", poniewaz jest on nieobserwowalny. Bez wzglydu na to, kt6ry z tych punkt6w widzenia przyjrniemy, renormalizacja stanowi istotny element wsp6iczesnej KTP. Istotnie, zgodnie z obecnym stanem wiedzy, bez zastosowania procedury "przeskalowania nieskonczonosci" nie tylko w odniesieniu do ladunku lub masy, ale i do innych wielkosci, nie mamy innego sposobu uzyskania sensownych wynik6w. Teorie, w kt6rych tego rodzaju procedury przynosz1J, dobre rezultaty, nazywamy teoriami renonnalizowalnymi. W renormalizowalnej KTP rnozemy pogrnpowae wszystkie rozbiezne czysci diagram6w Feynmana w skonczon1J, liczby "paczek,m, kt6re "wyskalujemy" drog1J, renorrnalizacji, natorniast wszelkie pozostale wyraienia osobliwe znosz1J, siy wzajemnie na zasadzie pewnych og6lnych wymog6w (takich jak wyrnagania symetrii, kt6re odgrywaj1J, wain1J, rolt; w modelu standardowym). EKjest teori1J, renormalizowaln1J" renormalizowalny jest takZe model standardowy, chociai wit;kszose proponowanych kwantowych teorii pola jest nierenormalizowalna. Wsr6d specjalist6w od teorii cZ1J,stek elementamych przewaia stanowisko, ze renormalizowalnose powinna bye kryterium poprawnosci teorii. Zgodnie z tym trzeba by odrzucie automatycznie wszelkie teorie nierenormalizowalne jako nienadaj1J,ce siy do opisu zjawisk Przyrody. Przyjycie takiej zasady stanowilo wain1J, wskaz6wkt;, kt6ra doprowadzila w xx wieku do wyborn teorii znanej pod nazw1J, modelu standardowego fizyki cZ1J,stek elementamych (zetknylismy siy z ni1J, w rozdz. 25). Z tego punktu widzenia powszechnose wystt;powania nieskonczonosci w KTP nie jest wiyc niczym "ziym", lecz stanowi wiasciwose teorii, z kt6rej potrafirny w skuteczny spos6b skorzystaCZs. Bardzo niewiele teorii jest w stanie przejse przez test renorrnalizowalnosci i tylko te, kt6re to kryterium spelniaj1J" mog1J, bye uwaiane za odpowiednie do opisu zjawisk fizycznych.
649
26
Kwantowa teoria pola
650
Nie wszyscy fizycy zgadzaj,! siy z tak rygorystycznym stanowiskiem. Nawet noblista Gerard t'Hooft, ktory odkryt kluczowy element niezbydny do wykazania renormalizowalnosci modelu standardowego, jest zwolennikiem pewnej ostroinosci w zbyt sztywnym traktowaniu kryterium renormalizowalnosci. (W 1971 roku, jeszcze jako doktorant uniwersytetu w Utrechcie, t'Hooft wstrz'!sn'!l spolecznosci,! fizykow, gdy zademonstrowal renormalizowalnosc teorii, w ktorych wystypuje "spontaniczne lamanie symetrii" - co stalo siy istotnym elementem teorii oddzialywan elektrostabych.) Przy pewnej okazji przedstawit poglqd, ie znaczenie renormalizowalnosci dla jakiejs teorii zaleiy od wielkosci stalej sprzyienia, ktora cechuje rozpatrywane oddzialywanie. Jego uwaga dotyczyla przede wszystkim teorii grawitacji, w ktorej sita oddzialywania jest nadzwyczaj slaba w porownaniu z sitami wystypuj,!cymi w fizyce cz'!stek elementarnych, tymczasem kwantowa teoria grawitacji okazuje siy nierenormalizowalna, jesli zastosujemy standardowe procedury kwantyzacji do rownan ogolnej teorii wzglydnosci Einsteina; zob. rozdz. 19.6 i 31.1. (Przyciqganie grawitacyjne miydzy elektronem a protonem w atomie wodoru jest slabsze od sit elektrycznych 0 czynnik 10- 40 , co oznacza, ie sity grawitacyjne S,! niewyobraialnie slabsze od "slabych oddzialywan" w procesach rozpadu radioaktywnego.) Uwagi t'Hoofta wyraiaj,! cos, co moina by nazwac pragmatycznym poglqdem na KTP. Nawet teorie renormalizowalne nie Sq calkiem wolne od osobliwosci i do tej sprawy przejdy za chwily. t'Hooft stawia pytanie, czy osobliwosci, Jakie potencjalnie tkwiq w danej teorii, majq fizyczne znaczenie przy energiach wykraczajqcych daleko poza energie dostypne w eksperymencie. W przypadku "grawitacji kwantowej" zakres tych energii leiy tak daleko poza naszym zasiygiem, ie spodziewamy siy wielu innych wqtpliwosci, ktore pojawiq siy w teorii, zanim jak,!s roly zacznie odgrywac nierenormalizowalnosc sit grawitacyjnych. Na drugim koncu skali, zdaniem t'Hoofta, wystypujq oddzialywania silne, w ktorych stala sprzyienia jest tak duia, ii pojawia siy wqtpliwosc, czy opis jedynie w jyzyku diagramow Feynmana jest w pelni uiyteczny, poniewai rosn,!ce wyrazy szeregu stajq siy zbyt rozbieine. Sarna renormalizowalnosc nie wystarcza, aby uzyskac sko:6.czone wyniki w chromodynamice kwantowej. W tym przypadku korzystamy z pojycia swobody asymptotycznej wystypujqcych sit. Dla bardzo duiych pydow - co w teorii kwantowej oznacza bardzo male odleglosci - sily tych oddzialywa:6. majq ty zadziwiajqcq wlasnosc, ie efektywnie zanikajq. Jest to calkowite przeciwienstwo znanych sit elektrycznych czy grawitacyjnych wystypujqcych miydzy cZqstkami, w ktorych obowiqzuje prawo wzrostu sily odwrotnie proporcjonalnie do kwadratu odleglosci. Wielkosc oddzialywania silnego jest podobna do spryiystej tasmy, ktora tym bardziej siy napryia, im bardziej siy wydluia, natomiast napiycie spada do zera, gdy wydluienie maleje do zera 29 • Taka regula sil wyjasnia fakt - okreslany mianem uwi~zienia kwark6w (zob. rozdz. 25.7, 8) - ie nie moina poszczegolnych kwarkow uwolnic z hadronu. W odroinieniu od zwyklej tasmy spryiystej, "napiyte" oddziatywanie silne nie moie "trzasnqc", chociai, jesli ciqgniemy wystarczajqco mocno, z proini mogq zostac "wyciqgniyte" inne elementy, takie jak
Jak z lagranijanow otrzymac diagramy Feynmana? 26.10
antykwarki czy pary kwark6w; takie zdarzenia obserwujemy jako "dzety" w akceleratorach cz'!stek. Niezaleznie od kwestii renormalizowalnosci, ta godna uwagi cecha swobody asymptotycznej powoduje, ze teoria silnych oddzialywan jest uZyteczna obliczeniowo. Zanotujmy tez, ze stala silnego sprzyzenia wynosi okolo 10, co naleZy por6wnae ze stal'! sprzyzenia oddzialywan elektromagnetycznych - tak zwan'! stalq struktury subtelnej - kt6ra wynosi 1~7' oraz z wielkosci,! oddzialywan slabych, kt6ra, aczkolwiek nie moie bye numerycznie bezposrednio por6wnana, jest znacznie mniejsza (zob. takie rozdz. 31.1).
26.10 Jak z lagrani:jan6w otrzymac diagramy Feynmana?
W moim przedstawieniu diagram6w Feynmana, renormalizacji etc. wykonalem wlasciwie skok do przodu i nie wyjasnilem, jak takie diagramy konstruujemy w przypadku jakiejs konkretnej teorii pota. Nie powi¥alem takie techniki diagram6w Feynmana z og61nym formalizmem KTP, kt6rej ten rozdzialjest poswiycony. Spr6bujy teraz nieco uzupelnie te braki i wyjasnie status diagram6w Feynmana w og61nej strukturze KTP. Punktem wyjsciowym naszych rozwaian bydzie lagranijan odpowiedni dla danej teorii. Diagramy Feynmana reprezentuj,! rozwini~cie perturbacyjne teorii kwantowej zwi,!zanej z tym lagranijanem. Rozwiniycie perturbacyjne jest w zasadzie rozwiniyciem w szereg potygowy, w potygach pewnego parametru (albo rodziny parametrow), kt6ry zwykle uwaiamy za maly. Takie rozwiniycie jest podobne do rozwaianego w rozdz. 4.3, gdzie rozwijalismy funkcjy f(x) w szereg potygowy w zmiennej x. W przypadku diagram6w Feynmana roly x odgrywa odpowiednia stala sprzyienia. W EK tym parametrem sprzyienia jest ladunek elektryczny e. Z kaidym wierzcholkiem diagramu Feynmana zwi,!zany bydzie czynnik e, a wiyc wyrazy szeregu byd,! diagramami Feynmana z rosn,!C'! liczb,! wierzcholk6w, czyli diagram 0 n wierzcholkach bydzie wystypowal ze wsp6lczynnikiem en. W przypadku teorii 0 wiykszej liczbie stalych sprzyienia otrzymamy bardziej skomplikowane szeregi potygowe, 0 wiykszej liczbie zmiennych. Przykladem takiej teorii moie bye wersja EK, w kt6rej standardowe linie elektronowe s,! zast,!pione "zygzakami", w zgodzie z rysunkami 25.2 i 25.3b. Dwiema "stalymi sprzyienia" bylyby w tym wypadku ladunek elektronu e i jego masa M. Zwr6cilem jui uwagy na fakt, ie teorie renormalizowalne niekoniecznie s,! skonczone. Nawet taka archetypowa teoria jak EK nie jest teori,! skonczon'!, nawet po renormalizacji. Jak to moiliwe? Renormalizacja oznacza usuniycie osobliwosci ze skonczonego zbioru diagram6w Feynmana. Nie oznacza to jeszcze, ie sumowanie wszystkich uzyskanych w ten spos6b wielkosci bydzie zbieine. EK daje szereg potygowy fa + fIe + f 2e2 + f3e3 + ... , w kt6rym kaidy z wsp6lczynnik6w f O,fI,f2,fV'" jest wielkosci,! skonczon,!, uzyskan,! przez zastosowanie procedury renormalizacji odpowiednich calek Feynmana, w kolejnym rZydzie 0, 1,2,3, ... W istocie w kaidym konkretnym przypadku wystypuj,! jedynie potygi parzyste albo
651
26
Kwantowa teoria pola
nieparzyste[26.151• Renormalizowalnosc teorii nie oznacza, ze sum a calego takiego szeregu b((dzie skonczona. Rzeczywiscie, sum a ta nie jest skonczona, lecz wykazuje "rozbieznose logarytmicznq" Uak rozwini((cie 1 + + + + ... dla funkcji -In(1-x) w punkcie x = 1), ktora w przypadku EK nie ujawnia si(( wczesniej niz mniej wi((cej w wyrazach rz((du 137, co jest rz((dem tak wysokim, ze nie uwaza si(( go za znaczqcy. W przypadku ogolnej KTP, aby ustalie, ktory diagram wyst((puje w ktorym rz((dzie, musimy odwolae si(( do wyraZen, ktore Sq calkami po drogach, pomimo ze gdybysmy probowali wysumowac je bezposrednio, moglyby si(( okazac rozbiei:ne. Procedura polega na tym, ze te calki po drogach traktujemy jako wielkosci calkowicie formalne, do ktorych stosujemy proste, ale formalne procedury rozniczkowania funkcjonalnego (rozdz. 20.5). Diagramy Feynmana z kolejno wi((kszq liczbq wierzcholkow pojawiajq si(( wowczas, kiedy wykonujemy rozniczkowanie funkcjonalne w kolejno wyzszych rz((dach. Nie mam zamiaru zagl((biae si(( w szczegoly, chc(( tylko powiedziee, ze stosujqC t(( formalnq procedur((, uzyskujemy calq rodzin(( diagramow Feynmana w sposob jednoznacznYo. Lagranzjan jest tutaj, oczywiscie, lagrarnjanempoia, ktore omawialismyw rozdz. 20.5. Dla takiego lagranzjanu "droga" b((dzie zwyklq 1-wymiarowq krZYWq, powiedzmy, w jakiejs nieskonczenie wymiarowej przestrzeni konfiguracyjnej. Skoro chcemy miee peIny, relatywistycznie niezmienniczy obraz, "historia" musi bye calkowitq 4-wymiarowq konfiguracjq pol a w okreslonym obszarze czasoprzestrzeni. Calka po tym obszarze z g((stosci lagranzjanu b((dzie dzialaniem S, a eiSlh daje nam amplitud(( (g((stose), ktorq przyporzqdkowujemy tej szczegolnej konfiguracji.
t t t
26.11 Diagramy Feynmana i wyb6r pr6i:ni W przypadku teorii 0 symetrii opisywanej pewnq gruPq, takich jak symetria U(2) teorii oddzialywan elektroslabych czy symetria SU(3) chromodynamiki kwantowej, alba jednej i drugiej, symetria ta b((dzie rowniez jawnq symetriq lagranzjanu. Istnienie takiej symetrii b((dzie bardzo waznym czynnikiem z punktu widzenia renormalizowalnosci KTP. Z grubsza biorqc, symetri(( t(( wykorzystujemy, aby zapewnie, ze niektore wyraZenia osobliwe nawzajem si(( znoszq. Gdyby bowiem zdarzylo si((, ze pozostaly nam jakies rozbiezne wyrazenia, to naruszalyby one postulowanq symetri(( teorii. A przynajmniej taka jest ogolna idea. W przypadku teorii oddzialywan elektroslabych pojawia si(( jednak inn a subtelnose, poniewaz okazuje si((, ze zrenormalizowana teoria ta nie rna zakladanej poczqtkowo symetrii U(2t. Brak symetrii U(2) uwazamy za rezultat zlamania symetrii (rozdz. 25.5), ale aby zrozumiec, jak mozna si(( z tym pogodzie, musimy powrocie do ogolnego formalizmu KTP. Zasadnicza idea
652
rn [26.15] ezy wiesz dlaczego?
Diagramy Feynmana i wybor proi:ni 26.11
sprowadza siy do tego, ze to zlamanie symetrii moze bye uwzglydnione przez U(2)-asyrnetryczny wyb6r stanu prozni. Zgodnie z tyrn tajemniczy stan 10), kt6ry wyobrazamy sobie na prawym koncu wyraZenia zawierajqcego wszystkie operatory kreacji i anihilacji i kt6ry pomijalismy dotqd w naszej analizie diagram6w Feynmana, teraz musi siy ujawnie. Przede wszystkim powinnismy choeby w przyblizeniu wiedziee, jak zwiqzae elementy algebry A kwantowej teorii pol a z diagramami Feynmana. Najwazniejszym zagadnieniem jest fakt, ze propagatory Feynmana, reprezentowane przez linie diagram6w, Sq w zasadzie wartosciami komutatorow lub antykomutatorow, z kt6rymi zetknylismy siy w rozdz. 26.2 (tzn. elementami ,,(1fJI 30
31
Rozdzial 26.10 Algorytm tego postypowania prezentuj'! Zee (2003) i Zinn-Justin (1996). Godne polecenia jest takZe zabawne i intuicyjne przedstawienie metody w pracy Mattucka (1976). Rozdzial 26.11 Zob. przyp. 12 w rozdz. 25.
27 Wielki Wybuch i jego termodynamiczne dziedzictwo 27.1 Symetria czasowa w ewolucji dynamicznej typu prawa ksztaltuj'l WszechSwiat w calej jego zlozonosci? Od czasow Galileusza wszystkie sprawdzone teorie fizyczne udzielaj'l podobnej odpowiedzi: S'l to mianowicie prawa dynamiki, ktore okre§laj'l, w jaki sposob dany uklad fizyczny ewoluuje w czasie, poczynaj'lc od pewnego zadanego stanu w chwili pocz'ltkowej. Teorie te nie informuj'l, jak ten swiat wygl'lda; zamiast tego oglaszaj'l: "jesli w danym momencie nasz swiat wygl'ldal tak i tak, to w jakiejs chwili pozniejszej bydzie wygl'ldal tak i tak". Zadna z tych teorii nie pozwoli odpowiedziec na pytanie, jak swiat jest uksztaltowany, jesli nie dostarczymy jej wiedzy, jak ten swiat byl uksztaltowany. W historii nauki pojawialy siy znacz'lce odstypstwa od tej reguly, na przyklad wspaniala teoria Keplera z 1609 roku, ktora wyprowadzala geometryczny ksztait orbit planet w ruchu wokol Slonca - mialy miec one ksztalt elipsy, ze Sloncem umiejscowionym w jednym z ognisk - wraz z regulami rZ'ldz'lcymi ich prydkosciami. To byla wlasnie teoria, ktora mowila raczej, jaki ten Wszechswiat jest, niZ wyjasniala, jak moze zmieniac siy jego stan od jednej chwili do innej, zgodnie z jakims prawem o dynamicznej naturze. Obecnie jednak nieco inaczej traktujemy ruchy Keplera i uwazamy, ze s'l one jedynie konsekwencj'l siedemnastowiecznych praw dynamiki grawitacyjnej, sformulowanych po raz pierwszy przez Newtona i opublikowanych w jego dziele Principia w 1687 roku; nie traktujemy zatem praw Keplera jako fundamentalnych praw Przyrody. I rzeczywiscie, zarowno dla samego Keplera, jak i dla calej nauki nieslychanie szczysliwym zbiegiem okolicznosci okazalo siy, ze to szczegolne prawo, ktore rZ'ldzi newtonowskimi sitami ciyzkosci, prawo odwrotnej proporcjonalnosci do kwadratu odleglosci (rozdz. 17.3), powoduje, ze wszystkie orbity malych cial w polu sily centralnej maj'l proste i eleganckie ksztalty matematyczne (i, jak wiemy, znakomicie przebadane przez staroi:ytnych Grekow jakies osiemnascie wiekow wczesniej). To wyj'ltkowa wlasnosc i raczej nie odnosi siy do innych regul zwi¥anych z dzialaniem sit centralnych. W ogolnym przypadku, wedlug obecnej wiedzy, spodziewamy siy, ze to prawa dynamiki byd'l mialy eleganck'l postac matematyczn'l, natomiast uWaZamy za usmiech losu, kiedy zdarzy siy nam sytuacja, ze rowniei: konsekwencje tych praw dadz'l siy przedstawiC w postaci prostych form matematycznych. JAKIEGO
27
Wielki Wybuch i jego termodynamiczne dziedzictwo
Zwykle si(( uwaza, ze dzialanie praw dynamiki polega na tym, iz wybor warunkow poczqtkowych determinuje, jakie b((dq ich konkretne skutki. N a ogol mamy na mysli przyszlq ewolucj(( ukladu, a wi((c wychodzimy z warunkow poczqtkowych, a samq ewolucj(( okreslajq rownania rozniczkowe. (B((d q to rownania rozniczkowe czqstkowe - rownania pol a - w ktorych wyst((pujq ewoluujqce pola alba funkcje falowe; zob. rozdz. 10.2, 19.2. 6, 21.3, ewiczenie [19.2], przyp. 1 w rozdz. 21.) Nie mamy zas na ogol zwyczaju rozwazae ewolucji wynikajqcej z tych rownan w kierunku przeciwnym, w stron(( przeszlosci, niezaleznie od faktu, ze zarowno rownania dynamiki klasycznej, jak i mechaniki kwantowej Sq symetryczne wzgl((dem odwrocenia kierunku czasu! Z punktu widzenia matematyki nie rna zadnych przeciwwskazan, zebysmy wyspecyfikowali warunki koncowe, w jakiejs odleglej chwili w przyszlosci, i zbadali ewolucj(( ukladu do tylu w czasie. Matematycznie rzecz biorqc, do okreslenia ewolucji ukladu warunki koncowe Sq rownie dobre jak warunki poczqtkowe. Konieczne Sq w tym miejscu pewne uwagi dotyczqce determinizmu dynamiki zwiqzanego z kwestiq symetrii czasowej. Przede wszystkim musz(( zapewnie czytelnika, ze to poj((cie nie zostaje w jakis istotny sposob naruszone ani w szczegolnej, ani w ogolnej teorii wzgl((dnosci. Dane definiujqce stan ukladu Sq wyspecyfikowane dla jakiegos "czasu" poczqtkowego, stanowiqc pewnq przestrzennopodobnq 3-powierzchni((, i te dane ewoluujq zgodnie z rownaniami dynamicznymi, ktore determinujq stan fizyczny ukladu zarowno w przyszlosci, jak i w przeszlosci. Pojawiajq si(( jednak nowe aspekty w ogolnej teorii wzgl((dnosci, poniewaZ sarna struktura czasoprzestrzeni, w ktorej zachodzi ta ewolucja, jest cz((sciq stanu fizycznego, jaki rna bye wyznaczony. (Rodzi to szczegolne implikacje w odniesieniu do problemu czarnych dziur, z czym zetkniemy si(( nieco pozniej; zob. rozdz. 27.8, 9, 28.8, 30.4, 9.) W przypadku mechaniki kwantowej determinizm dotyczy jedynie cz((sci U tej teorii, w ktorej stan kwantowy podlega ewolucji Schr6dingera (lub rownowaznej). Przy odwroceniu czasu - operacja T, 0 ktorej mowilismy w rozdz. 25.4 - operator pochodnej po czasie ilia/Ot w rownaniu Schr6dingera (rozdz. 21.3) musimy zastqpic przez -ilia/at (poniewaz t H - t). Zakladajqc, ze mamy do czynienia z normalnym hamiltonianem, ktory jest niezmienniczy wobec operacji T, widzimy, ze ewolucja Schr6dingera rowniei przechodzi sarna w siebie, jesli odbiciu w czasie, t H - t, towarzyszy zmiana znaku liczby urojonej: i H - i. Istotnie, tak wlasnie wyobrazamy sobie dzialanie T w mechanice kwantowej. (Zauwazmy, ze funkcja o CZ((stosciach dodatnichf(t) przy lqcznym dzialaniu t H - t i i H - i rowniez przechodzi w funkcj(( 0 CZ((stosciach dodatnich, a wi((c pod tym wzgl((dem wszystko jest w porzqdku[27.J 1). Zachowanie si(( procedury redukcji stanu kwantowego, R, pod dzialaniem T jest innym zagadnieniem i b((dzie stanowie wazny przedmiot naszych rozwazan w rozdz. 30.
658
1!!1 [27.1] Dlaczego? Wyjasnij r6wniez, dlaczego taka zamiana ujmuje prawidlowo pydy przestrzenne.
Aspekty submikroskopowe
27.2
27.2 Aspekty submikroskopowe
Istniejl! jeszcze inne kwestie, ktore mogl! niepokoie zorientowanego czytelnika, nawet w odniesieniu jedynie do dynamiki klasycznej. Z call! pewnoscil! symetria wzglydem odbicia w czasie wystypuje w mechanice klasycznej na poziomie submikroskopowej dynamiki poszczegolnych cz'!stek i towarzyszl!cych im pol. W praktyce jednak niewiele wiemy 0 zachowaniu siy takich indywidualnych skladnikow ukladuo Szczegolowa znajomose polozen i pydow poszczegolnych cz'!stek wydaje siy zarowno niemozliwa, jak i niekonieczna, a ogolne zachowanie siy ukladu jest wystarczajl!co dobrze opisane za pomoq odpowiednich srednich parametrow fizycznych charakteryzujl!cych pojedyncze cz'!stki. Wielkosciami tymi mog,! bye na przyklad rozklad mas, pydu i energii, polozenie i prydkose srodka masy, temperatura i cisnienie w roznych miejscach, stale spryZyste, momenty bezwladnosci, szczegoly ksztaltu i orientacji cial w przestrzeni etc. Podstawowe znaczenie rna wiyc pytanie: czy dobra znajomose poczl!tkowych wartosci takich usrednionych "calosciowych" parametrow wystarcza w praktyce do opisania dynamicznego zachowania ukladu z dostatecznl! dokladnoscil!? Z pewnoscil! nie zawsze tak jest. Uklady znane jako chaotyczne charakteryzujl! siy tym, ze ich koncowe zachowanie w decydujl!cym stopniu zaleZy od dokladnej znajomosci parametrow wyjsciowych. Popularnym przykladem jest zabawka magnetyczna, w ktorej wahadlo magnetyczne porusza siy nad zbiorem magnesow rozmieszczonych w jakis okreslony sposob u jej podstawy; zob. rys. 27.1. Dynamiczne zachowanie siy tego ukladu jest dobrze okreslone, w sposob deterministyczny, przez prawa Newtona i prawa magnetostatyki, wraz z tlumieniem ruchu w wyniku oporu powietrza. Mimo to koncowe polozenie wahadla zaleZy w sposob krytyczny od parametrow wyjsciowych i jest w istocie nieprzewidywalne, chociaz szczegolowa znajomose poczl!tkowych polozen cz,!stek i wartosci pol z cal,! pewnosci,! ustala jednoznacznie koncowy wynikl. Znamy wiele innych przykladow takich "ukladow chaotycznych". Wiykszose problemow z przewidywaniem pogody przypisujemy zwykle chaotycznej naturze rozwaZanych ukladow. Nawet wysoce uporZl!dkowane (i bardzo przewidywalne) newtonowskie ruchy cial w Ukladzie Slonecznym stanowi,! (prawdopodobnie) uklad chaotyczny, z tl! rozniq, ze skale czasowe odpowiadajl!ce temu "chaosowi" S,! niepomiernie wiyksze od skali czasowych obserwacji astronomicznych.
Rys. 27.1. Ruch chaotyczny. Zabawka skladaj'lca sit( z wahadla magnetycznego zawieszonego nad zbiorem magnes6w przymocowanych do podstawy. Konkretna trajektoria wahadla w spos6b krytyczny za1eiy od jego pocz'ltkowego polozenia i prt(dkosci.
659
27
Wielki Wybuch i jego termodynamiczne dziedzictwo
A jak przedstawia sit( zagadnienie ewolucji nie w kierunku przyszlosci, lecz skierowanej w przeszlose? Uczciwie bt(dzie ostrzec, ie ta "chaotyczna nieprzewidywalnose" stanie sit( duio wit(kszym problemem, jesli zechcemy dokonae "retrodykcji" - przewidywalnej ewolucji w przeszlose - nii w przypadku "predykcji" przewidywalnej ewolucji w przyszlosci. Jest to zwi'!zane z Drugim Prawem Termodynamiki (DPT), ktore najprosciej moiemy wyrazie nastt(puj,!co: Cieplo przeplywa od ciala cieplejszego do zimniejszego. Zgodnie z tym prawem, jesli pol,!czymy cialo gor,!ce z cialem zimnym za pomoq jakiegos przewodnika ciepla, wowczas cialo gor,!ce bt(dzie sit( ochladzae, a cialo zimne ogrzewae, do momentu ai ich temperatury sit( wyrownaj,!2. To wlasnie przewiduje "predykcja" i taka ewolucja jest w pelni deterministyczna. Jesli, odwrotnie, sprobujemy odtworzye ten proces w odwroconym kierunku czasu, a wit(c ewolucjt( dwoch cial 0 tej samej temperaturze do wczesniejszego ukladu tych cial 0 roinej temperaturze, wowczas okaie sit(, ie praktycznie nie da sit( przewidziee, ktore z nich bylo cieplejsze, a ktore chlodniejsze, 0 ile i kiedy. W tym ukladzie okreslenie procesu dynamicznej retrodykcji jest przedsit(wzit(ciem calkowicie beznadziejnym. Taki sam klopot mamy w odniesieniu do retrodykcji niemal wszystkich ukladow makroskopowych, skladaj,!cych sit( wielkiej liczby cz,!stek, zachowuj,!cych sit( zgodnie z DPT. Z tego powodu fizyka zajmuje sit( raczej predykcj,!, a nie retrodykcj,!3. Innym aspektem tej sytuacji jest to, ie DPT uwaia sit( za istotny skladnik predykcyjnej sily fizyki, poniewai likwiduje ono te problemy, z ktorymi wlasnie zetknt(lismy sit( w przypadku ewolucji wstecz. Wielu fizykow sklonnych jest uwaiae, ie prawo to nie jest "fundamentalne" w takim sensie, w jakim za fundamentalne uwaiamy prawo zachowania energii, zasadt( liniowej superpozycji stanow w mechanice kwantowej, a nawet model standardowy fizyki cz'!stek elementarnych. Bt(d,! oni utrzymywae, ie DPT jest prawie "oczywistym" koniecznym skladnikiem kaidej sensownej teorii fizycznej. Niektorzy zwracaj,! uwagt(, ze jego sformulowanie jest tak dwuznaczne i nieprecyzyjne, iz w iaden sposob nie moze bye porownywane z nadzwyczajn,! dokladnosci,! praw dynamicznych, jakie opisuj,! podstawowe zjawiska fizyczne. Moj pogl,!d na tt( sprawt( jest zgola odmienny imam zamiar przedstawie niemal porazaj,!q precyzjt(, ktora ukrywa sit( za pozornie malo precyzyjn,! zasad,! fizyki statystycznej, zwykle okreslan,! mianem Drugiego Prawa Termodynamiki.
27.3 Entropia
660
Sprobujmy przeanalizowae nieco dokladniej, co naprawd y mowi DPT. Najpierw jednak powinienem przypomniee czytelnikowi 0 Pierwszym Prawie Termodynamiki (PPT). Prawo to stwierdza po prostu, ie w ukladzie izolowanym energia calkowita jest zachowana. Czytelnik moglby w tym miejscu poskariye sit(, ze ta informa-
Entropia
27.3
cja nie wnosi nie specjalnie nowego (rozdz. 18.6, 20.4, 21.3), lecz gdy to prawo zostalo po raz pierwszy sformulowane (jego autorem byl Sadi Carnot na poczqtku 1820 roku, aczkolwiek nie on je opublikowaI 4), nie bylo jeszcze jasne, ze cieplo jest formq energii; nawet zwykle, makroskopowe poj~cie energii nie bylo jeszcze calkiem jasne. Pierwsze Prawo Termodynamiki explicite stwierdza, ze cialo nie traci energii calkowitej, kiedy, na przyklad, w wyniku oporu powietrza zmniejsza pr~d kosc i traci w ten sposob energi~ kinetycznq (rozdz. 18.6). Energia ta zamienia si~ w cieplo i zwi~ksza temperatur~ ciala i otaczajqcego powietrza. Przez energi~ cieplnq rozumiemy (glownie) energi~ kinetycznq ruchu czqsteczek powietrza i drgan CZqstek skladajqcych si~ na rozpatrywane cialo. Ponadto temperatura jest po prostu miarq energii przypadajqcej na jeden stopien swobody, a zatem termodynamiezne poj~cia ciepla i temperatury Sq w zasadzie tym samym, co wczesniej rozumielismy przez te same poj~cia w uj~ciu dynamicznym, tylko obecnie stosujemy je na poziomie czqstek skladajqcych si~ na badanq substancj~ i rozwazamy je w sposob statystyczny. PPT rna teraz taki rodzaj scislosci, do jakiego jestesmy przyzwyczajeni: wartosc pewnej wielkosci fizycznej, w tym przypadku energii, pozostaje stala niezaleznie od jakichkolwiek, nawet najbardziej skomplikowanych mozliwych procesow. Energia calkowita po takim procesie jest dokladnie rowna tej, jaka byla na poczqtku. Pierwsze prawo termodynamiki rna postac rownosci, drugie zas - nierownosci. Mowi ono, ze pewna wielkosc, nazwana entropiq, po zajsciu jakiegos procesu rna wi~kszq wartosc (a co najmniej nie mniejszq) niz przed owym procesem. Mozemy powiedziec, ze w pewnym sensie entropia jest miarq "losowosci" rozpatrywanego ukladu. Nasze cialo, poruszajqc si~ w powietrzu, rozpoczyna ruch z energiq w zorganizowanej postaci (energii kinetycznej ruchu), ale gdy w wyniku oporu powietrza jego pr~dkosc zmniejsza si~, ta energia ulega rozproszeniu na przypadkowe ruchy czqsteczek powietrza i poszczegolnych czqsteczek skladajqcych si~ na to cialo. "Losowosc wzrosla"; a dokladniej, wzrosla entropia. Poj~cie entropii wprowadzil do fizyki w 1865 roku Clausius, ale dopiero wielki fizyk austriacki, Ludwig Boltzmann, w 1877 roku nadal mu jasniejszy sens. Aby zrozumiec ide~ Boltzmanna (dla ukladu klasycznego), skorzystamy z poj~cia przestrzeni fazowej (rozdz. 12.1, 14.1, 8, 20.1, 2, 4), ktore, jak pami~tamy, dla ukladu klasycznego n czqstek (bez struktury) oznacza 6n-wymiarowq przestrzen P, ktorej kazdy punkt reprezentuje calq rodzin~ polozen i p~dow wszystkieh n czqstek. Aby poj~cie entropii bylo precyzyjne, potrzebna nam jest koncepcja znana jako podzial gntboziamist/. Rozumiemy przez to podzial przestrzeni fazowej P na pewnq liczb~ podobszarow, ktore b~d~ nazywal "pudlami"['l; zob. rys. 27.2. Pomysl polega na tym, ze dane "pudlo" zawiera takie punkty przestrzeni P, jakie reprezentujq stany ukladu, ktorych nie mozemy odroznic od siebie podczas obserwacji makroskopo[*] Po angieisku box. W literaturze poiskiej uZywa siy tez czasem okresienia "kom6rka"; zob. Penrose (1989) (przyp. Hum.).
661
27
Wielki Wybuch i jego termodynamiczne dziedzictwo
Rys. 27.2. Entropia Boltzmanna. Wymaga ona podzialu przestrzeni fazowej P na podobszary ("pudla") - nazywamy to "podzialem gruboziamistym" P - w ktorym punkty danego pudla reprezentuj,! nierozroznialne makroskopowo stany fizyczne. Wedlug Boltzmanna entropi,! stanux, w pudie V 0 objytosci V, jest S = k In V, gdzie k jest stal,! Boltzmanna.
Stany nierozr6i:niaine makroskopowo
~
>---~
Przestrzen fazowa P podzieiona gruboziarnisto
wych, natomiast punkty naleZ,!ce do roznych pudel uwazamy za makroskopowo rozroznialne. Entropia boltzmannowska S dla stanu ukladu reprezentowanego przez punkt X przestrzeni P wynosi S=klnV,
gdzie V jest objt(tosci,! pudla V, ktore zawiera x ("In" oznacza logarytm naturalny; zob. rozdz. 5.3), a k jest stafq Boltzmanna 6 0 wartosci
k = 1,38
662
X
10-23 J K-1
(gdzie J oznacza dzule, a K-1 oznacza "na jeden kelwin'l Powiedzialem, ze definicja Boltzmanna wyjasnia pojt(cie entropii. Aby jednak S reprezentowalo wartose precyzyjn,! z fizycznego punktu widzenia, potrzebujemy jakiegos dokladnego przepisu na przeprowadzenie podzialu gruboziarnistego, ktory przedstawiae rna nasza rodzina "pudel". Z pewnosci,! wystt(puje tu pewna dowolnose w dokonaniu wyboru pude!. Jak sit( wydaje, ta definicja zaleiy od tego, jak dokladnie badamy dany uklad. Dwa stany mog,! bye "makroskopowo nierozroznialne" z punktu widzenia jednego eksperymentatora, ale dla drugiego mog,! bye calkiem rozroznialne. Ponadto bardzo dowolne jest okreslenie, gdzie przebiega granica mit(dzy dwoma pudlami, rozpatruj,!c bowiem dwa punkty, po obu stronach tej granicy, przyporz,!dkowujemy im inne wartosci entropii, pomimo ze s,! one praktycznie identyczne. Definicja entropii rna nadal charakter subiektywny, niezaleznie od faktu, ze wykazuje znaczny postt(P w porownaniu z wczesniej uiywanymi pojt(ciami i niew'!tpliwie jest znacznie lepsza od pojt(cia entropii jako po prostu miary "losowosci" ukladu. Moim zdaniem fizyczny status entropii w obecnej fizyce teoretycznej sprowadza sit( do tego, ze nie nadaje temu pojt(ciu znaczenia "absolutnego", aczkolwiek niew'!tpliwie jest ono bardzo uiyteczne. Uwazam za mozliwe, iz moze ono uzyskae w przyszlosci bardziej fundamentalne znaczenie. W tym celu jednak musielibysmy wzi,!e pod uwagt( kwantowe wlasnosci materii, a w kazdym razie to mechanika kwantowa dostarcza nam absolutnej miary dowolnego obszaru przestrzeni fazowej, V, zawartego w P, gdzie jednostki mog,! bye wybrane tak, zeby h = 1 (jak
Zywotnosc koncepcji entropii
27.4
w przypadku ukladu jednostek Plancka, zob. rozdz. 27.10)l27.21. Ale bez wzglydu na to, czy tak sil( stanie, jest godne uwagi, jak niewielkie znaczenie dla obliczen termodynamicznych rna dowolnose podzialu gruboziarnistego. Wydaje siy, ze powodem tego w wil(kszosci interesuj,!cych nas przypadkow jest gigantyczna roznica rozmiarow objytosci odpowiednich pudel przestrzeni fazowej, co powoduje, ze szczegoly wyznaczenia granic mil(dzy nimi staj,! sil( nieistotne, pod warunkiem ze podzial gruboziarnisty wlasciwie uwzgll(dnia intuicje co do tego, gdzie odpowiednie cZl(sci ukladu mog,! bye traktowane jako makroskopowo rozroznialne. Poniewaz entropia jest zdefiniowana jako logarytm z objl(tosci pudla, musielibysmy dokonae ogromnych zmian w zakresleniu granic, aby zmiany te w zauwazalny sposob wplynl(ly na wartose SI273I. S,!dzl(, ze obecnie w fizyce teoretycznej entropia jest pojyciem bardziej "wygodnym" niz "fundamentalnym", chociaz istniej,! przeslanki, ze w glC(bszym kontekscie, tam, gdzie wazne staj,! sil( rozwazania na gruncie grawitacji kwantowej (szczegolnie w odniesieniu do entropii czarnych dziur), to pojl(cie moze uzyskae status bardziej fundamentalny. Wrocimy do tej sprawy w dalszej czC(sci tego rozdzialu i w rozdz. 30.4-8, 31.15 oraz 32.6.
27.4 Zywotnosc koncepcji entropii Prosty przyklad pozwoli nam lepiej rozumiee roll( formuly Boltzmanna dla entropii. Rozwazmy zamkniyty zbiornik, w ktorym zaznaczymy specjalny obszar R; niech ten obszar rna ksztalt banki, zajmuj,!cej ok. jednej dziesi'!tej calej objl(tosci, wystaj,!cej na zewn'!trz glownego zbiornika i pol,!czonej z nim przez maly otw6r; zob. rys. 27.3. Zal6zmy, ze w zbiorniku znajduje sil( gaz sktadaj,!cy sil( z m czasteczek. Zapytajmy, ile wynosi entropia S zwi'!zana z sytuacj,!, gdy caly gaz znajduje siC( w R, w porownaniu z sytuacj,!, gdy gaz jest losowo rozproszony w calym zbiorniku.
Rys. 27.3. Zamknit(ty zbiornik, kt6rego czt(sc stanowi zbiornik kulisty
n 0 objt(tosci r6wnej 110 calosci. 0 ile wzrosnie en tropia gazu, kiedy gaz, pocz'!tkowo wypelniaj,!CY obszar n, rozprzestrzeni sit( na caly zbiornik?
I'D [27.2] Pokaz, jak przyporz 0), ktorq nazwiemy TERAZ, znajdujqc x, w chwili to' w obszarze V 0 rozsqdnym rozmiarze. Wowczas, obserwujqc, jak ~ wydruje w strony wiykszych wartosci t, stwierdzamy, ie ze wzrostem t przechodzi do coraz wiykszych pudel. Taki obraz jest zgodny z DPT i z przyjt(tym zaloieniem, ie nie rna iadnego powodu, dla ktorego x powinien sit( znaleie w tym a nie w innym pudle. Kiedy jednak patrzymy na ten obraz w odwrotnej perspektywie czasowej, "zaczynajqc" w chwili t, z x znajdujqcym sit( w pudle V, mamy wraienie, jakby punkt x byl celowo kierowany (w miart( cofania sit( w przeszlose) do absurdalnie malego obszaru przestrzeni fazowej, ktory oznaczylismy jako B. Patrzqc wstecz w czasie, moiemy zauwaiye, ie zachowanie sit( punktu x wydaje siy nad wyraz "stronnicze", gdyi poszukuje on pudel, ktore z kaidym krokiem stajq sit( coraz mniejsze. Czy naleiy to rozumiee w ten sposob, ze wlasnie poszukiwanie coraz mniejszych pudel to jakas obsesja? Nie, to po prostu oznacza, ze B jest otoczony przez pudla, ktore Sq coraz mniejsze (zob. rys. 27.8) - a wit(c zeby ~ w ogole dotarla do B, gdy t maleje do 0, musi przechodzie przez coraz mniejsze pudla. Rozwiqzanie zagadki sprowadza siy do tego, ze jeden koniec ~ musi lezee w B! Ten oto fakt musimy sobie uswiadomie, jesli chcemy zrozumiee, skqd bierze siy drugie prawo termodynamiki. Obszar B reprezentuje Wielki Wybuch jako poczqtek istnienia naszego WszechSwiata i niebawem przekonamy sit(, jak absurdalnie mala jest wielkose tego obszaru! Musimy sprobowae zrozumiee, z czym mamy tutaj do czynienia. W jakim sensie obszar B jest szczegolny? Czy tej "szczegolnosci" jestesmy w stanie przyporzqdkowae jakqs miart( liczbowq? A w ogole czy Sq jakies obserwacyjne powody, zeby wierzye w koncepcjy Wielkiego Wybuchu? Koncepcja wybuchowego poczqtku naszego Wszechswiata powstala podczas teoretycznego badania rownania Einsteina w kontekscie kosmologicznym, ktore przeprowadzil Aleksander Friedmann!'] w 1922 roku (zob. rozdz. 27.11). Nastt(pnie, w 1929 roku, Edwin Hubble dokonal niezwyklego odkrycia, ze odlegle galaktyki rzeczywiscie uciekajq od nas ll w sposob wskazujqcy na to, ze poczqtkiem istnienia WszechSwiata musiala bye jakas gigantyczna eksplozja. Wedlug obecnych oszacowan ta eksplozja - znana pod naZWq Wielkiego Wybuchu - nastqpila jakies 1,4 x lOlO lat temu. Wnioski Hubble'a opieraly sit( na obserwacji, ze dlugosci fal swietlnych dochodzqce do nas z szybko oddalajqcych sit( obiektow Sq p1Zesuni~te w stron~ czerwieni (tzn. linie spektralne Sq przesunit(te w strony "czerwonego konca widma", czyli w stront( fal dluzszych), zgodnie ze znanym zjawiskiem Dopplera[27.lO]. Odkryl on, ze przesuniycie w stront( czerwieni bylo
674
[*] Jak zawsze w przypadku nazwisk rosyjskich, ich transliteracja laciiiska nie jest jednoznaczna. Funkcjonuj,! wit;c trzy wersje tego nazwiska: Friedmann, Friedman oraz Fridman (przyp. dum.). ~ [27.10] Wyprowadz wyrazenie na relatywistyczne dopplerowskie przesunit;cie CZt;stosci dla zr6dla oddalaj,!cego sit; z prt;dkosci,! v (a), posluguj,!c sit; obrazem falowym swiatla i (b) posluguj,!c sit; iloczynem skalarnym 4-wektor6w i relacj,! E = hv.
Rala Wielkiega Wybuchu
27.7
tym wiyksze, im bardziej odlegla byla galaktyka, co wskazywalo, iz prydkosc oddalania siy byla proporcjonalna do odleglosci od nas, w zgodzie z przedstawionym obrazem "wybuchu". Jednak najbardziej imponuj,!cym argumentem obserwacyjnym na rzecz Wielkiego Wybuchu jest powszechne wystypowanie promieniowania przenikaj,!cego cal,! przestrzen, 0 temperaturze ok. 2,7 K (czyli 2,7 °C powyzej zera bezwzglydnego )12. Chociaz wydaje siy, ze to nadzwyczaj niska temperatura w wypadku tak gwaltownego wydarzenia, wszystko wskazuje na to, ze jest ona swego rodzaju "rozblyskiem" samego Wielkiego Wybuchu, silnie wytlumionym ("przesuniytym w strony czerwieni") i ochlodzonym ze wzglydu na ogromn'! ekspansjy WszechSwiata. To promieniowanie 2,7 K odgrywa niezwykle wazn,! roly we wspolczesnej kosmologii. Zwykle okresla siy je jako "promieniowanie reliktowe" alba "kosmiczne mikrofalowe promieniowanie tla", a czasami jako "czarnocialowe promieniowanie tla". Ma one nadzwyczaj jednorodny rozklad (jak jeden do 105), co wskazuje na niezwykl,! jednorodnosc wczesnego WszechSwiata, zaraz po Wielkim Wybuchu, i jest znakomicie opisane przez modele kosmologiczne, ktore rozwaZymyw rozdz. 27.11. Sprobujmy teraz uzyskac jakis wgl,!d w natur{? tego ograniczenia ogromnie malej entropii, jakie nakladamy na Wielki Wybuch, ktore powoduje, ze obszar B rna tak znikom,! objytosC13. Okazuje siy, ze niezwykl,! cech,! Wielkiego Wybuchu jest jego ogromna jednorodnosc, 0 ktorej wlasnie wspomnielismy. Musimy zrozumiec, dlaczego ten fakt odpowiada bardzo malej entropii i prowadzi do drugiego prawa termodynamiki, ktore obowi,!zuje nas tutaj, na Ziemi, w takiej postaci, jak,! znamy. Najpierw rozwazmy ponownie roly Slonca jako zrodla niskiej entropii. Istnieje powszechne przekonanie, ze nasza egzystencja jest uwarunkowana energi,!, ktorej dostarcza nam Slonce. Jest to nieporozumienie. Aby owa energia byla dla nas w ogole uZyteczna, musi bye dostarczona w postaci niskiej entropii. Gdyby na przyklad cale niebo bylo jednorodnie oswietlone, z jednorodnym rozkladem temperatur - bez wzglydu na to, czy energia pochodzilaby od Slonca, czy od czegokolwiek innego - bylaby dla nas calkowicie bezuZyteczna (niezaleZnie od tego, jaki rodzaj istot probuj,!cych przystosowae siy do takiej sytuacji moglibysmy sobie wyobrazie). Energia dostarczana w warunkach rownowagi termodynamicznej jest bezuZyteczna. Mamy natomiast szczyscie, ze Slonce stanowi gorqcy punkt na zupelnie zimnym tie. W ci,!gu dnia energia dociera od Slonca do Ziemi, ale w czasie dnia i nocy wraca w przestrzen. Bilans energetyczny (srednio) jest taki, ze oddajemy z powrotem cal,! energiy, jak,! otrzymujemy14. Od Slonca otrzymujemy pojedyncze fotony 0 wysokiej energii (w zasadzie s,! to zolte fotony 0 wysokiej czystosci odpowiadaj,!ce wysokiej temperaturze Slonca), podczas gdy energia zwracana w przestrzen kosmiczn,! rna postae fotonow o niskiej energii (fotony podczerwone, 0 niskiej CZystosci; jest to zwi'!Zane ze wzorem PlanckaE =hv i promieniowaniem ciala doskonale czarnego; zob. rozdz. 21.4). Ze wzglydu na wyzsze energie (wyzsze temperatury) liczba fotonow, ktore docieraj,! do nas ze Slonca, jest wiyksza niz liczba fotonow, ktore wracaj,! w kosmos, co
675
27
Wielki Wybuch i jego termodynamiczne dziedzictwo
wynika z faktu, ze przenoszona przez padaj,!ce fotony energia jest w przyblizeniu podobna do przenoszonej przez fotony wylatuj,!ce. Mniejsza Hose foton6w Slonca oznacza mniejsz,! Hose stopni swobody, a zatem mniejszy obszar przestrzeni fazowej i mniejsz,! entropi« niz w przypadku foton6w opuszczaj'!cych Ziemi«. Rosliny wykorzystuj'! w procesie fotosyntezy t« energi« 0 niskiej entropii i w ten spos6b redukuj,! swoj,! entropi«. Nast«pnie my korzystamy z tej entropii roslin do zredukowania wlasnej, po pro stu zjadaj,!c te rosliny, alba zjadaj,!c zwierz«ta, kt6re je zjadaj,!, oraz wdychaj,!c tIen, kt6ry wydzielaj,! rosliny; zob. rys. 27.9. A dlaczego Slonce stanowi gor'!cy punkt na zimnym niebie? Chociaz szczeg6lowa przyczyna jest dose skomplikowana, to ostatecznie sprowadza si« do faktu, ze Slonce - podobnie jak wszystkie inne gwiazdy - powstalo w wyniku kondensacji grawitacyjnej jednorodnego pocz'!tkowo gazu (gl6wnie wodom). Nawet gdyby nie wyst«powaly tutaj nawet zadne inne czynniki (przede wszystkim sHy j'!drowe), to Slonce nie mogloby istniee bez grawitacji! Mala wartose entropii slonecznej (daleka od r6wnowagi termodynamicznej) pochodzi od ogromnego rezerwuam niskiej entropii, jaka jest dost«pna potencjalnie w jednorodnym gazie, kt6rego kondensacja grawitacyjna utworzyla stonce. Zwi,!zek grawitacji z entropi,! jest podejrzany, poniewaz reprezentuje ona sH« przyci,!gaj,!c,!. Przywyklismy wyobrai:ae sobie entropi« normalnego gazu skon-
•
,
I
-·~~tOV
~.
676
Rys. 27.9. Ziemia oddaje ty sam1! Hose energii, jak1! otrzymuje od Slonca, jednak energia otrzymywana od Sionca odpowiada znacznie ni:i:szej entropii, poniewa:i: Sionce przekazuje nam energiy w postaci swiada :i:6ltego, a wiyc 0 znacznie \ry:i:szej czystoSci ni:i: promieniowanie podczerwone, jakie oddaje Ziemia. Zgodnie z prawem Plancka E = hv, ka:i:dy foton sioneczny przenosi znacznie wiyksz1! energiy ni:i: fotony emitowane przez Ziemiy, co oznacza, :i:e energia pochodz1!ca od Sionca jest przenoszona przez znacznie mniejsz1! ilose foton6w ni:i: oddawane przez Ziemiy. Mniejsza liczba foton6w oznacza mniejsz1! ilose stopni swobody, a wiyc mniejszy obszar przestrzeni fazowej i mniejsz1! entropiy ni:i: dla foton6w emitowanych z Ziemi do przestrzeni kosmicznej. Ty energiy 0 niskiej entropii w procesie fotosyntezy \rykorzystuj1! rosliny, redukuj1!c w ten spos6b wlasn1! entropiy, natomiast my, zjadaj1!c te rosliny lub istoty, kt6re je zjadaj1!, a tak:i:e oddychaj1!c tlenem \rydzielanym przez rosliny - redukujemy swoj1!. Wszystko to, w ostatecznym rachunku, jest wynikiem r6:i:nicy temperatur w otaczaj1!cej przestrzeni, jaka, z kolei, jest rezultatern zgyszczenia grawitacyjnego, kt6re doprowadzilo do powstania Sionca.
Czarne dziury
...... . . · . : :~.;;.
... . . .. ..
27.8
(a)
Entropia rosnie
.. . . .... .... .
..
. ..: .
- - - - Czas - - - - I..~
·
....
-.ij .
· :::-.. •
e. e ••
[2]lbl
Rys. 27.10. Entropia rosnie ze wzrostern czasu, od lewej strony ku prawej. (a) Dla gazu zarnkni«tego w pudle, pocz'!tkowo zgrornadzonego w jednyrn rogu, entropia wzrasta, gdy gaz zaczyna si« rozprzestrzeniac po calej obj«tosci pudla, osi,!gaj,!c w koncu jednorodny stan rownowagi cieplnej. (b) W polu grawitacyjnyrn sprawy przedstawiaj'! si« odwrotnie. Uklad jednorodnie rozproszonych cial grawitacyjnych rna stosunkowo mal,! entropi«, natorniast ich zag«szczenie powoduje jej wzrost. W koncu, gdy tworzy si« czarna dziura, nast«puje gwaltowny wzrost entropii i wi«kszosc rnaterii zostaje pochloni«ta.
centrowanego w malym obszarze, w kt6rym jej stan jest niski Oak w przypadku zbiornika na rys. 27.3), natomiast r6wnomierne rozproszenie gazu oznacza stan wysokiej entropii, odpowiadaj(!cy stanowi r6wnowagi termodynamicznej. Tymczasem grawitacja powoduje cos odwrotnego. R6wnomiernie rozlozony uklad cial w polu grawitacyjnym oznacza stosunkowo nisk(! entropiy (chyba ze prydkosci tych cial S(! ogromne alba S(! to ciala bardzo male b(!di tak rozproszone, iz oddzialywania grawitacyjne mozna pomin(!c), podczas gdy stan wysokiej entropii uzyskujemy wtedy, gdy nastypuje zgyszczenie cial grawitacyjnych (rys. 27.10). A jakie cechy kryje stan 0 maksymalnej entropii? W przypadku gazu maksymaln(! entropiy rna stan r6wnowagi termodynamicznej, w kt6rym gaz jest r6wnomiernie rozmieszczony w calym rozpatrywanym obszarze. Tymczasem w przypadku dUZych cial grawituj(!cych maksymalna entropia odpowiada maksymalnej koncentracji calej masy w jednym miejscu - jest to obraz znany pod nazw(! czamej dziury. Musimy zrozumiec lepiej natury tych dziwnych i wspanialych obiekt6w, co doprowadzi nas do adekwatnej oceny entropii, potencjalnie dostypnej we WszechSwiecie, traktowanym jako calosc. To nam pozwoli wlasciwie oszacowac objytosci B i Pu .
27.8 Czarne dziury Czym jest czarna dziura? Z grubsza bior(!c, to pewien obszar czasoprzestrzeni, kt6ry powstal w wyniku kolapsu materii grawitacyjnej, poniewaZ przyci(!ganie grawitacyjne jest tak silne, ze nawet swiatlo nie moze siy z niego wydostac. Aby uzyskac intuicyjne wyobrazenie takiej sytuacji, rozwaZmy newtonowskie pojycie pr~d kosci ucieczki. Jesli wyrzucimy pionowo w g6ry kamien z pewn(! prydkosci(! v, w6wczas po osi(!gniyciu odpowiedniej wysokosci bydzie spadal na ziemiy. Wysokosc
677
27
Wielki Wybuch i jego termodynamiczne dziedzictwo
okreslona jest przez pulap, na kt6rym energia kinetyczna kamienia zostala calkowicie zUZyta na pokonanie grawitacyjnej energii potencjalnej (rozdz. 17.3, 18.6). Pomijamy efekt oporu powietrza, wysokose jest zatem calkowicie zdeterminowana przez prydkose nadan,! w momencie rzutu[27.11]. Gdy jednak prydkose ta przekroczy wartose (2GM/R)1!2, czyli pr~dkosc ucieczki, w6wczas kamien wydostanie siy poza zasiyg pola grawitacyjnego Ziemi. (Tutaj M iRs,!, odpowiednio, mas,! i promieniem Ziemi, a G jest stal,! grawitacyjn,! Newtona). WyobraZmy sobie teraz, ze w miejscu Ziemi mamy cialo 0 duZo wiykszej masie i gystosci. W takim przypadku prydkose ucieczki bydzie wiyksza (poniewaz stosunek M/R rosnie, gdy rosnie M i maleje R) i mozemy przyj,!e, ze masa i gystose mog,! bye tak wielkie, iZ prydkose ucieczki na powierzchni przekroczy nawet prydkose swiatla. Na podstawie teorii Newtona wolno przypuszczae, ze gdy zdarzy siy taka sytuacja, w6wczas patrz,!c z duzej odleglosci, zobaczymy calkowicie ciemne cialo, poniewaz swiatlo nie bydzie w stanie z niego siy wydostae. Do takiego wniosku doszedl angielski astronom i duchowny John Michell okolo 1784 roku, a nieco p6zniej, w 1799 roku, wielki francuski fizyk i matematyk Pierre Simon Laplace 1s • Mimo to nie uwazam tej sytuacji za wyjasnion,!, poniewaz w teorii Newtona prydkose swiatla nie rna absolutnego statusu, mozna wiyc argumentowae, ze w przypadku takiego ciala prydkose swiatla na jego powierzchni powinna bye znacznie wiyksza nu prydkose mierzona w wolnej przestrzeni, wobec czego swiatlo mogloby uciec do nieskonczonosci, bez wzglydu na to, jak wielka bylaby masa i gystose rozpatrywanego ciala16.[27.12]. Zatem "ciemna gwiazda" Michella, aczkolwiek jest niew'!tpliwie prekursorem koncepcji czamej dziury, wedlug mnie nie stanowi przekonuj,!cego przykladu "niewidzialnych" obiekt6w grawitacyjnych w teorii Newtona. Problem nabiera innego wymiaru w kontekscie teorii wzglydnosci, poniewaz tam prydkose Swiatla rna charakter fundamentalny i przedstawia prydkose graniczn,! dla rozchodzenia siy jakichkolwiek sygnal6w (rozdz. 17.8). Poniewaz zajmujemy siy zjawiskiem grawitacji, jest nam potrzebna czasoprzestrzen og6lnej teorii wzglydnosci, a nie po prostu przestrzen Minkowskiego. W og6lnej teorii wzglydnosci rzeczywiscie oczekujemy pojawienia siy sytuacji, w kt6rych prydkose ucieczki stanie siy wiyksza od prydkosci swiatla, a w efekcie pojawi siy to, co nazywamy czamq dziurq. Czama dziura powinna pojawie siy wtedy, gdy wielkie masywne cialo osi,!gnie taki stan, w kt6rym sity wewnytrznego cisnienia okaZ,! siy za slabe, aby przeciwstawie siy nieustt(pliwemu dzialaniu skierowanych do wewn'!trz jego wlasnych sit grawitacyjnych. Istotnie, takiego grawitacyjnego zapadania sit( oczekujemy, gdy jakas ogromna gwiazda, 0 masie calkowitej wielokrotnie wit(kszej od masy Slonca - powiedzmy
~ [27.11] Pokai, ze ta wysokoscwynosi v2R(2gR -v
678
2t\ gdzieR oznacza promien Ziemi, ag
przyspieszenie grawitacyjne na powierzchni Ziemi. ~ [27.12] Czy rozumiesz dlaczego? Wskazowka: rozwaz zagadnienie, traktujqc swiatlo jako ruch cZqstek oraz swiatlo od zr6dla zewnt(trznego padajqce na powierzchnit( ciala. Co sit( stanie, jesli swiatlo padnie na zwierciadlo umieszczone poziomo na powierzchni ciala?
Czarne dziury
27.8
10Mo (gdzie lMo oznacza mas~ Slonca) - zUZyje juz wszystkie dost~pne wewn~trz ne zrodla energii, zacznie si~ wychladzae i nie b~dzie w stanie wytworzye dostatecznego cisnienia, zeby uniknqe kolapsu. Kiedy to nastqpi, implozja jest nie do powstrzyrnania, poniewaZ efekty grawitacyjne kumulujq si~ nieustannie. Pelny obraz moze okazae siy bardzo skomplikowany, szczegolnie wobec faktu, ze duzego znaczenia nabierajq skqdinqd subtelne zjawiska zwiqzane z zachowaniem si~ materii w warunkach wysokich cisnien. Szczegolnie istotne staje si~ cisnienie zdegenerowanych elektronow i neutronow. Ma ono zwiqzek z zakazem Pauliego, ktory, jak pamiytamy na podstawie rozdz. 23.7, zabrania, zeby dwa lub wi~ cej identycznych fermionow znajdowalo siy w tym samym stanie kwantowym. Bialy kanel, ktorego masa moze bye rZydu masy Slonca skoncentrowanej w objytosci Ziemi, jest utrzymywany w tym stanie dzi~ki cisnieniu zdegenerowanych elektronow; natomiast gwiazda neutronowa 0 podobnej masie bylaby cialem 0 srednicy 10 km i jest utrzymywana w tym stanie dzi~ki cisnieniu zdegenerowanych neutronow. (Gdyby pileczky tenisowq wypelnie materiq 0 gystosci gwiazdy neutronowej, to waZylaby prawie tyle sarno ile ksi~Zyc Marsa - Deimos!) Jednak ze wzglydu na wymogi relatywistyczne okazuje si~, ze sarno cisnienie degeneracyjne nie jest w stanie przeciwstawie siy implozji masy, jdli masa gwiazdy jest wi~ksza od okolo 2Mo' Kluczowy wynik uzyskal w 1931 roku Subrahmanyan Chandrasekhar, ktory wykazal, ze dla bialych karlow ta graniczna wielkose wynosi 1,4Mo' W pozniejszych rachunkach dla gwiazd neutronowych odkryto, ze granica ta jest nieco wyzsza 17 • Ostatecznie dochodzimy do wniosku, ze nie istnieje stabilna konfiguracja dla zimnego obiektu 0 masie wi~kszej od ok. 2Mo (a bye moze nie wi~kszej od 1,6Mo)' Obiekt taki bydzie zapadal siy do wewnqtrz i own zapadanie bydzie trwalo do momentu, w ktorym osiqgnie takie rozmiary, ze uprawnione bydq rozwazania przeprowadzone ongis przez Michella. Co siy wtedy dzieje? Powroemy do rozwazenia naszej duzej gwiazdy, 0 masie, powiedzmy, 10Mo i zalozmy, ze poczqtkowo jej temperatura jest wystarczajqco wysoka, aby cisnienie termiczne utrzymywalo jq w stanie rownowagi. Wraz ze stygniyciem gwiazdy w pewnym stadium jej zg~szczone jqdro przekroczy granicy Chandrasekhara i nastqpi implozja. Zapadanie si~ zewn~trznych mas gwiazd wywola gwaltownq eksplozj~ znanq pod naZWq supernowej. Eksplozje takie Sq cZysto obserwowane, glownie w innych galaktykach, i przez kilka dni swiatlo takiej supernowej jest bardziej intensywne od swiatla calej galaktyki. Jdli jednak w trakcie takiej eksplozji gwiazda nie utraci wystarczajqco duzej ilosci masy - a w przypadku gwiazdy 0 masie poczqtkowej okolo lOMo jest to wysoce prawdopodobne - oczekujemy, ze bydzie zapadae siy w sposob niepowstrzymany, az osiqgnie rozmiary, do jakich stosuje siy argumentacja Michella. Przeanalizujmy rys. 27.11, ktory przedstawia diagram czasoprzestrzenny kolapsu gwiazdy do stanu czarnej dziury. (Naturalnie, musielismy pominqe jeden z wymiarow przestrzennych.) Widzimy, ze materia zapada siy do wnytrza przez powierzchniy, na ktorej pr~dkose ucieczki staje si~ rowna pr~dkosci swiatla. Powierzchni~ takq nazywamy (bezwzgl~dnym)
679
27
Wielki Wybuch i jego termodynamiczne dziedzictwo
t
Rys. 27.11. Diagram ezasoprzestrzenny kolapsu do stanu ezamej dziury (pominiyty zostal jeden wymiar przestrzenny). Materia zapada siy do wnytrza przez 3-wymiarow,! powierzehniy, kt6ra staje siy (absolutnym) horyzontem zdarzen. Ani materia, anijakakolwiek informaeja nie moze wydostae siy z dziury, z ehwil,! gdy zostala uformowana. Stozki zerowe s,! styezne do horyzontu i zar6wno materia, jak i informaeja moze bye przekazywana do wewn'!trz, leez nie na zewn'!trz. Obserwator zewnytrzny nie jest w stanie obserwowae wnytrza dziury, jedynie moze obserwowae materiy - niezwykle niewyrazn,! i eiemnoezerwon,! - tuz przed przejseiem w stan ezamej dziury.
horyzontem zdarzen. Od tego momentu zadna informacja wychodzqca z tej gwiazdy nie jest w stanie dotrzec do obserwatora zewnytrznego i mowimy, ze powstata czarna dziura. Obraz przedstawiony na rys. 27.11 jest oparty na znanym rozwiqzaniu rownania Einsteina, jakie uzyskal Karl Schwarzschild w 1916 roku 18 , wkrotce po opublikowaniu teorii Einsteina i zaledwie na pary miesiycy przed smierciq. (Schwarzschild zmarl na rzadkq choroby, ktorej nabawit siy na froncie wschodnim podczas I wojny swiatowej). Rozwiqzanie Schwarzschilda opisuje statyczne pole grawitacyjne otaczajqce sferycznie symetryczne ciato kurczqce siy lub nie. Horyzont pojawia si y na odleglosci r = 2MG/c2 (jest to dokladnie wartosc krytyczna wyprowadzona przez Michella)l27.131• ~ [27.13] Gryginaina metryka Schwarzschilda miala postac ds = (1- 2M/r)df - (1- 2M/r)"ld? - r( dfY + sin 2 (J dq/); jej jednostki zostaly wybrane w taki sposob, ze G = c = 1 i gdzie (J i tj> Sq 2
680
standardowymi wspolrzydnymi sferycznymi (rozdz. 22.11). Wyjasnij, jak wspolrzydna radialna r jest ustalona przez warunek na powierzchnie kul 0 stalych r i t. Metryka ta nie rozciqga siy gladko na obszar r ,,;; 2M; w takim obszarze naleZy uZyc metryki Eddingtona-Finkelsteina 0 postaci ds 2 = (1 - 2M/r)dv2 - 2 dv dr - r( dfY + sin 2 (J dtj>2). Znajdz przeksztalcenie wspolrzydnych, ktore jawnie wiqi:e ze sobq te metryki. Wyjasnij, dlaczego krzywe zerowe na kai:dej plaszczyznie (v, r) muszq bye radialnymi zerowymi liniami geodezyjnymi, i skorzystaj z tego faktu, aby znalezc ich rownania i wykresy. (Rysuj linie 0 stalym r jako linie pionowe, a linie 0 stalej v jako nachylone do wewnqtrz pod kqtem 45° od prawej.) Wskaz horyzont zdarzen i osobliwosc (rozdz. 27.9).
Czarne dziury
27.8
Horyzont zdarzen nie rna charakteru materialnego. Jest to jedynie pewna szczegolna hiperpowierzchnia w czasoprzestrzeni oddzielaj,!ca obszary, z ktorych sygnaly mog,! wychodzic na zewn'!trz i uciekac do nieskonczonosci - od takich, z ktorych wszystkie sygnaly, w sposob nieunikniony, zostaj,! pochloniyte przez czarn'! dziury. Pechowy obserwator, ktory wpadlby przez horyzont zdarzen od strony zewnytrznej do wewnytrznej, w momencie przekraczania horyzontu nie zauwaZylby niczego szczegolnego. Rowniez sarna czarna dziura nie jest obiektem dostrzegalnym; uwazamy j,! jedynie za grawituj,!CY obszar czasoprzestrzeni, z ktorego nie moze wydostac siy zaden sygnal. Ale jaki jest los tej nieszczysnej gwiazdy? T,! zagadk,! zajmiemy siy w rozdz. 27.9. Sprobujmy najpierw omowic wyniki obserwacji. Czy mamy jakis dowod na istnienie czarnych dziur? Owszem, mamy. W latach siedemdziesi'!tych XX wieku znaleziono wiele przykladow intryguj,!cych ukladow "gwiazd podwojnych", w ktorych tylko jedn,! udalo siy obserwowac jako obiekt emituj,!CY swiatlo widzialne. Istnienie, masy i ruch drugiej mozna bylo jedynie wydedukowac na podstawie subtelnych szczegolow ruchu jej widzialnej partnerki. Co wiycej, na podstawie widma promieni Roentgena pochodz,!cych z otoczenia gwiazdy mozna byio wywnioskowac, ze jej niewidoczny partner jest gystym obiektem materialnym 0 masie zbyt duzej, zeby mozna go bylo uwazac za bialego karla lub gwiazdy neutronowq a tylko te dwie formy materii dla zwartych gwiazd byly do tej pory uWaZane za mozliwe. Widmo rentgenowskie wskazywaio, ze niewidoczny obiekt powinien byc czarnq dziurq otoczonq "dyskiem akrecyjnym" gazu i pylu, ktore ruchem spiralnym zblizaj,! siy do dziury z coraz wiykszq prydkosciq i ktorych temperatura w miary zblizania siy do srodka rosnie do olbrzymich wartosci. W koncu, zanim te masy zostanq pochloniyte przez dziury, nastypuje emisja promieni Roentgena (zob. rys. 27.12a). Najlepiej znanym (a w tamtych latach rowniez najbardziej przekonujqcym) kandydatem na takq czarnq dziury byio zrOdIo promieniowania rentgenowskiego z obiektu 0 nazwie Cygnus X-I. Na podstawie tych danych daio siy ustalic,
(a)
(b)
Rys. 27.12. Uklady gwiazd podw6jnych, w kt6rych jednil jest (malenka) czama dziura. (a) Materia sciilgana z wiykszej gwiazdy przez czarnil dziury tworzy wok61 niej "dysk akrecyjny", kt6ry zbli:i:a siy do niej ruchem spiralnym, jego temperatura rosnie i zanim zostanie pochloniyty przez dziury, emituje promienie rentgenowskie. (b) W pewnych przypadkach dysk siy nie tworzy, lecz materia zostaje bezposrednio pochloniyta. Gdyby obiekt przyciilgajilcy mial powierzchniy materialnil, w6wczas materia wpadajilca ogrzewalaby jil, jednak nie obserwuje siy jakiejkolwiek poswiaty, co dowodzi istnienia czamej dziury.
681
27
Wielki Wybuch i jego termodynamiczne dziedzictwo
ze ten ciemny i gysty obiekt musi miec masy ok. 7Mo' a zatem, zgodnie z obowil}zujl}q teori,!, nie moze to byc ani bialy karzel, ani gwiazda neutronowa. Tego rodzaju dowody sl} zawsze posrednie i niezbyt zadowalajl}ce, poniewaz ich wartosc opiera siy na leoni, kt6ra glosi, ze podobnie masywne i gyste obiekty nie mogl} istniec w postaci cial rozcil}glych. Obecnie jednak mamy bardziej bezposrednie dowody istnienia czarnych dziur. Dyski akrecyjne nie sl} juz uWaZane za jedynl} form y, jakl} moze przyjmowac materia wpadajl}ca do czarnej dziury. W pewnych przypadkach materia wpada "prosto do dziury" i zaobserwowano takie sytuacje (rys. 27.12b). Gdyby obiekt przycil}gajl}cy mial jakl}s materialnl} powierzchniy, w6wczas materia wpadajl}ca musialaby ty powierzchniy ogrzewac i, po pewnym czasie, dostrzeglibysmy jakl}s poswiaty. Niczego takiego nie udalo siy zauwaZyc. Jest to bezposredni dow6d, ze ten zwarty i przycil}gajl}cy obiekt nie rna jakiejkolwiek powierzchni, a wiyc jest rzeczywiscie czarnl} dziuq19. Wszystko to odnosi siy do "gwiezdnych" czarnych dziur, kt6rych masa jest zaledwie kilka razy wiyksza od masy Slonca. Posiadamy jednak imponujl}ce dowody istnienia duzo wiykszych czarnych dziur. Wydaje siy, ze przewazajl}ca liczba a prawdopodobnie wszystkie - galaktyk rna w swoich srodkach ogromne czarne dziury. W szczeg61nosci wygll}da na to, ze w srodku naszej Galaktyki, Drogi Mlecznej, znajduje siy czarna dziura 0 masie okolo 3 x 106Mo. Bardzo szczeg610wo zbadana ruchy gwiazd wok6l niej i obraz, kt6ry otrzymujemy, jest calkowicie zgodny z koncepcjl} czarnej dziury.
27.9 Horyzonty zdarzen i osobliwosci czasoprzestrzeni
682
Na rys. 27.11 naszkicowalem kilka stozk6w zerowych, zeby uwidocznic relacje przyczynowosci w czasoprzestrzeni. Najbardziej istotnym elementem tego rysunku jest istnienie horyzontu zdarzen czarnej dziury, kt6ry jest pewnl} 3-powierzchnil} H w czasoprzestrzeni. Jak 0 tym m6wilismyw rozdz. 27.8, charakteryzuje siy ona tym, ze zaden sygnal z jakiegos obszaru wewnl}trz H nie moze wydostac siy na zewnl}trz. Widzimy to jako efekt nachylenia stozk6w do wewnl}trz, tak ze wszystkie stozki Sl} styczne do H. Kazda linia swiata przecinajl}ca H od wewnl}trz na zewnl}trz stanowilaby pogwalcenie przyczynowosci, kt6rl} definiujl} stozki swietlne (rozdz. 17.7). Na rysunku przedstawilem przypadek, gdy implozja grawitacyjna jest calkowicie sferycznie symetryczna. Przypadek ten zostal przebadany przez J. Roberta Oppenheimera i Hartlanda Snydera (1939), kt6rzy wykorzystali geometriy Schwarzschilda do opisu obszaru na zewnl}trz zapadajl}cej siy materii. Aczkolwiek sam horyzont H rna dziwne wlasciwosci, to geometria lokalna nie r6zni siy tam specjalnie od geometrii w kazdym innym miejscu. Stwierdzilismy juz, ze obserwator znajdujl}CY siy na statku kosmicznym, przekraczajl}c horyzont od zewnl}trz do wewnl}trz, nie zauwaZylby niczego szczeg61nego. Jest to jednak podr6z bez mozliwosci powrotu. Nachylenie stozk6w zerowych jest takie, ze nie rna zadnego wyjscia, i obserwator doswiadczatby gwaltownie nasilajl}cych siy efek-
Horyzonty zdarzeri i osobliwosci czasoprzestrzeni
27.9
tow plywowych (krzywizna czasoprzestrzeni; zob. rozdz. 17.5 i 19.6), ktore stajq siy nieskonczenie wielkie w centrum (r = 0), gdzie pojawia siy osobliwosc czasoprzestrzeni. Obraz taki nie tylko charakteryzuje przypadek symetrii sferycznej, lecz jest najzupelniej ogolny. Istniejq bardzo ogolne twierdzenia, ktore mowiq, ze w przypadku zapadania siy grawitacyjnego po przejsciu pewnego "punktu, z ktorego nie rna powrotu" osobliwosci nie mozna uniknqeo. Niektore zagadnienia, jakie z tym siy wi
gdzieA oznaeza powierzehniy horyzontu czarnej dziury, natomiast BH, wedle uznania, moze oznaczac: Bekensteina-Hawkinga alba "black hole" - czarn'! dziury! Zauwazmy pojawienie siy stalej Plancka obok stalej grawitacji, co wskazuje, ze ta entropia jest rzeczywiscie efektem "kwantowo-grawitacyjnym". Oto po raz pierwszy spotykamy zarowno fundamentaln,! stal'! meehaniki kwantowej (stal,! Planeka, zapisan,! w postaci Diraca 1'1), jak i stal,! ogolnej teorii wzglydnosci (stal,! grawitacji Newtona G) wystypuj,!ce w tym samym wzorze. Przy rozpatrywaniu zagadnien fundamentalnych, dla ktorych waina jest zarowno mechanika kwantowa, jak i ogolna teoria wzglydnosci, wygodne bywa zaadaptowanie ukladu jednostek, w ktorym obie te stale s,! rowne jeden. W rozdz. 17.8 i 19.2,6, 7 (ale takie w innyeh miejscach, np. w rozdz. 24) stwierdzilismy, ze ezysto nadzwyczaj wygodnie jest poslugiwac siy jednostkami, w ktorych prydkosc swiatla jest rowna jeden. Wszystko bydzie w porz'!dku, jesli ty umowy rozci,!gniemy na 1'1 i G. Pozytywn,! konsekwencj,! takiej umowy jest kompletny sposob ustalania jednostki czasu, przestrzeni, masy i ladunku elektrycznego. Opraeowany w ten sposob uklad jednostek nazywamy ukladem jednostek Plancka (ezasami uiywamy okreslen: naturalny uklad jednostek alba uklad jednostek bezwzglrdnych). Co wiyeej, okazuje siy, ze rowniei: stal,! Boltzmanna k mozemy przyj,!c jako rown'! jeden (zob. rozdz. 27.3): G=c=li=k=l.
W takim ukladzie jednostek takie temperatura staje siy wielkosci,! bezwzglydn,!. Oczywiscie, jednostki te nie S,! praktyczne w codziennym uZyciu, 0 czym mozemy przekonac siy, wyrazaj'!c jednostki konwencjonalne za pomoc,! jednostek Plancka:
685
27
Wielki Wybuch i jego termodynamiczne dziedzictwo
gram = 4,7
x
104 ,
metr = 6,3 x 1034, sekunda = 1,9 x 1043 , stopnie Kelvina = 4
x
10-33 •
W takim ukladzie jednostek ladunek protonu (czyli minus ladunek elektronu) staje siy w przybliieniu rowny e = a dokladnieyo
in,
e = 0,0854245 ...
Relacje te mozemy, rzecz jasna, zapisae odwrotnie: mas a Plancka = 2,1
x
dlugose Plancka = 1,6
10-5 g, x
10-35 m,
czas Plancka = 5,3 x 10-44 s, temperatura Plancka = 2,5 x 1032 K, ladunek Plancka = 1l,71adunku protonu. W rozdz. 31.1 ponownie skorzystamy z tych jednostek. Wracajqc do wzoru Bekensteina-Hawkinga na entropiy czarnej dziury, stwierdzamy, ze w jednostkach Plancka entropia SBH odpowiadajqca powierzchniA wynosi po prostu SBH
=
tAo
Dla rozwiqzania Kerra znajdujemy w jawnej postaci:
686
A=
8:~2 m ( m + .Jm 2 _ a2 )
SBH
=
2:~k m(m+.Jm2 _a 2)
(w zwyklych jednostkach). W rozdz. 30.4 przedstawimy niektore argumenty uzasadniajqce wzor Bekensteina-Hawkinga. Aby uzyskae pojycie 0 tym, jak niesamowite Sq wartosci entropii osiqgane w czarnej dziurze, sprobujmy najpierw wyobrazie sobie, ze jestesmy w latach szesedziesiqtych XX wieku i uwazamy, ze najwiykszy mozliwy wklad do entropii Wszechswiata pochodzi od promieniowania mikrofalowego 2,7 K, stanowiqcego pozostalose po Wielkim Wybuchu. W jednostkach naturalnych uzyskalibysmy w ten sposob entropiy 108 lub 109 na jeden barion. (Odpowiada to, w przyblizeniu, liczbie fotonow na jeden barion pozostalej po Wielkim Wybuchu.) Porownajmy ty, wydawaloby siy, ogromnq liczby z entropiq czarnych dziur we WszechSwiecie. Astronomowie nie wiedzq dokladnie, ile moze bye czarnych dziur w ogole ani jakie mogq bye ich rozmiary, istniejq jednak solidne podstawy, zeby twierdzie, iz w srodku Drogi Mlecznej znajduje siy czarna dziura 0 masie okolo 3 x 106Mo i ze jest to przypadek typowy. Niektore galaktyki majq duzo wiyksze czarne dziury, co powinno z powo-
Kosmologia 27.11
dzeniem skompensowac duzq liczby innych galaktyk, ktorych czarne dziury mogq miec rozmiary mniejsze, poniewaz dominujq wartosci entropii wielkich czarnych dziur[27.141. lezeli przypadek naszej Galaktyki uznamy za typowy, to raczej ostroznie szacujqc, otrzymamy entropiy wynoszqcq okolo 1021 na barion, a zatem entropia promieniowania reliktowego, 108 czy 109 na barion, jest wielkosciq znikomq. Co wiycej, bez wzglydu na to, jak duza jest obecnie ta liczba, pewne jest, ze stanowi wielkosc nieustannie i gwaltownie rosnqcq.
27.11 Kosmologia Zanim jednak sprobujemy znaleic oszacowanie kolosalnej wartosci entropii, jakq moze osiqgnqc nasz WszechSwiat - zebysmy mogli wyrobic sobie pojycie 0 tym, z jak "szczegolnym" wszechSwiatem mamy do czynienia obecnie oraz jak "specjalnie szczegolny" byl nasz WszechSwiat w momencie Wielkiego Wybuchu - musimy dowiedziec siy czegos na temat kosmologii. Postaramy siy posluZyc dowodami, jakimi dysponuje kosmologia, aby oszacowac wielkosc pudla B przestrzeni fazowej, reprezentujqcego Wielki Wybuch, i porownac jq z rozmiarem calej przestrzeni fazowej Pu oraz z objytosciq przestrzeni fazowej, jakq zajmuje w podziale gruboziarnistym pudlo N, przedstawiajqce WszechSwiat w jego obecnej postaci. Zacznijmy od krotkiego przedstawienia standardowych modeli kosmologicznych, ktorych mamy (w zasadzie) trzy. Z rozdz. 27.7 przypominamy sobie, ze poczqtek tej analizie dal rosyjski uczony, Aleksander Friedmann, ktory pierwszy znalazl (w 1922 roku) odpowiednie kosmologiczne rozwiqzanie rownania Einsteina, ze irodlem materii, jakie mozna uznac za przyblizenie do calkowicie jednorodnego rozkladu galaktyk w wielkiej skali (czasem nazywa siy to "cieczq doskonalq" albo "pylem kosmicznym"). Ogolna klasa modeli kosmologicznych, jakie badal Friedmann, nosi obecnie nazwy modeli Friedmanna-Lemaitre'a-Robertsona-Walkera (FLRW), w uznaniu poiniejszych zaslug trzech wymienionych uczonych. Zasadniczq cechq modelu FLRW jest jego calkowicie przestrzenna jednorodnose i izotropowose. Z grubsza biorqc, przez slowo "izotropowy" rozumiemy, ze WszechSwiat wyglqda tak sarno we wszystkich kierunkach, a zatem cechuje go symetria grupy obrotow 0(3). Rowniez pojycie "jednorodnosci przestrzennej" oznacza, ze WszechSwiat wyglqda tak sarno w kazdym punkcie przestrzeni, w kazdym okreslonym czasie; wobec tego istnieje grupa symetrii majqca wlasnosc "tranzytywnosci" (rozdz. 18.2) w odniesieniu do kazdego elementu rodziny przestrzennopodobnych 3-powierzchni, jakimi Sq 3-powierzchnie ~ "przestrzeni" z ustalonym "czasem" t (co daje 6-wymiarowq grupy symetrii[27.151). Te dwa zalozenia pozostajq w zgodnosci z obserwacjami rozkladu materii w wielkiej skali oraz z naturq mikro-
ta
[27.14] Czy wiesz dlaczego? is [27.15] Dlaczego 6-wymiarowq?
687
27
Wielki Wybuch i jego termodynamiczne dziedzictwo
falowego promieniowania tla. Bezposrednie obserwacje potwierdzajq, ze zalozenie izotropowosci przestrzennej jest spelnione w bardzo dobrym przyblizeniu (Sq to obserwacje niezwykle odleglych :irodel, a przede wszystkim promieniowania reliktowego 2,7 K). Ponadto gdyby WszechSwiat nie byl jednorodny, to wyglqdalby na izotropowy jedynie podczas obserwacji z jakichS bardzo specjalnych punktoW[27.l6]. Nasze polozenie we WszechSwiecie musialoby rzeczywiscie bye bardzo uprzywilejowane - gdyby nie byl on jednorodny - zebysmy mogli obserwowae go jako izotropowy. Naturalnie, obserwowana izotropowose nie jest dokladna, poniewaz tylko w pewnych kierunkach widzimy poszczegolne galaktyki, gromady i supergromady galaktyk. Istniejq nierownomiernosci rozkladu materii, nie zawsze dostrzegalne, na skalt(, jaka nie mieSci sit( w glowie, takie jak na przyklad "Wielki Atraktor", ktory - jak sit( wydaje - przyciqga nie tylko naszq Galaktykt(, lecz takZe wiele sqsiednich gromad galaktyk. Wyglqda jednak na to, ze te odchylenia od jednorodnosci przestrzennej malejq, im dalej patrzymy. Najlepsze informacje z najdalszych obszarow WszechSwiata docierajq do nas za posrednictwem promieniowania tla 2,7 K. Dane z badan COBE, BOOMERanG i WMAP['] wykazujq, ze pomimo drobnych odchylen, w stosunku jak 1 do 105, izotropowose przestrzeni jest dobrze potwierdzona31 • Rzeczywiscie, wydaje sit(, ze kosmologie jednorodne i izotropowe - a takimi Sq modele FLRW - stanowiq doskonale przyblizenie do struktury obserwowalnego WszechSwiata, co najmniej w tych granicach, do jakich sit(gajq nasze aktualne mozliwosci. WszechSwiat ten rozciqga sit( na odleglosci obejmujqce okolo 1011 galaktyk i zawiera okolo 1080 barionow. (Wkrotce zapoznamy sit( bliZej z pojt(ciem "wszechswiata obserwowalnego".) Izotropowose i jednorodnose przestrzenna implikuje32 , ze 3-wymiarowe przekroje przestrzenne, z "ustalonym czasem" ~ , wypelniajq calq czasoprzestrzen M (nie przecinajqc sit( wzajemnie), a 3-geometria kaidej ~ opisywana jest grupq symetrii majqcq wlasnosci jednorodnosci i izotropowosci wspolne z M; zob. rys. 27.13. Trzy (w zasadzie) rozne mozliwosci realizacji 3-geometrii zalezq od tego, czy (stala) krzywizna przestrzenna jest dodatnia (K> 0), zero (K = 0) czy ujemna (K < 0). W literaturze kosmologicznej zwykle normalizuje sit( promien krzywizny dla przypadkow K *- 0, przyjmujqc, odpowiednio, K = 1 i K = -1. Tutaj jednak, dla wit(kszej jasnosci pozniejszej dyskusji, nie bt(dziemy tego robie i pozostawimy K>OiK 0, spadnie z powrotem na ziemiy. Jesli prydkose ta rowna siy prydkosci ucieczki, podobnie jak dla K = 0, kamien zawisnie w kosmosie. Jesli natomiast prydkose jest wiyksza od prydkosci ucieczki, wowczas prydkose kamienia osi,!ga pewn'! wielkose graniczn,!, ktora juz siy nie zmniejsza, podobnie do przypadku K < 0.) W oryginalnej pracy Friedmanna stala kosmologiczna A nie wystypuje, jednak praktycznie we wszystkich nastypnych dyskusjach kosmologij33 uwzglydniano zaproponowany przez Einsteina w 1917 roku wyraz Agab - pomimo ze sam Einstein (po 1919 roku, zob. rozdz. 19.7) wolal klase A = O. Okazalo siy to dosye szczysliwym wyjsciem, poniewaz liczne wspolczesne obserwacje jasno wskazuj,!, iz wlasnie dodatnia wartose stalej kosmologicznej (A> 0) moze lepiej opisywae zachowanie siy WszechSwiata. Zagadnieniami tymi zajmy siy blizej w rozdz. 28.10, ale na razie odsylam czytelnika do rys. 27.13d, e, f, ktore ilustruj,! przypadki odpowiadaj,!ce tym na rys. 27.13a, b, c, ale (z dostatecznie duz'!) dodatni,! stal,! A wprowadzon'! do rownan Friedmanna. Zgodnie z obecnym stanem dyskusji wsrod kosmologow przewaza opinia, ze jeden z tych trzech modeli powinien odpowiednio opisywae historiy naszego aktualnego WszechSwiata, przynajmniej od czasu odprzfgnifcia (rozseparowania), gdy jego wiek wynosil jedynie okolo - 3 x 105 lat, a wiyC jak,!s 1/50000 obecnego wieku rownego, mniej wiycej, 1,5 x 1010 lat. Moment oddzielenia jest t'! chwil,!, od ktorej liczymy pojawienie siy promieniowania reliktowego. Przed rozseparowaniem WszechSwiat musial bye w zasadzie "zdominowany przez promieniowanie", a po rozseparowaniu "zdominowany przez materiy". Nie wydaje siy, zeby "pylowy" model Friedmanna byl odpowiedni do opisu fazy zdominowanej przez promieniowanie, bardziej wlasciwy powinien bye model Tolmana (1934). Nie rna to wiykszego znaczenia dla przedstawionej tu ewolucji, jedynie skraca nieco czas, jaki uplyn,!l od Wielkiego Wybuchu do momentu rozseparowania 0 czynnik okolo w porownaniu z oszacowaniami "friedmannowskimi,,[27.l7j w taki sposob, jak pokazano na rys. 27.14. Zwolennicy kosmologii inflacyjnej sugeruj,! duzo wiyksze zmiany w tej ewolucji, a mianowicie ekspansjy wykladnicz,!, co zwiyksza skaly WszechSwiata 0 czynnik okolo 1060. Taka zmiana skali skrocilaby pierwotn,! fazy ewolucji do okolo 1O~32 sekundy, co nie rna znaczenia dla rysunkow 27.13 i 27.14! Jesli jednak obraz inflacyjny jest poprawny, to inne jego implikacje S,! ogromne. Kosmologi,! inflacyjn,! zajmy siy w rozdz. 28.4, 5. W kazdym razie nie wydaje mi siy rozs'!dne, aby obraz inflacyjny wl'!czae do "standardowego modelu kosmologii", i nie bydy tego tutaj robil 34 .
t
t,
690
B [27.17] Sprawdz, czy potrafisz wyprowadzic ten czynnik zakladajqc, ze zachowanie si y "pylowego" modelu Friedmanna mozna przedstawic relacjq t =AR 3/2 , dla malych czasow t, natomiast dla "radiacyjnego" modelu Tolmana mamy t = BR2, gdzie R = R(t) jest miarq "promienia" Wszech§wiata, a A i B Sq stale. ltSkazowka: czy styczne do tych krzywych powinny si y zgadzac?
Kosmologia 27.11
R
Rozseparowanie
(
Rys. 27.14. Przed "rozseparowaniem", ktore nast,!pito, gdy wiek WszechSwiata wynosit ok. 300 000 lat (ok. 1/50 000 obecnego wieku) - jest to czas, jaki szacujemy na podstawie mikrofalowego promieniowania tla - WszechSwiat byl w fazie "zdominowanej przez promieniowanie" i nie stosuje siy do niej przyblizenie "wszechSwiata pylowego" Friedmanna. Bardziej adekwatny jest model szybkiej ekspansji Tolmana, ktory ilustruje krzywa wewnytrzna.
Ktory z tych trzech modeli przedstawionych na ryS. 27.13d, e, f jest najbardziej wlasciwym modelem aktualnego WszechSwiata? Odpowiedzi1! na to zajmt( sit( w rozdz. 28.10. Na razie zalozmy, ze kazdy z owych mode Ii jest odpowiednim kandydatem, i przyjrzyjmy sit( roznym geometriom przestrzennym, jakie sit( z nimi wi1!z1!. Przypadek K > 0 przedstawiamy zwykle jako 3-sfert(. NaleZy zaznaczyc, ze istnieje rowniei: plZestlZen lZutowa lRlP'3, ktor1! otrzymamy, identyfikuj1!c antypodalne punkty S3 (zob. rozdz. 2.7, 15.4-6); trudno jednak wyobrazic sobie, ze te dwa przypadki mozna obserwacyjnie rozroznic. Istniej1! inne mozliwe identyfikacje oddzielnych punktow S\ co prowadzi do przestrzeni soczewkowych, choc zadna z nich nie jest globalnie izotropowa35 . Przypadek (izotropowy) K = 0 daje zwykl1! 3-przestrzen Euklidesa, natomiast K < 0 prowadzi do 3-geometrii hiperbolicznej, ktorq omawialismy w rozdz. 2.4-7 i 18.4. Rysunki 2.22a, b i c, przedstawiajq, odpowiednio, niezwykle pomyslow1! i pit(kn1! konstrukcjt( M.e. Eschera dla przestrzennych geometrii (a raczej ich 2-wymiarowej wersji) zwi1!zanych z K> 0, K = 0 i K < O. Normalny przypadek K > 0 nosi nazwt( wszechSwiata zamkni~tego, co oznacza wszechSwiat zamkni~ty plZestlZennie (tzn. zawiera zwart1! hiperpowierzchnit(36 przestrzennopodobn1!). Kosmologowie cZt(sto okreslaj'l przypadek K < 0 jako wszechswiat "otwarty", podczas gdy przypadekK = 0 rowniez oznacza model otwarty przestrzennie. JesIi zrezygnujemy z warunku globalnej izotropowosci, jak w przypadku wspomnianych przestrzeni soczewkowych odpowiadaj'lcych K > 0, to istniej1! rowniez (nieizotropowe) modele wszechSwiata zamknit(tego dlaK = 0 iK < 0 37 . Wiemy juz, ze pelna 4-przestrzen M opisywana jest w terminach ewolucji czasowej 3-geometrii przestrzennej, ktorej skala ogolna zmienia sit( w czasie. W obrazie standardowym, pocz'ltkowo, od momentu Wielkiego Wybuchu, WszechSwiat rozszerza sit( bardzo szybko, ale nie naleZy wyobrazac sobie tego jako pewnego "punktu centralnego", w ktorym nast'lpila eksplozja i z ktorego wszystko wychodzi. Bardziej poprawnym obrazem dwuwymiarowym jest wyobrazenie sobie po-
691
27
Wielki Wybuch i jego termodynamiczne dziedzictwo
wierzchni nadmuchiwanego balonu. Na takiej powierzchni kazdy punkt oddala siy stopniowo od wszystkich innych i w takim modelu wszechSwiata nie istnieje "punkt centralny". W tej analogii Wszechswiat reprezentuje powierzchnia balonu, a jego srodek nie moze bye uwazany za czyse rozszerzajl!cego siy WszeChSwiata, podobnie jak zaden inny punkt, kt6ry nie leZy na powierzchni balonu. WprowadZmy notacjy dL2 do oznaczenia metryki jednej z tych trzech 3-geometrii, przy czym normujemy ty metryky tak, zeby dla K =I- 0 oznaczala 3-sfery jednostkowl! alba jednostkowl! przestrzen hiperbolicznl! (odpowiednio dla K = 1 i K = -1 )l27.lSJ. W6wczas 4-metryky calej czasoprzestrzeni mozna przedstawie w postaci ds 2 =
dP _R2dr 2 ,
gdzie t oznacza parametr "czasu kosmicznego", kt6rego stale wartosci wyznaczajl! poszczeg6lne ~, i gdzie R
= R(t)
jest pewnl! funkcjl! parametru czasowego t okreslajl!cl! "rozmiar" przestrzenny WszechSwiata "w chwili t". Tak wiyc metryka kazdej ~ jest zadana przez R 2dr2. Na rys. 27.15a, b, c przedstawilem wykres R = R(t) dla K = 1, 0, -1, odpowiednio, w oryginalnej wersji "pylowej" Friedmanna (ciecz doskonala)f27.19 J dla A = O. Na
R
R
R
R
K> 0, A = 0
K= 0, A = 0
K < 0, A = 0
(a)
(b)
(e)
A> 0 (d)
Rys. 27.15. Wylcresy funkcji R =R( t) dla modeli Friedmanna. PielWsze trzy odpowiadaj,! A = 0: (a) K> 0, (b) K = 0, (c) K < 0, (d) odpowiada A > O. (Rysunek zostal wykonany dla K = 0, ale inne przypadki daj,! podobny obraz, jdli zaloZymy, ze A jest dostatecznie duze w porownaniu z lcrzywizn,! przestrzenn'!.)
[27.18] Sprawdz, czy potrafisz pokazae, ze dL2 = d? + sin 2 q:1(dq:12 + sin 2 () d(}2) opisuje metrykt( jednostkowej 3-sfery, i wydedukuj, stosujqC procedury z rozdz. 18.1, ze d~2 = d? + + sinh 2 X( dX 2 + sin 2() d(J2) opisuje jednostkowq przestrzeI'i hiperbolicznq. Wskaz6wka: wypisz najpierw metrykt( dla 3-sfery 0 dowolnym promieniu. [27.19] Rozwiqzanie "pylowe" Friedmanna dla K> 0 i A = 0 moze bye przedstawione w postaci R = C(l- cos~), t = C(~ - sinn gdzie C jest stalq, a ~ jest wygodnym parametrem. Pokai, ze jest to r6wnanie cykloidy - tj. krzywej, jakq wykresla punkt na obwodzie kola toczqcego sit( wzdluz poziomej linii prostej. Czy wiesz, jak mozna przejse od przypadku K> 0 do K < 0, stosujqC trik podobny do tego, kt6ry wykorzystalismy w rozdz. 18.l i ewiczeniu [27.16], oraz jak przejse do K = 0, wykonujqc odpowiednie przejscie graniczne (mozna korzystae z przeskalowania wsp6Irzt(dnej)?
rm.
rm.
692
Diagramy konforemne 27.12
rys. 27.15d widzimy, co siy stanie w przypadku dodatniej wartosci A. Krzywe dla wszystkich trzech wartosci K s,! bardzo podobne (zakladamy, ze w przypadku K> 0 A jest wystarczaj'!co duze, aby przezwyciyZyc kolaps. Tak,! sytuacjy sugeruj,! dane obserwacyjne). Szybkosc ekspansji rosnie wowczas wykladniczo.
27.12 Diagramy konforemne
Aby zrozumiec znaczenie terminu "wszechSwiat obserwowalny", sprobujmy przeanalizowac pojycie diagramu konforemnego 38 , za pomoc,! ktorego (najczysciej 2-wymiarowo) cala czasoprzestrzen zostala przedstawiona w ten sposob, ze kierunki zerowe s,! rysowane pod k,!tem 45° do linii pionowej, a nieskonczonosc reprezentuje czysc brzegu diagramu. Nieskonczonosc ty oznaczamy zwykle liter,! #(czytaj: "skraj"). Nieskonczonosc w przyszlosci (na stozku przyszlosci), ktoq ostatecznie "osi,!gn,!" wychodz'!ce promienie swietlne, oznaczymy przez #+, natomiast #- uZyjemy do oznaczenia nieskonczonosci w przeszlosci, dla przychodz,!cych promieni swietlnych. W standardowej teorii Einsteina z A = 0 mamy zwykle zerowe 3-powierzchnie, dla przypadku A> 0 zas 3-powierzchnie przestrzennopodobne39 • Diagramy konforemne obrazuj,! kauzalnq struktury czasoprzestrzeni, kiedy interesujemy siy bardziej rodzin,! stozkow zerowych niz peln,! metryk,! czasoprzestrzenn'!. Jest to lorentzowska wersja geometrii konforemnej, z jak,! zetknylismy siy w rozdz. 2.4, 8.2 i 18.4,5 (zdefiniowana za pomoq klasy rownowaznosci metryk, przy czym g jest rownowazne nZg, gdzie n jest dodatni,! funkcj,! skalarn,! na czasoprzestrzeni, a zatem n modyfikuje skaly odleglosci). W rozdz. 2.2 widzielismy, jak cal a plaszczyzna hiperboliczna moze zostac odwzorowana konforemnie na skonczony obszar plaszczyzny Euklidesa (rys. 2.11, 2.12, 2.13). Koncepcja konforemnego diagramu czasoprzestrzennego jest w zasadzie taka sarna, ale teraz odwzorowujemy konforemnie lorentzowsk'! (nieokre§lon,! dodatnio) metryky czasoprzestrzeni. Spraw,! zasadnicz,! jest to, ze w geometrii Lorentza same stozki zerowe definiuj,! geometriy konforemn'!. W dwu wymiarach stozek zerowy przedstawia pary kierunkGw zerowych i to definiuje 2-metryky z dokladnosci,! do lokalnego czynnika konforemnego. Takie 2-wymiarowe przedstawienie jest szczegolnie przydatne, gdy pojawia siy symetria sferyczna w cafej 4-przestrzeni. W takim przypadku mozemy sobie wyobraZac ty 4-czasoprzestrzen jako 2-czasoprzestrzen, ktoq "obracamy dookola", i w ten sposob kazdy punkt tej 2-przestrzeni reprezentuje cafe SZ w 4-przestrzeni. Diagramy konforemne dla takich przestrzeni mog,! byc zupelnie dokladne i w odniesieniu do nich bydy uZywal terminu Scisly diagram konforemny. Diagramy konforemne niebyd,!ce diagramami scislymi nazwy schematycznymi. Punkty scislego diagramu konforemnego rzeczywiscie przedstawiaj,! cafe (metryczne) sfery Sz. (W przypadku n-wymiarowej "czasoprzestrzeni" Lorentza, jakiej moglibysmy potrzebowac w teorii strun etc. - zob. rozdz. 31.4, 7 - odpowiadalyby one (n - 2)-sferom sn-Z.) Miejsca wyj'!tkowe, w ktorych punkty diagramu reprezentuj,! pojedyncze
693
27
Wielki Wybuch i jego termodynamiczne dziedzictwo
punkty czasoprzestrzeni, pojawiaj~ siC( tylko w czC(sciach brzegu diagramu opisuj~ cych os symetrii. S~ one zaznaczone liniami przerywanymi, moina wiC(c uwaiac, ie obracamy diagram wokol takiej linii[27. 201. Te czC(sci brzegu, ktore reprezentuj~ nieskonczonosc, s~ zaznaczone liniami ci~glymi, natomiast linie faliste przedstawiaj~ osobliwosci; zob. rys. 27.16a. S~ wreszcie pewne rogi, w ktorych schodz~ siC( roine linie brzegowe diagramu konforemnego. Te zaznaczone malymi jasnymi kolkami o naleZy traktowac jako cale 2-sfery (jako brzeg hiperbolicznej 3-przestrzeni; zob. rozdz. 2.4 i 18.4), podczas gdy zaznaczone czarnymi kropkami • przedstawiaj~ punkty (sfery zerowym promieniu). Rys. 27.16b jest scislym diagramem konforemnym dla przestrzeni Minkowskiego, natomiast rys. 27.16c przedstawia zapadanie grawi-
°
Os symetrii
~ Niesko~zonosc
/
Osobliwosc •
Punkt
o
Sfera S2 (a)
(b)
(e)
Rys. 27.16. Diagramy konforemne stanowiq plaskie reprezentacje czasoprzestrzeni. Zwyk1e rysujemy je tak, ze linie zerowe czasoprzestrzeni lezqce na plaszczyinie Sq skierowane pod kqtem 45 0 do linii pionowej. "Nieskonczonosc" przedstawia skonczony brzeg obszaru, w kt6rym czynnik konforemny przejscia od metryki fizycznej do metryki diagramu zmierza do zera. (a) Na diagramie fcistym (w przeciwienstwie do diagramu schematycmego) kazdy punkt wnytrza diagramu reprezentuje dokladnq 2-sfery, ale na osi symetrii (zaznaczonej liniq przerywanq) taka 2-sfera kurczy siy do punktu, podobnie jak to siy dzieje w rogu oznaczonym przez czarnq kropky •. Z kolei w rogu oznaczonym k6lkiem otwartym o ten punkt brzegowy reprezentuje konforemnie 2-sfery. Nieskonczonosc przedstawia ciqgla linia brzegowa (opisujemy jq przewaznie literq # - czytaj "skraj"), natomiast osobliwosci reprezentowane Sq liniami falistymi. (b) Scisly diagram konforemny dla przestrzeni Minkowskiego M. (c) Scisfy diagram konforemny dla rys. 27.11, obrazujqcy sferycznie symetryczny kolaps do czarnej dziury.
694
~ [27.20] SprawdZ, cz:y potrafisz otrzymac 4-przestrzen Minkowskiego za pomocq rys. 27.16b, biorqc prawq polow y calej 2-przestrzeni Minkowskiego (metryka ds 2 = dt 2 - cI? z r :;:, 0) i obracajqc jq w ten spos6b wok61 osi pionowej. Podaj wyrazenie na metryky 4-przestrzeni, korz:ystajqc z odpowiednich funkcji t, r i kqt6w sferycznych (J i rp (zob. ewiczenie [27.18]). Dla lepszej wizualizacji spr6buj otrzymac najpierw 3-przestrzen Minkowskiego, w kt6rej mamy do czynienia z bardziej znanym rodzajem obrotu.
Diagramy konforemne 27.12 ~ I
I
I
I
N!:~ ~ (a)~(b)
, A>O
j
K>O
,
(e)
KC>
(d)~(e)
(f)
Rys. 27.17. Scisle diagramy konforemne dla odpowiednich modeli Friedmanna z rys. 27.13: (a) K> 0, A= 0; (b) K = 0, A = 0; (c) K < 0, A = 0; (d) K> 0, A > 0 (A dostatecznie dille); (e)K =0, A > 0; (f) K < 0,
A>O.
tacyjne do czarnej dziury Schwarzschilda (kolaps sferycznie symetryczny pokazany na rys. 27.11). Na rys. 27.17 przedstawilem modele kosmologiczne z rys. 27.13[27.21]. Diagramy konforemne Sq uZyteczne, poniewaz odzwierciedlajq w jawny sposob relacje przyczynowosci w czasoprzestrzeni. Zauwazmy na przyklad, ze w przypadku implozji sferycznie symetrycznej do czarnej dziury - przedstawionym na rys. 27.16c - horyzont czarnej dziury leZy pod kqtem 45°. Zadna linia swiata CZqstki materialnej nie moze bye nachylona do linii pionowej pod kqtem wit(kszym od 45°, a wit(c kiedy raz dostala sit( do obszaru wewnt(trznego, juz nigdy nie wydostanie sit( poza linit( horyzontu. Co wit(cej, kiedy znalazla sit( wewnqtrz tego obszaru - musi zmierzae w stront( osobliwosci (rys. 27.18a). Osobliwose pojawia sit( jako czasopodobny brzeg przyszlosci dla wewnt(trznej cZt(sci czasoprzestrzeni, co wydaje sit( nieco niezgodne z wraZeniem, jakie odnosimy, gdy patrzymy z bardziej konwencjonalnej perspektywy rys. 27.11. Rola, jakq odgrywa Wielki Wybuch, wyglqda jak odbicie tego obrazu w czasie, gdyz stanowi przestrzennopodobny brzeg czasoprzestrzeni w przeszlosci (rys. 27.18b). Jest to znowu wbrew intuicji, gdyz zwykle myslimy 0 Wielkim Wybuchu jako 0 punkcie (osobliwym)40. Przestrzennopodobna natura granicy poczqtkowej prowadzi nas do koncepcji horyzontu cZqstek, ktora stanowi waZny aspekt Wielkiego Wybuchu. Rozwazmy rys. 27.18b, na ktorym obserwator przedstawiony jest w punkcie p w poblizu brzegu reprezentujqcego Wielki Wybuch. Obszar WszechSwiata, z ktorego informacje mogq docierae do obserwatora, znajduje sit( wewnqtrz lub na stozku swietlnym przeszlosci punktu p i widzimy, ze obejmuje on tylko cZt(se P hiperpowierzch-
m [27.21] Czy widzisz, jak odpowiadajq sobie rys. 27.11 i 27.16b? Znajdz odpowiednie czynniki konforemne, przez kt6re naJeZy pomnoZyc metryki kazdego z przyldad6w na rys. 27.16, 27.17.
695
27
Wielki Wybuch i jego termodynamiczne dziedzictwo
......... Wielki Wybuch (a)
(b)
Rys. 27.18. Horyzonty. (a) Horyzonty zdarzeii pojawiajll sil( wtedy, gdy na schematycznym diagramie konforemnym brzeg przyszlosci - zar6wno osobliwosc, jak i nieskoiiczonosc - rna charakter przestrzennopodobny. Gdy obserwator p zbliza sil( do brzegu, zawsze istnieje pewna cZl(sc czasoprzestrzeni (ktorej brzeg definiujemy jako horyzont zdarzeii), ktorej p nie moze zobaczyc, aczkolwiek precyzyjna odpowiedz na pytanie, kt6ra to jest CZI(SC, zale:i:y od jego ruchu. (Na przyklad moze on obserwowac zdarzenie q, jesli wybierze drogl( w lewo, lecz nie w prawo.) W przypadku czarnej dziury mamy do czynienia ze zwyklym "horyzontem zdarzeii", 0 bardziej absolutnym charakterze (zaznaczonym linill kropkowanll), kt6ry jest wsp6lny dla wszystkich obserwator6w zewnl(trznych. (b) Horyzonty cZllstek wystl(pujll we wszystkich standardowych kosmologiach, co wynika z przestrzennopodobnego charakteru osobliwosci w przeszlosci. Obserwator w p widzi tylko CZl(sc P Wielkiego Wybuchu (i cZllstek tam wykreowanych), aczkolwiek cZI(SC ta powil(ksza sil( wraz z uplywem czasu.
ni pocz 0, to najnowsze obserwacje zdajq si(( mocno przemawiae przeciwko przyj((temu przeze mnie zalozeniu, ze A = O. Wraz z rozwazanymi ograniczeniami dla krzywizny przestrzennej obserwacje te wskazujq raczej, ze dodatnia wartose A moze bye dostatecznie duza, by zapobiec fazie kolapsu, a zamiast tego powinnismy miee do czynienia z ekspansjq wykladniczq. Okazuje si(( jednak, ze jesli przeformulujemy to nieco inaczej, argumenty poprzedniej dyskusji dadzq si(( zastosowae i w przypadku A > 0 otrzymamy, dla wszechSwiata zamkni((tego zawierajqcego 1080 barionow, podobne oszacowanie wartosci entropii (ok. 10123 ). Albowiem odbicie czasowe wszechSwiata opisanego na rys. 27.13d jest rownie dobrym rozwiqzaniem rownan dynamicznych jak przedstawione na rys. 27.13d (rozwazamy prawa dynamiki, ktore Sq niezmiennicze wzgl((dem odbicia w czasie). Jesli dopuscimy jakies zaburzenia tego wszechSwiata, to mozemy znaleZe modele, w ktorych juz uformowane czarne dziury lqczq si(( i wytwarzajq ten sam rodzaj "chaosu" zamarzajqcych czarnych dziur jak poprzednio opisany; zob. rys. 27.20b. I znowu otrzymujemy wartose entropii, ktora, na podstawie tych samych argumentow, jest rz((du 10123. (Z tym rodzajem argumentacji zetkniemy si(( ponownie, gdy przejdziemy do dyskusji kosmologii inflacyjnej w rozdz. 28.5).
