Vorkurs Mathematik: Arbeitsbuch zum Studienbeginn in den Wirtschafts- und Sozialwissenschaften

E. Cramer • J. Nešlehová Vorkurs Mathematik Arbeitsbuch zum Studienbeginn in den Wirtschafts- und Sozialwissenschaften...

Author: Erhard Cramer | Johana Neslehova

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E. Cramer • J. Nešlehová

Vorkurs Mathematik Arbeitsbuch zum Studienbeginn in den Wirtschafts- und Sozialwissenschaften

123

Prof. Dr. Erhard Cramer Fachbereich Mathematik Technische Universität Darmstadt Schloßgartenstraße 7 64289 Darmstadt, Deutschland e-mail: [email protected]

Dr. Johana Nešlehová Institut für Mathematik Carl von Ossietzky Universität Oldenburg 26111 Oldenburg, Deutschland e-mail: [email protected]

Bibliografische Information Der Deutschen Bibliothek Die Deutsche Bibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über abrufbar.

Mathematics Subject Classification (2000): 62-01

ISBN 3-540-21920-X Springer Berlin Heidelberg New York

Dieses Werk ist urheberrechtlich geschützt. Die dadurch begründeten Rechte, insbesondere die der Übersetzung, des Nachdrucks, des Vortrags, der Entnahme von Abbildungen und Tabellen, der Funksendung, der Mikroverfilmung oder der Vervielfältigung auf anderen Wegen und der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen, bleiben, auch bei nur auszugsweiser Verwertung, vorbehalten. Eine Vervielfältigung dieses Werkes oder von Teilen dieses Werkes ist auch im Einzelfall nur in den Grenzen der gesetzlichen Bestimmungen des Urheberrechtsgesetzes der Bundesrepublik Deutschland vom 9. September 1965 in der jeweils geltenden Fassung zulässig. Sie ist grundsätzlich vergütungspflichtig. Zuwiderhandlungen unterliegen den Strafbestimmungen des Urheberrechtsgesetzes. Springer ist ein Unternehmen von Springer Science+Business Media springer.de

© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2005 Printed in Germany Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, daß solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Innentypografie: deblik, Berlin Einbandgestaltung: design & production, Heidelberg Datenerstellung durch den Autor unter Verwendung eines Springer LaTEX-Makropakets Gedruckt auf säurefreiem Papier 40/3142YL - 5 4 3 2 1 0

Vorwort

v

Vorwort Mathematisches Schulwissen wird in Vorlesungen vieler Studiengänge als bekannt und vollständig verstanden vorausgesetzt. In der Realität zeigt sich jedoch, dass dieser Anspruch zunehmend nicht erf¨ ullt ist und Studierende oft Schwierigkeiten haben, dem Inhalt einer einf¨ uhrenden Veranstaltung zur Mathematik oder Statistik zu folgen. Zur Schließung vorhandener L¨ ucken werden daher oft Vorkurse oder so genannte Br¨ uckenkurse“ angeboten, die ” das Schulwissen beginnend bei Mengenlehre und Bruchrechnung aufbereiten. Aus einem derartigen Kurs, der von den Autoren an der Universität Oldenburg mehrfach durchgef¨ uhrt wurde, ist auch die Idee zu diesem Buch entstanden. Der Vorkurs Mathematik pr¨ asentiert die bis zur Oberstufe des Gymnasiums vermittelte Mathematik in einer Form, die einerseits das Selbststudium ohne weitere Betreuung erlaubt und andererseits den Einsatz des Buchs als Begleittext zu einem Vorkurs unterst¨ utzt. Dazu enthält er neben einer ausf¨ uhrlichen Darstellung der Inhalte und einer großen Anzahl von Beispielen eine Vielzahl von Aufgaben mit ausf¨ uhrlichen Lösungen, die Lernende bei der (selbstständigen) Ein¨ ubung des Stoffs sowie der Analyse der eigenen Bearbeitung unterst¨ utzen. Als ein weiterer zentraler Aspekt enth¨ alt dieses Buch viele Beispiele aus der angewandten Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung. Diese Bereiche stellen ein wichtiges Anwendungsfeld der Mathematik in den Wirtschafts- und Sozialwissenschaften dar und liefern somit die Motivation f¨ ur die benötigte Mathematik. Die Darstellung in diesem Buch tr¨ agt diesem Ziel auch dadurch Rechnung, dass sie Themen wie z.B. Funktionen, Mengen, Folgen etc. und Problemstellungen aufgreift, die in der Statistik von Bedeutung sind. Dabei werden zwangsläufig Begriffe eingef¨ uhrt, deren inhaltliche Relevanz sich erst im Rahmen einer Veranstaltung zur Statistik erschließt. Eine vertiefende Diskussion sowie der Aufbau eines Verst¨ andnisses f¨ ur diese Begriffe kann und soll hier nicht geleistet werden. Ein Vorteil dieses Ansatzes besteht darin, dass Lernende den Umgang mit Begriffen ein¨ uben und den mathematischen Gehalt des Begriffs realisieren. Insofern er¨ offnet dieser Zugang einen wichtigen Beitrag zum abstrakten Denken und bietet zudem Wiedererkennungseffekte in den Veranstaltungen zur Statistik. Zudem kann der Vorkurs begleitend zu einer Statistikveranstaltung genutzt werden, um mathematische Zusammenhänge aufzuarbeiten.

vi

Vorwort

Das vorliegende Buch erscheint in der Reihe EMILeA-stat: Medienreihe zur angewandten Statistik, die projektbegleitend zum Multimediaprojekt EMILeA-stat∗ herausgegeben wird. Teile dieses Manuskripts werden demnächst auch in der im Rahmen dieses Projekts entwickelten Lehr- und Lernumgebung zur Verf¨ ugung stehen. Zudem können statistische Fachbegriffe dort oder in einf¨ uhrenden B¨ uchern wie z.B. Burkschat et al. (2004) und Becker und Genschel (2004) nachgelesen werden. Der Vorkurs umfasst in zw¨ olf Kapiteln das in einem Studium der Wirtschaftsund Sozialwissenschaften ben¨ otigte mathematische Schulwissen, wobei ein großer Teil der in den Vorlesungen zur Statistik vorausgesetzten Mathematikkenntnisse abgedeckt wird. Ausf¨ uhrlicher als in der Schule werden f¨ ur die Statistik bedeutsame Themen wie Summen- und Produktzeichen oder Folgen und Reihen behandelt. Einige weiterf¨ uhrende Konzepte wie Funktionen mehrerer Veränderlicher sind nicht enthalten und m¨ ussen an anderer Stelle nachgelesen werden (s. z.B. Kamps et al., 2003). Der Vorkurs Mathematik unterscheidet sich von anderen Lehrb¨ uchern durch die inhaltliche Konzeption, die Art der Darstellung und die problem- und zielorientierte Aufbereitung. Insbesondere werden folgende Aspekte ber¨ ucksichtigt: Alle vorgestellten Begriffe werden ausf¨ uhrlich erläutert und – sofern sinnvoll – grafisch veranschaulicht. Dabei ist die Wiederholung von bereits vorgestellten Inhalten beabsichtigt, um den Lernenden die Möglichkeit zu geben, die Themen selbstst¨ andig zu erarbeiten und einzu¨ uben. Die Methoden und Verfahren werden durch viele Beispiele aus der angewandten Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung illustriert. Ergänzend zur formalen Darstellung werden Begriffe und Eigenschaften durchgehend auch verbal eingef¨ uhrt bzw. erläutert. Die große Auswahl an Aufgaben und deren ausf¨ uhrliche Lösungen unterst¨ utzen das selbstst¨ andige Lernen und ermöglichen eine effiziente Selbstkontrolle. Das Nachschlagen einer L¨ osung zu einer Aufgabe (und umgekehrt) wird durch ein einfaches Verweissystem erleichtert: Am Rand einer Aufgabe (Lösung) befindet sich jeweils ein Verweis auf die Seite, auf der die zugehörige L¨ osung (Aufgabe) abgedruckt ist. Die Gestaltung dieses Buchs ist an die modulare Online-Präsentation der Inhalte in der Lehr- und Lernumgebung EMILeA-stat angelehnt. Bezeichnungen und Definitionen, Beispiele und Regeln sind im Buch grafisch hervorgehoben. Wichtige Stellen im Text, die einer besonderen Aufmerksamkeit bed¨ urfen, werden auf dem Rand zus¨ atzlich mit dem Symbol markiert. ∗ Zu

weiteren Informationen s. http:\\www.emilea.de

Vorwort

vii

Viele Grafiken illustrieren Vorgehensweisen und Verfahren. Sie dienen u.a. der Vertiefung und dem besseren Verst¨ andnis des Stoffs. Einige Grafiken wurden mit dem EMILeA-stat Grafikpaket erzeugt (s. Cramer et al., 2004). Verweise auf Beispiele, Begriffe und Eigenschaften innerhalb des Lehrtexts sind einer Online-Umgebung nachempfunden. Jedem 123Verweis ist zur schnellen Orientierung die zugeh¨ orige Seitenzahl zugeordnet, so dass ein Umweg u ¨ber den Index entfallen kann. Weitere Elemente zur besseren Orientierung sind ein ausf¨ uhrlicher Index und ein strukturiertes Abk¨ urzungs- und Symbolverzeichnis, das neben einer kurzen Erl¨ auterung auch den Verweis auf eine Textstelle enthält. Die zweifarbige Umsetzung erm¨ oglicht die Hervorhebung wesentlicher Aspekte und die optische Strukturierung der Inhalte. Zudem werden Rechen¨ schritte und Argumentationen durch die Kennzeichnung von Anderungen deutlicher gemacht. Bei der Entstehung dieses Buchs wurden wir von Freunden und Kollegen in vielerlei Hinsicht unterst¨ utzt. Herr Prof. Dr. Udo Kamps hat uns als Herausgeber der EMILeA-stat-Medienreihe zu diesem Projekt eingeladen und es in seiner Entstehung begleitet. Wir danken ihm weiterhin f¨ ur einige wertvolle Anregungen, die zum Gelingen des Buchs beigetragen haben. Herrn Clemens Heine gilt unser Dank f¨ ur die ausgezeichnete Zusammenarbeit mit dem Springer-Verlag. Einige Aufgaben und L¨ osungen wurden von Frau Corinna Krautz und Herrn Christian Mohn erstellt, der auch die Durchsicht einiger Kapitel u uhrt unser besonderer Dank Frau ¨bernommen hat. Schließlich geb¨ Dr. Katharina Cramer und Frau Doreen Scholze, die durch sorgfältiges Lesen des gesamten Manuskripts einige Unstimmigkeiten ausgemerzt und durch ihre Hinweise zur Verbesserung der Darstellung beigetragen haben.

Darmstadt, Oldenburg Juni 2004

Erhard Cramer, Johana Neˇslehov´ a

Inhaltsverzeichnis

ix

Inhaltsverzeichnis Vorwort ...........................................................

v

1

Grundlagen

3

1.1

Grundbegriffe .....................................................

4

1.2

Zahlbereiche und elementare Verkn¨ upfungen...............

9

1.3

Runden von Zahlen ..............................................

24

1.4

Indizierung von Variablen ......................................

27

1.5

Aufgaben ..........................................................

30

1.6

Lösungen ..........................................................

34

2

Mengen

41

2.1

Spezielle Mengen ................................................

41

2.2

Mengenoperationen..............................................

47

2.3

Rechenregeln f¨ ur Mengenoperationen........................

56

2.4

Intervalle...........................................................

62

2.5

Aufgaben ..........................................................

63

2.6

Lösungen ..........................................................

67

3

Elementare Rechenoperationen

75

3.1

Bruchrechnung ...................................................

75

3.2

Potenzen...........................................................

82

3.3

Wurzeln ............................................................

85

3.4

Logarithmen ......................................................

89

3.5

Aufgaben ..........................................................

93

3.6

Lösungen ..........................................................

98

4

Summen- und Produktzeichen

4.1

Summenzeichen .................................................. 109

4.2

Produktzeichen ................................................... 127

4.3

Fakultäten und Binomialkoeffizienten........................ 133

109

x

Inhaltsverzeichnis

4.4

Aufgaben .......................................................... 137

4.5

Lösungen .......................................................... 140

5

Funktionen

5.1

Relationen und Funktionen .................................... 149

5.2

Grundlegende Funktionen ...................................... 154

5.3

Funktionen mit Parametern.................................... 159

5.4

Eigenschaften von Funktionen................................. 161

5.5

Aufgaben .......................................................... 167

5.6

Lösungen .......................................................... 169

6

Gleichungen

6.1

Lineare Gleichungen ............................................. 181

6.2

Quadratische Gleichungen...................................... 183

6.3

Bruchgleichungen ................................................ 195

6.4

Wurzelgleichungen ............................................... 197

6.5

Logarithmische Gleichungen ................................... 204

6.6

Exponentialgleichungen ......................................... 208

6.7

Betragsgleichungen .............................................. 211

6.8

Gleichungen mit Parametern .................................. 219

6.9

Substitutionsmethode ........................................... 221

6.10

Lineare Gleichungssysteme mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten...................................................... 223

6.11

Aufgaben .......................................................... 232

6.12

Lösungen .......................................................... 236

7

Polynome und Polynomgleichungen

7.1

Faktorisierung .................................................... 254

7.2

Substitutionsmethode ........................................... 255

7.3

Polynomdivision .................................................. 258

7.4

Aufgaben .......................................................... 264

149

175

251

Inhaltsverzeichnis

xi

7.5

Lösungen .......................................................... 265

8

Ungleichungen

8.1

Lineare Ungleichungen .......................................... 274

8.2

Quadratische Ungleichungen................................... 277

8.3

Bruchungleichungen ............................................. 283

8.4

Betragsungleichungen ........................................... 287

8.5

Aufgaben .......................................................... 291

8.6

Lösungen .......................................................... 292

9

Folgen und Reihen

9.1

Folgen .............................................................. 299

9.2

Reihen.............................................................. 307

9.3

Spezielle Reihen .................................................. 309

9.4

Aufgaben .......................................................... 312

9.5

Lösungen .......................................................... 314

10

Grenzwerte, Stetigkeit, Differentiation

10.1

Grenzwerte von Funktionen .................................... 321

10.2

Stetige Funktionen .............................................. 329

10.3

Differentiation .................................................... 333

10.4

Differentiation parameterabhängiger Funktionen .......... 341

10.5

Aufgaben .......................................................... 342

10.6

Lösungen .......................................................... 343

11

Integration

11.1

Integration und Stammfunktionen ............................ 351

11.2

Integrationsregeln ................................................ 356

11.3

Integration von st¨ uckweise definierten Funktionen ........ 360

11.4

Anwendungen in der Statistik ................................. 362

11.5

Aufgaben .......................................................... 368

273

299

321

351

xii

Inhaltsverzeichnis

11.6

Lösungen .......................................................... 370

12

Optimierung

12.1

Monotonieverhalten ............................................. 383

12.2

Extrema............................................................ 387

12.3

Konkavität und Konvexität .................................... 397

12.4

Optimierung bei st¨ uckweise definierten Funktionen ....... 398

12.5


12.6

Aufgaben .......................................................... 407

12.7

Lösungen .......................................................... 408

381

Literaturverzeichnis ........................................... 413 Symbol- und Abk¨ urzungverzeichnis ...................... 415 Index............................................................... 418

Kapitel 1 Grundlagen

1

1

1

Grundlagen

3

1.1

Grundbegriffe .....................................................

4

1.2

Zahlbereiche und elementare Verknüpfungen...............

9

1.3

Runden von Zahlen ..............................................

24

1.4

Indizierung von Variablen ......................................

27

1.5

Aufgaben ..........................................................

30

1.6

Lösungen ..........................................................

34

1. Grundlagen

3

1 Grundlagen Die Mathematik und damit auch die Statistik beruhen – wie eine Fremdsprache – auf einem Vokabular, ohne das mathematische Ausdr¨ ucke, Aussagen und Resultate nicht verstanden werden k¨ onnen. Bestandteile dieser Fachsprache sind neben mathematischen Symbolen zentrale Begriffe wie Variablen und Funktionen sowie logische Verkn¨ upfungen von Aussagen. Diese Formalismen dienen sowohl der einfachen, exakten und prägnanten Beschreibung von Sachverhalten als auch einer m¨ oglichst allgemeinen Modellierung realer Situationen. Die formale Sprache der Mathematik hat gegen¨ uber verbalen Formulierungen den Vorteil, dass der betrachtete Inhalt präzise dargestellt wird und Mehrdeutigkeiten vermieden werden. Zum Verständnis dieser Sprache ist es jedoch von entscheidender Bedeutung, ihre Notationen und Symbole zu kennen und zu verstehen. Die Menge aller reellen Zahlen, die kleiner oder gleich Eins sind, kann mit mathematischen Symbolen als Beispiel

{x ∈ R | x ≤ 1}

oder

(−∞, 1]

geschrieben werden. Um diese Ausdr¨ ucke u ¨bersetzen“ zu können, ist die ” Kenntnis der einzelnen Bestandteile erforderlich: { }: Mengenklammern (Was ist eine Menge?) x: Variable (Was ist eine Variable?) |, ∈, ≤, (, ], −∞: Was bedeuten diese Zeichen? R: Was sind reelle Zahlen?

B

Wie das vorstehende Beispiel zeigt, ist f¨ ur das Verständnis nicht nur die Notation selbst von entscheidender Bedeutung, sondern auch die Verkn¨ upfung und Reihenfolge dieser Symbole (z.B. beschreiben x ≤ 1 und 1 ≤ x unterschiedliche Sachverhalte). Im Folgenden werden die grundlegenden Begriffe und Notationen der Mathematik vorgestellt. Dazu werden alle Inhalte sowohl verbal als auch formal eingef¨ uhrt und – soweit möglich und sinnvoll – auch grafisch illustriert. Die Darstellung beginnt mit der Einf¨ uhrung grundlegender Begriffe und wird dann sukzessive bis zu Methoden der Differential- und Integralrechnung erweitert.

B

4

1.1

1. Grundlagen

1.1 Grundbegriffe Mengen

Ausgangspunkt der Betrachtungen ist der zentrale Begriff einer Menge von Objekten. B

Beispiel Folgende Beschreibungen definieren Mengen von Objekten:

Studierende aller Hochschulen in Deutschland, Fischarten, die an einem Korallenriff in Polynesien beobachtet wurden, gemeldete Versicherungssch¨ aden, die in einem bestimmten Zeitraum durch St¨ urme in Deutschland verursacht wurden, monatliche Gespr¨ achskosten f¨ ur mobiles Telefonieren in den Haushalten Niedersachsens. B Abstraktere Beispiele von Mengen sind die u ¨blichen 9Zahlbereiche wie reelle oder nat¨ urliche Zahlen bzw. Mengen, die sich aus einer mathematischen Fragestellung ergeben (z.B. 149Definitionsbereich einer Funktion, 176Lösungsmenge einer Gleichung). Im Folgenden werden zunächst der bisher vage Begriff einer Menge pr¨ azisiert und M¨ oglichkeiten zur Darstellung von Mengen vorgestellt.

Definition Menge, Element Eine Menge ist eine Zusammenfassung unterscheidbarer Objekte. F¨ ur jedes Objekt muss eindeutig feststellbar sein, ob es zu der Menge gehört oder nicht. Die zu einer Menge gehörenden Objekte heißen Elemente der Menge.

B

Beispiel Autos mit einem deutschen Kennzeichen, Augensummen beim W¨ urfeln mit zwei W¨ urfeln, die geraden Zahlen oder die kleinen Buchstaben des deutschen Alphabets sind wohl bestimmte Mengen. Die Menge aller guten Filme ist wegen ihrer subjektiven und unklaren Beschreibung eine nicht zulässige Festlegung, während die Menge aller amerikanischen Filme zulässig ist. B

Variable

Ein weiterer zentraler Begriff der Mathematik ist der einer Variablen.

Bezeichnung Variable Eine Variable ist eine Bezeichnung (Platzhalter) f¨ ur ein Objekt, das verschiedene Werte aus einer Menge von Elementen annehmen kann.

1.1

Grundbegriffe

5

Eine Variable repr¨ asentiert somit ein Objekt aus einer Menge (von Objekten), ohne dieses genau zu spezifizieren. Beispiel Ein herk¨ ommlicher W¨ urfel tr¨ agt auf seinen Seiten die Ziffern 1, 2, 3, 4, 5, 6. Die Variable x bezeichnet etwa das Ergebnis eines W¨ urfelwurfs und repräsentiert damit eine dieser Ziffern. Im Zusammenhang mit diesem Experiment ist x Stellvertreter f¨ ur die Zahlen 1, 2, 3, 4, 5, 6.

B

Eine Bank bietet ihren Kunden an, das Guthaben eines Sparbuchs am Beginn eines Jahres zu einem Zinssatz von 3% anzulegen. Die Variable G repräsentiert den Wert eines Guthabens, dass ein potenzieller Kunde einzahlt. Die Verwendung der Formel 1,03 · G erm¨ oglicht dann durch Einsetzen eines speziellen Guthabens die einfache Berechnung des am Ende des Jahres erzielten Kapitals. B Je nach Objekt haben sich verschiedene Bezeichnungen f¨ ur Variablen durchgesetzt. Beispiel Variablen, die

B

Zahlen repräsentieren, werden u ¨blicherweise mit kleinen lateinischen Buchstaben a, b, c, . . . , x, y, z bezeichnet, Mengen repräsentieren, werden meist mit großen lateinischen Buchstaben A, B, C, . . . bezeichnet, Parameter (also Werte, die situationsabh¨ angig sind) repräsentieren, werden oft mit kleinen 415griechischen Buchstaben α, β, γ, . . . bezeichnet, Funktionen repr¨ asentieren, werden oft mit kleinen lateinischen oder griechischen Buchstaben f, g, h oder φ, ψ bezeichnet. Je nach Situation werden f¨ ur spezielle Funktionen auch Großbuchstaben wie F , G oder Φ, Ψ verwendet. B Darstellung von Mengen

Um eine Menge beschreiben zu k¨ onnen, wird eine Vorschrift benötigt, die ihre Elemente eindeutig festlegt. Hierzu bieten sich die aufzählende und die beschreibende Darstellung an: Eine aufzählende Darstellung ist eine Auflistung der einzelnen Elemente der Menge in geschweiften Klammern {. . .}, den so genannten Mengenklammern. Jedes Element wird genau einmal aufgef¨ uhrt.

6

1. Grundlagen

Bei einer beschreibenden Darstellung werden Mengen durch eine eindeutige Charakterisierung ihrer Elemente festgelegt (etwa mit Worten oder mit mathematischen Symbolen). B

Beispiel In den folgenden Beispielen werden Mengen zun¨ achst verbal und anschließend aufz¨ ahlend dargestellt:

Menge der Buchstaben des Namens Gunnar“: {G, u, n, a, r}. Die Aufli” stung {G, u, n, n, a, r} ist nicht zul¨ assig, da der Buchstabe n“ doppelt ” vorkommt. Menge der Ziffern kleiner 6: {1, 2, 3, 4, 5} = {1, . . . , 5}. Menge der Notensymbole von der achtel bis zur ganzen Note: {, ♩, , }. Menge der Seiten eines W¨ urfels: { , , , , , }. B Die aufzählende Festlegung einer Menge ist i.Allg. nur geeignet, wenn die Menge wenige Elemente besitzt. Die Menge aller in Deutschland zugelassenen PKWs kann zwar prinzipiell auch aufz¨ ahlend notiert werden, jedoch ist diese Vorgehensweise nicht angebracht, da die Auflistung wegen der großen Anzahl von Elementen un¨ uberschaubar ist. Weitere derartige Beispiele sind die Menge aller Sterne im Weltall oder die Menge aller Zellen eines Menschen. Weiterhin gibt es Situationen, in denen eine aufz¨ ahlende Darstellung u ¨berhaupt nicht möglich ist, da die Menge unendlich viele Elemente enthält (z.B. nat¨ urliche oder reelle Zahlen). In diesen F¨ allen wird meist die beschreibende Darstellung verwendet: {x | x ist ein in Deutschland zugelassener PKW}, wobei die Variable x ein Repr¨ asentant (Platzhalter) f¨ ur ein Fahrzeug ist. Der senkrechte Strich | wird gelesen als mit der Eigenschaft“ oder als mit“. Die ” ” obige Menge wird daher verbalisiert als Menge aller x mit der Eigenschaft, dass x ein in Deutschland zugelassener PKW ist. Allgemein wird die beschreibende Darstellung einer Menge folgendermaßen formuliert: Bezeichnet E eine bestimmte Eigenschaft von Objekten, so wird durch {x | x hat die Eigenschaft E} die Menge der Objekte definiert, die diese Eigenschaft besitzen. Der senkrechte Strich | wird manchmal durch ein Semikolon oder einen Doppelpunkt ersetzt: {x; x hat die Eigenschaft E}, {x : x hat die Eigenschaft E}.

1.1

Grundbegriffe

7

Beispiel

B

Menge aller chinesischen Schriftzeichen: {x | x ist ein chinesisches Schriftzeichen} Menge aller ungeraden Zahlen: {x | x ist eine ungerade Zahl} Menge aller nat¨ urlichen Zahlen, die kleiner als Sechs sind: {z | z ist eine nat¨ urliche Zahl kleiner 6} Menge aller F¨ ullmengen einer 1-Konserve: {v | v ist gr¨ oßer oder gleich Null und kleiner oder gleich 1}. Mit mathematischen Symbolen l¨ asst sich diese Menge sehr einfach schreiben als {v | 0 ≤ v ≤ 1}. Die bei der Definition einer Menge f¨ ur den Platzhalter gewählte Bezeichnung ist bedeutungslos. Die Mengen {v | 0 ≤ v ≤ 1} und {x | 0 ≤ x ≤ 1} stimmen u B ¨ berein. Wie bereits an den obigen Beispielen deutlich wurde, kann eine Menge mehrere Darstellungsformen haben. Jede muss die Menge jedoch eindeutig beschreiben. Da die explizite Angabe der Menge mittels aufzählender oder beschreibender Darstellung i.Allg. sehr aufw¨ andig ist, werden zur Abk¨ urzung der Notation Bezeichnungen in Form von Buchstaben eingef¨ uhrt. Mengen werden meist mit lateinischen Großbuchstaben A, B, C, . . . bezeichnet, die zur Unterscheidung ggf. mit 27Indizes versehen werden, wie etwa A1 , A2 , A3 . Dar¨ uber hinaus sind f¨ ur spezielle Mengen besondere Symbole gebräuchlich, wie z.B. N, Q, R f¨ ur die nat¨ urlichen, rationalen und reellen Zahlen oder Ω f¨ ur die in der Wahrscheinlichkeitsrechnung vorkommende Grundmenge aller möglichen Ergebnisse eines Zufallsexperiments. Zur Bezeichnung der Elemente einer Menge werden meist kleine lateinische Buchstaben a, b, c, . . . , x, y, z verwendet. Ob ein Objekt x zu einer Menge A gehört oder nicht, wird wie folgt notiert: mathematische Darstellung x∈A x ∈ A

Bedeutung x ist ein Element von A x ist kein Element von A

8

1. Grundlagen

Aussagen und deren logische Verkn¨ upfung

Aussagen sind im mathematischen Verst¨ andnis Feststellungen, deren Wahrheitsgehalt (Wahrheitswert) stets mit wahr oder falsch angegeben werden kann. B

Beispiel Wahre Aussagen sind etwa:

Dienstag ist ein Wochentag.“ ” C ist eine römische Ziffer.“ ” Jede positive gerade Zahl ist eine nat¨ urliche Zahl.“ ” Aussagen mit Wahrheitswert falsch sind z.B. Dienstag ist ein Monat.“ ” C ist eine arabische Ziffer.“ ” Jede nat¨ urliche Zahl ist eine gerade Zahl.“ ” Im mathematischen Sinne nicht zul¨ assige Aussagen sind z.B. Morgen wird es regnen.“ ” Statistik ist spannend.“ ” Mit römischen Ziffern sind Rechnungen sehr umständlich.“, ” da keine eindeutige Bewertung dieser Feststellungen möglich ist (etwa wegen subjektiver oder zuk¨ unftiger Aspekte). B Aussagen werden im Folgenden mit kalligrafischen Buchstaben A, B, C etc. bezeichnet, z.B. A = Dienstag ist ein Wochentag.“ ” Aussagen können logisch miteinander verkn¨ upft werden, d.h. aus mehreren Aussagen wird eine neue Aussage erzeugt. B

Beispiel Die Aussagen Das Buch hat 200 Seiten und Das Buch ist ein Roman können in verschiedener Weise verkn¨ upft werden.

Die Aussage Der Roman hat 200 Seiten ist eine und“-Verkn¨ upfung der ” obigen Aussagen, da beide gleichermaßen zutreffen m¨ ussen, um eine wahre Aussage zu erzeugen. Die Aussage ist gleichbedeutend mit Das Buch hat 200 Seiten und ist ein Roman.

1.2

Zahlbereiche und elementare Verkn¨ upfungen

9

Die Aussage Das Buch hat 200 Seiten oder es ist ein Roman hingegen beschreibt die oder“-Verkn¨ upfung, da es gen¨ ugt, dass eine Aussage zutrifft, ” damit die Aussage den Wahrheitswert wahr hat. Die Aussage Das Buch hat nicht 200 Seiten stellt offenbar das Gegenteil (die Negation) der Aussage Das Buch hat 200 Seiten dar. B An dieser Stelle werden lediglich die wichtigsten, f¨ ur das Verständnis der mathematischen Grundlagen notwendigen, Verkn¨ upfungen vorgestellt. Ausf¨ uhrliche Darstellungen des Stoffs finden sich in einf¨ uhrenden Lehrb¨ uchern wie z.B. Kamps et al. (2003). Bezeichnung Logische Verkn¨ upfungen Für Aussagen A, B werden folgende logische Verkn¨ upfungen von Aussagen verwendet.

Bezeichnung

Symbol

Bedeutung der Verknüpfung

Negation Konjunktion (und) Disjunktion (oder) Implikation (Folgerung) ¨ Aquivalenz (genau dann)

A A∧B A∨B A =⇒ B A ⇐⇒ B

nicht A A und B A oder B aus A folgt B A und B sind äquivalent

Die Verkn¨ upfungen werden durch eine Wahrheitstafel definiert, die angibt, wie sich der Wahrheitswert der Verkn¨ upfung aus den Wahrheitswerten der Aussagen A und B ergibt. Mit w wird der Wahrheitswert wahr, mit f der Wahrheitswert falsch bezeichnet. A w w f f

B A w f f f w w f w

A∧B w f f f

A∨B w w w f

A =⇒ B w f w w

A ⇐⇒ B w f f w

Aus dieser Tafel kann z.B. abgelesen werden, dass die Aussagen A und B äquivalent (gleichbedeutend) sind, wenn A und B jeweils den selben Wahrheitswert haben. Das oder“ ist kein exklusives oder“, d.h. A ∨ B ist wahr, ” ” wenn nur A, nur B oder beide gleichermaßen wahr sind.

1.2 Zahlbereiche und elementare Verkn¨ upfungen In den bisherigen Ausf¨ uhrungen wurden Zahlbereiche, wie etwa die nat¨ urlichen oder die reellen Zahlen, bereits erw¨ ahnt. Unmittelbar mit den Zahlberei-

1.2

10

1. Grundlagen

chen verbunden sind die elementaren Verkn¨ upfungen (Operationen) von Zahlen + , − , · , : “, die Grundrechenarten. Sie werden mit ihren wichtigsten Ei” genschaften nachfolgend systematisch eingef¨ uhrt, wobei jeweils demonstriert wird, wie sie zur Erweiterung des betrachteten Zahlbereichs f¨ uhren. Nat¨ urliche Zahlen

Der grundlegende Zahlbereich ist die Menge der nat¨ urlichen Zahlen N = {1, 2, 3, . . . }. Ihre mittels arabischer Ziffern 1, . . . , 9 dargestellten Elemente sind u.a. Repräsentanten f¨ ur Anzahlen von Objekten. Alternativ kann eine Beschreibung mit anderen Zahlsymbolen wie z.B. r¨ omischen Ziffern I, V, X, L, C, M erfolgen. Aufgrund ihrer Eignung zum Abz¨ ahlen von Objekten werden nat¨ urliche Zahlen auch zur Nummerierung von Objekten eingesetzt (z.B. Hausnummern, Startnummern beim Rennen, Kugeln beim Zahlenlotto). In der Statistik treten sie u.a. als absolute H¨ aufigkeiten auf. B

Beispiel Blutgruppe Bei einer medizinischen Untersuchung wird in einer

Testgruppe von 20 Personen die Blutgruppe nach dem AB0-System bestimmt (ohne Rhesus Antigene): A 0 A AB B 0 0 B A 0 0 A A A 0 AB B A A 0 Aus dem Datensatz kann abgelesen werden, dass in der Gruppe sieben Personen Blutgruppe 0, acht Personen Blutgruppe A, drei Personen Blutgruppe B und zwei Personen Blutgruppe AB haben. Diese Anzahlen heißen absolute Häufigkeiten. Blutgruppe absolute H¨ aufigkeit

0 7

A 8

B 3

AB 2

B

Als geeignete grafische Repr¨ asentation bietet sich der Zahlenstrahl an, auf dem die nat¨ urlichen Zahlen in folgender Weise angeordnet werden: 1

2

3

4

5

6

Die Abstände zwischen den Zahlsymbolen m¨ ussen jeweils gleich gewählt werden. Aus der Darstellung tritt deutlich hervor, dass die Zahlen eine Ordnung wiedergeben. F¨ ur zwei nat¨ urliche Zahlen n, m kann daher jeweils entschieden

1.2


11

werden, ob sie gleich sind oder welche gr¨ oßer bzw. kleiner ist (d.h. weiter rechts bzw. links auf dem Zahlenstrahl liegt). F¨ ur den Größenvergleich werden die Symbole (Ordnungszeichen oder Relationszeichen) =“ gleich, ”

“ größer ”

verwendet. Ergänzungen sind z.B. = (ungleich), ≤ (kleiner oder gleich) und ≥ (größer oder gleich). Die Eigenschaft n = m ist gleichbedeutend mit m = n bzw. n ≤ m entspricht m ≥ n. Mit den Notationen der Aussagenlogik gilt etwa m = n ⇐⇒ (m ≤ n) ∧ (m ≥ n). In vielen Fällen ist es erforderlich, ein Symbol f¨ ur die Situation zur Verf¨ ugung zu haben, dass kein Objekt vorhanden ist. Dies wird durch das Symbol 0 beschrieben, das die Menge der nat¨ urlichen Zahlen erweitert zu N0 = {0, 1, 2, . . . }. Nat¨ urliche Zahlen werden im Sinne der Abz¨ ahlung addiert, d.h. zwei Mengen mit den Anzahlen n und m von Objekten werden zu einer Menge zusammengefasst, die n + m Objekte besitzt. Die Addition der Zahlen a und b kann auch als Aneinanderlegen zweier Pfeile∗ am Zahlenstrahl illustriert werden. Die Zahl a wird durch einen Pfeil repräsentiert, der bei 0 beginnt und bei a endet. Der die Zahl b repräsentierende Pfeil wird zur Spitze des zu a geh¨ orenden Pfeils verschoben und endet dann bei a + b. Der zusammengesetzte Pfeil repräsentiert die Summe a + b. -

...................................................................................................................... .... ... ....... ... ....... ... ....... .... ....... .... ... ....... ... ....... .. ....... .... ....... .... ... ....... ... ... ....... . ....... .... . .. ... ....... ... ... ....... ....... ....... ... ....... ... .. ............................................................................................................................................................................................................................................................................................................... .. .. .. .. .. .. .. .. ..

-

0

b

a

-

-

a+b

Bezeichnung Addition Die Addition zweier Zahlen a, b wird mit dem Verkn¨ upfungszeichen +“ dargestellt: a + b. Die Zahlen a und b werden als Summanden, die ” Zahl a + b als Summe bezeichnet.

Mehr als zwei Zahlen werden addiert, indem zunächst zwei Zahlen addiert werden, zu deren Summe dann die dritte Zahl addiert wird etc. Zur Festlegung ∗ Das

Pfeilmodell eignet sich ebenfalls zur Darstellung der Addition 22reeller Zahlen.

12

1. Grundlagen

der Additionsreihenfolge werden Klammern (· · · ) oder [· · · ] verwendet, z.B. [(a + b) + c] + d. In diesem Fall werden zun¨ achst a und b addiert, zu a + b die Zahl c und schließlich zu (a + b) + c noch d. Wie das Kommutativ- und Assoziativgesetz der Addition zeigen ist die Reihenfolge unerheblich. Kommutativ- und Assoziativgesetz der Addition F¨ ur Zahlen a, b, c gelten das Kommutativgesetz a + b = b + a. das Assoziativgesetz (a + b) + c = a + (b + c).

Da die Reihenfolge keinen Einfluss auf das Ergebnis hat, werden die Klammern i.Allg. weggelassen und a+b+c geschrieben. Bei anderen Verkn¨ upfungen ist dies jedoch i.Allg. nicht der Fall. Die mehrfache Addition der selben Zahl f¨ uhrt zur Multiplikation von Zahlen.

Definition Multiplikation Die Multiplikation zweier nat¨ urlicher Zahlen a, b wird definiert als

a · b = b + b + ... + b

bzw.

a · b = a + a + ... + a.

a−mal

b−mal

a und b heißen Faktoren des Produkts a · b. Sofern keine Missverst¨ andnisse entstehen, wird das Multiplikationszeichen ·“ ” weggelassen, d.h. statt a · b oder 2 · c wird ab oder 2c geschrieben. Addition und Multiplikation nat¨ urlicher Zahlen haben stets nat¨ urliche Zahlen als Ergebnis, d.h. die Menge der nat¨ urlichen Zahlen ist abgeschlossen gegen¨ uber Addition und Multiplikation ihrer Elemente.∗ F¨ ur die Multiplikation gelten ebenfalls ein Kommutativ- und Assoziativgesetz. Kommutativ- und Assoziativgesetz der Multiplikation F¨ ur Zahlen a, b, c gelten das Kommutativgesetz a · b = b · a. das Assoziativgesetz (a · b) · c = a · (b · c). Zum Ende dieses Abschnitts wird noch eine abk¨ urzende Schreibweise f¨ ur Produkte mit gleichen Faktoren eingef¨ uhrt. Wird eine Zahl a mehrfach mit ∗ Wegen a + 0 = a bzw. a · 0 = 0 f¨ ur jede beliebige Zahl a ∈ N0 gilt dies entsprechend f¨ ur die Menge N0 .

1.2


13

sich selbst multipliziert, wird die 82Potenzschreibweise verwendet: a . . · a = an .∗ · . n−mal

F¨ ur a · a wird daher alternativ die Schreibweise a2 benutzt.† Ganze Zahlen

Das Element 0 nimmt offenbar eine besondere Rolle in der Menge N0 ein, da es den Wert einer Zahl a ∈ N bei Addition nicht verändert. Eine Zahl b, die zu a ∈ N addiert, die Zahl 0 liefert, gibt es allerdings in N nicht. Daher werden die negativen Zahlen {· · · , −3, −2, −1} eingef¨ uhrt. Negative Zahlen können ebenfalls auf dem Zahlenstrahl repr¨ asentiert und mittels des Pfeilmodells dargestellt werden. Der Pfeil beginnt bei 0 und zeigt nach links. Jeder nat¨ urlichen Zahl a wird daher die entsprechende negative Zahl −a zugeordnet, die durch Spiegelung des a repr¨ asentierenden Pfeils an der Senkrechten durch den Ursprung 0 dargestellt wird.

a

..................................................................................................................................................................................

−a

0

Die Addition von a und −a wird durch Aneinanderlegen der Pfeile eingef¨ uhrt, d.h. der Beginn des −a repr¨ asentierenden Pfeils wird an das Ende des die Zahl a darstellenden Pfeils angelegt. Die Pfeilspitze des Ergebnispfeils zeigt dann auf die Null, d.h. a + (−a) = (−a) + a = 0. Daher heißt −a auch inversesElement zu a. Das Minuszeichen wird in dieser Situation Vorzeichen von a genannt. Den nat¨ urlichen Zahlen kann entsprechend das Vorzeichen + ‡ zugeordnet werden. Die Null nimmt eine Sonderrolle ein, da ihr sowohl + als auch − als Vorzeichen zugeordnet werden können. Die negativen Zahlen {· · · , −3, −2, −1} erweitern den Zahlbereich N0 zu den ganzen Zahlen Z = {. . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . . }. Die Ordnung der ganzen Zahlen erfolgt analog zu den nat¨ urlichen Zahlen gemäß ihrer Lage auf dem Zahlenstrahl (z.B. gilt a < b, wenn a auf dem Zahlenstrahl links von b liegt). ∗ lies:

a hoch n a Quadrat ‡ Das Vorzeichen + wird aber meist weggelassen, d.h. statt +a wird nur a geschrieben. † lies:

14

1. Grundlagen

Aus der Darstellung der ganzen Zahlen am Zahlenstrahl werden folgende allgemeine Vorzeichenregeln abgeleitet. Ein negatives Vorzeichen entspricht einer Spiegelung an der Senkrechten durch den Nullpunkt, ein positives Vorzeichen lässt den Wert der Zahl unver¨ andert. Vorzeichenregeln +(+a) = +a = a,

+(−a) = −a,

−(+a) = −a,

−(−a) = +a = a.

Der Betrag einer Zahl a wird gem¨ aß der Darstellung am Zahlenstrahl als Abstand zum Nullpunkt definiert.

Definition Betrag einer Zahl Der Betrag |a| einer Zahl a ist definiert als

|a| =

=|a|

−a

a, a ≥ 0

−a, a < 0 0

.

=|a|

a

Die Addition ganzer Zahlen wird in Analogie zur Addition nat¨ urlicher Zahlen als Aneinanderlegen der zugeh¨ origen Pfeile definiert. F¨ ur (−a) + b kann dies folgendermaßen dargestellt werden. -

... ................................................................................................................................. .. ....... .... ... .. .... ....... ....... .... .. ....... ... . . . ... ....... . . . . .. ....... ....... .... . . . . . . . . . . . . . . .. ....... ....... . . . . . . . . . . . . . . .. ....... ....... . . . . . . . . . . . . . . .. ... .... .................................................................................................................................................................................................................... .. . .. ......................................................................... .. ... ..

−a

(−a)+b

0

-

b

Entsprechend zur Addition nat¨ urlicher Zahlen gelten Kommutativ- und Assoziativgesetz f¨ ur die Addition ganzer Zahlen. Außerdem wird durch die Addition negativer Zahlen die Subtraktion definiert.

Bezeichnung Subtraktion Seien a, b Zahlen. Die Subtraktion von a und b ist definiert als Addition a + (−b). Sie wird durch das Rechenzeichen −“ dargestellt: ” a − b = a + (−b). Die Zahl a − b heißt Differenz von a und b.

Die Subtraktion ist die Umkehroperation zur Addition, denn f¨ ur die Summe c = a + b von a, b folgt c − a = c + (−a) = a + b + (−a) = b.

1.2


15

Durch Kombination mit den 14Vorzeichenregeln f¨ ur ganze Zahlen werden Addition, Subtraktion und Multiplikation ganzer Zahlen durch folgende Regeln erklärt. Vorzeichenregeln bei Addition und Multiplikation F¨ ur Zahlen a, b gilt −(a + b) = −a − b, a · (−b) = (−a) · b = −(a · b),

−(a − b) = −a + b, (−a) · (−b) = a · b.

Rechenregeln f¨ ur Addition und Multiplikation

Werden Addition und Multiplikation in einer Rechenoperation verwendet, so muss die Reihenfolge der einzelnen Operationen evtl. durch Klammern (. . .), [. . .] festgelegt werden. Ein derartiger Ausdruck wird Term genannt.∗

Bezeichnung Term Eine sinnvolle Abfolge mathematischer Verkn¨ upfungen von Zahlen und Variablen heißt Term.

Die folgenden Ausdr¨ ucke sind Terme, die nur die Verkn¨ upfungen Addition und Multiplikation verwenden: Beispiel

a + b,

(c + 3a) · (5 · [b + a]),

1 − (3x + y)z.

B

B

Grundlegend f¨ ur die Auswertung von Termen, die sowohl Additionen als auch Multiplikationen enthalten, ist das Distributivgesetz der Addition und Multiplikation. Es impliziert die Regel Punkt vor Strich, d.h. multiplikative Verkn¨ upfungen m¨ ussen – sofern nicht Klammern eine andere Reihenfolge vorgeben – stets vor additiven Verkn¨ upfungen ausgewertet werden. Distributivgesetz F¨ ur Zahlen a, b, c gilt: a · (b + c) = a · b + a · c und (a + b) · c = a · c + b · c. Die Anwendung des Distributivgesetzes in der Form a · (b + c) = a · b + a · c wird Ausmultiplizieren, die in der Form a · b + a · c = a · (b + c) Ausklammern genannt. ∗ Ein Term kann nat¨ urlich noch weitere mathematische Verkn¨ upfungen enthalten. Weitere Elemente eines Terms k¨ onnen z.B. 19Br¨ uche, 82Potenzen, 85Wurzeln, 89Logarithmen etc. sein.

16

B

1. Grundlagen

Beispiel

(i) 3(a + b) = 3a + 3b

(ii) a(1 + b) = a + ab

(iii) 2(x + 3) = 2x + 6

(iv) (2x + 4) · (4y + 1) = 2x(4y + 1) + 4(4y + 1) = 8xy + 2x + 16y + 4 (v) 2x + 4 = 2x + 2 · 2 = 2(x + 2) (vi) ab + 2a = a · b + a · 2 = a(b + 2) (vii) c2 + c · a = c(c + a) (viii) 4a + 16ab = 4a + 4a · 4b = 4a(1 + 4b)

B

¨ F¨ ur Ausdr¨ ucke der Form −(x + 1) ergibt sich aus den vorhergehenden Uberlegungen folgende Regel. Vorzeichen als Multiplikation mit −1 Ein Minuszeichen vor einem Term kann als Multiplikation mit der Zahl −1 ausgewertet werden. B

Beispiel

(i) −(x+1) = (−1)·(x+1) = −x−1

(ii) −(1 − 3x) = −1 + 3x = 3x − 1

(iii) −2x(a − 1) = −[2x(a − 1)] = −[2ax − 2x] = −2ax + 2x = 2x − 2ax

B

Eine wichtige Anwendung der bisher vorgestellten Regeln sind die Binomischen Formeln.

Binomische Formeln F¨ ur Zahlen a, b gilt (i) (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(iii) (a − b)(a + b) = a2 − b2

(ii) (a − b)2 = a2 − 2ab + b2

Nachweis. Diese Regeln werden durch Ausmultiplizieren der Quadrate und Anwendung des Kommutativgesetzes nachgewiesen: (i) (a+b)2 = (a+b)·(a+b) = (a+b)·a+(a+b)·b = a2 +b·a+a·b+b2 = a2 +2·a·b+b2 (ii) Die zweite binomische Formel kann wie die erste durch Ausmultiplizieren nachgerechnet werden. Alternativ ist folgender Zugang mit Anwendung der ersten Formel m¨ oglich:

1.2


17

(a − b)2 = (a + (−b))2 = a2 + 2a(−b) + (−b)2 = a2 − 2 · a · b + b2 (iii) (a − b)(a + b) = (a − b) · a + (a − b) · b = a2 − b · a + a · b − b2 = a2 − b2

Beispiel

B 2

2

(i) (x + 1) = x + 2x + 1 (ii) (4 + z)2 = 42 + 8z + z 2 = 16 + 8z + z 2 (iii) (u − 2)2 = u2 − 4u + 4 (iv) (3a − 4b)(3a + 4b) = (3a)2 − (4b)2 = 9a2 − 16b2 (v) (x − 1)2 − (x − 2)(x + 2) = x2 − 2x + 1 − (x2 − 4) = x2 − 2x + 1 − x2 + 4 = −2x + 5 (vi) (x + 2b)2 − (x − 2b)2 = [(x + 2b) − (x − 2b)][(x + 2b) + (x − 2b)] = [x + 2b − x + 2b] · [x + 2b + x − 2b] = [4b] · [2x] = 8bx Alternativ können die Quadrate gem¨ aß der ersten und zweiten binomischen Formeln ausmultipliziert werden. Dies ergibt: (x + 2b)2 − (x − 2b)2 = x2 + 4bx + 4b2 − (x2 − 4bx + 4b2 ) = 8bx. (vii) (2x − y)(2x + y) + (2x + y)2 = (2x + y)(2x − y + 2x + y) = 4x(2x + y) = 8x2 + 4xy B Beispiel

B

(i) 4a2 − 4ab + b2 = (2a)2 − 2 · (2a)b + b2 = (2a − b)2 (ii) x2 − 25 + 2x2 − 10x = (x − 5)(x + 5) + 2x(x − 5) = (x − 5)(3x + 5) (iii) 5a2 +8ab+3b2 = (4a2 +8ab+4b2 )+(a2 −b2 ) = (2a+2b)2 +(a−b)(a+b) = 4(a + b)2 + (a + b)(a − b) = (a + b)(4(a + b) + a − b) = (a + b)(5a + 3b) (iv) a2 c2 − 2ac − 1 = (ac)2 − 2ac + 1 − 2 = (ac − 1)2 − 2

B

Rationale Zahlen

Die nat¨ urlichen Zahlen eignen sich zum Z¨ ahlen und Nummerieren von Objekten. Sie reichen jedoch nicht aus, um Anteile zu beschreiben. Soll etwa eine Tafel Schokolade auf sechs Personen gleichmäßig verteilt werden, so ist die

18

1. Grundlagen

Fläche in sechs gleich große Teile zu schneiden. Unter Verwendung der Struktur einer bereits in kleinere Rechtecke gegliederten Tafel resultiert folgende Skizze: ................................................................................................................................................................................................................................................... ... ... ... ... ... ... ... .. .. .. ... ... ... ... ...................................................................................................................................................................................................................................... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. ... .......................................................................................................................................................................................................................................... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..................................................................................................................................................................................................................................... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. ... . .. . .. . .........................................................................................................................................................................................................................................

Jede Person erhält somit den sechsten Teil (ein Streifen) der Tafel, d.h. 1 von 6 Teilen oder 16 . Aus der Skizze geht u ¨berdies hervor, dass der Wert 16 4 gleich dem Wert 24 sein muss, da jede Person vier von insgesamt 24 kleineren Rechtecken erhält. Dies ist ein erstes Beispiel f¨ ur eine 75K¨ urzungsregel. Anteile werden als Bruchzahlen bzw. 19Br¨ uche bezeichnet können ebenfalls auf dem Zahlenstrahl dargestellt werden. Ist a ∈ N eine nat¨ urliche Zahl, so 3a 4a 5a 6a werden die Anteile a6 , 2a asentiert, indem die Strecke 0, a 6 , 6 , 6 , 6 , 6 repr¨ in sechs gleich große Teile eingeteilt wird. ... ... ... .

0

... ... ... .

a 6

2a 6

3a 6

4a 6

5a 6

6a 6

-

=a

Die Zahl 6a 6 entspricht dabei offenbar der Zahl a. Negative Bruchzahlen werden analog zu den negativen ganzen Zahlen durch Spiegelung am Ursprung erzeugt. Weitere Motivationen von Anteilen ergeben sich aus dem folgenden Beispiel. B

Beispiel Im 10Beispiel Blutgruppe wurden folgende 10absolute H¨ aufigkeiten beobachtet.

Blutgruppe absolute H¨ aufigkeit

0 7

A 8

B 3

AB 2

Mittels Division der absoluten H¨ aufigkeiten durch die Anzahl aller Beobachtungen – in diesem Fall 20 – ergeben sich die relativen Häufigkeiten als Bruchzahl. Alternativ kann die Darstellung als 20Dezimalzahl gewählt werden. Multiplikation der relativen H¨ aufigkeiten mit Hundert liefert jeweils die relative Häufigkeit in Prozent. Blutgruppe relative Häufigkeit als Bruch relative Häufigkeit als Dezimalzahl relative Häufigkeit in %

0

A

B

AB

7 20

8 20

3 20

2 20

0,35 35%

0,40 40%

0,15 15%

0,10 10%

1.2


19

In einem Kreisdiagramm werden die absoluten Häufigkeiten auf die Gesamtzahl aller Personen (20) bezogen. Die Zahl 20 wird in Beziehung zur Winkelsumme 360◦ gesetzt, d.h. 20 = 360◦ . Der Anzahl Personen einer bestimmten Blutgruppe wird eine Fl¨ ache in Form eines Kreissegments zugeordnet, wobei die Größe der Fläche proportional zur Anzahl gewählt wird. Daraus ergibt sich die Beziehung Winkel des Kreissegments Anzahl = = relative Häufigkeit. 360◦ 20 Der Winkel eines Kreissegments (und damit die Größe des Segments) wird als Produkt aus der relativen H¨ aufigkeit und der Winkelsumme im Kreis, d.h. 360◦ , berechnet: Winkel des Kreissegments = relative Häufigkeit · 360◦ .

B Die Erzeugung von Anteilen kann auch als Verkn¨ upfung zweier ganzer Zahlen aufgefasst werden. Die zugeh¨ orige Operation wird als Division bezeichnet und bildet die Umkehroperation zur Multiplikation. Die Division durch die Zahl 0 kann nicht erkl¨ art werden, da das Produkt aus 0 und einer Zahl a stets gleich Null ist: 0 · a = 0. Eine eindeutige Umkehrung ist somit nicht möglich. F¨ ur jede Zahl b = 0 gibt es hingegen genau eine Zahl, die diese Eigenschaft besitzt, denn f¨ ur c = a · b mit b = 0 gilt c : b = a. Definition Division, Bruch Seien a, b Zahlen mit b = 0. Dann heißt die Verkn¨ upfung a : b Division von a und b.

Die Zahl a : b wird als Quotient (von a und b) bezeichnet. Alternativ werden die Notationen ab oder a/b und die Bezeichnung Bruch verwendet.

20

1. Grundlagen

F¨ ur ganze Zahlen a, b ist nat¨ urlich auch das Produkt c = a · b eine ganze Zahl, so dass c : a und c : b ebenfalls ganzzahlig sind. Andererseits ist klar, dass es keine nat¨ urliche Zahl geben kann, die mit Zwei multipliziert Eins ergibt. Aus der Verdoppelung der H¨ alfte resultiert jedoch offenbar das Ganze, so dass Anteile eine sinnvolle Erweiterung der ganzen Zahlen darstellen. Alle Zahlen, die als Anteile verstanden werden können, sowie ihre negativen Entsprechungen werden in der Menge der rationalen Zahlen a a ∈ Z, b ∈ N Q= b zusammengefasst. Die Zahl ab heißt Bruch oder Bruchzahl, a heißt Zähler, b heißt Nenner. Da sich jede ganze Zahl n stets in der Form n1 schreiben lässt, ist die Menge der ganzen (und damit auch der nat¨ urlichen) Zahlen in der der rationalen enthalten. Rechenregeln f¨ ur Br¨ uche werden in 75Abschnitt 3.1 zusammengefasst. Das Vorzeichen einer rationalen Zahl wird aus den Vorzeichen von Zähler und Nenner gemäß der folgenden Regel bestimmt. Vorzeichen von Br¨ uchen F¨ ur Zahlen a, b mit b = 0 gilt: +a −a a = = , +b −b b

+a −a a = =− −b +b b

Aus den Vorzeichenregeln ergibt sich eine alternative Darstellung der ratio nalen Zahlen: Q = ab a, b ∈ Z, b = 0 . Dezimaldarstellung

Zur Darstellung rationaler Zahlen wird auch die Dezimaldarstellung verwen7 det. Als Dezimalzahl werden die Zahlen 12 , 633 , 125 in der Form 25 1 = 0,5, 2

633 = 25,32, 25

7 = 0,056 125

angegeben, wobei die durch das Komma abgetrennten Stellen als Nachkommastellen bezeichnet werden. Diese Stellen werden als Repräsentanten f¨ ur Br¨ uche interpretiert, deren Nenner eine Zehnerpotenz 10k darstellt. So gilt etwa 1 = 0,1, 10

2 = 0,02, 100

4 = 0,004, 1 000

27 = 0,27, 100

320 = 3,2. 100

1.2


21

F¨ ur beliebige Br¨ uche ergibt sich die Dezimaldarstellung aus der so genannten Division mit Rest, einem iterativen Verfahren, mit dem jeweils bestimmt wird, wie oft eine Zahl maximal in eine andere passt“. Exemplarisch wird ” dies f¨ ur den Bruch 232 uhrt. Wegen 9 · 25 = 225 und 10 · 25 = 250 25 durchgef¨ ergibt sich als Division mit Rest 232 = 9 · 25 + Rest = 9 · 25 + 7 Die Zahl

7 25

und damit

232 7 =9+ . 25 25

wird analog weiter zerlegt gem¨ aß 10 · 7 = 2 · 25 + Rest = 2 · 25 + 20,

7 2 2 2 8 d.h. 25 = 10 + 25 . Wegen 100 · 2 = 8 · 25 folgt 25 = 100 , so dass sich 232 2 8 insgesamt 25 = 9 + 10 + 100 = 9,28 ergibt. Verk¨ urzt wird dieses Verfahren im folgenden Schema durchgef¨ uhrt. Zus¨ atzlich wird der Bruch 73 18 betrachtet, der eine Besonderheit gewisser rationaler Zahlen illustriert.

