L. Salvadori ( E d.)
Stability Problems Lectures given at a Summer School of the Centro Internazionale Matematico Estivo (C.I.M.E.), held in Bressanone (Bolzano), Italy, June 2-11, 1974
C.I.M.E. Foundation c/o Dipartimento di Matematica “U. Dini” Viale Morgagni n. 67/a 50134 Firenze Italy
[email protected] ISBN 978-3-642-10948-5 e-ISBN: 978-3-642-10949-2 DOI:10.1007/978-3-642-10949-2 Springer Heidelberg Dordrecht London New York
©Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2010 Reprint of the 1st ed. C.I.M.E., Ed. Cremonese, Roma 1974 With kind permission of C.I.M.E.
Printed on acid-free paper
Springer.com
CENTRO INTERNAZIONALE MATEMATICO ESTIVO (C.I.M.E.) 10 CicIo - Bressanone dal 2 all 111 giugno 1974
STABILITY PROBLEMS Coordinatore : Prof. L. SALVADORI
P. HABETS JACK K. HALE
Stabilite asymptotique pour des problemes de perturbations singulieres : Stability of linear systems with delays:
.N. ROUCHE EMILIO O. ROXIN
1
"
19
"
37
On a definition of total stability for continuous or discrete dynamical sy stems:
"
99
'I'heor-i e de la stabflite dans les ~ quations differentielles ordinaires :
"
111
Stability and differential games :
"
195
:;. LAKSHMIKANTHAM : Stability and asymptotic behaviour of solutions of differential equations in a Banach space: P. NEGRINI
pag.
CENTRO lNTERNAZIONALE MATEMATICO ESTIVO
(c.r, M. E.)
STABILITE ASYMPTOTIQUE POUR DES PROBLEMES DE PERTURBATIONS SINGULIERES
P . HABETS
Corso
tenuto
a
Bressanone
dal
2
a Ll t I t
giugno
1974
STABILITE ASYMPTOTIQUE POUR DES PROBLEMES DE PERTURBATIONS SINGULIERES. P. Habets
(+ )
1. INTRODUCTION. Considerons le probleme de la stabilite de l'origine pour une equation x
=
e:y ou e:
>0
f(t.x.y.e:)
(1 .1 )
g(t.x.y.e:)
est un petit parametre. Pour ce type d'equation il est usuel de
considerer le systeme reduit obtenu en posant f'orrneLlamerrt e: = 0 dans (1.1). x = f(t.x.y.O)
o
(1.2)
g(t.x.y.O)
et l'equation des couches limites
.c:!lds -
(1.3 )
g(t.x.y.O).
ou t et .x sont des parametres. L'idae fondamentale de ce travail consiste asymptotique uniforme de l'origine pour (1.1)
a
a
etablir la stabilite
partir de proprietes sim i-
laires relatives aux equations (1.2) et (1.3). Cette methode a ete exploitee pour les systemes lineaires par B.S. Razumikhin [10]. A.I. Klimushev [6]. puis par R.R. Wilde et P.V. Kokotovic [11]. Pour des systemes plus generaux. ces resultats ont ete completes par A.I. Klimushev et N.N. Krasovskii [7]. en utilisant l 'approximation l i neair e . et par F.C. Hoppensteadt [5]. en utilisant directement l es proprietes des solutions des equations (1 .2) et (1.3) . (+)
Charge de recherches du Fonds National de la Recherche Scientifique (Belg ique) •
- 4 -
P. Habets Comme nous Ie verrons ci-dessous, ces resultats font usage d'hypotheses assez fortes dont la necessite peut etre illustree par des contreexemples. Ainsi si les fonations f et g dependent de E, Z'origine solution
de (1.1) peut etre instable bien que les solutions aorrespondantes de et (1.3) soient asymptotiquement stables. Sojt Ie systeme
~.2)
.=- Y
; =-
X(X 2 -E 2)
Ey
dont la solution nulle est instable bien que les solutions nulles du systeme reduit
at de l'equation des couches limites
~ ds
= - Y
soient asymptotiquement stables. Ce type de resultat n'est pas propre aux perturbations singulieres mais plutot aux systemes dependant d'un parametre et motive l' introduction d'une definition de stabilite totale ou plus precisement de consistance [2]. Par ailleurs. il faut imposer des conditions de stabilite asymptotique sur Ie systeme reduit (1.2) et l'equation des couches limites (1.3). En effet l'origine solution de (1.1) peut etre ins-
table bien que l'origine du systeme reduit (1.2) soit stable et que la solution aorrespondante de (1.3) soit asymptotiquement stable. Soit Ie systeme complet
.
= Xl
Ey
-
Y
dont l'origine est instable bien que pour Ie
y
pr6b~reduit
= xl
l 'origine soit stable at qu'a l'equation des couches limites
~ ds corresponde la solution y
= Xl
= X
I
-
Y
qui est asymptotiquement stable.
Finalemen~
l'origine peut etre instable pour (1.1) aZors qu'eZle est asymptotiquement
- 5 -
P. Habets
stable pour (1.2) et que la solution correspondante de (1.3) est stable. II suffit par exemple de considerer Ie systeme .
x -x
3
e:Yl
Y2
e:Y2
- Yl
+ (y~+y~)x
,2 . NOTATIONS. HYPOTHESES GENERALES.
Considerons Ie systeme complet
ou x
E~n.
y E
~m.
x
= f(t.x.y)
e:y
g(t.x.y)
(2.1 )
t E ]O.oo[ et e: E ]O.E[. On y associe Ie systeme reduit x
= f(t.x.y)
o
g(t.x.y)
(2.2)
'et l'equation des couches limites ~ds - g (t.x.y)
(2.3)
ou s est la variable independante et ou t et x sont des parametres. Dans la suite. nous supposerons qu'il existe une fonction y
h(t.x) telle que
et pour tout y
* h(t.x)
g(t.x.h(t.x))
g(t.x.y)
0
* O.
Des lors Ie systeme reduit (2.2) peut s'ecrire
~ = f(t.x.h(t.x)) Finalement nous ferons l'hypothese f(t.O,O)
(2.4) 0 et g(t,O,O)
= 0 (ce qui
implique h(t,O) = 0). et nous supposerons les fonctions f,g et h assez regulieres pour qu'il existe une solution unique aux problemes de cooditions initiales relatifs aux equations (2.1), (2.3) et (2.4).
- 6 -
P.
Habets
Nous utiliserons dans ce qui suit des fonctions aux iliaires V(t .x,y) dont nous calculerons les derivees Ie long des solutions des e~uations
(2.1). (2.4) ou (2.3). Par exemple 1
D(2.l)V(t .x(tJ, yet)) = lim I[V(t+R., x(t+R.L y(t+R.)) - Vet. x t t l , yet))] R.....O+ ou x(t). yet ) est une solution du systeme (2.1). Introduisons encore les notations
BS
={x E IRn : IIxll
0)
que
: IIYC2.3)Cs:t,x,y) -hCt,x)1I ;;;'lIy-hCt,x)lIe- S's
et, si S est assez grand ,
O'autre part, on
de la
d~duit
stab11it~
exponentielle
F1nalement, s1 S est assez grand,
d Cd s
1
s +S
s
IIYC2.3) CUlt,x,y) - hCt,x)1I 2du)s=0 .
IIYC2.3) CS;t,x,y) - hCt,x)1I 2 - lIy-hCt,x)1I 2 C3.2)
fixons maintenant S assez grand de sorte que l es 1negalites (3.1) et (3.2) so ient sat1sfa1tes. On calcule ensuite aVCL ---at = Puisque z =
2
J(S o
aYC2.3) _ ~)d (y C2.3) (Sl t,x ,y) - h (t,x), -a-t-at s ,
a~i2.3) es t solution du probleme de Cauchy
s1 K est une constante
Ila~i2.3)11
.,;;; K
g~n~r1que,
on a l'estimation
J: 11~leK(S-(J)d(J .,;;; KCllxll
+
lI y- h Ct, x )1I leKs
- 10 -
P. Habets et
1 (l~~L I
0;;;
J(S a1ly-h(t,x)I/e -Bs O
I/y-h(t,x)I/)e Ksds
on calcule
m~me
(lVCL ax
-- =
2
= aY(2~)
Or z
+
KI/y-h(t,x)1/ Ill xll + I/y-h(t,x)I/).
0;;;
'De
K(I/xl/
ax-- est
IS 0
(lY(2.3) ~) (Y(2.3) (s;t,x,y) - h(t,x), ~ x - ax ds ox
solution du probl~me de Cauchy
o et,
lors, satisfait
d~s
a
la relation
On en deduit facilement comme ci -dessus
I
aVCLI
~
0;;;
Klly-h(t,x)I/ .
C.Q.F.O.
On peut perticulariser ces lemmes au cas ou l 'approximation lin8aire des
syst~mes
correspondants est uniformement asymptotiquement stable.
Introduisons tout d'abord une extension assez trivialed'un resultat classique de Liapounov [4 - Lemme 1.5 p295]. LEMME 3. Boit OCt) une matriae
d'o~re
m. aontinue. bornee ainsi que sa
derivee. SUpposons que Zes parties reeZZes des vaZeurs propres de OCt) soient inferieures dune oonetante - u < O. AZors iZ existe une matriae M(t) aontinue bornee ainsi que sa derivee. teZZe que M(t) OCt)
ou
+
OT(t) M(t) = - I m
I m est Za matriae unite d'ordre m. et iZ existe des aonstantes KI
et K2
> o.
independantes de
t
teZZes que
>0
- 11 -
P. Habets
La demonstration consiste M(t)
=
J(lO a
a verifier
que la fonction
T
eO(t) o eO(t)cr co
convient.
lEMME 4. Supposons la fonation g E g(t,x,y)
c 1 de la forme
= O(t)y
+
G(t,x,y),
ou ott) est une m2triae d'ordre m aatisfaisant aux hypotheses du lemme 3 et G(t,x,y) est tel que ClG cre.o.ci = 0, at = 0(11 (x,y)II),
ClG Clx =
0(1),
ClG ay- =
0(1) .
ou les symboles d'ordre 0 et 0 sont uniformes en t. A Lore it existe une fonation VCl t t , x , y) aatisfaiaant au.'C hypotheses du iheoreme 1. Demonstration. II existe p
>a
tel que, dans un voisinage Bp de l'origine, la fonction y = h(t,x) existe, est derivable et
Clh Clx(t,x)
Clh Clt(t,x)
(O(t)
+
ClG . -1 ClG ay-(t,X,h(t,x))) a;(t,x,h(t,xll
- (O(t)
+
~~(t,x,h(t,X)) )-1 (O(t)h(t,x)
= -
+
0(1
i.
~~(t,x,h(t,X))) = O(lIxll).
Par ailleurs, soit M(t) la matrice definie par Ie lemme 3. OAs lors, la demonstration s'achAve en montrant que, si pest assez petit, la fonction VCl
= (y-h(t,x))T M(tJ(y-h(t,x))
satisfait aux hypothAses du theoreme 1.
C.Q.F.D.
l'ensemble des lemmes 1, 2 et 4 permet de reformuler plus simplement Ie theorAme 1.
- 12 -
P. Habets THEOREME 2. Supposons que : (i) les fonotions f, g et h possedent des derivees partielles oontinues et bornees dans 0 ]O,oo[ x Bp I (ii) la solution x = 0 de (2.4) est exponentiellement stable; (Hi)
ou bien
I~~I, et la solution y ment en (t.x).
litl
de elaeee
c' VR VCL
]O,oo[ x
BB
+
IR, (t,x)
+
]O,oo[ x Bp + IR, (t,x,y)
°et des
fonctions
VR(t,x) +
VCL(t,x,y)
tel.lee que
e lll xll l ,;;;; VR(t,x) ,;;;; b Ill x] l , a E K, b E K D(2.~)VR(t,X) ,;;;; - cIll xll l , c E K J
(1) (11)
l
(iv)
aVRI ,;;;; L . ax ' a(lIy-h(t,x)lI) ,;;;; VCL(t,x.y) ,;;;; b(lIy-h(t,x)lI)
(v)
D(2.3)VC LCt,x,y) ,;;;; - c'(IIY-h(t,x)lIl. c ' E K
(iii)
I~I.
(vi) (vii)
' la~;LI
,;;;; L c ' (lIy-h(t,x)lI)
IIfCt,x,y) - f(t,x,h(t,x))11 ,;;;; b(lIy -h(t,x)lI)
(viii)
IIf(t,x,y)1I ,;;;; L
(ix)
IIh(t,x)1I ,;;;; b Illxll )
Alo~s pou~ tout E assez petit, unifonnement asymptotiquement stable.
Demonst~ation.
J
l'o~igine,
solution de (2.1), est
Definissons une fonction derivable k
[O,Lp] +ffi, de clas·
se K, telle que (a.)
k(r)';;;;
(8)
k' (r-) •
a(b-1 (2~ c(b-1
~:(r)
(r)) ))
E K.
Considerons ensuite la fonction
On verifie tout de suite qu'il existe des fonctions a et b de classe K telles que a(1I (x,y)lI) ,;;;; V(t,x,y) ,;;;; b(1I (x,y)II).
(5.1 )
- 16 -
P ', Habets
Par ai11eurs. on Ava1ue 1a dArivAe
a
+
droite DI2J)V en considArant 1es cas
suivants : 1 0 Si V
=
kIVR) ~ VCL ~ allly-hlt.x)II). e Ior-s par la)
2~ Clb-1 IV R)) ~bllly-hlt.x)lI) et
aVR
= k'IV R) [DI2.4)VR + -Vlflt.x.y) - flt.x.hlt.x)))]
,;;;; - k'IVR)[clb-1 IVR)) - L b Ill y-hf t s x Ill l ] ,;;;;- k'lk-1 IV)) clb-1 Ik- 1 IV)))!2. 2 0 Si kIVR) ,;;;; VCL
01
2.1
=V )VC
L
,;;;; D(2,3)VCL + aVCL + aVCL f Lt x y) e: at ax ., ,;;;; - 11
e:
- Ll1+L)) c'lb-1 IV)).
Ensuite on en dAduit aisAment qu 'i1 existe
cE
K tel que pour e: assez pe-
tit
ce qui joint
a
15.1) demontre 1a stabi1ite asymptotique uniforme de l'ori-
gine.
C.Q.F.D.
Remarque 1. On peut demontrer dans 1es memes hypotheses 1a stabi1ite equiasymptotique en uti1isant 1a fonction V = VR + VCL' 11 faut cependant uti1iser un theoreme d'attractivite plus e1abore [1 theoreme 11] et un 1emme de stabi1ite asymptotique partie11e en y [5]. 2. Bien que 1 'hypothese VI soit satisfaite dans des exemp1es particuliers. i1 semble qu'e11e restreigne fortement 1e champ des applications possibles. Le coro11aire suivant est re1atif au cas hlt.x) - O. CDRDLLAIRE 2. (F.C. Hoppensteadt [5]) Supposons que (i)
f
et g sont de alasse
c1
;
la solution x 0 de 12.4) est uniformement asymptotiquement stable; (iii) la solution y 0 de (2.3) est uniformement asymptotiquement stable dans le Bene suivant : (ii)
IYI2.3)ls;t o.xo.Yo)1 ';;;;KIlYpll
x ot s l ,
5>0. 0 "';;;;1. pEL
- 17 -
P. Habets
iZ eeiete des nombres II > 0, v > 1, P > 0, y > 0, 011 (1/11) + (1/v) et y = p + (A/ll) (1-p) et il existe une foncti on continue M(s) tels que (iv)
=
1
2Y ~ Y(2~)(S;to,Xo'Yo)ato(s;to'xo'Yo) -~ M(s) I Yo 1 ' y(2.4)
(S;to'XO'Yo)~Oi (s;to,xo,yo)
.;;; M(s) Iyol2Y,
pP, p2(p-l)/V ME II ; (v)
IIf(t,x,y) - f(t,x,O)1I .;;; b tllvll ) , b
(vi)
IIf(t,x,y)1I .;;; l, 011 l est constant.
E
K
Alors. pour tout £ assez petit. l'origine. solution de (2.1). est uniformement asymptotiquement stable. la demonstration de ce corollaire se base essentiellement sur un lemme de Massera [9] qui permet de construire une fonction VR(t,x) satisfaisant aux hypotheses (i) (ii) et (iii) du theoreme 3. Par ailleurs la fonction VCl(t,x,y)
=~
(i~1 Yi(2~)(x;t,x,y)2)Pds
satisfait aux hypotheses (iv), (v) et (vi) de ce meme theoreme. Des lors la demonstration s'acheve sans pe i ne. (On trouvera une demonstratio n de l'existence des fonctions VR et VCl dans [5]).
6. REFERENCES. [1 ] H.A. Antosiewicz, A survey of liapunov's second method, Contributions to the Theory of Nonlinear Oscillations i, Princeton University Pres; 1958, 141-166. [ 2] P. Habets, A Consistency Theory of Singular Perturbations of Differential Equations, SIAM J. Appl. Math. 26, (1974), 136-153.
[3] W. Hahn, Stability of Motion, Springer-Verlag, New York 1967. [ 4] J .K. Hale, Ordinary Differential Equations, Wiley-Interscience, New York 1969. [5] F.K. Hoppensteadt, Asymptotic Stability in Singular Perturbation Problems, J. Differential Equations 4, (1968), 350-358. [6] A.I. Kl i mus hchev , Stabilite asymptotique uniforme de systemes d'equations differentielles l i ne ai re s avec un petit parametre (en russel,
- 18 -
P.
Habets
Sib. Math. J . 5 (1964), 94-101. [ 7 ] A.I. Klimushchev and N.N. Krasovskii, Uniform Asymptotic Stability of Differential Equations with a Small Parameter in the Derivative Terms, PMM 25 (1961), 680-690, JAMM 25 (1961), 1011-1025. [ 8] F. W. Lanchester, Aerial Flight II : Aerodonetics. Constab l e , London 1908.
[ 9] J. L. Massera, Contribution to Stabi li ty Theory, Ann. Math. 64 (1956), 182-206. [10] 8.S. Razumikhin, Sur la stabilite de systemes avec un petit parametre (en russel. PMM 21 (1957). [11] R.R. Wilde and P.V. Kokotovic, Stability of Singularly Perturbed Sys-
tems and
Networ~with
(1972) 245-246.
