Quadratische Formen (Springer-Lehrbuch Masterclass)

Kneser Quadratische Formen

Springer Berlin Heidelberg New York Barcelona Hongkong London Mailand Paris Tokio

Martin Kneser

Quadratische Formen Neu bearbeitet und herausgegeben in Zusammenarbeit mit Rudolf Scharlau

Springer

Professor Dr. Martin Kneser Guldenhagen 5 37085 Gottingen, Deutschland

Professor Dr. Rudolf Scharlau Universitat Dortmund Fachbereich Mathematik 44221 Dortmund, Deutschland e-mail : [email protected]

Die Deutsch e Bibliothek - CIP-Einh eitsaufn ahm e Kneser,Martin:

Quadratische Formen I Martin Kneser, Neu bearb. und hrsg . in Zusammenarbeit mit Rudolf Scharlau.· Berlin ; Heidelberg ; New York; Barcelona ; Hongkong; London; Mailand; Paris; Toki o: Springer. 20 02 ISBN3-540-64650'7

Mathematics Subject Classification (2000): 11-02, 11E04,l1E81 ,l1E88.11E08, 11E12, 11E57, 11E41. 11H55

ISBN 3-540-64650-7 Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York

Dieses Werk ist urheberrechtlich geschutzt. Die dadur ch begrilndeten Rechte, insbeso nde re die der Ubersetzung , des Nachdrucks, de s Vor tra gs. der Entnahme von Abbildung en und Tabellen, der Funksendung. der Mikroverfilmung oder der Ver vielfaltigung auf anderen Wegen und der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen, bleiben , auch bei nur auszugsweiser Verwertung. vorbehalten. Eine Vervielfaltigung dieses Werkes od ervon Teilen dieses Werkes ist auch im Einzelfall nur in den Grenzen der gesetzlichen Bestimmungen des Urheberrechtsgesetzes der Bundesrepublik Deutschland vom 9. September 1965in der jeweils geltend en Fassung zulassig. Sie ist grundsatzlich vergiltungspflichtig. Zuwiderhandlungen unterliegen den Stratb estimmungen des Urheberrechtsgesetzes. Sprin ger. Verlag Berlin Heidelberg NewYork ein Unternehmen der BertelsmannSpringer Science+Business Media GmbH http://www .springer.de CO Springer. Verlag Berlin Heidelberg 2002 Print ed in Germany Die Wiedergabe von Geb rauchsna men, Hand elsnarnen , Warenbezeichnungen usw.in diesem Werk b erechtigt auch ohne besondere Kenn zeichnung nicht zu der Annahme, daB solche Namen im Sinne der Warenz eich en· und Markens chutz -Geselzgebung als frei zu betrachten waren und dah er von jede rmann benut zt werden durften . Einbandgestaltung: design e-produaion, Heidelberg Satz: Datenerstellung durch R.Scharl au unter Verwendung von ~1EX Gedruc kt auf saurefreiern Papier SPIN 10683216

44/3142ck-5 4 3 2 1 0

Einleitung Zu den altesten und wichtigsten Problemen der Zahlentheorie gehort die Losung diophantischer Gleichungen, also algebraischer Gleichungen in ganz en (oder rationalen) Zahl en. Nach relativ einfach zu behandelnden linear en Gleichungen (oder allgemeiner Systemen) liegt es nahe, quadrat ische Gleichungen zu betracht en, insbesondere Gleichun gen der Gestalt

wo f( X l , . . . ,xn )

=

L

a ij Xi X j

l ::;i ,j ::;n

eine quadratische Form mit ganzen Koeffizient en a ij ist . Mit solchen Problemen wollen wir uns in dieser Vorlesung beschaftigen , Die erste n wesentlichen Er gebnisse hierzu stammen von Ferm at (1601 - 1665), iiberwiegend allerdings ohne Beweise, die erst gut 100 J ahre spater von Eul er und Lagrange geliefert wur den, darunter z.B. die Darstellung natiirlicher Zahlen als Summen von zwei bzw. vier ganz en Quadraten. Weitere Er gebnisse stammen von Gauss (Summen von drei Quadraten) und J acobi (Anzahl der Dar stellungen als Summen von vier Quadraten). Wichti ge For tschritte auf dem Gebiet der quadratischen P robleme verda nken wir dann Hermann Minkowski. Im Jahr 1881 hatte die Pariser Akademie als Preisth ema das Problem der Zerlegung ganzer Zahlen in eine Summ e von funf Quad raten gest ellt, ohne zu bemerken, daB der angesehene englische Mathematiker Henr y J .S. Smith bereits 1868 in den P roceedings of the Royal Society of London einen wesentlichen Beitrag zur Losung des Problems veroffent licht hatte. Minkowski geht in seiner (als siebzehnjahriger Student geschriebenen!) Preisarbeit weit tiber das gestellte Thema hinaus und erhalt - wie auch Smith- den vollen Preis zuerkannt, obwohl seine Arb eit aus Zeitnot nicht wie verlangt in franz osischer Sprache abgefasst war. Mit der Preisarbeit und der bald danach in Konigsberg vorgelegten Inaugur aldissertation hat Minkowski die T heorie der ganzzahligen quadratischen Formen in beliebig vielen Variablen begriindet . Doch zurii ck zu unserer Gleichung (*). Notwendig fiir ihre Losbark eit ist es offenbar , daf die entsprechende Kongruenz

fiir jeden Modul m eine Losung besit zt , und daB t das richtige Vorzeichen hat , falls f definit ist . Man che der erwahnten klassischen Resultat e besagen gerade, daf diese Bedingungen in den behand elten Fallen auch hinreichend sind . Das ist ab er durchau s nicht immer so. Hier war es Helmut Hasse, der

VI

Einleitung

1921 in seiner Dissertati on bemerkte, daf man zweckma lligerweise die Henselschen p-adischen Zahlen Qp heranzieht und zunachst auf Ganzzahligkeit verzichtet . Er beweist dann den "Sat z von Minkowski und Hasse", wonach die Gleichun g (*) genau dann in rationalen Zahlen Q losbar ist , wenn sie es flir jede Primzahl p in Qp und auBerdem in den reellen Zahlen lR ist. Die entsprechende Aussage mit Forderung der Gan zzahligkeit , also mit Z statt Q und den ganzen p-adischen Zahlen Z p st at t Qp , ist , wie schon gesagt, nicht allgemein richtig , da die Losbarkeit der Kongruenz (**) fur alle Moduln m gleichbedeutend ist mit der Losbarkeit der Gleichung (*) in Zp fur alle Primzahl en p. An die Stelle dieser Aussage tri tt der schwierigere aber fund am entale "Satz von Minkowski und Siegel" aus dem J ah r 1935, fur dessen Formuli erun g hier auf Kapitel X verwiesen sei. Sein Beweis (mit Hilfe von Adelen und Haarschem MaB) ist eines der Haup tziele dieser Ausarbeit ung, die grob gespro chen aus zwei Teilen besteht : Einem algebraischen (Ka p. I - V) , in dem der Grundring allgemein oder nur durch st rukt urelle Vorgaben eingeschrankt ist , und einem arit hmet ischen (Kap. VI - X) mit Grundring Z bzw. Q. Wahrend wir in diesem zweiten Teil darauf verzichten, allgemeinere Grundringe, etwa algebraische Zahlkorper zu betracht en, hab en wir im erst en Teil dar auf geachte t, die Voraussetzungen so allgemein zu halte n, wie dies ohne Komplikationen moglich ist. Insbesondere hab en wir ste ts versucht , den Fall der Char akteristik 2 mit einzubeziehen , was sich gelegentlich, z.B. bei dyadischen Rechnung en auszahlt . SchlieBlich verwenden wir wie Ernst Wit t in seiner Habilitationsschrift von 1936 die geomet rische Sprache und betrachten quad ratische Formen als Funk tionen auf Moduln, die zwar mit symmetrischen Bilinearformen eng zusammenha ngen, in Char akteristik 2 aber durchaus von ihnen verschieden sind (§§ 1, 2). Aus dem hier skizzierten Gebiet der Arit hmetik quadratischer Formen hab e ich mehrfach Vorlesungen gehalt en. Ein e von diesen wurd e 1973/74 ausgearbeitet, spar er durch Anmerkungen historis cher oder sachlich-erga nzender Art erweite rt un d im einzelnen ilberarb eitet . GroBer Verdi enst am Zustandekommen der jetzt vorliegenden Neufassung gebilhrt Herrn Rud olf Scharl au , der mich tatkraftig unterstutzt hat und dem ich herzlich daftir danke. Mein Dank gilt dem Springer-Verlag nicht nur fiir seine gewohnt hervorr agende Arbeit, sondern auch fur die erwiesene groBe Geduld. SchlieBlich ein personl iches Wort. Es ist ziemlich gena u 50 J ahre her , daf ich als junger Assistent nach Munster kam, bald an Eichlers Seminar teilna hm, wo gerade die neuest en Ergebnisse aus seinem Buch Quadratische Form en un d orthogonale Gruppen besprochen wurd en. Da ich im Institut mein Arbeits zimmer mit Eichler teilte, hat te ich die besten Moglichkeiten, von einer Seminarsitzung zur nachsten die offen gebliebenen Fragen zu klaren und so die quadrat ischen Formen an der Quelle zu st udieren. Got tlngen , im Dezember 2001 Martin Kneser

Inhaltsverzeichnis

Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

v

I.

Bilineare und quadratische Formen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 Symm etrische Bilinearformen 1 2 Quadratische Formen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 3 Die orthogonale Gruppe und der Satz von Wit t 11 4 Lokale Ringe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

II.

Clifford-Algebren. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Konstruktion und wichtige Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Raum e kleiner Dimension 7 Zentren von Clifford-Algebr en 8 Spin gruppe und Spinornorm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..

21 21 27 32 36

III.

Witt-Gruppe und Invarianten quadratischer Formen. . . . 9 Die Wit t sche Gruppe 10 Diskriminante und Arf-Invariante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Die Invarianten von Minkowski, Hasse und Witt. . . . . . . . ..

41 41 42 44

IV.

Quadratische Formen tiber endlichen Korpern . . . .. . . ... 51 12 Klassifikation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 13 Anzahlb estimmungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

V.

Quadratische Formen tiber Bewertungsringen . . . . . . .. . .. 14 Hauptidealringe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 15 Bewertungsringe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 Lokale Korp er , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

57 57 62 66

VI.

Quadratische Formen tiber Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Die Witt-Gruppe von Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 18 Das quad ratis che Reziprozitatsgesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 19 Der Satz von Minkowski und Hasse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

71 71 74 78

VIII

Inhaltsverz eichnis

VII.

Quadratische Formen tiber Z 20 Reduktionst heorie.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 21 Klassen und Geschlechter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Darstellungen tiber Z

83 83 86 88

VIII. Approximat.ionssatze und indefinit e Formen . .. . . . . . . . .. 23 Schwache Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Starke Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 Spinorgeschlechter 26 Unimodulare Gitter

93 93 97 103 106

IX.

Nachbargitter und definite Formen 27 Unzerlegbare Git ter 28 Bestimmung von Klassen in einem Geschlecht . . . . . . . . . . . . 29 Dars tellungen durch eine einzelne Form

111 111 113 119

X.

Der 30 31 32 33 34 35

125 125 130 136 140 146 154

Satz von Minkowski und Siegel Klassen und Geschlechter von Darstellungen Adele und Haarsches Maf Darstellungsanzahlen in einem Geschlecht Der Satz von Minkowski und Siegel Schluf des Beweises Ein ige Beispiele und Anwendungen

Literatur

161

Index

163

I. Bilineare und quadratische Formen

In diesem Kapitel wird die grundlegende Theorie der symmetrischen Bilinearformen und quadratischen Formen tiber beliebigen kommutativen Ringen in geometrischer Sprechweise entwickelt. Naturgemaf ben6tigen Resultate wie der Wittsche Kurzungssatz oder die Erzeugung orthogonaler Gruppen durch Spiegelungen weitere Voraussetzungen insbesondere an den Grundring: dieser muf ein Korper oder ein lokaler Ring sein. 1st die Charakteristik ungleich 2 (oder besitzt allgemeiner 1 + 1 = 2 im Grundring ein Inverses ~) , so ent sprechen sich symmetrische Bilinearformen und quadratische Formen umkehrbar eindeutig. Andererseits gibt es in Charakteristik 2 Situationen, wo sich quadratische Formen besser verhalten als symm etrische Bilinearformen, so daf eine sorgfiiltige Unterscheidung angebracht erscheint. AIle in dieser Vorlesung vorkommenden Ringe sollen ein Einselement 1 haben, aIle Ringhomomorphismen Eins in Eins ilberfuhren, und fiir A-Moduln E gelte stets 1 · x = x fur aIle x E E. In diesem ersten Kapitel sind zudem aIle Ringe kommutativ.

1 Symmetrische Bilinearformen 1m folgenden ist A ein kommutativer Ring, E ein A-Modul und b : Ex E -+ A eine symmetrische Bilinearform auf E, also b(x,y) linear in x (bzw. y) bei festem y (bzw. x) und b(x ,y) = b(y,x).

(1.1) Definition a) Zwei Elemente z und y von E stehen senkrecht aufeinander oder sind orthogonal (bezuglich b), falls b(x,y) = 0 ist. b) Fur eine Teilmenge F von E nenn en wir FJ... = {y EEl b(F, y) = O} den zu F orthogonalen Untermodul. c) E heiBt orthogonale Summe der Untermoduln E l , .. . ,En, in Formeln E = E l .L . . . .L En = .Ll=l E i ,

wenn E direkte Summe der E, ist und b(E i , E j ) = 0 ftir i

=I j.

Fur einen A-Modul E bezeichne E* = Hom(E , A) den dualen Modul der Linearformen auf E . Fur den Wert einer Linearform u an der Stelle x schreiben wir auch u(x) = (x, u). M. Kneser, Quadratische Formen © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2002

2

I. Bilin ear e und quadratische Formen

r».

Wenn E = F ..1 F' ist , so gilt offensichtl ich F' ~ Umgekehr t fragen wir un s bei gegebenem Untermodul F , wann E = F ..1 F .l.. ist . Hierzu fiihr en wir den folgend en Modulhomomorphi smus bF ein:

(1.2)

bF : E --+ F *, (x , bF(Y») = b(x , y) , x E F , Y E E .

Man beachte, daB F .l.. genau der Kern von br ist. Unmitte lbar aus der Definiti on von bF ergibt sich folgendes Kriterium. (1.3) Fur einen Unt ermodul F von E gilt E = F ..1 F .l.. gena u dann , wenn br eine Bijektion von F auf bF(E) induzi ert , wenn also bF(E ) = bF(F) und F n F.l.. = {O} ist.

In der Tat driicken die angegebenen Bedingungen aus, daB es bei gegebenem Y E E gena u ein z E F mit bF(Z) = bF(Y), d.h . mit Y - Z E F .l.. gibt . Im Fall , daB F = Ae frei mit einem erzeugenden Element e ist, hat man eine einfache geometrische Deutung des vorangegangenen Satz es. Der Ansat z Y - ae E e.l.. fiihrt zu b(y, e) - ab(e, e) = 0, und das ist nach a aufl osb ar, wenn bF bijektiv, b(e, e) also invertierb ar ist. Die Komponente von Y in Ae : b(y, e) (1.4) pr e(y) = b(e, e) e bedeutet geometrisch die orthogonale Projekti on von y auf die Gerade Ae. (1.5) Definition Ein Modul mit symmetrischer Bilinearform (E, b) (oder auch einfach E oder b) heiBt nicht ausgeartet, falls be injektiv ist , wenn also E.l.. = {O} ist ; (E, b) heiBt regular, falls bE bijekt iv und E endlich erzeugt pr ojekti v ist.

Dab ei heiBt ein endlich erzeugte r Modul projekti v, wenn er direkter Summand in einem endlich erzeugten freien Modul ist. Im weiteren Verlauf werd en wir es fast ausschlieBlich mit freien Moduln zu t un hab en. Wenn (E, b) ein Modul mit symmet rischer Bilinearform ist und F ~ E ein Unt erm odul , so versehen wir F mit der Einschrankung b! FxF von b und konn en so z.B. davon sprechen, daf F regular oder nicht ausgeartet sei. Die zur Einschr ankung gehorige Abbildung bF : F --+ F* ist gleich der Einschrankung der obigen Abbildung br : E --+ F *. Hierdurch ist gerechtfertigt , daB in unserer Bezeichnun g br der Definitionsbereich E der Form b nicht vorkommt. Wenn speziell F regular bezuglich b ist , so gilt in der lnklusionsket te bF(F ) ~ bF(E ) ~ F * notwendig iiberall Gleichheit , und aus (1.3) folgt (1.6) Satz Jeder requliire Unte rm adul eines Maduls mit symmetrischer Bilinear/arm spaltet als arthaganaler Sum mand abo

Als nachstes betrachten wir das Verh alten der Eigenschaften 'nicht ausgeartet' und 'regular ' bei orthogonalen Summen. Man hat eine kanonische Iso-

1 Symmetrische Bilinearformen

morphie E *

n

= EB E;

fur jede direkte Summe E

i= l

n

= EB E,

3

von A-Moduln. Die

i= l

Orthogonalit at einer solchen direkten Summ e bezuglich einer symmt rischen Bilinearform b druckt sich durch die Gleichung be , IEj = 0 fur i :I j aus. Also ist bE : E -+ E* genau dann injektiv (surjektiv) , wenn aIle be. : E i -+ E; es sind. Weit er gehort wie eben be, IE; zur Einschrankung der Bilinearform auf E i . Wir hab en folgenden Satz bewiesen.

(1.7) Satz E in e orthogonale Summe von M oduln m it B ilin earform ist genau dann nicht ausgeart et bzw. regular, wenn dieses fu r j eden Summanden gilt.

Wir kommen schlieBlich zur Beschreibung von Bilinarformen auf freien Moduln und ihrer Eigenschaft en durch Matrizen. Die Transponierte einer Matrix T bezeichnen wir mit t». Speziell wird fur einen Zeilenvektor x = (Xl, . .. ,xn ) mit x t der zugeh6ri ge Spaltenvektor bezeichnet. Fur el, . . . , en E E betrachte die symmet rische Matrix B = (b(ei , ej» i,j= l, ...,n. Wenn X = L Xiei und Y = L Yj ej , dabei Xi, Yj E A , zwei Linearkombination en der e, sind, so gilt

(1.8)

b(x ,y)

= xByt .

Wenn aIle Vektoren eines weiteren Systems ej , j = 1, ... , m sich linear aus den ei kombini eren lassen, ej = L t jiei, so gilt fiir die ents prechende Matrix B' = (b(ei , ej » und die Uberga ngsmatrix T = (t ji ) die Formel

B'

(1.9)

= TBT t .

Wir bezeichnen mit d( el, .. . , en) die Determin ante der obigen Matrix B. Ist speziell m = n, also T eine quadratische Matrix, so ergibt sich d(e~ , oo . , e~ ) =d(el ,oo . , e n ) det (T )2.

(1.10)

Zerfallt das System {ei . {el, ... , em } und {em+I, (1.11)

, en } in zwei zueinand er orthogonale Teilsyst eme , en }, also bie«, ej) = 0 fur i ::; m

< j, so hat man

d(el ," " en ) = d(el " ' " em )d(em H, " " en )'

(1.12) Ist d( el , .. . , en ) kein Nullt eiler, so sind el, ... , en linear unabh angig. Denn aus L aie ; i

ai d(e l, . . . ,en ) =

=

0 folgt L ai b(ei, ej )

O.

i

=

0 ftir j

=

1'00" n , also weiter

(1.13) Ist E ein freier Modul mit Basis el , ... ,en, so heiBt die obige Matrix B die Gramsche M atrix oder Gram-Matrix I von b oder (E, b) bezilglich der Basis el , .. . , en' Ihre Determinante d( el , . .. , en) andert sich bei Basiswechsel urn ein Quadrat aus der multiplikativen Gruppe A x der Einh eiten von A . Ihr e 1

Nach J.P. Gr am , 1850-1916

4

1. Bilinear e und quadrati sche Formen

Klasse modulo A x2 nennen wir daher die Determinante von (E , b), oder kur z von E , und schreiben daftir d( el , . .. ,en )A x2 = det(E, b) = det E.

(1.14) Einen freien Modul mit Gram-Matrix B = (bij) bezeichnen wir mit (bij ), speziell fur eine Diagonalmatrix mit Diagonalelement en b1 , . .. , bn auch mit (b1 , ... ,bn ) . Sei ei, . .. , e~ die durch i=j i=fij

beschriebene duale Basis von E *. Definieren wir Koeffizienten bE( ej) = L:b~j ek ' so gilt :

b~j

durch

k

bij

= b(ei, ej) = (ei,bE(ej)) = L>~j(ei , ek) = b~j ' k

d. h. die Gram-Matrix B ist die Matrix der linearen Abbildung be : E -+ E* beziiglich der Basen el, . . . , en und ei, . .. , e~. Aus bekannten Satzen der linear en Algebra- folgt , daf bE : E -+ E * genau dann injektiv (bijektiv) ist , wenn d(el , ' .. ,en) kein Nullt eiler (invertierb ar ) ist. Dieses beweist den folgenden Satz.

(1.15) Satz Ein e symmetrische Bilin earfarm b auf eine m fr eien Madul m it Ba sis el, " " en ist genau dann nicht ausgeartet (bzw. regular) , wenn db(el ' . . . , en) kein Nullteiler (bzw. in vertierbar) ist. Aus diesem Satz erhalt man per Induktion iiber den Rang n die folgende, im Grunde schon auf C.G.J. J acobi" (1804-1851) zurii ckgehende Diagonalisierung filr gewisse freie Moduln.

(1.16) Es sei E ein freier Modul mit Basis el, ' .. ,en derart , daf aile Element e di := d(el, ' . . , e.), i = 1, ... ,n Einh eiten in A sind. Dann gilt d -z " "'-d-)'

d2 d3

E~ (d1'-d1

2

n

n- l

Beweis: Nach (1.6) ist j

j- l

i =l

i=l

:E Aei = :E Aei 1. (Cj) 2

3

Wegen der fiir die Inj ektivitat benotigt en Aussage, daB ein linear es homogenes Gleichungssystem, dessen Det erminant e Nullteiler ist, eine nichttriviale Losung hat, vgl. man z.B, N. Bourbaki, Algebra, Chap. III, §8, prop. 14, oder Oeljeklaus/Remmert, Lineare Algebra I, Kap. V, Satz 6. Gesammelt e Werke, vol. 3, p. 590

1 Symmetrische Bilinearformen

5

und d j = dj_l ej nach (1.11). Als Anwendung ergibt sich das bekannte Positivitatskriterium fur reelle quadratische Formen.

