Klemens Burg
I Herbert Haf I Friedrich Wille I Andreas Meister
Höhere Mathematik für Ingenieure
Klemens Burg Friedr...
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Klemens Burg
I Herbert Haf I Friedrich Wille I Andreas Meister
Höhere Mathematik für Ingenieure
Klemens Burg Friedrich Wille
I Herbert Haf I Andreas Meister
Höhere Mathematik für Ingenieure Band I: Analysis 9., überarbeitete Auflage Bearbeitet von Prof. Dr. rer. nato Herbert Haf, Universität Kassel Prof. Dr. rer. nato Andreas Meister, Universität Kassel STUDIUM
VIEWEG+
TEUBNER
Bibliografische Information der Deutschen Nationalbibliothek Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über abrufbar. Prof. Or. rer. nato Klemens Burg t, geb. 1934 in Bochum. 1954 - 1956 Tätigkeit in der Industrie. 1956 - 1961 Studium der Mathematik und Physik an der RWTH Aachen. 1961 Diplomprulung in Mathematik. 1964 Promotion, 1961 - 1973 Wiss. Ass. und Akad. Rat/überrat, 1970 Habilitation. 1973 - 1975 Wiss. Rat und Prof. an der Universität Karlsruhe. 1975 - 2002 Prof. für Ingenieurmathematik an der Universität Kassel. Arbeilsgebiete: Mathematische Physik, Ingenieurmathematik Prof. Dr. rer. nato Herbert Haf. geb. 1938 in Pfronten/AlIgäu. 1956 - 1960 Studium der Feinwerktechnik-Qptik am Oskar-von-Miller-Polytechnikum München. 1960 - 1966 Studium der Mathematik und Physik an der RWTH Aachen. 1966 Diplomprulung in Mathematik. 1966 - 1970 Wiss. Ass., 1968 Promotion. 1970 - 1974 Akad. Rat/überrat an der Universität Stullgart. 1968 - 1974 Lehraufträge an der Universität Stullgart. 1974 - 2003 Prof. für Mathematik (Analysis) an der Universität Kassel. Arbeitsgebiete: Funktionalanalysis, Verzweigungstheorie, Appro~imations theorie Prof. Dr. rer. nato Friedrich Wille t, geb. 1935 in Bremen. 1955- 1961 Studium der Mathematik und Physik an den Universitäten Marburg, Serlin und Göttingen. 1961 Diplom, anschließend Industriepra~is. 1963 - 1968 Wiss. Mitarb. der Aerodynamischen Versuchsanstalt (AVA) Göttingen. 1965 Promotion, Leiter des Rechenzentrums Göttingen. 1968 - 1971 Wiss. Ass. der Oeutschen Forschungs- und Versuchsanstalt liir Luft- und Raumfahrt (OFVLR). 1970 6attelle-lnstitut Genf. 1971 Habilitation, 1972 Wiss. Rat und Prol. in Oüsseldorf. 1973 - 1995 Prof. für Angewandte Mathematik an der Universität Kassel. Arbeitsgebiete: Aeroelastik, Nichtlineare Analysis, math. ModelIierung Prof. Dr. rer. nat. Andreas Meister, geb. 1966 in Einbeck. 1987 - 1993 Studium der Mathematik mit Nebenlach Informatik an der Georg-August-Universltät Göttingen. t993 Diplomprufung in Mathematik. 1993 - 1996 Promotionsstipendium an der Deutschen Forschungsanstalt für Luft- und Raumfahrt in Göltingen, 1996 Promotion an der TH Darmstadt. t996 Wiss. Mitarb. am Fraunhofer Institut für Techno- und Wirtschafts mathematik Kaiserslautern. 1996 - 1997 Wiss. Mitarb., 1997 - 2002 Wiss. Ass. an der Universität Hamburg. 2001 Habilitation und Privatdozent am FS Mathematik der Universität Hamburg. 2002 - 2003 Hochschuldozent an der Universität zu Lübeck. Seit 2003 Prof. für Angewandte Mathematik an der Universität Kassel. Arbeitsgebiete: Numerik partieller Differentialgleichungen und Numerik linearer Gleichungssysteme.
1. Auflage 1985 9., überarbeitete Auflage ZOll Alle Rechte vorbehalten
© Vieweg+Teubner Verlag I Lektorat: Ulrich Sandten
I
Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2011
Kerstin Hoffmann
Vieweg+Teubner Verlag ist eine Marke von Springer Fachmedien. Springer Fachmedien ist Teil der Fachverlagsgruppe Springer Science+Business Media. www.viewegteubner.de Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlags unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Umschlaggestaltung: KünkelLopka Medienentwicklung, Heidelberg Druck und buchbinderische Verarbeitung: STRAUSS GMBH, Mörlenbach Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier Printed in Germany ISBN 978-3-8348-1218-6
Vorwort Theorie olme Praxis ;sl leer. Praxis olme Theorie isl blind.
Die vorliegende »Höhere Mathematik fUf Ingenieure« umfaßt den Inhalt einer Vorlesungsreihe, die sich über die ersten vier bis fünf Semester erstreckt. Das Werk wendet sich hauptsächlich an Studenten der Illgenieurwissenschaften, darüber hinaus aber allgemein an alle Studierenden technischer und physikalischer Richtungen, sowie an Studenten der Angewandten Mathematik (Technomathematik, MathematikingenieuT. mathematische Physik). Lernende und Lehrende finden mehr in diesen Bänden. als in einem Vorlesungszyklus behandelt werden kann. Die Bücher sind so gedacht, daß der Dozent ~ dem Aufbau der Kapitel folgend - einen »roten Faden« auswählt. der dem Studierenden den Weg in die Mathematik bahnt und ihm die Stofftjlle strukturien. Der Lehrende wird dabei seinen eigenen Vorstellungen folgen, etwa in der Auswahl der Beispiele, dem Weglassen gewisser "Seitenwege« , oder dem Betonen von Sachverhalten, die fur die Fachrichtung der Hörer seiner Lehrveranstaltung wichtig sind. Dem Studierenden sollen die Bände zur Nacharbeit und Veniefung des Vorlesungsstoffes dienen, wie auch zum Selbststudium und zur Fortbildung. Die vielen Anwendungsbeispiele sollen ihm den Inhalt dabei lebendig machen, und zusätzliche AusfLihrungen sein Kemwissen abrunden. Später lassen sich die Bücher immer wieder als Nachschlagewerk verwenden. Insbesondere sind sie zur Examensvorbereitung nützlich, wie auch im Berufsleben als greifbares »Himergrundwissen«. Die Bände sind inhaltlich folgendennaßen geglieden: Band I enthält die Differential- und Integralrechnung einer und mehrerer Veränderlicher, und damit den Stoff der Vorlesungen Analysis I und 11. Es wurde dabei Wcn auf eine sorgfriltige Grundlegung, verbunden mit praktischen Anwendungen, gelegt. Band 11 hat die Lineare Algebra zum Thema, währcnd Band 111 die Gewöhnlichen Differentialgleichungen cnthält. sowie Distributionen und Intcgraltmnsfomlationen. Dabei wurde eine eher einfache, wenn auch genaue Darstellung gewählt, damit der Ingenieur schnell zu Anwendungen vorstoßen kann. Im Band IV folgen dann die Vektoranalysis und Funktionentheorie (komplexe Analysis) und in Band V Funktionalanalysis und panielle Differentialgleichungen. Manche Mathematikkurse fur Ingenieure beginnen mit Analysis (z.B. bei Maschinenbauern), andere mit Linearer Algebra (etwa bei Elektrotechnikern). Aus diesem Grunde wurden die Bände I und I[ unabhängig voneinander gestaltet, so daß man den Kurs mit jedem dieser Bände beginnen kann. An Vorkcnntnissen wird wenig vorausgesetzt. Schulkenntnisse in elementarer Algebra (Bruch~ rechnung, Klammemusdrücke) und Geometrie (cinfache ebene und räumliche Figuren, Koordinatensystem) gcnügen. Grundsätzlich beginnt der vorliegende Lehrgang ganz »von vorne«, d.h. mit der Erläuterung der Zahlen. und baut darauf systematisch auf. Auf diese Weise wird auch das meiste aus der Schulmathematik in geraffter Form wiederholt. Der Leser kann daher, je nach Vorkenntnis, die Inhalte erstmalig lernen oder sein Wissen in das vorliegende Gerüst einordnen.
VI
Durch viele Beispiele aus Technik und Naturwissenschaft wird der Anwendungsbczug besonders herausgearbeitet. Dabei liegt weitgehend das folgende Dreischriltschema zu Grunde: EinfUhrungsbcispiel --+ Theorie _
weitere Anwendungen
Hat man ein Einflihrungsbeispicl zur Motivation crliiUlcn und dann eine Lösungstheorie dazu cnlwickelt, so stellt sich meistens heraus (sonst wäre der Name »Theorie« fehl am Platze), daß die theoretischen Hilfsmittel auch zur Lösung weiterer Probleme, ja, auch manchmal ganzer Problemklassen, taugen. Diese brauchen mit dem Ausgangsproblem scheinbar überhaupt nicht verwandt zu sein (z.B. die Flächeninhaltsberechnung zur Motivation der Integralrechnung gegenüber der Berechnung der Leistung einer Dampfmaschine, der maximalen Höhe eines Weltraumsatelliten, dem Trägheitsmoment eines Rades oder der Wahrscheinlichkeit für die Lebensdauer eines Bauteiles. Alle genannten Probleme lassen sich mit Mitteln der Integralrechnung lösen). Natürlich wird das obige Drcischrittschema nicht über das Knie gebrochen. Denn oft wird auch mathematisches Instrumentarium fLir spUtere Anwendungen oder fUr den weiteren Ausbau der Mathematik bereitgestellt. wobei ein zu frühes Anheften an Anwendungen nicht möglich ist oder den Blick fUr die Gliederung der Systematik verschleiert. Denn obwohl die systematische Einführung der Mathematik nicht immer der historischen Entwicklung entspricht und ihre Abstraktion sich von der Praxis zu entfernen scheint, so hat sie doch unbestreitbare Vorteile: Sie verkürzt die Darstellung. da man Verwandtes unter einheitlichen Gesichtspunkten zusammenfassen kann. und bietet eine gute Übersicht, in der man sich beim Nachschlagen besser zurecht findet. Aus diesem Grunde wurde hier ein Mittelweg zwischen Abstraktion und Anwendung eingeschlagen: Systematisches Vorgehen, gekoppelt mit praktischen Beispielen zur Motivation und Vertiefung. Dabei wird durch viele Figuren der abstrakte Inhalt anschaulich gemach!. Noch ein Wort zur »/lw/hell/mischen Sprache«! Sie besteht zum größten Teil aus der Umgangssprache, ergänzt durch mathematisch klar definierte Fachausdrücke und Begriffe. Man kann sagen, die eigentliche mathematische Fachsprache ~)schwimmt« auf der Umgangssprache. Denn ohne die Umgangssprache wäre jede Fachwissenschaft verloren und könnte sich nicht mineilen. Es hat sich nämlich herausgestellt, daß ein konsequentes Benutzen der exakten fachlichen Ausdrucksformen zu sprachlichen Ungetümen fUhren kann, so daß auf diese Weise die Sachverhalte viel schwieriger zu begreifen sind,ja, mitunter gar unverständlich zu werden drohen. Hier helfen »unscharfe« umgangssprachliche Formulierungen oft weiter und steigern die Verständlichkeit. Für das Lehren gilt nämlich der scheinbar widersprüchliche Satz: »Es ist nicht wichtig, ob sich der Lehrende stets richtig ausdrückt, sondern nur, daß im Kopf des Zuhörers das Richtige ankommt!« Ein Beispiel soll dies stellvertretend erläutern, und zwar die Sprechweise bei Funktionen. Fachlich korrekt (und pedantisch) heißt es: "Wir untersuchen die Funktion J : [-I, IJ ...... IR definiert durch J(x) :::: ~ fUr alle x E [-1.11, auf Differenzierbarkeil.« Eine einfachere Sprechweise (wenn auch etwas unschärfer) wäre: >~Wir untersuchen die Funktion J(x) = ~ auf Differenzierbarkeit.« Wir können wohl davon ausgehen, daß der zweitgenannte Text vom Hörer genauso verstan· den wird wie der erste, vielleicht sogar besser (insbesondere in einem Kapitel über reellwertige Funktionen einer reellen Variablen). Aus diesem Grunde werden wir uns in diesen Bänden einer einfachen Sprechweise bedienen, die der Umgangssprache nahe steht. Bei Funktionen nehmen
VII
wir uns die Freiheit heraus, Gleichungen als Ausdrücke fur Funktionen zu verwenden, oder den Funktiol1swert [(x) einfach als Funktion zu bezeichnen. Hierbei wird vorausgesetzt, daß der Leser (etwa nach Studium des Abschnittes 1.3 in Band I) mit dem abstrakten Funklionsbegriff vertraut ist. Die geschilderte Sprechweise (»pars pro toto«) hilft, sprachliche Überladung zu vermeiden. Insbesondere bei der Behandlung von Gewöhnlichen Differentialgleichungen (Band 111) würde man ohne vereinfachte Ausdrucksweise zu sprachlichen Komplikationen kommen, die das Verständnis stark erschweren. Aus diesem Grunde bedienen wir uns, soweit wie möglich, umgangssprachlicher Wendungen, ohne die Präzision aus den Augen zu verlieren. Zum Schluß bedanken wir uns bei allen, die uns bei diesem Buchvorhaben unterstützt haben. Frau Karin Lange, Herr Wolfgang Homburg und Herr Uwe Brunst haben bei Band I wertvolle Korrekturarbeiten geleistet, wofür ihnen vielmals gedankt sei. Frau Marlies Gottschalk, Frau Erika Münstedt und Frau Karin Wellig danken wir für ihre sorgfaltigen Schreibarbeiten wie auch Herrn Klaus Strube für die Herstellung vieler Zeichnungen in Band [] und 111. Dem Verlag B.G. Teubncr danken wir rur seinc gcduldigc und kooperative Zusammcnarbeit in allcn Phascn. Kassel, Juli 1985
Die Verfasser
Vorwort zur siebten AuHage Der Verfasser dieses Bandes, Herr Prof. Dr. Friedrich Wille, ist am 9. August 1992 verstorben. Die vorliegende Neuauflage wurde von Herbert Haf und Andreas Meister bearbcitet. Aufgrund ihrer Bedeutung rur die Anwendungen haben wir dicsen Band durch zwei Abschnitte erweitert: Zum einen durch einen konstruktiven Zugang zum Satz von Weierstraß (s. Abschn. 5.3) und zum anderen durch verschiedene praxisrelevante Algorithmen zur Berechnung von Interpolationspolynomen bzw. Splines (s. Abschn. 5.4). Wir sind der Übeneugung, daß diescr Band dadurch an Aktualität gewonnen hat. Ferner weisen wir darauf hin, daß unser Gesamtwerk aufgrund der Teilung von Band IV in »Vektoranalysis« und })Funktionentheorie« nunmehr aus sechs Bänden besteht. Unser Dank gilt Herrn Dr.-lng. Jörg Barner rur die Erstellung der hervorragenden Ib-TEXVorlage und rur seine sorgfältige Mitarbeit bei den Korrekturen. Nicht zuletzt danken wir dem Verlag B.G. Teubner fur seine ständige Gespriichsbereitschaft und Rücksichtnahme auf Terminprobleme und Gestaltungswünsche. Kassel, Januar 2006
Herben Haf Alldreas Meisler
Vorwort zur neunten Auflage Die vorliegende Ncuauflage dieses Bandcs unterscheidet sich inhaltlich nur geringfLigig von der vorhcrgehcnden Auflage. Es wurden lediglich kleinere Erweiterungen und Fehlerkorrckturen vorgenommen. Unser besonderer Dank gilt dabei einem sehr aufmerksamen Leser rur die gelieferten Anmerkungen. Wir freuen uns darüber. daß eine starke Nachfrage diese Nachauflage so rasch erforderlich gemacht hai und hoffen auf eine weiterhin freundliche Aufnahme dieses Bandes durch den Leser. Kassel, August 2010
Herben Haf Alldreas Meisler
Inhaltsverzeichnis Grundlagen 1.1 Reelle Zahlen 1.1.1 Die Zahlcngerade . [.1.2 Rechnen mit reellen Zahlen 1.1.3 Ordnung der reellen Zahlen und ihre Vollständigkeit I,I A Mcllgcnschreibweise....... 1.1.5 Vollständige Induktion 1.1.6 Potenzen, WurLe!n, Absolulbclrag
1.1.7
Summcnfonneln: geometrische, binomische, polynomische
1.2 Elementare Kombinatorik. 1.2.1 Fragestellungen der Kombinatorik I.2.2 Permutationen 1.2.3 Permutationen mit Identifikationen 1.2.4 Variationen ohne Wiederholungen 1.2.5 Variationen mit Wiederholungen 1.2.6 Kombinationen ohne Wiederholungen 1.2.7 Kombinationen mit Wiederholungen. 1.2.8 Zusammenfassung 1.3 Funktionen 1.3.1 Beispiele. 1.3.2 Reelle Funktionen einer reellen Variablcn 1.3.3 Tabellcn. graphischc Darstcllungen. Monotonic 1.3A Umkchrfunktion. Vcrkettungen . 1.3.5 Allgcmeiner Abbildungsbegriff 1.4 Unendliche Folgcn recller Zahlen 1.4. I Definition und Beispiele 1.4.2 Nullfolgen 1.4.3 Konvergcnte Folgen I.4A Ermittlung von Grenzwcrten 1A.5 Häufungspunktc, beschränkte Folgcn 1.4.6 Konvergenzkritericn 1A.7 Lösen von Glcichungen durch Iteration 1.5 Unendliche Reihen reeller Zahlen 1.5.1 Konvergcnz uncndlichcr Reihcn 1.5.2 Allgcmcine Konvcrgenzkritcricn . 1.5.3 Absolut konvcrgcntc Rcihcn . I.5A Konvergenzkritcricn für absolut konvergcnte Reihen 1.6 Stctige Funktioncn
I
1 1 4
8
"
17 21
24 30 30 31 32 34
37 38 39 41
42 42
44 46 51
54
56 56 57 60
62 66 68 71
74 74 79 82
85 89
X
[nhall~vcri:cichni~
1.6.1 1.6.2 1.6.3 1.6.4 1.6.5 1.6.6 1.6.7 1.6.8 1.6.9
2
Problemstellung: Lösen von Gleichungen Stetigkeit . Zwischenwertsatz . Regeln fur stetige Funktionen Maximum und Minimum stetiger Funktionen Glcichmiißige Stetigkcit Grenzwertc von Funktionen Polc und Grcnzwerte im Unendlichcn Einseitige Grenzwerte, Unstctigkeiten
Elementare Funktionen 2.1 Polynome 2.1.1 Allgemcines . 2.1.2 Geradcn. 2.1.3 Quadratischc Polynome. Parabeln 2.1.4 Quadratischc Glcichungen . 2.1.5 Berechnung von Polynomwcrtcn, Horner-Schema. 2.1.6 Division von Polynomcn, Anzahl der Nullstellen 2.2 Rationale und algebraische Funktionen. 2.2.1 Gebrochene mtionale Funktioncn 2.2.2 Algebraische Funktionen. 2.2.3 Kegelschnitte......... 2.3 Trigonometrische Funktionen. . . 2.3.1 Bogenlänge am Einheitskreis . 2.3.2 Sinus und Cosinus 2.3.3 Tangens und Cotangens 2.3.4 Arcus-Funktionen . . . 2.3.5 Anwendungcn: Entfernungsbcstimmung, Schwingungcn 2.4 Exponentialfunktionen, Logarithmus, Hyperbelfunktionen 2.4.1 Allgemeine Exponentialfunktionen 2.4.2 Wachstumsvorgänge. Die Zahl e 2.4.3 Die Exponentialfunktion exp(x) = e.r und der natürliche Logarithmus 2.4.4 Hyperbcl- und Arcafunktioncn 2.5 Komplexe Zahlcn . 2.5.1 Einflihrung 2.5.2 Der Körper der komplexen Zahlen 2.5.3 Exponentialfunktion, Sinus und Cosinus im Komplexen 2.5.4 Polarkoordinaten, gcomctrische Deutung der komplexen Multiplikation, Zeigerdiagmmm . 2.5.5 Fundamentalsatz dcr Algebra, Folgcn und Reihcn, stctige Funktioncn im Komplexen .
3
Differentialrechnung einer reellen Variablen 3.1 Grundlagcn der Differentialrcchnung. 3.1.1 Geschwindigkeit
89 91
93
97 99 102 105 109 112
115 115 115 116 121 126 128 132 135 135 139 143 147 147 154 158 161 164 169 169 172 175 180 183 183 184 191 193 196
199 199 199
Inhaltsvcrlcichnis
XI
3.1.2 Differenzierbarkeit, Tangenten. . . . . . . . . . . 202 3.1.3 Differentiationsregeln fUr Summen, Produkte und Quotienten reeller Funktionen211 3.1.4 Kellenregel, Regel für Ul11kehrfunktionen, implizites Differenzieren 214 3.1.5 Mittelwertsatz der Differentialrechnung . . . . . . . . . 220 3.1.6 Ableitungen der trigonometrischen Funktionen und der Arcusfunktionen 223 3.1.7 Ableitungen der Exponential- und Logarithmus-Funktionen 226 3.1.8 Ableitungen der Hyperbel- und Area-Funktionen . . 230 3.1.9 Zusammenstellung der wichtigsten Differentiationsregeln 230 3.2 Ausbau der Differentialrechnung. 232 3.2.1 Die Regeln von de I'Hospital . 232 3.2.2 Die Taylorsche Formel 237 3.2.3 Beispiele zur Taylorformel . . 240 3.2,4 Zusammenstellung der Taylorreihen elementarer Funktionen 246 3.2.5 Berechnung von:n . . . . . . 249 3.2.6 Das Newtonsche Verfahren. . 255 3.2.7 Bestimmung von ExtremstelIen 261 3.2.8 Kurvendiskussion. 266 3.3 Anwendungen............ 273 3.3.1 Bewegung von Massenpunkten. 273 3.3.2 Fehlerabschiitzung....... 277 3.3.3 Zur binomischen Reihe: physikalische Niiherungsformeln 278 3.3.4 Zur Exponentialfunktion: Wachsen und Abklingen 279 3.3.5 Zum Newtonsehen Verfahren. 282 3.3.6 Extremalprobleme 284
4
Integralrechnung einer reellen Variablen 4.1 Grundlagen der Integralrechnung. 4.1.1 Flächeninhalt und Integral . 4.1.2 lntegrierbarkeit stetiger und monotoner Funktionen 4.1.3 Graphisches Integrieren, Riemannsche Summen. numerische Integration mit der Tangentenformel 4.1.4 Regeln flir Integrale 4.1.5 Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung 4.2 Berechnung von Integralen 4.2.1 Unbestimmte Integrale, Grundintegrale 4.2.2 Substitutionsmethode . 4.2.3 Produktintegration 4.2.4 Integration rationaler Funktionen 4.2.5 Integration weiterer Funktionenklassen 4.2.6 Numerische Integration. 4.3 Uneigentliche Integrale 4.3. I Definition und Beispiele 4.3.2 Rechenregeln und Konvergenzkriterien 4.3.3 Integralkriterium fUr Reihen 4.3.4 Die Integralfunktionen Ei, Li. si, ci, das Fehlerintegral und die Gammafunktion
289 290 290 294 296 300 303 306 306 309 318 323 328 331 336 336 339 346 349
XII
[nhall~vcri:cichni~
4.4 Anwendung: Wech~c1stromrechnung . . 4.4.1 Mittelwerte in der Wechselstromtechnik 4.4.2 Komplexe Funktionen einer reellen Variablen 4.4.3 Komplexe Wechselstromrechnung 4.4.4 Onskurven bei WechselslromschallUngen
353 353 355 359 364
5
Folgen und Reihen VOll Funktionen 369 5.1 Gleichmäßige Konvergenz von Funktionellfolgen und -reihen. 369 5.1.1 Gleichmäßige und punktweise Konvergenz von Funktionellfolgen 369 5.1.2 Vertauschung von Grenzprozessen 373 5.1.3 Gleichmäßig konvergente Reihen 376 5,2 Potenzreihen 379 5.2.1 Konvergenzradius . 379 5.2.2 Addieren und Multiplizieren von Potenzreihen sowie Differenzieren und Integrieren 383 5.2.3 Identitätssatz, Abclscher Grenzwertsatz 384 5.3 Der Weierstraß'sche Approximationssatz . 387 5.3.1 Bemerkung zur Polynomapproximation 387 5.3.2 Approximation von stetigen Funktionen durch Bernstein-Polynome 388 5.4 Interpolation. 393 5.4.1 Polynominterpolation . 393 .410 5.4.2 Splineinterpolation .419 5.5 Fourierreihen .419 5.5.1 Periodische Funktionen. .420 5.5.2 Trigonometrische Reihen. Fourier-Koeffizienten .422 5.5.3 Beispiele fLir Fourierreihen . .430 5.5.4 Konvergenz von Fourierreihen .435 5.5.5 Komplexe Schreibweise von Fourierreihcn .438 5.5.6 Anwendung; Gedämpfte er.lwungene Schwingung
6
Differentialrechnung mehrerer reeller Variabler 6.1 Der li-dimensionale Raum jR" 6.1.1 Spaltenvektoren . 6.1.2 Arithmetik im JR" . 6.1.3 Folgen und Reihen von Vektoren. 6.1.4 Topologische Begriffe 6.1.5 Matrizen . 6.2 Abbildungen im JR" 6.2.1 Abbildungen aus JR" in JR'" 6.2.2 Funktionen zweier reeller Variabler 6.2.3 Stetigkeit im IR" 6.3 Differenzierbare Abbildungen von mehreren Variablen 6.3.1 Partielle Ableitungen 6.3.2 Ableitungsrnatrix. Differenzierbarkeit. Tangentialebene. 6.3.3 Regeln fLir differenzierbare Abbildungen. Richtungsableitung
443 .443 .443 .444 .450 .452 .455 .459 .459 .460 .466 .468 .468 .472 .478
Inhaltsvcrlcichnis 6.3.4 Das vollständige Differential. . 6.3.5 Höhere partielle Ableitungen. . 6.3.6 Taylorformel und Mittelwertsatz 6.4 Gleichungssystcme, Extremalprobleme. Anwendungen 6.4.1 Newton-Verfahren im IR" 6.4.2 Satz über implizite Funktionen. Invcrtierungssatz 6.4.3 Extrcmalprobleme ohne Nebenbedingungen . 6.4.4 Extremalprobleme mit Nebenbedingungen
7
Integralrechnung mehrerer reeller Variabler 7.1 Integration bei zwei Variablen .. . . . . . . . . . . .. . . . . . 7.1.1 Anschauliche Einftihrung des Integrals zweier reeller Variabler. 7.1.2 Analylische Einführung des Integrals zweier reeller Variabler 7.1.3 Grundlegende Sütze 7.1.4 Ricmannschc Summen 7.1.5 Anwendungen 7.1.6 Krummlinige Koordinaten, Transformationen, Funktionaldeterminanten 7.1.7 Transformationsformel fur Bereichsinlegrale 7.2 Allgemeinfall: Integration bei mehreren Variablen 7.2.1 Riemannsches Integral im IR" 7.2.2 Grundlegende Sütze . . . . . . . . . . . . 7.2.3 Krummlinige Koordinaten. Funktionaldeterminallte, Transformationsformeln 7.2.4 Rauminhalte . . . . . . . . 7.2.5 Rotationskörper. 7.2.6 Anwendungen: Schwerpunkte. Trägheitsmomente 7.3 Parameterabhängige Integrale 7.3.1 Stetigkeit und Integrierbarkeit parameterabhängiger Integrale 7.3.2 Differentiation eines parametcrabhüngigcn Integrals 7.3.3 Differentiation bei variablen Integrationsgrenzen .
XIII . 482 . 486 488 491 491 496 501 504
511 511 5J I 521 525 531 533 540 545 551 551 554 556 562 565 568 576 576 577 578
Anhang
581
A Lösungen zu den Übungen
583
Symbole
589
Literaturverzeichnis
591
Stichwortl'erzcichnis
595
XIV
Band 11: Lineare Algebra (F. WilIe t , H. Haf, K. Burgt , A. Meister) Vektorrechnung in zwei und drei Dimensionen 1.1
Vektoren in der Ebene
1.2
Vektoren im dreidimensionalen Raum
2
Vektorräume beliebiger Dimensionen
2.1 2.2 2.3 2.4
Die Vektorräume lR" und C" Lineare Gleichungssysteme. Gaußseher Algorithmus Algebraische Strukturen: Gruppen und Körper Vektorräume über beliebigen Körpern
3
Matrizen
3.1 3.2 3.3 3.4 3.5
Definition, Addition, s-Multiplikation Matrizenmultiplikation Reguliirc und inverse Matrizen Determinanten Spezielle Matrizen
3.6
Eigenwcl1c und EigenveklOrcn
3.7 3.8 3.9 3.10 3.11
Die Jordansehe Normalform Lineare Gleichungssyslcme und Matrizen Matrix-Funktionen Drehungen, Spiegelungen, Koordinatentransformationen Lineare Ausgleichsprobleme
4
Anwcndungen
4.1 4.2
Technische Strukturen Roboter-Bewegung
Band III: Gewöhnliche Differentialgleichungen, Distributionen, Integraltransformationen (H. Haf, A. Meister) Gewöhnliche Differentialgleichungen Einführung in dic gcwöhnlichen Differcntialgleichungcn 1.1 1.2
Was ist eine Differentialgleichung? Differentialgleichungen l-ter Ordnung
xv 1.3 1.4
Differentialgleichungen höherer Ordnung und Systeme l-teT Ordnung Ebene autonome Systeme
2
Lineare Differentialgleichungen
2.1
Lösungsverhalten
2.2 2.3 2.4
Homogene lineare Systeme l-teT Ordnung Inhomogene lineare Systeme l-tcrOrdnung Lineare Differentialgleichungen/Her Ordnung
3
Lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten
3.1
Lineare Differentialgleichungen höherer Ordnung
3.2
Lineare Systeme I-Ier Ordnung
4
Potenzreihenansätze und Anwendungen
4.1 4.2
Potenzreihcllunsätze Verallgemeinerte POtcnzreihCllunsätze
5
Rand- und Eigenwertprobleme. Anwendungen
5.1 5.2 5.3
Rand- und Eigenwcrtproblcme Anwendung auf eine partielle Differentialgleichung Anwendung auf ein nichtlineares Problem (Stabknickung)
Distributionen 6
Verallgcmeincrung des klassischen Funktionsbcgriffs
6.1 6.2
Motivierung und Definition Distributionen als Erweiterung der klassischen Funktionen
7
Rechncn mit Distributioncn. Anwendungen
7.1 7.2
Rechnen mit Distributionen Anwendungen
Integraltransformationen 8
Fouriertransformation
8.1 8.2 8.3 8.4 8.5
Motivierung und Definition Umkehrung der Fouriertransformation Eigenschaften der Fouriertransformation Anwendung auf partielle Differentialgleichungsprob1eme Diskrele Fouriertransformation
XVI
9
Laplacctransformation
9.1 9.2 9.3 9.4
Motivierung und Definition Umkehrung der Laplacetransformatioll Eigenschaften der Laplacctransformation Anwendungen auf gewöhnliche lineare Differentialgleichungen
10
3-Transformatioll
[0.1
MOlivierung und Definition
10.2 10.3
Eigenschaften der 3-Transformation Anwendungen auf gewöhnliche lineare Differentialgleichungen
Band Vektoranalysis: (F. Wille!) Kurven 1.1
Wege. Kurven. BogenJiingc
1.2 1.3
Theorie ebener Kurven Beispiele ebener Kurven I: Kegelschnitte
[.4
Beispiele ebener Kurven 1I: Rollkurven, Blütter, Spiralen Theorie riiumlichcr Kurven
[.5 1.6
VeklOrfeldcr, POIcntiale. Kurvenintegrale
2
Flächen und Flächcllintcgralc
2.1 2.2
Flächenstücke und Flächen Flächenintegrale
3
Intcgralsätze
3.1 3.2 3.3 3.4
Der Gaußsche Integralsatz Der Stokessehe Integralsalz Weitere Differential~ und Illtegralformeln im [R3 Wirbclfreiheit, Quellfreiheit, Potentiale
4
Alternierende Differentialformen
4.1 4.2
Alternierende Differentialformen im [R3 Alternierende Differentialformen im [RII
5
Kartesische Tcnsorcn
5.1 5.2
Tensoralgebra Tensoranalysis
XVII
Band Funktionentheorie: (H. HaD I 1.1 1.2
Grundlagen Komplexe Zahlen Funktionen einer komplexen Variablen
2
Holomorphe Funktionen
2.1 2.2 2.3 2.4
Differenzierbarkeit im Komplexen. Holomorphie Komplexe Integration ErLeugung holomorpher Funktionen durch Grenzprozesse Asymptolische Abschiilzungen
3
Isolierte Sillgularitätcll, Laurcnt-Entwicklung
3.1 3.2
Laurentreihen Residuensatz und Anwendungen
4
Konformc Abbildungcn
4.1 4.2
EinfLihrung in die Theorie konformer Abbildungen Anwendungen auf die Potentialtheorie
5
Anwcndung dcr Funktioncntheorie auf die Bcssclsche Differtntialgleichung
5.1 5.2 5.3
Die Besselsche Differentialgleichung Die Besselschen und Neumannschen Funktionen Anwendungen
Band Partielle Differentialgleichungen und funktionalanalytische Grundlagen: (H. Haf, A. Meister) Funktionalanalysis I I. I 1.2 1.3 2 2.1 2.2 2.3
Grundlcgende Räume Metrische Räume Normierte Räume. Banachräume Skalarprodukträume. Hilbcrträume Lineart Operatortn in normierten Räumen Beschränkte lineare Operatoren Fredholmsche Theorie in Sklllarproduktriiumcn Symmetrische vollstetige Operatoren
3
Ocr Hilbertraum L2(!l) und zugehörige Sobolevräumc
3. I 3.2
Der Hilbenraum L2(!l) Sobolevriiume
XVIII
Partielle Differentialgleichungen 4
Einrtihrung
4.1 4.2 4.3 4.4
Was ist eine partielle Differentialgleichung? Lineare partielle Differentialgleichungen I-ter Ordnung Lineare partielle Differentialgleichungen 2-ter Ordnung Der Reynoldsche Transporisalz
5
Helmholtf.sehc Sehwingungsglcichung und Potcntialgleiehung
5.1 5.2 5.3 5.4 5.5
Grundlagen Ganzraurnprobleme Randwertprobleme Ein Eigenwertproblem der Potenlialtheorie Einflihrung in die Finite-Elemente-Methode (F. Wille t )
6
Die Wärmclcitungsglcichullg
6.1 6.2
Rand- und Anfangswertprobleme Ein Anfangswertproblem
7
Die Wellengleichung
7.1 7.2
Die homogene Wellengleichung Die inhomogene Wellengleichung
8
Die Maxwellschen Gleichungen
8.1 8.2
Die stationären Maxwellschen Gleichungen Randwertprobleme
9
Die Euler-Gleichungen und h)'perbolische Bilanzgleichungen
9.1 9.2 9.3 9.5 9.6
Kompressible und inkompressible Strömungen Bilanzgleichungen und Erhaltungsgleichungen Charakteristiken im skalaren eindimensionalen Fall Lineare Systeme mit konstanten Koeffizienten Schwache Lösungen Die Euler-Gleichungen
10
Hilbertraummethoden
10.1 10.2 10.3 10.4
Einführung Das schwache Dirichletproblem Hir lineare elliptische Differentialgleichungen Das schwache Neumannproblem Hir lineare elliptische Differentialgleichungen Zur Regularitiitstheorie beim Dirichlelproblem
9.4
1
Grundlagen
Zahlen, Funktionen und Konvergenz sind die Grundbegriffe der Analysis. In diesem ersten Abschnitt werden sie erklärt und ihre wichtigsten Eigenschaften erläutert, damit fur alles weitere ein sicheres Fundament gelegt ist. Dabei beginnen Wif von ganz vorne, nämlich mit den Zahlen
1,2,3.....
I.I
Reelle Zahlen
1.1.1
Die zahlcngcradc
Mathematik fangt mit dem Zählen an:
1.2.3.4,5,
usw.
Wir nennen diese Zahlen die Ilariirlichell Zahlen. Sie entstehen, mit I beginnend, durch fortgesetztes Erhöhen um I. Der Ausdruck »natürliche Zahlen« ist sicherlich gut gewählt, denn Kinder beginnen so zu zählen und in allen Kulturen beginnt mathematisches Denken mit diesen Zahlen. Die Al1zal1len von Äpfeln, Personen. Schiffen, Sternen, usw. lassen sich damit angeben, aber aueh Telefonnummern, Personalnummern, Rechnungsnummern (leider, leider) sowie Autonummern, Hausnummern und Datumsangaben. wobei der »Anzahlaspekl« eher in den Hintergrund tritt. und wir von Ordllullgszahlen spreehen. Aueh auf Skalen finden die natürlichen Zahlen Verwendung, z.B. auf Linealen, Uhren und Thermometern. Halt! Bei Thermometern komml offenbar etwas neues hinzu, und zwar werden negative Ztlhlen -I, -2, -3, ... benutzt. sowie die Null: O. Diese Zahlen - zusammen mit den natürlichen Zahlen - nennt man ganze Zahlen. Eine ganze Zahl ist also eine natürliche Zahl oder das Negative einer natürlichen Zahl oder gleich Null. Meiermaß. Uhr und Thermometer zeigen schon. daß wir auch Zwischenwerte brauchen, daß wir von halben Metern sprechen wollen, von einer i-Slunde oder von 38.r Fieber. wenn wir uns eine Grippe genommen haben. oder 31~1 schreiben. 38.3 können wir auch als 38 + Es dreht sich hier um Zahlen der Form
fo
a b
*
wobei a. b beliebige ganze Zahlen sind, und wobei b # 0 ist. Diese Zahlen heißen Brüche oder rationale Zahlen. Ist b = I, so ergeben sich dabei die ganzen Zahlen. Die ganzen Zahlen sind also spezielle ralionale Zahlen. Alle rationalen Z'lhlen lassen sich als »Dezimalzahlen«, auch »Dezimalbrüche(( genannt,
K. Burg et al., Höhere Mathematik für Ingenieure, DOI 10.1007/ 978-3-8348-9929-3_1, © Vieweg+Teubner Verlag I Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2011
2
I Grundlagen
schreiben, z.B. 3
6
5 = 10
3765 100 = 37.65.
= 0.6.
Wir gehen davon aus, daß der Leser mit Dezimalbrüchen schon bekannt ist (wie könnle er sonst Superbenzin zu lAI € pro Liter kaufen). Es soll daher nur einiges in Erinnerung gerufen werden. Beginnen wir mit Beispielen fur Dezimalbrüchc: 6,36;
-378.604325 ;
0,0062 ;
3.61616161
1.414213562 ..
(=
(1.1)
J2).
Dezimalbrüche haben allgemcin die Form m, al (11(13(14
....
wobei m eine ganze Zahl ist und die (11. (11. (/3, (14, ... Ziffern aus dem Bereich 0, I, 2, 3, 4, 5, 6,7,8,9 sind. Die Punkte rechts von (14 deuten an, daß es mit (/5 weitergeht, dann (/6 usw., kurz, daß nach jeder dieser Ziffern stels noch eine weitere folgt. Sind von einer Ziffer (/" an alle folgendcn Ziffern Null: a,,+1 = O. (/,,+1 = O.... usw., so brechen wir die Ziffernreihenfolge bei (/" ab (z.B. 6.36 = 6.36000 ... ) und nennen diese Dezimalbrüche abbrechemJe Dezimalbrüche. Hierbei gilt z.B. 6.36=6+
3
10 +
6
100
allgemein: (/1 (/1 ±m. (11(/1··· (/" = ± ( m + 10 + 101 + ... + ,(:) 'r
Ein weiterer Typ ist z.B. durch (/ = 3.52761616161 gegeben. wobei die Ziffern 61 sich fortlaufend wiederholen. Wir nennen 61 die Periode des Dezimalbruches und schreiben den Dezimalbruch auch 3.52761 . Die Periode wird einfach überstrichen. Allgemein haben periodische Dezimalbrüche die Form
wobei die Ziffcrn b l b1 ... bk in dieser Rcihenfolge fortlaufend aneinandergefLigt werden. b 1 ••• bk heißt die Periode der Zahl und k ihre Perioden länge. Es gilt
I, I Reelle Zahlen
3
Jede ratiollale 'Zahl kallll als abbrechender oder periodischer Dezimalbruch geschrieben werden und umgekehrt.
Wir machen dies an Beispielen klar, und zwar erhalten wir 17° = I ,42857142857 .. durch das bekannte DivisionsverfahreIl 10: 7 = 1,42857142857 ...
7
30
28 20 14
60
(Es muß sich hier eine Periode ergeben, da sich die Divisionsreste irgendwann einmal wiederholen müssen.) Ist umgekehrt ein periodischer Dezimalbruch gegeben, z,B, a = 3.527616161.
so bildet man 102(/ = 352,7616161., (die Hochzahl 2 in 102 ist gleich der Periodenlänge) und subtrahiert: 100(/ = 352.761 +0,000616161 (-)
a =
3.527+0.000616161
99(/ = 349,234 also 99(/ = 349.234,
d,h.
349.234 a~
99
349234
--99000
Der Leser ist hiernach sicherlich imstande, beliebige periodische Dezimalbrüche in Brüche der Form alb zu verwandeln. Man kann sich auch Dezimalzahlen denken, die nicht abbrechen und auch keine Periode ha-
4
I Grundlagen
ben. Die Zahl
J2 =
1,414213562.
ist von diesem Typ. Zahlen dieser Art heißen irralionale lilMen (also »nichlrationale« Z'"Ihlen). Alle besprochenen Zahlen, also alle rationalen und irrationalen, nennt man reelle lid/lell. Zusammenfassung.
natürliche Zahle,,: 1.2,3.4.5. gatluZahlell: . '" -3, -2. -I, O. 1.2.3" .. ratiollale Zahle,,; alb (a. b ganze Zahlen, b periodischen Dezimalbrüche
i= 0), das sind alle abbrechenden und alle
irratiollale Zahlell: nichtperiodische. nichtabbrechende Dezimalbrüche reelle Zahle,,; alle Dezimalbrüche Man kann die reellen Zahlen als Punkte einer Geraden veranschaulichen. der sogenannten lill/leI/geraden (s. Fig. I. I). I -3
I -2
I -1
0
2
,
•
Fig. I I: Zahlengerade Übung 1.1: Verwandle die folgenden periodischen Dezimalbrüche in Brüche dcr Form natürliche Zahlen sind: (a) 5.74: (b) 3uffi: (c) o. 9.
1.1.2
!ff. wobei Il
und
1/1
Rechnen mit reellen Zahlen
Was wäre mit den Zahlen schon anzufangen. wenn man nicht mit ihnen rechnen könnte? Wir wollen die Rechengesetze für reelle Zahlen zusammenstellen, getrennt in Grundgesetze und abgeleitete Regeln. Dabei gehen wir davon aus, daß der Leser das Rechnen mit den reellen Zahlen schon bis zu einem gewissen Grade beherrscht. Wir werden daher die folgenden Grundgesetze nicht näher begründen. Dies würde den Rahmen des Buches sprengen und ist einem konstruktiven Aufbau des Zahlensystems vorbehalten, s. Oberschelp [44J.
Grundgesetze der Addition und Multiplikation. Je zwei reelle Zahlen a und b darf man addieren: a + b. und lIIullip/izieren: a . b. l . a + b heißt die Summe und {/·b das Produkl von {/ und b. Summe {/ +b und Produkt {/·b sind reelle Z'"Ihlen, die eindeutig durch {/ und b bestimmt sind.
I, I Reelle Zahlen
5
Für alle reellen Zahlen a, b, c gilt (AI)
a+(b+c)=(a+b)+c
(A2)
a+b=b+a
(A3) (A4)
fur die reelle Zahl 0 gilt a + 0 = a zu jeder reellen Zahl a gibt es genau eine reelle Zahl x mit a
+x
= O. Wir schreiben dafür x = -a
(MI)
(I·(b·c)=(a·b)·c
(M2)
a .b = b .a
(M3)
flir die reelle Zahl I gilt a . I = a
(M4)
zu jeder reellen Zahl
a #; 0 gibt es genau eine reelle Zahl y
mita· y = I. Wirschreibendafur)' =
(01)
a·(b+c)=a·b+a·c
(D2)
0" 1
t odery =a- l
Bemerkung: Die Gesetze (A 1) und (M I) heißen Assoziativgesetz der Addition bzw. Multiplikation, (A2) und (M2) werden entsprechend Kommlltativge~'etze genannt, während (01) Di.vtrihutivgesctz heißt. Die Regeln (A 1) bis (02) zusammen heißen auch die Kürperaüome der reellen Zahlen. Die Assoziativgesetze (A I) und (M I) bedeuten offenbar, daß es gleichgültig ist, wie man dabei die Klammern setzl. Wir lassen sie daher auch weg und schreiben einfach a + b + c = (a + b) + c, abc = (ab)e. Entsprechend werden auch bei längeren Summen und Produkten die Klammern weggelassen. Die Sublraktion zweier reeller Zahlen a, b wird durch
a-h=a+(-h) erkllirt. Man nennt die so errechnete Zahl die Differenz von a und b. Entsprechend Hihrt man die Dil'isiol1 von a und b (b #; 0) durch die Gleichung
a b
1 b
=tI·-
ein. Man nennt diese Zahl den QlloticllIell von a und b. Später werden wir noch weitere Grundgesetze flir die reellen Zahlen kennenlernen, und zwar die Grundgesetze der Ordnung (betreffend »größer« und »kleiner«) sowie die sogenannte Vo/!sti.ilUiigkeit und die Archimedische Eigenschaft. Doch zunächst soll klar gemacht werden. daß aus den notierten Grundgesetzen der Addition und Multiplikation die üblichen Rege/n der Bmc!l,.edlllung folgen, wie z.B. »Bruche werden multipliziert, indem man Zlihler mit Zähler und Nenner mit Nenner multipliziert' 3a -3b = 2l/-2b => 3«(/ -b) = 2(a -b) => 3 = 2.
Ordnung der reellen Zahlen und ihre Vollständigkeit
Ordnung muß sein! Auch bei den reellen Zahlen! Die Ordnung drückt sich dabei in der »Kleiner« und »Größer-Beziehung« zwischen den Zahlen aus. Sie liißI sich besonders klar an der Zahlengeraden verdeutlichen:
a
I
b
•
I
Fig. 1.2: »Kleiner-« und »Größer-Beziehung«:
(I
< b
In Fig. 1.2 sind zwei Punkte a und b markiert, die reelle Zahlen bedeuten sollen. Liegt hier - a links von b, so schreiben wir: a < b. 2 Schreibweise der Division mit Doppclpun~l: x :)' = x. )'-1
wie
1,1
RccllcZahlcn
9
in Worten: »a kleiner als b«, oder auch umgekehrt b > a, in Worten; »b größer als a«. Die Grundgesetze für diese Beziehung lauten folgendermaßen: Grundgesetze der Ordnung; (01) Für je zwei reelle Zahlen a und b gilt genau eine der drei folgenden Beziehungen:
a 0 gilt, und genau dann negllliv, wenn {/ < O. Die Ungleichung a 2::. b, wie auch b ::: a, bedeutet, »a ist größer oder gleich b« oder anders gesagt: »b ist kleiner oder gleich {/« • Wir nehmen an, daß die Grundgesetze der Ordnung mit dem bisherigen Zahlenverständnis des Lesers im Einklang stehen, und begründen sie daher hier nicht weiter. Aus den Grundgesetzen können weitere Regeln abgeleitet werden. Die wichtigsten stellen wir in der nächsten Folgerung zusammen und deuten einige Beweise kur.t an. Beim ersten Lesen genUgt es, sich die Regeln an Beispielen klar zu machen, um so mit ihnen umgehen zu lernen. Folgerung 1.7: Hir alle reellen Z1hlen a, b. c, d gelten die Regeln: (a) (/ > 0 und b > 0
a
~
+b >
0 und a . b > 0
(b) (/ > 0 -(/ < 0
(c) (/
t- 0 ~ a . a
> 0, insbesondere I > 0, da I = I . I > 0
(d) (/ < bund c < d (e) 0 :::::
a
a Beweis: (a) Ausa > Oundb > Ofolgla+b > a+O=a > onach (03)3, also wegen (02); a+b > O. Entsprechend ergibt (04): 0< a ~ 0, b < ab (da 0< b), also 0< ab. 3 D 0) IR- :::: Menge der negativen reellen Zahlen (x E IR mit x < 0) IRci :::: Menge der nicht negativen reellen Zahlen (x E lR mit x ::: 0) lRü :::: Menge der nicht positiven reellen Zahlen (x E IR mit x ::: 0) Weitere oft benutzte Mengen reeller Zahlen sind die sogenannten Illlel'l'lllle. Diese sind Teilstrecken der Zahlengeraden oder Halbgeraden oder IR. selbst. Genauer: Mil [a. b[ bezeichnen wir die Menge aller reellen Zahlen x mit (/ ::: x ::: b. Wir drücken dies kürzer aus: [a.b]:::: Ix E IR I a:::x :::b).
Dabei bedeutet die rechte Seite die »Menge aller x E IR. die die Eigenschaft a ::: x ::: b besitzen«. [a, b] heiBt das (/bge~"C!llosselle IlIIervalll'oll a bi~' b. Auf der Z1hlengeraden slellt dieses Intervall eine Strecke dar, s. Fig. 1.4.
a
b
Fig. 1.4: lnlervalila. bl Entsprechend werden weitere Intervalle definiert. Die folgenden Schreibweisen sind nach dem Beispiel [a, b J unmittelbar verständlich. Dabei gelte wieder a < b: (a. b) :::: Ix E lR I a < x < b}
heißt offelle.f Imen1all von abis b
(die »Endpunkte« a, b gehören nicht dazu) kl. b) :::: Ix E IR I a ::: x < b}
und
I, I Reelle Zahlen
(a, bJ = Ix e lR la < x
~
b}
13
heißen halboffene lilien/alle
(jeweils ein Endpunkt gehört dazu, der andere nicht). Die bisher genannten Intervalle werden beschränkte Illfen/alfe genannt. Der Vollständigkeit halber fUgen wir gleich die sogenannten unbeschrünkten Inten!(llIe an:
la.oo)={xelRlx;::a} (-00.
cl = Ix e IR I x ~ cl
(a. 00) = Ix E IR
(-00. c) = Ix
E
Ix
> al
IR I x < c}
I
abgeschlossene Halbgeraden (s. Fig. 1.5)
1 offene Halbgeradell
und (-00.00) = IR. (--, cJ
,
(a. -l
•
Fig. J .5: Unbeschränkte Intervalle
Intervalle spielen im täglichen Leben schon in einfachen Fällen eine Rolle: Im Wetterbericht hören wir z.B. von Temperaturen zwischen _2 0 bis +1°, was nichts anderes heißt. als daß die Temperatunlngabcn im Intervall (-2, I) liegen, Längenangabcn wie auch Gewichte sind stets positiv. sie liegen also im Intervall (0. 00), Die Spliuillgtabclle der Steuer ist in Intervalle eingetei It, die verschiedenen Steuersätzen entsprechen. usw. y-Achse
d
, -----~
y-Achse
y
o
-----~
, , ,
------,(~.y)
~
•
b
x-Achse
x-Achse
Fig. 1.6: Koordinaten
Fig. 1.7: Rechteck und Kreis
Weitere anschauliche Beispiele rur Mengen sind PUllktmengen der Ebene. Führen wir in üblicher Weise ein Koordinatensystem mit x- und y-Achse ein, so entspricht jedem Punkt der Ebene genau ein Z1hlenpaar (x, y), wobei x die x-Koordinate heißt und y die y-Koordinate (s. Fig. 1.6)5. Wir nennen Zahlenpaare daher auch Punkte (der Ebene) und bezeichnen die Menge aller dieser Zahlenpaare als 1R2, 5 Aus dem Zusammenhang muß je.....eils hervorgehen. ob (.r. y) ein Punktepaar oder ein offenes lnteT\'all bezeichnel.
14
I Grundlagen Ein Reell/eck, wic in Fig. 1.7 zu schen, bestcht aus allcn Punkten (x, y), fUr die a
~
x
~
bund
c
~
y
~
d
gilt. Ncnncn wir dic Menge dieser Punkte kurz R (Rechteck), so können wir schreiben
R={(x, y) elR 2 1a ~x ~b und c ~y ~dl. Betrachten wir noch ein BeispieL und zwar eine Krei.w:heibe um Q = (0.0) mit Radius I, s. Fig. 1.7. Ein Punkt (x, y) liegt genau dann in dieser Kreisscheibe, wenn sein Absland 6 von Q kleiner oder gleich I ist. Der Abstand ist aber offenbar gleich
wie man mit dem Lehrsatz des PytJwgoras ermittelt (s. Fig. 1.6). Damit besteht die Kreisscheibe K aus allen Punkten (x. y) E [R2 mit x
2
+l
~ I,
Diese Punktmenge läßt sich also kur/.: so beschreiben:
M
Fig. 1.8: Teilmenge A von M
Um mit Mengen bequem umgehen zu können, vercinbaren wir einigc Bezcichnungcn: (a)
{XI, X2, ... ,
x" I bezeichnet die Menge der Elemente XI, X2,
..., XII'
(b) {x I x hat die Eigenschaft EI ist die Menge aller Elemente x mit der Eigenschaft E. {x E M I x hat die Eigenschaft EI ist die Menge aller Elemente x aus M mit der Eigenschaft E (s. obige Beispiele). (c) Eine Menge A heißt Teilmellge einer Menge M, wenn jedes Element von A in M liegt. Wir 6
[m
Sinne der euklidischen Geometrie
I, I Reelle Zahlen
15
beschreiben dies kurz durch A 0; Moder
M:> A.
(s. Fig. 1.8)
M heißt eine Obermenge von A. Hier ist auch der Fall denkbar. daß A = Mist (M ist also Teilmenge von sich selbst!). Ist A aber eine Teilmenge von M, die nicht gleich M ist, so nennen wir A eine echte Teilmenge von M und schreiben daflir A~M
(d) Gilt A
c
oder
M;?A.
M, so besteht die Res/menge
M \A aus allen Elementen x E M. die nicht in A liegen (s. Fig. 1.8). Es kann dabei sein, daß es keine Elemente dieser Art gibt. nämlich wenn A = M isl. In diesem Fall sagen wir: Die Restmenge M \ A ist leer. Das fUhrt auf folgende Vereinbarung:
(e) Mit 0 bezeichnen wir die sogenannte leere Mellge, Dies ist eine Menge ohne Elemente. D.h., flir jedes irgendwie geartete Element x gilt x ~ 0. Wir können daher im Falle A = M fUr die Restmenge M \ Aschreiben:
(f) Als Vereinigung zweier Mengen A und B bezeichet man die Menge aller Elemente x, die in A. in B oder in beiden Mengen liegen (s. Fig. 1.9). Sie wird symbolisicrt durch
AUB (g) Dic Sc/mit/menge (auch DIII"chsclmill genannt)
AnB zweier Mengen A, B ist die Menge aller Elemente x, die sowohl in A als auch in B liegen (s. Fig. 1.9). Man macht sich an Fig. 1,10 leicht klar. daß folgende einfache Regeln gelten: A U (13 U C)
~
(A U 13) U C
An (8 n C) = (A n 8) n C
Es ist hier also gleichgültig, wie die Klammern gesetzt werden. Aus diesem Grunde werdcn
16
Grundlagen AuB
AoB
Fig, 1.10: Die Mengen A, 8. C
Fig, 1.9: Vereinigung und Sehnillmenge
sie auch einfach weggelassen. Ferner gilt offenbar A U (B n C) = (A U B) n (A U C) A n (B U C) = (A n B) U (A n C) M \ (A U B) M \ (A
n B)
n (M
~
(M \ A)
~
(M \ B) U (M \ B)
\ B)
I
wobeiACMundBCM.