2 3 2 : 25 = 9,28 225 70 50 200 200 0

73 : 18 = 4,0555 . . . 72 10 100 90 100 90 100 .. . . . .

Beim zweiten Beispiel 73 18 bricht die Dezimaldarstellung nicht ab, da in jeder weiteren Dezimalstelle eine F¨ unf steht. Eine derartige Dezimalzahl heißt periodisch, was in der Dezimaldarstellung durch einen Balken u unf ¨ber der F¨ kenntlich gemacht wird: 73 = 4,05. 18 Weitere Beispiele periodischer Dezimalzahlen sind 1 = 0,33333 . . . = 0,3, 3 6 = 0,857142, 7

14 12 = 0,31818 . . . = 0,318, = 1,0909 . . . = 1,09, 44 11 1 = 0,0384615. 26

Reelle Zahlen

Jede rationale Zahl besitzt eine Dezimaldarstellung mit entweder einer endlichen oder einer unendlichen Anzahl von Nachkommastellen, wobei sich im letzten Fall ein bestimmtes Ziffernmuster ab einer Nachkommastelle peri-

22

1. Grundlagen

odisch wiederholt. Die Dezimaldarstellung heißt in diesen Situationen endlich bzw. unendlich periodisch. Die Dezimalzahl 0,1010010001000010000010000001 . . . , die an den Nachkommastellen 1, 3, 6, 10, 15, 21, . . . jeweils eine Eins hat, hat weder eine endliche noch eine unendlich periodische Dezimaldarstellung und ist daher nicht rational. Die Menge aller Dezimalzahlen, die eine beliebige, evtl. nicht abbrechende Dezimaldarstellung haben, umfasst somit die rationalen Zahlen. Sie wird als Menge der reellen Zahlen bezeichnet: R = {x | x ist eine Dezimalzahl}. Zahlen, die wie die oben vorgestellte Zahl zwar Element der Menge R, aber nicht der Menge Q sind, heißen irrationale Zahlen. Die Mengen der rationalen und der irrationalen Zahlen besitzen jeweils unendlich viele Elemente.√Beispiele ur irrationale Zahlen sind 85Wurzeln √ √ f¨ nat¨ urlicher Zahlen wie 2, 3, 5.∗ Mit rationalen Zahlen kann jedoch eine beliebig genaue N¨ aherung (hinsichtlich der Anzahl von Dezimalstellen, die exakt sind) bestimmt werden. Das nachfolgend beschriebene Bisektionsverfahren ermöglicht die Berechnung einer solchen Näherung. B

Beispiel Bisektionsverfahren Gesucht wird eine Zahl a, deren Quadrat gleich Zwei ist. Die Idee des Bisektionsverfahrens besteht darin, zunächst untere und obere Schranken f¨ ur a zu bestimmen. Wegen 12 = 1 und 22 = 4 liegt die gesuchte Zahl a zwischen 1 und 2, d.h. 1 < a < 2. Nun wird das Quadrat des in der Mitte liegenden Werts 1,5 mit 2 = a2 verglichen. Wegen 1,52 = 2,25 > 2 = a2 ergibt sich 1 < a < 1,5. Eine Fortsetzung dieser Methode ergibt

1,252 = 1,5625 0 und p, q ∈ Q gilt ap ·aq = ap+q ,

ap = ap−q , aq

ap ·bp = (a·b)p ,

a p ap = , bp b

(ap )q = ap·q .

Beispiel Seien a, b ≥ 0 und x > 0.

B

" 2 4 6 (i) (a + b) · 3 (a + b)4 = (a + b) 3 · (a + b) 3 = (a + b) 3 = (a + b)2 2 3

√ x x1 4 1 (ii) √ = 4 = x1− 5 = x 5 = 5 x 5 x5 x4

B

Beispiel Wurzeln als Potenzen (a, b ≥ 0 und x > 0)

√ 3

3n· 13

x3n = x = xn √ √ √ 1 (ii) 4 xn · 4 2 = 4 2xn = (2xn ) 4 √ n+1 3 (iii) an+1 = a 3 (i)

" √ 3

B 9 3·2

x9/2 = x √ √ n (v) 4 2n · 3n = 4 6n = 6 4

(iv)

x9 =

√ 3

=x

3 2

B

√ In den obigen Ausf¨ uhrungen wurden Wurzeln n a nur f¨ ur positive Zahlen a definiert. Dies liegt darin begr¨ undet, dass f¨ ur positives a genau eine positive Zahl b existiert, die die Gleichung bn = a erf¨ ullt. Exemplarisch wird nachstehend erläutert, dass bei Verzicht auf diese Voraussetzung Probleme entstehen. Dann ist es n¨ amlich m¨ oglich, dass sowohl mehrere Lösungen vorliegen als auch keine Lösung existiert. 1

Werden f¨ ur b auch negative Zahlen zugelassen, so resultieren Mehrdeutigkeiten. Da z.B. f¨ ur n = 2 die Gleichung 52 = (−5)2 = 25 gilt, gibt es zwei Zahlen, deren Quadrat 25 ist.

2

Ist a eine negative Zahl, gibt es keine reelle Zahl, deren Quadrat gleich dieser Zahl ist. Daher existiert z.B. keine reelle Zahl b mit b2 = −25, da b2 stets das Vorzeichen + hat. Die gleiche Argumentation ist f¨ ur alle geraden Exponenten m¨ oglich.

F¨ ur ungerade Exponenten gibt es f¨ ur jedes a ∈ R genau eine Lösung, so dass in dieser Situation auch Wurzeln negativer Zahlen zugelassen werden können.

88

3. Elementare Rechenoperationen

Definitionsbereich von Wurzeln In Abhängigkeit vom Exponenten der Gleichung bn = a kann die Definition der Wurzel wie folgt erweitert werden: F¨ ur ungerades n ∈ N und a ∈ R hat bn = a genau eine Lösung, die √ mit n a bezeichnet wird. F¨ ur gerades n ∈ N und a > 0 hat bn = a sowohl eine positive als auch √ √ eine negative L¨ osung: b1 = n a > 0 und b2 = − n a < 0. F¨ ur gerades n ∈ N und a < 0 hat bn = a keine reelle Lösung. Potenzen mit reellen Exponenten

Mittels der Potenzen mit rationalen Exponenten werden Potenzen mit reellen Exponenten definiert, indem eine reelle Zahl durch zwei rationale Zahlen eingeschachtelt“ ∗ wird. F¨ ur irrationale Exponenten x ∈ R \ Q können ratio” nale Zahlen p, q mit p < x < q gefunden werden, so dass q − p > 0 beliebig klein wird. Dies ergibt etwa f¨ ur a > 1 ap < ax < aq . Wird die Differenz q − p kleiner, so gilt dies auch f¨ ur aq − ap . Daher wird der Wert von ax immer genauer eingegrenzt, so dass bei hinreichend großer Genauigkeit die N¨ aherungen ax ≈ aq bzw. ax ≈ ap resultieren. Diese Vorgehensweise wird mittels der Kreiszahl π = 3,141592654 . . . illustriert, die den Flächeninhalt des Einheitskreises angibt. Aus dieser Dezimaldarstellung ergibt sich p = 3,141 59 < π < 3,141 60 = q, d.h. f¨ ur die entsprechende Potenz mit p = a=2

314 159 10 000

und q =

314 160 10 000

gilt mit

2p = 8,824961 . . . < 2π < 8,825022 . . . = 2q . Der exakte“ Wert ist 2π = 8,824977 . . .. ” Eine bessere Einschachtelung des reellen Exponenten liefert daher eine genauere Einschachtelung der zugeh¨ origen Potenz. Auf eine formale Darstellung dieser Vorgehensweise wird an dieser Stelle verzichtet. F¨ ur Potenzen mit reellen Exponenten gelten die selben Rechenregeln wie f¨ ur Potenzen mit rationalen Exponenten. ∗ Vgl. 22Bisektionsverfahren

zur N¨ aherung von

√

2.

3.4

Logarithmen

89

Potenzen mit reellen Exponenten F¨ ur a, b > 0 und x, y ∈ R gilt ax ·ay = ax+y ,

ax = ax−y , ay

ax bx = (ab)x ,

a x ax = , bx b

(ax )y = ax·y .

3.4

3.4 Logarithmen Wie bereits erwähnt, ist das Logarithmieren wie das Wurzelziehen eine Umkehrung des Potenzierens. W¨ ahrend beim Wurzelziehen die Potenz als gegeben angenommen und die Basis der Potenz gesucht wird, die zum Wert a f¨ uhrt, wird beim Logarithmieren die Basis als fix angenommen und die Potenz gesucht, die zum Wert a f¨ uhrt. Hierbei wird grundsätzlich angenommen, dass a eine positive Zahl ist. Definition Logarithmus Seien a, b > 0 mit b = 1.

Die eindeutig bestimmte Zahl x ∈ R mit bx = a heißt Logarithmus von a zur Basis b. Sie wird mit x = logb (a) bezeichnet. Beispiel

B 2

3

(i) log3 (9) = 2 , da 3 = 9

(iii) log7 (343) = 3 , da 7 = 343

(ii) log2 (512) = 9 , da 2 9 = 512

(iv) log10 (1000) = 3 , da 10 3 = 1000 B

Nat¨ urlicher und dekadischer Logarithmus F¨ ur die Basen 10 und e = 2,71828 . . . werden spezielle Bezeichnungen und Notationen verwendet. Bezeichnung

F¨ ur b = 10 wird die Notation log10 = log = lg verwendet. lg heißt dekadischer Logarithmus. F¨ ur b = e wird die Notation loge = ln verwendet. ln heißt nat¨ urlicher Logarithmus.

Die Wahl der Basis e f¨ ur den Logarithmus mag zunächst k¨ unstlich erscheinen, sie erweist sich jedoch in vielen Anwendungen als aüßerst n¨ utzlich. Daher ist der nat¨ urliche Logarithmus in der Regel auf Taschenrechnern als Operation

90


verf¨ ugbar. Außerdem k¨ onnen 92Logarithmen zu anderen Basen direkt mit dem nat¨ urlichen Logarithmus berechnet werden. In der obigen Definition wurde der Logarithmus nur f¨ ur positive Zahlen a, b erklärt. Dies liegt darin begr¨ undet, dass die Gleichung bx = a f¨ ur negative Werte von a bzw. b i.Allg. keine L¨ osung x besitzt oder nicht erklärt ist. Der Fall b = 1 muss ausgeschlossen werden, da 1x immer den Wert 1 hat, d.h. die Gleichung 1x = a ist nur f¨ ur a = 1 l¨ osbar und in diesem Fall ist jede reelle Zahl x Lösung der Gleichung.

Definitionsbereich des Logarithmus Der Logarithmus logb (a) ist nur f¨ ur positive Zahlen a, b mit b = 1 definiert.

Das folgende Beispiel zeigt, wie der Logarithmus einer Zahl näherungsweise ermittelt werden kann. B

Beispiel Bisektionsverfahren f¨ ur Logarithmen Gesucht ist der Logarithmus log3 (6), d.h. die L¨ osung der Gleichung 3x = 6.

Zunächst wird durch einen Widerspruch gezeigt, dass x keine rationale Zahl sein kann. Gäbe es n¨ amlich eine rationale L¨ osung x, hätte x eine Darstellung als Bruch x = pq mit Zahlen p ∈ Z, q ∈ N. Aus den 86Potenzgesetzen folgt dann jedoch sofort 3p/q = 6 ⇐⇒ 3p = 6q ⇐⇒ 3p = 2q · 3q ⇐⇒ 3p−q = 2q . Da q ∈ N gilt, ist die rechte Seite stets eine gerade Zahl,∗ während die linke entweder ungerade (falls p ≥ q) oder kleiner als Eins (falls p < q) ist. Daher können beide Seiten nicht u ¨bereinstimmen, und es gibt somit keine rationale Lösung der Gleichung. Mit dem 22Bisektionsverfahren kann log3 (6) nun näherungsweise bestimmt werden. Wegen 31 = 3 < 6 < 9 = 32 muss x ∈ (1, 2) gelten. Mittels der Intervallmitte z = 1,5 wird nun gepr¨ uft, in welchem Teilintervall (1, 1,5) bzw. (1,5, 2) die gesuchte Zahl liegt. Wegen 31,5 = 5,196 . . . < 6 muss x größer als 1,5 sein, d.h. x ∈ (1,5, 2). ∗ und

damit insbesondere gr¨ oßer als Eins.

3.4

Logarithmen

91

Eine Fortf¨ uhrung dieses Verfahrens liefert folgende Werte: Schritt 1 2 3 4 5 6 7 8

Pr¨ ufstelle z 1,5 1,75 1,625 1,6875 1,65625 1,640625 1,6328125 1,62890625

3z Intervall 5,196 . . . < 6 (1,5, 2) 6,838 . . . > 6 (1,5, 1,75) 5,961 . . . < 6 (1,625, 1,75) 6,384 . . . > 6 (1,625, 1,6875) 6,169 . . . > 6 (1,625, 1,65625) 6,064 . . . > 6 (1,625, 1,640625) 6,012 . . . > 6 (1,625, 1,6328125) 5,986 . . . < 6 (1,62890625, 1,6328125)

Dieses Verfahren wird fortgesetzt, bis eine vorgegebene Genauigkeit erreicht ist. Reichen z.B. drei Nachkommastellen der gesuchten Zahl aus, werden die Berechnungen fortgesetzt, bis die untere und obere Grenze des Intervalls auf den ersten drei Nachkommastellen u ¨ bereinstimmen. Dies ist nach 13 Schritten der Fall, d.h. x ∈ (1,6308 . . . , 1,6309 . . .) und somit x ≈ 1,630.∗ B Eigenschaften und Rechenregeln des Logarithmus

Eigenschaften des Logarithmus F¨ ur a, b > 0 mit b = 1 gilt logb (1) = 0,

logb (b) = 1,

blogb (a) = a,

logb (ba ) = a.

Außerdem besitzt der Logarithmus noch folgende Eigenschaften, deren Nachweise z.B. in Kamps et al. (2003) zu finden sind. Eigenschaften des Logarithmus F¨ ur a, b, c > 0 mit c = 1 gilt logc (a) = logc (b) ⇐⇒ a = b logc (a) < logc (b) ⇐⇒a < b   > 0, falls a > 1 F¨ ur c > 1 gilt logc (a) = 0, falls a = 1   < 0, falls 0 < a < 1

∗ Der

exakte“ Wert ist log3 (6) = 1,630929753 . . .. ”

92


F¨ ur Logarithmen gelten folgende Rechengesetze.

Logarithmusgesetze F¨ ur a, b, c > 0 mit c = 1 gilt 1. logc (a · b) = logc (a) + logc (b) 2. logc ab = logc (a) − logc (b) 3. loga (b) =

logc (b) logc (a)

=

ln(b) ln(a)

=

lg(b) lg(a) ,

sofern a = 1

4. logc (ab ) = b · logc (a) Eigenschaft 3 eignet sich insbesondere, um einen Logarithmus zu einer belie¨ bigen Basis auf einem Taschenrechner auszuwerten. Ublicherweise sind dort lediglich der nat¨ urliche und der dekadische Logarithmus verf¨ ugbar. B

Beispiel Berechnung von Logarithmen auf Taschenrechnern Der Wert von log3 (6) lässt sich mit einem Taschenrechner auf folgende Weise berechnen (die Ergebnisse sind jeweils auf drei Nachkommastellen gerundet):

log3 (6) = B

ln(6) 1,792 ≈ ≈ 1,631, ln(3) 1,099

log3 (6) =

lg(6) 0,778 ≈ ≈ 1,631. B lg(3) 0,477

Beispiel

(i) log12 (144v) = log12 (144) + log12 (v) = log12 (122 ) + log12 (v) = 2 log12 (12) + log12 (v) = 2 + log12 (v) (ii) log7 (84) − log7 (12) = log7 84 = log7 (7) = 1 12 (iii) log32 (1 024) =

log 2 (1 024) log2 (32)

=

log2 (210 ) log2 (25 )

=

10 log2 (2) 5 log2 (2)

=

10 5

=2

(iv) log5 (25j ) = j · log5 (25) = j · log5 (52 ) = 2j a (v) ln bc = ln(a) − ln(b) − ln(c) B

Beispiel

(i) 2 ln(x + 1) − ln(x2 − 1) = ln

(x+1)2 x2 −1

B

= ln

(ii) log2 (8) + log2 (8x) − log2 (4x) = 3 + log2

8x 4x

x+1 x−1

= 3 + log2 (2) = 4

3.5

Aufgaben

(iii) log100 (x + 1) =

93

lg(x+1) lg(100)

=

1 2

lg(x + 1) B

(iv) log4 (2x+1 ) = (x + 1) log4 (2) = 12 (x + 1)

Zum Ende dieses Abschnitts wird noch ein Zusammenhang zwischen Logarithmen und Potenzen notiert, der in vielen Fällen Anwendung findet. Er ergibt sich direkt aus den vorhergehenden Ergebnissen. Zusammenhang zwischen Potenzen zur Basis e und a Seien a > 0 mit a = 1 und e die Eulersche Zahl. Dann gilt f¨ ur jede reelle Zahl x die Gleichung

ax = ex·ln(a) .

Der obige Zusammenhang kann auch f¨ ur jede andere Basis b > 0 mit b = 1 formuliert werden. In dieser Situation lautet die Formel ax = bx·logb (a) .

3.5

3.5 Aufgaben Erweitern Sie folgende Br¨ uche, und multiplizieren Sie jeweils Zähler und Nenner aus. Geben Sie die Werte der Variablen an, f¨ ur die der resultierende Bruch nicht definiert ist. Aufgabe 3.1

(a)

1 2

(b)

5a 2

mit 3 mit a

(c)

4a2 3b2

mit 2a2 b

(e)

3a+b 4−c

(d)

3−c ab

mit (3 + c)

(f)

3(x−2y) (x+y)(x−y)

mit ac mit xy

K¨ urzen Sie folgende Br¨ uche. Geben Sie ggf. die Werte der Variablen an, f¨ ur die der gegebene Bruch nicht definiert ist. Aufgabe 3.2

(a)

64 24

(d)

63a2 b 14ab2

(g)

12xy−4yz 16xz+8xy

(b)

27a 18b

(e)

25x−5y 15xy

(h)

3ab4 −17ab2 +39a2 b2 ab2

(c)

54a2 a3

(f)

56x2 y−16xy 2 24yz+40y 2

(i)

98L

63a2 b2 −9ab 18ab+27a2 b2

98L

94

98L

99L

99L

K¨ urzen Sie folgende Br¨ uche. Verwenden Sie dabei ggf. die binomischen Formeln. Geben Sie ggf. die Werte der Variablen an, f¨ ur die der gegebene Bruch nicht definiert ist. Aufgabe 3.3

(a)

x2 +2xy+y 2 x+y

(d)

x2 −y 2 6x−6y

(g)

40x2 −490y 2 20x2 +140xy+245y 2

(b)

a2 −2ab+b2 2a−2b

(e)

27a2 +36ab+12b2 9a2 +12ab+4b2

(h)

32x2 z+128xyz+128y 2 z 32x2 +64xy

(c)

7a2 −14ab+7b2 3(a−b)

(f)

54a2 −36ab+6b2 6a−2b

(i)

108a2 c−192b2 c 54a2 c2 −144abc2 +96b2 c2

Addieren bzw. subtrahieren Sie folgende Br¨ uche, und k¨ urzen Sie dann soweit wie m¨ oglich. Geben Sie die Werte der Variablen an, f¨ ur die der gegebene Term nicht definiert ist. Aufgabe 3.4

(a)

2 3

+

4 3

(f)

2 a+1

+

1 3a+3

(b)

a 5

+

2 10

(g)

2x x+1

−

3y y+1

(c)

1 2

+

1 7

(h)

3a 6ab

(d)

1 2

+

1 4

(e)

3a 7

− 6a 3

+

1 12

−

+

3 8

12a 21

−

7b 3a

(i)

x −x−2y

+

(j)

2y 3z+6

−

−

+

+

4 a+1

xy (x+1)(y+1)

2ab 4

y x+2y

1−y z+2

+

3x−2xy 3xz+6x

Addieren bzw. subtrahieren Sie folgende Br¨ uche, und k¨ urzen Sie dann soweit wie m¨ oglich. Verwenden Sie ggf. die binomischen Formeln. Geben Sie ggf. die Werte der Variablen an, f¨ ur die der gegebene Term nicht definiert ist. Aufgabe 3.5

(a) 100L


a2 +7ab+4b2 3a+6b

−

ab a+2b

(b)

2a2 +5ab 4(a+1)

+

4b2 −2ab 8a+8

(c)

3x x−y

−

4(x−y) x+y

Aufgabe 3.6 Multiplizieren bzw. dividieren Sie folgende Br¨ uche, und k¨ urzen

Sie dann soweit wie m¨ oglich. Geben Sie ggf. die Werte der Variablen an, f¨ ur die der gegebene Term nicht definiert ist. ·

(a)

1 2

1 4

(b)

10 7

(c)

a b

·

3 b

(d)

3 12b

·

·

5 3

·

2 3

4b2 6

·

ab2 9

·

(e)

3 a2

(f)

ab2 a+1

(g)

40ab+10c a 2 c2

(h)

1 2

:

·

1 4

18a b2

2a+2 b2

·

6x2 2y 2

(i)

3x 4y

16 2ab

(j)

3y 2 3x+1

a2 b2 +c 12ab+3c

(k)

2x−7y 5y 2 +6z

(l)

35xy 2 8x−4y

·

:

:

:

21 16xy

6y 2 12x+4

: :

6x−21y 25y 2 z+30z 2 70x2 y 4x−2y

3.5

Aufgaben

95

Aufgabe 3.7 Berechnen Sie folgende Br¨ uche, und k¨ urzen Sie dann soweit wie

100L

möglich. Verwenden Sie dabei ggf. die binomischen Formeln. Geben Sie ggf. die Werte der Variablen an, f¨ ur die der gegebene Term nicht definiert ist. (a)

2 x−y

·

4 x+y

(b)

3 a−b

·

a2 −b2 9

(c)

a+b x

:

y a+b

·

2 a+b

(d)

x+y x2 −y 2

x−y x+y

:

1 x+y

(e)

2x2 +4xy+2y2 3x2 −6x+3

:

(x+y)2 x−1

:

(f)

16x3 −4xy 2 48x2 +48xy+12y 2

(g)

ax+ay−bx−by ax−ay−bx+by

(h)

a b a+1 − b+1 a−b a+b

(i)

:

4x2 +2xy 12x−6y

ab b 2a+4 + a+2 a ab − b+3 3b−9

Schreiben Sie folgende Ausdr¨ ucke als Potenzen. Geben Sie ggf. die Werte der Variablen an, f¨ ur die der gegebene Term nicht definiert ist. Aufgabe 3.8

(a) (x − y)(x − y)(x − y)(x − y) 1 (b) a1 · − a1 · −a

(d)

(c) (−a2 ) · (−a)2 · (−a)3

(f)

xy −z

·

−xy 2 z2

·

x2 (−y) z

(e) (x + y)−3 (x + y)8 (x + y)−2 (x−y)−1 (x+y)2

·

(x+y)−2 (x−y)3

Fassen Sie folgende Ausdr¨ ucke zusammen. Geben Sie ggf. die Werte der Variablen an, f¨ ur die der gegebene Term nicht definiert ist. Aufgabe 3.9

(a) (a2 )3

(b) ((−2)2 )4

101L

(c) (a2 b)3

(d)

101L

(x−1)3 (1−x)3

(e) (x − 1)4 + 7(x − 1)4 − 12(x − 1)4 + 3(x − 1)4 (f) 13(a − 1)3 + 2(1 − a)3 − 8(a − 1)3 + 2(1 − a)3 Fassen Sie folgende Ausdr¨ ucke zusammen. Geben Sie ggf. die Werte der Variablen an, f¨ ur die der gegebene Term nicht definiert ist. Aufgabe 3.10

(a) 23 a3 b3 · 73 c3

(c) 52 x−1 y 3 · 5−2 x2 y −2

(b) x2 yz 3 · xy 2 + (2xyz)3

(d) (4(x2 y 2 ))3 − ((2xy)3 )2

(e) 16xy 2 · (2x)2 − 25 x3 y 2 + (8x)2 · x−1 (xy)2 (f) −121ab3 − (11a2 b)2 · (−2a−3 b)

101L

96

102L


Fassen Sie folgende Ausdr¨ ucke zusammen, wobei m, n ∈ N0 vorausgesetzt wird. Verwenden Sie ggf. die binomischen Formeln. Geben Sie ggf. die Werte der Variablen an, f¨ ur die der gegebene Term nicht definiert ist. Aufgabe 3.11

(a)

2a4 an 36

(d)

(b)

x7 xn y 3 y −m

(e)

(c)

a3 b2 3

·

an bm

(f)

a3+n b2+m

a7 b3

:

xy

a7+n bn 2

zn

:

4xa+1 15xy a−1

·

an b

(xy)n z4

:

(g)

(2x+y)8 (4x2 +4xy+y 2 )6

(h)

(16a2 −36b2 )6 (16a2 −48ab+36b2 )3

(2xa )2 5y a

(i)

((x2 +2x+1)(x−1)2 )

3

(x2 −1)6

102L

Aufgabe 3.12

103L

Aufgabe 3.13 Fassen Sie folgende Ausdr¨ ucke zusammen. Verwenden Sie ggf.

Fassen Sie folgende Ausdr¨ ucke zusammen. Geben Sie ggf. die Werte der Variablen an, f¨ ur die der gegebene Term definiert ist. √ √ √ √ √ √ (a) 2 3 − 5 3 + 12 3 − 4 3 (e) 3 · 7 · 3 · 7 √ √ √ √ √ √ √ (b) 15 ab − 12 ab + 6 ab − 8 ab (f) 2 · 5 · 3 · 2 · 3 · 5 √ √ √ √ √ √ (c) 12 x − 4x − x (g) 20 · 10 · 2 √ √ √ √ √ √ √ (d) 2 75y + 27y − 3 48y (h) ab · a · b · a2 b2

die binomischen Formeln. Geben Sie ggf. die Werte der Variablen an, f¨ ur die der gegebene Term definiert ist. √ √ √ √ (a) 36a4 b4 : 4a2 (e) √3 2 45 2 − √ 4 5 √

√

(b) x xy · 2y y · 4 x √ √ √ (c) ( x + y − y − z)( x + y √ + y − z) (d)

√ √ a− b √ √ a+ b

·

x −y

√

√ a+2 ab+b a−b

(f)

√ 16 x−y 9

(x−y)(x+y)

√ x2 −y 2 −√

√

(g)

12 x2 −y 2 √ 9x−9y

(h) √

81(x+y)

√ −3 x+y

3y a+2 2x2 +4xy+2y 2

+

a+1 √3xy 2(x+y)

3.5

Aufgaben

97

Aufgabe 3.14 Fassen Sie folgende Ausdr¨ ucke zusammen. Verwenden Sie ggf.

103L

die binomischen Formeln. Geben Sie ggf. die Werte der Variablen an, f¨ ur die der gegebene Term definiert ist. √ √ 6 √ 3 3 x4 · x2 (a) 85 (f) √ 8 6 9 y · y2 "√ 6 5 √4 36 √ (b) a4 √ 5 3 x2 · x9 · x45 3 2 √3 6 · √4 y 3· √6 y18 (g) " 4 2 x · x y · y (c) a3 2 a2 −4b " √ √ (h) √ · √1a3 8 3 9 4 a −b· 16a2 b2 (d) a2 b · b12 √ 2 √ " a) a √ (i) (3+5 · √ 12−20 √ (e) 4 (x + 1)8 · 4 x + 1 9−25a 36+120 a+100a Formen Sie die folgenden Br¨ uche so um, dass der Nenner keine Wurzeln mehr enth¨ alt, und vereinfachen Sie die Darstellung so weit wie möglich. Verwenden Sie ggf. die binomischen Formeln. Geben Sie ggf. die Werte der Variablen an, f¨ ur die der gegebene Term definiert ist. Aufgabe 3.15

(a)

√a a

(b)

Aufgabe 3.16

√5 ab

(c)

4 √ 3 2

(d)

28 √ 4+ 2

(e)

√ √ 2( 5− 3) √ √ 5+ 3

104L

Berechnen Sie folgende Logarithmen.

(a) log2 (4)

(b) log4 (64)

(c)

log2 ( 18 )

(d) log4 (2)

n

(e) log7 (7 )

Fassen Sie folgende Ausdr¨ ucke zusammen. Geben Sie ggf. die Werte der Variablen an, f¨ ur die der gegebene Term definiert ist. Aufgabe 3.17

(a) logx (3) + logx (4)

(b) logy (10) − logy (5)

104L

104L

(c) loga (u) + loga2 (u)

(d) 2 loga (4) + logb (4) − 3 loga (2) + 2 logb (5) loga (x3 ) + 2 loga (x) −

1 4

loga (x4 )

(f) 2 loga (3x) + loga (3x) + 4 loga (2x) −

1 2

loga (64x2 )

(e)

1 3

loga (x) −

1 9

Schreiben Sie folgende Ausdr¨ ucke als Summe.

! 4 a2 c (a) ln (b) ln mit a, b, c, d > 0 bd2

! " √ 4 3 5 5 5 4 (c) lg 3 2 a b a c mit a, b, c > 0

Aufgabe 3.18

! 1 5

105L

98


3.6

3.6 L¨ osungen

93A

L¨ osung 3.1

93A

(a)

1 2

(b)

5a 2

5a·a 2·a

=

2

3 6

=

5a2 , 2a

=

2

2

(c)

4a 3b2

=

4a ·2a b 3b2 ·2a2 b

(d)

3−c ab

=

(3−c)·(3+c) ab·(3+c)

(e)

3a+b 4−c

(f)

3(x−2y) (x+y)(x−y)

8a4 b , 6a2 b3

=

(3a+b)·ac (4−c)·ac

=

a = 0

9−c2 , 3ab+abc

a, b = 0, c = −3

3a2 c+abc , 4ac−ac2

a = 0, c ∈ {0, 4}

= =

(3x−6y)·xy (x2 −y 2 )·xy

=

a, b = 0

=

3x2 y−6xy 2 , x3 y−xy3

x, y = 0, x = ±y

L¨ osung 3.2 (a)

64 24

(b)

27a 18b

(c)

54a2 a3

(d)

63a2 b 14ab2

(e)

25x−5y 15xy

(f)

56x2 y−16xy2 24yz+40y 2

=

(g)

12xy−4yz 16xz+8xy

4·y(3−z) 4·x(4z+2y)

(h)

3ab4 −17ab2 +39a2 b2 ab2

(i) 94A

1·3 2·3

=

8·8 3·8

=

3a·9 2b·9

=

8 3

=

54·a2 a·a2

= =

b = 0

3a , 2b

=

54 , a

=

9a·7ab 2b·7ab

=

9a , 2b

5·(5x−y) 5·3xy

=

=

63a2 b2 −9ab 18ab+27a2 b2

=

a = 0

=

a, b = 0 5x−y , 3xy

(7x2 −2xy)·8y (3z+5y)·8y

=

x, y = 0 =

7x2 −2xy , 3z+5y

y(3x−z) x(4z+2y)

=

=

3xy−yz , 4xz+2xy

ab2 ·(3b2 −17+39a) ab2

(7ab−1)·9ab (2+3ab)·9ab

=

7ab−1 , 2+3ab

y = 0, y = − 35 z

= 3b2 − 17 + 39a, a, b = 0

a, b = 0, b =

L¨ osung 3.3 (a)

x2 +2xy+y 2 x+y

=

(x+y)(x+y) x+y

(b)

a2 −2ab+b2 2a−2b

=

(a−b)2 2(a−b)

(c)

7a2 −14ab+7b2 3(a−b)

(d)

x2 −y 2 6x−6y

=

=

=

= x + y, x = −y

a−b , 2

7(a−b)(a−b) 3(a−b)

(x−y)(x+y) 6(x−y)

=

x+y , 6

a = b =

7(a−b) , 3

x = y

x = 0, y = −2z

a = b

−2 3a

3.6

L¨ osungen

99 3(9a2 +12ab+4b2 ) 9a2 +12ab+4b2

(e)

27a2 +36ab+12b2 9a2 +12ab+4b2

(f)

54a2 −36ab+6b2 6a−2b

(g)

40x2 −490y2 20x2 +140xy+245y 2

(h)

32x2 z+128xyz+128y 2 z 32x2 +64xy

(i)

=

6(9a2 −6ab+b2 ) 2(3a−b)

=

=

3(3a+2b)2 (3a+2b)2

=

2·3(3a−b)2 2(3a−b)

10(4x2 −49y 2 ) 5(4x2 +28xy+49y 2 )

=

=

108a2 c−192b2 c 54a2 c2 −144abc2 +96b2 c2 c = 0, a = 43 b

=

= 3(3a − b), b = 3a

5·2(2x−7y)(2x+7y) 5(2x+7y)2

=

32z(x2 +4xy+4y 2 ) 32x(x+2y)

= 3, a = − 23 b

=

z(x+2y)2 x(x+2y)

12c(9a2 −16b2 ) 6c2 (9a2 −24ab+16b2 )

=

=

2(2x−7y) , 2x+7y

z(x+2y) , x

x ∈ {0, −2y}

2·6c(3a−4b)(3a+4b) c·6c(3a−4b)(3a−4b)

=

x = − 72 y

=

2(3a+4b) , c(3a−4b)

94A

L¨ osung 3.4 (a)

2 3

+

4 3

(b)

a 5

+

2 10

(c)

1 2

+

1 7

(d)

1 2

+

1 4

(e)

3a 7

(f)

2 a+1

(g)

2x(y+1) 3y(x+1) 3y xy xy 2x − y+1 + (x+1)(y+1) = (x+1)(y+1) − (y+1)(x+1) + (x+1)(y+1) x+1 2x−3y = (x+1)(y+1) , x, y = −1

(h)

3a 6ab

+

2+4 3

=

a 5

+

1 5

=

7 14

+

2 14

−

1 12

+

3 8

=

−

6a 3

+

12a 21

1 3a+3

−

7b 3a

(i)

x −x−2y

+

(j)

2y 3z+6

=

6 3

=

+

=

9a 21

6 24

−

2 24

42a 21

−

12a 21

+

+

6 3(a+1)

=

−

3a 6ab

= =

9 14

12 24

=

4 a+1

2ab 4

a+1 5

=

=

−

y x+2y

=2

−x x+2y

+

14b2 6ab

+

9 24

=

3a2 b2 6ab

=

=

39a 21

1 3(a+1)

+

y x+2y

+

13a 7

=

−

=

y−x , x+2y

25 24

12 3(a+1)

5 = − 3(a+1) , a = −1

3a−14b2 +3a2 b2 , 6ab

=

2xy+2x−3xy−3y+xy (x+1)(y+1)

a, b = 0

x = −2y

2xy − 1−y + 3x−2xy = 3x(z+2) − 3x(1−y) z+2 3xz+6x 3x(z+2) 3xy y = , z = −2, x = 0 3x(z+2) z+2

+

3x−2xy 3x(z+2)

=

2xy−3x+3xy+3x−2xy 3x(z+2)

94A

L¨ osung 3.5 (a)

a2 +7ab+4b2 3a+6b

a = −2b (b) (c)

2a2 +5ab 4(a+1)

+

−

ab a+2b

4b2 −2ab 8a+8

=

=

a2 +7ab+4b2 3(a+2b)

2a2 +5ab 4(a+1)

3x(x+y) 3x − 4(x−y) = (x−y)(x+y) x−y x+y 2 2 = −x +11xy−4y , x = ±y x2 −y 2

−

+

−

3ab 3(a+2b)

2b2 −ab 4(a+1)

=

4(x−y)(x−y) (x+y)(x−y)

=

a2 +4ab+4b2 3(a+2b)

2a2 +4ab+2b2 4(a+1)

=

=

=

(a+2b)2 3(a+2b)

(a+b)2 , 2(a+1)

=

a = −1

3x2 +3xy−(4x2 −8xy+4y 2 ) (x+y)(x−y)

a+2b , 3

100

94A

L¨ osung 3.6 ·

(a)

1 2

(b)

10 7

(c)

a b

1 4

·

·

1·1 2·4

= ·

5 3

3 b

2 3

=

·

3 12b

(e)

3 a2

(f)

ab2 a+1

(g)

40ab+10c a2 c2

(h)

1 2

·

(i)

3x 4y

(j)

3y 2 3x+1

(l)

=

=

1 1

:

·

·

18a b2

·

2a+2 b2

·

·

3 1

=

1 9

=2

6x2 2y 2

:

21 16xy

4 1

6y 2 12x+4

=

4 2

=

:

70x2 y 4x−2y

=

2(a+1) 1

2y 2 6x2

·

3y 2 3x+1

2x−7y : 25y6x−21y 2 z+30z 2 5y 2 +6z 7 x = 2 y, z = − 56 y2

·

·

3 1

=

·

=

·

·

·

16 2b

= ·

2x−7y 5y 2 +6z

·

2 1

= 6, a, b = 0

=

1 1

a2 b2 +c 3(4ab+c)

·

·

2 1

8 b

a = −1, a, b = 0

16 , b

=

10(a2 b2 +c) , 3a2 c2

=

1 1

·

2y 2 1

2 21

=

4y 2 , 21

1 3x+1

·

4(3x+1) 2

=

1 1

16xy 21

12x+4 6y 2

35xy 2 2(4x−2y)

1 1

·

10(4ab+c) a2 c2

3x 4y

=

18 1

1 a+1

=

·

35xy 2 8x−4y

·

a2 b2 +c 12ab+3c

1 2

:

b = 0

= 6b , b = 0

b 6

16 2ab

100 63

=

3a , b2

=

=

1 4

:

10·5·2 7·3·3

3·a b·b

4b 6

ab2 9

·

1 8

=

=

2

(d)

(k)

95A


=

·

25y 2 z+30z 2 6x−21y

4x−2y 70x2 y

=

y 2

·

1 2x

a, c = 0, c = −4ab

x, y = 0

·

4 2

= 2, x = − 13 , y = 0

=

2x−7y 5y 2 +6z

·

5z(5y 2 +6z) 3(2x−7y)

=

y , 4x

=

1 1

·

5z 3

=

5z , 3

y = 2x, x, y = 0

L¨ osung 3.7 (a)

2 x−y

·

4 x+y

(b)

3 a−b

·

a2 −b2 9

(c)

a+b x

:

y a+b

(d)

x+y x2 −y 2

(e)

(f)

·

=

x−y x+y

2·4 (x−y)(x+y) 2 a+b a+b x

:

= ·

1 x+y

=

8 , x2 −y2

6(a2 −b2 ) 9(a−b)(a+b)

a+b y

=

=

·

6(a2 −b2 ) 9(a2 −b2 )

=

(a+b)2 xy

x+y x2 −y 2

x = ±y = 23 , a = ±b

x, y = 0, a = −b

x+y x−y

·

x+y 1

2 2 2 2x2 +4xy+2y 2 : (x+y) = 2x3x+4xy+2y 2 −6x+3 x−1 3x2 −6x+3 2 = 3(x−1) , x ∈ {−y, 1}

·

=

(x+y)(x+y)(x+y) (x+y)(x−y)(x−y)

x−1 (x+y)2

=

2(x+y)2 3(x−1)2

·

=

(x+y)2 , (x−y)2

x−1 (x+y)2

=

2 3 16x3 −4xy 2 +2xy −4xy 2 12x−6y : 4x = 48x16x 2 +48xy+12y 2 · 4x2 +2xy 12x−6y 48x2 +48xy+12y 2 4x(4x2 −y 2 ) 6(2x−y) 4x(2x−y)(2x+y) 6(2x−y) = 12(4x2 +4xy+y2 ) · 2x(2x+y) = · 2x(2x+y) 12(2x+y)2 2 = 2x−y , y = ±2x, x = 0 2x+y

(g)

:

=

ax+ay−bx−by ax−ay−bx+by

=

a(x+y)−b(x+y) a(x−y)−b(x−y)

=

(a−b)(x+y) (a−b)(x−y)

=

x+y , x−y

a = b, x = y

x = ±y

2 3(x−1)

·

1 1

3.6

(h)

L¨ osungen a − b a+1 b+1 a−b a+b

=

a−b (a+1)(b+1)

= (i)

101

·

a(b+1) (a+1)(b+1) a+b a−b

−

b(a+1) (a+1)(b+1)

a+b (a+1)(b+1)

=

=

·

a+b a−b

=

·

ab+a−ab−b (a+1)(b+1)

a+b a−b

a, b = −1, a = ±b

a+b , ab+a+b+1

ab b ab+2b ab 2b + a+2 + 2(a+2) 2a+4 2(a+2) 2(a+2) = 3a(b−3) = 3a(b−3)−ab(b+3) ab(b+3) a ab − 3(b+3)(b−3) − 3b−9 3(b+3)(b−3) 3(b+3)(b−3) b+3 3(b+3)(b−3) b(a+2) 3(b2 −9) ab+2b b = 2(a+2) · 3a(b−3)−ab(b+3) = 2(a+2) · 3ab−9a−ab 2 −3ab = 2 2 3 3b(b −9) 3b −27b = (−2a)(b 2 +9) = − 18a+2ab2 , a ∈ {0, −2}, b = ±3

·

3(b2 −9) −a(b2 +9)

95A

L¨ osung 3.8 (a) (x − y)(x − y)(x − y)(x − y) = (x − y)4 (b)

1 a

· − a1 ·

1 −a

=

1 a

· − a1 · − a1 =

1 3 a

=

1 , a3

a = 0

(c) (−a2 ) · (−a)2 · (−a)3 = (−a2 ) · a2 · (−a3 ) = a2+2+3 = a7 (d)

xy −z

·

−xy 2 z2

(e) (x + y) (f)

·

−3

x2 (−y) z

=

xy(−x)y 2 x2 (−y) (−z)z 2 z

8

(x + y) (x + y)

−2

=

= (x + y)

x4 y 4 −z 4

=−

−3+8−2

(x−y)−1 (x+y)−2 1 1 · (x−y)3 = (x−y)(x+y) 2 · (x−y)3 (x+y)2 (x+y)2 1 1 = [(x−y)(x+y)]4 = (x2 −y2 )4 , x = ±y

xy 4 z

= (x + y)3 , x = −y

=

1 (x−y)1+3 (x+y)2+2

=

1 (x−y)4 (x+y)4

95A

L¨ osung 3.9 2 3

(a) (a ) = a

2·3

=a

6

(b) ((−2)2 )4 = (−2)2·4 = (−2)8 = 28 = 256 (c) (a2 b)3 = (a2 )3 b3 = a2·3 b3 = a6 b3 (d)

(x−1)3 (1−x)3

=

x−1 1−x

3

=

x−1 −(x−1)

3

= (−1)3 = −1, x = 1

(e) (x−1)4 +7(x−1)4 −12(x−1)4 +3(x−1)4 = (1+7−12+3)(x−1)4 = −(x−1)4 (f) 13(a − 1)3 + 2(1 − a)3 − 8(a − 1)3 + 2(1 − a)3 = (13 − 8)(a − 1)3 + (2 + 2)(1 − a)3 = 5(a − 1)3 + 4(−(a − 1))3 = 5(a − 1)3 − 4(a − 1)3 = (a − 1)3 95A

L¨ osung 3.10 (a) 2 a b · 7 c = (2ab · 7c) = (14abc) 3 3 3

3 3

3

3

(b) x2 yz 3 · xy 2 + (2xyz)3 = x3 y 3 z 3 + 8(xyz)3 = 9(xyz)3 (c) 52 x−1 y3 · 5−2 x2 y −2 =

52 y 3 x

·

x2 52 y 2

= xy, x, y = 0

102


(d) (4(x2 y 2 ))3 − ((2xy)3 )2 = ((2xy)2 )3 − (2xy)2·3 = (2xy)6 − (2xy)6 = 0 (e) 16xy2 ·(2x)2 − 25 x3 y 2 +(8x)2 ·x−1 · (xy)2 = 16xy2 ·4x2 −32x3 y 2 +64x2 x−1 x2 y 2 = 64x3 y2 − 32x3 y 2 + 64x3 y2 = 96x3 y2 , x = 0 (f) −121ab3 − (11a2 b)2 · (−2a−3 b) = −121ab3 − 112 a4 b2 · (−2a−3 b) = −121ab3 + 121 · 2a4−3 b2+1 = −121ab3 + 242ab3 = 121ab3 , a = 0 96A

L¨ osung 3.11 (a)

2a4 an 36

(b)

x7 ·xn y 3 ·y −m

(c)

a3 b2 3

·

(d)

a7 b3

a7+n bn

(e)

an bm a3+n b2+m

xy 2 zn

x7+n y 3−m

=

:

·

an b

(xy)n z4

= xn+7 y −(3−m) = xn+7 y m−3 , y = 0 =

·

(xy)2 (z n )2

=

(2xa )2 5y a

a3 an b2 bm 3a3+n b2+m

a7 b3

=

4xa+1 15xy a−1

(g)

(2x+y)8 (4x2 +4xy+y 2 )6

(h)

(16a2 −36b2 )6 (16a2 −48ab+36b2 )3

:

a4+n 18

=

(f)

(i) 96A

:

2a4+n 36

=

=

=

bn a7+n

·

·

((2x+y)2 )4 ((2x+y)2 )6

=

((x2 +2x+1)(x−1)2 )3 (x2 −1)6

an b

·

z4 (xy)n

4xa 15y a−1

=

=

5y a 4x2a

=

a3+n b2+m 3a3+n b2+m

=

a7 bn an b3 a7+n b

(xy)2 z 4 z2n (xy)n xa 3

=

1 ((2x+y)2 )2

((4a−6b)(4a+6b))6 ((4a−6b)2 )3

=

·

((x+1)2 (x−1)2 )3 [(x−1)(x+1)]6

= 13 , a, b = 0

=

a7+n bn a7+n b4

= bn−4 , a, b = 0

= (xy)2−n z 4−2n , x, y, z = 0 y x2a

=

=

xa−2a y 3

1 , (2x+y)4

x−a y , 3

=

x, y > 0

x = −2y

=

(4a−6b)6 (4a+6b)6 (4a−6b)6

=

(x+1)6 (x−1)6 (x−1)6 (x+1)6

= (4a + 6b)6 , a = 32 b

= 1, x = ±1

L¨ osung 3.12 √ √ √ √ √ √ (a) 2 3 − 5 3 + 12 3 − 4 3 = (2 − 5 + 12 − 4) 3 = 5 3 √ √ √ √ √ √ (b) 15 ab − 12 ab + 6 ab − 8 ab = (15 − 12 + 6 − 8) ab = ab, ab ≥ 0 √ √ √ √ √ √ √ √ √ (c) 12 x − 4x − x = 12 x − 4 x − x = (12 − 2 − 1) x = 9 x, x ≥ 0 √ √ √ √ √ √ √ √ √ (d) 2 75y + 27y − 3 48y = 2 3y 25 + 3y 9 − 3 3y 16 √ √ √ √ = 10 3y + 3 3y − 12 3y = 3y, y ≥ 0

√ √ (e) 3 · 7 · 3 · 7 = (3 · 7)(3 · 7) = (3 · 7)2 = 3 · 7 = 21 √ √ √ √ √ 2 alternativ: 3 · 7 · 3 · 7 = 21 · 21 = 21 = 21

√ √ √ √ (f) 2 · 5 · 3 · 2 · 3 · 5 = 2 · 5 · 3 · 2 · 3 · 5 = (2 · 3 · 5)2 = 2 · 3 · 5 = 30 √ √ √ √ √ (g) 20 · 10 · 2 = 20 · 10 · 2 = 400 = 20 (h)

√

ab ·

√

a·

√

b·

√

= (ab)2 , a, b ≥ 0

a2 b 2 =

√

ab · ab ·

(ab)2 =

(ab)2 ·

(ab)2 =

(ab)2

2

3.6

L¨ osungen

103

L¨ osung 3.13 (a)

√

36a4 b4 :

√

4a2 =

(36a4 b4 ) : (4a2 ) =

96A 36a4 b4 4a2

=

√

9a2 b4 = 3|a|b2 , a = 0

√ √ √ √ (b) x xy · 2y y · 4 x = 8xy xy · y · x = 8xy (xy)2 = 8xy · xy = 8x2 y 2 , x, y ≥ 0 √ √ √ √ √ 2 √ 2 (c) ( x + y− y − z)( x + y+ y − z) = x + y − y − z = (x+y)−(y−z) = x + z, x ≥ −y, y ≥ z (d)

√ √ a− b √ √ a+ b

√

ab+b · a+2a−b = a, b ≥ 0, a = b √

(e) √3 2 45 2 − √ x −y

(f)

√ 16 x−y − 9 √ = 16 9x−y

√

(g)

√ √ a− b √ √ a+ b

√ 4 5 (x−y)(x+y)

·

√ 2 √ √ √ 2 a +2 a b+ b √ 2 √ 2 a − b

√ √ 5 9

= √3

x2 −y 2

√

=

√ √ a− b √ √ a+ b √

− √ 42 5

x −y 2

= 9√ 5−4 2

·

√ 5

x −y2

√ √ ( a+ b)2 √ √ √ √ ( a− b)( a+ b) √

= √ 52 5

x −y 2

= 1,

, x2 > y 2

√ 2 2 √ x −y =

81(x+y) √ − x−y = 9

√ √ √ √ √ (x−y)(x+y) 16 x−y x+y √ √ √ − = 16 9x−y − x−y 9 9 x+y 81 x+y √ √ 15 x−y = 53 x − y, x − y ≥ 0, x + y > 0 9

√ √ √ √ √ √ 12 (x−y)(x+y) x+y √ √ −3 x+y = − 3 x + y = 12 √x−y −3 x+y 9 x−y 9(x−y) √ √ √ = 4 x + y − 3 x + y = x + y, x − y > 0, x + y ≥ 0 12 x2 −y 2 √ 9x−9y

(h) √

3y a+2

+

2x2 +4xy+2y 2

3xya+1 √ 2(x+y)

= √3y

a+2

2(x+y)2

+

3xya+1 √ 2(x+y)

=

a+2 √3y 2|x+y|

+

3xy a+1 √ , 2(x+y)

y>0

F¨ ur |x + y| werden zwei F¨ alle unterschieden: 1 x + y > 0: = 2 x + y < 0: =

3y a+2 √ 2(x+y) −

+

3y a+2 √ 2(x+y)

3xy a+1 √ 2(x+y)

+

=

3xya+1 √ 2(x+y)

3y a+2 +3xy a+1 √ 2(x+y)

=

=

3y a+1 (y+x) √ 2(x+y)

=

3y a+1 (x−y) √ 2(x+y)

97A

L¨ osung 3.14 √ √ √ 3 5 3 (a) 8 = ( 3 8)5 = ( 23 )5 = 25 = 32 (b)

√

a4 =

(a2 )2 =

√

a2 = |a|

4

√ 2 1 2 1 2 a 3 = (a 3 ) 4 = a 12 = a 6 = 6 a, a ≥ 0

√ 1 1 1 1 12 1 2 1 3 1 1 8 2 b · 4 b12 = (a2 b · (b12 ) 4 ) 8 = (a2 ) 8 b 8 (b 4 ) 8 = |a| 8 b 8 b 8 = |a| 4 b 2 (d) a √ 4 = |a| b, b ≥ 0

√ (e) 4 (x + 1)8 · 4 x + 1 = 4 (x + 1)8 (x + 1) = 4 (x + 1)9 , x ≥ −1 (c)

√ 6

(f)

8

x4 ·

y6 ·

√ 3

x2

√ 9

y2

x ·(x ) = 4

1 2 3 1

y 6 ·(y 2 ) 9

1 6 1 8

4

=

2

|x| 6 ·|x| 18 6 |y| 8

3y a+1 √ 2

2 ·|y| 72

7

=

|x| 9 7 |y| 9

=

7 9 x y , y = 0

104


5

(g)

x2 · 3

√ 3

y2 ·

2

= (h)

√ x9 · x45

6

y6

9

2 y3

45

a2 −4b2 √ a9 −b· 16a2 b2 2

√ 3

x3 ·

x18

√ 6

5

36

3 x4

18 ·x 24

x · x ·(x ) = 2

=

· √1 3 = a

·

4 y3

1 5

1 3

1

x2

1 3

1 45 2

9

y 2 ·(y 6 ) 3

5

y 6 ·y 24

·

6 ·y 9

y 36

· √ 4

√ 3

x 5 ·x 15 ·x 30

√

y5 · 4

y ·

5

1

·(y 36 ) 4 1

x3 ·(x18 ) 6

√ (3+5 a)2 9−25a

= 97A

97A

97A

1 6 1 4

7

y3

= xy, x, y > 0

3

x2

a2 −4b2 a3 −b·4|ab|

· √1 3 = a

a2 −4b2 a3 −4ab|b|

a2 −4b2 a2 −4b|b|

· √1 3 = a

a = 4b|b|. F¨ ur b > 0 vereinfacht sich dies wegen b = |b| zu (i)

2

2

a −4b a2 −4b2

√ 2 √ √ a) 12−20 a √ √ 4(3−5√ a) √ = 3(3+5 √ 2 −(5 a)2 · 4 32 +2·3·5 a+(5 a)2 36+120 a+100a √ √ √ √ (3+5 a)2 4(3−5 a) 3+5 a √ √ · √ √ 2 = 3+5√a = 1, da 3 + 5 a > 0, (3+5 a)(3−5 a) 4 (3+5 a)

· √1 5 , a > 0, a

· √1 5 = a

√1 . a5

·√

a ≥ 0, a =

9 25

L¨ osung 3.15 √ a a √ √ a a

(a)

√a a

(b)

√5 ab

(c)

4 √ 3 2

(d)

28 √ 4+ 2

(e)

√ √ 2( 5− 3) √ √ 5+ 3

= = =

√ ab √5 √ ab ab

1 23

L¨ osung 3.16

=

5

=

=

4·2 3

1 23

2 ·2 3

ab , ab

=

√ 28(4− 2) √ √ (4+ 2)(4− 2)

=

√ a, a > 0

√

2

4

=

√ a a a

=

ab > 0

√ 2 4· 3 2 2

=

√ =234

√ 28(4− 2) √ 2 42 − 2

√ √ √ √ 2( 5− 3)( 5− 3) √ √ √ √ ( 5+ 3)( 5− 3)

=

=

√ 28(4− 2) 14

= 2(4 −

√ 2 √ √ √ 2 2( 5 −2 3 5+ 3 ) √ 2 √ 2 5 − 3

√

√ 2) = 8 − 2 2

√ 2(5−2 3·5+3) 5−3

=

√ = 8 − 2 15

logb (a) = c ⇐⇒ bc = a

(a) log2 (4) = 2

(c) log2 ( 18 ) = −3

(b) log4 (64) = 3

(d) log4 (2) =

(e) log7 (7n ) = n

1 2

L¨ osung 3.17 (a) logx (3) + logx (4) = logx (3 · 4) = logx (12), x > 0, x = 1 (b) logy (10) − logy (5) = logy ( 10 ) = logy (2), y > 0, y = 1 5 (c) loga (u) + loga2 (u) = loga (u) + a, u > 0, a = 1

loga (u) loga (a2 )

= loga (u) +

1 2

loga (u) =

(d) 2 loga (4) + logb (4) − 3 loga (2) + 2 logb (5) = loga (42 ) + logb (4) − loga (23 ) + logb (52 ) = loga (16) + logb (4) − loga (8) + logb (25) = loga ( 16 ) + logb (4 · 25) 8 = loga (2) + logb (100) = loga (2) + 2 logb (10), a, b > 0, a, b = 1

3 2

loga (u),

3.6

(e)

L¨ osungen

105

loga (x) − 19 loga (x3 ) + 2 loga (x) − 14 loga (x4 ) 1 3 4 1 1 = loga (x 3 ) − loga (x 9 ) + loga (x2 ) − loga (x 4 ) = loga (x 3 x− 3 x2 x−1 ) = loga (x), a, x > 0, a = 1 1 3

(f) 2 loga (3x) + loga (3x) + 4 loga (2x) − 12 loga (64x2 ) = loga ((3x)2 ) + loga (3x) + loga ((2x)4 ) − loga (8x) = loga 9x2 · 3x · 16x4 · = loga (54x6 ), a, x > 0, a = 1

L¨ osung 3.18 (a) ln

1 5

(b) ln

4

1

= ln ( 15 ) 2

a2 c bd2

= ln

1

=

1

1

1 b4

1 d2

1 2

ln

1 5

= 12 (ln(1) − ln(5)) = − 12 ln(5) 1

1

= ln a 2 c 4

1

1

2

√ 5 a 5 b a 5 c4

= lg(3) + lg

3

1

1

− ln b 4 d 2

1

= ln(a 2 ) + ln(c 4 ) − (ln(b 4 ) + ln(d 2 )) = (c) lg 3

97A

a2 c4

4 3

1 8x

1 2

3 2

√ 5 a5 b a5 c4 = lg(3) + √

5 = lg(3) + 14 lg(2) + 14 · 13 lg a5 b a5 c4

ln(a) +

1 4

√ 5 a5 b a5 c4

ln(c) −

1

1 4

lg 2

1 4

= lg(3) +

1 4

lg(2) +

1 12

= lg(3) + = lg(3) + = lg(3) +

1 4 1 4 1 4

lg(2) + lg(2) + lg(2) +

4 5 1 1 lg(a) + 12 lg(b) + 12 lg(ac 5 ) 12 5 1 1 lg(a) + 12 lg(b) + 12 (lg(a) + 12 1 1 1 lg(a) + lg(b) + lg(c) 2 12 15

ln(b) −

1 2

ln(d)

4

= lg(3) +

1 4

lg(2) + lg

13 √ 5 a5 b a5 c4

√ 5 lg(a5 ) + lg(b) + lg( a5 c4 ) 4

lg(c 5 ))

Kapitel 4 Summen- und Produktzeichen

4

4

4

Summen- und Produktzeichen

4.1

Summenzeichen .................................................. 109

4.2

Produktzeichen ................................................... 127

4.3

Fakultäten und Binomialkoeffizienten........................ 133

4.4

Aufgaben .......................................................... 137

4.5

Lösungen .......................................................... 140

109

4.1

Summenzeichen

109

4 Summen- und Produktzeichen 4.1

4.1 Summenzeichen

Das Summenzeichen dient der Vereinfachung der Notation, wenn viele Zahlen gleicher Struktur summiert werden. Die Summe aller geraden Zahlen von 2 bis 20 kann beispielsweise durch Auflistung aller Summanden explizit angegeben werden 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 + 16 + 18 + 20. Bei einer noch gr¨ oßeren Anzahl von Summanden wird diese Darstellung zunehmend un¨ ubersichtlich, so dass oft die abk¨ urzende Schreibweise 2 + 4 + 6 + · · · + 20 verwendet wird. Durch die Angabe der ersten Summanden ist das Bildungsgesetz der Summanden erkennbar, die letzte Zahl legt das Summationsende fest. Das Summenzeichen verwendet die selben Informationen zur Festlegung der Summe. Im obigen Beispiel ist der i-te Summand das Doppelte 2i der Zahl i. Dieses Bildungsgesetz wird in die Summenzeichen-Schreibweise direkt aufgenommen, wobei zus¨ atzlich Summationsanfang und -ende angegeben werden: 10 '

2i = 2 · 1 + 2 · 2 + 2 · 3 + · · · + 2 · 10 = 2 + 4 + 6 + · · · + 20.

i= 1

¨ Wesentlich bei der Ubersetzung“ des Symbols ist, dass beginnend beim An” fang (hier i = 1 mit Summand 2 · 1 = 2) die Zahlen 2i addiert werden bis der letzte Index (hier i = 10 mit Summand 2 · 10 = 20) erreicht ist. Zusammenfassend besteht die Summenzeichendarstellung daher aus den Elementen Bildungsgesetz der Summanden (im Beispiel 2i), Summationsvariable (im Beispiel i), Summationsanfang (im Beispiel i = 1) und Summationsende (im Beispiel i = 10). Diese kompakte Notation wird in der folgenden Bezeichnung eingef¨ uhrt. Bezeichnung Summenzeichen Seien a1 , . . . , an reelle Zahlen und n ≥ 2 eine nat¨ urliche Zahl. Die Summe der Zahlen a1 , . . . , an wird bezeichnet mit n '

ai = a1 + · · · + an .∗

i=1 ∗ lies:

Summe der Zahlen ai von i gleich 1 bis n.