Nasz nadzwyczaj wyj'ltkowy Wielki Wybuch 27.13
(a)
(b)
(c)
(d)
Rys. 27.20. (a) Jesli w przypadku K > 0 i A = 0 z rys. 27.13a dopuscimy zaburzenia, jakie obserwujemy we WszechSwiecie, wowczas w miejscu "czystego" Wielkiego Kresu dokiadnego modelu Friedmanna otrzymamy niesamowity chaos zamarzaj~cych osobliwosci czarnych dziur 0 gigantycznej wartosci entropii (S '" 10 123 ). (b) Efekt taki nie jest wynikiem A = 0, poniewai: w podobny sposob mozemy rozpatrywac odpowiednie perturbacje odwroconej w czasie sytuacji z rys. 27.13d (K> 0, A > 0) i ponownie otrzymamy podobnie wielkie (S", 10123 ) wartosci entropii dla chaotycznego stanu zamarzaj~cych czarnych dziur. (c) Typowy Wielki Wybuch wygl~dalby jak odwrocenie w czasie typowej osobliwosci (zilustrowanej dla przypadku K > 0 i A = 0 lub A > 0). (d) Najbardziej "prawdopodobna" sytuacja (odpowiadaj~ca krzywej z rys. 27.8a) - przedstawiona dla przypadku K > 0 i A = 0 - nie przypomina obecnego WszechSwiata w jego wczesnych fazach.
W ten sposob otrzyrnalisrny rozsqdne oszacowanie calkowitej objytosci Pu (ktora jest zasadniczo taka sarna jak objytosc E pudla E 0 rnaksymalnej entropii z rys. 27.4)l27.231:
(Wynika to z wzoru Boltzrnanna S = In V w jednostkach naturalnych.) A teraz jak siy to rna do naszej wiedzy na ternat objytosci N pudla N obecnej entropii oraz do objytosciB pudla B entropii Wielkiego Wybuchu (zakladajqc, ze i:yjernywe Wszechswiecie zawierajqcyrn 1080 barionow)? Przyjrnujqc podane oszacowanie entropii czarnych dziur oraz wartosc 108 dla entropii na barion w prornieniowaniu reliktowyrn 2,7 K, otrzyrnujerny
Z tego wynika, ze zarowno B, jak iN stanowiq jedynie jednq czysc na
123
1010
calkowitej objytosci E. Ponadto objytosc B stanowi jedynie jednq czysc na 10
10101
objytosci N calej przestrzeni fazowej obecnego WszechSwiata.
B [27.23] Dlaczego obie te liczby - z dokladnosci,! wyrazon'! przez liczby ,,123" - s,! praktycznie r6wne? Dlaczego w nastypnych wnioskach nie pojawia siy sarna wartosc B?
699
27
Wielki Wybuch i jego termodynamiczne dziedzictwo
Rys. 27.21. Stworzenie WszechSwiata: szpilka Stw6rcy musi znaleic malenkie pudetko, kt6rego wiel123 kosc odpowiada jednej czt;:sci na 1010 objt;:tosci catej przestrzeni fazowej, aby stworzyc WszechSwiat za posrednictwem tak niezwyktego Wielkiego Wybuchu, jaki wynika z naszej obecnej wiedzy.
700
Aby zdac sobie sprawy z problemu, jaki przedstawia znikomo mala objytosc przestrzeni fazowej B, mozemy spr6bowac wyobrazic sobie, jak Stw6rca usiluje posluZyc siy szpilk,!, za pomoc,! kt6rej wskazuje malenki punkcik w przestrzeni Pu ' aby przywolac do istnienia wszechSwiat przypominaj,!CY ten, w kt6rym Zyjemy. Na rys. 27.21 przedstawiam moje wyobraienie 0 tym donioslym wydarzeniu! Gdyby Stw6rca minimalnie siy pomylil i tram swoj,! szpilk,! przypadkowo w obszar maksymalnej entropii E, w6wczas powstalby alba niezamieszkany wszechswiat odpowiadaj,!CY rys. 27.20d (przypadek A = 0, K> 0), alba wiecznie rozszerzaj'!cy siy przypadek 27.20c, w kt6rym nie rna DPT do zdefiniowania statystycznego kierunku czasu (jak na rys. 27.8a). (Nie wydaje siy, zeby lepszym wyjasnieniem bylo przyjycie zalozenia, ze nasz Stw6rca mial na celu jedynie stworzenie wszechSwiata zamieszkanego przez istoty mysl'!ce, takie jak my. Kwestia ta wi
42
RozdziaI27.13 Uwaza siy CZysto, ze zjawiskiem odpowiedzialnym za takie nieregularnosci S,! "fluktuacje kwantowe" w pocz'!tkowym rozkladzie gystosci materii Wielkiego Wybuchu. (Om6wimy to w rozdz. 30.14).
28 Spekulacje teoretyczne na temat wczesnych stadiow rozwoju Wszechswiata 28.1 Poczqtkowe spontaniczne ztamanie symetrii
Do TEGO momentu nasze rozwazania opieraly siy mocno na uznanych teoriach fizycznych, w ktorych imponuj,!:ce dane obserwacyjne stanowily solidne wsparcie koncepcji teoretycznych, nawet tych na pozor najbardziej dziwnych i zaskakuj,!:cych. M6j spos6b przedstawiania niekt6rych z nich byl czasami dose daleki od zwykle przyjytego w literaturze, ale nie s,!:dzy, zeby moglo to bye powodem zasadniczych kontrowersji. W tym rozdziale zajmy siy nieco bardziej spekulatywnymi ideami, dotycz'!:cymi problem6w zwi'!:zanych ze szczeg6lnym charakterem Wielkiego Wybuchu. W szczeg6lnosci przedstawiy idee kosmologii inflacyjnej oraz niekt6re inne pomysly zwi
28
Spekulacje teoretyczne na temat wczesnych stadi6w rozwoju Wszechswiata
rna calkowitej symetrii opisuj,!cej go teorii dynamicznej. W szczegolnosci stanowi to kluczowy element elektroslabej cZysci modelu standardowego fizyki cz,!stek elementarnych. Co wiycej, koncepcja tego rodzaju, wprowadzaj,!ca rozne mozliwe "proznie", stanowi istotny skladnik teorii infiacyjnej, a pojycia spontanicznego lamania symetrii i "falszywych prozni" s,! powszechnie przywolywane przez teoretykow poszukuj,!cych jednolitej teorii zjawisk. Muszy zatem stwierdzic wyraznie, ze sarno spontaniczne lamanie symetrii nie jest bynajmniej ide'! spekulacyjn,!. Ma ona niew'!tpliwie powazny zwi'!zek z solidnie zbadanymi zjawiskami fizycznymi (swietnym przykladem jest tu zjawisko nadprzewodnictwa). Z cal,! pewnosci,! idea ta znajduje zastosowanie do opisu wielu dobrze rozumianych procesow; cZysto ten opis jest bardzo elegancki i w pelni satysfakcjonuj,!CY. Moje zastrzeZenia bior,! siy st,!d, ze ta znakomita koncepcja moze niekiedy sklaniac fizykow do wykorzystywania jej w sposob zbyt szeroki i, czasami, w nieodpowiednich okolicznosciach. Pojycie spontanicznego lamania symetrii przedstawia siy czysto na przykladzie zjawiska Jerromagnetyzmu. Wyobrazmy sobie zelazn'! kuly. Kula zbudowan a jest z atomow zelaza, z ktorych kazdy mozemy uwazac za malenki magnes. DZiyki sitom, jakie tam wystypuj,!, magnesy te maj,! sklonnosc do ustawiania siy rownolegle wzglydem s,!siadow, a wiyc przyjmuj,! tak,! sam,! orientacjy polnoc-poludnie. Jesli temperatura jest wystarczaj,!co wysoka, powyzej pewnej wartosci krytycznej, ktora w tym przypadku wynosi ok. 770°C (1043 K), ruchy cieplne atomow zelaza skutecznie przeciwstawiaj,! siy tej tendencji do uporz'!dkowania magnetycznego i kula jako calosc nie staje siy dUZym magnesem, poniewaz kierunki skladaj,!cych siy na ni,! malych magnesow s,! rozlozone przypadkowo. Gdy jednak temperatura stanie siy mniejsza od 770°C Uest to "punkt Curie"!']), wowczas atomom "oplaca" siy ustawic w jednym kierunku i, w idealnej sytuacji, zelazo zostanie namagnesowane 1• Wyobrazmy sobie, ze nasz kawalek zelaza zostal pocz'!tkowo ogrzany do temperatury powyzej 770°C (ale nie tak wysokiej, zeby zelazo zaczylo siy topic), a wiyc stanowi nienamagnesowan,! zelazn'! kuly. Zacznijmy teraz powoli obnizac temperatury zewnytrzn,! do wartosci ponizej 770°e. Co siy wtedy dzieje? Proces naturalny polega na tym, ze cialo poszukuje stanu 0 najniZszej energii, a wiyc energia drgan wewnytrznych jego atomow jest przekazywana ochladzaj,!cemu siy otoczeniu. Ze wzglydu na sity oddzialywan miydzy s,!siednimi atom ami uklad osi,!ga minimum energii wtedy, gdy wszystkie atomy uporz'!dkuj'! siy w jednym kierunku, kula zostanie namagnesowana, z okreslonym kierunkiem magnetyzacji polnoc-poludnie. Zaden z kierunkow nie jest jakos wyrozniony w porownaniu z innymi. To jest sytuacja, ktor'! okreslamy mianem degeneracji stanow 0 minimalnej energii (por. rozdz. 22.6). W pocz'!tkowym stanie nienamagnesowanego zelaza zaden z kierunkow nie byl uprzywilejowany, wobec czego kierunek, w jakim w efekcie ustawily siy magnetyczne atomy zelaza, pojawit siy [osowo. I to jest wlasnie przyklad
706
[*] W Polsce zwykle mowimy 0 "temperaturze Curie" (przyp. dum.).
Poczqtkowe spontaniczne zlamanie symetrii
28.1
spontanicznego zlamania symetrii: stan poczl!tkowy, calkowicie sferycznie symetryczny, przechodzi w stan 0 zdecydowanie mniejszej symetrii, a mianowicie symetrii obrotow wokol powstalej osi polnoc-poludnie wyznaczonej przez kierunek namagnesowania. Stan 0 symetrii opisywanej gruPl! SO(3) (stan poczl!tkowej, gorl!cej, nienamagnesowanej kuli) ewoluuje do stanu opisywanego symetril! SO(2) (zimna, namagnesowana kula; w rozdz. 13.1,2, 3, 8, 10 wyjasnione sl! znaczenia tych symboli). Dla zilustrowania tego rodzaju sytuacji mozemy siy posluZyc potencjaiem typu "kapelusz meksykanski" na rys. 28.1. "Kapelusz" przedstawia rodziny dozwolonych stanow ukladu (temperatury otoczenia uwazamy za obniZonl! do zera), a "wysokosc" poszczegolnych punktow odpowiada wartosciom energii. Okazuje siy, ze istnieje stan rownowagi (charakteryzujl!cy siy tyro, ze plaszczyzna styczna w tym punkcie jest plaszczyznl! pozioml!), reprezentowany przez szczyt kapelusza, ktory jest opisywany pelnl! poczl!tkowl! gruPl! symetrii, w tym wypadku jest to grupa obrotow wokol osi pionowej. (Jest to symetria obrotowa SO(2), stanowil!ca analogon grupy SO(3), ktora jest pelnl! gruPl! symetrii zelaznej kuli. Aby rysunek byl dostatecznie pogll!dowy, musielismy zrezygnowac z jednego wymiaru przestrzennego. Szczyt kapelusza odpowiada sytuacji zupelnego braku namagnesowania calej kuli.) Ta rownowaga - odpowiadajl!ca stanowi nienamagnesowanemu - nie reprezentuje jednak stanu 0 najnizszej z mozliwych wartosci energii. Minima te znajdujl! siy w cZysci poziomej - i jest to caly okrl!g - wewnl!trz zaglybienia kapelusza (rozne punkty tego okrygu odpowiadajl! roznym kierunkom calkowitego namagnesowania kuli). Przypuscmy, ze kulka, reprezentujl!ca stan fizyczny ukladu, zostala pOCZl!tkowo, ze wzglydu na wysokl! temperatury otoczenia, usadowiona na szczycie kapelusza. Jest to jednak polozenie niestabilne i niewielkie losowe zaburzenie spowoduje, ze kulka bydzie siy staczac i ostatecznie osil!dzie na dnie zaglybienia. KaZdy punkt tego zaglybienia odpowiada innemu kierunkowi magnetyzacji, jaki moze wykazywac zelazna kula. Polozenie kulki przedstawia ostateczny stan ukladu, ale
Rys. 28.1. Spontaniczne lamanie symetrii w przypadku potencjalu typu "kapelusz meksykanski" opisuji!cego dozwolone stany energetyczne ukladu. Wysokosc przedstawia wartosci energii. Stan ukladu reprezentuje kulka zsuwaji!ca si« po powierzchni. Gdy temperatura otoczenia jest dostatecznie wysoka (punkt Curie), stan r6wnowagi ukladu przedstawia kulka leZi!ca na szczycie kapelusza i uklad charakteryzuje si« wtedy pelni! symetrii! obrotowi! - na tym uproszczonym rysunku jest to symetria SO(2). Gdy zas temperatura obniza si«, kulka zsuwa si« w d61, uzyskuji!c r6wnowag« w zagl«bieniu kapelusza i traqc pelni! symetri« obrotoWi!.
707
28
Spekulacje teoretyczne na temat wczesnych stadi6w rozwoju Wszechswiata
ze wzglydu na degeneracjy obrotowq wszystkie polozenia S,! rownie dobre i zadne nie jest wyroznione. Wszystkie Sq rownie dobrymi stanami rownowagi. Wybor jednego z nich jest calkowicie przypadkowy, ale z chwilq gdy zostanie dokonany symetria zostaje zlamana w jakims przypadkowo wybranym kierunku. Zjawisko tego rodzaju, w ktorym obnizenie temperatury otoczenia powoduje gwaltownq ogolnq zmiany charakteru stabilnego stanu rownowagi badanego materialu, nosi nazwy przejscia Jazowego. W rozpatrywanym przez nas przypadku zelaznej kuli przejscie fazowe pojawia siy, gdy kula przechodzi ze stanu nienamagnesowanego (a wiyc w temperaturze powyzej 770°C) do stanu namagnesowanego jednorodnie (w temperaturze ponizej 770°C). Bardziej znanymi przykladami przejsc fazowych Sq takie zjawiska jak krzepniycie (gdy cialo przy obnizaniu temperatury przechodzi ze stanu cieklego w stan staly) oraz zjawisko odwrotne - parowanie (gdy uklad wraz ze wzrostem temperatury przechodzi ze stanu cieklego w stan gazowy). Przejsciu fazowemu zwiqzanemu z obnizaniem temperatury towarzyszy na ogol obniZenie symetrii, ale to nie jest istotne. W procesach KTP przejscie fazowe oznaczaloby nowy wybor stanu prozni (podobnie jak stan Ie) w rozdz. 26.11), czyli wyobrazamy sobie, ze stan "tuneluje,,2 z jednego stanu prozni do innego. Taki opis naleZy jednak traktowac jako przyblizenie, poniewaz, scisle mowi,!c, nie istnieje (unitarny) proces kwantowomechaniczny, ktory umozliwialby ewolucjy stanu z jednego sektora do innego (przez slowo "sektor" rozumiemy tutaj stany, jakie mozemy skonstruowac, wychodzqc z konkretnie wybranego stanu prozni Ie), a zatem rozne sektory nalezq do roznych przestrzeni Hilberta; zob. rozdz. 26.5,11). W tym ujyciu uklad rozpatruje siy jako nieskonczony, podczas gdy w rzeczywistosci mamy do czynienia z ukladem skonczonym, ale, jak tego dowodzi praktyka, jest to dobre przyblizenie. W ten sposob na przyklad opisujemy znane zjawisko nadprzewodnictwa (podczas ktorego w dostatecznie niskiej temperaturze opor elektryczny przewodnika maleje do zera). Nadprzewodnictwo jest przykladem przejscia fazowego, towarzyszy mu redukcja symetrii, ktora oznacza zlamanie normalnej symetrii U(I) zjawisk elektromagnetycznych. W konkretnym przykladzie przedstawionym na rys. 28.1 symetria zostaje zlamana od symetrii grupy obrotow osiowych SO(2) do grupy trywialnej ("SO(1 )"), ktora zawiera tylko jeden element (a zatem w tym przykladzie symetria zostaje zlamana calkowicie i kulka ostatecznie znajduje polozenie minimalnej energii pozbawione jakiejkolwiek symetrii)3. Wyzej wymiarowa wersja "kapelusza" obrazuje spontaniczne lamanie symetrii od symetrii opisywanej grupq SO(P) do grupy SO(p - 1), gdzie p > 1[28.1]. (Nasza kula zelaza ilustruje przypadek z p = 3.) Obrazu "kapelusza meksykanskiego" mozemy uZyc rowniez do ilustracji lamania symetrii U(2) do symetrii U(I), co zachodzi w modelu standardowym fizyki cZqstek ~ [28.1] Pokaz, ze "kapelusz" 0 ksztalcie E = (x~ + ... + x
708
••
symetrn.
2 p
-
1)2 wykazuje takie lamanie
Kosmiczne defekty topologiczne
28.2
elementarnych[Z8.Z1, uwaza siy bowiem, ze symetria oddzialywan elektroslabych w temperaturze okolo 10 16 K zostaje ziamana do symetrii oddzialywan elektromagnetycznych U(l). Przypuszczamy, ze nast
28.2 Kosmiczne defekty topologiczne Musimy jednak miec na uwadze, ze to zlamanie symetrii na ogol nie dokonuje siy natychmiast i w calym materiale, ale jest calkiem prawdopodobne, iz pojawi
Rys. 28.2. W idealnym przypadku, gdy ferromagnetyk jest powoli ochladzany ponizej punktu Curie, wektory magnetyzacji wszystkich jego atom6w powinny ustawic sit; w tym samym (dowolnym) kierunku. W praktyce jednak (albo gdy ochladzanie nastt;puje zbyt szybko) otrzymujemy mozaik« rozmaitych kierunk6w magnetyzacji.
tm
[28.2] Udowodnij to, przyjmujqc, ze U(2) dziala na ([:2, ze wsp61rz ydnymi zespolonymi (w, z), a "kapelusz" jest zadany r6wnaniem E = (lwl 2+ IzI2 -If Czy dostrzegasz geometri y tej redukcji symetrii w konfiguracji r6wnoleglych Clifforda na S3, co zostalo om6wione w rozdz. 15.4 i zilustrowane na rys. 15.8 i 33.15?
709
28
Spekulacje teoretyczne na temat wczesnych stadi6w rozwoju Wszechswiata
S,! jednak problemy powazniejsze i bardziej interesuj,!ce. Przede wszystkim zagadnienie defektow topologicznych, kt6rych nie mozna usun'!e za pomoc,! ci,!glego manewrowania kierunkami magnetyzacji wewn'!trz kuli. Takim defektem jest "monopol magnetyczny Diraca" (a wit(c odizolowany magnetyczny biegun p61nocny alba poludniowy). Monopolu nie mozna utworzye w zwyklej przestrzeni za pomoc,! jakiegos zbioru magnes6w i pr,!d6w[28.31• Inaczej byloby, gdybysmy potrafili "wypompowae" w jakis spos6b moment magnetyczny wzdluz "drutu Diraca", jak to pokazuje rys. 28.3. Jesli dopuscimy wystt(powanie ladunk6w magnetycznych w teorii Maxwella (rozdz. 19.2), w6wczas "drut" pojawi sit( tylko w potencjale A i moze bye wyeliminowany przez zastosowanie odpowiedniej procedury "wi'!zkowej" (rozdz. 15.4). Podobny problem monopolu pojawi sit( takZe w odpowiednich nieabelowych teoriach cechowania. Komplikacje w procesie spontanicznego lamania symetrii, kt6re czt(sciowo opisalismy na "przyziemnym" przykladzie kuli zelaza, maj,! znaczenie takZe na bardziej ezoterycznym poziomie podstawowych teorii fizycznych (takichjak teoria oddzialywan elektroslabych lub TWU), kt6re w spos6b fundamentalny zwi,!zane S,! z ide'! spontanicznego lamania symetrii. Jesli bowiem takie spontaniczne zla-
Rys. 28.3. Monopol magnetyczny moglby sit( pojawic, gdybysmy w jakis sposob potrafili "wypompowac" nadmiar "bieguna poludniowego" w srodku sfery wzdluz "drutu magnetycznego". Jesli w teorii Maxwella wprowadzimy zrodla magnetyczne, wowczas mozna by wytworzyc taki biegun w srodku, a "drut Diraca" moglby sit( pojawic tylko jako "blysk" w potencjaleA. "Blysk" taki mozna by usunljc, stosujljC odpowiednilj procedurt( "wiljzkowlj" (monopole tego rodzaju pojawiajlj sit( w roznych nieabelowych teoriach cechowania).
71 a
~ [28.3] Udowodnij to, odwoluj'tc siC;! do wyrazen calkowych z rozdz. 19.
Kosmiczne defekty topologiczne
28.2
manie symetrii nast,!pilo we wczesnym stadium rozwoju WszechSwiata, to mozemy spodziewac siy wystypowania podobnych defektow topologicznych na wielk,! (kosmiczn,!) skaly. W ogolnym przypadku (dla przestrzeni 3-wymiarowej) podstawowe typy defektow topologicznych dziel,! siy na trzy grupy, w zalei:nosci od wymiaru zajmowanych przez nie obszarow. S,! to wiyc monopole kosmiczne (przestrzennie O-wymiarowe), struny kosmiczne (przestrzennie l-wymiarowe) i scianki domenowe (przestrzennie 2-wymiarowe). Wymiary defektow zalez'! od aspektow topologicznych zwi,!zanych z konkretnymi grupami symetrii. Istotn,! cech,! defektow topologicznych jest to, ze zadne ci,!gle manipulowanie "kierunkiem" lamania symetrii nie jest w stanie ich usun'!c (przy czym uWaZamy, ze w miejscu wystypowania defektu kierunek lamania symetrii nie jest dobrze okreslony, natomiast gdzie indziej ten kierunek moze siy zmieniac w sposob ci,!gly). Nalei:y rowniei: pamiytac, ze mowi,!c 0 "kierunku", nie mamy na mysli jakiegos kierunku w zwyklej przestrzeni, ale rozwazamy abstrakcyjne pojycie, odpowiednie dla rozwazanego modelu fizycznego (np. w teorii oddzialywan elektroslabych mamy na mysli stopien zmieszania elektronow i neutrin). Rozpatruj'!c zagadnienie od strony geometrycznej, powinnismy rozwazac problem w terminach wi,!zki wektorowej nad czasoprzestrzeni'! (zob. rozdz. 15 dla przypomnienia tych pojyc). Topologia rna tutaj znaczenie, a defekty topologiczne stanowi,! powazny problem, ktorego nie mozna zignorowac, jesli spontaniczne lamanie symetrii mamy traktowac powaznie, jako istotn,! CZySC teorii. Rzeczywiscie, struny kosmiczne na gigantyczn,! (nawet wiyksz,! niz galaktyczna) skaly s,! rozwazane jako istotny czynnik indukuj,!CY niejednorodnosci w gazie protogalaktycznym, ktore doprowadzily do powstania galaktyk6. Pole grawitacyjne takiej struny kosmicznej mozemy uwazac za wytworzone za pomoc,! procedury "ciycia i sklejania" zastosowanej do czasoprzestrzeni Minkowskiego. Posluguj,!c siy terminami przestrzennymi (zob. rys. 28.4), mozemy sobie wyobrazic pewien "fragment" wyciyty z 3-przestrzeni, ograniczony par,! polplaszczyzn, tworz'!cych k,!t a, ktorego brzegiem jest sarna struna. Aby uzyskac geometriy struny kosmicznej, powierzchnie tych plaszczyzn nalei:y na powrot skleic. (W proponowanych modelach wartosc tego k,!ta wynosi okofo 10-
28.4 Kosmologia inflacyjna
716
Powroemy teraz do kwestii monopoli kosmicznych, ktorych rozpowszechnienie jest elementem niektorych TWU. Klopot z monopolami polega na tym, ze nie rna zadnych obserwacji wskazuj'!cych na ich istnienie. Co gorsza, S,! scisle obserwacyjne ograniczenia dotycz'!ce mozliwosci ich rozpowszechnienia i limity te lez,! znacznie ponizej poziomu przewidywanego przez TWU. lednak w 1981 roku Alan Guth zglosil "szalony" pomysl (wczesniej, niezaleznie, podobne koncepcje wysuwali Aleksiej Starobinski i Katsuoko Sato ), ze jesli WszechSwiat po okresie produkcji monopoli (aczkolwiek przed zlamaniem symetrii oddzialywan elektroslabych, w czasie 10-12 s) mial sit( rozszerzae 0 czynnik, powiedzmy 1030 , a nawet 1060 i wit(kszy, wowczas te niepoz,!dane monopole bylyby dzisiaj tak'! rzadkosci,!, iz latwo umykalyby naszym obserwacjom. Bardzo szybko zdano sobie sprawt(, ze ten "okres inflacyjny" gwaltownej wykladniczej ekspansji moglby posluZyc do wyjasnienia kwestii zwi'!Zanych z jednorodnosci,! WszechSwiata. Jak to podkreslalismy w rozdz. 27, WszechSwiat jest rzeczywiscie nadzwyczaj jednorodny i nieomal plaski przestrzennie w ogrornnej skali, a fakt ten stanowi prawdziw,! zagadkt( dla kosmologow. Na przyklad temperatura wczesnego Wszechswiata winna bye prawie idealnie taka sarna (z dokladnosci,! jak jeden do 105), niezaleznie od kierunku. Taka sytuacja moglaby byc wynikiem procesu "termalizacji" w bardzo wczesnym stadium ewolucji WszechSwiata, ale tylko wtedy, gdyby rozne jego cZt(sci "komunikowaly sit(" ze sob'!. (Przypomnij-
Kosmologia inflacyjna
28.4
my sobie, w jaki sposob drugie prawo termodynamiki prowadzi do wyrownania temperatury gazu w roznych miejscach, co jest cZysci
Rys. 28.6. Jednym z powod6w wprowadzenia koncepcji inflacji jest oczekiwanie, ie ekspansja wykladnicza rZydu 1050 (w czasie, powiedzmy, miydzy 10-35 s a 10-32 s) mogla doprowadzic do "wygladzenia" stanu pocz'ltkowego, daj'lc w efekcie zasadniczo jednorodny, plaski przestrzennie WszechSwiat poinflacyjny.
717
28
Spekulacje teoretyczne na temat wczesnych stadi6w rozwoju Wszechswiata
kosmologii. Co prawda, bez wzglt(du na to, czy obserwowainy WszechSwiat jest, srednio bior(!c, rzeczywiscie przestrzennie plaski, z cal(! pewnosci(! jest bardzo bliski takiego ksztaltu i fakt ten stanowil kolejn(! zagadkt( kosmologow, okresIan(! jako problem plaskosci. Na pierwszy rzut oka nie widae, jaki moze bye zwi(!zek ekspansji inflacyjnej z przesunit(ciem do tylu 3-powierzchni Wielkiego Wybuchu na diagramie konforemnym (rys. 28.5). Warto wit(c przeanalizowae konkretny model kosmologiczny, na ktorym opiera sit( koncepcja "fazy inflacyjnej". Jest to "wersja stacjonarna" przestrzeni de Sittera. Matematycznie najprosciej bt(dzie opisae przestrzen de Sittera w ten sposob, ze jest to 4-sfera lorentzowska (z sygnatur(! + - - -) w 5-przestrzeni Minkowskiego (z sygnatur(! + - - - -). Taki opis jest w zgodzie z ide(! geometrycznego "odwrocenia sygnatury" przedstawion(! w rozdz. 18.4, ale geometryczny obraz bt(dzie jasniejszy, jesli wyobrazimy sobie przestrzen de Sittera jako hiperboIoidt(, jak na rys. 28.7. W tym miejscu warto wspomniee 0 innym modelu, nazywanym przestrzeni(! anty-de Sittera, ktora jest 4-sfer(! lorentzowsk(! w 5-przestrzeni pseudo-Minkowskiego 0 sygnaturze + + - - - (rys. 28.8)lz8.41• Zwroemy uwagt(, ze przestrzen anty-de Sittera nie jest bardzo sensownym przykladem czasoprzestrzeni z fizycznego punktu widzenia, poniewaz zawiera (naruszaj(!ce zasadt( przyczynowosci) zamkni~te krzywe czasopodobne (np. okr(!g w plaszczyznie rozpit(tej przez osie t i w); zob. rozdz. 17.9 i rys. 17.18. Czasami termin "przestrzen anty-de Sittera" odnosi sit( do "rozwinit(tej" wersji, w ktorej kazdy okr(!g w plaszczyznie ustalonych wartosci (x, y, z) zostaje "rozwinit(ty" do linii prostej i cal a przestrzen staje sit( jednospojna (rozdz. 12.1). Scisly diagram konforemny dla przestrzeni de Sittera przedstawilem na rys. 28.9a. Czt(sc diagramu reprezentuje model stacjonarny; kreskowana linia graniczna wskazuje cit(cie. Rys. 28.9b przedstawia diagram dla w pelni
Rys. 28.7. Czasoprzestrzen de Sittera (przedstawiona jako hiperboloida, przy czym skompresowano dwa wymiary przestrzenne) jest ,,4-sferq" Lorentza (0 urojonym promieniu, z sygnaturq metryki + - - -) w 5-przestrzeni Minkowskiego (z metrykq ds 2 = dt 2- dw 2- ctr - di - dz2). Aby uzyskac model stacjonarny, "tniemy" hiperboloid y na pol, wzdluz t = w; ustalony czas daje stala dodatnia wartosc t - w.
718
JlI [28.4] Wypisz explicite rownania dla 4-przestrzeni de Sittera i anty-de Sittera w 5-przestrzeni podstawowej, uZywajC!c wspolrz 727
28
Spekulacje teoretyczne na temat wczesnych stadi6w rozwoju Wszechswiata
dencja zauwazona przez Diraca bydzie znakomicie zachowana. W takim razie koincydencja Diraca rna wyjasnienie antropiczne. Dzieje siy tak dlatego, ze parametry fizyczne zwi,!zane z powstaniem i:ycia istot rozumnych (w tym przypadku takich, kt6re s,! w stanie okreSlic wiek gwiazdy) l'!cz'! siy z parametrami, kt6re te istoty rozumne odkrywaj,! w otaczaj'!cym je swiecie! S,!dzy, ze czytelnik rna swiadomosc, iz argumenty wywodz,!ce siy z zasady antropicznej S,! najei:one w'!tpliwosciami, aczkolwiek nie mozna im odm6wic znaczenia. Na przyklad tak naprawdy nie wiemy, jakie warunki s'! rzeczywiscie niezbydne do powstania istot rozumnych. Zagadnienie staje siy bardziej zrozumiale, gdy, jak w omawianych przykladach, traktujemy prawa fizyki i ogoln,! struktury WszechSwiata jako zadane i pytamy jedynie, gdzie i kiedy we WszechSwiecie wystypuj,! odpowiednie warunki, umozliwiaj,!ce istnienie rozumnego i:ycia. Tak,! wersjy zasady antropicznej Carter nazywa slabq zasad,! antropiczn'! (rys. 28.13a). Duzo bardziej problematyczne s,! wersje mocnej zasady antropicznej, zgodnie z ktor'! usilujemy rozci,!gn,!c argument antropiczny na okreslenie aktualnych stalych Przyrody (takich jak stosunek masy elektronu do masy protonu alba do wartosci stalej struktury subtelnej; zob. rozdz. 26.9, 31.1). Niektorzy mog,! uWaZac, ze z jednej strony mocna zasada antropiczna prowadzi nas do wiary w "Boski Zamiar", zgodnie z ktorym Stworca WszechSwiata postaral siy, by fundamentalne stale fizyczne zostaly tak dobrane, aby umozliwialy istnienie istot rozumnych. Z drugiej strony mocn,! zasady antropiczn,! mozemy uwazac za pewne uogolnienie slabej, gdy nieco poszerzamy sens pytan "gdzie i kiedy" w taki sposob, iz nie odnosz'! siy one do jednej czasoprzestrzeni, lecz do zbioru mozliwych czasoprzestrzeni (rys. 28.13b)27. Rozne elementy tego zbioru moglyby charakteryzowac siy roznymi wartosciami podstawowych stalych fizycznych. Kwestia "gdzie i kiedy" nadal wymaga
Jeden wszechSwiat (a)
728
(b)
Rys. 28.13. Zasada antropiczna. (a) W postaci slabej: istoty rozumne muszlj znaleic si~ w takim przestrzenno-czasowym punkcie wszechSwiata, w ktorym panujlj warunki sprzyjajljce ich istnieniu. (b) W postaci silnej: zamiast rozwai:ac jeden wszechswiat, wyobrai:amy sobie zbior mozliwych wszechSwiatow - wsrod kt6rych stale fundamentalne Przyrody moglj si~ zmieniac. Istoty rozumne moglj pojawic si~ w takim wszechSwiecie, w kt6rym stale Przyrody (poza odpowiednim ulokowaniem przestrzenno-czasowym) Slj sprzyjajljce.
Zasada antropiczna
28.6
dokonania wyboru w tym zbiorze wszechswiatow, abysmy mogli znaleic siy w takim, ktory dopuszcza Zycie istot rozumnych. Pierwszy przyklad sytuacji tego rodzaju, 0 ile wiem, zostal wskazany przez Freda Hoyle'a, ktory wydedukowal, ze musi istniec nieobserwowany dot(!d poziom energetyczny j(!dra atomu wygla, aby w procesie syntezy j(!drowej zachodz(!cej w gwiazdach mozliwe bylo utworzenie pierwiastkow ciyzszych od wygla. Jest to proces, w ktorym w gwiazdach tworz(! siy ciyzsze pierwiastki (wyrzucane nastypnie przy wybuchach supernowych stanowi(! material potrzebny do formowania siy planet; zob. rozdz. 27.8) i od ktorego uzalezniona jest budowa naszych cia!. Bez niego nie moglibysmy istniec, przynajmniej w takiej formie Zycia, jakie znamy! Naciskani przez Hoyle'a William Fowler i jego wspolpracownicfB znaleili wkrotce sugerowany przez niego poziom, potwierdzaj(!c w 1953 roku ty przepowiedniy. Zdumiewaj(!ce jest takie zestrojenie stalych Przyrody, ze odpowiedni poziom energetyczny znajduje siy dokladnie tam, gdzie to jest niezbydne, aby Zycie moglo zaistniec. Innym przykladem "strzalu w dziesi(!tky" na skaly kosmiczn(! jest fakt, ze masa neutronu jest tylko nieznacznie wiyksza od masy protonu (wynOSZ(! one, odpowiednio, 1838 i 1836 mas elektronowych). Podobnemu usmiechowi losu zawdziyczamy fakt istnienia rodziny stabilnych j(!der atomowych, na czym opiera siy cala chemia. Uwazam, ze trzeba byc niezwykle ostroznym przy uciekaniu siy do zasady antropicznej, w szczegolnosci do jej mocnej postaci. Mam wrazenie, ze mocna zasada antropiczna jest czysto uZywana jako "podporka", gdy wydaje siy, ze solidne analizy teoretyczne wyczerpuj(! swoje mozliwosci. Dosyc cZysto zdarzalo mi siy sluchac opinii teoretykow wypowiadaj(!cych pogl(!dy w rodzaju: "wartosci nieznanych parametrow w mojej teorii zostan(! ostatecznie okreslone na podstawie zasady antropicznej". Oczywiscie, jest mozliwe, ze w ostatecznym rachunku po prostu nie rna matematycznego sposobu na wyznaczenie pewnych parametrow w "prawdziwej teorii" i ze wybOr tych parametrow jest rzeczywiscie taki, aby WszechSwiat, w jakim siy znajdujemy, dopuszczal istnienie rozumnego Zycia. Muszy siy jednak przyznac, ze taki pomysl nie bardzo mi odpowiada! Moim zdaniem w przypadku wszechSwiata przestrzennie nieskonczonego i zasadniczo jednorodnego (np. z K ~ 0 w modelach standardowych) mocna zasada antropiczna jest prawie kompletnie bezui:yteczna do dostrojenia parametrow fizycznych, poza z(!daniem, zeby prawa fizyki mialy taki ksztalt, jaki jest niezbydny dla istnienia Zycia istot rozumnych (co sarno w sobie jest niepotrzebnym wymogiem, poniewaz nie znamy rzeczywistych warunkow koniecznych dla powstania Zycia). Albowiem, jesli rozumne Zycie jest w ogole mozliwe, oczekujemy, ze pojawi siy w jakims miejscu przestrzennie nieskonczonego WszechSwiata. Stanie siy tak nawet w sytuacji, gdy warunki do jego powstania, w jakims skonczonym obszarze Wszechswiata, wydadz(! siy nadzwyczaj nieprawdopodobne. We wszechSwiecie przestrzennie nieskonczonym spodziewamy siy, ze w jakims miejscu jego nieskonczonych przestworzy pojawi(! siy warunki umozliwiaj(!ce powstanie rozumnego Zycia, chociazby prawdopodobienstwo takiego zdarzenia bylo niezwykle nikle.
729
28
Spekulacje teoretyczne na temat wczesnych stadi6w rozwoju Wszechswiata
Jesli wiyc okazuje siy, ze fundamentalne stale fizyczne S,! okreslone - bye moze decyduj,! 0 tym kryteria matematyczne - to mozemy postawie pytanie: w jakich najbardziej prawdopodobnych okolicznosciach, przy tych stalych wartosciach, mozliwe bylo pojawienie siy inteligentnych istot? W znanym nam WszechSwiecie, przy stalych wartosciach fundamentalnych, kt6rymi dysponujemy, odpowiedi na to pytanie wydaje si~ nastypuj,!ca: "na planecie podobnej do Ziemi, w poblizu gwiazdy podobnej do Slonca, istniej,!cej okolo 109 lub 1010 lat, a wiyc przez czas wystarczaj,!CY do zaistnienia ewolucji, w rodzaju tej przewidywanej przez Darwina". Jednak w przypadku WszechSwiata 0 innych wartosciach podstawowych parametr6w odpowiedi moglaby bye zupelnie inna. Na zakonczenie tego rozdzialu powinienem wspomniee 0 innej hipotezie, zwi,!zanej z problemem stalych fundamentalnych, wysuniytej przez Johna A. Wheelera w 1973 roku. Hipoteza ta l,!czy siy z zasad'! antropiczn'!. Zgodnie z tym pogl,!dem WszechSwiat rozwija siy cyklicznie, w tych cyklach pojawiaj,! siy nieustannie nowe "wielkie wybuchy", a kazdy z nich wywodzi siy z poprzedzaj,!cej go fazy implozji. Przypomnijmy sobie model Friedmanna w przypadku K> 0 i A = O. Wszechswiat rozszerza siy od pocz'!tkowej osobliwosci Wielkiego Wybuchu, a nastypnie kurczy siy do innej osobliwosci, ostatecznego Wielkiego Kresu. W pocz'!tkowym okresie rozwoju kosmologii model taki nazywano "modelem oscylacyjnym", poniewaZ krzywa przedstawiaj,!ca wykres R(t) w funkcji t jest cykloid,!, kt6ra nieskonczon,! ilose razy przechodzi okresy od ekspansji do kontrakcji (zob. rys. 27.15a, ewiczenie [27.19]). Obecnie rozumiemy lepiej niz kiedys, ze w ramach konwencjonalnej klasycznej og6lnej teorii wzglydnosci nie istnieje spos6b na "wygladzenie" osobliwosci, jakie musialoby wi'!zae kazdy "kres" z kolejnym "wybuchem,,29. Tylko o ile zignorujemy ten fakt alba zaloZymy jak,!s formy "grawitacji kwantowej", kt6ra umozliwialaby takie "odbicia"['], 0 tyle mozemy spekulowae, ze cykloida Friedmanna stanowi przyblizony model rzeczywistego rozwoju WszechSwiata. Idea Wheelera polega na tym, ze ekstremalne warunki fizyki kwantowej, jakie moglyby istniee podczas tych osobliwych proces6w, moglyby tez spowodowae zmiany stalych fundamentalnych. W takim razie spodziewamy siy, ze propozycja Wheelera bylaby fizyczn,! realizacj,! koncepcji "kolekcji wszechSwiat6w" zwi,!zanej z mocn,! zasad,! antropiczn,!. Lee Smolin w swojej pracy Zycie wszechSwiata 30 , 0publikowanej w 1997 roku, przedstawil intryguj,!c,! modyfikacjy tego pomyslu. Zamiast postulatu Wszechswiata zamkniytego, w kt6rym obejmuj,!cy wszystko Wielki Kres przeksztalca siy sam w Wielki Wybuch nastypnej fazy kosmicznej, traktuje osobliwosci wewn'!trz czarnych dziur jako ir6dlo nowych faz WszechSwiata, podczas kt6rych kazda osobliwose czarnej dziury produkuje inn,! fazy WszechSwiata31 i w kazdym przypadku nastypuje niewielkie dopasowanie fundamentalnych stalych fizycznych. Smolin
730
[*] Bounce - jak odbicia pilki (przyp. Hum.).
ezy wyjqtkowa natura Wielkiego Wybuchu stanowi klucz antropiczny?
28.7
formuluje niezwykle pomyslow'! koncepcjy zakladaj,!c
731
28
Spekulacje teoretyczne na temat wczesnych stadi6w rozwoju Wszechswiata
rodzaju jest czasami uiywany w poi,!czeniu z argumentem inflacyjnym. Zgodnie z tym, chociaz caikiem "zwyczajny" (generyczny) stan pocz'!tkowy nie magi nadmuchae siy tak, aby doprowadzie do wygladzonego WszechSwiata, jaki dzisiaj obserwujemy, to mamy prawo zapytae, czy zaraz po Wielkim Wybuchu w pocz'!tkowej "rozmaitosci" czasoprzestrzeni nie pojawil siy jakis niewielki obszar wystarczaj,!co gladki, aby na tym obszarze nast,!pila inflacja, a caly obecny Wszechswiat obserwowalny magi bye wynikiem inflacji tego malego obszaru (zob. rys. 28.14a). Argument ten zatem moglibysmy sformulowae nastypuj,!co: "aby mogto powstae :iycie rozumnych istot, potrzebujemy Wszechswiata istniej,!cego dostatecznie dlugo, zeby w sprzyjaj,!cych warunkach mogta dokonae siy ewolucja etc. Taki rozwaj wymaga procesu inflacji, zainicjowanego w bardzo malym pocz'!tkowym obszarze, ale gdy taki proces raz siy zacznie, to inflacja jest kontynuowana, aZ doprowadzi do ogromnego, obserwowalnego WszechSwiata, ktary znamy". Aczkolwiek moze siy wydawae, iz przedstawiony obraz rna tak cudownie romantyczny charakter, ze nie podda siy zadnej naukowej krytyce, to moim zdaniem jest inaczej. Powraemy do nadzwyczajnej precyzji ("subtelnego dostrojenia"), koniecznej do zaistnienia Wielkiego Wybuchu 0 takim charakterze, jaki wynika z naszych analiz. W rozdz. 27.13 argumentowalismy, ze dokiadnose ta, 123 wyrazona przez objytose przestrzeni fazowej, wynosi co najmniej jeden do 1010 • Wykladnik lO l23 pochodzi od entropii czarnej dziury 0 masie rawnej masie obserwowalnego Wszechswiata. Ale czy rzeczywiscie potrzebny nam jest caly WszechSwiat, aby moglo zaistniee :iycie rozumne? Wydaje siy to nieprawdopodobne. Trudno sobie wyobrazie, ze nie wystarcz'! rozmiary naszej Galaktyki. Zycie inteligentnych istot moze bye jednak fenomenem tak rzadkim, ze wymaga nieco wiykszej przestrzeni. B,!dimy
(a)
732
(b)
(e)
Rys. 28.14. (a) Zupelnie og61ny stan pocz'ltkowy nie daje sit( nadmuchae, jednak potrzebujemy jedynie bardzo malego obszaru, wystarczaj'lco gladkiego, aby mogla sit( dokonae inflacja do stanu, jaki 10123 dzisiaj obserwujemy (koszt: 10 ). (b) Jak duia cZt(se ogromnego WszechSwiata jest naprawdt( potrzebna, aby nasze iycie moglo zaistniee? Koszt jest Wft(CZ "absurdalnie" mniejszy, albowiem dla stworzenia rozumnego iycia Stw6rca potrzebuje wykreowae jedynie WszechSwiat 0 rozmiarze jednej dzie117 si'ltej jego obecnych liniowych rozmiar6w (koszt: jedynie 1010 ). (c) Aby stworzye tak'l sam'l ilose istot jak w przypadku (a), Stw6rca moie duio mniejszym kosztem wyprodukowae 103 niezaleinych egzem117 1012 plarzy "mniejszych" wszechswiat6w 0 rozmiarach (b) (kosztem: (1010 )]001 = 10 °). A zatem zasada antropiczna nie uwzglt(dnia widocznej rozrzutnosci procesu inflacyjnego.
ezy wyjqtkowa natura Wielkiego Wybuchu stanowi klucz antropiczny?
28.7
szczodrzy i zazqdajmy, zeby odpowiednia czyse WszechSwiata miala promien 0 dlugosci jednej dziesiqtej obserwowanego WszechSwiata, ponadto zal6zmy, ze taka czyse dostatecznie reprezentuje caly WszechSwiat, i nie przejmujmy siy tyrn, co znajduje siy poza niq. Objytose przestrzeni fazowej mozemy obliczye podobnie jak poprzednio. Masa tego obszaru wyniesie 10-3 poprzedniej i to daje nam entropiy czarnej dziury wynoszqcq 10-6 tamtej[28.71• W takim razie dokladnose, jakiej potrzebuje "Stw6rca" (zob. rys. 27.21) do wykreowania tego matego obszaru, bydzie tylko jak jeden do
lO10117.
Sp6jrzmy na rys. 28.14b. Stw6rca potrzebuje teraz znacznie mniejszego "malenkiego gtadkiego obszaru" poczqtkowej "rozmaitosci" niz poprzednio. Jest duzo bardziej prawdopodobne, ze Stw6rca natrafi na ten obszar 0 mniejszych rozmiarach niz na wiykszy obszar rozwazany w poprzednim przypadku. Zakladajqc, ze inflacja dziata tak sarno na matym obszarze, jak i na znacznie wiykszym, tyle tylko ze teraz produkuje proporcjonalnie mniejszy WszechSwiat, mozemy oszacowae, ile razy czysciej Stw6rca zetknie siy z mniejszym obszarem niz z wiykszym. Liczba, jakq otrzymujemy, wynosi okolo
(dokladnose wyznacza wiyc najwyzszy wyktadnik potygip8.81• Teraz widzimy, jakq niewiarygodnq rozrzutnose (w jyzyku prawdopodobienstwa) wykazuje Stw6rca, kreujqc te odlegle obszary WszechSwiata, jakich wcale nie potrzebujemy - to znaczy nie potrzebuje ich zasada antropiczna - aby wyjasnie fakt naszej egzystencji! Niekt6rzy czytelnicy mogliby wyraziC zastrzezenie, ze dziyki tej "ekonomii" ze strony Stw6rcy wyprodukowana zostala stosunkowo mniejsza liczba is tot myslqcych. Nie wdajqc siy w dywagacje na temat tego, czy to stanowi jakis problem, nie znajdujemy tu wyjasnienia, dlaczego Stw6rca m6gtby bye bardziej "rozrzutny". Byloby 0 wiele "taniej" - w terminach prawdopodobienstwa (tzn. odwrotnosci objytosci rozmiar6w pudla w przestrzeni fazowej; zob. rys. 27.2) 0 czynnik rZydu okolo 10123 jeden do 10 miee 103 mniejszych nadmuchanych obszar6w WszechSwiata (co oznacza w przyblizeniu ty samq liczby istot myslqcych co w przypadku jednego wiykszego) niz jeden duiy obszar (rys. 28.14c)l289 1• Aby przekonae siy, jak bezsilny w tym kontekscie jest argument antropiczny, rozwazmy nastypujqce fakty. Promieniowanie reliktowe nie jest wcale potrzebne do iycia na Ziemi. Moglibysmy obejse siy nawet bez ewolucji Darwina! W jyzyku prawdopodobienstw byloby duzo "taniej" wyprodukowae istoty myslqce w wyniku losowego tqczenia cZqstek gazu i promieniowania. Mozna oszacowae, ze caly Uklad Sloneczny, wlqczajqc w to iyjqcych mieszkanc6w Ziemi, m6glby zostae utworzony
fa [28.7] Dlaczego? fa [28.8] Objasnij te liczby. fa [28.9] Wyjasnij dokladnie wszystkie te wielkosci.
733
28
Spekulacje teoretyczne na temat wczesnych stadi6w rozwoju Wszechswiata
za pomoq losowych zderzen cz'!stek i promieniowania z prawdopodobienstwem 60 jak jeden do 101(J60 (a bye moze z jeszcze wiykszym). Liczba 1010 to naprawdy nie10123 wiele w porownaniu z 10 , a taka jest potrzebna do opisu Wielkiego Wybuchu obserwowalnego WszechSwiata32 • Nie wymagamy, zeby struktura Wielkiego Wybuchu byia tak jednorodna. Zanim pojawilo siy Zycie, DPT nie bylo potrzebne. Stworcy z pewnosci,! opiaciloby siy nie zwracae uwagi na takie detale. A inflacja w niczym tu nie pomaga. Na rys. 27.8 najbardziej "ekonomiczn'!" krzyw,!, jak,! moglby wykorzystae Stworca, aby powolae do istnienia swiadome Zycie, bylaby ta przypominaj,!ca raczej krzyw,! (b) niz (c), bez wzglydu na to, czy faza inflacyjna wystypuje, czy tez nie! Wszystko to jedynie wzmacnia argument, ze poszukiwanie podobnych uzasadnien, w ktorych sugerujemy, iz wlasciwe warunki funkcjonowania WszechSwiata s,! wynikiem jakiegos losowego wyboru stanu pocz'!tkowego, jest nieporozumieniem. Jest w najwyzszym stopniu niezwykly sposob, w jaki Wszechswiat zacz'!l istniee. Wydaje mi siy, ze mozliwe S,! dwa ujycia tego problemu. Roznica miydzy nimi jest spraw,! stosunku do nauki. Mozemy zaj,!e stanowisko, ze pocz'!tkowy wyb6r byl "stworczym aktem boskim" (jak na pogl,!dowym rys. 27.21), alba poszukiwae jakiejs naukowej, matematycznej teorii, ktora bydzie w stanie wyjasnie nadzwyczaj szczegolny charakter Wielkiego Wybuchu. Moim zdaniem powinnismy doloZye staran, aby przekonae siy, jak daleko jestesmy w stanie dojse, korzystaj,!c z tej drugiej drogi. Jestesmy przyzwyczajeni do praw matematycznych - a wiyc praw 0 ogromnej precyzji - kontroluj,!cych zachowanie siy fizycznego swiata. Okazuje siy, ze znowu potrzebne nam jest jakies prawo 0 wyj,!tkowej dokladnosci, determinuj,!ce sam charakter Wielkiego Wybuchu. Wielki Wybuch jest osobliwosci,! czasoprzestrzenn,! i nasze obecne teorie nie S,! w stanie poradzie sobie z tym zagadnieniem. Nasze oczekiwania id,! teraz w kierunku odpowiedniej postaci kwantowej grawitacji33 , w ktorej nast,!piloby pol,!czenie regul ogolnej teorii wzglydnosci, mechaniki kwantowej i bye moze jeszcze jakichs innych, nieznanych koncepcji fizycznych.
28.8 Hipoteza krzywizny Weyla
734
Zasadnicz'! dyskusjy obecnego stanu badan w dziedzinie grawitacji kwantowej odiozy do rozdz. 30-33. Na razie sprobujmy skoncentrowae siy na zrozumieniu warunkow geometrycznych, na ktorych opiera siy koncepcja Wielkiego Wybuchu. Nastypnie postaramy siy przeanalizowae propozycjy Jamesa Hartle'a i Stephena Hawkinga, ktorej ambicj,! jest wyjasnienie tego rodzaju geometrii na gruncie powaznej kwantowej teorii grawitacji. Przypomnijmy sobie z rozdz. 19.7, ze grawitacyjne stopnie swobody opisuje konforemny tensor Weyla Cabcd ' Tak wiyc w pustej przestrzeni (gdzie ewentualna staia kosmologiczna A, niewielka w kontekscie zjawisk fizycznych w skali lokalnej, moze bye pominiyta) krzywizna czasoprzestrzeni jest calkowicie krzywizn,! Weyla (krzywizna Ricciego znika). WpIyw krzywizny Weyla na materiy rna charakter dys-
Hipoteza krzywizny Weyla
28.8
torsji lub plywowy, a nie redukuj,!CY objt(tosc :ir6del materii. Skutki krzywizny Weyla przedstawia rys. 17.9a (nie rna znaczenia, ze rysunek ten ilustruje sytuacjt( w czasoprzestrzeni newtonowskiej). Naleiy go por6wnae z rys. 17.9b, na kt6rym widzimy efekt redukcji objt(tosci materii, a wit(c przypadek, gdy mamy do czynienia z tensorem Ricciego. Dochodz,! jednak do tego pewne komplikacje, gdy rozwazamy (jak tutaj) wplyw krzywizny Weyla i Ricciego na czasopodobne linie geodezyjne (swobodnie poruszaj,!cych sit( cz'!stek masywnych), poniewaZ tensor Ricciego tei: moze czasami powodowac dystorsjt(, opr6cz redukcji objt(tosci. Komplikacje znikaj,!, gdy rozwazamy wplyw tych krzywizn na zerowe linie geodezyjne (promienie swietlne). Co wit(cej, w takim przypadku mozemy z powrotern wprowadzie stal'! kosmologiczn,! A, poniewaz czlon postaci Agab nie ogniskuje promieni swietlnych[28.101• Linie geodezyjne na rys. 17.9 mozemy traktowac jako promienie swietlne nalez'!ce do pewnego stozka swietlnego (w spos6b przedstawiony na rys. 17.16). Rzeczywiscie, jesli uwazamy, ze nalez'! one do stozka przeszlosci jakiegos obserwatora, w6wczas efekty dystorsji mozna zrozumiec graficznie, wyobrazaj'!c sobie soczewki umieszczone mit(dzy zr6dlem swiatla a obserwatorem. Tensor Ricciego 3\ zwi,!zany z rozkladem materii, dziala tutaj jak soczewka skupiaj,!ca, podczas gdy tensor Weyla, zwiClZany ze swobodnym polem grawitacyjnym, dziala jak soczewka czysto astygmatyczna - z takim samym skupianiem w jednej plaszczyznie, jak i z rozpraszaniem w plaszczyznie prostopadtej (rys. 28.15). Bardzo dobre przedstawienie 0 wptywie (w najnizszym rzt(dzie) tych dwu r6znych rodzaj6w krzywizny uzyskamy, jesli wyobrazimy sobie, ze patrzymy przez wielkie, masywne, sferyczne, przezroczyste ciato, 0 wsp6lczynniku zatamania pr6zni. (Bye moze powinnismy wyobrazae sobie, ze "patrzymy" przez Slonce za pomoq neutrin - traktowanych jako cz'!stki bezmasowe - kt6re przechodz'! przez Stonce i podlegaj,! jedynie dzialaniu jego pola grawitacyjnego!) W rozs'!dnym przyblizeniu mozemy uwazac, ze promienie przechodz'!ce przez stonce S,! gt6wnie pod dzialaniem krzywizny Ricciego, w zwi,!zku z czym otrzymamy widoczne powit(kszenie (soczewka skupiaj,!ca) pol a gwiazdy znajduj,!cej sit( za Sloncem. Z drugiej strony,
/
.fil [28.10] Dlaczego?
Rys. 28.15. Ogniskuj'lCY efekt (bezsJadowego) tensora Ricciego (zwi'lzanego z rozkladem materii) jest podobny dzialaniu soczewki skupiaj'lcej, podczas gdy skutek tensora WeyJa (zwi'lZanego ze swobodnym polem grawitacyjnym) jest podobny do dzialania soczewki czysto astygmatycznej - z takim samym skupieniem w jednej plaszczyinie, jak i rozproszeniem w plaszczyinie prostopadtej.
735
28
Spekulacje teoretyczne na temat wczesnych stadi6w rozwoju Wszechswiata
poza tarczq Slonca, otrzymamy w efekcie, ze wzgll(du na krzywiznl( Weyla, czysto astygmatyczny efekt odksztalcajqcy, wobec czego obserwator bl(dzie postrzegal male, okrqgie ksztalty na otaczajqcym niebie jako elipsy; zob. rys. 28.16[28.11]. Na tym zasadniczo polega dzialanie pol a grawitacyjnego Slonca - znieksztalcajqce obraz gwiazd znajdujqcych sil( w jego tIe - kt6re po raz pierwszy zaobserwowal Eddington podczas ekspedycji w 1919 roku (zob. rozdz. 19.8). Wyobrazmy sobie teraz WszechSwiat, w kt6rym poczqtkowo jednorodny rozklad materii (z pewnymi fiuktuacjami gl(stosci) stopniowo kumuluje sil( grawitacyjnie w taki spos6b, ze w koncu jakies jego cZl(sci zapadajq sil( w czarne dziury. Poczqtkowa jednorodnosc oznacza, ze mamy gl6wnie do czynienia z rozkladem (materii) odpowiadajqcym krzywiznie Ricciego, ale wraz z grawitacyjnq kumulacjq mas wzrasta krzywizna Weyla, przede wszystkim w obszarach dystorsji czasoprzestrzeni w otoczeniu gromadzqcej sil( materii. W koncu, gdy osiqgamy stan odpowiadajqcy osobliwosciom czarnych dziur, krzywizna Weyla staje sil( rozbiezna do nieskonczonosci. Jesli uwazamy, ze materia WszechSwiata zostala poczqtkowo wyrzucona przez Wielki Wybuch w spos6b prawie idealnie jednorodny, w takim razie musimy zaloZyc, ze WszechSwiat zaczyna istniec z krzywiznq Weyla wynoSZqCq praktycznie zero. Istotnie, charakterystycznq cechq modeli FLRW jest calkowite znikanie krzywizny Weyla (w zwiqzku z czym wszystkie te modele Sq konforemnie plaskie, zob. rozdz. 19.7). Jesli Wszechswiat rozpoczql istnienie w postaci bliskiej modelowi FLRW, to musimy przyjqc, ze krzywizna Weyla jest znikomo mala
-
\ I
. . . 0'''-- .----
-.... /
./' /' ,/
.",-
,
\
\ \
, ' 'CD'
I
I
SIOIlce
Rys. 28.16. Dobre pojycie (w przybliZeniu najnizszego rZydu) 0 efektach dwu r6znych rodzaj6w krzywizny czasoprzestrzeni otrzymamy, gdy wyobrazimy sobie, ze "patrzymy" na pole gwiezdne przez przezroczyste i niezatamujl!ce Stonce (jakby za pomocl! bezmasowych neutrin). Promienie przechodzl!ce przez stonce (w dobrym przyblizeniu) zostajl! ogniskowane przez krzywizny Ricciego, co jest wynikiem powiykszenia (niczym przez soczewky skupiajl!cl!), podczas gdy na zewnl!trz tarczy slonecznej mamy do czynienia z czysto astygmatycznl! dystorsjl! Weyla, a wiyc male, okqgle ksztalty jawil! siy jako elipsy.
[28.11] Pokai, ie przy infinitezymalnej dystorsji, kt6rej wielkosc zmienia si y odwrotnie do odlegiosci, pol a powierzchni s,! zachowane.
~
736
Hipoteza krzywizny Weyla
28.8
w porownaniu z krzywiznq Ricciego, ktora w momencie Wielkiego Wybuchu musiala bye rozbieina. Taki obraz ilustruje, na czym pol ega roznica geometryczna miydzy POCZqtkowq osobliwosciq Wielkiego Wybuchu - charakteryzujqcq siy nadzwyczaj malq entropiq - a typowymi osobliwosciami czarnych dziur, 0 bardzo wielkiej entropii. Krzywizna Weyla, odpowiadajqca tej poczqtkowej osobliwosci, znika (a co najmniej jest bardzo bardzo mala - np. tylko skonczona - w porownaniu z tq, jakq moglaby bye), natomiast staje siy nieograniczona, niewqtpliwie rozbiezna do nieskonczonosci w przypadku osobliwosci koncowych. To jest owa charakterystyka geometryczna, ktora czyni roznicy miydzy sytuacjami przedstawionymi na przyklad na rys. 27.20a i 27.20d, aczkolwiek roznicy ty trudno rozpoznae na diagramach konforemnych. Uwagi te winny bye rozwazane w polqczeniu z innq postulowanq cechq osobliwosci czasoprzestrzeni, okreslanq mianem cenzury kosmicznej. Postulat ten (jeszcze nieudowodniony) stwierdza, z grubsza biorqc, ze w trakcie niepowstrzymanej implozji grawitacyjnej czarna dziura bydzie okreslona jako osobliwosc naga, a nie jako cos jeszcze gorszego. Przez osobliwose nagq rozumiemy takq osobliwose czasoprzestrzeni, wyniklq z implozji grawitacyjnej, ktora jest widoczna dla zewnytrznych obserwatorow, a wiyc nie jest "zasloniyta" przez horyzont zdarzen. Aby dokladniej wyjasniC, czym jest "osobliwose naga", potrzebne Sq pewne szczegoly techniczne, w ktore nie chcy tutaj wchodzies . Do naszych celow wystarczy stwierdzie, ze naga osobliwose jest "czasopodobna" w tym sensie, ze - jak to ilustruje rys. 28.17a - sygnaly mogq do niej zarowno docierae, jak i jq opuszczae. Cenzura kosmiczna na to nie pozwala (z wyjqtkiem bardzo specjalnych sytuacji, jakie nie mogq wystqpie w przypadku realistycznej implozji grawitacyjnej).
(a)
(b)
(e)
Rys. 28.17. (a) Sygnaly przyczynowe mogq zarowno wchodzic, jak i wychodzic z "nagiej osobliwosci". Jesli takie sytuacje Sq zabronione - na mocy tzw. cenzury kosmicznej - wowczas pozostajq nam tylko (b) "osobliwosci w przyszlosci" (wynikaj'lce z implozji grawitacyjnej), do ktorych sygnaly przyczynowe mog'l docierac, lecz nie mog'l ich opuscic, oraz (c) "osobliwosci w przeszlosci" (w czasie Wielkiego Wybuchu lub jakichS bardziej lokalnych wybuch6w), z ktorych sygnaly przyczynowe mog'l si y wydostac, lecz nie mog'l do nich dotrzec. D1a naszego WszechSwiata hipoteza krzywizny Weyla zaklada, ze w przypadku osobliwosci pocz'ltkowej (c) krzywizna Weyla jest (w przyblizeniu) rowna zeru (albo bardzo mala).
737
28
Spekulacje teoretyczne na temat wczesnych stadi6w rozwoju Wszechswiata
Cenzura kosmiczna jest postulatem matematycznym - wei¥; nieudowodnionym ani nieodrzuconym - dotyczqcym og6lnych rozwiqzan r6wnania Einsteina. Jesli przyjmiemy ten postulat, w6wczas fizyczne osobliwosei czasoprzestrzeni mUSZq bye "przestrzennopodobne" (lub, bye moie, "zerowe"), ale nigdy nie "czasopodobne". Istniejq dwa rodzaje osobliwosei przestrzennopodobnych (lub zerowych), a mianowieie osobliwosei "poczqtkowe" i "koncowe", w zaleinosei od tego, czy krzywe czasopodobne mogq z nich wychodzie i zmierzae w strony przyszlosci, czy tei docierae do nich z przeszlosci; zob. rys. 28.17b, c. Postulat fizyczny, kt6ry nazywam hipotezq krzywizny Weyla, zakiada, ie krzywizna Weyla (w okreslonym sensie) jest r6wna zeru (lub co najmniej bardzo mala) w przypadku osobliwoseipoczqtkowych, i to dotyczy naszego WszechSwiata. Stworzenie WszechSwiata zgodne z hipotezq krzywizny Weyla oznaczaloby ogromne ograniczenie moiliwosci wyboru Stw6rcy w procesie, kt6ry ilustruje rys. 27.21. Wynikiem tego byloby drugie prawo termodynamiki w postaci znanej obecnie. Istniejq solidne argumenty matematyczne, ie jakas forma "hipotezy krzywizny Weyla" rzeczywiscie ogranicza charakter Wie1kiego Wybuchu w taki spos6b, ii uzyskany tq drogq model WszechSwiata we wczesnych stadiach bardzo dobrze odpowiada modelowi FLRW36.
28.9 Propozycja "bez brzegu" Hartle'a-Hawkinga
738
Hipoteza krzywizny Weyla jako postulat jest raczej rodzajem apelu 0 interwencjy boskq nii teoriq fizycznq. Dla takiej hipotezy wymagamy jakiegos teoretycznego uzasadnienia. Do jakiej teorii moiemy siy odwolae? Kiedy rozwaiamy osobliwosci czasoprzestrzeni, zwykle uwaia siy, ie wlasciwym rozwiqzaniem jest grawitacja kwantowa. Trudnose polega na tym, ie pomimo ponad 50 lat usilnych staran, aby doprowadzie do polqczenia og6lnej teorii wzglydnosci i mechaniki kwantowej, nie dysponujemy nadal niczym, co przybliialoby nas do jakiegos konsensu w tej sprawie. Najbardziej popularnymi podejsciami zajmy siy w rozdz. 31 i 32, ale nawet wsr6d nich nie znajdujy powainej pr6by zrozumienia szczeg6lnej natury Wielkiego Wybuchu. Jest jednak pewien wart odnotowania wyjqtek, czyli propozycja wysuniyta w 1983 roku przez Jamesa Hartle'a i Stephen a Hawkinga, kt6rej teraz poswiycy nieco uwagi. Jednym z element6w propozycji Hartle'a-Hawkinga jest tzw. euklidyzacja. Pomyst ten jest zwiqzany z obrotem Wicka zastosowanym do przestrzeni Minkowskiego, kt6ry powoduje, ie wsp6lrzydna czasowa t zostaje "obr6cona" do r = it. W takim przypadku (przestrzenna) metryka czasoprzestrzeni, di, przyjmuje postae di = dr2 + cJ.x2 + di + ctz2 (zob. rozdz. 18.1). Oryginalny pomysl (Gian Carla Wicka)37 polegal na tym, ie relatywistycznq (w sensie szczeg6lnej teorii wzglydnosci) kwantowq teoriy pola moina skonstruowae, formutujqc jq najpierw tak, ii czasoprzestrzen Minkowskiego zastypujemy 4-przestrzeniq Euklidesa E\ wykorzystujqC niezmienniczose tej przestrzeni wzglydem euklidesowych grup symetrii. Zaktada-
Propozycja "bez brzegu" Hartle'a-Hawkinga
28.9
jqC, ze wielkosci otrzymane w euklidesowej wersji teorii Sq analityczne we wspolrz~dnych, dokonujemy obrotu Wicka, ktory w sposob ciqgly przeksztalca T z powrotem w t tak, ze w efekcie otrzymujemy teori~ niezmienniczq wzgl~dem grupy Poincarego 4-przestrzeni Minkowskiego. Procedura ta rna dwie wazne zalety. Po pierwsze, wielkosci rozbiezne w przestrzeni Minkowskiego mogq przejsc w wielkosci zbiezne w euklidesowej wersji teorii. (Przyczyna tkwi zasadniczo w tym, ze euklidesowa grupa obrotow 0(4) jest grupq zwartq, 0 obj~tosci skonczonej, podczas gdy grupa Lorentza 0(3,1) jest grupq niezwartq, a zatem 0 obj~tosci nieskonczonej.) W szczegolnosci calkowanie po drogach (zob. rozdz. 26.6) daje znacznie wi~ksze szanse na uzyskanie poprawnego statusu matematycznego w wersji Euklidesa nil Minkowskiego. Innq zaletq jest to, ze wymagania dodatniej cz~stosci b~dq spelnione (zob. rozdz. 9.3, 5, 24.3), jesli obrot Wicka zostanie przeprowadzony starannie. W formalizmie Hartle'a-Hawkinga konieczne jest zastosowanie pomyslowej modyfikacji idei Wicka, w ktorej "obrotu" dokonujemy nie w calej przestrzeni stanowiqcej baz~ dla drog calkowania - co byloby podejsciem konwencjonalnym - ale w poszczegolnych czasoprzestrzeniach, z ktorych kaida sarna wyznacza dro38 g~ calkowania • Te "czasoprzestrzenie" mogq miec dodatnio okreslone metryki riemannowskie, a niekoniecznie metryki lorentzowskie, jak w normalnej czasoprzestrzeni. (Te metryki riemannowskie Sq czasami nazywane "euklidesowymi", co wprowadza w blqd, poniewaz t~ ostatniq nazw~ rezerwujemy dla plaskich przestrzeni Euklidesa ]En!) Naleiy zauwaiyc, ze w wersji "euklidyzacji" zaproponowanej przez Hawkinga mamy do czynienia ze "skokiem wyobrazni", ktory posuwa nas daleko poza oryginalnq koncepcj~ Wicka. Czy okaze si~ to owocnym sposobern na poprawne polqczenie ogolnej teorii wzgl~dnosci z mechanikq kwantowq? Na odpowiedz musimy jeszcze poczekae9 • Zadziwiajqca propozycja Hartle'a i Hawkinga polega na tym, ze zastosowanie metody Hawkinga do calkowania po drogach mogloby dac nam odpowiedniq teori~ kwantowq samego Wielkiego Wybuchu i ze w miejsce naszej osobliwej czasoprzestrzeni otrzymalibysmy superpozycj~ kwantowq (tzn. "calky po drogach") "czasoprzestrzeni" 0 metrykach riemannowskich zamiast lorentzowskich. T~ koncepcj~ nazywajq oni propozycjq "bez brzegu" (no-boundary), poniewaz w miejscu osobliwego brzegu klasycznej czasoprzestrzeni, jaki reprezentuje Wielki Wybuch, mamy calq rodzin~ nakladajqcych si~ nieosobliwych przestrzeni, zdominowanych przez przestrzenie z metrykq riemannowskq, ktore "zamykajq si~" u dolu w sposob wskazany na rys. 28.18, tak ze osobliwy brzeg znika. W chwil~ "po" Wielkim Wybuchu dokonuje si~ transformacja, w ktorej geometria riemannowska przestaje dominowac i przechodzi w geometri~ Lorentza. (Takie przeksztaicenie wiqze si~ z wprowadzeniem odpowiednich metryk zespolonych.) Nawet w obszarze lorentzowskim mamy wciqz do czynienia z superpozycjq "czasoprzestrzeni" (niektore z nich Sq nadal riemannowskie), ale daleko od Wielkiego Wybuchu zaczyna dominowac klasyczna czasoprzestrzen lorentzowska, natomiast w samyrn obszarze Wielkiego Wybuchu przewaza metryka riemannowska "bez brzegu". Schemat taki jest
739
28
Spekulacje teoretyczne na temat wczesnych stadi6w rozwoju Wszechswiata
la)
Ib)
Rys. 28.18. Propozycja "bez brzegu" Hartle'a-Hawkinga sugeruje, ie (a) Wielki Wybuch moina rozpatrywac zgodnie z procedur~ kwantowej grawitacji, w ktorej geometria riemannowska (bardziej nii lorentzowska) dominuje calki po drogach w pobliiu klasycznej osobliwosci i pozwala na "zamkniycie" czasoprzestrzeni w sposob nieosobliwy. (b) W odniesieniu do osobliwosci kolapsu to "zamkniycie" wydaje siy potrzebne jedynie na "odleglym koncu" czasoprzestrzeni, co pozwala na pojawienie siy typowych osobliwosci 0 wysokiej entropii, jakich naleiy spodziewac siy przy implozji grawitacyjnej do czamych dziur (tzn. w fazie Wielkiego Kresu).
nie tylko naprawdy elegancki - zamienia problem, kt6ry wydaje siy "nie do ugryzienia", na taki, z kt6rym mamy nadziejy jakos siy uporae - ale takZe wydaje siy, ze uzasadnia idey "gladkiego pocz'!tkowego WszechSwiata", jaki mozna by pogodzie z hipotez'! krzywizny Weyla. Do tej pory zagadnienie przedstawia siy interesuj(!co. Ajednak mam powazne obiekcje zwi'!zane z przyjyciem tej propozycji. Po pierwsze, sarna idea "euklidyzacji" z wielu powod6w jest problematyczna. Nawet w kontekscie przestrzeni plaskiej jest prawie niemozliwe wyliczenie doldadnej wartosci calki po drogach i konieczne jest dokonywanie wielu przyblizen. Zwykle wydziela siy pewne wyrazy uwazane za dominuj,!ce, a pozostale odrzuca. Mozna siy spodziewae, ze w wyniku takiego dzialania otrzymamy rozs'!dne przyblizenie do "euklidesowej" calki po drogach, przypomnijmy jednak, ze konieczne jest dokonanie przedluzenia an alitycznego, aby otrzymae fizyczne rezultaty. Na tej procedurze nie mozna polegae, poniewaZ to, co dobrze przybliza funkcjy holomorficzn(! w jednym obszarze, moze w innym obszarze nie miee z ni,! nic wsp6lnego. Aby zdae sobie sprawy z tej trudnosci, przypusemy, ze mamy jak,!s rzeczywist(! funkcjy analityczn'!f(x), kt6r(! znamy w dziedzinie rzeczywistych wartosci x, ale tylko w przyblizeniu, i chcemy st(!d wywnioskowae, jakie byd,! jej wartosci dla urojonychx. Jesli dodamy do niej funkcjy postaci cCos(Ax), gdzie c iA S,! rzeczywiste, przy czym c jest bardzo male, aA duze, w6wczas f(x) zmieni siy nieznacznie dla rzeczywistych wartosci x, natomiast jej zachowanie wzdluz osi urojonej zmieni siy radykalnie. Przyklad ten ilustruje nadzwyczajn,! niestabilnose procedury przedluzenia analitycznego[28.121• Wydaje mi siy, ze "trik euklidyzacji" moze bye bardzo uZyteczny, jesli chcemy w ten spos6b
740
ta [28.12] Wyjasnij to, korzystajqc z wynikow rozdz. 5.3. (Wskazowka: co to jest e Aix + e-Aix?)
Status obserwacyjny parametr6w kosmologicznych 28.10
uzyskae dokladny model KTP, mam jednak powazne zastrzezenia do stosowania tej metody w pol,!czeniu z przyblizeniami, jak w tym przypadku. (Nie jest dla mnie oczywiste, do jakiego stopnia propozycja Hartle'a-Hawkinga jest zalezna od procedury przedluzania analitycznego.) Po drugie, mam techniczne trudnosci z ogolnosci,! euklidyzacji. Moim zdaniem stanowi ona sprytny trik, pozwalaj,!cy na uzyskanie spojnej (i zapewniaj,!cej spelnienie warunku dodatnich czt(stosci) KTP, lecz byloby nadmiernym optymizmem spodziewae sit(, ze w ten sposob uzyskamy jak,!s interesuj,!c,! KTP. Teorie otrzymane za posrednictwem euklidyzacji maj,! w efekcie ukryte struktury, pochodz,!ce od zwi'!zanych z nimi grup symetrii 0 "zlej sygnaturze"; zob. rozdz. 9.3, 5, 13.8 i 18.2. Nie widzt( powodu, dla ktorego "poprawna" teoria mialaby miee tak specjalny charakter.
28.10 Status obserwacyjny parametr6w kosmologicznych Powstaje pytanie: jak to wszystko rna sit( do wynikow obserwacji? W oryginalnej postaci propozycja "bez brzegu" Hartle'a-Hawkinga przemawiala na rzecz Wszechswiata zamknit(tego (w istocie K > 0) i Hawking przez wiele lat opowiadal si y za takimi modelami. lednakZe wobec narastaj,!cej ilosci danych kosmologicznych, ktore zdecydowanie wspieraly koncepcjt( hiperboliczn,! (K < 0), Hawking, we wspolpracy z Turokiem, zmodyfikowal swoj pomysl 0 tyle, ze propozycjt( "bez brzegu" mozna bylo pogodzie rowniez z model em hiperbolicznym40. Mamy tu interesuj'!c'! paralelt( z oczekiwaniami kosmologii infiacyjnej, 0 ktorej przez wiele lat utrzymywano, ze w sposob zdecydowany implikuje, iZ Wszechswiat obserwowalny musi bye przestrzennie plaski (K = 0). Rowniei wielu zwolennikow teorii infiacyjnej, wobec imponuj,!cych danych kosmologicznych, zmodyfikowalo swoje stanowisko, dopuszczaj,!c mozliwose 1 K < O. laki obraz wylania sit( obecnie z danych obserwacyjnych? No coz, sytuacja ponownie zmienila sit( znacz'!co: wobec nowych danych (z wit(cej niZ jednego zrodla) wydaje sit(, ze mamy do czynienia ze znacz'!c'!, dodatniq wartosciq stalej kosmologicznej A. Implikacj,! tego faktu jest w efekcie mozliwose K = O. A skoro dane obserwacyjne nie s,! sprzeczne z K = 0, to nie mozna wykluczye niewieikiej dod atniej krzywizny przestrzennej (Hawking preferowal K > 0), a takZe niewielkiej ujemnej krzywizny przestrzennej (ja opowiadam sit( za przypadkiem K < 0) - i znowu wszystkie mozliwosci S,! otwarte! Jakie znaczenie dla wartosci K rna odkrycie, ze A > O? Powinienem najpierw wyjasnie, jakie powody sklanialy nas do przypuszczenia, ze dane kosmologiczne swiadcz,! na rzecz ujemnych wartosci K. Spraw,! zasadnicz'! jest tutaj kwestia ilosci masy-energii we WszechSwiecie. Jesli ta wielkose jest zbyt mala, wowczas nie mozemy otrzymae zamknit(tego WszechSwiata z dodatni,! krzywizn,! alba (w modelach Friedmanna), po pocz'!tkowej ekspansji, doprowadzie z powrotem do kolapsu (zob. rys. 27.15a, b, c). Od dawna bylo wiadomo, ze gt(stose zwyklej, widzialnej
741
28
Spekulacje teoretyczne na temat wczesnych stadi6w rozwoju Wszechswiata
742
materii barionowej (zob. rozdz. 25.6) w galaktykach jest niewystarczaj,!ca, gdyz stanowi zaledwie jedn,! trzydziest'! wartasci krytycznej, ktora rozdziela przypadki z dodatnimi i ujemnymi wartosciami K, a gystose krytyczna odpowiada K =0. Wprowadza siy tutaj wielkose Qb' ktora oznacza ten ulamek krytycznej gystosci masyenergii, jak,! stanowi normalna materia barionowa WszechSwiata. Jesli q =1, wowczas gystose materii barionowej odpowiada gystosci krytycznej i wszelka dodatkowa, znacz'!ca (dodatnia) ilose masy-energii dawalaby Wszech§Wiat z K > 0. Jednak, jak juz wspomnialem, mamy raczej do czynienia z wielkosci,! odpowiadaj,!c,! w przyblizeniu q = 0,03, co stanowi solidn,! wskazowky, ze K < 0. Takie stanowisko nie uwzglydnia powai:nych obserwacyjnych przeslanekwskazuj,!cych, ze we WszechSwiecie wystypuje duzo wiycej materii niz tylko materia barionowa, jak,! bezposrednio obserwujemy w gwiazdach. W ci,!gu wielu lat obserwacji stalo siy jasne, ze w standardowej teorii 42 nie mozna wyjasnie ruchow gwiazd w galaktyce, jesli w otoczeniu galaktyki nie rna duzo wiycej materii niz ta, jak,! udaje siy bezposrednio obserwowae w gwiazdach. Podobne uwagi dotycz'! dynamiki poszczegolnych galaktyk w ramach ich gromad. Ogolnie wydaje siy, ze mamy dowody na to, iz we WszechSwiecie istnieje okolo 10 razy wiycej materii niz ta, ktor,! obserwujemy w formie barionowej. Jest to tajemnicza ciemna materia, co do ktorej natury trwa dysputa i ktora moze nawet stanowie rodzaj materii nieznany dot,!d fizyce cz'!stek elementarnych, aczkolwiek nie brak najrozniejszych spekulacji na ten temat43 • Poniewaz uwaza siy, ze ciemna materia moze wnosie 10 razy wiycej masy-energii niz zwykla materia baronowa, w takim razie gystose materii, jak,! dziyki niej mozemy uzyskae, liczona jako ulamek Q d gystosci krytycznej, wynosi Q d = 0,3 (a przedzial blydu jest tu tak duZy, ze mozemy spokojnie wl,!czye do tej liczby wielkose barionow,! q = 0,03). W ten sposob nadal jestesmy daleko od wartosci krytycznej. Ponadto rozne obserwacje (wl,!cznie z efektami soczewkowania grawitacyjnego, ktore, jak pamiytamy z rozdz. 19.8, umozliwiaj,! bezposrednie oszacowanie wielkosci wystypuj,!cych mas) zaczynaj,! dostarczae calkiem przekonywaj,!cych dowodow, ze we WszechSwiecie nie rna innych znacz'!cych koncentracji mas. W takim razie wniosek, ze K < 0, wydaje siy coraz lepiej potwierdzony i, w konsekwencji, zwolennicy modelu inflacyjnego oraz propozycji Hartle'a-Hawkinga zacZyli poszukiwae sposobu na wl,!czenie K < do swojego obrazu Wszechswiata. I wtedy na nowo rozgarzala dyskusja wokol stalej kosmologicznej. Przypomnijmy sobie z rozdz. 19.7, ze Einstein uwazal wprowadzenie stalej kosmologicznej za swoj "najwiykszy bl,!d" (bye moze glownie dlatego, ze z tego powodu nie przewidzial ekspansji WszechSwiata). Aczkolwiek od tamtego czasu kosmolodzy dopuszczali tak,! mozliwose w tearii, to raczej niewielu z nich spodziewalo siy, ze znajd,! we WszechSwiecie dowody na to, iz jej wartose jest inna niz zero. Dodatkow'! okolicznose stanowil fakt, ze obliczenia "energii prozni" przeprowadzone przez specjalistow od kwantowej teorii pol a (zasadniczo w drodze renormalizacji, jak w rozdz. 26.9) prowadzily do absurdalnego wniosku, iz powinna wystypowae efektywna stala kosmologiczna, wiyksza od obserwowalnej 0 czynnik rZydu 10 120
°
Status obserwacyjny parametr6w kosmologicznych 28.10 (a co najmniej rZydu 1060 , jesli nieco zmienimy zalozenia)! W ten spos6b powstal "problem stalej kosmologicznej". Mozna bylo przypuszczae, ze jakas nieznana redukcja alba nieodkryta jeszcze og61na zasada moze prowadzie do tego, iz energia pr6zni wynosi zero, ale nikt nie spodziewal siy, ze znajdzie siy jakas malenka pozostalose 0 tak wielkim znaczeniu dla kosmologii w obecnej epoce. (Wypada zauwaiye, ze ta "energia pr6zni", na mocy niezmienniczosci Lorentza, powinna bye proporcjonalna do metryki gab' a zatem naleiy antycypowae pojawienie siy wyrazu Agab , ze stal~ A, dokladnie w tym miejscu, w kt6rym przewidzial to Einstein w 1917 roku. Jedyny klopot polega na tym, ze wartose owej stalej, jaka wynika z rachunk6w, jest calkowicie blydna!) W 1998 roku dwa zespoly, obserwuj~ce odlegle supernowe (zob. rozdz. 27.8) - jeden kierowany przez Saula Perlmuttera w Kalifornii, a drugi przez Briana Schmidta w Australii i Roberta Kirschnera na wschodzie Stan6w Zjednoczonych - doszly do wniosku, ze nastypuje przyspieszenie ekspansji WszechSwiata, zgodnie z rosn£!cym nachyleniem krzywej na rys. 27.15d, co stanowi "stempel firmowy" dodatniej statej kosmologicznej! Jak duza jest wartose A, kt6ra moze wynikae z tych obserwacji? Wci
+ QA
~
0,3 + 0,7 = 1.
Innymi slowy, wyniki obserwacji wydaj,! siy zgodne z K = 0. Zwolennicy koncepcji inflacyjnej (a przynajmniej ci, kt6rzy mocno obstawali przy swoim zdaniu) naturalnie triumfuj,!. Z pewnosci£! mozna to traktowae jako sukces ich teorii, poniewaz, wbrew mocnym argumentom przeciwko niej, ich przewidywania, ze K = 0, wydaj£! sit( potwierdzone. Nadal jednak w'!tpliwosci S,! zbyt duze, zeby mozna bylo z calym przekonaniem wyci,!gn,!e taki wniosek, i dlatego istotne znaczenie maj,! obserwacje inn ego typu, kt6re wi'!z'! siy z t'! kwesti'!. W rozdz. 28.5 wspomnielismy, ze przeprowadzono wiele pomiar6w szczeg616w zmian temperatur w promieniowaniu reliktowym, poczynaj,!c od wystrzelenia w 1989 roku satelity COBE do ostatnich (w czasie pisania tej ksi
743
28
Spekulacje teoretyczne na temat wczesnych stadi6w rozwoju Wszechswiata
OFWHM
[stopnij
10 6000 .
I "
0,1
1 '
,
,
I "
' ,
,
I"
,
5000 ~
2!.
4000
I
albo z K < 0, albowiem to "promien krzywizny" decyduje 0 skali. Rozwazania te powodujq, ze jestesmy zarowno zaintrygowani, jak i nieco zaniepokojeni rozwojem sytuacji. Powinnismy jednak miee na uwadze, ze wykres na rys. 28.19 wykorzystuje jedynie niewielkq czyse informacji, jakq zawiera mapa temperatur WMAP. Z kazdq wartosciq £ zwiqzanych jest 2£ + 1 roznych wartosci m i z kazdq z nich lqczy siy jeden rzeczywisty parametr. W przeprowadzonej przez nas analizie wiykszose tych informacji zostala pominiyta, a to oznacza, ze kryje siy w nich ogromna ilose danych, ktore moglyby nam dostarczye wielu waznych informacji 0 wczesnych stadiach Wszechswiata. Wspomny tu jedynie 0 alternatywnym sposobie analizy tych danych, zaproponowanym przez Vahe Gurzadyana i wspolpracownikow (1992,1994,1997, 2002,2003, 2004), 0 zdumiewajqcych implikacjach. W tym podejsciu nie przeprowadza siy analizy harmonicznej, zamiast tego analizuje sit( dystorsje ksztaltu odleglych obszarow w kazdej okreslonej temperaturze w zaleznosci od krzywizny przestrzennej. Jesli wyobrazamy sobie, ze niezaburzony ksztalt danego obszaru powinien bye okrygiem, to wplyw krzywizny spowoduje odksztalcenie okrygu do elipsy (przypomnijmy rys. 28.15). Oczywiscie, w praktyce nie znamy ksztaltu obszarow, ktore obserwujemy, mozliwe jednakjest wystypowanie efektow statystycznych, w wyniku czego obszary odpowiadajqce danej wartosci temperatury mogq bye bardziej (lub mniej) rozciqgniyte w porownaniu z innymi, w tym lub w innym kierunku. To przedmiot bardzo subtelnej statystycznej analizy, ale wnioski Gurzadyana i jego kolegow wykazujq, ze na mapach promieniowania reliktowego (poczqtkowo COBE, nastypnie BOOMERanG i wreszcie WMAP) mamy wiele tego przykladow. Jakie to rna znaczenie? Analiza teoretyczna sytuacji mowi nam, ze jedynie w przypadku K < 0 mozemy spodziewae siC( takiego stopnia eliptycznosci i ze jest to wynik "mieszania geodezyjnego". Sq to
°
745
28
Spekulacje teoretyczne na temat wczesnych stadi6w rozwoju Wszechswiata
nowe wyniki, musimy wit(c poczekae, czy nie pojawiq sit( jakies znaczqce obiekcje wobec tych waznych wniosk6w. Analiza ta dostarcza nam r6wniez argumentu na rzecz dodatniej wartosci stalej kosmologicznej i mniej wit(cej takiej wielkosci, jakq implikujq dane z obserwacji supernowych. Wnioskuje sit( stqd, ze krzywizna ujemna musi bye niewielka, w tym sensie, ze Q d + Q A nie moze znaczqco sit( r6znie od jednosci, bye moze wynosi okolo 0,9. To zagadka, kt6ra niepokoi wielu kosmolog6w. Wielkosci q, Q d i Q A nie Sq niezmienne w czasie. We wczesnych stadiach Wszechswiata q i Q d musialy bye duzo wit(ksze, a Q A duzo mniejsze. W p6znych stadiach rozwoju znaczenie q i Q d maleje, natomiast Q A dominuje w efektywnej gt(stosci masy--energii. Zbieznose rzt(d6w wielkosci Q A i Q d wydaje sit( wit(c bardzo zagadkowa. Ciekawe, ze termin "stala kosmologiczna" jakby wyszedl z mody, z chwilq gdy wyniki obserwacji zaczt(ly potwierdzae jego istnienie, niezaleznie od tego, ze byl standardowy od czasu, gdy Einstein go wprowadzil, a wit(c od 1917 roku. Zamiast tego Ajest okreslana terminami: "ciemna energia", "energia pr6zni", czasami tei: "kwintesencja", co bye moze wynika z faktu, ze chlodne okreslenie "stala kosmologiczna" nie niesie ze sobq w dostatecznej mierze aury tajemniczosci alba tez - bardziej racjonalnie - poniewaz slowo "stala" sugeruje, ze A nie moze zmieniae sit( z czasem! Wielu kosmolog6w robi wraZenie bardziej zadowolonych ze zmiennej A, bye moze dlatego, ze upatrujq w obecnej wartosci A oznaki "nowej fazy inflacyjnej", wskazujqc na podobienstwo do przypuszczalnie bardzo wczesnego inflacyjnego etapu rozwoju WszechSwiata. Przypomnijmy rozwaZania rozdz. 28.4 na tern at takiej fazy, uwazanej za zdominowanq przez "falszywq pr6znit(", kt6rej odpowiada tak wielka efektywna stala kosmologiczna, ze kompletnie dominuje calq (juz i tak ogromnie gt(stq) normalnq materit(. Gdyby Wszechswiat w tamtym czasie charakteryzowal sit( takq efektywnq A, bardzo r6znq od wartosci, jakq dzisiaj znajdujemy - tak przynajmniej argumentujq - w6wczas nalei:y dopuscie, ze A zmienia sit( i nazywanie jej "stalq kosmologicznq" byloby niewlasciwe. Ten pomysl, niewqtpliwie dla niekt6rych atrakcyjny, wiqze sit( z klopotami matematycznej natury, poniewaz istnialy dobre powody, aby wprowadziC termin "stala kosmologiczna". Stalose A jest bezposredniq konsekwencjq r6wnania zachowania energii 'irTab = 0 z rozdz. 19.5-7, albowiem dodanie wieiokrotnoscigab do Tab nie zmienia tego r6wnania, pod warunkiem ze czynnik, przez kt6ry sit( je mnoi:y, jest staly[28.131• W takim razie wszelkiej zmiennosci w A musi towarzyszye kompensujqce niezachowanie masy--energii materii. Z calq pewnosciq, z teoretycznego punktu widzenia, duzo wygodniej jest miee do czynienia ze stalq A - i takie stanowisko jest sp6jne z wynikami obserwacji. Dokqd nas to wszystko doprowadzilo? Z pewnosciq sytuacja jest bardzo interesujqca. Nie wydaje mi sit(, zeby te obserwacje "potwierdzaly" slusznose kosmoiogii inflacyjnej, a nawet gdyby tak bylo, to i tak nierozwiqzany pozostaje podsta-
746
fB [28.13] Dlaczego?
Przypisy
wowy problem kosmologiczny, ktory w mojej opinii usuwa w cien wszystkie inne, a mianowicie nadzwyczaj "specjalny" charakter Wielkiego Wybuchu - w stopniu 123 co najmniej jak jeden do 1010 - ktory leZy u podstaw drugiego prawa termodynamiki. Niektorzy kosmolodzy uwazaj,!, ze "subtelne dostrojenie" z tym zwi,!zane (zob. rys. 27.21) jest nie do przyjt(cia, i nadal "probuj,!" wyjasnie go w terminach inflacji lub zasady antropicznej (rozdz. 28.4, 6), ale, jak widzielismy, procedury takie zostawiaj,! zbyt wielki margines dowolnosci. I rzeczywiscie, mam zasadniczy problem z kazd,! propozycj,! (np. tak'! jak inflacja czy propozycja "bez brzegu" Hartle'a-Hawkinga), ktora stara sit( rozwi¥ae zagadnienie osobliwosci czasoprzestrzeni w ramach fizyki niezmienniczej wzglt(dem odbicia w czasie. Fizyka fazy inflacyjnej nie wykazuje asymetrii czasowej i, 0 ile jestem w stanie to zrozumiec, niczego podobnego nie rna w propozycji Hartle'a-Hawkinga. Z tego wynika, ze ich propozycja powinna stosowae sit( tak sarno do koncowych osobliwosci fazy kolapsu (w czarnych dziurach, a wit(c do Wielkiego Kresu, jesli ta hipoteza jest realistyczna), jak i do Wielkiego Wybuchu. Hawking (1982) argumentowal, ze tak moze bye, ale w niezwykle egzotyczny sposob, utrzymywat bowiem, ze przestrzen w otoczeniu koncowej osobliwosci "zamyka sit( bez brzegu", cofaj,!c WszechSwiat do Wielkiego Wybuchu, i dopiero tam nastt(puje "euklidyzacja" (rys. 28.18)! Propozycja "bez brzegu" rna polegae na tym, ze istnieje pewien sposob zamknit(cia bez ograniczaj,!cego brzegu, natomiast "pocz'!tek" definiujemy jako ten koniec, przy ktorym pojawia sit( zamknit(cie. Muszt( przyznae, ze mam wielkie opory przed przyjt(ciem tej argumentacji - a w rzeczy samej kaidej argumentacji, ktora nie przewiduje jawnej asymetrii czasowej samych praw fizyki. (Na przyktad w "egzotycznej" argumentacji Hawkinga okazaloby sit(, ze w koncowym kolapsie nadal mamy do czynienia z "brzegiem", pomimo iZ nast,!pilo gladkie zamknit(cie "bez brzegu", tyle ze "na drugim koncu" czasoprzestrzeni. Wydaje mi sit(, ze w ten sposob wyjasniona zostata jedynie potowa problemu usunit(cia brzegu.) Czy wobec tego musimy zajmowac sit( mozliw,! asymetri,! czasow'! podstaw fizyki, ktorej sit( domagam? W rozdz. 30 zabierzemy sit( powaznie do rozstrzygnit(cia tego dylematu! Przekonamy sit( wtedy, ze problem wi,!ze sit( z czyms fundamentalnie zagadkowym, co zostato niedomowione w naszej dyskusji mechaniki kwantowej. Dlatego w nastt(pnym rozdziale powroct( do tej waznej sprawy. A w rozdz. 30 przedstawit( wtasne koncepcje na temat wtasciwej drogi rozwi,!zania tych problemow, a takZe rozwi,!zania zagadnienia asymetrii czasowej osobliwosci WszechSwiata. Muszt( jednak wyslae sygnaty ostrzegawcze: wielu fizykow bt(dzie bardzo niezadowolonych ze stanowiska, jakie mam zamiar zaprezentowae.
Przypisy 1
Rozdzial 28.1 Zob. np. Weinberg (1992), kt6ry r6wniei posluguje sit( przykladem ferromagnetyzmu, i ta ilustracja wydaje sit( niezwykle popularna wsr6d specjalist6w. Uznajemy to jednak za powainq idealizacjt(, kiedy mamy na mysli rzeczywisty kawalek ie1aza, albowiem szczeg610we
747
28
Spekulacje teoretyczne na temat wczesnych stadi6w rozwoju Wszechswiata
efekty dzialania roznych wystt(pujqcych tam sit mogq bye bardzo zlozone. W przypadku dostatecznie malych obszarow wewnqtrz kuli zelaza tendencja do magnesowania sit( moze bye uwazana za dobre przyblizenie, ale w praktyce namagnesowane obszary orientujq sit( wzglt(dem siebie przypadkowo i zelazo, jako calose, nadal nie wykazuje efektywnego momentu magnetycznego. Co wit(cej, aby skutecznie namagnesowae zelazo, obnizanie temperatury przy przechodzeniu przez punkt Curie musi bye nadzwyczaj powolne, a wit(c uzyskanie idealnej sytuacji nie jest takie latwe. W naszej obecnej teoretycznej dyskusji mozemy zignorowae wszystkie te komplikacje i przyjqe jako prawdziwy przedstawiony tu, wyidealizowany obraz. 2 Proces tunelowania kwantowomechanicznego wystt(puje wtedy, gdy uklad kwantowy przechodzi spontanicznie zjednego stanu do stanu 0 nizszej energii (z emisjq nadmiaru energii) i gdy mit(dzy tymi stanami pojawia sit( bariera energetyczna, ktora uniemozliwia "klasyczne" przejscie mit(dzy nimi. 3 W tym przykladzie wykluczylismy wystt(powanie symetrii odbiciowej, na co wskazuje litera "s" w symbolu grupy SO(2). 4 Tq "odpowiedniq" grupq symetrii wydaje sit( grupa SU(3) x SU(2) x U(1)/Z6' Rozdzial28.2 Zob. przyp. 1 w tym rozdziale. 6 Zob. Vilenkin (2000); Gangui (2003); Sakellariadou (2002). 7 Teoria ta wiqze sit( scisle z nazwiskiem brytyjskiego astrofizyka sir Martina Reesa, zob. Silk, Rees (1998). Przeglqd tych koncepcji i dalszq literaturt( znajdziemy w: Haehnelt (2003). 8 Zob. Chan, Tsou (1993). 9 Wyniki badan MACRO nakladajq bardzo mocne ograniczenia na czt(stose pojawienia sit( czqstek tego rodzaju. Zob. MACRO (2002). 5
Rozdzial 28.3 Koneksjt( tt( mozemy poczqtkowo uwazae za koneksjt( cechowania V na mniejszej wiqzce Be nad M, ktorej wlokna w kazdym punkcie Sq przestrzeniami 1:- leptonow, 0 symetrii U(2). Jednak dokladnie tak jak w rozdz. 14.3, gdzie w zwyklym rachunku tensorowym wiedza o tym, jak V dziala na wektory, calkowicie okresla jej dzialanie na ogolne tensory, tutaj wiedza 0 tym, jak V dziala na Be' calkowicie okresla jej dzialanie na "tensory" zdefiniowane w £. Mozemy przyjqe, ze 9 jest rowna £' ® 1:- Geden indeks gorny, jeden dolny). 11 "Przesunit(cie ku czerwieni" z jest zdefiniowane tak, ze 1 + z podaje czynnik wzrostu dlugosci fal. Najlatwiejsze wprowadzenie do tych zagadnien zawiera ksiqzka Liddle (1999); natomiast Dodelson (2003) jest pracq bardziej zaawansowanq. 12 Bye moze w tym miejscu warto zastanowie sit( nad mozliwq rolq quanglementu (zob. rozdz. 23.10) dla komunikacji mit(dzy q a r. To z pewnosciq ciekawy pomysl, ale wychodzqcy poza obecne koncepcje zwiqzane ze "spontanicznym lamaniem symetrii". Moj poglqd na te zagadnienia zawdzit(cza wiele rozmowom z George'em Sparlingiem i Bikashem Sinhq. 13 Zob. Llewellyn Smith (1973). 10
Rozdzial 28.4 14 Zob. Schrodinger (1956). Rozdzial28.5 Zob. Guth (1997). Bardziej techniczne przedstawienie znajdziemy w Dodelson (2003) albo w Liddle, Lyth (2000). Godna polecenia jest pozycja Borner (2003), gdzie znajdziemy bardzo staranny i krytyczny przegJqd tematyki. 16 Zob. Barbour (2001a, 200lb); Barbour et al. (2002); Sciama (1959); Smolin (2002). Przykladem zastosowania idei Macha jest koncepcja sieci spinowych, ktorq krotko opisujt( w rozdz. 32.6. 15
748
Przypisy
Zob. Ozsvath, SchUcking (1962, 1969). Istniejq jednak nowsze analizy, ktore zdajq sit( wskazywae, ze bye moze teoria Einsteina rna wit(cej wspolnego z zasadq Macha, niz dotqd sqdzono. Zob. Barbour (2004); Barbour et at. (2002); Raine (1975). 19 Te estetyczne aspekty teorii inflacyjnej Sq szczegolnie interesujqco przedstawione w popularnym opracowaniu: Livio (2000). 20 Podobne idee, znane pod nazwq "kosmologii chaotycznej", byly jui wczesniej, w latach szesedziesiqtych XX wieku, proponowane niezaleznie przez Charlesa W Misnera i lakowa B. Zeldowicza. Sugerowano w nich, ze poczqtkowy stan WszechSwiata mial charakter losowy. Koncepcja taka byla wysuwana pomimo jej zasadniczej sprzecznosci z drugim prawem termodynamiki, ktore przywolywano, aby objasnie proces wygladzania WszechSwiata; zob. Misner (1969). 21 Najlepsza propozycja opisu chaotycznej struktury tej "prawdopodobnej" poczqtkowej osobliwosci zostala przedstawiona w 1970 roku w pracy Belinskii, Khalatnikov, Lifshitz (1970). 22 Zob. przyp. 21 w rozdz. 27, gdzie podane Sq odpowiednie odsylacze literaturowe. 17 18
Rozdzial 28.6 Wydaje mi siC(, ze po raz pierwszy uslyszalem 0 "slabej" zasadzie antropicznej w audycji radiowej Freda Hoyle'a, nadanej przez BBC w latach 50. Z silniejszq postaciq tej zasady, ktora mowi 0 "antropicznej" roli fundamentalnych stalych fizycznych, zetkn"lem siC( pierwszy raz w Cambridge na jednym z wykladow Hoyle'a, zatytulowanych "Religia jako nauka", kiedy omawial tworzenie siC( ciC(zkich pierwiastkow w gwiazdach i rolC(, jakq w tym procesie odgrywa pewien konkretny poziom energetyczny jqdra atomu wC(gla. Zagadnieniem tym zajmiemy siC( niebawem. 24 Zob. Dicke (1961) i Carter (1974). 25 Zob. Dirac (1937). 20 Zob. Dirac (1938); Buckley, Peat (1996); Guenther, Krauss, Demarque (1998). Najnowsze i zabawne omowienie problemu "zmieniajqcych siC( stalych" przedstawil Magueijo (2003). 27 Uiywam pojC(cia "mocnej zasady antropicznej" w sensie zaproponowanym przez Cartera (1974). Barrow i Tipler (1988) podzielili tt( zasadC( na kilka roznych kategorii. 28 Zob. Barrow, Tipler (1988); Smolin 1997; Hoyle et at. (1956); Burbidge et at. (1957). 29 Zob. Hawking, Penrose (1970) . .10 Zob. Smolin (1997). 31 W przemowieniu wygloszonym przy okazji odbierania Nagrody Adamsa w 1966 roku (zob. Penrose 1966) wysunqlem podobnq propozycjC( (jednak bez dopasowywania stalych fizycznych), ale w sposob nieco zartobliwy! Bye moze podobne pomysly zglaszali juz i inni.
