Vorkurs Mathematik

E. Cramer · J. Nešlehová Vorkurs Mathematik Arbeitsbuch zum Studienbeginn in Bachelor-Studiengängen Dritte, verbesser...

Author: E. Cramer | J. Neslehová

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E. Cramer · J. Nešlehová

Vorkurs Mathematik Arbeitsbuch zum Studienbeginn in Bachelor-Studiengängen

Dritte, verbesserte Auflage

123

Professor Dr. Erhard Cramer Institut für Statistik und Wirtschaftsmathematik RWTH Aachen Wüllnerstr. 3 52056 Aachen Deutschland e-mail: [email protected]

Dr. Johanna Nešlehová Department of Mathematics ETH Zürich Zentrum Rämistr. 101 8092 Zürich Schweiz e-mail: [email protected]

Mathematics Subject Classification (2000): 62-01

ISBN 978-3-540-78180-6

e-ISBN 978-3-540-78181-3

DOI 10.1007/978-3-540-78181-3 Bibliografische Information der Deutschen Nationalbibliothek Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.d-nb.de abrufbar. c 2008, 2006, 2005 Springer-Verlag Berlin Heidelberg Dieses Werk ist urheberrechtlich geschützt. Die dadurch begründeten Rechte, insbesondere die der Übersetzung, des Nachdrucks, des Vortrags, der Entnahme von Abbildungen und Tabellen, der Funksendung, der Mikroverfilmung oder der Vervielfältigung auf anderen Wegen und der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen, bleiben, auch bei nur auszugsweiser Verwertung, vorbehalten. Eine Vervielfältigung dieses Werkes oder von Teilen dieses Werkes ist auch im Einzelfall nur in den Grenzen der gesetzlichen Bestimmungen des Urheberrechtsgesetzes der Bundesrepublik Deutschland vom 9. September 1965 in der jeweils geltenden Fassung zulässig. Sie ist grundsätzlich vergütungspflichtig. Zuwiderhandlungen unterliegen den Strafbestimmungen des Urheberrechtsgesetzes. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Herstellung: le-tex Jelonek, Schmidt & Vöckler GbR, Leipzig Umschlaggestaltung: WMX Design GmbH, Heidelberg Gedruckt auf säurefreiem Papier 987654321 springer.de

Vorwort

v

Vorwort Mathematisches Schulwissen wird in Vorlesungen vieler Studiengänge als bekannt und vollst¨ andig verstanden vorausgesetzt. In der Realität zeigt sich jedoch, dass dieser Anspruch zunehmend nicht erf¨ ullt ist und Studierende oft Schwierigkeiten haben, dem Inhalt einer einf¨ uhrenden Veranstaltung zur Mathematik oder Statistik zu folgen. Zur Schließung vorhandener L¨ ucken werden daher oft Vorkurse oder so genannte Br¨ uckenkurse“ angeboten, die ” das Schulwissen beginnend bei Mengenlehre und Bruchrechnung aufbereiten. Aus einem derartigen Kurs, der von den Autoren an der Universität Oldenburg mehrfach durchgef¨ uhrt wurde, ist auch die Idee zu diesem Buch entstanden. Der Vorkurs Mathematik pr¨ asentiert die bis zur Oberstufe des Gymnasiums vermittelte Mathematik in einer Form, die einerseits das Selbststudium ohne weitere Betreuung erlaubt und andererseits den Einsatz des Buchs als Begleittext zu einem Vorkurs unterst¨ utzt. Dazu enthält er neben einer ausf¨ uhrlichen Darstellung der Inhalte und einer großen Anzahl von Beispielen eine Vielzahl von Aufgaben mit ausf¨ uhrlichen Lösungen, die Lernende bei der (selbstst¨ andigen) Ein¨ ubung des Stoffs sowie der Analyse der eigenen Bearbeitung unterst¨ utzen. Als ein weiterer zentraler Aspekt enth¨ alt dieses Buch viele Beispiele aus der angewandten Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung. Diese Bereiche stellen ein wichtiges Anwendungsfeld der Mathematik dar und liefern somit die Motivation f¨ ur die ben¨ otigte Mathematik. Die Darstellung in diesem Buch trägt diesem Ziel auch dadurch Rechnung, dass sie Themen wie z.B. Funktionen, Mengen, Folgen etc. und Problemstellungen aufgreift, die in der Statistik von Bedeutung sind. Dabei werden zwangsl¨ aufig Begriffe eingef¨ uhrt, deren inhaltliche Relevanz sich erst im Rahmen einer Veranstaltung zur Statistik erschließt. Eine vertiefende Diskussion sowie der Aufbau eines Verständnisses f¨ ur diese Begriffe kann und soll hier nicht geleistet werden. Ein Vorteil dieses Ansatzes besteht darin, dass Lernende den Umgang mit Begriffen ein¨ uben und den mathematischen Gehalt des Begriffs realisieren. Insofern eröffnet dieser Zugang einen wichtigen Beitrag zum abstrakten Denken und bietet zudem Wiedererkennungseffekte in Veranstaltungen zur Statistik. Zudem kann der Vorkurs begleitend zu einer Statistikveranstaltung genutzt werden, um mathematische Zusammenh¨ ange aufzuarbeiten. Statistische Fachbegriffe können uchern wie z.B. Burkschat et al. (2004), Genschel und in einf¨ uhrenden B¨ Becker (2004) und Cramer und Kamps (2008) nachgelesen werden. Der Vorkurs umfasst in zw¨ olf Kapiteln das in Bachelor-Studiengängen benötigte mathematische Schulwissen, wobei ein großer Teil der in Grundvorlesungen zur Statistik vorausgesetzten Mathematikkenntnisse abgedeckt wird.

vi

Vorwort

Ausf¨ uhrlicher als in der Schule werden f¨ ur die Statistik bedeutsame Themen wie Summen- und Produktzeichen oder Folgen und Reihen behandelt. Einige weiterf¨ uhrende Konzepte wie Funktionen mehrerer Veränderlicher sind nicht enthalten und m¨ ussen an anderer Stelle nachgelesen werden (s. z.B. Kamps et al., 2003). Der Vorkurs Mathematik unterscheidet sich von anderen Lehrb¨ uchern durch die inhaltliche Konzeption, die Art der Darstellung und die problem- und zielorientierte Aufbereitung. Insbesondere werden folgende Aspekte ber¨ ucksichtigt: Alle vorgestellten Begriffe werden ausf¨ uhrlich erläutert und – sofern sinnvoll – grafisch veranschaulicht. Dabei ist die Wiederholung von bereits vorgestellten Inhalten beabsichtigt, um den Lernenden die Möglichkeit zu geben, die Themen selbstst¨ andig zu erarbeiten und einzu¨ uben. Die Methoden und Verfahren werden durch viele Beispiele aus der angewandten Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung illustriert. Erg¨ anzend zur formalen Darstellung werden Begriffe und Eigenschaften durchgehend auch verbal eingef¨ uhrt bzw. erläutert. Die große Auswahl an Aufgaben und deren ausf¨ uhrliche Lösungen unterst¨ utzen das selbstst¨ andige Lernen und ermöglichen eine effiziente Selbstkontrolle. Das Nachschlagen einer L¨ osung zu einer Aufgabe (und umgekehrt) wird durch ein einfaches Verweissystem erleichtert: Am Rand einer Aufgabe (Lösung) befindet sich jeweils ein Verweis auf die Seite, auf der die zugeh¨ orige L¨ osung (Aufgabe) abgedruckt ist. Die Gestaltung dieses Buchs ist an die modulare Online-Präsentation der Inhalte in der Lehr- und Lernumgebung EMILeA-stat angelehnt (s. http://emilea-stat.rwth-aachen.de). Bezeichnungen und Definitionen, Beispiele und Regeln sind im Buch grafisch hervorgehoben. Wichtige Stellen im Text, die einer besonderen Aufmerksamkeit bed¨ urfen, werden auf dem Rand zus¨ atzlich mit dem Symbol markiert. Viele Grafiken illustrieren Vorgehensweisen und Verfahren. Sie dienen u.a. der Vertiefung und dem besseren Verständnis des Stoffs. Einige Grafiken wurden mit dem EMILeA-stat Grafikpaket erzeugt (s. Cramer et al., 2004). Verweise auf Beispiele, Begriffe und Eigenschaften innerhalb des Lehrtexts sind einer Online-Umgebung nachempfunden. Jedem 123Verweis ist zur schnellen Orientierung die zugeh¨ orige Seitenzahl zugeordnet, so dass ein Umweg u ¨ ber den Index entfallen kann. Weitere Elemente zur besseren Orientierung sind ein ausf¨ uhrlicher Index und ein strukturiertes Abk¨ urzungs- und Symbolverzeichnis, das neben einer kurzen Erl¨ auterung auch den Verweis auf eine Textstelle enthält.

Vorwort

vii

Die zweifarbige Umsetzung erm¨ oglicht die Hervorhebung wesentlicher Aspekte und die optische Strukturierung der Inhalte. Zudem werden Rechen¨ schritte und Argumentationen durch die Kennzeichnung von Anderungen deutlicher gemacht. Die dritte Auflage des Vorkurses wurde erneut kritisch durchgesehen, alle erkannten Unstimmigkeiten wurden beseitigt. Weitere Materialien zum Buch bzw. zum mathematischen Grundwissen werden auf der Webseite www.vorkurs-mathematik.de

zur Verf¨ ugung gestellt. Dort k¨ onnen Sie uns auch Ihre Anmerkungen und Vorschl¨ age mitteilen. Wir danken allen Leserinnen und Lesern, die uns Hinweise und Anregungen mitgeteilt haben und damit zur Verbesserung des Vorkurses beigetragen haben, sowie Frau Lilith Braun f¨ ur die angenehme Zusammenarbeit mit dem Springer-Verlag. Aachen, Z¨ urich Januar 2008

Erhard Cramer, Johanna Neˇslehov´ a

Aus dem Vorwort zur 1. Auflage Bei der Entstehung dieses Buchs wurden wir von Freunden und Kollegen in vielerlei Hinsicht unterst¨ utzt. Herr Prof. Dr. Udo Kamps hat uns als Herausgeber der EMILeA-stat-Medienreihe zu diesem Projekt eingeladen und es in seiner Entstehung begleitet. Wir danken ihm weiterhin f¨ ur einige wertvolle Anregungen, die zum Gelingen des Buchs beigetragen haben. Herrn Clemens Heine gilt unser Dank f¨ ur die ausgezeichnete Zusammenarbeit mit dem Springer-Verlag. Einige Aufgaben und L¨ osungen wurden von Frau Corinna Krautz und Herrn Christian Mohn erstellt, der auch die Durchsicht einiger Kapitel u uhrt unser besonderer Dank Frau ¨ bernommen hat. Schließlich geb¨ Dr. Katharina Cramer und Frau Doreen Scholze, die durch sorgfältiges Lesen des gesamten Manuskripts einige Unstimmigkeiten ausgemerzt und durch ihre Hinweise zur Verbesserung der Darstellung beigetragen haben.

Darmstadt, Oldenburg Juni 2004

Erhard Cramer, Johanna Neˇslehov´ a

Inhaltsverzeichnis

ix

Inhaltsverzeichnis Vorwort ...........................................................

v

1

Grundlagen

3

1.1

Grundbegriffe .....................................................

4

1.2

Zahlbereiche und elementare Verkn¨ upfungen...............

9

1.3

Runden von Zahlen ..............................................

24

1.4

Indizierung von Variablen ......................................

27

1.5

Aufgaben ..........................................................

30

1.6

Lösungen ..........................................................

34

2

Mengen

41

2.1

Grundbegriffe .....................................................

41

2.2

Mengenoperationen..............................................

47

2.3

Rechenregeln f¨ ur Mengenoperationen........................

56

2.4

Spezielle Mengen ................................................

59

2.5

Aufgaben ..........................................................

65

2.6

Lösungen ..........................................................

69

3

Elementare Rechenoperationen

77

3.1

Bruchrechnung ...................................................

77

3.2

Potenzen...........................................................

84

3.3

Wurzeln ............................................................

87

3.4

Logarithmen ......................................................

92

3.5

Aufgaben ..........................................................

96

3.6

Lösungen .......................................................... 100

4

Summen- und Produktzeichen

4.1

Summenzeichen .................................................. 111

4.2

Produktzeichen ................................................... 130

4.3

Fakultäten und Binomialkoeffizienten........................ 136

111

x

Inhaltsverzeichnis

4.4

Aufgaben .......................................................... 140

4.5

Lösungen .......................................................... 143

5

Funktionen

5.1

Relationen und Funktionen .................................... 153

5.2

Grundlegende Funktionen ...................................... 160

5.3

Funktionen mit Parametern.................................... 165

5.4

Verkn¨ upfung von Funktionen .................................. 167

5.5

Eigenschaften von Funktionen................................. 170

5.6

Aufgaben .......................................................... 179

5.7

Lösungen .......................................................... 181

6

Gleichungen

6.1

Lineare Gleichungen ............................................. 193

6.2

Quadratische Gleichungen...................................... 195

6.3

Bruchgleichungen ................................................ 208

6.4

Wurzelgleichungen ............................................... 210

6.5

Logarithmische Gleichungen ................................... 216

6.6

Exponentialgleichungen ......................................... 221

6.7

Betragsgleichungen .............................................. 224

6.8

Gleichungen mit Parametern .................................. 231

6.9

Substitutionsmethode ........................................... 234

6.10

Lineare Gleichungssysteme mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten...................................................... 236

6.11

Aufgaben .......................................................... 245

6.12

Lösungen .......................................................... 249

7

Polynome und Polynomgleichungen

7.1

Faktorisierung .................................................... 268

7.2


7.3

Polynomdivision .................................................. 272

153

187

265

Inhaltsverzeichnis

xi

7.4

Aufgaben .......................................................... 278

7.5

Lösungen .......................................................... 279

8

Ungleichungen

8.1

Lineare Ungleichungen .......................................... 288

8.2

Quadratische Ungleichungen................................... 291

8.3

Bruchungleichungen ............................................. 297

8.4

Betragsungleichungen ........................................... 302

8.5

Aufgaben .......................................................... 305

8.6

Lösungen .......................................................... 306

9

Folgen und Reihen

9.1

Folgen .............................................................. 313

9.2

Reihen.............................................................. 321

9.3

Spezielle Reihen .................................................. 323

9.4

Aufgaben .......................................................... 327

9.5

Lösungen .......................................................... 328

10

Grenzwerte, Stetigkeit, Differenziation

10.1

Grenzwerte von Funktionen .................................... 335

10.2

Stetige Funktionen .............................................. 343

10.3

Differenziation .................................................... 347

10.4

Differenziation parameterabhängiger Funktionen .......... 355

10.5

Aufgaben .......................................................... 356

10.6

Lösungen .......................................................... 358

11

Integration

11.1

Integration und Stammfunktionen ............................ 365

11.2

Integrationsregeln ................................................ 371

11.3

Integration von st¨ uckweise definierten Funktionen ........ 375

11.4

Anwendungen in der Statistik ................................. 377

287

313

335

365

xii

Inhaltsverzeichnis

11.5

Aufgaben .......................................................... 383

11.6

Lösungen .......................................................... 385

12

Optimierung

12.1

Monotonieverhalten ............................................. 398

12.2

Extrema............................................................ 402

12.3

Konkavität und Konvexität .................................... 413

12.4

Optimierung bei st¨ uckweise definierten Funktionen ....... 414

12.5


12.6

Aufgaben .......................................................... 424

12.7

Lösungen .......................................................... 425

395

Literaturverzeichnis ........................................... 431 Symbol- und Abk¨ urzungsverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . 433 Index............................................................... 437

Kapitel 1 Grundlagen

1

1

1

Grundlagen

3

1.1

Grundbegriffe .....................................................

4

1.2

Zahlbereiche und elementare Verkn¨ upfungen...............

9

1.3

Runden von Zahlen ..............................................

24

1.4

Indizierung von Variablen ......................................

27

1.5

Aufgaben ..........................................................

30

1.6

Lösungen ..........................................................

34

1. Grundlagen

3

1 Grundlagen Die Mathematik und damit auch die Statistik beruhen – wie eine Fremdsprache – auf einem Vokabular, ohne das mathematische Ausdr¨ ucke, Aussagen und Resultate nicht verstanden werden k¨ onnen. Bestandteile dieser Fachsprache sind neben mathematischen Symbolen zentrale Begriffe wie Variablen und Funktionen sowie logische Verkn¨ upfungen von Aussagen. Diese Formalismen dienen sowohl der einfachen, exakten und prägnanten Beschreibung von Sachverhalten als auch einer m¨ oglichst allgemeinen Modellierung realer Situationen. Die formale Sprache der Mathematik hat gegen¨ uber verbalen Formulierungen den Vorteil, dass der betrachtete Inhalt präzise dargestellt wird und Mehrdeutigkeiten vermieden werden. Zum Verständnis dieser Sprache ist es jedoch von entscheidender Bedeutung, ihre Notationen und Symbole zu kennen und zu verstehen. Beispiel Die Menge aller reellen Zahlen, die kleiner oder gleich Eins sind,

kann mit mathematischen Symbolen als {x ∈ R | x ≤ 1}

oder

(−∞, 1]

geschrieben werden. Um diese Ausdr¨ ucke u ¨ bersetzen“ zu können, ist die ” Kenntnis der einzelnen Bestandteile erforderlich: { }: Mengenklammern (Was ist eine Menge?) x: Variable (Was ist eine Variable?) |, ∈, ≤, (, ], −∞: Was bedeuten diese Zeichen? R: Was sind reelle Zahlen?

Wie das vorstehende Beispiel zeigt, ist f¨ ur das Verständnis nicht nur die Notation selbst von entscheidender Bedeutung, sondern auch die Verkn¨ upfung und Reihenfolge dieser Symbole (z.B. beschreiben x ≤ 1 und 1 ≤ x unterschiedliche Sachverhalte). Im Folgenden werden die grundlegenden Begriffe und Notationen der Mathematik vorgestellt. Dazu werden alle Inhalte sowohl verbal als auch formal eingef¨ uhrt und – soweit möglich und sinnvoll – auch grafisch illustriert. Die Darstellung beginnt mit der Einf¨ uhrung grundlegender Begriffe und wird dann sukzessive bis zu Methoden der Differenzial- und Integralrechnung erweitert.

B

4

1.1

1. Grundlagen

1.1 Grundbegriffe Mengen

Ausgangspunkt der Betrachtungen ist der zentrale Begriff einer Menge von Objekten. B

Beispiel Folgende Beschreibungen definieren Mengen von Objekten:

Studierende aller Hochschulen in Deutschland, Fischarten, die an einem Korallenriff in Polynesien beobachtet wurden, gemeldete Versicherungssch¨ aden, die in einem bestimmten Zeitraum durch St¨ urme in Deutschland verursacht wurden, monatliche Gespr¨ achskosten f¨ ur mobiles Telefonieren in den Haushalten Niedersachsens. Abstraktere Beispiele von Mengen sind die u ¨ blichen 9Zahlbereiche wie reelle oder nat¨ urliche Zahlen bzw. Mengen, die sich aus einer mathematischen Fragestellung ergeben (z.B. 154Definitionsbereich einer Funktion, 188Lo¨sungsmenge einer Gleichung). Im Folgenden werden zunächst der bisher vage Begriff einer Menge pr¨ azisiert und M¨ oglichkeiten zur Darstellung von Mengen vorgestellt.

Definition Menge, Element Eine Menge ist eine Zusammenfassung unterscheidbarer Objekte. F¨ ur jedes Objekt muss eindeutig feststellbar sein, ob es zu der Menge geh¨ ort oder nicht. Die zu einer Menge gehörenden Objekte heißen Elemente der Menge.

B

Beispiel Autos mit einem deutschen Kennzeichen, Augensummen beim W¨ ur-

feln mit zwei W¨ urfeln, die geraden Zahlen oder die kleinen Buchstaben des deutschen Alphabets sind wohl bestimmte Mengen. Die Menge aller guten Filme ist wegen ihrer subjektiven und unklaren Beschreibung eine nicht zulässige Festlegung, w¨ ahrend die Menge aller amerikanischen Filme zulässig ist. Variable

Ein weiterer zentraler Begriff der Mathematik ist der einer Variablen.

Bezeichnung Variable Eine Variable ist eine Bezeichnung (Platzhalter) f¨ ur ein Objekt, das verschiedene Werte aus einer Menge von Elementen annehmen kann.

1.1

Grundbegriffe

5

Eine Variable repr¨ asentiert somit ein Objekt aus einer Menge (von Objekten), ohne dieses genau zu spezifizieren. Beispiel

Ein herk¨ ommlicher W¨ urfel tr¨ agt auf seinen Seiten die Ziffern 1, 2, 3, 4, 5, 6. Die Variable x bezeichnet etwa das Ergebnis eines W¨ urfelwurfs und repr¨ asentiert damit eine dieser Ziffern. Im Zusammenhang mit diesem Experiment ist x Stellvertreter f¨ ur die Zahlen 1, 2, 3, 4, 5, 6.

B

Eine Bank bietet ihren Kunden an, das Guthaben eines Sparbuchs am Beginn eines Jahres zu einem Zinssatz von 3% anzulegen. Die Variable G repr¨ asentiert den Wert eines Guthabens, dass ein potenzieller Kunde einzahlt. Die Verwendung der Formel 1,03 · G erm¨ oglicht dann durch Einsetzen eines speziellen Guthabens die einfache Berechnung des am Jahresende erzielten Kapitals. Je nach Objekt haben sich verschiedene Bezeichnungen f¨ ur Variablen durchgesetzt. Beispiel Variablen, die

B

Zahlen repr¨ asentieren, werden u ¨blicherweise mit kleinen lateinischen Buchstaben a, b, c, . . . , x, y, z bezeichnet, Mengen repr¨ asentieren, werden meist mit großen lateinischen Buchstaben A, B, C, . . . bezeichnet, Parameter (also Werte, die situationsabh¨ angig sind) repräsentieren, werden oft mit kleinen 433griechischen Buchstaben α, β, γ, . . . bezeichnet, Funktionen repr¨ asentieren, werden oft mit kleinen lateinischen oder griechischen Buchstaben f, g, h oder φ, ψ bezeichnet. Je nach Situation werden f¨ ur spezielle Funktionen auch Großbuchstaben wie F , G oder Φ, Ψ verwendet. Darstellung von Mengen

Um eine Menge beschreiben zu k¨ onnen, wird eine Vorschrift benötigt, die ihre Elemente eindeutig festlegt. Hierzu bieten sich die aufzählende und die beschreibende Darstellung an: Eine aufz¨ ahlende Darstellung ist eine Auflistung der einzelnen Elemente der Menge in geschweiften Klammern {. . .}, den so genannten Mengenklammern. Jedes Element wird genau einmal aufgef¨ uhrt.

6

1. Grundlagen

Bei einer beschreibenden Darstellung werden Mengen durch eine eindeutige Charakterisierung ihrer Elemente festgelegt (etwa mit Worten oder mit mathematischen Symbolen). B

Beispiel In den folgenden Beispielen werden Mengen zun¨ achst verbal und anschließend aufz¨ ahlend dargestellt:

Menge Menge Menge Menge

der der der der

Buchstaben des Namens Gunnar“: {G, u, n, a, r}.∗ ” Ziffern kleiner 6: {1, 2, 3, 4, 5} = {1, . . . , 5}. Notensymbole von der achtel bis zur ganzen Note: {, ♩, , }. Seiten eines W¨ urfels: { , , , , , }.

Die aufz¨ ahlende Festlegung einer Menge ist i.Allg. nur geeignet, wenn die Menge wenige Elemente besitzt. Die Menge aller in Deutschland zugelassenen PKWs kann zwar prinzipiell auch aufz¨ ahlend notiert werden, jedoch ist diese Vorgehensweise nicht angebracht, da die Auflistung wegen der großen Anzahl von Elementen un¨ uberschaubar ist. Weitere derartige Beispiele sind die Menge aller Sterne im Weltall oder die Menge aller Zellen eines Menschen. Weiterhin gibt es Situationen, in denen eine aufzählende Darstellung u ¨ berhaupt nicht m¨ oglich ist, da die Menge unendlich viele Elemente enthält (z.B. nat¨ urliche oder reelle Zahlen). In diesen F¨ allen wird meist die beschreibende Darstellung verwendet: {x | x ist ein in Deutschland zugelassener PKW}, wobei die Variable x ein Repr¨ asentant (Platzhalter) f¨ ur ein Fahrzeug ist. Der senkrechte Strich | wird gelesen als mit der Eigenschaft“ oder als mit“. Die ” ” obige Menge wird daher verbalisiert als Menge aller x mit der Eigenschaft, dass x ein in Deutschland zugelassener PKW ist. Allgemein wird die beschreibende Darstellung einer Menge folgendermaßen formuliert: Bezeichnet E eine bestimmte Eigenschaft von Objekten, so wird durch {x | x hat die Eigenschaft E} die Menge der Objekte definiert, die diese Eigenschaft besitzen. Der senkrechte Strich | wird manchmal durch ein Semikolon oder einen Doppelpunkt ersetzt: {x ; x hat die Eigenschaft E}, {x : x hat die Eigenschaft E}. ∗ Die Auflistung {G, u, n, n, a, r}, in der der Buchstabe n“ doppelt vorkommt, wird als ” {G, u, n, a, r} verstanden, d.h. mehrfach auftretende Objekte werden durch ein Element repr¨ asentiert. {1, 0, 1} ist somit gleichbedeutend mit {0, 1}. Entsprechend ist die Notation {5, 6, a} zu verstehen. Ist a = 5, so ist sie gleich {5, 6}, d.h. die Menge hat nur zwei Elemente. F¨ ur a = 7 hat die Menge die drei Elemente 5, 6, 7.

1.1

Grundbegriffe

7

Beispiel Beschreibende Darstellungen von Mengen sind z.B.:

B

Menge aller chinesischen Schriftzeichen: {x | x ist ein chinesisches Schriftzeichen}. Menge aller ungeraden Zahlen: {x | x ist eine ungerade Zahl}. Menge aller nat¨ urlichen Zahlen, die kleiner als Sechs sind: {z | z ist eine nat¨ urliche Zahl kleiner 6}. Menge aller F¨ ullmengen einer 1-Konserve: {v | v ist gr¨ oßer oder gleich Null und kleiner oder gleich 1}. Mit mathematischen Symbolen l¨ asst sich diese Menge sehr einfach schreiben als {v | 0 ≤ v ≤ 1} oder [0, 1]. Die bei der Definition einer Menge f¨ ur den Platzhalter gewählte Bezeichnung ist bedeutungslos. Die Mengen {v | 0 ≤ v ≤ 1} und {x | 0 ≤ x ≤ 1} stimmen u ¨berein. Wie bereits an den obigen Beispielen deutlich wurde, kann eine Menge mehrere Darstellungsformen haben. Jede muss die Menge jedoch eindeutig beschreiben.

Da die explizite Angabe der Menge mittels aufz¨ ahlender oder beschreibender Darstellung i.Allg. sehr aufw¨ andig ist, werden zur Abk¨ urzung der Notation Bezeichnungen in Form von Buchstaben eingef¨ uhrt. Mengen werden meist mit lateinischen Großbuchstaben A, B, C, . . . bezeichnet, die zur Unterscheiuber dung ggf. mit 27Indizes versehen werden, wie etwa A1 , A2 , A3 . Dar¨ hinaus sind f¨ ur spezielle Mengen besondere Symbole gebräuchlich, wie z.B. N, Q, R f¨ ur die nat¨ urlichen, rationalen und reellen Zahlen oder Ω f¨ ur die in der Wahrscheinlichkeitsrechnung vorkommende Grundmenge aller möglichen Ergebnisse eines Zufallsexperiments. Zur Bezeichnung der Elemente einer Menge werden meist kleine lateinische Buchstaben a, b, c, . . . , x, y, z verwendet. Ob ein Objekt x zu einer Menge A geh¨ ort oder nicht, wird wie folgt notiert: mathematische Darstellung x∈A x ∈ A

Bedeutung x ist ein Element von A x ist kein Element von A

Beispiel Ist A = {1, 2, 5}, so gilt 1 ∈ A, 6 ∈ / A.

B

8

1. Grundlagen

Aussagen und deren logische Verkn¨ upfung

Aussagen sind im mathematischen Verst¨ andnis Feststellungen, deren Wahrheitsgehalt (Wahrheitswert) stets mit wahr oder falsch angegeben werden kann. B

Beispiel Wahre Aussagen sind etwa:

Dienstag ist ein Wochentag.“ ” C ist eine r¨ omische Ziffer.“ ” Jede positive gerade Zahl ist eine nat¨ urliche Zahl.“ ” Aussagen mit Wahrheitswert falsch sind z.B. Dienstag ist ein Monat.“ ” C ist eine arabische Ziffer.“ ” Jede nat¨ urliche Zahl ist eine gerade Zahl.“ ” Im mathematischen Sinne nicht zul¨ assige Aussagen sind z.B. Morgen wird es regnen.“ ” Statistik ist spannend.“ ” Mit r¨ omischen Ziffern sind Rechnungen sehr umständlich.“ ” da keine eindeutige Bewertung dieser Feststellungen möglich ist (etwa wegen subjektiver oder zuk¨ unftiger Aspekte). Aussagen werden im Folgenden mit kalligrafischen Buchstaben A, B, C etc. bezeichnet, z.B. A = Dienstag ist ein Wochentag.“ ” Aussagen k¨ onnen logisch miteinander verkn¨ upft werden, d.h. aus mehreren Aussagen wird eine neue Aussage erzeugt. B

Beispiel Die Aussagen Das Buch hat 200 Seiten und Das Buch ist ein Roman

k¨ onnen in verschiedener Weise verkn¨ upft werden. Die Aussage Der Roman hat 200 Seiten ist eine und“-Verkn¨ upfung der ” obigen Aussagen, da beide gleichermaßen zutreffen m¨ ussen, um eine wahre Aussage zu erzeugen. Die Aussage ist gleichbedeutend mit Das Buch hat 200 Seiten und ist ein Roman.

1.2

Zahlbereiche und elementare Verkn¨ upfungen

9

Die Aussage Das Buch hat 200 Seiten oder es ist ein Roman hingegen beschreibt die oder“-Verkn¨ upfung. Es gen¨ ugt, dass eine dieser Aussagen ” zutrifft, damit die gesamte Aussage den Wahrheitswert wahr hat. Die Aussage Das Buch hat nicht 200 Seiten stellt offenbar das Gegenteil (die Negation) der Aussage Das Buch hat 200 Seiten dar. An dieser Stelle werden lediglich die wichtigsten, f¨ ur das Verständnis der mathematischen Grundlagen notwendigen, Verkn¨ upfungen vorgestellt. Ausf¨ uhrliche Darstellungen des Stoffs finden sich in einf¨ uhrenden Lehrb¨ uchern wie z.B. Kamps et al. (2003). Bezeichnung Logische Verkn¨ upfungen F¨ ur Aussagen A, B werden folgende logische Verkn¨ upfungen von Aussagen verwendet.

Bezeichnung

Symbol

Bedeutung der Verkn¨ upfung

Negation Konjunktion (und) Disjunktion (oder) Implikation (Folgerung) ¨ Aquivalenz (genau dann)

A A∧B A∨B A =⇒ B A ⇐⇒ B

nicht A A und B A oder B aus A folgt B A und B sind äquivalent

Die Verkn¨ upfungen werden durch eine Wahrheitstafel definiert, die angibt, upfung aus den Wahrheitswerten der wie sich der Wahrheitswert der Verkn¨ Aussagen A und B ergibt. Mit w wird der Wahrheitswert wahr, mit f der Wahrheitswert falsch bezeichnet. A B A A∧B w w f w w f f f f w w f f f w f

A∨B w w w f

A =⇒ B w f w w

A ⇐⇒ B w f f w

Aus dieser Tafel kann z.B. abgelesen werden, dass die Aussagen A und B äquivalent (gleichbedeutend) sind, wenn A und B jeweils den selben Wahrheitswert haben. Das oder“ ist kein exklusives oder“, d.h. A ∨ B ist wahr, ” ” wenn nur A, nur B oder beide gleichermaßen wahr sind.

1.2 Zahlbereiche und elementare Verkn¨ upfungen In den bisherigen Ausf¨ uhrungen wurden Zahlbereiche, wie etwa die nat¨ urlichen oder die reellen Zahlen, bereits erw¨ ahnt. Unmittelbar mit den Zahlberei-

1.2

10

1. Grundlagen

chen verbunden sind die elementaren Verkn¨ upfungen (Operationen) von Zahlen + , − , · , : “, die Grundrechenarten. Sie werden mit ihren wichtigsten Ei” genschaften nachfolgend systematisch eingef¨ uhrt, wobei jeweils demonstriert wird, wie sie zur Erweiterung des betrachteten Zahlbereichs f¨ uhren. Nat¨ urliche Zahlen

Der grundlegende Zahlbereich ist die Menge der nat¨ urlichen Zahlen N = {1, 2, 3, . . . }. Ihre mittels arabischer Ziffern 1, . . . , 9 dargestellten Elemente sind u.a. Repr¨ asentanten f¨ ur Anzahlen von Objekten. Alternativ kann eine Beschreibung mit anderen Zahlsymbolen wie z.B. r¨ omischen Ziffern I, V, X, L, C, M erfolgen. Aufgrund ihrer Eignung zum Abz¨ ahlen von Objekten werden nat¨ urliche Zahlen auch zur Nummerierung von Objekten eingesetzt (z.B. Hausnummern, Startnummern beim Rennen, Kugeln beim Zahlenlotto). In der Statistik treten sie u.a. als absolute H¨ aufigkeiten auf. B

Beispiel Blutgruppe Bei einer medizinischen Untersuchung wird in einer

Testgruppe von 20 Personen die Blutgruppe nach dem AB0-System bestimmt (ohne Rhesus Antigene): A 0 A AB B 0 0 B A 0 0 A A A 0 AB B A A 0 Aus dem Datensatz kann abgelesen werden, dass in der Gruppe sieben Personen Blutgruppe 0, acht Personen Blutgruppe A, drei Personen Blutgruppe B und zwei Personen Blutgruppe AB haben. Diese Anzahlen heißen absolute H¨ aufigkeiten. Blutgruppe absolute H¨ aufigkeit

0 7

A 8

B 3

AB 2

Als geeignete grafische Repr¨ asentation bietet sich der Zahlenstrahl an, auf dem die nat¨ urlichen Zahlen in folgender Weise angeordnet werden: 1

2

3

4

5

6

Die Abst¨ ande zwischen den Zahlsymbolen m¨ ussen jeweils gleich gewählt werden. Aus der Darstellung tritt deutlich hervor, dass die Zahlen eine Ordnung wiedergeben. F¨ ur zwei nat¨ urliche Zahlen n, m kann daher jeweils entschieden

1.2


11

werden, ob sie gleich sind oder welche gr¨ oßer bzw. kleiner ist (d.h. weiter rechts bzw. links auf dem Zahlenstrahl liegt). F¨ ur den Größenvergleich werden die Symbole (Ordnungszeichen oder Relationszeichen) =“ gleich, ”

“ größer ”

verwendet. Erg¨ anzungen sind z.B. = (ungleich), ≤ (kleiner oder gleich) und ≥ (gr¨ oßer oder gleich). Die Eigenschaft n = m ist gleichbedeutend mit m = n bzw. n ≤ m entspricht m ≥ n. Mit den Notationen der Aussagenlogik gilt etwa m = n ⇐⇒ (m ≤ n) ∧ (m ≥ n). In vielen F¨ allen ist es erforderlich, ein Symbol f¨ ur die Situation zur Verf¨ ugung zu haben, dass kein Objekt vorhanden ist. Dies wird durch das Symbol 0 beschrieben, das die Menge der nat¨ urlichen Zahlen erweitert zu N0 = {0, 1, 2, . . . }. Nat¨ urliche Zahlen werden im Sinne der Abz¨ ahlung addiert, d.h. zwei Mengen mit den Anzahlen n und m von verschiedenen Objekten werden zu einer Menge zusammengefasst, die n + m Objekte besitzt. Die Addition der Zahlen a und b kann auch als Aneinanderlegen zweier Pfeile∗ am Zahlenstrahl illustriert werden. Die Zahl a wird durch einen Pfeil repr¨ asentiert, der bei 0 beginnt und bei a endet. Der die Zahl b repräsentierende Pfeil wird zur Spitze des zu a geh¨ orenden Pfeils verschoben und endet dann bei a + b. Der zusammengesetzte Pfeil repräsentiert die Summe a + b. -

..................................................................................................................... .... ... ....... ... ....... ... ....... .... ....... .... ... ....... ... ....... .. ....... .... ....... .... ... ....... ... ....... ... ....... .... .... ... ....... ... ... ....... ....... ....... ... ....... .... .. ........................................................................................................................................................................................................................................................................................................... .. .. .. .. .. .. .. .. ..

-

0

b

a

-

-

a+b

Bezeichnung Addition Die Addition zweier Zahlen a, b wird mit dem Verkn¨ upfungszeichen +“ dargestellt: a + b. Die Zahlen a und b werden als Summanden, die ” Zahl a + b als Summe bezeichnet.

Mehr als zwei Zahlen werden addiert, indem zunächst zwei Zahlen addiert werden, zu deren Summe dann die dritte Zahl addiert wird etc. Zur Festlegung ∗ Das

Pfeilmodell eignet sich ebenfalls zur Darstellung der Addition 22reeller Zahlen.

12

1. Grundlagen

der Additionsreihenfolge werden Klammern (· · · ) oder [· · · ] verwendet, z.B. [(a+b)+c]+d. In diesem Fall werden zun¨ achst a und b addiert, zu a+b die Zahl c und schließlich zu (a + b) + c noch d. Die Auswertung des Ausdrucks erfolgt also von innen nach außen“. Wie das Kommutativ- und Assoziativgesetz der ” Addition zeigen, ist die Reihenfolge jedoch unerheblich. Kommutativ- und Assoziativgesetz der Addition F¨ ur Zahlen a, b, c gelten das Kommutativgesetz a + b = b + a. das Assoziativgesetz (a + b) + c = a + (b + c).

Da die Reihenfolge keinen Einfluss auf das Ergebnis hat, werden die Klammern i.Allg. weggelassen und a+b+c geschrieben. Bei anderen Verkn¨ upfungen ist dies jedoch i.Allg. nicht der Fall. Die mehrfache Addition der selben Zahl f¨ uhrt zur Multiplikation von Zahlen.

Definition Multiplikation Die Multiplikation zweier nat¨ urlicher Zahlen a, b wird definiert als

a ·b = b + b + ...+ b

bzw.

a·b = a+ a+ ...+ a.

a−mal

b−mal

a und b heißen Faktoren des Produkts a · b. Sofern keine Missverst¨ andnisse entstehen, wird das Multiplikationszeichen ·“ ” weggelassen, d.h. statt a · b oder 2 · c wird ab oder 2c geschrieben. Addition und Multiplikation nat¨ urlicher Zahlen haben stets nat¨ urliche Zahlen als Ergebnis, d.h. die Menge der nat¨ urlichen Zahlen ist abgeschlossen gegen¨ uber Addition und Multiplikation ihrer Elemente.∗ F¨ ur die Multiplikation gelten ebenfalls ein Kommutativ- und Assoziativgesetz. Kommutativ- und Assoziativgesetz der Multiplikation F¨ ur Zahlen a, b, c gelten das Kommutativgesetz a · b = b · a. das Assoziativgesetz (a · b) · c = a · (b · c). Zum Ende dieses Abschnitts wird noch eine abk¨ urzende Schreibweise f¨ ur Produkte mit gleichen Faktoren eingef¨ uhrt. Wird eine Zahl a mehrfach mit ∗ Wegen a + 0 = a bzw. a · 0 = 0 f¨ ur jede beliebige Zahl a ∈ N0 gilt dies entsprechend f¨ ur die Menge N0 .

1.2


13

sich selbst multipliziert, wird die 84Potenzschreibweise verwendet: a . . · a = an .∗ · . n−mal

F¨ ur a · a wird daher alternativ die Schreibweise a2 benutzt.† Ganze Zahlen

Das Element 0 nimmt offenbar eine besondere Rolle in der Menge N0 ein, da es den Wert einer Zahl a ∈ N bei Addition nicht verändert. Eine Zahl b, die zu a ∈ N addiert, die Zahl 0 liefert, gibt es allerdings in N nicht. Daher uhrt. Negative Zahlen werden die negativen Zahlen {· · · , −3, −2, −1} eingef¨ k¨ onnen ebenfalls auf dem Zahlenstrahl repr¨ asentiert und mittels des Pfeilmodells dargestellt werden. Der Pfeil beginnt bei 0 und zeigt nach links. Jeder nat¨ urlichen Zahl a wird daher die entsprechende negative Zahl −a zugeordnet, die durch Spiegelung des a repr¨ asentierenden Pfeils an der Senkrechten durch den Ursprung 0 dargestellt wird.

a

..................................................................................................................................................................................

−a

0

Die Addition von a und −a wird durch Aneinanderlegen der Pfeile eingef¨ uhrt, d.h. der Beginn des −a repr¨ asentierenden Pfeils wird an das Ende des die Zahl a darstellenden Pfeils angelegt. Die Pfeilspitze des Ergebnispfeils zeigt dann auf die Null, d.h. a + (−a) = (−a) + a = 0. Daher heißt −a auch inversesElement zu a. Das Minuszeichen wird in dieser Situation Vorzeichen urlichen Zahlen kann entsprechend das Vorzeichen + von a genannt. Den nat¨ zugeordnet werden.‡ Die Null nimmt eine Sonderrolle ein, da ihr sowohl + als auch − als Vorzeichen zugeordnet werden k¨ onnen. Die negativen Zahlen {· · · , −3, −2, −1} erweitern den Zahlbereich N0 zu den ganzen Zahlen Z = {. . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . .}. Die Ordnung der ganzen Zahlen erfolgt analog zu den nat¨ urlichen Zahlen gem¨ aß ihrer Lage auf dem Zahlenstrahl (z.B. gilt a < b, wenn a auf dem Zahlenstrahl links von b liegt). ∗ lies:

a hoch n a Quadrat ‡ Das Vorzeichen + wird aber meist weggelassen, d.h. statt +a wird nur a geschrieben. † lies:

14

1. Grundlagen

Aus der Darstellung der ganzen Zahlen am Zahlenstrahl werden folgende allgemeine Vorzeichenregeln abgeleitet. Ein negatives Vorzeichen entspricht einer Spiegelung an der Senkrechten durch den Nullpunkt, ein positives Vorzeichen l¨ asst den Wert der Zahl unver¨ andert. Vorzeichenregeln +(+a) = +a = a,

+(−a) = −a,

−(+a) = −a,

−(−a) = +a = a.

Der Betrag einer Zahl a wird gem¨ aß der Darstellung am Zahlenstrahl als Abstand zum Nullpunkt definiert.

Definition Betrag einer Zahl Der Betrag |a| einer Zahl a ist definiert als

|a| =

=|a|

−a

a, a ≥ 0 −a, a < 0 0

.

=|a|

a

Die Addition ganzer Zahlen wird in Analogie zur Addition nat¨ urlicher Zahlen als Aneinanderlegen der zugeh¨ origen Pfeile definiert. F¨ ur (−a) + b kann dies folgendermaßen dargestellt werden. -

......................................................................................................................... ... ... ....... ... ....... .... ....... .... ... ....... ... ....... .. ...... .... ...... .... . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .... . .... . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . .... . .... . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . .. ... . ... ... . . . . . . . . .. . . . . . . . . ... .................................................................................................................... ................................................................. .. . .. ......................................................................... .. .. . .

−a

(−a)+b

0

-

b

Entsprechend zur Addition nat¨ urlicher Zahlen gelten Kommutativ- und Assoziativgesetz f¨ ur die Addition ganzer Zahlen. Außerdem wird durch die Addition negativer Zahlen die Subtraktion definiert.

Bezeichnung Subtraktion Seien a, b Zahlen. Die Subtraktion von a und b ist definiert als Addition a + (−b). Sie wird durch das Rechenzeichen −“ dargestellt: ” a − b = a + (−b). Die Zahl a − b heißt Differenz von a und b.

Die Subtraktion ist die Umkehroperation zur Addition, denn f¨ ur die Summe c = a + b von a, b folgt c − a = c + (−a) = a + b + (−a) = b.

1.2


15

Durch Kombination mit den 14Vorzeichenregeln f¨ ur ganze Zahlen werden Addition, Subtraktion und Multiplikation ganzer Zahlen durch folgende Regeln erkl¨ art.

Vorzeichenregeln bei Addition und Multiplikation F¨ ur Zahlen a, b gilt −(a + b) = −a − b, a · (−b) = (−a) · b = −(a · b),

−(a − b) = −a + b, (−a) · (−b) = a · b.

Rechenregeln f¨ ur Addition und Multiplikation

Werden Addition und Multiplikation in einer Rechenoperation verwendet, so muss die Reihenfolge der einzelnen Operationen evtl. durch Klammern (. . .), [. . .] festgelegt werden. Ein derartiger Ausdruck wird Term genannt.∗

Bezeichnung Term Eine sinnvolle Abfolge mathematischer Verkn¨ upfungen von Zahlen und Variablen heißt Term. Beispiel Die folgenden Ausdr¨ ucke sind Terme, die nur die Verkn¨ upfungen Addition und Multiplikation verwenden:

a + b,

(c + 3a) · (5 · [b + a]),

1 − (3x + y)z.

B

Grundlegend f¨ ur die Auswertung von Termen, die sowohl Additionen als auch Multiplikationen enthalten, ist das Distributivgesetz der Addition und Multiplikation. Es impliziert die Regel Punkt vor Strich, d.h. multiplikative Verkn¨ upfungen m¨ ussen – sofern nicht Klammern eine andere Reihenfolge vorgeben – stets vor additiven Verkn¨ upfungen ausgewertet werden. Distributivgesetz F¨ ur Zahlen a, b, c gilt: a · (b + c) = a · b + a · c und (a + b) · c = a · c + b · c. Die Anwendung des Distributivgesetzes in der Form a · (b + c) = a · b + a · c wird Ausmultiplizieren, die in der Form a · b + a · c = a · (b + c) Ausklammern genannt. ∗ Ein Term kann nat¨ urlich noch weitere mathematische Verkn¨ upfungen enthalten. uche, 85Potenzen, 88Wurzeln, Weitere Elemente eines Terms k¨ onnen z.B. 19Br¨ 92Logarithmen etc. sein.

16

1. Grundlagen

Beispiel

B

(i) 3(a + b) = 3a + 3b

(ii) a(1 + b) = a + ab

(iii) 2(x + 3) = 2x + 6

(iv) (2x + 4) · (4y + 1) = 2x(4y + 1) + 4(4y + 1) = 8xy + 2x + 16y + 4 (v) 2x + 4 = 2x + 2 · 2 = 2(x + 2) (vi) ab + 2a = a · b + a · 2 = a(b + 2) (vii) c2 + c · a = c(c + a) (viii) 4a + 16ab = 4a + 4a · 4b = 4a(1 + 4b)

¨ F¨ ur Ausdr¨ ucke der Form −(x + 1) ergibt sich aus den vorhergehenden Uberlegungen folgende Regel. Vorzeichen als Multiplikation mit der Zahl −1 Ein Minuszeichen vor einem Term kann als Multiplikation mit der Zahl −1 ausgewertet werden. Beispiel

B

(i) −(x+1) = (−1)·(x+1) = −x−1

(ii) −(1 − 3x) = −1 + 3x = 3x − 1

(iii) −2x(a − 1) = −[2x(a − 1)] = −[2ax − 2x] = −2ax + 2x = 2x − 2ax Eine wichtige Anwendung der bisher vorgestellten Regeln sind die Binomischen Formeln.

Binomische Formeln F¨ ur Zahlen a, b gilt (i) (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(iii) (a − b)(a + b) = a2 − b2

(ii) (a − b)2 = a2 − 2ab + b2

Nachweis. Diese Regeln werden durch Ausmultiplizieren der Quadrate und Anwendung des Kommutativgesetzes nachgewiesen: (i) (a+b)2 = (a+b)·(a+b) = (a+b)·a+(a+b)·b = a2 +b·a+a·b+b2 = a2 +2·a·b+b2 (ii) Die zweite binomische Formel kann wie die erste durch Ausmultiplizieren nachgerechnet werden. Alternativ ist folgender Zugang mit Anwendung der ersten Formel m¨ oglich:

1.2


17

(a − b)2 = (a + (−b))2 = a2 + 2a(−b) + (−b)2 = a2 − 2 · a · b + b2 (iii) (a − b)(a + b) = (a − b) · a + (a − b) · b = a2 − b · a + a · b − b2 = a2 − b2

Beispiel

B

(i) (x + 1)2 = x2 + 2x + 1 (ii) (4 + z)2 = 42 + 8z + z 2 = 16 + 8z + z 2 (iii) (u − 2)2 = u2 − 4u + 4 (iv) (3a − 4b)(3a + 4b) = (3a)2 − (4b)2 = 9a2 − 16b2 (v) (x − 1)2 − (x − 2)(x + 2) = x2 − 2x + 1 − (x2 − 4) = x2 − 2x + 1 − x2 + 4 = −2x + 5 (vi) (x + 2b)2 − (x − 2b)2 = [(x + 2b) − (x − 2b)][(x + 2b) + (x − 2b)] = [x + 2b − x + 2b] · [x + 2b + x − 2b] = [4b] · [2x] = 8bx Alternativ k¨ onnen die Quadrate gem¨ aß der ersten und zweiten binomischen Formeln ausmultipliziert werden. Dies ergibt: (x + 2b)2 − (x − 2b)2 = x2 + 4bx + 4b2 − (x2 − 4bx + 4b2 ) = 8bx. (vii) (2x − y)(2x + y) + (2x + y)2 = (2x + y)(2x − y + 2x + y) = 4x(2x + y) = 8x2 + 4xy Beispiel

B

(i) 4a − 4ab + b = (2a) − 2 · (2a)b + b = (2a − b) 2

2

2

2

2

(ii) x2 − 25 + 2x2 − 10x = (x − 5)(x + 5) + 2x(x − 5) = (x − 5)(3x + 5) (iii) 5a2 +8ab+3b2 = (4a2 +8ab+4b2)+(a2 −b2 ) = (2a+2b)2 +(a−b)(a+b) = 4(a + b)2 + (a + b)(a − b) = (a + b)(4(a + b) + a − b) = (a + b)(5a + 3b) (iv) a2 c2 − 2ac − 1 = (ac)2 − 2ac + 1 − 2 = (ac − 1)2 − 2

Rationale Zahlen

Die nat¨ urlichen Zahlen eignen sich zum Z¨ ahlen und Nummerieren von Objekten. Sie reichen jedoch nicht aus, um Anteile zu beschreiben. Soll etwa eine Tafel Schokolade auf sechs Personen gleichm¨ aßig verteilt werden, so ist die

18

1. Grundlagen

Fl¨ ache in sechs gleich große Teile zu schneiden. Unter Verwendung der Struktur einer bereits in kleinere Rechtecke gegliederten Tafel resultiert folgende Skizze: ................................................................................................................................................................................................................................ ... ... ... ... ... ... ... .. .. .. ... ... ... ... .................................................................................................................................................................................................................................... ... ... ... .... .... .... ... ... ... ... ... .. ... ... .. .. .. ... ... .. .. .......................................................................................................................................................................................................................................... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ........................................................................................................................................................................................................................................ ... ... .. .... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .... .. .. .. .................................................................................................................................................................................................................................

Jede Person erh¨ alt somit den sechsten Teil (ein Streifen) der Tafel, d.h. 1 von 6 Teilen oder 16 . Aus der Skizze geht u ¨berdies hervor, dass der Wert 16 4 gleich dem Wert 24 sein muss, da jede Person vier von insgesamt 24 kleineren Rechtecken erh¨ alt. Dies ist ein erstes Beispiel f¨ ur eine 77Ku ¨ rzungsregel. Anteile werden als Bruchzahlen bzw. 19Bru ¨ che bezeichnet und können ebenfalls auf dem Zahlenstrahl dargestellt werden. Ist a ∈ N eine nat¨ urliche Zahl, 3a 4a 5a 6a , , , , repr¨ a sentiert, indem die Strecke so werden die Anteile a6 , 2a 6 6 6 6 6 0, a zwischen 0 und a in sechs gleich große Teile eingeteilt wird. ... ... ... .

0

... ... ... .

a 6

2a 6

3a 6

4a 6

5a 6

6a 6

-

=a

Die Zahl 6a 6 entspricht dabei offenbar der Zahl a. Negative Bruchzahlen werden analog zu den negativen ganzen Zahlen durch Spiegelung am Ursprung erzeugt. Weitere Motivationen f¨ ur Anteile ergeben sich aus dem folgenden Beispiel. B

Beispiel Im 10Beispiel Blutgruppe wurden folgende 10absolute H¨ aufig-

keiten beobachtet. Blutgruppe absolute H¨ aufigkeit

0 7

A 8

B 3

AB 2

Mittels Division der absoluten H¨ aufigkeiten durch die Anzahl aller Beobachtungen – in diesem Fall 20 – ergeben sich die relativen Häufigkeiten als Bruchzahlen. Alternativ kann die Darstellung als 20Dezimalzahl gewählt werden. Multiplikation der relativen H¨ aufigkeiten mit Hundert liefert jeweils die relative H¨ aufigkeit in Prozent. Blutgruppe relative H¨ aufigkeit als Bruch relative H¨ aufigkeit als Dezimalzahl relative H¨ aufigkeit in %

0

A

B

AB

7 20

8 20

3 20

2 20

0,35 35%

0,40 40%

0,15 15%

0,10 10%

1.2


19

In einem Kreisdiagramm werden die absoluten Häufigkeiten auf die Gesamtzahl aller Personen (20) bezogen. Die Zahl 20 wird in Beziehung zur Winkel 360◦. Der Anzahl Personen einer bestimmten summe 360◦ gesetzt, d.h. 20 = Blutgruppe wird eine Fl¨ ache in Form eines Kreissegments zugeordnet, wobei die Gr¨ oße der Fl¨ ache proportional zur Anzahl gewählt wird. Daraus ergibt sich die Beziehung Anzahl Winkel des Kreissegments = relative Häufigkeit. = ◦ 360 20 Der Winkel eines Kreissegments wird als Produkt aus der relativen Häufigkeit und der Winkelsumme im Kreis, d.h. 360◦, berechnet: Winkel des Kreissegments = relative Häufigkeit · 360◦ .

Die Erzeugung von Anteilen kann auch als Verkn¨ upfung zweier ganzer Zahlen aufgefasst werden. Die zugeh¨ orige Operation wird als Division bezeichnet und bildet die Umkehroperation zur Multiplikation. Die Division durch die Zahl 0 kann nicht erkl¨ art werden, da das Produkt aus 0 und einer Zahl a stets gleich Null ist: 0 · a = 0. Eine eindeutige Umkehrung ist somit nicht m¨ oglich. F¨ ur jede Zahl b = 0 gibt es hingegen genau eine Zahl, die diese Eigenschaft besitzt, denn f¨ ur c = a · b mit b = 0 gilt c : b = a. Definition Division, Bruch Seien a, b Zahlen mit b = 0. Dann heißt die Verkn¨ upfung a : b Division von a und b.

Die Zahl a : b wird als Quotient (von a und b) bezeichnet. Alternativ werden die Notationen ab oder a/b und die Bezeichnung Bruch verwendet.

20

1. Grundlagen

F¨ ur ganze Zahlen a, b ist nat¨ urlich auch das Produkt c = a · b eine ganze Zahl, so dass c : a und c : b ebenfalls ganzzahlig sind. Andererseits ist klar, dass es keine nat¨ urliche Zahl geben kann, die mit Zwei multipliziert Eins ergibt. Aus der Verdoppelung der H¨ alfte resultiert jedoch offenbar das Ganze, so dass Anteile eine sinnvolle Erweiterung der ganzen Zahlen darstellen. Alle Zahlen, die als Anteile verstanden werden können, sowie ihre negativen Entsprechungen werden in der Menge der rationalen Zahlen a a ∈ Z, b ∈ N Q= b zusammengefasst. Die Zahl ab heißt Bruch oder Bruchzahl, a heißt Zähler, b heißt Nenner. Da sich jede ganze Zahl n stets in der Form n1 schreiben lässt, ist die Menge der ganzen (und damit auch die der nat¨ urlichen) Zahlen in der der rationalen enthalten. Rechenregeln f¨ ur Br¨ uche werden in 77Abschnitt 3.1 zusammengefasst. Das Vorzeichen einer rationalen Zahl wird aus den Vorzeichen von Zähler und Nenner gem¨ aß der folgenden Regel bestimmt. Vorzeichen von Br¨ uchen F¨ ur Zahlen a, b mit b = 0 gilt: −a a +a = = , +b −b b

+a −a a = =− −b +b b

Aus den Vorzeichenregeln ergibt sich eine alternative Darstellung der ratio nalen Zahlen: Q = ab a, b ∈ Z, b = 0 . Dezimaldarstellung

Zur Darstellung rationaler Zahlen wird auch die Dezimaldarstellung verwen7 det. Als Dezimalzahl werden die Zahlen 12 , 633 25 , 125 in der Form 1 = 0,5, 2

633 = 25,32, 25

7 = 0,056 125

angegeben, wobei die durch das Komma abgetrennten Stellen als Nachkommastellen bezeichnet werden. Diese Stellen werden als Repräsentanten f¨ ur Br¨ uche interpretiert, deren Nenner eine Zehnerpotenz 10k darstellt. So gilt etwa 1 = 0,1, 10

2 = 0,02, 100

4 = 0,004, 1 000

27 = 0,27, 100

320 = 3,2. 100

1.2


21

F¨ ur beliebige Br¨ uche ergibt sich die Dezimaldarstellung aus der so genannten Division mit Rest, einem iterativen Verfahren, mit dem jeweils bestimmt wird, wie oft eine Zahl maximal in eine andere passt“. Exemplarisch wird ” uhrt. Wegen 9 · 25 = 225 und 10 · 25 = 250 dies f¨ ur den Bruch 232 25 durchgef¨ ergibt sich als Division mit Rest 232 = 9 · 25 + Rest = 9 · 25 + 7 Die Zahl

7 25

und damit

7 232 =9+ . 25 25

wird analog weiter zerlegt gem¨ aß

10 · 7 = 2 · 25 + Rest = 2 · 25 + 20, d.h.

2 20 2 2 7 = + = + . 25 10 250 10 25

20 8 2 8 Wegen 100 · 20 = 8 · 250 folgt 250 = 100 und damit 232 25 = 9 + 10 + 100 = 9,28. Verk¨ urzt wird dieses Verfahren im folgenden Schema durchgef¨ uhrt. Zusätzbetrachtet, der eine Besonderheit gewisser rationaler lich wird der Bruch 73 18 Zahlen illustriert.

2 3 2 : 25 = 9,28 225 70 50 200 200 0

73 : 18 = 4,0555 . . . 72 10 100 90 100 90 100 .. . . . .

Beim zweiten Beispiel 73 18 bricht die Dezimaldarstellung nicht ab, da an jeder weiteren Dezimalstelle eine F¨ unf steht. Eine derartige Dezimalzahl heißt periodisch, was in der Dezimaldarstellung durch einen Balken u unf ¨ber der F¨ 73 kenntlich gemacht wird: 18 = 4,05. Weitere Beispiele periodischer Dezimalzahlen sind 1 = 0,33333 . . . = 0,3, 3 6 = 0,857142, 7

14 12 = 0,31818 . . . = 0,318, = 1,0909 . . . = 1,09, 44 11 1 = 0,0384615. 26

Reelle Zahlen

Jede rationale Zahl besitzt eine Dezimaldarstellung mit entweder einer endlichen oder einer unendlichen Anzahl von Nachkommastellen, wobei sich im

22

1. Grundlagen

letzten Fall ab einer Nachkommastelle ein bestimmtes Ziffernmuster periodisch wiederholt. Die Dezimaldarstellung heißt in diesen Situationen endlich bzw. unendlich periodisch. Die Dezimalzahl 0,1010010001000010000010000001 . . . , die an den Nachkommastellen 1, 3, 6, 10, 15, 21, . . . jeweils eine Eins hat, hat weder eine endliche noch eine unendlich periodische Dezimaldarstellung und ist daher nicht rational. Die Menge aller Dezimalzahlen, die eine beliebige, evtl. nicht abbrechende Dezimaldarstellung haben, umfasst somit die rationalen Zahlen. Sie wird als Menge der reellen Zahlen bezeichnet: R = {x | x ist eine Dezimalzahl}. Zahlen, die wie die oben vorgestellte Zahl zwar Element der Menge R, aber nicht der Menge Q sind, heißen irrationale Zahlen. Die Mengen der rationalen und der irrationalen Zahlen besitzen jeweils unendlich viele Elemente.√ Beispiele ur irrationale Zahlen sind 88Wurzeln √ √ ∗ f¨ nat¨ urlicher Zahlen wie 2, 3, 5 oder 93Logarithmen (z.B. log3 (6)). Mit rationalen Zahlen kann jedoch eine beliebig genaue Näherung (hinsichtlich der Anzahl von Dezimalstellen, die exakt sind) bestimmt werden. Das nachfolgend beschriebene Bisektionsverfahren ermöglicht die Berechnung einer solchen N¨ aherung. B

Beispiel Bisektionsverfahren Gesucht wird eine Zahl a, deren Quadrat gleich

Zwei ist. Die Idee des Bisektionsverfahrens besteht darin, zunächst untere und obere Schranken f¨ ur a zu bestimmen. Wegen 12 = 1 und 22 = 4 liegt die gesuchte Zahl a zwischen 1 und 2, d.h. 1 < a < 2. Nun wird das Quadrat des in der Mitte liegenden Werts 1,5 mit 2 = a2 verglichen. Wegen 1,52 = 2,25 > 2 = a2 ergibt sich 1 < a < 1,5. Eine Fortsetzung dieser Methode ergibt 1,252 = 1,5625 0 und p, q ∈ Q gilt ap · aq = ap+q ,

ap = ap−q , aq

ap · bp = (a · b)p ,

a p ap = , bp b

(ap )q = ap·q .

90

3. Elementare Rechenoperationen

Beispiel Seien a, b ≥ 0 und x > 0.

B

2

(i) (a + b) 3 ·

" 2 4 6 3 (a + b)4 = (a + b) 3 · (a + b) 3 = (a + b) 3 = (a + b)2

√ x x1 4 1 (ii) √ = 4 = x1− 5 = x 5 = 5 x 5 x5 x4

Beispiel Wurzeln als Potenzen (a, b ≥ 0 und x > 0)

B

√ 3

1

x3n = x3n· 3 = xn √ √ √ 1 (ii) 4 xn · 4 2 = 4 2xn = (2xn ) 4 √ n+1 3 (iii) an+1 = a 3 (i)

" √ √ 9 3 3 3 x9 = x9/2 = x 3·2 = x 2 √ √ n (v) 4 2n · 3n = 4 6n = 6 4

(iv)

√ ur positive Zahlen a In den obigen Ausf¨ uhrungen wurden Wurzeln n a nur f¨ definiert. Dies liegt darin begr¨ undet, dass f¨ ur positives a genau eine positive Zahl b existiert, die die Gleichung bn = a erf¨ ullt. Exemplarisch wird nachstehend erl¨ autert, dass bei Verzicht auf diese Voraussetzung Probleme entstehen. Dann ist es n¨ amlich m¨ oglich, dass sowohl mehrere Lösungen vorliegen als auch keine L¨ osung existiert. 1

Werden f¨ ur b auch negative Zahlen zugelassen, so resultieren Mehrdeutigkeiten. Da z.B. f¨ ur n = 2 die Gleichung 52 = (−5)2 = 25 gilt, hat 2 osungen. Daher gibt es zwei reelle Zahlen, deren Quadrat b = 25 zwei L¨ 25 ist.

2

Ist a eine negative Zahl, gibt es keine reelle Zahl, deren Quadrat gleich dieser Zahl ist. Daher existiert z.B. keine reelle Zahl b mit b2 = −25, ur alle da b2 stets das Vorzeichen + hat. Die gleiche Argumentation ist f¨ geraden Exponenten m¨ oglich.

F¨ ur ungerade Exponenten gibt es f¨ ur jedes a ∈ R genau eine Lösung, so dass in dieser Situation auch Wurzeln negativer Zahlen zugelassen werden können. Erweiterte Definition von Wurzeln In Abh¨ angigkeit vom Exponenten der Gleichung bn = a kann die Definition der Wurzel wie folgt erweitert werden: F¨ ur ungerades n ∈ N und a ∈ R hat bn = a genau eine Lösung, die mit √ n a bezeichnet wird. F¨ ur gerades n ∈ N und a > 0 hat bn = a sowohl eine positive als auch √ √ eine negative L¨ osung: b1 = n a > 0 und b2 = − n a < 0. F¨ ur gerades n ∈ N und a < 0 hat bn = a keine reelle Lösung.

3.3

Wurzeln

91

Potenzen mit reellen Exponenten

Mittels der Potenzen mit rationalen Exponenten werden Potenzen mit reellen Exponenten definiert, indem eine reelle Zahl durch zwei rationale Zahlen ur irrationale Exponenten x ∈ R \ Q können ratioeingeschachtelt“ ∗ wird. F¨ ” nale Zahlen p, q mit p < x < q gefunden werden, so dass q − p > 0 beliebig klein wird. Dies ergibt etwa f¨ ur a > 1 a p < ax < aq . Wird die Differenz q − p kleiner, so gilt dies auch f¨ ur aq − ap . Daher wird x der Wert von a immer genauer eingegrenzt, so dass bei hinreichend großer Genauigkeit die Näherungen ax ≈ aq bzw. ax ≈ ap resultieren. Diese Vorgehensweise wird mittels der Kreiszahl π = 3,141592654 . . . illustriert, die den Fl¨ acheninhalt des Einheitskreises angibt. Aus dieser Dezimaldarstellung ergibt sich p = 3,141 59 < π < 3,141 60 = q, d.h. f¨ ur die entsprechende Potenz mit p = a=2

314 159 10 000

und q =

314 160 10 000

gilt mit

2p = 8,824961 . . . < 2π < 8,825022 . . . = 2q . Der exakte“ Wert ist 2π = 8,824977 . . .. ” Eine bessere Einschachtelung des reellen Exponenten liefert daher eine genauere Einschachtelung der zugeh¨ origen Potenz. Auf eine formale Darstellung dieser Vorgehensweise wird an dieser Stelle verzichtet. F¨ ur Potenzen mit reellen Exponenten gelten die selben Rechenregeln wie f¨ ur Potenzen mit rationalen Exponenten. Potenzen mit reellen Exponenten F¨ ur a, b > 0 und x, y ∈ R gilt ax · ay = ax+y ,

ax = ax−y , ay

∗ Vgl. 22Bisektionsverfahren

a x ax = , x b b

ax bx = (ab)x ,

zur N¨ aherung von

√

2.

(ax )y = ax·y .

92

3.4


3.4 Logarithmen Wie bereits erw¨ ahnt, ist das Logarithmieren wie das Wurzelziehen eine Umkehrung des Potenzierens. W¨ ahrend beim Wurzelziehen der Exponent als gegeben angenommen und die Basis der Potenz gesucht wird, die zum Wert a f¨ uhrt, wird beim Logarithmieren die Basis als fix angenommen und der Exponent gesucht, der zum Wert a f¨ uhrt. Hierbei wird grundsätzlich angenommen, dass a eine positive Zahl ist.

Definition Logarithmus Seien a, b > 0 mit b = 1.

Die eindeutig bestimmte Zahl x ∈ R mit bx = a heißt Logarithmus von a zur Basis b. Sie wird mit x = logb (a) bezeichnet. B

Beispiel

(i) log2 (512) = 9 , da 2 9 = 512

(iii) log10 (1000) = 3 , da 10 3 = 1000

(ii) log7 (343) = 3 , da 7 3 = 343

(iv) log3 (9) = 2 , da 3 2 = 9

Nat¨ urlicher und dekadischer Logarithmus F¨ ur die Basen 10 und e = 2,71828 . . . werden spezielle Bezeichnungen und Notationen verwendet.

Bezeichnung

F¨ ur b = 10 wird die Notation log10 = log = lg verwendet. lg heißt dekadischer Logarithmus. F¨ ur b = e wird die Notation loge = ln verwendet. ln heißt nat¨ urlicher Logarithmus.

Die Wahl der Basis e f¨ ur den Logarithmus mag zunächst k¨ unstlich erscheinen, sie erweist sich jedoch in vielen Anwendungen als äußerst n¨ utzlich. Daher ist der nat¨ urliche Logarithmus in der Regel auf Taschenrechnern als Operation verf¨ ugbar. Außerdem k¨ onnen 94Logarithmen zu anderen Basen direkt mit dem nat¨ urlichen Logarithmus berechnet werden. In der obigen Definition wurde der Logarithmus nur f¨ ur positive Zahlen a, b ur negative erkl¨ art. Dies liegt darin begr¨ undet, dass die Gleichung bx = a f¨ Werte von a bzw. b i.Allg. keine L¨ osung x besitzt oder nicht erklärt ist. Der Fall b = 1 muss ausgeschlossen werden, da 1x immer den Wert 1 hat, d.h. die Gleichung 1x = a ist nur f¨ ur a = 1 l¨ osbar und in diesem Fall ist jede reelle Zahl x L¨ osung der Gleichung. Definitionsbereich des Logarithmus Der Logarithmus logb (a) ist nur f¨ ur a, b > 0 mit b = 1 definiert.

3.4

Logarithmen

93

Das folgende Beispiel zeigt, wie der Logarithmus einer Zahl näherungsweise ermittelt werden kann. Beispiel Bisektionsverfahren f¨ ur Logarithmen Gesucht ist der Logarithmus x

osung der Gleichung 3 = 6. log3 (6), d.h. die L¨ Zun¨ achst wird durch einen Widerspruch gezeigt, dass x keine rationale Zahl sein kann. G¨ abe es n¨ amlich eine rationale L¨ osung x, hätte x eine Darstellung p als Bruch x = q mit Zahlen p ∈ Z, q ∈ N. Aus den 89Potenzgesetzen folgt dann jedoch sofort 3p/q = 6 ⇐⇒ 3p = 6q ⇐⇒ 3p = 2q · 3q ⇐⇒ 3p−q = 2q . Da q ∈ N gilt, ist die rechte Seite stets eine gerade Zahl,∗ während die linke entweder ungerade (falls p ≥ q) oder kleiner als Eins (falls p < q) ist. Daher k¨ onnen beide Seiten nicht u ¨ bereinstimmen, und es gibt somit keine rationale L¨ osung der Gleichung. Mit dem 22Bisektionsverfahren kann log3 (6) nun näherungsweise bestimmt werden. Wegen 31 = 3 < 6 < 9 = 32 muss x ∈ (1, 2) gelten. Mittels der Intervallmitte z = 1,5 wird nun gepr¨ uft, in welchem Teilintervall (1, 1,5) bzw. (1,5, 2) die gesuchte Zahl liegt. Wegen 31,5 = 5,196 . . . < 6 muss x größer als 1,5 sein, d.h. x ∈ (1,5, 2). Eine Fortf¨ uhrung dieses Verfahrens liefert folgende Werte: Schritt 1 2 3 4 5 6 7 8

Pr¨ ufstelle z 1,5 1,75 1,625 1,6875 1,65625 1,640625 1,6328125 1,62890625

3z Intervall 5,196 . . . < 6 (1,5, 2) 6,838 . . . > 6 (1,5, 1,75) 5,961 . . . < 6 (1,625, 1,75) 6,384 . . . > 6 (1,625, 1,6875) 6,169 . . . > 6 (1,625, 1,65625) 6,064 . . . > 6 (1,625, 1,640625) 6,012 . . . > 6 (1,625, 1,6328125) 5,986 . . . < 6 (1,62890625, 1,6328125)

Dieses Verfahren wird fortgesetzt, bis eine vorgegebene Genauigkeit erreicht ist. Reichen z.B. drei Nachkommastellen der gesuchten Zahl aus, werden die Berechnungen fortgesetzt, bis die untere und obere Grenze des Intervalls auf den ersten drei Nachkommastellen u ¨bereinstimmen. Dies ist nach 13 Schritten der Fall, d.h. x ∈ (1,6308 . . . , 1,6309 . . .) und somit x ≈ 1,630.† ∗ und † Der

damit insbesondere gr¨ oßer als Eins. exakte“ Wert ist log3 (6) = 1,630929753 . . .. ”

B

94


Eigenschaften und Rechenregeln des Logarithmus

Eigenschaften des Logarithmus F¨ ur a, b > 0 mit b = 1 gilt logb (1) = 0,

logb (b) = 1,

blogb (a) = a,

logb (ba ) = a.

Außerdem besitzt der Logarithmus noch folgende Eigenschaften, deren Nachweise z.B. in Kamps et al. (2003) zu finden sind. Eigenschaften des Logarithmus F¨ ur a, b, c > 0 mit c = 1 gilt logc (a) = logc (b) ⇐⇒ a = b F¨ ur c > 1 gilt:

F¨ ur 0 < c < 1 gilt:

logc (a) < logc (b) ⇐⇒ a < b ⎧ ⎪ ⎪> 0, falls a > 1 ⎨ logc (a) = 0, falls a = 1 ⎪ ⎪ ⎩< 0, falls 0 < a < 1

logc (a) > logc (b) ⇐⇒ a < b ⎧ ⎪ ⎪> 0, falls 0 < a < 1 ⎨ logc (a) = 0, falls a = 1 ⎪ ⎪ ⎩< 0, falls a > 1

F¨ ur Logarithmen gelten folgende Rechengesetze.

Logarithmusgesetze F¨ ur a, b, c > 0 mit c = 1 gilt 1. logc (a · b) = logc (a) + logc (b) 2. logc ab = logc (a) − logc (b) 3. loga (b) =

logc (b) logc (a)

=

ln(b) ln(a)

=

lg(b) lg(a) ,

sofern a = 1

4. logc (ab ) = b · logc (a) Eigenschaft 3 eignet sich insbesondere, um einen Logarithmus zu einer belie¨ bigen Basis auf einem Taschenrechner auszuwerten. Ublicherweise sind dort lediglich der nat¨ urliche und der dekadische Logarithmus verf¨ ugbar. B

Beispiel Berechnung von Logarithmen auf Taschenrechnern Der Wert von asst sich mit einem Taschenrechner auf folgende Weise berechnen log3 (6) l¨

3.4

Logarithmen

95

(die Ergebnisse sind jeweils auf drei Nachkommastellen gerundet): log3 (6) =

ln(6) 1,792 ≈ ≈ 1,631, ln(3) 1,099

lg(6) 0,778 ≈ ≈ 1,631. lg(3) 0,477

log3 (6) =

Beispiel

B

(i) log12 (144v) = log12 (144) + log12 (v) = log12 (122 ) + log12 (v) = 2 log12 (12) + log12 (v) = 2 + log12 (v) (ii) log7 (84) − log7 (12) = log7 84 12 = log7 (7) = 1 (iii) log32 (1 024) =

log2 (1 024) log2 (32)

log2 (210 ) log2 (25 )

=

=

10 log2 (2) 5 log2 (2)

=

10 5

=2

(iv) log5 (25j ) = j · log5 (25) = j · log5 (52 ) = 2j a (v) ln bc = ln(a) − ln(b) − ln(c) Beispiel

(i) 2 ln(x + 1) − ln(x2 − 1) = ln

2

(x+1) x2 −1

= ln

(ii) log2 (8) + log2 (8x) − log2 (4x) = 3 + log2 (iii) log100 (x + 1) =

lg(x+1) lg(100)

=

1 2

8x 4x

x+1 x−1

B

= 3 + log2 (2) = 4

lg(x + 1)

(iv) log4 (2x+1 ) = (x + 1) log4 (2) = 12 (x + 1)

Zum Ende dieses Abschnitts wird noch ein Zusammenhang zwischen Logarithmen und Potenzen notiert, der in vielen Fällen Anwendung findet. Er ergibt sich direkt aus den vorhergehenden Ergebnissen.

Zusammenhang zwischen Potenzen zur Basis e und a Seien a > 0 mit a = 1 und e die Eulersche Zahl. Dann gilt f¨ ur jede reelle Zahl x die Gleichung ax = ex·ln(a) .

Der obige Zusammenhang kann auch f¨ ur jede andere Basis b > 0 mit b = 1 formuliert werden. In dieser Situation lautet die Formel ax = bx·logb (a) .

96


3.5

3.5 Aufgaben

100 L

Aufgabe 3.1 Erweitern Sie folgende Br¨ uche, und multiplizieren Sie jeweils Z¨ ahler und Nenner aus. Geben Sie die Werte der Variablen an, f¨ ur die der resultierende Bruch definiert ist.

100 L

101 L

101 L

(a)

1 2

(b)

5a 2

mit 3 mit a

(c)

4a2 3b2

mit 2a2 b

(e)

3a+b 4−c

(d)

3−c ab

mit (3 + c)

(f)

3(x−2y) (x+y)(x−y)

mit ac mit xy

K¨ urzen Sie folgende Br¨ uche. Geben Sie ggf. die Werte der Variablen an, f¨ ur die der gegebene Bruch definiert ist.

Aufgabe 3.2

(a)

64 24

(d)

63a2 b 14ab2

(g)

12xy−4yz 16xz+8xy

(b)

27a 18b

(e)

25x−5y 15xy

(h)

3ab4 −17ab2 +39a2 b2 ab2

(c)

54a2 a3

(f)

56x2 y−16xy 2 24yz+40y 2

(i)

63a2 b2 −9ab 18ab+27a2 b2

K¨ urzen Sie folgende Br¨ uche, und verwenden Sie dabei ggf. die binomischen Formeln. Geben Sie ggf. die Werte der Variablen an, f¨ ur die der gegebene Bruch definiert ist.

Aufgabe 3.3

(a)

x2 +2xy+y 2 x+y

(d)

x2 −y 2 6x−6y

(g)

40x2 −490y 2 20x2 +140xy+245y 2

(b)

a2 −2ab+b2 2a−2b

(e)

27a2 +36ab+12b2 9a2 +12ab+4b2

(h)

32x2 z+128xyz+128y 2 z 32x2 +64xy

(c)

7a2 −14ab+7b2 3(a−b)

(f)

54a2 −36ab+6b2 6a−2b

(i)

108a2 c−192b2 c 54a2 c2 −144abc2 +96b2 c2

Addieren bzw. subtrahieren Sie folgende Br¨ uche, und k¨ urzen Sie dann soweit wie m¨ oglich. Geben Sie die Werte der Variablen an, f¨ ur die der gegebene Term definiert ist. Aufgabe 3.4

(a)

2 3

+

4 3

(f)

2 a+1

+

1 3a+3

(b)

a 5

+

2 10

(g)

2x x+1

−

3y y+1

(c)

1 2

+

1 7

(h)

3a 6ab

(d)

1 2

+

1 4

(e)

3a 7

+

− 6a 3

1 12

−

+ 12a 21

3 8

−

(i)

x −x−2y

(j)

2y 3z+6

7b 3a

+

−

−

+

+

4 a+1

xy (x+1)(y+1)

2ab 4

y x+2y

1−y z+2

+

3x−2xy 3xz+6x

3.5

Aufgaben

97

Aufgabe 3.5 Addieren bzw. subtrahieren Sie folgende Br¨ uche, und k¨ urzen Sie dann soweit wie m¨ oglich. Verwenden Sie ggf. die binomischen Formeln. Geben Sie ggf. die Werte der Variablen an, f¨ ur die der gegebene Term definiert ist.

(a)

a2 +7ab+4b2 3a+6b

−

ab a+2b

(b)

2a2 +5ab 4(a+1)

+

4b2 −2ab 8a+8

(c)

−

3x x−y

102 L

4(x−y) x+y

Aufgabe 3.6 Multiplizieren bzw. dividieren Sie folgende Br¨ uche, und k¨ urzen

102 L

Sie dann soweit wie m¨ oglich. Geben Sie ggf. die Werte der Variablen an, f¨ ur die der gegebene Term definiert ist. ·

(a)

1 2

1 4

(b)

10 7

(c)

a b

·

3 b

(d)

3 12b

·

·

5 3

·

2 3

4b2 6

·

ab2 9

·

(e)

3 a2

(f)

ab2 a+1

(g)

40ab+10c a2 c2

(h)

1 2

:

·

18a b2

2a+2 b2

·

6x2 2y 2

(i)

3x 4y

16 2ab

(j)

3y 2 3x+1

a2 b2 +c 12ab+3c

(k)

2x−7y 5y 2 +6z

(l)

35xy 2 8x−4y

·

1 4

:

:

:

21 16xy

6y 2 12x+4

: :

6x−21y 25y 2 z+30z 2 70x2 y 4x−2y

Aufgabe 3.7 Berechnen Sie folgende Br¨ uche, und k¨ urzen Sie dann soweit wie

103 L

m¨ oglich. Verwenden Sie dabei ggf. die binomischen Formeln. Geben Sie ggf. die Werte der Variablen an, f¨ ur die der gegebene Term definiert ist. (a)

2 x−y

·

4 x+y

(b)

3 a−b

·

a2 −b2 9

(c)

a+b x

:

y a+b

·

2 a+b

(d)

x+y x2 −y 2

x−y x+y

:

1 x+y

(e)

2x2 +4xy+2y 2 3x2 −6x+3

:

(x+y)2 x−1

:

(f)

16x3 −4xy 2 48x2 +48xy+12y 2

(g)

ax+ay−bx−by ax−ay−bx+by

(h)

a b a+1 − b+1 a−b a+b

(i)

:

4x2 +2xy 12x−6y

ab b 2a+4 + a+2 a ab − b+3 3b−9

Schreiben Sie folgende Ausdr¨ ucke als Potenzen. Geben Sie ggf. die Werte der Variablen an, f¨ ur die der gegebene Term definiert ist.

Aufgabe 3.8

(a) (x − y)(x − y)(x − y)(x − y) 1 (b) a1 · − a1 · −a

(d)

(c) (−a2 ) · (−a)2 · (−a)3

(f)

xy −z

·

−xy 2 z2

·

x2 (−y) z

(e) (x + y)−3 (x + y)8 (x + y)−2 (x−y)−1 (x+y)2

·

(x+y)−2 (x−y)3

103 L

98

104 L


Fassen Sie folgende Ausdr¨ ucke zusammen. Geben Sie ggf. die Werte der Variablen an, f¨ ur die der gegebene Term definiert ist.

Aufgabe 3.9

(a) (a2 )3

(b) ((−2)2 )4

(c) (a2 b)3

(x−1)3 (1−x)3

(d)

(e) (x − 1)4 + 7(x − 1)4 − 12(x − 1)4 + 3(x − 1)4 (f) 13(a − 1)3 + 2(1 − a)3 − 8(a − 1)3 + 2(1 − a)3 104 L


Aufgabe 3.10

(a) 23 a3 b3 · 73 c3

(c) 52 x−1 y 3 · 5−2 x2 y −2

(b) x2 yz 3 · xy 2 + (2xyz)3

(d) (4(x2 y 2 ))3 − ((2xy)3 )2

(e) 16xy 2 · (2x)2 − 25 x3 y 2 + (8x)2 · x−1 (xy)2 (f) −121ab3 − (11a2 b)2 · (−2a−3 b) 104 L

105 L

Fassen Sie folgende Ausdr¨ ucke zusammen, wobei m, n ∈ N0 vorausgesetzt wird. Verwenden Sie ggf. die binomischen Formeln. Geben Sie ggf. die Werte der Variablen an, f¨ ur die der gegebene Term definiert ist. 7 n 8 7+n 2a4 an a (a) 36 (d) b3 : a bn · ab (g) (4x2(2x+y) +4xy+y 2 )6 Aufgabe 3.11

(b)

x7 xn y 3 y −m

(c)

a3 b2 3

·

(e) an bm

a3+n b2+m

(f)

xy zn

2

:

4xa+1 15xy a−1

(xy)n z4

:

(2xa )2 5y a

(h) (i)

(16a2 −36b2 )6 (16a2 −48ab+36b2 )3

((x2 +2x+1)(x−1)2 )3 (x2 −1)6

Fassen Sie folgende Ausdr¨ ucke zusammen. Geben Sie ggf. die Werte der Variablen an, f¨ ur die der gegebene Term definiert ist. √ √ √ √ √ √ (a) 2 3 − 5 3 + 12 3 − 4 3 (e) 3 · 7 · 3 · 7 √ √ √ √ √ √ √ (b) 15 ab − 12 ab + 6 ab − 8 ab (f) 2 · 5 · 3 · 2 · 3 · 5 √ √ √ √ √ √ (c) 12 x − 4x − x (g) 20 · 10 · 2 √ √ √ √ √ √ √ (d) 2 75y + 27y − 3 48y (h) ab · a · b · a2 b2

Aufgabe 3.12

3.5

Aufgaben

99

Aufgabe 3.13 Fassen Sie folgende Ausdr¨ ucke zusammen. Verwenden Sie ggf.

