Mathematische Logik 002

Skriptum zur Vorlesung Mathematische Logik Klaus Gloede Mathematisches Institut der Universit¨at Heidelberg (Stand der Neubearbeitung: 25.04.2005) Wintersemester 2004/05

INHALTSVERZEICHNIS

i

Inhaltsverzeichnis I

Strukturen, formale Sprachen, Modelle

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Mengen von Mengen von . . . 1.1 Mengentheoretische Grundbegriffe . . . . . . . . . . 1.2 Relationen und Funktionen . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Injektive, surjektive und bijektive Funktionen 1.3 Ordnungen und Wohlordnungen . . . . . . . . . . . 1.3.1 Teilweise und lineare Ordnungen . . . . . . 1.3.2 Wohlordnungen . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.3 Auswahlaxiom (AC) . . . . . . . . . . . . . 1.4 M¨achtigkeiten und Kardinalzahlen . . . . . . . . . . 1.4.1 Endliche und abz¨ahlbare Mengen . . . . . . 1.4.2 Eigenschaften abz¨ahlbarer Mengen . . . . . 1.4.3 Vergleich von M¨achtigkeiten . . . . . . . . . 1.4.4 Kardinalzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.5 Arithmetik unendlicher Kardinalzahlen . . . 1.4.6 Das Kontinuumsproblem . . . . . . . . . . .

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Strukturen und formale Sprachen 2.1 Strukturen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2 Mehrsortige Strukturen . . . . . . . 2.1.3 Symbole f¨ur formale Sprachen . . . 2.2 Unterstrukturen und Morphismen . . . . . . 2.2.1 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2 Satz u¨ ber Unterstrukturen . . . . . 2.2.3 Homomorphes Bild, Identifizierung 2.3 Terme einer Sprache . . . . . . . . . . . . 2.3.1 Interpretation von Termen . . . . .

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18 18 19 19 20 22 23 24 24 25 25

INHALTSVERZEICHNIS

2.4

3

4

ii

2.3.2 Spracherweiterung durch Namen . . . . . . . . 2.3.3 Satz u¨ ber erzeugte Unterstrukturen . . . . . . . Formeln einer Sprache . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.1 Beweis durch Induktion u¨ ber den Formelaufbau 2.4.2 Freie und gebundene Variable . . . . . . . . . 2.4.3 Substitution . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Modelle und Theorien 3.1 Das Wahrheitspr¨adikat: Modelle . . . . . . . . . . 3.1.1 Satz u¨ ber neue Konstanten . . . . . . . . . 3.2 Axiome und Theorien . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Der Kompaktheitssatz und einige Folgerungen . . . 3.3.1 Kompaktheitssatz . . . . . . . . . . . . . . 3.3.2 Satz u¨ ber die Existenz unendlicher Modelle 3.4 Diagramme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.1 Diagrammlemma . . . . . . . . . . . . . . 3.4.2 Universelle Theorien . . . . . . . . . . . . 3.4.3 Modellerweiterungssatz von Keisler . . . . 3.4.4 Erhaltungssatz f¨ur universelle Formeln . . 3.4.5 Satz von Ło´s-Tarski . . . . . . . . . . . . 3.5 Einige mathematische Theorien . . . . . . . . . . 3.5.1 Gruppen- und K¨orpertheorie . . . . . . . . 3.5.2 Axiomatisierbarkeit: Elementare Klassen . 3.5.3 Zahlentheorie . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.4 Mengenlehre . . . . . . . . . . . . . . . .

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Grundlagen der Modelltheorie ¨ 4.1 Vollst¨andigkeit und elementare Aquivalenz . . . . . . ¨ 4.1.1 Elementare Aquivalenz . . . . . . . . . . . . . 4.1.2 Die Theorie der dichten linearen Ordnung . . . 4.1.3 Isomorphiesatz von Cantor . . . . . . . . . . . 4.1.4 Bemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Elementare Substrukturen und Einbettungen . . . . . . 4.2.1 Diagrammlemma (Fortsetzung) . . . . . . . . 4.2.2 Kriterium von Tarski . . . . . . . . . . . . . . 4.2.3 Satz von L¨owenheim-Skolem-Tarski (abw¨arts) 4.2.4 Satz von L¨owenheim-Skolem-Tarski (aufw¨arts)

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50 50 50 52 53 54 55 55 56 57 58