23
Rozdzial 28. 7 Zob. Penrose (1989) . .1.1 Alternatywny punkt widzenia przedstawil mi Abhay Ashtekar, ktory utrzymywal, ze moze istniee cos roznego od grawitacji kwantowej, co wyjasnialoby nadzwyczajnq naturt( Wielkiego Wybuchu. Moze tak jest, ale moim zdaniem to grawitacja byla wyjqtkowym elementem Wielkiego Wybuchu i, jak siC( wydaje, tylko grawitacja. 32
Rozdzial28.8 Istotnie, tylko bezsladowa czt(se tensora Ricciego Rab - Rgab rna tutaj znaczenie, natomiast stala kosmologiczna nie odgrywa zadnej roli. 35 Ogolnq dyskusjC( cenzury kosmicznej zob. Penrose (1998b). 36 Zob. Newman (1993); Claudel, Newman (1998); Tod, Anguige (1999a, 1999b); Anguige (1999). Szczegolnie atrakcyjnq wersjC( hipotezy krzywizny Weyla przedstawil K.P. Tod, ktory po prostu postulowal, ze z kazdq osobliwosciq poczqtkowq zwiqzana jest pewna ograniczona, regularna geometria konforemna. 34
t
749
28
Spekulacje teoretyczne na temat wczesnych stadi6w rozwoju Wszechswiata
Rozdzial 28.9 Zob. Wick (1956), gdzie ta technika zostala po raz pierwszy uiyta, a nastypnie Zinn-Justin (1996), gdzie jest wielokrotnie i z wielkim poiytkiem wykorzystywana. 38 Zob. Hartle, Hawking (1983). 39 Niedawna praca Renate Loll sugeruje, ie mogq istniec glybokie r6inice miydzy zastosowaniem metryki riemannowskiej w calkowaniu po drogach - jak w propozycji Hawkinga a bardziej naturalnym uiyciem metryki lorentzowskiej; zob. Ambjom et at. (1999). 37
Rozdzial 28.10 Zob. Hawking, Turok (1998). 41 Zob. Bucher, Goldhaber, Turok (1995) i Linde (1995). 42 IntrygujqCq sugestiy przedstawil Mordehai Milgrom (1994), kt6ry utrzymywal, ii ciemna materia nie istnieje, natomiast zmiany wymaga dynamika grawitacyjna Newtona, ale winny spos6b, nii to zrobil Einstein. Wedlug tej koncepcji przy bardzo malych przyspieszeniach wplyw grawitacji w pewien specyficzny spos6b wzrasta. Aczkolwiek idea ta jest zadziwiajqco zgodna z obserwowanymi faktami, to jednak nie istnieje sp6jna teo ria, kt6ra ujmowalaby to wszystko w ramach dobrego, og6lnego schematu. Moim zdaniem takich niekonwencjonalnych pomys16w nie naleiy odrzucac, lecz warto nad nimi popracowac, aby przekonac siy, czy nie mogq stanowic elementu wiykszej, sp6jnej calosci (choc sam nie mam pojycia, jak w tym przypadku naleiy to zrobiC!). 43 Zob. Krauss (2001), gdzie znajdziemy przystypne om6wienie ciemnej materii (a takZe "ciemnej energii", tzn. moiliwosci zmiennej wartosci A). 44 Zob. Blanchard et at. (2003). Bardziej "populame" intepretacje znajdziemy w: Perlmutter et at. (1998); Bahcall et at. (1999). 45 Dodelson (2003) wyjasnia, jak to wykonac i jak analizowac dane CMB. 40
29 Paradoks pomiaru 29.1 Konwencjonalne ontologie teorii kwantowej
NIE ulega w~tpliwosci, ze mechanika kwantowa stanowi jedno z najwspanialszych mysli ludzkiej XX wieku. Wyjasnia ona wiele zjawisk calkowicie niezrozumialych dla fizykow XIX wieku, takich jak istnienie linii widmowych atomow i cz~steczek, stabilnose atomow, natura wi~zan chemicznych, tlWalose i barwy materialow, zjawisko ferromagnetyzmu, przejscia fazowe ze stanu stalego w ciecz i gaz, barwy gor~cych ciat pozostaj~cych w rownowadze z otoczeniem w wysokiej temperaturze (promieniowanie ciata doskonale czarnego) i wiele innych. Wydaje siy, ze nawet niektore zagadkowe problemy biologii, na przyktad nadzwyczajna skutecznose dziedziczenia, znajduj~ wyjasnienie na podstawie zasad mechaniki kwantowej. Wszystkie te zjawiska, podobnie jak wiele innych, odkrytych juz w XX wieku, choeby ciekle krysztaly, nadprzewodnictwo i nadcieklose, zachowanie siy laserow, kondensaty Bosego-Einsteina, intrygujqca nielokalnose efektow EPR i teleportacja kwantowa - Sq obecnie dobrze wyjasnione dziyki formalizmowi matematycznemu mechaniki kwantowej. Formalizm ten w istocie dokonat prawdziwej rewolucji w naszych wyobrazeniach 0 fizycznej rzeczywistosci, moze nawet duzo wiykszej niz koncepcja zakrzywionej czasoprzestrzeni ogolnej teorii wzglydnosci Einsteina. Ale czy naprawdy? Wielu wspolczesnych fizykow wyraza poglqd, ze mechanika kwantowa w ogole nie daje zadnego obrazu "rzeczywistosci"! Ich zdaniem mechaniky kwantowq nalei:y traktowae tylko jako formalizm matematyczny i nic wiycej. Utrzymujq oni, ze ten formalizm nie informuje zasadniczo 0 kwantowej rzeczywistosci otaczajqcego nas swiata, jedynie pozwala obliczae prawdopodobienstwa pojawienia siy alternatywnych mozliwosci. Ontologia takich fizykow kwantowych - pomijajqc fakt, czy przejmujq siy oni w ogole kwestiami ontologicznymi moze bye zreasumowana w zdaniu (a): formalizm kwantowy nie wyrai:a jakiejkolwiek rzeczywistosci. Przeciwstawny (na pozor) poglqd reprezentujq inni fizycy kwantowi, ktorzy utrzymuj~, ze (b): unitarna ewolucja stanu kwantowego opisuje w sposob zupelny aktualnq rzeczywistose, z tego zas wynika alarmujqca implikacja, ze praktycznie wszystkie alternatywy kwantowe mUSZq zawsze wspolistniee (w superpozycji). W rozdz. 21.8 zwrocilismy uwagy na podstawowq trudnose, z jakq majq osi~gniye
29
Paradoks pomiaru
752
do czynienia fizycy kwantowi, i ktora sklania ich do przyjycia takich pogl(!dow. Jest to konflikt miydzy dwoma procesami kwantowyrni, U i R (rozdz. 22.1), gdzie U jest deterministycznym procesem ewolucji unitarnej (jak(! opisuje rownanie Schrodingera), natomiast R jest procesem redukcji stanu kwantowego, jaki zachodzi w momencie dokonywania "pomiaru". Odkrycie procesu U z jednej strony bylo dla fizykow czyms naturalnym: byla to klarowna ewolucja czasowa dobrze okreslonej wielkosci matematycznej - wektora stanu 11JI) - kontrolowanej w sposob deterministyczny przez (cz(!stkowe) rownanie rozniczkowe, a czasowa ewolucja schrodingerowska nie byla zasadniczo rozna od tej, jak(! opisuj(! klasyczne rownania Maxwella (zob. rozdz. 21.3 i ewiczenie [19.2]). Z drugiej strony proces R byl dla nich zupelnie nowy: to proces nieci(!giego, przypadkowego skoku tego samego 11JI), a okreslone s(! tylko prawdopodobienstwa roznych mozliwych wynikow tego przeskoku. Gdyby fizyka obserwowanego swiata byla opisywana po prostu przez wielkosc 11JI), zachowuj(!c(! siy zgodnie z procedur(! U, wowczas fizycy nie mieliby zadnego problemu z przyjyciem, ze U opisuje "realny", "fizyczny" proces ewolucji ,,fizycznie realnej" wielkosci 11JI). Niestety, swiat fizyczny tak siy nie zachowuje. Zamiast tego wydaje nam siy, ze obserwujemy zdumiewaj(!C'! zamiany, od czasu do czasu, najzupelniej roznych procesow U i R (przypomnijmy sobie rys. 22.1). Ta sytuacja powoduje, ze fizykom duzo trudniej uwierzyc, iz 11JI) moze bye dobrym opisem fizycznej rzeczywistosci. Zagadkowa kwestia: w jaki sposob moze wyst(!pic R, gdy stan ukladu ewoluuje zgodnie z U, stanowi problem pomiaru - albo, jak ja woly to nazywac, paradoks pomiaru - mechaniki kwantowej (problem ten krotko omawialismy w rozdz. 23.6, a wspominalismy takZe w rozdz. 21.8 i 22.1). Pogl(!d (a) odzwierciedla w zasadzie ontologiy szkoly kopenhaskiej, ktorej glownym przedstawicielem byl Niels Bohr; wedlug niego 11JI) nie reprezentuje rzeczywistosci na poziomie kwantowyrn, lecz jedynie opisuje "wiedzy" eksperymentatora 0 badanym ukladzie kwantowym. W tej filozofii "przeskoki" zgodne z R nalei:y rozumiec w ten sposob, ze eksperymentator uzyskuje po pro stu wiycej wiedzy o badanym ukladzie, a wiyc skoku doznaje wiedza 0 ukladzie fizycznym, a nie fizyka ukladu. Zgodnie z (a) zjawiskom na poziomie kwantowym nie nalei:y przypisywac zadnej "realnosci", jedyn(! do zaakceptowania rzeczywistosci(! jest rzeczywistosc swiata klasycznego, w ktorym znajduj(! siy przyrz(!dy, jakimi posluguje siy eksperymentator. Pewnym wariantem (a) jest pogl(!d, ze "swiat klasyczny" wystypuje tutaj nie tyle na poziomie jakichS elementow "makroskopowej maszynerii", z ktorej korzysta obserwator, ile na poziomie jego wlasnej swiadomosci. Zagadnieniami tymi zajmy siy niebawem nieco bardziej szczegolowo. Zwolennicy filozofii (b) przyjmujq, ze 11JI) reprezentuje rzeczywistosc, natomiast calkowicie odrzucaj(! pomysl, iz cos takiego jak R w ogole zachodzi. Utrzymuj(! oni, ze kiedy dokonujemy pomiaru, wszystkie inne mozliwosci wyniku rzeczywiscie wsp6listniejq w jakiejs wielkiej kwantowej superpozycji liniowej alternatywnych wszechSwiatow. Ta wielka superpozycja jest opisywana funkcj(! falow(! 11JI) calego wszechSwiata, ktory okresla siy niekiedy terminem "multiswiata" (multi-
Konwencjonalne ontologie teorii kwantowej
29.1
verse)t, jednak, moim zdaniem, bardziej wlasciwe byloby slowo omnium 2• Albowiem, chociaz powszechnie uwaia si y ten pogl,!d za wyraz wiary w rawnolegle wspalistnienie alternatywnych swiatow, takie stanowisko jest nieuprawnione. Wedlug tej koncepcji alternatywne swiaty w rzeczywistosci nie "istniej,!" oddzielnie - za rzeczywist'! uwaia si y tylko ogromn,!, szczegoln'! ich superpozycjy, ktor,! reprezentuje IljI). Dlaczego, w ramach (b), eksperymentator nie postrzega omnium jako aktualnej "rzeczywistosci"? Otoi, wedlug tego podejscia, stan swiadomosci obserwatora rowniei wspotistnieje w superpozycji kwantowej, a roine stany swiadomosci s,! spl,!tane z rozmaitymi mozliwymi wynikami dokonywanego eksperymentu. Zgodnie z tym pogl,!dem, efektywnie istniej,! "raine swiaty" odpowiadaj,!ce kaidemu moiliwemu wynikowi eksperymentu, a takZe oddzielna "kopia" eksperymentatora w kaidym z tych oddzielnych swiatow, wszystkie swiaty zas wspotistniej,! w superpozycji kwantowej. Kaida kopia eksperymentatora doswiadcza inn ego wyniku eksperymentu, ale poniewai nie rna miydzy nimi zadnej komunikacji, to kaidy z nich mysli, ie pojawia siy tylko ten wynik, jaki uzyskal. Zwolennicy (b) czysto utrzymuj,!, ie wraienie, ii istnieje tylko "jeden swiat", w ktorym wydaje nam siy, ie zachodz'! procesy R, jest wymuszone przez i,!danie, ieby eksperymentator charakteryzowal si y spojnym "stanem swiadomosci". Pogl,!d tego rodzaju po raz pierwszy wysun'!l Hugh Everett III w 1957 roku 3 (podejrzewam, ie prywatnie wczesniej podzielalo go wielu, nie zawsze z pelnym przekonaniem - ja sam w polowie lat piycdziesi,!tych ubieglego wieku bylem bliski takiego stanowiska, aczkolwiek nie mialem odwagi wyst,!pic z tym publicznie!) Niezaleinie od radykalnie przeciwstawnego charakteru tych koncepcji (a) i (b) maj,! znamienne punkty wspolne, dotycz'!ce tego, w jaki sposob IljI) odnosi siy do obserwowanej przez nas "rzeczywistosci" - przez ktor,! rozumiem wygl,!daj,!cy na realny swiat, zjakim, w makroskopowej skali, mamywszyscy do czynienia. W obserwowanym przez nas swiecie tylko jeden wynik eksperymentu przyjmuje siy za "wlasciwy" i mamy peIne prawo uwaiac, ie do fizykow naleiy objasnienie nam alba wymodelowanie zagadnien, ktore zwykle traktujemy jako "rzeczywiste". Tymczasem ani w (a), ani w (b) nie uwaza siy, ie wektor stanu IljI) opisuje ty rzeczywistosc. W kaidym przypadku musimy wprowadzic czynnik swiadomosci eksperymentatora, aby zrozumiec, w jaki sposob uiyty formalizm odnosi siy do obserwowanej rzeczywistosci. W przypadku (a) sam wektor stanu IljI) uwaia siy za artefakt ludzkiej percepcji, podczas gdy w (b) "zwykla rzeczywistosc" odbija siy jakos w swiadomosci eksperymentatora, wektor stanu IljI) reprezentuje zas pewn'! glybsz,! rzeczywistosc (omnium), ktorej nie jestesmyw stanie postrzegac bezposrednio. W obydwu przypadkach "przeskoki" R nie s,! uwazane za fizycznie realne, a wszystko dzieje siy, w pewnym sensie, wyl,!cznie w naszej swiadomosci! W odpowiednim miejscu sprobujy wyjasnic wlasne klopoty z obydwoma tymi stanowiskami, ale zanim do tego przejdy, powinienem wspomniec 0 jeszcze innej moiliwosci interpretacji konwencjonalnej mechaniki kwantowej. Stanowisko to,
753
29
Paradoks pomiaru
o ile jestem w stanie ocenie, jest najbardziej rozpowszechnione wsrod fizykow (c) chodzi mianowicie 0 koncepcjy dekoherencji srodowiskowej - aczkolwiek jest bardziej pragmatyczne niz ontologiczne. Pogl~d (c) sprowadza siy do tego, ze w kai:dym procesie pomiaru kwantowego rozwazany uklad kwantowy nie moze bye rozpatrywany w izolacji od swojego otoczenia. Tak wiyc kiedy dokonujemy pomiaru, kazdy wynik nie stanowi samoistnego stanu kwantowego, lecz musi bye traktowany jako czyse pewnego stanu spl~tanego (rozdz. 23.3), w ktorym kazdy alternatywny wynik jest spl~tany z innym stanem otoczenia. Naturalnie, na to otoczenie sklada siy cala masa cz~stek, wykonuj~cych efektywnie ruchy losowe, zatem pelny opis szczegolow ich polozen i pydow musimy uwazae praktycznie za calkowicie nieobserwowalny4. Istnieje dobrze zdefiniowana procedura matematyczna, dziyki ktorej mozna poradzie sobie z takimi sytuacjami, gdy mamy do czynienia z fundamentalnym brakiem wiedzy: w takich przypadkach "wysumowujemy" po nieznanych stanach srodowiska i otrzymujemy wielkose znan~ jako macierz g~stosci, ktora pozwala opisae rozwazany uklad fizyczny. Macierze gystosci s~ bardzo wazne dla ogolnej dyskusji problemu pomiaru w mechanice kwantowej (s~ tez wazne w innych kontekstach), ale ich ontologiczny status pozostaje niewyjasniony. Wkrotce wytlumaczy, czym jest macierz gystosci (w rozdz. 29.3). Nastypnie przekonamy siy, dlaczego dla zwolennikow pogl~du (c) jest wazne, ze ontologia macierzy gystosci nie jest calkiem jasna! Uwazaj~ siy oni za "pozytywistow", nie chq miee nic wspolnego z "gadanin~" ontologow i glosz~, ze nie obchodzi ich wcale kwestia tego, co jest "rzeczywiste", a co "nierzeczywiste". Stephen Hawking powiedzial pewnego razu 5 : "Nie wymagam, ieby teoria odpowiadala rzeczywistosci, poniewai nie wiem, co to jest rzeczywistosc. Rzeczywistosc nie jest czyms, co moina wykryc za pomOCq papierka lakmusowego. Wszystko, co mnie interesuje, to pytanie, czy teoria jest w stanie przewidziec wyniki pomiar6w".
Moje stanowisko w tej materii zaklada, ze zagadnienie ontologiczne jest kluczowe dla mechaniki kwantowej, chociaz pojawiaj~ siy tutaj problemy, ktore w chwili obecnej s~ wci~z dalekie od rozwi~zania.
29.2 Ontologie niekonwencjonalne
Zanim przejdy do szczegolow, pozwoly sobie omowie jeszcze trzy inne ogolne pona mechaniky kwantow~. Nie naleZy jednak s~dzie, ze przedstawiona przeze mnie lista jest w jakims sensie kompletna ani ze te nowe stanowiska s~ zupelnie niezalezne od przedstawionych w poprzednim rozdziale. Rozpatrywana przeze mnie list a (a), (b), (c), (d), (e), (f) prezentuje rozne punktywidzenia, najczysciej spotykane we wspokzesnej literaturze, nie wyczerpuje jednak zagadnienia ani nie jest calkowicie oryginalna. Trzy dodatkowe ontologie, ktore tutaj omowiy, pokazuj~ zmiany w zwyklym formalizmie kwantowym, ale w ramach dwu z nich, mianowicie gl~dy
754
Ontologie niekonwencjonalne
29.2
w (d) i (e), nie oczekuje siy, ze bydzie mozna eksperymentalnie odroznic proponowany formalizm od standardowej mechaniki kwantowej. Stanowisko (d) jest podejsciem "spojnych historii" i zawdziyczamy je Griffithsowi, Omnes'owi oraz Gell-Mannowi i Hartle'owi, natomiast (e) jest ontologi,! "fali pilotuj,!cej" zaproponowan'! przez de Broglie'a oraz Bohma i Hileya6• Ostatnia mozliwosc (f) przedstawia pogl,!d, ze obecna mechanika kwantowa jest jedynie pewnym przyblizeniem do jakiejs ulepszonej teorii, w ktorej zarowno U, jak i R maj'l charakter obiektywny, jako procesy rzeczywiste; co wiycej, oczekuje siy, ze przyszle eksperymenty byd,! w stanie dokonac rozroznienia takiej teorii od konwencjonalnej mechaniki kwantowej. Kiedy zapoznamy siy z niezbydnymi narzydziami, przedstawiy moj,! oceny wszystkich mozliwosci od (a) do (f). Aby jednak czytelnik magI bezstronnie podejsc do tej oceny, dla unikniycia nieporozumien powiem od razu, jakie jest moje stanowisko. Rzeczywiscie, mocno wierzy, ze konieczny jest postyp na drodze wskazywanej przez (f), aby mechanika kwantowa byla w pelni spojn,! teori,!. W kolejnym rozdziale przedstawiy pewn'! konkretn,! wersjy (f), ktora wydaje mi siy najbardziej naturalna. Najpierw zaprezentujy listy mozliwosci, aby ulatwic czytelnikowi sledzenie dalszych wywodow: (a) (b) (c) (d) (e) (f)
szkola kopenhaska, koncepcja wielu swiatow, dekoherencja srodowiskowa, spojne historie, fala pilotuj,!ca, nowa teo ria z obiektywnym R.
Poniewaz nie objasnilem jeszcze (d) i (e), pragny zrobic kilka uwag. Formalizm "spojnych historii" (d) przedstawia pewne uogolnienie standardowego sformulowania teorii kwantow. Niektorzy zwolennicy (d) wprowadzili do niej ontologiy nieco przypominaj,!C'! koncepcjy wielu swiat ow (b), nawet, pod pewnym wzglydem, bardziej ekstrawaganck'! - jednak wydaje mi siy, ze taka ontologia nie jest naprawdy niezbydna. Mozemy przyj,!c stanowisko odnosnie do (b) i (d), zgodnie z ktorym dysponujemy pewn'! przestrzeni,! Hilberta H, pewnym wyjsciowym stanem l1Jlo) nalez'!cym do H oraz hamiltonianem H jako podstawowymi elementam? W przypadku koncepcji wielu swiatow (b) stanowisko ontologiczne wymaga, zeby rzeczywistosc (a wiyc omnium) byla opisana jako jednoparametrowa rodzina stanow (elementow H, z parametrem czasowym t), rozpoczynaj,!ca siy od stanu l1Jlo) w chwili t = 0 i calkowicie podlegaj,!ca, dla t > 0, ewolucji schrOdingerowskiej zdeterminowanej przez H. W tej koncepcji R nie istnieje, mamy tylko U. Natomiast w przypadku koncepcji spojnych historii (d) schemat ten zostaje nieco poszerzony, tak aby "procedury typu R" wl,!czyc do tej "ewolucji", nawet jesli nie wi'!zemy ich w zaden sposob z przeprowadzanymi pomiarami. Aby zrozumiec matematyczn,! natury tych procedur, musimy sobie przypomniec, na podstawie rozdz. 22.5, 6, w jaki sposob opisujemy matematycznie po-
755
29
Paradoks pomiaru
miar kwantowomechaniczny (nawet jesli, jak w przypadku (d), procedur tych nie traktujemy jak pomiary), w terminach dzialania pewnego hermitowskiego (albo normalnego) operatora Q. Jesli tuz przed dokonaniem pomiaru stanem ukladu jest 11J.I), w6wczas natychmiast po pomiarze uklad ten "przeskakuje" do stanu wlasnego operatora Q, odpowiadajq.cego wartosci wlasnej Q, kt6rq. uzyskalismy w wyniku pomiaru. Jesli jednak interesuje nas jedynie efekt na 11J.I), to mozemy r6wnie dobrze zastq.pic Q "zbiorem zupelnym ortogonalnych operator6w rzutowych" El' E z' E 3,... , Er (zakladajq.c, ze Q rna dokladnie r r6znych wartosci wlasnych i ze nasza przestrzen Hilberta H jest skonczenie wymiarowa). W6wczas, jesli pomiar wskazuje wartosc wlasnq. q., stwierdzamy, ze nastq.pil przeskok od stanu 11J.I) do stanu prof porcjonalnego do Ej11J.l) (postulat rzutowy). Przyjrzyjmy siy temu zagadnieniu nieco bardziej szczeg610wo. Na podstawie rozdz. 22.6 przypominamy sobie, ze operator rzutmvy to pewien operator E, kt6rego kwadrat jest hermitowski i r6wny sobie, a wiyc
E Z =E =E*. Stwierdzenie, ze operatory El' ... ' Er sq. wzajemnie ortogonalne, oznacza, iz
EiEj = 0 gdy tylko i *' j, natomiast ich zupelnosc oznacza, ze sumujq. siy one do jedynki I na H:
E J +E2 +E3 + ... +Er=l. Nazwijmy zbi6r operator6w E spelniajq.cych wszystkie te warunki po prostu zbiorem operatorow rzutowych. Zwiq.zek miydzy Q a jego odpowiednim zbiorem operator6w rzutowych jest taki, ze dla kazdej wartosci wlasnej qj operatora Q odpowiednia przestrzen wektor6w wlasnych sklada siy z wektor6w 0 postaci E)1J.I). Rola operatora rzutowego E.f polega na tym, ze dokonuje on rzutowania na przestrzen wektor6w wlasnych, odpowiadajq.cych wartosci wlasnej qj [Z9.1]. Postulat rzutowy w odniesieniu do operacji R (zob. rozdz. 22.6), w przypadku pomiaru reprezentowanego przez Q, m6wi nam, ze jesli wynik pomiaru wynosi q, f w6wczas 11J.I) przeskakuje do (czegos proporcjonalnego do) E)1J.I). Prawdopodobienstwo takiego przejscia wynosi
Jl! [29.1] Wyjasnij, dlaczego E11JI) jest wynikiern (nieunorrnowanyrn) porniaru opisanego przez Q = qlEl + q2E2 + q3E3 + : .. + q,E, w dzialaniu na 11JI), gdzie wartose wlasna wynosi qi'
756
a wielkosci ql' q2' q3' ... , q, s,! roznymi liczbarni rzeczywistymi. ezy potrafisz udowodnie, ze dowolny skonczenie wyrniarowy operator herrnitowski rna tak,! postae? (Wolno zaloi:ye, ze dowolna skonczenie wymiarowa rnacierz herrnitowska Q rnoze bye sprowadzona do postaci diagonalnej za pornoc,! odpowiedniej transforrnacji unitamej.) Operatory E nosz'! nazwy gl6wnych idempotent6w operatora Q. Jak to twierdzenie nalei:y zrnodyfikowae w przypadku nonnalnego operatora Q?
Ontologie niekonwencjonalne
29.2
przy zalozeniu, ze Iw) jest unormowany, a wiyc ze (wlw) = 1. Tak wiyc, aby opisae wplyw pomiaru odpowiadaj,!cego Q na stan kwantowy, musimy tylko rozwai:ye zbior projektorow zdefiniowany przez Q. Wroemy teraz do kwestii ontologii podejscia spojnych historii (d). Teoria posluguje siy wielkosciami zwanymi historiami gruboziamistymi (coarse-grained histories)8, z ktorych kazda w dui:ym stopniu przypomina schr6dingerowsko ewoluuj,!ce omnium z podejscia wielu swiatow (b), oraz hamiltonian em ?t. W podejsciu (d) dopuszczamy mozliwose zastosowania zbioru projektorow dla roznych wartosci t podczas ewolucji. Ontologiczny status zastosowania takiego zbioru operatorow rzutowych wci
29.3 Macierz 9Qstosci Ale sk,!d w ogole bierze siy koniecznose "ulepszenia" teorii kwantowej? Wydaje siy, ze wiykszose fizykow kwantowych wierzy, iz taka nowa teoria nie jest potrzebna, i jakos pogodzila siy z widocznymi sprzecznosciami i niejasnq ontologiq tego lub innego, standardowego obrazu (lub brakiem takiego obrazu). Zanim sprobujemy odniese siy do trudnosci, jakie mog,! pojawie siy w "standardowych" obrazach (a), (b) i (c), musimy zapoznae siy z koncepcjq macierzy gystosci, ktora rna fundamentalne znaczenie nie tylko w formalizmie (c), ale odgrywa bardzo wazn,! roly w wielu innych aplikacjach mechaniki kwantowej. Ponadto zwi,!zane Sq z ni,! intryguj,!ce i glybokie zagadnienia dotycz'!ce tego, w jaki sposob rzeczywistose moze bye przedstawiona w formalizmie mechaniki kwantowej. Przypusemy, ze mamy do czynienia z ukladem, ktorego stan nie jest nam calkowicie znany. To moze bye stan I1/') albo stan 11», alba stan ... , albo moze to bye stan Ix). Lista stanow moze bye nieskonczona, lecz do naszych celow wystarczy ograniczye siy do skonczonej listy mozliwosci. Kazdej z tych rnozliwosci przyporz,!dkowujemy jakies prawdopodobienstwo, niech to bydzie odpowiednio p, q, ... s. Te prawdopodobienstwa musz'! wyczerpywae wszystkie mozliwosci, a zatem ich sum a - kazde prawdopodobienstwo jest liczbq rzeczywistq z przedzialu 0 do 1 (wl,!czaj,!c konce) - musi bye rowna jednosci: p+q+ ... +s=1. Zalozmy, ze kazdy ze stanow 11/'), 11», ... , Ix) jest unormowany:
760
111/'11
=
1, 111>11
=
1, ... , Ilxll
=
1.
Macierz
g~stosci
29.3
(Przypomnijmy sobie z rozdz. 22.3, ze 111p11 = (1pI1p) etc.) Teraz mozemy zdefiniowac macierz gystosci jako wielkosc:
D
= pl1p)(1p1
+ ql¢)(¢1 + .. , + slx)(xl·
Przypomnijmy z rozdz. 22.3, ze wektor bra (1p1 oznacza wektor sprzyzony hermitowsko wzglydem wektora ket 11p). Wielkosc 11p)(1p1 jest wiyc iloczynem tensorowym (albo iloczynem zewnytrznym) 11p) z (1p1 itd. W zapisie wskaznikowym (rozdz. 23.8) mozemy zapisac (1p1 jako ijja' gdy 1pa reprezentuje 11p). W takim zapisie iloczyn a 11p)(1p1 przedstawimy jako 1paijjp etc. Zgodnie z tym wielkosc D zapiszemy jako D p' Algebraiczne wlasnosci macierzy gystosci Sq takie, ze jest to macierz hermitowska, nieujemnie okreslona (zob. rozdz. 13.8,9) i jej slad jest rowny jednosci:
= D, (£IDI£) ~ 0 dla wszystkich 1£), (D) = 1, trace D = Daa (zob. rozdz. 13.4) [292]. D*
gdzie (D) = Macierz gystosci w mechanice kwantowej odgrywa roly analogicznq do tej, jaka jest CZysto wykorzystywana w klasycznej mechanice statystycznej, kiedy nie interesuje nas specjalnie dokladny (klasyczny) stan ukladu, lecz zadowalamy siy rozwazeniem jakiegos rozkladu prawdopodobienstwa klasycznych alternatyw. Najlatwiej takq analizy prowadzic w terminach przestrzeni fazowej P zawierajqcej wszystkie te alternatywne mozliwosci. Zamiast zajmowac siy ukladem reprezentowanym przez punkt P w przestrzeni P, rozwazamy rozklad prawdopodobienstwa na P. Jesli dla danego ukladu mamy skonczonq liczby alternatyw13, 0 prawdopodobienstwachp, q, ... , s, wowczas mozemy je przedstawic jako skonczony zbior punktow P, Q, ... , S w Pi kazdemu z nich przyporzqdkowac jego odpowiednie prawdopodobienstwo p, q, ... , s; zob. rys. 29.1. Podobnie moglibysmy postqpic w fizyce kwantowej, wowczas roly przestrzeni fazowej P odgrywalaby przestrzen Hilberta H ukladu kwantowego. Otrzymalibysmy wowczas pewien rozklad prawdopodobienstwa w H. W zwiqzku z rozwazanq przez nas macierzq gystosci D rozklad ten dotyczylby skonczonej liczby punktow P, Q, ... , S w H, z przyporzqdkowanymi im prawdopodobienstwami p, q, ... , s.
Rys. 29.1. KJasyczne rozklady prawdopodobienstwa przedstawione w przestrzeni fazowej P. (a) Dla skonczonego zbioru punkt6w P, Q, ... , S w P kaZdemu punktowi przyporz,!dkowujemy wartosc prawdopodobienstwa p, q, ... , s (s,! to liczby rzeczywiste z przedzialu od 0 do 1), gdzie p + q + ... + s = 1. (b) Rozklad ci,!gly, z miar,! prawdopodobienstwa (nieujemna rzeczywista gystosc), kt6rej calka wynosi 1, przyporz'!dkowana pewnemu obszarowi w P.
fO [29.2] Wyprowadz te wlasnosci.
761
29
Paradoks pomiaru
1 ednak w mechanice kwantowej nie postt(pujemy w ten sposob, poslugujemy sit( natomiast macierzq gt(stosci 14 • Dlaczego? Powod jest taki, ze w mechanice kwantowej pomiar 0 charakterze pytania zadanego ukladowi kwantowemu - ograniczmy naSZq uwagt( jedynie do pytan wymagajqcych odpowiedzi TAK/NIE - wyrazamy w terminach dzialania pewnego operatora rzutowego E na (unormowany) wektor stanu I~). W takim przypadku prawdopodobienstwo uzyskania odpowiedzi TAK dane jest przez[29.3] prawdopodobienstwo TAK =
(~IEI~),
z czego wynika, ze dla zmieszanego prawdopodobienstwa mozliwych alternatywnych stanow IlJl), 14», ... , Ix), opisanych poprzednio, z macierzq gt(stosciD, otrzymujemy odpowiedz prawdopodobienstwo TAK = (ED). Znaczenie tego jest takie, ze aby obliczye prawdopodobienstwa standardowych wynikow TAK/NIE w mechanice kwantowej (czy w istocie wartosci oczekiwanych dowolnych obserwabli kwantowych), nie potrzebujemy miee kompletnej informacji o rozkladzie prawdopodobienstwa alternatywnych stanow IlJl), ... , Ix) [29.4]; cal a niezbt(dna informacja jest zawarta w macierzy gt(stosci, a jak niebawem sit( przekonamy, dana macierz gt(stosci moze bye zlozona z wielu r6inych rozkladow prawdopodobienstwa stanow. Tt( waznq wielkose matematycznq cechuje zarowno ekonomia, jak i elegancja (zostala ona wprowadzona przez wybitnego matematyka wt(giersko-amerykanskiego 10hna von Neumanna w 1932 roku). Lqczyw jednym wyraZeniu to, co wydaje sit( dwoma roznymi pojt(ciami prawdopodobienstwa. Z jednej strony mamy liczby p, q, ... , s, ktore podajq zwykle klasyczne prawdopodobienstwa alternatywnych stanow IlJl), 14», ... , Ix), podczas gdy z drugiej strony mamy kwantowe prawdopodobienstwa uzyskane z reguly kwadratu modulu z rozdz. 21.9. Macierz gt(stosci lqczy te pojt(cia i nie zawsze odroznia bezposrednio jedno od drugiego.
29.4 Macierz 9fi'stosci dla spinu ~; kula Blocha Sprobujt( zilustrowae to zagadnienie na prostym przykladzie. Przypusemy, ze mamy czqstkt( 0 spinie i wiemy, ze jej stan spinowy jest albo stanem 11') alba I~), z prawdopodobienstwem dla kazdej z tych alternatyw. Jesli chcemy dokonae pomiaru spinu w kierunku gora-dol, to otrzymamy po pro stu "gora" dla stanu 11') i "dol" dla stanu I~). W kazdym przypadku prawdopodobienstwo wynosi To Sq proste klasyczne prawdopodobienstwa i nie rna tu zadnej kwantowej tajemnicy. Ale przypusemy, ze chcemy zmierzye spin w kierunku lewo-prawo zamiast gora-dol. Wowczas, jesli mierzymy stan 11'), to procedury kwantowe R mowiq nam, ze prawdopo-
t
t
t.
762
Jjj [29.3] Wyjasnij dlaczego. Wyprowadz takZe wyraienie (ED) poniiej.
a
[29.4] Czy moiesz to wyjasnic?
Macierz g~stosci dla spinu t; kula Blocha
29.4
t
dobienstwo wyniku ,,1ewo" wynosi i takie sarno jest prawdopodobienstwo wyniku "prawo". Dokladnie identyczny bydzie wynik, jesli badany stan jest stan em I""). A zatem badajqc mieszaniny stanow 11') i I-J..), jako prawdopodobienstwo wyniku "lewo" i "prawo" nadal otrzymamy Teraz jednak prawdopodobienstwa te wynikajq calkowicie z kwantowomechanicznego prawa "kwadratu modulu". Moglibysmy rowniez probowae mierzye spin w dowolnie innym kierunku. Uzyskane prawdopodobienstwa znowu wyniosq dla kazdego wyniku, ale prawdopodobienstwo bydzie teraz, w ogolnym przypadku, zlozeniem prawdopodobienstwa klasycznego i kwantowego[29.s 1• Alternatywnie moglibysmy wyobrazie sob ie, ze zamiast obracae aparaturq pomiarowq, dokonujemy obrotu zmieszanych stanow. W przypadku mieszaniny "rownego prawdopodobienstwa" stanow I~) i 1-7) otrzymamy zatem takie same wyniki jak w przypadku rozpatrywanej przed chwilq mieszaniny stanow 11') i I-J..) i identyczne bydq wyniki pomiaru mieszaniny stanow I~) i I~) (w kazdym przypadku zakladamy, ze stany te Sq wzajemnie ortogonalne i unormowane: (1' I-J..) = (~I-7) = (~I~) = 0 oraz (1'11') = (-J..I-J..) = ... = (~I~> = 1). Dla kazdego z tych przypadkow otrzymamy macierz gystosci:
t.
t,
t 11'>(1'1 +t I-J..)(-J..I,
D
=
D
=
t I~)(~I + t 1-7)(-71,
D =
t I~)(~I +t I~>(~I,
i jest godne uwagi, ze wszystkie te macierze gystosci Sq takie same[29.61. Wszystkie omowione prawdopodobienstwa wynikow pomiarow spinowych mozemy uzyskae za pomoq podanego poprzednio wzoru (ED). Jesli zatem wszystkie D Sq identyczne, to i odpowiednie prawdopodobienstwa mUSZq bye identyczne, i to pokazalismy. Ale jak mamy potraktowae ontologi~ tych mieszanin stanow 0 takim samym prawdopodobienstwie? Jesli chcemy przypisae stanowi kwantowemu charakter jakiejs fizycznej rzeczywistosci, wowczas wszystkie trzy sytuacje Sq zdecydowanie ontologicznie rozne. Czyms zdecydowanie innymjest powiedziee, ze jest takie sarno prawdopodobienstwo, iz rozpatrywany stan jest jednq z (fizycznie realnych) alternatyw 11'),1-J..), niz powiedziee, ze jest rownie prawdopodobne, iz moze to bye stan I~) lub 1~).Tymczasem w literaturze kwantowomechanicznej to ontologiczne zagadnienie jest rzadko wlasciwie rozumiane. CZysto wydaje siy, ze fizycy kwantowi przyjmujq zupelnie rozne stanowisko ontologiczne niz tutaj przedstawione, uwazajqc, iz sarna macierz gystosci daje lepszy opis rzeczywistosci niz poszczegolne stany kwantowe. Mozna by wiyc sqdzie, ze te trzy, w oczywisty sposob rozne ontologie dla D (tzn. trzy rozne zbiory alternatywnych stanow kwantowych z wazonym ~
[29.5] Udowodnij to dla dowolnego kqta () do kierunku pomiaru, korzystajqc z wyrazenia na prawdopodobienstwo, ~(1 + cos(}), podanego w rozdz. 22.9. ~ [29.6] Udowodnij to, wykonujqc obliczenia explicite; skorzystaj z wynik6w rozdz. 22.8, 9 i ewiczenia [22.25].
763
29
Paradoks pomiaru
prawdopodobienstwem) s,! fizycznie nierozroznialne. W takim razie fizycy ci czysto zwolennicy koncepcji dekoherencji srodowiskowej (c) - mogliby zajmowac pozytywistyczne czy tez pragmatyczne stanowisko na temat braku sensu rozrozniania tych alternatyw. Z takiego punktu widzenia rzeczywistosc kwantowa jest najlepiej opisywana przez macierz gystosci. Rzeczywiscie, w wielu kontekstach przez termin "stan" rozumie siy cZysto macierz gystosci, a nie bardziej prymitywne pojycie, ktorym siy do tej pory poslugiwatem, nazywaj,!c "stanem kwantowym" wielkosc opisywan,! ketem, takim jak 11JI). Kiedy terminu "stan" uZywa siy w sensie macierzy gystosci, wowczas terminu "stan czysty" uZywa siy w odniesieniu do macierzy gystosci 0 postaci 11JI)(1JI1, natomiast "stan mieszany" oznacza bardziej ogoln,! macierz gystosci, ktora nie moze byc tak przedstawiona. W tym sensie "stany czyste" oznaczaj'! to, co ja nazywalem po prostu "stanem". Moim zdaniem okreslanie macierzy gystosci mianem "stanu" (zarowno czystego, jak i mieszanego) prowadzi do nieporozumien i nie bydy tej terminologii tutaj stosowal. Dla mnie "stan kwantowy" jest efektywnie wektorem stanu kwantowego 11JI), a nie macierz,! gystosci. Co prawda niektorzy woleliby rozrozniac miydzy terminami "stan kwantowy" a "wektor stanu kwantowego", rozumiej,!c przez ten ostatni termin ket 11JI), a przez "stan kwantowy" klasy rownowaznosci niezerowych zespolonych wielokrotnosci 11JI), tzn. element lZutowej przestrzeni Hilberta lP'H, odpowiadaj,!CY elementowi 11JI) z H (zob. rozdz. 15.6). Jesli zdecydujemy siy unormowac 11JI) przez z,!danie (1JI11JI) = 1, wowczas jedyn,! swobod,!, jaka nam pozostaje do okreslenia 11JI) (dla danego punktu w lP'H), jest swoboda okreslenia fazy, 11JI) ~ e iol1Jl) (0 jest rzeczywiste); zob. rys. 29.2. Pojc;:cie macierzy gc;:stosci "stanu czystego" jest efektywnie rownowazne temu "rzutowemu" pojc;:ciu stanu kwantowego, poniewaz 11JI)(1JI1 jest niezmiennicze wzglydem takiej zmiany fazy. Moglibysmy zatem sensownie przyj,!c stanowisko, ze macierz gystosci stanu czystego wlasciwie opisuje fizyczny stan kwantowy.
(a)
764
(b)
Rys. 29.2. Jak mozemy przedstawic czysty stan kwantowy? (a) Przestrzen ket6w 11p), unormowanych warunkiem (1f'i1p) = 1. (b) Macierz gcestosci 11p)(1p1 jest "r6wnowazna" 11p) z doldadnosciil do czynnika fazowego 11p) ~ e i8 11p) oraz rodzinie niezerowych ket6w proporcjonalnych do 11p) (czynniki proporcjonalnosci Sil zespolone). W terminach macierzy gcestosci trudno jednak sformulowac podstawowy kwantowy warunek liniowosci.
Macierz gestosci dla spinu t; kula Blocha
29.4
Wci,rl jednak czujy siy nieswojo, gdy traktujy takq. macierz gystosci "stanu czystego" jako wlasciwq. reprezentacjy matematycznq. "stanu fizycznego". Czynnik fazowy e i8 jest tylko wtedy wielkosciq. "nieobserwowalnq.", jesli rozwa.zany stan reprezentuje caly uklad, jakim siy interesujemy. Kiedy rozwazamy stan bydq.cy czysciq. wiykszego ukladu, musimy rowniez uwzglydniae fazy. Co wiycej, fundamentalna zasada zespolonej liniowosci podstawowych struktur przestrzeni Hilberta ketow staje siy matematycznie niepotrzebnie skomplikowana, jesli musimy zawsze poslugiwac siy wielkosciami typu !t/J)(t/J! zamiast znacznie prostszych !t/J) (lub (t/J!Y29.7]. Z tych powodow miydzy innymi proponujy traktowae macierz gystosci nie jako "rzeczywistose", lecz jako poZyteczne narzydzie. Jak przekonamy siy w tym i nastypnym rozdziale, istniejq. rownieZ inne intrygujq.ce aspekty niejasnego statusu ontologicznego macierzy gystosci. Zanim jednak do tego przejdziemy, wypada zapoznae siy z kulq Blocha, ktora reprezentuje przestrzen macierzy gystosci dla ukladow 2-stanowych. Jest to zamkniyta stala kula (albo, w terminologii matematycznej, 3-kula lub 3-kolo) B3 w 3-przestrzeni Euklidesa. Przedstawia ona macierze gystosci dla spinu ~ (albo dla jakiegokolwiek ukladu 2-stanowego); zob. rozdz. 22.9. Dowolnq. macierz hermitowskq. 2 x 2 0 sladzie 1 mozemy zapisae w postaci
.!.(I+a 2 b-ic
b+iCJ
I-a '
gdzie a, b i c sq. liczbami rzeczywistymi. Aby macierz ta mogla bye macierzq. gystosci, musi bye nieujemnie okreslona, a wiyc musi bye spelniony warunek[29.8]
a2 + b 2 + c2 ~ 1. Warunek ten przedstawia dowolny punkt w kuli Blocha B\ ktorej bnegiem S2 jest 2-sfera a 2 + b2 + c 2 = 1. W tym przypadku S2 prezentuje stany czyste ukladu 2-stanowego (takie jak spin ~) i przestrzen ty mozemy zidentyfikowae jako sfer~ Riemanna S2, opisanq. w rozdz. 22.9 15 • Rozwazanq. przez nas macierz gt(stosci D = (~I) reprezentuje teraz srodek kuli Blocha i jej calkowicie niejednoznaczna interpretacja ontologiczna jasno wynika z symetrii tego obrazu (rys. 29.3). Interpretacja ontologiczna dowolnego punktu L wewnq.trz B 3, reprezentujq.cego ("nieczystq.") macierz gystosci, jest rownie niejednoznaczna. Aby sit( 0 tym przekonae, narysujmy dowolnq. linit( prostq. (cit(ciwt() przechodzq.cq. przez L i przecinajq.cq. brzeg S2 w punktach PI i P 2 • Punkty te reprezentujq. dwa stany czyste i macierz gystosci L moze bye interpretowana jako mie-
1m. [29.7] Przekonaj siy, czy potrafisz scharakteryzowae rodziny rnacierzy gystosci "stanu czystego" odpowiadajqcq kornbinacji liniowej wi1/!) + zl~) dla dowolnej pary ustalonych stanow I1/!) i I~). [29.8] Udowodnij to. l*kaz6wka: jaki jest iloczyn wartosci wlasnych wyrazony przez a, b i c? Co to znaczy, ze ten iloczyn rna bye nieujernny?
Jig
765
29
Paradoks pomiaru
Rys. 29.3. Kula Blocha B3 rnacierzy gystosci dla ukladu 2-stanowego, ze srodkiern w ~I. Ka:i:da ("nieczysta") rnacierz gystosci L rna niejednoznacznq interpretacjy ontologicznq. Dowolna linia prosta poprowadzona przez L przecina brzeg S2 w P 1 i P2; w6wczas L interpretujerny jako rnieszaniny prawdopodobienstw czystych stan6w P 1 i P 2•
szanina tych dwu stanow z odpowiednimi prawdopodobienstwami[29.91• Jedynq szczegolnq cechq srodka D kuli Blocha jest to, ze wszystkie te pary stanow czystych, przez ktore D moze byc wyrazona, Sq parami stanow wzajemnie ortogonalnych. Jednak w definicji macierzy gt(stosci nie rna niczego, co wymagaloby, zeby to mieszanie prawdopodobienstw zachodzilo mit(dzy stanami wzajemnie ortogonalnymi. W rozdz. 29.5 zobaczymy, ze z calq pewnosciq mogq pojawic sit( mieszaniny stanow nieortogonalnych.
29.5 Macierz
g~stosci
w przypadku efekt6w EPR
Zbadajmy teraz szczegolnie klarownq sytuacjt(, w ktorej w naturalny sposob pojawia sit( zbior mozliwych wektorow stanu z waZonym prawdopodobienstwem. Odpowiednim przyklademjest eksperyment EPR-Bohma (rozdz. 23.4). Przypuscmy, ze gdzies mit(dzy Ziemiq a ksit(Zycem Saturna Tytanem - powiedzmy, w dwoch trzecich odleglosci do Tytana - wyemitowana zostaje para cZqstek EPR 0 spinie ale w stanie o lqcznym spinie O. Zakladam, ze moj kolega na Tytanie (nasz stary znajomy z rozdz. 23.4, 5) dokonuje pomiaru spinu dobiegajqcej do niego cZqstki w kierunku gora-dol i uzyskuje jakis wynik okolo pol godziny wczesniej, zanim druga cZqstka dotrze do mnie. Zalozmy, ze kiedy to nastqpi, nie uzyskam od mojego kolegi zadnego sygnalu, za pomoq ktorego moglby poinformowac mnie 0 wyniku jego pomiaru. (Tytan znajduje sit( w odleglosci okolo trzech godzin swietlnych od Ziemi.) Czqstka, ktora dociera do mnie, rna alba spin 11'), albo 1"-'). Ten stan bt(dzie stanem 11'), jesli moj kolega zmierzyll"-'), a stanem 1"-'), jeSli kolega zmierzy 11'). Skoro wiem, ze szanse na to, aby moj kolega znalazll1') alba 1"-'), sqjednakowe, muszt( zaloZyc, iz stan cZqstki, ktora dotrze do mnie (w pol godziny po przeprowadzeniu pomiaru przez mega kolegt(), z prawdopodobienstwem bydzie stanem 11'), i z takim samym prawdopodobienstwem stanem 1"-'). Skorzystam wiyc z macierzy gystosci
t,
t
766
~ [29.9] Wyjasnij, dlaczego tak jest, pokazujqc, ze owe dwa prawdopodobienstwa w tej mieszaninie wystt(pujq w takim samym stosunku jak stosunki dtugosci odcink6w, na jakie L dzieli cit(ciwt(.
Macierz g~stosci w przypadku efekt6w EPR
D
29.5
=t 11')(1'1 + t Iw)(wl
(oba te stany, 11') i Iw), Sq ortogonalne i unormowane: (1'lw)
=0 oraz (1'11') =1 =
= (wlw»). Moglo siy jednak zdarzye, ze w ostatniej chwili moj kolega zmienil zdanie i postanowil dokonae pomiaru spinu czqstki do niego docierajqcej nie w kierunku gora-dol, lecz w kierunku lewo-prawo. Jesli wynikiem jego pomiaru byt stan I~), to ja muszy otrzymae wynik I~) i na odwrot. I znowu prawdopodobienstwo otrzymania przez mego kolegy jednego z tych rezultatow wynosi Dlatego, poniewaz nie wiem jeszcze, jaki byl wynik jego pomiaru, muszy wnioskowae, ze moja czqstka moze bye w stanie I~) alba w stanie I~), z prawdopodobienstwem w obu przypadkach. Wobec tego konstruujy dla mojej czqstki macierz gystosci
t.
t
D
=
=
t I~)(~I + t I~)(~I
==
(gdzie (~I~) 0 i (~I~) 1 (~I~»). Oczywiscie, jak juz widzielismy, to jest dokladnie taka sarna macierz gystosci jak poprzednio. I tak powinno bye, poniewaz decyzja mojego kolegi na Tytanie, w jakim kierunku bydzie dokonywal pomiaru spinu, nie moze wplywae na prawdopodobienstwa tutaj, na Ziemi (w przeciwnym razie istnialaby mozliwose przesylania sygnalow z Tytana na Ziemiy z prydkosci q wiyksz q od prydkosci swiatla)lZ9.101• Wydaje siy wiyc, ze w rozwai:anym przypadku macierz gystosci daje nam bardzo dobry matematyczny opis fizycznej sytuacji. Stan spinowy cZqstki, ktora dotarla na Ziemiy, zakladajqc, ze nie wiem nic o procedurach na Tytanie - ani 0 kierunku, pod jakim moj kolega bydzie mierzyl spin, ani 0 wyniku jego pomiaru - jest bardzo dobrze opisany przez podanq macierz gystosci D. Oczywiscie, to wszystko funkcjonuje bardzo dobrze tylko wtedy, kiedy nie mam zadnych informacji z Tytana. Jesli wiem, jaki rodzaj pomiaru wykonuje moj kolega, to ta informacja bydzie miala wplyw na ontologiy stanu spinowego, ktory do mnie dotrze, ale nie bydzie miala wplywu na spodziewane prawdopodobienstwa pomiarow, jakie moglbym przeprowadzie na Ziemi 16. Moglbym zajqe stanowisko - jesli wiem, ze pomiary mojego kolegi zostaly wykonane w kierunku lewo-prawo - ze ontologia stanu spinowego mojej cZqstki jest alba "w lewo", alba "w prawo", tyle tylko, ze nie wiem, ktory z tych kierunkow jest wtasciwy - i jest to punkt widzenia, jakiego bym nie zajql, gdybym nie mial informacji 0 kierunku pomiaru mojego kolegi. J ednakZe ta ontologiczna wiedza nie bydzie miala wplywu na prawdopodobienstwa wynikow pomiarow, jakie przeprowadzy na Ziemi, moglbym wiyc zajqe stanowisko alternatywne: ze "ontologia" nie rna tu zadnego znaczenia i jest, bye moze, pozbawiona naukowego sensu, a wiyc wszystko, czego wymaga nauka, to macierz gystosci. Z kolei gdybym jednak otrzymal informacjy z Tytana 0 wynikach pomiarow mojego kolegi, to moje oszacowania prawdopodobienstw
fO [29.10] Wyjasnij, w jaki spos6b.
767
29
Paradoks pomiaru
bylyby inne. Co wiycej, pojawilyby siy warunki spojnosci, ograniczaj,!ce mozliwosci uzyskania wynikow naszych l'!cznych pomiarow (na przyklad: ja nie mogy otrzymac wyniku 2 i rozpadl siy w ten spos6b, ie CZqstka 0 spinie powydrowala w kierunku Ziemi, natomiast ta 0 spinie w kierunku Tytana. W takim przypadku pomiar spinu przeprowadzany przez mojego kolegy pozwalalby na uzyskanie n r6inych wynik6w, kaidy z wlasnym prawdopodobienstwem (rozdz. 22.10); zob. rys. 29.4. Jasne jest, ie prowadzi to do sytuacji bardziej og61nej, w kt6rej przestrzen Hilberta stan6w, jakiej trzeba uiyc do opisu cZqstki docierajqcej na Ziemiy, jest wiycej nii 2-wymiarowa. Wszystko to sluiy nam do podkreslenia, ie nie rna jednoznacznej ontologii "probabilistycznie waionych stan6w alternatywnych", bez wzglydu na to, jakiej macierzy gystosci uiyjemyl7. Niebawem przekonamy siy, ie fakt ten rna bardzo nieprzyjemne konsekwencje dla filozofii dekoherencji srodowiskowej (c).
t i.J5 t- i.J5 1
t
t",
tn -t
tm [29.12] Wyprowadi ty postac macierzy L, sprawdZ, ze to S,! jej wartosci wlasne, i znajdi jej wektory wlasne. Punkt L na kuli Blocha z rys. 29.3 jest dobrany tak, aby odpowiadae tej sytuacji. Jak daleko od srodka znajduje siy ten punkt? tm [29.13] Pokaz, ze dowolna z wczesniej przedstawionych macierzy gystosci 2 x 2 moze bye wyprowadzona za pomoq tych procedur, gdy wyjsciowy stan spinowy pary EPR rna wypadkowy spin 1. Jak kierunki spinowe wektor6w wlasnych macierzy gystosci wi,!z,! siy z przedstawieniem stanu wyjsciowego Majorany?
769
29
Paradoks pomiaru
Spin":::!
Tytan
Spin+~·
Ziemia
_---
~:'2~ Spin 1
A'
Rys. 29.4. Macierz gt(stosci moze reprezentowac mieszanint( probabilistyczn'l wit(kszej liczby stan6w, niz wynosi wymiar przestrzeni. W tym przyktadzie: w jakims miejscu mit(dzy Ziemi'l a Tytanem, ale blizej lYtana, jakis znany stan spinowy 0 spinie 1 (dla n > 2) rozpada sit( w ten spos6b, ze cZCjstka o spinie ~ kieruje sit( w stront( Ziemi, a ta 0 spinie ~(n - 1) zmierza w kierunku Tytana. Kolega na Tytanie mierzy wartosc m tego spinu. Na Ziemi mozemy obliczyc prawdopodobienstwo kai:dego z n r6znych mozliwych wynik6w jego pomiaru, znaj'lc stan wyjsciowy, zatem na Ziemi mamy konkretnCj macierz gt(stosci 2 x 2 ztozon'l z mieszaniny probabilistycznej n stan6w. (Jasne jest, ze to wymaga przestrzeni Hilberta 0 wit(kszej liczbie wymiar6w nii: 2.)
Nalei)' tu zrobic uwagy dotyczl!C
29.7 Kot Schrodingera
772
W
ontologii kopenhaskiej
Powroemy teraz do kwantowomechanicznego problemu pomiaru: w jaki sposob procedura R moglaby - albo wydaje siy, ze moglaby - zostae wl,!czona, gdy stan kwantowy ewoluuje zgodnie z deterministycznym procesem U (rozdz. 21.8, 22.1, 2,
Kat Schrbdingera w antalagii kapenhaskiej
29.7
23.1O)? Problem ten jest cZysto przedstawiany, bardzo obrazowo, jako paradoks kola Schrodingera. Wersja, kt6r'! tutaj przedstawiy, r6zni siy, ale w spos6b nieistotny, od oryginalnej wersji Schrodingera. Wyobrazmy sobie zr6dlo foton6w S, kt6re emituje pojedynczy foton w kierunku plytki swiatlodzielnej (zwierciadlo "p61przepuszczaj'!ce"), rozdzielaj,!cej stan fotonu na dwie czysci. W jednym z dwu powstalych promieni foton dociera do detektora sprzyzonego z jakims morderczym urz,!dzeniem, kt6re zabija biednego kota, podczas gdy na drugiej drodze foton ucieka i kot wychodzi bez szwanku; zob. rys. 29.7. (Oczywiscie, jest to tylko eksperyment myslowy. W rzeczywistym doswiadczeniu - kt6re om6wimy w rozdz. 30.13 - nie trzeba poslugiwac siy Zywymi istotami. Kota uiywamy tutaj tylko dla zwiykszenia dramaturgii problemu!) Zgodnie z zasad'! kwantowej Iiniowej superpozycji, oba te alternatywne stany musz'! wsp61istniec. Liniowosc r6wnania Schrodingera (tzn. U) wymaga, zeby z uplywem czasu (rozdz. 22.2) obie te ewolucje czasowe trwalyw postaci staiej, zespolonej, wazonej superpozycji, wobec czego stan kwantowy musi ostatecznie zawierac zespolon'! superpozycjy kota iywego i martwego; a zatem kot jest w tym samym czasie zarowno martwy, jak i iywy! Oczywiscie, w zwyczajnym, znanym nam swiecie fizycznym, w przypadku obiektu rozmiar6w kota, jest to sytuacja calkowicie absurdalna. Ale jak rozwi,!ZYwac ten paradoks zgodnie z roznymi "standardowymi" interpretacjami mechaniki kwantowej? Przyjrzyjmy siy stanowisku szkoly kopenhaskiej (a). Jesli dobrze rozumiem, to wedlug niego detektor foton6w bydzie po prostu traktowany jak "klasyczne urz,!dzenie pomiarowe", do ktorego nie stosuj,! siy zasady kwantowej superpozycji. Stan fotonu miydzy jego emisj,! a detekcj,! (albo niedetekcj,!) za posrednictwem odpowiedniego urz~dzenia opisywany jest za pomoq funkcji falowej (wektor stanu), kt6rej nie przypisuje siy zadnej "fizycznej realnosci". Funkcja falowa jest tutaj wykorzystywana jako wygodne wyrazenie matematyczne, ktore sluiy do obliczania prawdopodobieiistw. Jesli plytka swiatlodzielna dzieli amplitudy fotonu dokladnie na dwie r6wne cZysci, to obliczenia pokazuj,!, ze mamy 50 procent szansy na to, ze detektor zarejestruje foton, i 50 procent, ze nie. Mamy wiyc 50 procent szansy, ze kot przeiyje, i 50 procent, ze zostanie zabity. Taka odpowiedz jest fizycznie poprawna, a przez termin "fizycznie" rozumiemy zachowanie, z jakim siy zwykle spotykamy. Jednak taki opis daje nam bardzo niezadowalaj,!CY obraz rzeczy, jesli chcemy przesledzic szczegolowo zachodz~-
,t, Iw
s Rys. 29.7. Kot Schrodingera (w wersji zmodyfikowanej w por6wnaniu z wersj,,! oryginain,,!). Zr6dlo fotonowe S emituje pojedynczy foton w kierunku plytki swiatiodzieinej, kt6ra rozdzieia stan fotonu na superpozycje< dw6ch stan6w. W jednym z nich foton dociera do detektora, uruchamiaj,,!c mordercze urz,,!dzenie, kt6re zabija kota. W drugim z nich foton gdzies tam ucieka i kot pozostaje przy Zyciu. Ewoiucja U prowadzi do superpozycji kota iywego i martwego.
773
29
Paradoks pomiaru
77 4
ce zjawiska fizyczne. Co naprawdt( dzieje sit( wewn
779
29
Paradoks pomiaru
daje mi sit( miara skali, abysmy byli w stanie okreslie, kiedy procesy zachodzllce w malej, kwantowej skali przechodzll w zachowania typu klasycznego. To podejscie jest wspolne dla filozofii (e) i innych ontologii kwantowych, w ktorych nie oczekujemy jakichS mierzalnych odstt(pstw od standardowej mechaniki kwantowej (nie rna ona wszak takiej miary skali, wobec czego nie wiem, w jaki spos6b moglaby adekwatnie podejse do paradoksu kota SchrOdingera). W zwillZku z tym zagadnieniem stosowna bt(dzie pewna ogolna uwaga, dotycZllca prob "wyprowadzenia" oczywistego pojawienia sit( R z dynamiki (powiedzmy) procesu U. Orientujemy sit(, ze sarna zwykla (deterministyczna) dynamika nigdy nie bt(dzie w stanie tego dokonae - i to jest zrozumiale, chociazby tylko z tego powodu, ze takie rownanie dynamiczne jak rownanie Schrodingera nie zawiera zadnych prawdopodobienstw (odsylam czytelnika do dyskusji w rozdz. 27.1). Mimo to jakas zasada probabilistyczna jest niezbt(dna. W koncu R stanowi prawo probabilistyczne. Dlatego, jak 0 tym juz wspomnialem w rozdz. 29.2, istotnym elemen tern (e) jest to, ze wlasciwe, kolejne, prawdopodobienstwa wynik6w pomiarow sll poprawnie zakodowane w wyborze (powiedzmy) stanu wyjsciowego. Pozostala nam jeszcze filozofia (f). Glowne klopoty z wit(kszoscill roznych (czt(sto dose odwaznych) propozycji zwillzane sll albo z ich nienaturalnym ksztaltern, alba z zasadniczo nierelatywistycznym charakterem, albo z potrzebll wprowadzenia arbitralnych parametrow, nieznajdujllcych uzasadnienia w znanej nam fizyce, alba z pogwalceniem prawa zachowania energii, a w niektorych przypadkach z ich bezposrednim konfliktem z eksperymentem. Byloby bardzo niewlasciwe z mojej strony, gdybym usilowal przedyskutowae wszystkie te propozycje w tym miejscu, a zupelnie nie w porzlldku, gdybym wyr6znil jednll z nich kosztem pozostalych. Faktycznie, stanowisko, Jakie zajmt(, bt(dzie jednakowo nie w porzlldku wobec wszystkich propozycji, kt6re wysunt(li inni, albowiem narzuct( czytelnikowi (w rozdz. 30) jednll propozycjt( (w pewnym sensie minimalistycznll), 0 ktorej Slldzt(, ze rna najwit(ksze szanse poprawnosci (od razu przepraszam za to licznych moich przyjaciol)! Rzeczywiscie, wiele roznych wczesniejszych propozycji kolegow w spos6b znaczllcy stymulowalo moje analizy i bt(dt( sit( do nich odwolywal (z odpowiednimi wyrazami wdzit(cznosci), ale tylko w relacji do tej specyficznej koncepcji, kt6rll mam zamiar przedstawie.
Przypisy Rozdzial 29.1 Zob. Deutsch (2000). 2 Termin ten zawdzit(czam mojemu koledze Peterowi Derow. Zob. Penrose (1987a). 3 Zob. Everett (1957); DeWitt, Graham (1973); Deutsch (2000). 4 Niektorzy fizycy argumentujq, ze "nie rna problemu" z superpozycjq kwantowq makroskopowo roznych stanow - podobnie jak z superpozycjq martwego i iywego kota Schr6dingera, czym zajmt( sit( w rozdz. 29.7-9, poniewaz byloby po pro stu "zbyt kosztowne" (albo 780 praktycznie niemozliwe) zaprojektowanie eksperymentu, kt6ry pozwalalby wykryc bezpo1
Przypisy
5
sredni,! interferencj~ stanow kota martwego i iywego. To jest znowu stanowisko "pragmatyczne", ktore unika odniesienia si~ do interesuj,!cych nas tutaj ontologicznych aspektow problemu. Zwolennikow tego pogl,!du b~d~ wi~c umieszczal w kategorii (c). Zob. Hawking, Penrose (1996), s. 121.
Rozdzial29.2 Jest to tylko lista glownych kierunkow i mi~dzy nimi wyst~puje wiele roznych odcieni wymienionych stanowisk. Niektorzy badacze twierdz,! (np. Sorkin 1994), ze "kwantow,! rzeczywistose" najlepiej zrozumiee w terminach calek po drogach lub diagramow Feynmana, kt6re rozwazalismy w rozdz. 26.6-11. Moim zdaniem ta szczegolna rodzina ontologii nadawalaby si~ do og6lnej kategorii (b), chociaz wyst~puj,! w niej elementy wspolne z (d), zgodnie z ktor,! konkretnej superpozycji, definiuj,!cej "stan kwantowy" (albo "historiy kwantow,!"), naleZy przypisae status "rzeczywistosci". Powinienem rowniez wspomniee 0 ontologiach "transakcyjnych"; zob. Aharonov, Vaidman (2001); Cramer (1988); Costa de Beauregard (1995) oraz Werbos, Dolmatova (2000), zgodnie z ktorymi zarowno funkcja falowa podlegaj,!ca od momentu dokonania ostatniego pomiaru ewolucji schrodingerowskiej w stron~ przyszlosci, jak i inna funkcja falowa, podlegaj,!ca ewolucji schrodingerowskiej w przeszlose od momentu nastypnego pomiaru, powinna odgrywae roly w opisie rzeczywistosci (zob. rozdz. 30.3). Nie wiem jednak, w jaki sposob, bez wprowadzenia jakichS dodatkowych elementow, w ramach tych koncepcji mozna bylo rozwi¥ae paradoks pomiaru lepiej niz w ramach altematywnych koncepcji (a), (b), (c), (d) czy (e). 7 Formalizm (d) pozwala rowniez, zeby "stanem wyjsciowym" mogla bye jakas macierz g~sto sci (zob. rozdz. 29.3). 8 Czasami wielkoSci te nazywane s,! po prostu "historiami", ale mogloby to wywolae zamieszanie w zwi¥ku z uZyciem tego okreslenia w "sumowaniu po historiach" Feynmana w rozdz. 26.6. 9 Jest to warunek nast~puj,!cego typu: zalozmy, ze mamy zadany szereg zbiorow projektorow (i przyjmijmy w tym momencie 'H = 0); nastypnie skonstruujmy wyraZenie X = (1/1 oIE'F' ... K'L'D ooLK ... FEI1/1 o), gdzie 11/10) oznacza stan pocz'!tkowy, natomiast za "stan koncowy" mozemy przyj,!e jak,!s macierz g~stosci D 00 (zob. rozdz. 29.3). Kolejne pary projektor6w (EE'), (FF'), ... , (KK'), (LL') nalez'!, odpowiednio, do zadanego szeregu zbiorow projektorow. Warunek spojnosci (zgodnosci) wymaga, zeby czyse rzeczywista X byla rowna zeru, kiedy tylko ktorakolwiek z par (EE'), (FF'), ... , (KK'), (LL') nie jest rowna. Scisle bior,!c, taka sytuacja zachodzi wtedy, gdy pomijamy schrOdingerowsk,! cz~se ewolucji (tzn. kladziemy 'H = 0), ale nietrywialna ewolucja schrodingerowska zachodzi ponownie, gdy wprowadzimy j,! we wlasciwy sposob miydzy uZyciem tych projektorow. "Warunek spojnosci" historii gruboziamistych moze bye interpretowany jako warunek "nieinterferencji" miydzy por6wnywanymi historiami. 10 Faktycznie nie udalo mi siy znaleze zadnego jasnego stanowiska wobec zamierzonej (d)-ontologii w aktualnej literaturze na temat koncepcji spojnych historii. To, co tutaj przedstawiam, jest jedynie moj,! wlasn,! prob,! zrozumienia tego zagadnienia na podstawie dlugich dyskusji z Jimem Hartle'em oraz, moze nawet w wiykszym stopniu, poZytecznej korespondencji z Fayem Dowkerem. Jest zupelnie prawdopodobne, ze niezaleznie od moich wysilk6w nadal nie jestem w stanie przedstawie podstaw ontologii, jak,! wyznaje spolecznose zwolennikow (d). 11 Zob. Bohm, Hiley (1994); Valentini (2002). Antony Valentini napisal rowniez prac~ na temat teorii de Broglie'a-Bohma i miejmy nadziej~, ze zobaczymy j,! niebawem w ksiygamiach! 12 Zob. Karolyhazy (1974); Frenkel (2000); Ghirardi, Rimini, Weber (1986); Ghirardi, Grassi, Rimini (1990); Komar (1964); Pearle (2000); Pearle, Squires (1995); Kibble (1981); Weinberg (1989); Diosi (1984, 1989); Percival (1994, 1995); Gisin (1989, 1990); Penrose (1986a, 1989, 1996a, 2000a); Leggett (2002). 6
781
29
Paradoks pomiaru
Rozdzial 29.3 W przypadku ci,!glego rozkladu prawdopodobienstwa potrzebujemy nieujemnej funkcji f na P 0 wartosciach rzeczywistych, ktorej calka daje 1. Przestrzen P rna formy naturalnej objytosci - 2N-formy I z rozdz. 2004, ktora wystypuje w twierdzeniu Liouville'a - tak ze f I mozna spokojnie wycalkowae po P, a nasz warunek rna postae If I = 1. 14 Zob. Brody, Hughston (1998b). Nielsen i Chuang (2000) przedstawili dobry przegl,!d idei i zastosowan macierzy gystosci. 13
15
Rozdzial 29.4 W przypadku ukladu n-stanowego, z n > 2, obraz jest bardziej skomplikowany. Tylko czyse brzegu (n 2 - 1)-wymiarowej przestrzeni macierzy gystosci jest przestrzeni,! stanow czystych ita czyse jest (n - l)-wymiarow,! zespolon'! przestrzeni,! rzutow'! 1ClP'" -1 (zob. rozdz. 21.9 i 22.9).
Rozdzial29.5 Czytelnik moze bye ciekaw, jaki wplyw na postawione tutaj kwestie ontologiczne moze miee pojycie quanglementu, wprowadzone w rozdz. 23.10. Jest to intryguj'!ce pytanie i calkiem prawdopodobne, ze cale to zagadnienie "ontologii" w kontekscie kwantowym zostanie przeanalizowane w nowym swietle. Na razie przyjmijmy bardziej "zdroworozs'!dkowe" podejscie do rzeczywistosci, w ktorym nie bydziemy zajmowali siy problemami, jakie do tego obrazu wnosi teoria wzglydnosci. 17 Problem ten dyskutuj,! Nielsen, Chuang (2000); zob. rowniez Hughston, Jozsa, Wooters (1993). 16
Rozdzial29.6 Pomysl ten (podobnie jak wiele innych) zawdziyczamy Wheelerowi; zob. Ng (2004), gdzie znajdziemy najbardziej aktualn'! prezentacjy. 19 Zob. Hawking (1975); Preskill (1992); zob. takZe rozdz. 30.14. 18
20
21
22
23 24
Rozdzial 29.7 Nie jestem pewien, czy ten pogl,!d przedstawial aktualne owczesne stanowisko Wignera wobec pomiaru kwantowego, czy tez zostal mu przypisany. Powinienem rowniez podkreslie, ze moj stosunek do tych spraw rozni siy fundamentalnie od pogl,!du tutaj referowanego, zgodnie z ktorym to swiadomose jest czynnikiem dokonuj,!cym redukcji stanu. (Pod tym wzglydem moje stanowisko jest niekiedy falszywie przedstawiane przez innych komentatorow.) Zob. rozdz. 30.9-12. Rozdzial29.8 Dekompozycja Schmidta (albo biegunowa) og6lnego stanu spl,!tanego IP), nalez'!cego do H2 x H, przedstawia go (zasadniczo jednoznacznie) jako IP) = ..1.la)IP) + ,ulp)la) gdzie la) i Ip), nalez'!ce do pierwszej H2, S,! ortogonalne (unormowane stany wlasne jego macierzy gystosci), a 1,8) i la) w podobny spos6b odpowiadaj,! drugiej H2. Tutaj.h i ji,u S,! wartosciami n n wlasnymi macierzy gystosci. Podobne wyrazenie jest sluszne dla H x H , gdy sum a w IP) zawiera n wyraz6w. Zob. Nielsen, Chuang (2000). Zob. Nielsen, Chuang (2000); praca ta jest wszak poswiycona kwantowej teorii informacji! Zob. Page (1995), gdzie znajdziemy dyskusjy tych zagadnien. Zob. Gell-Mann (1994); Hartle (2004) - obie prace ilustruj,! dziesiyciolecie zmagan z tym problemem.
Rozdzial 29.9 Zob. Dowker, Kent (1996). 26 Znakomity przyklad podany przez Adriana Kenta pokazuje, jak daleko jest warunek "sp6j782 nosci" od mozliwosci doprowadzenia nas do fizycznie wiarygodnego obrazu "rzeczywisto25
Przypisy sci". W przykladzie tym cz'!stka P moze trafic do jednego z trzech boks6w A, B, e, co opisuj,! odpowiednie unormowane i ortogonalne stany IA), IB) i Ie). Zal6zmy, ze hamiltonian jest zero, co daje nam stal,! ewolucj~ unitarn,!. lako stan pocz'!tkowy wezmy IA) + IB) + Ie) i za16zmy, ze zmierzylismy jako stan koncowy stan IA) + IB) -I e). (Taki wynikjest mozliwy, poniewaZ stany IA) + IB) + IC) i IA) + IB) -I C) nie s,! ortogonalne.) Wstawienie mi~dzy tymi stanami zbioru projektor6w {IA) (AI, I -IA) (AI} okazuje si~ "sp6jne" i wydaje si~, ze mozemy wyprowadzic wniosek, iz p na tym etapie posrednim musi znajdowac si~ w boksie A (g16wnie dlatego, ze stany IB) + Ie) i IB) - Ie) sq ortogonalne). Ten sam argument po wstawieniu B w miejsce A prowadzi do konkluzji, ze p w stadium posrednim musi znajdowac si~ w B! Wydaje si~, ze pochodzenie tego przykladu znajduje si~ w pracy Yakira Abaronova, King problem. Zob. Albert et at. (1985), s. 5.
30 Hola grawitacji w redukcji stanu kwantowego 30.1 Czy dzisiejsza teoria kwantowa wytrzyma pr6bQ czasu?
W 1YM rozdziale postaram siy pokazae czytelnikowi, ze oprocz wszystkich negatywnych powodow, jakie przedstawHem w poprzednim rozdziale, istniejq mocne pozytywne racje, ktore dowodzq, ze prawa obowiqzujqcej mechaniki kwantowej wymagajq fundamentalnej (chociaz przypuszczalnie niewielkiej) zmiany. Racje te pochodzq zarowno z analizy ogolnie przyjytych zasad fizyki, jak i ze zjawisk, jakie obserwujemywe WszechSwiecie. Pomimo to jest zdumiewajqce,jak niewielu wspotczesnych fizykow kwantowych podejmuje powaZne rozwazania w celu rewizji podstawowych regul ich dziedziny. Mechanika kwantowa, niezaleznie od faktu, ze wszystkie bez wyjqtku doswiadczenia przemawiajq na jej korzyse, niezaleznie od jej zaskakujqco trafnych przewidywan, jest dziedzinq stosunkowo miodq; od skonstruowania w 1925 roku matematycznego formalizmu Diraca i innych, opartego na odkryciach Heisenberga i Schrodingera, minylo zaledwie trzy czwarte stulecia. Mowiqc: "stosunkowo mtodq", mam na mysli przede wszystkim porownanie z teoriq Newtona obowiqzujqcq w sposob niekwestionowany prawie trzykrotnie dtuzej, zanim pojawHa siy potrzeba jej powaZnej modyfikacji, ktorq przyniosty ogolna teoria wzglydnosci i mechanika kwantowa. Nawet jesli uznamy, ze pierwszq znaczqcq modyfikacjq byto wprowadzenie pol Maxwella, to i tak przez ponad 175 lat jej rzqdy byly niepodwaZalne! Co wiycej, teoria Newtona nie znala paradoksu pomiaru. Aczkolwiek liniowose kwantowej teorii procesow U nadaje mechanice kwantowej szczegolnq elegancjy matematycznq, to wlasnie ta sarna liniowose (albo unitarnose) prowadzi nas prosto do paradoksu pomiaru (rozdz. 22.2). Czy jest nierozsqdne przypuszczenie, iZ wlasnie owa liniowose moze bye jedynie przyblizeniem do jakiejs bardziej doktadnej (lecz subtelnej) nieliniowosci? Istnieje znakomity precedens. Teoriy grawitacji Newtona cechuje podobna elegancja matematyczna, w ktorej sHy grawitacyjne zawsze dodajq siy w calkowicie liniowy sposob; tymczasem bardziej precyzyjna teoria Einsteina obraz ten zmienila, wprowadzajqc niezwykle subtelny rodzaj nieliniowosci, opisujqcy sposob, w jaki skiadajq siy efekty grawitacyjne roznych cial. Przy tym teorii Einsteina z pewnosciq nie brakuje urody, chociaz rna ona nieco inny charakter od tej, jaka cechuje
Kluczowa rala kosmologicznej asymetrii czasu
30.2
teo riC( Newtona. Mozemy przyj,!c rowniez, ze modyfikacje teorii Newtona, wprowadzone za posrednictwem teorii Einsteina, w zaden sposob nie s,! jak,!s "prowizork,! latania" opisan,! w rozdz. 29.2. W roznych okresach proponowano takie "latania" teorii Newtona, na przyklad zast,!pienie drugiej potC(gi we wzorze Newtona GmM/? (zob. rozdz. 17.3) wartosci'! 2,000 00016, co sugerowal Aspeth Hall w 1894 roku. Korekta ta miala umozliwic uwzglC(dnienie odkrytego w 1843 roku niewielkiego odchylenia ruchu Merkurego wokol Slonca ad przewidywanego przez teoriC( Newtona (co wiC(cej, jak wykazal Simon Newcombe, poprawka taka korygowala rowniez obliczenia ruchow innych planett Teoria Einsteina zgrabnie objasnila wszystkie te odchylenia, lecz nie na drodze doraznego latania starej, zaproponowala bowiem radykaln,! zmianC( perspektywy i sposobu myslenia. To jest wlasnie przyklad reformy, jakq powinnismy wprowadzic - zasadniczej zmiany w strukturze mechaniki kwantowej - jesli mamy uzyskac niezbC(dnq (maim zdaniem) nieliniow,! teoriC(, ktora zast,!pi obecn,! konwencjonaln,! mechanikC( kwantow'!. Istotnie, spodziewam siC(, ze ago Ina teoria wzglC(dnosci sarna dostarczy niezbC(dnego klucza do poszukiwanej modyfikacji mechaniki kwantowej. W XX wieku pojawily siC( dwie fundamentalne rewolucje w naszym rozumieniu fizyki i w moim przekonaniu ogolna teoria wzglC(dnosci byla rewolucjq rownie imponujqcq jak mechanika kwantowa (czy tez kwantowa teoria pola). Trzeba zauwaZyc, ze te dwie wielkie struktury teoretyczne oparte Sq na zasadach, ktore w najwyzszym stopniu nie pasujq do siebie. Kiedy rozpatruje siC( perspektywy mariazu tych teorii, to zwykle uwaza siC(, ze jedna z nich, w tym przypadku ogolna teoria wzglydnosci, powinna podporz'!dkowac siy wymaganiom drugiej. Wydaje siy powszechnie przyjl(tym poglqdem, ze reguly kwantowej teorii pol a s,! nienaruszalne i ze to teo ria Einsteina winna dopasowac siC( do kwantowych ram. Bardzo nieliczni zgodziliby siC( z sugesti,!, ze naleZy zmodyfikowac same reguly kwantowe, jesli rna dojsc do skutku jakies harmonijne pol,!czenie. Faktycznie, sarno okreslenie "grawitacja kwantowa", uZywane zwykle jako nazwa ewentualnej unifikacji, zawiera implicite przekonanie, ze poszukujemy standardowej kwantowej teorii (pola). Pomimo tego bl(dl( sil( upieral, ze istnieje przekonuj'!cy argument obserwacyjny, iz sarna Natura rna zupelnie inny pogllj,d na perspektywy takiego zwilj,zku! Jestem przekonany, ze jej konstrukcja okaze siC( zupelnie inna ad standardow, do jakich jestdmy przyzwyczajeni, i ze jednlj, z najwazniejszych cech tej konstrukcji bl(dzie wlasnie obiektywna redukcja stanu kwantowego.
30.2 Kluczowa rola kosmologicznej asymetrii czasu Coz to za argument? Rozwazmy najpierw te kwestie, w ktorych Natura wyrainie ukazuje, jaki jest jej stosunek do perspektywy pollj,czenia grawitacji i teorii kwantow. Mam tutaj na mysli osobliwosci czasoprzestrzeni w trakcie Wielkiego Wybuchu i osobliwosci czarnych dziur (a takZe w trakcie Wielkiego Kresu, jesli cos takiego ma nastqpic). W rozdz. 27 omawialismy nadzwyczaj wyjlj,tkowy charakter
785
30
Rola grawitacji w redukcji stanu kwantowego
786
Wielkiego Wybuchu na tIe wyglqdajqeych na "normalne" osobliwosci implozji grawitacyjnej. Niezaleznie od odwaznych sugestii, ktore znajdujemy w propozycjach HartIe'a-Hawkinga (omawianych w rozdz. 28.9), nie wiem, w jaki sposob moglibysmy uciec od problemu zasadniczej asymetrii czasowej, czyli niezbydnej charakterystyki sposobu, w jaki Natura lqczy ze sobq grawitacjy i struktury kwantowq. Taka asymetria czasowa wydaje siy calkowicie niezgodna z implikacjami kaZdej standardowej kwantowej teorii pola. Rozwazmy na przyklad twierdzenie CPT, omawiane w rozdz. 25.4. (Przypomnijmy, ze "T" oznacza odbicie w czasie, "P"odbicie przestrzenne, a "C" zamiany cZqstek na ich antyczqstki.) Jesli wierzymy, ze twierdzenie CPT dotyczy poszukiwanej unifikacji teorii kwantowej z grawitacjq, to mamy powaZny klopot: gdy zastosujemy transformacje CPT do spodziewanej "typowej" ostatecznej osobliwosci implozji grawitaeyjnej, to powinnismy otrzymae osobliwose poczqtkowq jako opis mozliwego przebiegu Wielkiego Wybuchu (albo cZysci Wielkiego Wybuchu). Przypomnijmy sobie gigantyczne rozmiary dostypnej przestrzeni fazowej, ktorq opisywalismy w rozdz. 27.13 (a graficznie zilustrowalismy na rys. 27.21). Jesli taka "typowa" osobliwose poczqtkowa jest dopuszczalna, to nic nie kieruje szpilkq Stworey w kierunku tego absurdalnie (a z punktu widzenia zasady antropicznej - zob. rozdz. 28.6 - niepotrzebnie) malego obszaru B, ktory wydaje siy wlasciwym punktem poczqtkowym naszego Wszechswiata. Jest oczywiste, ze tajemnica nadzwyczaj osobliwej natury Wielkiego Wybuchu nie moze zostae wyjasniona w ramach standardowej kwantowej teorii pola. A tak przynajmniej powinno bye w kazdej teorii, w ktorej slowo "standardowa" niesie ze sobq prawdziwose twierdzenia CPT (rozdz. 25.4). Scisle biorqc, twierdzenia tego nie mozna natychmiast zastosowae do teorii, ktora w pelni respektuje bazy teorii Einsteina, jakq stanowi zakrzywiona czasoprzestrzen. Jednym z uwarunkowan twierdzenia CPT jest zalozenie, ze podstawowq czasoprzestrzeniq jest plaska przestrzen Minkowskiego. Niemniej podejrzewam, ze wiykszose fizykow uwaza to za nieistotny "szczegol techniczny" i jest zdania, ze jesli trzeba, to teoriy Einsteina mozna przeformulowae w postaci "Poincare - niezmienniczej teorii pola", wprowadzajqc przestrzen Minkowskiego jedynie dla wygody. Mam powazne zastrzezenia do tego rodzaju procedury2, ale jestem gotow zgodzie siy, ze to nieprawdopodobne, aby calkowicie symetryczna w czasie klasyczna ogolna teoria wzglydnosci Einsteina mogla stae siy czasowo asymetryczna na skutek poddania jej standardowym procedurom symetrycznej czasowo kwantowej teorii pola. Przypomnijmy sobie, ze w rozdz. 25.5, 26.5, 11 zetknylismy siy z sytuacjami, w ktorych w momencie przejscia do teorii kwantowej zostaje zlamana symetria teorii klasycznej. Czy nie mozemy spodziewae siy podobnego zdarzenia, jesli teoriy Einsteina przeformulujemy we wlasciwy sposob, kierujqc siy regulami KTP? Przypuszczam, ze to jest do pomyslenia, jednak trudno sobie wyobrazie, zeby przypominalo lamanie symetrii, z jakim mamy do czynienia na przyklad w teorii oddzialywan elektroslabych, w ktorej "stan prozni" Ie) nie rna takiej samej symetrii jak rownania dynamiki kwantowej. Jesli taka idea rna funkcjonowae, to Ie) musi
Asymetria czasu w procesie redukcji stanu kwantowego
30.3
byc stanem "czasowo asymetrycznym". Nie mam pojC(cia, jak zrealizowac taki pomysl. To prawda, ze ket Ie) moze byc umieszczony na prawym koncu lancucha operatorow pola w sposob opisany w rozdz. 26.11 i mozna by uwazac, ze reprezentuje on stan poczqtkowy WszechSwiata, przez co rozumiemy tutaj Wielki Wybuch. W standardowej KTP natomiast stan zespolenie sprzC(zony wzglC(dem Ie), mianowicie bra (el, musi rowniez pojawic siC( w tej teorii, albowiem jest konieczny do obliczania prawdopodobienstw za pomocq wyraZen typu (eIAle) i odegralby zupelnie symetrycznq rolC( do stanu Ie), ale z odwroceniem czasu. W ten sposob stan (el musialby reprezentowac koncowy stan WszechSwiata, czyli stan koncowy mialby podobnq strukturC( do stanu poczqtkowego, co stoi w zasadniczej sprzecznosci z calym przeslaniem rozdz. 27. Istniejq rowniez inne cechy pojawiajqce siC( w procesie "kwantyzacji", w ktorej teoria kwantowa moze nie odpowiadac symetriom wlasciwym teorii klasycznej, znane pod naZWq anomalii. Pojawiajq siC( one wtedy, gdy klasyczne reguly komutacji (zadane przez nawiasy Poissona - zob. rozdz. 14.8) zwiqzane Sq z symetriq klasycznq, ktora nie moze byc calkowicie zachowana w regulach komutacji kwantowej, albowiem tylko podgrupa calkowitej grupy symetrii klasycznej przetrwa w teorii kwantowej. Wydaje siC(, ze anomalie te uwaza siC( zwykle za cos, czego naleZy unikac (i niebawem, omawiajqc w nastC(pnym rozdziale teoriC( strun, przekonamy siC(, do jakich wybiegow teoretycy mUSZq siC( czasem uciekac, aby ominqc tego rodzaju klopoty). Mozna rowniez zajqc inne stanowisko i rozpatrywac anomaliC( jako cos "pozytywnego", w takich mianowicie sytuacjach, w ktorych wiC(ksza symetria jest niepozqdana. Jednak w rozpatrywanym przypadku mamy na mysli symetriC( dyskretnq, mianowicie CPT, w dodatku do T, CT i PT - kazdej zawierajqcej "T"ktorq chcemy zlamac, trudno tu zatem dostrzec zastosowanie typowej idei anomaIii, ktora zwykle (aczkolwiek nie zawsze) odnosi siC( do przypadku symetrii ciqglych opisanych za pomocq teorii nawiasow Poissona. Niezaleznie od punktu widzenia trudno uniknqc konkluzji, ze w tych ekstremalnych warunkach, w ktorych mUSZq jednoczesnie pojawic siC( zarowno efekty kwantowe, jak i klasyczne - w osobliwosciach czasoprzestrzennych Wielkiego Wybuchu i kolapsu grawitacyjnego - grawitacja zachowuje siC( po prostu inaczej niz wszelkie inne pola. Przypomnijmy sobie koncowe wnioski dotyczqce tego problemu, jakie sformulowalismy pod koniec rozdz. 27. Bez wzglC(du na powody, jest jasne, ze Natura naloZyla radykalne ograniczenia asymetrii czasowej na zachowanie siC( pol a grawitacyjnego w takich ekstremalnych okolicznosciach.
30.3 Asymetria czasu w procesie redukcji stanu kwantowego
Czy zagadnienie to rna zwiqzek z jakimis innymi istotnymi element ami mozliwej relacji miC(dzy teoriq grawitacji a mechanikq kwantowq? Jestem glC(boko przekonany, ze tak. Podczas gdy nie zauwazamy zadnej asymetrii czasowej w czC(sci U teorii kwantowej (rozdz. 27.1), procesy R sq zasadniczo asymetryczne w czasie.
787
30
Rola grawitacji w redukcji stanu kwantowego
s :F
,~~~~~~~~"'~~ Rys. 30.1. Zrodlo S emituje losowo fotony 0 wysokiej energii (kazde takie zdarzenie jest rejestrowane), kierujqc je na plytky swiatiodzielnq B, nachylonq pod kqtem 45° do padajqcego promienia. Jesli foton przechodzi przez plytky, wowczas aktywuje detektor D (droga SBD); jdli ulega odbiciu, wowczas zostaje pochloniyty przez sufit C (droga SBC). Kwantowa regula "kwadratu modulu" poprawnie przewiduje prawdopodobienstwa tych zdarzen jako~,~. Detektor zas moze zarejestrowac foton docierajqcy don alba ze zrodla S (drogq SBD), albo od podlogi F (droga FBD). Jesli reguly kwadratu modulu zastosujemy teraz w odwrotnym kierunku czasu, to otrzymamy blydny wynik~, zamiast poprawnego 1, O.
·h
Mozemy sit( 0 tym latwo przekonae, rozpatruj'!c pro sty hipotetyczny eksperyment kwantowy. Wyobrazmy sobie zr6dlo foton6w S, kt6re od czasu do czasu emituje pojedynczy foton i rejestrowany jest fakt kazdej emisW. Zalozmy, ze S,! to fotony o wysokiej energii, powiedzmy fotony rentgenowskie. Fotony kieruj,! sit( w stront( plytki swiatiodzielnej B (zwierciadlo polprzepuszczaj'!ce) ustawionej pod k,!tem 45° do promienia padaj,!cego. Jesli foton przechodzi przez plytkt(, to aktywuje detektor D umieszczony z drugiej strony plytki, a jesli jest odbity, to zostaje pochlonit(ty przez sufit C (zob. rys. 30.1). Zakladam, ze amplitudy prawdopodobienstw obu zdarzen s,! rowne, zatem detektor rejestruje fotony z czt(stosci,! rown'! dokladnie polowie zdarzen zarejestrowanych jako fakt wyemitowania fotonu przez zrodlo. Znajdujemy tu bezposrednie zastosowanie procedury R. Mamy amplitudt( (pomijaj,!c nieistotne czynniki fazowe) dla historii fotonu SBD i amplitudt( dla historii SBC. Stosuj,!c regult( kwadratu modulu procedury R, otrzymujemy poprawny wynik: gdy tylko nastt(puje emisja fotonu w S, to istnieje 50 procent szansy na detekcjt( w D i (wnioskujemy) 50 procent szansy na to, ze foton dotrze do sufitu C. Taka jest po prostu prawidlowa odpowiedz. A teraz sprobujmy odczytae ten szczegolny eksperyment w odwrotnym kierunku czasu. Nie proponujt( zbudowania zrodta emituj,!cego fotony wstecz w czasie ani takiego detektora. Nie, procesy fizyczne nie mog,! bye w zaden sposob zmienione. Proponujt( tylko zadac pytania w postaci odwroconej w czasie. Zamiast pytae 0 prawdopodobienstwa zdarzen kOllcOwych, zapytajmy 0 prawdopodobienstwa zdarzen poczqtkowych, zakladaj,!c, ze mamy do czynienia z faktem detekcji w D. Odpowiednie amplitudy odnosz,! sit( teraz do dwu alternatywnych historii SBD i FBD (F oznacza punkt na podlodze, 0 takiej wlasnosci, ze gdyby foton mial zastae stamt,!d wyemitowany, to m6g1by zostae odbity w B i zarejestrowany w D).
Jz
788
Jz
Asymetria czasu w procesie redukcji stanu kwantowego
30.3
Amplitudy tych zdarzen znowu wynosz'!, dla kazdej z tych historii, Jz (pomijaj,!c fazy). Tak musi bye, poniewaz stosunek (modulow) amplitud dla obu tych drogjest po prostu cech,! plytki swiatiodzielnej. Nie rna tu zadnej asymetrii w czasie. Jesli teraz zastosujemy "reguly kwadratu modulu" do zdarzenia detekcji w D, aby otrzymac prawdopodobienstwa tych dwu alternatyw, otrzymamy prawdopodobienstwo 50 procent dla emisji w S i (wnioskujemy) 50 procent, ze foton dociera z podlogi F. To jest oczywiscie absurd. Prawdopodobienstwo zdarzenia, ze foton 0 energii rentgenowskiej wydostanie siy z podlogi i dotrze do plytki swiatiodzielnej, rowna siy zero. Prawdopodobienstwo, ze docieraj,!CY foton pochodzi ze zrodla S, wynosi raczej 100 procent, a prawdopodobienstwo, ze z F - 0 procent. Regula kwadratu modulu zastosowana wstecz daje calkowicie blydny wynik4! Oczywiscie, regula ta nie zostala wprowadzona po to, zeby prawdopodobienstwa zdarzen w przeszlosci staly siy poprawne, ale jest pouczaj'!ce, do jakich blydow prowadziloby takie jej uiycie. Niektorzy zglaszaj'! zastrzezenia do mojego wnioskowania, podkreslaj,!c, ze nie uwzglydniam wielu okolicznosci, ktore maj,! znaczenie dla tego opisu odwroconego w czasie. Utrzymuj,! wiyc, ze drugie prawo termodynamiki moze bye zastosowane tylko w jednym kierunku czasu alba ze temperatura podlogi jest duzo nizsza niz temperatura zrodla itp. Jednak kapitaln,! cech,! kwantowomechanicznej reguly kwadratu modulu jest ta, ze nie musimy przejmowac siy mozliwymi okolicznosciami szczegolnymi! Jest cudowne, ze obliczenia kwantowych prawdopodobienstw wynikow przyszlych pomiarow mog,! w ogole nie zaleiee od analizy temperatur, geometrii, od czegokolwiek5. Jesli znamy amplitudy, to mozemy znaleic przyszle prawdopodobienstwa i nie potrzebujemy niczego wiycej niz znajomosci amplitud. Sytuacja calkowicie zmienia siy, jesli interesuj,! nas prawdopodobienstwa w przeszlosci. Teraz musimy miec szczegolow'! wiedzy o najrozniejszych okolicznosciach. Same amplitudy juz nie wystarcz,!, aby obliczye przeszie prawdopodobienstwa. Istniej,! jednak sytuacje, w ktorych prawdopodobienstwa kwantowe obliczane S,! w sposob calkowicie symetrycznywzglydem odwrocenia strzalki czasu, i warto sprawdzic, jak to siy odbywa. Taka sytuacja powstaje, gdy dokonujemy pomiaru stanu kwantowego, aby zdobyc wiedzy przed jakims posrednim pumiarem kwantowym i po jego dokonaniu. Konkretnie wyobraimy sobie nastypstwo trzech pomiarow, z ktorych pierwszy rzutuje na nasz stan IlP), pomiar trzeci na stan 1
Przypisy
1
Rozdzial30.1 Zob. Roseveare (1982).
2
Rozdzial30.2 Zob. Penrose (1980).
Rozdzial30.3 Jest to teehnieznie i teoretycznie mozliwe, przynajmniej jesli nie wymagamy struproeentowej dokladnosci. Mozna na przyklad urz,!dzic to w ten spos6b, zeby koiicowy foton byl zawsze jednym z pary foton6w (powiedzmy, w procesie parametrycznej konwersji w d6l zob. rozdz. 23.10), kt6rej drugi foton uruehamia urz,!dzenie rejestruj,!ce. 4 Ciekawe, jak czysto wystypuj,! trudnosci z przyjyciem tej argumentacji. Sprawy stan,! siy byc moze bardziej zrozumiale, jesli pomyslimy 0 roznyeh ewentualnoSciach zdarzen w tym eksperymencie, zaehodz'!eych w r6znych punktach czasoprzestrzeni. NaleZy rozwaZyc eztery aiternatywne drogi foton6w, SBD, SBC, FBD i FBC. Aby stwierdzic, jakie prawdopodobienstwa tutaj wystypuj,!, zastanawiamy siy, jak cZysto mamy do czynienia z drog,! SBD, gdy zakladamy emisjy w S (sytuacja normalnej emisji), a jak cZysto z drog,! SBD, gdy zaktadamy "emisjy" w D (sytuacja odwr6cona w ezasie). Regula kwadratu modulu daje poprawny wynik w pierwszym przypadku (50 proeent), ale nie w drugim, gdzie powinna dac nam ok. 100 proeent.
J
831
30
Rola grawitacji w redukcji stanu kwantowego
Zalei,! one jednak od tego, czy stan pocz'!tkowy jest taki, jaki powinien bye, czy nie jest jakims stanem spl,!tanym (rozdz. 23.3), wynikaj,!cym ze stanu detektora. Moglibysmy tei postawie pytanie, czy odbicie w czasie tego rodzaju spl'ltania mogloby bye odpowiedzialne za fakt, ie regula kwadratu modulu dla sytuacji odwr6conej w czasie prowadzi do tak zupelnie blctdnych wynik6w. Nie jestem w stanie wyobrazic sobie, jak w takim rozumowaniu moina by to wyjasnie. Bye moie jakis pomyslowy czytelnik znajdzie takie wyjasnienie. 6 Zob. Aharonov, Vaidman (1990). 7 Dyskusjct tego problemu znajdziemy w pracy Aharonov et al. (1964). 8 Zob. Aharonov, Vaidman (2001); Cramer (1988); Costa de Beauregard (1995) oraz Werbos, Dolmatova (2000). 5
Rozdzial 30.4 Zob. Unruh (1976); zob. r6wniei Wald (1994). 10 Zob. Penrose (1968b, 1987b) i Bailey et al. (1982). 11 Zob. Kay (2000); Kay, Wald (1991); Kay et at. (1996); Hollands, Wald (2001); Haag (1992). 9
Rozdzial30.5 Zob. Wald (1984). 13 Zob. Wald (1984); Synge (1950); Kruskal (1960); Szekeres (1960). 14 Latwo 0 nieporozumienie przy interpretacji r, poniewai w przypadku Schwarzschilda, kt6ry tutaj rozwaiamy, jest to czas rzeczywisty, podczas gdy w plaskim przypadku (Rindlera), przedstawionym na rys. 30.5a, b, ror mierzy czas obserwatora poruszaj,!cego sict ruchem przyspieszonym. 15 Zob. Newman et at. (1965). 16 Ten stosunek iyromagnetyczny odnosi sict do "idealnej cz'!stki Diraca", wobec ktorej elektron jest jedynie znakomitym przybliieniem, jednak rzeczywisty elektron wymaga jeszcze poprawek radiacyjnych, kt6rych dostarcza dopiero kwantowa teoria pola, zob. koniec rozdz. 24.7. Proton i neutron pozostaj,! jeszcze dalej od idealnej cz'!stki Diraca, natomiast pojctcie to bardziej odpowiada skiadaj,!cym sict na nie kwarkom. 12
Rozdzial30.6 Zob. Novikov (2001); Thorne (1995a); Davies (2003). 18 Davies (2003) przedstawia zabawn'! i interesuj,!c,! dyskusjct takich moiliwosci. 17
Rozdzial 30.7 Zob. Penrose (1969); Floyd, Penrose (1971). 20 Zob. Blanford, Znajek (1977); Begelman et at. (1984). Zob. r6wniei Williams (1995, 2002, 2004). 19
Rozdzial30.8 Zob. Hawking (1974,1975, 1976a, 1976b); Kapusta (2001). 22 Zob. Preskill (1992). 23 Zob. Preskill (1992), albo, przedstawione winny sposob, w Kay (1998a, 1998b). 24 Zob. Preskill (1992); Susskind et at. (1993). 25 Zob. Gottesman, Preskill (2003), gdzie znajdziemy krytykct Horowitza i Maldaceny (2003). Zob. takie Susskind (2003). 26 Hawking zaproponowal uog6lnienie ewolucji unitarnej, w ktorym opis za pomoc,! macierzy S w zwykiej KTP (rozdz. 26.8) zostal sprowadzony do operatora "superrozproszen" (nie rna nic wsp6lnego z supersymetri'!; zob. rozdz. 31.2), oznaczanego symbolem ,,$". Operator ten dziala mictdzy stanami macierzy gystosci, a nie miydzy stanami czystymi, bo tam dziaia macierz S. Zob. Hawking (1976b). Naleiy zauwaZye, ie w roku 2004 (moim zdaniem - szkoda) Hawking zmienil stanowisko: uwaia, ie nie mamy tu do czynienia z UTRATi\, lecz z POWROTEM! 21
832
Przypisy Rozdzial30.9 Przez ostatnie 20 lat glowna roznica poglqdow moich i Hawkinga obracala siy przede wszystkim wokol problemu asyrnetrii czasowej. W calej tej dyspucie Hawking mocno trzyrnal siy formalizmu syrnetrycznego wzglydem odbicia czasu i obstawal alba przy zachowaniu unitarnosci mechaniki kwantowej, alba przy umiarkowanyrn jej uogolnieniu, 0 ktoryrn mowa w przyp. 26 w tym rozdziale. Moje stanowisko w tych sprawach jest zupelnie odmienne, co planujy szerzej wyjasnie. 28 Zob. Hawking (1976b); Preskill (1992); Penrose (1979a). 29 Hipoteza krzywizny Weyla odnosi siy do klasycznej geometrii, a zatem informuje nas 0 tym, co dzieje siy w punkcie, w ktorym "geometria kwantowa" przeksztalca siy w klasycznq czasoprzestrzeii. 30 Zob. Hawking (1976a, 1976b) oraz Gibbons, Perry (1978). 31 Bye moze potrzebujemy jakiegos uogolnionego pojycia przestrzeni Hilberta, ktore zawieraloby pewne wlasciwosci (zakrzywionej) przestrzeni fazowej; zob. Mielnik (1974); Kibble (1979); Chernoff, Marsden (1974); Page (1987) oraz Brody, Hughston (2001). 27
Rozdzial 30.10 Moglyby to bye stany koherentne, 0 ktorych mowilismy w rozdz. 26.6. 33 Zwroemy uwagy, ze indeksy wektorow Kx i K
31.18 Jaki jest fizyczny status teorii strun?
Jakie wnioski winnismy wyci,!gn,!c odnosnie do statusu teorii strun jako fizyki teoretycznej przyszlosci? W uderzaj,!CY spos6b l'!cz'! sit( tu w jedno aspekty niezwykle enigmatyczne i naprawdt( godne uwagi, a takZe wysoce nieprawdopodobne, i na tym etapie byloby bardzo niedobrze podchodzic do tych spraw w spos6b calkowicie dogmatyczny. Mimo to wielu zwolennik6w teorii strun glosi swoje pogl,!dy z pelnym przekonaniem. Niew'!tpliwie trzeba zachowac daleko id'!c'! ostroznosc i zdrowy rozs'!dek. Uwazam, ze wypada powiedziec, iZ niekt6re z najmocniejszych twierdzen (jak to, ze teoria strun zapewnia sp6jn,! kwantow,! teorit( grawitacji) naleZy odrzucic calkowicie. Powiedziawszy to, musz~ przyznac, ze w pewnych aspektach strunowej teorii M mozna dostrzec elementy naprawdt( znacz'!ce i niepozbawione sensu. Pozwolt( sobie przytoczyc fragment listu, jaki wyslal do mnie Richard Thomas, matematyk z Imperial College London: "Nie potrafiy wyrazie wystarczajqco, jak glybokie Sq niekt6re z tych dualnosci; jak zadziwiajq nas one ciqgle nowymi przewidywaniami. Ukazujq struktury, o jakich nigdy nie pomy§leliby§my, ze Sq mozliwe. Matematycy z pelnym przekonaniem wielokrotnie twierdzili, ze takie rzeczy nie Sq mozliwe, lecz tacy badacze jak Candelas, de la Ossa i inni wykazali, ze nie mieli racji. Kazda przepowiednia, odpowiednio zinterpretowana matematycznie, okazala siy prawdziwa. I to nie z powodu jakichS konceptualnych przyczyn matematycznych - na razie nie wiemy, dlaczego te koncepcje Sq prawdziwe - po prostu wykonujemy rachunki niezaleznie po obu stronach i rzeczywiscie znajdujemy te same struktury, symetrie i rezultaty. Dla matematyka takie sytuacje nie mogq bye jedynie sprawq koincydencji, musi siy za tym krye wyzsza racja. A t q racjq jest zaloienie, ie ta wielka teoria matematyczna opisuje Przyrod~ ... "
889
31
Supersymetria, wymiary dodatkowe i struny
890
A jednak nadal moze bye tak, ze to "cos" rna znaczenie czysto matematyczne, bez zadnego prawdziwego powodu, by wierzye, ze przybliZa nas one do tajnikow Natury. UWaZam, ze takie stanowisko jest calkowicie do przyjycia, aczkolwiek jestem gotow zaakceptowae poglqd, iz Natura sarna moglaby miee z tym cos wspolnego (aczkolwiek w innej formule niz te, jakie nam dotqd sugerowano). Sila teorii strun polega na wielu ciekawych relacjach matematycznych miydzy roznymi "sytuacjami fizycznymi" (ktorych "fizyka" z kolei wydaje siy dose odlegla od fizyki rzeczywistego swiata). Czy zwiqzki te stanowiq po prostu "koincydencje", czy tez kryjq siy za nimi jakies glybsze powody? Wydaje mi siy, ze za wieloma z nich takie powody rzeczywiscie stojq - chociaZ nie zawsze udaje siy je odkrye - to jednak nie daje nam pewnosci, ze teoria strun jest fizykq. A jesli to jest fizyka, to jakie aspekty fizyczne naprawdy bada? Mysly, ze tych spraw nie da siy wlasciwie wyjasnie bez zwrocenia uwagi na roly i szczegolny status Edwarda Wittena. Jest on powszechnie uwazany za naukowca w najwiykszym stopniu odpowiedzialnego za kierunki rozwoju teorii strun (i teorii M) od konca lat osiemdziesiqtych XX wieku. Wspomnialem juz 0 jego roli w rozpoczyciu "drugiej rewolucji superstrunowej" w 1995 roku (rozdz. 31.14), ale juz na dlugo przedtem ustalil swojq wybitnq pozycjy inicjatora wielu waznych linii badawczych zarowno w teorii strun, jak i w wielu innych obszarach, ktore byly zwiqzane (nie zawsze w sposob oczywisty) z teoriq strun. Teoria strun w swojej 30-letniej historii miala licznych "przewodnikow" (rozdz. 31.6), ale wsrod nich Edward Witten byl pod wieloma wzglydami najwybitniejszym. W jakimkolwiek kierunku pojdzie Witten, tam natychmiast podqiajq za nim inni. Jako przyklad takiej sytuacji mozna wymienie oryginalnq pracy Maldaceny, ktora zainicjowala wiele badan omawianych w rozdz. 31.16. Artykul ten lezalby niezauwazony w archiwach teorii strun, gdyby Witten nie odkryl go w 1998 roku. Natychmiast stal siy najczysciej cytowanq pracq w teorii strun80 • Jest interesujqce, ze w jednej ze znaczqcych nowych prac81 Witten powraca do rozwazan w ramach standardowej 4-wymiarowej czasoprzestrzeni (aczkolwiek w dalszym ciqgu z uiyciem supersymetrii). Lqczqc ze sobq idee teorii twistorow i teorii strun, Witten jest w stanie wyprowadziC niezwykle fascynujqce zwiqzki dotyczqce oddzialywan Yanga-Millsa pomiydzy gluonami (rozdz. 25.7). Praca tajest szczegolnie interesujqca z mojej wlasnej perspektywy twistorowej (zob. rozdz. 33) i moze doprowadzie do nowych waznych rezultatow. Poza wszelkq wqtpliwosciq jest nadzwyczajna jakose intelektualnych osiqgniye Edwarda Wittena. Mogy 0 tym mowie na podstawie osobistego doswiadczenia. Wielokrotnie mialem okazjy uczestniczye w seminariach w Instytucie Matematycznym w Oksfordzie (z serii seminariow poswiyconych geometrii i analizie), kiedy oglaszano jakies nowe, niezwykle oryginalne podejscia do roznych zagadnien i okazywalo siy, ze poczqtkowe koncepcje, w czysci lub w calosci, pochodzily od Edwarda Wittena. Czysto jego propozycje otwieraly nowe pol a bad an, na ktorych te zaskakujqce koncepcje rzucaly nowe swiatlo na bardzo trudne problemy mate-
Jaki jest fizyczny status teorii strun? 31.18
matyczne, czasem takie, kt6re poprzednio wydawaly siy niepokonane. Nie mam najmniejszych w'!tpliwosci, ze Edward Witten rna niezwykl,! matematyczn,! intuicjy i rzadko spotykany talent matematyczny. (Potwierdza to przyznanie mu w 1990 roku Medalu Fieldsa, kt6ry wsr6d matematyk6w cieszy siy statusem r6wnym Nagrodzie Nobla w naukach przyrodniczych. Jest to z pewnosci,! niezwykle osi,!gniycie w przypadku fizyka.) Pomimo tego jestem przekonany, ze sam Witten zaprotestowalby, gdybysmy utrzymywali, ze jest on przede wszystkim matematykiem. 0 ile rozumiem jego stanowisko, sukcesy bioT'! siy z glybokiej przenikliwosci przy podgl,!daniu sekret6w Przyrody, a jego intuicja wzmocniona jest przez rzeteln'! znajomosc struktury i technik KTP, zjej calkowaniem po drogach i przestrzeniami funkcyjnymi 0 nieskonczonej liczbie wymiar6w, z samej natury teorii strun i jej uog61nien. Jesli Witten rna racjy, jest to moze najmocniejszy argument, zeby zaakceptowac jego przekonanie, iz teoria strun rzeczywiscie otworzyla now'! drogy do zrozumienia Przyrody. W przeciwnym razie jest on w wiykszym stopniu matematykiem, niz sam jest got6w przyznac! Jak dalece kapitalne odkrycia matematycznych relacji, kt6rych dokonali Edward Witten i jego koledzy, przekonuj,! mnie, iZ pozostaj,! w scislym zwi,!zku z przyrodnicz'! rzeczywistosci,!? Nie mam pewnosci, jak to wszystko traktowac i na pewno jeszcze nie jestem 0 tym przekonany. Przypomnijmy sobie, jak to bylo, kiedy Andrew Wiles udowodnil Wielkie Twierdzenie Fermata, po trzech i p61 wieku nieudanych wysilk6w licznej rzeszy wielkich matematyk6w (rozdz. 1.3). Wiles naprawdy pokazal, ze w pewnym waznym przypadku dwie zupelnie r6zne procedury rachunkowe prowadzily do tego same go zbioru odpowiedzi, a og6lna postac tego twierdzenia znana byla pod nazw'! postulatu Taniyamy-Shimury. (W istocie Wiles udowodnil tylko czysc pelnego postulatu T -S - czysc wystarczaj'!q do ustalenia prawdziwosci twierdzenia Fermata - a jego metoda dala zasadniczy impuls do przeprowadzenia p6zniej pelnego dowodu, czego dokonali Breuil, Conrad, Diamond i Richard Taylor.) Byc moze jest jakies mgliste podobienstwo miydzy tym twierdzeniem a relacjami "symetrii lustrzanej" Calabiego-Yau, 0 jakich m6wilismy w rozdz. 31.14. W kazdym z tych przypadk6w mamy dwa nieskonczone zbiory liczb, kt6re - uzyskane w zupelnie r6zny spos6b - okazuj,! siy identyczne. Taka sytuacja jest niezupelnie wyj'!tkowa w matematyce i w kazdym konkretnym przypadku moze uplyn,!c wiele lat, zanim odkryjemy prawdziwy pow6d, dla kt6rego te wyniki S,! takie same. UWaZam, ze wiele zwi,!zk6w uzyskanych za pomoq "symetrii lustrzanej" zostalo potwierdzonych argumentami czysto matematycznej natury82. 0 ile wiem, takie tajemnicze relacje nie s,! na og61 wysuwane do uzasadnienia czy wsparcia projekt6w badan przyrodniczych (w odr6znieniu od projekt6w matematycznych). Do dyskusji tego typu zagadnien wr6cimy jeszcze w rozdz. 34.9. Zwr6cilismy juz uwagy na "koincydencjy" argument6w "teoriostrunowych" przy obliczaniu entropii czarnych dziur, jakie przedstawilem w rozdz. 31.15 (nawet wczesniej, w rozdz. 30.5, a byly to argumenty niezwi,!zane z teori,! strun). Czy s,! to
891
31
Supersymetria, wymiary dodatkowe i struny
jedynie przypadki matematycznej koincydencji, czy td: argumenty te mozna traktowac jako wyprowadzenie? Proszy mi pozwolic zakonczyc ten rozdzial innym przykladem zdumiewaj,!cej koincydencji matematycznej, pochodz,!cym z pocz'!tk6w fizyki XX wieku. W 1912 roku Woldemar Voigt skonstruowal teoriy linii widmowych, opart'! na blydnym modelu oscylatora. Piytnascie lat p6zniej Heisenberg i Jordan znalezli podejscie, kt6re dzisiaj uznajemy za poprawne, i warto zacytowac uwagi Heisenberga na temat pracy Voigta83 : "Byl on w stanie w taki spos6b sprzygnqc ze sobq oscylatory i pole zewnytrzne, ze w slabyrn polu magnetycznyrn otrzymal poprawne wyrazenie na seriy Paschena-Backa. W obszarze posrednim p6l umiarkowanych otrzymal dla cZystosci i natyzen linii widmowych dlugie i skomplikowane pierwiastki kwadratowe, raczej trudne do pojycia, ale reprodukowaty one wyniki doswiadczalne z wielkq doktadnosciq. Piytnascie lat p6zniej Jordan i ja podjylismy trud rozwiqzania tego samego problemu, ale metod q kwantowego rachunku zaburzen. Ku naszemu ogromnemu zaskoczeniu, otrzymalismy dokladnie te same, stare wzory Voigta zar6wno dla cZystosci, jak i dla natyzen, takZe w skomplikowanym obszarze p6l umiarkowanej wielkosci. P6zniej udalo nam siy zrozumiec pow6d tej koincydencji: mial on stricte formalnq i matematycznq natury".