Parasitics IEEE Tpans. Automatic ContpoZ AC-17
CEN T R O IN T ERNA ZIONAL E 1\1ATE1\1A TI CO ESTIV O (C. 1. 1\1. E . )
STABILITY OF J"INEAR SYSTEMS WITH DELAY S*
by
J a c k K. Ha l e Lef schet z Ce n t er for Dyn a mi ca l Sys t ems Divi s i o n o f Ap p l i ed Ma t hemat ic s Br o wn Univ e r s i ty Prov idence , R. I .
0 29 1 2
* Th i s research was suppo rte d in pa r t b y the Nati on al Sc ie nce Found ation under GP-28 93 1X2 and in part by the U. S . Army Rese arch Offic e u nde r DA-ARO-D-31-124 -7 3- G-1 30 . Cor so
tenuto
a
Br e ss a none
d al
:2
a l l 'l 1
g i ug n o
1974
STABILITY OF LI NEAR SYSTEMS WI TH DELAYS Jack K. Hale Brown University Providence, R. I. 02912 Let
X
be a Banach space and
A:
9 (A) C X
-+
X
be a
linear operator which is the infinitesimal generator of a strongly continuous semigroup of linear operators {T(t), t
O}.
~
In the first part of these lectures, our
main concern will be with the relationships between the spectrum
O CT e t» ~
of
is the spectrum of
T(t)
A.
and the set
e O(A)t
The class of g e n e r a t o r s
wher e A
o (A)
will
arise from difference equations and differential diff erence equations (or, more generally, functional differential equations) of both retarded and neutral t ype.
We will
discuss, in particular, the asymptotic properties of as determined by
T(t)
o (A) , using examples to illustrate some of
the difficulties involved. In the second part of the lectures, if on a
~ector
parameter
~ ,
d ~tail
A( ~)
d e pends
we discuss t he dependence of
certain asymptotic properties on discuss in some
A =
In particular, we
~ .
the dependence of asymptotic stability
on the delays in difference equations. 1.
Stability.
Before embarking on some of the details, we
recall a couple of known facts: I.
The asymptotic behavior of the solutions of
u
=
AU,
uCO)
= Uo
E X
(1)
- 22 -
J. K.
is determined by
o(T(t».
spectral radius of E >
T(t)
0, there is a
K
E
In fact, if and
p(T(t»
Hale
is the
e a, then, for any
p(T(l»
such that
o.
>
.t
(2)
This follows from the semigroup property and the fact that p(T(t» II.
n
-+
Let
operator
i ITn(t)' ,lin
lim
Po(B)
B
for any
t > O.
00
in
denote the point spectrum of a linear
X.
It is well known (see Hille and Phillips
[12]) that
PO(T(t» ~{O} ; ePO(A)t, If
X
= Rn,
then
=
o(T(t»
> O.
t
eO(A)t
and
(3)
= Po(A).
o(A)
It is also a well-known fact that, in general, o(T(t» no relation whatsoever to
o(A).
has
However, we are going to
see that for problems arising from functional differential equations, there is a close relationship. From property II above, we know that
(J
(T (t»
:::) exp Po (A) t.,
We now give an example of a difference equation to show that even when closed.
o(A)
=
Po(A), then
may not be
This example also introduces some of the notation
to fOllow. norm, D: C
Let -+
R,
r > 0, C
C([-r,O],R)
1> (0) -
D~
nJr(A ) = {"'
:;p
define
(exp O(A)t) U {a}
A:
fi)(A)
-~
'¥
C
by
1> (-r), CD c~
C •
D·
d~ de
c-
c,
with the uniform {~
C }
D'
E
C:
D¢
=
O}, (4)
- 23 -
J. K.
M (6) · = d~~6) ,
-r < 6 :: 0,
and consider the equation (1).
Hale (5)
Equation (1) may be written
explicitly as au (t) (8) a6
au(t) (6) at
-r :: 6 :: 0,
au(t) (0) a6
(6a)
> 0,
t
au (t) (-r) a6
together with the initial condition
(6b)
u(O) =
~
E
C.
(6a) implies that there is a continuous function +
R
such that
dx(t)/dt
-r::6:::0,
-r::
~(6),
[-r,oo)
6:: 0, ~
E
(7)
t~O.
Consequently, equation (6) is equivalent to > 0, x (6)
x:
is continuous and
u(t)(6)=x(t+6),
t
Equation
x(t) = x(t-r),
9(A).
Now let us consider the difference equation x(t)
x(t-r),
x (6)
~
t
a
>
(8)
(6) ,
Equation (8) obviously generates a strongly continuous semigroup of linear operators defined by
T(t)~(6)
TO(t): Co
+
CD' t
= x(t+6), -r < 6 < O.
infin itesimal generator of
{To(t)}
is
A.
0,
Furthermore, the A simple compu-
= exp(2kni/r),
tation shows that
o(A) = Po(A) = {A
k = 0,±1,±2, ••• }.
Thus, from property II above, Po(T(t» \{O}
exp[o(A)t]
=
{exp 2knit/r, k
rational this set is closed.
= If
E
C: A
~
0,±1,±2, • •. }. t/r
If
t/r
is
is irrational, this
- 24 -
J.
is not closed.
= exp
oCTet»~
K.
Hale
It is an easy computation to show that o(A)t
for all
t.
Let us now take another example to show that the last formula relating
to
oCTet»~
o(A)
holds for retarded
differential difference equations except for possibly the point
with
{o}.
Let
~(A)
{~
A
u = Au
b,c
E
be real numbers and define
C: ~ de
E
C
'
d~(O) de
again defined by (5).
= b~(O) +
c~(-r)}
(9)
As before, the equation
is equivalent to x(t)
= bx(t)
x (e )
~
+ cx(t-r), t > 0 (10)
-r < e < 0,
(e),
Equation (10) defines a strongly continuous sernigroup of linear operators
T(t): C
= x(t+e),
-r < e < 0,
T (t)
A
is
with
C, t
in (9).
t > r.
except possibly for the point accumulation point of
~
0, defined by
Furthermore, T (t)
Therefore,
{O}
oCTet»~
is zero.
oCTet»~
E
O(A)
is a
= Po(T(t»
and the only possible
easy computation (see Hale [6]) shows that
A
T(t)~(e)
and the infinitesimal generator of
~(A)
compact operator for
~
Furthermore, an o(A)
= Po(A)
and
if and only if
-Ar
A - a - be .
Consequently, property II implies
O.
(11)
- 25
-
Hale
J . K.
cr(T(t» \{O}
=
e
cr(A)t
(12)
.
These relations also imply the following stability results: (i)
If for each
and the
with
A
u = 0
Re A
A
=
satisfying (11) we have 0
Re A
~
0
are simple, then the solution
of (10) is stable.
(ii)
Re A < 0, then the solution
If
u
=
0
is uniformly
asymptotically stable and thus exponentially asymptotically stable. The remarks and conclusions above hold also for the more general system N
dx (t)
L Bkx(t-r k)
---errx
is an
n x n
E
+
f B(6)x(U6)d6 -r
r > r. > 0 , J. = .1 , 2 , .•. , N , eac h J constant matrix and B(6) is an n x n
Rn , r
were h
k=O
o
O
= 0,
continuous matrix. It is certainly tempting to conjecture that ' f o r all differential difference equations (even those of neutral type)
cr(T(t»
=
exp cr(A)t
except possibly for
{Ole
The
validity of this conjecture seems to be. very difficult to verify. Before stating some specific results that relate with
cr(A)
cr(T(t», let us make precise what we mean by a neutral
differential difference equation. Let
b,c,g
be given constants,
- 26 -
~(A) = {~ and define
E
A
C:
**
J. K.
C,
E
d~~O)
as in (9).
equation
u
Au, u (0) =
u (t) (.)
x (t-t=·)
- g
Hale
d~~~r) = b~(O) + c~(-r)}
As before, one sees that the ~
is equivalent to
~(A)
E
and
dx(t) _ g dx(t-r) dt dt
cx(t) + dx(t-r),
x (e) =
~
(e),
t
-r
o.
(14)
The initial-value problem for (14) now makes sense for
~ E
C
and one can show that (14) generates a strongly continuous semigroup before.
T(t), t
~
0, of linear operators defined as
Furthermore, the infinitesimal generator of
is the operator
A
above.
T(t)
The basic difference between thi$
semigroup and the one obtained from equation (10) is that it
is no longer compact for any As before, cr(A)
= Pcr(A)
t > Oif and
A
E
g f
cr(A)
o. if and only if (15)
Property II implies that since
T(t)
exp cr(A)t.
Pcr(T(t»
is not compact for any
assert the dependence of
cr(T(t»
However,
t > 0, we cannot easily on
cr(A).
The most
complete results on this question have been obtained in a recent paper of Henry [11).
We do not state the complete
result but only the part that deals with the spe9tra L
- 27 -
J . K.
radius
Hale
p (T (t) ) •
Theorem 1 (Henry [11]). exp at, t
p(T(t»
~
=
a
Let
sup{Re A: A s a(A)}.
Then
O.
This result is also valid for the following
(as well as
more general) equation: d
dt [x (t) where
r
O
L ~x (t-rk)]
= 0, r
~
L ~e
det[ (I -
~
B(e)
a(A)
that
+
k=l
matrices and spectrum
o
N
r
k
k=l
> 0, k > I, Ak,B
is a continuous
k)
( 16)
-r
of the generator
-Ar
f B(8)x(t+8)de
N
- L ~e
-Ark
k=O
are
k
n x n
A
n x n matrix.
is the set of
constant The A
such
o
-
f B(8)eAede]
(17)
= O.
-r
From Theorem 1 and property I, we know that the asymptotic behavior uf the solutions is determined by sense that for any
I IT(t) I I :
s > 0, there is a
k
a(A) > 0
s
in the
such that
ksexp(a+s)t, t ~ 0; that is, exponential bounds
are easily obtained from
a(A).
However, the behavior of the
solutions is sometimes very surprising, as the following examples show. Brumley [1] has considered the equation
X(t)
-
x(t.,.l)
+ 2x (t-l) + x (t-2)
He shows that all elements satisfy
Re A < O.
Theorem 2.
A
of
a(A)
=
O.
are simple and
However, he also proves the following
Every solution of (18) approaches zero as
Also, for any
~
(18)
> 0, there is a solution
t
+
00.
- 28 -
J. 1 0 ,
For any bounded set
the measure of non compactness of
A in E,
A, namely th e infimum
such that there exists a finit e covering of
diameter less than or equal to
d.
Let
Q
= [A:A
A by s et s of
i s a s ubs et of B(xo,b)J .
In the following lemma we shall collect s ome properties of are needed.
we
a(A)
that
-47 -
V . L a k s hm i k a nt h a m
Lemma 1.3 . (ii)
(i)
a(A+B)
(iv)
a(A)
(v)
a(A)
(vi)
A c B t he n
= 1>..la(A)
«( AA)
(iii)
If
where
a(A ) n
= [>"a :a
= [ x+y :x
e AJ;
e A and of
y e BJ;
A;
A-B = [x-y :x e A and
where
+
0,
y e BJ;
n
then
n=l
H e C[ [t ,to+aJ, E] o
if then
s up a(H(t» t oStst o+a sup Ilall.5 r a eA
if
(Lx)
A+B
>.. A
{An } is a decreasing family of subs ets of E such that
if
(viii)
a(B);
= a(A) where A den otes the closure = 0 i f and only i f A is compact;
la(A) - a(B)! ~ a(A-B)
(vii)
~
>.. e R where
for
a(A) + a(B)
~
a(A)
i s any equi cont i nuous family of f unct Lons
= a(H)
then
where
H(t)
= [ u(t) :u(-)
e HJ ;
a(A) ~ 2r.
For t he proofs of the s t atements in Lemma 1. 3 s ee [1'1 , 26 , 27 ,2 8J . A l ocal existen ce t heorem employing compact ne ss type conditions i s the following.
Her e again we us e Lyapunov like fun ction .
Theorem 1. 3 . ( i)
f
Assume that "
i s uni f ormly continuous on
IIf(t , x ) II s ~ :: (ii)
M on
V:[to,t o+aJ x n
a - continuous i n
A,
RO and
a > 0
is chosen such that
RO; +
R+ such that
V(t,A):: 0
V is continuous in
if and onl y if
t
an d
A i s compact an d fo r
!V(t,A) - V(t ,B)1 ~ La(A-B);
- 48 -
V. Lakshmikantham
(Hi)
D+V(t,A)
~(f)
(iv)
~ r;(t+h,~(f))
lim sup h-+O+
==
L
~
= [y:y = x+hf(t,x):
g e c[[to,to+a] x R+, R],
g(t,O)
==
~
- V(t,A)1
0
g(t,V(t,A»)
x e A]; and
u 50
is the unique
solution of the scalar differential equation (1.2). Then there exists a solution for the problem (l.t) on Using the notation of Lemma 1.2, define for
Proof. function
met)
= V(t,{xn(t)}).
Let
n
n
1.-
1.
t e (t. l' t.].
integer such that
t e (to,to+a]
[to,to+a]. t
e [to,to+a]
and let
Then for small h > 0,
i
the
be the
we have by
(H) ,
m(t+h) - met)
s
L aQXn(t+h) - xn(t) - hf(t,Xn(t»)U
+ V[t+h,{X (t ) + hf(t,x (t»)}) - V(t,{x (t)}) . n
n
n
Thus one gets (1.6)
n+m(t)
s
l L lim sup -h h-+O+
J{x (t+h) 12 n
- x (r ) - hf(t,x (t»)0 n n ~
By (iii) of Lemma 1.2, we see that +h
(1. 7)
Ilx (t+h) - x (t ) - hf(t,x (t») n n n
~
f II t +h
t
f (s ,x (s») - f (t,x (t ) ) lids n
,
II s II[ t [(x)+ (s ) n n
- f(t,x (t»)]ds II n
- 49 -
V.
By uniform continuity of
II f(t 1 ,x)
that
f,
given
f
- f( t 2 ,y) II
Lakshmikantham
there exists a
provided
such
IIx-y II < e. It-s I < M. 0
and
It 1-t 2 ' < 0
- x (s)1 I ~ Mlt-sl < 0 n
0 > 0
l·
f
is sufficiently small ,t+h
Jt II f (s ,x n (s»)
(1. 8)
- f (t ,x (t») n
Ilxn (t~1- 1)
Also, by (iv) of Lemma 1.2,
IIds
-
= Lnf'{hf x l rh
(x,yL
2E'~
s uch t hat
J( y)],
€
J( x) = [h
J being t he duality map from
E* : ( x ,h ) = II xl1
€
L aksh mikantha m
2
= I lh I1
2
Thi s is
] .
also the case whe n one r elaxes (2 . 2 ) to a more general condi t ion by means of Lyapunov like function .
I f we need only global exi s t ence we coul d
als o r emove the res tri ction of monotony on
g ( t ,u ) .
Thi s i s the moti -
vation f or the ne xt res ult . Theor em
Assume that
2 .2 ~
f e C[ R+ x E,E],
(i)
i s bounded on bounded sets and f or any
f
( t o'x o) € R+ x E the re exist s a l ocal so lut ion for the problem ( 2.1 ); (ii) V e C[ R+x E, R+ ] , V
Ilx ll
uniforml y for
->- cc
(2. 7)
D+V (t , x ) :: lim h->-O +
where
g e C[R+ x R+ , R] ;
-
r( t )
Then fo r every xt t
sol ution
X
€
o on
)
(2.8)
. Pr oof . Ix
rCt,to' u o)
Let
and
y et ) :: x Ct )
V(to 'x o)
the relation
[to , a:»
the problem (2 .1) has a
s "o:
t e Ix ' x
~
y
x
x (t )
define d on is a sol ut ion of ( 2.1 )
We de fine a partial or de r
implies that
We sh a ll firs t show that
ther e exis t s a sol ut i on
g (t ,V( t ,x ») ,
t ~ to.
E such t hat
V(t,x(t») ~ ret),
Ix
as
whi ch sat is f ies t he estimat e
with values in
on
> O.
o
E such that [ t o ,a:»
->-
and f or (t, x) e R+x E
V(t , x ~ J
x+hf (t ,x ») -
Vet ,x( t») ::; r(t),
= [ to'c x)
on Ix
U
o
for every T >
[ 0 , T]
~ I~(t+h,
(iii) t he max imal solut ion
an d i s pos i t ive if
x, V(t,x)
i s l ocally Li ps chit zian in
S
x ( t ) of (2.1) define d on
I
x
g(s,2r(oo») ds
° we have '=
h-l~({Xn (t)
+ hf (t ,xn (t ) ) +
h£n (h ) }~= l )
- C1 ({ Xn (t) }
s
h- l ~ ({Xn ( t )
+
hf(t 'Xn ( t ) ) }~= )
D
~= 1
-
C1 ({Xn (t ) }~= l )
+
C1 ({h£n(h) }~= l D ·
Now , using ( iv ))and (i i) o f Lemma 1. 3 we have h-1E(t+h) -
m(t~ ~ h-l~G[t ,a({Xn(t)}~=l)) =
G[t,C1({Xn(t)}~=l))
met)
lot,
C1 ({£n(h ) }~= l ) '
D+m ( t ) ~ G( t , m( t ) ) .
Hence , by app lyi ng Lemma 3 .2 we obtain The orem
+
hC1({ £n(h)}~=lD
+
s i n c e . D+m(t) ~ G(t ,m(t)) on [T , "') and
Ag ain, by
m (t '~ ) = 0, we have
is l e ss than or e qua l to the maximal solution of ti' = G(t,u),
u ( t"') =
o.
Cons ider
h - 1[ x ( t*+h)] n
and us ing Lemma 3 .2 th e n f or h > '
.
Thus. C1 ({x n (t *+h) }:= l ) h
° we h a ve
- 62 -
V . L ak shmikantham
G( t 1' , m( t 1, ») Hence
lim
t~t*
Remark .
= o.
G( t"' ,O)
mt t ) t-t"
o
so by ( i i i ) we have
o fur all
me t )
t e [t';oo) .
By Theorem 1 . 3 and t he r emar ks that f ollowed i t 'is easy to s ee
t hat the sys t em' Theore m 3 . 2.