Die ersten heiden Regeln entsprechen einem »Ausmultiplizieren« von Klammem (bei Zahlen zum Vergleich: a· (b + c) = (a· b) + (a . c», während die nächsten heiden Regelnauch Oe Morgallsche 7 Regeln genannt - zeigen, daß U und n ausgetauscht werden, wenn man von der linken zur rechten Seite der Gleichung übergeht. (h) Schließlich nennen wir (a.b)
das Paar aus den Elementen fl. b. Dabei sind zwei Paare (a, b) und (e, d) genau dann gleich, wenn a = c und b = d ist. Die Reihenfolge der Elemente a. b läßt sich im Falle a ::ft b also nicht vertauschen: Es ist (a, b) ::ft (b. a). D.h. bei Paaren kommt es auf die Reihenfolge der Elemente an (im Gegensatz zu Mengen {a. b} aus zwei Elementen. fur die {a. b} = (b. al gilt). Sind A, B Mengen, so kann man daraus die Menge aller Paare (a, b)
mit
a E A
und
bEB
bilden. Sie wird mit A x B
bezeichnet und Paal'mel1ge oder ClIl"/esisehes ProduktS der Menge A, B genannt. Ist dabei 7 Auguslus Dc Morgan (1806- 1871). englischer Mathematiker 8 Nach Rene Dcscartes (1596-1650). französischer Philosoph. Mathematiker und Physiker
1,1 RccllcZahlen
17
speziell A = B, so schreibt man kurz A2 = A x A. Auf diese Weise ordnet sich die schon betrachtete Menge 1R2 = IR. x IR hier ein. Allgemeiner kann man dieses Konzept auch auf sogenannte 1I-1ilpel
ausdehnen. Dabei sind (al, und (/; b; fUr alle i 1.2,
=
=
, a,l) und (bi .. '" b",) genau dann gleich, wenn 11 = 111 ist , 11. Sind A J, . . . , All Mengen, so beschreibt
AI x A2 x ... X All
die Menge aller 11- Tupel (al, .... (In) mit al E AI. a2 E A2 • ..., a ll E All' Diese Menge heißt das cartesisclle Produkt der Mengen A h ..., All' Sind alle diese Mengen gleich: Ai = A fur alle i = I, ... , 11, so wird das cartesische Produkt der Al, ... , A" kurz A" genannt. Übung 1,4*: [n einem Voronzug sind 60 % der Fahrgiiste Manner. 70 % Raucher und 80 % Pendler zwischen Arbeitsstätte und Wohnung, Gibt es Fahrgasle mit allen drei Eigenschaften? Wievic1 Pro7.cnt sind es mindestens?
Verwandt ist die folgende Aufgabe: Übung 1.5: Eine Firma stellt elektrische Ger'.ite her, jedes dieser Gerate setzt sich aus 4 $chaltelemenlcn A, B, C. D zusammen. Von den verwendeten SchaltelementeIl des Typs A arbeiten 95 % einwandfrei. vom Typ B 97 %, vom Typ C 92 % und vom Typ D 89 %. (Es handelt sich um "integrierte« Schaltungen. bei denen stets gewisse Ausfallquoten vorkommen.) Vor dem Zusammenbau eines Gerätes ist nicht zu erkennen. welche seiner Schahelemente fehlerhaft sind. Wicviel Pr07.ent einwandfrei arbeitender Gerate sind mindestens zu erwarten?
1.1.5
Vollständige Induktion
Sehen wir uns noch einmal die Menge N der natürlichen Zahlen an! Sie ist Teilmenge der Menge
IR aller reellen Zahlen und hat folgende Eigenschaften: (NI) I ist eine natürliche Zahl.
(N2) Ist 11 eine natürliche Zahl, so auch 11 genannt).
+
I (n
+
I wird auch der »Nachfolger« von 11
Zweifellos gilt dies entsprechend auch fLir die Menge Z der ganzen Zahlen oder sogar fLir die Menge IR aller reellen Zahlen. N ist aber dadurch ausgezeichnet, daß sie die "kleinste« Teilmenge VOn IR mit den genannten Eigenschaften ist, d.h.: Jede Teilmenge M von IR, die I enthält und mit 11 auch stets 11 + List Obermenge von N. Insbesondere kann M nicht echte Teilmenge von N sein. Es gilt also
18
I Grundlagen
(N3) Jede Menge M von natürlichen Zahlen, die I enthält und mit 11 stets auch ist gleich der Menge aller natürlichen Zahlen.
11
+ I enthält,
Bemerkung: Man kann (N I), (N2), (N3) als Definition der natürlichen Zahlen auffassen. zusammen mit der Tatsache, daß jede natürliche Zahl auch reelle Zahl ist. Die Eigenschaft (N3) gestattet es uns, das Beweis verfahren der voflstiindigen IlIdllkliol1 durchzufUhren. Wir wollen dies an einem simplen Beispiel zeigen, und zwar an der Behauptung: Es gilt 2"
>11
fLiralle
11
eN.9
Niemand zweifelt daran, denn für 11 = 1,2,3, usw. folgt 2 1 > I,
22 = 4 > 2,
2 3 = 8 > 3,
usw.
Ist dies aber schon ein Beweis? Hier miissen wir doch aufpassen, daß es uns nicht so geht wie dem Bauern, der seine Kuh fur 100 Taler verkaufte. Er zählte das Geld nach, das aus einzelnen Ta1erstücken bestand: 1,2,3,4, ... , usw. Als er bei 67 angekommen war - ein für ihn wahrhaft mühsames Geschäft - da wischte er sich den Schweiß von der Stirn und sagte: »Hat es bis hierher gestimmt, so wird der Rest auch stimmen!« Sprach's und steckte das Geld in den Sack. So geht es natürlich nicht! Zum Beweis unserer Behauptung 2" > 11 können wir aber folgendermaßen vorgehen: (I) Die Behauptung gilt fLir /l = I, denn es sich sicherlich 2 1 > I. (11) Ist die Behauptung 2" > von 11, denn es ist
11
jedoch fLir ein
11
e N richtig, so gilt sie auch fLir
11
+ I anstelle
2,,+1 =2·2" > 2,/1. letzteres wegen 2" > 2,,+1 >
11
11.
Wegen 2/1 =
11
+ 11
~ /l
+ I folgt daher
+ I.
Damit ist aber alles bewiesen. Warum? Bezeichnen wir mit M die Menge aller natürlichen Zahlen, für die 211 > 11 gültig ist, so stelIen wir fest: J e M (nach (I» und mit 11 e M ist auch 11 + I e M (nach (11». Also muß M die Menge aller natürlichen Zahlen sein (nach (N3». d.h. 2" > 11 ist fur alle natürlichen 11 gültig. Entscheidend ist also, daß wir die Schrine I (Beweis fLir 11 = I) und 11 (Schluß von 11 auf 11 + 1) durchfuhren können. Das führt alIgemein zu folgendem Beweisschema, welches sich von unserem Beispiel nur dadurch unterscheidet, daß die Aussage »2" > /I « durch A(n) ersetzt wird.
Vollständige Induktion: Für jedes natürliche 11 sei eine Aussage A(Il) definiert. Man weise nun nach, 9 Esist/l"
_/1."./1.
l'.
wobei rc I +11.r
1.1.6
fUrallcganzcnll
1= 0 folgendes gilt:
~ 2,
Potenzen, Wurzeln, Absolutbetrag
Die Grundgesetze über Potenzen 0'1 und Wurzeln :ya werden hier in knapper Form zusammengestellt. Potenzen mit natürlichen Exponenten: Für beliebige reelle 0, b und natürliche Zahlen 11, 111 gilt (abt:::: a"b",
a,,+m:::: a"a"',
(a")'"
0:::
a""',
0::: a
< b
=> 0::: a"
< b".
(1.5)
(Man kann dies leicht mit vollständiger Induktion beweisen.) /I-tc WurLcln: (a) Es sei a 2: 0 und 11 eine beliebige natürliche Zahl. Mit
bezeichnel man diejenige reelle Zahl x 2: 0, deren n-te Potenz a ergibt:
a =x". Eine solche Zahl x existiert (wie wir später mühelos aus dem Zwischenwertsatz folgern werden, s. Abschn. 1.6.3, Beispiel 1.52). Sie ist auch eindeutig bestimmt. (Denn wäre y 2: 0 eine weitere Zahl mit y" = a, wobei etwa x < y ist, so folgte aus ([.5) x" < y". was nicht sein kann, da x 1l = 0 = yll ist. .:yu ist also eindeutig bestimmt.) (b) Bei ungeradem
11
und negativem II definiert man
10 Jakob I. Bemoulli (1655 - 1705). sch"'eizerischer Mathematiker und Physiker
22
I Grundlagen
N::::
als diejenige negative Zahl x, die x" :::: (/ erftillt. Z.B. bestimmt. wie man entsprechend begründet.
-2. Auch sie ist eindeutig
::;a
(c) Ist schließlich (/ < 0 und 11 gerade, so ist im Bereich der reellen Zahlen nicht defilliert, da es kein reelles x gibt mit x" :::: (/ (denn fLir alle x E IR gilt x" 2: 0 bei geradem 11).
::;a
Wir halten also fest: Für gerade 11 ist genau dann sinnvoll erklärt, wenn (/ 2: 0 ist, rur ungerade 11 ist dagegen fLir alle reellen (/ definiert. heißt die li-te Wurzel aus a. Für die zweite Wurzel aus (/ 2: 0 schreibt man bekanntlich kurt.: .jä und nennt dies schlicht die Wurzel aus G. Wir wiederholen noch einmal ausdrücklich, daß.jä stets größer oder gleich Null ist, also niemals negativ! Berechnung von .jä: Eine gute Methode zur Berechnung der Wurzel aus a > 0 besteht darin, nach folgender Vorschrift zu verfahren. Man wähle eine Zahl Xo mit xJ 2: a (z.B. Xo :::: (/ falls a 2: I. Xo :::: 1 sonst) und berechne
::;a
::;a
X,,+I ::::
~ (X" + ::,)
rur /l
::::
0.1,2.3 .....
Die so nacheinander gebildeten Zahlen .\'0, XI, X2, .\'3, ... kommen der Wurzel .jä schnell beliebig nahe (Begründung und Fehlerabschätzung folgen später beim Newtonschen Verfahren). Tabelle 1.1 zeigt die Berechnung von .Ji mit diesem Verfahren (gerundete Werte). Ab X4 ändern sich die Zahlen in den ersten 10 Stellen nicht mehr, Tabelle 1.1: Zur Berechnung von ,fi .ln
1I
o I 2 3 4 5
2.000000000 1,500000000 1.416666667 1.414215686 1.414213562 1.414213562
Also,fi":"1.414213562 11
Potenzen mit rationalen Exponenten: Hir beliebige natürliche Zahlen 11 und m vereinbart man:
,) (/11//" :::: b)
c)
::,ram
fLir alle reellen a
(/0 :::: 1 , -m/" a
I I
rur alle reellen G, rur alle reellen (/ 2: 0,
I :::: all//"
11 11
ungerade. gerade.
'# O.
ftir alle reellen (/ '# 0, ftir alle reellen a > O.
11 -=-- bedeutet: »gleich bis auf Rundungsfehler«
falls falls
falls falls
11 11
ungerade, gerade.
I, I Reelle Zahlen
23
Damit ist insbesondere für alle positiven Zahlen a und alle rationalen Zahlen r die Potenz
,,' erkliirt. Folgerung 1.9: (Reehenregeln fur Potenzen) Es gilt
(ab/ = a'b',
a'+s =
(a')'< = ars = (a S ) '
({fr= 1+2+3+ ... +11= 2
1:=1
oder die Summe der Quadrate (1.8). Die wohl wichtigste Summe dieser Art ist die geometrische Summe:
" L:q):
= I
+q +q2+ ... +q'l
(1.9)
k=O
Hir beliebiges reelles q 12. Wie kann man einen »geschlossenen«, einfach zu berechnenden Ausdruck Hir diese Summe finden? Dies gelingt durch einen kleinen Trick, Setzen wir niimlich zur Abkürzung .~ = 1 + q
+ q2 + ... + q"
(1.10)
fur die Summe und multiplizieren mit q, so folgt qs = q + q2 + q3 + ... + q"+1
(1.11)
Subtrahieren wir die bciden letzten Gleichungen rechts und links voneinander, so ergibt sich .~
_ qs = I _ q'I+1
d.h. auf der rechten Seite heben sich alle Glieder bis auf zwei heraus. Ausklammern von.~ auf der linken Seite ergibt .~. (I-q) = I _qll+1
Im Falle q = I ist soffenbar folgendes Resultat:
(fallsq 11
+
i=
I).
I, wie aus (1.9) unmittelbar hervorgeht. Damit haben wir
Geometrische Summenrormel:
"
""
L..Jq=
1:=0
falls q
i=
I
fallsq=l.
12 D.IS erste Glied der Summe ist vereinbarungsgemäß gleieh I. aueh im Falle q = O.
( 1.12)
26
I Grundlagen
Beispiel 1.6: (Sparkonto) Ein Sparer zahlt jährlich am I. Januar 600€ auf ein Sparkonto ein, mit einem Jahreszins von p = 6 %. Welchen Kontostand hat er nach 7-jährigem Sparen erreicht? Setzt man zur Abkürzung q := 1+ P = 1.06, so sind nach einem Jahroffenbar 600 'q € auf dem Konto, mich 2 Jahren (600·q +600)q = 6QOq(1 +q). nach 3 Jahren (600q( I +q) +600)q = 6OOq(l +q +q2) usw. Nach n Jahren enthält das Sparkonto I _q1l
600q(1 +q +q2 + ... +q"-l) = 600.q-I-q
€, wobei wir die geometrische Summenformel gewinnbringend verwendet haben. Wir setzen = 7 ein und erhalten einen Kontostand von 5338.48 €. Der Zinsgewinn in diesen 7 Jahren beträgt also 1138,48€.
1/
Binomische Formel: Durch einfaches Ausmultiplizieren berechnet man die folgenden Formeln: (a
+ b)2 =
(a
+ +
(a
a 2 + 2ab+b 2 . b)3 = a 3 + 3a 2b + 3ab 2 + b 3 . b)4 = a 4 + 4a 3b + 6a 2b 2 + 4ab 3 + b 4 .
Allgemein erhält man für beliebigen natürlichen Exponenten
11
und beliebige reelle a, b die
Binomische Formel:
mit (
",) ._ ". (11 - 1)(11 - 2)· . (11 - k 1·2·3· ... ·k
Die Ausdrücke
G)
(sprich
»11
+ 1)
(1.14)
über k«) heißen die Binumiafkueffizielllell.
Beispiele:
10)= 10.9.8. ( 3 I ·2·3
6)=6,5,4,3. (4 I ·2·3·4
Merkregel zur Berechnung von
G):
Das Produkt der »oberen« k Zahlell/l·(n-l) ... . ·(n-k+ I)
dividiere Inan durch das Produkt der »unteren« k Zahlen I ·2· ... · k. Dcr Vollständigkeit halber definiert man
(~) :=
I,
11
= 0, 1.2.... ,
1,1 RccllcZahlcn
27
wobei man sich am ersten Glied I . a" in (1.13) orientiert. Damit erhält die billomische Formel die knappe Form
Sie gilt rur alle 11 E No. Das Produkt 1 ·2 . 3 . . k im Nenner des Binomialkoeffizienten (I 14) wird abgekürLt beschrieben durch k!, sprich »k Fakultät«, also: k! := I ·2 ·3· .... k
(k E N).
Für k = 1 bedeutet dies I! = I, sowie (k + I)! = (k!)(k Vollständigkeit halber ergänzt man die Definition durch
+ I) fLir beliebige k
E N. Wiederum der
O!:= I.
Damit erhält man folgende Darstellung des Binomialkoeffiziemell:
(:) =
k!(I1'~k)!
furallek E {0,1,2 .... ,1I1.
( 1.16)
Man gewinnt dies fur k ::: 1 aus (1.14) durch Erweiterung des Bruches mit (n - k)!. Für k = 0 ergibt sich die Gleichung unmittelbar. Aus (1.16) leitet man leicht folgende Formeln her:
(1.17) (1.18) fLir alle 11 E Nu {O}. Der Leser überzeuge sich durch Nachrechnen VOll der Richtigkeit der Gleichungen. Bemerkung: Die erste GI. (1.17) spiegelt den symmetrischen Aufbau der binomischen Formel wieder: Der erste Koeffizient ist gleich dem letzten, der zweite gleich dem vorletzten usw. Die zweite GI. (1.18) dagegen zeigt. daß man die Binomialkoeffizienten geschickt in einem »Dreieck« anordnen kann:
2
3 5
3 6
4
10
4
10
5 ........
n=O n=1 n=2 n=3 n=4 n=5
28
I Grundlagen
Von der zweiten Zeile an gilt dabei: Jede Zahl ist die Summe der rechts und links über ihr stehenden Zahlen. Diese Anordnung der Binomialkoeffizienten nennt man das Pascalsclle 13 Dreieck. Beweis: der binomischen Formel (1.15) durch vollständige Induktion: (I) Für n
== 0 (a
ist (I. 15) sicherlich erfUl1t, denn es gi lt
+b)o ==
(~)aObO
==
1.
(11) Ist die binomische Formel ftir ein
14
11
In der zweiten Summe setzen wir k
E No richtig, so folgt für den Exponenten Il
+ I == k ' , also k == k' -
+ I:
I. Sie erhält damit die Form
11+1
" ( n )all-k'+lbk' k'-I L
k'=l
Wir lassen nun den SIrich einfach weg, ersetzcn also k' durch k. Einsetzen in die letzte Zeile der obigen Rechnung und Zusammenfassung ergibt dann
Mit (1.18) erkennt man hieraus, daß die binomische Formel rur 11 + 1 anstelle von ist. Nach dem Prinzip der vollständigen Induktion gilt sic damit fUr allc 1I E No.
11
gültig 0
Beispiel 1.7: Näherungsformeln fUr technische Berechnungen Jn der Technik tritt bei Binomen Ca + b)" häufig der Spezial fall auf, daß Ibl "sehr viel kleiner« als lai -# 0 ist. Wir drücken dies durch Ibl « lai 13 Blaise Pascal (1623 - 1662). französieher Mathemaliker. Physiker. Literal und Philosoph 14 Hier ,"em'enden wir die slillsch.....eigende Vereinbarung. daß im Falle (I = 0 oder b = 0 einfach ff> = 1 gesetzt .....ird. Normalem'eise iSI dies niehl erlaubt. Hier ist es aber ausdriicldieh geslaltet.
1,1 RccllcZahlcn
29
aus. Man klammert 0" aus und erhält «(I
+ b)"
= a"
( + -;;b)" I
Wir setzen s = b/a, wobei Isl Beispiel ist
«
I ist, und beschäftigen uns mit (I + s)". Im Falle" = 2 zum
(I + . 0 mit lall I < c flir alle ", wie Fig. 1.31 sofort klarnwcht. Da (CßIl) Nullfolge ist, so ist wegen la"ßnl .:s IcßlI1 auch (a,,· ßII) Nullfolge. Damit ist aber auch (a" . 0',,) Nullfolge, ebenso wie (0'". Cl'" . 0',,) usw., kurz auch ((/~) flir festes k E N. 0
Mit dem Hilfssatz gewinnen wir sofort weitere Nullfolgen aus
(,,',) .
(
I I ) -+11 1/2
Beispiel 1.33: Die geomelrische Folge I . q, q~.". ,q " . '
'
(c .~)
U), z.B.
mit beliebigem c E IR,
60
I Grundlagen
ist eine Nullfolge, wenn
Iql
< I gilt. Zum Beweis setzen wir
I
1+"::::-. Iql
Durch diese Gleichung ist 11 bestimmt. Es ist 11 > O. Unter Verwendung der Bemoullischcn Ungleichung (I + 11)" ~ I + nh ($. Abschn. 1.1.5, Übung 1.7) folgt daraus "
Iql ::::
I
I
I 1 gegen I strebt. Man errechnet nämlich
o
1 -lxi"::: 1 -lxi =0 folgt
.:::
.:;12.
Linke und rechte Seite streben gegen I, also gilt auch
00.
TcilfoJgcn: Aus der harmonischen Folge I I I 1.-,- .... - .... 2311
können wir z.B. die Tei/folge I
I
I
2·4'6'···2n bilden. Eine andere Tei/folge der harmonischen Folge ist 1.
I
I
I
4 . 9 '16 .... ,,2 ..
Definition 1.10: Als Tei/folge von (a")"E:N bezeichnet man jede Folge
mit/11 < /12< II} < ... < 11); < ...
(11); E N).
::I I + x"
-+ 1
66
I Grundlagen
Folgerung 1.14: Konvergiert (a,,) gegen a, so konvergiert auch jede Teilfolge von (a,,) gegen a.
Übung 1.27*: Konvergieren die folgenden unendlichen Folgen und wie klulet gegebenenfalls ihr Grenzwen?
(I"
1.4.5
1+5/14 _711 3 1011 4 '
= 4500+7/1 3
/I
= 1.2.3 ..
b,,=V'5+/l 2 .
Häufungspunkte, beschränkte Folgen
Dieser Abschnitt, lieber Leser, ist theoretischer Natur. Der hier bewiesene Satz von BolzanoWeierstraß wird zum Beispiel fur den Beweis des Cauchyschen Konvergenzkritcriums im nächsten Abschniu gebraucht. Dieses wiederum ist nützlich rur viele Konvergenznachweise, wie z.B. bei Iterationsfolgen. wie wir sie schon bei der WurLelberechnung kennenge1crnt haben. Allgemein treten Iterationsfolgen häufig beim Lösen von Gleichungen auf (s. Newton-Verfahren). Über diese Gedankenkette gehen die Überlegungen dieses Abschnitts wieder in die Praxis ein. Dereilige Leser mag die Beweise zunächst überschlagen und nur Sätze und Begriffe zur Kenmnis nehmen. Definition 1,11: Eine Folge (a"),,eN heißt beschränkt, wenn es ein beschränktes Intervall [A, BI gibt, in dem alle an liegen, d.h.
A::::a,,::::B
rurallellEN.
A heißt eine IIl1/ere Schranke der Folge. Das größtmögliche dieser A heißt die größte ulllere Schranke oder das Injimlllll der Folge (a,,). B heißt eine obere Schranke von (all)' Die kleinste obere Schranke wird auch das Silprell/ilm von (a,,) genannt. Infimum und Supremum von a" werden folgendermaßen symbolisiert:
inf a",
",N
supa" . "eN
Zum Beispiel: Die Folge -I. I, -I, ..., (-I)" ist beschränkt, die Folge~, j,~, ebenfalls. Supre1l1u1l1 der ersten Folge ist I, Inll1l1um -I. Bei der zweiten Folge ist
I inf -" - =-. "eH 1/ + I 2
" ., ,,+1'
"
sup--= I.
nENn
+I
Interessant ist besonders die Tatsache, daß das Supremum von (-'-'- ) gleich I ist, obwohl alle Elemente der Folge kleiner als I sind. 1,4,9, ... , 11 2 ist ein Beispiel fur eine Ilflbe~"C!1rällkte Folge.
11+1
JA Unendliehe Folgen reellerZ 0, z.B. E: = I, kann man daher ein 110 finden mit la" - a"ol < E: flir alle 1/ ::: /10. Die a"o+l. a"0+2, a"0+3, ... bilden also eine beschränkte Teilfolge. Nimmt man die endlich vielen al, ... ,a"ll hinzu, so wird die Beschränktheit nicht 0 angetastet, d.h. (a,,) ist eine beschränkte Folge. Die Umkehrung des Satzes ist falsch, wie das Beispiel - I, I, -I, ... , (-I)" zeigt. Immerhin gilt aber der folgende Satz 1.5: (Satz
1'0/1
BO/ZlIno- Weiersfraß/ 9) Jede beschränkte reelle Zahlenfolge besitzt eine kon-
vergente Teilfolge.
Beweis: Es gibt ein Intervall [A I, BII, in dem alle a" liegen.. Halbiert man dieses Intervall, d.h. zerlegt man es in zwei Teilintervalle [A 1, Ml, IM. BII mit M = (A + B)/2, so liegen in wenigstens einem der beiden Teilintervalle unendlich viele a". Wir nennen dieses Teilintervall [A2, B2]. Halbiert man dies wieder. so liegen in wcnigstens cinem der Teilintervalle. IA3. B31 genannt, wieder uncndlieh viele an. Fährt man in diescr Weise fort. so cntsteht einc Folgc ineinandcr geschachtelter Intervallc [AI. Bll:> [A2, B2]:> [A3, B3J:> ..., deren Längcn gegen Null streben. Nach dem Intcrvallschachtelungsprinzip existiert genau cine Zahl a E IR. die in all diesen Intervallen liegt. Wählt man nun nacheinander aus jedem TAk. Bk! ein a"t der Folge aus (mit 1/1 < 1/2< 1/3< ... < IIk M fLir alle 11 2: 110, so drückt man dies durch lim a" =
"_00
1/0
finden kann
00
aus. Man sagt dafLir: (al/) strebl gegenllnelldlich, oder auch (all) diwrgien gege/llinendlich. Entsprechend schreibt man lim a" =
"_00
-00.
wenn (-a'l) gegen unendlich strebt. Zum Beispiel ist lim 211 =
"_00
00.
Für -2, 22, _2 3, ..., (-2)", ... jedoch gilt inf (-2)" = -00
IIEN
und
supe -2)" = 00.
""oN
wiihrend diese Folge weder gegen 00 noch gegen -00 strebt.
1.4.6
Konvcrgcnzkritcricll
Wie kann man erkennen, ob eine vorgelegte Folge konvergiert, insbesondere dann, wenn man Konvergenz vermutet, aber den Grenzwert nicht kennt? Das MOllotoniekri/eriul/I und das Caucllysehe Kri/erium lassen sich zur Beantwonung heranziehen. Zunächst definieren wir monotone Folgen. Definition 1.13: Eine Zahlenfolge (a,,) heißt genau dann IIIO/l%n steigend, wenn d.h. a" ::: (/,,+1
für alle 11 E N,
(1.48)
alle 11 E N.
(1.49)
erfullt ist. Sie heißt/llon%nj(/Jlend, wenn al 2: (/22: a3 2: ....
d.h. a" 2: (/,,+1
flir
JA Unendliehe Folgen reellerZ statt:::: stehen darf. In jedem der genannten Fülle liegt eine monotone Folge vor. Satz 1.6: (Monotonie-Kriterium) Jede beschrünkte monotone Folge konvergiert.
Beweis: 1st die Folge (a,,) beschriinkt und monoton steigend, so konvergiert sie offenbar gegen s = supa,,; bei »l11onoton fallend« entsprechend gegen i = inf a". 0 lIEN
liEN
Das Monotoniekriterium ist in konkreten Anwendungen das wohl am meisten verwendete Hilfsmittel zur Konvergenzentscheidung. Dazu ein Beispiel: Beispiel 1.39: 1 1 1 1 I! 2! 3! n! die Folge auch beschränkt? Ja, denn es gilt Es sei alt =
I/!
1+ - + - + - + ... -. Die Folge (a,,)
1 1·2·3·
~.,.--,"--':-- 0 existiert ein 110 mit la" - {/ I < E:o rur alle 11 2:: 110. Für alle 11. 111 2:: 110 gilt dann
la" -a",l::: la" -al + la -a",1 < E:o+E:o = 2E:o. Schreiben wir E: = 2eo, so ist damit die Cauchy-Bedingung ermllt. (11) (a,,) erflille die Cauchy-Bcdingung. Es soll gezeigt werden. daß (all) konvergiert. Dazu zeigen wir im ersten Schritt, daß die Folge (a,,) beschränkt ist. Nach dem Satz von 801zanoWeicrstraß hat (a,,) dann einen Häufungspunkt a.lm letzten Schritt beweisen wir, daß (a,,) gegen diesen Häufungspunkt konvergiert. I. ScJ"itt: Zu einem fest gewählten eo > 0, etwa E:o = I, gibt es ein 110 mit la m - al/I< E:o rur alle 111 > 11 2:: 110. Es folgt speziell mr 11 = 110:
D.h. die Teilfolge (am) mit m > 1/0 ist beschränkt. Nimmt man die fehlenden al, ... , a"o hinzu, so bleibt die Beschränktheit erhalten. (all) ist also beschränkt. 2. Schritt: Es existiert damit ein Häufungspunkt a der Folge (al/), d.h. es gibt eine Teilfolge (a"k)kEN VOll (a'I)' die gegen a konvergiert. Zu beliebigen E:' > 0 gibt es also ein ko mit
lall. - al < e' rur alle k 2:: ko. Ferner existiert ein
la" - a",1
110 und
Mit e = 2e' folgt also la n - (/1 < e fUr alle 11 >
110,
JA Unendliche Folgen reellerZ I eine Funktion. die ein abgeschlossenes Intervall I in sich abbildeL Ferner gelte für alle Xl. X2 E I die Unglei-
chung (1.53)
mit einer von Xl, X2 unabhängigen Konstanten K < I. Damit folgt: / hat genau einen Fixpunkt XE J. Die Iterationsfolge (x n ), definiert durch Xn+l == /(X'I), konvergiert gegen diesen Fixpunkt, wobei von einem beliebigen Anfangspunkt Xo E I ausgegangen werden darf. Bevor wir den Satz beweiscn. soll er veranschaulicht werden. Gilt (1.53) mit eincr Konstanten K < L so besagt dies, daß die Funktionswerte f(xd und f(X2) stcts dichtcr zusammenliegen als die Punkte Xl, X2. Man nennt daher eine Funktion f, die (1.53) mit K < I erftillt, eine Kontraktion. Ihr Graph steigt verhältnismäßig sanft an oder ab, wie es Fig. 1.33 zeigt. Genauer: Jede Sekante von f bildet mit der x-Achse einen kleineren Winkel als 45°. (Eine Gerade heißt Sekante von f. wenn sie den Graphen von f mindestens zweimal schneidet.) y
Fig. 1.34: Zur Itemtion: f steigt
y.,
Fig. 1.35: Zur Iteration: f flillt
Damit läßt sich die Iteration X,,+l == f(x,,) zur Lösung von X = fex) so darstellen, wie es die Figuren 1.34 und 1.35 zcigen. In Fig. 1.34 ist eine stcigende Funktion f dargestellt. In Fig. 1.35 eine fallende. Der Leser mache sich klar, daß im Verlaufe der Trcppcnlinie bzw. Schneckenlinie in den Figuren die Iterationspunkte XO, Xl, X2 • ... geometrisch gewonnen werden.
22 Stefan Banach (1892-1945). polnischer Mmhemmi~er
JA Unendliehe Folgen reellerZli).
°
Die rechle Seite kann beliebig klein gemacht werden, wenn nur 11 genügend groß gewählt wird, für 11 _ 00. Zu beliebig kleinem 8 > 0 suchen wir uns nun ein 110 E N, so daß die da K" _ rechte Seite von (1.54) für 11 = 110 kleiner als 8 wird. Dann ist sie auch für alle Jl ::: 110 kleiner als 8, woraus
Ix" - xtIIl
11 ::: 1/0. Nach dem Cauchyschen Konvergenzkrilerium konvergien damit die Folge (x,,) gegen einen Grenzwen x. x iSI ein Fixpunkt von I, denn es gilt x = Iw wegen
Ix - f(X)1 = Ix - x" +x" - f(x)1 :::: Ix - x,,1 + Ix" ~ f(X)1 = Ix ~ x,,1 + II(x,,-I) - Iv)1 .:::: Ix-x,,1 + Klx,,_1 -xl_ 0 fLirn _
x
Überdies iSI der einzige Fixpunkt von [, denn wäre folgendes gelten:
00,
xein weiterer Fixpunkt von [. so würde
74
I Grundlagen
o
also Ix -:fl < Ix - :fl, was nicht sein kann. Zusatz zu Satz 1.8: Es gelten die FehlerabschiirzlIl1gen
K"
Ix" - xl ::::: 1 _ K lXI - xol u"d
_
(a priori)
]
Ix,,-xl::::: l_Klxlt+l-x,,1
(aposteriori)
( 1.55) ( 1.56)
fur alle n = 0.1.2.3. Beweis: (1.55) folgt sofort aus (1.54). wenn man darin m gegen 00 streben läßt. Aus (1.55) folgt aber rur 11=0
Da xo beliebig in I gewählt werden darf, bedeutet dies rur beliebiges x E I anstelle von xo ]
Ix - xl = - - I f ( x ) - xol·
]-K
Setzt man hier x =
XII'
so folgt (1.56).
o
Bemerkung:: Die meisten lleralionsverfahren zur Lösung von Gleichungen lassen sich auf den Banachschen Fixpunktsatz zurückfuhren. Insbesondere gelingt dies beim Newtonschen Verfahren, dem wohl wichtigsten Verfahren zur Lösung von Gleichungen.
Übung 1.28: Löse die Gleichung x3
I
x= -+4 , im Intervall 10. I] = I durch Iteration. Man mache sich klar. daß flir !(x) = x 3/4 + 1/5 die Voraussetzungcn von Satz 1.8 auf I erfüllt sind. Die Lösung x soll auf 4 Dc.drnalstcllen nach dem Komma berechnet werden (also mit dem Fehler von höchstens 5.10-5 ). Benutze dafür die Fehlerabschiitzung (1.56).
1.5
Unendliche Reihen reeller Zahlen
1.5.1
Konvergenz unendlicher Reihen
Definition 1.14: Wir denken uns eine reelle Zahlenfolge (/0.(/1.(/2.(/3.
1.5 Unendliche Reihen reeller Zahlen
75
gegeben, Addiert man die Elemente nacheinander auf.
So =
{jO, SI
= {/O + {jl . S2 = {j0 + {jl + (/2
usw.,
so entsteht eine neue Folge 50.51 . S2 .... , S,! .....
Diese Zahlenfolge (s,,) heißt die uI/endliche Reihe mit den Gliedem (10. (11, (12, Man beschreibt die unendliche Reihe symbolisch durch
[t(lk]
[aO+(lI+(l2+ ... J oder kürzer
k=O
Statt »unendliche Reihe« sagen wir auch kurz Reihe. Die Summen
" S,,=L(lk.
( 1.57)
k=O
heißen P(lrtiahuI/"I/en der Reihe. Das Wesen der unendlichen Reihe 1(10 +(11 + (12 + ... J besteht also im sukzessiven Addieren der Gerade dadurch entsteht die neue Folge auf die es ankommt. Diese Folge wird auf Konvergenz und Divergenz untersuchl. Wir vereinbaren daher in naheliegender Weise:
(lk.
(s,,),
[f>k]
Definition 1.15: Eine Reihe
heißt genau dann kOl/vergellt. wenn die Folge (5,,) ihrer Partial-
'..0
summen konvergiert. ISI s der Grenzwert dieser Folge, also.f =
lim " ...... 00
man daflir auch
S". so schreibt
s heißt Grenzwert oder SI/mille der Reihe. Eine Reihe. die nichl konvergent ist, heißt divergem. Wir erwähnen noch, daß Reihen nicht unbedingt mit dem Index Null beginnen müssen, In der Form [(I", + (1",+1 + + ... J. mit III beginnend, werden sie entsprechend behandelt. Wir machen uns noch einmal klar, daß Reihen nichts grundsätzlich Neues sind, sondern lediglich spezielle Folgen (s,,). Auf diese Folgen werden einfach alle Überlegungen des vorigen Abschnitts 1.4 angewendet, womit vieles, was über Reihen gesagt werden kann, schon erledigt ist. Die folgenden Ausflihrungen sollen hauptsächlich darüber hinausgehende Gesichtspunkte beleuchten, Z.B. wie man von Eigenschaften der Glieder auf die Konvergenz der Reihen schließen kann.
(lm+2
(lk
76
I Grundlagen
Doch zunächst das Paradebeispiel aller unendlichen Reihen, die geometrische Reihe: Beispiel 1.40: Die geometrische Reihe hat die Geslalt [I
+ q + q 2 + q 3 + ....I
ku'-c" ''''
.
[,~~oq'] L..J
23
mit einer beliebigen reellen Zahl q. Für die Partialsummen Ahschn. 1.1.7, (1.12»: SII
Sn
erhält man im Falle q
oft I (nach
I _q"+1 = I +q +q2+ q 3+ ... +q" = ~.-2__ I-q
( 1.58)
Nehmen wir Iql < I an, so strebl die rechte Seite gegen s = 1/(1 - q). Also folgt 00 1 Ll=l+q+q2+ q 3+ ... = I-q'
falls Iql < I.
( 1.59)
k=O
Die geometrische Reihe beherrscht beispielsweise die Zinseszinsrechnung, wie überhaupt weite Teile der Finanzmathematik. In der Analysis ist sie ein unentbehrliches Hilfsmittel bei der Konvergenzuntersuchung auch anderer Reihen.
T 1
v
-'L
Fig. 1.36: Zur geometrischen Reihe Das »Geometrische« an der geometrischen Reihe wollen wir am Beispiel der Fig. 1.36 verdeutlichen. Die Summe der Fläeheninhaltc der sehrafficrtcn Dreiecke ist
23 Hierbei \'ercinban mnn qO = I. nueh im Fnlle q = O. Im übrigen ist nber r:fJ. nach wie \'or. niehtllcfinien.
1.5 Unendliche Reihen reeller Zahlen
77
Nimmt man das untere Dreieck weg, so entsteht die gleiche Figur wie vorher in kleinerem Maßstab. Dies ist typisch fUr das Vorkommen der geometrischen Reihe in der Geometrie.
Beispicll.41: Die IwrmuniKhe Reihe lautet
1 1 1 1+-+-+-+.
234
kürLer
00
[
1] .
"" L"k
k=]
Diese Reihe ist überraschenderweise divergent, obwohl ihre Glieder gegen Null streben. Man sieht das so ein: Im Falle 1/ = 2'" (111 E N) gilt für die li-te Partialsumme:
SIl=
I+~+(i+~)+(~+.. ·+~)+(~+.. ·+ I~)+'
+
(2
m
:
I
+ + ... + 2~")
~ I +~+ (~+~) + (~+ ... + ~)+ (/6 + ... + ~)+. ~
4 Glieder
+
(2~"
+ ... +
~) =
2"'-1 Glieder 1 = 1+ m . - -+ 00 fUr 2
I+
8 Glieder
~ + ~ + ~ + ... + ~ m Glieder
111
-+
00.
Beachtet man, daß die Folge (s,,) streng monoton steigt, so folgt damit 11 lim00 Sll = 00. Wir be· schreiben dies symbolisch durch ( 1.60)
Bezeichnung: Streben die Partialsummen einer Reihe [ao + (11 + (/2 + ... j gegen Unendlich, so schreiben wir symbolisch
Entsprechend verHihrt man im Falle -00.
78
I Grundlagen
Beispiel 1.42: Die Reihe
konvergiert, denn schon im Beispiel 1.39, Absehn. 1.4.6, haben wir gezeigt. daß dic Folge der Partialsummen
'~II
" I Lk'! k=O
=
monoton steigt und beschränkt ist, also konvergiert. Der Grenzwert wird mit c bezeichnet:
e=
N,
Lk
!
(1.61)
=2,71828183.
k=O
Die Rechenregeln für konvergente Folgen lassen sich sofort auf Reihcn übertragen. Man hat sie nur auf die Partialsumrnen SIl anzuwenden. Es folgt daher ohne weiteres:
Satz 1.9: Konvergente Reihen dürfen gliedweise addiert, subtrahiert und mit einem konstanten Faktor multipliziert werden.
konvergcnt, so sind auch
[fak ±bkj. k=O
N
N
[fJ..akj, (A EIR) k=O
N
L(ak±bk)= Lak±Lbk, k=O
k=O N
( 1.62)
k=O
N
L(Aad = A L(/k. k=O
( 1.63)
k=O
Die Beispiele 1.40 und 1.42 legen folgenden Satz nahe:
Satz 1.10: Bei einer konvergenten Reihe
ak --;.
0
rur k --;.
00
[E j (/k
konvergieren die Glicder gegen Null:
1.5 Unendliche Reihen reeller Zahlen
79
Beweis: Nach Voraussetzung konvergiert die Folge der Partialsummen (a,,) der Reihe. Für jedes Glied a" gilt offenbar (/11 = S" ~ S,,_l. Aus dem Cauchy-Kriterium folgt, daß diese Differenz gegen Null strebt. 0 Bemerkung: Die Umkehrung des Satzes gilt nicht, wie das Beispiel der harmonischen Reihe zeigl. Der Satz stellt daher ein notwendiges und kein hinreichendes Kriterium fur die Konvergenz einer Reihe dar. Demzufolge dient er auch üblicherweise zum Nachweis der Divergenz einer Reihe. Beispiel 1.43: Wir betrachten die Reihe
[tak]
mit
ak = rh. Für die Glieder der Reihe gilt {/k --+
I rur
k",O
k
-+ 00, so dass die Reihe laut Satz 1.10 divergent ist.
Übung 1.29*: . daß die .ReIhe . [I BeweIse.
+ '3J + '5J + "7J + ... ]
gegen 00 divergien.
Übung 1.30: Ein Kapital von K € mit K = 150000 soll fUr eine Rellle verwendet werden. die jeweils um Jahresanfang auszuzahlen ist. Der Jahreszins des Geldinstitutes. bei dem das Kapital eingezahlt wird. ist p = 6% = 0.06. Das Kapital wird am 1.Januar eines Jahres don eingezahlt. Die Jahresrente beträgt R = 12000 €. Sie wird jeweils um I. Januar ausgezahlt. beginnend mit dem Einzahlungsjahr. Wieviele Jahre kann die Rente gezahlt werden? Hinweis: Zu Beginn des ,Hen Jahres ist das Guthaben auf den Betrag
gesunken. (Warum?) Für welches
1.5.2
t1
ist K" > 0 > K,,+t?
Allgemeine Konvergenzkriterien
Monotonie- und Cauchy-Kritcrium werden ohnc Schwierigkciten auf Reihen übertragen. Satz 1,11: (MonoTOniekrilerillmjiir Reihen) Eine Reihe mit nichtnegalivcll Gliedcrn ab konver-
giert genau dann, wenn die Folge ihrer Panialsummen beschränkt ist.
Zum Beweis ist hierbei lediglich zu bemerken, daß wegen (/k ~ 0 die Folge der Partialsummen = ao + {/t + ... + {/" monoton steigt. Das Monotonickritcrium flir Folgen ergibt dann den vorstehenden Satz.
.1""
80
I Grundlagen
Das Monotoniekriterium wird häufig auf Reihen angewandt, deren Konvergenz zwar vermutet wird, deren Grenzwert jedoch nicht erraten werden kann. Wir erläutern dies an folgendem Beispiel: Beispiel 1.44: Konvergiert die Reihe mita> I? 24 Dies ist der Fall! Wir sehen es mit dem Monotolliekriterium folgendennaßen ein: Alle Gliedersind positiv. Zu zeigen bleibl also, daß die Folge der Partialsummen .1"" beschränkt ist. Dies wird exemplarisch ftir IJ = 15 durchgeftihn. Es gilt:
1 S15= 1+(2" 0 gibt es einen [ndex 110. so daß rur alle 11I >
fl :::
110
(1.64)
<E
k=,,+1
gilt.
Beweis: Man hat lediglich zu beachten, daß
L'"
Gk =S", -SI1
k=It+1
ist, wobei SII' Sm Partialsummen sind. Das Cauchy-Kriteriulll fur Folgen liefert dann sofort obigen Satz. 0 Wie wir gesehen haben, divergiert die harmonische Rcihe aber mit der Reihe [
I - ~2 + ~3
[I + ! + ! + .. .J. Wie steht es
- ~4 + .... ],
(1.65)
Sie konvergiert in der Tat. Es handelt sich dabei um eine sogenannte alternierende Reihe. Bezeichnung: Eine Reihe heißt alternierend. wenn ihre Glieder abwechselnd> 0 und< 0 sind. Für diese Reihcn gilt
Satz 1.13: (Leibnir 5.Kriterium) Eine alternierende Reihe
konvergiert, wenn die Folge der Gk > 0 monoton fallend gegen Null strebt.
25 Goufricd Wilhehn Lcibniz (1646- 1716).lleutscher Philosoph. Mathematiker. Diplomat. Physiker. Historiker. Bi· bliothckar und Doktor lles ....·eltlichen und dcs Kirchenrechts
82
I Grundlagen
Beweis: Wir bilden die Partial summen zu geraden und zu ungeraden Indizes und klammem geschickt: s2n :::: 00 - (al - (/2) - (03 - (/4) - ... - (a211-1 - 02,,). S211-I:::: (00 -al)
+ (02 -(3)+ ... +(0211-2 -0211-j).
Alle Klammerausdrücke sind::: 0, da (at) monoton fallt. Also ist (.1"2,,) monoton fallend und (S211_j) monoton steigend. Wegen 51 ~ S2J1_1 ~ S2Jt-1 +02n:::: S211 ~50,
(11::: I),
ist (sz,t) durch .fl nach unten beschränkt und (.1'2,,-1) durch So nach oben. Nach dem Monotoniekriterium konvergieren daher beide Folgen und zwar gegen den gleichen Grenzwert. Letzteres folgt aus 52" - 5211_1 :::: 02" ......
0
für
o
11 ...... 00.
[I
1
Die alternierende Reihe ~ ~ + ~ ~ + ...] konvergiert damit. (Ihr Grenzwert ist übrigens In 2, was wir im Zusammenhang mit Taylorrcihen später zeigen werden.)
Übung 1.31 *: Beweise die Konvergenz der Reihe
1.5.3
L 00
[
k=O
2'] k!
.
Absolut konvergente Reihen
Definition 1.16: Eine Reihe
[~{/k] heißt absulut kO/ll'ergem,
ihrer Glieder konvergiert, d.h. wenn
[f:
k=O
10kl]
Gilt dies, so ist natürlich auch die Ausgangsreihe
wenn die Reihe der Absolutbeträge konvergent ist.
[f:
Ok] konvergent, denn es gilt
k=O
1011 +1 + ... +0",1
~
10,,+11 + ... + 10",1
fur beliebige Indizes 111, 11. Nach dem Cauchy-Kriterium (Satz 1.12) gibt es aber zu jedem e > 0 ein "0, so daß die rechte Seite der Ungleichung kleiner als E ist, sofern 11, 111 > 110 gilt. Damit gilt dies erst recht fur die linke Seite, womit das Cauchy-Kriterium fur die Ausgangsreihe erfullt ist. Bemerkung: Absolut konvergente Reihen stellen den Normalfalf konvergenter Reihen dar. Konvergente Reihen, die nicht absolut konvergieren, bilden eher die Ausnahme. Entscheidend fur
1.5 Unendliche Reihen reeller Zahlen
83
absolut konvergente Reihen ist, daß ihre Glieder beliebig umgeordnet werden dürfen, und daß man Produkte solcher Reihen bilden kann. Wir formulieren dies in den nächsten beiden Sätzen. Satz 1.14: Absolut konvergente Reihen dürfen beliebig »umgeordnet« werden. D.h. ist eine absolut konvergente Reihe mit dem Grenzwert ordnung daraus entstehende Reihe
[t a"I']
[f>t] bd)
.1',
so korlVergien jede durch Um-
ebenfalls gegen
.1'.26
t=O
Beweis: Es seien und
t,,::::
" La nt
t=]
die Partial summen der genannten Reihen. Für sie gilt nach der Dreiecksungleichung
1.1' -/111::,,: 15 -5,,1
+ 15,1 -/111.
Wegen 15 - .1',,1 -+ 0 (mr n -+ 00) bleibt nur 1.1'" - t,,1 -+ 0 (ftir" -+ 00) zu beweisen, denn dann gilt 15 ~ /" 1-+ 0, was gerade die Behauptung des Salzes ist. Zunächst bemerken wir, daß
L lat! 00
All :::::
t="
L latl 00
gegen Null strebt, denn da All :::: S ~
s"
-+ 0
[
]
L latl und 00
konvergiert, gilt mit $::::
t=O
t=o
L latl:
,,-,
$" ::::
t=O
fur" -+ 00.
Wir bilden nun
1.1'" - tlll :::: lamllt) +." I ::": la"'(1I)1 + lamllt)+11
+.
:::: AII/(n)'
Dabei ist (1",(,,) das erste Glied (mit kleinstem Index), das sich in .1'" - t ll nicht heraushebt. das also nur in s" vorkommt und nicht in t". Es gilt 111(11) -+ 00 fur 11 -+ 00, da mit steigendem 11 schließlich jedes Element at in 'n vorkommt. Damit gilt auch A m(ll) -+ 0 fLir 11 -+ 00, folglich ISI! - t,,1 -+ 0 ftir" -+ 00, was zu zeigen war. 0 26 [n der Folge (fIt) kommt jeder Index O. 1,2. 3.... usw. genau einmal vor.
84
I Grundlagen Konvergente Reihen, die nicht absolut konvergieren, heißen bedingl kOllvergent. Die Reihe
( 1.66) ist ein Beispiel dafLir. Man könnte sich fragen, ob willkürliches Umordnen hier auch erlaubt ist. Das ist nicht der Fllil. Es gilt sogar folgendes: Jede bellillgl kOllvergente Reihe kann man so I/Illordllen. daß sie gegen eine beliebig vorgegebene Zahl konl'ergierr. Die Reihe (1.66) kann man z.B. so umordnen, daß sie gegen 100 konvergiert. Man hat nur so viele positive Glieder zu addieren, bis man gerade 100 überschritten hat. Dann subtrahiert man so viele negative Glieder (in diesem Fall nur eins), bis 100 gerade unterschritten ist. Dann addiert man wieder positive Glieder, bis 100 überschritten ist, usw. So »pendelt man sich auf lOOein«. Diese Andeutung möge genügen. Für Beweise verweisen wir auf [26J, S. 199, Satz 32.4 und [56]. S. 141, Beispiel 4.11. [n Bezug auf Anwendungen sind diese Überlegungen von geringer Bedeutung. Absolut konvergente Reihen gestatten uns, PlVdllkle VOll Reihen zu bilden,
Satz 1.15: Sind
[E k]
und
a
[~b;] absolut konvergente Reihen, so folgt (1.67)
wobei die Indizes (k. i) in der rechten Summe alle Paare
(0.1 ) (1.1 )
(0.0) ( 1.0) (2.0)
(0.2) (1.2) (2.2)
(2, I)
( 1.68)
in irgendeiner Reihenfolge durchlaufen. Wählt man die Reihenfolge speziell auf die folgcndernmßen skizzierte Weise:
(0.0)
(0.1)
(0.2)
(1.0)/ (1.1)/ (1.2)/ (2,0) / (2.1) / (3,0) / ...
/
/
(0.3)
1.5 Unendliche Reihen reeller Zahlen
85
so folgt j
Cj = I>lj-kbk.
mit
( 1.69)
k",O
Beweis: Die Indizes (1.68) mögen in irgendeiner Weise durchlaufen werden. Auf diese Weise werden die lakbi I zu Gliedern einer Reihe. Sli sei die li-te Partialsumme dieser Reihe. Es sei m der höchste vorkommende Index i oder k der Glieder lakbi I, welche die Summe Sn bilden. Damit gilt offenbar
(S,,) ist also beschränkt. Nach dem Monoloniekriterium konvergiert (5,,). womit der Satz bewie-
0
~ni~.
Übung 1.32: Es sei (/k = ,l und bk = qk. wobei [pi< I und Iql < I vorausgesetzt ist. Es soll (1.69) berechnet werden. Zeige ci
1.5.4
Ci
nach
,/+1 _ qi+1
=
I'
q
KOllvergenzkriterien für absolut konvergente Reihen
Da. wie schon gesagt. absolut konvergente Reihen wesentlich häufiger in konkreten Anwendungen vorkommen als bedingt konvergente. sind die folgenden Konvergenzkriterien wichtig:
Satz 1.16: (Majonmtenkriferium) Ist
[t {/k]
absolut konvergent und
k=O
für alle k von einem ko an 27 , so ist auch
[t
bk] absolut konvergent.
k=O
[%; 27 D.h. fUr alle k
~
lakl]
kO'
heißt eine Majorallle von
[%; bk]
86
I Grundlagen
Beweis: Aus
o
folgt mit dem Monotoniekriterium die Behauptung. Beispiel 1.45: Da
[to
qk ] fUr
Iql
< I absolut konvergiert, gilt dies nach obigem Kriterium auch ftir die Reihe
[~q';kl Bemerkung: Das Majorantenkriterium impliziert auch eine Möglichkeit zum Divergenznachweis einer Reihe. die häufig unter der Bezeichnung MillOralltellkriferillm gefUhrt wird und wie folgt formuliert werden kann: Ist
[~ak] eine divergente Reihe und gelte
fur alle k von einem ko an, so ist auch
[t bk]
divergent.
k=O
[~Iad]
heißt eine Mil/orallte von
[~bk]
Der Grund fur diese Schlussfolgerung ist leicht einsichtig. Wäre
[t bk] [t lIk]
konvergent. so würde
k=O
uns das Majorantenkriterium direkt die absolute Konvergenz der Reihe Widerspruch zur vorausgesetzten Divergenz steht.
Beispiel 1.46: Sei a
.:0:;
I, so gilt für alle k E N die Ungleichung
k=O
liefert, die im
1.5 Unendliche Reihen reeller Zahlen
Die harmonische Reihe stellt folglich eine Minoranle von
[f bk]
87
dar und die Reihe ist diver-
k=1
gent mit
I>, ~ Li: ~oo. 00
00,
k=1
k=l
Satz 1.17: (Quotielllenkriterium) Die Reihe
[f
ak] ist absolut konvergent, wenn es eine Zahl
b=O
fJ < I gibt mit
(1.70) fUr alle Indizes k von einem Index ko an 28 , Gilt jedoch von einem Index ko an
a, I l--:::1.
(1.71)
ak+'
so ist die Reihe
[f
ak] divergent.
,~
Beweis: (I) Aus (1.70) folgt
I:I~:~ 1.1 ::::~ I... _1~_:__k1_11 ~ ~
(k - ko) Faktoren
Die linke Seile ist offenbar gleich laki/lakol, also folgt lakl/lakol ~ bk- ko , d.h.
lakl ~ C· bk
D,
[f
[E
mit
C = b-koillkol.
Cb k] konvergiert (gegen C . f b k =
k=O
lIk ]
k=O absolut konvergent.
(11) Aus (1.71) folgt
28 D.h. fUr alle k
~
kO'
c
I _ b' s. geometrische Reihe), so ist auch
88
I Grundlagen
o
Die ak streben nicht gegen Null, folglich divergiert die Reihe. Beispiel 1.47: Die Reihe
[q+2q2+3q 3+ 4q4+ ... +kl+ ... J
mitlql< I
konvergiert absolut. Denn Hir den Quotienten benachbarter Glieder gilt
(k+l)qk+11
'-----,--i,kq
l
Iql k
k+l k
Iql
(I. 72)
~--Iql=k/l+-sk/l+
ko
fur alle k :::: ko. Man kann dabei ko so groß wählen, daß die rechte Seite in (1.72) kleiner als I ist. Nach dem Quotientenkriterium konvergiert damit die Reihe absolut. Satz 1.18:
(WllrzeikrileriulII) Die Reihe
[t
ak] konvergiert absolut, wenn es eine Zahl b < I
k=O
gibt mit
(1.73)
flir alle k ab einem Index ko. Gilt (1.74)
.:flak! > I flir unendlich viele Indizes k. so divergiert die Reihe. Beweis:
(I) Die Ungleichung (1.73) liefert lak! S b k • Die geometrische Reihe Majorante von
[t
[t
b k ] ist also eine
k=O
ak]' also liegt absolute Konvergenz vor.
k=O
(11) (1.74) ergibt lak! :: I flir unendlich viele k, also Divergenz.
0
Bemerkung: Das Wurzel kriterium wird uns noch bei Potenzreihen (Abschn. 5.2.1) beschäftigen. Quotienten- und Wurzel kriterium sind sogenanntc »hinreichendc« Kritcrien. D.h. sie lassen sich nicht umkehren: Aus absolllter Konvergenz folgt nicht allgemein die Gültigkeit der Quotientenbedingung (1.70) oder der Wurzelbedingung (1.73). Aus beiden Kriterien ziehen wir nachstehende Folgerung, die in der Praxis als Kriterium ftir absolute Konvergenz oder Divergenz meistens ausreicht.
1.6 Stetige Funktionen
Folgerung 1.15: Für die Reihe
[f t=o
89
atJ existiere
. I"HII
hm - - = c t-oo at
i= 0 flir alle k)
(at
lim ~Iad =c.
t_oo
Dann folgt: Die Reihe konvcrgicfI absolut, falls c < I ist, sie divergicfI, wenn c > I ist.
Beweis: Im Falle c < I sind fur beliebig gewähltes b mit c < b < I die Konvergenzaussagen des Quotientenkriteriums bzw. des Wurl.elkriteriums erflillt. Im Falle c > I gelten die entsprechenden Divcrgenzvoraussctzungen. 0 Beispiel 1.48: Ist
[~k2(/J at+1
- {/t
I
(Iql
O. Dann ist zu vermuten, daß zwischen a und b eine Zahl x mit Im 0 liegt, kun:, eine Lösung von I(x) O. In unserem Beispiel 1,49 gilt I (a) < 0 rur a = 0 und I {b} > 0 rur b = I, wie man durch Einsetzen sieht. Ist die Vermutung richtig, daß sich zwischen a und b eine Lösung befindet? Die Anschauung zeigt folgendes: Bildet der Graph von f eine »ununterbrochene« Linie zwischen den Punkten (a. f(a» und (b, I(b», so wird diese Linie die x-Achse wenigstens in einem Punkt (x. O) schneiden (s. Fig. 1.37a). Er liefert feX) = 0, also eine Lösung unserer Gleichung. »Springt« die Funktion dagegen, wie in Fig. 1.37b skizziert, so braucht keine Lösung VO'.lUliegen. Die Eigenschaft einer Funktion f, daß ihr Graph als »ununterbrochene« Linie erscheint, wird SIeligkeil genannt. Diese anschauliche Formulierung ist noch etwas ungenau und rur präzise mathematische Arbeit nicht geeignet. Wir werden daher im nächsten Abschnitt die Stetigkeit einer Funktion exakt beschreiben.