INHALTSVERZEICHNIS

4.3

4.4

4.5

4.6

Kategorizit¨at . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.1 Isomorphiesatz f¨ur endliche Modelle . . . . . 4.3.2 Test von Vaught . . . . . . . . . . . . . . . . Vereinigungen und Durchschnitte von Strukturen . . 4.4.1 Durchschnitt . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.2 Vereinigung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.3 Ketten von Strukturen . . . . . . . . . . . . 4.4.4 Satz u¨ ber Ketten von Strukturen . . . . . . . 4.4.5 Erhaltungssatz f¨ur Ketten . . . . . . . . . . . 4.4.6 Satz von Chang- Ło´s-Szusko . . . . . . . . . Produkte und Ultraprodukte . . . . . . . . . . . . . 4.5.1 Direktes Produkt . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.2 Filter und Ultrafilter . . . . . . . . . . . . . 4.5.3 Ultrafiltersatz, Boolesches Primidealtheorem 4.5.4 Reduziertes Produkt . . . . . . . . . . . . . 4.5.5 Satz von Ło´s . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.6 Kompaktheitssatz . . . . . . . . . . . . . . . Modellvollst¨andigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6.1 Robinsonscher Test . . . . . . . . . . . . . .

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II Collegium Logicum

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79 80 80 81 82 83 85 85 85 86 87 89 89 90

Die Aussagenlogik 5.1 Syntax der Aussagenlogik . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.1 Definition der aussagenlogischen Formeln . . . . . 5.1.2 Klammerregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.3 Induktion und Rekursion . . . . . . . . . . . . . . 5.1.4 Beweis durch Induktion u¨ ber den Formelaufbau . . 5.1.5 Definition durch Rekursion u¨ ber den Formelaufbau 5.2 Semantik der Aussagenlogik . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.1 Wahrheitsfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.2 Interpretation von aussagenlogischen Formeln . . . 5.2.3 Definition der wichtigsten semantischen Begriffe . 5.2.4 Einige wichtige allgemeing¨ultige Formeln . . . . . ¨ 5.2.5 Einige wichtige Aquivalenzen . . . . . . . . . . . 5.2.6 Boolesche Gesetze . . . . . . . . . . . . . . . . .

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INHALTSVERZEICHNIS

5.3

5.4 5.5

5.6

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5.2.7 Einsetzungsregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.8 Ersetzungsregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Normalformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.1 Boolesche Umformung . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.2 Entscheidungsverfahren f¨ur Boolesche Normalformen 5.3.3 Boolescher Repr¨asentationssatz . . . . . . . . . . . . 5.3.4 Das Dualit¨atsprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . Der semantische Folgerungsbegriff: Erf¨ullbarkeit . . . . . . . 5.4.1 Zusammenhang zwischen Folgerung und Erf¨ullbarkeit Der syntaktische Folgerungsbegriff: Beweisbarkeit . . . . . . 5.5.1 Axiomensysteme und Beweise . . . . . . . . . . . . . 5.5.2 Korrektheit und Vollst¨andigkeit . . . . . . . . . . . . 5.5.3 Beispiele von Axiomensystemen . . . . . . . . . . . . Vollst¨andigkeit und Kompaktheit . . . . . . . . . . . . . . . . 5.6.1 Verallgemeinerte Expansion . . . . . . . . . . . . . . 5.6.2 Lemma u¨ ber die Negation . . . . . . . . . . . . . . . 5.6.3 Tautologiesatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.6.4 Deduktionstheorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.6.5 Widerspruchsfreiheit und Vollst¨andigkeit von Theorien 5.6.6 Lemma u¨ ber Beweisbarkeit und Konsistenz . . . . . . 5.6.7 Vervollst¨andigung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.6.8 Verallgemeinerter Vollst¨andigkeitssatz . . . . . . . . . 5.6.9 Kompaktheitssatz der Aussagenlogik . . . . . . . . .

Die Pr¨adikatenlogik 6.1 Ein Axiomensystem f¨ur die Pr¨adikatenlogik 6.1.1 Axiomensystem von Shoenfield . . 6.1.2 Definition eines Beweises . . . . . 6.2 Der Tautologiesatz . . . . . . . . . . . . . 6.3 Substitution und universeller Abschluss . . 6.3.1 Hintere Generalisierung . . . . . . 6.3.2 Satz u¨ ber die Generalisierung . . . 6.3.3 Substitutionsregel . . . . . . . . . . 6.3.4 Substitutionssatz . . . . . . . . . . 6.3.5 Abschluss-Satz . . . . . . . . . . . 6.4 Ersetzung und Umbenennung, Gleichheit . 6.4.1 Ersetzungstheorem . . . . . . . . .