(:2.. i ) (~
ha s a l ocal so l ution under the as sumpti ons of
Thus, we h av e s uff icient hypothes es t o assure l ocal exis-
tence and so the ass umption abo ut l ocal ex istence in Theorem 2.1 i s superf l uous when ever we assume the conditions of Theorem 3. 2. In 'Th eorem 3 .2 we as s umed the existen ce of m(t* ) = O. t
1 '
t* e [T,oo)
s uch that
Theorem 3.3 y i el ds suff i cient condit ions to ass ure s uch a
exis ts. Suppose t he hypothes es of Theorem 2. 1 and also
The orem 3 . 3 . ( i) (ii )
i s uni formly cont inuous on bounded s ubsets of [T,oo) x E
f
F e e[[T , oo) x R+ , R+]
and
t o the l eft f or each
(t, ~) e [ T,oo ) x R+
u ( t) (iii)
For
t here exists h < 0,
t
1
u ' = F(t,u ), u( t) = ~
e (T , t ]
and for any solution u( t
s uch that
A a bound ed s ubs et of
E,
has a solution
and
1
)
=
o.
t e [T,t]
we have
a ({x + hf( t . x ) Ix e A}) - a (A) ~ hF(t, a(A») . Then , t here exis t s a Pr oof .
Re call
i s con tinuous.
t* e [T ,oo)
s uch t hat
m(t "') = O.
me t) = a ({xn ( t ) }:=l ) an d from Lemma 3.1 we know met ) Now us ing Lemma 3 .2 and cons i de ri ng
h > 0
we have
= h- 1r:({x (t )}"'-l ) - a ({x (t ) - h f'( t ,« (t») -h E' (h ) }OO 1)1 . L n nn n n n= ~
- 63 -
V.
Lakshmikantham
Now by ( i i i ) of Lemma 1 . 3 we have h- I E (t ) -
m(t-h ~
z h- I
~((Xn( t) }:=I)
- a ({xn(t) - hf( t,xn(t»)}:=I) +
a ({-h€n (h ) }:= I)~ ·
Next us i ng ( i i i ), an d (ii) of Lemma 1. 3 we have
m(t-h~ ~
h- I G (t ) -
h-IGF(t ,a({Xn(t)}:=I)) + ha({€n(h)}: =I)]
= F(t,a({ xn(t) }:=I) ) + a ({€ n (h ) }: =I) · Thus,
+ l i m a ({€ (h)} OO_ I). h-+{) +
Si nce
lim a( {€ (h )} OO_ I) = 0
h-+{) +
n
n-
Fr om (3 . 6) we have
R(t ,t , 4r (oo »)
b~
u(t) = 4r( oo) .
n
R(t l) = 0
on
Theor em 3. 4 . sat isfied . Proof .
[T,t] .
f or any
For
R(t ,t , 4r (oo »)
on
{xn (t * ) }: =1
n
with
l et
u ' = F(t ,u ) ,
[T, t]
f ollows f rom
D_m( t) ~ F(t,m( t» ), we have
1\ t ,,: e [t l,t ]
s o by (L x)
t e ( T, oo)
However , by (i) there exis ts
and so there exi s t s
whi ch means
[T,oo)
met ) 5 4r( oo).
The existence of v
R(t ,t , 4r (oo »)
D_m(t ) ~ F(t, m(t» ).
t he maximal s olut ion t o t he l eft f or
By. The or-emjl L, s i nce
(ii).
= 0
\
n-
by Lemma 3.2 , t hen
Ilx ( t)1 !:o2r(oo) on
of Lemma 1 .3 it f ollows that
n
t
met) 5 l
e [ T, t ]
with
a ({ xn (t ' : ) }OO n=1)
i s r elatively compact .
Suppos e t he hypothes es of Theorems 2. 1 , 3. 2 , and 3.3 are Then ( 2.1) has asympt oti c equ i l ibr i um .
The s eq uence
property that
{xn( t)}: =1
{xn (t) }:=I
cons t ructed in Theorem 3. 1 ha s the
i s relati vel y compa ct for each
t e [t it, 00 )
- 64 -
V.
by Theorems ' 3. 2 and 3. 3.
Applying As col i 's
. . . se on a s ubsequenc e wh1ch converges p01ntw1
pa ct sub sets of
sets .
x(t )
Th e o~em
we know there
exists
[t'" , 00 )
and uniformly on com-
To s i mpli fy the notation we will us e {xn( t)} ~=l
[t'\oo).
t o denote the s ubsequence. and note
Lakshmikantham
Let
x( t) =
dim
xn (t)
for each
t e [t *,oo)
i s continuous by the uniform conver gence on compac t s ubt e [ t * ,oo)
For each
we have
x (t) = x (t*) + n
n
Si nce convergence is
unifo~
Itt'"f(s,xn (s »)
ds.
on compact subsets th en it foll ows that
x(t) = x(t*) + I:*f(S,X(S») ds. Thus, x (t ) is a s ol ut i on of t he sys t em x' = f(t ,x), x( t *) lim x (t ) = v . Let £ > a and then t-+«> OO S > t* s uch that f g (s , 2r (00 ») < £~.
It remains only t o show that by (3.2) there exists an integer If
t e [S, m) there exists
I lxnCf) - xC€) II
exists as a bounded operator defined on
lim R[h,A(t)]x
(5 .2)
t.
is a linear operator
We shall also assume that
existence of solutions of (5.1) in the future. for each
= Xo
E and
x.
h-+O
The relation (5.2) is satisfied, for example, if for each generates a strongly continuous semigroup . not exa9tly the resolvent of A(t).
A(t)
but
1
h
Note also that
t e R+, A(t) R[h,A(t)]
is in the resolvent set of
The following comparison theorem is basic in our discussion of
stability criteria. Theorem 5.1.
(1)
Assume that
V e C[R+ x E,R+]
and for
!V(t,x 1 )
where
L(t) ~
(2)
.;
(t,x
1),(t,x2
) e R+ x E,
V(t,x 2)!:: L(t)IIx;-~I,
° is continuous on
g e C[R+ x R+,R]
and for
(t,x) e R+ x E,
:: g(t ,V(t ,x»); (3)
the maximal solution
r(t,t o ,u O)
of the scalar differential
equation (5.3)
u' = g(t ,u),
u(t o) = u o
~
0,
is
- 77 -
V. Lakshmikantham
exists on
[to ,00).
Then
~
implies that
u,., v
(5 .4) Proof.
Let
x(t) = x(t,to'x o)
V(to'x o) 5 u O'
Define
be any solution of (5.1) such that
met) = V(t,xCt,to'x o ») '
For small h
>
0
mtt-eh) - met) 5 L(t+h) Ilx(t+h) - R[h,A(t)]x(t) - hf{t,x(t)} Ii
+ V(t+h,R[h,A(t)]x(t)+hf(t,x(t»)) - V(t,x(t»), by (1).
Since for every
xeD
we have
R[h,A(t)][I-hA(t)]x
= x,
it
follows that R[h,A(t)]x + hf(t,x) = x + h[A(t)x + f(t,x)] + h[R(t,A(t»)Att)x - A(t)x]. Thus, we have m(t+h) - met) 5 L(t+h)I Ix(t+h) - .x(t) - h[A(t)x(t) + f(t,x(t»)]!
I
+ L(t+h)hIIR[h,A(t)]A(t)x(t) - A(t)x(t)11 + V(t+h,R[h,A(t)]x(t) + hf(t,x(t»)) - V(t,x(t»). Hence by (5.1), (5.2) and the condition (2) we obtain
which by Theorem 1.1 yields the desired estimate (5.4). The special case Corollary 5.1 . (5 .5) Then (5.6)
Let
V(t,x) =
I Ixl!
g e C[R+ x R+,R]
-1
offers the following corollary. and for
(t,x) e R+ x E,
lim h [IIR[h,A(t)]x + hf(t,x)II-lixIIJ 5 g(t,llxll)·
h4
IIxo II ~ "o
implies
- 78 -
V.
where
r(t,to'u o)
Lakshmikantham
is the maximal solution of (5.3).
Having the comparison theorem 5.1 at our command, it is now easy to prove various stability criteria corresponding to the results in Euclidian spaces [ 9 J. Theorem 5.2.
We merely state a typical result.
In addition to the hypotheses (1) and (2) of Theorem 5.1,
assume that (i) (ii)
f(t,O) - 0, g(t,O)
=0
and V(t,O)
b(llxll):s;V(t,x),(t,x)eR+xE,
Then equiasymptotic stability of
u
=0
= 0; beK. of the scalar differential
equation (5.3) implies the equiasymptotic stability of the trivial solution of (5.1). It is easy to see from the Corollary 5.1 that the functions g(t,u)
=0
and
g(t,u)
= -au,
a
>
0
are admissible to yield the
uniform stability and exponential asymptotic stability of the trivial solution of (5.1). 6.
On Perturbing Lyapunov Functions.
As in the case of differential equations in Euclidian spaces, in proving uniform boundedness of a differential system by means of Lyapunov functions, it is sufficient to impose conditions in the complement of a compact set in
E,
whereas, in the case of equiboundedness, the proofs
demand that the assumptions hold everywhere in
E.
We wish to present here a new idea which permits us to discuss nonuniform properties of solutions of differential equations under weaker assumptions.
Our results will show that the equiboundedness can be
proved without assuming conditions everywhere in
E
(as in the case of
uniform boundedness), provided we appropriately perturb the Lyapunov
- 79 -
V. functions.
Lakshmikantham
Our results also imply that in those situations when the
Lyapunov function found does not satisfy all the desired conditions, it i s fruitful to perturb that Lyapunov function rather than discard it. One could discuss the corresponding situation relative to equistability. We consider
t~e
differential system
(6.1)
where aA,
f e C[R+ x E,E].
A c: E
t,") ;5
(6.2)
where (ii)
and
A resp ectively.
Assume that is compact,
Lipschitzian in "lll
- C. A,A
we denote by
the closure. the complement and the boundary of
Theorem 6.1.
(i)
A c: E.
For any set
bc
n AC]
= 8 0 (t o ,a l )
Here
a* ~ VI(t,x)
and
and
Let
d(x,A )
Si nce the equation (6 .5) is equibounded, given t here exists a 8 0
o.
= inf Ilx-y II. yeA = al(to ,a) = max(a o,a*)
where
Let
for s ome
wher e
for
ao
=
( t .x ) e R+ x
a1 > 0
and
dA.
t o e R+ ,
such that
(6.7)
pr ovi ded
u
o
< aI'
where
u(t,to'u o)
is any sol ution of ( 6 .5 ) .
Als o,
uniform boundedness of t he equation (6. 6) yi el ds t hat (6 .8)
provided
v
o
< a
2,
where
v(t,to'v o)
= v 1(t O' xO) and a 2 = a(a) + choose a 8 = S(t o ,a ) such t hat
U
o
80 ,
is any solution of
(6. 5 ).
We set
As b (u )
u
we can
+ m
with
+ m,
(6. 9)
We now cl a i m that satisfies
x(t ,to'x o) e S( 8) ,
exi s t s a solution so me
X e Sea ) o
x(t ,t o ' x o )
t * > t o ' Ilx( t~:, to, xo)11
t wo poss i bili ties to con sider:
(i)
implies that any s olution
for
t
~
to '
of (6.1) with
= 13 .
Si nce
x(t ,to 'x :
o
I f this is not t rue, there
X e Sea ) o
such t hat f or
S( A,P O) C= S(a ) ,
there ar e
- 81 -
V . Lakshmikantham
there exists a
( Li)
€
~ fbI'
t
~ to
s uch that
x (t ,to 'x o ) e aA and
x(t,to'x o )
t e [t,t* ].
In case (i) holds, we can find
tl > to
such that
x(tI,to,xo) e as(a), x(t*,to'x o) e as(B),
( 6 .10)
and
it is easy to obtain, from (6.4), using standard arguments, the differ.ent i al inequality
Consequently, by Theorem 1.1, we get
where
r 2(t,t I,vO)
r 2(t I,tl' vo) = "n:
is the maximal solution of (6.6)
such that
Thus,
(6.11)
Similarly, because of (6.2), we also have (6.12)
where
rI(t,to'u
fact that
uo
O)
is the maximal solution of (6.5).
= ~l(tO'xO)
to '
For
a > P,
we set
and hence the proof i s comp l ete .
Theorem 6.1 improves s ign i fic ant ly t he equiboundedness result.
Consider the s pe cial cas e
gi
= g2
The hypothesis (ii), togeth er with will not ha ve
D+V
2
the stated result . that by setting fied.
f or
arguing as
V
~
O.
:= 0
wh i ch Improves a similar result . is not enough because we
Als o , hypothesis (i) is not suffici ent to imply
We may be t empt ed to conclude , at a f irst gl ance ,
= VI
+ V2'
all the assumptions ne ces sary ar e sat i s-
This is not true becaus e the right estimate in ( 6 . 3), name ly
V(t,x) 5 a(1 Ixl
I),
does not hold.
As a r esult, the proof br eaks down.
Thus, our results demonstrate the advant age of perturbing Lyapuno v functions.
- 83 -
V . Lakshmikantham
7.
Stab i l i t y of delay equations. For any
T > 0 , let
C
= C[ [-T , 0] , E]
t i n uous f unct ions mapping the interval of an y el ement
max
We shal l denote by
C+
from [ -T, O]
R+:
x
into
E.
Define the norm
i nt o
Also let [ ~ec : I I ~ll o < p ].
x e c[ [to-T ,co) , E].
and
11~(s)ll.
the space of nonnegative cont i nuous functions
C(p) to e R+
[ - T , O]
e C by
~
- T:':S;::O
Let
deno te t he Ban ach s pace of con-
Then f or any
t e [to , co ) ,
we let
e C be defined by
t
x (s ) t Xl
Let
= x (t+s ) ,
-T
den ote the s t rong derivative of
f e C[R+ x C(p) ,E]
is a given function.
s x
s :': O. with r espe ct to
t
and
Then we sh al l say that t he
r elation of the form
is a delay different ial equation in a Banach space E . Xl T
a lways denotes the strong derivative of
= 0,
s pa ce
We note that i f
( 7. 1 ) reduces 't o an ordinary differential equation i n t he Banach
E.
Defin i t ion .
A fu nction
x(t o ' ~o)
with the given init ial functicn exists a number (i)
x e E.
In this paper ,
x( t o'~O)
and
A
>
0
is said t o be a solution of (7 .1) ~o
e C(p)
at
t
=t o
~
0
if there
such that
is defined and strongly continuous on
Xt(to ' ~O) e C(p)
fo r
to::: t ::: to + A;
[t o- T, to +A]
- 84 -
V. Lakshmikantham
(ii)
xt (to'~o) o
(iii)
= ~o;
the strong derivative for
t e [to,to+A)
x(to'~o)
and satisfies (8.1) for
We assume that the function existence of solutions.
of
X I (to '~O )
f
at
t
exists
[to,to+A).
is smooth enough to ensure global
For a proof of existence of solutions of (7 .1)
s ee [ 7 J. We now study t he behavior of the ASI set
~
= ° with
(7.1).
For this purpose, we need 'to extend the functions
w(t,x)
of Theorems 4.5 and 4.6.
respect to v(t,x) and
Let us define
Vt t ,x), (t,x) e R+ x S(a),
V(t,x)
=
[
v(O,x), (t,x) e [-T,O]
Similar extension holds for
W(t,x).
x
S(a).
We shall again call itV(t,x)
for
convenience . It is easy to see that I)
V e C[[-T,~)
x
V satisfies the following properties :
S(a),R+]
and
V is Lipschitzian in
x
with the
same Lipschitz constant. II)
V(t ,x)
is positive definite and satisfies V(t,x)~a(t,llxll), aeA
for
(t,X)e[-T,~)XS(a).
We now state our main results. x'
(7.2)
Theorem 7.1 .
= F(t,x),
Suppose that the ASI set
stable in variation .
(7.3)
Let us consider
Let
x(t O) x
xo'
= ° of
(7 .2) is uniformly
- 85 -
V.
where each
w(t ,u ,a ) e C[R+ x R+ x C+,R+]
and increasing i n
Lakshmikantham
u
and
0
for
Also ,
t,
w(t ,a (O ) ,a )
(7. 4 )
a (s )
whenever
~
w(t,a(O»
0 ( 0), -T ~ s ~ O.
~
Suppose further that the s et
u
=0
in ASI wit h r es pe ct to
(7.5)
u '
o
and it is uniformly stable. Then Proo f .
=0
<j>
is ASI s et of (7.1) and it is uniformly s table .
By theorem 4.5 th ere exist s a functi on
properties I ) and II) stated ear l ier .
V(t ,x )
ha ving the
Hence we have
D+ IV( t, <j>( O),<j» : lim sup -hI [V(t+h, <j>( O)+hf(t, <j») - V(t, <j> (O»)] 7. h-+{)+
Thi s together with the Lipschitzian character of property (4)
of
V, (7 . 3) an d
t heorem 4.5 yi el ds s ucces s i ve ly ,
~ M( a)w(t,II<j>(O)II,II<j>II)·
Si nce
w(t,u,a)
is increasing in
u
and
a
for each
t
and
f~om
property ( 2) of theorem 4.5 there results (7 .7)
= V(t+s,<j>(s»). Setting a(s) = V(t +s ,<j> (s »)
wher e
V t
becaus e of (7.4),
so that
a(O)
V(t ,<j> (O»)
we infer
- 86 -
V. (7.8)
w(t,V(t,
t o'
m(t ) ~ o
Then
"o impli es
and t he vector i a l i nequali t ies imply that th e
s ame inequal ities ho ld between t he i r components . Let us now co nsider the di f fe r.ential equat i on (8 . L )
wher e
x' f € C[R+
f unct ion f or
x·
E, EJ .
(t ,x)
€
= f( t, x), Le t
x (t o )
V e C[R+
x
= xo '
E , R~J.
We de fin e t h e vector
R+ x E, lim s up h-+O +
~
fv(t+h,
L
x+hf ( t , x) ) - Vet , x)l .
~
The fol19wing comparison theor em plays an i mpor t ant pa r t whenever we use vector Lyapunov f unctions . Theorem 8.2 . in x
Let
an d fo r (t.x)
V € C[ R+ x E, R~J , €
R+ x E.
V( t ,x )
i s l oca lly Lips chit z i a n
- 92 -
V.
Lakshmikantham
( 8. 3) and
wher e u
f or ea ch
ing on of
t.
[to'oo ) .
to'
Let
r( t, to-'u o)
be the maximal solution of (8.1) exis t -
Then as far as
we have, provided
is quasimonotone nondecreas ing in
g(t,u)
x(t,to'x o)
of (8.2) exists to the right
V(t o ' x o ) ~ u O'
(8 .4) Pr oof .