=
y
=
y
f
•
,
•
b
I I
~
I
I I
,
b
~
.)
b) Fig. 1.37: Zur Stetigkeit
Vorerst kommen wir noch einmal auf die Gleichung f(x) = 0 zurück. wie ist sie zu »lösen«? Ist f(a) < 0 und f(b) > 0. so kann man in der Mitte zwischen a und b. bei c = ~,den Funktionswert fee) berechnen. ISI fee) > 0, so wird man eine Lösung im Teilintervall [a, cl vermuten, ist f(c) < O. vermutet man eine Lösung in [e. bl. Das so bestimmte Teilintervall
1.6 Stetige Funktionen
91
halbiert man wieder, usw. Dieses sogenannte Inrerl'af/lwlbierungSl'el!ahren fUhrt bei stetigen Funktionen zu beliebig genauer Berechnung einer Lösung von f(x) = 0 (s. Absehn. 1.6.3). Im Beispiel [.49 erhalten wir mit c 0.5 zunächst f(c) -0,147. Man vermutet daher eine Lösung im Intervall [c, b[, halbiert dies wieder usw. Der Leser möge den Vorgang selber mit dem Taschenrechner durchfUhren. Im Rahmen der Rundungsgenauigkeit gewinnt er als Lösung von (1.75) dann :x == 0,566. Aus Abschnin 3.3.5 geht hervor. daß:X die einzige Lösung in [0. I] ist.
=
1.6.2
=
Stetigkeit
Wir greifen noch einmal die Vorstellung auf, daß eine »stetige« Funktion auf einem Intervall durch einen »zusammenhängenden« Graphen dargestellt werden soll, also insbesondere nieht »springen« soll. Wir werden daher erwarten, daß l(xlJ) --+ I(xo) gilt, wenn XIJ --+ xo konvergiert. Genau dies wird als Stetigkeit bezeichnet: Definition 1.17: Eine rcellwertige Funktion 1 heißt in einem Punkt xo ihres Definitionsbereiehes 0 stetig, wenn fUr alle Folgen (x,,) aus 0 mit x" -+ xo slets (1.76) gilt. Ansonsten bezeichnen wir 1 als unstetig in Xo E D. Man kann diesen Sachverhalt auch in folgender übersichtlicher Form schreiben: (1. 77)
[im fex,,) = f( lim x,,).
" ..... 00
"_00
Merkregel: Stetigkeit von
1 in
xo =
dürfen.
[im x" bedeutet, daß
n_oo
1 und
lim vertauscht werden
" ..... 00
Definition 1.18: Eine Funktion f : 0 --+ IR heißt stetig auf einer Teilmenge A ihres Dejilliriollsbe· reiches 0, wenn sie in jedem Punkt von A stetig ist. Ist f stetig in jedem Punkt des Definitionsbereiches, so heißt f eine stetige FunktiOll. Beispiel 1.50: Jede Funktion der Form
I(x) =
(/0
+alx + a2x2
+ ... + (/"'X'" .
(1.78)
definiert auf IR, ist stetig. Eine Funktion dieser Art heißt Polynom. Die Stetigkeit von 1 sicht man so ein: Mit [im x" = x0 29 folgt auch lim x,~ = lim x,~ = xij, ... llSW., denn nach Satz 1.1 konvergiert das Produkt konvergenter Folgen gegen das Produkt der
xJ,
29 Wir schreiben I'creinfaeh! tim stall lim. wenn kcine Irrtümer entstehen können.
"_00
92
I Grundlagen
zugehörigen Grenzwerte. Entsprechendes gilt für Summen konvergenter Folgen. Also gilt
00
00
00
/(XO) = '"" lim (ak.\·~) = L.J akX~ = '"" L.J ak "lim00 x,~ = '"" L.J 11--->00 k=O k=O k=O
0
lim00
(00 ) '"" {/p:,~ = L.J
k=O
/1
lim00 /(x,,).
Dies bedeutet aber gerade, daß / in Xo stetig ist. Da Xo beliebig aus IR gewählt war, ist / eine stetige Funktion. Die meisten in Physik und Technik vorkommenden Funktionen sind stetig. wollen wir weitere allgemeine Eigenschaften stetiger Funktionen behandeln. die man kennen sollte, wenn man klug mitreden möchte. Der folgende Satz gibt die sogenannte e-8-CllaraklerisienUlg der Stetigkeit an. Zun~ichst
Satz 1.19: Eine reellweltige Funktion / ist genau dann stetig in einem Punkt Xo ihres Deflnitionsbereiches D, wenn folgendes gilt: Zu jedem e > 0 gibt es ein 8 > 0, so daß für alle x
E
D mit Ix - xol < 8 stets I/(x) - /(xo)1
0 an (anderenfalls wird J durch - J ersetzt). Man leilt nun das Intervall [u, b] in der Mille, also bei m = (a + b)/2. Ist zufiiIlig J(m) = 0, so bricht man das Verfahren ab, da eine NullsteIle gefunden ist. Im Falle J(m) > 0 wähll man das linke Teilintervall [a.lII] zur Weiterarbeit aus, im Falle J(m) < 0 dagegen das rechte Teilintervall [111. bIo Das ausgewählte Teilintervall nennen wir [al. bl]. Für seine Endpunk!e gi 11
J(ad < 0 < J(bj). [al. bl J wird nun abermals halbien. uSW. D.h. man bildet nacheinander für n = 1.2.3.... die
Zahlen (I)
(11)
m" =
(/" +2 b"
falls J(III,,)
. = Mitte von [all, bill,
-0 0: 1 :
< 0,
so Abbruch, da II/ n Nullstelle, so a'I+1 := a", b'I+1 := 111". so a,,+1 := III n _ bll + 1 := b".
( 1.80)
1.6 Stetige Funktionen
95
Auf diese Weise entsteht (falls kein Abbruch) eine Intervallschachtelung [a. b] :l [(/1. b)J :l [a2. b2J :l ... , bei der die IntervalHillgen b" - a ll ::::; (b - 0)/2" gegen Null streben. Es gilt zweifellos a" __ x, und b ll __ X. Wegen f(a,,) < 0 < f(b,,) und der Stetigkeit von f folgt also f(i)::::; lim f(a,,) SOS lim f(b,,)::::; f(i) "---'00
11---'00
=>
f(X)::::; O.
o
Bemerkung: Das Intervallhalbierungsverfahren läßt sich gut auf Taschenrechnern oder programmierbaren Computern verwenden. Die Konvergenz der Folgen (a,,) oder (b,,) gegen die Nullstelle x ist zwar recht langsam, doch weist das Verfahren gerade bei der Programmierung einige Vorteile auf: Es ist einfach (d.h. leicht programmierbar), es ist stabil (d.h. es funktioniert bei jeder stetigen Funktion und ist unanftillig gegen Rundungsfehler), und man kann den Rechenaufwand vorher abschätzen. denn es gilt
b-a
la" - xl S ~.
,,::::; 1.2.3.
(1.81)
Ist z.B. f eine stetige Funktion auf 10. I] mit f(O) < 0, f(l) > O. und will man eine Nullstelle
x E (0.1) auf 6 Dezimalstellen genau bestimmen, so darf der Fehler la" - xl nicht größer als 5 .10- 7 sein, d.h. es muß 11 so geWählt werden, daß (b -a)/2" S 5.10- 7 ist. Das kleinsten dieser Art ist 11 ::::; 21. Zusammen mit f(a) und f(b) sind damit 23 Funktionswerte zu berechnen. Wir werden später erheblich schnellere Verfahren kennenlernen, die allerdings meist nicht so stabil sind. Zwischen diesen beiden Eigenschaften, größere Schnelligkeit oder größere Stabilität der Rechnung. hat man sich in der Praxis normalerweise zu entscheiden.
Beispiel 1.51: Wir betrachten ein beliebiges Polynom ungeraden Grades n.
und behaupten, daß es milldestells eine reelle NlIlIstelle halo Der Beweis ist mit dem Nullstellensatz denkbar einfach. Man hat sich nur klar zu machen, daß ftir große lxi das »höchste Glied« a"x" »überwiegt«, d.h. daß alle anderen Glieder atxt absolut erheblich kleiner sind als la"x"l. Für genügend großes lxi ist daher das Vorzeichen von p(x) gleich dem Von:eichcn von a"x". Da 11 ungerade iSl, hat aber a,,(-x)" ein anderes Vorzeichen als a"x". Zwischen -x und x muß sich daher eine Nullstelle von p befinden! Der Leser überprüfe dies durch Rechnung am Beispiel
und berechne mit dem Intervallhalbierungsverfahren eine Nullstelle auf 3 Dezimalstellen genau. Der NullstelIensatz läßt sich mühelos zum Zwischenwertsatz ausdehnen.
96
I Grundlagen
Satz 1.21:
(ZwiscJlemverr.wtz) Ist I : [u, bJ --7 IR eine stetigen Funktion und y eine beliebige Zahl zwischen J(u) und J(b), so gibt es mindestens ein zwischen a und b mit
x
I(X)=Y·
Man sagt auch kürzer: Eine stetige FUllktion
I : [a. bl--7 IR nimmljedell
Wert
y zwischen J(a)
lind I(b) all.
Beweis: Zum Beweis hal man lediglich auf die Funktion Sex) := J(x) - y den Nullstellensatz anzuwenden: Da y zwischen J(u) und I(b) liegt, müssen g(a) und g(b) vcrschiedene Vorzeichen haben. Nach dem Nullstellensatz existiert dahcrein x mit g(x) = 0, also I(x) = y. 0 Beispiel 1.52: Mit dem Zwischenwertsatz beweisen wir, daß zu jeder positiven Zahl a und jedem Il E N genau eine positive li-te Wurzel
existiert (Nachtrag zu Abschn. 1.1.6), Um dies einzusehcn, haben wir
ZU
zeigen, daß die Glei-
chung X"
=a
eine Lösung x ::: 0 besitzt. Es gilt für die stetige Funktion I(x) = x" (x 2: 0) aber J(O) < + I. Nach dem Zwischenwertsatz existiert damit ein Xo E (O.XI) mit I(xo) = a, d.h. X = a. Da J auf [0, 00) streng monoton ist, ist Xo eindeutig bestimmt. Man schreibt dafUr a < I(xj), mit XI = a
ö
.
.;c
·\0= va.
Übung 1.35: Wieviele Lösungen hat die Gleichung
37228 4 x - -.\' + -.r - - = 0 5 45 45
in [0.11?
Berechne die Lösung(en) mit dem lntervallhalbienmgsverfahren auf drei Dezimalstellen genau. Gib vor Beginn der Rechnung an. wieviele Halbierungsschriuc nötig sind!
1.6 Stetige Funktionen
1.6.4
97
Regeln für stetige Funktionen
Niemand zweifelt daran, daß Summe, Produkl und Qllo/ielll stetiger Funktionen wieder stetig sind. Doch es will bewiesen werden!
Satz 1.22: Sind / und g stetig in Xo, so sind auch
J+8.
J-8.
/. g
und
J g
(falls g(xo) :f:. 0)
stetig in xo.
Beweis: Die Stetigkeit von / +g, / -g und /.g ergibt sich unmittelbar aus Satz 1.1 unter Zugrundelegung der Stetigkeilsdefinition 1.17. Zum Nachweis dcr Stetigkeit von / /g in Xo benutzen wir den nachfolgenden Hilfssatz, der besagt, daß g(x) :f:. 0 ist rur alle x des Definitionsbereiches von g, die in einer gewissen Umgebung U von xo liegen. Für jede Folge (x n ) aus U mit X n --?' xo folgt daher /(xn)/g(x,,) --?' /(xo)/g(xo) rur 11 --?' 00 (s. Satz 1.1). Also ist!lg in xo stetig. 0
Hilfssatz 1.2: Ist / : 1
--?'
IR stetig in xo E I. wobei /(xo) :f:. 0 ist, so gibt es eine Umgebung U von
xo mit /(x):f:.0
flirallexEUn/.
Beweis: Wir wählen c = I/(xo)l. Dazu existiert ein IJ(xo) - J(x)1 < e ~ IJ(xo)1
=> 1/(xo)I-I/(x)1 < c = 1/(xo)1 Für U = (xo - 0, xo
{j
> 0, so daß rur alle x E I mit Ix - xol < 0 gilt:
=> 0 < 1/(x)l.
+ 0) ist die Behauptung erfüllt.
o
Beispiel 1.53: Die Funktionen der Form (1.82)
sind überall stetig. wo der Nenner nicht Null ist. da Zähler und Nenner stetige Funktionen darstellen (s. Satz 1.22, Fall !lg). Die Funktionen der Gestalt (1.82) nennt man rationale Funk/iollell.
98
I Grundlagen
Beispiele: 8 - 6x - 5x 2 2+x
3-x+2x 3
1'1
(x) = 2
-x
+
6 ' . X·
Der Leser rechne Tabellen von Funktionswerten dieser Funktionen aus und skizziere die zugehörigen Graphen. Bei 1') wird er eine kleine Überraschung erleben. Wie ist sie zu deuten? Den folgenden Satz mache sich der Leser im Koordinatensystem anschaulich klar, bevor er den Beweis liest. Satz 1.23: (Stetigkeit \'01/ Umkehr/tlllkliollen) Es sei Intervall I. Damit folgt
f
eine streng monotone Funktion auf einem
(I) Die Umkehrfunktion f- I ist stetig auf f(l).
(2) Ist f überdies stetig auf I j so ist J = f(l) ein Intervall.
Beweis: Ohne Beschränkung der Allgemeinheit nehmen wir f als streng monoton steigend an. (Andernfalls ersetzt man f durch - f.) Ferner dürfen wir I als offenes Intervall annehmen, denn wäre a ein Endpunkt von I, etwa ein linker. so könnte man f auf (-00. a] streng monoton steigend erweitern, z.B. durch eine Gerade, die in a den Wert f(a) annimmt. Zu (1): Es sei nun )"0 ein beliebiger Punkt aus f(l), mit)'o = f(xo). Es sei 8 eine beliebige positive Zahl mit der Eigenschaft, daß [xo -8. xo+eJ in I liegt (zum Sietigkeitsnachweis von f genügt es, sich auf so kleine 8> 0 zu beschränken). Man bildet nun das Intervall (f(xo) - e. f(xo) + e) und erkennt wegen der Monotonie von f, daß alle Y = f(x) aus diesem Intervall ihre Urbilder x in (xo - e, Xo + e) haben. Ist 5 der kleinere der Abstände If(xo - e) - f(xo)1 oder If(xo + e) - f(xo)l, so folgt damit rur alle y = f(x):
I>, - .ral
< 5::::}
Ix -xol
< 8.
Das bedeutet aber gerade die Stetigkeit von f- 1 in Yo. Da)'o E f(l) beliebig war, ist f- 1 somit stetig. Zu (2): Eine Zahlenmenge ist offenbar genau dann ein Intervall. wenn mit je zwei Punkten der Menge auch jeder zwischen ihnen liegende Punkt zur Menge gehört. Sind nun YI = f(xl) und )'2 = f(xü zwei beliebige Punkte J = f(l), so besagt der Zwischenwertsatz. daß jeder Punkt zwischen),1 und),2 zu f(l) gehört. Also ist f(l) ein Intervall. 0 Beispiel 1.54: (Wul'zelfimkriollen) Die durch g(x)
=::IX
(11 E N)
1.6 Stetige Funktionen
99
auf [0. 00) definierte Funklion ist stetig, denn sie ist die Umkehrfunklioll der stetigen Potenifullklioll [(X)=x".
x~o.
Satz 1.24: (Komposilion stetiger FIIJ1kriollen) Es sei [ : A --7 8 stetig in Xo E A und g : 8 stetig in)"o = [(xo). Dann ist auch die Komposition
--7
C
gof
stetig in xo. Beweis: Ausx" --7 Xo (x" (g
d.h. g
0
0 [
E A)
folgt f(x ll )
f)(x,,) = g(f(x,,»
--7
--7
[(xu). also g(f(xo» = (g
0
f)(xo).
o
ist stelig in xo.
Beispiel 1.55: Wir fragen uns. ob hex) =
&+l
stetig auf IR ist. Mit f(x) = x 2 "(x)
~
g(f(x))
~
(g
0
+ I, g(y)
f)(x).
Da [ stetig auf IR ist und g stetig auf 1.6.5
= .jY. kann man schreiben:
ro. 00). so ist h stetig auf IR.
Maximum und Minimum stetiger Funktionen
Häufig ist nach dem größten oder kleinsten Wert einer Funktion gefragt. Es interessiert etwa der höchste Punkt einer Flugbahn oder der niedrigste Punkt eines durchhängenden Hochspannungsdrahtes. Der folgende grundlegende Satz gibt Auskunft über die Existenz solcher größten oder kleinsten Werte. also der Maxima und Minima einer Funktion. Doch zunächst einige Bezeichnungen. Intervalle der Form [a. b] werden kompakte Ill/ermlle genannt. Kompakle Inlervalle sind also nichts anderes als beschriinkte abgeschlossene Intervalle. Nicht kompakt sind z.B. die Intervalle (a. b). (a. bJ, La. 00), IR. Wir nennen eine reelle Funktion [ : A --7 IR /lach oben beschriillkl. wenn es eine Zahl C gibt mit [(x) ~ C
fur alle XE A.
100
I Grundlagen
C heißt eine obere Schrallke von /. Die kleinste obere Schranke von / heißt das Supremwlll'oll / und wird so beschrieben:
sup/(x). "A
Entsprechend wird nach /Illrell beschränkt und untere Schranke definiert untere Schranke von / heißt InfimulII VOll / und wird durch
(~
statt .:'S:). Die größte
inf /(x)
"A
symbolisien. / : A -,\0 IR heißt beschränkt, wenn / nach oben lind nach unten beschränkt isl. Gibt es ein Xo E A, so daß !(xo) gleich dem Supremum von! ist, d.h. daß /(x).:'S: /(xo)
ftirallex
E
A
gilt, so heißt /(xo) das Maxillllll11 von /' in Formeln ausgedrückt max [(x) = !(xo). XEA
Xo wird dabei eine Moximoüte!le von! genannt. Entsprechend werden Minimum von [.
min /(x),
.rEA
und Minima/stelle definien. Beispiel 1.56: Die Funktion /(x) = x 2
mit Definitionsbereich [~I. 11 hat offenbar eine Minimalstellc bei 0 und zwei Maximalstellcn bei ~ I und I. Es gilt also min /(x)=/(O)=O. max /(x)=/(I)=[(-I)=I . ..-el-I.II xel-I.IJ Beispiel 1.57: Schränkt man die obige Funktion [(x) = x 2 ein auf den Definitionsbereich (-I. J), so bleibt das Minimum erhalten, doch ein Maximum besitzt sie nicht mehr! Es ist zwar fex) < I fUr alle x E (-I. I), aber niemals = I. /(x) kommt allerdings der I beliebig nahe, wenn x < I nahe genug an I liegt. Somit gilt sup fex) = I. xe(-I.I) wobei stan sup nicht max gesetzt werden darf!
1.6 Stetige Funktionen
101
Beispiel 1.58: Die Funktion I(x) = I/x mit Definitionsbereich (0. 1J ist offenbar unbeschränkt, genauer unbeschränkt nach obe/l. Nach untcn ist sie natürlich beschränkt, denn es ist mill I(x) = 1. ~€(O.IJ
Ist cine Funktion I : A -+ IR nach obe/l bzw. /l{lch ullfen unbeschränkt. so beschreiben wir dies durch sup I(x) =
XEA
00
bzw.
inf I(x) =
(1.83)
-00.
x€A
In den letzten beiden Beispielen 1.57 und 1.58 existieren keine Maxima. Der Dcfinitionsbereich ist hier beide Male nicht kompakt. Andererseits halten wir in Beispiel 1.56 einen kompakten Definitionsbereich. und prompt existieren auch das Maximum wie auch das Minimum. Das läßt folgenden Satz vermuten:
Satz 1.25:
(Salz vom Maximum) Jede stetige Funktion I auf einem kompakten Intervall [a, b] ist beschränkt und besitzt sowohl Maximum wie Minimum. D.h. es gibt Elemente xo und Xl in [a. bl mit
I(xo) .::: !(x) .::: !(xj)
(1.84)
fur alle XE [a, bl.
Beweis: (I) Wir nehmen an: ! ist nach oben nicht beschränkt. Dann kann man zu jedem 11 E N ein x" E [a, bl finden mit !(x,,) > n. So entsteht eine Folge (xn ) aus ta, bj. Da die Folge (x,,) beschränkt ist, besitzt sie eine konvergente Teilfolge (xnkhEN (nach dem Satz von Bolzano-Weierstraß). Ihr
Grenzwert sei X. Da ! stetig ist, gilt damit
Andererseits ist wegen J(X"I;) > IIk:
Beides kann nicht sein. Also war unsere Annahme falsch, und I ist nach oben beschränkt. Die Beschränktheit nach unten ergibt sich analog. (11) Wir zeigen nun, daß! ein Maximum besitz!. Da I beschränkt ist. existiert jedenfalls das Supremum sup !(x) =: s. xEI".hj
Zu jedem" E N gibt es damit einen Wert
I
(x) mit s ~
*
< J (x) .::: s. StaU x schreiben wir hier
102
X n.
I Grundlagen
So entsteht eine Folge (x n ) in [a. b J mit 1 s - - < f(x n ) :::: s.
lim fex,,) :::::
also
"
n...... CO
S.
(XII) besitzt eine konvergente Teilfolge (XII.) (nach Bolzano-WeierstraB). Ihr Grenzwert sei
f
( 1.85)
x. Da
stetig ist, gilt
Nach (1.85) ist dieser Grenzwert aber gleich s, also f(i)=s,
d.h. x ist eine Maximalstelle und s das Maximum von f. Die Existenz des Minimums von f wird analog gezeigt.
o
Bemerkung: Der bewiesene Satz ist Grundlage für Exlremalprobleme, also Probleme. bei denen nach Maximum oder Minimum gesucht wird. Er ist überdies wichtiges Hilfsmittel beim Beweis des Mittelwertsatzes der Differentialrechnung. Sein Wert liegt mehr im Theoretischen. Übung 1.36: Gib für die folgenden Funktionen an. ob sie nach oben oder unten beschränkt sind. und berechne gegebenenfalls ihre Suprcma. Intima. Maximal- und Minimalslellcn!
1.6.6
a)
/(.1')=.1'2_ 10.1'+22:
f : IR. --l> IR.:
b)
g(.r)=2x-5:
g ; 10.10)
c)
hex) =
.1'4 -
d)
k(.r) =
3":
2.1"2
+ 3:
1
--l>
IR:
h : 10.21_ IR:
k; (0.00) _ IR.
x
GleichmäUige Steiigkeit
Dieser Abschnitt kann beim ersten Lesen überschlagen werden. Er stellt ein Hilfsmittel bereit. welches wir später in Beweisen benötigen. z.B. beim Beweis der Tatsache, daß stetige Funktionen integrierbar sind. Das Hilfsmittel, wovon hier die Rede ist, ist der Begriff der gleichmiißigen Stetigkeit. Erinnern wir uns noch einmal daran, was es heißt, daß eine Funktion f auf einer Menge A C IR stetig ist. Das bedeutet nach Satz 1.19: Zu jedem Xo E A und zu jedem e > 0 existiert ein 0 mit der Eigenschaft
Ix - xol
0 so gewählt werden kann. daß es nur 1'011 E > 0 abhängt und /licht 1'011 xo. Wir schreiben in diesen Fällen 8(e) statt 8. Die einfachsten Funktionen, bei denen dies der Fall ist, sind die Geraden. Für die Gerade [(x) = 2x (x E IR) überlegt man sich zum Beispiel: Zu beliebigem s > 0 wähle man 8(E) = S /2. Dann gilt ftir alle Xt, X2 E IR:
Anhand des Graphen von [ wird dies sofort klar, s. Fig. 1.40. Die beschriebene Eigenschaft, also die Ullabhällgigkeit ,Ie,. Zah/8(s) mn xo, heißt gleichmäßige Stetigkeit der Funktion [. ZusammengefaßI: Definition 1.19: Eine reellwenige Funktion [ heißt gleichmäßig stetig auf A (A C DU) folgendes gilt:
c
IR), wenn
Zu jedem s > 0 gibt es ein 0 > O. so daß ftirallexl,x2 E A mit lXI -x21
0 gibt in der in (1.87) beschriebenen Art Das bedeutet aber: Es gibt ein BO > O. so daßfiir jedes 0> 0 zwei PunktexI>x2 E
la,bl
mit IX1 -x21 < 0
existieren. für die
( 1.88)
ist.
=
=
~ fUr n 1.2.3.4, ... und nennen die zugehörigen Xl. X2-Werte kurz Wir wählen dabei 8 XI.", Xv,. Die Folge (XI.,,) ist beschriinkl, besitzt also eine konvergente Teilfolge (XI./I.hEN' Ihr Grenzwert sei X. Wegen IX1./I' - xv,.1 < ll"t konvergiert auch (XVI.) gegen X. Wegen der Stetigkeit von / gilt
Das steht aber im Widerspruch zu I/(xI.Ilk) - /(x2.II.)1 la.b].
~ 1;0.
Also ist / glcichmiißig stetig auf
0
8emerkung: Im Beweis wurde gar nicht benutzt, daß der Definitionsbereich von / ein IntenYl1J ist Es wurde lediglich verwendet, daß er beschränkt ist und alle seine Hällfilllgspllllkte besitzt. Eine Zahlenmenge mit dieser Eigenschaft wird kompakt genannt Jede Vereinigung endlich vieler kompakter Intervalle ist z.B. kompakt, jede endliche Zahlenmenge auch, wie auch die Menge
10.1.!. i. !.... }. Der Satz 1.261iißt sich damit allgemeiner so formulieren: All/kUli/pakten
Zalllel111/ellgell sind stetige Fllnktiollen stets gleichmäßig stetig. Beispiele für gleichmäßig stetige Funktionen gibt es nach Satz 1.26 wie Sand am Meer. 1m Folgenden betrachten wir daher eine ungleichmäßig stetige Funktion. Beispiel 1.59: Die Funktion I I(x) = -
x
(s. Fig. 1.41)
ist auf (0. 11 nicht gleichmäßig stetig. Denn flir BQ = I gilt: Für jedes {j > 0 gibt es zwei Punkte l(xz)1 ~ I. Es genügt dabei 0< 1 zu betrachten,
XI.X2 E (0,1] mit lXI ~x21 < {j und I/(x]) ~
1.6 Stetige Funktionen
lOS
,
,
4
,
,
l(x)=-
,
• -2
-1
2
F·[g. 142 . : f(.,) = xl_I x=T
Fig. 1.41: Ungleichmäßige Stetigkeit
denn fLir größere lJ gilt dann die erwähnte Aussage erst recht. Der Beweis der Aussage verläuft so: Man wähle X2 = lJ und XI = lJ/2. Sie erfullen die Ungleichung lXI ~ x21 < lJ und
If(x,) - f(x2)1 Also ist
~
2
I , - -'I 1-lJ - -lJ'I lJ' -
XI
~
X2
~-
> ,.
f ungleichmäßig stetig auf (0. 11.
Übung 1.37*: Welche der folgenden Funktionen sind gleichm:ißig stetig auf (0.1) und welche nicht?
1.6.7
a)
!(x)=Jl-x 2 .
c)
Ii(.t) = J2x.
fLirO<x::1
1-2x+2. fLir1<x.ro
107
( 1.90)
7 in xo stetig ist.
7
Man nennt die slelige Erweilerung von ergünzt wordell. Auch im 2. Fall können wir die Funktion nur in Xo. Dabei bedeutet lim f(x) = c daß
·"-·"0
f in
xo, oder man sagt auch:
f
isl in xo slelig
7 nach (1.90) bilden. Sie unterscheidet sich von f 7 in xo stetig ist, f aber nicht!
Im 3. Fall /(xo) = c bedeutet lim fex) = c offenbar nichts anderes als die Stetigkeit von f '"'0
in xo, also
f stetig in xo
{:}
(1.91)
lim fex) = /(xo)·
x--->.\'o
Wir fassen zusammen:
Folgerung 1.16: Es sei f: 0 --+ IR: eine Funktion und xo ein Häufungspunkt von D. Dann bedeutet
limf(x)=c.
(1.92)
.\'->.ro
daß die Funktion ftir x = xo,
flirx ::j:xo.x E D stetig in xo ist. In den bciden ersten Fällen, die erliiutert wurden (xo /(xo) ::j: cl. ist stetige Erweiterung bzw. slelige Abünderung von istf =
7.
7
(1.93)
f/. D bzw. xo E D, f in xo. Im 3. Fall
Auf der Grundlage der Definition 1.20 sind wir nun in der Lage, den bislang laut Definition 1.17 nur auf Punkte des Definitionsbereiches 0 beschränkten Begriffs der Unstetigkeit auch auf alte Häufungspunkte von D zu erweitern. In diesem Sinne heißt eine Funktion / in einem Hiiufungspunkt xo von 0 unstetig, wenn f in xo nicht stetig ergiinzbar ist. Der oben diskutierte Zusammenhang mit der Stetigkeit, der ja besagt, daß lim f(x) = c
7,
"'->"'0
nichts anderes heißt als die Stetigkeit von gestatlel es, alle Regeln über stetige Funktionen in einem Punkt auf Hm fex) sinngemiiß zu übertragen. "'->"'0
Aus Satz 1.19, Abschn. 1.6.2, erhält man daher
108
I Grundlagen
Folgerung 1.17: Es sei Xo Häufungspullkt des Definitionsbereiches einer reellwenigen Funktion Dann bedeutet lim fex) = c
"-"0
folgendes Zu jedem s > 0 gibt es ein 8 > 0, so daß fur alle x E D mit x #- Xo und Ix - xol < 8 gilt:
I
f.
(1.94)
I/(x) - cl < s.
Salz 1.22, Abschn. 1.6.4, liefen
Folgerung 1.18: Es sei Xo Häufungspunkt des Definitionsbereiches einer Funktion Funktion g. Existieren die Grenzwene
=c
lim fex)
-' ..... -'0
und
lim g(x)
-' ..... -'0
f
wie auch einer
=".
so existieren auch die folgenden, links stehenden Grenzwene und erftillen die Gleichungen lim (f(x) ± g(x» = lim fex) ± lim g(x)
(1.95)
lim (f(x)· g(x» = lim f(x)· lim g(x). .........0 "-"0 -'-"0
(1.96)
-'--'0
·.-"0
Im Falle lim g(x) ·'--'0
.
·.--'0
#- 0 gilt auch fex)
11m - -
-'--'0 g(x)
~
).0~o fex) lim 8(X)
··-··0
.
(1.97)
wobei nur solche x aus dem Definitionsbereich von 8 zu betrachten sind, die in einer so kleinen s-Umgebung von Xo liegen, daß don stets g(x) #- 0 gilt. Zu letzterem überlegt man sich, wie im Beweis von Satz 1.22, daßes in der Tal eine s-Umgebung von Xo gibt, in der überall g(x) #- 0 ist.
1.6 Stetige Funktionen
109
Übung 1.38*: Berechne a)
1.6.8
x 2 -5x+6 . "..... 2x 2 +3x 10 !im
b)
x 2 _ 25 !im - - - ,
.-'0
°
vorliegen. (Po/wechsel von 00 auf ~OO analog.) Ein Sprung von -00 auf 00 liegt ftir fex) = I Ix (x =1= 0) im Punkt xo = vor. Eine weitere Art von Unstetigkeitsstellen sind sogenannte Oszillatio/lSJlellell, s. Fig. 1.45. Eine solche Stelle wird z.B. durch I
f(x)=sin~,
x
x =1=0,
beschrieben. (Die Funktion sin wird später im Abschn. 2.3.2 behandelt.) Wir haben an Unstetigkeitsstellen bisher behandelt:
114
I Grundlagen
,
Fig. 1.45: OszillatiollSslelle Sprünge, Pofe und Po/wechsel, Oszillatiollsslellen. Natürlich gibt es noch vielc andere Unstctigkeitsstcllen (unbeschränkte Oszillationen, sich häufende Unstetigkeitsstellen und vieles mehr), doch kommen in der Praxis hauptsächlich die drei genannten Typen vor.
2
Elementare Funktionen
2.1
Polynome
2.1.1
Allgemeines
Unter einem Polynom
/I-/ell Grade~'
[(x) = Go +alx
versteht man eine Funktion der Form
+ {/2X2 + ... + (luX",
mit
(//1
'f; O.
(Statt Polynom sagt man auch gallzratiolla{e Funktion.) Die Zahlen lIO. (/I, .... alt heißen die Koeffizienten des Polynoms. Der Definitionsbereich von f ist die gesamte reelle Achse. Die Funktion f : IR --+ H. mit f(x) = 0 (fiiT alle xE R) heißt das Nullpo/ynom. Ihr wird kein Grad zugeschrieben. Für 11 = 0, I oder 2 erhält man z,B. die Polynome:
11=0: f(x)=ao.
konstante Funktionell
i= O.
11
= 1: f(x) =ao+alx.
Geraden, steigend oder fallend,
11
=2; !(x) =ao+alx +02X 2 .
quadratische Polynome,
Zur Beschreibung technischer Sachverhalte werden Polynome vielfach verwendet.
/
•
,j+--- t y
--+I F
Fig. 2.1: Bicgc1inie eines Balkens
Beispiel 2.1: Biegelinie eines einseitig eingespanntcn Trägers (s. Fig. 2.1) wird bcschrieben durch Y
F 6E· I
,
~ --(3Jx~
3
-x).
Dabei ist E . I die Biegestcifigkeit, F eine Last am freien Ende des Trägers und I seine Länge.
K. Burg et al., Höhere Mathematik für Ingenieure, DOI 10.1007/ 978-3-8348-9929-3_2, © Vieweg+Teubner Verlag I Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2011
116
2 Elementare Funktionen
Oft ist auch nach den Nulls/ellen von Polynomen gefragt, da sie Lösungen technischer Probleme darstellen können, z.B. bei der Ermittlung von Gleichgewichtslagen, Resonanzen, Schwingungsfrequenzcn und Instabilitäten. Schließlich sind die Polynome von großer Bedeutung als Niihenmgsfimktiollen rur komplizierte Funktionen (s. auch Abschn. 5.3.1). 2.1.2
Geraden
Wir beginnen mit den einfachsten Polynomen, und zwar mit Funktionen der Form
[(x) =alx+ao.
(2.1)
Sie heißen GeradelI, da ihre Graphen geometrische Gerade in der Koordinatenebene sind (siehe Fig.2.2). Geometrische BedeuIIIlIg der Koeffizienten GO. GI: Wir skizzieren den Graphen von [ in einem x- y-Koordinatensystem. s. Fig. 2.2. Dann gilt: ao markiert auf der y-Achse den ScllIlilllJUllk/ mit dem Graphen von [. (Dies folgt sofort aus [(0) = GO.)
, 2
Fig. 2.2: Gerade im Koordinatensystem Die geometrische Bedeutung von al geht aus Fig. 2.2 hervor: Zeichnet man ein rechtwinkliges Dreieck mit den Ecken (0, ao), (I, ao), (I. [(I» ein, so hat die senkrechtc Seite die Länge lall. (Dies folgt aus [(I) = al +ao, also [(I) -ao = (11.) Dabei gilt offenbar al > 0 al = 0 (11 < 0
=> => =>
die Gerade steigt, die Gemde ist horizontal, die Gerade raHt.
ist ein Maß dafLir, wie stark die Gerade nach rechts ansteigt oder abf:ilIt. Aus diesem Grunde wird al die Sleigung oder Richlllng der Geraden genannt. Bemerkung: Ist ader Anstiegswinkel der Geraden, so ergibt Fig. 2.2 direkt den Zusammenhang (11 = tan a (die Tangcnsfunktion tan wird in Abschn. 2.3.3 ausfLihrlich beschrieben).
GI
Beispiel 2.2: Bewegt sich cin Massenpunkt mit gleichbleibelldcr Geschwindigkeit v auf einer geradlinigen Bahn, so wird seine Bewegung beschrieben durch
y=vt+yo·
2.1 Polynome
117
Zu jedem Zeitpunkt t kann damit der Ort y des Massenpunktes auf der Bahn berechnet werden. Die Gleichung beschreibt eine Gerade im t-y-Koordinatensystem mit Steigung v. Für zwei beliebige Punkte (XI. [(xd), (X2, [(X2» der betrachteten Geraden [(x) = alX +ao gilt stets j(x21- j(.q)
=
(2.2)
al .
Der Leser rechnet dies leicht nach. Bemerkung: GI. (2.2) läßt sich auch geometrisch begründen: Die beiden schraffierten Dreiecke in Fig. 2.3 sind ähnlich, haben also gleiche Seitenverhältnisse. Folglich gilt [(Xü -
X2
[(xd
(/1
XI
Die linke Seile von (2.2) heißt Dijferellzcnqllo/ielll von f bezüglich XI, X2. Geraden zeichnen sich dadurch aus, daß die Differenzenquotienten bezüglich je zweier verschiedener Zahlen XI, X2 sIels deli gleichen Wen haben! y
•
"
"
Fig. 2.3: Zum Differcnzenquotiellt bei Geraden
Punkt-Richtungsform: Gesucht ist eine Gerade f, die durch einen bestimmten Punkt (XI.}'I) verläuft, und deren Richtung GI bekannt ist. Wie lautet die Gleichung der Geraden? Für jeden Geradenpunkt (x, fex»~ mit X cF XI muß nach (2.2) gelten: [(X) -
}'I
(2.3)
X -XI
Aullösung nach f(x) ergibt die gesuchte Gleichung [(X)
=(/1'
(x -xj)
+}'1.
(2.4)
Einsetzen von x = XI liefen in der Tat [(Xl) = }'I. (2.4) nennt man die Punk/-Richtungs/orm einer Geraden.
118
2 Elementare Funktionen
Beispiel 2.3: Ein Zug fahrt mit konstanter Geschwindigkeit v = 80km/h. Er passiert den Streckenkilometer 153 um 11 Uhr. Seine Bewegung wird durch eine Funktion Y = f(1) = vf+yO
beschrieben, wobei Y den Streckenkilometer angibt, den der Zug um I Uhr passiert. Die Funktion ist eine Gerade im Y-I-Koordinatellsystem. Wir kennen ihre Steigung u und einen ihrer Punkte, nämlich (11. 153). Nach der Punkt-Richtungsform folgt daher
Zwei-Punkte-Form: Gegeben seien zwei Punkte (.xl. Yd, (X2. )'2) in der Ebene mit XI Gesucht ist eine Gerade f durch diese Punkte. Da alle Differenzenquotienten von f den gleichen Wert haben, gilt für jedes X f:. XI
fex) -
J'I
J'2 -
YI
f:.
X2.
(2.5)
~---
X -XI
Aunösung nach fex) liefert Y2 - Yl
fex) = - - ( x X2 -XI
XI)
+ J'l.
(2.6)
Es gilt hierbei, wie verlangt, f(xt} = Yl und f(X2) = Y2. (2.6) heißt die Zwei-Punkre·Form einer Geraden. Beispiel 2.4: Die Länge I eines Stabes hängt von seiner Temperatur 0 ab:
1=/00 +0'0).
(2.7)
Dabei ist 10 die Länge des Stabes bei 0° C und 0 der Wärmeausdehnungskoeffizienl des Stabes. Die Gleichung beschreibt eine Gerade im o-I-Koordinatensystem. Wir nehmen an, daß uns (0 und 0 unbekmmt sind. Messungen jedoch haben ergeben, daß der Stab bei 36" C eine Länge von 4.3008 m hat und bei bei 94° C eine Länge von 4.3042 m. Wir kennen also zwei Punkte der Geraden. Nach der Zwei-Punkte-Form hat (2.7) daher die explizite Gestalt I=
=
4.3~~ ~~3OO8 (o ~ 36) + 4.3008 == 5.86 . 10- 58 + 4.2987 .
Es folgt /0 == 4.2987 m und aus 100 I .363 . lQ-.51" c. Abschnittsform: Es ist eine Gerade bei B schneidet, s. Fig. 2.4.
==
5.86· 10- 5 ml" C der Ausdehnungskoeffizient 0 -
f gesucht, welche die x-Achse bei A f:. 0 und die y-Achse
2.1 Polynome
(A und B heißen die Achsenabschllitre der Geraden.)
f
119
geht also durch die heiden Punkte
(A. 0) und (0. B). Die Zwei-Pullkte-Form liefert daher
[(x)
~
B -;Ix
+ B.
(2.8)
,p 0 und schreiben wir y statt
Ist B
x A
fex), so läßt sich (2.8) in die elegante Gestalt
Y B
-+-= I
(2.9)
umformen. (2.9) heißt die Abschllittsform der Geraden.
, ?
,
-5 Fig. 2.4: Zur Abschllillsform
Fig. 2.5: Dachhöhe an Abseile
Beispiel 2.5: Ein Haus habe eine Breite von JO m und eine Dachfirsthöhe von 4 m über dem Dachboden, s. Fig. 2.5. Bei einem Dachbodenausbau interessiert die Frage: Wie hoch ist das Dach in der Entfernung 3.5 m von der Hausmittellinie? Die rechte Seite der Dachlinie kann mit der Abschnitlsform beschrieben werden:
x 5
Y
-+-=1. Für x
4
= 3.5 errechnen wir daraus die Dachhöhe über dem Dachboden: y = 1.2 m.
Schnittpunkt zweier Geraden: Es seien zwei Geraden f(x) = lllX + (/0, g(x) = b]x + bo gegeben, die verschiedene Richtungen besitzen: ll] ,p bl. Für den Schnittpunkt (xo. )"0) dieser Geraden muß gelten: )"o=atxo+ao
und
)"o=blxo+bo.
Daraus lassen sich xo und )"0 berechnen: Man setzt die rechten Seiten gleich. (/]XO
+ (/0 =
blxo
+ bo.
(2.10)
120
2 Elementare Funktionen
löst nach Xo auf und sctzt den gefundcnen Ausdruck in (2.10), linke Gleichung, ein, Dies crgibt: bo
~ (/0
xo= - - - . (11 -
(2.11)
bl
Im Falle al = bl. ao
i= bo sind dic Geraden parallel,
und es existiert kein Schnittpunkt.
-
y
I
R,
• Fig. 2.6: Schninpullkt zweier Gemdell
u
R•
Fig. 2.7: Stromkreis mit innerem und äußerem Widcrstand
Beispiel 2,6: Dcr Stromkreis der Fig. 2.7 besieht aus einem Generator mit innerem Widerstand R;, und einem Arbeitsgerät mit äußerem Widerstand Ra. Es fließt dcr Strom I. Dic Klemmspannung am Generator ist V = VI{ - R; I, während sich die gleiche Spannung mit Hilfe des Widerslandes Ra durch V = Ral errechnet. Beide Gleichungen können als Geraden in der V-I-Koordinatenebene aufgefaßt werden. Ihr Schniupunkl gibt uns die Werte I und V an. die im Stromkreis vorhanden sind. Nach (2.11) erhalten wir
I = -o-U'-'"'-o.R,,+ R;
Übung 2.1: Durch die Punkte (LO) und (3.2) verläuft die Gerade GI. während eine zweite Gerade G2 durch (1.4) verläuft und die Steigung {li = -1/2 besitzt. Berechne den Schnittpunkt der beiden Geraden. Übung 2.2*: Eine Flüssigkeit mit dem Volumen V = 2000cm 3 und der Dichte p = 1.01 gcm- 3 ist durch Mischen zweier Flüssigkeiten F I und F2 mit den Dichten Pt = 0.94 gcm- 3, P2 = 1.13 gcm- 3 entstanden. Wie groß sind die Volumina VI und V2 der beiden Flüssigkeiten Fl. F2? Übung 2.3: Durch eine elektrische Leitung mit dem Widerswnd R fließI ein Strom I. Vergrößert man den Widerstand R um 3 Q. so sinkt der Strom 1 um 1A. Verringcrt man den Widcrstand R um 5 Q.
2.1 Polynome
121
so steigt der Strom I um 2 A. Die Spannung ist dabei konstant. Wie groß sind R und I? 2.1.3
Quadratische Polynome, Parabeln
In diesem Abschnitt studieren wir die Polynome zweiten Grades: (2.12) Sie werden auch quadratische Polynome genannt. Beispiel 2.7: Die Bewegung eines aufwärts geworfenen Körpers wird durch das quadratische Polynom s = [(t) = VO t -
1 ,
2gt~
beschrieben. ~. ist dabei die nach I Sekunden erreichte Höhe des Körpers - genauer. seines Schwerpunktes. VO bezeichnet die Abwurfgeschwindigkeit und g = 9,81 m/s'l die Erdbeschleunigung. (s. auch Beispiel 2.9. In Abschn. 3.3.1, Beispiel 3.36, wird die Bewegungsgleichung aus dem I. Newtonsehen Axiom der Mechanik hergeleitet.) Beispiel 2.8: Ein strömendes Medium (Luft. Wasser). das mit einer mittleren Geschwindigkeit u auf einen Körper trifft, übt die Kraft
auf ihn aus. Fw heißt auch Slrül/IlIllgslI'ider~'lm/(1 des Körpers. Dabei ist C w der Widerstandsbeiwert, A die Querschnittsfläche des Körpers und p die Dichte des strömenden Mediums. Einheitsparabel: Das einfachste aller quadratischen Polynome lautet
y=[(x)=x'l. Die geometrische Figur. die sein Graph darstellt. wird Parabel genannt, s, Fig, 2.8. Sie besitzl eine Symmetrieachse, hier die y-Achse, Ihr Schniupunkl mit der Parabel heißt Scheitel der Parabel. In unserer Figur ist es der Koordinmennullpunkt. Man bezeichnet die Funktion [(x) = x 2 als Einheitsparabel. Normalparabeln: Die quadratischen Polynome der Form
y=[(x)=cx 2 .
c:f:.O,
heißen NormalparabellI. Ihre Graphen sind alle untereinander ähnlich.! Sie sind also, geometrisch gesehen, alle Parabeln. Zwei geomelrische Figuren heißen ähnlich• ..... enn die eine ein maßstabsgelreues Bild der anderen isl. eVII. nach vorangegangener Spiegelung. Drehung oder Verschiebung.
122
2 Elementare Funktionen
, 4
/
\
\
/
3
\
2
y.
I~
2
1
0
X2
/
1/
, 1
Fig. 2.8: Einheilspambel
2
Fig. 2.9: Nomlalparabeln
Zum Nachweis der Ähnlichkeit genügt es zu zeigen, daß der Graph jeder Nonnalparabel zum Graphen der Einheitsparabel ähnlich isl. Es sei also f(x) = cx 2 eine beliebige Nonnalparabel. Ihr Graph besteht aus allen Punkten (x. y) mit
y=
,
cx~.
Multipliziert man rechts und links mit c, so erhält die Gleichung die Gestalt cy = (cx)2.
Diese Gleichung geht aus der Gleichung y = x 2 der Einheitsparabel dadurch hervor, daß y durch cy und x durch cx ersetzt werden. y und x werden dabei um den gleichen Faktor Icl gestreckt oder gestaucht. Also ist der Graph der Normalparabel die lei-fache Vergrößerung oder Verkleinerung des Graphen der Einheitsparabel (bei c < 0 nach vorangegangener Spiegelung), woraus die behauptete Ähnlichkeit folgt. Allgemeinfall: Wir zeigen nun, daß der Graph jedes quadratischen Polynoms
y = f(x) =
,
a2-\'~
+alx
+ (jO
gleich dem Graphen einer Normalparabel ist (in einem parallel verschobenen Koordinatensystem). Die Graphen qlladralischer Polynome sind a{so Parabeln! Zum Nachweis formen wir die Funktionsgleichung
des quadratischen Polynoms um:
2.1 Polynome
123
Zuerst wird G2 ausgeklammert und dann die »quadratische ElgiillZllllg« der ersten beidcn Gliedcr eingefUgt:
Wir bringen die rechtc Klammer der letzten Zeile auf die linke Seite
(
y- aO -
(/,
,
4a2
) ( =(/2
x+
al (12
2
)'
(2.13)
und setzen zur Abkürzung
y=y-
,,' )
(
(2.14)
ao--'
4a,
Damit erhält man
also eine Normalparabel in x-y-Koordinaten. Fig. 2.10 zeigt die Lage des x-y-Koordinatensystems. Es entsteht durch Parallel verschiebung aus dem x-y-Koordinatensystem. Der Koordinaten-Nullpunkt wird dabei in den Punkt (xo. )'0) mit Xo = -al/(2a2) und)'o = ao - (/~/(4a2) verschoben. Damit ist die Behauptung bewiesen. Wir fassen zusammen: Satz2.1: Der Graph eines quadratischen Polynoms
ist gleich dem Graphen einer Normalparabel der Form Scheitel der Parabel liegt im Punkt (xo. yo) mit
'"
-'"0= - - . d/2
,,' . yo=(/O--'
"'"
y
= (/2X2 (s. Fig. 2.10). Der
(2.15)
Im Falle G2 > 0 ist der Scheitel tiefster Punkt, im Falle (/2 < 0 höchster Punkt der Parabel.
124
2 Elementare Funktionen
,
,
"
- - -
--,
, , s=vot'_2 t2
,2 ,
I,
Fig. 2.10: Der Graph eines quadratischen PolynOlllS ist eine Parabel.
Fig. 2.1 I: Senkrechter Wurf: Weg-ZeitDiagramm
Beispiel 2.9: Wir knüpfen an Beispiel 2.7 an: S =: lI(lt -
1
-
2
,
(2.16)
gt~
beschreibt die Bewegung eines senkrecht nach oben geworfenen Körpers - genauer, seines Schwerpunktes (Reibung vernachlässigt). Gefragl iSI nach der WlIIjllöhe und der WlIrfzeil, also der Zeil, die er zum Steigen und Fallen benötigt. Dazu skizzieren wir den Graphen des quadratischen Polynoms
Nach Salz 2.1 gleicht er dem Graphen einer Normalparabel der Form
mit Scheitel bei
to
""
=: - .
g
(s. Fig. 2.11).
.1"0 ist die Wurfhöhe und 2to die Wurfzeit. Ist z.B. vo =: 20 m/s, so folgt mit der Erdbeschleunigung g =: 9.81 m/s 2 die Wurthöhe ~·o =: 20.39 m und die Wurfzeit 2to =: 4,077 s. Bemerkung: Mit einer einzigen Parabelschablone aus Plexiglas, wie sie handelsüblich ist, läßt sich der Graph jedes quadratischen Polynoms f(x) =: a2x2 + alx + ao zeichnen. Siellt die Schablone eine Einheitsparabel mit Längeneinheit I cm dar, so hat man ein Koordinatensystem mit Einhcitsliinge l/la21 cm zu zeichnen, den Punkt (xo. )"0) (s. 2.15) einzutragen und in ihm den Scheilel der Parabelschablone einzusetzen. [m Falle a2 > 0 weisen dabei die »Parabeliiste« nach oben) im Falle (12 < 0 nach unten. Compmerprogramme ersetzen heute allerdings die Parabelschablone.
2.1 Polynome
125
Beispiele Quadratische Polynome, also Parabeln, treten in der Technik häufig auf. Beispiel 2.10: Für den Untergurt einer FlußbTÜcke vorn Typ der Fig. 2.12a ist die Parabelform vorgeschrieben. Auch BTÜckenformen aus zwei Parabclbögen kommen vor, s. Fig. 2.12b.
60m
Fig. 2.12: BTÜcke mit (a) einem. (b) zwei Parabelbögen
Beispiel 2.11: Schwach durchhängende Seile (Drähte) haben in guter Näherung Parabelfonn. Hir die Berechnung von Zugkräften auf die Masten reicht dieser Ansatz aus (s. Fig. 2.13).
Fig. 2.13: Durchhängendes Seil Beispiel 2.12: Parabolspiegel und Parabolantennen entstehen geometrisch aus Parabeln. die um ihre Symmetrieachse gedreht werden. Von der Fahrradlarnpe bis zur Radioantenne fur die Aufnahme von Weltraumstrahlung finden Parabeln Anwendung. Beispiel 2.13: Die Wurfbahn eines Körpers - gCllaucr. seines SchwellJunktes. ist eine Parabel, sofern Reibungskräfte dabei vernachlässigt werden dürfen. Beispiel 2.14: Die Skelettlinie eines Tragflügels oder einer Turbinenschaufel besteht aus den Mittelpunkten aller einbeschriebenen Kreise, s. Fig. 2.14a. Beim Profil NACA 6321 besteht die Skclettlinie
126
2 Elemenlare Funktionen
aus zwei ParabelslÜcken mit senkrechten Symmetrieachsen, deren Scheitel bei x = O.3r und z O.06r (1 Flügeltiefe) in einem Punkt zusammenfallen, s. Fig. 2.14b. Die Skelettlinie schneidet die x-Achse an den Enden. also bei x = 0 und x = I.
=
=
+i~::::JV=~=·06='=="..,.,"';: 0,31
I
Fig. 2.14: (a) flügelprolil; (b) Skeleltlinie
Übung 2.4: Aus den Angaben des Beispiels 2.14 leile man die Gleichungen der beiden zugehörigen Parabeln her. 2.1.4
on
Quadratische Gleichungen
ist nach den NullstelIen eines quadratischen Polynoms
[(x) =(/2x2+a(X +ao
(ao.a(.(/2
E
IR. (12
-# 0)
gefragt. also nach denjenigen x-Wenen, die
a2 x2 + a (x+ao=O
(2.17)
erfUllcn. Um sie zu finden. wird die Gleichung zunächst vereinfacht. indem man durch (/2 dividien. Wir erhalten
x 2 + {H
+q =
(2.18)
0
mit p = (/1 /a2 und q = ao/a2. (2.17) und (2.18) haben die gleichen Nullstellen. Es gilt
Satz 2.2: Die Nullstellen der quadratischen Gleidulllg (2.18) lauten im Falle (p/2)2 - q ::: 0:
(2.19) Im Falle (p/2)2 - q < 0 hat (2.18) keine reellen NullstelleIl.
Wir merken an, daß im Falle (p/2)2_ q > 0 genall ZlVe; Nullstellen XI und X2 existieren. während im Falle (p/2)2 - q = 0 nur eine Nullstelle existiert, nämlich XI = X2 = - p/2.
2.1 Polynome
127
Beweis: Der Ausdruck x 2 + px x
2
+ q läßt sich umformen:
+ IJX + q = x~, + px + (")' 2" - (")' 2" + q
=
(")' x + 2" - ((")' 2" - q )
Ist (!)2 ~ q < 0, so ist die rechte Seite der obigen Gleichungskelte positiv, kann also nicht Null sein. D.h. (2.18) ist in diesem Falle unlösbar. 1m Falle
2" - q ) = 0 dasselbe wie (2"")' - q ~ 0 bedeutet (x + 2"")' - ((I')'
_ - -q. . ")'-(")' (x+2 2 d.h. oder
"
x+2"=- /(")' '2 -q.
Links setzen wir Xl = x, rechts X2 = X und haben so (2.19) gewonnen.
o
Wir bemerken ferner, daß Xl
+X2 =
~p
und
X1X2 =q
(2.20)
gilt. wie man leicht nachrechnet. Diese Gleichungen. Vieta.l"che? WUTze/SalZ genannt. eignen sich gut zur Kuntro//e der Rechnung. Beispiel 2.15: An eine Stromquelle mit der Spannung U = 220 V werden zwei Widerstände RI und R2 einmal in Reihenschaltung und einmal in Parallelschaltung angeschlossen (s. Fig. 2.15). Im ersten Falle ist die Stromstärke 11 = 0,9 A, im zweiten Falle 12 = 6 A. Wie groß sind Rl und R2?
Fig. 2.15: Reihen- und Pamllelschahung
Für die Reihenschaltung gilt bekanntlich U = /1 RI + /1 R2 und fUr die Parallelschaltung + U I R2 = h Man löse die erste Gleichung nach R2 auf und setze dies in die zweite
U I RI
2 Fram.ois Viete (1m.: Franeiscus Viela. 1540- 16(3). französischer Advokat und Mmhemmiker
128
2 Elementare Funktionen
Gleichung ein. Nach Umformung folgt daraus 1
U
U2
11
1)/2
Ri--RI+-=Ü.
Löst man diese quadratische Gleichung nach R I auf, so crhält man nach (2.19) die beidcn möglichen WCrtC R I = 44,922 Q odcr R2 = 199,522 Q. Zum ersten Wert crrechnet mlln R2 = 199,522 Q, d.h. es kommt rur R2 gerade die zweite Lösung von R I hcmus. Damit sind R I = 44,922 Q und Rz = 199.522 Q die gesuchten Widcrständc. Aus Symmctriegründcn können RI und Rz dabei auch vertauscht werden. Übung 2,5: Eir'l Rechteck ll'Jit der Seilenlär'lge (I = 7c1l1 und b = 4cm soll in ein nächeninhaltsgleiches Rechteck mit dem Umfang 24cm verwandelt werden. Wie lang sind die Seiten des lIeuen Rechtecks?
Übung 2,6: Ein Kessel wird durch zwei gleichzeitig arbeitende Pumpen in 6 Stunden gemllt. Läßt man aber den Kessel bis zum halben Volumen von der einen Pumpe allein mllen und dann mit der anderen Pumpe allein die fehlende Hälfte hineinpumpen. dann benötigt man 14 Stunden. Wie lange braucht die stiirkere der beiden Pumpen. um den Kessel alleine zu mllen?