110

4. Summen- und Produktzeichen

Das Zeichen Σ (großes griechisches Sigma) wird Summenzeichen genannt. Die weiteren Bestandteile der Notation können folgender Darstellung entnommen werden:

'

obere Summationsgrenze n '

ai

=

i-ter Summand.

i=1

Summationsindex = untere Summationsgrenze

Der Summationsindex heißt auch Laufindex.∗ B

Beispiel

(i) 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 =

6

i

i=1 3

(ii) 4 + 16 + 64 = 41 + 42 + 43 =

4i

i=1

(iii)

2

log2 (i) = log2 (1) + log2 (2) = 0 + 1 = 1

i=1

(iv)

3 1 i=1

B

i

−

1 i+1

= 1−

1 2

+

1 2

−

1 3

+

1 3

−

1 4

=1−

1 4

=

B

3 4

Beispiel Arithmetisches Mittel, empirische Standardabweichung In der Statistik wird das Summenzeichen in vielen Notationen verwendet. Beispiele sind das arithmetische Mittel x und die empirische Standardabweichung s von Messwerten x1 , . . . , xn : ( ) n n ' )1 ' 1 x= xi , s=* (xi − x)2 . n i=1 n i=1

Das arithmetische Mittel x beschreibt das Zentrum des Datensatzes x1 , . . . , xn , während die empirische Standardabweichung ein Maß f¨ ur die Streuung der Messwerte um dieses Zentrum ist. Bei einer Verkehrskontrolle wurden folgende Geschwindigkeiten der ersten zehn gemessenen Fahrzeuge ermittelt: Fahrzeug Nr. i Geschwindigkeit xi

1 55

2 76

3 47

4 52

5 49

6 48

7 50

8 62

9 47

10 55

∗ Die Summationsgrenzen beziehen sich auf den Laufindex und nicht auf das Bildungsgesetz der Summanden.

4.1

Summenzeichen

111

Daraus ergibt sich eine mittlere Geschwindigkeit dieser Fahrzeuge von 1 ' 1 x= xi = (55 + 76 + 47 + · · · + 55) = 54,1. 10 i=1 10 10

Zur Berechnung der Streuung wird die quadratische Abweichung (xi − x)2 jedes Messwerts xi vom arithmetischen Mittel x bestimmt: Fahrzeug Nr. i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Abweichung (xi − x)2 0,81 479,61 50,41 4,41 26,01 37,21 16,81 62,41 50,41 0,81

Daraus ergibt sich schließlich + " 1 s= (0,81 + 479,61 + · · · + 0,81) = 72,89 ≈ 8,54. 10

B

Als Summationsgrenzen k¨ onnen beliebige ganze Zahlen eingesetzt werden. F¨ ur eine untere Summationsgrenze m ∈ Z mit m kleiner oder gleich n−1 ∈ Z und reelle Zahlen am , . . . , an wird das Summenzeichen definiert als n '

ai = a m + · · · + an .

i= m

Die Zahl m gibt also den Index des ersten Summanden an. Beispiel

B

(i) 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 = 20 + 21 + 22 + 23 + 24 + 25 =

5

2j

j=0

(ii) 3 + 6 + 9 + 12 + 15 + 18 + 21 =

6 k=0

(iii)

2

(3k + 3) =

6

3(k + 1)

k=0

(−i)2 = 22 + 12 + 02 + (−1)2 + (−2)2 = 4 + 1 + 0 + 1 + 4 = 10

i=−2

(iv)

4

xj = x0 + x1 + x2 + x3 + x4 = 1 + x + x2 + x3 + x4

j=0

(v)

n j=1

(vi)

n j=0

1 = 1 + ··· + 1 = n n-mal

1 = 1 + ··· + 1 = n + 1 (n+1)-mal

B

112


Zur Vereinheitlichung der Notation werden noch einige Sonderfälle betrachtet. Seien am , . . . , an wiederum reelle Zahlen und n, m ganze Zahlen. 1

Ist die untere Summationsgrenze gleich der oberen, bedeutet dies, dass die Summe nur aus einer Zahl (etwa aj ) besteht j '

ai = aj .

i=j

2

Ist die untere Summationsgrenze gr¨ oßer als die obere Summationsgrenze, wird das Ergebnis der Summe als Null definiert. Daher gilt z.B. 1 '

ai = 0

oder

i=3

n−1 '

ai = 0.

i=n

Dies ist eine Vereinbarung, die in vielen F¨ allen n¨ utzlich ist und Fallunterscheidungen u ussig macht. Beispielsweise gilt somit ¨berfl¨ 5 ' i=5

i = 5,

9 '

−2 '

i2 = 0,

j=50

(2i + 1) = 2 · (−2) + 1 = −3.

i=−2

Die Notation lässt sich noch verallgemeinern. Zu diesem Zweck seien I eine Teilmenge der ganzen Zahlen Z und ai , i ∈ I, reelle Zahlen. Dann bezeichnet ' ai ∗ i∈I

die Summe aller Zahlen ai , deren Index i in der Menge I enthalten ist. i heißt Summationsindex, ai heißt Summand und I wird als Summationsmenge bezeichnet. F¨ ur nicht endliche Indexmengen ist zu beachten, ob die zu bildende Summe sinnvoll ist. Diese Fragestellung wird in 307Abschnitt 9.2 unter dem Thema Reihen behandelt. F¨ ur eine leere Indexmenge I = ∅ wird ' ai = 0 i∈∅

vereinbart. F¨ ur die Indexmenge I = {m, . . . , n} mit einem m ∈ Z kleiner oder gleich n ∈ Z resultiert die bekannte Notation ' i∈I ∗ lies:

ai =

n '

ai .

i=m

Summe der Zahlen ai mit Index i aus der Menge I.

4.1

Summenzeichen

113

Beispiel

B

(i) F¨ ur I = {2, 5, 7, 12, 15} gilt ' i = 2 + 5 + 7 + 12 + 15 = 41,

'

i∈I

x2i = x4 + x10 + x14 + x24 + x30 .

i∈I

(ii) Ist I = {k | k = 2n, n ∈ N} = {2, 4, 6, . . .} die Menge der geraden Zahlen, so gilt ' 1 1 1 1 1 1 1 = 2 + 2 + 2 + ··· = + + + ··· B i2 2 4 6 4 16 36 i∈I

Rechenregeln f¨ ur das Summenzeichen Seien a1 , . . . , an , b1 , . . . , bn , c, d reelle Zahlen und n eine nat¨ urliche Zahl. F¨ ur das Summenzeichen gelten folgende Rechenregeln: 1.

n '

ai =

k '

i=1

2.

n '

i=1

n '

, (c · ai ) = c

n '

n '

ai

i=1

(ai + bi ) =

i=1

4.

ai mit k ∈ {1, . . . , n}

i=k+1

i=1

3.

n '

ai +

n '

ai +

i=1

n '

bi

i=1

(c · ai + d · bi ) = c

i=1

n '

ai + d

n '

i=1

bi

i=1

Nachweis. 1. Sei zun¨ achst k ∈ {1, . . . , n − 1}. Durch Aufteilen der Summe in die ersten k Summanden und die verbleibenden n − k Summanden resultiert die gew¨ unschte Rechenregel: n

ai = a1 + · · · + ak + ak+1 + · · · + an =

i=1

1. Summe

2. Summe

k i=1

ai +

n

ai .

i=k+1

Die Regel ist auch f¨ ur k = n richtig, da dann die zweite Summe per Definition Null gesetzt ist. Beispiel

12 i=1

i = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 =

1. Summe

2. Summe

5 i=1

i+

12 i=6

i.

114


2. Die Regel ergibt sich durch Ausklammern des Faktors c aus jedem Summanden: n

n

(c · ai ) = (c · a1 ) + · · · + (c · an ) = c · (a1 + · · · + an ) = c

i=1

6

Beispiel

ai . i=1

(3i) = 3 + 6 + 9 + 12 + 15 + 18 = 3 · (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) = 3

i=1

6

i.

i=1

3. Diese Vorschrift beruht auf dem Umsortieren der Summanden in einer (endlichen) Summe: n

(ai + bi ) = (a1 + b1 ) + · · · + (an + bn ) i=1 n

4

Beispiel

n

= (a1 + · · · + an ) + (b1 + · · · + bn ) =

ai +

bi .

i=1

i=1

(i + i2 ) = (1 + 1) + (2 + 4) + (3 + 9) + (4 + 16)

i=1

4

= (1 + 2 + 3 + 4) + (1 + 4 + 9 + 16) =

4

i+

i=1

i2 .

i=1

4. Das Ergebnis resultiert durch Kombination der vorstehenden Resultate: n

n

n

(c · ai + d · bi ) = i=1

n

(c · ai ) + i=1

n

(d · bi ) = c · i=1

ai + d · i=1

bi .

i=1

Die obigen Regeln gelten auch f¨ ur Summen mit einem Summenzeichen der n Art . i=m

B

Beispiel

(i)

10

2=2

i=1

(ii)

4

i=1

(i − 2) =

i=0

(iii)

10

3

1 = 2(1 + · · · + 1) = 2 · 10 = 20 10-mal 4

i−

i=0

4

(2(i + 1) − i2 ) = 2

i=1

2 = (0 + 1 + 2 + 3 + 4) − 5 · 2 = 10 − 10 = 0

i=0 3

(i + 1) −

i=1

3

i2 = 2

i=1

3 i=1

3

i+2

i=1

= 2(1 + 2 + 3) + 2 · 3 − (1 + 4 + 9) = 12 + 6 − 14 = 4 (iv)

100

(2i + 3) −

i=2 100

=

100 i=2

(5i − 3) −

100

(3 − 3i) =

i=2

(2i + 3 − 5i + 3 − 3 + 3i) =

i=2

100 i=2

100

1−

3

i2

i=1

[(2i + 3) − (5i − 3) − (3 − 3i)]

i=2

3 = 99 · 3 = 297

4.1

(v)

Summenzeichen 20

(i3 + 1) −

i=1

=

20

20

115

(i − 1)3 − 3

i=1

20

20

i2 +

i=1

3i =

i=1

20

[i3 + 1 − (i − 1)3 − 3i2 + 3i]

i=1

[i3 + 1 − (i3 − 3i2 + 3i − 1) − 3i2 + 3i] =

i=1

20

2 = 20 · 2 = 40, wobei

i=1

die 135Formel (i − 1) = i − 3i + 3i − 1 benutzt wurde. . / 10 10 9 9 (vi) 3 i2 − 6 i−3 i(i − 2) = 3 102 − 2 · 10 + i2 − 2i − i(i − 2) i=1 i=1 i=1 i=1 3

3

2

=0

= 3 · (100 − 20 + 0) = 240

In den beiden Summen mit Summationsobergrenze 10 wird jeweils der letzte Summand (i = 10) aus der Summenzeichen-Schreibweise herausgenommen und separat aufgef¨ uhrt. Anschließend haben alle Summen die selben Summationsunter- und obergrenzen und können in einer Summe zusammengefasst werden. B Beispiel Linearit¨ at des arithmetischen Mittels Seien a, b ∈ R und y1 , . . . , yn ein linear transformierter Datensatz von x1 , . . . , xn , d.h.

yi = axi + b,

B

i ∈ {1, . . . , n}.

Das arithmetische Mittel y der Daten y1 , . . . , yn ist gegeben durch y = ax + b. Diese Linearitätseigenschaft beruht auf den 113Rechenregeln f¨ ur Summen: , n n n n 1' 1' 1' 1' y= yi = (axi + b) = a xi + b = ax + b. B n i=1 n i=1 n i=1 n i=1 Beispiel Empirische Varianz, Die empirische Varianz s2 ist definiert als (vgl. 110empirische Standardabweichung) die Summe s2 =

1 n

n

(xi −x)2 . Mittels

i=1

der obigen Regeln ergibt sich unter Beachtung der 16binomischen Formeln eine alternative Berechnungsvorschrift: 1' 1 ' 2 s = (xi − x)2 = x − 2xi x + x2 n i=1 n i=1 i n

n

2

1' 2 1' 1 1' 2 xi − 2x · xi + nx2 = x − 2x2 + x2 n i=1 n i=1 n n i=1 i n

=

n

n

=x n 1' 2 = x − x2 = x2 − x2 . n i=1 i

B

B

116


Indexverschiebung

Gelegentlich ist es n¨ utzlich, die Summationsgrenzen zu verschieben. Das Verfahren beruht auf einer Darstellung 2 '

ai = a 1 + a 2 = a 3 −2 + a 4 −2 =

i= 1

4 '

ai−2 .

i= 3

F¨ ur reelle Zahlen a1 , . . . , an gilt z.B.: n ' i=1

ai =

n−1 '

ai+1 =

n+1 '

i=0

ai−1 = · · ·

i=2

Durch Einsetzen der Summationsgrenzen wird deutlich, dass es sich in allen Fällen um die selbe Summe handelt. Eine solche Manipulation heißt Indexverschiebung. Allgemein kann eine Verschiebung um einen beliebigen Wert k nach unten bzw. nach oben erfolgen. Bei einer Verschiebung um k Einheiten nach unten ergibt sich n '

n −k

ai =

'

ai +k ,

i=1 −k

i=1

bei einer Verschiebung um k Einheiten nach oben lautet das Resultat n ' i=1

'

n +k

ai =

ai −k .

i=1 +k

Zusammenfassend ergibt sich f¨ ur eine Indexverschiebung die folgende Regel.

Indexverschiebung 1. Die obere und untere Summationsgrenze werden um den gleichen Wert k erniedrigt bzw. erh¨ oht. 2. Der Summationsindex i wird in der Summation bei jedem Auftreten durch i +k bzw. i− k ersetzt. Dabei ist insbesondere auf Minuszeichen vor dem Index i zu achten (1 − i wird zu 1 − (i + k) = 1 − i − k bzw. zu 1 − (i − k) = 1 − i + k). Analog wird bei 130Produkten (Produktzeichen) und bei 307unendlichen Summen (Reihen) verfahren.

4.1

Summenzeichen

117

Beispiel

(i)

4

B

(i − 1) =

i=1

(ii)

10

4 −1 i=1 −1

(2i − 3) − 2

i=3

=

8

8

(iii)

k i=2

(iv)

n

8 i=1

8

i−8

i=1

8

(2i + 1) =

i=1 k−2

(2(i + 2) − 3) − 2

[(2i + 1) − (2i + 1)] = 0

i=1

xi

i=0

2k −

k=1

(v)

i−8=

(2i + 1) −

xi−2 =

i=0+1+2+3=6

i=0

i=1 8

i=1

3

(i +1 − 1) =

n+1

2k−2 =

k=2

n

n−1

2k −

k=1

2k =

k=0

n−1

2k + 2n − 20 −

k=1

n−1

2k = 2n − 1

k=1

n

n n n n−1 (ai − ai−1 ) = ai − ai−1 = ai − ai i=1 i=1 i=1 i=1 i=0 n−1 n−1 = ai + an − a0 + ai = an − a0 i=1

i=1

Derartige Summen werden als Teleskopsummen bezeichnet. Einsetzen von ai = 2i ergibt als direkte Anwendung dieser Regel n ' (2i − 2i−1 ) = 2n − 1. i=1

Daraus folgt auch das Resultat: 2 −1= n

n '

(2 − 2 i

i−1

)=

i=1

n '

2

i−1

(2 − 1) =

i=1

n '

2

i−1

i=1

=

n−1 '

2i .

B

i=0

Spezielle Summen

Seien a1 , . . . , an , c reelle Zahlen und n eine nat¨ urliche Zahl. 1. Sind alle ai gleich einem Wert c, d.h. gilt ai = c f¨ ur jedes i, lässt sich die Summe u ¨ber alle ai schreiben als n n ' ' ai = c = c + · · · + c = n · c. i=1

i=1

Speziell f¨ ur c = 1 ergibt sich

n−mal

n

1 = n, d.h. die Summe u ¨ber 1 von i gleich

i=1

1 bis n entspricht der Anzahl der Summanden. Beginnt die Summation beim Index j (≤ n), resultiert die Identit¨ at n ' i=j

ai =

n ' i=j

c = (n − j + 1) · c.

118


2. Sind alle ai gleich ihrem Index i, d.h. gilt ai = i f¨ ur jedes i, lässt sich die Summe u ber alle a schreiben als ¨ i n n ' ' n(n + 1) ai = i= . 2 i=1

i=1

Die Summe heißt arithmetische Summe. Dieses Ergebnis wird nachstehend 119grafisch illustriert. 3. Sind alle ai gleich dem Quadrat ihres Index i, d.h. gilt ai = i2 f¨ ur jedes i, lässt sich die Summe u ¨ ber alle ai schreiben als n '

ai =

i=1

n '

i2 =

i=1

n(n + 1)(2n + 1) . 6

4. Sind alle ai gleich der i-ten Potenz einer Zahl c, die von 1 verschieden ist, d.h. gilt ai = ci f¨ ur jedes i mit c = 1, l¨ asst sich die Summe u ¨ber alle ai schreiben als n n ' ' 1 − cn+1 c − cn+1 ai = ci = −1= . 1−c 1−c i=1 i=1 Wegen c0 = 1 lautet die Summe u ¨ber a0 , a1 , . . . , an mit a0 = 1 n '

ai =

i=0

n '

ci =

i=0

1 − cn+1 . 1−c

Diese Summe heißt geometrische Summe. Nachweis. Der Nachweis dieser Eigenschaft beruht auf der Beziehung (1 − c)

n

ci =

i=0

n

n

i=0

i=0

(1 − c)ci =

(ci − ci+1 )

(∗)

=

n

ci −

i=0

= c0 +

n

n

ci+1 =

i=0

ci −

i=1

n

n i=0

n+1

ci −

ci

i=1

ci − cn+1 = 1 − cn+1 .

i=1

Division beider Seiten durch 1 − c liefert das gew¨ unschte Resultat. Alternativ kann direkt benutzt werden, dass (∗) eine Teleskopsumme ist.

B

Beispiel

(i)

7 i=1

i(i − 1) =

7 i=1

i2 −

7 i=1

i=

7·8·15 6

−

7·8 2

= 140 − 28 = 112

4.1

(ii)

Summenzeichen 5 i=1

(iii)

10

1 2i

=

5 1

i

2

i=1

119 5+1

=

((i − 3)2 − 2i ) =

i=3

1−( 12 ) 1− 12 7

−1 =

(∗)

(i2 − 2i+3 ) =

i=0

= 140 − 8 ·

7

1− 216 1 2

7

−1 = 2− i2 −

i=0

i= 1

2i = 140 − 8 ·

i=0

1−28 1−2

7

1 25

−1 = 1−

2i+3 =

7·8·15 6

1 32

− 23 ·

= 7

31 32

2i

i=0

= 140 − 8 · 255 = −1 900

In (∗) wird 02 = 0 benutzt, d.h. der erste Summand ist gleich Null und kann daher weggelassen werden. B Illustration einer Summenformel

Die Summenformel

n

i =

i=1

n(n+1) 2

¨ kann durch geometrische Uberlegungen

veranschaulicht werden. Begonnen wird im ersten Schritt mit Rechtecken der Kantenlänge 1 und 1 (Einheitsquadrat), die aufeinander gestapelt werden und damit ein aufrecht stehendes Rechteck mit Kantenlänge 1 (unten) und 2 (links) bilden (s. 119Tabelle). Im zweiten Schritt werden dann jeweils ein Rechteck mit Kantenl¨ angen 2 und 1 links und rechts angef¨ ugt, so dass ein Rechteck mit den Kantenl¨ angen 3 (unten) und 2 (links) entsteht. Die nächsten Rechtecke haben Kantenl¨ angen 1 und 3 und werden oben bzw. unten angelegt. Dieses Verfahren wird – wie in der Tabelle angedeutet – fortgesetzt. Im n-ten Schritt werden jeweils Rechtecke mit Kantenlänge n oben/unten bzw. rechts/links angef¨ ugt. Durch Multiplikation der Kantenlängen des Rechtecks n und n + 1 resultiert seine Fl¨ ache n(n + 1), die der Anzahl von Einheitsquadraten entspricht. Da im i-ten Schritt 2i Einheitsquadrate dazu kommen, n n liegen im n-ten Schritt insgesamt (2i) = 2 i Quadrate vor, so dass die i=1

i=1

obige Summenformel entsteht. Ein Beweis kann mit Hilfe der vollständigen Induktion (s. Kamps et al. (2003)) erfolgen. n n(n+1) 2

1 1

2 3

3 6

1 2

3 2

3 4

2

6

12

Rechteck Obere Kante Linke Kante Anzahl Einheitsquadrate

120


n n(n+1) 2

4 10

5 15

6 21

5 4

5 6

7 6

20

30

42

Rechteck Obere Kante Linke Kante Anzahl Einheitsquadrate

Anwendungen des Summenzeichens in der Statistik

Im Folgenden werden einige Anwendungsbereiche des Summenzeichens in der Statistik vorgestellt. F¨ ur detaillierte Informationen sei auf die Erläuterungen der Begriffe in Burkschat et al. (2004) bzw. im System EMILeA-stat verwiesen. B

Beispiel Mittel Seien x1 , . . . , xn reelle Zahlen und n eine nat¨ urliche Zahl. n

1. Wie bereits eingef¨ uhrt, heißt die Summe

xi dieser Zahlen dividiert

i=1

durch ihre Anzahl n arithmetisches Mittel 1' xi . n i=1 n

x=

2. Sind p1 , . . . , pn nicht-negative Zahlen mit S =

n

pi > 0, heißt

i=1

xg =

n 1' p i xi S i=1

gewichtetes arithmetisches Mittel. Oft wird angenommen, dass die Gen wichte p1 , . . . , pn die Bedingung pi = 1 erf¨ ullen, so dass das gewichtete i=1

arithmetische Mittel in dieser Situation lautet xg =

n ' i=1

pi xi .

4.1

Summenzeichen

121 n

3. Sind x1 , . . . , xn positiv, wird die Summe

i=1

1 xi

der Kehrwerte

1 1 x1 , . . . , xn

dieser Zahlen zur Definition des harmonischen Mittels verwendet: xharm = 1 n

1 n i=1

B

. 1 xi

Beispiel H¨ aufigkeiten Das Summenzeichen erweist sich auch bei der Auswertung von 10absoluten und 18relativen Häufigkeiten als sehr n¨ utzlich. Seien f1 , . . . , fn relative H¨ aufigkeiten von Ausprägungen x1 , . . . , xn (xi = i sei etwa die Jahrgangsstufe (i ∈ {1, 2, 3, · · · , 13}), und fi bezeichne den Anteil von Sch¨ ulerInnen in einer Stadt, die in dieser Jahrgangsstufe sind). Dann bezeichnet k ' fi

B

i=1

den Anteil der Auspr¨ agungen x1 , . . . , xk , k ∈ {1, . . . , n}. Bezogen auf das k Schulbeispiel bedeutet dies, dass fi den Anteil von Sch¨ ulerInnen beschreibt, i=1

die höchstens in Jahrgangsstufe k sind. Wegen dieser Anhäufung“ (Kumu” k lierung) von Häufigkeiten werden die Werte fi , k ∈ {1, . . . , n}, auch als i=1

B

kumulierte Häufigkeiten bezeichnet.

In der Wahrscheinlichkeitsrechnung tritt das Summenzeichen als Normierungsbedingung f¨ ur diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen auf. Bezeichnung Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung Seien n eine nat¨ urliche Zahl, x1 < · · · < xn verschiedene reelle Zahlen und p1 , . . . , pn nicht-negativ.

Dann heißt das n-Tupel (p1 , . . . , pn ) (diskrete) Wahrscheinlichkeitsverteilung auf n {x1 , . . . , xn }, falls pi = 1 gilt. Die Zahl pi heißt Wahrscheinlichkeit von xi . i=1

Die obigen Begriffe werden in der Praxis folgendermaßen interpretiert: Bei einem Zufallsexperiment sind die Ausg¨ ange x1 , . . . , xn möglich, wobei das n Ergebnis xi mit Wahrscheinlichkeit pi auftrete und pi = 1 gelte. Andere i=1

Ausgänge des Experiments treten nicht bzw. nur mit Wahrscheinlichkeit Null auf.

122

B


Beispiel Einfacher W¨ urfelwurf Der einfache W¨ urfelwurf wird in der Wahrscheinlichkeitsrechnung auf folgende Weise modelliert. Als Ergebnisse treten die Ziffern (Augenzahlen) 1, · · · , 6 auf, die in der 43Grundmenge Ω = {1, . . . , 6} zusammengefasst werden. Bei Verwendung eines fairen W¨ urfels wird angenommen, dass jede Seite mit gleicher Wahrscheinlichkeit auftritt. Die Wahrscheinlichkeit agt somit f¨ ur jede Seite i jeweils 16 , d.h. pi = 16 1 pi1 betr¨ f¨ ur i ∈ Ω. Damit ist 6 , 6 , 16 , 16 , 16 , 16 die zugehörige Wahrscheinlichkeitsverteilung auf Ω. B

Eine wichtige diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung ist die Gleichverteilung auf n verschiedenen Werten, die den einfachen W¨ urfelwurf erweitert. F¨ ur n = 2 resultiert ein Modell f¨ ur den einfachen M¨ unzwurf mit einer symmetrischen M¨ unze und den Ergebnissen Kopf und Zahl.

Bezeichnung Gleichverteilung Seien x1 , . . . , xn verschiedene reelle Zahlen. Die (diskrete) Gleichverteilung auf dem Grundraum Ω = {x1 , . . . , xn } ist definiert durch das Tupel (p1 , . . . , pn ) = n1 , . . . , n1 , d.h. die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses xi hat jeweils den selben Wert pi = n1 .

Wegen

1 n

≥ 0 und

n i=1

pi =

n i=1

1 n

=

1 n

· n = 1 erf¨ ullt die diskrete Gleich-

verteilung die Anforderung an eine Wahrscheinlichkeitsverteilung. Sie ist in der Wahrscheinlichkeitsrechnung von Bedeutung, da mit ihrer Hilfe der so genannte Laplace-Raum eingef¨ uhrt wird. Sie heißt deshalb auch LaplaceVerteilung. Die Wahrscheinlichkeit eines 43Ereignisses (d.h. einer Menge von Ergebnissen) wird dann definiert als Anzahl g¨ unstiger Fälle . Anzahl m¨ oglicher Fälle Bezeichnet A die Menge der g¨ unstigen F¨ alle, so gilt mit Ω als der Menge der möglichen Fälle die Rechenregel Wahrscheinlichkeit von A =

|A| , |Ω|

wobei |A| die 45M¨ achtigkeit der Menge A ist. Das Berechnen einer Wahrscheinlichkeit wird somit auf das Abz¨ ahlen der g¨ unstigen Ergebnisse reduziert. B

Beispiel Beim einfachen W¨ urfelwurf betr¨ agt die Wahrscheinlichkeit, eine gerade Zahl zu w¨ urfeln, 12 , denn die Menge der g¨ unstigen Ergebnisse A = {2, 4, 6} hat drei Elemente, die Menge der möglichen Ergebnisse Ω =

4.1

Summenzeichen

123

3 1 {1, . . . , 6} hat sechs Elemente, d.h. |A| |Ω| = 6 = 2 . Entsprechend hat das Ereignis B mindestens eine F¨ unf zu w¨ urfeln die Wahrscheinlichkeit

|B| |{5, 6}| 2 1 = = = . |Ω| 6 6 3

B

F¨ ur Wahrscheinlichkeitsverteilungen werden Kenngrößen definiert, die Aussagen u ¨ber den mittleren Ausgang eines Zufallsexperiments bzw. die Abweichung von diesem mittleren Ergebnis treffen. Bezeichnung Erwartungswert, Varianz, Standardabweichung Sei p1 , . . . , pn eine Wahrscheinlichkeitsverteilung auf den verschiedenen Zahlen x1 , . . . , xn . Dann heißt das gewichtete arithmetische Mittel der Ausgänge des Experiments

E=

n '

p i xi

i=1

Erwartungswert des Zufallsexperiments. Die Größen

v=

n '

pi (xi − E)2

bzw. s =

√

( ) n )' v=* pi (xi − E)2

i=1

i=1

heißen Varianz bzw. Standardabweichung und sind Maße f¨ ur die Abweichung des Ausgangs vom Erwartungswert. Beispiel Fortsetzung Einfacher W¨ urfelwurf Beim einfachen W¨ urfelwurf be-

rechnen sich die genannten Gr¨ oßen wie folgt: 1. E =

6

pi xi =

i=1

0

2. s =

6

1 6

6

i=

i=1

1 6

·

6(6+1) 2

0

pi (xi − E)2 =

1 6

i=1

6

=

7 2

= 3,5.

(i − 3,5)2 . Unter Ber¨ ucksichtigung der

i=1

Rechnung 6 '

(i − 3,5)2 =

i=1

6 '

(i2 − 7i + 3,52 ) =

i=1

6 ' i=1

i2 − 7

6 ' i=1

i+

6 '

12,25

i=1

6(6 + 1)(2 · 6 + 1) 6(6 + 1) −7· + 6 · 12,25 6 2 = 91 − 147 + 73,5 = 17,5 =

resultieren die Varianz v = " s = 2,916 ≈ 1,708.

1 6

· 17,5 = 2,916 und die Standardabweichung

B

124


Der mittlere Wert des W¨ urfelwurfs ist somit 3,5, wobei eine Schwankungsbreite von 1,708 vorliegt. B Doppelsummen

Seien n, m nat¨ urliche Zahlen und aij 28doppelindizierte reelle Zahlen, die in folgendem Schema (Matrix) angeordnet sind  a 11    a21 m Zeilen ..    . am1

a12 a22 .. .

··· ··· .. .

a1n a2n .. .

am2

···

amn

n Spalten

Insgesamt liegen also n · m Zahlen aij vor. Dann wird die Summe aller Zahlen aij als Doppelsumme bezeichnet, d.h. m ' n '

aij = a11 + · · · + amn .

i=1 j=1

Entsprechend zur Definition des Summenzeichens sind Notationen der Art aij zu verstehen, wobei I eine aus Paaren (i, j) bestehende Indexmenge (i,j)∈I

ist. Ist die Indexmenge I aus dem Kontext klar, so wird auf ihre Angabe gelegentlich verzichtet und kurz aij geschrieben. i,j

Rechenregel f¨ ur die Doppelsumme Seien n, m nat¨ urliche Zahlen und aij reelle Zahlen: a11 a21 .. .

a12 a22 .. .

··· ··· .. .

a1n a2n .. .

am1

am2

···

amn

Dann gilt f¨ ur die Doppelsumme m ' n ' i=1 j=1

aij =

n ' m '

aij ,

j=1 i=1

d.h. die Reihenfolge der Summation ist unerheblich.

4.1

Summenzeichen

125

Es spielt also keine Rolle, ob die Zahlen aij zunächst zeilenweise summiert n werden, i.e., aij = ai1 +· · ·+ain , und dann die Summe u ¨ber die Zeilenj=1

summen gebildet wird, oder ob zun¨ achst spaltenweise summiert wird, i.e., m aij = a1j + · · · + amj , und dann die Summe u ¨ber die Spaltensummen i=1

gebildet wird. j i

1 2

1

2

...

j

...

n

a11

a12

...

a1j

...

a1n

a21

a22

...

a2j

...

Zeilensumme n

a1j

j=1 n

a2n

a2j

j=1

.. .

.. .

.. .

i

ai1

ai2

.. . ...

aij

.. . ...

n

ain

.. . aij

j=1

.. .

.. .

.. .

m

am1

am2

Spaltensumme

m i=1

ai1

m

ai2

.. . ... ...

i=1

amj m

aij

.. . ... ...

i=1

amn m i=1

ain

n

.. .

amj j=1 m n

aij

i=1 j=1 n m

=

aij

j=1 i=1

Gesamtsumme

Bei der Vertauschung der Summationsreihenfolge ist zu ber¨ ucksichtigen, dass die Anzahlen von Summanden in jeder Zeile (= n) bzw. in jeder Spalte (= m) gleich sein m¨ ussen. Bei gewissen Fragestellungen kann es vorkommen, dass etwa in jeder Spalte unterschiedlich viele Einträge stehen, d.h. die Anzahl von Einträgen hängt von der Spaltennummer j ab. a11 a21 .. . .. . am1 1

a12 a22 .. .

··· ··· .. .

am2 2

···

a1n a2n .. . .. . .. . amn n

In dieser Situation kann die Summationsreihenfolge nat¨ urlich nicht vertauscht werden. Gibt es in der Spalte j insgesamt mj Summanden, resultiert die

126

4. Summen- und Produktzeichen m j

Spaltensumme

aij . Die Gesamtsumme ist dann die Summe u ¨ber diese

i=1

Spaltensummen mj n ' '

aij .

j=1 i=1

Eine analoge Situation kann nat¨ urlich auch mit unterschiedlich vielen Einträgen pro Zeile vorliegen. Die Aussagen u ¨ bertragen sich entsprechend.

Bezeichnung Teilsummen bei Doppelsummen Seien n, m nat¨ urliche Zahlen und aij reelle Zahlen:

a11 a21 .. .

a12 a22 .. .

··· ··· .. .

a1n a2n .. .

am1

am2

···

amn

Dann werden f¨ ur die Zeilen- und Spaltensummen im obigen Rechteckschema auch folgende Notationen verwendet:

ai• = a•j =

n j=1 m

aij für i ∈ {1, . . . , m} aij für j ∈ {1, . . . , n}

i=1

In Analogie wird die Gesamtsumme mit a•• =

m n

aij bezeichnet. Anstelle

i=1 j=1

des Punktes (•) wird gelegentlich ein Plus (+) verwendet, also a++ , ai+ bzw. a+j geschrieben. Bei 28Mehrfachindizierungen mit mehr als zwei Indizes wird entsprechend verfahren.

B

Beispiel Kontingenztafel Nat¨ urliche Zahlen nij ∈ N0 , i ∈ {1, . . . , p}, j ∈ {1, . . . , q}, können als 10absolute H¨ aufigkeiten von Paaren (xi , yj ) aufge-

fasst werden. Die tabellarische Darstellung der nij wird in dieser Situation als Kontingenztafel bezeichnet. x1 x2 .. .

y1 n11 n21 .. .

y2 n12 n22 .. .

··· ··· ··· .. .

yq n1q n2q .. .

Summe n1• n2• .. .

xp Summe

np1 n•1

np2 n•2

··· ···

npq n•q

np• n••

4.2

Produktzeichen

127

Die Zahlen n1• , . . . , np• bzw. n•1 , . . . , n•q heißen absolute Randhäufigkeiten. Entsprechend wird f¨ ur die zugeh¨ origen 18relativen Häufigkeiten fij = nij aufigkeiten f1• , . . . , fp• bzw. n verfahren, wobei n = n•• . Relative Randh¨ f•1 , . . . , f•q werden mittels der Vorschrift fi• =

q '

1' ni• nij = , n j=1 n q

fij =

j=1

f•j =

p '

1' n•j nij = n i=1 n p

fij =

i=1

B

gebildet.

Beispiel Partnervermittlung Im Aufnahmeantrag einer Partnervermittlung

B

wird neben dem Geschlecht einer Person zusätzlich deren Augenfarbe vermerkt. Die Auswertung von 14 Antr¨ agen ergibt folgenden Datensatz, wobei der erste Eintrag das Geschlecht (m¨ annlich/weiblich (m/w)) und der zweite die Augenfarbe (Blau (1), Gr¨ un (2), Braun (3)) angeben: (m,1) (m,2) (w,1) (m,2) (w,1) (w,3) (m,2) (m,1) (w,1) (m,3) (m,2) (w,2) (w,3) (m,1) Die Kontingenztafeln dieser Daten mit absoluten bzw. relativen Häufigkeiten sind gegeben durch 1

2

3

m

3

4

1

8

m

w

3

1

2

6

w

6

5

3

14

1

2

3

3 14 3 14 3 7

2 7 1 14 5 14

1 14 1 7 3 14

4 7 3 7

1

B

4.2

4.2 Produktzeichen In Analogie zur Verwendung des Summenzeichens Σ bei der kompakten Darstellung von Summen wird das Produktzeichen Π bei Produkten eingesetzt. Bezeichnung Produktzeichen Seien a1 , . . . , an reelle Zahlen und n ≥ 2 eine nat¨ urliche Zahl. Dann wird das Produkt der Zahlen a1 , . . . , an bezeichnet mit n 1

ai = a1 · . . . · an .∗

i=1 ∗ lies:

Produkt der Zahlen ai von i gleich 1 bis n.

128


Das Zeichen Π (großes griechisches Pi) wird Produktzeichen genannt. Die weiteren Bestandteile der Notation können folgender Darstellung entnommen werden:

1

obere Grenze n 1

ai

=

i-ter Faktor.

i=1

Laufindex = untere Grenze

F¨ ur eine untere Grenze m ∈ Z mit m kleiner oder gleich n − 1 ∈ Z und reelle Zahlen am , . . . , an wird das Produktzeichen definiert als n 1

ai = am · . . . · an .

i=m

Die Zahl m bezeichnet also den Index des ersten Faktors. Zur Vereinheitlichung der Notation werden oft noch einige Sonderfälle betrachtet. Seien am , . . . , an wiederum reelle Zahlen und n, m ganze Zahlen. 1

Ist die untere Grenze gleich der oberen, bedeutet dies, dass das Produkt nur aus einer Zahl (etwa aj ) besteht j 1

ai = aj .

i=j

2

Ist die untere Grenze gr¨ oßer als die obere, wird das Ergebnis des Produkts als Eins definiert. Daher gilt z.B. 1 1

ai = 1

oder

i=3

n−1 1

ai = 1.

i=n

Seien I eine Indexmenge und ai , i ∈ I, reelle Zahlen. Dann bezeichnet 1 ai ∗ i∈I

das Produkt aller Zahlen ai , deren Index i in der Menge I enthalten ist. i heißt Laufindex, ai heißt Faktor und I wird als Indexmenge bezeichnet. F¨ ur eine leere Indexmenge I = ∅ wird ∗ lies:

Produkt der Zahlen ai mit Index i aus der Menge I.

4.2

Produktzeichen

129

1

ai = 1

i∈∅

vereinbart. Gilt I = {m, . . . , n} mit einem m ∈ Z kleiner oder gleich n ∈ Z, resultiert die bekannte Notation 1

ai =

n 1

ai .

i=m

i∈I

Rechenregeln f¨ ur das Produktzeichen Seien a1 , . . . , an , b1 , . . . , bn , c, d reelle Zahlen und n eine nat¨ urliche Zahl. Dann gelten die folgenden Rechenregeln f¨ ur das Produktzeichen: 1.

n 1

ai =

i=1

2.

n 1

k 1 i=1

3.

(c · ai ) = c

n

, (ai · bi ) =

i=1

ai mit k ∈ {1, . . . , n}

i=k+1

,

i=1 n 1

n 1

ai ·

n 1

ai

i=1 n 1

- ,

ai

·

i=1

n 1

bi

i=1

Nachweis. 1. Sei zun¨ achst k ∈ {1, . . . , n − 1}. Durch Aufteilen des Produkts in die ersten k Faktoren und die verbleibenden n−k Faktoren resultiert die gew¨ unschte Rechenregel: n i=1

ai = a1 · . . . · ak · ak+1 · . . . · an =

1. Produkt

2. Produkt

k

·

ai

i=1

n

ai

.

i=k+1

Die Regel ist auch f¨ ur k = n richtig, da dann das zweite Produkt per Definition Eins gesetzt ist. Beispiel

12 i=1

i = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 · 10 · 11 · 12 = · 7 · 8 · 9 1. Produkt

2. Produkt

5

i=1

12

i ·

i .

i=6

2. Die Regel ergibt sich durch Umsortieren der Faktoren: n

(c·ai ) = ( c ·a1 )· . . . ·( c ·an ) = ( c · . . . · c )·(a1 · . . . ·an ) = c

i=1

n

n

ai

.

i=1

n-mal

Beispiel

6

(3i) = 3·6·9·12·15·18 = ( 3 ·1· 3 ·2· 3 ·3· 3 ·4· 3 ·5· 3 ·6) = 36

i=1

6 i=1

i.

130


3. Diese Vorschrift beruht ebenfalls auf dem Umsortieren der Faktoren: n

(ai · bi ) = ( a1 · b1 ) · . . . · ( an · bn )

i=1

n

= ( a1 · . . . · an ) · (b1 · . . . · bn ) =

ai ·

i=1

Beispiel

=

4

4

i ·

i=1

bi .

i=1

(i · i2 ) = (1 · 1) · (2 · 4) · (3 · 9) · (4 · 16) = (1 · 2 · 3 · 4) · (1 · 4 · 9 · 16)

i=1

n

4

i2 .

i=1

Die obigen Regeln gelten entsprechend f¨ ur Produkte

n 2

.

i=m

B

Beispiel 5 2

(i)

(2i) = 25

i=1 5 2

(ii)

5 2

i = 32 · (1 · 2 · 3 · 4 · 5) = 3 840

i=1

2i = 21 · 22 · 23 · 24 · 25 = 2 · 4 · 8 · 16 · 32 = 32 768. Alternativ gilt mit

i=1 5 2

den 89Potenzgesetzen

i=1

(iii)

4 2

j

4

(3x ) = 3

j=1

i 5

i

2 =2

i=1

j

=2

5·6 2

= 215 = 32 768.

4

4 2

j

4

x = 3 xj=1 = 34 x

4·5 2

= 34 x10 = 81x10

B

j=1

Die Verschiebung von Indizes erfolgt analog zu den 116Verschiebungsregeln bei Summen. Indexverschiebung Bei einer Verschiebung um k Einheiten nach unten bzw. oben ergibt sich n 1

n −k

ai =

i=1

B

Beispiel

1

ai +k

i=1 −k

bzw.

n 1

ai =

i=1

i=1

i

ai −k .

i=1 +k

Durch Anwendung der Indexverschiebung resultiert folgende Dar-

stellung n 1 i+1

1

n +k

=

n 1 i=1

n 1

n 1 1

n+1 2

1 (i + 1) · = (i + 1) · = i=2 n 2 i i i=1 i=1 i=1

i = i

n+1 = n + 1. 1

4.2

Produktzeichen

131

Dieses Produkt ist ein spezielles Teleskopprodukt. Allgemein gilt f¨ ur Zahlen a1 , . . . , an+1 = 0: n 1 ai+1 i=1

ai

n 2

=

n+1 2

ai+1

i=1 n 2

i=2 n 2

= ai

i=1

n 2

ai =

ai · an+1

i=2

a1 ·

ai

i=1

n 2

= ai

an+1 a1

B

i=2

Die folgenden Regeln stellen einen Bezug zwischen Produkt- und Summenzeichen her. Summen und Produkte, Potenzen und Logarithmen F¨ ur Zahlen x1 , . . . , xn ∈ R und a > 0 gilt n 1

x n

a

xi

=a

i=1

i

.

i=1

F¨ ur Zahlen x1 , . . . , xn > 0 und a > 0, a = 1 gilt , n n ' 1 loga (xi ) = loga xi . i=1

i=1

Das Produktzeichen wird in der Statistik u.a. zur Definition des geometrischen Mittels eingesetzt. Bezeichnung Geometrisches Mittel F¨ ur positive Zahlen x1 , . . . , xn und eine nat¨ urliche Zahl n heißt die n-te Wurzel des Produkts dieser Zahlen geometrisches Mittel von x1 , . . . , xn :

xgeo

( )n )1 n = * xi . i=1

Dieses Mittel wird etwa zur Berechnung von durchschnittlichen Steigerungsraten benutzt. Beispiel Zu Beginn eines Jahres wird ein Betrag K0 in Bundesschatzbriefen des Typs A angelegt. Diese besitzen eine Laufzeit von sechs Jahren, wobei die Verzinsung variabel ist und am Ende des jeweiligen Jahres erfolgt. Die Zinssätze stehen zu Beginn der Anlage fest und sind in folgender Tabelle angegeben:

B

132


Jahr i Verzinsung (in %) Zinssatz pi

1 3,00% 0,03

2 3,50% 0,035

3 4,00% 0,04

4 4,25% 0,0425

5 4,75% 0,0475

6 5,00% 0,05

Damit ergibt sich am Ende des ersten Jahres ein Kapital von K1 = K0 + K0 · p1 = K0 (1 + p1 ). Zu Beginn des zweiten Jahres ist das Kapital also auf den Betrag K1 = K0 (1 + p1 ) angewachsen. Dieser wird am Ende des zweiten Jahres mit dem Zinssatz p2 verzinst, so dass am Ende des zweiten Jahres das Kapital K2 = K1 + K1 · p2 = K1 (1 + p2 ) = K0 (1 + p1 )(1 + p2 ) erzielt wird. Durch Fortsetzung resultiert als Kapital nach dem n-ten Jahr Kn = K0 ·

n 1

(1 + pi ).

i=1

Daher gilt im Zahlenbeispiel: K6 = K0 ·

6 1

(1 + pi )

i=1

= K0 (1 + 0,03)(1 + 0,035)(1 + 0,04)(1 + 0,0425)(1 + 0,0475)(1 + 0,05) ≈ 1,27 · K0 . Die mittlere jährliche Verzinsung p ist der Zinssatz, der bei konstanter jährlicher Verzinsung des Startkapitals K0 gezahlt werden muss, um das gleiche Endkapital Kn zu erzielen. Daher muss gelten K0

n 1

n

(1 + p) = K0 (1 + p) = Kn = K0

i=1

n 1

(1 + pi ).

i=1

Dies ergibt die Gleichung (1 + p)n =

n 2

(1 + pi ) bzw. nach Auflösen nach p:

i=1

( )n )1 n p= * (1 + pi ) − 1. i=1

Im Wesentlichen beruht p auf dem geometrischen Mittel der Wachstumsraten 1 + pi . Im obigen Beispiel ergibt dies " " 6 1,03 · 1,035 · 1,04 · 1,0425 · 1,0475 · 1,05 − 1 = 6 1,271248075 − 1 ≈ 0,0408. Bei konstanter jährlicher Verzinsung resultiert der Zinssatz 4,08%.

B

4.3

Fakult¨ aten und Binomialkoeffizienten

133

4.3

4.3 Fakult¨ aten und Binomialkoeffizienten Fakult¨ at

Das Produkt der ersten n nat¨ urlichen Zahlen wird als Fakultät bezeichnet. Definition Fakult¨ at Sei n eine nat¨ urliche Zahl. Das Produkt u ¨ber alle Zahlen 1, . . . , n wird geschrieben als

n! =

n 1

i

i=1

und als Fakultät (von n) bezeichnet. Gemäß der Vereinbarung f¨ ur das Produktzeichen wird 0!, d.h. der Wert der Fakultät f¨ ur n = 0, auf Eins gesetzt:

0! =

0 1

i = 1.

i=1

Spezielle Werte der Fakult¨ at n 1 2 3 4 5 6 n! 1 2 6 24 120 720

7 5 040

8 40 320

9 362 880

10 3 628 800

F¨ ur die Fakultät n! gelten folgende Rechenregeln. Rechenregeln f¨ ur die Fakult¨ at Seien k, n nat¨ urliche Zahlen mit k ≤ n. Dann gilt: 1. n! = n · (n − 1)! 2.

n 2 n! = (k + 1) · . . . · n = i k! i=k+1

3.

n k−1 2 2 n! = (n − k + 1) · . . . · n = i= (n − j) (n − k)! j=0 i=n−k+1

Die Binomialkoeffizienten werden mittels der Fakultäten definiert. Definition Binomialkoeffizient Seien k, n ∈ N0 mit k ≤ n. Der Binomialkoeffizient n ∗ k (an der Stelle n, k ) ist definiert durch

n n! = . k k!(n − k)!

∗ lies:

nu ¨ber k

134


Eigenschaften von Binomialkoeffizienten 1. n0 = nn = 1 f¨ ur jedes n ∈ N0 n 2. n1 = n−1 = n f¨ ur jedes n ∈ N n n 3. k = n−k f¨ ur jedes n ∈ N0 und k ∈ {0, . . . , n} n+1 n n 4. k = k + k−1 f¨ ur alle n ∈ N, k ∈ {1, . . . , n} (Regel von Pascal) n 5. n+1 = n+1 ur jedes k ∈ {1, . . . , n + 1} k k · k−1 f¨ Beispiel

(i) (ii) (iii)

200 0

200 198

200 2

= 1, = =

200 199

200! 198!2!

=

200 200−2

= 200 200·199·19 8! 19 8!·2

=

200 198

= 19 900

= 19 900

10 9 (10 (9+1) (10 4) 5 4) 4 (3) = 49 = 10 4 = 2 oder alternativ (9) = (9) = (93) (4−1) 3 3 5 4 4 3 3 (v) 2 = 2 + 1 = 2 + 1 + 4 = 3 + 3 + 4 = 10

(iv)

10 4

=

5 2

B

Regel von Pascal / Pascalsches Dreieck

n Die Regel von Pascal n+1 = nk + k−1 , mit k ∈ {1, . . . , n}, n ∈ N, liek fert eine einfache M¨ oglichkeit, Binomialkoeffizienten rekursiv zu berechnen. Der Binomialkoeffizient an der Stelle n + 1, k lässt sich nämlich als Summe seiner Vorgänger“ an den Stellen n, k und n, k − 1 darstellen. Unter Ber¨ uckn ” 0 n sichtigung der Startbedingungen 0 = 1 und 0 = n = 1 können alle Binomialkoeffizienten auf diese Weise ermittelt werden. Eine einfache tabellarische Darstellung dieses Zusammenhangs ist das Pascalsche Dreieck: 0 0 1 1 0 1 2 2 2 0 1 2 3 3 3 3 0 1 2 3 4 4 4 4 4 0 1 2 3 4 5 5 5 5 5 5 0 1 2 3 4 5 6 6 6 6 6 6 6 .

0

..

B

1

2

3

4

5

6

..

.

4.3

Fakult¨ aten und Binomialkoeffizienten

135

Eine numerische Auswertung der Binomialkoeffizienten f¨ uhrt zu folgendem Zahlendreieck. Die Rekursion ist leicht erkennbar, da die Summe zweier nebeneinander stehender Zahlen die Zahl ergibt, die unter beiden Zahlen steht. Dies verdeutlicht, wie einfach die Berechnung der Binomialkoeffizienten mittels dieses Schemas wird. 1 1 1 + 3

1 + 4

1 + 5

1 + 6

1 +

1 + 3

+ 6 + 10

+ 15 +

1 + 2

+ 10 + 20

+

1 + 4

1 + 5

+ 15 +

1 + 6

+

1 +

..

.

..

.

Binomischer Lehrsatz

Binomischer Lehrsatz Seien x, y reelle Zahlen und n ∈ N0 . Dann gilt der Binomische Lehrsatz: n n ' n i n−i ' n n−i i n (x + y) = xy = x y. i i i=0 i=0

Wird an Stelle von y der Wert −y eingesetzt, resultiert folgende Identität:

n n ' ' n n−i n i n−i i n (x − y) = (−1) xy = (−1) xn−i y i . i i i=0

i=0

Wird im Binomischen Lehrsatz n = 2 gew¨ ahlt, resultieren die erste und zweite 16binomische Formel 1. (x + y)2 =

2 2 i=0

2. (x − y)2 =

2

i

x2−i y i = x2 + 2xy + y 2

(−1)i

i=0

2 i

x2−i y i = x2 − 2xy + y 2

136


F¨ ur n = 3 ergibt sich 1. (x + y)3 =

3 3 i

i=0

2. (x − y)3 =

3

x3−i y i = x3 + 3x2 y + 3xy 2 + y 3

(−1)i

i=0

3 i

x3−i y i = x3 − 3x2 y + 3xy 2 − y 3

Mit Hilfe des Binomischen Lehrsatzes k¨ onnen einige interessante Identitäten nachgewiesen werden, indem f¨ ur die Variablen x, y spezielle Werte eingesetzt werden. Beispielsweise gilt: 1. x = y = 1:

2n = (1 + 1)n =

n n i=0

2. −x = y = 1:

0 = (1 − 1)n =

n i=0

B

i

(−1)i

n i

Beispiel In der Wahrscheinlichkeitsrechnung treten Binomialkoeffizienten u.a. im Rahmen von Urnenmodellen auf. Der Binomialkoeffizient nk gibt die Anzahl der Möglichkeiten an, aus einer Urne mit n unterscheidbaren Kugeln genau k Kugeln zu ziehen. Dabei wird die Reihenfolge der Ziehung nicht beachtet und ohne Zur¨ ucklegen gezogen, d.h. eine Kugel wird nachdem sie gezogen wurde nicht mehr in die Urne zur¨ uckgelegt.