105 L

die binomischen Formeln. Geben Sie ggf. die Werte der Variablen an, f¨ ur die der gegebene Term definiert ist. √ √ √ √ (e) √3 2 45 2 − √ 4 5 (a) 36a4 b4 : 4a2 x −y

√ √ √ (b) x xy · 2y y · 4 x √ √ √ (c) ( x + y − y − z)( x + y √ + y − z) (d)

√ √ a−√b √ a+ b

·

√ a+2 ab+b a−b

(f)

√ 16 x−y 9

(x−y)(x+y)

√ 2 2 x −y −√

√

(g)

81(x+y)

12 x2 −y 2 √ 9x−9y

√ −3 x+y

3y a+2 2x2 +4xy+2y 2

(h) √

+

3xy a+1 √ 2(x+y)

Aufgabe 3.14 Fassen Sie folgende Ausdr¨ ucke zusammen. Verwenden Sie ggf. die binomischen Formeln. Geben Sie ggf. die Werte der Variablen an, f¨ ur die der gegebene Term definiert ist. √ √ 6 √ 3 3 x4 · x2 (f) ! (a) 85 √ 8 6 9 y · y2 "√ ! ! √ √ (b) a4 √ 5 6 5 4 3 y · y 36 x2 · x9 · x45 ! √ (g) · 4 √ √ " 6 3 2 3 4 2 x3 · x18 y · y6 (c) a3 2 a2 −4b " √ √ (h) √ · √1a3 8 3 9 4 a −b· 16a2 b2 (d) a2 b · b12 √ √ " (3+5 a)2 12−20 a √ √ 4 4 (i) · 8 √ 9−25a (e) (x + 1) · x + 1 36+120 a+100a

106 L

Aufgabe 3.15 Formen Sie die folgenden Br¨ uche so um, dass der Nenner keine Wurzeln mehr enth¨ alt, und vereinfachen Sie die Darstellung so weit wie m¨ oglich. Verwenden Sie ggf. die binomischen Formeln. Geben Sie ggf. die Werte der Variablen an, f¨ ur die der gegebene Term definiert ist.

107 L

(a)

√a a

Aufgabe 3.16

(a) log2 (4)

(b)

√5 ab

(c)

4 √ 3 2

(d)

28 √ 4+ 2

(e)

√ √ 2( 5− 3) √ √ 5+ 3

107 L

Berechnen Sie folgende Logarithmen. (b) log4 (64)

(c) log2 ( 18 )

(d) log4 (2)

(e) log7 (7n )

100

107 L



Aufgabe 3.17

(b) logy (10) − logy (5)

(a) logx (3) + logx (4)

(c) loga (u) + loga2 (u)

(d) 2 loga (4) + logb (4) − 3 loga (2) + 2 logb (5) loga (x3 ) + 2 loga (x) −

1 4

loga (x4 )

(f) 2 loga (3x) + loga (3x) + 4 loga (2x) −

1 2

loga (64x2 )

(e)

1 3

loga (x) −

1 9

107 L

Aufgabe 3.18

3.6

3.6 L¨ osungen

96A

L¨ osung 3.1

96A

Schreiben Sie folgende Ausdr¨ ucke als Summe.

! 4 a2 c 1 (b) ln (a) ln mit a, b, c, d > 0 5 bd2

! " √ 4 3 5 (c) lg 3 2 a5 b a5 c4 mit a, b, c > 0 !

(a)

1 2

1·3 2·3

(b)

5a 2

(c)

4a2 3b2

=

4a2 ·2a2 b 3b2 ·2a2 b

(d)

3−c ab

=

(3−c)·(3+c) ab·(3+c)

(e)

3a+b 4−c

(f)

3(x−2y) (x+y)(x−y)

=

3 6

=

5a·a 2·a

=

=

5a2 , 2a

=

8a4 b , 6a2 b3

=

(3a+b)·ac (4−c)·ac

=

a = 0

9−c2 , 3ab+abc

a, b = 0, c = −3

3a2 c+abc , 4ac−ac2

a = 0, c ∈ {0, 4}

= =

a, b = 0

(3x−6y)·xy (x2 −y 2 )·xy

=

3x2 y−6xy 2 , x3 y−xy 3

L¨ osung 3.2 (a)

64 24

(b)

27a 18b

(c)

54a2 a3

=

8·8 3·8

3a·9 2b·9

=

2

=

63a b 14ab2

(e)

25x−5y 15xy

=

3a , 2b

=

54·a2 a·a2

=

(d)

8 3

=

9a·7ab 2b·7ab

=

b = 0

54 , a

=

5·(5x−y) 5·3xy

a = 0

9a , 2b

=

a, b = 0 5x−y , 3xy

x, y = 0

x, y = 0, x = ±y

3.6

L¨ osungen

101 (7x2 −2xy)·8y (3z+5y)·8y

(f)

56x2 y−16xy 2 24yz+40y 2

=

(g)

12xy−4yz 16xz+8xy

4·y(3x−z) 4·x(4z+2y)

(h)

3ab4 −17ab2 +39a2 b2 ab2

(i)

=

63a2 b2 −9ab 18ab+27a2 b2

y(3x−z) x(4z+2y)

=

(7ab−1)·9ab (2+3ab)·9ab

=

3xy−yz , 4xz+2xy

=

ab2 ·(3b2 −17+39a) ab2

=

x = 0, y = −2z

= 3b2 − 17 + 39a, a, b = 0

a, b = 0, b =

7ab−1 , 2+3ab

=

y ∈ 0, − 35 z

7x2 −2xy , 3z+5y

=

−2 3a

96 A

L¨ osung 3.3 (a)

x2 +2xy+y 2 x+y

=

(x+y)(x+y) x+y

(b)

a2 −2ab+b2 2a−2b

=

(a−b)2 2(a−b)

(c)

7a2 −14ab+7b2 3(a−b)

(d)

x2 −y 2 6x−6y

(e)

27a2 +36ab+12b2 9a2 +12ab+4b2

(f)

54a2 −36ab+6b2 6a−2b

(g)

40x2 −490y 2 20x2 +140xy+245y 2

(h)

32x2 z+128xyz+128y 2 z 32x2 +64xy

(i)

=

=

=

a = b

a−b , 2

7(a−b)(a−b) 3(a−b)

(x−y)(x+y) 6(x−y)

=

= x + y, x = −y

7(a−b) , 3

=

x+y , 6

x = y

3(9a2 +12ab+4b2 ) 9a2 +12ab+4b2

=

6(9a2 −6ab+b2 ) 2(3a−b)

=

=

3(3a+2b)2 (3a+2b)2

=

2·3(3a−b)2 2(3a−b)

10(4x2 −49y 2 ) 5(4x2 +28xy+49y 2 )

=

=

108a2 c−192b2 c 54a2 c2 −144abc2 +96b2 c2 c = 0, a = 43 b

a = b

=

= 3(3a − b), b = 3a

5·2(2x−7y)(2x+7y) 5(2x+7y)2

=

32z(x2 +4xy+4y 2 ) 32x(x+2y)

= 3, a = − 32 b

=

z(x+2y)2 x(x+2y)

12c(9a2 −16b2 ) 6c2 (9a2 −24ab+16b2 )

=

=

=

2(2x−7y) , 2x+7y

z(x+2y) , x

2·6c(3a−4b)(3a+4b) c·6c(3a−4b)(3a−4b)

x = − 72 y

x ∈ {0, −2y} =

2(3a+4b) , c(3a−4b)

96 A

L¨ osung 3.4 (a)

2 3

+

4 3

(b)

a 5

+

2 10

(c)

1 2

+

1 7

(d)

1 2

+

1 4

(e)

3a 7

(f)

2 a+1

(g)

2x(y+1) 3y(x+1) 3y xy xy 2x − y+1 + (x+1)(y+1) = (x+1)(y+1) − (y+1)(x+1) + (x+1)(y+1) x+1 2x−3y = (x+1)(y+1) , x, y = −1

+

=

=

6 3

a 5

+

1 5

=

7 14

+

2 14

−

1 12

+

3 8

=

6a 3

+

2+4 3

−

12a 21

1 3a+3

−

=2 a+1 5

= =

=

=

12 24

9a 21

4 a+1

9 14

+

=

6 24

−

2 24

42a 21

−

12a 21

+

6 3(a+1)

+

+

9 24

=

=

39a 21

1 3(a+1)

−

25 24

=

13a 7

12 3(a+1)

5 = − 3(a+1) , a = −1

=

2xy+2x−3xy−3y+xy (x+1)(y+1)

102


−

7b 3a

(i)

x −x−2y

+

(j)

2y 3z+6

(h)

3a 6ab

y x+2y

−x x+2y

=

14b2 6ab

+

3a2 b2 6ab

+

y x+2y

=

=

y−x , x+2y

3a−14b2 +3a2 b2 , 6ab

a, b = 0

x = −2y 3x−2xy 3x(z+2)

+

=

2xy−3x+3xy+3x−2xy 3x(z+2)

L¨ osung 3.5 (a)

a2 +7ab+4b2 3a+6b

−

ab a+2b

a = −2b (b) (c)

97A

−

3a 6ab

=

2xy − 1−y + 3x−2xy = 3x(z+2) − 3x(1−y) z+2 3xz+6x 3x(z+2) 3xy y = z+2 , z = −2, x = 0 3x(z+2)

= 97A

2ab 4

+

2a2 +5ab 4(a+1)

4b2 −2ab 8a+8

+

a2 +7ab+4b2 3(a+2b)

=

2a2 +5ab 4(a+1)

=

3x(x+y) 3x − 4(x−y) = (x−y)(x+y) x−y x+y 2 2 = −x +11xy−4y , x = ±y x2 −y 2

3ab 3(a+2b)

2b2 −ab 4(a+1)

+

−

−

=

a2 +4ab+4b2 3(a+2b)

2a2 +4ab+2b2 4(a+1)

=

4(x−y)(x−y) (x+y)(x−y)

=

=

=

(a+2b)2 3(a+2b)

(a+b)2 , 2(a+1)

a+2b , 3

=

a = −1

3x2 +3xy−(4x2 −8xy+4y 2 ) (x+y)(x−y)

L¨ osung 3.6 ·

(a)

1 2

1 4

(b)

10 7

(c)

a b

·

3 b

=

3·a b·b

=

(d)

3 12b

·

4b2 6

=

1 1

(e)

3 a2

·

1·1 2·4

= ·

5 3

2 3

ab2 9

· 2

·

(f)

ab a+1

(g)

40ab+10c a 2 c2

(h)

1 2

:

3x 4y

(j)

3y 2 3x+1

(k)

(l)

:

·

·

16 2ab

100 63

b = 0

= 6b , b = 0

b 6

=

3 1

·

=

1 9

·

=

=2

1 2

·

6x2 2y 2

:

21 16xy

4 1

6y 2 12x+4

=

4 2

=

=

18 1

1 a+1

a2 b2 +c 12ab+3c

=

:

=

3a , b2

·

18a b2

2a+2 b2

1 4

(i)

10·5·2 7·3·3

=

·

1 8

=

3x 4y

3y 2 3x+1

·

3 1

=

2(a+1) 1

10(4ab+c) a 2 c2

· ·

2y 2 6x2

·

:

70x2 y 4x−2y

=

12x+4 6y 2

35xy 2 2(4x−2y)

·

1 1

·

·

16 2b

·

16xy 21

=

2x−7y 2x−7y : 25y6x−21y 2 z+30z 2 = 5y 2 +6z 5y 2 +6z

7 5 2 x = 2 y, z ∈ 0, − 6 y 35xy 2 8x−4y

·

·

2 1

= 6, a, b = 0

=

1 1

a2 b2 +c 3(4ab+c)

·

·

2 1

8 b

=

a = −1, a, b = 0

16 , b

10(a2 b2 +c) , 3a2 c2

=

1 1

·

2y 2 1

2 21

=

4y 2 , 21

1 3x+1

·

4(3x+1) 2

=

1 1

=

25y 2 z+30z 2 6x−21y

4x−2y 70x2 y

=

y 2

·

1 2x

·

a, c = 0, c = −4ab

x, y = 0

·

4 2

= 2, x = − 31 , y = 0

=

2x−7y 5y 2 +6z

·

5z(5y 2 +6z) 3(2x−7y)

=

y , 4x

=

y = 2x, x, y = 0

1 1

·

5z 3

=

5z , 3

3.6

L¨ osungen

103

97 A

L¨ osung 3.7 (a)

2 x−y

·

4 x+y

(b)

3 a−b

·

a2 −b2 9

(c)

a+b x

:

y a+b

(d)

x+y x2 −y 2

(e)

(f)

:

2·4 (x−y)(x+y)

= ·

a+b x

=

x−y x+y

:

= ·

1 x+y

8 , x2 −y 2

6(a2 −b2 ) 9(a−b)(a+b)

a+b y

=

=

·

6(a2 −b2 ) 9(a2 −b2 )

=

(a+b)2 xy

x+y x2 −y 2

x = ±y = 23 , a = ±b

x, y = 0, a = −b ·

x+y x−y

x+y 1

2 2 2 2x2 +4xy+2y 2 : (x+y) = 2x3x+4xy+2y 2 −6x+3 x−1 3x2 −6x+3 2 = 3(x−1) , x ∈ {−y, 1}

·

=

(x+y)(x+y)(x+y) (x+y)(x−y)(x−y)

x−1 (x+y)2

2(x+y)2 3(x−1)2

=

·

=

(x+y)2 , (x−y)2

x−1 (x+y)2

=

x = ±y

2 3(x−1)

·

1 1

2 3 16x3 −4xy 2 +2xy −4xy 2 12x−6y : 4x = 48x16x 2 +48xy+12y 2 · 4x2 +2xy 12x−6y 48x2 +48xy+12y 2 4x(4x2 −y 2 ) 6(2x−y) 4x(2x−y)(2x+y) 6(2x−y) = 12(4x2 +4xy+y 2 ) · 2x(2x+y) = · 2x(2x+y) 12(2x+y)2 2 = 2x−y , y = ±2x, x = 0 2x+y

(g)

ax+ay−bx−by ax−ay−bx+by

(h)

a − b a+1 b+1 a−b a+b

= (i)

2 a+b

=

=

=

a−b (a+1)(b+1)

·

a(x+y)−b(x+y) a(x−y)−b(x−y)

a(b+1) (a+1)(b+1) a+b a−b

=

−

=

(a−b)(x+y) (a−b)(x−y)

b(a+1) (a+1)(b+1)

a+b (a+1)(b+1)

=

·

a+b a−b

=

x+y , x−y

=

a+b , ab+a+b+1

a = b, x = y

ab+a−ab−b (a+1)(b+1)

·

a+b a−b

a, b = −1, a = ±b

ab b ab+2b ab 2b + a+2 + 2(a+2) 2a+4 2(a+2) 2(a+2) = 3a(b−3) = 3a(b−3)−ab(b+3) ab(b+3) a ab − 3(b+3)(b−3) − 3b−9 3(b+3)(b−3) 3(b+3)(b−3) b+3 3(b+3)(b−3) b(a+2) 3(b2 −9) ab+2b = 2(a+2) · 3a(b−3)−ab(b+3) = 2(a+2) · 3ab−9a−ab2 −3ab = 2b 3b(b2 −9) 3b3 −27b = (−2a)(b 2 +9) = − 18a+2ab2 , a ∈ {0, −2}, b = ±3

·

3(b2 −9) −a(b2 +9)

97 A

L¨ osung 3.8 (a) (x − y)(x − y)(x − y)(x − y) = (x − y) 3 1 (b) a1 · − a1 · −a = a1 · − a1 · − a1 = a1 = 4

1 , a3

a = 0

(c) (−a2 ) · (−a)2 · (−a)3 = (−a2 ) · a2 · (−a3 ) = a2+2+3 = a7 (d)

xy −z

·

−xy 2 z2

·

x2 (−y) z

=

xy(−x)y 2 x2 (−y) (−z)z 2 z

=

x4 y 4 −z 4

=−

xy z

4

, z = 0

(e) (x + y)−3 (x + y)8 (x + y)−2 = (x + y)−3+8−2 = (x + y)3 , x = −y (f)

(x−y)−1 (x+y)−2 1 1 · (x−y)3 = (x−y)(x+y) 2 · (x−y)3 (x+y)2 (x+y)2 1 1 = [(x−y)(x+y)] 4 = (x2 −y 2 )4 , x = ±y

=

1 (x−y)1+3 (x+y)2+2

=

1 (x−y)4 (x+y)4

104

98A


L¨ osung 3.9 (a) (a2 )3 = a2·3 = a6 (b) ((−2)2 )4 = (−2)2·4 = (−2)8 = 28 = 256 (c) (a2 b)3 = (a2 )3 b3 = a2·3 b3 = a6 b3 3 3 3 x−1 (d) (x−1) = x−1 = −(x−1) = (−1)3 = −1, x = 1 1−x (1−x)3 (e) (x−1)4 +7(x−1)4 −12(x−1)4 +3(x−1)4 = (1+7−12+3)(x−1)4 = −(x−1)4 (f) 13(a − 1)3 + 2(1 − a)3 − 8(a − 1)3 + 2(1 − a)3 = (13 − 8)(a − 1)3 + (2 + 2)(1 − a)3 = 5(a − 1)3 + 4(−(a − 1))3 = 5(a − 1)3 − 4(a − 1)3 = (a − 1)3

98A

L¨ osung 3.10 (a) 23 a3 b3 · 73 c3 = (2ab · 7c)3 = (14abc)3 (b) x2 yz 3 · xy 2 + (2xyz)3 = x3 y 3 z 3 + 8(xyz)3 = 9(xyz)3 52 y 3 x

(c) 52 x−1 y 3 · 5−2 x2 y −2 = 2 −1 3

x2 52 y 2

−2 2 −2

y ·5

alternativ: 5 x

·

= xy, x, y = 0

= 52 5−2 x−1 x2 y −2 y 3 = xy

x y

(d) (4(x2 y 2 ))3 − ((2xy)3 )2 = ((2xy)2 )3 − (2xy)2·3 = (2xy)6 − (2xy)6 = 0 (e) 16xy 2 ·(2x)2 −25 x3 y 2 +(8x)2 ·x−1 ·(xy)2 = 16xy 2 ·4x2 −32x3 y 2 +64x2 x−1 x2 y 2 = 64x3 y 2 − 32x3 y 2 + 64x3 y 2 = 96x3 y 2 , x = 0 (f) −121ab3 − (11a2 b)2 · (−2a−3 b) = −121ab3 − 112 a4 b2 · (−2a−3 b) = −121ab3 + 121 · 2a4−3 b2+1 = −121ab3 + 242ab3 = 121ab3 , a = 0 98A

L¨ osung 3.11 (a)

2a4 an 36

(b)

x7 ·xn y 3 ·y −m

(c)

a3 b2 3

·

an bm a3+n b2+m

a7 b3

:

a7+n bn

(d) (e)

xy

zn

2

2a4+n 36

=

:

x7+n y 3−m

=

·

(xy)n z4

4xa+1 15xy a−1

(g)

(2x+y)8 (4x2 +4xy+y 2 )6

:

= xn+7 y −(3−m) = xn+7 y m−3 , y = 0 =

an b

=

(2xa )2 5y a

(f)

a4+n 18

=

=

a3 an b2 bm 3a3+n b2+m

=

a7 b3

(xy)2 (z n )2

=

·

·

bn a7+n

z4 (xy)n

4xa 15y a−1

·

((2x+y)2 )4 ((2x+y)2 )6

= ·

an b

=

5y a 4x2a

=

a3+n b2+m 3a3+n b2+m

=

a7 bn an b3 a7+n b

(xy)2 z 4 z 2n (xy)n

=

= 13 , a, b = 0

xa 3

·

1 ((2x+y)2 )2

=

a7+n bn a7+n b4

= bn−4 , a, b = 0

= (xy)2−n z 4−2n , x, y, z = 0 y x2a

=

=

xa−2a y 3

1 , (2x+y)4

=

x−a y , 3

x = −2y

x, y > 0

3.6

(h) (i)

L¨ osungen

105

(16a2 −36b2 )6 (16a2 −48ab+36b2 )3

=

((x2 +2x+1)(x−1)2 )3 (x2 −1)6

((4a−6b)(4a+6b))6 ((4a−6b)2 )3

=

((x+1)2 (x−1)2 )3 [(x−1)(x+1)]6

=

(4a−6b)6 (4a+6b)6 (4a−6b)6

=

(x+1)6 (x−1)6 (x−1)6 (x+1)6

= (4a + 6b)6 , a = 32 b

= 1, x = ±1

L¨ osung 3.12 √ √ √ √ √ √ (a) 2 3 − 5 3 + 12 3 − 4 3 = (2 − 5 + 12 − 4) 3 = 5 3 √ √ √ √ √ √ (b) 15 ab − 12 ab + 6 ab − 8 ab = (15 − 12 + 6 − 8) ab = ab, ab ≥ 0 √ √ √ √ √ √ √ √ √ (c) 12 x − 4x − x = 12 x − 4 x − x = (12 − 2 − 1) x = 9 x, x ≥ 0 √ √ √ √ √ √ √ √ √ (d) 2 75y + 27y − 3 48y = 2 3y 25 + 3y 9 − 3 3y 16 √ √ √ √ = 10 3y + 3 3y − 12 3y = 3y, y ≥ 0 " " √ √ (e) 3 · 7 · 3 · 7 = (3 · 7)(3 · 7) = (3 · 7)2 = 3 · 7 = 21 √ √ √ √ √ 2 21 = 21 alternativ: 3 · 7 · 3 · 7 = 21 · 21 = " √ √ √ √ (f) 2 · 5 · 3 · 2 · 3 · 5 = 2 · 5 · 3 · 2 · 3 · 5 = (2 · 3 · 5)2 = 2 · 3 · 5 = 30 √ √ √ √ √ (g) 20 · 10 · 2 = 20 · 10 · 2 = 400 = 20 2 " √ √ " " " √ √ √ (h) ab · a · b · a2 b2 = ab · ab · (ab)2 = (ab)2 · (ab)2 = (ab)2

98 A

= (ab)2 , a, b ≥ 0 99 A

L¨ osung 3.13 (a)

√

36a4 b4 :

√

4a2 =

"

! (36a4 b4 ) : (4a2 ) =

36a4 b4 4a2

=

√

9a2 b4 = 3|a|b2 , a = 0

" √ √ √ √ (b) x xy · 2y y · 4 x = 8xy xy · y · x = 8xy (xy)2 = 8xy · xy = 8x2 y 2 , x, y ≥ 0 √ √ √ √ √ √ 2 2 (c) ( x + y − y − z)( x + y + y − z) = x + y − y − z = (x + y) − (y − z) = x + z, x ≥ −y, y ≥ z (d)

√ √ a− b √ √ a+ b

√

ab+b · a+2a−b = a, b ≥ 0, a = b √

(e) √3 2 45 2 − √ x −y

(f)

√ 16 x−y − 9 √ 16 x−y = 9

√

(g)

√ √ a− b √ √ a+ b

√ 4 5 (x−y)(x+y)

√ 2 2 √ x −y = −

81(x+y) √ x−y = 9

·

√ √ √ 2 √ 2 a +2 a b+ b √ 2 √ 2 a − b

√ √ 5 9

= √3

√

x2 −y 2

− √ 42 5 x

−y 2

=

√ √ a− b √ √ a+ b √

√

= 9√ 5−4 2 x

· 5

−y 2

√ √ ( a+ b)2 √ √ √ √ ( a− b)( a+ b) √

= √ 52 5

x −y 2

= 1,

, x2 > y 2

√

√ √ √ √ (x−y)(x+y) 16 x−y x+y √ − √81√x+y = 16 9x−y − x−y 9 9 x+y √ √ 15 x−y = 53 x − y, x − y ≥ 0, x + y > 0 9

√ √ √ √ √ √ 12 (x−y)(x+y) x+y √ √ −3 x+y = − 3 x + y = 12 √x−y −3 x+y 9 x−y 9(x−y) √ √ √ = 4 x + y − 3 x + y = x + y, x − y > 0, x + y ≥ 0 12 x2 −y 2 √ 9x−9y

106


(h) √

3y a+2

+

2x2 +4xy+2y 2

3xy a+1 √ 2(x+y)

= √3y

a+2

2(x+y)2

+

3xy a+1 √ 2(x+y)

=

a+2 √3y 2|x+y|

3xy a+1 √ , 2(x+y)

+

y>0

F¨ ur |x + y| werden zwei F¨ alle unterschieden: a+2 √3y 2(x+y)

1 x + y > 0: = 2 x + y < 0: =

99A

−

+

3y a+2 √ 2(x+y)

3xy a+1 √ 2(x+y)

=

3xy a+1 √ 2(x+y)

+

a+1 3y a+2 √ +3xy 2(x+y)

=

=

3y a+1 (y+x) √ 2(x+y)

=

a+1 3y√ 2

3y a+1 (x−y) √ 2(x+y)

L¨ osung 3.14 √ √ √ 3 3 (a) 85 = ( 3 8)5 = ( 23 )5 = 25 = 32 !" "√ √ (b) a4 = (a2 )2 = a2 = |a| (c)

" 4

2

2

1

2

√ 6

1

a 3 = (a 3 ) 4 = a 12 = a 6 =

a, a ≥ 0

" 8

√ 1 1 1 1 12 1 2 1 3 1 1 2 b · 4 b12 = (a2 b · (b12 ) 4 ) 8 = (a2 ) 8 b 8 (b 4 ) 8 = |a| 8 b 8 b 8 = |a| 4 b 2 (d) a" √ = 4 |a| b, b ≥ 0 " " " √ (e) 4 (x + 1)8 · 4 x + 1 = 4 (x + 1)8 (x + 1) = 4 (x + 1)9 , x ≥ −1 (f)

! 5

x2 · !

(g)

3

√ 3

=

x9 ·

y2 ·

2

= (h)

√ √ 6 4 3 2 ! x ·√x 8 6 9 y · y2

√ 3

! 6

9

45

6 ·y 9

a2 −4b2 √ a9 −b· 16a2 b2 2

√ 3

·

6

8

√

=

y 36

x3 ·

x18

√ 6

5

36

3 x4

18 ·x 24

y 6 ·y 24

· √1a3 =

2

6

2

|y| 8 ·|y| 72

x2 4 y3

·

7

=

|x| 9 7

|y| 9

' 7 = 9 xy , y = 0

1)1

5 1 3 x2 · x9 ·(x45 ) 2

= 5

=

4

|x| 6 ·|x| 18

(

y5 · 4

· √ 4

y6

1 1

1

y 6 ·(y 2 ) 9

√ x45

x 5 ·x 15 ·x 30 2 y3

1

x4 ·(x2 ) 3

1

y 2 ·(y 6 ) 3

1 3

·

√ (3+5 a)2 9−25a

=

1

1

1

x3 ·(x18 ) 6

6 4

7

y3 3

x2

a2 −4b2 a3 −b·4|ab|

= xy, x, y > 0

· √1a3 =

a2 −4b2 a3 −4ab|b|

· √1a3 =

a = 4b|b|. F¨ ur b > 0 vereinfacht sich dies wegen b = |b| zu (i)

1

y 5 ·(y 36 ) 4

a2 −4b2 a2 −4b|b| a2 −4b2 a2 −4b2

√ 2 √ √ a) 12−20 a √ √ 4(3−5√ a) √ = 3(3+5 √ 2 −(5 a)2 · 36+120 a+100a 2 32 +2·3·5 a+(5 a)2 √ √ (∗) 2(3+5√a) (3+5 a)2 4(3−5 a) 9 √ √ √ √ · = 3+5 a = 2, a ≥ 0, a = 25 √ (3+5 a)(3−5 a) 2 (3+5 a)2

· √1a5 , a > 0, · √1a5 =

√1 . a5

·√

√ Hierbei ist zu beachten, dass wegen 3+5 a > 0 die folgende, in (∗) verwendete Beziehung gilt: ! √ √ √ (3 + 5 a)2 = |3 + 5 a| = 3 + 5 a.

3.6

L¨ osungen

107

99 A

L¨ osung 3.15 (a) (b)

√a a √5 ab

√ a a √ √ a a

= =

(c)

4 √ 3 2

4

(d)

28 √ 4+ 2

(e)

√ √ 2( 5− 3) √ √ 5+ 3

=

=

√ ab √5 √ ab ab

1

23

=

√ a a a

=

√ 5 ab , ab

2 4·2 3 1 2 2 3 ·2 3

=

=

=

√ 28(4− 2) √ √ (4+ 2)(4− 2)

L¨ osung 3.16

√

a, a > 0

ab > 0

√ 2 4· 3 2 2

√ =234

√ 28(4− 2) √ 2 42 − 2

=

√ √ √ √ 2( 5− 3)( 5− 3) √ √ √ √ ( 5+ 3)( 5− 3)

=

=

=

2(

√ 28(4− 2) 14

= 2(4 −

√ 2 √ √ √ 2 5 −2 3 5+ 3 ) √ 2 √ 2 5 − 3

√

√ 2) = 8 − 2 2

√ 2(5−2 3·5+3) 5−3

=

√ = 8 − 2 15

Es gilt f¨ ur b > 0, b = 1 und a > 0: logb (a) = c ⇐⇒ bc = a log 2 ( 18 )

= −3

(a) log2 (4) = 2

(c)

(b) log4 (64) = 3

(d) log 4 (2) =

99 A

n

(e) log7 (7 ) = n

1 2

100 A

L¨ osung 3.17 (a) logx (3) + logx (4) = log x (3 · 4) = logx (12), x > 0, x = 1 ) = logy (2), y > 0, y = 1 (b) logy (10) − logy (5) = logy ( 10 5 (c) loga (u) + log a2 (u) = loga (u) + a, u > 0, a = 1

log a (u) loga (a2 )

= loga (u) +

1 2

log a (u) =

3 2

loga (u),

(d) 2 loga (4) + logb (4) − 3 loga (2) + 2 logb (5) = loga (42 ) + log b (4) − loga (23 ) + log b (52 ) = loga (16) + logb (4) − loga (8) + logb (25) = loga ( 16 ) + logb (4 · 25) 8 = loga (2) + logb (100) = loga (2) + 2 logb (10), a, b > 0, a, b = 1 (e)

loga (x) − 19 loga (x3 ) + 2 loga (x) − 14 loga (x4 ) 1 3 4 1 1 = loga (x 3 ) − log a (x 9 ) + loga (x2 ) − loga (x 4 ) = loga (x 3 x− 3 x2 x−1 ) = loga (x), a, x > 0, a = 1 1 3

(f) 2 loga (3x) + log a (3x) + 4 loga (2x) − 12 loga (64x2 ) = loga ((3x)2 ) + loga (3x) + loga ((2x)4 ) − log a (8x) = log a 9x2 · 3x · 16x4 · = loga (54x6 ), a, x > 0, a = 1

L¨ osung 3.18 ! 1 1 = ln ( 15 ) 2 = (a) ln 5

! (b) ln

4

a2 c bd2 1

= ln 1

1

1

1 b4

1 d2

a2 c4

1 8x

100 A 1 2

ln

1 5

= 12 (ln(1) − ln(5)) = − 12 ln(5)

1 1 1 1 = ln a 2 c 4 − ln b 4 d 2

1

1

= ln(a 2 ) + ln(c 4 ) − (ln(b 4 ) + ln(d 2 )) =

1 2

ln(a) +

1 4

ln(c) −

1 4

ln(b) −

1 2

ln(d)

108


"

! " 1 √ √ 4 3 3 4 5 5 2 a5 b a5 c4 (c) lg 3 2 a5 b a5 c4 = lg(3) + lg

1 " √ √ 3 3 5 5 a5 b a5 c4 = lg(3) + 14 lg 2 a5 b a5 c4 = lg(3) + 14 lg(2) + lg √ 5 = lg(3) + 14 lg(2) + 14 · 13 lg a5 b a5 c4 √ 5 1 = lg(3) + 14 lg(2) + 12 lg(a5 ) + lg(b) + lg( a5 c4 ) = lg(3) + = lg(3) + = lg(3) +

1 4 1 4 1 4

lg(2) + lg(2) + lg(2) +

4 5 1 1 lg(a) + 12 lg(b) + 12 lg(ac 5 ) 12 5 1 1 lg(a) + 12 lg(b) + 12 (lg(a) + 12 1 1 1 lg(a) + lg(b) + lg(c) 2 12 15

4

lg(c 5 ))

Kapitel 4 Summen- und Produktzeichen

4

4

4

Summen- und Produktzeichen

4.1

Summenzeichen .................................................. 111

4.2

Produktzeichen ................................................... 130

4.3

Fakultäten und Binomialkoeffizienten........................ 136

4.4

Aufgaben .......................................................... 140

4.5

Lösungen .......................................................... 143

111

4.1

Summenzeichen

111

4 Summen- und Produktzeichen 4.1

4.1 Summenzeichen

Das Summenzeichen dient der Vereinfachung der Notation, wenn viele Zahlen gleicher Struktur summiert werden. Die Summe aller geraden Zahlen von 2 bis 20 kann beispielsweise durch Auflistung aller Summanden explizit angegeben werden 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 + 16 + 18 + 20. Bei einer noch gr¨ oßeren Anzahl von Summanden wird diese Darstellung zunehmend un¨ ubersichtlich, so dass oft die abk¨ urzende Schreibweise 2 + 4 + 6 + · · · + 20 verwendet wird. Durch die Angabe der ersten Summanden ist das Bildungsgesetz der Summanden erkennbar, die letzte Zahl legt das Summationsende fest. Das Summenzeichen verwendet die selben Informationen zur Festlegung der Summe. Im obigen Beispiel ist der i-te Summand das Doppelte 2i der Zahl i. Dieses Bildungsgesetz wird in die Summenzeichen-Schreibweise direkt aufgenommen, wobei zus¨ atzlich Summationsanfang und -ende angegeben werden: 10 *

2i = 2 · 1 + 2 · 2 + 2 · 3 + · · · + 2 · 10 = 2 + 4 + 6 + · · · + 20.

i= 1

¨ Wesentlich bei der Ubersetzung“ des Symbols ist, dass beginnend beim An” fang (hier i = 1 mit Summand 2 · 1 = 2) die Zahlen 2i addiert werden bis der letzte Index (hier i = 10 mit Summand 2 · 10 = 20) erreicht ist. Der Index durchl¨ auft dabei alle nat¨ urlichen Zahlen zwischen Summationsanfang und -ende. Die Summenzeichendarstellung besteht daher aus den Elementen Bildungsgesetz der Summanden (im Beispiel 2i), Summationsvariable mit Werten in N (im Beispiel i), Summationsanfang (im Beispiel i = 1) und Summationsende (im Beispiel i = 10). Diese kompakte Notation wird in der folgenden Bezeichnung eingef¨ uhrt. Bezeichnung Summenzeichen Seien a1 , . . . , an reelle Zahlen und n ≥ 2 eine nat¨ urliche Zahl. Die Summe der Zahlen a1 , . . . , an wird bezeichnet mit n *

ai = a1 + · · · + an .∗

i=1 ∗ lies:

Summe der Zahlen ai von i gleich 1 bis n.

112

4. Summen- und Produktzeichen

Das Zeichen Σ (großes griechisches Sigma) wird Summenzeichen genannt. Die weiteren Bestandteile der Notation können folgender Darstellung entnommen werden:

*

obere Summationsgrenze n *

ai

=

i-ter Summand.

i=1

Summationsindex = untere Summationsgrenze

Der Summationsindex heißt auch Laufindex.∗ B

Beispiel

(i) 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 =

6

i

i=1

(ii) 4 + 16 + 64 = 41 + 42 + 43 =

3

4i

i=1

(iii)

2 i=1

(iv)

3 1 i=1

B

log2 (i) = log2 (1) + log2 (2) = 0 + 1 = 1

i

−

1 i+1

= 1−

1 2

+

1 2

−

1 3

+

1 3

−

1 4

=1−

1 4

=

3 4

Beispiel Arithmetisches Mittel, empirische Standardabweichung In der Sta-

tistik wird das Summenzeichen in vielen Notationen verwendet. Beispiele sind das arithmetische Mittel x und die empirische Standardabweichung s von Messwerten x1 , . . . , xn : + , n n ,1 * 1* x= xi , s=(xi − x)2 . n i=1 n i=1 Das arithmetische Mittel x beschreibt das Zentrum des Datensatzes x1 , . . . , ahrend die empirische Standardabweichung ein Maß f¨ ur die Streuung xn , w¨ der Messwerte um dieses Zentrum ist. Bei einer Verkehrskontrolle wurden folgende Geschwindigkeiten der ersten zehn gemessenen Fahrzeuge ermittelt: Fahrzeug Nr. i Geschwindigkeit xi

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 55 76 47 52 49 48 50 62 47 55

∗ Die Summationsgrenzen beziehen sich auf den Laufindex und nicht auf das Bildungsgesetz der Summanden.

4.1

Summenzeichen

113

Daraus ergibt sich eine mittlere Geschwindigkeit dieser Fahrzeuge von 1 * 1 (55 + 76 + 47 + · · · + 55) = 54,1. xi = 10 i=1 10 10

x=

Zur Berechnung der Streuung wird die quadratische Abweichung (xi − x)2 jedes Messwerts xi vom arithmetischen Mittel x bestimmt: Fahrzeug Nr. i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Abweichung (xi − x)2 0,81 479,61 50,41 4,41 26,01 37,21 16,81 62,41 50,41 0,81

Daraus ergibt sich schließlich ' " 1 s= (0,81 + 479,61 + · · · + 0,81) = 72,89 ≈ 8,54. 10

Als Summationsgrenzen k¨ onnen auch beliebige ganze Zahlen eingesetzt werden. F¨ ur eine untere Summationsgrenze m ∈ Z mit m kleiner oder gleich n − 1 ∈ Z und reelle Zahlen am , . . . , an wird das Summenzeichen definiert als n *

ai = a m + · · · + an .

i= m

Die Zahl m gibt also den Index des ersten Summanden an. Die Summationsvariable kann beliebig bezeichnet werden (sofern kein Konflikt mit anderen Bezeichnungen vorliegt), d.h. es gilt etwa n * i=m

ai =

n *

aj =

j=m

n *

ak .

k=m

Beispiel

B

(i) 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 = 20 + 21 + 22 + 23 + 24 + 25 =

5

2j

j=0

(ii) 3 + 6 + 9 + 12 + 15 + 18 + 21 =

6 k=0

(iii)

2

(3k + 3) =

6

3(k + 1)

k=0

(−i)2 = 22 + 12 + 02 + (−1)2 + (−2)2 = 4 + 1 + 0 + 1 + 4 = 10

i=−2

(iv)

4 j=0

xj = x0 + x1 + x2 + x3 + x4 = 1 + x + x2 + x3 + x4

114

(v)

4. Summen- und Produktzeichen n j=1

(vi)

n j=0

1 = 1 + ··· + 1 = n n-mal

1 = 1 + ···+ 1 = n + 1

(n+1)-mal

Zur Vereinheitlichung der Notation werden noch einige Sonderfälle betrachtet. Seien am , . . . , an wiederum reelle Zahlen und n, m ganze Zahlen. 1

Ist die untere Summationsgrenze gleich der oberen, bedeutet dies, dass die Summe nur aus einer Zahl (etwa aj ) besteht j *

ai = aj .

i=j

2

Ist die untere Summationsgrenze gr¨ oßer als die obere Summationsgrenze, wird das Ergebnis der Summe als Null definiert. Daher gilt z.B. 1 *

ai = 0

oder

i=3

n−1 *

ai = 0.

i=n

Dies ist eine Vereinbarung, die in vielen Fällen n¨ utzlich ist und Fallunterscheidungen u ussig macht. Beispielsweise gilt somit ¨ berfl¨ 5 * i=5

i = 5,

9 * j=50

i2 = 0,

−2 *

(2i + 1) = 2 · (−2) + 1 = −3.

i=−2

Die Notation lässt sich bzgl. der zu summierenden Zahlen weiter verallgemeinern. Zu diesem Zweck seien I eine Teilmenge der ganzen Zahlen Z und ai , i ∈ I, reelle Zahlen. Dann bezeichnet * ai ∗ i∈I

die Summe aller Zahlen ai , deren Index i in der Menge I enthalten ist. i heißt Summationsindex, ai heißt Summand und I wird als Summationsmenge bezeichnet. F¨ ur nicht endliche Indexmengen ist zu beachten, ob die zu bildende Summe sinnvoll ist. Diese Fragestellung wird in 321Abschnitt 9.2 unter dem Thema Reihen behandelt. F¨ ur eine leere Indexmenge I = ∅ wird * ai = 0 i∈∅ ∗ lies:

Summe der Zahlen ai mit Index i aus der Menge I.

4.1

Summenzeichen

115

vereinbart. F¨ ur die Indexmenge I = {m, . . . , n} mit einem m ∈ Z kleiner oder gleich n ∈ Z resultiert die bekannte Notation *

ai =

n *

ai .

i=m

i∈I

Beispiel

B

(i) F¨ ur I = {2, 5, 7, 12, 15} gilt * i = 2 + 5 + 7 + 12 + 15 = 41,

*

i∈I

x2i = x4 + x10 + x14 + x24 + x30 .

i∈I

(ii) Ist I = {k | k = 2n, n ∈ N} = {2, 4, 6, . . .} die Menge der geraden Zahlen, so gilt * 1 1 1 1 1 1 1 + + ··· = 2 + 2 + 2 + ··· = + 2 i 2 4 6 4 16 36 i∈I

Rechenregeln f¨ ur das Summenzeichen Seien a1 , . . . , an , b1 , . . . , bn , c, d reelle Zahlen und n eine nat¨ urliche Zahl. F¨ ur das Summenzeichen gelten folgende Rechenregeln: 1.

n * i=1

2.

n *

ai =

k * i=1

(c · ai ) = c

n *

n *

n *

/ ai

i=1

(ai + bi ) =

i=1

4.

ai mit k ∈ {1, . . . , n}

i=k+1

.

i=1

3.

n *

ai +

n *

ai +

i=1

bi

i=1

(c · ai + d · bi ) = c

i=1

n *

n *

ai + d

i=1

n *

bi

i=1

Nachweis. 1. Sei zun¨ achst k ∈ {1, . . . , n − 1}. Durch Aufteilen der Summe in die ersten k Summanden und die verbleibenden n − k Summanden resultiert die gew¨ unschte Rechenregel: n *

ai = a1 + · · · + ak + ak+1 + · · · + an = i=1 1. Summe

2. Summe

k * i=1

ai +

n * i=k+1

ai .

116


Die Regel ist auch f¨ ur k = n richtig, da dann die zweite Summe per Definition Null gesetzt ist. 12 5 12 Beispiel i = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 = i+ i. i=1 i=1 i=6 1. Summe

2. Summe

2. Die Regel ergibt sich durch Ausklammern des Faktors c aus jedem Summanden: n *

(c · ai ) = ( c · a1 ) + · · · + ( c · an ) = c · (a1 + · · · + an ) = c

i=1

n *

ai .

i=1

Beispiel

6

(3i) = 3 + 6 + 9 + 12 + 15 + 18 = 3 · (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) = 3

i=1

6

i.

i=1

3. Diese Vorschrift beruht auf dem Umsortieren der Summanden in einer (endlichen) Summe: n *

(ai + bi ) = ( a1 + b1 )

i=1

+ ( a 2 + b2 ) + ··· + ( a n + bn ) = ( a1 + · · · + an ) + (b1 + · · · + bn ) =

n *

ai +

i=1

Beispiel

4

n *

bi .

i=1

(i + i2 ) = (1 + 1) + (2 + 4) + (3 + 9) + (4 + 16)

i=1

= (1 + 2 + 3 + 4) + (1 + 4 + 9 + 16) =

4 i=1

i+

4

i2 .

i=1

4. Das Ergebnis resultiert durch Kombination der vorstehenden Resultate: n *

(c · ai + d · bi ) =

i=1

n *

(c · ai ) +

i=1

n *

(d · bi ) = c ·

i=1

n * i=1

ai + d ·

n *

bi .

i=1

Die obigen Regeln gelten auch f¨ ur Summen mit einem Summenzeichen der n . Art i=m

B

Beispiel

(i)

10 i=1

2=2

10 i=1

1 = 2(1 + · · · + 1) = 2 · 10 = 20 10-mal

4.1

(ii)

Summenzeichen 4

(i − 2) =

i=0

(iii)

117

4

i−

i=0

3

4

2 = (0 + 1 + 2 + 3 + 4) − 5 · 2 = 10 − 10 = 0

i=0

(2(i + 1) − i2 ) = 2

i=1

3

(i + 1) −

i=1

3

i2 = 2

i=1

3

3

i+2

i=1

i=1

= 2(1 + 2 + 3) + 2 · 3 − (1 + 4 + 9) = 12 + 6 − 14 = 4 (iv)

100

(2i + 3) −

i=2 100

=

100

(5i − 3) −

i=2

100

(3 − 3i) =

i=2

(2i + 3 − 5i + 3 − 3 + 3i) =

i=2

(v)

20

=

20

3

i2

i=1

[(2i + 3) − (5i − 3) − (3 − 3i)]

i=2

3 = 99 · 3 = 297

i=2

(i3 + 1) −

i=1

100

100

1−

20

(i − 1)3 − 3

i=1

20

i2 +

i=1

20

3i =

i=1

20

[i3 + 1 − (i − 1)3 − 3i2 + 3i]

i=1

[i3 + 1 − (i3 − 3i2 + 3i − 1) − 3i2 + 3i] =

i=1

20

2 = 20 · 2 = 40, wobei

i=1

die 139Formel (i − 1)3 = i3 − 3i2 + 3i − 1 benutzt wurde. 1 0 10 10 9 9 (vi) 3 i2 − 6 i−3 i(i − 2) = 3 102 − 2 · 10 + i2 − 2i − i(i − 2) i=1 i=1 i=1 i=1 =0

= 3 · (100 − 20 + 0) = 240

In den beiden Summen mit Summationsobergrenze 10 wird jeweils der letzte Summand (i = 10) aus der Summenzeichen-Schreibweise herausgenommen und separat aufgef¨ uhrt. Anschließend haben alle Summen die selben Summationsunter- und obergrenzen und können in einer Summe zusammengefasst werden. Beispiel Linearit¨ at des arithmetischen Mittels Seien a, b ∈ R und y1 , . . . , yn

B

ein linear transformierter Datensatz von x1 , . . . , xn , d.h. yi = axi + b,

i ∈ {1, . . . , n}.

Das arithmetische Mittel y der Daten y1 , . . . , yn ist gegeben durch y = ax + b. ur Summen: Diese Linearit¨ atseigenschaft beruht auf den 115Rechenregeln f¨ . / n n n n 1* 1* 1* 1* y= yi = (axi + b) = a xi + b = ax + b. n i=1 n i=1 n i=1 n i=1 Beispiel Empirische Varianz, Die empirische Varianz s2 ist definiert als (vgl. 112empirische Standardabweichung) die Summe s2 =

1 n

n

i=1

(xi −x)2 . Mittels

B

118


der obigen Regeln ergibt sich unter Beachtung der zweiten 16binomischen Formel eine alternative Berechnungsvorschrift: 1* 1 * 2 (xi − x)2 = x − 2xi x + x2 n i=1 n i=1 i n

s2 =

n

1* 1 1* 2 1* 2 xi − 2x · xi + · nx2 = x − 2x2 + x2 n i=1 n i=1 n n i=1 i n

=

n

n

=x

1* 2 = x − x2 = x2 − x2 . n i=1 i n

Indexverschiebung

Gelegentlich ist es n¨ utzlich, die Summationsgrenzen zu verschieben. Das Verfahren beruht auf einer Darstellung der Art 2 *

ai = a 1 + a 2 = a 3 −2 + a 4 −2 =

i= 1

4 *

ai−2 .

i= 3

F¨ ur reelle Zahlen a1 , . . . , an gilt z.B. n * i=1

ai =

n−1 *

ai+1 =

n+1 *

i=0

ai−1 = · · ·

i=2

Durch Einsetzen der Summationsgrenzen wird deutlich, dass es sich in allen F¨ allen um die selbe Summe handelt. Eine solche Manipulation heißt Indexverschiebung. Allgemein kann eine Verschiebung um einen beliebigen Wert k nach unten bzw. nach oben erfolgen. Bei einer Verschiebung um k Einheiten nach unten ergibt sich n *

n −k

ai =

*

ai +k ,

i=1 −k

i=1

bei einer Verschiebung um k Einheiten nach oben lautet das Resultat n * i=1

*

n +k

ai =

ai −k .

i=1 +k

Zusammenfassend ergibt sich f¨ ur eine Indexverschiebung die folgende Regel.

4.1

Summenzeichen

119

Indexverschiebung 1. Die obere und untere Summationsgrenze werden um den selben Wert k erniedrigt bzw. erh¨ oht. 2. Der Summationsindex i wird in der Summation bei jedem Auftreten durch i + k bzw. i − k ersetzt. Dabei ist insbesondere auf Minuszeichen vor dem Index i zu achten (1 − i wird zu 1 − (i + k) = 1 − i − k bzw. zu 1 − (i − k) = 1 − i + k). Analog wird bei 133Produkten (Produktzeichen) und bei 322unendlichen Summen (Reihen) verfahren. Beispiel

(i)

(ii)

4

B

(i − 1) =

4 −1

i=1

i=1 −1

10

8

(2i − 3) − 2

i=3

=

8

k

(iv)

n

i=0+1+2+3=6

8

(2(i + 2) − 3) − 2

i=1

8

i−8

i=1

(2i + 1) = 0

i=1

xi−2 =

k−2

xi

i=0

2k −

k=1

(v)

i−8=

(2i + 1) −

i=2

3 i=0

i=1 8

i=1

(iii)

(i +1 − 1) =

n+1

2k−2 =

k=2

n

2k −

k=1

n−1

2k =

k=0

n−1

2k + 2n − 20 −

k=1

n−1

2k = 2n − 1

k=1

n

n n n n−1 (ai − ai−1 ) = ai − ai−1 = ai − ai i=1 i=1 i=1 i=1 i=0 n−1 n−1 = ai + an − a0 + ai = an − a0 i=1

i=1

Derartige Summen werden als Teleskopsummen bezeichnet. Einsetzen von ai = 2i ergibt als direkte Anwendung dieser Regel n * (2i − 2i−1 ) = 2n − 1. i=1

Daraus folgt auch das Resultat 2n − 1 =

n * i=1

(2i − 2i−1 ) =

n * i=1

2i−1 (2 − 1) =

n * i=1

2i−1 =

n−1 * i=0

2i .

120


Spezielle Summen

Seien a1 , . . . , an , c reelle Zahlen und n eine nat¨ urliche Zahl. 1. Sind alle ai gleich einem Wert c, d.h. gilt ai = c f¨ ur jedes i, lässt sich die Summe u ¨ber alle ai schreiben als n n * * ai = c = c + · · · + c = n · c. i=1

i=1

Speziell f¨ ur c = 1 ergibt sich

n−mal

n

1 = n, d.h. die Summe u ¨ ber 1 von i gleich

i=1

1 bis n entspricht der Anzahl der Summanden. Beginnt die Summation beim Index j (≤ n), resultiert die Identität n *

ai =

i=j

n *

c = (n − j + 1) · c.

i=j

2. Sind alle ai gleich ihrem Index i, d.h. gilt ai = i f¨ ur jedes i, lässt sich die Summe u ¨ber alle ai schreiben als n n * * n(n + 1) . ai = i= 2 i=1 i=1 Die Summe heißt arithmetische Summe. Dieses Ergebnis wird nachstehend 121grafisch illustriert.

3. Sind alle ai gleich dem Quadrat ihres Index i, d.h. gilt ai = i2 f¨ ur jedes i, l¨ asst sich die Summe u ¨ber alle ai schreiben als n *

ai =

i=1

n *

i2 =

i=1

n(n + 1)(2n + 1) . 6

4. Sind alle ai gleich der i-ten Potenz einer Zahl c, die von 1 verschieden ist, ur jedes i mit c = 1, lässt sich die Summe u d.h. gilt ai = ci f¨ ¨ber alle ai schreiben als n n * * c − cn+1 1 − cn+1 −1= . ai = ci = 1−c 1−c i=1 i=1 Wegen c0 = 1 lautet die Summe u ¨ ber a0 , a1 , . . . , an mit a0 = 1 n * i=0

ai =

n * i=0

ci =

1 − cn+1 . 1−c

Diese Summe heißt geometrische Summe.

4.1

Summenzeichen

121

Nachweis. Der Nachweis dieser Eigenschaft beruht auf der Beziehung (1 − c)

n *

n *

ci =

i=0

(1 − c)ci =

i=0

n *

(ci − ci+1 )

i=0

(∗) n *

=

ci −

i=0

n *

ci+1 =

i=0

= c0 +

n *

ci −

i=1

n *

ci −

i=0 n *

n+1 *

ci

i=1

ci − cn+1 = 1 − cn+1 .

i=1

Division beider Seiten durch 1 − c liefert das gew¨ unschte Resultat. Alternativ kann direkt benutzt werden, dass (∗) eine 119Teleskopsumme ist.

Beispiel

(i)

7

B

i(i − 1) =

i=1

(ii)

5 i=1

(iii)

10

7

i2 −

i=1 1 2i

=

5 1 i=1

i

2

i=

i=1 5+1

=

((i − 3)2 − 2i ) =

i=3

= 140 − 8 ·

7

1−( 12 ) 1− 12 7

−1 =

7·8 2

1− 216

(∗)

(i2 − 2i+3 ) =

i=0 7

−

7·8·15 6

1 2

7 i= 1

2 = 140 − 8 · i

i=0 2

1−28 1−2

= 140 − 28 = 112 −1 = 2− i2 −

7 i=0

1 25

−1 = 1−

2i+3 =

7·8·15 6

1 32

− 23 ·

= 7

31 32

2i

i=0

= 140 − 8 · 255 = −1 900

In (∗) wird 0 = 0 benutzt, d.h. der erste Summand ist gleich Null und kann daher weggelassen werden. Illustration einer Summenformel

Die Summenformel

n i=1

i =

n(n+1) 2

¨ kann durch geometrische Uberlegungen

veranschaulicht werden. Begonnen wird im ersten Schritt mit Rechtecken der Kantenl¨ ange 1 und 1 (Einheitsquadrat), die aufeinander gestapelt werden und damit ein aufrecht stehendes Rechteck mit Kantenlänge 1 (unten) und 2 (links) bilden (s. 122Tabelle). Im zweiten Schritt werden dann jeweils ein Rechteck mit Kantenl¨ angen 2 und 1 links und rechts angef¨ ugt, so dass ein Rechteck mit den Kantenl¨ angen 3 (unten) und 2 (links) entsteht. Die nächsten Rechtecke haben Kantenl¨ angen 1 und 3 und werden oben bzw. unten angelegt. Dieses Verfahren wird – wie in der Tabelle angedeutet – fortgesetzt. Im n-ten Schritt werden jeweils Rechtecke mit Kantenlänge n oben/unten bzw. rechts/links angef¨ ugt. Durch Multiplikation der Kantenlängen des Rechtecks

122


n und n + 1 resultiert seine Fl¨ ache n(n + 1), die der Anzahl von Einheitsquadraten entspricht. Da im i-ten Schritt 2i Einheitsquadrate dazu kommen, n n (2i) = 2 i Quadrate vor, so dass die liegen im n-ten Schritt insgesamt i=1

i=1

obige Summenformel entsteht. Ein Beweis kann mit Hilfe der vollständigen Induktion (s. Kamps et al. (2003)) erfolgen. n n(n+1) 2

1 1

2 3

3 6

1 2

3 2

3 4

2

6

12

4 10

5 15

6 21

5 4

5 6

7 6

20

30

42

Rechteck Obere Kante Linke Kante Anzahl Einheitsquadrate n n(n+1) 2

Rechteck Obere Kante Linke Kante Anzahl Einheitsquadrate

Anwendungen des Summenzeichens in der Statistik

Im Folgenden werden einige Anwendungsbereiche des Summenzeichens in der Statistik vorgestellt. F¨ ur detaillierte Informationen sei auf die Erläuterungen der Begriffe in Burkschat et al. (2004) bzw. im System EMILeA-stat verwiesen. B

Beispiel Mittel Seien x1 , . . . , xn reelle Zahlen und n eine nat¨ urliche Zahl.

1. Wie bereits eingef¨ uhrt, heißt die Summe

n i=1

durch ihre Anzahl n arithmetisches Mittel 1* xi . n i=1 n

x=

xi dieser Zahlen dividiert

4.1

Summenzeichen

123

2. Sind p1 , . . . , pn nicht-negative Zahlen mit S =

n

pi > 0, heißt

i=1

xg =

n 1* pi xi S i=1

gewichtetes arithmetisches Mittel. Oft wird angenommen, dass die Gen pi = 1 erf¨ ullen, so dass das wichte p1 , . . . , pn die Bedingung S = i=1

gewichtete arithmetische Mittel in dieser Situation lautet xg =

n *

pi xi .

i=1 n

3. Sind x1 , . . . , xn positiv, wird die Summe

i=1

1 xi

der Kehrwerte

1 1 x1 , . . . , xn

dieser Zahlen zur Definition des harmonischen Mittels verwendet: xharm = 1 n

1 n i=1

. 1 xi

Beispiel H¨ aufigkeiten Das Summenzeichen erweist sich auch bei der Ausaufigkeiten als sehr n¨ utzlich. wertung von 10absoluten und 18relativen H¨

B

aufigkeiten von Ausprägungen x1 , . . . , xn (xi = i Seien f1 , . . . , fn relative H¨ sei etwa die Jahrgangsstufe (i ∈ {1, 2, 3, · · · , 13}), und fi bezeichne den Anteil von Sch¨ ulerinnen und Sch¨ ulern in einer Stadt, die in dieser Jahrgangsk stufe sind). Dann bezeichnet fi den Anteil der Ausprägungen x1 , . . . , xk , i=1

k ∈ {1, . . . , n}. Bezogen auf das Schulbeispiel bedeutet dies, dass

k

fi den

i=1

Anteil von Sch¨ ulerinnen und Sch¨ ulern beschreibt, die höchstens in Jahrgangsstufe k sind. Wegen dieser Anh¨ aufung“ (Kumulierung) von Häufigkeiten ” k werden die Werte fi , k ∈ {1, . . . , n}, auch als kumulierte Häufigkeiten i=1

bezeichnet.

In der Wahrscheinlichkeitsrechnung tritt das Summenzeichen als Normierungsbedingung f¨ ur diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen auf. Bezeichnung Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung Seien n eine nat¨ urliche Zahl, Ω = {x1 , . . . , xn } eine 43Grundmenge und p1 , . . . , pn nicht-negativ.

Dann heißt das n-Tupel (p1 , . . . , pn ) (diskrete) Wahrscheinlichkeitsverteilung auf n Ω, falls pi = 1 gilt. Die Zahl pi heißt Wahrscheinlichkeit von xi . i=1

124


Die obigen Begriffe werden in der Praxis folgendermaßen interpretiert: Bei einem Zufallsexperiment sind die Ausg¨ ange x1 , . . . , xn möglich, wobei das n pi = 1 gelte. Andere Ergebnis xi mit Wahrscheinlichkeit pi auftrete und i=1

Ausg¨ ange des Experiments treten nicht bzw. nur mit Wahrscheinlichkeit Null auf. B

Beispiel Einfacher W¨ urfelwurf Der einfache W¨ urfelwurf wird in der Wahr-

scheinlichkeitsrechnung auf folgende Weise modelliert. Als Ergebnisse treten die Ziffern (Augenzahlen) 1, · · · , 6 auf, die in der 43Grundmenge Ω = {1, . . . , 6} zusammengefasst werden. Bei Verwendung eines fairen W¨ urfels wird angenommen, dass jede Seite mit gleicher Wahrscheinlichkeit auftritt. agt somit f¨ ur jede Seite i jeweils 16 , d.h. pi = 16 Die Wahrscheinlichkeit 1 pi1 betr¨ f¨ ur i ∈ Ω. Damit ist 6 , 6 , 16 , 16 , 16 , 16 die zugehörige Wahrscheinlichkeitsverteilung auf Ω. Eine wichtige diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung ist die Gleichverteilung auf n verschiedenen Werten, die den einfachen W¨ urfelwurf erweitert. F¨ ur n = 2 resultiert ein Modell f¨ ur den einfachen M¨ unzwurf mit einer symmetrischen M¨ unze und den Ergebnissen Kopf und Zahl.

Bezeichnung Gleichverteilung Seien x1 , . . . , xn verschiedene reelle Zahlen. Die (diskrete) Gleichverteilung auf dem Grundraum Ω = {x1 , . . . , xn } ist definiert durch das Tupel (p1 , . . . , pn ) = n1 , . . . , n1 , d.h. die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses xi hat jeweils den selben Wert pi = n1 .

Wegen

1 n

≥ 0 und

n i=1

pi =

n i=1

1 n

=

1 n

· n = 1 erf¨ ullt die diskrete Gleich-

verteilung die Anforderung an eine Wahrscheinlichkeitsverteilung. Sie ist in der Wahrscheinlichkeitsrechnung von Bedeutung, da mit ihrer Hilfe der so genannte Laplace-Raum eingef¨ uhrt wird. Sie heißt deshalb auch LaplaceVerteilung. Die Wahrscheinlichkeit eines 43Ereignisses (d.h. einer Menge von Ergebnissen) wird dann definiert als Anzahl g¨ unstiger Fälle . Anzahl m¨ oglicher Fälle Bezeichnet A die Menge der g¨ unstigen F¨ alle, so gilt mit Ω als der Menge der m¨ oglichen F¨ alle die Rechenregel Wahrscheinlichkeit von A =

|A| , |Ω|

4.1

Summenzeichen

125

wobei |A| die 45Ma ¨chtigkeit der Menge A ist. Das Berechnen einer Wahrscheinlichkeit wird somit auf das Abz¨ ahlen der g¨ unstigen Ergebnisse reduziert. Beispiel

Beim einfachen W¨ urfelwurf betr¨ agt die Wahrscheinlichkeit, eiunstigen Ergebnisse ne gerade Zahl zu w¨ urfeln, 12 , denn die Menge der g¨ A = {2, 4, 6} hat drei Elemente, die Menge der möglichen Ergebnisse Ω = 3 1 {1, . . . , 6} hat sechs Elemente, d.h. |A| |Ω| = 6 = 2 . Entsprechend hat das Ereignis B mindestens eine F¨ unf zu w¨ urfeln die Wahrscheinlichkeit |{5, 6}| 2 1 |B| = = = . |Ω| 6 6 3

B

F¨ ur Wahrscheinlichkeitsverteilungen werden Kenngrößen definiert, die Aussagen u ¨ ber den mittleren Ausgang eines Zufallsexperiments bzw. die Abweichung von diesem mittleren Ergebnis treffen. Bezeichnung Erwartungswert, Varianz, Standardabweichung Sei p1 , . . . , pn eine Wahrscheinlichkeitsverteilung auf den verschiedenen Zahlen x1 , . . . , xn . Dann heißt das gewichtete arithmetische Mittel der Ausgänge des Experiments

E=

n *

pi xi

i=1

Erwartungswert des Zufallsexperiments. Die Größen

v=

n *

pi (xi − E)2

+ , n ,* √ bzw. s = v = pi (xi − E)2

i=1

i=1

heißen Varianz bzw. Standardabweichung und sind Maße f¨ ur die Abweichung des Ausgangs vom Erwartungswert. Beispiel Fortsetzung Einfacher W¨ urfelwurf Beim einfachen W¨ urfelwurf be-

rechnen sich die genannten Gr¨ oßen wie folgt: 1. E =

6 i=1

pi xi =

1 6

6 i=1

i=

1 6

·

6(6+1) 2

=

7 2

= 3,5.

B

126


2 2. s =

6

2 pi (xi − E)2 =

1 6

i=1

6

(i − 3,5)2 . Unter Ber¨ ucksichtigung der

i=1

Rechnung 6 *

(i − 3,5)2 =

i=1

6 *

(i2 − 7i + 3,52 ) =

i=1

6 *

i2 − 7

i=1

6 * i=1

i+

6 *

12,25

i=1

6(6 + 1)(2 · 6 + 1) 6(6 + 1) −7· + 6 · 12,25 6 2 = 91 − 147 + 73,5 = 17,5 =

resultieren die Varianz v = " s = 2,916 ≈ 1,708.

1 6

· 17,5 = 2,916 und die Standardabweichung

Der mittlere Wert des W¨ urfelwurfs ist somit 3,5, wobei eine Schwankungsbreite von 1,708 vorliegt. Doppelsummen

Seien n, m nat¨ urliche Zahlen und aij 28doppelindizierte reelle Zahlen, die in folgendem Schema (Matrix) angeordnet sind ⎧ a 11 ⎪ ⎪ ⎨ a21 m Zeilen .. ⎪ ⎪ ⎩ . am1

a12 a22 .. .

··· ··· .. .

am2

· · · amn

a1n a2n .. .

n Spalten

Insgesamt liegen also n · m Zahlen aij vor. Dann wird die Summe aller Zahlen aij als Doppelsumme bezeichnet, d.h. m * n *

aij = a11 + · · · + amn .

i=1 j=1

Entsprechend zur Definition des Summenzeichens sind Notationen der Art aij zu verstehen, wobei I eine aus Paaren (i, j) bestehende Indexmenge (i,j)∈I

ist. Ist die Indexmenge I aus dem Kontext klar, so wird auf ihre Angabe aij geschrieben. gelegentlich verzichtet und kurz i,j

4.1

Summenzeichen

127

Rechenregel f¨ ur die Doppelsumme Seien n, m nat¨ urliche Zahlen und aij reelle Zahlen: a11 a21 .. .

a12 a22 .. .

··· ··· .. .

am1

am2

· · · amn

a1n a2n .. .

Dann gilt f¨ ur die Doppelsumme m * n *

aij =

i=1 j=1

n * m *

aij ,

j=1 i=1

d.h. die Reihenfolge der Summation ist unerheblich. Es spielt also keine Rolle, ob die Zahlen aij zunächst zeilenweise summiert n aij = ai1 + · · · + ain , und dann die Summe u werden, i.e., ¨ ber die Zeij=1

lensummen gebildet wird, oder ob zun¨ achst spaltenweise summiert wird, i.e., m aij = a1j + · · · + amj , und dann die Summe u ¨ ber die Spaltensummen i=1

gebildet wird. j i

1 2

1

2

...

j

...

n

a11

a12

...

a1j

...

a1n

a21

a22

...

a2j

...

Zeilensumme n

a1j

j=1 n

a2n

a2j

j=1

.. .

.. .

.. .

i

ai1

ai2

.. . ...

aij

.. . ...

n

ain

.. . aij

j=1

.. .

.. .

.. .

m

am1

am2

Spaltensumme

m i=1

ai1

m i=1

ai2

.. . ... ...

amj m i=1

aij

.. . ... ...

amn m i=1

ain

n

.. .

amj j=1 m n

aij

i=1 j=1 n m

=

aij

j=1 i=1

Gesamtsumme

Bei der Vertauschung der Summationsreihenfolge ist zu ber¨ ucksichtigen, dass die Anzahlen von Summanden in jeder Zeile (= n) bzw. in jeder Spalte (= m)

128


gleich sein m¨ ussen. Bei gewissen Fragestellungen kann es vorkommen, dass etwa in jeder Spalte unterschiedlich viele Einträge stehen, d.h. die Anzahl von Eintr¨ agen h¨ angt von der Spaltennummer j ab. a11 a21 .. . .. .

a12 a22 .. .

··· ··· .. .

a m2 2

···

a1n a2n .. . .. . .. .

am1 1

amn n In dieser Situation kann die Summationsreihenfolge nat¨ urlich nicht vertauscht werden. Gibt es in der Spalte j insgesamt mj Summanden, resultiert die m j aij . Die Gesamtsumme ist dann die Summe u Spaltensumme ¨ ber diese i=1

Spaltensummen mj n * *

aij .

j=1 i=1

Eine analoge Situation kann nat¨ urlich auch mit unterschiedlich vielen Eintr¨ agen pro Zeile vorliegen. Die Aussagen u ¨bertragen sich entsprechend. B

Beispiel

(i)

(ii)

1 3

aij =

(ai2 + ai3 ) = a02 + a03 + a12 + a13

i=0 j=2

i=0

2 10

2

2ij =

i=1 j=1

(iii)

1

10 k k=1 j=0

i=1

2j =

10 k=1

. 2i

/

10

j

2

=

j=1 2k+1 −1 2−1

2i ·

i=1 10

=

10·11 2

k=1

1=2

k=1

= 4 082

2

i = 110 · 3 = 330

i=1

10

2k+1 −

= 110

211 −2 2−1

− 10 = 212 − 14

Bezeichnung Teilsummen bei Doppelsummen Seien n, m nat¨ urliche Zahlen und aij reelle Zahlen:

a11 a21 .. .

a12 a22 .. .

··· ··· .. .

am1

am2

· · · amn

a1n a2n .. .

4.1

Summenzeichen

129

Dann werden f¨ ur die Zeilen- und Spaltensummen im obigen Rechteckschema auch folgende Notationen verwendet: n

ai• = a•j =

j=1 m

aij für i ∈ {1, . . . , m} aij für j ∈ {1, . . . , n}

i=1 m n

In Analogie wird die Gesamtsumme mit a•• =

aij bezeichnet. Anstelle

i=1 j=1

des Punktes (•) wird gelegentlich ein Plus (+) verwendet, also a++ , ai+ bzw. a+j geschrieben. Bei 28Mehrfachindizierungen mit mehr als zwei Indizes wird entsprechend verfahren. Beispiel Kontingenztafel Nat¨ urliche Zahlen nij ∈ N0 , i ∈ {1, . . . , p}, j ∈ absolute H¨ aufigkeiten von Paaren (xi , yj ) aufge{1, . . . , q}, k¨ onnen als 10

fasst werden. Die tabellarische Darstellung der nij wird in dieser Situation als Kontingenztafel bezeichnet. x1 x2 .. .

y1 n11 n21 .. .

y2 n12 n22 .. .

··· ··· ··· .. .

xp Summe

np1 n•1

np2 n•2

· · · npq · · · n•q

yq n1q n2q .. .

Summe n1• n2• .. . np• n••

Die Zahlen n1• , . . . , np• bzw. n•1 , . . . , n•q heißen absolute Randhäufigkeiten. n Entsprechend wird f¨ ur die zugeh¨ origen 18relativen Häufigkeiten fij = nij verfahren, wobei n = n•• . F¨ ur diese gilt insbesondere q p * * i=1 j=1

fij =

q p * * nij i=1 j=1

n

=

n•• = 1. n

Relative Randh¨ aufigkeiten f1• , . . . , fp• bzw. f•1 , . . . , f•q werden mittels der Vorschrift fi• =

q * j=1

gebildet.

1* ni• , nij = n j=1 n q

fij =

f•j =

p * i=1

1* n•j nij = n i=1 n p

fij =

B

130

B


Beispiel Partnervermittlung Im Aufnahmeantrag einer Partnervermittlung

wird neben dem Geschlecht einer Person zusätzlich deren Augenfarbe vermerkt. Die Auswertung von 14 Antr¨ agen ergibt folgenden Datensatz, wobei der erste Eintrag das Geschlecht (m¨ annlich/weiblich (m/w)) und der zweite die Augenfarbe (Blau (1), Gr¨ un (2), Braun (3)) angeben: (m,1) (m,2) (w,1) (m,2) (w,1) (w,3) (m,2) (m,1) (w,1) (m,3) (m,2) (w,2) (w,3) (m,1) Die Kontingenztafeln dieser Daten mit absoluten bzw. relativen Häufigkeiten sind gegeben durch 1

4.2

2

3

m

3

4

1

8

m

w

3

1

2

6

w

6

5

3

14

1

2

3

3 14 3 14 3 7

2 7 1 14 5 14

1 14 1 7 3 14

4 7 3 7

1

4.2 Produktzeichen In Analogie zur Verwendung des Summenzeichens Σ bei der kompakten Darstellung von Summen wird das Produktzeichen Π bei Produkten eingesetzt.

Bezeichnung Produktzeichen Seien a1 , . . . , an reelle Zahlen und n ≥ 2 eine nat¨ urliche Zahl. Dann wird das Produkt der Zahlen a1 , . . . , an bezeichnet mit n 3

ai = a1 · . . . · an .∗

i=1

Das Zeichen Π (großes 433griechisches Pi) wird Produktzeichen genannt. Die weiteren Bestandteile der Notation können folgender Darstellung entnommen werden:

3

obere Grenze n 3

ai

=

i-ter Faktor.

i=1

Laufindex = untere Grenze ∗ lies:

Produkt der Zahlen ai von i gleich 1 bis n.

4.2

Produktzeichen

131

F¨ ur eine untere Grenze m ∈ Z mit m kleiner oder gleich n − 1 ∈ Z und reelle Zahlen am , . . . , an wird das Produktzeichen definiert als n 3

ai = am · . . . · an .

i=m

Die Zahl m bezeichnet also den Index des ersten Faktors. Zur Vereinheitlichung der Notation werden oft noch einige Sonderfälle betrachtet. Seien am , . . . , an wiederum reelle Zahlen und n, m ganze Zahlen. 1

Ist die untere Grenze gleich der oberen, bedeutet dies, dass das Produkt nur aus einer Zahl (etwa aj ) besteht j 3

ai = aj .

i=j

2

Ist die untere Grenze gr¨ oßer als die obere, wird das Ergebnis des Produkts als Eins definiert. Daher gilt z.B. 1 3

ai = 1

oder

i=3

n−1 3

ai = 1.

i=n

F¨ ur eine Indexmenge I und reelle Zahlen ai , i ∈ I, bezeichnet 3 ai ∗ i∈I

das Produkt aller Zahlen ai , deren Index i in der Menge I enthalten ist. i ur heißt Laufindex, ai heißt Faktor und I wird als Indexmenge bezeichnet. F¨ eine leere Indexmenge I = ∅ wird 3 ai = 1 i∈∅

vereinbart. Gilt I = {m, . . . , n} mit einem m ∈ Z kleiner oder gleich n ∈ Z, resultiert die bekannte Notation 3 i∈I ∗ lies:

ai =

n 3

ai .

i=m

Produkt der Zahlen ai mit Index i aus der Menge I.

132


Rechenregeln f¨ ur das Produktzeichen Seien a1 , . . . , an , b1 , . . . , bn , c, d reelle Zahlen und n eine nat¨ urliche Zahl. Dann gelten die folgenden Rechenregeln f¨ ur das Produktzeichen: 1.

n 3

ai =

i=1

2.

n 3

k 3

ai ·

i=1

3.

(c · ai ) = c

n

. (ai · bi ) =

i=1

ai mit k ∈ {1, . . . , n}

i=k+1

.

i=1 n 3

n 3

/

n 3

ai

i=1 n 3

/ .

ai

·

i=1

n 3

/ bi

i=1

Nachweis. 1. Sei zun¨ achst k ∈ {1, . . . , n − 1}. Durch Aufteilen des Produkts in die ersten k Faktoren und die verbleibenden n−k Faktoren resultiert die gew¨ unschte Rechenregel: . k / . n / n 3 3 3 ai = a1 · . . . · ak · ak+1 · . . . · an = ai · ai . i=1 i=1 1. Produkt

2. Produkt

i=k+1

Die Regel ist auch f¨ ur k = n richtig, da dann das zweite Produkt per Definition Eins gesetzt ist.

5 12 12 4 4 4 Beispiel i=1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 · 7 · 8 · 9 · 10 · 11 · 12 = i · i . i=1 i=1 i=6 1. Produkt

2. Produkt

2. Die Regel ergibt sich durch Umsortieren der Faktoren: .

n 3

(c·ai ) = ( c ·a1 )· . . . ·( c ·an ) = ( c · . . . · c )·(a1 · . . . ·an ) = cn i=1

n 3

/ ai

.

i=1

n-mal

Beispiel

6 4

(3i) = 3·6·9·12·15·18 = ( 3 ·1· 3 ·2· 3 ·3· 3 ·4· 3 ·5· 3 ·6) = 36

i=1

i=1

3. Diese Vorschrift beruht ebenfalls auf dem Umsortieren der Faktoren: n 3

6 4

(ai · bi ) = ( a1 · b1 )

i=1

· ( a 2 · b2 ) · ... · · ( a n · bn ) = ( a1 · . . . · an ) · (b1 · . . . · bn ) =

n 3 i=1

ai ·

n 3 i=1

bi .

i.

4.2

Produktzeichen

133

4 4 Beispiel (i · i2 ) = (1 · 1) · (2 · 4) · (3 · 9) · (4 · 16) = (1 · 2 · 3 · 4) · (1 · 4 · 9 · 16) i=1

4 4 4 4 = i · i2 . i=1

i=1

Die obigen Regeln gelten entsprechend f¨ ur Produkte

n 4

.

i=m

Beispiel 5 4

(i)

B

(2i) = 25

i=1 5 4

(ii)

5 4

i = 32 · (1 · 2 · 3 · 4 · 5) = 3 840

i=1

2i = 21 · 22 · 23 · 24 · 25 = 2 · 4 · 8 · 16 · 32 = 32 768. Alternativ gilt mit

i=1 5 4

den 91Potenzgesetzen

5

i

2 =2

i=1

i

=2

5·6 2

= 215 = 32 768.

i=1

(iii)

4 4

j

(3x ) = 3

4

j=1

4

4 4

4

j

x = 3 xj=1 = 34 x j

4·5 2

= 34 x10 = 81x10

j=1

Die Verschiebung von Indizes erfolgt analog zu den 118Verschiebungsregeln bei Summen. Indexverschiebung Bei einer Verschiebung um k Einheiten nach unten bzw. oben ergibt sich n 3

n −k

3

ai =

ai +k

bzw.

i=1 −k

i=1

n 3

3

n +k

ai =

i=1

ai −k .

i=1 +k

Beispiel Durch Anwendung der Indexverschiebung resultiert folgende Dar-

stellung n 3 i+1 i=1

i

=

n 3 i=1

n 3

n 3 1

n+1 4

1 = i=2 (i + 1) · (i + 1) · = n 4 i i i=1 i=1

i = i

n+1 = n + 1. 1

i=1

Dieses Produkt ist ein spezielles Teleskopprodukt. Allgemein gilt f¨ ur Zahlen a1 , . . . , an+1 = 0: n 3 ai+1 i=1

ai

n 4

=

ai+1

i=1 n 4 i=1

ai

n+1 4

= i=2 n 4 i=1

n 4

ai = ai

ai · an+1

i=2

a1 ·

n 4 i=2

= ai

an+1 a1

B

134


Die folgenden Regeln stellen einen Bezug zwischen Produkt- und Summenzeichen her. Summen und Produkte, Potenzen und Logarithmen F¨ ur Zahlen x1 , . . . , xn ∈ R und a > 0 gilt n 3

n

xi

axi = ai=1 .

i=1

F¨ ur Zahlen x1 , . . . , xn > 0 und a > 0, a = 1 gilt . n / n * 3 loga (xi ) = loga xi . i=1

i=1

Das Produktzeichen wird in der Statistik u.a. zur Definition des geometrischen Mittels eingesetzt.

Bezeichnung Geometrisches Mittel F¨ ur positive Zahlen x1 , . . . , xn und eine nat¨ urliche Zahl n heißt die n-te Wurzel des Produkts dieser Zahlen geometrisches Mittel von x1 , . . . , xn : + , n ,3 n xgeo = xi . i=1

Dieses Mittel wird etwa zur Berechnung von durchschnittlichen Steigerungsraten benutzt. B

Beispiel Zu Beginn eines Jahres wird ein Betrag K0 in Bundesschatzbriefen

des Typs B angelegt. Diese besitzen eine Laufzeit von sieben Jahren, wobei die Verzinsung variabel ist und am Ende des jeweiligen Jahres erfolgt. Die Zinss¨ atze stehen zu Beginn der Anlage fest und sind in folgender Tabelle angegeben: Jahr i Verzinsung (in %) Zinssatz pi

1 3,00% 0,03

2 3,50% 0,035

3 4,00% 0,04

4 4,25% 0,0425

5 4,75% 0,0475

Damit ergibt sich am Ende des ersten Jahres ein Kapital von K1 = K0 + K0 · p1 = K0 (1 + p1 ).

6 5,00% 0,05

7 5,00% 0,05

4.2

Produktzeichen

135

Zu Beginn des zweiten Jahres ist das Kapital also auf den Betrag K1 = K0 (1 + p1 ) angewachsen. Dieser wird am Ende des zweiten Jahres mit dem Zinssatz p2 verzinst, so dass am Ende des zweiten Jahres das Kapital K2 = K1 + K1 · p2 = K1 (1 + p2 ) = K0 (1 + p1 )(1 + p2 ) erzielt wird. Durch Fortsetzung resultiert als Kapital nach dem n-ten Jahr Kn = K0 ·

n 3

(1 + pi ).

i=1

Daher gilt im Zahlenbeispiel: K7 = K0 ·

7 3

(1 + pi )

i=1

= K0 (1 + 0,03)(1 + 0,035)(1 + 0,04)(1 + 0,0425)(1 + 0,0475)(1 + 0,05)2 ≈ 1,33 · K0 . Die mittlere j¨ ahrliche Verzinsung p ist der Zinssatz, der bei konstanter jährlicher Verzinsung des Startkapitals K0 gezahlt werden muss, um das gleiche Endkapital Kn zu erzielen. Daher muss gelten K0

n 3

n

(1 + p) = K0 (1 + p) = Kn = K0

i=1

n 3

(1 + pi ).

i=1

Dies ergibt die Gleichung (1 + p)n =

n 4

(1 + pi ) bzw. nach Auflösen nach p:

i=1

+ , n ,3 n (1 + pi ) − 1. p= i=1

Im Wesentlichen beruht p auf dem geometrischen Mittel der Wachstumsraten 1 + pi . Im obigen Beispiel ergibt dies " 7 1,03 · 1,035 · 1,04 · 1,0425 · 1,0475 · 1,05 · 1,05 − 1 " = 7 1,334810478 − 1 ≈ 0,0421. Bei konstanter j¨ ahrlicher Verzinsung resultiert der Zinssatz 4,21%.

136

4.3


4.3 Fakult¨ aten und Binomialkoeffizienten Fakult¨ at

Das Produkt der ersten n nat¨ urlichen Zahlen wird als Fakultät bezeichnet.

Definition Fakult¨ at Sei n eine nat¨ urliche Zahl. Das Produkt ¨ uber alle Zahlen 1, . . . , n wird geschrieben als

n! =

n 3

i∗

i=1

und als Fakultät (von n) bezeichnet. Gemäß der Vereinbarung f¨ ur das Produktzei0 4 ur n = 0, auf Eins gesetzt: 0! = i = 1. chen wird 0!, d.h. der Wert der Fakultät f¨ i=1

Spezielle Werte der Fakult¨ at n 1 2 3 4 5 n! 1 2 6 24 120

6 720

7 5 040

8 40 320

9 362 880

10 3 628 800

F¨ ur die Fakultät n! gelten folgende Rechenregeln. Rechenregeln f¨ ur die Fakult¨ at Seien k, n nat¨ urliche Zahlen mit k ≤ n. Dann gilt: 1. n! = n · (n − 1)! 2.

n 4 n! = (k + 1) · . . . · n = i k! i=k+1

3.

n k−1 4 4 n! = (n − k + 1) · . . . · n = i= (n − j) (n − k)! j=0 i=n−k+1

Die Binomialkoeffizienten werden mittels der Fakultäten definiert.

Definition Binomialkoeffizient Seien k, n ∈ N0 mit k ≤ n. Der Binomialkoeffizient n † k (an der Stelle n, k ) ist definiert durch

n n! . = k k!(n − k)!

∗ lies: † lies:

n Fakult¨ at nu ¨ber k

4.3

Fakult¨ aten und Binomialkoeffizienten

137

Eigenschaften von Binomialkoeffizienten 1. n0 = nn = 1 f¨ ur jedes n ∈ N0 n n ur jedes n ∈ N 2. 1 = n−1 = n f¨ n n 3. k = n−k f¨ ur jedes n ∈ N0 und k ∈ {0, . . . , n} n 4. n+1 = nk + k−1 f¨ ur alle n ∈ N, k ∈ {1, . . . , n} (Regel von Pascal) k n+1 n ur jedes k ∈ {1, . . . , n + 1} 5. k = n+1 k · k−1 f¨ Beispiel

(i) (ii) (iii)

200 0

200 198

200 2

= 1, = =

200 199

200! 198!2!