Let
[to,to+a)
x(t)
such that
= V(t ,x( t ») .
met)
= x(t,to'x o)
be any solution of (8.2) existing on
V(to'x o) ~ u
Then,
using the hypothesis that
Lip s chitzian we obtain, for small m(t+h) - mft
Define the vect or function
O'
)
h > 0,
V( t, x)
is locally
the inequality
~ Kllx(t+h) - x Ct) - hf(t,x(t»)
II
+ V(t +h , xf t ) + hf(t,x(t»)) - V(t,x(t»), wher e
K i s the local Lipschitz cons tant.
This t ogether with ( 8.2) and
(8 .3) leads t Q th e vectorial inequality
Also , m(to)
~
u ' O
Hence by Theorem 8. 1 , we obtain the stated estimate
(8 . 4 ) and the proof i s compl ete. We shall next consider a t ypica l r esult that can be proved using Theorem 8 .2. s (p )
= [x
To do this, l et
e E: I Ixl
I
of ( 8 . 2 ) 0
and
is s a i d to be con-
to e R+,
the re exists
- 93 -
V.
Lak s hmik ant h a m
Cor res pondi ng to t h i s defi ni t i on , we need appropriate ki nd of con di t i ona l s t ab i l i t y r elat ive t o the compar ison s ys t em ( 8.1 ) . g (e , O)
=0
and that
De f i ni t i on .
u
=0
is t he un i que s olution of ( 8 .1 ).
The t r i vial solution
u - 0
di t i ona l l y equ i -stabl e i f , for ea ch
is s a id to be con-
and t o e R+, there ex i s ts N and I u . < 0 implies 1. 0 i =l
N
I
of (8 . 1 )
c > 0
such that Z o e H+
0 = oCt o ,e::) > 0
3-
Suppos e that
t ~ t o·
u;( t ,t o ' u o) < e:: , i= .1. -
N
I u . f or the comparis on i =l 1. s ys t em ( 8.1 ) one co uld us e other conve n ient measures , l i ke Q( u) wher e Instead of ut ilizing the s imple measu re
N
+
Q € C[R+,R J
and
is nonde creasing in
~~u )
u.
Appropriate modifi ca-
t i ons ar e needed i n t he cor r espondi ng r es ul t s in that cas e . Theorem 8.3 . (1 )
N g e C[R+ x R RN J +' in
( ii )
As s ume that
N V e C[ R+ x S(p) ,R+J , N
I
V. (t . x ) 1.
i= l
N
I
i=l ( ii i )
+ 0
Vet .x ) e H+ i ff x
Then , i f
u, = 0
V(t , x)
i s l oca l l y Lips ch it zi an in
x,
i s pos i t ive de fini te, an d
V.(t ,x) 1.
is quasi- monot one nondecr eas ing
t e R+',
f or each
u
ancl"" g( t ,u)
S
as
I lx l l
Eo
an d fo r
+ 0
t e R+',
for each (t, x ) e R+
x
5 (11) ,
of (8 . 1) i s condit i ona l ly eq ui -stable , the
s ol ut i on of ( C.2 ) i s condit i onall y equ i -st able .
t
r -Lvi.a L
- 94 -
V.
Lakshmikantham
The proof may be constructed .analogous to t he proof in fin i t e di mensional cas e . (The orem 4 .4 .1 in [ 9 J). Many multivariable s ys tems are composed of relativel y s i mple s ubs ys tems or a ggregates .
By groupi ng variables of a large e con omy , for
examp l e , into a relatively s ma l l number of subeconomies, the economy is decomposed into interconnected s ubsys t ems.
Stability of the entire
economy may be predicted by test ing the l ow- or der aggregated compar i s on system . Let
E i,
i
= 1,2,
• . . ,N,
be Banach space s .
Consider the
system of differentia l equations
( 8. 5) where E
= EI
x!
J.
= f.J. (t , x J.. ) ,
f e C[R+ x E. ,E . J . x E
2
x
( 8. 6)
x EN x~
J.
J.
,
1,2, J.
N,
where
and consider the interconnected s ystem
f.(t ,x.) + F.(t,x) , J.
J.
J.
, x N) ·
x = ( x l,x 2 '
Here we have let
i
O
F . e C[ R+ x E,E . J
Let
J.
J.
= x J.. ,
xi (t O )
Xi (to)
= x.J.O
Obs e r vi ng that
E is also a
Bana ch space with the induced linear oper a t i ons and the norm ' I lx lll + . •
+ I lxNI I ,
I Ix l I
we can write (8 .6) in the form (8.2) .
= On
the basis of the aggregated stability properties of the subsystems (8 .5) , Lyapunov func tions
V. (t , x . ), J.
J.
i
= 1,2,
• • • , N,
may be constructed .
Then, making use of this constructed vector Lyapun ov function and t he na ture of the interactions between the s ubsys t ems , it is poss ible to predi et the stabi lity properties of the interconnected system (8 .6) by the method '~f vector Lyapunov functions.
\
This indi cates the effectiveness of
this method where mUltivariability and other structural properties of t he interconnected systems-make t he construction of a single Lyapunov
- 95 -
V.
L a k s hm i k ant h a m
fu nct ion di fficult for these systems . 9.
Notes and comments . Theorem 1. 2 is bas ed on the work of R. H. Martin [17,18a ] whereas
Theo r em 1. 3 i s due to Eisen fe l d and Lakshmikan tham [S] . res ults see
~>- :lB]. [ 2, 3,4,1 2 ,1 6, 2 0,~ .
Lakshmikantham [7].
For allied
Theorem 2.1 i s taken from Ladas and
For Theor em 2 . 2 s ee Eisen f eld and Laksh mikantham [Sl
For ot he r globa l ex i stence re sults s ee Vidossich [2S ] and Martin [ 17] . The work of Section 3 on asymptot i c eq ui librium , see Mi tchel l and Mitche l l [ 22] .
See al so [ 7].
Theorems 4 .1 through 4.4 are taken from
Ladas , Ladde and Lakshmikantham [ 8] wh i le the r est of the Sect i on 4 i s based on the work of Leel a [11].
The cont ents of Sect i on S are taken
from Ladas and Lakshmi kantham [7] while the r esults of Sect i on 6 i s ada pt ed from the work of Leela and Laks hmikant ham [9].
See also [ 7] .
The work containe d in Section 7 i s taken from Kamala and Laks hmikan t ham [ 6].
See also [7] .
The method of ve ctor Lyap unov functions is ada pt ed
f r om Lee la and Lakshmi kantham [ 9] and Matrosov [21] . For fu r t her r es ult s in t his di rection , Bernfeld, et al . [1], Cellin a [ 3 , 4], Bownds and Diaz [ 2] , Li [12] , Lovelady [1 3-16], Pao [2 3], Pao and Vogt [ 24] , Mamedov [1 9] .
For other references see Vidos s i ch
[lS], Matrosov [21], Li [12] , and Mamedov [1 9 ] .
- 96 -
V . Lakshmikantham
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MaL~.
Astronom.
CENTRO INTERNAZIO NALE MATEMATICO ESTIVO (C.1. M. E . )
ON A DEFINITION OF TOTAL STABILI TY FOR CONTI NUO US O R DISC R E TE DY NAMICAL SYST EMS
P . NEGRI NI
Corso
tenuto
a
Bressanone
dal
2
all ' l l
giugno
1974
"ON A DEFINITION OF TOTAL STABILITY FOR CONTINUOUS OR DISCRETE DYNAMICAL SYSTEMS" P. Negrini 1 - The subject of the present lecture is part of a work [ 1] devoted to
some questions related to the problem of turbulence as proposed by the Landau model
[2].
are dealt with. Let
We give a very brief survey of the problems which
r- be a real parameter, F r: a vector field family
d~
fined on a suitable vectorial space E and consider the corresponding evg lution equation dx = F (x) dt e-
(1)
.-
. va 1ue Let the origin of E b e a " vague attractor ,,(0) f or a cer-tain
0
f
r- '
f-; moreover let it be unstable , under particular assumptions on the spectrum of Fr-(x) , forf >f: then can be shown I3] that a right interval, say
U. of
~
exists, such that, for each
f
E. U,
an attractive c ycle
t:' arises
(i. e. an attractive periodic solution of (1)).
The qualitative behaviour is shown in these figures
/
~/ ·0
/\
/
Hopf bifurcation fig . 1
fig. 2
(0) "Vague attractivity" , as defined in [3], is a special kind of a syrnpto tic stability, in which the origin has an assigned law of attraction .
- 10 2 -
Co ns ide r no w t h e d iffe o m o rp h i s m
P . Ne gr ini
mr
i ndu c e d by t he t ra n sv e r sa l m ap -
ping int o t he hyperpla ne P (we r estri c t t o t he t raje cto r ie s in a rh o od of cle
t' :t h e i r int erse c tion s wit h the p l ane
nei gh b o~
P t r a n s v e r s a l to t h e c y -
t
a s shown in fig. 3 )
'fig. 3 If t he fi x ed p oint of
attra c to r
,,
for
f
ill t'" (the
interse c tion be tween
- I = ~ and i s u n s table for
-/
f > If
t' a nd
P ) is a "vague
0 / a no t he r c ycle L- a r i s e s,
c o nta i ned in P, att ractive wit h r espe c t t o t he d ynamic al s ys tem induced by
ill t:
\ . »
.' ./
··7
. ().---.
fi g . 4 We r e c a ll t hat these r e s u lt s de pend on a par t i c ula r hy pot hesis (the "va gue" a tt ra ct i v ity ) and ha ve be e n a c h ieve d throu gh the inspection of t h e ~ ne a r p ar t of F~ and
illr-0
At t hi s po i nt it seems interes ting no t to confi -
- 10 3 -
P. Negrini ne ou r se lv e s to t h e c ase in which i t is possible to handle the linear part of the v ect o r fields (or of the . diffeomorphisms). Let a family of d ynamical s yst ems
11t'" be given, continuous (eo go t he s ystem induced by the
a~
t onornou s differential equation (1)) or discrete (eo g. t he s ystem induced
by t h e diffeomorphism ~f): assume o n ly that a cert ain compact set Mp. C E (e g . 0 in fig 1 or 0 ' in fig. 3) be as ymptoti c ally stable with re0
0
spect t o the d ynamical s yste m
1LFo
What happens if the set
completely unstable with respect to ITt'" that a new compact set MI:'"
when
~:;>of-?
M~
becomes
It ca n be shown
"near" to th e o ld one , a r i s e s a s yrnpt ot ic a I-
ly stable with respect to 7rt"0 These results are exposed in
tIl
in this
work a central role is played by a suitable concept of t ota l s t ability a nd a related theorem which a r e actually the m atter of the present lecture .
2 - We want here to recall some definitions and concepts a l r eady used in the preceding sketch. Let I be the set lR of the real numbers or the set Z of the integers. Let E be a locally compact metric space a nd the distance in E; if Me E , for each
C >0 we set :
f
S(M,c) = { XE.E:
e(X,M)<e} and S[M,£] =S(M ,£). Consider the set ~ of the continuous m appings from I)(.E into E , such that for every 1l€ i)
f
the following conditions hold :
1r(O ,x)=x
The triplet {I , E , Ii-
J i s t h e n a dynamical s ystem on
E , continuous or di
- 104
-
P. Negrini
sc re te , a c cor din g to wethe r 1= IR or 1 = Z . Let M be a compa ct set of E; fi x
ti in ~, t h e n t h e s~t A rr (M) = { xe E : e (1t( t , x ), M ) ~
0 a s'
t ~ +oo}
i s said to be the region of att ra ction o f M w ith respect t o rt , Let us now r ecall some well known de finitions. 2. 1.
Definitions. T he set M is said to be
2.1.1
1t-attractor if .A.n-(M) is a neighbourhood of M;
2.1.2 1t'-stable if (l(£>0)(3 ~€]O,E[)(X~ S(M ,S )) :1t(t , x)€ S(M , £.) VtE 1+; 2 .1.3 1t-asymptotically stable if is a '7L-attractor a nd 7t-stable .
3 - We now introduce a concept of t ot a l stabilit y for d ynamical s ystems
('VE,>O)(lft€t /
3 .1. 1 "1T-totally stable if ( p~,1: P (p(t, xJ ,1t'(t , x) )
5.1.8
x, S(M,az.)
~ 1t(t,x)cS(M'£1)
5.1. 9
XfS(M,t.J) ~
~t eI+. such that :
'7t(t,x)€-S(M,E)
7I:(t,x)ES(M,e,l)
that :
JitEI ,
+
~teI+ +
-\ft~I
We note that by 5. 1. 3 b -l(a(cz.)) < Ez.. At this point we can define two positive numbers ~, (0)
See, e. g .
dol.
in order to satisy the condition of the 7t"-total sta
[8], Chapt v , Th. 2. 2 .
- 108 -
P . Negrin i b ility . In fa ct le t
cl:,E. ]o,e3 [ s u ch
5. 1. 10
x£S[M ,clJ
,
tYL
t he n choose
t ha t :
lJt€.t ;
~1t(t,x)€:S(M,t3) '
c(d~)
=-4-' and let L be the correspondin g num ber in 5. 1. 5 .
We pu t :
r0 a nd 5.1 we obtain the result wh ich follows a s a c orollary , i n the case of autonomous d iffe r e ntia l equations, from the the o r e m of Corsin and Malkin.
- 110 -
P. Negrini
REFERENCES
1
Marchetti F ., Negrini P., Salvadori L . , Scalia M., "Bifurcation and total Stability" to be presented at the AIMETA Congress (Napoli 16-20 Ottobre 1974).
2
Landau L ., Lifchitz E . , "Mecanique des fluides" Editions de Mo scou (197 1).
3
Ruelle D., Takens F ., liOn the nature of turbulence" Cornm. Math. Phys . 20, 167, (1971).
4
Dubosin G. , "On the problem of stability of a motion under constantly acting perturbations ll Trudy go s . astron.Inst. Sternberg 14 , No 1 (1940).
5
Seibert P, "Stability under Perturbations in Generalized Dynamical Systems" Proc . Intern. Symp. Nonlin. Diff. Eq. and Nonlin. Me ch. Colorado Springs (1961) .
6
Gorsin S., "On conditions for monotonic stability of a system of ordinary linear homogeneous differential equations ll VMU 6, No3, pp. 15-24 (1951) . -
7
Malkin 1. G. , "Stability in the case of constantly acting disturbances" PMM~, pg.411-448 (1942).
8
Bathia N . P., Szego G. P. , "Stability theory of dynamical systems" Springer Verlag (1970).
CENTRO INTERNA ZIONALE MATEMA T I CO ESTIVO (C . 1. M. E.)
ThAorie de 1a
s t ab i l1 t~
N, Rouchs. Ins ti t ut de
M ath~m atique
Pur e et
A p pl i q~A8
Universit e de Louva in.
There is scarcely any question in dynamics more i mpor t ant for Natural Philosophy than the stability or instability of motion. W. Thomson and P.G. Tait.
Corso
tenuto
a
Bressanone
dal
2
all'11
gi u gn o
1974
- 113 -
N . Rouche
Table des matieres.
Avant-propos. • . • • • • •.
• ••••.•. • •••. •••
I.
La methode directe de Liapounov. • • . • • • • • . . • •
II.
Etude de la stabi lite quand on connalt des integrales premieres . . . . . .
.
.
III.
L Lns t ebd Lf t e et l e methode des secteurs. • • . . . . • •
IV.
La methode de comparaison • • . . • . . . . . . • . . . .
V.
Les familIes de fonctions auxiliaires •. •• • • . . • •
VI .
L'attractivite etudiee
VI I .
L'attractivite dans les equations non autonomes . . • • •
I
a
l'aide des ensembles limites . •
VI II. Proprietes d I invariance des ensembles limites • . • • . .
No t e his torique et bibliographique. • . . . • . . • • . . • • •
- 114 -
N . Rouche
Avant - pr opos .
II n'est pas poss ibl e d ' expos er en huit 1e90n5 t out e l a theo rie de Ie s t abil i t e pour les equat i ons di ff erentie l1es ordina i res. Aus si , -Fo rce de choisir , avons-no us pris Ie parti d' en pr es enter huit aspe ct s essentiel s mais
tr ~s
di vers, ou 51 e n veu t, hui t voies d ' appr oche . En t oi l s
de fond . on r e t r ouvera pa r t out I ss f onct ion s aux i 1i ai re s dit as
»de
Li sp ouno v' , meis en plus dan s chequ e 1890n , l' un ou l'autre in strument math emat iq ue i ngeni eu x te l que l es i nteg r'a les pre mieres , l es s ec teurs mA th ode
t o~ o l o gi q u e
t'
15
de Wa zews ki, l s 5 i nega l it es di f f er ent i e l 1s B, la s
fami Lla s de fo nct i ons eux ; li aires et les en s emb les l i mites. Pa rmi les rnat i eres sacri fiee s , citons I ss
t h~ orem e s
i nvers es et les cr i t s re s de st a -
bilit e l i es A la premie re approxi mati on, de mime que la stabil it e partielle .
Aucun des 5uj et s abordes n 'est epuise, aucun non plus n'e st trai t e avec la generalite la plus grande. Chaque le90n cependant tou che
a
des
r esultats recents. Les theoremes qui ne traitent pas de la stabilite comme tells , mais servent d'o util pour l 'etudier, sont I e plus sou vent ra ppel es s a ns demonstration. Faute de temps, nous n'evons pas pu non plus, et c ' es t notre plus grand regret, multiplier les exemples et les spp l i cations. La bibl iographie, bien incomplete el le aussi par la forcs des choses, donnera pourtant , esperons -ie, assez de cles au lecteur s oucieux de depasser Ie cadre de la presente etude.
La matiere, et pour une part aussi la forme, de nos exposes sont inspirees par Ie premier jet d'un ouvrage sur la stabilite que prepare l' equipe de chercheurs de Louvain-la- Neuve : qu'elle soit ici tres cordialement remerciee et en particulier P. Habets, C. Risito et K. Peiffer pour les deu x premiers chapitres, M. Laloy pour 1e trois ieme et Dang Chau Phien pour Ie quatrieme. La responsabilite des erreurs possibles ne sau-
- 115 -
N. Rouche rait pourtant en aucune maniere leur etre attribuee. Nous esperons d'autre part qu'on ne nous en voudra pas d'etre reste, dans les exergues et les resumes des chapitres, quelque peu en de98 de l'austerite habituellement pratiquee par les scientifiques. Enfin, en remerciant chaleureusement iei les organisateurs de cette session C.r.M.E., et en particul ier R. Conti et L. Salvadori, nous payons 8 l'amitie un bien agreable tribut.