Übung 2,7: Wird in einem Stromkreis mit IlüV Spannung der Widerstand um IOQ erhöht, so sinkt die Stromstärke um I A. Wie groß sind Stromstärke und Widerstand?
2,1.5
Bertchnung von Polynomwerten, Horne,-J·Schema
Wir wenden uns nun beliebigen Polynomen zu und fragen uns zunächst, wie Polynomwerte mit möglichst geringem Aufwand berechnet werden können, Dazu benutzt man das kleine HornerSchema, Kleines HorneT-Schema: Die Berechnung von Polynomwerten fexo) wird stel1vertretend an einem Polynom vierten Gmdes erläutert:
Die einfache Idee besteht darin, das Polynom so umzuformen: (2.21) Wollen wir nun f(xo) fLir ein bestimmtes xo ermitteln. so haben wir x = xo in (2.21) einzusetzen und die Klammern »von innen nach außen aufzulösen«. Man berechnet also nacheinander die 3 William Gcorgc HorncT (1786- 1837). cnglischcr Mathcmatikcr
2.1 Polynome
129
Zahlen
+ {I3, boxo + (IO
b2 = {I4XO rO =
bl
= b2XO
+ {I2, bo =
b1xO
+ {I1 .
(2.22)
Damit ist I(xo) = ro ermittelt. Der eleganten Systematik wegen setzt man zu Anfang noch b3 = {I4. also h = b3xO+a3. Die Rechnung (2.22) läßt sich in einem übersichtlichen Schema anordnen. Es heißt kfeille.5 HomerSchema (bezüglich xo).
'"
XO = .
"2
'"
"0
= I(xo)
(2.23)
Man schreibt dabei zunächst die Zahlen a4, (/3, (/2. (/1. (/0 hin und fuhrt dann die Rechnung in der Reihenfolge durch. die die Pfeile andeuten. Beispiel 2.16: Zur Berechnung von I (x) = 3x 4 Horner-Schema so aus:
3
xo
= 2
-
2x 3 + 5x 2 - 7x - 12 an der Stelle xo = 2 sieht das kleine
-2
5
-7
-12
6
8
26
38
3
~
[(2)
Die Zahlen bo, bl, ... haben "über Zwischenrechnungswerte hinaus« eine wichtige Bedeutung: Sie crflillen die Gleichung (2.24)
Multipliziert man nämlich die heiden Klammern aus und ordnet nach den Potenzen von x, so erhält man
Koeffizientellvergleich mit I(x) =
(l4X4
+ ... (10 liefert
Aunösen nach b3, b2, b l , bo, ro ergibt aber gerade die GI. (2.22) des kleinen Harner-Schemas. Wir haben daher gezeigt:
130
2 Elementare Funktionen
Satz 2.3: ISI !(x) = (I"X" + a,,_p·"-l + ... + ao ein beliebiges Polynom vom Grad fl ~ I, so liefert das kleine Horner-Schema (bezüglich xo) den Funklionswert ro = !(xo), sowie die Koeffizienten eines Polynoms (2.25) welches folgendes erfullt fex) = (x - XO)!,,_I(X)
+ ro,
ftif allex
E
IR.
(2.26)
Großes HorncT-Schcma: Der letzte Satz legt den Gedanken nahe, das kleine Horner-Schema abermals anzuwenden, und zwar auf die neu entstandene Funktion !,,_I. Sie wird damit umgeformt in
!,,_I (x)
= (x - XO)!,,_2(X)
+ rl
.
Wendet man das kleine Horner-Schema nochmal an. und zwar auf !,,-2, so folgt
So kann man fortfahren, bis cin Polynom vom Grade 0 erreicht ist. Alle diese Rechnungen lassen sich in einem einzigen Schema übersichtlich anordnen. Es wird großes Homer-Schema genannt. Im Falle 11 = 4 sicht es so aus:
Xo =
'" 63
C2
"3
(12
XOb3
XOb2
'" xobl
bz
6,
60
XOC2
.roc]
xoco
" .rod l
co
I " I
xodo
do
k, so /(xo) := 0 (angcregt durch (2.35)). Auf diese Weise ist im Falte j 2: k der Definitiollsbereich VOll / 1/111 xo enveitert. Beispiel 2.20: Die Funktioncn
c
fex) = -
x"
(e
t
0,
1I
E N)
sind besonders einfache gebrochene rationale Funk.tionen. Für /l = I, e > 0 ist der Graph in Fig. 2.17a skizzien. Er wird gleichseitige Hyperbel genannt. Flir /l = 2, e > 0 ist der Graph in Fig. 2.17b abgebildel. Für ungerade 11 ähneln die Graphen von / der Fig. 2. I 73, rtir gerade der Fig. 2.17b, eventuell an der x-Achse gespiegelt.
y
y".E.
"
(c>O)
Fig. 2.17: (a) Hyperbel; (b) y = cjx 2
Beispiel 2.21: Das Boyle-MariouesclJe4 Ge;}'!!tz idealer Gase lautet pu = RT (p = Druck, u = spezifisches Volumen, R = Gaskonstante, T = absolute Temperatur), Bei konstanter Temperatur, mit der 4 Roben Boy1c (1627 - 1691), englischer Nmurforschcr. Edmc Mariotle (1620- 1684), französischer Physiker
2,2 Rationale und algebraische Funktionen
137
Abkiirzung c = RT. ergibt sich pu = c, aufgelöst nach u:
,
u= - .
"
In p-u-Koordinaten beschreibt dies eine Hyperbel wie in Fig. 2.17a.
y
, '" , 12, , 10, ,
V'
8
,,
-, ,
,
,
,
,
,
,0"
,'
, 2
,
,2
Fig. 2.18: Graph von
,,
Asymptote
, , , ,
:POI
-, -2-20
,
,
f
, ,
, 8
10
aus Beispiel 2.22
Beispiel 2.22:
3
12 . Die Nullstel1cn des Nennerpolynoms sind 2 und 3, es läßt sich x--5x+6 2 daher so zerlegen: x - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3). 3 ist auch Nullstelle des Ziihlers. 2 dagegen nicht. Division des Ziih1ers durch (x - 3) liefert das Polynom x 2 + 3x - 4, das nach Berechnung seiner Nullstelien I und -4 die Gestalt (x - I)(x + 4) erhält. Damit läßt sich /(x) schreiben als Es sei fex)
=x ,-13x+
/(x) =
(x - 3)(x - I)(x (x
KUrzen von (x - 3)
[(x)
~
3)(x
#
2)
für
x#3. x#2.
0 ergibt
(x - I)(x + 4) x
+ 4)
2
~
~x2_+.:...::3x::,·,---...:4 .r
2
(2.36)
wobei wir nun auch x = 3 zugelassen haben. / hat also die NullstelIen I und -4. sowie den Pol 2 (s. Fig.2.18).
138
2 Elementare Funktionen
Zerlegung unecht gebrochener rationaler Funktionen Beispiel 2.23: In der Funklion g aus Beispiel 2.19 kann das Zählerpolynom durch das Nennerpolynom dividien werden, s. Beispiel 2.18, Abschn. 2.1.6. Es folgt ,
g(x) = 2r
+x
~
6+
-15x 2 +3Ix-11
2x
3" 3x~
+ 5x
2
.
So können wir mit jedem unechten Polynom verfahren. Es gilt also
Satz 2.5: Jede unecht gebrochene rationale Funktion läßt sich durch das Divisionsverfahren flir Polynome eindeutig in eine Summe aus einern Polynom und einer echt gebrochenen rationalen Funklion zerlegen. Isl also J(x) ~ p(x) q(x)
eine rationale Funktion mit dem Nennerpolynom q(x) vorn Grade 11I ::: I und dem Zählerpolynom p(x) vorn Grade 11 2: 11I, so liefen das Divisiollsverfahren fur Polynome aus Abschn. 2.1.6 eine Darstellung von 1 der Gestalt J(x) ~ hex)
r(x)
+ -,
(2.37)
q(x)
wobei h ein Polynom vom Grade 11 -11I ist und r ein Polynom von höchstens (m - 1)len Grade.
Asymptoten: Das Verhalten unecht gebrochener rationaler Funktionen 1 geht flir große lxi sofort aus der Zcrlegung (2.37) hervor. Da r/q echt gebrochen iSI, gilt r(x)/q(x) -,lo 0 flir lxi -,lo 005 (Man sieht dies soforl ein, wenn man Zähler r(x) und Nenner(/(x) durch die höchste Potenz x'" des Nennerpolynoms dividierl.) Aus (2.37) folgt somit 11(x) - h(x)1 _ 0
fLir
lxi _
00.
1 verhält sich also fLir große lxi ebenso wie das Polynom h. Dies führt zu folgender Definition:
Definition 2.1: Ein Polynom heißI AS)'Il1pIOle einer rationalen Funktion 11(x) - h(x)1 _ 0 5 F(x)
--->
(l
für lxi
gill lim F(.(II) 11 ..... 00
--->
=(1.
00 bedeutet:
fLir
Ixl-
f,
wenn folgendes gilt:
00.
Für jede Folge (XII) des Dclinilionsbcreiches von F. die • lim lXIII = 00 erfullt. _ro
2,2 Rationale und algebraische Funktionen
139
Aus obiger Überlegung folgt damit Satz 2.6: Jede rationale Funktion
f Ist f
(a) Ist (b)
f
besitzt eine Asymptote!
echt gebrochen, so ist die Asymptote von
f
die Nullfunktion.
unecllt gebrochen, so ist die Asymptote von f das Polynom 11, das in der Zerlegung (2.37) auftritt. (Es wird durch Division des Zählerpolynoms durch das Nennerpolynom gewonnen.)
Wir merken zusätzlich an, daß die Asymptote 1'01/ f genau dann eine Gerade ist, wenn der Grad 11 des Zählerpolynoms um höchstens I größer ist als der Grad m des Nennerpolynoms, d,h./I ~ 11I+ I. Denn in diesem Fall hat die Asymptote h den Grad J oder 0 oder ist gleich dem Nullpolynom. Im Beispiel 2.22 errechnet man aus (2.36) durch die Division auf der rechten Seite (x 2 + 3x ~ 4)/(x ~ 2):
6
[(x)=x+5+-x-2
Asymptote von [ ist also die Gerade hex) = x + 5 (s. Fig. 2.18). In Beispiel 2.23 ist Asymptote von g das Polynom hex) = 2x 2 + X - 6. Übung 2.10: Welche Asymptote hat die Funktion !(x) =
2.2.2
2x 3 _7x 2 +2r_1 , ? x~+4x+7
Algebraische Funktionen
Eine Funktion f heißt algebraische Funktion, wenn die Punkte (x. y) ihres Graphen einer Gleichung der Form
'\' L.. aiP' ;y * =0
(2.38)
i.k=Ü
gehorchen. 6 Die Gleichung heißt algebraische Gleichung zu f. Hiiufig ist zunächst eine Gleichung der Fonn (2.38) gegeben, und man hat die Aufgabe, sie »nach)' aufzulösen« ,d.h. eine Gleichung der Form
y
~
f(x)
herzuleiten, so daß alle Paare (x. y). mit y = f(x), die Gleichung (2.38) crfullen. 6 Hierbei setzcn wir x O = )'0 = I. auch im Falle x = 0 oder)' = O.
(2.39)
140
2 Elementare Funktionen
Beispiel 2.24: Wir betrachten die Gleichung y2
+ x2 =
I.
x, Y E IR,
(2.40)
Die Punkte, die dies erflillen, bildcn eine Krcislinie, wie anh,md der Fig. 2.19 (mit Hilfe des Pythagoras) klar wird. Der Kreis hat den Radius I und den Mittelpunkt im Koordinatcnnullpunkt. Man nennt ihn Eillheilskreis. Wif»lösen nach y auf«: Gleichung y2 +x 2 = I ist gleichbedeutend mit y2 = I ~ x 2 . Dies ist genau dann erfLillt, wenn
y=~ oder y=-~
(2.41)
ist. Hierdurch werden zwei Funktionen beschrieben; II(.r)=JI-x 2 ,
h(x)=-JI-x 2 •
(2.42)
Delinitionsbereich ist in beiden Fällen I-I. 11. I1 beschreibt den Halbkreis oberhalb der xAchse, h entsprechend unterhalb der x-Achse. Die Graphenpunkte von 11 und h gehorchen der GI. (2.40). I1 und h sind also algebraische Funktionen.
, y
,.
Fig. 2.19: Einheilskreis
Fig. 2.20: Kreis mit Radius r um (xo. )"0)
Beispiel 2.25: Analog zum vorangegangenen Beispiel beschreibt
einen Kreis mit dem Radius,. um dcn Koordinatcllursprung. Allgemeiner noch: Alle Punkte (x.y),die (y
~ )'0) 2
+ (x ~ xo)~" =
,.~
2,2 Rationale und algebraische Funktionen
141
erfüllen, bilden einen Kreis mit dem Radius r um den Mittelpunkt (xo, )'0), s. Fig. 2.20. (Man sieht dies leicht mit Hilfe des "Pythagoras« ein,) Beispiel 2.26: (Nach [51) Ein Konstruktionselement mit rechteckigem Querschnin ist mit den Randspannungen (T" und (Ty belastet, wie in Fig. 2.21 skizziert. Wir denken uns einen Schnitt durch die Fläche unter dem Winkel rp gegen die Waagerechte, s. Fig. 2.21. Für die an dieser Schnittlinie auftretende Längsspannung (J und Schubspannung r gilt G
. .,
= (J-r sm~ rp
.,
[
+ Gy cos-Ip =
"2(Gx
1
+ Gy) + "2«(Jy ~ Gx)cos21p
7
I. I. I . r = 20')' S1l121p - 20'x S1l121p = 2: (0')' - (J-r) sm 21p
, o.
o.
•
o.
,
2
0
o 0, I I
f4-----:
o,+Oy
2
I - ....- - .,
Oy-O,
2
Fig. 2.21: Mohrseher Spannungskreis
Quadriert man rund
G
~ !«(J-r
+ Gy). so erhält man aus obigen Gleichungen
, (a,. _0,,), ( a, +2 a.)2 +r-= 2 (J~
(2.43)
Diese Gleichung beschreibt einen Kreis in der (J-T-Ebene. Er heißt Mohrsche,s SpaJll/IlIIgskreis. 7 Die hier benulzlen Funklionen sin und tQs nebSl ihrer Addilionslheorcnle werden in Abschn, 2.3.2 ausfUhrlich crlaulcrt. 8 Chrislian Duo Mohr (1835 - 1918). deulscher tngenieur
142
2 Elementare Funktionen
Sein Mittelpunkt liegt auf der a-Achse. Für jeden Winkel rigen Werte T und a entnehmen.
(j)
kann man aus Fig. 2.21 die zugehö-
Potcllzfunktioncn: Besonders einfache algebraische Funktionen sind die POlen?jullktiollen
[(x) = Cx"/'" .
(
" m
ganz, natürlich.
(2.44)
Der Exponent von x ist dabei eine beliebige rationale Zahl. Zuniichst setzen wir" > 0 voraus. Ist '" ungerade. so kann die ganze reelle Achse als Definitionsbereich verwendet werden. Ist m gerade. so liegt der Definitionsbereich in [0. 00). (Denn x ll /'" = ( ~)" ergibt nur im Falle ungerader 111 fur negative x einen Sinn.) Im Falln < 0 gilt analoges. Nur 0 liegt nicht im Definitionsbereich. f ist in der Tat algebraisch. Potenziert man nämlich)' = Cx"/ m mit dem Exponenten 111, so folgt y'" - C"'x" = O. also eine Gleichung vom Typ (2.38). Für x > 0 (C = I) sind die typischen Formen der Funktionsgraphen von [ in Fig. 2.22 zu sehen. Der Leser setze sie fur den Fall, daß 111 ungerade ist, in dem Bereich x < 0 fort. Dabei ist zwischen geraden 11 und ungeraden 11 zu unterscheiden.
Fig. 2.22: Typische Potenzfunklionen f(.I) =
ex"/'"
Beispiel 2.27: Die adiabatische Zustandsänderung eines idealen G.ases mit Druck IJ wird durch IJ/P'" = C (C konstant) beschrieben, also durch
Für Luft ist /( = 1.405. Allgemein ist /( eine Materialkonstante, die als rationale Zahl angenommen werden darf. Explizite Darstellung algebraischer Funktionen Typische algebraische Funktionen sind
[(x) =
(
v'?+l , 2 - 2)' + Xl. X + 1
2,2 Rationale und algebraische Funktionen
143
Allgemein gilt: Besteht ein Formelausdruck [(x) aus der Variablen x (endlich oft auftretend) und endlich vielen Zahlen, verknüpft mit endlich viefen Rechelloperalionell +, -, " : oder POIenzierungen mir rarionalen Exponenten, so ist [ eine algebraische FunktiOIl in explizirer Darsreflul1g. Durch schrinweises Umformen von y = fex) kann man in diesem Falle eine Gleichung der Gestalt (2.38) erreichen, der alle Paare (x. y) genügen, die auch y = !(x) erfüllen. Die Umkehrung gilt nicht! Insbcsondere läßt sich nicht jede algebraische Funktion durch FormelausdTÜcke der genannten Art bcschreiben. In der Technik habcn wir es abcr hauptsächlich mit algebraischen Funktionen der beschriebcnen expliziten Art zu tun. Beispiel 2.28: Der Luftdruck {J hlingt von der Höhe 11 über dem Erdboden ab. Bei ruhender isothermischer Atmosphäre lautet dieser Zusammenhang P=PO
(
11 - I 8h ) 1-----11 RL' To
~
(2.45)
Die rechte Seite, abgekürzt [(11), beschreibt eine algebraische Funktion. Die Konstanten dazu bedeuten: Po Bodendruck (z.B. Po = 1.013 bar), 11 = 1,235 Polytropenexponent, RL = 287m 2/(K . s2) spezifische Gaskonstante der Luft, To = 288K Temperaturkonstallte, 8 = 9,81 m/s 2 Erdbeschleunigung. Übung 2,11:
Man forme (2.45) in eine Gleichung vorn Typ (2.38) um. 2.2.3
Kegelschnitte
Hier wird ein erster Einblick gegebcn. In BurgfHaflWille (VeklOranalysis) [71, Abschn. 1.3, werden Kegelschnine ausflihrlieh bchandelt. Ellipse: Wir gehen aus von der Gleichung x2
y2
- + -b2 (/2
= I
(a > O. b > 0) .
(2.46)
Trägt man alle Punkte (x. y). die die Gleichung erflillen. in der x-y-Ebene ein. so bilden sie eine Kurve, wie in Fig. 2.23 skizziert. Eine Kurve dieser Form heißt eine Eflipse. Wir können sie uns aus einem Kreis entstanden denken, der in einer Richtung gleichmäßig gestaucht (oder gestreckt) ist. Der Kreis selbst gilt als Spezial fall einer Ellipse. Löst man die Ellipsengleichung (2.46) nach y auf, so erhält man (2.47) Die linke Gleichung beschreibt eine Funktion, deren Graph der »obere« Ellipsenbogen ist, die rechte Gleichung entsprechend eine Funktion, deren Graph den unteren Bogen darstellt.
144
2 Elementare Funktionen
,
B
,
b
•
o
Fig. 2.23: Ellipse
Fig. 2.24: Planctcngctricbe
In Fig. 2.23 wollen wir a > bannehmen. a, die Länge der Strecke [0. AI, heißt gn1Je Hafbachse der Ellipse. Entsprechend heißt b die kleine Halbachse. b ist die Länge von [0. BI. Ellipsen spielen in der Himmelsmechanik eine große Rolle: Die Planeten der Sonne laufen in sehr guter Näherung auf Ellipsenbahnen. Dasselbe gilt flir Satelliten im erdnahen Raum. Will man die Bewegung eines Punktes auf einer Ellipsenbahn technisch erleugen, so läßt sich dies einfach mit einern Pfallelengetriebe konstruieren, wie es in Fig. 2.24 skizziert ist. Dabei rollt ein Rad in einern anderen vom doppelten Radius herum. Ein beliebig markierter Punkt P auf dem rollenden Rad bewegt sich dann auf einer elliptischen Bahn. Hyperbel: Hyperbeln sind ebene Figuren, die durch
,-,=1 b-
x2
)'2
(2.48)
(a>O,b>O).
a-
beschrieben werden, siehe Fig. 2.25. AuAösung nach yergibt (lxi :::a).
(2.49)
womit zwei Funktionen angegeben sind, deren Graphen zusammen eine Hyperbel bilden. Für große lxi kann man a 2 gegen x 2 vernachlässigen, so daß (2.49) übergeht in )'
~
b -x.
a
y
~
b --x.
"
(2.50)
SelZl man hier = stall ~, so hat man die Gleichungen zweier Geraden (vgl. Fig. 2.25). An diese Geraden schmiegt sich die Hyperbel immer besser an, je größer lxi ist. Die Geraden heißen die Asymplole" der Hyperbel. Hyperbeln treten auch in der Himmelsmechanik auf, z.B. als Komelcnbahnen odcr Bahnen
2,2 Rationale und algebraische Funktionen
145
y
•
•
o
Fig. 2.25: Hyperbel von Satelliten, die das Sonnensystem verlassen. Ferner treten Hyperbeln bei Kühltürmen als Querschnitt-Figuren auf, wie auch bei Düsen oder Lampenformen. Parabel: Parabeln werden durch
Y=CX 2 =o.
c>O.
beschrieben. Wir haben sie in Abschn. 2.1.3 ausflihrlieh behandelt. Bemerkung: Ellipsen, Hyperbeln und Parabeln werden KegelscIlllilIe genannt. In der Tat treten sie als Schniufiguren auf, wenn Doppelkegel und Ebenen sich schneiden (s. Fig. 2.26). Auch die Grenzfalle ~ Kreis oder Punkt, zwei sich schneidende Geraden oder eine Ger 0, A2 > 0). Es ist also (/ = A I und b = -A2. Somit folgt nach (2.88) und (2.89):
cP =
~arccos
A,
A'
(2.90)
Überlagerung zweier Schwingungen vcrschiedcner Frequcnzcn, Schwcbungen Durch [(I) =
AI COS(Wlt)
+ A2 COS(W21 + cp),
WI
> W2.
(2.91)
wird die Überlagerung zweier harmonischer Schwingungen verschiedener Frequenzen beschrieben, Zur UmfomlUng verwenden wir die GI. (2.72) und (2.73) in Abschn. 2.3.2. Addition und Subtraktion der GI. (2.73) liefert nämlich
x+y
x-y
. x+y . x-y
x-y
. x+y . x-y
cas x = cas -2- cas ~ - sm -2- ''" -2-
x+y
casy = cos - -
2
00'-- + sm - - , ' " - - . 2
2
2
168
2 Elementare Funktionen
Wählen wir x = WII, Y :::: W21 f(I)=(AI+A2)COS
+ (A I
-
+ l{) und setzen dann in (2.91) ein, so folgt
,) cos (w,-= ') 2 2 (w, +w, . (w, +"" 2 + 2"'). (w, -"" 2 2"') ~t+2"
A2) sm
t
~t-2
sm
(2.92)
I-
Wir wollen nun Al = A2 annehmen und zur Abkürzung W = (WI +W2)/2 und W = (WI - W2)/2 setzen. Damit folgt
f(t)=2AICOS(Wf+~)COS(wt~~)
(2.93)
mitw>w.
Das Produkt dieser beiden harmonischen Schwingungen beschreibt eine Schwingung mit der Fre-
quenz w, dcren Amplitude sich mit der langsameren Frequenz w harmonisch schwingend ändert, s. Fig. 2.48. Man nennt eine solche Schwingungsform eine Schwebung. w heißt die Frequenz der Schwebung.
/
"
~/
~/
!/'l
O,
X
ist flir alle rationalen Zahlen x erklärt (s. Abschn. 1.1.6). Es ist zuniichst unsere Aufgabe. a X auch für irrationale x sinnvoll zu definieren. d.h. so. daß f(x) = a X nach Möglichkeit eine stetige Funktion wird. Zunächst sei Cl > I. Dann ist f streng monotoll steigend auf der Menge der rationalen Zahlen. Denn sind x]. X2 zwei rationale Zahlen mit x] > X2. so können wir sie auf Hauptnenner bringen: Xl
I'
= -. m
x~ •
q = -11I
(p,q,m ganz, 11I
:FO.
p > q)
und erhalten
Es ist \/ä> I, denn aus ':/ä ::: I würde a ::: I'" = I folgen, entgegen der Voraussetzung. Wegen p > q ist damit \/ä,,-q > I, folglich f(xj) > [(X2). D.h. f steigt streng 1110noton. 1m Falle 0 < a < I ist [(x) = a X flir rationale x streng monoton fallend, wegen a X (I/a)-X mit 1/(1 > l. Füra = 1 ist fex) = (Ix = 1 konstant.
Definition 2.8: ISI (I > 0 eine reelle Zahl und x (.00
x
eine
irrationale Zahl
mit der Dezima1darslellung
= Zoo Z]Z2.o3 ... .0" ...
ganz, Zh
Z2 • .03, •••
Ziffern), so bilden wir darauS die Folge der ralionalen Zahlen
rO=.oO. r]=ZO·.o1
r" = ZO • .oI.o2",ZI/
und definieren damit
a X := lim ar" . " ..... 00
(2.94)
170
2 Elementare Funktionen
Auf diese Weise ist [(x) =a.f.
mita > 0,
für alle reellen x erklärt. Man nennt diese Funktion die Exponentialfunktion zur Basis
a. y
y
y. a'
y. a' (a.2)
Hl
o
o
Fig. 2.49: Exponentialfunktionen zur Basis (/
Fig. 2.49 zeigt Schaubilder fur a > 1 und 0 < a < I. Bemerkung: GI. (2.94) ist sinnvoll, denn die Folge (a rq ) konvergiert. weil sie monoton und beschränkt ist. (Die Monotonie folgt aus der Monotonie von (rn). Ferner liegen alle a rn zwischen a ro - 1 und a ro + l , woraus die Beschränkthcit folgt.) Satz 2.12: Jede Exponentialfunktion [(x) = a.f ist stetig. Im Falle a > I ist sie streng monoton steigend, im Falle 0 < a < 1 streng monoton fallend. Der Bewcis kann von Lesern, die hauptsächlich an Anwcndungen interessiert sind, überschlagcn werden. Sie verlieren nichts Wesentliches. Beweis: (I) 1m Falle (j = I ist [(x) == I und somit stetig. (11) dic behauptcten Monolonieeigenschaften ergeben sich unmittclbar aus dcr Definition der Exponenti a1fun ktion. (11I) Wir beweisen nun, daß [ stetig in 0 ist: Es sei (x n ) eine beliebige Folge mit X n .....,. 0 und o < x" .::: I. Zu jedem x" suchen wir die größte natürliche Zahl 11I" mit
x ll
I .:::-·
mn
Wegen x" .....,. 0 gilt auch I/m" .....,. 0 fur im Falle (j > im Falle 0 < a
a.fn 2: al/mn .....,.
Damit folgt
'lI
für
11 .....,. 00
2.4 Exponcntialfunktioncn, Logarithmus, Hyperbelfunktioncn
171
(al/m~ --7 I geht aus Abschn. I AA, Beisp. 1.36, hcrvor.) Es gilt also aX~ --7 I ::::; aO, d.h. fex) ::::; a X ist in 0 rcchtsseitig stetig. Die linksseitige Stetigkeit ergibt sich analog. Damit ist f stetig in O. Wir haben also gezeigt:
(2.95) (IV) HiljsbelWllfJ/IIllg: Aus x"
--7
XO, x" rational, folgt
Zum Beweis betrachten wir die Folge r" --7 xo aus Dcr. 2.8, sofern xo irrational ist. Ist so setzen wir einfach r" ::::; Xo fur alle 11. Damit erhält man in beiden Fällen
da a r•
aXo und a x.- r•
xo rational,
I nach (2.95). (V) Die Gleichung a ::::; a -'(' a· r' ist für alle rationalen x, x' richtig, durch Grenzübergänge der Form (2.96) aber auch flir alle reellen x, x'. --7
X
--7 X
(VI) Gilt nun x"
--7
xo (x" reell), so folgt damit
wie in (2.97). (r'·
--7
aXO} bedeutet jedoch, daß fex) = a X inxo stetig ist, was zu beweisen war.D
Wir stellen noch einmal heraus, was die Stetigkeit von fex) ::::; a X bedeutet. Sie besagt: Für jede reelle Zahlenfolge (XII) mit X" --7 xo ftir" --7 00 gilt lim
"_e
::::;
aX~
(2.98)
(1"'0} •
Folgerung 2.3: (RechellregeJll) Für alle positiven a, b und alle reellen x, y gilt a,r+)'
= "x,,)'
»' = aXY.
(a X
(Additiollstlu:orem der Expollellfialjlll1ktiollefl), (ab)X = aXb.f.
(2.99) (2.100)
Beweis: Nach Abschn. 1,1.6, Folgerung 1.9, gilt dies flir alle mtionalen x, y, durch Grenzübergiinge der Form (2.98) aber auch flir irrationale x, y. 0 Bemerkung: Exponentialfunktionen gehören zu den wichtigsten Funktionen in der Analysis, in Technik und Naturwissenschaft. Mit ihnen werden Wachswmsvorgiinge, Aufschaukelungs- und Abklingvorgänge und vieles andere mehr behandelt.
172
2 Elementare Funktionen
Übung 2.26*: Beweise. daß die E:o;ponentialfunktioll !(x) = ist und rur 0 < a < I streng monoton fallend. Hinweis: Im Falle l/ > I zeige man
(fr
(x E IR) für
für rationale Zahlen Xt. x2. Anschließend lasse man für also auch irrationale - zu.
2.4.2
XI
(I
und
> I streng monoton steigend
.fZ
beliebige reelle Zahlen -
Wachstumsvorgänge. Die Zahl e
Motivation: Durch)' = a l (a > l) werde ein WachslUffisvorgang beschrieben, wobei / die Zeit bedeute und}' die anwachsende Größe. (Es könnte sich hier z.B. um das Bevölkerungswachstum der Erde handeln, das in nicht zu langen Zeiträumen - etwa 50 Jahren - diesem Wachstumsgesetz näherungsweise gehorcht. y = I bedeute dabei eine bestimmte Anzahl von Menschen. y = 2 die doppelte Anzahl usw.) Es sei (/ unbekannt. jedoch wollen wir annehmen, daß die »WachslUmsgeschwilldigkeit« v zur Zeit/ = 0 bekannt ist. v ist dabei in guter Näherung
a l _ao
" ,,--1
rur kleine 111 >
o.
Kann man hieraus G, wenigstens näherungsweise. berechnen? Das ist der Fall. Umformung ergibt niimlich. mit (/0 = I:
Wir setzen 11 = VI, und erhalten damit
Dies gilt umso besser, je kleiner I/I ist, und damit auch je kleiner 1111 ist. Wir berechnen daher den Ausdruck (I +11)1/11
für kleine 1111 > O. Für 11 = 10- 2,11 Ausdruck die gerundeten Werte
(2.102) 10- 8 zum Beispiel erhält der
2,704813829. 2,718145918. 2,718281828,
(2.103)
2,718281828.
Die letzten beiden Zahlen sind schon gleich. Probiert man noch kleinere 1111, so erhält man auf
2.4 Exponentialfunktionen.
Logarithmu~.
Hyrx;rbclfunktioncn
173
dem Taschenrechner stets die letzte der hingeschriebenen Zahlen. Dies legt die Vermutung nahe, daß (2.102) für 11 --+ 0 konvergiert. Wir werden dies später beweisen. Den Grenzwert nennt man »ElIlerscJle ullzl« e, zu Ehren des Mathematikers Leonhard Euler, also e:= Hrn(1 +11)1/11.
(2.104)
IJ_Q
Der Zahlenwert von e ist, bis auf Rundungsfeh1cr, gleich der letzten Zahl in (2.103):
e
=2,718281828.
Hiermit kann man die gesuchte Zahl {/ aus (2.JOI) gewinnen, wobei wir rechts den Grenzübergang" 4 0 durchfUhren: (2.105)
Konvergenzbetrachtung für e: Wir wollen zeigen, daß der Grenzwert (2.104) existiert. (Der anwendungsorientierte Leser kann diesen Beweis ohne Schaden überschlagen.) Zunächst wird gezeigt Hilfssatz 2.1: Die Folge (XII) mit
( ')"
.r,,= 1+;;
11
(2.106)
= 1.2,3,
konvergiert. Beweis: Mit der binomischen Formel erhält man
"
,,","(11 - I) .. (Il-k+ 1)
1 + L-
x" =
k=1
(2.107)
Dabei gilt i 0< 1--
-
"
i
0 bewiesen. 2. F(lII: Es sei -I < 11 11 < O. Wir setzen r" = -1/11 11 und führen diesen Fall auf den vorangehenden zurück: (I
+lI n )I/"" = =
')" - - )" = (1+-( '",)-" (-,,, --')-" (,,, ') ...... ')"-' ('+-(1+-1--
~
r"
r" - 1
r,,-I
r,,-1
e·1.
r" - I
3. Fall: Für eine beliebige Folge 11" ...... 0 mit 0 < Ih" I < 1 gilt (2.111) ebenfalls. Denn bilden die positiven 11" eine Teilfolge (1I I1t ), so strebt der Ausdruck (1 + ""t)l/"nt nach Fall I gegen e. Dasselbe gilt fur negative 11" nach Fall 2. Daraus folgt die behauptete GI. (2.111). 0
ni
Bemerkung: In Abschn. 1.4.6, Beisp. 1.39, haben wir die Eulersche Zahl e als Grenzwert der Folge (11/ = 1+ + + ... + ~ kennengelernt. Die Begründung dafUr, daß (11/ tatsächlich gegen den gleichen Grenzwert strebt wie (1 + 11)1/" geht später aus dem Abschnitt über Taylorreihen hervor.
2.4.3
Die Exponentialfunktion exp(x) = eX und der natürliche Logarithmus
Definition 2.9: Die Exponentialfunktion zur Basis c wird auch mit exp bezeichnet (s. Fig. 2.50): exp(x):=e.t,
xEIR.
, 4
-3-2-10
2
Fig. 2.50: Die Exponcntialfunktion cxp(x) = c-'
Wenn wir in Zukunft von »der Exponentialfunklion( reden, ohne Basisangabe, so ist stets diese Exponentialfunktion gemeint. Sie ist in der Analysis die wichtigste aller Exponelllialfunktionen. Bei unserer Motivation im letzten Abschnitt Irat sie schon in GI. (2.105) auf.
176
2 Elementare Funktionen
Bemerkung: Die große Bedeutung der Exponentialfunktion exp beruht einzig und allein auf folgender Tatsache (wobei wir auf die Differentialrechnung vorgreifen); Die Funktion exp ist gleich ihrer eigene" Ableillmg: exp' = exp. Mehr noch: Sieht man von konstanten Vorfaktoren ab, so ist exp die einzige Funktion mit dieser Eigenschaft. Dies begründet ihre überragende Bedeutung rur die Analysis. Folgerung 2.4: exp errullt rur alle x, y E IR die Flillktio"algleichlillg exp(x
+ y)
= exp(x)exp(y).
(2.112)
Beweis: Dies folgt sofort aus e-'+)' = e-' e)'.
o
Die Exponentialfunktion exp : IR _ (0, (0) bildet die reelle Achse umkehrbar eindeutig auf die Mcnge (0, (0) der positiven Zahlen ab. Sie besitzt daher eine Umkehrfunktion. Definition 2.10: Die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion exp wird natürlicher Logarithmus In genannt. Das heißt y = Inx
bedeutet
x =e)'
(x> O,y E IR).
(2.113)
Die Funktion In : (0,00) _ IR bildet (0, (0) umkehrbar eindeutig auf IR ab, s. Fig. 2.51, In ist stetig, da exp stetig ist. Bemerkung: Alle Eigenschaften der Logarithmusfunktion könncn aus dcr Exponentialfunktion hergeleitct werden. Seide Funktionen, exp und In. sind also gleichsam die Seiten ein und derselben Mcdaille. Was rur die eine Funktion gilt, kann immer auch auf die andere umgeschrieben werden, y
y .In)(
o
-,
2
3
4
5
,
-2
Fig. 2,51: N:llürlicher Logarithmus
Die GI. (2,113) lassen sich zusammenfassen, wenn wir y = In x in x = e)' einsetzen. Es folgt
2.4 Exponentialfunktionen.
x ==e lnx
Logarithmu~.
Hyrx;rbclfunktioncn
177
(2.114)
fUrallex > O.
Dies ist die Sch/iis.\·e!gleidlllng flir die meisten Rechnungen, in denen Logarithmen benutzt werden. Durch Einsetzen von x == e)' in y == Inx erhiilt man analog
y == ln(e>')
fUr alle y E IR.
(2.115)
Daraus folgt unmittelbar In 1 == O. •"olgcrung 2.5: Für alle x > 0,)' >
ogilt
In(x . y) == In x
+ In)'
In
(~)
(Fullktiollalgleidnmg des Logarithmus)
== lnx -In)'
ln(~)==-In)' exln(x) == ln(x"')
(2.116) (2.117) (2. 118)
fLiralieex E IR.
(2.119)
Beweis: Es ist eln «)') == x . )' == ein.< . ein)', woraus (2.1 16) folgt. Die übrigen Gleichungen gewinnt man 0 analog. Durch die Logarithmusfunktion In bekommen wir auch die Porenifullktioll !(x) = x"'(x > 0) mit beliebigem ex E IR besser in den Griff. Denn wir können sie mit x = e hu darstellen durch (2.120) Daraus folgt, daß diese Funktion stetig ist, denn In ist stetig und die Exponentialfunktion auch, also auch dic Komposition exp(ex In x), wie sie in (2.120) vorliegt. Auch dic allgemcine Exponcntialfunktion x 1-7 a'«a > 0) läßt sich mit (I == e lnu umformen: (2.121) Für die Berechnung der Werte in (2.120) und (2.121) benötigen wir lediglich die Exponentialfunktion exp und die Logarithmusfunktion In! Beide sind heutzutage auf jedem wissenschaftlichen Taschcnrechner zu finden. Wir haben also gesehcn: Durch die beiden Funktionen exp und In können alle Probleme! bei denen Potenzen reeller Zahlen auftreten. behandelt werden.
178
2 Elementare Funktionen
Zum Schluß beweisen wir, daß e< folgende Grenzwertdarstellung besitzt: Folgerung 2.6: c" = lim(l +xh)I/It.
(2.122)
'-0
Beweis: Im Falle x = 0 ist dies sofort klar. Im Falle x f::. 0 muß bei Grenzwertbildung 0 < Ixhl < I vorausgesetzt werden. Mit der Abkürzung t = xh f::. ist der Beweis von (2.122) kindlich einfach:
°
((I +1)1/1)"" -+ c" fürh -+ O,d.h./-+ O. Beim Grcnzübergang wurdc benutzt, daß sich «(I + t)1/1)"" stetig in 1 ändert. Dics ist durch die (I +xll)I/11 = (I +t)""/I =
0
Stetigkeit der Potenzfunktioncn gcsichert.
Übung 2.27: Ein Organismus. desscn Masse m(t) dem idealen Waehstulllsgesctz m(I)=Ce kl
(I Zeil)
folgt. hai zur Zeit 10 = 2 h die Masse m (10) 1/1(11) = 791.2 g. Berechne C und k.
71S.3g und zur Zeil 11
7 h die Masse
Übung 2.28*: Beweise die folgenden Grenzwen-Aussagen. (Sie lussen sich fortlaufend UUSelllander herleilen.)
Dabei seien 1/ E N und .., Y E IR. (a)
(d)
,,
"
lim(X) -2" =0.
10 ' lim'--'::' = 0
z-oo z'"
(b)
(Hillll"ei~'
ZU
lim ~ =0.
' O.
(2.126)
Die Konstante hat den Wert I/In (I.
Beweis: Es ist x = ein.\" und x = a lo &,.\" = e lnu IO/;".f. Bei Vergleich der auftretenden Exponenten ergibt sichlnx=lnalog"x. 0 Damit werden alle Eigenschaften von In, die in Folgerung 2.5 im letzten Abschnitt beschrieben sind. sofort auf log" übertragen: 11 log2 wird auch durch Id abgckürlt (»Logarithmus dualis,,)
180
2 Elementare Funktionen
Folgerung 2.8: Für alle x > O,y >
ogilt
lo&,(xy) = log" x loga
(~) =
+ log" y.
log"
(~) =
log" x -log" y.
a log,,(x) = log(l(x")
-Iog"y.
(a E IR).
(2.127) (2.128)
Bemerkung: Von BedeUiung flir die Anwendungen sind im Grunde nur drei Logarithmen. nämlieh In, loglo und log2 = ld. Beim Zehnerlogarithmus wird die tiefgestellte 10 auch weggelassen. man schreibt also einfach log statt 10glO' Der natürliche Logarithmus In ist dabei der wichtigste. Man findet ihn auf jedem wissenschaftlichen Taschenrechner. Der Zehnerlogarithmus liegt den Logarithmentafeln und dem Rechenschieber zugrunde. Da diese Hilfsminel durch den Taschenrechner weitgehend verdrängt sind. wollen wir hier nicht näher darauf eingehen. Der Zweierlogarithmus ld (logarithmus dualis) hat mit dem Aufkommen der elektronischen Rechner Bedeutung erlangt. Denn die maschinenintemen »Gleitkommadarstellungen« reeller Zahlen haben die Form 0, ala2a3 ... all'
t,
z.B. 0, 1011011101101110.2 1101 ,
wobei die Gj die Wer1e 0 oder 1 annehmen. Es handelt sich bei O. {/I, a2 ... {/II und I um Dualzahlen. Für die dabei auftretende Potenz x = 2' gilt t = ld x. Hier findet der »Logarithmus dualis« Anwendung. Übung 2.29: Berechne (mit Taschenrechner):
log16 3 .
2.4.4
log8 7.539.
ld3.789.
(1/ E N).
Hyperbel- und A~afunktionen
Die folgenden Funktionen spielen in Naturwissenschaft und Technik eine Rolle. Links stehen die sogenannten Hyperbelfllnklionen und rechts ihre Umkehrfunktionen, die Areajimklionetl.
Definition 2.12: Hyperbelfunktionen
e _e- x
Areafunktionen
X
sinhx := - - ; c -
2
(Sinus hyperbolicus)
xEIR
arsinhx := In(x
+ ~).
(Area sinus hyperbolicus)
x E IR
2.4 Exponentialfunktionen.
coshx ._
eX +e- x 2
Logarithmu~.
Hyrx;rbclfunktioncn
arcoshx;= ±In(x +~).
XE~
(Cosinus hyperbolicus) e,r _ e-·t tanhx;= . xeR er +e x (Tangens hyperbolicus) e,r +e- x cothx ;= . x E IR \ {Ol er -e x (Cotallgens hyperbolicus)
181
x:::
(Area cosinus hyperbolicus) I
I
+x
artanhx := -21" - - . lxi< I I-x
(Area tangens hyperbolicus) I x+1 arcothx ;= - In - - . lxi> 2 x-I (Area cotangens hyperbolicus)
Fig. 2.53 zeigt Schaubilder der Hyperbelfunktionen.
tanh
~ -, Fig. 2.53: Hyrx;rbclfunktionen Die Herlcitung der Formeln flir die Umkehrfunktionen wollen wir am Sinus hyperbolicus demonstrieren. Man geht aus von y = arsinh x
e)'-e~Y
{::::::>
.~ = sinh y = '---=''2
und löst die rechtsstehende Gleichung nach z = e)' auf:
x =
, - 1/,
~
2
,
r-;--c
=> z- - 2xz - I = 0 => z = x ± v x 2 + I .
Da z = e)' > 0 ist. kann das Minuszeichen vor der Wurzel nicht eintreten. Somit folgt eJ'
=x+ Jx 2 + I=>
Y = In(x
+ R+I)::::: arsinhx.
Der Leser führe entsprechende Rechnungen für die übrigen Hyperbelfunktionen durch.
182
2 Elementare Funktionen
Die Vorzeichen ± bei arcosh bedeuten, daß hier zwei Umkehrfunktionen gemeint sind, wobei + sich auf die Umkehrung von cosh : [0. (0) -+ [I. (0) bezieht und - auf die Umkehrung von cosh: (-00.01-+ 11, (0), vgl. Fig. 2.53a. Satz 2.14: Für alle reellen Zahlen x gilt sinh x + cosh x = eX
cosh 2 x - sinh 2 x = I
•
sinh(-x) = -sinhx,
cosh(-x) = coshx.
(2.129) (2.130)
Additionstheoreme: Für alle reellen x, y gilt cosh(x + y) = coshxcoshy +sinhx sinhy.
(2.131 )
sinh(x + y) = cosh x sinh y + sinhx cosh y .
(2.132)
Zum Beweis hat man lediglich sillhx = (e" - c- X )f2 und coshx = (eX + e-")/2 einzusetzen.
Anwendungen (a) Durchhängende Seile (Hochspannungsleitungen) werden durch x )' = a cosh - + b .
a
a > 0 und b konstant,
beschrieben. wobei die x-Achse horizontal liegt. die y-Achse vertikal nach oben weist. Der Graph des Cosinus hyperbolicus wird daher auch Kellenlinie genannt. (b) Die Hyperbelfunktionen und ihre Umkehrfunktionen treten oft in den Lösungen von Differentialgleichungen auf, insbesondere bei dynamischen Problemen (freier Fall) mit quadratischer Reibung, Weltraumsonden auf Bahnen ohne Rückkehr, u.a. Übung 2.30: Durch
x y=SO.coshSO+b (x und y Maßzahlen Hir MeIerangaben) wird die Form einer Hochspannungsleitung beschrieben
(y-Achse senkrecht. x-Achse waagerecht am Erdboden). Die Leitung hänge zwischen zwei 7 III hohen Masten. die 20 m voneinander entfenn stehen. Berechne b! Wie hoch hängt der Draht an seinem tiefsten Punkt über dem Erdboden?
2.5 Komple;o;e Zahlen
2.5
Komplexe Zahlen
2.5.1
Einführung
183
Es gibt keine reelle Zahl x, die die Gleichung (2.133) erfUllt. da die linke Seite stets::: 0 ist. Allgemeiner kann keine Gleichung der Form x 2 = _b 2
mit b
i= 0
(2.134)
durch reelle x gelöst werden. Trotzdem möchte man Lösungen dieser Gleichungen haben. Dazu geht man so vor: Man »erfindet« ein neue Zahl i. die nicht auf der reellen Aehse liegt (s. Fig. 2.54a), und die i 2 = -I erflillt. Im Ubrigen soll mit i bezUglich Addition und Multiplikation genauso wie mit den reellen Zahlen gerechnet werden. x = i ist also Lösung von x 2 = -I. Ebenso ist x = - i eine Lösung dieser Gleichung. Entsprechend erhalten wir auch Lösungen der GI. (2.134), nämlich x = i b und x = - i b. Damit werden wir auf Zahlen der Form i b, mit b E JR geflihn. Sie heißen imaginäre Zahlen. Sie lassen sich. wie die reellen Zahlen auf einer Geraden anordnen. Diese imaginäre Aclue hat mit der reellen Achse genau einen Punkt gemeinsam. nämlich i ·0 = O. Zur Veranschaulichung kann man daher reelle und imaginäre Gerade in 0 rechtwinklig kreuzen, siehe Fig. 2.54b. Die Zahl i selbst heißt imaginäre Einheit. imaginäre Achse
ib
.; I -3
I
-2
-,I
I
0
I
I
2
3
, ,
I reelle I Achse
IR
•
b)
.)
----Ia+ib
0
•
Fig. 2.54: Komplexe Zahlen a + i b als Punkte einer Ebene Wir gehen nun einen Schrill weiter und untersuchen die Gleichung
x 2 -IOx+34=0. Ist x eine Lösung, so können wir mit der »quadratischen Ergänzung« (10/2)2 chung so umformen: (x 2 ~ IOx +25) ~25+34 =O=> (x _5)2 =-9
(2.135) 25 die Glei-
184
2 Elementare Funktionen
Mit unserer Zauberzahl i folgt damit x-5=i3
oder x-5=-i3.
x=5+i3
oder x=5-i3.
also (2.136)
Diese beiden Zahlen erflillen (2.135), wie man dureh Einsetzen feststellt. Auf diese Weise kommen wir zu Zahlen der Form
a+ib
({I.bEIR).
Sie heißen komplexe Zahlell. Jede solche Zahl kann man als Punkt in der Ebene deuten. Die reelle und die imaginäre Achse sind die Koordinatenachsen. Der Punkt a +i b hat darin die Koordinaten a und b, wie es Fig. 2.54b darstellt. Die beschriebene Ebene heißt komplexe u/lt/enebene. Die Behandlung der GI. (2.135) macht klar, daß jede quadnttische Gleichung durch komplexe Zahlen gelöst werden kann. Das allein ist schon eine genügende Motivation ftir die Einftihrung komplexer Zahlen. Wir werden aber sehen, daß sie weit mehr leisten! Im Folgenden fassen wir die vorangegangenen Überlegungen zusammen und verdichten sie zu exakten Definitionen. Bemerkung: In der Elektrotechnik schreibt man j statt i, da der Buchstabe i für die Stromstärke verwendet wird. 2.5.2
Der Körper der komplexen Zahlen
Definition 2.13: Komplexe Zahlen sind Elemente der Form
a+ib.
mit
a.beR.
Sie werden als Punkte der Ebene im rechtwinkligen Koordinatensystem dargestellt. a und b sind die Koordinaten des Punktes a + i b (s. Fig. 2.54b). (/ heißt der Real/eil von Z = a + i bund b der Imaginiirreil von Z, beschrieben durch
Rez=a.
Imz=b.
Die Realteile bilden die reelle Achse und die Imaginärteile die imaginäre Achse unseres Koordinatensystems. Die Menge der komplexen Zahlen wird mit C bezeichnet. Gleichheit: Zwei komplexe Zahlen a + i bund c und b = d ist.
+ i d sind genau dann gleich, wenn a
= c
Abkürzungen: Man schreibt zur Vereinfachung a + iO = a, 0 + ib = ib, 0 + iO = 0, i 1= i. Die Zahlen i b (b E IR) heißen imaginiire UlMen. Durch a + i 0 = a wird die Menge der reellen Zahlen eine Teilmenge der Menge der komplexen Zahlen: IR c C.
2.5 Kornple;o;e Zahlen
Es scicn 21 :::: a + ib und 22:::: e folgende Grundoperationen crklärt:
+ id
zwei beliebige komplexe Zahlen. Damit werdcn
Addilion:
(a +ib) +(c+id):::: (a +c)
Sub/raklion:
(a
Mulliplikatioll:
185
+ i(b+d)
+ ib) - (c+ id):::: (a -c) +i(b-d) (a + i b)(e + i d) :::: (ac - bd) + i(ad + be) a+ib I ~-.-:::: 2 ,,(a+ib)(e-id). fallse+idi:.O. c+ld c +d~ Die Division ist somit auf die Multiplikation zurückgefLihrt.
Division:
Im Z2 _ -
Zl ... Z2
,,,
-
"
Im
" "
A.
A.
Zl - Z2
Fig. 2.55: Addition und Subtnlklion kOlllple;o;er Zllhlen
Addition und Subtraktion werden durch Fig. 2.55 veranschaulicht. Wir vereinbaren schließlich -(a
+ ib):::::
-a - ib.
Bemerkung: Die Motivation fur die obige Definition der Grundoperationen besteht in folgendem: Man rechne mit den Klammern genauso, wie man es von den reellen Zahlen gewöhnt ist. Man beachte bei Multiplikation und Division lediglich, daß i2 0= -1 zu sctzen ist. Die Subtraktion und Division sind so eingerichtet, daß sie die Umkehrungen der Addition bzw. Multiplikation darstellen, also
"
- 22
0=
2
" :::::2
-
Z2
= =
" "
0=
2 + 22
:::::2·Z2,
(Z2 " 0).
Die genannten Grundoperationen genügen den gleichen Gesetzen wie die reellen Zahlen. Wir stellen die Grundregeln über das Rechnen mit komplexen Zahlen in folgendem Satz zusammen (vgl. dazu Absehn. 1.1.2):
186
2 Elementare Funktionen
Satz 2.15: (Gnmdgeselze der Addition und Multiplikation) Für alle komplexen Zahlen ZI. Z2, Z3, z gilt
(AI) Zl +Ü2 +Z3) = (Zl +Z2) +Z3 (A2) ZI+Z2=Z2+Z1
(A3) z+O=z
(A4) ZU jeder komplexen Zahl Z gibt es genau eine komplexe Zahl w mit Z
+w=
O. Es ist die Zahl w =-z
(MI) ZI(Z2Z3) = (ZIZ2)Z3 (M2) ZIZ2 = Z2Z1
(M3)z·!=z
(M4) Zu jeder komplexen Zahl Z
i= 0 gibt es genau eine komplexe Zahl
w
mit zw = I. Es ist die Zahl w = I/z (01) Zl (Z2 + Z3) = ZlZ2 + ZIZ3
(D2) 0" I
Die Beweise fuhre der Leser durch Nachrechnen, wobei lediglich (M I), (M2) und (01) explizites längeres Rechnen verlangen. Bemerkung: (A I) und (M I) heißen Assoziativgesetzeder Addition bzw. Multiplikation, (A2) und (M2) heißen entsprechend KOlIIlIIl/tativgeselze, während (0 I) das Distributivgeselz genannt wird. Alle Gesetze zusammen heißen Körpergese1ze. Bezüglich Addition und Multiplikation sprechen wir daher auch vom Körper der komplexen ulhlen. Sämtliche Rechenregeln. wie sie in den Folgerungen 1.1 bis 1.6 in Abschn. 1.1.2 beschrieben sind, gelten entsprechend auch fur komplexe Zahlen. Denn diese Folgerungen stützen sich ja nur auf die Grundgesetze (A I) bis (02). Insbesondere gelten die Regeln der Bl'llchl'edlllllng fur komplexe Zahlen unverändert. Potenzen: z" mit ganzen Zahlen
11
wird wie üblich erklärt.
Definition 2.14: Ist z = a
+ i b (a, bE IR) eine beliebige komplexe Zahl, so heißt
l=a-ib
die konjugiert komplexe Zahl zu z. Geometrisch erhält man sie durch Spiegelung des Punktes
l.
an der reellen Achse, s. Fig. 2.56.
2.5 Kornple;o;e Zahlen
187
Im
R.
o
, Fig. 2.56: Konjugiert kornple;o;e Zahl
zzu z
l'olgerung 2.9: (Rechenregelll jiir konjugiert komplexe Znhfen) Für alle komplexen Z"lhlen z. z I. Z2
gilt ZI-Z2::::;ZI-Z2.
Zl
G~)::::; ~~
·Z2 ::::;ZIZ2·
Z" ::::;
Zll
-z::::;
-z
(fallsz2 t-ü),
flir alle natürlichen Zahlen
11.
b)
Gilt!Z::::;Z, z::::; -z,
so ist Z reell so ist z imaginär.
Die einfachen Beweise bleiben dem Leser Uberlassen (z" ::::; Z" beweist man zweckmäßig mit vollsliindiger Induktion). Definition 2.15: Den Abstand des Punktes Z ::::; a + i b von 0 bezeichnet man als Be/rag Izl, siehe Fig. 2.57a, nach »Pythagoras « gilt also:
Folgerung 2.10: Für die Beträge der komplexen Zahlen
IZI + z21 ~ IZII + IZ21 IZI - z21 :::: IIzll-lz211 IZlz21::::; IZllIz21.
z, ZI. Z2 gilt
DreieckslIllgleichullg 2. Dreiecksli/lgleicluillg
188
2 Elementare Funktionen
1_" 1-- _Izd, IZ21
::ft 0,
falls Z2
Z2
Iznl = Izl"
fLir alle n E N,
Iz 2 1= Id = zZ. Die Beweise erfordern zwar etwas mehr Rechnung. doch lassen sie sich problemlos ausfuhren. Die vorletzte Gleichung wird wieder mit Induktion bewiesen. Der Ausdruck Dreiecksl/lIgleiclllI/lg beruht auf der Veranschaulichung in Fig. 2.57b.
------
'b
I' I
.
, , ,'b ,
• b)
)
Fig. 2.57: a) Betrag Izl: b) Zur Dreiecksungleichung IZI
Komplexe WurLe!n: Es sei
,
w~
=
+ z21:: IlII + Il21
z eine gegebene komplexe Zahl. Jede komplexe Zahl w, die
z
erfullt, heißt eine (Quadmt-) Wurzel von Z, beschrieben durch
w=
./i..
(Anders als bei den reellen Zahlen, bei denen .jä ~ 0 eindeutig bestimmt ist (rur (/ ~ 0), ist das Symbol .[i. im Komplexen mehrdeUlig. Wir werden aber zeigen, daß .[i. (mr z ::ft 0) genau zwei Werte beschreibt.) Um alle w E C mit w 2 = Z zu linden, machen wir den Ansatz
z=x+iy, Damit iSI w2 =
Z
w=lI+iv
(x,y,u,vEIR).
gleichbedeutend mit
')' , ( u+lv~=x+ty.
d.h.