=

200 200−2

B

= 200 200·199·19 8! 19 8!·2

=

200 198

= 19 900

= 19 900

10 9 (9+1) (10 (10 4) 4) 5 4 (3) = 49 = 10 4 = 2 oder alternativ (9) = (9) = (93) (4−1) 3 3 4 4 3 3 5 (v) 2 = 2 + 1 = 2 + 1 + 4 = 3 + 3 + 4 = 10

(iv)

10 4

=

5 2

Regel von Pascal / Pascalsches Dreieck

n = nk + k−1 , mit k ∈ {1, . . . , n}, n ∈ N, lieDie Regel von Pascal n+1 k fert eine einfache M¨ oglichkeit, Binomialkoeffizienten rekursiv zu berechnen. Der Binomialkoeffizient an der Stelle n + 1, k l¨ asst sich nämlich als Summe seiner Vorg¨ anger“ an den Stellen n, k und n, k − 1 darstellen. Unter Ber¨ uckn ” 0 n sichtigung der Startbedingungen 0 = 1 und 0 = n = 1 können alle Binomialkoeffizienten auf diese Weise ermittelt werden. Eine einfache tabellarische Darstellung dieses Zusammenhangs ist das Pascalsche Dreieck: 0 0 1 1 0 1 2 2 2 0 1 2 3 3 3 3 0 1 2 3 4 4 4 4 4 0 1 2 3 4 5 5 5 5 5 5 0 1 2 3 4 5 6 6 6 6 6 6 6

..

.

0

1

2

3

4

5

6

..

.

138


Eine numerische Auswertung der Binomialkoeffizienten f¨ uhrt zu folgendem Zahlendreieck. Die Rekursion ist leicht erkennbar: die Summe zweier nebeneinander stehender Zahlen ergibt die Zahl, die jeweils unter diesen beiden Zahlen steht. Dies verdeutlicht, wie einfach die Berechnung der Binomialkoeffizienten mittels dieses Schemas wird. 1 1 1 + 3

1 + 4

1 + 5

1 + 6

1 +

1 + 3

+ 6 + 10

+ 15 +

1 + 2

+ 10 + 20

+

1 + 4

1 + 5

+ 15 +

1 + 6

+

1 +

..

.

..

.

Binomischer Lehrsatz

Binomischer Lehrsatz Seien x, y reelle Zahlen und n ∈ N0 . Dann gilt der Binomische Lehrsatz: n n * n i n−i * n n−i i (x + y)n = = xy x y. i i i=0 i=0

Wird an Stelle von y der Wert −y eingesetzt, resultiert folgende Identität:

n n * n i n−i * n n−i i (x − y)n = (−1)n−i = (−1)i xy x y. i i i=0 i=0 Mit der Wahl n = 2 resultieren aus dem Binomischen Lehrsatz die erste und zweite 16binomische Formel 1. (x + y)2 =

2 2 i=0

2. (x − y)2 =

2 i=0

i

x2−i y i = x2 + 2xy + y 2

(−1)i

2 i

x2−i y i = x2 − 2xy + y 2

4.3

Fakult¨ aten und Binomialkoeffizienten

139

F¨ ur n = 3 ergibt sich 1. (x + y)3 =

3 3 i=0

2. (x − y)3 =

3

i

x3−i y i = x3 + 3x2 y + 3xy 2 + y 3

(−1)i

i=0

3 i

x3−i y i = x3 − 3x2 y + 3xy 2 − y 3

Mit Hilfe des Binomischen Lehrsatzes k¨ onnen einige interessante Identitäten nachgewiesen werden, indem f¨ ur die Variablen x, y spezielle Werte eingesetzt werden. Beispielsweise gilt: 1. x = y = 1: 2n = (1 + 1)n =

n n i=0

2. −x = y = 1: 0 = (1 − 1)n =

n i=0

i

(−1)i

n i

Beispiel

In der Wahrscheinlichkeitsrechnung treten Binomialkoeffizienten u.a. im Rahmen von Urnenmodellen auf. Der Binomialkoeffizient nk gibt die Anzahl der M¨ oglichkeiten an, aus einer Urne mit n unterscheidbaren Kugeln genau k Kugeln zu ziehen. Dabei wird die Reihenfolge der Ziehung nicht beachtet und ohne Zur¨ ucklegen gezogen, d.h. eine Kugel wird nachdem sie gezogen wurde nicht mehr in die Urne zur¨ uckgelegt. Diese Situation ist beim Zahlenlotto 6 aus 49 gegeben, bei dem in einer Ziehung 6 von 49 mit den Zahlen 1, . . . , 49 markierten Kugeln gezogen werden. gibt die verschiedenen Möglichkeiten an, aus 49 Der Binomialkoeffizient 49 k Kugeln k Kugeln zu ziehen: k 49 k

1 2 3 4 5 6 49 1 176 18 424 211 876 1 906 884 13 983 816

Da nur eine der 13 983 816 m¨ oglichen Ziehungen die Gewinnstufe 6 Richtige liefert, betr¨ agt die Wahrscheinlichkeit, die gezogenen sechs Zahlen zu tippen, 1 13 983 816 ≈ 0,000000072. Dabei wird angenommen, dass jedes Ziehungsergebnis gleich wahrscheinlich ist. Binomialverteilung

Eine f¨ ur die Statistik wichtige Konsequenz aus dem Binomischen Lehrsatz f¨ uhrt zu einer speziellen 123diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilung: der Biur die Situation, aus einer Urne mit nomialverteilung. Sie ist ein Modell f¨

B

140


einem Anteil von p ∈ (0, 1) roten und einem Anteil von 1 − p schwarzen Kugeln bei einer Ziehung von insgesamt n Kugeln genau k rote Kugeln (ohne Ber¨ ucksichtigung der Ziehungsreihenfolge) zu erhalten. Dabei wird jeweils eine Kugel zuf¨ allig entnommen, ihre Farbe notiert und diese dann wieder in die Urne zur¨ uckgelegt. Anschließend wird erneut eine Kugel gezogen etc. Dieses Verfahren wird fortgef¨ uhrt, bis die gew¨ unschte Anzahl von n Kugeln gezogen wurde. Die Wahrscheinlichkeit, genau k rote Kugeln zu ziehen, ist dann durch

n k p (1 − p)n−k pk = k gegeben. F¨ ur k sind offensichtlich die Werte 0, . . . , n möglich. Aufgrund des binomischen Lehrsatzes gilt nun n n * * n k pk = p (1 − p)n−k = (p + (1 − p))n = 1, k k=0

k=0

d.h. die (Einzel-)Wahrscheinlichkeiten summieren sich zu Eins. Dies zeigt insbesondere, dass es sich um eine 123diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung handelt.

Bezeichnung Binomialverteilung Die durch die Zahlen

pk =

n k p (1 − p)n−k k

f¨ ur k ∈ {0, . . . , n}

festgelegte diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung heißt Binomialverteilung mit Parameter p ∈ [0, 1] auf den Zahlen {0, . . . , n}.

4.4

4.4 Aufgaben

143 L

Aufgabe 4.1

Schreiben Sie die Summen mit dem Summenzeichen.

(a) 1 + 2 + 3 + 4 + 5

(d) 1 + 8 + 27 + 64 + 125

(b) 2 + 4 + 6 + 8

(e)

1 4

+

1 2

+1+2+4

(c) −1 + 4 + 9 + 14 + 19

(f)

1 5

+

1 4

+

1 3

+

1 2

+1

4.4

Aufgaben

141

Berechnen Sie die Summen. 80 (3i − 3) (g) (j − 2)

Aufgabe 4.2

(a)

5

i=2

(b)

0

i3

(h)

i=−2

(c)

2

(i)

k

(j)

10

(i + 1)2

(k)

20

(n)

2j

(l)

n

(x + 1)k

2k

(o)

j=0

2n

1k

n

(−1)k

k=1

j

2k

100

(j 2 − (j − 2)2 )

k=1

(p)

k

(−2)j

j=1

k

(q)

j=k

i=0

(f)

i(i − 2)

j=k

k=−2

(e)

19

k=0

2 √ k2

143 L

j=1

i=2

k=−2

(d)

(m)

j=4

100

5

(−x)k

k=0

(j 2 − (j − 1)2 )

j=1

(r)

5

(−x)j

k=0

Aufgabe 4.3 Berechnen Sie f¨ ur die Messwerte 2,3 3,9 4,1 1,8 4,0 3,6 2,0 3,3 2,6 2,4 das arithmetische, harmonische und geometrische Mittel sowie die empirische Standardabweichung.

Aufgabe 4.4

Zeigen Sie, dass durch die Zahlen p1

p2

p3

p4

p5

1 4

1 8

1 4

1 8

1 4

145 L

145 L

eine Wahrscheinlichkeitsverteilung auf {1, . . . , 5} definiert wird. Berechnen Sie deren Erwartungswert und Standardabweichung. Aufgabe 4.5 Bei einer Datenerhebung wurde die folgende Kontingenztafel von absoluten H¨ aufigkeiten beobachtet.

0

1

2

-1

5

2

9

0

2

1

7

1

9

9

6

Berechnen Sie alle relativen Randh¨ aufigkeiten der Kontingenztafel.

145 L

142

145 L


Berechnen Sie die Doppelsummen. 2j 2 ij (c) k

Aufgabe 4.6

(a)

4 4

i=1 j=1

(b)

3 i

j=0 k=0

ik

(d)

147 L

147 L

i2

3 k

(i · x + 1)

(f)

2 4 k

j2

k=1 j=1 i=k

Berechnen Sie jeweils die Konstante c ∈ R, so dass (p0 , . . . , pn ) eine Wahrscheinlichkeitsverteilung auf {0, . . . , n} bildet.

Aufgabe 4.7

(a) pi = c · i

(d) pi = c ·

(b) pi = c · i2

(e) pi = c ·

(c) pi = c · 3i

(f) pi = c ·

1 2i

n i

n i

p 1−p

i

(a) 5 · 5 · 5 · 5 · 5

(e) (−3) · (−1) · 1 · 3 · 5

(i)

(2n)! n!

(b) 2 · 4 · 6 · 8 · 10 · 12

(f) 0,1 · 1 · 10 · 100 · 1000

(j)

2n! n!

(c) 2 · 4 · 8 · 16

(g)

n! k! ,

(d) 1 · (−1) · 1 · (−1) · 1

(h)

n! (n−k)! ,

5i

i=1

(b)

n 4

5j ·

n−1 4

(c)

20 4

100 1

50 48

10−k

(d)

(l) k n

k 4

k=i

2p

(f)

j=1

k=1

Aufgabe 4.10

(b)

0≤k≤n

(k) nk

j=1

j=1

(a)

0≤k≤n

Vereinfachen Sie die folgenden Ausdr¨ ucke. 10 2i 4 4 (c) (j + 1) (e) k2

Aufgabe 4.9 10 4

mit p ∈ (0, 1)

Schreiben Sie mit dem Produktzeichen.

Aufgabe 4.8

(a)

147 L

3 4 k k=1 j=1 i=k

k=1 i=−k

i=1 k=0

146 L

(e)

Berechnen Sie. (d) (e) (f)

(g)

3

47

+

20 1

10 5 50 25 49 24

(h)

( ) ( )

(i)

(100 26 ) (98 28)

46

2

3cj

j=1

510

20

2k 4

−

11 5

4.5

L¨ osungen

143

Ermitteln Sie die Summen. n−1 n (−1)n−i ni (c) i

148 L

Aufgabe 4.11

(a)

n

i=0

(b)

n

i=0

(−1)i

i=1

n

(d)

i

n

1 4i

(−1)i

i=0

n i

2i

Aufgabe 4.12

Berechnen Sie Erwartungswert und Varianz der 124Gleichur xi = i, verteilung auf den Werten x1 , . . . , xn . Was ergibt sich speziell f¨ i ∈ {1, . . . , n}?

148 L

Aufgabe 4.13 Berechnen Sie den Erwartungswert der 139Binomialverteilung

149 L

mit Parameter p ∈ [0, 1].

4.5

4.5 L¨ osungen L¨ osung 4.1 5 (a) i

(c)

i=1

(b)

4

5

(5j − 6)

(e)

j=1 5

(d)

2i

2k

k=−2

j3

j=1

i=1

140 A

2

(f)

5 k=1

1 6−k

=

5 k=1

1 k

141 A

L¨ osung 4.2 (a)

5

(3i − 3) = 3 + 6 + 9 + 12 = 30

i=2

(b)

0

i3 = −8 − 1 + 0 = −9

i=−2

(c)

2

k = −2 − 1 + 0 + 1 + 2 = 0

k=−2

(d)

2 √ k=−2

(e)

10

20 j=0

11 i=1

2j =

|k| = 2 + 1 + 0 + 1 + 2 = 6

k=−2

(i + 1)2 =

i=0

(f)

2

k2 =

1−221 1−2

=

i2 =

11·12·23 6

1−221 −1

= 506

= 221 − 1 = 2 097 151 (120geometrische Summe)

144

(g)

4. Summen- und Produktzeichen 80

78

(j − 2) =

j=4 80

j=2

j−1=

(j + 3 − 2) =

j=4−3

19

18

i=2 −1

18

i − 2

i=1

1=

i=1

78·79 2 77

− 1 = 3 080 oder alternativ 77

(j + 1) =

j=1

19 −1

i(i − 2) =

i=2

=

78 j=1

80−3

(j − 2) =

j=4

(h)

j=

j + 77 =

j=1 18

(i +1 )(i +1 − 2) =

18 (∗)

(i + 1)(i − 1) =

i=1

18·19·37 6

77·78 2

+ 77 = 3 080

(i2 − 1)

i=1

− 18 = 2 109 − 18 = 2 091

In (∗) wird die dritte 16binomische Formel benutzt. (i)

n

(x + 1)k =

k=0

(j)

2k

j=

2k

k=k

j=k

(l)

100

j−

j=1

j=k

(k)

2k

1−(x+1)n+1 1−(x+1) k−1

(x+1)n+1 −1 x

2k(2k+1) 2

j=

j=1

2k

=

−

(k−1)k 2

=

k(4k+2−(k−1)) 2

=

k(3k+3) 2

=

3k(k+1) 2

1 = k(2k − k + 1) = k(k + 1)

j=k

(j 2 − (j − 1)2 ) = 1002 − 02 = 1002 = 10 000 (119Teleskopsumme) Alter-

j=1

nativ ist folgende L¨ osung m¨ oglich: 100 100 100 100 100 2 2 (j − (j − 1)2 ) = (j − (j 2 − 2j + 1)) = (2j − 1) = 2 j− 1 j=1

j=1

= 2· (m)

100

100·101 2

(j 2 − (j − 2)2 ) =

j=1

=4

99

j=4

j=0

(n)

2n k=1

(o)

n

2n

k

5

(−1) =

(−2)j = (−x)k =

k=0

(r)

5

[(j 2 − (j 2 − 4j + 4)] =

j=1

j =4·

99·100 2

100

j=1

100

(j − 1)

j=1

= 19 800

1 = 2n 1−(−1)n+1 1−(−1)

1−(−2)k+1 1−(−2)

1−(−x)6 1+x

−1=

−1 =

=

1−(−1)n+1 2

1−(−2)k+1 3

1−x6 1+x

(−x)j = 6 · (−x)j = 6 · (−1)j xj

k=0

(4j − 4) = 4

j=1

k

j=1

(q)

j=1

k=1

k=1

(p)

99

100

j=1

1k =

j=1

− 100 = 10 100 − 100 = 10 000

−1=

−

3 3

=

0, −1,

falls n gerade falls n ungerade

1+2(−2)k −3 3

= − 32 (1 − (−2)k )

4.5

L¨ osungen

145

L¨ osung 4.3 Das arithmetische Mittel x = Mittel resultiert der Wert xharm = 2

10 4

10

Mittel ist xgeo =

√

10

xi =

1 10

1 10

10

xi ist x = 3. F¨ ur das harmonische

i=1

1 10

1 x i=1 i

≈

141 A

≈ 2,762. Das geometrische

1 0,362

39 259,05325056 ≈ 2,880.

i=1

Die empirische Standardabweichung wird aus den quadratischen Abweichungen berechnet: xi (xi − x)2 Wegen

10

2,3 0,49

3,9 0,81

4,1 1,21

1,8 1,44

4,0 1,00

3,6 0,36

2,0 1,00

2 (xi − x)2 = 6,92 resultiert daraus s =

1 10

i=1

3,3 0,09

10

2,6 0,16

(xi − x)2 =

2,4 0,36 √

0,692 ≈

i=1

0,832.

L¨ osung 4.4

Wegen

5

pi =

i=1

1 4

+

1 8

+

1 4

+

1 8

+

1 4

=

3 4

+

2 8

= 1 und pi ≥ 0 f¨ ur alle i

141 A

ist (p1 , . . . , p5 ) eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung. Erwartungswert und Standardabweichung sind gegeben durch E=

5 *

i · pi = 1 ·

i=1

1 1 1 1 1 1 1 3 1 5 + 2 · + 3 · + 4 · + 5 · = + + + + = 3, 4 8 4 8 4 4 4 4 2 4

+ , 5 ,* pi · (i − E)2 s=' =

i=1

1 1 1 1 1 · (−2)2 + · (−1)2 + · 02 + · 12 + · 22 = 4 8 4 8 4

'

3 9 = . 4 2

L¨ osung 4.5 Durch Summation der Einträge in den Zeilen und Spalten resultieren jeweils die absoluten Randh¨ aufigkeiten. Division durch die Gesamtsumme n•• = 50 liefert die zugeh¨ origen relativen H¨ aufigkeiten. 0

1

2

ni•

0

1

2

ni•

-1

5

2

9

16

0

2

1

7

10

-1

0,10

0,04

0,18

0,32

0

0,04

0,02

0,14

0,20

1

9

9

6

24

1

0,18

0,18

0,12

0,48

n•j

16

12

22

50

n•j

0,32

0,24

0,44

1,00 142 A

L¨ osung 4.6 (a)

4 4 i=1 j=1

141 A

ij =

4 i=1

i·

4·5 2

= 10 ·

4·5 2

= 100

146

(b)

4. Summen- und Produktzeichen 3 i

3 ik = (10 + 11 ) + i=2 i=1 k=0

ii+1 −1 i−1

23 −1 2−1

=2+

34 −1 3−1

+

= 2 + 7 + 40 = 47

Term f¨ ur i=1

(c)

2j 2

k=

j=0 k=0

(d)

k 3

2 j=0

k 3 4

i2 =

k 2 4

L¨ osung 4.7

k

k=1

j2 =

k=1 j=1 i=k

142 A

3

4

k

x

k=1

k=1 j=1 i=k

(f)

j(2j + 1) = 0 + 3 + 10 = 13

j=0

3

(i · x + 1) =

k=1 i=−k

(e)

2

2j(2j+1) 2

i=−k

i=−k

=0

=2k+1

i2 =

4

i2 + 2

i=1

3

1 =

i=k

k 2

k

i+

4

(2k + 1) = 3 + 5 + 7 = 15

k=1

i2 + 3

i=2

4

i2 = 30 + 58 + 75 = 163

i=3

(5 − k)j 2 = 4 · 1 + 3 · (1 + 4) = 19

k=1 j=1 n

Die Konstante c ∈ R ist so zu bestimmen, dass

pi = 1 gilt.

i= 0

(a)

n

pi = c

i=0

(b)

n

pi = c

n

pi = c

n

(e)

pi = c 2n 2n+1 −1

n

pi = c

i=0

(f)

n

n

n i=0

n(n+1)(2n+1) , 6

3i = c ·

1−3n+1 1−3

pi = c

i=0

1 2i

=c

n n i=0

i

= c(1 − p)−n c = (1 − p)n

i

2

i

3n+1 −1 , 2

=c· = c·

p 1−p

i

i =c

1−( 1 2)

n+1

1− 1 2

n n i=0

2 n(n+1)

d.h. c =

= c · 2n , d.h. c =

n n i=0

n 1 i=0

n n i=0

d.h. c =

i2 = c ·

i=0

i=0

=

n

n(n+1) , 2

i=0

i=0

(d)

i= c·

i=0

i=0

(c)

n

i

1 2n

6 n(n+1)(2n+1)

d.h. c =

2 3n+1 −1

= 2c 1 −

1 2n+1

, d.h. c =

1 1 2 1− n+1 2

= 2−n

pi (1 − p)−i

pi (1 − p)n−i = c(1 − p)−n (p + 1 − p)n = c(1 − p)−n , d.h.

Alternative L¨ osung: i i n n n n n n p n p p pi = c =c 1n−i = c 1−p + 1 = c p+(1−p) i i 1−p 1−p 1−p i=0

=

c (1−p)n

i=0

i=0

4.5

L¨ osungen

147

L¨ osung 4.8 5 4 (a) 5

5 4

(e)

i=1

(b)

6 4

2j

n 4 j=1 k 4

2i

j=1

i=1

=

(−1)

j=1

j=0

j=1 n 4 j=1

n 4

j

j=k+1

j

j=1 n−k 4

(h)

j

(j) 2

j

n 4

(d)

n 4

10i

i=−1

(g)

4 4

4 4

(i)

j

j=n+1

3 4

(f)

j=1

(c)

(2i − 5)

i=1

142 A

2n 4

(k)

k 4

j

=2 j

n

j=1 j

= j

n 4

j

(l)

j=n−k+1

n 4

k

j=1

142 A

L¨ osung 4.9 (a)

10

10 4

i

10·11 2

5i = 5i=1 = 5

= 555

i=1

(b)

n 4

5j ·

n−1 4

10−k = 5n ·

n−1 4

j=1

=

(c)

k=1 n−1 n 4 1 5 2j j=1

10 4

j=1

= 5n · 11 4

(j + 1) =

j=1

(d)

k 4

5j ·

j=1

1 2(n−1)n/2

j=

j=2

11! 1

n−1 4

=

1 j 10

5 2(n−1)/2

= 5n ·

n−1 4

n

j=1

5j

1 j 10

= 5n

n−1 4 j=1

5 j 10

= 11!

2p = (2p )k = 2p·k

j=1

(e)

2i 4

k=i

(f)

2k 4 j=1

2

2i 4

k2 =

k

=

k=i

j

2k

3c = 3

2k 4

(2i)! (i−1)!

2

2k

j

c =

32k cj=1

j

= 32k ck(2k+1)

j=1

L¨ osung 4.10 20! (a) 20 = 20·19·18·17 = 5 · 19 · 3 · 17 = 4 845 = 16!·4! 4 2·3·4 100 (b) 1 = 100 (c) 50 = 25 · 49 = 1 225 = 50·49 48 2 510 (d) 3 = 510·509·508 = 21 978 620 2·3 47 (e) 46 = 47

142 A

148

(f) (g)

143 A


20 2

+

5

−

10

20

=

11 5

(h)

(50 25) = (49 24)

(i)

(100 26 ) = (98 28)

21

= 210 11 = − 5 − 10 5

1

2

50!24!25! 25!25!49!

100!28!70! 26!74!98!

=

10 4

= −5 · 3 · 2 · 7 = −210 = − 10·9·8·7 2·3·4

=2

100·99·28·27 74·73·72·71

=

25·11·7·27 37·73·1·71

=

51 975 191 771

≈ 0,271

L¨ osung 4.11 Mit dem Binomischen Lehrsatz gilt jeweils f¨ ur n ∈ N: n n n i (−1)n−i ni = 1 (−1)n−i = (1 − 1)n = 0 (a) i i=0

(b)

n

i=0

(−1)

i n

(c)

n−1 i=0

(d)

n i=0

=

i

i=1

143 A

50 25

=

=−

n 1 i 4i

n

n i

i=0

=

n 1 n i

i=0

(−1)i ni

(−1)i

i

2 =

n n i=0

i

4

i

− 1 = (1 − 1)n − 1 = −1

1n−i −

1 4n

=

1 4

+1

n

−

1 4n

=

5n −1 4n

i n−i

(−2) 1

n

1,

n

= (−2 + 1) = (−1) =

−1,

n gerade n ungerade

F¨ ur den Erwartungswert der 124Gleichverteilung auf {x1 , . . . , xn }

L¨ osung 4.12 gilt

E=

n *

pi xi =

i=1

n n * 1* 1 xi = x, · xi = n n i=1 i=1

d.h. der Erwartungswert der diskreten Gleichverteilung auf {x1 , . . . , xn } ist das arithmetische Mittel der Ergebnisse x1 , . . . , xn . F¨ ur die Varianz resultiert der Wert v=

n *

pi (xi − E)2 =

i=1

n n * 1* 1 (xi − x)2 = (xi − x)2 . n n i=1 i=1

√

Wegen s = v ist die Varianz der diskreten Gleichverteilung somit gleich der quadrierten 112empirischen Standardabweichung der Werte x1 , . . . , xn . Im Spezialfall xi = i, i ∈ {1, . . . , n}, resultiert der Erwartungswert E=x=

n n+1 1* 1 n(n + 1) = . i= · n i=1 n 2 2

F¨ ur die Varianz gilt nach 117Beispiel Empirische Varianz v = x2 − x2 . Wegen x2 =

n (n + 1)(2n + 1) 1* 2 1 n(n + 1)(2n + 1) = i = · n i=1 n 6 6

4.5

L¨ osungen

149

resultiert daraus die Formel v= =

(n + 1)(2n + 1) − 6

n+1 2

2 =

n+1 · (2(2n + 1) − 3(n + 1)) 12

n2 − 1 (n + 1)(n − 1) = . 12 12

L¨ osung 4.13 F¨ ur den 378Erwartungswert der Binomialverteilung ergibt sich n wegen E = k · pk und pk = nk pk (1 − p)n−k , k ∈ {0, . . . , n}, k=0

E=

n * k=0

k

. / n * n k n! pk (1 − p)n−k p (1 − p)n−k = k k k!(n − k)! k=1

K¨ urzen von k ergibt =

n * k=1

n! pk (1 − p)n−k (k − 1)!(n − k)!

Ausklammern von np und die Identit¨ at n − k = (n − 1) − (k − 1) f¨ uhren zu = np

n * k=1

(n − 1)! pk−1 (1 − p)(n−1)−(k−1) (k − 1)!((n − 1) − (k − 1))!

Eine Indexverschiebung, die k in k + 1 u uhrt, liefert ¨ berf¨ n−1 *

(n − 1)! pk (1 − p)(n−1)−k k!((n − 1) − k)! k=0 . / n−1 * n−1 k (∗) = np p (1 − p)(n−1)−k = np(p + (1 − p))n−1 = np, k

= np

k=0

wobei in (∗) der Binomische Lehrsatz mit n − 1 als oberer Summationsgrenze verwendet wird. Der Erwartungswert einer Binomialverteilung mit Parameter p ist somit np.

143 A

Kapitel 5 Funktionen

5

5

5

Funktionen

5.1

Relationen und Funktionen .................................... 153

5.2

Grundlegende Funktionen ...................................... 160

5.3

Funktionen mit Parametern.................................... 165

5.4

Verkn¨ upfung von Funktionen .................................. 167

5.5

Eigenschaften von Funktionen................................. 170

5.6

Aufgaben .......................................................... 179

5.7

Lösungen .......................................................... 181

153

5.1

Relationen und Funktionen

153

5 Funktionen 5.1

5.1 Relationen und Funktionen In diesem Abschnitt werden die f¨ ur die Mathematik fundamentalen Konzepte Abbildung und Funktion eingef¨ uhrt, die spezielle Zuordnungen von Elementen einer Menge D (dem Definitionsbereich) zu Elementen einer Menge W (dem Wertebereich) darstellen. Eine Zuordnung (Relation) ist eine Vorschrift, die einen Bezug zwischen den Elementen zweier Mengen herstellt. Sie kann als Teilmenge V des 61kartesischen Produkts von D und W aufgefasst werden V = {(d, w) | d ∈ D steht in Relation zu w ∈ W} ⊆ D × W, wobei die Eigenschaft steht in Relation zu eine Festlegung der Beziehung zwischen den Elementen d und w ist. Diese Darstellung ermöglicht u.a. auch die Beschreibung der 11Ordnungsrelationen. Beispielsweise wird die Gleichheitsrelation = “ auf den reellen Zahlen unter Verwendung der Menge ” G = {(d, d) | d ∈ R}, definiert gem¨ aß d = w ⇐⇒ (d, w) ∈ G. Beispiel Zuordnung Eine Zuordnung zwischen den Elementen der Menge

D = {1, 2, 3, 4} und den Elementen der Menge W = {5, 6, 7, 8, 9} wird durch die Menge von Paaren V = {(1, 5), (1, 8), (3, 7), (4, 5), (4, 6), (4, 8)} beschrieben. Das folgende Diagramm visualisiert diese Relation, wobei der Pfeil im Sinne einer Zuordnung verstanden wird: dem Element d ∈ D wird das Element w ∈ W zugeordnet. D

1 2 3 4

5

9

W

7 8 6

Diese grafische Darstellung einer Relation wird Graf der Relation genannt.

B

154

5. Funktionen

Sind die Mengen D, W Teilmengen von R, so können die Elemente von V in ur das obige Beispiel ergibt ein 62Koordinatensystem eingetragen werden. F¨ sich die folgende, ebenfalls als Graf der Relation bezeichnete Darstellung. 8 7 6 5 4 3 2 1

6

r

r r

r

1

B

r

r

2

3

4

Beispiel

Die Menge V = {(d2 , d3 ) | d ∈ [−1, 1]} definiert ebenfalls eine Relation. Ihr Graf hat als 63Kurve in der Ebene folgendes Aussehen: 6

... ...... ..... ...... ..... . . . . . ...... ...... ...... ....... ....... . . . . . . ..... ........ ......... .......... .......................... ......... ......... ........ ....... ....... ....... ....... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ..... ......

-

Die Beispiele zeigen, dass einem Element aus D kein Element in W zugeordnet werden muss bzw. mehrere Elemente aus W zugewiesen werden können. Funktionen (Abbildungen) von D nach W sind spezielle Relationen, die jedem Element aus D genau ein Element aus W zuordnen.

Definition Funktion, Abbildung Seien D und W nicht-leere Mengen.

Eine Funktion (Abbildung) f ist eine Zuordnung zwischen den Mengen D und W, die jedem Element aus der Menge D genau ein Element der Menge W zuordnet. Als Bezeichnung wird die Notation f : D −→ W benutzt. F¨ ur die konkrete Zuordnung eines Elements d ∈ D zu einem Element w ∈ W werden die Schreibweisen w = f (d) bzw. d −→ f (d) verwendet. f (d) heißt Funktionswert von f (an der Stelle d), d heißt Argument von f .

D heißt Definitionsbereich, W heißt Wertebereich. Die Teilmenge f (D) = {w ∈ W | w = f (d), d ∈ D} von W heißt Bild von f .

5.1


155

Beispiel Funktionen Die in 153Beispiel Zuordnung angegebene Zuordnung

B

ist keine Funktion, da den Elementen 1 ∈ D und 4 ∈ D jeweils mehrere Elemente der Menge W und dem Element 2 ∈ D kein Wert aus W zugeordnet werden. Beispiele f¨ ur Zuordnungen f : D −→ W, die tatsächlich Funktionen sind, sind in den folgenden Darstellungen gegeben. D

f1

1

W

6

2

D

4

8

4

9

5

7

3

8

W

6

2

7

3

f2

1

9

5

Die Beispiele zeigen, dass das Bild einer Funktion den ganzen Wertebereich W umfassen kann (f1 (D) = W) oder auch eine 44echte Teilmenge von W sein kann (f2 (D) W). Ist f eine Funktion von D nach W, so wird auch die Schreibweise D −→ W f : d −→ f (d) verwendet. Neben den bereits beschriebenen Darstellungen f¨ ur Funktionen ist es u ¨ blich, Funktionen (evtl. auszugsweise) in Form einer Wertetabelle anzugeben. Beispiel Fortsetzung 155Beispiel Funktionen Die Wertetabellen der Funk-

tionen lauten: f1 :

Argument d Funktionswert f1 (d)

1 7

2 6

3 7

4 9

5 8

f2 :

Argument d Funktionswert f2 (d)

1 6

2 6

3 6

4 6

5 6

Funktionen werden i.Allg. mit Kleinbuchstaben bezeichnet (z.B. f , g oder h). In speziellen Kontexten und f¨ ur bestimmte Funktionen sind auch andere Bezeichnungen u ur die 377Dichtefunktion der 380Standard¨blich (z.B. ϕ f¨ normalverteilung). Mittels einer Wertetabelle wird eine Funktion durch die Paare (Argument, Funktionswert), d.h. durch (d, f (d)) mit d ∈ D und f (d) ∈ W, festgelegt. Die-

B

156

5. Funktionen

se aufz¨ ahlende Angabe der Paare (d, f (d)) ist zur Definition einer Funktion i.Allg. jedoch ungeeignet, da sie leicht un¨ ubersichtlich wird und die Eigenschaften der Funktion nur schwer erkennbar sind. Daher wird eine Funktion in der Regel durch den Definitionsbereich und die konkrete Zuordnungsvorschrift spezifiziert. Letztere legt die Funktionswerte fest, indem jedem Element d der Menge D durch die Vorschrift d −→ f (d) ein Wert zugeordnet wird.∗ Beispiel

B

(i) f : N −→ N, n −→ n + 1, definiert die Funktion, die einer nat¨ urlichen Zahl n ihren Nachfolger“ n + 1 zuweist (kurz: f (n) = n + 1). ” (ii) g : R −→ R, x −→ xn , mit n ∈ N, ist die Funktion, die einer reellen Zahl x ihre n-te Potenz zuordnet (kurz: g(x) = xn ). (iii) h : (0, ∞) −→ R, z −→ ln(z), ist die Funktion, die einer positiven Zahl z den Wert ihres 92natu ¨ rlichen Logarithmus zuordnet (kurz: h(z) = ln(z)). (iv) f : R × R −→ R, (x, y) −→ x · y, definiert die Funktion, die einem 62Tupel (x, y) ∈ R2 das Produkt x · y seiner Komponenten x und y zuweist (kurz: f (x, y) = x · y).

B

Bei der Festlegung einer Funktion mit Definitionsbereich D und Abbildungsvorschrift f (d) muss darauf geachtet werden, dass die Vorschrift f¨ ur jedes Element d des Definitionsbereichs erkl¨ art ist. Eine weitere Einschränkung auf eine Teilmenge des maximal m¨ oglichen Definitionsbereichs kann in einer konkreten Fragestellung sinnvoll sein (z.B. wenn klar ist, dass nur positive Werte† in die Funktion eingesetzt werden können). Beispiel

(i) In die durch f (x) = x+1 definierte Funktion f können alle reellen Zahlen als Argument eingesetzt werden. Der (maximale) Definitionsbereich ist daher D = R. ur positive Zahlen z de(ii) Der 92natu ¨ rliche Logarithmus ln(z) ist nur f¨ finiert, d.h. die maximale Definitionsmenge der Logarithmusfunktion ln : D −→ R ist D = (0, ∞). ∗ Die

Bezeichnung der Variablen kann beliebig gew¨ ahlt werden: f (d) = d2 + 1, d ∈ D, 2 oder f (x) = x + 1, x ∈ D, beschreiben die selben Funktionswerte. † Etwa bei L¨ angen- und Gewichtsmessungen.

5.1


157

(iii) F¨ ur die durch h(y) = y1 gegebene Funktion ist zu beachten, dass der Term f¨ ur y = 0 nicht erkl¨ art ist. Der maximale Definitionsbereich ist somit D = R \ {0}. Graf einer Funktion

Eine einfache Visualisierung einer reellwertigen Funktion ist ihr Graf. Definition Graf einer Funktion Sei f : D −→ W eine Funktion.

Die Menge {(d, f (d)) | d ∈ D} ⊆ D × W heißt Graf von f .

Sind D und W Teilmengen der reellen Zahlen, so ist der Graf von f eine Teilmenge der Ebene R2 und kann daher in einem 62Koordinatensystem als 63Kurve eingezeichnet werden. Durch den Grafen einer Funktion werden deren Eigenschaften veranschaulicht. Beispielsweise ist das 398Monotonieverhalten direkt aus der Grafik ablesbar. Beispiel

F¨ ur die durch f (x) = x2 definierte Funktion f : [−1, 1] −→ R ist der Graf gegeben durch die Punktmenge {(x, x2 ) | x ∈ [−1, 1]}, die in der Ebene wie folgt dargestellt wird:∗ 6

... ... ... ... ... ... ... .. ... . . ... ... ... ... ... ... .. ........................... .. 2 .. ... .. ... .. .. . .. .. .. .. .. .. .. . ... ... ... ... .. ... ... ... .. ... ... ... . .. . . ... . . .. . ... .. . .... . .. . .. .... . . . .. . ..... ... . . ...... .. . . .... ......... . . . . .. . . . ....................

1.0

x 0.5

-

−1

0

x 1

Mittels des 153Grafen einer Relation kann leicht u uft werden, ob es ¨ berpr¨ sich bei der Relation um eine Funktion handelt, d.h. ob der Graf ein Funktionsgraf ist. Dazu wird verwendet, dass eine Relation zwischen den Mengen D, W ⊆ R eine Funktion ist, falls jedem x ∈ D genau eine reelle Zahl w ∈ W zugeordnet ist. Am Grafen der Relation ¨ außert sich dies dadurch, dass Schnitte des Grafen mit vertikalen Geraden h¨ ochstens einen Punkt ergeben. Die folgenden Grafen von Relationen sind daher Funktionsgrafen:† ∗ Die

gestrichelte Linie deutet die Richtung der Abbildung an. Symbol • zeigt an, dass der Punkt zum Grafen geh¨ ort; ◦ deutet an, dass der Punkt nicht Element des Grafen ist. † Das

B

158

5. Funktionen

6

r6

6 -

-

b

Die folgenden Grafen repr¨ asentieren keine Funktionen, da (fast) allen Argumenten mehrere Werte (d.h. zwei Werte) zugeordnet sind. r6

r6

6

-

-

r

-

r

Nullstellen und y -Achsenabschnitt

Die Schnittpunkte des Grafen einer Funktion f mit der 62Abszisse werden als Nullstellen (oder auch x-Achsenabschnitte) der Funktion bezeichnet. Diese entsprechen den L¨ osungen der 187Gleichung f (x) = 0. Die Menge aller Nullstellen {x ∈ D | f (x) = 0} heißt Nullstellenmenge. Ist x = 0 im Definitionsbereich D der Funktion f enthalten, heißt der Funktionswert f (0) an der Stelle 0 y-Achsenabschnitt (Schnittpunkt mit der 62Ordinate). B

Beispiel Die durch f (t) = (t − 1)(t + 1)(t + 2) = t3 + 2t2 − t − 2 definierte

Funktion hat die Nullstellen −2, −1, 1. Der y-Achsenabschnitt hat den Wert f (0) = −2. Dies ist am Grafen der Funktion direkt abzulesen. . ... ... ... .... .. ... .. ....... .. ......... .............. . . . . . . ..... .... ..... ... .... .... ... ... ... .. .. ... .. .. ... . . . . ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. ... .. . . ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... .. ... .. . . . ... ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... .. .. . . . . ... ... ... ... ... .. ... ... ... .... ... ..... .... . . . .... ...... ..... ...... ...........................

1

Nullstelle

6

Nullstelle

e

e

−2

−1

Nullstelle

e-

1

−1

−2 y-Achsenabschnitt

5.1


159

Abbildungen in der Statistik

Abbildungen bzw. Funktionen haben ebenfalls eine zentrale Bedeutung in der Statistik. Exemplarisch werden einige Beispiele genannt, in denen Funktionen auftreten. Diese zeigen, dass der Begriff der Funktion weiter gefasst werden kann, als das zuvor der Fall war. Definitions- und Wertebereich m¨ ussen z.B. keine Teilmengen der reellen Zahlen sein. Im Folgenden werden jedoch nur solche Funktionen betrachtet, die von einer reellen Variablen abhängen und deren Wertebereich eine Teilmenge der reellen Zahlen ist, d.h. es gilt D ⊆ R und W ⊆ R. Zu Informationen im Fall mehrerer Veränderlicher, d.h. D ⊆ Rn , n ≥ 2, sei auf Kamps et al. (2003) verwiesen. Beispiel

B

Eine 377Dichtefunktion ist eine Funktion f : R −→ [0, ∞), deren Funktionswerte alle nicht negativ sind (f (x) ≥ 0) und die eine zusätzliche Bedingung an die von 62Abszisse und 157Funktionsgraf eingeschlossene Fl¨ ache erf¨ ullt (s. 365Kapitel 11). Eine Zufallsvariable X ist eine Abbildung von einer Menge Ω in die reellen Zahlen, d.h. X : Ω −→ R. Jedem Element der Grundmenge Ω wird eine reelle Zahl als Funktionswert zugewiesen. Beim einfachen M¨ unzwurf ist die Grundmenge gegeben durch Ω = {Kopf, Zahl}. Ein Gewinnspiel k¨ onnte nun so ablaufen, dass Spielerin A gewinnt allt. Ansonsten zahlt sie an Spieler B den gleichen (etwa 1e), wenn Kopf f¨ Betrag. Die Gewinnfunktion von Spielerin A wird dann beschrieben durch X : {Kopf, Zahl} −→ {−1, 1},

X(Kopf) = 1, X(Zahl) = −1.

Beim zweifachen W¨ urfelwurf beschreibt die Zufallsvariable X : {(i, j) | i, j ∈ {1, . . . , 6}} −→ R,

X(i, j) = i + j

die Summe der gew¨ urfelten Augenzahlen. Ein (diskretes) Wahrscheinlichkeitsmaß P ist eine Abbildung auf der 46Potenzmenge P(Ω) einer nicht-leeren endlichen Menge Ω = {ω1 , . . . , ωn }: P : P(Ω) −→ [0, 1],

A −→ P (A),

d.h. P weist jeder Menge A ∈ P(Ω) eine Wahrscheinlichkeit P (A) zu. Dar¨ uber hinaus hat P die Eigenschaften P (∅) = 0,

P (Ω) = 1,

P (A ∪ B) = P (A) + P (B), falls A ∩ B = ∅.

Die Zahlen pj = P ({ωj }), j ∈ {1, . . . , n}, definieren eine 123diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung.

160

5.2

5. Funktionen

5.2 Grundlegende Funktionen In diesem Abschnitt werden einige grundlegende Funktionen vorgestellt. Dazu werden jeweils der maximale Definitionsbereich D, die Abbildungsvorschrift f sowie der Graf eines Beispiels angegeben.

Konstante Funktion

Lineare Funktion

D=R f (t) = a mit a ∈ R

D=R f (t) = a + b · t mit a, b ∈ R Konstante Funktionen sind ein Spezialfall mit b = 0. f1 (t) = − 12 t + 12 , f2 (t) = t + 1

f (t) = 1

6

6

.................................................................................................................................................................................................

1

−2

0

......... ..... ......... ..... ......... ..... ......... ..... . ......... . . . ......... .... ......... ..... ..... ......... ......... ..... ......... ......... ............ .... .............. ........ ..... ......... ..... ..... ........ ..... ......... . . . . ........ ... . . ......... . . .... ......... . . . . ......... .... . . ......... . . ... ......... . . . . ......... .... . . . . .... . . . . ... . . . . .... . . . . . ..... ..... .....

2

1

-

−2

Quadratische Funktion

D=R f (t) = tn mit n ∈ N

f1 (t) = t2 + 12 t − 32 , f2 (t) = 1 − t2 + t .. .. ... .... .. .. .. .. .. .. .................. .. ...... ..... .... . . . . .. . .... .. .... ...... .. .. .... . ... ... ..... ... .. ... ... .. .. .... ... . . ... .. .. ... . . ... .. ... ... ... .. .. ... ... .. .. ... .. ... . . . ... ... ... . . ... .. ... ... . ..... ... .. ... . . .. .. .. ..... . ... . . .... .. . .. ... . . . ............... ... .. . .. .. . .. ... .. .

f1 (t) = t3 , f2 (t) = t4

1

1

2

.. .. ... .... .... .. .... .. .... .. ..... .. . .. .... ... ... .. .. ... .. ... .. . . .. .. ... ..... ... ...... .... .... ..................................... ..... .... ... ... .. . ... .. .. .. .... .. ... .. ..

6

6

0

2

Monom

D=R f (t) = a + bt + ct2 mit a, b, c ∈ R Lineare Funktionen sind ein Spezialfall mit c = 0.

−2

0

−2

0

2

5.2

Grundlegende Funktionen

161

Polynom (ganzrationale Funktion)

D=R n f (t) = aj tj mit n ∈ N0 und

Gebrochen rationale Funktion

D = R ohne Nullstellen des Nennerpolynoms n

j=0 †

Koeffizienten aj ∈ R, an = 0 Quadratische Funktionen sind ein Spezialfall mit n = 2.

f (t) =

j=0 m j=0

aj tj bj tj

mit m, n ∈ N0 ,

f¨ ur aj , bj ∈ R

† Der Koeffizient mit dem gr¨ oßten Index (hier n) heißt Leitkoeffizient. f1 (t)=−t3 + 1 t2 +2t− 3 , 2 2

6 4 3 +43t2 −30t f2 (t)= 4t −29t +12t 32

... .. .. .. .. ... .. .. . .. .. ... ........... .. ... ... ... .... ....... ... ... .... .. .... ... .. .. ... .. ... .. .. ... ... ... .. .. .... ... ..... .. ..... .. ... .... . . ... ..... .. ... ............................. ................. ... ..... ... . ... ....... ..... ... .. ... ... ... .... ... .. .. .. .. .. .... .. . . ... . . . .. . .. ... ... ... ... .. ... .. .. ... .. .. ... .. .. .. ... .. ... ... .. . . . . . .. .. ... . . . . . .. . . ... ... . . .. . . . . . . ... ... ... .. . . .. .... ... .. . . ... .. . . . . . . ....... ... ... ...

f1 (t) =

6

1

−2

0

-

Potenzfunktion

√ t = t1/2 , f2 (t) =

= t−1/2

1 √ t

.. .. .. ... ... ... ... ... ... ... ... ........ ... ........ .... ........ .... ....... . . . . . ..... . ................ ... ... ...... ................. ..... ............ ..... .............. . . . . .... .... . . . .. . . . ... . . . . . ... .. .. ..

0

t2 +1 6t2 −2

6

... ... ... ... ... ......... .... . . . . . . ... ..... ..... . . . .. ................... .. . .. ...................................... . ... .. ........................... .. ... . . ...... .. .... .. ............... ... .. .... ... ... ... ... ... ... ... ... .... .... ... ... ... ... . .. ... .. . . .. ... .. ... .... ... .. .. .. .. .. ... .. ... . .. ... .. ... .. .. ... .

1

-

0

2

1

2

D=R f (t) = at mit a > 0, a = 1 F¨ ur a = e = 2,7182 . . . wird auch et = exp(t) geschrieben.

f1 (t) = et , f2 (t) = e−t =

1

t

e

.. .. .. .. .. ... .. ... .. . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. ... .. . ... .. ... .. ... ... .. ... .. ... . ... ... ... .. ... ... ... ... ... . . ... ..... .. ............ .... ..... ..... ...... . . . . . ........ ..... . . . . ........... . . . . ... ............ ................

6

6

1

f2 (t) =

Exponentialfunktion

D = (0, ∞) (evtl. [0, ∞)) f (t) = ta mit a ∈ R Monome sind Spezialf¨ alle mit a = n ∈ N. Wurzelfunktionen sind Spezialf¨ alle mit a = n1 , n ∈ N. f1 (t) =

.. ... .. .. . . ... ... .... ...... .......................

−2

2

t3 −3t2 +t+1 , 4t4 −4t2 +2

1

-

−2

0

2

-

162

5. Funktionen

Logarithmusfunktion

Betragsfunktion

D = (0, ∞) f (t) = loga (t) mit a > 0, a = 1 F¨ ur a = e: ln(t); f¨ ur a = 10: lg(t)

D=R f (t) = |t| f (t) = |t|

f1 (t) = ln(t), f2 (t) = log0,5 (t) ... ... ... ... ... ... ... ... ... .... ..... ....... ........... ..... ......... ..... ......... ..... ...... ............. . .................. ..... ....... ..... ........ .... ....... ........ .... . . ......... .. . ......... . .... ... . ... . .. . .. . ... .. ..

6

6 1

0

1

-

2

..... . ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... . . . . ..... .. ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... . . ..... . . .. ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... . ..... . . . . ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ......... .......... .

1

-

−2

Indikatorfunktion

2

Trigonometrische Funktionen

D=R f (t) =

0

½[a,∞) (t) =

1, t ≥ a 0, t < a

D=R f (t) = sin(at), f (t) = cos(at) mit a ∈ R

mit a ∈ R f (t) =

½[−1,∞) (t)

f1 (t) = sin(4t), f2 (t) = cos(4t)

6

1

•..................1...............................................................................................

−2

-

.................................................

−2

−1

0

6

... .. .... .... ...... ........ ... .. ... .. .. ... .. ... ... .. .. .. .. .. ... .. .. . .. .... .. .. ....... .... .. ..... .. ....... .... .. .... .. . . .... ..... . . .. .. . . .... ... ..... .. .. .... .. .. .. ... .. .. .. .. .. .. .... .... .. .. .. .... ... .. .. .. .. .. .. .. .. ... .. . .. .. ... .. ... .... .... .... .... .... .... .... ... .... .... .... . . . . . . . . .. .. .. .. .. .. .. .. ... ... .... .. .. ... .. .. .. .. .. . .. .. .... .. .. .. .... .. ... .... .. .. .. .. .. .. .. .. .... .... .. .... .. . . . .. ... ... .. .. .. .. .. .. . .. .. . . .. .. .. .. .. ... .. .... .... .... .. .. ... .... .... ... ... .. . .. ... . . .. .... . . . .. .. .. . . .. ... .. . . . . ... . . . .. .. .. .. .. .. . ... .... .... . .. .. .. . .. ........ .... .. .. .. .. ...... .... .. ...... ... .. .... .. ... .. .... .. ... .... .. .... .. .. .. .. ... ... ... ... .. . .. .. .. ..... .... ..... ...... ....

1

−1

0

1

-

2

2

St¨ uckweise definierte Funktionen

Die bisher vorgestellten Funktionen wurden meist durch eine einheitliche Abbildungsvorschrift auf ihrem Definitionsbereich eingef¨ uhrt. Eine Ausnahme bildet etwa die Betragsfunktion, die st¨ uckweise definiert ist. Ihr Definitionsbereich kann als Vereinigung der Intervalle (−∞, 0) und [0, ∞) interpretiert werden, wobei die Betragsfunktion auf jedem Intervall gleich einer linearen Funktion ist. F¨ ur die Indikatorfunktion ½[a,∞) gilt ähnliches. Sie ist aus zwei

5.2

Grundlegende Funktionen

163

(verschiedenen) konstanten Funktionen zusammengesetzt. Dieses Konstruktionsverfahren wird bereits in der Definition deutlich: x, x ≥ 0 1, x ≥ a |x| = , ½[a,∞) (x) = . −x, x < 0 0, x < a Allgemein kann eine Funktion durch Angabe ihrer Funktionswerte auf Teilintervallen spezifiziert werden. Dies ist insbesondere in der Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik von zentraler Bedeutung. Wahrscheinlichkeiten werden in der Statistik oft durch Funktionen beschrieben. Die Z¨ ahldichte einer (diskreten) Verteilung wird festgelegt als Funktion f : R −→ [0, 1], wobei der Funktionswert f (x) jeweils als Wahrscheinlichkeit f¨ ur den Wert x interpretiert wird. Beispiel Z¨ ahldichte, Verteilungsfunktion Die Zähldichte der 139Binomial-

verteilung ist definiert durch n f (k) =

k

pk (1 − p)n−k , k ∈ {0, . . . , n}

0,

sonst

,

wobei n ∈ N und p ∈ (0, 1) die (fest gew¨ ahlten) Parameter der Verteilung sind. Zur Beschreibung wird oft auch die Notation

n k b(k; n, p) = p (1 − p)n−k , k ∈ {0, . . . , n}, k (b(k; n, p) = 0, k ∈ {0, . . . , n}) verwendet, wobei allerdings beachtet werden muss, dass die Parameter n und p als fest angenommen werden und nur k eine Variable ist. Durch Summenbildung wird aus der Z¨ ahldichte die Verteilungsfunktion F : R −→ [0, 1], * f (k), x ∈ R. F (x) = k∈{0,...,n}:k≤x

In der Summation werden nur die Werte f (k) mit k ∈ {0, . . . , n} ber¨ ucksichtigt, die die Bedingung k ≤ x erf¨ ullen. Die Verteilungsfunktion an der Stelle x gibt die Wahrscheinlichkeit des Intervalls (−∞, x] an. F¨ ur n = 10 und p = 0,4 werden die obigen Formeln ausgewertet. Dies kann mittels einer 155Wertetabelle erfolgen, die sich auf die Werte k ∈ {0, . . . , 10} beschr¨ ankt (jeweils auf drei Nachkommastellen gerundet). Die anderen Werte sind aus der Definition der Funktionen unmittelbar klar.

B

164

5. Funktionen

k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 b(k; 10, 0,4) 0,006 0,040 0,121 0,215 0,251 0,201 0,111 0,042 0,011 0,002 0,000 F (k) 0,006 0,046 0,167 0,382 0,633 0,834 0,945 0,987 0,998 1,000 1,000

F¨ ur die Verteilungsfunktion resultiert daraus folgende Darstellung als st¨ uckweise definierte Funktion ⎧ 0, x f (y)) gilt.

5.5

Eigenschaften von Funktionen

171

Beispiel

..... ..... .... ..... . . . . .... .... ..... .... .... . . . . .. ..... ..... ..... .... . . . . .... ..... .... .... .... . . . . .. ..... ... .... .... .... . . . ... .... ..... .... ..... . . . ..... .... ..... .... .... . . . ..... .... ..... .... .... . . . ..

.. .. ... .. .. .. .. .. ... ... .. .. .. ... ... ... ... .... ...... ............................ ....... .... ... ... ... ... .. .. .. ... ... .. .. .. .. .. ... ... ..

6

6

5

1

-

−2

0

B

−2

2

0

-

2

−5

f : R −→ R, f (x) = x

g : R −→ R, g(x) = −x3 + 1

f ist streng monoton wachsend: Mit wachsendem x-Wert w¨ achst f (x).

g ist streng monoton fallend: Mit wachsendem x-Wert fällt g(x).

Die Monotonie der Funktionen f und g ist im obigen Beispiel direkt am Graf der Funktionen erkennbar. Jedoch ist zu beachten, dass der Graf Eigenschaften andeuten kann, die sich bei genauerer Betrachtung als falsch erweisen. Das Auge kann getäuscht werden, wenn die Auflösung zu grob ist. Beispiel Die Funktion f : R −→ R, f (t) = t3 − t2 − t wird in den Bereichen

[−2, 2], [−5, 5], [−10, 10] dargestellt. W¨ ahrend im ersten Grafen deutlich erkennbar ist, dass f nicht monoton wachsend ist, ist dies in den beiden anderen Grafen der selben (!) Funktion mit gr¨ oßerem Definitionsbereich kaum bzw. nicht erkennbar. Wesentlich ist hierbei der Maßstab auf der 62Ordinate. 6 5

50

.. .. ... ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......... .. .... ......... ..... ........................ ... ... ... .. . ... ... ... .... .. .. .. .. .... .. ... ... .... .. ..

t

−2

−5

.. .. .. .. .. ... .. .. .. .. .... .. ... ... .. . .. .. .. ... .... . . . .. ............................. ....... .... .... ... . .. .. ... .. .. . . ... .. .. .. ... ... .. .. .. ... . .. .. ..

6

2

t

−5

−50

5

6

.. .. .. .. .. ... . .. .. ... .. . . ... .. ... .. . . ... .... .... ..... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..... ...... .... .... .... .. . . .. ... .. .. ... .. .. .. .. .... .. ... ... .... ..

500

t

−10

10

−500

B

172

5. Funktionen

Das obige Beispiel zeigt, dass eine Betrachtung des Grafen nur Anhaltspunkte geben kann, jedoch nicht ausreicht, um die Monotoniebereiche festzulegen. Dazu sind mathematische Verfahren erforderlich. An zwei einfachen Beispielen wird zun¨ achst gezeigt, wie dies prinzipiell durchgef¨ uhrt werden kann. B

Beispiel

(i) F¨ ur eine lineare Funktion f : R −→ R, f (x) = a + bx, können die Monotoniebereiche wie folgt bestimmt werden. F¨ ur x, y ∈ R mit x < y gilt f (x) < f (y) ⇐⇒ a + bx < a + by. Mit einfachen Mitteln (s. 287Kapitel 8) kann gefolgert werden x 0 streng monoton fallend, falls b < 0 streng monoton wachsend, falls n ungerade streng monoton wachsend auf [0, ∞), falls n gerade streng monoton fallend auf (−∞, 0], falls n gerade streng monoton fallend streng monoton wachsend, falls n gerade streng monoton fallend, falls n ungerade streng monoton wachsend streng monoton wachsend streng monoton fallend

Beschr¨ anktheit

W¨ ahrend das Monotonieverhalten einer Funktion deren Wachstumsverhalten beschreibt, f¨ uhrt die Untersuchung der Beschränktheit auf eine genauere Analyse des 154Wertebereichs einer Funktion. Definition Beschr¨ anktheit einer Funktion Eine Funktion f : D −→ R mit D ⊆ R heißt

beschränkt, falls es eine Zahl B > 0 gibt mit

−B ≤ f (x) ≤ B

f¨ ur alle x ∈ D.

nach unten beschränkt, falls es eine Zahl B ∈ R gibt mit

B ≤ f (x) für alle x ∈ D. nach oben beschränkt, falls es eine Zahl B ∈ R gibt mit

f (x) ≤ B

f¨ ur alle x ∈ D.

Ist f nicht (nach oben/unten) beschränkt, so heißt f (nach oben/unten) unbeschränkt.

Beschr¨ anktheit bedeutet somit, dass das 154Bild der Funktion in einem Intervall [−B, B] enthalten ist, d.h. f (D) ⊆ [−B, B]. Insbesondere ist eine Funktion genau dann beschr¨ ankt, wenn sie sowohl nach oben als auch nach unten beschr¨ ankt ist.

174

B

5. Funktionen

Beispiel

Die konstante Funktion f : R −→ R, f (x) = 1 ist offenbar beschr¨ ankt, da alle Funktionswerte im Intervall [−1, 1] enthalten sind. Die Funktion g : R −→ R, g(x) = x2 , ist wegen x2 ≥ 0 nach unten durch 0, aber nicht nach oben beschr¨ ankt. Entsprechend ist die Funktion h : R −→ R, ankt, aber nach unten unbeschränkt. h(x) = 1 − x2 nach oben durch 1 beschr¨ Die Funktion k : R −→ R, k(x) = x ist unbeschränkt. Jede Zahl B > 0 wird u ¨ berschritten, da etwa mit x = B + 1 gilt f (x) = B + 1 > B. Analog wird die Zahl −B unterschritten (etwa mit x = −B − 1). Ob eine Funktion beschr¨ ankt ist, h¨ angt insbesondere von ihrem Definitionsbereich ab. Die Funktion k : R −→ R, k(x) = x ist nach obigem Beispiel unbeschränkt. Wird der Definitionsbereich hingegen auf das Intervall [0, 1] eingeschränkt, resultiert offenbar das Bild k([0, 1]) = [0, 1]. Somit ist k : [0, 1] −→ R beschr¨ ankt. Die Beschr¨ anktheit einer Funktion ist insbesondere bedeutsam bei der Bestimmung 403globaler Extrema. Injektivit¨ at, Surjektivit¨ at, Bijektivit¨ at

Bei der Definition einer Funktion f wird jedem Element des Definitionsbereichs D ein Element des Wertebereichs W zugeordnet. Aus der Definition ergeben sich jedoch keine Forderungen an die Elemente des Wertebereichs W. Das folgende Beispiel zeigt, welche Eigenschaften die Funktion im Hinblick auf die Elemente des Wertebereichs haben kann. B

Beispiel Die Funktion f : {1, 2, 3} −→ {4, 5, 6} sei definiert durch f (1) = 4,

f (2) = 6, f (3) = 4. Dabei wird deutlich, dass die Elemente der Wertemenge W = {4, 5, 6} unterschiedlich behandelt werden: Der Wert 4 tritt als Funktionswert zweimal auf, w¨ ahrend 5 u ¨ berhaupt nicht vorkommt. Das Element 6 tritt einmal als Funktionswert auf. Diese Beobachtungen f¨ uhren zur Definition der folgenden Begriffe.

Definition Injektivit¨ at, Surjektivität, Bijektivität Sei f : D −→ W eine Funktion.

ochstens einem Ele1. f heißt injektiv, wenn jedes Element des Wertebereichs h¨ ment des Definitionsbereichs zugeordnet wird, d.h. f¨ ur alle x, y ∈ D mit x = y gilt f¨ ur die Funktionswerte f (x) = f (y). 2. f heißt surjektiv, wenn alle Elemente des Wertebereichs Funktionswerte sind, d.h. f¨ ur alle w ∈ W gibt es (mindestens) ein d ∈ D mit f (d) = w.

5.5


175

3. f heißt bijektiv, wenn sie sowohl injektiv als auch surjektiv ist, d.h. jedes Element des Wertebereichs wird genau einem Element des Definitionsbereichs zugeordnet: F¨ ur alle w ∈ W gibt es genau ein d ∈ D mit f (d) = w. Beispiel Eigenschaften von Funktionen

B

(i) Die Funktion f : {2, 3, 5} −→ {2, 4, 6, 8} mit f (2) = 2, f (3) = 6, f (5) = 4 ist injektiv, aber nicht surjektiv. Alle Funktionswerte sind verschieden, aber es gibt kein d ∈ {2, 3, 5} mit f (d) = 8. D

2

2

3

4

5

6

W 8

(ii) f : {1, 2, 3} −→ {4, 5} mit f (1) = 4, f (2) = 5, f (3) = 4 ist surjektiv, aber nicht injektiv, da f (1) = f (3) = 4. D

1

4

2

5

W

3

(iii) f : {1, 2, 3} −→ {4, 5, 6} mit f (1) = 6, f (2) = 5, f (3) = 4 ist bijektiv. D

1

4

2

5

3

6

W

(iv) f : {1, 2, 3} −→ {4, 5, 6} mit f (1) = 5, f (2) = 5, f (3) = 6 ist weder injektiv noch surjektiv. D

1

4

2

5

3

6

W

176

5. Funktionen

Beispiel

Die Funktion f : R −→ R, f (x) = x ist injektiv, surjektiv und damit auch bijektiv. Am Grafen der Funktion ist direkt abzulesen, dass jedem x ∈ R genau ein y = f (x) ∈ R zugeordnet wird.

B

Ob eine Funktion surjektiv, injektiv oder bijektiv ist, hängt nicht nur von der Abbildungsvorschrift ab, sondern auch von Definitions- und Wertebereich. Das folgende Beispiel zeigt, dass eine Abbildung je nach Wahl dieser Bereiche surjektiv, injektiv oder bijektiv sein kann. Beispiel

Die Funktion g : R −→ R, g(x) = x2 ist weder injektiv (z.B. gilt g(1) = 1 = g(−1)) noch surjektiv (z.B. ist −1 kein Funktionswert). Wird g als Funktion von R nach g(D) = {g(x)|x ∈ D} = [0, ∞) aufgefasst, so ist sie zwar surjektiv, jedoch immer noch nicht injektiv. Eine Einschränkung des Definitionsbereichs auf das Intervall [0, ∞) liefert eine bijektive Abbildung g : [0, ∞) −→ [0, ∞) mit g(x) = x2 .

B

g : R → R, g(x) = x2

g : [0, ∞) → [0, ∞), g(x) = x2

.. . .. .. .. .. .. .. ... ... ... . . ... .. ... ... .. .. .. .. .. .. . . .. . ... .. ... ... ... .. ... ... . . ... ... .... ......................

. .. .. .. ... . . ... .. ... .. .. . . .. ... .. .. . . . ... .... ..........

x

x

6

-

6

-

Aus dem obigen Beispiel l¨ asst sich folgende allgemeing¨ ultige Aussage ableiten:

Surjektivit¨ at kann immer durch Einschr¨ ankung des Wertebereichs, Injektivit¨ at durch Einschr¨ ankung des Definitionsbereichs erreicht werden. Umkehrfunktion

Mit Hilfe der Verkettung von Funktionen wird der Begriff der Umkehrfunktion erkl¨ art.

Definition Umkehrfunktion Sei f : D −→ W eine bijektive Funktion.

Eine Funktion g : W −→ D mit g(f (x)) = x f¨ ur alle x ∈ D und f (g(y)) = y f¨ ur alle y ∈ W heißt Umkehrfunktion zu f . Sie wird mit f −1 bezeichnet.

5.5


177

Beispiel An 175Beispiel Eigenschaften von Funktionen (iii) wird die Um-

B

kehrfunktion illustriert, indem die Pfeile eine andere Richtung erhalten. Die Umkehrfunktion f −1 : {4, 5, 6} −→ {1, 2, 3} zu f : {1, 2, 3} −→ {4, 5, 6} mit f (1) = 6, f (2) = 5, f (3) = 4 ist gegeben durch f −1 (6) = 1, f −1 (5) = 2, f −1 (4) = 3. f f −1 1 4 1 4 D W D W 2

5

2

5

3

6

3

6

Aus der Grafik ist direkt ersichtlich, dass die Verkettungen f ◦ f −1 (w) bzw. f −1 ◦ f (d) stets das Argument liefern. F¨ ur Funktionen f : D −→ R mit D ⊆ R ergibt sich eine einfache Interpretation mittels des Grafen von f . Die Richtung des Pfeils demonstriert die Richtung der Abbildung. .. ... .. .. .. ...................... ..... ..... .. .... .. ... .. ... .. ... ... .. ... .. ... .. .... ...... .. ............................ ....... .. .... .. ... ... ... ... .. .. .. ... ... .. .. .. .. .. ... .. ..

6 - y = f (x)

x

.. ... .. .. .. ...................... ..... ..... .. .... .. ... .. ... .. ... ... .. ... .. ... .. .... ...... .. ............................ ....... .. .... .. ... ... ... ... −1 .. .. .. ... ... .. .. .. .. .. ... .. ..

6

y

-

?

x=f

-

(y)

Die Bijektivit¨ at einer Funktion ist ¨ aquivalent zur Existenz einer Umkehrfunktion. Beispiel Die durch f (x) = x2 auf R definierte quadratische Funktion be-

sitzt keine Umkehrfunktion, denn f hat f¨ ur x = −1 und x = 1 den selben Funktionswert f (1) = 1 = f (−1) und ist daher nicht bijektiv. Eindeutigkeit der Umkehrfunktion Die Umkehrfunktion einer bijektiven Funktion f ist eindeutig bestimmt, d.h. es gibt genau eine Umkehrfunktion zu einer Funktion f . Die Umkehrfunktion zu f −1 ist f , d.h. (f −1 )−1 = f .

B

178

5. Funktionen

Aus diesem Resultat folgt: Ist g Umkehrfunktion zu f , dann ist f Umkehrfunktion zu g. Deshalb wird i.Allg. nur die Eigenschaft g ist Umkehrfunktion zu f benannt, womit jedoch implizit klar ist, dass auch die Eigenschaft f ist Umkehrfunktion zu g zutrifft. B

Beispiel

(i) g : R −→ R, g(y) = 15 y, ist Umkehrfunktion zu f : R −→ R, f (x) = 5x denn f¨ ur alle x, y ∈ R gilt jeweils f (g(y)) = 5 15 y = y und g(f (x)) = 1 −1 . 5 (5x) = x. Also folgt g = f (ii) Die (nat¨ urliche) Logarithmusfunktion g : (0, ∞) −→ R, g(y) = ln(y), ist Umkehrfunktion zur Exponentialfunktion f : R −→ (0, ∞), f (x) = ex , ur alle y ∈ (0, ∞) und g(f (x)) = ln(ex ) = x denn f (g(y)) = eln(y) = y f¨ f¨ ur alle x ∈ R. Also gilt g = f −1 . √ (iii) Die Funktion g : [0,∞) −→ [0,∞), g(y) = y, ist nicht Umkehrfunktion 2 ur alle y ≥ 0 gilt zwar die Beziehung zu f : R −→ [0, ∞), f (x) = x . F¨ √ 2 f (g(y)) = y = y. Die Verkettung g ◦ f liefert jedoch f¨ ur x ∈ R die 89Identit¨ at g(f (x)) = |x|, was f¨ ur x < 0 von x verschieden ist. Wird die Funktion f auf die positive Halbachse eingeschrä√ nkt, d.h. f : [0, ∞) −→ [0, ∞), f (x) = x2 , so gilt auch g(f (x)) = x2 = x f¨ ur alle x ≥ 0. Somit ist f Umkehrfunktion zu g, wenn der Definitionsbereich von f auf [0, ∞) eingeschr¨ ankt wird. Die Grafen von Funktion und Umkehrfunktion weisen eine interessante Beziehung auf: Die zugeh¨ origen 63Kurven sind Spiegelungen an der Winkelhalbierenden.

f1 (t) =

√

f1 (t) = et , f2 (t) = ln(t)

t, f2 (t) = t2

. .. .. ... .. ... .. .. .. . . . .. ... .. ... .. .. ... .... .. .... ........ . ........ ... .. ........ .................... . ........ ....... .......... ...... .... .............. . . . . .... .... .... . .... .... .... ..... .... . .. ... .... ...... . . .. ... ....... . . . ...... . . .. .. .. .... ........... ................

. .. ... ... ... .. ... . .. . . . ... ... ... ... ... .. ... ... . . . . . . . ............. .. .......... ..... ... ........ ....... .... ...... ......... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............................. .. .... .... ... .... ... .. ... .. . . . . ... ... ... ... ... ... ... .. . . . . . .. ... .. ... .. ... ... ....

6

6

-

-

Die folgende Eigenschaft formuliert ein einfaches Kriterium f¨ ur die Existenz einer Umkehrfunktion.

5.6

Aufgaben

179

Monotonie und Umkehrfunktion Eine streng monotone Funktion f ist bijektiv, falls der Wertebereich auf ankt wird, d.h. eine streng monotone Funktion das 154Bild von f eingeschr¨ besitzt stets eine Umkehrfunktion auf ihrem Bild. Die Umkehrfunktion einer 377Verteilungsfunktion wird in der Statistik Quantilfunktion genannt. Beispiel Quantilfunktion Im Fall der 378Exponentialverteilung ist die Ver-

B

teilungsfunktion F : R −→ [0, 1) definiert durch 0, x 0 mit a = 1 gilt. An dieser Stelle sei außerdem an die 94Darstellung b = loga (ab ) einer Zahl b als Logarithmus zur Basis a erinnert. Beispiel Mit den obigen Hilfsmitteln l¨ asst sich die Gleichung log10 (x−2) = 1

wie folgt l¨ osen: log10 (x − 2) = 1 ⇐⇒

log10 (x − 2) = log10 (101 )

=⇒

x − 2 = 101

⇐⇒

1 = log10 (101 ) Regel (♣) für Logarithmen +2

x = 12

¨ Der zweite L¨ osungsschritt ist i.Allg. keine Aquivalenzumformung, da der Logarithmus nur f¨ ur positive Argumente angewendet werden darf. Daher ist ¨ nach Bestimmung aller m¨ oglichen L¨ osungen eine Uberpr¨ ufung dieser Werte durch eine Probe in der Ursprungsgleichung bzw. durch einen Vergleich mit der Definitionsmenge notwendig. Wegen 12 ∈ D = (2, ∞) ist L = {12} die Lösungsmenge der Gleichung. ¨ Zur L¨ osung der Gleichung wird die Aquivalenz in (♣) benutzt, d.h. der Logarithmus kann bei diesem Gleichungstyp weggelassen werden. Alternativ kann eine (♣) entsprechende Exponentialgleichung verwendet werden: ax = ay ⇐⇒ x = y, wobei a > 0, a = 1. Daher kann die L¨ osung der Gleichung auch so ausgef¨ uhrt werden, dass auf beiden Seiten der Gleichung die Potenz zur Basis a = 10 gebildet wird: Potenzbildung mit Basis 10 log10 (x − 2) = 1

B

218

6. Gleichungen

⇐⇒

94Regeln für Potenzen aloga (b) = b +2

10log10 (x−2) = 101

=⇒

x − 2 = 10

⇐⇒

x = 12

Umformungen von logarithmischen Gleichungen Sei a > 0 mit a = 1. Alle L¨ osungen der logarithmischen Gleichung osungen der Gleichung f (x) = ab . Da die Gleichung loga (f (x)) = b sind L¨ osungen haben kann, muss nach Berechnung dieser Lösunf (x) = ab weitere L¨ gen stets eine Probe in der logarithmischen Gleichung bzw. ein Vergleich mit der Definitionsmenge durchgef¨ uhrt werden. Formal wird die Gleichung f (x) = ab durch Bildung der Potenzen aloga f (x) und ab und Anwendung der 94Regel aloga (c) = c f¨ ur c > 0 erzeugt. Bei Anwendung von Logarithmusgesetzen ist jedoch zu beachten, dass der Logarithmus nur f¨ ur positive Argumente definiert ist. Da jede Lösung der Ursprungsgleichung auch weiterhin eine L¨ osung ist, m¨ ussen lediglich die ermittelten Kandidaten f¨ ur L¨ osungen einer Probe unterzogen werden. Diese Vorgehensweise l¨ asst sich auch bei komplizierteren logarithmischen Gleichungen anwenden. In den folgenden Beispielen werden einige typische Situationen behandelt. B

Beispiel In der Gleichung lg(4x) − lg(x − 1) = lg(2) + lg(x) treten mehrere ur Logarithmen auf. In solchen F¨ allen k¨ onnen folgende 94Rechenregeln f¨

Logarithmen ausgenutzt werden: lg(a) + lg(b) = lg(ab),

lg(a) − lg(b) = lg

a b

,

a, b > 0.

Vor L¨ osung der Gleichung ist zun¨ achst zu klären, welche Werte zulässig sind. Da der Logarithmus nur f¨ ur positive Argumente definiert ist, resultieren die Bedingungen 4x > 0, x > 1

und

x > 0,

so dass x ∈ D = (1, ∞) sein muss. Damit ergibt sich:

⇐⇒ =⇒

lg(4x) − lg(x − 1) = lg(2) + lg(x)

4x lg = lg(2x) x−1 4x = 2x x−1

Potenzbildung zur Basis 10 · (x − 1)

6.5

Logarithmische Gleichungen

219

⇐⇒

4x = 2x(x − 1)

⇐⇒

0 = 2x(x − 3)

⇐⇒

x = 0 oder x = 3

− 4x Ausklammern von 2x

ussen nun dahingehend untersucht Die Kandidaten x1 = 0 und x2 = 3 m¨ werden, ob sie auch der urspr¨ unglichen, logarithmischen Gleichung gen¨ ugen. osung aus, da Null nicht in der Definitionsmenge der x1 = 0 scheidet als L¨ Gleichung enthalten ist. x2 = 3 liegt im Definitionsbereich und ist somit eine L¨ osung. Dies zeigt auch die Probe:

12 linke Seite: lg(4 · 3) − lg(3 − 1) = lg = lg(6), 2 rechte Seite:

lg(2) + lg(3) = lg(2 · 3) = lg(6).

Daher ist L = {3} L¨ osungsmenge der urspr¨ unglichen Gleichung. Beispiel Der Definitionsbereich der Gleichung ln(x) −

gegeben durch das Intervall D = gelten muss.

ln(3x − 2) = 0 ist , ∞ , da sowohl x > 0 als auch 3x − 2 > 0 3

2

1 2

Da der zweite Logarithmus mit dem Faktor 12 multipliziert wird, kann die √ 1 Regel a ln(x) = ln(xa ), a ∈ R, benutzt werden. Wegen x 2 = x ergibt sich: 1 ln(3x − 2) = 0 2 √ ln(x) − ln( 3x − 2) = 0

x ln √ =0 3x − 2 x √ = e0 3x − 2 √ x = 3x − 2

ln(x) − ⇐⇒ ⇐⇒ =⇒ ⇐⇒ =⇒ ⇐⇒

x2 = 3x − 2

a ln(x) = ln(xa )

ln(a) − ln(b) = ln a b Potenzbildung zur Basis e √ · 3x − 2 e0 = 1 2 ( ) − 3x + 2

x2 − 3x + 2 = 0

Die quadratische Gleichung kann z.B. mit der 202pq-Formel gelöst werden. 2 F¨ ur die Diskriminante gilt D = − 23 − 2 = 94 − 84 = 14 , so dass es zwei L¨ osungen x1 = 32 + 12 = 2 und x2 = 32 − 12 = 1 gibt. Da die Werte im Definitionsbereich der Ausgangsgleichung liegen, sind beide Lösungen der Gleichung. Die Proben ergeben f¨ ur die linken Seiten √ ln(2) − 12 ln(3 · 2 − 2) = ln(2) − ln( 4) = ln(2) − ln(2) = 0,

B

220

6. Gleichungen

ln(1) −

1 2

√ ln(3 · 1 − 2) = ln(1) − ln( 1) = ln(1) − ln(1) = 0.

Da die rechte Seite ebenfalls gleich Null ist, gilt L = {1, 2}. B

Beispiel Der Definitionsbereich der Gleichung log2 (x2 − 1) = log2 (2x2 ) ist

der Bereich D = (−∞, −1) ∪ (1, ∞), da die Argumente der Logarithmen f¨ ur diese Werte positiv sind. Daraus ergibt sich log2 (x2 − 1) = log2 (2x2 ) =⇒ ⇐⇒

x2 − 1 = 2x2

− x2

−1 = x2

Da die letzte Gleichung keine L¨ osung hat, ist die Lösungsmenge leer, d.h. L = ∅. Gelegentlich ist es sinnvoll, eine Gleichung durch Substitution eines Terms in zwei Schritten zu l¨ osen. Dies wird an folgendem Beispiel erläutert. B

Beispiel

Die Gleichung log3 (x2 − 3) + log3 (x2 − 1) = 1 hängt von der Variablen x nur u ¨ ber den Ausdruck x2 ab. Daher kann die Gleichung durch Einf¨ uhrung der neuen Variablen y = x2 geschrieben werden als log3 (y − 3) + log3 (y − 1) = 1.

Diese Ersetzung der Variablen ist ein Beispiel der in 234Abschnitt 6.9 vorgestellten Substitutionsmethode. Die so entstandene Gleichung wird zun¨ achst f¨ ur die Unbekannte y gelöst, wobei der Definitionsbereich f¨ ur y durch das Intervall (3, ∞) gegeben ist: log3 (y − 3) + log3 (y − 1) = 1 ⇐⇒ =⇒ ⇐⇒

log3 [(y − 3)(y − 1)] = 1 (y − 3)(y − 1) = 31 y 2 − 4y + 3 = 3

⇐⇒

y(y − 4) = 0

⇐⇒

y = 0 oder y = 4

Potenzbildung zur Basis 3 −3

Wegen y ∈ (3, ∞) ist nur y = 4 L¨ osung der Gleichung (in y). Nun wird die uhrt, d.h. die Lösung f¨ ur x ergibt sich aus der R¨ ucksubstitution y = x2 ausgef¨ Beziehung x2 = 4. Diese Gleichung hat die Lösungen x1 = −2 und x2 = 2. Eine Probe best¨ atigt, dass diese Werte auch Lösungen der Ausgangsgleichung sind. Also gilt L = {−2, 2}.

6.6

Exponentialgleichungen

221

6.6 Exponentialgleichungen

6.6

Bezeichnung Exponentialgleichungen Gleichungen, in denen die Unbekannte im Exponenten einer Potenz vorkommt, heißen Exponentialgleichungen.

Beispiel Die folgende Gleichungen sind Exponentialgleichungen: 2

3x−1 = 10, et

+4

= 4, 10−4u+3 = −2.

B

Das L¨ osungsverfahren beruht auf der Rechenregel (a > 0, a = 1) ax = ay

⇐⇒

x=y

und der Tatsache, dass jede positive Zahl c als Potenz dargestellt werden kann, d.h. c = aloga (c) = a

ln(c) ln a

.

Beispiel F¨ ur die erste der obigen Gleichungen bedeutet dies

3x−1 = 10 ⇐⇒ 3x−1 = 3log3 (10) ⇐⇒ x − 1 = log3 (10) + 1 ⇐⇒ x = log3 (10) + 1 ⇐⇒ x = log3 (10) + log3 (3) ⇐⇒ x = log3 (30). Dieses Ergebnis kann auch direkt durch Logarithmieren∗ beider Seiten der Gleichung ermittelt werden. Dabei ist zu beachten, dass der Logarithmus nur f¨ ur positive Werte definiert ist. Da 10 und die Potenz 3x−1 positiv sind, gilt 3x−1 = 10 ⇐⇒ log3 (3x−1 ) = log3 (10) ⇐⇒ x − 1 = log3 (10) ⇐⇒ x = 1 + log3 (10) ⇐⇒ x = log3 (30) ¨ Da es sich in dieser Situation um Aquivalenzumformungen handelt, ist L = osungsmenge der Gleichung. {log3 (30)} L¨ Lösungen von Exponentialgleichungen Sei af (x) = b eine Exponentialgleichung mit a > 0, a = 1, b ∈ R. Dann hat die Gleichung 1 die selben L¨ osungen wie die Gleichung f (x) = loga (b), falls b > 0 ist. 2

keine L¨ osung, falls b ≤ 0 ist.

∗ Die

Basis des Logarithmus wird passend zur Basis der Potenz gew¨ ahlt.

B

222

6. Gleichungen

Diese L¨ osungsstrategie l¨ asst sich auf kompliziertere Beispiele erweitern. Hierzu seien f (x) und g(x) beliebige Terme mit af (x) = g(x)

mit a > 0, a = 1.

ur alle x kann die Gleichung nur f¨ ur x mit g(x) > 0 LösunWegen af (x) > 0 f¨ gen haben. Da Logarithmieren der Gleichung auch nur f¨ ur diejenigen Werte x im Definitionsbereich der Terme f (x) und g(x) mit g(x) > 0 erlaubt ist, ist die L¨ osungsmenge der obigen Gleichung gegeben durch die Lösungsmenge der logarithmischen Gleichung f (x) = loga (g(x)) B

mit g(x) > 0.

Beispiel Die Gleichung (32 )x−1 = 36 · 3x hat den Definitionsbereich R. Zur ur Potenzen ausgenutzt: L¨ osung werden folgende 91Rechenregeln f¨

(ax )y = ax·y , ax · ay = ax+y . 2 3

Damit gilt:

x−1

= 36 · 3x

⇐⇒

32(x−1) = 36+x

⇐⇒

2(x − 1) = 6 + x

⇐⇒

Logarithmieren mit log3 −x+2

x=8

Die L¨ osungsmenge der Exponentialgleichung ist also L = {8}. x−1

B

Beispiel

B

Beispiel Die Definitionsmenge der Gleichung

In der Gleichung 4 x = 28 haben beide Potenzen eine unterschiedliche Basis. Der Definitionsbereich der Gleichung sind alle reellen Zahlen außer der Null, d.h. D = R \ {0}. Die L¨ osung ergibt sich gemäß 8 x−1 2 = (22 )4 = 44 4 x = 28 x−1 log4 ( ) ⇐⇒ 4 x = 44 x−1 ·x −x :3 =4 ⇐⇒ x ⇐⇒ x = − 31

osungsmenge der Gleichung. Wegen − 31 ∈ D ist L = − 31 die L¨

3x+3 − 2 · 5x = 5x+1 + 2(3x + 5x )

6.6

Exponentialgleichungen

223

ist D = R. Da die in der Gleichungen vorkommenden Potenzen unterschiedliche 85Basen haben, bietet es sich an, beide Seiten zunächst so weit wie m¨ oglich zu vereinfachen und dann Potenzen mit der selben Basis auf die selbe Seite zu bringen: + 2 · 5x − 2 · 3x 3x+3 − 2 · 5x = 5x+1 + 2(3x + 5x ) ⇐⇒

3x+3 − 2 · 3x = 5x+1 + 4 · 5x .

Die L¨ osung der Gleichung wird auf folgende Weise fortgesetzt: Ausklammern von 3x auf der linken und 5x auf der rechten Seite (mit der Regel ax+b = ab · ax ). Dividieren der Gleichung durch 3x oder durch 5x . 3x+3 − 2 · 3x = 5x+1 + 4 · 5x ⇐⇒

33 · 3x − 2 · 3x = 5 · 5x + 4 · 5x

⇐⇒

3x (27 − 2) = 5x (5 + 4)

⇐⇒

25 · 3x = 9 · 5x

⇐⇒

25 9 25 9

⇐⇒ ⇐⇒ Wegen

25 9

=

5 3

log 2

gilt log 53

25

5 3

9

Beispiel Die Gleichung 3x

2

−4

=

5x x 3 5 x 3

3

=x

9

25

=

: 9 : 3x 5x x = 5 x 3 3 log 5 ()

= log 53

0 5

2

1

3

= 2, d.h. L = {2}.