(1.17) Sei (E, b) regular und el , . . . , en eine Basis von E. Definiere e1 durch ei = be (e1) · Die Basis et,· . . ,e'ff heiBt die zu el, .. . ,en bezilglich b duale Basis. Die definierenden Gleichungen b(ei , e1)

= bij

und die Symmetrie von b zeigen, daf die Rollen der e, und der e1 in der Tat symmetrisch sind, also die e1 die dual e Basis zu den e, bilden . Ist F der von el , . . . ,em erzeugte Untermodul, so hat Fl. ersichtlich die Basis e~+ l ' ... ,e'ff. Fur Unt ermoduln F mit einer Basis , die sich zu einer Basis von E erganzen laBt, gilt folglich r-» = F . Fur Vektorraume tiber einem Korper ist das natiirlich stets der Fall. Im allgemeinen gilt dagegen nur (1.18)

Fl.l. ;2 F,

wie man z.B. daran sieht , daf (aE)l.l. = E ist, falls a kein Nullteiler ist. Wir setzen nun voraus, daB der Grundring ein Korp er ist und noti eren einige Spezialisierungen bzw. Verscharfungen bisherig er Resultat e.

(1.19) Satz Ein endli chdim ensionaler Vektorraum iiber einem Kiirper ist genau dann regular, wenn er nicht ausgeartet ist. Fur jeden Unterraum F eines regularen Vektorraums E gilt dim F

+ dim Fl. = dim E

und

Fl.l.

=F .

Die zweite Aussage ist ein Spezialfall der tiblichen Dimensionsformel fiir Iineare Abbildungen, denn bF ist surj ektiv und hat Fl. als Kern.

(1.20) Satz Ist A ein Kerp er und E endlich-dimensional, so gibt es eine Zerlegung E = E l 1. . . . 1. E; 1. F in regulare Teilriiume E, der Dim ension 1 oder 2 und einen Raum F mit b(F, F) = O. E ist genau dann regular, wenn F = {O} ist. Ist die Charakteristik von A nicht 2, so braucht man nur Riiume E, der Dimension 1 und kann Erzeugende el, ... , e r von E l , . . . , E; durch Hinzunahme einer Basis von F zu einer Basis von E aus paarweise orthogonalen Vektoren erganzen. Beweis: Durch Induktion nach der Dimension von Emit Induktionsanfang E = {O} . Ist b(E , E) = 0, so sind wir mit r = 0, F = E fertig. Ander enfalls bestehen zwei Moglichkeiten:

a) Es gibt einen Vektor e E Emit b(e, e) i= O. Dann kann man A e nach (1.15) abspalten und auf A el. die Induktionsannahme anwenden.

6

I. Bilineare und quadratische Formen

b) Es ist b(e, e) = 0 fiir alle e E E aber es gibt zwei Vektoren e und f in E mit b(e,f) =I O. Dann ist d(e, f) = -b(e,f)2 =I 0, und man kann Ae+Af nach (1.6) und (1.15) abspalten. Der Fall b) kann wegen 2b(e, f) = b(e + f) - b(e) - b(f) nicht vorkommen, wenn 2 =I 0 ist. (1.21) Beispiele . Wir legen den Ring Z der ganzen rationalen Zahlen zugru nde und definieren dr ei Serien von freien Moduln mit symmet rischer Bilinearform, die wir, der Literatur folgend , mit I n , An, D n bezeichnen. Dab ei ist der Ind ex n gleich dem Rang des Modu ls. a) Sei In

=

z n mit dem St and ardskalarprodukt (x, y)

n

= L: XiYi,

wobei

i=l

x = (Xl , , Xn ), Y = (Y1, , Yn ), Xi, Yj E Z . Eine Basis bilden die Vektoren e , , en mit ei = (0, , 0, 1, 0, . . . , 0). Die Gram-Matrix beziiglich dieser Basis ist die Einh eitsmatrix. Die Determinante von In ist eins, I n ist regular. I n ist zeriegbar als orthogonale Summ e I n = ..l ~ l Z ei mit

z-, ~ 11 •

b) Sei A n = {L: Xiei E In +! I L: Xi = O} . Ein e Basis von A n bilden z.B. die Elemente e1 - e2 ,e2 - es ,· · · ,e n - e n +1. Die zugehorige Gram-Matrix ist 2 -1 2 -1 -1 2 -1 det A., = n + 1

0

0

2

-1

-1 2

Die Determinante berechnet man aus der angegebenen Gram-Matrix durch Entwicklung nach der ersten Zeile und Induktion. c) Sei o; = {L: Xiei E I n I L: Xi E 2Z}. Ein e Basis von o; bilden z.B. die Elemente e1 -e2, e2 -es ,. · . , e n-1 - e n , e n-l +e n . Die zugehorige GramMatrix ist 2 -1 2 -1 -1 2 -1

0

0

2

-1 -1

-1

-1

2 0

0 2

Die Determinante berechnet man ahnlich wie bei A n .

2 Quadrati sche Form en

7

2 Quadratische Formen (2.1) Definition a) Ein e quadratische Form auf einem A-Modul E ist eine Abbildung q : E -+ A mit den Eigenschaft en q(ax) = a2 q(x ) q(x + y) = q(x)

fur a E A, x E E, + q(y) + b(x ,y)

mit einer symmetrischen Bilinearform b. Ein solches P aar (E , q) (oder auch einfach E) heiBt quadratischer A -Modul. b) Ein e isometrische Abbildung oder kurz Isom etric zwischen zwei quadratischen Moduln (E, q) und (E' , q') ist ein injekt iver Modulhomomorphismus f : E -+ E' mit q'(J(x)) = q(x) fur alle x E E . c) Zwei quadratische Moduln (E, q) und (E' , q') heiBen isometrisch, in Zeichen (E , q) ~ (E' ,q' ) oder kurz E ~ E' , wenn eine bijektive Isomet rie zwischen ihnen existiert. Mit a = 2, x = y erhalt man

(2.2)

2q(x) = b(x , x )

Das zeigt, daf q durch b bis auf einen Summ and en bestimmt ist , der von 2 annulliert wird . Insbesondere ist q durch b eindeutig bestimmt , wenn 2 kein Nullt eiler ist. Darilber hinaus kann man in diesem Fall zu gegebener symmet rischer Bilinearform b durch (2.2) eine quad ratische Form q definieren , falls alle Werte b(x , x ) in 2A liegen. Ist 2 sogar invertierbar, so kann man natii rlich einfach q(x) = ~b(x , x) schreiben. Im allgemeinen kann man immerhin noch versuchen, eine (nicht notwendig symmet rische) Bilinearform a zu finden, so daf

(2.3)

q(x ) = a(x,x )

wird . Fur beliebiges a wird durch (2.3) eine quadratische Form definiert, deren zugehorige symmet rische Bilinearform

(2.4)

b(x , y) = a(x , y) + a(y ,x)

ist . Zu einer gegebenen quadratischen Form auf einem freien Modul kann man ste ts ein solches a finden. Man hat nur aus (2.1) und (2.2) durch Induktion die Form el

(2.5)

q(L Xiei) = L q(ei)x; + L bie«, ej )xiXj i<j

abzuleite n und dann , wenn el , .. . , en eine Basis ist , aCE Xiei, '£ yj ej ) '£ aij XiYj zu setze n mit aii = q(ei) und aij = b(ei , ej ) fur i < j (oder i$.j

8

1. Bilineare und quadratische Formen

allgemeiner aij

+ aj i

= bi j fur i

I- j

fur eine La. nicht-symmetri sche Matrix

(a ij ).

Ein en solchen freien Modul E bezeichnen wir abkiirzend mit

(2.6)

bzw. E = [aI , a2, .. . , an ], wenn q(L: i Xiei ) = L:i ai Xr ist, oder, falls 2 nicht Nullteiler und bi j = b(ei , ej) = bj i ist , auch mit

(2.1)

= [1] = (2) fur den Modul E = A mit q( x) = x 2 und ~] = \ ~ ~) fiir die sogena nnte hyperbolische Eb ene H = A 2

So schreiben wir z.B. E H

= [0

mit q(Xl , X2) = XIX2· Die Darst ellung (2.3) hat man au ch noch fur projekti ve Moduln E . Ist namli ch E ED F frei, so setze man q auf E ED F fort dur ch q( x + y) = q(x ) fur x E E , y E F, schreibe die Fortsetzung in der Form (2.3) und schranke dann alles auf E ein. Die in §1 fur symmet rische Bilinearformen eingefuhrten Bezeichnun gen konn en wir natilrlich auch auf die einer quadrati schen Form zugehorige Bilinearform anwenden. So sprechen wir z.B. von nicht ausgeartet en oder regularen quadratischen Moduln, oder von einem Modu l E = ..1 E i als orthogonaler Summe von Unte rmoduln E i . Das bedeutet insbesondere, wenn wir die Einschrankung von q auf E i mit q, bezeichnen,

(2.8) Sind umgekehr t quadratische Moduln (E i , qi) gegeben, so kann man auf der direkten Summe E der Moduln E; durch (2.8) eine quad rati sche Form q definieren. Auch in dieser Situ ati on schreiben wir E = ..1 E i • Der n-dimensional e euklidische Raum ~n mit dem gewohnlichen Skalarprodukt L: Xi Yi als Bilinearform und ~ L: als quadratischer Form war e demnach mit ..1i=1 (1) zu bezeichnen.

xr

Ist 2 nicht invertierb ar , so zeigt (2.2), daf auch b(x , x) fur kein x invertierbar ist. Es gibt also keinen regular en freien quadratischen Modul vom Rang 1. Aber auch ein freier Modul von hoherem ungerad em Ran g n kann dann nicht regular sein. Das sieht man , wenn man die Determinante

2 Quadratische Formen

9

(2.9)

ausrechnet. Unt er den n! Summ anden kommen zwei Arten vor. Diejenigen , die bei Spiegelung an der Hauptdiagonalen in sich iibergehen , ent halten wegen der ungeraden Reihenzahl minde stens einen Faktor 2ai aus der Hauptdiagonalen ; zu jedem and eren kommt ab er auch der an der Hauptdiagonalen gespiegelte Summand vor , der wegen der Symmetrie der Matrix den gleichen Beitrag liefert. Die Det erminante (2.9) hat also den Wert 2Pn(a i,b ij) , wo Pn ein Polynom mit ganzrationalen Koeffizient en ist. Hierin kann man fur ai, bij Elemente eines beliebigen Ringes einsetzen. Mit

(2.10)

d'( el , ... , en) =Pn(q(ei) ,b(ei, ej))

wird dann

(2.11) Der Form el (1.10) entspricht bei ungeraden n n

(2.12)

d'(e~ , .. . ,e~ ) =d'(el , ... ,en ) det( tij )2 fur e; = L tij ej . j= l

Das folgt unmi ttelbar aus (1.10) und (2.11), falls 2 nicht Nullteiler ist , insbesondere dann, wenn die GraBen ai = q(ei) , bij = b(ei' ej ) und tij Unbestimmte tiber Z sind . (2.12) ist dann eine Identitat , die erhalten bleibt, wenn man fur die Unbestimmten Werte aus einem Ring einsetzt. (2.13) Definition Ein freier quadratischer Modul mit Basis el, .. . , en (n ungerade) heiBt halbreguliir, wenn d' (el ' ... , en ) invertierbar ist. Die Definition hangt wegen (2.12) nicht von der Wahl der Basis abo Ist 2 invertierb ar, so ist jeder halbregulare Modul regular. Hat 2 dagegen kein Inverses, so gibt es keine regularen Moduln von ungeradem Rang n , wohl aber halbregular e, z.B. fur n = 2m + 1 den Modul

i~l [0 ~]

1- [1],

wie man z.B. mit Hilfe der (1.11) ents prechenden Formel (2.14)

d' (el , . . . , en ) = di e« , ... , e2m)d' (e2m+l, . .. , en) falls n ungerade, b(ei' ej) = 0 fur i :S 2m < j

feststellt . Die Zerlegun g E = E 1 1- . .. 1- E; 1- F aus (1.20) gilt naturlich auch fiir quadratische Vektorraume tiber einem Korp er A. Ist die Charakteristik

10

1. Bilineare und quadrati sche Formen

cha r A =f. 2, so folgt aus b(F, F ) = 0 wegen (2.2) auch q(F ) = 0, und es ergi bt sich nichts Neues . Fur cha r A = 2 dagegen hab en einerseits aile E, die Dimension 2, da es keine regular en eindimensionalen Raume gibt, andererseits folgt nicht mehr qU ) = 0, sondern nur noch q(x+y ) = q(x )+q(y) fur x, y E F . Dar au s und aus (2.1) ent nimmt ma n, daB G = {x E F I q(x ) = O} ein Unterra um von Fund q(F ) ein Unte rraum von A , aufgefaBt als Vekt orra um tiber dem Unterkorper A 2 = {a2 I a E A } ist. 1st It,... .I , eine Basis von F modulo G, F, = Ali, so folgt: (2.15) Satz Ein endlichdimensionaler quadratischer Vektorraum E tiber einem K iirper A der Charakt eristik 2 laj1t sich orth ogonal zerlegen als E = E 1 L . . . L e, l- F 1 .L .. . .L r, .t. G m it s, zweidime nsion al regular, e, eindime nsion al halbrequliir, s ::; [A : A 2 ] und q(G ) = O. E ist genau dann regular, wenn s = 0, G = {O}, genau dann luilbrequliir, wenn s = 1, G = {O} ist. (2 .16 ) Ein Element x E E bzw . ein Unte rmodul F ~ E heiBt singular, wenn q(x) = 0 bzw. q(F) = 0 ist . 1st A ein Korp er , E regular und F ~ E singul ar , so kann man zu einer Basis el , . .. , em von F nach (1.17) Element e et , . .. , etf, in E finden mit b(ei, e1) = 8ij . Wegen b(ei, ej) = 0 ist d(el ," . , em, et, . .. , etf,) = (_ l)m =f. 0 und I: A ei+ I: Aef dah er ein regular er Unte rraum der dopp elten Dimension , der F ent halt . Diese Konstrukt ion kann man auch tiber einem beliebigen Rin g A durchflihren , wenn F ein freier Unt erm odul mit Basis el , . .. ,em ist und es E E gibt mit bE(ef ) = ei · Da un s diese Forderun g noch afte r begegnen wird, ftihr en wir dafiir einen Namen ein. Es ist vern tinftig, dab ei wie in (1.5) allgemeiner auch pr ojekti ve Moduln zu berticksichtigen, obwohl wir in dieser Vorlesu ng fast ausschlieBlich freie Moduln betracht en werde n.

ef

(2.17) Definit ion Ein Unterm odul F eines A-Moduls E heiBt prim itiv, wenn er ein dir ekter Summand von E ist ; t ra gt E eine symmetrische Bilinearform b, so heiBt F scharf primitiv (beztiglich b), wenn er endlich erzeugt proj ektiv und bF(E ) = F * ist. Ein regular er Unt ermodul Fist imm er scharf primitiv , da dann schon bF(F) = F * ist. Weit er tiberlegt man sich leicht , daf jeder scharf primitiv e Untermodul primitiv ist . Wenn E regular und F primitiv ist , so ist F scharf primit iv. Denn fiir E = F ffiG kann manj ede Linearform auf F durch 0 auf G zu einer Linearform auf E forts etz en, diese in der Form bE(e) schreiben und dann auf F einschranken, Wir kehren zu un serem singularen Unt erm odul F zuriick und set zen G = I: Aef · Durch b stehen Fund G in Dualit at , so daB wir F mit G* identifiziere n konn en. Dami t wird F + G isomorph zu einem Mod ul H (G), den wir zu einem beliebigen end lich erzeugten projektiven quadrati schen Modul G folgend ermaBen bild en konn en, Wir konstruieren

3 Die ort hogonale Gruppe und der Satz von Witt

11

H(G ,q) = G ffiG*,

(2.18)

set zen die quadratische Form q auf ganz H(G) fort durch (2.19)

q(x + z") = q(x) + (x , x* ), x E G, z" E G*,

und erhalte n dar aus (2.20)

b(x

+ z", y + y*) = b(x, y ) + (x , y*) + (y, x* ).

H (G, q) ist regular , da bH(e ,q)(G*) gerade die samt lichen Linearformen auf H (G, q) liefert, die auf G* verschwinden, wahr end be . (G) = G = G** ist . Der quadratische Modul H (G, q) hangt bis auf Isomorphie in Wirklichkeit gar nicht von q sondern nur von G ab. Ist namlich q in der Form (2.3) dar gestellt , also q(x) = (x, ae (x )) mit ae : G -+ G*, so ist die Abbildung x + x* -+ x + (ae(x) + x *) (x E G, x* E G*) ein Isomorphi smus von H (G, q) auf H (G, 0). (2.21) Der eben konstruierte quadratische Modul H(G) = H (G,O) heiBt hyperbolischer Modul zu G. Fur G = A erhalt ma n die schon oben eingefiihrte hyperb olische Ebene H(A)

= [0 ~] .

Mit dieser Bezeichnun g konn en wir unsere Uberlegungen zusa mmenfassen. (2.22) Satz Jedet: scharf primitiv e singulare Untermodul F von E ist in einem zum hyperbolischen Modul H(F) isomorphen Untermodul H enthalten. Isi F frei mit Basis II ,·.. ,f m, so lajlt sich diese durch gl , . .. ,gm zu einer Basis von H erqtinze n, fur die b(/i, gj ) = 8ij , q(I: Agd = 0 ist. Wir wollen noch den zu G in H (G, q) orthogonalen Modul bestimmen. Nach (2.20) ist y + y* E a- gleichbedeutend mit b(x , y) + (x , y*) = 0 d.h. mit y* = - be (Y). Die Abbildung y -+ y - be(Y) ist also ein Moduli somor phismus von G auf Gl., und es gilt q(y - be(Y)) = q(y) - (y , be(Y)) = q(y) - b(y, y ) = -q(y ). (2.23) Ist E ein A- Modul mit quadratischer Form q und a E A , so sei "E der quadratische Modul , der als Modul mit E Iibereinstimmt , aber die quadratische Form aq t ragt . Fassen wir einen Vektor x E E als Element aus aE auf, so bezeichnen wir ihn mit ax. Ist a ein etwas komplizierter Ausdruck, so schreiben wir auch (a)E und (a)x . (2.24) Satz Jeder endlich erzeugte projektive quadratische Modul G liijlt sich in den zugehOrigen hyperbolischen Modul H(G) so einbetten, dajl c- ~ -lQ wird. 1st speziell G regular, so gilt G..L - IG ~ G..LGl. = H(G) .

3 Die orthogonale Gruppe und der Satz von Witt Die Automorphismengruppe eines quadratischen Moduls (E , q), also die Gruppe der bijektiven linear en Abbildungen t : E -+ Emit q(tx) = q(x) ,

12

1. Bilin ear e und qu adrat ische Form en

heiBt die orthogonale Gruppe von E und wird mit O(E ) oder O(E , q) oder o(q) bezeichnet. Ftir das folgende grundlegend ist der K ilrzungssa tz von Witt.

(3.1) Satz (Witt) S ei A ein Kiirper der Charakteristik =j:. 2, F ,G I ,G2

quadrat ische R iium e iibet: A , F regular un d F ..1 G I GI ~ G2 •

~

F ..1 G 2 • D ann ist

A.quivalent dazu ist die Aussage (3.2) Sei A ein Korp er der Charakteristik =j:. 2, E ein quad ratischer Raum tiber A , F I und F 2 regulate Unte rra ume und t : F I -+ F 2 ein Isomorphismus . Dann gibt es einen Aut omorphismus von E , der t fortsetzt , also ein u E O(E) mit UIFI = t. Zunachst der Beweis der A.quivalenz. Gilt (3.1) und liegt die Situation von (3.2) vor , so ist E = F I ..1 F/- = F2 ..1 Fl ~ F I ..1 Fl. Nach (3.1) gibt es einen Isomorphismus t' : F/- -+ Fl , und u = t ..1 t' ist eine Fortsetzung von t. Gilt umgekehrt (3.2) und ist t' : F ..1 G I -+ F ..1 G 2 ein Isomorphismus , so ist die Ein schrankung t von t' auf F ein Isomorphismus von F = F I auf t' F = F2 , der sich zu einem Automorphi smus u von F ..1 G 2 = t'( F ..1 G I ) = t' F ..1 t' G I fortsetzen laBt . Dan n ist

In der zweite n Fassun g wollen wir den Satz durch Induktion nach dim F I = dim F 2 beweisen. Dazu benutzen wir spezielle Auto morphismen, die Spiegelungen, die wir in quadratischen Moduln tiber beliebigen Ringen, auch der Chara kte ristik 2, definieren konnen. Ist e E E und q(e) in A invertierbar , so setzen wir se(X) = X - b(x , e) q(e) - l e und rechnen leicht nach, daB q(sex ) = q(x) und s~ die Identit at ist . s, ist also ein Automorphismus; er laBt jeden zu e ort hogonalen Vekt or fest und fiihrt e in - e tiber. Ist 2 invertierb ar , so besteht die ort hogonale Zerlegung E = A e ..1 A eJ. , so daf s, durch die angegebenen Eigenschaften eindeut ig bestimmt ist und geometrisch die Spiegelung an der zu e ort hogonalen Hyperebene bedeutet. Nun zum Beweis von (3.2) durch Induktion tiber die Dimension von Fi, Sei zunachst dim F; = 1, F i = A ], mit 12 = th , also q(h ) = q(Jd =j:. 0 (da F I regular sein solI). Weil q(h - h ) + q(h

+ h)

= 2q(Jd

+ 2q(h ) = 4q(Jd

=j:. 0

ist, hab en wir wenigstens eine der beiden Spiegelungen sit - h oder sit +h zur Verfiigung. Im ersten Fall berechnet man sofort sit - h (J d = 12 (wie es sich im Fall eines reellen Skalarproduktes auch anscha ulich sofort aus der

3 Die orthogona le Gruppe und der Satz von W it t

13

Langengleichheit von II und 12 ergibt) . Im zweite n Fall erhalt man entsprechend sh+h U d = - 12 und weiter sh( - h ) = h· Im Falle dim F 1 = m > 1, F = Ael ..L . . . ..L A e m gibt es nach Induktionsvoraussetzung ein v E O(E) mit vei = te, ftir i = 1, ... , m - 1. Die lsometrie v- I t laBt el , ' '' ' em-l fest und ftihr t den dazu orthogo nalen Vekt or em in einen ebe nsolchen I,« tiber. Nach dem Indukti onsanfan g gilt w e m = L« mit w = S em - /m ode r w = Sl mSem + /m ' W laBt ej , .. . ,em -l fest , so daB u = vw das verlan gt e leistet . (3.3) Der Wi t t sche Sat z ist in mehrfacher Hinsieht verallgemeinert word en : Erstens auf hermit esche Formen an stelle von qu adratischen; davon wollen wir hier nicht sprechen. Zweitens auf Korp er der Cha rakterist ik 2; das Ergebnis (3.4) wollen wir hier formulieren , den Beweis abe r auf den nachst en Paragraphen versc hiebe n, wo wir eine noch allgemeinere Situation betrachte n werden . (3.4) Satz S ei E ein quadratischer Raum ilber eine m Kii rper A, F 1 , F z scharf primitive Unierriiume von E und t : F 1 -+ Fz ein Isomorphismus. D an n lliflt sich t zu einem A utom orph ismus von E for ts etzen. Man beacht e, daB Formulierung und Beweis einheit lich fur alle Werte (2 oder i- 2) der Ch arakteristik gelten, der analoge Satz fur symmetrische Bilinearform en in Ch ar akteristik 2 aber falsch ist , wie folgend es Beispiel zeigt :

A = lFz der P rimkorper mit zwei Elementen , = A3 mit Bilinearform b(x , y) = XIYI + x zyz + X3Y3, F 1 = A(l , 0, 0), Fz = A (l, 1, 1), Fl- ~ F,f , also ist t nicht zu einem Aut omorphi smu s auf E fort set zbar.