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90 91 92 92 94 95 96 98 99 100 100 101 102 104 106 107 107 108 108 109 110 110 111

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112 112 113 114 115 117 118 118 119 119 121 121 121

INHALTSVERZEICHNIS

v

6.4.2 Eigenschaften des Gleichheitspr¨adikates . . . . . . . . . . 6.5 Pr¨anexe Normalformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5.1 Umformungen mit der Negation . . . . . . . . . . . . . . 6.5.2 Umformungen mit Konjunktion und Disjunktion . . . . . 6.5.3 Umformungen mit der Implikation . . . . . . . . . . . . . 6.5.4 Das Dualit¨atsprinzip f¨ur die Pr¨adikatenlogik . . . . . . . . 6.6 Das Deduktionstheorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.7 Erweiterungen von Theorien, Widerspruchsfreiheit . . . . . . . . 6.7.1 Erweiterungen und Expansionen . . . . . . . . . . . . . . 6.7.2 Satz u¨ ber rein sprachliche Erweiterungen von Theorien . . 6.7.3 Widerspruchsfrei/widerspruchsvoll . . . . . . . . . . . . 6.7.4 Beweisbarkeit und Widerspruchsfreiheit . . . . . . . . . . 6.8 Termmodelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.8.1 Kanonische Struktur einer Theorie, Termstruktur . . . . . 6.8.2 Satz u¨ ber Termmodelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.9 Vervollst¨andigung von Theorien . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.9.1 Satz von Lindenbaum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.10 Henkin-Theorien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.10.1 Henkin-Erweiterungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.11 Der G¨odelsche Vollst¨andigkeitssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.11.1 Vollst¨andigkeit der Pr¨adikatenlogik / Modellexistenz-Satz 6.11.2 Satz von L¨owenheim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.11.3 Kompaktheitssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

III 7

¨ Naturliche Zahlen und Unvollst¨andigkeit Berechenbare Funktionen 7.1 Turing-Maschinen . . . . . . . . . . . . . . 7.2 URM-berechenbare Funktionen . . . . . . 7.3 Churchsche These . . . . . . . . . . . . . . 7.4 Aufz¨ahlbarkeitss¨atze . . . . . . . . . . . . 7.5 Primitiv-rekursive Funktionen . . . . . . . 7.5.1 Abschlusseigenschaften . . . . . . 7.6 Rekursive und partiell-rekursive Funktionen

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122 124 124 124 125 127 129 131 131 133 135 136 137 137 138 139 140 141 142 144 144 146 147

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INHALTSVERZEICHNIS

8

9

¨ die naturlichen ¨ Eine Basistheorie fur Zahlen − 8.1 Axiome von PA . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2 Enderweiterungen . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3 Arithmetische Formeln . . . . . . . . . . . . . . 8.4 Erhaltungseigenschaften unter Enderweiterungen Definierbarkeit berechenbarer Funktionen 9.1 Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2 G¨odels Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3 Definierbarkeitssatz f¨ur rekursive Funktionen 9.4 Repr¨asentierbarkeit . . . . . . . . . . . . . .

10 Unvollst¨andigkeit und Unentscheidbarkeit 10.1 G¨odel-Nummern . . . . . . . . . . . . . 10.2 Diagonalisierungslemma . . . . . . . . . 10.3 Satz von G¨odel-Rosser . . . . . . . . . . 10.4 1. G¨odelscher Unvollst¨andigkeitssatz . . . 10.5 2. G¨odelscher Unvollst¨andigkeitssatz . . . 10.6 Wahrheit ist nicht arithmetisch definierbar 10.7 Unentscheidbarkeit . . . . . . . . . . . .