= 6−x hat den Definitionsbereich R. Weiter

gilt 3x ⇐⇒

3x

⇐⇒

3x

⇐⇒

2

−4

3x

2

2

−4

= 6−x

2

−4

= 3−x · 2−x

· 3x = 2−x

+x−4

= 2−x

⇐⇒

x2 + x − 4 = log3 (2−x )

⇐⇒

x2 + x − 4 = −x log3 (2)

⇐⇒

−x 6 = 3−x · 2−x x ·3 log () 3 −x log3 (2 ) = −x log3 (2) + x log3 (2)

x2 + (1 + log3 (2))x − 4 = 0

Diese quadratische Gleichung kann mit den bekannten Methoden gelöst wer2 3 (2) + 4 ≈ 4,66 > 0 gibt es zwei Lösungen den. Wegen D = 1+log 2 x1 = −

1 + log3 (2) √ 1 + log3 (2) √ − D ≈ −2,98, x2 = − + D ≈ 1,34. 2 2

B

224

6. Gleichungen

6.7

6.7 Betragsgleichungen

Bezeichnung Betragsgleichung Gleichungen, in denen die Unbekannte in Betr¨ agen vorkommt, heißen Betragsgleichungen.

B

Beispiel Folgende Gleichungen sind Betragsgleichungen:

|x − 1| = 5,

4 + |2t − 1| = |t|,

|z 2 − 2z − 1| = |z + 3|.

Zur Visualisierung von Betragsgleichungen werden alle Terme auf die linke Seite der Gleichung gebracht:

... ... ... ... ... ... ... .. . ... . . ... ... ... ... ... ... ... ... ... . . ... . ... ... ... ... ... ... .. ... . . . ... ... ... ... ... ... ... ... .. . . ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... . ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... .... ... ... ......

f (x) 6

−4

|x − 1| = 5 ⇐⇒ |x − 1| − 5 = 0.

−2

0

-

2

4

6

x

−2

Die entstandene linke Seite f (x) = |x − 1| − 5 definiert eine Funktion f , deren Graf dann die L¨ osungen der Gleichung als Schnittpunkte mit der 62Abszisse besitzt.

−4

Charakteristisch f¨ ur Grafen von Betragsfunktionen ist der Knick“. Dieser ” wird verursacht durch den Vorzeichenwechsel des 14Betrags |x| der Zahl x ∈ R, der definiert ist durch x, falls x ∈ [0, ∞) . |x| = −x, falls x ∈ (−∞, 0) B

Beispiel Die Aufl¨ osung des Betrags |x − 1| f¨ uhrt zu

|x − 1| =

x − 1,

falls x − 1 ∈ [0, ∞)

−(x − 1), falls x − 1 ∈ (−∞, 0)

=

x − 1, falls x ∈ [1, ∞) 1 − x,

falls x ∈ (−∞, 1)

.

F¨ ur die Funktion f resultiert somit die Darstellung x − 1 − 5, falls x ∈ [1, ∞) f (x) = |x − 1| − 5 = 1 − x − 5, falls x ∈ (−∞, 1) x − 6, falls x ∈ [1, ∞) . = −x − 4, falls x ∈ (−∞, 1) Der Graf von f ist also – wie bereits in der Grafik deutlich wurde – aus zwei Geradenst¨ ucken zusammengesetzt.

6.7

Betragsgleichungen

225

L¨ osungsverfahren

Der L¨ osungsansatz f¨ ur Betragsgleichungen beruht darauf, die Beträge mit Fallunterscheidungen nach obigem Muster aufzulösen. Dazu werden die reellen Zahlen in Intervalle unterteilt, in denen die Betragsgleichung jeweils eine andere Form hat. Anschließend werden die verschiedenen Gleichungen gelöst. F¨ ur die urspr¨ ungliche Betragsgleichung sind jedoch nur diejenigen Lösungen zul¨ assig, die tats¨ achlich in den entsprechenden Bereichen liegen.

Lösungsverfahren f¨ ur Betragsgleichungen 1. Die reellen Zahlen werden in Intervalle zerlegt, deren Grenzen die Stellen sind, an denen einer der in der Gleichung vorkommenden Betragsausdr¨ ucke das Vorzeichen wechselt. 2. F¨ ur jedes Intervall werden die Betr¨ age aufgel¨ ost und die entstandene Gleichung gel¨ ost. 3. F¨ ur die berechneten L¨ osungen wird gepr¨ uft, ob sie in dem gerade betrachteten Intervall liegen. Ist dies der Fall, dann ist der Wert eine Lösung der Betragsgleichung. Andernfalls ist er keine L¨ osung. 4. Die L¨ osungsmenge der Betragsgleichung ergibt sich als Vereinigung der L¨ osungsmengen in den einzelnen Intervallen. Beispiel In der Gleichung |x − 1| = 5 kommt nur der Betrag |x − 1| vor, so dass – wie oben gesehen – an der Stelle x = 1 eine Einteilung der x-Achse in die Intervalle (−∞, 1) und [1, ∞) erfolgt.∗ 1

F¨ ur x ∈ [1, ∞) ergibt sich die Gleichung x − 1 = 5, d.h. x = 6. Da diese L¨ osung im Intervall [1, ∞) liegt, geh¨ ort sie zur Lösungsmenge der urspr¨ unglichen Betragsgleichung.

2

F¨ ur x ∈ (−∞, 1) lautet die Betragsgleichung hingegen −x + 1 = 5: −x + 1 = 5 + x − 5 ⇐⇒ −4 = x. Wegen −4 ∈ (−∞, 1) geh¨ ort −4 zur L¨ osungsmenge der Betragsgleichung.

Insgesamt ergibt sich also L = {−4, 6}.

∗ Alternativ kann z.B. auch die Einteilung (−∞, 1], (1, ∞) benutzt werden. Wesentlich ist nur, dass die Stellen, an denen einer der Betr¨ age sein Vorzeichen wechselt, einem benachbarten Intervall zugeordnet werden. Die Intervalle m¨ ussen eine 54Zerlegung der reellen Zahlen bilden.

B

226

6. Gleichungen

¨ Das folgende Beispiel zeigt, dass die Uberpr¨ ufung, ob die ermittelte Lösung im jeweils betrachteten Bereich liegt, tats¨ achlich notwendig ist. B

Beispiel F¨ ur die Betragsgleichung |x − 1| = 2x ergibt sich mit der obigen Fallunterscheidung: 1

x ∈ [1, ∞):

x − 1 = 2x − x

⇐⇒

x = −1.

Dieser Wert liegt nicht im Intervall [1, ∞) und gehört somit nicht zur L¨ osungsmenge der urspr¨ unglichen Betragsgleichung. 2

x ∈ (−∞, 1): −x + 1 = 2x + x

⇐⇒

1 = 3x : 3

∈ (−∞, 1), so dass

1 Es ergibt sich daher L = 3 . In diesem Fall gilt

1 3

1 3

⇐⇒

x = 13 .

zur Lösungsmenge gehört.

In vielen Betragsgleichungen kommen Beträge mehrfach vor. Auch hier beruht das L¨ osungsverfahren auf einer Fallunterscheidung sowie der anschlie¨ ßenden Uberpr¨ ufung, ob die ermittelten L¨ osungen in den betrachteten Bereichen liegen. B

Beispiel In der Gleichung |x − 1| + |x − 2| = 5 kommen zwei Betr¨ age vor, f¨ ur die gilt x − 2, falls x ∈ [2, ∞), x − 1, falls x ∈ [1, ∞) , |x−2| = |x−1| = 2 − x, falls x ∈ (−∞, 2). 1 − x, falls x ∈ (−∞, 1)

Somit wird die reelle Achse durch die Stellen x = 1 und x = 2 in drei Intervalle eingeteilt: (−∞, 1)

... ... ... .

1

[1, 2)

... ... ... .

[2, ∞)

-

2

In jedem Teilintervall wird die Gleichung nun gesondert untersucht, wobei die Betr¨ age jeweils aufgel¨ ost werden. 1

x ∈ (−∞, 1): In dieser Situation gilt |x − 1| = 1 − x und |x − 2| = 2 − x, so dass die Gleichung und ihre L¨ osung lauten: (1 − x) + (2 − x) = 5 − 3 ⇐⇒ −2x = 2 : (−2) ⇐⇒ x = −1.

6.7

Betragsgleichungen

227

In diesem Fall gilt −1 ∈ (−∞, 1) und −1 gehört zur Lösungsmenge. 2

x ∈ [1, 2): Nun gilt |x − 1| = x − 1 und |x − 2| = 2 − x, so dass (x − 1) + (2 − x) = 5 − 1

⇐⇒

0 = 4.

Daher gibt es keine L¨ osung in diesem Bereich. 3

x ∈ [2, ∞): In diesem Fall gilt |x − 1| = x − 1 und |x − 2| = x − 2, so dass (x − 1) + (x − 2) = 5 + 3 ⇐⇒ 2x = 8 : 2 ⇐⇒ x = 4. Wegen 4 ∈ [2, ∞) ist 4 ein Element der L¨ osungsmenge.

Die Betragsgleichung besitzt daher die L¨ osungsmenge L = {−1, 4}.

Aus den Beispielen wird deutlich, dass die Einteilung der reellen Zahlen durch die Nullstellen der Terme in den Betragsausdr¨ ucken festgelegt wird. F¨ ur lib ur quaneare Terme |ax + b| mit a = 0 ergibt sich somit die Grenze − a , f¨ dratische Ausdr¨ ucke |ax2 + bx + c| resultieren die Grenzen als Lösungen der 195quadratischen Gleichung ax2 + bx + c = 0. Sind diese Werte ermittelt, uft werden, welches Vorzeichen der jekann mit einem Vorzeichentest∗ gepr¨ weilige Term im gesamten betrachteten Intervall hat. Beispiel In der Gleichung |x2 − 4x + 3| + |x + 1| − |x − 2| = 2 kommen drei

Betr¨ age vor. Nach den obigen Ausf¨ uhrungen m¨ ussen lediglich die Nullstellen der Terme in den Betragsausdr¨ ucken ermittelt werden, um die Einteilung der reellen Zahlen zu bestimmen. In diesem Fall resultieren f¨ ur die Betragsterme die folgenden Nullstellen (die quadratische Gleichung wird mit 201quadratischer Ergänzung gelöst): 1

|x2 − 4x + 3|: x2 − 4x + 3 = 0 ⇐⇒

x2 + 2 · (−2)x = −3

⇐⇒

x2 + 2 · (−2)x + (−2)2 = −3 + (−2)2

⇐⇒

(x − 2)2 = 1

⇐⇒

x = 3 oder x = 1

−3 + (−2)2

∗ d.h. mit einer (beliebig gew¨ ahlten) Stelle aus dem 59Inneren des jeweils betrachteten Intervalls wird das Vorzeichen des Arguments im Intervall bestimmt.

B

228

6. Gleichungen

2

|x + 1|: x + 1 = 0 ⇐⇒ x = −1

3

|x − 2|: x − 2 = 0 ⇐⇒ x = 2

Werden diese vier Punkte auf der x-Achse abgetragen, ergibt sich die Einteilung: (−∞, −1) −2

[−1, 1)

.. ... ... ..

−1

0

.. ... ... ..

[1, 2)

1

.. ... ... ..

[2, 3)

2

.. ... ... ..

[3, ∞)

3

-

4

Zur Eliminierung der Betr¨ age muss festgestellt werden, welches Vorzeichen die Ausdr¨ ucke in diesen Intervallen haben. Dazu wird f¨ ur x eine beliebige ∗ Inneren des jeweiligen Intervalls eingesetzt. Dies ergibt: Zahl aus dem 59

Pr¨ ufstelle x2 − 4x + 3 x+1 x−2

(−∞, −1) x = −2 + − −

[−1, 1) x=0 + + −

[1, 2) x = 1,5 − + −

[2, 3) x = 2,5 − + +

[3, ∞) x=4 + + +

Die nach Auflösung der Betr¨ age in den einzelnen Intervallen resultierenden Ausdr¨ ucke sind in der folgenden Tabelle verzeichnet (die Terme, die aus einem negativen Ausdruck entstehen sind blau markiert). |x2 − 4x + 3| |x + 1| |x − 2|

(−∞, −1) [−1, 1) [1, 2) [2, 3) [3, ∞) x2 − 4x + 3 x2 − 4x + 3 −x2 + 4x − 3 −x2 + 4x − 3 x2 − 4x + 3 −x − 1 x+1 x+1 x+1 x+1 2−x 2−x 2−x x−2 x−2

Zur L¨ osung der Gleichung |x2 − 4x + 3| + |x + 1| − |x − 2| = 2 sind daher folgende F¨ alle zu diskutieren (die Betragsgleichung ist bereits jeweils ohne Betr¨ age formuliert): 1

x ∈ (−∞, −1): (x2 − 4x + 3) + (−x − 1) − (2 − x) = 2 ⇐⇒

x2 − 4x + 3 − x − 1 + x − 2 = 2

⇐⇒

x2 − 4x = 2

⇐⇒

x2 + 2 · (−2)x + (−2)2 = 6

⇐⇒ ⇐⇒

+ (−2)2

(x − 2)2 = 6 √ √ x = 2 − 6 ≈ −0,449 oder x = 2 + 6 ≈ 4,449

Keine der L¨ osungen liegt im Intervall (−∞, −1), d.h L1 = ∅. ∗ eine

so genannte 292Pr¨ ufstelle

6.7

2

Betragsgleichungen

229

x ∈ [−1, 1): (x2 − 4x + 3) + (x + 1) − (2 − x) = 2 ⇐⇒

x2 − 4x + 3 + x + 1 + x − 2 = 2

⇐⇒

x2 − 2x + 2 = 2

⇐⇒

x(x − 2) = 0

⇐⇒

x = 0 oder x = 2

−2

Nur die erste L¨ osung liegt im Intervall [−1, 1), d.h. L2 = {0}. 3

x ∈ [1, 2): (−x2 + 4x − 3) + (x + 1) − (2 − x) = 2 ⇐⇒

−x2 + 4x − 3 + x + 1 + x − 2 = 2

⇐⇒

−x2 + 6x − 4 = 2

⇐⇒ ⇐⇒

x2 − 6x = −6

+ 4 · (−1) + (−3)2

x2 + 2 · (−3)x + (−3)2 = 3

⇐⇒

(x − 3)2 = 3 √ √ ⇐⇒ x = 3 − 3 ≈ 1,268 oder x = 3 + 3 ≈ 4,732 √ Nur die erste L¨ osung liegt im Intervall [1, 2), d.h. L3 = {3 − 3}. 4

x ∈ [2, 3): (−x2 + 4x − 3) + (x + 1) − (x − 2) = 2 ⇐⇒

−x2 + 4x − 3 + x + 1 − x + 2 = 2

⇐⇒

−x2 + 4x = 2

⇐⇒ ⇐⇒ ⇐⇒ ⇐⇒

x2 − 4x = −2

· (−1) + (−2)2

x2 + 2 · (−2)x + (−2)2 = 2 (x − 2)2 = 2 √ √ x = 2 − 2 ≈ 0,586 oder x = 2 + 2 ≈ 3,414

Keine der L¨ osungen liegt im Intervall [2, 3), d.h. L4 = ∅. 5

x ∈ [3, ∞): (x2 − 4x + 3) + (x + 1) − (x − 2) = 2 ⇐⇒ ⇐⇒ ⇐⇒

x2 − 4x + 3 + x + 1 − x + 2 = 2

x2 − 4x + 6 = 2 − 2 x2 − 4x + 4 = 0 2. binom. Formel

⇐⇒

(x − 2)2 = 0

⇐⇒

x=2

230

6. Gleichungen

Die L¨ osung liegt nicht im Intervall [3, ∞), so dass L5 = ∅ folgt. Die L¨ osungsmenge der Betragsgleichung ist die Vereinigung der bereits berechneten f¨ unf L¨ osungsmengen √ √ L = L1 ∪ L2 ∪ L3 ∪ L4 ∪ L5 = ∅ ∪ {0} ∪ {3 − 3} ∪ ∅ ∪ ∅ = {0, 3 − 3}. Dies wird auch am Grafen der durch f (x) = |x2 − 4x + 3| + |x + 1| − |x − 2| − 2 definierten Funktion deutlich, der zwei Schnittpunkte mit der x-Achse hat. ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... . . . ... ... ... .. ... .. ... ... ............. ... . . . . . . ....... ... .. ... ...... ... ... ..... ..... ... ... ........ ... ... . ... ... . . ... .... ... .... ... .... ... .... .. ..... . ...... ... ....... ............

f (x)

6

8

6

4

2

-

−2

0

2

x

Zusammenhang zu quadratischen Gleichungen

Eine Betragsgleichung kann durch geeignetes Quadrieren in eine quadratische Gleichung u uhrt werden. Dabei wird die Eigenschaft |a|2 = a2 , a ∈ R, ¨ berf¨ ausgenutzt. Bei Anwendung dieser L¨ osungsstrategie ist jedoch zu beachten, dass durch das Quadrieren der beiden Seiten der Gleichung evtl. zusätzliche L¨ osungen erzeugt werden. Daher muss abschließend stets gepr¨ uft werden, ob ein auf diese Weise ermittelter Kandidat auch die Ausgangsgleichung löst. B

Beispiel Die Betragsgleichung |x+ 1| = 2 wird durch Quadrieren in die quauhrt. Aus der dritten 16binomischen dratische Gleichung (x+1)2 = 22 u ¨ berf¨

Formel folgt (x + 1)2 − 22 = (x + 1 − 2)(x + 1 + 2) = (x − 1)(x + 3), d.h. (x + 1)2 = 22 ⇐⇒ (x − 1)(x + 3) = 0 ⇐⇒ x = 1 oder x = −3. Eine Probe best¨ atigt diese L¨ osungen, d.h. L = {−3, 1}.

6.8

Gleichungen mit Parametern

231

Beispiel F¨ ur die Gleichung |5t − 3| = 1 − 3t liefert diese Lösungsmethode:

|5t − 3| = 1 − 3t (5t − 3)2 = (1 − 3t)2

=⇒ ⇐⇒

(5t − 3)2 − (1 − 3t)2 = 0

⇐⇒

(5t − 3 − (1 − 3t))(5t − 3 + (1 − 3t)) = 0

⇐⇒

(8t − 4)(2t − 2) = 0

⇐⇒

8t − 4 = 0 oder 2t − 2 = 0

⇐⇒

t=

1 2

B

2 ( ) − (1 − 3t)2 3. bin. Formel

oder t = 1

ur L¨ osungen. Einsetzen in die rechte Daher sind t = 12 und t = 1 Kandidaten f¨ Seite der Ausgangsgleichung ergibt jedoch in beiden Fällen einen negativen Wert, so dass beide Kandidaten keine L¨ osungen sind, d.h. L = ∅.

F¨ ur die Gleichung |5t − 3| = 3t − 1 gilt hingegen L = 12 , 1 . Beispiel F¨ ur die Gleichung |z 2 − 2z| = z ergibt sich:

|z 2 − 2z| = z =⇒

(z 2 − 2z)2 = z 2

⇐⇒

z 2 (z − 2)2 − z 2 = 0

⇐⇒

z 2 [(z − 2)2 − 1] = 0

⇐⇒

z 2 (z − 1)(z − 3) = 0

⇐⇒

z = 0 oder z = 1 oder z = 3

Die Probe ergibt L = {0, 1, 3}.

B

2 ( ) − z2 Ausklammern 3. bin. Formel

Diese Methode zur L¨ osung von Betragsgleichungen hat den Nachteil, dass mehrfaches Quadrieren hohe Potenzen der Unbekannten erzeugt. I.Allg. resultiert eine 266Polynomgleichung, die oft schwierig zu lösen ist.

6.8 Gleichungen mit Parametern In den bisher behandelten Beispielen enthielten die Gleichungen außer den Variablen keine unbekannten Gr¨ oßen. In vielen Problemen treten jedoch neben den interessierenden Variablen oft zus¨ atzliche Größen auf, deren Wert nicht n¨ aher spezifiziert ist. Diese, als Parameter bezeichneten Variablen spielen eine andere Rolle in dem Sinn, dass die Gleichung in der Unbekannten in Abh¨ angigkeit von diesen Parametern allgemein gelöst werden soll.

6.8

232

6. Gleichungen

Ein Beispiel einer Gleichung mit Parametern ist die bereits behandelte, allgemeine Form einer 193linearen Gleichung (in x) ax = b, wobei a, b gegebene reelle Zahlen repr¨ asentieren, deren Wert nicht explizit angegeben wird. Ziel ist die Bestimmung einer allgemeinen Lösung x der Gleichung in Abh¨ angigkeit von den Parametern a, b. F¨ ur a = 0 resultiert die allgemeine L¨ osung x = ab , so dass die Gleichung in einer konkreten Situation durch Einsetzen der speziellen Werte f¨ ur die Parameter a, b leicht gelöst werden kann. Vor L¨ osung einer Gleichung mit Parametern muss also geklärt werden, welche Variablen Parameter sind und welche Größe die Unbekannte ist, f¨ ur die die Gleichung gel¨ ost werden soll. Im Folgenden werden noch einige Beispiele derartiger Gleichungen betrachtet. B

Beispiel Die Gleichung eax

gilt eax

2

−1

=1

2

ln( )

−1

= 1 hat einen Parameter a ∈ R. Zunächst ⇐⇒ ax2 − 1 = 0 ⇐⇒ ax2 = 1.

F¨ ur a = 0 ist die Gleichung offenbar nicht lösbar. Ist a = 0, resultiert die ur a < 0 existiert keine Lösung. Im Fall a > 0 sind Gleichung x2 = a1 , d.h. f¨ ! ! 1 1 osungen. Daher gilt f¨ ur die Lösungsmenge in Abhängigkeit − a und a L¨ vom Parameter a: ⎧ ⎨∅, a≤0 . L = !1 !1 ⎩ − a, a , a> 0 B

Beispiel Seien b, c ∈ R. Dann hat die Gleichung

6 x−b

c + x−1 = 0 den Definitionsbereich D = R \ {1}, falls b = 1, bzw. D = R \ {1, b}, falls b = 1.

Gilt b = 1, ist die L¨ osung gegeben durch 6 c 6+c + = 0 ⇐⇒ = 0 ⇐⇒ 6 + c = 0 ⇐⇒ c = −6. x−1 x−1 x−1 F¨ ur c = −6 ergibt sich daher L = R \ {1}. Ansonsten ist L = ∅. Sei b = 1. Dann gilt f¨ ur x ∈ R \ {1, b}:

⇐⇒ ⇐⇒

6 c + =0 x−b x−1 6(x − 1) + c(x − b) = 0 (6 + c)x = 6 + cb

· (x − b)(x − 1)

6.8

Gleichungen mit Parametern

233

Ist c = −6, resultiert die Gleichung 0 = 6(1 − b). Da b = 1 ist, gibt es keine osung der Gleichung, die wegen L¨ osung. F¨ ur c = −6 ist x = 6+cb 6+c die einzige L¨ b = 1 im Definitionsbereich der Gleichung liegt. Insgesamt folgt ⎧ R \ {1}, b = 1, c = −6 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨∅, b = 1, c = −6 L= . ⎪ ∅, b = 1, c = −6 ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ 6+cb , b = 1, c = −6 6+c Beispiel Die Gleichung

gilt

x2 −a2 |x−a|

= x ist f¨ ur x ∈ D = R \ {a} erklärt. Weiter

(x − a)(x + a) x2 − a2 = x ⇐⇒ = x. |x − a| |x − a| Der Betrag im Nenner des Bruchs f¨ uhrt zu einer Fallunterscheidung. 1

F¨ ur x ∈ (−∞, a) folgt |x − a| = a − x und x2 − a2 (x − a)(x + a) a = x ⇐⇒ = x ⇐⇒ −(x+a) = x ⇐⇒ x = − . |x − a| a−x 2 F¨ ur a > 0 gilt − a2 ∈ (−∞, a), d.h. L1 = {− a2 }. Ist hingegen a ≤ 0, so folgt a ≤ − a2 und − a2 ∈ (−∞, a), d.h. L1 = ∅.

2

F¨ ur x ∈ (a, ∞) ergibt sich |x − a| = x − a und x2 − a2 (x − a)(x + a) = x ⇐⇒ = x ⇐⇒ x + a = x ⇐⇒ 0 = a, |x − a| x−a so dass L2 = ∅ f¨ ur a = 0. F¨ ur a = 0 folgt D = R\{0}, d.h. L2 = (a, ∞) = (0, ∞).

Insgesamt gilt also

⎧ ⎪ a 0 2

B

234

6.9

6. Gleichungen

6.9 Substitutionsmethode Das Substitutionsprinzip ist ein Verfahren, das bei geeigneter Struktur einer Gleichung deren L¨ osung in zwei Schritten ermöglicht. Grundvoraussetzung ist, dass die interessierende Unbekannte nur im selben Term vorkommt. Dieser wird durch eine neue Variable ersetzt und die resultierende Gleichung zun¨ achst f¨ ur diese Variable gel¨ ost.

B

Beispiel F¨ ur die Gleichung (ln(x))2 − 4 ln(x) + 4 = 0 liefert die Substitution

y = ln(x) die quadratische Gleichung y 2 − 4y + 4 = 0, die im ersten Schritt bzgl. der Variablen y gel¨ ost wird. Wegen y 2 − 4y + 4 = (y − 2)2 resultiert die einzige L¨ osung y0 = 2. Da eigentlich L¨ osungen in der Variablen x gesucht wurden, wird die Substitution im zweiten Schritt r¨ uckg¨ angig gemacht. Dabei wird benutzt, dass osung der Gleichung y 2 − 4y + 4 = 0 ist, wenn y0 = ln(x0 ) genau dann eine L¨ ugt. Daher muss die x0 der Ausgangsgleichung (ln(x))2 − 4 ln(x) + 4 = 0 gen¨ logarithmische Gleichung ln(x0 ) = y0 = 2 gel¨ ost werden. Dies ergibt x0 = e2 , d.h. L = {e2 } ist Lösungsmenge der Ausgangsgleichung. Aus dem Beispiel wird deutlich, dass die Substitutionsmethode angewendet werden kann, wenn die interessierende Variable in der Gleichung nur als Argument eines Terms g(x) auftritt. In diesem Fall kann die Gleichung als 169Verkettung zweier Terme aufgefasst werden. Beschreibt also f die betrachtete Gleichung in der Form f (x) = 0 und tritt die Variable x nur als Argument einer Funktion g(x) auf, kann die Gleichung als f (x) = 0 ⇐⇒ h(g(x)) = 0 mit einer geeigneten Funktion h geschrieben werden. Durch Einf¨ uhrung der neuen Variablen y = g(x) wird das Problem in die zwei Gleichungen h(y) = 0

und

y = g(x)

zerlegt, wobei in der Gleichung y = g(x) nur die Werte f¨ ur y betrachtet werden, die L¨ osung der Gleichung h(y) = 0 sind.

6.9

Substitutionsmethode

235

Beispiel F¨ ur die Gleichung (ln(x))2 − 4 ln(x) + 4 = 0 lauten die einzelnen

B

Ausdr¨ ucke f (x) = (ln(x))2 − 4 ln(x) + 4,

g(x) = ln(x),

h(y) = y 2 − 4y + 4.

Substitutionsverfahren Kann eine Gleichung f (x) = 0 in der Form h(g(x)) = 0 mit geeigneten Funktionen g und h geschrieben werden, dann k¨ onnen die Lösungen der Gleichung f (x) = 0 wie folgt ermittelt werden: 1. Substitution y = g(x). 2. Bestimmung aller L¨ osungen der Gleichung h(y) = 0. 3. F¨ ur jede L¨ osung y0 der Gleichung h(y) = 0 resultiert eine zu lösende Gleichung g(x) = y0 . Die Gesamtheit der L¨ osungen dieser Gleichungen bildet die Lösungsmenge der Gleichung f (x) = 0. Beispiel Die linke Seite der Gleichung e2x − e4x + 2 = 0 kann wegen e4x =

B

(e2x )2 geschrieben werden als f (x) = e2x − (e2x )2 + 2, wobei x ∈ D = R. Mit der Substitution y = e2x resultiert die Gleichung y − y 2 + 2 = 0 ⇐⇒ y 2 − y − 2 = 0, deren L¨ osungen y1 = −1 und y2 = 2 sind. Somit ergeben sich zwei zu lösende Gleichungen in x: e2x = −1

bzw.

e2x = 2.

Da die Exponentialfunktion stets positiv ist, hat die erste Gleichung keine L¨ osung. Die zweite Gleichung√ist eine Exponentialgleichung mit der Lösung ist die Lösungsmenge der Ausx = 12 ln(2) = ln(21/2 ) = ln( 2).

Insgesamt gangsgleichung also durch L = 12 ln(2) gegeben. Das obige Beispiel zeigt insbesondere, dass die im zweiten Schritt zu lösenden Gleichungen nicht notwendig l¨ osbar sein m¨ ussen. In diesem Fall liefern diese Gleichungen keinen Beitrag zur L¨ osungsmenge. √ x

Beispiel Die Anwendung der Substitutionsmethode auf die Gleichung e

e

−x

√ = 0 liefert mit x ∈ D = [0, ∞) und y = x 2

ey − e−y = 0 ⇐⇒ ey = e−y

2

2

⇐⇒ ey+y = 1 ⇐⇒ y 2 + y = 0.

−

B

236

6. Gleichungen

Die L¨ osungen dieser Gleichung sind daher y1 = −1 und y2 = 0. Die R¨ uck√ √ substitution f¨ uhrt zu den Gleichungen x = −1 bzw. x = 0, wobei die erste Gleichung nicht l¨ osbar ist.∗ Die zweite Gleichung hat die Lösung x = 0, d.h. L = {0}. Weitere Anwendungsbeispiele finden sich in 269Abschnitt 7.2.

6.10

6.10 Lineare Gleichungssysteme mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten In den bisher behandelten Fragestellungen wurden stets nur eine Unbekannte und eine Gleichung f¨ ur diese Unbekannte betrachtet. Als einfache Erweiterung dieser Situation wird das Problem zweier linearer Gleichungen mit zwei Unbekannten behandelt. Der Graf einer linearen Funktion ist eine Gerade in der Ebene. F¨ ur zwei (verschiedene) lineare Funktionen werden sich die zugehörigen Geraden i.Allg. schneiden.

B

Beispiel Schnitt von Geraden Die folgende Abbildung zeigt die Grafen der durch f1 (t) = t + 3 und f2 (t) = −t + 1 definierten linearen Funktionen.

Der durch die Geraden markierte Schnittpunkt (x, y) erf¨ ullt offensichtlich die Bedingungen y =x+3

und

y = −x + 1.

f1 (t) = t + 3, f2 (t) = −t + 1 .... ....... ....... ....... ....... . . . . . . . ....... ........ ....... ........ ....... ....... ........ . ....... . . . . . . ....... ........ ....... ....... ....... ....... ........ ....... ............. .............. ....... ....... .. . ....... .. ....... ....... . .............. ....... ....... ....... ........ ... ....... ....... . . . . . . ....... ....... ....... ..... ........ ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ........ ....... ....... ...

6

(x, y)

1

−2

-

0

2

t

Da y sowohl der Bedingung x + 3 = y als auch der Bedingung y = −x + 1 gen¨ ugen muss, ergibt sich an x die Forderung x + 3 = −x + 1. ∗ Quadratwurzeln

sind stets nicht-negativ.

6.10 Lineare Gleichungssysteme mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten

237

Dies ist eine lineare Gleichung in einer Unbekannten x, deren Lösung durch x = −1 gegeben ist. Somit ist der x-Wert des gesuchten Schnittpunkts bestimmt. Daraus ergibt sich sofort durch Einsetzen in eine der beiden linearen Funktionen die y-Koordinate f1 (−1) = f2 (−1) = 2. Also ist (−1, 2) der Schnittpunkt der Geraden. Im Beispiel ergaben sich zwei lineare Gleichungen mit den Unbekannten x und y. Diese Situation wird im Folgenden n¨ aher untersucht, zugehörige Lösungsstrategien werden entwickelt. Bezeichnung

Seien a11 , a12 , a21 , a22 , b1 , b2 reelle Zahlen. Dann heißt

a11 x1 + a12 x2 = b1 a21 x1 + a22 x2 = b2 lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten x1 , x2 . Definitionsbereich ist D = R2 .

Werden die Unbekannten im obigem Beispiel mit x1 und x2 statt mit x und y bezeichnet, ergibt sich in der Notation des Gleichungssystems 1· x2 = 3 (−1)· x1 + =a11

=a12

=b1

1· x1 + 1· x2 = 1 =a21

=a22

=b2

Die L¨ osungsmenge eines linearen Gleichungssystems besteht aus allen Paaren (x1 , x2 ) derart, dass x1 und x2 beiden Gleichungen des Gleichungssystems gen¨ ugen. Wie in den n¨ achsten Abschnitten gezeigt wird, gibt es drei Typen von L¨ osungsmengen: Sie bestehen entweder aus einem, keinem oder unendlich vielen Elementen. Grafische Interpretation

Eine lineare Gleichung kann als 195Gerade im Koordinatensystem visualisiert werden, d.h. zwei lineare Gleichungen werden durch zwei Geraden repr¨ asentiert (sofern nicht die Koeffizienten vor den Unbekannten jeweils Null sind). Das zugeh¨ orige Gleichungssystem kann somit – wie im Eingangsbeispiel bereits angedeutet – als eine Forderung verstanden werden, die die Schnittpunkte der Geraden erf¨ ullen m¨ ussen: Gerade f1 :

a11 x1 + a12 x2 = b1

Gerade f2 :

a21 x1 + a22 x2 = b2

238

6. Gleichungen

Intuitiv ist daher klar, welches Aussehen die Menge aller Schnittpunkte der Geraden haben kann: 1

Schneiden sich die Geraden an genau einer Stelle, besitzt das zugehörige lineare Gleichungssystem genau eine Lösung.

2

Sind die Geraden parallel, aber nicht identisch, besitzt das Gleichungssystem keine L¨ osung.

3

Sind die Geraden identisch, ist jeder Punkt der Geraden ein Schnittpunkt. Dann gibt es unendlich viele L¨ osungen.

L¨ osungsmenge eines linearen Gleichungssystems

Die L¨ osungsmenge eines Gleichungssystems mit zwei Unbekannten und zwei Gleichungen hat folgende Gestalt: 1

Das Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen. F¨ ur die Koeffizienten der Gleichungen bedeutet dies, dass es eine Zahl c gibt mit a11 = c · a21

und a12 = c · a22

und b1 = c · b2 ,

d.h. die erste Gleichung ist ein Vielfaches der anderen. Dies ist z.B. f¨ ur das System x1 + x2 = 3 2x1 + 2x2 = 6 der Fall, da die zweite Gleichung durch Multiplikation mit dem Faktor 2 aus der ersten entsteht. Beide Gleichungen sind daher äquivalent. 2

Das Gleichungssystem hat keine L¨ osung, d.h. L = ∅. Dies ist der Fall, wenn es eine reelle Zahl c gibt mit a11 = c · a21

und a12 = c · a22

und b1 = c · b2 .

Die linken Seiten der Gleichungen sind Vielfache mit dem Faktor c, die rechten Seiten erf¨ ullen diese Bedingung aber nicht. Diese Situation liegt im Beispiel x1 + x2 = 3 2x1 + 2x2 = 17 vor, da 2(x1 + x2 ) = 2x1 + 2x2 , aber 2 · 3 = 17.


3

239

Das Gleichungssystem besitzt eine eindeutige Lösung, d.h. L = {(x1 , x2 )}. Dies ist stets der Fall, wenn keiner der obigen beiden Fälle eintritt.

Zur Bestimmung von L¨ osungen eines linearen Gleichungssystems werden im Folgenden drei verschiedene L¨ osungsmethoden, das Einsetzungsverfahren, das Additionsverfahren und das Gleichsetzungsverfahren, vorgestellt. Dabei ist es unerheblich, welche Variable zu L¨ osung herangezogen wird. Die jeweils aktuelle erste Gleichung wird mit I, die zweite mit II bezeichnet. Einsetzungsverfahren

Beim Einsetzungsverfahren wird eine der Gleichungen nach einer der Unbekannten aufgel¨ ost und das Ergebnis in die andere eingesetzt. Dabei spielen weder die Wahl der Gleichung noch die der Unbekannten eine Rolle. Wesentlich bei den folgenden L¨ osungsschritten ist, dass lediglich elementare Umformungen verwendet werden und die Gleichung, die nach einer Variablen aufgel¨ ost wird, stets mitgef¨ uhrt wird. Letzteres ist allerdings nicht notwendig und aus Gr¨ unden einer kompakteren Notation kann darauf verzichtet werden. Im Folgenden wird bei allen Umformungen die zweite Gleichung jedoch stets notiert, da diese systematische Darstellung ein besseres Verständnis der L¨ osungsstrategie erm¨ oglicht. Beispiel

x1 − x2 = 3 x1 +2x2 = 6

⇐⇒

x1 − x2 = 3 x1

⇐⇒

= 6 − 2x2

6 − 2x2 − x2 = 3 x1

⇐⇒ ⇐⇒ ⇐⇒

Einsetzen in I Auflösen nach x2 Einsetzen in II

= 6 − 2x2 x2 = 1

x1

aufgel¨ osen

= 6 − 2x2 x2 = 1

x1

B

nach x1

=6−2·1

Vereinfachen

x2 = 1 x1

=4

Die L¨ osungsmenge ist somit L = {(4, 1)}.

240

6. Gleichungen

Dieser Ansatz l¨ asst sich wie folgt zusammenfassen: Einsetzungsverfahren 1. Aufl¨ osen einer Gleichung nach einer der Unbekannten. 2. Einsetzen des Ergebnisses in die andere Gleichung. 3. L¨ osen der entstandenen linearen Gleichung mit einer Unbekannten. 4. Einsetzen der L¨ osung in eine der urspr¨ unglichen Gleichungen und Berechnung der anderen Unbekannten. Nun wird an Beispielen illustriert, wie sich dieses Verfahren verhält, wenn es keine bzw. unendlich viele L¨ osungen gibt. B

Beispiel

x1 − x2 = 4 −3x1 + 3x2 = 2 ⇐⇒

x1

= 4 + x2

nach x1

aufl¨ osen

Einsetzen in II

−3x1 + 3x2 = 2 ⇐⇒

x1

= 4 + x2

−3(4 + x2 )+ 3x2 = 2 ⇐⇒

x1

Vereinfachen

= 4 + x2

−12 = 2

Dies ist offensichtlich ein Widerspruch, da die Aussage −12 = 2 falsch ist. Das Gleichungssystem hat daher keine L¨ osung, d.h. L = ∅. B

Beispiel Das folgende Gleichungssystem hat eine unendliche L¨ osungsmenge.

x1 − x2 = 4 −3x1 + 3x2 = −12 ⇐⇒

x1

= 4 + x2

nach x1

aufl¨ osen

Einsetzen in II

−3x1 + 3x2 = −12 ⇐⇒

x1

= 4 + x2

−3(4 + x2 )+ 3x2 = −12

Vereinfachen


⇐⇒

x1

241

= 4 + x2 −12 = −12

Die Aussage −12 = −12 ist wahr, so dass es unendlich viele Lösungen gibt, die auf der durch die Gleichung x1 = 4 + x2 definierten Geraden liegen: L = {(x1 , x2 ) | x1 = x2 + 4, x2 ∈ R} = {(x2 + 4, x2 ) | x2 ∈ R}. Da Division der Gleichung −3x1 + 3x2 = −12 durch −3 gerade die Gleichung x1 − x2 = 4 ergibt, kann auch die folgende, äquivalente Darstellung der L¨ osungsmenge verwendet werden: L = {(x1 , x2 ) | − 3x1 + 3x2 = −12}. Gleichsetzungsverfahren

Beim Gleichsetzungsverfahren werden beide Gleichungen nach der selben Unbekannten aufgel¨ ost und anschließend gleichgesetzt. Die resultierende lineare Gleichung wird dann nach der verbliebenen Unbekannten aufgelöst. Die Wahl der Unbekannten spielt dabei keine Rolle. Von der Vorgehensweise ist das Gleichsetzungsverfahren dem Einsetzungsverfahren daher sehr ähnlich. Beispiel

B

x1 +2x2 = 6 x1 − x2 = 3 ⇐⇒ ⇐⇒

x1

= 6 − 2x2

x1

= 3 + x2

x1

= 6 − 2x2

6−2x2 = 3 + x2 ⇐⇒

x1

= 6 − 2x2 x2 = 1

⇐⇒

x1

nach x1 nach x1

aufl¨ osen aufl¨ osen

Gleichsetzen Auflösen nach x2 Einsetzen in I

=4 x2 = 1

Die L¨ osungsmenge ist somit L = {(4, 1)}.

242

6. Gleichungen

Dieses Verfahren l¨ asst sich wie folgt zusammenfassen. Gleichsetzungsverfahren 1. Aufl¨ osen beider Gleichungen nach der selben Unbekannten. 2. Gleichsetzen der resultierenden rechten Seiten. 3. L¨ osen der entstandenen linearen Gleichung mit einer Unbekannten. 4. Einsetzen der L¨ osung in eine der urspr¨ unglichen Gleichungen und Berechnung der anderen Unbekannten. Abschließend wird auch dieses Verfahren f¨ ur die zwei Sonderfälle betrachtet. B

Beispiel

x1 + x2 = 6 2x1 +2x2 = 4 ⇐⇒ ⇐⇒

x1

= 6 − x2

x1

= 2 − x2

x1

= 6 − x2

6− x2 = 2 − x2 ⇐⇒

x1

nach x1 nach x1


Gleichsetzen Vereinfachen

= 6 − x2

6=2 Die entstandene lineare Gleichung ist also nicht lösbar, so dass die Lösungs menge des Gleichungssystems leer ist, d.h. L = ∅. B

Beispiel Das folgende Gleichungssystem hat eine unendliche L¨ osungsmenge.

x1 + x2 = 6 2x1 +2x2 = 12 ⇐⇒ ⇐⇒

x1

= 6 − x2

x1

= 6 − x2

x1

= 6 − x2

6− x2 = 6 − x2

nach x1 nach x1


Gleichsetzen

Auflösen nach x2


⇐⇒

x1

243

= 6 − x2 6=6

Die letzte Gleichung ist stets erf¨ ullt, so dass die Lösungen des Gleichungssystems auf der Geraden x1 +x2 = 6 liegen. Es folgt L = {(x1 , x2 ) | x1 +x2 = 6}. Additionsverfahren

Beim Additionsverfahren werden die Gleichungen jeweils mit einer geeigneten Zahl (ungleich Null) derart multipliziert, dass beim Addieren der linken und rechten Seiten mindestens eine der Variablen verschwindet. Die nach der Addition entstandene lineare Gleichung wird dann gelöst und das Ergebnis in eine der urspr¨ unglichen Gleichungen eingesetzt. Wie die anderen Lösungsstrategien wird auch diese zun¨ achst an einem Beispiel erläutert. Beispiel

x1 +2x2 = 6 x1 − x2 = 3 ⇐⇒

x1 +2x2 = 6 −x1 + x2 = −3

⇐⇒

x1 +2x2 = 6 3x2 = 3

⇐⇒

x1 +2x2 = 6 x2 = 1

⇐⇒

x1

B

· (−1) Addieren von I und II :3 Einsetzen in I

=4 x2 = 1

Es ergibt sich also L = {(4, 1)}.

244

6. Gleichungen

Dieses Verfahren l¨ asst sich wie folgt zusammenfassen: Additionsverfahren 1. Geeignete Multiplikation der Gleichungen derart, dass sich mindestens eine der Unbekannten bei der anschließenden Addition der modifizierten Gleichungen aufhebt. 2. Addition der linken und rechten Seiten. 3. L¨ osen der entstandenen linearen Gleichung mit einer Unbekannten. 4. Einsetzen der L¨ osung in eine der urspr¨ unglichen Gleichungen und Berechnung der anderen Unbekannten. An den folgenden Beispielen wird gezeigt, wie mittels des Additionsverfahrens erkannt werden kann, dass das Gleichungssystem keine Lösung bzw. unendlich viele L¨ osungen besitzt. B

Beispiel

x1 +2x2 = 6 −2x1 −4x2 = 8 ⇐⇒

x1 +2x2 = 6 −x1 −2x2 = 4

⇐⇒

:2 Addieren von I und II

x1 +2x2 = 6

0 = 10 Die resultierende Gleichung hat also keine Lösung, d.h. L = ∅. B

Beispiel Das folgende Gleichungssystem hat unendlich viele L¨ osungen.

x1 +2x2 = 6 −2x1 −4x2 = −12 ⇐⇒

x1 +2x2 = 6 −x1 −2x2 = −6

⇐⇒

x1 +2x2 = 6 0=0

:2 Addieren von I und II

6.11 Aufgaben

245

Die letzte Gleichung ist immer erf¨ ullt, d.h. die Lösungsmenge wird durch die erste Gleichung vollst¨ andig beschrieben. Sie besteht aus allen Punkten (x1 , x2 ), die auf der Geraden x1 + 2x2 = 6 liegen, d.h. L = {(x1 , x2 ) | x1 + 2x2 = 6}.

Abschließend sei angemerkt, dass auch lineare Gleichungssysteme mit mehr als zwei Unbekannten und mehr als zwei Gleichungen betrachtet werden k¨ onnen. Zu Fragen der L¨ osbarkeit und zur allgemeinen Lösung dieser Systeme sei auf Kamps et al. (2003) verwiesen.

6.11

6.11 Aufgaben Aufgabe 6.1

249 L

L¨ osen Sie die linearen Gleichungen.

(a) 4x + (2x − 3) = 3

(f) x(3 + 4) + 14 = 7(x + 2)

(b) (3 − x) + (6x − 1) = 5x + 2

(g) 4x + 5(x + 2) = 12 + 5x

(c) (4x + 1) − (2x − 2) = 9

(h) 1 − 2(x + 2) = (4 + x) − 3(x + 2)

(d) −4 + (7x + 1) = 3(x − 1)

(i) 3(x + 5) − 5(1 + 3x) = 2

(e) 4(1 + 2x) = 3 + 2(1 + 4x)

(j) 3(3x − 1) − 3x = 3(1 + 2x)

Bestimmen Sie die L¨ osungen der quadratischen Gleichungen. Verwenden Sie ggf. die 16binomischen Formeln.

Aufgabe 6.2

(a) (x + 3)(x + 4) = 0

(c) x2 − 5x = 0

(e) x2 − 2x + 1 = 0

(b) x2 − 9 = 0

(d) 2x2 = 6x

(f) x2 = 25

L¨ osen Sie die quadratischen Gleichungen mit der Methode der quadratischen Ergänzung.

Aufgabe 6.3

(a) x2 − 4x + 3 = 0

(c) −x2 − 6x − 5 = 0

(e) x2 + 10x + 50 = 0

(b) x2 − 3x +

(d) 4x2 − 8x + 3 = 0

(f) x2 + 14x = −13

9 4

=0

249 L

250 L

246

250 L

6. Gleichungen

L¨ osen Sie die quadratischen Gleichungen mit der 202pq-

Aufgabe 6.4

Formel.

251 L

251 L

252 L

252 L

(a) x2 + 4x + 3 = 0

(c) x2 + x + 1 = 0

(e) x2 + 5x + 7 = 0

(b) x2 + 2x = −1

(d) 3x2 + 3x − 18 = 0

(f) x2 + 6x + 9 = 0

Aufgabe 6.5 Stellen Sie jeweils eine quadratische Gleichung in Normalform auf, die folgende L¨ osungen besitzt. √ √ (d) x1 = 1 + 3, x2 = 1 − 3 (a) x1 = 3, x2 = −3

(b) x1 = 12 , x2 = 0

(e) x1 = 2, x2 = −5

(c) x1 = x2 = 4

(f) x1 = x2 = 0

Schreiben Sie die Terme als Produkt von Linearfaktoren.

Aufgabe 6.6

(a) x2 − 1

(c) x2 + 13 x

(e) x2 + 5x − 14

(b) x2 − 6x + 4

(d) x2 − 2x − 15

(f) 2x2 − 2x − 24

Bestimmen Sie jeweils die zweite Lösung der quadratischen Gleichung, ohne diese explizit zu l¨ osen.

Aufgabe 6.7

(a) x2 + x − 6 = 0; x1 = 2

(d) x2 +

(b) x2 − 8x − 9 = 0; x1 = −1

(e) 6x2 + 2x = 0; x1 = 0

(c) 4x2 − 16x + 7 = 0; x1 =

(f) 2x2 − 18x + 40 = 0; x1 = 4

1 2

− 3 = 0; x1 = −2

x 2

Aufgabe 6.8 Ermitteln Sie jeweils die Definitionsmenge der Bruchgleichung,

und l¨ osen Sie die Gleichung. (a)

2x−1 2x+5

1 3

(d)

4x+3 x−6

=

(b)

1 x+4

=

3 x−3

(e)

1 9x

2 21x

(c)

x−2 x−2

=

2x−7 3x−9

(f)

x−1 1−x

=

+

−

4x−5 x+2 9 = − 63x +

x−3 x−1

=0

2 21

6.11 Aufgaben

247

Aufgabe 6.9 Ermitteln Sie jeweils die Definitionsmenge der Bruchgleichung,

253 L

und l¨ osen Sie die Gleichung. (a)

3x+2 x−2

(b)

x−2 x−3

(c)

x−2 5x+3

=

= +

4x+3 x−1 2x2 −x−1 (x−3)(x−1) 3 x+1

=1

(d)

x−3 x2 −9

(e)

2x−10 14−2x

(f)

x−6 1−x

=0

+

=1−

4 2x−14

5 (1−x)(x−6)

=

x−7 x−6

Aufgabe 6.10 Ermitteln Sie jeweils die Definitionsmenge der Wurzelgleichung, und l¨ osen Sie die Gleichung. √ √ √ (d) 9x − 5 = 4 − 3 + x (a) 12x − 3 = 3 √ √ √ (b) 3x − 21 = x − 7 (e) 2 + x + 4x − 3 = 2 √ √ √ (c) 15x − 40 + 3x = 8 (f) 2x − 5 − 3x + 4 = 1

253 L

Aufgabe 6.11 Ermitteln Sie jeweils die Definitionsmenge der Wurzelgleichung, und l¨ osen Sie die Gleichung. " √ √ √ 1+ x= x−1 (d) 6 2x + 4 = −1 (a) " √ √ (e) 5 x + 4 = −2 x + x + 16 = 2 (b) √ √ √ (c) 4 x − 1 = 3 (f) 4 x + 1 − x − 1 = 0

254 L

Aufgabe 6.12 Ermitteln Sie jeweils die Definitionsmenge der logarithmischen

255 L

Gleichung, und l¨ osen Sie die Gleichung. (a) log3 (x − 1) = 2

(d) 2 ln(3x − 3) = 1

(b) − log4 (2x) = log4 (6)

(e) lg(x + 1) − lg(2) = 2

(c) lg(x2 − 1) = 0

(f) log2 (x) = log3 (x)

Aufgabe 6.13 Ermitteln Sie jeweils die Definitionsmenge der logarithmischen

Gleichung, und l¨ osen Sie die Gleichung. (a) lg(5) + lg(25x) = 6 − lg(5x) (b) log2 (x + 1)2 = 2 log2 (4) (c) 2 ln(2x − 2) = ln(x) + ln(5x − 11) (d) ln(x − 1) −

1 3

ln(8) =

1 5

ln(32) − ln(x + 2)

256 L

248

6. Gleichungen

(e) − 13 ln

− ln(x − 5) − ln(x − 7) =

1 27

1 2

ln

1 25

(f) 2 lg(4(x − 1)) = lg(x) + lg(17x − 38) 256 L

Aufgabe 6.14

L¨ osen Sie die Exponentialgleichungen.

(a) (3x−3 )x+3 = (3x+2 )x−3 (b) 4(4x+2 )x−5 = 43x−2 (4x )x−4 √ √ 3 (c) 54x−8 = 59x+1 257 L

258 L

259 L

260 L

(d) (6x+3 )1/(5−x) = (63−x )1/(x−7) 5x−7 2 3x−17 (e) 32 = 3 (f) 9·2x+3 −4·3x = 3x+1 +9(3x −2x )

L¨ osen Sie die Gleichungen mit der Substitutionsmethode. Geben Sie außerdem den Definitionsbereich an.

Aufgabe 6.15

(a) x6 − x3 + 1 = 0

(c) e3y − e−y = 0

(b) ·2z+1 = 4z + 1

(d) ln(t6 ) + ln(3t6 − 1) = 0

Aufgabe 6.16 L¨ osen Sie die Gleichungen in Abhängigkeit vom Parameter a.

(a) x2 − a = 0

(d) x2 − 4ax − 7x + 28a = 0

(b) x2 − 2ax = 0

(e)

(c) x2 − 2ax − 15a2 = 0

(f) x − a =

Aufgabe 6.17

x2 +3a 3+a

=0 2a2 x

L¨ osen Sie die Betragsgleichungen.

(a) |5x − 1| = 9

(d) |x + 1| + 2 = −|2x − 6| + |x − 1|

(b) |3x − 2| + 2 = x2

(e) |x − 3| − |2x + 4| = 0

(c) |x − 1| + 2|x − 2| = 2x

(f) |x − 5| + |x + 1| − 2|x − 2| = 1

L¨ osen Sie die Gleichungen in zwei Variablen jeweils mit den im Text eingef¨ uhrten Verfahren.

Aufgabe 6.18

(a)

x1 − 3x2 −4x1 + 5x2

= −1 (b) = −3

4x1 − 3x2 −8x1 + 6x2

=3 (c) 4x1 − 3x2 −8x1 + 6x2 = −6

=3 =0

6.12 L¨ osungen

249

6.12

6.12 L¨ osungen

245 A

L¨ osung 6.1

(a) 4x + (2x − 3) = 3 ⇐⇒ 6x − 3 = 3 + 3 ⇐⇒ 6x = 6 : 6 ⇐⇒ x = 1; L = {1} (b) (3 − x) + (6x − 1) = 5x + 2 ⇐⇒ 5x + 2 = 5x + 2 − 5x − 2 ⇐⇒ 0 = 0; L = R (c) (4x + 1) − (2x − 2) = 9 ⇐⇒ 4x + 1 − 2x + 2 = 9 ⇐⇒ 2x + 3 = 9 − 3 ⇐⇒ 2x = 6 : 2 ⇐⇒ x = 3; L = {3} (d) −4 + (7x + 1) = 3(x − 1) ⇐⇒ 7x − 3 = 3x − 3 − 3x + 3 ⇐⇒ 4x = 0 : 4 ⇐⇒ x = 0; L = {0} (e) 4(1 + 2x) = 3 + 2(1 + 4x) ⇐⇒ 4 + 8x = 3 + 2 + 8x ⇐⇒ 8x + 4 = 8x + 5 − 8x − 4 ⇐⇒ 0 = 1; L = ∅ (f) x(3 + 4) + 14 = 7(x + 2) ⇐⇒ 7x + 14 = 7x + 14 − 7x − 14 ⇐⇒ 0 = 0; L = R (g) 4x + 5(x + 2)= 12 + 5x ⇐⇒ 4x + 5x + 10 = 12 + 5x − 5x − 10

⇐⇒ 4x = 2 : 4 ⇐⇒ x = 12 ; L = 12

(h) 1 − 2(x + 2) = (4 + x) − 3(x + 2) ⇐⇒ 1 − 2x − 4 = 4 + x − 3x − 6 ⇐⇒ −2x − 3 = −2x − 2 + 2x + 3 ⇐⇒ 0 = 1; L = ∅ (i) 3(x + 5) − 5(1 + 3x) = 2 − 10 = 2 ⇐⇒ 3x + 152 − 5 − 15x

⇐⇒ −12x = −8 : (−12) ⇐⇒ x = 3 ; L = 23 (j) 3(3x − 1) − 3x = 3(1 + 2x) ⇐⇒ 6x − 3 = 6x + 3 − 6x + 3

⇐⇒ 0 = 6;

L¨ osung 6.2 2

L=∅ 1

Die Anwendung einer binomischen Formel wird jeweils mit ⇐⇒ ,

3

⇐⇒ , ⇐⇒ markiert. (a) (x + 3)(x + 4) = 0 ⇐⇒ x + 3 = 0 oder x + 4 = 0, d.h. x1 = −3 und x2 = −4; L = {−3, −4} 3

(b) x2 − 9 = 0 ⇐⇒ (x − 3)(x + 3) = 0 ⇐⇒ x − 3 = 0 oder x + 3 = 0, d.h. x1 = 3 und x2 = −3; L = {−3, 3} (c) x2 − 5x = 0 ⇐⇒ x(x − 5) = 0 ⇐⇒ x = 0 oder x − 5 = 0, d.h. x1 = 0 und x2 = 5; L = {0, 5}

245 A

250

6. Gleichungen

(d) 2x2 = 6x − 6x ⇐⇒ 2x2 − 6x = 0 ⇐⇒ 2x(x − 3) = 0 ⇐⇒ 2x = 0 oder x − 3 = 0, d.h. x1 = 0 und x2 = 3; L = {0, 3} 2

(e) x2 − 2x + 1 = 0 ⇐⇒ (x − 1)2 = 0 ⇐⇒ x − 1 = 0 ⇐⇒ x = 1; L = {1} 3 (f) x2 = 25 − 25 ⇐⇒ x2 − 25 = 0 ⇐⇒ (x − 5)(x + 5) = 0 ⇐⇒ x − 5 = 0 oder x + 5 = 0, d.h. x1 = 5 und x2 = −5; L = {−5, 5} 245 A

L¨ osung 6.3

(a) x2 − 4x + 3 = 0 − 3 ⇐⇒ x2 + 2 · (−2)x = −3 + (−2)2 ⇐⇒ (x − 2)2 = 1 ⇐⇒ (x − 2)2 − 12 = 0 ⇐⇒ (x − 1)(x − 3) = 0, d.h. x1 = 3 und x2 = 1; L = {1, 3}

(b) x2 − 3x + 94 = 0 ⇐⇒ x2 + 2 · (− 32 x) + (− 32 )2 = 0

2 ⇐⇒ x − 32 = 0 ⇐⇒ x = 32 ; L = 32 (c) −x2 − 6x − 5 = 0 · (−1) ⇐⇒ x2 + 6x + 5 = 0 − 5 ⇐⇒ x2 + 2 · 3x = −5 + 32 ⇐⇒ (x + 3)2 = 4 ⇐⇒ (x + 3)2 − 22 = 0 ⇐⇒ (x + 1)(x + 5) = 0, d.h. x1 = −1 und x2 = −5; L = {−1, −5} (d) 4x2 − 8x + 3 = 0 : 4 ⇐⇒ x2 − 2x + 34 = 0 − 34 2 ⇐⇒ x2 + 2 · (−x) = − 43 + 12 ⇐⇒ (x − 1)2 = 14 ⇐⇒ (x − 1)2 − 12 = 0

⇐⇒ x − 32 x − 12 = 0, d.h. x1 = 32 und x2 = 12 ; L = 12 , 32 (e) x2 + 10x + 50 = 0 − 50 ⇐⇒ x2 + 2 · 5x = −50 + 52 ⇐⇒ (x + 5)2 = −25; L=∅ (f) x2 + 14x = −13 ⇐⇒ x2 + 2 · 7x = −13 + 72 ⇐⇒ (x + 7)2 = 36 ⇐⇒ (x + 1)(x + 13) = 0, d.h. x1 = −1 und x2 = −13; L = {−1, −13} 246 A

2 L¨ osung 6.4 In Abh¨ angigkeit von der 201Diskriminante D = p2 − q wird zun¨ achst entschieden, wie viele L¨ osungen die Gleichung hat. √ 4 2 2 (a) x + 4x + 3 = 0; D = 2 − 3 = 1 > 0, d.h. x1 = − 42 + 1 = −1 und √ x2 = − 42 − 1 = −3; L = {−1, −3} 2 (b) x2 + 2x = −1 + 1 ⇐⇒ x2 + 2x + 1 = 0; D = 22 − 1 = 0, d.h. 2 x = − 2 = −1; L = {−1} 2 (c) x2 + x + 1 = 0; D = 12 − 1 = − 34 < 0; L = ∅ 2 > 0, (d) 3x2 + 3x − 18 = 0 : 3 ⇐⇒ x2 + x − 6 = 0; D = 12 + 6 = 25 4 ! ! 1 25 1 25 = 2 und x2 = − 2 − = −3; L = {−3, 2} d.h. x1 = − 2 + 4 4

6.12 L¨ osungen

251

(e) x2 + 5x + 7 = 0; D =

5

(f) x2 + 6x + 9 = 0; D =

6

2

− 7 = − 34 < 0; L = ∅

2

− 9 = 0, d.h. x = −3; L = {−3}

2

2

L¨ osung 6.5 Nach dem 205Satz von Vieta gilt mit den Bezeichnungen x2 +px+q =

246 A

3

osungen x1 und x2 (= meint die 0 sowie p = −(x1 + x2 ) und q = x1 · x2 mit den L¨ Anwendung der dritten binomischen Formel): (a) p = −(3 − 3) = 0; q = 3 · (−3) = −9 =⇒ x2 − 9 = 0 (b) p = −( 21 + 0) = − 12 ; q = 0 ·

1 2

= 0 =⇒ x2 − 12 x = 0

(c) p = −(4 + 4) = −8; q = 4 · 4 = 16 =⇒ x2 − 8x + 16 = 0 =(x−4)2

√ √ √ 3 √ √ (d) p = −(1 + 3 + 1 − 3) = −2; q = (1 + 3)(1 − 3) = 12 − ( 3)2 = 1 − 3 = −2 =⇒ x2 − 2x − 2 = 0 (e) p = −(2 − 5) = 3; q = 2 · (−5) = −10 =⇒ x2 + 3x − 10 = 0 (f) p = −(0 + 0) = 0; q = 0 · 0 = 0 =⇒ x2 = 0

L¨ osung 6.6 (a) x − 1 = (x − 1)(x + 1) (dritte 16binomische Formel) √ √ 2 (b) x2 − 6x + 4 = 0: D = − 62 − 4 = 5 > 0, d.h. x1 = 3 + 5 und x2 = 3 − 5; √ √ =⇒ x2 − 6x + 4 = (x − 3 − 5)(x − 3 + 5) (c) x2 + 13 x = x x + 13 2

√ 2 (d) x2 − 2x − 15 = 0: D = − 22 + 15 = 16 > 0, d.h. x1 = 1 + 16 = 5 und √ x2 = 1 − 16 = −3; =⇒ x2 − 2x − 15 = (x − 5)(x + 3) 2 (e) x2 + 5x − 14 = 0 : D = 52 + 14 = 81 > 0, d.h. x1 = − 52 + 92 = 2 und 4 2 5 9 x2 = − 2 − 2 = −7; =⇒ x + 5x − 14 = (x − 2)(x + 7) 2 > 0, d.h. (f) 2x2 − 2x − 24 = 0 : 2 ⇐⇒ x2 − x − 12 = 0; D = − 12 + 12 = 49 4 x1 = 12 + 72 = 4 und x2 = 12 − 72 = −3; =⇒ 2x2 − 2x − 24 = 2(x2 − x − 12) = 2(x − 4)(x + 3)

246 A

252

246 A

L¨ osung 6.7

Mit dem Satz von Vieta gilt: (a) q = −6: x1 · x2 = q ⇐⇒ 2x2 = −6 : 2 ⇐⇒ x2 = −3

(b) (c)

(d) (e)

(f)

246 A

6. Gleichungen

oglich. In diesem Fall gilt: Alternativ ist eine L¨ osung u ¨ ber p = −(x1 + x2 ) m¨ p = −(x1 + x2 ) ⇐⇒ 1 = −2 − x2 ⇐⇒ x2 = −3 q = −9: x1 · x2 = q ⇐⇒ −x2 = −9 · (−1) ⇐⇒ x2 = 9 4x2 − 16x + 7 = 0 : 4 ⇐⇒ x2 − 4x + 74 = 0, d.h. q = 74 : x2 7 x1 · x2 = q ⇐⇒ 2 = 4 · 2 ⇐⇒ x2 = 72 q = −3: x1 · x2 = q ⇐⇒ −2x2 = −3 : (−2) ⇐⇒ x2 = 32 6x2 + 2x = 0 : 6 ⇐⇒ x2 + x3 = 0, d.h. p = 13 : x1 + x2 = −p ⇐⇒ 0 + x2 = − 31 ⇐⇒ x2 = − 13 2 2x2 − 18x + 40 = 0 : 2 ⇐⇒ x − 9x + 20 = 0, d.h. q = 20: x1 · x2 = q ⇐⇒ 4x2 = 20 : 4 ⇐⇒ x2 = 5

L¨ osung 6.8 Die in den Definitionsbereichen ausgeschlossenen Werte ergeben sich jeweils aus den Nullstellen der Nenner der in der Gleichung auftretenden Br¨ uche. 5 2x−1 1 (a) D = R \ {− 2 }: 2x+5 = 3 · 3(2x + 5) ⇐⇒ 3(2x − 1) = 2x + 5 ⇐⇒ 6x − 3 = 2x + 5 + 3 − 2x ⇐⇒ 4x = 8 : 4 ⇐⇒ x = 2; L = {2} 1 3 (b) D = R \ {−4, 3}: x+4 = x−3 · (x + 4)(x − 3) ; ⇐⇒ x − 3 = 3x + 12 − 3x + 3 ⇐⇒ −2x = 15 : (−2) ⇐⇒ x = − 15 2

15 L= −2 · (3x − 9) (c) D = R \ {2, 3}: x−2 = 2x−7 ⇐⇒ 1 = 2x−7 x−2 3x−9 3x−9 ⇐⇒ 3x − 9 = 2x − 7 − 2x + 9 ⇐⇒ x = 2 ∈ D; L = ∅ · (x − 6)(x + 2) (d) D = R \ {−2, 6}: 4x+3 = 4x−5 x−6 x+2 ⇐⇒ (4x + 3)(x + 2) = (4x − 5)(x − 6) ⇐⇒ 4x2 + 11x + 6 = 4x2 − 29x + 30 − 4x2 + 29x − 6

⇐⇒ 40x = 24 : 40 ⇐⇒ x = 35 ; L = 35 1 2 9 2 7+6 −9+6x (e) D = R \ {0}: 9x + 21x = − 63x + 21 ⇐⇒11 63x = 63x 11 · 63x ⇐⇒ 13 = −9 + 6x + 9 : 6 ⇐⇒ x = 3 ; L = 3 (f) D = R \ {1}:

x−1 − x−3 = 0 ⇐⇒ 1−x − x−3 = 1−x x−1 x−1 x−1 1−x−(x−3) = 0 · (x − 1) ⇐⇒ 4 − 2x = 0 x−1

⇐⇒ ⇐⇒ x = 2;

L = {2}

0 + 2x : 2

6.12 L¨ osungen

253

L¨ osung 6.9 Mit x1 und x2 werden jeweils die verschiedenen Lösungen einer quadra-

247 A

3

tischen Gleichung bezeichnet ( ⇐⇒ meint die Anwendung der dritten binomischen Formel). (a) D = R \ {1, 2}:

⇐⇒

3x+2 = 4x+3 x−2 x−1 3x −x−2 4x2 −5x−6 − (x−2)(x−1) (x−2)(x−1) 2 2

(3x+2)(x−1) = (4x+3)(x−2) (x−2)(x−1) (x−2)(x−1) 2 −x +4x+4 ⇐⇒ (x−2)(x−1) = 0 · (x

− 2)(x − 1) ⇐⇒ =0 ⇐⇒ −x + 4x + 4 = 0 ⇐⇒ x2 − 4x = 4 + 4 ⇐⇒ (x − 2)2 = 8, √ √ √ √ d.h. x1 = 2 + 2 2 und x2 = 2 − 2 2; L = {2 − 2 2, 2 + 2 2}∗ (b) D = R \ {1, 3}: 2

x−2 x−3

2x2 −x−1 (x−3)(x−1) 2x2 −x−1 =0 (x−3)(x−1) 2

=

(x−2)(x−1) 2x2 −x−1 = (x−3)(x−1) (x−3)(x−1) −x2 −2x+3 = 0 · (x − 3)(x (x−3)(x−1) 2

⇐⇒

x −3x+2 − 1) ⇐⇒ (x−3)(x−1) − ⇐⇒ ⇐⇒ −x2 − 2x + 3 = 0 ⇐⇒ x + 2x = 3 + 1 ⇐⇒ (x + 1) = 4, d.h. x1 = 1 ∈ D und x2 = −3 ∈ D; L = {−3}

Alternativ resultiert aus 2x2 − x − 1 = (x − 1)(2x + 1) folgender Rechenweg: x−2 x−3

=

2x2 −x−1 (x−3)(x−1)

⇐⇒

x−2 x−3

=

(x−1)(2x+1) (x−3)(x−1)

⇐⇒

x−2 x−3

=

2x+1 x−3

⇐⇒ x − 2 = 2x + 1 ⇐⇒ x = −3

(c) D = R \ − 35 , −1 : ⇐⇒ ⇐⇒ ⇐⇒ x2 =

x−2 3 + x+1 =1 5x+3 (x−2)(x+1)+3(5x+3) (x+1)(5x+3) x2 +14x+7 5x2 +8x+3 = (x+1)(5x+3) ⇐⇒ (x+1)(5x+3) − (x+1)(5x+3) =0 (x+1)(5x+3) 2 −4x2 +6x+4 = 0 · (x + 1)(5x + 3) ⇐⇒ −4x + 6x + 4 = 0 : (−4) (x+1)(5x+3) 2 > 0 gilt x1 = 2 und x2 − 32 x − 1 = 0; Wegen D = − 34 + 1 = 25 16

1 1 −2; L = −2, 2

(d) D = R \ {−3, 3}:

x−3 x2 −9

3

= 0 ⇐⇒

x−3 (x−3)(x+3)

= 0 ⇐⇒

1 x+3

= 0 · (x + 3)

⇐⇒ 1 = 0; L = ∅ 4 · (14 − 2x) (e) D = R \ {7}: 2x−10 = 1 − 2x−14 ⇐⇒ 2x−10 = 14−2x+4 14−2x 14−2x 14−2x ⇐⇒ 2x − 10 = 18 − 2x ⇐⇒ 4x = 28 ⇐⇒ x = 7 ∈ D; L = ∅ (f) D = R \ {1, 6}:

x−6 5 + (1−x)(x−6) = x−7 1−x x−6 2 x −12x+41 −x +8x−7 − = 0 ⇐⇒ (1−x)(x−6) (1−x)(x−6) 2 2 2

(x−6)2 +5 (1−x)(x−6) 2x −20x+48 =0 (1−x)(x−6)

⇐⇒ 2

=

(x−7)(1−x) (1−x)(x−6)

⇐⇒ · (1 − x)(x − 6) ⇐⇒ 2x − 20x + 48 = 0 : 2 ⇐⇒ x − 10x + 24 = 0; 2 − 24 = 1 > 0 gilt x1 = 6 ∈ D und x2 = 4; L = {4} Wegen D = 10 2

L¨ osung 6.10 √ (a) D = 14 , ∞ : 12x − 3 = 3 ( )2 =⇒ 12x − 3 = 9 ⇐⇒ 12x = 12 ⇐⇒ x = 1 ∈ D; Probe: 3 = 3; L = {1} ∗

√

8=

√ √ √ √ 4·2= 4· 2=2 2

247 A

254

6. Gleichungen

√ (b) D = [7, ∞): 3x − 21 = x − 7 ( )2 =⇒ 3x − 21 = x2 − 14x + 49 ⇐⇒ x2 − 17x + 70 = 0; Wegen D = 94 > 0 gilt x1 = 10 ∈ D und x2 = 7 ∈ D; ur x2 : 0 = 0; L = {7, 10} Probe f¨ ur x1 : 3 = 3; Probe f¨ √ √ (c) D = 83 , ∞ : 15x − 40 + 3x = 8 ⇐⇒ 15x − 40 = −3x + 8 ( )2 2 2 104 =⇒ 15x − 40 = 9x − 48x + 64 ⇐⇒ x − 7x + 9 = 0; Wegen D = 25 >0 36

gilt x1 = 13 ∈ D und x2 = 83 ∈ D; Probe f¨ ur x1 : 18 = 8; Probe f¨ ur x 2 : 3 8 = 8; L = 83 √ √ (d) D = 59 , ∞ ∩ [−3, ∞) = 59 , ∞ : 9x − 5 = 4 − 3 + x ( )2 √ √ =⇒ 9x − 5 = 16 − 8 3 + x + 3 + x ⇐⇒ x − 3 = − 3 + x ( )2 2 2 =⇒ x − 6x + 9 = 3 + x ⇐⇒ x − 7x + 6 = 0; Wegen D = 25 > 0 gilt x1 = 4

6 ∈ D und x2 = 1 ∈ D; Probe f¨ ur x1 : 7 = 1; Probe f¨ ur x2 : 2 = 2; L = {1} 3 3 √ √ (e) D = [−2, ∞) ∩ 4 , ∞ = 4 , ∞ 2 : 2 2 + x + 4x − 3 = √ √ √ ( ) =⇒ 2 + x = 4 − 4 4x − 3 + 4x − 3 ⇐⇒ 2 + x = 2 − 4x − 3 √ ⇐⇒ 3x − 1 = 4 4x − 3 ( )2 =⇒ 9x2 − 6x + 1 = 16(4x − 3) ⇐⇒ x2 − 70 x + 49 = 0; Wegen D = 784 > 0 gilt x1 = 7 ∈ D und x2 = 79 ∈ D; 9 9 81

Probe f¨ ur x1 : 8 = 2; Probe f¨ ur x2 : 2 = 2; L = 79 √ √ (f) D = 52 , ∞ ∩ − 34 , ∞ = 52 , ∞ : 2x − 5 − 3x + 4 = 1 √ √ √ ⇐⇒ 2x − 5 = 3x + 4 + 1 ( )2 =⇒ 2x − 5 = 3x + 4 + 2 3x + 4 + 1 √ 2 ⇐⇒ − x2 − 5 = 3x + 4 ( )2 =⇒ x4 + 5x + 25 = 3x + 4 2 ⇐⇒ x + 8x + 84 = 0; Wegen D = −68 < 0 gibt es keine L¨ osung: L = ∅ 247 A

L¨ osung 6.11 " √ √ (a) D = [0, ∞) ∩ [1, ∞) = [1, ∞): 1 + x = x − 1 ( )2 √ √ 2 =⇒ 1 + x = x − 1 ⇐⇒ x = x − 2 ( ) =⇒ x = x2 − 4x + 4 2 ⇐⇒ x − 5x + 4 = 0; Wegen D = 94 > 0 gilt x1 = 4 ∈ D und x2 = 1 ∈ D; √ √ √ Probe f¨ ur x1 : 3 = 3; Probe f¨ ur x2 : 2 = 0; L = {4} √ (b) D = 12 − 12 65, ∞ (zun¨ achst muss x ≥ −16 gelten, damit die innere Wurzel √ definiert ist. Weiterhin muss x so bestimmt werden, dass x + x + 16 ≥ 0 gilt. √ 1 1 Das kleinste x, das dies erf¨ ullt, ist x = 2 − 2 65 ≈ −3,531):∗ ∗ Der Nachweis dieser unteren Grenze kann auf folgende Weise durchgef¨ uhrt werden. F¨ ur x ≥ 0 gilt die Ungleichung immer. Sei daher x < 0. Dann gilt mit den Verfahren aus 291Kapitel 8.2: √ √ x + x + 16 ≥ 0 ⇐⇒ x + 16 ≥ −x =⇒ x + 16 ≥ x2 ⇐⇒ x2 − x − 16 ≤ 0

1 2 1 65 1 2 ⇐⇒ x − − 16 − ≤ 0 ⇐⇒ x − − ≤0 2 4 2 4 / . / . √ √ 65 65 1 1 x− + ≤0 ⇐⇒ x − − 2 2 2 2

6.12 L¨ osungen

255

"

√ √ x + x + 16 = 2 ( )2 =⇒ x + x + 16 = 4 − x √ x + 16 = 4 − x ( )2 =⇒ x + 16 = 16 − 8x + x2 ⇐⇒ ⇐⇒ x2 − 9x = 0 ⇐⇒ x(x − 9) = 0, d.h. x1 = 0 ∈ D und x2 = 9 ∈ D; √ Probe f¨ ur x1 : 2 = 2; Probe f¨ ur x2 : 14 = 2; L = {0} √ (c) D = [1, ∞): 4 x − 1 = 3 ( )4 =⇒ x − 1 = 81 ⇐⇒ x = 82; Probe: 3 = 3 L = {82} (d) L = ∅, da eine sechste Wurzel stets nicht-negativ ist. √ (e) D = R: 5 x + 4 = −2 ( )5 ⇐⇒ x + 4 = −32 ⇐⇒ x = −36; L = {−36} √ √ (f) D = [−1, ∞) ∩ [1, ∞) = [1, ∞): 4 x + 1 − x − 1 = 0 √ √ ⇐⇒ 4 x + 1 = x − 1 ( )4 =⇒ x + 1 = x2 − 2x + 1 ⇐⇒ x(x − 3) = 0, √ √ d.h. x1 = 0 ∈ D und x2 = 3 ∈ D; Probe f¨ ur x2 : 4 4 − 2 = 0; L = {3} 247 A

L¨ osung 6.12 (a) D = (1, ∞): log3 (x − 1) = 2 ⇐⇒ log3 (x − 1) = log3 (9) =⇒ x − 1 = 9 ⇐⇒ x = 10 ∈ D; L = {10} 1 1 =6 = log4 (6) =⇒ 2x (b) D = (0, ∞): − log4 (2x) = log 4 (6) ⇐⇒ log4 2x

1 1 ⇐⇒ 1 = 12x ⇐⇒ x = 12 ∈ D; L = 12 (c) D = (1, ∞)∪(−∞, −1): lg(x2 −1) = 0 ⇐⇒ lg(x2 −1) = lg(1) =⇒ x2 −1 = 1 √ √ √ √ ⇐⇒ x2 = 2, d.h. x1 = 2 ∈ D und x2 = − 2 ∈ D; L = {− 2, 2} 2 (d) D = (1, ∞): 2 ln(3x−3) = 1 ⇐⇒ ln(3x−3)2 = ln(e) =⇒ = e,√d.h. (3x−3) √ √ √ 3+ e 3− e 3+ e e = 1 + x1 = 3 ≈ 1,5 ∈ D und x2 = 3 ≈ 0,5 ∈ D; L = 3 3

(e) D = (−1, ∞): lg(x + 1) − lg(2) = 2 ⇐⇒ lg x+1 = lg(100) 2 = 100 ⇐⇒ x = 199 ∈ D; L = {199} =⇒ x+1 2 · lg(2) (f) D = (0, ∞): log2 (x) = log3 (x) ⇐⇒ lg(x) = lg(x) lg(2) lg(3) lg( 3 2) ⇐⇒ lg(x) = lg(x) · lg(2) = 0 ⇐⇒ lg(x) lg(3) ⇐⇒ lg(x) lg(3)−lg(2) =0 lg(3) lg(3) ⇐⇒ lg(x) = 0 ⇐⇒ x = 1 ∈ D; L = {1} ⇐⇒

1 − 2

√ √ 65 65 1 ≤x≤ + 2 2 2

Somit muss x ≥

1 2

−

√

65 2

gelten.

256

247 A

6. Gleichungen

L¨ osung 6.13 (a) D = (0, ∞): lg(5) + lg(25x) = 6 − lg(5x) ⇐⇒ lg(5 · 25x · 5x) = 6 ⇐⇒ lg (25x)2 = 6 ⇐⇒ 2 lg(25x) = 6 ⇐⇒ lg(25x) = 3 =⇒ 25x = 103 ⇐⇒ x = 40 ∈ D; L = {40} (b) D = R \ {−1}: log2 (x + 1)2 = 2 log2 (4) ⇐⇒ log2 (x + 1)2 = log2 (42 ) =⇒ (x + 1)2 = 16, d.h. x1 = 3 ∈ D und x2 = −5 ∈ D; L = {−5, 3} (c) D = (1, ∞) ∩ (0, ∞) ∩ 11 , ∞ = 11 , ∞ : 2 ln(2x − 2) = ln(x) + ln(5x − 11) 5 5 ⇐⇒ ln (2x − 2)2 = ln[x(5x − 11)] =⇒ (2x − 2)2 = x(5x − 11) > 0 gilt x1 = 4 ∈ D und x2 = −1 ∈ D; ⇐⇒ x2 − 3x − 4 = 0; Wegen D = 25 4 Probe f¨ ur x1 : 2 ln(6) = 2 ln(6); L = {4} (d) D = (1, ∞) ∩ (−2, ∞) = (1, ∞): ln(x − 1) − 13 ln(8) = 15 ln(32) − ln(x + 2) √ √ ⇐⇒ ln(x − 1) − ln( 3 8) = ln( 5 32) − ln(x + 2) x−1 2 2 =⇒ x−1 ⇐⇒ ln 2 = ln x+2 = x+2 =⇒ (x − 1)(x + 2) = 4 2 > 0 gilt x1 = 2 ∈ D und x2 = −3 ∈ D; ⇐⇒ x2 + x − 6 = 0; Wegen D = 25 4 Probe f¨ ur x1 : − ln(2) = − ln(2); L = {2} 1 1 1 (e) D = (5, ∞) − 5) − ln(x − 7) = 12 ln 25

∩ (7,∞) = (7, ∞): − 3 ln 27 − ln(x ! 1 1 − ln(x − 5) − ln(x − 7) = ln ⇐⇒ ln √ 3 1 25 27 3 3 = ln 15 =⇒ (x−5)(x−7) = 15 =⇒ 15 = (x − 5)(x − 7) ⇐⇒ ln (x−5)(x−7) ⇐⇒ x2 − 12x + 20 = 0; Wegen D = 16 > 0 gilt x1 = 10 ∈ D und x2 = 2 ∈ D; Probe f¨ ur x1 : − ln(5) = − ln(5); L = {10} (f) D = (1, ∞) ∩ (0, ∞) ∩ 38 , ∞ = 38 , ∞ : 2 lg(4(x − 1)) = lg(x) + lg(17x − 38) 17 17 ⇐⇒ lg (4(x − 1))2 = lg[x(17x − 38)] =⇒ 16(x − 1)2 = x(17x − 38) ⇐⇒ x2 − 6x − 16 = 0; Wegen D = 25 > 0 gilt x1 = 8 ∈ D und x2 = −2 ∈ D; Probe f¨ ur x1 : lg(784) = lg(784); L = {8}

248 A

L¨ osung 6.14 (a) (3x−3 )x+3 = (3x+2 )x−3 ⇐⇒ 3(x−3)(x+3) = 3(x+2)(x−3) ⇐⇒ (x − 3)(x + 3) = (x + 2)(x − 3) ⇐⇒ (x − 3)(x + 3 − x − 2) = 0 ⇐⇒ x − 3 = 0 ⇐⇒ x = 3; L = {3} (b) 4(4x+2 )x−5 = 43x−2 (4x )x−4 ⇐⇒ 4(x+2)(x−5)+1 = 43x−2+x(x−4) ⇐⇒ (x + 2)(x − 5) + 1 = 3x − 2 + x(x − 4) ⇐⇒ x2 − 3x − 9 = −x − 2 + x2 ⇐⇒ 2x = −7 ⇐⇒ x = − 72 ; L = {− 72 } (c)

√ 4x−8 9x+1 3 54x−8 = 59x+1 ⇐⇒ 5 2 = 5 3 ⇐⇒ 2x − 4 = 13 ⇐⇒ 3x = −13 ⇐⇒ x = − 13 ; L = {− } 3 3 √

9x+1 3

6.12 L¨ osungen

257 x+3

3−x

(d) D = R \ {5, 7}: (6x+3 )1/(5−x) = (63−x )1/(x−7) ⇐⇒ 6 5−x = 6 x−7 x+3 ⇐⇒ 5−x = 3−x ⇐⇒ (x − 7)(x + 3) = (3 − x)(5 − x) x−7 ⇐⇒ x2 − 4x − 21 = x2 − 8x + 15 ⇐⇒ 4x = 36 ⇐⇒ x = 9; L = {9} 5x−7 2 3x−17 5x−7 3 −3x+17 (e) 32 = 3 ⇐⇒ 32 = 2 ⇐⇒ 5x − 7 = −3x + 17 ⇐⇒ 8x = 24 ⇐⇒ x = 3; L = {3} x x (f) 9 · 2x+3 − 4 · 3x = 3x+1 + 9(3x − 2x ) ⇐⇒ 2x (9 · 8) 9 · 3x − 9 · 2x − 44 · 3 = 3 ·32 + 4 x x x x 4 x 4 x ⇐⇒ 2 · 81 = 3 · 16 ⇐⇒ 2 3 = 3 2 : 3 : 3 ⇐⇒ 3 = 23 ⇐⇒ x = 4; L = {4}

248 A

L¨ osung 6.15 (a) D = R. Substitution S z = x . Damit gilt: 3

S

x6 − x3 + 1 = 0 ⇐⇒ z 2 − z + 1 = 0 Die letzte Gleichung hat die Diskriminante D = 14 − 1 = − 34 < 0 und hat daher keine L¨ osung. Somit hat auch die Ausgangsgleichung keine L¨ osung und es gilt L = ∅. (b) D = R. Substitution S y = 2z . Damit gilt wegen 4z = 22z = 2z · 2z = (2z )2 2z+1 = 4z + 1 ⇐⇒ 2 (2z )1 = (2z )2 + 1 S

⇐⇒ 2y = y 2 + 1 ⇐⇒ y 2 − 2y + 1 = 0 ⇐⇒ (y − 1)2 = 0 ⇐⇒ y = 1 Durch R¨ ucksubstitution resultiert die Gleichung 2z = 1, deren einzige L¨ osung z = 0 ist. Daher gilt L = {0}. (c) D = R. Substitution S x = ey . Damit gilt: e3y − e−y = 0 ⇐⇒ (ey )3 − (ey )−1 = 0 ⇐⇒ x3 − S

1 =0 x

Durch Multiplikation∗ mit x resultiert die Gleichung x4 = 1, die die (reellen) L¨ osungen x = 1 und x = −1 besitzt. Daraus ergeben sich durch R¨ ucksubstitution f¨ ur die Unbekannte y die Gleichungen ey = 1 und ey = −1. Die erste Gleichung hat nur die L¨ osung y = 0, w¨ ahrend die zweite Gleichung keine L¨ osung hat. Die L¨ osungsmenge der Ausgangsgleichung ist somit L = {0}. 6 (d) Der Definitionsbereich ergibt sich aus den Bedingungen t6 > 00 und −11> 0, ! 3t ! 6 1 6 1 6 1 die ¨ aquivalent sind zu t = 0 bzw. t > 3 . Somit gilt D = R \ − 3 , 3 . ∗ Die Multiplikation ist zul¨ assig, da die Variable x = ey mit y ∈ R nur positive Werte annimmt. Sie kann daher insbesondere nie den Wert Null haben.