N. Rouche.
Louvain-la-Neuve, mai 1974.
N.B. Les symboles usuels suivants n'ont pas ete definis dans Ie te xte R : ensemble des nombres reels
I
o
si A est un ensemble, A est son adherence, aA sa frontiere. A son interieur
I
d(x,A) est la distance d'un point x
a
un ensemble A
I
de plus, si V(t,x) et x(t) sont deux fonetions, on a pris sou vent la liberte d'ecrire Vet) pour V(t ,x (t)).
- 116 -
N. Rouche L'outil en soi n'est pas moins remarquable que l'usage auquel on Ie destine. il est a lui seul valeur et resultat. H. FocUlon.
Premiere leyon. La methode directe de Liapounov. OU l'on presente au lecteur Ie lieu de notre promenade. jalonne par divers concepts tres subtils de stabilite et d'attractivite. et leurs implications possibles. voire mutuelles. OU l'on voit ensuite tomber du ciel. a l'appel du grand Liapounov. un outil de merveilleux service. avec plusieurs de ses modes d'emploi.
Hypotheses generales. Nous aurons a considerer.
to~au
long du
present expose. une fonction continue f : I x ou n est un entier
~
n ->-
Rn. (t.x)
1. I = lL.~[
~
f(t.x)
pour un certain L e R et
(1.1 )
n est un
ouvert de Rn. Nous ncus interesserons au probleme de Cauchy ~
= f(t.x)
(1.2) (1.3)
ou x
= dx/dt
et ou (to.xo) e I x
n.
On sait qu'a cause de- la continuite
de f. ce probleme possede au moins une solution non prolongeable. que nous noterons x : J
->-
Rn• t
* x(t)
ou Jest evidemment un interval Ie ouvert. Nous ecrirons sou vent J
= 1a.w
et J+ = [to.w[ • Sauf mention contraire. l'origine 0 de Rn appartiendra
n et
nous supposerons que f(t.O)
=0
[
a
pour tout t e l : l'origine sera done
un point critique pour l'equation differentielle (1.2). Introduisons enfin une derniere notation. qui nous servira constamment. Pour tout 0 reel> O. nous ecrirons
- 117 -
N . Rouche B
o=
{x
E
Rn : IIxll
< o} .
Stabilite a la Liapouno v et concepts apparentes. Le point critique a l 'origine des x est dit stable
a la
Liapounov pour l'equation (1.2), ou
plus brievement stable ssi tvc
> 0)
(\It
E J+)
(\Ito
E
xtt l
> 0)
I) (30 E
(\lxo E
Be: '
On voit sans peine que si Be: c jusqu'a
+~
Bo) (\Ix solution de (1.2), (1.3))
n, l'intervalle
J s'etend vers la droite
pour toute solution qui demeure dans Be:' On ne commettra donc
qu'un ecart de langage acceptable si on ecrit "\It> to" au lieu de "\It E J+", ce que la plupart des auteurs font sans autre embarras. L'origine sera dite attractive pour l'equation x (lito
E
I) (3n
> 0)
IIxoll < n) (\Ix solution de (1.2 ), (1 .3) to et x (t) + 0 quand t + ~.
(\lx o :
>
defin ie pour tout t
L'origine sera dite asymptotiquement stable l' equation ~
= f(t, x) ssi
a la
x est
Liapounov pour
= f(t,x), ou plus brievement asymptotiquement stable ss i ellE
est stab le et attractive. Ces trois def init ions , admettent des va r i ant es souvent utilisees on obtient par exemple la stabilite uniforme lorsque 0 est independant de to, l'attractivite uniforme' lorsque nest i ndependant de to et que x ( t ) + 0 uniformement en ( t o, xo) quand t +~, la stabi l ite asymptotique uniforme en combinant ces deux dernieres proprietes. L'equi-attractivite se deduit de l'attract ivite en ajoutant simplement que x (t) ment e n Xo quand t
+
+
0 uniforme-
~.
Implications en tre concepts. II est ut ile de connaitre les impli cat ions princ ipales qu i relient ces concepts dans diverses circonstances . Deblayons Ie terrain en remarquant tout d'abord qu'en dep it des apparences, l'attract ivite n' impl ique pas la stab il ite : on trouvera un contreexemple dans W. Hahn [1967 I . Cependant l'equi-attract iv ite impl ique la stabilite, tout au moins si on a suppose l'unicite des solutions.
- 118 -
N.
Rouche
Dans cette meme hypothese et si l'equation differentielle est scalaire, l'attractivite implique l'equi-attractivite, et forcement donc aussf la stabilite. Les cas auto nome et periodique sont particulierement interessants. L'equation (1.2l est dite autonome si f(t,xl est constante par rapport a t. Elle est dite T-periodique pour un certain T (t,xl E I x n, f(t+T,xl
> 0,
si pour tout
= f(t,xl. Dans ces deux cas, la stabilite de
l'origine implique la stabilite uniforme et la stabilite asymptotique implique la stabilite asymptotique uniforme. Par contre, aucune propriete de ce genre ne relie l'attractivite,a l'attractivite uniforme : dans Ie cas autonome par exemple, et puisque, comme on vient de Ie voir, l'attractivite uniforme implique la stabilite, si l'attractivite impliquait l'attractivite uniforme, alors elle impliquerait la stabilite, ce qui est faux : nous avons mentionne ci-dessus un contre-exemple. Sur ces problemes d'implications entre concepts, on consultera J.L.
Masser~
[1956] et T. Yoshizawa [1966].
Les fonctions auxiliaires. La methode directe de Liapounov dans l'etude de la stabilite se caracterise par l'usage de fonctions auxiliaires du type V : I x
n ..
R, (t,x) .... V(t,x).
Dans la suite et sauf mention contraire, une telle fonction sera supposee localement
lipsc~tzienne
enx et continue. II nous arrivera souvent de
devoir verifier que Vest dearoissante Ze Zong des soZutions de Z'equa-
tion (1.21. Ceci signifie que, pour toute solution x J .... Rn substituee a l'argument x dans V(t,x), la fonction de t : V~(tl = V(t,x(t)) ainsi obtenue sera decroissante. Autrement dit, pour tous t et t' E J, t
0 tel que Ba C n ei: posons pour tout tEl
Hors
pour tout to E I
(a)
V't\,a' x l t l
+
et toute
0 quand t
+
00
so~ution
te~Ze
que x(to)
Xo E
;
Z'origine est asymptotiquement
(b)
x(t)
stab~e.
Preuve. On demontre comme au theoreme 2 que pour to ute solution x l t J choisie comme en (a), J+
t
+
00.
(1)
[to,oo[. Montrons que W(t,x(t))
+
0 quand
Si tel n'etait ·pas Ie cas, il pourrait arriver deux choses il existerait un 0> 0 et un k> 0 tels que pour tout t ;;;. to + 0
W(t,x(t)) ;;;. k> O. Mais alors, O+V(t,x(t)) traire
=
a
~
a
cause de (iii), on aurait que
- c(k) et donc V(t,x(t))
+ -
00
quand t
+
00,
ce qui est con-
(i) ;
il existerait deux suites croissantes {til, {til telles que t i + 00 quand i + 00 et que pour tout i = 1,2, ••• : t i < ti < t i+ 1 et que de plus, (2)
pour un certain k > 0 : W(q,x(t{ll = k
et
2k < W(t,x(t)) < k pour tout t
On aurait pu ecrire de meme
E
]ti,ti [.
(1.4)
- 123 -
N. Rouche (1.5) +
On utilisera (1.4) ou (1.5) selon que D West bornee superieurement ou inferieurement. Nous--ne traiterons que 1 'un des deux cas, celui ou il existe -un M > 0 tel que D+W(t,x) ~ M, Alors ti - t tient, en utilisant, (iii) :
V(tn,x(t n))
~V(to,xo)
+
i
~ k/2M, et on ob-
n ~
i"1
Ceci contredit (i) pour n assez grand. Donc W(t,x(t)) t
+ ~.
Grace
a
+
0 quand t
+ ~
et (ii) montre que x(t)
+
0 quand
ce resultat et au theoreme 1, on obtient ensuite la partie
(b) de la these. C.O.F.D. Ce theoreme generalise un resultat de M. Marachkov [1940] et un autre de J.L. Massera [1956]. Le premier s'obtient en faisant W(t,x)
(x,x), ou (0,0) est un produit scalaire, et Ie second en faisant
W(t,x)
V(t,x).
- 124 -
N. Rouche II faudrait etre fou pour decider, mi-chemin, de retourner au depart.
a
Deuxi8me leyon. Etude de la stabilite, guand on connait des integrales premieres. Du l'on se sert astucieusement des integrales premieres, soit pour adoucir les exigences imposees aux fonctions auxiliaires, soit pour eliminer une partie des variables. Du l' on voit aussi la s t ebd l i t e totale pour une equation simple entrainer la stabilite simple pour une equation compliquee. Du l'on regIe enfin un vieux probleme de Routh en ,un seul coup de cuiller a pot.
Introduction. On ne connait pas de methode generale pour construire des fonctions de Liapounov. Aussi fait-on bien, pour etablir des proprietes de stabilite, de ne negliger aucune information disponible sur les solutions. Les integrales premieres, souvent les plus precieuses de ces informations, seront utilisees soit pour construira une fonction auxiliaire definie positive, soit pour eliminer une partie des variables presentes dans l'equation differentielle. Nous allons illustrer successivement ces deux possibilites. Nos hypotheses generales demeurent celles du debut de la premiere le~on.
Rappelons qu'une fonction W: I x n
~
R, (t,x)
~
W(t,x)
localement lipchitzienne en x et continue, est appelee integrale premiere de l'equation (1.2) si et seulement si D+W(t,x)
=
0 pour tout (t,x) E I xn.
Cette condit.ion implique que pour toute solution x Lt l de (1.2), la fonction de t : W(t,x(t)) est qu'elle est constante.
a
la fois croissante et decroissante, et donc
- 125 -
N. Rouche Comment faciliter la construction de fonctions auxiliaires. La circonstance la plus favorable est celIe
au
on connait une integrale premiere
W(t,x) satisfaisant aux hypotheses du theoreme 1. 1 (l'hypothese (ii) etant verifiee d'office). 5i tel n'est pas Ie cas, on pourra recourir au theoreme suivant. Theoreme 2.1. S'il existe deux fonctions V(t,x); W(t,x), locale-
ment: Zipschitzienne en x et oontrinuee, ou West une int~grale premiere, et: une fonction a E K~ te l: Lee que (i) V(t,O) = 0, W(t,O) = a pour t E I (11) max(V(t ,x), W(t,x)) ;> e Ill idl J pour (t,x) E I x n I (iii) O+V(t,x)
alors l'origine que (Lv)
~
°pour tout
e~t
(t,x) E I x n tel que V(t,x) ~ W(t,x) stable. S'il existe en outre une fonction bE K telle
max(V(t,x), W(t,x))
que sur un sous-ensemble de I x
a savoir Ie sous-ensemble caracterise
par W(t.x)
< etll xll l ,
n.
a(lIxll). ne doit plus §tre verif iee
De m§me. la condition relative a O+V(t.x) ne doit
plus §tre satisfaite que la
au
V(t,x)
> W(t,x).
Remargue 2 .1. 5upposons qu'on connaisse plusieurs integrales premi er es WI, ••• , Wm' ajustees de telle sorte que Wi(t,O) = 0, i = 1 •••• ,m. Posons W=(Wl"'" Wm). On sait, d 'apres G.K. Pojaritski [1958], qu'il existe une fonction reelle continue
~(w)
tel Ie que
~(w(t.x))
soit definie
positive, si et seulement sf, , pour une norme II-II quelconque, IIw(t,x)1I est
- 126 -
N.
Rouche
definie positive. Pratiquement, on pourra calculer l'expression Wo(t,x)
Wf(t,x)
+
•••
+
W~(t,x). 5i elle est definie positive, Ie pro -
a
bleme est regIe. Au cas contraire, on cherchera
construire une fonction
auxiliaire supplementaire V(t,x) comme dans Ie theoreme 2.1. Remarquons en outre que ce theoreme tient toujours si on y remplace W(t,x) par une fonction decroissante Ie long des solutions de l'equation differentielle. Remargue 2.2. II se peut que l'hypothese (ii) soit mal commode
a
verifier. Les choses deviennent plus simples si on connait une fonction ~
continue W (x) de I x
n.
Posons G
n+
R telle que W(t, x)
= {x En:
~
W (x )
= o}
~
~
W (x)
~
et soit N C
0 pour tout (t,x) E
n
un voisinage de
G \ {O}. L'hypothese (ii) sera verifiee dans chacune des deux eventualites suivantes : ~
(a)
11 existe une fonction a E K telle que V(t,x)
(b)
il existe une fonction continue V·(x) de
n+
~
~
a (II xII ) sur I x N;
R telle que
V(t,x) ~ V~( x) ;> 0 sur I x (G \ {O}). Dans Ie premier cas, on remarque qu'on peut restreindre pour un certain p> 0, et qu'il existe une fonction
a~
na
une boule 8 p
E K telle que,
pour tout (t,x) E I x (8 p \ N) W(t,x) ;> inf(W~(y) : HI ~ IIYII ~
o- Y ~ N)
~ a",(lIxll)·
On choisira etll xll ) = min (a~(lIxll), a...(II xII l l . Dans l e second cas, 11 suffira de remarquer que pour tout (t ,x) E I x
~ max(V·(x) , W~(x))
> D,la
n :
max(V (t,x), W(t,x))
derniere inega lite va l abl e si x
* O.
~
Pro cede par elimination de variables. Voyons maintenant deux resultats obtenus par elimination de variables
a
partir des integrales pre-
mieres. 5upposons qu 'on en connaisse m, regroupees en un vecteur w(t,x) (Wl(t,X), ••• , Wm(t,x)), avec w(t,D)
= D.
5upposons en outre que l'equation
(1.2) se divise en deux equations Y
=
}
g(t,y,z)
z = hCt,y,z)
(2.1 )
ou y,g E Rn-m et z,h E Rm• Nous ecrirons x = (y,z). 5upposons enfin que l'equation w(t,y,z) = 8 OU 8 est un vecteur de Rm, soit univoquement solub l e dans un voisinage de l' orii-ine des x et
four[)i~,-se_.Ia
fonction
- 127 -
N.
Rouche
continue z = z(t.y.B) . telle evidemment que z(t .O.O)
= O.
Les equations (2.1) peuvent stre rem-
placees par Ie systeme y
go(t.y)
+
8 o.
go(t.y) = g(t.y.z(t.y.O»
ou En
B = O.
r(t.y.BJ.
}
(2.2)
et r(t.y.BJ = g(t.y.z(t.y.BlJ
la premiere de ces equations se reduit
go (t.y).
a
y = go(t.yl . Le theoreme suivant. du
a
(2.3)
C. Risito [1967]. recourt
a
la notion de
stabilite totale. que nous rappelons tout d'abord. Soit f*(t.xl une fonc tion definie comme f en (1.1). mais pas forcement telle que f*(t.Ol
= O.
On dit que l'origine est totaLement stabLe pour 1 'equation (1.2) si (lfe:
> Ol (Ifto e
I) (301
> Ol (302 > 0) (lfxo e
B (Iff 0 1)
*
: I!f * (t.x)1I
< 02
pour
(t .x) e I x BE) (If x solution du probleme de Cauchy
~ = f(t.x)
+
f*(t.xl.
x(tol = xol +
et (1ft e J l. on ait x(t) e BE' L'interet propre de ce concept est evident. On connait une cond ition suffisante tres simple assurant sa realisation. tout au moins quand les solutions sont uniques : la stabilite asymptotique uniforme entraine la stabil1te totale. ( cf. W. Hahn [1967] 1 • Theroeme 2.2. Supposons que n = Bp pour un aertain p existe une fonation a e K teLLe que If(t.y.BJ e I x Bp (i)
IIz(t .y.Blll '" e lll (y.B)I!J.
(11)
IIrCt.y.B)I!"';; a(IIBI!).
(iii) L'origine est totaLement stabLe pour
aLors L'origine y
O.z
= 0 est stabLe pour
Preuve. Vu l'hypothese (il
L'~quation
L'~quation
(2.3l
>
I
(2 . 1) .
O. et qu'iL
- 128 -
N. Rouche (ltE>O) (3n >0) [llyll 0)
(30~
> 0) [ li xol'
[111311 < 03] •
Donc (ltto E I) (ltE > 0) (30 > OJ[ IIxoll < 0 et t E J+] -> IIx(t)1I < E. En effet. i1 suffira de choisir 0
= min(ol'o~).
C.Q.F.O.
Le theoreme suivant applique Ie theoreme general 2.1
a
l'equation
reduite (2.3). II combine ainsi les avant ages des deux demarches exposees au debut de cette le90n : utiliser les integrales premieres pour eliminer des variables et s'en servir pour construire une fonction auxiliaire. Theoreme 2.3. Supposons qu'il existe une fonation aontinue V(t.y)
de I x n' .... Rn. ou n' est un voisinage apP1'Opri~ de l'origine des Y. une fonation pet) de I .... R et deux fonctions a et c E K telles que (It(t.y) E I x n') et (It(t.y') E I x n'). (i) I V(t.y) - V(t.y') I .:;;; pet) lIy - y'li. (11) V(t.y);;;' atllyll ) I V(t.O) = a J (11i)
vee est
0(23) V(t,y) .;;; c lv I t s y l l , OU l'indiae (2.3) signifie que la dhiaalaul~e
le long des solutions de (2.3).
Supposons de plus qu'il existe une fonation q(t) de I .... R. une fonation p E K et une aonstante L telles que. en tout point OU r est d~finie : (Lv) (v)
IIdt.y,e)1I (IISII) . Or I e dernier membre de cette inegalite est ";; 0 des que V(t .y) ;;;' c- 1 (L<j>(IISII))
=
W(S). L' hypothes e (iii) du theoreme 2 .1 est don c C.Q .F .D .
bien verifiee. On sa i t (cf . par ex. L. Cesari [ 1959
I)
que la s ta bil it e n' est pa s
i nva ri an te par change ment de va r i a bl es . meme si I e changem ent es t cont inuo
= 0 pour (2.1 ) n 'e st pas f or cemen t equival ente a la s tab i li t e de l' orig ine (y .S ) = 0 pour (2 .2) . Ce probleme est di scute dans C. Ri sit o [ 1972 I .