E

SchlieBlich wollen wir dri t t ens die Forderung, daf F 1 in (3.2) regular sein soll, abschwac hen, DaB man nieht ohne jede Vorau sset zun g tiber F 1 und F z auskommt , zeigt das Beispiel E = Ael ..L Aez ..L Ae3 q(el ) = 1, q(ez) = -1 , q(e3) F 1 = A(el + ez), F z = A e3.

=0

Hier ist qi e ; + ez) = q(e3) = 0, e3 liegt in EJ.., el + ez aber nieht , so daB sich die Abbildung t : el + ez -+ e3 sieher nieht zu einem Automorphismus von E for t setz en laBt. (3.5) Satz Isi E ein requliirer oder halbrequliirer quadratischer Raum iiber eine m Kiirper A, so lliflt sich j eder Autom orphism us u E O( E) als P rodukt von Spiegelungen schreiben, aufler wenn A der P rimkorper lFz der Charakteristik

2und E = E

1

..L E z m it E 1

~ Ez ~

[1

i]

ist.

Der Beweis fiir Kor per der Charakte rist ik i- 2 ergibt sich unmit t elbar , ind em man den Beweis von (3.2) fur den Fall F 1 = F z = E durchgeht. Die Aussage

14

I. Bilinear e und quadratische Form en

(3.2) ist in diesem Fall zwar trivial, der Beweis liefert aber eine Darstellung von u = t als Produkt von Spiegelungen. In dem gena nnte n Ausnahmefall gilt q(x ) = 1 ftir jeden Vektor x ¥- O aus E I oder E 2 • Dar aus folgt , daf jeder nichtsingular e Vektor e aus E = E I .L E 2 entweder in E I oder in E 2 liegt , jede Spiegelung S e also E I und E 2 jeweils in sich tiberfiihr t , wahrend es natiirlich Aut omorphismen gibt, die E I und E 2 vertauschen. Wir wollen noch einige Folgerungen aus dem Satz (3.4) ziehen. Dab ei sei also A stets ein Korp er , E ein quadratischer Raum tiber A . Unmittelba r folgt (3.6) Sind F I , F 2 singulare scharf primiti ve Unte rraume der gleichen Dimension, so gibt es einen Automor phismus u E O(E ) mit uF I = F2 • (3 .7) Sind F I , F 2 maxim ale singulare scha rf primitive Unterr aum e, so ist dim Fj = dimF2 . Beweis: 1st etwa dim F2 ::::; dim F I , so wahle man F{ ~ F I mit dim F{ = dim F2 • F{ ist scha rf primi tiv in E , also existiert u E O(E ) mit uF{ = F2 • Dann ist uFI ~ F2 , also uFI = F2 wegen der Maximalitat von F2 , und damit dimFI = dim F 2 •

(3.8) 1st A ein Korp er , E ein endlich-dimensionaler quadrat ischer Raum tiber A , so heiBt die Dimension der maximal en singularen scharf prim itiven Unterraume der Witt-Index oder einfach Ind ex ind(E) von E. Nach (2.23) kann man einen maxim alen singularen scharf primiti ven Unterraum in einen hyperbolischen Raum H vom Rang 2 ind(E ) einbetten und dann nach (1.6) (3.9)

E

=F

1. H mit ind (F)

= 0, H

hyperbolisch

schreiben. Nach (3.7) und (3.1) ist diese Zerlegung bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt; man nennt sie die Witt-Zerlegung von E.

(3 .10) E hat genau dann einen zu F isomorp hen scha rf primitiven Unte rraum, wenn ind (E 1. - IF ) ~ dim Fist . Beweis: 1st t : F --+ tF ~ E ein Isomorphi smus von F auf einen scharf primiti ven Unte rraum tF von E , und bezeichnen wir mit -I X das x E F ents prechende Element aus -IF , so ist s : x --+ tx+ -IX eine bijektive linear e Abbildung von F auf einen Unt err aum sF von E 1. - IF. Wegen q(sx) = q(tx ) + q(- IX) = q(x ) - q(x ) = 0 ist sF singular. sF ist auch scharf primiti v: Da namli ch t : F --+ tF und s : F --+ sF beide bijektiv sind, ents prechen sich die Linearformen w auf tF und v auf sF vermittels (tx , w) = (sx , v ). Da tF scharf primitiv in E ist , kann man zu w ein z E E finden mit (tx , w) = b(tx , z) . Dann ist aber au ch (sx , v) = (tx ,w) = b(tx , z ) = b(tx + - IX, Z) = b(sx , z) . AuBerd em ist dim sF = dim Fund damit ind(E 1. - IF) ~ dim F .

Enthalt umgekehrt E1. -IF einen hyperboli schen Raum H I der Dimension 2 dim F , so bett en wir - 1 F nach (2.24) in einen hyperb olischen Raum H 2

4 Lokale Ringe

15

der Dimension 2 dim F ein , in dem das ort hogonale Komplement G von -1 F scharf primitiv und isomorph zu Fist . Wir hab en dann HI ~ EJ.. - IF ~ E J.. H 2 . Wegen HI ~ H 2 gibt es einen Automorphismus u E O(E J.. H 2 ) mit u H I = H 2 . Da HI orthogonal zu Gist , liegt uG im orthogonalen Komplement Evon H 2 und ist zu F isomorph. AuBerd em ist G scharf primitiv in H 2 also in E J.. H 2 , demnach uG scharf primit iv in E J.. H 2 , also wegen b(uG, H 2 ) = 0 auch in E .

(3.11) Ist E = L:Aei mit q(L: xi ei) = L:aij XiXj regular und F = Af mit q(f ) = a "I 0, so besagt (3.10) gerade, daf L: aijXiXj = a genau dann losbar ist, wenn L: aijXiX j - aX6 = 0 eine niehttriviale Losung hat. Der Beweis hierfiir ist in der einen Richtung selbstverstandlich, in der anderen imm er noch einfacher als der fiir (3.10). Beim Beweis der allgemeineren Aussage sieht man aber deutlich den Zusammenh ang mit dem Wit tschen Satz.

4 Lokale Ringe In diesem Kapit el wurden bish er auBer den fur beliebige Rin ge A giilti gen Grundtatsachen einige Ergebnisse fur den Fall bewiesen, daf A ein Korper ist . Diese lassen sieh meist mit unwesentlich abgeanderte n Beweisen auf 10kale Rin ge ub ertragen. Urn mit moglichst geringen Vorkenntnissen auszukommen, wurde in der Vorlesun g darauf verzichtet. Hier solI es nachgeholt werden . Die benotig t en einfachen Eigenschaft en lokaler Ring e findet man z.B. in N. Bourbaki , Algebre commutat ive, cha p. 2, oder in anderen Biichern tiber Kommut ative Algebra. Die fur un sere Bedurfnisse wicht igste n lokalen Ringe - eigent lich die einzigen , die wir wirkli ch br auch en - sind die diskret en Bewertungsringe, die wir in §15 noch gena uer untersuchen werden . Fu r das weit ere sei also A ein lokaler Ring, d.h. ein Rin g mit einem einzigen maximalen Ideal 1. Der Satz (1.20) iibert ragt sieh in der Form

(4.1) Satz Ist E endlich erzeugter A-Modul mit symm etris cher Bilinearform b, so gibt es eine Zerlegung E = E I J.. . . . J.. E; J.. F in requliire Teilmoduln E, der Dimension 1 oder 2 und einen Modul F mit b(F, F ) ~ 1. E ist genau dann regular, wenn F = {O} ist. Der Beweis verlauft wie bei (1.20) induktiv; man hat nur zu beacht en, daf die Anzahl r der abg espaltenen eindimensionalen Teile durch die Anzahl der Erzeugenden von E beschrankt ist.

In den Ub erlegun gen , die zu Sat z (2.15) fiihr ten , hatten wir die Falle char A "I 2 und = 2 unt erschieden. Dem erst en ents prieht bei lokalen Rin gen der Fall , daf 2 invertierb ar , also 2 rJ. 1 ist. Wie dam als ergibt sieh dann auch hier gegeniiber (1.20) nichts Neues. Dagegen laBt sieh der Satz (2.15) nieht in nah eliegender Weise auf lokale Ringe mit 2 E 1 zu iiber tragen. Urn das zu sehen , tiberlege man sieh, da f der Raum E

=

[1

~]

fur a E 1 die

16

1. Bilinear e und quadratische Forme n

Eigenschaften b(E , E ) ~ I , q(E ) S?; I hat , sich aber nicht als Summe eind imension aler Untermoduln schreiben laBt , falls a nicht in 2A liegt. Immerhin hat man noch den (4.2) Satz Uber einem lokalen R ing, in dem 2 nicht invertierbar ist , liip t sich j eder reguliire quadratische Modul als orth ogonale Summe zweidimensionaler Untermoduln schreiben, j eder halbreguliire als orthogonale Summe eines reguliiren un d eines ein dimensionalen Untermoduls. Hauptergebnis des §3 war der Satz von Witt in der Form (3.4), den wir bisher erst fiir Korper der Ch ar akt eristik ¥- 2 bewiesen hab en. Der folgend e Sat z ftillt diese Lucke und laBt dariiber hin au s stat t eines Grundkorpers allgemeiner einen lokalen Ring zu,

(4.3) Satz E sei quadratischer Modul ilber einem lokalen R ing, F , C , H Unt ermoduln; F, C seien frei von endlichem Rang, und es gelte

bF(H) = F *, ba(H) = C*.

(1)

Wei ter sei t : F --* C ein Isomorphismus mit

tx == x mod H

(2)

fur alle x aus F . Dann liipt sich t zu einem Automorphismus von E fortsetzen, welcher (2) fu r alle x aus E erfu llt un d jeden Vektor aus H 1. fest liip t. Der Spezialfall H

=E

dieses Satzes liefert die Folgerung

(4.4) Folgerung Sind F , C scharf pri mit ive freie Untermoduln des quadratischen A-Mo duls E und t : F --* C ein Isom orphismus, so gibt es ein u E O(E ) mit ulF = t. Damit ist a uch der noch ausstehende Beweis fur Satz (3.4) erbracht . Wir wollen die Fortsetzung von t soweit moglich als P rodukt von Spiegelungen S h mit h E H konstruieren. Dab ei bleib en alle Vektoren aus H 1. fest , und es gilt (2) , so daB wir uns urn diese Bedingungen nicht weit er zu kiimmern brau chen . Allerdings werden wir zunachst einige zusatzliche Vorau ssetzungen machen , urn die Existenz hinreichend vieler Spiegelun gen S h sicherzuste llen. Dazu sei A = AI I der Restkl assenkorper und II = HI I H ; mit x bezeichnen wir die Restklasse modIH eines Vekto rs x E H , mit it bzw. b die Wert e modI von q bzw . b. Das orthogonale Kompl ement 6 1. einer Teilmenge 6 von II ist innerhalb II bzgl. b zu bilden. SchlieBlich sei JF2 der Primkorper mit zwei Element en. (4.5) Die For t setzung von t kann als Produkt von Spiegelun gen Sh mit h E H gewahlt werden, falls eine der folgenden Bedingungen erfiillt ist:

4 Lokale Ringe

17

(3) oder

(4) Wir setzen zunachst (3) oder (4) vora us und beweisen (4.3) und (4.4) durch Induktion nach dem gemeinsamen Rang r von Fund G; dan ach fiihren wir die allgemeine Behauptung (4.3) auf den Spezialfall zuriick. Fiir r = 1 sei F = Aj , G = Ag mit 9 = tj = j + h. 1st q(h) invertierbar, so fuhrt S h den Vektor j in 9 tiber und ist daher die gewiinschte Fortsetzung . Anderenfalls hab en wir

q(h) = -b(f, h) = beg, h) E I.

(5)

J etzt suchen wir eine Spiegelung s, derart, daB sich se(f ) durch eine weitere Spiegelung in 9 iiberfiihren laBt. Wir definieren d durch 9 = se(f) + d, also

d qed)

b(j, e)q(e)-I e+h

=

b(f, e)b(g, e)q(e)- I + q(h).

1st auBer q(e) au ch qed) invertierb ar , so gilt sdse(f) = g, und wir hab en in SdSe die gewiinschte Fortsetzung von t. Wegen (5) brauch en wir also einen Vektor e E H mit

q(e) ~ I , b(f, e) ~ I , beg, e) ~ I . Wir bezeichnen mit fh bzw. fh die Unte rraume derjenigen Vektoren x E H fur die b(f, x ) == 0 bzw. b(g, x) == 0 mod list. Wegen (1) sind beides Hyp erebenen in H. Da man zu jedem Vektor e E H einen Vertreter e E H finden kann , haben wir nur zu zeigen, daB ij auf dem Komplement H " (HI U H 2 ) nicht identisch verschwindet. Nehmen wir einmal an , das sei doch der Fall. Fiir beliebige

t E A, x E HI n H 2 , liegt dann fx

+ fi nicht ij(fx

ist. Hat nun

fi E H " (HI U H 2 )

in H I U H 2 , so daB

+ fi) = Pij(x) + lb(x , fi) + ij(fi) = 0

A mindestens

drei Element e, so folgt daraus

ij (x )

= b(x, fi) = ij (fi ) = o.

(6)

Wegen (5) konnen wir speziell x = h set zen und erhalten b(h, H " (H I UH 2 ) ), also, da das Komplement zweier Hyperebenen den ganzen Raum erzeugt, sogar b(h, H ) = O. Wegen 9 = j + h folgt daraus HI = H 2 , und jeder Vektor

18

1. Bilin ear e und qu adr atische Form en

a us tt liegt entwe der in fII n fI 2 = fI I oder in it : ( fI I U fI 2 ) = fI " fI I • Dann besagt (6) ab er q(fI) = 0 im Widerspruch zur Voraus set zun g (3). Ist dagegen A e:! lF2 , so konnen wir (6) jedenfalls noch dann ableite n, wenn wir zusatzli ch verlangen, daB x,ii in fI .L liegen. Aus der Definiti on von fI l , fI 2 folgt aber unmit t elbar fII n fI.L = fI 2 n fI .L, so daB jeder Vekt or aus fI.L entweder in fI I nfI 2 oder in tt -; ( fI I ufI 2) liegt . Aus (6) folgt dann q(fI.L) = 0 im Widerspruch zur Voraussetzung (4) . Nun sei r > 1 und h, . .. , fr eine Basis von F. Nach Voraus set zun g (1) gibt es Vekt oren hI,"" h; in H mit b(Ji , hj) = Oij . H ist dann dir ekt e Summe von r

L:: A h i und F .Ln H = D , un d die hi bilden eine Basis von H

i= l

wenden die Induktionsannahme auf

r -l

L:: A fi

i =l

ein Produkt von Spiegelungen

S h,

das auf

modulo D. Wir

anste lle von F an und bekomm en

r- l

L:: A], mit t ilbereinstimmt. Ind em

i= l

wir t von links mit dem inversen Produkt multiplizieren , redu zieren wir un sere Aufgabe auf den SpezialfaIl, daf tJi = Ji ist fur i = 1, . .. , r - 1. Fur diese i und x E F ist dann aber b(t x - x , Ji )

= b(t x , t fi ) -

also tx == x mod A h r

b(x , Ji )

= 0,

+D.

Wenn wir den Induktionsanfan g auf A ]; st att Fund A h r + D statt H anwend en konnen , so sind wir fert ig, da bei dem so erhalte nen Automor phismus u von E die zu A h; + D orthogonalen Vekt oren h ,..., fr fest bleiben. Wir miissen die (1) bis (4) entsprechenden Vorausset zun gen fur A ]; und Ah r + D anstelle von F und H priifen. (1) bleibt offenbar erhalte n, und fur (2) hab en wir es eben gesehen . Wir zeigen nun, daB bei geeigneter Wahl der Basis h ,.. . , f r auch (3) bzw. (4) fur A h r + D anstelle von H gilt . Nach Vora usset zung gibt es jedenfalls einen Vektor h mit q( h) =p 0 in fI bzw. fI.L. Wir wahlen h r E fI k ent halt . Wir untersu chen die Struktur von W (Q) durch Betrachtung der Faktorgruppen W k jW k-l. Falls k keine Primzahl ist , so ist naturlich Wk = Wk-I.

(17.1) Es gilt W I = {u(l) ..L v(- l ), u ,v E N} u(l) ..L v(- l ) ~ u - v.

Soo :

M. Kneser, Quadratische Formen © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2002

~

Z mittels der Abbildung

72

VI. Quadrati sche Form en tiber Q

Es ist also 800 der aus "Komplettierun g bei 00" und Signatur zusammengeset zte Homomorphismus W(Q) --+ W(lR) --+ Z. (17.2) Sei der Homomorphismus 82 : W(Q) --+ Z / 2Z durch 82 ([V)) = r mod 2 definiert , wobei r der Exp onent der in d(V ) aufgehenden Potenz von 2 ist . Dieses 82 induziert einen Isomorphismus W 2/ W I ~ Z /2Z. Beweis: Trivialerweise verschwindet 82 auf WI , aber nicht auf W 2. Es bleibt

zu zeigen , daf W 2/W I von der Klasse von (±2) erzeugt wird und die Ordnung 2 hat. In der Tat gilt (±2, ±2) ~ (±1 , ±1) , wie man den Zerlegungen Qel .L Qe2 = Q(el + e2) .L Q(el - e2) ent nimmt . Die Raum e (±2, =,:2) und (±1 , =,:1) sind beides hyperb olische Eb enen. In der Haup tsache bleibt jetzt zu klaren, wie WP/ W P-I fur eine ungerad e Primzahl p aussieht . Dazu sei Vein Raum tiber Q und E ein maxim ales Zp-Git te r in Vp = QpV. Man schreib e E nach (15.1) als ort hogonale Summe E = .L Zpei' Es sei Eo bzw. PEl die Summ e der Z pei mit q(ei) E Z; bzw. t q(ei) E pZ ;' Weitere Zpek' mit q(ek) E p2Z ; , komm en nicht vor , da sonst

E' = E + Zpp- Iek echt grof3er als Emit q(E' ) ~ z, war e. Wir haben jetzt also eine orthogonale Zerlegung E = Eo .L PE l mit regular em Eo und E I . Reduziere nun das Gitter E I modulo p zu EI und ordne V die Klasse von EI in W(Fp) zu. Dur ch die Zusamm ensetzung 8p : W(Q) --+ W(Qp) --+ W(Fp) erhalte n wir eine Abbildung W P/WP -I --+ W(Fp) . (17.3) Hilfssatz 8p liefert einen Isomorphismus

Der Beweis dieser Aussage erfordert einige Vorbereitungen. (17.4) EI ist un abhan gig von der Auswahl von E , da maximale Git ter nach (16.2) isomorph sind. Es ist auch unabh angig von der Zerlegung von E , denn aus den Isomorphien E # = Eo .L p- l PE l ~ Eo .L 0 und wegen d(W ) = 1 sogar ind W p = 2. Nach (19.2) ist dann auch ind W = 2. Aus der Isomorphie W 1.. (d(V » ~ V 1.. H , H hyperbolisch, folgt dann ind V = l. Der Fall dim V = 4 erfordert eine weiterge hende Konstru ktion. Gesucht wird ein zweidimensionaler Raum W mit V ~ W 1.. H , H hyp erb olisch. Wegen ind Vp > 0 konn en wir Vp = Up1..Hp schreiben mit zweidimensionalen Raum en Up tiber Qp und hyperboli schen H p. Da wir die schwache Form des Satzes bereits haben, genugt es, einen zweidimensionalen Raum W tiber Q zu finden mit W p ~ Up fur alle p. Wir wahlen ein Z- Git ter L in V . Mit d = d(L) = d(V) = d(Up) gilt Up = a p(1, -d) , und wir schre iben a p = pOp . bp mit bp E Z;. Dab ei ist Q p = 0 fiir p t 2d(L ), also fur fast alle p. Wir machen den Ansatz W = a(1, -d) mit a = b IT pOp, wobei b gewissen p

Bedingungen genugen soll . Fur pI2d(L) soll a == ap mod 4pOp+1. Zp sein, d.h . b == IT r - O r • bp mod 4p · Zp. Dann folgt namlich a/ap E Q; 2 nach (15.9). r #oo ,p

b kann so gewahlt werde n, daB es diesem System simultaner Kongruenzen genugt. AuBerd em soll ±b = q Primzahl sein, was nach dem Satz von Dirichlet

80

VI. Quadratische Formen tiber Q

moglich ist ; dabei ist das Vorzeichen so zu wahlen, daB Woo ~ Uoo wird. Das so gewonnen e a erftillt dann fast aile Bedingungen: Fur pI2d(L ) ist a(l, -d) ~ a p (l , -d) . Fur p f 2d(L), p f:. q ist P fa , p f ap, also folgt die Isomorphie a(l, - d) ~ ap (l, - d) tiber Qp aus der Isomorphie der reduzierten Raum e tiber lFp . Fur p f:. q haben wir also W p ~ Up und damit insbesondere cW p = cUp = cVp. Wegen IT cWp = 1 = IT cVp folgt dann aber auch cWq = cVq = cUq , und p

p

da auch dWq = d = dUq ist , W q ~ Uq nach (16.9). Als letzter Fall bleibt dim V 2:: 5. Wir suchen einen vierdim ensionalen Unt erraum W von V , der ind W p > erftillt fur aile p , so daf wir das eben Bewiesene anwenden konn en und ind V 2:: ind W > erhalte n. Wir beginnen mit einem dreidimensionalen Unterraum U von V, der ind U00 > erfiillt . Fur irgend ein Z-Git ter L in U ist nach (15.8) ind Up > fur aile p, die dL nicht teilen. Fur die endlich vielen p mit ind Up = gibt es wegen ind Vp > Vektor en x p E Up , YP E Uf , nicht beide 0, mit q(xp +yp) = q(xp) +q(yp) = 0. 1st auch ind Uf = 0, so hat man

°

° ° °

°

°

Ist dagegen ind Uf > 0, so wahlen wir x p E Up beliebig mit q(x p) f:. 0. Da Uf eine hyperb olische Eb ene H p umfaBt, gibt es dazu ein YP E H p ~ Uf, welches (*) erfiillt . Wenn wir jetzt noch ein y E U.l.. finden konnen, fur das q(y )/q(yp) in Qp ein Quadrat ist ftir die endlich vielen p mit ind Up = 0, so setzen wir W = U J..Q; und hab en dann ind W p = ind(UpJ..QpY) = ind (UpJ..Qpyp) > 0. Die Existenz von y ergibt sich nach (15.9), indem man die Koordin aten von YP (bezilglich irgend einer Basis von U.l..) durch rational e Zahlen approximiert . Der folgend e fundamentale Satz tiber die Dar stellung von Zahlen durch eine ration ale quadratische Form ist nun eine leichte Folgerun g.