W rozdz. 34 wr6cy do tego zdumiewaj,!cego aspektu matematycznych zwi¥k6w jako motoru napydzaj,!cego teoriy strun oraz inne projekty rozwoju fund amentalnych teorii fizycznych.
Przypisy Rozdzial31.1 Oczywiscie, nie naleZy mylic tego e z podstawq logarytm6w naturalnych e = 2,718 281 828 459 ... , zob. rozdz. 5.3. 2 Ogromna rozpiytosc sHy poszczeg6lnych oddzialywan silnych, elektromagnetycznych, slabych, a w szczeg6lnosci grawitacyjnych, wyraZajqca siy w odpowiednich wartosciach ich stalych sprzyzenia 1, Ij7' _10-6, _10-39 - nazywana jest niekiedy "problemem hierarchicznyrn". Na stronie internetowej Georgia State University znajduje siy interesujqce por6wnanie tych stalych sprzyzenia; zob. http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/forces/couple.html 3 Stosunkowo "skromny" czynnik renormalizacyjny dla ladunku jest wynikiem logarytmicznej natury rozbieznosci elektrodynamicznych. Czujny czytelnik niewqtpliwie zauwaZy, ze zagadka malych wartosci mas cZqstek nie zostata rozwiqzana, ale jedynie przeformulowana w terminach absurdalnie malej skali rozmiar6w przestrzennych. 4 Ale przypomnijmy uwagy 'tHoofta z rozdz. 26.9. 1
Rozdzial31.2 Bardzo poZyteczny przeglqd historii, postaci tw6rc6w i fundamentalnych koncepcji lezqcych u podstaw supersyrnetrii znajdziemy w: Kane (2001) - na poziomie laika, a na poziomie bardziej zaawansowanyrn w Kane (1999). 6 Zob. Witten (1982). Praca Seiberg, Witten (1994) na temat supersymetrycznej wersji teorii 892 Yanga-Millsa doprowadzita do znacznego uproszczenia teorii 4-rozmaitosci Donaldsona; 5
Przypisy
zob. Donaldson, Kronheimer (1990). Wedlug Johna Baeza teoria Seiberga-Wittena pozwolita skrocie niektore z dowodow teorii Donaldsona do jednej tysil(cznej ich poczqtkowej dlugosci. 7 Zob. Witten (1981); Deser, Teitelboim (1977) podajq przyklady dowodow na dodatnio okreslonq energil( z uZyciem supersymetrii; zob. Gibbons (1997), gdzie po dane Sq interesujqce nierownosci dotyczqce czarnych dziur. 8 Zob. Greene (1999). 9 Zob. Lawrie (1998), albo, w opracowaniu bardziej szczegolowym, Mohapatra (2002).
Rozdzial31.3 Istnieje tendencja, zeby N bylo potl(gq 2, ktora jest liczbq skladowych spinora (zob. rozdz. 11.5,33.4). Nie naleZy tego mylie z liczbq 2N elementow algebry supersymetrii. Zob. Wess, Bagger (1992), gdzie znajdziemy dyskusjl( supersymetrii przeprowadzonq przez jednego z jej tworcow! 1l Wit(cej informacji na temat superrozmaitosci znajdziemy w: DeWitt (1984); Rogers (1980). !O
Rozdzial31.4 Zob. artykul przeglqdowy Bern (2002), gdzie znajdziemy szczegolowq dyskusjt( tych problemow. Zob. tez Deser (1999, 2000). 13 Zob. Deser (1999, 2000) na temat "ostatniej nadziei" na renormalizowalnq supergrawitacjt(; zob. tez Deser, Zumino (1976). 14 Zob. np. Hoyle et al. (2001), s. 1418. 15 Zob. Penrose, Rindler (1984). 16 W konwencjonalnym formalizmie wiqzek metrykt( przestrzeni bazowej M mozna, jesli trzeba, "podniese" do wiqzki B, zeby, w ogolnym przypadku, miee na B "zdegenerowanq" metrykt( kanonicznq, ale moze to tez bye metryka niezdegenerowana, jesli potrzebna jest struktura metryczna wlokien. Nie jest to jednak istotny aspekt struktury wiqzki. 17 Sq to rownania Einsteina z tensorem energii-pl(du Maxwella jako zrodlem, wraz ze swobodnymi rownaniami Maxwella w zakrzywionej czasoprzestrzeni. 18 Istniejq takZe nowsze zastosowania koncepcji polqczenia teorii strun z teoriq twistorow, ktore poslugujq sit( normalnq 4-wymiarowq czasoprzestrzeniq. Zob. rozdz. 31.31, 33.14 i przyp. 81 w tym rozdz. 12
Rozdzial31.5 Por. z przyp. 12 z rozdz. 14. 20 Zob. Schwarz (2001), gdzie znajdziemy historit( teorii strun; w szczegolnosci zob. Veneziano (1968); Nambu (1970); Susskind (1970); Nielsen (1970); oraz Goddard et al. (1973). 21 Opisuje ona ten proces za pomocq funkcji ~ wprowadzonej przez Eulera w 1777 roku. Zob. Goddard et al. (1973), gdzie znajdziemy pierwsze waine przedstawienie tej dualnosci. 22 Veneziano (1968) wymyslit najpierw model wyjasniajqcy bieguny Reggego. Zob. Collins (1977), gdzie przedstawiona jest teoria Reggego; zob. takZe Penrose, Sparling, 'Thou (1978). 23 Uzyskano pozniej pewne ograniczone sukcesy w polqczeniu koncepcji twistorow i teorii strun, mialy one jednak glownie charakter matematyczny i nie doprowadzily do opracowania jednolitego fizycznego punktu widzenia; zob. Shaw, Hughston (1990) oraz przyp. 76 wtym rozdz. 19
Rozdzial31.6 Jest to cytat z wywiadu z Michaelem Greenem, ktory 10 grudnia 1997 r. przeprowadzil z nim Brian Greene; zob. Greene (1999). 25 Zob. Witten (1996). 24
893
31
Supersymetria, wymiary dodatkowe i struny
26
Autorytatywne, lecz bardziej szczeg6lowe i techniczne Sq prace: Green et at. (1987); Polchinski (1998) oraz Green (2000).
Rozdzial 31. 7 Zob. Green et at. (1987); Polchinski (1998) albo Green (2000), gdzie znajdziemy argumenty na rzecz 26 wymiar6w. 2B Odpowiedniq liczbq, przy kt6rej w komutatorach kwantowych pojawia sit( anomalia (i musi byc przyr6wnana do zera), jest 24 - a, gdzie a oznacza liczbt( wymiar6w przestrzennych minus liczba wymiar6w czasowych. 29 W przypadku supersymetrii anomalia kwantowa zostaje usunit(ta, gdy przyr6wnamy do zera 8 - a, gdzie a jest zdefiniowane w poprzednim przypisie. 30 Jest niewielka r6znica mit(dzy strunq hadronowq a zwyklq tasiemkq gumowq, polegajqca na tym, ze gumowa tasiemka charakteryzuje sit( naturalnq dlugosciq, po osiqgnit(ciu kt6rej jej napit(cie spada do zera. W przypadku struny hadronowej ta "naturalna dlugosc" sarna wynosi zero. 27
Rozdzial31.8 Wiele wypowiedzi tego rodzaju znajdziemy w Greene (1999). 32 Cytuje to Abhay Ashtekar w swoim wykladzie na NSF-ITP, Quantum Gravity Workshop at the University of California, Santa Barbara (1986). 33 Aczkolwiek nie wszyscy ze spolecznosci relatywist6w zgodziliby sit( calkowicie z moim stanowiskiem, ze poszukiwana unifikacja grawitacji i teorii kwant6w wymaga zmian regul KTP, to jednak wsr6d tej spolecznosci znajdujt( nieustanne wsparcie i zrozumienie. Spolecznosc KTP jest duzo mniej wyrozumiala! 34 Termin "dylaton" odnosi sit( do kwantowych stopni swobody zwiqzanych ze zmianq skali metryki. Przypomnijmy sobie na podstawie rozdz. 26, ze zgodnie z regulami KTP skwantowane stopnie swobody powinny przejawiac sit( jako pewien rodzaj czqstek. 31
35
Rozdzial31.9 Wypowiedz cytowana w ksiqzce Greene (1999), na podstawie wywiadu z Edwardem Wittenem, przeprowadzonego przez Briana Greene'a 11 maja 1998 r.
Rozdzial31.10 Liczba 70 pochodzi z wzoru n(n - 3) na liczbt( niezaleznych skladowych na jeden punkt poczqtkowej (n - 1)-powierzchni w n-przestrzeni 0 plaskosci Ricciego; zob. Wald (1984); Lichnerowicz (1994); Choquet-Bruhat et al. (2000). 37 Zob. Penrose (2003); Bryant et at. (1991); Gibbons, Hartnoll (2002). 36
RozdziaI31.11 Zob. Penrose (2003). 39 Zob. Dine (2000), gdzie omawiany jest problem modul6w. 40 Ktos m6glby preferowac prowadzenie dyskusji w ramach KTP i posluZyc sit( opisem w jt(zyku stan6w koherentnych (rozdz. 26.6) zamiast opisu klasycznego. Nie mozna jednak w ten spos6b uniknqc przedstawionych ktopot6w. 41 Aczkolwiek wqtpit(, zeby wielu zwolennik6w teorii strun bylo sklonnych rozwazac procedurt( R w procesach dynamicznych, to istniejq szlachetne wyj"tki; zob. Ellis, Mavromatos, Nanopoulos (1997a, 1997b). 42 W opisie kwantowoteoriopolowym drgan wt(za ekscytony zachowujq sit( jak bozony (rozdz. 22.13,23.8,26.2), wobec czego obsadzenie kazdego konkretnego modu Y moze byc wielokrotne. Uktadem fizycznym, dla kt6rego taki opis kwantowy m6glby byc odpowiedni, bylby dlugi i wqski falow6d optyczny (np. wl6kno optyczne). 38
894
Przypisy Rozdzial31.12 Zob. Hawking, Penrose (1970). 44 Warunek jest taki, ze kazda czasopodobna lub zerowa linia geodezyjna styka siy z "generyczn'!" krzywizn,!, w tym sensie, ze w jakims miejscu wzdluz kazdej takiej geodezyjnej k[aRbJ cdJekickd *- 0, gdzie wektor zerowy k a jest styczny do tej geodezyjnej. Proste, bezposrednie oszacowanie stopni swobody pokazuje, ze warunek ten jest na pewno spelniony w kazdej czasoprzestrzeni "generycznej". NaieZy tu zaznaczye, ze twierdzenie to stosuje siy do przypadkow bardziej ogolnych niz przestrzenie plaskie w sensie Ricciego. Z,!damy tylko, zeby tensor Ricciego spelnial odpowiednie "warunki nieujemnosci energii" (zob. rozdz. 27.9, a szczegolnie przyp. 20 z rozdz. 27 oraz rozdz. 28.5). W sprawie "hiperpowierzchni zwartej" zob. rozdz. 12.6 i przyp. 36 w rozdz. 27. 45 Istniej,! wyj'!tkowe przypadki przestrzeni y maj,!cej zerow'! krzywizny 0 topologii "hipertorusa" SI x SI X SI X SI X S I X SI. Nie s,! to jednak modele dla Y zalecane przez wspolczesnych specjalistow od teorii strun (rozdz. 31.14). Ponadto zaburzenia hipertorusa nie byd,! na ogol plaskie. 46 Wniosek ten wynika z innego zastosowania pod an ego twierdzenia 0 osobliwosciach, odnosz'!cego siy do calej czasoprzestrzeni M. W tym zastosowaniu warunek istnienia zwartej, przestrzennopodobnej hiperpowierzchni zastypuje istnienie pewnego punktu p, ktorego stozek przyszlosci C "skryca siy i styka z samym sob,!" we wszystkich kierunkach. Miejsce geometryczne C jest wyznaczone przez rodziny promieni swietlnych £. (tzn. zerowych linii geodezyjnych - zob. rozdz. 28.8), ktorych punktem koncowym w przeszlosci jest punkt p i ktore rozchodz'! siy nieograniczenie w strony przyszlosci. Technicznie bior,!c, wymagany warunek jest spelniony, jesli kazdy taki £. zawiera pewien punkt q, dla ktorego istnieje dokladnie czasopodobna krzywa, skierowana w stront( przyszlosci, od p do q. W dokladnych modelach M x y, wlasnie opisanych, warunek ten jest niespelniony (tak bye powinno, poniewaz M x Y moze bye nieosobliwa), ale tylko nieznacznie. Chodzi o to, ze w 8-wymiarowej rodzinie promieni swietlnych £. istnieje niewielka 2-wymiarowa podrodzina, ktora nie przedostaje siy do "czysci Y" czasoprzestrzeni i z powrotem, a zatern zakryca siy do wnytrza C. Mozna pokazae, ze wobec generycznych, ale malych zaburzen, z jakimi styka siy C, ta wlasnose zostanie zlikwidowana i po dane twierdzenie 0 osobliwosciach bydzie mialo zastosowanie. Szczegoty tego dowodu zostan,! przedstawione w innym miejscu. 47 Zob. np. Minassian (2002), praca zawiera odsytacze do odpowiednich dalszych badan.
43
Rozdzial31.13 Zob. Smolin (2003) i Nicolai (2003). 49 Zob. Smolin (2003); Gross, Periwal (1988); Nicolai (2003). 8 50 Szereg 1 + 22 + 24 + 2" + 2 + ... rowniez nie jest sumowalny w sensie Borela, pomimo ze "eulerowska" wartose - dla jego sumy jest zupelnie jednoznaczna, 0 czym mozemy przekonae siy za pomoc,! przedluzenia analitycznego (rozdz. 7.4). Nie wiem nic 0 tym, zeby takie procedury byty stosowane w odniesieniu do catkowitych amplitud strun. 48
t
Rozdzial31.14 Uwaga ta nie dotyczy strun heterotycznych, do ktorych omawiania wkrotce przejdziemy, w ich przypadku bowiem nie rna klopotow z chiralnosci,!. 52 Najnowsze informacje znajdziemy w: Gross et at. (2003). Smolin (2003) prezentuje dalsze zastosowania tych rozmaitosci w teorii strun. Dyskutuje je rowniez Po1chinski (1998). 53 Trudno mi zaakceptowae ty argumentacjt(, poniewaz pola spinorowe maj,! interpretacjy geometryczn,!. Nie mog'! one zostae "obrocone" (a co za tym idzie "przecechowane" zob. rozdz. 15.2, 7), jesli nie dotyczy to samej przestrzeni otoczenia; zob. Penrose, Rindler (1984). 51
895
31
Supersymetria, wymiary dodatkowe i struny
Jak 0 tym m6wilismy w rozdz. 31.13; kiedy stosujemy "obr6t Wieka", aby otrzymae powierzchniy Riemanna, otrzymujemy r6znic y miydzy zachowaniem holomorfieznym a antyholomorficznym. 55 Greene (1999); Smolin (2003) przedstawia przeglqd statusu wszystkich znanych dualnosci oraz bogaty spis literatury. 56 Pojycie "symetrii lustrzanej" nie rna nie wsp6lnego z symetriq odbicia przestrzennego (parzystosciq), oznaczanq u nas przez P, kt6rq dyskutowalismy w rozdz. 25.4. 57 Zob. Cox, Katz (1999), kt6rzy przedstawiajq znakomity przeglqd tych koncepcji. 58 Zob. np. Kontsevich (1994); Strominger, Yau, Zaslow (1996); a nowsze rezultaty w Yui, Lewis (2003). 59 Te szczeg6lne rozmaitosci Sq zespolonymi 3-powierzchniami nazywanymi "kwinteksami" (quintics), co oznacza, ze Sq "rzydu 5". Rzqd zespolonej n-powierzchni w ClP'm oznacza liczby punkt6w, w kt6rych styka siy ona z dowolnq zespolonq (m - n )-plaszczyznq w ClP'm. 60 "Rzqd" krzywej zespolonej zostal zdefiniowany w przyp. 59 w tym rozdz. Thtaj n = 1. 61 Zob. Cox, Katz (1999); Candelas et al. (1991); Kontsevich (1995). 62 Zob. Smolin (2003), w szczeg6lnosci pozycja bibliograficzna 171; Witten (1995); a popularne ujycie w Greene (1999). 63 Zob. Vafa (1996) lub Bar (2000). 64 Zob. Bryant et al. (1991); przyp. 37 w tym rozdz. 54
Rozdzial31.15 Bardzo sugestywny argument podal Thorne (1986). 66 Zob. Strominger, Vafa (1996). 67 Zob. Greene (1999). 68 Czytelnik moze bye zdziwiony sposobem, w jaki bezzr6dlowe pole Maxwella prowadzi do pojawienia siy niezerowego ladunku. Nie rna w tym sprzecznosci, poniewaZ czarna dziura mogla powstae z implozji grawitacyjnej materii naladowanej, a wszystkie zr6dla naladowane mogly zostae pochloniyte przez dziury. 69 Bardzo czytelny przeglqd tych zagadnien podaje Horowitz (1998). 70 Rachunek ten uwzglydnia "D-brany", kt6rymi zajmiemy siy w rozdz. 31.17. 71 Zob. przyp. 11 z rozdz. 22. 72 Zwr6cenie uwagi na ten problem zawdziyczam Abhayowi Ashtekarowi. 65
Rozdzial31.16 Zob. Kasper, Feller (2001), gdzie znajdziemy odsylacze do literatury na tern at "rzeczywistych" hologram6w. 74 Jest to raczej dose trudny program. Aby zmierzye siy z prawdziwym wyzwaniem, zob. Maldacena (1997) i Witten (1998). 75 Gary Gibbons wskazal na pewnq intrygujqcq geometriy zwiqzanq z tym obrazem, kt6ra nawet moze miee zwiqzek z teoriq twistor6w. R6zne istotne elementy tej konstrukcji znajdziemy w Penrose (1968a). 76 Einstein (1917). 73
Rozdzial31.17 Zob. Ashtekar, Das (2000) - tamie przyklad tego zjawiska. 78 "Przestrzen ilorazowa" jest podobna do przestrzeni bazowej wiqzki; zob. rozdz. 15.1,2. 79 Zob. Randall, Sundrum (1999a). Bardziej og6lne rozwaZania znajdziemy w Randall, Sundrum (1999b). Standardowym zr6dlem na temat "technologii" D-bran jest Johnson (2003). Jedno z bardziej fantastycznych zastosowan tej technologii stanowi "ekpirotyczny" model poczqtk6w WszechSwiata, przedstawiony w pracy Steinhardt, Turok (2002), gdzie wysuwa 896 siy hipotezy, iz Wielki Wybuch byl wynikiem kolizji dwu D-bran w poprzedniej fazie Wszech77
Przypisy swiata. Pomimo przywolywania tak egzotycznych element6w autorzy tego modelu nie pr6bujq nawet wyjasnic g16wnej zagadki Wielkiego Wybuchu, jakq jest jego nadzwyczajna wyjqtkowosc, omawiana w rozdz. 27.13.
Rozdzial 31.18 Zob. przyp. 74 w tym rozdz. 81 Zob. Nair (1988); Witten (2003); Cachazo et al. (2004a, 2004b, 2004c); Brandhuber et at. (2004). 82 Zob. przyp. 57 i 58 w tym rozdz. 83 Jest to cytat z przem6wienia Heisenberga wygloszonego w 1975 roku na zjezdzie Niemieckiego Towarzystwa Fizycznego, zatytulowanego Czym jest czqstka elementama? (Dziykujy Abhayowi Ashtekarowi za ten przyklad.) Zob. Heisenberg (1989). 80
32 ZawQzenie podejscia Einsteina; zmienne pQtlowe 32.1 Kanoniczna grawitacja kwantowa NIEZALEZNIE od wielkiej popularnosci teorii strun nie byloby rozsqdne traktowac jq, jak to robiq niektorzyl, w kategoriach wyjqtkowej i niepowtarzalnej koncepcji (zob. rozdz. 31.8). Wiele innych propozycji stalo sit( przedmiotem interesujqcych dociekan, ukazujqc rozne wady i zalety. Niestety, nie jest mozliwe, zebym rozpoczql teraz dyskusjt( licznych alternatywnych koncepcji tqczenia teorii kwantowej ze struktmq czasoprzestrzeni. Skoncentrujt( sit( raczej na przedstawieniu pewnych szczegolnie aktualnych obszarow badan, blizszych moim poglqdom na to, co wydaje sit( bardziej owocnym podejsciem do przyszlego prawdziwego zwiqzku mechaniki kwantowej i ogolnej teorii wzglt(dnosci. Jak mozna wywnioskowac na podstawie uwag w poprzednich rozdzialach, jestem zdania, ze powinnismy przyjqc bardziej rygorystyczne i scislej kontrolowane stanowisko niz to, ktore dopuszcza wzrost wymiarowosci czasoprzestrzeni lub kieruje nas ku supersymetrii (aczkolwiek moje zastrzeZenia wobec supersymetrii Sq mniej smowe niz wobec kwestii wzrostu wymiarowosci, ktora, jak dowiedzielismy sit( w rozdz. 31.11, 12, prowadzi do powaznych problemow stabilnosci). W nastt(pnych dwoch rozdziatach zapoznamy sit( zatem z pewnymi ide ami, zwiqzanymi szczegolnie z 4-wymiarowq czasoprzestrzeniq lorentzowskq, ktorych intencjq jest podejscie do rownania pola Einsteina2, bez supersymetrii, ale w prawdziwie kwantowym kontekscie. Przekonamy sit( wit(c, ze nawet tutaj "obraz rzeczywistosci fizycznej", z jakim sit( zetkniemy, bt(dzie daleki od tego, ktory znamy, pod pewnymi wzglt(dami nie tak daleki jak przedstawiony w poprzednimi rozdziale, ale pod innymi - moze jeszcze dalszy. W tym rozdziale zapoznamy sit( z pewnymi koncepcjami, ktore kryjq sit( za zmiennymi Ashtekara, zmiennymi pt(tlowymi i sieciami spinowymi. W rozdziale nastt(pnym przedstawit( pewien zarys teorii twistorow. Rzuct( tez nieco swiatla na niektore "modne tematy" takie jak czasoprzestrzen dyskretna, struktury z q-deformacjq ("grupy kwantowe") oraz geometria niekomutatywna. Jednym z najbardziej bezposrednich sposobow kwantyzacji teorii Einsteina jest zapisanie jej w formalizmie hamiltonowskim i, nastt(pnie, zastosowanie kanonicznej procedury opisanej w rozdz. 21.2, 3. Z takim podejsciem zwiqzanych jest wiele trudnosci, ale nie chciatbym teraz zaglt(biac sit( w szczeg6ty. Wie-
Chiralny wklad do zmiennych Ashtekara
32.2
Ie tych trudnosci wynika z faktu, ze teoria Einsteina jest "og6lnie kowariantna" (rozdz. 19.6), wobec czego nie rna znaczenia, jakich uiywamy wsp6lrzydnych. Przypomnijmy sobie z dyskusji w rozdz. 21.2, ze standardowy "przepis kwantyzacyjny", kt6ry zamienia pyd Pa na operator ilia/ax', gdziexa (w klasycznej teorii) jest wsp6lrzydn,! kanonicznie sprzyzon,! z pydem, jest nie zawsze poprawny, nawet w przypadku czasoprzestrzeni plaskiej, gdy uiywamy wsp6lrzydnych krzywoliniowych. Z tego powodu przeprowadzenie procedury kwantyzacji wymaga zachowania wielkiej ostroznosci. Inn,! trudnosc stanowi skomplikowana, niewielomianowa struktura, jak,! przyjmuje standardowy hamiltonian og6lnej teorii wzglydnosci. Musimy r6wniez wzi,!c pod uwagy fakt, ze opr6cz hamiltonowskich r6wnan ewolucji, kt6re wyprowadzaj,! nas z pocz'!tkowej przestrzennopodobnej 3-powierzchni S, wystypuj,! jeszcze dodatkowe r6wnania, kt6re obowiC!Zuj,! na S i nosz'! nazwy wi~z6w3. R6wnania te dostarczaj,! nam warunk6w sp6jnosci dla danych na S i spelnienie r6wnan wiyz6w jest warunkiem koniecznym (i dostatecznym) dla wlasciwej ewolucji poza S (przynajmniej lokalnie), a ta ewolucja z kolei odbywa siy wtedy zgodnie z wiyzami. Kanoniczne podejscie do problemu kwantyzacji og6lnej tearii wzglydnosci rna dlug,! i szacown'! historiy, siygaj,!c,! czas6w Diraca, kt6ry w 1932 roku chcial rozwin,!c now'! procedury kwantyzacyjn,!, aby umozliwic rozprawienie siy z problemem skomplikowanych wiyz6w, kt6re rzeczywiscie pojawiaj,! siy w teorii Einsteina4• Przez wiele lat podejscie to pr6bowali rozwijac r6zni badacze, z coraz wiykszym wyrafinowaniem5, ale skomplikowana, niewielomianowa struktura hamiltonianu niezwykle utrudniala postyp. Dopiero w 1986 roku amerykanski fizyk pochodzenia hinduskiego, Abhay Ashtekar, dokonal zasadniczego kroku naprz6d. Zastosowal subtelnywyb6r uiywanych wsp6lrzydnych (czysciowo zwi'!zanych z koncepcjami, kt6re wczesniej zaproponowal Amitabha Sen)6, dziyki czemu wiyzy 20staly zredukowane do postaci wielomianowej, i udale mu siy znacznie uproscic struktury r6wnan, wyeliminowac niewygodne mianowniki w hamiltonianie i w ten spos6b doprowadzic do stosunkowo prostej wielomianowej struktury.
32.2 Chiralny wkfad do zmiennych Ashtekara
Jedn,! z uderzaj,!cych wlasnosci oryginalnych "nowych zmiennych" Ashtekara (tak siy je nadal nazywa) jest asymetria ze wzglydu na to, jak ujmuj,! one "prawoskrytn,!" i "lewoskrytn,!" czysc grawitonu (kwantu grawitacjif. Przypomnijmy sobie na podstawie rozdz. 22.7, 9, ze (nieskalarna) cz'!stka bezmasowa rna dwa stany spinowe, z kt6rych jeden jest prawoskrytny, a drugi lewoskrytny w stosunku do jej kierunku ruchu. Stany te nazywane s,! stanami 0 dodatniej i ujemnej skr~tnosci cz,!stki. Grawiton jest cz'!stk'! 0 spinie 2, wobec czego jego odpowiednie stany powinny byc stanami 0 s = 2 i s = -2 (skoro Ii = 1), gdzie s oznacza skrytnosc (2Ob. rozdz. 22.12). W oryginalnym podejsciu Ashtekara te dwa stany traktowane s,! inaczej. Jest to wiyc formalizm asymetryczny ze wzglydu na kierunki lewy-prawy!
899
32
ZawQzenie podejscia Einsteina; zmienne PQtlowe
900
W tym miejscu wypada skomentowac, dlaczego grawiton jest uwaiany za wielkosc 0 spinie 2, podczas gdy foton rna spin 1 (zob. rozdz. 22.7, 32.3). Wartose spinu cZl!stki kwantowej wi~e si y z symetriami (i rawnaniami pola) pola, ktare jl! opisuje (i, jak siy 0 tym przekonamy w rozdz. 34.8, przejawia si y najwyrazniej w rawnaniach zapisanych w formie 2-spinorowej). Jednak dobrze by bylo posluiye si« bezposrednim sposobem geometrycznym, pozwalajl!cym zrozumiee rainic« mi«dzy polem grawitacyjnym, dla ktarego charakterystyczny jest spin 2, a polem elektromagnetycznym, ktarego obiekty charakteryzuj(! si« spinem 1. Zbadajmy wi«c fale odpowiadajl!ce kaidemu z tych pol, czyli z jednej strony fale elektromagnetyczne, z ktarych sklada si« swiatlo, a z drugiej fale grawitacyjne. W przypadku elektromagnetyzmu geometryczn(! natur« fal przedstawilismy na rys. 22.12 i w rozdz. 22.9. Kluczow(! sprawl! jest fakt, ie wektory pola elektrycznego i magnetycznego s(! rzeczywiscie wielkosciami wektorowymi, wobec czego obrat fali 0 k(!t 1t (tzn. 0 180°) wokal jej kierunku ruchu zmienia znak wielkosci polowych na przeciwny i konieczny jest obrat 0 k(!t 21t, aby wracily do wartosci wyjsciowych. W przypadku grawitacji fala b«dzie oznaczac dystorsj« czasoprzestrzeni, jak to ilustruj(! rys. 17.8 i 17.9a. Jesli teraz dokonamy obrotu fali 0 k(!t 1t, to dystorsja przejdzie w siebie, natomiast obrat 0 k(!t t1t zmienia znaki na przeciwne. Wynika to z faktu, ii krzywizna Weyla jest wielkosci(! kwadrupolowq, co ilustruj(! dystorsje eliptyczne na rys. 17.8a i 17.9a, a w rozdz. 31.9 stwierdzilismy, ie odpowiada to wielkosci 0 spinie 2. W przypadku spinu a obrat 0 k(!t 1t/a zmienia znak wielkosci polowych na przeciwny, natomiast obrat 0 kl!t 21t/a przywraca ich poczl!tkowe wartosci. (Zauwaimy, ie ta zasada dziala rawniei w przypadku, gdy a przyjmuje wartosci polawkowe, jednak wtedy sarno pole musi miee charakter spinorowy; zob. rozdz. 11.3.) W przypadku pol a bezmasowego - rozwaianym tutaj - moiemy uczynie dalszy krok i uwaiac, ie fale plaskie skladajl! si y z cz«sci spolaryzowanych kolowo lewoskr«tnie i prawoskr«tnie. Przypadek polaryzacji kolowej fal elektromagnetycznych ilustruje rys. 22.12b. Z kolei dla pola skwantowanego odpowiednie cz«sci b«d(! mialy dodatni(! i ujemn(! skr«tnose (rys. 22.13). Dla spinu a wartosci skr«tnosci wynios(!, odpowiednio, ± a (z opisem nawi(!zuj(!cym do tego na rys. 22.13, ale z zamian(! q2 = z/w na q2a = z/w). W przypadku grawitacji mamy wi«c rzeczywiscie dwie moiliwe wartosci skr«tnosci: +2 i -2. Aby dowiedziee si«, jak opisywae stany wtasne skr«tnosci, musimy przyjrzec si« matematyce tego problemu nieco bliiej. W rzeczywistosci asymetria lewo-prawo, do jakiej si« tutaj odwoiuj«, stanowi istotn(! wlasciwose teorii twistoraw, kt6r(! zajm« si« w nast«pnym rozdziale, a podejscie Ashtekara w jakis spos6b zainspirowane byto wtasnie koncepcjami twistorowymi. Musimy zatem wydobye z idei twistorowych sposab na matematyczne przedstawienie asymetrii lewo-prawo w j«zyku zwyklych terminaw czasoprzestrzeni. Przypomnijmy sobie dwie wielkosci tensorowe, kt6re opisuj(! dwa znane pola bezmasowe Przyrody, a mianowicie pole grawitacyjne i pole elektromagnetyczne. Wielkosciami tymi s(! tensor pol a Maxwella F = Fah
Chiralny wktad do zmiennych Ashtekara
32.2
(rozdz. 19.2) oraz konforemny tensor Weyla C = Cabcd (rozdz. 19.7). Kai:dy z nich rna odpowiadaj,!CY mu tensor dualny, zdefiniowany w zapisie wskaznikowym jako 'p ab
=llO ppq i 2 abpq
'cabed =llO C pqed' 2 abpq
(gdzie lO abpq jest antysymetrycznym tensorem Levi-Civity, wybranym w ten sposob, ze w standardowej prawoskrt(tnej ortonormalnej bazie lO0123 = 1; zob. rozdz. 12.7 i 19.2). Dualny tensor Maxwella *F poznalismy juz w rozdz. 19.2. Dualny tensor Weyla *C jest wielkosci,! analogiczn,!. Moglibysmy rowniez rozwaZye dokonanie "dualizacji" ostatniej pary indeksow tensora Weyla, cd, ale, jak sit( okazuje, wypadloby podobnie jak przy dualizacji wskaznikow ab [32.1]. Przypomnijmy sobie, ze 2-plaski element w punkcie 4-wymiarowej czasoprzestrzeni moze bye przedstawiony jako 2-formaf (czyli jako biwektor), ktora jest 2-form'!prostq (rozdz. 12.7). Tak jak w przypadku tensora Maxwella (2-forma) F, mozemy skonstruowae jego 2-formt( dualn,! *.t i, w przypadku zespolonej formy f, moze ona bye form,! samodualnq, jesli *.t = if oraz, jesli *.t = -if, form,! antysamodualnq. Podobnie (zespolony) 2-plaski element odpowiadaj,!CY f moze bye nazwany "samodualnym" lub "antysamodualnym". Pojt(cie to jest wazne w teorii twistorow (rozdz. 33.6) [32.2]. W teorii kwantowej wielkosci polowe mog'! przyjmowae wartosci zespolone, przynajmniej wtedy, gdy wolno je interpretowae jako funkcje falowe. Istnieje wiele roznych, ale matematycznie rownowaznych sposobow rozpatrywania tych wielkosci (zob. rozdz. 26). Do naszych celow najbardziej odpowiednie byloby, gdybysmy traktowali zespolony tensor Maxwella, a nawet zespolony tensor Weyla, jako wielkosci reprezentuj,!ce pewn'! formt( funkcji falowej, odpowiednio, fotonu lub grawitonu. W miejscu warunku rzeczywistosci, ktory jest charakterystyczny dla klasycznych wielkosci polowych, zaz'!dalibysmy, zeby nasze zespolone funkcje falowe mialy czt(stosci dodatnie (w zgodzie z wymaganiami omowionymi w rozdz. 24.3 i 26.2). Nie przejmujmy sit( zbytnio tym, co to oznacza w przypadku krzywizny Weyla. (Moglibysmy na przyklad uwazae, ze zajmujemy sit( jedynie przestrzeniami zakrzywionymi, ktore tylko infinitezymalnie rozni,! sit( od plaskich. Wowczas C mozna traktowae jako pole w przestrzeni Minkowskiego i wtedy nie pojawi sit( problem czt(stosci dodatnich. Ale, jak przekonamy sit( w rozdz. 33.10-12, dysponujemy lepszymi mozliwosciami8 .) Teraz prawoskr~tne fotony i grawitony opisywane bt(d,! za pomoq wielkosci samodualnych (0 cZt(stosciach dodatnich) +F oraz +C, gdzie +p =t(F - tF) oraz +C =t(C - tc). Mamywit(c:
*CF) = i +F oraz *(C) = i +c, ~
[32.1] Wyjasnij dlaczego. (Skorzystanie z zapisu graficznego i tozsamosci z rozdz. 12.8 moze okazac si y pomocne). ~ [32.2] Pokaz, ze w przypadku gdy dwa indeksy f ab, opisujqce form y samodualnq j, ulegly kontrakcji z dowolnq parq indeksow antysamodualnego tensora Weyla (lub Maxwella), wowczas w wyniku otrzymujemy zero.
901
32
Zaw~ienie
podejscia Einsteina; zmienne
p~tlowe
natomiast wielkosci lewoskrftne s,! wielkosciami antysamodualnymi (0 cZystosciach dodatnich), -F = ~(F + tF) i -C = ~(F + tc), dla ktorych zachodz'! relacje:
'CF) = -rF oraz 'CC)
=
-rc.
W oryginalnym formalizmie Ashtekara cZysci krzywizny Weyla: samodualna i antysamodualna, odgrywaj,! rozne role. Z fizycznego punktu widzenia moze siy to wydawac dziwne, poniewaz nie znamy zadnego dowodu na asymetriy lewo-prawo w polu grawitacyjnym i z cal,! pewnosci,! zadna taka asymetria nie wystypuje w standardowej ogolnej teorii wzglydnosci Einsteina. Uwazam za celowe spojrzenie na ten problem z dwoch punktow widzenia. Z jednej strony mozemy uznac ty asymetriy za nieistotn,! cechy formalizmu matematycznego, uiyteczn,! po prostu dla uproszczenia hamiltonianu. Z drugiej strony wolno uwazac, ze jest cos istotnie asymetrycznego w relacjach Przyrody, rozrozniaj,!cych prawe od lewego, i ze zaproponowany formalizm asymetryczny w pewien sposob dotyka tego zjawiska. Rzeczywiscie, wiemy 0 tym, ze Przyroda jest asymetryczna, co wykazuj,! jawnie oddzialywania slabe (zob. rozdz. 25.3). Elektromagnetyzm w pewnym sensie zachowuje slady tej asymetrii, lecz dostrzegamy to jedynie posrednio, za pomoq unifikacji z oddzialywaniami slabymi w teorii oddzialywan elektroslabych. Skoro nie znamy podobnej unifikacji w przypadku oddzialywan grawitacyjnych, to nie rna powodu, aby oczekiwac, ze sarna grawitacja, w sposob posredni b,!di bezposredni, bydzie miala podobne wlasciwosci asymetrii. Pod
=tn
8nGYJ1i~ j(j + 1),
tn
gdzie j = jest wartosci'! "spinu" danej pytli; zob. rys. 32.4. Wklady od wszystkich pytli rozpatrywanej rodziny sumujemy.
.&:., '.
. 11
906
I
:-,. T ~.
~ [32.4]
Rys. 32.4. 2-wyrniarowa powierzchnia pr6bna T na 3-powierzchni S . Ka:i:de rzeciC(cie T z pC(tl:} daje wklad powierzchniowy 0 wielkoSci 8'1tG711i j(j + 1) (gdzie j jest wartosci:} "spinu" danej pC(tli).
ez:y potrafisz to wyjasnic? U-Skaz6wka: skorzystaj z idei rozdz.
14.5.
Matematyka w~zl6w i splot6w
32.5
Rys. 32.5. Oryginalny opis w j«zyku zmiennych p«tlowych w przyblizeniu k:lasycznej czasoprzestrzeni mozna przedstawit jako superpozycj« nieomal jednorodnie rozlozonych "nitek".
Interesujqcy jest kontrast mit(dzy teoriq strun a teoriq zmiennych pt(tlowych. Podczas gdy teoria strun jest nieomal wylqcznie perturbacyjnym podejsciem do kwantowej grawitacji, to podejscie zmiennych pt(tlowych jest zasadniczo nieperturbacyjne. W teorii strun obliczenia przeprowadza sit( prawie wylqcznie w przestrzeni bazowej, ktora jest czasoprzestrzeniq plaskq, tzn. jest iloczynem przestrzeni Minkowskiego M z jakqs 6-przestrzeniq Calabiego-Yau (zob. rozdz. 31.14), i rozwaza sit( tylko slabe pola w tej przestrzeni. Idea polega na tym, ze od tej granicy slabych pol odchodzi sit( perturbacyjnie, tzn. rozwazajqc szereg pott(gowy w rozwinit(ciu wedlug pewnego malego parametru; zob. rozdz. 26.10 i 31.9. Natomiast w przypadku zmiennych pt(tlowych podstawowe stany pt(tlowe (albo stany spinowo-sieciowe; zob. rozdz. 32.6) Sq dalekie od plaskosci (lub klasycznosci) i miary powierzchni wzdluz tych pt(tli (lub linii spinowo-sieciowych) majq charakter funkcji delta. Aby w zmiennych pt(tlowych opisac czasoprzestrzen, ktora jest w przyblizeniu czasoprzestrzeniq klasycznq, musimy rozwai;yc cos, co przypomina niemal jednorodnq "tkanint( pt(tlOWq", jak na rys. 32.5. Zwrocmy uwagt(, ze jest to opis bardzo topologiczny. Nie rna znaczenia, jak "blisko" siebie znajdujq sit( te pt(tle, poniewaz pojt(cie "metryki" traci sens poza samq pt(tlq. Jedyne znaczenie majq topologiczne relacje typu "lqczy" i "wt(zlow" (albo przecit(c) mit(dzy pt(tlami oraz przyporzqdkowane im dyskretne wartosci "spinow". W ten sposob, jesli zachowujemy jedynie dyskretne topologiczne przedstawienie, to nie mamy problemow z zasadq ogolnej kowariantnosci (wewnqtrz S).
32.5 Matematyka wQzf6w i splot6w
Teoria grawitacji kwantowej w terminach zmiennych pt(tlowych prowadzi nas do dzialu matematyki, ktory wiqze sit( z topologiq wt(zlow i splotow. Jest to przedmiot zdumiewajqco wyrafinowany, zwai;ywszy na powszechne wystt(powanie jego elementow skladowych - przeciez zasadniczo chodzi 0 rozplqtywanie splqtanych sznurkow! Chcemy zrobic uiytek z kryteriow matematycznych, ktorymi dysponujemy, aby zdecydowac, czy zamknit(ta "pt(tla sznurkow" jest rzeczywiscie splqtana (tutaj "splqtanie" oznacza, ze nie jest mozliwe, aby za pomocq gladkich ruchow w zwyklej 3-przestrzeni euklidesowej sprowadzic tt( pt(tlt( do postaci zwyklego okrt(gu, bez przeciqgania jednego kawalka pt(tli przez inny; zob. rys. 32.6). Podobnie mozemy postawic pytanie 0 kryteria, ktore pozwalajq zdecydowac, kiedy dwie lub wit(cej roznych pt(tli moze zostac calkowicie od siebie oddzielonych, czyli kiedy Sq
907
32
Zaw~ienie
podejscia Einsteina; zmienne
(a)
p~tlowe
(b)
(e)
(d)
(e)
Rys. 32.6. Wyzly i sploty. (a) Wyzel potr6jny - przyldad pytli spl!!tanej. (b) Przyldad pytli niespl!!tanej (aczkolwiek nie wygl!!da na tak!!). (c) Prosty splot dw6ch pytli. (d) Splot Whiteheada, w kt6ryrn dwie pytle nie mog!! bye oddzielone, pomimo ze ich "indeks zaczepienia" (Jiczba wskazuj!!ca, ile razy jedna pytla przecina powierzchniy rozpinaj!!c!! drug!!) wynosi zero. (e) Pierscienie Boromeuszy, kt6re nie mog!! bye rozdzielone, mimo ze zadne dwa z nich nie s!! ze sob!! spl!!tane.
niepolqczone. Od pocz'!tku XX wieku znane s,! niezwykle pomyslowe formuly matematyczne pozwalaj,!ce uzyskae scisle odpowiedzi na te pytania (np. "wielomian Alexandera"), ale w czasach wsp6lczesnych - wielokrotnie na bazie inspiracji fizycznych - wynaleziono szereg fascynuj,!cych i subtelnych podejse do tych problem6w. Procedury te nosz'! takie nazwy jak "wielomian Jonesa", "wielomian HOMFLY"['], "wielomian Kauffmana" i inne 14 • Jednym z podejse do analizy tych nowych struktur matematycznych jest rozwaZanie ich w jyzyku swego rodzaju "algebry diagramowej", kt6ra stanowi pewne uog6lnienie graficznego opisu algebry tensorowej wprowadzonego w rozdz. 12.8 (zob. rys. 12.17 i 12.18) i wykorzystywanego szeroko w rozdz. 13 (zob. rys. 13.6-13.9 etc.). W tym uog6lnieniu jest istotne, czy "linia wskaznika" przechodzi ponad inn,! tak'! lini,! czy poniZej niej, gdy tylko mamy do czynienia z ich skrzyzowaniem na diagramie; zob. rys. 32.7. Istnieje wiele "tozsamosci algebraicznych", kt6re mog,! bye nalozone na ty algebry, takie na przyklad, jak przedstawione na rys. 32.8, kt6re sluz,! do wyspecyfikowania algebry Kauffmana. Zapewniaj,! one mozliwose eleganckiego uog6lnienia schematu kombinatorycznego, kt6ry leZy u podstaw teorii sieci spinowych, do jakich niebawem przejdziemy.
Rys. 32.7. Rodzaj diagramowej algebry tensorowej z rysunk6w 12.17, 12.18 oraz 13.6-13.9 etc. moze bye uog6lniony na przypadek algebry wyzl6w i splot6w. Dodatkow!! cech!! tej algebry jest to, ze teraz istotne staje siy to, czy "linia wskainikowa" przechodzi ponad inn!! tak!! lini!! czy poniZej niej w miejscu ich skrzyzowania.
908
Rys. 32.8. Rysunek ilustruje podstawow!! tozsamose algebraiczn!! algebry Kauffmana, gdzie q =A2 = e irrl', co daje nam q-zdeformowan!! wersjy algebry "binorowej", lez!!cej u podstaw teorii sieci spinowych (dla kt6rej A = -1 i problem "krzyzowania" z rys. 32.7 nie wystypuje).
[*] Jest to akronim od nazwisk Hoste, Ocneanu, Millet, Freyd, Lickorish i Yetter (przyp. Hum.).
Matematyka wQzl6w i splot6w
32.5
WielkoseA na rys. 32.8 jest liczb'} zespolon'} i zapisujemy j'} niekiedy za pomoc'} r6wnosci q =A2 = ei1t/r. (W przypadkuA = -1 otrzymujemy tzw. rachunek binorowy, kt6ry stanowi podstaw~ teorii sieci spinowych; Penrose 1969, 1971.) Istniej'} tei analogony symetryzator6w i antysymetryzator6w z rys. 12.17. Rozwini~to teori~ takich wielkosci, czasem nazywan'} teori,} struktur q-zdeformowanych. Cz~ sto w miejsce "q-zdeformowanych" uiywa si~ terminu "kwantowych", tak jak w okresleniu "grupy kwantowe", co jest raczej myl'}ce. Nie istnieje bowiem zaden klarowny zwi'}zek mi~dzy "grupami kwantowymi" a teori'} kwantow'} i fundamentalne zastosowanie grup kwantowych w fizyce, aczkolwiek mozliwe, jest nadal jedynie hipotetyczne. Warto przypomniee, ze istnieje inny mozliwy zwi'}zek mi~dzy tymi nowo odkrytymi strukturami matematycznymi (wielomiany Jonesa etc.) a fizyk'}, propagowany w szczeg6lnosci przez Edwarda Wittena 15 • Jest to koncepcja topologicznej kwantowej teorii pola (TKTP). W takiej teorii r6wnania pola w og6le nie wyst~ puj,}, ale informacja jest zawarta w strukturze globalnej i w "spi~ciach"[*l, kt6re mozemy traktowae jako "zr6dla" (lokalnie znikaj'}cego) pola. Dobrym przykladem moze bye og6lna teoria wzgl~dnosci w 1 + 2 wymiarach. W 1 + 2 (= 3) wymiarach tensor Weyla znika tozsamosciowo, a zatem cala krzywizna zawiera si~ w tensorze Ricciego. W "pustej przestrzeni" (plaskose Ricciego) cala krzywizna wi~c znika. Jednak pole grawitacyjne "zr6dla punktowego" nie jest trywialne, poniewaz zr6dlo produkuje "spi~cie", kt6re odbija si~ na globalnej geometrii. Ilustruje to rys. 32.9. Ta geometria jest bardzo podobna do geometrii struny kosmicznej, przedstawionej na rys. 28.4, z t'} r6znic,}, ze teraz mamy do czynienia z (1 + 2)-wymiarow'} czasoprzestrzeni'}, a nie z 3-wymiarow'} przestrzeni'}. Usuwamy pewien segment, z osi,} wzdluz (czasopodobnej) linii swiata zrMla, a dwa powstale plaskie brzegi sklejamy ze sob'}. W przypadku klasycznym linie swiata takich zr6del musz'} bye proste, ale KTP oparta na modelu klasycznym - a wi~c topologiczna KTP, poniewaz pole (w tym wypadku pole krzywizny) znika - dopuszcza zakrzywione, zasuplane lub spl'}tane linie swiata zrMet. To jest wlasnie sytuacja, kt6ra pozwala Rys. 32.9. "Ogolna teoria wzglydnosci" w 2 + 1 wy-
Ie..
miarach wymaga, zeby czasoprzestrzen byla plaska wszydzie tam, gdzie nie rna :irodel (poniewaz znika tam tensor Ricciego, a tensor Weyla zawsze znika w 3 wymiarach). lednatie linia swiata zrodla daje nam "spiycie" w plaskiej czasoprzestrzeni (osobliwose stozkowq), przypominajqce nam "struny kosmicznq", ktorej przestrzennq 3-geometriy i1ustruje rys. 28.4 w rozdz. 28.2. Klasycznie linie swiata zrodel Sq zawsze proste, ale tak nie musi bye w kwantowej wersji tej teorii, jakq jest topologiczna KTP.
[*] Glitches - siowo to oznacza kr6tkie spiycia (zwarcia) w instalacji elektrycznej (przyp. Hum.).
909
32
Zaw~ienie
podejscia Einsteina; zmienne
p~tlowe
na postyp16 w matematyce wyz16w i splot6w dziyki wykorzystaniu idei topologicznej KTP. Zwr6emy uwagy, ze formalizm zmiennych pytlowych przypomina w pewnym stopniu og6lny schemat TKTP, poniewaz wklad do pol a powierzchni znika poza "spiyciami", kt6re same maj,! charakter pytli. Jest jednak istotna r6znica, poniewaz w formalizmie zmiennych pytlowych r6wnania pol a pozostaj,!. Topologiczne KTP s,! interesuj,!ce jako struktury matematyczne, choe trudno je sobie wyobrazie jako realne modele znacz'!cych teorii fizycznych, g16wnie ze wzglydu na zupelny brak r6wnan pola. Zasadnicza czyse fizyki problemu zalezna jest od nietrywialnosci takich r6wnan, kt6re warunkuj,!, ze mamy do czynienia z kontrolowan'! w czasie propagacj,! p6l. luna mozliwose zaklada, ze idee TKTP moglyby bye zastosowane w pol,!czeniu z teoriq twistorow. W istocie przekonamy siy w nastypnym rozdziale (33.11), ze w opisie twistorowym r6wnania pola znikaj,! lokalnie. Pr6by zastosowania idei TKTP do teorii twistor6w na razie nie doprowadzily badaczy zbyt daleko 17, ale byloby bardzo interesuj,!ce sprawdzie, co w ten spos6b mozna uzyskae.
32.6 Sieci spinowe
910
Pomimo ze stany pytlowe jako konfiguracje graniczne ("funkcje delta") 3-geometrii s,! godne uwagi, to nadal nie stanowi,! odpowiedniej (ortonormalnej) bazy dla tej geometrii. Musimy przejse do og6lniejszego formalizmu, w kt6rym pytle mog,! siy przecinae. To prowadzi nas do swego rodzaju sieci "przecinaj,!cych siy linii pytlowych", trzeba jednak zapytae 0 znaczenie tych punkt6w przeciycia. Odpowiedzi na to pytanie mozemy szukae w pewnych rodzajach struktur, kt6re s,!, z formalnego punktu widzenia, bliskie strukturom sieci spinowych, jakimi sam zajmowalem siy prawie 50 lat temu, z innych, chociaz w pewnym sensie bliskich powod6w. Co to s,! sieci spinowe i dlaczego interesowaly mnie w latach piyedziesi,!tych XX wieku? Moim zasadniczym celem bylo w6wczas opisanie fizyki w terminach dyskretnych wielkosci kombinatorycznych, poniewai bylem przekonany, ze cala fizyka i struktura czasoprzestrzeni powinny opierae siy, u samych podstaw, na wielkosciach o charakterze raczej dyskretnym niz ci,!glym (zob. rozdz. 3.3). Dodatkow'! motywacjy stanowila dla mnie zasada Macha (rozdz. 28.5)18, z kt6rej wynika, ze sarno pojycie przestrzeni powinno bye pojyciem pochodnym, a nie od pocz'!tku podstawowym e1ementem konstrukcji. Wszystkie zjawiska winny bye wyraiane w terminach zwiqzk6w miydzy cialami, a nie miydzy cialem a jak,!s otaczaj'!c'! je przestrzeni'!. Doszedlem w6wczas do wniosku, ze najwiyksze szanse na spelnienie tego wymogu daje rozwazenie kwantowomechanicznej wielkosci, jak,! jest calkowity spin ukladu. "Spin calkowity" definiujemy jako wielkose skalarn,! j (= tn), kt6ra mierzy wielkose spinu jako calosci, a nie jedynie jak,!s jego skladow,! w pewnym kierunku. Ty ostatni,! oznaczamy zwykle liter'! m. (Litery jim s,! uZywane w dyskusji kwantowomechanicznego momentu pydu, podawane w jednostkach Ii, przy czym m zmienia siy od -j do +j, a kolejne kroki tego procesu liczbami calkowitymi; zob. rozdz. 22.8, 10, 11.) Wielkosc spinu calkowitego (uzyskana jako pierwiastek kwadrato-
Sieci spinowe
32.6
wy z sumy kwadratow wartosci m w trzech prostopadlych kierunkach) wynosi fiJj(j+l),a wiyc jest t'! sam'!, ktora wystypuje w wyrazeniu na powierzchniy w rozdz. 32.4. Dozwolone wartosci n = 2j S,! po pro stu liczbami naturalnymi (nieparzystymi dla fermionow i parzystymi dla bozonow; zob. rozdz. 23.7). Ponadto, chociaz n nie zalei:y od kierunku, to jednak jest zwiqzane z kierunkowymi aspektami przestrzeni. Z tych powodow wydawalo mi siy, ze spin calkowity, mierzony liczb,! naturaln,! n, jest idealn,! wielkosci,!, na ktorej warto skoncentrowae uwagy, jesli zamierzamy budowae od podstaw dyskretn,! strukturt( kombinatoryczn'!, prowadz,!q do pojycia rzeczywistej przestrzeni fizycznej. Nastypnie, gdyby udalo sit( skonstruowae formalizm we wlasciwy sposob, mozna by przedstawiae kwantowomechaniczne prawdopodobienstwa jako czyste prawdopodobienstwa, niezalezne od tego, jak rozne elementy urz,!dzenia pomiarowego mog,! bye zorientowane w stosunku do innych. W jaki sposob to funkcjonuje? Nazwijmy n-elementem wielkose 0 spinie calkowitym Ten "element" mozemy traktowae jako cz'!stky, ale niekoniecznie musi to bye cz'!stka elementarna. Moze to bye na przyklad caly atom wodoru. Wazne jest tylko, zeby obiekt ten charakteryzowal siy dobrze zdefiniowan,! wartosci,! calkowitego spinu (w przypadku atomu wodoru n mogloby bye zero lub 2, w zalei:nosci od tego, czy chodzi nam 0 orto- czy 0 parawodor 19). W jaki sposob uzyskae czyste prawdopodobienstwo? Moglibysmy na przyklad rozwai:ye dwie pary l-elementow z eksperymentu EPR-Bohma, niech to byd,! pary (A, B) i (C, D), pochodz,!ce z wyjsciowego stanu O-elementu. (To dokladnie taki uklad par jak na rys. 23.3 z rozdz. 23.4; zob. rys. 32.10.) Doprowadzmy teraz do pol,!czenia B i C tak, aby utworzyly pojedynczy element. S,! tylko dwie mozliwosci takiego pol,!czenia i w wyniku mozemy otrzymae albo O-element, albo 2-element, z prawdopodobienstwem[32.5] wynosz,!cym, odpowiednio, lub Jesli, alternatywnie, pol,!-
tnli.
t
t.
y,1
2
A~C 8 DIll 1
1
1
1
>NVV9>
o
0
0
0
albo
1
1
1
Rys. 32.10. Sieci spinowe. Kazdy odcinek linii prostej, oznaczony liczb1\ naturaln1\ n, reprezentuje cZ1\stky lub poduklad 0 spinie calkowitym ~ x h i nazywamy go n-elementem. W tym bardzo prostym przykladzie mamy dwie pary l-element6w EPR-Bohma, (A, B) i (C, D), z kt6rych kazda pochodzi ze stanu O-elementu (jak na rys. 23.2). Jesli dokonamy pol1\czenia B i C w jeden element, to mamy dwie mozliwOSci: moze to bye albo O-element, z prawdopodobienstwem albo 2-element z prawdopodobienstwem Te same prawdopodobienstwa uzyskamy, skladaj1\cA i D. JednakZe te prawdopodobienstwa nie s1\ niezaleine, poniewaz nie mozemy otrzymae O-elementu w jednym przypadku i 2-elementu w drugim.
t.
l§
[32.5] Czy wiesz dlaczego?
Z,
911
32
Zaw~ienie
podejscia Einsteina; zmienne
p~tlowe
czymy AiD, wowczas mozliwe rezultaty i ich prawdopodobienstwa bydq identyczne. Te prawdopodobienstwa bydq jednak ze sobq zwiqzane, poniewaz 0 ile uzyskamy O-element w jednym przypadku, 0 tyle nie mozemy uzyskac 2-elementu w drugim i vice versa. Taki byl moj pomysl na uzyskanie czystych prawdopodobienstw i doszedlem do przekonania, ze prawdopodobienstwa te bydq liczbami wymiernymi (poniewaz Natura dokonywalaby losowego wyboru miydzy skonczonq liczbq dyskretnych mozliwosci). Przyklad, ktory przedstawilem, jest bardzo pro sty, ale ilustruje dobrze ogolnq idey. Wszystkie elementy w konkretnym przypadku sieci spinowej wyobrazamy sobie jako wyprodukowane w ten sposob z wyjsciowych O-element6w (aczkolwiek nie jest to explicite zaznaczone na diagramie), wobec czego zaden kierunek przestrzenny nie jest wyrozniony. Nastypnie rozne pary elementow mozemy lqczyc w pojedyncze elementy i zapisujemy uzyskane wypadkowe wartosci spin6w. Poszczeg6lne elementy mogq tei: rozszczepiac siy na pary element6w; rys. 32.11 ilustruje takq sytuacjy. Mozemy sobie wyobrazic, ze wszystko to dzieje siy w pewnej czasoprzestrzeni. W oryginalnej teorii sieci spinowych nie zakladano co prawda zadnej konkretnej czasoprzestrzeni otoczenia. Idea polegala na tym, zeby wszystkie pojycia przestrzenne budowane byly na bazie sieci spinow i na podstawie prawdopodobienstw, jakie otrzymujemy (z uZyciem kwantowych regul obliczania prawdopodobienstw), gdy dwa elementy l
912
Rys. 32.11. Pocz'ltkowa propozycja sieci spinowej. Nie zaklada sic< istnienia jakiejkolwiek rozmaitosci czasoprzestrzennej otoczenia. Wszystkie pojc
33.3
zowanych) promieni swietlnych, IF'N. (Bezodbiciowa czC(sc grupy konforemnej jest rowniez grupq symetrii ka.zdej z przestrzeni JP'1['+ i IF''r, opisujqcych cZqstki bezmasowe 0 odpowiedniej skrC(tnosci i energii.) RolC( tej grupy poznamy lepiej w dwu nastC(pnych rozdzialach.
33.3 Grupa konforemna; uzwarcona przestrzen Minkowskiego W poprzednim rozdziale wspomnialem 0 grupie konforemnej czasoprzestrzeni. Sprobujmy teraz zajqc siC( t q grupq nieco blizej. Jest ona szczegolnie wazna w zwiqzku z pol ami bezmasowymi (np. pol em Maxwella), albowiem, jak siC( okazuje, rownania pola dla pol bezmasowych Sq niezmiennicze nie tylko wzglC(dem grupy Poincarego, ale takZe szerszej grupy konforemnef 8 • Mozna przyjqc, ze na poziomie fundamentalnym po]a/czqstki bezmasowe Sq skladnikami elementarnymi, natomiast masa pojawia siC( na dalszym etapie. Istotnie, taki poglqd wydaje siC( zawarty implicite w modelu standardowym (omawialismy go w rozdz. 25), w ktorym masa wchodzi do teorii za posrednictwem bozonu Higgsa i jest wynikiem mechanizmu lamania symetrii (rozdz. 25.5). Bez wzglC(du na to, jakjest naprawdy, istotnq motywacjy u podstaw teorii twistorow stanowi przekonanie 0 podstawowym znaczeniu pol bezmasowych i grupy konforemnej. W rozdz. 33.8 przekonamy siy, ze cZqstki i pola bezmasowe znajdujq w teorii twistorow niezwykle spojny opis, co stanowi zasadniczy fundament tej teorii. Czym dokladnie jest grupa konforemna? Mowiqc scisle, grupa ta nie dziala na przestrzeni Minkowskiego M, lecz na jej nieznacznym uogolnieniu, znanym jako uzwarcona przestrzen Minkowskiego M#. Przestrzen M# jest niezwykle symetrycznq rozmaitosciq zamkniytq, ktorq pod wieloma wzglydami cechuje bardziej kunsztowna symetria niz samq przestrzen Minkowskiego. Nie nale.zy jej jednak traktowac jako rzeczywistej czasoprzestrzeni, to jedynie wygodna konstrukcja matematyczna, u.zyteczna w zrozumieniu geometrii twistorow i jej zwiqzkow z geometriq fizycznej czasoprzestrzeni. W tym miejscu dobrze jest przypomniec sfery Riemanna i jej zwiqzek z plaszczyznq zespolonq. Powtorzmy, na podstawie rozdz. 8.3, ze sfery Riemanna otrzymujemy z plaszczyzny zespolonej przez dolqczenie do niej "elementu nieskonczonego", ktorym jest punkt oznaczony symbolem 00, w wyniku czego otrzymujemy strukturC( geometrycznq 0 wiC(kszej nawet symetrii niz plaszczyzna, od ktorej zaczC(lismy. W podobny sposob ze zwyklej przestrzeni Minkowskiego M otrzymujemy uzwarconq przestrzen Minkowskiego M# przez dolqczenie "elementu nieskonczonego", ktorym w tym przypadku okazuje siC( kompletny stoiek swietlny w niesk011czonosci. Uzyskana w ten sposob przestrzen ma wiC(cej symetrii (a mianowicie symetriy grupy konforemnej) niz sarna przestrzen Minkowskiego. Przekonajmy siy, w jaki sposob to funkcjonuje. Przestrzen M# okazuje siy 4-wymiarowq, rzeczywistq i zwartq rozmaitosciq z konforemnq metrykq lorentzowskq. Na podstawie rozdz. 27.12 pamiC(tamy, ze konforemna metryka loren-
931
33
Perspektywy bardziej radykalne; teoria twistor6w
Nieskoflczonosc
-..,.-
Osobliwosc
Rys. 33.8. Struktura stozk6w zerowych lorentzowskiej rozmaitosci M jest r6wnowa:ina jej strukturze konforemnej. Konforemne przeskalowanie M zmienia metrykcr, ale nie narusza wlasnosci przyczynowosci. (Metrykcr g przeskalowujemy konforemnie do g', jeslig' = fig, a pole skalame n jest wszcrdzie dodatnie.) W sprzyjaj/lcych okolicznosciach takie przeskalowanie moze pom6c w uwidocznieniu osobliwosci i obszar6w nieskonczonych.
tzowska jest, efektywnie, rodzin,! stozk6w zerowych na tej przestrzeni. Tak,! strukturt( definiuje sit( zwykle w terminach klasy r6wnowaZnosci metryk, zgodnie z kt6rymi metryka g uwazana jest za r6wnowaZn,! metryce g', jesli g' = {i g, przy czym gladkie skalarne pole Q jest wszt(dzie dodatnie. Przeskalowanie tego rodzaju zachowuje stozki zerowe (rys. 33.8). Aby przejsc od M (uwazanej za rozmaitosc konforemn'!) do rozmaitosci konforemnej i zwartej M#, dol'!czamy do niej 3-powierzchnit( /7, kt6r'! nazywamy "stozkiem swietlnym w nieskonczonosci". Przypomnijmy sobie z rozdz. 27.12 3-powierzchnie .F i ,ff+ (nazwalismy je "skraj-minus" i "skraj-plus"), kt6re reprezentuj,! nieskonczonosci zerowe w przeszlosci i w przyszlosci w przestrzeni Minkowskiego (zob. rys. 27.16b). M# konstruujemy, identyfikuj,!c ,ff- z ,ff+ w spos6b przedstawiony na rys. 33.9. Punkt ,ff- uWaZamy za identyczny z odpowiednim punktem na ,ff+, czyli jego punktem przestrzennie antypodalnym (na 2-sferze, kt6r,! reprezentuje wit(kszosc punkt6w na diagramie). Stozek swietlny punktu a- na ,ff- zbiega sit( z punktem a+ na ,ff+ i utozsamiamy punkty a- i a+. Dodatkowo wszystkie trzy punkty reprezentuj,!ce nieskonczonosci przestrzenne i czasow'!, i- iO, i+ utozsamiamy z jednym punktem i [33.2]. Rozmaitosc konforemna M# ma rzeczywiscie wit(cej symetrii niz przestrzen Minkowskiego i jest opisywana przez 15-wymiarow,! grupt( symetrii - gruP{? konforemnq - w przeciwienstwie do 10-wymiarowej grupy Poincarego. Istnieje elegancki spos6b opisu przestrzeni M# i jej grupy przeksztalcen. Rozwazmy "stozek swietlny" K pocz'!tku ukladu 0 w pseudoeuklidesowej 6-przestrzeni lE2,4 0 sygnaturze + + - - - -. Wybierzmy na lE2,4 standardowe wsp61rzt(dne w, t, x, y, Z, v, a wit(c K jest dany r6wnaniem w 2 + t 2 _X2 -l-r _v 2 = 0,
natomiast metryka ds 2 przestrzeni lE2,4 jest nastt(puj,!ca: ds 2 = dw 2 + dP -
rm
932
mz - dl- dz2 - dv
2
•
[33.2] Sprawdz, czy potrafisz szczeg61owo opisac geometrit( 10/1[#, wyjasniajqc punktowq identyfikacjt( 17+ i 17- w zwyktych terminach czasoprzestrzeni? Czy wiesz, dlaczego topologiq 10/1[# jest Sl x S3? Czy jestes w stanie wskazac, jakie wazne r6znice pojawilyby sit(, gdyby liczba wymiar6w czasoprzestrzeni byta nieparzysta?
Grupa konforemna; uzwarcona przestrzen Minkowskiego
33.3
.+
l/~
!
I ". ,
.0 Utozsamiamy ",auntypodalnie
I (al
(bl
Rys. 33.9. Uzwarcon'! przestrzen Minkowskiego M# otrzymujemy ze zwyldej przestrzeni Minkowskiego M za pomoc,! dol,!czenia zerowych nieskonczonosci przeszlych i przyszlych, d+ i d- i nastypnie odpowiedniego ich uto:i:samienia z d. (a) Sto:i:ek Swietlny przyszlosci dowolnego punktu a- na /F zbiega siy z wierzcholkiem a + na d+ (ten "sto:i:ek Swietlny", mowi,!c prosciej, jest histori,! czola fali plaskiej poruszaj,!cej siy z prydkosci,! swiatla) i a- uto:i:samiamy z a+. Nieskonczonosc przestrzennopodobna 10{) oraz nieskonczonosci czasopodobne w przeszlosci i w przyszlosci, i- oraz i +, identyfikujemy z jednym punktem i. (b) Wynik tej identyfikacji, d, przedstawiony w postaci scislego diagramu konforemnego z rys. 27.16b; dla calego diagramu punkt a- jest punktem antypodalnym a+ na "S2 obrot6w".
Jest to rawnanie 5-wymiarowego "stozka" 0 wierzcholku w punkcie O. Staralem si«, najlepiej jak potrafi«, przedstawic go na rys. 33.10, ale najbardziej mylqcy jest fakt, ze to, co przypomina dwa razne "kawalki" K ("przyszlosc" i "przeszlosc"), w rzeczywistosci lqczy si« w "jeden kawalek,,[33.3]. A teraz rozwazmy przeci«cie K przez plaszczyzn« zerowq W - v = 1. Powstaly przekraj jest 4-rozmaitosciq ("paraboloidq"), ktarej metryka, indukowana metryk q ]8J2,4, jest nast«pujqca:[33.4] ds 2 = dt 2 _ dx 2 -
di _dz2•
Rozpoznajemy w tym form« metrycznq zwyklej, plaskiej 4-przestrzeni Minkowskiego (rozdz. 18.1) i mozemy jq zidentyfikowac jako M, pomimo ze jest zanurzona w sposab "ugi«ty" w ]8J2,4 (na rys. 33.10 rna postac paraboli). Gdzie na tym obrazie znaleic M#? Jest to abstrakcyjna przestrzen kompletnych generatoraw K (linii
Rys. 33.10. Uzwarcon'! przestrzen Minkowskiego M# mo:i:emy zidentyfikowac jako przestrzen generator6w "sto:i:ka swietlnego" K w pseudoeuklidesowej przestrzeni lE 2,4, danego r6wnaniem w2 + f -l - Z2 - v2 = O. "Paraboidalna" 4-rozmaitosc M na K wyznaczona przez przekr6j 5-plaszczyzn,! W - v = 0 rna wewnytrzn,! metryky Minkowskiego ds 2= dt 2 - ctr - dl- dz2. Rodzina generator6w K na w - v = 0 (niewidoczna na rysunku, poniewa:i: zostal umieszczony tylko jeden wymiar "czasowy") jest rowno\egla do w - v = 1 i nie przecina M, a generatory te daj,! nam punkty d. ,,§! ~
[33.3] Czy wiesz dlaczego? [33.4] Dlaczego?
933
33
Perspektywy bardziej radykalne; teoria twistorow
prostych przechodzqcych przez 0, ktory leZy na K, przy czym cala linia przechodzqca przez 0, w obu kierunkach, liczy siy jako pojedynczy generator K). Kai:dy punkt M# mozemy wiyc traktowac jako generator K (rys. 33.10) - wobec czego M# jest "sferq niebieskq" dla obserwatora umiejscowionego w poczqtku E2,4! Dlaczego ten przepis jest dobry? Kazdy generator, ktory nie leZy na 5-plaszczyznie w - v = 0, przecina M w jednoznacznie okreslonym punkcie, a zatem ta rodzina generatorow jest we wzajemnie jednoznacznej ciqglej odpowiedniosci z M. Oprocz tego Sq jeszcze genera tory, ktore ieiq na tej 5-plaszczyznie. One dajq nam M z dodatkowymi punktami, ktore konstytuujq #. Przestrzen M#, zdefiniowana w taki sposob, rna konforemnq metryky lorentzowskq, ktorq daje dowolny lokalny przekroj K[33.5J. Pseudoortogonalna grupa 0(2,4), dzialajqca na E 2,4 (zob. rozdz. 13.8, 18.1, 2), sklada siy z "obrotow", ktore zachowujq metryky ds 2 • Takie operacje zamieniajq generatory K na inne genera tory K, a wiyc zamieniajq M# w siebie. Ponadto w ten sposob zachowana zostaje konforemna struktura M#[33.61. Co wiycej, istniejq dokladnie dwa elementy 0(2,4), ktore dzialajq jak elementy tozsamosciowe na M#, mianowicie sam element tozsamosciowy 0(2,4) i ujemny element tozsamosciowy 0(2,4), ktory oznacza odwrocenie kierunku kazdego generatora. Poza odpowiedniosciq dwa-do-jednego, wynikajqcq z odwracalnosci kierunkow generatorow, grupa 0(2,4) jest grupq konforemnq. Zawiera ona lO-wymiarowq podgrupy zachowujqcq 5-plaszczyzny w - v = 0 i w ten sposob otrzymujemy gruPf! Poincarego przestrzeni M[33.71. Istotnie, jest to wyzej wymiarowa wersja argumentu podanego w rozdz. 18.5, w ktorym pokazywalismy, ze konforemne przeksztalcenie zwyklej sfery (ktora jest uzwarconq plaszczyznq euklidesowq) daje nam realizacjy grupy Lorentza 0(1,3); zob. E na rys. 18.9.
33.4 Twistory jako spinory wyzej wymiarowe
Czy jest w tych koncepcjach miejsce dla twistorow? Najkrocej -lecz z pewnosciq nie najbardziej zrozumiale - mozna by odpowiedziec, ze twistor (przestrzeni Minkowskiego) jest spinorem zredukowanym (albo polspinorem) grupy 0(2,4); proszy nie niepokoic siy matematycznq zwiyzlosciq tej definicji, wkrotce przedstawit; znacznie bardziej fizyczne wyjasnienie tego pojycia! W rozdz. 11.5 przedstawilem krotko pojycie spin ora zredukowanego. W przypadku przestrzeni 2n-wymia-
m [33.5] Dlaczego metryka konforemna wyznaczona przez dowolny lokalny przekr6j jest taka sarna jak wyznaczona przez kazdy inny? Dlaczego punkty #, zdefiniowane w ten spos6b, zgodne sl} z poprzednil} definicjl}? Wskaz6wka: zob. rozdz. 18.4 i rys. 18.9. a [33.6] Dlaczego? Mozesz posluZyc si ywynikiem ewiczenia [33.5]. [33.7] Jaki jest explicite warunek na macierz 6 x 6, zeby byla elementem infinitezymalnym grupy 0(2,4)? Kt6re z tych macierzy dajl} nam infinitezymalne transformacje grupy Poincan!go?
m 934
Twistory jako spinory wyiej wymiarowe
33.4
rowej, na ktorej dziala grupa O(n - r, n + r), przestrzen spinorow zredukowanych jest 2"-1-wymiarowa. W naszym przypadku mamy n = 3 (i r = 1), a zatem mamy do czynienia z 4-wymiarow,! przestrzeni,! spinorow zredukowanych i ty przestrzen nazywamy pnestrzeniq twistorowq19. Niestety, taka definicja nie dostarcza jasnych geometrycznych informacji na temat twistora. Co wiycej, orientujemy siy, ze powinna istniec teoria twistorow w przypadku czasoprzestrzeni, ktorych wymiar jest dowoln,! liczb,! parzyst'! 2(n - 1), niezaleznie od tego, co zostalo powiedziane pod koniec rozdz. 33.2. Uogolniamy po prostu podan,! konstrukcjy przestrzeni K (przyjmuj,!c, ze jej wymiar jest teraz 2n - 1, a uzwarcenie 2(n - 1)-wymiarowej przestrzeni Minkowskiego odbywa siy w sposob analogiczny, przez wprowadzenie, jak poprzednio, dwu nowych wspolrzydnych v i w, z ktorych jedna wystypuje w metryce ze znakiem plus, a druga ze znakiem minus. Teraz "przestrzen twistorowa" jest 2n - 1-wymiarowa. W przypadku gdy liczba wymiarow czasoprzestrzeni jest liczb,! nieparzyst'! 2n - 1, nadal stosuje siy ty procedury, ale juz nie mamy do czynienia z pojyciem spinorow zredukowanych i cal,! przestrzen spinow,! 0 2"-wymiarach bydziemy traktowac jako "twistorow'!". W przypadku nieparzystej liczby wymiarow tracimy co prawda wazn,! wlasnosc twistorow, a mianowicie ich chiralny charakter (co przedyskutujemy bardziej szczegolowo w rozdz. 33.7, 12, 14). Tylko wtedy, gdy przechodzimy do zredukowanych przestrzeni spinowych, otrzymujemy formalizm istotnie chiralny (tzn. taki, w ktorym obiekty lewoskrytne i prawoskrytne uzyskuj,! zasadniczo rozny opis twistorowy; zob. rozdz. 33.7) i dlatego mozemy miec nadziejy, ze uda nam siy uwzglydnic chiralne aspekty slabych oddzialywan (rozdz. 25.3). Wkrotce zobaczymy, dlaczego ogolna, n-wymiarowa definicja twistora gubi jego najwazniejsze fizyczne (i holomorficzne) wlasciwosci, dziyki ktorym teoria twistorow jest tak skuteczna. PoniewaZ twistory zwi'!Zane s,! z aktywn'! grupq transformacji czasoprzestrzeni (grupq konforemnq), ktora przeksztalca jedne punkty czasoprzestrzeni winne, uwazamy, ze Sq one obiektami odnoszqcymi siy globalnie do calej czasoprzestrzeni, a nie do jej poszczegolnych punktow. Wielkosci lokalne, takie jak wektory, tensory czy zwykle spinory, zwiqzane Sq z grupami symetrii dzialajqcymi punktowo; zob. rozdz. 14.1 - np. grupa obrotow lub grupa Lorentza (rozdz. 13.8). Aczkolwiek powoduje to, ze trudniej poslugiwac siy twistorami nu zwyklymi wektorami, tensor ami czy spinorami, to owa globalnosc stanowi powaznq zalety przy poszukiwaniu formalizmu, ktory bylby w stanie zastqpic czasoprzestrzen, a nie jedynie zmienic definicje pojyc w odniesieniu do uprzednio zadanej rozmaitosci czasoprzestrzennej. W rozdz. 33.2 zwracalismy uwagy, ze to jest jeden z zasadniczych powodow motywujqcych wprowadzenie teorii twistorow. Glowny mankament takiego podejscia pol ega na tym, iz trudno zauwaZyc, w jaki sposob formalizm tego rodzaju moze byc zastosowany do ogolnej zakrzywionej czasoprzestrzeni M, gdy cos takiego jak grupa konforemna nie jest juz symetriq M. W rozdz. 33.11, 12 dowiemy siy, w jak imponujqcy sposob teo ria twistorow radzi sobie z tq trudnosci,!.
935
33
Perspektywy bardziej radykalne; teoria twistor6w
Definicja twistora jako spinora zredukowanego grupy 0(2,4) pozwala jedynie na bardzo ograniczony wgl,!d w idee i motywacje teorii twistorow. Wlasnie stwierdzilismy, ze w takim podejsciu nie rna niczego szczegolnie 4-wymiarowego i nie widae powodu, dla ktorego mielibysmy upatrywae w teorii twistorow jakiejs wlasciwszej drogi do przenikniycia tajnikow Natury. Aby lepiej zdae sobie sprawy, do czego zmierza teoria twistorow, przywolajmy przeslanie rozdz. 29 i 30. W sytuacji gdy istnieje ogolna zgoda co do tego, ze glownym celem poszukiwan fundamentalnie nowej fizyki powinna bye unifikacja grawitacji i fizyki kwantowej, zasadniczy wniosek zawarty w tych rozdzialach sprowadza siy do tego, ze same prawa kwantowej teorii (pola) nie mog,! bye uwazane za nienaruszalne, lecz wolno nam traktowae elastycznie zarowno te prawa, jak i geometriy naszego konwencjonalnego obrazu czasoprzestrzeni. Zasady mechaniki kwantowej s,! wszak piykne i zawieraj,! wiele prawdy, a zatem nie mozemy po pro stu od nich odst,!pie. W teorii twistorow, zamiast narzucania regul KTP, analizujemy te reguly, aby wydobye z nich cechy, ktore mozna pol,!czye z koncepcjami Einsteina i ujawnie ukryt'! harmoniy teorii wzglydnosci i mechaniki kwantowej. Znalezienie drogi ulatwia nam magia liczb zespolonych, ktora wielokrotnie pojawiala siy na kartach tej ksi'!iki. Inn,! wskazowk,! jest dla nas szczegolna harmonia zwi'!zana raczej z teori,! Einsteina 4-przestrzeni Lorentza niz z jej uogolnieniami na wyzsze wymiary lub na inne sygnatury. Co szczegolnego pod tym wzglydem zawiera siy w 4-przestrzeni Lorentza? Jak podkreslalem w rozdz. 18.5 i 33.2, sfera niebieska obserwatora rna naturaln'! struktury konforemn,! i moze bye interpretowana jako sfera Riemanna. Trzeba pamiytae, ze podobnie ogolna jakose wi,!ze siy z dowoln'! przestrzeni,! 0 niezerowej liczbie wymiarow przestrzennych i czasowych, w ktorej sfera niebieska rna zawsze struktury rozmaitosci konforemnejl33.81• Szczegoln'! cechy 4-wymiarowej przestrzeni Lorentza stanowi fakt, ze ta rozmaitose konforemna moze bye interpretowana jako rozmaitosc zespolona (sfera Riemanna) i jest to wlasnose, ktora nie wystypuje w przypadku zadnej innej liczby wymiarow przestrzennych i czasowych. Jakie znaczenie rna ten fakt? W teorii twistorow magia liczb zespolonych jest w pelni wykorzystana, nie tylko w tym sensie, ze sarna przestrzen twistorowa okazuje siy rozmaitosci,! zespolon,!, ale ta zespolona rozmaitose uzyskuje bezposredni,! interpretacjy fizyczn'!. Co wiycej, mozna ogolnie pokazae, ze tylko taka "przestrzen twistorowa" stanie siy przestrzeni,! zespolon,!20, gdy roznica miydzy liczb,! wymiarow przestrzennych i czasowych, podzielona przez 4, pozostawia reszty 2. Warto zauwaZye, ze nie wystypuje to w przypadku oryginalnej teorii Kaluzy-Kleina ani w 10-lub 11-wymiarowych teoriach supergrawitacji, ani w przypadku 26-wymiarowej teorii strun, ani w lO-wymiarowej teorii superstrun, ani w przypadku ll-wymiarowej teorii supergrawitacji lub teorii M, ani w przypadku 12-wymiarowej teorii F (poniewaz mamy tu dwa wymiary czasowe)!
936
~ [33.8] Wyjasnij dlaczego.
Zasady geometrii twistor6w i wsp6lrz~dne twistorowe
33.5
33.5 Zasady geometrii twistor6w i wsp6frzQdne twistorowe
W jaki sposob mozna, pod wzglydem fizycznym lub geometrycznym, interpretowac ogolny twistor dla zwyklej 4-przestrzeni Minkowskiego? Najlatwiej bydzie to przedstawie, poslugujqc siy standardowymi wspolrzydnymi t, x, y, z punktu R na M i przyjmujqc prydkose swiatla c = 1. Pelna przestrzen twistorowa 'Jl' dla M jest 4-wymiarowq zespolonq przestrzeniq wektorowq, na ktorej ui:yte mogq bye standardowe wspolrzydne zespolone r, Z\ Z2, Z3. Mowimy, ze twistor Z 0 takich wspolrzydnych odpowiada punktowi R - alba ze R odpowiada twistorowi Z, jesli spelniona jest zasadnicza relacja macierzowa (zob. rozdz. 13.3, gdzie wyjasniony jest zapis macierzowy)
=~( t+~ (ZOJ ZI J2 X-IY
X+iY)(Z2J, t-z
Z3
z ktorej wynikajq wszystkie podstawowe wlasnosci geometrii twistorowej plaskiej przestrzeni[33.91! Zgodnie z notacjq przedstawionq w rozdz. 12.8, czasami wygodnie jest uZye zapisu (abstrakcyjno-)wskaznikowego za do oznaczenia twistora Z (skladowe Z w standardowym ukladzie wspolrzydnych Sq wtedy r, Z\ Z2, Z3). Kazdy twistor Z, czyli za (jako element przestrzeni 'Jl'), rna twistor dualny Z, ktory jest wobec niego zespolenie sprzyzony (i jest elementem dualnej przestrzeni twistorowej 'Jl'*). W zapisie wskaznikowym twistor Z zapisujemy jako 2 a' ze wskaznikiem dolnym, a jego skladowe (w standardowym ukladzie) bydq
(20,21' 2 2, 2 3 )
=
(22,23,20,21).
Zapis ten moze bye nieco mylqcy. Cztery wielkosci (liczby zespolone) po lewej stronie Sq po prostu czterema skladowymi dualnego twistora Z. Cztery wielkosci po prawej Sq, odpowiednio, zespolonymi sprzyzonymi liczb zespolonych ZZ, Z3, r, ZI. Skladowa 20 twistora Z jest wiyc liczbq sprzyzonq zespolonq skladowej Z2 twistora Z etc. Przy sprzyganiu zespolonym zwroemy uwagy na ty zamiany pierwszych dwu skladowych z drugq parq. Poniewaz Z jest twistorem dualnym, mozemy utworzye jego (hermitowski) iloczyn skalarny (zob. rozdz. 13.9 i 22.3) z oryginalnym twistorem Z i otrzymae kwadrat normy twistora:
2.Z =2a za =20 r +2Z1 +2Z2+2 Z3 1 2 3 3 = 2 2 + 23Z1 + 20Z2 + 2 1Z 2 2 1 3 2 22 1 3 2 = t(lr + Z + IZ + Z _ Ir _ z _ Iz _ Z ),
r
1
1
1
1
gdzie ostatnie wyrazenie pokazuje, ze iloczyn hermitowski 2aza rna sygnatury (+ + - -), zgodnie z rozdz. 13.9[33.101. (Symetriy przestrzeni twistorowej cechuje, wspomniana w rozdz. 13.10, lokalna rownowaznose grup SU(2) i 0(2,4) z rozdz. 33.3). ~
[33.9] Przedstaw to r6wnanie w zwyldym zapisie algebraicznym.
~ [33.10] Sprawdi to koncowe wyrazenie i wyjasnij, w jaki spos6b wynika z niego sygnatura.
937
33
Perspektywy bardziej radykalne; teoria twistor6w
Z przedstawionej kluczowej relacji odpowiedniosci wynika, ie twistor za moie odpowiadae zdarzeniu w rzeczywistej przestrzeni Minkowskiego M tylko wtedy, gdy jego norma znika: Zaza = 0[33.111. Jesli Zaza = 0, wowczas mowimy, ie twistor Z jest twistorem zerowym (null twistor). Aby to powi4Zae z dyskusj,,! w rozdz. 33.2, musimy zapoznae si(( z rzutow"! przestrzeni"! twistorow"! 1P'1I', ktora jest zespolon"! rzutow"! 3-przestrzeni,,! ClP'3 skonstruowan,,! z zespolonej przestrzeni wektorowej ']['; zob. rozdz. 15.6, gdzie znajduje sit( omowienie przestrzeni rzutowych. Wiele wlasnosci geometrii twistorowej moina latwiej wyjasnie w terminach przestrzeni IP'1I' nii ']['. W przestrzeni IP'1I' liczby z!!, z\ Z2, Z3 s"! wsp6lrz~dnymi jednorodnymi, wobec czego punkty w IP'1I' mog,,! bye oznaczone przez trzy niezaleine stosunki
z!!: ZI: Z2: Z3. Zerowe twistory rzutowe tworz"! przestrzen lP'N; jest ona tak,,! podprzestrzeni"! 0 5 wymiarach rzeczywistych przestrzeni IP'1I' 0 6 wymiarach rzeczywistych, dla ktorej norma twistora znika:
Rownanie to definiuje rowniei 7-wymiarow,,! (0 wymiarach rzeczywistych) podprzestrzen N zerowych twistorow nierzutowych w przestrzeni wektorowej ']['. Gdy Zaza> 0, otrzymujemy przestrzen twistorow dodatnich ']['+, a gdy Zaza < 0, mamy przestrzen twistorow ujemnych ']['-. Odpowiednio definiujemy przestrzenie rzutowe 1P'1I'+ i lP'r; zob. rys. 33.11 (i porownaj z rys. 33.6).
-- -
• Rys. 33.11. Przestrzen twistorowa '][' jest zespolonq przestrzeniq wektorowq z pseudohennitowskq metrykq, a rzutowa przestrzen twistorowa lP'lI' (przestrzen CpJ) - przestrzeniq promieni (l-wymiarowych podprzestrzeni) w ']['. Jesli wiyc twistor Z ma wspolrzydne (ZO, Z\ Z2, Z3), to stosunki ZO : Z' : Z2 : Z' wyznaczajq odpowiedni punkt w lP'lI'. Podprzestrzen N 0 7 wymiarach rzeczywistych (przestrzen twistorow zerowych: Zaza = 0) dzieli przestrzen twistorowq '][' na 4-przestrzenie zespolone ']['+ (twistor6w dodatnich: Zaza > 0) i ']['- (twistor6w ujemnych: Zaza < 0). Odpowiednimi rzutowymi wersjami tych przestrzeni Sq 5-wymiarowa rzeczywista lP'N (reprezentujqca promienie swietIne w M#) i dwie 3-rozmaitosci zespo!one: lP'lI'+ (reprezentujqca cZqstki bezmasowe 0 dodatniej skrytnosci) i lP'lI'- (reprezentujqca cZqstki bezmasowe 0 skrytnosci ujemnej).
938
m. [33.11] Udowodnij to. Pokaz, odwrotnie, ze jesli Zaza = 0 i Z2 oraz Z3 nie znikaj,! jednoczesnie, to takie zdarzenie zawsze istnieje.
Zasady geometrii twistor6w i wsp6lrz~dne twistorowe
33.5
Zajmijmy sit( geometryczn,! relacj,! mit(dzy lP'N aM, zobrazowan'! na rys. 33.5, jako konsekwencj,! glownej relacji odpowiedniosci sformulowanej na pocz'!tku tego rozdzialu. Z relacji tej wynika bezposrednio, ze dwa punkty Pi R na M (dwa zdarzenia), ktorym odpowiada ten sam, rMny od zera twistor Z (a wit(c, koniecznie, twistor zerowy), musz'! bye zerowo odseparowane (null-separated) od siebie (tzn. kazdy z punktow Pi R leZy na stozku swietlnym drugiego). Wnioskujemy wit(c, ze Z definiuje promien swietlny - zerow'! (null) linit( prost,! na M - poniewaz wszystkie punkty M odpowiadaj,!ce Z rnusz'! bye wzajemnie zerowo odseparowane; zob. rys. 33.12. Co wit(cej, twistor Z reprezentuje ten sam prornien swietlny, gdy w miejsce wezrniemy AZ gdzie A jest dowoln,! liczb,! zespolon'! rozn,! od zera. Miejscem geometrycznym zdarzen odpowiadaj,!cych zerowernu twistorowi rzutowemu jest rzeczywiscie prornien swietlny, jednak w szczegolnej sytuacji, gdy Z2 = Z3 = 0, musimy zachowae ostroznose, poniewaz nie rna punktow na M odpowiadaj,!cych takiemu Niemniej nadal mozemy uwazae, ze taki twistor zerowy opisuje promien swietlny w nieskonczonoSci (generator # lez'!cy raczej na M# niz na M)l33.121• Rozwazmy teraz zagadnienie z drugiej strony. Ustalaj'!c zdarzenie R 0 wspolrzt(dnych rzeczywistych t, x, y, z, znajdujemy, ze przestrzen twistorow Z odpowiadaj,!cych R jest zdefiniowana przez dwie liniowe relacje jednorodne mit(dzy skladowymi z)l, Z\ Z2, Z3. Kazda z tych relacji liniowych definiuje pewn'! plaszczyzn~ w lP'I', a ich p1Zeci~cie (zbior punktow lP'I' spelniaj,!cych obie relacje) daje nam linit( rzutow'! R w lP'1' (stanowi,!C'! ClP'I) - faktycznie lez,!c,! w lP'N - ktora jest, jak bye powinno, sfer,! Riemanna (rozdz. 15.4, 6). Punkty M (zdarzenia) w przestrzeni twistorowej S,! zatem reprezentowane przez linie rzutowe w lP'N. Gdy Z2 = 0 = Z3, otrzymujemy szczegoln'! linit( rzutow'! w lP'N, oznaczon'! przez I. Ta szczegolna linia reprezentuje punkt i, ktory jest wierzcholkiem stozka swietlnego # w nieskonczonosci. Kazdy inny punkt Q stozka # jest reprezentowany na lP'N przez linit( rzutow'! Q przecinaj,!C'! 1[33.131. Ilustruje to rys. 33.12. Sposob, w jaki struktury zespolone reprezentuj,! geometrit( przestrzeni Minkowskiego (0 standardowej liczbie wymiarow przestrzennych i czasowych), jest naprawdt( godny uwagi. Mozemy zreinterpretowae przestrzen Minkowskiego jako przestrzen linii zespolonych lez'!cych w lP'N (albo w lP'N - #, jesli chcemy uwzglt(dnie tylko skonczone punkty czasoprzestrzenne), traktuj'!c lP'N jako strukturt( pierwotn,!, a M jako wtorn,!. Oznacza to zaakceptowanie pojt(cia promieni swietlnych jako bardziej elementarnego od samych punktow czasoprzestrzeni. P1Zeci~cie promieni swietlnych Z i X jest reprezentowane za pomoC'! istnienia linii rzutowej na lP'N zawieraj,!cej odpowiednie punkty Z i X z lP'N, a jak sit( przekonalismy, wymog, zeby dwa punkty czasoprzestrzeni, P i R, byly zerowo odseparowane, jest reprezentowany przez warunek, ktory zaklada, ze odpowiednie linie rzutowe P i R w lP'N
a,
za
za.
B [33.12] Wykaz explicite prawdziwosc stwierdzen zawartych w tym akapicie. i8 [33.13] DJaczego?
939
33
Perspektywy bardziej radykalne; teoria twistor6w
jIPT------T~~.!!"1 I \ I I I
IL (a)
I I ____________ J (b)
Rys. 33.12. Geometria podstawowych miejsc geometrycznych na M# i IP'N, okreslona za pomoc,! kluczowej relacji odpowiedniosci twistorowej. (a) Wybierzmy punkt Z (rzutowy twistor zerowy) na IP'N. Punkty na M# (np. P i R), ktore odpowiadaj,! Z, konstytuuj,! promieil swietIny, poniewai wszystkie takie punkty s,! zerowo odseparowane do siebie. (b) Wybierzmy punktR w M#. Punkty IP'N (np. Z i X), ktore odpowiadaj,! R (Iei,!ce na przecil(ciu dwu plaszczyzn zespolonych w "), tworz'! zespolon,!linil( rzutow'!, ktora jest sfer,! Riemanna. Punkty P i R W M#, ktore s,! zerowo odseparowane wzdlui promienia swietInego Z, maj,! odpowiednie sfery Riemanna, P i R, przecinaj,!ce sil( w jednym punkcie Z. (Te sfery Riemanna narysowalem w postaci bardzo wydluionej, musimy bowiem pogodzic sil( z faktem, ie s,! one rowniei rzutowymi liniami prostymi w geometrii rzutowej "I) Szczegolnym przypadkiem takiej sfery Riemanna jest I, ktora reprezentuje punkt i w M#. Punkt i specyfikuje nieskoilczonosc przestrzennopodobn'!/czasopodobn'! i jest wierzcholkiem stoika swietInego # w nieskoilczonosci. Kaidy inny punkt Q stoika # jest reprezentowany w IP'N przez Iinil( rzutow'! Q przecinaj,!C'! I.
przecinaj,! siy (rys. 33.12). A zatem dziyki przestrzeni twistorowej mamy zupelnie odmienny punkt widzenia geometrii fizycznej od tego, ktory obowi,!zuje w normalnym obrazie czasoprzestrzennym. Zwykle punkty czasoprzestrzeni S,! reprezentowane w lP'N przez sfery Riemanna. Punkty lP'N reprezentowane s,! w czasoprzestrzeni przez promienie swietlne. W kazdym z tych przypadkow ta odpowiedniose rna charakter nielokalny, chociaz mozemy przejse od jednego opisu do drugiego za pomoq precyzyjnych regul geometrycznych.
33.6 Geometria twistor6w jako bezmasowych czqstek wirujqcych
940
Przypomny, ze fundamentaln,! ide,!, motywuj,!q nas do konstruowania teorii twistorow, jest pragnienie pelnego wykorzystania magicznych mozliwosci liczb zespolonych. Niezaleznie od faktu, ze lP'N zawiera system (zadany czterema parametrami rzeczywistymi) zespolonych linii rzutowych, sarna nie jest rozmaitosci,! zespoIon,! (nie moze bye inaczej, poniewaz, jak zauwaZylismy w rozdz. 33.2, rna nieparzyst'! liczby rzeczywistych wymiarow). lednak wolno nam przejse od niej do lP'1I' (ktora jest przestrzeni,! CpJ) za pomoc,! dodania jednego wymiaru rzeczywistego. Czy te dodatkowe punkty w lP',][, mozemy zinterpretowae w sposob sensowny i naturaIny z fizycznego punktu widzenia? Okazuje siy (co juz sugerowalismy w rozdz. 33.2), ze tak. Przypomnijmy sobie, ze rzeczywiste fotony swobodne maj,! bogatsz'! struktury niz zwykle promienie swietlne w M. Promien swietlny opisuje cz'!stky
Geometria twistor6w jako bezmasowych cZqstek wirujqcych
33.6
punktowq wydrujqcq z prydkosciq Swiatla w ustalonym kierunku, natomiast prawdziwy foton wyposaiony jest dodatkowo w energiy i spin. Na razie pozostaniemy na etapie opisu klasycznego. Zasadniczo Sq dwie mozliwosci ruchu obrotowego fotonu: moze to bye obrot prawoskrytny lub 1ewoskrytny wokol kierunku ruchu (tzn. wystt(puje skrytnose dodatnia i ujemna, odpowiednio, okreslone przez prawoskrytnq i lewoskrt(tnq polaryzacjy kolowq; zob. rozdz. 22.7). W kazdym z tych przypadkow wielkose skrt(tnosci wynosi n. Okazuje siy, ze klasyczne fotony 0 dodatniej skrytnosci mogq bye przedstawione jako punkty przestrzeni 1P'1I'+, a 0 skrytnosci ujemnej w 1P'1I'-, natomiast wymiar dodatkowy pochodzi od energii fotonu. Opis taki mozna zastosowae do kaidej cZqstki bezmasowej 0 niezerowym spinie nn. W jaki sposob to funkcjonuje? Nie wdajqc siy w szczegoly, przedstawiy tylko najbardziej istotne elementy tego formalizmu. Najpierw warto zdae sobie sprawy, ze pierwsze dwie skladowe twistora Z, z)l i Zl, Sq w istocie dwiema skladowymi 2-spinora w, ktory w zapisie wskaznikowym zanotujemy jako 0/, gdzie W O = ZO i WI = Zl (zob. rozdz. 22.8 i 25.2). Pozostale dwie skladowe Z2 i Z3 twistora Z Sq skladowymi primowanego (dualnego) spinora 1C, ktory w zapisie wskaznikowym zanotujemy jako 1tA" gdzie 1t0' = Z2 i 1t1, = Z3. Czasami piszemy
t
Z
=
(w, 1C)
i w oraz 1C nazywamy cz~sciami spinorowymi twistora Z. Twistor wzglydem niego zespolony sprzt(zony Z rna czysci spinorowe w odwrotnym porzqdku, tzn.:
Z= (n, w), a zatem normt( twistora mozemy przedstawiC w postaci
- a za = Z- ° Z =1C - o W+w - o 1C=1t- WA +w -A' Z 1tA,· A Relacjy odpowiedniosci mit(dzy twistorem Z a punktem czasoprzestrzeni R 0 wspolrzt(dnych Minkowskiego t, x, y, z zapiszemy teraz w postaci w=
inr,
lub w A = i~'1tA' gdzie r (lub ~') rna nastt(pujqce skladowe macierzowe
rOO' r01')=~(t+z X+iY) ( rIo' rH' J2 x-iy t-z . Spinor 1C jest zwiqzany z p~dem czqstki bezmasowej w tym sensie, ze iloczyn zewnt(trzny (bez kontrakcji - zob. rozdz. 14.3) n1C opisuje jego 4-pyd. Spinor w zwi qzany jest momentem pt(du, w tym sensie, ze zsymetryzowany iloczyn win opisuje antysamodualnq czyse 6-momentu pydu cZqstki (rozdz. 18.7, 19.2,22.12,32.2), a zsymetryzowany iloczyn wi 1C opisuje jego czyse samodualnq21. Inaczej niz w przypadku pydu, moment p~du za1e:i:y od wyboru poczqtku 0 czasoprzestrzeni i dlatego czasami mowimy 0 momencie pt(du wzglt(dem O. Ta zaleznose/niezaleznose od wyboru poczqtku ukladu odbija sit( na translacyjnym zachowaniu obu czysci spino-
941
33
Perspektywy bardziej radykalne; teo ria twistorow
rowych, 1C i ro, twistora Z. Kiedy przesuwamy pocz'!tek ukladu 0 do nowego punktu czasoprzestrzennego Q za pomoc,! wektora q wzglt(dem 0, okazuje sit( (przy q w takiej postaci macierzowej jak poprzednio podana), ze czt(sci spinorowe ulegaj,! transformacji[33.14] 1C H 1r
i ro H ro - iq1C.
Istnieje rowniei pewna skalama wielkose, niezalezna od wyboru pocz'!tku ukladu, ktora moze bye skonstruowana z pt(du i momentu pt(du, a mianowicie skr~tnosc s. Okazuje sit(, ze skrt(tnose jest polow'! normy twistora:
s =lZ za =lZ. Z 2 a 2 (orientujemy sit(, ze jest to po prostu czt(se rzeczywista iii· 1C). Faktycznie, formalizm twistorowy pozwala na bardziej zwarte opisanie cz,!stek bezmasowych niz konwencjonalne podejscie 4-wektorowe/tensorowe z rozdz. 22.12. Teraz otrzymalismy sensowne fizyczne przedstawienie twistora niezerowego (z dokladnosci,! do czynnika fazowego Z H e i8Z, z rzeczywistym e) jako wiruj,!cej cz'!stki bezmasowej[33.15 1; por. z rys. 33.6. Nadal jestesmy pozbawieni sensownego geometrycznego wyobrazenia twistora niezerowego, ktorego przedstawienie mozemy uzyskae, rozwazaj'!c kompleksyfikowanq przestrzen Minkowskiego ,
a
[33.30] Dlaczego? Ws-kaz6wka: dlaczego odbicie przestrzenne zamienia twistory w twistory dualne?
961
33
Perspektywy bardziej radykalne; teoria twistor6w
Przynajmniej w przypadku odpowiednio asymptotycznie plaskiej czasoprzestrzeni M istnieje jawna, bezposrednia konstrukcja Tw terminach M. Co wiycej, funkcjonuje - na razie prowizoryczna - propozycja otrzymania M z zadanej T, a wiyc konstrukcja punkt6w czasoprzestrzeni z czysto twistorowej struktury T, 0 kt6rej s,!dzimy, ze pozwoli nam poprawnie uwzglydnic warunek plaskosci Ricciego (pr6zniowe r6wnanie pola Einsteina). Propozycja ta w istotny spos6b wi,!ze siy z dlugofalowym projektem badawczym Ezry T. Newmana i jego koleg6w, kt6rzy proponuj,! interpretowac punkty czasoprzestrzeni w terminach "przekroj6w stozka swietlnego", czyli przeciyc stozk6w swietlnych w M z nieskonczonosci,! zerow'! przysztosci /7+52. Jednak, aczkolwiekjest to bardzo obiecuj,!ce, obecnie pewne waine aspekty konstrukcji twistorowej pozostaj'! nadal nierozwi'lZane53. Innym kierunkiem poszukiwan, kt6rych niew'!tpliwie domagata siy pocz'!tkowa konstrukcja nieliniowego, lewoskrC(tnego grawitonu (z przelomu lat 1975 i 1976), bylo uog61nienie teorii grawitacji na inne pola cechowania. Bardzo wczesnie, bo w latach 1976-1977, Richard Ward pokazal, jak mozna otrzymac og61ne antysamodualne pola cechowania, korzystaj,!c z konstrukcji bardzo podobnej do zastosowanej w przypadku pola grawitacyjnego. Rzeczywiscie, konstrukcja Warda spotkala siy z du.zym zainteresowaniem ze strony matematyk6w i znalazla zastosowanie szczeg61nie w teorii uklad6w calkowalnych Uest to problem r6wnan nieliniowych, dla kt6rych, w odpowiednim sensie, mozna znaleic rozwi,!zanie w og61nym przypadku). Tutaj teoria twistor6w pozwolila uzyskac calosciowe spojrzenie na ten problem54 . Wydaje siC( zupelnie prawdopodobne, ze postc(p w kierunku znalezienia pelnego rozwi,!zania grawitacyjnego zagadnienia mieszanej skrytnosci wskaze nam skrC(tnosci pol a cechowania w ramach forrnalizmu twistorowego.
33.13 W kierunku twistorowej teorii
962
cz~stek
elementarnych
W ten spos6b doszlismy do pytania 0 to, w jaki spos6b teoria twistor6w moze rozwin,!c siy w pein,! teoriy fizyczn,! - kt6r,! na razie nie jest. Aby mogla siy ni,! stac, konieczne jest jej rozwiniC(cie w dw6ch dodatkowych kierunkach. Po pierwsze, musi nam przedstawic sp6jne ujC(cie KTP. Sporo pracy wtozono w tc( dziedzinC(; przede wszystkim wymienic tu nale.zy prace Andrew Hodgesa i jego student6w w Oksfordzie (przy moim wsp6ludziale na pocz'!tku), ale takZe innych, we wczesnych latach siedemdziesi'!tych XX wieku. Rozwinyli nowe podejscie perturbacyjne do KTP, w kt6rym diagramy Feynmana zastC(puje siC( konstrukcjami znanymi jako diagramy twistorowe. Technika ta wprowadza wysokowymiarowe calki po konturze, a zastosowanie tego forrnalizmu odnioslo wiele spektakulamych sukces6w; unikniyto przy tym nieskonczonosci, na jakie natrafiamy, postuguj,!c siC( standardow'! technik'! diagram6w Feynmana55 . Podejscie to jest jednak bardzo skomplikowane, ponadto nie dysponujemy jak,!s niezalezn,! zasad,! kierunkow,!, podobn,! do tej z rozdz. 26.6-8, informuj,!c,! nas 0 tyro, kt6re calkowania po konturach powinnismy wykonac, bez koniecznosci odwolywania siy do konwencjonalnych wyraien Feynmana jako posrednika.