La stabi l ite de l' origi ne (y. z)
La s t ab il i t e des mouvements statio nnaires . En gui s e d ' appli cati on . cons iderons un ' pr obl eme de mecaniq ue pose pou r l a premie re fo i s par Routh [1 860
I et qui a d'ailleurs i ns pi re la plu pa r t de s deve l oppement s ul t e-
ri eurs relatifs a la s tabilite e n presen ce d'int egral es premi eres. Nous empru nt ons ci - des so us . sans nous attarder a I e decri re. Ie langage des mecaniciens . Toutes les f oncti ons cons i de r ees s eront implicitement s uppos ees de f i ni es sur Ie produi t ca rtesi en d 'un demi -axe infi ni pour Ie temp s t. par un voi sinage ap proprie de l'origine dan s l 'es pace de s a ut r es arguments. On con s i de r e don c un systeme mecani que a n;;;' 2 degre s de li ber te.
- 130 -
N. Rouche
a
liaisons holonomes. independantes du temps. et depourvues de frottement.
On supposera que pour un certain m. 1 ~ m < n. les coordonnees lagrangiennas , suppoaees Lndependent ee , se divisent en deux groupes q = (ql"' ... q
1
n-m (rl •..•• rml. ces dernieres etant cycliques. On suppose que certaines forces derivent d'un potentiel IT(t.ql de classe Cl et qu'il y ait
=
et r
aussi d'autres forces 0 = (01 •.••• Qn-ml fonctions continues de t. q et q. L'energie cinetique est supposee etre une fonction de classe C1 de (q.q.~l. On l'ecrira sous la forme decomposee
.
OU T2 est quadratique en q. Tl lineaire aussi bien en q qu'en ~. et To quadratique en i; Les equations de mouvement sont : (T2 +
+
Tol
Ti J =
-l.
oq
(T2
+
Tl
+
To - TIl
+
O(t.q.ql.
8.
Puisque les coordonnees lagrangiennes ont ete supposees independantes. les equations des moments des coordonnees cycliques peuvent etre resolues par rapport
a
~. On peut donc eliminer ~ des equations du mouvement. selon
la procedure classique proposee par Routh. La fonction routhienne s'ecrit
...
•
...
Ii
O.
V(to,Xo)
on obtient, grace
Donc x(t) doit traversant
d~
+
un
Soit maintenant x(t;to,xo) abrege en x(t).
K ~ V(t,x(t)) = V(to,xo) ~
°
a
(i) et (ii), que pour tout t
to.
~
it V(T,X(T))dT to a(V(to,Xo)) (t - to).
quitter~.
+
a
Mais
cause de (iv), x(t) ne peut quitter
~
en
n BE' Donc x(t) quitte BE'
C.Q.F.D. La fonction V a servi
a
montrer deux chases: 1) il existe une
solution partant d'un Xo arbitrairement proche de l'origine et qui sort de
~
I
2) aucune solution ne sort de
~
en traversant
a~
n BE' La premiere
de ces conclusions sera associee ci-apres au terme d' "expulsion", la seconde au terme de "secteur". On verra plie quand on recourt
a
deux
a
quel point la theorie est assou-
fonctions auxiliaires distinctes pour eta-
blir les proprietes respectives d I "expulsion" et de "sect.eur-",
Notations et definitions. Les theoremes ci-apres, qui sont
ous
des conditions suffisantes, devraient, dans une version complete, commencer comme Ie theoreme de Tchetaev, par : "S'il exiete un E
> 0,
BE c
n et
un to E I " • Alors, par raison de simplicite, nous supposons que E et to sont fixes ici une fois pour toutes.
- 135 -
N , Rou c h e Nous des i gne rons par CE Ie cy1in dr e I x BE' Pour to ut G C CE et t E I , nous defi nirons G( t)
{ x:" I t ; xl E G},
G*
{(t ,x ) E G, x
L
{(t, x) E aG n CE, x
* oJ,
* oJ .
On app e ller a L 1a f ront i ere l-atieral.e de G. No us ferons l ' hypo t he s e g'eneraIe s ui vant e : t ous les ensembles G mentionnes ci- apre s ser ont t els que
l 'or i gi ne de Rn es t un poi nt d 'accumulation pour G(t o) . On dira que G es t un secteur si , pour t out 8
> 0,
une au moins des
cond itions su i vant es es t s ati sfait e
- (ift E J + ) ( t , x (t; to , xo) ) E G (3 xo E G* (to) n B8)
(i)
(i i) (3 xo E B8) (3t E
J+ )
x l t r t e s xo) ~ BE'
On di ra que G e s t un sec t eur absolu s i pour t out Xo E G* (t o), une au moins des de ux co ndi tio ns su i vantes est sa tis fa i te (i )
(Vt E
J+)
(t, x( t ;to' xo)) E G·
( ii )
(3t E
J+)
x (t ;t o. xo) ~ Be;'
l
I I est cl air que CE est un secteur abso1u. et que tout se cteur abso1u est un s e ct e ur . On tro uvera p~ut etre un peu etra nge de definir un ens emble G comme s ecteur. en fa isant appe1 t iennent pas
a
G. II n'y a pas.
t i on que l' usage importan t
qu~
a des propri etes de poi nts qui a cette particu1ari t e. d' aut r e
n'ap pa rju stifi ca-
en es t f ai t da ns I es demonst r atio ns e t
qu ' on deco uvrira ci-apres. On dira que G est un expulseur si (V8
> 0)
(3 xo E G"'(to) n B8) (3t E
J+)
n dira que G est un expulseur absolu si (V8
>
0) (Vxo E G"'(to ) n B8) (3t E
J+)
Proposit io n fo ndame nta 1e. Les quatre affirmations 8ui vantes sont
equi valent es : l'origine est i nst abl e ; (aJ
- 136 -
N. Rouche
(b) (c) (d)
iZ exi8te un Becteur qui de pZus est expuZseur absoZu ; iZ exi8t~ un secteur ab80Zu qui de pZus est expuZseur ; iZ existe un secteur absoZu qui de pZus est expuZseur absoZu. Preuve.
II est evident que (b) entraine (a), que (c) entraine (a)
a
et que (d) entraine (b) et (c). II reste
montrer que (a) entraine (d).
Or si l 'origine est instable, il existe une suite de points xOi E BE et d'instants ti
> to
~ :intersection
BSt
a
tels que X(tiltO,xoi)
~
BE' L'ensemble G constitue par
avec CE des trajectoires de toutes les solutions X(tltO'XOV
la fois un secteur absolu et un expu1seur absolu. C.Q.F.O. Pour obtenir des hypotheses entrainant l'instabilite, il suffira
donc de trouver des conditions suffisantes pour qu'un ensemble G soit secteur, secteur absolu, expulseur ou expulseur absolu, et de les combiner de maniere adequate. Faute d'espace, nous ne traiterons ici que deu x e xempIes. Et puisque Ie theoreme de Tchetaev est bati avec un secteur absolu expulseur, nous choisissons d'illustrer les notions de secteur et d'expulseur absolu. Une autre raison d'examiner les secteurs est que les theo remes qui en demontrent l'existence sont delicats, et donc interessants . Etude des secteurs. Pour plUS de clarte dans les definitions ciepr-ss et si Ls e l E I x i
n, nous ecrirons J+(s,a) pour [s,oc{n J(s,a), ou
J(s ,a) est l'intervalle sur lequel est definie la solution non prolongea ble passant par (s,a). Un point P
point d/entsee de (t,x(tls,a)) E
G
G
si (3T
= (s , a )
> 0,
E L sera dit
ls,
s + T E J+) (\It E
s + T 1)
I
point de sortie de
G
si (3T
>0
s + T E J +) (\It E 1s , s + T 1)
(t,x(tls,a) ~~G.
point consequent de G si (3T
> 0,
s - T E J) (\It
E
[s - To s [ )
(t,x(tls,a)) E G. Theroeme 3.2. Supposons que, pour un ensembZe G ferome dans CE et
pour tout t
~
to :
- 137 -
N. Rouche (i)
~(t) est connexe ;
(ii)
l'o~igine est un point d'accumulation de ~(t)
I
(iii) aB g contient au moine un point d'accumulation de ~(t) I si de plus aucun point de L n'est un point d'ent~ee, G est un
secte~.
Supposons la these fausse. Alors il existe un O. 0
~.
< 0 < g.
tel qu'on puisse nier les propositions (i) et (ii) dans la definition du secteur . (a)
Nions
(11)
X(tlto .xo) E Bg •
(3.3)
et posons
Cet ensemble est defini pour tout t l'origine de Rn • Done. grace a (11) tu de (3.3) H(t) C Bg • et done.
a
~
to. et c'est un voisinage ouvert de
:
G(t) nH(t) 01= l!l. D'autre part. en ve r-
c~use de (iii) : G(t) n C H(t) 01= l!l. ou
C designe Ie complementaire. Done. pour tout t
~
to
G(t) n aH(t) 01= l!l
(3.4)
sinon ~(t) serait la reunion de deux ensembles G(t) n H(t) et G(t) n C~(tL disjoints. non vides et ouverts dans G(t). et G(t) ne serait pas connexe. (b)
Nions (i) dans la definition du secteur. et. de la proposition
ainsi obtenue. tirons que
Done. Vxo
E G(to)
n
aBo'
il existe un t(xo) et un t', t
< t'
tels que
(t.x(tl) E L et que (t.x(t)) ~ G pour tout t E [t.t']. Pour chaque xo. soit T(xo) 1 'infimum des t(xo) . Montrons que la ·f onct i on T(xo) est semicontinue superieurement. Si elle ne l'etait pas. il existerait dans G(to) n aBo' un point x: et une suite {xi}. xi 01= x:. tels que xl + x: et lim T(x~) = T >T(x:l. Alors. pour tout n < T - T(x:) assez petit et tout i assez grand. on aurait
et
(T(x~)
+
n.x(T(x~)
+
nlto.x!)) E G
(T(xg)
+
n.x(T(x~)
+
nlto.x~)) ~ G.
- 138 -
N.
Rouche
ce qui est impossible. vu la continuite de x par rapport aux conditions initiales et puisque G est ferme dans CE • Donc il existe un T tel que. pour tout Xo E Gltol n aB8 : Tlxol
< i.
Si on se rappelle qu'a cause de 13.31 aucune des solutions mentionnees ne sort de BE let done ne cesse d'existerl. et que de plus. aucun point de L n'est un po int d'entree. on voit d'une part que
et d'autre part. que IVxo E CG(tol
n aB81 IVt > tol xltl ~ ~It).
On conclut que (~t ~
TJ GCt)
n 3H(tJ = ~ ce qui contredit (3.4) et achev8
la demonstration.
C.O.F.D.
Ce theoreme conduit sans peine au suivant. relatif au cas ou G est un ouvert. Theoreme 3.3. Supposons que. pour un Ii)
Glt) est connexe ;
Iii)
~'origine
est un point
d'accumu~ation ~
liii) aBE contient au moi ns un point ~~ p~us
l~s
G ouvert et pour tout
Glt) ;
de Gltl ; sortie. G est un secteur.
d'accumu~ation
tout point de L est un point
Preuve. Toutes
ensemb~e
~
hypoth eses du theoreme 3.2 sont satisfaites si
on y substitue a G l'ensemble H
= G n CE • Alors. pour 8 donne. ou bien la
proposition Iii) dans la definition du secteur est satisfaite. ou bien elle ne l'est pas. Dans ce dernier cas It.xlt;to.xo)) E H
= Gn CE •
Comme tout point de L est un point de sortie. il n'existera aucune valeur de t telle que: It.xlt;to.xo)) E L. d'ou Ie theoreme .
C.O.F.D.
Dans Ie theoreme 3.3. to us les points de L sont suppos es points de sortie. On affaiblit cette hypothes e dans Ie th eoreme suivant. adapte du
- 139 -
N. Rouche principe topologique de Wazewski (cf. P. Hartman [1964)). Pour pouvoir l'enoncer, rappelons tout d'abord deux definitions. Si X est un espace topologique et si A C B C X, on dira que A est un retracte de B s'il existe une application continue de B + A qui soit l' identite sur A. Cette applicat ion est appelee retraction de B + A. Theoreme 3.4. Soit G ouvert et suppo8ons que tous Zes points
conse~
quents de G soient des points de sortie. Soit S Z'ensembZe de ces points. Supposons qu'iZ existe, pour tout 0 e ]O,E[, un ensembZe Zo C (Gtto) U S(to)) n Bo' teZ que :
Zo
(i)
(ii)
*- 1:1, Zo n S(to) *- 1:1 si on note Z6 = {(to,xo) : Xo e Zo}, Z6 n n Gtcto)
S est un re tracte de S mais
non de Z8 . AZors G est un secteur; pZus precisement, pour tout 0 e ]O,E[, it existe un Xo e Zo n Jtto) teZ que (t,X(tltO'XO)) e G pour t out t e J+, ou bien le premier point d'-intereeot-ion avec aG de La demi-trajectoire positi ve i ssue de (to,xo) appartient dacE' Preuve. Si la these est fausse, (30
> 0)
(vxo e
Zo)
(3T
~
to) et
('lit e [to,I[ ) (t,X(tltO'XO)) e G,
(3.5)
(T,x(T,to,xo)) e S. On remarquera que si
Xo
E S [t o): T
=
to et [to, T [
=
1:1. Comme les points de S
sont des points de sortie, on montre, comme au theoreme 3.2, que T(xo) est une fonction semi-continue superieurement . Grace
a
(3.5), on montre de me-
me qu'elle est semi-continue inferieurement. Done la fonetion TIl : (to,xo)
~
(T( xo), x(T(xo)
Z6
sur
Z6
n
s,
+
S,
to,xo)) est contin ue. Si TI est la retraction
appl iquant, par hypothese, S sur de
Z6
Zi
n S, alors TI
ce qui ne peut exister .
0
TIl
sera une retractio~ C.Q.F.O.
Pour appliquer les theoremes ci-dessus, il faut pouvoir reconnaitre des proprietes du type: un point n'est pas un point d'entree, ou un point est un point de , sortie ou un point consequent. On y arrive soit en raisonnant directement
a
part ir du second membre de l'equation differentielle,
soit en utilisant des fonctions auxiliaires, comme dans les propositions
- 140 -
N. Rouche
suivantes. Proposition 3.1. Soit G ouvert, PEL, et N un
vo~s~nage
de P. S'iZ
existe une fonction continue W(t,x) de N n G -+- R t.el.l:e que W(t,x) > O. W(t,x) ~ 0 et W(t.x) -+- 0 quand (t,x) -+- P, aZors P n'est pas un point d'entree de G, ni dono de G n Ce:' Proposition 3.2. Soit G ouvert, PEL, et N un voisinage de P. S'iZ existe ~e fonction oontinue W(t,x) de N n G -+- R t ZZe que (i) (\I(t,x) E N n G) W(t.x) 0;;;0 et W(t,x) > 0;
et W(t,x) = 0 aZors P est point de sortie et point oonsequent de G. (ii) (\I(t, x) E N n L)
W(t,x) =1=0
Preuve. On montre sans peine que si P n'est pas un point de sortie. il existe un point d'entree dans N n'L, ce qui met la proposition 3.1 en defaut. On raisonne de meme en supposant que P n'est pas un point conseC.O.F.O.
quent.
Etude des expulseurs. En gros. une solution est expulsee de G s'il existe une fonction V(t,x) definie sur G, bornee superieurement et croissant assez vite Ie long de la solution. Par "assez vite" on entend que si on suit les valeurs de V Ie long de la solution, la borne de V soit atteinte en un temps fini. Tous les theoremes d'expu13ion sont brodes autour de cette idee de base, que l'on peut raffiner de deux manieres : soit en admettant pour V(t,x) une borne superieure fonction tant
~ue
d~
t, soit en accep-
V(t,x) soit stationnaire (c'est-a-dire que V(t.x)
= 0)
en cer-
tains points et en completant les hypotheses de sorte que les solutions ~e
s'attardent pas trop dans cet ensemble de points stationnaires . On
~ecourra
souvent pour ce faire a une fonction auxiliaire supplementaire
la technique mise en oeuvre se retrouve dans les theoremes d'attractivite, comme nous Ie verrons dans plusieurs des le90ns ulterieures. II existe de nombreux theoremes d'expulsion, adaptes a des applications diverses. Nous nous contenterons ici d'en exposer un. Theoreme 3.5. S'iZ existe une fonction V(t,x) de C£ -+- R, ZocaZement Zipsohitzienne en x et oontinue, deuxfonctions continues a(t),c(t) de
- 141 -
[ to,'" [
+
R et une fonation b E K t.el.l.ee que
'"
(i)
(Vxo E G (to))
(ii)
c It l
> 0,
lim t+CXl
(iii) (V(t,x) E G"',
>0
V(to,xo)
(t c I s I ds
Jt o
;
= "'.
Vl t s x l
> 0)
V(t,x)
0;;;
e Lt L,
(3.6)
V(t,x) ;;;. 0, V(t,x) ;;;. c(t) b(V(t,x))
+
(3.7)
~[t)
(3.8)
a Zors G est expulseur absoZu . Preuve. Si ce n'etait pas vrai, i1 existerait un Xo E G"'(to) tel que V(to. xo)
>0
et que (t.x(t;to,xo)) E G pour tout t E J+. Or en vertu
de (3.7), on a V(t.x(t)) ;;;. V(to,xo)
a
>0
pour tout t dans J+. O'oG. grace
(3.8) et pour t E J+ :
V(t.x(t)) - a(t) ;;;. V(to,xo)) - aCto) et encore,
a
+
b(V(to,xo)) Jt c(s)ds. to
cause de (3.7)
b(V[to.Xo)) It c(s)ds to
0;;;
a(to) - V(to.xo),
inega1ite qui devient fausse pour t assez grand.
C.Q.F.D.
-
14 2 -
N. Rouche ••• car 1a comparaison Nous fai t distinctement comprendre une raison Et nous aimons bien mieux. nous autres gens d'~tudes, Une comparaison qu'une similitude . Moliere .