258

6. Gleichungen

Substitution S z = t6 . Damit gilt: S

ln(t6 ) + ln(3t6 − 1) = 0 ⇐⇒ ln(z) + ln(3z − 1) = 0 Aus den uberlegungen resultiert f¨ ur die Variable z der Definitionsbereich ! Vor¨ D = 6 13 , ∞ . Daraus ergibt sich:

ln(z) + ln(3z − 1) = 0 ⇐⇒ ln =⇒

=0

z 1 = 1 ⇐⇒ z = 3z − 1 ⇐⇒ z = 3z − 1 2

! Nun gilt 6 13 > 12 ⇐⇒ somit leer, d.h. L = ∅. 248 A

z 3z − 1

1 3

>

1 26

=

1 . 64

Damit ist

1 2

= D und die L¨ osungsmenge

L¨ osung 6.16 (a) x2 − a = 0 ⇐⇒ x2 = a; ⎧ √ √ ⎪ √ √ ⎪ ⎨{− a, a}, falls a > 0 {− a, a}, L = {0}, falls a = 0 = ⎪ ∅, ⎪ ⎩∅, falls a < 0

falls a ≥ 0 falls a < 0

(b) x2 − 2ax = 0 ⇐⇒ x(x − 2a) = 0 =⇒ x1 = 0 und x2 = 2a; {0, 2a}, falls a = 0 L= = {0, 2a} {0}, falls a = 0 (c) x2 − 2ax − 15a2 = 0 ⇐⇒ x2 − 2ax + a2 = 16a2 ⇐⇒ (x − a)2 = (4a)2 ⇐⇒ (x − a − 4a)(x − a + 4a) = 0 ⇐⇒ (x − 5a)(x + 3a) = 0; {−3a, 5a}, falls a = 0 L= = {−3a, 5a} {0}, falls a = 0 (d) x2 − 4ax − 7x + 28a = 0 ⇐⇒ x2 − x(4a + 7) + 28a = 0 ⇐⇒ 2 2 2 2 x+ (4a+7) = −28a+ (4a+7) ⇐⇒ x − 4a+7 = 16a +56a−112a+49 . x2 −2 4a+7 2 4 4 2 4 2

2

2

Aus der Identit¨ at 16a +56a−112a+49 = 16a −56a+49 = (4a−7) resultiert die 4 4 4 aquivalente Gleichung ¨ 2 2 x − 4a+7 = 4a−7 ⇐⇒ (x − 7)(x − 4a) = 0. 2 2 Daraus ergeben sich je nach Wert von a die L¨ osungen x1 = 4a und x2 = 7, falls a = 74 x = 7,

falls a =

Die L¨ osungsmenge ist daher L =

7 4

{4a, 7},

falls a =

{7},

falls a =

. 7 4 7 4

= {4a, 7}.

6.12 L¨ osungen

(e) D = R:

x2 +3a 3+a

259

= 0 ⇐⇒ x2 + 3a = 0 ⇐⇒ x2 = −3a

⎧ √ √ ⎪ ⎪ ⎨ {− −3a, −3a}, L = {0}, ⎪ ⎪ ⎩ ∅,

falls a < 0 und∗ a = −3 falls a = 0 falls a > 0

(f) F¨ ur a = 0 gilt D = R und L = {0}, da die Gleichung x = 0 resultiert. 2

Sei nun a = 0. D = R \ {0}; x − a = 2ax ⇐⇒ x2 − ax = 2a2 2 2 ⇐⇒ x2 − ax + a4 = 9a4 2 2 ⇐⇒ x − a2 = 9a4 2 2 ⇐⇒ x − a2 = 3|a| 2 (x − 2a)(x + a), a > 0 3|a| 3|a| a a x− 2 + 2 ⇐⇒ ⇐⇒ x − 2 − 2 (x + a)(x − 2a), a < 0 {2a, −a}, falls a = 0 ⇐⇒ (x − 2a)(x + a) = 0 L = = {2a, −a} {0}, falls a = 0

L¨ osung 6.17 (a)

1 x ∈ −∞, 2

=⇒ (b)

1

2

248 A

∈ −∞, 1 x ∈ 5 , ∞ : 5x − 1 = 9 ⇐⇒ x = 2 ∈ 5 , ∞

L = − 85 , 2 x ∈ −∞, 23 : 2 − 3x + 2 = x2 ⇐⇒ x2 + 3x + 94 = 4 + 94 2 ⇐⇒ x + 32 = 25 , d.h. x1 = 1 ∈ −∞, 23 , x2 = −4 ∈ −∞, 23 4 x ∈ 23 , ∞ : 3x − 2 + 2 = x2 ⇐⇒ x(x − 3) = 0, d.h. x3 = 0 ∈ 23 , ∞ , 2 x4 = 3 ∈ 3 , ∞ 1

1 5

: 1 − 5x = 9 ⇐⇒ x =

− 58

1 5

=⇒ L = {−4, 3} (c)

1 x ∈ (−∞, 1): 1 − x − 2x + 4 = 2x ⇐⇒ x = 1 ∈ (−∞, 1) 2 x ∈ [1, 2): x − 1 − 2x + 4 = 2x ⇐⇒ x = 1 ∈ [1, 2) 3 x ∈ [2,∞): x − 1 + 2x − 4 = 2x ⇐⇒ x = 5 ∈ [2, ∞)

=⇒ L = {1, 5} (d)

1 x ∈ (−∞, −1): −x − 1 + 2 = 2x − 6 − x + 1 ⇐⇒ −x + 1 = x − 5

⇐⇒ x = 3 ∈ (−∞, −1) 2 x ∈ [−1, 1): x + 1 + 2 = 2x − 6 − x + 1 ⇐⇒ x + 3 = x − 5 ⇐⇒ 3 = −5

(keine L¨ osung) 3 x ∈ [1, 3): x + 3 = 2x − 6 + x − 1 ⇐⇒ x = 5 ∈ [1, 3) Bei der Angabe der L¨ osungsmenge muss der Parameter a = −3 ausgeschlossen werden, da die Gleichung in diesem Fall nicht definiert ist (der Nenner des Bruchs ist gleich Null).

260

6. Gleichungen

4 x ∈ [3, ∞): x + 3 = 6 − 2x + x − 1 ⇐⇒ x = 1 ∈ [3, ∞)

=⇒ L = ∅ (e)

1 x ∈ (−∞, −2): 3 − x + 2x + 4 = 0 ⇐⇒ x = −7 ∈ (−∞, −2) 2 x ∈ [−2, 3): 3 − x − 2x − 4 = 0 ⇐⇒ x = − 13 ∈ [−2, 3) 3 x ∈ [3, ∞): x − 3 − 2x − 4 = 0 ⇐⇒ x = −7 ∈ [3, ∞)

=⇒ L = −7, − 13 (f)

1 x ∈ (−∞, −1): 5 − x − 1 − x + 2x − 4 = 1 ⇐⇒ 0 = 1 (keine L¨ osung) 2 x ∈ [−1, 2): 5 − x + x + 1 + 2x − 4 = 1 ⇐⇒ x = − 12 ∈ [−1, 2) 3 x ∈ [2, 5): 5 − x + x + 1 − 2x + 4 = 1 ⇐⇒ x =

9 2

∈ [2, 5)

4 x ∈ [5, ∞): x − 5 + x + 1 − 2x + 4 = 1 ⇐⇒ 0 = 1 (keine L¨ osung)

=⇒ L = − 12 , 92 248 A

L¨ osung 6.18 Einsetzungsverfahren

(a) Gleichsetzungsverfahren x1 −3x2 = −1

x1 − 3x2 = −1

−4x1 +5x2 = −3

−4x1 + 5x2 = −3

⇐⇒

⇐⇒

= −1 + 3x2

x1

5 x 4 2

+

x1

=

x1

= −1 + 3x2

−1+3x2 = 54 x2 + ⇐⇒

⇐⇒

x1

=2

= −1 + 3x2

x1

4 − 12x2 + 5x2 = −3 ⇐⇒

= −1 + 3x2

x1

−7x2 = −7

x2 = 1 ⇐⇒

= −1 + 3x2

x1

−4x1 + 5x2 = −3

3 4

= −1 + 3x2

x1

⇐⇒

3 4

⇐⇒

x1

=2

x2 = 1

Additionsverfahren

x2 = 1

⇐⇒

x1 −3x2 = −1 x2 = 1

x1 −3x2 = −1 −4x1 +5x2 = −3 ⇐⇒

x1 −3x2 = −1 −7x2 = −7

⇐⇒

x1

=2 x2 = 1

Daher gilt L = {(2, 1)}.

6.12 L¨ osungen

261

(b) Offenbar ist die zweite Gleichung das (−2)-fache der ersten, d.h. es gilt die ¨ Aquivalenz 4x1 − 3x2 = 3 ⇐⇒ −8x1 + 6x2 = −6. Daher wird die L¨ osungsmenge beschrieben durch

L = (x1 , 43 x1 − 1) | x1 ∈ R

= ( 34 x2 + 34 , x2 ) | x2 ∈ R . (c) Wie in (b) sind die linken Seiten Vielfache mit Faktor −2 voneinander. Dies gilt f¨ ur die rechten Seiten nicht, d.h. L = ∅.

Kapitel 7 Polynome und Polynomgleichungen

7

7

7

Polynome und Polynomgleichungen

7.1

Faktorisierung .................................................... 268

7.2


7.3

Polynomdivision .................................................. 272

7.4

Aufgaben .......................................................... 278

7.5

Lösungen .......................................................... 279

265

7. Polynome und Polynomgleichungen

265

7 Polynome und Polynomgleichungen In 195Kapitel 6.2 wurden quadratische Gleichungen eingef¨ uhrt und Lösungsmethoden bereitgestellt. Es ist nun nahe liegend, Gleichungen zu betrachten, in denen auch h¨ ohere Potenzen vorkommen, wie z.B. 3 2 + 11x − 6 = 0. x − 6x =f (x)

Die linke Seite dieser Gleichung definiert ein 161Polynom f . Allgemein sind diese gegeben durch die Festlegung f (x) =

n *

aj xj = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 ,

x ∈ R,

j=0

mit Koeffizienten an = 0, an−1 , . . . , a1 , a0 ∈ R. a0 heißt Absolutglied, die Zahl n heißt Grad des Polynoms f .∗ Durch die Vorschrift f (x) = 12x5 − 5x3 + 3x2 − x wird ein Polynom vom Grad 5 mit den Koeffizienten a5 = 12, a4 = 0, a3 = −5, a2 = 3, a1 = −1 und

a0 = 0

definiert. Polynomgleichung Eine Gleichung f (x) = 0, deren linke Seite ein n aj xj vom Grad n ist, heißt Polynomgleichung vom Grad n. Polynom f (x) = Definition

j=0

Der Definitionsbereich einer Polynomgleichung ist D = R.

Polynome sind 154Funktionen, die sch¨ one Eigenschaften haben: Sie sind stetig, differenzierbar beliebig oft 350 und 367integrierbar. Bei z.B. 343 der L¨ osung von Polynomgleichungen ist die folgende Aussage u ¨ber die Anzahl der 158Nullstellen eines Polynoms f , d.h. u ¨ ber die Anzahl von Lösungen der Gleichung f (x) = 0, von Bedeutung. Nullstellen eines Polynoms Ein Polynom f vom Grad n hat h¨ ochstens n Nullstellen. ∗ Der

Grad eines Polynoms wird bestimmt durch die gr¨ oßte im Polynom vorkommende n Potenz der Variablen. Im Folgenden wird bei Verwendung der Schreibweise f (x) = aj xj stets angenommen, dass der 161Leitkoeffizient an ungleich Null ist.

j=0

266


Die Polynomgleichung an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 = 0

hat daher maximal n L¨ osungen. Weiterhin hat jedes Polynom f mit ungeradem Grad mindestens eine reelle Nullstelle.∗ F¨ ur Polynome mit geradem Grad muss dies nicht gelten, wie das Beispiel f (x) = x4 + 1 zeigt. Wegen x4 ≥ 0 f¨ ur x ∈ R gilt f (x) ≥ 1 f¨ ur alle x ∈ R, d.h. f hat keine Nullstelle und die Polynomgleichung x4 + 1 = 0 hat keine reelle Lösung. Bisher wurden bereits zwei spezielle Typen von Polynomgleichungen behandelt: Lineare Gleichungen sind Polynomgleichungen vom Grad 1: a1 x + a0 = 0. Quadratische Gleichungen sind Polynomgleichungen vom Grad 2: a2 x2 + a1 x + a0 = 0. F¨ ur beide Gleichungstypen gibt es – wie bereits erläutert – Lösungsverfahren, uhren. F¨ ur Polynomgleichungen höheren Grades ist eine die stets zum Ziel f¨ explizite L¨ osung jedoch nur in Sonderf¨ allen möglich. Die folgende Darstellung beschr¨ ankt sich daher auf Polynome mit gewissen Struktureigenschaften. Potenzgleichungen

Spezielle Polynomgleichungen der Art axn = b mit Koeffizienten a, b ∈ R, a = 0 und einer Potenz n ∈ N heißen Potenzgleichungen. F¨ ur n = 1 ergibt sich die allgemeine Form der linearen Gleichung ax = b. Potenzgleichungen wurden bereits implizit zur Definition von 88Wurzeln eingesetzt. L¨ osung von Potenzgleichungen Eine Potenzgleichung axn = b5hat folgende Lösungsmenge: ! 6 n b 1 Ist n ungerade, gilt L = a . ⎧ ⎪ ∅, falls ab < 0 ⎪ ⎪ ⎨ falls b = 0 . 2 Ist n gerade, gilt L = {0}, 5 ! ! 6 ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ − n ab , n ab , falls ab > 0

∗ Dies

ergibt sich daraus, dass f¨ ur an > 0 die 339Grenzwerte

lim f (x) = +∞ und

x→+∞

lim f (x) = −∞ gelten. Aufgrund der 343Stetigkeit des Polynoms muss es nach dem

x→−∞

346Zwischenwertsatz daher eine Nullstelle geben. Analoges gilt f¨ ur an < 0.


267

Beispiel

Die Potenzgleichung 3x4 = −3 hat keine Lösung, da die rechte Seite negativ ist und die linke Seite f¨ ur alle x ∈ R nur nicht-negative Werte annimmt.∗ Die Gleichung 3x4 = 3 hat hingegen die Lösungsmenge L = {−1, 1}.

B

F¨ ur die Gleichung 2x5 = 64 resultiert die eindeutige Lösung x = 2, die ost. Gleichung 2x5 = −64 wird nur von x = −2 gel¨ Gradreduktion Beispiel Zur Berechnung aller L¨ osungen der Gleichung 2x3 − x2 + x = 0

wird auf der linken Seite zun¨ achst der Faktor x ausgeklammert, so dass die aquivalente Gleichung x(2x2 − x + 1) = 0 resultiert. Die linke Seite ist gleich ¨ Null, wenn entweder x = 0 oder 2x2 −x+1 = 0 gilt. Die Lösungsmenge besteht daher aus der Null und allen L¨ osungen der quadratischen Gleichung 2x2 − x + 1 = 0 (bzw. in Normalform x2 − 12 x + 12 = 0). Da die 201Diskriminante 2 7 negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine D = − 41 − 12 = − 16 reelle L¨ osung, d.h. L = {0}. Durch das Ausklammern des Faktors x ist es gelungen, eine Polynomgleichung niedrigeren Grads (hier eine quadratische) zu erzeugen. Dieses Vorgehen wird als Gradreduktion bezeichnet.† Die im Folgenden vorgestellten L¨ osungsmethoden nehmen in gewissem Sinn alle eine Gradreduktion des Polynoms vor. Ziel ist es, dies soweit auszuf¨ uhren, bis nur noch Polynome (etwa als Faktoren) auftreten, die höchstens den Grad 2 haben. Als Methoden zur Gradreduktion werden vorgestellt: Gradreduktion durch Faktorisierung Gradreduktion durch Substitution Gradreduktion durch Polynomdivision Eine Polynomdivision f¨ uhrt dabei zu einer Faktorisierung des Polynoms. ∗ Division durch 3 ergibt die Gleichung x4 = −1 ⇐⇒ x4 + 1 = 0, von der bereits nachgewiesen wurde, dass sie keine L¨ osung hat. † In der leicht modifizierten Gleichung 2x3 − x2 + 1 = 0 ist das Ausklammern von x jedoch nicht mehr m¨ oglich, so dass eine Gradreduktion auf diese Weise nicht erreicht werden kann.

B

268

7.1


7.1 Faktorisierung An einer Polynomgleichung an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 = 0 kann direkt abgelesen werden, ob sie die L¨ osung x = 0 hat. Dies ist nur der Fall, wenn das Absolutglied a0 den Wert Null hat. In dieser Situation können der Faktor x gem¨ aß an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x = x(an xn−1 + an−1 xn−2 + · · · + a1 ) = x · g(x) =g(x)

ausgeklammert und das Ausgangspolynom als Produkt zweier Polynome vom Grad 1 und n − 1 dargestellt werden. Die Lösungen der Gleichung f (x) = 0 sind somit x = 0 und die L¨ osungen von g(x) = 0. Polynomgleichungen mit a0 = 0 Ist in einer Polynomgleichung a0 = 0, d.h. gilt an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x = 0, so besteht die L¨ osungsmenge der Gleichung aus dem Wert x = 0 und allen L¨ osungen der Gleichung an xn−1 + an−1 xn−2 + · · · + a1 = 0, d.h. L = {0} ∪ {x ∈ R|an xn−1 + an−1 xn−2 + · · · + a1 = 0}. Die zweite Menge kann dabei h¨ ochstens n − 1 Werte enthalten. Das Ausklammern von Faktoren kann nat¨ urlich auch f¨ ur höhere Potenzen von x m¨ oglich sein. B

Beispiel

In der Gleichung x5 − x4 − 6x3 = 0 kommt die Unbekannte x mindestens in der dritten Potenz vor, das Absolutglied fehlt. Daher kann auf der linken Seite der Term x3 ausgeklammert werden: x3 (x2 − x − 6) = 0 ⇐⇒ x3 = 0 oder x2 − x − 6 = 0. Letzteres ist eine quadratische Gleichung, deren Diskriminante den Wert D = −1 2 + 6 = 1+24 = 25 osungen sind somit 2 4 4 > 0 hat. Die L¨ ' ' 1 5 1 5 25 25 −1 −1 x1 = − + = + = 3, x2 = − − = − = −2. 2 4 2 2 2 4 2 2 Die obige Polynomgleichung hat also die L¨ osungsmenge L = {−2, 0, 3}.

7.2


269

Beispiel In der Gleichung x4 −x3 +2x2 +x = 0 ist das Absolutglied a0 wieder-

B

um gleich Null. Ausklammern von x ergibt die Faktorisierung osung ist. Die weiteren Lösungen x(x3 − x2 + 2x + 1) = 0, so dass x = 0 eine L¨ resultieren aus der Gleichung x3 − x2 + 2x + 1 = 0, die jedoch mit den bisher vorgestellten Methoden nicht weiter behandelt werden kann. Das letzte Beispiel zeigt, dass das Ausklammern von Potenzen von x oft nur der erste Schritt der L¨ osung ist. Ist die reduzierte Gleichung weder linear noch quadratisch, m¨ ussen weitere L¨ osungsstrategien angewendet werden. Von Bedeutung ist hierbei insbesondere die Faktorisierung mit Faktoren der Art x − a mit a = 0. Diese wird im Rahmen der 273Polynomdivision behandelt.

7.2

7.2 Substitutionsmethode In 234Abschnitt 6.9 wurde die Substitutionsmethode als Lösungsverfahren f¨ ur geeignete, allgemeine Gleichungen vorgestellt. Da sie auch bei der Lösung von Polynomgleichungen von großer Bedeutung ist, wird ihre Anwendung hier ausf¨ uhrlich erläutert. Das Substitutionsprinzip bei Polynomgleichungen basiert auf dem 91Potenzgesetz xa·b = (xa )b ,

x ∈ R, a, b ∈ N.

Die Methode ist nur anwendbar, wenn in jeder Potenz von x der Polynomgleichung der Anteil xa auftritt, d.h. wenn die Zahl a jeden im Polynom vorkommenden Exponenten teilt. Beispiel Die rechte Seite der Gleichung x8 +2x4 −3 = 0 enth¨ alt die Potenzen

x8 = x2·4 = (x4 )2 und x4 = (x4 )1 , d.h. mit dem obigen Ansatz resultiert die Darstellung (x4 )2 + 2(x4 )1 − 3 = 0. Die Gleichung h¨ angt daher von der Variablen x nur u ¨ ber deren vierte Potenz 4 x ab, d.h.: Eine Zahl x l¨ ost die Gleichung x8 + 2x4 − 3 = 0 genau dann, wenn deren vierte Potenz y = x4 der quadratischen Gleichung y 2 +2y −3 = 0 gen¨ ugt.

B

270


Die Unbekannte x4 kann daher formal durch die Variable y ersetzt (substituiert) werden. Die resultierende Gleichung wird dann zunächst f¨ ur y gelöst: y 2 + 2y − 3 = 0 ⇐⇒ (y + 1)2 = 4 ⇐⇒ y = 1 oder y = −3. Die Gleichung in y hat zwei L¨ osungen y = 1 und y = −3. Durch R¨ ucksubsti4 tution y = x resultieren daraus die 266Potenzgleichungen x4 = 1

bzw.

x4 = −3.

Die zweite Gleichung hat offenbar keine Lösung, da x4 stets einen nichtnegativen Wert hat. Die erste Gleichung hat die Lösungen x = 1 und x = −1. Somit ist L = {−1, 1} die L¨ osungsmenge der Ursprungsgleichung. Substitutionsverfahren f¨ ur Polynomgleichungen Kann ein Polynom f vom Grad n in der Form f (x) = g(xa ) geschrieben werden, wobei a ∈ N und g ein Polynom sind, so hat g den Grad m = na ∈ N. Die Polynomgleichung f (x) = 0 wird dann in folgenden Schritten gelöst: 1. Substitution y = xa . 2. Bestimmung aller L¨ osungen der Gleichung g(y) = 0. 3. F¨ ur jede Lösung y0 der Gleichung g(y) = 0 resultiert eine zu lösende 266Potenzgleichung xa = y0 . √ 1 F¨ ur a ungerade ist x0 = a y0 die zugehörige Lösung von f (x) = 0. √ √ 2 F¨ ur a gerade und y0 ≥ 0 sind x1 = − a y0 und x2 = a y0 die zugeh¨ origen L¨ osungen von f (x) = 0. 3

B

F¨ ur a gerade und y0 < 0 f¨ uhrt y0 zu keiner Lösung der Gleichung f (x) = 0.

Beispiel Die linke Seite der Gleichung x6 −x3 −2 = 0 kann wegen x6 = (x3 )2

geschrieben werden als (x3 )2 − (x3 )1 − 2 = 0.

7.2


271

Mit der Setzung y = x3 f¨ uhrt dies zur quadratischen Gleichung y 2 −y −2 = 0, anzung gel¨ ost werden kann: die z.B. mit 201quadratischer Erg¨ +2+ 1 y2 − y − 2 = 0 4 1 1 1 2 ⇐⇒ y − 2 · y + = 2 + 2 4 4

2 1 9 ⇐⇒ y− = 2 4 ⇐⇒

y = 2 oder y = −1

uhrt jede dieser Lösungen zu Da x3 substituiert wurde und 3 ungerade ist, f¨ genau einer L¨ osung der Ausgangsgleichung: √ √ 3 x1 = 2 und x2 = 3 −1 = −1. √ Die L¨ osungsmenge der Polynomgleichung ist daher L = {−1, 3 2}. Beispiel Die Substitutionsmethode kann auch in allgemeinerer Form einge-

setzt werden. Lautet die Polynomgleichung (x − 1)4 − 4(x − 1)2 − 5 = 0, so kann der Term y = (x − 1)2 substituiert werden. Dies ergibt die quadratiosungen y = −1 und y = 5 besitzt. sche Gleichung y 2 − 4y − 5 = 0, die die L¨ Daraus resultieren f¨ ur x die Gleichungen (x − 1)2 = −1

und

(x − 1)2 = 5.

Die √ erste Gleichung hat osung, w¨ ahrend die die Lösungen x1 = √ keine L¨ √zweite√ 1 − 5 und x2 = 1 + 5 hat. Also gilt L = {1 − 5, 1 + 5}. Allgemeines Substitutionsverfahren f¨ ur Polynomgleichungen Kann ein Polynom f vom Grad n in der Form f (x) = g((x − b)a ) geschrieben werden, wobei a ∈ N, b ∈ R und g ein Polynom sind, so hat g den Grad m = na ∈ N. Die Polynomgleichung f (x) = 0 wird dann in folgenden Schritten gelöst: 1. Substitution y = (x − b)a 2. Bestimmung aller L¨ osungen der Gleichung g(y) = 0

B

272


3. F¨ ur jede Lösung y0 der Gleichung g(y) = 0 resultiert eine zu lösende Gleichung (x − b)a = y0 . √ 1 F¨ ur a ungerade ist x0 = b + a y0 die zugehörige Lösung von f (x) = 0. √ √ 2 F¨ ur a gerade und y0 ≥ 0 sind x1 = b − a y0 und x2 = b + a y0 die zugeh¨ origen L¨ osungen von f (x) = 0. 3

7.3

F¨ ur a gerade und y0 < 0 f¨ uhrt y0 zu keiner Lösung der Gleichung f (x) = 0.

7.3 Polynomdivision Die Polynomdivision ist eine Division mit Rest zweier Polynome, die analog uhrt wird. Letzteres bedeutet zur 21Division mit Rest zweier Zahlen ausgef¨ z.B., dass sich die Zahl 124 nach Division durch 12 darstellen lässt als 124 = 10 · 12 + 4. Der Rest“ 4 ist dabei eine Zahl, die echt kleiner als 12 ist. Auf einem ana” logen Prinzip basiert die Division von Polynomen. Dazu wird der Quotient∗ f (x) Grad des Zählerg(x) zweier Polynome f und g betrachtet, wobei der 265 polynoms f mindestens gleich dem Grad des Nennerpolynoms g ist.

B

3

−x+1 Der Bruch x x−1 l¨ asst sich mittels Ausklammern und dritter binomischer Formel schreiben als

Beispiel

x(x2 − 1) + 1 x(x − 1)(x + 1) 1 1 x3 − x + 1 = = + = x(x + 1) + . x−1 x−1 x−1 x−1 x−1 Somit gilt also x3 − x + 1 = [x(x + 1)] · ( x − 1 ) + 1, d.h. x3 − x + 1 ist durch x − 1 teilbar mit Rest 1. F¨ ur den Term

x4 −x2 +x x3 +1

ergibt sich

x4 − x2 + x x(x3 + 1) − x2 x(x3 + 1) x2 x2 = = − = x − . x3 + 1 x3 + 1 x3 + 1 x3 + 1 x3 + 1 Daher gilt x4 − x2 + x = x · ( x3 + 1 ) − x2 , so dass x4 − x2 + x durch x3 + 1 teilbar ist mit Rest −x2 . ∗ Dieser

Quotient definiert eine 161gebrochen rationale Funktion.

7.3

Polynomdivision

273

Division mit Rest bei Polynomen bedeutet somit, f¨ ur zwei Polynome f und g eine Darstellung f (x) = h(x) · g(x) + r(x) zu finden, wobei h und r Polynome sind und der Grad von r echt kleiner ist als der Grad von g. Das Verfahren zur Bestimmung von h und r heißt Polynomdivision. Anhand der obigen Beispiele wird erl¨ autert, wie die Polynomdivision ausgef¨ uhrt wird. Die Notation ist an das schriftliche Dividieren zweier Zahlen angelehnt. Beispiel

F¨ ur die Polynome f (x) = x3 − x + 1 und g(x) = x − 1 läuft die Polynomdivision folgendermaßen ab. Zun¨ achst wird die jeweils höchste Potenz beider Terme festgestellt: x3 bzw. x. Dann wird die höhere Potenz x3 in der Form x3 = x · x2 geschrieben und anschließend der Ausdruck x2 · g(x) = x2 ( x − 1 ) von x3 − x + 1 abgezogen. Dadurch wird der Term

x3 eliminiert und ein Polynom kleineren Grads erzeugt f (x) − x2 g(x) = x3 − x + 1 − x2 ( x − 1 ) = x3 − x + 1 − x3 + x2 = x2 − x + 1. Also gilt x3 − x + 1 = x2 ( x − 1 ) + [x2 − x + 1] .

(♣)

=r1 (x)

Das Polynom r1 (x) hat einen niedrigeren Grad als f (x) und einen höheren Grad als g(x). Im n¨ achsten Schritt wird r1 (x) auf analoge Weise zerlegt (die h¨ ochsten Potenzen von r1 (x) = x2 und g(x) = x werden verglichen und der Teiler festgestellt: x2 = x · x): r1 (x) − x · ( x − 1 ) = x2 − x + 1 − x2 + x = 1. Somit gilt wegen (♣) x3 − x + 1 = x2 ( x − 1 ) + r1 (x) = x2 ( x − 1 ) + x( x − 1 ) + 1 = (x2 + x)( x − 1 ) + 1. Das Verfahren vergleicht in jedem Schritt zun¨ achst die höchste Potenz des Teilers g mit der h¨ ochsten Potenz des Rests r und ermittelt so den Faktor vor dem Teiler g. Anschließend werden das Produkt des Faktors und des Teilers g vom Rest subtrahiert und ein neuer Rest erzeugt. Mit diesem wird analog verfahren. Die Division endet, wenn der Rest einen kleineren Grad als der Teiler g hat.

B

274


Die Methode wird in Kurzform folgendermaßen notiert: (x3 −

x + 1) : (x − 1) =

x2 +x +

−(x3 −

x2 ) x2 − x + 1 − (x2 − x ) 1

1 x−1

Damit ergibt sich die bereits ermittelte Darstellung x3 − x + 1 1 = x2 + x + . x−1 x−1 F¨ ur den Bruch

x4 −x2 +x x3 +1

(

ergibt sich

−x2 x4 − x2 + x) : (x3 + 1) = x + 3 x +1 −x − x4

− x2 Von besonderer Bedeutung ist die Polynomdivision, wenn die Division ohne Rest m¨ oglich ist, d.h. wenn das Polynom g(x) ein Teiler von f (x) ist. B

Beispiel Die quadratische Gleichung x2 − x − 2 = 0 hat die L¨ osungen x = 2 und x = −1. Der 205Satz von Vieta liefert die Zerlegung der linken Seite:

x2 − x − 2 = (x − 2)( x + 1 ). Dies bedeutet, dass z.B. x + 1 ein Teiler von x2 − x − 2 ist. Die Polynomdivision best¨ atigt dies: (

x2 − x − 2) : (x + 1) = x − 2 − x2 − x − 2x − 2 2x + 2 0

Die Polynomdivision ist daher zur Faktorisierung eines Polynoms geeignet. B

Beispiel Die obige Beobachtung gilt auch f¨ ur kompliziertere Polynome. Das

Polynom f (x) = x4 − 2x3 + x − 2 wird von x − 2 geteilt:

7.3

Polynomdivision

(

275

x4 − 2x3 + x − 2) : (x − 2) = x3 + 1 − x4 + 2x3 x−2 −x+2 0

Somit gilt f (x) = x4 − 2x3 + x − 2 = (x − 2)(x3 + 1). Diese Darstellung ist bei der L¨ osung der Polynomgleichung f (x) = 0 von Bedeutung. Da diese aquivalent ist, ergibt sich Gleichung n¨ amlich zu (x − 2)(x3 + 1) = 0 ¨ x4 − 2x3 + x − 2 = 0 ⇐⇒ (x − 2)(x3 + 1) = 0 ⇐⇒ x = 2 oder x3 + 1 = 0. Die letzte Gleichung wird nur von x = −1 gel¨ ost, so dass L = {−1, 2} die L¨ osungsmenge der Polynomgleichung ist. Die beiden vorhergehenden Beispiele zeigen, dass eine Polynomdivision sinnvoll zur L¨ osung einer Polynomgleichung eingesetzt werden kann. Das Verfahren beruht auf der folgenden Aussage. Faktorisierung eines Polynoms Mit einer L¨ osung x1 der Polynomgleichung f (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 = 0 gilt die Faktorisierung f (x) = (x − x1 ) · g(x), ur jede Nullstelle wobei g(x) ein Polynom vom Grad n−1 ist. Somit ist x−x1 f¨ x1 von f ein Teiler von f (x). Die L¨ osungsmenge der Polynomgleichung f (x) = 0 besteht daher aus x1 und aus allen L¨ osungen der Gleichung g(x) = 0. Um dieses Resultat zu nutzen, muss das Polynom g(x) bestimmt werden. Dieses ist gegeben durch g(x) =

an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 f (x) = x − x1 x − x1

und kann mittels der Polynomdivision berechnet werden. Dabei ist zu beachten, dass der Nenner (x − x1 ) lautet, d.h. die Lösung x1 wird von x osung der Gleichung, muss die Polynomdivision subtrahiert. Ist z.B. −2 L¨ mit x − ( −2 ) = x + 2 durchgef¨ uhrt werden.

276


L¨ osungsverfahren mittels Polynomdivision Zur L¨ osung der Polynomgleichung f (x) = 0 ist folgendes Verfahren anwendbar: 1. Auf heuristische Weise (z.B. Raten oder Analyse des Grafen des Polynoms) wird eine L¨ osung x1 der Polynomgleichung bestimmt. 2. Durch Polynomdivision wird das Polynom g(x) =

f (x) x−x1

berechnet.

Die L¨ osungsmenge der Polynomgleichung f (x) = 0 besteht aus x1 und aus den L¨ osungen der Polynomgleichung g(x) = 0. Ist somit eine L¨ osung der Polynomgleichung f (x) = 0 bekannt, kann das Problem auf die Lösung der Gleichung g(x) = 0 reduziert werden. Der Grad von g(x) ist um Eins niedriger als der von f (x), d.h. das Problem wird vereinfacht. B

Beispiel Die Gleichung x3 − 6x2 + 11x − 6 = 0 hat x = 1 als L¨ osung,∗ und

es gilt: (

x3 − 6x2 + 11x − 6) : (x − 1) = x2 − 5x + 6 − x3 + x2 − 5x2 + 11x 5x2 − 5x 6x − 6 − 6x + 6 0

Die L¨ osungen der obigen Polynomgleichung sind also neben x = 1 alle x ∈ R, ugen. Da die Diskrimidie der quadratischen Gleichung x2 − 5x + 6 = 0 gen¨ 5 2 1 − 6 = positiv ist, gibt es zwei Lösungen: nante D = − 2 − 6 = 25 4 4 x1 = −

−5 1 −5 1 + = 3, x2 = − − = 2. 2 2 2 2

Die Polynomgleichung hat daher die L¨ osungsmenge L = {1, 2, 3}. Zudem gilt x3 − 6x2 + 11x − 6 = (x − 1)(x − 2)(x − 3), d.h. die Polynomdivision liefert zus¨ atzlich eine Faktorisierung in 207Linear faktoren. ∗ Dies

kann durch Einsetzen von x = 1 in das Polynom gepr¨ uft werden.

7.3

Polynomdivision

277

Die obige Faktorisierung in Linearfaktoren l¨ asst sich f¨ ur ein Polynom mit einem Grad gr¨ oßer als Eins nicht immer erreichen. Faktorisierung eines Polynoms Ein Polynom l¨ asst sich stets in ein Produkt aus Polynomen vom Grad Eins und Zwei zerlegen, wobei die quadratischen Polynome keine (reellen) Nullstellen haben.∗

Beispiel Die Polynomgleichung x4 + 5x3 + 8x2 + x − 15 = 0 hat die L¨ osung

x = 1.† Somit gilt (

x4 + 5x3 + 8x2 − x4 + x3

+ x − 15) : (x − 1) = x3 + 6x2 + 14x + 15

6x3 + 8x2 − 6x3 + 6x2 14x2 + x − 14x2 + 14x 15x − 15 − 15x + 15 0 Damit sind noch die L¨ osungen der Gleichung x3 + 6x2 + 14x + 15 = 0 zu ermitteln. Durch Probieren ergibt sich −3 als Lösung. Daher folgt: (

x3 + 6x2 + 14x + 15) : (x + 3) = x2 + 3x + 5 − x3 − 3x2 3x2 + 14x − 3x2 − 9x 5x + 15 − 5x − 15 0

2 osung, da die zugehörige DiskrimiDie Gleichung 3 x2 + 3x + 511= 0 hat keine L¨ nante D = 2 − 5 = − 4 negativ ist. Also gilt L = {−3, 1}. Das Polynom x4 + 5x3 + 8x2 + x − 15 kann somit dargestellt werden als

x4 + 5x3 + 8x2 + x − 15 = (x − 1)(x + 3)(x2 + 3x + 5).

∗ Ein quadratisches Polynom mit reellen Nullstellen kann stets als Produkt von 207Linearfaktoren geschrieben werden. † Diese kann z.B. durch systematisches Probieren gefunden werden, d.h. durch Einsetzen der Werte 0, 1, −1, 2, −2 etc. in das Polynom.

B

278


7.4

7.4 Aufgaben

279 L

Aufgabe 7.1

280 L

L¨ osen Sie die Polynomgleichung durch Faktorisierung.

(a) x6 − 2x5 − 15x4 = 0

(d)

(b) 4x5 − 9x3 = 0

(e) x3 − 11x2 + 30x = 0

(c) 3x4 − 27x3 + 42x2 = 0

(f) 2x5 + 14x4 − 36x3 = 0

−

3 6 22 x

+ 7x5 = 0

Aufgabe 7.2 L¨ osen Sie die Polynomgleichung mit der Substitutionsmethode.

(a) 3x4 − 78x2 + 507 = 0 (b)

281 L

1 7 22 x

1 4 2x

− 12x2 + 64 = 0

(e) 4x4 − 84x2 − 400 = 0 (f) x12 + 3x6 + 2 = 0

(c) 2x6 + 38x3 − 432 = 0

(g) x10 + 31x5 − 32 = 0

(d) x8 + 4x4 + 6 = 0

(h)

Aufgabe 7.3

1 8 4x

− 3x4 − 16 = 0

F¨ uhren Sie jeweils eine Polynomdivision durch.

(a) (x − 3x + 2x2 + 2x − 2) : (x − 1) 5

3

(b) (x7 − 4x5 + x2 + x − 2) : (x + 2) (c) (x4 − 3x2 − 2) : (x2 − 2) (d) (x5 + 2x4 − x3 + 3x2 + 6x − 3) : (x3 + 3) (e) (x4 − x3 − 2x2 − 2x) : (x3 − 2x) (f) (x4 − 2x3 − 9x2 + 8x − 16) : (x3 + 2x2 − x + 4) 282 L

L¨ osen Sie die Polynomgleichung mittels Polynomdivision. Verwenden Sie die vorgegebenen L¨ osungen x1 und x2 .

Aufgabe 7.4

(a) x4 − x3 − 12x2 − 4x + 16 = 0; Vorgabe: x1 = 4, x2 = −2 (b) x3 − 5x2 − 29x + 105 = 0; Vorgabe: x1 = 3 (c) 2x4 − 8x3 − 42x2 + 72x + 216 = 0; Vorgabe: x1 = −2, x2 = 6 (d) x4 − 3x3 − 33x2 + 15x + 140 = 0; Vorgabe: x1 = −4, x2 = 7

7.5

L¨ osungen

279

Faktorisieren Sie die folgenden Terme. Verwenden Sie dazu Polynomdivisionen und die vorgegebenen Nullstellen x1 und x2 .

Aufgabe 7.5

283 L

(a) x4 − 2x3 − 27x2 + 108; Nullstellen: x1 = 2, x2 = −3 (b) x4 + x3 − 85x2 + 23x + 1260; Nullstellen: x1 = −4, x2 = 5 (c) 2x4 + 4x3 − 162x2 + 396x; Nullstelle: x1 = 3 (d) x4 + 8x3 + 25x2 + 42x + 36; Nullstellen: x1 = −3, x2 = −3 Vereinfachen Sie folgende Br¨ uche so weit wie möglich. Verwenden Sie ggf. Polynomdivisionen. Aufgabe 7.6

(a)

x3 −13x+12 x−3

(c)

x3 +x2 −2x x3 −x

(e)

x2 −2x−8 x2 −16

(b)

x4 −x3 −12x2 +28x−16 x2 −4x+4

(d)

x3 −11x2 +10x+72 3x2 −48

(f)

x3 +x2 −4x−4 x3 +2x2 +x

283 L

7.5

7.5 L¨ osungen

278 A

L¨ osung 7.1 (a) x6 − 2x5 − 15x4 = 0 ⇐⇒ x4 (x2 − 2x − 15) = 0 ⇐⇒ x4 = 0 oder x2 − 2x − 15 = 0 ⇐⇒ x = 0 oder x2 − 2x − 15 = 0 ⇐⇒ x = 0 oder x = 5 oder x = −3 =⇒ L = {−3, 0, 5} 3. bin. Formel

(b) 4x5 − 9x3 = 0 ⇐⇒ x3 (4x2 − 9) = 0 ⇐⇒ ⇐⇒ x3 = 0 oder 2x − 3 = 0 oder 2x + 3 = 0 ⇐⇒ x = 0 oder x = 32 oder x = − 32

=⇒ L = − 32 , 0, 32

x3 (2x − 3)(2x + 3) = 0

(c) 3x4 − 27x3 + 42x2 = 0 ⇐⇒ x2 (3x2 − 27x + 42) = 0 ⇐⇒ x2 = 0 oder 3x2 − 27x + 42 = 0 ⇐⇒ x = 0 oder x2 − 9x + 14 = 0 ⇐⇒ x = 0 oder x = 7 oder x = 2 =⇒ L = {0, 2, 7} 1 2 1 7 3 6 3 (d) 22 x − 22 x + 7x5 = 0 ⇐⇒ x5 22 x − 22 x+7 =0 5 1 2 3 ⇐⇒ x = 0 oder 22 x − 22 x + 7 = 0 ⇐⇒ x = 0 oder x2 − 3x + 154 = 0 osung hat, gilt L = {0}. Da die letzte Gleichung wegen D = 94 −154 < 0 keine L¨

280


(e) x3 − 11x2 + 30x = 0 ⇐⇒ x(x2 − 11x + 30) = 0 ⇐⇒ x = 0 oder x2 − 11x + 30 = 0 ⇐⇒ x = 0 oder x = 5 oder x = 6 =⇒ L = {0, 5, 6} (f) 2x5 + 14x4 − 36x3 = 0 ⇐⇒ x3 (2x2 + 14x − 36) = 0 ⇐⇒ x3 = 0 oder 2x2 + 14x − 36 = 0 ⇐⇒ x = 0 oder x2 + 7x − 18 = 0 ⇐⇒ x = 0 oder x = 2 oder x = −9 =⇒ L = {−9, 0, 2} 278 A

L¨ osung 7.2 (a) Substitution y = x2 :

3y 2 − 78y + 507 = 0 : 3 ⇐⇒ y 2 − 26y + 169 = 0 ⇐⇒ (y − 13)2 = 0 ⇐⇒ y = 13 √ √ Die Gleichung x2 = 13 hat die L¨ osungen x1 = 13 und x2 = − 13, so dass √ √ L = {− 13, 13}.

(b) Substitution y = x2 : 1 2 y − 12y + 64 = 0 · 2 ⇐⇒ y 2 − 24y + 128 = 0 ⇐⇒ y = 16 oder y = 8 2 osungen x1 = 4, x2 = −4 Die Gleichungen x2 = 16 bzw. x2 = 8 haben die L¨ √ √ √ √ √ √ bzw. x3 = 8, x4 = − 8, so dass wegen 8 = 2 2 gilt L = {−4, −2 2, 2 2, 4}. (c) Substitution y = x3 : 2y 2 + 38y − 432 = 0 : 2 ⇐⇒ y 2 + 19y − 216 = 0 ⇐⇒ y = 8 oder y = −27 osung x1 = 2 bzw. Die Gleichungen x3 = 8 bzw. x3 = −27 haben die L¨ x2 = −3, so dass L = {−3, 2}. (d) Substitution y = x4 : Die Gleichung y 2 + 4y + 6 = 0 hat die Diskriminante D = −2 < 0 und daher keine reelle L¨ osung. Somit gilt L = ∅. (e) Substitution y = x2 : 4y 2 − 84y − 400 = 0 : 4 ⇐⇒ y 2 − 21y − 100 = 0 ⇐⇒ y = 25 oder y = −4 osungen x1 = 5 und x2 = −5, w¨ ahrend Die Gleichung x2 = 25 hat die L¨ x2 = −4 nicht l¨ osbar ist. Daher gilt L = {−5, 5}. (f) Substitution y = x6 : y 2 + 3y + 2 = 0 ⇐⇒ y = −2 oder y = −1 osungen haben, gilt Da die Gleichungen x6 = −2 und x6 = −1 keine reellen L¨ L = ∅.

7.5

L¨ osungen

281

(g) Substitution y = x5 : y 2 + 31y − 32 = 0 ⇐⇒ y = −32 oder y = 1 osung x1 = −2 bzw. Die Gleichungen x5 = −32 bzw. x5 = 1 haben die L¨ x2 = 1, so dass L = {−2, 1}. (h) Substitution y = x4 : 1 2 y − 3y − 16 = 0 · 4 ⇐⇒ y 2 − 12y − 64 = 0 ⇐⇒ y = 16 oder y = −4 4 osungen x1 = 2 und x2 = −2, w¨ ahrend die Die Gleichung x4 = 16 hat die L¨ Gleichung x4 = −4 keine reelle L¨ osung hat. Daher gilt L = {−2, 2}. 278 A

L¨ osung 7.3 (a) (

x − 3x + 2x + 2x − 2) : (x − 1) = x + x − 2x + 2 − x5 + x4 5

3

2

4

3

2

x4 − 3x3 − x4 + x3 − 2x3 + 2x2 2x3 − 2x2 2x − 2 − 2x + 2 0 (b) (

− 4x5 + x2 + x − 2) : (x + 2) = x6 − 2x5 + x − 1 x7 7 6 − x − 2x − 2x6 − 4x5 2x6 + 4x5 x2 + x − x2 − 2x −x−2 x+2 0

(c) (

−4 x4 − 3x2 − 2) : (x2 − 2) = x2 − 1 + 2 x −2 4 2 − x + 2x − x2 − 2 x2 − 2 −4

282


(d) (

x5 + 2x4 − x3 + 3x2 + 6x − 3) : (x3 + 3) = x2 + 2x − 1 − x5 − 3x2 2x4 − x3 − 2x4

+ 6x − 6x

− x3 x3

−3 +3 0

(e) (

−4x x4 − x3 − 2x2 − 2x) : (x3 − 2x) = x − 1 + 3 x − 2x 4 2 + 2x −x − x3 x3

− 2x − 2x − 4x

Das Ergebnis kann auch geschrieben werden als x − 1 − (f) (

4 . x2 −2

x4 − 2x3 − 9x2 + 8x − 16) : (x3 + 2x2 − x + 4) = x − 4 − x4 − 2x3 + x2 − 4x − 4x3 − 8x2 + 4x − 16 4x3 + 8x2 − 4x + 16 0

278 A

L¨ osung 7.4 (a)

1 (x4 − x3 − 12x2 − 4x + 16) : (x − 4) = x3 + 3x2 − 4 2 (x3 + 3x2 − 4) : (x + 2) = x2 + x − 2 3 x2 + x − 2 = 0 ⇐⇒ x = −2 oder x = 1

=⇒ L = {−2, 1, 4} (b)

1 (x3 − 5x2 − 29x + 105) : (x − 3) = x2 − 2x − 35 2 x2 − 2x − 35 = 0 ⇐⇒ x = 7 oder x = −5

=⇒ L = {−5, 3, 7} (c)

1 (2x4 − 8x3 − 42x2 + 72x + 216) : (x + 2) = 2x3 − 12x2 − 18x + 108 2 (2x3 − 12x2 − 18x + 108) : (x − 6) = 2(x2 − 9) 3 x2 − 9 = (x − 3)(x + 3) = 0 ⇐⇒ x = −3 oder x = 3

=⇒ L = {−3, −2, 3, 6} (d)

1 (x4 − 3x3 − 33x2 + 15x + 140) : (x + 4) = x3 − 7x2 − 5x + 35 2 (x3 − 7x2 − 5x + 35) : (x − 7) = x2 − 5

√ √ 5 oder x = − 5 √ √ =⇒ L = {−4, − 5, 5, 7} 3 x2 = 5 ⇐⇒ x =

7.5

L¨ osungen

283

279 A

L¨ osung 7.5 (a)

1 (x4 − 2x3 − 27x2 + 108) : (x − 2) = x3 − 27x − 54 2 (x3 − 27x − 54) : (x + 3) = x2 − 3x − 18 3 x2 − 3x − 18 = 0 ⇐⇒ x = 6 oder x = −3

=⇒ x4 − 2x3 − 27x2 + 108 = (x − 2)(x + 3)2 (x − 6) (b)

1 (x4 + x3 − 85x2 + 23x + 1260) : (x + 4) = x3 − 3x2 − 73x + 315 2 (x3 − 3x2 − 73x + 315) : (x − 5) = x2 + 2x − 63 3 x2 + 2x − 63 = 0 ⇐⇒ x = 7 oder x = −9

=⇒ x4 + x3 − 85x2 + 23x + 1260 = (x + 4)(x − 5)(x − 7)(x + 9) (c)

1 2x4 + 4x3 − 162x2 + 396x = 2x(x3 + 2x2 − 81x + 198) 2 (x3 + 2x2 − 81x + 198) : (x − 3) = x2 + 5x − 66 3 x2 + 5x − 66 = 0 ⇐⇒ x = 6 oder x = −11

=⇒ 2x4 + 4x3 − 162x2 + 396x = 2x(x − 3)(x − 6)(x + 11) (d)

1 (x4 + 8x3 + 25x2 + 42x + 36) : (x + 3) = x3 + 5x2 + 10x + 12 2 (x3 + 5x2 + 10x + 12) : (x + 3) = x2 + 2x + 4 3 x2 + 2x + 4 = 0 hat wegen D = −3 < 0 keine L¨ osung

=⇒ x4 + 8x3 + 25x2 + 42x + 36 = (x + 3)2 (x2 + 2x + 4) 279 A

L¨ osung 7.6 (a) Der Nenner hat die Nullstelle 3. Wegen 3 − 13 · 3 + 12 = 0 ist dies auch eine Nullstelle des Z¨ ahlers. Aus der Polynomdivision (x3 − 13x + 12) : (x − 3) = 2 x + 3x − 4 folgt daher 3

x3 −13x+12 x−3

=

(x−3)(x2 +3x−4) x−3

= x2 + 3x − 4.

(b) Der Nenner x2 − 4x + 4 = (x − 2)2 hat die (doppelte) Nullstelle 2. Wegen 24 − 23 − 12 · 22 + 28 · 2 − 16 = 0 ist dies auch eine Nullstelle des Z¨ ahlers. Polynomdivision ergibt (x4 −x3 −12x2 +28x−16) : (x−2) = x3 +x2 −10x+8, wobei der Z¨ ahler wegen 23 + 22 − 10 · 2 + 8 = 0 nochmals die Nullstelle 2 hat. Nochmalige Polynomdivision liefert (x3 + x2 − 10x + 8) : (x − 2) = x2 + 3x − 4, so dass x4 −x3 −12x2 +28x−16 x2 −4x+4

=

(x−2)2 (x2 +3x−4) (x−2)2

= x2 + 3x − 4.

(c) Der Nenner x3 − x = x(x2 − 1) = x(x − 1)(x + 1) hat die Nullstellen 0, 1 und −1. Da 1 auch Nullstelle des Z¨ ahlers ist, folgt aus (x2 + x − 2) : (x − 1) = x + 2 die Darstellung x(x2 +x−2) x(x−1)(x+1)

=

x(x−1)(x+2) x(x−1)(x+1)

=

x+2 x+1

=1+

1 . x+1

284


(d) Der Nenner 3x2 − 48 = 3(x2 − 16) = 3(x − 4)(x + 4) hat die Nullstellen 4 und −4. Wegen 43 − 11 · 42 + 40 + 72 = 0 ist 4 Nullstelle des Z¨ ahlers. Mit (x3 − 11x2 + 10x + 72) : (x − 4) = x2 − 7x − 18 und (−4)2 + 28 − 18 = 0 folgt x3 −11x2 +10x+72 3x2 −48

=

(x−4)(x2 −7x−18) 3(x−4)(x+4)

=

x2 −7x−18 . 3(x+4)

(e) Der Nenner x2 − 16 = (x − 4)(x + 4) hat die Nullstellen 4 und −4. Da 4 auch Nullstelle des Z¨ ahlers ist, gilt (x2 − 2x − 8) : (x − 4) = x + 2 und somit x2 −2x−8 x2 −16

=

(x+2)(x−4) (x−4)(x+4)

=

x+2 x+4

=1−

2 . x+4

(f) Der Nenner x3 + 2x2 + x = x(x2 + 2x + 1) = x(x + 1)2 hat die Nullstellen 0 und −1. Da −1 auch Nullstelle des Z¨ ahlers ist, folgt (x3 + x2 − 4x − 4) : (x + 1) = 2 x − 4 = (x − 2)(x + 2), so dass x3 +x2 −4x−4 x3 +2x2 +x

=

(x+1)(x−2)(x+2) x(x+1)2

=

(x−2)(x+2) . x(x+1)

Kapitel 8 Ungleichungen

8

8

8

Ungleichungen

8.1

Lineare Ungleichungen .......................................... 288

8.2

Quadratische Ungleichungen................................... 291

8.3

Bruchungleichungen ............................................. 297

8.4

Betragsungleichungen ........................................... 302

8.5

Aufgaben .......................................................... 305

8.6

Lösungen .......................................................... 306

287

8. Ungleichungen

287

8 Ungleichungen Die Ersetzung des Gleichheitszeichens in einer 187Gleichung durch ein Ordnungszeichen ≤“, “ f¨ uhrt zu einer Ungleichung. Sie besitzt ” ” ” ” analog zu einer Gleichung eine linke und eine rechte Seite, wie z.B. x2 − 4x ≤ 2x − 5 . linke Seite

rechte Seite

Die L¨ osungsmenge L einer Ungleichung besteht aus allen Zahlen, die eingesetzt f¨ ur die Variable die Ungleichung erf¨ ullen. ¨ Bezeichnung Aquivalente Ungleichungen Zwei Ungleichungen heißen äquivalent, ¨ wenn sie die gleiche Lösungsmenge besitzen. Die Aquivalenz von Ungleichungen ¨ wird durch den Aquivalenzpfeil ⇐⇒ zwischen den Ungleichungen zum Ausdruck gebracht.

Eine Ungleichung impliziert eine andere, wenn ihre L¨ osungsmenge eine Teilmenge der L¨ osungsmenge der anderen ist. Dies wird durch den Folgerungspfeil =⇒ bezeichnet. Beispiel Die Ungleichungen 2x ≤ 4 und x ≤ 2 haben die selbe L¨ osungs-

menge L = (−∞, 2] und sind daher ¨ aquivalent, d.h. 2x ≤ 4

⇐⇒

x ≤ 2.

Die L¨ osung der Ungleichung x2 < 4 ist das Intervall (−2, 2). Da jeder Wert dieses Intervalls kleiner als 2 ist, gilt x2 < 4

=⇒

x < 2.

Die Umkehrung ist nicht korrekt, da z.B. −3 wegen −3 < 2 die zweite Un gleichung erf¨ ullt, aber wegen (−3)2 = 9 > 2 die erste verletzt. ¨ Da die Aquivalenz von Ungleichungen lediglich von deren Lösungsmenge abhängt, sind beispielsweise die Ungleichungen x ≤ 2 und 2 ≥ x äquivalent. Die Vertauschung der Seiten einer Ungleichung bei gleichzeitiger Vertauschung des Ordnungszeichens liefert somit eine ¨ aquivalente Ungleichung. Daher gibt es prinzipiell nur die zwei Typen von Ungleichungen mit Ordnungszeichen ≤“ und 0, geh¨ oren diese Randwerte selbst nicht ∗ zur L¨ osungsmenge. Im Folgenden werden vier Typen von Ungleichungen behandelt: 289Lineare Ungleichungen, d.h. der Graf von f ist eine Gerade, 291Quadratische Ungleichungen, d.h. der Graf von f ist eine Parabel, 297Bruchungleichungen, die auf eine lineare oder eine quadratische Un-

gleichung f¨ uhren, jedoch eine spezielle Lösungsmethode erfordern, 302Betragsungleichungen. 8.1

8.1 Lineare Ungleichungen Eine Ungleichung, die die Variable nur in linearer Form enthält, heißt lineare Ungleichung. Sie kann durch elementare Umformungen stets auf eine der folgenden Formen gebracht werden. ∗ Bei dieser Argumentation wird unterstellt, dass die Funktion f 343stetig auf ihrem Definitionsbereich ist. Dies ist f¨ ur alle im Folgenden betrachteten Ungleichungen der Fall.

8.1

Lineare Ungleichungen

289

Bezeichnung Lineare Ungleichungen Seien a, b reelle Zahlen. Dann heißen

ax ≤ b, ax < b,

ax ≥ b bzw. ax > b

lineare Ungleichungen. Beispiel Die folgenden Ungleichungen sind lineare Ungleichungen:

x ≥ 3,

3z < 5,

2t + 1 ≤ −4t + 5,

B

−4y > y − 3.

Beispiel F¨ ur die Ungleichung 2t + 1 ≤ −4t + 5 liefern elementare Umfor-

¨ mungen die Aquivalenzen 2t + 1 ≤ −4t + 5 + 4t − 1

⇐⇒ Die L¨ o sungsmenge ist daher L =

t | t ≤ 23 = −∞, 23 . Der Graf der durch f (t) = 6t − 4 definierten Funktion ist eine Gerade. Die L¨ osungsmenge der obigen Ungleichung entspricht dem Bereich auf der t-Achse, in dem die Gerade unterhalb der tAchse liegt oder die t-Achse schneidet.

:6

6t ≤ 4

⇐⇒

t ≤ 23 .

6f (t)

.. ..... ...... ...... ..... . . . . .... ...... ...... ...... ..... . . . . .. ..... ..... ..... ...... ..... . . . . .. ..... ..... ..... ...... ..... . . . . . ..... ..... ...... ...... ..... . . . . . ..... ..... ...... ...... ..... . . . . ..

20 10

-

−2

0

2

t

−10 −20

Der Bereich, in dem sich die Gerade oberhalb der t-Achse befindet, ist die L¨ osungsmenge der Ungleichung 6t − 4 > 0.

Die L¨ osungsmenge L einer linearen Ungleichung ist stets ein Intervall (sofern L = ∅ gilt). 1

2

F¨ ur a = 1 gilt: Die L¨ osungsmenge der Ungleichung (i) x ≤ b ist L = (−∞, b],

(iii) x ≥ b ist L = [b, ∞),

(ii) x < b ist L = (−∞, b),

(iv) x > b ist L = (b, ∞).

F¨ ur a = 0 resultiert je nach Ungleichung eine der Aussagen (i) 0 ≤ b

(ii) 0 < b

(iii) 0 ≥ b

(iv) 0 > b

und die Unbekannte x tritt in der Ungleichung nicht mehr auf. In dieser Situation ist die Aussage entweder wahr, d.h. es gilt L = R, oder sie ist falsch, d.h. die L¨ osungsmenge ist leer, i.e. L = ∅.

B

290

3

8. Ungleichungen

Gilt a = 1 und a = 0, wird die Ungleichung durch a dividiert. Dabei ist zu beachten, dass sich f¨ ur negatives a das Ordnungszeichen umkehrt. Es resultiert eine der Ungleichungen aus Fall 1 mit der rechten Seite ab .

Die obigen Betrachtungen f¨ uhren zu einem allgemeinen Lösungsschema f¨ ur lineare Ungleichungen. L¨ osung von linearen Ungleichungen Die lineare Ungleichung ax ≤ b hat die L¨ osungsmengen: a

b

>0

beliebig

13 + angegebenen elementaren Umformungen gelöst:

⇐⇒

1 2x

1 6

1 1 1 x − (4x + 1) > + + 2(x + 2) 2 3 6 3x − 6(4x + 1) > 2 + 1 + 12(x + 2)

+ 2(x + 2) wird mit den ·6 Vereinfachen

8.2

Quadratische Ungleichungen

⇐⇒

−21x − 6 > 12x + 27

⇐⇒

−33 > 33x

⇐⇒

−1 > x

291

+ 21x − 27 : 33

Die L¨ osungsmenge ist somit das Intervall L = (−∞, −1).

8.2

8.2 Quadratische Ungleichungen Eine Ungleichung, die die Unbekannte nur in linearer und quadratischer Form enth¨ alt, heißt quadratische Ungleichung. Sie kann durch elementare Umformungen stets auf eine der folgenden Formen gebracht werden (a, b, c sind feste reelle Zahlen, x ist die Unbekannte): ax2 + bx + c ≤ 0 bzw. ax2 + bx + c < 0 ( ax2 + bx + c ≥ 0 bzw. ax2 + bx + c > 0 ) F¨ ur a = 0 lassen sich quadratische Ungleichungen mittels Division beider Seiten durch a stets auf eine Normalform bringen (p und q bezeichnen beliebige reelle Zahlen): x2 + px + q ≤ 0 bzw. x2 + px + q < 0 ( x2 + px + q ≥ 0 bzw. x2 + px + q > 0 ) Bei diesem Vorgang ist stets das Vorzeichen von a zu beachten. F¨ ur a < 0 muss das Ordnungszeichen umgedreht werden: : (−2) Umkehrung des Ordnungszeichens −2x2 + 8x + 10 ≤ 0 ⇐⇒

x2 − 4x − 5 ≥ 0

Die L¨ osungsmenge einer quadratischen Ungleichung ist entweder leer, ein Intervall oder eine Vereinigung von zwei Intervallen. Sie lässt sich einfach grafisch darstellen, indem die Ungleichung in Normalform gebracht wird und der Graf der zugehörigen Funktion gezeichnet wird. Dies ist immer eine nach oben ge¨ offnete Parabel, da der quadratische Term ein positives Vorzeichen hat. Beispiel Die linke Seite der Ungleichung x2 − 4x − 5 ≥ 0 wird als Funkti-

onswert einer Funktion f aufgefasst, d.h. f (x) = x − 4x − 5. Der Graf der Funktion f ist eine Parabel, die an den L¨ osungen der quadratischen Gleichung x2 − 4x − 5 = 0 die x-Achse schneidet (x1 = −1, x2 = 5). 2

B

292

8. Ungleichungen . ... ... ... ... ... .. .. . .. ... ... .. ... ... ... .. .. . . .. .. ... .. .. ... .. .. ... ... .... . ... .. .. .. ... .. ... .. . . .. . ... .. .. .. .. .. .. ... ... .. . ... .... ... .... ... ..... ........ .....

5

Die L¨ osungsmenge der Ungleichung 2 x − 4x − 5 ≥ 0 entspricht dem blau markierten Bereich auf der xAchse, in dem die Parabel oberhalb der x-Achse liegt oder die x-Achse schneidet. Dies trifft in den Intervallen (−∞, −1] und [5, ∞) zu, d.h. L = (−∞, −1] ∪ [5, ∞).

−2

6

f (x)

0

2

4

-

6 x

−5

Liegt x im Intervall (−1, 5), so befindet sich die Parabel unterhalb der x Achse, d.h. x erf¨ ullt die Ungleichung x2 − 4x − 5 < 0. L¨ osung einer quadratischen Ungleichung Sei x2 + px + q = 0 die Gleichung (in Normalform) zu einer quadratischen Ungleichung. Folgende Vorgehensweise f¨ uhrt zur Lösungsmenge der Ungleichung. 1. Bestimmung der L¨ osungsmenge LG der Gleichung. 2. Festlegung des Pr¨ ufbereichs I, aus dem eine Pr¨ ufstelle∗ x0 gewählt wird: 1

|LG | = 2, d.h es gibt zwei L¨ osungen x1 < x2 : I = (x1 , x2 )

2

|LG | = 1, d.h es gibt eine L¨ osung x1 : I = R \ {x1 }

3

|LG | = 0, d.h es gibt keine L¨ osung: I = R

3. Wahl der Pr¨ ufstelle x0 aus dem Bereich I. 4. Die L¨ osungsmenge L der Ungleichung ist in folgender Tabelle gegeben:

x0 erf¨ ullt die Ungleichung x0 erf¨ ullt die Ungleichung nicht

Ungleichungszeichen ≤, ≥ L=I L = I ∪ LG L = R \ (LG ∪ I) L = R \ I

Formal l¨ asst sich eine quadratische Ungleichung analog zu einer quadratischen Gleichung l¨ osen. Anhand der grafischen Visualisierung und der Eigenschaft, dass die linke Seite x2 + px + q stets eine nach oben geöffnete Parabel beschreibt, kann die L¨ osungsmenge direkt angegeben werden. Ihre Gestalt richtet sich lediglich danach, wie oft die Parabel die x-Achse schneidet, d.h. wie viele L¨ osungen die Gleichung x2 + px + q = 0 hat. ∗ Eine

Pr¨ ufstelle ist eine Zahl, die in die Ungleichung eingesetzt wird.

8.2


293

1. Fall: x2 + px + q = 0 besitzt zwei verschiedene L¨ osungen x1 und x2

In diesem Fall zeigt die grafische Darstellung der Parabel zwei Schnittpunkte mit der Abszisse. Die L¨ osungsmengen der vier zugeh¨ origen quadratischen Ungleichungen lassen sich daher in folgender Regel zusammenfassen.

.. .. .. .. .. .. .. .. .. ... .... ... .. ... ... ... .. .. .. . . .. . .. .. .. .. .. .. .. ... .. . . ... ... ... .. ... ... ... ... ..... . . . . ...............

6

-

Lösungsmenge einer quadratischen Ungleichung Seien x1 < x2 die L¨ osungen der quadratischen Gleichung x2 + px + q = 0. Die L¨ osungsmenge der Ungleichung 1 x2 + px + q ≤ 0 ist L = [x1 , x2 ]. 2

x2 + px + q < 0 ist L = (x1 , x2 ).

3

x2 + px + q ≥ 0 ist L = (−∞, x1 ] ∪ [x2 , ∞) = R \ (x1 , x2 ).

x2 + px + q > 0 ist L = (−∞, x1 ) ∪ (x2 , ∞) = R \ [x1 , x2 ]. Diese Fallunterscheidung ist nur anwendbar, wenn die Ungleichung in Normalform vorliegt. Ist dies nicht der Fall, muss diese zunächst erzeugt werden. 4

Beispiel Die Ungleichung −3x2 + 3x + 18 < 0 liegt nicht in Normalform

vor, die jedoch durch Division beider Seiten mit (−3) erzeugt wird: −3x2 + 3x + 18 < 0 : (−3)Umkehrung des Ordnungszeichens ⇐⇒ x2 − x − 6> 0. quadratische Gleichung x2 − x − 6 = 0 hat die 201Diskriminante D = Die −1 2 + 6 = 25 osungen gibt: 2 4 > 0, so dass es zwei L¨ ' ' 25 25 −1 −1 x1 = − − = −2, x2 = − + = 3. 2 4 2 4 Daher ist die L¨ osungsmenge der Ungleichung x2 − x − 6 > 0 gegeben durch L = (−∞, −2) ∪ (3, ∞) = R \ [−2, 3].

B

294

8. Ungleichungen

Alternativ kann die Pr¨ ufstelle x = 0∗ aus dem Pr¨ ufbereich I = (−2, 3) zur Bestimmung der L¨ osungsmenge verwendet werden. Einsetzen ergibt 02 − 0 − 2 ur alle x ∈ (−2, 3) bzw. x2 − x − 6 > 0 gilt 6 = −6, d.h. x − x − 6 < 0 gilt f¨ f¨ ur alle x ∈ (∞, −2) ∪ (3, ∞). Alternativ k¨ onnen die obigen L¨ osungsmengen auch mit Hilfe einer Faktorisierung des quadratischen Polynoms und anschließender Fallunterscheidung bestimmt werden. In 207Kapitel 6.2 wurde folgende Darstellung einer quadratischen Funktion hergeleitet: osungen x1 und x2 , so gilt Hat x2 + px + q = 0 zwei L¨ x2 + px + q = (x − x1 )(x − x2 ). Damit folgt x2 + px + q ≥ 0 ⇐⇒ (x − x1 )(x − x2 ) ≥ 0. Letzteres ist genau dann der Fall, wenn beide Faktoren das gleiche Vorzeichen haben, d.h. x − x1 ≥ 0 und x − x2 ≥ 0 oder x − x1 ≤ 0 und x − x2 ≤ 0 . Dies f¨ uhrt zu den bereits vorgestellten L¨ osungsmengen. B

Beispiel Die Gleichung x2 − 4x − 5 = 0 besitzt die L¨ osungen x1 = −1 und

asst sich die linke Seite der Ungleichung x2 − 4x − 5 ≥ 0 als x2 = 5. Daher l¨ (x + 1)(x − 5) faktorisieren, und es gilt a ¨quivalent (x + 1)(x − 5) ≥ 0. Das Produkt (x+1)(x−5) ist genau dann nicht-negativ, wenn beide Faktoren das selbe Vorzeichen haben. Die L¨ osungsmenge ergibt sich aus der Fallunterscheidung: 1

⇐⇒ ⇐⇒ ⇐⇒ ⇐⇒

x+1 ≥ 0 und x ≥ −1 und x ∈ [−1, ∞) und x ∈ [−1, ∞) ∩ [5, ∞) x ∈ [5, ∞)

x−5 ≥ 0 x ≥ 5 x ∈ [5, ∞)

Daraus resultiert die L¨ osungsmenge L1 = [5, ∞). ∗ Als Pr¨ ufstelle kann jeder Wert im Intervall (−2, 3) verwendet werden (also etwa auch x = −1 oder x = 1).

8.2


2

⇐⇒ ⇐⇒ ⇐⇒ ⇐⇒

295

x+1 ≤ 0 und x − 5 ≤ 0 x ≤ −1 und x ≤ 5 x ∈ (−∞, −1] und x ∈ (−∞, 5] x ∈ (−∞, −1] ∩ (−∞, 5] x ∈ (−∞, −1]

osungsmenge. Daher ist L2 = (−∞, −1] die L¨ Die Ungleichung (x + 1)(x − 5) ≥ 0 wird also von allen x erf¨ ullt, die entweder ur alle x aus in L1 oder in L2 liegen, d.h. f¨ L = L1 ∪ L2 = (−∞, −1] ∪ [5, ∞) = R \ (−1, 5).

Beispiel Die Ungleichung −2x2 +2x+12 ≥ 0 wird zun¨ achst auf Normalform

gebracht: −2x2 + 2x + 12 ≥ 0 : (−2)

⇐⇒ x2 − x − 6 ≤ 0.

Die quadratische Gleichung x2 −x−6 = 0 besitzt die 293Lo¨sungen 3 und −2, so dass sich die linke Seite gem¨ aß (x − 3)(x + 2) zerlegen lässt. Die linke Seite der Ungleichung ist daher negativ, wenn die Faktoren jeweils verschiedenes Vorzeichen haben: 1

⇐⇒ ⇐⇒ ⇐⇒ ⇐⇒

x − 3≤0 und x + 2 ≥ 0 x≤3 und x ≥ −2 x ∈ (−∞, 3] und x ∈ [−2, ∞) x ∈ (−∞, 3] ∩ [−2, ∞) x ∈ [−2, 3]

Daher ist L1 = [−2, 3]. 2

⇐⇒ ⇐⇒ ⇐⇒ ⇐⇒

x − 3≥0 und x + 2 ≤ 0 x≥3 und x ≤ −2 x ∈ [3, ∞) und x ∈ (−∞, −2] x ∈ [3, ∞) ∩ (−∞, −2] x∈∅

Also gilt L2 = ∅. Die L¨ osungsmenge der Ungleichung −2x2 +2x+12 ≥ 0 ist also L = L1 ∪L2 = [−2, 3] ∪ ∅ = [−2, 3]. 2. Fall: x2 + px + q = 0 besitzt genau eine L¨ osung x1

In diesem Fall ergibt sich f¨ ur die linke Seite die folgende grafische Darstellung: Die Parabel ber¨ uhrt die Abszisse in genau einem Punkt. Die L¨ osungsmengen h¨ angen daher auch nur von diesem Punkt ab.

.. .. ... ... ... ... ... ... .. . . .. . .. .. .. .. ... .. ... ... . ... . .. ... ... .... .... ...... ......................

6

-

B

296

8. Ungleichungen

L¨ osungsmenge einer quadratischen Ungleichung Sei x1 die einzige L¨ osung der quadratischen Gleichung x2 + px + q = 0. Die L¨ osungsmenge der Ungleichung (i) x2 + px + q ≤ 0 ist L = {x1 },

(iii) x2 + px + q ≥ 0 ist L = R,

(ii) x2 + px + q < 0 ist leer: L = ∅,

(iv) x2 + px + q > 0 ist L = R \ {x1 }.

Diese Fallunterscheidung ist nur anwendbar, wenn die Ungleichung in Normalform vorliegt. Ist dies nicht der Fall, muss diese zunächst erzeugt werden. B

Beispiel Die Normalform der Ungleichung 2x2 −8x+8 ≤ 0 ist x2 −4x+4 ≤ 0. Mittels zweiter 16binomischer Formel folgt, dass x2 − 4x + 4 = 0 genau eine

L¨ osung besitzt: x2 − 4x + 4 = 0 ⇐⇒ x2 − 2 · 2x + 22 = 0 ⇐⇒ (x − 2)2 = 0 ⇐⇒ x = 2. Damit ist L = {2} L¨ osungsmenge der Ungleichung x2 − 4x + 4 ≤ 0. Alternativ folgt dieses Ergebnis direkt aus der Darstellung (x − 2)2 ≤ 0. Da die linke Seite stets nicht-negativ ist, gibt es nur die Lösung x = 2. Wie im obigen Beispiel liefert alternativ eine 207Zerlegung der linken Seite die L¨ osung. Es gilt n¨ amlich osung x1 , so gilt x2 +px+q = (x−x1 )2 . Hat x2 +px+q = 0 genau eine L¨ Der Ausdruck (x − x1 )2 ist als Quadrat stets nicht-negativ. Die Ungleichung osung, wohingegen x2 + px + q ≥ 0 f¨ ur alle x2 + px + q < 0 hat daher keine L¨ reellen Zahlen x erf¨ ullt ist. Die Ungleichung x2 + px + q ≤ 0 wird nur von x1 gel¨ ost und x2 + px + q > 0 von allen reellen Zahlen außer von x1 . B

Beispiel Die Ungleichung 3x2 − 6x + 3 > 0 wird durch Division mit 3 auf

Normalform gebracht: 3x2 − 6x + 3 > 0

:3

⇐⇒ x2 − 2x + 1 > 0.

Mittels quadratischer Erg¨ anzung (oder direkt mit der zweiten binomischen Formel) folgt, dass x2 − 2x + 1 = 0 nur eine Lösung besitzt: x2 −2x+1 = 0 ⇐⇒ x2 +2·(−1)x+(−1)2 = 0 ⇐⇒ (x−1)2 = 0 ⇐⇒ x = 1. ur alle x ∈ R \ {1} Damit ist die Ungleichung ¨ aquivalent zu (x − 1)2 > 0, was f¨ erf¨ ullt ist. Die L¨ osungsmenge ist somit L = R \ {1}.

8.3

Bruchungleichungen

297

3. Fall x2 + px + q = 0 besitzt keine L¨ osung

Die grafische Darstellung der Parabel zeigt, dass es keine Schnittpunkte mit der Abszisse gibt. Da die Gleichung in Normalform vorliegt, ist die Parabel nach oben ge¨ offnet, d.h. sie liegt stets oberhalb der Abszisse.

... ... ... ... ... .. .. .. .. . . .. . .. .. ... ... ... ... ... ... . .... . . . ..... ........................

6

-

Lösungsmenge einer quadratischen Ungleichung Hat die quadratische Gleichung x2 + px + q = 0 keine Lösung, dann sind die L¨ osungsmengen der Ungleichungen x2 + px + q ≤ 0 und x2 + px + q < 0 leer, d.h. L = ∅. x2 + px + q ≥ 0 und x2 + px + q > 0 gegeben durch L = R. Diese Fallunterscheidung ist nur anwendbar, wenn die Ungleichung in Normalform vorliegt. Ist dies nicht der Fall, muss diese zunächst erzeugt werden. ugt Allgemein gilt: Hat die Gleichung ax2 + bx + c = 0 keine Lösung, so gen¨ es, die zugeh¨ orige Ungleichung an einer Stelle (etwa f¨ ur x = 0) zu pr¨ ufen, um die L¨ osungsmenge der betrachteten Ungleichung zu ermitteln. Beispiel F¨ ur die Ungleichung −x2 + x − 6 < 0 gilt:

−x2 + x − 6 < 0 : (−1)

B

⇐⇒ x2 − x + 6 > 0.

2 Da die Diskriminante D = −1 − 6 = −23 2 4 negativ ist, hat die quadratische osung. Dies bedeutet, dass die durch f (x) = Gleichung x2 − x + 6 = 0 keine L¨ x2 −x+6 festgelegte Parabel die x-Achse nicht schneidet. Wegen f (0) = 6 > 0 gilt daher L = R.

8.3 Bruchungleichungen Ungleichung, bei denen die Unbekannte im Nenner eines Bruchs steht, wie etwa x−1 ≥ 1, x+3 erfordern spezielle L¨ osungsverfahren. Zun¨ achst muss – wie bei 208Bruchgleichungen – der Definitionsbereich der Ungleichung bestimmt werden. Dies ist im obigen Beispiel die Menge R \ {−3}, da der Nenner f¨ ur x = −3 Null wird. Zur L¨ osung der zugeh¨ origen Gleichung k¨ onnten beide Seiten der Gleichung

8.3

298

8. Ungleichungen

mit dem Nenner x + 3 multipliziert werden. Diese, sich intuitiv anbietende, Operation ist bei Ungleichungen nicht ohne Weiteres erlaubt. Während bei festen Zahlen das Vorzeichen feststeht, ist bei Termen das Vorzeichen i.Allg. vom Wert der Unbekannten abh¨ angig. Der Term x + 3 hat f¨ ur x > −3 positives und f¨ ur x < −3 negatives Vorzeichen. Bei Multiplikation mit einem Term muss daher zun¨ achst gepr¨ uft werden, welches Vorzeichen dieser besitzt und die Betrachtung dann gegebenenfalls f¨ ur mehrere Bereiche separat durchgef¨ uhrt werden. Zur Illustration dieses Problems werden die ¨ aquivalente Ungleichung x−1 x+3 − 1 ≥ 0 − 1 definierte Funktiund die durch f (x) = x−1 x+3 on betrachtet. An dieser Stelle sei darauf hingewiesen, dass die Funktion f an der Stelle x = −3 eine Definitionsl¨ ucke hat.

... ... ... ... .. ... ... .... . .. .. .. .. . . . .... ......... ...........................................

6

-

......................... ......................................... ......... ....

−3...... .. .. ... .... .. ... ... .... .. ... ..

Die Grafik zeigt, dass (−∞, −3) L¨ osungsmenge der Ungleichung ist. W¨ urden beide Seiten der Ungleichung ohne Beachtung des Vorzeichens von x + 3 mit diesem Term multipliziert, resultierte folgende Rechnung x−1 ≥1 x+3 x−1 ≥ x+3 ⇐⇒

· (x + 3) −x

−1 ≥ 3.

Diese Aussage ist offensichtlich falsch, d.h. die Ungleichung besäße nach dieser Rechnung keine L¨ osung. Dies steht jedoch im Widerspruch zur grafischen L¨ osung des Problems. Im Folgenden werden zwei M¨ oglichkeiten zur Lösung einer Bruchungleichung vorgestellt. Dazu werden zun¨ achst alle vorkommenden Br¨ uche auf einen gemeinsamen Nenner gebracht und dann entweder alle Terme auf der linken Seite der Ungleichung gesammelt, zu einem Bruch zusammengefasst und anschließend eine Fallunterscheidung durchgef¨ uhrt: 1 Der Bruch ist negativ, wenn Z¨ ahler und Nenner jeweils verschiedenes Vorzeichen besitzen. 2

oder

Der Bruch ist positiv, wenn Z¨ ahler und Nenner das selbe Vorzeichen haben.

8.3

Bruchungleichungen

299

das Vorzeichen des Nenners in Abh¨ angigkeit von der Unbekannten diskutiert und Bereiche festgelegt, in denen der Nenner positives bzw. negatives Vorzeichen hat. Anschließend werden beide Seiten mit dem Ausdruck im Nenner (unter Ber¨ ucksichtigung von dessen Vorzeichen) multipliziert. Beide Strategien werden jeweils an einem Beispiel erläutert. Beispiel Die Ungleichung

≥ 1 wird mittels des ersten Ansatzes gelöst. Definitionsbereich ist D = R \ {−3}.

⇐⇒ ⇐⇒ ⇐⇒ ⇐⇒

x−1 x+3

x−1 ≥1 x+3 x−1 −1≥0 x+3 x−1 x+3 − ≥0 x+3 x+3 x−1−x−3 ≥0 x+3 −4 ≥ 0. x+3

−1

Soll der Bruch auf der linken Seite nicht-negativ sein, m¨ ussen Zähler und Nenner jeweils das selbe Vorzeichen besitzen. Das f¨ uhrt zur Fallunterscheidung: 1

−4 ≥ 0 und x + 3 > 0 Da −4 negativ ist, ist dieser Bereich leer, d.h. L1 = ∅.

2

−4 ≤ 0 und x + 3 < 0 Da die erste Ungleichung stets erf¨ ullt ist, muss lediglich bestimmt werden, wann die zweite Ungleichung gilt. Dies ist f¨ ur x < −3 der Fall, d.h. L2 = (−∞, −3).

Die L¨ osungsmenge der urspr¨ unglichen Ungleichung ist die Vereinigung der beiden L¨ osungsmengen, d.h. L = L1 ∪ L2 = ∅ ∪ (−∞, −3) = (−∞, −3).