,
" 2UV=X+lY. '
1I~~lJ-+1
Das bedeutet
2/1I)=Y· Dies ist ein Gleichungssystem für die beiden Unbekannten
11
und v. Multipliziert man die erste
2.5 Komplexe Zahlen
189
Gleichung mit 4u 2 und quadriert die zweite Gleichung, so ergibt ihre Summe
4u ,
'
=4u~x+y
2
Setzt man hier t = u 2 ein, so hat man eine reelle quadratische Gleichung für t gewonnen. Ihre Lösungen sind
Da t = 1/2 :.:: 0 ist, gilt
1
=
1(x + Izl), und es folgt
Im Falle u = 0 folgtx = -Izl :::: 0 und y = 0, also _u 2 = x, somit u = ±~. Im Falle 11 folgt aus 2uu = y die Gleichung u = y/(2l1). Somit erhalten wir den
#- 0
Satz 2.16:
Ist z = x + i y (x, Y E IR) eine nicht verschwindende komplexe Zahl, so gilt fur ihre komplexen Wurzeln folgendes:
Mit 1/ =
J!(]zl + x)
ist falls
z nicht negativ reell 12 , d.h. z ~ IRQ ,
falls
z negativ reell, d.h. z E IRQ.
Damit lassen sich komplexe qlladratische Gleichungen Z2
+ bz + c =
0
(z, b. c E C)
wie im Reellen durch quadratische Ergällzullg b 2/4 lösen:
Die komplexe Wurzel F hat genau zwei Werte. so daß die letzte Gleichung beidc Lösungen der quadratischen Gleichung beschreibt. 12
Rj) =
Ix € R I x :5
01. siehe Beispiel
1.1
190
2 Elementare Funktionen
Übung 2.31: Berechne (a)
(3+i5)(2-i7) 3+i4 .
1 (bi - - . - (3+ i 2)(5 7+18
(c)
J5'""="Ti2.
(d) j(3-i4)-3.
+ i6).
Übung 2.32: Gib alle (komplexen) Lösungen der folgenden Gleichungen an:
+ -52
(a)
z2-8z+65=0.
(b)
4z
(c)
z2 - (3+i5)z - 16+ i4=0.
(d)
3z+2
z
= 24. (z =F 0).
z+8+i z-5 ( .... 2 ..... 6.) 3i=-'-+-6-i Zr-j+l.Zr- I.
c R, Fig. 2.58: Wechselstromschaltllng
Übung 2.33: In der gleich
Wechselstrom~chaltung der
1
Y ~ .,--:,:::-" RI
+ jwLI
+
Fig. 2.58 ist der Scheillieitlt'ert
de~
Teils ohne die Spule L2
,..
R" _ _
•
wC
Damit ist dcr Scheinwiderstal/{l der gesamten Schaltung
Z =
1
.
Y +JwLz
Abschn. 4.4.3). Dabei ist j (anstelle I'on i) die imaginäre Einheit. wie in der Elektrotechnik üblich. also = -I. Berechne Z Hir die Zahlenwerte:
(~.
P
(Für die Maßeinheiten gelten die Zusammenhänge H s-I = [}. s F-l =
Q .).
2.5 Kornple;o;e Zahlen
2.5.3
191
Exponentialfunktion, Sinus und Cosinus im Komplexen
Definition 2.16: Die Exponentialfunktion exp(z) = eZ ist für komplexe Zahlen z = x folgendermaßen definiert: eZ = eX(cosy
+ isiny).
+ i y (x, Y E IR) (2.137)
Folgerung 2.11: Es gilt die Funklionalgleichung e Z + W = eZ e W Beweis: Mitz = x
+ iy und
flir alle komplexen
w = u + i v(x. Y./I.
eZ+ W = ex+,,+i(y+v) = e·t +lI (cos(y
V
z, w.
E IR) folgt
+ v) + i sin(y + v»
Die Additionstheoreme von cos und sin liefern fur die rechte Seite = eXe"(cosycos' = eX(cosy
v ~ sinysin v+ i(sinycos v+ sin veosy»
+ isiny) . e"(cos v + isin v)
= eZ e W
•
o Ist Z = x reell- also y = 0 - so liefen die Definition 2.16 den üblichen Wen eX der reellen Exponentialfunktion. Die Definition beschreibt also in der Tat eine Erweiterung der Exponentialfunktion exp ins Komplexe. Ist z dagegen imaginär - d.h. z = i tp mit tp E IR - , so liefen die Definition 2.16: e i ,!, =costp+isintp.
(2.138)
Diese Gleichung läßt sich auf einfache Weise geometrisch deuten: Der Punkt ci", in der komplexen Zahlenebene hat die Komponenten costp und sintp. er liegt also auf der Einheitskreislinie (s. Fig. 2.59). Dabei bildet die Verbindungsstrecke 10, Ci"" I den Winkel tp mit der positiven x-Achse. Uiuft tp von 0 bis 27f, so umrundct eiop einmal den Einheitskreis im umgekehrten Uhrzeigersinn. Für tp = ] f folgt speziell ei;r = -I, oder (2.139) Bemerkung: Diese Gleichung wird die schönste Gleichung (fer Well genannt, denn sie verbindet in harmonischer Weise die wichtigsten Z"lhlen der Analysis: 0, I. e, 7f und i.
192
2 Elementare Funktionen
isin 'P
Fig. 2.59: ci'f' auf der Einheitskreislinie Ersetzt man in GI. (2.138) ({! durch
~({!,
so erhält man
e-i\p =cos({!-isin({!.
(2.140)
Hier wurde benutzt, daß cos(-({!) = COS({! und sin(-({!) = -sin({! ist. Wir addieren nun die Gleichungen (2.138), (2.140) bzw. subtrahieren sie und erhalten
Aunösen nach cos ({! und sin ({! liefert
Folgerung 2.12: Für alle reellen Zahlen f{J gilt COS({! =
(2.141) (2.142)
Diese Darstellung von cos und sin ist für viele Umformungen bequem, da sich mit der Exponentialfunktion sehr bequem rechncn läßt. Man zicht dicse Glcichungen überdies zur Definition dcr trigonometrischen Funktionen im Komplexen heran: Definition 2.17: Die Sinus- und Cosinus-Funktion sind fLir beliebige komplexe z; so erkliirt: cosz =
(2.143)
Wir bemerkcn dabei, daß I/i = - i ist, wie man nach Multiplikation der rechten und linken Seite mit i sofort sicht.
2.5 Kornple;o;e Zahlen
193
Bemerkung: Der Leser gewinnt hier den ersten Eindruck von der Eleganz dcr komplexen Analysis: Exponential- und trigonometrische Funktionen, die doch aus ganz verschiedenen Wurzeln stammen, gehen eine harmonische Verbindung ein. Übung 2.34*: Beweise mit (2.143) die Additionstheoreme von sin und cos im Komple;o;en. d.h. sill(z + w) = sinzcos w +coszsin w, cos(z + w) =
2.5.4
coszco~
w - sinzsin w.
Polarkoordinaten, geometrische Deutung der komplexen Multiplikation, Zeigerdiagramm
Es sei z = a + i b ein beliebiger Punkt der komplexen Ebene. der ungleich 0 ist. Wir ziehen die Strecke von 0 bis z (und versehen sie bei z mit einer preilspitze). Die Strecken länge nennen wir r. während Ip ein Winkel zwischen der Strecke und der positiven x-Achse ist, s. Fig. 2.60. Durch das Paar (r, Ip) ist z eindeutig bestimmt.
ib------
•
•
Fig. 2.60: Polarkoordillaten VOll Z
r ist dabei nichts anderes als der Betrag von z r = Izi = Ip
Ja 2 + b 2 ,
(2,144)
heißt Winkel oder Argument von z, geschrieben Ip=argz.
Ip
wird dabei im Bogenmaß angegeben. Dabei ist!{J nicht eindeutig bestimmt! Mit Ip sind auch die
1p+2k7r mit beliebigen ganzen k Argumente von z, wie aus Fig. 2.60 hervorgeht. Man bezeichnet den Winkel !{J von z. der
2 Elementare Funktionen
194
erfüllt, als HauprargulIlelll von z, in Formeln ({! ::::: Arg z. Dabei ist
({!:::::Argz:::::
I
arccos~.
für b :::: 0,
r
- arccos
~. ,
(2.145) ftirb < O.
({! ::::: Arg z ist durch z =1= 0 eindeutig bestimmt. rund ({! ::::: Arg z heißen Polarkoor(/illatell von z. Der Zahl z ::::: 0 ordnet man als Polarkoordinalen r ::::: 0 und ({! beliebig aus lR zu. Umgekehrt lassen sich Realteil a und Imaginäneil b einer komplexen Z1hl z aus ihren Polarkoordinaten r, ({! durch folgende Gleichungen gewinnen. a=rcos({!,
b=rsinrp.
(2.146)
Damit folgt ftir z die Darstellung z
= a + ib = r(cos({! + isin({!) = reif{!
Folgerung 2.13: Jede komplexe Zahl z läßt sich in der Gestalt
(2.147) darstellen, wobei rund ({! Polarkoordinaten von z sind. (2.147) nennen wir die Polarkoordinaten(/arstellun8 von z. Die MlIlliplikatioll zweier komplexer Zahlen Zl und Z2 läßt sich damit so beschreiben: Mit
den Polarkoordinalendarstellungen
erhält man das Produkt
(2.148) Das heißt: Bei Multiplikationen zweier komplexer Zahlen lIlulfip/izieren sich die Betrüge und addieren sich die Winkel! Fig. 2.61 verdeutlicht dies. Anwendung: Harmonische Schwingungen werden durch Acos(wt +((!)
mit
A::: O.w > 0
dargestellt. Man kann dies als den Realteil der komplexen Funktion f(f) = A ei(w/+f{!)
(2.149)
auffassen. Aus diesem Grund wird eine harmonische Schwingung auch in der Form (2.149) angegeben, wobei man (stillschweigend) vereinbart, daß die Realitiit durch den Realteil von f(t)
2.5 Kornple;o;e Zahlen Im
195
Z-Z'Zz
"
.,
R.
Fig, 2.61: Multiplikalion kOlllple;o;er Zahlen (Addilion der Winkel)
widergespiegelI wird. Die Überlagerung zweier harmonischer Schwingungen [1(1) = AI ei(M+ m, so nennt man die Zahl Zl eine /li-fache Nullstelle. GI. (2.153) heißt die Zer/egullg 1'0// f in Linemfaktoren (z - zd· Bemerkung: Der Beweis des Fundamentalsatzes wird in BurglHaflWille (Funktionentheorie) [8], Abschn. 2.2.5. geftihn. Die Berechnung der Nullstellen ZI. Z2, ...•
to = )20m g
== 1,43s,
so erhalten wir die Aufschlaggeschwindigkeit des Steines U'o
=g
Pf .om g
--
m = j20m. g == 14.0-. s
Stellt man sich slaH des Steines beispielsweise einen Blumenlopfvor, der einem vom Fenstersims auf dcn KopffailI, so kann man im Krankcnhaus die Auftrcffgcschwindigkeit nach obiger Methodc berechncn und damit scine Schadensansprüche stützen. Zweifellos cine nützliche Rechen
,
1(.\"0)= 2
0 differenzierbar, und es gilt rur die Ableitung
1
=.
"xO
Anlt:illillg: Schreibe den Differellzenquotienten bezüglich.\"o > 0 und x > 0 hin und verwende
dann die Formel .I"
-
.lO
=
(JX + JXO)( JX - JXO).
Übung 3.4: Für welches .lO E IR hat die Tangente an l(x) = x 2 die Steigung I? Schreibe die zugehörige Tangentengleichung auf. Skiniere 1 und die Tangente.
206
3 Differentialreehnung einer reellen Variablen
Übung 3.5: Berechne die Ableilung von !(.r) = XiI (11 E N) im Punkte xo nochmal (auf andere Weise als im Beisp. 3.3). Und zwar schreibe man den DifferenzenquOliemen bezüglich x und .to hin: (f(x) - !(Xo»/(x - .to) = (.t'1 - x (x - Xo). und wende das Divisiollsverfahren flir Polynome an.
ö) :
Differenzierbare Funktionen Wir betrachten reellwertige Funktionen gungen von !mervaIIen sind.
f, deren Definitionsbereiche
D Intervalle oder Vereini-
Definition 3.2: Ist J : D --'lo R in jedem Punkl des Definitionsbereiches 0 differenzierbar, so heißt f eine differenzierbare Fllnklioll. Ist f : 0 --,10 IR in jedem Punkt einer Teilmenge A von D differenzierbar, so nennt man f differenzierbar auf A. Bei einer dilTerenzierbaren reellwertigen Funktion f : 0 --,lo IR kann man in jedem Punkte x E D die Ableitung f'(x) bilden. Durch die Zuordnung x --,10 ['(x) ist eine neue Funktion [' : D --,lo IR erkIiirt. die man kurL die Ableitung VUII f nennt. y
I(x). x2
,
Fig. 3.3: Funktion !(x) = .r 2 mit Ableitung
Beispiel 3.4: Die Ableitung der Potenzfunktion fex) = beschrieben durch ['(x) =
XII
(f : IR
--'lo
IR,,, E N) ist eine Funktion f' : IR
--,lo
IR.
Il 1 IlX - •
In Fig. 3.3 sind fex) = x 2 nebst zugehöriger Ableitung f'(x) = 2x skizziert. Ist eine differenzierbare Funktion in Form einer Gleichung y = fex) gegeben, so beschreibt man die AbleilUng auch durch
3.1 Grundlagen der Differentialrechnung
y' = j'(x)
oder
dy
-
dx
,
207
(3.16)
~f(x),
z.B.
y , = 3' .e
bzw.
dy 2 dx =3x .
Diese Schreibweisen sind in Technik und NalUrwissenschaft bequem, wenn x und y physikalische Größen darstellen. Graphisches Differenzieren: Wir gehen aus vom Schaubild einer differenzierbaren Funktion j : I ~ IR. Zur gmphischen Ermittlung der Ableitung von j in einem Punkt.\"o zeichnet man ~ w gut es geht ~ die Tangente an j in -'"0 ein. Zu dieser Tangente zieht man die Parallele durch den Punkl A = (-1,0), s. Fig. 3.4a. Die Parallele schneidet die y-Achse in einern Punkt B, dessen y-Koordinate die Ableitung y~ = l'(xo) ist, also B = (0. y~). (Denn das Dreieck [A. B.O] ist eine Kopie des Steigungsdreiecks der Tangente.) Damit ist Y~ zeichnerisch gewonnen, und der Punkt (xo, Y~) der Ableitung l' Hißt sich einzeichnen. y
y
Tangente
y'
'V
0
A
-1
Al
0
.
(: (b) {J(x) = 7x 2 + x 6 (e) p(x) = 3 +
"
= Lakkxk-1.
2
p'(x) = 21x 6
=> 5.,
p'(x) = 14x
11
'3 x ~ 4"x- + 6"x 3 =>
+ 6x 5 ,2 P (x) =
5
11.,
'3 - 2x + 2"r
3.1 Grundlagen der Differentialrechnung Der Grad eines Polynoms erniedrigt sich beim Differenzieren um I. Aus der Reziprokenregel (3.23) folgt rur [(x) = I/x" (mit 11 E N) sofort ['(x) = und damit rur alle Funktionen x ~ x tn mit gallzzaltligellllll:
0).
-x !§ +.( -1
(-I<x I).
(x > 0).
220
3 Differentialrechnung einer reellen Variablen
Übung 3.13*: .1'2 _ X2 = r 2 beschreibt für jedes r > 0 eine Hyperbel. Wie liegen die HyperbeHiste? Kann
man sie als zwei Funktionen auffassen? Differenziere die Gleichung implizit und löse nach y' auf (ohne .I' = ... einzuseu.en). Wo ist in der x-y-Ebene stets .1" = I unabhiingig von r?Zeichne diese Punktmenge! Wo ist stets .1" = und wo y' = ~? Zeichne auch diese Punktmengen.
!
Übung 3.14: Differenziere
y2 -
x = 0 implizit und leite damit erneut
~
=
~ rur x
> 0 her!
Übung 3.15: Differenziere implizit (a)
y2 +xy _x2
(b)
«(I - xli = «(I + x).r 2 (Strophoide). x 3 + .1'3 = 3(1xy (Cartesisches Blatt). «(lx)2/3 + (by)2/3 = ,4/3 mit, = Ja2 + b2 (Astroide).
(c) (d)
= (j2.
Dabei sind (I und b positive reelle Zahlen. Man skizziere die zugehörigen Punktmengen (Kurven) in der x-y-Ebene (0 = I, b = und überlege sich, welche Funktionen damit beschrieben werden und wo das implizite Differenzieren dieser Funktionen erlaubt ist. (Strophoide. Cartesisches Blatt, Astroide werden in BurglHaflWille (Vektoranalysis) [71, Abschn. 1.4, genauer beschrieben.)
!)
3.1.5
MittcJwertsat7. der Differentialrechnung
Legt man die Sekante durch zwei Punkte (a. f(a» und (b, f(b» einer differenzierbaren Funktion f : La, b] - IR. so zeigt die Anschauung. daß es eine Tangente an f in einer Zwischenstelle .1"0 E (a, b) geben wird. die zur Sekanten parallel liegt (s. Fig. 3.7). D.h. die Steigung (f(b) - f(a»!(b - a) der Sekante stimmt mit der Steigung 1'(.1"0) der Tangcnte überein. Wir präzisieren dies in folgcndem Tangente
y
a
"
b
Fig. 3.7: Zum Mittclwertsatz
3.1 Grundlagen der Differentialrechnung
221
Satz 3.5: (Millelwerrsalz der Dijferemia(rechllllllg) Ist die reelle Funktion [ stetig auf [a, b] und differenzierbar mindestens auf (a, b), so gibt es ein xo E (a, b) mit '( ) ~ J(b) - J(a) ' J xo
b
(3.37)
a
Man fUhrt den Beweis über folgende Sätze, Mit Extremlllll bezeichnen wir dabei Maximum oder Minimum einer Funktion.
Satz 3.6: Ist die Funktion [ differenzierbar auf einem offenen Intervall I, und hat [ in Xo ein Extremum, so gilt
E I
['(xo) = Q. Beweis: In Xo habe die Funktion [ ein Maximum. Für x" 0:::
[(x,,) - [(xo)
x"
und fLir X n
o::;
~
-Xo
xo,
X'r
[(al = leb) (andernfalls würden wir [im Folgenden durch - f ersetzen). Nach dem »Satz vom Maximum« (Abschn. 1,6.5, Satz 1.25) besitzt f dann eine Maximalstelle Xo E (a, b). Satz 3.6 liefert ['(xo) = O. 0 Beweis: des Minclwertsutzes (Satz 3.5): Man subtrahiert von [eine Geradenfunktion g mit der Steigung der Sekante bezüglich a und b, und zwar g(x) = X . (j(b) - f(a»)/(b - a), Für die Differenz 2 Michel Rollc (1652- 1719). frnnzösi>ehcr Malhcmmikcr
222
3 Differentialreehnung einer reellen Variablen
F(x) = f(x) - g(x) errechnet man F(a) = F(b). Der Satz von Rolle liefert dann die Existenz einesxo E (a,b) mit , 0= F (xo) =
,
,
f (xo) - g (xo) = f
,
(xo) -
f(b)-f(a) b-a
o
.
Folgerung 3,5: Die reelle Funktion
f sei auf dem Intervall I differenzierbar. Damit gilt:
(a) fist genau dann konstant, wenn 1'(x) = 0 für alle x (b)
f
ist monoton wachsend, wenn 1'(x) :::: 0 ftir alle x ist monoton fallend, wenn 1'(x) .:5 0 auf I gilt.
E I
E I
erfullt ist.
erfüllt ist. Entsprechend
Gilt 1'(x) > 0 bzw. ['(x) < 0 auf I, so ist die Monotonie von
f
sogar »streng«.
Die Beweise ergeben sich unmittelbar aus dem Mittelwertsatz. Wir leiten schließlich eine Verallgemeinerung des Mittelwertsatzes her. Satz 3.8: (Verallgemeinerter Mittelwert.faIZ) Sind die reellen Funktionen fund g auf [a. b I stetig und mindestens auf (a, b) differenzierbar, und ist g'(x) i= 0 auf (a, b), so existiert ein Xo E «(I, b) mit 1'(xo)
J(b) - J(a)
g'(xo)
g(b) - g(a)
(Dabei ist g(b)
(3.38)
i= g«(I), da g wegen g'(x) i= 0 streng monoton auf [a. bl ist.)
Beweis: Für die Funktion F(x) '~J(x) - J(n) -
J(b) - J(a)
g(b) - g(a)
(g(x) - g(a»
auf ta. b] gilt F(a) = F(b) = 0, wie man leicht nachrechne!. Der Satz von Rolle liefert damit die Existenz eines Xo E «(I, b) mit
' , 0 = F (xo) = f (xo)
~
f(b) - f(a) , gib) - g(a)
g (xo) ,
woraus durch Umformung die Behauptung (3.38) folgt. Übung 3.16*: Beweise Folgerung 3.5.
o
3.1 Grundlagen der Differentialrechnung
3.1.6
223
Ableitungen der trigonometrischen Funktionen und der Arcusfunktionen
Satz 3.9: Sinus- und Cosinus-Funklion sind differenzierbar, und es gilt .
Sill COS
,t
=
,t =
COSI
. -smt
ftir alle 1 E IR.
(3.39)
Y
-t- -
sin (I. tol) Y _ sin
'Y _o-
t
t.öl
I.
öl
""
,B , , , , 1.1 IDc 1..1 , ,
,
cos (I • tot) x_cest
0
Fig. 3.8: Zur Ableitung von sin und cos Bemerkung: Man kann die Ableilungen von sin und cos durch Fig. 3.8 plausibel machen: Und zwar ist das kleine schraffierte Kreisbogendreieck nahezu ein »normales« gradlinig berandeles Dreieck. Dcr Winkel bei A hat das Bogenmaß 1 + .1t. Somil folgt
"'y
"',
-
R::
lL1xl
"',
cos(t + ..1t) ,
- - R::
sin(t + ..11).
d.h. sin(t + L11) - sin t L1y ==-'-:::;:=--"-= ~ L1t L1t -
cos(t+L1t)-cost ..1t
R::
cos(t + .elf)
lL1xl.
~ - - R:: Slll(t
..11
O. Wir selzen zur Abkürzung x=cost,
y = sin t =
L1y = sin(t + L1t) - sin t
JI -
und
x2 ,
..1$ =
L1x = cos(t + L1t) - cost < 0,
j L1x 2 + L1y 2
(Länge der Sehne [A. BI, Fig. 3.8)
224
3 Differentialreehnung einer reellen Variablen
Damit folgt rur den Differenzenquotienten des Cosinus cos(t + .1t) - COSt
Llx
",
",
.1x
.1s
-I
.1s
L1s
.1t
Jl + (L1y/.1x)2
.1t
(3.40)
Nach Satz 2.7 (111). Abschn. 2.3. I, strebt ~: gegen I rur .1t -+ O. Ferner gilt dabei .1x -+ 0 und somit
-x
dy
L1y -~
.1x
dr
Damit konvergiert (3.40) mit L1t -+ 0 gegen
Im Falle .11 < 0 ist .1x > O. und man erhält völlig analog den gleichen Grenzübergang. Folglich gilt cos'1=-sint
rur
IE(O.Jr).
Für die SinusfunktiOll folgt mit der Kettenrcgel daraus ,
sin t =
d .)""""--,,,
~
dt
I
cos 1=
2costsint 2JI
cos 2 t
= cost,
(t E (0. Jr)).
Damit ist die Behauptung cos' { = - sin {, sin' t = cos { rur { E (0. Jr) bewiesen. Durch cos I = sin(t+Jr /2). sin t = ~ cos(t+Jr /2) gewinnt man die Richtigkeit der Behauptung fLirr = O. durch eos t = - sin(t -Jr /2), sin t = cos(t -Jr /2) fur { = .Jr, durch cos( -1) = cos {. sin( -tl = - sin t fur t E [-Jr, 01. und durch cos(t + k2Jr) = COS {, sin(1 + k2Jr) = sin { (k ganzzahIig) fur alle {ER. 0 Mit den Regeln sin' = cos und cos' = - sin können wir einen eleganten Beweis der Additionstheoreme fuhren. Satz 3.10: (Additio/ls{heoreme für sin und cos) Für alle reellen Zahlen x und y gilt sin(x + y) = sin x cos y + cosx sin y.
(3.41)
cos(x + y) = cosx cos y - sinx sin y.
(3.42)
Beweis: Wir setzen z := x + y. also y = z - x und setzen dies in die rechte Seite von (3.41) ein: sin x cos(z - x) + cosx sin(z - x) := fex) .
3.1 Grundlagen der Differentialrechnung
225
Differenziert man diesen Ausdruck nach x. so erhält man ['(x) =:: 0 fUr alle reellen x, Daraus folgt, daß f(x) konstant ist, also f(x) =:: f(O) ftir alle x E IR. Wegen f(O) sinz sin(x + y) folgt also
=
=
sin(x + y) = f(O) = f(x) = sin x cos y + cosx sin y.
o
womit (3.41) bewiesen ist. (3.42) folgt analog. Für die Tangens- und Cotangensfunktion folgt aus tanx = sinx / cosx und cot x mit der Quotientenregcl sofort
=::
cosx I sin x
Satz 3.11: Tangens- und Cotangens-Funktion sind in allen Punkten differenzierbar, in denen sie definiert sind. und es gilt
,
, [
tan x = --,- = I +tan-x. cos- x
(3.43)
,
, [
cot x = --.-2- = -I-cot-x. sm x
(3.44)
Für die Arcus-Funktionen, die ja die Umkehrfunktionen der trigonometrischen Funktionen auf bestimmten Imervallen sind, erh~iJt man ohne Schwierigkeiten
Satz 3.12: Die Ableitungen der Arcus-Funktionen lauten . , arcsm x =
arctan' x =
[
~
,
,
arccos x =-
[
I
+x
[
vl-r [
I
dt
I
I
I
aresm x = - ~ - ~ - - ~ - - = dx ~; sin't cost Entsprechend ergibt' = arctan x, d,h. x I
dt
I
Hir alle x
arccot' x = ~ - - - 2 l+x
2 '
Beweis: 1 = arcsinx ist gleichbedeutend mit x = sint (-t < t < Umkehrfunktionen (Satz. 3.4 und (3.32). Abschn. 3.1.4): .
fllr alle x E (-1.1),
~
=::
tan t
I
JI
_sin 2 ,
(-f
< t
O.ll folgendermaßen dargestellt werden: Inlxl 10g"lxl::::--, Ina
,p
I) kann nach Abschn. 2.4.3, Folg. 2.7,
(3.50)
x,pO.
Speziell fLir x :::: e folgt log" e :::: aus (3.50): d I -log"lxl:::: - dl" ,rlna
~
1/ In a.
Die Ableitung von 10&, lxi gewinnt man unmittelbar
log"e --. x
Auch die al/gemeine POlen;j'lIllktioll J(x)=x".
x>O,
mit beliebigem reellen Exponenten a läßt sich nun leicht differenzieren. Wir schreiben J(x):::: e"lnx
und erhalten mit der Kettcnregcl die Ableitung J'(x)::::
eil Inx
a..!. = ,r(la..!. :::: 1I,r,,-1 . x x
(3.51)
3.1 Grundlagen der Differentialrechnung
229
also Satz 3.15: Die Potenzfunktion f(x) = x"(x > 0) mit beliebigem reellen Exponenten a hat die Ableitung d
-x" = ax,,-I
(3.52)
dx
Logarithmische Ableitung: Ist vall I, so wird durch
F(x):= lnf(x),
f :I
--+ (0. (0) eine differenzierbare Funktion auf einem Inter-
x EI,
eine neue Funktion gebildet. die logarithmierte Funktion aus der Ketlenregel: d dx
'0 fix) =
1'0/1
f heißt. Ihre Ableitung erhält man
/,(x)
f(x)·
(3.53)
Man nennt dies die logarithmische Ableitung von f. Bemerkung: Die logarithmische Ableitung bedeutet folgendes: Mit Y=f(x) .
gilt ungef:ihr Lly
.1x=x~xo.
~ !,(x)Llx,
.1Y=f(x)~f(xo)
(X.XoEI)
also
/,(x) '" --Llx. Y fex)
LI)'
-
(3.54)
Die logarithmische Ableitung !'(x)/f(x), multipliziert mit .1x, ergibt also ungeftihr die relative Änderullg 11011 y = fex) bei Änderung der x~Wcrte um Llx. Übung 3.20: Differenziere (u) y = eh .
(b) y=x 4 e'O).
(e) y
10
0).
(c) y = esin . I .
Bemerkung: (a) Die beiden Vorzeichen ± bei arcosh' bedeuten. daß hier zwei Funktionen gemeint sind, wobei sich + auf die Umkehrfunktion von cash: (0,00) ....". IR bezieht und entsprechend - auf die Umkehrfunktion von cosh : (-00.0). (b) artanh' und arcoth' haben zwar formal denselben Formelausdruck rechts vom Gleichheitszeichen. doch beziehen sie sich auf verschiedene Bereiche der x-Achse, wie rechts angegeben. Übung 3.22: Leite die obigen Ableitungsforllleln rur die Hyperbel- und Area- Funktionen her.
Übung 3.23: Differenziere (a) y = (.r 3 +sinhx)3.
(b) y = arsinh,JX
(e) y =.r 2 ·sinh(x)eosh(x).
(d) y = - -
,.,
ananhx
(x:l' 0). (x:l'O).
Übung 3.24: Die Kurve einer Hochspannungsleitung wird durch
y = /10 +lI
(COSh; - I).
-xo::
x:: xo.
beschrieben (/10. (/. Xo positiv). Welchen Winkel bildet die Leitung mit der Horizontalen an den Enden bei -xu und .rO? Dabei setze man 110 = 7 m, .rO = J 5 m, a = 60 n1.
3.1.9
Zusammenstellung der wichtigsten Diffcrentiationsregelll
Die wichtigsten elementaren Funktionen sind mit ihren Ableitungen in folgender Tabelle zusammengestellt. Dabei existieren die Ableitungen in allen Punkten x. in denen die Funktionen
3.1 Grundlagen der Differentialrechnung
231
definiert sind. Lediglich bei X U ist zu beachten, daß im Falle Ci ~ I zusätzlich x ~ 0 vorauszusetzen ist. Im Folgenden seien Ci und c beliebige reelle Zahlen, sowie a eine beliebige positive Zahl. Tabelle 3.1: Elementare Funktionen und ihre Ableitungen fex)
f'(x)
1(x)
c
0
arccosx
x"
cuu -
sinx
cosx
arcco!x
cosx
-sinx
e'
l
arctallX
,
,
- 2- = 1 +tan-x
In .(
cotx
--
Q'
Oe-'~I
lnx
(b) _~~I x2 _ I
~
cos(O) -O e
~
I
(Der Leser ergänze die rechte Seite)
=
Der folgende Satz verallgemeinert den bewiesenen Satz 3.16. Satz 3.17: VOll (Ie I'Hospital. allgemeiner Fall) Es seien fund g differenzierbare reelle Funktionen auf dem Intervall (a. b), fur die
(Regeln
lim fex) = lim g(x) = 0
x_b
x--->b
lim fex) = ±oo
x_b
gilt. Es sei ferner g'(x)
und ~
0 auf (0, b). Damit folgt
lim fex) = lim !,(x) x--->b g'(x)
x_b g(x)
lim g(x) = ±oo
x_b
(0 < x < b),
(3.56)
sofern der rechtsstehende Grenzwert existiert oder ±oo ist. (Hierbei ist auch a = oder b = 00 zugelassen.)
-00
234
3 Differentialreehnung einer reellen Variablen
Für x
-f
a «(I < x < b) gilt die entsprechende Aussage.
Der Beweis beruht auf der gleichen Idee wie beim vorigen Satz. Wir fLihren ihn hier nicht aus, sondern verweisen auf [26], S. 287. Für den Ingenieur sind die Anwendungen des Satzes wichtig. (Gelegentlich wird hier von
o o
co
»unbestimmten Ausdrücken« - oder -
co
gesprochen, doch wollen wir diese mißverständliche
Sprechweise besser vermeiden.) Wir beginnen mit einfachen Beispielen, die zeigen, welche Fülle neuer Grenzwertaussagen mit Leichtigkeit aus den de I'Hospitalschen Regeln folgen. ßeispiele Im Folgenden seien a und b beliebige positive Zahlen. Beispiel 3.14:
c".I"
lim - x ..-_00
(le".\"
= lim - - =
..-_00
00 .
Daraus folgt Beispiel 3.15:
e"'"
lim b
x_oo
X
= x_oo lim
(e((llb l.• ), --x
=00.
D.h.: Jede Exponentialfunktion e"x (a > 0) geht sclmeller gegen 00 als jede Potenz von x. Daraus folgt sofort ßcispiel3.16: lim p(x) e-"x = 0
"'_00
ftir jedes reelle Polynom p.
Beispiel 3.'7: lnx I/x lim - = lim -b-I - hm - = 0. x_oo x h x_oo Irr x_oo bx h lox
Wegen log" x = -
'"a
(a > 0) folgt auch
tim (Iog"x)/x b =0.
mit x_b
x_b
bestimmen, also Grenzwerte, die verzweifelt nach 00-00 aussehen, was ja bekanntlich verboten ist. Sind nämlich j und g auf (a, b) differenzierbar (a = -00, b = 00 zugelassen) und gilt (3.58), wobei stets a < x < b ist, so sind j(x) =1= 0 und g(x) =1= 0 rur große x. etwa ft.ir alle xE (XO. b) mit geeignetem xo. Für diese x rechnen wir
,
,
[(xl - g(x)
1
I
--
--
~ -,- - -,- ~
j(x)
g{.\")
----Sex)
,
j(x)
j(.\")8(.\")
und versuchen. auf den rechts stehenden Bruch die Regeln von de l"Hospital anzuwenden.
(3.59)
236
3 Differenlialreehnung einer reellen Variablen
Beispiel 3.23:
I xI) x....o (sinx lim
----
x-smx
--,-=---,x-o xsinx
= li m
I-cosx smx = li m ---,---,---,-,,=~ = 0 . x_ox·cosx+sinx x....o xsinx+2cosx
= li m
Beispiel 3.24: lim
(I I) ----
x.... O x
eX-I
Übung 3.26: lim
., .... 1
a 1- x _x x
(u >
x~IJ.,.tln(I+~).
0).
lim -
I(
lim
_,. . _ - I- )
x ....Ox 2
I)
1--casx
x .... I ( x - I
Inx
Übung 3.27: (a) Die P/lll1cksdu/ Slrahllll1gs!Ontld lautet
Miln beweise durch viemlaliges Anwenden der de l"Hospitalschcn Regeln. daß lim Li.. =0 ;,.....0 gilt. (Dies beschreibt auch den physikalischen Sachverhalt richtig.) Anleitung: Man setze zweckmäßig x = ch/(k T},.) und unlersuche den entstehenden Ausdruck flir x ---+ 00. (b) (Freier FlIlIlI1it Reibung) Wir betrachten den freien Fall eines Körpers der Masse m durch ein z:ihes Medium. Der Reibungswiderstand R verhalte sich proportional zum Quadrat der Fallgeschwindigkeit v. also R = kv 2. mit einer Konstante k. Der Weg s. den der Körper in der Zeit 1 zurücklegt. ist dann gegeben durch
wobei g die Erdbeschleunigung beleichnel. I
Zeige. daß dieser Ausdruck ftir k ---+ 0 gegen .\' = 2g12 strebt. Dies ist die bekannte Fannel ftir den freien Fall olme Reibung.
4 MUll Karl Ernst Ludwig Pland (1858 - 1947). deutscher Physiker
3.2 Ausbau der Differentialrechnung
237
Übung 3.28: Wo siecki der Fehler in folgender Berechnung nach der de r Hospilalschen Regel: lim x_I
t 3 -2x+[
''---T''-;'--2 x
I
3x 2 _2
6.t
= lim - - - = lim - = 3? x_I 21" x_I 2
(Der richtige Grenzwen iSI [/2.)
Die Taylorsche5 Formel
3.2.2
Motivation: Da sich Polynome leicht berechnen und differenzieren lassen,ja. überhaupt bequem handhaben lassen. möchte man auch komplizierte Funktionen wenigstens näherungsweise durch Polynome darstellen. Wie lassen sich solche »Näherungspolynome« finden? Nach der Idee ~'Oll Taylor gehl man folgendermaßen vor: Ist f eine beliebige Funktion auf einem Intervall I um 0, so macht man den Ansatz (3.60)
und verlangt, daß sämtliche Ableitungen des Polynoms P(x) = Go + alx
+ (/2X2 + ... + a"x"
(3.61)
von der O-ten bis zur II-ten Ableitung im Punkt 0 mit denjenigen von f übereinstimmen. Dies ist natürlich nur möglich, wenn f wenigstens n-mal differenzierbar ist. was hier zusätzlich vorausgesetzt sei. Als nullte Ableitung f(O) bezeichnet man die Funktion f selbst: f(O) = f. Es soll also P so bestimmt werden, daß f(O)
~
P(O).
f'(O) ~ P'(O), ... ,
(3.62)
erfl1llt ist. Dabei liegt der Gedanke zu Grunde, daß sich bei Übereinstimmung der ersten 11 Ableitungen in 0 die beiden Funktionen fund P wohl nur wenig unterscheiden werden, zumindest in genügender Niihe von O. Der Unterschied beider Funklionen
R,,(x) = fex) - P(x) heißt Restglied. Man hofft, daß IR,,(x)1 möglichst klein wird. Aus (3.62) ist das Näherungspolynom P leicht zu bestimmen. Für die Ableitungen von P in oerrechnet man ohne Mühe P(O) =
ao.
P'(O) = I !al .
P"(O) = 2!a2 .... ,
Setzt man in der ersten Gleichung noch O! = I hinzu, so folgt aus (3.62) flir alle k = O. I, 2, n also 5
Broo~
/(k)(O) ak=---, k!
Taylor (1685 - 1731). englischer Mathcmali~cr
(3.63)
238
3 Differentialreehnung einer reellen Variablen
womit die Koeffizienten von P berechnet sind. Eingesetzt in (3.60) folgt also [(x) = /(0) ,
+
+ 1"(0) x2 + ... + _f_'''_'(O_) x" +R,,(x)
['(0) x
I!
2!
Il!
(3.64)
l'(x)
Allgemeinfall: Will man allgemeiner [ durch ein Polynom annähern, das in der Nähe eines beliebige" Punktes Xo E I möglichst gut mit / übereinstimmt, so hal man in (3.64) 0 durch Xo zu ersetzen und statt x den Ausdruck (x - xo) zu schreiben. Es folgt damit der allgemeine Näherungsansatz . ['(xo) . I"(xo) 2 [(,,) (xo) . " . /(.x) = [(xo)+--(.\-xo)+--(x-xo) +... + (.I.-xo) +R,,(.I.). (3.65)
I!
n!
2!
Das Restglied wird wieder mit R,,(x) bezeichnet. Das Näherungspolynom P() x = f( xo)
f '(x
)
0 (x + -,-,-
x() )
+. .. +
f'"' (x 0) « _ xo)" Il!"
(3.66)
erfüllt p(k)(xO) = [(k)(xO) für alle k = 0, 1.2, ... , n. Natürlich möchte man wissen, wie gut das Polynom P die Funktion [ annähert, d.h. wie groß der »Fehler« IR,,(x)1 = I/(x) - P(x)1 ist. Diese Frage wird durch folgenden Satz beantwortet, in dem gebriiuchliche Formeln rur das Restglied angegeben sind. Satz 3.18: (Taylorsche Forme/mit Restglied) Es sei / eine reel1e, (11 + 1)- mal differenzierbare Funktion auf einem Intervall J. Sie läßt sich in folgender Form darstel1en: [' (Xo) I" (xo) 1 /(x) = /(xo)+-I-!-(x~xO)+-2-!-(x~xo) +.
(3.67) wobei x und Xo beliebig aus I wählbar sind. (a) Das Restglied R,,(x) kann dabei folgendermaßen geschrieben werden: R"x ( ) -_
f
,"+II(,) , (x "li)
..to. )"(x
- sin"O = 0, => sin"'O=~I. => sin(4) 0 = 0,
sm' x = cosx sin" x = -sinx sin"'x=~cosx
sin(4) x = sin x usw. Also folgt x3
.
smx = x - 3!
5
7
5!
7!
+ -x - -x + ... + RII(x).
mit
(3.79)
Analog errechnet man x2 x4 x6 cosx = 1- 2! + 4! - 6! + ... + R,,(x),
cos(,,+I)(~)
mit
R,,(x) =
Da Isinxl ::s 1 und Icosxl ::s 1 ist und damit auch I sin("+I)(~)1 die Restglieder in beiden Fällen
::s
(11
+ I)!
(3.80)
x,,+1
1, I cos("+I)(~)1
::s
1, gilt fLir
Ixl,,+1 IRII(x)l::s (
Tl
+ I)'· .
Die rechte Seite strebt für
11 --7 00
gegen 0 (wie in Beispiel 3.25), also gilt
R II (x) --7
0 rur
11 --7 00.
Damit erhält man die Taylorreihcn von sinx und cosx: .
3
.5
X.\
X
7
00
""
(
-
I)'
S1l1X=X-3T+ 5! -7! +"'=L(2k+I)!x k=O
x2 x4 x6 cosx = I - - + - - - + ... = 2!
4!
6!
2:: (_I)k (2k)' x 00
2k
2k+l
.
(3.81)
.
k=O
Die Taylorenlwicklungcn von sinx und cosx licfern uns Berechnungsmcthoden, mit denen sin x und cosx beliebig genau ermittelt werden können, insbesondere flir lxi ::s Durch sukzessives Anwenden der Formeln ± sinx = cos (1- T x), sinx = sin(n - x), sin x = sin(x + 2kn) (k ganz) und entsprechender »Verschiebeformeln« flir cosx kann man damit sinx und cosx auch rur beliebige x E IR berechnen. Dies macht die Stärke der Taylorformel deutlich! (Computer benutzen verbessene Formeln, ja, sie gehen oft sogar tabellarisch vor.)
t.
3.2 Ausbau der Differentialrechnung
243
Bcispicl3.27: Die Taylorformel der Logaritltlllll.r-Fullklioll Inx kann man nicht um 0 entwickeln, da die Funktion dort einen Pol hat. Man entwickelt sie statt dessen um I, also um die Nullstelle von Inx, oder - was auf dasselbe hinausläuft - man entwickelt [(x) = In(1 + x) um O. Dazu errechnet man ['(x) = (1 +x)-I,
!,'(x) = -(1 +x)-2,
f"'(x) = 2!(1 +x)-3.
f(k)(x) = _(_I)k(k - 1)!(1 +x)-k,
setzt x = 0 ein und erhält die Taylorentwicklung x2
x4
x3
(-xl"
2 +:3 - 4 + ... - -,-,- + R,,(x).
fex) = In(l +x) = x -
Für 0::: x::: I folgt aus der Lagrangeschen Restgliedformel mit einem x,,+l
I
-. IR".('li -- 11 + I (I
+ 0,,+1
1 < - - -+
- 11
~
E (0. x):
0 rur ,,-+ 00.
+I
während fur -I < x < 0 die Cauchysche Restgliedformel verwendet wird:
lxi IX-~I" I +~
Ixllx-H'
IR,,(x)1 = (1 +~)n+l = 1 +~
Wegen 1
+s >
mit
-1<x 0 so gewählt, daß
11+1
I
0). Bt1l1'eise: (a) lSI I eine gerade Funktion. d.h. I(-x) = I(x) fUr alle xE (-r. r). so kommen in der Taylorreihe von / nur gemde Exponenten vor. d.h. sie hat die Form
00
L
k=O
U2kX2k.
(b) [SI fungerade. d.h. gilt f( -.t) = - f(x) auf (-r. r). so kommen in der Taylorreihe von / nur ungerade Exponenten vor. sie hut ulso die Gestalt
00
L
k=O
U2k+t.tZk+l.
Übung 3.33: Leite die Taylorreihen von sinhx. coshx her. Gib auf I = (-r. r) eine Restgliedabsch~itzung uno wobei Sutz 3.19 nebst (3.93) benutzt werden kann. (Es isl dubei M = I ZU setzen! Wie groß ist C zu setzen?)
3.2,5
Ucrcchnung von ]f9
Setzt man in die Taylorrcihe von arctan den Wert x = 1 ein, so folgt wegen arctan(l) = ]f /4 die überraschende Gleichung 7r
1
I
I
-=1--+---+. 4 357
(3.94)
Die rechts stehende Reihe heißt Leibllizsehe Reihe. Zur praktischen Berechnung von ]f ist sie ungeeignet, da sie sehr langsam konvergiert. Doch gibt sie eine Anregung. wie man verfahren kann. Und zwar gewinnt man aus dem Additionstheorem
-:'c"c"cx,--,+_'c"c"c'c..' = tan(x l-tanxtany
+ y)
9 Kann I"om anwendungsorientierten Leser überschlagen werden. Doch zeigt der Absehnit(. wie dieses uralte Problem mit unseren Methoden äußerst effektiv gelöst werden kann.
250
3 Differentialrechnung einer reellen Variablen ..
I
+s
mit / = tanx und 05 = tan y durch Ubergang zur Umkehrfunktion die Gleichung arctan - -
x
I-/s
+ y,also 1+'
arctan - - = arctan / I -1$ 1
+ arctan $ .
+,
Mit - - = I erhält man links 1-1.\'
1+05
--
~
1-/$ -
Jr /4.
~
(3.95)
Wir wählen zunächst /
120
Ti9
und
$
~
1 - - woraus 239'
I folgt, also nach (3.94)
Jr
120
4
119
- = arctan -
I - arctan . 239
(3.96)
Nun ist aber 120
119=
-&+iJ 5 5'
I-
TI
'
also nach (3.95)
TI
120 5 arctan = arctan - + arctan 12 119 5 .!. +.!.5 -12 = 5 1 1' also 1- 3 '3
5 5 - = 2 arctan - . 12 12 5 arctan- = 2arctan 12
und
I
~. 5
Dies alles eingesetzt in (3.96) liefert Jr
=
4(4 arctan ~ - arctan 2~9 )
Mll der Taylorrelhe von arctan, angewendet auf arctan
(3.97)
5"
1 . und 239' errechnet man hIeraus
Jr
bequem mit hoher Genauigkeit. Dabei werden nur wenige Glieder der Reihen benötigt.
Übung 3.34: . I . I 1+$. . Man verbessere Formel (3.97), Indem man - m der Form - = - - ausdrm:kl, und zwar nut 5 5 I -IS . I. I Wenen 1 und s. deren Absolutwene klcmcr als '5 smd (z.B. 1 = 10' s =?).
Konvexität, geometrische Bedeutung der zweiten Ableitung Die Funktion in Fig. 3.9a ist konvex, diejenige in Fig. 3.9b konkav. Konvexe Funktionen wölben sich »nach unten«, konkave »nach oben«. Dabei ist auch der Grenzfall eines Geradenstücks zugelassen. Dies ist sowohl konvex wie konkav. Liegt eine »nach unten gewölbte« Funktion vor, die kein Geradenstück enthäll, so nennt man sie zur besseren Unterscheidung sireng konvex. Entsprechend gibt es auch slreng konkave Funktionen.
3.2 Ausbau der Differentialrechnung
251
b} konkav
a} konvex
Fig. 3.9: Konvexe und konkave Funktionen
Wie kann man diesen anschaulichen Sachverhalt in Formeln umgießen? Dazu sehen wir uns Fig. 3.10 an. Dort ist eine konvexe Funktion f I _ IR gezeichnet. (I Intervall). Charakteristisch fLir diese Funktion ist folgendes: Verbindet man zwei beliebige Graphenpunkte (XI,)'I) und (X2. )'2) durch eine Strecke - ~~Sehne« genannt - , so liegt das Graphenstück von f. welches sich zwischen den Punkten befindet, »unterhalb« der Sehne oder im Grenzfall auf der Sehne. Das heißt: Wählen wir eine beliebige Zahl X zwischen XI und X2 (Xl< X < X2), so ist stets (3.98)
fex) .:'S g(x).
wobei g die Gerade dureh die beiden Punkte (XI. Y!l, (X2. Y2) ist (YI Nach der ~~Zweipunkteform« einer Geraden gilt X -
XI
g(x) = Ü2 - y ] ) - X2 -XI
+ YI
(3.99)
.
Mit der Abkürzung
x-
XI
(3.100)
A~-
X2 - XI
folgt g(X)
=
(I - ).,)YI
+ ).,Y2.
Die Zahl)., ist das Verhiiltnis der Streckenliingen x - XI zu X2 - Xl (s. Fig. 3.10), also gilt )., < I. Umgekehrt kann man X durch dieses Streckenverhältnis ausdrücken. indem man (3.100) nach x aunöst:
o
anstelle von :::: streng konkav. Statt» I ist streng konvex« sagt man auch» I hat eine Linkskrümmung«, entsprechend bei streng konkavem I : » I hat eine Rechtskrümmung«. (Hier stellt man sich offenbar vor, daß man im Auto auf dem Graphen von I entlangtiihrt in Richtung steigender x-Werte.) Geometrische Deutung der zweiten Ableitung Die Betrachtung der Fig. 3.9a zeigt, daß die Steigung der gezeichneten konvexen Funktion I von links nach rechts zunimmt (oder wenigstens nicht abnimmt). J' ist also monoton steigend. Das bedeutet aber I"(x) ~ O. Man vermutet sogar, daß aus I"(x) > 0 strenge Konvexität folgt. Entsprechend ist eine konkave Funktion durch II/(x) :::: 0 gekennzeichnet. während I"(x) < 0 sogar strenge Konkavheit verbürgt (zweimalige Differenzierbarkeit vorausgesetzt). Wir präzisieren diese anschaulichen Überlegungen in folgendem Satz:
Satz 3.20:
o
Es sei I eine reeJle Funktion. die auf einem Intervall I stetig ist und im Inneren I dieses Intervalls zweimal stetig differenzierbar ist. Damit folgt:
II/(x)::::
ofur alle x
r
I ist konvex auf I,
EI
I ist kOllkav auf J.
II/(x) ::: 0 rur alle XE
o
3.2 Ausbau der Differentialrechnung
253
Im Falle positiver bzw. negativer zweiter Ableitung gilt die Verschärfung:
f
,
0
((x) > 0 rur alle x E /
o
f"(x) < 0 rur alle xE /
Beweis:
f
~
f ist streng konkav auf /.
o
(I) Es sei j"(x) ::: 0 auf I. Wir zeigen. daß aus 1 gilt: [(I - A)f(X))
+ Af(x2)J -
fex) ::: 0
ist streng konvex auf I.
f
konvex auf 1 ist, d.h. daß flir beliebige XI < X2
fur
x = (I ~ A)Xl +)..x2.
A E (0.1).
Man erkennt die Richtigkeit der Ungleichung durch folgende Umformung: (I - A)f(x)) ~
+ >"f(X2) -
I(x)
nach Mittelwertsatz mit
+ «/(X2) - I(x)) A)/' 0 aufla, b] an. f steigt somit streng monoton und hat daher genau eine Nullstelle in [a, b], Fig, 3.11 zeigt. daß die Newtonfolge (x,,) monoton nHlt und durch die Nullstelle x von 1 nach unten beschränkt ist. (Man prüft dies leicht durch Rechnung nach.) Damit konvergiert die Newtonfolge gegen eine Grenzwert x·, Läßt man in XII + I = XII - f (xlI ) auf beiden Seiten 11 gegen 00 geheIl, so erhiilt man X·
= x· _ f(x·) ::::} f(x·) = 0, /,(x·)
also x· = X. Der Zusatz folgt aus Satz 3.21, der ja besagt, daß bei genügend kleinem Abstand 0 der Näherungslösungen von x quadratische Konvergenz von (x,,) vorliegt. Bemerkung: In der Praxis des Ingenieurs geht man meistens so vor, daß man die Newtonfolgen xo, XI, X2, ... einfach sukzessive durch die Vorschrift X Il +1 = x" - I(x,,)/I'(x,,) berechnet, ausgehend von einer Anfangsniiherung. die man sich irgendwie verschaff! hat (durch Probieren, Zeichnen, Konvexitiilsüberlegung a la Satz 3.22 oder durch ein vorgescha1tetes Intervallhalbierungsverfahren). Man kümmert sich wenig um Konvergenzsätze, sondern bricht das Verfahren und XI/+l ab. wenn Ix"+1 -XI/I »klein genug« ist (z.B. wenn 1..24.... - I1 < 5.10-9, d.h. wenn Xn+1
x,,
auf 8 Stellen übereinstimmen). Da fex,,)
1_
If(x,,)1
Ix,,+1 - x,,1 = /'(Xl/) ,..". ~
1
mit M = ~iD II'(x)1
gilt. wenn U ein genügend kleines Intervall um die Nullstelle ist, und da I/(xl/)I/M ::: Ix" - xl die Fehlerabschätzung darstellt, ist durch IXIl +1 - x" I ungeruhr der Fehler lXII - xl gegeben. Es gilt also die Faustregel: Der Fehler Ix" - xl ist nahezu gleich der Änderung beim nächsten Newtonschritt. d.h. nahezu gleich IXI/+l - x,tl.
3.2 Ausbau der Differentialrechnung
259
Für die Praxis reicht dieses »hemdsärmelige« Vorgehen in den meisten Fällen aus! Es sei schließlich erwähnt, daß sich das Newtonsche Verfahren vorzüglich zur NlIlfslellel/besfim1'01l Polynomen eignet. Dabei gewinnt man die Funktiol1swerte [(XII) und die Ableitungswerte /' (XII) ftir das Newton- Verfahren bequem durch das »doppelte Hornerschema«, d.h.: Ist
II/lIllg
[(x) =
+1I1 + 1I2x2 + ... + lI",x"'.
(jQ
so berechnet man die ersten heiden Systeme des großen Hornerschemas (vgl. Abschn. 2.1.5):
Doppeltes Hornerschema X =XIl
(/2
Um-I
(Im
X"b",_l
X"b2
V
./
b m _2 X/lC",_2
X'ICI
'/
C",_2
I~I./
./
C",_3
"0
UI
x"b]
__ x"bo
,Jol '0 ~ f/x,,) I
XtlCo
"01 'I ~ hx,,)
I
(3.109)
Die Gleichungen ro = [(x,,), rl = /'(x,,) ergeben sich dabei aus folgender Überlegung: Setzt man das Schema zum großen Hornerschema fort, so erhält man [(x) = ro
+ 1"1 (x -
XII)
+ '2(X -
x,,)2
+ ... + r",(x -
XII)'"
(s. Abschn. 2.1.5). Daraus folgt unmittelbar [(x,,) = ro, ['(XIl) = 1"1. Wendet man also bei jedem Newton-Schritt das doppelfe Homerschell/(j (3.109) zur Berechnung von Funktions- und Ableitungswen an, so hat man ein effclaives Verfahren zur Ermittlung der reellen Nullstellen des Polynoms [(vgl. [56], 4.2.6). Diese Idee ist illl41 J zu einem »autornatellsicheren« Verfahren weiterentwickelt worden. Man findet das »Nickel-Verfahren« oder andere vollautomatische Verfahren heule in fast allen Progra1l1mbibliotheken elektronischer Rechenanlagen.
,
y_sinx
, "
,.-, 2
Fig. 3.12: a) Zur Gleichung
1- sin.( = O.
xo ..:.. 2. OOOOOOOOO
1.900995594 X2';' 1.895511645 x3 ,;. 1.895494267 X4 == 1.895494267
.ll ,;.
b) Zur Berechnung der Lösung von
1- sin x = 0
260
3 Differentialrechnung einer reellen Variablen
Beispiel 3.29: Gelöst werden soll die Gleichung
x
.
"2~S1nx=O.
Es handelt sich um die Suche nach den »Schnittpunkten« der beiden Funktionen g(x) = x/2 und sin x. Die Fig. 3.12a zeigt, daß drei Schnittpunkte zu erwarten sind, einer bei 0, einer bei 2 und der dritte etwa bei -2. wobei der letzte das Negative desjenigen bei 2 ist. Wir brauchen also numerisch nur die Lösung
x in der Niihe von 2 zu berechnen. Wir setzen [(x) =
x "2 - sin x. Hir
diese Funktion errechnen wir die Rekursionsvorschrift nach (3.104): XII+I
=
x l1 /2 - sinxl1 X II -
1/2~cos-'"11
'
11
= O. 1,2..
Beginnend mit Xo = 2 erhiill man daraus die Werte in Fig. 3.12b, die auf 10 Dezimalstellen gerundet sind. Wir erkennen die unglaublich scfmelle KOllrergellZ des Newton-Verfahrens, denn schon ab -'"3 iindern sich die numerischen Werte nicht mehr. Die Lösung lautet also, auf 10 Stellen gellau:
x ==
1.895494267.