(19.5) Satz Sei V regular ilber Q, t E QX. Genau dann ist t E q(V ), wenn t E q(Vp ) gilt fur aile p . B ew eis: Aus t E q(Vp) folgt ind (V J..[-t]) p nach (3.11) t E q(V ).

> 0, also ind( V J.. [- t)) >

°

und

Aus Satz (16.2) der lokalen Th eorie wissen wir, daf jeder regular e quadratisch e Raum der Dimension mindestens 5 ub er den p-adi schen Zahlen Qp positiv en Index hat. Hieraus und aus dem starken Satz von Minkowski und Hasse folgt unm ittelbar das folgend e, vielzitierte klassische Resultat.

(19.6) Satz (Meyer "] Jeder indefinite regulare Q-Raum del' Dim ension mindestens 5 hat positiven Ind ex. Regular e quadratis che Raum e tiber einem Kerper der Char akteristik f:. 2, die positiven Index hab en, also die Null in nicht-trivialer Weise darstellen, werd en oft auch als isotrop bezeichnet. 1

Arno ld Meyer, 1844-1 896

Anmerkungen zu Kapitel VI

81

Anmerkungen zu Kapitel VI Der in §18 gegebene Beweis des Quadr atischen Reziprozitat sgesetzes geht auf Tat e zuruck (siehe z.B. §11 in J . Milnor , Int roduction to Algebraic K - Theory, Annals of Mathematics Studies No. 72, Princeton 1971). Er ist dem ersten Beweis aus Gau ss' Disqui sitione s Arithmeticae [G] verwandt; insb esond ere st eht dort in Art . 129 schon der obige entscheidende Hilfssatz (18.3) . Man vergleiche au ch W. Scharl au , Quadratic R eciprocity Laws, J ournal of Number Theory 4 (1972) , 78-97, oder die Darstellung in [Sch], Chap . 5. Die Ergebnisse aus §19 beinhalten die Giilt igkeit des sogena nnte n LokalGlobal-Prinzips fur Darstellungen durch quadratische Formen. Dieses Prinzip besagt fiir ein dioph antisches Problem, daf es dann (und naturlich auch nur dann) in Q losbar ist, wenn es das in Qp ist fur jedes p (einschlieBlich p = 00). Zur Geschicht e des Prinzips lese man das Geleitwort zu Hasses Mathematischen Abh andlungen.

VII. Quadratische Formen tiber Z

In diesem Kapitel werden einige gru ndlegende Tatsachen tiber Gitter in quadr atischen Raumen tiber den rati onalen Zahl en behandelt , und zwar unabhangig von der Sign atur der quadratischen Form. In §20 wird un ter Benu tzung von klassischer Reduktionstheorie gezeigt, daf fiir fest e Dim ension und Det erminante nur endlich viele Isom etrieklassen ganzzahliger Gitt er existiere n. In §21 werden Z -Gitter E durch ihre Komplettierungen E p = Z pE beschri eben un d der Begriff eines Geschlecht s von Git t ern einge fUhrt . In §22 wird eine in gewiss em Sinne vorl aufige, schwache Form des Lokal-GlobalP rinzips aus Satz (19.5) (Minkowski-H asse) fiir Git t er an gegeb en , die abe r ausreicht, kla ssische E rgebnisse von Fermat , Euler , Lagrange und Gauss abzul eit en .

20 Reduktionstheorie Wir erinnern an die Definiti on der Det erminan te einer symmetrischen Bilinearform a uf einem freien Modul, allgemeiner eines freien Gitters E in einem Vektorraum V mit symmetrischer Bilin earfo rm , tiber einem Rin g R als Klasse modulo Einheit enquadraten in R. Im jetzt vorliegenden Fall R = Z ist also det E einfach eine ga nze bzw. rationale Zahl. Geom etrisch ist sie zu int erpretier en als das Quadrat des Volumens einer Fundam ent alm asche von E in V.

(20.1) Satz (Hermite) Es sei E ein Z -Gitte rin einem requliiren quadratischen Q- Vektorraum der Dimension n . Fur sein Minimum m(E) := min{lb(x , x) 11 x E E , x -::j; O}

gilt die Abschiitzung n -l

m(E) ::;

(~) --r . \ det E11 / n

Beweis durch Induktion nach n. Schr eib e kurz m := m (E) , d := I det E] . Der Induktionsanfang n = 1 ist klar. Fur n > 1 wahl e man e l E E so, daB M. Kneser, Quadratische Formen © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2002

84

VII. Quadr atische Form en tiber Z

Ib(er, edl = m . Ist m = 0, so sind wir fertig. Andernfalls bezeichne pr die P rojektion auf die zu er orthogonale Hyperebene, also

Dann ist E' := pr( E) =

n

L

i=2

Z pre, ein (n - 1)-dimensionales Gitt er. Seine

Invari anten seien d' , m' anstelle von d, m . Es ist

Zu jedem x' E E' gibt es ein x E E mit x = x' + te, und ItI ::; ~ . Man wahle speziell x' so, daB m' = jb(x',x') I. Dann ist b(x , x ) = b(x' , x') + t 2 . b(er, er) , also m::; Ib(x , x)1 ::; m' + tm oder m::; ~ m'. Aus der Induktionsann ahm e m' ::;

(~) n2 d' n~l 2

folgt

und weiter

schlieBlich

4) (

m ::; 3"

n21

1

s«.

(20 .2) Satz Zu gegebenem n und d gibt es bis auf Isomorphie nur endlich viele Gitt er E auf requliireti rationalen quadratischen Vekiorriiume n mit rangE = n, Idet E j ::; d und b(E ,E) ~ Z . Beweis durch Induktion tiber n. Fur n = 1 ist die Behaup tung klar. Sei nun

n> 1. Falls m := m(E) # 0 ist , so wahl e man er E Emit Ib(er , ed l = m und

set ze F = Zero Falls m = 0 ist, so definiere man einen Unt erm odul F von E wie folgt. Sei er E E ein primitiver singularer Vekt or. Es ist b(er, E) = Z a mit a2 II detEI ::; d. Wahle e2 so, daB b(er , e2) = a ist , und setze F = Ze r + Ze2. Andert man e2 urn ein geeignetes Vielfaches von er ab , so kann man wegen q(e2 + ted = q(e2) + tb(er,e2) erreichen, da B Ib(e2,e2) 1 ::; a ist. In beiden Fallen erkennt man (im ersten Fall mittels Satz (20.1», daB fiir F bis auf Isomorphie nur endlich viele Moglichkeiten bestehen. Das gilt da nn auch fur G = E n r - , denn nach (14.5) haben wir Idet GI ::; Idet Ej . Idet Fl . Wegen

F ..1 G ~ E ~ E # ~ F# ..1 G#

20 Reduktionstheorie

85

gibt es dann auch fiir E nur endlich viele Moglichkeiten.

(20.3) Als Beispiel seien einige Werte fur d und n angeg eben, bei denen wir Gitter E aus (20.2) ohne Milhe hinschreiben konn en, Dazu nehm en wir an, n -l

es sei m :::; 1. Nach (20.1) trifft das sicher dann zu , wenn (~) also d :::; 2,3,2, 1 fur n = 2,3 ,4,5.

2-

d~

< 2 ist,

(20.4) Ist m = 1, so spaltet E einen eindimensionalen Teil (±1) orthogonal abo Auf den komplementaren Teil kann man das Verfahren wiederholt anwend en und erhalt so

= 1, n :::; 5 die positiv (bzw. negativ) definiten Gitter In = n X (1) = (1, .. . ,1) (bzw. -lIn = n X (-1)); die indefiniten Gitter Ir ,s = I; ..1 - lI s mit r,s > 0 haben m = 0; - fur d = 2, n :::; 4 die positiv (bzw. negativ) definiten Gitter I n - l ..l(2) (bzw . -lIn _1..l( -2)) .

- fur d

= 0, so zeigt der Beweis von (20.2), daf E ein 2dimensionales Untergitter F ~ \ ~ ~) mit a2 1 d und Ibl :::; a ent halt . Wenn (20.5) Ist andererseits m

d :::; 3 ist , so folgt a

\

= 1, b = 0 oder 1, also F isomorph zu \ ~ ~) = H oder

~ ~) ~ (1) ..1 (-1) , und

E spaltet (1) oder (-1) oder \

~ ~)

= H

ab , bis (im Fall d = 1) der Nullraum, bzw. (im Fall d = 2) ein eindimensionaler Teil (±2) ilbrig bleibt.

(20.6) Wir haben jetzt eine Zerlegung E = r

mit r

+ s + 2t

X

(1) ..1 s x (-1) ..1 t x H = : Ir ,s,t

:::; 5 fur d = 1, bzw. E = Ir ,s,t ..1 (±2)

mit r + s + 2t :::; 3 fiir d

= 2.

Die dr eidim ensionalen Gitter (±1) ..1 H die zweidimensionalen \

~

= (±1)

..1 \

~ ~)

enthalten

11) ' liefern also durch Vergleich der Determi-

nanten die Isomorphismen (±1) ..1 H

~

(±1) ..1 \

~

11)

~

(1, ±1 , -1),

die man, wenn r + s und t beide positiv sind, dazu verwenden kann, das Tripel (r, s , t) durch (r + 1, s + 1, t - 1) zu ersetzen und so zu erre ichen, daf entweder r = s = 0 oder t = 0 wird .

(20.7) Wir fassen zusammen und erganzen: J edes Gitter E aus (20.2) mit n = rang E :::; 5 und det E = ±1 ist zu genau einem Gitter Ir ,s,t mit r = s = 0,

86

VII. Quadratische Form en tiber Z

t ::; 2 oder mit t = 0, 1 ::; r + s ::; 5 isomorph. Es ist namlich r = s = 0 gena u dann , wenn b(x , x) = 0 mod 2 ist fiir aUe x E E, und r, s , t sind durch Signatur bestimmt . J edes Git ter E mit ran g F ::; 4, det E = ±2 ist zu einem Git ter [ roBot ..1 (±2) isomorph; man bestimme, welche von diesen isomorp h sind.

21 Klassen und Geschlechter (21.1) V sei ein n-dimensionaler Vektorraum tiber Q mit der nicht ausgearteten quadratischen Form q und der zugeh6rigen Bilinearform b und E ein Z- Gitter in V. Mit Qp bezeichnen wir die p-adischen Zahlen, also die Kompl ettierung von Q unter der p-adischen Bewertung, mit Zp die ganzen p-adischen Zahlen, d.h. die abgeschlossene Hillle von Z in Qp, und fur IR schreiben wir auch Qoo . Hat V die Basis {Ii} , so ist Vp := Qp 0 1Qi V ein Q-Vekto rraum mit der Basis {I o Ii} . Identifiziert man 1 0 x mit x , so ist Vp = QpV, ebenso Voo = Qoo V . Es ist s; := ZpE ein Zp-Gitter in Vp. Weiter set zen wir E oo = V00 = Qoo E.

e

(21.2) Definition Zwei Z- Gitter E ~ V , ~ V ' zah len zum selben Geschlecht, wenn E p ~ E~ fur aUe p einschlieBlich 00 gilt . J edes Geschlecht besteht aus vollen (Isomet rie-)Klassen , denn aus E ~ E' folgt E p ~ E~ . Wenn zwei Git ter im selben Geschlecht liegen, so sind nach dem Satz von Minkowski und Hasse die unterliegenden quadr atischen Vekto rraurne V und V ' zueinander isomor ph. (21.3) Satz Jedes Geschlecht von Gitt ern enthiilt nUT end lich viele Klassen. Beweis: Aus den Gleichungen d(E p) = d(E) . Z;2 und d(E oo ) = d(E) . IR x2 lafit sich d(E) E QXj Z x2 bestimmen, wenn alle d(Ep) bekannt sind . Die erste Gleichun g gibt fur jedes p die in d(E) aufgehende Potenz von p , die letz te Gleichung bestimmt das Vorzeichen. Also haben alle Git ter eines Geschlechts dieselbe Diskriminante. Wegen Zp ·b(E, E ) = Zp·b(ZpE, ZpE) = Zp ·b(Ep, E p) ist auch Z ·b(E, E ) durch das Geschlecht bestimmt . Dur ch Multipli kation von q mit einem geeignete n Faktor lafit sich also b(E , E ) ~ Z erreichen. Dami t sind alle Voraussetzungen von Satz (20.2) gegeben und (21.3 ) ist bewiesen. (21.4) Beispiele fur Geschlechter mit nur einer Klasse liefern nach (20.4) die positiv definiten Git ter mit Diskriminante 1 und Dimension x, 5 sowie mit Diskriminante 2 und Dimension ::; 4. Ein Beispiel fur ein Geschlecht , in dem mehr ere Klassen liegen, ist das von E =

(~ ~ ) .

(~

11 bzw. E' 2)

=

Zunachst ist E ~ E ': E ste Ut nam lich offensichtlich die 1 dar , wah rend 3x 2 + xy + 2y2 = 1 in Z unlosbar ist , wie man an der Zerlegun g 2 sofort erkennt. Andererseits ist 3x 2 + xy + 2y2 = ~(x + y)2 + ~X2 +

h

21 Klassen und Geschlechter

87

q' (~ , - ~) = 1, so daf E p und E~ ftir p f: 2 einen Vekt or mit q = 1 bzw. q' = 1 ent halte n. Also ist e; ~ (2) ..1 (ap), E~ ~ (2) ..1 (a~). Wegen d(E) = d( E ') ist d(E p) = d( E~), d.h. es gilt 2apZ ; 2 = 2 a~ Z ; 2 . Da 2 Einheit ist , gilt weiter (a p) ~ ( a~) und schlieBlich e, ~ E~. Fur p = 2 sind E 2 un d E~ regular

und es ist

E2 ~

[1

~] ~ E~ ,

nach (15.6) folgt E 2

~ E~.

Es gibt also

nichtisomorphe Gitter mit isomorphen Kompl et tierungen. (21.5) Satz Lsi V ein endlich- dime nsionaler Q- Vektorraum, E ein f estes Z - Gitt er in V , so sind die Abbildungen

E ' -+ {Z pE'} un d

{E~} -+ n (V n E~ ) p

zuei nander inverse B ijektionen zwischen der M enge aller Z - Gitter E' in V un d der M enge aller Folgen {E~} von Zp-Gittern E~ in QpV mit E~ = Zp E fur f ast aile p .

Beweis: Die Folge {Z pE'} erfiillt die Bedin gun g Zp E = Zp E ' ftir fast alle p . 1st namlich E L: ~=l Zei, E' L: ~=l Ze~, so gibt es aij, bij E Q mit e, = L: j aij ej , e~ = L: j bij ej . Bezeichnet man mit Pi, 1 ::; i ::; r, die P rim zahl en , die in den Nenne rn der aij und bij aufta uchen, so ist aij , bij E Zp fur p f: PI, ... , PrJ also E p = E~ fur fast alle p. Weit er ist n (V n E~ ) ein Z - Gitter

=

=

p

in V: Nach Vor au sset zun g ist narnli ch E~ = ZpE fur fast alle p . Fu r die rest lichen Primzahl en p gilt papZp E ~ E~ ~ pbpZp E . Mittels IIp apE = n(Vnp apZpE) ~ n(Vn E~) ~ n(Vn p bpZ pE ) = II p bpE p p p p p

hab en wir den Durchschnitt n (V n p

E~)

zwischen zwei Z - Gitter eingefan-

gen, dieser ist also selbst Z - Gitter. Es bleibt noch zu zeigen , daf die beiden moglichen Hint ereinanderschaltungen der Abbildungen jeweils die Identit at erge ben. Leicht ist die Gleichheit E' = n (V n Zp E ') . 1st namlich {ea eine p

Basis von E' , so ist L: aie~ E V n Zp E' genau dann , wenn ai E Q n Zp also L: aiei E n(V n Z pE') genau dann , wenn ai E Z . Als letz t es bleibt zu zeigen p

Zq · n (VnE~) = E~ . Weillinks j a q vorkommt, gilt Zq·n (Vn E~ ) ~ E~. Bep

zeichnet man

p

n (VnE~ ) p

mit E', so ist E' Gitter , hat also eine Basis {eD tibe r

Z . Da die {eD auch eine Q-Bas is von V bilden und da E~ ~ Qq V gilt, laBt sich ein Element aus E~ schreiben als L: aie~ mit ai E Qq . Zerlegt man die ai in a; = a~ + a~' mit a~ = ~, b, E Z fur ein geeignetes m , a~' E Z q, so ist jedenfalls L: a~' e~ E Z qE' . Weit er ist L: a~e ~ E E~ , da L: a~e~ = L: ai e~ - L: a~' e~ und

88

VII . Quadratische Formen tiber Z

L ai e~ E E~ , L a~' e~ E Z qE ' ~ E~. Da a~ E Q ist , ist sogar L a~ e~ E V n E~. Ab er auch fur p"# q ist La~ e~ E (Q nZp)E' ~ Vn E~ . Also ist La~ e~ E E' . Dann jedoch ist L ai e~ E E' + ZqE ' = Z qE ', was die Behauptung beweist. (21.6) Folger ung Mit obig en Bezeichnungen ist E' maximal in V genau dann , wenn ZpE ' maximal in Qp V ist fur alle p. 1st V regular, so ist ftir fast alle p auch E p regular. B e w eis . 1st E' C E" mit q(E" ) ~ Z, so gibt es nach (21.5) ein p mit Z pE' C ZpE " und q(E~) ~ z; 1st umg ekehrt E~ C E~ fur ein p, q(E~ ) ~ z., so ist E' C (V n E~) n n (V n Z qE ' ) = E" und q(E") ~ n (Q n Z q) = Z. q#p q Die Behauptung tiber die Regularit at liest man an der Det erminante ab o

22 Darstellungen tiber Z Das Lokal-Global-Prinzip fur Darstellungen von Zahl en durch quadratische Raume (Minkowski und Hass e, Satz 19.5) ist ub er Ringen wie Z im allgeme inen falsch . Es iibertragt sich jedo ch, wenn man ein einzelnes Gitter durch ein ganzes Geschlecht ersetzt .

(22.1) Sa t z Sei E ein Z - Gitter in einem reguliiren quadratischen Q- R aum V , t E QX, t E q(Eoo ), t E q(E p) fur alle p. Dann gibt es ein Gitt er E' im Geschlecht von Emit t E q(E') . Klar ist dann die

(22 .2) F olgerung Wenn das Geschlecht von E nur eine Klasse ent halt , so folgt t E q(E ). B ew eis des Satz es: Aus t E q(Ep) ~ q(Vp) folgt nach dem Satz von Minkow ski-Hasse t E q(V) . Es gibt also ein x E V mit q(x) = t . Fur fast alle p ist dann auch x E E p (fur alle p , die nicht in den Nenn ern der Koordinaten von x auftauchen) . Die Menge der no ch problematischen p werde mit S bezeichnet . S ist endlich. Fur pES sei dann x p E E p, q(x p) = t. Aus dem Wittschen Satz (3.2) folgt , daB es ein up E O(Vp) gibt mit x = upx p, Jetzt wend e man das Konstruktionsverfahren aus Satz (21.5) an . Fur E' = n (E p n V) n n (upEp n V) gilt E~ = falls p (j. S , p~S

E~

pE S

e;

= upE p, falls pES. Dah er liegt E' im Geschlecht von E, und es ist

x E E'

= n ( E~ n V). p

Beispiele fur die Anwendungen dieses Satz es sind die folgend en Kri tierien fur die Darstellung ganzer Zahl en als Summe von Quadrat en.

(2 2. 3) Sa t z (Euler 1749) Ein e Zahl t E Z" {O} ist genau dann Summe von zwei Quadrat en aus Z , wenn t > 0 ist und t kein e Primzahl p == 3 mod 4 in ungerader Potenz enthiilt.