Diese Situation ist beim Zahlenlotto 6 aus 49 gegeben, bei dem in einer Ziehung 6 von 49 mit den Zahlen 1, . . . , 49 markierten Kugeln gezogen werden. Der Binomialkoeffizient 49 gibt die verschiedenen Möglichkeiten an, aus 49 k Kugeln k Kugeln zu ziehen: k 49 k

1 49

2 1 176

3 18 424

4 211 876

5 1 906 884

6 13 983 816

Da nur eine der 13 983 816 m¨ oglichen Ziehungen die Gewinnstufe 6 Richtige liefert, beträgt die Wahrscheinlichkeit, die gezogenen sechs Zahlen zu tippen, 1 ≈ 0,000000072. Dabei wird angenommen, dass jedes Ziehungsergeb13 983 816 nis gleich wahrscheinlich ist. B Binomialverteilung

Eine f¨ ur die Statistik wichtige Konsequenz aus dem Binomischen Lehrsatz f¨ uhrt zu einer speziellen 121diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilung: der Binomialverteilung. Sie ist ein Modell f¨ ur die Situation, aus einer Urne mit

4.4

Aufgaben

137

einem Anteil von p ∈ (0, 1) roten und 1 − p schwarzen Kugeln bei einer Ziehung von insgesamt n Kugeln genau k rote Kugeln (ohne Ber¨ ucksichtigung der Ziehungsreihenfolge) zu erhalten. Dabei wird jeweils eine Kugel zufällig entnommen, ihre Farbe notiert und diese dann wieder in die Urne zur¨ uckgelegt. Anschließend wird erneut eine Kugel gezogen etc. Dieses Verfahren wird fortgef¨ uhrt, bis die gew¨ unschte Anzahl von n Kugeln gezogen wurde. Die Wahrscheinlichkeit, genau k rote Kugeln zu ziehen, ist dann durch

n k pk = p (1 − p)n−k k gegeben. F¨ ur k sind offensichtlich die Werte 0, . . . , n möglich. Aufgrund des binomischen Lehrsatzes gilt nun n n ' ' n k pk = p (1 − p)n−k = (p + (1 − p))n = 1, k k=0

k=0

d.h. die (Einzel-)Wahrscheinlichkeiten summieren sich zu Eins. Dies zeigt insbesondere, dass es sich um eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung handelt.

Bezeichnung Binomialverteilung Die durch die Zahlen

n k pk = p (1 − p)n−k k

f¨ ur k ∈ {0, . . . , n}

festgelegte diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung heißt Binomialverteilung mit Parameter p ∈ [0, 1] auf den Zahlen {0, . . . , n}.

4.4

4.4 Aufgaben Aufgabe 4.1

Schreiben Sie die Summen mit dem Summenzeichen.

(a) 1 + 2 + 3 + 4 + 5

(d) 1 + 8 + 27 + 64 + 125

(b) 2 + 4 + 6 + 8

(e)

1 4

+

1 2

+1+2+4

(c) −1 + 4 + 9 + 14 + 19

(f)

1 5

+

1 4

+

1 3

+

1 2

+1

140L

138

140L


Berechnen Sie die Summen. 80 (3i − 3) (g) (j − 2)

Aufgabe 4.2

(a)

5

i=2

(b)

j=4

0

i3

(h)

i=−2

(c)

2

(i)

k

2 √

(j)

(f)

10

i(i − 2)

(n)

(i + 1)2

(k)

n

(x + 1)k

2k

(o)

2k

(p)

20

100

j=0

1k

n

(−1)k

k

(−2)j

j=1

k

j=k

(l)

2n

k=1

j

i=0

2j

(j 2 − (j − 2)2 )

k=1

j=k

k=−2

(e)

19

k=0

k2

100 j=1

i=2

k=−2

(d)

(m)

(q)

5

(−x)k

k=0

(j 2 − (j − 1)2 )

j=1

(r)

5

(−x)j

k=0

Berechnen Sie f¨ ur die Messwerte 2,3 3,9 4,1 1,8 4,0 3,6 2,0 3,3 2,6 2,4 das arithmetische, harmonische und geometrische Mittel sowie die empirische Standardabweichung.

141L

Aufgabe 4.3

142L

Aufgabe 4.4

Zeigen Sie, dass durch die Zahlen p1

p2

p3

p4

p5

1 4

1 8

1 4

1 8

1 4

eine Wahrscheinlichkeitsverteilung auf {1, . . . , 5} definiert wird. Berechnen Sie deren Erwartungswert und Standardabweichung. 142L

Bei einer Datenerhebung wurde die folgende Kontingenztafel von absoluten Häufigkeiten beobachtet. Aufgabe 4.5

0

1

2

-1

5

2

9

0

2

1

7

1

9

9

6

Berechnen Sie alle relativen Randh¨ aufigkeiten der Kontingenztafel.

4.4

Aufgaben

139

Berechnen Sie jeweils die Konstante c ∈ R, so dass (p0 , . . . , pn ) eine Wahrscheinlichkeitsverteilung auf {0, . . . , n} bildet. Aufgabe 4.6

(a) pi = c · i

(d) pi = c ·

(b) pi = c · i2

(e) pi = c ·

(c) pi = c · 3i

(f) pi = c ·

1 2i

n i

n i

p 1−p

i

143L

(a) 5 · 5 · 5 · 5 · 5

(e) (−3) · (−1) · 1 · 3 · 5

(i)

(2n)! n!

(b) 2 · 4 · 6 · 8 · 10 · 12

(f) 0,1 · 1 · 10 · 100 · 1000

(j)

2n! n!

(c) 2 · 4 · 8 · 16

(g)

n! k! ,

(d) 1 · (−1) · 1 · (−1) · 1

(h)

n! (n−k)! ,

(a)

5i

i=1

(b)

n 2

5j ·

n−1 2

(c)

20

(d)

100 50

(f)

48

i=0

(b)

(e)

1

n

n i=1

(d)

Berechnen Sie:

4

Aufgabe 4.10

(a)

10−k

k=1

Aufgabe 4.9

(b)

(k) nk

0≤k≤n

(l) k n

j=1

j=1

(a)

0≤k≤n

143L

Vereinfachen Sie die folgenden Ausdr¨ ucke. 10 2i 2 2 (c) (j + 1) (e) k2

Aufgabe 4.8 10 2

mit p ∈ (0, 1)

Schreiben Sie mit dem Produktzeichen.

Aufgabe 4.7

k 2

k=i

2p

j=1

510

10

(g)

3

47

2

+

20 1

Ermitteln Sie die Summen: n−1 n (c) i

n i

i=0

(d)

n i=0

3cj

5

−

11

144L

4

50 25 49 24

(h)

( ) ( )

(i)

(100 26 ) (98 28)

46

(−1)n−i ni (−1)i

2k 2

(f)

j=1

20

142L

144L 1 4i

(−1)i

n i

2i

140


Berechnen Sie Erwartungswert und Varianz der 122Gleichverteilung auf den Werten x1 , . . . , xn . Was ergibt sich speziell f¨ ur xi = i, i ∈ {1, . . . , n}?

144L

Aufgabe 4.11

145L

Aufgabe 4.12 Berechnen Sie den Erwartungswert der 136Binomialverteilung

mit Parameter p ∈ [0, 1].

4.5

4.5 L¨ osungen

137A

L¨ osung 4.1 (a)

5

i

i=1

(b)

(5j − 6)

4

5

(d)

2i

2

(e)

j=1

2k

k=−2

j3

(f)

j=1

i=1

138A

5

(c)

5 k=1

1 6−k

=

5 k=1

1 k

L¨ osung 4.2 (a)

5

(3i − 3) = 3 + 6 + 9 + 12 = 30

i=2

(b)

0

i3 = −8 − 1 + 0 = −9

i=−2

(c)

2

k = −2 − 1 + 0 + 1 + 2 = 0

k=−2

(d)

2 √ k=−2

(e)

10

(i + 1)2 =

20

80

2j =

1−221 1−2

(j − 2) =

j=4 80

11

i2 =

i=1

j=0

(g)

|k| = 2 + 1 + 0 + 1 + 2 = 6

k=−2

i=0

(f)

2

k2 =

(j − 2) =

j=4

=

78

11·12·23 6

1−221 −1

j=

j=2

80−3 j=4−3

= 506

= 221 − 1 = 2 097 151 (118geometrische Summe)

78

j−1=

j=1

(j + 3 − 2) =

78·79 2 77 j=1

− 1 = 3 080 oder alternativ

(j + 1) =

77 j=1

j + 77 =

77·78 2

+ 77 = 3 080

4.5

(h)

L¨ osungen 19

141

19 −1

i(i − 2) =

i=2 −1

i=2

=

18

18

i − 2

i=1

1=

i=1

18

(i +1 )(i +1 − 2) =

i=1

18·19·37 6

(∗) 18

(i + 1)(i − 1) =

(i2 − 1)

i=1

− 18 = 2 109 − 18 = 2 091

In (∗) wird die dritte 16binomische Formel benutzt. (i)

n

(x + 1)k =

k=0

(j)

2k

j=

2k

k=k

j=k

100

(l)

j−

j=1

j=k

(k)

2k

1−(x+1)n+1 1−(x+1)

k−1

(x+1)n+1 −1 x

2k(2k+1) 2

j=

j=1

2k

=

−

(k−1)k 2

=

k(4k+2−(k−1)) 2

=

k(3k+3) 2

=

3k(k+1) 2

1 = k(2k − k + 1) = k(k + 1)

j=k

(j 2 − (j − 1)2 ) = 1002 − 02 = 1002 = 10 000 (117Teleskopsumme) Alter-

j=1

nativ ist folgende L¨ osung m¨ oglich:

100

(j 2 − (j − 1)2 ) =

j=1

100

100·101 2

=4

99

j=4

j=0 2n k=1

(o)

n

2n

k

k

(−1) =

(−2)j =

j=1

(q)

5

(−x)k =

k=0

(r)

5

99

[(j 2 − (j 2 − 4j + 4)] =

j=1

j−

j=1

j =4·

100

(4j − 4) = 4

j=1

99·100 2

= 19 800

100

1

j=1

−1=

1−(−1)n+1 2

100

(j − 1)

j=1

1 = 2n

k=1

k=1

(p)

j=1

100

j=1

1k =

100

(2j − 1) = 2

− 100 = 10 100 − 100 = 10 000

(j 2 − (j − 2)2 ) =

j=1

(n)

100

(j 2 − (j 2 − 2j + 1)) =

j=1

=2· (m)

100

1−(−1)n+1 1−(−1)

1−(−2)k+1 1−(−2)

1−(−x)6 1+x

−1=

=

1−(−2)k+1 3

−1=

−

3 3

=

0,

−1,

falls n gerade falls n ungerade

1+2(−2)k −3 3

= − 23 (1 − (−2)k )

1−x6 1+x

(−x)j = 6 · (−x)j = 6 · (−1)j xj

k=0

L¨ osung 4.3 Das arithmetische Mittel x = Mittel resultiert der Wert xharm =

Mittel ergibt sich xgeo =

10

10

i=1

xi =

1 10

1

1 10

1 x i=1 i

√

10

10

10

xi ist x = 3. F¨ ur das harmonische

i=1

≈

1 0,362

≈ 2,762. Das geometrische

39 259,05325056 ≈ 2,880.

138A

142


Die empirische Standardabweichung wird aus den quadratischen Abweichungen berechnet: xi (xi − x)2 10

Wegen

2,3 0,49

3,9 0,81

4,1 1,21

1,8 1,44

4,0 1,00

3,6 0,36

2,0 1,00

(xi − x) = 6,92 resultiert daraus s = 2

1 10

i=1

10

3,3 0,09

2,6 0,16

(xi − x)2 =

2,4 0,36 √

0,692 ≈

i=1

0,832. 138A

L¨ osung 4.4

Wegen

5

pi =

i=1

1 4

1 8

+

+

1 4

+

1 8

+

1 4

=

3 4

+

2 8

= 1 und pi ≥ 0 f¨ ur alle i

ist (p1 , . . . , p5 ) eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung. Erwartungswert und Standardabweichung sind gegeben durch E=

5

i · pi = 1 ·

1 1 1 1 1 1 1 3 1 5 + 2 · + 3 · + 4 · + 5 · = + + + + = 3, 4 8 4 8 4 4 4 4 2 4

5 s= pi · (i − E)2 i=1

= 138A

139A

i=1

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 · 2 + · 1 + · 0 + · 1 + · 2 = 2,25 = 1,5. 4 8 4 8 4

L¨ osung 4.5 Durch Summation der Einträge in den Zeilen und Spalten resultieren jeweils die absoluten Randh¨ aufigkeiten. Division durch die Gesamtsumme n•• = 50 liefert die zugeh¨ origen relativen H¨ aufigkeiten. 0

1

2

ni•

-1

5

2

9

16

0

2

1

7

1

9

9

6

n•j

16

12

22

L¨ osung 4.6

0

1

2

ni•

-1

0,10

0,04

0,18

0,32

10

0

0,04

0,02

0,14

0,20

24

1

0,18

0,18

0,12

0,48

50

n•j

0,32

0,24

0,44

1,00

Die Konstante c ∈ R ist so zu bestimmen, dass

n i= 0

(a)

n

pi = c

i=0

(b)

n

i=0

pi = c

i=0

(c)

n i=0

n

n

i= c·

n(n+1) , 2

i2 = c ·

n(n+1)(2n+1) , 6

3i = c ·

1−3n+1 1−3

i=0

pi = c

n i=0

d.h. c =

= c·

2 n(n+1)

d.h. c = 3n+1 −1 , 2

6 n(n+1)(2n+1)

d.h. c =

2 3n+1 −1

pi = 1 gilt.

4.5

(d)

L¨ osungen n

pi = c

i=0

1 2i

i=0

n

n

pi = c

i=0

(f)

n

n 1 i

=c

2

i=0

= c·

n n i

i=0

n

pi = c

i=0

i

i=0

p 1−p

pi = c

i=0

c (1−p)n

=

n n i

i=0

=c

5

1 2n

n n i

i=0

p 1−p

i

=c

5

(e)

i=1

, d.h. c =

6

(f) 2j

i

5

p 1−p

1n−i = c

(2i − 5)

2i

p 1−p

3

(h)

j j

(j)

j=1 k

n

=

p+(1−p) 1−p

139A

2n

j

j j

j=1 n−k

j 2 j j=1 n

=2

j=k+1

(k)

k

n

j=1 n

=

j

(l)

j=n−k+1

n

k

j=1

139A

L¨ osung 4.8 (a)

i 10

10

5i = 5i=1 = 5

10·11 2

= 555

i=1

(b)

n

5j ·

j=1

=

(c)

k=1 n−1 n 1 5 2j j=1

10

10−k = 5n ·

k j=1

n−1

5j ·

j=1

= 5n ·

(j + 1) =

j=1

(d)

n−1

n

j=1

j

j=1

j=0

=c

n

10i

n

j

n

+1

(i)

j=1

(−1)

j=n+1

n

i=1 4

i

i=−1

(g)

4

1 1 2 1− n+1 2

= 2−n

i=1

j=1

(d)

1 2n+1

pi (1 − p)−i

n n i=0

L¨ osung 4.7

(c)

= 2c 1 −

pi (1 − p)n−i = c(1 − p)−n (p + 1 − p)n = c(1 − p)−n , d.h.

i

Alternative L¨ osung: n

i

n n i=0

c = (1 − p)n

(b)

n+1

1− 1 2

= c · 2n , d.h. c =

n n

= c(1 − p)−n

(a)

1−( 1 2)

2 2n+1 −1

= (e)

143

11

1 2(n−1)n/2

j=

j=2

2p = (2p )k = 2p·k

11! 1

1 j

n−1 j=1

=

= 11!

10

5 2(n−1)/2

= 5n ·

n

j 1 j

n−1

5

j=1

10

= 5n

5 j

n−1 j=1

10

144

(e)

4. Summen- und Produktzeichen 2i

2i 2

k2 =

k

k=i

(f)

2k

k=i

j

3c = 3

(b) (c) (d) (e) (f) (g)

j

j

= 32k ck(2k+1)

32k cj=1

c =

j=1

20 4

100 1

50 48 3

46

20

510·509·508 2·3

= 47 +

5

−

20

(i)

(100 26 ) = (98 28)

=

5

=−

50!24!25! 25!25!49!

(−1)n−i (−1)i

n i

n i

i=1

n 1

i=0

(d)

i

n

4i

=

−

50 25

=2

=

5

=−

100·99·28·27 74·73·72·71

=

10 4

= − 10·9·8·7 = −5 · 3 · 2 · 7 = −210 2·3·4

25·11·7·27 37·73·1·71

=

≈ 0,271

51 975 191 771

n n

=

=

n

1i (−1)n−i = (1 − 1)n = 0

i

i=0

(−1)i

n i

n n 1 i i

i=0

(−1)i ni i=0

L¨ osung 4.11 gilt

=

10

5

i=0

n−1

(c)

11

Mit dem Binomischen Lehrsatz gilt jeweils f¨ ur n ∈ N:

i=0 n

= 210

2

100!28!70! 26!74!98!

L¨ osung 4.10

(b)

= 21 978 620

21

1

11

(50 25) = (49 24)

n

= 5 · 19 · 3 · 17 = 4 845

20·19·18·17 2·3·4

= 25 · 49 = 1 225

50·49 2

=

2

10

=

= 100

=

510 47

20! 16!·4!

=

(h)

(a)

140A

2

L¨ osung 4.9 (a)

139A

(2i)! (i−1)!

2k

2k

2k

j=1

139A

=

i

2 =

4

n n i=0

i

− 1 = (1 − 1)n − 1 = −1

1n−i −

1 4n

1

=

4

n

−

+1

1 4n

5n −1 4n

=

i n−i

(−2) 1

n

n

= (−2 + 1) = (−1) =

1,

−1,

n gerade n ungerade

F¨ ur den Erwartungswert der 122Gleichverteilung auf {x1 , . . . , xn }

E=

n

pi xi =

i=1

n 1 i=1

n

· xi =

1 n

n

xi = x,

i=1

d.h. der Erwartungswert der diskreten Gleichverteilung auf {x1 , . . . , xn } ist das arithmetische Mittel der Ergebnisse x1 , . . . , xn . F¨ ur die Varianz resultiert der Wert v=

n i=1

pi (xi − E)2 =

n 1 i=1

n

(xi − x)2 =

1 n

n

(xi − x)2 .

i=1

4.5

L¨ osungen

145

√ Wegen s = v ist die Varianz der diskreten Gleichverteilung somit gleich der quadrierten 110empirischen Standardabweichung der Werte x1 , . . . , xn . Im Spezialfall xi = i, i ∈ {1, . . . , n}, resultiert der Erwartungswert E=x=

1 n

n

i=

i=1

1 n(n + 1) n+1 · = . n 2 2

F¨ ur die Varianz gilt nach 115Beispiel Empirische Varianz v = x2 − x2 . Wegen x2 =

n

1 n

1 n(n + 1)(2n + 1) (n + 1)(2n + 1) · = n 6 6

i2 =

i=1

resultiert daraus die Formel (n + 1)(2n + 1) − 6

v=

n+1 2

2 =

n+1 · (2(2n + 1) − 3(n + 1)) 12

(n + 1)(n − 1) n2 − 1 = . 12 12

=

L¨ osung 4.12

F¨ ur den 363Erwartungswert der Binomialverteilung ergibt sich

wegen E =

k · pk und pk =

n

k=0

E=

n

k

k=0

n k

pk (1 − p)n−k , k ∈ {0, . . . , n},

n k n! p (1 − p)n−k = k pk (1 − p)n−k k k!(n − k)! n

k=1

K¨ urzen von k ergibt =

n k=1

n! pk (1 − p)n−k (k − 1)!(n − k)!

Ausklammern von np und die Identit¨ at n − k = (n − 1) − (k − 1) f¨ uhren zu = np

n k=1

(n − 1)! pk−1 (1 − p)(n−1)−(k−1) (k − 1)!((n − 1) − (k − 1))!

Eine Indexverschiebung, die k in k + 1 u uhrt, liefert ¨berf¨

n−1

= np

(n − 1)! pk (1 − p)(n−1)−k k!((n − 1) − k)!

n−1 k=0

n−1

= np

k=0

k

(∗)

pk (1 − p)(n−1)−k = np(p + (1 − p))n−1 = np,

wobei in (∗) der Binomische Lehrsatz mit n − 1 als oberer Summationsgrenze verwendet wird. Der Erwartungswert einer Binomialverteilung mit Parameter p ist somit np.

140A

Kapitel 5 Funktionen

5

5

5

Funktionen

5.1

Relationen und Funktionen .................................... 149

5.2

Grundlegende Funktionen ...................................... 154

5.3

Funktionen mit Parametern.................................... 159

5.4

Eigenschaften von Funktionen................................. 161

5.5

Aufgaben .......................................................... 167

5.6

Lösungen .......................................................... 169

149

5.1

Relationen und Funktionen

149

5 Funktionen 5.1

5.1 Relationen und Funktionen In diesem Abschnitt werden die Begriffe Abbildung und Funktion eingef¨ uhrt, die spezielle Zuordnungen von Elementen einer Menge D (dem Definitionsbereich) zu Elementen einer Menge W (dem Wertebereich) darstellen. Eine Zuordnung (Relation) ist eine Vorschrift, die einen Bezug zwischen den Elementen zweier Mengen herstellt. Dabei werden beide Mengen gleich behandelt. Beispiel Zuordnung Eine Zuordnung zwischen der Elementen der Menge D = {1, 2, 3, 4} und den Elementen der Menge W = {5, 6, 7, 8, 9} wird durch das folgende Diagramm beschrieben:

D

1

5

2

9

B

W

7

3

8

4

6

Eine alternative Darstellungsm¨ oglichkeit dieser Zuordnung ist eine Auflistung der Zuordnungen als Paare (1, 5)

(1, 8)

(3, 7)

(4, 5)

(4, 6)

(4, 8).

B

Wie das Beispiel zeigt, ist es m¨ oglich, dass einem Element aus D kein Element in W zugeordnet wird oder mehrere Elemente aus W zugewiesen werden. Funktionen von D nach W sind spezielle Relationen, die jedem Element aus D genau ein Element aus W zuordnen. Definition Funktion, Abbildung Seien D und W nicht-leere Mengen.

Eine Funktion (Abbildung) f ist eine Zuordnung zwischen den Mengen D und W, die jedem Element aus der Menge D genau ein Element der Menge W zuordnet. Als Bezeichnung wird die Notation f : D −→ W benutzt. Für die konkrete Zuordnung eines Elements d ∈ D zu einem Element w ∈ W werden die Schreibweisen w = f (d) bzw. d → f (d) verwendet. f (d) heißt Funktionswert von f (an der Stelle d), d heißt Argument von f .

D heißt Definitionsbereich, W heißt Wertebereich. Die Teilmenge f (D) = {w ∈ W | w = f (d), d ∈ D} von W heißt Bild von f .

150

B

5. Funktionen

Beispiel Funktionen Die in 149Beispiel Zuordnung angegebene Zuordnung ist keine Funktion, da den Elementen 1, 4 ∈ D jeweils mehrere Elemente der Menge W und dem Element 2 kein Wert aus W zugeordnet werden. Beispiele f¨ ur Zuordnungen f : D −→ W, die tats¨ achlich Funktionen sind, sind in den folgenden Darstellungen gegeben. Zur Veranschaulichung der Richtung der Zuordnung werden die Verbindungslinien als Pfeile dargestellt.

D

f1

1

W

6

2

D

7

3

8

4

9

5

f2

1

W

6

2

7

3

8

4

9

5

Die Beispiele zeigen, dass das Bild einer Funktion den ganzen Wertebereich W umfassen kann (f1 (D) = W) oder auch eine echte Teilmenge von W sein kann (f2 (D) W). B Ist f eine Funktion von D nach W, so wird auch die Schreibweise D −→ W f : d → f (d) verwendet. Neben den bereits beschriebenen Darstellungen f¨ ur Funktionen ist es u ¨blich, Funktionen in Form einer Wertetabelle anzugeben. B

Beispiel Fortsetzung 150Beispiel Funktionen Die Wertetabellen der Funktionen lauten:

f1 :

Argument d 1 Funktionswert f1 (d) 7

2 6

3 7

4 9

5 8

f2 :

Argument d 1 Funktionswert f2 (d) 6

2 6

3 6

4 6

5 6

B

Funktionen werden i.Allg. mit Kleinbuchstaben bezeichnet (z.B. f , g oder h). In speziellen Kontexten und f¨ ur bestimmte Funktionen sind auch andere Bezeichnungen u ur die 362Dichtefunktion der 365Standard¨blich (z.B. ϕ f¨ normalverteilung). Mittels einer Wertetabelle wird eine Funktion durch die Paare (Argument, Funktionswert), d.h. durch (d, f (d)) mit d ∈ D und f (d) ∈ W, festgelegt. Die-

5.1


151

se aufzählende Angabe der Paare (d, f (d)) ist zur Definition einer Funktion i.Allg. jedoch ungeeignet, da sie leicht un¨ ubersichtlich wird und die Eigenschaften der Funktion nur schwer erkennbar sind. Daher wird eine Funktion in der Regel durch den Definitionsbereich und die konkrete Zuordnungsvorschrift spezifiziert. Letztere legt die Funktionswerte fest, indem jedem Element d der Menge D durch die Vorschrift d → f (d) ein Wert zugeordnet wird. Beispiel

B

(i) f : N −→ N, n → n + 1, definiert die Funktion, die einer nat¨ urlichen Zahl n ihren Nachfolger“ n + 1 zuweist (kurz: f (n) = n + 1). ” (ii) g : R → R, x → xn , mit n ∈ N, ist eine Funktion, die einer Zahl x ihre n-te Potenz zuordnet (kurz: g(x) = xn ). (iii) h : (0, ∞) → R, z → ln(z), ist eine Funktion, die einer positiven Zahl z den Wert des 89nat¨ urlichen Logarithmus von z zuordnet (kurz: h(z) = ln(z)). (iv) f : R × R −→ R, (x, y) → x · y, definiert die Funktion, die einem 61Tupel (x, y) ∈ R2 das Produkt x · y seiner Komponenten x und y zuweist (kurz: f (x, y) = x · y). B Bei der Festlegung einer Funktion mit Definitionsbereich D und Abbildungsvorschrift f (d) muss darauf geachtet werden, dass die Vorschrift f¨ ur jedes Element d des Definitionsbereichs erkl¨ art ist. Eine weitere Einschränkung auf eine Teilmenge des maximal m¨ oglichen Definitionsbereichs kann in einer konkreten Fragestellung sinnvoll sein (z.B. wenn klar ist, dass nur positive Werte∗ in die Funktion eingesetzt werden k¨ onnen). Beispiel

B

(i) In die durch f (x) = x+1 definierte Funktion f können alle reellen Zahlen als Argument eingesetzt werden. Der (maximale) Definitionsbereich ist daher D = R. (ii) Der 89nat¨ urliche Logarithmus ln(z) ist nur f¨ ur positive Zahlen z definiert, d.h. die maximale Definitionsmenge der Logarithmusfunktion ln ist D = (0, ∞). ∗ Etwa

bei L¨ angen- und Gewichtsmessungen.

152

5. Funktionen

(iii) F¨ ur die durch h(y) = y1 gegebene Funktion ist zu beachten, dass der Term f¨ ur y = 0 nicht erkl¨ art ist. Der maximale Definitionsbereich ist somit D = R \ {0}. B Abbildungen bzw. Funktionen haben eine zentrale Bedeutung in der Statistik. Exemplarisch werden einige Beispiele genannt, in denen Funktionen auftreten. B

Beispiel

Eine 362Dichtefunktion ist eine Funktion f : R −→ [0, ∞), deren Funktionswerte alle nicht negativ sind (f (x) ≥ 0) und die eine zusätzliche Bedingung an die von 60Abszisse und 153Funktionsgraf eingeschlossene Fläche erf¨ ullt (s. 351Kapitel 11). Eine Zufallsvariable X ist eine Abbildung von einer Menge Ω in die reellen Zahlen, d.h. X : Ω −→ R. Jedem Element der Grundmenge Ω wird eine reelle Zahl als Funktionswert zugewiesen. Beim einfachen M¨ unzwurf ist die Grundmenge gegeben durch Ω = {Kopf, Zahl}. Ein Gewinnspiel k¨ onnte nun so ablaufen, dass Spielerin A gewinnt (etwa 1e), wenn Kopf f¨ allt. Ansonsten zahlt sie an Spieler B den gleichen Betrag. Die Gewinnfunktion von Spielerin A wird dann beschrieben durch X : {Kopf, Zahl} −→ {−1, 1},

X(Kopf) = 1, X(Zahl) = −1.

Beim zweifachen W¨ urfelwurf beschreibt die Zufallsvariable X : {(i, j) | i, j ∈ {1, . . . , 6}} −→ R,

X(i, j) = i + j

die Summe der gew¨ urfelten Augenzahlen. Ein (diskretes) Wahrscheinlichkeitsmaß P ist eine Abbildung auf der 46Potenzmenge P(Ω) einer nicht-leeren endlichen Menge Ω = {ω1 , . . . , ωn }: P : P(Ω) −→ [0, 1],

A → P (A),

d.h. P weist jeder Menge A ∈ P(Ω) eine Wahrscheinlichkeit P (A) zu. Dar¨ uber hinaus hat P die Eigenschaften P (∅) = 0,

P (Ω) = 1,

P (A ∪ B) = P (A) + P (B), falls A ∩ B = ∅.

Die Zahlen pj = P ({ωj }), j ∈ {1, . . . , n}, definieren eine 121diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung. B Diese Beispiele zeigen insbesondere, dass der Begriff der Funktion weiter gefasst werden kann, als das zuvor der Fall war. Definitionsbereich und Werte-

5.1


153

bereich m¨ ussen z.B. keine Teilmengen der reellen Zahlen sein. Im Folgenden werden jedoch nur solche Funktionen betrachtet, die von einer reellen Variablen abhängen und deren Wertebereich eine Teilmenge der reellen Zahlen ist, d.h. es gilt D ⊆ R und W ⊆ R. Zu Informationen im Fall mehrerer Veränderlicher, d.h. D ⊆ Rn , n ≥ 2, sei auf Kamps et al. (2003) verwiesen. Der Graf einer Funktion

Eine einfache Visualisierung einer reellwertigen Funktion ist ihr Graf. Definition Graf einer Funktion Sei f : D −→ W eine Funktion.

Die Menge der Punkte {(d, f (d)) | d ∈ D} heißt Graf von f .

Sind D und W Teilmengen der reellen Zahlen, so ist der Graf von f eine Teilmenge der Ebene R2 und kann dort als Kurve eingezeichnet werden. Beispiel F¨ ur die durch f (x) = x2 definierte Funktion f : [−1, 1] → R ist der

Graf gegeben durch die Punktmenge {(x, x2 ) | x ∈ [−1, 1]}, die in der Ebene wie folgt dargestellt wird: 6

.. . .. .. ... ... ... .. ... .. . . ... ... ... ... ... ... ... ... ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 . ... . ... ..... ... ... . .. .. .. ... .. .. . . ... .. .. ... ... ... ... ... ... .. ... ... .. ... ... . .. .. ... ... .... . .. . . . .... ... .. ..... . . . ..... .. . .. . . . . ...... ... . .. . ......... . . . . . ......................... .

1.0

x 0.5

-

−1

0

B

x 1

Nullstellen und y -Achsenabschnitt

Die Schnittpunkte des Grafen einer Funktion f mit der 60Abszisse werden als Nullstellen (oder auch x-Achsenabschnitte) der Funktion bezeichnet. Diese entsprechen den L¨ osungen der 175Gleichung f (x) = 0. Die Menge aller Nullstellen {x ∈ D | f (x) = 0} heißt Nullstellenmenge. Ist x = 0 im Definitionsbereich D der Funktion f enthalten, heißt der Funktionswert an der Stelle 0 y-Achsenabschnitt.

B

154

B

5. Funktionen

Die durch f (t) = (t − 1)(t + 1)(t + 2) = t3 + 2t2 − t − 2 definierte Funktion hat die Nullstellen −2, −1, 1. Der y-Achsenabschnitt hat den Wert f (0) = −2. Dies ist am Grafen der Funktion direkt abzulesen. Beispiel

. ... ... .... .. ... .. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....... ..... ..... ... ..... ..... .... ... ..... .... .. ..... ... .. . . . . . . . . .... . .... ... ... .... ... ... .... .... ... ... .... . .. . . . .... .... ... ... .... ... ... .... .. .... ... .. .... . .. . . .... .... ... ... .... ... ... .... .. ... .... .. .. .... . . . .... .... ... ... .... ... ... .... ... ..... ... .... . .. ..... . . . .. ..... ... ...... ..... ..... ....... ........................

1

Nullstelle

6

Nullstelle

e

e

−2

−1

Nullstelle

e-

B

1

−1

−2 y-Achsenabschnitt

5.2

5.2 Grundlegende Funktionen In diesem Abschnitt werden einige grundlegende Funktionen vorgestellt. Dazu werden jeweils der maximale Definitionsbereich D, die Abbildungsvorschrift f sowie der Graf eines Beispiels angegeben.

Konstante Funktion

Lineare Funktion

D=R f (t) = a mit a ∈ R

D=R f (t) = a + b · t mit a, b ∈ R Konstante Funktionen sind ein Spezialfall mit b = 0. f (t) = − 12 t +

f (t) = 1

6 1

0

......... ........ ......... ........ ......... ........ ......... ........ ......... ........ ........ ......... ........ ......... ........ ......... ........ ......... ........ ......... ......... ........ ......... ........ .....

6

.................................................................................................................................................................................................

−2

1 2

2

1

-

−2

0

2

5.2

Grundlegende Funktionen

155

Quadratische Funktion

Monom

D=R f (t) = a + bt + ct2 mit a, b, c ∈ R Lineare Funktionen sind ein Spezialfall mit c = 0 f (t) = t2 + 12 t −

D=R f (t) = tn mit n ∈ N

3 2

. ... .. ... .. . ... ... ... ... .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. ... .. ... .. . . .. ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... . . .... ... .... ... .... .... ..... ..... ...... ..... . . ....... . . . ............. ................. .........

f1 (t) = t3 , f2 (t) = t4

6

6

1

1

−2

0

.. ..... .. .. ..... .. .... .. ... ... ....... .. .... .. ... .... .. .. .. .. . . . ... .. ... .... ... ..... .... ........ ......... ....... ..................................................................... ..... ........ ..... .... ... . . .. ... .. ... .... . .. .. .. .. ..

−2

2

Polynom (ganzrationale Funktion)

D=R n f (t) = aj tj mit n ∈ N0 und j=0

∗

Koeffizienten aj ∈ R, an = 0 Quadratische Funktionen sind ein Spezialfall mit n = 2.

0

2

Gebrochen rationale Funktion

D = R ohne Nullstellen des Nennerpolynoms

at bt n

f (t) =

j

j=0 m

j

j=0

j

j

mit m, n ∈ N0 ,

aj , bj ∈ R

∗ Der Koeffizient mit dem gr¨ oßten Index (hier n) heißt Leitkoeffizient.

f (t) = −t3 + 12 t2 + 2t −

3 2

... .. .. .. .. ... .. .. .. .. .. ... .. .. .. ... .. .. .. ............... .. ....... ........ ... ... ..... ... .. .... .. ... .. . . .. . .. ... ... ... ... . ... .. . .. .. .. . . .. .. .. . .. . .. .. .. .. . . .. .. ... . .. ... . .. ... . ... . . ... .... ... . . . . ....... ........ .. ...........

t3 −3t2 +t+1 4t4 −4t2 +2

f (t) =

6

6

1

−2

0

1

2

............... .............. ...... ........... ... ...... ... .... .... . . ................................................... . .. .... . ........... . ........ . ...... ... ..... .. .... ... ... .. ... .. ... ... .. . ... .... .. .. ... .. .......

−2

0

2

-

156

5. Funktionen

Potenzfunktion

Exponentialfunktion

D = (0, ∞) (evtl. [0, ∞)) f (t) = ta mit a ∈ R Monome sind Spezialf¨ alle mit a = n ∈ N. Wurzelfunktionen sind Spezialfälle mit a = n1 , n ∈ N. f1 (t) =

√

t = t1/2 , f2 (t) =

1 √ t

= t−1/2

... ... .. ... ... ... .... .... ..... ....... ..... ................ ...... ................ ....... ............... ........ .............. . . . . . . . ......... . . . . . . .............................. ............. ........... ................................ ...................... ........... ........................... .......... . . . . . . . ........... . ..... . . . . . . . ..... . . . . . . .... . . . . . .. ..... .... ... .. ..

0

f1 (t) = et , f2 (t) = e−t =

-

−2

2

0

-

2

Betragsfunktion

D = (0, ∞) f (t) = loga (t) mit a > 0, a = 1 F¨ ur a = e: ln(t); f¨ ur a = 10: lg(t)

D=R f (t) = |t| f (t) = |t|

f (t) = ln(t)

6

0

e

.. .. .. ... .. ... .. .. .. . ... . ... ... .. .. .. .. .. ... .. ... . .. ... ... ... ... ... ... ... ... . . .... . .... .... ... .... .... .... ..... .... ..... ......... ............ ..... ....... .............. ........ ......... ........... .......... . . . . . . . . . . .............. . ......... . . . . .................... . . . . . . . . . . . . . ..... .............................. ...............................

1

Logarithmusfunktion

1

1 t

6

6

1

D=R f (t) = at mit a > 0, a = 1 F¨ ur a = e = 2,7182 . . . wird auch et = exp(t) geschrieben.

6

..................... .................... .................. ................ . . . . . . . . . . . . . .... ............ ........... .......... ......... ........ . . . . . . ... ...... ..... .... .... ... . . . ... ... .. ..

2

-

..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... . . . . ..... .. ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... . . . ..... . .. ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... . . ..... . . ..... ... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ......... .......... .

1

-

−2

0

2

5.2

Grundlegende Funktionen

157

Indikatorfunktion

Trigonometrische Funktionen

D=R f (t) =

½[a,∞) (t) =

1,

t≥a

0,

t 0 gilt x1 = 8 ∈ D und x2 = −2 ∈ D; Probe f¨ ur x1 : lg(784) = lg(784); L = {8}

235A

L¨ osung 6.14 (a) (3x−3 )x+3 = (3x+2 )x−3 ⇐⇒ 3(x−3)(x+3) = 3(x+2)(x−3) ⇐⇒ (x − 3)(x + 3) = (x + 2)(x − 3) ⇐⇒ (x − 3)(x + 3 − x − 2) = 0 ⇐⇒ x − 3 = 0 ⇐⇒ x = 3; L = {3} (b) 4(4x+2 )x−5 = 43x−2 (4x )x−4 ⇐⇒ 4(x+2)(x−5)+1 = 43x−2+x(x−4) ⇐⇒ (x + 2)(x − 5) + 1 = 3x − 2 + x(x − 4) ⇐⇒ x2 − 3x − 9 = −x − 2 + x2 ⇐⇒ 2x = −7 ⇐⇒ x = − 72 ; L = {− 72 } (c)

√

√ 4x−8 9x+1 3 54x−8 = 59x+1 ⇐⇒ 5 2 = 5 3 ⇐⇒ 2x − 4 = 13 ⇐⇒ 3x = −13 ⇐⇒ x = − 3 ; L = {− 13 } 3 x+3

9x+1 3

3−x

(d) D = R \ {5, 7}: (6x+3 )1/(5−x) = (63−x )1/(7−x) ⇐⇒ 6 5−x = 6 x−7 ⇐⇒ x+3 = 3−x ⇐⇒ (x − 7)(x + 3) = (3 − x)(5 − x) 5−x x−7 2 ⇐⇒ x − 4x − 21 = x2 − 8x + 15 ⇐⇒ 4x = 36 ⇐⇒ x = 9; L = {9} (e)

3 5x−7

3x−17

5x−7

3 −3x+17

= 23 ⇐⇒ 32 = ⇐⇒ 8x = 24 ⇐⇒ x = 3; L = {3} 2

2

⇐⇒ 5x − 7 = −3x + 17

x x x x (f) 9 · 2x+3 − 4 · 3x = 3x+1 + 9(3x − 2x ) ⇐⇒ 2x (9 · 8) − 44 · 3 = 3 ·32 +x 9 · 3 2− 49 · 2 x x x 4 x 4 x ⇐⇒ 2 · 81 = 3 · 16 ⇐⇒ 2 3 = 3 2 : 3 : 3 ⇐⇒ 3 = 3 ⇐⇒ x = 4; L = {4}

235A

L¨ osung 6.15 (a) D = R. Substitution S z = x . Damit gilt: 3

S

x6 − x3 + 1 = 0 ⇐⇒ z 2 − z + 1 = 0 Die letzte Gleichung hat die Diskriminante D = 14 − 1 = − 34 < 0 und hat daher keine L¨ osung. Somit hat auch die Ausgangsgleichung keine L¨ osung und es gilt L = ∅.

244

6. Gleichungen

(b) D = R. Substitution S y = 2z . Damit gilt: 1

2

2z+1 = 4z + 1 ⇐⇒ 2 (2z ) = (2z ) + 1 S

⇐⇒ 2y = y 2 + 1 ⇐⇒ y 2 − 2y + 1 = 0 ⇐⇒ (y − 1)2 = 0 ⇐⇒ y = 1 Durch R¨ ucksubstitution resultiert die Gleichung 2z = 1, deren einzige L¨ osung z = 0 ist. Daher gilt L = {0}. (c) D = R. Substitution S x = ey . Damit gilt: e3y − e−y = 0 ⇐⇒ (ey ) − (ey ) 3

−1

S

= 0 ⇐⇒ x3 −

1 =0 x

Durch Multiplikation∗ mit x resultiert die Gleichung x4 = 1, die die L¨ osungen x = 1 und x = −1 besitzt. Daraus ergeben sich durch R¨ ucksubstitution f¨ ur die Unbekannte y die Gleichungen ey = 1 und ey = −1. Die erste Gleichung hat nur die L¨ osung x = 0, w¨ ahrend die zweite Gleichung keine L¨ osung hat. Die L¨ osungsmenge der Ausgangsgleichung ist somit L = {0}. (d) Der Definitionsbereich ergibt sich aus den Bedingungen x2 > 0 und 3x2 −1 > 0, $ ' die ¨ aquivalent sind zu x = 0 bzw. x2 > 13 . Somit gilt D = R \ − 13 , 13 . Substitution S z = t6 . Damit gilt: S

ln(t6 ) + ln(3t6 − 1) = 0 ⇐⇒ ln(z) + ln(3z − 1) = 0 Aus den Vorü berlegungen resultiert für die Variable z der Definitionsbereich D=

6

1 ,∞ 3

. Daraus ergibt sich:

ln(z) + ln(3z − 1) = 0 ⇐⇒ ln =⇒

=0

z 1 = 1 ⇐⇒ z = 3z − 1 ⇐⇒ z = 3z − 1 2

Nun gilt 6 13 > 12 ⇐⇒ somit leer, d.h. L = ∅. 235A

z 3z − 1

1 3

>

1 26

=

L¨ osung 6.16 (a) x2 − a = 0 ⇐⇒ x2 = a; L =

1 . 64

Damit ist

1 2

= D und die L¨ osungsmenge

( √ √ ) ) *{− a, a}, falls a > 0 {0}, ) ) +∅,

falls a = 0 falls a < 0

∗ Die Multiplikation ist zul¨ assig, da die Variable x = ey mit y ∈ R nur positive Werte annimmt. Sie kann daher insbesondere nie den Wert Null haben.

6.12 L¨ osungen

245

(b) x2 − 2ax = 0 ⇐⇒ x(x − 2a) = 0 =⇒ x1 = 0 und x2 = 2a; {0, 2a}, falls a = 0 L= {0}, falls a = 0 (c) x2 − 2ax − 15a2 = 0 ⇐⇒ x2 − 2ax + a2 = 16a2 ⇐⇒ (x − a)2 = (4a)2 ⇐⇒ (x − a − 4a)(x − a + 4a) = 0 ⇐⇒ (x − 5a)(x + 3a) = 0; {−3a, 5a}, falls a = 0 L= {0}, falls a = 0 (d) x2 − 4ax − 7x + 28a = 0 ⇐⇒ x2 − x(4a + 7) + 28a = 0 ⇐⇒ 2 16a2 +56a−112a+49 2 2 x2 −2 4a+7 x+ (4a+7) = −28a+ (4a+7) ⇐⇒ x − 4a+7 = . 2 4 4 2 4 2

Aus der Identit¨ at 16a aquivalente Gleichung ¨

x−

+56a−112a+49 4

4a+7 2 2

=

=

4a−7 2

16a2 −56a+49 4

(4a−7)2 4

=

resultiert die

⇐⇒ (x − 7)(x − 4a) = 0.

2

Daraus ergeben sich je nach Wert von a die L¨ osungen

x1 = 4a und x2 = 7,

falls a =

x = 7,

falls a =

Die L¨ osungsmenge ist daher L = x2 +3a 3+a

(e) D = R:

L=

⇐⇒

{4a, 7},

falls a =

{7},

falls a =

7 4 7 4

.

( √ √ ∗ ) ) *{− −3a, −3a}, falls a < 0 und a = −3 {0}, ) ) +∅,

falls a = 0 falls a > 0

x−

x−

a 2 2 a 2

−

9a2 4

=

3|a| 2

2a2 x

⇐⇒ x2 − ax = 2a2 ⇐⇒ x2 − ax +

⇐⇒

x−

a 2

x−

+

3|a| 2

⇐⇒ (x − 2a)(x + a) = 0 L =

L¨ osung 6.17 (a)

.

= 0 ⇐⇒ x2 + 3a = 0 ⇐⇒ x2 = −3a

(f) D = R \ {0}; x − a = ⇐⇒

7 4 7 4

1 x ∈ −∞,

1 5

a 2 2

=

3|a| 2

2

⇐⇒

a>0

(x + a)(x − 2a),

a −3; L = (−3, ∞) (f) 3x − 1 ≤ 2(x − 3) − (2 − x) ⇐⇒ 3x − 1 ≤ 2x − 6 − 2 + x

⇐⇒ 3x − 1 ≤ 3x − 8 − 3x + 1 ⇐⇒ 0 ≤ −7; L = ∅

· 2 ⇐⇒ 18x ≥ 18x − 3 − 18x ⇐⇒ 0 ≥ −3; L = R · 2 ⇐⇒ −14x ≥ 3x − 3 − 3x ⇐⇒ −17x ≥ −3 : (−17) (h) −7x ≥ 3(x−1) 2 ' 3 3 (g) 9x ≥

3(6x−1) 2

⇐⇒ x ≤

291A

17

; L = −∞,

17

L¨ osung 8.2 D bezeichne jeweils die 189Diskriminante der quadratischen Gleichung. x1 und x2 sind die zugeh¨ origen L¨ osungen. Die Anwendung einer binomischen 1 2 Formel wird jeweils mit ⇐⇒ , ⇐⇒ markiert. (a) zugeh¨ orige Gleichung: x2 − x − 2 = 0; D = −1 =⇒ L = (−1, 2)

9 4

(b) zugeh¨ orige Gleichung: x2 − 7x + 12 = 0; D = =⇒ L = (−∞, 3] ∪ [4, ∞) = R \ (3, 4)

1 4

> 0, d.h. x1 = 2 und x2 =

> 0, d.h. x1 = 4 und x2 = 3

(c) 4x2 − 8x + 3 > 0 : 4 ⇐⇒ x2 − 2x + 34 > 0 zugeh¨ orige Gleichung: x2 − 2x + 34 = 0; D = 14 > 0, d.h. x1 = $ ' =⇒ L = −∞, 12 ∪ 32 , ∞ = R \ 12 , 32

3 2

und x2 =

1 2

(d) −x2 − 4x + 5 ≥ 0 : (−1) ⇐⇒ x2 + 4x − 5 ≤ 0 zugeh¨ orige Gleichung: x2 + 4x − 5 = 0; D = 9 > 0, d.h. x1 = 1 und x2 = −5 =⇒ L = [−5, 1] 1

(e) x2 + 6x + 9 ≥ 0 ⇐⇒ (x + 3)2 ≥ 0; L = R

8.6

L¨ osungen

293

(f) −2x2 + 16x − 32 ≥ 0 L = {4}

2 : (−2) ⇐⇒ x2 − 8x + 16 ≤ 0 ⇐⇒ (x − 4)2 ≤ 0;

(g) −x2 − 14x − 49 < 0 · (−1) ⇐⇒ x2 + 14x + 49 > 0 ⇐⇒ (x + 7)2 > 0; L = (−∞, −7) ∪ (−7, ∞) = R \ {−7} 1

(h) zugeh¨ orige Gleichung: x2 +2x+10 = 0; D = −9 < 0, d.h. es gibt keine L¨ osung

der Gleichung. Pr¨ ufstelle x = 0: 10 ≤ 0; L = ∅

(i) −3x2 + 18x − 36 < 0 : (−3) ⇐⇒ x2 − 6x + 12 > 0; zugeh¨ orige Gleichung: x2 −6x+12 = 0; D = −3 < 0, d.h. es gibt keine L¨ osung der Gleichung. Pr¨ ufstelle x = 0: 12 > 0; L = R

(j) −x2 + 4x + 21 > 0 · (−1) ⇐⇒ x2 − 4x − 21 < 0; zugeh¨ orige Gleichung: x2 − 4x − 21 = 0; D = 25 > 0, d.h. x1 = 7 und x2 = −3 =⇒ L = (−3, 7) 291A

L¨ osung 8.3 (a) D = R \ {3}:

x+2 x−3

≤ 2 ⇐⇒

x+2 x−3

−

2(x−3) x−3

≤ 0 ⇐⇒

−x+8 x−3

≤0

1 −x + 8 ≥ 0 und x − 3 < 0 ⇐⇒ x ≤ 8 und x < 3

⇐⇒ x ∈ (−∞, 8] ∩ (−∞, 3) =⇒ L1 = (−∞, 3) 2 −x + 8 ≤ 0 und x − 3 > 0 ⇐⇒ x ≥ 8 und x > 3

⇐⇒ x ∈ [8, ∞) ∩ (3, ∞) =⇒ L2 = [8, ∞) =⇒ L = L1 ∪ L2 = (−∞, 3) ∪ [8, ∞) = R \ [3, 8) (b) D = R \ {1}:

x x−1

> 3 ⇐⇒

x x−1

−

3(x−1) x−1

> 0 ⇐⇒

1 −2x + 3 > 0 und x − 1 > 0 ⇐⇒ x
0

3 2

und x > 1 ∩ (1, ∞) =⇒ L1 = 1, 32

2 −2x + 3 < 0 und x − 1 < 0 ⇐⇒ x >

3

und x < 1 2 ⇐⇒ x ∈ 32 , ∞ ∩ (−∞, 1) =⇒ L2 = ∅ 3 3

=⇒ L = L1 ∪ L2 = 1,

2

∪ ∅ = 1,

2

(c) D = R \ {2}: 1 2x − 4 ≥ 0 und 2 − x > 0 ⇐⇒ x ≥ 2 und x < 2

⇐⇒ x ∈ [2, ∞) ∩ (−∞, 2) =⇒ L1 = ∅ 2 2x − 4 ≤ 0 und 2 − x < 0 ⇐⇒ x ≤ 2 und x > 2

⇐⇒ x ∈ (∞, 2] ∩ (2, ∞) =⇒ L2 = ∅ =⇒ L = L1 ∪ L2 = ∅ ∪ ∅ = ∅ Alternativ gilt f¨ ur x = 2: 2x−4 = 2(x−2) = −2, d.h. die linke Seite der Unglei2−x 2−x chung ist f¨ ur x = 2 stets gleich −2. Die Ungleichung ist daher unerf¨ ullbar.

294

8. Ungleichungen

(d) D = R \ {−1, 1}: 2 1 ≤ x+1 ⇐⇒ x−1

2(x+1) (x−1)(x+1)

−

x−1 (x+1)(x−1)

≤ 0 ⇐⇒

x+3 x2 −1

≤0

1 x + 3 ≤ 0 und x − 1 > 0 ⇐⇒ x ≤ −3 und x > 1 2

2

⇐⇒ x ∈ (−∞, −3] ∩ ((−∞, −1) ∪ (1, ∞)) =⇒ L1 = (−∞, −3] 2 x + 3 ≥ 0 und x2 − 1 < 0 ⇐⇒ x ≥ −3 und x2 < 1

⇐⇒ x ∈ [−3, ∞) ∩ (−1, 1) =⇒ L2 = (−1, 1) =⇒ L = L1 ∪ L2 = (−∞, −3] ∪ (−1, 1) (e) D = R \ {−3, 2}: x 1 − x−2 ≥ 1 ⇐⇒ x+3

x(x−2)−(x+3)−(x+3)(x−2) (x+3)(x−2)

≥ 0 ⇐⇒

−4x+3 (x+3)(x−2)

≥0

1 −4x + 3 ≥ 0 und (x + 3)(x − 2) > 0 ⇐⇒ x ≤

⇐⇒ x ∈ −∞,

3 4

'

3 und x2 + x − 6 > 0 4 ∩ ((−∞, −3) ∪ (2, ∞)) =⇒ L1 = (−∞, −3)

2 −4x + 3 ≤ 0 und (x + 3)(x − 2) < 0 ⇐⇒ x ≥

⇐⇒ x ∈

$3 4

, ∞ ∩ (−3, 2) =⇒ L2 =

=⇒ L = L1 ∪ L2 = (−∞, −3) ∪ (f) D = R \ {−1, 1}: x 2 + x+1 ≤ x−4 ⇐⇒ 2 −1 x−1

$3 4

$3 4

3 4

und x2 + x − 6 < 0

,2

,2

x(x+1)+2(x−1)+4 x2 −1 2

≤ 0 ⇐⇒

x2 +3x+2 x2 −1

≤0

Die quadratische Gleichung x + 3x + 2 = 0 hat die Diskriminante D = 14 > 0, d.h. x1 = −2 und x2 = −1 sind die L¨ osungen der Gleichung. Daraus folgt: 1 x2 + 3x + 2 ≤ 0 und x2 − 1 > 0 ⇐⇒ x2 + 3x + 2 ≤ 0 und x2 > 1

⇐⇒ x ∈ [−2, −1] ∩ ((−∞, −1) ∪ (1, ∞)) =⇒ L1 = [−2, −1) 2 x + 3x + 2 ≥ 0 und x2 − 1 < 0 ⇐⇒ x2 + 3x + 2 ≥ 0 und x2 < 1 2

⇐⇒ ((−∞, −2] ∪ [−1, ∞)) ∩ (−1, 1) =⇒ L2 = (−1, 1) =⇒ L = L1 ∪ L2 = [−2, −1) ∪ (−1, 1) = [−2, 1) \ {−1} 291A

L¨ osung 8.4 (a)

1 x ∈ (−∞, −2]: −x − 2 = 2x − 1 ⇐⇒ −3x = 1 ⇐⇒ x = − 13 ;

− 13 ∈ (−∞, −2] ist keine L¨ osung

2 x ∈ (2, ∞): x + 2 = 2x − 1 ⇐⇒ 3 = x;

3 ∈ (2, ∞) ist eine L¨ osung Intervall Pr¨ ufstelle Ungleichung nach Einsetzen Ungleichung erf¨ ullt L = [3, ∞) (b)

1 x ∈ (−∞, 3]: −x + 3 = 1 ⇐⇒ 2 = x;

2 ∈ (−∞, 3] ist eine L¨ osung

(−∞, 3) x=0 2 ≤ −1 nein

(3, ∞) x=4 6≤7 ja

8.6

L¨ osungen

295

2 x ∈ (3, ∞): x − 3 = 1 ⇐⇒ x = 4;

4 ∈ (3, ∞) ist eine L¨ osung Intervall Pr¨ ufstelle Ungleichung nach Einsetzen Ungleichung erf¨ ullt

(−∞, 2) x=0 3>1 ja

(2, 4) x=3 0>1 nein

(4, ∞) x=5 2>1 ja

L = (−∞, 2) ∪ (4, ∞) = R \ [2, 4] (c)

1 x ∈ (−∞, −3]: −x + 4 + 2x + 6 = 0 ⇐⇒ x = −10;

−10 ∈ (−∞, −3] ist eine L¨ osung 2 x ∈ (−3, 4]: −x + 4 − 2x − 6 = 0 ⇐⇒ −3x = 2 ⇐⇒ x = − 23 ;

− 23 ∈ (−3, 4] ist eine L¨ osung

3 x ∈ (4, ∞): x − 4 − 2x − 6 = 0 ⇐⇒ x = −10;

−10 ∈ (4, ∞) ist keine L¨ osung Intervall Pr¨ ufstelle Ungleichung nach Einsetzen Ungleichung erf¨ ullt

$

L = −10, − 23 (d)

(−∞, −10) x = −11 −1 ≥ 0 nein

−10, − 23 x = −1 1≥0 ja

− 23 , ∞ x=0 −2 ≥ 0 nein

'

1 x ∈ (−∞, −2]: −3x + 1 − x − 2 = 3 ⇐⇒ −4x = 4 ⇐⇒ x = −1;

−1 ∈ (−∞, −2] ist keine L¨ osung

2 x ∈ −2,

'

: −3x + 1 + x + 2 = 3 ⇐⇒ −2x = 0 ⇐⇒ x = 0; ' 0 ∈ −2, 13 ist eine L¨ osung

1

3 x∈

1 2

1 3

, ∞ : 3x − 1 + x + 2 = 3 ⇐⇒ 4x = 2 ⇐⇒ x = 12 ; ∈ 13 , ∞ ist eine L¨ osung

3

Intervall Pr¨ ufstelle Ungleichung nach Einsetzen Ungleichung erf¨ ullt

$

L = 0, (e)

1 2

(−∞, 0) x = −1 5≤3 nein

1

0, 12 x = 13 7 ≤3 3 ja

,∞ x=1 5≤3 nein 2

'

1 x ∈ (−∞, −2]: −x−1+x−1−2x−4 = 0 ⇐⇒ −2x = 6 ⇐⇒ x = −3;

−3 ∈ (−∞, −2] ist eine L¨ osung 2 x ∈ (−2, −1]: −x − 1 + x − 1 + 2x + 4 = 0 ⇐⇒ 2x = −2 ⇐⇒ x = −1;

−1 ∈ (−2, −1] ist eine L¨ osung 3 x ∈ (−1, 1]: x + 1 + x − 1 + 2x + 4 = 0 ⇐⇒ 4x = −4 ⇐⇒ x = −1;

−1 ∈ (−1, 1] ist keine L¨ osung∗

∗ Diese Aussage bezieht sich lediglich auf diesen Teil der Untersuchung. Nach Teil −1 eine L¨ osung und muss daher im Folgenden ber¨ ucksichtigt werden.