IV

vi

Reelle Zahlen und Entscheidbarkeit

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161 161 163 164 166

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168 168 170 171 172

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175 175 176 177 178 180 180 181

184

11 Quantorenelimination 185 11.1 Theorie der reellen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 11.2 Effektive Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 12 Entscheidbarkeit 192 12.1 Reell-abgeschlossene K¨orper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 12.2 Presburger-Arithmetik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 13 Literatur

196

1

Teil I Strukturen, formale Sprachen, Modelle

2

Einleitung Dass Mathematik und logisches Denken miteinander verkn¨upft sind, ist eine bekannte Schulweisheit; wie eng tats¨achlich die Verbindung ist, soll in dieser Vorlesung an zwei Beispielen gezeigt werden: Es handelt sich um die beiden grundlegenden mathematischen Strukturen • die nat¨urlichen Zahlen N mit ihren u¨ blichen Rechenoperationen +, · und • die reellen Zahlen R, ebenfalls mit +, · sowie der 0

( 1

falls x = 0,

0

falls x > 0

Signum, Vorzeichen

Antisignum, negiertes Vorzeichen

Beweis: Addition, Multiplikation und die Potenz sind offenbar primitiv-rekursiv. ˙ F¨ur die u¨ brigen F¨alle ben¨otigt zeigt man zuerst, dass die Vorg¨angerfunktion x−1 primitiv-rekursiv ist, und zwar wegen ˙ 0−1 = 0 ˙ (x + 1)−1 = x ˙ durch primitive Rekursion und definiert dann − ˙ x−0 = x ˙ + 1) = (x−y) ˙ −1 ˙ x−(y ˙ definieren: Die u¨ brigen Funktionen kann man direkt mittels + und − |x − y| max(x, y) min(x, y) sg(x) sg(x)

= = = = =

˙ + (y−x) ˙ (x−y) ˙ x + (y−x) ˙ − y| max(x, y)−|x ˙ 1−x ˙ 1−sg(x) 

7.5.1 Abschlusseigenschaften Primitiv-rekursive Funktionen sind abgeschlossen unter (i) Fallunterscheidung: Sind g, f0 , f1 , . . . , fk primitiv-rekursiv, so auch f mit   f0 (~x) f alls g(~x) = 0,      f ~x) f alls g(~x) = 1, 1 f (~x) = . . .. ..       f (~x) f alls g(~x) ≥ k. k

7.6. R EKURSIVE UND PARTIELL - REKURSIVE F UNKTIONEN

158

(ii) beschr¨anktem µ-Operator: Ist g primitiv-rekursiv, so auch f mit f (~x, z) = µy < z (g(~x, y) = 0), wobei µy < z R(~x, y) =

( das kleinste y < z mit R(~x, y) falls ein solches existiert z

sonst.

7.6 Rekursive und partiell-rekursive Funktionen Ein Beispiel einer berechenbaren, aber nicht p.r. Funktion ist die Die Ackermannsche Funktion: Diese ist eine 2-stellige Funktion, die durch die folgenden Gleichungen rekursiv bestimmt ist: A(0, y) = y + 1 A(x + 1, 0) = A(x, 1) A(x + 1, y + 1) = A(x, A(x + 1, y)) Es handelt sich hier um eine doppelte Rekursion, trotzdem kann man leicht nachpr¨ufen, dass sich jeder Wert A(x, y) von endlich-vielen “fr¨uheren” Werten A(u, v) mit u < x oder u = x ∧ v < y bestimmen l¨asst. Schreiben wir Fn (m) f¨ur A(n, m), so erhalten wir:

F0 (m) = m + 1 F1 (m) = m + 2 F2 (m) ≈ 2m F3 (m) ≈ 2m 2 ..

F4 (m) ≈ 2

2.

(m − mal)

Das bedeutet also, dass die ACKERMANNsche Funktion die Grundrechenarten iteriert und insbesondere in der ersten Stelle (die die Anzahl der Iterationen angibt)