22 Darstellungen tiber Z

89

Der Beweis folgt aus Satz (15.10) (wobei die Bedingungen fiir p = 2 automatisch erfiillt sind) und der Tatsache, daf das Geschlecht von (1,1) nur eine Klasse ent halt (20.3) . (22.4) Satz (Gauss 1801) Eine Zahl t E Z " {O} ist genau dann Summe von drei Quadraten aus Z , wenn t > 0 und ni cht von der Form 4a(8b + 7) ist . Beweis. Die Bedingungen von (15.11) sind erfiillt, da fiir t nach Abspalten der maximalen 4-Potenz t == 1,2,3,5,6 mod 8 wird, wie sich durch Probieren aller Moglichkeit en ergibt. AuBerdem enthalt das Geschlecht von (1,1 ,1) nur eine Klasse (20.3). (22.5) Satz (Lagrange 1770) Jedes positiv e t E Z ist Summe von vier Quadraten in Z . Der Beweis folgt aus (15.12) und (20.3). Als weitere Anwendung unserer Satz e wollen wir untersuch en, fur welche t E Z die Gleichung

n

LX;

i=O

= 2t mit der Nebenbedingung

n

L Xi

= 0 in Z

i =O

losbar ist . Mit anderen Wort en, wir untersuch en Darstellungen durch das in (1.21) eingefUhrte Gitter An der Determinante n + 1. (22 .6) Satz Ein e positive ganze Zahl wird von A 2 dargest ellt genau dann , wenn kein e Primzahl p == -1 mod 3 in einer ung eraden Potenz in t au/geht. Eine positive ganze Zahl wird von A 3 dargest ellt genau dann , wenn t nicht von der Form 22a + 1 (8b + 7) ist . Fur n ~ 4 st ellt das Gitter An jede positiv e ganz e Zahl dar. (22.7) Hilfssatz Die Geschlechter von A 2 , A 3 und A 4 bestehen aus je einer Klass e. Beweis. Fur n = 2 folgt die Behauptung aus (20.3) a) . Wir geben hier einen weiteren Beweis, der auch fiir n = 3 und 4 anwendbar ist. Sei E' aus dem Geschlecht von E = A 2 • Dann ist E 1.. (3) C F = h mit Ind ex 3. Weiter ist (E 1.. (3)p ~ Fp mit Gleichheit fiir p f:. 3. Gesucht wird ein Gitter F' in Q(E' l.. (3) mit (E' 1.. (3)p = F~ ftlr p f:. 3. Nach Voraussetzung ist E~ ~ E 3, also gibt es eine orthogonale Transformation U 3 mit E~ = U3E3' Dann verlangen wir noch, daf F~ = (U 3 1.. id)F3 ist. Ein Gitter F' , dessen Komplettierungen die gegebenen Bedin gungen erfullen, gibt es nach Satz (21.5). Dieses F' liegt im Geschlecht von F, ist also nach (20.3) zu F isomorph. Dann ist E' ~ F' orthogonal zu einem Vektor x E F' mit b(x, x) = 3. Unt er der Isomorphie F' ~ (1,1,1) geht x tiber in (±1, ±1 , ±1), und man kann durch Dahinterschalten eines Automorphismus von (1,1,1) err eichen, daf x in (1,1 ,1) ilbergeht. Damit erhalt man eine Abbildung der orthogonalen Komplemente E' --+ E , die wegen Id(E)1 = Id(E')1 surjektiv ist. Der Beweis verlauft genau so fur n = 3 bzw. n = 4, wenn man wegen IdA 3 = 4 bzw. IdA 4 1 = 5 als Sonderfall die 2-adische bzw. 5-adische Komplettierung 1

90

VII. Quadratische Formen tiber Z

betracht et. E 1 wird damit isomorph zum orth ogonalen Komplement in F eines Vektors y E F mit b(y , y ) = 4 bzw. = 5. Als y kommen nur die Vekt oren mit Koordinat en ±1 in Frage, da z.B. fur y = (2, 0, 0, 0) oder y = (2, 1, 0, 0, 0) das orth ogonale Kompl ement Vektoren z mit ungerad em Wert b(z, z) ent halt, also tiber Z2 nicht zu E~ isomorph ist und damit auch nicht im Geschlecht von E~ liegt. Beweis von (22.6). Es sei zunachst n = 2. Nach Satz (22.2) und (22.7) ist t E q(A 2) genau dann , wenn t E q(Z pA2) ist fur aIle p. Wegen dA 2 = -3 ist Z pA2 regular fur p f: 3. Nach (15.7) ist Z; ~ q(Z pA 2) fiir diese p. Fur eine Einh eit u E Zp ist up2a+l E q(Z pA 2) genau dann , wenn der Ind ex von Z pA2 positiv ist , d.h. genau dann , wenn die Diskriminante ein Quadrat mod p ist (15.9). Fur diese p ist dann q(Z pA 2) = Z p. Es ergibt sich also q(Z pA2) = Zp fiir

(~3) = 1, q(Z pA2) =

YZ; . p2a fiir (~3) = -1. Der zweite Fall liegt

au ch fiir p = 2 vor , da Z2A2 = [1

-

i]

nicht isomorph zur hyp erbolischen

Ebene ist. x 2 - x y + y 2 ste llt tiber lF2 die Null nur tri vial dar. Damit ergeben sich als notwendige Bedingungen t > 0, keine Primzahl p == -1 mod 3 geht in einer ungeraden Potenz in t auf. Diese Bedingungen sind hinreichend , da dann auch t E q(Z 3A2) ist . Schreibt man namlich t = 3au mit u == 1 mod 3 und Z 3A2

i -~ )

=( _

als (2, 6), so wird t durch den ersten Summ and en

da rgestellt , falls a gerade ist , durch den zweiten, falls a ungerade ist. Fur n = 3 ist d(A 3) = - 4, also ZpA3 regular fur p f: 2. Nach (15.8) ist dann q(Z pA3) = Zp. Im FaIle p = 2 ist Z2A3 = Z 2A2 .L (12), und man erhalt durch P robieren aller moglichen Kombin ationen

Also sind die Bedingungen t > 0 und t nicht von der Form 22a +l (8b + 7). Fur n = 4 hab en wir q(Z pA 4) ;2 q(Z pA3) = Zp fiir p f: 2 und q(Z 2A4) = Z2, da Z2A4 wegen dA 4 = 5 regular ist. Es folgt q(A 4) = {t E Zi t > O}.

Anmerkungen zu Kapitel VII Satz (20.1) stammt aus einem Brief von Ch. Hermite an J acobi, Extraits de

a

Lettres de Mr. Ch. Hermit e Mr . C.G.J Ja cobi su r differents objets de La th eorie des nombres, J. reine angew. Math. 40 (1850), 261- 315 = Oeuvres I,

100-163. Die Satze (22.5), (22.3) und (22.4) tiber Quadratsummen gehoren zum klassischen Bestand der elementaren Zahlenth eorie und wurd en bereits von Fermat (1601 - 1665) formuliert - der Satz (22.4) fiir den Spezialfall t == 3 mod 8 als die Aussage, daf jede positive ganze Zahl sich als Summe von

Anmerkungen zu Kapitel VII

91

hochstens drei "Dreieckszahlen" (von der Form n( n2+ 1) ) schreiben HiBt. Allerdings hat Fermat keine Beweise seiner Satz e hinterlassen, und es dau erte tiber hundert Jahre, ehe Euler in einem Brief an Goldb ach seinen Beweis des Zwei-Quadrate-Satzes mitteilte. Auch urn dem Vier-Qu adrate-Satz hat sich Eul er bemtiht, bis Lagr ange einen Beweis gab, den Euler alsba ld wesentlich vereinfachen konnte. Zum Drei-Qu adrate-Satz schlieBlich gibt es Ansatze in Legendres Essa i sur La Th eorie des Nombres VOn 179S, die jedoch keinen vollgiilti gen Beweis ergeben. Man vergleiche dazu Gau ss' Kritik in den "Adclitam ent a" am SchluB seiner Disquisit iones A rithmeticae [G]. Eine ausfiihrliche Dar st ellung cler Entwicklung der Zahlentheorie dieser Zeit gibt A. Weil, Number Th eory: an Approa ch through History; from Hammurapi to Legendre, Birkhauser Boston 19S4.

VIII. A p proximationssatze und indefinite Formen

Dieses Kapitel kniipft an die Technik der Lokalisierung quadratischer Formen tiber Q und den Satz von Minkowski und Hasse (Kapi tel VI) an und untersucht die analoge Fragest ellung tiber Z sowie allgemeiner tiber Teilringen von Q, die aus Z durch Inverti erun g endlich vieler Primzahlen entstehen. In den Abschnit t en 23 und 24 werd en sogena nnte Approximationssatze bewiesen, die Aussagen dartiber machen, wann ein System von Git tern oder Darst ellungen tiber den Lokalisierungen Zp durch ein Git ter bzw. eine Darstellung tiber Z angenahert werd en kann. In §25 wird gezeigt , daf diese Approx imationssatze eine weitgehende Klassifikation indefiniter Z-Gitter zur Folge hab en, wobei te chnisch der Begriff des Spinorgeschlechtes eine groBe Rolle spielt . Der wicht ige Fall regularer , allgemeiner sogena nnter unimodular er Git ter wird im abschlieBenden §26 behand elt.

23 Schwache Approximation Es sei S eine endliche Menge von Stellen des Korp ers Q (also von Primzahlen oder dem Symb ol 00; siehe §17). Wir bet ten Q verrnoge x -t (x , . .. , x) in das Produkt I1PES Qp von Komplettierungen ein. Ein allgemeiner Satz der Bewertungstheorie besagt , daB das Bild dieser Einbettung dicht liegt , wobei Q durch einen beliebigen Korp er K und S durch eine beliebige endliche Menge nicht-aquivalenter Bewertungen von K ersetzt werden kann . Dieses ist der sogena nnte "schwache Approximationssatz" fiir Zahlen. Wir formuli eren und beweisen diese Tatsache fur K = Q in verscharft er Form . Hierb ei bezeichnen wir mit Z (T ), fur eine endliche Menge T von Primzahlen, den Ring aller rationalen Zah len, deren Nenner ihre Primteiler in T hab en: Z(T) := Z

[~ I PET]

.

Diese Notation wird durch die Festsetzung Z(S) := Z(S ",- {oo}) auf beliebige endliche Mengen von Stellen ausgedehnt . Eine aquivalente Beschreibun g ist Z(S) = {x E Q I x E Zp fur alle P ~ S} ,

wobei Z oo = lR gesetzt ist . Der sogenannte "starke Approximati onssatz" besagt, daB st att Q bereits ein geeignetes Z (T) dicht in I1PE s Qp liegt . M. Kneser, Quadratische Formen © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2002

94

VIII. Approximationssatze und indefinite Formen

(23.1) Sa t z Es sei 8 eine en dliehe Menge von Stellen von Q und p' eine beliebige Primzahl m it p' (j: 8 . Fur 00 (j: 8 is t Z (8) dieht in ITpEs Qp. Fur 00

E 8 ist Z(8 U {p'} ) dieht in ITpEs Qp.

Beweis: Z ist dieht in IT Z p, da es zu gegebenen a p E Zp und r p E N ein a

E Z gibt mit

IT ( pES

pES

a

== a p mod prp fur p E 8 . Fur jede natiirl iche Zahl mist somit

p~ ) Z dieht in pES IT p~ Zp. Dar aus folgt sofort die erste Behauptung.

Fur die zweite Behauptung seien a p E Qp, fiir p E 8 und e > 0 gegeben. Nach dem ersten Teil findet man ein b E Z(8) mit Ib - a p lp < c ftir p E T := 8" [ co}, Der Ansatz a = b + eq-n IT pm mit e E Z fur das gesucht e a pET

ftihrt zum Zie!' Zunachst wahle man m so groB, daf IpmIp < e ftir aile pET ist . Wegen der scharfen Dreiecksungleichung folgt la - ap lp :::; max(lb - ap lp, leq- n IT pmlp ) < e fiir pET. Wahlt man dann n so groB, daf Iq- n IT pml oo < e wird und e E Z , so daf la - aoo loo = Ib - a oo + eq-n IT v" 100 < c ist, so ist a wie geford ert. Die beiden Fail e des Satzes (23.1) lassen sich wie folgt auf einen Nenner bringen: T sei die Menge 8 U {oo} bzw. 8 U {p', 00 }. Dann besagt die Behaup tung, daf Z(T) a also auch in V nach Minkowski-Hasse. Viertens: Fur (6) hab en wir jetz t einerseits eine Losung x E V , andererseits fur pES Losun gen x p !/:, I p ,2m in Vp . Zusammen liefert (23.5) einen Vektor 12m , der alle noch ausstehend en Ford erun gen (4) und (5) erftillt. (23.7) Sei Vein regularer Raum tiber einem Korp er K , mit positivem Wit tInd ex, und es liege nicht der Ausnahm efall von (3.5) vor. Dann wird die Spin gruppe Spin(V) von den Produkten e] mit e, I E V , q(e)q(f ) = 1 erzeugt. Beweis: Die gena nnte n P rodukte e] erzeugen eine Untergruppe N von = eto:' , Spin (V ) C C (V ) X, die wegen seis:' = e' ]'; e' = geg - \ q(e' )q(f' ) = 1 von allen nichtsingular en 9 aus V normalisiert wird: gNg-1 = N . Nach Vorausset zung spaltet V eine hyperb olische Eb ene H ab: V = H..l W . Ist nun u = i, .. . hm E Spin( V), so gibt es hi E H mit q(h i ) = q(fi ) = ti · Setzen wir gi = hi 1 = t i 1h i , so wird q(fi)q (gi ) = 1, also figi E N , so daf modul o N die Kongruenz u = h .. . 12m == hI ... h 2m gilt , und damit n E SpinH C N nach §8.

t

24 Starke Approximation In diesem Abschnitt betrachten wir Z-Git ter auf quadratischen Q- Vekt orr aumen V und kntipfen an die unter (23.2) festgestellte st arke Approximation in IT Vp durch Vektoren aus Z(T )L an. Der folgende Satz besagt , daf sich pET ,{l}

98

VIII. Approxim ationssatz e und indefinite Form en

unter gewissen Voraussetzungen diese Aussage auf die Vekto ren eines fest gegebenen Formwertes t E QX, d.h . die Menge

L (T , t) := V(t)

n Z( T)L =

{x E Z( T) L I q(x ) = t }

ilbertragt. Die scharfste Fassung dieses starken Approximationssatzes lau tet: (24.1) Satz Es sei Vein reguliirer quadratischer Q- Vektorraum der Dimension dim V ~ 4, t E QX mit V( t) :j:. 0, T eine endliche Menge von Stellen von Q mit 00 E T und f E T so, daft ind Vi > O. Weiter sei L ein Z -Gitter auf V mi t Lp(t) = Vp(t ) n t., :j:. 0 fur alle p (j. T. Dann ist L(T, t ) Y II Vp(t) pET O. Dann

Beweis: Seien Lund M Gitter in V, die zum gleichen Spin orgeschlecht gehoren, u E O(V) die zugehorige orthogonale Tr ansform ation. Dann ist (u- 1 M) p = vpL p fur alle p , fiir fast alle p sogar (u- 1 M) p = L p. Die endlich vielen ande ren p fasse man zu T zusa mmen. Dann approximiere man fiir p E T ,- {oo} die vp durch v E O' (L ,T ) so gut, daB v L p = vpL p ftir pET 0 und s > 0, die Geschlechter aus a) bzw. b) also indefini t, so best ehen diese aus j eweils einer Klass e. Beweis: a) Ir,s hat die gewilnsehte Signatur (r, s) . Ist umgekehrt L ein ungerades unimodulares Z-Git ter der Signatur (r, s), so hab en Lund Ir,s beide die Determinante ±1. Wir konn en also (26.5) auf die Z2-Gitter Z2L und L' = Z2Ir,s anwenden. Zusammen mit (26.2) zeigt das , daf Lund Ir,s im gleichen Gesehleeht liegen. b) Die unter b) genann ten Repr asentanten sind gerade, da H und E s es sind, und hab en die Signatur (r, s), da H bzw. E s die Signaturen (1 ,1 ) bzw. (8, 0) haben. DaB die geraden unim odul ar en Z-Gitter L mit vorgegebener Signatur (r, s) aIle einem Gesehleeht angehoren liegt naeh (16.2) dar an , daB fur jedes p (einsehlieBlieh p = 2) die Lokalisierungen Zp L als quadratisehe Zp-Moduln regular , also in dem naeh (26.2) bis auf Isomorphie eindeut igen Raum QpL maxim al ist. Es bleibt zu zeigen , daf die Bedingung r - s == 0 mod 8 aueh not wendig fur die Existenz eines geraden unimodul ar en Git ters L der Signatur (r , s) ist. Ein solches Git ter ha t notwendig gerade Dimension n = 2m , und wir konnen

eib en sehrrei

'71 1LJ 2

L = '" ..lm . geeignete . i = l \/ 2ai 1 2b1 )mit n ai, bi E i

'71 1LJ2 ·

F"ur diie

m

= detL gilt d = IT(4aibi -1) == (_ l)m mod 4. Andererseits I Es folgt m == s mod 2 und weiter r - s = (n - s) - s =

Determintante d

ist d = (_ l )s. 2(m - s) == 0 mod 4. Den Fall r - s == 4 mod 8 sehlieBen wir nun mittels der Witt-Invariante aus . Da Lund somit jedes Z pL eine regular e quadratisehe Form tragt , ist naeh Satz (16.10) c(QpL ) = 1 fur aIle Primzahlen p, naeh der Produktformel also aueh c(Qoo L ) = 1 und somit r - s ~ 4 mod 8, also == 0 mod 8 naeh (11.13). e) Sind nun unsere Git ter indefinit und fur den Augenbliek die Dimension n mindestens gleieh 3, so besteht naeh (25.4) das Gesehleeht von Ir,s bzw. t X E s ..1 s x H aus nur einem Spinorgesehleeht , und dieses naeh (25.2) aus nur einer Klasse, was sich naeh (20.7) aueh noeh fur n = 2 als riehtig erweist .

Anmerkungen zu Kapi t el VII I

109

Anmerkungen zu Kapitel VIII Der hier behandelte Fragenkr eis der Appr oximation zeigt verschiedene Facetten. Da sind einmal die Unte rschiede zwischen schwacher und starker Approximati on . Wahrend z.B , der schwache Satz (23.5) verhaltnismaflig einfach zu beweisen war , ist dies fur den st arken Satz (24.2) nicht mehr der Fall. Entspr echendes gilt fiir (23.3) (schwach) und (24.16) (st ark) . Allerdings ist (24.16) nicht fur die spezielle orthogonale Gruppe SO formuliert, sond ern fur die Spingruppe bzw. den Kern 0' der Spinornorm . Tatsachlich ist die ents prechende Aussage fiir SO nicht richtig, wovon man sich anha nd von Beispielen ilberzeugen kann . Der tiefere Grund hierfiir ist in der Tatsache zu sehen, daB SO als linea re algebraische Gruppe die Spingruppe als zweiblattrige Uberlageru ng besitzt , wahrend diese keine echte Uberlagerun g zulaBt, also "einfach zusammenhangend" ist. Fur diese Sicht der Dinge vergleiche man M. Kn eser, Starke Approximation in algebraischen Gruppen I, J. reine angew. Math. 218 (1965) , 190 - 203, und Strong Appro ximation, in: Algebraic groups and discontinuous subgroups (Proc. Symp. Pure Math. IX) , Boulder 1965, 187 196 , oder das Han dbu ch V.P. Pl atonov, A.S. Rapin chuk, Algebraic Groups and Numb er Th eory, Acad emic Press 1993. Der Sat z (24.2) mit £ = 00 ste ht bei G.L. Watson , R epresentation of integers by in definite quadrati c forms, Mathematika 2 (1955), 32 - 38. Von M. Eichler stammen die Begriffe Spinornorm und Spinorgeschlecht und deren wichtigste Eigenschaften sowie in diesem Zusamm enhang die erst en Ergbnisse in Richtung auf Approximationsaussagen. Fur all dies vergleiche man das einfluBreiche Werk [E]. Zum Inh alt von §26 siehe auch Chap. V in J.-P. Serr e, Cours d'A rithmetique, Presses Univers. de France, P aris 1970 = A Course in A rithmetic, SpringerVerlag 1973.

IX. N achbargitter und definite Formen

In §27 zeigen wir, daf sich ein positiv definites Git ter eindeut ig in eine ort hogonale Summe von ort hogonal nicht weiter zerlegbaren Git tern zerlegen Hil3t. In §28 wird die Methode der benachbarten Git ter eingefUhrt, mit der man un ter relativ schwachen Bedin gun gen samt liche Gitter eines Spinorgeschlechtes konstruieren kann. In §29 befassen wir uns mit Darstellungen einer nattirlichen Zahl durch ein positi v definites Git ter. Es wird ein ganzzahliges Analogon des Satz es von Minkowski und Hasse bewiesen , namli ch daf eine iiberall lokal darstellbar e Zahl, die allerdings geniigend grof sein muB, auch globa l dar gestellt wird.

27 U nzerlegbare Gitter Wir zeigen in diesem Abschnit t , daB sich ein positiv definites Z- Gitter in eine orthogona le Summe von orthogona l unzerlegbaren Git tern zerlegen laBt , und daf diese Zerlegung sogar eindeutig ist (nicht nur eindeutig bis auf Isomorphie). Hierdurch wird insbesondere das Klassifikationsproblem fiir positiv definite Git ter auf die Klassifizieru ng der unzerlegbaren Gitter zuriickgefUhrt. (21.1) Definition Ein Git ter heiBt unzerlegbar, falls es keine orthogonale Summe von zwei echten Teilgit tern ist . Ein Vekto r x in einem Git ter L heiBt unzerlegbar, falls er sich nicht in der Form x = y + z mit y, z E L , y "I 0, z "I 0, b(y , z) = dar stellen lasst,

°

(21.2) Satz J edes Gitter L in eine m posit iv defin it en Q- Raum besit zt eine Zerlegung L = .LLi in unzerlegbare Teilgitter Li, Diese sind dur ch L bis auf die R eih enfolge ein deutig best immt.

Beweis. Sei L = .LL~ irgend eine ort hogonale Zerlegung. Sind dann in x = I: Xi mindeste ns zwei der Xi "I 0, so ist x zerlegba r. Dementspr ehend liegt jeder unzerlegbar e Vektor in einem der L~ , und zwei unzerlegbar e Vekt oren, die nicht orthogona l zueina nder sind, liegen in demselben L~ . Wir wollen zwei unzerlegbar e Vekto ren y, z "verbunden" nennen , wenn es unzerlegbar e Vekto ren Xo = y , Xl ,··· , Xr = Z gibt mit b(Xi-l,Xi) "I 0. Zwei verb undene unzerlegbar e Vekto ren liegen also in demselben L~ . "Verbunden" ist .Aquivalenzrelation . Bezeichnet man mit K; die .Aquivalenzklassen und mit L , die M. Kneser, Quadratische Formen © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2002

112

IX. Nachbargitter und definite Form en

von den K, erzeugten Unte rgitter, so liefern die L , die gewiinschten Summa nden . Es ist namli ch b(Li ,Lj ) = 0 fiir i f:. i , da b(Ki ,Kj ) = O. Fern er ist L = L: L i, da man jeden Vekt or x f:. 0 als Summe un zerlegbarer Vekt oren schreiben kann: Ist x nicht schon selbst unzerlegbar, so ist x = Y + z mit 0< q(y), q(z) < q(x ). Fortset zen dieses Verfahrens liefert nach end lich vielen Schri t t en eine Zerlegung in unzerlegbar e Vekt oren. Insgesamt ist L = .1.L i . Ist nun L = .1.Lj eine beliebige Zerlegun g, so liegt jedes L, ganz in einem Lj. Die L, sind nach Konstruktion unzerlegbar . Sind es auch die Lj , so ist

L i = Lj . (27.3) Bemerkung. a) Zur pr aktis chen Durchfiihrung dieses Verfahrens reicht es, ein Erzeugend ensyst em in unzerlegbar e Vekt oren zu zerlegen und die hierauf induzierten Aquivalenzkl assen zu betracht en. b) Wenn ein Gitter eine Menge von unzerlegbar en Vektoren ent halt, die in einer Aquivalenzklasse liegen und ein Teilgit t er von endlichem Ind ex erzeugen, so ist das Gitt er unzerlegbar. (27.4) Beispiele (vergl. (1.21) und (14.9» a) Fiir I n = .1. ~1 (1) sind die Z ei die orthogonal unzerlegbaren Summanden . b) An = {L: X i ei E I n+ 1 I L: Xi = O} ist unzerlegba r. Beweis: Nichverschwind end e Gitt ervektoren kiirzest er Lan ge sind unzerlegbar. In diesem Fall sind das die Vektoren e, - ej , i f:. i , und diese erzeugen ganz An . Fiir j f:. i f:. kist b(e i - ej , e, - ek ) f:. 0, also liegen alle kiirzest en Vekt oren in einer Aquivalenzklasse . c) o; = {L: Xi ei E In I L: X i == 0(2)} ist flir n ~ 3 unzerlegbar. Beweis: Die kiirzest en Vektoren sind von der Form ±ei ± ej , i f:. j. Fiir n ~ 3 liegen wieder alle diese Vekt oren in einer Aqui valenzklasse; fiir n = 2 ist D 2 = Z(e l + e2) .1. Z(el - e2) die Zerlegun g in Unzerlegbare. d) ii; = D n + Z ~ (el + ... + en ), dab ei n == 0 mod 4, ist flir n > 4 un zerlegbar , wie man mit t els (27.3.b), an gewend et auf die kiirzest en Vektoren e ; ± ej , erkennt. Fiir n = 4 ist D4 ~ 14 , denn in D4 hab en wir die ort hogonalen Einheits1_( 2' 1111) 1_(1111) 1_(111 1) vekt oren e 1 2 ' 2' 2 ' e2 2' 2 ' - 2' - 2 ' e 3 2' - 2' 2' - 2 '

1_(1111)

e 4 - 2 ' - 2 ' -2 ' 2 . Dieses Resultat war nach den Ergebniss en der Reduktionstheorie (20.4) zu erwarte n; es gibt nur eine Klasse 4-dim ensional er ganz zahlig er Gitter der Det erminante 1. e) Unter einer Partition einer natiirlichen Zahl n versteht man eine Zerlegung n = nl + n 2+· · .+n r in ganze, positive Summanden nl~ n2 n r . J eder solchen P ar tition ordne man das Z-Git te r .1.r=l D Sn i zu. Nach d) und (27.2) ents prechen so verschiedenen Par t iti onen nicht isomorphe Git t er , und die Anzahl der Klassen gera der unimodularer posit iver Git t er der Dimension 8n ist mindestens so grof wie die der P ar ti tionen von n. Insbesond ere st rebt sie mit n gegen 00 .