Jaka jest przyszlosc teorii twistorow? 33.14
Drugq z tych dziedzin jest twistorowa teona czqstek elementamych, w ktorej pionierskie prace od polowy lat siedemdziesiqtych do poczqtkow lat osiemdziesiqtych XX wieku wykonali: Zoltan Perjes, George Sparling, Lane Hughston, Paul Tod i Florence Tsou (Tsou Seung Tsun) na podstawie koncepcji wprowadzonych przeze mnie (od tamtej pory rzadko siy do nich wraca). Podstawowa idea sprowadza siy tutaj do tego, ze podczas gdy czqstki bezmasowe mogq bye opisane za pomoC
Przedstawiajqc czytelnikowi teoriy twistorow, pominqiem ostrzezenie, ze moje poglqdy w tym zakresie nie odzwierciedlajq opinii wiykszosci fizykow. Rzeczywiscie, poniewaz polowy mega Zycia poswiycilem teorii twistorow (i jest to ciqgle aktualny przedmiot moich zainteresowan), trudno spodziewae siy, zeby moj do niej stosunek odpowiadal scisle temu, co sqdzi ogromna wiykszose fizykow, ktorzy nie zajmowali siy tymi zagadnieniami. Ponadto chcy zwrocie uwagy, ze spolecznose fizykow, ktorzy majq duzq wiedzy na ten temat, jest raczej niewielka, a z pew-
963
33
Perspektywy bardziej radykalne; teoria twistorow
964
nosciq duzo mniejsza niZ grupa tych, ktorzy wiedzq cos 0 teorii strun czy 0 supersymetrii. W zadnym wypadku niepodobna uznae teorii twistorow za "glowny kierunek" poszukiwan wspolczesnej fizyki teoretycznej. Teoria twistorow, podobnie jak teoria strun, miala jednak bardzo istotny wplyw na badania w zakresie czystej matematyki i fakt ten uWaZany byl za jej najwiykszq zalety. Odegrala waznq roly w rozwoju teorii ukladow calkowalnych (0 czym juz wspomnialem), w teorii reprezentacji56 oraz w geometrii rozniczkowej. (W tej ostatniej dziedzinie powinienem przede wszystkim wymienie pracy Siergieja A. MierkuIowa i L.J. SchwachhOfera, ktorzy dziyki metodom rozwiniytym na podstawie konstrukcji teorii nieliniowego grawitonu zdolali znaleie rozwi¥anie tzw. problemu holonomii57 • Na pokrewnym polu teoria twistorow odegrala istotnq roly w konstrukcji tzw. rozmaitosci Kahlera (hyperkiihler manifolds), "przestrzeni Zolla" etc. 58 ) Teoria twistorow w znacznej mierze motywowana byla wzglydami estetyki matematycznej i wylqcznie matematycznymi zainteresowaniami, zatem w duZym stopniu czerpie swojq sily ze scislej i owocnej matematycznie struktury. Czytelnik rna prawo zapytae szczerze: czyz nie wyjasnialem w rozdz. 31, ze slabose teorii strun polega glownie na jej matematycznym umotywowaniu, poniewaZ w niewielkim tylko stopniu kieruje siy ona ograniczeniami pochodzqcymi ze swiata fizycznego? Pod pewnymi wzglydami krytyka dotyczy tei teorii twistorow. Bardzo trudno uwierzye, opierajqc siy na danych, jakich dostarczaj,! nam wspolczesne obserwacje, ze teoria twistorow wytycza drogy do poznania fizycznych tajemnic swiata. Mozna rowniez uwazae, ze silnie chiralny charakter tej teorii zbyt dalece uwzglydnia asymetriy przestrzenn'!. Poza tym brak fizycznego dowodu, ze asymetria lewo-prawo rna do odegrania jak,!s istotn,! roly w fizyce grawitacji. W rozdz. 27, 28 i 30 podkreslalem koniecznose uwzglydnienia asymetrii czasowej, jesli poszukujemy wlasciwej unifikacji teorii grawitacji z teoriq kwantow, jednak nigdzie nie pojawilo siy fizyczne zqdanie uwzglydnienia asymetrii przestrzennej (bye moze tylko posrednio, przez twierdzenie CPTw KTP; zob. rozdz. 25.4 i 30.2). Jest calkiem prawdopodobne, ze asymetria przestrzenna formalizmu nie przeklada siy na asymetriy efektow fizycznych. Najlepszym argumentem na prawdziwose tego twierdzenia moze bye fakt, iz algebry generowane z jednej strony przez pary (za, -na/aZa), a z drugiej przez (na/aza, ZJ s,! formalnie identyczne. Sugeruje to, ze jeieli otrzymamy jakis rezultat po zastosowaniu opisu twistorowego (zmienne za), rownie dobrze mozemy go uzyskae za pomoq twistorow dualnych (a wiyc zmiennych Wa = Za) i ze to podobienstwo jest tak wielkie, iZ nie moze prowadzic do asymetrii lewo-prawo w ewentualnej teorii grawitacji. Jesli natomiast formalizm ten rna odzwierciedlae Natury, to asymetria lewo-prawo jest niezbydna, gdy teoria przechodzi do opisu slabych oddzialywan (rozdz. 25.3). Obecnie jednak znajdujemy siy na stosunkowo prymitywnym etapie rozwoju teorii i nie rna wyrainego powodu, aby istniala taka roznica. Na razie gtowny zarzut, jaki mozemy postawic teorii twistorow, sprowadza siy do tego, ze nie jest to naprawdy teona fizyczna. Z pewnosciq rozwiqzania, ktore
Jaka jest przyszlosc teorii twistor6w? 33.14
umozliwia, z fizycznego punktu widzenia nie s,! jednoznaczne. UWaZam, moze zbyt optymistycznie, ze teoriy twistorow wolno porownywae z formalizmem hamiltonowskim w fizyce klasycznej. Teoria hamiltonowska nie wprowadza zadnych zmian fizycznych, ale pozwala spojrzee inaczej na fizyky klasyczn,!, co okazalo siC( niezwykle istotne dla sformulowania nowej teorii kwantowej, zgodnie z receptami Schrodingera, przedstawionymi w rozdz. 21-23. Podobnie jest z teori,! twistorow: stanowi ona jedynie przeformulowanie teorii, a to niekoniecznie oznacza wprowadzenie jakichS zmian fizycznych. Nadzieja i optymizm sprowadza siC( do tego, ze w ramach tego formalizmu pojawi siC( wlasciwa propozycja uczynienia zasadniczego kroku w kierunku fizyki przyszlosci. Oczywiscie, sceptycy nie musz'! wierzye, ze w ten sposob nast,!pi rozwoj teorii, i mog,! uwazae, iz glowna wartose teorii twistorow, podobnie jak teorii strun (czy teorii M), sprowadza siC( do matematycznej atrakcyjnosci. Warto jednak zauwaiye, ze obecnie owe teorie s,! matematycznie niezgodne, poniewaz operuj,! roznymi wartosciami wymiarow czasoprzestrzennych. Mozna zasadnie (chociaz moze zbyt radykalnie) stwierdzie, ze z teorii twistorow wynika, iz aspiracje teorii strun s,! falszywe - albo, odwrotnie, ze z teorii strun wynika, iz blC(dna jest teo ria twistorow! Ta niezgodnose nie rozci,!ga siC( na warianty czy tez reinterpretacje teorii strun (lub teorii M), w ktorych te dodatkowe wymiary nie s,! traktowane jako wymiary czasoprzestrzeni, lecz uwazane za pewnego rodzaju wymiary "wewnC(trzne". Aczkolwiek wydaje siC(, ze owe reinterpretacje otwieraj,! mozliwose uzgodnienia punktow widzenia, to jednak nie prezentuj,! tych motywacji, ktore doprowadzily do powstania teorii strun. W zwi,!zku z tym chcialbym przypomniee czytelnikowi 0 wynikach uzyskanych niedawno, szczegolnie przez Edwarda Wittena S9 , 0 ktorych wspominakm w rozdz. 31.18. Prace te zwracaj,! uwagC( na pewne fascynuj'!ce mozliwosci zwi'!zane z nowym spojrzeniem na amplitudy rozpraszania Yanga-Millsa. L'!cz'! one koncepcje teorii twistorow z ide ami teorii strun, ale teraz juz w kontekscie 4-wymiarowym! W kazdym razie teoria twistorow wymaga jakiegos nowego pomyslu. Wsrod najwazniejszych skladnikow innych skutecznych teorii fizycznych wymienimy formalizm lagranzowski i calki po drogach Feynmana, dziC(ki ktorym w KTP mamy metodC( radzenia sobie z rownaniami pola (zob. rozdz. 26.6). Teoria twistorow szczyci siC( usuniC(ciem rownan pol a (rozdz. 33.9, 11), widae jednak wyrainie, ze S,! konieczne jakies nowe idee, aby mogla przeksztalcie siC( w peln,! twistorow'! KTP60. Czy teoria twistorow da nam nowe "przewidywania"? lako takie "przewidywanie" mozemy potraktowae implikacjC( zawart'! w jej podstawach, zgodnie z ktor,! WszechSwiat powinien charakteryzowae siy ujemn,! krzywizn,! przestrzenn'!, a wiC(c ze K < O. Aby dostrzec podstawy takiej konkluzji, przypomnijmy sobie z rozdz. 27 i 28 (a szczegolnie z rozdz. 27.13), ze Wielki Wybuch powinien byl miee nadzwyczaj jednorodny charakter, w czym bardzo przypomina jeden z modeli FLRW. Modele te S,! konforemnie plaskie (krzywizna Weyla znika) i mog,! bye bardzo
965
33
Perspektywy bardziej radykalne; teo ria twistor6w
966
przystt(pnie opisane w terminach plaskiej przestrzeni twistorowej (CJP'3)61. W kazdym z przypadkow K > 0, K = 0, K < 0 istnieje dokladna grupa symetrii, ale tylko w przypadku K < 0 jest to grupa homomorficzna, czyli dokladnie ta grupa, z ktorq wybralismy sit( na wt(drowkt( w kraint( "magii zespoJonej" teorii twistorow, a mianowicie grupa Lorentza 0(1,3), ktora (przy pominit(ciu odbie) jest grupq holomorficznych transformacji sfery Riemanna. Gdzie szukae tej sfery Riemanna? Jest niq "nieskonczonose" 3-przestrzeni hiperbolicznej - jak okrqg graniczny obrazu Eschera, przedstawiony na rys. 2.11 - anaJogiczna do sfery niebieskiej z rozdz. 18.5 jako brzeg 3-przestrzeni hiperbolicznej z rozdz. 18.4; zob. rys. 18.10. Wiemy, ze K < 0 jest przewidywaniem nie tyle teorii twistorow, ile leZ,!cej u jej podstaw filozofii holomorficznej. ezy jestesmy w stanie sformulowae dalej idqce wnioski i powiedziee cos 0 stalej kosmologicznej A? Obecnie proponowane konstrukcje twistorowe (zob. rozdz. 33.12) jakby w naturalny sposob uwzglt(dniajq rownanie prozniowe Einsteina jedynie w przypadku A = 0 i trudno sobie wyobrazie, jak ta procedura winna bye zmodyfikowana, aby uwzglt(dnie przypadek A *- O. ezy z tego wynika, ze teoria twistorow przewiduje A = O? Lepiej, zeby tak nie bylo (niezaleznie od faktu, ze ja sam preferowalem poprzednio przypadek A =O)! Obecnie bardzo wiele najnowszych danych obserwacyjnych (zob. rozdz. 28.10) mocno wspiera poglq.d, ze A > O. Stawia to przed teoriq twistorow nowe wyzwania. Wiadomo, ze teoria twistorow wymaga jeszcze duio pracy, zanim stanie sit( w pelni godn,! szacunku teoriq fizycznq! A co z regulami teorii kwantowej? ezy teoria twistorow ukazuje jakqs drogt( zmiany, odpowiednio do aspiracji przedstawionych w rozdz. 30? Grawiton nieliniowy z rozdz. 33.11 wskazuje, ze podejscie twistorowe pomaga wprowadzie (nieliniowe) modyfikacje regul mechaniki kwantowej. Na razie jednak w formalizmie twistorowym niewiele wskazuje na mozliwose uwzglt(dnienia fundamentalnej asymetrii czasowej, co wydaje sit( nieodzowne w swietle dyskusji rozdz. 30.2, 3, 9. Pewnq nadziejt( na przyjt(cie tej asymetrii stwarza wspomniane w rozdz. 33.12 uiycie formalizmu w wersji googly. Mozliwosci w tym zawarte muszq poczekae na dalszy rozwoj teorii, a uwagi przedstawione w poprzednim akapicie warto zachowae w pamit(ci. Na razie teoria twistorow nie mowi niczego specjalnie uiytecznego na temat kwantowej redukcji stanu, chociaz ten fenomen stanowil znaczqcq cZt(se motywacji do zajt(cia sit( tq teoriq. Na koniec kilka slow 0 statusie filozofii holomorficznej, ktora stanowi glown'! silt( napt(dow,! teorii twistorow. Wydaje mi sit(, ze uczciwose nakazuje przyznae, ii: ta filozofia zachowala status pott(znej sily sprawczej i pod pewnymi wzglt(dami przekroczyla nasze oczekiwania (jak w przypadku reprezentacji twistorowej pol bezmasowych, zarowno liniowych, w rozdz. 33.8-10, jak i nieliniowych, w rozdz. 33.11, 12.) Niestety, na pewnym etapie teoria ta bt(dzie musiala stan,!e przed koniecznosciq wyjasnienia roli liczb rzeczywistych w fizyce oraz zachowan nieholomorficznych, takich jak pojawienie sit( wartosci prawdopodobienstwa (zgodnie z nieholomorficznq regulq kwadratu modulu Z H IzI 2), a tatie rzeczywistosci punktow
Przypisy czasoprzestrzeni, w ktorych chcemy miec moiliwosc uwzgl«dnienia zachowan nieanalitycznych Qui nie mowi,!c 0 nieholomorficznych). Jesli chodzi 0 to ostatnie zagadnienie, pewn'! zach«t« znajdujemy w znakomitej teorii hiperfunkcji, wprowadzonej pod koniec rozdz. 9 (zob. rozdz. 9.7), zgodnie z ktor,! zachowania nieanalityczne mog,! zostac elegancko uj«te w kontekscie operacji holomorficznych. Jak dalece przyszla teoria twistorow b«dzie w stanie poradzic sobie z tymi problemami, pozostaje spraw,! przyszlych badan.
Przypisy Rozdzial 33.1 Zob. Ahmavaara (1965). 2 Zob. Schild (1949); Snyder (1947). 3 Zob. Sorkin (1991); Markopoulou, Smolin (1997); jedn,! z najwainiejszych w tej dziedzinie byla praca Markopoulou (1998). 4 Zob. Kronheimer, Penrose (1967); Geroch, Kronheimer, Penrose (1972); Hawking, King, McCarthy (1976); Myrheim (1978); 't Hooft (1978b). 5 Zob. Finkelstein (1969). 6 Zob. Smolin (2001); Giirsey, Tze (1996); Dixon (1994); Manogue, Schray (1993); Manogue, Dray (1999). 7 Zr6dlow'! publikacj,! jest praca Regge (1962). Nieformalny (lecz zawieraj,!CY duio informacji) przegl,!d napisal Immirzi (1997). 8 Idee te Jozsa przedstawil w swojej pracy doktorskiej; zob. Jozsa (1981). 9 Zob. Isham, Butterfield (2000). 10 Zob. Goldblatt (1979). 11 Zob. Eilenberg, MacLane (1945); MacLane (1988); Lawvere, Schanuel (1997). 12 Zob. Baez, Dolan (1998); Baez (2000); Baez (2001); Chari, Pressley (1994). 13 Zob. Connes, Berberian (1995). 14 Istnieje wiele innych zastosowan geometrii niekomutatywnej, zar6wno w czystej matematyce, jak i w fizyce; zob. Connes (1990, 1998). Jako przyklad tego ostatniego skonstruowano elegancki formalizm ujmuj,!CY w spos6b jednolity problem renormalizacji; zob. rozdz. 26.9 i Kreimer (2000). 15 Zob. Connes, Berberian (1995). 1
Rozdzial33.2 Aby podac pein,! definicjy lP'N, musimy doi,!czyc jeszcze sfery Riemanna "promieni swietlnych w nieskonczonosci"; zob. rozdz. 33.3. 17 Dla tego celu potrzebne bylyby odpowiednie wielkosci nieskierowane (skalarne) charakterystyczne dla grupy Poincarego (a mianowicie operatory Casimira; zob. rozdz. 22.12). Wielkosciami tymi S,! spin catkowity i masa spoczynkowa (kwadrat masy). Masa spoczynkowa nie jest jednak wielkosciq, kt6ra stanowi catkowit'! wielokrotnosc czegokolwiek, w zwiqzku z czym kombinatoryczny aspekt takiego podejscia nie jest Jasny. Mimo to koncepcjy ty rozwin'!t John Moussouris w pracy doktorskiej z 1983 roku na Uniwersytecie Oksfordzkim (zob. Moussouris 1983). Takie ujycie wymaga dodatkowych oznaczen na liniach sieci, uwzglydniaj,!cych zar6wno spin, jak i masy. 16
18
Rozdzial33.3 Zob. McLennan (1956); Penrose (1963, 1964, 1965a, 1986).
967
33
Perspektywy bardziej radykalne; teoria twistorow
Rozdzial 33.4 Zob. Penrose, Rindler (1986), w szczeg6lnosci Appendix. 20 Zob. Harvey (1990); Penrose, Rindler (1986); Budinich, Trautman (1988). 19
Rozdzial33.6 Zob. Huggett, Tod (2001). 22 Z kai:dym zdarzeniemxw czasoprzestrzeni zwi,!zane S,! dwa kierunki zerowe. Jednym z nich jest kierunek "promienia swietinego" przechodz,!cego z tej rodziny przez x, a drugim kierunek 4-pydu cz'!stki, jak,! reprezentuje twistor. Te dwa kierunki zerowe S,! "gt6wnymi kierunkami zerowymi" - tzn. S,! kierunkami zdefiniowanymi w przedstawieniu Majorany (zob. rozdz. 22.10) - momentu pydu Gego samodualnej lub antysamodualnej cZysci), kt6ry rna ta czqstka. Zob. Wald (1984); Huggett, Tod (2001). 23 Zob. Penrose (1975); Penrose (1987b). 21
Rozdzial 33.7 Zob. Penrose (1968b); Huggett, Tod (2001). 25 Zob. Huggett, Tod (2001); Penrose, Rindler (1986); Hughston (1979). 24
Rozdzial33.8 Zob. Dirac (1936); Fierz (1938, 1940); Penrose (1979b). 27 Zob. Fierz, Pauli (1939); Penrose, Rindler (1986); Penrose (1965a); Penrose, MacCallum (1972). 28 Zob. Penrose (1968b, 1969b, 1987); Huggett, Tod (2001); Houghston (1979); Whittaker (1903); Bateman (1904, 1944). 29 To jest [:2, kt6ra reprezentuje liniy n w lP'N (rys. 33.11). Wiykszosc teoretyk6w zajmujqcych siy teori,! twistor6w lepiej zna calkowicie rzutow'! wersjy tej calki po konturze, w kt6rej w miejcu 2-formy T = d1to• /\ d1t l • korzysta siy z 1-formy 1= 1to.d1t l . - 1t 1.d1to.' Calka po konturze jest tam 1-wymiarowa i jej zwiqzek z podanym tutaj przepisem 2-wymiarowym pol ega na tym, ze jeden z tych wymiar6w (dany przez okrqg SI) redukuje podanq tu nierzutowq wersjy do bardziej znanej wersji rzutowej. Zaletq obecnej wersji jest to, ze pozwala na opis stan6w o mieszanej skrytnosci. 30 Zob. Huggett, Tod (2001); Hughston (1979); Penrose, Rindler (1986). 31 Teoria twistor6w zawdziycza Sir Michaelowi Atiyahowi pionierski wktad w realizacjy tych idei. Zob. Penrose (1979b), gdzie przedstawione zostaly pierwsze koncepcje kohomologii twistor6w, oraz Eastwood et al. (1981) - tam bardziej szczeg610we om6wienie. 26
Rozdzial33.9 Formalizm ten nosi nazwy kohomologii Cecha. Istnieje r6wniez wiele innych sposob6w dojscia do koncepcji kohomologii. Zob. Wells (1991); Ward, Wells (1989); Griffiths, Harris (1978). 33 Gunning, Rossi (1965). Zob. Penrose, Rindler (1986); Ward, Wells (1989); Wells (1991). 34 Zob. Gunning, Rossi (1965); Penrose, Rindler (1986). 35 Zob. Penrose, Rindler (1986). 36 Zob. Penrose (1958). 37 Zob. Penrose (1991). 38 Zob. Penrose, Rindler (1986); Gunning, Rossi (1965); Griffiths, Harris (1978); Chern (1979); Wells (1991). 39 Zob. literatury w przyp. 38 w tym rozdziale oraz Eastwood, Penrose, Wells (1981). 32
40
968
Rozdzial 33.10 Odwr6cenie znak6w + i - nie rna zadnego znaczenia. To po prostu przykry wypadek przy ich doborze; zob. rozdz. 9.2.
Przypisy Wystt(pujq tu pewne subtelnosci techniczne. Jesli wyjsciowe pole nie jest analityczne (nie jest CW), to te pola (na M) mogq okazac sit( hiperfunkcyjne w sensie rozdz. 9.7; zob. Bailey, Ehrenpreis, Wells (1982). 42 Zob. Hodges, Penrose, Singer (1989). 43 Zob. Penrose (1987b). 41
Rozdzial 33.11 Zob. Penrose (1976a, 1979b); Ward (1977); Penrose, Ward (1980); Penrose, Rindler (1986). 45 Mamy tu do czynienia z pewnq subtelnosciq technicznq, albowiem nie jest to holomorJiczna wiqzka wloknista (rozdz. 15.5), pomimo ze wszystkie operacje zastosowane przy jej konstrukcji Sq holomorficzne. Powodem jest to, ze lokalnie w przestrzeni 1t nie mamy scisle holomorficznej przestrzeni iloczynowej. Przestrzeii T nazywa sit( uwl6knieniem holomorJicznym. Zob. Penrose (1976b). 46 W normalnych warunkach; zob. Penrose, Ward (1980). 47 Zob. Kodaira (1962). 48 Albo w przypadku rzeczywistym dodatnio okreslonym (+ + + +), alba w przypadku rozszczepionej sygnatury (+ + - -). Zob. Penrose (1976b); Hansen et al. (1978); Atiyah, Hitchin, Singer (1978); Dunajski (2002). 49 Dlatego wydaje sit(, ze istnieje tu znaczqcy zwiqzek z koncepcjq topologicznej KTP, 0 ktorej mowilismy w rozdz. 32.5; zob. przyp. 17 w rozdz. 32. 44
Rozdzial 33.12 Istnieje podejscie do tych problemow, ktore cechuje symetria wzglt(dem odbic, znane jako formalizm ambitwistor6w, ktore pozwolilo osiqgnqc znaCZqce rezultaty; zob. Penrose (1973); LeBrun (1985, 1990); Isenberg, Yasskin, Green (1978); Witten (1978). Zob. rowniez Penrose, Rindler (1986). Ambitwistor w plaskiej przestrzeni jest w zasadzie parq (Wa' za), gdzie WJa = 0, ktora opisuje zespolony promieii swietlny. Taki opis nie zgadza sit( z filozofiq traktowania "funkcji twistorowych jako funkcji falowych", jakq juZ przyjt(lismy, poniewaZ opis ambitwistorowy przypomina raczej opis klasyczny, w ktorym pojawiajq sit( razem zarowno sarna zmienna, jak i zmienna z niq sprzt(zona - w tym wypadku za i Wa - a nie, jak w przypadku funkcji falowej, w ktorej wystt(puje albo jedna, albo druga. Podejscie ambitwistorowe grozi rowniez powaZnymi trudnosciami matematycznymi przy opisie pol nieliniowych. 51 Zob. Penrose (2001). 52 Zob. np. Fritelli, Kozameh, Newman (1997); Bramson (1975); Penrose (1992). 53 Zob. Penrose (2001). 54 Zob. Mason, Woodhouse (1996). 50
55
Rozdzial 33.13 Zob. Penrose, MacCallum (1972); Penrose, Rindler (1986), s. 149, gdzie podane Sq pewne odsylacze do starszej literatury; zob. Hodges (1982, 1985, 1998), gdzie znajdziemy nowsze wyniki.
Rozdzial 33.14 Zob. Bailey, Baston (1990); Baston, Eastwood (1989); Mason, Woodhouse (1996), gdzie znajdziemy przyklady zastosowania twistorow w matematyce. 57 Zob. Merkulov, Schwachh6fer (1998). 58 Zob. Gindikin (1986, 1990); Lebrun, Mason (2002). 59 Zob. przyp. 76 z rozdz. 31. 60 Aczkolwiek lagranzjany odgrywajq w teorii twistorow pomocniczq rolt( w zrozumieniu oddzialywaii fizycznych, to ich ogolne sformulowanie w ramach tej teorii pozostawia wiele do Zyczenia. Jest swego rodzaju ironiq, ze glowny sukces teorii twistorow, polegajqcy na tym, iz 56
969
33
Perspektywy bardziej radykalne; teo ria twistor6w
61
przedstawia ona pola fizyczne w sposob, ktory implicite rozwiqzuje ich rownania pola (za pomocq jednorodnych funkcji twistorowych, w przypadku swobodnych pol bezmasowych) prowadzi wiasnie do trudnosci z lagranzowskim sformuiowaniem. W konwencjonalnym formalizmie kwantowym rownania pola pochodzq z "sum po historiach" (rozdz. 26.6), w ktorych, aby ta koncepcja miaia sens, musi istniee jawna mozliwose naruszenia rownan pola. Wowczas poprawki kwantowe do teorii klasycznej wynikajq ze szczegoiowego badania caiek po drogach. Ta mozliwose znika zupeinie, jesli formalizm nie pozwala na naruszenie rownan pola! Wydaje mi siy, ze konieczne jest nowe rozumienie tego, czym Sq naprawdy lagranzjany w teorii twistorow, a nawet, ogolnie, w fizyce teoretycznej. Bye moze wiqze siy to z kiopotami, 0 jakich mowHem pod koniec rozdz. 26.6, i z caikiem zasadniczq kwestiq, kt6ra otwiera niemal powszechny problem rozbieznosci, jakie powstajq przy caikowaniu po drogach (zob. rozdz. 26.6). Por. jednak koniec rozdz. 32.5 i przyp. 17 w rozdz. 32. Penrose, Rindler (1986), rozdz. 9.5.
34 Kt6rQdy wiedzie droga do rzeczywistosci? 34.1 Wielkie teorie XX wieku -
i co dalej?
NA POCZ1\TKU trzeciego tysi,!clecia spr6bujmy spojrzec za siebie i dokonac przegl,!du najwazniejszych element6w wiedzy czerpanej z teorii fizycznych dotycz'!cej fundamentalnych wlasciwosci zadziwiaj,!cego swiata, w kt6rym przyszlo nam ryc. Nie rna najmniejszej w'!tpliwosci (rozdz. 31, 11, 12), ze zrobilismy ogromny postyp w jego zrozumieniu dziyki dokonaniu wnikliwych obserwacji i genialnych eksperyment6w i posluzeniu siy glybokimi i trafnymi analizami teoretycznymi oraz argumentacj,! matematycZll,!, opart'! zar6wno na skomplikowanych, choc rutynowych procedurach, jak i na inspiruj,!cych pomyslach najwyzszej klasy. Przeszlismy dlug,! drogy od sposobu, w jaki starorytni Grecy rozumieli geometriy przestrzeni, przez mechaniky Newtona do wspanialej konstrukcji mechaniki klasycznej, a potem do teorii elektromagnetyzmu Maxwella i do termodynamiki. XX wiek obdarzyl nas szczeg6ln,! teori,! wzglydnosci, z kt6rej zrodzila siy genialna i nadzwyczaj precyzyjnie zweryfikowana og6lna teoria wzglydnosci Einsteina, nadto odkrylismy nieslychanie tajemnicz,!, ale bardzo dokladn,! i obejmuj,!C'! szerok'! klasy zjawisk mechaniky kwantow'!, od kt6rej byl juz tylko krok do kwantowej teorii pol a (KTP), a da1ej do pelnego sukces6w standardowego modelu cz,!stek elementarnych i kosmologii. W krygach pewnych siebie teoretyk6w nierzadko mozna bylo spotkac pogl,!d, ze "teoria wszystkiego" jest w zasiygu ryki, a z pewnosci,! nie dalej niz horyzont XX wieku. CZysto komentarze tego rodzaju poparte byly nadziejami zwi'!zanymi z aktualnym statusem "teorii strun". Obecnie, kiedy teoria strun ulegla magicznej metamorfozie w konstrukcje (takie jak np. teoria M lub teoria F), kt6rych natura pozostaje fundamentalnie niewyjasniona, 6w punkt widzenia jest trudny do utrzymania. Moim zdaniem jestesmy znacznie dalej od "ostatecznej teorii", niz to siy moze wydawac. W og6le nie wierzy, zeby kierunki rozwoju, kt6re naszkicowalem w rozdz. 31, prowadzily we wlasciw,! strony. Niew'!tpliwie, idee strunowe (oraz inne z nimi zwi,!zane) doprowadzily do powstania ciekawych konstrukcji matematycznych. lednak nie przekonuje mnie to, ze przedstawiaj,! cos innego niz tylko ciekawe konstrukcje matematyczne, kt6re zawdziyczaj,! swoje pochodzenie glybokim ideom fizycznym. Nie widzy powodu, aby wierzyc, iz teorie, w kt6rych przyjmuje siy wyzsze wymiary czasoprzestrzeni niz te, jakie mozemy bezposrednio ob-
34
Ktor{ldy wiedzie droga do rzeczywistosci?
972
serwowae (a wiyc 1 + 3), moglyby w istotny sposob poglybie nasze zrozumienie fizyki. W przypadku innych zaproponowanych schematow, z ktorych glowne naszkicowalem w rozdz. 32 i 33, i ktore bardziej mi odpowiadaj,!, nie mam w'!tpliwosci, ze im rowniei brak czegos bardzo istotnego. Nie byloby roztropne prognozowanie z przekonaniem, ze teorie te wyznaczaj'! wlasciwy kierunek poszukiwan, ktory pozwoli nam wreszcie odkrye prawdziw,! drogy do zrozumienia fizycznej rzeczywistosci. A jednak w XX wieku rodzaj ludzki zrobil gigantyczny krok naprzod w kierunku takiego zrozumienia, a ja w tej pracy usilowalem przekazae czytelnikowi pewne informacje 0 tym, co juz udale siy osi,!gn,!e. Za najwiyksze osi,!gniycie mysli ludzkiej w minionym stuleciu uwazam ogoln,! teoriy wzglydnosci Einsteina. Bye moze wiykszose fizykow bydzie przekonana, ze jeszcze wiykszym osi,!gniyciem jest mechanika kwantowa (i KTP). Z mojego szczegolnego punktu widzenia nie mogy siy z tym zgodzie. Aczkolwiek, bez w'!tpienia, teoria kwantowa wyjasnHa nam nieporownanie wiycej zjawisk i faktow niz ogolna teoria wzglydnosci, to jako leoria nie uzyskala jeszcze waloru niezbydnej spojnosci. Zasadniczym problemem, jak o tym pisalem obszernie w rozdz. 29, pozostaje paradoks pomiaru. Moim zdaniem teoria kwantow jest wci,!z niepelna. Gdy uda nam siy j,! uzupelnie - spodziewam siy, ze to nast,!pi w XXI wieku - bydzie to nawet wiyksze osi,!gniycie nil: ogolna teoria wzglydnosci Einsteina. Istotnie, jak to wynika z rozwaZan rozdz. 30, taka zupelna mechanika kwantowa bydzie musiala zawierae w sobie teoriy Einsteina jako przypadek graniczny w przedziale wielkich mas i odleglosci. (Mam nadziejy, ze na podstawie argumentow przedstawionych w rozdz. 31.8 wiadomo, iz nie uwazam, zeby teoria stmn dawala szansy takiej unifikacji, bez wzglydu na przeciwne opinie gloszone przez jej entuzjastow.) Jestem przekonany, ze ogolna teoria wzglydnosci pozostanie w nauce jako opis czasoprzestrzeni w granicy wielkich rozmiarow (w ktorej teoria Einsteina dopuszcza istnienie stalej kosmologicznej A), aczkolwiek musimy spodziewae siy powaznych jej modyfikacji zwi'!zanych z absurdalnie malymi dlugosciami Plancka rZydu 10-35 m alba w poblizu osobliwosci czasoprzestrzeni, gdy gystose materii, w jednostkach Plancka, staje siy rZydu 5 x 1093 gystosci wody. Taki pogl,!d na status ogolnej teorii wzglydnosci naleiy obecnie uwazae za konwencjonalny. Natomiast jej status obserwacyjny, przynajmniej na tym koncu skali, gdzie znajduj,! siy orbituj,!ce gwiazdy neutronowe i efekty soczewkowania grawitacyjnego, a nawet czarne dziury, naleiy uznae za znakomity. Imam tutaj na mysli standardow'! teoriy Einsteina, bez stalej kosmologicznej. A jak przedstawia siy zagadnienie stalej kosmologicznej? Obserwacje przeprowadzone w ci,!gu ostatnich kilku lat dose jednoznacznie wskazuj,! na jej dod atni,! wartose. Jesli rzeczywiscie jest stala kosmologiczna, to w zwyklych, lokalnych terminach musi ona bye bardzo mala. Kiedy myslimy 0 stalej kosmologicznej A jako 0 krzywiznie, wowczas oznacza ona odwrotnose kwadratu odleglosci, a ta odleglose jest porownywalna z promieniem obserwowalnego WszechSwiata, a zatem Ajest z pewnosci,! do pominiycia wszydzie poza skal,! kosmologiczn'!. Jdli chcemy
Wielkie teorie xx wieku - i co dalej?
34.1
interpretowae A jako gystose efektywn'l, .f2A ' wowczas ta gystose nie moze bye wiycej nu 2lub 3 razy wiyksza od sredniej gystosci materii naszego obecnego Wszechswiata, a wiyc okolo 10-27 kgm-3, czyli znacznie mniejsza niz najlepsza sztuczna proznia, jak'l, udalo siy kiedykolwiek wytworzye na Ziemi. I w tym przypadku A moze miec znaczenie jedynie w skali kosmologicznej. Mimo to na bazie koncepcji formulowanych przez znawcow KTP A jest naprawdy miar'l, efektywnej gystosci prozni generowanej przez "kwantowomechaniczne fluktuacje prozniowe" (co wi<j,Ze siy z zasad'l, nieoznaczonosci Heisenberga w KTP; zob. rozdz. 21.11, a takZe rozdz. 29.6, 30.14) i zgodnie z tym "powinna" miee rozmiar (porownywalny z wartosci'l, Plancka), ktory jest okolo 10120 razy (a moze tylko, jak niektorzy sugeruj'l" 1060 razy) wiykszy nu gorna granica wielkosci obserwowanych! Fakt ten uwaza siy za fundamentalny problem w KTp 1, nierozwi'l:Zany przez zadne z konwencjonalnych podejse do kwantowej teorii grawitacji ani przez teoriy strun. Moj stosunek do niego jest mniej emocjonalny nu u wielu moich kolegow. Przypuszczam (zob. rozdz. 30.14), ze zagadnienie "fluktuacji prozniowych" bydzie musialo zostae gruntownie zrewidowane w momencie pojawienia siy lepszej kwantowej teorii grawitacji oraz lepszej KTP. Musimy, oczywiscie, wzi'l,e pod uwagy ogromny wachlarz zjawisk, ktore potwierdzaj'l, slusznosc istniej'l,cej mechaniki kwantowej i KTP. Chcialbym podkreslic, ze nie rna tu zadnej sprzecznosci z pogl'l,dem przedstawionym w rozdz. 30, gdzie antycypowalismy zmianyw podstawach teorii kwantowej. Jak dot'l,d, nie przeprowadzono zadnego eksperymentu na poziomie zblizonym do poziomu "grawitacji kwantowej", po ktorym spodziewam siy, ze uwidoczni koniecznose zmian i spowoduje obiektywne wyst'l,pienie redukcji wektora stanu (grawitacyjnej OR). Obserwowane efekty spl'l,tania kwantowego na odleglosciach do 15 kilometrow2 S'l, calkowicie zgodne z perspektyw'l, tych zmian, poniewaz w tych efektach spl'l,tania bior'l, udzial jedynie pary fotonow 0 energiach rZydu 10-19 J, natomiast nie spodziewamy siy spontanicznej redukcji stanu zgodnej z grawitacyjn'l, OR, dopoki fotony nie zostan'l, zarejestrowane (a wiyc gdy OR wyst'l,pi w samym urz'l,dzeniu pomiarowym). Obecn'l, sytuacjy doswiadczaln'l, w kontekscie slusznosci mechaniki kwantowej w przypadku znacz'l,cego ruchu mas najlepiej ilustruj'l, eksperymenty przeprowadzone w Wiedniu przez Antona Zeilingera i jego wspolpracownikow3• Ich doswiadczenia, ktore w zasadzie prezentuj,! typ eksperymentu dwoch szczelin, wykorzystuj'l, cz'!steczki C 60 (a takZe C70 ) , tzw. bucky balls. S'l, to fullereny, w ktorych kazda cZ'l,steczka sklada siy z 60 atomow wygla, tworz'l,cych bardzo piykn'l, symetryczn'l, struktury, przypominaj'l,C'l: uklad szwow na pike futbolowej (cz'l,steczka C70 , skladaj'l,ca siy z 70 atomow wygla, jest nieco mniej symetryczna). Te cZ'l,steczki maj'l, okolo jednego nanometra srednicy i interferuj'l, ze sob'l" jesli zblu'l, siy do siebie na odleglosc okolo 10-7 m, a wiyC okolo 100 razywiyksz'l, niz rozmiar "pilki". Zgodnie z rozwazaniami przeprowadzonymi w rozdz. 30.11, taka superpozycja moglaby istniec jakies sto tysiycy lat, zanim nast'l,pilaby spontaniczna redukcja stanu, odpowiadaj'l,ca grawitacyjnej OR, a zatem nie wystypuje tu zadna sprzecznose z eksperymentem Zeilingera.
973
34
Kt6r~dy
974
Naturalnie, ta sytuacja moze ulec zmianie w zwiqzku z opracowaniem nowych doswiadczen. Projekt kosmiczny typu FELIX, opisany w rozdz. 30.13, lub jakis eksperyment wywodzqcy siy z prac Dika Bouwmeestera w Santa Barbara moglyby stworzye mozliwose bezposredniego przetestowania schematu grawitacyjnej OR, ale z pewnosciq pojawiq siy rowniei: inne mozliwosci doswiadczalne, ito prawdopodobnie juz na poczqtku XXI stulecia. UWaZam ty perspektywy za niezwykle ekscytujqc~ i dostrzegam wysokie prawdopodobienstwo, ze eksperymenty tego rodzaju w sposob znaczqcy zmieni~ nasze pojmowanie mechaniki kwantowej. A juz co najmniej ich wynikiem bydzie powaZne ograniczenie pola do spekulacji na temat tego, jak nalezaloby modyfikowae mechaniky kwantowq, aby dostosowae jq do przyszlej teorii. Taki stan rzeczy wyraznie kontrastuje z obecnq (a taki:e mozliwq do przewidzenia) sytuacjq eksperymentalnq w odniesieniu do innych podejse, zmierzajqcych do polqczenia grawitacji i teorii kwantow, takich jak opisane w rozdz. 31-33. Wiykszose zglaszanych propozycji eksperymentalnych, zaprojektowanych w celu zbadania tego rodzaju koncepcji, wymaga cZqstek 0 gigantycznych energiach, wykraczajqcych daleko poza istniejqce obecnie (lub powaznie planowane) mozliwosci akceleratorow czqstek. (Jedyny wyjqtek, 0 ktorym wiem, stanowiq eksperymenty zaprojektowane do przetestowania mozliwosci istnienia "duZych" dodatkowych wymiarow (rozdz. 31.4), ktorych skutkiem mogloby bye naruszenie, na malych odleglosciach, grawitacyjnego prawa odwrotnosci kwadratu odleglosci, a tilie pewne projekty slabo zwiqzane z kwestiq naruszenia kowariancji lorentzowskiej przy wysokich energiach, co tez mogloby bye wynikiem efektow kwantowo-grawitacyjnych4.) Mamy rzeczywiscie do czynienia z klopotliwym przypadkiem, zwiqzanym z testowaniem kaZdej koncepcji grawitacji kwantowej, w ktorej wynikiem polqczenia bylaby jedynie modyfikacja struktury czasoprzestrzeni (na ekstremalnie malych odleglosciach lub w czasach Plancka), podczas gdy procedury mechaniki kwantowej pozostalyby nienaruszone. Od strony doswiadczalnej jestesmy w znacznie lepszej sytuacji, jesli, jak to sugerowalem w rozdz. 30, zgodzimy siy na takq modyfikacjy mechaniki kwantowej, ktora bydzie uwzglydniala wyniki ogolnej teorii wzglydnosci, poniewaz dziyki obecnym mozliwosciom technologicznym mozna zrealizowae proponowane eksperymenty. Gdyby te doswiadczenia udalo siy skutecznie przeprowadzie, a ich wyniki wskazywalyby na koniecznose zmiany regul mechaniki kwantowej, to uzyskalibysmy w koncu solidne fizyczne uzasadnienie postulatow matematycznych, ktore wspotczesnie stanowiq glowny stymulator poszukiwania kwantowej teorii grawitacji. Brak danych eksperymentalnych, wspierajqcych wysuwane zwykle projekty unifikacji grawitacji i teorii kwantowej, doprowadzil do kuriozalnej sytuacji w zakresie teorii podstawowych problemow fizyki. Wydaje siy, ze zostal osiqgniyty ogolny konsens, polegajqcy na tym, ii: jesli chcemy naprawdy wyjse poza standardowy model fizyki cZqstek elementamych (i kosmologii) i w ten sposob uzyskae glybsze zrozumienie podstawowych elementow skladowych naszego Wszechswiata, to teoria kwantowa, oprocz oddzialywan silnych, slabych i elektromagnetycznych, musi objqe
wiedzie droga do rzeczywistosci?
Fizyka fundamentalna inspirowana matematycznie
34.2
takZe oddzialywania grawitacyjne. Stanowisko takie wynika czysciowo z przyjycia zaloienia (niew~tpliwie uzasadnionego fizycznie), ie skonczona KTP (w przeciwienstwie do teorii jedynie renormalizowalnej) wymaga "odciycia" (cut off) osobliwosci na odleglosciach Plancka, a zatem musz~ pojawic siy efekty grawitacyjne (zob. rozdz. 31.1). Poniewai jednak nie dysponujemy iadnymi danymi eksperymentalnymi w tej materii, to, z koniecznosci, wysilki teoretykow w duZym stopniu zeszly na drogy penetrowania wewnytrznego swiata dezyderatow matematycznych.
34.2 Fizyka fundamentalna inspirowana matematycznie
Wzajemne oddzialywanie i przenikanie idei matematycznych oraz procesow fizycznych bylo stalym tematem rozwaian prowadzonych w tej ksi~ice. W calej historii nauk fizycznych postyp dokonywat siy na drodze znajdowania rownowagi miydzy rygorami, pokusami i rewelacjami konstrukcji matematycznych z jednej strony, a z drugiej - precyzyjnymi obserwacjami procesow zachodz~cych w swiecie fizycznym, zwykle za pomocq starannie kontrolowanych eksperymentow. Kiedy doswiadczenie przestaje kierowac naszymi poszukiwaniami, to podobnie jak w wit(kszosci obecnych badan fundamentalnych procesow, ta rownowaga zostaje zachwiana. Matematyczna spojnosc5, sarna w sobie, jest dalece niewystarczajqcym kryterium, aby odpowiedziec na pytanie, czy jestesmy "na dobrej drodze" (nie mowi~c 0 tym, ie w wielu przypadkach to konieczne, zdawaloby sit(, kryterium gdzies znika).1)rmczasem walory estetyki matematycznej zaczynaj~ odgrywac duio wiyksz~ roly nii do tej pory. Specjalisci czysto odwotuj~ siy do sukcesow Diraca, Schrodingera, Einsteina czy Feynmana oraz wielu innych, udowadniaj~c, ie ich odkrycia czt(sto byly inspirowane wlasnie wzglt(dami estetycznymi, co pozwolilo im na rozwiniycie teoretycznych idei. Nie moina przecenic znaczenia takich estetycznych rozwaian, poniewai odgrywaj~ one istotn~ rolt(, kiedy musimy dokonywac wyboru miydzy roinymi proponowanymi konstrukcjami teoretycznymi. Wzglt(dy natury estetycznej mog~ czasami bye wyrazem potrzeby uzyskania spojnej procedury matematycznej, albowiem spojnose formalizmu i jego matematyczna uroda Sq naprawdy scisle ze sob~ zwi~zane. Moim zdaniem takie wymagania w stosunku do wszelkich proponowanych modeli fizycznych s~ poza dyskusj~. Co wit(cej, kiedy mowimy 0 wzglt(dach estetycznych, naleiy podkreslie zalety spojnosci matematycznej, mianowicie jej obiektywny charakter. Zwykle, kiedy kierujemy sit( kryterium estetyki, takie oceny s~ raczej subiektywne. Matematyczna spojnose sarna w sobie nie moie nas jednak zadowolie. Ci, ktorzy dlugo i ciyiko pracowali na polu konstrukcji matematycznych, s~ w stanie lepiej ocenic subtelnose i nieoczekiwan~ jednose, jaka moie ukrywae siy w jakims szczegolnym formalizmie. Ci zas, ktorzy wkraczaj~ na to pole z zewn~trz, mog~ bye czysto zaskoczeni i miee trudnosci ze zdaniem sobie sprawy, dlaczego pewne aspekty teorii powinny bye uwaiane za bardziej zadziwiaj~ce - i dlatego, bye moie, wydajq siy bardziej atrakcyjne - nii inne. Zdarzaj~ sit( wszak takie sytuacje, w kto-
975
34
Kt6r~dy
976
rych to wlasnie ci "z zewn'!trz" mog,! ocenie sprawy bardziej obiektywnie, albowiem ktos, kto wiele lat spydzil na badaniu jakiegos w,!skiego pol a koncepcji matematycznych, moze wlasnie nie bye w stanie dokonae takiej oceny! Spojnose i elegancja matematycznej struktury teorii fizycznej, niezaleznie od niew'!tpliwych zalet, nie wystarczaj'!. Wzglydy natury fizycznej Set daleko wainiejsze, choc w sytuacjach, gdy brakuje argumentow doswiadczalnych, przewagy uzyskuj,! matematyczne aspekty teorii. Z pewnosci,! jestem daleki od twierdzenia, ze istniej,! proste odpowiedzi na nurtuj,!ce nas pytania. Wierzy, ze niektorzy badacze maj,! racjy, kieruj,!c siy wlasnym wyczuciem estetyki i piykna. Nie powinni siy jednak dziwie, kiedy okaze siy, ze ich koledzy Set zupelnie obojytni wobec urody koncepcji, ktore ich tak urzekly. Motywacje estetyczne uwazam za istotny element rozwoju kazdej wainej koncepcji, ktora pojawila siy w naukach teoretycznych. Ale gdy zabraknie ograniczen, Jakie nakladaj,! na nas eksperymenty i obserwacje, motywy tego rodzaju cZysto wiod,! daleko poza granice sensu fizycznego. W historii nauki znamy wiele przykladow piyknych schematow matematycznych, ktore rob By wraienie, jakby odkryly jakis rewolucyjnie nowy sposob wyjasnienia sekretow Przyrody, a potem okazywalo siy, ze nie mozna spodziewae siy z ich strony pomocy w spelnieniu nadziei na odsloniycie tych tajemnic. Dobrym przykladem jest teoria kwatemionow i uroda sposobu, w jaki doprowadzita do skonstruowania algebry z dzieleniem. J ak 0 tym mowilismy w rozdz. 11.2, dokonawszy odkrycia w 1843 roku, Hamilton poswiycit pozostale 22 lata swego Zycia na stworzenie formalizmu opisuj,!cego Przyrody calkowicie w jyzyku tej teorii. Jednak ta "czysto kwatemionowa" praca (mam tu na myslijego oryginaln,! teoriy kwatemionow i ich algebry z dzieleniem) w niewielki bezposredni sposob wplynyla na dalszy rozwoj teorii podstaw fizyki. Inne prace Hamiltona mialy ogromny, i to bezposredni, wplyw na rozwoj fizyki teoretycznej. Wystarczy wskazae jego wczeSniejsze prace, ktorych wynikiem bylo wprowadzenie pojye obecnie okreslanych jako "hamiltoniany", "zasada Hamiltona", "rownanie Hamiltona-Jacobiego" etc. - pozwalaj,!cych na badanie analogii miydzy falami a cz'!stkami Newtona - a ktore stanowBy trampoliny dla dwudziestowiecznego rozwoju mechaniki kwantowej i KTP (zob. rozdz. 20.2 i 21.1, 2). Wplyw kwatemionow okazal siy co prawda bardzo odlegly i wymagaj,!cy uogolnien, w ktorych cecha algebry z dzieleniem zostala odrzucona. W polowie XIX wieku mozna bylo latwo ulec urodzie matematycznej struktury kwatemionow i ciekawej wlasnosci dzielenia przez nie (rozdz. 11.1). Ta cudown a wlasnosc kwatemionow i kilku innych algebr miala wielkie znaczenie dla czystej matematyki, ale nie dla glownych kierunkow poszukiwan fizyki teoretycznej. To dopiero uogolnienia kwatemionow na wyzsze wymiary, czego dokonal Clifford, razem z poiniejszymi koncepcjami Pauli ego, a w szczegolnosci Diraca, wraz z przyjyciem lorentzowskiej sygnatury, odpowiedniej dla naszej czasoprzestrzeni, pozwolily na ogromny postyp w fizyce teoretycznej (rozdz. 11.5,24.6, 7). Wlasnie w dalszym rozwoju teorii, tak niezwykle waznym dla fizyki, ty wspanial,! wlasnosc dzielenia w formalizmie Hamiltona trzeba bylo bezwzglydnie odrzucic!
wiedzie droga do rzeczywistosci?
Fizyka fundamentalna inspirowana matematycznie
34.2
Do tajemniczego zagadnienia pi~kna w matematyce i jego znaczenia dla fizyki powr6c~ jeszcze w rozdz. 34.9. Wi'!ie si~ ono jednak z pewnym waZnym i fascynuj,!cym aspektem dodatkowym: dlaczego drogi matematyki Set tak kr~te i pod'!iaj,! w swoim wlasnym kieronku? Jui od czasu staroiytnych Grek6w teorie, kt6re braly pocz'!tek z obserwacji proces6w fizycznego swiata, niejednokrotnie otwieraly wrota do pi~knej matematyki, wartej zainteresowania dla niej samej, a cz~sto znajdowaly zastosowania bardzo dalekie od fizycznych rozwaZan, kt6re byly ich punktem wyjscia. Czasami odkrycie takich zastosowan zajmowalo wieki, na przyklad w przypadku badania przez Apolloniosa okolo 2000 lat p.n.e. przekroj6w stozkowych, kt6re odegraly fundamentaln,! rol~ w zrozumieniu ruch6w planet - czego dokonali dopiero Kepler i Newton w XVI i XVII wieku; alba w przypadku "malego twierdzenia Fermata" z 1640 roku, kt6re znalazlo zastosowanie dopiero w kryptografii XX wieku. Matematyka - a szczeg6lnie dobra matematyka - rna zwyczaj znajdowania zastosowan w bardzo odleglych dziedzinach, co jest jednym ze zr6del jej sily i Zywotnosci. Procesy Przyrody niezwykle cz~sto okazywaly si~ wspanial,! inspiracj,! dla takich idei matematycznych. Owe idee winny cechowac si~ precyzj,! i niezawodnosci,! i nie rna w tym niczego zadziwiaj,!cego, jesli przyjmiemy pogl,!d, ze procesy Przyrody przebiegaj,! dokladnie zgodnie z prawami matematyki. Bardziej zadziwiaj,!ce Set subtelnose i wyrafinowanie matematyki, kt6re wi,!z,! si~ z prawami Przyrody, a takZe podkreslany juz fakt, ze matematyka rna ciekawy zwyczaj znajdowania zastosowan daleko od miejsca, z kt6rego si~ wywodzi Qako szczeg6lny przyklad wezmy rachunek r6zniczkowy i calkowy Newtona i Leibniza - zob. rozdz. 6). Czy na tej podstawie mozemy, odwrotnie, wnioskowac, ze jesli jakas proponowana teo ria fizyczna stymuluje wiele prac w dziedzinie matematyki, to w ten spos6b zyskuje ona na wiarygodnosci? Pytanie to wi,!ze si~ szczeg6lnie z koncepcjami przedstawionymi w rozdz. 31, 32 i 33. S,!dz~, ze nie rna na nie prostej odpowiedzi, ale z pewnosci,! zalecana jest wielka ostroznosc. Szczeg6lnie teoria stron stala si~ stymulatorem pi~knych osi,!gni~c matematycznych i jej rola wiele zawdzi~cza tej matematycznej atrakcyjnosci. (To sarno odnosi si~ do znacznej cz~sci teorii twistor6w oraz do podejsc Ashtekara i Hawkinga). Nie wiadomo dokladnie, do jakiego stopnia rna to zwi'!zek z fizyczn,! rzeczywistosci,!, kt6r,! mialaby objasnic. Wiele razy zdarzalo mi si~ slyszec z ust matematyk6w, obwieszczaj,!cych z wi elk,! satysfakcj,!, ze ich wyniki maj,! zastosowanie w fizyce, poniewaz uprawiana przez nich matematyka wi,!ze si~ z teori,! strun! Doskonale rozumiem pragnienie wielu matematyk6w, zeby jakies aspekty ich pi~k nych teorii znalazly wazne zastosowanie w procesach fizycznego swiata. Trzeba jednak jasno powiedziec, ze nie istniej,! Qak dot,!d) zadne obserwacje fizyczne, kt6re by uzasadnialy wiar~ w to, iZ teoria stron (w szczeg6lnosci) jest fizyk,!, aczkolwiek, niew'!tpliwie, jej motywacj,! Set wielkie fizyczne oczekiwania. Teoria stron jest r6wniez przedmiotem prac bardzo wielu fizyk6w, ale czy sam fakt, ze zajmuj,! si~ ni,! fizycy, czyni z niej fizyk~? W ten spos6b doszlismy do roli, jak,! w badaniach fizyk6w odgrywa moda, i t'! spraw,! zajm~ si~ w kolejnym rozdziale.
977
34
Kt6r~dy
wiedzie droga do rzeczywistosci?
34.3 Rola mody
w fizyce teoretycznej
Zaczn(( od przegl'ldu dokonanego przez Carlo Rovellego i przedstawionego na Mi((dzynarodowym Kongresie na temat Ogolnej Teorii WzgI((dnosci i Grawitacji, jaki odbyl si(( w Pune w lndiach w grudniu 1997 roku 6 • Rovelli jest jednym z tworcow formalizmu zmiennych p((tlowych, ktory opisalem w rozdz. 32.4, i nie pretenduje do grona profesjonalistow w przeprowadzaniu tego rodzaju przegl'ldow, choe przedstawione przez niego wyniki oddaj'l dose wiernie to, czego moglbym si(( spodziewae. Policzyl on artykuly na tern at grawitacji kwantowej, jakie zostaly opublikowane w poprzednim roku, na podstawie danych udost((pnionych przez Los Angeles Archives. Srednia liczba artykulow pUblikowanych miesi((cznie na temat roznych uj((e tego problemu przedstawiala si(( nast((puj'lCo: Teoria strun: Zmienne p((tlowe: KTP w zakrzywionych przestrzeniach: Podejscia sieciowe: Euklidesowa grawitacja kwantowa: Geometria niekomutatywna: Kosmologia kwantowa: Teoria twistorow: Pozostale:
978
69 25 8 7 3 3 1 1 6
Mam nadziej((, ze czytelnik zauwaZyl, iz przedstawiaj'lc w tej ksi'lzce rozne podejscia do kwantowej teorii grawitacji, nie kierowalem si(( specjalnie wzgl((dami mody. (Krotko tylko dotkn'llem tematu KTP w zakrzywionych przestrzeniach w zwi¥ku z efektem Hawkinga, 0 ktorym mowilem w rozdz. 30.4. Podejscia sieciowe, w ktorych dyskretne modele czasoprzestrzeni zast((puj'l czasoprzestrzen ci'lgl'l, przedstawilem w rozdz. 33.1. Euklidesowa grawitacja kwantowa wyst((puje w podejsciu Hawkinga, dyskutowanym w rozdz. 28.9. Kosmologia kwantowa wykorzystuje czasoprzestrzenie uproszczone, w ktorych ignoruje si(( wi((kszose grawitacyjnych stopni swobody. lone cytowane podejscia omawialismy w rozdzialach 31-33.) Zwroemy uwag((, ze w badanym okresie 0publikowano wi((cej artykulow na temat teorii strun niZ na wszystkie inne tematy razem wzi((te. Wydaje si((, ze panuje powszechne przekonanie, ze gdyby takiego przegl'ldu dokonae obecnie, to przewaga publikacji w tematyce teorii strun bylaby jeszcze wi((ksza. Gdyby badania naukowe prowadzone byly zgodnie z regulami demokracji, to widz'lc t(( ogromn'l przewag(( specjalistow od teorii strun, mozemy bye pewni, ze wszystkie decyzje dotycz'lce kierunkow badan naukowych podejmowane bylyby pod ich dyktatem 7 ! Na Szcz((scie kryteria, ktorymi kieruje si(( nauka, nie przypominaj'l tych, jakie obowi'lzuj'l demokratyczne rZ'ldy. Jest sluszne i wlasciwe, ze naukowa dzialalnose badaczy nie moze cierpiee z tego powodu, iz S'l oni w mniejszosci. Daleko wazniejsze zagadnienie stanowi matematyczna spojnose i zgodnose z wynikami
Rola mody wfizyce teoretycznej
34.3
obserwacji. Ale czy mozemy sobie pozwolie na calkowite zignorowanie kaprysow mody? Z pewnosci,! nie. Oprocz wielu mniej wiarygodnych pomyslow, bardzo modnych w swoim czasie (takich jak koncepcje ll-wymiarowej supergrawitacji o siedmiu dodatkowych wymiarach, wyznaczaj'!cych "zgniecion,! 7-sfer((")8, mog(( wskazae wiele tendencji modnych w przeszlosci, ktore, wydawalo mi si(( - i nadal tak mysl(( - zawieraly w sobie bardzo istotne prawdy (np. trajektorie Reggegozob. rozdz. 31.5 - czy analityczna macierz S Geoffreya Chew9 ), ale juz od dziesi((cioleci wypadly z lask. Do pewnego stopnia popularnose jakiejs teorii pozwala nam ocenie jej naukowe znaczenie - ale tylko do pewnego stopnia. lest rowniei prawd,!, podobnie jak w biznesie, ze to co duze rna naturaln,! tendencj(( do stawania si(( wi((kszym kosztem tego co mniejsze. Nietrudno stwierdzie, dlaczego podobnie musi bye w przypadku mod naukowych, szczegolnie we wspolczesnym swiecie, dla ktorego wlasciwe S,! m.in. podroze odrzutowcami i internet, w ktorym nowe idee rozchodz'! si(( blyskawicznie dzi((ki wyst,!pieniom na konferencjach lub niemal natychmiast przekazywane e-mailami alba za pomoc,! internetowych (CZ((sto nierecenzowanych) artykulow naukowych. Ta nieslychana latwose komunikowania si(( wywoluje CZ((sto gor'!czkow'! konkurencj((, a ta z kolei prowadzi do efektu "wozu z orkiestr'!" (bandwagon effects), gdy pracuj,!CYw danej dziedzinie obawiaj,! si((, ze znajd,! si(( na marginesie, jesli nie dol'!cz'! do liderow. Moda traci znaczenie w przypadku tych idei teoretycznych, ktore S,! nieustannie poddawane kontroli eksperymentu. W przypadku koncepcji, ktorych eksperymentalna weryfikacja jest nieslychanie odlegla, zwi,!zanych z grawitacj,! kwantow,!, musimy jednak zachowae szczegoln'! ostroznose w traktowaniu popularnosci jakiegos podejscia jako oznaki jego prawdziwosci. Moda odgrywa rowniez znacz'!C'! rol(( w innych obszarach, takich jak zagadnienie notacji lub wyboru jakiegos specyficznego formalizmu. Oczywiscie, to S,! problemy 0 mniejszym znaczeniu niZ te, 0 ktorych mowilismy poprzednio, jednak CZ((sto takie wplywaj,! na rozwoj danego kierunku badan. Przytocz(( tu konkretny przypadek powszechnego uiycia 4-spinorowego formalizmu Diraca, w przeciwienstwie do pozniejszego, 2-spinorowego formalizmu van der Waerdena (zob. rozdz. 22.8, 24.7, 25.2). Istotnie, w elektrodynamice kwantowej formalizm 4-spinorowy jest uiywany nieomal powszechnie, podczas gdy, jak to pokazal Robert Geroch lO , formalizm 2-spinorowy jest znacznie prostszy (zob. rozdz. 22.8). W 1928 roku Dirac odkryl swoje rownanie i do jego zapisu posluiyl si(( 4-spinorami. Rownanie Diraca wywolalo wielkie zainteresowanie spinorami i rok pozniej wybitny matematyk holenderski, Bartel L. van der Waerden, sformulowal rachunek 2- spinorowyll. lednak juz wtedy euforia wywolana odkryciem rownania elektronu byla tak wielka, ze wi((kszose fizykow poslugiwala si(( formalizmem zaproponowanym przez Diraca, nie maj,!c nawet swiadomosci, ze istnieje znacznie bardziej elastyczny i wygodniejszy formalizm van der Waerdena. Na szcz((scie sam Dirac szybko zdal sobie spraw(( z zalet formalizmu van der Waerdena. Na pocz'!tku lat pi((edziesi,!tych XX wieku UCz((szczalem na wyklady Diraca, podczas ktorych przedstawil pi((kne
979
34
Kt6r~dy
980
wprowadzenie do rachunku 2-spinorowego, czyni,!c caly problem bardzo klarownym, gdy jednoczesnie obliczenia wykonywane w formalizmie 4-spinorowym byly niezwykle uci¥liwe. W 1936 roku sam Dirac zastosowal formalizm 2-spinorowy do uogolnienia swojego rownania elektronu na przypadek cz'!stek 0 wyzszych wartosciach spinu 12 • Jednak wielu uczonych, ktorzy nie zapoznali siy z formalizmem 2-spinorowym, "odkrywalo" szczegolne przypadki rownania Diraca dla wyzszych spinow i st,!d pochodz,! takie pojycia jak "rownanie Duffina-Kemmera-Petiau" (z lat 1936-1939, dla spinu 0 i 1) lub "rownanie Rarity-Schwingera" (1941) dla spinu W tej dziedzinie cytuje siy na ogol ich prace (w ktorych stosuje siy formalizm 4-spinorowy), a nie wczesniejsze prace Diraca. Dirac nie postypowal zgodnie z mod,!, a w dodatku z tak'! mod,!, ktor'! sam wprowadzil! Inni zas niejednokrotnie poddaj,! siy modzie nawet wtedy, kiedy wcaIe nie majq takiego zamiaru. Z tak,! sytuacj,! zetkn'!lem siy osobiscie, gdy w polowie lat siedemdziesiqtych XX wieku udalem siy do CERN-u, aby porozmawiac z Brunonem Zumino, ktory byl jednym z pionierow idei supersymetrii. (Jego praca, opublikowana w 1974 roku wspolnie z Juliusem Wessem13, miala wyrazny zwi,!zek z teori,! twistorow i chcia1em ten problem bliZej zbadac.) Zumino przyznal, ze zdaje sobie sprawy z mozliwosci formalizmu 2-spinorowego, a nawet opublikowal pracy, w ktorej wykorzystal ten formalizm do przedstawienia pewnych swoich pomyslow. Kilka miesiycy pozniej te same wyniki opublikowal bardzo szanowany fizyk, Abdus Salam, korzystajqc z formalizmu 4-spinorowego. Od tej pory wszyscy cytuj,! publikaejy Salama, a pracy Zumina nikt nie zauwaza. W zwiqzku z tym Zumino doszedl do wniosku, ze nie popelni wiycej podobnego blydu i nie bydzie ui:ywal formalizmu 2-spinorowego, chociaz jest to metoda z technicznego punktu widzenia bez porownania lepsza! Jest jeszcze inny aspekt zwi,!zany z modnymi tendencjami, ktory powoduje, ze w szczegolnosci mlodzi ludzie ulegajq modzie, chociaZ weale tego nie ehq. Otoz na ogol procedury matematyczne, z jakimi mamy do czynienia we wspolczesnej fizyce teoretycznej, s,! bardzo zaawansowane i skomplikowane. Ze zrozumieniem i opanowaniemjakiejs techniki czy metody jest wystarczajqco duzo klopotow. Mlodych adeptow nauki zwykle nie stac na opanowanie roznych technik i dokonanie porownania oraz wyboru miydzy nimi. Sitq rzeczy, musz'! oni polegac na sugestiach bardziej doswiadczonych badaczy i korzystac z ich wskazowek. W ten sposob trafiaj,! w objycia mody, wzoruj,!c siy na modnych publikacjach, ze strat'! dla tych, ktore Sq mniej popularne. Aczkolwiek przedstawione uwagi dotyczyly raczej prac teoretycznych, glownie w obszarze teorii nieograniczonej solidnymi wynikami doswiadezalnymi, to problem mody nie jest pozbawiony znaczenia takZe w dziedzinie badan eksperymentalnych, chociaz z nieco innych wzglydow. Wiqze siy to z zagadnieniem ogromnych kosztow badan doswiadczalnych w dziedzinie pods taw fizyki. Poniewaz te eksperymenty Sq rzeczywiscie nieslychanie kosztowne i wymagajq pomocy rzqdow
wiedzie droga do rzeczywistosci?
t.
ezy eksperyment jest w stanie obalic ztq teori~?
34.4
albo wielkich koncernow, istnieje koniecznosc tworzenia rozlicznych komisji, ktore bylyby w stanie dokonac oceny i rekomendacji konkretnych projektow doswiadczalnych. Jest naturalne, ze do udzialu w tych komisjach zaprasza siy uczonych o juz ustalonej, autorytatywnej pozycji w dziedzinie, ktora jest przedmiotem badan w ranmach glownego kierunku. Jest rownie naturalne, ze byd(! oni faworyzowali badania zgodne z ich perspektyw(! i punktem widzenia. Pojawia siy wiyc tendencja ograniczania badan do tych glownych kierunkow. Korekta tego kierunku, podjycie badan "niemodnych", moze okazac siy bardzo trudna.
34.4 Czy eksperyment jest
w stanie obalic zf~ teori~?
Moze siy wydawac, ze taki problem nie istnieje, poniewaz jesli jakis kierunek badan jest blydny, eksperyment to pokaze i bydziemy zmuszeni podj(!c prace w innym kierunku. Jest to tradycyjny pogl(!d na rozwoj nauki. Istotnie, znany filozof nauki Karl Popper sformulowal sensownie wygl(!daj(!ce kryterium 1\ zgodnie z ktorym tylko takie teorie powinny bye uwazane za naukowe, ktore s(! falsyfikowalne obserwacyjnie. Obawiam siy jednak, ze jest to kryterium zbyt surowe i zdecydowanie zbyt idealistyczne jak na warunki wspolczesnego swiata "wielkiej nauki". RozwaZmy przyklad supersymetrii w fizyce cz(!stek elementarnych. Ta idea charakteryzuje siy matematyczn(! elegancj(! i ulatwia teoretykom konstruowanie renormalizowalnych KTP (rozdz. 31.2). Niew(!tpliwie najwiyksze znaczenie rna fakt, ze stanowi ona zasadniczy skladnik teorii strun. Jej pozycja wsrod wspolczesnych teoretykow jest tak silna, ze uWaZa siy j(! niemal za CZySC modelu standardowego fizyki cz(!stek elementarnych. W rzeczywistosci nie istniej(! jednak zadne (powazne) eksperymentalne dowody jej prawdziwosci (rozdz. 31.2). Teoria przewiduje istnienie "superpartnerow" wszystkich obserwowanych cz(!stek elementarnych Przyrody, ale jak dot(!d zadnej takiej cz(!stki nie odkryto. Wedlug zwolennikow teorii strun dzieje siy tak dlatego, ze mechanizm lamania symetrii (ktorego natura nie jest znana) powoduje, iz ci superpartnerzy maj(! tak wielkie masy, ze energie niezbydne do ich uzyskania s(! wci(!z poza zasiygiem wspolczesnycl' akceleratorow cz(!stek. Jesli zwiyksz(! siy nasze mozliwosci doswiadczalne, te Howe cz(!stki zostan(! odkryte i bydzie to kolejny kamien milowy w fizyce teoretycznej, 0 ogromnych implikacjach dla nauki przyszlosci. Przypuscmy jednak, ze nie uda nam siy znaleic tych superpartnerow. Czy to sfalsyfikuje teoriy supersymetrii? Bynajmniej. Mozna wysun(!c argument (i prawdopodobnie tak bydzie), ze zbyt optymistycznie oceniono stopien zlamania symetrii i ze potrzeba jeszcze wyzszych energii, aby znaleie brakuj(!cych partnerow. Przekonalismy siy, ze nie jest bynajmniej latwo pozbyc siy popularnej teoretycznej koncepcji, gdy w tradycyjny sposob przeprowadza siy experimentum crucis, nawet jesli jest naprawdy blydna. Sprawy dodatkowo komplikuj(! ogromne koszty eksperymentow w zakresie wysokich energii. W dziedzinie cz(!stek elementarnych istnieje wiele hipotez teoretycznych, ktorych sprawdzenie wymagaloby energii
981
34
Kt6rQdy wiedzie droga do rzeczywistosci?
982
znacznie przekraczaj~cych nasze mozliwosci techniczne. Rozne wersje TWU i teorii stfUn zawieraj~ przewidywania, ktore z tych wlasnie powodow nie potrzebujq obawiac sit( eksperymentalnej refutacji. Czy wobec tego "niepopperowski" charakter tych modeli powoduje, ze stajq sit( one nieakceptowalne jako teorie naukowe? Myslt(, ze taki stricte popperowski os~d bylby zdecydowanie zbyt surowy. Jako intrygujqcy przyklad przywolajmy argument Diraca (rozdz. 28.2), ktory mowi, iZ sarno istnienie, gdzies w kosmosie, pojedynczego magnetycznego monopolu stanowiloby wyjasnienie faktu, ze kazda cZqstka wystt(pujqca we WszechSwiecie rna ladunek, ktory jest calkowit~ wielokrotnosciq pewnej ustalonej wartosci (co faktycznie obserwujemy). Teoria, ktora utrzymuje, ze taki monopol gdzieS istnieje, jest zdecydowanie niepopperowska. Gdyby udalo sit( odkryc takq cZqstkt(, to zostalaby potwierdzona prawdziwosc teorii, jednak jest ona niefalsyfikowalna w sensie kryterium Poppera; albowiem nawet jesli jest zdecydowanie falszywa, to bez wzglt(du na to, jak dlugo fizycy doswiadczalni takiego monopolu poszukujq, sam fakt, ze nie Sq w stanie go znaleic, nie obala teorii 15 ! Mimo to teoria pozostaje naukowq i jest z pewnosciq warta rozwazenia. Podobn~ uwagt( mozemy uczynic w odniesieniu do kosmoiogii. Ta czt(sc WszechSwiata, ktora znajduje sit( poza naszym horyzontem zdarzen (rozdz. 27.12), jest niedostt(pna bezposredniej obserwacji, choc woino wysunqe rozsqdne, naukowe przypuszczenie, ze obszar ten, w wielkiej skali, przypomina obszar, ktory bezposrednio obserwujemy. Teoria, ktora zaklada, ze niedostt(pny obszar Wszechswiata jest podobny do tego, ktory bezposrednio obserwujemy - co stanowi element standardowego modelu kosmologii (rozdz. 27.11), aczkolwiek nie w przypadku wit(kszosci modeli inflacyjnych (rozdz. 28.4) - z pewnosciq nie jest teoriq doswiadczalnie falsyfikowainq. Ponadto jesli ograniczymy naSZq uwagt( jedynie do bezposrednio obserwowalnej czt(sci WszechSwiata, musimy zadac pytanie, czy geometria przestrzenna, 0 ktorej zakladamy, ze jest - w wielkiej skali - jednorodna i izotropowa, charakteryzuje sit( krzywizn~ dodatniq, ujemnq czy zerowq (odpowiednie przypadki K > 0, K < 0 czy K = 0; zob. rozdz. 27.11)? Jesli nasza teoria twierdzi, ze K = 0, wowczas rna ona charakter teorii obserwacyjnie falsyfikowalnej, poniewaz dla dowolnego skonczonego odchylenia od plaskosci wystarczajqco precyzyjne obserwacje moglyby (w zasadzie - chociaz niekoniecznie w praktyce) wykryc to odstt(pstwo od plaskosci, bez wzglt(du na to, jak mala bylaby wielkosc krzywizny. Jesli jednak nasza teoria stwierdza, iz K "* 0, wowczas nie da sit( jej podwaiyc przez obserwacje wykazujqce, ze K = 0, poniewaz zawsze istnieje pewien stopien niepewnosci, czy nie mamy do czynienia z niewielkq krzywiznq przestrzennq, dodatni~ lub ujemnq. Zauwazmy, iz przypadek K > 0 moglby w zasadzie zostac obalony, gdyby krzywizna byla faktycznie z K < 0 i na odwrot. Z kolei przypadek K = 0 nie moze bye (bezposrednio) potwierdzony 16, w przeciwienstwie do przypadku K"* 0 (gdyby sit( okazalo, ze tak rzeczywiscie jest). Tak wit(c oba twierdzenia, K> 0 i K < 0, s~ popperowskie w tym ograniczonym sensie, ze Sq falsyfikowalne w pewnych okolicznosciach - chociaz
ezy eksperyment jest w stanie obalic zlq teorie?
34.4
nie mozna ich obalie, jesli w rzeczywistosci K = 0 - oraz kazde z nich jest indywidualnie potwierdzalne. Zauwazmy, ze przypadekK = 0 jest w zasadzie w pelni popperowski, ale nie moze bye potwierdzony! Nie jestem pewien, zwaiywszy te wszystkie alternatywne mozliwosci, dok,!d nas ten popperowski tok myslenia doprowadza. Wydaje mi siy oczywiste, ze kaida z mozliwosci K > 0, K < 0 czy K = 0 - jako twierdzenie - jest r6wnie "naukowa", niezaleznie od tych subtelnych r6znic w odniesieniu do kryterium Poppera. W kazdym razie wiykszose kosmolog6w z pewnosci,! nie zajylaby r6wnie pedantycznego stanowiska, jakie tutaj przyj,!lem, a mianowicie, ze stwierdzenie K = 0 oznacza, iz warunek ten rna bye spelniony dokladnie. Poprawna teoria bylaby wszak w lepszej sytuacji, gdyby przewidywala K > 0 lub K < 0, poniewaz istnialaby wtedy mozliwose jej obserwacyjnego potwierdzenia (a kazda teoria naukowa poszukuje potwierdzenia, niezaleinie od bardziej negatywnej perspektywy Poppera w odniesieniu do kwestii naukowej akceptowalnosci). Teoria przewiduj,!ca, ze K = 0, musi poszukiwac innych dr6g jej uzasadnienia, aby mogla uzyskae status teorii akceptowalnej. Takim innym sposobem uzasadnienia, ze K = 0, bylaby procedura wykazuj,!ca, iz jest to implikacja jakiejs szczeg6lnej teorii, niezaleznie potwierdzonej obserwacyjnie. Istotnie, stanowisko takie prezentuje wielu zwolennik6w wysoce modnej kosmologii inflacyjnej, dyskutowanej w rozdz. 28.4. Przypomnijmy sobie, ze podobnie jak supersymetria jest "nieomal" cZysci,! modelu standardowego fizyki cz'!stek elementarnych, tak kosmologia inflacyjna jest czysto uwaiana za czyse standardowego modelu kosmologii! Przeanalizujmy zatem status inflacji w swietle kryterium Poppera. Mogloby siy wydawae, ze sytuacja pod tym wzglydem jest jasna i ze model inflacyjny to rzeczywiscie teoria popperowska. Przez ponad 10 lat twierdzono zgodnie, ze K = 0 jest implikacj,! modelu inflacyjnego 17 , i przypominam sobie taki wlasnie wniosek, formulowany stanowczo podczas wielu wyklad6w, wyglaszanych przez zwolennik6w inflacjil8. JeSli wiyc obserwacje wyraznie pokazuj,!, ze K"* 0, to koniec z modelem inflacyjnym! Takie stanowisko jest niezwykle klarownym zastosowaniem kryterium Poppera. Co wiycej, z modelu inflacyjnego (wraz z niekt6rymi innymi zalozeniami) wywodz,! siy pewne szczeg610we przewidywania odnosnie do promieniowania reliktowego, kt6re znajduj,! czysciowe uzasadnienie obserwacyjne, w szczeg6lnosci dotycz'!ce niezmienniczosci skalowania fluktuacji. Co prawda od polowy lat dziewiyedziesi'!tych XX stulecia, na podstawie r6znych niezaleznych obserwacji, zaczylo pojawiae siy coraz wiycej argument6w za tym, ze srednia gystose materii Wszechswiata f2d (l'!cznie barionowej i ciemnej) nie osi,!ga wartosci, jakiej wymaga og6lna plaskose przestrzenna, i wynosi nie wiycej niz jedn,! trzeci,! tej liczby. (Gystosci f2d i f2A stanowi,! ulamek gystosci krytycznej, kt6ra w teorii Einsteina, bez czlonu kosmologicznego, prowadzi do K = 0; zob. rozdz. 28.10.) W szczeg6lnosci f2d wynosi okolo 0,3. Zgodnie z t'! tendencj,!, teoretycy inflacjonisci zaczyli tworzye modele inflacyjne, dopuszczaj'!ce K "* 0, a konkretnie K < 019 • Warto zwr6cie uwagy, ze r6wniez w szkole Hawkinga, kt6ra w spo-
983
34
Kt6r~dy
984
sob zdecydowany przewidywala K > 0 (w zwiqzku z modelem "bez brzegu" Hartle'a-Hawkinga - zob. rozdz. 28.9), zaczyto rozwa.zae mozliwose wlqczenia przypadku K < 0 do wlasnej teorieo. Ta sytuacja ulegla zmianie okolo 1998 roku, gdy obserwacje odleglych supernowych (rozdz. 28.10) zaczyly wskazywae, ze do rownania Einsteina naleZy wlqczye dodatniq stalq kosmologicznq, czyli A > O. W ten sposob otrzymujemy dod atkowq efektywnq gystose n A, ktora wziyta lqcznie z gystosciq materii nd moze dae oczekiwanq wartose krytycznq nd + n A= 1 (albo nd + n A> 1, czego wymaga oryginalna propozycja Hartle'a-Hawkinga). W ten sposob hipoteza ogolnej plaskosci przestrzennej (K = 0) bylaby zgodna z danymi obserwacyjnymi (podobnie jak ogolna dodatnia krzywizna), przy nA ~ 0,7. Wobec takiego obrotu sprawy wiykszose zwolennikow modelu inflacyjnego zaczyna wracae do K = 0 jako propozycji kosmologii inflacyjnej. Ciekawe, co Popper mialby do powiedzenia na ten temat! W rzeczywistosci dysponujemy teraz nowym, egzotycznym modelem inflacyjnym, wprowadzajqcym nowy element (nowe pole), nazywany "kwintesencjq", ktory prowadzi do efektywnej stalej kosmologicznej poprzez rozwazania dynamiki "ciemnej energii" 0 ujemnym cisnieniu. Zwolennicy tego modelu utrzymujq, ze moze on bye oznakq nowej fazy inflacyjnej, w ktorq wchodzimy (zob. rozdz. 28.10)! NaieZy miee nadziejy, ze podobne fantastycznie brzmiqce koncepcje szybko zostanq w przekonujqcy sposob uzasadnione obserwacyjnie, aczkolwiek w praktyce problemy Sq na ogol bardziej skomplikowane. Moim zdaniem musimy bye nadzwyczaj ostrozni w przypadku tego rodzaju rewelacji, nawet jesli wydajq siy potwierdzone bardzo wyrafinowanymi eksperymentami. Doniesienia takie Sq zwykle interpretowane z perspektywy jakiejs modnej teorii. Na przyklad znakomite obserwacje promieniowania reliktowego w programie BOOMERanG21 byly poczqtkowo interpretowane w ramach modelu inflacyjnego i twierdzono, ze dowodzq, iz K = 0 (a stqd A > 0). Poza tym w przypadku eksperymentow podobnych do BOOMERanG, wobec ogromnej ilosci danych obserwacyjnych i szerokich mozliwosci roznych analiz, "surowe" dane mogq bye niedostypne przez wiele lat, aby badacze zwiqzani z projektem (bardzo sensownie) mieli pierwszenstwo w ich opracowaniu. A wtedy niewielka jest szansa, zeby dane mogly bye przeanalizowane z innego punktu widzenia. Dziyki eksperymentowi BOOMERanG Vahe Gurzadyan z zespolem mial mozliwose uzyskania dostypu do danych i zastosowania wlasnej metody analizy eliptycznej (rozdz. 28.10). Wyniki tej analizy wyraznie wskazywaly na K < 0, co p6Zniej potwierdzilo odpowiednie przeanalizowanie danych eksperymentu WMAP. Podobnie jak w przypadku "anomalii" pomiarowej w eksperymencie WMAP (efekt ukryty w poblizu osi pionowej rys. 28.19) dla f = 2, wyniki te nie calkiem potwierdzajq stanowisko inflacjonistow. Trzeba bydzie jeszcze trochy poczekae, aby dojse w tej materii do zdecydowanej i klarownej konkluzji! Przekonalismy siy, jak silnie moda moze wplywae na kierunki teoretycznych poszukiwan, wbrew glosnym protestom uczonych, ktorzy woleliby nas przekonae
wiedzie droga do rzeczywistosci?
Sk~d
nadejdzie kolejna rewolucja w fizyce?
34.5
o petnym obiektywizmie swoich badan. Chcialbym jednalcie podkreslie, ze ow brak obiektywizmu w iadnym wypadku nie obci,!za Natury. Swiat fizyczny istnieje obiektywnie i fizycy slusznie uwazaj'! za swoj obowi¥ek zbadanie jego natury i objasnienie zachowan. Subiektywizm, ktory dostrzegamy w omowionych wplywach mody, jest przejawem tego, ie nasze szukanie wytlumaczenia procesow Przyrody poddane jest naciskom otoczenia, potrzebie zdobycia funduszy i wielu innym czynnikom, wsrod ktorych niebagateln,! roly odgrywaj,! ludzkie slabosci i ograniczenia. Wszystko to razem sklada siy na chaotyczny i cZysto niespojny obraz rzeczywistosci, z ktorym musimy siy uporae.
34.5 Skqd nadejdzie kolejna rewolucja w fizyce? Mam wrazenie, ze w tym rozdziale przedstawilem bardziej pesymistyczn,! oceny postypu w naszych poszukiwaniach zrozumienia fundamentow fizyki nii ta, ktor'! czysto spotykamy w popularnych opracowaniach. Wierzy, ze jest to obraz znacznie bardziej realistyczny. Z pewnosci,! nie chcy tym samym sugerowae, jak to probuj,! robie niektorzy popularyzatorzy22, ie doszlismy juz do takiego etapu, w ktorym zasadniczy postyp jest prawie niemoiliwy. Dysponujemy obecnie ogromn,! ilosci,! danych obserwacyjnych, ktore wymagaj,! naleiytego zrozumienia, i nawet gdybysmy jui nie przeprowadzali dalszych eksperymentow, to i tak pracy wystarczy na dlugo. Dane, jakich dostarczaj'! nam wspolczesne doswiadczenia, Set czysto rejestrowane automatycznie i na ogol tylko niewielka czyse zgromadzonej inform acji jest przedmiotem zainteresowania bezposrednio zaangazowanych teoretykow i fizykow doswiadczalnych. Dlatego najprawdopodobniej ta wielka ilose danych analizowana jest glownie pod k,!tem poszukiwania odpowiedzi na nurtuj,!ce ich pytania. Moiliwe, ie dane te kryj,! wiele tajemniczych kluczy do zagadek Przyrody. Przypomnijmy sobie, ie do odkrycia ogolnej teorii wzglydnosci doprowadzilo Einsteina zdanie sobie sprawy ze znaczenia zasady rownowainosci (zob. rozdz. 17.4), jaka tkwila imp/icite we wszystkich danych obserwacyjnych dostypnych od czasow Galileusza (a nawet na dlugo przed nim), tyle ie nikt tego nie dostrzegal. Calkiem prawdopodobne, ie w tej niezmiernej masie danych, jakie zawdziyczamy wspolczesnym obserwacjom, zawartych jest jeszcze wiele takich niewyjasnionych zapisow. Bye moie niektore z nich S,! "oczywiste", wymagaj,! jedynie innego uszeregowania czy inn ego potraktowania, abysmy odkryli nowe prawdy 0 naturze fizycznej rzeczywistosci. Jestem przekonany, ie swieie spojrzenie jest naprawdy konieczne i ie ta zmiana punktu widzenia musi dotyczye zasadniczych kwestii, ktore wywoluje paradoks pomiaru kwantowego oraz zwi,!zany z nim problem nielokalnosci, nieodl,!czny od efektow EPR i od pojycia quanglementu (rozdz. 23 i 29). W rozdz. 30 przekonywalem, ie paradoks pomiaru wi
999
34
Kt6r~dy
wiedzie droga do rzeczywistosci?
cym przewodnikiem, chociaz, na co tez zwracalem uwagy w wielu rozdzialach tej ksi(!zki, nie mozna w(!tpic, iZ estetyczna ocena odgrywa wielk(! roly, zarowno w matematyce, jak i fizyce, przy podejmowaniu decyzji co do tego, jaki kierunek badan obierzemy. Elementy takiej oceny maj(! bardzo subtelny charakter i latwo zrozumiec, maj(!c do wyboru wiele alternatywnych mozliwosci, ze istotn(! roly odgrywaj(! wzglydy natury subiektywnej. Czasami zdarza siy, gdy poszukujemy matematycznej teorii swiata fizycznego, ze pojawia siy cos, co wywiera bardziej przemozny wplyw na kierunek naszych badan niZ sarna elegancja matematyczna. Zdarzenia tego rodzaju okreslam mianem "cudow". Mogy przytoczyc wiele sytuacji tego rodzaju w historii idei "grawitacji kwantowej". Jednym z przykladow jest teoria supergrawitacji (rozdz. 31.2). Podczas gdy podejscie perturbacyjne do KTP, zastosowane do standardowej ogolnej teorii wzglydnosci Einsteina, prowadzilo do pojawienia siy nierenormalizowanych rozbieZnosci w drugim rZydzie rachunku zaburzen, to dziyki wprowadzeniu supersymetrii nagle okazywalo siy, ze te rozbiezne wyrazy cudownie wzajemnie siy znosz(!41. To "znoszenie siy" osobliwosci uwzglydnialo mnostwo wyrazow i przez pewien czas specjalisci od supergrawitacji uWaZali, ze ten oczywisty "cud" jest sygnalem, iz teoria odnalazla wlasciw(! drogy, a wiyc naleZy oczekiwac renormalizowalnosci we wszystkich rZydach, i ze prawdziwa kwantowa teoria grawitacji jest w zasiygu ryki! Niestety, kiedy udalo siy przeprowadzic obliczenia w trzecim rZydzie rachunku zaburzen, okazalo siy, ze nierenormalizowalne rozbieZnosci pojawily siy znowu. Fakt ten skierowal uwagy na kwestiy wyzszych wymiarow, ale rozwoj teorii zostal na jakis czas zahamowany. Pod koniec lat dziewiycdziesi(!tych XX wieku koncepcje supergrawitacji odZyly jako cZysc programu prowadz(!cego do teorii M, jak to omawialismy w rozdz. 31.4, 14. Jestem pewien, ze zarowno w teorii strun, jak i w teorii M znacz(!C
Pi~kno
i cuda
34.9
Czy takie cudowne zdarzenia mozna uwazae za wlasciwe drogowskazy sluZ,!ce do poszukiwan teorii fizycznej? To jest powaZne i trudne pytanie. Mogy sobie wyobrazie, ze czasami tak jest, ale trzeba w tych sprawach bye nadzwyczaj ostroznym. Jest calkiem mozliwe, ze odkrycie przez Diraca, iz jego relatywistyczne rownanie falowe automatycznie uwzglydnia spin eIektronu, wygl,!dalo na cud; podobnie jak uZycie przez Bohra kwantyzacji momentu pydu do uzyskania poprawnego widma atomu wodoru; alba gdy Einstein zdal sobie sprawy, iz jego podejscie do grawitacji, za pomoq zakrzywionej przestrzeni ogolnej teorii wzglydnosci, prowadzi do poprawnej odpowiedzi na temat ruchu peryhelium Merkurego - kwestii, ktora stanowila zagadky dla astronomow przez przeszlo 70 lat. Wszystko to byly wlasciwe konsekwencje fizyczne wczesniej sformulowanych teorii, a te "cuda" stanowily jedynie ich imponuj,!ce potwierdzenie. Jest znacznie mniej zrozumiale, na czym polega sila czysto matematycznych cudow, takich jak w przypadku supergrawitacji lub symetrii lustrzanej. Kiedy w koncu potrafimy matematycznie zrozumiee, na czym polega ten matematyczny cud, to takie wyjasnienie moze, w pewnym stopniu, zlikwidowae ty aureoly cudownosci. Ale nawet wtedy nie musi to oznaczae, ze zniszczylismy psychologiczn,! sily samego cudu, ktor'! zawsze naleZy rozpatrywae z odpowiedniej perspektywy historycznej. Jest jednak niew'!tpliwe, ze takich matematycznych cudow nie mozna zawsze traktowae jako wlasciwych drogowskazow. Podczas moich prac nad teori'! twistorow niejednokrotnie odkrywalem niezwykle zachycaj,!ce fakty, ktore w tym sensie, w jakim uZywam tutaj tego slowa, mogly bye zakwalifikowane jako "cuda". Jednym z takich przykladow bylo odkrycie (rozdz. 33.8), ze jednorodne funkcje pojedynczych twistorow generuj,! ogolne rozwi'!Zania rownan pola bezmasowego, za inny przyklad moze sluZye konstrukcja nieliniowego grawitonu (rozdz. 33.11). Czy takie odkrycia mog,! bye przekonuj'!cym argumentem, ze teoria twistorow "jest na dobrej drodze"? Trzeba tu zachowae ostroznose. Nie chcy dokonywae porownania miydzy cudami w teorii twistorow a tymi, ktore pojawily siy w teorii strun. Ani jedne, ani drugie nie mog,! bye jednoznacznymi drogowskazami, poniewaZ, co wyjasnialem w rozdz. 33.14, te dwie teorie, tak jak je obecnie rozumiemy, s,! ze sob,! niezgodne! Przedstawione uwagi odnosz'! siy jedynie do tego, co rozumiemy jako stan tych teorii "w danej chwili". Niezwykle ekscytuj,!ce wyniki, ktore pojawily siy doslownie w ostatnich kilku miesi,!cach, mog,! calkowicie obalie konkluzje, jakie sformulowalem w poprzednim akapicie. S,! to wysoce pomyslowe zastosowania idei teorii strun w kontekscie teorii twistorow, glownie dziyki pracom Edwarda Wittena 43 (0 ktorych wspominalem w rozdz. 31.18 i 33.14). W pracach tych teoriy strun stosuje siy do standardowej fizyki w czterowymiarowej czasoprzestrzeni, w powi,!zaniu z oddzialywaniami typu Yanga-Millsa, ktore, z kolei, mog,! miee bezposredni zwi'!zek z oddzialywaniami cz,!stek, co oznaczaloby zasadnicze odejscie od takiego ksztaltu teorii strun, do jakiego odnosilem siy w poprzednim akapicie. Jak to jest mozliwe? Rozpatruje siy "przestrzen docelow'!", na ktor,! odwzorowuje siy powierzchnie Riemanna teorii strun, nie jako zespolon'! 3-rozmaitose Calabiego- 1001
34
Kt6r~dy
wiedzie droga do rzeczywistosci?
-Yau (rozdz. 31.14) - ktora byla potrzebna do dostarczenia "dodatkowych wymiarow przestrzennych" standardowej teorii strun - lecz jako 3-rozmaitose zespolon,!, ktora jest nutowq pnesmeniq twistorowq lP'1I' (a wil(c cp3; zob. rozdz. 33.5). Jak wiemy, geometria twistorowa explicite odwoluje sil( do zwyklej 4-wymiarowej czasoprzestrzeni i nie rna w niej zadnych "dodatkowych wymiarow przestrzennych"! W tym nowym sformulowaniu wci'!i mamy do czynienia z supersymetri'! i ta supersymetryczna wersja lP'1I' moze bye uwai:ana za "przestrzen typu Calabiego-Yau". (Tak sil( dzieje dzi((ki usunil(ciu pewnej "anomalii", jednak wydaje mi si((, ze koniecznose jej usunil(cia jest przeceniana i niewykluczone, iZ supersymetria nie jest naprawd(( potrzebna). Obecnie uwai:a sil(, ze te powierzchnie Riemanna maj,! genus 0 (zob. rozdz. 8.4), tzn. s~ sferami Riemanna 44 • To pozwala na pewien kontakt z wczesniejsz,! teori,! twistorow, w ktorej rowniez wykorzystywane byly idee "strunowe,,45. Jesli teoria strun moze zostae do tego stopnia zmieniona - co wydaje mi sil( bardzo istotn'! zmian,! - to jakie moze bye fizyczne znaczenie "cudow", ktore sil( w tej teorii wydarzyly? Przypuszczam, ze moglyby miee znaczenie istotne (aczkolwiek posrednie), bo bye moze "za kurtyn,!" zachodz'! procesy, ktorych sens w ten sposob ujawni si(( latwiej Gak to sugeruje wypowiedz Richarda Thomasa, cytowana w rozdz. 31.18). Czy jest mozliwe wyekstrahowanie z teorii strun tego, co rna istotne fizyczne znaczenie, i uwolnienie jej z wil(zow wyzszej wymiarowosci? Moze tak. Prawdziwy wydaje sil( fakt, ze jest cos gll(bokiego w koncepcji kwantowej teorii pola opartej na odwzorowaniu powierzchni Riemanna na rozmaitosci zespolone 46 (bye moze rowniez odwzorowanie powierzchni Riemanna 0 wyzszym genusie) i ze takie idee mog,! nadal bye wazne w tym nowym kontekscie, w ktorym rozmaitose zespolona jest (rzutow'!) przestrzeni~ twistorow'!. Nadal jednak pytanie 0 to, z czym dokladnie mamy tu do czynienia, pozostaje w dui:ym stopniu tajemnic~.
34.10 Odpowiedzielismy na powazne pytania, ale jeszcze powazniejsze czekajq na odpowiedz Problemy, ktore rozwai:alismy w kilku poprzednich rozdzialach, w ramach mozliwosci wspolczesnych teorii fizycznych S,! dalekie od rozwi'!Zania i mozemy tylko miee nadziej((, ze rozjasni je fizyka XXI wieku. Jesli jednak spojrzymy wstecz i ocenimy to, co jui: osi,!gnl(lismy i co sklada sil( na wiedzl(, z jak~ konczylismy XX wiek, to ludzkose rna wszelkie powody do dumy. Bardzo wiele kwestii, ktore byly dla staroi:ytnych nieodgadnionymi, niekiedy wr((CZ przerai:aj~cymi zagadkami, znalazlo wyjasnienie i dlatego mozemy dzialae w sposob pozytywny. Liczne, kiedys okropne choroby jui: nie budz,! strachu, nie tylko ze wzgll(du na wspolczesne lekarstwa (przy wyprodukowaniu ktorych nie mozna si(( obejse bez metod naukowych), lecz takZe dzi((ki mozliwosciom ustalenia wczesnej diagnozy za pomoc,! metod najnowszej technologii (promienie rentgenowskie, ultradZwi((ki, tomografia etc.) oraz wyrafinowanym metodom fizykoterapii (promieniowanie, lasery etc.) CZl(sto owe technologiczne osi~gni((cia S,! wynikiem zrozumienia fizyki, ktore bylo niedostl(pne staroi:ytnym. 1002 Ten sam rodzaj pojmowania procesow Przyrody umozliwil nam korzystanie z wielu
Odpowiedzielismy na powaine pytania, ale jeszcze powainiejsze
czekaj~
na odpowiedi 34.10
innych dobrodziejstw, takich jak hydroelektrycznosc, swiatlo elektryczne, wspolczesne materialy, ktore pozwalaj,! bronic siy przed Zywiolami, mozliwosci telekomunikacyjne, czyli telewizja i telefonia komorkowa, technologia komputerowa, internet, nowoczesny transport i cale mnostwo innych aspektow naszego iycia. Wiele tych dokonan z pewnosci,! wiClZe siy bezposrednio z osi,!gniyciami fizyki, w takiej lub innej formie. Co wiycej, podstawowe prawa chemii, zgodnie z ich obecnym rozumieniem, to w istocie prawa fizyczne (w zasadzie, jesli nie w praktyce) i wynikaj,! przewaznie z regul mechaniki kwantowej. Prawa biologii s,! znacznie bardziej odlegle od praw fizyki, jednak nie mamy zadnych powodow, aby wierzyc (pomijaj,!c sprawy swiadomosci), ze zachowania biologiczne nie S,!, u samych ich podstaw, calkowicie zalezne od procesow fizycznych, ktore obecnie w zasadzie juz rozumiemy. W takim razie procesy biologiczne S,! rowniez, w ostatecznym rachunku, kontrolowane przez matematyky. Rozwaimy na przykiad cudowny sposob, w jaki nasionko rozwija siy w Zyw,! rosliny, a ta nadzwyczajna struktura kaidej rosliny jest w najmniejszym detalu podobna do wszystkich innych roslin wyroslych z tych samych nasion. U podstaw tych procesow leZ,! zjawiska fizyczne, poniewai DNA, ktory kontroluje wzrost roslin, jest cz'!steczk'!, a trwalosc i niezawodnosc jej struktury w sposob krytyczny jest zwi¥ana z regulami mechaniki kwantowej (co wyrainie podkreslil SchrMinger w 1944 roku w swojej znanej i wplywowej ksi,!zce Czym jest Zycie?47). Co wiycej, wzrost roslin jest ostatecznie kontrolowany przez te same sHy fizyczne, ktore rz,!dz,! cz'!stkami, z jakich siy skiadaj,!. Chodzi tu przede wszystkim 0 sHy pochodzenia elektromagnetycznego, ale duze sily j'!drowe maj,! zasadnicze znaczenie w okresleniu, ktore j,!dra wchodz'! w gry, a co za tym idzie, z jakimi atomami bydziemy mieli do czynienia. RownieZ oddzialywania slabe odgrywaj,! wielk,! roly w zjawiskach, ktore obserwujemy w wielkiej skali, i zdumiewaj,!ce, w jaki sposob, niezaleznie od ich slabosci (ich wielkosc jest jedynie rZydu 10-7 wielkosci oddzialywan silnych i 10-5 oddzialywan elektromagnetycznych), prowadz'! one do najbardziej dramatycznych zjawisk, ktorych doswiadcza ludzkosc. To wlasnie oddzialywania slabe podczas procesow rozpadu radioaktywnego wewn'!trz skorupy Ziemi s,! odpowiedzialne za wysok,! temperatury ziemskiej magmy. W szczegolnosci ich pochodn,! s,! erupcje wulkaniczne. W historii Ziemi byl kilkuletni okres, okolo 535 roku, kiedy wyst,!pila klyska glodu na skaly swiatow,! oraz zapanowaly niezwykle niskie temperatury, w wyniku gigantycznych wybuchow wulkanu i ogromnego rozproszenia pylu wulkanicznego, ktory prawie jednorodnie pokryl powierzchniy Ziemi. Tym wulkanem byl najprawdopodobniej Krakatau w poblizu Jawy, ktorego wybuch w 535 roku stal siy chyba najwiykszym kataklizmem w dziejach ludzkosci. Drugi podobny wybuch tego wulkanu (aczkolwiek nieco mniej gwaltowny) odnotowano w 1883 roku. Z punktu widzenia cywilizowanych obserwatorow bardziej nawet dramatyczny byl wybuch wulkanu okolo 1628 roku p.n.e., ktory zniszczyl wyspy Thera (Santoryn); mozna go bylo latwo obserwowac z Krety, oddalonej okolo 160 km w kierunku poludniowym. Erupcja calkowicie zniszczyla iycie na samej Therze i byla naj- 1003
Kt6r~dy
34
wiedzie droga do rzeczywistosci?
prawdopodobniej zasadnicz,! przyczyn,! upadku pokojowej i wysoce kulturalnej spolecznosci miasta Knossos na Krecie, gdzie w Wielkim Palacu mial bye zbudowany slynny labirynt Dedala48 • Uporczywie twierdzi siy, ie zaglada Thery mogla bye zr6dIem legendy 0 Atlantydzie 49 • Moie powinno bye dla nas pewn'! pociech,!, ie niektore kataklizmy przeszlosci staly siy zaczynem postypu i rozwoju, jaki pewnie bez nich nie m6glby siy dokonae. (Najbardziej dramatycznym z nich byla globalna zaglad a dinozaur6w, kt6ra umoiliwila rozwoj ssak6w, a w konsekwencji pojawienie siy czlowieka - aczkolwiek ta katastrofa byla spowodowana nie tyle przez aktywnose wulkan6w, ile przez zderzenie z planetoid,!.) Czy rzeczywiscie niezwykly rozw6j kultury staroiytnych Grekow, w ci,!gu tysi,!c1ecia po zagladzie Thery, nie rna zwi,!zku z t'! katastrof,! wulkaniczn,!? Jeszcze bardziej zadziwiaj,!CY jest fakt, ie najbardziej gwaltowne wybuchy, z jakimi spotykamy siy we WszechSwiecie, spowodowane S,! najslabszymi ze wszystkich dzialaj,!cych sil- jesli slowo "sila" w ogole rna tu zastosowanie - a mianowicie silami grawitacyjnymi (ich wielkose jest r6wna okolo 10- 40 sil elektrycznych wystypuj,!cych w atomie wodoru i okolo 10-38 sit oddzialywan slabych), dziyki kt6rym czarne dziury stanowi'! niewiarygodnie potyine zrodlo energii kwazar6w. Ich odleglose od nas jest tak wielka, ie najjasniej swieqcy kwazar, 3C273, ogl,!dany z Zierni rna jasnose milion razy mniejsz,! od pobliskiego Syriusza pomirno wydzielanej przezen gigantycznej energii. Istotnie, gdy ogl,!darny niebo podczas jasnej i spokojnej nocy, dostrzegarny jedynie mikroskopijn,! czyse jego gigantycznej skali. Najdalszy obiekt niebieski widziany golym okiem (galaktyka Andrornedy) znajduje siy od nas w jednej tysiycznej odleglosci od 3C273 i okolo 10- 4 odleglosci od granicy obserwowalnego WszechSwiata! Osobliwosci czasoprzestrzeni, ktore stanowi,! istoty czarnych dziur, nalei,! do tych znanych (przynajmniej tak s'!dzimy) obiektow WszechSwiata, kt6re S,! najbardziej zagadkowe i ktorych wsp6lczesne teorie nie S,! w stanie opisae. W rozdz. 34.5, 7, 8 zapoznalismy siy z innymi tajemniczymi zagadnieniarni, kt6re wyrnykaj,! siy naszemu zrozumieniu. Jest bardzo prawdopodobne, ie w XXI wieku uzyskarny jeszcze glybszy wgl,!d w tajniki Przyrody od tego, jaki byt naszyrn udzialern w XX wieku. Aby jednak tak siy stalo, bydziemy potrzebowali nowych idei, ktore zaprowadz'! nas w znacz'!co roinych kierunkach nii te, kt6re obecnie s,! naszym celern. Bye moie to, czego najbardziej potrzebujemy, to jakas subtelna zmiana perspektywy - cos, co urnyka wci¥ naszej uwadze ...
Przypisy Rozdzial34.1 Zob. np. Mukohyama, Randall (2003). 2 Zob. Tittel et al. (1998). 3 Zob. Arndt et al. (1999). 4 Zob. Amelino-Camelia et al. (1998); Gambini, Pullin (1999); Amelino-Camelia, Piran (2001); 1004 Sarkar (2002); albo, jako mozliwa "droga wyjscia", Magueijo, Smolin (2002). 1
Przypisy
5
Rozdzial34.2 Uiywam tutaj slowa spojnosc (coherence), aby przekazae cos wiycej niz niesplZecznosc (consistency). Termin ten rna sugerowae, ze aby uzyskae w pelni spojnq (coherent) struktury matematycznq, oprocz logicznej zgodnosci potrzebna jest pewna ekonomia, w ktorej rozne aspekty formalizmu lqczq siy ze sobq w sposob harmonijny.
Rozdzial34.3 Zob. Rovelli (1998). 7 Niektorzy z moich kolegow przekonywali mnie, ze mamy do czynienia z takq wlasnie sytuacjq! 8 Przypomnijmy sobie z rozdz. 15.4, ze S7 jest uwlokniona przez S3 w analogii z rownoleglymi Clifforda na S3. Istotnie, 0 S7 mowimy, ze jest "paralelizowalna" (parallelizable), co oznacza, ze kazdemu z jej punktow mozna w sposob ciqgly przyporzqdkowae 7 kierunkow wektorow stycznych. "Zgniecenie" S7 uzyskujemy systematycznie wzdluz tego rodzaju "rownoleglych" kierunkow. Zob. Jensen (1973). 9 Zob. Collins (1977), gdzie znajdziemy teoriy trajektorii Reggego, oraz Chew (1962) tam teoria macierzy S. 10 Zob. Geroch (nieopublikowane wyklady, wygloszone na University of Chicago). 11 Zob. van der Waerden (1929); Infeld, van der Waerden (1933); Penrose, Rindler (1984, 1986); O'Donnell (2003). 12 Zob. Dirac (1936). Inne wersje rownania dla czqstek 0 wyzszym spinie zob. Corson (1953). 13 Zob. Wess, Zumino (1974). 6
Rozdzial 34.4 Zob. Popper (1934). 15 Zabawny przyklad zastosowania tego rodzaju idei podali Aldiss, Penrose (2000). 16 Niezaleznie od ostatnich doniesien, ze zostalo to potwierdzone w eksperymencie BOOMERanG. Zob. np. Bouchet et al. (2002), gdzie przedstawiona jest (dose ograniczona) krytyka tych doniesien. 17 Model stacjonarnego wszechSwiata, zaproponowany przez Bondiego, Golda i Hoyle'a we wczesnych latach piyCdziesiqtych XX wieku (zob. Hoyle 1948; Bondi, Gold 1948), byl nieslychanie popperowski. Jasno formulowal to Bondi, wskazujqc jako glowny sposob jego obalenia obserwacyjne udowodnienie, ze K O. Model ten zostal jednak obalony przez konflikt z innymi obserwacjami, przede wszystkim z obecnosciq promieniowania tla 2,7 K, ktore stanowi bezposrednie uzasadnienie koncepcji Wielkiego Wybuchu; zob. rozdz. 27.4, 7,10,13. 18 Zob. np. Linde (1995). 19 Zob. Bucher, Goldhaber, Turok (1995) i Linde (1995). 20 Zob. Hawking, Turok (1998). 21 Zob. Lange et al. (2001). 14
*'
Rozdzial34.5 Zob. pracy Johna Horgana, The End of Science (1996). 23 Zob. Ferber (1978); Ward, Wells (1989); Delduc et al. (1993); Ilyenko (1999).
22
Rozdzial 34.7 Zob. Penrose (1989, 1994, 1997). 25 Zob. Deutsch (2000); Lockwood (1989). 26 Zob. Gell-Mann (1994) i Hartle (2004). 27 Chociaz kazdy, kto mial okazjy kiedykolwiek slyszee, co sam David Bohm 0 tyrn sqdzil, wie, ze nie uwazal on, by problem swiadomosci w ogole nie wiqzal siy z zagadnieniami mechaniki kwantowej. 1005 28 Zob. Penrose (1989, 1994, 1997).
24
Kt6r~dy
34
29
30 31 32
33
wiedzie droga do rzeczywistosci?
Zob. Hameroff, Watt (1982); Hameroff (1987, 1998); Hameroff, Penrose (1996). Zob. Koruga et al. (1993). Zob. Anderson (1997). Informacja prywatna. 0 ile wiem, badania Dugginsa nie Sq jeszcze zakoiiczone i zadna praca nie zostala 0publikowana. Zob. Penrose (1987a, 1994); Hameroff, Penrose (1996).
Rozdzial34.8 Wydaje siy kwestiq spornq, czy ten tajemniczy zwiqzek jest naprawdy godny uwagi. W znanym wyldadzie z 1960 roku wielki matematyk, Eugene Wigner (zob. Wigner 1960), m6wil o "niezrozumialej skutecznosci matematyki w fizyce". lednak inny wybitny matematyk, Andrew Gleason, kt6rego dwa doniosle twierdzenia pojawily siy na kartach tej ksiqzki (zob. przyp. 4 w rozdz. 13 i 4 w rozdz. 23), przyjql odmienne stanowisko (1990), wedlug kt6rego zgodnose miydzy matematykq a fizykq stanowi jedynie odbicie faktu, ze "matematyka jest naukq porzqdku". M6j osobisty punkt widzenia bliZszy jest stanowisku Wignera niZ Gleasona. Wydaje mi siy, ze nie tylko nadzwyczajna precyzja, ale takZe subtelnose i wyrafinowanie, jakie odkrywamy w matematycznych prawach opisujqcych elementarne procesy fizyczne, Sq czyms wiycej niz tylko przejawem "porzqdku" w funkcjonowaniu swiata. 35 Filozofia ta wydaje si y zblizona do filozofii Geoffreya Chew, kt6ry odkryl wiele holomorficznych wlasnosci macierzy S. Zob. Chew (1962). 36 Zob. uwagi wstypne Freemana Dysona; Dyson (1966). 37 Zob. Penrose (1988). 38 Ten fakt rna duie znaczenie w og6lnej teorii wzglydnosci przy badaniu asymptotycznych symetrii czasoprzestrzeni asymptotycznie plaskich; zob. Sachs (1962a, 1962b); Penrose, Rindler (1986). 39 Por. Eddington (1946). 34
Rozdzial 34.9 Zob. du Sautoy (2004), kt6ry dyskutuje zwiqzki hipotezy Riemanna z fizykq; zob. takZe Berry, Keating (1999). leszcze innq roly w fizyce odgrywa funkcja ~ (Eulera) pod nazwq "regularyzacji funkcji ~". Szybkie przeszukanie LANL arXiv pokazuje znaczenie regularyzacji funkcji ~ (Eulera) -136 trafieii za ostatnim razem!!! 41 Zob. Wess, Bagger (1992) oraz przyp. 13 z rozdz. 3l. 42 Zob. przyp. 57 i 58 z rozdz. 3l. 43 Zob. przyp. 81 z rozdz. 3l. 44 To sarno w sobie nie ogranicza powierzchni Riemanna do linii twistorowych reprezentujqcych punkty czasoprzestrzeni (zob. rozdz. 33.5), gdyz mogq bye one krzywymi "wyzszego rzydu". Zasadniczo "warunek genus 0" m6wi nam, ze rozwazamy procesy Yanga-Millsa typu drzewa, w kt6rych nie wystypujq jakiekolwiek "pytle zamkniyte" (rozdz. 26.8). 45 Zob. Shaw, Hughston (1990); Hodges (1985, 1990a, 1990b). 46 Modele tego rodzaju nazywane Sq "modelami a"; zob. Ketov (2000). 40
Rozdzial34.10 Zob. SchrOdinger (1967). 48 Na stronach 89-94 ksiqzki: Davies (1997) znajduje siy graficzne przedstawienie tego wydarzenia (skorzystalem z tego opisu w Prologu). Samq legendy zap0Zyczylem z mojej ulubionej ksiqzki: Hamilton (1999). 49 Najnowsze opracowanie tego tematu przedstawil Friedrich (2000). 47
Epilog AmEA, mloda doktor fizyki, pochodzila z malego miasteczka w poludniowych Wloszech i obdarzona byla wybitnymi zdolnosciami artystycznymi i matematycznymi. Obserwowala czyste nocne niebo przez wielkie okno na wschodniej scianie Instytutu Alberta Einsteina w Golm pod Poczdamem. Ten prestizowy instytut badawczy zalozony zostal pod koniec XX wieku w poblizu miejsca, w ktorym Einstein mial kiedys domek letniskowy. Powazna czysc prowadzonych tam badan poswiycona byla problemowi "grawitacji kwantowej", zmierzaj,!cemu do pol,!czenia zasad lez'!cych u pods taw ogolnej teorii wzglydnosci Einsteina z zasadami mechaniki kwantowej - prawdziwej zagadki wsrod fundamentalnych praw rz'!dz'!cych WszechSwiatem. Taki tez byl kierunek wlasnych badan Antei, ale byla ona nowym pracownikiem, na dodatek przyniosla ze sob,! pewne nieortodoksyjne, ale nie do konca jeszcze uformowane koncepcje, ktore w wielu miejscach okazaly siy fundamentalnie rozne od koncepcji jej kolegow. Tej nocy pracowala do rana w gornej bibliotece instytutu, w czasie kiedy jej koledzy juz dawno poszli spac. Studiowala pewne starsze prace na temat gigantycznych emisji energii, jakie zachodz'! w centrach niektorych galaktyk. To naprawdy szczyscie, pomyslala, ze Ziemia i Uklad Sloneczny nie znajduj,! siy w ich poblizu, w przeciwnym bowiem wypadku wyparowalyby prawie natychmiast. Konwencjonalne wyjasnienie tych gigantycznych eksplozji sprowadzalo siy do tego, ze kazda z nich jest zasilana przez energie czarnych dziur 0 ogromnych rozmiarach. Antea wiedziala, ze czarna dziura jest obszarem czasoprzestrzeni, wewn'!trz ktorego znajduje siy struktura okreslana mianem "osobliwosci czasoprzestrzeni". Jej naukowy opis nadal nam siy wymyka i zwi¥any jest z wci¥ nieistniej,!c,! kwantow'! teori1! grawitacji. JednakZe zainteresowania Antei nie dotyczyly bezposrednio czarnych dziur, lecz eksplozji nawet bardziej monstrualnych: koncz'!cych wszystkie eksplozje - alba raczej eksplozji stoj,!cej u pocz'!tku ich wszystkich - znanej pod nazw1! Wielkiego Wybuchu. Wszak osobliwosci czasoprzestrzeni w Wielkim Wybuchu byly zagadk,! jeszcze wiyksz1! niZ tajemnice czarnych dziur. Antea zdawala sobie sprawy, ze u korzeni tych tajemnic leZy sekret unifikacji stworzonej przez Einsteina teorii przestrzeni, czasu i grawitacji z zasadami mechaniki kwantowej.