7.6. R EKURSIVE UND PARTIELL - REKURSIVE F UNKTIONEN

159

sehr schnell w¨achst. Tats¨achlich majorisiert sie jede p.r. Funktion: Ist f eine kstellige p.r. Funktion, so gibt es eine Zahl n mit f (x1 , . . . , xk ) ≤ Fn (max(x1 , . . . , xk )) f¨ur alle x1 , . . . , xk . Somit kann die 2-stellige Funktion A nicht p.r. sein (obwohl andererseits alle Fn p.r. sind!). Dass die ACKERMANNsche Funktion trotzdem berechenbar ist, ersieht man daraus, dass sie aus einer p.r. Funktion erhalten werden kann mittels Minimalisierung R6 f (~x) ' µy (g(~x, y) ' 0), d. h.   das kleinste y so dass     (i) g(~x, z) definiert ist f¨ur alle z ≤ y und f (~x) =  (ii) g(~x, y) = 0, falls ein derartiges y existiert,     undefiniert sonst. Dieses Prinzip kann von totalen zu partiellen Funktionen f¨uhren (z. B. f¨ur g(x, y) = |x − y2 |). Die Klasse R (oder C) aller rekursiven Funktionen ist die kleinste Klasse von Funktionen, die die Anfangsfunktionen enth¨alt und abgeschlossen ist unter Substitution, primitiver Rekursion und Minimalisierung. Man spricht mitunter auch von allgemein-rekursiven, µ-rekursiven Funktionen oder (auf Grund der C HURCHschen These) von den berechenbaren Funktionen (C = computable functions). Von rekursiven Funktionen werden wir vorwiegend im Falle totaler berechenbarer Funktionen sprechen. Jede p.r. Funktion ist also auch eine rekursive Funktion (w¨ahrend die ACKER MANN sche Funktion ein Beispiel f¨ ur eine rekursive, aber nicht p.r. Funktion ist), und die Abschlusseigenschaften 7.5.1 gelten (geeignet modifiziert f¨ur partielle Funktionen) auch f¨ur rekursive Funktionen. Definition Eine zahlentheoretische Relation R ⊆ Nk heißt primitiv-rekursiv bzw. rekursiv (oder auch: entscheidbar) gdw ihre charakteristische Funktion cR primitivrekursiv bzw. rekursiv ist, wobei ( 1 falls R(~x), cR (~x) = 0 sonst.

7.6. R EKURSIVE UND PARTIELL - REKURSIVE F UNKTIONEN

160

Somit sind z. B. die Pr¨adikate x = y, x 6= y, x ≤ y, x < y primitiv-rekursiv. Partielle Entscheidbarkeit Eine Relation R ⊆ Nk heißt partiell- (oder positiv-) entscheidbar bzw. r.e. gdw. sie Definitionsbereich einer berechenbaren Funktion ist: R r.e. : ⇐⇒ R = {~x | f (~x) ↓} f¨ur eine berechenbare Funktion f . In diesem Fall kann man f¨ur f auch die partielle charakteristische Funktion von R w¨ahlen: R r.e. ⇐⇒ pcR ist rekursiv, ( 1 falls ~x ∈ R, wobei pcR (~x) = undefiniert sonst. W¨ahrend es also f¨ur eine entscheidbare Relation R ein effektives Verfahren gibt, welches die Frage beantwortet, ob R zutrifft oder nicht, kann man f¨ur eine partiell-entscheidbare Relation somit nur den Fall best¨atigen, dass die Relation zutrifft. Die Bezeichnung r.e. = recursively enumerable = rekursiv-aufz¨ahlbar, in der neueren Literatur auch c.e. = computably enumerable, erkl¨art sich aus der folgenden Charakterisierung: Eine nicht-leere Teilmenge A ⊆ N ist partiell entscheidbar gdw sie Wertebereich einer rekursiven Funktion ist, also von einer rekursiven Funktion aufgez¨ahlt wird: A r.e. ⇐⇒ A = 0/ ∨ A = { f (x) | x ∈ N} f¨ur eine rekursive Funktion f : N → N. Jede rekursive Relation ist auch r.e.; die Umkehrung gilt, wenn auch das Komplement r.e. ist: A ⊆ Nk ist entscheidbar gdw A und Nk − A sind r.e. Ist wieder ϕn die n-te berechenbare Funktion (in einer geeigneten effektiven Aufz¨ahlung), so sind die Mengen {n | ϕn (n) ↓}

r.e., aber nicht rekursiv, w¨ahrend

{n | ϕn (n) ↑}

nicht einmal r.e. ist.

Von besonderer Bedeutung wird sp¨ater sein, dass f¨ur Theorien T mit einer rekursiven Menge von Axiomen die Folgerungsmenge C(T) = {σ | T ` σ } r.e. ist. Insbesondere ist also eine rekursiv-axiomatisierbare vollst¨andige Theorie entscheidbar!

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Kapitel 8 ¨ die Eine Basistheorie fur ¨ naturlichen Zahlen Als Axiomensystem f¨ur die nat¨urlichen Zahlen w¨ahlt man meistens die P EANOArithmetik PA (siehe 3.5.3) mit den unendlich-vielen Induktionsaxiomen. F¨ur viele Zwecke reicht jedoch eine Teiltheorie mit endlich-vielen Axiomen aus:

8.1 Axiome von PA− Diese Theorie wird in einer Sprache L mit den Symbolen 0, 1, 0 und p(~z, y) = 0 mit p ∈ Z[~z, y] ist, gen¨ugt es zu zeigen, dass f¨ur solche Polynome auch die Relation p(~z, f (~x)) > 0 effektiv ist. Dazu fasse man das Polynom p(~z, y) als Polynom q(y) ∈ Z[~z][y] auf, d. h. als Polynom in y mit Koeffizienten aus Z[~z]. Dann gilt p(~z, f (~x)) > 0 ⇐⇒ sgn(q( f (~x))) = 1. Nach Voraussetzung ist sgn(q( f (~x))) eine effektive Funktion von ~x und den Koeffizienten von q und somit auch eine effektive Funktion von ~x und~z. 