:s ... :s

28 Best immung von Klassen in einem Geschlecht

113

f) E 6 , E 7 und E s sind un zerlegbar. Das folgt aus (27.3.b) mit den Minimalvektoren ! (el + ... + es) und e, + ej , (i , j ::; 5 resp. 6,7). Die folgend e Kiirzungsregel ist eine unmi ttelbare Folgerung aus (27.2) (27.5) Satz Sin d L , M , N positiv definit e Z -Gitter mit L ..L M so ist M ~ N .

~

L ..L N ,

Beweis. Man zerlege L , M und N in orthogonal unzerlegbare Komponent en, L = ..L L i , M = ..L M j , N = ..L N k • Dann kommt jeder unzerlegbare Summ and bis aufIsomorphie ebensooft unter den {L i' M j } vor wie unt er den {Li' N d. Das gilt dann auch fur die Familien { M j } und {Nd , also ist M ~ N . (27.6) Die Behauptung (27.5) ist fur indefinite Gitter falsch. Addiert man namlich zu zwei nicht isomorphen Gittern M , N aus einem Geschlecht die hyperbolische Eb ene H , so liegen H ..L N und H ..L M in einem Geschlecht. Sie liegen nach (25.4) in einem Spinorgeschlecht, denn jede Komplettierung spaltet einen zweidimensionalen regular en Summ and en aboWeil im indefiniten Fall jedes Spinorgeschlecht nur eine Klasse ent halt (25.2), liegen sie sogar in einer Klasse.

28 Bestimmung von Klassen in einem Geschlecht Die klassische Reduk tion stheorie gestattet es im Prinzip, wie wir in §20 gesehen hab en , aIle Z-Git ter einer festen Dimension und Det ermin ante aufzuliste n, da sie die Koeffizient en einer geeigneten Gram-Matri x, d.h. die Lan gen der Vektor en einer sogena nnten "reduzierten" Basis einschrankt . Allerdings ist dieses Verfahren schon fur recht kleine Dimensionen (etwa ab 5) mit erheblichem Rechenaufwan d verbunden. Ind efinite Formen haben wir im vorigen Kapitel mit Hilfe von Approximationssat zen untersucht, hab en dab ei gezeigt, daf Spinorgeschlechter und Isomorphieklassen zusa mmenfallen (25.2), und sind haufig einklassigen Geschlechtern begegnet (26.7c). Gan z anders liegen die Verh altnisse bei definiten Formen. In den Beispielen (27.4e) wachst die Klassenzahl unb eschrankt mit der Dimension n , wahr end die Determinante beschrankt bleibt (namlich gleich 1). Diese Beispiele lassen groBere Klassenzahlen erwarte n, zu deren Bewaltigung wir jetzt ein Verfahr en zur Konstruktion von Gittern vorstellen, das der benachbart en Gitt er. Es ist recht effizient und hat zudem den Vorteil, daf es unter geeignete n Voraussetzungen gezielt die Git ter eines bestimmten Geschlechts , und diese vollst andi g, produz iert. Diese Methode beruht letztlich auf dem st ark en Approximati onssatz sowie der Tatsache, daf lokale Raum e ab der Dimension 5 immer positiven WittInd ex hab en. (28.1) Sei L ein Z-Gitte r in einem positiv-definiten quadratischen Q-Vektorraum V . Wir wollen die Gitter M aus dem Spinorgeschlecht von M bis

114

IX. Nachbargitter und definit e Formen

auf Isomorphie klassifizieren . Ausgangspunkt dazu so11 die ApproximationsAussage (25.3) sein. Wir wahlen daher eine Primzahl p mit ind Vp > 0, was nach (16.6) aut oma tisch zutrifft, wenn etwa dim V = n ~ 5 ist , und halten diese im folgend en fest. J ede Klasse im Spinorgeschlecht ent halt da nn ein Git ter M eV mit Ml = L l ftir a11e Primzahlen ef= p , und wir haben M =

n(V n l

M l) S;;

n(V n

l#p

L l ) = Z[~]L

nach (21.5), also Z[~ ]M = Z [~ ] L. Es gilt also prL S;; M S;; p- rL fiir genugend groBe r. Sind M S;; N zwei derartige Git ter und prL S;; M S;; N S;; p-r L , so ist der Gruppenindex [N : M] ein Teiler von [p-r L : pr L] = p2nr, also eine Potenz von p. (28.2) Dem Begriff des Nachbargitters liegt die Idee zugrunde, daf zwei Gitter L, M in Z[~]L = Z[~]M gewisse Gemeinsamkeiten aufweisen, wenn sie einen groBen Durchschnitt L n M , also kleine Indi ces [L : L n M] und [M : L n M] haben. Die Rechnung det (L n M) = [L : L n M]2 det L = [M : L n M ]2 det M (nach (14.7)) zeigt , daf diese Indices den gleichen Wert hab en, etwa [L : Ln n M] =: p", falls det L = det Mist. Unt er dieser Voraussetzung nenn en wir den Exponenten s den p-Abstand von Lund M . Wenn s = 1 ist , so sagen wir , Lund M seien bena chbart , M ein Na chbar von L. M] = [M : L

(28.3) Wir werden allerdings nicht ganz beliebige (ganzzahlige) Z-Gitter M in Z [~] L betrac hte n, sondern nur solche, die eine vorgegebene Determinante d = det L = det M hab en und nicht in einem echt groferen ganzzahligen Gitter ent halten sind. Diese Bedingung , die wir von jetzt ab fur den ganz en Rest des Abschnit ts 28 voraussetzen, ist z.B, erftillt, wenn det M nicht durch p2 te ilbar ist , oder auch dann (und bei p f= 2 nur dann), wenn ZpM maxima l in Qp L ist (14.10). Urn nun , ausgehend von einem gegebenen Git ter L , weitere Git ter in Z[~] L zu erhalte n, formulieren wir den (28.4) Satz Sind L f= M zwei Gitter in Z[~]L = Z[~]M mit der Eigenschaft (28.3) und gleich er D et erminante, so gibt es eine K ette L = L o, L 1 , • • . , L ; =

M von ebensolchen Gittem , bei der L i - 1 und L , bena chbart sind fu r i = 1, ... , r . Wenn p = 2 is t un d L un d M gerade sin d, so kiinnen auch alle L i gerade gewiihlt werden.

Dan ach zeigen wir in (28.7), wie man alle Nachbarn eines Gitters bestimmen kann. Das daraus sich ergebende Klassifizieru ngsverfahren, von einem Git ter a11e Nachbarn zu bilden, von diesen wieder alle Nachbarn, und so fortzufahren, demonstrieren wir dann am Beispiel der definiten unimodul ar en Git ter.

28 Bestimmung von Klassen in einem Geschlecht

115

Der folgend e Hilfsatz ent halt einen wesentli chen Teil des Beweises von (28.4). (28.5) Hilfssatz Die Voraussetzungen seien wie in (28.3). Wenn y E L 0 ist fur alle p. Mit dieser Definition gilt folgende Erweiterun g von Satz (29.1) (29.8) Satz Fur ein Z -Gitter in einem positiv definiten iQ-Raum der Dim ension mindes tens 4 ist die Menge ij", (L ) " q",( L) endlich, fur jedes Q: E N.

Anmerkungen zu Kapi t el IX

123

Die Anpassung des obigen Beweises erfordert viele eher schreibtechnische, aber kaum inhaltliche Anderungen. Lediglich am Schluf von (29.6) muf die P rimzahl p = to gesondert behandelt werden, da L p in diesem Fall unter Umstanden nur eine hyperb olische Ebene abs paltet. Man kommt dann auf den Fall der orthogon alen Summe eines regular en Git ters mit einer mit p skalierten hyp erb olischen Eb ene. Ein solches Git ter steIlt ebenfaIls aIle Elemente aus Zp dar .

Anmerkungen zu Kapitel IX Die Er gebnisse des §28 finden sich in M. Kneser , Kl assenzahlen definit er quadratischer Form en, Archiv d. Math. 8 (1957), 241-250. Die Aussage in (28.8) zu n = 16 stammt von Witt, Eine Identitiit zwischen Modulform en zuieiten Gerades, Abh . Math. Sem. Univ. Hamburg 14 (1941), 323-337 = ColI. P ap ers, Ges. Abh . 313-328, die zu n = 24 von H.-V. Niemeier , Definit e quadratische Form en der Diskriminant e 1 un d Dim ension 24, J . Numbe r Theory 5 (1973), 142-178. Vgl. dazu auch Chap. 16,17,18 in [CS] mit umfan greichen Tab eIlen. Satz (29.1) wird klassisch mit analyt ischen Meth oden bewiesen: siehe V. Tartakovskii, Die Gesamtheit der Zahlen, die durch ein e quadratische Form F( Xl , .. . ,xs ) (s 2: 4) darst ellbar sind , Izv. Akad. Nauk SSSR 1929 ,111-122 , 165-196. Fur die Dimension 4 gibt es verschiedene kleine Vari anten; der entsprechende Satz fur primitive DarsteIlungen findet sich mit einem ahnlichen Beweis wie dem obigen als Theorem 1.6 in Cha pte r 11 von [C]. Vgl. dazu auch J.S . Hsia, Y. Kitaoka, M. Kneser , R epresentat ions of positive definit e quadratich form s, J . reine angew. Mat h. 301 (1978), 132-1 41.

X. Der Satz von Minkowski und Siegel

Wir wissen aus fruheren Abschnitt en, daB im positiv definiten Fall ein LokalGlobal-Prinzip fur Darstellungen durch ganzzahlige quadratische Formen (bzw. Gitter) im st rikte n Sinne nieht gilt . Wir hab enjedoch einige schwachere Resultate kenn engelernt, die unter der Voraussetzung gelten, daB ein Git ter L iiberall lokal durch ein Git ter M dar gestellt wird : es wird L durch ein Gitter M' im Geschlecht dar gestellt , und durch M selbst, falls das Minimum von L gentigend groB ist. In diesem Kapitel lern en wir eine weitere, weitgehend e Var iante dieses Themenkr eises kennen: betrachtet werd en gewiehte te Mittelwerte der Dars tellungsanz ahlen a(L, M i ) von L durch M i , die tiber alle Gitter M, des Geschlechts von M gebildet werd en. Es zeigt sieh, daf solche Mittelwerte allein von den lokalen Darstellungen von L p durch M p fur alle Primzahl en p abha ngen. Der Satz von Minkowski und Siegel besagt genauer , daf die in Frage ste hende Darstellungsan zahl dur ch ein unendliches Produkt tiber sogennante lokale Darstellungsdi chten gegeben wird. Der Beweis benutzt die adelische orthogonale Gruppe von M . Dieses ist eine Unte rgruppe des dir ektes Produktes der lokalen orthogonalen Gruppen O(QpM) .

30 Klassen und Geschlechter von Darstellungen Fur ein Gitter M in einem regular en Q-Vektorra um W mit q(M )

~

Z und fur

t E Z wollen wir uns mit der Frage nach der Anzahl der x EMmit q(x)

=t

beschaftigen . Stat tdessen konnen wir auch nach der Anzahl der Isometrien u : [aJ -t M fragen. (30.1) Definition Eine Isometrie u : L -t M von Git tern heiBt auch eine Darst ellung von L durch M . Zwei Darstellungen U i : L -t M i , i = 1,2 gehoren zur selben Klasse (zum selben Geschlecht), wenn es einen Isomorphismus

v : M 1 -t M 2 (bzw. fur alle p Isomorphismen vp : ZpM 1 -t Z pM 2 ) gibt, so daf U 2 = v 0 Ul ist (bzw. U 2 = v p 0 U l , wobei die U i kanonis ch auf die p-a dischen Komplet tierungen fortgesetzt werd en). Die Darstellung u heiBt primit iv, falls uL primitiv in Mist (d.h. M / u L torsionsfrei). Wenn zwei Dar stellungen in M 1 bzw. M 2 zur selben Klasse (zum selben Geschlecht) geh6ren, so geh6ren definitionsgemaf M 1 und M 2 zur selben Klasse (zum selben Geschlecht). M. Kneser, Quadratische Formen © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2002

126

X. Der Satz von Minkowski und Siegel

(30.2) Satz Lsi L nicht ausgeart et, so gibt es zu gegebenen n, d =f. 0 nur en dlich viele Kla ssen von Darstellung en u : L -+ M durch Gitter M der Dim ension n und Diskriminante d. Beweis: Sei u : L -+ Meine Dar stellung, N := (u L).l.. in M. Dann ist

Wir wissen aus (14.5), daB dN I dM . dL gilt. Dah er kommen fiir N bis auf Isomorphie nur endlich viele N, in Frage. Fur jedes i betrachte man die endlich vielen M i j mit

Es sei U ij : L -+ M i j die Einschrankung der Inklu sion L .1. N, y M ij. Diese U ij vertreten aIle Klassen. Fur eine beliebige Darstellung u : L -+ M mit det M = d betracht e man namli ch wie oben N := (uL) .l.. in M. Fur passend es i gibt es einen Isomorphismus v : N -+ N, zwischen N und einem der oben gewahlte n Git ter Ni , also auch einen Isomorphismus w := u-1.lv : u L .1. N -+ L .1. N i

,

der sich zu einem Isomorphismus

fortsetzt. Das Bild wM ist gleich einem der oben eingefuhrten M i j , das Diagramm

L

/

M

w

ist nach Konstruktion kommu tativ , also geh6ren u und

Uij

zur selben Klasse.

(30.3) Bemerkung. Satz (30.2) ist falsch, wenn dL = 0 ist. Betrachte namli ch als darst ellend es Git ter M die hyperbolische Eb ene

30 Klassen und Geschlecht er von Darst ellungen

127

Da H nur vier primiti ve singulare Vektoren ent halt, narnlich ±e, ±f, ist die orthogo nale Gruppe von H endlich, genauer zyklisch von der Ordnung 4. Andererseits gibt es un endlich viele singular e Vektoren (alle Vielfachen von e und J), also auch un endlich Darst ellungen des eindimensionalen ausgearteten Gitters L = (0) = Zg durch H. Wegen der Endlichkeit von O(H) mu ssen sich diese Dar st ellungen auf un endlich viele Klassen verteilen. In der Tat sieht man sofort , daB durch 9 f-+ ne, n EZ, n > 0 ein Repr asent antenayst em gegeben ist. Der Sat z bleibt jedoch richtig fur primiti ve Dar st ellungen , ebenso filr ein fest es Geschlecht von Dar st ellungen. (30 .4) Satz Seien L f. {O} , M nicht ausgeartete Gitter, QM dejinit oder QM eine hyperbolische Ebene. Dann gibt es nur endlich viele Darstellungen von L durch M. In jedem anderen Fall enthiilt jede Kl asse von Darstellungen L ---+ M un endlich viele. Wir werden zunacht einen Hilfssatz herleit en , der auch von eigenstandigem Inter esse ist . (30.5) Hilfssatz Sind M I , M 2 Z-Git t er in demselb en Q-Vekt orraum , so sind ihr e orthogonalen Gruppen O( M 1 ) und O(M 2 ) komm ensurab el, d .h .

Das gleiche gilt fur Zp-Git ter in einem Qp- Vektorraum. Insb esondere sind O(M1 ) und O(M 2 ) entweder beide end lich oder beide un endlich. Beweis: Aus Symmetriegriinden reicht es zu zeigen , daB O(M1 ) n O(M2 ) endlichen Index in O (MI ) hat . W ahl e c E Z " {O} , d E Q " {O} mit cdM 1 ~ M 2 ~ dM 1 • Es sei G sei die Untergruppe der u aus O( Mr) , welche auf MI/cMI die Id entit at induzieren. Es ist [O(M1 ) : G] < 00, weil M I/cM1 endlich ist. Ein u E G induzier t auf dM1 / cdM 1 die Identit at, bildet also insb esonder e die Untergruppe M 2/ cdM1 ~ dMI/ cdM1 in sich ab, d .h. es gilt auch u M 2 ~ M 2 • Somit ist G ~ O(M2 ) und weit er G ~ O(Mr) n O(M2 ) . Mit Ghat a uch die grofiere Unte rgruppe O (Mr) n O (M2 ) endlichen Index in O (Mr). Der Beweis verlauft ebe nso fur Zp-Gitter. (30 .6) Beweis von (30.4) Set ze W := QM. Ist M definit , so gibt es zu gegeb enem t nur endlich viele x EMmit q(x) = t. Es kommen also nur endlich viele x E M als Bild er der Vektoren einer fest en Basis von L in Frage. Im Fall W ~ QH, H die hyp erbolische Eb ene, sei ohne Einschrankung M maximal , da es in einem kleineren Git t er hochst ens ebe nso viele Dar stellungen von L wie in M gibt . Dann ist M ~ H , und die Behauptung ergibt sich dar aus , daB die Gleichung x y = t nur endlich viele Losungen x , y E Z hat.

128

X. Der Sat z von Minkowski und Siegel

Sei nun W ind efinit , W rp H un d dim W = 2. Wahl e eine Orth ogonalb asis {el ' e2}i es sei q(x l el + X2e2) = al xi -a2x~, ai > 0, ai E Z . Wir wollen zeigen , daf es eine Zahl t :I 0 gibt, so daB alxi - a2x~ = t un endlich viele Losun gen Xl, X2 E Z hat. Statt dessen zeigen wir, daf es eine Schranke gibt, so daf al xi - a2x~ fur un endli ch viele P aa re Xl, X2 unterhalb dieser Schranke liegt . Dann wird eine Zahl un end lich oft dar gest ellt. Sei al (Xl - AX2)(XI - /1X2), A, /1 E lR die Faktorzerlegun g von alxi - a2 x~ und N E N beliebig. Man bet rac hte AX2 - [AX2] fiir X2 = 1,2,3, . .. und erhalt reelle Zahlen zwischen o und 1. Teilt man das Einh eit sintervall auf, 0 < < NiV I < 1, so gibt es nach dem Schubfachprinzip X2' x~ E N mit 0 ~ X2' x~ ~ N , so daf I Ax~ - [AX~] - AX2 + [AX2 ]1 < wird. Ma n setze X2 := x~ - X2 ' Als Xl nehme man [AX~] - [A X2] ' Dan n ist IAX2 - XII < IX21 ~ N . Weite r ist IXI - /1x21 ~ IX I - AX21 + I Ax 2 - /1x21 ~ + IA - /11 . N ~ C· N mit einer Konst an t en C und schlieBlich lal xi - a2 x~ I ~ C . al . Es ergibt sich so eine Konstruktion von un endli ch vielen P aar en (Xl, X2 ) mit q(XI' X2 ) = t . Wegen der Endlichkeit der Klassenzahl gibt es folglich eine Klasse von Darst ellungen (t) ~ M mit unendli ch vielen Element en. Dann ist OeM ) un endlich und wegen des end lichen In dex auch SO(M ). Das gilt dann nach (30.5) fiir beliebige Gitt er in W. Dann sind aIle Klassen von Dar st ellun gen u : L ~ M unendlich, da fur verschiedene Vi E SO(M) auch die ViU verschieden sind . Es bleibt der Fall W ind efinit , dim W > 2. Sei U : L ~ M eine Darstellun g. Dann ist zu zeigen, daf es unendli ch viele V E OeM ) gibt, so da f die vu aIle verschieden sind. Dazu nehm e man X E u( L), X :I 0, q(x) :I 0, und suche y E Qz;l. mit q(x )q(y ) < 0 un d -q(x )q(y ) kein Quadrat. Das ist moglich, da W indefinit ist und da Qz;l. = (aI , a2) mindest ens 2 Quad ratkl assen darstellt. Zx ..l Z y ist nicht hyp erb olisch, daher ist nach obigen Fall SO (Z x..l Z y) unendlich. Nach (30.5) ist [SO(Z x..l Z y ) : SO( Z x..l Z y ) n OeM)] < 00, also ist auch SO (Z x ..1 Zy) n OeM) un endli ch. Wie im vorigen Fall sind filr verschiedene v E SO (Z x ..1 Z y) n OeM ) die vu verschieden, also gibt es un endli ch viele Darst ellungen.

tt .. .

tt

tt

tt,

Wir wenden un s nun den Dar st ellun gen von L nicht dur ch einzelnes Git t er M, sondern durc h aIle Git t er im Geschlecht von M zu. Urn zu unt ersuchen , wie diese Dar stellungen in Geschlecht er von Dar st ellungen und weit er in Klassen von Dar st ellungen zerfallen, ist es naheliegend und zweckmafiig , sich auf den Fall zurtickzuziehen, daB die dar st ellend en Git t er aIle in demselben Vekt orraum liegen. Vorbereitend beweisen wir noch eine lokale Aussage. (30.7) Hilfssatz Seien L p, M p quad ratische Zp-Moduln, L p regular. Dann liegen aIle Dar st ellun gen von L p durch M p in einer Klasse. Beweis: Sind u~, u p : L p ~ M p Dar st ellun gen , so laBt sich U~U;1 nach (4.4) zu einem Automorp hismus v p von M p fortset zen

u~ Lp

:

upL p ~

30 Klassen und Geschlecht er von Darstellun gen

129

(30.8) Hilfssatz Seien L C M nicht-ausgear tete Git ter. Dann gibt es zu jeder Dar steIlung u : L ~ M ' durch Git ter M ' aus dem Geschlecht von M ein Git ter Mil in ijM , Mil ;2 L , so daf u aquivalent zur Inklusion L Y M il ist . Beweis: Nach dem Satz von Minkowski und Hasse sind die quadratischen Vektorraume ijM und ijM' zueina nder isomorph. Nach Abanderung von u durch eine ents prechende Isometri e k6nnen wir also ijM = ijM' annehmen. Sei dann U eine Fortsetzung von u : ijL ~ ijM zu einem Automorphismus von ijM. Dann ist Mil := u- l M ' das gesuchte Gitter. (30.9) Satz S eien L, M nicht ausgearte te Z -G itter, es gebe wenigste ns eine Da rst ellung v : L ~ M . Fu r j edes p sei c(L p , M p ) die Anzahl der Kla ssen von D arst ellungen von L p durch M p , D ann ist die A nzahl der Geschlecht er von D arstellungen von L durch Gitt er aus dem Geschlecht von M gleich TI c( L p , M p ) . p