2

ist

296

8. Ungleichungen

4 x ∈ (1, ∞): x + 1 − x + 1 + 2x + 4 = 0 ⇐⇒ 2x = −6 ⇐⇒ x = −3;

−3 ∈ (1, ∞) ist keine L¨ osung Intervall Pr¨ ufstelle Ungleichung nach Einsetzen Ungleichung erf¨ ullt

(−∞, −3) x = −4 2>0 ja

(−3, −1) x = −2 −2 > 0 nein

(−1, ∞) x=0 4>0 ja

L = (−∞, −3) ∪ (−1, ∞) = R \ [−3, −1] (f)

1 x ∈ (−∞, −4]: x + 1 − x + 3 = 1 − x − 4 ⇐⇒ x = −7;

−7 ∈ (−∞, −4] ist eine L¨ osung 2 x ∈ (−4, −1]: x + 1 − x + 3 = 1 + x + 4 ⇐⇒ x = −1;

−1 ∈ (−4, −1] ist eine L¨ osung 3 x ∈ (−1, 3]: −x − 1 − x + 3 = 1 + x + 4 ⇐⇒ −3x = 3 ⇐⇒ x = −1;

−1 ∈ (−1, 3] ist keine L¨ osung 4 x ∈ (3, ∞): −x − 1 + x − 3 = 1 + x + 4 ⇐⇒ x = −9;

−9 ∈ (3, ∞) ist keine L¨ osung Intervall Pr¨ ufstelle Ungleichung nach Einsetzen Ungleichung erf¨ ullt L = [−7, −1]

(−∞, −7) x = −8 4≥5 nein

(−7, −1) x = −2 4≥3 ja

(−1, ∞) x=0 2≥5 nein

Kapitel 9 Folgen und Reihen

9

9

9

Folgen und Reihen

9.1

Folgen .............................................................. 299

9.2

Reihen.............................................................. 307

9.3

Spezielle Reihen .................................................. 309

9.4

Aufgaben .......................................................... 312

9.5

Lösungen .......................................................... 314

299

9.1

Folgen

299

9 Folgen und Reihen 9.1

9.1 Folgen In 9Kapitel 1.2 wurden u.a. die nat¨ urlichen Zahlen eingef¨ uhrt. Diese Menge besitzt unendlich viele Elemente und wird i.Allg. in der aufzählenden Schreibweise N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, . . .} notiert. Da die Reihenfolge der Elemente in der aufzählenden Darstellung einer Menge ohne Bedeutung ist, beschreibt die Menge {3, 2, 1, 4, 5, 6, . . .} ebenfalls die nat¨ urlichen Zahlen. Die Interpretation der nat¨ urlichen Zahlen als 299Folge ber¨ ucksichtigt jedoch die Reihenfolge der Aufzählung, d.h. in dieser Situation hat jeder Eintrag einen eindeutig definierten Nachfolger: auf 1 folgt 2, auf 2 folgt 3 etc. Zur Abgrenzung der Notation werden die Mengenklammern durch runde Klammern ersetzt (1, 2, 3, 4, . . .). Eine Folge ist somit eine Erweiterung eines 61n-Tupels in dem Sinne, dass die Folge statt der festen Anzahl n unendlich viele Komponenten hat. Wie bei Tupeln sind zwei Folgen verschieden, wenn sie sich an mindestens einer Stelle unterscheiden. Daher gilt beispielsweise (1, 2, 3, 4, 5, 6, . . .) = (3, 2, 1, 4, 5, 6, . . .). Definition Folge Seien a1 , a2 , . . . reelle Zahlen, d.h. jeder nat¨ urlichen Zahl n ist eine Zahl an zugeordnet. Dann heißt die nach Indizes geordnete Zusammenstellung der Zahlen

(a1 , a2 , a3 , . . . ) Zahlenfolge oder kurz Folge. Als Notation wird auch (an )n∈N verwendet. Die Zahl an mit dem Index n heißt n-tes Folgenglied (der Folge (an )n∈N ). an+1 heißt Nachfolger von an , n ∈ N.

Allgemein werden auch Folgen von Zahlen an betrachtet, deren Indizes aus einer (45abzählbaren) Indexmenge I (etwa einer echten Teilmenge der nat¨ urlichen Zahlen oder N0 ) gew¨ ahlt werden. Die zugehörige Notation ist dann (an )n∈I . Beispiel

(i) (an )n∈N definiert durch an = 2n, n ∈ N, ist die Folge der geraden nat¨ urlichen Zahlen (2, 4, 6, 8, . . .).

B

300

9. Folgen und Reihen

(ii) Durch die Vorschrift an = (−1)n , n ∈ N, wird die Folge (an )n∈N = (−1, 1, −1, 1, −1, . . .) definiert. (iii) (an )n∈N definiert durch an =

1 n,

n ∈ N, ist die Folge (1, 12 , 13 , 14 , . . .).

(iv) (an )n∈N0 definiert durch an = xn , n ∈ N0 , ist die Folge (1, x, x2 , x3 , . . .), wobei x0 = 1 verwendet wurde. B In der Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik treten Folgen z.B. in Form 309diskreter Wahrscheinlichkeitsverteilungen auf 45abz¨ ahlbaren Mengen auf. Die Folgenglieder werden als Wahrscheinlichkeiten f¨ ur gewisse Ereignisse interpretiert.

Bezeichnung Geometrische Verteilung Die geometrische Verteilung mit Parameter p ∈ (0, 1) ist definiert als die Folge (an )n∈N0 mit

an = p(1 − p)n ,

n ∈ N0 ,

d.h. (an )n∈N0 = (p, p(1 − p), p(1 − p)2 , p(1 − p)3 , . . .).

Speziell f¨ ur p =

1 2

ergibt sich die Wahrscheinlichkeitsverteilung

1

1 1 2, 4, 8, . . .

.

Bezeichnung Poisson-Verteilung Die Poisson-Verteilung mit Parameter λ > 0 ist definiert durch

an =

λn −λ e , n!

n ∈ N0 .

Formal kann eine Folge auch mittels einer 149Abbildung beschrieben werden, die jeder Zahl aus der Indexmenge eine reelle Zahl zuordnet. Exemplarisch sei f : N → R eine Abbildung von N nach R, dann wird die Zahlenfolge (an )n∈N definiert durch n ∈ N. Dies bedeutet beispielsweise, dass die Folge 1, 12 , 13 , 14 , . . . auch durch die Funktion f (x) = x1 , x ∈ N, definiert werden kann. f (n) = an ,

Es gibt eine Vielzahl von Eigenschaften, die eine Folge (an )n∈N haben kann. An dieser Stelle werden nur die f¨ ur die weiteren Ausf¨ uhrungen relevanten Aspekte betrachtet.

9.1

Folgen

301

Definition Monotonie und Beschr¨ anktheit von Folgen Sei (an )n∈N eine Folge.

1. Die Folge heißt monoton wachsend, wenn die Folgenglieder monoton wachsend sind, d.h. jeder Nachfolger ist größer oder gleich seinem Vorgänger: an ≤ an+1 . 2. Die Folge heißt monoton fallend, wenn die Folgenglieder monoton fallend sind, d.h. jeder Nachfolger ist kleiner oder gleich seinem Vorgänger: an ≥ an+1 . 3. Haben alle Folgenglieder den gleichen Wert, so heißt die Folge konstant. 4. Die Folge heißt beschränkt, wenn es eine positive Zahl B gibt, so dass alle Folgenglieder im Intervall [−B, B] liegen, d.h.

−B ≤ an ≤ B

f¨ ur alle n.

Beispiel Folgen

B

(i) Die Folge der geraden Zahlen (2, 4, 6, . . .) ist monoton wachsend, jedoch nicht beschränkt. F¨ ur jede feste Zahl B > 0 gibt es nämlich stets eine gerade Zahl, die gr¨ oßer als B ist. (ii) Die durch an = (−1)n definierte Folge (−1, 1, −1, 1, . . .) ist beschränkt, da f¨ ur B = 1 gilt: −B ≤ an ≤ B f¨ ur alle n ∈ N. Die Folge ist aber offensichtlich nicht monoton. (iii) Die durch an = n1 definierte Folge 1, 12 , 13 , 14 , . . . ist monoton fallend, 1 da n1 > n+1 . Sie ist außerdem beschr¨ ankt, da 1 = a1 ≥ an = n1 ≥ 0 ≥ −1 und somit −1 ≤ an ≤ 1 gilt. Der Graf einer Folge wird wie der 153Graf einer Funktion als Punktmenge im Koordinatensystem dargestellt. Da auf der Abszisse nur die Werte aus der Indexmenge relevant sind, besteht der Graf aus einer abzählbaren Menge von Punkten {(n, an )|n ∈ I}. F¨ ur obige Beispiele resultieren folgende Grafen. 6an = 2n 30 20 10

rr

0 0

r rr 5

rr

r rr

rr

r rr

r rr

rr

6r r r r r r r r r r -

20

−1

10

r 6 an =

n 5

15

1

an = (−1)n

0

n 10

1

15

r r

20

r r r r r r r r r r

1 n

rr

0 5

rrrr

r r rr rr rr rrr -

10

15 n 20

B

302


Folgen können wie Zahlen durch elementare Operationen verkn¨ upft werden.

Definition Verkn¨ upfung von Folgen Seien (an )n∈N und (bn )n∈N Folgen. Die Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division sind definiert durch:

1. (an + bn )n∈N = (a1 + b1 , a2 + b2 , a3 + b3 , . . .) 2. (an − bn )n∈N = (a1 − b1 , a2 − b2 , a3 − b3 , . . .) 3. (an · bn )n∈N = (a1 · b1 , a2 · b2 , a3 · b3 , . . .)

an a1 a2 a3 4. = , , , . . . , falls bn = 0 für alle n ∈ N bn n∈N b1 b2 b3

Funktionen können ebenfalls zur Definition von Folgen verwendet werden.

Definition Folgen und Funktionen Seien (an )n∈N eine Folge und h eine Funktion derart, dass jedes Folgenglied im Definitionsbereich der Funktion h liegt. Dann wird durch Einsetzen der Folgenglieder in die Funktion, d.h. durch h(an ), eine neue Folge definiert

(h(an ))n∈N = (h(a1 ), h(a2 ), h(a3 ), . . .). B

Beispiel Folgen und Funktionen Seien (an )n∈N eine Folge und h eine Funktion derart, dass jedes Folgenglied im Definitionsbereich der Funktion h liegt.

1. h(x) = 2x + 1, x ∈ R: (h(an ))n∈N = (2a1 + 1, 2a2 + 1, 2a3 + 1, . . .). 2. h(x) = x2 , x ∈ R: (h(an ))n∈N = (a21 , a22 , a23 , . . .). 3. h(x) = 2x , x ∈ R: (h(an ))n∈N = (2a1 , 2a2 , 2a3 , . . .). √ √ √ √ 4. h(x) = x, x ≥ 0: (h(an ))n∈N = ( a1 , a2 , a3 , . . .), wobei an ≥ 0 f¨ ur alle n ∈ N. 5. h(x) = ln(x), x > 0: (h(an ))n∈N = (ln(a1 ), ln(a2 ), ln(a3 ), . . .), wobei an > 0 f¨ ur alle n ∈ N. B In den einf¨ uhrenden Beispielen zeigte sich, dass Folgen hinsichtlich Monotonie und Beschränktheit sehr unterschiedliche Verhaltensmuster haben können. Eine weitere Eigenschaft von Folgen, die f¨ ur viele Bereiche der Mathematik und Statistik von grundlegender Bedeutung ist, ist die Frage, ob sich die Folgenglieder einem festen Wert n¨ ahern. Dazu werden zunächst einige Beispiele betrachtet.

9.1

Folgen

303

Konvergenz von Folgen Beispiel Die folgenden Beobachtungen k¨ onnen direkt aus der 301grafischen Darstellung der Folgen abgeleitet werden. (i) Die durch an = n1 , n ∈ N, definierte Folge 1, 12 , 13 , 14 , . . . ist beschränkt und monoton fallend. Die Folgenglieder nähern sich offensichtlich der Null an, wobei das n-te Folgenglied jedoch stets von Null verschieden ist und der Abstand zu Null geringer wird, d.h. es gilt an = n1 ≈ 0 f¨ ur große Indizes n.

B

(ii) Die durch an = 2n, n ∈ N, definierte Folge der geraden nat¨ urlichen Zahlen (2, 4, 6, 8, . . .) ist monoton wachsend und unbeschränkt. Daher kann es keine reelle Zahl geben, der sich die Folgenglieder nähern. (iii) Die durch die Vorschrift an = (−1)n , n ∈ N, definierte Folge (an )n∈N = (−1, 1, −1, 1, −1, . . .) n¨ ahert sich keinem Wert an. Aufgrund der Konstruktionsvorschrift k¨ amen nur die Werte 1 oder −1 in Frage. Da die Folge jedoch zwischen diesen Werten hin und her springt (sie ist alternierend), stabilisiert sie sich nicht. B Die oben beschriebenen Ph¨ anomene werden nun formalisiert. Definition Konvergenz von Folgen Eine Folge (an )n∈N heißt konvergent gegen eine Zahl a, wenn es f¨ ur jede Zahl ε > 0 einen Index n0 gibt, so dass alle Nachfolger von an0 im Intervall [a − ε, a + ε] liegen, d.h. ist der Index groß genug, so unterscheiden sich die Folgenglieder höchstens um einen beliebig kleinen vorgegebenen Wert ε. In diesem Fall werden auch die Schreibweisen n→∞

lim an = a bzw. an −−−−→ a

n→∞

verwendet. a heißt Grenzwert oder Limes der Folge (an )n∈N . Eine konvergente Folge mit Grenzwert 0 heißt Nullfolge. Existiert kein solches a ∈ R, so heißt die Folge divergent oder nicht konvergent. Eine Folge (an )n∈N heißt konvergent gegen ∞, falls es für jede positive Zahl B einen Index n0 gibt, so dass alle Nachfolger von an0 größer als B sind, d.h. an > B f¨ ur alle n ≥ n0 . Eine Folge (an )n∈N heißt konvergent gegen −∞, falls es f¨ ur jede positive Zahl B einen Index n0 gibt, so dass alle Nachfolger von an0 kleiner als −B sind, d.h. an < −B für alle n ≥ n0 . In diesen beiden Fällen wird auch die Sprechweise bestimmt divergent“ verwendet. ” In Abgrenzung dazu heißt die Konvergenz einer Folge gegen eine reelle Zahl auch endliche Konvergenz.

304


Anschaulich bedeutet die Konvergenz einer Folge, dass sich die Folgenglieder ab einem Wert n0 innerhalb eines Bandes um den Grenzwert a bewegen, wobei die Breite des Bandes beliebig klein werden darf. Dies wird f¨ ur die durch die Vorschrift an = 1 + (−1)n n1 definierte Folge in einer Grafik illustriert. Da (−1)n n1 eine Nullfolge ist, ist der Grenzwert der betrachteten Folge a = 1. 1,5

r

6

...................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... . . . . . . . ....... ....... ....... ........ ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... . ....... ....... ....... ........ ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... . . . . . . . . . . . . ........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ . . . . . . . . . . . . . . . . . .

r

1,08 1 0,92

r

0,5

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

1

r

r

r

r

r

r

r

-

2

3

···

13

Wird ε = 0,5 gew¨ ahlt, so liegen alle Folgenglieder ab n0 = 2 in dem oben eingezeichneten Band mit den Grenzen 0,5 und 1,5 (durchgezogene Linie). F¨ ur ε = 0,08 liegen die Folgenglieder erst ab n0 = 13 in dem blau markierten Bereich [0,92, 1,08]. Wird das Band enger gewählt, dann wächst die Nummer n0 ab der die Folgenglieder das Band nicht mehr verlassen. Die Indizes n0 sind jeweils durch eine gepunktete Linie illustriert. Die Konvergenzbedingung besagt, dass es f¨ ur jede noch so kleine Zahl ε > 0 stets ein n0 mit dieser Eigenschaft gibt. B

Wichtige Beispiele konvergenter Folgen sind die durch an = n1p , n ∈ N, definierten Folgen mit einem nicht-negativen Exponenten p > 0. In dieser Situation ist (an )n∈N stets eine Nullfolge, d.h. an → 0. Je größer p ist, desto schneller nähern sich die Folgenglieder der Null an. Beispiel

F¨ ur p = 0 resultiert die konstante Folge mit an = 1, n ∈ N. Ist p negativ, so ist (an )n∈N bestimmt divergent gegen +∞. B Ein Beispiel einer nicht konvergenten Folge ist in der nachstehenden Grafik dargestellt. Da zur Pr¨ ufung der Konvergenz nur kleine Werte von ε von Interesse sind, wird deutlich, dass die Folge f¨ ur jeden Wert a dieses Band stets verlässt (wenn ε nur klein genug ist).

9.1

Folgen

305

6 a+ε

r

r

r

r r

r r

.................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

r

r

r

a a−ε

r

r r r

r

r

r r

r

r

r

r

.................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

r

r

r

r r r

r r

r -

1 2 3 ··· Die Definition der Konvergenz einer Folge gegen eine Zahl a ∈ R setzt voraus, dass der Grenzwert a oder zumindest Kandidaten f¨ ur den Grenzwert bekannt sind. Mittels geeigneter Kriterien kann jedoch die Grenzwertbestimmung auf bekannte Situationen zur¨ uckgef¨ uhrt werden. Eigenschaften konvergenter Folgen Seien (an )n∈N und (bn )n∈N endlich konvergente Folgen mit Grenzwert a bzw. b sowie c, d reelle Zahlen. Dann gilt: 1. lim (c · an + d) = c · a + d n→∞

2. lim (an + bn ) = a + b n→∞

3. lim (an − bn ) = a − b n→∞

4. lim (an · bn ) = a · b n→∞

an n→∞ bn

5. lim

= ab , falls b = 0

Zur Definition der Quotienten abnn ist die Voraussetzung bn = 0 notwendig. Da aber aus der Konvergenz von (bn )n∈N gegen b = 0 folgt, dass ab einem Index n0 alle Folgenglieder bn von Null verschieden sein m¨ ussen, kann f¨ ur die Grenzwertbetrachtung dieses Problem vernachlässigt werden. Die Folge der Quotienten ist dann ab dem Index n0 wohldefiniert. F¨ ur die Grenzwertbe an trachtung wird daher die Quotientenfolge bn herangezogen. n∈N,n≥n0

306


Kriterien f¨ ur Konvergenz einer Folge Sei (an )n∈N eine Folge. Ist (an )n∈N beschr¨ ankt und monoton, so ist die Folge endlich konvergent gegen eine reelle Zahl a. Sind h eine 329stetige Funktion, (an )n∈N eine endlich konvergente Folge mit Grenzwert a und liegen (an )n∈N und a im Definitionsbereich von h, so ist die Folge (h(an ))n∈N endlich konvergent mit Grenzwert h(a).

B

Beispiel

(i) Die durch an = 1 + n1 und bn = konvergieren gegen 1 bzw. 2, denn bn = 1 n→∞ n

sowie lim

1 2 n→∞ n

= lim

2n2 +1 n2

f¨ ur n ∈ N definierten Folgen

2n2 + 1 1 =2+ 2 2 n n

= 0. Damit resultieren f¨ ur die aus (an )n∈N und

(bn )n∈N gebildeten Folgen die Grenzwerte Folge Grenzwert

(an + bn )n∈N

(an − bn )n∈N

(an · bn )n∈N

3

−1

2

an bn

1 2

n∈N

Die Folge (bpn )n∈N mit p ∈ R besitzt den Grenzwert 2p , da die Potenzfunktion h(x) = xp , x ≥ 0, eine 329stetige Funktion ist. (ii) Die durch an =

n2 −n+1 n3 +2

definierte Folge konvergiert gegen 0, denn es gilt

an =

n2 − n + 1 = n3 + 2

1 n

− n12 + 1 + n23

1 n3

.

Aus dieser Darstellung des Bruchs folgt, dass der Zähler gegen 0 und der Nenner gegen 1 konvergieren. Also ist 01 = 0 der Grenzwert von (an )n . (iii) Die durch an = 1 − (−1)n n1 definierte Folge konvergiert gegen a = 1. Da an > 0 f¨ ur alle n ∈ N gilt, ist jedes Folgenglied an im Definitionsbereich des nat¨ urlichen Logarithmus. Somit konvergiert die Folge (ln(an ))n∈N gegen ln(1) = 0. (iv) Die durch an = q n mit q ∈ (−1, 1), n ∈ N0 , definierte geometrische Folge konvergiert gegen Null, d.h. lim q n = 0. Im Fall g = 1 ist die Folge n→∞

konstant mit an = 1 f¨ ur alle n ∈ N0 . F¨ ur q > 1 konvergiert (an )n∈N0 gegen +∞. F¨ ur q ≤ −1 ist sie nicht konvergent und alternierend. B

9.2

Reihen

307

9.2

9.2 Reihen Beispiel Dezimalzahlen Die Folge der Dezimalzahlen

0,1, 0,11,

0,111,

0,1111,

B

0,11111, . . .

nähert sich offensichtlich der periodischen Dezimalzahl 0,1 an. Ein Nachweis dieser Beobachtung beruht auf der Darstellung 1 1 1 1 1 , 0,11 = + = 1 + 2, 10 10 100 10 10 1 1 1 1 1 1 0,111 = + + = 1 + 2 + 3,..., 10 100 1 000 10 10 10 0,1 =

d.h. die Dezimalzahl 0,111 . . . mit n Nachkommastellen kann geschrieben werden als n ' 1 1 1 1 + 2 + ··· + n = . j 101 10 10 10 j=1 Sie entsteht durch Summation a1 + · · · + an der Folgenglieder der durch an = 101n definierten Folge. Auf diese Weise konstruierte Folgen werden als Reihen bezeichnet. B Definition Reihe, Partialsumme Sei (an )n∈N eine Folge. Dann heißt sn =

n

ai

i=1

n-te Partialsumme (von (an )n∈N ). Die Folge der Partialsummen , n ' (sn )n∈N = ai = (a1 , a1 + a2 , a1 + a2 + a3 , . . .) i=1

n∈N

heißt Reihe.

Da Reihen letztlich nur spezielle Folgen sind, können alle Begriffe, die zur Beschreibung und Analyse von Folgen benutzt werden, u ¨bertragen werden. F¨ ur den Grenzwert wird folgende Bezeichnung eingef¨ uhrt. Bezeichnung Grenzwert einer Reihe Seien (an )n∈N eine Folge reeller Zahlen und

sn =

n

ai , n ∈ N, die n-te Partialsumme. Die Reihe (sn )n∈N sei konvergent

i=1

gegen eine reelle Zahl s, d.h. die Folge (sn )n∈N habe den Grenzwert s. Dann wird der Grenzwert auch bezeichnet mit

s = lim sn = lim n→∞

n→∞

n ' i=1

ai =

∞ ' i=1

ai .

308


Aus den Konvergenzkriterien f¨ ur Folgen k¨ onnen Kriterien f¨ ur Reihen hergeleitet werden, die die spezielle Struktur einer Reihe ausnutzen. Kriterium f¨ ur die Konvergenz einer Reihe Seien (an )n∈N eine Folge nicht-negativer reeller Zahlen und (sn )n∈N die zugehörige Reihe. Dann ist die Folge (sn )n∈N endlich konvergent gegen eine reelle Zahl s genau dann, wenn (sn )n∈N beschränkt ist. Insbesondere ist (sn )n∈N bestimmt divergent gegen +∞, falls (sn )n∈N unbeschränkt ist.

Quotientenkriterium f¨ ur die Konvergenz einer Reihe Seien (an )n∈N eine Folge reeller Zahlen und (sn )n∈N die zugehörige Reihe, wobei an = 0 f¨ ur alle n gelte.∗ Dann ist die Folge (sn )n∈N endlich konvergent gegen eine reelle Zahl s, wenn es eine reelle Zahl 0 ≤ q < 1 und einen Index n0 gibt, so dass f¨ ur alle weiteren Indizes der Quotient aufeinander folgender Folgenglieder stets durch q beschränkt ist, d.h. an+1 ur alle n ≥ n0 . an ≤ q < 1 f¨ Aus der Konvergenz einer Reihe wird das folgende Resultat abgeleitet, dass eine Aussage zur Folge der Summanden macht. Das Kriterium ist insbesondere n¨ utzlich, um zu entscheiden, dass eine Reihe nicht konvergiert. Zusammenhänge zwischen Partialsummen- und Summandenfolge n Seien (an )n∈N eine Folge und sn = ai die n-te Partialsumme. Dann i=1

gilt: Konvergiert die Reihe (sn )n∈N , so ist (an )n∈N eine Nullfolge, d.h. lim an = 0. n→∞

Ist (an )n∈N keine Nullfolge, so konvergiert die Reihe nicht.

B

Beispiel Die durch die Partialsumme sn =

n

ik , n ∈ N, mit k ∈ N definierte

i=1

Reihe konvergiert nicht, da die Summanden ai = ik keine Nullfolge bilden. B ∗ Andernfalls

k¨ onnen diese Folgenglieder vernachl¨ assigt werden, da sie keinen Einfluss auf die Partialsummenfolge (sn )n∈N haben.

9.3

Spezielle Reihen

309

Bezeichnung Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung Sei (pn )n∈N0 eine Folge nicht-negativer Zahlen. Dann heißt (pn )n∈N0 diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung

auf N0 , falls

∞

pn = 1 gilt.

n=0

Beispiele f¨ ur diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen sind die 300geometrische Verteilung und die 300Poisson-Verteilung. Durch entsprechende Summationsbedingungen k¨ onnen auch diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen auf N bzw. anderen 45abz¨ ahlbaren Mengen definiert werden.

9.3

9.3 Spezielle Reihen Geometrische Reihe

Die geometrische Reihe (sn )n∈N0 wird mittels der Summanden an = an , n ∈ N0 , definiert, wobei a ∈ (−1, 1) eine gegebene Zahl ist. Die n-te Partialsumme wird als 118geometrische Summe explizit berechnet: sn =

n '

ai =

i=0

n '

ai =

i=0

Die zugehörige Reihe (sn )n∈N0 = F¨ ur a =

1 2

ergibt sich z.B. , n ' 1 i (sn )n∈N0 = 2 i=0

1 − an+1 1−a

1−an+1 1−a

n∈N0

f¨ ur n ∈ N0 .

heißt geometrische Reihe. n∈N0

3 7 15 31 = 1, , , , , . . . 2 4 8 16

Die Konvergenz der geometrischen Reihe folgt aus dem Quotientenkriterium, da an+1 an+1 = an an = |a| < 1 gilt. Dies zeigt insbesondere, warum |a| < 1, d.h. a ∈ (−1, 1), gefordert wird. Der Grenzwert der Reihe ist gegeben durch lim sn =

n→∞

n→∞

∞ ' i=0

1 − an+1 1 = , n→∞ 1−a 1−a

ai = lim

da an+1 −−−−→ 0 f¨ ur |a| < 1. F¨ ur a =

1 2

resultiert der Grenzwert

∞ n=0

1 2n

= 2.

310

B


Beispiel In der Statistik wird die geometrische Reihe bei Auswertungen der 300geometrischen Verteilung verwendet, wobei dort die Setzung an = p(1 − p)n , n ∈ N0 , mit p ∈ (0, 1) benutzt wird. In diesem Fall gilt n ' i=0

ai =

n '

p(1 − p)i = p

i=0

n '

(1 − p)i = p

i=0

F¨ ur n → ∞ ergibt sich somit

∞

ai =

i=0

∞

1 − (1 − p)n+1 = 1 − (1 − p)n+1 . 1 − (1 − p)

p(1− p)i = lim [1−(1−p)n+1 ] = 1, n→∞

i=0

d.h. die Summe aller Wahrscheinlichkeiten ist (wie gefordert) gleich Eins. B B

Beispiel Die geometrische Reihe wird oft nur auf dem Bereich N definiert, d.h. die zugehörige Reihe lautet a, a + a2 , a + a2 + a3 , . . . .

In diesem Fall ist der Grenzwert gegeben durch (falls −1 < a < 1) ∞ '

an =

n=1

∞ '

an − a0 =

n=0

1 a −1= . 1−a 1−a

Alternativ kann dieses Ergebnis auch mittels einer 116Indexverschiebung (∗) erzielt werden: ∞ '

an = lim

n=1

k '

k→∞

(∗)

an = lim

k→∞

n=1

= a · lim

k→∞

k−1 '

an = a ·

n=0

k−1 '

an+1 = lim

k→∞

n=0 ∞ '

an = a ·

n=0

k−1 '

a · an

n=0

1 , 1−a

wobei lim (k − 1) = +∞ benutzt wird. Dies hat zur Folge, dass die Indexverk→∞

schiebung keine Auswirkungen auf die obere Summationsgrenze hat.

B

Aus diesem Beispiel wird folgende Regel zur Indexverschiebung f¨ ur den Grenzwert einer Reihe abgeleitet. Indexverschiebung bei Reihen Sei (sn )n∈N eine konvergente Reihe mit Partialsummen sn =

i=1

N. Dann gilt ∞ ' n=1

n

an =

∞ ' n=1+k

an−k =

∞ ' n=1−k

an+k

f¨ ur k ∈ Z.

ai , n ∈

9.3

Spezielle Reihen

311

Beispiel Die geometrische Reihe kann zur Darstellung 21periodischer Dezimalzahlen verwendet werden. Wird n¨ amlich an = 101n gewählt, so ergibt sich aus dem 307Eingangsbeispiel

1 1 1 (an )n∈N = , , ,... . 10 100 1 000

Damit ist die Dezimalzahl 0,1 gegeben durch 0,1 = 0,1111 . . . =

∞ 1 ' 1 1 10 = = . 1 j 10 9 1 − 10 j=1

Daraus ergibt sich etwa f¨ ur 0,9 die Darstellung 0,9 = 0,9999 . . . =

∞ ∞ ' ' 9 1 1 = 9 · = 9 · = 1. j j 10 10 9 j=1 j=1

Damit gilt offenbar 0,9 = 1, d.h. die Zahl Eins besitzt die verschiedenen Dezimaldarstellungen 0,9 und 1. Diese Idee ist auch auf andere periodische Dezimalzahlen u ¨bertragbar. Beispielsweise gilt f¨ ur 17 = 0,142857 mit a = 18 die Beziehung 1 1 = 8 7 1−

1 8

=

∞ ' 1 . j 8 j=1

B

Exponentialreihe n

Sei an = an! , n ∈ N0 , wobei a eine gegebene reelle Zahl ist. Die n-te Partialsumme der Exponentialreihe ist sn =

n '

ai =

i=0

n ' ai i=0

f¨ ur n ∈ N0 .

i!

Die zugehörige Reihe (sn )n∈N0 heißt Exponentialreihe. Ihre Konvergenz folgt sofort aus dem Quotientenkriterium, da an+1 an+1 /(n + 1)! = = |a| an n+1 n a /n! |a| gilt. Damit die Ungleichung n+1 < 1 f¨ ur alle n größer oder gleich einem Index n0 erf¨ ullt ist, kann n0 als kleinste nat¨ urliche Zahl gewählt werden, die größer als |a| − 1 ist. Der Grenzwert der Reihe ist gegeben durch

lim sn =

n→∞

∞ ' ai i=0

i!

= ea ,

B

312


wobei e = 2,71828 . . . (der Beweis dieser Eigenschaft u ¨bersteigt den Rahmen dieses Buchs; vgl. Heuser, 2003). Die Exponentialreihe kann somit als Potenz zur Basis e mit Exponent a verstanden werden. Daraus ergibt sich insbesondere die Darstellung der Zahl e = e1 =

B

∞ ' 1 . i! i=0

Die Exponentialreihe wird zur Definition der 300Poisson-Vertein lung verwendet, wobei dort die Setzung an = λn! e−λ , n ∈ N0 , mit λ > 0 benutzt wird. In diesem Fall gilt Beispiel

∞ '

e−λ

i=0

∞ ' λi λi = e−λ = e−λ · eλ = e−λ+λ = 1, i! i! i=0

d.h. die Summe aller Wahrscheinlichkeiten ist gleich Eins. Der Erwartungswert der Poisson-Verteilung mit Parameter λ wird durch Aus∞ i wertung des Grenzwerts i·e−λ λi! ermittelt. F¨ ur diesen gilt (Veränderungen i=0

sind jeweils markiert; in (♣) wird benutzt, dass der erste Summand gleich Null ist): ∞ '

i · e−λ

i=0

∞ λi (♣) ' λi = i · e−λ i! i!

=

i= 1 ∞ '

e−λ

λ

∞ '

e−λ

i=0

9.4

9.4 Aufgaben

314L

Aufgabe 9.1

=

∞ ' i=1

e−λ

λi (i − 1)!

i+1

(Indexverschiebung) i!

i= 0

=

k¨ urzen

∞ ' λi · λ λi = λ e−λ = λ. i! i! i=0

B

=1

Schreiben Sie die Mengen als monotone Folgen:

(a) die Menge der ungeraden nat¨ urlichen Zahlen, (b) die Menge der durch f¨ unf teilbaren nat¨ urlichen Zahlen, (c) die Menge der Zahlen, die sich als Potenz von 3 mit einer nat¨ urlichen Zahl bilden lassen, (d) die Menge der Wurzeln von 7.

9.4

Aufgaben

313

Notieren Sie jeweils die ersten f¨ unf Folgenglieder der durch an definierten Folge (an )n . Aufgabe 9.2

(a) an = 5n, n ∈ N0

(d) an = 2n − 2n−1 , n ∈ N0

n∈N

(b) an =

1 , n2

(c) an =

(−1)n , n+3

(e) an = log4 (2n ), n ∈ N

n ∈ N0

(f) an = an , n ∈ N0 , a ∈ R

Geben Sie das Bildungsgesetz der Folgen (an )n∈N an.

Aufgabe 9.3

314L

(a) (−1, −1, −1, −1, −1, . . .)

(e) (2, −2, 2, −2, 2, . . .)

(b) (−4, −1, 2, 5, 8, 11, . . .)

(f) (1, 3, 7, 15, 31, 63, . . .)

(c) (1, 4, 9, 16, 25, . . .)

(g) ( 14 , 12 , 1, 2, 4, . . .)

(d) (2, 32 , 43 , 54 , 65 , . . .)

(h) (1, 4, 27, 256, 3 125, 46 656, . . .)

Aufgabe 9.4 Untersuchen Sie die Folgen (an )n∈N auf Beschr¨ anktheit, Mono-

314L

315L

tonie und Konvergenz mit (a) an = − n2 (b) an =

n2 −1 n

(b) an =

(e) an = 4n

(d) an = λn , 0 < λ < 1

(f) an =

3n−2n2 n2 +1

Ermitteln Sie die Grenzwerte der Folgen (an )n∈N mit n+4 (c) an = ln n− (e) an = 3− ln(n) 1

Aufgabe 9.5

(a) an =

(c) an = (−1)n n2

n2 −1 n2 3

2n −n+1 n4 +3n2

2

(d) an = n ·

1− 41n 3n+5

(f) an =

√

2n

316L

5n+1

Geben Sie zu den Folgen (an )n∈N0 jeweils die zugehörige Reihe (sn )n∈N0 an, indem Sie die Partialsumme sn , n ∈ N0 , berechnen. Geben Sie im Fall der Existenz den Grenzwert der zugehörigen Reihe an. Aufgabe 9.6

(a) an = −1

(d) an = 4n

(g) an = 3(n+1)2 −3n2

(b) an = (−1)n

(e) an = 4−n

(c) an = n

(f) an = (n + 1)2

(h) an = ln(n + 1) (i) an = ln n+1 n+2

316L

314

317L


Aufgabe 9.7

(a)

∞

n=1

(b)

∞

1 5n

Berechnen Sie die Grenzwerte: ∞ (d) p−n , p > 1 n=0

(−4)−n

(e)

n=0

(c)

∞

(g)

∞

n=2

3−2n

(h)

n=0

pn , p ∈ (−1, 1)

(f)

n=0

∞ n=0

9.5

9.5 L¨ osungen

312A

L¨ osung 9.1

∞

∞ n=0

2n n!

(i)

∞ n=0

(−1)n n! (− ln(3))n n! q 3n n! ,

q∈R

(a) (1, 3, 5, 7, 9, . . .) (b) (5, 10, 15, 20, 25, . . .) (c) (31 , 32 , 33 , 34 , 35 , . . .) = (3, 9, 27, 81, 243, . . .) √ √ √ √ √ √ √ √ √ (d) ( 1 7, 2 7, 3 7, 4 7, 5 7, . . .) = (7, 2 7, 3 7, 4 7, 5 7, . . .) 313A

L¨ osung 9.2 (a) 0, 5, 10, 15, 20

(d) an = 2n − 2n−1 = 2n−1 :

(b) 1, 14 , 19 ,

(e) an = log4 (2n ) = n log4 (2) = 1 , 1, 32 , 2, 52 2

(c) 313A

1 , 1 16 25

1 , − 14 , 15 , − 16 , 17 3

1 , 1, 2, 4, 8 2 n : 2

(f) 1, a, a2 , a3 , a4

L¨ osung 9.3 (a) an = −1, n ∈ N

(e) an = 2(−1)n+1 = 2(−1)n−1 , n ∈ N

(b) an = 3n − 7, n ∈ N

(f) an = 2n − 1, n ∈ N

(c) an = n2 , n ∈ N

(g) an =

(d) an = 1 +

1 n

=

n+1 , n

n∈N

2n 8

= 2n−3 , n ∈ N

(h) an = nn , n ∈ N

9.5

L¨ osungen

315

313A

L¨ osung 9.4 − n2

− n2

(a) Die durch an = definierte Folge ist monoton wachsend, da an = < 2 − n+1 = an+1 . Damit ist die Folge nach unten beschr¨ ankt und wegen an < 0 f¨ ur jedes n ∈ N ist sie auch nach oben beschr¨ ankt. Eine monotone, beschr¨ ankte Folge ist konvergent. Da (an )n∈N eine Nullfolge ist, gilt lim an = 0. n→∞

2

(b) F¨ ur die durch an = n n−1 definierte Folge gilt an ≥ 0, n ∈ N. Damit ist (an )n∈N nach unten beschr¨ ankt. Wegen an = n − n1 ist die Folge nach oben nicht beschr¨ ankt mit lim an = ∞. Weiterhin gilt n→∞

an ≤ an+1 ⇐⇒ n −

1 1 1 1 ≤n+1− ⇐⇒ ≤1+ . n n+1 n+1 n

an f¨ ur n ∈ N. Sie ist nach unten beschr¨ ankt und nach oben unbeschr¨ ankt mit lim an = ∞. n→∞

3n−2n2 n2 +1

9 (f) Die durch an = definierte Folge hat die ersten Folgenglieder 12 , − 25 , − 10 , 20 − 17 , was vermuten l¨ asst, dass die Folge monoton fallend ist. Es gilt:

an ≥ an+1 ⇐⇒

3n − 2n2 3(n + 1) − 2(n + 1)2 ≥ n2 + 1 (n + 1)2 + 1

⇐⇒ (3n − 2n2 )((n + 1)2 + 1) ≥ (3(n + 1) − 2(n + 1)2 )(n2 + 1) ⇐⇒ −2n4 − n3 + 2n2 + 6n ≥ −2n4 − n3 − n2 − n + 1 ⇐⇒ 3n2 + 7n − 1 ≥ 0 Die letzte Ungleichung ist f¨ ur jedes n ∈ N erf¨ ullt, so dass die Folge (an )n∈N monoton fallend ist. Als Grenzwert ergibt sich an =

3 − 2 n→∞ −2 3n − 2n2 n = −−−−→ = −2. n2 + 1 1 1 + n12

Daher ist (an )n∈N insbesondere beschr¨ ankt mit

1 2

≥ an > −2.

316

313A


L¨ osung 9.5 (a) an = (b) an =

n2 −1 n2

= 1−

2n3 −n+1 n4 +3n2

=

−→ 1 − 0 = 1

1 n2

2− 1 n n3

aus an = ln

n+4 n− 1 2

n

n+4 n− 1 2

(c) F¨ ur die durch bn =

+ 14

1+ 32 n

−→

0−0+0 1+0

=0

definierte Folge gilt bn =

4 1+ n

1 1− 2n

−→ 1. Daher folgt

= ln(bn ) die Aussage an = ln(bn ) −→ ln(1) = 0.

1− 41n definierte Folge 3n+5 1 5 bn = 1 − 4n und cn = 3 + n . Wegen bn −→ 1 − lim bn gilt somit lim an = n→∞ = 13 . lim cn n→∞

(d) F¨ ur die durch an = n ·

1− 41n

gilt an =

5 3+ n

=

bn cn

mit

0 = 1 und cn −→ 3 + 0 = 3

n→∞

1 1 (e) Aus der Darstellung an = 3− ln(n) folgt an = 3ln(n) = eln(3)1ln(n) = nln(3) . Wegen ln(3) > 0 (es gilt ln(3) ≈ 1,099) resultiert an −→ 0. √ n+1 2n n+1 1 (f) F¨ ur a n = 5 gilt an = 5 2n = 5bn mit bn = n+1 = 12 + 2n −→ 12 . Damit 2n √ 1 2 folgt lim an = 5 = 5. n→∞

313A

L¨ osung 9.6 n

(a) Aus an = −1 ergibt sich sn =

j=0

−∞.

n

aj =

(−1) = −(n + 1), so dass lim sn = n→∞

j=0

(b) Aus an = (−1)n folgt n

n

1 − (−1)n+1 sn = aj = (−1) = = 1 − (−1) j=0 j=0

j

0,

n ungerade

1,

n gerade (0 ist gerade)

(118geometrische Summe mit c = −1). Damit alterniert sn zwischen den Werten 0 und 1, d.h. die Reihe ist nicht konvergent. (c) Aus an = n folgt sn =

n

n

aj =

j=0 n

(d) F¨ ur an = 4n gilt sn =

aj =

j=0

j=

n(n+1) , 2

so dass sn −→ ∞.

4j =

1−4n+1 1−4

= 13 (4n+1 − 1) (118geometri-

j=0 n j=0

sche Summe mit c = 4). Daher gilt sn −→ ∞. (e) F¨ ur an = 4−n =

1 n 4

gilt sn =

n

aj =

j=0

n 1 j j=0

4

=

1−( 1 4) 1−(

n+1

1 4

)

−→

1 1− 1 4

=

4 3

(118geometrische Summe mit c = 14 ). (f) F¨ ur an = (n + 1)2 gilt sn = Daher gilt sn −→ ∞.

n j=0

aj =

n

(j + 1)2 =

j=0

n+1 j=1

j2 =

(n+1)(n+2)(2n+3) . 6

9.5

L¨ osungen

317 n

(g) Aus an = 3(n + 1)2 − 3n2 = 3[(n + 1)2 − n2 ] = 3(2n + 1) folgt sn = n

3(2j + 1) = 6

j=0

n

n

j+3

j=0

aj =

j=0

1 = 3n(n + 1) + 3(n + 1) = 3(n + 1)2 , woraus

j=0

sn −→ ∞ resultiert.

n

Alternativ kann ausgenutzt werden, dass

n

aj =

j=0

[3(j + 1)2 − 3j 2 ] eine

j=0

117Teleskopsumme mit bj = 3j 2 , j ∈ {0, . . . , n + 1}, bildet. Daraus folgt: n

n

(bj+1 − bj ) = bn+1 − b0 = 3(n + 1)2 − 3 · 02 = 3(n + 1)2 .

aj =

j=0

j=0 n

(h) F¨ ur an = ln(n + 1) gilt sn =

n

aj =

j=0

ln(j + 1) = ln

j=0

(i) Gem¨ aß der vorhergehenden Aufgabe ergibt sich f¨ ur an = ln geh¨ orige Partialsumme sn =

aj =

j=0

n j+1 ln

j+2

j=0

= ln

n j+1

j+2

j=0

(j + 1)

=

j=0

ln((n + 1)!). Daher gilt sn −→ ∞.

n

n

= ln

1 n+2

n+1 n+2

die zu-

= − ln(n + 2)

(Teleskopprodukt). Somit folgt sn −→ −∞.

314A

L¨ osung 9.7

∞

(a)

n=1

(b)

∞

1 5n

1 n ∞

=

∞

(−4)−n =

n=0

(c)

∞

n=0

pn =

n=0

(d)

∞ ∞

∞ n 1

p−n =

∞ n=0

(g)

∞ n=2

p

n=0

∞ 1 n

3−2n =

n=0

(f)

n=0 2n n!

− 14

n

=

5 4

1 1−(− 1 ) 4

9

=

1 1 1− p

=

p p−1

=

1 1− 1 9

=

9 8

(h)

n=0

(i)

∞

(−1)n n!

=

∞ n=0

n=0

n

(− ln(3)) n! q 3n n!

=

1 4

4 5

=1+

1 p−1

= e2 (−1)n n!

−

(−1)0 0!

+

=0

∞

−1=

1 1−p

n=0

(e)

−1=

1 1− 1 5

=

5

n=1

=

= e− ln(3) =

∞ n=0

(q 3 )n n!

= eq

3

1 3

(−1)1 1!

= e−1 =

1 e

Kapitel 10 Grenzwerte, Stetigkeit, Differentiation

10

10

10

Grenzwerte, Stetigkeit, Differentiation

10.1

Grenzwerte von Funktionen .................................... 321

10.2

Stetige Funktionen .............................................. 329

10.3

Differentiation .................................................... 333

10.4

Differentiation parameterabhängiger Funktionen .......... 341

10.5

Aufgaben .......................................................... 342

10.6

Lösungen .......................................................... 343

321

10.1 Grenzwerte von Funktionen

321

10 Grenzwerte, Stetigkeit, Differentiation 10.1

10.1 Grenzwerte von Funktionen In 299Kapitel 9 wurden Folgen und deren Grenzwerte∗ eingef¨ uhrt. Mittels der Konvergenz von Folgen wird der Begriff der Konvergenz f¨ ur Funktionen bei Annäherung an eine Stelle x0 des Definitionsbereichs bzw. an den 62Rand des Definitionsbereichs eingef¨ uhrt.† Definition Grenzwert einer Funktion an einer Stelle x0 ‡ Eine Funktion f : D −→ R heißt an der Stelle x0 ∈ R konvergent gegen

eine Zahl a ∈ R, falls f¨ ur alle Folgen (xn )n∈N mit xn ∈ D, xn = x0 f¨ ur alle n→∞ n ∈ N und xn −−−−→ x0 gilt: n→∞

f (xn ) −−−−→ a. a heißt Grenzwert von f an der Stelle x0 . Als Notationen werden lim f (x) = a x→x0

x→x

0 und f (x) −−−−→ a verwendet. +∞ (bzw. −∞), falls für alle Folgen (xn )n∈N mit xn ∈ D, xn = x0 für alle n→∞ n ∈ N, und xn −−−−→ x0 gilt:

n→∞

f (xn ) −−−−→ +∞ (bzw. −∞). x→x

0 Als Notationen werden lim f (x) = +∞ und f (x) −−−−→ +∞ verwendet.

x→x0

Entsprechendes gilt f¨ ur −∞.

Grenzwerte von Funktionen werden also auf Grenzwerte von Folgen zur¨ uckn→∞ gef¨ uhrt, wobei alle Folgen mit xn −−−−→ x0 betrachtet werden m¨ ussen. Dabei muss die Stelle x0 nicht im Definitionsbereich von f liegen, sondern es gen¨ ugt, wenn x0 Grenzwert von Folgen aus D ist.§ Da die Anwendung der Definition i.Allg. kein praktikables Verfahren ist, werden im Folgenden Kriterien entwickelt, die eine einfachere Bestimmung der Grenzwerte ermöglichen. ∗ Anstelle † Die

der Bezeichnung Grenzwert wird auch der Begriff Limes verwendet.

302Verkn¨ upfung von Folgen und Funktionen wurde bereits benutzt, um

306Grenzwerte transformierter Folgen zu ermitteln, falls die betrachtete Funktion 329stetig ist.

‡ Eine alternative Definition der Konvergenz einer Funktion (ε-δ-Definition) kann in Kamps et al. (2003) nachgelesen werden. § d.h. x kann ein 62Randpunkt von D sein. 0

322

B

10. Grenzwerte, Stetigkeit, Differentiation

Beispiel Grenzwert einer Funktion an einer Stelle x0 F¨ ur die durch f (x) = x2

definierte Funktion f : R −→ R wird die Stelle x0 = 0 betrachtet. Sei (xn )n∈N eine (beliebige) Folge mit Grenzwert x0 = 0. Dann gilt f¨ ur die Folge (f (xn ))n∈N die Aussage n→∞

f (xn ) = x2n = xn · xn −−−−→ 0 · 0 = 0, da das 305Produkt zweier konvergenter Folgen gegen das Produkt der beiden Grenzwerte konvergiert. Beispielhaft werden die durch xn = n22+2 und 1 yn = − 2n definierten Folgen betrachtet, deren Grenzwert jeweils x0 = 0 ist. Die senkrechten Striche markieren jeweils die ersten 100 Folgenglieder von (f (xn ))n∈N und (f (yn ))n∈N auf dem Funktionsgrafen von f . 1

6

.... .. .... .... 2 .... .... .... .... .... .... . . .... . .... .... .... .... ..... .... ..... ..... .... .... . . ..... . ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ...... ..... . . . . . ...... ........ ...... ........... ........ ...........................................

− 12

-

1 2

0

Der Grenzwert von f an der Stelle x0 h¨ angt nicht vom Funktionswert f (x0 ) an dieser Stelle ab (sofern dieser u ¨berhaupt definiert ist). Dies zeigt die durch x2 , x ∈ R \ {0} g(x) = 1 x=0 4, definierte Funktion g, die mit der quadratischen Funktion f nahezu u ¨bereinstimmt. Lediglich an der Stelle x0 = 0 weichen f (x) und g(x) voneinander ab. Trotzdem existieren die Grenzwerte der Folgen (g(xn ))n∈N bzw. (g(yn ))n∈N mit den obigen Folgen (xn )n∈N und (yn )n∈N (und die aller anderen Folgen∗ mit Grenzwert x0 = 0). Dies zeigt auch die (nahezu identische) Illustration. 1

6

.... ... .... 2 .... .... .... .... .... .... .... .... . . . .... ... .... .... .... ..... ..... 1 .... .... .... ..... . . . . . ..... 4 ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ...... ..... . . . . . ....... ....... ......... ............... .......... ...........................

r

b

− 12 ∗ Gem¨ aß

0

-

1 2

Definition werden nur Folgen mit xn = 0 betrachtet.


323

F¨ ur den Grenzwert der Folge (g(xn ))n∈N gilt lim g(xn ) = lim x2n = 0 = n→∞

n→∞

g(0) = 14 (analog f¨ ur (yn )n∈N ). Der Unterschied zwischen den Grenzwerten der Funktionen f und g an der Stelle x0 liegt darin, dass der Grenzwert von f der Funktionswert von f an der Stelle x0 = 0 ist. Dies trifft f¨ ur g nicht zu. Die Funktion f wird daher 329stetig an der Stelle x0 = 0 genannt, während g dort unstetig ist. B Das folgende Beispiel illustriert eine Situation, in der keine Konvergenz vorliegt. Beispiel Indikatorfunktion Sei f die durch f (t) =

½[0,∞) (t) + 1 =

1, 2,

t 0 f¨ ur alle n ∈ N gilt, und

f (yn ) = 1,

da yn < 0 f¨ ur alle n ∈ N gilt.

Daraus folgt lim f (xn ) = lim 2 = 2 und lim f (yn ) = lim 1 = 1, d.h. die n→∞ n→∞ n→∞ n→∞ Grenzwerte dieser Folgen sind verschieden.∗ f hat somit an der Stelle x0 = 0 keinen Grenzwert. Dies wird auch in der Grafik deutlich, da die Funktion f an der Stelle x0 = 0 einen Sprung“ hat. ” .< .< .< ..< .< ..< ...< .....< ........< ...............< ................................< .......................................................................< ...... < 2 •..6

.....................................> .....................................................> ..................> .........> .....> ....> ..> ..> ..> .> .> .> ..> .> .> .> .> .> ........

− 12

0

B

1 2

Das vorhergehende Beispiel motiviert die Einf¨ uhrung von einseitigen Grenzwerten, d.h. die Ann¨ aherung erfolgt nur von links bzw. nur von rechts.† ∗ Gem¨ aß

n→∞

n→∞

Definition muss f (xn ) −−−−→ a f¨ ur jede Folge mit xn −−−−→ x0 gelten. Um nachzuweisen, dass der Grenzwert an der Stelle x0 nicht existiert, gen¨ ugt es daher entweder eine Folge (zn )n∈N anzugeben, so dass (f (zn ))n∈N nicht konvergiert, oder zwei konvergente Folgen (xn )n∈N und (yn )n∈N zu finden, so dass die Grenzwerte der Folgen (f (xn ))n∈N und (f (yn ))n∈N verschieden sind. † Die Pfeile in der Grafik markieren mit ihrer Spitze den Folgenwert und geben ferner die Ann¨ aherungsrichtung an die Stelle t = 0 an.

B

324


Definition Einseitige Grenzwerte Eine Funktion f : D −→ R heißt an der Stelle 3 links x0 ∈ R von konvergent gegen eine Zahl a ∈ R, falls rechts n→∞

n→∞

f (xn ) −−−−→ a für alle Folgen (xn )n∈N mit xn ∈ D, x 3n −−−−→ x0 xn < x0 und für alle n ∈ N. xn > x0

3 a heißt

linksseitiger Grenzwert von f an der Stelle x0 . rechtsseitiger x→x +

Als Notationen werden lim f (x) = a und f (x) −−−−0−→ a f¨ ur rechtsseitige bzw. x→x0 + x→x0 −

lim f (x) = a und f (x) −−−−−→ a für linksseitige Grenzwerte verwendet.

x→x0 −

Zusammenhang zwischen Konvergenz und links- und rechtsseitiger Konvergenz Eine Funktion ist konvergent an der Stelle x0 genau dann, wenn sie an der Stelle x0 rechts- und linksseitig konvergent ist und der links- und rechtsseitige Grenzwert u ¨bereinstimmen. Entsprechend werden Grenzwerte f¨ ur die Annäherung an +∞ bzw. −∞ definiert.