Quatrieme 1e90n. La methode de comparaison. OU l ' on etab1 it d'abord deux inega1ites differentie11es fondamentales. E11e permettent de montrer ensuite comment une solution d'une eq~ tion simple pousse devant e11e un troupeau de solutions d'une equation comp1iqu~e. Ainsi Ie chien du berger pousse -t-i1 1es brebis devant lui. Ainsi ferons-nous mentir 1e proverbe : comparaison n'est pas raison.
Pour etab1ir l'une ou l'autre
p ropriet~
asymptotique des solutions
d'une equation differentie11e comp1 iquee dans Rn , on cherchera ici
a
mon-
trer dans que11es circonstances une propriete analogue pour une equation plus simple. par exemp1e une equation dans Rm avec m < n. entrainera 1e r~su1tat souhait~
souvent equation
dans l'equation initia1e. L'equation plus simple est
appe1~e .Aquation
a
intervenant qans une parente de derniere
de comparaison. Le transfert de propriete d'une
l'autre se fait par l'intermediaire d 'une fonction auxi1iaire l'~quation
~quation
differentie11e,
in~ga1ite
in~ga1ite
qui est proche
de comparaison. En gros, 1es solutions de cette
servent de bornes
a
ce11es de l'equation initia1e. Com-
me ces bornes evo1uent dans 1e temps. on pourrait dire en que1que sorte que 1es solutions de
l'~quation
de comparaison poussent devant e1 1es les
solutions de l'autre equation. Avec V.M. Matrosov [19731. on peut voir Ie une extension de 1a notion de modele mathematique : Ie comportement d'un modele. au sens usue1 de ce terme. epouse approximativement celui du systeme original. tan dis qu 'un systeme de comparaison ne l'epouse que d'un seul cote : c'est, si on veut. un modele unilateral. Les theoremes fournis par la methode de comparaison
gen~ralisent
substantiel1ement ceux de 1a
me thode directe de Li apounov dans sa version premiere. L'equat ion de comparaison introduite tout d'abord etait une equation sca1aire
- 143 -
N. Rouche
(C. Corduneanu [1960]). Nous considererons ici directement une equation vectorielle (cf. V.M. Matrosov [1962h). Definitions et propositions preliminaires . Soit m un entier
=
urn) et v =
> O.
vm) sont deux elements de Rm. nous ecrirons que V ~ u si . pour tout i = 1 ••••• m : vi < ui' Nous ecrirons de meme que v < u sipour tout i 1 ••••• m : vi < ui'
Si u
(UI •••••
(VI •••••
Soit une fonction continue F : I x
Rm.
'!I-+-
I t s ul -
F(t.u)
(4.1 )
ou I = ]T.~[ pour un certain T E R et ou '!I est un domaine de Rm. Pour un (to.uo) E I x '!I. nous considererons le probleme de Cauchy
= F(t.u) u(to) = uo. ~
Une solution r :
J;
-+-
(4.2) (4.3)
Rm de ce probleme est qppelee eolution maximale d
(ou plus souvent. dans le present texte. eolution maximale) ssi. + pour toute autre solution u : J u -+- Rm du memeprobleme. on a
~ite
u(t)
~
r(t)
pour
+
+
t E J r n J 4•
La fonction Fest dite croieeante en eee compoeantee non diagonales ssi pour tout i = 1••••• met tout t e l :
Les quatre theoremes suivants . dont les deux premiers seront rappeles sans demonstration. nous seront utiles dans la suite. Theoreme 4.1. Si F : I x
'!I -+-
Rm eet continue et croieeante en eee
compoeantee non diaqonalee, iZ pasee par tout point (to. uo) E I x '!I une et une eeule eolution non prolongeable maximale du probl~me (4.2) . (4.3). Le bout de cette eolution eet vide ou appartient d la fronti~re de I x '!I. Preuve. Cf. W. Walter [1964] ou J. Szarski [1967].
- 144 -
N. Rouche 50it maintepant E > 0 et considerons Ie probleme de Cauchy 1 F(t,u(t))
I
(iii) Za fonction
est continue et teZZe que
(iv)
veto)
aZors vet)
<
0 tel que IIx(t)1I ne peut demeurer ~ e: pendant un inter-
valle de temps de longueur T. On saito grace s (v). qu'il existe un n et un
~
tels que tout tEl et
pour tout x E G(e:) = B(E.nJ n (N\ Be:) on a IQ(t.x) I >~ ' 5i nous dAfinissons Ie compact H(e:) par l'Aquation H(e: )
N\
Be: \ B(E•n/2 )
nous observons qu 's cause de (iii)
(313
> 0)
(\:I(t.x) E I x H(e:)) ~(t.x)
< -13
(5.1)
Construisons maintenant. s partir des fonctions V et W. une fonction ve: : I x (N\ Be:) .... R s dArivAe strictement nAgative. Pour cela . re marquons que G(e: ) se dAcompose en les deu x parties disjointes
50it ve:
R+ .... R+
(x
E
G(e:)
(\:It E I) Q(t.x)
~}.
~}.
une fonction de classe C1 telle que Ve:(T) ve: T
1 pour T E [O.n/2]. o pour T ~ n.
Sa dArivAe est AVidemment bornAe. DAfinissons encore. pour i fonctions
1.2. les
- 153 -
N.
Ct~i) (x)
Rouche
x E G(i) (e l ,
pour pour
Ces fonctions ne seront habituellement pas de classe C1,car d(x,E) ne l'est pas. Cependant. elles possedent des derivees de Dini bornees. car la deri vee de Ve: est bornee et l'on obtient en outre sans peine que
I O+d(x(tl.E) I .;;; 1I~~(t)1I
=
IIf(t,x(t))1I
0
et
~
>0
telles que, si ve:(t,x)
= V(t ,x)
+
~he:(t,x),
on
ait
pour (t,x) E I x (N\ Be:)' Or ve: est ,bornee inferieurement, sur ce meme ensemble. par Ie nombre - a -
~b.
Posons
Tf t ) o - sup {ve:(to,xo)~ + a +. ~b : Xo E N\ Be: } •
Aucune solution ne peut demeurer dans N\ Be: pendant un interval Ie de tempE
- 154 -
N. Rouche de longueur T, car si tel etait Ie cas, on aurait pour cette solution
< - tT
~
-(VE(to, XO) + a +
~b)
C.Q.F.D.
ce qui est absurde.
Autre demonstration du meme theoreme. Nous conservons les defini tions des trois ensembles E(E), G(E) et H(E) , et repartons de l'observation (5.1). Montrons qu'une solution ne peut demeurer dans G(E) pendant un temps egal ou superieur
aT
=
2b/l;. En effet, I W(t,x) I etant ;;;. I; sur
G(E), on aurait au cas contraire, et puisque West continue, 2b
> I W(t+T)
- Wet) I
=
t +T t I W(o)1 do ;;;. I;T
J
=
2b,
ce qui est absurde. Posons y
= min{6T,
6n/2M}
> O.
k
+ sup(V(to,xo) : Xo E N\ BEl} et T(to)
= min{i
EN : yi ;;;. a +
kr , 5upposons. par l'absurde, que
la solution puisse demeurer dans N\ BE pendant l'intervalle de temps [to, to + T]. Decoupons cet intervalle' en k sous-intervalles de longueur T : [to +
(i-~)T,
to + iT]
i=1 . . . .,k.
Alors, pour chaque i, de deux choses l'une : (1)
ou bien x(t) E H(E) pour tout t E I, et V(to+iT) - V(to+(i-11T)
(2)
0 00
et T' E [O.w[ t elles que d(x(t).N »O quand t
+
w. car autrement il existe-
rait un point de A+ en dehors de N. ce qui est e xclu en vertu du theoreme 6 .1 . Oon c. pour T assez grand. T '
0
pour t E [ti,T i[.
p
Observons que x (t )
+
00 quand t
+
W, t E
U
1";;;i 0)
~
= O.
W
j
0 ;
(3a E K) (3A > D) (Vt
wet )
el
~
(ii i) D + ~ ( t ) ~ - a (w( t) ) ; (iv)
D+w(t) ~ A ou D+w(t ) ~ - A
aZor s wet)
~
0 quand t
~
00 .
Preuve. (a) lIn' existe pas de paire de nombres e: telle que wet)
~
e: pour tout
t~
>0
et 0 E ]a,oo[
o. 5i c'etait Ie cas, l'inegalite (iii)
serait valable pour tout t >0, et puisqu 'alors D+ ~(t) ~ - a(e:), ~(t) ten drait vers -
00
quand t
~
00,
ce qui est exclu par (i) .
(b) Donc si wet) ne tend pas vers 0, il existe un e:
>0
{t n}, {Tn} tel les que tn et que, de pl us
~ 00
quand
n
~ 00
_et- deux suites
- 168 -
N. Rouche avec
2£
et
£
(7.1 )
ou bien
c
et
2£.
(7.2)
8i c'est la seconde partie de l'hypothese (iv) qui est vraie. nous utiliserons les egali tes (7.1). Al or-s , puisque pour tout t +
D
E
- A. on a Tn - t n ~ £/A et donc ~(Tn) - ~(tn) est absurde. car alors ~(t) tendrait vers -00 quand t ~ ~(t) ~
[tn' Tn] ~
- £ a(£)/A. Ceci Le raisonnement
00.
serait analogue si c'est la premiere partie de l'hypothese (iv) qui est vr ai e .
C.Q.F.D. comportement asymptotigue des solutions guand W
00
et gue Ie se-
cond membre n'est pas borne. Theoreme 7.1. (solutions arbitraires). Boit 8 c
n et soient
V
et~
deux f onctions de I x n ~ RJ ZocaZement Zips chi t ziennes en x et continues. S'i Z existe deux nombres A,B > a et une fonction a E K teZs que pour tout J
(t.x) E I x 8 : ( i)
~(t.x) ~
a
(ii)
Vft.x)
- A
~
(iii) D+V(t.x) ~ - a(~(t.x)) (i v)
D+~ ( t • x I ~ - B ou D+~ ( t • x l ~ B
aZors ~(t,x(t)) ~ 0 quand t que ZZes w = 00 et x (J +) C 8.
~
00
l
pour toutes Zes soZutions x(t) pour Zes-
Ce theoreme se deduit immediatement du lemme fondamental. On peut diminuer quelque peu l'exigence d'une borne inferieure pour V : la conclusion se maintient. mais seulement pour les solutions qui ne tendent pas vers l'infini quand t
~
00.
C'est ce qui fait l'objet du theo-
reme suivant. Theoreme 7.2. (solutions qui ne tendent pas v~rs l'infini). Boit
8 C n et soient V et ~ deux fonctions de I x n ~ RJ ZocaZement Zipschitziennes en x et continues. B'iZ existe un nombre B > a et une fonction a E K teZs que J pour tout (t.x) E I x 8 :
- 169 -
N. (i)
~(t,x) ~
0
I
(iii) D+V(t~x) ~ - a($(t,x))
(iv)
Rouche
J
O+$(t,xJ ~ - B OU D+~(tIX) ~ B
si de plus (i i)' pour tout compact C c S. il existe un A> 0 tel que V(t,x) ~ - A sur I x C I alors ~(t,x(t)) + 0 quand t + ~ pour toutes l es solutions x(t) qui ne tendent pas vers l'infini quand t + ~ et pour l esque l l es w = ~ et x(J+) C S. Preuve. Pour une solution du type mentionne, il existe un compact C et une suite {t n} tendant vers l' infini, tels que pour tout n : x(t n) E E C. Alors en vertu de (ii)', Vet) qui par ailleurs est decroissante, ne tend pas vers
-~
quand t
+~ .
a
lemme fondamental entraine
Oonc elle admet une borne inferieure, et Ie nouveau la proposition annoncee. C.Q.F .O.
Ces deux theoremes admettent chacun un corollaire interessant obtenu en identifiant ~
a-
V, ce qui fait qu'il ne reste plus en jeux, com-
me dans Ie theoreme 6.1 relatif au cas autonome, qu'une seule fonct ion auxiliaire. Le corol laire suivant est celui qu'on tire du theoreme 7.1. Corollaire 7.1. Boit
sen et V une fonction
de I x
n + R te lle que
V(t,x) existe. soit localement l ipschitzienne en x et continue
j
s'i l
existe deux nombre A et B tels que. pour tout (t,x) E I x S : (i) V(t, x) ~ 0; (ii)
V(t,x)
~
- A
I
(iii) O+V(t,x) ~ - B ou O+V(t,x) ~ B
~lors V(t,x(t)) + 0 quand t ~uelles w = ~ et x(J+) C S.
+
I
~ pour toutes l es so lutions ~(t) pour les-
Nous passons sous silence Ie theoreme analogue pour Ie theoreme 2, qui est evident. Pour Ie cas d'une fonction
~
independante de t, Ie theo-
reme 7.2 admet Ie corollaire suivant, voisin du theoreme 1(b) de J.P. LaSalle [1968].
- 170 -
N. Rouche Corollaire 7.2. Soit S un sous-ensemble de
n.
ferme relativement d n ; "soi t V : I x n + R une fonction Looal.ement: lipschitzienne en x ei: continue. et soit ~ : n + R une fonction localement lipschitzienne ; s'il existe un nombre B > 0 tel que. pour tout (t ,x) E I x S : (i)
~(x) ;;;.
0
(ii)
o+V(t,x) ~ - ~(x)
(iii)
0 ~(t,x) ;;;. - B
+
ou
+
0 ~(t,x) ~ B
si de plus (ii') pour tout compact C
sur I xC; alors A+ nne E = {x
lesquelles w
00
et
c s.
~(x)
E S +
x(J )
il existe un A> 0 tel que V(t.x) ;;;. - A
nl, paUl' toutes Lee solutions x l t
)
pour
c S.
Preuve. Si la solution consideree tend vers l'infini quand t
+
00,
son ensemble limite est vide et la these est trivialement satisfaite. Au cas contraire, la solution est telle, d'apres Ie theoreme 7.2. que
n, E est f errne dans n. S'il existait un point x* de A+ dans n\ E, sa distance a E serait stric~(x(t)) .+
0
quand t
+
tement positive. oonc
00.
Puisque S est ferme dans
~(x(t))
ne tendrait pas vers 0 quand t
+
00.
C.Q.F.o. On deduit encore de ce corollaire que A+ C E U ticulier si
sen,
(as nan) .
En
+
alors ACE. C'est la situation decrite dans Ie theo-
reme 1 (b) de LaSalle, ou de plus les conditions de .r egul ar i t e imposees
a
~
sont un peu differentes des notres. Le theoreme 2 n'envisage que les solutions qui ne tendent pas vers
l'infini, ce qui est une restriction importante. La these du corollaire 7.2 n'est pas beau coup plus satisfaisante. en ce sens qu'elle laisse aux solutions la liberte de tendre vers l'infini n'importe comment. On arrive
a
une conclusion plus nette dans Ie corollaire suivant. Coro Haire 7.3. Si on ajoute ala: hypotheses du coro Haire 7.2 que
pour tout xES : ~(x) ;;;. e ld l x .El l pour une certaine fonction a E K. alore x l t l + E quand t + 00.
- 171 -
N.
Rouche
Comportement asymptotigue des solutions pour w guelcongue et f(t,x) borne de guelgue faxon. L'hypothese w
=
00,
que nous avons maintenue jus-
qu'a present, n'est parfois pas facile a verifier. Qui plus est, elle n'est pas toujours verifiee, comme nous en avons vu un exemple dans la le90n precedente. O'ou l'utilite des theoremes suivants, dans lesquels w peut etre fini, mais ou on a dO, en contre-partie, imposer une sorte de borne locale a f(t,x) et se contenter d'une conclusion moins forte.
ferme reZativement a n j soient v et ~ deux fonotions de I x n + R. ZooaZement Zipsohitziennes en x et oontinues j si.pour tout oompaot C c 5. iZ existe trois nombres A,B et 0 > 0 et une fonotion a E K. teZs que pour tout (t,x) E I xC: Theoreme 7.3. Boit 5 un sous-ensembZe de
(i)
IIf(t,x)1I .;;; A
(ii)
~(t,x) ~
0
(iii)
v I t ;»)
(iv)
o+V(t,x) ~ +
o
(v)
aZors ~"'(t)
n.
~ -
~(t.x) ~
B a(~(t,x))
- 0 ou 0
+
~ (t, x l
min {~( t , x (t JJ, d (x Lt l ,
.;;; 0
am,
I
1
1 + II x (t) II}
0
+
+
quand t +W. pour toutes Zes soZutions x(t) teZZes que x(J ) C Preuve. 5i min{d(x(tl,
am,
1
1 + IIx(t)lI}
+ 0
quand t
s.
w, il n'y
+
a plus rien a derncntr-er-. 5i ce n'est pas Le cas, il exf s t s un E, O<E 0, i.l: existe deux nonbree A et Bet une fonction a E K, tele que, pour tout (t,x) E I x (S\ (M,p)) (i)
IIf(t.x)II";;; A
(ii)
W(t,x);;' 0
(iii) V(t,x) ;;. -
j
B
(iv) O+V(t,x) ..;;; - a(d(x,M))
aZors x(t)
+
M quand t
+
w, pour toutes Zes soZutions x(t) teZZes que
x(J+) C S. Notons en terminant qu'outre leur interet propre, les propositions demon trees dans la presente
le~on
peuvent encore servir
a
etendre au cas
non autonome des theoremes comme Ie theoreme 6. 2. Nous n'aurons pas Ie loisir de nous etendre davantage ici sur ce point.
- 175
~
N.
Rouche
Une solution Est dans la prison Riguedondaine Tout' les solutions Sont dans la prison Riguedondon.
Huitieme leyon. Proprietes d'invariance des ensembles limites. OU l'on verra comment la regularite des solutions par rapport aux variations du second membre et des conditions initiales entraine fort simplement l'une ou l'autre forme de pseudo-invariance des ensembles limites. pour des equations que Monsieur Prudhomme aurait sans doute appelees asymptotiquement presque periodiques.