B

300

B

8. Ungleichungen

Beispiel Die Ungleichung

≤ 1 wird mit dem zweiten Ansatz gelöst (Definitionsbereich ist R \ {−1, 2}). Hierzu werden beide Br¨ uche zunächst durch Erweitern auf den gemeinsamen Nenner (x − 2)(x + 1) gebracht: 2 x x−2 + x+1

x(x − 2) 2(x + 1) + ≤ 1. (x − 2)(x + 1) (x − 2)(x + 1) Als n¨ achstes wird das Vorzeichen des Nenners diskutiert: 1

(x − 2)(x + 1) > 0 Dies ist genau dann der Fall, wenn beide Faktoren das selbe Vorzeichen haben, d.h. wenn beide positiv sind ⇐⇒ ⇐⇒ ⇐⇒ ⇐⇒

x − 2>0 und x + 1 > 0 x>2 und x > −1 x ∈ (2, ∞) und x ∈ (−1, ∞) x ∈ (2, ∞) ∩ (−1, ∞) x ∈ (2, ∞)

oder beide negativ sind ⇐⇒ ⇐⇒ ⇐⇒ ⇐⇒ ⇐⇒

x − 2 0. Allgemein sind L¨ osungsmengen von Betragsungleichungen Vereinigungen von Intervallen.

... . ... ... ... ... .. ... ... ... . . ... . ... ... ... ... ... ... .. ... . . . ... ... ... ... ... ... ... ... .. . . . ... ... ... ... ... ... ... ... .. . . ... . ... ... ... ... ... .... ... .. . .

6

−2

0

-

2

−2

L¨ osungsverfahren f¨ ur Betragsungleichungen 1. Bestimmung der L¨ osung der zugeh¨ origen Betragsgleichung. 2. Diese L¨ osungen f¨ uhren zu einer Einteilung der reellen Zahlen in offene Intervalle.∗ In jedem Intervall wird mit einer 292Pru ¨ fstelle die Ausgangsungleichung gepr¨ uft. Gen¨ ugt diese Pr¨ ufstelle der Ungleichung, gehört das jeweils betrachtete Intervall zur L¨ osungsmenge. 3. Die L¨ osungsmenge der Betragsungleichung ist die Vereinigung der in Punkt 2 ermittelten Mengen sowie ggf. der in Punkt 1 berechneten Lösungen der Gleichung. Diese m¨ ussen gesondert u uft werden. ¨berpr¨

B

Grunds¨ atzlich gilt: Ist Gleichheit in der Ungleichung zugelassen, so gehören die L¨ osungen der Gleichung zur L¨ osungsmenge. Ansonsten gehören sie nicht zur L¨ osungsmenge. Beispiel Die Ungleichung |x − 1| ≤ 3 f¨ uhrt zur Betragsgleichung |x − 1| = 3.

Wegen |x − 1| =

x − 1,

falls x − 1 ≥ 0

−(x − 1), falls x − 1 < 0

=

x − 1, falls x ≥ 1 1 − x,

falls x < 1

∗ Die offenen Intervalle werden gew¨ ahlt, da an den Intervallgrenzen die Ungleichung mit Gleichheit erf¨ ullt ist. Ob die R¨ ander zur L¨ osungsmenge geh¨ oren, h¨ angt davon ab, ob die Ungleichung strikt erf¨ ullt sein muss.

8.4

Betragsungleichungen

303

wird die Gleichung in zwei Schritten gel¨ ost: 1

x ∈ (−∞, 1):

2

x ∈ [1, ∞):

|x − 1| = 3 ⇐⇒ 1 − x = 3 ⇐⇒ x = −2. |x − 1| = 3 ⇐⇒ x − 1 = 3 ⇐⇒ x = 4.

¨ Aus diesen Uberlegungen ergibt sich eine Einteilung in die Intervalle (−∞, −2), (−2, 4) und (4, ∞), und es gilt: Intervall (−∞, −2) (−2, 4) (4, ∞) Pr¨ ufstelle x = −3 x=0 x=5 Ungleichung nach Einsetzen 4≤3 1≤3 4≤3 Ungleichung erf¨ ullt nein ja nein Die L¨ osungen der Gleichung x = −2 und x = −4 erf¨ ullen ebenfalls die Ungleichung, da diese Gleichheit liefern. Somit ist die Ausgangsungleichung f¨ ur x ∈ [−2, 4] erf¨ ullt, d.h. L = [−2, 4]. Beispiel Zur L¨ osung der Ungleichung |x − 1| + |x + 2| − |x − 3| ≤ 0 werden

zun¨ achst die Nullstellen der Ausdr¨ ucke in den einzelnen Beträgen benötigt, die offensichtlich 1, −2, 3 sind. Daraus resultieren folgende, zur Lösung der zugeh¨ origen Gleichung gesondert zu betrachtende Bereiche:∗ (−∞, −2),

[−2, 1),

[1, 3),

[3, ∞).

Die Vorzeichen sind in folgender Tabelle enthalten. Intervall (−∞, −2) [−2, 1) [1, 3) Pr¨ ufstelle x = −3 x=0 x=2 x−1 − − + Vorzeichen von x+2 − + + x−3 − − − |x − 1| 1−x 1−x x−1 Aufl¨ osen |x + 2| −x − 2 x+2 x+2 des Betrags |x − 3| 3−x 3−x 3−x

[3, ∞) x=4 + + + x−1 x+2 x−3

Die Gleichung wird mittels einer Fallunterscheidung gelöst. Die resultierenden Terme nach Aufl¨ osung der Betr¨ age k¨ onnen jeweils der obigen Tabelle entnommen werden. ∗ Alternativ kann z.B. auch die Einteilung (−∞, −2], (−2, 1], (1, 3], (3, ∞) benutzt werden. Wesentlich ist nur, dass die Stellen, an denen einer der Betr¨ age sein Vorzeichen wechselt, einem Intervall zugeordnet werden. Die Intervalle m¨ ussen eine 54Zerlegung der reellen Zahlen bilden.

B

304

1

8. Ungleichungen

|x − 1| + |x + 2| − |x − 3| = 0

x ∈ (−∞, −2): ⇐⇒

(1 − x) + (−x − 2) − (3 − x) = 0

⇐⇒

−x + 1 − x − 2 + x − 3 = 0

⇐⇒

−x − 4 = 0

⇐⇒

x = −4

Wegen −4 ∈ (−∞, −2) ist −4 eine L¨ osung der Gleichung. 2

|x − 1| + |x + 2| − |x − 3| = 0

x ∈ [−2, 1): ⇐⇒

(1 − x) + (x + 2) − (3 − x) = 0

⇐⇒

−x + 1 + x + 2 + x − 3 = 0

⇐⇒

x=0

Wegen 0 ∈ [−2, 1) ist 0 eine L¨ osung der Gleichung. 3

|x − 1| + |x + 2| − |x − 3| = 0

x ∈ [1, 3): ⇐⇒

(x − 1) + (x + 2) − (3 − x) = 0

⇐⇒

x−1+x+2+x−3=0

⇐⇒

3x − 2 = 0

⇐⇒ Wegen 4

2 3

∈ [1, 3) ist

x= 2 3

2 3

keine L¨ osung der Gleichung. |x − 1| + |x + 2| − |x − 3| = 0

x ∈ [3, ∞): ⇐⇒

(x − 1) + (x + 2) − (x − 3) = 0

⇐⇒

x−1+x+2−x+3 = 0

⇐⇒

x+4=0

⇐⇒

x = −4

Wegen −4 ∈ [3, ∞) ist −4 keine L¨ osung der Gleichung. ¨ Aus diesen Uberlegungen folgt, dass die Gleichung die Lösungen −4 und 0 besitzt. Die linke Seite der Ungleichung kann daher lediglich an diesen Stellen ihr Vorzeichen ändern. Daher m¨ ussen lediglich die Bereiche (−∞, −4), (−4, 0) und (0, ∞) untersucht werden. Dies ergibt: Intervall (−∞, −4) (−4, 0) (0, ∞) Pr¨ ufstelle x = −5 x = −1 x = 1 Ungleichung nach Einsetzen 1≤0 −1 ≤ 0 1 ≤ 0 Ungleichung erf¨ ullt nein ja nein

8.5

Aufgaben

305

Die L¨ osungsmenge der Ungleichung ist somit das Intervall L = [−4, 0]. Dies wird auch an der grafischen Darstellung deutlich. ....... ....... ....... ....... ....... . . . . .. ... ... ... ... . . .. ... ... .. ... . . .. ... ... ... ... . . .. ... ... ... ... . . .. ... ... ... ... . . ... ....... .... ....... ....... ....... ....... ........ ........ . . . . ....... . . ... ........ ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ........ ....... . . . ....... . . . ... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ........ .............. .......

6

6

4

2

-

−4

−2

0

2

8.5

8.5 Aufgaben Aufgabe 8.1 L¨ osen Sie die linearen Ungleichungen, und geben Sie die Lösungs-

menge an. (a) x − 2 > 2x − 1

(e) 2(x − 1) < 6 x +

(b) 4x + 3 ≤ 2(x − 6)

(f) 3x − 1 ≤ 2(x − 3) − (2 − x)

(c)

x−1 2

≥

1−x 3

(d) 4(x − 1) − 3(x + 2) < 8

(g) 9x ≥

306 L

5 3

3(6x−1) 2

(h) −7x ≥

3(x−1) 2

L¨ osen Sie die quadratischen Ungleichungen, und geben Sie die L¨ osungsmenge an.

Aufgabe 8.2

(a) x2 − x − 2 < 0

(f) −2x2 + 16x − 32 ≥ 0

(b) x2 − 7x + 12 ≥ 0

(g) −x2 − 14x − 49 < 0

(c) 4x2 − 8x + 3 > 0

(h) x2 + 2x + 10 ≤ 0

(d) −x2 − 4x + 5 ≥ 0

(i) −3x2 + 18x − 36 < 0

(e) x2 + 6x + 9 ≥ 0

(j) −x2 + 4x + 21 > 0

307 L

306

307 L

309 L

8. Ungleichungen

L¨ osen Sie die Bruchungleichungen, und geben Sie die Lösungsmenge an. Bestimmen Sie zun¨ achst die Definitionsmenge der Ungleichung.

Aufgabe 8.3

(a)

x+2 x−3

≤2

(c)

2x−4 2−x

(b)

x x−1

>3

(d)

2 x−1

≥0

≤

1 x+1

(e)

x x+3

−

1 x−2

≥1

(f)

x x−1

+

2 x+1

≤

−4 x2 −1

Aufgabe 8.4 L¨ osen Sie die Betragsungleichungen, und geben Sie die Lösungs-

menge an. (a) |x + 2| ≤ 2x − 1

(d) |3x − 1| + |x + 2| ≤ 3

(b) |x − 3| > 1

(e) |x + 1| − |x − 1| + 2|x + 2| > 0

(c) |x − 4| − |2x + 6| ≥ 0

(f) −|x + 1| + |x − 3| ≥ 1 + |x + 4|

8.6

8.6 L¨ osungen

305 A

L¨ osung 8.1

(a) x − 2 > 2x − 1 − x + 1 ⇐⇒ −1 > x; L = (−∞, −1) (b) 4x + 3 ≤ 2(x − 6) ⇐⇒ 4x + 3 ≤ 2x − 12 − 2x − 3 ⇐⇒ 2x ≤ −15 : 2 ; L = −∞, − 15 ⇐⇒ x ≤ − 15 2 2 x−1 1−x ·6 ⇐⇒ 3(x − 1) ≥ 2(1 − x) ⇐⇒ 3x − 3 ≥ 2 − 2x + 2x + 3 (c) 2 ≥ 3 ⇐⇒ 5x ≥ 5 : 5 ⇐⇒ x ≥ 1; L = [1, ∞) (d) 4(x − 1) − 3(x + 2) < 8 ⇐⇒ 4x − 4 − 3x − 6 < 8 ⇐⇒ x − 10 < 8 + 10 ⇐⇒ x < 18; L = (−∞, 18) (e) 2(x − 1) < 6 x + 53 ⇐⇒ 2x − 2 < 6x + 10 − 6x + 2 ⇐⇒ −4x < 12 : (−4) ⇐⇒ x > −3; L = (−3, ∞) (f) 3x − 1 ≤ 2(x − 3) − (2 − x) ⇐⇒ 3x − 1 ≤ 2x − 6 − 2 + x ⇐⇒ 3x − 1 ≤ 3x − 8 − 3x + 1 ⇐⇒ 0 ≤ −7; L = ∅ · 2 ⇐⇒ 18x ≥ 18x − 3 − 18x ⇐⇒ 0 ≥ −3; L = R (g) 9x ≥ 3(6x−1) 2 · 2 ⇐⇒ −14x ≥ 3x − 3 − 3x ⇐⇒ −17x ≥ −3 : (−17) (h) −7x ≥ 3(x−1) 2 3 3 ; L = −∞, 17 ⇐⇒ x ≤ 17

8.6

L¨ osungen

307

L¨ osung 8.2 D bezeichne jeweils die 201Diskriminante der quadratischen Gleichung. x1 und x2 seien die zugeh¨ origen L¨ osungen. Die Anwendung einer binomi1 2 schen Formel wird jeweils mit ⇐⇒ , ⇐⇒ markiert. (a) zugeh¨ orige Gleichung: x2 − x − 2 = 0; D = −1 =⇒ L = (−1, 2)

9 4

305 A

> 0, d.h. x1 = 2 und x2 =

(b) zugeh¨ orige Gleichung: x2 − 7x + 12 = 0; D = 14 > 0, d.h. x1 = 4 und x2 = 3 =⇒ L = (−∞, 3] ∪ [4, ∞) = R \ (3, 4) (c) 4x2 − 8x + 3 > 0 : 4 ⇐⇒ x2 − 2x + 34 > 0 zugeh¨ orige Gleichung: x2 − 2x + 34 = 0; D = 14 > 0, d.h. x1 = 32 und x2 = 12 =⇒ L = −∞, 12 ∪ 32 , ∞ = R \ 12 , 32 (d) −x2 − 4x + 5 ≥ 0 : (−1) ⇐⇒ x2 + 4x − 5 ≤ 0 zugeh¨ orige Gleichung: x2 + 4x − 5 = 0; D = 9 > 0, d.h. x1 = 1 und x2 = −5 =⇒ L = [−5, 1] 1

(e) x2 + 6x + 9 ≥ 0 ⇐⇒ (x + 3)2 ≥ 0; L = R (f) −2x2 + 16x − 32 ≥ 0 : (−2) L = {4}

⇐⇒

2

x2 − 8x + 16 ≤ 0 ⇐⇒ (x − 4)2 ≤ 0;

1 (g) −x2 − 14x − 49 < 0 · (−1) ⇐⇒ x2 + 14x + 49 > 0 ⇐⇒ (x + 7)2 > 0; L = (−∞, −7) ∪ (−7, ∞) = R \ {−7} (h) zugeh¨ orige Gleichung: x2 +2x+10 = 0; D = −9 < 0, d.h. es gibt keine L¨ osung

der Gleichung. Pr¨ ufstelle x = 0: 10 ≤ 0; L = ∅ (i) −3x2 + 18x − 36 < 0 : (−3) ⇐⇒ x2 − 6x + 12 > 0; zugeh¨ orige Gleichung: x2 −6x+12 = 0; D = −3 < 0, d.h. es gibt keine L¨ osung der Gleichung. Pr¨ ufstelle x = 0: 12 > 0; L = R (j) −x2 + 4x + 21 > 0 · (−1) ⇐⇒ x2 − 4x − 21 < 0; zugeh¨ orige Gleichung: x2 − 4x − 21 = 0; D = 25 > 0, d.h. x1 = 7 und x2 = −3 =⇒ L = (−3, 7) 306 A

L¨ osung 8.3 (a) D = R \ {3}:

x+2 x−3

≤ 2 ⇐⇒

x+2 x−3

−

2(x−3) x−3

≤ 0 ⇐⇒

−x+8 x−3

1 −x + 8 ≥ 0 und x − 3 < 0 ⇐⇒ x ≤ 8 und x < 3

⇐⇒ x ∈ (−∞, 8] ∩ (−∞, 3) =⇒ L1 = (−∞, 3) 2 −x + 8 ≤ 0 und x − 3 > 0 ⇐⇒ x ≥ 8 und x > 3

⇐⇒ x ∈ [8, ∞) ∩ (3, ∞) =⇒ L2 = [8, ∞) =⇒ L = L1 ∪ L2 = (−∞, 3) ∪ [8, ∞) = R \ [3, 8)

≤0

308

8. Ungleichungen

(b) D = R \ {1}:

x x−1

> 3 ⇐⇒

x x−1

−

3(x−1) x−1

1 −2x + 3 > 0 und x − 1 > 0 ⇐⇒ x
0 ⇐⇒

>0

3 2

und x > 1 ∩ (1, ∞) =⇒ L1 = 1, 32

2 −2x + 3 < 0 und x − 1 < 0 ⇐⇒ x >

3 2

und x < 1 , ∞ ∩ (−∞, 1) =⇒ L = ∅ 2 2 3 3 =⇒ L = L1 ∪ L2 = 1, 2 ∪ ∅ = 1, 2 ⇐⇒ x ∈

3

(c) D = R \ {2}: 1 2x − 4 ≥ 0 und 2 − x > 0 ⇐⇒ x ≥ 2 und x < 2

⇐⇒ x ∈ [2, ∞) ∩ (−∞, 2) =⇒ L1 = ∅ 2 2x − 4 ≤ 0 und 2 − x < 0 ⇐⇒ x ≤ 2 und x > 2

⇐⇒ x ∈ (∞, 2] ∩ (2, ∞) =⇒ L2 = ∅ =⇒ L = L1 ∪ L2 = ∅ ∪ ∅ = ∅ = 2(x−2) = −2, d.h. die linke Seite der UngleiAlternativ gilt f¨ ur x = 2: 2x−4 2−x 2−x chung ist f¨ ur x = 2 stets gleich −2. Die Ungleichung ist daher unerf¨ ullbar. (d) D = R \ {−1, 1}: 2 1 ≤ x+1 ⇐⇒ x−1

2(x+1) (x−1)(x+1)

−

x−1 (x+1)(x−1)

≤ 0 ⇐⇒

x+3 x2 −1

≤0

1 x + 3 ≤ 0 und x − 1 > 0 ⇐⇒ x ≤ −3 und x > 1 2

2

⇐⇒ x ∈ (−∞, −3] ∩ ((−∞, −1) ∪ (1, ∞)) =⇒ L1 = (−∞, −3] 2 x + 3 ≥ 0 und x2 − 1 < 0 ⇐⇒ x ≥ −3 und x2 < 1

⇐⇒ x ∈ [−3, ∞) ∩ (−1, 1) =⇒ L2 = (−1, 1) =⇒ L = L1 ∪ L2 = (−∞, −3] ∪ (−1, 1) (e) D = R \ {−3, 2}: x 1 − x−2 ≥ 1 ⇐⇒ x+3

x(x−2)−(x+3)−(x+3)(x−2) (x+3)(x−2)

≥ 0 ⇐⇒

1 −4x + 3 ≥ 0 und (x + 3)(x − 2) > 0 ⇐⇒ x ≤

3 4

2 −4x + 3 ≤ 0 und (x + 3)(x − 2) < 0 ⇐⇒ x ≥

3 4

−4x+3 (x+3)(x−2)

≥0

und x + x − 6 > 0 ⇐⇒ x ∈ −∞, 34 ∩ ((−∞, −3) ∪ (2, ∞)) =⇒ L1 = (−∞, −3) ⇐⇒ x ∈

3

3

4

4

, ∞ ∩ (−3, 2) =⇒ L2 = =⇒ L = L1 ∪ L2 = (−∞, −3) ∪ 34 , 2 (f) D = R \ {−1, 1}: x 2 + x+1 ≤ x−4 ⇐⇒ 2 −1 x−1

x(x+1)+2(x−1)+4 x2 −1 2

2

und x2 + x − 6 < 0

,2

≤ 0 ⇐⇒

x2 +3x+2 x2 −1

≤0

Die quadratische Gleichung x + 3x + 2 = 0 hat die Diskriminante D = 14 > 0, d.h. x1 = −2 und x2 = −1 sind die L¨ osungen der Gleichung. Daraus folgt: 1 x2 + 3x + 2 ≤ 0 und x2 − 1 > 0 ⇐⇒ x2 + 3x + 2 ≤ 0 und x2 > 1

⇐⇒ x ∈ [−2, −1] ∩ ((−∞, −1) ∪ (1, ∞)) =⇒ L1 = [−2, −1) 2 x2 + 3x + 2 ≥ 0 und x2 − 1 < 0 ⇐⇒ x2 + 3x + 2 ≥ 0 und x2 < 1

⇐⇒ x ∈ ((−∞, −2] ∪ [−1, ∞)) ∩ (−1, 1) =⇒ L2 = (−1, 1) =⇒ L = L1 ∪ L2 = [−2, −1) ∪ (−1, 1) = [−2, 1) \ {−1}

8.6

L¨ osungen

309

306 A

L¨ osung 8.4 (a)

1 x ∈ (−∞, −2]: −x − 2 = 2x − 1 ⇐⇒ −3x = 1 ⇐⇒ x = − 13 ;

− 13 ∈ (−∞, −2] ist keine L¨ osung

2 x ∈ (2, ∞): x + 2 = 2x − 1 ⇐⇒ 3 = x;

3 ∈ (2, ∞) ist eine L¨ osung Intervall Pr¨ ufstelle Ungleichung nach Einsetzen Ungleichung erf¨ ullt

(−∞, 3) x=0 2 ≤ −1 nein

(3, ∞) x=4 6≤7 ja

L = [3, ∞) (b)

1 x ∈ (−∞, 3]: −x + 3 = 1 ⇐⇒ 2 = x;

2 ∈ (−∞, 3] ist eine L¨ osung 2 x ∈ (3, ∞): x − 3 = 1 ⇐⇒ x = 4;

4 ∈ (3, ∞) ist eine L¨ osung Intervall Pr¨ ufstelle Ungleichung nach Einsetzen Ungleichung erf¨ ullt

(−∞, 2) x=0 3>1 ja

(2, 4) x=3 0>1 nein

(4, ∞) x=5 2>1 ja

L = (−∞, 2) ∪ (4, ∞) = R \ [2, 4] (c)

1 x ∈ (−∞, −3]: −x + 4 + 2x + 6 = 0 ⇐⇒ x = −10;

−10 ∈ (−∞, −3] ist eine L¨ osung 2 x ∈ (−3, 4]: −x + 4 − 2x − 6 = 0 ⇐⇒ −3x = 2 ⇐⇒ x = − 32 ;

− 23 ∈ (−3, 4] ist eine L¨ osung

3 x ∈ (4, ∞): x − 4 − 2x − 6 = 0 ⇐⇒ x = −10;

−10 ∈ (4, ∞) ist keine L¨ osung Intervall Pr¨ ufstelle Ungleichung nach Einsetzen Ungleichung erf¨ ullt

(−∞, −10) x = −11 −1 ≥ 0 nein

−10, − 32 x = −1 1≥0 ja

− 23 , ∞ x=0 −2 ≥ 0 nein

L = −10, − 23 (d)

1 x ∈ (−∞, −2]: −3x + 1 − x − 2 = 3 ⇐⇒ −4x = 4 ⇐⇒ x = −1;

−1 ∈ (−∞, −2] ist keine L¨ osung 1 2 x ∈ −2, 3 : −3x + 1 + x + 2 = 3 ⇐⇒ −2x = 0 ⇐⇒ x = 0; 0 ∈ −2, 13 ist eine L¨ osung

310

8. Ungleichungen

3 x∈

1 1 2

, ∞ : 3x − 1 + x + 2 = 3 ⇐⇒ 4x = 2 ⇐⇒ x = 12 ; ∈ 13 , ∞ ist eine L¨ osung 1 1 Intervall (−∞, 0) 0, 2 ,∞ 2 Pr¨ ufstelle x = −1 x = 13 x=1 7 Ungleichung nach Einsetzen 5≤3 ≤3 5≤3 3 Ungleichung erf¨ ullt nein ja nein

3

L = 0, 12 (e)

1 x ∈ (−∞, −2]: −x−1+x−1−2x−4 = 0 ⇐⇒ −2x = 6 ⇐⇒ x = −3;

−3 ∈ (−∞, −2] ist eine L¨ osung 2 x ∈ (−2, −1]: −x − 1 + x − 1 + 2x + 4 = 0 ⇐⇒ 2x = −2 ⇐⇒ x = −1;

−1 ∈ (−2, −1] ist eine L¨ osung 3 x ∈ (−1, 1]: x + 1 + x − 1 + 2x + 4 = 0 ⇐⇒ 4x = −4 ⇐⇒ x = −1;

−1 ∈ (−1, 1] ist keine L¨ osung∗

4 x ∈ (1, ∞): x + 1 − x + 1 + 2x + 4 = 0 ⇐⇒ 2x = −6 ⇐⇒ x = −3;


(−∞, −3) x = −4 2>0 ja

(−3, −1) x = −2 −2 > 0 nein

(−1, ∞) x=0 4>0 ja

L = (−∞, −3) ∪ (−1, ∞) = R \ [−3, −1] (f)

1 x ∈ (−∞, −4]: x + 1 − x + 3 = 1 − x − 4 ⇐⇒ x = −7;

−7 ∈ (−∞, −4] ist eine L¨ osung 2 x ∈ (−4, −1]: x + 1 − x + 3 = 1 + x + 4 ⇐⇒ x = −1;

−1 ∈ (−4, −1] ist eine L¨ osung 3 x ∈ (−1, 3]: −x − 1 − x + 3 = 1 + x + 4 ⇐⇒ −3x = 3 ⇐⇒ x = −1;

−1 ∈ (−1, 3] ist keine L¨ osung 4 x ∈ (3, ∞): −x − 1 + x − 3 = 1 + x + 4 ⇐⇒ x = −9;


(−∞, −7) x = −8 4≥5 nein

(−7, −1) x = −2 4≥3 ja

(−1, ∞) x=0 2≥5 nein

L = [−7, −1] ∗ Diese Aussage bezieht sich lediglich auf diesen Teil der Untersuchung. Nach Teil −1 eine L¨ osung und muss daher im Folgenden ber¨ ucksichtigt werden.

2

ist

Kapitel 9 Folgen und Reihen

9

9

9

Folgen und Reihen

9.1

Folgen .............................................................. 313

9.2

Reihen.............................................................. 321

9.3

Spezielle Reihen .................................................. 323

9.4

Aufgaben .......................................................... 327

9.5

Lösungen .......................................................... 328

313

9.1

Folgen

313

9 Folgen und Reihen 9.1

9.1 Folgen In 9Kapitel 1.2 wurden u.a. die nat¨ urlichen Zahlen eingef¨ uhrt. Diese Menge besitzt unendlich viele Elemente und wird i.Allg. in der aufzählenden Schreibweise N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, . . .} notiert. Da die Reihenfolge der Elemente in der aufz¨ ahlenden Darstellung einer Menge ohne Bedeutung ist, beschreibt die Menge {3, 2, 1, 4, 5, 6, . . .} ebenfalls die nat¨ urlichen Zahlen. Die Interpretation Folge ber¨ ucksichtigt jedoch die Reihenfolge der nat¨ urlichen Zahlen als 313 der Aufz¨ ahlung, d.h. in dieser Situation hat jeder Eintrag einen eindeutig definierten Nachfolger: auf 1 folgt 2, auf 2 folgt 3 etc. Zur Abgrenzung der Notation werden die Mengenklammern durch runde Klammern ersetzt (1, 2, 3, 4, . . .). Eine Folge ist somit eine Erweiterung eines 62n-Tupels in dem Sinne, dass die Folge statt der festen Anzahl n unendlich viele Komponenten hat. Wie bei Tupeln sind zwei Folgen verschieden, wenn sie sich an mindestens einer Stelle unterscheiden. Daher gilt beispielsweise (1, 2, 3, 4, 5, 6, . . .) = (3, 2, 1, 4, 5, 6, . . .). Definition Folge Seien a1 , a2 , . . . reelle Zahlen, d.h. jeder nat¨ urlichen Zahl n ist eine Zahl an zugeordnet. Dann heißt die nach Indizes geordnete Zusammenstellung der Zahlen

(a1 , a2 , a3 , . . . ) Zahlenfolge oder kurz Folge. Als Notation wird auch (an )n∈N verwendet. Die Zahl an mit dem Index n heißt n-tes Folgenglied (der Folge (an )n∈N ). an+1 heißt Nachfolger von an , n ∈ N.

Allgemein werden auch Folgen von Zahlen an betrachtet, deren Indizes aus eiurliner (45abza ¨hlbaren) Indexmenge I (etwa einer echten Teilmenge der nat¨ ahlt werden. Die zugehörige Notation ist dann chen Zahlen oder N0 ) gew¨ (an )n∈I . Beispiel

(i) (an )n∈N definiert durch an = 2n, n ∈ N, ist die Folge der geraden nat¨ urlichen Zahlen (2, 4, 6, 8, . . .).

B

314

9. Folgen und Reihen

(ii) Durch die Vorschrift an = (−1)n , n ∈ N, wird die Folge (an )n∈N = (−1, 1, −1, 1, −1, . . .) definiert. (iii) (an )n∈N definiert durch an =

1 n,

n ∈ N, ist die Folge (1, 12 , 13 , 14 , . . .).

(iv) (an )n∈N0 definiert durch an = xn , n ∈ N0 , ist die Folge (1, x, x2 , x3 , . . .), wobei x0 = 1 verwendet wurde. In der Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik treten Folgen z.B. in Form 323diskreter Wahrscheinlichkeitsverteilungen auf 45abz¨ ahlbaren Mengen auf. Die Folgenglieder werden als Wahrscheinlichkeiten f¨ ur gewisse Ereignisse interpretiert.

Bezeichnung Geometrische Verteilung Die geometrische Verteilung mit Parameter p ∈ (0, 1) ist definiert als die Folge (an )n∈N0 mit

an = p(1 − p)n ,

n ∈ N0 ,

d.h. (an )n∈N0 = (p, p(1 − p), p(1 − p)2 , p(1 − p)3 , . . .).

Speziell f¨ ur p =

1 2

ergibt sich die Wahrscheinlichkeitsverteilung

1

1 1 2, 4, 8, . . .

.

Bezeichnung Poisson-Verteilung Die Poisson-Verteilung mit Parameter λ > 0 ist definiert durch λn −λ e , an = n ∈ N0 . n!

Formal kann eine Folge auch mittels einer 154Abbildung beschrieben werden, die jeder Zahl aus der Indexmenge eine reelle Zahl zuordnet. Exemplarisch sei f : N −→ R eine Abbildung von N nach R. Die Zahlenfolge (an )n∈N wird definiert durch n ∈ N. Dies bedeutet beispielsweise, dass die Folge 1, 12 , 13 , 14 , . . . auch durch die Funktion f (x) = x1 , x ∈ N, definiert werden kann. f (n) = an ,

Es gibt eine Vielzahl von Eigenschaften, die eine Folge (an )n∈N haben kann. An dieser Stelle werden nur die f¨ ur die weiteren Ausf¨ uhrungen relevanten Aspekte betrachtet.

9.1

Folgen

315

Definition Monotonie und Beschr¨ anktheit von Folgen Sei (an )n∈N eine Folge.

1. Die Folge heißt monoton wachsend, wenn die Folgenglieder monoton wachsend sind, d.h. jeder Nachfolger ist größer oder gleich seinem Vorgänger: an ≤ an+1 . 2. Die Folge heißt monoton fallend, wenn die Folgenglieder monoton fallend sind, d.h. jeder Nachfolger ist kleiner oder gleich seinem Vorgänger: an ≥ an+1 . 3. Haben alle Folgenglieder den gleichen Wert, so heißt die Folge konstant. 4. Die Folge heißt beschränkt, wenn es eine positive Zahl B gibt, so dass alle Folgenglieder im Intervall [−B, B] liegen, d.h.

−B ≤ an ≤ B

f¨ ur alle n.

Beispiel Folgen

B

(i) Die Folge der geraden Zahlen (2, 4, 6, . . .) ist monoton wachsend, jedoch nicht beschr¨ ankt. F¨ ur jede feste Zahl B > 0 gibt es nämlich stets eine gerade Zahl, die gr¨ oßer als B ist. (ii) Die durch an = (−1)n definierte Folge (−1, 1, −1, 1, . . .) ist beschränkt, ur alle n ∈ N. Die Folge ist offensichtlich da f¨ ur B = 1 gilt: −B ≤ an ≤ B f¨ nicht monoton. (iii) Die durch an = n1 definierte Folge 1, 12 , 13 , 14 , . . . ist monoton fallend, 1 . Sie ist außerdem beschr¨ ankt, da 1 = a1 ≥ an = n1 ≥ 0 ≥ −1 da n1 > n+1 und somit −1 ≤ an ≤ 1 gilt. Der Graf einer Folge wird wie der 157Graf einer Funktion als Punktmenge im Koordinatensystem dargestellt. Da auf der Abszisse nur die Werte aus der Indexmenge relevant sind, besteht der Graf aus einer abzählbaren Menge von ur obige Beispiele resultieren folgende Grafen. Punkten {(n, an )|n ∈ I}. F¨ 6an = 2n 30 20 10

rr

0 0

r rr 5

rr

r rr

rr

r rr

r rr

rr

6r r r r r r r r r r

20

−1

15

r

20

r r r r r r r r r r

1 n

r

-

10

r 6 an =

n 5

15

1

an = (−1)n

0

n 10

1

rr

0 5

rrrr

r r r rr rr rrr r -

10

15 n 20

316


Folgen k¨ onnen wie Zahlen durch elementare Operationen verkn¨ upft werden.

Definition Verkn¨ upfung von Folgen Seien (an )n∈N und (bn )n∈N Folgen. Die Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division sind definiert durch:

1. (an + bn )n∈N = (a1 + b1 , a2 + b2 , a3 + b3 , . . .), 2. (an − bn )n∈N = (a1 − b1 , a2 − b2 , a3 − b3 , . . .), 3. (an · bn )n∈N = (a1 · b1 , a2 · b2 , a3 · b3 , . . .),

a1 a2 a3 an = , , , . . . , falls bn = 0 für alle n ∈ N. 4. bn n∈N b1 b2 b3

Funktionen k¨ onnen ebenfalls zur Definition von Folgen verwendet werden.

Definition Folgen und Funktionen Seien (an )n∈N eine Folge und h eine Funktion derart, dass jedes Folgenglied im Definitionsbereich der Funktion h liegt. Dann wird u r n ∈ N, durch Einsetzen der Folgenglieder in die Funktion, d.h. durch h(an ) f¨ eine neue Folge definiert

(h(an ))n∈N = (h(a1 ), h(a2 ), h(a3 ), . . .). B

Beispiel Folgen und Funktionen Seien (an )n∈N eine Folge und h eine Funkti-

on derart, dass jedes Folgenglied im Definitionsbereich der Funktion h liegt. 1. h(x) = 2x + 1, x ∈ R: (h(an ))n∈N = (2a1 + 1, 2a2 + 1, 2a3 + 1, . . .). 2. h(x) = x2 , x ∈ R: (h(an ))n∈N = (a21 , a22 , a23 , . . .). 3. h(x) = 2x , x ∈ R: (h(an ))n∈N = (2a1 , 2a2 , 2a3 , . . .). √ √ √ √ ur 4. h(x) = x, x ≥ 0: (h(an ))n∈N = ( a1 , a2 , a3 , . . .), wobei an ≥ 0 f¨ alle n ∈ N. 5. h(x) = ln(x), x > 0: (h(an ))n∈N = (ln(a1 ), ln(a2 ), ln(a3 ), . . .), wobei an > 0 f¨ ur alle n ∈ N. In den einf¨ uhrenden Beispielen zeigte sich, dass Folgen hinsichtlich Monotonie und Beschr¨ anktheit sehr unterschiedliche Verhaltensmuster haben können. Eine weitere Eigenschaft von Folgen, die f¨ ur viele Bereiche der Mathematik und Statistik von grundlegender Bedeutung ist, ist die Frage, ob sich die Folgenglieder einem festen Wert n¨ ahern. Dazu werden zunächst einige Beispiele betrachtet.

9.1

Folgen

317

Konvergenz von Folgen Beispiel Die folgenden Beobachtungen k¨ onnen direkt aus der 315grafischen

B

Darstellung der Folgen abgeleitet werden.

(i) Die durch an = n1 , n ∈ N, definierte Folge 1, 12 , 13 , 14 , . . . ist beschränkt und monoton fallend. Die Folgenglieder n¨ ahern sich offensichtlich der Null an, wobei das n-te Folgenglied jedoch stets von Null verschieden ist ur große und der Abstand zu Null geringer wird, d.h. es gilt an = n1 ≈ 0 f¨ Indizes n.

urlichen (ii) Die durch an = 2n, n ∈ N, definierte Folge der geraden nat¨ Zahlen (2, 4, 6, 8, . . .) ist monoton wachsend und unbeschränkt. Daher kann es keine reelle Zahl geben, der sich die Folgenglieder nähern. (iii) Die durch die Vorschrift an = (−1)n , n ∈ N, definierte Folge (an )n∈N = (−1, 1, −1, 1, −1, . . .) n¨ ahert sich keinem Wert an. Aufgrund der Konstruktionsvorschrift k¨ amen nur die Werte 1 oder −1 in Frage. Da die Folge jedoch zwischen diesen Werten hin und her springt (sie ist alternierend), stabilisiert sie sich nicht. Die oben beschriebenen Ph¨ anomene werden nun formalisiert. Definition Konvergenz von Folgen Eine Folge (an )n∈N heißt konvergent gegen eine ur jede Zahl ε > 0 einen Index n0 gibt, so dass alle Nachfolger von Zahl a, wenn es f¨ an0 im Intervall [a − ε, a + ε] liegen, d.h. ist der Index groß genug, so unterscheiden sich die Folgenglieder höchstens um einen beliebig kleinen vorgegebenen Wert ε von a. In diesem Fall werden auch die Schreibweisen n→∞

lim an = a bzw. an −−−−→ a

n→∞

verwendet. a heißt Grenzwert oder Limes der Folge (an )n∈N . Eine konvergente Folge mit Grenzwert 0 heißt Nullfolge. Existiert kein solches a ∈ R, so heißt die Folge divergent oder nicht konvergent. Eine Folge (an )n∈N heißt konvergent gegen ∞, falls es f¨ ur jede positive Zahl B einen Index n0 gibt, so dass alle Nachfolger von an0 gr¨ oßer als B sind, d.h. an > B f¨ ur alle n ≥ n0 . ur jede positive Zahl Eine Folge (an )n∈N heißt konvergent gegen −∞, falls es f¨ B einen Index n0 gibt, so dass alle Nachfolger von an0 kleiner als −B sind, d.h. an < −B für alle n ≥ n0 . In diesen beiden Fällen wird auch die Sprechweise bestimmt divergent“ verwendet. ” In Abgrenzung dazu heißt die Konvergenz einer Folge gegen eine reelle Zahl auch endliche Konvergenz.

318


Anschaulich bedeutet die Konvergenz einer Folge, dass sich die Folgenglieder ab einem Wert n0 innerhalb eines Bandes um den Grenzwert a bewegen, wobei die Breite des Bandes beliebig klein werden darf. Dies wird f¨ ur die durch die Vorschrift an = 1 + (−1)n n1 definierte Folge in einer Grafik illustriert. Da (−1)n n1 eine Nullfolge ist, ist der Grenzwert der betrachteten Folge a = 1. 1,5

r

6

...................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... . . . . . . . ....... ....... ....... ........ ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... . ....... ....... ....... ........ ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... . . . . . . . . . . . . ........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ . . . . . . . . . . . . . . . . . .

r

1,08 1 0,92

r

0,5

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

1

-

2

3

···

13

Wird ε = 0,5 gew¨ ahlt, so liegen alle Folgenglieder ab n0 = 2 in dem oben eingezeichneten Band mit den Grenzen 0,5 und 1,5 (durchgezogene Linie). F¨ ur ε = 0,08 liegen die Folgenglieder erst ab n0 = 13 in dem blau markierten Bereich [0,92, 1,08]. Wird das Band enger gewählt, dann wächst die Nummer n0 , ab der die Folgenglieder das Band nicht mehr verlassen. Die Indizes n0 sind jeweils durch eine gepunktete Linie illustriert. Die folgende Tabelle enth¨ alt f¨ ur einige Werte von ε das zugeh¨ orige n0 . ε n0

0,5 0,08 0,05 0,01 0,0025 0,001 2 13 20 100 400 1 000

Die Konvergenzbedingung besagt, dass f¨ ur jede noch so kleine Zahl ε > 0 stets ein n0 mit dieser Eigenschaft existieren muss. B

Beispiel Wichtige Beispiele konvergenter Folgen sind die durch an =

1 np ,

n ∈ N, definierten Folgen mit einem nicht-negativen Exponenten p > 0. In dieser Situation ist (an )n∈N stets eine Nullfolge, d.h. an → 0. Je größer p ist, desto schneller n¨ ahern sich die Folgenglieder der Null an. F¨ ur p = 0 resultiert die konstante Folge mit an = 1, n ∈ N. Ist p negativ, so ist (an )n∈N bestimmt divergent gegen +∞. Ein Beispiel einer nicht konvergenten Folge ist in der nachstehenden Grafik dargestellt. Da zur Pr¨ ufung der Konvergenz nur kleine Werte von ε von Interesse sind, wird deutlich, dass die Folge f¨ ur jeden Wert a dieses Band stets verl¨ asst (wenn ε nur klein genug ist).

9.1

Folgen

319

6 a+ε a

r

r r r

r

r

r

r r

r r

.................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

r

r

r

r

r

r

r r r a − ε ..................................................................................................................................................................................................................................................................................r.....................................................r.......... r r r r r r r r r

-

1 2 3 ··· Die Definition der Konvergenz einer Folge gegen eine Zahl a ∈ R setzt voraus, dass der Grenzwert a oder zumindest Kandidaten f¨ ur den Grenzwert bekannt sind. Mittels geeigneter Kriterien kann die Grenzwertbestimmung jedoch auf bekannte Situationen zur¨ uckgef¨ uhrt werden. Eigenschaften konvergenter Folgen Seien (an )n∈N und (bn )n∈N endlich konvergente Folgen mit Grenzwert a bzw. b sowie c, d reelle Zahlen. Dann gilt: 1. lim (c · an + d) = c · a + d n→∞

2. lim (an + bn ) = a + b n→∞

3. lim (an − bn ) = a − b n→∞

4. lim (an · bn ) = a · b n→∞

an n→∞ bn

5. lim

= ab , falls b = 0

Zur Definition der Quotienten abnn ist die Voraussetzung bn = 0 notwendig. Da aber aus der Konvergenz von (bn )n∈N gegen b = 0 folgt, dass ab einem ussen, kann f¨ ur die Index n0 alle Folgenglieder bn von Null verschieden sein m¨ Grenzwertbetrachtung dieses Problem vernachl¨ assigt werden. Die Folge der F¨ ur die GrenzwertbeQuotienten ist dann ab dem Index n0 wohldefiniert. an trachtung wird daher die Quotientenfolge bn herangezogen. n∈N,n≥n0

320


Kriterien f¨ ur Konvergenz einer Folge Sei (an )n∈N eine Folge. Ist (an )n∈N beschr¨ ankt und monoton, so ist die Folge endlich konvergent gegen eine reelle Zahl a. Sind h eine 343stetige Funktion, (an )n∈N eine endlich konvergente Folge mit Grenzwert a und liegen (an )n∈N und a im Definitionsbereich von h, so ist die Folge (h(an ))n∈N endlich konvergent mit Grenzwert h(a).

B

Beispiel Konvergenz von Folgen

(i) Die durch an = 1 + n1 und bn = konvergieren gegen 1 bzw. 2, denn bn = 1 n→∞ n

sowie lim

1 2 n→∞ n

= lim

2n2 +1 n2

f¨ ur n ∈ N definierten Folgen

2n2 + 1 1 =2+ 2 n2 n

= 0. Damit resultieren f¨ ur die aus (an )n∈N und

(bn )n∈N gebildeten Folgen die Grenzwerte Folge Grenzwert

(an + bn )n∈N

(an − bn )n∈N

(an · bn )n∈N

3

−1

2

an bn

1 2

n∈N

Die Folge (bpn )n∈N mit p ∈ R besitzt den Grenzwert 2p , da die Potenzfunktion h(x) = xp , x > 0, eine 343stetige Funktion ist. (ii) Die durch an =

n2 −n+1 n3 +2

definierte Folge konvergiert gegen 0, denn es gilt

an =

n2 − n + 1 = n3 + 2

1 n

− n12 + 1 + n23

1 n3

.

Aus dieser Darstellung des Bruchs folgt, dass der Zähler gegen 0 und der Nenner gegen 1 konvergieren. Also ist 01 = 0 der Grenzwert von (an )n . (iii) Die durch an = 1 − (−1)n n1 definierte Folge konvergiert gegen a = 1. ur alle n ∈ N gilt, ist jedes Folgenglied an im DefinitionsDa an > 0 f¨ bereich des 92natu ¨ rlichen Logarithmus. Somit konvergiert die Folge (ln(an ))n∈N gegen ln(1) = 0. (iv) Die durch an = q n mit q ∈ (−1, 1), n ∈ N0 , definierte geometrische Folge konvergiert gegen Null, d.h. lim q n = 0. Diese Eigenschaft resultiert aus n→∞ ¨ den folgenden Uberlegungen. F¨ ur q = 0 ist die Folge konstant gleich Null und die Behauptung offensichtlich.

9.2

Reihen

321

Seien nun q ∈ (−1, 1), q = 0, und ε > 0 beliebig. Dann gilt zunächst 0 < |q| < 1 und damit ln(|q|) < 0. Damit folgt f¨ ur n ∈ N: |q n | < ε ⇐⇒ |q|n < ε ⇐⇒ ln(|q|n ) < ln(ε) (∗)

⇐⇒ n ln(|q|) < ln(ε) ⇐⇒ n >

ln(ε) , ln(|q|)

wobei in (∗) ln(|q|) < 0 zu beachten ist. Damit kann also f¨ ur jedes ε > 0 ur alle n ≥ n0 . stets ein n0 ∈ N gefunden werden, so dass |q n | < ε f¨ Im Fall q = 1 ist die Folge konstant mit an = 1 f¨ ur alle n ∈ N0 . F¨ ur q > 1 ur q ≤ −1 ist sie nicht konvergent und konvergiert (an )n∈N0 gegen +∞. F¨ alternierend.

9.2

9.2 Reihen Beispiel Dezimalzahlen Die Folge der Dezimalzahlen

0,1, 0,11, 0,111, 0,1111, 0,11111, . . . n¨ ahert sich offensichtlich der periodischen Dezimalzahl 0,1 an. Ein Nachweis dieser Beobachtung beruht auf der Darstellung 1 1 1 1 1 , 0,11 = + = 1 + 2, 10 10 100 10 10 1 1 1 1 1 1 + + = 1 + 2 + 3,..., 0,111 = 10 100 1 000 10 10 10 0,1 =

d.h. die Dezimalzahl 0,111 . . . mit n Nachkommastellen kann geschrieben werden als n * 1 1 1 1 + + · · · + = . j 101 102 10n 10 j=1 Sie entsteht durch Summation a1 + · · · + an der Folgenglieder der durch an = 101n definierten Folge. Auf diese Weise konstruierte Folgen werden als Reihen bezeichnet.

B

322


Definition Reihe, Partialsumme Sei (an )n∈N eine Folge. Dann heißt sn =

n

ai

i=1

n-te Partialsumme (von (an )n∈N ). Die Folge der Partialsummen . n / * (sn )n∈N = ai = (a1 , a1 + a2 , a1 + a2 + a3 , . . .) i=1

n∈N

heißt Reihe.

Da Reihen letztlich nur spezielle Folgen sind, können alle Begriffe, die zur Beschreibung und Analyse von Folgen benutzt werden, u ¨ bertragen werden. F¨ ur den Grenzwert wird folgende Bezeichnung eingef¨ uhrt.

Bezeichnung Grenzwert einer Reihe Seien (an )n∈N eine Folge reeller Zahlen und

sn =

n

ai , n ∈ N, die n-te Partialsumme. Die Reihe (sn )n∈N sei konvergent

i=1

gegen eine reelle Zahl s, d.h. die Folge (sn )n∈N habe den Grenzwert s. Dann wird der Grenzwert auch bezeichnet mit

s = lim sn = lim n→∞

n→∞

n * i=1

ai =

∞ *

ai .

i=1

Aus den Konvergenzkriterien f¨ ur Folgen k¨ onnen Kriterien f¨ ur Reihen hergeleitet werden, die die spezielle Struktur einer Reihe ausnutzen. Kriterium f¨ ur die Konvergenz einer Reihe Seien (an )n∈N eine Folge nicht-negativer reeller Zahlen und (sn )n∈N die zugeh¨ orige Reihe. Dann ist die Folge (sn )n∈N endlich konvergent gegen eine reelankt ist. Insbesondere ist (sn )n∈N le Zahl s genau dann, wenn (sn )n∈N beschr¨ bestimmt divergent gegen +∞, falls (sn )n∈N unbeschränkt ist. Quotientenkriterium f¨ ur die Konvergenz einer Reihe Seien (an )n∈N eine Folge reeller Zahlen und (sn )n∈N die zugehörige Reihe, ur alle n gelte.∗ wobei an = 0 f¨ Dann ist die Folge (sn )n∈N endlich konvergent gegen eine reelle Zahl s, wenn ur alle es eine reelle Zahl 0 ≤ q < 1 und einen Index n0 gibt, so dass f¨ weiteren Indizes der Quotient aufeinander folgender Folgenglieder stets durch q beschr¨ ankt ist, d.h. an+1 ur alle n ≥ n0 . an ≤ q < 1 f¨ ∗ Andernfalls

k¨ onnen diese Folgenglieder vernachl¨ assigt werden, da sie keinen Einfluss auf die Konvergenz der Partialsummenfolge (sn )n∈N haben.

9.3

Spezielle Reihen

323

Aus der Konvergenz einer Reihe wird das folgende Resultat abgeleitet, das eine Aussage zur Folge der Summanden macht. Das Kriterium ist insbesondere n¨ utzlich, um zu entscheiden, dass eine Reihe nicht konvergiert. Zusammenh¨ ange zwischen Partialsummen- und Summandenfolge n Seien (an )n∈N eine Folge und sn = ai die n-te Partialsumme. Dann gilt: i=1

Konvergiert die Reihe (sn )n∈N , so ist (an )n∈N eine Nullfolge, d.h. lim an = 0. n→∞

Ist (an )n∈N keine Nullfolge, so konvergiert die Reihe nicht.

Beispiel

Die durch die Partialsumme sn =

n

ik , n ∈ N, mit k ∈ N

B

i=1

definierte Reihe konvergiert nicht, da die Summanden ai = ik keine Nullfolge bilden. Bezeichnung Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung Sei (pn )n∈N0 eine Folge nicht-negativer Zahlen. Dann heißt (pn )n∈N0 diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung

auf N0 , falls

∞

pn = 1 gilt.∗

n=0

Beispiele f¨ ur diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen sind die 314geometrische Verteilung und die 314Poisson-Verteilung. Durch entsprechende Summationsbedingungen k¨ onnen auch diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen ahlbaren Mengen definiert werden. auf N bzw. anderen 45abz¨

9.3

9.3 Spezielle Reihen Geometrische Reihe

Die geometrische Reihe (sn )n∈N0 wird mittels der Summanden an = an , n ∈ N0 , definiert, wobei a ∈ (−1, 1) eine gegebene Zahl ist. Die n-te Partialsumme wird als 120geometrische Summe explizit berechnet: sn =

n * i=0

∗ Diese

ai =

n * i=0

ai =

1 − an+1 1−a

f¨ ur n ∈ N0 .

Voraussetzung impliziert insbesondere 0 ≤ pn ≤ 1 f¨ ur alle n ∈ N0 .

324


Die zugeh¨ orige Reihe (sn )n∈N0 = F¨ ur a =

1 2

ergibt sich z.B. . n / * 1 i (sn )n∈N0 = 2 i=0

1−an+1 1−a

= n∈N0

n∈N0

heißt geometrische Reihe.

3 7 15 31 1, , , , , . . . 2 4 8 16

Die Konvergenz der geometrischen Reihe folgt aus dem Quotientenkriterium, da an+1 an+1 = an an = |a| < 1 gilt. Dies zeigt insbesondere, warum |a| < 1, d.h. a ∈ (−1, 1), gefordert wird. Der Grenzwert der Reihe ist gegeben durch lim sn =

n→∞

∞ *

1 1 − an+1 = , n→∞ 1−a 1−a

ai = lim

i=0

n→∞

da an+1 −−−−→ 0 f¨ ur |a| < 1 (s. 320Beispiel Konvergenz von Folgen (iv)). ∞ 1 1 F¨ ur a = 2 resultiert der Grenzwert 2n = 2. n=0

B

Beispiel In der Statistik wird die geometrische Reihe bei Auswertungen der 314geometrischen Verteilung verwendet, wobei dort die Setzung an =

p(1 − p)n , n ∈ N0 , mit p ∈ (0, 1) benutzt wird. In diesem Fall gilt n * i=0

ai =

n *

p(1 − p)i = p

i=0

n *

(1 − p)i = p

i=0

F¨ ur n → ∞ ergibt sich somit

∞ i=0

ai =

∞

1 − (1 − p)n+1 = 1 − (1 − p)n+1 . 1 − (1 − p)

p(1 − p)i = lim [1 − (1 − p)n+1 ] =

i=0

n→∞

1, d.h. die Summe aller Wahrscheinlichkeiten ai ist (wie gefordert) gleich Eins. B

Beispiel Die geometrische Reihe wird oft nur auf dem Bereich N definiert,

d.h. die zugehörige Reihe lautet a, a + a2 , a + a2 + a3 , . . . . In diesem Fall ist der Grenzwert gegeben durch (falls −1 < a < 1) ∞ * n=1

an =

∞ * n=0

an − a0 =

a 1 −1= . 1−a 1−a

9.3

Spezielle Reihen

325

Alternativ kann dieses Ergebnis auch mittels einer 118Indexverschiebung (∗) erzielt werden: ∞ *

an = lim

n=1

k *

k→∞

(∗)

an = lim

k→∞

n=1

= a · lim

k→∞

k−1 *

an = a ·

n=0

k−1 *

an+1 = lim

k→∞

n=0 ∞ *

an = a ·

n=0

k−1 *

a · an

n=0

1 , 1−a

wobei lim (k − 1) = +∞ benutzt wird. Dies hat zur Folge, dass die Indexk→∞

verschiebung keine Auswirkungen auf die obere Summationsgrenze hat.

Aus diesem Beispiel wird folgende Regel zur Indexverschiebung f¨ ur den Grenzwert einer Reihe abgeleitet. Indexverschiebung bei Reihen

n

Sei (sn )n∈N eine konvergente Reihe mit Partialsummen sn =

ai , n ∈ N.

i=1

Dann gilt ∞ * n=1

an =

∞ *

an−k =

n=1+k

∞ *

an+k

f¨ ur k ∈ Z.

n=1−k

Beispiel Die geometrische Reihe kann zur Darstellung 21periodischer De1 10n

zimalzahlen verwendet werden. Wird n¨ amlich an = sich aus dem 321Eingangsbeispiel

1 1 1 , , ,... . (an )n∈N = 10 100 1 000

gewählt, so ergibt

Damit ist die Dezimalzahl 0,1 gegeben durch 0,1 = 0,1111 . . . =

∞ 1 * 1 1 10 = = . 1 j 10 9 1 − 10 j=1

Daraus ergibt sich etwa f¨ ur 0,9 die Darstellung 0,9 = 0,9999 . . . =

∞ ∞ * * 9 1 1 = 9 · = 9 · = 1. j j 10 10 9 j=1 j=1

Damit gilt offenbar 0,9 = 1, d.h. die Zahl Eins besitzt die verschiedenen Dezimaldarstellungen 0,9 und 1.

B

326


Diese Idee ist auch auf andere periodische Dezimalzahlen u ¨bertragbar. Bei1 1 spielsweise gilt f¨ ur 7 = 0,142857 mit a = 8 die Beziehung 1 1 = 8 7 1−

1 8

=

∞ * 1 . 8j j=1

Exponentialreihe n

Sei an = an! , n ∈ N0 , wobei a eine gegebene reelle Zahl ist. Die n-te Partialsumme der Exponentialreihe ist sn =

n *

ai =

i=0

n * ai i=0

f¨ ur n ∈ N0 .

i!

Die zugeh¨ orige Reihe (sn )n∈N0 heißt Exponentialreihe. Ihre Konvergenz folgt sofort aus dem Quotientenkriterium, da an+1 an+1 /(n + 1)! = |a| = n+1 an an /n! |a| gilt. Damit die Ungleichung n+1 < 1 f¨ ur alle n größer oder gleich einem Index ullt ist, kann n0 als kleinste nat¨ urliche Zahl gewählt werden, die größer n0 erf¨ als |a| − 1 ist. Der Grenzwert der Reihe ist gegeben durch

lim sn =

n→∞

∞ * ai i=0

i!

= ea ,

wobei e = 2,71828 . . .∗ Die Exponentialreihe kann somit als Potenz zur Basis e mit Exponent a verstanden werden. Daraus ergibt sich insbesondere die Darstellung der Zahl ∞ * 1 . e = e1 = i! i=0 B

Beispiel Die Exponentialreihe wird zur Definition der 314Poisson-Vertei-

lung verwendet, wobei dort die Setzung an = benutzt wird. In diesem Fall gilt ∞ * i=0

e−λ

λn −λ , n! e

n ∈ N0 , mit λ > 0

∞ * λi λi = e−λ = e−λ · eλ = e−λ+λ = 1, i! i! i=0

d.h. die Summe aller Wahrscheinlichkeiten ist gleich Eins. ∗ Der

Beweis dieser Eigenschaft u ¨bersteigt den Rahmen dieses Buchs; vgl. Heuser, 2006.

9.4

Aufgaben

327

Der sogenannte Erwartungswert der Poisson-Verteilung mit Parameter λ wird ∞ i i · e−λ λi! ermittelt. F¨ ur diesen gilt durch Auswertung des Grenzwerts i=0

(Ver¨ anderungen sind jeweils markiert; in (♣) wird benutzt, dass der erste Summand gleich Null ist): ∞ *

i · e−λ

i=0

∞ λi (♣) * λi = i · e−λ i! i!

=

i= 1 ∞ *

e−λ

λi + 1

i= 0

=

∞ *

e−λ

i=0

i!

k¨ urzen

=

∞ * i=1

λi (i − 1)!

(Indexverschiebung)

∞ * λi · λ λi = λ e−λ = λ. i! i! i=0

=1

9.4 Aufgaben Aufgabe 9.1

e−λ

Schreiben Sie die Mengen als monotone Folgen:

9.4

328 L

(a) die Menge der ungeraden nat¨ urlichen Zahlen, (b) die Menge der durch f¨ unf teilbaren nat¨ urlichen Zahlen, (c) die Menge der Zahlen, die sich als Potenz von 3 mit einer nat¨ urlichen Zahl bilden lassen, (d) die Menge der Wurzeln von 7. Notieren Sie jeweils die ersten f¨ unf Folgenglieder der durch an definierten Folge (an )n . Aufgabe 9.2

(a) an = 5n, n ∈ N0 n∈N

(b) an =

1 n2 ,

(c) an =

(−1)n n+3 ,

Aufgabe 9.3

n ∈ N0

329 L

(d) an = 2n − 2n−1 , n ∈ N0 (e) an = log4 (2n ), n ∈ N (f) an = an , n ∈ N0 , a ∈ R

Geben Sie das Bildungsgesetz der Folgen (an )n∈N an.

(a) (−1, −1, −1, −1, −1, . . .)

(e) (2, −2, 2, −2, 2, . . .)

(b) (−4, −1, 2, 5, 8, 11, . . .)

(f) (1, 3, 7, 15, 31, 63, . . .)

(c) (1, 4, 9, 16, 25, . . .)

(g) ( 14 , 12 , 1, 2, 4, . . .)

(d) (2, 32 , 43 , 54 , 65 , . . .)

(h) (1, 4, 27, 256, 3 125, 46 656, . . .)

329 L

328

329 L


Aufgabe 9.4 Untersuchen Sie die Folgen (an )n∈N auf Beschr¨ anktheit, Mono-

tonie und Konvergenz mit (a) an = − n2 (b) an = 330 L

n2 −1 n

(c) an = (−1)n n2

(e) an = 4n

(d) an = λn , 0 < λ < 1

(f) an =

3n−2n2 n2 +1

Ermitteln Sie die Grenzwerte der Folgen (an )n∈N mit n+4 (c) an = ln n− (e) an = 3− ln(n) (a) an = nn−1 1 2

Aufgabe 9.5

2

2

(b) an = 331 L

332 L

2n3 −n+1 n4 +3n2

(d) an = n ·

1− 41n 3n+5

(f) an =

√ 5n+1

2n

Geben Sie zu den Folgen (an )n∈N0 jeweils die zugehörige Reihe (sn )n∈N0 an, indem Sie die Partialsumme sn , n ∈ N0 , berechnen. Geben Sie im Fall der Existenz den Grenzwert der zugehörigen Reihe an.

Aufgabe 9.6

(a) an = −1

(d) an = 4n

(g) an = 3(n+1)2 −3n2

(b) an = (−1)n

(e) an = 4−n

(c) an = n

(f) an = (n + 1)2

(h) an = ln(n + 1) (i) an = ln n+1 n+2

Aufgabe 9.7

(a)

∞

n=1

(b)

∞

1 5n

Berechnen Sie die Grenzwerte: ∞ p−n , p > 1 (d)

(−4)−n

n=0

(e)

n=0

(c)

∞

(g)

∞

n=2

3−2n

(h)

n=0

pn , p ∈ (−1, 1)

n=0

9.5

9.5 L¨ osungen

327 A

L¨ osung 9.1

(f)

∞ n=0

∞

∞ n=0

2n n!

(a) (1, 3, 5, 7, 9, . . .) (b) (5, 10, 15, 20, 25, . . .) (c) (31 , 32 , 33 , 34 , 35 , . . .) = (3, 9, 27, 81, 243, . . .) √ √ √ √ √ √ √ √ √ (d) ( 1 7, 2 7, 3 7, 4 7, 5 7, . . .) = (7, 2 7, 3 7, 4 7, 5 7, . . .)

(i)

∞ n=0

(−1)n n! (− ln(3))n n! q3n n! ,

q∈R

9.5

L¨ osungen

329

327 A

L¨ osung 9.2 (a) 0, 5, 10, 15, 20

(d) an = 2n − 2n−1 = 2n−1 :

(b) 1, 14 , 19 ,

(e) an = log 4 (2n ) = n log 4 (2) = 1 , 1, 32 , 2, 52 2

(c)

1 , 1 16 25

1 , − 14 , 15 , − 16 , 17 3

1 , 1, 2, 4, 8 2 n : 2

(f) 1, a, a2 , a3 , a4 (a0 = 1) 327 A

L¨ osung 9.3 (a) an = −1, n ∈ N

(e) an = 2(−1)n+1 = 2(−1)n−1 , n ∈ N

(b) an = 3n − 7, n ∈ N

(f) an = 2n − 1, n ∈ N

(c) an = n2 , n ∈ N

(g) an =

(d) an = 1 +

1 n

=

n+1 , n

n∈N

2n 8

= 2n−3 , n ∈ N

(h) an = nn , n ∈ N 328 A

L¨ osung 9.4 − n2

− n2

(a) Die durch an = definierte Folge ist monoton wachsend, da an = < 2 = an+1 . Damit ist die Folge nach unten beschr¨ ankt und wegen an < 0 − n+1 f¨ ur jedes n ∈ N ist sie auch nach oben beschr¨ ankt. Eine monotone, beschr¨ ankte Folge ist konvergent. (an )n∈N ist eine Nullfolge, d.h. lim an = 0. n→∞

2

(b) F¨ ur die durch an = n n−1 definierte Folge gilt an ≥ 0, n ∈ N. Damit ist (an )n∈N nach unten beschr¨ ankt. Wegen an = n − n1 ist die Folge nach oben nicht beschr¨ ankt mit lim an = ∞. Weiterhin gilt n→∞

an ≤ an+1 ⇐⇒ n −

1 1 1 1 ≤n+1− ⇐⇒ ≤1+ . n n+1 n+1 n an f¨ ur n ∈ N. Sie ist nach unten beschr¨ ankt und nach oben unbeschr¨ ankt mit lim an = ∞. n→∞

330

9. Folgen und Reihen 2

9 (f) Die durch an = 3n−2n definierte Folge hat die ersten Folgenglieder 12 , − 25 , − 10 , n2 +1 − 20 , was vermuten l¨ a sst, dass die Folge monoton fallend ist. Es gilt: 17

3(n + 1) − 2(n + 1)2 3n − 2n2 ≥ n2 + 1 (n + 1)2 + 1

an ≥ an+1 ⇐⇒

⇐⇒ (3n − 2n2 )((n + 1)2 + 1) ≥ (3(n + 1) − 2(n + 1)2 )(n2 + 1) ⇐⇒ −2n4 − n3 + 2n2 + 6n ≥ −2n4 − n3 − n2 − n + 1 ⇐⇒ 3n2 + 7n − 1 ≥ 0 Die letzte Ungleichung ist f¨ ur jedes n ∈ N erf¨ ullt, so dass die Folge (an )n∈N monoton fallend ist. Als Grenzwert ergibt sich 3 − 2 n→∞ −2 3n − 2n2 n = = −2. −−−−→ 2 n +1 1 1 + n12

an =

ankt mit Daher ist (an )n∈N insbesondere beschr¨ 328 A

1 2

≥ an > −2.

L¨ osung 9.5 (a) an =

n2 −1 n2

(b) an =

2n3 −n+1 n4 +3n2

= 1−

1 n2

−→ 1 − 0 = 1

2− 1 n n3

+ 14 n 1+ 32

=

n

−→

0−0+0 1+0

=0 1+ 4

n+4 n −→ 1. Daher folgt (c) F¨ ur die durch bn = n− 1 definierte Folge gilt bn = 1− 1 2 2n n+4 aus an = ln n− 1 = ln(bn ) die Aussage an = ln(bn ) −→ ln(1) = 0. 2

1− 41n definierte Folge 3n+5 1 5 bn = 1 − 4n und cn = 3 + n . Wegen bn −→ 1 − lim bn gilt somit lim an = n→∞ = 13 . lim cn n→∞

(d) F¨ ur die durch an = n ·

gilt an =

1− 41n 5 3+ n

=

bn cn

mit

0 = 1 und cn −→ 3 + 0 = 3

n→∞

1 1 = eln(3)1ln(n) = nln(3) . (e) Aus der Darstellung an = 3− ln(n) folgt an = 3ln(n) Wegen ln(3) > 0 (es gilt ln(3) ≈ 1,099) resultiert an −→ 0. √ n+1 2n n+1 1 5 gilt an = 5 2n = 5bn mit bn = n+1 = 12 + 2n −→ 12 . Damit (f) F¨ ur an = 2n √ 1 folgt lim an = 5 2 = 5. n→∞

9.5

L¨ osungen

331

328 A

L¨ osung 9.6 n

(a) Aus an = −1 ergibt sich sn =

aj =

j=0

n

(−1) = −(n + 1), so dass der

j=0

Grenzwert bestimmt ist durch lim sn = −∞. n→∞

n

(b) Aus an = (−1) folgt n *

n *

1 − (−1)n+1 aj = (−1) = sn = = 1 − (−1) j=0 j=0

j

0,

n ungerade

1,

n gerade (0 ist gerade)

(120geometrische Summe mit c = −1). Damit alterniert sn zwischen den Werten 0 und 1, d.h. die Reihe ist nicht konvergent. (c) Aus an = n folgt sn =

n

n

aj =

j=0 n

(d) F¨ ur an = 4n gilt sn =

j=

n(n+1) , 2

so dass sn −→ ∞.

4j =

1−4n+1 1−4

= 13 (4n+1 − 1) (120geometri-

j=0 n

aj =

j=0

j=0

sche Summe mit c = 4). Daher gilt sn −→ ∞. 1

(e) F¨ ur an = 4−n =

n

4

gilt sn =

n

aj =

j=0

n 1

j

4

j=0

=

1−( 1 4)

n+1

1−( 1 4)

−→

1 1− 1 4

=

4 3

(120geometrische Summe mit c = 14 ). (f) F¨ ur an = (n + 1)2 gilt sn =

n

aj =

j=0

Daher gilt sn −→ ∞.

n

(j + 1)2 =

j=0

n+1

j2 =

j=1

(n+1)(n+2)(2n+3) . 6

(g) Aus an = 3(n + 1)2 − 3n2 = 3[(n + 1)2 − n2 ] = 3(2n + 1) folgt sn = n

3(2j + 1) = 6

j=0

n j=0

sn −→ ∞ resultiert.

j+3

n

n

aj =

j=0

1 = 3n(n + 1) + 3(n + 1) = 3(n + 1)2 , woraus

j=0

Alternativ kann ausgenutzt werden, dass

n

aj =

j=0

n

[3(j + 1)2 − 3j 2 ] eine

j=0

119Teleskopsumme mit bj = 3j 2 , j ∈ {0, . . . , n + 1}, bildet. Daraus folgt: n * j=0

aj =

n *

(bj+1 − bj ) = bn+1 − b0 = 3(n + 1)2 − 3 · 02 = 3(n + 1)2 .

j=0

(h) F¨ ur an = ln(n + 1) gilt sn =

n j=0

ln((n + 1)!). Daher gilt sn −→ ∞.

aj =

n j=0

. ln(j + 1) = ln

n 4

/ (j + 1)

j=0

=

332


die zu(i) Gem¨ aß der vorhergehenden Aufgabe ergibt sich f¨ ur an = ln n+1 n+2 geh¨ orige Partialsumme . n /

n n * * 3 j+1 j+1 1 aj = ln = ln = ln = − ln(n + 2) sn = j+2 j+2 n+2 j=0 j=0 j=0 (Teleskopprodukt). Somit folgt sn −→ −∞.

328 A

L¨ osung 9.7 ∞ ∞ 1 1 (a) = 5n 5 n=1

(b)

∞

∞

(−4)−n =

n=0

(c)

∞

n=0

pn =

n=0

(d)

∞

∞

∞ n=0

(g)

∞ n=2

p

n=0

∞ 1

3−2n =

n=0 2n n!

n

− 14

∞ n 1

p−n =

n=0

(f)

−1=

1 1− 1 5

=

=

5 4

1 1−(− 1 ) 4

9

n

=

1 1 1− p

=

p p−1

=

1 1− 1 9

=

9 8

(h)

n=0

(i)

∞

(−1)n n!

=

∞ n=0

n=0

(− ln(3)) n! q 3n n!

=

1 4

4 5

=1+

1 p−1

= e2 (−1)n n!

−

(−1)0 0!

1

+ (−1) 1! =0

∞

−1 =

1 1−p

n=0

(e)

n

n=1

=

n

= e− ln(3) =

∞ n=0

(q 3 )n n!

= eq

3

1 3

= e−1 =

1 e

Kapitel 10 Grenzwerte, Stetigkeit, Differenziation

10

10

10

Grenzwerte, Stetigkeit, Differenziation

10.1

Grenzwerte von Funktionen .................................... 335

10.2

Stetige Funktionen .............................................. 343

10.3

Differenziation .................................................... 347

10.4

Differenziation parameterabhängiger Funktionen .......... 355

10.5

Aufgaben .......................................................... 356

10.6

Lösungen .......................................................... 358

335

10.1 Grenzwerte von Funktionen

335

10 Grenzwerte, Stetigkeit, Differenziation 10.1

10.1 Grenzwerte von Funktionen In 313Kapitel 9 wurden Folgen und deren Grenzwerte∗ eingef¨ uhrt. Mittels der Konvergenz von Folgen wird der Begriff der Konvergenz f¨ ur Funktionen bei Ann¨ aherung an eine Stelle x0 des Definitionsbereichs bzw. an den 59Rand des Definitionsbereichs eingef¨ uhrt.† Definition Grenzwert einer Funktion an einer Stelle x0 ‡ Eine Funktion f : D −→ R heißt an der Stelle x0 ∈ R konvergent gegen

eine Zahl a ∈ R, falls f¨ ur alle Folgen (xn )n∈N mit xn ∈ D, xn = x0 f¨ ur alle n→∞ n ∈ N und xn −−−−→ x0 gilt: n→∞

f (xn ) −−−−→ a. a heißt Grenzwert von f an der Stelle x0 . Als Notationen werden lim f (x) = a x→x0

x→x

0 und f (x) −−−−→ a verwendet. +∞ (bzw. −∞), falls für alle Folgen (xn )n∈N mit xn ∈ D, xn = x0 für alle n→∞ n ∈ N, und xn −−−−→ x0 gilt:

n→∞

f (xn ) −−−−→ +∞ (bzw. −∞). x→x

0 Als Notationen werden lim f (x) = +∞ und f (x) −−−−→ +∞ verwendet.

x→x0

Entsprechendes gilt f¨ ur −∞.

Grenzwerte von Funktionen werden also auf Grenzwerte von Folgen zur¨ uckn→∞ ussen. Dabei gef¨ uhrt, wobei alle Folgen mit xn −−−−→ x0 betrachtet werden m¨ ugt, muss die Stelle x0 nicht im Definitionsbereich von f liegen, sondern es gen¨ wenn x0 Grenzwert von Folgen aus D ist.§ Da die Anwendung der Definition i.Allg. kein praktikables Verfahren ist, werden im Folgenden Kriterien entwickelt, die eine einfachere Bestimmung der Grenzwerte ermöglichen. ∗ Anstelle † Die

der Bezeichnung Grenzwert wird auch der Begriff Limes verwendet.

316Verkn¨ upfung von Folgen und Funktionen wurde bereits benutzt, um

320Grenzwerte transformierter Folgen zu ermitteln, falls die betrachtete Funktion 343stetig ist. ‡ Eine

alternative Definition der Konvergenz von Funktionen (ε-δ-Definition) kann in Kamps et al. (2003) nachgelesen werden. § d.h. x kann ein 59Randpunkt von D sein. 0

336

B

10. Grenzwerte, Stetigkeit, Differenziation

Beispiel Grenzwert einer Funktion an einer Stelle x0 F¨ ur die durch f (x) = x2

definierte Funktion f : R −→ R wird die Stelle x0 = 0 betrachtet. Sei ur die Folge (xn )n∈N eine (beliebige) Folge mit Grenzwert x0 = 0. Dann gilt f¨ (f (xn ))n∈N die Aussage n→∞

f (xn ) = x2n = xn · xn −−−−→ 0 · 0 = 0, da das 319Produkt zweier konvergenter Folgen gegen das Produkt der beiden Grenzwerte konvergiert. Beispielhaft werden die durch xn = n22+2 und 1 definierten Folgen betrachtet, deren Grenzwert jeweils x0 = 0 ist. yn = − 2n Die senkrechten Striche markieren jeweils die ersten 100 Folgenglieder von (f (xn ))n∈N und (f (yn ))n∈N auf dem Funktionsgrafen von f . 1

6

... .. ... 2 ... ... ... ... ... ... . . ... ... ... ... ... ... ... .... .... ... . .... . . . ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... . ...... . . . ... ....... ....... ........ ........ .......... ......................................

− 21

0

-

1 2

Der Grenzwert von f an der Stelle x0 h¨ angt nicht vom Funktionswert f (x0 ) an dieser Stelle ab (sofern dieser u ¨ berhaupt definiert ist). Dies zeigt die durch x2 , x ∈ R \ {0} g(x) = 1 x=0 4, definierte Funktion g, die mit der quadratischen Funktion f nahezu u ¨ bereinstimmt. Lediglich an der Stelle x0 = 0 weichen f (x) und g(x) voneinander ab. Trotzdem existieren die Grenzwerte der Folgen (g(xn ))n∈N bzw. (g(yn ))n∈N mit den obigen Folgen (xn )n∈N und (yn )n∈N (und die aller anderen Folgen∗ mit Grenzwert x0 = 0). Dies zeigt auch die (nahezu identische) Illustration. 1

6

... .. ... ... 2 ... ... ... ... ... ... . . ... .. ... ... ... ... .... .... ... 1 .... .... . . . . ..... . 4 ..... ..... ..... .... ...... ..... ..... ..... ..... ...... . . . . . ....... ....... ........ ........ ........... ...................................

r

b

− 21 ∗ Gem¨ aß

0

-

1 2

Definition werden nur Folgen mit xn = 0 betrachtet.


337

F¨ ur den Grenzwert der Folge (g(xn ))n∈N gilt lim g(xn ) = lim x2n = 0 = n→∞

n→∞

ur (yn )n∈N ). Der Unterschied zwischen den Grenzwerten g(0) = 14 (analog f¨ der Funktionen f und g an der Stelle x0 liegt darin, dass der Grenzwert von ur g nicht zu. f der Funktionswert von f an der Stelle x0 = 0 ist. Dies trifft f¨ Die Funktion f wird daher 343stetig an der Stelle x0 = 0 genannt, während g dort unstetig ist. Das folgende Beispiel illustriert eine Situation, in der keine Konvergenz vorliegt. Beispiel Indikatorfunktion Sei f die durch f (t) =

½[0,∞) (t) + 1 =

1, 2,

t 0 f¨ ur alle n ∈ N gilt, und

f (yn ) = 1,

da yn < 0 f¨ ur alle n ∈ N gilt.

Daraus folgt lim f (xn ) = lim 2 = 2 und lim f (yn ) = lim 1 = 1, d.h. die n→∞ n→∞ n→∞ n→∞ Grenzwerte dieser Folgen sind verschieden.∗ f hat somit an der Stelle x0 = 0 keinen Grenzwert. Dies wird auch in der Grafik deutlich, da die Funktion f an der Stelle x0 = 0 einen Sprung“ hat. ” .< .< .< .< .< .< ..< ...< ....< ........< ...............< .................................< .......................................................................< ...... < 2 •..6

.....................................> .....................................................> .................> .........> ......> ...> ...> ..> .> .> .> ..> .> .> .> .> .> .......... >

− 21

0

1 2

Das vorhergehende Beispiel motiviert die Einf¨ uhrung von einseitigen Grenzwerten, d.h. die Ann¨ aherung erfolgt nur von links bzw. nur von rechts.† n→∞

n→∞

∗ Gem¨ aß Definition muss f (xn ) −−−−→ a f¨ ur jede Folge mit xn −−−−→ x0 gelten. Um nachzuweisen, dass der Grenzwert an der Stelle x0 nicht existiert, gen¨ ugt es daher entweder eine Folge (zn )n∈N anzugeben, so dass (f (zn ))n∈N nicht konvergiert, oder zwei konvergente Folgen (xn )n∈N und (yn )n∈N zu finden, so dass die Grenzwerte der Folgen (f (xn ))n∈N und (f (yn ))n∈N verschieden sind. † Die Pfeile in der Grafik markieren mit ihrer Spitze den Folgenwert und geben ferner die Ann¨ aherungsrichtung an die Stelle t = 0 an.

B

338


Definition Einseitige Grenzwerte Eine Funktion f : D −→ R heißt an der Stelle 5 links x0 ∈ R von konvergent gegen eine Zahl a ∈ R (gegen ±∞), falls rechts n→∞

n→∞

f (xn ) −−−−→ a(bzw. ± ∞) für alle Folgen (xn )n∈N mit5xn ∈ D, xn −−−−→ x0 xn < x0 und f¨ ur alle n ∈ N. xn > x0

5 a bzw. ±∞ heißt

linksseitiger Grenzwert von f an der Stelle x0 . rechtsseitiger x→x +

ur rechtsseitige bzw. Als Notationen werden lim f (x) = a und f (x) −−−−0−→ a f¨ x→x0 + x→x0 −

lim f (x) = a und f (x) −−−−−→ a für linksseitige Grenzwerte verwendet.

x→x0 −

Zusammenhang zwischen Konvergenz und links- und rechtsseitiger Konvergenz Eine Funktion ist konvergent an der Stelle x0 genau dann, wenn sie an der Stelle x0 rechts- und linksseitig konvergent ist und der links- und rechtsseitige Grenzwert u ¨ bereinstimmen. Entsprechend werden Grenzwerte f¨ ur die Annäherung an +∞ bzw. −∞ definiert.

Definition Konvergenz bei Ann¨ aherung an Unendlich Eine Funktion f : D −→ R

+∞ heißt f¨ ur x → −∞ konvergent gegen eine Zahl a ∈ R, falls

n→∞ n→∞ +∞ f (xn ) −−−−→ a für alle Folgen (xn )n∈N mit xn ∈ D und xn −−−−→ −∞ . +∞ a heißt Grenzwert von f für x → −∞ . +∞ (−∞), falls n→∞

f (xn ) −−−−→ +∞(−∞) für alle Folgen (xn )n∈N mit xn ∈ D und n→∞ +∞ xn −−−−→ −∞ . +∞ +∞ (−∞) heißt Grenzwert von f für x → −∞ . In 339Tabelle Grenzwerte von Funktionen sind f¨ ur einige wichtige Funktionen die zugehörigen Grenzwerte angegeben. Mit diesen Resultaten können


339

unter Verwendung von 340Tabelle Grenzwerte von Summen, Differenzen, Produkten und Quotienten Grenzwerte weiterer Funktionen ermittelt werden. Grenzwerte von Funktionen Funktion Polynome n aj xj , 1 f (x) = j=0 2 3 4

an an an an

> < >
0 f (x) =

1 xp

f (x) =

1 ,n xn

=

x−p , p

>0

D

Grenzwert f¨ ur x → x0 ∈ D +∞ −∞

R R R R

f (x0 ) f (x0 ) f (x0 ) f (x0 )

+∞ −∞ +∞ −∞

−∞ +∞ +∞ −∞

R

f (x0 )

+∞

+∞

[0, ∞)

f (x0 )

+∞

−

(0, ∞)

f (x0 ) 0 − lim f (x) = +∞

x→0+

∈N

R \ {0} 1 n gerade 2 n ungerade

Exponentialfunktionen f (x) = ax , 1 a > 1 2 a ∈ (0, 1)

R R

Logarithmusfunktionen f (x) = loga (x), 1 a > 1

(0, ∞)

f (x0 ) x → 0+ x → 0− x → 0−

0 +∞ +∞ −∞

0

f (x0 ) f (x0 )

+∞ 0

0 +∞

f (x0 ) +∞ − lim f (x) = −∞

x→0+

2 a ∈ (0, 1)

(0, ∞)

f (x0 ) −∞ − lim f (x) = +∞

x→0+

Gebrochen rationale Funktionen f (x) = h(x) (h, g Polynome) g(x) Zusammengesetzte Funktionen f (x) = xn eax , n ∈ N, a > 0 f (x) = xn e−ax , 1 n ungerade, a > 0 2 n gerade, a > 0 f (x) = xn ln(x), n ∈ N

R \ {x | g(x) = 0} R R R (0, ∞)

f (x0 )

f (x0 ) +∞ f (x0 ) 0 f (x0 ) 0 f (x0 ) +∞ lim f (x) = 0

0 −∞ +∞ −

x→0+

f (x) =

ln(x) ,n xn

∈N

(0, ∞)

f (x0 ) 0 − lim f (x) = −∞

x→0+

Mit −“ markierte Eintr¨ age bedeuten, dass dort kein Grenzwert betrachtet werden kann ” (die relevante Stelle liegt nicht am 59Rand von D). Der Stern deutet an, dass der Grenzwert jeweils in der 340konkreten Situation ermittelt werden muss. Die rechts- bzw. linksseitigen Grenzwerte f¨ ur die R¨ ander von D sind jeweils gesondert angegeben.

340


Grenzwerte von Summen, Differenzen, Produkten und Quotienten Grenzwert lim

x→x0

lim f (x)

x→x0

a a>0 a>0 a0 a0 0 m gerade m ungerade +∞ −∞ −∞ +∞

n gerade n ungerade

an bm

0, so folgt aus dem Zwischenwertsatz, dass f (mindestens) eine Nullstelle im Intervall [a, b] haben muss. Beispiel Die durch f (x) = x3 −3x2 −6x+8 definierte Funktion hat f¨ ur x = 0

und x = 2 die Funktionswerte f (0) = 8 und f (2) = −8, d.h. f hat wegen ihrer Stetigkeit im Intervall [0, 2] eine Nullstelle. In der Tat gilt f (1) = 0.

10.3 Differenziation

347

Eine 273Polynomdivision ergibt n¨ amlich: (

x3 − 3x2 − 6x + 8) : (x − 1) = x2 − 2x − 8 − x3 + x2 − 2x2 − 6x 2x2 − 2x − 8x + 8 8x − 8 0

Das Polynom x2 −2x−8 hat nach der 202pq-Formel die Nullstellen x1 = −2 und x2 = 4. Daher gilt f (x) = (x − 1)(x + 2)(x − 4), wobei die Nullstelle x0 = 1 im betrachteten Intervall liegt. Bei der Bestimmung von 408globalen Extrema stetiger Funktionen ist der folgende Sachverhalt von Bedeutung. Er wird im Rahmen der 395Optimierung angewendet. Extrema stetiger Funktionen Eine auf dem abgeschlossenen (und beschr¨ ankten) Intervall [a, b] stetige Funktion hat dort sowohl ein 403globales Minimum als auch ein globales Maximum.