Definition Konvergenz bei Ann¨ aherung an Unendlich Eine Funktion f : D −→ R

+∞ heißt f¨ ur x → −∞ konvergent gegen eine Zahl a ∈ R, falls n→∞

n→∞

f (xn ) −−−−→ a für alle Folgen (xn )n∈N mit xn ∈ D und xn −−−−→ a heißt Grenzwert von f für x → +∞ (−∞), falls

+∞ . −∞

+∞ . −∞

n→∞

f (xn ) −−−−→ +∞(−∞) für alle Folgen (xn )n∈N mit xn ∈ D und n→∞ +∞ xn −−−−→ −∞ . +∞ (−∞) heißt Grenzwert von f für x →

+∞ . −∞

In 325Tabelle Grenzwerte von Funktionen sind f¨ ur einige wichtige Funktionen die zugehörigen Grenzwerte angegeben. Mit diesen Resultaten können


325

unter Verwendung von 326Tabelle Grenzwerte von Summen, Differenzen, Produkten und Quotienten Grenzwerte von weiteren Funktionen ermittelt werden. Grenzwerte von Funktionen Funktion Polynome n f (x) = aj xj , 1 j=0 2 3 4

an an an an

> 0, n < 0, n > 0, n < 0, n

ungerade ungerade gerade gerade

Betragsfunktion f (x) = |x| Potenzfunktionen f (x) = xp , p > 0 = x−p , p > 0

f (x) =

1 xp

f (x) =

1 ,n xn

D

Grenzwert f¨ ur x → x0 ∈ D +∞ −∞

R R R R

f (x0 ) f (x0 ) f (x0 ) f (x0 )

+∞ −∞ +∞ −∞

−∞ +∞ +∞ −∞

R

f (x0 )

+∞

+∞

[0, ∞)

f (x0 )

+∞

−

(0, ∞)

f (x0 ) 0 − lim f (x) = +∞

x→0+

∈N

R \ {0} 1 n gerade 2 n ungerade

Exponentialfunktionen f (x) = ax , 1 a > 1 2 a ∈ (0, 1)

R R

Logarithmusfunktionen f (x) = loga (x), 1 a > 1

(0, ∞)

f (x0 ) x → 0+ x → 0− x → 0−

0 +∞ +∞ −∞

0

f (x0 ) f (x0 )

+∞ 0

0 +∞

f (x0 ) +∞ − lim f (x) = −∞

x→0+

2 a ∈ (0, 1)

(0, ∞)

f (x0 ) −∞ − lim f (x) = +∞

x→0+

Gebrochen rationale Funktionen h(x) f (x) = g(x) (h, g Polynome) Zusammengesetzte Funktionen f (x) = xn eax , n ∈ N, a > 0 f (x) = xn e−ax , 1 n ungerade, a > 0 2 n gerade, a > 0 f (x) = xn ln(x), n ∈ N

R \ {x | g(x) = 0} R R R (0, ∞)

f (x0 )

f (x0 ) +∞ f (x0 ) 0 f (x0 ) 0 f (x0 ) +∞ lim f (x) = 0

0 −∞ +∞ −

x→0+

f (x) =

ln(x) ,n xn

∈N

(0, ∞)

f (x0 ) 0 − lim f (x) = −∞

x→0+

Mit −“ markierte Eintr¨ age bedeuten, dass dort kein Grenzwert betrachtet werden ” kann (die relevante Stelle liegt nicht am 62Rand von D). Der Stern deutet an, dass der Grenzwert jeweils in der 326konkreten Situation ermittelt werden muss. Die rechts- bzw. linksseitigen Grenzwerte f¨ ur die R¨ ander von D sind jeweils gesondert angegeben.

326


Grenzwerte von Summen, Differenzen, Produkten und Quotienten Grenzwert lim

x→x0

lim f (x)

x→x0

a a>0 a>0 a0 a0 0 m gerade m ungerade +∞ −∞ −∞ +∞

n gerade n ungerade

an bm

0, so folgt aus dem Zwischenwertsatz, dass f (mindestens) eine Nullstelle im Intervall [a, b] haben muss. Beispiel Die durch f (x) = x3 −3x2 −6x+8 definierte Funktion hat f¨ ur x = 0

und x = 2 die Funktionswerte f (0) = 8 und f (2) = −8, d.h. f hat wegen ihrer Stetigkeit im Intervall [0, 2] eine Nullstelle. In der Tat gilt f (1) = 0.

10.3 Differentiation

333

Eine 259Polynomdivision ergibt n¨ amlich: (

x3 − 3x2 − 6x + 8) : (x − 1) = x2 − 2x − 8 − x3 + x2 − 2x2 − 6x 2x2 − 2x − 8x + 8 8x − 8 0

Das Polynom x2 −2x−8 hat nach der 190pq-Formel die Nullstellen x1 = −2 und x2 = 4. Daher gilt f (x) = (x − 1)(x + 2)(x − 4), wobei die Nullstelle x0 = 1 im betrachteten Intervall liegt. B F¨ ur die Bestimmung von 392globalen Extrema stetiger Funktionen ist der folgende Sachverhalt von Bedeutung. Er wird im Rahmen der 381Optimierung angewendet. Extrema stetiger Funktionen Eine auf dem abgeschlossenen (und beschr¨ ankten) Intervall [a, b] stetige Funktion hat dort sowohl ein 388globales Minimum als auch ein globales Maximum.

10.3 Differentiation In diesem Abschnitt wird der Begriff der Steigung einer Funktion an einer Stelle x0 des Definitionsbereichs eingef¨ uhrt und untersucht. Zur Motivation wird das Steigungsverhalten einer Straße betrachtet, die u ¨ber einen H¨ ugel f¨ uhrt. Dieser hat etwa das folgende (durch eine Funktion beschriebene) Profil: ....... ........ ............... ..... ...... ....... .... ......... .... .... ......................... . . . ................... ... . ........... . . ........ ... . . . ....... ... . ....... . . ....... ... . . ....... . .. . ........ . . . ........ ... . . . ......... . ... . ........... . . . . ............... .... . . . . . . ......................... . . . .......

Aus der Abbildung ist ersichtlich, dass die Steigung sehr unterschiedlich ist. Es gibt steilere und flachere Passagen sowie Bereiche des Anstiegs und Gefälles. Die Quantifizierung dieser Steigungen – wie das z.B. auf Verkehrsschildern

10.3

334


8%

6%

8% Steigung

6% Gef¨ alle

geschieht, ist mit den Methoden der Differentialrechnung möglich. Aus dem obigen Beispiel kann intuitiv ein Steigungsbegriff abgeleitet werden, indem eine zur¨ uckgelegte Wegstrecke in Beziehung zu den zur¨ uckgelegten Höhenmetern gesetzt wird. Es entsteht ein Steigungsdreieck, das nachfolgend in ein Koordinatensystem eingezeichnet wird: 6 . ........ ...... .. ...... .... ...... ... . . . . . ... .... ...... . ...... .... ...... . . . . ... . .... . . . ... . . .... . . ... . . . .... . ... . . . . .... ... . . . . . .... . . . . . ..... .... . . . . ... . .... . . ... . . . .... . . . . .... . .... . . . ... . . .... . . ... . . . .... . ... . . . . .... ... . . . . . .... ... . . . . . .. ......

←−−−−−− Wegstrecke −−−−−−→ 0 w

↑ | H¨ ohenmeter

h

| ↓

-

Daraus resultiert als Maß f¨ ur die Steigung der Quotient H¨ ohenmeter h = . Wegstrecke w Steigung einer Geraden

Die vorgestellte Methode kann direkt auf lineare Funktionen u ¨bertragen werden, deren Funktionsterm in allgemeiner Form durch f (x) = ax + b, x ∈ R, mit a, b ∈ R gegeben ist. Werden zwei Punkte x0 < x1 auf der x-Achse gewählt, entsteht automatisch ein Steigungsdreieck: . ...... ...... ...... ...... . . . . . .... ...... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... .................. 1 .... ...... .... . . . . . . ...... ...... .... ...... ...... ...... . . . . .. . .... . . . . .. . . ...... ...... . . . . .... . .... . . . . . . ...... .. ...... . . . . .. . . ...... ...... . . . . .... . .... . . . . . . ...... .. ...... . . . . .. . . ...... ...... . . .. . . . ....... ....... ....... ....................... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ..... 0 ...... .. .. ...... . . . 1 0 . . . . . ...... .... .... ...... . . . . . . ...... ... ... ...... . . . . . . . . ...... .. ...... . . ..... . . . . . . .... . . . . . ....

6

f (x )

f (x) = ax + b

f (x1 ) − f (x0 )

↑|

f (x )

←−−−−−−− x − x −−−−−−−→

↓|

-

0

x0

x1


335

Daraus ergibt sich (unabh¨ angig von der Wahl von x0 und x1 ) die Steigung f (x1 ) − f (x0 ) (ax1 + b) − (ax0 + b) a(x1 − x0 ) = = = a. x1 − x0 x1 − x0 x1 − x0 Da der Quotient stets den selben Wert besitzt, hat eine lineare Funktion f (x) = ax + b in jedem Punkt die Steigung a. Steigung beliebiger Funktionen

Es ist naheliegend, den obigen Ansatz auch auf nicht-lineare Funktionen zu u achst der Begriff des Differenzenquotienten ein¨ bertragen. Dazu wird zun¨ gef¨ uhrt, der sich als Steigung einer Geraden durch die Punkte (x0 , f (x0 )) und (x1 , f (x1 )) ergibt. Definition Differenzenquotient Seien f : D −→ R eine Funktion, (a, b) ⊆ D ein offenes Intervall und x0 ∈ (a, b).

Für x ∈ (a, b) \ {x0 } heißt der Quotient der Stelle x).∗

f (x)−f (x0 ) x−x0

Differenzenquotient in x0 (an

Beispiel Quadratische Funktion F¨ ur lineare Funktionen hat der Differenzenquotient an jeder Stelle x den selben Wert. Dies ist f¨ ur andere Funktionen nicht der Fall. F¨ ur die quadratische Funktion f (x) = x2 ergibt sich z.B. mit Hilfe der dritten 16binomischen Formel

f (x) − f (x0 ) x2 − x20 (x − x0 )(x + x0 ) = = = x + x0 , x − x0 x − x0 x − x0 d.h. der Differenzenquotient h¨ angt von den betrachteten Stellen x und x0 ab. Die Steigung an der Stelle x0 wird nun lokal† durch die Steigung einer Geraden beschrieben, d.h. es wird eine Gerade gesucht, die durch den Punkt (x0 , f (x0 )) läuft und die Steigung in diesem Punkt angibt. Dazu wird der Differenzenquotient in x0 betrachtet, der eine Gerade mit der Steigung f (x) − f (x0 ) x − x0 durch den Punkt (x0 , f (x0 )) definiert.‡ F¨ ur x → x0 beschreibt dieser Quotient die Steigung in x0 immer genauer. Die blaue Gerade entspricht der Geraden, die als Ergebnis dieser Grenzwertbildung resultiert und den Grafen von f im Punkt (x0 , f (x0 )) lediglich ber¨ uhrt. Aus diesem Grund wird sie als Tangente T bezeichnet. ∗ Der Differenzenquotient ist bei festem x eine Funktion in x mit Definitionsbereich 0 D = (a, b) \ {x0 }. † d.h. in der N¨ ahe von x0 . ‡ In der Skizze sind dies die jeweils schwarz eingezeichneten Geraden.

B

336


.... .... .... .. .... ..... ............ . . . ......... ........ .... .......... .. ......... ...... ....... ............ . . . . ... ......... . . . .......... ............ ........ .......... ............... . . . . . . . ...... ..... ...... ......... ....... ......... ....... .......... ...... .................. . . . . . . .. . ....... ..... ..... ...... ....... .... ...... ...... ..... ....... ....... ......... ....................... . . . . . . . . . ....... ... ................................. .... .......

f (t) 6

f (x0 )

f (x)

•

T

• x

f (x0 )

-

x0

f (x)

t

... .... .... . .... .... ............. .. . . . ........ ..... ......... ...... ......... ..... ................. ................. . . . ........ ......... .......... ..... ..... . . . . . . . ............ ......... ............ .............. .................... . . . . . ... . ............... ........ .... ...... .... ........ ..... ................ ......... . . . . . . . ......... ...... ..... ............ .......... ...... ......................... . ..... .....

f (x)

•

x

f (x0 ) f (x)

-

x0

•

T

-

x0

t

... .... .... . .... .... ..................... . . . ............ .............. .............. ................ ................ . . . ....... ......... ..... ..... ..... . . . . . ..... ....... ......... ........... ............. . . . . . .. ........... ............... ................ ................. ....................... . . . . . . . ......... .................. ........... .. .. ......................... ..... .....

f (t) 6

•

T

•

x

f (t) 6

f (x0 )

.... .... .... .. .... ..... ............ . . . ......... . ........ ..... ......... ...... ........ ....... ................... . . . . .... ..... .......... ........... ....... ....... . . . . . . . . ... .......... .......... ............... .............. ....................... . . . . . ...... ........... ...... ..... ..... ............ .... ............ .... ............... ......... . . . . . . ........ ..... ................. .... ..................................... .

f (t) 6

t

•

•

T

-

x

x0

t

Die Steigung der Tangenten berechnet sich als Grenzwert des Differenzenquotienten in x0 an der Stelle x f¨ ur x → x0 . F¨ ur die obige Funktion ergibt sich f (x) − f (x0 ) lim = lim (x + x0 ) = 2x0 . x→x0 x→x0 x − x0 Damit hat die Tangente an den Grafen von f durch den Punkt (x0 , f (x0 )) die Darstellung T (x) = f (x0 ) + 2x0 (x − x0 ),

x ∈ R.

B

Definition Differenzierbarkeit, Ableitung Seien f : D −→ R eine Funktion und (a, b) ⊆ D ein offenes Intervall.

f heißt differenzierbar in x0 ∈ (a, b), falls der Grenzwert des Differenzenquoti(x0 ) enten lim f (x)−f (Differentialquotient) an der Stelle x0 (endlich) existiert. x−x0 x→x0

Ist f differenzierbar in x0 ∈ (a, b), wird der Grenzwert

f (x0 ) = lim

x→x0

f (x) − f (x0 ) x − x0

als Ableitung von f an der Stelle x0 bezeichnet.∗ ∗ Daher ist die Ableitung einer Funktion nur an einer Stelle x im 62Inneren des 0 Intervalls (a, b) definiert. An den R¨ andern a, b k¨ onnen ggf. einseitige Ableitungen eingef¨ uhrt werden (s. Heuser, 2003).


337

f heißt differenzierbar auf (a, b) bzw. D, falls f in jedem x0 ∈ (a, b) bzw. D differenzierbar ist. In diesem Fall bezeichnet f die Ableitung oder Ableitungsfunktion von f . Beispiel (Fortsetzung 335Beispiel Quadratische Funktion) Der Differentialquotient der durch f (x) = x2 definierten Funktion ist an der Stelle x0 ∈ R gegeben durch f (x) − f (x0 ) lim = 2x0 . x→x0 x − x0

B

Somit existiert er an jeder Stelle x0 ∈ R und f ist differenzierbar auf R mit f (x) = 2x, x ∈ R. B Tangentengleichung F¨ ur eine in x0 ∈ D differenzierbare Funktion f : D −→ R ist die Gleichung der Tangenten in x0 gegeben durch T (x) = f (x0 ) + f (x0 )(x − x0 ),

x ∈ R.

Beispiel Die durch f (x) = x2 definierte Funktion hat nach obigem Beispiel

B

die Ableitung f (x0 ) = 2x0 . Daher gilt T (x) = x20 + 2x0 (x − x0 ) = 2x0 x − x20 ,

x ∈ R.

Daher ist T (x) = 2x − 1, x ∈ R, die Tangentengleichung in x0 = 1. An der Stelle x0 = −2 lautet sie T (x) = −4x − 4, x ∈ R. B Beispiel Betragsfunktion Die 156Betragsfunktion ist im Nullpunkt nicht differenzierbar, da der Differentialquotient an der Stelle x0 = 0 nicht existiert. Dies ergibt sich aus einseitigen Grenzwerten

|x| − |0| |x| −x = lim = lim = lim −1 = −1, x→0− x x→0− x x→0− x−0 |x| − |0| |x| x lim = lim = lim = lim 1 = 1. x→0+ x − 0 x→0+ x x→0+ x x→0− lim

x→0−

Am Grafen der Betragsfunktion ¨ außert sich dies durch einen Knick“ an der ” Stelle x0 = 0. Die Steigung in diesem Punkt hängt somit davon ab, aus welcher Richtung der Punkt angen¨ ahert wird. B

B

338


Aus dem vorhergehenden Beispiel l¨ asst sich die Faustregel ableiten, dass Grafen differenzierbarer Funktionen keine Knicke“ haben. Außerdem gilt die ” folgende Aussage. Zusammenhang zwischen Stetigkeit und Differenzierbarkeit Ist eine Funktion differenzierbar an einer Stelle x0 , so ist sie dort auch stetig. Daher sind (auf einem offenen Intervall) differenzierbare Funktionen auch stetig.

Wie das Beispiel der Betragsfunktion zeigt, ist die Umkehrung dieser Aussage i.Allg. falsch, d.h. eine stetige Funktion muss nicht differenzierbar sein. Die Ableitung einer differenzierbaren Funktion muss hingegen weder differenzierbar noch stetig sein. Aus diesem Grund wird f¨ ur differenzierbare Funktionen mit stetiger Ableitung der Begriff stetig differenzierbar eingef¨ uhrt. 341H¨ ohere Ableitungen werden am Ende dieses Kapitels behandelt. Berechnung von Ableitungen

Die Berechnung des Differentialquotienten ist i.Allg. aufwändig. Daher wird die Bestimmung der Ableitung (unter Verwendung von Ableitungsregeln) meist auf bereits bekannte Ableitungen zur¨ uckgef¨ uhrt. Die 338Tabelle Ableitungen von Funktionen enth¨ alt die Ableitungen wichtiger Funktionen. Ableitungen von Funktionen f (x)

Parameter/Parameterbereich

D

f (x)

c

c∈R

R

0

n

n∈N

R

nxn−1

1 xn

n∈N

R \ {0}

n − xn+1

n ∈ N gerade

(0, ∞)

x

√ n

x

n ∈ N ungerade x

a

a ∈ R \ {0}

x

e

ax

a>0

ln(x) loga (x)

a ∈ (0,∞) \ {1}

R

1 √ n n−1 x 1 √ ,x n n xn−1 a−1 n

(0, ∞)

ax

R

ex

R

ln(a) · ax

(0, ∞)

1 x

(0, ∞)

1 ln(a)

·

1 x

sin(x)

R

cos(x)

cos(x)

R

− sin(x)

= 0


339

Beispiel Die Ableitung einer Wurzelfunktion kann aus der Ableitung von Potenzfunktionen gewonnen werden (D = (0, ∞)). √ 1 Die Ableitung der Quadratwurzel f (x) = x = x 2 ergibt sich mit a = 12 und a a−1 der Regel (x ) = ax gem¨ aß 1 1 1 1 1 1 f (x) = x 2 = x 2 −1 = x− 2 = √ , x ∈ D. 2 2 2 x √ 1 Im allgemeinen Fall f (x) = n x = x n gilt mit a = n1

f (x) =

1 1 −1 1 1−n 1 1 √ xn = x n = . n−1 = n n n n xn−1 nx n

B

B

Ableitungen von Verkn¨ upfungen der in 338Tabelle Ableitungen von Funktionen genannten Funktionen (z.B. Polynome) können mit Hilfe der folgenden Rechenregeln ermittelt werden. Ableitungsregeln F¨ ur an der Stelle x differenzierbare Funktionen f, g sind die folgenden Funktionen ebenfalls an der Stelle x differenzierbar. Ihre Ableitungen sind durch folgende Ausdr¨ ucke gegeben: 1. Faktorregel: Die Ableitung von c · f , c ∈ R, ist gegeben durch (c · f (x)) = c · f (x). 2. Summenregel: Die Ableitung von f + g ist gegeben durch (f (x) + g(x)) = f (x) + g (x). 3. Produktregel: Die Ableitung von f · g ist gegeben durch (f (x) · g(x)) = f (x) · g(x) + f (x) · g (x). 4. Quotientenregel: Die Ableitung von

f (x) g(x)

=

f g

ist gegeben durch

f (x) · g(x) − f (x) · g (x) . (g(x))2

Der Quotient ist nur f¨ ur g(x) = 0 definiert.

Beispiel

B 2

(i) f (x) = 4x : Nach der Faktorregel gilt: f (x) = (4x2 ) = 4(x2 ) = 4 · 2x = 8x

340


(ii) f (x) = x3 + ln(x): Nach der Summenregel gilt: f (x) = (x3 + ln(x)) = (x3 ) + (ln(x)) = 3x2 + x1 (iii) f (x) = x2 − 2x: f (x) = 2x − 2 √ (iv) f (x) = 3 x + 3x : f (x) = 2√3 x + ln(3)3x √ √ (v) f (x) = x2 x = x5/2 : f (x) = 52 x3/2 = 52 x x (vi) f (x) = x ln(x): Nach der Produktregel gilt: f (x) = (x ln(x)) = 1·ln(x)+x· x1 = ln(x)+1 x : ln(x)

(vii) f (x) =

Nach der Quotientenregel gilt: f (x) = x−1 x+1 :

f (x) =

(x+1)−(x−1) (x+1)2

1 x2 −1 :

f (x) =

0·(x2 −1)−1·2x (x2 −1)2

(viii) f (x) = (ix) f (x) =

=

x ln(x)

=

1 1·ln(x)−x· x (ln(x))2

=

ln(x)−1 (ln(x))2

2 (x+1)2

= − (x22x −1)2

(x) f (x) = x2 ex : f (x) = 2xex + x2 ex = (x + 2)xex (xi) f (x) =

ex +1 ex −1 :

f (x) =

ex (ex −1)−ex (ex +1) (ex −1)2

x

= − (ex2e−1)2

(xii) f (x) = sin(x) − cos(x): f (x) = cos(x) + sin(x)

B

Kettenregel Seien g differenzierbar an der Stelle x und f differenzierbar an der Stelle g(x). Dann ist f ◦ g differenzierbar an der Stelle x mit Ableitung (f (g(x))) = g (x) · f (g(x)). Der erste Faktor der rechten Seite heißt innere Ableitung, der zweite äußere Ableitung.

B

Die Ableitung einer allgemeinen Exponentialfunktion h(x) = ax mit a > 0, a = 1 l¨ asst sich aus der Ableitung der Exponentialfunktion direkt bestimmen. Dazu wird die Darstellung h(x) = ax = eln(a)x = f (ln(a)x) = f (g(x)) mit g(x) = ln(a)x und f (t) = et verwendet. Unter Verwendung der Kettenregel gilt n¨ amlich mit f (t) = et und g (x) = ln(a): Beispiel

h (x) = g (x) · f (g(x)) = ln(a) · f (ln(a)x) = ln(a)eln(a)x = ln(a)ax .

B

10.4 Differentiation parameterabh¨ angiger Funktionen

341

Beispiel

B

(i) h(x) = (x − 1) : h (x) = 2x · 2(x − 1) = 4x − 4x 2

2

2

3

(ii) h(x) = (3x2 + 5x − 1)3 : h (x) = (3x2 + 5x − 1) · 3(3x2 + 5x − 1)3−1 = (6x + 5) · 3(3x2 + 5x − 1)2 = (18x + 15)(3x2 + 5x − 1)2 √ 1 1 (iii) h(x) = 2x + 1: h (x) = 2 · 2√2x+1 = √2x+1 2

(iv) h(x) = ex : h (x) = 2xex 4

(v) h(x) = ex

−x

2

4

: h (x) = (x4 − x) · ex

−x

(vi) h(x) = ln(3x3 − x): h (x) = (9x2 − 1) ·

4

= (4x3 − 1)ex 1 3x3 −x

=

−x

9x2 −1 3x3 −x

B

Ableitungen h¨ oherer Ordnung

Da die Ableitung einer Funktion wiederum eine Funktion (mit evtl. eingeschränktem Definitionsbereich) ist, kann sie selbst ebenfalls auf Differenzierbarkeit untersucht werden. Auf diese Weise werden Ableitungen höherer Ordnung definiert. Die zweite Ableitung der Funktion f ist somit Ableitung der Funktion f . Sie wird mit f oder mit f (2) bezeichnet: f = (f ) . Allgemein gilt im Fall der Differenzierbarkeit von f (n) (n ∈ N): f (n+1) = (f (n) ) . Die durch f (x) = 2x3 − 6x + 1 gegebene Funktion hat die (erste) Ableitung f (x) = 6x2 −6. Die zweite Ableitung f ist gegeben durch f (x) = (6x2 − 6) = 12x. Die dritte Ableitung ist f (3) (x) = 12, so dass alle höheren Ableitungen gleich Null sind, d.h. f (n) (x) = 0 f¨ ur n ≥ 4. B Beispiel

10.4 Differentiation parameterabh¨ angiger Funktionen In der 338Tabelle Ableitungen von Funktionen wurden bereits Parameter benutzt, um Ableitungen von Funktionen eines bestimmten Typs anzugeben. Die durch f (t) = tn definierte Funktion hat den Parameter n ∈ N. Ihre Ableitung ist gegeben durch f (t) = ntn−1 . Die N¨ utzlichkeit des Parameters besteht darin, dass mit dieser Beschreibung die Ableitung f¨ ur eine Klasse von Funktionen angegeben wird. In einer konkreten Situation wird die Ableitung durch Einsetzen eines speziellen Werts f¨ ur den Parameter ermittelt. Grundsätzlich werden Parameter beim Differenzieren wie Konstanten behandelt. Maßgeblich f¨ ur die Differentiation ist nur das Argument der Funktion.

B

10.4

342


Beispiel

B −λx

(i) F (x) = 1 − e

mit Parameter λ:

(ii) F (y) = y α mit Parameter α:

F (x) = λe

F (y) = αy α−1

β

(iii) F (t) = 1 − e−λt mit Parametern λ und β: (iv) F (z) = 1 −

1 µ+z

10.5

10.5 Aufgaben

343L

Aufgabe 10.1

mit Parameter µ: F (z) =

β

F (t) = λβtβ−1 e−λt

B

1 (µ+z)2

Bestimmen Sie mit Hilfe von 325Tabelle Grenzwerte von Funktionen und 326Tabelle Grenzwerte von Summen, Differenzen, Produkten und Quotienten die Grenzwerte der Funktion an den Rändern ihres Definitionsbereichs.∗ (a) f (x) = 10x18 − 5x17 + 2

(d) f (x) = −3 ln(x) + x2

(b) f (x) = −3 + 4x + 2x3

(e) f (x) = −e2x · x3 (f) f (x) = 21x 4x3 +

(c) f (x) = 345L

−λx

4x2 −5x+1 x−1

Aufgabe 10.2

5 x3

¨ Uberpr¨ ufen Sie die Funktionen auf Stetigkeit an den angege-

benen Stellen. (a) f (x) = 2|x|

an der Stelle x0 = 0

(b) f (x) = |(x − 1)2 | an der Stelle x0 = 2 1 , x = 0 (c) f (x) = x an der Stelle x0 = 0 0, x = 0 2 x −2x+1 , x = 1 x−1 (d) f (x) = an der Stelle x0 = 1 0, x=1 √ x, x≥0 (e) f (x) = √ an der Stelle x0 = 0 1 − x, x < 0 345L

Leiten Sie die Funktionen mit Definitionsbereich (0, ∞) unter Verwendung der Faktor- und Summenregel ab. Aufgabe 10.3

∗ +∞ bzw. −∞ werden als R¨ ander des Definitionsbereichs verstanden, wenn der Definitionsbereich nach oben bzw. unten unbeschr¨ ankt ist.

10.6 L¨ osungen

343

(a) f (x) = 5x3 + 7x2 − 4x + 9 1

(b) f (x) = 13 x6 + x + x 2 √ (c) f (x) = 4x4 − 4x

√ 3 (d) f (x) = 8x2 − x + 2 + 6 x4 (e) f (x) = 12 x−2 + 2x−3 − 3x−4 √ 1 (f) f (x) = x + √1x + √ 3 5 x

Leiten Sie die Funktionen mit Definitionsbereich (0, ∞) unter Verwendung der Faktor-, Summen- und Produktregel ab. Aufgabe 10.4

(a) f (x) = ex · x2 + 3x5

(d) f (x) = 3x4 · sin(x)

(b) f (x) = 4x · x4

(e) f (x) = (e−x + 4x )2

(c) f (x) = 2x · ln(x) + ln(x3 )

(f) f (x) = (ln(x))2 · ex

Aufgabe 10.5

Leiten Sie die Funktionen mit Definitionsbereich (0, ∞) ab. 2

(a) f (x) =

3x +4 2x

(d) f (x) = (5x − 3)5

(b) f (x) =

1√ 2+ x

(c) f (x) =

7x2 +3x+1 x2 +x

(e) f (x) = (3x4 − x2 + 7)4 " (f) f (x) = 3 (2x3 + 3x)5

Begr¨ unden Sie, dass die Grenzwerte f¨ ur x → ∞ jeweils gleich Eins und f¨ ur x → −∞ jeweils gleich Null sind und dass die Funktionen stetig auf R sind. Berechnen Sie ferner die Ableitung (evtl. mit Ausnahme  der Stellen x 0 = 0 und x0 = 1).   0, x 1 2 e−x , x < 0 (b) F (x) = −x (d) F (x) = e−e , x ∈ R 1, x≥0 Aufgabe 10.6

346L

346L

10.6

10.6 L¨ osungen

342A

L¨ osung 10.1 (a) D = R; R¨ ander: −∞, +∞ lim (10x18 − 5x17 + 2) = +∞, lim (10x18 − 5x17 + 2) = +∞

x→+∞

346L

x→−∞

344


(b) D = R; R¨ ander: −∞, +∞ lim (−3 + 4x + 2x3 ) = +∞, lim (−3 + 4x + 2x3 ) = −∞

x→+∞

x→−∞

(c) D = R \ {1}; R¨ ander: −∞, +∞, 1 Aus der Polynomdivision (

4x2 − 5x + 1) : (x − 1) = 4x − 1, − 4x2 + 4x −x+1 x−1 0

resultieren folgende Aussagen: lim

x→+∞

4x2 −5x+1 x−1

= lim (4x − 1) = +∞,

x→+∞ 2 −5x+1 lim 4x x−1 = lim (4x − 1) = x→−∞ x→−∞ 2 −5x+1 lim 4x x−1 = lim (4x − 1) = 3 x→1− x→1−

lim

x→1+

4x2 −5x+1 x−1

−∞

= lim (4x − 1) = 3 x→1+

Die Funktion kann daher an der Stelle x = 1 durch den Funktionswert 3 stetig fortgesetzt werden. (d) D = (0, ∞); R¨ ander: 0, +∞ lim

x→+∞

−3 ln(x) + x2 = lim x2 −3 ln(x) +1 x2 x→+∞

= lim x2 · lim x→+∞

da lim x2 = +∞ und lim x→+∞

x→+∞

x→+∞

−3 ln(x) + 1 = +∞, x2

−3 ln(x) + 1 = 1 gilt. x2

Der Grenzwert lim (−3 ln(x) + x2 ) ist gleich +∞. x→0+

(e) D = R; R¨ ander: −∞, +∞ lim (−e2x · x3 ) = −∞, lim (−e2x · x3 ) = 0

x→+∞

x→−∞

(f) D = R \ {0}; R¨ ander: −∞, +∞, 0 lim 1x x→+∞ 2 lim ( 1x x→−∞ 2 =

4x3 +

4x3 +

5 x3

5 x3

x→+∞

) = lim e

− ln(2)x

x→−∞

lim 4x3 e− ln(2)x + lim

x→−∞

= lim e− ln(2)x 4x3 +

5 ln(2)x x3 x→−∞ e

5 x3

4x3 +

5 x3

= 0,

= −∞, denn der erste Grenzwert ist

gleich −∞ und der zweite −∞. Letzteres folgt aus lim eln(2)x x3 = 0− gilt. x→−∞

An der Stelle x = 0 ergeben sich als Grenzwerte

10.6 L¨ osungen

345

1 x x→0− 2 lim 21x x→0+

lim

3 5 4x + x3 = −∞ 3 5 4x +

= +∞

x3

1 x x→0 2

Diese Aussage resultiert aus den Grenzwerten lim 5 3 x→0− x

lim

= −∞ bzw. lim

5 3 x→0+ x

= 1, lim 4x3 = 0 und x→0

= +∞. 342A

L¨ osung 10.2 (a)

lim 2|x| = lim 2x = 0, lim 2|x| = lim (−2x) = 0, also ist f stetig an der

x→0+

x→0+

x→0−

x→0−

Stelle x0 = 0. (b)

lim |(x − 1)2 | = 1, lim |(x − 1)2 | = 1, also ist f stetig an der Stelle x0 = 2.

x→2+

x→2−

Alternativ gilt f (x) = |(x−1)2 | = (x−1)2 , d.h. f ist ein quadratisches Polynom und daher insbesondere stetig auf R. = +∞ = f (0) = 0, lim

1 x→0+ x

= −∞ = f (0) = 0, also ist f an der Stelle

1 x→0− x

(c) lim

x0 = 0 nicht stetig. 2 x2 −2x+1 = (x−1) x−1 x−1 lim x −2x+1 = lim (x − x−1 x→1+ x→1+

(d) Wegen

2

= x − 1 f¨ ur x = 1 gilt f¨ ur die Grenzwerte 1) = 0 und lim

x→1−

x2 −2x+1 x−1

= lim (x − 1) = 0. x→1−

Daher ist f an der Stelle x0 = 1 wegen f (1) = 0 stetig. √ √ (e) Wegen lim x = 0 = f (0) und lim 1 − x = 1 ist f an der Stelle x0 = 0 x→0+

x→0−

zwar rechtsseitig stetig, aber nicht stetig. 342A

L¨ osung 10.3 (a) f (x) = (5x3 + 7x2 − 4x + 9) = 5 · 3x2 + 7 · 2x − 4 + 0 = 15x2 + 14x − 4 (b) f (x) =

1 6 x 3

1

+ x + x2

(c) f (x) = 4x4 −

√

4x

=

1 3

1

· 6x5 + 1 + 12 x 2 −1 = 2x5 + 1 +

1

= 4x4 − 2x 2

1

2

1 √

x

= 4 · 4x3 − 2 · 12 x 2 −1 = 16x3 −

√1 x

√ 4

3 (d) f (x) = 8x2 − x + 2 + 6 x4 = 8x2 − x + 2 + 6x 3 √ 4 = 8 · 2x − 1 + 0 + 6 · 43 x 3 −1 = 16x − 1 + 8 3 x

(e) f (x) = 12 x−2 + 2x−3 − 3x−4 = −x−3 − 6x−4 + 12x−5 (f) f (x) = 1

√

x+

√1 x

1 √ 3 5 x 1 − 2 −1

= 12 x 2 −1 + (− 12 )x

+

1 ·(−2)x−2−1 +2·(−3)x−3−1 −3·(−4)x−4−1 2

=

1

1

5

2

√1 x3

= x 2 + x− 2 + x− 3 5

+ (− 53 )x− 3 −1 =

1 √ 2 x

−

−

3

5 √ 3 8 x

346


343A

L¨ osung 10.4 (a) f (x) = (ex · x2 + 3x5 ) = ex · x2 + ex · 2x + 5 · 3x4 = ex (x2 + 2x) + 15x4 = x(x + 2)ex + 15x4 (b) f (x) = (4x · x4 ) = ln(4) · 4x · x4 + 4x · 4x3 = x3 4x (ln(4)x + 4) (c) f (x) = (2x · ln(x) + ln(x3 )) = 2 ln(x) + 2x ·

1 x

+ (3 ln(x)) = 2 ln(x) + 2 +

3 x

(d) f (x) = (3x4 · sin(x)) = 12x3 · sin(x) + 3x4 · cos(x) = 3x3 (4 sin(x) + x cos(x)) (e) f (x) = ((e−x + 4x )2 ) = ((e−x + 4x ) · (e−x + 4x ))

= (e−x + 4x ) · (−e−x + ln(4) · 4x ) + (−e−x + ln(4) · 4x ) · (e−x + 4x ) x = 2(e−x + 4x )(−e−x + ln(4) · 4x ) = −2e−2x + 2 ln(4)16x + 2 4e (ln(4) − 1) (f) f (x) = ((ln(x))2 · ex ) = (ln(x) ln(x)) · ex + (ln(x))2 ex = (ln(x) · x1 + x1 · ln(x)) · ex + (ln(x))2 ex = ex ln(x)( x2 + ln(x)) 343A

L¨ osung 10.5 2

(a) f (x) = ( 3x2x+4 ) = (b) f (x) = (c) f (x) =

1√ 2+ x

(d) f (x) = (5x − 3)5

= (2 +

7x2 +3x+1 x2 +x

6x·2x−(3x2 +4)·2 (2x)2

=

√

x)−1

=

= −(2 +

(2x3 + 3x)5

= (10x2 + 5) 343A

√

3 2

−

2 x2

x)−2 ·

2

1 √

x

1 √ = − 2√x(2+ x)2 4x2 −2x−1 (x2 +x)2

=

= 5(5x − 3)4 · 5 = 25(5x − 3)4

3

=

(14x+3)·(x2 +x)−(7x2 +3x+1)·(2x+1) (x2 +x)2

(e) f (x) = (3x4 − x2 + 7)4 = 4(3x4 − 3 = 48x3 + x82 3x4 − x2 + 7 (f) f (x) =

6x2 −8 4x2

3

2 x

+ 7)3 · (12x3 +

5

= (2x3 + 3x) 3

2 ) x2

2

= 53 (2x3 + 3x) 3 · (6x2 + 3)

(2x3 + 3x)2

L¨ osung 10.6 (a) Es gilt

lim F (x) =

x→−∞

lim 0 = 0 und lim F (x) = lim (1 − e−x ) = 1. Zur

x→−∞

x→∞

x→∞

Untersuchung der Stetigkeit ist lediglich die Stelle x0 = 0 zu betrachten, da sich die Stetigkeit in den anderen Punkten des Definitionsbereichs aus der Stetigkeit 330grundlegender Funktionen ergibt. Wegen lim (1 − e−x ) = 0 = x→0+

f (0) = lim 0 ist F auch stetig in x0 = 0 und damit stetig auf R. x→0−

Die Ableitung ist gegeben durch f (x) = F (x) =

0,

x0

.

10.6 L¨ osungen

(b) Es gilt

347

lim F (x) =

x→−∞

2

lim e−x

x→−∞

= 0 und lim F (x) = lim 1 = 1. Zur x→∞

x→∞

Untersuchung der Stetigkeit ist lediglich die Stelle x0 = 0 zu betrachten (vgl. 2 (a)). Wegen lim e−x = 1 = f (0) = lim 1 ist F auch stetig in x0 = 0 und x→0−

x→0+

damit stetig auf R.

Die Ableitung ist gegeben durch f (x) = F (x) = (c) Es gilt

2

−2xe−x ,

x0

.

lim F (x) = lim 0 = 0 und lim F (x) = lim 1 = 1. Zur Untersu-

x→−∞

x→−∞

x→∞

x→∞

chung der Stetigkeit sind lediglich die Stellen x0 = 0 und x1 = 1 zu betrachten (vgl. (a)). Wegen lim 0 = 0 = f (0) = lim x und lim x = 1 = f (1) = x→0−

x→0+

x→1−

lim 1 ist F auch stetig in x0 = 0 und x1 = 1 und damit stetig auf R.

x→1+

( ) ) *0, x < 0

Die Ableitung ist gegeben durch f (x) = F (x) = 1, 0 < x < 1 . ) ) +0, x > 1

(d) Aus lim (−e−x ) = −∞ und lim (−e−x ) = 0 resultieren die Grenzwerte x→−∞

x→+∞

lim F (x) = lim e−e

x→−∞

lim F (x) = lim e

x→+∞

−x

x→−∞

x→+∞

−e−x

= lim ez = 0, z→−∞

= lim ez = 1. z→0

Als Verkettung stetiger Funktionen ist F auch stetig auf R. Die Ableitung ist −x −x nach der Kettenregel gegeben durch f (x) = F (x) = e−x e−e = e−x−e = −(x+e−x ) e , x ∈ R.

Kapitel 11 Integration

11

11

11

Integration

11.1

Integration und Stammfunktionen ............................ 351

11.2

Integrationsregeln ................................................ 356

11.3

Integration von stückweise definierten Funktionen ........ 360

11.4


11.5

Aufgaben .......................................................... 368

11.6

Lösungen .......................................................... 370

351

11.1 Integration und Stammfunktionen

351

11 Integration Die Berechnung von Integralen ist in der Wahrscheinlichkeitsrechnung und der angewandten Statistik ein wichtiges Hilfsmittel zur Bestimmung von Wahrscheinlichkeiten, Verteilungsfunktionen, Erwartungswerten, Varianzen und anderen Kenngr¨ oßen bei zu Grunde liegenden stetigen Wahrscheinlichkeitsverteilungen.

11.1

11.1 Integration und Stammfunktionen Beispiel Verteilungsfunktion Der Wert einer Verteilungsfunktion F (x) beschreibt die Wahrscheinlichkeit, dass eine 152Zufallsvariable einen vorgegebenen Wert x nicht u ¨berschreitet. Hat die Verteilungsfunktion F eine Verteilungsdichte f , so ist die obige Wahrscheinlichkeit durch die vom Grafen von f und der 60Abszisse eingeschlossene Fl¨ ache u ¨ ber dem Intervall (−∞, x] gegeben. F¨ ur die 363Standardexponentialverteilung mit Verteilungsdichte 0, t 0 gleich dem Inhalt der in der Grafik markierten Fl¨ ache. Das Intervall (−∞, 0] leistet keinen Beitrag zum Integral, da die Funktion f auf diesem Teilintervall gleich Null ist. ... 1 ..6 ...

... ... ... ... .... ... ... .... .... .... ..... .... ..... ..... ..... ..... ..... .. ...... .. .......... ....... .. ....... ........ ... .......... ............ .. ................ .. ....................... ........................................... .. ............................................................. ...........................................................................................................

f (t)

F (x)

-

0

x

t B

Der Zusammenhang zwischen der Verteilungsdichte f und der zugehörigen Verteilungsfunktion F , F (x) = Fläche zwischen Graf von f und Abszisse bis zur Stelle x, wird mathematisch durch die Integralschreibweise

B

352

11. Integration

5

x

F (x) =

f (t)dt −∞

6 6x mit dem Integralzeichen notiert. −∞ f (t)dt heißt Integral von f u ¨ber dem Intervall (−∞, x]. Die untere Integrationsgrenze −∞ und die obere Integrati6x onsgrenze x werden jeweils unten bzw. oben an das Integralzeichen −∞ notiert (vgl. 109Summenzeichen). Mit dem K¨ urzel dt wird die Variable (hier t) gekennzeichnet, u uhrt wird. Die Funktion f ¨ber die die Integration ausgef¨ wird als zu integrierende Funktion bzw. als Integrand bezeichnet. Allgemein lässt sich die Integration einer nicht-negativen Funktion f geometrisch als Berechnung des Fl¨ acheninhalts der von der Abszisse und dem Funktionsgrafen u ¨ber dem Intervall eingeschlossenen Fläche interpretieren. 6 f (t)

........................... ........... .. .......... ....... ....... ...... .. ...... ..... ...... .. ...... .. ..... ..... ... ..... ..... .. ..... .. ..... .. ..... ..... .. ..... .. ..... .. ..... ..... .. ..... .. ..... ..... b .. ..... .. .. ... ........... .. ....... .. .. ....... .. .. ........ a .................. .. ... .. . .. .. .. .. .. .. .. ..

f (t)dt

-

0

a

t

b

F¨ ur Integranden f mit negativen und positiven Funktionswerten kann das Integral i.Allg. nicht als6 Fl¨ achenmaß interpretiert werden. Im folgenden Bei1 spiel hat das Integral −1 f (t)dt den Wert Null, obwohl der Flächeninhalt offenbar 12 = 1 betr¨ agt. 6 f (t) ...... ...... . ...... ... ..... . . .. . . .. .. ...... ...... .. ...... . . .. . . .... . . .. . . ... . . . .. . . .... . . .. . . .... . . .. . . ... . . . .. . . .... . . .. . . .... . . .. . . .... . . .. . . ... . . . .. . . .... . . . .. . . .... . . .. . . ... . . .. . . . .... . . .. . . ..... .. ..... .. ...... .. ...... ...... . . .. . . .. ...... ..... .. ...... .. ...... ..... . .. . . . .... .. ...... .. ...... .. .......... .. ........ ....

1

−1

1

−1

t


353

6b Formal wird das Integral a f (t)dt u uhrt, ¨ber Unter- und Obersummen eingef¨ die die vom Funktionsgrafen und der Abszisse eingeschlossene Fläche approximieren und im Grenzwert dieser entsprechen. Dieser Zugang beruht auf der Idee, den Integrationsbereich in Intervalle zu 54zerlegen und den Wert des Integrals durch den Wert der Untersumme von unten und durch den Wert der Obersumme von oben einzuschachteln, wobei sich deren Werte als Summe von Rechteckfl¨ achen leicht berechnen lassen. Die Zerlegung des Integrationsbereichs wird dann verfeinert, so dass die Näherung genauer wird. Konvergiert dieser Prozess, heißt die Funktion f integrierbar.∗ Die folgenden Grafiken illustrieren diesen Vorgang. Die Zahl n gibt jeweils die Anzahl der (gleich breit gewählten) Teilintervalle an. Wie aus den Abbildungen ersichtlich ist, approximieren die Treppenstufen den Funktionsgrafen mit wachsender Anzahl von Teilintervallen besser. Obersumme

Untersumme

6

... ... ... .... .... .... .... .... .... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ...... ...... ...... ........ .. .......... ........ .. ......... .......... .. ............ .. .............. .. .. .. ..

6

f (t)

f (t)

n=4

0

x

n=4

-

t

0

6

... ... ... .... .... .... .... .... .... .... ..... .... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ...... ...... ....... .. ........ ....... ........ ... ......... .. .......... ............. .. ............. .. .. ..

x

... ... ... .... .... .... .... .... .... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ...... ...... ....... ............. ....... ........ ... ......... .. .......... ............ .. ............. .. .. ..

f (t)

n = 10

0

x

-

t

6

f (t)

t

... ... ... .... .... .... ..... .... .... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ...... ...... ....... ............ ....... ........ ... ......... .. .......... ............ .. ............. .. .. ..

n = 10

-

0

x

-

t

Auf eine Darstellung der mathematischen Zusammenhänge soll hier verzichtet werden, da der Anwendungsaspekt der Integralrechnung im Vordergrund steht (zu weiteren Informationen s. Kamps et al. 2003). Ziel des hier gewählten Vorgehens ist, einfach handhabbare Rechenregeln bereitzustellen, um Integrale (und damit die interessierenden Größen) mit möglichst geringem Aufwand berechnen zu k¨ onnen. Ein zentrales Hilfsmittel bei der Auswertung von Integralen ist der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung. ∗ Auf

einem Intervall [a, b] stetige Funktionen sind dort auch integrierbar.

354

11. Integration

Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung Seien f eine auf dem Intervall [a, b] stetige Funktion und F eine stetige, auf dem offenen Intervall (a, b) differenzierbare Funktion mit f (x) = F (x)

f¨ ur alle x ∈ (a, b).

Dann kann das Integral von f u ¨ber [a, b] berechnet werden gemäß 5 b f (t)dt = F (b) − F (a). a

Die Funktion F wird als Stammfunktion von f bezeichnet. 6b Alternativ werden f¨ ur das Integral a f (t)dt folgende Bezeichnungen verwendet: b t=b . /b . /t=b F (t) = F (t) = F (t) = F (t) . a

t=a

a

t=a

Dieser Satz zeigt insbesondere, dass die Integration als eine gewisse Umkehrung der Differentiation verstanden werden kann. B

Beispiel

Wegen

x4 4

= x3 definiert F (x) =

x4 4

nach dem Hauptsatz der

Differential- und Integralrechnung eine Stammfunktion zu f (x) = x3 . Somit gilt 4 b 5 b x 1 x3 dx = = (b4 − a4 ). 4 4 a a 4 4 Wegen x4 + 2 = x3 + 0 = x3 gilt dies auch f¨ ur G(x) = x4 + 2. B Allgemein lässt sich sagen, dass F (x) + C mit einer beliebigen Konstanten C ∈ R eine Stammfunktion zu f definiert und umgekehrt jede beliebige Stammfunktion zwangsl¨ aufig von dieser Gestalt ist. Dabei ist zu beachten, dass f¨ ur ein beliebiges C die Beziehung (F (b) + C) − (F (a) + C) = F (b) − F (a) gilt, d.h. der Wert des Integrals h¨ angt nicht von der Wahl der Stammfunktion ab. Diese Beobachtung wird in der folgenden Aussage zusammengefasst. Eigenschaften von Stammfunktionen Sind F und F7 Stammfunktionen einer Funktion f , so unterscheiden sich F und F7 nur um eine Konstante C ∈ R, d.h. es gibt ein C ∈ R mit F (t) = F7(t) + C

f¨ ur alle t ∈ (a, b).


355

Eine Stammfunktion von f ist gegeben durch 5 t F (t) = f (x)dx, t ∈ (a, b). a

Stammfunktionen zu einer Funktion f werden auch als unbestimmtes Integral 6 f (t)dt bezeichnet (die Integrationsgrenzen werden nicht spezifiziert). Zur 6b Abgrenzung wird a f (t)dt bestimmtes Integral genannt. 6

x3 dx wird nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung interpretiert als 5 1 x3 dx = x4 + C, 4 Beispiel Unbestimmte Integrale Das unbestimmte Integral

wobei C eine beliebige reelle Zahl ist. Dies l¨ asst sich durch differenzieren der rechten Seite nachweisen. Entsprechend gelten z.B. 5 5 5 1 1 1 et dt = et + C, dy = ln(|y|) + C,∗ dz = − 2 + C. B y z3 2z Eine wesentliche Folgerung aus dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung ist, dass zu einem Integranden f (lediglich) eine Funktion F zu bestimmen ist, deren Ableitung f ist. Da das Ableiten einer Funktion auf einfache Weise systematisch m¨ oglich ist, resultiert eine Tabelle von Funktionspaaren, die zur Integration von Funktionen eingesetzt wird. Wichtige Stammfunktionen Definitionsbereich D R (−∞, 0) oder (0, ∞) (−∞, 0) oder (0, ∞) R R R R

Funktion f tp , p ≥ 0 tp , p < 0, p = −1 1 t t

e e−t sin(t) cos(t) ∗ Die

Stammfunktion zu

1 y

Stammfunktion F 1 p+1 p+1 t 1 p+1 t p+1 ln(|t|) et −e−t − cos(t) sin(t)

ist ln(|y|), da y auch negative Werte haben kann. Bei Ein-

schr¨ ankung auf positive Argumente y > 0 ist nat¨ urlich ln(y) Stammfunktion zu

1 . y

B

356

B

11. Integration

= t−3 die Stamm√ 1 funktion F (t) = 1+(−3) t−3+1 = − 12 t−2 = − 2t12 . F¨ ur g(x) = x3 = x3/2 √ 1 resultiert die Stammfunktion G(x) = 3 +1 x3/2+1 = 25 x5/2 = 25 x5 . B Beispiel Aus der obigen Tabelle ergibt sich f¨ ur f (t) =

1 t3

2

Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung gilt auch f¨ ur die Fälle a = −∞, b ∈ R, a ∈ R, b = ∞ und a = −∞, b = ∞, sofern jeweils die Grenzwerte lim F (t) bzw. lim F (t) endlich existieren. In diesem Fall gilt t→−∞ t→∞ etwa 5 b f (t)dt = F (b) − lim F (t). t→−∞

−∞

Ein Integral mit Integrationsgrenze −∞ und/oder +∞ wird als uneigentliches Integral bezeichnet.

11.2

11.2 Integrationsregeln Neben dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung spielen Rechenregeln f¨ ur Verkn¨ upfungen von Funktionen eine große Rolle bei der Berechnung von Integralen, weil diese die Bestimmung von Stammfunktionen auf gewisse Grundtypen reduzieren. Faktor- und Summenregel Sei [a, b] ein Intervall. F¨ ur (st¨ uckweise) stetige Funktionen f, g und Zahlen c, d ∈ R gilt 5 b 5 b 5 b (cf (t) + dg(t))dt = c f (t)dt + d g(t)dt. a

B

a

a

Beispiel

(i) (ii)

61 −1

64

1 (2x − 1)dx = x2 − x −1 = [1 − 1] − [1 − (−1)] = −2

64 64 64 (x3 + 2x − 5)dx = 0 x3 dx + 0 2xdx − 5 0 1dx . /4 . /4 . /4 = 14 x4 + x2 − 5x = 14 · 44 + 42 − 5 · 4 = 64 + 16 − 20 = 60 0

0

(iii)

62

0

62

2 dt − 1 2t−1 t2 dt 1 t 1 = − 2 − (−1) = 12

0

=

6 2 2 1

t

−

2t−1 t2

dt =

62

1 dt 1 t2

=

62 1

t−2 dt =

1 −1 2 −1 t 1

11.2 Integrationsregeln

357

e e 6e 6e ( 1t + 1)dt = 1 1t dt + 1 1dt = ln(|t|)1 + t1 = ln(|e|) − ln(|1|) + e − 1 = ln(e) − ln(1) + e − 1 = 1 − 0 + e − 1 = e

6 5 t−3 6 5 t −3 −3 t 5 −3 5 t (v) −∞ e dt = −∞ e e dt = e e −∞ = e e − lim e t→−∞ −3 5 2 =e e −0 =e B

(iv)

6e 1

Weitere n¨ utzliche Integrationsregeln sind die folgenden Aussagen. Integrationsregeln F¨ ur eine auf dem Intervall [a, b] stetige Funktion f gilt: 6c 1. c f (t)dt = 0 f¨ ur alle c ∈ [a, b], 6b 6a 2. a f (t)dt = − b f (t)dt. 6c Aus der Regel c f (t)dt = 0 folgt, dass der Integrationsbereich [a, b] durch die (halb-)offenen Intervalle (a, b], [a, b) oder (a, b) ersetzt werden kann, ohne den Wert des Integrals zu ver¨ andern. I.Allg. wird f¨ ur den Integranden f angenommen, dass er (st¨ uckweise) stetig auf dem abgeschlossenen Intervall [a, b] ist. Diese Voraussetzung kann derart abgeschwächt werden, dass f (st¨ uckweise) stetig auf dem offenen Intervall (a, b) ist und die (auf (a, b) existierende) Stammfunktion endliche Grenzwerte bei Annäherung an a bzw. b hat. Beispiel Die obigen Regeln erm¨ oglichen die Berechnung des Integrals der Funktion f (x) = 2√1 x , x > 0, u ber dem Intervall (0, b] mit b > 0, obwohl ¨ √ f an der Stelle x = 0 nicht definiert ist. Offenbar gilt f¨ ur F (x) = x die Beziehung F = f , so dass 5 b 5 b √ √ b √ √ 1 √ dt = t0 = b − lim t = b. f (t)dt = t→0 0 0 2 t

Die Berechnung des Integrals der Funktion f (x) = x1 , x > 0, u ¨ber dem Integrationsbereich (0, b] mit b > 0, liefert 5 b 5 b b 1 f (t)dt = dt = ln(t)0 = ln(b) − lim ln(t). t→0+ 0 0 t Da lim ln(t) = −∞ gilt, ist diese Funktion ein Beispiel daf¨ ur, dass der Wert t→0+

eines Integrals nicht endlich sein muss.