11.2. E FFEKTIVE F UNKTIONEN

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Das Hauptergebnis besagt nun, dass die reellen Nullstellen eines Polynoms effektive Funktionen der Koeffizienten sind, wie man es z. B. f¨ur quadratische Gleichungen ax2 + bx + c = 0 kennt: p 1 (−b ± b2 − 4ac), 2a woraus abzulesen ist, dass die L¨osungen effektive Funktionen der Koeffizienten a, b, c sind: x=

Hauptlemma Es sei p(x) = an xn + . . . + a0 ∈ R(x) ein reelles Polynom mit den Koeffizienten ~a = (a0 , . . . , an ). Dann gibt es effektive Funktionen ξ1 (~a), . . . , ξn (~a) und k = k(~a), so dass ξ1 (~a) < . . . < ξk (~a) s¨amtliche reellen Nullstellen von p(x) sind. Beweis durch Induktion u¨ ber n : Bilde die Ableitung p0 (x) = n an xn−1 + . . . + 2 a2 + a1 , auf welche wir die Induktionsvoraussetzung anwenden k¨onnen, so dass die Nullstellen von p0 unter den t1 < . . . < tm mit m = n − 1 vorkommen, wobei die ti0 s effektive Funktionen von ~a sind. p(x) ist monoton in jedem der offenen Intervalle (−∞,t1 ), (t1 ,t2 ), . . . , (tm−1 ,tm ), (tm , +∞). Also kann es in jedem dieser Intervalle h¨ochstens eine Nullstelle von p(x) geben; zus¨atzlich k¨onnen die Endpunkte t1 , . . . ,tm weitere Nullstellen sein. Somit ist die Anzahl der Nullstellen bestimmt durch die Werte sgn(p(t1 )), . . . , sgn(p(tm )), sgn(p0 (t1 − 1)), sgn(p0 (tm + 1)). Mittels Fallunterscheidung kann man also die Anzahl der Nullstellen k(~a) als effektive Funktion von ~a bestimmen. Wir m¨ussen nun auch die Nullstellen selbst als effektive Funktion angeben. Dazu w¨ahlen wir eine Nullstelle ξ = ξ (~a), die etwa im Intervall (t1 ,t2 ) liege, wobei p(t1 ) > 0 und p(t2 ) < 0 sei. Nach dem vorhergegangenen Lemma gen¨ugt es zu zeigen, dass f¨ur jede Zahl d ≥ 1 und jedes Polynom q(x) vom Grad d die Funktion sgn(q(ξ )) effektiv ist (in ~a und den Koeffizienten von q(x)).

11.2. E FFEKTIVE F UNKTIONEN

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Wir k¨onnen nun weiterhin annehmen, dass Grad(q(x)) < n ist. denn anderenfalls dividieren wir q durch p mit dem Rest r, also q(x) = p(x) g(x) + r(x) mit Grad(r(x)) < n, und ersetzen in sgn(q(ξ )) das Polynom q durch den Rest r, und beachten, dass die Koeffizienten von r effektive Funktionen der Koeffizienten von p und q sind. Somit k¨onnen wir die Induktionsvoraussetzung auch auf das Polynom q anwenden, dessen Nullstellen unter den u1 < . . . < um vorkommen m¨ogen, die effektiv von den Koeffizienten von q abh¨angen. Das Vorzeichen von q(x) in den (m + 1) Intervallen (−∞, u1 ), (u1 , u2 ), . . . , (um−1 , um ), (um , +∞), aus denen wir jeweils die Punkte s1 = u1 − 1, s2 =