(Der Leser iiberpriife mit der Fehlerabschiitzung (3.108) des Satzes 3.21, daß der Fehler kleiner als 5· 10- 10 isl.)
y
o
ra
' a. Xc
-, Fig. 3.13: a) Zur Berechnung von
./ä mit dem Newtonschen Verfahren
.r 0 ..:. 3. ()(X)()(J()()OO .r 1
.r2 .r) .r4 .r5 .r n
== 2. 0<XXl00000 == 1.7500000oo == 1.732142857 == 1.732050810 == 1.732050808 == 1.732050808
b) Berechnung von
J3
Beispiel 3.30: (Berechnung von Quadratwurzeln) Es sei a > 0 gegeben, und es soll .jli berechnet werden. Man sieht, daß .jli die einzige Nullstelle der Funktion [(x) = x 2 - a auf [0. 00) isl. Ausgehend von einem -'"0 mit [(xo) ::: 0 erminc1n wir die Nullslelle mit dem Newtonverfahren. Die
3.2 Ausbau der Differentialrechnung
261
Iterationsvorsehrift Xn+1 ::::; Xn - f(x n )/!'(xll ) wird rur unsere Funktion nach Umformung zu
Als xo kann man xo ::::; a wählen, wenn (I > I ist, und Xo ::::; I, falls 0 < a < I gilt. In jedem dieser Fäl1e ist die Bedingung f(xo) ~ 0 erfLillt, d.h. die so gebildete Folge (x,,) strebt nach Satz 3.22 quadratisch gegen .jli. Beachlet man nun noch, daß XI ::::; !(xo + (I/xo) der gleiche Wen ist, egal, ob man xo ::::; (I oder xo ::::; I setzt, so schrumpft unsere Anfangsbedingung zu der einfachen Regel zusammen: Mall setze in jedem Falle xo ::::; (I. Die Tabel1e in Fig. 3.13b verdeutlicht anhand der Berechnung von genz. Nach nur 5 Iterationsschritten ist
.J3 ==
J3 die schnelle Konver~
1.732050808
auf 10 Stellen emlittelt. Die angegebene Methode ist eine der besten zur Berechnung von Quadratwur.lCln. Die meisten Computerprogramme beruhen darauf. (Bei großem a werden zuerst Zweierpotenzen abgespalten: a ::::; a02 2J:, mit I :::: ao < 4, und dann aus (10 und 22J: gesondert die Wurzeln gezogen:
.jli ::::; .fiiö2J:.) Übung 3.37: Berechne mit dem Newtonverfahren die reellen Lösungen der Gleichung
Übung 3,38: Gib ein Vcrfahrcn zur Bercchnung von
3.2,7
ya an (a
E IR beliebig).
Ucstimmung von Extrcmstcllcn
Wir behandeln das Problem, Maxima und Minima einer reellen Funktion zu finden. Diese Aufgabe tritt in Naturwissenschaft. Technik. Wirtschaftswissenschaft usw. häufig auf. Sie steht auch historisch mit am Anfang der Differential~ und Integralrechnung und hat befruchtend auf ihre Entwicklung gewirkt. Zunächst einige Begriffsbildungen, damit wir wissen, wovon wir reden. Definition 3.6: Man sagt, die Funktion f : I -+ IR (J Intervall) besitzt in Xo E I ein lokales Maximum, wenn es eine t~Umgebung U von xo gibt, in der f(xo) größter Funktionswert ist, d.h.
f(xo)
~
fex)
fur alle XE unI
262
3 Differentialreehnung einer reellen Variablen y
lokales
Minimum
r
~k.'"
""'.
lokales
•
globales
Minimum
Min.
"
b
Fig, 3.14: Typen von E;o;lremstelien
gilt. xo heißt eine lokale MaximalsteJle, und die Zahl [(xo) ist das zugehörige lokale Maximum. Gilt sogar [(xo) > [(x)
fur alle XE unI mit x ::f; xo,
so spricht man von einem echten lokalen Maximum und einer echte" lokalen Maximalstelle. Entsprechend werden lokale Mi"ima und MinimaJstellel1 definiert, die ebenso echt oder unecht sein können. Das »eigentliche« Maximum einer Funktion [ : I --,lo lR, also der größte Funktionswert [(xo) auf ganz I, wird zur Unterscheidung von lokalen Maxima auch globales (oder absolutes) M{uim/II// genannt. .1'0 heißt dabei globale (oder absolute) Maxillwls/elfe. Das globale Maximum ist natürlich auch lokales Maximum, aber nicht umgekehrt. Für Minima und MinimalstelIen vereinbart man Entsprechendes. Fig. 3.14 verdeutlicht diese Begriffe. Der Sammelbegriff flir Maximum und Minimum ist Er/rell/um, flir Maximal- und Minimalstelle Extrems/ef/e. Wie kann man Extremstelien einer Funktion ermitteln? Sehen wir uns dazu Fig. 3.14 an: Wir erkennen, daß in den Maximalstelien .1'0 und X2, wie auch in der Minimalstellc XI, waagerechte Tangenten an [vorliegen. d.h. die Ableitung [' von [verschwindet dort. xo, XI, X2 sind dabei innere Punkte des Definitionsbereiches I von [. ExtremalsteIlen können jedoch auch Randpunkte des Definitionsbereiches sein. Der linke Randpunkt a ist zweifellos eine lokale Minimalstelle, während der rechte Randpunkt b sogar eine absolute Minimalstelle von f ist. Diese Überlegungen flihren zu folgendem Satz: Satz 3.23: Für jede lokale ExtremsteIle Xo einer differenzierbaren Funktion J gilt (a) ['(xo) = 0
f
auf einem Intervall
3.2 Ausbau der Differentialrechnung
263
oder: (b) XO ist Randpunkt von I.
Beweis: Es sei xo eine lokale Maximalstelle. Ist Xo kein Randpunkt von I, so gibt es eine e-Umgebung U von xo, die ganz in 1 liegt, und in der f(xo) - fex) ~ 0 erftillt ist. Daraus folgt [
'() Xo
;:;:;
]'
Illl "-·xo
[(xo) - [(x) XO
X
~
O.
o
also !'(xo) = O. (Analog fUf Minjrnalstellen.) Um die Extremstelien von
f
zu finden. hat man also die Gleichung
['(x) ~ 0
zu lösen und anschließend die Lösungen - wie auch die Randpunkte von 1 - zu untersuchen. Die Entdeckung dieser Tatsache gelang Lejbniz 1675, und er war mit Recht sehr stolz darauf. In dcr Menge der Lösungen von !,(x) = 0 ~ zuzüglich der Randpunkte von 1 - sind also alle ExtremstelIen von f enthalten. Umgekehrt jedoch braucht nicht jeder Punkt dieser Menge ExtremsteIle zu sein! Man denke z.B. an die Funktion fex) ;:;:; x 3 auflR. (s. Fig. 3.15). Für sie gilt zwar 1'(0) ;:;:; 0, doch ist Xo = 0 weder lokale Maximal- noch Minimalstelle. y I{X).1(3
,
Fig. 3.15: Beispiel rur einen Punkt -'0 mit /' (. 0
in xo liegt ein echtes lokales Maximum, in xo liegt ein echtes lokales Minimum.
Beweis: Wir notieren die Taylorformel rur f um xo, und zwar fLir [(x) = [(xo)
, + [(xo)(x
xo)
11
= I:
no , + -2-(x - xo)-·
Das letzte Glied ist das Lagrangesche Restglied mit einem ~ zwischen x und xo. Wir wollen ["(xo) > 0 annehmen. Da [" stetig ist, gilt ["(x) > e > 0 in einer a~Umgebung U von xo (e konstant). Beachtet man noch 1'(xo) = o. so folgt aus der Taylorentwicklung [(x) > [(xo)
,
+ 2"(x
,
-xo)- > [(xo)
fLiraliex E unI mitx ,#xo.
d.h. Xo ist echte lokale Minimalstelle. Analog folgert man aus ["(xo) < 0 und 1'(xo) = 0, daß Xo echte lokale MaximaJstelle ist. 0 Damit gewinnt man die folgende Methode zur Extremwert-Bestimmung bei zweimal stetig differenzierbaren Funktionen [ : I -,10 lR (I Intervall). Verfahren zur Bestimmung von ExtremstelIen (I) Man errechnet sämtliche Lösungen der Gleichung ['(x) =0,
xE/,
(mit dem Newtonschen Vcrfahren oder dirckten Aunösungsfomlcln). Wir nehmen an. daß es endlich viele sind. (11) Für jedc lösung xo von f'(x) = 0 bestimmt man ["(xo). xo ist cine lokale MaximaJstclle, falls f"(xo) < O. xo ist eine lokale Minimalstelle, falls 1"(xo) > O. Wir wollen annehmen, daß kein anderer Fall vorkommt. (Das trifft ftir die meisten Anwendungen zu. Der Fall ["(xo) = 0 wird in Übung 3.44 im nachfolgenden Abschnitt behandelt.) (111) Dann errechnet man die Funktionswerte f(xo) flir alle Lösungen xo von 1'(x) = 0 sowie fLir die Randpunkte von I (sofem sie zum Definitionsbereich von [ gehören.). Damit sind alle lokalen Extrema gefunden. (IV) Ist I beschränkt und abgeschlossen, so findet man unter den lokalen Extrema leicht das globale Maximum und das globale Minimum heraus.
3.2 Ausbau der Differentialrechnung
265
Bemerkung: Gibt es unendlich viele Nullstellen von /'. oder gilt f"(x) ::::; 0 Hir einige dieser Nullstellen, so hat man weitere Untersuchungen durchzuftihren (Betrachtung höherer Ableitungen usw.). In den meisten Fällen kommt man aber mit dem obigen Verfahren zurecht. Beispiel 3.31: Wir suchen die ExtremsteIIen der Funktion
+ I,
fex) ::::; eot -2x
fUr x E IR
(I) Dazu setzen wir ['(x)::::; e f -2 gleich Null:
eot -2 ::::; 0
{::::::}
Einzige Nullstelle von
f'
eX
::::;
2
{::::::}
x::::; In 2 .
ist also xo ::::; In 2'; 0,693147.
(11) Für diese Nullstelle ist f"(xo) ::::; e fo > 0, also liegt in vor.
-'"0
eine echtes lokales Minimum
(111) Randpunkte von IR gibt es nicht. Also ist xo einzige ExtremsteIle und damit auch die globale Minimalstellc von [. Die Zahl [(xo) == 1.613706 ist damit das globale Minimum von [. Beispiel 3.32: Es soll unter allen Rechtecken mit gleichem Flächeninhalt F dasjenige mit kleinstem Umfang gesucht werden. Welche Form hat es? Wir greifen uns irgendeines der Rechtecke heraus. Für scine Seitcnliingen x und y gilt F ::::; x . y. und fLir den Umfang 11 ::::; 2(x + y). Wir setzen y ::::; F /x ein und erhalten
1/::::;2(X+;) , x>O. Das globale Minimum dieser Funktion soll gesucht werden. Wir errechnen die positiven Nullsteilen der Ableitung 1/'::::; 2(1 - F /x 2 ):
2(1~ F,)::::;O {::::::} x::::;./F. x
Die zweite Ableitung u" ::::; 4F /x 3 ist an dieser Stelle positiv, also liegt bei -'"0 ::::; ./F eine Minimalstelle. Es ist die gesuchte, da es keine weitere gibt. Xo ::::; ./F ist aber die Seitenlänge eines Quadrates mit Inhalt F. Die optimale Form ist also das Quadrat. Weitere Beispiele aus Technik und Naturwissenschaft sind im Abschll. 3.3.6 angegeben. Übung 3.39: Bestimme alle EXlremalslellcn der Funktion
!(x) = x 4
-
0.4.r - 3.9x 1 + 4.6x - 9
auf dem Dcfinitionsbcrcich I = l~lO,lOJ.
266
"-'- - - '-:' I
3 Differentialrechnung einer reellen Variablen
c
j~
_'----+i
Fig. 3.16: Kasten mit größtem Volumen
Übung 3.40*: Aus einem rechteckigen Blech mit den Seitenlängen a = SOelll. b = 80cm. soll nach Herausschneiden quadratischer Eckstücke ein Kasten mit gri)ßtrnüglichem Volumen geknickt werden (Kasten ohne Deckel). Wie groß ist die Höhe x des Kastens? (Vgl. Fig. 3.16)
3.2.8
Kurvendiskussion
Schaubilder von Funktionen werden gerade von Ingenieuren viel verwendet. Um den wesentlichen Verlauf einer reellen Funktion zu überblicken, geht man zweckmäßig die folgenden Gesichtspunkte der Reihe nach durch. (Auf Computerbildschirmen lassen sich leicht Schaubilder von Funktionen erstellen. Sie ergänzen die Kurvendiskussion graphisch und numerisch.) (I) Definitionsbereich: Zuerst bestimme man den Definitionsbereich einer vorgelegten Funkti-
on f, die von einer reellen Variablen abhängt. Da fex) häufig formelmäßig gegeben ist. muß geprüft werden, fur welche reellen x der Formelausdruck sinnvoll ist. (Für JX muß z.B. x ::: 0 sein, flir IIx muß x =1= 0 sein usw.) Beschreibt fex) z.B. eine Länge, eine Masse oder eine absolute Temperatur, so ist nur x ::: 0 sinnvoll. Deflnitionsbereiche sind in AnwendungsbeispieleIl normalerweise Intervalle oder Vereinigungen endlich vieler Intervalle. (ll) Symmetrie: Man prüfe, ob feine gemde Funk/ion (d.h. f{-x) = f(x» oder ungerade Funk/ion (d.h. fe-x) = ~ fex»~ ist (evt1. nach »Nullpunktverschiebung« x' = x ~ .\"0. y' = Y - )'0).
f', f": Man berechne die Nullstellen von f. f' und [" und bestimme so die Intervalle, in denen diese Funktionen positiv bzw. negativ sind. Damit ist insbesondere klar,
(l1I) Nullstellcn von f, wo [
ist.
positiv bzw. negativ (fex) > 0
bzw.
[(x) < 0)
s/reng mOllO/Oll wachsend bzw.fallend (['(x) > 0
bzw.
['(x) < 0)
streng konl'exbzw. konka\' (["(x) > 0
bzw.
!,,(x) < 0)
3.2 Ausbau der Differentialrechnung
267
(IV) ExtremstelIen: Die Nullstellen von ['. zusammen mit den Vorzeichen von fit, liefern lokale Maxima und Minima, Man vergesse nicht die Randpunkte des Definitionsbereiches. (In Punkten x mit ['(x) = f"(x) = 0 sind Sonderulltersuchungen durchzufUhren, s. Übung 3.44.) (V) Wendepunkte: Man bestimme die Wendepunkte von f. Als Wendepunkt bezeichnet man dabei jeden »Nulldurchgang« Xo von f" (d.h. Xo ist Nullstelle von fit, und es gibt eine EUmgebung U um xo. in der links von Xo die Funktionswerte von fit ein anderes Vorzeichen haben als recht~ von xo). Eine hinreichende Bedingung fLir Wendepunkte xo ist f"(xo) = 0, f"'(xo) =1= o. (f dreimal stetig differenzierbar vorausge~etzt. Für den Fall f"(xo) = f"'(xo) = 0 s.3.44.) Beim Durchgang durch einen Wendepunkt wechselt die Funktion von streng kOllvexem zu streng konkavem Verhalten. oder umgekehrt. Da f in einer Umgebung eines Wendepunkte~ IIahezu eille Gerade ist, sind die Wendepunkte technisch oft wichtig (etwa bei Federkennlinien oder Kennlinien von Verstärkern). (VI) Pole, einseitige Grenzwerte: Ist xo ein Häufungspunkt des aber nicht dazu. so be~timme man [im fex)
X--->.fij x>,tij
und
DefinitiOllsbereiche~.
gehört
lim f(x)
,t--->xo x,to
(VII) Verhalten für große lxi, Asymptoten: Man versuche hm fex) und [--->00
stimmen,
fall~
lim
x_~OO
fex) zu be-
möglich. Allgemeiner suche man nach »einfachen« Funktionen h mit
If(x) - h(x)1 -+ 0
rur x -+
00
bzw. x -+
-00.
Jede solche Funktion" heißt eine Asymptote von f. In Abschn. 2.2.1 ist dargestellt, wie man Asymptofell 1'011 ratiollalell FUllkfiollell berechnet. Die Asymptoten sind dabei Polynome. Besonders interessant sind Geraden als Asymptoten. Eine Gerade als Asymptote trin genau dann auf, wenn der Grad des Zählerpolynoms um höchstens I größer ist als der des Nennerpolynoms. Beispiel 3.33: E~ soll die Funktion fex) =
x 4 _5x 2 +2 2 3
(3.110)
X
nach den genannten Gesichtspunkten »diskutiert« werden. (I) Der Dejinitio/Jsbereich von x = 0 keinen Sinn ergib!.
f ist IR \
/01 (d.h. IR ohne 0). da der Formelausdruck (3. I 10) für
268
3 Differentialreehnung einer reellen Variablen y 3 2
-4 -3
-1
-2
4
-2
-3
(11) Symmetrie; Es gilt zweifellos f( -x) = - fex) rur alle x i= o. / ist also eine ungerade Funk/ion. Ihr Graph liegt zentralsymmetrisch zum Punkt (0, 0). Aus diesem Grunde diskutieren wir im Folgenden nur x > O. da tur x < 0 sich alle Eigenschaften durch diese Symmetrie ergeben. (111) Die Nulls/ellen von f ergeben sich aus x 4 - 5x 2 + 2 = O. Setzen wir z = x 2, so ist Z2~5Z+2 = Ozu lösen. Man errechnet die Lösungen Zl = (5~.JJ7)/2, Z2 = (5+.,11'7)/2, woraus sich die positil'el/ Nulls/ellen von f ergeben:
XI =
js-.m . 2
j5+.m . 2
=0.662.X2=
=2.136.
Die NIIlIsrellen von
f
"
(x)
=:
12~5x2 X
5
errechnet man durch Nullsetzen der Zählerpolynome. Man erhält X3 = I (positive Nullstelle von
1'),
X4=
{12 V"5 ==
1,549 (positive Nullstelle von
Durch Berechnung einiger weiterer Werte von /, ['. /" erkennt man: In (0. xd und (X2. 00) ist / positiv, in (XI.X2) ist / negativ, in (0. .\,]) ist ['(x) < 0, also / streng monoton/allend, in (X3. 00) ist ['(x) > 0, also / streng monoton sleigend, in (0. X4) ist /I/(x) > 0, also / streng kOl/vex. in
(.~4.
00) ist /I/(x) < 0, also f streng konkav.
1").
3.2 Ausbau der Differentialrechnung
269
(IV) Einzige positive Nullstelle von f' ist .'03 ::::; I. Es gilt 1"(.'03) > 0, d,h. .'03 := I ist eine fokale Millimalslelle mit dem lokalen Minimum [(I) 0= -I. .'03::::; I ist die einzige Extrernstelle in (0, 00). (V) Einziger Wendepunkt in (0, 00) istx4 = JI2/5, denn .'04 ist einzige positive NullsteJ1e von 1". wobei ["'(.'04) #; 0 erfüllt ist. (VI) In 0 liegt ein Pol von [, da der Nenner in (3.110) fur x = 0 verschwindet, der Zähler aber nicht. Es ist lim [(x) = +00,
,_0
lim [(x) = -00. .T--->O
,,0
x Tb so bleibt das Gas selbst unter beliebig hohem Druck gasförmig. Die kritische Temperatur Tk ist mathematisch dadurch gekennzeichnet. daß die zugehörigc Funktion p = h~ (V) eincn Wcndepunkt mit waagerechter Tangente besitzt Der Wendepunkt Vk wird kritisches Volumen genannt, der zugehörige Wert Pk = h~eVk) kritischer Druck. Das Problem besteht also darin. 7i... Vk und Pk zu finden. Man berechnet dazu pli = f.;.'(V) =
2/lRT
=---;-;"'3 (V
IIb)
6/1 2a
-V4 . (3.113)
Es ist f+(V) = 0 und f.;.'eV) = 0 zu setzen, d.h.
nRT
2nRT (V
IIb)3
(3.114)
Dividiert man die Seiten der linken Gleichung durch die entsprechenden Seiten der rechten Gleichung und schreibt V = Vb so folgt (3.115)
und daraus Einsetzen in (3.114) und (3.112) liefert die kritischen Größen T = Tk und p = Pk:
". - - ~
Ba - 27bR '
"
(3.116)
Pk = 27b 2 .
Aus gemessenen Werten Tk und Pk können hieraus a und b bestimmt werden. Mit den neuen Variablen T r= - . T,
v
X=-, V,
I' y=-. 1"
geht die Gasgleichung bzw. die aufgelöste GI. (3.112) über in bzw.
(3.117)
3.2 Ausbau der Differentialrechnung
271
Es folgt ,
24r
I
y == gr(x) == - (3x _ 1)2
6
+ x3
l44r
18
y" == g~ (x) == ",-'---";.,, - ,., .
'
(3x _ 1)3
....
(3.118)
Hierauf baU! man die Kurvendiskussion der Funktionen y == gr(x) auf: Der Nenner (3x - I) muß positiv sein, damit ein zusammenhängender Graph von 8r entsteht, wie er rur die Physik einzig sinnvoll ist. Also: 3x-l>0.
d.h.
1 3'
x> -
d.h. Definitionsbereich von gr ist
(!' 00).
2,5
2,0
1,5
,. 1,194 1,128 1,062 1,000
1,0
- - I
___ 1
0,5
o
0,932
0,866
, 1
3
2
3
Fig. 3.18: Zur V:0)
= /''(....0 ) = ... =
/n) (xo)
=0
und
/(11+ l) (xo)
1= o.
wobei n IIl1gerode ist. so liegt in xo ein Extremum (Maximum. wenn /(1l+I)(xO) < O. Minimum. wenn /(,,+I)(xO) > 0), (b) Beweise: Gilt
wobei
11
ger(/(!e ist. so ist xo ein IVelldel'lmkl.
An/ei/lmg: Sei /(II+t)(XO) > O. Man 7.cige. daß /(,,), /(11-1). /(,,-2), .... abwechselnd einen
NuJldurchgang bzw. ein strenges lokales Minimum in xo haben.
3.3
Anwendungen
Aus der Vielzahl der Anwendungen der Differentialrechnung werden einige typische Beispiele beschrieben, die stellvertretend Hir ähnliche Probleme stehen.
3.3.1
Uewegullg von Massenpunkten
Dieser Problemkreis ist - bei Newton - der Ausgangspunkt Hir die »Erfindung« der Differential- und Integralrechnung. Dabei wird die Bewegung eines Massenpunktes in einem räumlichen eartesischen Koordinatensystem betrachtet. Die Bewegung wird durch drei Funktionen X(I).
y(l).
z(1)
(/ E [10,11])
274
3 Differentialreehnung einer reellen Variablen
beschrieben, welche die drei Koordinaten des Massenpunktes zur Zeit t angeben. Wir wollen diese Funktionen als zweimal stetig differenzierbar annehmen. Man faßt die Funktionen zu einem Tripel zusammen: r(t) =
[
X(t l ] y(r)
(3.120)
'(tl
d.h. man schreibt sie senkrecht untereinander. klammen sie ein und beschreibt das so entstandene »Tripel« durch r(t). 13 Die Geschwindigkeit des Massenpunktes bekommen wir durch Differenzieren der drei Funktionen, wobei die Ableitung durch einen Punkt über dem Funktionssymbol gekennzeichnet werden soll: .i-(t) := :rl"(I) usw. (dies ist bei Ableitungen nach der Zeit in Physik und Technik üblich). Somit erhalten wir die Geschwilldigkeit des Massenpunktes als folgendes Tripel: r(1) =
l] .«t y(r)
[ i(t l
(3.121)
.
Entsprechend ergibt sich die Beschleunigung des Massenpunktes durch zweimaliges Ableiten, gekennzeichnet durch zwei Punkte über den Funktionssymbolen:
r(1) =
.i(t l ] jet) [ zer)
(3.122)
Beispiel 3,35: (Gleichförmige Drehbewegullg. Fliehkraft) Bewegt sich ein Massenpunkt der Masse m auf einer Kreisbahn mit konstanter Winkelgeschwindigkeit w > 0, so kann seine Bewegung durch
r(t)=[pc~S(WI)], p sm(wt)
tER.
p>O.
(3.123)
beschrieben werden (Kreisbahn um 0 mit Rudius p). Die dritte Komponente z(t) ist konstant gleich Null und daher in (3.123) weggelassen. Man errechnet daraus die Geschwindigkeit fund die Beschleunigung durch Differenzieren:
r
f(t) =
[-WP Sin(Wt)] , wpcos(wt)
Zieht man im Ausdruck ganz rechts den Faktor _w 2 vor die Klammer l4
,
so kann man die
13 Solche Tripel werden aueh
Vek/fJ,..,1l (im dreidimensionalen Raum) genannt. Eine kurIe Einrlihrung in die Vektor· rechnung lindel der Leser in Absehn. (" I. eine ausruhrliehe in ßurg/HaffWille (Lineare Algebra) 191. Der vorliegende AbschniU ist aber in sieh verständliCh. so daß der Leser vorerst nicht naehzll>chlagcn br~uehl.
14 Man vereinbart allgemein)" [;] :=
[~;,] rur reellc Zlhlcn)" (und cntsprechendes rur Tripel). vgl. Abschn. 6.1.
3.3 Anwendungen
275
Beschleunigung in der Form schreiben
"()
,[ps'n(w,)]
rt=-w~
pcos(wt)
.
d.h.
(3,124)
Der so errechnete Ausdruck -w1r(t) heißt die Zell/riperalbe:n.:hleuiliguilg. Multipliziert man sie mit der Masse m, also m;:(1) = -mw 2r(l), so erhält man (nach dcm l. NewlOllschell Grtll1Jgesetz der Mcchanik) dic Zell1ripewlkraft, die auf dcn Masscnpunkt wirkt. Ihre Gegcnkraft (3,125) heißt Zentrifugalkraft oder Fliehkraft. Der Abstand des Bahnpunktes r(t) von 0 ist der Radius p des Kreises. Man nennt dicsen Abstand dcn Betrag von r(t), beschrieben durch Ir(t)1 = p. Entsprcchend ist IIIw 2p der »Betrag« der Fliehkraft.
,
Fig. 3.20: Wurfparabcl
Beispiel 3.36: (HllI/fulldfreier Fall. ohne Berücksichtigung der Reibullg) Ein Masscnpunkt der Masse 111 wcrde scnkrecht nach oben geworfen, und zwar mit der Anfangsgeschwindigkeit vo ~ O. Der Abwurfpunkt sei der Nullpunkt einer nach oben weisenden y-Achse. Auf den Massenpunkt wirkt die Gravitationskraft -mg mit der Erdbeschleunigung g = 9.81 m;s2, (Dies gilt, genau genommen, nur flir kleine WUrtllÖhCll von einigen lOü Metern, da für große Höhen dic Kraft merkbar abnimmt - nach dem Gravitationsgesetz,) Nach dem I, Ncwtonschcn Grundgcsetz (Kraft = Masse x Beschlcunigung) ist damit
-mg = my(t). Das Minuszeichen links drückt aus, daß die Kraft nach unten gerichtet ist, also in Gegenrichtung der y-Achse. Es folgt
W)
~-g
und daraus )'(1) = -gt
+a
mit einer Konstanten a. (Man prüft dics durch Differenzieren von
276
3 Differentialreehnung einer reellen Variablen
)'(1) leicht nach.) Die Funktion y(t) muß damit die Gestalt
(b konstant) haben, was man durch Differenzieren wiederum überprüft. 15 Wird der Massenpunkt zum Zeitpunkt 0 losgeworfen, d.h. gilt y(O) = 0, so muß b = 0 sein. Ferner soll nach Voraussetzung y(O) = vo gelten, woraus a = vo folgt. Damit erhalten wir die Lösung
(3.126) Diese Funktion beschreibt die Bewegung unseres Massenpunktes. 16 Wäre Vo < 0, so kämen wir zur gleichen Funktion (3.126). Im Falle V(j = 0 hätten wir den freien Fall (ohne Reibung) von der Ruhelage aus. Würde der Massenpunkt schräg losgeworfen, d.h. hälle er zusätzlich eine Anfangsgeschwindigkeitskomponenle 110 in waagerechter x-Richtung. so folgte aus .\'(1) =: 0 (keine Querkraft) rur den waagerechten Geschwindigkcitsanlcil i(1) = ud. Daraus crgibt sich x(t) = VOI + c. Wegen x (0) = 0 ist aber c = 0, also X(I)=lIor,
(3.127)
t2:0.
Die Wurtbahn wird damit durch die beiden Funktionen y(t). X(I) in (3. I 26), (3.127) beschrieben, d.h. durch
r(t) =
Selzl man t = x/uo in y =
I
2: O.
(3.128)
_~t2 + vot ein. so erhält man
d.h. die Wurtbahn ist eine Parabel (s. Fig. 3.20). Beispiel 3.37: (Wurf, mit Lufrreibrmg) Ohne Beweis geben wir an: Beim Wurf eines Massenpunktes unter Berücksichtigung der Luftreibungskraft, die proportional zur Geschwindigkeit angenommen wird ~ mit Proportionalitätkonstante k > O~, gelangen wir zu y(l) = B e-(k/m)1 _ mg t k
+ b,
x(t)
= A e-(k/m)1 +a.
(3.129)
15 Allgemein gill: Ist /' auf einem Imervall gegeben. so ist / don bis auf eine additive Konstante eindeutig bestimm!. Denn rur alle weiteren Funktionen g mit g' = /' gill (/ - g)' = O. also / - g = konstant (nach Folgerung 3.5(a). Abschn. 3.1.5). 16 S. auch die Beispiele 2.7 und 2.9 in Abschn. 2.1.3.
3.3 Anwendungen
277
m ist die Masse des Massenpunktes und A, H, a, b sind Konstante, die aus den Anfangsbedingungen bestimmt werden können (s. [56), Beisp. 5.27, S. 254, 255). Bei den folgenden Übungen wird die Luftreibung vernachlässigt. Übung 3.45: Ein Massenpunkl werde von der Erdobern:iche aus abgeworfen. wobei 110 > 0 und 110 > 0 sei (s. (3.128». Man berechne Wurf~eit (Bedingung y(1) = 0./ > 0). ferner Wurfweile. Wurtböhe und Endgeschwindigkeil beim Aufschlagen.
Übung 3.46: Ein Massenpunkt werde von einem 30 m hohen Turm SChräg aufwärts unter einem Winkel von 300 abgcworfcn. Wic groß müssen dic Anfangsgeschwindigkeits-Komponenlcn va und "0 in vcnika1cr b~w. hori~ollta1er Richtung sein. wenn der Massenpunkl 60 nl vom Turl11fuß clI1fernl auf dem Erdboden aufschlagen soll?
Fehlerabschätzung
3.3.2
Beispiel 3.38: (Wiiifeh'olumen) Die Kantenlänge x eines Würfels wird gemessen. Aufgrund der Meßullgenauigkeit läßt sich nur sagen, daß die Ungleichung 8.6cm .:'S x cm ::':: 8.8 cm gilt. Für das Volumen V = x 3 erhält man 8,6 3 = 636,056.:'S V ::':: 681,472 = 8.8 3 .
(3.130)
Man kann den Fehler auch abschätzen. indem man V = f(x) = x 3 in eine kurl.e Taylorfonnel entwickelt: v
= f(x) = f(8.7) + f'(8.7)(x -
8.7)
+ R,
= 658.503 + 227.07· (x - 8.7) + R2 .
8.6::,:: x ::':: 8,8. I
und R2 = f"(~)(x - 8.7)2/2 mit x und ~ aus dem Intervall [8,6, 8,8J abschätzt: IR2[ .:'S 2.6. 8.8.0,1 2 =0.264. Damit folgt wegen Ix -8,71::':: 0.1: [V - 658.503[ ::':: 227,07·0, I +0,264 = 22.971 < 23 .
also 635.5 < V < 681.6. (3.131)
Das ist etwa das Gleiche wie in (3.130). Kann man nun bei einer zweiten Messung die Meßgenauigkeit erhöhen, so daß etwa 8,66 ::':: x ::':: 8.75 gilt. so braucht man f(x) = x 3 , wie in (3.130) nicht zweimal neu zu berechnen (was bei komplizierteren Funktionen f aufwendig sein kann), sondern in (3.131) die Abschätzung 0, I von Ix - 8,71 nur durch die schärfere Abschätzung 0.05 ersetzen. Man erhält 1V - 658,5031 < 11.62, also die verbesserte Abschätzung 646.88 < V < 670.13.
278
3 Differemialreehnung einer reellen Variablen
Allgemeinfall: Ist x eine beliebige gemessene Zahl mit
.1x > 0
xo -.1x.::;x '::;xo.
und fex) eine daraus zu berechnende Z1hl (f zweimal stetig differenzierbar), so gilt
[(x) = [(xo)
+ ['(xo)(x -
xo)
+ R2.
Für den Fehler [(x) - [(xo). der durch die Ungenauigkeit von x er.teugt wird, folgt die Fehlerabschätzung I[(x) - [(xo)1 .::; 1['(xo)lL1x + IR21.
1 wobei IRzl .::; -
sup
2 1. 0 und
dm
dl
< 0 folgt
dlll dr
m=-w--. dt dv
d.h.
dll
> 0 also
dl'
dlll
m=-w-. d,
Nach Satz 3.14 (Abschn. 3.1.7) erhält man daher m=moe- O/ W
ftir
v2:0.
Ist 1111 die Masse der Rakete bei Brennschluß und VI ihre Geschwindigkeit zu diesem Zeitpunkt, so gilt m I = 1110 e- vi / w . Aullösen nach VI liefert damit die Bremlsdllußgt:~'t:"\Villdigkeil VI
3.3.5
=
will
(mo) -
1//1
Zum Newlonschen Verfahren
Beispiel 3.44: (Kt:ttellkart/ssell) Ein Kettenkarussell mit einer Tragstange von r = 2 m und einer Kettenlänge von I = 4 tl1 benötige rur einen Umlauf T = 5 s. Wie groß ist der Winkelausschlag Ci der Kette (s. Fig. 3.21)?
," , , ,
.1 ~si.!:~.o._
F
m
Fig. 3.21: Zum Kettenkarussell
Nach Fig. 3.21 und Beispiel 3.35 ist der Betrag der Zentrifugalkraft F = mw 2(r+1 sinCi). mit w = 27r / T. Auf den Körper am Ende der Kette wirkt ferner das Gewicht vorn Betrag G = mg (g = 9.81 rn/s 2 ). Die Richtung der Resultiercndcn dieser beiden Kräftc ist gleich der Richtung der Kette, beschrieben durch den Winkel Ci. Es gilt also lanCi
",' = -GF = -er + I siEl Ci) • g
3.3 Anwendungen
Mit tan Q'
283
== sin Q'/J I - sin 2 Q' und der Abkür.lung x ;:::: sin Q' erhält man daraus
mit b ::::: r/ fund a ::::: g2/(/2 w 4). Einsetzen der gegebenen Zahlenwerte ergibt
x 4 +x 3 + 1,6620x 2 -x -0,2500:::: 0, mit gerundctcm KoelTizicnten 1.6620. Das
Newton~Verfahren
!(x,,)
X,,+l ::::
x" - -f'() x"
liefert mit 4
3
2.
I
[(X)::::X +x +1.6620x ~'~-4'
von der Näherungslösung Xo :::: 0,6 ausgehend nach 3 Schritten die Lösung x == 0.56585152. Eine genauere Kurvendiskussion zeigt, daß dies die einzige Lösung in [0, I] ist. Aus = Sill Q' folgt Q' == 0.60146565, das entspricht gerundet einem Winkel von 34" 28'.
x
, , " Fig. 3.22: Freileitung zwischen zwei
s Ma~len
Übung 3,48: (Freileitung zwischen zwei Masten) Die Kurve einer Freileitung wird beschrieben durch
)' =
fex)
x-·'o - I) ="0+(/' ( co~h-,,-
(~. Fig. 3.22) mit gewissen reellen Konstanlen ho. .\"0 (~. 138], S. 68). Berechne (/ und .TO aus den Höhen" I = 10m. "2 = 77 der Maslen. ihrer Entfernung s = 20111 voneinander und der Minimalhöhe "0 = 6m der durchhängenden Leilung.
284
3 Differentialreehnung einer reellen Variablen
3.3.6
Extrcmalproblcme
Stellvertretend fUr die große Anzahl von ExtremaIproblemen wählen wir fUnf Beispiele auS Technik und Physik. Dabei knüpfen wir an den Abschn. 3.2.7 an. Beispiel 3.45: (Giinstigste Abme.HlIlJgen eines AbwaHerkwllIJs) Die Querschniusfläche eines Abwasserkanals habe die Form eines Rechtecks mit aufgesetztem Halbkreis (s. Fig. 3.23). Der Flächeninhalt F der Querschniusfläche sei fest vorgegeben. Wie sind die Seitenlängen x, y des Rechteckes zu wählen, damit der Umfang der Querschniusfläche (und damit die Reibung) möglichst klein wird? Der Umfang ist
x
U = 2y+ -Tf. 2
(3.143)
Der Flächeninhalt ist F = xy
2
x + -Tf, daraus foJgt y =
8
F x
.or
- --. 8
y
,
Fig. 3.23: Kanalquerschniu
Einsetzen in (3.143) liefert 2F U = fex) := x
4+Tf +-x, 4
0< x
0
,
soll diejenige Wellenlänge A = Amax beredmet werden. rur die das Emissionsvermögen E(A) maximal wird. Man berechnet dazu E' ()..) und setzt zur Vereinfachung x =: l1e/(kT)..) ein. E'(A) = 0 wird dann zu x l(e X -I) = 5, d.h. e- x - I + x /5 = O. Das Newton-Verfahren, ausgehend von xo = 5. liefert eine Lösung x == 4,965. Sie ist die einzige in (0,00), wie man sich überlegt. Mit x =: I1c/(kTA max ) folgt das Wiensche VerschiebuII8sgeselZ
ex
1Ie
Amax = 4.965kT .
d.h.
I>c
Amax T = 4,965k = const .
wobei E"(A max ) < 0 zeigl, daß es sich tatsächlich um ein Maximum handelt.
y
-f
,
Fig. 3.26: Eisenkern in Spule
Übung 3.49: (Eisellkem in einer Spule) In das Innere einer Spule von kreisförmigem Querschniu vom Radius ,. soll ein Eisenkern mit kreuzförmigen Querschnitt gebracht werden (s. Fig. 3.26) Welche
Abmessungen x. )' muß der kreuzförlllige Querschnitt haben. wenn sein Flächeninhalt maximal sein soll? 19 Wilhclm earl Wcmer Duo Fritz Franz Wien (1864- 1928). deutscher Physiker
4
Integralrechnung einer reellen Variablen
Wie groß ist der Flächeninhalt einer Ellipse, die Länge einer Freileitung, die Energie einer Gasmenge oder die Fluchlgeschwindigkeit einer Rakete? Wie berechnet man Satellitenbahnen, den Schwerpunkt einer Halbkugel, das Trägheitsmoment eines Kegels oder die Wahrscheinlichkeit fur den Ausfall eines Bauteils? Dieses viel faltige Spektrum von Fragen kann mit den Mineln der Integralrechnung beantwortet werden.
y
, a Fig, 4.1: Fläche von
b
f
auf {tl. bl
Dabei gehl man von einer elementaren Grundallfgabe aus, nämlich der Bestimmullg tier Fliichellillhalte krul/ll/llillig beralldeter Flächen. Insbesondere beschäftigt man sich mit Flächen, die - wie der schraffierte Bereich in Fig. 4.1 - zwischen einern Funktionsgraphen und der x-Achse liegen. In solche Flächen kann man die meisten krummlinig berandeten Flächen zerlegen, wie Kreise, Ellipsen usw. Bei der Bestimmung solcher Flächeninhalte werden die Methoden der Integralrechnung entwickelt. Dabei stößt man auf eine überraschende Tatsache: Die Integralrechnung ist die Umkehrung der Differentialrechnung. Während man in der Differentialrechnung von bekannten Funktionen die Ableitungen berechnet, versucht man umgekehrt in der Integralrechnung aus gegebenen Ableitungen die ursprünglichen Funktionen zu gewinnen. Das Problem der Flächeninhaltsbestimmullg wird also dadurch gelöst, daß man die Differentialrechnung »auf den Kopf stellt«. Eine erstaunliche Erkenntnis! Es ist kein Wunder. daß die Menschen seit drei Jahrhunderten von dieser Entdeckung fasziniert sind. Die große Kraft der Analysis und ihr ungebrochener Erfolg sind darin begründet.
K. Burg et al., Höhere Mathematik für Ingenieure, DOI 10.1007/ 978-3-8348-9929-3_4, © Vieweg+Teubner Verlag I Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2011
290
4 Inlegraln:chnung einer reellen Variablen
4.1
Grundlagen der Integralrechnung
4.1.1
Flächeninhalt und Integral
Einführung: Wir gehen von einer positiven beschränkten Funktion f auf einem Intervall [a. bl aus, wie z.B. in Fig. 4.1 skizziert. Die schraffierle Punktmenge heißt die Fläche 1'0/1 f al/f [a, bl. Sie besteht aus allen Punkten (x.y)mita.::: x,::: bundO.:::)'.::: fex). Unser Ziel ist es, den Flächeninhalt dieser Fläche zu bestimmen,ja, ihn überhaupt erst einmal sinnvoll zu erklären. Dazu bilden wir eine Streifeneinteilung wie in Fig. 4.2, d.h. wir wiihlen uns
Fig. 4.2: Slreifeneinteilung der Fläche
beliebige Zahlen xo, a
von
=
Xo
ko:
Ganz rechts wurde (4.6) verwendet. Entsprechend beweist man die Ungleichungen RI; 2: .~/(2') -E 2: I - 26" rur k 2: k] (k l genügend groß). Zusammen folgt I - 26" .::: RI; .::: I + 26" rur k 2: K = maxlko. k l }. Das bedeutet aber, daß RI; gegen I konvergien. (11) Wir setzen nun voraus, daß jede Folge Riemannscher Summen RI; von [, mit 121; I --7 0 rur die zugehörigen Zcrlegungen, konvergien. Damit konvergieren alle diese Folgen (RI;) gegen den gleichen Grenzwen R. (Gäbe es nämlich zwei Folgen (R;;), die gegen ~wschiei'el/e Grenzwerte strebten, so würde eine Mischfolge aus beiden überhaupt nicht konvergieren, was unserer Voraussetzung widerspricht.) Zu zeigen ist, daß [ auf La. bJ integrierbar ist. Dazu betrachten wir eine beliebige Folge von Zerlegungell ZK von La, bJ, mit IZI;I --7 0 für k --7 00. Man bilde die zugehörige Folge von Obersummen 5/(2;;). Zu jedem S/(2;;) kann man eine Riemannsche Summe Rt von [ finden mit SfeZ;;) = RI; + 6"1;. 0 .:os EI; < 1/ k. (Man hat nur die [(~i) in RI; genügend dicht an den Suprema Mi von [ in den zugehörigen Zcrlegungsintervallen zu wählen.) Wegen Rt --7 Rund 6"1; --7 0 folgt SI(ZI;) --7 R rur k --7 00. Entsprechend ergibt sich sl(ZI;) --7 R rur k --7 00, wegen sup S feZ) .:os i1)f SfeZ), also
z
z
J b
Folglich ist [integricrbar aurra, bJ. und R =
[(x) dx.
o
"
Tangentenformel zur numerischen Integration: Wir denken uns eine imegrierbare Funktion [ auf La, b} gegeben - z.8. eine stetige Funktion. Ihr Integral auf [a. b} soll zahlenmäßig berechnet werden, Dazu bilden wir zunächst eine iiquüfisfal1le Zedegllilg Z = {[xo, XI I, ..., [x n_]. X" 11 von [a, b J. Aqllidisfall/ bedeutet, daß alle Teilintervalle [.xi -I, Xi J gleich lang sind, also L\xi
=
Xi -Xi-]
b-a
= --:= n
h
ruralle i = I, ... ,/l.
lnjedem Teilintervall bestimmen wir nun den Mittelpunkt (s. Fig. 4.7a) ~j:=
Xi +Xi_1
2
(;=1, ... ,/1)
und bilden damit die Riemannsche Summe
(4.7)
4.1 Grundlagen der Integralrechnung
299
, ,
, , ,,,,( , , ,
Tangente
,
j', ,, ,, ,, / , ,, ,, ,, ,, .)
•
, , , , , , , , , ,, ,, ,,
0,
~
..
~
T
1(1;1)
b
Fig. 4.7: Die Tangentenformell.ur numerischen Integration
R
~
L:" f
"
g(x)dx.
(4.17)
301
302
4 Inlegraln:chnung einer reellen Variablen
Beweis: Die Beweise sind so einfach (und langweilig), daß wir sie hier weglassen dürfen, Der Leser kann sie, falls er möchte, zur Übung selber fUhren: Lediglich ZU Teil (e) ist zu sagen, duß man Gleichung (4.15) zweckmäßig über Riemunnsche Summen beweist, und zu Teil (f). duß man
f
b
zunächst hex) := [(x) - g(x)
~ 0 setzt und
f
b
hex) dx
~ 0, (4.16) bzw.
h(x) dx > 0, (4.17),
" " nachweist. Beim Beweis der letztgenannten Ungleichung bemerkt man, daß nicht nur h(xo) > 0 ist, sondern daß wegen der Stetigkeit von" in einer Umgebung von.1:0 sogar hex) ~ h(xo)/2 > 0 ist. Also ist wenigstens eine Untersumme von h positiv, woraus
f
folgt.
"
b
h(x) dx > 0 unmittelbuT
o
Aus Satz 4.3 folgt mühelos
Satz 4.4: (a) (Miuelwertsatz der Integralrec1l11l1l1g) Ist die Funktion [ : [a. b] --+ IR stetig, so existiert ein ~ E (a, b) mit
f f(x)dx~f«)(b-a). b
(4.18)
" (b) (Verallgemeinerter Miuelwerts(l/Z der IlIIegralrecllll/lllg) Sind [ und p stetige Funktionen auf La, bJ und ist p(x) > 0 fur alle x E (a, b), so existiert ein ~ E (a, b) mit
f
b
f
b
[(x)p(x) dx = [(0
"
p(x)dx.
(4.19)
"
Veranschaulichung: Der Mittelweltsatz der Integralrechnung, wird durch Fig. 4.8 dargestellt, wobei [(x) ~ 0 auf kl. bJ vorausgesetzt sei. Und zwar ist der Flächeninhalt von [ auf [a, b],
f
b
also
[(x) dx, gleich dem Flächeninhalt des Rechtecks mit den Seitenlängen [(0 und (b - a).
" Beweis: Wir zeigen zunächst (b), Ist [ konstant, so ist (4.19) trivialerweise richtig, Es sei daher [ als nicht konstant vorausgesetzt. Damit sind m=
min f(x)
XEII•. hl
und
M =
max fex)
xela.bJ
4.1 Grundlagen der Integralrechnung
303
, Fig. 4.8: Zum Minelwensatz der [ntegrnlreehnung
verschieden. Es gibt also ein Xo E (a. b) mit m < J(xo) < M; also gilt mp(xo) < J(xo)p(xo) < Mp(xo)
und
mp(x).::: J(x)p(x).::: Mp(x)
aufla.
bJ.
Integration der letzten Zeile ergibt nach Satz 4.3f (4.17):
J b
111
J h
p(x)dx
O.a"l=l)
a' 10a
sin x
-cosx
cosx
sinx
(lxi< I)
~
1- arccosx Jarclan.r
1
1- arccolx Jarsinhx 1= In(x+
1 +x 2 1
~ 1
-col.r
Jarcsin.r
±~
(lxi> I)
Jarcoshx
JI
+x 2)
l= ±11l(x+J.r 2 -I)
lanx
sinh .r
1
coshx
~X21(IXI < I) (lxi> I)
sinhx
coshx
coshx
sinhx
I
I
+x
artanhx = - [ n - 2 I-x
I x+1 arcOlhx = - I n - -
2
.r - I
nach links. Mit Hilfe der einfachen Regeln
!U(X)+g(X»dr=! f(X)dr+! g(x)dr, ! Af(x)dx = A! fex) dx.
Additil'iliit,
(4.23)
HOII/ogenitiit,
(4.24)
fur stetige Funktionen (s. Salz 4.3, (a), (b» lassen sich aus der Tabelle der Grundintegrale schon viele Slammfunktionell ermitteln, z.B. ! (3 e" +7 sin x) dx = 3 ! e" dx + 7 ! sin x dx = 3 eX -7 cosx ,
!
"
"
Lakxk dx = Lak k=O
k=()
!
k
".k+1 +I . k=O
x dr = Lak:
(4.25)
4.2 Berechnung von Integralen
Die Integration von Produkten fex) . g(y) und verketteten Funktionen f(g(x) nächsten bciden Abschnitten behandelt.
309
wird in den
Übung 4.7: Berechne
!
4 7 '5x dr.
! ,-, . d,
.
! 4.2.2
d.
I +.r 2 .
J "/2
cosxdr.
o
Substitutionsmelhode
Da das Integrieren stetiger Funktionen. d.h. das Auffinden von Stammfunktionen. gerade der umgekehrte Prozeß wie beim Differenzieren ist. lassen sich Differentiationsregeln in Integmtionsregeln verwandeln. Wir wollen das in diesem Abschnitt anhand der Keuellregef durchfUhren. Substitutionsformel: Wir betrachten die Komposition zweier stetig differenzierbarer Funktionen Fund rp: (4.26)
(rp bzw. F sind dabei auf Intervallen 1 bzw. J definiert, wobei rp(l) S; J gilt.) Differenzieren ergibt nach der Kettenregel
wie könnte es anders sein?-
G/(r) = F'(rp(t))q:/(t).
Übergang zu Stammfunktionen auf beiden Seiten liefert
Mit x = rp(t) gilt dabei F(x) = G(I), s. (4.26), also F(x) =
J
F'(rp(l))rp'(t) dt
mit x = rp(t)
fur aJle I E I. Bezeichnet man nun mit F(x) =
f
1(x) d.\"
in (4.27) ein. so erhält man
f
die Ableitung F' und setzt dies zusammen mit
(4.27)
310
4 Inlegraln:chnung einer reellen Variablen
Satz 4.8: (Subslirlllionsformel) Es sei f stetig auf dem Intervall J und !(J stetig differenzierbar auf dem Intervall I, wobei !(J(I) c J gilt. Damit folgt
f
f(x)dx=
f
f(tp(t))!{J'(t)dl,
mitx=Ip(t).
(4.28)
dx Merkregel: Mit der Leibnizschen Schreibweise = !(J'(t) bekommt die Substilutionsfordt mel (4.28) die leicht zu behaltende Gestalt
f
f(x) dx =
f
J(!{J(I»
~ d!.
X
= !(J(t).
(4.29)
Man hat also links das x in fex) durch !(J(r) zu ersetzen und dann dx formal durch dr zu dividieren und mit dl anschließend Jormal zu multiplizieren. (Man macht sich klar. daß hier keine wirklichen Divisionen und Multiplikationen mit dr vorliegen, sondern daß sie nur optisch als solche erscheinen. Dies erleichtert das Merken der Formel aber gerade!)
J
Anwenden der Substitutionsformel »von rechts nach links«: Zunächst wenden wir Fornlel (4.28) auf
tp'(r) d! an. Der Vergleich mit der rechten Seite von (4.28) liefert !(J(t)
d.h.
fex)
1 x
= -
mit
x = rp(r) .
Also folgt mit Vertauschen der Gleichungsseiten von (4.28):
J
.'(t) - - dl = !(J(r)
J
1 - dr = In lxi = In Itp(t)I.
(4.30)
x
Schreibt man ganz rechts und ganz links x statt
I,
so gewinnt man
J
.'(x)
- - dx = In IIp(x)l. !(J(x)
(4.31)
Diese nützliche Formel läßt eine Reihe von Folgerungen zu:
Beispiel 4.3: SelZl man in (4.31) rp(x) nacheinander gleich cosx, sin x, coshx, sinhx und In x, so erhält man
4.2 Berechnung von Integralen
f f f
f f
tanxdx = -In Icosxl,
tanhydx = In I cosh xl '
311
cotxdx = In Isinxl,
(4.32)
cothxdx = In I sinhxl,
(4.33)
d,
(4.34)
- - = Inllnxl· x Inx
Die Formeln gelten natürlich nur in Intervallen, in denen die gewählten Funktionen 'IJ definiert sind und nirgends verschwinden. Entsprechend erhält man aus (4.28):
f '
f
'IJ(t)'IJ(t)dl =
xdx =
x' 2"
I , (t), = 2"'IJ
(4.35)
wobei fex) = x gewählt wurde.
Beispiel 4.4: Setzt man in (4.35) rp(f) = In I und dann x statt /, so folgt
f
Inx I 2 - d x = -In x. x 2
(4.36)
Häufig trifft man auf Integrale der Form
f
f(t2)/ dl. Der Vergleich mit der rechten Seite der
Substitutionsfonnel (4.28) zeigt, daß wir hier'IJ(t) = ,2 setzen können. Es folgt wegen 'IJ'(!) = 2/ (4.37)
wobei Feine Starnmfunktion erhalten wir somit
f
~
I
2
xf(x-)dx = 2"F(x)
VOll
f
ist. Mit x staU
I
in den Ausdrücken ganz rechts und links
. (mn F' = f).
Beispicl4.5: Setzt man für
f verschiedene Funktionen ein, so gewinnt man aus (4.38) die Integrale
(4.38)
312
4 Inlegraln:chnung einer reellen Variablen
f ' f f
e" xc'" dX=T' Xdf
(4.39)
I
2
(4.40)
- -2 = -ln(l +X). I +x 2 xdx
f
~
~=yl+x",
vI +x"
f
allgemein:
xdx
I
J(I+bx1
b
r~T"i' = -
J + bx-' , (I
Xdf
~
JX2=I~vx2-I, x - I (4.41)
(b"O).
(4.42)
Die Formeln gelten selbstverständlich nur in solchen Intervallen, in denen die auftretenden Nenner 1= 0 oder die Radikanden> 0 sind.
J
Die Verwendung der Substitutionsformel »von rechts nach links«, wie oben geschehen, ist nur möglich, wenn die zu berechnenden Integrale schon in der Form
!Cq?(t))rp'(r)dt vorliegen.
Man muß das mit »scharfem Auge« erkennen! Dieser Glückswstand liegt aber nicht immcr vor. Aus diesem Grund ist die Ausnutzung der Formel (4.28) »von links nach rechts« häufiger. ja, auf ihr beruht der HauptnUlzen der SubstilUtionsregel. Wir wenden uns diescr Methode im Folgenden
w. Anwenden der Substitutionsformel »von links nach rechts«: Zunächst schreiben wir die SubstilUlionsformel (4.28) geringfligig um. da sie dann fLir die Anwendungen griffiger wird. Und zwar wird die Funktion ger) := [(/{J(t».
t
E f.
eingefLihrt. Dabei setzen wir q?'(t) /(J, die wir mit 1/1 bezeichnen, d,h.
x = /(J(t)
Damit ist [(x) erhält
f
1= 0 auf f
voraus. Es existiert damit die Umkehrfunktion von
I = 1/1(x).
= g(1) = g(1/1(x». Man setzt dies in die SubstitutiOllsformel (4.28) ein und
g("(x»dx
~
f g(I)~'(l)dl,
(4.43)
Hierin ist
~
dx
I
(I)
~ dr ~
1 d,
~
I "'(x)
I
(4.44)
~ -;"-';'(-~("I)")
dx dx Wir verwenden die übersichtliche Leibnizschc Schreibwcise - und gelangen damit w der
d'
4.2 Berechnung von Integralen
313
Folgerung 4.1: Beschreibt 8(1/I(X» eine zusammengesetzte Funktion, wobei g stetig auf dem Intervall I ist und 1/1 stetig differenzierbar auf dem Intervall J (mit 1/1(1) C 1), so folgt unter der Voraussetzung 1/I'(x) i= 0 auf J
J
g (1/1 (x» dx =
J
g(t)
~. dt,
mit
t = 1/1 (x) .
(4.45)
Die Substilutionsformel in dieser Gestalt soll an einem einfachen Beispiel demonstriert werden, an dem der Leser die grundsiitzliche Anwendungsmöglichkeit erkennt.
J
Beispiel 4.6: sin(2x) dx =1
dt dx I Hier setzt man t = 1/I(x) = 2r, woraus = 2, also = - folgt. Die Substitutionsfonnel dr dl 2 (4.45) liefert damit
I
sin(2r)dx =
I
I
dx sinlilidl =
'I
2"
sintdl =
'
-2"COSI
,
= -2"cos(2x).
Das Beispiel zeigt folgendes: Bei Anwendung der Substitutionsformel (4.45) geht man davon aus, daß man
I
g(r) clx dl »integrieren(( kann, d.h. daß man eine Funktion H angeben kann mit
cll
dl
g(t)- dt = H(t), dl
d.h.
clx
H'(I) ~ 8(1)dl
(4.46)
auf I. (Aus dem Hauptsatz folgt, daß eine solche Funktion H existieren muß.) Damit wird (4.45)
'"
I
g("(x»dx
~
I
g(t)
~ dl ~ H(t) ~
H("(x».
(4.47)
Diese Formelketle. von links nach rechts durchlaufen, ist ein hervorragendes Instrument zur Berechnung vieler Integrale! Beim Übergang zum beslilllllltelllll/egral folgt daraus rur alle (I, b E J:
I
I,
g("(x»dx
" wegen (4.46) also
~ H("(b))-
H(,,(a)).
(4.48)
314
4 Inlegraln:chnung einer reellen Variablen
J
J
h
",(b)
g(!fi(x» dx =
g(t)
~ dt.