Epilog
Noc byla piykna i gwiazdy wyraznie widoczne. Stracila rachuby czasu, stojqC tak w zadumie, oparta 0 balustrady schod6w, gdy przyglqdala siy przez wielkie okno niebieskim konstelacjom. Kontemplujqc bezkresnq kopuly nieba, gigantyczne odleglosci, z kt6rych nadbiegaly drobniutkie iskierki swiatel - a jako astrofizyk zdawala sobie sprawy, ze te odleglosci nic nie znaCZq w por6wnaniu z bezmiarem skali kosmologicznej - odczula niezwykle silnie wlasnq nicosc. A jednak - myslala - gdyby mogla teraz zobaczyc jakqs eksplozjy kosmicznq, bez wzglydu na to, jak odleglq, zwiastujqce jq malenkie fotony nie potrzebowalyby czasu, aby do niej dotrzec. To sarno dotyczyloby grawiton6w wytworzonych podczas wybuchu, kt6rych cZysc moglaby byc zarejestrowana przez detektor fal grawitacyjnych instytutu, znajdujqcego siy w poblizu Hanoweru, okolo 250 kilometr6w od niej. Poruszyla jq mysl, ze moglaby miec bezposredni kontakt z tym kosmicznym wydarzeniem ... Gdy tak stala ze wzrokiem skierowanym na wsch6d, zaskoczyl jq nagly i niespodziewany blysk zielonego swiatla, na moment przed zaraniem, po czym ciemnoczerwone Slonce zaczylo siy wylaniac zza horyzontu. Zjawisko "zielonego blysku" i jego fizyczne wyjasnienie bylo jej dobrze znane, nigdy jednak nie miala okazji zetknqc siy z nim bezposrednio, ten niespodziewany widok spowodowal wiyc silnq reakcjy emocjonalnq. To nagle doswiadczenie jakby oswietlilo jasnym blaskiem zagadkowe rozwazania matematyczne, kt6re myczyly jq przez caly wiecz6r. Wtem przyszla jej do glowy dziwna mysl. ..
Bibliografia FrZYKA xx wieku doznala jeszcze innego przelomu, 0 jakim dot,!d nie wspominalem, chociai nalei)' on do najbardziej donioslych! Chodzi 0 wprowadzenie arXiv.org - internetowego magazynu, w ktorym fizycy i matematycy, biolodzy i informatycy mog,! publikowac swoje prace, zanim (a nawet zamiast) wysl,! je do odpowiednich czasopism. ArXiv.org umozliwil przekazywanie nowych idei swiatowej opinii naukowej z niewiarygodn,! szybkosci,!, a w konsekwencji nast,!pilo ogromne przyspieszenie postt(pu badan naukowych w tych wszystkich dziedzinach. Osi,!gnit(cie to docenila spolecznosc naukowa, a jego tworca Paul Ginsparg zostal uhonorowany "nagrod,! dla geniuszy" Fundacji MacArthurow (The John D. and Catherine T MacArthur Foundation). Staralem sit( wykorzystac zalety tego niezwykle istotnego wynalazku i, gdzie tylko bylo to mozliwe, dol,!czyc w niniejszej bibliografii link do arXiv.org. Dotarcie do odpowiedniej pracy na arXiv.org jest niezwykle proste. Najpierw za pomoq naszej ulubionej wyszukiwarki znajdujemy www.arxiv.org. Nastt(pnie szukamy odpowiedniego artykulu lub wypisujemy ..www.arxiv.orgl... dodaj.!c odpowiedni kod podany w nawiasie w odpowiedniej pozycji bibliografii. Na przyklad chqc znaleic pract(: Smolin 2003 zatytulowan'! How far are we from the quantum theory of gravity? (Jak daleko jestesmy od kwantowej teorii grawitacji?), wypisujemy adres internetowy: www.arxiv.org/hep-th/0303185 Sprobujcie!
Abian (1965): Abian A., The theory of sets and transfinite arithmetic, Saunders, Filadelfia. Abbott et al. (2004): Abbott B. et aI., Detector Description and Performance for the First Coincidence Observations between LIGO and GEO, "Nuclear Instrument and Method", AS17, s. 154-179 [gr-qc/0308043]. Adams (2000): Adams e.e., The Knot Book, Owl Books, Nowy Jark. Adams, Atiyah (1966): Adams J.E, Atiyah M.EA., On K-theory and Hopfinvariant, "Quarterly Journal of Mathematics", 17, s. 31-38.
Bibliografia
Adler (1995): Adler S.L., Quatemionic Quantum Mechanics and Quantum Fields, Oxford University Press, Nowy Jork. Afriat (1999): Afriat A, The Einstein, Podolsky, and Rosen Paradox [w:] Atomic, Nuclear, and Particle Physics, Plenum Publishing Corp. Aharonov, Albert (1981): AharonovY., Albert D.Z., Can we make sense out of the measurement process in relativistic quantum mechanics?, "Physical Review", D24, s. 359-370. Aharonov, Anandan (1987): Aharonov Y., Anandan J., Phase change during a cyclic quantum evolution, "Physical Review Letters", 58, s. 1593-1596. Aharonov, Bohm (1959): Aharonov Y., Bohm D.J., Significance of electromagnetic potentials in the quantum theory, "Physical Review", 115, s. 485-49I. Aharonov, Vaidman (1990): Aharonov Y., Vaidman L., Properties of a quantum system during the time interval between two measurements, "Physical Review", A41, s. II. Aharonov, Vaidman (2001): Aharonov Y., Vaidman L., The Two-State Vector Fonnalism of Quantum Mechanics [w:] Time in Quantum Mechanics (red. J.G. Muga el al.), Springer-Verlag. Aharonov et al. (1964): Aharonov Y., Bergmann P., Lebowitz, J.L., Time symmetry in the quantum process of measurement [w:] Quantum Theory and Measurement (red. J.A Wheeler, W.H. Zurek), Princeton University Press, Princeton, New Jersey 1964 (po raz pierwszyw "Physical Review" 1983, 134B, s.1410-1416). Ahmavaara (1965): Ahmavaara Y., The structure of space and the fonnalism of relativistic quantum theory, I. "Journal of Mathematical Physics", 6, s. 87-93. Aitchison, Hey (2004): Aitchison I., Hey A, Gauge Theories in Particle Physics: A Practical Introduction, t. 1 i 2, Institute of Physics Publishing, Bristol. Albert et al. (1985): Albert D., Aharonov Y., D'Amato S., Curious New Statistical Prediction of Quantum Mechanics, "Physical Review Letters", 54, s. 5. Aldiss, Penrose (2000): Aldiss B.W., Penrose R, White Mars. St Martin's Press, Londyn. Alpher, Bethe, Gamow (1948): Alpher RA, Bethe H.A, Gamow G., The Origin of Chemical Elements, "Physical Review", 73, s. 803. Ambjorn et al. (1999): Ambjorn J., Nielsen J.L., Rolf J., Loll R, Euclidean and Lorentzian Quantum Gravity: Lessons from Two Dimensions, "Chaos Solitons Fractals", 10 [hep-th/9805108]. Amelino-Camelia, Piran (2001): Amelino-Camelia G., Piran, T., Planck-scale defonnations of Lorentz symmetry as a solution to the UHECR and the TeV-MATH-gamma paradoxes, "Physical Review", D64, 036005 [astro-ph/ 0008107] Amelino-Camelia et al. (1998): Amelino-Camelia G. et aI., Potential Sensitivity of Gamma-Ray Burster Observations to Wave Dispersion in Vacuo, "Nature" 393, 1010 s. 763-735 [astro-ph/ 9712103].
Bibliografia
Anderson (1987): Anderson P.w., The Theory of Superconductivity in the High-Tc Cuprate Superconductors, Princeton University Press, Princeton, New Jersey 1987. Anguine (1999): Anguine K., Isotropic cosmological singularities 3: The Cauchy problem for the inhomogeneous conformal Einstein-Vlasov equations, "Annals of Physics", 282, s. 395-419. Antoci (2001): Antoci S., The origin of the electromagnetic interaction in Einstein's unified field theory with sources [gr-qc/018052] Anton, Busby (2003): Anton H., Busby R.C, Contemporary Linear Algebra, John Wiley & Sons, Hoboken, New Jersey. Apostol (1976): Apostol T. M., Introduction to Analytic Number Theory, SpringerVerlag, Nowy Jork 1976. Arfken, Weber (2000), Arfken G., Weber H., Mathematical Methods for Physicists. Harcourt/Academic Press. Arndt et aI. (1999): Arndt M. et aI., Wave-particle duality ofC6omolecules, "Nature", 401, s. 680. Arnol'd, VJ. (1978): Arnol'd, Y.L, Mathematical Methods of Classical Mechanics, Springer-Verlag, Nowy Jork. Arnowitt et al. (1962): Arnowitt R., Deser S., Misner Cw., [w:] Gravitation: An Introduction to Current Research (red. L. Witten), John Wiley & Sons, Inc. Nowy Jork. Ashtekar (1968): Ashtekar A, New variables for classical and quantum gravity, "Physical Review Letters", 57, s. 2244-2247. Ashtekar (1987): Ashtekar A, New Hamiltonian formulation of general relativity, "Physical Review", D36, s. 1587-1602. Ashtekar (1991): Ashtekar A, Lectures on Non-Perturbative Canonical Gravity (Appendix), World Scientific, Singapur. Ashtekar, Das (2000): Ashtekar A, Das S. , Asymptotically anti-de Sitter space-times ConselVed quantities, "Classical and Quantum Gravity", 17, s. L17-L30. Ashtekar, Lewandowski (2001): Ashtekar A, Lewandowski J., Relation between polymer and Fock excitations, "Classical and Quantum Gravity", 18, s. L117-L127. Ashtekar, Lewandowski (2004): Ashtekar A, Lewandowski J., Background Independent Quantum Gravity: A Status Report [gr-qc/0404018]. Ashtekar, Lewandowski (1994): Ashtekar A, Lewandowski J., Representation theory ofanalytic holonomy algebras [w:] Knots and Quantum Gravity (red. J.C Baez), Oxford University Press, Oksford. Ashtekar, Magnon (1980): Ashtekar A, Magnon A, A geometric approach to external potential problems in quantum field theory, "General Relativity and Gravity", t. 12, s. 205-223. Ashtekar, Schilling (1998): Ashtekar A, Schilling T.A [w:] On Einstein's Path (red. A Harvey), Springer-Verlag, Berlin. 1011
Bibliografia
Ashtekar et al. (2000): Ashtekar A, Baez J.e., Krasnov K., Quantum geometry of isolated horizons and black hole entropy, "Advances in Theoretical and Mathematical Physics", 4, s. 1-95. Ashtekar et al. (1998): Ashtekar A, Baez J.e., Corichi A, Krasnov K., Quantum geometry and black hole entropy, "Physical Review Letters", 80, s. 904-907. Ashtekar et al. (2003): Ashtekar A, Bojowald M., Lewandowski J., Mathematical structure of loop quantum cosmology, "Advances in Theoretical and Mathematical Physics", 7, s. 233-268. Atiyah (1990): Atiyah M.E, The Geometry and Physics of Knots, Cambridge University Press, Cambridge. Atiyah, Singer (1963): Atiyah M.E, Singer LM., The Index of Elliptic Operators Compact Manifolds, "Bulletin of American Mathematical Society", 69, s. 322-433. Atiyah et al. (1978): Atiyah M.E, Hitchin N.J., Singer LM., Self-duality in fourdimensional Riemannian geometry "Proceedings of Royal Society of London", A362, s. 425-461. Baez (1998): Baez J.e., Spin foam models, "Classical and Quantum Gravity", 15, s.1827-1858. Baez (2000): Baez J.e., An introduction to spin foam models of quantum gravity and BF theory, "Lectures and Notes in Physics", 543, s. 25-94. Baez (2001): Baez J.e., Higher-dimensional algebra and Planck-scale physics [w:] Physics Meets Philosophy at the Planck Scale (red. e. Callender, N. Huggett), Cambridge University Press, Cambridge 2001 [gr-qc/9902017]. Baez, Dolan (1998): Baez J.e., Dolan D., Categorification [w:] Higher Category Theory (red. E. Getzler, M. Kapranov), seria Contemporary Mathematics, t. 230, AMS, Providence, RI 1998 [zob. tez http://xxx.lanl.gov/abs/math.QN 980202y]. Bahcall et al. (1999): Bahcall N., Ostriker J.P', Perlmutter S., Steinhardt P.J., The Cosmic Triangle: Revealing the State of the Universe, "Science", 284 [astroph/9906463]. Bailey, Baston (1990): Bailey T.N., Baston R.J. (red.), Twistors in Mathematics and Physics, LMS Lecture Note Series 156, Cambridge University Press, Cambridge. Bailey et al. (1982): Bailey T.N., Ehrenpreis L., Wells R.O., Jr., Weak solutions of the massless field equations, "Proceedings of Royal Society of London", A384, s.403-425. Banchoff (1990, 1996): Banchoff T., Beyond the Third Dimension, Scientific American Library, zob. tez http://wwwJacultyJairfield.edu/jmac/cl/tb4d.htm. Bar (2000): Bar I., Survey of Two-Time Physics [hep-th/0008164]. Barbour (1989): Barbour J.B., Absolute or Relative Motion, t. I: The Discovery of 1012 Dynamics, Cambridge University Press, Cambridge.
Bibliografia
Barbour (1992): Barbour J.B., Time and the interpretation of quantum gravity, Syracuse University Preprint. Barbour (2001 a ): Barbour J .B., The Discovery ofDynamics: A Study from a Machian Point of View of the Discovery and the Structure ofDynamical Theories, Oxford University Press, Oksford. Barbour (2001b): Barbour J.B., The End of Time, Oxford University Press, Oksford. Barbour (2004): Barbour J.B.,Absolute or Relative Motion: The Deep Structure of General Relativity. Oxford University Press, Oksford. Barbour et al. (2002): Barbour J.B., Foster B., 0 Murchadha N., Relativity without relativity, "Classical and Quantum Gravity", 19, s. 3217-3248 [gr-qc/0012089]. Barrett, Crane (1998): Barrett J. W, Crane L., Relativistic spin networks and quantum gravity, "Journal of Mathematical Physics", 39, s. 3296-3302. Barrett, Crane (2000): Barrett J.W., Crane L., A Lorentzian signature model for quantum general relativity, "Classical and Quantum Gravity", 17,3101-3118. Barrow, Tipler (1988): Barrow J.D., Tipler F.J., The Anthropic Cosmological Principle, Oxford University Press, Oksford. Baston, Eastwood (1989): Baston RJ., Eastwood M.G., The Penrose transform: its interaction with representation theory, Oxford University Press, Oksford. Bateman (1904): Bateman H., The solution ofpartial differential equations by means of definite integrals, "Proceedings of London Mathematical Society", (2) 1, s.451-458. Bateman (1944): Bateman H., Partial Differential Equations ofMathematical Physics, Dover, Nowy Jork. Becker (1982): Becker R, Electromagnetic Fields and Interactions, Dover, Nowy Jork. Begelman et al. (1984): Begelman M.C, Blandford RD., Rees M.J., Theory of extragalactic radio sources, "Reviews of Modern Physics", 56, s. 255. Bekenstein (1972): Bekenstein J., Black holes and the second law, "Lettere al Nuovo Cimento", 4, s. 737-740. Belinskii et al. (1970): Belinskii Y.A., Khalatnikov I.M., Lifshitz E.M., Oscillatory approach to a singular point in the relativistic cosmology, "Uspiechi Fiziki" 1970, 102, s. 463-500 (dum. ang. w "Advances in Physics" 1970, 19, s. 525-573). Bell (1987): Bell J.S., Speakable and Unspeakable in Quantum Mechanics, Cambridge University Press, Cambridge. Beltrami (1868): Beltrami E., Essay on the interpretation ofnon-Euclidean geometry (Hum. w: Stillwell J.C, Sources of Hyperbolic Geometry, "History of Mathematics", 10, AMS Publications). Bennett (2003): Bennett CL. et aI., First Year Wilkinson Microwave Anisotropy Probe (WMAP) Observations: Preliminary Maps and Basic Results "Astrophysical Journal", Suplement 2003, 148, s. 1 [astro-ph/0302207]. Bergmann (1956): Bergmann P.G. [w:] "Helvetica Physica Acta", Supp1. 4, s. 79. 1013
Bibliografia
Bergmann (1957): Bergmann P.G., Two-component spinors in general relativity, "Physical Review", 107, s. 624-629. Bern (2002): Bern Z., Perturbative Quantum Gravity and its relation to Gauge Theory, "Living Rev. Relativity", 5 [www.livingreviews.orgiArtic1esNolume5/2002-5 bern/index.html]. Berry (1984): Berry M.V., Quantal phase factors accompanying adiabatic changes, "Proceedings of Royal Society of London", A392, s. 45-57. Berry (1985): Berry M.V., Classical adiabatic angles and quantal adiabatic phase, "Journal of Physics A Mathematical and General", 18, s. 15-27. Berry, Keating (1999): Berry M.V., Keating J.P', The Riemann Zeros and Eigenvalue Asymptotics, "SIAM Review", 41, nr 2,236-266. Berry, Robbins (1997): Berry M.V., Robbins, J.M., Indistinguishability for quantum part spin, statistics and the geometric phase, "Proceedings of Royal Society in London", A 453, s.1771-1790. Biedenharn, Louck (1981): Biedenharn L.c., Louck J.D., Angular Momentum in Quantum Physics, Addison-Wesley, Londyn. Bilaniuk, Sudarshan (1969): Bilaniuk O.-M., Sudarshan G., Particle beyond the light barrier, "Physics Today", 22, s. 43-51. Birrell, Davies (1984): Birrell N.D., Davies P.C.W, Quantum Fields in Curves Space, Cambridge University Press, Cambridge. Bjorken, Drell (1965): Bjorken J.D., Drell S.D., Relativistic Quantum Mechanics, McGraw Hill, Nowy Jork i Londyn. Blanchard et al. (2003): Blanchard A, Douspis M., Rowan-Robinson M., Sarkar S., An alternative to the cosmological 'concordance model', "Astronomy and Astrophysics", 412, s. 35-44. Blanford, Znajek (1977): Blanford R.D., Znajek R.L., Electromagnetic Extraction ofEnergy from Kerr Black Holes, "Monthly Notices of the Royal Astronomical Society", 179, s. 433. Bohm (1951): Bohm D., Quantum Theory (Prentice-Hall, Englewood Cliffs 1951), rozdz. 22, par. 15-19. Przedruk: The Paradox of Einstein, Rosen and Podolsky [w:] Quantum Theory and Measurement (red. J.A Wheeler, WH. Zurek), Princeton University Press, Princeton, New Jersey 1983. Bohm, Hiley (1994): Bohm D., Hiley B., The Undivided Universe: An Ontological Interpretation of Quantum Theory, Routledge, Londyn. Bojowald (2001): Bojowald M., Absence of singularity in loop quantum cosmology, "Physical Review Letters", 86, s. 5227-5230. Bondi (1957): Bondi H., Negative mass in general relativity, "Review of Modern Physics" 1957,29, s. 423-428; rowniez w "Mathematical Review", 19, s. 814. Bondi (1960): Bondi, H., Gravitational waves in general relativity, "Nature" (Londyn), 186, s. 535. Bondi (1961): Bondi H., Cosmology, Cambridge University Press, Cambridge. 1014 Bondi (1964): Bondi H., Relativity and Common Sense, Heinemann, Londyn.
Bibliografia
Bondi (1967): Bondi H., Assumption and Myth in Physical Theory, Cambridge University Press, Cambridge. Bondi, Gold (1948): Bondi H., Gold T., The Steady-State Theory of the Expanding Universe, "Monthly Notices of the Royal Astronomical Society", 108, s. 252-270. Bondi et al. (1962): Bondi H., van der Burg M.G.J., Metzner AWK., Gravitational waves in general relativity, VII: Waves from axisymmetric isolated systems, "Proceedings of Royal Society of London", A269, s. 21-52. Bonnor, Rotenberg (1966): Bonnor W.B., Rotenberg M.A, Gravitational waves from isolated sources, "Proceedings of Royal Society of London", A289, s.247-274. Borner (2003): Borner G., The Early Universe: facts and fictions, Springer-Verlag, Berlin i Nowy Jork. Bouchet et al. (2000): Bouchet P.R., Peter P., Riazuelo A., Sakellariadou M., Evidence against or for topological defects in the BOOMERanG data? "Physical Review", D65, 021301 [astro-ph/0005022]. Boyer (1968): Boyer c.B., A History of Mathematics, wyd. 2, John Wiley & Sons, Nowy Jork. Braginsky (1977): Braginsky v., The Detection of Gravitational Waves and Quantum Non-Distributive Measurements [w:] Topics in Theoretical and Experimental Gravitation Physics (red. V. De Sabbata, J. Weber), s. 105-122, Plenum Press, Nowy Jork. Bramson (1975): Bramson B.D., The alignment offrames of reference at null infinity for asymptotically flat Einstein-Maxwell manifolds, "Proceedings of Royal Society in London", A341, s. 451-461. Brandhuber et at. (2004): Brandhuber A, Spence B., Travaglini G., One-Loop Gauge Theory Amplitudes in N = 4 Super Yang Mills from MHV fiertices, [hep-th/ 0407214]. Brauer, Weyl (1935): Brauer R., Weyl H., Spinors in n dimensions, "American Journal of Mathematics", 57, s. 425-429. Brekke, Freund (1993): Brekke L., Freund P.G.O., P-adic numbers in physics, North-Holland, Amsterdam. Bremermann (1965): Bremermann H., Distributions, Complex Variables and Fourier Transforms, Addison Wesley, Reading, Massachusetts. Brody, Hughston (1998a): Brody D.C., Hughston L.P. (1998a), Geometric models for quantum statistical inference [w:] The Geometric Universe; Science, Geometry, and the Work of Roger Penrose (red. S.A Huggett, L.J. Mason, K.P. Tod, S.T. Tsou, N.M.J. Woodhouse), Oxford University Press, Oksford. Brody, Hughston (1998b): Brody D.C., Hughston L.P., The quantum canonical ensemble, "Journal of Mathematical Physics", 39(12), s. 6502-6508. Brody, Hughston (2001): Brody D.C., Hughston L.P., Geometric Quantum Mechanics, "Journal of Geometry and Physics", 38(1), s. 19-53. 1015
Bibliografia
Brown, Churchill (2004): Brown J.w., Churchill R.Y., Complex Variables and Applications, McGraw-Hill, Nowy Jork i Londyn. Bryant et al. (1991): Bryant RL., Chern S.-S., Gardner RB., Goldschmidt H.L., Griffiths P.A., Exterior Differential Systems, MSRI Publications, nr 18, Springer-Verlag, Nowy Jork. Bucher et al. (1995): Bucher M., Goldhaber A., Turok N., An open Universe from Inflation, "Physical Review", D52 [hep-ph/9411206]. Buckley, Peat (1996): Buckley P., Peat ED., Glimpsing Reality, University of Toronto Press, Toronto. Budinich, Trautman (1988): Budinich P., Trautman A., The Spinorial Chessboard, Trieste Notes in Physics, Springer-Verlag, Berlin. Burbidge et al. (1957): Burbidge G.R, Burbidge EM., Fowler w.A., Hoyle E, Synthesis of the Elements in Stars, "Reviews in Modern Physics", 29, s. 547--650. Burkert (1972): Burkert w., Lore and Science in Ancient Pythagoreanism, Harvard University Press, Harvard. Burkill (1962): Burkill J.c., A First Course in Mathematical Analysis, Cambridge University Press, Cambridge. Byerly (2003): Byerly W.E,An Elementary Treatise on Fourier's Series and Spherical, Cylindrical, and Ellipsoidal Harmonics, with Applications to Problems in Mathematical Physics, Dover, Nowy Jork. Cachazo et al. (2004a): Cachazo E, Svrcek P., Witten E, MHV Vertices and Tree Amplitudes in Gauge Theory [hep-th/0403047]. Cachazo et al. (2004b): Cachazo E, Svrcek P., Witten E, Twistor Space Structure of One-Loop Amplitudes in Gauge Theory [hep-th/0406177]. Cachazo et al. (2004c): Cachazo E, Svrcek P., Witten E, Gauge Theory Amplitudes In Twistor Space and Holomorphic Anomaly [hep-th/0409245]. Candelas et al. (1991): Candelas P., de la Ossa x.c., Green P. S., Parkes L.,Apair ofCalabi-Yau manifolds as an exactly soluble superconformal theory, "Nuclear Physics", B359, s. 21. Cartan (1923): Cartan E, Sur les varietes i1 connexion affine et la tMorie de la relativite generalisee I, "Ann ales de Ecole Normale Superieure", 40, s. 325-412. Cartan (1924): Cartan E., Sur les varietes i1 connexion affine et la tMorie de la relativite generalisee (suite), "Annales Ecole Normale Superieure", 41, s. 1-45. Cartan (1925): Cartan E., Sur les varietes i1 connexion affine et la tMorie de la relativite generalisee I, "Ann ales de Ecole Normale Superieure", 42, s. 17-88. Cartan (1945): Cartan E, Les Systemes Differentiels Exterieurs elleurs Applications Geometriques, Hermann, Paryz 1945. Cartan (1966): Cartan E, The Theory of Spinors, Hermann, Paryz 1966. Carter (1966): Carter B., Complete Analytic Extension of the Symmetry Axis ofKerr's Solution of Einstein's Equations, "Physical Review", 141, s. 4. Carter (1971): Carter B.,Axisymmetric Black Hole Has Only Two Degrees ofFreedom, 1016 "Physical Review Letters", 26, s. 331-332.
Bibliografia
Carter (1974): Carter B., Large Number Coincidences and the Anthropic Principle, [w:] Confrontation of Cosmological Theory with Astronomical Data (red. M.S. Longair), s. 291-298, Reidel, Dordrecht 1974 (przedruk w Leslie 1990). Cercignani (1999): Cercignani c., Ludwig Boltzmann: The Man Who TrustedAtoms, Oxford University Press, Oksford. Chan, Tsou (1993): Chan H.-M., 'Thou S.T., Some Elementary Gauge Theory Concepts, World Scientific Lecture Notes in Physics, t. 47, Londyn 1993. Chan, Tsou (2002): Chan H.-M., Tsou S.T., Fermion Generations and Mixing from Dualized Standard Model, "Acta Physica Polonica", B 12. Chandrasekhar (1981): Chandrasekhar S., The maximum mass of ideal white dwarfs, "Astrophysical Journal", 74, s. 81-82. Chandrasekhar (1983): Chandrasekhar S., The Mathematical Theory ofBlack Holes, Clarendon Press, Oksford 1983. Chari, Pressley (1994): Chari v., Pressley, A Guide to Quantum Groups, Cambridge University Press, Cambridge 1994. Chen (2002): Chen w.w.L., Linear Functional Analysis [dostctpne w internecie online: http: www.maths.mq.edu.au/-wchen/lnlfafolder/lnlfa.html]. Cheng, Wang (1999): Cheng K.S., Wang J., The formation and merger of compact objects in central engine ofactive galactic nuclei and quasars: gamma-ray burst and gravitational radiation, "Astrophysical Journal", 521, s. 502. Chern (1979): Chern S.S., Complex Manifolds Without Potential Theory, Springer-Verlag, Nowy Jork 1979. Chernoff, Marsden (1974): Chernoff P.R., Marsden J.E., Properties of infinite hamiltonian systems, "Lectures and Notes in Mathematics", t. 425, Springer-Verlag, Berlin. Chevalley (1946): Chevalley c., Theory of Lie Groups, Princeton University Press, Princeton 1946. Chevalley (1954): Chevalley c., The Algebraic Theory of Spinors, Columbia University Press, Nowy Jork. Chew (1962): Chew G.P', S-Matrix Theory of Strong Interactions Pearson Benjamin Cummings. Choquet-Bruhat, DeWitt-Marette (2000): Choquet-Bruhat Y., DeWitt-Marette c., Analysis, Manifolds, and Physics, cz. I i II, North-Holland, Amsterdam. Christenson et al. (1964): Christenson J.H., Cronin J.W., Fitch v.L., Turlay R., Evidence for the 2p decay of the KO meson, "Physical Review Letters", 13, s.138-140. Christian (1995): Christian J., Definite events in Newton-Carlan quantum gravity, preprint, wyslany do "Physical Review" ser. D. Church (1936): Church A., The calculi of lambda-conversion, "Annals of Mathematical Studies", 6, Princeton University Press, Princeton, N.J. 1017
Bibliografia
Claudel, Newman (1998): Claudel CM., Newman KP., Isotropic Cosmological Singularities I. Polytropic Perfect Fluid Spacetimes, "Proceedings of Royal Society of London", 454, s. 1073-1107. Clauser et al. (1969): Clauser J.R, Home M.A, Shimony A, Holt R.A, Proposed experiment to test local hidden-variable theories, "Physical Review Letters", 23, s. 880. Clifford (1873): Clifford W.K, Preliminary Sketch of Biquatemions, "Proceedings of London Mathematical Society", 4, s. 381-395. Clifford (1878): Clifford W.K, Applications of Grassmann's extensive algebra, "American Journal of Mathematics", 1, s. 350-358. Clifford (1882): Clifford W.K, Mathematical papers by William Kingdon Clifford, (red. R. Tucker), Londyn. Cohen (1966): Cohen P.J., Set Theory and the Continuum Hypothesis, W.A Benjamin, Nowy Jork. Collins (1977): Collins P.D.B., An Introduction to Regge Theory and High Energy Physics, Cambridge University Press, Cambridge. Colombe au (1983): Colombe au J.E, A multiplication of distributions, "Journal of Mathematical Analysis Applications", 94, s. 96-115. Colombeau (1985): Colombeau J.R, Elementary Introduction to New Generalized Functions, North Holland, Amsterdam. Connes (1990): Connes A., Essay on physics and non-commutative geometry [w:] The Interface of Mathematics and Particle Physics (red. D.G. Quillen, G.B. Segal, S.T. Tsou), Clarendon Press, Oksford. Connes (1998): Connes A., Noncommutative differential geometry and the structure of space-time [w:] The Geometric Universe; Science, Geometry, and the Work of Roger Penrose (red. S.A Huggett, L.J. Mason, KP. Tod, S.T. Tsou, N.M.J. Woodhouse), Oxford University Press, Oksford. Connes, Berberian (1995): Connes A, Berberian S.K, Noncommutative Geometry, Academic Press, San Diego. Connes, Kreimer (1998): Connes A, Kreimer D., Hopf Algebras, Renormalization and Non-commutative Geometry [hep-th/9808042]. Conway (1976): Conway J.H., On Numbers and Games, Academic Press, Londyn. Conway, Kochen (2002): Conway J.H., Kochen S., The geometry of the quantum paradoxes [w:] Quantum [Un]speakables: From Bell to Quantum Information (red. R.A. Bertlmann, A. Zeilinger), Springer-Verlag, Berlin. Conway, Norton (1979): Conway J.H., Norton S.P., Monstrous Moonshine, "Bulletin of London Mathematical Society", 11, s. 308-339. Conway, Smith (2003): Conway J.H., Smith D.A, On Quatemions and Octonions, AK Peters, Natick, Mass. Corson (1953): Corson E.M., Introduction to Tensors, Spinors, and Relativistic Waveequations, Blackie and Son Ltd., Londyn. Costa de Beauregard (1995): Costa de Beauregard 0., Macroscopic retrocausation, 1018 "Foundations of Physics Letters", 8(3), 287-291.
Bibliografia
Cotes (1714): Cotes R, Logometria, "Philosophical Transactions of Royal Society of London", marzec 1714. Cox, Katz (1999): Cox D.A, Katz S., Mirror symmetry and algebraic geometry, "Mathematical Surveys and Monographs" 68, American Mathematical Society, Providence, RI 1999. Cramer (1988): Cramer J.G., An ovelView of the transactional interpretation of quantum mechanics, "International Journal of Theoretical Physics", 27(2), s.227-236. Crowe (1967): Crowe M.J.,A History of Vector Analysis: The Evolution of the Idea ofa Vectorial System, University of Notre Dame Press, Toronto 1967 (przedruk poprawiony i uzupelniony: Dover, Nowy Jork 1985). Cvitanovic, Kennedy (1982): Cvitanovic P., Kennedy AD., Spinors in negative dimensions, "Physica Scripta", 26, s. 5-14. Das, Ferbel (2004): Das A, Ferbel T., Introduction to Nuclear and Particle Physics, World Scientific Publishing Company, Singapur. Davenport (1952): Davenport H., The Higher Arithmetic: An Introduction to the Theory of Numbers, Hutchinson's University Library, Londyn. Davies (1997): Davies N., Europe: A History, Oxford University Press, Oksford, s. 89-94; wyd. polskie: Europa: rozprawa historyka z przesz/osciq, przel. E. Tabakowska, Wydawnictwo "Znak", Krakow 2003. Davies (2003): Davies P., How to Build a Time Machine, Penguin, USA 2003. Davis (1978): Davis M., What is a Computation? [w:] Mathematics Today: Twelve Informal Essays (red. L.A Steen), Springer-Verlag, Nowy Jork. Davis (1988): Davis M., Mathematical logic and the origin of modem computers [w:] The Universal Turing Machine: A Half-Century SUlVey (red. R Herken), Kammerer und Unverzagt, Hamburg. Davydov (1976): Davydov AS., Quantum Mechanics, Pergamon Press, Oksford. de Bernardis et al. (2000): de Bernardis P. et al., A Flat Universe from High-Resolution Maps of the Cosmic Microwave Background Radiation, "Nature", 404, s. 955-959. Oelduc et al. (1993): Delduc F., Galperin A, Howe P., Sokatchev E., A twister formulation of the heterotic D = 10 superstring with manifest (8,0) worldsheet super-symmetry, "Physical Review", D47, s. 578-593 [hep-th/9207050]. Derbyshire (2003): Derbyshire J., Prime Obsession: Bernhard Riemann and the Greatest Unsolved Problem in Mathematics, Joseph Henry Press, Waszyngton. Oeser (1999): Deser S., Nonrenormalizability of D = 11 supergravity [hep-th/ 9905017]. Deser (2000): Deser S., Infinities in quantum gravities, "Annalen der Physik", 9, s. 299-307 [gr-qc/9911073]. Oeser, Teitelboim (1977): Deser S., Teitelboim C, Supergravity Has Positive Energy, "Physical Review Letters", 39, s. 248-252. 1019
Bibliografia
Deser, Zumino (1976): Deser S., Zumino B., Consistent supergravity, "Physical Rewiev Letters", 62B, s. 335-337. de Sitter (1913): de Sitter W., "Physikalische Zeitschrift", 14, s. 429 (po niemiecku). Deutsch (2000): Deutsch D., The Fabric of Reality, Penguin, Londyn. Devlin (1988): Devlin K., Mathematics: The New Golden Age, Penguin Books, Londyn. Devlin (2002): Devlin K., The Millennium Problems: The Seven Greatest Unsolved Mathematical Puzzles of Our Time, Basic Books, LondynlPerseus Books, Nowy Jork. DeWitt (1967): DeWitt B.S., Quantum Theory of Gravity. I: The Canonical Theory, "Physical Review", 160, s. 1113. DeWitt (1984): DeWitt B.S., Supermanifolds, Cambridge University Press, Cambridge. DeWitt, Graham (1973): DeWitt B.S., Graham RD. (red.), The Many-Worlds Interpretation of Quantum Mechanics, Princeton University Press, Princeton. Dicke (1961): Dicke RH., Dirac's Cosmology and Mach's Principle, "Nature", 192, s.440-441. Dicke (1981): Dicke RH., Interaction-free quantum measurements: A paradox?, "American Journal of Physics", 49, s. 925. Dicke et al. (1965): Dicke RH., Peebles P.J.E., Roll P.G., Wilkinson D.T., Cosmic Black-Body Radiation, "Astrophysical Journal", 142, s. 414-19. Dine (2000): Dine M., Some reflections on Moduli, their Stabilization and Cosmology [hep-th/0001157]. Di6si (1984): Di6si L., Gravitation and quantum mechanical localization of macroobjects, "Physical Review Letters", 105A, s. 199-202. Di6si (1989): Di6si L., Models for universal reduction of macroscopic quantum fluctuations, "Physical Review", A40, s. 1165-1174. Dirac (1928): Dirac P.A.M., The quantum theory of the electron, "Proceedings of Royal Society of London", A1l7, s.610-624; cz. II, ibidem, AllS, s. 351-361. Dirac (1932): Dirac P.A.M. [w:] "Proceedings of Royal Society of London", A136, s.453. Dirac (1933): Dirac P.A.M., The Lagrangian in Quantum Mechanics, "Physikalische Zeitschrift der Sowjetunion", t. 3, z. 1. Dirac (1936): Dirac P.A.M., Relativistic Wave Equations, "Proceedings of Royal Society of London", A155, s. 447-459. Dirac (1937): Dirac P.A.M., The Cosmological Constants, "Nature", 139, s. 323. Dirac (1938): Dirac P.A.M., A new basis for cosmology, "Proceedings of Royal Society of London", A165, s. 199. Dirac (1950): Dirac P.A.M., Generalized Hamiltonian dynamics, "Canadian Journal 1020 of Mathematics", 2, s. 129.
Bibliografia
Dirac (1964): Dirac P.AM., Lectures on Quantum Mechanics, Yeshiva University, Nowy Jork 1964. Dirac (1966): Dirac P.AM., Lectures in Quantum Field Theory, Academic Press, Nowy Jork 1966. Dirac (1982a): Dirac P.AM., The Principles of Quantum Mechanics, wyd. 4, Clarendon Press, Oksford 1982. Dirac (1982b): Dirac P.AM., Pretty mathematics, "International Journal of Theoretical Physics", 21, s. 603-605. Dirac (1983): Dirac P.AM., The Origin of Quantum Field Theory [w:] The Birth of Particle Physics (red. L.M. Brown, L. Hoddeson), Cambridge University Press, Nowy Jork. Dixon (1994): Dixon G., Division Algebras, Quaternions, Complex Numbers and the Algebraic Design of Physics, Kluwer Academic Publishers, Boston. Dodelson (2003): Dodelson S., Modem Cosmology, Academic Press, Londyn. Dolan (1996): Dolan L., Superstring twisted conformal field theory: Moonshine, the Monster, and related topics (South Hadley, MA, 1994), "Contemporary Mathematics", 193, s. 9-24. Domagala, Lewandowski (2004): Domagala M., Lewandowski J., Black hole entropy from Quantum Geometry [gr-qc/0407041]. Donaldson, Kronheimer (1990): Donaldson S.K., Kronheimer P.B., The Geometry of Four-Manifolds, Oxford University Press, Oksford. Douady, Hubbard (1985): Douady A, Hubbard J., On the dynamics of polynomial-like mappings, "Annales de Ecole Normale Superieure", 18, s.287-343. Dowker, Kent (1996): Dowker F., Kent A, On the consistent histories approach to quantum mechanics, "Journal of Statistical Physics", 82 [gr-qc/9412067]. Drake (1957): Drake S., Discoveries and Opinions of Galileo, Doubleday, Nowy Jork 1957. Drake (1953): Drake S. (Hum.), Galileo Galilei.· Dialogue Concerning the Two Chief World Systems - Ptolemaic and Copernican, University of California, Berkeley. Dray, Manogue (1999): Dray T., Manogue CA, The Exceptional Jordan Eigenvalue Problem, "International Journal of Theoretical Physics", 38, s.2901-2916 [math-ph/99110004]. Dreyer et al. (2004); Dreyer 0., Markopoulou F., Smolin L., Symmetry and entropy of black hole horizons [hep-th/0409056]. Duffin (1938): Duffin R.J., On the characteristic matrices of covariant systems, "Physical Review", 54, s. 1114. Dunajski (2002): Dunajski M., Anti-self-dual four-manifolds with a parallel real spinor, "Proceedings of Royal Society in London" Ser. A: Math. Phys. Eng. Sci. 2002, 458(2021), s. 1205-1222. du Sautoy (2004): du Sautoy M., The Music of the Primes, Perennial, Nowy Jork. 1021
Bibliografia
Dunham (1999): Dunham W.,Euler: The Master of Us All, Mathematical Association of America, Waszyngton. Dyson (1966): Dyson F.J., Symmetry groups in nuclear and particle physics: a lecturenote and reprint volume, W.A Benjamin, Nowy Jork. Eastwood et al. (1981): Eastwood M.G., Penrose R, Wells RO. Jr., Cohomology and massless fields, "Communications in Matematical Physics", 78, s.305-351. Eddington (1929a): Eddington AS., The Nature of the Physical World, Cambridge University Press, Cambridge. Eddington (1929b): Eddington AS.,A Symmetrical Treatment of the Wave Equation, "Proceedings of Royal Society of London", A12t, s. 524-542. Eddington (1946): Eddington AS., Fundamental Theory, Cambridge University Press, Cambridge. Eden et al. (2002): Eden RJ., Landshoff P.Y., Olive D.I., Polkinghorne J.e., The Analytic S-Matrix, Cambridge University Press. Edwards, Penney (2002): Edwards C.H., Penney D.E., Calculus with Analytic Geometry, wyd. 6, Prentice Hall, Upper Saddle River, N.J. Ehrenberg, Siday (1949): Ehrenberg w., Siday RE., The refractive index in electron optics and the principles of dynamics, "Proceedings of Physical Society", I.XlIB, s. 8-21. Ehrenfest, Ehrenfest (1959): Ehrenfest P., Ehrenfest T., The Conceptual Foundations of the Statistical Approach in Mechanics, Cornell University Press, Ithaca, NY 1959. Eilenberg, Mac Lane (1945): Eilenberg S., Mac Lane S., General theory of natural equivalences, "Transactions of American Mathematical Society", 58, s. 231-294. Einstein (1914): [w:] Lorentz et al. (1952). Einstein (1917): Einstein A., Kosmologische Betrachtungen zur allgemeinen Relativitiitstheorie, "Sitzungsberichte der Preussischen Akademie der Wissenschaften", s. 142-152. Einstein (1925): Einstein A [w:] "Sitzungsberichte der Preussischen Akademie der Wissenschaften" 22, s. 414. Einstein (1945): Einstein A., A generalization of the relativistic theory ofgravitation, "Annals of Mathematics", 46, s. 578. Einstein (1948): Einstein A,A generalized theory ofgravitation, "Reviews of Modern Physics", 20, s. 35. Einstein (1955): Einstein A, Relativistic theory of the non-symmetric field [w:] Appendix II: The Meaning ofRelativity, wyd. 5, s. 133-166, Princeton University Press, Princeton, N.J. Einstein, Kaufman (1955): Einstein A, Kaufman B., A new fonn of the general relativistic field equations, "Annals of Mathematics", 62, s. 128. Einstein, Straus (1946): Einstein A, Straus E.G., A generalization of the relativistic 1022 theory of gravitation II, "Annals of Mathematics", 47, s. 731.
Bibliografia
Einstein, Podolsky, Rosen (1935): Einstein A, Podolsky B., Rosen, N., Can quantum-mechanical description of physical reality be considered complete? [w:] Quantum Theory and Measurement (red. J.A Wheeler, W.H. Zurek), Princeton University Press, Princeton, New Jersey 1983 (pierwodruk w "Physical Review", 47, s. 777-780). Elitzur, Vaidman (1993): Elitzur AC., Vaidman L., Quantum mechanical interaction-free measurements, "Foundations of Physics", 23, s. 987-997. Elliott, Dawber(1984): ElliottJ.P., DawberP.G., Symmetry in Physics, t.l, Macmillan, Londyn. Ellis, Mavromatos, Nanopoulos (1997a): Ellis J., Mavromatos N.E., Nanopoulos D.Y., vacuum fluctuations and decoherence in mesoscopic and microscopic systems [w:] Symposium on Flavour-Changing Neutral Currents: Present and Future Studies, University of California, Los Angeles. Ellis, Mavromatos, Nanopoulos (1997b): Ellis J., Mavromatos N.E., Nanopoulos D.Y., Quantum decoherence in a D-foam background, "Modern Physics Letters", A12, s. 2029-2036. Engelking (1968): Engelking E., Outline of General Topology, North-Holland & PWN, Amsterdam. Euler (1748): Euler L., Introductio in Analysis Infinitorum. Everett (1957): Everett H., 'Relative State' fonnulation of quantum mechanics [w:] Quantum Theory and Measurement (red. J.A Wheeler, W.H. Zurek), Princeton University Press, Princeton, New Jersey 1983 (pierwodruk w "Reviews of Modern Physics", 29, s. 454-462). Fauvel, Gray (1987): Fauvel J., Gray J., The History of Mathematics: A Reader, Macmillan, Londyn. Ferber (1978): Ferber A, Supertwistors and confonnal supersymmetry, "Nuclear Physics", B132, s. 55-64. Fernow (1989): Fernow RC., Introduction to Experimental Particle Physics, Cambridge University Press, Cambridge. Feynman (1948): Feynman RP., Space-time approach to nonrelativistic quantum mechanics, "Reviews of Modern Physics", 20, s. 367-387. Feynman (1949): Feynman RP., The theory of positrons, "Physical Review", 76, s.749. Feynman (1987): Feynman RP., Elementary Particles and the Laws of Physics: The 1986 Dirac Memorial Lectures, Cambridge University Press, Cambridge. Feynman, Hibbs (1965): Feynman RP., Hibbs A, Quantum Mechanics and Path Integrals, McGraw-Hill, Nowy Jork. Fierz (1938): Fierz M., Uber die Relativitische Theorie kriiftefreier Teichlen mit beliebigem Spin, "Helvetica Physica Acta", 12, s. 3-37. Fierz (1940): Fierz M., Uber den Drehimpuls von Teichlen mil Ruhemasse null und beliebigem Spin, "Helvetica Physica Acta", 13, s. 45-60. Fierz, Pauli (1939): Fierz M., Pauli w., On relativistic wave equations for particles of 1023
Bibliografia
arbitrary spin in an electromagnetic field, "Proceedings of Royal Society of London", A173, s. 211-232. Finkelstein (1969): Finkelstein D., Space-time code, "Physical Review", 184, s. 1261-1279. Finkelstein, Rubinstein (1968): Finkelstein D., Rubinstein J., Connection between spin, statistics, and kinks, "Journal of Mathematical Physics", 9, s. 1972. Flanders (1963): Flanders H.,Differential Fonns, Academic Press (przedruk Dorf 1989). Floyd, Penrose (1971): Floyd RM., Penrose R, Extraction of Rotational Energy from a Black Hole, "Nature. Physical Sciences", 229, s. 177. Fortney (1997): Fortney L.R, Principles ofElectronics. Analog and Digital, Harcourt Brace Jovanovich, San Diego. Frankel (2001): Frankel T., The Geometry of Physics, Cambridge University Press, Cambridge. Frenkel (2000): Frenkel A,A Tentative Expresion of the Karolyhazy Uncertainty of the Space-time Structure through Vacuum Spreads in Quantum Gravity [quantph/0002087]. Friedlander (1982): Friedlander EG., Introduction to the theory of distributions, Cambridge University Press, Cambridge. Friedrich (2000): Friedrich w.L., Fire in the Sea: The Santorini Volcano: Natural History and the Legend of Atlantis (przel. AR McBirney), Cambridge University Press, Cambridge. Frittelli, Kozameh, Newman (1997): Frittelli S., Kozameh c., Newman E.T., Dynamics of light cone cuts at null infinity, "Physical Review", D56, s. 8. Frohlich, Pedrini (2000): Frohlich J., Pedrini B., New applications of the chiral anomaly [w:] Mathematical Physics 2000 (red. A Fokas, A Grigoryan, T. Kibble, B. Zegarlinski), s. 9-47, Imperial College Press, Londyn. Gambini, Pullin (1999): Gambini R, Pullin J., Nonstandard optics from quantum spacetime, "Physical Review", D59, s. 124021. Gandy (1988): Gandy R, The confluence of ideas in 1936 [w:] The Universal Turing Machine: A Half-Century Survey (red. R Herken), Kammerer und Unverzagt, Hamburg. Gangui (2003): Gangui A, Cosmology from Topological Defects, "AIP Conference Proceedings" 668 [astro-ph/O 303504]. Gardner (1990): Gardner M., The New Ambidextrous Universe, W.H. Freeman, Nowy Jork. Gauss (1900): Gauss c.P., Werke, t. VIII, s. 357-362, Lipsk. Gel'fand, Shilov (1964): Gel'fand I., Shilov G., Generalized Functions, t. 1, Academic Press, Nowy Jork. Gell-Mann (1994): Gell-Mann M., The Quark and the Jaguar: Adventures in the Simple and the Complex, W.H. Freeman, Nowy Jork; wyd. polskie: Kwark 1024 i jaguar, przel. P. Amsterdamski, CiS, Warszawa 1996.
Bibliografia
Gell-Mann, Hartle (1995): Gell-Mann M., Hartle J.B., Strong Decoherence [w:] Proceedings of the 4th Drexel Conference on Quantum Non-Integrability: The Quantum-Classical Correspondence (red. D.-H. Feng, B.-L. Hu), International Press of Boston, Hongkong 1998 [gr-qc/9509054]. Gell-Mann, Ne'eman (2000): Gell-Mann M., Ne'eman Y., Eightfold Way, with new contributions from the authors, Perseus Publishing, Cambridge, Mass. Geroch, Hartle (1986): Geroch R, Hartle J., Computability and physical theories, "Foundations of Physics", 16, s. 533. Geroch (1968): Geroch R, Spinor structure of space-times in general relativity, "Journal of Mathematical Physics", 9, s. 1739-1744. Geroch (1970): Geroch R, Spinor structure of space-times in general relativity II, "Journal of Mathematical Physics", 11, s. 343-348. Geroch (1984): Geroch R, The Everett Interpretation, "Nous", 18, s. 617-633. Geroch (niepubl.): Geroch R., Geometrical Quantum Mechanics, notatki z wykladow na Uniwersytecie w Chicago. Geroch et al. (1972): Geroch R, Kronheimer E.H., Penrose R, Ideal points for space-times, "Proceedings of Royal Society of London", A347, s. 545-567. Ghirardi, Grassi, Rimini (1990): Ghirardi G.c., Grassi R, RiminiA, Continuous-spontaneous-reduction model involving gravity, "Physical Review", A42, s. 1057-1064. Ghirardi, Rimini, Weber (1986): Ghirardi G.c., Rimini A, Weber T., Unified dynamics for microscopic and macroscopic systems, "Physical Review", D34, s.470. Gibbons (1984): Gibbons G.w., The isoperimetric and Bogomolny inequalities for black holes [w:] GlobalRiemannian Geometry (red. T. Willmore, N.J. Hitchin), Ellis Horwood, Chichester. Gibbons (1997): Gibbons G.w., Collapsing Shells and the Isoperimetric Inequality for BlackHoles, "Oassical and Quantum Gravity", 14, s. 2905-2915 [hep-th/9701049]. Gibbons, Hartnoll (2002): Gibbons G.w., Hartnoll S.A, Gravitational instability in higher dimensions [hep-th/0206202]. Gibbons, Perry (1978): Gibbons G .w., Perry M.J., Black Holes and Thermal Green's Function, "Proceedings of Royal Society of London", A358, s. 467-494. Gibbs (1960): Gibbs J., Elementary Principles in Statistical Mechanics, Dover, Nowy Jork. Gindikin (1986): Gindikin S.G., On one construction of hyperkiihler metrics', "Functional Analysis and Applications", 20, s. 82-3 (po rosyjsku). Gindikin (1990): Gindikin S. G., Between integral geometry and twistors [w:] Twistors in Mathematics and Physics (red. T.N. Bailey, RJ. Baston), LMS Lecture Note Series 156, Cambridge University Press, Cambridge. Gisin (1989): Gisin N., Stochastic quantum dynamics and relativity, "Helvetica Physica Acta", 62, s. 363. 1025 Gisin (1990): Gisin N. [w:] "Physical Letters", 143A, s. 1.
Bibliografia
Gisin et al. (2004): Gisin N., de Riedmatten H., Scarani v., Marcikic I., Acin A, Tittel w., Zbinden H., Two independent photon pairs versus four-photon entangled states in parametric down conversion, "Journal of Modern Optics", 51, s. 1637 [quant-ph/0310167]. Glashow (1959): Glashow S., The renormalizability of vector meson interactions, "Nuclear Physics", 10, s. 107. Gleason (1957): Gleason AM., Measures on the Closed Subspaces ofa Hilbert Space, "Journal of Mathematics and Mechanics", 6, s. 885-893. Gleason (1990): Gleason AM. [w:] More Mathematical People (red. DJ. Albers, G.L. Alexanderson, C. Reid), Harcourt Brace Jovanovich, Boston, s. 94. Goddard et ai. (1973): Goddard P. et aI., Quantum dynamics ofa massless, relativistic string, "Nuclear Physics" B56, s. 109. Gold (1962): Gold T., The Arrow of Time, "American Journal of Physics", 30, s.403. Goldberg et al. (1967): Goldberg J.N., Macfarlane AJ., Newman E.T., Rohrlich E, Sudarshan E.C.G., Spin-s spherical harmonics and eth, "Journal of Mathematical Physics", 8, s. 2155-216l. Goldblatt (1979): Goldblatt R., Topoi: The Categorial Analysis of Logic, North-Holland Publishing Company, Oksford i Nowy Jork. Goldstein (1987): Goldstein S., Stochastic mechanics and quantum theory, "Journal of Statistical Physics", 47. Gottesman, Preskill (2003): Gottesman D., Preskill J., Comment on 'The black hole final state' [hep-th/0311269]. Gouvea (1993): Gouvea EQ., P-Adic Numbers: An Introduction, Springer-Verlag, wyd. 2 (2000), Berlin i Nowy Jork. Grassmann (1844): Grassmann H.G., Die lineare Ausdehnungslehre, wyd. 4, Springer-Verlag. Grassmann (1862): Grassmann H.G., Die lineareAusdehnungslehre Vollstiindig und in strenger Form bearbeitet. Gray (1979): Gray J., Ideas of Space: Euclidean, Non-Euclidean, and Relativistic. Oxford University Press, Oksford. Green (2000): Green M.B., Superstrings and the unification of physical forces [w:] Mathematical Physics 2000 (red. A Fokas, T.w.B. Kibble, A Grigouriou, B. Zegarlinski), s. 59-86, Imperial College Press, Londyn. Green et al. (1978): Green M.B., Schwarz J.H., Witten E., Superstring Theory, t. I i II, Cambridge University Press, Cambridge. Greene (1999): Greene B., The Elegant Universe: Superstrings, Hidden Dimensions, and the Quest for the Ultimate Theory, Random House, Londyn; wyd. polskie: Pi?kno Wszechswiata: superstruny, ukryte wymiary i poszukiwanie teorii ostatecznej, przel. E.L. Lokas, B. Bieniok, Proszynski i S-ka, Warszawa 2004. Griffiths, Harris (1978): Griffiths P., Harris J., Principles of Algebraic Geometry, John Wiley & Sons, Nowy Jark. 1026
Bibliografia
Grishchuk et al. (2001): Grishchuk L.P. et al., Gravitational Wave Astronomy: in Anticipation ofFirst Sources to be Detected, "Uspiechi Fiziki" 44, s. 1-51 [astroph/0008481 ]. Groemer (1996): Groemer H., Geometric Applications of Fourier Series and Spherical Harmonics, Cambridge University Press, Cambridge. Gross, Periwal (1988): Gross D.J., Periwal Y., String Perturbation Theory Diverges, "Physical Review Letters", 60, s. 2105. Gross et al. (2003): Gross M.W., Huybrechts D., Joyce D., Winkler G.D., Calabi-¥au Manifolds and Related Geometries, Springer-Verlag, Berlin i Nowy Jork. Grosser et al. (2001): Grosser M., Kunzinger M., Oberguggenberger M., Steinbauer R., Geometric Theory of Generalized Functions with Applications to General Relativity, Kluwer Academic Publishers, Boston i Dordrecht. Guenther et al. (1998): Guenther D.B., Krauss L.M., Demarque P., Testing the Constancy ofthe Gravitational Constant Using Helioseismology, "Astrophysical Journal", 498, s. 871-876. Gunning, Rossi (1965): Gunning R.c., Rossi H., Analytic Functions of Several Complex Variables, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, New Jersey. Giirsey (1983): Giirsey E, Quatemionic and octonionic structures in physics: episodes in the relation between physics and mathematics "Symmetries in Physics (1600-1980)", s.557-592, San Feliu de Guixols, Univ. Autonoma Barcelona, Barcelona 1987. Giirsey, Tze (1996): Giirsey E, Tze C.-H., On the Role of Division, Jordan, and Related Algebras in Particle Physics, World Scientific, Singapur. Gurzadyan et al. (2002): Gurzadyan Y.G. et al., Ellipticity analysis of the BOOMERANG CMB maps, "International Journal of Modern Physics", D12, s. 1859-1874 [astro-ph/0210021]. Gurzadyan et al. (2003): Gurzadyan Y.G. et al., Is there a common origin for the WMAP low multipole and for the ellipticity in BOOMERANG CMB maps? [astro-ph/0312305]. Gurzadyan et al. (2004): Gurzadyan Y.G. et al., WMAP confirming the ellipticity in BOOMERANG and COBE CMB maps [astro-ph/0402399]. Gurzadyan, Kocharyan (1992): Gurzadyan Y.G., Kocharyan AA, On the problem of isotropization of cosmic background radiation, "Astronomy and Astrophysics", 260, s. 14. Gurzadyan, Kocharyan (1994): Gurzadyan Y.G., Kocharyan AA, Paradigms of the Large-Scale Universe, Gordon and Breach, Lozanna. Gurzadyan, Torres (1997): Gurzadyan Y.G., Torres S., Testing the effect of geodesic mixing with COBE data to reveal the curvature of the universe, "Astronomy and Astrophysics", 321, s. 19-23 [astro-ph/9610152]. Guth (1997): Guth A, The Inflationary Universe, Jonathan Cape, Londyn; wyd. polskie: Wszechswiat inflacyjny: w poszukiwaniu nowej teorii pochodzenia kosmosu, przel. E.L. Lekas, B. Bieniok, Pr6szyllski i S-ka, Warszawa 2000. 1027
Bibliografia
Haag (1992): Haag R, Local Quantum Physics: Fields, Particles, Algebras. Springer-Verlag, Berlin. Haehnelt (2003): Haehnelt M.G., Joint Fonnation of Supennassive Black Holes and Galaxies [w:] Camegie Observatories Astrophysics Series, t. I: Coevolution of Black Holes and Galaxies (red. L.c. Ho), Cambridge University Press, Cambridge [astro-ph/0307378]. Halverson (2001): Halverson N.W., DASI First Results: A Measurement ofthe Cosmic Microwave Background Angular Power Spectrum [astro-ph/0104489]. Halzen, Martin (1984): Halzen E, Martin A.D., Quarks and Leptons: an introductory course in modem particle physics, John Wiley & Sons, Nowy Jork. Hameroff (1998): Hameroff S.R, Fundamental geometry: the Penrose-Hameroff 'Orch OR' model of consciousness [w:] The Geometric Universe; Science. Geometry, and the Work of Roger Penrose (red. S.A. Huggett, L.J. Mason, KP. Tod, S.T. Tsou, N.M.J. Woodhouse), Oxford University Press, Oksford. Hameroff (1987): Hameroff S.R, Ultimate Computing. Biomolecular Consciousness and Nano-Technology, North-Holland, Amsterdam. Hameroff, Penrose (1996): Hameroff S.R, Penrose R, Conscious events as orchestrated space-time selections, "Journal of Consciousness Studies", 3, s. 36--63. Hameroff, Watt (1982): Hameroff S.R, Watt RC., Infonnation processing in microtubules, "Journal of Theoretical Biology", 98, s. 549-561. Hamilton (1999): Hamilton E., Mythology: Timeless Tales of Gods and Heroes, Warner Books, Nowy Jork. Han, Nambu (1965): Han M.Y., Nambu Y., Three-Triplet Model with Double SU(3) Symmetry, "Physical Review", 139, s. BlOO6-lO. Hanany et al. (2000): Hanany S. et al., MAXIMA-1: A Measurement of the Cosmic Microwave Background Anisotropy on angular scales of 10 arcminutes to 5 degrees, "Astrophysical Journal", 545, s. L5. Hanbury Brown, Twiss (1954): Hanbury Brown R, Twiss RQ.,A new type ofinterferometer for use in radio astronomy, "Philosophical Magazine", 45, s. 663-682. Hanbury Brown, Twiss (1956): Hanbury Brown R, Twiss RQ., Correlation between photons in 2 coherent beams of light, "Nature", 177. Hannabuss (1997): Hannabuss K, An Introduction to Quantum Theory, Oxford University Press, Oksford. Hansen, Murali (1998): Hansen B.M.S., Murali c., Gamma Ray Bursts from Stellar Collisions [astro-ph!9806256]. Hansen et al. (1978): Hansen RO., Newman E.T., Penrose R, Tod KP., The metric and curvature properties of H-space, "Proceedings of Royal Society of London", A363, s. 445-468. Hardy (1914): Hardy G.H., A Course of Pure Mathematics, wyd. 2, Cambridge University Press, Cambridge. Hardy (1940): Hardy G.H.,A Mathematician'sApology, Cambridge University Press, Cambridge; wyd. polskie: Apologia matematyka, przel. M. Fedyszak, 1028 Pr6szyTIski i S-ka, Warszawa 1987.
Bibliografia
Hardy (1949): Hardy G.H., Divergent Series, Oxford University Press, Nowy Jark. Hardy (1992): Hardy L., Quantum mechanics, local realistic theories, and Lorentz-invariant realistic theories, "Physical Review Letters", 68, s. 2981 [lastract/ PRL/v68/i20/p2981_1] . Hardy (1993): Hardy L., Nonlocality for two particles without inequalities for almost all entangled states, "Physical Review Letters", 71(11), s. 1665. Hardy, Wright (1945): Hardy G.H., Wright E.M.,An Introduction to the Theory of Numbers, wyd. 2, Clarendon Press, Oksford. Hartle (2003): Hartle J.B., Gravity: An Introduction to Einstein's General Relativity, Addison-Wesley, San Francisco i Londyn. Hartle (2004): Hartle J.B., The Physics of'Now' [gr-qc/040300l]. Hartle, Hawking (1983): Hartle J.B., Hawking S.w., The wave function of the Universe, "Physical Review", D28, s. 2960. Harvey (1966): Harvey P.R, Hyperfunctions and linear differential equations, "Proceedings of National Academy of Sciences", 5, s. 1042-1046. Harvey (1990): Harvey P.R, Spinors and Calibrations, Academic Press, San Diego, CA. Haslehurst, Penrose (2001): Haslehurst L., Penrose R, The most general (2,2) self-dual vacuum: a googly approach [w:] Further Advances in Twistor Theory, t. III: Curved Twistor Spaces (red. L.J. Mason, L.P. Hughston, P.Z. Kobak, K. Pulvere), Wiley, Nowy Jork, s. 345-349. Hawking (1972): Hawking S.w., Black holes in general relativity, "Communications in Mathematical Physics", 25, s. 152-166. Hawking (1974): Hawking S.w., Black hole explosions, "Nature" 248, s. 30. Hawking (1975): Hawking S.w., Particle creation by black holes, "Communications in Mathematical Physics", 43. Hawking (1976a): Hawking S.w., Black holes and thermodynamics, "Physical Review", D13(2), s. 19l. Hawking (1976b): Hawking S.W., Breakdown of predictability in gravitational collapse, "Physical Review", D14, s. 2460. Hawking et al. (1976): Hawking S.w., King A.R, McCarthy P.J.,A new topology for curved space-time which incorporates the causal, differential, and conformal Structures, "Journal of Mathematical Physics", 17, s. 174-18l. Hawking, Ellis (1973): Hawking S.w., Ellis G.P.R, The Large-Scale Structure of Space-Time, Cambridge University Press, Cambridge. Hawking, Israel (1987): Hawking S.w., Israel W. (red.), 300 lears of Gravitation, Cambridge University Press, Cambridge. Hawking, Penrose (1970): Hawking S.W., Penrose R., The singularities of gravitational collapse and cosmology, "Proceedings of Royal Society of London", A314, s.529-548. Hawking, Penrose (1996): Hawking S.w., Penrose R, The Nature of Space and Time, Princeton University Press, Princeton, New Jersey; wyd. polskie: Natura 1029 czasu i przestrzeni, przet. P. Amsterdamski, Zysk i S-ka, Poznan 1998.
Bibliografia
Hawking, Turok (1998): Hawking S.W., Turok N., Open Inflation Without False lilcua, "Physical Letters", B425 [hep-th/9802030). Hawkins (1977): Hawkins T., Weiestrass and the theory of matrices, "Archives of History of Exact Sciences", 17, s. 119-63. Hawkins (2000): Hawkins T., Emergence of the theory ofLie groups, Springer-Verlag, Nowy Jork. Heisenberg (1971): Heisenberg w., Physics and Beyond, Addison Wesley, Londyn. Heisenberg (1989): Heisenberg w., What is an elementary particle? [w:) Encounters with Einstein, Princeton University Press, Princeton. Helgason (2001): Helgason S., Differential Geometry and Symmetric Spaces, AMS Chelsea Publishing, Providence, RI. Hestenes (1990): Hestenes D., The Zitterwebegung Interpretation of Quantum Mechanics, "Foundations of Physics", 20(10), s. 1213-32. Hestenes, Sobczyk (1999): Hestenes D., Sobczyk G., CliffordAlgebra to Geometric Calculus: A Unified Language for Mathematics and Physics, Reidel, Dordrecht. Heyting (1956): Heyting A, Intuitionism. Studies in Logic and the Foundations of Mathematics, North-Holland, Amsterdam. Heywood, Redhead (1983): Heywood P., Redhead M.L.G., Non-locality and the Kochen-Specker paradox, "Foundations of Physics", 13 (5), s. 481-499. Hicks (1965): Hicks N.J., Notes on Differential Geometry, Van Nostrand, Princeton. Hirschfeld (1998): Hirschfeld J.w.P., Projective Geometries over Finite Fields, wyd. 2, Clarendon Press, Oksford. Hodges (1982): Hodges AP., Twistordiagrams, "Physica", 114A, s. 157-175. Hodges (1985): Hodges AP.,A twistor approach to the regularization of divergences, "Proceedings of Royal Society of London", A397, s. 341-374; idem, Mass eigenstates in twistor theory, ibidem, s. 375-396. Hodges (1990a): Hodges AP., String Amplitudes and Twistor Diagrams: An Analogy [w:) The Interface of Mathematics and Particle Physics (red. D.G. Quillen, G.B. Segal, S.T. Tsou), Oxford University Press, Oksford. Hodges (1990b): Hodges AP., Twistor diagrams and Feynman diagrams [w:) Twistors in Mathematics and Physics, LMS Lect. Note Ser. 156 (red. T.N. Bailey, RJ. Baston), Cambridge University Press, Cambridge. Hodges (1998): Hodges AP., The twistor diagram programme [w:) The Geometric Universe; Science, Geometry, and the Work ofRoger Penrose (red. S.A Huggett, L.J. Mason, K.P. Tod, S.T. Tsou, N.M.J. Woodhouse), Oxford University Press, Oksford 1998. Hodges et al. (1989): Hodges AP., Penrose R, Singer M.A, A twistor conformal field theory for four space-time dimensions "Physical Letters", B216, s. 48-52. Hollands, Wald (2001): Hollands S., Wald RM., Local Wick Polynomails and Time Ordered Products of Quantum Fields in Curved Spacetime, "Communications 1030 in Mathematical Physics", 223, s. 289-326 [gr-qc/0103074).
Bibliografia
Home (1997): Home D., Conceptual Foundations of Quantum Physics: An OvelView from Modem Perspectives, Plenum Press, Nowy Jork i Londyn. Hopf (1931): Hopf H., Uber die Abbildungen der dreidimensionalen Sphiire auf die Kugelfliiche, "Mathematische Annalen", 104, s. 637. Horgan (1996): Horgan J., The End of Science, Perseus Publishing, Nowy Jork; wyd. polskie: Koniec nauki, czyli 0 granicach wiedzy u schylku ery naukowej, przel. M. Tempczyk, Pr6szynski i S-ka, Warszawa 1999. Horowitz (1998): Horowitz G.T., Quantum states of black holes [w:] Black Holes and Relativistic Stars (red. RM. Wald), s. 241-266, University of Chicago Press, Chicago. Horowitz, Maldacena (2003): Horowitz G.T., Maldacena J., The black hole final state [hep-th/0310281]. Horowitz, Perry (1982): Horowitz G.T., Perry M.J., Gravitational energy cannot become negative, "Physical Review Letters", 48, s. 371-374. Howie (1989): Howie J., On the SQ-universality ofT(6)-groups, "Forum Math.", 1, s. 251-272 [arXiv: math.GR/060l590 vI 24 Jan 2006]. Hoyle et al. (200l): Hoyle C.D. et al., Submillimeter Test of the Gravitational Inverse-Square Law: A Search for 'Large' Extra Dimensions, "Physical Review Letters", 86(8), s. 1418-1421. Hoyle (1948): Hoyle E,A New Model for the Expanding Universe, "Monthly Notices of the Royal Astronomical Society", 108, s. 372. Hoyle et al. (1956): Hoyle E, Fowler WA., Burbidge G.R, Burbidge E.M., Origin of the elements in stars, "Science", 124, s. 611-614. Huang (1949): Huang K, On the zitterbewegung ofthe electron, "American Journal of Physics", 47, s. 797. Huggett, Jordon (2001): Huggett S.A., Jordon D.,A TopologicalAperitif, Springer-Verlag, Londyn. Huggett, Tod (2001): Huggett S.A., Tod KP., An Introduction to Twistor Theory, Cambridge University Press, Cambridge. Hughston (1979): Hughston L.P., Twistors and Particles, Lecture Notes in Physics, nr 97, Springer-Verlag, Berlin. Hughston (1995): Hughston L.P., Geometric Aspects of Quantum Mechanics [w:] Twistor Theory (red. S.A. Huggett), s. 59-79, Marcel Dekker, Nowy Jork. Hughston et al. (1993): Hughston L.P., Jozsa R, Wooters W.K, A complete classification of quantum ensembles having a given density matrix, "Physical Letters", A183, s. 14-18. Ilyenko (1999): Ilyenko K, Twistor Description of Null Strings, praca doktorska, niepubl., Oksford. Immirzi (1997): Immirzi G., Quantum Gravity and Regge Calculus [gr-qc/9701052]. Infeld, van der Waerden (1933): Infeld L., van der Waerden B.L., Die Wellengleichung des Elektrons in der allgemeinen Relativitatstheorie, "Sitzungsberichte Berliner Preussische Akadernie der Wissenschaften: Physik, Mathematik", 9, s. 380-401. 1031
Bibliografia
Isenberg et al. (1978): Isenberg J., Yasskin P.B., Green P.S., Non-self-dual gauge fields, "Physical Letters", 78B, s. 462-464. Isham (1975): Isham c.J., Quantum Gravity: An Oxford Symposium, Oxford University Press, Oksford. Isham (1992): Isham C. J., Canonical Quantum Gravity and the Problem of Time [gr-qc/9210011 ]. Isham, Butterfield (2000): Isham c.J., Butterfield J., Some Possible Roles for Topos Theory in Quantum Theory and Quantum Gravity [gr-qc/9910005]. Israel (1967): Israel w., Event horizons in static vacuum space-times, "Physical Review", 164, s. 1776-1779. Jackson (1998): Jackson J.D., Classical Electrodynamics, John Wiley & Sons, Nowy Jork i Chichester. Jennewein et al. (2002): Jennewein T., Weihs G., Pan J., Zeilinger A., Experimental Non-locality Proof of Quantum Teleportation and Entanglement Swapping, "Physical Review Letters", 88, s. 017903. Jensen (1973): Jensen G., Einstein Metrics on Principal Fibre Bundles, "Journal of Differential Geometry", 8, s. 599-614. Johnson (2003): Johnson c., D-Branes, Cambridge University Press, Cambridge. Jones (2002): Jones H.E, Groups, Representations, and Physics, Institute of Physics Publishing, Bristol. Jozsa (1981): Jozsa R, Models in Categories and Twistor Theory, praca doktorska, niepubl.,Oksford. Jozsa, Linden (2002): Jozsa R, Linden N., On the role of entanglement in quantum computational speed-up [quant-ph/0201143]. Jozsa (1998): Jozsa RO., Entanglement and quantum computation [w:] The Geometric Universe (red. S.A. Huggett, L.J. Mason, K.P. Tod, S.T. Tsou, N.M.J. Woodhouse), s. 369-379, Oxford University Press, Oksford. Kahn (1995): Kahn D.W., Topology: An Introduction to the Point-Set and Algebraic Areas, Dover Publications, Nowy Jork. Kaku (1993): Kaku M., Quantum field theory: a modern introduction, Oxford University Press, Oksford. Kamberov et al. (2002): Kamberov G. et al., Quatemions, Spinors, and Surfaces (Contemporary Mathematics (American Mathematical Society), t. 299), American Mathematical Society, Providence, RI. Kane (1999): Kane G. (red.), Perspectives on Supersymmetry (Advanced Series on Directions in High Energy Physics), World Scientific Publishing Co., Singapur. Kane (2001): Kane G., Supersymmetry: Unveiling the Ultimate Laws of Nature, Perseus Publishing, Nowy Jork. Kapusta (2001): Kapusta J.I., Primordial Black Holes and Hot Matter [astro-phl 0101515]. KarolyMzy (1966): KarolyMzy E, Gravitation and quantum mechanics of 1032 macroscopic bodies, "Nuovo Cimento", A42, s. 390.
Bibliografia
Karolyhazy (1974): Karolyhazy E, Gravitation and Quantum Mechanics of Macroscopic Bodies, "Magyar Fizikai Foly6irat", 22, s. 23-24 [po wygiersku]. Karolyhazy et al. (1986): Karolyhazy E, Frenkel A., Lukacs B., On the possible role of gravity on the reduction of the wave function [w:] Quantum Concepts in Space and Time (red. R Penrose, c.J. Isham), s. 109-128, Oxford University Press,Oksford. Kasper, Feller (2001); Kasper J.E., Feller S.A., The Complete Book of Holograms: How They Work and How to Make Them, Dover Publications. Kauffman (2001): Kauffman L.H., Knots and Physics, World Scientific Publishing, Singapur. Kay (1998a): Kay B.S., Entropy defined, entropy increase and decoherence understood, and some black hole puzzles solved [hep-th/9802172]. Kay (1998b): Kay B.S., Decoherence of Macroscopic Closed Systems within Newtonian Quantum Gravity, "Classical and Quantum Gravity", 15, s. L89-98 [hep-th/ 9810077]. Kay (2000): Kay B.S., Application of linear hyperbolic PDE to linear quantum in curved space-times: especially black holes, time machines, and a new semilocal vacuum concept [w:] Journees Equations aux Derivees Partielles, Nantes 5-9 Juin 2000. Groupement de Recherche 1151 du CNRS [gr-qc/Ol03056]. Kay, Wald (1991): Kay B.S., Wald RM., Theorems on the uniqueness and thennal properties of stationary, nonsingular, quasifree states on space-times with a bifurcate Killing horizon, "Physics Reports", 207, s. 49-136. Kay et al. (1996): Kay B.S., Radzikowski M.J., Wald RM., Quantum Field Theory on Spacetimes with a Compactly Generated Cauchy Horizon, "Communications in Mathematical Physics", 183 (1997), s. 533-556 [gr-qc/9603012]. Kelley (1965): Kelley J.L., General Topology, Van Nostrand, Princeton, New Jersey. Kemmer (1938): Kemmer N., Quantum theory ofEinstein-Bose particles and nuclear interaction, "Proceedings of the Royal Society", A166, s. 127. Kemmer (1939): Kemmer N., The particle aspect of meson theory, "Proceedings of the Royal Society", A173, s. 91. Kerr (1963): Kerr RP., Gravitational field of a spinning mass as an example of algebraically special metrics, "Physical Review Letters", 11,237-238. Ketov (2000): Ketov S.v., Quantum Non-Linear Sigma-Models: From Quantum Field Theory to Supersymmetry, Confonnal Field Theories, Black Holes, and Strings, Springer-Verlag, Berlin i Londyn. Kibble (1961): Kibble T.w.B., Lorentz invariance and the gravitational field, "Journal of Mathematical Physics", 2, s. 212-221. Kibble (1979): Kibble T.W.B., Geometrization ofquantum mechanics "Communications in Mathematical Physics", 65, s. 189. Kibble (1981): Kibble T.w.B., Is a semi-classical theory of gravity viable? [w:] Quantum Gravity 2: A Second Oxford Symposium (red. c.J. Isham, R Penrose, D.W. Sciama), s. 63-80, Oxford University Press, Oksford. 1033
Bibliografia
Killing (1893): Killing w., Einfuehntng in die Gntndlagen der Geometrie, Paderborn. Klein (1898): Klein E, Ober den Stand der Herausgabe von Gauss' Werken, "Mathematische Annalen", 51, s. 128-133. Knott (1900): Knott c.G., Professor Klein's view of quaternions: A criticism, "Proceedings of Royal Society of Edinburgh", 23, s. 24-34. Kobayashi, Nomizu (1963): Kobayashi S., Nomizu K, Foundations of Differential Geometry, Interscience Publishers, Nowy Jork i Londyn. Kochen, Specker (1967): Kochen S., Specker E.P., The Problem ofHidden Variables in Quantum Mechanics, "Journal of Mathematics and Mechanics", 17, s.59-88. Kodaira (1962): Kodaira K,A theorem of completeness of characteristic systems for analytic submanifolds of a complex manifold, "Annals of Mathematics", 75, s.146-162. Kodaira, Spencer (1962): Kodaira K, Spencer D.C., On deformations of complex analytic-stntctures I, II, "Annals of Mathematics", 67, s. 328-401,403-466. Kolb, Turner (1994): Kolb E.W., Turner M.S., The Early Universe, Perseus Publishing, Nowy Jork. Komar (1964): Komar A.B., Undecidability ofmacroscopically distinguishable states in quantum field theory, "Physical Review", 133B, s. 542-544. Kontsevich (1994): Kontsevich M., Homological algebra of mirror symmetry [w:] Proceedings of the International Congress of Mathematicians, t. 1, 2 (Zurych 1994), Birkhaiiser, Bazylea. Kontsevich (1995): Kontsevich M., Enumeration of rational curves via toric actions [w:] The Moduli Space of Curves (red. R Dijkgraaf, C. Faber, G. van der Geer), "Progress in Mathematics", 129,335-368 [hep-th/9405035]. Koruga et al. (1993): Koruga D., Hameroff S., Withers J., Loutfy R, Sundareshan M., Fullerene C 60 - History, physics, nanobiology, nanotechnology, North-Holland, Amsterdam. Kraus (1983): Kraus K, States, effects and operations: fundamental notions of quantum theory, Lecture Notes in Physics, t. 190, Springer-Verlag, Berlin. Krauss (2001): Krauss L.M., Quintessence: The Mystery of the Missing Mass, Basic Books, Nowy Jork. Kreimer (2000): Kreimer D., Knots and Feynman Diagrams, Cambridge University Press, Cambridge. Kronheimer, Penrose (1967): Kronheimer E.H., Penrose R, On the structure ofcausal spaces, "Proceedings of Cambridge Philosophical Society", 63, s. 481-50l. Kruskal (1960): Kruskal M.D., Maxima/ Extension ofSchwalZschild Metric, "Physical Review", 119, s. 1743-1745. Kuchar (1981): Kuchar K, Canonical methods ofquantization [w:] Quantum Gravity 2 (red. D.W. Sciama, R Penrose, c.J. Isham), Oxford University Press, Oksford. Kuchar (1992): Kuchar KY., Time and interpretations of quantum gravity [w:] 1034 Proceedings of the 4th Canadian Conference on General Relativity and
Bibliografia
RelativisticAstrophysics (red. G. Kunstatter, D. Vincent, J. Williams), World Scientific, Singapur. Labastida, Lozano (1998): Labastida J.M.F., Lozano C, Lectures in Topological Quantum Field Theory [hep-th/9709192] Landsman (1998): Landsman N.P., Mathematical Topics Between Classical and Quantum Mechanics, Springer-Verlag, Berlin. Lang (1972): Lang S., Differentiable Manifolds, Addison-Wesley, Reading, MA. Lange et al. (2001): Lange AE. et al.,A measurement by BOOMERanG of multiple peaks in the angular power spectrum of the cosmic microwave background, "Astrophysical Journal", 571, s. 604-614 [astro-ph/0005004]. Laplace (1799): Laplace P.S.,Allgemeine geographische Ephemeriden herausgegeben von F. von Zach, iv Bd. 1st, I Abhandl., Weimar. Laporte, Uhlenbeck (1931): Laporte 0, Uhlenbeck G.E., Application of spinor analysis to the Maxwell and Dirac equations, "Physical Review", 37, s. 1380-1552. Lasenby et al. (2000): Lasenby J., Lasenby AN., Doran CJ.L., A unified mathematical language for physics and engineering in the 21st century, "Philosophical Transactions of Royal Society of London", A358, s. 21-39. Lawrie (1998): Lawrie L,A Unified Grand Tour of Theoretical Physics, Institute of Physics Publishing, Bristol. Lawson, Michelson (1990): Lawson H.B., Michelson M.L., Spin Geometry, Princeton University Press, Princeton. Lawvere, Schanuel (1997): Lawvere W., Schanuel S., Conceptual Mathematics: A First Introduction to Categories, Cambridge University Press, Cambridge. LeBrun (1985): LeBrun CR, Ambi-twistors and Einstein's equations, "Classical and Quantum Gravity", 2, s. 555-563. LeBrun (1990): LeBrun CR, Twistors, ambitwistors, and conformal gravity [w:] Twistors in Mathematical Physics (red. TN. Bailey, RJ. Baston), LMS Lecture Note Series 156, Cambridge University Press, Cambridge. Lebrun, Mason (2002): Lebrun C, Mason L.J., Zoll manifolds and complex surfaces, "Journal of Differential Geometry", 61(3), s. 453-535. Lefshetz (1949): Lefshetz J., Introduction to Topology, Princeton University Press, Princeton, New Jersey. Leggett (2002): Leggett AJ., Testing the limits of quantum mechanics: motivation, state ofplay, prospects, "Journal of Physics", eM 14, R415-451. Levitt (2001): Levitt M.H., Spin Dynamics: Basics of Nuclear Magnetic Resonance, John Wiley & Sons, Nowy Jark. Lichnerowicz (1994): Lichnerowicz A (red.), Physics on Manifolds: Proceedings of the International Colloquium in Honour ofYvonne Choquet-Bruhat. Paris. June 3-5. 1992, Kluwer Academic Publishers, Boston i Dordrecht. Liddle (1999): Liddle AR,An Introduction to Modem Cosmology, John Wiley & Sons, Nowy Jork. 1035
Bibliografia
Liddle, Lyth (2000): Liddle AR., Lyth D.H., Cosmological Inflation and Large-Scale Structure, Cambridge University Press, Cambridge. Lifshitz, Khalatnikov (1963): Lifshitz E.M., Khalatnikov I.M., Investigations in relativistic cosmology, "Advances in Physics", 12, s. 185-249. Linda (1993): Linda A, Comments on Inflationary Cosmology [astro-ph/9309043]. Linde (1995): Linde A, Inflation with Variable Omega, "Physical Letters", B351 [hep-th/95 03097]. Littlewood (1949): Littlewood J.E., Littlewood's miscellany, przedruk w 1986, Cambridge University Press, Cambridge. Livio (2000): Livio M., The Accelerating Universe, John Wiley & Sons, Nowy Jork. Llewellyn Smith (1973): Llewellyn Smith C.H., High energy behaviour and gauge symmetry, "Physical Letters", B46(2), s. 233-236 [dost<tpne w internecie]. Lockwood (1989): Lockwood M., Mind, Brain and the Quantum; the Compound 'I', Basil Blackwell, Oksford. Lorentz et al. (1952): Lorentz H.A, Einstein A, Minkowski H., Weyl H., The Principle of Relativity: A Collection of Original Memoirs on the Special and General Theory of Relativity, Dover, Nowy Jork. Lounesto (2001): Lounesto P., CliffordAlgebras and Spinors, Cambridge University Press, Cambridge. Liiders (1951): Liiders G., Uber die Zustandsanderung durch den Messprozess, "Annalen der Physik", 8, s. 322-328. Ludvigsen (1999): Ludvigsen M., General Relativity: A Geometric Approach, Cambridge University Press, Cambridge. Ludvigsen, Vickers (1982): Ludvigsen M., Vickers J.AG., A simple proof of the positivity of the Bondi mass, "Journal of Physics", A15, s. L67-70. Luminet et al. (2003): Luminet J.-P. et al., Dodecahedral space topology as an explanation for weak wide-angle temperature correlations in the cosmic microwave background, "Nature", 425, s. 593-595. Lyttleton, Bondi (1959): Lyttleton R.A, Bondi H. [w:] "Proceedings of Royal Society of London", A252, s. 313. MacDuffee (1933): MacDuffee c.c., The theory of matrices, Springer-Verlag, Berlin. MacLane (1988): MacLane S., Categories for the Working Mathematician, Springer-Verlag, Berlin. McLennan (1956): McLennan J.A, Jr., Conformal invariance and conservation laws for relativistic wave equations for zero rest mass, "Nuovo Cimento", 3, s.1360-1379. MACRO Collaboration (2002): MACRO Collaboration, Search for massive rare particles with MACRO, "Nuclear Physics Proceedings" Suppl. 110, s. 186-188 [hep-ex/0009002]. Magueijo (2003): Magueijo J., Faster Than the Speed ofLight: The Story ofa Scientific 1036 Speculation, Perseus Publishing, Nowy Jork.
Bibliografia
Magueijo, Smolin (2002): Magueijo J., Smolin L., Lorentz invariance with an invariant energy scale [gr-qc/0112090]. Mahler (1981): Mahler, P-Adic Numbers and Functions, Cambridge University Press, Cambridge. Majorana (1932): Majorana E., Teoria relativistica di particelle con momento intrinsico arbitrario, "Nuovo Cimento", 9, s. 335-344. Majorana (1937): Majorana E., Teoria asimmetrica dell' elettrone del positrone, "Nuovo Cimento", 14, s. 171-184. Maldacena (1997): Maldacena J., The Large N Limit of Superconfonnal Field Theories and Supergravity [hep-th/9711200]. Manogue, Dray (1999): Manogue CA, Dray T., Dimensional Reduction, "Modern Physics Letters", A14, s. 93-97 [hep-th/9807044]. Manogue, Schray (1999): Manogue CA, Schray J., Finite Lorentz transfonnations, automorphisms, and division algebras, "Journal of Mathematical Physics", 34, s. 3746-3767. Markopoulou (1997): Markopoulou E, Dual fonnulation of spin network evolution [gr-qc/970401 ]. Markopoulou (1998): Markopoulou E, The internal description ofa causal set: What the universe looks like from the inside, "Communications in Mathematical Physics", 211, s. 559-583 [gr-qc/9811053]. Markopoulou, Smolin (1997): Markopoulou E, Smolin L., Causal evolution of spin networks, "Nuclear Physics", B508, s. 409-430 [gr-qc/9702025]. Marsden, Tromba (1996): Marsden J.E., Tromba AJ., Vector Calculus, W.H. Freeman & Co., Nowy Jork [nowe wyd. 2004]. Marshall et al. (2003): Marshall W., Simon C, Penrose R., Bouwmeester D., Towards Quantum Superpositions of a Mirror, "Physical Review Letters", 91, s. 13. Mason, Woodhouse (1996): Mason L.J., Woodhouse N.M.J., Integrability, Self-Duality, and Twistor Theory, Oxford University Press, Oksford. Mattuck (1976): Mattuck R.D., A Guide to Feynman Diagrams in the Many-Body Problem, Dover, Nowy Jork. Merkulov, Schwachhofer (1998): Merkulov S.A., SchwachhOfer L.J., Twistor solution of the holonomy problem [w:] The Geometric Universe; Science, Geometry, and the Work of Roger Penrose (red. S.A. Huggett, L.J. Mason, K.P. Tod, S.T. Tsou, N.M.J. Woodhouse), Oxford University Press, Oksford Michell (1784): Michell J., On the means ofdiscovering the distance, magnitude, etc., of the fixed stars, in consequence of the diminution of their light, in case such a diminution should be found to take place in any of them, and such other data should be procured from observations, as would be further necessary for thatpurpose, "Philosophical Transactions of the Royal Society of London", 74, s. 35-57. Mielnik (1974): Mielnik B., Generalized Quantum Mechanics, "Communications in Mathematical Physics", 31, s. 221. 1037
Bibliografia
Milgrom (1994): Milgrom M., Dynamics with a non-standard inertia-acceleration relation: an alternative to dark matter, "Annals of Physics", 229 [astro-phl 9303012]. Miller (2003): Miller A, Erotica, Aesthetics, and Schroedinger'S Wave Equation [w:] It Must Be Beautiful (red. G. Farmelo), Granta, Londyn. Minassian (2002): Minassian E., Spacetime singularities in (2 + i)-dimensional quantum gravity, "Classical and Quantum Gravity", 19, s. 5877-5900. Minkowski (1952): Minkowski H. [w:] Lorentz et al. (1952). Misner (1969): Misner c.w., Mixmaster Universe, "Physical Review Letters", 22, s.1071-1074. Misner et al. (1973): Misner c.w., Thome KS., Wheeler J.A, Gravitation, Freeman, San Francisco. Mohapatra (2002): Mohapatra RN., Unification and Supersymmetry, Springer-Verlag, Berlin i Londyn. Montgomery, Zippin (1955): Montgomery D., Zippin L., Topological Transformation Groups, Interscience, Nowy Jork i Londyn. Moore (1990): Moore AW., The Infinite, Routledge, Londyn i Nowy Jork. Moroz et at. (1998): Moroz I.M., Penrose R, Tod KP., Spherically-symmetric solutions of the Schrodinger-Newton equations, "Classical and Quantum Gravity", 15, s. 2733-2742. Mott (1929): Mott N.F., The wave mechanics of a-ray tracks, "Proceedings of Royal Society of London", A126, s. 79-84 (przedruk w: Quantum Theory and Measurement, red. J.A Wheeler, W.H. Zurek, Princeton University Press, Princeton, New Jersey, 1983). Moussouris (1983): Moussouris J.P., Quantum models of space-time based on recoupling theory, praca doktorska, niepubl., Oksford. Mukohyama, Randall (2003): Mukohyama S., Randall L., A Dynamical Approach to the Cosmological Constant, "Physical Review Letters", 92 (2004), s. 211302 [hep-th/0306108]. Munkres (1954): Munkres J.R, Elementary Differential Topology, "Annals of Mathematical Studies", 54, Princeton University Press, Princeton, New Jersey. Myrheim (1978): Myrheim J., Statistical geometry, material CERN, niepubl., TH-2538. Nahin (1998): Nahin P.J.,AnImaginary Tale: The StoryofR, Princeton University Press, Princeton. Nair (1988): Nair v., A Current Algebra For Some Gauge Theory Amplitudes, "Physical Letters", B214, s. 215. Nambu (1970): Nambu Y. [w:] Proceedings of the International Conference on Symmetries and Quark Models, Wayne State University, Gordon and Breach Publishers, s. 269. Narayan et al. (2003): Narayan R et al., Evidence for the Black Hole Event Horizon, 1038 "Astronomy & Geophysics", 44(6), s. 6.22-6.26.
Bibliografia
Needham (1997): Needham T., Visual Complex Analysis, Clarendon Press, Oxford University Press, Oksford. Negrepontis (2000): Negrepontis S., The Anthyphairetic Nature ofPlato's Dialectics [w:] Interdisciplinary Approach to Mathematics and their Teaching, t. 5, s. 15-77, University-Gutenberg, Ateny (po grecku). Nester (1981): Nester J.M., A new gravitational energy expression, with a simple positivity proof, "Physical Letters", 83A, s. 241-242. Newlander, Nirenberg (1957): Newlander A, Nirenberg L., Complex Analytic Coordinates in Almost Complex Manifolds, "Annals of Mathematics", 65, s.391-404. Newman (1993): Newman RP.AC., On the Structure of Confonnal Singularities in Classical General Relativity, "Proceedings of Royal Society of London", A443, s.473. Newman (2002): Newman E.T., On a Classical, Geometric Origin of Magnetic Moments, Spin-Angular Momentum and the Dirac Gyromagnetic Ratio, "Physical Review", D65, s. 104005 [gr-qc/0201055]. Newman, Penrose (1962): Newman E.T., Penrose R,An approach to gravitational radiation by a method ofspin coefficients, "Journal of Mathematical Physics", 3, s. 896-902; errata (1963), 4, s. 998. Newman, Penrose (1966): Newman E.T., Penrose R, Note on the Bondi-Metzner-Sachs group, "Journal of Mathematical Physics", 7, s. 863-870. Newman, Unti (1962): Newman E.T., Unti T.W.J., Behavior of asymptotically flat empty space, "Journal of Mathematical Physics", 3, s. 891-90l. Newmanetal. (1965): Newman E.T., Couch E., Chinnapared K, Exton A, Prakash A, Torrence R, Metric of a rotating charged mass, "Journal of Mathematical Physics", 6, s. 918-919. Newton (1687): Newton I., The Principia: Mathematical Principles of Natural Philosophy, przedruk: University of California Press 1999. Newton (1730): Newton I., Opticks. Dover, 1952. Ng (2004): Ng Y.J., Quantum Foam [gr-qc/0401015]. Nicolai (2003): Nicolai H., Remarks at AEI Symposium "Strings meet Loops': 29-31 October 2003, www.aei-potsdam.mpg.de/events/stringloop.html. Nielsen (1970): Nielsen H.B., material z "Proceedings of the XV International Conference on High Energy-Physics", Kijow (niepubl.). Nielsen, Chuang (2000): Nielsen M.A, Chuang LL., Quantum Computation and Quantum Infonnation, Cambridge University Press, Cambridge. Nomizu (1956): Nomizu K., Lie Groups and Differential Geometry, The Mathematical Society of Japan, Tokio. Novikov (2001): Novikov I.D., The River of Time, Cambridge University Press, Cambridge; wyd. polskie: Rzeka czasu: czarne dziury, biale dziury i podr6ie w czasie, przel. P. Amsterdamski, Proszynski i S-ka, Warszawa 1998. 1039
Bibliografia
O'Donnell (2003): O'Donnell P., Introduction to 2-Spinors in General Relativity, World Scientific, Singapur. O'Neill (1983): O'Neill B., Semi-Riemannian Geometry: With Applications to Relativity, Academic Press, Nowy Jork. Oppenheimer (1930): Oppenheimer J.R, On the theory of electrons and protons, "Physical Review", 35, 562-563. Ozsvath, Schiicking (1962): Ozsvath, Schiicking E. [w:] "Nature", 193, s. 1168. Ozsvath, Schiicking (1969): Ozsvath I., Schiicking E. [w:] "Annalen der Physik", 55. Page (1995): Page D., Sensible Quantum Mechanics: Are Only Perceptions Probabilistic? [quant-ph/950601O]. Page (1987): Page D.A, Geometrical description ofBerry's phase, "Physical Review", A36, s.3479-3481. Page (1976): Page D.N., Dirac equation around a charged, rotating black hole, "Physical Review", 14, 1509-1510. Pais (1982): Pais A, 'Subtle is the Lord'... The Science and the Life ofAlbert Einstein, Oarendon Press, Oksford; wyd. polskie: "Pan BOg jest wyrafinowany... " NauI«J i iycieAlberta Einsteina, przel. P. Amsterdamski, Proszyflski i S-ka, Warszawa 2OOl. Pais (1986): Pais A, Inward Bound: Of Matter and Forces in the Physical World, Clarendon Press, Oksford. Parker, Taubes (1982): Parker T., Taubes, On Witten's proof of the positive energy theorem, "Communications in Mathematical Physics", 84, s. 223-38. Pars (1968): Pars L.A.,A Treatise on Analytical Dynamics, przedruk Ox Bow Press 1981. Pearle (1985): Pearle P., Models for reduction [w:] Quantum Concepts in Space and Time (red. c.J. Isham, R Penrose), s.84-108, Oxford University Press, Oksford. Pearle, Squires (1995): Pearle P., Squires E.J., Gravity, energy conservation and parameter values in collapse models, Durham University preprint, DTP/95/13. Peitgen, Richter (1986): Peitgen H.-O., Richter P.H., The Beauty ofFractals: Images of Complex Dynamical Systems, Springer-Verlag, Berlin i Heidelberg. Peitgen, Saupe (1988): Peitgen H.-O., Saupe D., The Science of Fractal Images, Springer-Verlag, Berlin. Penrose (1959): Penrose R, The apparent shape of relativistically moving sphere. "Proceedings of Cambridge Philosophical Society", 55, s. 137-139. Penrose (1960): Penrose R, A spinor approach to general relativity, "Annals of Physics" (Nowy Jork) 10, s. 171-201. Penrose (1962): Penrose R, The Light Cone at Infinity [w:] Proceedings of the 1962 Conference on Relativistic Theories of Gravitation, Warsaw, Polska Akademia Nauk, Warszawa (wyd. 1965). Penrose (1963): Penrose R,Asymptotic properties offields and space-times, "Physical 1040 Review Letters", 10, s. 66-68.
Bibliografia
Penrose (1959): Penrose R, Conformal approach to infinity [w:] Relativity, Groups and Topology: The 1963 Les Houches Lectures (red. B.S. DeWitt, C.M. DeWitt), Gordon and Breach, Nowy Jork. Penrose (1965a): Penrose R, Zero rest-mass fields including gravitation: asymptotic behaviour, "Proceedings of Royal Society of London", A284, s. 159-203. Penrose (1965b): Penrose R, Gravitational collapse and space-time singularities, "Physical Review Letters", 14, s. 57-59. Penrose (1966): Penrose R,An analysis of the structure of space-time, Adams Prize Essay, Cambridge University, Cambridge (niepubl., wiC(kszosc tresci w: Penrose 1968a). Penrose (1967): Penrose R, Twistoralgebra, "Journal of Mathematical Physics", 8, s.345-366. Penrose (1968a): Penrose R, Structure of space-time [w:] Battelle Recontres, 1967 (red. C.M. DeWitt, J.A. Wheeler), Lectures in Mathematics and Physics, Benjamin, Nowy Jork. Penrose (1968b): Penrose R., Twistor quantization and curved space-time, "International Journal of Theoretical Physics", 1, s. 61-99. Penrose (1969a): Penrose R, Gravitational collapse: the role of general relativity, "Rivista del Nuovo Cimento", ser. I, t. 1; nr specjalny, s. 252-276. Penrose (1969b): Penrose R, Solutions of the zero rest-mass equations, "Journal of Mathematical Physics", 10, s. 38-39. Penrose (1971a): Penrose R, Angular momentum: an approach to combinatorial space-time [w:] Quantum Theory and Beyond (red. T. Bastin), Cambridge University Press, Cambridge. Penrose (1971b): Penrose R, Applications of negative dimensional tensors [w:] Combinatorial Mathematics and its Applications (red. D.J.A. Welsh), Academic Press, Londyn. Penrose (1975): Penrose R, Twistor theory: its aims and achievements [w:] Quantum Gravity, an Oxford Symposium (red. c.J. Isham, R Penrose, D.W Sciama), Oxford University Press, Oksford. Penrose (1976a): Penrose R, The non-lineargraviton, Gen. ReI. Grav. 7, s.171-176. Penrose (1976b): Penrose R, Non-linear gravitons and curved twistor theory, "General Relativity and Gravitation", 7, s. 31-52. Penrose (1978): Penrose R, Gravitational collapse: a Review [w:] Physics and Astrophysics of Neutron Stars and Black Holes, LXV Corso, Societa Italiana di Fisica, Bolonia, s. 566-582. Penrose (1979a): Penrose R, Singularities and time-asymmetry [w:] General Relativiy: An Einstein Centenary (red. S.W Hawking, W Israel), Cambridge University Press, Cambridge. Penrose (1979b): Penrose R, On the twistor description of massless fields, [w:] Complex Manifold Techniques in Theoretical Physics (red. D.E. Lerner, P.D. Sommers), Pitman, San Francisco; zob. td: raine artykuly w: L.P. Hughston, 1041
Bibliografia
RS. Ward (red.), Advances in Twistor Theory, Pitman Advanced Publishing Program, San Francisco 1979. Penrose (1980): Penrose R, On Schwarzschild causality - a problem for 'Lorentz-covariant' general relativity [w:] Essays in General Relativity (A. Taub Festschrift) (red. F.J. Tipler), s. 1-12, Academic Press, Nowy Jork. Penrose (1982): Penrose R, Quasi-local mass and angular momentum in general relativity, "Proceedings of Royal Society of London", A381, s. 53-63. Penrose (1986): Penrose R, Gravity and state-vector reduction [w:] Quantum Concepts in Space and Time (red. R Penrose, c.J. Isham), s. 129-146, Oxford University Press, Oksford. Penrose (1987a): Penrose R, Quantum physics and conscious thought [w:] Quantum Implications: Essays in Honour of David Bohm (red. B.J. Hiley, F.D. Peat), Routledge and Kegan Paul, London i Nowy Jork. Penrose (1987b): Penrose R, On the origins of twistor theory [w:] Gravitation and Geometry: a volume in honour ofI Robinson (red. W. Rindler, A. Trautman), Bibliopolis, Neapol. Penrose (1987c): Penrose R, Newton, quantum theory, and reality [w:] 300 lears of Gravitation (red. S.w. Hawking, W. Israel), s. 17-49, Cambridge University Press, Cambridge. Penrose (1988): Penrose R, Holomorphic linking, "Twistor Newsletter", 27, s. 1-4. Penrose (1988a): Penrose R, Topological QFTand Twistors: Holomorphic Linking; Holomorphic Linking: Postscript, "Twistor Newsletter", 27, s. 1-4. Penrose (1988b): Penrose R, Fundamental asymmetry in physical laws, "Proceedings of Symposia in Pure Mathematics", 48, American Mathematical Society, s.317-328. Penrose (1989): Penrose R, The Emperor's New Mind: Concerning Computers, Minds, and the Laws of Physics, Oxford University Press, Oksford; wyd. polskie: Nowy umysl cesarza: 0 komputerach, umy§le i prawach fizyki, przel. P. Amsterdamski, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2000. Penrose (1991): Penrose R, On the cohomology of impossible figures [La cohomologie des figures impossiblesJ "Structural Topology" ["Topologie structurale"] 17, s. 11-16. Penrose (1992): Penrose R, H-space and Twistors [w:] RecentAdvances in General Relativity. Einstein Studies, t. 4 (red. A.I. Janis, J.R. Porter), s. 6-25, Birkhauser, Boston. Penrose (1994): Penrose R, Shadows ofthe Mind: An Approach to the Missing Science of Consciousness, Oxford University Press, Oksford; wyd. polskie: Cienie umyslu. Poszukiwanie naukowej teorii §wiadomo§ci, Zysk i S-ka, Poznan 2001. Penrose (1996): Penrose R, On gravity's role in quantum state reduction, "General Relativity and Gravitation", 28, s. 581-600. Penrose (1997a): Penrose R, The Large, the Small and the Human Mind, Cambridge 1042 University Press, Cambridge; wyd. polskie w: M. Longair (red.), Makro§wiat,
Bibliografia
mikroswiat i ludzki umysl, przel. P. Amsterdamski, Pr6szynski i S-ka, Warszawa 1997. Penrose (1997b): Penrose R, On understanding understanding, "International Studies in Philosophical Sciences", 11, s. 7-20. Penrose (1998a): Penrose R, Quantum computation, entanglement and state-reduction, "Philosophical Transactions of Royal Society of London", A356, s.1927-1939. Penrose (1998b): Penrose R, The question of cosmic censorship [w:] Black Holes and Relativistic Stars (red. RM. Wald), University of Chicago Press, Chicago, Illinois, przedruk w "Journal of Astronomy and Astrophysics", 20, s.233-248 (1999). Penrose (2000a): Penrose R, Wavefunction collapse as a real gravitational effect [w:] Mathematical Physics 2000 (red. A. Fokas, T.WB. Kibble, A. Grigouriou, B. Zegarlinski), s. 266-282, Imperial College Press, Londyn. Penrose (2000b): Penrose R, On Bell non-locality without probabilities: some curious geometry [w:] Quantum Reflections (red. J. Ellis, D. Amati), Cambridge University Press, Cambridge, s. 1-27. Penrose (2001): Penrose R., Towards a twistor description ofgeneral space-times; introductory comments [w:] Further Advances in Twistor Theory, t. III: Curved Twistor Spaces (red. L.J. Mason, L.P. Hughston, P.Z. Kobak, K. Pulverer), Chapman & Hall/CRC Research Notes in Mathematics 424, Londyn, s. 239-255. Penrose (2002): Penrose R, John Bell, State Reduction, and Quanglement [w:] Quantum [UnJspeakables: From Bell to Quantum Information (red. RA. Bertlmann, A. Zeilinger), Springer-Verlag, Berlin. Penrose (2003): Penrose R, On the instability of extra space dimensions. The Future of Theoretical Physics and Cosmology. Celebrating Stephen Hawking's 60th Birthday (red. G.W Gibbons, E.P.S. Shellard, S.J. Rankin), Cambridge University Press, Cambridge. Penrose, MacCallum (1972): Penrose R, MacCallum M.A.H., Twistor theory: an approach to the quantization of fields and space-time, "Physical Reports", 6C, s. 241-315. Penrose, Penrose (1958): Penrose L.S., Penrose R, Impossible Objects: A Special Type of Visual Illusion, "British Journal of Psychology", 49, s. 31-33. Penrose, Rindler (1984): Penrose R, Rindler W, Spinors and Space-Time, t. I: Two-Spinor Calculus and Relativistic Fields, Cambridge University Press, Cambridge. Penrose, Rindler (1986): Penrose R., Rindler W, Spinors and Space-Time, t. II: Spinor and Twistor Methods in Space-Time Geometry, Cambridge University Press, Cambridge. Penrose, Robinson, Tafel (1997): Penrose R, Robinson I., Tafel J.,Andrzej Mariusz Trautman, "Classical and Quantum Gravity", 14, s. AI-A8. 1043
Bibliografia
Penrose et al. (1978): Penrose R, Sparling G.AJ., Tsou S.T., Extended Regge Trajectories, "Journal of Physics A: Mathematical and General", 11, s. L23I-L235. Penzias, Wilson (1965): Penzias AA, Wilson RW., A Measurement of Excess Antenna Temperature at 4080 Mc/s, "Astrophysical Journal", 142, s. 419. Percival (1994): Percival I. e., Primary state diffusion, "Proceedings of Royal Society of London", A447, s. 189-209. Percival (1995): Percival I.e., Quantum space-time fluctuations and primary state diffusion [quant-ph/9508021]. Peres (1991): Peres A, Two Simple Proofs of the Kochen-Specker Theorem, "Journal of Physics A: Mathematical and General", 24, s. L175-L178. Peres (1995): Peres A, Generalized Kochen-Specker Theorem [quant-ph/9510018]. Peres (2000): Peres A, Delayed choice for entanglement swapping, "Journal of Modern Optics", 47, s. 531 [quant-ph/9904042]. Perez (2001): Perez A, Finiteness ofa spinfoam model for Euclidean quantum general relativity, "Nuclear Physics", B599, s. 427-434. Perez (2003): Perez A, Spin foam models for quantum gravity, "Classical and Quantum Gravity", 20, s. R43-R104. Perlmutter et al. (1998): Perlmutter S. et al., Cosmology from Type Ia Supernovae, "Bulletin of American Astronomical Society", 29 [astro-ph/9812473]. Peskin, Schroder (1995): Peskin M.E., Schroder P.Y.,Introduction to Quantum Field Theory, Westview Press, Reading, MA i Wokingham. Petiau (1936): Petiau G., Contribution ala tMorie des equations d'ondes pusculaires, Academie Royale Belgique (Cl. Sci. Mem. Collect. 16, or 2). Pirani, Schild (1950): Pirani F.AE., Schild A, On the Quantization of Einstein's Gravitational Field Equations, "Physical Review", 79, s. 986-991. Pitkaenen (1994): Pitkaenen M., P-adic description of Higgs mechanism I: p-adic square root and p-adic light cone [hep-th/9410058]. Po1chinski (1998): Po1chinski J., String Theory, Cambridge University Press, Cambridge. Polkinghorne (2002): Polkinghorne J., Quantum Theory. A Very Short Introduction, Oxford University Press, Oksford. Popper (1934): Popper K., The Logic of Scientific Discovery, Routledge (nowe wyd. marzec 2002); wyd. polskie: Logika odkrycia naukowego, przel. K. Niklas, PWN, Warszawa 1977. Pound, Rebka (1960): Pound RY., Rebka G.A [w:] "Physical Review Letters", 4, s.337. Preskill (1992): Preskill J., Do black holes destroy information? [hep-th/9209058]. Priestley (2003): Priestley H.A, Introduction to ComplexAnalysis, Oxford University Press, Oksford. Rae (1994): Rae AI.M., Quantum Mechanics, Institute of Physics Publishing, wyd. 1044 4, 2002.