Si une
~olution
x(t) d'une equation differentielle x
f(t.x] pos-
sede un ensemble limite A+(x) compact. nous savons que x(t) ~ A+ quand t
~
w. II est meme evident que ce resultat est Ie meilleur qu'on puisse '
obtenir. en ce sens qu'il n'existe pas de sous-ensemble compact de A+ ver: lequel la solution tende quand t ce n'est
a
~
w. Mais si c'est Ie meilleur resultat.
coup sur pas Ie plus commode. car pour identifier l'ensemble
limite. il faut d'abord connaitre explicitement la solution. ce qui n'est pas commun. Fixons un moment notre attention sur Ie cas d'une equation autonome et d'une solution dont l'ensemble limite est compact et contenu dans 5i nous
disposon~.
n.
comme dans Ie theoreme 6.1. d'une fonction Vex) appro-
priee. nous savons que x(t) ~ E
= {x En: vex) = o}. quand t ~
00.
Ce re-
sultat est immediatement amsliors de la maniere suivante : A+ stant semiinvariant. x(t) tend vers Ie plus grand sous-ensemble semi-invariant de E. La valeur
prati~ue
de cette observation est d'autant plus grande que
la semi-invariance et son contraire sont des propristss habituellement faciles
a
reconnaitre.
- 176 -
N. Rouche Comme indique dans la septieme le90n, et plus particulierement dans les corollaires , on trouve aussi sans trop de peine, dans Ie cas non autonome, une sorte d'ensemble Evers lequel la solution tend quand t
+
00.
Mais comme l'ensemble limite ne possede plus de propriete d'invariance, on en reste la, sans possibilite de designer un sous-ensemble propre de E vers lequel la solut ion tendrait aussi quand t
+
00.
On voit comme il serait important de reconnaitre des classes particulieres d'equations non autonomes pour lesquelles les ensembles l imites possederaient l'une ou l'autre propriete semblable a la semi-invariance et en tous cas, facile a identifier. On ameliorerait ainsi d'un seul coup la plupart des resultats exposes dans la septieme le90n. Tel est l'objet du present expose : les classes d'equations visees sont, en gros, celles des equations periodiques, presque periodiques, asymptotiquement autonomes et quelques unes de leurs generalisations. Les proprietes de pseudo-invariance que nous voulons demontrer s'obtiennent comme corollaires d'une theoreme general sur la regularite des solutions par rapport aux variations du second membre et des conditions
initiales~
Nous exposerons ce theoreme explicitement, transgressant
ainsi pour une fois la regIe que nous nous etions donnee de n'exposer en detail que des problemes ou la stabilite etait directement en cause. De plus, nous choisirons un cadre de travail un peu plus general que precedemment, a savoir celui des equations differentielles a la Caratheodory. Notations, hypotheses generales. Soit ~ un domaine de R x Rn et soit F l'espace des fonctions f(t,x) de
~ +
Rn possedant les proprietes
suivantes : (i)
fest L-mesurable en t pour tout x fixe
(ii)
f est continue en x pour tout t fixe ;
(iii) pour tout compact K C b
= sup{t
~,
si on pose a
= inf{t
: (t,x) E K} et
: (t, x) E K}, il existe une fonction reelle mK(t) definie sur
[a,b], telle que, pour tout (t,x) E K : "f(t,x)11
< mK(t)
et que de plus,
ou bien mK(t) est L-integrable et bornee presque partout sur [a,b], ou ~, pour un certain p E ]1,00[, mK(tl P est L-integrable sur [a,b].
- 177 -
N . Rouche Ici comme precedemment II-II represente une norme quelconque sur Rn • II sera commode par endroits de la considerer comme une norme euclidienne, deduite d 'une produit scalaire que nous noterons (-I'), de telle sorte que 1I~12
= (x I x) pour tout x ERn. Selon l 'usage, nous ne distinguerons F quand elles sont equivaZentes, c'est-a-dire
pas entre deux fonctions de
quand, pour x fixe, elles different sur un sous-ensemble de mesure nulle de l'ensemble adequat des va leurs de t. Introduisons maintenant une topologie sur F. Soient f et g deux fonctions de F et K un sous-ensemble compact de
~.
Si ZK est la famille
des fonctions continues zIt) definies sur un certain intervalle J z C R, K, nous definissons
a valeurs dans Rn et telles que leur graphe soit dans
(8.1 )
II est clair que dK est une semi-distance sur F. La famille de semidistances dK' parametree par l'ensemble des compacts
KC
~.
fournit la
topologie souhaitee. A cause de (i), (ii) et du fait que nous one distinguons pas entre fonctions equivalentes, cette topologie satisfait a l'axiome de Hausdorff. II en resulte qu'en considerant une su ite de compacts K1 ,
K2 ,
•••
telle que K1
C
K2
C
et que
et la sous-famille correspondante de semi-distances dK.' nous pouvons ~
construire une distance par Ie procede bien connu. Soit d(f,g) cette dis tance. Nature llement, si {fi} C Fest une suite quelconque, dire . que ·f i pact
+
00· est une maniere abregee de dire que ·pour tout comdK(fi,g) + 0 quand i + 00·.
g quand i
KC
~,
+
Nous envisagerons ci-dessous, pour un point .(t o, xo) E
~
et une
fonction f E F, Ie probleme de Cauchy ~ = f(t, x),
x l t s J = xe .
(8.2)
De meme, nous aurons aussi a considerer une suite de problemes semblables
- 17 8 -
.N . Ro uc he 1 ,2 , ...
i
(8 .3 )
Les hypothe s es (i ), (i i) et (i ii) garan t issent que, par tou t poin t ( to, xo) (resp. (toi, xoi ))' passe au moins une s ol ut i on
a
la Cara t heodor y du pro-
bleme correspo nda nt (8. 2) Ir-esp , (8.3)). Toutes l es so lutio ns en visagees ci- dessous devront etre comprises au s ens de Cara t heodory. Dans notre premier th eoreme, les trajectoires de toutes les solutions consid er ees s er ont contenues dans un sous-ensemble cylindriq ue T de ~,
defi ni comme s ui t : T
II x
-
=J x
B, ou J
xoll .,;; r}, pour deu x quanti tes
~
= [to -
>0
et r
~,
> O.
to
+ ~]
et B
=
{x E Rn :
La seu Ls fonction
mK(t) de l'hypothese (iii) qui sera utilisee ci -dessous sera associee au compact T et
a
la fo nction f
nous ne provoquerons aucun malentendu en
l' ecrivant simplement m(t). Theor eme 8 . 1 . Dans aes hypot hese s genera l es, si (tOi, xoi)
~(to, xo )
et f i ~ f quand i ~ co, ei: si {xi: J ~ B} ee t .une sui t e de solut i ons du pr obleme aorrespondant ( 8.3), alors : (a) iZ exis t e une sous-suite {xi( k) : k = 1 , 2 , ••. } et: une fo nation x : J ~ B tiel/ie que xi ( k) Lt l ~ x l t l quand k ~ co, uniformement pour t E J ; (b ) x( t) est sol ut i on du prob l eme (8. 2) ; (c ) s 'il n'exis t e pas d 'autre solu t i on du probleme ( 8. 2), xi (t ) ~ x ( t) quand i ~ co, uni f ormement: pour t E J. ~' .
(a) Les Xi sont unifo rmement bornees , puisque l eurs tra jec-
to ires sont dans T. Donc on obtiendra la t hes e (a ) d'Ascoli, si on arrive
a
a
partir du t heoreme
montrer que les Xi sont equi -continues. C'est ce
que nous allons faire. Pour chaque Xi ' nous savons que Xi (t )
= xi o
+
Jt
fi(T,xi(T))dT. toi
5i tl' t2 sont deu x points que lconques de J, on a
(8.4)
- 179 -
N. Pour p
>1
5i p
1 et que M est une borne de met). on obtient
et q
p/(p -1). on tire de l'inegalite de Holder que
Dans les deux cas. et puisque f i (b)
Rouche
+
f. on obtient l'equi-continuite des xi'
Pour plus de simplicite. ecrivons dorenavant {Xi} au lieu de
{xilk)} pour la suite uniformement convergente dont l'existence vient d'etre demontree. On deduit de (8.4) que
Xi(t)
= xio
+
+
Jt f(T.X(T))dT toi
+
Jt [f(T.xi(T)) - f(T.X(T))]dT toi
(8.5)
Jt [fi(T,Xi(T)) - f(T.Xi(T))]dT. tOi
Mais. pour p
> 1.
IIJt [fi(T.Xi(T)) - f(T.Xi(T))]dTII';;;; toi
[JJ
IIf(T,Xi(T))-
et. grace au theoreme de convergence dominee. nous voyons que Ie second membre de cette inegalite tend vers 0 quand i
+
00.
De plus
IIr fi(T.Xi(T)) - f(T.Xi(T))dTII ,;;;; dT(fi.f) It - tOil toi
1/ q
- 180 -
N. Rouche De nouveau, Ie second membre tend vers 0 quand i limite pour i
~
00
~ 00.
En passant
a
la
dans les deux membres de (B.5), on voit que x(t) est
solution du probleme de Cauchy (B.2). Le cas p
= 1 se traite de maniere
analogue. Cette partie de la these est evidente.
(c)
C.Q.F .0.
En vue d'etendre au mieux les conclusions de ce theoreme aux solutions non prolongeables, nous demontrons d'abord Ie lemme suivant. Lemme B.1. Soient 'P b 'P2 deux eneemblee ouverts bomee , avec ~I C 'P 2 C ~2 C 'P. IZ existe deux quantites ~
tout (to,xo) E 'PI (a) Ze ayZindre de Zongueur
2~.
>0
et r
> 0 't e ZZes
que. pour'
rayon r et centre (to,xo) est contenu
dans 'P2 ; (b) pour toute suite {fi} teZZe que f i
~
f quand i
~
00.
et pour toute
suite {(tOi,xoi)} C 'PI. teZZe que (toi,xoi) + (to,xo) quand i ~ 00. et pour i assez grand. toutes Zes soZutions des probZemes de Cauchy (B.2) et (B.3) existent sur Z'intervaZZe [to - ~, to + ~] et ont Zeurs trajectoires contenues dans Ze ayZindre mentionne en ,( a ) . Preuve. On choisit r
'PI
a
a'P2' et
~.
>
0 inferieur
a
la moitie de la distance de
,«)
et au compact 'P2. Tout cy-
tel que
i
to
to -
ou met) est esaocd ae ici
r
+ ~,
a
mf t l d'r ~,
< 4'
la f orict.Lon f I t
lindre compact de rayon r, longueur
~
= min{r,~'} et centre (to,xo) E 'PI
est contenu dans 'P2 et donc la these (a) est demontree. D'autre part, la these (b) est evidente pour les solutions du probleme (B.2). Soit donc (toi,xOi) une suite de points tend ant vers un point donne (to,xo) E 'PI' et choisissons un entier N tel que, pour tout i ~ N : d(fi,f) (2~)1/q et ilxoi - xoll
1,
[fi(T,xi(T)) - f(T,xi(T))]dT + Jt f(T,xi(T))dT. toi
on deduit de cette egalite que
Donc xi(t) ne touche pas la
fro~tiere
de
~2,
et par consequent ne peut
pas cesser d'exister sur [to - i, to + i], ce qui est absurde. Que cette meme solution demeure dans Ie cylindre resulte des inegalites ci-dessus. La preuve pour p
= 1 sera omise ici.
Theoreme 8.2. Dans les hypotheses genera les ci-dessus, soit {f i}
une sui te telle que fi que (toi, Xoi)
+
+
(to, xo) E
f quand i ~
quand i
+ ~
et {(toi,xOi)} C
+~.
~
une suite telle
Pour i = 1,2, ••• , soit
+ Rn une so lution non pro l ongeable de ~ i = fi(t, xi)' = xoi. Alors il existe une so luti on non pro l ongeable x : ]a,w[ + Rn du pr obleme (8 .2) et une sous-sui t e croissant e {ilk) : k = 1,2, ••• } telle
Xi : ]ai' Wi[ x(toi)
que, pour tout t1' t2 avec a < t1 < t a O
y+ an d the "lower Yal ue " Y- of the "continuous" game as +
( 8)
Y = lim
S'- 70
+
Y,:,-'
Y~ . c
I f y+ = Y- , we call it the "Yalue" of t h e game and deno te i t by Y = y+ = Y- . In gen er al , y+ and Y( and possibly Y) depend on t he initial cond i tion (to ' x o ) of the ga me . It is important t o consider t he pro perties of these func tions Y+( to ' x O) and Y- (to ' x O) . It can be shown that under the assumptions ( A), (B), y+ (-~ , x ) and Y- (t , x ) are lipsch it z continuous in ( t,x),
un iforml y in b oun ded subse t s of [0, TJ J< Rn . (see l2 J). 3. Comparison theorems. The idea of g i ving an es tima te of t he Value of a differen tial game , by upper an d lower bounds, seems nat ura l ( £4], [5 J,
~ 6J).
To tha t purpose we give t he
following comparison theorems ([2J). In order t o s tat e them ve int ro duce the f ol l owing expre ssions: (9 )
H( p , t , x , u ,v ) = p f( t,x,u, v) + h(t,x,u, v),
where p is an n-dimens ional row vec tor; ( 10)
1
H+( p , t , x ) =miu max_ H( p ,t , x , u , v ) , u :: U VE Y H- (p, t,x) = max min H(p,t,x,u,v). v °sufficiently
~
>
°we will show that
there is
small, so that i t is possible to
give a strategy for player "u" in the upper
a game,
such that for any admissible control v(t), the corresponding payoff results P
V;::=;
~
U(to'xo) +
c. Hence
U( to ,xO)'
as his optimal choices u j(t) may be better but never worse (he is minimizing!) t han the strategy we are going to indicate. For every t ~ CO, T], x ~ Rn t h er e is a u* c IT such that ;:'U * H( ~,t,x,u ,v) $ H+(~U ax,t,x )
for all v c
V.
This 'ch oi c e defines u* as a function
- 204 -
E . O . Roxin
u*(t,x). Our strategy for player "u" will be that, in each subinterval I j +1 = (t j,t j+ 1J , he chooses the constant con trol u j +1(t) = u*( tj,x j), where we write xj
= x(t j).
He knows, indeed, x(t j) when he has to
choose u j+ 1(t). Wi t hin each subinterval I j +1 we estimate:
Ii x( t) - x jli
c s,
~
Ilf(t,x(t),u(t),v( t»
- f( t j,xj,u(t), v( t»II~ Y7( ~ ),
!h(t,x(t),u(t),v( t»
- h(t j,Xj,u(t),v( t»I ~ ?( 0),
1I ~~(t,x(t» - ~~ (tj , X j ) \I~ Vj(e5), IH+( ~~(t,x(t»,t,x(t» where
."1 ( 5)
~
0 as
- H+ (~~( tj , X j ) , t j , Xj ) \ ~ 1 ( ~ ) '
S ~ o.
Let wet) = u(t,x( t) +J
rt
h(s,x(s),u(s),v(s» ds to be defined during the evolution of the differential game. Then , for
~.
sUfficiently small,
d~tt) = ~~ + ~~ f(t,x(t),u(t),v( t»
+
+ h(t,x(t),u(t),v(t»
= ~(t,x(t»
=
+ H (~~ ( t , x ( t » , t , x( t ) , Uj , v ( t » ~
- 205 -
E. O.
s tr
~rr(tj,Xj
+?:U f. + H (.3''i(t j,X j),t j,X j) + T - to ~
)
6
~
Hencew(T)
~
w(t O)
T - to
+~,
U(T,x(T»
Roxin
or
+JT h(s,x,u,v) ds to
::s U(to'xo)
+2. ,
By (12) we get g(x(T»
+J:T h(s,x,u,v) ds to
~
U(to'xo ) + t.
As the left member is the payoff of this game, the desired result (13) follows as explained before. Theorem 2. Given the fixed time differential game (1), (2), (3'), (4), satisfying conditions (A), (B), and given a real valued function W(t,x), continuously differentiable in [O,T]x'Rn, such that (14)
+ 2>"'1 ~t + H (~x,t,x) ~ 0
oW
and W(T .x )
~
g(x),
then (16)
V+(t,x)
~
W(t,x).
The proof is similar to the previous one. With the aid of these two theorems it is possible to give upper and lower estimates of V+(t,x), Similar theorems can be given for V-(t,x).
- 206 -
E . O. Roxin ,
From these theorem it also follows that the functions Y+(t,x) and Y-(t,x) can be found by solving the "Hamilton-Jacobi" partial differential equation llY+
+ ,::;y+
~ + H
(17 )
(ux ,t,x) = 0,
C1Y- cY~ + H (~,t,x)
= 0,
with the "final value" condition (18)
= Y-(T,x) = g(x). H+(p,t,x) = H-(p.t,x),
V+(T,x) In the case
the well
known Isaacs equation results for the Value V(t,x) «(3J). 4. Differential game dynamical systems. We may consider the dynamics of a differential game, that is the differential equation (1) together with the admissible control sets U, Y, without specifying any terminal condition nor payoff. We may be interested to study, in some way, all possible developments of the game. This corresponds to the "attain.abl e set" approach in optimal control theory. Consider, for instance, the autonomous differential game x u(t) EO
U,
= f(x,u,v), vet) to
V,
(rr, V compact
sets)
under the same assumptions (A) as above. Assume that player "u" is interested in keeping
- 207 -
Eo O . Roxin
x(t) within some region A (not specified at this moment). The problem arises to find some regions A where this is
possf~le.
This is clearly a problem of positively
invariance of the set A, under the assumption that "u" wants it that way but "v" may be opposed. Related to invariant sets are problems concerning stability. In order to show that such a kind of problem may be reasonable and can be treated by methods strongly related to the second method of Liapunov, we give the following example which may also be phrased as a "u"-stability of the origin under the given conditions. Theorem 3. Consider the differential game dynamical system (19), satisfying conditions (A). Assume that x
=°is
a rest point, in the sense that there
are admissible controls, which we label as u such that f(O,O,O)
= 0,
v
= 0,
= 0.
Let there exist a positive definite C1-function U(x) such that in some neighborhood of x H+ (~~, x ) = o
min max ueLl'veV
[~ ~
f (x, u, v )]
Then, i f x(O) = 0, given any
c.>
= 0, ~ 0.
0, player "u"
can steer the system for any admissible v(t), in such a ''lay that for all t>-: 0, 1/ x( t) II~ e. • Here it should be understood that the "continuous" game is to be played as a ~/ game with 8 "sufficiently
- 208 -
E . O.
Roxin
small". The proof is an apllication of the ideas in the proof of theorem 1 . We first subdivide the half-l i ne
L0, co
°
) in a denumerable se t of intervals by the points
T1 < T2 < •..• In the first interval [ O, T1] we consider