(4.49)
t = !fi(x).
'/1(0)
tl
Dies ist die SlIbstillltionsforme! für bestimmte IlIlegrale. An einer Reihe von Beispielen soll die Kraft der hergeleiteten Formel gezeigl werden. Zuersl belrachten wir Integrale der Form
J
f«(lx+b)dx.
Wir »substituieren
(11-0.
mil
«
d'
t = !fi(x) =(lx+b.
::::} dx =a.
Ist Feine S{ammfunktion von
!
f(ax+b)dr =
=>
!
'transzendent«, d.h. »nicht algebraisch«. während die Ableitungen rechts algebraisch, jll, z.T. sogar rational sind. Dagegen werden beim Integrieren die Funktionen e X , sinx, cosx sicherlich "nicht komplizierter«, da ihre Slammfunktionen e X , ~ cos x, sin x von gleicher Bauart sind. Trotz der Faustregel, wie auch der übrigen besprochenen Regeln, ist das »analytische Integrieren« - d.h. das Auffinden von Stamm funktionen - kein glattes Geschäft. Man muß mit einem gewissen Geschick vorgehen - was man durch Übung bekommt - und auch etwas Glück haben, was einem ohne Übung zufallen kann. Dabei passiert es immer wieder, daß man auf elemenX2
tare Funktionen stößt (z.B. sin-r/x oder e- ), die sich nicht mehr elementar i"tegrieren lassen, d.h. die keine elementaren Funktionen als Stamm funktionen haben. (Elemelllare Fllnkriollell sind dabei fex) = x, er, sinx sowie alle daraus gebildeten Kombinationen unter Verwendung von +, -, ., /, hoch 11, \J' (11 E N, Verkettung 0 und Umkehrfunktionsbildung.) Das elementare Integrieren (auch alla{yrisches Il1/cgrierclI genannt) ist also mehr eine Art pfiffiger Kleinkunst als ein sicherer Rechenkalkül, im Gegensatz zum Differenzieren, bei dem man durch feste Regeln im Bereich elementarer Funktionen stets zu den Ableitungen gelange Zur Schreibweise ist bei der Produktregel zu sllgen, daß der Lernende zweckmäßig JI und Vi unter die entsprechenden Faktoren des zu bearbeitenden Integrals schreibt, wie in den Beispielen 4.11 geschehen. Dann schreibt er weiter rechts /IV und lI'V in der unteren Zeile hin (s. 4.II(a» und anschließend die entsprechenden expliziten Ausdrücke in die Zeile darüber. in der schließlich rechts die Lösung steht. Spiiter notiert er nur noch 11 v', wie in Beisp. 4.11 (c), oder unterläßt auch dies, da er fahig wird, die "Unterzeile« nur noch zu denken. In den folgenden Beispielen wird unsere Faustregel erfolgreich eingesetzt.
320
4 Inregraln:chnung einer reellen Variablen
ßcispieI4.12: (a)
f
X"+I
I f x"dx
In(x) x" dx = In(x)-- - - a+I a+I
'-v-''- 0 und a
r,,+l (
= _.(J
+I
I)
lnx - - {j + I
(4.69)
(Für (J = -I s. (4.36).) Insbesondere folgt für a = 0:
=1= ~ I.
!Inxdx=xlnx-x.
(4.70)
(b) Zur Berechnung von! arcsin x dr benutzt man den Trick, daß man
Vi
= I selZl und 11 gleich
_x 2 .
(4.71)
dem gesamten Integranden: u = arcsinx. Es folgt
f
Entsprechend erhält man mil
f
~=
aresinxdx = xarcsinx - ! Vi
x arcsinx
+ JI
= 1.11 = arctanx:
arctanx dx = x aretara -
~ ln(l + x 2).
(4.72)
rr
rr
Damit lassen sich auch arccosx ="2 - arcsinx und areeotx = "2 - arctanx sofort inlegrieren. Mit der Melhode v' = I erhält man entsprechend die Integrale von arsinhx, arcoshx, artanhx und arcoth x. (e) In lislenreicher Weise fUhrt beim Integral! e"x sin(bx)dx (b den der Produktregel zum Ziel:
=>
f f
e"x sin(bx) dr =
'-v-' '--v----' "
-~b e"x cos(bx) + ~b
,,'
Analog ergibt sich mit b
f
e"x cosCbx) dx ,,;
I e"x sin(bx)dx = -be"x cosCbx) + b"2 c"x sin(bx) - ,,' b2
c"x sin(bx) dr =
,'"
0) das zweimalige Anwen-
'-v-' ' - , . - - " "I
Löst man die lelzle Gleichung nach
f
f
=1=
f
e"x sin(bx)dx.
Je""" sin(bx)dx auf, so folgt
2 2 (a sin(bx) - beos(bx». a +b
(4.73)
=1= 0: ~,
c"xcos(bx)dx =
2 (J
+ b-.,Cacos(bx)+bsin(bx».
(4.74)
4.2 Berechnung von Integralen
321
Bcispicl4.13: (Rekursionsforme/li) Mit Jl E N gilt
(4.75)
x,,~1 e.T
Damit ist ein Integral ! an -
(11 -
dr übrig geblieben. Wendet man die Formel auf dieses Integral
I) statt 11 gesetzt - , so bleibt ein Intcgral ! x,,-2 c·" dx zu lösen. Fährt man in dieser
Weise fort, so erreicht man schließlich
J
c" dx = e.l, womit! x" eX dx explizit berechnet ist
Zusalllmengefaßt ergibt dies (4.76)
(b) Völlig entsprechend erhält man die Rekursionsformeln
f ". f"
· " COSX+II x sln ...· d .\=-x
f
x cosx dx=x ". SlnX-fl
d x ,,-I· sm.r.r
f
.\.,,-1 cos.\·d x. (4.77)
und daraus die Summenformeln: !
! (c)
f
XU
(x + ~Jr)
(4.78)
tk!G)x"-t (x + ~Jr ).
(4.79)
x" sinxdx = x"cosxdx =
tk!G)x"-tcos );=0
sin
t=o
X"+I (Inx)/1 dx = --(Inx)" - -" a+I a+ 1
'-v--' '-.,--'
"
f
x"(lnx),,-1 dr
«(1#-1. liEN)
v'
:::}
! (Inx)" dx = xOn x)" -
Jl
! (In x),,-I dr.
(4.80)
(d) Für 11 E N, 11 ::: 2 gilt ! cos" xdx = !
~~dx = 11
v'
cos,,-I xsinx+ (11 - I)! cos"-2 xsin 2 xdl"
::::cos,,-lxsinx+(II-I)! cos"-2x(l-cos2 x)dl"
322
4 Inlegraln:chnung einer reellen Variablen
=>
!COS"xdx=:':eosll-1xSinx+ "
Analog folgen (mit beliebigen
! !
11. 1/1 E
N. 11
:::
Il
=::
1
-
!eos,,-2 x dx .
(4.81)
11
2)
sin" x dr =: _.: sin"- 1 xeosx
sin'" x cos" x dx
II
sin",+1 xcos,,-I x 111+11
+ ~! sin,,-2 x dr. 11
1I - I ! +-
(4.82)
sin'" x eos,,-2 x dr .
11I+11
Eine andere Methode, die Integrale (4.81), (4.82) zu berechnen, besteht in der Anwendung der Summenformeln
00"" x) I ["-'L "
~(±I)"-k2
=: -..,,-
sin~11 x
2~1I
k=O
(2") k
COS«II - k)2x)
+
(2")] 11
mit" E N (Dabei gilt in (±l)"-k das Pluszeichen rur den cos 2" x und das Minuszeichen für sin 211 x). Ferner ist für ungerade Potenzen
",
cos~'- x=:
I ,,(2"-') li-I
2211 - 2 L
k
k=O
,,-,
" I . sin~II-1 x =: -,--, ~ (_l),,+k-I 2~1I-
L
cos«211 - 2k - I)x).
( 211 -) sin«211 -
k=O
I
2k - I )x) .
k
Man gewinnt diese Formeln übercosx =: (e ix +e-ix)!x und sinx =: (e ix -e- i '
dt --
2 1+ r2
t
sin2~)
2x (
'lX
cosx =cos- '2 -sin-'2 =cos '2 1- cos2
2 l_r = 1 +/2'
•
Damit geht das Integral über in
! (
21 1 _1 2 ) 2 R - - - - --dl l+t2'I+t2 1+/2 '
(4.103)
also in das Integral einer rationalen Funktion von /, das analytisch integriert werden kann.
(Il) Rationale Funktionen von
e~
Funktionen der Form (bill
i= 0)
(4.104)
330
4 Inlegraln:chnung einer reellen Variablen
werden mit Hilfe der Substitution t = er, x = lnt, drfdl = 1ft behandelt. Ihre Integrale werden dadurch auf Integrale von rationalen Funktionen zurückgefUhrt: (4.105)
(1II) Rationale Funktionen von Hyperbelfunktionen R(sinhx. coshx) lassen sich in die Form (4.104) umrechnen und damit auch elementar integrieren. Eine zweite Methode - analog zu (I) - besteht darin, f = tanh(x f2) zu substituieren. Das Integral von r(sinhx. cash x) wird damit
J
R(sillhx.coshx)dx=
J(
2/
1+/') --.,dt. 2
--,.--,
R
I
I - t-
-1-
I -
f-
(4.106)
(IV) Rationale Funktionen von Wurzelausdrücken und x
J
R(x.JI
J J
x 2 )dx=
R(sinll,coslI)COSlIdll,
mitx=sinll,
(4.107)
R(sinh u, cosh 11) cosh 11 du .
mitx = sinhu,
(4.108)
I)dx= / R(coshll.sinhll)sinhudll,
mitx=coshll.
(4.109)
R(x. JI +x 2)dr = R(x.Jx 2
J
J
Die links stehenden Integrale sind damit auf (I) und (111) zurückgeführt. Das allgemeinere Integral
J
R(x. Jax 2 + 2bx
+ c) dr
(a
i= 0)
(4.110)
wird auf die obigen Fälle zurückgeführt. Dazu schreibt man ., ax-
+ 2b,r +c =
I
-(CIX +b)
2
{/
+
ac-b 2 CI
.
(4.111)
Wir kürzen ab: D := ac - b 2, und erhalten die folgenden Fälle: Fall
Substitution
D >0
,~
D < 0
,~
D=O
Jax 2 +bx +c_
ro+b j !:!..(~2 +
(IX
(IX
+b
,Fi5
"
1)
(a > 0)
4.2 Berechnung von Integralen
331
Man sieht, daß in den ersten beiden Fällen (4.110) in Integrale der Form (4.108), (4.109) verwandelt wird, während der Fall D :::::; 0 sofort auf einen rationalen Integranden fUhrt. Damit ist (4.110) berechnet. Auf das Imegral (4.110) läßt sich auch
J
R(x. Jax+b, JAx
+ B)dx
(4.112)
zurückfUhren, und zwar durch die Substitution ~ = Schließlich kann man dx +B f R(X'. AxaX+b)
durch
~ ~
j
{IX
Ax
J Ax + B. Der Leser fUhre dies aus. +b +B
. neN
(4.113)
in ein Integral einer rationalen Funktion verwandeln und damit analytisch integrieren. Übung 4.12: Berechne (a)
4.2.6
f
e2f
dx
l+e x '
(b)
f
eosx d( . 2 + sinx
(e)
f
x 2 +X+I
r;--;:; d(. - x~
vI
Numerische Integration
Versagt die analytische Integration. so sucht man Zuflucht zur numerischen Integration. Im Zeit~ alter des Computers ist diese }>Zuflucht« durchaus zur brauchbaren »Heimstätte« geworden. Wir wollen einige Verfahren kurz streifen. (Die »Tangentcnformel« haben wir schon in Abschn. 4.1.3 kennenge1crnt.)
f
h
(I) Trapezformel: Es soll
fex) dx berechnet werden, wobei wir die Funktion f : fa.
bJ
-+ IR
" als zweimal stetig differenzierbar voraussetzen wollen. Zunächst bilden wir eine äquidisfmue (gteichabständige) Zerlegung von [a. bl durch die Teilungspunkte Xo = a .
Xl
= a
+ h.
X2 = a
+ 211 •
X3 = a
+ 311 •
XII =a+nll =b.
mit der »Schrinweite«" = (h - a)/II. Die zugehörigen Funktionswerte werden mit Yi ._ f(xi), i = 0.1.2 ..... /1 bezeichnet. Auf jedem Teilintervall [Xi_I. xii betrachtet man die Näherung
f
Xi
.fj_1
f(x)dx
~ "Yi~12+ Yi
(4.114)
332
4 Inlegraln:chnung einer reellen Variablen y
y
P, P.
,
h
o
,
Fig. 4.11: Zur Trapczformcl
Fig. 4.12: Zur Simpsonformel
Der Ausdruck rechts ist dabei gerade der Flächeninhalt des schralliertcn Tnlpczes in Fig. 4.1 [ (Yi-l und Yi positiv vorausgesetzt). Aus dieser geometrischen Deutung resultiert der Ansatz und der Name unserer Methode. Summiert man (4.114) auf beiden Seiten über i. und bezeichnet den Oesamtfehler - also den Unterschied zwischen rechter und linker Seite - mit 8. so erhält man
(
b
f"
H 2
f(x)dx='"
~) +8. +YI +)'2+···+Y,,-1 +"2
(4.115)
Diese Formel heißt die TrapeiformeI. Ohne Beweis geben wir dazu folgende Fehlcrabschätzung an (s. [56J, S. 239).
(4.116) Die Trupezrcgel ist um einiges ungenauer als die folgende Simpsonformel. Sie hat jedoch theoretisches Interesse, als Ausgangspunkt für das Rombergverfahren. Aus diesem Grunde wurde sie hier angegeben. (11) SimpsonformcJ 7 : Die Funktion
J
f : La, b]
_
IR sei viermal stetig differenzierbar. Zur Ennitt-
b
lung des Integrals
fex) dx zerlegen wir das Intervall La, b] äquidistant in eine geratle Anzahl
von Teilintervallen"LXi_I, XiJ. Die Teilungspunkte sind
xi=a+ih
fLiri=O.I,2.....
II.
IJ-a wobeih = - - .
"
11
gerade.
Wieder wird )'i := f(xi) gesetzt. Wir betrachten nun das erste »Doppelintervall« [xo. x21, s. Fig. 4. I2. Die Idee der Simpsonformel besteht darin, durch die drei Punkte (xo. )'0). (Xl. yj). (X2. YÜ ein Polynom zweiter Ordnung 7 Thomas Simpson (1710- 1761). englischer Mmhematiker
4.2 Berechnung von Integralen
333
(eine Parabel) zu legen, und dieses anstelle von j zu integrieren. Entsprechend geht man mit den übrigen Doppelintervallen [X2. X4J, [X4. X6J, ... vor. Anschließend summiert man über alle Doppclintervalle. Eine Parabel durch (xo, )'0), (XI.)'I), (X2. Y2) findet man leicht durch die »Langrangesehe Formel«
Man erkennt, daß es sich hierbei in der Tat um ein Polynom zweiten Grades handelt. Außerdem prüft man leicht nach, daß)'o = P2(XO), YI = Pz(xj) und Y2 :::: P2(X2) gilt. Die Integration
J"
P2(X) dx
fUhrt man »gliedweise« durch, also mr jedes der drei Glieder in
."
(4.117) einzeln. Dabei ist die Substitution x :::: a
f""
P2(x)d-r ::::
"
'3Ü'O
+ I1t
nützlich. Man erhält
+ 4YI + }'2) .
(4.118)
.
Entsprechend erhält man ftir ein beliebiges Doppclintervall [X2i -2. x2i J
(4.119)
mit einer Parabel Pi durch (X2;-2, )'2i-2), (X2i_l. Y2i-d, (X2i, )'2;). Summation der GI. (4.119) über alle Doppclimervalle - also fur i :::: 1,2, ... , 2" - liefert auf der rechten Seite eine gute Niiherung fUr
J"
"
f(x) dx (falls h klein genug).
Bezeichnet"li den Fehler zwischen dieser Näherung und dem Integral, so folgt also
J b
j(x) dx::::
~(ro + 4YI + 2Y2 + 4Y3 + 2Y4 + ... + 4YIl_1 + YII) + li.
(4.120)
" Dies ist die Simpsolljormel. Die Fehlerabschätzung lautet (s.[56[, S. 239) (4.121 )
Da der Fehler l,sl mit h 4 abgeschätzt wird. sich also bei verringerndem" sehr stark verkleinert, liefert die Simpsonformel äußerst gllte Ergebnisse. Sie ist eine der besten Forme/li jiir die nlllIJel"ische Integralioll, und dabei sehr leicht anzuwenden!
334
4 Inlegraln:chnung einer reellen Variablen
(In) Newtons pulcherrima (318-RegeJ): Gelegentlich hat man nicht die Möglichkeit, ein Inte-
grationsintervall[a, b J in eine gerade Anzahl von Tei lintervallen äquidistant zu zerlegen, sondern [a, bJ ist schon von vornherein in ungerade viele Teilintervalle [Xi-I, Xi] äquidistant unterteilt. (Dies kann bei gemessenen Werten der Fall sein, die nicht mehr veränderbar sind.) In diesem
f,
b
Falle geht man bei der numerischen Berechnung von
I(x)dx so vor: Man faßt die ersten drei
Teilintervalle zu einem »Dreifachintervall« [xo, x)l zusammen und die verbleibenden zu Doppelintervallen. Auf letztere, also insgesamt auf [X), b] wendet man die Simpsonformel an, um
f
b
f(x)dx näherungsweise zu bestimmen.
"'
Zur numerischen Berechnung des verbleibenden Integrals (Xl. YI), (X2. n), (X3. Y3) ein Polynom P vom Grade
,
3 gelegt
f"
f(x) dx wird durch (xo. )'0),
""
n(x-xkl 3
P(x)
~
k=O kf-i
2:>",'-'----i=O
n
(Xi -
Xk)
k=O k;bi
Dieses wird anstelle von 1 integriert. Man errechnet
f"'
P(x)dx =
~h()'o+3Yt +3)'2 + y».
f(x) dx =
~1J(}'0 + 3YI + 3Y2 + Y3) + 8
mit
X)
-xo
11=--3-·
'"
Es folgt
f"'
(4.122)
'"
mit Fehlerabschätzung
l,'ll:::: }OM4 11 5 .
mit
M4
~ 1/(4)(x)1
auf[xo.x3]
(4.123)
(s. [56], S. 236). (4.122) heißt »i-Regel«. Die Formel wurde von ihrem Entdecker Newton begeistert »pulcherrima« genannt.
4.2 Berechnung von Integralen
335
Bemerkung: Des weiteren ist das Rombelg8- Verfahren zu nennen, welches auf Computern heute das meistbenutzte Verfahren ist. Es beruht auf der Trapezregel. bei der die Schrittweite immer weiter verkleinert wird und dabei gegen Null geht. Der Grenzwert der Trapczregel-Werte ist das numerisch bestimmte Integral. (Es wird durch eine Extrapolationsmethode geschickt angenähert, s. Litermur über numerische Mathematik. z.B. [301, S. 399-403.) In der Simpsonformel, eventuell verbunden mit Newtons »pulcherrima«, haben wir aber schon vorzügliche Verfahren zur numerischen Integration kennengelernt. Mit ihnen kommt man rurs erste gut aus. insbesondere, da sie sich sehr leicht handhaben lassen.
Beispiel 4.16: Berechnet werden soll
(Analytische Integration ist hierbei unmöglich.) Wir verwenden die Simpsonformel. Mit fex) = e- x2 • Xj = i /6,)'i = f(x;H; = 0.1.2, .... 6) folgt
,
' f
'/6
e- x-/2 d~ = T(YO
+ 4)'1 + 2)'2 + 4)') + 2)'4 + 4)'5 + )'6) + Ii =
0.85563 + Ii.
o
Zur Fehlerabschätzung berechnen wir f(4)(X) = e- x2 / 2 (x 4 _ 6x 2 + 3),
f(5)(x) = _e- x2 / 2 x(x 4 _ IOx 2 + 15).
Da f(5)(x) .::: 0 auf [0. I [ist, folgt, daß f(4) auf [0. IJ monoton Hillt. Also hat f(4)(X) in x = 0 das Maximum auf [0. IJ und in x = I das Minimum. Wegen f(4)(0) = 3 und flV(I) = -1.3 ist daher [f(4)(x)[ .::: 3 =: M4 auf LO, I], folglich nach (4.121): I.
.2... .-'- < 180 1296
I 3. 10- 5 '
Damit ist 0,85563 ein Näherungswert des Integrals, der mindestens auf 4 Stellen genau ist. Übung 4,13: Berechne
,
!
"/2
sinx 6 - - dx mit der Simpsonfonnel bis auf einen Fehler von höchstens 10- . x
8 Wcmcr Rombcrg (1909-2003). deutscher Mmhematiker
336
4 Inlegraln:chnung einer reellen Variablen
4.3
Uneigentliehe Integrale
Bisher haben wir beschränkte Funktionen auf beschränkten abgeschlossenen Intervallen integriert. Wir wollen die Integration im Folgenden auf unbeschränkte Intervalle und unbeschränkte Funktionen ausdehnen. Man spricht dabei von IIl1eigellllichell Integralen, im Gegensatz zu den bisher betrachteten »eigentlichen« Integralen.
4,3.1
Definition und Beispiele
Beispiel 4.17: Durch analytische Integration errechnet man sofort
,
Je-xd~
= I _e- r .
o
Für I
_
00 strebt die rechte Seite gegen I. Dies wird folgendermaßen beschrieben:
00
Jo e-x dx:=
,
lim
'_00
Je-'~
dx
= I.
0
Je-x dx 00
Das links stehende Integral von 0 bis 00 ist durch den Grenzwert definiert. Man nennt
o
ein ulleigelllliches Imegral. Der Integrationsbereich [O,ooj ist hierbei unbeschränkt. Der Wert
Je-x 00
1=
dx kann als Flächeninhalt der unendlich langen (schraffierten) Fläche in Fig. 4.13
o
angesehen werden.
Beispiel 4.18: Wir wollen nun eine unbeschränkte Funklion "integrieren«, und zwar !(x) = l/..rr=-x auf [0. I). Auf jedem Teilintervall[O./J C 10.1) ist! allerdings beschränkt. und man errechnet
,
J..rr=-x ~ [~2./I=X]' ~ -2"r,::t + dx
o
Die rechte Seite strebt mit
,-
I _
I (t < I) gegen 2. Man beschreibt dies durch
,
J..rr=-x ,= /.. . . J..rr=-x = --,;;d.;;,'=
o
2.
0
lim
I r" /
9 1---> b- bedeutel I ---> b mil / < b. e11lsprcchend bedeutet I ---> a+ den
Grcnzüberg~ng
1--+ a mil I > a.
338
4 Integralrechnung einer reellen Variablen
wobei auch a = -00 zugelassen ist. Schließlich vereinbart man
I
I
b-
[(x) I. Damit gilt
1, 00
b die »Cauchy-Bedingung fur Folgen«. also konvergieren alle Folgen (ak). Damit konvergieren sie alle gegen den gleichen Grenzwert I. (Denn würden zwei dieser Folgen gegen verschiedene Grenzwerte streben. würde die Mischfolge ~ nach Reißverschlußvetfahren - nicht konvergieren, was nicht sein kann.) So-
i "
b-
mit gilt F(t) (11) Existiert
1 für t
--,l>
b-
i"
--,l>
!(x) dx
mitIF(t) - 11
0 existiert ein e / ..... b-
J(x)d,
E La, b)
2 für alle / E (c. b). Mit t, .\' E (e. b) folgt daher
,
i,
f(x)dx folgt.
= IF(t)- F(s)1
~ IF(t)-/I+ IF{s) -
JI
~
, ,
2+ 2 =
f:.
o
Beispiel 4.24: Wir zeigcn
i
00
o
sinx 7f -dx=-
x
2.
(4.132)
10 Dieser und die folgenden Beweise im I'orliegenden Absehnill können vom anwendungsorientiel1en Leser iibe=hla· gen ....·erden.
4.3 Uneigentliche Integrale
341
(I) Die Konvergenz des Integrals folgt mit dem Cauchy-Kriterium in Satz 4. I I. Denn man erhält fUr 0 < s < 1 mit der Produkt integration
,
f,
,
sinx
dx=
x
[ WH]' f, WH
-,-dx x·
--- x s
"
IWHI - I + f' --,I[-WH]' , x
s
dx
x·
2 Dies bleibt kleiner e > 0 (also - < e), wenn s > 2/e =: c. Da wegen 1 >
.,
S
auch 1 > c ist, ist
die Cauchybedingung (4.131) erfüllt, d.h. das Integr
0 gibt es ein c
I
h-
I
ftirallet.s E (c.b)giltE: > 11[(X)ldX:::
[a. b), so daß
E
. Damit erftillt auch
s.
O. Aus (4.135) folgt, daß z.B. zu [;0 =
fex) L -[;0< - - < L+[;O g(x)
Es ist L - [;0 = L/2. L
L
+ [;0 = 3L
'2 g (x)
< fex) < Tg(x)
I
I
ein c E [a. b) existiert mit
3L/2. Somit gilt flir xE [co b).
Nach dem Majorantenkriterium haben 1)-
i
fUrallcc E Ic.b).
I
b-
also auch
g(x)dr die Konvergenz von
I
b-
fex) dx und
g(x) dx gleiches KOllvcrgcllzverhalten,
b-
f(x)dr und
"
g(x)d-r.
"
(U) Im Falle L = 0 wähle man zu EO = I ein CE [a. b) mit f(x)/g(x) < I fur alle x E [c, b),
I
b-
alsa fex) < g(x) auf [c, b), woraus wiederum folgt. daß die Konvergenz von
If
g(x)dr die von
"
h-
(x) dx nach sich zieht.
o
" Beispiel 4.25: Das Integral
I
00
o
e- I
/",-1
dt =: reD!)
(4.136)
4.3 Uncigcmlichc Intcgralc
345
konvergiert genau dann. wenn Ci > 0 ist Um dies einzusehen, wenden wir das Grenzwertkriterium auf die Teilintegrale I
/1
= !
!
00
e- I ,0-1
d!
und
12
=
0+
e-I
,0-1
d!
I I
an. Zu 11: Es strebt wenn
e- I /0-1// I.
(4.144)
350
4 Inlegraln:chnung einer reellen Variablen
Die Funktion Li heißt Imegra{(ogaritlllllils. Er erfreut sich folgender Reihendarste1Jung, die wir ohne Beweis angeben: 00 (Iny)k Li(y) = C + In Iln YI + ' " - - , L k.kl k=1
y > 0,
y
f::. I .
(4.145)
Li und Ei hängen folgendermaßen zusammen:
x f::.
Li(e X ) = Ei(x).
o.
(4.146)
Beispiel 4.30: IlIIegralsilllls si und IlI/egralcosiflllS ci sind definiert durch
"f
,
si(x): =
-~
2
+
sinl --dl.
x E IR,
1
o
ci(x):=C+lnx+
" cosx -
f
I
I
dl.
(4.147)
(4.148)
x>O.
o
Aus Beispiel 4.24 folgt si(x) ---+ 0 fur x ---;. 00 und wegen si(x) + si (-x) = gang si(x) ---+ -1r für x ---+ -00" Die Reihendarstellungen lauten: 1r
si(x) =
00
.
(U+l
-'2 + L(-I)~ (2k +"I)!(2k + k=O
der Grenzüber-
(4.149)
U
00
ci(x) = C + lnx
I) ,
-1r
+ L(~I)k (2;;(2k)1'
(4.150)
k=1
Beispiel 4.31: Man bezeichnet rp(x):=
Jrr f" e-/
2
dl.
x E IR.
(4.151)
o
als Fehferilllegraf. (Man ermittelt damit die Wahrscheinlichkeit zufalliger Abweichungen von einem Mille1wert, d.h. von »Fehlern«.) Analytische Integration ist hierbei nicht möglich. Man muß das Integral numerisch berechnen oder aus folgenden Reihendarstellungen ermitleln:
2
.(x)'~ fi
00
x2k+1
2::(-1)\'(2'
k=O
+ I)
(4.152)
4.3 Uneigentliche Integrale
2
=
,00
,fire
-x- '""
21.: 2t+1 X
L....(2k+I)!!'
12
351
(4.153)
1.:=0
Die erste Reihe (4.152) erhält man aus der Taylorreihe 00
~I.:
e-I~ = '""(_I)I.:.e...L.... k! 1.:=0
durch gliederweises Integrieren von 0 bis x. (Daß dies erlaubt ist, folgt aus Abschn. 5.1.2). Den Beweis der zweiten Reihe (4.153) übergehen wir aus Platzgründen. Für x -+ 00 erhalten wir folgenden Grenzwert
2! ' 00
lim iP(x) =
x_oo
r=
e- I dl = I . +
ylf
(4.154)
o
Die Existenz des Integrals folgt mit dem Majorantenkriterium aus e-I~ .::: e- I fur t > I. Daß der Grenzwert I ist, wird spliter in Abschnitt 7.1.7 gezeigt. Beispiel 4.32: Der Vollständigkeit wegen geben wir noch die Fresllelschenlmegrale Sex) und C(x) an (x E IR beliebig): (4.155)
(4.156)
Beispiel 4.33: Die Eulersche Gamma/unktion ist fLir x > 0 durch 00
r(x) := fe-I r f -
I
dt
(x > 0)
(4.157)
0+
definiert. Die Existenz dieses uneigentlichen Integrals wurde in Beispiel 4.25 bewiesen. Die entscheidende Eigenschaft der Gammafunktion ist, daß sie fLir ganze nichtnegative Werte x Fakultäten liefert. nämlich r(n
+ I) =
(4.158)
I/!
12 (21.:+1)!!:_1 )·5.
·(21.:+1)
352
4 Inlegraln:chnung einer reellen Variablen
rur alle Jl = 0, I ,2.3, .. , Man sagt, die Gammafunktion »interpoliert die Fakulttiten«, Um (4, 158) zu beweisen, leiten wir zuerst die FUJlklionalgleichullg der Gamma/unktion her: r(x
+ I) =
(4.159)
xr(x).
Sie ergibt sich durch Produkt integration:
f
00
r(x
+
I)
= C~ d! = [- e-r!-t]~ + x o+u'u
!
f
00
r e- rr-l d!
= 0 + x r(x),
0+
00
Beachtet man r(l)
=
dige Induktion r(x
+ I) =
e- I dt
o
= I = O!, so folgt mit der Funktionalgleichung durch vollstün-
II! (Der Leser fuhre dies zur Übung durch.)
•, y.. r (:t)
4
3 2
-,
,, , ,,,
-4-3
,,
2
-,,
,,.' ,,
2
3
4
,
,
-2
,,
in
-3 -4
-,
Fig. 4.15: Die Gummafunktion
Allgemein liefert die Funktionalgleichung, sukzessive angewandt: r(x
+Jl) =
x(x
+
I)(x
+ 2) ... (x + 11
-
I)r(x)
rur alle x > 0 und Jl E N. Löst man diese Gleichung nach rex) auf. so kann man sie auch zur Definition von rex) flir negative x benutzen: ISI x < 0 mit -11 < X < -Jl + I (Jl E N), so vereinbart man r(x)
rex
+ 11)
,~ ==='c-";;'-''-7::--,-c-" x(x+l)(x+2) ... (x+/1 I)'
(4.160)
4.4 Anwendung: Weehselstrornreehnung
353
Für ganzzahlige negative x ist r(x) nicht erklärt. Dort liegen Pole vor, wie man aus (4.160) abliest. Fig. 4.15 zeigt den Graphen der Gammafunktion. Die Funktionalgleichung ist rur alle x mit x t- 0, -I, -2, ... gültig. Bemerkung: Die Integralfunktionen dieses Abschnitts sind samt und sonders gut tabelliert und auf Computern programmiert. Sie stehen bei Anwendungen daher genauso bequem zur Verfügung wie eX • In x, sinx, arcsinx usw. Übung 4.19: Leite die Reihe für Ei(x) (x < 0) aus der Taylorreihe fUr el her. ebenso die Reihen fUr si(.r) und ci(x) aus den Taylorreihen von sin x und cos x. (Dabei darf gliederweise integriert werden. s, Abschn. 5.1.2).
4.4
Anwendung: Wechselstromrechnung
4.4.1
Mittelwerte in der Weehselstromtechnik
Effektivwerte \'on Spannung und Strom: Durch u(t) =
11 m cos(wt).
tE
IR.
(4.161 )
sei eine Wechselspannung in Abhängigkeit von der Zeit r beschrieben. j sei die zugehörige Frequenz, w = 2rrj die Kreisfrequenz und 11", > 0 die Maximalspannung. Der durch /t(t) erzeugte Wechselstrom i(t) in einer bestimmten Schaltung wird durch i(t) = im cos(wt
+ q;)
(4.162)
beschrieben. im > 0 ist die maximale Stromstärke und q; die Plwsenverschiebullg des Stromes gegenüber der Spannung. Der Ausschlag mancher Meßinstrumente ist proportional zu
f
T
U·-
~
T
1/2(t)dr
bzw.
1'-
o
2 (t)dt .!-fi T .
(4.163)
o
Dabei ist T = 21f /w die SchwillglllJgsdauer von Spannung und Strom. U heißt die effektive SpalJlllllJg zu 11 und I der effektive St/VIII zu i. (Im allgemeinen mathematischen Zusammenhang heißen U und I die quadratischeIl Mine/werte (oder Effektivwerte) von 11 und i.) Setzt man die expliziten Ausdrücke für u(t) und i(t) in (4.163) ein, so errechnet man U und I mit Hilfe der Formel
f ' cos~
1
x dx = 2'(x
. X cosx) + Sill
(s. Abschn. 4.2.2, (4.54». Man hat in (4.163) lediglich x = wt bzw. x = wt
+ rp zu substituieren.
354
4 Inlegraln:chnung einer reellen Variablen
Es folgt: (4.164) Wirkleistung: Das Produkt u(t)· ;(t) =
1/",
cos(wr)i lll cos(wt
+ rp)
(4.165)
wird die momelllalle Leistung genannt. Wir wollen die iiber eine Periode gemittelte Le;SlI/llg
f
T
T
-P = I
(4.166)
1/(1). i(t) dt
o berechnen. P heißt Wirkleistung. Zur Berechnung des Integrals schreiben wir zunächst u(t); (t) um, und zwar muß das Produkl cos(wt)cos(wt + rp) in eine Summe aus trigonometrischen Funktionen verwandelt werden, um anschließend integriert werden zu können. Das geschieht mit der Formel
x+y
x-v
(4.167)
2 cos - 2 - 00' -2-' = cos x + cos y (s. Abschn. 2.3.2, (2.73)). Aus dem Ansatz
x+v
2=wt+rp.
X-)'
- - ' = wt
2
folgt
x = 2wt +rp.
y = rp,
also 2cos(wt + rp) cos(wt) = cos(2wt + rp) + cosrp. Aus (4.165), (4.164) ergibt sich damit u(t)· ;(t) = U . I (cos(2wt + rp) + cosrp) ,
(4.168)
Somit folgt
Setzl man w = 2Jr IT ein und substituiert ~ = 2wt + rp. so erkennt man, daß das erste Integral Null wird. Es ergibt sieh daher die Wirkleis/IIllg zu P
=
UfCOSIp.
Der Faktor cos rp heißt Leistungs/aktor,
(4.169)
4.4 Anwendung: WeehselSlrornreehnung
355
Bemerkung: Für andere periodische Spannungs- und Stromverläufe, als in (4,161) und (4.162) angegeben, werden die Effektivwerte der Spannung oder des Stroms ebenso nach (4.163) berechnet wic auch dic Wirklcistung nach (4.166).
"m "
2""
u=Urn-~1
T
o
T 2
T
3T
2
Fig. 4.16: Stückweise gerader Spannungwerlauf einer Wechselspannung
a
-""2
T
, , ,
2
'T
, L-
Fig. 4.17: Rechteckiger Spannungsverlauf
Beispiel 4.34: Für die Spannung u(t) mit dem »Streckenverlauf« wie in Fig. 4.16 skizziert, errechnen wi( den Effektivwert U:
also
Übung 4,20: Berechne die effektive Spannung U zu dem in Fig. 4.17 angegebenen Spannungsverlauf fI (I). 4.4.2
Komplexe Funktionen einer reellen Variablen
Die inl78)
Bei einem Kondensator mit Kapazität C (Fig. 4.2Oc) gehorchen Strom und Spannung dagegen 14 Ein 1Ieglllil'er bzw'I'(J;'ilj,'er Wcrt von 'fii -'fi" gibl an. ob man dun:h. Drchung ",i/ bzw. "'lIgegen dcm Uhocigcrsinn (um l'fii -'filiI) von i/I.LI nach !UI!LI gclang\.
4.4 Anwendung: WeehselSlrornreehnung
361
der Gleichung du i=C-.
(4.179)
d,
folglich in komplexer Schreibweise .
/eJ w /
-
d . = CU-eJWI = CUiwel,w /. -d/
(4.180)
=.J
In den hergeleiteten Gleichungen (4.176), (4.178) und (4.180) kann man stets dcn Faktor herauskürzen. Damit folgen die Beziehungen: OhmscherWiderstand: U = R{.
eiWl
(4.181) (4.182)
Spule: U =jwL{.
-.L .
Kondensator: U = -J' wC
(4.183)
Wählt man als Null- und Bezugsphase die Phase des Stroms, d.h. ipi = 0, und schrcibt man =: 1/), so ist am Ohmschen Widerstand I/) = 0 (gleiche Phasenlage), an der Spule 'P = lf /2 (der Strom läuft der Spannung um 90° nach) und am Kondensator'P = -Tf /2 (der Strom eilt der Spannung um 900 voraus). ipl
0 gibt es einen Indcx IIO(~ /ll), so daß für alle Indizes /l ~ 110 gilt
111" - flloo ::: s.
(5.9)
Der Abstand zwischen In und I bleibt also kleiner als s rur alle 11 ~ 110- Dieser Sachverhalt ist in Fig. 5.2 skizziert: Um den Graphen von I ist ein sogenannter s-Schlauch (schraffiert) gezeichnet. Darunter versteht man die Fläche zwischen den Graphen von I + s und I - s. Der Graph von I verläuft in der Mittc des e-Schlauches. Gleichmäßige Konvcrgenz von (1,,) gegen I bedeutct nun, daß es zu jedem e-Schlauch um f einen Index "0 gibt, so daß die Graphen aller f" mit Indizes 11 ~ "0 ganz in dem ("-Schlauch liegen. Wir merken ferner an, daß (5.9) ausflihrlieh bedeutet: sup If,,(x) - f(x)1 ::: s.
HD
oder, was dasselbe besagl:
11" (x)
- l(x)l::: s
für alle x
E
0
(5.10)
Das heißt: Folgerung 5.1: Eine Funktionenfolge (f,,) auf 0 konvergiert genau dann gleichmäßig gegen f auf 0, wenn folgendes gilt: Zu jedem s > 0 gibt es einen Index "0, so daß fur alle Indizes 11 ~ 1/0 und alle x E 0 gilt I/.,(x) - f(x)1 ~,.
Bemerkung: Zunächst genügt es, sich die leichter eingängige Definition 5.3 zu merken und anhand dcr Fig. 5.2 (s·Schlauch) klar zu machcn. Die Formulicrung in Folgerung 5.1 hat vorwiegend beweistcchnische Bedeutung. Ocr Kern bei der Formulierung der gleichmäßigen Konvergenz in Folgerung 5.1 besteht darin. daß "0 nur 1'0" s (und f) abhällgt. nicht aber von x. Das heißt die Ungleichung If,,(x) - f(x)1 < s gillfiiralle x, wenn 11 2: 110 ist.
5alz5,1: (Cauchysches KO/1\'ergellzkrireriulll für gleichmäßige KO/lI'ergenz) Einc Funktionenfolge (f,,) auf 0 ist genau dann gleichmäßig konvergent, wenn folgendes gi 11: Zu jedem s > 0 gibt es einen Index 110, so daß ftlr alle 11. m 2: 110 gilt IIf"~f,,,lIoo:::s.
(5.11)
5.1 G1eichmaßigc Konvcrgenz von Funktionenfolgen und -reihen
373
Beweis: 2(1) Es konvergiere (In) gleichmäßig gegen I auf D. e > 0 sei beliebig gewählt. Zu e/2 gibt es dann einen Index 110 mit 11[" ~ /1100 .:s e/2 flir 11 2: /10. Daraus folgt flir alle lI.m 2: 110:
11[" - [',,1100
=
111" - I + I
~
e
e
[,,,1I00.:s 111" - /11 + lIf ~ I",lIoo.:s"2 +"2
=
s.
(11) Wir setzen nun umgekehrt voraus, daß (5.11) erfüllt ist. Dann gilt für beliebiges x E 0: (f,,(x» erfüllt die Bedingung des Cauchy-Kriteriurns für Zahlenfolgen, ist also konvergent. Der Grenzwert sei mit I(x) bezeichnet. Auf diese Weise ist I : 0 _ IR definiert. Zu beliebigem t > 0 wählen wir nach (5.11) nun ein "0. so daß 111" - f,,, 1100 .:s t ftir alle 11. m 2: "0 gilt. Damit folgt flir beliebiges, aber festes x E 0:
I/',(x) - f(x)1 S If,,(x) - /,,,(x)1
.:s
e
+ I/',,(x) + I[,,,(x) -
f(x)1
(5.12)
I(x)l,
falls 11, 111 2: 1/0. Der Summand If,,,(x) - I(x)1 strebt für III _ 00 gegen O. also gilt 1111 (x) I(x)1 .:s s fLir alle 11 2: 110 und alle XE D. Das heißt: (In) konvergiert gleichmäßig gegen I. 0
Übung 5.1*: Welche Funklionenfolgc konvergiert gleichmäßig?
11+1 a) !,,(.t) = - - x c) !n(.t)
5.1.2
= x"
"
= x"
auf [0.11.
b) !,,(x)
auf [0. 11.
dl !,,(x) = -,--,
aUf[O.!]. 1
+ IIX
aufIR:.
Vertauschung von Grenzprozessen
Die folgenden Sätze bilden die Grundlage fLir das Arbeiten mit gleichmäßiger Konvergenz. Sie sagen im Wesentlichen aus, daß bei gleichmäßig konvergenten Funktionenfolgen (bzw. ihren Ableitungsfolgen) sich Stetigkeit. Differenzierbarkeit und Integrierbarkeit auf die Grenzfunktionen übenragen. Ohne dies wäre mit konvergenten Funktionenfolgen kaum zu arbeiten. (Die Beweise können beim ersten Lesen überschlagen werden.) Satz 5.2: Jede gleichmäßig konvergente Folge stetiger Funktionen hat eine stetige Grenzfunktion. Beweis: (f,,) konvergiere gleichmäßig auf D c IR gegen I. Die Differenz II(x) - I(xo)1 (x, Xo E D) ist abzuschätzen. Es gilt: If(x) - f(xo)1 S If(x) - /,,(x)1 2 Kann zunächst überschlagen werden
+ I/',(x) -
f,,(xo)l
+ If,,(xo) -
f(xo)1
(5.13)
374
5 Folgen und Reihen von Funktionen
rur x, Xo E D, Es sei 8 > 0 beliebig. Jeden der drei Summanden rechts wollen wir »unter 8/3 drucken« . Dann werden sie zusammen< 8. Da (In) gleichmäßig gegen J strebt, gibt es ein [" milIJ(x) - J,,(x)1 < 8/3 fur alle XE D. Da f" stetig ist, existiert zu Xo ein 0 > 0 mit
,
1[" (x) - [,,(xo)1 < 3"
fur alle x E D mit Ix
~ .1'01.:::
o.
Zusammen folgt aus (5.13) somit
If(x) - J(xo)1 < also ist
f
, , ,
3" + 3" + 3"
=
8,
falls Ix - xol .::: 0,
0
stetig.
Bemerkung: Der Satz läßt sich auch so ausdrucken: Für jede gleichmäßig konvergente Folge ([,,) stetiger Funktionen gilt auf D mit .1'0 = tim in D:
'_00 x"
lim
"_00
Jn ( k_oo lim xk)
= ]im (lim
k_oo "_00
Jn(Xd) .
(5.14)
Es liegl also die Vertauschung zweier Grenzprozesse vor. Satz 5.3: Es sei (I,,) eine Folge differenzierbarer Funktionen auf La, bl, deren Ableitllllgsfolge (I,;) gleichmäßig kOl1l'ergien. Ferner konvergiere ([" (xo» ftir wenigstens ein .\'"0 E [a, bl. Damit folgt: (a) ([,,) konvergiert gleichmäßig gegen eine Funktion J auf La. bl und (b) (I,:) konvergiert gleichmäßig gegen ['.
Bemerkung: Da unter den Voraussetzungen des Satzes nichls anderes eintreten kann, als daß beide Folgen (I,,) und (I,:) gleichmäßig konvergieren, kann man kürl.er so formulieren, ohne an Allgemeinheit zu verlieren: Sind (I,,) und (I,;) auf La, bl gleichmäßig konvergent, so folgt mit !im [" = fauch
t,; = f'· "-00
"_00
lim
Die letzte Gleichung läßt sich auch so schreiben: . d d . IHn -[,,(x) = 11m [,,(x). dr dx 11_00
"_00
(5.15)
d Die Aussage des Satzes 5.3 bedeutel daher formal, daß man lim und - vertauschen darf. "_00 dx
5.1 G1eichmaßige Konvergenz von Funktionenfolgen und -reihen
375
Beweis: Des Satzes 5.3: Zu (a): Auf die Funktion Um ~ f,,) wenden wir den Miltelwertsatz der Differentialgleichung an - bezüglich zweier beliebiger Punkte x. ~ E [a, b]- und gewinnen
I(/.,,(x) - I,,(x» (Dabei seien so folgt
- /.,( 111 (da (j,;) gleichmäßig konvergiert). Also konvergiert (D,,) gleichmäßig auf [a. bl. Da (DII ) offensichtlich punktweise gegen 0 strebt, strebt die Folge somit auch gleichmäßig gegen O. Alle 0" sind stetig, insbesondere in ~. Also ist nach Satz 5.2 auch D stetig in ~, d.h. limx_~ O(x) = f'(~) = lim 0
"_00 ;;;(n
Satz 5.4: Ist (f,,) eine gleichmäßig konvergente Folge integrierbarer Funktionen auf La. b], so ist ihre Grenzfunktioll f = lim fll integrierbar, und es gilt
"_00
f
b
tim "_00
3
n/uoo:=
f,,(x)dr =
"
sup lf(- 0 ein 1" finden. so daß das erste und letzte Glied der letzten Formelzeile < s(4 werden. Anschließend wähle man Z so, daß das mittlere Glied kleiner als s(2 wird. Zusammen folgt S/(Z) - sl(Z) < s. Da s > 0 hier beliebig ist. gilt also il.lf SI(Z) = sups I(Z), also ist f integrierbar auf [a, bl·
z
z
(11) Gleichung (5.17) folgt sofort aus
J
J
"
"
h
h
f,,(x)dx -
j(x)dx
J b
~
ko(ko genügend groß gewählt). Damit gilt (5.24) Für jedes x E [-;. ;], also lxi::: ;. erhält man daraus
lakxkl
ko,
woraus nach dem Majorantenkriterium (Satz 5.6) die gleichmäßige Konvergenz der Potenzreihe in l-~, ~ I folgt. Zu (b): 1m Falle r = 00 ist die Aussage (b) leer, es ist also nichts zu beweisen. 1m Falle r E IR (r > 0) dagegen folgt aus lxi> r unminelbar lxI/I'> I, also Hm Vlakllxl> I.
k-HXl
d.h.
Yf(4Ilxl> I
rur unendlich viele k.
Potenzieren mit k ergibt lakxk I > I. Die Glieder der Reihe streben mit k _ 00 also nicht gegen Null. Damit ist sie divergent.
2. Fall:
r =
0, d.h. tim .ylakl = 00. k ..... oo
Aussage (a) des Satzes ist leer, d.h. es ist nichts ZU beweisen. 0, also nach Potenzieren mit k auch Zu (b): Die Folge (.y!akllxl) ist unbeschränkt rur jedes x
t
die Folge (Iap-kl). Somit ist
[fakxk]
0
divergent.
k=O
Bemerkung: Über die Fälle x = r oder x = ~r in Satz 5.1 0 lassen sich keine allgemeinen Konvergenzaussagen machen. Sie müssen von Fall zu Fall untersucht werden. Es kann Konvergenz oder Divergenz vorliegen. Satz 5.10 läßt sich entsprechend ftir allgemeine Potenzreihen Das Konvergenzintcrvall hat dann die Form (xo - r, xo - nach wie vor - aus (5.23).
[t
k=O
(/k(X - XO)k] aufschreiben.
+ r). Der Konvergcnzradius r ergibt sich
382
5 Folgen und Reihen von Funktionen
Beispiel 5.1: Wo konvergiert [x
-
+ 2x 2 + 3x 3 + ... +kx k J? Mit at
= k ist lim
t-'oOO
lff zu bestimmen. Es gilt aber
.r.
lim vk= I
t--+oo
(s. Beisp. 3.19, Abschn. 3.2.1). Die Folge ( lff) hat somit nur einen Häufungspunkt. nämlich I, und ist natürlich beschränkt. Also ist auch [im
t-'oOO
lff = I, somit r = I.
(-I. I) ist damit das
Konvergenzintervall der Reihe. Für x = 1 und x = -I ist die Reihe offenkundig divergent. Beispiel 5.2: Die Reihe [ x -
X2
2
x3
x4
+"'3 - '4 + ...
]
ist sicherlich Hir
lxi< I konvergent. Für lxi> I kann
keine Konvergenz vorliegen, da Ix* / kl --,lo 00 Hir k --,I> 00. Der Konvergenzradius ist also r = I. In den Randpunkten -I und I liegt unterschiedliches Verhalten vor: Konvergenz bei x = I, Divergenz bei x = -I. Eine in vielen Fällen bequeme Methode zur Bestimmung des Konvergenzradius ist die folgende: Satz 5.11: Es sei
[f
atx*] eine Potenzreihe mit llt i= 0
Hir alle
k 2: ko. Gilt
t=o
(5.25)
- - =c>O. ". I I *~to lim
t-'oOO at+l
so ist c der Konvergenzradius der Reihe. Beweis: Wir wenden auf die Potenzrcihe das Quotientcnkriterium (Satz I 17, Absehn. 1.5.4) an und bilden dazu den Quotienten benachbarter Glieder: rur k
--,lo
00 (k 2: ko).
Nach dem Quotientenkriterium liegt Konvergenz rur rur Ixl/c > I, also lxi> c, vor.
Ixl/c
Übung 5.4: Bestimme mit Satz 5. t I die Konvergenzradien der Reihen
Cbl
[f:;:] t=1
< I, d.h. Hir
lxi
0 beliebig vorgegeben ist. Damit ist die rechte Summe kleiner als 00
00
"=11+1
11=0
"""E: ",,"E 2·(I-x) L x ~2(I-x)Lx ='2' E
Anschließend wähle man 8 > 0 so, daß fur alle x mit I - 8 < x < I der erste Summand der unteren Formelzeile kleiner als E/2 ist. Damit gilt If(x)-ci ~ E:/2+E/2 = E, falls 1-8 < x < I, d.h. lirn [(x) = c. 0 ~·-I
6 Niels Henrik Abcl (1802 - 1829). nOI'"..egischel' Mathematiker
5.3 Der Weicrstraß'sche ApproximationssalJ.:
387
Besonders interessant ist die Anwendung des Abelsehen Grenzwertsatzes auf Taylorreihen. Wir ziehen die Folgerung 5.2: Die Funktion f sei auf einern offenen Intervall I um Xo in eine Taylorreihe entwickelbar(d.h. die Taylorreihe von f konvergiert auf' punktweise gegen f). Konvergiert die Taylorreihe auch noch in einem Randpunkt VOll I und ist f dort stetig, so konvergiert sie in diesem Randpunkt gegen den Funktionswert von f.
Beispiel 5.4: Die Taylorreihe der Arcustangensfunktion lautet
x3
x7
x5
arctanx =x - - + - - 357
+- ....
(5.32)
Mit Restgliedabschätzung (Lagrange-Restglied) sicht man ohne Schwierigkeit, daß die Formel rur lxi< 1 zutrifft. Überdies erkennt man mit dem Leibniz-Kriterium, daß die Reihe rur x = I und x = -1 auch konvergiert. Da arctan x dort stetig ist. gilt (5.32) auch für x = 1 und x = -I. (Dies war in Abschn. 3.2.4, Absatz zu Tabelle 3.3, offen geblieben.) Für x = I folgt die schon angegebene prachtvolle Formel. auch »Leibnizsche Reihe« genannt: 7r 1 1 I -=1--+---+-.
4
(5.33)
357
Übung 5.6*: Zeige. daß die Taylorreihe des Areussinus 1·3x 5 1·3·5x 7 Ix 3 arcsinx=x+-+---+
2·3
2·4·5
2·4·6·7
+.
ftir alle x E [-1.11 gültig ist. (Die Gültigkeit für lxi< I ist in Abschn. 3.2.4 schon gczeigl.)
5.3
Der Weierstraß'sche Approximationssatz
5.3.1
Bemerkung zur Polynomapproximation
Die Darstellung komplizierter Funktionen als POienzreihen - insbesondere als Taylorreihen geht von der Aufgabe aus, diese Funktionen zu berechnen. Durch die Partial summen der Potenzreihen sind Polynome gegeben. die die Funktionen mehr oder weniger gut approximieren und daher zur numerischen Berechnung herangezogen werden können. Diese Aufgabenslellung wirft mehrere Fragen auf: (a) Kann man jede stetige Funktion beliebig genau durch Polynome approximieren? (b) Mit welchen Polynomen geht dies am besten?
388
5 Folgen und Reihen von Funktionen
(c) Sollte man nicht besser andere Funktionen zur Approximation verwenden, z.B. rationale Funktionen? Frage (a) wird durch den Weierslraß'schen Approximatiollssatz grundsätzlich positiv beantwortet. Er besagl, daß sich jede auf La. b] sletige Funklion f durch eine Folge von Polynomen im Sinne der gleichmäßigen Konvergenz (s. Abschn. 5.1.1) auf La. b[ approximieren läßI. Die Polynome, von denen hier die Rede ist, ordnen sich im allgemeinen aber nicht zu einer Potenzreihe. Außerdem begnügt man sich in zahlreichen Lehrbüchern mit der Behandlung der Existenzfrage. Das Konstruktionsproblem von Nähcrungspolynomcn bleibt aber bestehen. Mit Frage (b) beschäftigt sich die sogenannte Approximaliollsll1eorie ausführlich (s. z.B. M. Müller [39J). Sie untersucht verschiedene Approximationsverfahren auf Konvergenz, Approximationsgeschwindigkeit und auch die Frage der Bestapproxirnation. Für numerische Belange sind Reihen von Tschebyscheff-Polynomen von großem Interesse. Viele elementare Funktionen werden auf Computern mit Tschebyscheff-Polynomen berechnet. Eine gut lesbare erste Einführung findet man z.B. in E. Stiefel [53], Abschn. 7.2. Eine andere Art, Funktionen durch Polynome zu approximiercn. geht von der Interpolation aus (s. hierLU Abschn. 5.4). Man sucht dabei zu einer Funktion f auf La. b] ein Polynom I). etwa vom Höchslgrad 11. das an 11 + I vorgeschriebenen Stelten xo. Xl •••• , X'l mit f übereinstimmt: f(xJ.;) = p(xJ.;). k = 0, 1•... ,". Hier hat sich herausgestellt, daß es fUr die meisten Polynome zweckmäßig ist. den Polynomgrad 11 nicht zu hoch zu wählen (z.B. 11 .::: 3), dafUr aber die »Interpolationspolynome« stückweise zusammenzusetzen. Solche, aus Polynomstücken zusammengesetzte Funktionen nennt man Spfille-FlIllkliollell. Sie haben in der numerischen Praxis große Bedeuwng erlangt. Wir werden in Abschnitt 5.4 auf sie eingehen. Zur Frage (c): In der Tat lassen sich durch Approximation mit rationalen Funktionen bei kleinerem Rechenaufwand bessere Approximationen erzielen (vgl. J. Stocr [19]). Die systematische Entwicklung ist jedoch aufwendiger und mit gelegentlichen Fallstricken verbunden. Es gehören hierher Kettenbrüche, rationale Interpolation, rationale Tschebyscheff-Approximation u.a. Die leichtere Handhabung der Polynomapproximation ist dagegen ein nicht zu unterschätzender Vor· teil. So wird man zweckmäßig von Fall zu Fall aus der Palette der Möglichkeiten die brauchbarste Approximation herausgreifen. Die Approximationstheorie stellt zahlreiche Verfahren bereit und diskutiert deren Eigenschaften.
5.3,2
Approximation von stetigen Funktionen durch Bernstein-Polynome
Im Folgenden wollen wir anhand eines konkreten Verfahrens zeigen, wie sich stetige Funktionen durch Polynome approximieren lassen.
Satz 5.16: (Weierstmß) Die Funktion f sei auffa.bl stetig. Dann gibt es eine Folge {PlI} von Polynomen, die auf [a, b] gleichmäßig gegen f konvergiert:
lIf -
p"lIoo
(Die Norm 11
-7
0
für n
-7
00.