u1 + u2 um−1 + um , . . . , sm = , sm+1 = um + 1 2 2

ausw¨ahlen, wird durch (m + 1) effektive Funktionen in diesen Punkten sgn(q(s1 )), sgn(q(s2 )), . . . , sgn(q(sm )), sgn(q(sm+1 )) bestimmt. Schließlich wird die Lage von ξ relativ zu den u0i s festgelegt durch die Lage von t1 und t2 zu den u0i s und durch die sign(p(ui ))0 s. Somit k¨onnen wir Fallunterscheidungen benutzen, um - wie erforderlich - sgn(q(ξ )) als effektive Funktion in ~a und den Koeffizienten von q(x) zu bestimmen.  Damit erhalten wir als entscheidenden Schritt zur Quantorenelimination das Lemma Ist R(x1 , . . . , xk ) eine effektive Relation, so auch die Relation S(x2 , . . . , xk ) := ∃x1 R(x1 , . . . , xk ). Beweis: Als effektive Relation ist R(x1 , . . . , xk ) eine B OOLEsche Kombination von Ungleichungen der Form pi (x1 ) > 0, 1 ≤ i ≤ l, wobei die pi (x) als Polynome in den Unbestimmten x2 , . . . xk mit ganzzahligen Koeffizienten aufgefasst werden k¨onnen. Aufgrund des Hauptlemmas sind die Nullstellen der pi (x) effektive Funktionen der x2 , . . . xk ; die Nullstellen seien bezeichnet mit ξ1 , . . . , ξm . Die pi (x) k¨onnen also nur an diesen Stellen ihr Vorzeichen wechseln, und damit ist die Relation ∃x1 R(x1 , . . . , xk )

11.2. E FFEKTIVE F UNKTIONEN

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a¨ quivalent zu einer endlichen Disjunktion der Form R(η1 , x2 , . . . , xk ) ∨ . . . ∨ R(ηn , x2 , . . . , xk ), wobei die η1 , . . . , ηn eine Liste aller Zahlen ξi , (ξi + ξ j )/2 und der ξi ± 1 ist. Da dieses effektive Funktionen der x2 , . . . xk sind, so ist auch die obige Disjunktion ein effektives Pr¨adikat von x2 , . . . xk .  Satz Jede k-stellige Relation A ⊆ Rk , die u¨ ber R definierbar ist, ist effektiv. Beweis: Es sei A ⊆ Rk u¨ ber R definiert durch eine Formel ϕ(x1 , . . . , xk ). Es gen¨ugt zu zeigen, dass ϕ in R a¨ quivalent ist zu einer quantorenfreien Formel ϕ ∗ . F¨ur quantorenfreies ϕ setzen wir einfach ϕ ∗ = ϕ. Der Induktionsschritt f¨ur die aussagenlogischen Verkn¨upfungen ist trivial, und f¨ur den Fall ϕ(~y) = ∃x ψ(x,~y) k¨onnen wir das obige Lemma anwenden: Nach Induktionsvoraussetzung ist ψ(x,~y) u¨ ber R a¨ quivalent zu einer quantorenfreien Formel ψ(x,~y)∗ , die also eine effektive Relation R(x,~y) u¨ ber R definiert. Nach obigem Lemma ist die Relation S(~y) := ∃x R(x,~y) effektiv, also definierbar durch eine quantorenfreie Formel ϕ ∗ .  Korollar F¨ur eine Relation R ⊆ R sind folgende Bedingungen a¨ quivalent: (i) R ist effektiv, (ii) R ist definierbar u¨ ber R, Eine entsprechende Aussage gilt f¨ur Funktionen f : D → R, D ⊆ Rk . Beweis: F¨ur Relationen folgt die Aussage aus dem vorigen Satz, f¨ur Funktionen kann man sie hierauf zur¨uckf¨uhren: Ist f effektiv, so ist der Graph y = f (~x) effektiv, also durch eine quantorenfreie Formel definierbar. Ist umgekehrt f (d. h. der Graph y = f (~x)) durch eine quantorenfreie Formel definierbar und ist R(~z, y) eine effektive Relation, so ist die Relation R(~z, f (~x)) a¨ quivalent zu der definierbaren Relation ∃y (y = f (~x) ∧ R(~z, y)), also nach den obigen Ergebnissen ebenfalls effektiv. Damit ist dann auch f als effektiv nachgewiesen. 