10.3 Differenziation In diesem Abschnitt wird der Begriff der Steigung einer Funktion an einer uhrt und untersucht. Stelle x0 des Definitionsbereichs eingef¨ Zur Motivation wird das Steigungsverhalten einer Straße betrachtet, die u ¨ber einen H¨ ugel f¨ uhrt. Dieser hat etwa das folgende (durch eine Funktion beschriebene) Profil: ........................... ..... ....... .... ....... ... ........ ... ..................... . . ....................... . . . ........... .. ......... . . ........ .. . . ....... .. ....... . . ....... .. . . . ........ ... ........ . . . ......... ... . . . ........... . .... . . ............... . . . . . ....................... ...........

Aus der Abbildung ist ersichtlich, dass die Steigung sehr unterschiedlich ist. Es gibt steilere und flachere Passagen sowie Bereiche des Anstiegs und Gef¨ alles. Die Quantifizierung dieser Steigungen – wie das z.B. auf Verkehrsschildern

10.3

348


8%

6%

8% Steigung

6% Gef¨ alle

geschieht, ist mit den Methoden der Differenzialrechnung möglich. Aus dem obigen Beispiel kann intuitiv ein Steigungsbegriff abgeleitet werden, indem eine zur¨ uckgelegte Wegstrecke in Beziehung zu den dabei geschafften H¨ ohenmetern gesetzt wird. Es entsteht ein Steigungsdreieck, das nachfolgend in ein Koordinatensystem eingezeichnet wird: 6 .. ........ ...... .. ...... ..... ...... ... ..... . . . . ... . .... ... ...... ...... .. ...... . . . . . . .. .... . . . . . . .... .... . . . . . . .... ...... ...... ... ...... ...... ..... ...... . . . ... . . ... . . . ... . . .... . . . . ... . .... . . . . . . . .. .... . . . . . . .... .... . . . . . .... ...... ..... .. ......

↑ | H¨ ohenmeter

h

←−−−−−− Wegstrecke −−−−−−→ 0 w

| ↓

-

Daraus resultiert als Maß f¨ ur die Steigung der Quotient h H¨ ohenmeter = . Wegstrecke w Steigung einer Geraden

Die vorgestellte Methode kann direkt auf lineare Funktionen u ¨ bertragen werden, deren Funktionsterm in allgemeiner Form durch f (x) = ax + b, x ∈ R, mit a, b ∈ R gegeben ist. Werden zwei Punkte x0 < x1 auf der x-Achse gewählt, entsteht automatisch ein Steigungsdreieck: . ...... ...... ...... ...... ...... . . . . . ... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... .................. 1 ..... . ...... .... ...... . . . . . . ...... .... ...... . ...... ...... . ...... . . . . . .... .... . . . . . . ...... ... ...... . . . . . . ...... .. ...... . . . . .. . ... . . . . . . ...... ... ...... . . . . . . . ...... . ...... . . . . .... . .... . . . . . ..... .. ...... ....... ....... ....... ........................ ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... .... 0 .. ... . ...... . . . . . . 1 0 . .. ...... ..... ...... ... ...... ...... ... ... ...... . . . . . . . .... ...... .... .... ...... ..... ...... ......

6

f (x )

f (x) = ax + b

f (x1 ) − f (x0 )

↑|

f (x )

←−−−−−−− x − x −−−−−−−→

0

x0

↓|

x1

-


349

Daraus ergibt sich (unabh¨ angig von der Wahl von x0 und x1 ) die Steigung (ax1 + b) − (ax0 + b) a(x1 − x0 ) f (x1 ) − f (x0 ) = = = a. x1 − x0 x1 − x0 x1 − x0 Da der Quotient stets den selben Wert besitzt, hat eine lineare Funktion f mit f (x) = ax + b in jedem Punkt die Steigung a. Steigung beliebiger Funktionen

Es ist naheliegend, den obigen Ansatz auch auf nicht-lineare Funktionen zu u achst der Begriff des Differenzenquotienten ein¨bertragen. Dazu wird zun¨ gef¨ uhrt, der sich als Steigung einer Geraden durch die Punkte (x0 , f (x0 )) und (x1 , f (x1 )) ergibt. Definition Differenzenquotient Seien f : D −→ R eine Funktion, (a, b) ⊆ D ein offenes Intervall und x0 ∈ (a, b).

F¨ ur x ∈ (a, b) \ {x0 } heißt der Quotient der Stelle x).∗

f (x)−f (x0 ) x−x0

Differenzenquotient in x0 (an

Beispiel Quadratische Funktion F¨ ur lineare Funktionen hat der Differenzenquotient an jeder Stelle x den selben Wert. Dies ist f¨ ur andere Funktionen nicht der Fall. F¨ ur die quadratische Funktion f (x) = x2 ergibt sich z.B. mit Hilfe der dritten 16binomischen Formel

x2 − x20 (x − x0 )(x + x0 ) f (x) − f (x0 ) = = = x + x0 , x − x0 x − x0 x − x0 d.h. der Differenzenquotient h¨ angt von den betrachteten Stellen x und x0 ab. Die Steigung an der Stelle x0 wird nun lokal† durch die Steigung einer Geraden beschrieben, d.h. es wird eine Gerade gesucht, die durch den Punkt auft und die Steigung in diesem Punkt angibt. Dazu wird der (x0 , f (x0 )) l¨ Differenzenquotient in x0 betrachtet, der eine Gerade mit der Steigung f (x) − f (x0 ) x − x0 durch den Punkt (x0 , f (x0 )) definiert.‡ F¨ ur x → x0 beschreibt dieser Quotient die Steigung in x0 immer genauer. Die blaue Gerade entspricht der Geraden, die als Ergebnis dieser Grenzwertbildung resultiert und den Grafen uhrt. Aus diesem Grund wird sie als von f im Punkt (x0 , f (x0 )) lediglich ber¨ Tangente T bezeichnet. ∗ Der Differenzenquotient ist bei festem x eine Funktion in x mit Definitionsbereich 0 D = (a, b) \ {x0 }. † d.h. in der N¨ ahe von x0 . ‡ In der Skizze sind dies die jeweils schwarz eingezeichneten Geraden.

B

350


... ... ... ... ......... . . ...... ........ .. ....... ... ........ ....... ....... ........... . . ..... ....... ............... . . . .. ........ .... .......... ........... .............. . . . . . ..... ..... ....... ........ ....... ......... ....... ........ ...... ................. . . . . . . . . ...... ....... ... ...... ...... .... ...... ...... ...... ....... ....... .. ................... . . . . .... . . . . . . . . ................. ..... ......

f (t) 6

f (x0 )

f (x)

•

T

• x

f (x0 )

-

x0

f (x)

t

... ... ... ... ......... . . . .. .. .... ....... ..... ....... ....... ........ ..... ................. . . . .......... ......... ......... ...... .... . . . . . ..... ......... ............ ........... ................... . . . . . .. ............. ............. ...... ... ...... .... ............. ...... . . . . . . ... ... . ........ ..... .... .......... .......... .... ...................... . ..... .....

f (x)

•

x

f (x0 ) f (x)

-

x0

•

T

-

x0

t

... ... ... ... ................. . . .. ...... ........... ............ ............. ................ . . . .. ......... ....... .... .... .... . . . . ... ....... ..... ......... ........... . . . . . . ........... ............ .............. ...... ....... ...................... . . . . . ... .. . ........ ............... .......... . . ...................... ..... . .....

f (t) 6

•

T

•

x

f (t) 6

f (x0 )

. ... ... ... .... ......... . . .. .. ....... ... ........ ....... ........ ...... .................. . . . .... ..... ......... .......... ....... ...... . . . . . . ... ........... ........ ........... ............. .................... . . . . ...... ........ ...... .......... ............ ... ............ ... ............... ....... . . . . . . . .. . ......... .... ............... .... ................................. .

f (t) 6

t

•

•

T

-

x

x0

t

Die Steigung der Tangenten berechnet sich als Grenzwert des Differenzenur x → x0 . F¨ ur die obige Funktion ergibt quotienten in x0 an der Stelle x f¨ sich f (x) − f (x0 ) = lim (x + x0 ) = 2x0 . lim x→x0 x→x0 x − x0 Damit hat die Tangente an den Grafen von f durch den Punkt (x0 , f (x0 )) die Darstellung T (x) = f (x0 ) + 2x0 (x − x0 ),

x ∈ R.

Definition Differenzierbarkeit, Ableitung Seien f : D −→ R eine Funktion und (a, b) ⊆ D ein offenes Intervall.

f heißt differenzierbar in x0 ∈ (a, b), falls der Grenzwert des Differenzenquotif (x)−f (x0 ) (Differenzialquotient) an der Stelle x0 (endlich) existiert. enten lim x−x0 x→x0

Ist f differenzierbar in x0 ∈ (a, b), wird der Grenzwert

f (x0 ) = lim

x→x0

f (x) − f (x0 ) x − x0

als Ableitung von f an der Stelle x0 bezeichnet.∗ ∗ Daher ist die Ableitung einer Funktion nur an einer Stelle x im 59Inneren des 0 Intervalls (a, b) definiert. An den R¨ andern a, b k¨ onnen ggf. einseitige Ableitungen eingef¨ uhrt werden (s. Kamps et al. 2003, Heuser 2006).


351

f heißt differenzierbar auf (a, b) bzw. D, falls f in jedem x0 ∈ (a, b) bzw. x0 ∈ D differenzierbar ist. In diesem Fall bezeichnet f die Ableitung oder Ableitungsfunktion von f . Beispiel (Fortsetzung 349Beispiel Quadratische Funktion) Der Differen-

B

zialquotient der durch f (x) = x definierten Funktion ist an der Stelle x0 ∈ R gegeben durch f (x) − f (x0 ) = 2x0 . lim x→x0 x − x0 2

Somit existiert er an jeder Stelle x0 ∈ R und f ist differenzierbar auf R mit f (x) = 2x, x ∈ R. Tangentengleichung F¨ ur eine in x0 ∈ D differenzierbare Funktion f : D −→ R ist die Gleichung der Tangenten in x0 gegeben durch T (x) = f (x0 ) + f (x0 )(x − x0 ),

x ∈ R.

Beispiel Die durch f (x) = x2 definierte Funktion hat nach obigem Beispiel

B

die Ableitung f (x0 ) = 2x0 . Daher gilt T (x) = x20 + 2x0 (x − x0 ) = 2x0 x − x20 ,

x ∈ R.

Daher ist T (x) = 2x − 1, x ∈ R, die Tangentengleichung in x0 = 1. An der Stelle x0 = −2 lautet sie T (x) = −4x − 4, x ∈ R. Beispiel Betragsfunktion Die 162Betragsfunktion ist im Nullpunkt nicht

differenzierbar, da der Differenzialquotient an der Stelle x0 = 0 nicht existiert. Dies ergibt sich aus den einseitigen Grenzwerten |x| − |0| |x| −x = lim = lim = lim −1 = −1, x→0− x − 0 x→0− x x→0− x x→0− |x| − |0| |x| x = lim = lim = lim 1 = 1. lim x→0+ x − 0 x→0+ x x→0+ x x→0+ lim

Am Grafen der Betragsfunktion ¨ außert sich dies durch einen Knick“ an der ” Stelle x0 = 0. Die Steigung in diesem Punkt hängt somit davon ab, aus welcher Richtung der Punkt angen¨ ahert wird.

B

352


Aus dem vorhergehenden Beispiel l¨ asst sich die Faustregel ableiten, dass Grafen differenzierbarer Funktionen keine Knicke“ haben. Außerdem gilt die ” folgende Aussage. Zusammenhang zwischen Stetigkeit und Differenzierbarkeit Ist eine Funktion differenzierbar an einer Stelle x0 , so ist sie dort auch stetig. Daher sind (auf einem offenen Intervall) differenzierbare Funktionen auch stetig.

Wie das Beispiel der Betragsfunktion zeigt, ist die Umkehrung dieser Aussage i.Allg. falsch, d.h. eine stetige Funktion muss nicht differenzierbar sein. Die Ableitung einer differenzierbaren Funktion muss hingegen weder differenzierbar noch stetig sein. Aus diesem Grund wird f¨ ur differenzierbare Funktionen mit stetiger Ableitung der Begriff stetig differenzierbar eingef¨ uhrt. 355H¨ ohere Ableitungen werden am Ende dieses Kapitels behandelt. Berechnung von Ableitungen

Die Berechnung des Differenzialquotienten ist i.Allg. aufwändig. Daher wird die Bestimmung der Ableitung (unter Verwendung von Ableitungsregeln) meist auf bereits bekannte Ableitungen zur¨ uckgef¨ uhrt. Die 352Tabelle Ableitungen von Funktionen enth¨ alt die Ableitungen wichtiger Funktionen. Ableitungen von Funktionen f (x)

Parameter/Parameterbereich

D

f (x)

c

c∈R

R

0

xn

n∈N

R

nxn−1

1 xn

n∈N

√ n x

n ∈ N gerade n ∈ N ungerade

xa e

a ∈ R \ {0}

x

ax

a>0

ln(x) loga (x)

a ∈ (0,∞) \ {1}

n R \ {0} − xn+1

(0, ∞) R

1 √ n n−1 x 1 √ ,x n n xn−1 a−1 n

(0, ∞)

ax

R

ex

R

ln(a) · ax

(0, ∞)

1 x

(0, ∞)

1 ln(a)

·

1 x

sin(x)

R

cos(x)

cos(x)

R

− sin(x)

= 0


353

Beispiel Die Ableitung einer Wurzelfunktion kann aus der Ableitung von

Potenzfunktionen gewonnen werden (D = (0, ∞)). √ 1 Die Ableitung der Quadratwurzel f (x) = x = x 2 ergibt sich mit a = aß der Regel (xa ) = axa−1 gem¨ 1 1 1 1 1 1 f (x) = x 2 = x 2 −1 = x− 2 = √ , x ∈ D. 2 2 2 x √ 1 Im allgemeinen Fall f (x) = n x = x n gilt mit a = n1 f (x) =

1 1 −1 1 1−n 1 1 √ xn = x n = . n−1 = n n n n n xn−1 nx

1 2

B

und

Ableitungen von Verkn¨ upfungen der in 352Tabelle Ableitungen von Funktionen genannten Funktionen (z.B. Polynome) k¨ onnen mit Hilfe der folgenden Rechenregeln ermittelt werden. Ableitungsregeln F¨ ur an der Stelle x differenzierbare Funktionen f, g sind die folgenden Funktionen ebenfalls an der Stelle x differenzierbar. Ihre Ableitungen sind durch folgende Ausdr¨ ucke gegeben: 1. Faktorregel: Die Ableitung von c · f , c ∈ R, ist gegeben durch (c · f (x)) = c · f (x). 2. Summenregel: Die Ableitung von f + g ist gegeben durch (f (x) + g(x)) = f (x) + g (x). 3. Produktregel: Die Ableitung von f · g ist gegeben durch (f (x) · g(x)) = f (x) · g(x) + f (x) · g (x). 4. Quotientenregel: Die Ableitung von

f (x) g(x)

=

f g

ist gegeben durch

f (x) · g(x) − f (x) · g (x) . (g(x))2

Der Quotient ist nur f¨ ur g(x) = 0 definiert.

Beispiel

(i) f (x) = 4x2 : Nach der Faktorregel gilt: f (x) = (4x2 ) = 4(x2 ) = 4 · 2x = 8x

B

354


(ii) f (x) = x3 + ln(x): Nach der Summenregel gilt: f (x) = (x3 + ln(x)) = (x3 ) + (ln(x)) = 3x2 + x1 (iii) f (x) = x2 − 2x: f (x) = 2x − 2 √ 3 (iv) f (x) = 3 x + 3x : f (x) = 2√ + ln(3)3x x √ √ (v) f (x) = x2 x = x5/2 : f (x) = 52 x3/2 = 52 x x (vi) f (x) = x ln(x): Nach der Produktregel gilt: f (x) = (x ln(x)) = 1·ln(x)+x· x1 = ln(x)+1 x ln(x) :

(vii) f (x) =

Nach der Quotientenregel gilt: f (x) = x−1 x+1 :

f (x) =

(x+1)−(x−1) (x+1)2

1 x2 −1 :

f (x) =

0·(x2 −1)−1·2x (x2 −1)2

(viii) f (x) = (ix) f (x) =

=

x ln(x)

=

1 1·ln(x)−x· x (ln(x))2

=

ln(x)−1 (ln(x))2

2 (x+1)2

= − (x22x −1)2

(x) f (x) = x2 ex : f (x) = 2xex + x2 ex = (x + 2)xex (xi) f (x) =

ex +1 ex −1 :

f (x) =

ex (ex −1)−ex (ex +1) (ex −1)2

x

= − (ex2e−1)2

(xii) f (x) = sin(x) − cos(x): f (x) = cos(x) + sin(x)

Kettenregel Seien g differenzierbar an der Stelle x und f differenzierbar an der Stelle g(x). Dann ist f ◦ g differenzierbar an der Stelle x mit Ableitung (f (g(x))) = g (x) · f (g(x)). Der erste Faktor der rechten Seite heißt innere Ableitung, der zweite äußere Ableitung.

B

Beispiel Die Ableitung einer allgemeinen Exponentialfunktion h(x) = ax

mit a > 0, a = 1 l¨ asst sich aus der Ableitung der Exponentialfunktion direkt bestimmen. Dazu wird die Darstellung h(x) = ax = eln(a)x = f (ln(a)x) = f (g(x)) mit g(x) = ln(a)x und f (t) = et verwendet. Unter Verwendung der Kettenregel gilt n¨ amlich mit f (t) = et und g (x) = ln(a): h (x) = g (x) · f (g(x)) = ln(a) · f (ln(a)x) = ln(a)eln(a)x = ln(a)ax .

10.4 Differenziation parameterabh¨ angiger Funktionen

355

Beispiel

B

(i) h(x) = (x2 − 1)2 : h (x) = 2x · 2(x2 − 1) = 4x3 − 4x (ii) h(x) = (3x2 + 5x − 1)3 : h (x) = (3x2 + 5x − 1) · 3(3x2 + 5x − 1)3−1 = (6x + 5) · 3(3x2 + 5x − 1)2 = (18x + 15)(3x2 + 5x − 1)2 √ 1 1 (iii) h(x) = 2x + 1: h (x) = 2 · 2√2x+1 = √2x+1 2

(iv) h(x) = ex : h (x) = 2xex (v) h(x) = ex

4

−x

2

: h (x) = (x4 − x) · ex

4

−x

(vi) h(x) = ln(3x3 − x): h (x) = (9x2 − 1) ·

= (4x3 − 1)ex 1 3x3 −x

=

4

−x

9x2 −1 3x3 −x

Ableitungen h¨ oherer Ordnung

Da die Ableitung einer Funktion wiederum eine Funktion (mit evtl. eingeschr¨ anktem Definitionsbereich) ist, kann sie selbst ebenfalls auf Differenzierbarkeit untersucht werden. Auf diese Weise werden Ableitungen höherer Ordnung definiert. Die zweite Ableitung der Funktion f ist somit Ableitung der Funktion f . Sie wird mit f oder mit f (2) bezeichnet: f = (f ) . Allgemein gilt im Fall der Differenzierbarkeit von f (n) (n ∈ N): f (n+1) = (f (n) ) . Beispiel Die durch f (x) = 2x3 − 6x + 1 gegebene Funktion hat die (erste)

B

Ableitung f (x) = 6x2 −6. Die zweite Ableitung f ist gegeben durch f (x) = (6x2 − 6) = 12x. Die dritte Ableitung ist f (3) (x) = 12, so dass alle höheren ur n ≥ 4. Ableitungen gleich Null sind, d.h. f (n) (x) = 0 f¨

10.4 Differenziation parameterabh¨ angiger Funktionen

10.4

In der 352Tabelle Ableitungen von Funktionen wurden bereits Parameter benutzt, um Ableitungen von Funktionen eines bestimmten Typs anzugeben. Die durch f (t) = tn definierte Funktion hat den Parameter n ∈ N. Ihre utzlichkeit des Parameters Ableitung ist gegeben durch f (t) = ntn−1 . Die N¨ besteht darin, dass mit dieser Beschreibung die Ableitung f¨ ur eine Klasse von Funktionen angegeben wird. In einer konkreten Situation wird die Ableitung durch Einsetzen eines speziellen Werts f¨ ur den Parameter ermittelt. Grunds¨ atzlich werden Parameter beim Differenzieren wie Konstanten behandelt. Maßgeblich f¨ ur die Differenziation ist nur das Argument der Funktion.

356

B


Beispiel

(i) F (x) = 1 − e−λx mit Parameter λ: (ii) F (y) = y α mit Parameter α:

F (x) = λe−λx

F (y) = αy α−1

β

(iii) F (t) = 1 − e−λt mit Parametern λ und β: (iv) F (z) = 1 −

1 µ+z

mit Parameter µ: F (z) =

10.5

10.5 Aufgaben

358 L

Aufgabe 10.1

1 (µ+z)2

Bestimmen Sie mit Hilfe von 339Tabelle Grenzwerte von Funktionen und 340Tabelle Grenzwerte von Summen, Differenzen, Produkten und Quotienten die Grenzwerte der Funktion an den Rändern ihres Definitionsbereichs.∗ (a) f (x) = 10x18 − 5x17 + 2

(d) f (x) = −3 ln(x) + x2

(b) f (x) = −3 + 4x + 2x3

(e) f (x) = −e2x · x3 (f) f (x) = 21x 4x3 +

(c) f (x) = 359 L

β

F (t) = λβtβ−1 e−λt

4x2 −5x+1 x−1

Aufgabe 10.2

5 x3

¨ Uberpr¨ ufen Sie die Funktionen auf Stetigkeit an den angege-

benen Stellen. (a) f (x) = 2|x|

an der Stelle x0 = 0

(b) f (x) = |(x − 1)2 | an der Stelle x0 = 2 1 , x = 0 an der Stelle x0 = 0 (c) f (x) = x 0, x = 0 2 x −2x+1 x−1 , x = 1 (d) f (x) = an der Stelle x0 = 1 0, x=1 √ x, x≥0 an der Stelle x0 = 0 (e) f (x) = √ 1 − x, x < 0 ∗ +∞ bzw. −∞ werden als R¨ ander des Definitionsbereichs verstanden, wenn der Definitionsbereich nach oben bzw. unten unbeschr¨ ankt ist.

10.5 Aufgaben

357

Leiten Sie die Funktionen mit Definitionsbereich (0, ∞) unter Verwendung der Faktor- und Summenregel ab. √ 3 (d) f (x) = 8x2 − x + 2 + 6 x4 (a) f (x) = 5x3 + 7x2 − 4x + 9 Aufgabe 10.3

1

(b) f (x) = 13 x6 + x + x 2 √ (c) f (x) = 4x4 − 4x

(e) f (x) = 12 x−2 + 2x−3 − 3x−4 √ 1 (f) f (x) = x + √1x + √ 3 5 x

Leiten Sie die Funktionen mit Definitionsbereich (0, ∞) unter Verwendung der Faktor-, Summen- und Produktregel ab. Aufgabe 10.4

(a) f (x) = ex · x2 + 3x5

(d) f (x) = 3x4 · sin(x)

(b) f (x) = 4x · x4

(e) f (x) = (e−x + 4x )2

(c) f (x) = 2x · ln(x) + ln(x3 )

(f) f (x) = (ln(x))2 · ex

Aufgabe 10.5

Leiten Sie die Funktionen mit Definitionsbereich (0, ∞) ab. 2

359 L

(a) f (x) =

3x +4 2x

(d) f (x) = (5x − 3)5

(b) f (x) =

1√ 2+ x

(c) f (x) =

7x2 +3x+1 x2 +x

(e) f (x) = (3x4 − x2 + 7)4 " (f) f (x) = 3 (2x3 + 3x)5

Aufgabe 10.6 Begr¨ unden Sie, dass die Grenzwerte f¨ ur x → ∞ jeweils gleich Eins und f¨ ur x → −∞ jeweils gleich Null sind und dass die Funktionen stetig auf R sind. Berechnen Sie ferner die Ableitung (evtl. mit Ausnahme der Stellen x0 = 0 und x0 = 1). ⎧ ⎪ ⎪ 0, x 1 2 e−x , x < 0 (b) F (x) = −x (d) F (x) = e−e , x ∈ R 1, x≥0

360 L

360 L

361 L

358


10.6

10.6 L¨ osungen

356 A

L¨ osung 10.1 (a) D = R; R¨ ander: −∞, +∞ lim (10x18 − 5x17 + 2) = +∞, lim (10x18 − 5x17 + 2) = +∞

x→+∞

x→−∞

(b) D = R; R¨ ander: −∞, +∞ lim (−3 + 4x + 2x3 ) = +∞, lim (−3 + 4x + 2x3 ) = −∞

x→+∞

x→−∞

(c) D = R \ {1}; R¨ ander: −∞, +∞, 1 Aus der Polynomdivision (

4x2 − 5x + 1) : (x − 1) = 4x − 1, − 4x2 + 4x −x+1 x−1 0

resultieren folgende Aussagen: lim

x→+∞

4x2 −5x+1 x−1

= lim (4x − 1) = +∞,

x→+∞ 2 −5x+1 lim 4x x−1 = lim (4x − 1) = x→−∞ x→−∞ 2 −5x+1 lim 4x x−1 = lim (4x − 1) = 3 x→1− x→1−

lim

x→1+

4x2 −5x+1 x−1

−∞

= lim (4x − 1) = 3 x→1+

Die Funktion kann daher an der Stelle x = 1 durch den Funktionswert 3 stetig fortgesetzt werden. (d) D = (0, ∞); R¨ ander: 0, +∞ lim

x→+∞

+1 −3 ln(x) + x2 = lim x2 −3 ln(x) x2 x→+∞ = lim x2 · lim −3 ln(x) + 1 = +∞, x2 x→+∞

da lim x2 = +∞ und lim x→+∞

x→+∞

x→+∞

−3 ln(x) + 1 = 1 gilt. x2

Der Grenzwert lim (−3 ln(x) + x2 ) ist gleich +∞. x→0+

(e) D = R; R¨ ander: −∞, +∞ lim (−e2x · x3 ) = −∞, lim (−e2x · x3 ) = 0

x→+∞

x→−∞

10.6 L¨ osungen

359

(f) D = R \ {0}; R¨ ander: −∞, +∞, 0 3 1 lim x 4x + x53 = lim e− ln(2)x 4x3 + x53 = 0, x→+∞ 2 x→+∞ lim ( 21x 4x3 + x53 ) = lim e− ln(2)x 4x3 + x53 x→−∞

=

x→−∞

lim 4x3 e− ln(2)x + lim

= −∞, denn der erste und der zweite

5 ln(2)x x3 x→−∞ e

x→−∞

Grenzwert sind jeweils gleich −∞. Letzteres folgt aus lim eln(2)x x3 = 0−. x→−∞

An der Stelle x = 0 ergeben sich als Grenzwerte lim 1x 4x3 + x53 = −∞ x→0− 2 lim 21x 4x3 + x53 = +∞ x→0+

1 x x→0 2

Diese Aussage resultiert aus den Grenzwerten lim lim 53 x→0− x

= −∞ bzw. lim

5 3 x→0+ x

= 1, lim 4x3 = 0 und x→0

= +∞. 356 A

L¨ osung 10.2 (a)

lim 2|x| = lim 2x = 0, lim 2|x| = lim (−2x) = 0, also ist f stetig an der

x→0+

x→0+

x→0−

x→0−

Stelle x0 = 0. (b) lim |(x − 1)2 | = 1, lim |(x − 1)2 | = 1, also ist f stetig an der Stelle x0 = 2. x→2+

x→2−

Alternativ gilt f (x) = |(x−1)2 | = (x−1)2 , d.h. f ist ein quadratisches Polynom und daher insbesondere stetig auf R. (c)

= +∞ = f (0) = 0, lim

lim 1 x→0+ x

1 x→0− x

= −∞ = f (0) = 0, also ist f an der Stelle

x0 = 0 nicht stetig. 2 x2 −2x+1 = (x−1) x−1 x−1 lim x −2x+1 = lim (x − x−1 x→1+ x→1+

(d) Wegen

2

= x − 1 f¨ ur x = 1 gilt f¨ ur die Grenzwerte 1) = 0 und lim

x→1−

x2 −2x+1 x−1

= lim (x − 1) = 0. x→1−

Daher ist f an der Stelle x0 = 1 wegen f (1) = 0 stetig. √ √ (e) Wegen lim x = 0 = f (0) und lim 1 − x = 1 ist f an der Stelle x0 = 0 x→0+

x→0−

zwar rechtsseitig stetig, aber nicht stetig. 357 A

L¨ osung 10.3

(a) f (x) = (5x + 7x − 4x + 9) = 5 · 3x + 7 · 2x − 4 + 0 = 15x + 14x − 4 1

1 (b) f (x) = 13 x6 + x + x 2 = 13 · 6x5 + 1 + 12 x 2 −1 = 2x5 + 1 + 2√1 x 3

2

√ (c) f (x) = 4x4 − 4x

2

2

1

1 = 4x4 − 2x 2 = 4 · 4x3 − 2 · 12 x 2 −1 = 16x3 −

√ 4

3 (d) f (x) = 8x2 − x + 2 + 6 x4 = 8x2 − x + 2 + 6x 3 √ 4 = 8 · 2x − 1 + 0 + 6 · 43 x 3 −1 = 16x − 1 + 8 3 x

√1 x

360


(e) f (x) = 12 x−2 + 2x−3 − 3x−4 = 12 ·(−2)x−2−1 +2·(−3)x−3−1 −3·(−4)x−4−1 = −x−3 − 6x−4 + 12x−5 1 √ 1 5

1 (f) f (x) = x + √1x + √ = x 2 + x− 2 + x− 3 3 5 1

x

1

5

= 12 x 2 −1 + (− 12 )x− 2 −1 + (− 35 )x− 3 −1 = 357 A

−

1 √ 2 x

√1 2 x3

−

3

5 √ 3 8 x

L¨ osung 10.4 (a) f (x) = (ex · x2 + 3x5 ) = ex · x2 + ex · 2x + 3 · 5x4 = ex (x2 + 2x) + 15x4 = x(x + 2)ex + 15x4 (b) f (x) = (4x · x4 ) = ln(4) · 4x · x4 + 4x · 4x3 = x3 4x (ln(4)x + 4) (c) f (x) = (2x · ln(x) + ln(x3 )) = 2 ln(x) + 2x ·

1 x

+ (3 ln(x)) = 2 ln(x) + 2 +

3 x

(d) f (x) = (3x4 · sin(x)) = 12x3 · sin(x) + 3x4 · cos(x) = 3x3 (4 sin(x) + x cos(x)) (e) f (x) = ((e−x + 4x )2 ) = ((e−x + 4x ) · (e−x + 4x ))

= (e−x + 4x ) · (−e−x + ln(4) · 4x ) + (−e−x + ln(4) · 4x ) · (e−x + 4x ) x = 2(e−x + 4x )(−e−x + ln(4) · 4x ) = −2e−2x + 2 ln(4)16x + 2 4e (ln(4) − 1) (f) f (x) = ((ln(x))2 · ex ) = (ln(x) ln(x)) · ex + (ln(x))2 ex = (ln(x) · x1 + x1 · ln(x)) · ex + (ln(x))2 ex = ex ln(x)( x2 + ln(x)) 357 A

L¨ osung 10.5 2

(a) f (x) = ( 3x2x+4 ) = (b) f (x) = (c) f (x) =

1√ 2+ x

6x·2x−(3x2 +4)·2 (2x)2

√ = (2 + x)−1

7x2 +3x+1 x2 +x

=

=

6x2 −8 4x2

= −(2 +

= √

3 2

−

2 x2

x)−2 ·

1 √ 2 x

(14x+3)·(x2 +x)−(7x2 +3x+1)·(2x+1) (x2 +x)2

1 √ = − 2√x(2+ x)2

=

4x2 −2x−1 (x2 +x)2

(d) f (x) = (5x − 3)5 = 5(5x − 3)4 · 5 = 25(5x − 3)4

(e) f (x) = (3x4 − x2 + 7)4 = 4(3x4 − x2 + 7)3 · (12x3 + x22 ) 4 2 3 3 8 = 48x + x2 3x − x + 7 " 5

2 (f) f (x) = 3 (2x3 + 3x)5 = (2x3 + 3x) 3 = 53 (2x3 + 3x) 3 · (6x2 + 3) " = (10x2 + 5) 3 (2x3 + 3x)2

10.6 L¨ osungen

361

357 A

L¨ osung 10.6 (a) Es gilt

lim F (x) =

x→−∞

lim 0 = 0 und lim F (x) = lim (1 − e−x ) = 1. Zur

x→−∞

x→∞

x→∞

Untersuchung der Stetigkeit ist lediglich die Stelle x0 = 0 zu betrachten, da sich die Stetigkeit in den anderen Punkten des Definitionsbereichs aus der Stetigkeit 344grundlegender Funktionen ergibt. Wegen lim (1 − e−x ) = 0 = x→0+

f (0) = lim 0 ist F auch stetig in x0 = 0 und damit stetig auf R. x→0− 0, x 0 (b) Es gilt

lim F (x) =

x→−∞

lim e−x

x→−∞

2

= 0 und lim F (x) = lim 1 = 1. Zur x→∞

x→∞

Untersuchung der Stetigkeit ist lediglich die Stelle x0 = 0 zu betrachten (vgl. 2 (a)). Wegen lim e−x = 1 = f (0) = lim 1 ist F auch stetig in x0 = 0 und x→0−

x→0+

damit stetig auf R.

Die Ableitung ist gegeben durch f (x) = F (x) = (c) Es gilt

2

−2xe−x ,

x0

.

lim F (x) = lim 0 = 0 und lim F (x) = lim 1 = 1. Zur Untersu-

x→−∞

x→−∞

x→∞

x→∞

chung der Stetigkeit sind lediglich die Stellen x0 = 0 und x1 = 1 zu betrachten (vgl. (a)). Wegen lim 0 = 0 = f (0) = lim x und lim x = 1 = f (1) = x→0−

x→0+

x→1−

lim 1 ist F auch stetig in x0 = 0 und x1 = 1 und damit stetig auf R. x→1+ ⎧ ⎪ ⎪ ⎨0, x < 0 Die Ableitung ist gegeben durch f (x) = F (x) = 1, 0 < x < 1 . ⎪ ⎪ ⎩0, x > 1 (d) Aus lim (−e−x ) = −∞ und lim (−e−x ) = 0 resultieren die Grenzwerte x→−∞

x→+∞

−x

lim F (x) = lim e−e

x→−∞

x→−∞

lim F (x) = lim e

x→+∞

x→+∞

−e−x

= lim ez = 0, z→−∞

= lim ez = 1. z→0

Als Verkettung stetiger Funktionen ist F auch stetig auf R. Die Ableitung ist −x −x nach der Kettenregel gegeben durch f (x) = F (x) = e−x e−e = e−x−e = −(x+e−x ) , x ∈ R. e

Kapitel 11 Integration

11

11

11

Integration

11.1

Integration und Stammfunktionen ............................ 365

11.2

Integrationsregeln ................................................ 371

11.3

Integration von st¨ uckweise definierten Funktionen ........ 375

11.4


11.5

Aufgaben .......................................................... 383

11.6

Lösungen .......................................................... 385

365

11.1 Integration und Stammfunktionen

365

11 Integration Die Berechnung von Integralen ist in der Wahrscheinlichkeitsrechnung und der angewandten Statistik ein wichtiges Hilfsmittel zur Bestimmung von Wahrscheinlichkeiten, Verteilungsfunktionen, Erwartungswerten, Varianzen und anderen Kenngr¨ oßen bei zu Grunde liegenden stetigen Wahrscheinlichkeitsverteilungen.

11.1

11.1 Integration und Stammfunktionen Beispiel Verteilungsfunktion Der Wert einer Verteilungsfunktion F (x) beschreibt die Wahrscheinlichkeit, dass eine 159Zufallsvariable einen vorgege-

benen Wert x nicht u ¨ berschreitet. Hat die Verteilungsfunktion F eine Verteilungsdichte f , so ist die obige Wahrscheinlichkeit durch die vom Grafen von ache u f und der 62Abszisse eingeschlossene Fl¨ ¨ber dem Intervall (−∞, x] Standardexponentialverteilung mit Verteilungsdichte gegeben. F¨ ur die 378 0, t 0 gleich dem Inhalt der in der Grafik markierten Fl¨ ache. Das Intervall (−∞, 0] leistet keinen Beitrag zum Integral, da die Funktion f auf diesem Teilintervall gleich Null ist. ... 1 ..6 ...

... ... ... ... ... ... ... ... .... .... .... ..... ..... ..... ..... ..... .. ....... .. ......... ....... .. ....... .. ........ .......... .. ............ ............... ... ...................... ........................................ .. ................................................................ ...........................................................................................................

f (t)

F (x)

-

0

x

t

Der Zusammenhang zwischen der Verteilungsdichte f und der zugehörigen Verteilungsfunktion F , F (x) = Fl¨ ache zwischen Graf von f und Abszisse bis zur Stelle x, wird mittels der Integralschreibweise

B

366

11. Integration

7

x

F (x) =

f (t)dt −∞

8 8x mit dem Integralzeichen notiert. −∞ f (t)dt heißt Integral von f u ¨ ber dem Intervall (−∞, x]. Die untere Integrationsgrenze −∞ und die obere Integrati8x onsgrenze x werden jeweils unten bzw. oben an das Integralzeichen −∞ nourzel dt wird die Variable (hier tiert (vgl. 111Summenzeichen). Mit dem K¨ t) gekennzeichnet, u uhrt wird. Die Funktion f ¨ ber die die Integration ausgef¨ wird als zu integrierende Funktion bzw. als Integrand bezeichnet. Allgemein l¨ asst sich die Integration einer nicht-negativen Funktion f geometrisch als Berechnung des Fl¨ acheninhalts der von der Abszisse und dem Funktionsgrafen u ¨ ber dem Intervall eingeschlossenen Fläche interpretieren. 6 f (t)

........................................... ....... .. .......... ...... ....... .. ..... ...... .. ...... ..... .. ..... .. ..... ..... .. ..... .. ..... .. ..... ..... .. ..... .. ..... ..... .. ..... .. ..... .. ..... ..... .. ..... b .. ... ... ........... .. ....... .. .. ....... . .. ......... a ................ ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..

7

f (t)dt

-

0

a

t

b

F¨ ur Integranden f mit negativen und positiven Funktionswerten kann das Integral i.Allg. nicht als8 Fl¨ achenmaß interpretiert werden. Im folgenden Bei1 spiel hat das Integral −1 f (t)dt den Wert Null, obwohl der Flächeninhalt agt. offenbar 12 = 1 betr¨ 6 f (t) ..... ...... . ...... .. .. ...... ..... . .. . . . . . .. ...... ..... .. . . . . .... .. . . . . .... .. . . . . ... . .. . . . . .... .. . . . . .... .. . . . . ... . .. . . . . .... .. . . . . .... .. . . . . ... . .. . . . . ... . .. . . . . .... ... . . . . .... .. . . . . ... . .. . . . . .. ..... ..... .. ...... .. ...... ...... .. . . . . ...... ... ..... ...... ... ...... ..... . . . . ... .. ...... .. ..... .. ..... .. ........... .. ....... ....

1

−1

1

−1

t


367

8b Formal wird das Integral a f (t)dt u uhrt, ¨ber Unter- und Obersummen eingef¨ die die vom Funktionsgrafen und der Abszisse eingeschlossene Fläche approximieren und im Grenzwert dieser entsprechen. Dieser Zugang beruht auf der Idee, den Integrationsbereich in Intervalle zu 54zerlegen und den Wert des Integrals durch den Wert der Untersumme von unten und durch den Wert der Obersumme von oben einzuschachteln, wobei sich deren Werte als Summe von Rechteckfl¨ achen leicht berechnen lassen. Die Zerlegung des Integrationsbereichs wird dann verfeinert, so dass die Näherung genauer wird. Konvergiert dieser Prozess, heißt die Funktion f integrierbar.∗ Die folgenden Grafiken illustrieren diesen Vorgang. Die Zahl n gibt jeweils die Anzahl der (gleich breit gew¨ ahlten) Teilintervalle an. Wie aus den Abbildungen ersichtlich ist, approximieren die Treppenstufen den Funktionsgrafen mit wachsender Anzahl von Teilintervallen besser. Obersumme

Untersumme

6

... ... ... ... ... ... .... ... .... .... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ...... ...... ...... .............. .. ........... ........ .. .......... ........... .. ............. .. ...... .. .. .

6

f (t)

f (t)

n=4

0

x

n=4

-

t

0

6

... ... ... ... ... ... .... ... .... .... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ...... ...... ...... .............. .. ........... ........ .. .......... ........... .. ............. .. ...... .. .. .

x

... ... ... ... ... ... ... .... ... ... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ...... ...... ....... ....... .. ...... .. ............ ......... .. .......... .. ........... ............. .. ..... .. .. .

f (t)

n = 10

0

x

-

t

6

f (t)

t

... ... ... ... ... ... ... .... ... ... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ...... ...... ...... ....... .. ....... .. ............ ......... .. .......... .. ........... ............. .. ..... .. .. .

n = 10

-

0

x

-

t

Auf eine Darstellung der mathematischen Zusammenhänge soll hier verzichtet werden, da der Anwendungsaspekt der Integralrechnung im Vordergrund steht (zu weiteren Informationen s. Kamps et al. 2003). Ziel des hier gew¨ ahlten Vorgehens ist, einfach handhabbare Rechenregeln bereitzustellen, um Integrale (und damit die interessierenden Gr¨ oßen) mit möglichst geringem Aufwand berechnen zu k¨ onnen. Ein zentrales Hilfsmittel bei der Auswertung von Integralen ist der Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung. ∗ Auf einem Intervall [a, b] stetige Funktionen sind dort auch integrierbar (s. Heuser, 2006).

368

11. Integration

Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung Seien f eine auf dem Intervall [a, b] stetige Funktion und F eine stetige, auf dem offenen Intervall (a, b) differenzierbare Funktion mit f (x) = F (x)

f¨ ur alle x ∈ (a, b).

Dann kann das Integral von f u ¨ ber [a, b] berechnet werden gemäß 7 b f (t)dt = F (b) − F (a). a

Die Funktion F wird als Stammfunktion von f bezeichnet. 8b Alternativ werden f¨ ur das Integral a f (t)dt folgende Bezeichnungen verwendet: t=b 0 b 1b 0 1t=b = F (t) = F (t) . F (t) = F (t) a

t=a

a

t=a

Dieser Satz zeigt insbesondere, dass die Integration als eine gewisse Umkehrung der Differenziation verstanden werden kann. B

Beispiel Wegen

x4 4

= x3 definiert F (x) =

x4 4

nach dem Hauptsatz der

Differenzial- und Integralrechnung eine Stammfunktion zu f (x) = x3 . Somit gilt 4 b 7 b x 1 x3 dx = = (b4 − a4 ). 4 4 a a 4 4 ur G(x) = x4 + 2. Wegen x4 + 2 = x3 + 0 = x3 gilt dies auch f¨ Allgemein l¨ asst sich sagen, dass F (x) + C mit einer beliebigen Konstanten C ∈ R eine Stammfunktion zu f definiert und umgekehrt jede beliebige Stammfunktion zwangsl¨ aufig von dieser Gestalt ist. Dabei ist zu beachten, dass f¨ ur ein beliebiges C die Beziehung (F (b) + C) − (F (a) + C) = F (b) − F (a) gilt, d.h. der Wert des Integrals h¨ angt nicht von der Wahl der Stammfunktion ab. Diese Beobachtung wird in der folgenden Aussage zusammengefasst. Eigenschaften von Stammfunktionen Sind F und F9 Stammfunktionen einer Funktion f , so unterscheiden sich F und F9 nur um eine Konstante C ∈ R, d.h. es gibt ein C ∈ R mit F (t) = F9 (t) + C

f¨ ur alle t ∈ (a, b).


369

Eine Stammfunktion von f ist gegeben durch 7 t f (x)dx, t ∈ (a, b). F (t) = a

Stammfunktionen zu einer Funktion f werden auch als unbestimmtes Integral 8 f (t)dt bezeichnet (die Integrationsgrenzen werden nicht spezifiziert). Zur 8b Abgrenzung wird a f (t)dt bestimmtes Integral genannt. Beispiel Unbestimmte Integrale Das unbestimmte Integral

8

x3 dx wird nach dem Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung interpretiert als 7 1 x3 dx = x4 + C, 4

B

wobei C eine beliebige reelle Zahl ist. Dies l¨ asst sich durch Differenzieren der rechten Seite nachweisen. Entsprechend gelten z.B. 7 7 7 1 1 1 t t ∗ dy = ln(|y|) + C, dz = − 2 + C. e dt = e + C, y z3 2z Die Voraussetzung der Stetigkeit im Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung ist eine Bedingung, auf die ohne Weiteres nicht verzichtet werden kann. Die Funktion 1 z = 0 2, f (z) = z 0, z=0 ist nicht stetig auf [−1, 1]. Der Hauptsatz w¨ urde bei Vernachlässigung dieser Eigenschaft mit der Stammfunktion“ F (z) = − z1 das Ergebnis ” 7 1 f (z) dz = F (1) − F (−1) = −2 −1

81 liefern. Tats¨ achlich gilt aber −1 f (z)dz = ∞ (vgl. 372Beispiel Offener Integrationsbereich). Andererseits gilt etwa f¨ ur die in t = 0 unstetige Funktion ∗ Die

Stammfunktion zu

1 y

ist ln(|y|), da y auch negative Werte haben kann. Bei Ein-

schr¨ ankung auf positive Argumente y > 0 ist nat¨ urlich ln(y) Stammfunktion zu Integration von

1 y

1 . y

Bei der

ist 0 ∈ (a, b) zu beachten, d.h. 0 darf nicht im Integrationsbereich liegen.

370

11. Integration

f (t) = ½[0,∞) (t) die Beziehung (a ≤ b) ⎧ ⎪ b≤0 ⎪ 7 b ⎨0, f (t) dt = b, a≤0≤b. ⎪ a ⎪ ⎩b − a, 0 ≤ a Mit F (x) =

0,

x≤0

x, x > 0

gilt dann f¨ ur beliebige a ≤ b 7

b

f (t) dt = F (b) − F (a).

(♣)

a

Zudem gilt f¨ ur t = 0 F (t) = f (t). Die (unstetige) Funktion f hat somit bis auf den Punkt t = 0 eine Stammfunktion. Die Beziehung (♣) gilt auf R. Insofern kann F als Stammfunktion bezeichnet werden. Der zentrale Unterschied zum vorhergehenden Beispiel besteht darin, dass F stetig auf (a, b) ist. Weitere Informationen zu dieser Fragestellung sind in 375Abschnitt 11.3 zu finden. Eine wesentliche Folgerung aus dem Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung ist, dass zu einem Integranden f (lediglich) eine Funktion F zu bestimmen ist, deren Ableitung f ist. Da das Ableiten einer Funktion auf einfache Weise systematisch m¨ oglich ist, resultiert eine Tabelle von Funktionspaaren, die zur Integration von Funktionen eingesetzt wird (vgl. 352Tabelle Ableitungen von Funktionen). Wichtige Stammfunktionen Funktion f t

n

tp 1 t 1 tn t

Parameterbereich Definitionsbereich D

Stammfunktion F

n∈N

R

p = −1

(0, ∞)

1 n+1 n+1 t 1 p+1 p+1 t

R \ {0}

ln(|t|)

R \ {0}

1 1 1−n tn−1 t

n ∈ N, n ≥ 2

e

R

−t

R

−e−t

sin(t)

R

− cos(t)

cos(t)

R

sin(t)

e

e

11.2 Integrationsregeln

371

Beispiel Aus der obigen Tabelle ergibt sich f¨ ur f (t) =

funktion F (t) =

1 −3+1 1+(−3) t

resultiert die Stammfunktion

1 t3

= t−3 die Stamm√ = x3/2

= − 12 t−2 = − 2t12 . F¨ ur g(x) = x3 √ 1 G(x) = 3 +1 x3/2+1 = 25 x5/2 = 25 x5 . 2

B

Der Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung gilt auch f¨ ur die Fälle a = −∞, b ∈ R, a ∈ R, b = ∞ und a = −∞, b = ∞, sofern jeweils die Grenzwerte lim F (t) bzw. lim F (t) endlich existieren. In diesem Fall gilt t→−∞

etwa

t→∞

7

b

−∞

f (t)dt = F (b) − lim F (t). t→−∞

Ein Integral mit Integrationsgrenze −∞ und/oder +∞ wird als uneigentliches Integral bezeichnet.

11.2

11.2 Integrationsregeln Neben dem Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung spielen Rechenregeln f¨ ur Verkn¨ upfungen von Funktionen eine große Rolle bei der Berechnung von Integralen, weil diese die Bestimmung von Stammfunktionen auf gewisse Grundtypen reduzieren. Faktor- und Summenregel Sei [a, b] ein Intervall. F¨ ur (st¨ uckweise) stetige Funktionen f, g und Zahlen c, d ∈ R gilt 7 b 7 b 7 b (cf (t) + dg(t))dt = c f (t)dt + d g(t)dt. a

a

a

Beispiel

B

1 (i) −1 (2x − 1)dx = x2 − x −1 = [1 − 1] − [1 − (−1)] = −2 81

(ii)

84

84 84 84 (x3 + 2x − 5)dx = 0 x3 dx + 0 2xdx − 0 5dx 14 0 14 0 14 = 14 x4 + x2 − 5x = 14 · 44 + 42 − 5 · 4 = 64 + 16 − 20 = 60 00

0

(iii)

82

0

82

2 2t−1 1 t dt − 1 t2 dt = − 12 − (−1) = 12

0

=

8 2 2 1

t

−

2t−1 t2

dt =

82

1 1 t2 dt

=

82 1

t−2 dt =

1 −1 2 −1 t 1

372

11. Integration

e e 8e 8e ( 1t + 1)dt = 1 1t dt + 1 1dt = ln(|t|)1 + t1 = ln(|e|) − ln(|1|) + e − 1 = ln(e) − ln(1) + e − 1 = 1 − 0 + e − 1 = e

5 85 85 (v) −∞ et−3 dt = −∞ et e−3 dt = e−3 et −∞ = e−3 e5 − lim et t→−∞ = e−3 e5 − 0 = e2

(iv)

8e 1

Weitere n¨ utzliche Integrationsregeln sind die folgenden Aussagen. Integrationsregeln F¨ ur eine auf dem Intervall [a, b] stetige Funktion f gilt: 8c ur alle c ∈ [a, b], 1. c f (t)dt = 0 f¨ 8b 8a 2. a f (t)dt = − b f (t)dt. 8c Aus der Regel c f (t)dt = 0 folgt, dass der Integrationsbereich [a, b] durch die (halb-)offenen Intervalle (a, b], [a, b) oder (a, b) ersetzt werden kann, ohne den Wert des Integrals zu ver¨ andern. I.Allg. wird f¨ ur den Integranden f angenommen, dass er (st¨ uckweise) stetig auf dem abgeschlossenen Intervall [a, b] ist. Diese Voraussetzung kann derart abgeschwächt werden, dass f (st¨ uckweise) stetig auf dem offenen Intervall (a, b) ist und die (auf (a, b) existierende) Stammfunktion endliche Grenzwerte bei Annäherung an a bzw. b hat. B

Beispiel Offener Integrationsbereich Die obigen Regeln erm¨ oglichen die Be1 , x > 0, u rechnung des Integrals der Funktion f (x) = 2√ ¨ ber dem Intervall x (0, b] mit b > 0, obwohl f an der Stelle x = 0 nicht definiert ist. Offenbar gilt √ f¨ ur F (x) = x, x > 0, die Beziehung F (x) = f (x), so dass 7 b 7 b √ √ √ b √ 1 √ dt = t = b − lim t = b. f (t)dt = t→0 0 0 0 2 t

Die Berechnung des Integrals der Funktion f (x) = x1 , x > 0, u ¨ ber dem Integrationsbereich (0, b] mit b > 0, liefert 7 b 7 b b 1 dt = ln(t)0 = ln(b) − lim ln(t). f (t)dt = t→0+ 0 0 t ur, dass der Wert Da lim ln(t) = −∞ gilt, ist diese Funktion ein Beispiel daf¨ t→0+

eines Integrals nicht endlich sein muss.

11.2 Integrationsregeln

373

Die Umkehrung zur 353Produktregel der Differenziation ist die partielle Integration. Partielle Integration Seien [a, b] ein Intervall und f, g differenzierbare Funktionen mit (st¨ uckweise) stetigen Ableitungen f , g auf dem offenen Intervall (a, b). Dann gilt 7 b b 7 b f (t) · g(t)dt = f (t) · g(t) − f (t) · g (t)dt. a

a

a

Beispiel Partielle Integration

(i)

81 0

B

1 8 1 1 P xex dx = xex 0 − 0 1 · ex dx = e − 0 − ex 0 = e − (e − 1) = 1

(P: Partielle Integration mit f (x) = ex und g(x) = x) t 8 t 8t 8t P (ii) F¨ ur t > 0 gilt: 1 ln(x)dx = 1 1 · ln(x)dx = x ln(x)1 − 1 x · x1 dx 8t t = t ln(t) − 0 − dx = t ln(t) − x = t ln(t) − t + 1 = t(ln(t) − 1) + 1 1

1

(P: Partielle Integration mit f (x) = 1 und g(x) = ln(x)) u 8 u 8u 8u P1 (iii) 0 x2 ex dx = x2 ex 0 − 0 2x · ex dx = u2 eu − 2 0 x · ex dx u 8 u x P2 2 u = u e −2 xex − e dx = u2 eu −2ueu +2eu −2 = (u2 −2u+2)eu −2 0

0

(P1: 1. Partielle Integration mit f (x) = ex und g(x) = x2 , P2: 2. Partielle Integration mit f (x) = ex und g(x) = x; vgl. (i)) Substitutionsregel Seien [a, b] ein Intervall, f eine differenzierbare Funktion mit stetiger Ableitung f auf dem offenen Intervall (a, b) und Wertebereich [c, d] . Ferner sei g eine (st¨ uckweise) stetige Funktion mit einem Definitionsbereich, der den Wertebereich [c, d] von f umfasst. Dann gilt 7 f (b) 7 b f (t)g(f (t))dt = g(u)du. f (a)

a

Beispiel Anwendungen der Substitutionsregel

(i)

82

−1 (v

+ 1)2 dv =

82 −1

S

1 · (v + 1)2 dv =

8 2+1 −1+1

B

y 2 dy =

83

(S: Substitution f (v) = v + 1, f (v) = 1, g(y) = y 2 )

0

3 y 2 dy = 13 y 3 0 = 9

374

(ii)

11. Integration

8x 0

S

λe−λt dt =

8 λx 0

λx e−z dz = −e−z 0 = 1 − e−λx

(S: Substitution f (t) = λt, f (t) = λ, g(z) = e−z ) 8x Insbesondere gilt f¨ ur λ = 1: 0 e−t dt = 1 − e−x 8x k (iii) F¨ ur k = 0 gilt: 0 tk−1 e−t dt = 0 1 xk k = k1 − e−z = k1 1 − e−x

1 k

8x 0

k

S 1 k

ktk−1 e−t dt =

8 xk 0

e−z dz

0

(S: Substitution f (t) = tk , f (t) = ktk−1 , g(z) = e−z )

B

8x Zur Berechnung des Integrals 0 λe−λt dt wurde die Substitutionsregel mit den Funktionen f (t) = λt, f (t) = λ und g(z) = e−z angewendet. Diese Setzung wird im Folgenden auch kurz mit z = f (t) = λt, d.h. z = λt, notiert. Zus¨ atzlich wird auch die Notation dz = λdt verwendet. Beispiel Sukzessive Anwendung von Substitutionsregel und partieller Inte-

8t gration F¨ ur das Integral 12 0 λ3 x2 e−λx dx ergibt sich zunächst aus der Substitutionsregel mit S z = λx 7 7 7 λt 1 t 3 2 −λx 1 t S 1 λ x e dx = λ(λx)2 e−λx dx = z 2 e−z dz. 2 0 2 0 2 0 Die zweimalige Anwendung der partiellen Integration liefert die Lösung∗ 1 2

7

t

3 2 −λx

λ x e 0

1 dx = 2 S

7

λt

z 2 e−z dz = P

0

λt 1 2 −z −z e − 2ze−z − 2e−z 0 2

1 = 1 − e−λt λ2 t2 + 2λt + 2 . 2

Die Anwendung der Substitutionsregel bei 369unbestimmten Integralen erfolgt in der Form 7 f (t)g(f (t))dt = G(f (t)) + C, wobei G eine Stammfunktion zu g ist. B

Beispiel F¨ ur das unbestimmte Integral

8

2

tet dt resultiert mit8der Substitu2 tion f (t) = t (f (t) = 2t) sowie der Stammfunktion G(z) = 12 ez dz = 12 ez 7 7 2 1 1 2 t2 te dt = 2tet dt = G(f (t)) + C = et + C. 2 2 ∗ Vgl. 373Beispiel

Partielle Integration (iii).

11.3 Integration von st¨ uckweise definierten Funktionen

375

11.3 Integration von st¨ uckweise definierten Funktionen

11.3

Bisher wurden lediglich Integranden betrachtet, die auf dem Integrationsbereich stetig waren. Diese Voraussetzung ist jedoch zur Berechnung des Integrals nicht erforderlich und kann abgeschw¨ acht werden. In der Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung sind insbesondere st¨ uckweise stetige Funktionen von Bedeutung, d.h. der Graf des Integranden hat an endlich vielen Stellen einen Sprung. Bei der Berechnung derartiger Integrale ist die folgende Regel n¨ utzlich, die nat¨ urlich auch bei stetigen Funktionen anwendbar ist. Integrationsregel: Aufteilung des Integrationsbereichs F¨ ur eine auf dem Intervall [a, b] (st¨ uckweise) stetige Funktion f gilt 7 m 7 b 7 b f (t)dt = f (t)dt + f (t)dt f¨ ur alle m ∈ [a, b]. a

a

m

Beispiel Integrale st¨ uckweise definierter Funktionen

(i) Sei f (t) =

0,

t0 2e 7

7

1 x 1 t 1 e dx = ex = et 2 2 2 −∞ −∞ −∞ 7 t 7 0 7 t t > 0: H(t) = h(x)dx = h(x)dx + h(x)dx t ≤ 0: H(t) =

t

t

h(x)dx =

−∞

−∞ 0

0

7 t 1 x 1 −x e dx + e dx = −∞ 2 0 2 7 1t 1 t −x 1 10 1 − e−x e dx = + = e0 + 2 2 0 2 2 0 1 −t =1− e 2 7

Insgesamt folgt somit 7

t

H(t) =

h(x)dx = −∞

t≤0

1 t 2e ,

1−

1 −t 2e ,

t>0

.

Ist eine st¨ uckweise definierte Funktion f : R −→8R außerhalb des Intervalls 8b ∞ [a, b] gleich der Nullfunktion, wird oftmals statt −∞ f (t)dt sofort a f (t)dt geschrieben. Auf dem restlichen Integrationsbereich8 ergibt sich f¨ ur das Inte∞ gral Null, so dass es keinen Beitrag zum Wert von −∞ f (t)dt liefert.

11.4 Anwendungen in der Statistik

377

Integrale und Indikatorfunktion Seien [a, b] ein Intervall mit a < b und f eine auf [a, b] integrierbare Funktion. Dann gilt 7 b 7 ∞ f (t)½[a,b] (t)dt = f (t)dt. −∞

a

8b Entsprechende Aussagen gelten f¨ u r −∞ f (t)½[a,∞) (t)dt 8∞ ur offene und halboffene Intervalle. a f (t)½(−∞,b] (t)dt sowie f¨

bzw.

Beispiel Aus der obigen Regel ergibt sich f¨ ur die durch

⎧ ⎪ ⎪0, ⎨ g(t) =

t 0 ist gegeben durch 2 1 1 fµ,σ (x) = √ e− 2σ2 (ln(x)−µ) , 2 x 2πσ

x > 0.

Ihr Graf hat f¨ ur µ = 0 und σ = 1 den Verlauf: 6 ...................

f0,1 (x)

.. ... .. .. ... . .. .. ... .... .. ... ... .... .. ... ... ..... . ... ... .... .. ... ...

... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .... .... .... .... .... ..... ..... ...... ...... ...... ....... ....... ........ ......... .......... ............ .............. ................. ....................... ............................... .................................................... .............

-

x

Durch eine Substitution S g(x) = ln(x) und g (x) = x1 wird nachgewiesen, dass es sich tats¨ achlich um eine Dichtefunktion handelt (die NichtNegativit¨ at ist offensichtlich): 7 ∞ 7 ∞ 2 1 1 √ fµ,σ (x)dx = e− 2σ2 (ln(x)−µ) dx 2 x 2πσ −∞ 0 7 ∞ 2 1 1 S √ = e− 2σ2 (z−µ) dz = 1. 2 2πσ −∞ Die letzte Gleichung ergibt sich aus der Eigenschaft, dass der Integrand die Dichtefunktion einer Normalverteilung mit Parametern µ und σ 2 ist.

382

11. Integration

Definition Varianz Die Varianz einer Dichtefunktion f ∗ ist (im Fall der Existenz) definiert durch das Integral

7

∞

v= −∞

(x − m1 )2 f (x)dx,

wobei m1 der Erwartungswert von f ist.

Mit Hilfe der Summen- und Faktorregel der Integration folgt eine Beziehung zwischen Varianz und Momenten von f . Varianzformel F¨ ur die Varianz der Dichtefunktion f gilt v = m2 − m21 .

Nachweis. Aus der 371Summen- und Faktorregel folgt 7 ∞ 7 ∞ v= (x − m1 )2 f (x)dx = (x2 − 2m1 x + m21 )f (x)dx −∞ −∞ 7 ∞ 7 ∞ 7 ∞ x2 f (x)dx −2m1 xf (x)dx +m21 f (x)dx = −∞ −∞ −∞ =m2

= m2 −

2m21

=m1

+

m21

= m2 −

m21 .

=1

B

F¨ ur die Varianz der 378Exponentialverteilung mit Parameter λ > 0 resultiert das Ergebnis

2 1 2 1 2 = 2. v = m2 − m1 = 2 − λ λ λ

B

Beispiel F¨ ur die 378Rechteckverteilung auf dem Intervall [a, b] resultiert

Beispiel

die Varianz

2 a+b b 3 − a3 − 3(b − a) 2 a2 + 2ab + b2 4b2 + 4ab + 4a2 − 3a2 − 6ab − 3b2 b2 + ab + a2 − = = 3 4 12 (b − a)2 b2 − 2ab + a2 = . = 12 12

v = m2 − m21 =

∗ bzw.

der zu der Dichtefunktion f geh¨ origen Verteilung

11.5 Aufgaben

383

11.5

11.5 Aufgaben Bestimmen Sie jeweils eine Stammfunktion.

Aufgabe 11.1

(a) f (x) = 4x3 + 3x + 1 √ 5 (b) f (x) = x3

(d) f (x) =

(c) f (x) = 2ex

(f) f (x) =

(a)

1 √ 4

(e) f (x) = 5x4 + 4 +

2

(3x + 1) dx

(f)

(g)

1

(c)

81

(d)

(2 − x)dx +

2(x − 1) dx

0

x4 dx −

0

(e)

(h) f (x) = 4x

386 L 1 x4

+

1 x5

dx

84 √ 5 4 x dx 1

81

0

81

82 1

84 √ ( x + x) dx

6 x

2x+3 √ x

0

(b)

(g) f (x) = (x − 2)2

x

Berechnen Sie die Integrale.

Aufgabe 11.2

82

4

385 L

81

x4 dx +

85

x4 dx

3

84

87 x(x2 + x) dx + (x3 + x2 ) dx −

1 87

4 2

(x + x ) dx

81

1

(e 3 x + 3x2 ) dx

−1

3

3

(h)

(i)

81

5x dx

0

(j)

−1 8 −3

4 x

dx

1

Aufgabe 11.3 Bestimmen Sie jeweils mit Hilfe der Substitutionsmethode eine

Stammfunktion. (a) f (x) = (2x + 3)3

(d) f (x) =

9x2 +1 x(3x2 +1)

(b) f (x) =

2ex 3+2ex

(e) f (x) =

3 3x ln(x)+2x

(c) f (x) =

√ 2x x2 +3

(f) f (x) =

1 (x+2) ln(x+2)

386 L

384

387 L

11. Integration

Berechnen Sie jeweils mit Hilfe der Substitutionsmethode. 810 x √ (d) (2x + 3)4 dx dx 2x+5

Aufgabe 11.4

(a)

81 0

(b)

81

2

(1 + x3 )2 · 3x2 dx

(e)

85 3

388 L

(6x + 5) · e3x

2

+5x

dx

0

0

(c)

81

2x+4 x2 +4x

(f)

dx

812

√ 4x 4 x + 4 dx

−4

Aufgabe 11.5 Bestimmen Sie jeweils mit Hilfe der partiellen Integration eine

Stammfunktion.

389 L

(a) f (x) = xex

(c) f (x) = ln(x)

(e) f (x) = log2 (x)

(b) f (x) = ex (x2 + 3x)

(d) f (x) = x2 ln(x)

(f) f (x) = (ln(x))2

(a)

82 1

390 L

Berechnen Sie jeweils mit Hilfe der partiellen Integration. 4 81 8e ln(x) 3 2x x ln(x) dx (b) (3x + 1)e dx (c) dx x

Aufgabe 11.6

0

1

Die Verteilung mit der Dichtefunktion f (x) = αxα−1 ½[0,1] (x), x ∈ R, heißt Betaverteilung mit Parameter α > 0.

Aufgabe 11.7

(i) Zeigen Sie, dass f eine Dichtefunktion ist. (ii) Berechnen Sie Verteilungsfunktion, Momente und Varianz von f . 391 L

α Berechnen Sie f¨ ur die durch f (x) = xα+1 ½[1,∞) (x), x ∈ R, gegebene Dichtefunktion der Pareto-Verteilung mit Parameter α > 0 die Verteilungsfunktion sowie den Erwartungswert (f¨ ur α > 1). Was ergibt sich f¨ ur den Erwartungswert im Fall α = 1?

391 L

Aufgabe 11.9

Aufgabe 11.8

Die Verteilung mit der Dichtefunktion 0, x 0. (i) Zeigen Sie f¨ ur n = 3, dass f eine Dichtefunktion ist.

11.6 L¨ osungen

385

(ii) Berechnen Sie f¨ ur n = 2 Erwartungswert und Varianz von f . Benutzen Sie dabei bereits bekannte Ergebnisse.∗ (iii) Zeigen Sie, dass die Verteilungsfunktion F von f gegeben ist durch ⎧ ⎪ x 0 f¨ ur alle x ∈ R gilt. (c) g(x) = x2 + 3, g (x) = 2x, h(y) =

1 √ : y

f (x) = √ 2x 2

x +3

g (x) = √ = g (x) · h(g(x)) g(x)

Mit der Substitution g(x) = y ergibt sich: 7 7 7 1 √ 1 2x √ dy = y − 2 dy = 2 y + C dx = √ y x2 + 3

y=g(x)

=

" 2 x2 + 3 + C

(d) g(x) = x(3x2 + 1) = 3x3 + x, g (x) = 9x2 + 1, h(y) = y1 : f (x) = =

g (x) g(x)

9x2 +1 x(3x2 +1)

= g (x) · h(g(x))

Mit der Substitution g(x) = y ergibt sich: 7 7 9x2 + 1 1 dx = dy = ln(|y|) + C x(3x2 + 1) y

y=g(x)

=

ln(|3x3 + x|) + C

3

3 3 x = x(3 ln(x)+2) = 3 ln(x)+2 , so dass g(x) = 3x ln(x)+2x g (x) 1 3 h(y) = y : f (x) = 3x ln(x)+2x = g(x) = g (x) · h(g(x))

(e) Zun¨ achst gilt

g (x) =

3 , x

Mit der Substitution g(x) = y ergibt sich: 7 7 1 3 dx = dy = ln(|y|) + C 3x ln(x) + 2x y 1

1 x+2 = ln(x+2) , (x+2) ln(x+2) (x) 1 f (x) = (x+2) ln(x+2) = gg(x)

(f) Zun¨ achst gilt h(y) =

1 : y

y=g(x)

=

3 ln(x) + 2,

ln(|3 ln(x) + 2|) + C

so dass g(x) = ln(x + 2), g (x) =

1 , x+2

= g (x) · h(g(x))

Mit der Substitution g(x) = y ergibt sich: 7 7 1 1 dx = dy = ln(|y|) + C (x + 2) ln(x + 2) y

y=g(x)

=

ln(| ln(x + 2)|) + C

L¨ osung 11.4 Die Funktion f wird jeweils in der Form f (x) = g (x) · h(g(x)) mit geeigneten Funktionen g und h geschrieben. (a) g(x) = 2x + 3, g (x) = 2, h(y) = 12 y 4 : f (x) = (2x + 3)4 = g (x) · 12 (g(x))4 = g (x) · h(g(x)) 7

1 0

7 (2x + 3)4 dx =

g(1) g(0)

55 y4 y 5 5 35 dy = − = 288,2 = 2 10 3 10 10

384 A

388

11. Integration

(b) g(x) = 1 + x3 , g (x) = 3x2 , h(y) = y 2 : f (x) = (1 + x3 )2 · 3x2 = g (x) · (g(x))2 = g (x) · h(g(x)) 7

1

7

g(1)

(1 + x3 )2 · 3x2 dx =

0

7

2

y 2 dy =

g(0)

y 2 dy =

1

(c) g(x) = x2 +4x, g (x) = 2x+4, h(y) = y1 : f (x) = 7

5 3

2x + 4 dx = x2 + 4x

7

g(5) g(3)

1 dy = y

7

45 21

2x+4 x2 +4x

y 3 2 8 1 7 = − = 3 1 3 3 3 =

g (x) g(x)

= g (x)·h(g(x))

45 1 dy = ln(|y|)21 = ln(45)−ln(21) = ln 15 7 y

(d) g(x) = 2x + 5, g (x) = 2. Daraus ergibt sich die Beziehung x = mit h(y) =

y−5 √ 4 y

√ x 2x+5

gilt: f (x) =

= g (x) ·

1 2

g(x)−5 2

· √

g(x)

g(x)−5 , 2

= g (x) √

so dass

g(x)−5

4

g(x)

= g (x) · h(g(x)) 7

10

√

2

7

7 25 1 1 1 3 1 25 y−5 y 2 − 54 y − 2 dy = 16 y 2 − 52 y 2 9 √ dy = 4 4 y g(2) 9 27 25 15 = 125 − − ) = 98 − 10 = 68 = 34 − 6 2 6 2 6 2 6 3

x dx = 2x + 5

g(10)

(e) g(x) = 3x2 + 5x, g (x) = 6x + 5, h(y) = ey : f (x) = (6x + 5) · e3x = g (x) · eg(x) = g (x) · h(g(x)) 71 (6x + 5) · e3x

2

7 +5x

g(1)

dx =

7

g(0)

0

8

ey dy = 0

2

+5x

8 ey dy = ey 0 = e8 − e0 = e8 − 1

(f) g(x) = x + 4, g (x) = 1. Daraus ergibt sich die Beziehung x = g(x)" − 4, so dass √ √ mit h(y) = 4(y − 4) 4 y gilt: f (x) = 4x 4 x + 4 = g (x)4(g(x) − 4) 4 g(x) = g (x) · h(g(x)) 7

12

√ 4x 4 x + 4 dx =

−4

L¨ osung 11.5

g(12)

√ 4(y − 4) 4 y dy =

g(−4)

= 384 A

7

16 9 y4 9

−

16 64 5 y 4 0 5

7

16

5

1

(4y 4 − 16y 4 ) dy

0

=

16·512 9

−

64·32 5

−0=

22528 45

= 500,62

C bezeichnet jeweils eine beliebige reelle Zahl.

(a) Mit u(x) = x und v (x) = ex folgt u (x) = 1, v(x) = ex , so dass 8 x 8 xe dx = xex − ex dx = xex − ex + C = (x − 1)ex + C (b) Mit u(x) = x2 + 3x und v (x) = ex folgt u (x) = 2x + 3, v(x) = ex , so dass 8 x 2 8 e (x + 3x) dx = ex (x2 + 3x) − ex (2x + 3) dx. Mit u(x) = 2x + 3 und v (x) = ex folgt u (x) = 2, v(x) = ex , so dass 8 x 2 8 e (x + 3x) dx = ex (x2 + 3x) − ex (2x + 3) − 2ex dx = ex (x2 + 3x − 2x − 3) + 2ex + C = ex (x2 + x − 1) + C

11.6 L¨ osungen

389

(c) Mit u(x) = ln(x) und v (x) = 1 folgt u (x) = x1 , v(x) = x, so dass 8 8 8 ln(x) dx = x · ln(x) − x1 · x dx = x ln(x) − 1 dx = x ln(x) − x + C = x(ln(x) − 1) + C (d) Mit u(x) = ln(x) und v (x) = x2 folgt u (x) = x1 , v(x) = 13 x3 , so dass 8 2 8 3 8 2 3 3 3 3 x ln(x) dx = x3 ln(x) − x3x dx = x3 ln(x) − x3 dx = x3 ln(x) − x9 + C 3 = x9 3 ln(x) − 1 + C (e)

8

log2 (x) dx =

8

ln(x) ln(2)

dx =

1 ln(2)

8

(c)

ln(x) dx =

(f) Mit u(x) = ln(x) und v (x) = ln(x) folgt dass 7 7 (ln(x))2 dx = ln(x)x(ln(x) − 1) − 7 = x ln(x)(ln(x) − 1) − 7 = x ln(x)(ln(x) − 1) −

x (ln(x) ln(2)

u (x) =

1 , x

− 1) + C (c)

v(x) = x(ln(x) − 1), so

1 · x(ln(x) − 1) dx x (ln(x) − 1) dx 7 ln(x) dx + 1 dx

(c)

= x ln(x)(ln(x) − 1) − x(ln(x) − 1) + x + C

= x(ln(x) − 1)2 + x + C = x(ln(x))2 − 2x ln(x) + 2x + C 384 A

L¨ osung 11.6 (a) Mit u(x) = ln(x) und v (x) = x3 folgt u (x) = x1 , v(x) = 2 82 4 82 3 82 x ln(x) dx = 14 x4 ln(x)1 − x4x dx = 4 ln(2) − 0 − 14 x3 dx 1 1 1 4 4 2 1 . = 4 ln 2 − 15 = 4 ln(2) − 14 x4 1 = 4 ln(2) − 216 − 16 16

1 4 x , 4

so dass

(b) Mit u(x) = 3x + 1 und v (x) = e2x folgt u (x) = 3, v(x) = 12 e2x , so dass 1 81 1 81 (3x + 1)e2x dx = (3x+1) e2x 0 − 32 e2x dx = 2e2 − 12 − 32 · 12 e2x 0 2 0 0 = 2e2 − 12 − 34 e2 − 34 = 54 e2 + 14 = 14 (5e2 + 1). (c) Mit u(x) = ln(x) und v (x) = x1 folgt u (x) = x1 , v(x) = ln(|x|) = ln(x) f¨ ur x ∈ e4 e4 4 8 8 e dx = (ln(x))2 1 − ln(x) dx. Damit reproduziert sich [1, e4 ], so dass ln(x) x x 1

1

das gesuchte Integral. Die letzte Gleichung ist daher ¨ aquivalent zur Beziehung 7

e4

2 1 4

so dass

8e 1

ln(x) x

e 4 ln(x) dx = (ln(x))2 1 , x

e4 dx = 12 (ln(x))2 1 =

(ln(e4 ))2 −0 2

=

16 2

= 8.

390

11. Integration

Alternativ gilt mit der 373Substitutionsregel und der Substitution S z = ln(x) 7 e4 7 4 ln(x) y 2 4 S ydy = dx = = 8. x 2 0 1 0 384 A

L¨ osung 11.7

8∞ (i) Es ist zu zeigen, dass f nicht-negativ ist und dass −∞ f (x)dx = 1 gilt. Ersteres ist offenbar erf¨ ullt. F¨ ur die Integrationsbedingung gilt 7 1 7 ∞ 1 f (x)dx = αxα−1 dx = xα = 1, −∞

0

0

so dass f eine Dichtefunktion ist. 8t (ii) Zur Berechnung der Verteilungsfunktion F (t) = −∞ f (x)dx, t ∈ R, sind die drei Intervalle (−∞, 0], (0, 1], (1, ∞) gesondert zu betrachten. Es ergibt sich 7 t 7 t F (t) = f (x)dx = 0dx = 0, t ≤ 0. 7

−∞ t

7

−∞ 0

f (x)dx =

F (t) = −∞ t α

7

t

0dx + −∞

αxα−1 dx

0

= x = tα , 0 < t ≤ 1. 0 7 1 7 7 t f (x)dx = f (x)dx + F (t) = −∞

−∞

= 1 + 0 = 1,

t

0dx 1

t > 1.

Insgesamt ergibt sich somit ⎧ ⎪ ⎪ ⎨0, F (t) = tα , ⎪ ⎪ ⎩1, F¨ ur das k-te Moment gilt 7 1 7 mk = xk · αxα−1 dx = α 0

1

t≤0 00

xk+α−1 dx = α ·

0

1 1 α xk+α = . k+α k+α 0

α Daraus resultieren der Erwartungswert m1 = 1+α und das zweite Moment α m2 = 2+α , so dass die Varianz von f gegeben ist durch

v = m2 − m21 =

α − 2+α

α 1+α

2 =

α2 α α − = . 2+α (1 + α)2 (2 + α)(1 + α)2

11.6 L¨ osungen

391

Die Verteilungsfunktion ist f¨ ur t < 1 identisch Null. F¨ ur t ≥ 1 gilt:

L¨ osung 11.8 7

7

t

t

f (x)dx =

F (t) = 1

1

7

α

x

dx = α+1

t 1

384 A

t 1 αx−α−1 dx = −x−α = 1 − α , t 1

wobei zu beachten ist, dass wegen α > 0 die Stammfunktion zu x−α−1 durch − α1 x−α gegeben ist. Insgesamt gilt daher: F (t) =

0,

t 1) ∞ 7 ∞ 7 ∞ 1 x−α+1 xf (x)dx = α x−α dx = α m1 = −α + 1 1 1 1 1 α 0 α −α+1 lim x = −1 = , 1 − α x→∞ α−1 ur α = 1 ergibt sich wobei der Grenzwert lim x−α+1 wegen α > 1 gleich Null ist. F¨ x→∞

7

∞

m1 = 1

∞ 1 dx = ln(x) = lim ln(x) − ln(1) = ∞, x→∞ x 1

d.h. der Erwartungswert hat den Wert ∞. 384 A

L¨ osung 11.9 (i) Da f offenbar nicht-negativ ist, bleibt nur nachzuweisen, dass die Integrationsbedingung erf¨ ullt ist. Aus 374Beispiel Sukzessive Anwendung von Substitutionsregel und partieller Integration resultiert sofort die G¨ ultigkeit dieser Bedingung: 7 ∞ 3 λ 2 −λx x e dx = 1. 2 0 (ii) F¨ ur n = 2 lautet der Erwartungswert von f 7 7 ∞ 2 ∞ λ3 2 −λx 2 x e x · λ2 xe−λx dx = dx = . m1 = λ 0 2 λ 0 =1,nach (i)

F¨ ur das zweite Moment gilt mit partieller Integration 7 ∞ 7 ∞ −λx m2 = λ2 x3 e−λx dx = λ x3 · λe dx 0

0

1∞

0

−λ = λ · x3 · (−e−λx ) 0 =0

=u(x)

7

∞ 0

=v (x)

3x2 (−e−λx )dx = 3λ

7

∞ 0

x2 e−λx dx

392

11. Integration

= 3λ ·

2 λ3

7

∞

0

6 λ3 2 −λx x e dx = 2 . 2 λ

=1,nach (i)

Damit hat die Varianz den Wert v = m2 − m21 =

6 λ2

−

2

2

λ

=

2 . λ2

(iii) Differenzieren der Funktion F f¨ ur x < 0 liefert F (x) = 0. F¨ ur x ≥ 0 resultiert mit der Produkt- und Summenregel die Ableitung F (x) = −(−λe−λx )

n−1 * j=0

n−1 *

(λx)j − e−λx j!

j=0

λj

(λx)j−1 j!

Summand f¨ ur j = 0 ist Null

.n−1 / n−1 * (λx)j * (λx)j−1 −λx − = λe j! (j − 1)! j=0 j=1

Indexverschiebung

.n−1 / * (λx)j n−2 * (λx)j λn −λx − xn−1 e−λx = λe = j! j! (n − 1)! j=0 j=0 Im letzten Schritt ist zu beachten, dass alle Summanden der beiden Summen bis auf den letzten der ersten Summe wegfallen. Insgesamt folgt somit f¨ ur x ∈ R: F (x) = f (x), d.h. F ist Stammfunktion zu f .

385 A

L¨ osung 11.10 F¨ ur die momenterzeugende Funktion von f resultiert die Darstellung 7 ∞ 7 ∞ m(t) = etx λe−λx dx = λ e(t−λ)x dx. 0

0

Zur weiteren Behandlung dieses Integrals werden drei F¨ alle unterschieden. Gilt ∞ 8∞ ur t > λ gilt t = λ, so folgt m(λ) = λ 0 dx = λx = ∞. F¨ 0

7

∞

m(t) = λ

e(t−λ)x dx = λ ·

0

da lim λ · x→∞

lim λ ·

x→∞

1 e(t−λ)x t−λ (t−λ)x

1 e t−λ

1 (t−λ)x ∞ e = ∞, t−λ 0

= ∞ wegen t − λ > 0. F¨ ur t < λ gilt hingegen

= 0, so dass in diesem Fall m(t) = −λ ·

samt gilt somit

m(t) =

λ , λ−t

t 0) ist f (streng) monoton wachsend, in den Bereichen von D mit f (x) ≤ 0 (f (x) < 0) ist f (streng) monoton fallend. Beispiel F¨ ur die durch f (x) = 2x2 − 4x − 9 definierte Funktion ergibt sich

wegen f (x) = 4x − 4

f (x) > 0 ⇐⇒ 4x − 4 > 0 ⇐⇒ x > 1, f (x) < 0 ⇐⇒ 4x − 4 < 0 ⇐⇒ x < 1, d.h. f ist streng monoton fallend im Intervall (−∞, 1) und streng monoton wachsend in (1, ∞).

B

400

12. Optimierung 2

Die durch f (x) = e−x , x ∈ R, definierte Funktion f hat die 2 Ableitung f (x) = −2xe−x , x ∈ R. Da die Exponentialfunktion stets positiv ¨ ist, gilt f¨ ur x ∈ R die Aquivalenz

Beispiel

B

2 2 f (x) > 0 ⇐⇒ −2xe−x > 0 : −2e−x ⇐⇒ x < 0. Somit ist f streng monoton wachsend in (−∞, 0) und streng monoton fallend in (0, ∞). Beispiel F¨ ur g(x) = x3 ln(x), x ∈ (0, ∞), ergibt sich die Ableitung g (x) =

B

x2 (3 ln(x) + 1). Da x ∈ (0, ∞), resultieren aus x2 > 0 und der Monotonie des ¨ 92Logarithmus die Aquivalenzen 1

g (x) > 0 ⇐⇒ 3 ln(x) + 1 > 0 ⇐⇒ ln(x) > − 13 ⇐⇒ x > e− 3 . 1 1 ur x ∈ 0, e− 3 , so dass g in 0, e− 3 streng monoton Analog ist g (x) < 0 f¨ 1 fallend und in e− 3 , ∞ streng monoton wachsend ist.