Bevor wir den Satz beweisen, zwei Bemerkungen. Das Produkt tiber alle Primzahlen ist sinnvoIl definiert, weil nach dem vora ngegangenem Hilfssatz fast alle Faktoren gleich 1 sind. Ein e andere Moglichkeit , den Satz zu formulieren, besteht darin , die Voraussetz ung tiber die Existenz einer DarsteIlung wegzulassen und dafur im Produkt p = 00 hinzuzun ehmen. Beweis: Indem wir L durch ein isomorphes Git ter, namlich vL, ersetzen, konn en wir annehmen, daf L ein Teilgitter L C Mist . Fern er wahlen wir nach (30.8) Reprasent anten fiir die zu betrachtenden DarsteIlungen als Inklu sionen i M' : L ~ M' fur Git ter M' auf ijM, die im Geschlecht von M liegen. Ein em solchen M' ordnen wir eine Folge (up) von lokalen DarsteIlungen up : L p ~ M p zu, wobei up die Zusamm ensetzung der Inklu sion L p Y M; mit V;l ftir einen Isomorphismus v p : Mp ~ M; ist. Fu r M; = Mp sei v p = id gewahlt und somit up : L p ~ M p die Inklu sion fiir fast alle p. Die Folge der Klassen der lokalen Dars teIlungen up, d.h . die Folge der Nebenklassen (O(Mp)u p) hangt offensicht lich nicht von der Wahl der v p abo Sie andert sich nicht , wenn wir die DarsteIlung iM' innerh alb ihres Geschlechtes abandern, wie man sofort sieht. Fern er ist die so entstehende Zuordnung "Geschlecht von i u:" I-T (O(Mp)u p) deflnitionsgemaf injekti v. Wir zeigen nun , daf sie auch surjekt iv ist. Wenn man eine beliebige Folge von Klassen von Dar stellungen L p ~ M p gegeben hat , etwa vertreten dur ch up : L p ~ M p, so konnen wir zunachst annehmen, daf fast alle up gleich der jeweiligen Inklusion sind (na mlich nach (30.7) alle mit regular em L p ) . Fur die restlichen Primzahlen e set ze man U t nach dem Satz von Witt zu einem Automorphismus Ut von ijpM fort und bilde das lokale Gitter ul l Mt . Definiere ein Z-Gitter M ' gemaf Satz (21.5) durch M i = ul l M, fur diese e und M; = M p fiir die tibrigen P rimste llen p. Dann ist M' ein Urbild fur die gegebene Folge von Klassen (O(Mp)up). Somit ist die obige Abbildung als bijektiv erkannt und auch die P roduktformel des Satzes bewiesen.

130

X. Der Satz von Minkowski und Siegel

31 Adele und Haarsches MaB Wir betrachten Darstellungen eines Z-Gitters L durch Git ter M' aus dem Geschlecht eines Z-Git te rs M. Wir nehmen an, daB L ~ M und L ~ M ' ~ QM ist , und daf alle Darstellungen Inklu sionen sind . Diese Darstellungen wollen wir spezie lle Darst ellung en nennen. Die zugehorigen Vektorraum e seien U = QL, V = QM sowie W := ti-.

(31.1) Wir beschreiben nun , wie man alle diese Darstellungen aus der einen L Y M gewinnen kann und kniipfen hierzu an die Bet rachtungen im Beweis von (30.9) an. Dort hatten wir zu einer weiteren Darstellung iM' : L -+ M ' eine Folge v p E O(Vp) betrachtet mit vpMp = M; und vp = id ftir fast alle p .

L

/

-,

Me' - - - -..... M p

M'

eL-_--+-.

M'P

Umgekehrt ist zu jeder solchen Folge V = (vp ) ein Git ter v M = M ' durch M; = vpMp wohldefiniert, und man erhalt so alle speziellen Darstellungen von L durch Git ter im Geschlecht von M . Unter der zusatzlichen Bedingung v p 0 i M = i M" d.h . vpjU = idu , erhalte n wir genau die speziellen Darstellungen im Geschlecht der Inklu sion i M : L -+ M . Gemaf der Zerlegung V = U..L W schreiben sich diese vp als vp = idup ..Lu p ftir eine Folge u = (up), up E O(W p); wir schreiben ents prechend M ' = uM. Die Bedingung vpMp = M p fiir fast alle p Iibersetzt sich in upN p = N p fur fast alle p , wobei N ein in W fest gewahltes Git ter ist. In der Tat gilt M p = L p..LN p fur fast alle p. Diese Feststellungen fiihren auf die folgende Definition. (31.2) Definition Es sei W ein quadr atischer Q-Vekt orr aum . Die Gruppe der einqeschriinkteti Adele ist definiert als

oA (W)

wobei N ein Git ter in Wist. Man spricht von der vollen Adelegruppe, wenn p = 00 hinzugenommen wird. Die Definition ist unabhangig vom Git ter N , da fiir zwei Gitter fast alle p-adis chen Komplet tierungen iibereinstimmen.

31 Adele und Haarsches Mall

131

(31.3) Wie wir gerade gesehen haben, operiert OA(W) dureh Einbettung in t ransit iv au f der Menge aller Obergit ter von L im Gesehleeht von M bzw. der Menge aller speziellen Darstellungen im Gesehleeht der Darstellung L y M . Diese Operati on ist vertraglich mit der Einb ettung von O(W ) in o A (W) dureh Ausdehnung eines U auf die p-adi sehen Komp lettierungen. Den Stabilisator von M in 0 A (W) bezeichnen wir mit

oA (V)

OA(W , M ) = {u E OA(W ) I u M

= M} .

Definitionsgemaf gilt u E OA(W ) genau dann, wenn upMp = M p fur alle p gilt. Sind a, b E QX mit a(L ..L N ) ~ M ~ b(L ..L N), so ist dies sieher dann erfiillt, wenn upNp = Np fur alle p ist und up auf bNp/ aN p die Identi tat induziert. Diese Beobaehtung fiihrt auf folgende (31.4) Definition Eine Hauptkongru enzuntergruppe von 0 A (W) ist eine Untergruppe der Form

OA(W,N/cN ) =

II O(Wp, Np/ cNp) p

wobei O(Wp, Np/cNp) die Untergruppe aller up E O(N p) ist , die die Identitat au f Np/cNp induzieren. Eine Kongruenzun tergruppe ist eine Untergruppe , die eine Haup tkongruenzuntergruppe ent halt . Die Grupp e 0 A (W, M) ist eine Kongru enzun tergru ppe, wie wir gerade gesehen haben. (31.5) Der Durehsehnitt zweier Kongru enzuntergru ppen ist eine Kongru enzuntergruppe. Sind die beide n zugehorigen Hau ptkongruenzuntergruppen definiert dureh N und Identit at auf bN / aN bzw. N ' , b'N ' / a' N ' , so findet man eine Hauptkongrue nzunte rgr uppe im Dur ehsehnit t dureh N , b"N / a" N , wobei

ala", b"jb, a"N ~ a' N ' ~ b"Na"N ~ b'N' ~ b"N . Diese Bedin gungen an a", b" sind zu erfiillen und liefern eine Haup tkongruenzunte rgru ppe mit den gewunschte n Eigensehaft en. Mit dieser Bet raehtung folgt aueh (31.6) J e zwei Hauptkongru enzuntergruppen sind kommensur ab el. Naeh dem Beweis von (31.5) hat sogar eine im Dur ehsehnit t zweier Hauptkongruenzuntergruppen ent haltene Haup tkongruenzuntergru ppe in jeder der beiden endliehen Ind ex. (31.7) Definition Ein e K ongru enzm enge in der Adelgruppe OA(W ) ist eine endliehe Vereinigun g von Nebenklassen einer Haup tkongru enzuntergruppe H.

132

X. Der Sat z von Minkowski un d Siegel

Man kann je zwei Kongruenzmengen als endliche Vereinigung von Nebenklassen derselben Haup tkongru enzuntergruppe schreiben und so ihr e 'Volumina' oder 'MaBe' durch die Anzahl der benotigten Nebenklassen miteinand er vergleichen . Dieser Gedanke wird im folgenden Satz weitergefUhrt. (31.8) Satz Man kann j eder nicht leereti K ongruenzmenge A eine positive Zahl f-L (A ), ihr MaB, zuordnen, so daft gilt:

= =

f-L(AU B) f-L (uA)

f-L(A)

+ f-L(B)

f-L(A )

fu r

An B E OA(W )

falls u

1st f-L' ein zweites solches Maft, so existiert c

>0

=0

mit f-L'( A) = cf-L( A) .

Beweis: Wir werden die Eindeutigkeit bis auf einen posit iven Faktor zeigen, und dann die dab ei gewonnene Formel zum Nachweis der Existenz verwenden. Man schreibe zwei Kongru enzmengen A , C als disjunkte Vereinigungen einer Hauptkongru enzuntergruppe K , etwa s

C =

U cjK. j =l

Nach den Rechenr egeln ist dann r

f-L(A )

= 2:f-L (ai K ) = rf-L (K ) und f-L (C) = sf-L(K), i=l

also f-L(A ) = (r /s) f-L( C) . Ist fur ein anderes MaB f-L' (C) = Cf-L(C) , so ist f-L' (A ) = (r /s) f-L'( C) = c(r /s) f-L( C) = cf-L( A), d.h. C hangt nicht von der Kongruenzmenge abo Set zt man umgekehrt f-L (C ) = 1 fur eine willktirlich gewahlte Kongru enzmenge C , definiert also f-L(A ) = (r/ s) , so ist dieser Wert unabhan gig von der Wahl von K , da er sich bei Ubergang zu einem K ' ~ K nicht an dert. Die Additivitat und die Linksinvar ianz des so definierten f-L sind dann klar. (31.9) Ebenso kann man in O(Wp ) - mit denselben Bezeichnun gen - Untergruppen der Form O(Wp, Np/c N p) als Haup t kongru enzguntergruppen auszeichnen. Eine endliche Vereinigun g von Nebenklassen einer Haup tkon gruenzunte rgru ppe heiBt wieder eine Kongruenzmenge. Dann kann man jeder nicht leeren Kongru enzmenge A eine positive Zahl f-Lp(A ) zuordnen mit denselben Eigenschaften wie f-L in (31.8). Der Beweis verlauft gena uso wie oben. (31.10) Hilfssatz Fur die MaBe f-L aus (31.8) und f-Lp aus (31.9) und jede Kongru enzmenge A C OA(W ) bzw. A c O(Wp) gilt auch f-L (Au) = f-L (A ) ftir u E OA(W) und f-Lp(Aup) = f-Lp(A) fiir Up E O(Wp). Beweis. Mit A bzw. A auch Au bzw. Au wieder eine Kongruenzmenge. Ist A = UaiK, so ist

31 Adele und Haarsches Mall

133

und ftir eine Hauptkongruenzuntergruppe 0 A(W, N / eN) ist auch

eine Hauptkongruenzunter gruppe. Desgleichen ist

Nun ist JL(Au) = J/ (A) = e(u )JL(A ), weil JL' wieder ein MaB ist fur ein fest es u . Es ist e(u ) > und e(u v) = e(u)c(v ). Ents prechendes gilt in lokalen Fall. J et zt schlieBt man im Faile der lokalen ort hogona len Gruppe wie folgt: Fur eine Spiegelung s ist C(S)2 = C(s2) = c(id) = 1, wegen c(s ) > 0 also c(s) = 1. Da Spiegelungen die Gruppe erze ugen, ist c(u) = 1 fur beliebige u. Im Fall der Adelgruppe ist c(u ) = 1, falls u nur endlich viele Komponenten '" 1 hat , da dann c(u ) eine positive reelle Einh eit swurzel ist . Es ist auch c(u) = 1 fur u E 0 A (W, N). Dann ist namli ch K u = K. Ein beliebiges u kann man dann nach Definition der Adelgruppe als Produkt zweier Element e dieser T yp en schreibe n: u = (U2 , " " up, 1, ...) . (1, ... , 1, u p, . . .) .

°

Die Fun ktionen JL und JLp sind Sp ezialfalle des aus der Lit er atur bekannten Haar schen MaBes auf lokalkompakten to pologischen Gruppen. (31.11) Satz SeienJL,JLp Haarsche Mafte aufOA(W) , O(Wp), undTIJLpO(Np) p

konvergent (absolut, oder die p der Grofte nach angeordnet) . Dann existiert c > 0, so daft fur jede Kongruenzmenge A in OA(W) von der Bauart A = Il A p, Ap = O(Np) fur fast alle p, gilt JL(A) = c · Il JLp(A p). p

p

Beweis . Die Formel gelte fur ein A =

Il A p p

'"

0. Man wahl e eine Prim-

zahl e und definiere auf Kongruenzmengen Be ~ O(We) eine Funktion JL'e durch JL'e (B e) := JL(B e x TI Ap). Dies macht Sinn , weiI Be x Il A p wieder P'f.e

eine Kongruenzmenge ist . Man sieht leicht , daf JL'e wieder ein MaB mit den charakte rist ischen Invarian z-Bedingungen ist. Also ist JL'e(Be) = c' JLe(B e). Ist spe ziell B e = Ae, so ist JL(Il Ap) = c' JLp(Ae). Nach Annahme war p

JL(Il A p) = ell JLp(A p). Dann ist c' = c TI JLp(Ap), d .h., die Form el gilt auch p p p#e fiir Be x Il A p . Man definiere nun c so, daf die Formel fur A = TI O(Np ) P'f.e

richtig wird und andere die endlich vielen nicht passend en Komp onenten ab o (31.12) Es sei G eine Gruppe, H , K

~

G Untergru ppe n. Die Menge

H gK = {hgk I h E H , k E K} heiBt eine Doppelnebenklasse. Zwei Dopp elnebenkl assen sind entweder disjunkt oder gleich. Ist namlich HgKnHg'K '" 0,

134

X. Der Satz von Minkowski und Siegel

so ist fur gewisse h , h' E H, k , k ' E K hgk HhgkK = Hhlglk'K = Hg'K.

= h' g' k '

und dann H gK

=

(31.13) Satz lsi K eine K ongru enzuntergruppe von OA(W ) und H = O (W ) diagonal in 0 A(W) eingebette t, so ist 0 A(W) eine en dliche Vereinigung von Doppelnebenklass en: h

OA(W) =

UO(W )uiK. i =l

Speziell fur K = 0 A(W, N ) fur ein Gitter N der Kl assen im Geschlecht von N .

~

W ist h = h(N) die Anzahl

Beweis. Wir behandeln zunachst den Spezialfall K = OA(W , N). F ur = u ' N genau dann, wenn uK = u ' Ki st. Das heiBt , daB die Gitter in W im Geschlecht von N eineindeut ig den Neb enkl assen uK ent sprechen. Zwei Gitter, geh6rend zu den Neb enklassen uK und u ' K, liegen in ders elb en Isomorphieklasse genau dann , wenn u ' K = vu K mit v E O(W) , d.h. wenn O(W)u ' K = O(W)uK ist . SchlieBlich ist noch zu beacht en , daB jede Klasse im Geschlecht von M einen Vertreter in W besit zt. Insgesam t entsprechen also die Klassen im Geschlecht von N eineindeutig den Doppelneb enkl assen O(W )uK. Ist K eine beliebige Hauptkongruenzuntergruppe, K = 0 A(W, N j eN ), so ist K mit endlichem Index in K ' = OA(W,N) ent halte n. Nach dem Spezialu , u ' E 0 A(W ) ist uN

fall ist 0 A(W ) =

h

k

1

1

U0 (W )UiK' , auBerdem K ' = Uv j K , also liefert Ein setzen

eine endliche Vereinigung. Der Beweis fur eine allgemeine Kon gruenzunt ergru ppe redu zuier t sich unmit t elbar au f eine in ihr ent halte ne Hauptkongruenzuntergruppe. (31.14) Hilfssatz Sei W definit , N ~ W ein Gitter , e E N sei durch mindestens eine ungerade Primzahl p t eilbar. Dann ist O(W) n 0 A(W, N j eN ) =

{1}.

Beweis. Ein u E O(W ) n OA(W , Nj eN ) liegt insbeso ndere in O (N ), hat also endliche Ordnun g, weil W definit ist . Hat t e u die Ordnung k i- 1, so konnt e man k nach geeigneter Po tenzierung von u als P rim zahl annehmen. Man schr eib e die Matrix U von u beztiglich einer Basis von N als U = 1 + S. Wegen pie induziert u die Identitat auf NpjpNp- Daher ist S = ptT mit einer ga nzzahligen Ma trix T ~ 0 mod p und t ~ 1. Dann ist 1 = (1 + ptT)k = 1 + kptT + .. . + ptkT k. Ist k i- p , so ist 1 + kptT + . .. + ptPT k == 1 + kptT ~ 1 mod p2t. Ist k = p , so ist es == 1 + pt+1 T ~ 1 mod pt+2 , in jedem Fall ein Widerspruch. (31.15) W sei bis auf weit eres definit. A ~ OA(W) sei eine Kon gruenzmenge, also eine endliche Vereinigung A = UUiK mit einer Hauptkongruenzunt ergruppe K. Dann gibt es eine Kongruenzmenge F ~ A , so daB O(W)A disjunkt e Ver einigung UuF , u E O(W ) ist. F heiBt Fundamentalbereich fur O(W )A mod O(W ).

31 Adele und Haarsches Maf

135

Beweis. 0 hne Eins chrankung sei K = 0 A(W, N / eN ) mit 31c. Andernfalls multipliziere man e mit 3. Man schreib e O(W)A als disjunkte Vereinigung von Doppelnebenklassen, O(W)A = U O(W)Vi K und setze F := U ViK. Dann ist natiirlich O(W)A = O(W)F Vereinigung von Nebenklassen uF , u E O(W). Diese Vereinigung ist disjunkt: 1st uv.k = u'vjk' , so ist zunachst i = i . da U O(W)ViK disjunkt ist. Dann ist vikk,-lvi1 = u- 1u' E O(W) n ViKvi1 . Nach (31.14) ist ab er O(W)

n ViKvi1

n ViOA(W, N/eN)vi 1 O(W) n OA(W, ViN/eviN) = {I}. O(W)

=

Also ist u = u' und k = k'. (31.16) Sind F,F' zwei Fundamentalbereiche fiir O(W)A mod O(W) , so ist {L(F) = {L(F'). Wir schreiben {L(F) = {L(O(W)\O(W)A). Beweis. Seien F

=

r

UV iK, F' 1

=

s

UvjK mit demselb en K . Andernfalls 1

ersetze man K und K' durch den Dur chschnitt K n K'. Es ist zu zeigen, daf es eine bijektive Zuordnung i t+ j gibt. Zu gegebenem i ist O(W)Vi K ~ O(W)F

= O(W)F' = UO(W)vjK ,

also O(W)ViK = O(W)vjK mit eindeutig bestimmtem j. Dah er ist r = s und {L(F) = rp,(K) = sp,(K) = p,(F') . Aus den Rechenregeln folgt die Additivitat des MaBes: (31.17) 1st O(W)A n O(W)A' = 0, dann ist p,(O(W)\O(W)(A U A'))

= p,(O(W)\O(W)A) + p,(O(W)\O(W)A') .

Fur spatere Zwecke notieren wir noch einen einfachen Hilfssatz tiber die Gestalt von Fundamentalbereichen filr eine einzelne Nebenklasse uO A (W, M) bzw. Doppelnebenklasse O(W)UOA(W, M) . Wir legen die allgemeine Situ ation einer Gruppe G mit zwei Untergruppen H und K zugrunde. (31.18) Ein e Teilmenge F C gK ist ein Fundament alb ereich fiir HgK mod Him Sinne von (31.15) genau dann , wenn Fein Fundament alb ereich fur die Operation von H n gKg- 1 auf gK durch Linksmultiplikation ist: gK =

U

xF (disjunkte Vereinigung) .

x EH ng Kg -l

Wir ilberlass en den einfachen Beweis dem Leser. Man sieht insbesond ere unabhan gig von (31.15), daf ein solcher Fundamentalb ereich jedenfalls existiert: es ist F = gF', wobei F' c K ein Vertretersyst em ftir die Nebenklassen K'k der Unt ergruppe K' = g-l Hg n K von Kist.

136

X. Der Satz von Minkowski und Siegel

32 Darstellungsanzahlen in einem Geschlecht (32.1) Wie bisher seien M ;2 L 1.. N Z-Git ter in definiten Q-Vekto rraumen V = U 1.. W . Die Anzahl aller Darstellungen von L durch M in der Klasse der spe ziellen Dar stellung j : L Y M ist [O (M ) : O(W, M)] . Denn zwei Elemente u, u' E O(M ) liefern gena u dann dieselbe Darstellung u 0 j = u' 0 j , wenn sie in derselben Restkl asse modulo O(W, M) liegen (siehe (31.3)) . Die speziellen Dars tellungen L Y M ' aus dem Geschlecht von j : L Y M entsprechen eindeut ig den Nebenklassen uOA(W, M ), U E OA(W ). Die Klassen solcher Darst ellungen ents prechen eineindeut ig den Dopp elnebenklassen O(W )uO A(W, M). Man schreibe 0 A (W ) als disjunkte Vereinigung solcher Dopp elnebenklassen, d.h. wahle endlich viele u , E OA(W ) mit OA(W ) = UO(W)U iO A(W, M). i

J etzt berechne man M(O(W)\OA(W))

=L

M(O(W)\O(W)UiO A(W, M)) .

i

1st F

~

u.O A (W, M ) ein Fund am entalb ereich, so ist nach Hilfssatz (31.18) UiO A (W, M)

U

=

uF (disjunkte Vereinigung) .

u EO( W ,Ui M)

Also ist fur jedes i M(O(W )\O(W)Ui OA(W, M))

=

M(F)

M(UiO A(W, M)) · IO(W, UiM ) I- 1 M) : O(W, Ui M )] (0 (W M)) [O(Ui M A , 10(UiM)I · Dur ch Summation tiber i ergibt sich M(O(W )\O A(W )) = M(OA(W, M )) . ~

[0(Ui~6~u~t;1 Ui M )] .

t

Wir form en die Summ e nun noch etwas urn. Fur jedes i ist [O(UiM) O(W, UiM)] die Anzahl der Darstellungen von L dur ch UiM in der Klasse der Inklu sion L Y UiM. Nach Wahl der u, sind die Inklusionen L Y UiM ein Vertret ersystem fiir die Klassen im Geschlecht der Darstellung j : L Y M . Wir fassen die Summ e nun nach den verschiedenen Geschlechtem der Gitter UiM zusa mmen. Wahle daz u ein Vertretersystem {Md fiir die Klassen im Geschlecht von M . Fur jedes dieser M k sei aj(L, Mk) die Anzahl der Darstellungen von L durch M k , welche im Geschlecht von j liegen. Es ergibt sich dann aj(L , Mk) = [O(Ui M): O(W, Ui M )].