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Kapitel 12 Entscheidbarkeit 12.1 Reell-abgeschlossene K¨orper Da wir f¨ur die Ergebnisse des vorigen Kapitels u¨ ber definierbare Relationen von reellen Zahlen nur die Eigenschaften eines reell-abgeschlossenen K¨orpers benutzt haben, erhalten wir den ¨ ¨ reell-abgeschlossene K¨orper Satz uber die Quantorenelimination fur Zu jeder LOR -Formel ϕ gibt es eine quantorenfreie Formel ϕ ∗ mit TRCF ` ϕ ↔ ϕ ∗ . Außerdem l¨asst sich die Formel ϕ ∗ mittels eines Algorithmus’ aus ϕ bestimmen. Korollar (i) Die Theorie TRCF der reell-abgeschlossenen K¨orper ist entscheidbar. (i) Die Theorie TRCF der reell-abgeschlossenen K¨orper ist vollst¨andig, und zwar ist TRCF = Th(R). Beweis: Wegen der Quantorenelimination gibt es eine Funktion e, die jeder Formel ϕ eine in TRCF a¨ quivalente quantorenfreie Formel ϕ ∗ zuordnet, und zwar ¨ kann die Funktion e als rekursive Funktion (der G ODEL -Nummern) gew¨ahlt werden. Im Falle eines Satzes σ der Sprache LOR erh¨alt man einen quantorenfreien Satz σ ∗ , der also eine B OOLEsche Kombination von atomaren S¨atzen der Form t = s und t < s ist. Die G¨ultigkeit solcher S¨atze (z. B. 0 + (1 + 0) < (1 + 1) · −(1 ·

12.2. P RESBURGER -A RITHMETIK

193

(1 + 0)) + 1) l¨asst sich aber leicht ausrechnen. Zugleich sehen wir hieraus, dass f¨ur einen Satz σ die G¨ultigkeit in der Theorie TRCF gleichbedeutend ist mit der G¨ultigkeit in dem Modell R, woraus sich die Aussage (ii) ergibt.  ¨ Ahnliche Ergebnisse gelten f¨ur die Theorie (in der Sprache der K¨orper) TACF der algebraisch-abgeschlossenen K¨orper: Fr¨uher hatten wir bereits bemerkt, dass diese Theorie modellvollst¨andig ist (s. 4.6) und Quantorenelimination besitzt; legt man auch die Charakteristik fest, so ist sie entscheidbar und vollst¨andig, und zwar stimmt sie im Falle der Charakteristik 0 u¨ berein mit der Theorie der komplexen Zahlen.

12.2 Presburger-Arithmetik W¨ahrend die Theorie der nat¨urlichen Zahlen mit Addition und Multiplikation nach den Ergebnissen des vorigen Kapitels unentscheidbar ist, geh¨ort die Theorie der nat¨urlichen Zahlen, beschr¨ankt auf Ordnung und Addition, nach M. P RES BURGER zu den entscheidbaren Theorien. F¨ ur den Nachweis benutzen wir ein Lemma, das auch in anderen F¨allen der Quantorenelimination n¨utzlich ist: Lemma Eine Theorie T l¨asst Quantorenelimination zu gdw jede einfache ∃-Formel der Form (∗) ∃x (ψ1 ∧ . . . ∧ ψn ) (wobei die ψi also Basis-Formeln sind) in T a¨ quivalent ist zu einer quantorenfreien Formel. Dabei kann man im Falle, dass die Sprache L mindestens eine Konstante besitzt, zus¨atzlich annehmen, dass unter den ψi keine Formel von der Form x = x, x 6= x, x = t ist (wobei x nicht in t vorkommt). Beweis: Man kann annehmen, dass eine vorgegebene Formel in pr¨anexer Normalform Q1 x1 . . . Qn xn ψ ist, wobei - etwa im Falle Qn = ∃ wiederum ψ in disjunktiver Normalform ist. Wegen der Umformungsregel 6.5.2 (i) kann man den Existenzquantor mit den Disjunktionen vertauschen, so dass man eine Formel der Form (*) erh¨alt, in welcher sich nach Voraussetzung der Quantor eliminieren l¨asst (im Falle des ∀-Quantors kommt man durch Bildung der Negation auf den obigen Fall zur¨uck). Somit lassen sich der Reihe nach s¨amtliche Quantoren eliminieren.

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12.2. P RESBURGER -A RITHMETIK

Der Zusatz folgt aus den logischen Umformungen ∃x(x = t ∧ χ(x)) ↔ χ(t) x = x ↔ c = c,

(falls x nicht in t)

x 6= x ↔ c 6= c. 

Die Theorie Th(N, 0, die explizit definierbar sind durch m|x :↔ ∃y my = x,

wobei my := y + . . . + y, (−m)y = −my | {z } m−mal

(d. h. in Th(N,