B

B

358

11. Integration

Die Umkehrung zur 339Produktregel der Differentiation ist die partielle Integration. Partielle Integration Seien [a, b] ein Intervall und f, g differenzierbare Funktionen mit (st¨ uck weise) stetigen Ableitungen f , g auf dem offenen Intervall (a, b). Dann gilt 5 b b 5 b f (t) · g(t)dt = f (t) · g(t) − f (t) · g (t)dt. a

a

B

a

Beispiel Partielle Integration

(i)

61 0

1 6 1 1 P xex dx = xex 0 − 0 1 · ex dx = e − 0 − ex 0 = e − (e − 1) = 1

(P: Partielle Integration mit f (x) = ex und g(x) = x) t 6 t 6t 6t P (ii) F¨ ur t > 0 gilt: 1 ln(x)dx = 1 1 · ln(x)dx = x ln(x)1 − 1 x · x1 dx t 6t = t ln(t) − 0 − dx = t ln(t) − x = t ln(t) − t + 1 = t(ln(t) − 1) + 1 1

1

(P: Partielle Integration mit f (x) = 1 und g(x) = ln(x)) u 6 u 6u 6u P1 (iii) 0 x2 ex dx = x2 ex 0 − 0 2x · ex dx = u2 eu − 2 0 x · ex dx u 6 u x P2 = u2 eu −2 xex − e dx = u2 eu −2ueu +2eu −2 = (u2 −2u+2)eu −2 0

0

(P1: 1. Partielle Integration mit f (x) = ex und g(x) = x2 , P2: 2. Partielle Integration mit f (x) = ex und g(x) = x; vgl. (i)) B Substitutionsregel Seien [a, b] ein Intervall, f eine differenzierbare Funktion mit stetiger Ableitung f auf dem offenen Intervall (a, b) und Wertebereich [c, d] . Ferner sei g eine (st¨ uckweise) stetige Funktion mit einem Definitionsbereich, der den Wertebereich [c, d] von f umfasst. Dann gilt 5 b 5 f (b) f (t)g(f (t))dt = g(u)du. a

B

f (a)

Beispiel Anwendungen der Substitutionsregel

(i)

62 −1

(v + 1)2 dv =

62 −1

S

1 · (v + 1)2 dv =

6 2+1 1+(−1)

y 2 dy =

63

(S: Substitution f (v) = v + 1, f (v) = 1, g(y) = y 2 )

0

3 y 2 dy = 13 y 3 0 = 9

11.2 Integrationsregeln

(ii)

6x 0

S

λe−λt dt =

6 λx 0

359

λx e−z dz = −e−z 0 = 1 − e−λx

(S: Substitution f (t) = λt, f (t) = λ, g(z) = e−z ) 6x Insbesondere gilt f¨ ur λ = 1: 0 e−t dt = 1 − e−x 6x k (iii) F¨ ur k = 0 gilt: 0 tk−1 e−t dt = . /xk k = k1 − e−z = k1 1 − e−x

1 k

6x 0

k

S 1 k

ktk−1 e−t dt =

6 xk 0

e−z dz

0

(S: Substitution f (t) = tk , f (t) = ktk−1 , g(z) = e−z )

B

6x Zur Berechnung des Integrals 0 λe−λt dt wurde die Substitutionsregel mit den Funktionen f (t) = λt, f (t) = λ und g(z) = e−z angewendet. Diese Setzung wird im Folgenden auch kurz mit z = f (t) = λt, d.h. z = λt, notiert. Beispiel Sukzessive Anwendung von Substitutionsregel und partieller Inte1 2

6t

B

3 2 −λx

gration F¨ ur das Integral λ x e dx ergibt sich zunächst aus der Sub0 stitutionsregel mit S z = λx 5 5 5 λt 1 t 3 2 −λx 1 t S 1 λ x e dx = λ(λx)2 e−λx dx = z 2 e−z dz. 2 0 2 0 2 0 Die zweimalige Anwendung der partiellen Integration liefert die Lösung∗ 1 2

5

t

3 2 −λx

λ x e 0

1 dx = 2 S

5

λt

z 2 e−z dz = P

0

λt 1 2 −z −z e − 2ze−z − 2e−z 0 2

1 = 1 − e−λt λ2 t2 + 2λt + 2 . 2

B

Die Anwendung der Substitutionsregel bei 355unbestimmten Integralen erfolgt in der Form 5 f (t)g(f (t))dt = G(f (t)) + C, wobei G eine Stammfunktion zu g ist. 6

2

tet dt resultiert mit 6der Substitu2 tion f (t) = t (f (t) = 2t) sowie der Stammfunktion G(z) = 12 ez dz = 12 ez 5 5 2 1 1 2 t2 te dt = 2tet dt = G(f (t)) + C = et + C. B 2 2 Beispiel F¨ ur das unbestimmte Integral

∗ Vgl. 358Beispiel

Partielle Integration (iii).

B

360

11.3

11. Integration

11.3 Integration von st¨ uckweise definierten Funktionen Bisher wurden lediglich Integranden betrachtet, die auf dem Integrationsbereich stetig waren. Diese Voraussetzung ist jedoch zur Berechnung des Integrals nicht erforderlich und kann abgeschwächt werden. In der Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung sind insbesondere st¨ uckweise stetige Funktionen von Bedeutung, d.h. der Graf des Integranden hat an endlich vielen Stellen einen Sprung. Bei der Berechnung derartiger Integrale ist die folgende Regel n¨ utzlich, die nat¨ urlich auch bei stetigen Funktionen anwendbar ist. Integrationsregel: Aufteilung des Integrationsbereichs F¨ ur eine auf dem Intervall [a, b] (st¨ uckweise) stetige Funktion f gilt 5 b 5 m 5 b f (t)dt = f (t)dt + f (t)dt f¨ ur alle m ∈ [a, b]. a

B

a

m

Beispiel Integrale st¨ uckweise definierter Funktionen

(i) Sei f (t) =

0,

t0 2 5

5

t

5

−∞ 0

1 x 1 t 1 e dx = ex = et 2 −∞ 2 −∞ −∞ 2 5 t 5 0 5 t t > 0: H(t) = h(x)dx = h(x)dx + h(x)dx t

t ≤ 0: H(t) =

h(x)dx =

−∞

0

5 t 1 x 1 −x = e dx + e dx 2 −∞ 0 2 5 /t 1 1 t −x 1 1. = e0 + e dx = + − e−x 2 2 0 2 2 0 1 −t =1− e 2

Insgesamt folgt somit 5

t

H(t) =

h(x)dx = −∞

t≤0

1 t 2e ,

1−

1 −t e , 2

t>0

.

B

Ist eine st¨ uckweise definierte Funktion f : R −→6R außerhalb des Intervalls 6b ∞ [a, b] gleich der Nullfunktion, wird oftmals statt −∞ f (t)dt sofort a f (t)dt geschrieben. Auf dem restlichen Integrationsbereich6 ergibt sich f¨ ur das Inte∞ gral Null, so dass es keinen Beitrag zum Wert von −∞ f (t)dt liefert.

362

11. Integration

Integrale und Indikatorfunktion Seien [a, b] ein Intervall mit a < b und f eine auf [a, b] integrierbare Funktion. Dann gilt 5 ∞ 5 b f (t)½[a,b] (t)dt = f (t)dt. −∞

a

6b Entsprechende Aussagen gelten f¨ u r f (t)½[a,∞) (t)dt −∞ 6∞ f (t)½(−∞,b] (t)dt sowie f¨ ur offene und halboffene Intervalle. a B

bzw.

Beispiel Aus der obigen Regel ergibt sich f¨ ur die durch

   0, t < 3 g(t) = t2 , 3 ≤ t < 6   0, 6 ≤ t

= t2 ½[3,6) (t)

gegebene Funktion g : R −→ R das Integral 5 ∞ 5 ∞ 5 6 1 6 1 3 2 g(t)dt = t ½[3,6) (t)dt = t2 dt = t3 = 6 − 33 = 63. B 3 3 3 −∞ −∞ 3

11.4

11.4 Anwendungen in der Statistik Im Folgenden werden einige wichtige Begriffe aus der Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik eingef¨ uhrt, die auf dem Integralbegriff beruhen.

Definition Dichtefunktion, Verteilungsdichte, Verteilungsfunktion Eine Funktion f : R −→ R heißt Dichtefunktion (Verteilungsdichte), falls sie

1. nicht-negativ ist, d.h. f (x) ≥ 0 f¨ ur alle x ∈ R, und 2. die Fläche zwischen 60Abszisse und dem Funktionsgrafen von f den Flächen6∞ inhalt Eins hat, d.h. −∞ f (t)dt = 1. Ist f eine Dichtefunktion, so heißt die durch F (x) = Funktion F Verteilungsfunktion zu f .∗ ∗ Die

6x −∞

f (t)dt, x ∈ R, definierte

Verteilungsfunktion F ist somit eine konkrete Stammfunktion zur Dichte f .

11.4 Anwendungen in der Statistik

B

363

Beispiel Rechteckverteilung Die durch f (x) = ½[0,1] (x), x ∈ R, definierte Funktion f ist offensichtlich nicht-negativ. Daher bleibt die Integrationsbedingung zu pr¨ ufen. Aus 360Beispiel (ii) Integrale st¨ uckweise definierter Funktionen resultiert diese Forderung direkt mit a = 0 und b = 1, d.h. f ist eine Dichtefunktion. Sie wird Dichtefunktion der Rechteckverteilung auf dem Intervall [0, 1] genannt. 1 Allgemein definiert f (x) = b−a ½[a,b] (x), x ∈ R, mit a < b die Dichtefunktion einer Rechteckverteilung auf dem Intervall [a, b]. Die zugehörige Verteilungsfunktion ist dann gegeben durch (vgl. 360Beispiel (ii) Integrale st¨ uckweise definierter Funktionen)   x 0 ist die durch die Fallunterschei-

dung f (t) =

0,

B

t0 −∞ F¨ ur λ = 1 heißt die Verteilung auch Standardexponentialverteilung.

B

Wichtige Kenngrößen einer Verteilung sind ihre Momente. Definition Moment, Erwartungswert Sei k ∈ N. Ist f eine Dichtefunktion, so wird (im Fall der Existenz) das k -te Moment von f definiert durch das Integral

5 mk = F¨ ur k = 1 heißt m1 = ∗ bzw.

6∞ −∞

∞

xk f (x)dx.

−∞

xf (x)dx auch Erwartungswert von f .∗

Erwartungswert der zu f geh¨ origen Verteilung.

364

B

11. Integration

Beispiel

(i) F¨ ur die 363Exponentialverteilung mit Parameter λ gilt mit der Substitution S z = λx (vgl. 358Beispiel (i) Partielle Integration) 5 ∞ 5 ∞ 1 S 1 −λx m1 = xλe dx = ze−z dz = . λ λ 0 0 Der Parameter λ beschreibt also den Kehrwert des Erwartungswerts der Exponentialverteilung. F¨ ur das zweite Moment gilt wiederum mit der Substitution S z = λx (vgl. 359Beispiel Sukzessive Anwendung von Substitutionsregel und partieller Integration) 5 ∞ 5 ∞ S 1 m2 = x2 λe−λx dx = 2 z 2 e−z dz λ 0 0 ∞ 5 ∞ P 1 = 2 −z 2 e−z + 2ze−z dz λ 0 0 5 ∞ ∞ ∞ / 1 1 . 2 P = 2 0 − 2ze−z + 2 e−z dz = 2 0 − 2e−z = 2. λ λ λ 0 0 0 (ii) F¨ ur die 363Rechteckverteilung auf dem Intervall [a, b] gilt f¨ ur das k-te Moment∗ 5 ∞ 5 b 1 1 mk = xk ½[a,b] (x)dx = xk dx b − a b − a −∞ a b k+1 k+1 1 1 b − a = xk+1 = . b−a k+1 (k + 1)(b − a) a Insbesondere gilt f¨ ur den Erwartungswert (k = 1) nach der 16dritten binomischen Formel b2 − a2 (b − a)(b + a) a+b m1 = = = . 2(b − a) 2(b − a) 2 (iii) Die Dichtefunktion der Normalverteilung mit Erwartungswert µ ∈ R wird durch 2 1 1 f (x) = √ e− 2 (x−µ) , x ∈ R, 2π definiert (π = 3,1415 . . .). Wie die folgende Rechnung zeigt, beschreibt der Parameter µ tats¨ achlich den Erwartungswert. Der Nachweis dieser Eigenschaft benutzt die Aussage, dass die Funktion f f¨ ur jedes µ eine Dichtefunktion ist, d.h. die Integrationsbedingung ∗ Im

zweiten Schritt wird die 362Rechenregel

∞

−∞

g(x)½[a,b] (x)dx =

b a

g(x)dx benutzt.


5

365

5

∞

∞

f (x)dx = −∞

−∞

2 1 1 √ e− 2 (x−µ) dx = 1 2π

∗

ist f¨ ur jedes µ ∈ R erf¨ ullt. Im ersten Schritt wird der Erwartungswert zunächst geeignet umgeformt:† 5 ∞ 5 ∞ 5 ∞ m1 = xf (x)dx = (x − µ)f (x)dx + µf (x)dx −∞ −∞ −∞ 5 ∞ 5 ∞ 1 − 1 (x−µ)2 2 = (x − µ) √ e dx + µ f (x)dx 2π −∞ −∞ =1 5 ∞ 1 2 1 S = z √ e− 2 z dz + µ, 2π −∞ wobei im letzten Schritt die Substitution S z = x − µ verwendet wird. Das noch zu berechnende Integral ist Null, denn mit der Substitution S y = −z gilt die Beziehung 5 0 5 −∞ 5 ∞ 1 1 2 1 1 2 1 1 2 S z √ e− 2 z dz = − z √ e− 2 z dz = − y √ e− 2 y dy. 2π 2π 2π −∞ 0 0 Damit addieren sich die Integrale zu Null 5 ∞ 5 0 5 ∞ 1 2 1 − 1 z2 1 − 1 z2 1 2 2 √ √ z e dz = z e dz + z √ e− 2 z dz 2π 2π 2π −∞ −∞ 0 5 ∞ 5 ∞ 1 2 1 − 1 y2 1 =− y √ e 2 dy + z √ e− 2 z dz = 0, 2π 2π 0 0 und der Erwartungswert m1 hat den Wert des Parameters µ. Das Resultat ist ebenfalls g¨ ultig f¨ ur eine Normalverteilung mit Erwartungswert µ ∈ R und Varianz σ 2 > 0, deren Dichte meist mit ϕ bezeichnet wird und durch ϕ(x) = √

1 2πσ 2

1

2

e− 2σ2 (x−µ) ,

x ∈ R,

gegeben ist. F¨ ur µ = 0 und σ 2 = 1 heißt die Verteilung auch Stan1 2 dardnormalverteilung mit Dichtefunktion ϕ(x) = √12π e− 2 x , x ∈ R. Der Funktionsgraf der Dichte wird wegen seiner charakteristischen Form auch ∗ Der

† Aus

Nachweis dieser Beziehung u ¨ bersteigt den Rahmen des Buchs. der 356Summenregel folgt allgemein die Beziehung xf (x)dx = (x −µ + µ)f (x)dx = [(x − µ)f (x) + µf (x)] dx

=

=0

(x − µ)f (x)dx +

µf (x)dx.

366

11. Integration

Gaußsche Glockenkurve“ genannt. ” ....... ........ . ............ ..... ..... ..... .. ..... .... ... . . .. ... ... ... .... .. ... . . . ... . .. . . ... ... ... . . . . . . ... . . ... ... . ... . . . . . . ... . ... ... . . ... . . . ... .. .. . . . ... .. . . ... .. .. . ... . . . .. ... . . ... ... . . .... . . .. . . ... . . .... ... . . . ..... . .. . . . . . ..... . . .... ..... . . . ..... ... . . . . . . ...... . ... . . . ...... . . . . ........ .... . . . . . . . ........... . ...... . . . . ............... . . . . . . . . . . . . . .... .

ϕ(x)

6

µ

x

(iv) Die Dichtefunktion einer log-Normalverteilung mit Parametern µ ∈ R und σ 2 > 0 ist gegeben durch 2 1 1 fµ,σ (x) = √ e− 2σ2 (ln(x)−µ) , 2 x 2πσ

x > 0.

Ihr Graf hat f¨ ur µ = 0 und σ = 1 den Verlauf: 6 .....................

f0,1 (x)

... ... .. .. ... . .. .. ... .... .. ... ... .... ... .. ... .... .. ... ... .... .. ... ...

... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .... .... ... .... .... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ...... ...... ....... ....... ........ ......... .......... ........... ............. ................ ..................... ............................ ........................................... .................................

-

x

Durch eine Substitution S g(x) = ln(x) und g (x) = x1 wird nachgewiesen, dass es sich tats¨ achlich um eine Dichtefunktion handelt (die NichtNegativität ist offensichtlich): 5 ∞ 5 ∞ 2 1 1 √ fµ,σ (x)dx = e− 2σ2 (ln(x)−µ) dx x 2πσ 2 −∞ 0 5 ∞ 2 1 1 S √ = e− 2σ2 (z−µ) dz = 1. 2πσ 2 −∞ Die letzte Gleichung ergibt sich aus der Eigenschaft, dass der Integrand die Dichtefunktion einer Normalverteilung mit Parametern µ und σ ist. B


367

Definition Varianz Die Varianz einer Dichtefunktion f ∗ ist (im Fall der Existenz) definiert durch das Integral

5

∞

v= −∞

(x − m1 )2 f (x)dx,

wobei m1 der Erwartungswert von f ist.

Mit Hilfe der Summen- und Faktorregel der Integration folgt eine Beziehung zwischen Varianz und Momenten von f . Varianzformel F¨ ur die Varianz der Dichtefunktion f gilt v = m2 − m21 .

Nachweis. Aus der 356Summen- und Faktorregel folgt

,

∞

v= −∞ ∞

, =

−∞

(x − m1 )2 f (x)dx = x2 f (x)dx −2m1

=m2

,

,

∞ −∞

∞

−∞

(x2 − 2m1 x + m21 )f (x)dx

xf (x)dx +m21

=m1

= m2 − 2m21 + m21 = m2 − m21 .

,

∞

f (x)dx

−∞

=1

Beispiel

F¨ ur die Varianz der 363Exponentialverteilung mit Parameter λ > 0 resultiert das Ergebnis

2 2 1 1 2 v = m2 − m1 = 2 − = 2. B λ λ λ

B

Beispiel F¨ ur die 363Rechteckverteilung auf dem Intervall [a, b] resultiert die Varianz

2 b3 − a3 a+b 2 v = m2 − m1 = − 3(b − a) 2 b2 + ab + a2 a2 + 2ab + b2 4b2 + 4ab + 4a2 − 3a2 − 6ab − 3b2 = − = 3 4 12 b2 − 2ab + a2 (b − a)2 = = . B 12 12

B

∗ bzw.

der zu der Dichtefunktion f geh¨ origen Verteilung

368

11. Integration

11.5

11.5 Aufgaben

370L

Aufgabe 11.1

371L

Bestimmen Sie jeweils eine Stammfunktion.

(a) f (x) = 4x3 + 3x + 1 √ 5 (b) f (x) = x3

(d) f (x) =

(c) f (x) = 2ex

(f) f (x) =

Aufgabe 11.2

(a)

62

4

1 √ 4

(e) f (x) = 5x4 + 4 +

Berechnen Sie die Integrale.

(3x + 1)2 dx

(f)

(g)

1

(c)

61 61

(2 − x)dx +

61

(e)

1 67

2(x − 1) dx

0

x4 dx −

0

64

(h) f (x) = 4x

1 x4

+

1 x5

dx

64 √ 5 4 x dx 1

0

(d)

62 1

64 √ ( x + x) dx

6 x

2x+3 √ x

0

(b)

(g) f (x) = (x − 2)2

x

61 3

65

x4 dx

3

67

1

(e 3 x + 3x2 ) dx

4

(i)

61

5x dx

0

x(x + x) dx + (x + x ) dx − (x3 + x2 ) dx

61 −1

x4 dx +

2

(h)

3

2

(j)

−1 6 −3

4 x

dx

1

371L

Aufgabe 11.3 Bestimmen Sie jeweils mit Hilfe der Substitutionsmethode eine

Stammfunktion. (a) f (x) = (2x + 3)3

(d) f (x) =

9x2 +1 x(3x2 +1)

(b) f (x) =

2ex 3+2ex

(e) f (x) =

3 3x ln(x)+2x

(c) f (x) =

√ 2x x2 +3

(f) f (x) =

1 (x+2) ln(x+2)

11.5 Aufgaben

369

Berechnen Sie jeweils mit Hilfe der Substitutionsmethode. 610 x √ (2x + 3)4 dx (d) dx 2x+5

Aufgabe 11.4

(a)

61 0

(b)

61

2

(1 + x3 )2 · 3x2 dx

(e)

65 3

61

2

(6x + 5) · e3x

+5x

dx

0

0

(c)

372L

2x+4 x2 +4x

(f)

dx

612

√ 4x 4 x + 4 dx

−4

Aufgabe 11.5 Bestimmen Sie jeweils mit Hilfe der partiellen Integration eine

373L

Stammfunktion. (a) f (x) = xex

(c) f (x) = ln(x)

(e) f (x) = log2 (x)

(b) f (x) = ex (x2 + 3x)

(d) f (x) = x2 ln(x)

(f) f (x) = (ln(x))2

Berechnen Sie jeweils mit Hilfe der partiellen Integration. 4 61 6e ln(x) x ln(x) dx (b) (3x + 1)e2x dx (c) x dx

Aufgabe 11.6

(a)

62 1

374L

3

0

1

Die Verteilung mit der Dichtefunktion f (x) = αxα−1 ½[0,1] (x), x ∈ R, heißt Betaverteilung mit Parameter α > 0. Aufgabe 11.7

375L

(i) Zeigen Sie, dass f eine Dichtefunktion ist. (ii) Berechnen Sie Verteilungsfunktion, Momente und Varianz von f . α Berechnen Sie f¨ ur die durch f (x) = xα+1 ½[1,∞) (x), x ∈ R, gegebene Dichtefunktion der Pareto-Verteilung mit Parameter α > 0 die Verteilungsfunktion sowie den Erwartungswert (f¨ ur α > 1). Was ergibt sich f¨ ur den Erwartungswert im Fall α = 1?

Aufgabe 11.8

Aufgabe 11.9

Die Verteilung mit der Dichtefunktion 0, x 0. (i) Zeigen Sie f¨ ur n = 3, dass f eine Dichtefunktion ist.

376L

376L

370

11. Integration

(ii) Berechnen Sie f¨ ur n = 2 Erwartungswert und Varianz von f . Benutzen Sie dabei bereits bekannte Ergebnisse.∗ (iii) Zeigen Sie, dass die Verteilungsfunktion F von f gegeben ist durch   x 0 f¨ ur alle x ∈ R gilt. (c) g(x) = x2 + 3, g (x) = 2x, h(y) =

√1 : y

f (x) = √ 2x 2

x +3

g (x) = √ = g (x) · h(g(x)) g(x)

Mit der Substitution g(x) = y ergibt sich:

,

2x √ dx = x2 + 3

,

1 √ dy = y

,

1 √ y − 2 dy = 2 y + C

y=g(x)

=

2

(d) g(x) = x(3x2 + 1) = 3x3 + x, g (x) = 9x2 + 1, h(y) = y1 : f (x) = =

g (x) g(x)

x2 + 3 + C 9x2 +1 x(3x2 +1)

= g (x) · h(g(x))


,

9x2 + 1 dx = x(3x2 + 1)

,

1 dy = ln(|y|) + C y

g (x) =

=

ln(|3x3 + x|) + C

3

3 3 x = x(3 ln(x)+2) = 3 ln(x)+2 , so dass g(x) = 3x ln(x)+2x g (x) 1 3 h(y) = y : f (x) = 3x ln(x)+2x = g(x) = g (x) · h(g(x))

(e) Zun¨ achst gilt

y=g(x)

3 , x

3 ln(x) + 2,


,

3 dx = 3x ln(x) + 2x

,

1 dy = ln(|y|) + C y 1

1 x+2 = ln(x+2) , (x+2) ln(x+2) g (x) 1 f (x) = (x+2) ln(x+2) = g(x)

(f) Zun¨ achst gilt h(y) =

1 : y

y=g(x)

=

ln(|3 ln(x) + 2|) + C

so dass g(x) = ln(x + 2), g (x) =

1 , x+2

= g (x) · h(g(x))


,

369A

1 dx = (x + 2) ln(x + 2)

,

1 dy = ln(|y|) + C y

y=g(x)

=

ln(| ln(x + 2)|) + C

L¨ osung 11.4 Die Funktion f wird jeweils in der Form f (x) = g (x) · h(g(x)) mit geeigneten Funktionen g und h geschrieben. (a) g(x) = 2x + 3, g (x) = 2, h(y) = 12 y4 : f (x) = (2x + 3)4 = g (x) · 12 (g(x))4 = g (x) · h(g(x))

, 0

1

(2x + 3)4 dx =

,

g(1) g(0)

y4 y 5 5 55 35 dy = − = 288,2 = 2 10 3 10 10

11.6 L¨ osungen

373

(b) g(x) = 1 + x3 , g (x) = 3x2 , h(y) = y2 : f (x) = (1 + x3 )2 · 3x2 = g (x) · (g(x))2 = g (x) · h(g(x))

,

1

,

(1 + x3 )2 · 3x2 dx =

g(1)

y2 dy =

g(0)

0

5

3

2x + 4 dx = x2 + 4x

,

g(5)

g(3)

1 dy = y

2

y3 2 8 1 7 = − = 3 1 3 3 3

y2 dy =

1

(c) g(x) = x2 +4x, g (x) = 2x+4, h(y) =

,

,

,

45 21

1 : y

2x+4 x2 +4x

f (x) =

=

g (x) g(x)

= g (x)·h(g(x))

45 1 dy = ln(|y|)21 = ln(45)−ln(21) = ln 15 7 y

(d) g(x) = 2x + 5, g (x) = 2. Daraus ergibt sich die Beziehung x = mit h(y) =

y−5 √ 4 y

√ x 2x+5

gilt: f (x) =

= g (x) ·

g(x)−5 2

· √

1 2

g(x)−5 , 2

= g (x) √

g(x)

so dass

g(x)−5

4

g(x)

= g (x) · h(g(x))

,

10

√

2

x dx = 2x + 5 =

,

g(10)

g(2)

125 6

−

y−5 √ dy = 4 y 25 2

−

27 6

,

−

25

1

9 15 ) 2

1

=

1

−

98 6

10 2

=

68 6

3

=

2

(6x + 5) · e3x

2

+5x

,

g(1)

dx =

ey dy =

g(0)

0

, 0

8

1

34 3

(e) g(x) = 3x2 + 5x, g (x) = 6x + 5, h(y) = ey : f (x) = (6x + 5) · e3x = g (x) · eg(x) = g (x) · h(g(x))

,1

25

y 2 − 54 y− 2 dy = 16 y 2 − 52 y 2 9

4

+5x

8

ey dy = ey 0 = e8 − e0 = e8 − 1

(f) g(x) = x + 4, g (x) = 1. Daraus ergibt sich die Beziehung x = g(x) − 4, so dass √ √ mit h(y) = 4(y − 4) 4 y gilt: f (x) = 4x 4 x + 4 = g (x)4(g(x) − 4) 4 g(x) = g (x) · h(g(x))

,

12

√ 4x 4 x + 4 dx =

−4

g(12)

√ 4(y − 4) 4 y dy =

g(−4)

=

L¨ osung 11.5

,

16 9 y4 9

−

=

16 64 5 y4 0 5

,

16

5

1

(4y 4 − 16y 4 ) dy

0 16·512 9

−

64·32 5

−0=

22528 45

= 500,62

C bezeichnet jeweils eine beliebige reelle Zahl.

x

x

(a) Mit u(x) = x und v (x) = e folgt u (x) = 1, v(x) = e , so dass - x xe dx = xex − ex dx = xex − ex + C (b) Mit u(x) = x2 + 3x und v (x) = ex folgt u (x) = 2x + 3, v(x) = ex , so dass - x 2 e (x + 3x) dx = ex (x2 + 3x) − ex (2x + 3) dx. Mit u(x) = 2x + 3 und v (x) = ex folgt u (x) = 2, v(x) = ex , so dass - x 2 e (x + 3x) dx = ex (x2 + 3x) − ex (2x + 3) − 2ex dx = ex (x2 + 3x − 2x − 3) + 2ex + C = ex (x2 + x − 1) + C

369A

374

11. Integration

(c) Mit u(x) = ln(x) und v (x) = 1 folgt u (x) = x1 , v(x) = x, so dass ln(x) dx = x · ln(x) − x1 · x dx = x ln(x) − 1 dx = x ln(x) − x + C = x(ln(x) − 1) + C (d) Mit u(x) = ln(x) und v (x) = x2 folgt u (x) =

-

x ln(x) dx = ln(x) − x3 3 ln(x) − 1 + C 9 2

= (e)

3

-

x 3

log2 (x) dx =

-

ln(x) ln(2)

-

dx =

3

x 3x

dx =

-

1 ln(2)

3

x 3

ln(x) −

(c)

ln(x) dx =

-

2

x 3

(ln(x))2 dx = ln(x)x(ln(x) − 1) − = x ln(x)(ln(x) − 1) − = x ln(x)(ln(x) − 1) −

,

, ,

v(x) =

dx =

x (ln(x) ln(2)

(f) Mit u(x) = ln(x) und v (x) = ln(x) folgt u (x) = dass

,

1 , x

1 , x

3

x 3

1 3 x , 3

ln(x) −

so dass x3 9

+C

− 1) + C (c)

v(x) = x(ln(x) − 1), so

1 · x(ln(x) − 1) dx x (ln(x) − 1) dx

,

ln(x) dx +

1 dx

(c)

= x ln(x)(ln(x) − 1) − x(ln(x) − 1) + x + C

= x(ln(x) − 1)2 + x + C = x(ln(x))2 − 2x ln(x) + 2x + C 369A

L¨ osung 11.6 (a) Mit u(x) = ln(x) und v (x) = x3 folgt u (x) =

v(x) =

1 4 x , 4

so dass

(b) Mit u(x) = 3x + 1 und v (x) = e2x folgt u (x) = 3, v(x) =

1 2x e , 2

so dass

1 , x

2 -2 4 -2 x3 ln(x) dx = 14 x4 ln(x)1 − x4x dx = 4 ln(2) − 0 − 14 x3 dx = 4 ln(2) − 1 1 4 1 1 1 x4 2 = 4 ln(2) − 216 − 16 = 4 ln 2 − 15 . 4 4 16

-2

1

1 -1 1 (3x + 1)e2x dx = (3x+1) e2x 0 − 32 e2x dx = 2e2 − 12 − 32 · 12 e2x 0 = 2e2 − 12 − 2 0 3 2 3 5 2 1 1 2 0 -1

4

e −

4

= 4e +

4

= 4 (5e + 1).

(c) Mit u(x) = ln(x) und v (x) = [1, e4 ], so dass

-

e4

1

ln(x) x

1 x

folgt u (x) =

e4 dx = (ln(x))2 1 −

e4

1

1 , x

v(x) = ln(|x|) = ln(x) f¨ ur x ∈

ln(x) x

dx. Damit reproduziert sich

das gesuchte Integral. Die letzte Gleichung ist daher ¨ aquivalent zur Beziehung

,

e4

2 1

so dass

-e4 ln(x) 1

x

e4 ln(x) dx = (ln(x))2 1 , x e4

dx = 12 (ln(x))2 1 =

(ln(e4 ))2 −0 2

=

16 2

= 8.

11.6 L¨ osungen

375

Alternativ gilt mit der 358Substitutionsregel und der Substitution S z = ln(x)

,

e4

,

ln(x) S dx = x

1

4

ydy = 0

L¨ osung 11.7

y2 4 = 8. 2 0 369A

-∞

(i) Es ist zu zeigen, dass f nicht-negativ ist und dass −∞ f (x)dx = 1 gilt. Ersteres ist offenbar erf¨ ullt. F¨ ur die Integrationsbedingung gilt

,

,

∞

1

f (x)dx = −∞

1

αxα−1 dx = xα = 1, 0

0

so dass f eine Dichtefunktion ist.

-t

(ii) Zur Berechnung der Verteilungsfunktion F (t) = −∞ f (x)dx, t ∈ R, sind die drei Intervalle (−∞, 0], (0, 1], (1, ∞) gesondert zu betrachten. Es ergibt sich

,

,

t

F (t) =

t

f (x)dx = −∞ t

, F (t) =

t ≤ 0.

0dx = 0, −∞ 0

, f (x)dx =

−∞ t α

,

t

0dx + −∞

= tα , 0 < t ≤ 1. 0 ,t ,1

=x F (t) =

f (x)dx = −∞

,

t

f (x)dx + −∞

= 1 + 0 = 1,

αxα−1 dx

0

0dx 1

t > 1.

Insgesamt ergibt sich somit

( ) ) *0, t ≤ 0 F (t) = tα , 0 < t ≤ 1 . ) ) +1, t > 0

F¨ ur das k-te Moment gilt

, mk =

1

xk · αxα−1 dx = α

0

,

1

xk+α−1 dx = α ·

0

1 α 1 xk+α = . k+α k+α 0

α Daraus resultieren der Erwartungswert m1 = 1+α und das zweite Moment α m2 = 2+α , so dass die Varianz von f gegeben ist durch

v = m2 − m21 =

α − 2+α

α 1+α

2 =

α α2 α − = . 2+α (1 + α)2 (2 + α)(1 + α)2

376

369A

11. Integration

Die Verteilungsfunktion ist f¨ ur t < 1 identisch Null. F¨ ur t ≥ 1 gilt:

L¨ osung 11.8

,

,

t

F (t) =

t

f (x)dx = 1

,

α

dx = xα+1

1

t

1

t

αx−α−1 dx = −x−α = 1 − 1

1 , tα

wobei zu beachten ist, dass wegen α > 0 die Stammfunktion zu x−α−1 durch − α1 x−α gegeben ist. Insgesamt gilt daher:

0,

F (t) =

t 1)

,

,

∞

m1 =

∞

x−α dx = α

xf (x)dx = α 1

α = 1−α

1 −α+1

lim x

x→∞

"

1 x−α+1 −α + 1

#∞ 1

α −1 = , α−1

wobei der Grenzwert lim x−α+1 wegen α > 1 gleich Null ist. F¨ ur α = 1 ergibt sich x→∞

,

∞

m1 = 1

1 ∞ dx = ln(x) = lim ln(x) − ln(1) = ∞, x→∞ x 1

d.h. der Erwartungswert hat den Wert ∞. 369A

L¨ osung 11.9 (i) Da f offenbar nicht-negativ ist, bleibt nur nachzuweisen, dass die Integrationsbedingung erf¨ ullt ist. Aus 359Beispiel Sukzessive Anwendung von Substitutionsregel und partieller Integration resultiert sofort die G¨ ultigkeit dieser Bedingung:

,

∞ 0

λ3 2 −λx x e dx = 1. 2

(ii) F¨ ur n = 2 lautet der Erwartungswert von f

,

∞

m1 =

x · λ2 xe−λx dx =

0

2 λ

,

∞

0

λ3 2 −λx 2 x e dx = . 2 λ

=1,nach (i)

F¨ ur das zweite Moment gilt mit partieller Integration

,

∞

m2 =

2 3 −λx

λ x e

,

∞

dx = λ

0

0

3

= λ · x · (−e

−λx

=0

)

∞ 0

,

−λ

−λx x3 · λe dx =u(x) ∞

2

=v (x)

3x (−e 0

−λx

, )dx = 3λ 0

∞

x2 e−λx dx

11.6 L¨ osungen

377

= 3λ ·

2 λ3

,

∞

λ3 2 −λx 6 x e dx = 2 . 2 λ

0

=1,nach (i)

Damit hat die Varianz den Wert v = m2 − m21 =

6 λ2

−

2 2 λ

=

2 . λ2

(iii) Differenzieren der Funktion F f¨ ur x < 0 liefert F (x) = 0. F¨ ur x ≥ 0 resultiert mit der Produkt- und Summenregel die Ableitung F (x) = −(−λe−λx )

(λx)j

n−1

j!

j=0

= λe

j=0

= λe

j=0

j=0

(λx)j−1 j!

(λx)j−1

n−1

−

j!

j=1

(j − 1)!

Indexverschiebung

n−1 (λx)j

−λx

λj

Summand f¨ ur j = 0 ist Null

n−1 (λx)j

−λx

n−1

− e−λx

(λx)j

n−2

−

j!

=

j!

j=0

λn xn−1 e−λx (n − 1)!

Im letzten Schritt ist zu beachten, dass alle Summanden der beiden Summen bis auf den letzten der ersten Summe wegfallen. Insgesamt folgt somit f¨ ur x ∈ R: F (x) = f (x), d.h. F ist Stammfunktion zu f .

L¨ osung 11.10 F¨ ur die momenterzeugende Funktion von f resultiert die Darstellung

, m(t) =

∞

etx λe−λx dx = λ

0

,

∞

e(t−λ)x dx.

0

Zur weiteren Behandlung dieses Integrals werden drei F¨ alle unterschieden. Gilt ∞ -∞ t = λ, so folgt m(λ) = λ 0 dx = λx = ∞. F¨ ur t > λ gilt

, m(t) = λ

0

∞

e(t−λ)x dx = λ ·

0

da lim λ · x→∞

lim λ ·

x→∞

1 e(t−λ)x t−λ (t−λ)x

1 e t−λ

1 (t−λ)x ∞ e = ∞, t−λ 0

= ∞ wegen t − λ > 0. F¨ ur t < λ gilt hingegen

= 0, so dass in diesem Fall m(t) = −λ ·

samt gilt somit

m(t) =

λ , λ−t

t 0) ist f (streng) monoton wachsend, in den Bereichen mit f (x) ≤ 0 (f (x) < 0) ist f (streng) monoton fallend.

B

F¨ ur die durch f (x) = 2x2 − 4x − 9 definierte Funktion ergibt sich wegen f (x) = 4x − 4 und Beispiel

f (x) > 0 ⇐⇒ 4x − 4 > 0 ⇐⇒ x > 1, f (x) < 0 ⇐⇒ 4x − 4 < 0 ⇐⇒ x < 1, d.h. f ist streng monoton fallend in (−∞, 1) und streng monoton wachsend in (1, ∞). B

12.1 Monotonieverhalten

385 2

Die durch f (x) = e−x , x ∈ R, definierte Funktion f hat die 2 Ableitung f (x) = −2xe−x . Da die Exponentialfunktion stets positiv ist, gilt f¨ ur x ∈ R 2 2 f (x) > 0 ⇐⇒ −2xe−x > 0 : −2e−x ⇐⇒ x < 0. Beispiel

B

Somit ist f streng monoton wachsend in (−∞, 0) und streng monoton fallend in (0, ∞). B F¨ ur g(x) = x3 ln(x), x ∈ (0, ∞), ergibt sich die Ableitung g (x) = x2 (3 ln(x) + 1). Da x ∈ (0, ∞), resultieren aus x2 > 0 und der Monotonie des ¨ 89Logarithmus die Aquivalenzen Beispiel

B

1

g (x) > 0 ⇐⇒ 3 ln(x) + 1 > 0 ⇐⇒ ln(x) > − 13 ⇐⇒ x > e− 3 . 1 1 Analog ist g (x) < 0 f¨ ur x ∈ 0, e− 3 , so dass g in 0, e− 3 streng monoton 1 fallend und in e− 3 , ∞ streng monoton wachsend ist. B Das folgende Beispiel illustriert ein vereinfachtes Verfahren zur Monotonieuntersuchung, dass bei 338stetig differenzierbaren Funktionen anwendbar ist. Zunächst werden die Nullstellen der Ableitung ermittelt, die den Definitionsbereich in Intervalle einteilen. Anschließend wird in jedem resultierenden Intervall an einer Stelle der Wert der Ableitung ermittelt, um dort deren Vorzeichen zu pr¨ ufen. Da sich dieses aufgrund der Stetigkeitsannahme f¨ ur die Ableitung nur dann ¨ andern kann, wenn eine Nullstelle der Ableitung vorliegt, hat die Ableitung in jedem Intervall das an der 278Pr¨ ufstelle ermittelte Vorzeichen. Daraus ergibt sich dann unmittelbar das Monotonieverhalten der Funktion in den vorliegenden Intervallen. Die durch f (x) = 3x4 − 8x3 − 6x2 + 24x − 10 definierte Funktion ist als Polynom auf D = R differenzierbar mit der Ableitung Beispiel

f (x) = 12x3 − 24x2 − 12x + 24. Um ihr Vorzeichen zu diskutieren, werden die Nullstellen der Ableitung bestimmt. Umformungen ergeben die Faktorisierung 12x3 − 24x2 − 12x + 24 = 12(x3 − 2x2 − x + 2) = = 12 x2 (x − 2) − (x − 2) = 12(x − 2)(x2 − 1) = 12(x − 2)(x − 1)(x + 1), so dass sich nach obiger Anmerkung das Vorzeichen der Ableitung nur an den Stellen x1 = −1, x2 = 1 und x3 = 2 ¨ andern kann. Es gen¨ ugt daher, das

B

386

12. Optimierung

Vorzeichen von f an jeweils einer Stelle in den Intervallen (−∞, −1), (−1, 1), (1, 2) und (2, ∞) zu pr¨ ufen. Als Pr¨ ufstellen werden −2, 0, 32 und 3 gewählt. Damit ergibt sich

... da

−1

−

f (−2)=−1440

−

2

f ( 32 )=− 15 2 0

Dieses Ergebnis wird in einer Tabelle zusammengefasst. (−∞, −1) −2 − fallend

Pr¨ ufstelle x Vorzeichen von f (x) Monotonieverhalten von f

(−1, 1) 0 + wachsend

(1, 2) 3 2

− fallend

(2, ∞) 3 + wachsend

f ist also in (−1, 1)∪(2, ∞) streng monoton wachsend und in (−∞, −1)∪(1, 2) streng monoton fallend. Dies zeigt auch der Verlauf des Grafen. von f . . ... ... ... ... .. . ... .. ... .. .. ... ... ... ... ..... ... .. ... .. ... .. .. .. . . ... .. ... .. ... ... .. .. ... .. . . .. ... .. .. .. .. ... .. ... .. . ... ... .. .. ... ... ... .................... ... ....... ... ............... ... . . . . . . . ...... ... .. .... ... . ....... .... .. .... .. ............................ ... ... .... .. .. .... ... .. ... .. .... . .. .. . . . . . .. ... .. .. ... .. ... .. ... .. .. .... ... ... .. ... .. .. .. .. .. . .... ... . . .. . .. . .. .. . .. . . . . . .. .. . .. . . . ... . . .. .. .. ... ... .. . .. . .. .. .. .. ... . . . .. .. ... ... ... . . .. ... .. . .. . .. . . .. ... .. .. .. . . . . . ... .. . .. . . . . . . . .. ... .. . .. . . .. . ... . .. .. .. .. ... . . . . .. . .. ... .. . . . . . . .. ... .. ... .... ... ........ ..... .. ...... . .. . ........ . .

6

f (x)

20

10

-

−1

1

2

x

−10 −20

fallend

wachsend

fallend

wachsend

B Zusätzlich m¨ ussen bei der Einteilung des Definitionsbereichs etwaige Definitionsl¨ ucken ber¨ ucksichtigt werden, weil sich das Monotonieverhalten auch dort ändern kann. B

1 x hat den Definitionsbereich D = R \ {0} und 1 − x2 . Diese ist immer negativ, so dass g u ¨ berall

Beispiel Die Funktion g(x) =

dort die Ableitung g (x) = auf D streng monoton fallend ist. Das Monotonieverhalten ändert sich also an der Definitionsl¨ ucke nicht.

12.2 Extrema

387

Die Funktion h(x) = x12 hat den selben Definitionsbereich D = R \ {0} und dort die Ableitung h (x) = − x23 . Diese ist offenbar f¨ ur x ∈ (−∞, 0) positiv und f¨ ur x ∈ (0, ∞) negativ. Die Funktion h ist somit auf (−∞, 0) streng monoton wachsend und auf (0, ∞) streng monoton fallend. Das Monotonieverhalten ändert sich also an der Definitionsl¨ ucke. B Zur Pr¨ ufung des Monotonieverhaltens wird daher folgende Faustregel notiert. Pr¨ ufung des Monotonieverhaltens Das Monotonieverhalten einer stetig differenzierbaren Funktion kann sich lediglich an Definitionsl¨ ucken und an den Nullstellen der Ableitung ändern. Daher gen¨ ugt es zur Pr¨ ufung des Monotonieverhaltens der Funktion, den Definitionsbereich durch diese Punkte in Intervalle einzuteilen und in jedem resultierenden Intervall mittels einer Pr¨ ufstelle das Vorzeichen der Ableitung zu ermitteln.

12.2 Extrema

12.2

Aus dem Monotonieverhalten einer Funktion ergeben sich Maxima und Minima – so genannte Extrema, wobei zwei Typen unterschieden werden: lokale und globale Extrema. Der grunds¨ atzliche Unterschied besteht darin, dass globale Extrema bzgl. des gesamten Definitionsbereichs extrem“ sind, während ” lokale Extrema lediglich in einem kleinen“ Intervall um die berechnete Stelle ” diese Eigenschaft aufweisen. Beispiel Um einen ersten Eindruck von diesen Begriffen zu gewinnen, wird wiederum die durch f (x) = 3x4 −8x3 −6x2 + 24x −10 definierte Funktion auf D = R betrachtet. An ihrem Grafen wird der Unterschied zwischen lokal“ ” und global“ deutlich. ” An den Stellen xm = −1 und xm = 2 liegen lokale Minima vor, die Stelle xM = 1 liefert ein lokales Maximum. An diesen Stellen ist die Funktion minimal bzw. maximal, wenn die Betrachtung jeweils auf ein hinreichend kleines Intervall um diese Stellen eingeschr¨ ankt wird.

Da f (x) f¨ ur x → −∞ bzw. x → ∞ unbeschränkt groß wird, gibt es kein globales Maximum. Jeder Wert wird u ¨berschritten. Dagegen unterschreitet

B

388

12. Optimierung

die Funktion den Wert f (−1) = −29 niemals, d.h. an der Stelle xm = −1 befindet sich ein globales Minimum. . ... ... ... ... .. . ... .. .. ... .. ... .. ... .. . . ... .. ... .. ... .. ... ... .. .. . ... ... ... .. ... ... .. .. . ... . . .. .. ... .. .. .. ... .. .. ... . .. ... .. .. .. .. ... .... ................................... ... . . . . . . . . . ...... ... ... ..... ....... ... ..... ..... ........ .... ................... ... .... .. .... . ... . . .. ... ... ... .... ... ... .. ... . ... . . .. ... .. ... ... ... ... ... ... ... . .. ... ... ... ... ... ... ... ... . . .. ... .... ... .... ... ... .... .... . . .... . . ... .... .................

6

f (x)

20

10

lokales Maximum

r

−1

1

−10

r

-

x

2 lokales Minimum

−20

r

lokales und globales Minimum

B Eine Funktion f besitzt an der Stelle xM ein globales Maximum, falls sie dort den größten Wert auf dem Definitionsbereich annimmt. Analog liegt an einer Stelle xm ein globales Minimum vor, falls sie dort den kleinsten Wert hat.

Definition Globales Minimum, globales Maximum Sei f : D −→ R eine Funktion.

f hat in xM ∈ D ein globales Maximum, wenn f (xM ) ≥ f (x) für alle x ∈ D. f (xM ) heißt globales Maximum von f , xM globale Maximalstelle. f hat in xm ∈ D ein globales Minimum, wenn f (xm ) ≤ f (x) für alle x ∈ D. f (xm ) heißt globales Minimum von f , xm globale Minimalstelle. Globale Extrema beziehen sich auf den ganzen Definitionsbereich der Funktion, während lokale Extrema nur in einem (kleinen) Intervall maximal bzw. minimal sind.

12.2 Extrema

389

Definition Lokales Minimum, lokales Maximum Sei f : D −→ R eine Funktion.

f hat in xM ∈ D ein lokales Maximum, wenn es ein Intervall (a, b) ⊆ D mit a < b und xM ∈ (a, b) gibt, so dass f (xM ) ≥ f (x) für alle a < x < b. f (xM ) heißt lokales Maximum von f , xM lokale Maximalstelle. f hat in xm ∈ D ein lokales Minimum, wenn es ein Intervall (a, b) ⊆ D mit a < b und xm ∈ (a, b) gibt, so dass f (xm ) ≤ f (x) für alle a < x < b. f (xm ) heißt lokales Minimum von f , xm lokale Minimalstelle. Wird nicht unterschieden, ob Maximum oder Minimum vorliegt, so wird die Bezeichnung Extremum verwendet. Entsprechend wird der Begriff Extremalstelle f¨ ur die betrachtete Stelle benutzt, an der ein Extremum vorliegt. In der Definition lokaler Extrema wird vorausgesetzt, dass ein offenes Intervall (a, b) ⊆ D existiert, so dass x0 ∈ (a, b) und f in (a, b) kleiner (größer) oder gleich dem Wert f (x0 ) ist. In diesem Verst¨ andnis sind 62Randpunkte des Definitionsbereichs keine lokalen Extremalstellen. Diese können grundsätzlich nur im 62Inneren des Definitionsbereichs liegen.

Beispiel Die auf das Intervall [−1, 1] eingeschr¨ ankte Funktion f mit f (x) = x3 , x ∈ [−1, 1], hat an der Stelle x = −1 ein globales Minimum und an der Stelle x = 1 ein globales Maximum. An beiden Stellen liegt jedoch kein lokales Extremum vor. B

B

Aus der Definition lokaler Extrema ergibt sich die folgende Schlussfolgerung, die ein einfaches Kriterium f¨ ur lokale Extremalstellen zur Verf¨ ugung stellt.

Kriterium f¨ ur lokale Extremalstellen Seien f : D −→ R eine Funktion und xm , xM ∈ D. xM ist eine lokale Maximalstelle, falls f links von xM monoton wachsend und rechts von xM monoton fallend ist. xm ist eine lokale Minimalstelle, falls f links von xm monoton fallend und rechts von xm monoton wachsend ist.

390

12. Optimierung

Diese Formulierung lokaler Extremalstellen benutzt keine Hilfsmittel aus der Differentialrechnung, da sie lediglich auf die Monotonieeigenschaften der Funktion zur¨ uckgreift. Das folgende Beispiel zeigt eine direkte Anwendung dieser Regel. B

Beispiel Die 156Betragsfunktion f (x) = |x| hat in x = 0 ein lokales Minimum, da f in (−∞, 0) streng monoton f¨ allt und in (0, ∞) streng monoton wächst. Wegen lim |x| = lim |x| = ∞ ist die lokale Minimalstelle auch x→∞

x→−∞

die (eindeutige) globale Minimalstelle. Lokale bzw. globale Maxima gibt es nicht. B Im nächsten Abschnitt werden einfache Kriterien formuliert, die auf der Ableitung der betrachteten Funktion beruhen. Diese sind insbesondere n¨ utzlich, um Kandidaten f¨ ur Extremalstellen zu finden, wenn diese nicht offensichtlich erkennbar sind. Da lokale und globale Extrema mit unterschiedlichen Methoden ermittelt werden, werden diese Untersuchungen getrennt ausgef¨ uhrt. Lokale Extrema

B

Am 388Grafen der durch f (x) = 3x4 − 8x3 − 6x2 + 24x − 10 definierten Funktion ist zu erkennen, dass −1 und 2 (lokale) Minimalstellen sind und 1 (lokale) Maximalstelle ist. Dar¨ uber hinaus wird deutlich, dass die Funktion gerade bei −1, 1 und 2 ihr Monotonieverhalten ändert. Bei den Minimalstellen ist es von fallend“ zu wachsend“, bei der Maximalstelle ” ” genau umgekehrt. Die Monotoniebereiche sind gegeben durch Beispiel

f

(−∞, −1) fallend

(−1, 1) wachsend

(1, 2) fallend

(2, ∞) wachsend

Damit liegen bei x = 1 tats¨ achlich ein lokales Maximum und bei x = −1 und x = 2 lokale Minima vor. B Ist die Funktion f differenzierbar, dann ist ihr Monotonieverhalten durch das Vorzeichen der ersten Ableitung f bestimmt. Daraus folgt, dass an einer lokalen Extremalstelle x0 ein Vorzeichenwechsel der Ableitung vorliegen muss, d.h. insbesondere muss f (x0 ) = 0 gelten. Grafisch bedeutet dies, dass die Tangente in x0 waagerecht verlaufen muss. Diese Beobachtung liefert ein einfaches Kriterium, um Kandidaten f¨ ur lokale Extremalstellen zu berechnen.

12.2 Extrema

391

Monotoniekriterium f¨ ur lokale Extrema: Notwendiges und hinreichendes Kriterium Seien f : D −→ R eine differenzierbare Funktion und x0 ∈ D. Dann gilt: Ist x0 eine lokale Extremalstelle, so gilt f (x0 ) = 0. Gilt f (x0 ) = 0, so ist x0 eine lokale Maximalstelle, falls die Ableitung f (x) links von x0 positiv und rechts von x0 negativ ist. eine lokale Minimalstelle, falls die Ableitung f (x) links von x0 negativ und rechts von x0 positiv ist. Das Kriterium∗ f (x0 ) = 0 ist nur ein notwendiges Kriterium, d.h. die Eigenschaft f (x0 ) = 0 reicht nicht aus, um zu sichern, dass x0 Extremalstelle ist. Ein zusätzliches Kriterium wie die Pr¨ ufung des Monotonieverhaltens ist unerlässlich. Sei g definiert durch g(x) = x3 , x ∈ R. Dann gilt g (x) = 3x2 und g (0) = 0. Allerdings liegt an der Stelle x = 0 keine Extremalstelle vor, da g (x) ≥ 0 f¨ ur alle x ∈ R gilt. g ist daher eine auf R (streng) monoton wachsende Funktion und besitzt somit keine lokalen Extremalstellen. Beispiel

.. ... ... .. . ... ... ... .. . ... ... .... .... . . . . . .... ..... ....... ........................... ........................................... . . . . . . . ..... .... .... .... ... . . . ... ... ... .. . ... ... ... .... ..

6 f (x)

0

x

B Alternativ kann an Stelle des Monotonieverhaltens die zweite Ableitung an den berechneten Stellen betrachtet werden. ∗ Das Kriterium ist nur f¨ ur differenzierbare Funktionen anwendbar. I.Allg. kommen außer den Stellen x0 mit f (x0 ) = 0 noch die Stellen in Frage, an denen die Ableitung nicht existiert (vgl. die Betragsfunktion). An diesen Stellen kann mit dem Monotoniekriterium entschieden werden, ob ein lokales Extremum vorliegt.

B

392

12. Optimierung

Lokale Extrema: Hinreichendes Kriterium mittels zweiter Ableitung Seien f eine zweimal differenzierbare Funktion und x0 ∈ D mit f (x0 ) = 0. Dann gilt: x0 ist eine lokale Maximalstelle, falls f (x0 ) < 0 gilt. x0 ist eine lokale Minimalstelle, falls f (x0 ) > 0 gilt. B

Beispiel Zur Illustration wird erneut die durch f (x) = 3x4 −8x3 −6x2 +24x−

10 definierte Funktion betrachtet. Die erste Ableitung f (x) = 12(x − 2)(x − 1)(x + 1) hat die drei Nullstellen −1, 1, 2, die damit Kandidaten f¨ ur Extremalstellen sind. Die Auswertung der zweiten Ableitung f (x) = (12x3 − 24x2 − 12x + 24) = 36x2 − 48x − 12 an diesen Stellen liefert: f (−1) = 36 + 48 − 12 = 72 > 0, f (1) = 36 − 48 − 12 = −24 < 0, f (2) = 36 · 4 − 48 · 2 − 12 = 36 > 0. Damit ergibt sich mit obigem Kriterium wiederum, dass bei −1 und 2 lokale Minima und bei 1 ein lokales Maximum vorliegen. B Das Kriterium ist nur anwendbar, falls die zweite Ableitung von Null verschieden ist. Andernfalls kann auf diese Weise keine Entscheidung getroffen werden. Liegt diese Situation vor, empfiehlt es sich, das 391Monotoniekriterium einzusetzen. B

Die zweite Ableitung der durch g(x) = x3 definierten Funktion ist g (x) = 6x. Wegen g (0) = g (0) = 0 kann mit dem obigen Kriterium keine Schlussfolgerung gezogen werden. Das Monotoniekriterium zeigt, dass an dieser Stelle kein Extremum vorliegt. Beispiel

Die mittels h(x) = x4 definierte Funktion erf¨ ullt ebenfalls die Bedingung h (0) = h (0) = 0. Eine Monotonieuntersuchung zeigt, dass h in (−∞, 0) monoton fallend und in (0, ∞) monoton steigend ist. An der Stelle x = 0 liegt somit ein lokales (sogar ein globales) Minimum vor. B Globale Extrema

Zur Untersuchung einer Funktion auf globale Extrema werden neben den lokalen Extrema zus¨ atzlich die Funktionswerte an den Rändern des Definitionsbereichs (falls diese zu D geh¨ oren) bzw. die Grenzwerte an den Rändern ¨ von D in die Uberlegungen mit einbezogen. Somit sind folgende Probleme zu bearbeiten:

12.2 Extrema

393

Berechnung aller lokalen Extrema von f . Gehört ein Randpunkt xR des Definitionsbereichs zum Definitionsbereich, so ist der zugeh¨ orige Funktionswert f (xR ) zu ermitteln. Gehört ein Randpunkt xR des Definitionsbereichs nicht zum Definitionsbereich, so ist der zugeh¨ orige Grenzwert lim f (x) bzw. lim f (x) bei x→xR −

x→xR +

Annäherung an den Randpunkt zu ermitteln. Grundsätzlich ist festzuhalten, dass als globale Extremalstellen nur Werte aus dem Definitionsbereich der Funktion in Frage kommen! √

1 − x2 definierten Funktion ist D = [−1, 1], da der Term unter der Wurzel nicht negativ sein darf: Beispiel Der Definitionsbereich der durch f (x) =

x2 − 1 ≥ 0 ⇐⇒ −1 ≤ x ≤ 1. Die Randpunkte des Definitionsbereichs sind x1 = −1 und x2 = 1, die beide zu D gehören, jeweils mit Funktionswert f (−1) = f (1) = 0. Kandidaten f¨ ur lokale Extrema im Intervall (−1, 1) ergeben sich aus der ersten Ableitung von f −2x x f (x) = √ = −√ , 2 2 1−x 1 − x2 die eine Nullstelle bei x = 0 hat. Dort ¨ andert sich auch das Vorzeichen. Damit ist f in [−1, 0) streng monoton wachsend, in (0, 1] streng monoton fallend und besitzt bei x = 0 ein lokales Maximum. Der Vergleich der Werte f (−1) = f (1) = 0 und das Monotonieverhalten von f zeigen, dass f bei x = −1 und x = 1 globale Minima mit Wert 0 hat. Bei x = 0 liegt das globale Maximum mit Wert 1. Dieses Resultat zeigt auch der Graf von f . lokales und globales Maximum

r6

...................................... ................ ......... ......... ....... ....... ...... ...... ..... ..... ..... . . . . ..... ... . . . .... .. . . .... . ... ..... . . . . .... ... . . .... . .. .... . . . ... ... . .... . ... ... . . ... . . ... ... . ... .. . .. . ... ... ... ... .. . . ... . ... ... ... .. ... ... ... ...