B

Das folgende Beispiel illustriert ein vereinfachtes Verfahren zur Monotonieuntersuchung, dass bei 352stetig differenzierbaren Funktionen anwendbar ist. Zun¨ achst werden die Nullstellen der Ableitung ermittelt, die den Definitionsbereich in Intervalle einteilen. Anschließend wird in jedem resultierenden Intervall an einer Stelle der Wert der Ableitung ermittelt, um dort deren Vorzeichen zu pr¨ ufen. Da sich dieses aufgrund der Stetigkeitsannahme f¨ ur die Ableitung nur dann ¨ andern kann, wenn eine Nullstelle der Ableitung vorliegt, hat die Ableitung in jedem Intervall das an der 292Pru ¨ fstelle ermittelte Vorzeichen. Daraus ergibt sich dann unmittelbar das Monotonieverhalten der Funktion in den vorliegenden Intervallen. Beispiel Die durch f (x) = 3x4 − 8x3 − 6x2 + 24x − 10 definierte Funktion

ist als Polynom auf D = R differenzierbar mit der Ableitung f (x) = 12x3 − 24x2 − 12x + 24. Um ihr Vorzeichen zu diskutieren, werden die Nullstellen der Ableitung bestimmt. Umformungen ergeben die Faktorisierung 12x3 − 24x2 − 12x + 24 = 12(x3 − 2x2 − x + 2) = = 12 x2 (x − 2) − (x − 2) = 12(x − 2)(x2 − 1) = 12(x − 2)(x − 1)(x + 1), so dass sich nach obiger Anmerkung das Vorzeichen der Ableitung nur an andern kann. Es gen¨ ugt daher, das den Stellen x1 = −1, x2 = 1 und x3 = 2 ¨

12.1 Monotonieverhalten

401

Vorzeichen von f an jeweils einer Stelle in den Intervallen (−∞, −1), (−1, 1), (1, 2) und (2, ∞) zu pr¨ ufen. Als Pr¨ ufstellen werden −2, 0, 32 und 3 gewählt. Damit ergibt sich

... da

−1

−

f (−2)=−1440

−

2

f ( 32 )=− 15 2 0

Dieses Ergebnis wird in einer Tabelle zusammengefasst.

Pr¨ ufstelle x Vorzeichen von f (x) Monotonieverhalten von f

(−∞, −1) −2 − fallend

(−1, 1) 0 + wachsend

(1, 2) 3 2

− fallend

(2, ∞) 3 + wachsend

f ist also in (−1, 1)∪(2, ∞) streng monoton wachsend und in (−∞, −1)∪(1, 2) streng monoton fallend. Dies zeigt auch der Verlauf des Grafen von f . ... ... ... .. .. . . ... ... ... .. .. ... .. ... ... ... . . . ... ... ... ... .. ....... .. .... .... ... ... .. .. ... ... .. ... . ... . . . .. .. ... . ... . ... ... ... ... ... .. .. ... . ... . ... .. . . . . . .. . .. . .. .. .. ... ... .. .. .. .. ... .. ... ... .. .. . . ... ... . .. .. .. .. ... ... .. ... ... ... .. ... ... .. .. .. .. ... .... ... .. .. . .

... .. ... ... ... ... ... ............ .. . . . . . . . . . . . . . ... . . . . . . . ..... . . ....... .. .... .. ... ..... ... ...... ..... ..... ... ... . . ..... ..... .. ... ...... ..... ........ .... .. ..... .................. ... . ... ... . . . . ... .. . .... ... ... .. ... .... ... .. ...... ... .... ... . ... . . .. .. ... . ... .. ... ... .. ...... . . ... . ... ... .. . . ....... . .. . .. ... ... .. .. .. .. ... ... ... .. .. .... . .. .. . . .. . ... .. .. ... . .. . . ... . .. .. . ... . . . . . . ... . . . . . . . ... .. . ... .. .. ... .... ... . . . .. .. . . . . .. . ... . .. . . . . . ... . . .. ... . . . . . .. . . .. . ... . . . . . ... . .. .. ... .. .. ... . . . ... .. . . ... . .. . . . .. ... .. . .. . . . ... . .. . ... .. . . .. . . . . .. .. ... ... ... . .... . .. ... ........ .... ....... ... . ..... .. ..... . .. .......... ..

6

f (x)

20

10

f (x)

-

−1

1

2

x

−10

−20

fallend

wachsend

fallend

wachsend

Zus¨ atzlich m¨ ussen bei der Einteilung des Definitionsbereichs etwaige Definitionsl¨ ucken ber¨ ucksichtigt werden, weil sich das Monotonieverhalten auch dort ¨ andern kann.

402

12. Optimierung

Beispiel Die Funktion g(x) =

hat den Definitionsbereich D = R \ {0} und Diese ist immer negativ, so dass g u dort die Ableitung g (x) = ¨berall auf D streng monoton fallend ist. Das Monotonieverhalten ändert sich also an der Definitionsl¨ ucke nicht.

B

1 x

− x12 .

Die Funktion h(x) = x12 hat den selben Definitionsbereich D = R \ {0} und ur x ∈ (−∞, 0) positiv dort die Ableitung h (x) = − x23 . Diese ist offenbar f¨ und f¨ ur x ∈ (0, ∞) negativ. Die Funktion h ist somit auf (−∞, 0) streng monoton wachsend und auf (0, ∞) streng monoton fallend. Das Monotonie verhalten ¨ andert sich also an der Definitionsl¨ ucke. Zur Pr¨ ufung des Monotonieverhaltens wird daher folgende Faustregel notiert.

12.2

Pr¨ ufung des Monotonieverhaltens Das Monotonieverhalten einer stetig differenzierbaren Funktion kann sich lediglich an Definitionsl¨ ucken und an den Nullstellen der Ableitung ändern. Daher gen¨ ugt es zur Pr¨ ufung des Monotonieverhaltens der Funktion, den Definitionsbereich durch diese Punkte in Intervalle einzuteilen und in jedem resultierenden Intervall mittels einer Pr¨ ufstelle das Vorzeichen der Ableitung zu ermitteln.

12.2 Extrema Aus dem Monotonieverhalten einer Funktion ergeben sich Maxima und Minima – so genannte Extrema, wobei zwei Typen unterschieden werden: lokale und globale Extrema. Der grunds¨ atzliche Unterschied besteht darin, dass globale Extrema bzgl. des gesamten Definitionsbereichs extrem“ sind, während ” lokale Extrema diese Eigenschaft lediglich in einem kleinen“ Intervall um ” eine Stelle x0 haben.

B

Beispiel Um einen ersten Eindruck von diesen Begriffen zu gewinnen, wird

wiederum die durch f (x) = 3x4 − 8x3 − 6x2 + 24x− 10 definierte Funktion auf D = R betrachtet. An ihrem Grafen wird der Unterschied zwischen lokal“ ” und global“ deutlich. ” An den Stellen xm = −1 und xm = 2 liegen lokale Minima vor, die Stelle xM = 1 liefert ein lokales Maximum. An diesen Stellen ist die Funktion minimal bzw. maximal, wenn die Betrachtung jeweils auf ein hinreichend kleines Intervall um diese Stellen eingeschr¨ ankt wird.

12.2 Extrema

403

Da f (x) f¨ ur x → −∞ bzw. x → ∞ unbeschr¨ ankt groß wird, gibt es kein globales Maximum. Jeder Wert wird u ¨ berschritten. Dagegen unterschreitet die Funktion den Wert f (−1) = −29 niemals, d.h. an der Stelle xm = −1 befindet sich ein globales Minimum. .. ... .. .. . . ... ... ... .. ... .. ... .. ... .... . ... .. ... .. ... ... ... .. . ... . .. ... ... .. ... ... ... .. . .. .. ... .. .. ... ... ... .. .. . .. ... ... ... ... .. ... .. ........................ . . . . . . ... . . . . ....... ... ..... ... ...... .... ....... .... ... ..... .......... .......... ... .... ....... .... .. . . ... ... ... ... ... ... .. ... ... . .. . . ... ... .. .. ... ... ... ... .. . ... .. ... .. .. ... ... .. ... .. . .. ... ... ... ... ... ... .... . ... . .... ... ..... ......... ........

6

f (x)

20

10

lokales Maximum

r

−1

1

−10

r

-

x 2 lokales Minimum

−20

r

lokales und globales Minimum

Eine Funktion f besitzt an der Stelle xM ein globales Maximum, falls sie dort den gr¨ oßten Wert auf dem Definitionsbereich annimmt. Analog liegt an einer Stelle xm ein globales Minimum vor, falls sie dort den kleinsten Wert hat. Definition Globales Minimum, globales Maximum Sei f : D −→ R eine Funktion.

f hat in xM ∈ D ein globales Maximum, wenn f (xM ) ≥ f (x) für alle x ∈ D. f (xM ) heißt globales Maximum von f , xM globale Maximalstelle. f hat in xm ∈ D ein globales Minimum, wenn f (xm ) ≤ f (x) für alle x ∈ D. f (xm ) heißt globales Minimum von f , xm globale Minimalstelle. Globale Extrema beziehen sich auf den ganzen Definitionsbereich der Funktion, w¨ ahrend lokale Extrema nur in einem (kleinen) Intervall maximal bzw. minimal sind.

404

12. Optimierung

Definition Lokales Minimum, lokales Maximum Sei f : D −→ R eine Funktion.

f hat in xM ∈ D ein lokales Maximum, wenn es ein Intervall (a, b) ⊆ D mit a < b und xM ∈ (a, b) gibt, so dass f (xM ) ≥ f (x) für alle a < x < b. f (xM ) heißt lokales Maximum von f , xM lokale Maximalstelle. f hat in xm ∈ D ein lokales Minimum, wenn es ein Intervall (a, b) ⊆ D mit a < b und xm ∈ (a, b) gibt, so dass f (xm ) ≤ f (x) für alle a < x < b. f (xm ) heißt lokales Minimum von f , xm lokale Minimalstelle. Globale Extrema werden auch als absolute Extrema, lokale Extrema als relative Extrema bezeichnet.∗ Wird nicht unterschieden, ob Maximum oder Minimum vorliegt, so wird die Bezeichnung Extremum verwendet. Entsprechend wird der Begriff Extremalstelle f¨ ur die betrachtete Stelle benutzt, an der ein Extremum vorliegt.

B

In der Definition lokaler Extrema wird vorausgesetzt, dass ein offenes Intervall (a, b) ⊆ D existiert, so dass x0 ∈ (a, b) und f in (a, b) kleiner (größer) oder gleich dem Wert f (x0 ) ist. In diesem Verständnis sind 59Randpunkte des Definitionsbereichs keine lokalen Extremalstellen. Diese können grundsätzlich nur im 59Inneren des Definitionsbereichs liegen. Beispiel Die auf das Intervall [−1, 1] eingeschr¨ ankte Funktion f mit f (x) = x3 , x ∈ [−1, 1], hat an der Stelle x = −1 ein globales Minimum und an der Stelle x = 1 ein globales Maximum. An beiden Stellen liegt jedoch kein lokales Extremum vor.

Aus der Definition lokaler Extrema ergibt sich die nachstehende Schlussfolgerung, die ein einfaches Kriterium f¨ ur lokale Extremalstellen zur Verf¨ ugung stellt. Die Aussagen gelten jeweils f¨ ur einen kleinen Bereich links bzw. rechts der betrachteten Stelle ( kleines“ Intervall). ” ∗ Relativ

meint hier bezogen auf ein geeignetes Intervall“. ”

12.2 Extrema

405

Kriterium f¨ ur lokale Extremalstellen Seien f : D −→ R eine Funktion und xm , xM ∈ D. xM ist eine lokale Maximalstelle, falls f links von xM monoton wachsend und rechts von xM monoton fallend ist. xm ist eine lokale Minimalstelle, falls f links von xm monoton fallend und rechts von xm monoton wachsend ist. Diese Formulierung lokaler Extremalstellen benutzt keine Hilfsmittel aus der Differenzialrechnung, da sie lediglich auf die Monotonieeigenschaften der Funktion zur¨ uckgreift. Das folgende Beispiel zeigt eine direkte Anwendung dieser Regel. Beispiel Die 162Betragsfunktion f (x) = |x| hat in x = 0 ein lokales Minimum, da f in (−∞, 0) streng monoton f¨ allt und in (0, ∞) streng monoton w¨ achst. Wegen lim |x| = lim |x| = ∞ ist die lokale Minimalstelle auch x→∞

B

x→−∞

die (eindeutige) globale Minimalstelle. Lokale bzw. globale Maxima gibt es nicht. Im n¨ achsten Abschnitt werden einfache Kriterien formuliert, die auf der Ableitung der betrachteten Funktion beruhen. Diese sind insbesondere n¨ utzlich, um Kandidaten f¨ ur Extremalstellen zu finden, wenn diese nicht offensichtlich erkennbar sind. Da lokale und globale Extrema mit unterschiedlichen Methoden ermittelt werden, werden diese Untersuchungen getrennt ausgef¨ uhrt. Lokale Extrema

Am 403Grafen der durch f (x) = 3x4 − 8x3 − 6x2 + 24x − 10 definierten Funktion ist zu erkennen, dass −1 und 2 (lokale) Minimalstellen sind und 1 (lokale) Maximalstelle ist. Dar¨ uber hinaus wird deutlich, dass die Funktion gerade bei −1, 1 und 2 ihr Monotonieverhalten ändert. Bei den Minimalstellen ist es von fallend“ zu wachsend“, bei der Maximalstelle ” ” genau umgekehrt. Die Monotoniebereiche sind gegeben durch

Beispiel

f

(−∞, −1) fallend

(−1, 1) wachsend

(1, 2) fallend

(2, ∞) wachsend

Damit liegen bei x = 1 tats¨ achlich ein lokales Maximum und bei x = −1 und x = 2 lokale Minima vor.

B

406

12. Optimierung

Ist die Funktion f differenzierbar, dann ist ihr Monotonieverhalten durch das Vorzeichen der ersten Ableitung f bestimmt. Daraus folgt, dass an einer lokalen Extremalstelle x0 ein Vorzeichenwechsel der Ableitung vorliegen muss, d.h. insbesondere muss f (x0 ) = 0 gelten. Grafisch bedeutet dies, dass die Tangente in x0 waagerecht verlaufen muss. Diese Beobachtung liefert ein einfaches Kriterium zur Berechnung von Kandidaten f¨ ur lokale Extremalstellen. Monotoniekriterium f¨ ur lokale Extrema: Notwendiges und hinreichendes Kriterium Seien f : D −→ R eine differenzierbare Funktion und x0 ∈ D. Dann gilt: Ist x0 eine lokale Extremalstelle, so gilt f (x0 ) = 0. Gilt f (x0 ) = 0, so ist x0 eine lokale Maximalstelle, falls die Ableitung f (x) links von x0 positiv und rechts von x0 negativ ist. eine lokale Minimalstelle, falls die Ableitung f (x) links von x0 negativ und rechts von x0 positiv ist. Aus der obigen Aussage l¨ asst sich folgender Zusammenhang entnehmen, wobei die Notation =⇒ gelesen wird als impliziert nicht“: ” x0 Extremalstelle =⇒ f (x0 ) = 0 f (x0 ) = 0

=⇒ x0 Extremalstelle

Die Aussagen sind daher nicht a ¨quivalent!

B

Das Kriterium∗ f (x0 ) = 0 ist nur ein notwendiges Kriterium, d.h. die Eigenschaft f (x0 ) = 0 reicht nicht aus, um zu sichern, dass x0 Extremalstelle ist. Ein zus¨ atzliches Kriterium wie die Pr¨ ufung des Monotonieverhaltens ist unerl¨ asslich. Beispiel Extremalstelle Die durch f (x) = x4 definierte Funktion f hat die

ur x = 0 gilt. Somit ist dies der Ableitung f (x) = 4x3 , so dass f (x) = 0 nur f¨ einzige Kandidat f¨ ur eine Extremalstelle. Da an dieser Stelle ein Vorzeichenwechsel der Ableitung von − nach + vorliegt, hat f dort ein lokales Minimum (f ist in (−∞, 0] streng monoton fallend und in [0, ∞) streng monoton wachsend). Dies kann in der folgenden Grafik zusammengefasst werden. ∗ Das Kriterium ist nur f¨ ur differenzierbare Funktionen anwendbar. I.Allg. kommen außer den Stellen x0 mit f (x0 ) = 0 noch die Stellen in Frage, an denen die Ableitung nicht existiert (vgl. die Betragsfunktion). An diesen Stellen kann mit dem Monotoniekriterium entschieden werden, ob ein lokales Extremum vorliegt.

12.2 Extrema

407

−

... da

0

+

f (−1)=−40

Die Funktion g wird definiert durch g(x) = x3 , x ∈ R. Dann gilt g (x) = 3x2 und g (0) = 0. Allerdings liegt an der Stelle x = 0 keine Extremalstelle vor, ur alle x ∈ R gilt. g ist daher eine auf R (streng) monoton da g (x) ≥ 0 f¨ wachsende Funktion und besitzt somit keine lokalen Extremalstellen. .. ... .. ... . .... . . ... ... ... ... .. ... ... ... .. .. ... ... .... . . .. .. ... ... ... ... ... ... .... ....... ... . . . ... ...... ..... ..... ...... ......... .................................................. ............ . . . . . ..... .... .... ... ... . ... ... ... .. . ... ... ... .. . . ..

6f (x), g(x)

0

-

x

Alternativ kann an Stelle des Monotonieverhaltens die zweite Ableitung an den berechneten Stellen betrachtet werden. Lokale Extrema: Hinreichendes Kriterium mittels zweiter Ableitung Seien f eine zweimal differenzierbare Funktion und x0 ∈ D mit f (x0 ) = 0. Dann gilt: x0 ist eine lokale Maximalstelle, falls f (x0 ) < 0 gilt. x0 ist eine lokale Minimalstelle, falls f (x0 ) > 0 gilt. Beispiel Zur Illustration wird erneut die durch f (x) = 3x4 −8x3 −6x2 +24x−

10 definierte Funktion betrachtet. Die erste Ableitung f (x) = 12(x − 2)(x − 1)(x + 1) hat die drei Nullstellen −1, 1, 2, die damit Kandidaten f¨ ur Extremalstellen sind. Die Auswertung der zweiten Ableitung f (x) = (12x3 − 24x2 − 12x + 24) = 36x2 − 48x − 12 an diesen Stellen liefert: f (−1) = 36 + 48 − 12 = 72 > 0, f (1) = 36 − 48 − 12 = −24 < 0,

B

408

12. Optimierung

f (2) = 36 · 4 − 48 · 2 − 12 = 36 > 0. Damit ergibt sich mit obigem Kriterium wiederum, dass bei −1 und 2 lokale Minima und bei 1 ein lokales Maximum vorliegen. Das Kriterium ist nur anwendbar, falls die zweite Ableitung von Null verschieden ist. Andernfalls kann auf diese Weise keine Entscheidung getroffen werden. Liegt diese Situation vor, empfiehlt es sich, das 406Monotoniekriterium einzusetzen.∗ B

Beispiel Fortsetzung 406Beispiel Extremalstelle Die zweite Ableitung der

durch g(x) = x3 definierten Funktion ist g (x) = 6x. Wegen g (0) = g (0) = 0 kann mit dem obigen Kriterium keine Schlussfolgerung gezogen werden. Das Monotoniekriterium zeigt, dass an dieser Stelle kein Extremum vorliegt.

ullt ebenfalls die Bedingung Die mittels f (x) = x4 definierte Funktion erf¨ f (0) = f (0) = 0. Eine Monotonieuntersuchung zeigt, dass f in (−∞, 0) monoton fallend und in (0, ∞) monoton steigend ist. An der Stelle x = 0 liegt somit ein lokales (sogar ein globales) Minimum vor. Globale Extrema

Zur Untersuchung einer Funktion auf globale Extrema werden neben den lokalen Extrema zus¨ atzlich die Funktionswerte an den 59Ra¨ndern des Definitionsbereichs (falls diese zu D geh¨ oren) bzw. die Grenzwerte an den Rändern ¨ von D in die Uberlegungen einbezogen. Somit sind folgende Punkte zu bearbeiten: Berechnung aller lokalen Extrema von f . Geh¨ ort ein Randpunkt xR des Definitionsbereichs zum Definitionsbereich, so ist der zugeh¨ orige Funktionswert f (xR ) zu ermitteln. Geh¨ ort ein Randpunkt xR des Definitionsbereichs nicht zum Definitionsbereich, so ist der zugeh¨ orige Grenzwert lim f (x) bzw. lim f (x) bei x→xR +

x→xR −

Ann¨ aherung an den Randpunkt zu ermitteln. Vergleich aller berechneten Funktions- und Grenzwerte. ∗ Zu

Kriterien, die h¨ ohere Ableitungen verwenden, siehe Kamps et al. (2003).

12.2 Extrema

409

Grunds¨ atzlich ist festzuhalten, dass als globale Extremalstellen nur Werte aus dem Definitionsbereich der Funktion in Frage kommen! Beispiel Der Definitionsbereich der durch f (x) =

√

1 − x2 definierten Funktion ist D = [−1, 1], da der Term unter der Wurzel nicht negativ sein darf: 1 − x2 ≥ 0 ⇐⇒ −1 ≤ x ≤ 1.

Die zu D geh¨ orenden Randpunkte des Definitionsbereichs sind x1 = −1 und x2 = 1. Die Funktionswerte sind f (−1) = f (1) = 0. Kandidaten f¨ ur lokale Extrema im Intervall (−1, 1) ergeben sich aus der ersten Ableitung von f −2x x = −√ , f (x) = √ 2 2 1−x 1 − x2 die eine Nullstelle bei x = 0 hat. Dort a ¨ndert sich auch das Vorzeichen. Damit ist f in [−1, 0) streng monoton wachsend, in (0, 1] streng monoton fallend und besitzt bei x = 0 ein lokales Maximum. Der Vergleich der Werte f (−1) = f (1) = 0 und das Monotonieverhalten von f zeigen, dass f bei x = −1 und x = 1 globale Minimalstellen mit Wert 0 hat. Bei x = 0 liegt das globale Maximum mit Wert 1. Dieses Resultat illustriert auch der Graf von f . lokales und globales Maximum

r6

.............................................. ............. ......... ......... ....... ...... ....... ..... ...... . . . . ..... ... . . .... . ... .... . . ..... ... . . ... .. . ... . .. ... . . .. ... . ... .. ... . .. .. . ... .. . ... .. . ... ... .... ... ... . .. . ... .... ... ... ... ... ... ... ... .

1

f (x)

r

−1 globale Minimalstelle

r -

0

x

1 globale Minimalstelle

Die globalen Minimalstellen x = −1 und x = 1 sind keine lokalen Minimal stellen, da diese am Rand des Definitionsbereichs liegen. Eine leichte Modifikation des obigen Beispiels zeigt, dass globale Extrema schon in einfachen F¨ allen nicht existieren. Im folgenden Beispiel existiert kein globales Minimum, da die in Frage kommenden Minimalstellen nicht zum Definitionsbereich der Funktion geh¨ oren.

B

410

12. Optimierung

Beispiel Die durch h(x) =

2 √1−x 1−x2

definierte Funktion h hat den Definitionsbereich D = (−1, 1). Die Randwerte −1 und 1 des Intervalls (−1, 1) gehören ur diese Werte gleich Null wird. nicht zum Definitionsbereich, da der Nenner f¨ F¨ ur ein x ∈ D ergibt sich wegen √ " ( 1 − x2 )2 1 − x2 √ = √ = 1 − x2 2 2 1−x 1−x √ die Beziehung h(x) = f (x) mit f (x) = 1 − x2 . Somit hat h an der Stelle x = 0 ein lokales und globales Maximum. F¨ ur die Grenzwerte bei Annäherung an die Randpunkte resultieren die Werte

B

lim h(x) = 0,

lim h(x) = 0.

x→−1+

x→1−

Weiterhin gilt h(x) > 0 f¨ ur alle x ∈ (−1, 1). Da die Funktion stets gr¨ oßer als Null ist und dem Wert Null beliebig nahe kommt, ihn aber an keiner Stelle des Definitionsbereichs annimmt, hat h kein globales Minimum. Dies ist am Grafen der Funktion illustriert. Insbesondere besitzt die Funktion daher kein globales Minimum, obwohl sie nach unten beschr¨ ankt ist! lokales und globales Maximum

r6

........................................................ ........ .......... ....... ...... ...... ...... ..... ..... . . . .... ... . . . .... .. . .... . . .. ... . . . ... ... ... . . ... .. . . ... . . . ... ... . ... .. .. . ... .. . ... .. . ... . ... ... ... .. .. ... .. ... ... ... ... ... .... ... .. . .

1

f (x)

b

−1 −1 ∈ D

b -

0

x

1 1 ∈ D

In diesem Beispiel gibt es keine globalen Minimalstellen, weil die Ränder des Definitionsbereichs, die die einzigen Kandidaten sind, nicht zum Definitionsbereich der Funktion geh¨ oren.

Ist der Definitionsbereich einer Funktion ein beschränktes und abgeschlossenes Intervall [a, b] und ist die Funktion auf dem Intervall [a, b] stetig, so hat die Funktion 347stets ein globales Maximum und ein globales Minimum.

12.2 Extrema

411

Beispiel

1 Die durch f (x) = 1+x 2 definierte Funktion hat auf ihrem Definitionsbereich D = R ein globales Maximum, aber kein globales Minimum. Dazu werden zun¨ achst die lokalen Extremalstellen ermittelt. Wegen 2x gilt f (0) = 0 und f (x) > 0 f¨ ur x ∈ (−∞, 0) bzw. f (x) < 0 f (x) = − (1+x 2 )2 f¨ ur x ∈ (0, ∞). Damit liegt an der Stelle x = 0 ein lokales Maximum. Wegen ur alle x ∈ D gibt es bei lim f (x) = 0 und lim f (x) = 0 sowie f (x) > 0 f¨ x→−∞

x→∞

x = 0 ein globales Maximum. Ein globales Minimum existiert nicht, obwohl die Funktion nach unten durch Null beschr¨ ankt ist. Die Funktion g(x) = x2 hat bei x = 0 ein lokales/globales Minimum mit Wert g(0) = 0. Da die Funktion f¨ ur x → −∞ und x → ∞ unbeschränkt w¨ achst, gibt es kein globales Maximum. In den obigen Beispielen ist zu beachten, dass f und g zwar stetig auf D = R sind, der Definitionsbereich aber kein beschr¨ anktes Intervall ist. Kriterien f¨ ur globale Extrema Aus den obigen Beispielen k¨ onnen folgende Beobachtungen festgehalten werden: Kandidaten f¨ ur globale Extremalstellen sind ausschließlich lokale Extremalstellen und die Randpunkte des Definitionsbereichs, sofern sie zum Definitionsbereich geh¨ oren. Die Entscheidung u ¨ ber globale Extremalstellen wird durch Vergleich der Funktionswerte an den obigen Stellen getroffen. Dabei sind zusätzlich die Grenzwerte bei Ann¨ aherung an diejenigen Randwerte zu ber¨ ucksichtigen, ¨ die nicht zum Definitionsbereich geh¨ oren. Uberschreiten die ermittelten Grenzwerte die Werte der Kandidaten nicht, so ist eine Stelle mit maximalem Funktionswert globale Maximalstelle. Andernfalls gibt es kein globales Maximum. Analog wird f¨ ur globale Minima verfahren. Eine Funktion kann globale Extrema besitzen, muss es aber nicht. Eine auf dem abgeschlossenen (und beschr¨ ankten) Intervall [a, b] stetige Funktion hat dort sowohl ein 403globales Minimum als auch ein globales Maximum. Globale Extremalstellen m¨ ussen nicht eindeutig sein, d.h. ein globales Extremum kann an mehreren Stellen angenommen werden. Das globale Extremum (d.h. der Funktionswert an den Extremalstellen) ist dagegen stets eindeutig.

B

412

12. Optimierung

Streng monotone Transformationen und Extrema

B

Beispiel Oben wurde bereits gezeigt, dass die Betragsfunktion f (x) = |x| an der Stelle x = 0 ein lokales und globales Minimum hat. Daraus ergibt sich sofort, dass auch die Funktion h(x) = |x| + 1 = f (x) + 1 dort ein lokales und globales Minimum hat. Entsprechendes gilt f¨ ur g(x) = eh(x) = e|x|+1 . Dies kann z.B. an den Grafen leicht u uft werden. Grund f¨ ur diese Eigenschaft ¨ berpr¨ ist, dass die Funktionen f und h jeweils mit einer streng monoton steigenden Funktion 169verkettet wurden.

Die Funktion l(x) = e−h(x) = e−|x| hat hingegen bei x = 0 ein lokales und globales Maximum, da die Funktion e−y streng monoton fallend ist. In diesem Fall werden Minimalstellen zu Maximalstellen und umgekehrt. Streng monotone Transformationen und Extrema Seien f, g, h Funktionen, wobei der Wertebereich von f in den Definitionsbereichen von g und h enthalten ist und g streng monoton steigend und h streng monoton fallend ist. Hat f an der Stelle x0 ein Maximum (Minimum), so hat g◦f dort ebenfalls ein Maximum (Minimum). Hat f an der Stelle x0 ein Maximum (Minimum), so hat h ◦ f dort ein Minimum (Maximum). Die Aussage gilt sowohl f¨ ur lokale als auch f¨ ur globale Extrema. Wichtige Beispiele streng monoton wachsender Funktionen sind f (x) = a+bx mit b > 0, f (x) = ex und f (x) = ln(x). B

Beispiel

Die durch h(t) = ln(t4 + t2 + 1) definierte Funktion hat den ur alle t ∈ R. Nach Obigem Definitionsbereich D = R, da t4 + t2 + 1 > 0 f¨ gen¨ ugt es, zur Berechnung der Extrema die Funktion g(t) = t4 + t2 + 1 zu betrachten. Wegen g (t) = 4t3 + 2t = 2t(2t2 + 1) folgt g (t) = 0 ⇐⇒ t = 0 oder 2t2 + 1 = 0. Da die zweite Gleichung keine reelle L¨ osung hat, ist t = 0 einziger Kandidat f¨ ur eine Extremalstelle. Da g an der Stelle t = 0 einen Vorzeichenwechsel von − nach + hat, liegt bei t = 0 ein lokales Minimum vor. Wegen lim g(t) = t→−∞

lim g(t) = ∞, ist g(0) = 1 auch das globale Minimum von g. Mit der obigen t→∞ Transformationsregel und der Monotonie des Logarithmus folgt, dass 0 = ln(g(0)) das globale Minimum von h ist.

12.3 Konkavit¨ at und Konvexit¨ at

413

Beispiel log-Likelihoodfunktion Bei der Berechnung von Maximum-Likelihood-Sch¨ atzern wird die 397Likelihoodfunktion L maximiert. Oft ist es aber

B

einfacher, die log-Likelihoodfunktion l = ln(L) zu untersuchen. Im Fall der 139Binomialverteilung lauten die Funktionen f¨ ur die Variable p ∈ (0,1) L(p) = pnx (1 − p)n(1−x) , l(p) = ln(L(p)) = nx ln(p) + n(1 − x) ln(1 − p).

12.3

12.3 Konkavit¨ at und Konvexit¨ at Das mittels der zweiten Ableitung formulierte 407Kriterium f¨ ur lokale Extrema macht sich Kr¨ ummungseigenschaften der Funktion in der Umgebung der berechneten Punkte zu Nutze. Dabei wird auf folgende Definition zur¨ uckgegriffen. Definition Konkavit¨ at, Konvexität Seien f : D −→ R eine auf D zweimal differenzierbare Funktion und (a, b) ⊆ D.

Die Funktion f heißt konvex (konkav) in (a, b), falls f (x) ≥ 0 (f (x) ≤ 0) f¨ ur alle x ∈ (a, b) gilt. Beispiel Die durch f (x) = x2 , x ∈ R, definierte quadratische Funktion f

ist wegen f (x) = 2 > 0 eine konvexe Funktion auf R. Die durch g(t) = ur alle t ∈ R et gegebene Exponentialfunktion ist wegen g (t) = et > 0 f¨ auch konvex. Die Logarithmusfunktion ist konkav auf (0, ∞), denn (ln(z)) = ur z ∈ (0, ∞). − z12 < 0 f¨ ullt wegen h (y) = 6y die Die durch h(y) = y 3 definierte Funktion h erf¨ Ungleichungen ur y < 0 und h (y) > 0 f¨ ur y > 0, h (y) < 0 f¨ d.h. h ist konkav auf (−∞, 0) und konvex auf (0, ∞).

Am Grafen einer Funktion ist direkt erkennbar, dass Konkavität ein lokales Maximum liefert, wenn es ein x0 ∈ (a, b) mit f (x0 ) = 0 gibt. Entsprechend f¨ uhrt Konvexit¨ at zu lokalen Minima (vgl. 407Hinreichendes Kriterium mittels zweiter Ableitung).

B

414

12. Optimierung

.. .. .. .. .. . . .. ... .. .. ... . . ... .. ... ... ... ... .... ... .... ... . .... . .. ..... .... ...... ...... ......... ..............................

........ ......... ................ .... ..... ... .... .... ... .... .. . .... .. . ... . ... ... ... . . ... . . ... . ... .... ... ... ... ... .. ... ... .. ...

konvex

konkav

Eine Stelle, an der ein Wechsel des Kr¨ ummungsverhaltens stattfindet, heißt Wendestelle. Auf eine weitere Diskussion dieses Sachverhaltes wird hier verzichtet. Es sei lediglich angemerkt, dass eine Funktion noch wesentlich detaillierter hinsichtlich ihrer Eigenschaften analysiert werden kann, als dies f¨ ur die hier betrachteten Optimierungsprobleme notwendig ist. Diese Untersuchung wird als Kurvendiskussion bezeichnet und umfasst u.a. folgende Punkte: Definitionsund Wertebereich, Definitionsl¨ ucken, Achsenabschnitte/Nullstellen, Monotonieverhalten, Grenzwerte an den Definitionsl¨ ucken/im Unendlichen, lokale/globale Extrema, Kr¨ ummungsverhalten, Wendestellen sowie weitere Eigenschaften wie Symmetrie, Asymptoten, etc. Zur Durchf¨ uhrung von Kurvendiskussionen sei auf Kamps et al. (2003) verwiesen.

12.4

12.4 Optimierung bei st¨ uckweise definierten Funktionen In Anwendungen werden oft Extrema von st¨ uckweise definierten Funktionen gesucht. In diesen F¨ allen werden die jeweiligen Bereiche getrennt mit den vorgestellten Methoden analysiert und die Ergebnisse der Teiluntersuchungen anschließend zusammengefasst.

B

Beispiel Die Funktion f sei definiert durch die Vorschrift

f (x) =

2

e−x ,

x 0 = lim f2 (x). Daraus folgt, dass f2 im x→∞ 59Inneren seiner Definitionsmenge keine lokalen Extrema hat. Am Rand x = 0 seines Definitionsbereichs hat f2 ein globales Maximum mit Wert 2. Da insgesamt 0 < f (x) ≤ 2 f¨ ur alle x ∈ R gilt, hat die zusammengesetzte Funktion f ein globales Maximum mit Wert 2 an der Stelle x = 0. Aus den Monotonieeigenschaften folgt, dass f an der Stelle x = 0 auch ein lokales Maximum hat. lokales und globales Maximum ... 2 ..r6 ...

... ... ... ... .. ... ... ... ... ... .... . . . . ... . . . . . . . .... ..... . . . .... ... . .... . . ..... ... . . ..... .. . . ...... . ...... .... . . ....... .. . . ........ . .......... ... . . . ........... ... . . ............... . . . ...................... .... . . . . . . . ..................................... ...... . . . . . .......... . . . . . . . . . . . . . . . .................................................

f (x) 1

-

−2

−1

0

1

2

3

x

Die geringf¨ ugig modifizierte Funktion 2 f (x), x = 0 e−x , x ≤ 0 g(x) = = 1, x=0 2e−x , x > 0 hat weder lokale noch globale Extrema. Dies liegt darin begr¨ undet, dass der einzige Kandidat f¨ ur ein lokales/globales Maximum der Wert 2 wäre. Dieser wird aber von der Funktion nicht angenommen.

416

12.5

12. Optimierung

12.5 Anwendungen in der Statistik Lineare Regression

Zur L¨ osung des 395Optimierungsproblems Q(a, b) =

n *

(yi − a − bxi )2 −→ min

a,b∈R

i=1

wird zun¨ achst angenommen, dass ein gegebener Punkt (X, Y) der Lösungsgerade bekannt sei. Also gilt insbesondere Y = f (X). Da f¨ ur jede Gerade f (x) = a + bx, die durch den Punkt (X, Y) verläuft, der Zusammenhang f (X) = Y ⇐⇒ a + bX = Y ⇐⇒ a = Y − bX gilt, ist die Variable a (in Abh¨ angigkeit von b) bekannt und kann in Q(a, b) eingesetzt werden (vgl. 234Substitutionsmethode). Daraus ergibt sich Q(a, b) = Q(Y −bX, b) =

n *

(yi −Y+bX−bxi )2 =

i=1

n *

(yi −Y −b[xi −X])2 = h(b).

i=1

Somit konnte die Variable a eliminiert werden, und das Problem hängt nur noch von der Variablen b ab. Die Funktion h wird nun bzgl. b minimiert. Die Berechnung der Ableitung nach b ergibt∗ h (b) =

n n * * (yi − Y − b[xi − X])2 = −2[xi − X](yi − Y − b[xi − X]) i=1

= −2 = −2

i=1 n * i=1 n *

(xi − X)[(yi − Y) − b(xi − X)] (xi − X)(yi − Y) + 2b

i=1

n *

(xi − X)2 .

i=1

Dies liefert die Gleichung

h (b) = 0 ⇐⇒ −2

n *

(xi − X)(yi − Y) + 2b

i=1 ∗ Aus

n *

(xi − X)2 = 0,

i=1

der 353Summenregel resultiert f¨ ur eine Funktion h(x) =

n i=1

zierbaren g1 , . . . , gn die Ableitung h (x) =

.

n * i=1

/

gi (x)

=

n * i=1

gi (x).

gi (x) mit differen-


so dass unter der Voraussetzung

417 n

(xi − X)2 > 0∗ die Lösung

i=1 n

b=

(xi − X)(yi − Y)

i=1

n

(xi − X)2

i=1

resultiert. Die zweite Ableitung von h ist gegeben durch h (b) = 2 n

und somit stets positiv, d.h. an der Stelle b =

n

(xi − X)2

i=1 (xi −X)(yi −Y)

i=1

n

(xi −X)2

liegt ein lokales

i=1

Minimum. Wegen lim h(b) = lim h(b) = ∞ ist es außerdem ein globales b→−∞

b→∞

Minimum. Daher resultiert die folgende Aussage. Lineare Regression durch den Punkt (X, Y) Seien (x1 , y1 ), . . . , (xn , yn ), (X, Y) ∈ R2 , so dass es einen Index i gibt mit xi = X. Die Regressionsgerade durch einen gegebenen Punkt (X, Y) ist bestimmt durch f (x) = a + bx mit n

a = Y − bX,

b =

(xi − X)(yi − Y)

i=1

n

. (xi − X)2

i=1

Aus dieser Regel ergibt sich insbesondere die L¨ osung, falls von der Regressionsgeraden zus¨ atzlich gefordert wird, dass sie durch den Ursprung geht, d.h. es gilt f (0) = 0:† n

f (x) = b0 x

mit

xi yi b0 = i=1 . n x2i i=1

Beispiel An eine Metallfeder werden nacheinander unterschiedliche Gewichte geh¨ angt und die Auslenkung der Feder, also die Differenz zwischen der L¨ ange der Feder mit angeh¨ angtem Gewicht und deren urspr¨ unglicher Länge, gemessen: ∗ Daher

gibt es mindestens ein von X verschiedenes xi . Sind alle xi = X , so gilt h (b) = 0 f¨ ur alle b ∈ R, d.h. h ist eine konstante Funktion. In diesem Fall ist jedes b optimal. † Dies bedeutet, dass der Punkt (X , ) = (0, 0) auf der Geraden liegt. Y

B

418

12. Optimierung

Gewicht xi (in g) Auslenkung yi (in cm)

40 1,9

80 3,6

120 5,7

160 7,1

200 9,8

240 10,9

Eine optische Einsch¨ atzung des Zusammenhangs zwischen Gewicht und Auslenkung der Feder mittels eines 64Streudiagramms der Daten f¨ uhrt zu der Vermutung, dass im betrachteten Wertebereich eine lineare Beziehung vorliegt. Da die Feder ohne angeh¨ angtes Gewicht keine Auslenkung aufweist, wird eine Regression durch den Ursprung durchgef¨ uhrt, wobei die Auslenkung der Feder (Beobachtungswerte y1 , . . . , y6 ) als abhängige Variable und das angeh¨ angte Gewicht (Beobachtungswerte x1 , . . . , x6 ) als erklärende Variable angesehen werden. Der vorgegebene Punkt (X, Y) ist somit (0, 0). We6 6 gen xi yi = 6 760 und x2i = 145 600 folgt f¨ ur den Koeffizienten b0 der i=1

i=1

6 760 13 Regressionsgeraden b0 = 145 600 = 280 ≈ 0,0464. Der Darstellung der Regressionsgeraden im Streudiagramm ist zu entnehmen, dass der lineare Modellansatz den Zusammenhang zwischen beiden Merkmalen sehr gut beschreibt.

Die L¨ osung des allgemeinen Problems ergibt sich aus der Beobachtung, dass n n der Punkt (x, y) mit x = n1 xi und y = n1 yi stets auf der Regressionsi=1

i=1

geraden liegt. Nachweis. Sei angenommen, dass der Punkt (x, y) nicht auf der Geraden f (x) = a + bx liegt, d.h. f (x) = y. F¨ ur die durch die Vorschrift g(x) = f (x) + y − f (x) = a + bx + y − a − bx = y + b(x − x)


419

festgelegte Gerade gilt dann g(x) = y, d.h. (x, y) ist ein Punkt dieser Geraden. F¨ ur den Abstand dieser Geraden zu den Punkten (x1 , y1 ), . . . , (xn , yn ) ergibt sich durch geschicktes Zusammenfassen und Anwendung der zweiten binomischen Formel n *

(yi − g(xi ))2 =

i=1

n *

(yi − f (xi ) − y + f (x))2

i=1

=

n *

(yi − f (xi ))2 − 2(yi − f (xi ))(y − f (x)) + (y − f (x))2

i=1

=

n *

(yi − f (xi ))2 − 2(y − f (x))

i=1

n *

(yi − f (xi )) +

i=1

n *

(y − f (x))2

i=1

(♣)

= n(y−f (x))

=

n *

(yi − f (xi ))2 − 2n(y − f (x))2 + n(y − f (x))2

i=1

= Q(a, b) − n (y − f (x))2 . >0

Somit gilt also stets die Ungleichung

n

(yi − g(xi ))2 < Q(a, b), d.h. die durch g

i=1

gegebene Gerade hat eine geringere Gesamtabweichung als die von f festgelegte Gerade. Zu einer Geraden, die nicht durch den Punkt (x, y) f¨ uhrt, gibt es also stets eine Gerade mit geringerer Abweichung, die durch ihn verl¨ auft. Somit folgt, dass alt.∗ die optimale L¨ osung eine Gerade sein muss, die den Punkt (x, y) enth¨ Es bleibt noch die Identit¨ at (♣)

n

(yi −f (xi )) = n(y −f (x)) zu zeigen. Diese ergibt

i=1

sich direkt aus der 115Linearit¨ at des Summenzeichens n * i=1

(yi − f (xi )) =

n * i=1

(yi − a − bxi ) =

n *

yi − an − b

i=1

= ny − n(a + bx) = n(y − f (x)).

n *

xi

i=1

∗ Die durch g und f gegebenen Geraden haben die gleiche Steigung b, d.h. die bessere“ ” Gerade g wird durch eine Parallelverschiebung in den Punkt (x, y) erzielt.

420

12. Optimierung

Lineare Regression Seien (x1 , y1 ), . . . , (xn , yn ) ∈ R2 mit

n

(xi − x)2 > 0.∗ Die Regressionsgerade

i=1

f (x) = a + bx durch die Punkte (x1 , y1 ), . . . , (xn , yn ) ist bestimmt durch die Koeffizienten n (xi − x)(yi − y) b = i=1 a = y − bx, . n (xi − x)2 i=1

B

Beispiel In der Marketingabteilung eines Unternehmens soll das Budget f¨ ur

eine bevorstehende Werbeaktion bestimmt werden. Um einen Anhaltspunkt u ¨ ber den zu erwartenden Nutzen der Aktion bei Aufwändung eines bestimmten Geldbetrags zu erhalten, werden die Kosten von bereits durchgef¨ uhrten Werbeaktionen und die zugeh¨ origen Ums¨ atze der beworbenen Produkte untersucht. In der folgenden Tabelle sind die Kosten (in 1 000e) der letzten sechs Aktionen den Ums¨ atzen (in Mio. e) der jeweils folgenden Monate gegen¨ uber gestellt. Werbeaktion Kosten Umsatz

i xi yi

1 23 2,3

2 15 1,1

3 43 2,7

4 45 2,9

5 30 2,1

6 51 3,3

Auf der Basis dieser Daten wird eine lineare Regression durchgef¨ uhrt. Anhand dieser Daten ergeben sich die Werte 69 , x= 2

12 , y= 5

6 *

101 , (xi − x)(yi − y) = 2 i=1

6 *

(xi − x)2 =

i=1

1 975 . 2

Die Koeffizienten der zugeh¨ origen Regressionsgerade f(x) = a +bx sind daher 2 511 b = 101 ≈ 0,0511 und a = 3 950 ≈ 0,636. Daraus ergibt sich also y = f (x) = 1 975 0,636 + 0,0511x bzw. Umsatz [in Mio. e] = 0,636 + 0,0511 × Kosten [in 1 000e]. Werden alle Angaben in 1 000 e vorgenommen, resultiert die Beziehung ∗ Diese Bedingung entspricht der Forderung, dass mindestens zwei x-Werte verschieden sind, d.h. es gibt Indizes i = j mit xi = xj . Umgekehrt heißt dies, dass an mindestens zwei Stellen gemessen wurde bzw. nicht nur an einer Stelle x.


421

Umsatz [in 1 000 e] = 636 + 51,1 × Kosten [in 1 000e]. Daraus ergibt sich, dass 1 000 e an Werbeaufwand einen zusätzlichen Umsatz von 51 000 e generieren. Die nachstehende Abbildung ist eine grafische Veranschaulichung der Regressionsgerade im 64Streudiagramm.

Maximum-Likelihood-Sch¨ atzung

Die Vorgehensweise zur Berechnung der Maximum-Likelihood-Schätzung wird exemplarisch an zwei Verteilungen, der 139Binomialverteilung und der 378Exponentialverteilung, ausgef¨ uhrt. Binomialverteilung

Der Parameter p der Binomialverteilung gibt die Wahrscheinlichkeit an, einen Treffer (d.h. eine Eins) bei einem Zufallsexperiment mit zwei Ausgängen zu erzielen (z.B. M¨ unzwurf). Dieser Parameter (d.h. die Trefferwahrscheinlichkeit) wird basierend auf einer Stichprobe x1 , . . . , xn von Beobachtungen mit Werten Null oder Eins gesch¨ atzt. Zur Vereinfachung wird nachfolgend angen xi < n gilt, d.h. es gibt jeweils minnommen, dass die Ungleichung 0 < i=1

destens eine Null bzw. Eins in den Beobachtungen. In den Fällen

n i=1

xi = 0

422

bzw.

12. Optimierung n

xi = n lautet die Likelihoodfunktion L(p) = (1−p)n bzw. L(p) = pn .

i=1

Diese m¨ ussen gesondert betrachtet werden (s. 425Aufgabe 12.4). Die Likelihoodfunktion der Binomialverteilung L(p) =

n 3

n

p (1 − p)

1−xi

xi

=p

i=1

xi

n−

(1 − p)

n i=1

xi

p ∈ [0, 1],

,

i=1

wird auf lokale Extrema untersucht. Differenziation nach p ergibt mit der n n Notation x = n1 xi bzw. nx = xi und der 353Produktregel i=1

i=1

1 0 L (p) = pnx (1 − p)n(1−x) = nxpnx−1 (1 − p)n(1−x) − n(1 − x)pnx (1 − p)n(1−x)−1 = [nx(1 − p) − n(1 − x)p] pnx−1 (1 − p)n(1−x)−1 ,

p ∈ (0, 1).

ur p ∈ (0, 1) stets positiv ist, liefert die Da der Term pnx−1 (1 − p)n(1−x)−1 f¨ ¨ Division der Gleichung L (p) = 0 durch diesen Term die Aquivalenz L (p) = 0 ⇐⇒ nx(1 − p) − n(1 − x)p = 0. Aufl¨ osen nach p ergibt die L¨ osung p = x. Es bleibt zu pr¨ ufen, ob diese Stelle tats¨ achlich ein lokales Maximum liefert. Dazu wird eine Monotoniebetrachtung durchgef¨ uhrt. Das Vorzeichen von L (p) wird wegen 0 ≤ p ≤ 1 offenbar nur durch den Faktor nx(1 − p) − n(1 − x)p bestimmt. Dieser ist eine lineare Funktion in p mit Nullstelle p = x. Da 0 < x < 1 gilt, ergibt sich durch Einsetzen der 292Pru ¨ fstellen p1 = x2 ∈ (0, x) 1+x und p2 = 2 ∈ (x, 1):

x x x x nx 1 − − n(1 − x) = n [(2 − x) − (1 − x)] = n > 0 2 2 2 2

1−x 1+x 1+x 1−x =n [x − (1 + x)] = −n 0

x

− L ( 1+x 2 ) 0 durch den Ausdruck 1 − e−λx gegeben ist, wobei der Parameter λ eine gewisse flexible Beschreibung dieser Wahrscheinlichkeit erm¨ oglicht. Der Wert λ1 entspricht der im Modell angenommenen mittleren Lebensdauer (vgl. 378Erwartungswert). Basierend auf einer Stichprobe x1 , . . . , xn > 0 der Lebensdauer von gleichartigen Objekten resultiert bei Annahme einer Exponentialverteilung die Like-

424

12. Optimierung

lihoodfunktion (f¨ ur den Parameter λ > 0) L(λ) =

n 3

λe

−λxi

n

=λ e

−λ

n i=1

xi

,

λ > 0,

i=1

die bzgl. λ maximiert wird. Zur Vereinfachung der Rechnung wird auch hier die log-Likelihoodfunktion l(λ) = ln(L(λ)) = n ln(λ) − λ

n *

xi

i=1

verwendet. Differenziation nach λ ergibt 1 * n − xi = 0 ⇐⇒ λ = . n λ i=1 xi n

l (λ) = 0 ⇐⇒ n

i=1

Die zweite Ableitung l (λ) = − λn2 ist n = x1 L jeweils an der Stelle λ = n xi

offenbar stets negativ, so dass l und ein lokales Maximum haben. Wegen

i=1

= lim L(λ) = lim L(λ) = 0 ist es auch ein globales Maximum, d.h. λ

λ→0+

λ→∞

1 x

ist

der Maximum-Likelihood-Sch¨ atzer f¨ ur λ.

12.6

12.6 Aufgaben

425 L

Aufgabe 12.1 Bestimmen Sie f¨ ur die Funktionen f : D → R den (maximalen)

Definitionsbereich sowie alle lokalen und globalen Extremalstellen. (a) f (x) = x3 + 2x2 − 1

428 L

(d) f (x) = (x2 − 3)ex

(b) f (x) =

x2 2x−5

(e) f (x) = (x2 + 4x)e−2x

(c) f (x) =

x3 −2x2 −x+2 x−2

(f) f (x) = ln(e−x + 1)

Aufgabe 12.2

2

Begr¨ unden Sie die Ungleichung ln(t) ≤ t − 1,

t > 0,

mit Mitteln der Differenzialrechnung, wobei Gleichheit f¨ ur t = 1 gilt. Betrachten Sie dazu die Funktion h(t) = ln(t) − t + 1, t > 0.

12.7 L¨ osungen

425

Aufgabe 12.3

Berechnen Sie mit der Methode der kleinsten Quadrate eine optimale N¨ aherung der Daten (x1 , y1 ), . . . , (xn , yn ) mit x1 , . . . , xn > 0 durch die Regressionsfunktion f (x) = xb , wobei der Parameter b als unbekannt angenommen wird.

429 L

Ermitteln Sie im Fall der Binomialverteilung den Maximumn n xi = 0 oder xi = n gilt. Stellen Sie Likelihood-Sch¨ atzer f¨ ur p, falls

429 L

Aufgabe 12.4

i=1

i=1

dazu zun¨ achst die Likelihoodfunktion in diesen speziellen Situationen auf. Seien x1 , . . . , xn ∈ N0 Daten. Bei Annahme einer 314geometrischen Verteilung lautet die Likelihoodfunktion f¨ ur p ∈ [0, 1]:

Aufgabe 12.5

n

L(p) = p (1 − p) n

i=1

xi

430 L

.

Berechnen Sie den Maximum-Likelihood-Sch¨ atzer f¨ ur p. Seien x1 , . . . , xn > 0 Daten. Bei Annahme einer 380Normalverteilung lautet die Likelihoodfunktion f¨ ur µ ∈ R:

Aufgabe 12.6

430 L

n

− 12 (xi −µ)2 1 e i=1 , L(µ) = √ ( 2π)n

wobei π = 3,1415 . . . die Kreiszahl π bezeichnet. Berechnen Sie den MaximumLikelihood-Sch¨ atzer f¨ ur µ.

12.7

12.7 L¨ osungen

424 A

L¨ osung 12.1 (a) Der Definitionsbereich der Funktion ist D = R. F¨ ur das Verhalten der Kurve im Unendlichen ergibt sich aus der 339Tabelle Grenzwerte von Funktionen lim f (x) = +∞ und lim f (x) = −∞. Daraus folgt sofort, dass es keine x→+∞

x→−∞

globalen Extrema geben kann (f ist sowohl nach unten als auch nach oben unbeschr¨ ankt). Mittels der ersten Ableitung f (x) = 3x2 + 4x ergeben sich die Kandidaten f¨ ur Extremalstellen f (x) = (3x + 4)x = 0 ⇐⇒ x = 0 oder x = − 34 .

426

12. Optimierung

Damit resultieren die Monotoniebereiche

...

− 43

+

f (−2)=4>0

da

0

− f (−1)=−10

Somit liegt an beiden Stellen ein Vorzeichenwechsel der Ableitung vor. An der Stelle x = − 43 hat f ein lokales Maximum, w¨ ahrend die Funktion bei x = 0 ein lokales Minimum hat.

(b) Der Definitionsbereich ist gegeben durch D = R\ 52 . Das Verhalten der Funktion im Unendlichen ergibt sich aus der 339Tabelle Grenzwerte von Funktionen: lim f (x) = +∞, lim f (x) = −∞, so dass keine globalen Extrema x→+∞

x→−∞

existieren. F¨ ur die Grenzwerte an der Definitionsl¨ ucke gilt limx→5/2− f (x) = −∞, limx→5/2+ f (x) = ∞. Mittels der ersten Ableitung f (x) = lokale Extremalstellen: f (x) = 0

⇐⇒

2x2 −10x (2x−5)2

2x2 − 10x = 0

resultieren die Kandidaten f¨ ur

⇐⇒

x = 0 oder x = 5.

Dies ergibt folgende Monotoniebereiche, wobei zus¨ atzlich die Definitionsl¨ ucke 5 zu ber¨ u cksichtigen ist, da sich an dieser Stelle auch das Monotonieverhalten 2 andern kann: ¨

... da

+

f (−1)= 12 >0 49

0

− f (1)=− 8 0

Somit liegt bei x = 0 ein lokales Minimum. Aufgrund des Monotonieverhaltens und der Grenzwerte an der Definitionsl¨ ucke ist x = 0 auch globale Minimalstelle mit Funktionswert f (0) = −1. (d) Definitionsbereich der durch f (x) = (x2 − 3)ex definierten Funktion ist D = R. Das Verhalten im Unendlichen resultiert direkt aus 339Tabelle Grenzwerte von Funktionen: lim f (x) = +∞ und lim f (x) = 0. Somit ist f nach x→+∞

x→−∞

oben unbeschr¨ ankt und nach unten beschr¨ ankt. Folglich existiert kein globales Maximum. Mittels der ersten Ableitung f (x) = (x2 +2x−3)ex resultieren die Kandidaten f¨ ur die Extremalstellen: f (x) = 0

⇐⇒

(x2 + 2x − 3)ex = 0 ⇐⇒ x2 + 2x − 3 = 0.

Mit Hilfe der 202pq-Formel resultieren die L¨ osungen x = −3 und x = 1. Die Monotoniebereiche sind also:

... da

+

−3

f (−4)=5e−4 >0

− f (0)=−30

428

12. Optimierung

An beiden Stellen liegt ein Vorzeichenwechsel der Ableitung vor, so dass bei x = −3 ein lokales Maximum und bei x = 1 ein lokales Minimum liegen. Wegen f (1) = −2e und lim f (x) = 0 ist letzteres auch ein globales Minimum. x→−∞

(e) Definitionsbereich von f (x) = (x2 + 4x)e−2x ist D = R. Die Grenzwerte im Unendlichen sind lim f (x) = 0 und lim f (x) = +∞. Daher existiert kein x→+∞

x→−∞

globales Maximum. Mittels der ersten Ableitung f (x) = (−2x2 − 6x + 4)e−2x resultiert die notwendige Bedingung f¨ ur Extremalstellen f (x) = 0

⇐⇒

(−2x2 − 6x + 4)e−2x = 0 ⇐⇒ −2x2 − 6x + 4 = 0.

Mit Hilfe einer 197quadratischen Erg¨ anzung resultieren die Nullstellen x = √ √ − 32 − 12 17 ≈ −3,56 und x = − 32 + 12 17 ≈ 0,56. Die Monotoniebereiche sind:

...

√ − 23 − 12 17 −

+

f (−4)=−4e8 0

x ...

f (1)=−4e−2 0 gilt f (x) > 0 ⇐⇒ x < 0 bzw. f (x) < 0 ⇐⇒ x > 0. Somit ist f streng monoton wachsend in (−∞, 0] und streng monoton fallend in [0, ∞). Bei x = 0 liegt daher ein lokales Maximum. Wegen lim f (x) = x→−∞

lim f (x) = 0∗ ist x = 0 auch globale Maximalstelle. Weiterhin ist f (x) >

x→∞

2

ln(1) = 0 f¨ ur alle x ∈ R, da e−x stets positiv und der Logarithmus eine streng monoton wachsende Funktion ist. Daher hat f kein globales Minimum. 424 A

L¨ osung 12.2

Die Funktion h(t) = ln(t) − t + 1, t > 0, hat die Ableitung h (t) =

∗ Vgl. 339Tabelle

1 − 1, t

Grenzwerte von Funktionen.

t > 0.

12.7 L¨ osungen

429

Diese ist gleich Null nur f¨ ur t = 1. Dar¨ uber hinaus gilt h (t) > 0 ⇐⇒ 0 < t < 1 bzw. h (t) < 0 ⇐⇒ t > 1. Wegen lim h(t) = −∞ und lim h(t) = −∞ ist h(1) globales Maximum der Funkt→0+

t→∞

tion h. Somit gilt h(t) ≤ h(1) = 0

f¨ ur alle t > 0,

wobei Gleichheit nur f¨ ur t = 1 erf¨ ullt ist. Aus dieser Ungleichung folgt unmittelbar die Behauptung.

L¨ osung 12.3 Die Abweichung der Funktion f (x) = xb zu den Punkten (x1 , y1 ), . . . , (xn , yn ) betr¨ agt gem¨ aß der 396Methode der kleinsten Quadrate Q(b) =

n *

(yi − f (xi ))2 =

i=1

n *

yi −

i=1

b xi

425 A

2 b ∈ R.

,

Differenziation nach b und Nullsetzen ergibt die Gleichung n n n * * * b yi 1 1

Q (b) = +b = 0. − · 2 yi − = 0 ⇐⇒ − 2 x x x x i i i i=1 i=1 i=1 i n y i

Somit resultiert der Ausdruck b =

i=1 n

xi

1 2 i=1 xi

. Wegen Q

(b) = 2

i=1

lim Q(b) = lim Q(b) = ∞ hat Q an der Stelle b=

b→∞

n

b→−∞

1 x2 i

> 0 und

n y i i=1 n

xi

1 2 i=1 xi

ein lokales und globales

Minimum. Somit ist b die kleinste Quadratsch¨ atzung f¨ ur b.

L¨ osung 12.4

In der Situation

n

xi = 0 resultiert die Likelihoodfunktion L(p) =

i=1

< 0 f¨ ur p ∈ (0, 1) ist L auf dem (1 − p) , p ∈ [0, 1]. Wegen L (p) = −n(1 − p) Intervall [0, 1] eine streng monoton fallende Funktion, d.h. das Maximum wird am n xi = 0 ist p = x = 0 linken Intervallende (p = 0) angenommen. Wegen x = n1 n

n−1

i=1

Maximum-Likelihood-Sch¨ atzer f¨ ur p. Entsprechend ergibt sich f¨ ur

n

xi = n die auf [0, 1] streng monoton steigende

i=1

Likelihoodfunktion L(p) = pn , so dass p = x =

1 n

n i=1

xi =

n n

= 1 Maximum-

Likelihood-Sch¨ atzer f¨ ur p ist. Insgesamt ist somit p = x =

1 n

n

xi (unabh¨ angig von den Beobachtungen x1 , . . . , xn )

i=1

Maximum-Likelihood-Sch¨ atzer f¨ ur p.

425 A

430

425 A

12. Optimierung

L¨ osung 12.5

Mit der Bezeichnung x =

p ∈ [0, 1]: L(p) = pn (1 − p)nx .

1 n

n

xi lautet die Likelihoodfunktion f¨ ur

i=1

Sei zun¨ achst x > 0. Dann ist die log-Likelihoodfunktion mit Definitionsmenge (0, 1) gegeben durch l(p) = ln(L(p)) = n ln(p) + nx ln(1 − p). Differenziation nach p ergibt l (p) =

n nx − , p 1−p

l

(p) = −

n nx − . p2 (1 − p)2

¨ Somit resultiert aus der Ableitung die Aquivalenz p(1 − p) 1 l (p) = 0 · ⇐⇒ 1 − p − xp = 0 ⇐⇒ p = . n 1+x ur alle p ∈ (0, 1) gilt, ist dies eine lokale Maximalstelle. Aus den Da l

(p) < 0 f¨ 1 Grenzwerten lim l(p) = lim l(p) = −∞ folgt, dass p = 1+x auch globale Maxip→0+

p→1− 1 1+x

malstelle ist. Somit ist p =


Ist x = 0, ergibt sich L(p) = pn , d.h. L ist eine monoton wachsende Funktion in 1 p. Somit ist p = 1 globale Maximalstelle in [0, 1] und p = 1 = 1+0 MaximumLikelihood-Sch¨ atzer f¨ ur p. Insgesamt ist daher p = 425 A

L¨ osung 12.6

1 1+x


Die log-Likelihoodfunktion lautet n √ 1* (xi − µ)2 . l(µ) = ln(L(µ)) = −n ln( 2π) − 2 i=1

Differenziation nach µ ergibt l (µ) =

n *

l

(µ) = −

(xi − µ),

i=1

n *

1 = −n.

i=1

Daher folgt aus l (µ) = 0 die Beziehung n *

(xi − µ) = 0 ⇐⇒

i=1

n *

xi − nµ = 0 ⇐⇒ µ = x.

i=1

Wegen l

(µ) < 0 f¨ ur alle µ ∈ R ist l eine konkave Funktion und daher insbesondere µ = x lokales Maximum. Wegen lim l(µ) = lim l(µ) = −∞ ist es auch globale µ→∞

µ→−∞

Maximalstelle, so dass µ = x Maximum-Likelihood-Sch¨ atzer f¨ ur µ ist.

Literaturverzeichnis

431

Literaturverzeichnis Die folgende Liste enth¨ alt – ohne Anspruch auf Vollständigkeit – eine Auswahl von B¨ uchern zum Schulwissen Mathematik. Adams, G., Kruse, H., Sippel, D. und Pfeiffer, U. (2002). Mathematik zum Studieneinstieg. Springer, Heidelberg, 4. Aufl. Arrenberg, J., Kiy, M. und Knobloch, R. (2003). Vorkurs in Mathematik. Oldenbourg, M¨ unchen, 2. Aufl. Bosch, K. (2007). Br¨ uckenkurs Mathematik. Oldenbourg, M¨ unchen, 13. Aufl. Burkschat, M., Cramer, E. und Kamps, U. (2004). Beschreibende Statistik Grundlegende Verfahren. Springer, Berlin. Clermont, S., Cramer, E., Jochems, B. und Kamps, U. (2001). Wirtschaftsmathematik - Aufgaben und Lösungen. Oldenbourg, M¨ unchen, 3. Aufl. Cramer, E., Cramer, K., Kamps, U. und Zuckschwerdt, C. (2004). Beschreibende Statistik – Interaktive Grafiken. Springer, Berlin. Cramer, E. und Kamps, U. (2008). Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik. Springer, Berlin, 2. Aufl. Fritzsche, K. (2007). Mathematik f¨ ur Einsteiger. Spektrum, Heidelberg, 4. Aufl. Genschel, U. und Becker, C. (2004). Schließende Statistik - Grundlegende Verfahren. Springer, Berlin. Heuser, H. (2006). Lehrbuch der Analysis Teil 1. Teubner, Stuttgart, 16. Aufl. Kamps, U., Cramer, E. und Oltmanns, H. (2003). Wirtschaftsmathematik – Einf¨ uhrendes Lehr- und Arbeitsbuch. Oldenbourg, M¨ unchen, 2. Aufl. Knorrenschild, M. (2007). Vorkurs Mathematik. Fachbuchverlag Leipzig, 2. Aufl. Purkert, W. (2005). Br¨ uckenkurs Mathematik f¨ ur Wirtschaftswissenschaftler. Teubner, Stuttgart, 5. Aufl. Sch¨ afer, W., Georgi, K. und und Christa Otto, G. T. (2006). MathematikVorkurs. Teubner, Stuttgart, 6. Aufl. Scharlau, W. (2008). Schulwissen Mathematik. Vieweg, Wiesbaden, 5. Aufl.

432

Literaturverzeichnis

Schirotzek, W. und Scholz, S. (2005). Starthilfe Mathematik. Teubner, Stuttgart, 5. Aufl. Stingl, P. (2007). Einstieg in die Mathematik f¨ ur Fachhochschulen. Fachbuchverlag Leipzig, 3. Aufl.

Symbol- und Abk¨ urzungsverzeichnis

433

Symbol- und Abk¨ urzungsverzeichnis Das Symbol- und Abk¨ urzungsverzeichnis enth¨ alt neben dem Symbol/der Abk¨ urzung eine kurze Erkl¨ arung sowie die Seite der ersten Verwendung bzw. ggf. der Definition. Kleine und große griechische Buchstaben α δ η κ ν π τ χ

alpha delta eta kappa nu pi tau chi

A ∆ H K N Π T X

Alpha Delta Eta Kappa Nu Pi Tau Chi

β ε,

ϑ λ ξ , ρ υ ψ

beta epsilon theta lambda xi rho upsilon psi

B E Θ Λ Ξ R Υ Ψ

Beta Epsilon Theta Lambda Xi Rho Upsilon Psi

γ ζ ι µ o σ ϕ, φ ω

gamma zeta iota mu omikron sigma phi omega

Γ Z I M O Σ Φ Ω

Gamma Zeta Iota Mu Omikron Sigma Phi Omega

Abk¨ urzungen und Symbole bzgl. bez¨ uglich

234

bzw. beziehungsweise

11

d.h. das heißt

11

317

∞

ai

322

i=1

11

evtl. eventuell ggf. gegebenenfalls

Reihe exp(t) Exponentialfunktion

161

22

½[a,∞) (t) Indikatorfunktion

162

96

sin(t), cos(at) Trigonometrische Funktionen

162

6

n

aj tj

161

j=0

i.e. id est (das ist)

127

u.¨ a. und ¨ ahnliches

41

u.a. unter anderem

10

z.B. zum Beispiel

n→∞

lim an , an −−−−→ a

n→∞

313

Grenzwert einer Folge

etc. et cetera (und so weiter)

i.Allg. im Allgemeinen

(an )n∈N , (an )n∈I Folgen

3

Polynom d −→ f (d) Abbildungsvorschrift

154

f , f (x0 ) Ableitung

350

f

, f (n) zweite/n-te Ableitung

355

f : D −→ W Funktion

154

π Kreiszahl

23

f ◦ g, f (g(t)) Verkettung der Funktionen f und g

169

e Eulersche Zahl

23

f −1 Umkehrfunktion

176

434

Symbol- und Abk¨ urzungsverzeichnis

x→x

0 lim f (x) = a, f (x) −−−−→ a

335

x→x0

Grenzwert einer Funktion (reelle Zahl) x→x

0 +∞(−∞) 335 f (x) −−−−→ Grenzwert einer Funktion (Unendlich)

x→x +

lim f (x), f (x) −−−−0−→ a

338

x→x0 +

Rechtsseitiger Grenzwert einer Funktion lim

x→x0 −

x→x0 −

f (x), f (x) −−−−−→ a

338

lim f (x),

lim f (x)

338

x→−∞

45

| ‘mit der Eigenschaft’

6

Ω Grundmenge

43

A, Ac , Ω A, A Komplement von A

48

{, } Mengenklammern

Linksseitiger Grenzwert einer Funktion x→∞

|A| M¨ achtigkeit von A

Grenzwert einer Funktion bei Ann¨ aherung an ±∞

5

A\B Differenzmenge

55

f (x)−f (x0 ) x−x0

349

A×B kartesisches Produkt

61

f (x)−f (x0 ) x−x0 x→x0

An kartesisches Produkt von A (n-fach)

62

350

201

A1 × · · · × An ,

Differenzenquotient lim

Differenzialquotient

n

D Diskriminante 8 f (t)dt Unbestimmtes Integral 8b

×A i=1

i

62

kartesisches Produkt von A1 , . . . , An 369

f (t)dt

366

∩ Schnitt n

,

i=1

a

Bestimmtes Integral 8b f (t)dt 371 −∞ Integral mit unbeschr¨ anktem Integrationsbereich 0 1b 0 1 t=b F (t) |ba ,F (t) |t=b 368 t=a , F (t) , F (t) a

Integral und Stammfunktion

t=a

49

∞

51

i=1

Schnitt mehrerer Mengen ∪ Vereinigung n i=1

,

∞

,

i=1

52

54

i∈ I

Vereinigung mehrerer Mengen

⇐⇒ ¨ Aquivalenzzeichen

9

⊆ Teilmenge

44

=⇒ Folgerungspfeil

9

, , ⊂ echte Teilmenge

44

∨ logisches ‘oder’

9

44

∧ logisches ‘und’

9

⊂, keine Teilmenge n

∅, {} Leere Menge

42

k

136

Binomialkoeffizient a b

19

Bruch mit Z¨ ahler a und Nenner b

∈, ∈ (nicht) Element von

7

P(Ω) Potenzmenge von Ω

46

log(a), lg(a), ln(a) Logarithmus von a (zur Basis 10, e)

92

logb (a) Logarithmus von a zur Basis b

92

Symbol- und Abk¨ urzungsverzeichnis √ a, a (n-te) Wurzel von a √ n

an n-te Potenz von a n! Fakult¨ at

435

88 85

∞ Unendlichsymbol

45

|a| Betrag der Zahl a

14

N nat¨ urliche Zahlen

10

112

N0 nat¨ urliche Zahlen mit Null

11

130

± Plus-Minus

136

ggT(n, m) 79 gr¨ oßter gemeinsamer Teiler von n und m x arithmetisches Mittel n 4

ai

i=1

Produktzeichen 4 ai

131

i∈I

Produktzeichen n

112

ai

i=1

Summenzeichen n m

aij

126

i=1 j=1

Doppelsumme ai

114

i∈I

Summenzeichen ai• , a•j , a•• Summen in Kontingenztafeln

187 =, ≤ Kennzeichnung einer falschen Aussage bei Gleichungen und Ungleichungen

129

100

Q rationale Zahlen

20

R reelle Zahlen

22

R2 , R3 , R n kartesisches Produkt von R

63

Z ganze Zahlen

13

(−∞, ∞) Intervalle: reelle Zahlen

59

(−∞, a), (a, ∞), (−∞, a], [a, ∞) Intervalle: unbeschr¨ ankte

59

(a, b), (a, b], [a, b), [a, b] Intervalle: beschr¨ ankte

59

(a1 , . . . , an ) n-Tupel

62

D Definitionsmenge

154

=, , ≤, ≥ Relationszeichen

11

L L¨ osungsmenge

188

≈ ungef¨ ahr bzw. Rundung

23

W Wertebereich

154

Index

437

Index A

Abbildung, 154 Ableitung, 350 außere, 354 ¨ h¨ ohere, 355 innere, 354 wichtiger Funktionen, 352 zweite, 355 Ableitungsregeln, 353 abrunden, 25 Absolutglied, 195, 265 Abszisse, 62 abz¨ ahlbar unendlich, 45 y-Achsenabschnitt, 158 Addition, 11 Assoziativgesetz, 12 Kommutativgesetz, 12 von Br¨ uchen, 81 Additionsverfahren, 243 ¨ Aquivalenz, 9 Argument, 154 arithmetische Summe, 120 arithmetisches Mittel, 112, 122 gewichtetes, 123 Assoziativgesetz Addition, 12 f¨ ur Mengen, 57 Multiplikation, 12 Verkettung von Funktionen, 170 aufrunden, 25 Ausklammern, 15 Ausmultiplizieren, 15 Aussage, 8 B

Basis, 85 Beschr¨ anktheit

einer Folge, 315 einer Funktion, 173 bestimmt divergent, 317 bestimmtes Integral, 369 Betaverteilung, 384 Betrag einer Zahl, 14 Betragsfunktion, 162 Betragsgleichung, 224 Betragsungleichung, 302 Bijektivität, 174 Bild, 154 Binomialkoeffizient, 136 Binomialverteilung, 139, 397 Z¨ ahldichte, 163 Binomische Formeln, 16 Binomischer Lehrsatz, 138 Bisektionsverfahren, 22, 93 Bruch, 19, 77 Addition, 81 Division, 84 Gleichheit, 77 Multiplikation, 83 Bruchgleichung, 208 Bruchrechnung, 77 D

Datenmatrix, 29 De Morgansche Regeln, 57 Definitionsbereich, 154, 188 maximaler, 156, 160 Dezimaldarstellung, 20, 325 Dezimalzahl, 20 periodische, 21 Dichtefunktion, 377 Differenz, 14 Differenzenquotient, 349 Differenzialquotient, 350 Differenzialrechnung, 347

438

Index

Differenzierbarkeit, 350 Differenzmenge, 55 disjunkt, 51 paarweise, 52 Disjunktion, 9 Diskriminante, 201 Distributivgesetz, 15 f¨ ur Mengen, 57 divergent, 317 Division, 19 mit Rest, 21 Doppelindizierungen, 27 Doppelsumme, 126 E

Einsetzungsverfahren, 239 Element, 4 Elementare Umformungen von Gleichungen, 189 von Ungleichungen, 288 Ereignis, 43 Ergebnis, 43 Erlang-Verteilung, 384 Erwartungswert, 378 diskreter, 125 Poisson-Verteilung, 327 erweitern, 77 Eulersche Konstante, 23 Exponent, 85 Exponentialreihe, 326 Exponentialverteilung, 179, 378 Extremalstelle, 404 Extremum, 402, 404 globales, 403 lokales, 404 F

Faktor, 12, 130 Faktorregel, 353, 371 Fakult¨ at, 136

Familie von Mengen, 46 Folge, 313 alternierende, 317 beschränkte, 315 divergente, 317 geometrische, 320 konstante, 315 konvergente, 317 monotone, 315 Folgenglied, 313 Folgerung, 9 Funktion, 154 Ableitung, 352 beschränkte, 173 Betrags-, 162 differenzierbare, 350 Exponential-, 161 ganzrationale, 161 gebrochen rationale, 161 Indikator-, 162 konstante, 160 lineare, 160 Logarithmus-, 162 Monom, 160 monotone, 170 Polynom-, 161 Potenz-, 161 quadratische, 160 Scheitelpunktform, 203 Quantil-, 179 st¨ uckweise definierte, 162 stetige, 343 trigonometrische, 162 Umkehr-, 176 unbeschränkte, 173 unstetige, 343 Verkettung, 169 Funktionswert, 154

Index

439

G

H

Gaußsche Glockenkurve, 381 geometrische Folge, 320 geometrische Reihe, 323 geometrische Summe, 120 geometrische Verteilung, 314, 425 geometrisches Mittel, 134 Gleichsetzungsverfahren, 241 Gleichungen, 187 aquivalente, 189 ¨ Betrags-, 224 Bruch-, 208 Exponential-, 221 grafische L¨ osung, 193 lineare, 193 Logarithmische, 216 mit Parametern, 231 Polynom-, 266 Potenz-, 266 quadratische, 195, 230 Normalform, 196 Wurzel-, 210 Gleichungssystem, 236 Gleichverteilung, 124 Grad, 265 Gradreduktion, 267 Graf, 63 einer Folge, 315 einer Funktion, 157 einer Relation, 153 Grenzwert einer Folge, 317 einer Funktion, 335 einer Reihe, 322 einseitiger, 338 von Funktionen (Tabelle), 339 größter gemeinsamer Teiler, 79 Grundmenge, 42, 43 Grundraum, 43 Grundrechenarten, 10

H¨ aufigkeit, 123 absolute, 10 kumulierte, 123 relative, 18 harmonisches Mittel, 123 Hauptnenner, 82 Hintereinanderausf¨ uhrung, 169 l’Hospital Regeln von, 340 I

Implikation, 9 Index, 27 Indexmenge, 27 Indexverschiebung, 118, 133, 325 Indikatorfunktion, 162 Injektivität, 174 Inneres eines Intervalls, 59 Integral bestimmtes, 369 unbestimmtes, 369 uneigentliches, 371 Integrand, 366 Integrationsgrenze, 366 integrierbar, 367 Intervalle, 59 inverses Element, 13 K

kartesisches Koordinatensystem, 62 kartesisches Produkt, 61 Kehrwert, 83 Kettenregel, 354 kleinster Quadratschätzer, 396 kleinstes gemeinsames Vielfache, 82 Koeffizienten, 265 Kommutativgesetz Addition, 12

440

Index

f¨ ur Mengen, 56 Multiplikation, 12 Komplement, 48 Konjunktion, 9 Konkavit¨ at, 413 Konstante, 23 Kontingenztafel, 129 Konvergenz von Folgen, 317 von Funktionen, 335 Konvexit¨ at, 413 Koordinatensystem, 62 Kreiszahl, 23, 91, 166 k¨ urzen, 77 Kurven, 63 Kurvendiskussion, 414 Kurvenschar, 165 L

Laplace-Raum, 124 Laplace-Verteilung, 124 Laufindex, 112, 130 Leere Menge, 42 Leitkoeffizient, 161, 341 Likelihoodfunktion, 397 Limes, 317, 335 Linearfaktor, 207 L¨ osungsmenge einer Gleichung, 188 einer Ungleichung, 287 log-Normalverteilung, 381 Logarithmus, 92 dekadischer, 92 nat¨ urlicher, 92 Logarithmusgesetze, 94 M

M¨ achtigkeit einer Menge, 45 kartesisches Produkt, 62

Matrix, 27, 126 Maximum, 30 absolutes, 404 globales, 403 lokales, 404 relatives, 404 Maximum-Likelihood-Methode, 421 Maximum-Likelihood-Schätzer, 397 Mehrfachindizierungen, 28 Menge, 4 Assoziativgesetz, 57 Differenz, 55 disjunkte, 51 Distributivgesetz, 57 Gleichheit, 41 Grund-, 43 kartesisches Produkt, 61 Kommutativgesetz, 56 Komplement, 48 leere, 42 Mächtigkeit, 45 Potenz-, 46 Regeln von De Morgan, 57 Schnitt-, 49 Teil-, 44 Vereinigungs-, 52 Mengeninklusion, 44 Mengenklammern, 5 Mengensystem, 46 Methode der kleinsten Quadrate, 396 Minimum, 30 absolutes, 404 globales, 403 lokales, 404 relatives, 404 Moment, 378 momenterzeugende Funktion, 385 Monom, 160 Monotonie einer Folge, 315

Index

einer Funktion, 170 Monotoniekriterium, 406 Monotonieverhalten, 398 M¨ unzwurf, 46, 124 Multiplikation, 12 Kommutativ- und Assoziativgesetz, 12 von Br¨ uchen, 83 N

Nachfolger, 313 Nachkommastellen, 20 Negation, 9 Nenner, 20 Normalform einer quadratischen Gleichung, 195 Normalverteilung, 380 zweiparametrige, 166 Nullfolge, 317 Nullstellen, 158 O

Obersumme, 367 Ordinate, 62 Ordnungsrelation Rechenregeln, 24 Ordnungszeichen, 11 P

paarweise disjunkt, 52 Parabel, 203 Parameter, 165, 231, 355 Pareto-Verteilung, 384 Partialsumme, 322 Partielle Integration, 373 Pascalsches Dreieck, 137 Poisson-Verteilung, 314 Polynom, 161, 265 Polynomdivision, 273

441

Polynomgleichung, 266 Potenz, 85 Potenzgesetze, 91 Potenzgleichungen, 266 Potenzmenge, 46 pq-Formel, 202 Pr¨ ufstelle, 228, 292 Primfaktor, 79 Primfaktorzerlegung, 79 Primzahl, 79 Probe, 191 Produkt, 12 Produktregel, 353 Produktzeichen, 130 Pr¨ ufstelle, 292 Q

Quadranten, 62 quadratische Ergänzung, 198, 201 Quadratwurzel, 88 Quantilfunktion, 179 Quersumme, 80 Quotient, 19 Quotientenkriterium, 322 Quotientenregel, 353 R

Radikand, 88 Rand, 59 Randhäufigkeit, 129 Randwert, 59 Rechteckverteilung, 378 Regel von Pascal, 137 Regression durch den Ursprung, 417 durch einen gegebenen Punkt, 417 lineare, 395, 416 Reihe, 322 Exponential-, 326

442

Index

geometrische, 323 Relation, 153 Relationszeichen, 11 Rundung, 25 Rundungsfehler, 25 S

Satz von Vieta, 205 Scheitelpunkt, 204 Scheitelpunktform, 203 Schnittmenge, 49 Schnittpunkt von Geraden, 236 Spaltensumme, 127 Spannweite, 30 Stammfunktion, 368 Standardabweichung diskrete, 125 empirische, 112 Standardnormalverteilung, 380 Steigungsdreieck, 348 stetig differenzierbar, 352 Stetigkeit, 343 einseitige, 344 Streudiagramm, 64, 418 Substitutionsmethode, 234, 269 Substitutionsregel, 373 Subtraktion, 14 Summanden, 11 Summationsgrenze, 112 Summationsindex, 112 Summe, 11 arithmetische, 120 Doppel-, 126 geometische, 120 Summenregel, 353, 371 Summenzeichen, 111 Surjektivit¨ at, 174 T

Tangente, 349

Tangentengleichung, 351 Teilbarkeit, 80 Teilmenge, 44 echte, 44 Teleskopprodukt, 133 Teleskopsumme, 119 Term, 15 Treppenfunktion, 164 n-Tupel, 62 U

u ¨ berabzählbar unendlich, 45 Umkehrfunktion, 176 unbeschränkte Funktion, 173 unbestimmtes Integral, 369 uneigentliches Integral, 371 unendlich, 45 Ungleichungen, 287 äquivalente, 287 Betrags-, 302 Bruch-, 297 lineare, 289 quadratische, 291 Unstetigkeitsstelle, 343 Untersumme, 367 V

Variable, 4 Varianz, 125, 382 empirische, 117 Vektor, 63 Venndiagramm, 41 Vereinigungsmenge, 52 Verkettung von Funktionen, 169 Verteilung Beta-, 384 Binomial-, 139, 421 diskrete, 123, 323 Erlang-, 384 Exponential-, 378

Index

geometrische, 314 Gleich-, 124 Laplace-, 124 log-Normal-, 381 Normal-, 380 Pareto-, 384 Poisson-, 314 Rechteck-, 378 Verteilungsdichte, 377 Verteilungsfunktion, 163, 377 Vieta Satz von, 205 Vorzeichen, 13 Vorzeichenregeln, 14, 15 Br¨ uche, 20 W

Wachstumsrate, 135 Wahrheitstafel, 9 Wahrheitswert, 8, 9 Wahrscheinlichkeit, 123 Wendestelle, 414 Wertebereich, 154 Wertetabelle, 155, 163 W¨ urfelwurf einfacher, 61, 124 zweifacher, 47, 61 Wurzel, 88 Wurzel ziehen, 87 Wurzelexponent, 88 Wurzelgesetze, 88 Z

Zähldichte, 163 Zähler, 20 Zahlen ganze, 13 irrationale, 22 nat¨ urliche, 10 negative, 13

443

rationale, 20 reelle, 22 Zahlenstrahl, 11 Zeilensumme, 127 Zerlegung, 54 Ziffer arabische, 10 r¨ omische, 10 Zufallsexperiment, 43 Zufallsvariable, 159 Zuordnung, 153 Zwischenwertsatz, 346

Vorkurs Mathematik

Vorkurs Mathematik, 5. Auflage

Vorkurs Mathematik Arbeitsbuch zum Studienbeginn in Bachelor