Bibliografia
Raine (1975): Raine D.J., Mach's principle in General Relativity, "Monthly Notices of Royal Astronomical Society", 171, s. 507-528. Randall, Sundrum (1999a): Randall L., Sundrum R.,A Large Mass Hierarchy from a Small Extra Dimension, "Physical Review Letters", 83, s. 3370-3373 [hepph/9905221 ]. Randall, Sundrum (1999a): Randall L., Sundrum R., An Alternative to Compactification, "Physical Review Letters", 83, s.4690-4693 [hep-th/ 9906064]. Rarita, Schwinger (1941): Rarita W, Schwinger J., On the theory of particles with halfinteger spin, "Physical Review", 60, s. 61. Redhead (1987): Redhead M.L.G., Incompleteness, Nonlocality, and Realism, Clarendon Press, Oksford. Reed, Simon (1972): Reed M., Simon B., Methods of Mathematical Physics, t. I: Functional Analysis, Academic Press, Nowy Jork i Londyn. Reeves et al. (2002): Reeves J.N. et aI., The signature of supernova ejecta in the X-ray afterglow of the gamma-ray burst 011211, "Nature", 416, s. 512-515. Regge (1961): Regge T., General Relativity without Coordinates, "Nuovo Cimento", A 19, s. 558-571. Reisenberger (1997): Reisenberger M.P.,A lattice worldsheet sum for 4-d Euclidean general relativity [gr-qc/9711052]. Reisenberger (1999): Reisenberger M.P., On relativistic spin network vertices, "Journal of Mathematical Physics", 40, s. 2046-2054. Reisenberger, Rovelli (2001): Reisenberger M.P., Rovelli c., Spacetime as a Feynman diagram: the connection fonnulation, "Classical and Quantum Gravity", 18, s.121-140. Reisenberger, Rovelli (2002): Reisenberger M.P., Rovelli c., Spacetime states and covariant quantum theory, "Physical Review", D65, s. 125016. Reula, Tod (1984): Reula 0., Tod K.P., Positivity of the Bondi energy, "Journal of Mathematical Physics", 25, 1004-1008. Riemann (1854): Riemann G.B.F., Uber die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen (rozprawa habilitacyjna, Getynga); zob. Collected Works of Bernhard Riemann (red. Heinrich Weber), wyd. 2, Dover, Nowy Jork 1953, s.272-287. Rindler (1977): Rindler W, Essential Relativity, Springer-Verlag, Nowy Jork. Rindler (1982): Rindler W, Introduction to Special Relativity, Clarendon Press, Oksford. Rindler (2001): Rindler W, Relativity: Special, General, and Cosmological, Oxford University Press, Oksford. Rizzi (1998): Rizzi A., Angular momentum in general relativity: A new definition, "Physical Review Letters", 81(6), s. 1150. Robinson (1975): Robinson D.C., Uniqueness of the Kerr Black Hole, "Physical Review Letters", 34, s. 905-906. 1045
Bibliografia
Rogers (1980): Rogers A., A global theory of supermanifolds, "Journal of Mathematical Physics", 21, s. 1352-1365. Rolfsen (2004): Rolfsen D., Knots and Links, American Mathematical Society, Providence, RI. Roseveare (1982): Roseveare N.T., Mercury's Perihelion from Le Verrier to Einstein, Clarendon Press, Oksford. Rovelli (1991): Rovelli c., Quantum mechanics without time: A model, "Physical Review", D42, s. 2638. Rovelli (1998): Rovelli c., Strings, loops and others: a critical survey of the present approaches to quantum gravity [w:] Gravity and Relativity: At the tum of the Millennium (15 th International Conference on General Relativity and Gravitation), red. N. Dadhich, 1. Narlikar, Inter-University Centre for Astronomy and Astrophysics, Puna, Indie, s. 281-331. Rovelli (2003): Rovelli c., Quantum Gravity, http://www.cpt.univ-mrsJr/-rovelli/ bookpdf. Rovelli, Smolin (1990): Rovelli c., Smolin L., Loop representation for quantum general relativity, "Nuclear Physics", B331, s. 80--152. Runde (2002): Runde v., The Banach-Tarski paradox - or - What mathematics and religion have in common, "Pi in the Sky", 2 (2000), s. 13-15 [math.GM/ 0202309]. Russell (1903): Russell B., Principles ofMathematics, najnowsze wyd.: w.w. Norton & Company 1996. Russell (1927): Russell B., TheAnalysis ofMatter, Allen and Unwin, przedruk Dover, Nowy lork 1954. Ryder (1996): Ryder L.H., Quantum Field Theory, Cambridge University Press, Cambridge. Sabbagh (2003): Sabbagh K, The Riemann Hypothesis: The Greatest Unsolved Problem in Mathematics, Farrar, Straus and Giroux, Nowy lork. Saccheri (1733): Saccheri G., Euclides ab Omni Naevo Vindicatus, przekl. w: G.B. Halsted, Euclid Freed from Every Flaw, Open Court, La Salle, Illinois 1920. Sachs (1962): Sachs R, Asymptotic symmetries in gravitational theory, "Physical Review", 128, s. 2851-2864. Sachs, Bergmann (1958): Sachs R, Bergmann P.G., Structure of Particles in Linearized Gravitational Theory, "Physical Review", 112, s. 674--680. Sachs (1961): Sachs RK, Gravitational waves in general relativity, VI: the outgoing radiation condition, "Proceedings of Royal Society of London", A264, s. 309-338. Sachs (1962a): Sachs RK, Gravitational waves in general relativity, VIII: waves in asymptoticaly flat space-time, "Proceedings of Royal Society of London", A270, s. 103-126. Sachs (1962b): Sachs RK,Asymptotic symmetries in gravitational theory, "Physical 1046 Review", 128, s. 2851-2864.
Bibliografia
Sakellariadou (2002): Sakellariadou M., The role oftopological defects in cosmology, seria wyldadow w NATO ASI/COSLAB (ESF) School pt. Patterns of Symmetry Breaking, wrzesien 2002 (Krakow) [hep-ph/0212365]. Salam (1980): Salam A, Gauge Unification of Fundamental Forces, "Review of Modern Physics", 52(3), s. 515-523. Salam, Ward (1959): Salam A, Ward J.e., J.-J0ak and electromagnetic interaction, "Nuovo Cimento", 11, s. 568. Sarkar (2002): Sarkar S., Possible astrophysical probes of quantum gravity, "Modern Physics Letters", A17, s. 1025-1036 [gr-qc/0204092]. Sato, M. (1958): Sato M., On the generalization of the concept of a junction, "Proceedings of Japan Academy", 34, s. 126-30. Sato (1959): Sato M., Theory ofhyperfunctions, cz. I, "Journal of Faculty of Sciences, University of Tokyo", Sect. I, 8, s. 139-193. Sato (1960): Sato M., Theory ofhyperfunctions, cz. II, "Journal of Faculty of Sciences, University of Tokyo", Sect. I, 8, s. 387-437. Schild, (1949): Schild A, Discrete space-time and integral Lorentz transformations, "Canadian Journal of Mathematics", 1, s. 29-47. Schoen, Yau (1979): Schoen R., Yau S.-T., On the proofofthe positive mass conjecture in the general relativity, "Communications in Mathematical Physics", 65, s.45-76. Schoen, Yau (1982): Schoen R., Yau S.-T., Proof that Bondi mass is positive, "Physical Review Letters", 48, s. 369-371. Schouten (1954): Schouten J.A, Ricci-Calculus, Springer, Berlin. Schrodinger (1930): Schrodinger E. [w:] "Sitzungsberichte der Preussischen Akademie der Wissenschaften - Physik-Mathematik", 24, s. 418. Schrodinger (1935): Schrodinger E., Probability relations between separated systems, "Proceedings of Cambridge Philosophical Society", 31, s. 555-563. Schrodinger (1950): Schrodinger E., Space-Time Structure, Cambridge University Press, Cambridge. Schrodinger (1956): Schrodinger E., Expanding Universes, Cambridge University Press, Cambridge. Schrodinger (1967): Schrodinger E., 'What is Life?' and 'Mind and Matter', Cambridge University Press, Cambridge; wyd. polskie: Czym jest iycie? Fizyczne aspekty iywej kom6rki; Umysl i materia; Szkice autobiograficzne, przel. S. Amsterdamski, Proszynski i S-ka, Warszawa 1998. Schutz (2003): Schutz B., Gravity from the ground up: an introductory guide to gravity and general relativity, Cambridge University Press, Cambridge. Schutz (1997): Schutz J.w., IndependentAxioms for Minkowski Space-Time, Addison Wesley Longman Ltd., Harlow, Essex. Schwartz (1966): Schwartz L., Theorie des distributions, Hermann, Paryz. Schwarz (2001): Schwarz J.H., String Theory, "Current Sciences", 81(12), s. 1547-1553. 1047
Bibliografia
Schwarzschild (1916): Schwarzschild K., Uber das Gravitationsfeld eines Massenpunktes nach der Einsteinschen Theorie, "Sitzungsberichte der Deutschen Akademie der Wissenschaften in Berlin - Physik-Mathematik, Technik" Kl. 189-196. Schwinger (1951): Schwinger J. [w:] "Proceedings of National Academy of Sciences", 37, s. 452. Schwinger (1958): Schwinger J. (red.), Quantum Electrodynamics, Dover. Sciama (1959): Sciama D.W., The Unity of the Universe, Doubleday & Company, Inc., Nowy Jork. Sciama (1962): Sciama D.W., On the analogy between charge and spin in general relativity [w:] Recent Developments in General Relativity, Pergamon i PWN, Oksford. Sciama (1972): Sciama D.W., The Physical Foundations of General Relativity, Heinemann, Londyn. Sciama (1998): Sciama D.W., Decaying neutrinos and the geometry of the universe [w:] The Geometric Universe; Science, Geometry, and the Work ofRoger Penrose (red. S.A Huggett, L.J. Mason, K.P. Tod, S.T. Tsou, N.M.J. Woodhouse), Oxford University Press, Oksford. Seiberg, Witten (1994): Seiberg N., Witten E., Electric-magnetic duality, monopole condensation, and confinement in N = 2 supersymmetric Yang-Mills theory, "Nuclear Physics", B426 [hep-th/9407087]. Sen (1982): Sen A, Gravity as a spin system, "Physical Letters", B119, s. 89-91. Shankar (1994): Shankar R., Principles of Quantum Mechanics, wyd. 2, Plenum Press, Nowy Jork i Londyn. Shapiro et al. (1971): Shapiro I.I. et al. [w:] "Physical Review Letters", 13, s. 789. Shaw, Hughston (1990): Shaw W.T., Hughston L.P., Twistors and strings [w:] Twistors in Mathematics and Physics (red. T.N. Bailey, R.J. Baston), London Mathematical Society Lecture Notes Series, nr 156, Cambridge University Press, Cambridge. Shawhan (2001): Shawhan P., The Search for Gravitational Waves with LIGO: Status and Plans, "International Journal of Modern Physics", A 16, sup!. 01C, s. 1028-1030. Shih et al. (1995): Shih Y.H. et al., Optical Imaging by Means of Two-Photon Entanglement, "Physical Review A Rapid Communications", 52, s. R3429. Shimony (1998): Shimony A, Implications of transience for spacetime structures [w:] The Geometric Universe; Science, Geometry, and the Work ofRoger Penrose (red. S.A Huggett, L.J. Mason, K.P. Tod, S.T. Tsou, N.M.J. Woodhouse), Oxford University Press, Oksford. Shrock (2003): Shrock R., Neutrinos and Implications for Physics Beyond the Standard Model, World Scientific Publishing Co., Singapur. Silk, Rees (1998): Silk J., Rees M., Quasars and galaxy formation, "Astronomy and 1048 Astrophysics", t. 331, s. Ll-L4.
Bibliografia
Simon (1983): Simon B., Holonomy, the quantum adiabatic theorem, and Berry's phase, "Physical Review Letters", 51, s. 2160-2170. Singh (1997): Singh S., Fennat's Last Theorem, Fourth Estate, Londyn; wyd. polskie: Tajemnica Fennata, przei. P. Strzelecki, Proszynski i S-ka, Warszawa 1999. Slipher (1917): Slipher Y.A., Nebulae, "Proceedings of American Philosophical Society", 56, s. 403. Smolin (1991): Smolin L., Space and time in the quantum universe [w:] Conceptual Problems in Quantum Gravity (red. A. Ashtekar, J. Stachel), Birkhauser, Boston. Smolin (1997): Smolin L., The Life of the Cosmos, Oxford University Press, Oksford; wyd. polskie: Zycie WszechSwiata, przei. D. Czyzewska, Amber, Warszawa 1998. Smolin (1998): Smolin L., The physics ofspin networks [w:] The Geometric Universe; Science, Geometry, and the Work of Roger Penrose (red. S.A. Huggett, LJ. Mason, K.P. Tod, S.T.Thou, N.M.J. Woodhouse), Oxford University Press, Oksford. Smolin (2001): Smolin L., The exceptional Jordan algebra and the matrix string [hepth/0104050]. Smolin (2002): Smolin L., Three Roads To Quantum Gravity, Basic Books, Nowy Jork; wyd. polskie: Trzy drogi do kwantowej grawitacji, przei. J. Kowalski-Glikman, CiS, Warszawa 200l. Smolin (2003): Smolin, L., How far are we from the quantum theory of gravity? [hep-th/0303185]. Smoot et al. (1991): Smoot G.F. et al., Preliminary results from the COBE differential microwave radiometers: large-angular-scale isotropy of the Cosmic Microwave Background, "Astrophysical Journal", 371, s. LI. Snyder (1947): Snyder H.S., Quantized space-time, "Physical Review", 71, s. 3~l. Sorabji (1983): Sorabji R.J., Time, Creation, and the Continuum: Theories in Antiquity and the Early Middle Ages, Cornell University Press, Ithaca. Sorabji (1988): Sorabji R.J., Matter, Space and Motion: Theories in Antiquity and their Sequel, Cornell University Press, Ithaca. Sorkin (1991): Sorkin R.D., Spacetime and Causal Sets [w:] Relativity and Gravitation: Classical and Quantum (red. J.e. D'Olivo et al.), World Scientific, Singapur. Sorkin (1994): Sorkin R.D., Quantum Measure Theory and its Interpretation [w:] Proceedings of 4th Drexel Symposium on Quantum Nonintegrability, 8-11 September, Filadelfia, PA [gr-qc/9507057]. Spergel (2003), Spergel D.N., First lear Wilkinson Microwave Anisotropy Probe Observations: Detennination of Cosmological Parameters, "Astrophysical Journal" - Suppl. 148, s. 175. Stachel (1995): Stachel J., History of relativity [w:] History of 20th Century Physics (red. L. Brown, A. Pais, B. Pippard), rozdz. 4, American Institute of Physics 1049 (AlP), British Institute of Physics (BIP).
Bibliografia
Stairs (1983): Stairs A, Quantum logic, realism and value-definiteness, "Philosophy of Sciences", 50(4), s. 578-602. Stapp (1971): Stapp H.P., S-matrix Interpretation of Quantum Mechanics, "Physical Review", D3, s.1303-1320. Stapp (1979): Stapp H.P., Whiteheadian Approach to Quantum Theory and the Generalised Bel/'s Theorem, "Foundations of Physics", 9, s. 1-25. Steenrod (1951): Steenrod N.E., The Topology ofFibre Bundles, Princeton University Press, Princeton. Steinhardt, Turok (2002): Steinhardt P.J., Turok N.,A Cyclic Model of the Universe, "Science", 296(5572), s. 1436-1439 [hep-th/0111030]. Stoney (1881): Stoney G.J., On the Physical Units of "Nature", "Philosophical Magazine", t. 11, s. 381. Strauss (1992): Strauss w., Partial Differential Equations: An Introduction, John Wiley and Sons, Nowy Jork. Strominger, Vafa (1996): Strominger A, Vafa c., Microscopic Origin of the Bekenstein-Hawking Entropy, "Physical Letters", B379, s. 99-104. Strominger et al. (1996): Strominger A, Yau S.-T., Zaslow E., Mirror symmetry is T-duality, "Nuclear Physics", B479, s. 1-2, 243-259. Struik (1954): Struik D.J., A Concise History oj Mathematics, Dover, Nowy Jork. Sudarshan, Dhar (1968): Sudarshan G., Dhar J., Quantum Field Theory ofInteracting Tachyons, "Physical Review", 174, s.1808. Sudbery (1987): Sudbery A, Division algebras, (pseudo) orthogonal groups and "Journal of Physics", A17, s. 939-955. spinors, I Susskind (1970): Susskind L., Structure of Hadrons Implied by Duality, "Nuovo Cimento", A69, s. 457. Susskind (2003): Susskind L., Twenty Thars of debate with Stephen [w:] The Future of Theoretical Physics and Cosmology (red. G.w. Gibbons, P. Shellard, S. Rankin), Cambridge University Press, Cambridge. Susskind et al. (1993): Susskind L., Thorlacius L., Uglum J., The stretched horizon and black hole complementarity, "Physical Review", 48, s. 3743 [hep-th/ 9306069]. Sutherland (1975): Sutherland W.A, Introduction to Topology, Oxford University Press, Oksford. Swain (2004): Swain J., The Majorana representations of spins and the relation between SU(CX)) and S Diff (S2) [hep-th/0405004]. Synge (1950): Synge J.L., The gravitational field of a particle, "Proceedings of Irish Academy", A53, s. 83-114. Synge (1956): Synge J.L., Relativity: The Special Theory, North-Holland, Amsterdam. Synge (1960): Synge J.L., Relativity: The General Theory, North-Holland Publ. Co., Amsterdam. Szekeres (1960): Szekeres G., On the Singularities ofa Riemannian Manifold, "Pub!. 1050 Mat. Debrecen", 7, s. 285-301.
Bibliografia
't Hooft (1978a): 't Hooft G., On the phase transition towards pennanent quark confinement, "Nuclear Physics", B138, s. l. 't Hooft (1978b): 't Hooft G., Quantum gravity: a fundamental problem and some radical ideas [w:] Recent Developments in Gravitation (red. M. Levy, S. Deser), Plenum, Nowy Jork. Tait (1900): Tait P.G., On the claim recently made for Gauss to the invention (not the discovery) of quatemions, "Proceedings of Royal Society of Edinburgh", 23, s.17-23. Taylor, Wheeler (1963): Taylor E.E, Wheeler J.A., Spacetime Physics, W.H. Freeman, San Francisco. Terrell (1959): Terrell J., Invisibility of the Lorentz contraction, "Physical Review", 116, s. 1041-1045. Thiele (1982): Thiele R., Leonhard Euler, Lipsk (po niemiecku). Thiemann (1996): Thiemann T.,Anomaly-free fonnulation of non-perturbative, four-dimensional Lorentzian quantum gravity, "Physical Letters", B380, s. 257-264. Thiemann (1998a): Thiemann T., Quantum spin dynamics (QSD), "Classical and Quantum Gravity", 15, s. 839-873. Thiemann (1998b): Thiemann T., QSD III: Quantum constraint algebra and physical scalar product in quantum general relativity, "Classical and Quantum Gravity", 15, s. 1207-1247. Thiemann (1998c): Thiemann T., QSD v: Quantum gravity as the natural regulator of matter quantum field theories, "Classical and Quantum Gravity", 15, s.1281-1314. Thiemann (2001): Thiemann T., QSD VII· Symplectic Structures and Continuum Lattice Formulations of Gauge Field Theories, "Classical and Quantum Gravity", 18, s. 3293-3338. Thirring (1983): Thirring w.E., A Course in Mathematical Physics: Quantum Mechanics of Large Systems, Springer-Verlag, Berlin i Londyn. Thomas (1939): Thomas I., Selections Illustrating the History of Greek Mathematics, t. I: From Thales to Euclid, The Loeb Classical Library, Heinemann, Londyn. Thorne (1986): Thorne K, Black Holes: The Membrane Paradigm, Yale University Press, New Haven. Thorne (1995a): Thorne K,BlackHolesand Time Wmps, w.w. Norton & Company; wyd. polskie: Czame dziury i krzywizny czasu. Zdumiewajqce dziedzictwo Einsteina, przel. D. Czyzewska, Pr6szynski i S-ka, Warszawa 2005. Thorne (1995b): Thorne K, Gravitational Waves [gr-qc/9506086]. Tipler (1997): Tipler EJ., The Physics of Immortality, Anchor Books, Nowy Jork. Tipler et al. (1980): Tipler EJ., Clarke c.J.S., Ellis G.ER., Singularities and horizons - a review article [w:] General Relativity and Gravitation, t. II (red. A. Held), s. 97-206, Plenum Press, Nowy Jork. Tittel et al. (1998): Tittel w., Brendel J., Zbinden H., Gisin N., Violation of Bell Inequalities by Photons More Than 10 km Apart, "Physical Review Letters", 1051 81, s.3563.
Bibliografia
Tod, Anguine (1999a): Tod KP., Anguine K, Isotropic cosmological singularities 1: Polytropic perfect fluid spacetimes, "Annals of Physics", 276, s. 257-293 [grqc/9903008]. Tod, Anguine (1999b): Tod KP., Anguine K, Isotropic cosmological singularities 2: The Einstein-Vlasov system, "Annals of Physics", 276, s. 294-320 [gr-qc/ 9903009]. Tolman (1934): Tolman R.c., Relativity, Thermodynamics, and Cosmology, Clarendon Press, Oksford. Tonomura et al. (1982): Tonomura A, Matsuda T., Suzuki R., Fukuhara A, Osakabe N., Umezaki H., Endo J., Shinagawa K, Sugita Y., Fujiwara E, Observation of Aharonov-Bohm effect with magnetic field completely shielded from the electronic wave, "Physical Review Letters", 48, s. 1443. Tonomura et al. (1986): Tonomura A, Osakabe N., Matsuda T., Kawasaki T., Endo J., Yano S., Yamada, Evidence for Aharonov-Bohm effect with magnetic field completely shielded from electron wave, "Physical Review Letters", 56, s. 792-795. Trautman (1958): Trautman A, Radiation and boundary conditions in the theory of gravitation, "Bulletin of Polish Academy of Sciences", seria: Mathematics, Astronomy, Physics, 6, s. 407-412. Trautman (1962): Trautman A, Conservation laws in general relativity [w:] Gravitation: An Introduction to Current Research (red. L. Witten), Wiley, Nowy Jork. Trautman (1965): Trautman A [w:] Trautman A, Pirani EAE., Bondi H., Lectures on General Relativity, Brandeis 1964 Summer Institute on Theoretical Physics, t. I, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, N.J. Trautman (1970): Trautman A, Fibre bundles associated with space-time, "Reports in Mathematical Physics" (Torun), 1, s. 29-34. Trautman (1972, 1973): Trautman A, On the Einstein-Cartan equations I-IV, "Bulletin of Polish Academy of Sciences", seria: Mathematics, Astronomy, Physics, 20, s. 185-190; 503-506; 895-896; 21, 345-346. Trautman (1997): Trautman A, Clifford and the 'Square Root' Ideas, "Contemporary Mathematics", 203. Turing (1937): Turing AM., On computable numbers, with an application to the Entscheidungsproblem, "Proceedings of London Mathematical Society", 42(2), s. 230-265; errata ibidem (1937), 43, s. 544-546. Unruh (1976): Unruh w.G., Notes on black hole evaporation, "Physical Review", D14, s. 870. Vafa (1996): Vafa c., Evidence for F-theory, "Nuclear Physics", B469, s. 403. Valentini (2002): Valentini A, Signal-Locality and Subquantum Information in Deterministic Hidden-Variables Theories [w:] Non-Locality and Modality (red. T. Placek, J. Butterfield), Kluwer [quant-ph/0112151]. van der Waerden (1929): van der Waerden B.L., Spinorana/yse, "Nachrichten der Aka1052 demie der Wissenschaften in G6ttingen", Mathematik - Physik, s. 100-109.
Bibliografia
van der Waerden (1985): van der Waerden B.L., A History of Algebra: From al-Khwrizmi to Emmy Noether, Springer-Verlag, Berlin, s. 166-174. van Heijenoort (1967): van Heijenoort J. (red.), From Frege to Godel: A Source Book in Mathematical Logic. 1879-1931, Harvard University Press, Cambridge, Mass. van Kerkwijk (2000): van Kerkwijk M.H., Neutron Star Mass Detenninations [astroph/OOOI077]. Varadarajan (2000): Varadarajan M., Fock representations from U(i) holonomy algebras, "Physical Review", D61, s. 10400l. Varadarajan (2001): Varadarajan M., Photons from quantized electric flux representations, "Physical Review", D64, s. 104003. Veneziano (1968): Veneziano G. [w:] "Nuovo Cimento", 57A, s. 190. Vilenkin (2000): Vilenkin A., Cosmic Strings and Other Topological Defects, Cambridge University Press, Cambridge. Vladimirov, Volovich (1994): Vladimirov V.S., Volovich LV., P-Adic Analysis and Mathematical Physics, World Scientific Publishing Company, Inc. von Neumann (1955): von Neumann J., Mathematical Foundations of Quantum Mechanics, Princeton University Press, Princeton, New Jersey. Wagon (1985): Wagon S., The Banach-Tarski paradox, Cambridge University Press, Nowy Jork. Wald (1984): Wald R.M., General Relativity, University of Chicago Press, Chicago. Wald (1994): Wald RM., Quantum Field Theory in Curved Spacetime and Black Hole Thennodynamics, University of Chicago Press, Chicago. Ward (1977): Ward RS., On self-dual gauge fields, "Physical Letters", 61 A, s. 81-82. Ward, Wells (1989): Ward RS., Wells RO., Jr., Twistor Geometry and Field Theory, Cambridge University Press, Cambridge. Weinberg (1967): Weinberg S.,A model of leptons, "Physical Review Letters", 19, s. 1264-1266. Weinberg (1972): Weinberg S., Gravitation and Cosmology: Principles and Applications of the General Theory of Relativity, Wiley, Nowy Jork. Weinberg, S. (1989): Weinberg S., Precision Tests of Quantum Mechanics, "Physical Review Letters", 62, s. 485-488. Weinberg (1992): Weinberg S., Dreams of a Final Theory: The Scientists Search for the Ultimate Laws of Nature, Pantheon Books, Nowy Jork; wyd. polskie: Sen o teorii ostatecznej, przel. P. Amsterdamski, Zysk i S-ka, Poznan 1997. Wells (1991): Wells RO., Differential analysis on complex manifolds, Prentice Hall, Englewood Cliffs. Werbos (1989): Werbos P., Bell's theorem: the forgotten loophole and how to exploit [w:] Bell's Theorem, Quantum Theory, and Conceptions of the Universe (red. M. Kafatos), Kluwer, Dordrecht. 1053
Bibliografia
Werbos, Dolmatova (2000): Werbos P.J., Dolmatova L., The Backwards-Time Interpretation of Quantum Mechanics: Revisited With Experiment [http:// arxiv .orglftp/quan t -ph/papers/0008/0008036. pdf]. Wess, Bagger (1992): WessJ., Bagger J., Supersymmetry and Supergravity, Princeton University Press, Princeton. Wess, Zumino (1974): Wess J., Zumino B., Supergauge transformations in four dimensions, "Nuclear Physics", 70, s. 39-50. Weyl (1918): Weyl H. [w:] Lorentz et al. (1952). Weyl (1928): Weyl H., Gruppentheorie und Quantenmechanik, Hirzel, Lipsk; angielski przeklad 2 wyd.: The Theory of Groups and Quantum Mechanics, Dover, Nowy Jork. Weyl (1929a): Weyl H. [w:] "Zeitschrift fur Physik", 56, s. 330. Weyl (1929b): Weyl H., Elektron und Gravitation I. "Zeitschrift fur Physik", 56, s.330-352. Wheeler (1957): Wheeler J.A,Assessment of Everett's 'Relative State' Formulation of Quantum Theory, "Reviews of Modern Physics", 29, s. 463-465. Wheeler (1960): Wheeler J.A, Neutrinos, Gravitation and Geometry: contribution to Rendiconti della Scuola Intemationale di Fisica' Enrico Fermi-XI. Corso, July 1959, Zanichelli, Bolonia (przedruk 1982). Wheeler (1965): Wheeler l.A, Geometrodynamics and the issue of the final state [w:] Relativity, Groups and Topology (red. B.S. De Witt, C.M. DeWitt), Gordon and Breach, Nowy Jork. Wheeler (1973): Wheeler J.A, From Relativity to Mutability [w:] The Physicist's Conception of Nature (red. J. Mehra), s. 202-247, D. Reidel, Boston. Wheeler (1983): Wheeler J.A, Law without law [w:] Quantum Theory and Measurement (red. J.A Wheeler, W.H. Zurek), s. 182-213, Princeton University Press, Princeton. Whittaker (1903): Whittaker E.T., On the partial differential equations of mathematical physics, "Mathematical Annals", 57, s. 333-355. Wick (1956): Wick G.c., Spectrum ofthe Bethe-Salpeterequation, "Physical Review", 101, s. 1830. Wigner (1960): Wigner E.P., The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Physical Sciences, "Communications in Pure Applications Mathematics", 13, s.1-14. Wilder (1965): Wilder R.L., Introduction to the foundations of mathematics, John Wiley & Sons, Nowy Jork. Wiles (1995): Wiles A, Modular elliptic curves and Fermat's Last Theorem, "Annals of Mathematics", 142, s. 443-551. Williams (1995): Williams R.K., Extracting X-rays, y-rays, and Relativistic e- e+ Pairs from Supermassive Kerr Black Holes Using the Penrose Mechanism, "Physical 1054 Review", D51, s. 5387.
Bibliografia
Williams (2002): Williams RK, Production of the High Energy-Momentum Spectra of Quasars 3C279 and 3C273 Using the Penrose Mechanism [astro-phl0306135], przyjyty do pUblikacji w "Astrophysical Journal" 2004. Williams (2004): Williams RK, Collimated Escaping Vortical Polar e- e+ Jets Intrinsically Produced by Rotating Black Holes and Penrose Processes [astroph/0404135]. Willmore (1959): Willmore T.J.,An Introduction to Differential Geometry, Clarendon Press,Oksford. Wilson (1975): Wilson K [w:] "Physics Reports", 23, s. 331. Wilson (1976): Wilson K, Quarks on a lattice, or the colored string, model, "Physics Reports", 23(3), s. 331-347. Winicour (1980): Winicour J., Angular momentum in general relativity [w:] General Relativity and Gravitation, t. 2 (red. A Held), s. 71-96, Plenum Press, Nowy Jork. Witten (1978): Witten E.,An interpretation of classical Yang-Mills theory, "Physical Letters", 77B, s. 394-398. Witten (1981): Witten E.,A new proofofthe positive energy theorem, "Communications in Mathematical Physics", 80, s. 381-402. Witten (1982): Witten E., Supersymmetry and Morse theory, "Journal of Differential Geometry", 17, s. 661-692. Witten (1988): Witten E., Topological quantum field theory, "Communications in Mathematical Physics", 118, s.411. Witten (1995): Witten E., String theory in various dimensions, "Nuclear Physics", B443, s. 85. Witten (1996): Witten E., Reflections on the Fate of Spacetime, "Physics Today", kwiecieii 1996. Witten (1998): Witten E., Anti de Sitter Space and Holography [hep-th/9802150]. Witten (2003): Witten E., Perturbative Gauge Theory as a String Theory in Twistor Space [hep-th/0312171]. Witten (1959): Witten L., Invariants of general relativity and the classification of spaces, "Physical Review", 113, s. 357-362. Wolf (1974): Wolf J., Spaces of Constant Curvature, Publish or Perish Press, Boston. Woodhouse (1991): Woodhouse N.M.J., Geometric Quantization, wyd. 2, Clarendon Press, Oksford. Woodin (2001): Woodin WH., The Continuum Hypothesis, cz. I i II, zapiski AMS, dostypne on line: http://www.ams.orglnotices/200106/fea-woodin.pdf. Wooters, Zurek (1982): Wooters WK, Zurek WH., A single quantum cannot be cloned, "Nature", 299, s. 802-803. Wykes (1969): Wykes A, Doctor Cardano: Physician Extraordinary, Frederick Muller, Londyn. Yang, Mills (1954): Yang C.N., Mills RL., Conservation ofIsotopic Spin and Isotopic 1055 Gauge Invariance, "Physical Review", 96, s. 191-195.
Bibliografia
Yui, Lewis (2003): Yui N., Lewis J.D., Calabi-Yau Varieties and Mirror Symmetry, "Fields Institute Communications", t. 38, American Mathematical Society, Providence, RI. Zee (2003): Zee A., Quantum Field Theory in a Nutshell, Princeton University Press, Princeton. Zeilinger et al. (1988): Zeilinger A., Gaehler R., Shull e.G., Mampe W, Single and double slit diffraction of neutrons, "Reviews of Modern Physics", 60, s. 1067. Zel'dovich (1966): Zel'dovich Y.B., Number ofquanta as an invariant of the classical electromagnetic field, "Soviet Physics - Doklady", 10, s. 771-772. Zimba, Penrose (1993): Zimba J., Penrose R., On Bell non-locality without probabilities: more curious geometry, "Studies in History and Philosophy of Science", 24, s. 697-720. Zinn-Justin (1996): Zinn-Justin J., Quantum Field Theory and Critical Phenomena, Oxford University Press, Oksford.
Indeks rzeczowy A addytywnosc 289, 416, 665 entropii 665 aksjomat 1~11, 14--16,23,27-28, 41,48,224,240,245-246, 349-350,355,357,364 grnpy 240, 245-246 Playfaira 28 wyborn 14--16, 23, 349-350, 355, 357,364 aktywna transfonnacja liniowa 266 transformacja tensora 267-268 alef zero t{o 351, 359, 574--575 a-plaszczyzna 942 algebra Clifforda 196--198, 203-206, 251,591-595,598,605, 631, 994 lorentzowska 592 Clifforda-Diraca 593, 595 diagramowa 908 funkcji na czasoprzestrzeni 924 Grassmanna 197-198, 205-209, 251,630,840,843 infinitezymalnych elementow grnpy Liego 258, 301 Kauffmana 908 komutatywna nad cialem liczb rzeczywistych 924 pol skalamych 237 kwantowa 61, 237, 251, 260, 503, 524--525, 549, 592, 653, 794,924,945,994 kwantowej teorii pola 61, 653, 994 kwatemionow 193, 195, 197, 204, 209, 251, 259, 595, 976 liczb rzeczywistych 69, 74, 195, 197,204,206,259,265, 280, 840, 843, 924 zespolonych 69-70, 74, 82, 84,86, 197,206,259, 265,843
Liego 245, 257-261, 265, 278, 30~302, 310, 377, 398, 507,524--526,541,549, 595, 839-840 grnpy obrotow 0(3) 524 SO(3) 524 ortogonalnej 278 Poincarego 541 symplektycznej 278 unitamej 278 rzeczywista 259, 265 zespolona 259, 265 macierzowa 251, 278, 994 momentow P't'du 260, 524--525, 549 nad cialem liczb rzeczywistych 195,204,924 2" -wymiarowa 204 niekomutatywna ~ 'algebra: nieprzemienna nieprzemienna 237, 924 nieskoiiczenie wymiarowa 631-632, 994 obrotow infinitezymalnych 524 oktonionow 197, 345-346 operatorow kreacji i anihilacji 630-631, 635-637 spinorow 204, 206, 550, 594 stopniowana (z gradacj,!) 208 supersymetrii 197,842,893 tensorowa 23~232, 290, 558-559,908 z dzieleniem 197, 342, 976 nieasocjatywna 8-wymiarowa 197 algorytm 67, 357-359, 656 Euklidesa 67 amplituda calkowita diagramu Feynmana 584,603-605,611-614,621, 625, 627, 638, 642-644, 646--647, 649-656, 781, 845, 849-851,867,873,962 drgaii 457, 536, 545, 868 ekscytonu 868 fotonu 773, 787-788 historii czasoprzestrzennej 639
kwantowa 517, 53~531, 639, 641,644,647,830,849, 925 prawdopodobieiistwa 517, 530, 638-639, 641, 653, 787, 789,830,925,995 rozpraszania Yanga-Millsa 965 strnny 872-873, 895, 965 analiza eliptyczna 984 fourierowska 151, 461, 540 funkcjonalna 994 harmoniczna 536, 540, 548, 744--745 matematyczna 99-100, 101, 209, 283,546,759,890,908, 971 tensorowa 215, 908 zespolona 82, 85, 111, 121, 124, 193,632,994 anihilacja cz'!stki 584--585, 597, 611-612, 630-631,634,636,646--647, 804 pary elektron-pozytron 597, 611, 647-649 antycz,!stka 65, 98, 582-585, 596--598,606,609-612,614,617, 620, 622, 627, 633-634, 655, 786,803-804,854 elektronu ~ pozytron antykwark 99, 609, 612, 617, 650, 712 d 650, 712 antyproton 65-66, 601, 609 wirtualny 66 antysamodualna cz't'sc krzywizny Weyla 902, 960 6-momentu P't'du cz'!stki 941 krzywizna Weyla 902, 959-960 antysymetria 208, 219-220, 222, 225-226, 23~231, 234,251-252, 259-260, 263, 276--278, 281, 29~292, 296, 307-309, 337,418,424--425,542,550, 568-571,618-620,632,859, 901,909,919
Indeks rzeczowy
1058
funkcji falowej fermion6w 569 nawias6w Liego 259 sldadowych 208, 222, 225, 230, 308 tensora 219, 252, 263, 291-292, 296,307-308,337,418, 424,542,859,901 antysymetryczne pole tensorowe 308, 859 wielkosci (tensory) Levi-Civity 251-252,424,542,901 antysymetryzacja 208, 219, 222, 225-226,231,234,252 w zapisie graficznym 251 arcus tangens 88 argument "energii kwantowej" 862, 884 funkcji falowej 486, 494, 568, 591 liczby zespolonej 86-88, 92-93, 124 Arystotelesa czasoprzestrzeil 366-368, 372 dynamika 367 asymetria chiralna 607, 902, 964, 997 czasoprzestrzenna podejscia Schrodingera 554 czasowa 670, 747, 786-787, 790--791,809,812,833, 918, 964,966,998 lewo-prawo 899-900, 902, 964 odbiciowa 605, 607 przestrzenna 554, 684, 964 wzgl«dem odbicia czasu ~ asymetria: czasowa zyglzak 607, 614 atom 18,42,48,50,54-55,70--71, 75,79,81,86,88,90,93,97, 99-100, 101-102, 104, 106-107, 111, 117, 123, 127-128, 131, 134-136, 147, 149, 154, 156, 164, 167, 170, 182, 185, 193,197,199,202-205,212, 228,236,241,244,251,264265,267,271,288,291,315, 320, 322, 335-337, 340, 345, 347,370,382-383,389,396397,406,415,418-419,422, 432-433, 435, 438, 444, 450, 471,478-479,482,487,492, 498,502,505,507,514,518, 523,527,530,534-535,538-539, 544, 546-548, 551, 558, 560,562,567,579,584,587, 595-596,600,603,605,608, 611,614, 626, 634, 649--Q50, 655,657, 661, 671, 675--Q77, 679, 684-685, 69O--Q91, 693--Q94, 703, 706, 709, 711, 715, 723, 725, 729, 731, 737, 739-740, 743, 746-749, 751-752, 755-756, 758, 762, 764, 769, 781,787,790,792,796,801-
-802, 805, 817, 820, 822-823, 829, 832, 837, 840, 844-845, 856, 859, 863, 870-872, 883, 900,902,906,911,923-924, 929,931,933,940--941,954, 959-960,964,972-973,988, 995-997, 1001, 1003-1004 klasyczny 433, 471, 539, 546-547,739,871,941 w«gla 729, 749, 973 wodoru 546-548, 551, 600, 650, 820,911,988,1001,1004 zelaza 706
B baza przestrzeni wektorowej 194, 217,256,259,266,331,620, 904 dualna 280--281 ortogonalna 206, 275, 277, 528, 655 ortonormalna 275, 517, 768, 901, 903, 910 pseudoortonormalna 275, 277 spinorowa 903 stan6w spinowych 905, 917 ,B-plaszczyzna 942 biegun funkcji 80-81, 177, 954 poludniowy kuli 38, 141, 159, 954 p61nocny kuli 159, 954 bozon 98-99, 527, 546, 567-571, 601,605--Q07,61O--Q14,617--Q18, 621--Q22, 629--Q31, 655, 664,713,715,839-841,876, 895,911,924,931 cechowania 606, 612--Q14, 621--Q22, 713, 715 Higgsa ~ cz~stki: Higgsa W 98-99, 527, 546, 567-571, 601, 605--Q07, 61O--Q14, 617--Q18, 621--Q22, 629--Q31, 655, 664, 713, 715, 839-841,876,895,911, 924,931 W+ 612, 713 W-607 X 601 Z 98-99, 527, 546, 567-571, 601, 605--Q07, 61O--Q14, 617--Q18, 621--Q22, 629--Q31, 655, 664, 713, 715, 839-841, 876, 895, 911,924,931 brzeg czasopodobny 695, 883-884, 887, 910 czasoprzestrzeni (klasyczny) 226,428, 466,693--Q96, 739-740,747,883-884,889 domkni«tego kola jednostkowego 213, 228-229 kuli Blocha 765 obszaru 169-170,226-229,427, 694,719,739
osobliwy 694-696,739-740,747 przestrzeni 149, 213, 427-428, 466, 693-{j96, 711, 719, 739-740,747,765,782, 883-884, 888-889, 906, 955,966 rozmaitosci 149, 883 powierzchi bocznej walca 228 3-przestrzeni hiperbolicznej 694, 966
C calka 126, 223, 362, 465, 468, 553, 628, 632, 638--Q39, 641--Q42, 646--Q47, 651, 655, 781, 838, 951-952,970,998 dzialania 465 formy 223, 362, 465, 468, 553, 638--Q39, 998 funkcjonalna ~ calka: po drogach hiperfunkcji 171-172 l-wymiarowa 224 nielokalna 434 nieoznaczona 116, 123 nieskoilczenie wymiarowa 632, 646 osobliwa 646 oznaclOna 126 po drogach 362, 465, 468, 553, 638--Q39, 641--Q42, 646, 655, 781, 970, 998 po konturze 951 rozbiezna 628, 642, 838 stacjonarna na linii geodezyjnej 307 wzdluz krzywej 305 zbiezna 628, 632, 642, 838 calkowanie 100--100, 101-102, 114, 117,119-119,120--124,126, 131, 162, 171-172,223-224, 231,282,302,305,422,429, 453, 639, 644-646, 739, 750, 782,794,818,891,948-949, 952, 962, 964, 970, 977, 994 hiperfunkcj i 171-172 po drogach 122, 131, 646, 739, 750, 891, 952, 970 po konturze 120--121, 124, 126, 171-172,646,949,952, 962 po krzywej 223, 305, 794 po p-wymiarowej przestrzeni 223 zespolone 120, 124, 126, 131, 646 cechowania koneksja 312-313, 337-338, 430, 432, 434, 495, 621, 623, 713-714,748,905 krzywizna 337, 429, 432, 623, 714 niezmienniclOsc 431, 467-468 pole 239, 337, 429-430, 432-435,495,594,613,634, 710,712,714,905,962
Indeks rzeczowy relacje 239 transformacja 431, 433, 468, 495,600 cechowanie 239, 279, 312-314, 337-338, 429-435, 467-468, 495,594,600,606,612-614, 621-624,626,634,654,710, 712-716,748,895,905,962-963, 9Q5-996 nieabelowe 614, 621-622, 710, 712,716,963 zalezne od drogi 434 chaos 659, 698-699, 726, 775 kwantowy 775 chiralne aspekty slabych oddzialywan 935 zmienne Ashtekara ~ zmienne: p~t1owe
cialo doskonale czame 479-480, 500, 675,697,717,751,792 liczb p-adycznych 364 rzeczywistych 194-195, 204, 215, 318, 343, 347, 361, 843,921,924 zespolonych C 235, 361 skonczone 99, 341-343, 347, 361, 379, 450, 464, 678, 922 IF, 99, 343 IF, 342 1F8344 IF 342,922 iF 343 stali 350,479,569,659,708,751 superalgebry 840 ciemna energia 442, 742, 746, 750, 984 gwiazda MicheJla 678 materia 742-743, 750, 983 cieplo 660-661, 701, 883 wlasciwe 701, 883 ujemne czamych dziur 883 ci~cie (sekcja, przekr6j) 25, 36, 39, 47,58,70-71,95-96, 114-115, 136, 147-148, 170, 185-186, 201,221-222,277,287,318-320, 323-328, 333-336, 347, 352, 362, 370-371, 386-387, 396-400,405-406,410,430, 561,563,566,576,593,628, 649, 678-679, 682-683, 688, 711,715,718-720,766,796-797,807-808,817,830,834, 838, 845, 847, 868, 906-907, 910, 927, 929, 933-934, 939-940, 943, 949-951, 957-960, 962, 966, 975, 977, 981 holomorficzne struktury wi~zki 959 wi¥ki 318-320, 323-327, 333, 336,352,362,370-371, 410,430,834,957,959
ci~gle 318-320, 323, 362 Galileusza 371 holomorfiezne 325, 957, 959 homomorficzne 957 horyzontalne 333 lokalnie 333 nieci,!gle 362 stale 333, 336, 957 zerowe 320, 324, 333 cisnienie 436, 442-443, 659, 664, 678-679,689,984 atmosferyczne 664 termiczne 679 wewn~trzne materii 678 zdegenerowanych elektron6w 679 neutron6w 679 continuum 23, 68 hipoteza 23 uog61niona Cantora 364 moe 355 cykJoida 730 Friedmanna 730 czama dziura 391, 444, 446, 658, 663,671-672,677-686,694-699, 701, 703, 712, 726, 730-733, 736-737, 740, 747, 771, 785, 791-792, 794-795, 797-801,803-812,879-883,886-887, 891, 893, 896, 915, 972, 1004, 1007 naladowana 799, 896 rotuj,!ca 804 Schwarzschilda 694, 797-799, 915 teorii strun 880-883, 886-887, 891,915 w czasoprzestrzeni 5-wymiarowej 880 czas 60, 347, 414-415, 553 absolutny 367, 370-371, 386-387, 400, 431-432, 553, 696,817 fizyczny 11, 57, 59-60, 64, 66, 70-71,77,211,312-313, 315,343,363,366-367, 369,381,385,388,390-391, 395, 429, 437-438, 455,474,495,500,505, 526, 551, 553, 648, 654, 657-658, 670, 683, 694, 701, 718, 730-731, 734, 738,751-752,763, 775, 798-799,802,810, 823, 846, 848, 861, 872, 877, 885,907,921-922,925927,930-931,940,959, 964,977,989,1000,1003 Plancka 480, 675, 685-686, 771-772,825,827,842,847, 862, 864, 867, 869, 871, 972,974 Schwarzschilda 680, 797-800, 832 skierowany do tylu 640, 925
teorii wzgil,dnosci 11, 60, 177, 196,268-269,283,293-294, 306, 313, 366, 383, 388-392,396,403,415, 422,464,467,471,475, 483, 490, 553, 579, 582, 589, 591, 625, 638, 650, 658,678,738,751,786, 802, 858, 873, 880, 899, 910, 917, 922, 925, 930, 972,994,1000,1006 wlasny obserwatora 440, 801 wlasciwy 59, 64, 71, 211, 286, 366,375,386,391,416, 431,483,508,525,540, 568, 577, 589, 643, 669, 703, 724, 738, 746-747, 763, 798, 886, 929-930, 945,956,964,1000 zespolony 69-71, 74, 80, 86, 118, 121,162,176,227,235, 272-273,275,325,330-331,334,337,397,433, 502,506,515,517,528, 554-556, 639, 739, 773, 795, 797, 799, 843, 925-926,928-930,936,940, 942-943,945,949,955, 958-960, 996 zewn, grupa: SU(3) ortogonalna 241, 248, 265, 268-269, 271-272, 276-278, 282 Poincarego 265, 398-399, 419, 540-541, 543-544, 738, 930-931,934, 967 p6tprosta 264-265, 277, 930 niezwarta 264 zespolona 265, 277 zwarta 264-265, 277 prosta 240-242, 245-246, 257, 261, 264-265, 268, 277, 279,301,526,623,716, 845, 886, 930, 999 ci~gta 245, 264, 301, 999 klasyczna 279 skonczona 245-246 przeksztalcen 239, 930, 933-934 przesuniyc pocz~tku ukladu (4-wymiarowa) 397-398 pseudoortogonalna O(p, q) 269 pseudosymplektyczna Sp(p, q) 277 pseudounitarna U(p, q) 275, 277 renormalizacji 647, 649, 656 ruch6w euklidesowych 265, 397-398,930 rzeczywista 241, 252, 258, 265, 269, 277-279, 281, 309, 338, 398, 620, 915 skonczona 53, 97, 99, 241-242, 244-246, 258, 260, 270, 301-302,647,649,739 S1-(2, iC) 278 SL(n, JR) 280 SL(n, JR) 252 SO(I) 708 SO(2) 278, 707-708, 748 SO(2,1) 278 SO(2,4) 886 SO(2m) 279 S,9(2m + 1) 279 SO(3) 114,280 SO(3) (obrotow wlasciwych) 241-245,247,265,278, 280,300,524-527,539, 549, 707 SO(6) 885-886 SO(n) 269, 281 SO(p, q) (pseudoortogonalna) 269,934 Sp(l) 278 Sp(I,I) 278 Sp(l, iC) 278 Sp(m) 279 Sp(m,m) 309 Sp(n, 0) 277 Sp(p, q) 277-278 Sp(tn) 277 Sp( n, iC) 277 Sp(!n, -l:n) 277-278 sporadyczna E, 245, 623 sporadyczne 245-246, 276, 623, 876
skonczone proste 246 SU(I,I) 278 SU(2) 278, 613, 621, 623-626, 904,915,937 SU(2) x U(I) 613, 621, 623-626, 840 SU(2) x U(I)/Z, 625 SU(2,2) 278 SU(3) 617-618, 620-624, 626, 652,963 SU(3) x SU(2) x U(I)/Z6 623, 626, 840 SU(5) 623, 709 SU(lO) 623 SU(m + 1) 279 SU(n) 275, 278, 281 SU(p, q) 275 symetrii 239-244, 246, 251, 257, 265, 269, 276, 278, 282, 309,315,323,340,390, 397-399,419,437,544, 613-615, 620-624, 626, 649,652,654,687-688, 707-709,711, 716, 738, 741,748,787,835, 839, 845, 866, 875, 885-886, 904,924,930-931,935, 963,966,996-997 czasoprzestrzeni Galileusza 390 cz~stek etementarnych 623, 708, 716, 839, 866, 875, 996 geometrii Minkowskiego 390 hiperbolicznej 3-przestrzeni 269 kwadratu 240, 243-244, 257 modelu standardowego 622-624, 626, 649, 708, 875,924 oddzialywan silnych 621, 623, 626 o zlej sygnaturze 741 przestrzeni Euklidesa ]E' 397-398 Minkowskiego 390, 397, 399,419,437,738, 931 n-wymiarowej 252 promieni swietlnych 930 wektorowej 246,251,282, 620 sfery Riemanna 269, 398, 966, 997 teorii wzglydnosci 257, 265, 399, 738 wewn jednostki: Plancka Plancka (Plancka-Wheelera) 396,415,526,649,663, 685-686,699,727,791, 797,799,837,841-842, 856,862,864,869,871, 874,880,918,972-973 Stoneya ---> jednostki: Plancka jednowymiarowa (-y) przestrzen euklidesowa 367
rozmaitosc 223 skierowana 228 zespolona 929 oscylator harmoniczny 545 lowisz-Slonce, uklad 444
K kanoniczna grawitacja kwantowa ---> kwantowa: grawitacja kanoniczna postac macierzy 257 transformacji Iiniowej 257 procedura kwantowania 474 regula komutacji ---> kanoniczna: relacja komutacji relacja komutacji 474, 638, 924, 945 kqt Brewstera 549 Cabibbo 622--623, 997 fazowy zespolony 634 hiperboliczny 32-33, 35-36, 38-39,41-42,44, 145,270, 408-409,796 pomi«dzy krzywymi 33, 411 slabego mieszania ---> kqt: Weinberga srodkowy 408, 798 Weinberga 614, 622-623, 997 kierunek czasopodobny 390, 399-401, 407,419,929 czasu 59, 64, 131, 159, 185, 187, 286,293,298,368-369, 375, 377, 379, 384, 390, 399-401,407,419,462, 473-474,482,491,530, 532-533, 535, 544, 560, 562,564,566,572,576, 603, 610-611, 658, 660, 668, 670, 685, 693, 699, 706, 714, 726, 769, 788-790, 793, 797, 801-802, 844,873,910,916,921, 924-926,929,943,960961,968,977,986,1000 czysto przestrzenny 401 Majorany 528, 535, 539, 869, 968 promienia swietlnego 339, 384, 410, 775, 929, 940, 943-944,968 przestrzennopodobny 400, 404, 895,929 przestrzenny 64, 367, 381, 384385,400-401,404,407, 436,474-475,482,485487,528,530-531,548, 572,576,611,895,912, 925,929 spinu 203, 522, 529-531, 534-535, 539, 557, 560-561, 563-564, 572, 574-575,
603,607,762-763,766-770,869,899,910-912, 925-926, 940 zerowy 107, 184, 399, 401, 409-410,535,693,929,968 klasa 50, 61, 76,106,108-111,117-118,121-122, 124, 129, 131, 142-143, 150, 157, 165, 168, 170-173, 179-181, 183, 199, 213, 215-216, 226, 231, 237, 245-246,261,264,276-277, 279,283,308-309,312,327, 342,348,352,355-356,360, 391,419,421-422,432-433, 435,439,447,455,460,463-464,471,474-477,480,482-484,488-491,500,508,514-515,531-532,536,539-540, 542,545-547,550-551,557, 561-562,565-566,569,572-576,578,586-588,606,626626,627--628,632-634,637-641, 643-644, 646-647, 656, 658-659,661,665,670,683, 687,693,701,730,739-740, 748, 752, 757-759, 761-764, 773-774, 779, 786-787, 803-804,807,812,815,822,825, 827-828, 830-831, 833-834, 848,851-852,854-856,858-859,861-863,868-869,871-872, 875, 885, 887, 895, 899, 901-902,904-907,910,915, 917,922,929,931,941,944-945,951,959,963,965,969-970,971,991-992,996-997, 999 homologii 122, 124, 951 homotopii 122 rownowaZnosci 170, 342, 348, 432,439,693,764,931, 951 metryk 432, 693, 931 rozniczkowalnosci 118 wszystkich klas 111, 172, 246, 279,348,355-356,477, 540, 562, 572, 574, 634, 638-639, 661, 670, 683, 852,869,904,917 wszystkich zbiorow n 356 klasyczna teoria czarnych dziur 683, 740, 804, 807 pola 421, 435, 464, 474, 488, 514-515,557,632--634, 638-639,641,739,779, 787, 803, 815, 862, 885, 901,910,929 w lO-wymiarowej przestrzeni 862 klasyczne przejscie graniczne 872 reguly komutacji 787, 855 urzqdzenie pomiarowe 561, 773-774, 831
1071
Indeks rzeczowy
1072
zachowanie 213, 419, 477, 490, 562,572,641,644,701, 758,774,779,787,827 klasyfikacja grup 245-246, 999 prostych 245-246, 999 widm atomowych 997 kohomologia 174, 926, 949-954, 956,960,968 cecha 926, 952, 968 snop6w 174,926, 949-951,953-954, 956 pieIWsza 949-951, 956 holomorficznych 174 wyZszego rzydu 956 kolo jednostkowe 142-143, 146, 158,167,213,227-229,407 domkniyte 213, 227-229 magiczne 344-345, 363 Poincarego 33, 138, 407 "zamkniyte" 146, 664, 698, 765 kompleksyflkacja 265, 269, 279, 281,396-397,399-400,419, 795-797, 960 czasoprzestrzeni 797, 960 grupy 265, 269, 279, 281, 397 przestrzeni396, 795-797, 960 komutator 258-259, 299, 301, 304, 308-310,336,340,473,653, 840,855,894,945-946 algebry Liego 310 grupy 258-259, 299 koncepcja inflacyjna 704, 706, 718, 722-724, 731, 743 "wielu swiat6w" 463, 508, 731, 755, 757-758, 775, 777-778, 829, 991-992 kondensacja Bosego-Einsteina 569,751 grawitacyjna 676, 698 koneksja 287, 290--294, 296, 298-299, 301-309, 312-313, 331-338,362,371-372,378, 381-382,391,430-434,438, 495-496,621,623,713-714, 748,874-875,903-905,916, 919,922,996 bez torsji 291. 296, 298, 301-304,306,336,372,378, 391 cechowania 312-313, 337-338, 430,432,434,495,621, 623,713-714,748,905 dualna wobec D(l) 623 Christoffela 306 elektromagnetyczna 313, 337, 432,434,495,621 r ~ koneksja: spinowa Levi-Civity 306, 308 kauzalna 922 metryki 305, 307-308, 391, 874-875, 903 Riemanna 306, 309, 874 SL(2, iC) 919
spinowa 903, 905 wiijZki 312, 331-334, 336-337, 371-372, 430-433, 496, 621,623,713,904,996 stycznej 332, 334, 336 w zapisie wskainikowym 336 zalezna od drogi 334, 336 wsp61rzydnosciowa 290--291, 304 z krzywiznq 291-292, 298, 301, 304, 336-337, 381, 391, 431,438,623,714,904 z symetri'l D(l) 337, 433 z torsj'l291, 296, 298, 301-304, 306,336,372,378,391 bez krzywizny 291, 298, 301 zalezna od drogi 291-292, 298, 334, 336, 433-434 konforemne (-y) diagramy czasoprzestrzenne 693-695, 797-798, 801 geometria 32-34, 36, 38-39, 43-44,137,146,406-407, 693, 749 model plaszczyzny hiperbolicznej 33 obraz 32, 37, 138, 693, 792 odwzorowanie 33-38, 43-44, 121, 137-139, 176, 406, 689,693 reprezentacja geometrii hiperbolicznej 36, 407 przeksztalcenie 138-139, 142, 930,934 sfery 142, 934 przeskalowanie 431, 932 r6wnowainosc 145 ruchy 138-139, 530 splaszczenie czasoprzestrzeni 443 struktura 140,145, 177,283, 411,432,693,930,932, 934,936,959 tensor 443, 734, 901 teoria pola 432, 883, 955 transformacja 138, 142, 145, 411,431,793,935 konstrukcja nieliniowego grawitonu 959, 961-962,964,1001 Warda 962-963 kontrakcja 219, 230--231, 234, 272, 274,289,303,411,441-442, 730,770,801,941 FitzGeralda-Lorentza 411 tensorowa (transwekcja) 219, 230,274,289,303,801 wskaznika 230, 272, 289, 770 kontur calkowania 120--121, 124, 126,171-172,646,948-949, 952,962 zamkniyty 124, 126, 171 kopia czasoprzestrzeni 924 eksperymentatora 753
kosmiczne defekty topologiczne 709-710 kr6tkofalowe promieniowanie tla ~ promieniowanie: reliktowe kosmologia 28, 45, 60, 442-443, 445, 448, 539, 548, 670--672, 674-675, 684, 687-690, 694, 696, 698, 701, 703-704, 712, 716-718,720,722-724,727, 730, 734-735, 740--743, 745-746, 749, 785, 817, 826, 828, 830--831, 841, 864, 866, 883-884, 886, 915, 966, 971-974, 978, 982-984, 1008 chaotyczna 749 inflacyjna 690, 698, 704, 716, 718,720, 722-724, 727, 741,746,830,841,983-984 kwantowa 548, 706, 723-724, 741,745,749,817,828, 830,834,971,974,978, 982-983 kowariancja lorentzowska 974 kowektor 188, 216-222, 230, 233-235, 237-238, 272, 274, 288-289, 303, 307, 312, 326-327, 332, 416, 436, 454 holomorficzny 235 kreacja 551, 584-585, 629-631, 633-637,646,648-649,653, 655,809-810,839,867 antyczqstki 584-585, 634 cZ'lstki 584-585, 629-631, 634, 636, 646, 653 krysztal nieliniowy 577 typu Mi:issbauera 833 kryterium estetyki 975, 987 Poppera 981-983 sp6jnosci matematycznej 637, 975 krzywa 33, 42-43, 48, 76, 95, 101, 104, 106-107, 114-116, 120--122, 127, 136, 138, 149, 168, 170,175,185,190,202,217, 223, 226, 228-229, 268, 283, 285-288, 291-294, 296-298, 301-302, 304-307, 309-311, 312,319,322-323,325,332-337,362,371-372,374-375, 378,381-382,384, 389-391, 394-396,404,411,421,429-432,436,438-441,443,448, 451-453,465,467,471,475, 480, 536, 582, 623, 640, 652, 665-667, 672-673, 682-683, 688-689, 691-693, 697-699, 714,717-719,721,730,734-739,741,743-746,749,751, 786,792-794,802, 807, 809-810, 814, 817, 833, 841-842, 844,847,852, 858-859, 861, 870--872, 874, 877, 880--881,
Indeks rzeczowy 885, 893, 895-896, 899-906, 910,921-923,928,935, 948-949, 956-961, 965, 972, 978, 982,984,994,1001,1006 analityczna 121, 168 calkowa pola 114, 302, 396, 438 calkowania 223, 305 czasopodobna 389-391, 395, 640,718-719,735,738, 802,870,872,895 zamkni~ta 391, 718-719, 870 dzwonowa 665-666 gladka 138, 293-294, 298, 305, 640,739,858,906 holomorficzna 168, 190, 335, 852,872,877,957,959 homologiczna 122 homotopiczna 122 horyzontalna 332-335 racjonalna ~ krzywa: wymierna styczna 43, 106, 138, 228, 285, 287-288, 293-294, 296, 302, 332-333, 384, 389, 452, 640, 666, 737, 844, 895,1001 wymierna 877 wyZszego rz~du 844, 859, 877, 1006 zamkni~ta (l-rozmaitosc) 149, 168,228,391,448,714, 718-719,741,870 skierowana 228 zerowa na lorentzowskiej wst~dze swiata 872 zespolona 120, 168, 175, 228, 325, 335, 396, 852, 877, 896, 928, 959-960 krzywizna 42, 48, 101, 104, 107, 291-293,296-298, 301, 304, 307, 309, 322-323, 334-337, 372, 378, 381-382, 391, 429, 431-432,438,440-441,443, 467, 623, 682-683, 688-689, 692,698,714,717,721,734-739,741,744-746,749,807, 809-810,814,833,842,844, 859,861,870-871,885,895, 900-902,904-906,910,922-923, 948, 959-960, 965, 982, 984 cechowania 337, 429, 432, 623, 714 czasoprzestrzeni 372, 381, 391, 438, 440, 682-683, 689, 734,736-737,807,810, 814,833,842,859,861, 870-871,885,904,922 duza w skali Plancka 871 dodatnia 297-298, 322-323, 441, 688, 698, 741, 982, 984 dualna 623, 902, 948, 959-960 funkcji 104, 107, 335, 844, 906, 922-923 Gaussa 42, 296, 298 generyczna 895
koneksji 291-292, 298, 301, 304, 336-337,381, 391, 431, 438,623,714,904 wiljzki 336-337, 431, 623 krzywej 42, 48, 101, 104, 107, 291-293,296-298,301, 304,307,309,322-323, 334-337,372,378,381-382,391,429,431-432, 438, 440-441, 443, 467, 623, 682-683, 688-689, 692, 698, 714, 717, 721, 734-739,741,744-746, 749,807,809-810,814, 833, 842, 844, 859, 861, 870-871,885,895,900-902,904-906,910,922-923,948,959-960,965, 982,984 linii swiata 372, 381, 432, 910 przestrzeni podstawowej 859, 861 przestrzenna 323, 372, 381, 391, 438, 440, 443, 682-683, 688-689,692,698,717, 734, 736-737, 741, 744-745,807,810,814,833, 842,844,859,861,870-871, 885, 895, 901, 904, 906,910,922,948,959-960,965,982,984 dodatnia 323, 688, 698, 741, 982,984 ujemna 688, 741, 965, 982 Wszechswiata 689, 717, 744, 965,982 zerowa 682, 717, 870, 895, 906,982 Ricciego 292, 381, 440-441, 443,734-737,859,861, 910,959 skalarna 291, 441, 467, 721 wewn~trzna powierzchni 904 ujemna 297-298, 688, 741, 746, 965,982 Weyla 381, 432, 443, 683, 734-739,749,809-810,833, 900-902,910,959-960,965 antysamodualna 902, 959-960 plaska w sensie Ricciego 959 wiljili 334-337, 381, 431, 623, 735,737 zerowa 107, 682, 688, 717, 735, 737, 870, 895, 906, 960, 982 zewn~trzna 904 kumulacja grawitacyjna 737, 827 informacji 807 kwadrat 24-25, 295 dlugosci 24-28, 30-31, 42, 50-51,59,469,509,519, 818,859,918 hiperboliczny 39-40, 43
modulu 177, 494, 514, 517, 555-556, 638-639, 758-759, 762-763, 777, 788-790, 831-832,966,995 funkcji falowej 494, 514, 555 odleglosci metrycznej 862 wiljzki wektorowej 326 wlasnosci symetrii 239 kwant 47,60-61,64-66,68,77,86, 98-99, 117, 121, 156, 158-159, 161-162,172-174,199,204, 237-238,247,251,254-255, 257,260-262,271,273-276, 278, 282, 309, 327, 331, 339, 347,362-364,382,384,389, 396,399,418-420,421-422, 426,430,433-434,439,446, 457,464-469,471,474-486, 489-498,500,502-502,503-518, 520-528, 530-532, 534, 536,539-542,544-551,552-558,562-576,578-580,582-592,595,598,600,604,609-610, 612-616, 618, 620-622, 625-626,627,629-630,632639,641-644,647,649-653, 655, 658, 660, 663, 671, 679, 683, 685, 701, 704, 708, 715, 721,730,734,738-740,742-743, 747-749, 751-755, 757-764, 768, 771-777, 779-782, 784-792,794,803,805,807-809,812-817,819-834,835, 837-838,849,851-852,854-863,866-869,871,873-874, 879-880, 883-885, 889, 892, 894-895, 898-907, 909-913, 915-919, 921-922, 924-925, 927,929-930,936,944-946, 960-961, 964-966, 970-970, 971-974,976,978-979,985-986, 991-998, 1000-1003, 1005, 1007 cechowania 612, 621 dzialania 61, 174, 503, 507, 512, 635,658,755,762 energii 61, 66, 476, 500, 524, 540, 545-548, 584-586, 589-590, 635, 650, 660, 671, 721, 742, 748, 803, 813,819,858,862,867-868, 884, 973-974 energii Plancka 545, 862, 867, 974 pola elektromagnetycznego 422, 426,481,604,612,655, 974 grawitacyjnego ~ grawiton kwantowa (-y, -e) algebra 61, 237, 251, 260, 503, 524-525, 549, 592, 653, 794,924,945,994 chromodynamika (QeD) 616, 621,652
1073
Indeks rzeczowy
1074
elektrodynamika (QED, EK) 60-61, 65, 98-99, 158, 162, 199, 204, 262, 275, 282, 327, 331,347,362,382,384, 389,399,419-420,422, 426,430,433-434,446, 457, 464-465, 468-469, 471, 474-476, 478-480, 484-485,489-490,492-495,500,503-510,513-515,520,523,525,528, 530, 534, 544--548, 550, 552-555, 557-558, 562-569,571-576,578,580, 582-585, 588, 590--592, 595,600,604,610,613-615,620,622,627,632, 634-635, 637-639, 641-642,644,647,649-650, 652, 655, 660, 663, 671, 683, 685, 708, 721, 730, 734, 739, 747, 749, 751-755,757-758,760,762, 764, 768, 771, 773-777, 779-782, 784--792, 803, 808,812,816,820--821, 823-826, 828-833, 837-838,851-852,854,857-859, 861-863, 868-869, 871, 873, 889, 895, 898, 900, 904--906, 909, 913, 915-918, 921-922, 924, 927,929,936,945,960, 971-974, 978-979, 985-986,991-993,995,998, 1000, 1002, 1005, 1007 fizyka 47, 61, 65, 98-99, 199, 257,273,282,309,331, 382, 457, 471, 476, 485, 493, 504--505, 510, 548, 571,592,604,638,660, 730,751-752,759-760, 774,784--785,794,826-827,834-834,835,852, 857,902,921-922,927, 936,945,965,972,974 cZllstek elementamych 98-99, 199,660,927,974 geometria 237, 327, 331, 503, 528, 530--532, 534, 734, 740,760,789,794,828-830,833,858,869,898, 905,913,915,918,921-922,929,936,945 czasoprzestrzeni 237, 740, 794, 830, 833, 858, 921-922,929,936 grawitacja 60-61, 238, 582, 650, 663, 671, 683, 685, 730, 734, 740, 749, 784--787, 790--792, 803, 815, 817, 826, 838, 856-858, 871, 873-874, 880, 889, 898, 902,904--907,913,915-918,921-922,929,936,
973-974, 978-979, 986, 1000, 1007 kanoniczna 898, 916-917 informacja 471, 494, 547, 557, 573-576, 580, 683, 762, 771, 777, 782, 812, 925, 995 informatyka 550 interferencja 433 komputer 555, 574, 576 komputeryzacja 574 kryptografia 574, 576 mechanika ~ mechanika: kwantowa wielu cial 552 nieoznaczonosc 500, 506, 819, 827-828,929,973 obliczenia 251, 504, 546, 557, 580,583,649,742,789-790,874,880,1000 probabilistyka 66 procedura R 117, 261, 309, 396, 464, 474-475, 493, 503, 505, 507, 509, 518, 546, 553, 567, 572, 578, 583, 632, 647,650,658,740,755, 757, 759, 762, 772, 786, 790, 826-828, 830, 871. 873, 922, 929-930, 974, 991 U 117, 261, 309, 396, 464, 474-475, 493, 503, 505, 507, 509, 518, 546, 553, 567, 572, 578, 583, 632, 647, 650, 658, 740, 755, 757, 759, 762, 772, 786, 790, 826-828, 830, 871, 873, 922, 929-930, 974, 991 rachunek zaburzeii 874, 892, 1000 redukcja stanu ~ kwantowa: procedura R rzeczywistosc 61, 430, 471, 479, 484-485, 492-493, 504, 513, 575, 588, 604, 627, 638, 751-753, 759-760, 763-764,771,775, 781, 809,835,851,869 spl'ltanie 389, 507, 552, 557-558, 563, 565-566, 571, 576, 578,753-754, 768, 771, 809,830,973 superpozycja 508, 517, 520, 522, 540,546,604, 614-615, 620,632,637-639,660, 739,752-753, 773-777, 780--781, 813-814, 819, 821-824,828-830,905, 917, 925, 992, 995 teleportacja 571-576, 751, 925 teoria grawitacji 61, 582, 650, 671, 683, 685, 734, 785-787.
792, 803, 815, 838, 856-858, 873-874, 880, 889, 902,904--907,913,915-916,918,921-922,929, 936, 973-974, 978, 986, 1000, 1007 informacji 471, 547, 683, 777, 782 pola (KTP) 61, 66, 77, 121, 158, 172, 257, 273, 362, 396, 399, 422, 426, 446, 464-466, 469, 475, 492, 514,526,546-548,567, 583-584,590,600,610, 625-626, 627, 632, 635, 638, 649, 653, 671, 715, 738-739,742,759,785-786,792,803,808,815, 832-833, 857, 859, 873-874, 880, 883, 895, 901, 907,910,919,921-922, 925,927,929,936,971, 973-974, 978, 994--995, 998, 1002 bozonow 546 fotonow 546 Maxwella 384, 547, 600 renormalizowalna 975 spojna i skoiiczona 872 w zakrzywionych przestrzeniach 792, 978 pol oddzialuj'lcych 627 spinu 61, 278, 567, 590, 913, 998 kwantyzacja 422, 474-476, 554, 629, 638, 650, 787, 838, 871, 898-899, 904, 924, 929, 945, 1001 geometryczna 475 momentu pt;du 1001 pola grawitacyjnego 422 teorii Einsteina 650, 838, 898-899, 1001 kwarki 65, 99, 343, 527-528, 567-568,591,601,608,612-613, 615, 617-624, 650, 713, 820, 832, 836-837, 841, 855 b 99, 343, 608, 619-622, 841 bezmasowe 713 c 65, 527, 608, 618, 620, 624, 713,836 d 608, 617-618, 620, 650, 713, 837 denny ~ kwarki: b dolny ~ kwarki: d dziwny ~ kwarki: s gomy ~ kwarki: u koIorowe 619-622, 624 podstawowe 620 pit;kny ~ kwarki: b powabny ~ kwarki: c prawdziwy ~ kwarki: t s 65, 99, 568, 608, 612, 615, 617-619,622,624,841 smakowe 620
Indeks rzeczowy szczytowy ---+ kwarki: u t 65, 620, 624, 713 u 608, 617-618, 620-621, 624, 713 kwaternionowa mechanika kwantowa 364 reprezentacja obrotow 278 kwaterniony 193-204, 209, 251, 259, 278, 322, 364, 591, 595, 922,976 podwojne 197, 278
L lagranzjan 450, 452, 454--456, 464--469, 474, 628, 637-639, 642, 651-654, 859, 882, 969-970 materii 467-468 Maxwella 468-469 pola 454, 466, 468-469, 639, 652,859 strony 859 laplasjan 190, 475, 537, 591, 864--865 2-wymiarowy 190, 865 liczba 5,10 barionowa 489, 550, 584, 686, 698, 742, 983 calkowita Cartana 280 e 10, 13, 15, 22-23, 35, 42-43, 50-68,69-75,77,81-83, 84-85, 88-94, 96, 98-99, 101-102,111-112, 118, 124, 126, 131, 134, 145, 148, 152, 156, 161-162, 169,173,175,177-178, 195-201, 207-208, 211, 213, 215-216, 219, 235, 241, 246-248, 252, 254, 256-257,259,262,264-265, 274, 276-277, 280, 294--295, 318, 322, 324, 330-331,338, 341-351, 353-355, 358-359, 361, 363-364,383,393,411, 420, 430, 449-449, 450, 464,471-472,474,477, 486, 494, 503, 506, 509, 511,528,530,532,535-536, 538-539, 550, 555-556, 568-569, 574, 584, 586,588,631-632,637, 639,643,649,651,658, 664-665, 672, 675, 682, 687,720,733,742-743, 762,770-771, 800, 806, 830, 838, 843, 846-847, 851, 855-856, 860-861, 866,868-869, 874, 877, 881-883,885,904,908, 911-912,918,921,924--925, 927-929, 935-936, 940, 963, 966, 983, 991, 995-997, 1000 elementow algebry supersyrnetrii 893
falowa 477, 486, 503, 510, 539, 554--556, 568-569, 588, 946,963 i 66, 193,474,506 krzywych wymiernych 877 kwantowa 61, 65-66, 68, 86, 98-99,262,331,433,464, 489,503,509,514--515, 528, 530-532, 534, 539, 548, 550, 557, 568, 571, 574, 584--585, 588, 604, 632, 637, 639, 649, 743, 762,830, 851, 868-869, 885, 894, 911, 925, 929, 978, 994--996 bozon/fermion 99, 571 leptonowa 612 elektronowa 612 muonowa 612 taonowa 612 OJ (Cantora) 68 11 55, 58, 93 p«tli diagramu Feynmana 845, 873 stron 850, 881 skladowych spinora 528, 595, 893 stopni swobody 236, 363, 460, 464, 536, 554--556, 671, 676,848,861,866,880-882, 884--885 urojona 42-43, 92, 94--95, 124, 175, 193, 198, 404, 432, 474,506,658,796,798 wymiarow czasowych 60, 894, 936, 940 przestrzennych 60, 450, 894, 936,940 liczby calkowite 13, 50-52, 54, 60, 62, 64-65,67,87-90,92,96, 98, 108, 111, 115, 125, 131, 152,161-162,177,199, 211,215,241,248,254, 262, 275, 280, 341-343, 348, 350-352, 393, 460, 527-528,537,543,550-551, 743, 864-865, 881, 911-912,918,921,930 modulo p 341, 921 dziesi«tne 52-54, 67, 354, 364 hiperzespolone 193 kardynalne 348-350, 355 nieporownywalne 349 nieskonczone 348-350, 355 skonczone 349-350 kwadratowe 10, 43, 52-53, 55-56, 67,69,71-74,193,248, 253-254, 348, 358, 588 kwantowe 61, 65-66, 68, 86, 98-99,262,331,433,464, 489,503,509,514--515, 528, 530-532, 534, 539, 548, 550, 557, 568, 571, 574, 584--585, 588, 604,
632, 637, 639, 649, 743, 762,830,851,868-869, 885,894,911,925,929, 978, 994--996 addytywne 65, 68, 98, 584--585 dokladne 99 drgan 868-869 dyskretne 61, 548, 550, 639 kwarkowa 99 momentu p«du 528, 539, 548, 550, 869, 911 multiplikatywne 98-99 dokladne 99 przybliZone 98 naturalne 15, 52-56, 62-65, 89-90,92, 112, 143, 148, 193,277,341,346-350, 353,357-359,361,363364,649,686,800,806, 871,885,904,911-912,995 nieparzyste 51-53, 98, 199-200, 204,527,845,911,928, 935,940 niewymierne 50, 53, 55-56, 58, 67,90,134 kwadratowe 55-56, 67 p-adyczne 364 parzyste 51-53, 98-99, 131, 199-200, 204, 276, 361, 911, 928,935 pierwsze 10, 54--55, 64, 69, 85, 131,341-345,348,353, 361, 364, 464, 877, 905, 921,994,999 Porzlldkowe 58, 62-63, 68, 79, 99,102,118,178,247,256, 347,353,364,411,556, 568,674,761 nieskonczone 58, 68, 353 skonczone 58, 68, 353, 761 rzeczywiste 52-54, 56-68, 69-74, 77-79,81-83, 86, 89-90, 92-96, 102-103, 108, 110-111,119,121-122,124, 131, 161-162, 169, 173, 175-176,178,193-195, 197,204,206,215,217, 219,246-247,252,259, 265,268,277-278,280, 318,324,330-331,336338,341,343,346-347, 350-351, 353-354, 361, 385,404,430,496,509, 511,514,516,555-556, 604,639,684,760-761, 765, 796-798, 840, 843, 851, 866, 904, 911, 921, 924--925,928,940,966, 994--996 infinitezyrnalne 60, 346 ujemne 42-43, 48, 58, 62, 64-65, 69,74--75,90,96, 102, 118, 131,159,586,588,643,761 wymierne 50, 52-56, 58, 62, 64, 66-68,69-70,72,77,89-90,
1075
Indeks rzeczowy
1076
134, 161,341,347-348, 350-351,362,912 zespolone 66, 69-74, 77-S3, 84-94,96-97,99,109,118, 121, 124, 126, 134, 141, 145, 148-149, 156, 162, 173,175-176,178,193, 196-199,206,235,240-241, 246-247, 254, 257, 259,265,269,271,274-275, 277-278, 320-322, 324,326,330-331,337-338,343,361,363,411, 433,486,494,498,503, 506,510-511,515,528, 530-532, 534, 554-556, 568-569, 588, 632, 639, 800,843,851,866,896, 905,909,925-930,936-937,939-940,942,945-946,954,994-996 skrycone 0 module 1 331 sprzyzone 82-83, 176, 511, 937 uogolnione 193 Liego algebry 245, 257-261, 265, 278, 300-302,310,398,524-526,541,549,595,839-840 grupy ortogonalnej 278 symplektycznej 278 unitarnej 278 rzeczywiste 259, 265 zespolone 259, 265 grupy 242, 245, 258--261, 264-265, 276, 278, 299-301, 524-526,549,595,839,876 nawiasy 259, 264, 298-300, 302, 304,309,840 pochodna 298--299, 302-303, 307,462 linia geodezyjna 4 geodezyjna: linia quanglementu 575, 926 linia swiata 8, 370-373, 377-378, 380-381,384-385,389,391, 393,395-396,399,401-403, 410,417-418,432,439-440, 542,574,640,682,693,695, 721,732,752,774,797,801-S02,910,943-944 czasopodobna 389, 391, 395, 401,403,417-418,640, 735,802,870,895,910 cz~stki 76, 185, 370-373, 380-381,385,389,393,395-396,402-403,417-418, 510,517,542,559,574, 605--{)06, 611, 613--{)15, 621--{)22, 640, 643,660, 695--{)96, 715, 735, 751, 829,834,867,912,943-944 inercjalnej 371, 402-403, 418
masowej 389, 396, 418, 715, 735,943 fotonu 384, 389, 396, 399, 522-523,532,549,577, 605, 611, 613--{)15, 621, 644-645,648,715 obserwatora 399, 401, 410, 439-440, 579, 696, 797, 801-S02 na diagramie Feynmana 611--{)12,642--{)44,653 przestrzennopodobna 389, 393, 696, 801 spl~tana 558, 577, 910, 914 swietlna 389, 410, 674, 682, 735, 801,895,939-940,944 zakrzywiona 910, 959 zerowa 254, 320, 385, 389, 399, 410, 549, 636, 693--{)94, 715,735,870,895,939940,959 zrodla (czasopodobna) 389, 391, 395,401,403,417-418, 613,640,735,802,870, 895,910 linie sit pola magnetycznego 433-434 spektralne 4 linie widmowe spinowo-sieciowe 906, 925-926 twistorowe 939, 943, 947, 949, 955,958--961,966, 1001, 1006 widmowe 547-548, 551, 674, 751, 892 zerowe 4 linia swiata: zerowa liniowosc 217, 238, 271, 276, 288, 303,506,508,613,632,764765, 773, 784, 851 iloczynu skalarnego 217 kowektorow 217, 288 pochodnej kowariantnej 287 rownaft Maxwella 632 tensora 303 logarytm 35, 73, 84, 88-93, 95, 100, 117, 123-124, 126, 133-134, 136-137,142,167,172,652, 661, 663--{)66, 703, 721-722, 879,882,892 iloczynu 88 liczby zespolonej 73, 88-89, 92 naturalny 35, 90-92, 100, 661, 664,703,892 objytosci przestrzeni fazowej 666, 879 rzeczywisty 92, 134, 137, 167 zespolony 73, 88-S9, 92-93, 123-124, 126, 133, 137 lokalna dodatniosc energii 871 rownowaZnosc grup SU(2) i 0(2,4) 937 struktura grupy 258, 260, 264, 301,316 symetria 308-309, 392, 714, 935 teoria grup ci~glych 258
I:. ladunek antykwarka d 712 elektryczny 64-65, 68, 99, 375, 423, 427-430, 433, 435-436, 467, 489, 584, 597, 605--{)o6, 612--{)13, 618, 634, 636, 643, 647--{)49, 651, 685, 703, 712, 799, 837-S38, 880 bozonu W 612--{)13 czarnej dziury 703 elektronu 65, 68, 99, 430, 489, 597,606,634,636,647--{)49 goly 649 kwarku 65, 99, 618 dolnego 618, 837 morza Diraca 636 pozytronu 612, 648 protonu 65, 68, 430, 606, 618, 712 zerowy 636 kolorowy 621--{)22 magnetyczny 422-423, 429, 467, 547, 600, 710, 712, 800,982 Plancka 686, 837 podstawowy 429, 836-S37 Yanga-Millsa 882, 887 lamanie supersymetrii 841-842 symetrii 243, 607, 614-615, 622, 624, 650, 652, 654, 704, 706-716,722,727,748, 786, 830, 875, 931, 981, 996-998 laty (powierzchni) 18,30,39,50, 55, 69-71, 73, 79, 89, 93, 95, 101,108-109,111,113-114, 117,125,131,133-138,140-141, 144, 158, 163, 174, 177-178, 180-184, 188-189, 191, 193,201,203-204,212,214-216,219-220,223,225,232, 235, 237, 246, 248, 253, 257, 259, 265, 270, 278, 283-285, 288--292,298,306,312,316-317,333--334,361,363,394, 404,415,442,444,451-452, 455, 461, 469, 493-494, 496, 507, 520, 527, 555, 580, 588, 599-599,600,615,620,625--{)26, 632, 637, 647, 653--{)54, 665, 668, 683, 716, 748, 755, 760-761,770,785,787,795, 815,826, 839-S41, 844, 855, 869,886,902,904-905,937-938, 947-952, 956-957, 959, 961,976,979,981,996-997, 1000, 1002-1003 nakladaj~ce siy 137, 181, 183, 189,216,956,961 wspolrzydnosciowe 214-216, 219, 232, 235, 283, 290, 361,451,949-950
Indeks rzeczowy I'!cze przyczynowe 831, 927 quanglementowe 790, 926, 985 luk okrc,gu 33-34, 36, 38-39, 42, 44,88, 163-164, 201-203, 228,287,307,402,408,410, 445 wektorowy 201-203 M macierz( e) 238, 246-264, 267-269, 271,273-278,280,415,423, 459-461, 525, 545, 595, 603-{i04, 614, 620, 643, 646, 656, 754, 760-771, 777-778, 781-782,795,809,832,862,865, 905,913,919,937,941-942, 979,994, 1005-1006 algebry Liego 258, 260-261, 278, 595 antysymetryczna 251, 276-278 bezsladowa 278 blokowo-diagonalna 263 diagonalna 257, 263, 275, 277, 771,777 dodatnio okreslona 268, 459-461,545 dodatnio p61okreslona 268 gystosci 754, 760-771, 777-778, 781-782,795,809,832, 913 efekt6w EPR 766 spinu! 762 stanu czystego 764-766, 771, 782, 809, 832 grupy Liego 258, 260-261, 278, 595 obrot6w 254, 269, 595 SU(3) 620 hermitowska 255, 273-275, 277-278,614,761,765,770 hermitowsko sprzyzona 274 iloczynu grupowego 258 1-formy 919 kwadratowa n x n 248, 250, 253-254, 262-263, 267 nieosobliwa 251, 267-268, 276, 280 nieujemnie okreslona 461, 761, 765 normalna 255, 260, 545, 768, 771 odwrotna 251, 261-262, 267, 273,276,415,614 ortogonalna 269, 278, 766, 768, 777,782 osobliwa 251-252, 264, 267-268, 273, 276, 280, 795 o wyznaczniku 1 252, 254 Pauliego 525, 595 prostok,!tna m x n 261 rozproszen --+ macierz: "S" reprezentacji 258-260, 263-264, 525,765,777,862,994 w pelni redukowalnej 862
rzeczywista 252, 267-269, 271, 277,461,620,754,763765, 771, 777, 809 "s" 238, 252, 256-257, 261-264, 267,269,276,278,459-460,545,595,643,646, 656,754,761,763-764, 768-769, 771, 777-778, 782,832,865,979,1005-1006 sumy 258, 264, 604, 754, 770-771, 777, 862 symetryczna 267-268, 276, 278, 459,461,545 tozsamoSciowa 768 transponowana 261, 273 unitama 255, 275, 278, 832 zespolona 269, 273, 275, 277, 764,782,905,937,994 magnetyczny biegun poludniowy 429, 710, 712 p61nocny 429, 710, 712 monopoI429,601, 710, 712,982 masa 8, 41-42, 48, 65-{i6, 113,209, 213-214,222-223,295,357-359, 361, 364, 372, 374-376, 380-382, 389-390, 395-396, 399,407,409,413-419,431, 433,435-440,443-445,447, 449,454,471,475,477,479, 481,500,521-522,524,526, 532, 534, 536, 540-544, 546, 549, 572, 583-587, 589-590, 593-594, 596-598, 601, 603, 608-Q09,612-{i17, 623, 625-{i26, 634, 636, 643-Q45, 649, 651,659, 669, 673, 677-{i79, 681-{i86, 698, 712-713, 715, 720, 728-729, 731-733, 735-737,741-744,746, 752, 754, 792-793, 798-800, 803, 805-807,818-822,824,827,836-838,841-842,851,856,860, 865-866, 880-883, 889, 892, 899-900,904,914,924,928-931, 938, 940-949, 954-957, 963,966-967,969-970,972-973, 981, 985, 993, 997, 1001-1002 addytywna 65, 416, 418, 585, 589-590 aktywna 375, 439, 443, 636 bezwladnosci 375-376, 659 bialego karla 679, 681-{i82 biema 375-376 bozonu Higgsa 841, 924, 931 bozonu W 601, 612-{i13, 713, 715,924,931 bozonu Z 601, 612-{i13, 713, 715 calkowita 8, 213, 223, 372, 380-381, 414-416, 418-419, 436,439,444,447,544, 636,673,678,684,743,
819,821,824,881,946, 963,967 czamej dziury 444, 677-{i78, 682-{i86,698, 712, 731-733,792,799-800,805-807, 880 cz'!stki 66, 213-214, 372, 381, 389-390,395-396,399, 407,409,413,416-418, 431,433,435,454,475, 477,479,481,500,521-522, 524, 532, 534, 536, 543,546,549,572,583-587,589-590,593,596-597,601,603,608-{i09, 613-{i16, 625-{i26, 634, 643-{i45, 669, 715, 735, 754,803,805,820,836-838, 841-842, 856, 860, 865-866,889,892,899, 904, 928-931, 938, 940-947,963,981,997 elektronu 521, 546, 594, 596-598,603, 608-{i09, 613, 615,651,679,713,728-729,800,837-838 energia 66, 414-418, 435, 440, 444,447,475,477,479, 500,524,526,540,544, 583-585, 587, 589-590, 597, 636, 659, 678, 731, 741-743,746,805,807, 818-819,821,860,881, 883,928,930,944,981 grawitacyjna 372, 375-376, 381, 439,443-445,447,636, 678, 698, 735, 737, 798, 818,820-821, 827, 856, 860,889,900 aktywna 375, 439, 443, 636 gwiazdy 443-444, 678-{i79, 681-{i82, 735, 798,827 hadronu 616, 851, 860 konserwatywna 416 kwarka 601, 608, 615, 623, 713, 836 leptonu 6" 7, 623, 713, 836 morza Diraca 636 neutrina 522, 549, 609, 634, 713, 735-736,838,947,997 elektronowego 838 neutronu 608, 617, 679, 681-{i82, 729 Plancka 433, 479, 686, 799, 837-838,866,881,889 pozytronu 596 protonu 65, 546, 598, 608, 617, 728-729,806,838,841 pr6zni 636, 735, 880 Sionca 444, 678-{i79, 682, 735-736,792,805,807 spoczynkowa 416-418, 433, 479, 524,543,585,587,590, 593,596,603,643,645, 967, 997
1077
Indeks rzeczowy
1078
antycz'lstki 585, 596 superpartnera 981 taonu 609, 617 WszechSwiata 673, 713, 720, 731-732, 741-742, 805 Ziemi 358, 364, 374, 415, 444, 532,636,643,678-679,792 masa/energia 66, 414--418, 435, 440,444,447,475,477,479, 500,524,526,540,544,583-585,587,589-590,597,636, 659,678,731,741-743,746, 805,807,818-819,821,860, 881,883,928,930,944,981 calkowita 8, 213, 223, 372, 380-381,414--416,418-419, 436,439,444,447,544, 636, 673, 678, 684, 743, 819,821,824,881,946, 963,967 spoczynkowa 416-418, 433, 479, 524,543,585,587,590, 593,596,603,643,645, 967, 997 WszechSwiata 673, 713, 720, 731-732, 741-742, 805 wz6r Einsteina (E = me') 435, 440 maszyna Turinga 357-359, 361, 364,993 skuteczna 357-359 uniwersalna 358 wadliwa 357-359 materia barionowa 698,741-742,983 ciemna 742-743, 750, 983 normalna 720, 742, 746, 801 mechanika klasyczna 283, 308-309, 312, 327,419,421,464,471, 508, 546, 557, 566, 658, 774,869,871,971 kwantowa (kwantowa mechanika) 47, 60-61, 117, 156, 162, 173, 247, 251, 255, 257, 273,309,327,331,347, 363-364,382,399,419, 421,433,439,457,464, 471,474,477-478,483, 490,492-496,500,502-505, 508-509, 513-515, 517,520,522,524-525, 531-532,536,541,544, 546,548,550-551,552-553, 556--557, 562-563, 565-569, 572-573, 576, 582, 585, 588-589, 598, 638,658,663,685,701, 734, 738-739, 747, 751-755, 759-760, 773-775, 777, 780, 784-785, 787, 790-791,794,803,807, 814,816,820,823-824, 826,828-829,831,833, 835,837,852,857,868-
-869,871,898,912,917-918,921,925,927,930, 936,945,960,966,971-974,976,986,991-992, 994-995, 998, 1003, 1005, 1007 cZ'lstki punktowej 638 o spinie 925 elektronu ze spinem 592 konwencjonalna 505, 508, 566, 753, 755, 785, 823, 826,991 kwaternionowa 364 nierelatywistyczna 553 oktonionowa 363 operatorowe sformulowanie 514 spinu 347, 522, 532, 912, 925 wielu cial 552 Newtona 415, 450, 471, 546, 685,760,784,971,976 statystyczna 666 mechanizm Higgsa 626, 931 inflacyjny 831 lamania symetrii 931, 981 metryka 145, 206, 266, 268-270, 283,305-308,310,387,389-391,395-397,403-406,410-411,431-432,448,453,460, 470,536,549,684,692-694, 703, 718-720, 738-740, 743, 750,794,796,799-800,827, 849, 858-859, 862-863, 865, 872, 874-875, 880-881, 886, 893-894,903,905-907,918-919,924,929-934,938,959 czasoprzestrzeni 283, 385, 389, 391, 397,431,692-694, 718-719, 738-739, 799-800,816,827,849,858-859,861,880,924,929 dodatnio okreslona 268-270, 305-307,391,453,693, 739,872,924 lO-czasoprzestrzeni 859 Eddingtona-Finkelsteina 680 euklidesowa 406, 739, 796 FLRW 688, 720 geometrii hiperbolicznej 405, 692 indukowana 404, 859, 872, 933 jednostkowej 3-sfery 692 kanoniczna zdegenerowana 893 Kerra 684, 703, 799-800, 880 Kerra-Newmana 799-800 konforemna 145-146,411,431, 530,693-694,886,930-932,934,959 lorentzowska 283, 306, 390, 397, 432,453,693,739-740, 750,849,872,931,934 (1 + 1)-wymiarowa 872 konforemna 693, 931, 934
+
materii 720, 799 Minkowskiego 395-397, 403, 718-719,930,933,935 na wstydze Swiata 859, 872 niezdegenerowana 391, 893 p!aska 396, 403, 405-406, 720, 739, 849, 859, 863, 865, 875, 880, 886, 933, 959 geometrii Minkowskiego 403 w sensie Ricciego 849, 863, 875,959 zespolona Cg 396 plaszczyzny Euklidesa 405 powierzchni 283, 391, 405, 859, 872,903,906,918 p6lriemannowska 311 proporcjonalna 387, 431-432, 720, 743 przestrzeni 28, 206, 283, 305, 385, 389, 391, 395-397, 403-404,410,431,692-694, 718-720, 738-739, 799-800, 816, 827, 849, 858-859, 861-863, 865, 875, 880, 886, 893, 903, 924,929-931, 933-935, 938 bazowej 893 de Sittera 718-720 hiperbolicznej 692 Minkowskiego 395-397, 403, 718-719,930,933,935 pseudoeuklidesowej JE;',4 933 pseudoriemannowska 305 riemannowska 305, 307, 410, 739-740,750,862,872,874 "bez brzegu" 739 rzeczywista 874 rozmyta 929 Schwarzschilda 799-800 Schwarzschilda-Kerra 799-800 skwantowana 929 stanu stacjonarnego (Wszechswiata) 720, 886 wiecznej czarnej dziury 799 zakrzywiona 283, 404, 536, 880 czarnej dziury 880 og61nej teorii wzglydnosci 404 mezon 99, 527, 568, 590, 610-611, 617, 622, 634 i(o 99, 527, 617 K" 611, 622, 634 K,. (dlugi) 590, 622, 634 K, (kr6tki) 527, 622 It 634 It° 610 miara gystosci 162, 229, 381, 509, 754, 761,767,769-771,777, 782, 972-973 lukowa k'lta 33, 44, 88 objytosci przestrzeni 60, 219, 223, 338, 642, 663, 666, 671, 687, 733
Indeks rzeczowy fazowej 663, 666, 671, 687, 733 pola powierzchni 143, 175, 188, 212,219,235,283,419, 848, 913, 955 miejsce geometryczne 28, 247, 404, 657, 895, 927-928, 939-940, 942-943, 948 zdarzen 367, 482, 729, 927, 939, 948 mieszanina probabilistyczna 768-771, 777-778, 828-830 r6znych geometrii 829 minimum lokalne energii potencjalnej 459 funkcji 106, 453 mnozenie 15, 56-58, 62, 64, 69, 78, 84-86,88-91,93,96-97,100, 139,176,193-200,207,209, 230, 240-242, 246-247, 251, 257-259,261-262, 274, 280, 287, 300-301, 326, 334, 337-338, 342, 345-346, 361, 364, 467, 482, 494, 496, 525, 570, 595, 614, 626, 632 grupowe 246, 257-258, 301 lewostronne 243 prawostronne 243 kwaternion6w 194-197, 200, 209 Iiczb naturalnych 15, 56, 64 Iiczb zespolonych 78, 84-86, 88, 93, 176, 198--199,241,247, 257, 259, 326, 337-338, 361 macierzy 251,258,280,525,595, 614 oktonion6w 197, 345-346 skalarne 230, 287, 334, 467 transformacji Iiniowych 258, 274,280 wektor6w przez skalar 230, 247 moc continuum 355 iloczynu kartezjanskiego zbior6w 350 sumy zbior6w 959 zbioru liczb 63, 347-351, 353 ~o63,271,348-351,353
calkowitych 350 kwadratowych 348 naturalnych N (~o) 63, 271, 348--351, 353 rzeczywistych 271, 350-351, 353,362 wymiernych 350, 362 zespolonych 362, 959 mod 49,86-88,93, 156-157, 177, 341,343,460-461,485,494-495,514,517,536,545,555-556, 638-639, 724, 746, 758-759,762-763,777,788-790, 830-832, 851, 860, 863-868, 872, 875-876, 895, 966, 978-980, 985, 995 bezmasowy 860
drgan 460--461, 536, 545, 868, 875-876 fourierowski 461, 864 najniZszego wzbudzenia 860 normalny 156, 460--461, 536, 545,639,790,860,863 o energii zerowej 864, 866 podstawowy 461 wibracyjny (struny) 461, 851, 860,864,866-867,876 wzbudzony 860, 864, 866-867 model anty-de Sittera 718-720 Konforemna Teoria Pola 884 Beltramiego konforemny 43, 406-407 Chana i 'Thou 624, 963 de Sittera 718-721 10-przestrzeni 869 ekpirotyczny 896 FLRW 688, 720 inflacyjny 690,717-718,720-721, 724, 727, 742, 745, 982-984 Kaluzy-K1eina 313-314, 847-849, 855, 858-859, 862, 864,885,930,936 konforemnie plaski 737, 965 kosmologiczny 442, 448, 671-672, 675, 687, 689, 694, 717-718,741,826,828, 886,984 Einsteina 886 hiperboliczny 741 inflacyjny 718, 984 konforemnie plaski 737 niestandardowy 724 oscylacyjny 730 oscylatora 892 rzutowy geometrii hiperbolicznej 406 stacjonarny czarnej dziury 799 standardowy fizyki cZ1jstek elementarnych 600,613,623,627-628, 649,660,706,708,836, 924,974,981,983 kosmologii 671-672, 687, 690, 701,717,724,826,971, 974, 982-983 strunowy 851, 855, 876 Tolmana 690-691 wszechswiata stacjonarnego 719-721, 1005 zabawka kwantowej grawitacji 871, 904 zgodnosciowy 703 modul funkcji falowej 494-495, 514, 555 Iiczby zespolonej 86, 88, 93, 639, 866 przestrzeni 485, 495, 866-867, 875-876, 966 moment
bezwladnosci 659 dipolowy 745 kwadrupolowy 745 magnetyczny 535, 594, 642, 710, 748,800 atomu 535 czarnej dziury 800 elektronu 594, 642, 800 pl(du 60, 260, 412-415, 418-419, 435-437, 467, 476, 483, 493, 524-528, 536-537, 539-550, 559, 572, 659, 684,792,799-800,869, 880, 883, 911, 918, 924, 930, 941-942, 944-946, 963, 968, 1001 atomu wodoru 546, 548, 1001 calkowity ukladu 413, 545 czarnej dziury 684, 792, 799-800,880,883 cZ1jstki masywnej 963 elektronu 546-547, 800, 1001 orbitalny 546-547 relatywistyczny 415, 419, 540-541,545-546,1001 cZ1jstki ze spinem 419, 542, 549,559,941 kwantowy 260, 483, 524-525, 528,536,539-541,546-550,869,911,924 spinowy 419, 542, 918, 930 monopol cechowania 710, 712 kosmiczny 711-712, 716 magnetyczny 429, 601, 710, 712, 982
N nachylenie 101, 103-106, 114-117, 120,184-185,385,401,449, 563-564,579,682,743 krzywej 101, 104, 106, 114-116, 120,682,743 zespolonej 120 natl(zenie funkcji falowej 486, 697 padaj1jcej fali 489 promieniowania ciala czarnego 480,697 naturalny uklad jednostek ~ jednostki: Plancka wsp61rzl(dnych obserwatora 439 neutrino 522, 601, 605, 608-609, 634,947,997 bezmasowe 522, 609, 947 elektronowe v, 609 lewoskrl(tne 997 masywne 735, 997 mionowe 609 taonowe 609 nieholomorficzna regula kwadrat6w modulu 966, 995 struktura czasoprzestrzeni 996
1079
Indeks rzeczowy nieinwariantnosc relatywistyczna energii 589 masy 589 pochodnej czasowej 589 nieliniowosc bezir6dlowego pola Maxwella 613 pola cechowania 613 nielokalnosc kohomologii 952 kwantowa 751, 925, 985 nieoznaczonosc czasu :i:ycia 500, 819, 825 energii 500, 647, 818-819, 821, 825 grawitaCY,jnej 821, 825 kwantowa 500, 506, 819, 827-S28, 929, 973 masy 500, 819 nier6wnosc Bella 557-558, 561, 563, 771, 830,993 "bez prawdopodobienstwa" 558 tr6jk~ta
1080
w geometrii Euklidesa 402-403 Lorentza 402-403 nieskonczonosc 25, 27, 32, 43, 51-52,58,75,78,81,83,117, 134-136, 140, 142, 161-162, 164-165,173,227,322,327-329,341-343,346-347,350-351,353,355,361,364,408-409,447,465-466,480,628, 632,637,644,647,649,670, 678, 681, 683, 693--{j94, 696, 737, 795, 799-S00, 804-805, 818,820,836,838-839,841, 849, 883-S84, 931, 933, 939-940,960,962,966-967,999 czasoprzestrzeni 409, 465, 628, 681, 683, 693--{j94, 799, 962 konforemna 693--{j94, 696, 883-S84, 931, 933 KTP 628, 649, 839, 841, 849 na diagramie Feynmana 647, 962 na stozku zerowym 795, 800, 933,962 najwiyksza 355 3-przestrzeni hiperbolicznej 966 w geometrii hiperbolicznej 408-409 zerowa 447, 693--{j94, 795, 800, 836,931,933,962 przyszlosci 800, 931, 933, 962 niestabilnosc dodatkowych wymiar6w 869 ukladu 586 nietrywialnosc koneksji wi¥ki 331 topologiczna 211-212, 331 niezmienniczosc 431, 467-468, 475, 500,550,560,594,607,611,