L

u i M ~ Mk

32 Darst ellun gsanz ahl en in einem Geschlecht

137

Durch Summati on tiber die Klassen im Geschlecht von M erhalt man

(32.2)

Es wird im folgend en dar auf ankommen, das Haarsche MaB so zu normi eren, daB man beide Seiten dieser Gleichung auswerten kann. Zur Vorbereitung der Normi erung kntlpfen wir an die Produktformel (31.11) fur das Haars che MaB an. Wir leiten eine zweckmalsige Normierun g der lokalen MaBe j.Lp her; insbesondere muf das Produkt TIpj.Lp(O(Np)) fur ein Git ter N in W konvergieren.

(32 .3) Wir benutzen im folgenden den Satz (15.3). Man bet rachtet dort eine Abbildung u eines Z-Git ters E in den quadratischen Raum W , der das ZGitter G umfaBt . Weitere Voraussetzungen waren: J ede Linearform f E E# laBt sich schreiben als f (x ) = b(ux ,y) mit y E G ; es gibt eine natiirli che Zahl k, so daf pk . q(G) ~ P: Zp und fiir x E E q(ux ) == q(x) mod pk gilt. Satz (15.3) besagt , daf es unter diesen Voraussetzungen ein u' : E -+ W l gibt mit u'x == ux modpkG, q(u'x ) = q(x). Nach (15.4) gibt es peg_ e(ei ) Moglichkeiten flir u' mod pk+1G. (32.4) Diese Ergebnisse wollen wir anwende n, wenn speziell E = N p , G = Nf und u die Identit at ist . Wir ford ern dann q(N p) ~ Zp, was sich durch Multiplikation erreichen laBt, und pkq(Nf) ~ pZ p, was fiir hinr eichend groBes k sicher gilt . Zunachst ist es das Ziel, den Ind ex [O (W p, Np jpk Nf) : O(Wp, N pjpk+ 1 Nf)] zu berechnen. Die Voraussetzungen sind z.B. dann erfiillt, wenn N p regular ist und k 2:: 1, weil dann N p = Nf ist , oder wenn p =I 2, pk- l Nf ~ N p ist , da dann nach Definition des dualen Gitte rs pk . b(N f , Nf ) ~ p . b(N p, Nf) = p ' Zp ist . Nun laBt sich der oben erwahnte Ind ex mit Hilfe von (15.4) leicht berechnen. Da e = 9 = n ist , ist der Ind ex gleich p n(~-l) , und dieser Wert ist gleich dem Quoti enten der MaBe j.Lp(O(Wp, Npjpk Nf )) n (n - l ) j.Lp(O(Wp, Npjpk+lN f)) =p 2 (32.5) Es sei R p ein Unt ermodul von Np mit [Np : Rp] = p. Weiter sei k so groB, da f pkNf ~ Np und pkR f ~ u, ist. Dann ist

Zum Beweis dieser Behauptung beachte man , daf pkNf ~ pkR f ~ R p ~ N p mit [N p : R p] = [pk R f : pkNf ] = P ist. Man wahle Elementarteilerb asen wie folgt :

138

X. Der Satz von Minkowski und Siegel

n-1

n

s, = 2: Z pei, n; = 2: Zpei + Zppen, N!!

1 n

1

= 2:1 Zpet ,

Rp# --

n-1

'71 - 1 # IU pei# + IUpP en '

"'71

L.J 1

Ist jetzt u E O(Wp , Rp/pkR f ), SO folgt fur 1 ~ i ~ n - 1 ue, = e, + Xi mit Xi E pkRf . Wegen des Ind ex [pk Rf : pkN!! ] = p gibt es fiir die Bilder ue, mod pkN!! hochstens pn-1 Moglichkeiten. Wir wollen jetz t zeigen, daf auch der zu berechnende Index hochstens pn-1 ist . Dazu zeigen wir, daf zwei u mit denselben Xi mod pkN!! in derselben Restk lasse mod O(Wp, N p/pk N!! ) liegen. Nennen wir ihren Quotienten wieder u , so muf ue, == ei mod pkN!! sein. Ist namlich U1ei == U2 ei mod pkN!! , so ist u;-1 u1ei == e, mod U;-1 pkN!! und U;-1 pkN!! = pkN!! . Zu untersuchen bleibt nun, wie der Quoti ent u auf en operiert. Es ist uen = en + 2: ti et · Aus u(p en) = pen + 2: Ptiet folgt wegen der Invarianz i

i

von R p/pk R f , daf 2:pti et E pkRf ist , d.h. pt, E pkZ p und p2t n E pkZ p fur i = 1, ... , n - 1. Nun ist

also ti E pkZ p fiir i = 1, . . . , n - 1. Ferner ist , zumindest fur groBes k ,

da die Teilbarkeit der ti durch pk- 1,pk- 2 bereits bekannt ist. Also ist auch t n E pkZ p- Daher ist auch uen == en mod pkN!! . Wir wahl en jetzt eine Folge von Modu ln Rp,i mit [Rp,i : R p,i+d = p, N p = R p,o :::> R p,1 . .. :::> R p,n = pNp • Dann ist nach dem eben Bewiesenen

und wegen der Multiplikativitat des Ind ex

Da O(Wp,pNp/pk(pNp)#) = O(Wp, N p/pk- 2N!!) ist , und wir bereits wissen, daB [O(Wp, N p/ pk-2 N!! ) : O(Wp, N p/pk N!! )] = pn(n- 1) ist , folgt an allen Stellen Gleichheit .

(32.6) Sa tz Fur aile hinreichend grofJen k und aile Gitt er N e w mit

q(N )

~

z., pk-1 . q(N # ) ~ z, hat

32 Darst ellungsanzahlen in einem Geschl echt

139

den gleichen, nur von der Norm ierung des Mapes J-tp abhiingigen Wert. B eweis . Die Unabhangigkeit von k erkennt man durch Ubergang von k auf k + 1: Nach (32.4) ist

J-tp(O(Wp, Np jpk Nf)) n (n - l ) J-tp(O(Wp, Npjpk+ 1Nf)) = P 2 und nattirlich

[Np : pk+1Nf ]n2" l Ebenso ist der in Frage st ehende Wert von N unabhangig: Weil wir im lokalen Fall sind, reicht es zu zeigen, daf es sich bei Ubergang zu einem Unt ergitter vom Ind ex p nicht andert. Denn zwei beliebige Gitter kann man mit Hilfe einer Kette soIcher Untergitter verbind en. Ist R p ein soIches Gitter, so ist nach (32.5)

Weiter ist

[N p : Rp]n 2"l [Rp : pk Rt] n2"l

[N p : pkNf] n2"l

p n2"l

=

•

•

[pk Rt : pkNf] n2"l

[Rp : pkRt ] n2"l • p n2"l

pn-I. [Rp : pk Rt]!!:jl .

(3 2.7) Wir wollen nun die c(J-tp) und damit gemaf (32.6) auch die lokalen MaBe J-tp so festsetzen, daf das Produkt aus (31.11) konvergiert und sich explizit auswerten laBt. Hierzu betrachten wir eine Kongruenzmenge der einfachen Bauart OA(W, N) = TIpO(Np). Sei p so, daf N p regular ist , und setze k = 1. Dann spezialisiert sich die Formel unter (32.6) zu

c(J-tp) :=J-tp(O(W,NjpN)) .p

n ( n -l ) 2 •

Nun berechne J-tp(O(Np)) als

J-tp(O(Np))

= =

[O(Np): O(Wp, Np jpNp)] . J-tp(O(Wp, Np jpNp)) [O(N p) : O(Wp, Np jpNf) ] . c(J-tp) . p - n (; - l ) •

Weil N p regular ist , ist nach dem Fortsetzungssat z von Witt die kanoni sche Projektion O(Np) ~ O(Np) surjektiv, wo N p der Restklassenmodul tiber

140

X. Der Sat z von Minkowski un d Siegel

dem Restkl assenkorper lFp ist . Der Gruppenind ex [O(Np) : O(Wp, NpjpNp)] ist somit gleich der Ordnung der vollen orthogonalen Gruppe von Np tiber lFp • Wir erinnern uns an (13.4), wonach in Abha ngigkeit von der Struk tur von Np gilt

mit dim N ergibt sich

= n = 2r

O(N )) J1.P( p

= c(

bzw.

) .2. J1.P

= 2r + 1 > O.

II O 0, n = 0 rechts noch ein Faktor ~ anzufUgen ist, da wir am Schluf von §33 ftir den Nullraum c({Lp) = 1 gesetzt haben. (33.3 ) J etzt zeigen wir noch, daf dM = dL . dN ist, woraus die eben benutzte Gleichung (*) sofort folgt , da sie dasselbe fiir die p-Anteile aus sagt. Sei el, ' . . , el eine Basis von L , el , " " el , . .. ,em eine Basis von M . Solche Basen gibt es, da L in M primitiv ist . Dann ist d(el' ... , em)

= =

d(el" '" ei, prw el+l, ... ,prw em) d(el, " " et} . d(prw el+ l , · . . , prw em)'

(33.4) Als nachstes wollen wir den Quotienten der Indices im Ausdruck fur

Qj,p(L, M) berechnen. Zuerst formen wir nach dem Isomorphiesatz "H N/N ~ H / H nN" fiir Gru ppen den Nenner urn: Alles spielt sich in G = O(Mp) ab , es sei N := O(Vp, Mp/pk M1!) (ein Normalte iler in G) und H := O(Wp, M p). Da mit ist

[O(Wp, M p) : O(Wp, Mp/pk Mf)] [O(Mp) : O(Vp, Mp/pk M1!)] [O(Wp, Mp)O(Vp, Mp/pk M1!) : O(Vp, Mp/pk M1!)] =

[O(Mp) : O(Wp, Mp) . O(Vp, Mp/pk Mf)] ·

33 Der Satz von Minkowski und Siegel

143

Weiter ist

O(W p, M p) . O(Vp, MpjpkMf) {u E O(Mp) lux == x mod pkMf fur aile x E L p}

O(Mp,L p modpkM f ))· Diese Gleichheit dar aus, daf sich jede Isometri e u : L p -+ M p mit ux == x mod pkMf fortsetzen HiBt zu einem v : Mp -+ Mp mit vx == x mod pkMf . Letzteres folgt aus den Satzen (15.3) und (15.5), indem man die dort auftauchende Bilinearform a(x, y ) so wahlt , daf a(x, y ) = 0 ist fur y E Lp . Man iiberlegt sich, daB der Ind ex [O(Mp) : O(Mp, L p mod pkMf)] gleich der Anzahl aj (L p, M p mod pkM f) der Abbildungen von L p in M p mod pkM f ist , die von einer Abbildung L p -+ M p herkommen, die in der Zp-Klasse der Inklusion liegt und die die quadratische Form modulo pk erhalt. ZusammengefaBt erhalte n wir also Q '

(L M ) '_ p-¥(m+n-l) dp L ~dP M i / 2.aJ·(L p, MP mOdpkM#) .P

J, p ,

wobei

aj( L p, u; mod pkM f ) #{u: L p -+ MpjpkMf I u ==j modpL, q(ux ) == q(x) mod p"]

!

ist , mit einem zusatzlichen Faktor auf der rechten Seite, wenn n = 0 und m > 0 ist , wie schon oben angemerkt wurde. Aile bisherigen Uber legungen gelte n auch, wenn j nicht die Inklu sion , sondern nur j L ~ M primitiv ist. (33.5) Wir wollen aus unseren Formeln die Abhangigkeit von j eliminieren , denn man inte ressiert sich weniger fiir die Darstellungsanzahlen in einem Geschlecht als fiir die Anzahl aller Darstellungen. Dazu lassen wir j ein Vert retersystem fur die Geschlechter der primi tiven Darst ellungen von L durch M durchlaufen. Es sei wie frilher

a(L , Mk) = Laj(L,Mk ) j

die Anzahl aller primitiven Darstellungen von L dur ch M k • Wir setzen weiter

a(L p, u, mod pkM f ) := L aj (L p, u, mod pkM f ) j

und schlieBlich

L Qj,p(L , M ) j EO'

p- ¥ (m+n-l )dpL ~-i-l dpM i / 2 • a(L p, M p mod pkM#) p

144

X. Der Satz von Minkowski und Siegel

mit e = ~ falls l = m > 0 und e = 1 sonst . Die GraBen O:p(L, M ) heissen auch die (lokalen) Darstellungsdicht en von L durch M oder genauer von L durch das Geschlecht von M. Unt er Beriicksichtigung von (30.9) hab en wir nun den folgenden Hauptsatz dieses Kapitels abgeleitet , abgesehen davon , daf die Gros sen 'Y(V ) = 'Y(m), 'Y(W) = 'Y(n ) im Augenblick noch unb ekannt sind. In der Formulierung des folgenden Satzes nehmen wir das diesbeziigliche Er gebnis des folgend en Abschnit ts vorweg. (33 .6 ) Satz (Minkowski, Si egel) Es sei L ein positiv definit es Gitter der Dimension und M = Ml> .' . ' Mh ein R epriis entantensystem fur ein Geschlecht positiv definit er Gitter der Dimension m. Dann gilt fur die Darstellungsanzahl en a(L , M k ) von L durch die verschieden en M k und die lokal en Darstellungsdichten O:p( L, M) , p prim , die B eziehung

e

Hierb ei sind die W ert e 'Y(n ) in dukti v definiert durch 'Y(O) WO

= 1,

'Y(1)

= -12 ,

'Y(2)

= 21

7T

, 'Y(n)

= 'Y(n -

1) fur m 2: 3, n · Pn

Pn das Volum en der n-dimen sion alen Einheitskug el ist.

(33 .7) Den Rest dieses Abschnit ts widmen wir der genaueren Behandlung des Spezialfalls e= 1, L = [t], m = 2 oder m = 4 und dV = 1. Offensichtli ch han gt 'Y(W) nicht von t ab. Ist m = 2, dim W = 1, so sind alle W ahnlich, und wir wissen, da f 'Y(aw) = 'Y(W) ist. Ist m = 4, so zerlegen wir V = [t] .L W t . Fiir eine positive rationale Zahl a ist V ~ av = [at] .L awt. Das folgt aus dem Satz von Minkowski und Hasse und der Klassifizierung p-adischer Raume. Der Wittsche Satz liefert dann W at ~ aw t, also ist 'Y(W at ) = 'Y(W t ), womit in diesen Fallen die Unabhangigkeit von t gezeigt ist . Wir wollen jetzt die Form el aus (33.6) auf M = [1 ,1] = 2[2 und M = [1,1 ,1,1] = 2[4 anwenden. Aus der Reduktionstheorie (20.6) ist bekannt, daf es in beiden Fallen nur eine Klasse im Geschlecht von M gibt. Daher reduziert sich die Formel auf a(t , M) = O:p(t, M) = a(t, M p mod pkMf) . t m;-2 a(l , M) p O:p(l, M) p a(l , M p mod pkMf) .

II

II

Im Falle p :f. 2, p t t konn en wir k = 1 wahlen. Nach (13.6) ist a(t, M p mod pMp ) unabhangig von t , also ist der Quoti ent 1. Diese Fakt oren t ragen zum Produkt nichts bei. Die anderen Falle miissen wir gesondert durchgehen . Zunachst sei p :f. 2, p it . Dann ist fiir m = 2 nach (13.6) a(O, M p mod pMp ) = { 0 a(l , M p mod pM p ) 2~:}

=2

p == 3(4) p == 1(4)

33 Der Satz von Minkowski und Siegel

Fur m

= 4 ist

145

der Quotient

a(O, M p mod pMp) a(l, M p mod pM p)

=

p3 + p2 - P - 1 p3 - P

P+ 1 p-

=-

Fur p = 2, M = 2h miissen wir zunachst unsere Bedin gun g an k unt ersuchen . Es sollte pk-lq(Mf ) ~ Zp sein: wegen Mf = ~M2' also q(Mf ) = i q(M2), reicht k = 3. Hier ist fiir m = 2

a(t , M, mod 4M, ) Dam it ergibt sich bei m

~{

4 t=1 (4) 4 t 2(8) o sonst

=

=2

r # _ { 2 a(t,Mpmodp k·Mp)

---=----------'-#;;- -

a(l, M p mod pk u;

)

t

ftir

v

sonst.

0

= 2"'p~1 . .. p~r mit = 0, 1 und Pi =1(4)

Wegen a(l , M) = a(l , 2h) = 4 erhalten wir schlieBlichdas klassisch e Resultat fiir die Anzahl der primitiven Darstellungen einer Zahl t als Summe von zwei Quadraten (siehe auch Satz (22.3)) : falls

t = 2'" p~l .. . p~r mit v = 0,1 und Pi 1(4)

=

sonst 1m Falle m = 4, also M = lungsanz ahlen

2[4,

ergeben sich die folgend en 2-adischen Dars tel32

48

a(t , M 2 mod 4M2) =

1

falls

16

o

2 ft 21t,4 ft 41t, 8 ft

81 t

Dann ist in den entsprechenden Fall en

t2 . a(t, M 2 mod 4M2) a(l , M 2 mod 4M2)

={

1 3 2 '

o

wo t p die in t ent halte ne p-Potenz ist . Da offensichtli ch a(l , 2[4) = 8 ist , folgt also fiir die Anzahl der primitiven Darstellungen einer Zahl t als Summe von vier Quadraten : 2

a(t , 14 )

=

24 8 } . 16

{

o

II t pp -+p-1 . Pit

p,e2

146

X. Der Sat z von Mink owski und Siegel

Wir wollen jetzt noch die Anzahl aU) aller Darstellungen berechnen und so ein klassisches Resultat von J acobi beweisen. Diese ergebe n sieh, indem man tiber die Anzahl der primiti ven Darstellungen von tid? mit d? lt aufsummiert , denn jede Dar stellung ftihrt durch Ausklammern des groflten gemeinsa men Teilers d auf eine primitive Darstellung von t] d2 • Wir schreiben

aU) =

I> (~) . 1t d2

Nun ist ~a eine multiplikative Funk tion, ~a( npri) auch ~a( npri) =

Il ~a(pri) . i

i

Weiter ist ftir P f:. 2

= n ~a(pri), i

und dann

1 _( V) 1 (V) 1 ( v- 2) Sa P = Sa P + Sa P + ... = PV + Pv-I + ... + P + 1.

Diese Gleichheit ist un abh angig davon, ob der Exponent v gerade oder ungerade ist , denn es ist ~a(pO) = 1. Ebenso ist ~a( 2V) = 1, falls II = 0 ist , andernfalls ~a( 2V) = 3, denn die von 0 verschiedenen Summand en sind gleieh 2 und 1 fur ungerades v , fur gerades v taucht nur die 3 auf. Die Zusamm enset zung dieser Einzelresultate ergibt

-(IT PiVi ) = {8} 24 ' IT (PiVi + Pi

vi-

a

i

I

1)

+ ... + Pi + .

pi#-2

Durch Ausmultiplizi eren der rechten Seite erhalt man das folgende Resultat (33.8) Satz (C.G .J. Jacobi) Die Anz ahl a(t) der Darstellungen ein er natiirlichen Zahl t = 2Vto, to ungemde, als Summe von 4 Quadmten ist gleich 8 v gemde } a(t ) = { 24 } d, falls { v ungem de .

.2: d lt

2fd

34 SchluB des Beweises Zum Beweis des Minkowski-Siegelschen Satzes fehlt uns noch die Bestimmung der Werte r (V ). Dazu benutzen wir die Formel aus (33.6) fiir = 1, L = [t]:

e

Wir wollen jetzt folgend es beweisen:

34 Schluf des Beweises

(34 .1) 'Y(V ) han gt nur von m folgende Werte: 'Y(O) = 1, 'Y( I)

dim V ab , also 'Y(V )

= -21 , 'Y(2) = 2:.. '

= 'Y (m ),

'Y (m ) = 'Y(m - 1) fiir m m·Pm

147

und hat

~ 3,

wo Pm das Volumen der m-d imensionalen Einh eitskugel ist . Ftir dieses Volumen gilt bekanntlich 7r m / 2

Pm

7r m / 2

= (m/ 2)! = r( ~ + 1) ·

Die Werte von 'Y (O) und 'Y(I ) ergeben sich unmittelbar aus der Definition. Der Beweis der anderen wird einige an alytisch e Hilfsmittel erfordern . Wie schon in den zu Ende des vorigen P ar agr aphen behand elten Spezialfallen wollen wir auch hier die Anzahl der primitiven Darstellungen dur ch die Anzahl aller Darste llungen a(t,Mk )

t

= La(d2 , M k ) d21t

ersetzen. Die ents prehende Behauptu ng des Satzes ist dann

(34.2)

Die Idee zur Bestimmun g von 'Y(V )h(W) ist jetzt , tiber verschiedene t zu summieren und da nn asymptotisch auszuwerte n. Dazu wahlen wir eine Zahl P , an die im Verlauf des Beweises gewisse Bedingungen gestellt werden. Die quadratische Form werd e noti genfalls so multipli ziert , daB Zq(M) = Z ist ; dab ei andert sich 'Y nicht. J etzt sei P so, daB aus x == y mod P M# folgt q(x) == q(y ) mod P. Wegen q(x + PM# ) ~ q(x) + p. b(x , M #) + p 2 . q(M#) ist diese Ford erung gleichbedeutend mit P·q(M # ) ~ Z . Denn dann ergibt die Anderung von x urn einen Vektor aus PM# eine Anderung von q(x) urn ein Element aus PZ . Ein e Folgerung ist dann P . b(M# , M #) ~ Z , also P M# ~ M . J etzt wahle man ein to E q(M) mit (to,P) = 1; wegen Z q(M) = Z ist das moglich, Nun summiere man tiber aIle t == to(P ), 2t < T , wobei die Schranke T spate r gegen unendlich gehen wird . Zunachst beha ndeln wir die linke Seite der Formel (34.2).

L t=to( P) 2t