1

f (x)

r

−1 globales Minimum

r -

0

x

1 globales Minimum

B

394

12. Optimierung

Die globalen Minima an den Stellen x = −1 und x = 1 sind keine lokalen Minima, da die in Frage kommenden Stellen am Rand des Definitionsbereichs liegen. B Eine leichte Modifikation des obigen Beispiels zeigt, dass globale Extrema schon in einfachen F¨ allen nicht existieren. Im folgenden Beispiel existiert kein globales Minimum, da die in Frage kommenden Minimalstellen nicht zum Definitionsbereich der Funktion geh¨ oren. B

Beispiel Die durch h(x) =

2 √1−x 1−x2

definierte Funktion h hat den Definitionsbereich D = (−1, 1). Die Randwerte −1 und 1 des Intervalls (−1, 1) gehören nicht zum Definitionsbereich, da der Nenner f¨ ur diese Werte gleich Null wird. F¨ ur ein x ∈ D ergibt sich wegen √ " 1 − x2 ( 1 − x2 )2 √ = √ = 1 − x2 1 − x2 1 − x2 √ die Beziehung h(x) = f (x) mit f (x) = 1 − x2 . Somit hat h an der Stelle x = 0 ein lokales und globales Maximum. F¨ ur die Grenzwerte bei Annäherung an die Randpunkte resultieren die Werte lim h(x) = 0,

lim h(x) = 0.

x→−1+

x→1−

Da die Funktion stets gr¨ oßer als Null ist, hat h somit keine globalen Minima, da der Wert Null an keiner Stelle des Definitionsbereichs angenommen wird. Dies ist am Grafen der Funktion illustriert. Insbesondere besitzt die Funktion daher kein globales Minimum, obwohl sie nach unten beschränkt ist! lokales und globales Maximum

r6

................................................... ........... ........ ........ ....... ...... ....... . . . . . ..... . ..... ..... ..... ..... . . . .... ... . . ..... ... . . .... . ... .... . . . .... ... . .... . .. . ... . ... ... . ... .. . ... .. .. . ... .... ... . . ... .... .. .. ... ... ... ... ... ... ... .. .. ...

1

f (x)

b

−1 −1 ∈ D

b -

0

x

1 1 ∈ D

In diesem Beispiel gibt es keine globalen Minimalstellen, weil die Ränder des Definitionsbereichs, die die einzigen Kandidaten sind, nicht zum Definitionsbereich der Funktion geh¨ oren. B

12.2 Extrema

395

Ist der Definitionsbereich der Funktion ein beschränktes und abgeschlossenes Intervall [a, b] und die Funktion auf dem Intervall [a, b] stetig, so gibt es 333immer ein globales Maximum und ein globales Minimum. 1 Die durch f (x) = 1+x 2 definierte Funktion hat auf ihrem Definitionsbereich D = R ein globales Maximum, aber kein globales Minimum. Dazu werden zun¨ achst die lokalen Extremalstellen ermittelt. Wegen 2x f (x) = − (1+x2 )2 gilt f (0) = 0 und f (x) > 0 f¨ ur x ∈ (−∞, 0) bzw. f (x) < 0 f¨ ur x ∈ (0, ∞). Damit liegt an der Stelle x = 0 ein lokales Maximum. Wegen lim f (x) = 0 und lim f (x) = 0 sowie f (x) > 0 f¨ ur alle x ∈ D gibt es bei

Beispiel

x→−∞

x→∞

x = 0 ein globales Maximum. Ein globales Minimum existiert nicht, obwohl die Funktion nach unten durch Null beschr¨ ankt ist. Die Funktion g(x) = x2 hat bei x = 0 ein lokales/globales Minimum mit Wert g(0) = 0. Da die Funktion f¨ ur x → −∞ und x → ∞ unbeschränkt wächst, gibt es kein globales Maximum. Hierbei ist zu beachten, dass g zwar stetig auf D = R ist, der Definitionsbereich aber kein beschränktes Intervall ist. B Kriterien f¨ ur globale Extrema Aus den obigen Beispielen k¨ onnen folgende Beobachtungen festgehalten werden: Kandidaten f¨ ur globale Extremalstellen sind ausschließlich lokale Extremalstellen und die Randpunkte des Definitionsbereichs, sofern sie zum Definitionsbereich geh¨ oren. Die Entscheidung u ¨ ber globale Extremalstellen wird durch Vergleich der Funktionswerte an den obigen Stellen getroffen. Dabei sind zusätzlich die Grenzwerte bei Ann¨ aherung an diejenigen Randwerte zu ¨ ber¨ ucksichtigen, die nicht zum Definitionsbereich gehören. Uberschreiten die ermittelten Grenzwerte die Werte der Kandidaten nicht, so ist eine Stelle mit maximalem Funktionswert globale Maximalstelle. Andernfalls gibt es kein globales Maximum. Analog wird f¨ ur globale Minima verfahren. Eine Funktion kann globale Extrema besitzen, muss es aber nicht. Globale Extremalstellen m¨ ussen nicht eindeutig sein, d.h. ein globales Extremum kann an mehreren Stellen angenommen werden. Das globale Extremum (d.h. der Funktionswert an den Extremalstellen) ist dagegen stets eindeutig.

B

396

12. Optimierung

Streng monotone Transformationen und Extrema

B

Beispiel Oben wurde bereits gezeigt, dass die Betragsfunktion f (x) = |x| an der Stelle x = 0 ein lokales und globales Minimum hat. Daraus ergibt sich sofort, dass auch die Funktion h(x) = |x| + 1 = f (x) + 1 dort ein lokales und globales Minimum hat. Entsprechendes gilt f¨ ur g(x) = eh(x) = e|x|+1 . Dies kann z.B. an den Grafen leicht u uft werden. Grund f¨ ur diese Eigenschaft ¨berpr¨ ist, dass die Funktionen f und h jeweils mit einer streng monoton steigenden Funktion 164verkettet wurden.

Die Funktion l(x) = e−h(x) = e−|x| hat hingegen bei x = 0 ein lokales und globales Maximum, da die Funktion e−y streng monoton fallend ist. In diesem Fall werden Minimalstellen zu Maximalstellen und umgekehrt. B Streng monotone Transformationen und Extrema Seien f, g, h Funktionen, wobei der Wertebereich von f in den Definitionsbereichen von g und h enthalten ist und g streng monoton steigend und h streng monoton fallend ist. Hat f an der Stelle x0 ein Maximum (Minimum), so hat g ◦ f dort ebenfalls ein Maximum (Minimum). Hat f an der Stelle x0 ein Maximum (Minimum), so hat h ◦ f dort ein Minimum (Maximum).

Die Aussage gilt sowohl f¨ ur lokale als auch f¨ ur globale Extrema. Wichtige Beispiele streng monoton wachsender Funktionen sind f (x) = a+bx mit b > 0, f (x) = ex und f (x) = ln(x). B

Beispiel log-Likelihoodfunktion Bei der Berechnung von Maximum-Likelihood-Schätzern wird die Likelihoodfunktion L maximiert. Oft ist es aber einfacher, die log-Likelihoodfunktion l = ln(L) zu untersuchen.

Im Fall der 136Binomialverteilung lauten die Funktionen f¨ ur p ∈ (0,1) L(p) = pnx (1 − p)n(1−x) , l(p) = ln(L(p)) = nx ln(p) + n(1 − x) ln(1 − p).

B

12.3 Konkavit¨ at und Konvexit¨ at

397

12.3

12.3 Konkavit¨ at und Konvexit¨ at Das mittels der zweiten Ableitung formulierte 392Kriterium f¨ ur lokale Extrema macht sich Kr¨ ummungseigenschaften der Funktion in der Umgebung der berechneten Punkte zu Nutze. Dabei wird auf folgende Definition zur¨ uckgegriffen. Definition Konkavit¨ at und Konvexität Seien f : D −→ R eine auf D zweimal differenzierbare Funktion und (a, b) ⊆ D.

Die Funktion f heißt konvex (konkav) in (a, b), falls f (x) ≥ 0 (f (x) ≤ 0) f¨ ur alle x ∈ (a, b) gilt.

Die durch f (x) = x2 , x ∈ R, definierte quadratische Funktion f ist wegen f (x) = 2 > 0 eine konvexe Funktion auf R. Die durch g(t) = et gegebene Exponentialfunktion ist wegen g (t) = et > 0 f¨ ur alle t ∈ R auch konvex. Die Logarithmusfunktion ist konkav auf (0, ∞), denn (ln(z)) = − z12 < 0 f¨ ur z ∈ (0, ∞). Beispiel

Die durch h(y) = y 3 definierte Funktion h erf¨ ullt wegen h (y) = 6y die Ungleichungen h (y) < 0 f¨ ur y < 0 und h (y) > 0 f¨ ur y > 0, d.h. h ist konkav auf (−∞, 0) und konvex auf (0, ∞).

B

Am Grafen einer Funktion ist direkt erkennbar, dass Konkavität ein lokales Maximum liefert, wenn es ein x0 ∈ (a, b) mit f (x0 ) = 0 gibt. Entsprechend f¨ uhrt Konvexität zu lokalen Minima. . .. .. .. .. . .. .. ... ... ... . ... .. ... ... ... .... ... .. .... .... . . .... . . ... .... ..... ..... ...... ...... ....... ......... ....................................

............................... ........ ........ ..... ...... .... ...... ... ..... . . ..... . . .... .. .... . .... ... . .... .. .... . .... .. . .... . .... ... . .... . .... . ... .... ... ... .

konvex

konkav

Eine Stelle, an der ein Wechsel des Kr¨ ummungsverhaltens stattfindet, heißt Wendestelle. Auf eine weitere Diskussion dieses Sachverhaltes wird hier verzichtet. Es sei lediglich angemerkt, dass eine Funktion noch wesentlich detaillierter auf ihre Eigenschaften untersucht werden kann, als dies f¨ ur die hier betrachteten Optimierungsprobleme notwendig ist. Diese Untersuchung wird als Kurvendiskus-

B

398

12. Optimierung

sion bezeichnet und umfasst u.a. folgende Punkte: Definitions- und Wertebereich, Definitionsl¨ ucken, Achsenabschnitte/Nullstellen, Monotonieverhalten, Grenzwerte an den Definitionsl¨ ucken/im Unendlichen, lokale/globale Extrema, Kr¨ ummungsverhalten, Wendestellen etc. Zur Durchf¨ uhrung von Kurvendiskussionen sei auf Kamps et al. (2003) verwiesen.

12.4

12.4 Optimierung bei st¨ uckweise definierten Funktionen In Anwendungen werden oft Extrema von st¨ uckweise definierten Funktionen gesucht. In diesen F¨ allen werden die jeweiligen Bereiche getrennt mit den vorgestellten Methoden analysiert und die Ergebnisse der Teiluntersuchungen anschließend zusammengefasst.

B

Beispiel Die Funktion f sei definiert durch die Vorschrift

f (x) =

2 e−x , −x

2e

x 0 = lim f2 (x). Daraus folgt, dass f2 im x→∞ 62Inneren seiner Definitionsmenge keine lokalen Extrema hat. Am Rand x = 0 seines Definitionsbereichs hat f2 ein globales Maximum mit Wert 2. Da insgesamt 0 < f (x) ≤ 2 f¨ ur alle x ∈ R gilt, hat die zusammengesetzte Funktion f ein globales Maximum mit Wert 2 an der Stelle x = 0. Aus den Monotonieeigenschaften folgt, dass f an der Stelle x = 0 auch ein lokales Maximum hat.


399

lokales und globales Maximum .. 2 ..r6 ... ..

... ... ... ... ... .... .... .... .... .... ..... ..... ... . . . . . . . .... . . .... .... . . . . .... ... . . . .... ... . ..... . . ..... ... . . ...... . ... ...... . . . ....... ... . . ........ . .. . .......... . . . ............ ... . . . ................ . . ..... ........................ . . . . . . . . ........................................... ...... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............................................

f (x) 1

-

−2

−1

0

1

2

3

x B 12.5

12.5 Anwendungen in der Statistik Lineare Regression

Zur Lösung des 381Problems Q(a, b) =

n '

(yi − a − bxi )2 −→ min

a,b∈R

i=1

wird zunächst angenommen, dass ein gegebener Punkt (X, Y) der Lösungsgerade bekannt sei. Da f¨ ur jede Gerade f (x) = a + bx, die durch den Punkt (X, Y) verläuft, der Zusammenhang f (X) = Y ⇐⇒ a + bX = Y ⇐⇒ a = Y − bX gilt, ist die Variable a (in Abh¨ angigkeit von b) bekannt und kann in Q(a, b) eingesetzt werden (vgl. 221Substitutionsmethode). Daraus ergibt sich Q(a, b) = Q(Y−bX, b) =

n '

(yi −Y+bX−bxi )2 =

i=1

n '

(yi −Y−b[xi −X])2 = h(b).

i=1

Somit konnte die Variable a eliminiert werden, und das Problem hängt nur noch von der Variablen b ab. Die Funktion h wird nun bzgl. b minimiert. Die Berechnung der Ableitung nach b ergibt∗ ∗ Aus

der 339Summenregel resultiert f¨ ur eine Funktion h(x) =

h (x) =

n i=1

gi (x)

=

n i=1

gi (x).

n i=1

gi (x) die Ableitung

400

12. Optimierung

h (b) =

n '

[(yi − Y − b[xi − X])2 ] =

i=1

= −2 = −2

n '

−2[xi − X](yi − Y − b[xi − X])

i=1 n ' i=1 n '

(xi − X)[(yi − Y) − b(xi − X)] (xi − X)(yi − Y) + 2b

i=1

n ' (xi − X)2 . i=1

Dies liefert die Gleichung h (b) = 0 ⇐⇒ −2

n '

(xi − X)(yi − Y) + 2b

i=1

n '

(xi − X)2 = 0,

i=1

so dass unter der Voraussetzung

n

(xi − X)2 > 0 die Lösung

i=1 n

b=

i=1

(xi − X)(yi − Y) n

(xi − X)2

i=1

resultiert. Die zweite Ableitung von h ist gegeben durch h (b) = 2

(xi − X)2

(x − )(y −Y) (x − ) liegt ein lokales i=1

n

und somit stets positiv, d.h. an der Stelle b =

n

i=1

i

X

i

i

X 2

n

i=1

Minimum. Wegen lim h(b) = lim h(b) = ∞ ist es außerdem ein globales b→−∞

b→∞

Minimum. Daher resultiert die folgende Aussage. Lineare Regression durch den Punkt (X, Y) Die Regressionsgerade durch einen gegebenen Punkt (X, Y) ist bestimmt durch f (x) = a + bx mit n

a = Y − bX,

b =

i=1

(xi − X)(yi − Y) n

. (xi − X)2

i=1

Aus dieser Regel ergibt sich insbesondere die Lösung, falls von der Regressionsgeraden zusätzlich gefordert wird, dass sie durch den Ursprung geht, d.h. es gilt f (0) = 0:∗ ∗ Dies

bedeutet, dass der Punkt (X , Y) = (0, 0) auf der Geraden liegt.


401 n

f (x) = b0 x

mit

xi y i b0 = i=1 . n x2i i=1

Beispiel An eine Metallfeder werden nacheinander unterschiedliche Gewichte gehängt und die Auslenkung der Feder, also die Differenz zwischen der Länge der Feder mit angeh¨ angtem Gewicht und deren urspr¨ unglicher Länge, gemessen:

Gewicht xi (in g) Auslenkung yi (in cm)

40 1,9

80 3,6

120 5,7

160 7,1

200 9,8

240 10,9

Eine optische Einsch¨ atzung des Zusammenhangs zwischen Gewicht und Auslenkung der Feder mittels eines 61Streudiagramms der Daten f¨ uhrt zu der Vermutung, dass im betrachteten Wertebereich eine lineare Beziehung vorliegt. Da die Feder ohne angeh¨ angtes Gewicht keine Auslenkung aufweist, wird eine Regression durch den Ursprung durchgef¨ uhrt, wobei die Auslenkung der Feder (Beobachtungswerte y1 , . . . , y6 ) als abhängige Variable und das angehängte Gewicht (Beobachtungswerte x1 , . . . , x6 ) als erklärende Variable angesehen werden. Der vorgegebene Punkt (X, Y) ist somit (0, 0). We6 6 gen xi yi = 6 76 und x2i = 145 600 folgt f¨ ur den Koeffizienten b0 der i=1

i=1

6 760 13 Regressionsgeraden b0 = 145 600 = 280 ≈ 0,0464. Der Darstellung der Regressionsgeraden im Streudiagramm ist zu entnehmen, dass der lineare Modellansatz den Zusammenhang zwischen beiden Merkmalen sehr gut beschreibt.

B

B

402

12. Optimierung

Die Lösung des allgemeinen Problems ergibt sich aus der Beobachtung, dass n n der Punkt (x, y) mit x = n1 xi und y = n1 yi stets auf der Regressionsi=1

i=1

geraden liegt. Nachweis. Sei angenommen, dass der Punkt (x, y) nicht auf der Geraden f (x) = a + bx liegt, d.h. f (x) = y. F¨ ur die durch die Vorschrift g(x) = f (x) + y − f (x) = a + bx + y − a − bx = y + b(x − x) festgelegte Gerade gilt dann g(x) = y, d.h. (x, y) ist ein Punkt dieser Geraden. F¨ ur den Abstand dieser Geraden zu den Punkten (x1 , y1 ), . . . , (xn , yn ) ergibt sich durch geschicktes Zusammenfassen und Anwendung der zweiten binomischen Formel n

(yi − g(xi ))2 =

i=1

n

(yi − f (xi ) − y + f (x))2

i=1

=

n $

(yi − f (xi ))2 − 2(yi − f (xi ))(y − f (x)) + (y − f (x))2

i=1

=

n

n

i=1

i=1

(yi − f (xi ))2 − 2(y − f (x))

(yi − f (xi )) +

'

n

(y − f (x))2

i=1

(♣)

= n(y−f (x))

n

=

(yi − f (xi ))2 − 2n(y − f (x))2 + n(y − f (x))2

i=1

= Q(a, b) − n (y − f (x))2 .

>0

Somit gilt also stets die Ungleichung

n

(yi − g(xi ))2 < Q(a, b), d.h. die durch g

i=1

gegebene Gerade hat eine geringere Gesamtabweichung als die von f festgelegte Gerade. Zu einer Geraden, die nicht durch den Punkt (x, y) f¨ uhrt, gibt es also stets eine Gerade mit geringerer Abweichung, die durch ihn verl¨ auft. Somit folgt, dass die optimale L¨ osung eine Gerade sein muss, die den Punkt (x, y) enth¨ alt.∗ Es bleibt noch die Identit¨ at (♣)

n

(yi −f (xi )) = n(y −f (x)) zu zeigen. Diese ergibt

i=1

sich direkt aus der 113Linearit¨ at des Summenzeichens n i=1

(yi − f (xi )) =

n

n

i=1

i=1

(yi − a − bxi ) =

yi − an − b

= ny − n(a + bx) = n(y − f (x)).

n

xi

i=1

∗ Die durch g und f gegebenen Geraden haben die gleiche Steigung b, d.h. die bessere“ ” Gerade g wird durch eine Parallelverschiebung in den Punkt (x, y) erzielt.


403

Lineare Regression Seien (x1 , y1 ), . . . , (xn , yn ) ∈ R2 mit

n

(xi − x)2 > 0. Die Regressionsge-

i=1

rade f (x) = a + bx durch die Punkte (x1 , y1 ), . . . , (xn , yn ) ist bestimmt durch die Koeffizienten n

a = y − bx,

b =

i=1

(xi − x)(yi − y) n

. (xi − x)2

i=1

Beispiel In der Marketingabteilung eines Unternehmens soll das Budget f¨ ur eine bevorstehende Werbeaktion bestimmt werden. Um einen Anhaltspunkt u ¨ ber den zu erwartenden Nutzen der Aktion bei Aufwändung eines bestimmten Geldbetrags zu erhalten, werden die Kosten von bereits durchgef¨ uhrten Werbeaktionen und die zugeh¨ origen Ums¨ atze der beworbenen Produkte untersucht. In der folgenden Tabelle sind die Kosten (in 1 000e) der letzten sechs Aktionen den Ums¨ atzen (in Mio. e) der jeweils folgenden Monate gegen¨ ubergestellt.

Werbeaktion Kosten Umsatz

i xi yi

1 23 2,3

2 15 1,1

3 43 2,7

4 45 2,9

5 30 2,1

6 51 3,3

Auf der Basis dieser Daten wird eine lineare Regression durchgef¨ uhrt. Anhand dieser Daten ergeben sich die Werte x=

69 , 2

y=

12 , 5

6 ' i=1

(xi − x)(yi − y) =

101 , 2

6 ' i=1

(xi − x)2 =

1 975 . 2

Die Koeffizienten der zugeh¨ origen Regressionsgerade f(x) = a +bx sind daher 101 2 511 b = a = 3 950 ≈ 0,636. Die nachstehende Abbildung ist ei1 975 ≈ 0,0511 und ne grafische Veranschaulichung der Regressionsgerade im 61Streudiagramm.

B

404

12. Optimierung

B Maximum-Likelihood-Sch¨ atzung

Die Vorgehensweise zur Berechnung der Maximum-Likelihood-Schätzung wird exemplarisch an zwei Verteilungen, der 136Binomialverteilung und der 363Exponentialverteilung, ausgef¨ uhrt. Binomialverteilung

Der Parameter p der Binomialverteilung gibt die Wahrscheinlichkeit an, einen Treffer (d.h. eine Eins) bei einem Zufallsexperiment mit zwei Ausgängen zu erzielen (z.B. M¨ unzwurf). Dieser Parameter (d.h. die Trefferwahrscheinlichkeit) wird basierend auf einer Stichprobe x1 , . . . , xn von Beobachtungen mit Werten Null oder Eins gesch¨ atzt. Zur Vereinfachung wird angenommen, dass n die Ungleichung 0 < xi < n gilt, d.h. es gibt jeweils mindestens eine Null i=1

bzw. Eins in den Beobachtungen. In den F¨ allen

n

xi = 0 bzw.

i=1

n

xi = n

i=1

lautet die Likelihoodfunktion L(p) = (1 − p) bzw. L(p) = p . Diese m¨ ussen gesondert betrachtet werden (s. 407Aufgabe 12.3). n

n

Die Likelihoodfunktion der Binomialverteilung

x n

L(p) = p

i=1

i

x n

(1 − p)

n−

i=1

i

,

p ∈ [0, 1],

wird auf lokale Extrema untersucht. Differentiation nach p ergibt mit der n n Notation x = n1 xi bzw. nx = xi und der 339Produktregel i=1

i=1

. / L (p) = pnx (1 − p)n(1−x)


405

= nxpnx−1 (1 − p)n(1−x) − n(1 − x)pnx (1 − p)n(1−x)−1 = [nx(1 − p) − n(1 − x)p] pnx−1 (1 − p)n(1−x)−1 Da der Term pnx−1 (1 − p)n(1−x)−1 f¨ ur p ∈ (0, 1) stets positiv ist, liefert die ¨ Division der Gleichung L (p) = 0 durch diesen Term die Aquivalenz L (p) = 0 ⇐⇒ nx(1 − p) − n(1 − x)p = 0. Auflösen nach p ergibt die L¨ osung p = x. Es bleibt zu pr¨ ufen, ob diese Stelle tatsächlich ein lokales Maximum liefert. Dazu wird eine Monotoniebetrachtung durchgef¨ uhrt. Das Vorzeichen von L (p) wird wegen 0 ≤ p ≤ 1 offenbar nur durch den Faktor nx(1 − p) − n(1 − x)p bestimmt. Dieser ist eine lineare Funktion in p mit Nullstelle p = x. Da 0 < x < 1 gilt, ergibt sich durch Einsetzen der 278Pr¨ ufstellen p1 = x2 ∈ (0, x) und p2 = 1+x 2 ∈ (x,1):

x x x x nx 1 − − n(1 − x) = n [(2 − x) − (1 − x)] = n > 0 2 2 2 2

1+x 1+x 1−x 1−x nx 1 − − n(1 − x) =n [x − (1 + x)] = −n 0

−

1

L ( 1+x 2 ) 0 durch den Ausdruck 1 − e−λx gegeben ist, wobei der Parameter λ eine gewisse flexible Beschreibung dieser Wahrscheinlichkeit erm¨ oglicht. Der Wert λ1 entspricht der im Modell angenommenen mittleren Lebensdauer (vgl. 363Erwartungswert). Basierend auf einer Stichprobe x1 , . . . , xn > 0 der Lebensdauer von gleichartigen Objekten resultiert bei Annahme einer Exponentialverteilung die Likelihoodfunktion (f¨ ur den Parameter λ > 0)

n

−λ

L(λ) = λ e

x n

i=1

i

,

λ > 0,

die bzgl. λ maximiert wird. Zur Vereinfachung der Rechnung wird auch hier die log-Likelihoodfunktion l(λ) = ln(L(λ)) = n ln(λ) − λ

n ' i=1

verwendet. Differentiation nach λ ergibt

xi


407

1 ' n − xi = 0 ⇐⇒ λ = . n λ i=1 xi n

l (λ) = 0 ⇐⇒ n

i=1

Die zweite Ableitung l (λ) = − λn2 ist offenbar stets negativ, so dass l und n L jeweils an der Stelle λ = = x1 ein lokales Maximum haben. Wegen n i=1

xi

= lim L(λ) = lim L(λ) = 0 ist es auch ein globales Maximum, d.h. λ

λ→0+

λ→∞

1 x

ist

der Maximum-Likelihood-Sch¨ atzer f¨ ur λ.

12.6

12.6 Aufgaben Aufgabe 12.1 Bestimmen Sie f¨ ur die Funktionen f : D → R den (maximalen)

408L

Definitionsbereich sowie alle lokalen und globalen Extremalstellen. (a) f (x) = x3 + 2x2 − 1 (b) f (x) =

x2 2x−5

(c) f (x) =

x3 −2x2 −x+2 x−2

(d) f (x) = (x2 − 3)ex (e) f (x) = (x2 + 4x)e−2x

Aufgabe 12.2

Berechnen Sie mit der Methode der kleinsten Quadrate eine optimale Näherung der Daten (x1 , y1 ), . . . , (xn , yn ) mit x1 , . . . , xn > 0 durch die Regressionsfunktion f (x) = xb , wobei der Parameter b als unbekannt angenommen wird.

410L

Ermitteln Sie im Fall der Binomialverteilung den Maximumn n Likelihood-Schätzer f¨ ur p, falls xi = 0 oder xi = n gilt. Stellen Sie

411L

Aufgabe 12.3

i=1

i=1

dazu zunächst die Likelihoodfunktion in dieser speziellen Situation auf. Seien x1 , . . . , xn ∈ N0 Daten. Bei Annahme einer geometrischen Verteilung lautet die Likelihoodfunktion f¨ ur p ∈ [0, 1]: Aufgabe 12.4

x n

i

L(p) = pn (1 − p)i=1 . Berechnen Sie den Maximum-Likelihood-Sch¨ atzer f¨ ur p.

411L

408

412L

12. Optimierung

Seien x1 , . . . , xn > 0 Daten. Bei Annahme einer Normalverteilung lautet die Likelihoodfunktion f¨ ur µ ∈ R: Aufgabe 12.5

n

− 12 (xi −µ)2 1 L(µ) = √ e i=1 , ( 2π)n

wobei π = 3,1415 . . . die Kreiszahl π bezeichnet. Berechnen Sie den MaximumLikelihood-Schätzer f¨ ur µ.

12.7

12.7 L¨ osungen

407A

L¨ osung 12.1 (a) Der Definitionsbereich der Funktion ist D = R. F¨ ur das Verhalten der Kurve im Unendlichen ergibt sich aus der 325Tabelle Grenzwerte von Funktionen lim f (x) = +∞ und lim f (x) = −∞. Daraus folgt sofort, dass es keine x→+∞

x→−∞

globalen Extrema geben kann (f ist sowohl nach unten als auch nach oben unbeschr¨ ankt). Mittels der ersten Ableitung f (x) = 3x2 + 4x ergeben sich die Kandidaten f¨ ur Extremalstellen f (x) = (3x + 4)x = 0 ⇐⇒ x = 0 oder x = − 43 . Damit resultieren die Monotoniebereiche

− 43

...

+ da

f (−2)=4>0

x

0

−

f (−1)=−10

Somit liegt an beiden Stellen ein Vorzeichenwechsel der Ableitung vor. An der Stelle x = − 43 hat f ein lokales Maximum, w¨ ahrend die Funktion bei x = 0 ein lokales Minimum hat.

(b) Der Definitionsbereich ist gegeben durch D = R \ 52 . Das Verhalten der Funktion im Unendlichen ergibt sich aus der 325Tabelle Grenzwerte von Funktionen: lim f (x) = +∞, lim f (x) = −∞, so dass keine globalen x→+∞

x→−∞

Extrema existieren. Mittels der ersten Ableitung f (x) = lokale Extremalstellen: f (x) = 0

⇐⇒

2x2 −10x (2x−5)2

2x2 − 10x = 0

resultieren die Kandidaten f¨ ur

⇐⇒

x = 0 oder x = 5.

12.7 L¨ osungen

409

Dies ergibt folgende Monotoniebereiche, wobei zus¨ atzlich die Definitionsl¨ ucke 5 zu ber¨ u cksichtigen ist, da sich an dieser Stelle auch das Monotonieverhalten 2 andern kann: ¨

...

0

+ da

f (−1)= 12 >0 49

5 2

−

f (1)=− 8 0 49

f (3)=−120

Somit liegt bei x = 0 ein lokales Minimum. Aufgrund des Monotonieverhaltens und der Grenzwerte an der Definitionsl¨ ucke ist x = 0 auch globale Minimalstelle mit Funktionswert f (0) = −1. (d) Definitionsbereich der durch f (x) = (x2 − 3)ex definierten Funktion ist D = R. Das Verhalten im Unendlichen resultiert direkt aus 325Tabelle Grenzwerte von Funktionen: lim f (x) = +∞ und lim f (x) = 0. Somit ist f nach x→+∞

x→−∞

oben unbeschr¨ ankt und nach unten beschr¨ ankt. Folglich existiert kein globales Maximum.

410

12. Optimierung

Mittels der ersten Ableitung f (x) = (x2 +2x−3)ex resultieren die Kandidaten f¨ ur die Extremalstellen: f (x) = 0

(x2 + 2x − 3)ex = 0 ⇐⇒ x2 + 2x − 3 = 0.

⇐⇒

Mit Hilfe der 190pq-Formel resultieren die L¨ osungen x = −3 und x = 1. Die Monotoniebereiche sind also:

...

−3

+ da

1

−

f (−4)=5e−4 >0

f (0)=−30

An beiden Stellen liegt ein Vorzeichenwechsel der Ableitung vor, so dass bei x = −3 ein lokales Maximum und bei x = 1 ein lokales Minimum liegen. Wegen f (1) = −2e und lim f (x) = 0 ist letzteres auch ein globales Minimum. x→−∞

(e) Definitionsbereich von f (x) = (x2 + 4x)e−2x ist D = R. Die Grenzwerte im Unendlichen sind lim f (x) = 0 und lim f (x) = +∞. Daher existiert kein x→+∞

x→−∞

globales Maximum. Mittels der ersten Ableitung f (x) = (−2x2 − 6x + 4)e−2x resultiert die notwendige Bedingung f¨ ur Extremalstellen f (x) = 0

(−2x2 − 6x + 4)e−2x = 0 ⇐⇒ −2x2 − 6x + 4 = 0.

⇐⇒

Mit Hilfe einer 185quadratischen Erg¨ anzung resultieren die Nullstellen x = √ √ − 32 − 12 17 ≈ −3,56 und x = − 32 + 12 17 ≈ 0,56. Die Monotoniebereiche sind: − 32 −

... da

1 2

√

−

f (−4)=−4e8 0

-

√ 17

x

−

...

f (1)=−4e−2 0 und

ein lokales und globales

Minimum. Somit ist . b die kleinste Quadratsch¨ atzung f¨ ur b.

L¨ osung 12.3

In der Situation

n

xi = 0 resultiert die Likelihoodfunktion L(p) =

407A

i=1

(1 − p) , p ∈ [0, 1]. Wegen L (p) = −n(1 − p) < 0 f¨ ur p ∈ (0, 1) ist L auf dem Intervall [0, 1] eine streng monoton fallende Funktion, d.h. das Maximum wird am n

n−1

linken Intervallende (p = 0) angenommen. Wegen x =

1 n

n

i=1

xi = 0 ist p. = x = 0

Maximum-Likelihood-Sch¨ atzer f¨ ur p. Entsprechend ergibt sich f¨ ur

n

xi = n die auf [0, 1] streng monoton steigende

i=1

Likelihoodfunktion L(p) = pn , so dass p. = x =

n

1 n

xi = 1 Maximum-Likelihood-

i=1

Sch¨ atzer f¨ ur p ist. Insgesamt ist somit p. = x =

1 n

n

xi (unabh¨ angig von den Beobachtungen x1 , . . . , xn )

i=1

Maximum-Likelihood-Sch¨ atzer f¨ ur p.

L¨ osung 12.4

Mit der Bezeichnung x =

p ∈ [0, 1]: L(p) = p (1 − p) n

nx

1 n

n

xi lautet die Likelihoodfunktion f¨ ur

i=1

.

Sei zun¨ achst x > 0. Dann ist die log-Likelihoodfunktion mit Definitionsmenge (0, 1) gegeben durch l(p) = ln(L(p)) = n ln(p) + nx ln(1 − p). Differentiation nach p ergibt l (p) =

n nx − , p 1−p

l

(p) = −

n nx − . p2 (1 − p)2

¨ Somit resultiert aus der Ableitung die Aquivalenz

p(1 − p)

l (p) = 0 ·

n

⇐⇒ 1 − p − xp = 0 ⇐⇒ p =

1 . 1+x

407A

412

12. Optimierung

Da l

(p) < 0 f¨ ur alle p ∈ (0, 1) gilt, ist dies eine lokale Maximalstelle. Aus den 1 Grenzwerten lim l(p) = lim l(p) = −∞ folgt, dass p = 1+x auch globale Maxip→0+

p→1− 1 1+x

malstelle ist. Somit ist p. =


Ist x = 0, ergibt sich L(p) = pn , d.h. L ist eine monoton wachsende Funktion in 1 p. Somit ist p = 1 globale Maximalstelle in [0, 1] und p. = 1 = 1+0 MaximumLikelihood-Sch¨ atzer f¨ ur p. Insgesamt ist daher p. = 408A

L¨ osung 12.5

1 1+x


Die log-Likelihoodfunktion lautet √ 1 l(µ) = ln(L(µ)) = −n ln( 2π) − 2

n

(xi − µ)2 .

i=1

Differentiation nach µ ergibt l (µ) =

n

l

(µ) = −

(xi − µ),

i=1

n

1 = −n.

i=1

Daher folgt aus l (µ) = 0 die Beziehung n

(xi − µ) = 0 ⇐⇒

i=1

n

xi − nµ = 0 ⇐⇒ µ = x.

i=1

Wegen l

(µ) < 0 f¨ ur alle µ ∈ R ist l eine konkave Funktion und daher µ = x lokales Maximum. Wegen lim l(µ) = lim l(µ) = −∞ ist es auch globale Maximalstelle, µ→∞

µ→−∞

so dass µ . = x Maximum-Likelihood-Schätzer für µ ist.

Literaturverzeichnis

413

Literaturverzeichnis Adams, G., Kruse, H. und Sippel, D. (2002). Mathematik zum Studieneinstieg. Springer, Heidelberg. Arrenberg, J., Kiy, M. und Knobloch, R. (2003). Vorkurs in Mathematik. Oldenbourg, M¨ unchen, 2. Aufl. Becker, C. und Genschel, U. (2004). Schließende Statistik - Grundlegende Verfahren. Springer, Berlin. Bosch, K. (2002). Br¨ uckenkurs Mathematik. Oldenbourg, M¨ unchen, 11. Aufl. Burkschat, M., Cramer, E. und Kamps, U. (2004). Beschreibende Statistik Grundlegende Verfahren. Springer, Berlin. Clermont, S., Cramer, E., Jochems, B. und Kamps, U. (2001). Wirtschaftsmathematik - Aufgaben und L¨ osungen. Oldenbourg, M¨ unchen, 3. Aufl. Cramer, E., Cramer, K., Kamps, U. und Zuckschwerdt, C. (2004). Beschreibende Statistik – Interaktive Grafiken. Springer, Berlin. Fritzsche, K. (2003). Mathematik f¨ ur Einsteiger. Spektrum, Heidelberg, 3. Aufl. Heuser, H. (2003). Lehrbuch der Analysis Teil 1. Teubner, Stuttgart, 15. Aufl. Kamps, U., Cramer, E. und Oltmanns, H. (2003). Wirtschaftsmathematik – Einf¨ uhrendes Lehr- und Arbeitsbuch. Oldenbourg, M¨ unchen, 2. Aufl. Purkert, W. (2001). Br¨ uckenkurs Mathematik f¨ ur Wirtschaftswissenschaftler. Teubner, Stuttgart, 4. Aufl. Schäfer, W., Georgi, K. und Trippler, G. (2002). Mathematik-Vorkurs. Teubner, Stuttgart. Scharlau, W. (2001). Schulwissen Mathematik. Vieweg, Wiesbaden, 3. Aufl. Schitzorek, W. und Scholz, S. (2001). Starthilfe Mathematik. Teubner, Stuttgart.

Symbol- und Abk¨ urzungverzeichnis

415

Symbol- und Abk¨ urzungverzeichnis Das Symbol- und Abk¨ urzungverzeichnis enth¨ alt neben dem Symbol/der Abk¨ urzung eine kurze Erkl¨ arung sowie die Seite der ersten Verwendung bzw. ggf. der Definition. Kleine und große griechische Buchstaben α δ η κ ν π υ ψ

alpha delta eta kappa nu pi upsilon psi

A ∆ H K N Π Υ Ψ

Alpha Delta Eta Kappa Nu Pi Upsilon Psi

β ε,

ϑ λ ξ , ρ ϕ, φ ω

beta epsilon theta lambda xi rho phi omega

B E Θ Λ Ξ R Φ Ω

Beta Epsilon Theta Lambda Xi Rho Phi Omega

γ ζ ι µ o σ χ

gamma zeta iota mu omikron sigma chi

Γ Z I M O Σ X

Gamma Zeta Iota Mu Omikron Sigma Chi

Abk¨ urzungen und Symbole bzgl. bez¨ uglich

221

bzw. beziehungsweise

11

d.h. das heißt

11

303

∞

ai

307

i=1

11

evtl. eventuell ggf. gegebenenfalls

Reihe exp(t) Exponentialfunktion

156

22

½[a,∞) (t) Indikatorfunktion

157

93

sin(t), cos(at) Trigonometrische Funktionen

157

6

n

aj t j

155

j=0

i.e. id est (das ist)

125

u.¨ a. und ¨ ahnliches

41

u.a. unter anderem

10

z.B. zum Beispiel

n→∞

lim an , an −−−−→ a

n→∞

299

Grenzwert einer Folge

etc. et cetera (und so weiter)

i.Allg. im Allgemeinen

(an )n∈N , (an )n∈I Folgen

3

Polynom d → f (d) Abbildungsvorschrift

149

f , f (x0 ) Ableitung

336

f

, f (n) zweite/n-te Ableitung

341

f : D −→ W Funktion

149

π Kreiszahl

23

f ◦ g, f (g(t)) Verkettung der Funktionen f und g

164

e Eulersche Zahl

23

f −1 Umkehrfunktion

165

416


x→x

0 lim f (x) = a, f (x) −−−−→ a

321

x→x0

Grenzwert einer Funktion (reelle Zahl) x→x

0 f (x) −−−−→ +∞(−∞) 321 Grenzwert einer Funktion (Unendlich)

x→x +

lim

x→x0 +

f (x), f (x) −−−−0−→ a

324

Rechtsseitiger Grenzwert einer Funktion lim

x→x0 −

x→x0 −

f (x), f (x) −−−−−→ a

324

Linksseitiger Grenzwert einer Funktion lim f (x),

x→∞

lim f (x)

324

x→−∞

Grenzwert einer Funktion bei Ann¨ aherung an ±∞

∩ Schnitt

49

∪ Vereinigung

52

∅, {} Leere Menge

42

∈, ∈ (nicht) Element von

7

P(Ω) Potenzmenge von Ω

46

|A| M¨ achtigkeit von A

45

f (x)−f (x0 ) x−x0

335

| ‘mit der Eigenschaft’

336

Ω Grundmenge

43

f (x)−f (x0 ) x−x0 x→x0

A, Ac , Ω A, A Komplement von A

48

⊆ Teilmenge

44

, , ⊂ echte Teilmenge

44

Differenzenquotient lim

Differentialquotient D Diskriminante

f (t)dt Unbestimmtes Integral

b

189 355

f (t)dt

352

a

Bestimmtes Integral

b 356 −∞ f (t)dt Integral mit unbeschr¨ anktem Integrationsbereich b t=b F (t) |ba ,F (t) |t=b 354 t=a , F (t) , F (t) a

Integral und Stammfunktion

t=a

⇐⇒ ¨ Aquivalenzzeichen

9

=⇒ Folgerungspfeil

9

∨ logisches ‘oder’

9

∧ logisches ‘und’

9

n

,

i=1

∞

i=1

5

A\B Differenzmenge

55

A×B kartesisches Produkt

59

An kartesisches Produkt von A (n-fach)

61

×A n

i

61

i=1

kartesisches Produkt von A1 , . . . , An n k

133

Binomialkoeffizient a b

19

Bruch mit Z¨ ahler a und Nenner b log(a), lg(a), ln(a) Logarithmus von a (zur Basis 10, e)

89

logb (a) Logarithmus von a zur Basis b √ √ n a, a (n-te) Wurzel von a

89

i=1

Schnitt mehrerer Mengen n

{, } Mengenklammern

A1 × · · · × An ,

51

6

,

∞ i=1

,

i∈ I

Vereinigung mehrerer Mengen

54

85


an n-te Potenz von a n! Fakult¨ at

417

82 133

=, ≤ 175 Kennzeichnung einer falschen Aussage bei Gleichungen und Ungleichungen ∞ Unendlichsymbol

45

ggT(n, m) 77 gr¨ oßter gemeinsamer Teiler von n und m

|a| Betrag der Zahl a

14

x arithmetisches Mittel

110

N nat¨ urliche Zahlen

10

127

N0 nat¨ urliche Zahlen mit Null

11

Q rationale Zahlen

20

R reelle Zahlen

22

R2 , R3 , Rn kartesisches Produkt von R

61

Z ganze Zahlen

13

(−∞, ∞) Intervalle: reelle Zahlen

63

(−∞, a), (a, ∞), (−∞, a], [a, ∞) Intervalle: unbeschr¨ ankte

63

(a, b), (a, b], [a, b), [a, b] Intervalle: beschr¨ ankte

62

n

ai

i=1

Produktzeichen ai

128

i∈I

Produktzeichen n

ai

110

i=1

Summenzeichen m n

aij

124

i=1 j=1

Doppelsumme ai

112

i∈I

Summenzeichen ai• , a•j , a•• Summen in Kontingenztafeln

126

(a1 , . . . , an ) n-Tupel

61

D Definitionsmenge

149

=, , ≤, ≥ Relationszeichen

11

L L¨ osungsmenge

176

≈ ungef¨ ahr bzw. Rundung

23

W Wertebereich

149

418

Index

Index Abbildung, 149 Ableitung, 336 äußere, 340 höhere, 341 innere, 340 wichtiger Funktionen, 338 zweite, 341 Ableitungsregeln, 339 abrunden, 25 Absolutglied, 183, 251 Abszisse, 60 abzählbar unendlich, 45 y-Achsenabschnitt, 153 Addition, 11 Assoziativgesetz, 12 Kommutativgesetz, 12 von Br¨ uchen, 79 Additionsverfahren, 230 Aequivalenz ¨ Aquivalenz, 9 Argument, 149 arithmetische Summe, 118 arithmetisches Mittel, 110, 120 gewichtetes, 120 Assoziativgesetz Addition, 12 f¨ ur Mengen, 57 Multiplikation, 12 aufrunden, 25 Ausklammern, 15 Ausmultiplizieren, 15 Aussage, 8 Basis, 82 Beschränktheit einer Folge, 301 bestimmt divergent, 303 bestimmtes Integral, 355 Betaverteilung, 369 Betrag einer Zahl, 14

Betragsfunktion, 156 Betragsgleichung, 211 Betragsungleichung, 287 Bijektivität, 161 Bild, 149 Binomialkoeffizient, 133 Binomialverteilung, 136, 382 Zähldichte, 157 Binomische Formeln, 16 Binomischer Lehrsatz, 135 Bisektionsverfahren, 22, 90 Bruch, 19, 75 Addition, 79 Division, 81 Gleichheit, 75 Multiplikation, 80 Bruchgleichung, 195 Bruchrechnung, 75 Datenmatrix, 29 De Morgansche Regeln, 57 Definitionsbereich, 149, 176 Dezimaldarstellung, 20, 311 Dezimalzahl, 20 periodische, 21 Dichtefunktion, 362 Differentialquotient, 336 Differentialrechnung, 333 Differenz, 14 Differenzenquotient, 335 Differenzierbarkeit, 336 Differenzmenge, 55 disjunkt, 51 paarweise, 52 Disjunktion, 9 Diskriminante, 189 Distributivgesetz, 15 f¨ ur Mengen, 57 divergent, 303

Index

Division, 19 mit Rest, 21 Doppelsumme, 124 Einsetzungsverfahren, 226 Element, 4 Elementare Umformungen von Gleichungen, 177 von Ungleichungen, 274 EMILeA-stat, vi Ereignis, 43 Ergebnis, 43 Erlang-Verteilung, 369 Erwartungswert, 363 diskreter, 123 Poisson-Verteilung, 312 erweitern, 75 Eulersche Konstante, 23 Exponent, 82 Exponentialreihe, 311 Exponentialverteilung, 167, 363 Extremalstelle, 389 Extremum, 387, 389 Faktor, 12, 128 Faktorregel, 339, 356 Fakultät, 133 Familie von Mengen, 46 Folge, 299 alternierende, 303 beschränkte, 301 divergente, 303 geometrische, 306 konstante, 301 konvergente, 303 monotone, 301 Folgenglied, 299 Folgerung, 9 Funktion, 149 Ableitung, 338 Betrags-, 156

419

differenzierbare, 336 Exponential-, 156 ganzrationale, 155 gebrochen rationale, 155 Indikator-, 157 konstante, 154 lineare, 154 Logarithmus-, 156 Monom, 155 monotone, 163 Polynom-, 155 Potenz-, 156 quadratische, 155 Scheitelpunktform, 191 Quantil-, 167 st¨ uckweise definierte, 157 stetige, 329 trigonometrische, 157 Umkehr-, 165 unstetige, 329 Verkettung, 164 Funktionswert, 149 Gaußsche Glockenkurve, 366 geometrische Folge, 306 geometrische Reihe, 309 geometrische Summe, 118 geometrische Verteilung, 300, 407 geometrisches Mittel, 131 Gleichsetzungsverfahren, 228 Gleichungen, 175 aquivalente, 177 ¨ Betrags-, 211 Bruch-, 195 Exponential-, 208 grafische Lösung, 181 lineare, 181 Logarithmische, 204 mit Parametern, 219 Polynom-, 252 Potenz-, 252

420

Index

quadratische, 183, 218 Normalform, 184 Wurzel-, 197 Gleichungssystem, 223 Gleichverteilung, 122 Grad, 251 Gradreduktion, 253 Graf einer Folge, 301 einer Funktion, 153 Grenzwert einer Folge, 303 einer Funktion, 321 einer Reihe, 307 einseitiger, 324 von Funktionen (Tabelle), 325 größter gemeinsamer Teiler, 77 Grundmenge, 43 Grundrechenarten, 10

Integrationsgrenze, 352 integrierbar, 353 Intervalle, 62 inverses Element, 13

Häufigkeit, 121 absolute, 10 kumulierte, 121 relative, 18 harmonisches Mittel, 121 Hintereinanderausf¨ uhrung, 164 l’Hospital Regeln von, 326

kartesisches Koordinatensystem, 60 kartesisches Produkt, 59 Kehrwert, 81 Kettenregel, 340 kleinster Quadratschätzer, 382 Koeffizienten, 251 Kommutativgesetz Addition, 12 f¨ ur Mengen, 56 Multiplikation, 12 Komplement, 48 Konjunktion, 9 Konkavität, 397 Konstante, 23 Kontingenztafel, 126 Konvergenz von Folgen, 303 von Funktionen, 321 Konvexität, 397 Koordinatensystem, 60 Kreiszahl, 23, 88 k¨ urzen, 75 Kurvendiskussion, 398

Implikation, 9 Index, 27 Indexmenge, 27 Indexverschiebung, 116, 130, 310 Indikatorfunktion, 157 Injektivität, 161 Inneres eines Intervalls, 62 Integral bestimmtes, 355 unbestimmtes, 355 uneigentliches, 356 Integrand, 352

Laplace-Raum, 122 Laplace-Verteilung, 122 Laufindex, 110, 128 Leere Menge, 42 Leitkoeffizient, 155, 327 Limes, 303, 321 Linearfaktor, 194 L¨ osungsmenge einer Gleichung, 176 einer Ungleichung, 273 log-Normalverteilung, 366 Logarithmus, 89

Index

dekadischer, 89 nat¨ urlicher, 89 Logarithmusgesetze, 92 Mächtigkeit artesisches Produkt, 60 einer Menge, 45 Matrix, 27, 124 Maximum, 30 globales, 388 lokales, 389 Maximum-Likelihood-Methode, 404 Maximum-Likelihood-Sch¨ atzer, 382 Mehrfachindizierungen, 28 Menge, 4 Assoziativgesetz, 57 Differenz, 55 disjunkte, 51 Distributivgesetz, 57 Gleichheit, 41 Grund-, 43 kartesisches Produkt, 59 Kommutativgesetz, 56 Komplement, 48 leere, 42 Mächtigkeit, 45 Potenz-, 46 Regeln von De Morgan, 57 Schnitt-, 49 Teil-, 44 Vereinigungs-, 52 Mengeninklusion, 44 Mengenklammern, 5 Mengensystem, 45 Methode der kleinsten Quadrate, 382 Minimum, 30 globales, 388 lokales, 389 Moment, 363 momenterzeugende Funktion, 370

421

Monom, 155 Monotonie einer Folge, 301 einer Funktion, 163 Monotoniekriterium, 391 Monotonieverhalten, 383 M¨ unzwurf, 46, 122 Multiplikation, 12 Kommutativ- und Assoziativgesetz, 12 von Br¨ uchen, 80 Nachfolger, 299 Nachkommastellen, 20 Negation, 9 Nenner, 20 Normalform einer quadratischen Gleichung, 184 Normalverteilung, 365 Nullfolge, 303 Nullstellen, 153 Obersumme, 353 Ordinate, 60 Ordnungsrelation Rechenregeln, 24 Ordnungszeichen, 11 paarweise disjunkt, 52 Parabel, 191 Parameter, 159, 219, 341 Pareto-Verteilung, 369 Partialsumme, 307 Partielle Integration, 358 Pascalsches Dreieck, 134 Poisson-Verteilung, 300 Polynom, 155, 251 Polynomdivision, 259 Polynomgleichung, 252 Potenz, 82 Potenzgesetze, 89

422

Index

Potenzgleichungen, 252 Potenzmenge, 46 pq-Formel, 190 Pr¨ ufstelle, 215, 278 Primfaktor, 77 Primfaktorzerlegung, 77 Primzahl, 77 Probe, 179 Produkt, 12 Produktregel, 339 Produktzeichen, 127 Pr¨ ufstelle, 278 Quadranten, 60 quadratische Ergänzung, 186, 189 Quadratwurzel, 85 Quantilfunktion, 167 Quersumme, 78 Quotient, 19 Quotientenkriterium, 308 Quotientenregel, 339 Radikand, 85 Rand, 62 Randhäufigkeit, 127 Randwert, 62 Rechteckverteilung, 363 Regel von Pascal, 134 Regression durch den Ursprung, 400 durch einen gegebenen Punkt, 400 lineare, 381, 399 Reihe, 307 Exponential-, 311 geometrische, 309 Relation, 149 Relationszeichen, 11 Rundung, 25 Rundungsfehler, 25 Satz von Vieta, 193

Scheitelpunkt, 192 Scheitelpunktform, 191 Schnittmenge, 49 Schnittpunkt von Geraden, 223 Spaltensumme, 125 Spannweite, 30 Stammfunktion, 354 Standardabweichung diskrete, 123 empirische, 110 Standardnormalverteilung, 365 Steigungsdreieck, 334 stetig differenzierbar, 338 Stetigkeit, 329 einseitige, 330 Streudiagramm, 61, 401 Substitutionsmethode, 221, 255 Substitutionsregel, 358 Subtraktion, 14 Summanden, 11 Summationsgrenze, 110 Summationsindex, 110 Summe, 11 arithmetische, 118 Doppel-, 124 geometische, 118 Summenregel, 339, 356 Summenzeichen, 109 Surjektivität, 161 Tangente, 335 Tangentengleichung, 337 Teilbarkeit, 78 Teilmenge, 44 echte, 44 Teleskopprodukt, 131 Teleskopsumme, 117 Term, 15 Treppenfunktion, 159 n-Tupel, 61

Index

u ¨ berabzählbar unendlich, 45 Umkehrfunktion, 165 unbestimmtes Integral, 355 uneigentliches Integral, 356 unendlich, 45 Ungleichungen, 273 äquivalente, 273 Betrags-, 287 Bruch-, 283 lineare, 275 quadratische, 277 Unstetigkeitsstelle, 329 Untersumme, 353 Variable, 4 Varianz, 123, 367 empirische, 115 Vektor, 61 Venndiagramm, 41 Vereinigungsmenge, 52 Verkettung von Funktionen, 164 Verteilung Beta-, 369 Binomial-, 136, 404 diskrete, 121, 309 Erlang-, 369 Exponential-, 363 geometrische, 300 Gleich-, 122 Laplace-, 122 log-Normal-, 366 Normal-, 365 Pareto-, 369 Poisson-, 300 Rechteck-, 363 Verteilungsdichte, 362 Verteilungsfunktion, 157, 362 Vieta Satz von, 193

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Vorzeichen, 13 Vorzeichenregeln, 14, 15 Br¨ uche, 20 Wachstumsrate, 132 Wahrheitstafel, 9 Wahrheitswert, 8, 9 Wahrscheinlichkeit, 121 Wendestelle, 397 Wertebereich, 149 Wertetabelle, 150, 158 W¨ urfelwurf einfacher, 60, 122 zweifacher, 47, 60 Wurzel, 85 Wurzel ziehen, 84 Wurzelexponent, 85 Wurzelgesetze, 85 Z¨ ahldichte, 157 Z¨ ahler, 20 Zahlen ganze, 13 irrationale, 22 nat¨ urliche, 10 negative, 13 rationale, 20 reelle, 22 Zahlenstrahl, 11 Zeilensumme, 125 Zerlegung, 54 Ziffer arabische, 10 römische, 10 Zufallsexperiment, 43 Zufallsvariable, 152 Zuordnung, 149 Zwischenwertsatz, 332

Vorkurs Mathematik: Arbeitsbuch zum Studienbeginn in den Wirtschafts- und Sozialwissenschaften

Vorkurs Mathematik: Arbeitsbuch zum Studienbeginn in den Wirtschafts- und Sozialwissenschaften ([email protected] ) (German Edition)

Vorkurs Mathematik: Arbeitsbuch zum Studienbeginn in den Wirtschafts- und Sozialwissenschaften. 2. Auflage