613, 625, 738, 743, 745, 855, 859, 922, 983 CP611 CPT 611 cechowania 431, 467-468 elektromagnetycznego 431, 467 lagranzjanu 466, 469, 474, 638 Lorentza 743, 922 obrotowa spinu 0 560 relatywistyczna 500, 594, 738 skalowania fiuktuacji 983 struny ze wzglydu na parametryzacjy 855 wzglydem obrotu 467, 560 odbicia w czasie (T) 611, 613 odbicia przestrzennego (P) 466-467,474,610,625 odbic 607, 611, 613 og61nego przeksztalcenia wsp61rzydnych 467 sprzyzenia ladunkowego (C) 467,607,738 translacji przestrzennej 466, 474 w czasie 467 norma 32, 68, 70-72, 84, 98, 101, 117,156,167,192,196,200, 219,229,231,242-245,251-252, 255, 259-260, 273, 275, 277,280,301,305,319,321, 323,371-372,411,425,444, 456-458, 460-461, 465, 479, 485-486, 494-495, 497, 500, 509-511,515-521,526,528, 536,544-545,548-550,555-556, 559, 565, 570, 572, 576, 587,597-598,600, 616--Q17, 628, 633, 636--Q39, 647, 649--{j56, 658, 664--Q65, 676, 688, 691--{j92, 703-704, 708, 715-716, 720, 739, 742, 746, 755, 757,760,762-764, 766, 768, 770-771, 775, 782-783, 786, 789-790, 794, 797, 801, 805, 825, 829, 831, 836, 838-841, 843-S47, 849, 856-863,865, 870-S71, 883, 892-893, 901, 903,910,913,926-927,937-938, 940-942, 953, 967, 969, 975,981,995,1000 funkcji falowej 486, 494, 509510,555,654,658 twistora 273, 893, 926-927, 937-938, 940-942 wektora 219, 231, 259, 275, 280, 323,457,494,509-510, 517,519,762,770,801, 849,859
0 objytosc 56, 60, 101, 219, 222-223, 229-231,338,380-382,392, 428,439-440,442,448,462,
465-466,470,494,642,661--{j68, 67O--Q72, 675, 677, 679, 687,699,732-735,739,782, 812, 879, 881 przestrzeni fazowej 462, 663--{j67, 67O--Q71, 687, 699, 732-733, 812, 879 obojytne twistory nierzutowe 938 rzutowe 938-940, 943 obraz Heisenberga 499, 506, 513-514, 551,629 kwarkowy 608, 855 oddzialywania 433, 514, 548, 605, 616, 708, 716, 786, 996 Schr6dingera 506, 508, 513-514, 548,554,772 strunowy 850, 855 obroty (wlasciwe, bez odbicia) 25-26, 85-S7, 97, 99, 123-124, 134, 139, 145, 147-148, 198-204,206,211,213,228, 236, 240-244, 247, 254, 257, 260,269,271,278-280,287, 300, 323, 344-345, 350, 380, 391,397-399,408-409,419, 433,437,467,469,512,524-525,530,539-541,560,574, 595, 622, 655, 684--Q85, 687, 707-708,738-739,763,797, 804-806, 839, 845, 869, 872-S73, 875, 880, 885, 900, 912, 915,924,930,933-935,941, 984 czasoprzestrzenne 419, 437 infinitezyrnalne 254, 524 lewoskrytne 200, 941 lorentzowskie 419, 437, 540 na plaszczyznie zespolonej 85 n-wyrniarowe 203 skladanie 203 obiekt6w spinorialnych 203-204, 280 prawoskrytne 200-201, 228, 941 przestrzenne 399, 419, 433, 437, 512,524,541 skladanie 202, 408 obserwable 497, 502, 514-516, 518, 535,541-544,548,550,762, 995 ci~gle 518 komutuj~ce 502, 541-543 obserwator inercjalny 379, 401 zewnytrzny 33, 679--{j81, 683, 696, 737 obszar jednosp6jny 318, 434 niejednosp6jny 434 nieorientowalny 228 otwarty 127-128, 132, 137-138, 147,150,157,167-171, 182, 215-216, 225, 235,
Indeks rzeczowy 237,260,316,669,950, 952,959 sp6jny 132, 150 skierowany (zorientowany) 226, 228-229,694,803 topologicznie nietrywialny 434 trywialny 333, 434, 953 "zamkni"ty" na plaszczyznie zespolonej 127, 132-132, 133, 138, 141, 146-147, 156, 171, 229 zwarty226-229,427,429 4-wyrniarowy 427 odbicia 78, 84-86, 98-99, 138-139, 142,150,176,201-206,240-243, 257, 262, 269, 274, 278, 280,288,318,329,331,343, 419,437,445,478-479,490-491, 500, 520-523, 540, 545, 549, 562, 576-580, 605, 607, 610-611, 613, 625, 658-659, 673,695,698,701,724,726-727,730-731,743,747-749, 753, 775, 777, 786-789, 798, 809-810, 812-813, 816, 822-825, 832-833, 853, 896, 910, 918,930,941,966,969,997-998,1006 na plaszczyznie zespolonej 138, 176,240 n-wyrniarowe 205-206 skladanie 203 obiekt6w spinorialnych 203-204, 280 sldadanie 202, 540 zwierciadlane cZqstki 98 odbicie czasu 98-99, 206, 262, 269, 343, 419,437,522-523,549, 562,576-578,610-611, 613, 658-659, 695, 698, 701,726,731,747,753, 786, 788-789, 798, 809-810, 812-813, 816, 823-824, 832-833, 918, 998 przestrzenne 269, 437, 576, 579, 610-611,625,695,731, 786,896 przestrzenno-czasowe (PT) 437, 578, 611, 724, 786 odchylenie geodezyjne 297-298, 322-323, 380-381 ruchu Merkurego 785 odcinek jednosp6jny 317, 333 osi rzeczywistej 86-87 otwarty 169-171,174,889 prostej 27-28, 45, 202, 285, 531, 912 oddzialywania 98, 239, 243, 257, 279,286,312-314,337,430, 433-434,468,514,520-521, 544, 546, 548, 568, 589, 594,
596,600-602,604-607,609-617,621-626,633-634,637-638,643-644,650-654,656, 676, 683, 706, 708-716, 721-722,786,819,836,841-842, 849, 856, 864, 867, 889-890, 892,902,916,935,956,963-964, 970, 974-975, 995-997, 1001, 1003-1004 elektromagnetyczne 313, 337, 433, 594, 596, 600-601, 604-605, 612-613, 615, 621-622,634,651,708, 715, 836, 842, 892, 974, 1003 elektroslabe 605, 613-615, 622-624, 626, 650, 652, 654, 708-716, 721-722, 786, 902,963,996-997 grawitacyjne 239, 650, 656, 676, 819,889,892,902,916, 974, 1004 silne 434, 568, 600-601, 616-617,621-623,626,650-651, 656, 709, 841-842, 856,892,963,974,1003 slabe 98, 434, 568, 600-601, 605-607, 609-615, 622-626, 650-652, 654, 708-716, 721-722, 786, 841-842, 892, 902, 935, 963-964, 974, 996-997, 1003-1004 Yanga-Millsa 434, 890, 1001 odleglosc 79, 268, 294, 306, 408 afiniczna 294-295 euldidesowa 34, 37, 43-44, 59, 367,930 hiperboliczna 34-36, 43-44, 408, 796 kqtowa 744 lorentzowska 268, 396, 796, 974 Plancka -) dlugosc: Plancka odpowiedniosc nielokalna 928, 940 wzajemnie jednoznaczna 348-349,352-354,359 ciqgla 949 odwr6cenie czasu 403, 576, 658, 669, 689, 699, 726, 787, 789, 801, 927 sygnatury 405, 408, 718 odwzorowanie 33-39, 43-44, 48, 85-86, 102, 121, 133-134, 137-142, 145-147, 149, 159-160,176,178,217,311,316, 318-319,322,351-352,362, 364,406,410,689,693,1002 antypodalne 410 bezodbiciowe 138-139 biliniowe 140 ciqgle 145, 176,316,318-319 dodawania liczb zespolonych 85 gladkie 147, 149, 178 holomorficzne 134, 138-139, 145-147, 159-160
homograficzne 140, 145 K1eina 43, 406 konforemne 33-38, 43-44, 121, 137-139,176,406,689, 693 geometrii hiperbolicznej 33-34,36,43 liniowe i niejednorodne 139 mnozenia liczb zespolonych 85-86 Mobiusa 140-141 p61kuliste 38, 43 p61plaszczyznowe Poincart:go 48 rzutowe (geometrii hiperbolicznej) 37-38, 43-44, 141, 316,318,322,406,1002 tozsarnoSciowe 318 zespolone 85-86, 133, 138-139, 142,145,147,160,176, 178,1002 okrqg bazowy 317 jednostkowy na plaszczyznie zespolonej 80, 93, 96, 127, 129, 142, 155, 157-158, 227,321,334,339-340 Sl 149,316-322,331-339,409, 430,665,689 wielki 11, 213, 369, 382, 388, 444, 533, 615, 622, 626, 651,678-679,687,690, 698,709,713,746,822-823, 838, 841-842, 856, 864,889,973,996,1004 zbieznosci szeregu pot"gowego 80, 119, 128, 156 zwarty 540 okres drgan 151, 457, 480 funkgi 151-153, 155, 161, 163-164, 166, 168, 191,730, 797-798 inflagi 717, 721-722 p61rozpadu 502 urojony 152, 502, 795, 797 okr"gi Clifforda 322-323 wichrowate 322-323 omnium 910, 919 ontologia 751-752, 754-755, 757-760, 763, 765-769, 771-772, 775,777-782,809,826,831 fali pilotujqcej 755, 758, 779 macierzy g"stosci 754, 763, 766-769,771,777-778,809 mieszaniny stan6w 763, 769, 777-778 sp6jnych historii 755, 757, 778, 781 stanu spinowego 767 szkoly kopenhaskiej 752 teorii kwantowej 751, 759-760, 777, 779 transakcyjna 781 wielu swiat6w 755, 758, 778
1081
Indeks rzeczowy
1082
operacja holomorficzna 175-176, 190, 196,235,967,996 nieholomorficzna 175-176, 995-996 operator 182, 184-185, 190, 199-201,204,216-217,219,224-226,274,283,287-294,299, 301-303, 310, 334, 336, 340, 426,430,433,455,462,465, 471-474, 476-477, 482-484, 496-498,500, 504, 511-512, 514-519, 524-525, 527-528, 536-538,541-544,546,550-551,554,572,585-594,598-599,602,621,629-631,633-638, 653, 655, 658, 755-756, 759,787,790-791,794,814, 817-818,832,839,864-865, 867,899,905,913,924,929, 945-948,957,967,995 anihilacji 629-631, 634-637, 653, 655, 839, 867 antyczl/stki 634 Casimira 527, 542-543, 550, 967 grupy Poincarego 543, 967 SO(3) 527 D'Alemberta 591-592 Diraca 474,498,504,514,591-593 dodatnio okreslony 511 energii calkowitej 585 falowy ~ dalambercjan funkcji falowej 433, 482-483, 498,537,586,591,594, 629-631,633,635,945-946 gradientu 289, 303, 602, 947 Hamiltona ~ hamiltonian hermitowski 274, 504, 511-512, 514-515,572,630,653, 655,755-756,995 hermitowsko sprzyzony 511, 514-515,630,655 holomorficzny 946 jednorodnosci Eulera 946 kanonicznie sprzyzony 899, 945 Kleina-Gordona 594 kowektorowy 288 kreacji 551, 629-631, 633-637, 653,655,839,867 antyczl/stki 634 kwantowy 274, 474, 482-484, 504,511,514-515,518, 524-525,527-528,541, 544, 546, 572, 587-588, 590-591, 629, 635, 755, 794,905,929,945-946,995 Laplace'a 536, 591-592, 864 liniowy 219, 287-288, 483, 496, 498, 511-512, 514-515, 518,525,586,591,899 momentu pydu 483, 525, 527-528,537,543,546 nieunormowany 637
normalny 515-517, 572, 755, 839,995 odwracania czasu 658 odwrotny 477, 498 pydu 474, 476-477, 482-483, 496,498,504,514,517-518, 524-525, 527-528, 537,541,543,546,554, 589, 591, 594, 638, 655, 899,945 pochodnej cZl/stkowej 185, 283, 290-291, 303,455,473,590 drugiej 301, 472, 590-591 kowariantnej 287, 289, 621 po czasie 465, 591, 658 pola 184,216,219,224,288-289, 294, 299, 301, 303, 430,455,462,472-474, 511, 515, 588-589, 594, 621, 630-631, 633, 635, 637,787,814,839,929, 946 polozenia 482-483, 498, 504, 514,517-518,524,554, 591, 594, 638, 945 pomiaru 496, 504, 515, 518-519, 572, 755-756, 759, 790-791 przeplatania 913 przestrzeni Hilberta 511-512, 517,525,587,630,635 rozniczkowy 184, 190, 201, 216-217,219,283,287,289, 299,462,471,474,476477, 482, 500, 550, 554, 588-589,592,814,946,957 cZl/stkowy 283, 500, 550, 554. 588,814 drugiego rZydu 190, 554 samosprzyzony 515, 518 skladowej momentu pydu 525, 527,537,543 skrytnosci 945-946, 948 spinu calkowitego 527, 543 super rozproszeii 832 symetrii 473-474, 544 tozsamosci 301, 519, 630 unitamy 511-512 zdegenerowany 518 orbita elektronu w atomie wodoru 546-547 eliptyczna Keplera-Newtona 546-547 kwantowomechaniczna 546 planety 446, 657 ujemnej energii 547, 803 orientacja kierunek pytli (na sferze) 158 objytosci czasoprzestrzeni 470 obrotowa ciala 211 obszaru 466 plaszczyzny zespolonej 176 sfery 158, 228, 323 ortogonalne
cZystosci 460 przeciycie 33 ortogonalnosc 206-207, 279, 386-387, 39~00, 419, 515-516, 535, 550, 564, 632, 768, 777, 995-996 euklidesowa 386 lorentzowska 399 stanow wlasnych 515-516, 777, 995 oscylator 515, 545-546, 548, 892 harmoniczny 515, 545-546, 548 osobliwosc czamej dziury 683, 696, 698-699,726,730,737,740, 747,785,795,810,812, 880-881, 1004, 1007 czasopodobna 695, 737-738, 870 czasoprzestrzeni 682-683, 689, 695-696, 726, 731, 734, 737-738,740,747,785, 787,810,812,869-871, 895,910,918,972,1004, 1007 diagramu Feynmana 851 ultrafioletowa 647 funkcji 78-81, 128, 130, 163, 644 zespolona 80, 128 gola (naga) 737, 880-881 poczl/tkowa 689, 726, 730, 737-738,749,786,795,810, 812,918 przestrzennopodobna 696, 738, 808 teorii klasycznej 730, 871 Wielkiego Kresu 689. 699, 730, 740, 747, 785 Wielkiego Wybuchu 689, 703, 726,730-731,734,737, 740, 747, 785-787, 1007 zapadania grawitacyjnego 683 os obrotu (3-wymiarowego) 87, 930 n-wymiarowego 203 rzeczywista 57, 59-60, 70-71, 79, 86-87, 118, 333, 404, 423, 574, 645, 673, 781, 925, 994, 999 na sferze Riemanna 586 skosna ukladu wspolrzydnych 206 urojona 79, 404, 474, 955
P paczka falowa 485-487, 489-491, 499,504,508 fotonu 490-491 para cZl/stek EPR 562, 566, 573, 575, 611, 659, 766, 768, 777, 836,841 funkcji holomorficznych 169-171,362,951 zdarzeii 562, 584, 650, 701, 715, 927,939
Indeks rzeczowy paradoks bliinillt 391, 399, 402--403 pomiaru 540, 567, 751-752, 777, 779, 781, 784, 972, 985-986 Russella 355-356, 360 VIR 356, 360, 403, 432, 566, 752,777,779,985 zegarow 402, 431--432 parametr Barbero-Immirziego 904, 915 czasowy 367, 671-672, 692, 728, 755, 793-794, 860 czasu kosmicznego 692 Feynmana 646 odciycia (cut-off) 226, 628, 649, 830, 838, 975 zespolony 131, 142, 144-145, 149,175,191,411,549, 940, 958-959 parametry Kerra 684, 799, 880 kosmologiczne 671, 740--741 niewyjasnione 623, 835--836 parowanie 8, 544, 558, 648, 690-691, 708, 715, 717, 722, 743, 809--810, 812, 939-940, 959, 1007 czarnej dziury 809--810, 812 pary cZllstka/antyczllstka 98, 584-585, 803-804 Coopera 569 parzystosc 98-99, 199-200, 610, 896 g98 obrotow 99, 199-200 periodycznosc czasowa 482 przestrzenna 151, 478, 482 zespolona 795, 797-799 p~d 60, 162,213-214,260,412--419,435--441,443--445,447, 454--457,459,466--467,474--483, 485--487, 493-500, 504, 514,517-518,524-528,530, 533, 536-537, 539-550, 554, 559-560, 572, 577, 589-591, 594, 629, 638, 643-647, 649-650, 653, 655-656, 659, 661, 670-671,684,720--721,754, 792, 799-801, 803--805, 820, 822-824, 827, 833, 838, 863, 867, 869, 873, 880--881, 883, 893,899,903,911,918,924, 930, 941-942, 944-946, 963, 968,1001 calkowity 213,413--415,419, 436,438,444,447,455--456, 494, 527, 537, 544-547, 643, 646, 673, 684, 911, 945, 963 cZllstki bezmasowej 941, 944-946 cZllstki masywnej 963
fotonu 533, 577, 644-645, 822--824,833 kanonicznie sprzyzony ze wspolrzydnll uogolnionll 467 klasyczny 474--475,477,482--483, 500, 539, 546-547, 572, 643-644, 661, 869, 899,944 kwantowomechaniczny 474--475, 643, 911, 924 liniowy 498, 514, 517, 525, 591, 899,930 przestrzenny 415--416, 419, 436--438,445,456--457,466, 474--475,482--483,485, 487, 500, 524, 540--541, 548, 572, 589, 629, 670, 803-804 uogolniony 447,454--455,459, 467 pytla 123-125, 132, 146-147, 149, 158,190--191,199-200,212-213,236,287,292,305,313, 320, 334, 336, 347, 357, 391, 432,434,461,646-648,714, 845-846,849--851,856,858, 873,876,881-883,898,905-908, 910, 913-918, 921, 930, 978,987,1006 diagramu Feynmana 647, 845, 851,873 spilltana 907-908 topologicznie nietrywialna 434 Wilsona 905 zamkniyta 124, 146-147, 158, 212-213, 287, 336, 391, 434,647,714,849--851, 876,905,907,1006 p-formy 219, 221-226, 229-231, 235,239,283,304,845 holomorficzne 235 proste 219, 222, 231 zamiana na (n - p )-wektor 229-230 piana 22, 29, 175,577,735,771-772, 827-828, 918, 921, 923, 987 spinowa 918, 921, 923, 987 pierscien 156-158, 167-168, 194-195,204,342,908 z dzieleniem 195, 204, 342 przemienny 342 z jedynkll194, 204 zbieinosci 156-158, 167-168 pierwiastek 22, 34, 43, 48, 52-53, 55-56,69,71-74,84,89,96-98, 100, 131, 193,241,343, 494, 500, 533, 587-592, 594, 596,598,729,749,892,911 kwadratowy 34, 43, 52-53, 55-56,69,71-74, 193,494, 500, 533, 587-592, 594, 596, 892, 911 Clifforda-Diraca 591
operatora 588, 591-592 liczby zespolonej 72-74, 89, 96, 193,343,588 stopnia z 22, 48, 72-74, 89, 96-97,100,343 wielomianu 518 5-przestrzen 718-719, 848, 864--865,884 Minkowskiego 718-719, 865 plaska w sensie Ricciego 864 pion 841 dodatni 11+ 610 neutralny 11° 610 ujemny 11- 610 platonski (-a) bryIa 9 byt 15, 19, 39, 57, 63, 239 ideal 21, 57, 239, 989 swiat form idealnych 63 matematycznych 21 plaski element n-wymiarowy 218 przestrzennopodobny 400, 801, 870 plaskosc 295, 447, 718, 724-725, 731,828,848--849,858--859, 861,869,871,873--874,894, 906,910,960,962,982-984 przestrzenna 718, 724-725, 859, 861, 873, 894, 910, 962, 983-984 Ricciego 848--S49, 858--S59, 861, 869, 871, 874, 894, 910, 962 w 10 wymiarach 859, 861 WszechSwiata 447, 718, 724-725, 869,874,983 asymptotyczna 447 plaszczyzna 25, 27-28, 32-33, 36, 38,42,48,78-79,85,109, 121, 128-129, 133-134, 136-145, 150, 156-157, 160, 163-164,167,172,176-178,185, 190--192, 198, 201-203, 206, 212-213,218,220,227,229, 270,284-286,296,321-322, 325,327-330,335,337,339, 343-346,363,400,405--406, 410,469,486--487,519,530, 532-533,563-564,689,693, 707,711,719,764,797,844, 896,931,933-934, 939-940, 942-943, 997 antysamodualna 942-943 czasopodobna 411 euklidesowa 27, 32, 36, 139, 202, 227,284-286,296,322, 797,934 uzwarcona 934 Fano 345-346 hiperboliczna 32-33, 36, 42, 138, 145,270,296,405,689, 693 Lamberta 42, 405
1083
Indeks rzeczowy
1084
n-plaszczyzna styczna 218 przestrzenna 405, 410, 486-487 r6wnikowa kuli 141 rzutowa 38, 141-143,285, 322, 327-330, 339, 343, 345, 363,406,939-940,943 IP"(IFq) (nad cialem IF.) 343 samodualna 942-943 stalej fazy 487 styczna 218, 229, 285-286, 469, 707,844,942 zerowa 933, 942-943 zespolona 78-79, 85, 109, 121, 128-129, 133-134, 136-137, 139-145, 150, 156, 160, 163-164, 172, 176-177,191,198,227,321, 325,335,337,486-487. 530,764,797,896,931, 940,942-943,997 pochodna 104-108, 110-114, 117-118, 120, 125-126, 131, 171, 177, 179-182, 184-185, 189, 192, 198, 217-219, 224-226, 283-284, 287-291, 298-299, 301-304,307,309-310,312, 333, 426, 435-436, 454-455, 462,464-466,469,472-473, 511, 537, 590-591, 621, 649, 658,817,844,859,871,903, 910,957,994,999,1003 cz~stkowa 131, 177, 179-180, 182, 184-185, 189, 192, 283,290-291,303,310, 455,473,590 we wsp6lrz«dnych 182, 185, 283,290-291,303,473 druga 180, 182, 590 mieszana 180 wyiszego rz«du 180 druga 104-107, 110, 112, 180, 182,192,301,472,590-591,871,957 funkcjonalna 465, 903 hiperfunkcji 171 iloczynu funkcji 112, 171 kowariantna 287-290, 309, 312, 435,537,621 czasoprzestrzenna 435 we wsp6lrz«dnych 290 Liego 298-299, 302-303, 307, 462 niezaleina od wyboru wsp6lrz«dnych 181, 284, 303,436,844 n-ta funkcji zespolonej 106 pierwsza 107, 110, 112, 120, 287-288, 464, 590-591, 844,859,871 pola wektorowego 218, 284, 287-288,299,302,307, 455,462 sumy funkcji 112, 171 trzecia 110, 472 wariacyj na 466, 994
wyZszego rz«du 104-105, 117, 120,302 zewn«trzna 185, 218-219, 224-225,289,303,426,436 podejscie Ashtekara-Lewandowskiego ~ podejscie: zmiennych p«tlowych Hawkinga 739, 809, 873, 977-978 perturbacyjne 860, 906, 962, 1000 sieciowe 978 zmiennych p«tlowych 898, 906, 914,917,919,921,987 podgrupa (-y) 242-245, 252, 258, 280, 315, 399, 617, 625-626, 787,934 grupy obrot6w 242-244 nie-normalne 243-245, 617 niezmiennicze (normalne) 242-245,252,617 symetrii kwadratu 243-244 podobienstwo figur 30, 758 przestrzenne 396, 496, 530, 729, 912,929 podprzestrzen D-brany 887-888 l-wymiarowa wektorowa przestrzeni 1(:2 321 podrozmaitosc 325, 703, 844, 883 zespolona wi~ki 325 podr6i kanalikowa (wonnhole travel) 802 w czasie 82, 391, 410, 800-802 pokrycie grupy (podw6jne) 278, 280 plaszczyzny podw6jne 339 przestrzeni dwukrotne 278 polaryzacja eliptyczna 532-533 fotonu 521-523, 532-533, 549, 563,577,941 kolowa 522, 532-533, 549, 900, 941 lewoskr«tna 522, 941 prawoskr«tna 522, 941 lin iowa 522, 549, 961 plaska 522, 532, 961 pr6ini 647, 649 pole 554 bezmasowe 209, 735-736, 856, 860, 900, 928, 931, 938, 947-949, 954-957, 1001 swobodne 209, 947-948 bozonowe 655 cechowania 239, 337, 429-430, 432-435, 495, 594, 613, 634,710,712,714,905, 962 ci~gle 58, 61,118,143,145,176, 191,213,301,310,323, 362,397,434,464,710-711, 921, 925
jednostkowych wektor6w spinorowych 324 dylatonowe 859, 882 elektromagnetyczne 382, 421-423, 426, 430, 433-434, 436,441,443,448,481, 488, 495, 533, 554, 589, 594, 596, 604-605, 612, 621, 632, 634, 637, 655, 671, 804-805, 848, 900, 974 elektryczne 374-375, 383, 422-423, 429, 469, 479, 532-533, 554-555, 634, 648, 712,900 elektronu 634, 648 element6w plaskich 206, 218-220,222,901 fermionowe 567-569, 631, 634 fizyczne 59-62, 70-71, 148,331, 337,396,404,421-422, 429-431,436-438,454, 468-469,485,494,531-532, 610, 627, 648--649, 721. 724, 726, 779, 848, 852, 872, 880-881, 885, 890, 902, 910, 926, 936, 960, 964-965, 970, 987 grawitacyjne 190, 374-378, 381-382,404, 421-423, 435, 437-439, 443-444, 446,454,456,475,671, 676-678,680,701,711, 735-736, 771-772, 787, 794,814-816,818,820, 833,847-848,856,858, 860, 900, 902, 910, 962, 974 cz~stki 381, 437, 456, 735, 820, 860, 974 Sionca 381, 735-736 statyczne 190, 680 struny kosmicznej 711 Ziemi 375-376, 381, 435, 438, 446,454,678,815 Higgsa 601, 615-616, 721 w kosmologii 721 Killinga 801, 814, 816-817, 859, 862, 885 klasyczne 421, 435, 464, 474, 488,514-515,557,632-634, 638-639, 641, 739, 779, 787, 803, 815, 862, 885, 901, 910, 929 kowektorowe 217-218, 288-289, 327 krzywizny 104, 335, 337, 381, 429,431-432,438,623, 714,735-736,859,895, 900,910,922,948,960 kwantowe 61, 66, 77, 86, 121, 158,172,257,273,331, 362,396,399,419,422, 426, 433, 446, 464-466, 469,474-475,492,503,
Indeks rzeczowy 514-515,517,522,526, 530-532, 534, 546-548, 555, 557, 567-568, 573, 575, 583-584, 588, 590, 600, 610, 625-626, 627, 632-635, 638-639, 641, 649, 653, 655, 671, 715, 721,730,738-739,742, 759,764,771-773, 785-787,794,803,808,812, 815, 820, 825, 827, 832--833, 851, 854, 857, 859, 880, 883, 895, 898, 900-901, 907, 910, 912, 919, 921-922,925,929,936, 946, 970-970, 971, 974, 976, 978, 994-995, 1002 kwarkowe 621 magnetyczne 382-383, 421-423, 426, 429-430, 433-434, 436,441,443,448,469, 479, 481, 488, 495, 532-533, 535, 554-555, 589, 594, 596, 601, 604-605, 612,621,632,634,637, 655, 671, 710, 712, 804--805, 832, 848, 892, 900, 974,982 Maxwella 60, 337, 383, 421-423, 425-426,429-432,435-436, 443, 469, 479, 481, 488, 547, 555, 600, 613, 633, 637, 710, 848--849, 881,896, 900-901, 931, 947 bezzr6dlowe 613, 881, 896 swobodne (bez zr6del) 469, 555, 600, 613, 637, 881, 896,947 na 2-wymiarowej wstydze 860 naladowane 374, 382, 430, 468, 589, 594, 605, 634 nieliniowe 613, 633, 867, 928, 959,961-962,1001 potencjalne 413, 454, 475, 531, 639 powierzchni 33, 60, 73, 114-115, 133-137, 141, 143-145, 149,175,177,188-189, 212, 216, 219, 228, 235, 283,287,381,419,448, 454, 633, 715, 791, 815, 817,848,851--852,859, 871, 873, 877, 879--882, 896,906,910,913-914, 918,930,955,988,1001-1002 czarnej dziury 791, 879--880, 882 horyzontu 715, 791, 879--881 pod krZYW:j 114 tr6jk:jta sferycznego 287 ujemne 114, 136-137,228, 287
relatywistyczne 399, 548, 579, 589,594,652,738 rzeczywiste 41, 58-61, 69-74, 78-82, 90, 93, 118, 120-121, 123-124, 131, 136-137, 142,162-163,173,175-176, 178, 187, 189, 191, 197, 206, 219, 235-236, 246-247, 259, 265, 269, 277-278, 281, 309-310, 316,320,323,329-331, 334, 336-338, 353-354, 361-362,394,397,399, 421, 430-431, 433, 438, 481,485-486,502,554-555,604,614,627,632-634, 637-639, 712, 726, 759, 779, 795, 797, 832, 843, 851, 874, 880, 890, 901, 925, 928-929, 938, 940, 943, 945, 954, 958, 960,984,994-996 samooddzialuj:jce 633 sil41, 79, 113, 120, 124, 193, 375-376,378,382,413, 421,423,429,433-434, 454-455, 627, 639-641, 657, 712, 716, 848, 890, 923,977,980,988,1001 sily centralnej 657 sily ciyzkosci 375-376, 378, 413 skalarne 179, 184, 187-188, 216-219, 229, 273-274, 284, 289, 299, 302-303, 334,430,448,461,510, 554-555, 630, 633-634, 721,724,849,859,931-932 gladkie 216, 284, 334, 555, 931 rzeczywiste 430, 554-555, 633-634 zespolone 273-274, 334, 510, 554-555 spinorowe 324, 326, 634, 875, 895,941 Majorany 634 na S' 324, 326 stale 875 stacjonarne 382, 466, 640, 814--816, 820 stale 41, 61, 66, 73, 88, 96, 135, 139, 147, 173, 176, 186, 227, 235-236, 265, 273, 284, 320, 322, 336, 338, 378,413,421,441-442, 456,468,486-487,494, 506-507,511,523,533, 589,600,614-616,623, 678, 720-721, 730, 743, 773, 820, 825, 859, 875, 882, 886, 896, 961, 974, 978,982,984,997 swobodne 190,209,236,363, 375-378,438,469,555,
600,613,633,637,735-736,833,947-948,970 bezmasowe 209, 947-948 symetryczne 272, 277, 305, 308, 437, 527, 568, 610, 632, 680,745,787,812,843, 859--860, 880--881 tensorowe 284, 287, 289, 299, 303,305,308,312,327, 362,816,859,900,929 antysymetryczne nieosobliwe 308 wektora Killinga 801, 816--817, 859,862 wektorowe 181, 183-184, 186-188,209,216-220,235-236,246-247,272,284, 287-289, 299-302, 307, 310,316,320-322,324-327, 337, 394, 455-456, 462, 473, 494, 506-507, 510,632-633,814,816, 900,904,937-938,950, 953,956-957,959,961 holomorficzne 235 rzeczywiste 187, 219, 235-236, 246-247, 310, 316, 337,394,632-633 zespolone 235-236, 246-247, 272, 320-322, 324-326, 337, 394, 494, 506, 510, 632-633, 904, 937-938, 953 widzenia obserwatora 925, 928 Yanga-Millsa 712, 880--881 zespolone 66, 69-74, 77--83, 84-97,99,109-111,118, 120-132, 133-134, 136-149, 150-151, 154-156, 158, 160, 162-164, 168, 171-173, 175-178, 188-189,191,193,196-199, 206, 227-229, 235-236, 240-241, 246-247, 252, 254,257,259,265,269, 271-275, 277-279, 281, 309,320-326,329-331, 334-335,337-338,343, 361-363,394,396-397, 399,411,419,426,431, 433, 486-488, 494-495, 498,502-502,503,506-507, 510-511, 515, 517, 522, 528, 530-532, 534, 549,554-556,559,568-569,586,588,602,614, 632-634, 638-639, 646, 739,758, 764-765, 770, 773, 782, 795, 797--800, 843,851--852,866,874, 877,896,901-902,904-905,909,922,925-931, 936-943, 945-946, 949, 953-955, 957-960, 966, 969, 994-997, 1001-1002
1085
Indeks rzeczowy
1086
zewnytrzne 163, 218, 224, 376, 454, 475, 477, 549, 589, 594,596,645,892 ziemskie 381, 432, 454, 814 polozenie cZ'lstki 162, 213-214, 381, 414, 418,454,456,474-475, 482,487,493-496,504, 509, 517-518, 524, 542, 553-556, 560, 567, 570, 572, 594, 629, 638-39, 659, 661, 754, 758, 827, 829,929,945 rownowagi 457-458, 545 srodka masy 414, 418, 544, 659, 685 uogolnione 451, 455, 467, 469 pomiar 33, 48, 57, 60, 87, 382-383, 393,430-431,480,492-494, 496-497,500,503-504,507-509,514-521,523,530-531, 535,540,549,555,557,559-564,566-567,571-575,579-580, 585, 594, 613, 639, 720, 743, 752, 754-759, 762-763, 766-770, 772-774, 777-782, 784, 789-791, 823-824, 827, 829, 831, 836-837, 911-912, 918, 925, 972-973, 984-986, 991-992, 995-996 energii 500, 585, 973 kwantowy 492-493, 500, 503-504, 507, 514-516, 518, 520,531,557,563-564, 566,571-572,580,639, 752,754-755,757-759, 762, 772-774, 777, 779, 782,784,789-790,827, 831,911,973,985,992, 996 momentu pydu 493 pydu 493, 496, 500, 504, 514, 827 polozenia 493-494, 496, 500, 504,509,514,555,758-759,827 rzutowy 518-521, 530, 549, 756 spinu 530-531, 535, 557, 560-561,572,575,762-763, 766-769,912,918 TAK/NIE 430, 497, 500, 504, 507,516-521,523,530-531, 549, 560-564, 567, 572,575,579,585,639, 754-755, 757, 762-763, 766-769,779, 789-790, 827,912 zerowy 520-521, 523, 549 poprawki kwantowe 595, 641, 832, 859, 970 radiacyjne 832 postulat 11, 27-28, 30-32, 35-36, 41-43,45-46,50,52,284, 332, 405, 518-521, 523-524,
549,737-738,756,841,854, 877,886,891,929,961,974 przyczynowosci 929 rownoleglosci (pi'lty postulat Euklidesa) 27-28, 30-32, 35-36, 41-43, 46, 50, 52, 284,405 rzutowy 518-521, 523-524, 549, 756 Taniyamy-Shimury 891 potencjal 19, 190, 430, 432, 434, 443,454,468-469,598,621, 626, 633, 637, 655, 707, 721, 758,820,885 elektromagnetyczny 430, 432, 443,468,598,621,637 "kapelusz meksykanski" 707, 721 kwantowy 721, 758, 820 Maxwella 430, 443, 469, 633 pola elektrostatycznego 190 grawitacyjnego 190, 443, 820 Yanga-Millsa 885 powierzchnia 11, 25-26, 30-31, 33-34,42-45,48,60,73,101, 114-116, 121, 133-137, 140-146,149,174-174,175,177-181,185,188-189,202,212, 214,216,218-219,223-224, 227-229,235,237,244,270, 283, 286-287, 293, 296-298, 313-314,369,381,389,391, 400,405,419,427-429,446, 448,454,456,463,466,469, 500, 549, 572-574, 633, 644, 658, 678-D83, 685-D87, 689, 691-D93, 695, 703-704, 707, 711,715,717-718,720,743, 791-792, 797-798, 815, 817, 844, 846, 848, 850-852, 856, 858-859, 861, 865-866, 870-873,875,877,879-883,894-896,899,903-906,908,910-911,913-914, 918-919, 921, 930-931,955,957,988,1001-1003,1006 danych wyjsciowych 848 2-wymiarowa 177, 188,212,224, 298,313-314,405,846, 850-851,883,906 horyzontu czarnej dziury 679, 682, 685, 703,791,879-880 zdarzen 679-D80, 682, 685, 715,791 jednospojna 212 kuli 11,42,44-45,48, 136, 141, 202, 212, 227, 244, 707, 1003 niezwarta 142 n-powierzchnia 149, 229, 896 pUlapkowa 703 Riemanna 121, 133-137, 140-145, 175, 177-178, 189,
212,235,283,391,419, 851-852, 866, 872--873, 875,877,896,955,1001-1002, 1006 dodatnio okreslona 391, 872 o genusie zero 877 o wyZszym genusie 955, 1002 teorii stron 142, 852, 872, 955,1001 zwarta (zamkniyta) 142-143 2-wymiarowa zorientowana 142 szescianu 11, 177 wielospojna 212 wyzszych wymiarow 188 zwarta 142-143, 149,227,427-429, 448, 682, 691, 703, 870,895,931 powierzchnia trojk'lta euklidesowego 43-44, 136, 202, 227,293 hiperbolicznego 33-34, 42-45, 145,270 minimalna (wstyga swiata) 293, 859,872 sferycznego 42 pozytron 595-599, 601, 609, 611-D12, 635, 647-D49 prawa algebry Liego 839 dynamiki 148,367,369-370,450, 595,616,641,657,660-D61,666-D72,674-D75, 685,698,703,717,724-726,731,738,746,749, 780, 789-790, 888, 998 Arystotelesa 367 Galileusza 369-370, 657 Newtona 370, 450, 657 kwantowej teorii pola 66, 77, 422, 426, 546, 627, 738, 815, 832, 859, 936, 974, 995,1002 prawdopodobienstwo 66, 211, 488-489,494-496,504,509,516-519,521,530-531,535,547, 555-558, 560-564, 572, 579-580, 583, 591, 598, 636, 638-D39, 641-D42, 653, 664-D65, 672, 729, 733-734, 751-752, 756-763, 766-771, 773, 777, 780, 782, 787-790, 812, 823, 830-831, 911-913, 918, 925, 966, 974, 995-996 czyste 504, 766, 911-912 kwantowe 66, 504, 509, 516-517, 530-531,557,562-564, 572,591,639,641,751, 757-759,761-763,777, 788-790,812,830,911-913, 974 przejscia 504, 516, 653, 756, 830 przeskoku 504, 516, 752, 790 w teorii sieci spinowych 918 waZone 763, 766
Indeks rzeczowy wyniku pomiaru 516, 530-531, 557, 561, 564, 580, 763, 767,769-770,780,789, 918, 925, 995-996 prawo Coulomba 547 Gaussa 43, 48, 209, 428-429, 665 Iqcznosci dodawania 194 mnozenia 194, 197, 240 grupowego 240 "odwrotnego kwadratu" 380, 546-547, 650, 656--656, 657, 788, 974 powszechnego ciqienia 847 przemiennosci dodawania 194 mnozenia 193-194, 197,251 rozdzielnosci 194, 207, 259 mnozenia wzgllidem dodawania 194, 207 r6wnolegloboku 84-85, 201, 246-247 tr6jkqta (dodawania wektor6w) 11,33,84-85,88,93,201-202, 246-247, 408-409 hiperbolicznego 409 skladania obrot6w 201 tr6jkqt6w podobnych 84-85, 88, 93,201 zachowania 8, 10-12, 71, 82, 119, 134, 137, 148, 165,343,367, 373,380,413-416,419,422, 427, 429, 435-438, 441-442, 446-447, 450, 456, 462-463, 466-467, 474, 477, 489, 524, 551,594,612,614,641, 659--660, 666--667, 669, 731,734,758-759,773,775, 780, 804-805, 812, 825-826, 855, 888, 966, 979, 987, 994-995, 1003 4-Plidu 419 calkowe 8, 367, 422, 427, 436-438,447,641,660, 888,1003 energii calkowitej 438, 660 energii-Plidu 413, 415-416, 436-438,477,524 calkowe 436, 438, 660 liczby barionowej 489 ladunku elektrycznego 427, 435 masy 8, 415-416, 437, 447, 524,731,966 masy-energii 415-416, 447, 524,731 momentu Plidu 414-415, 419, 467 Plidu 413-416, 419, 436-438, 467,474,477,524 pola ciqglego 435 prawdopodobienstwa dla R 759,812 ruchu srodka masy 415,437
strumienia magnetycznego 422 Wiena 480 pn;dkosc 47,60, 101,213-214,373, 382-385, 387, 390, 393, 396, 399-402, 407-413, 415-418, 423, 426, 431, 433, 437, 439, 443,451-452,454-455,459, 464,469,526,541,544,561-562, 571, 576, 579, 588-589, 603, 657, 659, 661, 665--666, 674,676--679,681,685,690, 767, 817, 834, 837, 855, 872, 933,937,940,943-944 CZqstki masywnej 407, 431 orbitalna Ziemi 410 swiatla 47,373,382-385,387, 393, 396, 399-400, 402, 407-412,415,423,426, 433,439,443,526,561-562, 571, 576, 588, 603, 678--679, 685, 767, 817, 834, 837, 855, 872, 933, 937,940,943-944 ucieczki 677--679, 690, 834 uog6lniona 451-452, 454-455, 459,464,469 zegara 433 zygzakowego ruchu elektronu 603 problem anomalii kwantowych 859 czasu w grawitacji kwantowej 786, 917 w kosmologii kwantowej 817 zamrozonego 917 Dirichleta 192, 887 hierarchiczny 889, 892 holonomii 964 horyzontu 715, 717, 724 kwantyzacji twistor6w 924 ladunku (podstawowego) 837 masy 359, 626, 636, 728, 731, 806,837,860,914,956 metryki (sieci spinowej) 918 mieszanej skrlitnosci 949 modul6w (w teorii strun) 866-867,895 nielokalnosci 985 og6lnej kowariantnosci ~ zasada: og6lnej kowariantnosci plaskosci Wszechswiata 718 pomiaru 514, 518, 521, 567, 580, 752,754,772,985 redukcji wektora stanu 917 renormalizacji 967 rozbieinosci 80, 970 tachionowy 855-856 uporzqdkowania czynnik6w 475 wartosci poczqtkowych 131, 863, 918 wiqzania 21, 31, 57, 72-73, 81, 101, 104, 131, 147, 152,
165,168,192,201,279, 336, 355, 360-361, 448, 475, 513, 545, 557, 565, 596, 633, 653, 669, 671, 701, 704, 711, 715, 717, 725, 730, 746-747, 754, 768,775,793,817,826, 831, 838, 854, 857-858, 892,914,916-918,962, 964, 973, 985, 993, 1002, 1005 wymiarowosci (teorii strun) 860-861, 876 jako "efekt energetyczny" 876 zmieniajqcych sili stalych 749 proces Hawkinga 803-805, 808, 812, 880 Yanga-Millsa typu drzewo 1006 promieniowanie ciala doskonale czamego 479-480,500,675,697,717, 751 elektromagnetyczne 479-480, 597,697,701,871 Y 684 grawitacyjne 447, 697 Hawkinga 795, 803-804, 807, 810-811, 882 mikrofalowe tla (2,7 K) ~ promieniowanie: reliktowe reliktowe 49, 675, 687--688, 690, 697, 699, 720, 734, 743-745, 983-984 termiczne (czamej dziury) 795, 806,811 tla 49, 675--676, 687--688, 691, 697, 745, 1005 promien Hubble'a 834 krzywizny 688, 735-736, 745 newtonowskiej czamej dziury ~ wz6r: Michella R6ntgena 488, 681--682, 796, 822-823,825,940,968 swietlny 294, 329-330, 339, 384-385,389,405,409-410, 415, 693, 714, 735, 775, 895, 925-930, 938-940, 943-944, 968-969 w nieskonczonosci 693, 939 wodzqcy 124, 796 WszechSwiata 686, 688, 690--691, 697--698, 701, 732, 745,805,972 zbieinosci szeregu potligowego 91 Ziemi 617, 676, 678, 734, 745, 775,881 propagator Feynmana 603--604, 642--643,646,653,655 elektronu 603, 643 prosta 8, 26 r6wnolegla 27-28, 31, 41, 201, 247-248, 284-287, 301, 327-329, 394
1087
Indeks rzeczowy
1088
zespolona 74, 81-82, 85-86, 90, 92,94,96,109,124,126, 140, 142, 147, 156, 160, 172, 198, 257, 265, 277, 320-322, 325, 334, 361, 363,486,528,588,632-633,639,765,843,877, 937,945,958,995 pr6znia 380, 441, 445, 629-630, 634-637,647,649-650,652-654,664,704,706,708,720-721,735,742-743,746,786, 794--795,803-804,833,845, 847-848,858,861,880,915, 960,962,966,972-973 cZ'lstek ~ stan: pr6zniowy falszywa 706, 720-721, 746, 794 sztuczna 972 termiczna 794--795 prMnie alternatywne 635-637, 654, 794 przedluzenie analityczne 127, 129-131, 134, 150, 168, 172, 612, 740, 895 holomorficzne 797 przedzial domkni, teoria: zmiennych p~tlowych Bohra, atomu 546, 1001 Cantora, niesko6czonych liczb kardynalnych 57, 347-348, 353,999 cechowania 279, 313-314, 337-338,431-433,435,467-468, 594, 621-622, 624, 626, 654, 710, 712-713, 716, 905, 962-963, 995-996 nieabelowa 621-622, 710, 712,716 Chan-'Thou 624, 626, 877 cZ'lstek elementarnych 238, 242, 257, 286, 312-314, 399, 434, 471, 583, 601, 627-628, 636-637, 649-650, 656, 716, 839-840, 866, 875, 924, 927, 962, 971, 974, 981, 996-997 4-rozmaitosci Donaldsona 892 de Broglie'a-Bohma 500, 779, 781 Diraca, elektronu 60, 65, 479, 546-548, 582, 590-591, 594--595, 597-598, 600, 604, 610, 627, 637-638, 642,647,651,685,710-712,774,832,899,994, 998, 1001 drga6 121, 457, 536, 616, 895 dualna 12, 273, 553, 585, 624, 876-878, 882, 887, 918, 963-964, 986 Einsteina 11, 45, 47, 57, 60-61, 134, 136, 177, 283, 286, 291,293,297,312-313, 366, 373, 377, 380, 382, 388, 390, 392, 399, 402, 404,419,421-422,431-432, 437, 439, 443-446, 448--449,467,469,471, 479, 571, 582, 600, 627-628, 650, 680, 693, 703, 723,749,751,784--786, 814-817,826-827,838-
-839, 845, 848-849, 854, 857-858, 860-861, 872, 880-881, 898-899, 902, 904, 914--916, 918, 921, 936, 961, 971-972, 983, 985-986,994,998,1000-1001, 1007 Einsteina-Maxwella 60, 422, 443,600,848-849,998 elektromagnegtyzmu Maxwella 60, 149,313,337,382-384, 422-423,426-427,432, 443,468--469,547,600, 665, 668, 710, 848-849, 881,971,998 elektroslaba 613-615, 622, 624, 626,650,652,654,709-713,715,721,786,902, 996 F 432, 755, 759, 879, 936, 971 fizyczna 11, 21, 59-60, 66, 77, 121, 209, 211, 239, 271, 291,313,337,343,361, 366,383,388,396,422, 432, 448, 463, 468--469, 477,494,586,610,627-628, 650, 654, 657-658, 660,668,672,704,710-711,713,716,724,734, 738,751,778,792,826, 839, 846-848, 852-854, 860-861, 872, 875, 878, 880-881, 889-890, 892-893,902,910,918,921, 924--926, 935-936, 962, 964--966, 970-970, 971-972, 974--977, 989-990, 993-996, 998-1002 fizyki hadron6w 851 form r6zniczkowych Cartana 422 fundamentalna 23, 57, 60-61, 66,121,131,190,269,282, 293, 343, 382, 388, 396, 399,431-432,435,439, 461, 468--469, 595, 613, 632,654,678,685,710, 716,785,791,816,826, 831,836,839,857,860, 885,887,892,902,909, 916,921,925-926,929, 936, 940, 954, 956, 971, 973, 993-996, 1007 funkcji analitycznych 93 Galois 279 grawitacji 61, 190,291,313,373, 377,380,382,421-422, 435,439,445,467-469, 582,650,671,678,683, 685,734,738,784--787, 792,803,815,817,838, 842-843, 845-847, 856-858, 860-861, 873-874, 878-880, 887, 889, 894, 902,904--907,913,915-
-916,918,921-922,929, 936,962,964,973-974, 978, 986, 1000-1001, 1007 Einsteina 291, 373, 377, 380, 421-422,469,582,650, 784, 815, 845, 858, 860, 904, 1001, 1007 kwantowej 61, 582, 650, 671, 683,685,734, 785-787, 792,803,815,838,856-858,873-874,880,889, 902,904--907,913,915-916,918,921-922,929, 936,973-974,978,986, 1000,1007 Newtona 190, 373, 377, 380, 382,439,445,685,784, 817 Newtona-Cartana 382, 817 grup 242, 245-247, 257-258, 260,265,269,278-279, 282,377,399,431, 614, 621,624,647,652,654, 716,738-739,741,787, 840, 866, 876, 885-886, 909, 930-931, 936, 963, 966,996,999 ci'lgiych 247, 258, 260, 377, 738 lokalna 258 prostych 245, 265, 716, 886, 930, 999 hamiltonowska 457, 461, 464, 466,553,760,854,864, 898, 914, 965 harmonik sferycznych 538-539, 550 spinowo-waZonych 538 hiperfunkcji 174, 927, 967 homotopii 236, 923 inflacyjna -> kosmologia: inflacyjna 11-wymiarowej supergrawitacji 878-879,887,936 jednolita 448, 614-615, 622, 706, 874,893,918,1000 Kaluzy-Kleina -> model: Kaluzy-Kleina kategorii 373, 898, 923, 987, 999 kohomologii 926, 951, 953, 956 kwantowa 61, 65-66, 77, 121, 158-159,172,247,257,271, 273--274, 278, 282, 347, 362, 382,384,396,399,419, 421-422,426,433,439,446, 457, 464-469, 471, 475-476, 492-494,500,504--505, 513-514,526, 546-548, 553-554, 557, 566-567, 579, 582-586, 589-590, 595, 600,604,610,614,616, 625-626,627,632,635-638, 647, 649-653, 655, 658, 671, 683,685,715,734,738-739, 742,751,755,758-760,774,
1101
Indeks rzeczowy
1102
777, 779, 782, 784-787, 791-792,803,808,815-816, 826, 830, 832-833, 835, 838, 852,855-859,861-862,869, 871, 873-874, 880, 883, 889, 895, 898, 901-907, 909-910, 913, 915-916, 918-919, 921-922,925,927,929,936, 945, 960-961, 965-966, 970-970, 971-974, 978, 986, 994-998, 1000, 1002, 1007 nierelatywistyczna 464, 553-554,582,586 pol oddzialuj,!cych 627 relatywistyczna 399, 464, 476, 548, 553-554, 582-586, 590, 627, 638, 738, 945, 998 Wielkiego Wybuchu 739, 786 kwaternionow 196, 209, 922, 976 lagranzowska 457, 461, 464, 466-468,553,760,854,965 liczb 57, 59--{i0, 65-66, 82, 131, 198,313,343,347-349,353, 361,411,449,460,464,477, 584, 632, 651, 838, 845, 848, 856, 861, 885, 891, 905, 909, 918, 921, 925-930, 935-936, 940, 966, 983, 994-997, 999-1000 pierwszych 131, 343, 353, 905, 994,999 linii widmowych 547-548, 892 M 61, 134, 141, 196,205,371, 373, 377, 382, 384, 389, 392, 396, 399, 403, 432-433, 443, 474-475, 538, 547, 551, 583, 625,655,657,710-711,784, 816-817, 851, 862, 869, 872, 874, 876, 878-880, 887, 889-890, 915-916, 918, 923, 936, 953, 961, 963, 965-966, 971,978,990,998,1000 macierzy 247, 258, 260, 280, 777, 905, 994, 1005 macierzy S 1005 Maxwella, elektromagnetyzmu 60,149,238,313,337,382-384,422-423,426-427, 432, 434, 443, 468-469, 547, 600, 621, 624, 654, 665, 668, 710, 712, 847-849, 858, 877, 881,902,918,971,998 Mie 47, 57, 60-61, 66, 77, 196, 246-247,294,313,347,353, 360-362, 373, 379, 383, 396, 401,403,416,421-422, 432-433, 439, 446, 449, 457, 464, 467-468, 471, 477, 490, 508,536,547,553,567,571, 583,589-591,607,610, 615--{i16, 624--{i25, 627, 637, 651, 657, 678, 680, 682, 710-711,715-716,723,730, 738-739,741,745,758--759,
777,779,781,784-786,792, 799,814,817,834,838-839, 845-847, 852, 854-858, 861, 873-874, 876-878, 881-883, 885,887,891-892,896, 898-899, 902-907, 913-916, 918-919,921-922,925-927, 929-930, 936, 945, 955, 964-966, 969, 971-977, 986-987, 989, 993-994, 996-998, 1001-1002, 1007 mnogosci 23, 355, 360, 923 nieliniowego grawitonu 961-962,964 n-kategorii 923, 987 Newtona 47, 60, 190,373,377, 379-380, 382-383, 413, 421-422,439,443,445,449, 463,468, 471, 546, 678, 685, 760,784-785,817,847,881, 971,994 grawitacji 190, 373, 377, 380, 382,439,445,685,784, 817 niepopperowska 982 nierenormalizowalna 649--{i50, 838,845-846,856,1000 nieskoiiczonosci Cantora 347, 353,999 obserwacyjnie falsyfikowalna 981-982 oddzialywaii cz,!stek elementarnych 286, 312-314,434, 650, 974, 996 elektromagnetycznych 313, 594,613,615,622,715, 974 elektroslabych 613, 615, 622, 624,626,650,652,654, 709-713, 715, 721, 786, 902,996 silnych 434,616,651,709, 856,974 slabych 434, 613, 615, 622, 624--{i26, 650, 652, 654, 709-713, 715, 721, 786, 902,964,974,996 ogolnie kowariantna 312, 899 percepcji 508, 777-778 pola 60-61, 66, 77, 82, 121, 158, 172, 198, 257, 265, 273, 324, 337, 353, 362, 382-383, 396, 399,404,411,421-422,426, 432-433, 435, 437, 439, 446, 448,461,464-466,468-469, 475,492,514,526,546-548, 567, 583-584, 590, 594, 600-601, 610, 615, 621, 625--{i26, 627, 632--{i33, 635, 649,651,653,671,710-712, 715,721,724,738-739,742, 759,785-787,803, 808, 814-815, 832-833, 842-843, 848-849, 852-853, 856-862,
871-872, 875, 877, 880--881, 883, 886, 889-890, 895, 901-902,905,907,909-910, 918-919,921-923,925-931, 936, 940, 955-956, 962, 964-966, 970-970, 971, 974-975, 982, 994-995, 1001-1002 grawitacyjnego 382, 404, 422, 435, 437, 439, 446, 475, 814-815, 833, 848, 856, 858, 860, 902, 974 klasyczna 435, 464, 633, 803, 815,862,910,929 kwantowa -4 kwantowa: teoria pola bozonow 546, 567, 895 fotonow 426, 546, 600 Poincan!go-niezmiennicza 786 popperowska 982-983 powierzchni Riemanna 121, 142, 852,872-873,955,1001-1002 Reggego 893, 905-906, 922, 1005 relatywistyczna 399, 422, 464, 476, 547-548, 553-554, 582-586, 589-591,627,638,738,926, 945, 998, 1001 renormalizowalna 628, 649--{i52, 654,715-716,836,838, 845-846, 856-857, 975, 1000 reprezentacji (grup) 257-258, 260, 282, 903, 964, 994 ci,!glych 260 rozmaitosci zespolonych 324, 877, 929, 936, 1001-1002 Seiberga-Wittena 892-893 sieci spinowych 61, 66, 347, 908-909, 912-916, 918, 925-926,930,987 snopow holomorficznych 927 spinorow 141,205,338,538539, 875, 936, 980 spinowo-torsyjna Einsteina-Cartana-Sciamy-Kibble'a 291 struktur q-zdeformowanych 909 strun 121,134, 142, 211, 246, 313, 324, 338, 461, 623, 627, 654, 693, 787, 839, 846-847, 849, 851-862, 864, 866-867, 871-887,889-893,895,898, 902, 906, 915, 930, 936, 953, 955, 963-965, 971-973, 977-978,981-982,987, 1000-1002 heterotyczna E, x E, 876 heterotyczna 0(32) 876, 882 na hipertorusie 874 typu I 849, 876, 882, 887, 930, 955 typu IIA 876, 882 typu lIB 876, 882
Indeks rzeczowy strunowa hadronow 849, 851 supergrawitacji 291, 313, 842-843, 845-847, 878-879, 887, 936, 1000 superstrun 856, 877, 936 supersymetrii 654, 839-840, 842, 849, 856, 878, 881, 887, 890, 963, 980-981, 1000 systemow calkowalnych 962, 964 toposow 923 trajektorii Reggego 1005 twistorow 61, 121, 134, 141, 158, 269, 273, 278, 310, 322, 324, 326-327, 339, 526, 543, 580, 793, 852, 855, 890, 893, 896, 898,900-903,910,918-919, 921,923,925-931,935-936, 940, 944--945, 947, 951, 953-956, 960-970, 977-978, 980, 986-987, 996, 1001-1002 Weyla 431-433, 448, 625, 738, 910 wyzlow 347, 907, 913, 919, 923 i splotow 907, 923 wi<jzek Wielkiej Unifikacji ---> TWU wszystkiego 47, 59, 211, 239, 353, 382,413,415,426,431,437, 439, 457, 464, 467-468, 477, 493, 508, 553, 600-601, 604, 610,613--614,617,626-626, 627-628,636-637,647,650, 653--654, 657-658, 668, 671-672, 683, 750, 754, 779, 784--785,814,816,831,835, 838-839,848-849,852,854, 856-858, 862, 871, 874, 876-878, 880, 882-883, 886, 904, 915, 921, 927, 953, 964, 971,978,981,989,994--995, 1000-1001 wzglydnoki 11,39,45,47,57, 60, 134,136,141,149,177,196, 257, 265, 267-269, 278, 283, 286, 293--294, 297, 306, 308, 312-313,366,373,380, 382-383,388-392,396,399, 401-404,407-408,411,413, 415-416,418-419, 421-422, 431, 437, 442-446, 448-449, 456, 464-465, 467, 471, 474-475, 479, 483, 490, 500, 514,526,551,553,567,571, 579, 582-583, 589, 591, 625, 627-628, 633, 638-639, 650, 658, 670, 672, 678, 684-685, 723,730-731,734,738-739, 751,760,782,784--786,791, 802-803,808,814-817, 826-827, 834-834, 835, 838, 843, 845, 848, 852, 854, 856-858, 860, 864, 872-873, 880-882, 898-899, 902, 905, 910, 914, 916-917, 919, 922,
924--925, 927, 930, 936, 947, 961,971-972,974,978,985-986, 994, 996, 998, 1000-1001, 1006-1006, 1007 prozni 880 ogolna 11, 45, 47, 57, 134, 136, 267, 283, 286, 293, 297,312-313,366,373, 380,382,390-392,402-404,411,431,437,443-446,448-449,456,467, 471,475,526,551,582, 628, 633, 650, 658, 670, 672, 678, 684-685, 723, 730-731,734,738-739, 751,784--786,791,802, 808,814-817,826-827, 835, 838, 843, 845, 848, 852, 854, 856-858, 860, 864, 872-873, 880-882, 898-899, 902, 905, 910, 914,916-917,919,924, 927,930,947,961,971-972, 974, 978, 985-986, 994,998, 1000-1001, 1006-1006, 1007 szczegolna 11, 149, 196, 265, 268-269, 306, 308, 373, 383, 388-389, 392, 399, 401-403,407,415,418-419,421-422,464,475, 483,514,551,571,579, 582-583, 589, 625, 627, 639, 658, 738, 826, 835, 838, 898, 922, 924, 930, 947,971,985 Yanga-Millsa 434, 621, 712, 877, 881,883-884,890, 892, 965,1001 zbiorow kwantowych 922 zmiennych pytlowych 347, 882, 905-907, 913-916, 918, 921,930,987 termodynamika 421-422, 660-661, 666-671, 674-675, 685, 717, 724--726, 731, 738, 746, 749, 789-790, 792, 795, 797-798, 971,998 statystyczna 421, 660, 795, 797-798 TKTP 510-511, 559-560, 571, 574, 761, 764--765, 770, 787 tlumienie drgan 536 ruchu 659 topologia 48, 122, 126, 135-136, 143-145, 149, 197, 211-213, 236-237,310,316,320,323, 331-334,338,410,430,434, 448,612,645-647,655,709-712,714,772,850-851,872-873, 877, 886, 889, 895, 907, 910,912,914,919,921,923, 953,959,969,997 algebraiczna 923
diagramu Feynmana 647, 850 euklidesowa 48, 211, 213, 430 hipertorusa 895 ogolna 136, 236, 711, 907, 923 ograniczona 236 powierzchni 135-136, 143-145, 149,212,448,851,873,914 Riemanna 135-136, 144--145, 873 przestrzeni 136, 149, 211, 213, 236-237, 316, 323, 338, 410, 448, 711, 772, 873, 877, 886, 889, 895, 921, 953, 959 rozmaitosci 136, 149,212-213, 877,914,997 zespolonej 136, 877, 997 sfery S2 877 wyzlow i splotow 907, 910, 914 wi'lZki 331, 334, 953, 969 topologiczna kwantowa teoria pola ---> TKTP nietrywialnosc 211-212, 331 rownowaZnosc 850 dyskretna 144 struktura sieci spinowych 912, 914 trywialnosc 211-212, 331 torsja 213, 291-292, 295-296, 298, 301-304,306,336,372,378, 380-381,391,410,444,449, 462, 734--737, 745, 839, 868, 900,956 koneksji 291, 296, 298, 301-304, 306,336,372,378,391 topologiczna 213 torus 135-136, 143-145,212-213, 227,874,895 Riemanna 135-136, 144--145, 212 tozsamosc algebraiczna 908 Bianchiego (druga) 291-292, 337,441 Jacobiego 259-260, 309 komutatorowa 309 Ricciego 292, 910 trajektoria 376, 454-456, 462-463, 535,546,605,638,659,851, 944, 979, 1005 cZ<jstki bezmasowej 944 klasyczna 546, 638 elektronu 546 Reggego 851, 979, 1005 transformacja biliniowa (Mobiusa) 140, 142, 269,272 cechowania 431, 433, 468, 495, 600 gladka 138, 300 kanoniczna 257, 904 konforemna 138, 142, 145,411, 431,793,935 liniowa 139, 246-251, 253-258, 260-263, 265-269, 271-275, 277-278, 280, 282, 483, 507, 510,512,514,525,905
1103
Indeks rzeczowy
1104
aktywna 266 bierna 266 infinitezymalna 258, 507 nieosobliwa 256, 272 odwrotna 263, 275 ogolna 139, 246, 248, 280 ortogonalna 247-248, 268, 272 osobliwa 250, 256, 272, 514 pseudounitarna 275 rzeczywista 265-269, 278 skoftczona (nieinfinitezymalna) 257, 507 tozsamosciowa 250 unitarna 271-272, 512 zespolona 254, 269, 271-273, 277 Lorentza 422, 541, 593, 739, 944, 966 macierzowa 249, 261, 280, 942 pseudounitarna 275, 278 unitarna 271-272, 275, 512 Zukowskiego 147-148 translacja 25, 85, 145, 201-202, 350,398-399,419,437,466, 473-474,512,524,540-541, 543,793-794,800,930 czasoprzestrzenna 419 czasowa 540, 793-794 infinitezymalna 473, 524 przestrzenna 419,437,466,474, 512,524,540-541 skladanie (dodawanie) 85, 398, 540 w czasie 466, 524, 543 transpozycja (macierzy) 261-262, 267,273,276 sprzyzona 273 trojkllt euklidesowy 202, 402-403 krzywoliniowy (sferyczny) 42, 202 dualny 263 3-forma 224, 424, 436 objytosc zwarta 439, 448 Pcrd 541-542, 545 powierzchnia zamkniyta 427 przestrzeft euklidesowa ]&3212, 247-248,286,322,530, 765,863 rozmaitosc 241 niespojna 242 skierowana 228 spojna 242 zespolona 866, 874, 877, 929, 938, 1001 wymiarowy element plaski 221, 386 twierdzenie 10 Atiyaha--Singera 149 Banacha-Tarskiego 350 Bella 557, 563 CPT 598, 610-611, 786, 964 de Moivre'a 100 Desargues'a 328-329, 339, 344--345,363
Fermata wielkie 13, 23, 361, 891, 999 male 13, 977 Gaussa-Bonneta 48 G6dla 0 niezupelnosci (nierozstrzygalnoSci) 19, 353, 355, 999 Greena 224 Kodairy 958-959 Lagrange'a 55, 361 Liouville'a 462, 782, 812 Newlandera-Nirenberga 236 NO-GO 833 Ni:ither 419, 437, 466-467, 473 o odciyciu 170 o osobliwosciach 683, 726, 870-871,895 o zwi¢u spinu ze statystykll 567, 618-619, 631 Pappusa 328, 339, 344--345 Pitagorasa 10,24,26,30-32,47, 50-52,55,88,306,394 podstawowe algebry 73, 82, 254 rachunku calkowego 101, 114--115, 224, 226, 229, 422, 427-429 rozniczkowego i calkowego 101, 224, 226, 229, 422,427-429 popperowskie 982 Riemanna 0 odwzorowaniu konforemnym 146 Stokesa 224, 237 Taylora 302, 311, 891 twistor 61, 121, 134, 141, 158, 209, 269,273,278,310,322,324, 326--327, 339, 526, 543, 580, 793, 852, 855, 890, 893, 896, 898,900-903,910,918-919, 921,923-931,934--949,951-970,977-978,980,986--987, 996, 1001-1002, 1006 dualny 273, 937, 941-943, 957, 960-961, 963-964 jako promieft swietlny 925-927, 929-930, 939, 943-944 jako spinor wyzej wymiarowy 934 jako spinor zredukowany grupy 0(2, 4) 934, 936 nieobojytny 942-943 obojytny 938-940, 943 rzutowy 927, 929, 938-940, 943-944, 954--955, 957-959, 961,968,1001-1002 nieobojcrtny 943 zespolony sprzyzony 937, 941, 943 twistorowa (-e,-y) formalizm diagramowy 963 funkcja falowa 945-947, 960, 963,969 fotonu 947, 949
kohomologia snopow 926, 949 KTP 955, 962-963 opis czasoprzestrzeni 926--927, 945 p61 bezmasowych 949 pol fizycznych 926 relacje komutacji 945 reprezentacja pol bezmasowych 966 teoria cZllstek elementarnych 962 kwantow 944, 1002 wyraZenia 209, 948, 963 zmienne --+ zmienne: twistorowe TWU 103,510-511,559,761, 770, 787,977
U uklad drgajqcy 457 dwustanowy 528, 531, 765-766 holonomiczny 469 izolowany 447, 467, 552, 660, 670 jednostek bezwzglydnych --+ jednostki: Plancka naturalny --+ jednostki: Plancka nieholonomiczny 469 niezmienniczy 437, 468-469 n-stanowy 782 odniesienia 311, 377, 383, 412-414,416-418,440,485, 513,524,538,544,578-580, 589, 603, 609, 660, 669,720,794,833,868 inercjalny 413, 579, 794 przyspieszony 794 spinorowy 538 stacjonarny 579 swobodnie spadajqcy 377, 833 wlasny, spoczynkowy 416--417,720 rownaft rozniczkowych nieskoftczony 871 Sioneczny 373, 444, 659, 669, 684,734,807,1007 wspolrzc;dnych preferowany 439, 448 zamknicrty 124, 127, 462, 811 ulamek 10, 50, 52-56, 58, 67-68, 70,81,89,162,170,342,353, 618,742-743,869,983 cillgly 53-56, 58, 67 nieskonczony 54, 56, 58, 67 dziesiytny 52-53, 67 nieskoftczony 52-53 okresowy 53 unifikacja grawitacji i mechaniki kwantowej 582, 790-791, 1007 oddzialywan cZllstek elementarnych 841
Indeks rzeczowy elektroslabych i silnych 623 struktury czasoprzestrzeni i zasad mechaniki kwantowej 945 VIR paradoks 356, 360, 403, 432, 566, 752, 777, 779, 985 procedura 10, 58, 62, 88, 106, 129, 136, 181, 191, 193,231, 273, 285-287, 301, 342, 353, 396,464-465,467,471,474, 503,505,509,515-516,536, 554, 567, 572, 578, 629, 647, 650, 652, 656, 710, 740, 752, 757, 759, 772, 774, 779, 788, 790, 794, 827, 873, 891, 899, 923, 930, 951, 959, 966, 971, 991-992 uwl6knienie 969 holomorficzne 969 Hopfa 320
W wahadlo 413, 457-458, 659 magnetyczne 659 walec 2-wymiarowy 317 walencja operatora 288, 291 tensora 233, 262, 273-274, 288-291,303,307 warstwa czasowa przestrzeni ICE4 399 grupy 245 Heaviside'a 102 stozka swietlnego 410 wartosci funkcji 78-80, 87, 90, 92, 95, 102-104, 106-108, 110, 117-119, 120-121, 123, 125, 129, 131-132, 133-135, 138, 140,151, 154, 165, 168, 172-173, 177-180, 188, 191-192,209,295,319-320, 333-334, 362, 453-454, 465, 482-483, 486, 494, 497, 500, 510, 525, 586, 588, 644, 740, 782,797,820,851,888,901, 946, 952, 990 gole 649, 841, 881 srednie 106, 135,342,382,421, 469, 480, 502, 558, 640, 649, 659, 682, 836, 870, 983,1005 wlasne 254, 280, 461, 511, 541 energii 483, 511, 544-546, 548, 586, 598, 813 komutujqcych obserwabli 541-542 macierzy gystosci 768, 777-778,782 momentu pydu 528, 537, 541, 546,548,550 niezdegenerowane 518 obserwabli kwantowej 515-516,550
operatora Laplace'a 536 wielokrotne 254, 256, 545, 768, 945-946 zdegenerowame 460, 518, 521 zespolone 78, 80, 82, 90, 92-93, 96, 120, 123, 131-132, 133, 138, 145, 156, 178, 188, 191, 254, 273, 362, 486-487, 502, 510,515,633,795,800,901 wartosc bezwzglydna 102, 177-178,295, 494,656,837,881 gola ladunku 649, 841 krytyczna gystosci materii 743, 983-984 m (wlasna spinu) 82, 107, 114, 118, 131, 156, 191, 254, 273, 284,288,295,302,315-316, 319,344,428-430,483,489, 514,518,528,535,537,541, 546, 548-549, 586, 594, 643, 661, 678, 743, 745, 768, 770, 800,841,888,911,915, 965-966, 982 oczekiwana 549, 580, 745, 762, 818, 820-821, 827, 882, 984 pola dylatonowego 882 okreslona obserwabli 514, 516 spinu 399, 522, 526-528, 530, 532, 535, 539, 546, 563, 567,630,770,851,869, 900, 904-907, 911-912, 915, 918, 925, 980 srednia energii 480, 502 ubrana ladunku 649 wlasna 483 pydu 483, 496, 528, 537, 541, 544, 546, 548, 550, 945 operatora pomiaru 496, 515, 518-519, 756 operatora skrytnosci 945-946 polozenia 945 spinu 527, 530, 535, 546 zdegenerowania 460, 518, 521 warunek dodatnich cZystosci 163-164, 642, 741, 793-794, 885, 901,927,948-949,954,995 Frobeniusa 237 generycznosci 870 Hausdorffa 216, 236 holomorficznosci funkcji 188 istnienia pr6zni 858 jednorodnosci 946 ortogonalnosci 535, 550, 768 w przedstawieniu Majorany 535 nieujemnosci energii 895 normalizacji funkcji falowej 494 parazwartosci 236 plaskosci Ricciego -4 plaskosc: Ricciego znikania w nieskoftczonosci 632 zwartosci 236, 265, 551
wektor 181, 183-184, 186-188, 194-195, 201-203, 206-209, 213,216-222,228-238,246-247,249-252,254-256, 259, 261-263,265-266, 268, 272, 274-275, 279-280, 282-289, 292-308,310,312,315-327, 329-333, 336-338, 340, 361, 363, 372-373, 385, 394, 400, 413-418,423,425-427,429-430,435-437,440,443,450, 454-457,460,462,469,473, 483,485,493-494,503-504, 506-507,509-511,513,515, 517-519,525,527-528,531-535, 537-538, 540-543, 553-555,559,566,571-572,589, 592-594,607,620,629,632-633,635,645,709,711,748, 752-753, 756, 759, 761-762, 764,766,768-771,773, 777, 790-791, 793-794, 797-798, 800-805,814-818,833,844, 848-849,859,862,887,895, 900-901,904,917,929,935, 937-938,942,949-951,953, 955-957,959,961,973,1005 czasopodobny 417-418, 440, 645, 793-794, 801-803, 814,895,929,955 czasoprzestrzenny 416, 423, 793, 814,929,935,942 czasopodobny 793, 929 przestrzennopodobny 929 zerowy 929 energii-pydu 413, 415-416, 435, 443,540-541,589, 801, 803-804 gystosci prildu 423, 427 Killinga 280, 307-308, 436-437, 793-794, 797-798, 800805,814-817,848-849, 859,862,887 czasopodobny 793-794, 801-803, 814 przestrzcnnopodobny 801-805 kolumnowy 261-262, 525 kostyczny 218, 312, 324, 326-327, 332,340,450,454,844 lilczilCY 297-298, 373 n-wektor 219-220, 231, 538 momentu magnetycznego 535 pola elektrycznego 429, 469, 532-533, 554-555, 900 magnetycznego 423, 429, 469, 532-533, 535, 554-555, 900 polozenia 266, 414-415, 418, 504, 542,553,929,949,955 4-przestrzenny 418 3-przestrzenny 415 prqdu ladunkowego 423, 426 przestrzennopodobny 801-805, 929
1105
Indeks rzeczowy r6wnolegty 24&-247, 282, 284-288, 292-293, 29&-298, 301, 304-306, 312, 332-333, 1005 spinowy Pauliego-Lubanskiego 542 spinu 203, 312, 323-326, 535, 537-538, 542-543, 553, 572, 594, 904, 935, 942 stanu 217-219, 251, 261-262, 282, 287-288, 321, 323-324, 329, 372, 394, 436, 457, 469, 483, 485, 493-494, 503-504, 50&-507,509-510,513,517,519, 531, 553, 566, 571, 589, 594, 620,629,635,752-753,759, 762, 764, 766, 768,77G-771, 773,777, 79G-791, 794, 815-816, 917, 935, 937, 973 kwantowego 485,493,503-504, 513,553,571,762,764, 768, 79G-791,917, 973 Stokesa 533 styczny 217-220, 228, 283, 285-288, 293-295, 297-298, 301-302, 312, 323-324, 32&-327, 332-333, 336, 340, 385, 417-418, 440, 450, 454, 503,537-538,593,752,801, 844, 895, 917, 1005 czasopodobny 417-418, 440, 895 jednostkowy spinorialny 323-324,537-538 wierszowy 261 wtasny 217-218, 220, 246, 254-256,280,284,287,306, 460, 483, 504, 515, 517-518, 566, 756, 759, 777, 801, 815 obserwabli 515, 542 operatora polozenia 504 zerowy 218-219, 250, 254, 275, 282, 301, 319-320, 324, 385, 418,645,764,849,895,929 zespolony 206, 235-236, 24&-247, 254, 272, 32G-322, 324-326, 337, 394, 494, 506, 51G-511, 531, 554, 559, 632-633, 764, 770, 904, 937-938, 953, 955 sprzc;zony 272, 511, 559, 770 wc;zly i sploty 907-908, 910, 914, 923 potr6jne 908, 913 sieci spinowej 347, 913-914 willzanie chemiczne 595-596, 751 kowalentne 595-596 wi'lzka 312-327, 331-340, 352, 362, 369-372,377-378,381,384,
38&-387,399,430-434,464, 469,478-479,490-491,496,
1106
52G-523, 537-538, 549, 621, 623, 703, 71G-711, 713, 817, 845, 848-849, 875, 893, 896, 904,953,957,959,969,996
Clifforda 320, 322-324, 331, 337, 537-538 Galileusza 369-372, 377-378, 386 gt6wna 332, 340 iloczynowa 315-316, 319-320, 333,369,372,377 liniowa 316, 320, 325, 332, 523, 549 kostyczna 324, 32&-327, 332, 464 Mbbiusa 31&-318, 320, 331 nad przestrzeni'l 4-wymiarow'l 875 2-wymiarow'l 334 rzutow'l327 napryzona 332-337, 432 nieskrycona 315 styczna 323-324, 32&-327, 332-334,336,464,537 tensorowa 327, 332, 336 trywialna 315-317, 319, 331, 334,875,953 U(I) 323, 337-338, 430, 433, 623 wektorowa 315, 320, 324-327, 331,33&-337,430,538,711, 953 zespolona 320, 324-326, 337, 953 wl6knista 312, 314-315, 331, 338, 369-371, 377, 621, 713, 817, 875, 957, 969 zespolona 320, 322-326, 331, 334-335, 337-338, 953 liniowa 325 widmo atomowe 432, 547, 997 atomu wodoru 1001 ciala doskonale czarnego 751, 792 promieniowania ciata czarnego 480, 751 rentgenowskie 681 wielkosc antysamodualna 902 dualna 188, 190, 272, 288, 421, 424-425, 623, 901-902, 919, 937 kwadrupolowa 900 lewoskrc;tna 426, 522, 603, 902 lokalna 292, 301, 430, 438, 447, 470,489,815,935 polowa 843, 871, 90G-901 samodualna 901 skalarna 64,179,18&-188,237, 273,287,291,311,334,416, 430, 436, 483, 910, 942, 967 tensorowa 266, 273, 283-284, 290,299,312,336,400,418, 435, 438, 525, 539, 761, 900 wektorowa 183, 187-188, 194, 213, 217, 221, 232, 237, 262, 266, 284, 288, 299, 301, 336, 400,413,435-437,900,956 wielomian 73, 81-82, 254, 637, 859, 899,907,909,919 Alexandera 908
HOMFLY 908 Jonesa 908, 909 Kauffmana 908 zespolony 82 wierzchotek diagramu Feynmana 613, 621, 643, 651-654 stozka §wietinego 384, 409, 933, 939-940 typu "H" (sieci spinowej) 913-914 typu "X" (sieci spinowej) 913-914 wiyzy 363, 469, 555, 566, 622, 624, 644,650,899,914,916,918-919,934,990,1002 hamiltonowskie 899, 914, 918 wl6kno 312, 314-325, 327, 33G-335, 337-340, 369-372, 377-378, 430,432,621,713,748,817, 845, 875, 893, 895, 904, 957, 961,969, 1005 optyczne 895 rzutowania 316, 370, 961 wskai:niki (indeksy) spinorowe 232, 527,550,947 nieprimowane 272, 525, 602-603, 625, 902, 948 primowane 272-273, 525-526, 602-603, 625, 902, 941, 947-948 wsp6lrzc;dne (-a) biegunowe 8&-87, 92, 411, 79&-797 czasowa 160, 415, 553, 582, 67G-672,738, 794, 79&-797, 817,917 jednorodne 248, 330, 938-939 kanonicznie sprzc;zone 467, 476, 899 kartezjanskie 78-79, 8&-87, 92, 104-106,247-248,265,267, 306,321,394,397,414,448, 451,456,473,517,53&-537, 796,864 zespolone 86-87, 92, 397, 517 k'ltowe 451, 476, 797-798 krzywoliniowe 899 lokalne 177-178, 181, 188,224, 442,862 Minkowskiego 405-406, 423, 430, 436, 448, 456, 590, 738, 935,937,941-942 plaskie 220, 430, 436, 448, 456, 473, 475, 797, 899, 950, 957 sferyczne 411, 53&-537 stereograficzne 411 twistorowe 937, 945, 957 uog61nione 451, 454, 458-460, 464, 467, 469, 473, 475476,544,904 wymierne 362 zespolone 80, 82, 86-87, 92, 96, 158,178,235,269,334-335,337,362,39&-397,
Indeks rzeczowy 411,517,795,843,937, 942,945 wstyga M6biusa 215, 228, 316-317 swiata 859-861, 872, 878-879 2-wymiarowej struny 860 struny 0 dodatnio okreslonej metryce 859 Wszechswiat lO-wymiarowy 874 Einsteina 442, 674, 689, 742, 827, 886, 983, 1007 Friedmanna -> model: FLRW inflacyjny 690, 704, 716-718, 720-727,731,741-742,746,830 jednorodny 45, 485, 675, 687-688, 713,716-718,724-727,729, 731,736-737,826,982 kombinatoryczny 912 niesko6czony 63, 341, 670, 689, 693, 699, 729, 804, 820, 991 obserwowalny 688, 693, 695, 698-699, 718, 732, 734, 741. 820, 888, 972, 982, 1004 otwarty 691 partycypacyjny Wheelera 834 sko6czony 62-63, 341, 670, 672, 689, 693, 699, 729, 804, 820, 991 stacjonarny de Sittera 719-721 statyczny, przestrzennie ograniczony 442, 724 wygladzony 732 zamkniyty przestrzennie 149,442, 691 wymiar dodany czasoprzestrzeni 338 grupy symplektycznej 278, 309 przestrzeni wektorowej 194, 213, 217-218,247,250-251, 256, 259,261-262,265,280,283, 316-318,320-322,324-325, 329-332,337-338,363,483, 506,620,632-633, 904, 937-938 rzeczywisty 11, 60, 137, 175-176, 194,196-197,204,206,235, 256,265,269,309,316,318, 331-332,337-338,363,394, 398,553,555-556,620,632-633, 796, 817, 846, 860, 880,928,931,938,940,943, 958,960 wewnytrzny przestrzeni 313-314, 409, 885, 965 zespolony 130, 175-176, 188, 193, 196-198, 206, 229, 235, 254, 265, 269, 309, 320-322, 324-325, 335, 337, 363, 394, 397,419,433,486-487,506, 511,528,555-556,632--633, 646, 782, 904, 928-930, 936-938, 940, 958, 960, 994995, 1001
wz6r Bakera-Campbella-Hausdorffa 310 Balmera 551 Bekensteina-Hawkinga 685-686, 698,880,882--883 Cotesa-Eulera 94 Lamberta 34, 270 Michella 680, 881 Rayleigha-Jeansa 480 Leibniza 112, 289, 473, 511
Z zaburzenie pola metrycznego 860 przestrzeni nieosobliwe 870-871 w spos6b generyczny 895 zachowania nieanalityczne 966-967 nieholomorficzne 966, 995 zachowanie antyholomorficzne 896 4-pydu 419, 643-644, 803--804 energii 413-416, 418, 435-438, 446-447, 456, 462, 466-467, 477, 500, 506, 513, 524, 547, 584,660,731,746,780,792, 801--805, 821 energii-pydu 413-416, 435-438, 447, 466-467, 477, 524, 792, 803--804 holomorficzne 148, 150, 852, 896, 945-946, 967 iloczynu skalarnego 511-512, 759,803 liczby barionowej 489, 584 !adunku 422, 427-428, 435-436, 467, 489, 584, 605, 612, 703 masy 8,223,414-416,418-419, 436-437, 447, 524, 549, 590, 593, 644, 673, 731, 746, 824, 966 masy-energii 414-416, 418, 447, 524, 731, 746 momentu pydu 413-415, 419, 435-436,467, 524, 559, 792 normy 71, 509, 511, 775 objytosci przestrzeni fazowej 667,812 pydu 413-416, 419, 435-438, 447, 466-467, 474, 477, 524, 559, 577, 643-644, 659, 673, 792, 803-804 prawdopodobie6stwa 641, 758-759,812,966,995 tachionowe 855 zacmienie SIo6ca 445 zak 4,19,41,52,89,108,172,195, 207, 229-230, 236, 256, 265, 280, 283, 299, 302, 336, 359, 361,406,444,446,458-459, 476,479,482,506,517,522, 533, 542-544, 547, 558, 566, 573, 584, 603-615, 625, 634,
643, 649, 652, 658, 664-665, 673,683,689,693,699,701, 712,714,721,726-727,733, 737-738, 754, 756, 763, 766-767, 775, 787-789, 799, 812, 821,823,826--827,831,854, 856,858,863,866,881--882, 888,902,910,912,929,940, 957,963,982,993,997 antyneutrina 608-609, 634 elektronu 479, 603-604, 609, 615, 854,902 neutrina 609, 634, 997 zamkniyte krzywe czasopodobne 391, 718-719, 870 pytle (diagramu Feynmana) -> Pl'tla: zamkniyta zapadanie grawitacyjna 678, 683, 736 zapis (tensorowy, macierzowy) 2-spinorowy 598, 601-602, 900, 947 abstrakcyjno-wskaznikowy 232,252 graficzny 252 z przekresleniem 593 zygzakowy 605 zasada antropiczna 699, 727-733, 747, 749, 786, 990-991 mocna 728-730, 749 slaba 728, 749 dynamiki Newtona 370 druga 660, 731, 749 pierwsza 371 trzecia 372-373, 414, 468 ekwipartycji energii 665 Hamiltona 452-454, 464-466, 511,546,589,639,641, 760,976 holograficzna 883--886 identycznosci cZllstek kwantowych 433 liniowej zespolonej superpozycji stan6w 522, 638 Macha 383, 514, 723, 747, 749, 838, 902, 905, 910, 919, 965,990,994 nieoznaczonosci Heisenberga 486, 499-500, 819-820, 827--828, 929, 973 energia/czas 500, 819 polozenie/pyd 499-500, 820 og6lnej kowariantnosci 439, 670, 816,834,858,905,907,914, 916-917 przyczynowosci 682, 718-719, 830, 929 r6wnowainosci 373-376, 382, 384, 436, 438-439, 794, 816,833,854,952,985 Einsteina 374, 382, 436, 985 stacjonarnego dzialania 452, 465,639
1107
Indeks rzeczowy superpozycji 522, 614, 638, 660, 773, 819, 823, 833, 905, 925,995 wzgl"dnosci 366, 368, 371, 382-383, 386-387, 390, 399-400, 412-413,415,464,553,579, 582, 589, 628, 670, 723, 760, 791, 815--816, 826, 835, 857, 873,914,922,925,985-986, 1007 Galileusza 366, 368, 371, 383, 387,413,985 zasady mechaniki kwantowej 433, 439, 464,505,514,522,582,589, 638,751,759-760,774,785, 791, 803, 816, 826, 835, 857, 917, 925, 936, 945, 974, 976, 986, 1003, 1007 zbior 63, 339, 342 dokladny 236, 350, 353-354, 503,599,756,882 domkni"ty 149 fraktalny 725 liczb calkowitych Z 52, 67, 342, 350-352 kwadratowych 52, 56, 67, 348 naturalnych N 63--64, 347-350, 353, 357, 359 wymiernych 52, 56, 58, 64, 67, 347-348, 350-351 zespolonych 265 maksymalnie sprecyzowany 757, 778 Mandelbrota 16-17, 81-83 niepusty 237, 350 nierekurencyjny 359 nieskonczony 16, 58, 63, 213, 236,342,347-351,353,891 otwarty 136, 149-149, 150, 213, 216, 236-237, 309, 348, 669,949-951,959 podzbiorow 81, 133, 150, 349, 351-354,357,359 pozaskonczony 361 projektorow 756-757, 778, 781, 783 przeliczalny nierekurencyjnie 361 rekurencyjnie 359 pusty63, 237, 289,348,350, 352 rekurencyjny 359 roznic doskonalych 363 skonczony 16, 58, 63, 213, 236237,342,347-351,353, 361,761,863,891,922
Steina 922, 951 zupelny komutujqcych operatorow (obserwabli) 542 zewnytrznych 527 ortogonalnych projektorow 756 zwarty213, 227, 237, 863, 959 zdanie typu il, 361 zdarzenia 8, 18, 367, 369-370, 384-387,389-391,401-402,409410,440,482,516,520,548, 562, 564, 566, 574, 580, 584, 597, 640, 650, 679--683, 685, 696, 701, 715, 729, 737, 777, 786-789,791,803,823,830--831,880-882,927,929,938-939,948,960,968,982,993, 1000 jako punkty czasoprzestrzeni 370,384,831,927,960 jednoczesne 367, 401, 564 na stozku swietlnym 384, 409, 939 zderzenie 376, 416, 446, 481, 622, 684, 703, 734, 1004 proton-proton 622 zespolona liniowosc struktur przestrzeni Hilberta 765 przestrzen wektorowa 246-247, 272, 320-322, 324-325, 337, 494, 506, 510, 632--633, 904, 937-938 rzutowa 3-przestrzen 929 3-rozmaitosc Calabiego-Yau 866,877,1001 zespolony promien iiwietlny 928, 938-939, 969 tensor Maxwella 901 Weyla 901 zlamanie przyczynowosci 391, 715 supersymetrii 842 symetrii 243, 607, 614--615, 621--624,652,654,704,706-716,722,786-787,829-830,842,981,996-998 cechowania, nieabelowej 716 oddzialywan elektroslabych 622,624,654,708-709, 712-716, 722, 996 spontaniczne 615, 704, 706-708,710-712,714, 996-998
U(2) 615, 622--624, 652, 654, 708-709,712,715 wzglydem odbic 607 zmienne Ashtekara ~ zmienne: pytlowe dynamiczne 483-484, 496, 500, 513-514, 915 heisenbergowskie 513 kanoniczne 903, 919, 945 kanonicznie sprzyzone 903, 945 niezalezne 189, 196, 363, 452, 466, 476, 500, 543, 550, 866,905,945 pydowe 498, 554, 903, 945 pytlowe (Ashtekara-Rovellego-Smolina) 347, 898-899, 902-903,916,919,925 polozenia 162, 482-483, 498, 500,513-514,554,594, 903,929,945 twistorowe 543, 945, 963-964, 987 zwarta 4-objytosc 428, 466 hiperpowierzchnia przestrzennopodobna 691, 870, 895 przestrzennopodobna 6-przestrzen riemannowska 862 6-rozmaitosc 874 zwartosc 142, 227, 236-237, 264--265,548,551,863 grupy polprostej 265 przestrzeni 227, 237, 548, 551, 863 topologicznej 237 sfery kierunkow przestrzennych 548 zwierciadlo paraboliczne 490, 823 polprzepuszczajqce 490, 773, 787 zyg 576, 598, 601, 603--616, 622, 625, 634,651,713,902,997 elektronu 601, 603--605, 607, 609, 611,615,651,713,902 neutrina 609, 612, 634, 713, 997
Z zrodlo pola 172, 197, 429, 435, 439, 443, 522-523,577,613,710,820, 881, 896, 910 elektromagnetycznego 443 fotonow 522-523, 577 grawitacyjnego 435, 439, 443, 820,910 lokalnie znikajqcego 910 punktowe 910
Indeks nazwisk A Abbott B. 449 Adams C. C. 919 Adams F. J. 209, 339 Adams Walter Sydney 446 Adler S. L. 363 Afriat A. 580 Abaronov Yakir 339, 581, 832 Abmavaara Y. 68, 341, 921, 967 Aitchison I. 654 Albert D. 783 Alpher Ralph Asher 702 Amati Daniele 853 Ambjorn J. 750 Ampere Andre Marie 423 Anderson Carl David 1006 Anguine K. 749 Antoci S. 448 Archimedes z Syrakuz 60, 101, 994 Arfken G. 550 Arndt M. 834, 1004 Arnold V. I. 392 Arystoteles ze Stagiry 367, 369, 377,392 Ashtekar Abhay Vasant 68, 655, 749, 845, 894, 896, 899-900, 902, 904, 917-920, 977 Atiyah Michael Francis 968
8 Back Ernst 49 Baez John 893, 920, 967 Bagger J. 893, 1006 Bahcall John N. 750 Bailey T. N. 173-174,598,832,969 BanchoffTom 419 Barbour J. B. 448, 748 Barnes V. E. 626 Barrow J. D. 749 Becquerel Antoine-Henri 601 Bekenstein Jacob David 791-792, 879, 882, 886, 915 Belinskii V. A. 749 Bell John Stewart 831 Beltrami Eugenio 38, 48 Berberian S. K. 967 Bergmann P. G. 918-919 Berry M. V. 339 Bilaniuk O. M. 393 Bjorken J. D. 656
Blanchard Alain 703, 750 Bloch Felix 762, 765-766 Block Martin 625 Bohm David Joseph 434, 557, 559, 573, 758, 766, 776, 911-912, 992, 1005 Bohr Niels Henrik David 508, 547, 752,774 Boltzmann Ludwig 664-665, 994 Bolyai Janos 43 Bombelli Raphael 74 Bondi Hermann 68, 392, 402, 447, 703,1005 Bonnor W. B. 449 Borel Felix Edouard Justin Emile 874,895 Borner G. 748 Born Max 514 Boskovic Rudjer Josip 448 Bouwmeester Dik 974 Bradley James 410 Braginsky V. 549 Brahmagupta 89 Brekke L. 364 Bremernann H. 174 Brooks R 17 Brown J. W. 419 Bryant R L. 896 Bucher M. 750, 1005 Burbidge E. M. 749 Burkert W. 22 Burkill J. C. 67, 118
C Cachazo F. 897 Calabi Eugenio 876, 891, 954 Candelas Philip 877, 889, 1000 Cantor Georg 68, 347, 350-352, 354-357 Cardano Gerolamo 69, 73-74, 82 Carnot Sadi Nicolas Leonard 421, 661 Cartan Elie 210, 224, 245, 364, 377-378, 381, 391 Carter Brandon 704, 727-728, 749, 799 Cauchy Augustin-Louis 122, 125-126, 132, 137, 188-190, 192, 946 Cayley Arthur 197, 251 Chadwick James 601
Chambers RG. 448 Chandrasekhar Subrahmanyan 684, 703 Chew Geoffrey 979,1006 Christian J. 833 Church Alonzo 118,364 Churchill R V. 192 Clausius Rudolf 422, 661 Clifford William Kingdon 209, 310, 323,943-944,1005 Cohen Paul 23 Collins P. D. 893, 1005 Colombeau J. F. 174 Compton Arthur Holly 612 Connes Alain 237, 656, 924, 967 Conway J. H. 67, 279, 580 Cotes Roger 94,100 Coulomb Charles Augustin de 644 Cramer J. G. 781 Crane Louis 918 Crowe M. J. 209 Crumeyrolle A. 210
D Dapprich Johannes 833 Darmon Henri 23 Darwin Charles 730, 734 Das A. 502, 896 Davenport Harold 67 Davies P. 832 Davis M. 364 Davisson Clinton Joseph 479 Davydov A. S. 655 Dedekind Julius Wilhelm Richard 57-58,62,64 Derow Peter 780 Desargues Girard 344 Deser S. 893 Deutsch D. 548, 780, 1005 Devlin "Keith 279 Dhar J. 393 Diamond Fred 891 Dicke Robert Henry 448, 702, 728 Dine M. 895 Dirac Paul Adrien Maurice 174, 509-510,548,551,558,583, 591-592, 594-596, 602, 611, 628,634-636,654,710,727728, 749, 837, 916, 918, 976, 982,1005
Indeks nazwisk
Dodelson Scott 703, 748, 750 Dolan L. 279 Doppler Christan 745 Doran J. L. 210 Douady A. 82 Dowker Fay 781 Drake Stillman 368, 392 Dray Tevian 922 Duggins Andrew 993, 1006 Dunham W. 118 Du Sautoy Marcus 132, 1006 Dyson Freeman John 1006
E Eastwood M. G. 969 Eddington Arthur Stanley 445, 580,668,702,736,836,1006 Ehrenberg W. 448 Einstein Albert 11, 230, 248, 283, 293,312,365,372, 375-376, 378-80,382-384,388,403,415, 432, 421-422, 435-39, 441-445, 448,478-479, 481, 500, 582-584,587,589-90,690,746.750, 766, 816, 819, 842, 896, 898, 975 Elitzur Avshalom 549, 578 Elkies Noam 23 Ellingstrud Geir 877 Elliot J. P. 549 Ellis G. F. R. 237, 895 Escher Maurits Cornelis 32-38, 45, 138,407-408,691 Eudoksos z Knidos 56--57, 89 Euklides z A1eksandrii 60, 68, 138, 693, 978 Euler Leonhard. 23, 76, 93, 96, 100, 102, 104, 107-108, 110111, 121, 127, 131-132, 642, 647, 994, 1006 Everett Hugh 548, 753
F
1110
Faraday Michael 382, 421 Fermat Pierre de 13-15, 23, 101 Fermi Enrico 606-607, 631 Fernow R. C. 834 Ferro Scipione del 74 Feynman Richard Phillips 593, 622,641,645,648,651,655656,781,846,922,965,975 Fields John Charles 891, 924 Fierz Markus E. 919, 968 Finkelstein David 655, 967 Fitch Val Logsdon 611 FitzGerald George Francis 412, 415 Flanders H. 237, 448 Floyd R. M. 832 Fock Vladimir A1exandrovich 637 Fontana Niccolo (Tartaglia) 73 Fortney L. R. 549 Fourier Joseph 151-152, 161-163, 165,498-499,517 Frege Friedrich Ludwig Gottlob 348
Frenkel A. 821 Friedmann A1eksander A1eksandrowicz 689, 692-693, 695, 699 Frittelli S. 969
G Galileusz (Galileo Galilei) 60, 348, 367,369, 374--376, 382, 413, 454, 457, 833, 985 Gamow George 702 Gandy R. 364 Gangui A. 748 Gauss Carl Friedrich 48, 78, 224, 297,423,450 Gell-Mann Murray 617-618, 626, 782, 992, 1005 Germer Lester Halbert 478 Geroch Robert 550, 625, 967, 979, 1005 Ghirardi Giancarlo 821 Gibbons Gary W. 795, 797, 800, 833,893,896 Gibbs Josiah Willard 422, 994 Gisin N. 581, 781, 833 Glashow Sheldon Lee 606, 626 Gleason Andrew Mattei 580, 1006 Goddard P. 893 Giidel Kurt 360-361 Goldbach Christian 361, 500, 720, 1005 Goldberg J. N. 550 Goldblatt R. 967 Goldstein S. 500 Gottesman D. 832 Goudsmit Samuel Abraham 595 Graham R. D. 548, 780 Grassi Renata 781 Grassmann Hermann 209, 986 Greene Brian 893-894, 896, 918 Green George 224, 655 Green Michael 852-853, 893-894 Griffiths P. 968 Griffits Robert 755 Groemer H. 550 Gunning R. C. 968 Giirsey F. 209 Gurzadyan Vahe G. 49, 745, 984 Guth Alan 722-723
H Haehnelt M. G. 748 Hall Aspeth 785 Hall Edwin Herbert 68 Halverson N. W. 49 Hameroff Stuart 992, 1006 Hamilton William Rowan 193, 195-197,201,209,450,1006 Hanany S. 49 Han M. Y. 1008 Hansen B. M. S. 703 Hansen R. O. 969 Hardy Godfrey Harold 41, 48 Hardy Lucien 558 Hariot Thomas 42
Hartle James 364, 420, 702, 734, 738--739,741-742,747,750, 786,920,984 Hartnoll S. A. 894 HalVey F. R. 174, 968 Hausdorff Felix 136 Hawking Stephen W. 702-704, 741, 749,754,771,781-782,793, 805-806, 809, 832-833, 870, 895, 967, 983 Hawkins T. 280 Heaviside Oliver 119, 471-472 Heisenberg Werner 500, 511-513, 638, 647-648, 784, 892, 897 Helgason S. 237 Hermite Charles 271 Hertz Heinrich Rudolf 383, 426 Hestenes D. 209, 625 Hey A. 654 Heyting A. 48 Hilbert David 48, 467-468, 513 Hiley B. 500, 755 Hirschfeld J. W. P. 363 Hodges Andrew 962, 969, 1006 Hodge William Vallance Douglas 425 Horowitz G. T. 896 Howie J. 363 Hoyle Fred 720, 729, 749, 893, 1005 Huang Kerson 625 Hubbard J. 82 Hubble Edwin 674 Huggett S. A. 968 Hughston Lane P. 833, 893, 968, 1006 Hulse Russell Allan 445 Hurwitz Adolf 197
Immirzi Giorgio 967 Infeld Leopold 598, 625 Isenberg J. 969 Isham Christopher J. 833, 923, 967 Israel Werner 703
J Jackson J. D. 549 Jacobi Carl Gustav Jacob 259, 297 Johnson C. 896 Jordan D. 236, 280 Jordan Pascual 628 Jozsa Richard O. 581, 782, 967
K Kahler Erich 875 Kahn D. W. 192 Kaku M. 626 Kaluza Theodor (Kaluza Teodor) 313-314,887 Kane G. 892 Kasper J. E. 896 Katz S. 896 Kauffman Louis H. 919 Kay B. S. 832 Kelley J. L. 236, 338
Indeks nazwisk Kent Adrian 778-779, 782 Kepler Johannes 657, 977 Kerr R. P. 703 Kibble Tom Walter Bannerman 449,833 Killing Wilhelm 245, 703, 802 Kirschner Robert 743 Klein Felix Christian 193 Klein Oskar 313-314, 407, 448, 838,846 Kobayaschi S. 237 Kocharyan A. A. 49 Kodaira Kunihiko 969 Kolb E. W. 830 Komar A. B. 364 Kontsevich M. 896 Krauss L. M. 750 Kreimer D. 967 Kruskal M. D. 832 Kuchar K. 918
L Labastida J. M. F. 919 Lagrange Joseph Louis (Giuseppe Luigi Lagrangia) 55, 358, 450, 468, 639 Lambert Johann Heinrich 33, 43, 45,405,994 Landsman N. P. 655 Lang S. 1005 Laplace Pierre Simon 423, 450 Laporte O. 625 Lasenby J. 210 Lawrie I. 893 Lawson H. B. 598 Lee Tsung Dao 205 Legendre Adrien-Marie 450 Leggett Anthony J. 567 Leibniz Gottfried Wilhelm von 113,192,223,289,977 Lemaitre Georges-Henri 687, 689 Lenard Philipp Eduard Anton 479 Levi-Civita Tullio 251, 281, 306 Levitt M. H. 920 Lewandowski Jerzy 919-920 Lewis J. D. 896 Lichnerowicz A. 894 Liddle Andrew R. 703 Lie Marius Sophus 261, 311 Linde A. 580, 750, 1005 Littlewood J. E. 67 Livio Mario 749 Loll Renata 750 Lorentz Hendrick Antoon 268, 383, 826, 936, 986 Lounesto P. 210, 598 Lubanski J. K. 543 Uiders G. 549 Ludvigsen M. 448 Luminet Jean-Pierre 703 Lyth D. H. 748 Lyttleton R. A. 68
MacDuffee Cyrus Colton 280 Mach Ernst 748 Mac Lane Saunders 923 Magueijo J. 749 Mahavira 62 Mahler K. 364 Majorana Ettore 534, 538-540, 550 Maldacena Juan 883, 886, 890, 896 Mandelbrot Benoit 16, 19, 81--82, 725 Manogue Corinne A. 363, 922, 967 Marsden J. E. 191 Marshall William 824, 834 Mason L. J. 969 Matelski J. P. 17 Mattuck R. D. 656 Maxwell James Clerk 422, 464, 614,633,665-666,784,901, 948 McLennan J. A. Jr. 967 Merkulov Sergiej A. 969 Michell John 679 Mie Gustav 468, 693 Milgrom Mordehai 750 Millikan Robert Andrews 68, 479 Minassian E. 895 Minkowski Hermann 393, 425, 427 Misner Charles W. 749, 918 Mobius Augustus Ferdinand 228 Moller Christian 646 Montgomery Deane 279 Moore A. W. 364, 392 Mott Nevill Francis 580, 830, 834 Moussouris John 967 Munkres J. R. 338 N Nambu Yoichiro 626, 850, 855 Napier ---> Neper Narayan Ramesh 702 Nayfeh A. H. 310 Needham T. R. 83,131 Negrepontis Stelios 67 Neper (Napier) John 100 Netterfield 49 Neumann John (Janos) von 63, 518,549,762,994 Newman Ezra T. 210,449, 550, 800,832,962 Newton Isaac 43, 366, 371, 375, 381-382,390,392,399,414, 435,448 NgY. J. 782 Nielsen M. A. 549-550, 581, 782, 893 Nirenberg L. 238 Nomizu K. 237 Nordstrom Gunnar 880, 883 Norton S. P. 68 Nother Emmy Amalie 474 Novikov I. D. 393, 832
0 M MacCallum M. A. H. 919, 968
O'Donnell P. 238, 1005 Oppenheimer Julius Robert 599
Ostrogradsky Michail Wasiliewicz 224,423,450 Ozsvath Istvan 749
P Page D. 782, 833 Pais A. 448, 470, 598, 625, 702 Pan J. 196, 271, 581 Pappos z A1eksandrii 339 Pars L. A. 210 Pauli Wolfgang 448, 569-570, 595-596,601-602,610,619,629, 679,968,976 Pearle P. 781 Peat F. D. 749 Pedrini B. 68 Penney D. E. 119 Penrose Roger 23, 67, 118, 238, 338, 364,392,420,449,550,581, 625, 702-703, 749, 780-781, 805, 831, 833, 893, 895--896, 909,919-920,968-969,1005-1006 Penzias Arno Allan 702 Percival I. C. 834 Perez A. 920 Periwal V. 895 Perjes Zoltan 963 Perry M. J. 449, 798, 800 Peskin M. E. 656 Philiponos Ioannes 374 Pitagoras z Samos 5, 9-11, 22, 47, 89 Pitagorejczycy 50 Planck Max 421, 479, 481, 697 Platon z Aten 11-13,15,17-18, 21-22,55,57,349,643,989990 Poincare Jules Henri 31, 39, 44, 137,223,234,264,380,381, 385,394,395,400,411,412, 415,422,543,545,546,751. 43,225,237,384,419,429, 739 Poisson Simeon Denis 309, 461, 787 Polchinski Joseph 857, 895 Popper Karl 984, 1005 Post Emil 9, 29, 76, 138, 347, 364, 377,439,476,491,594,841, 853,902 Powell Cecil Frank 617 Preskill J. 832 Pressley A. 967 Priestley H. A. 83, 132 R Raine D. J. 749 Rayleigh, lord ---> Strutt John William Randall L. 1004 Reasenberg Robert D. 446 Rees Martin 748 Reeves J. N. 703 Regge Tulio 617, 967
1111
Indeks nazwisk Reisenberg M. P. 920 Reissner H. 880, 883 Rideout 967 Riemann Bernhardt 133, 136, 146-147 Rimini Alberto 821 Rindler Wolfgang 48, 210, 236-238, 281,310-311,339-340,420, 448-449,470,549-550,598-599,625,704,797,832,893, 895, 968-970, 1005-1006 Robertson Howard Percy 687, 689 Robinson D. S. 449, 943 Rogers A. 893 Roentgen Wilhelm Conrad 488, 681 Roseveare N. T. 449, 831 Rossi H. 968 Rovelli Carlo 68, 833, 919, 978, 1005 Rubinstein J. 655 Runde V. 364 Russell Bertrand Arthur William 68,364
S Saccheri Girolamo 41-42, 48, 50 Sachs Rayner 449, 919 Sakellariadou M. 748 Salam Abdus 606, 626, 628, 980 Sato Mikio 168-169 Saupe D. 82 SchanuelS.967 Scherk Joel 856 Schild A. 68, 922, 967 Schilling T. A. 500 Schmidt Erhard 777 SchrOder P. V. 655 Schr6dinger Erwin 60-61, 68, 448, 495,512-513,540,546,557, 580,598,638,748,772,779-780,813,822-824,828,965, 991, 1003, 1006 Schwachh6fer L. J. 964 Schwarz John H. 856 Schwinger Julian 655 Sciama Dennis William 449, 748, 919 Sen Amitabha 899 Shankar R. 502, 548-550, 598, 655 Shawhan P. 449 Shaw Ronald 626 Shih Y. H. 581 Shilov G. 174 Shimony A. 580 Shrock R. 655 Simon B. 548 Simon Christoph 824, 834 Singer I. M. 969 Singh S. 23, 364 Sinha Bikash 748, 834 Sitter Willem de 392 Slipher Vesto Melvin 702 Smith D. A. 209
Smolin Lee 68, 730, 749, 895-896, 919-920,967,1004 Smoot George F. 703 Snyder Hartland 68, 682 Sobczyk Garret 209 Sommerfield Charles P. 881 Sorabji R. 67 Sparling George 963 Squires E. J. 781, 833 Stachel J. 68 Stapp Henry 558, 566, 578 Starobinski A1eksiej 716 Stevin Simon 374 Stoney George Johnstone 68, 837 Straus E. G. 448 Strauss 192 Struik Dirk J. 192 Strutt John William (lord Rayleigh) 480 Sundrum R. 896 Susskind Leonard 832, 851 Swain J. 550 Synge John Lighton 448
T Tait P. G. 209 Tales z Miletu 9-10 Tartaglia 4 Fontana Niccolo Taylor Brook 119, 302, 311 Taylor Richard 891 Teitelboim C. 893 Terrell J. 420 Thiele R. 118 Thiemann Thomas 920 Thirring Walter E. 280 Thomas I. 48 Thomas Richard 1002 'tHoof! Gerardus 892 Thorne Kip S. 896 Tipler Frank J. 702, 704 Tittel W. 580, 1004 TodK. P. 749 Tolman Richard Chase 701, 722 Tomonaga Sin-ltiro 628 Torres S. 49 Trautman Andrzej 338, 598 nou Florence (Sheung nun) 623, 626,748,893,963 Turing Alan Mathison 353, 360-361, 364 Turok Neil 741, 750, 897, 1005 Twiss Richard Q. 571 U Unruh W. G. 832 Unti T. W. J. 449
V Vafa Cumrun 880, 882, 896 Valentini Antony 781 van der Waerden Bartel Leendert 82-83,279,598,625 van Heijenoort J. 364 van Kerkwijk Marten H. 702
Varadarajan M. 920 Veneziano Gabriele 851, 893 Vickers J. A. G. 449 Voigt Woldemar 892
W Wald R. M. 448, 655, 702-703, 832, 968 Walker A. G. 687, 689 Ward Richard S. 962-963 Warren John 78 Weber H. 502 Weber Tullio 821 Weinberg Steven 624, 626, 628, 747, 781, 821 Wells R. O. 968, 1005 Werbos P. J. 581, 781, 832 Wessel Caspar 78, 81 Weyl Hermann 210, 280, 431-432, 448,736,812 Wheeler John Archibald 364, 420, 611,702,730-731,782,827-828,997 Whittaker E. T. 968 Wick Gian-Carlo 738-739, 872-873 Wien Wilhelm 480 Wigner Eugene 774, 782, 992, 1006 Wilder R. I. 364 Wiles Andrew 13-14, 23 Williams R. K. 805, 832 Willmore T. J. 48, 237 Wilson Kenneth Geddes 905 Wilson Robert Woodrow 702 Winicour J. 470 Witten Edward 852-853, 860, 876, 878-879, 890-891, 893-894, 896-897,910,919,969 Woodhouse Nick M. J. 185, 192, 237, 339, 500, 969 Woodin W. H. 364 Wooters W. K. 581, 782 Wright E. M. 67 Wu Chien-Shiung 205, 607 Wykes A. 82 y Yang Chen Ning 607, 626 Yau Shing-Tung 449, 896 YuiN.896 Yukawa Hideki 601, 617
Z Zee A. 550, 599, 625-626, 655-656, 919 Zehnder Ludwig 491-492, 521 Zeilinger Antony 581, 834 Zeldowicz Jakow B. 749 Zimba J. 550, 580 Zinn-Justin J. 656, 750 Zippin Leo 279 Znajek R. L. 805, 832 Zumino Bruno 980, 1005 Zweig George 617