1100 ist in Abschn. 5.1.1, Der. 5.2 erklärt!)
(5.34)
5.3 Der Weicrstraß'sche ApproximationssalJ.:
389
Beweis:
7 Mit Hilfe der Transformation X-(/
x'=-b~(/ sehen wir, daß wir uns anstelle von [a, b] im Folgenden auf das Intervall [0, IJ beschränken können. Für unser weiteres Vorgehen benötigen wir die billomische Formel 11 E
N
(5.35)
(s. Abschn. 1.1, Fomlel (1.15». Wir differenzieren (5.35) nach b und multiplizieren die entstehende Gleichung mit b. Mit dem gewonnenen Resultat verfahren wir noch einmal genau so. Dadurch ergeben sich die beiden Beziehungen (man beachte die veränderte Rolle des Summationsindex
k)
f>(~)a"-kbk
=
nb(a + b),,-I
(5.36)
k=()
""d
t k G)a"-kbk : : IIb(lIb + aHa + b)"-2 . 2
(5.37)
k=O
In den Formeln (5.35), (5.36) und (5.37) setzen wir b =
t G)(l-X),,-kxk::::
X
und a = I - x und erhalten so
I,
(5.38)
/IX.
(5.39)
k=O
tkG)(l ~ x)"-kx.l: =
k=O
(5.40) Wir multiplizieren nun die erste dieser Gleichungelll11it 1/2 x 2 , die zweite mit -211x und die dritte mit I und addieren die so entstehenden Gleichungen. Wir erhalten die Beziehung (5.41)
7 Dieser konstruktive Beweis geht auF den russischen Mathematiker Sergei Natanowitsch Bernstein (1880- 1968) zunick.
390
5 Folgen und Reihen von Funktionen
Die rechte Seite von (5.40) ist im Intervall [0, I] nicht negativ und nimmt an der Stelle x seinen maximalen Wert !n an (warum?). Daher gilt die Abschätzung
, I
(5.42) Nun betrachten wir die Funktion f(x) an den äquidistanten Knotenpunkten ~ (k = 0.1 ..... 11): f (~), und fuhren die Polynome (5.43) die man Sems/ein-Polynome nennt, ein. Wir weisen nach. daß diese rur 11 mäßig gegen die Funktion f(x) konvergieren. Wegen (5.38) und (5.43) folgt rur 0 fix) - !,,,(x)
sx
__ 00
auf rO.11 gleich-
S I
~ ~ [fiX) - f (~)] G)(l - xr' x'
(5.44)
und hieraus, mit Hilfe der Dreiecksungleichung.
(Wir beachten dabei: (I - x)"-k xli ::: 0 im Intervall [0, 11.) Aus der Stetigkeit von fex) auf dem (kompakten) Intervall [0, I] folgt dort ihre gleichmäßige Stetigkeit (s. Satz 1.26, Abschn. 1.6). Zu jedem t > 0 gibt es daher ein 0 = o(t) > 0 mit If(.q)
~
/(x2)1 < t
(5.46)
fur alle XI, X2 E LO, IJ mit lXI - x21 < !i setzen:
X2 ::::
o. Insbesondere ist (5.46) erfüllt, wenn wir Xl
= x und
"
(5.47) Nun zerlegen wir die Summe auf der rechten Seite von (5.45) in zwei Teilsummen, wobei wir in der ersten Summe über diejenigen Werte k E {O.l, ... , nj summieren, die der Ungleichung ~I < 0 genügen, während wir ftir die zweite Summe die Werte k mit ~ 0 nehmen (s. Fig. 5.3). Für die beiden Summen verwenden wir die Schreibweisen
Ix -
Ix - I:::
bzw.
L HI"
5.3 Der Wcicrstraß·schc ApproximationssatJ.:
391
und kü,Lcn sie mit 51 bzw. 52 ab. Zur Abschätzung von 5\ nutzen wir (5.47) und (5.38) aus und erhalten Hir beliebiges (festes) 11 E N
.,.
•
Fig. 5.3: Zerlegung der Summation
(5.48)
(Wir beachten, daß sich die Summe La. vergrößert, wenn wir über alle k (k = 0.1, .... 11) summieren!)
°
Wenden wir uns nun der zweiten Summe 52 zu. Da /(x) im (kompakten) Intervall [0.1 J stetig ist, nimmt sie dort ihr Maximum an, d.h. es gibt ein M > mit [/(x)1 .:os M
für alle XE [O,I[
(s. Satz 1.25, Abschn. 1.6). Wir erhalten damit
5,
~
L I'-!I~'
I[(X) - [mi C)(I-xr'X'
~ L ('[(X)'+(~)I)(~)(I-X)'-'X' ~2M L ~-!~
Wegen
Ix ~ *1 ~ 0 oder [fiX ~ k[2: 110 folgt
(lIx-k)2 1/2 0 2
~!~
C)(I-X)'-'" (5.49)
392
5 Folgen und Reihen von Funktionen
und daher aus (5.49)
Hieraus ergibt sich mit (5.42)
wobei Mund 8 feste positive Werte sind. Wählen wir schließlich M
'» -2e8 2
11
so groß. daß
M ist und setzen wir: N:= - "
e'·
so erhalten wir (5.50)
rur alle /l > N. Aus (5.48) und (5.50) ergibt sich dann ftir beliebige e > Oundn > N
51 +52 < 2e
und damit wegen (5.44) und (5.45) If(x) - 1)I!(x)1 < 2e =:
e
ftir alle x E [0.1] und beliebige
e > 0 und" >
o
N. Damit ist Satz 5.16 bewiesen.
Mit Hilfe von SalZ 5.16 läßt sich ein analoger SalZ fur periodische Funklionen beweisen:
Satz 5.17: (Weierslraß fiir periodische Fllnkfionen) Es sei feine 2Jf -periodische stetige Funktion. Dann gibt es eine Folge {lI! I von trigonometrischen Polynomen. also von Polynomen der Form
"
2" + "L.)ukcoskx +bk sinkx )
f,,(x) = "0
(5.51)
k=]
mit
IIf
~ I" 1100 --+ 0
ftir" --+
00.
(5.52)
5.4 Interpolation
393
Beweis: Dieser Hißt sich mit Hilfe der Substitution 11 = cosx bzw. x = arccos 11 auf Satz 5.16 zurückführen und findet sich z.B. in w.1. Smimow l51J Teil I!. Abschnitt 154.
5.4
Interpolation
Innerhalb dieses Abschnittes befassen wir uns mit Algorithmen zur Berechnung von Polynomen respektive Splines. die an vorgegebenen StützsteIlen xo . ... ,XII E IR einen zugehörigen Funktionswert 10, .... I" E IR aufweisen. Derartige Fragestellungen treten in einer Vielzahl praxisrelevanter Problemstellungen auf. Liegen beispielsweise durch ein Experiment Meßwerte einer physikalischen oder biologischen Größe zu bestimmten Zeitpunkten vor, so kann mittels einer Interpolation eine näherungsweise Berechnung der betrachteten Größe rur beliebige Zwischenzeiten vorgenommen werden. Daneben wird im Rahmen der numerischen [ntegrationsmethoden häufig der Integrand durch ein Intcrpolationspolynom ersetzt. dessen exakte Integration als Approximation an den gesuchten Integralwen genutzt wird. Derartige Verfahren werden demzufolge als interpolatorische Quadraturfonnein bezeichnet. Folglich basieren auch die bekallllten Runge-Kulta-Verfahren zur Lösung gewöhnlicher Differentialgleichungen inhärent auf den Methoden der Polynominterpolatioll. Darüberhinaus stellt die Interpolation eine ganz natürliche Vorgehensweise bei der Visualisierung geometrischer Formen oder numerischer Resultate dar, deren Werte ausschließlich an diskreten Stellen vorliegen.
5.4.1
Polynominterpolation
Wir bezeichnen mit
n,,, 11 E No, den Raum aller Polynome (5.53)
mit reellen Koeffizienten ao .... ,all' Entsprechend der in Abschnitt 2. 1 getroffenen Definitionen beinhaltet die Mengc n" somit neben dcm Nullpolynom alle Polynome vom Grad kleiner oder gleich 11. Hiermit können wir das grundlegende Imerpolatiollsproblem formulieren: Zu gegebenen II
+ I Stützpunkten
(xo. 1o) .....
(XII' [,,)
E 1R
2
bei paarweise verschiedenen StützsteIlen XQ •.••• XII E
ist ein Polynom p E p(xJ;)
(5.54)
IR
n"
mit
= IJ:. k = 0,1. .... Il
gesucht. Ein Polynom, das das Interpolationsproblem löst. wird als Interpolationspolynom. interpolierendes Polynom oder Interpolierende bezeichnet. Entsprechend der obigen AufgabensteIlung müssen wir uns im Folgenden einerseits mit den theoretischen Fragen zur Existenz und Eindeutigkeit interpolierender Polynome und andererseits
394
5 Folgen und Reihen von Funktionen
mit praktischen Fragen zum Berechnungsaufwand, zur Fehlerabschätzung und zur stabilen Auswcrtung befassen. Betrachten wir das gemäß dcs Intcrpolationsproblems (5.54) gesuchte Polynom f) E nll in der Darstellung (5.53), so erhalten wir rür die /I + I Freiheitsgrade Go, ... ,a" E IR entsprechend " + I Bedingungen
L" a;xi = !k.
k = 0, ...
(5.55)
,11 .
;==0
Gleichung (5.55) läßt sich übersichtlich in der Form eines linearen Gleichungssystems
xo
(j
x,
x"
,2
·0
x 2,
,
x,~
'Ö) r~'
x;:
C) (/ t
~
(/"
:==V(xo. ....\·,,)EMa/(II+ 1:IR)
m
(5.56)
°
schreiben, wodurch offensichtlich wird, daß das Interpolationsproblem genau dann eindeutig gilt, siehe lösbar ist, wenn die Matrix V(xo, ... , x,,) regulär ist, d.h. det V(xo .... , XII) cl Burg/Haf/Wille (Lineare Algebra) [9J. Hilfssatz 5.1: Die Matrix
xo x02 x, x 2, XII
r
, "
·'0
"")
x" :1
Mat(n
+ I: IR)
x;;
ist genau dann regulär, wenn die StützsteIlen sind, d.h. x;tXj
E
Xo, ..• , X"
E
IR paarweise verschieden (5.57)
fliritJ
gilt.
Beweis:
(a) Gilt Xi = Xj flir mindestens ein Indexpaar (i, j) mit i t j, so ist die i-te Zeile identisch zur j-tell Zeile und folglich V(xo, ... , XII) nicht regulär.
(b) Ist dic Bedingung (5.57) erfüllt, so ergibt sich der Nachweis mittels einer vollsüilldigen Induktion über" E No. Indllktionsanfang: Für 11 = erhalten wir
°
det V(xo) = det(l) = I tO.
5.4 Interpolation
395
Induktionsschluß: Unter der Annahme, daß
#- 0
det V(xo ..... x,,)
fUr ein beliebiges. aber festes 11 E No gill, erhalten wir detV(xO .... ,xll+l)
X,
x'0 , x-,
X,,+I
x,;+1
xo
'~+'l
X,11+1
,
-'0
II+t x,,+ t
,
X'0
o,,+'
X
,
11+1 ,,+1 XI -Xo
xi - xt;
XI -Xo
)
11+1 11+1 X"+I - Xo
,,+' "+')
XI ...2
.,
. ,,+1 -xö
- Xo
...,,+1 _ ... ,,+1 . ,,+1 .0
.\ I' (.\ 1 -
XI(XI -xo)
.\0)
)
)
(5.58)
'\::+]('\11+] ~xo) .'t
.,
,
~"
x:L]
= (Xl -Xo)'
. (XJI+I - Xo)' det V(Xl •.... xll+d,
#- o.
wobei zur Herleitullg der Darstellung (5.58) stets das xo-fache der (j - I )-ten Spalte von der j-ten Spalte für j = 2..... 11 + I abgezogen wurde.
o
Hiermit sind wir nun in der Lage die erste Frage hinsichtlich der Existenz und Eindeutigkeit positiv zu beantworten. Satz 5.18: Das Interpolationsprob1em (5.54) besitzt stets eine eindeutig bestimmte Lösung. Beweis: Aufgrund der im Interpolationsproblem geforderten Eigenschaft paarweise verschiedener Stülzstellen Xo..... XJI ist die im Gleichungssystem (5.56) auftrelende Matrix V(xQ ..... XII) laut
3%
5 Folgen und Reihen von Funktionen
Hilfssatz 5. J regulär. Das Gleichungssystem (5.56) besitzt folglich rur jede beliebige rechte Seite (1o, ... , IIl)T E IR,,+I eine eindeutig bestimmte Lösung (ao ..... (/1l)T E IR,,+I, wodurch mit
"
p(x) = :L:>ixi ;=0
das gesuchte und eindeutig bestimmte Interpolationspolynom p
E
n
ll
vorliegt.
o
Beispiel 5.5: Die Berechnung des Interpolatiollspolynoms p
k
0
Xk
0 I
Ik
E
n2 zu den gegebenen Stützpunkten
2 I 3
3 2
(5.59)
wcrden wir nun cxcmplarisch auf der Basis des dargestellten intuitiven Ansatzes (5.55) durchfUhren. Gemäß (5.56) ergibt sich das G1cichungssystcm in der Form (5.60)
Die Lösung kann mit dem Gaußschen Algorithmus nach Abschnitt 2.2 ermittelt werden. Weitere klassische und moderne Verfahren zur Lösung linearer Gleichungssysterne werden in [37J vorgestellt. Aus (5.60) ergibt sich
und somit das Interpolationspolynom
so daß beispielsweise rur die Zwischenstelle x = 2 E lXI. x21 p(2) =
10
"3
gilt. Dieser zunächst als sehr einfach und offensichtlich erscheinende Zugang entpuppt sich bei einer zweiten Betrachtung jedoch als unpraktikabcl im Hinblick auf reale Anwendungen. Das zentrale Problem liegt in der Matrix V(xü ..... x,,) verborgen. dessen transponiene Matrix eine
5.4 Interpolation
397
sogenannte \l(mdermonde8-Matrix repräsentiert. Derartige Matrizen V E Mat(" + I. IR) weisen bei wachsender Spaltenzahln + I eine zunehmend größere Konditionszahl auf. so daß mit (5.56) ein schlecht gestelltes Problem entsteht und auftretende Rundungsfehler zu drastischen Fehlern bei dem Koeffizientenvektor «(10....• (1/1) T fLihren können, siehe [371. Das so ermittelte Polynom erfLillt daher fLir größere Stützpunktzahlcn die geforderten Interpolationsbedingungen gemäß (5.56) nicht notwendigerwcise. Zudem ergibt sich bei praxisrelevanten Anwendungen häufig die Situation, daß zusätzliche Stützpunkte integriert werden müssen. Bei dem präsentierten Ansatz bedingt jedoch bereits die Hinzunahme eines weiteren Stützpunktes die erneute Berechnung aller Koeffizienten. Die Güte der weiteren Methoden zur Lösung des Interpolationsproblems (5.56) werden wir auf der Grundlage der folgenden Zielsetzungen beurteilen. (I) Die Berechnung und Auswertung des lnterpolalionspolynoms sollen stabil gegenüber auf-
tretenden Rundungsfehlern sein. (2) Die nachträgliche Integration weiterer Stützpunkte soll effizient bezüglich des Rechenaufwandes sein. (3) Die Berechnung des Interpolationspolynoms soll 0(//2) arithmetische Operationen aufweisen. (4) Die Auswertung des Interpolationspolynoms an einer beliebigen Stelle soll 0(1l) Operationen benötigen. Hierbei sei bemerkt. daß wir mit 0 stets das Landau9 -Symbol verstehen. In dem vorliegenden Rahmen ist hierbei die Interpretation f(ll) = O(n P) {:> lim fi!;l = eonst E R. ausreichend. n_oo
Tl
Somit bedeutet 0(/12) resp. 0(11), daß der Aufwand maximal quadratisch resp. linear mit wachsendem n ansteigt. Eine exakte Definition kann 1451 entnommen werden. Unter einer arithmetischen Operation subsumieren wir zudem Addition, Subtraktion. Multiplikation und Division gleichermaßen. Desweiteren verstehen wir unter der Berechnung des Interpolationspolynoms die Koeffizientenbestimmung. die fLir eine elementare Darstellung des Polynoms benötigt wird und nur einmalig fLir jedes Interpolationspolynom durchgeftihn werden muß.
Lagrangcschc Intcrpolationsformcl Die L(lgr(l/lge·lllfelpolatio// basiert auf dcr folgenden Idec. Scicn Polynome L j E
n
ll
j=k sonst
mit (5.61)
bekannt. so erhalten wir das gesuchte Interpolationspolynom p E n ll zu (5.56) in der Darstellung p(x)
"
= L!jLj(x) , j=O
8 Alex~ndre·Th~ophile V~ndenn()nde (I73S - 1796). französiseher Musiker. Mathematiker und Chemiker 9 Edmund Georg Herrnann Landau (1877 - 1921). deutscher Mmhemmiker
398
5 Folgen und Reihen von Funktionen
denn es gilt ftir k = 0, I, ' , , ,/l p(.\'J;) =
L" fiLi(xd = L" fioik = fk.
i=O
i=O
Die Berechnung des Interpolationspolynoms hat sich somit auf die Ermittlung der Polynome Li' j = 0, ... ,11 verschoben. Nach Satz 2.4 besitzt das Polynom Li wegen Li E nll und L i(xi) = I genau die Nu1Jstellen XO . .... Xi-I, xj+ I, .... XII' Mit dem Ansatz qi(x) = (x -xo)' ... ,(x -xi-d· (x -xi+d· .... (x -XII) =
" n(x
-x,)
.,=0 "#i
erhalten wir qi
E
n"
qi(xJ:) = 0
fLir
mit
"I \ Ul.
k E {O.....
Aufgrund der Eigenschaft, daß die Stützstel1en xo . ... , XII paarweise verschieden sind, gilt zudem
"
qi(xi) = n<Xi-X5)'!-0, 5=0
·''''i wodurch mil
n" (x -x
5)
5=0
L.(x)= (/j(X) = ~,,,~,~. J qi(Xi) " (Xi -
n
5=0
#i
n "
Xs )
=
5=0
x-x s Xi -X s
s",i
das gesuchte Polynom vorliegt. Definition 5.5: Zu gegebenen 11 + I paarweise verschiedenen SützstelJen xo, ... durch
,X'I E IR::
heißen die
(5.62)
fur j = O.... ,11 definierten Polynome Li E
n"
Lagmngesche Basispoly"ome.
Zusammenfassend erhallen wir aus den vorangehenden Überlegungen in Kombination mit Satz 5.18 die folgende Aussage.
5.4 Interpolation
399
Satz 5.19: (Lagrangesehe [lIIerpolmiollslormel) Zu beliebigen /l + 1 Stützpunkten (xo. 10).·· .• (x", I,,) E [R2 mit paarweise verschiedenen Stützstcllen xo ..... X" E IR besitzt die eindcutig bestimmte Lösung des Interpolationsproblems (5.56) die Darstellung
"
p(x) ~ LJjLj(x)
(5.63)
j;;O
mit L j E
laut Dcfinition 5.5.
nil
Beispicl5.6: Betrachten wir wiederum die in Beispiel 5.5 gemäß (5.59) gegebencn Stützpunkte. so erhaltcn
w"'
Lo(.r) =
n"
J;;O
X - Xs (x - xj)(x - X2) (x - l)(x - 3) -- = = (0-1)(0-3) Xo -Xs (xo - XI)(XO -X2)
1
=3(x
2
-4x+3).
"w
Analog ergeben sich
wodurch die Lagrangesehe Interpolationsformel (5.63) das Inlerpolationspolynom 2
p(X) =
L /j L j(X) =
I . Lo(x)
+ 3 . LI (x) + 2 . L2(X)
j;O
I
2
3
2
I
2
17
5 2
=-(x -4x+3)--(x -3x)+-(x -x)=l+-x--x 3 2 3 6 6 ergibt. das wie erwartet mit der Lösung laut Beispiel 5.5 übereinstimmt.
Bezugnehmend auf die formulierten Zielsetzungen können wir zunächst festhalten. dass die Darstellung der Interpolierenden p in Form der Lagrangeschen Interpolationsformel keiner Berechnung bedarf, sondern direkt in der Form (5.63) vertUgbar ist. Demzufolge ist die Integration eines weiteren Stützpunktes formal ohne Zusatzaufwand möglich. Liegen die StützsteIlen in adäquater Entfernung zueinander, so erweist sich auch die Auswertung des Interpolalionspolynoms ftir beliebiges X E IR als stabil. Diesen positiven Eigenschaften der Methode steht jedoch ein zu hoher Aufwand bei der Auswertung des in der Form (5.63) gegebenen Interpolationspolynoms gegenüber. Die Auswertung eines Lagrangesehen BasispolY110ms (5.62) erfordert 211 Subtmktionen.1I Divisionen sowie 11 - I Multiplikationcn. womit sich 4/1
~
I arithmetische Operationen
400
5 Folgen und Reihen von Funktionen
ergeben. Die Auswertung des InterpoJationspolynoms (5.63) ergibt folglich 11 + I Multiplikationen.11 Additionen und 11 + I Auswertungen eines L ,
die dividierten Differenzen laut Definition 5.7
Beweis: Der Nachweis ergibt sich durch eine vollständige Induktion über 11 E No. Für 11 = ist die Behauptung wegen ffxol = 10 offensichtlich. Sei die Aussage rur 11 + I beliebige Stützpunkte mit paarweise verschiedenen StützsteIlen gültig. Für 11 + 2 Stützpunkte (xo. 10) .... , (X,,+I. [,,+1) mit Xj i= Xj. i =1= j, ergibt sich mit der Notation gemäß Definition 5.6
°
po....II(X) =
Ilxol + l[xo. x!J(x -xo) + ... + flxo,
... , x"
I(x -xo)"
.. ' (x - X,,-tl (5.76)
sowie PI. ... ,,+1 (x) = f[xII+ f[XI, x21(x -xl>+ .. . + flxl, ... , x"+ll(x -x,),
. (x -x,,). (5.77)
Schreiben wir PO..... ,,+1 E n,,+1 in der Form />0..... ,'+1 (x) = ao
+ al (x -
xo)
+ ... + a,,+1 (x -
xo)· .... (x - x,,),
(5.78)
so erhalten wir unter Verwendung der jeweiligen Interpolationseigenschaftcn
ftir j = 0.... ,". Sukzcssive Nutzung der obigen Gleichung mit ansteigcndcm Stützstellenindex j liefert mit (5.76) und (5.78) die ldentitäten
aj=J[xO..... xjl.
j=O..... II.
Verbleibt noch der Nachweis rur den fLihrenden Koeffizienten (/,,+1. Für das Polynom (5.78) gilt einerseits />0..... "+1 (x) = a,,+lx,,+1
mit q E
n"
+ q(x)
und andererseits unter Verwendung des Satzes 5.20, Gleichung (5.69).
(,."~'_-~"~'O~)~I'~I.~.~,,'~'+~I~("~'),----~(~"_-,---"~"~+~I)~I'~o~.~ ...~"c(":.:') po.. .. ,,+1 (x) = -
(5.79)
5.4 Interpolation (5.76),;,,(5.77) !lXI. , . , • X,,+I J - !lxo, X,,+I
~
Xo
"X"J x '1+t
+ q'(X )
407
(5.80)
mit (j E n". Ein einfacher Kocffiziemenvergleich zwischen (5.79) und (5.80) liefert die Behauptung aufgrund der Basiseigenschaft der Monome IIIk(X) = x k • k = 0, ... ,11+ I im Polynomraum
0
~+l.
Beispiel 5.9: Auf der Grundlage der Slützpunkte laut (5.59) ergibt sich
!lxoJ =
Jo =
I,
f[xll- flxol
f[xo,.ql =
XI-XO
f[.f2I-flxll
f[ x l. X 21 =
X2
XI
3- I
= - - =2, 1-0
2-3 3- I
= --
sowie
flXl,X2J~flxo.xll
!lxo,xl.x21=
X2 -xo
=
I
=~-
2
-~-2 "0 -
5 --6·
Damit ergibt sich das zugehürige Interpolationspolynom p E p(x) = f[xol
+ flxo ..\"]](x ~ xo) + f[XO,xl. x21(.r -
= 1+ 2(x
~
n2 durch Satz 5.21
in der Form
.ro)(.r -.rt}
5
0) - -(x - O)(x - 1). 6
Einfache Umformung ergibt in Übereinstimmung mit den Beispielen 5.5 und 5.6 die Darstellung p(x) =
17
1+ 6
x _
5
'(/_2.
Fehleranalyse In zahlreichen Anwendungsgebieten. speziell der numerischen Integralion, stellt sich die Frage nach der GUte der Interpolierenden bezUglich der Approximation einer gegebenen Funktion in Abhängigkeit von der gewählten Slülzstellenverteilung. Dieser Fragestellung werden wir uns innerhalb des vorliegenden Abschnitles widmen.
Satz 5.22: Sei f: [a. bl--+ lR eine (11+ I)-mal sletig differenzierbare Funktion und .\"0..... x" E [a, bJ paarweise verschiedene StützsteIlen. Für das Illterpolatiollspolynom p E n" mit p(xt) = f(xt), k = 0•.... 11
408
5 Folgen und Reihen von Funktionen
gilt fur jede Stelle
fw -
x E [a, b] die Fehlerdarstellung w(x)f("+I)(~)
p(X) =
(11
+ I)!
mit einer Zwischenstelle ~ = w(x) = (x -xo)
0
~(X)
(5.81)
E
La. bJ und
o(X_X,,).ll
Beweis: Mit w(xJ:) = 0 flir k = 0 ..... 11 folgt die Aussage zunächst flir alle Stützsteilen. Sei [a. b] \ {xo ..... x,,}, dann definieren wir k(X) := fex) - p(x) E IR.
x
E
(5.82)
w(x)
Die durch (5.83)
rp(x) := fex) - p(x) - k(X)· w(x)
definierte Funktion rp : [a. b] --7 IR ist somit (11 + 1)-mal stetig differenzierbar und besitzt mindestens die 11 + 2 Nullstellen xo . .... X". x E [a. bIo Mehrfache Anwendung des Satzes von Rolle (Satz 3.7) liefert hieraus die Existenz mindcstcns einer Nullslelle ~ = ~(X) E [a. b[ der Funktion rp(,,+I). Da fur X E [a. b] slets IJ(,,+l)(x) = 0
und
w(n+l)(x) = (11
+ I)!
gclten, ergibt sich aus (5.83) dic Darstcllung
Hiemlit gilt _ k(x)=
!(II+I)(~(X)
(II+I)!
und folglich gemäß (5.82) dic Behauptung !(X) - p(X) = w(X)k(X) =
11 Dic Funktion
w(x)f(Il+I)(~(X»
(11+ I)!
w wird hiiufig :.ls KIlo/enpol)"lIol11
bezcichnc!.
.
o
5.4 Interpolation Betrachten wir eine beliebig oft differenzierbare Funktion I : la. bJ _ Ableitungen gleichmäßig beschränkt ist. das heißt ein M > 0 mit
lIf(tl)lloo =
409
IR deren Folge von
sup I/(tI)(x)l:::: M XE:I
besitzt. Kubische Splincs Der lineare Spline ist offensichtlich an den StützsteIlen nicht notwendigerweise differenzierbar. Um einen stetig differenzierbaren Spline zu erhalten, muß daher noch je eine Übergangsbedingung rur die Ableitung an dcn inncren Stützstcl1en Xl, ... ,X,,-l gefordert werden. Damit ist es erforderlich, daß jcdes Polynom zusätzliche Freiheitsgmde erhält. Ganz kanonisch würde somit zunächst die Betrachtung quadratischer Polynome mit Jt E n2 nahc1iegen. Quadratische Splines weisen jedoch oftmals ein stark oszillierendes Verhalten auf, das auf Sprünge im Krümmungsverhalten an den inneren StützsteIlen zurückzufLihren ist. Der hiermit teilweise einhergehende VorLcichenwcchscl bei der zwcitcn Ableitung liefen einc Wendepunktstruktur an dcn Stützste!len. Innerhalb praktischer Anwendungcn werden demzufolge üblichcrweise kubische Splines genutzt, bei denen gefordert wird, daß der resultierende Spline zweimal stetig differenzierbar ist. Neben der interpolierenden Eigenschaft des Splines fordern wir an den inneren Stützstellen Xt, k = I .... , n - I. die Übereinstimmung der ersten und zwciten Ablcitung dcr zugchörigcn Polynomc ~}-l und St, Betrachten wir den Ansatz Sk(X) = dO.t
+ dl.t(X -
Xt)
+ dH(X -
Xt)2
+ (/3.k(x -
Xt)3,
(5.85)
so benötigen wir vier Bedingungen zur Festlegullg der Koeffizientcn. Für die Teilpolynome Sk mit k = I ..... " - I ergeben sich aufgrund der obigen Zielsetzung die folgenden Forderungen: Zwei IlIlerpo/lI/iombedingungen ~}(Xt)
Zwei
= ft,
(5.86)
Sleigll"g~'bedillgullgell
S~(Xt> = s~_l (xt>.
(5.87)
Zwei Kriil/ll/luJlgsbedil1guJ1gen
sf(xt> =
s;:_1 (xt>,
(5.88)
5.4 Interpolation
413
Die Darstellung erweckt zunächst den Eindruck, daß das Interpolationsproblem überbestimmt ist, da mit (5.86)-(5.88) insgesamt sechs Bedingungen zur Bestimmung der vier Koeffizienten vorliegen. Da die Forderungen (5.87) und (5.88) jeweils doppeil auftreten, werden wir durch die folgende Sichtweise erkennen, daß das Problem sogar formal unterbestimmt ist und zwei zusätzliche Bedingungen an den Randpunkten xo = {/ und x" = b zur Schließung benötigt werden. Zur Klärung dieses Sachverhaltes betrachten wir die vorliegenden Bedingungen pro StützsteIle. Für die inneren StützsteIlen Xk, k = I..... /I ~ I liegen zwei lnterpolationsbcdingllngen (5.89)
eine Steigungsbedingllng (5.90)
und eine KTÜmmungsbedingung (5.91)
vor. An den Rändern Xo = (/ und XII = b ergibt sich dagegen nur eine Interpolationsbedingung So(Xo) = 10
respektive
S,,_I (x ll )
=
I,,·
Die n + I Stützsteilen xo ..... X" liefern folglich 4(/1 - I) + 2 = 4/1 - 2 Bedingungen ftir 4/1 Koeffizienten der /I kubischen Polynome Sk, k = 0, . , . , n- L In Fig. 5.6 stellen die eingekreisten Ziffern die Bedingungen an der jeweiligen StützsteIle dar, während die untere Zahlenfolge die resultierenden Forderungen pro Polynom verdeutlichen.
0
CD I
t
,
3
I
0
t 4
I
0
t
4
I
0
t
4
I
CD
t
I
b
3
Fig. 5.6: Quantilizierung der Splinebcdingungen
Durch die gewählte graphische Darstellung wird die Notwendigkeit je einer zusätzlichen Randbedingung ersichtlich. Somit ergeben sich unterschiedliche kubische Splines, die in Abhängigkeit von der betrachteten Randbedingung klassifiziert werden. Wir werden uns auf zwei gängige Typen konzentrieren. Neben dem durch die Randbedingungen (5.92)
definierten natürlichen Spline betrachten wir den l'ollsländigen Spline der auf den Randbedingungen sb(xo) = I'(xo)
und
s;'_1 (XII) = I'(x,,)
(5.93)
414
5 Folgen und Reihen von Funktionen
beruht, wobei
1 die zu approximierende Funktion repräsentiert.
Zur Berechnung der Koeffizienten bezeichnen wir neben dem bekannten Funktionswen !k mit I{ die noch unbekannte Steigung des Splines an der StützsteIle Xk. Die Berücksichtigung der unterschiedlichen Randbedingungen lindet
•
L'Jx;
k=l, .... /I-I.
Multiplikation mit L'J-rkL'Jxk_J/2 und anschließendes Umordnen liefert
(5.98)
ftir k = I, ... , Il - I. Wir erhalten hiermit wie erwartet das unterbestimmte Gleichungssystem bestehend aus n - 1 Gleichungen für die 11 + I unbekannten Steigungen f f,;. Das System wird nun durch Hinzunahme der zusätzlichen Rllndbedingungen geschlossen. Für die natürlichen Randbedingungen ergibt sich
o'....
o=
Sö (xo) = 202.0
sowie 0= s;:_1 (XII) = 202.11_1
+ 603.11_] L1x
lI
_1 ,
wodurch sich wiederum mit (5.96) und (5.97) die Gleichungen 2f/
o
+ f'
1
= 3
fl
-
fo
(5.99)
L'Jxo
""cl (5.100)
ergeben. Zusammenfassend ergibt sich mit (5.98)-(5.1 (0) das lineare Gleichungssystem
A
(f~) ~b ["
(5.101)
416
5 Folgen und Reihen von Funktionen
mit
1
2 .:1xI
2(.Llxj
+ .:1xo)
.Llxo
2(L1x2
L1x2
+ .Llxj) E Mat(ll+ I, IR) 2(Llx n_1
+ L1x,,_2)
L1xn_2
2 und
Im Kontext des vollständigen Splines liegen durch die Randbedingungen (5.93) direkt die Steigungen an den Riindern in der Form
/0 =
/'(xo)
und
t,; = /'(x,,)
vor. Das resultierende Glcichungssyslem weist wiederum die Form (5.101) auf, wobei sich die Matrix A E Mat(n + I, IR) in der Form
o
2(L1xl + L1xo) L1x2
L1xo 2(L1x2 + L1xl)
2(.Llx,1 _1
schreibt und die rechte Seite durch
!._d 0 mit l.fAOI .:s M flir alle tfE [0, trI und alle x E [a. ßI. Wir sagen daflir: s, ist auf [a. ßI gleichmäßig beschriinkt. (Für 1 E 18, Jtl, mit einem 8 > 0, ist das klar; flir I == 0 ebenfalls. Für I E (0,8) (8 klein genug) verwandelt man s" mit dem Mittelwensatz der Differentialrechnung - zweimal angewendet, auf Zähler und Nenner - in sAt) = !'(x + 11)/ COS(t2/2) mit 11, t2 E (0, I), woraus die gleichmäßige Beschränktheit folgt.) Hilfssalz 5.2: Für jedes x E IR gilt
,
J.f(A) :==
f
s.. (t) sin(At) dl -+ 0
flir A -+
00.
o
Die Konvergenz ist gleichmäßig auf jedem kompakten Intervall [a. ßI ohne SprungsteIlen von I. Bemerkung: (a) Für das dritte Integral in (5. r29) gilt entsprechendes, (b) Die Beweisidee flir den Hilfssatz ist einfach. Man erkennt nämlich, daß sin(At) flir große
432
5 Folgen und Reihen von Funktionen
).. eine sehr schnelle Schwingung beschreibt (I als Zeit aufgefaßt). Nimmt man sx(t) für den Augenblick als stctig an, so ist diese Funktion innerhalb eincr Periode damit fast konstant. Das Integral von sx(1) sin(M) über eine Periode ist also nahezu Null. Summation über allc Perioden ergibt dann (hoffentlich) auch beinahe Null, wobei man dcr Null ftir sehr große A beliebig nahe kommt. Für stückweise stetige.l'x iindcrt sich diese Argumcntation nur unwescntlich. Beweis: Die Funktion sin()..r) wechselt jeweils im Abstand h = tuieren t = 11 + hin J..(A) und erhalten
7T jA
ihr Vor.lcichen (A > 0). Wir substi-
; c, und der Existcnz von
10,,1).
'1=-00
Einsetzcn in die Differentialglcichung (5.150) zeigt, daß.l:o einc Lösung ist. Also zusammcngcfaßt: Folgerung 5.7:
L 00
.1:0(1) =
ßI1 e
illWl
(5.158)
•
"=-00 mit (5.157), beschreibt eine panikuläre Lösung der Differentialgleichung (5.150). Wir schreiben die Reihe von .roU) schließlich in ihre reelle Form um, also als trigonometrische Reihe. Mit 0"
=
a" - i b"
11
2
= O. 1.2.3.
erhält zunächst die Fourierreihe von K (I) die »reelle« Form 00
K (I) =
(j0 + '""" 2" L)a" cos(llwt) + b" sin(I/wl)) .
,,=1
Wir sctzen 0" = (a" - i b,,)/2 in (5.157) cin und multiplizieren Zähler und Nenner in (5.157) mit dem »konjugienen Nenner«, also mit (e - n 2w2m) - i IIwr. Eine kurze Rechnung liefen uns ß" in der Gestall
ß"
A
CC'C7
=-
2
'CBC'"
mit bll (e - 11 2w 2m)
8,,= (e - n-w-m)'"
+ a"llwr
+ (nwr)-"
(5.159)
5.5 Fouricrreihcn
441
Folglich ist
A0 .rO(t) = 2
00
+ I)A" COS(1I0t) + B" sin(llwt».
(5.160)
"",I
Damit ist eine partikuläre Lösung berechnet und unser Problem gelöst. Anwendung auf das Schwingungsproblem: Nach dem anfangs Gesagten lautet die allgemeine Lösung unserer Differentialgleichung (5.150) (5.161) wobei XI! eine belicbigc Lösung der homogenen Diffcrcntialgleiehung (5.149) ist. t ist beim Schwingungsproblem die Zeit. Nach (5.152), (5.153), (5.154) hat XII (I) stets die Gestalt X,,(t) = e- rr j(2mj g(t),
(I" > 0)
mit einer Funktion g : IR _ No, die beschränkt ist oder von der Form {/ »linear wächst«). Daraus folgt insbesondere
+ bl
ist (d.h. höchstens
lim .I,,(t) = O.
0 einen Index ko gibl, so daß flir alle Indizes k ::: ko gilt: lak-al <s: man beschreibt dies durch lim ak =
k--->oo
a oder
ak _
a fUr k _ 00.
a heißt Grenzwert oder Lime.~ der Folge.
Jede Folge (akheN aus IR" zerfallt in KoordinatenfolgeIl. Das heißt Schreibt man ausfUhrlich k
ak =
a:: [a"(k,
']
.
k = 1.2.3.....
so erkennt man" Zahlenfolgen
1.2..... 11). eben die Koordinatenfolgen von
(ak)keN·
Folgerung 6.1: Eine Vektorfolge (adkeN konvergiert genau d O. V > O. T > 0 gilt. Dcfinitionsbercieh ftir alle diese Funktionen ist also der
o
I ]
»erste Quadrant« IR~ := [~~ I XI > O. x2 > O}. f3 ist bis auf einen Faktor gleich der früher betrachteten Funktion f. Der Leser skizziere die Hiihenlinienbilder der drei Funktionen.
463
464
6 Differemialreehnung mehrerer reeller Variabler
Bemerkung: Die T
~
-
l'GIl
der Waalssche Zlislalldsgleicllllllg rur reale Gase
1(/d -,,2,,) , (V - nb)
11 R
V-
J a.b. R,
konstant, Gasmenge in Mol
1 11.
(6.14)
wurde schon in Abschn. 3.2.8, Beisp. 3.34. behandelt. Der Ausdruck rechts beschreibt eine Funktion J(p. V). Ein HöhenJinienbild ist in Fig. 3.18 in dem genannten Abschnitt gezeichnet.
)) ~
G·
L,=---.J .)
~"
j
"
Fig. 6.8: Zu Funktionell zweier Variabler in der Technik
Übung 6.10: Ein Stahlrohr hat das Gewicht
wobei p das spezifische Gewicht des Stahls ist. I die Länge des Rohres. d der Außenwanddurchmesser. w die Wandstärke (s. Fig. 6.8). Es handelt sich hier um eine Funktion von drei Variablen I. d und w. Da Inur ein Proponionalitätsfaktor ist. erhält man einen Überblick. wenn man lediglich die Funktion !(d.w)=dw-w 2 .
d~O. w~O.
untersucht. Der Leser skizziere diese Funktion im riiumlichen Koordinatensystem!
Übung 6.11: (nach (5). S. 172) Das Fliichemllomelll eines rechteckigen Balkens erhält man aus (6.15)
Dabei ist b die Breite und h die Höhe des Balkens (s. Fig. 6.8b). Die Zahl I geht bei der Berechnung der Durchbiegung eines Balkens ein (s. Beisp. 2. I. Abschn. 2.1.1). Wegen dieser Anwendung ist man mehr daran interessiert. die Bai kenbreite b aus I und h zu gewinnen. Zum Ablesen von b-Wenen aus einem Höhenlinienbild ist es allerdings zweckmäßig (und in der Technik gebriiuchlich). Koordinatensysteme zu benutzen mit einer b-Achse als senkrechter
6.2 Abbildungen im R"
Achse. Es !;ommen in unserem Falle zwei Möglichkeiten in Betracht. nämlich ein l-b-System oder ein hob-System (s. Fig. 6.9 aus
f :D D
mil
...... M heißt stetig in einem PUllkt Xo E D, wenn flir alle Xo stets
Xk ......
!im f(xk> = f(xo)
1.:"'00
gilt. (b) Die Abbildung f D ...... M heißt stetig al/I A C D, wenn sie in jedem Punkt von A stetig ist. 1st f stetig in jedem Punkt von D. so wird I eine stetige Abbi/· dUllg genannt. Die Definition entspricht vollkommen den Definitionen 1.17 und 1.18 in Abschn. 1.6.2, in denen die Stetigkeit fl.ir Funktionen einer reellen Variablen definiert sind. Aus der Definition folgt sofort, daß alle Funktionen in den Beispielen und Übungen des letzten Abschnittes stetig sind. Die E -ö-C/wrakterisierung der Stetigkeit in Salz 1.19 (Abschn. 1.6.2) gilt wörtlich auch rur Abbildungen f : D ...... lR.JlI mit D ~ IR", so daß wir auf eine erneute Formulierung ver.lichten können. Auch der Beweis ist gleichlautend. Der Satz über Summen. Differenzen. Produkte und Quotienten stetiger Abbildungen wird. samt Beweis, ebenfalls übertragen (s. Satz 1.22. Abschn. 1.6.4). Er lautet hier: Satz 6.4: Sind auch
f :D
...... 1R1lI , g : D ...... IRtlI und h : D ...... IR stetig in Xo E D (D
f+g, stetig in xo.
f-g,
und
f
"
(falls h(xo)
~
IR"), so sind
i= 0)
Die gleichmäßige Stetigkeit wird analog zu Dcf. 1.19 (Abschn. 1.6.6) flir Abbildungen aus]Ru in JRtlI erklärt. Es folgt, wie in Abschn. 1.6.6. die wichtigc Aussage: Satz 6.5: Auf kompakten Mengen des IR" sind stetige Abbildungen gleichmäßig stetig. Mit der Stetigkeit eng zusammen hängen Grellzwerte VOll Abbildullgen. Hier haben wir nur Abschn. 1.6.7 sinngemäß zu übertragen:
6.2 Abbildungen im R"
467
Ein Punkt Xo E IR" heißt Häufimgspullkt einer Menge 0 C IR", wenn in jeder Umgebung von Xo unendlich viele Punkte aus D liegen. Def. 1.20 aus Abschn. 1.6.7 wird damit zu Definition 6.13: Es sei f : D -+ M eine Abbildung und Xo ein Häufungspunkt von D. Man sagt, fex) kOllvergiert/iir x -+ Xo gegell deli Grenzwert c, wenn fLir jede Folge (Xk) aus D mit lim XI: = Xo und Xk # xo fLir alle k folgt: k_oo
lim f(xd = c.
k_oo
Dies wird kUrL beschrieben durch die Gleichung
limf(x)=c.
(6.17)
.1'-.1'0
Diese Übereinstimmung mit schon Bekanntem zeigt, daß hier eigentlich nichts Neues zu lernen ist. Aus diesem Grunde weisen wir nur darauf hin, daß sich alles Folgende im zitierten Abschn. 1.6.7 ebenso übenr~igt, insbesondere die Folgerung 1.18 über Summen, Differenzen, Produkte und Quotienlen solcher Grenzwerte. Schließlich beschäftigen wir uns noch mit PoieIl und Grenzwerrel1 im VI/entfliehen wie in Abschn. 1.6.8. Hier überträgt sich alles über Pole völlig analog auf Funktionen f : D -+ IR mit D C ]R". also insbesondere die Schreibweise fLir einen Pol Xo von f:
limf(x)=oo.
(6.18)
.1'-.1'0
Bei Grenzwerten im Unendlichen ist dagegen lxi -+ 00 (slau x -+ schreiben. Das Analogon zu Def. 1.22 in Abschn. 1.6.8 lalltet:
00
oder x
-,\0
-00)
Definition 6.14: D -+ JR'" sei unbeschränkt. Man (a) Der Definilionsbereich D C IR" von f sagt, fex) streb/ flir lxi -+ 00 gegen c wenn fIlr jede Folge (xd aus D mit lim Ix.kl = 00 gill: k_oo
lim f(xd = c.
k ..... oo
In Formeln beschreibt man dies kurz durch lim f(x)=c. Ixl...... oo (b) Anstelle von c kann auch 00 oder -00 stehen, wenn andere wird entsprechend formuliert.
(6.19)
f reellwcrtig ist. Alles
zu
468
6 Differentialreehnung mehrerer r..-eller Variabler
Folgerung 1.20 in Abschn, 1.6.8 (€-Formulierung für (6.4» überträgt man ohne weiteres. Damit sind wir durch! Das Grundlegende über Stetigkeit und Grenzwerte von Abbildungen aus IR" in IR'" ist nun bekannt. Übung 6.13: ;q.r2
Wo ist die Funktion f(x);=
+x22
.r l
im 1R2 detinicn? Wo ist sie sletig? Existiert lim f(x)? x--->O
Übung 6.14: Beweise. daß die Funktion f(x) = lxi aufR" sletig ist.
6.3
Differenzierbare Abbildungen von mehreren Variablen
In diesem Abschnitt wird die Differentialrechnung von einer reellen Variablen auf mehrere reelle Variable ausgedehnt. Partielle Ableitungen
6.3.1
Beispiel 6.7: Durch
ist eine Funktion von zwei reellen Variablen Xl und X2 gegeben. Fassen wir flir den Augenblick als Konstante auf, so können wir den Ausdruck auf der rechten Seite nach Xl differenzieren. Diese Ableitung wird mit
X2
"I
"x,
-(XI,XÜ
oder kürzer
fAI(XI.X2)
bezeichnet. Wir erhalten also »durch Differenzieren nach
Xl
«:
[Jf . . 3 -.-('\I. X 2)=4.\ IX2_
(6.20)
iJxl
Entsprechend kann man
Xl
als Konstante auffassen und »nach
X2
differenzieren«. Es ergibt sich
of 2 ~ -(XI,X2)=6x 1X2'
(6.21)
[JX2
Die Ausdrücke in (6.20) und (6.21) heißen die partiellen Ableitungen von Beispiel 6.8: fex, y) = x 2 y ~ e·t )'. :::?
of ox (x. y)
\',. ,
= 2xy - ye'
of 2 x,' [Jy(x.y)=x -xe
f nach XI bzw. X2.
63 Differen'!ierbarc Abbildungen von mehreren Variablen
469
Wir erinnern nochmal: Die erste Gleichung ergibt sich durch Differenzieren nach x, wobei y als Konstante angesehen wird, die zweite durch Differenzieren nach y, wobei x konstant ist. Beispiel 6.9: fex, y) = sin(x 2y 5). Mit der Kurzschreibweise
Ir fur
Jf und f,. flir Jf erhält man äx äy
Beispiel 6.10: g(~.. t) =
,h- 2 + 12 mit s2 + t 2 i= 0
Beispiel 6.11: (/J(lIl. lI2, lI3)
=
,
lIi
,
+ 1I2 + lI3l11 + I
Der Leser. der diese Beispiele nachvollzogen hat. kann nun sicherlich partielle Ableitungen von formeimäßig gegebenen Funktionen berechnen. Er hat nichts anderes zu tun, als alle Variablen bis auf eine als konstant anzusehen und die so entstandene Funktion nach eben dieser Variablen zu differenzieren. Das führt zu folgender allgemeiner Definition:
Definition 6.15: Eine Abbildung
x =
[' 'J :
E
f :0
--7
IR'" mit 0
c
IR" ist in einern inneren Punkt
0
x"
partiell differenzierbar /lach Xk, wenn der Grenzwert ,.
,m
"_0
f(.~I
..... Xk+" ..... xtl)~f(Xl, ... ,Xk ..... X,,)
"
existiert. (Die beiden Ausdrücke im Zähler unterscheiden sich nur in der k-Ien Variablen.) Der Grenzwert heißt die parlielle Ableitung l'OII f nach Xk im Pllnkle x. Symbo-
470
6 Differentialreehnung mehrerer r..-eller Variabler
lisch beschreibt man ihn durch
Statt (XI, ... ,x,,) wird dabei auch kÜr.t:er (x) geschrieben, oder es werden die Variablenangaben ganz weggelassen, wenn keine Irrtümer zu befUrchtcn sind.
f
heißt par/iell differenzierbar in Xo. wenn alle partiellen Ableitungen a f (xo) existieren. aXk
Ferner nennt ntan f partiell differenzierb(lr in A C 0, wenn f in jedem Punkt ApartieIl differenzierbar ist. Ist f schließlich in jedem Punkt seines Definitionsbereiches partiell differenzierbar, so heißt f partiell differenzierbar. Geometrische Veranschaulichung bei zwei Variablen: Wir denken uns den Graphen einer reellwertigen Funktion
,
"
Fig. 6.10: Panielle Ableitungen
als ftächenartiges Gebilde dargestellt, wie es die Fig. 6.10 zeigt. f sei in
63 Differen'!ierbarc Abbildungen von mehreren Variablen
471
nach beiden Variablen partiell differenzierbar. Xo wird in die Xl-x2-Ebene eingezeichnet. Durch xo werden nun zwei Ebenen gelegt, die parallel zur xl-y-Ebene bzw. zur x2-y-Ebene liegen (s. schraffierte Flüchen in Fig. 6.10). Die Ebenen schneiden aus dem Graphen von / zwei Kurven heraus. die sich im Punkt
kreuzen. (Es sind die oberen Begrenzungskurven der schraffierten Flächen in Fig. 6.10.) Diese Kurven können als Graphen dcr Funktionen Xl ~ /(XI. xiO» und X2 ~ /(x:o), X2) in dcn schraffierten Ebenen aufgefaßt werden. Ihre Steigungen im Po - verdeutlicht in den eingezeichneten Tangenten - sind die partiellen Ableitungen lrl (xo) und ft!(xo). Das heißt Irl (xo) und I,,(xo) sind die Tangenswerte der Winkel, die die genannten Tangenten mit der Waagerechlen bil-den. 7 Man nennt Irt(xo) daher auch die Steigung des Graphen run / in xk-Richtlillg, und zwar im Punkl xo. Zur Bezeichnung: Wird eine Abbildung durch eine Gleichung der Art
y=
f(.~I.X2 ..... x ll )
beschrieben, so werden die partiellen Ableitungen auch durch
öl
statt
rlxk
ausgedrückl. Diese Schreibweise ist in Naturwissenschaft und Technik oft sehr praktisch. Dazu folgendes Beispiel: Beispiel 6.12: Das ideale Gasgeselz lautet p V = RT .
(R = konstant. p > 0, V > O. T > 0).
es wurde schon in Übung 6.9 betrachtet. Wir lösen die Gleichung nach V auf und erhalten T V = RI'
av
=> rlT =
R
P
av
RT
-~--,
aik = afj jfhk>.
477
478
6 Differentialrechnung mehrerer r..-eller Variabler
~ ~
y
~ ~ ~ ~ ~
, Fig. 6.12: Zu Übung 6.18d
6.3.3
Regeln für differenzierbare Abbildungen. Richtungsableitung
Satz 6.7:
Ist I : D ~ Nm (D c IR") differenzierbar in xo. so ist I aueh stetig in noch: Es gibt eine Umgebung U von Xo und eine Konstante M > 0 mit I/(x) - f(xo)l.:"; Mix
-xol für alle x
E
xo.
Mehr
U.
Beweis: Aus (6.23) folgt nach Umstellung If(x) - f(xo)1 .:";
,
1I (xo)llx - xol +
Ik(x)1
Ix -xol
Ix - xol
(6.27)
ftir alle x E D mit x # xo. Wegen Ik(x)lIlx -xol _ 0 rur x ~ Xo gilt: Es gibt eine Umgebung U mit Ik(x)I/lx - xol .:"; I rur alle x E U. Mit M :== 1J'(xo)1 + I folgt aus (6.27) damit die 0 Behauptung des Satzes.
Satz 6.8: (Linearität) Sind f : D ~ IR'" und" : D ~ IR'" (D C IR") differenzierbar in xo. so ist auch Äf + /.I1l (mit reellen Ä, /.I) in xo differenzierbar, und es gilt (ÄI
+ 1l1l)'(xo) =
Ä/'(xo)
+ J.L,,'(xo)·
(6.28)
Der einfache Beweis bleibt dem Leser überlassen.
Satz 6.9: (Ketlenrege/) Es sei" : C ~ D (mit C c lR", D C 1R 1') differenzierbar in xo E C und f : D ~ IR'" differenzierbar im Punkt zo = lI(xo). Dann ist auch loh: C ~ IR'"
63 Differen'!ierbarc Abbildungen von mehreren Variablen
479
in Xo differenzierbar, und es gilt
(j 0 h)'(xo) = J'(zo)h'(xo) 10
(6.29)
Beweis: Mit fez) = f(zo)
+ J'(zo)(z -
Z = hex) = h(xo)
zo)
+ k(z)
und
+ h'(xo)(x ~ xo) + m(x)
folgt durch Einsetzen
(j
0
= =
mit
+ J'(zo)(h(x) - h(xo» + k(z) /(zo) + f' (zo)(h'(xo)(x - xo) + m(x» + k(z) /(zo) + f'(zo)h'(xo)(x - xo) + sex) /'(zo)m(x) + k(h(x».
h)(x) = f(h(x» = fez) = f(zo)
sex) =
(6.30) (6.31)
Wir setzen abkürlcnd 11I0(X) :=
rur x
'I xo, z
k(z)
m(x)
,---=-, Ix
k 0(') ,~ ,---''''--;
xol
Iz
zol
-/:: Zo sowie mo(x) := 0, ko(z) := 0, und erhalten aus (6.31)
Is(x)1 S IJ'(zo)lImo(x)lIx - xol S If'(zo)lImo(x)lIx - xol
+ Iko(z)II"(x) - h(xo)1 + Iko(h(x»IMlx - xol
fur ein M > 0 und alle x aus einer Umgebung U von Xo (s. Salz 6.7). Wegen IIIO(XO) --+ 0 und ko(h(x» --+ 0 fur x --+ Xo folgt damit Is(x)l/lx - xol --+ 0 fur x --+ Xo. Somit liefert (6.30) die Behauptung des Satzes (vgl. Üb. 6.19).
0
Für den häufig auftretenden Sonderfall, daß h nur von einer reellen Variablen abhängt, fornlUlieren wir den Satz noch einmal ausführlicher. Folgerung 6.5: Durch x = h(t), oder in Komponentenschreibweise
XI] '~2 [ Xn
=
[''I (t)] 112:(1)
.
hfl(t)
10 Rechts werden zwei Matrizen Illuhiplizien.
480
6 Differentialreehnung mehrerer r..-eller Variabler
sei eine Abbildung von einem Intervall I in D S;;; IR" gegeben. 11 sei in 10 E I differenzierbar. Ferner sei durch
Y=/(XI.X2, ... ,XII ) .
x =
[."J ;"
,
eine Abbildung von D in IR'" beschrieben, die in Xo = II(fO) differenzierbar ist. Für die zusammengesetzte Abbildung y(t) =
Cf 0 1I)(r)
= /(lll(t) ..... 1l,,(I»,
1 EI,
gewinnt man nach Satz 6.9 folgende Ableitungen in to: d dl
-Cf 0 11)(10) = /
~ iJ/ dhk = L.J -(xo)-(ro). OXk dl
' I
(xo)h (to)
(6.32)
k=]
dxk
Mit den Bezeichnungen -
dl leicht zu merkende Kurzform:
dy _ dl-
t
~
dllk
-
dl
dy
(10) und -
dl
d dl
:= -
Cf 0
11)(10) erhält (6.32) die
.'!.!'- dx,
k=1
(6.33)
iJxkdl'
Bcispicl6.17: Es sei Y=!(XI.x2)=xfsinx2.
und
XI =hl(r)=COSf.
xl,x2ElR
tEIR.
X2 = 112(t) = 13 .
Damit wird die Ableitung von (6.34)
nach 1 mit Hilfe von (6.33) folgendermaßen berechnet: dy
-
dl
~
iJy dXI
- -
OXI dt
iJy dX2
+- -
OX2 dt
= 2 cos t sin(r3)( - sin t)
. . = 2xI SIl1(X2) . (- sm r)
,
,
+ xi" COS(X2) ·3t-
+ cos t cos(r3)31 1 .
Das »direkte« Differenzieren von (6.34) nach t mit der Produktregelliefert natürlich dasselbe.
6.3 Differenzierbare Abbildungen \'on mehreren Vuriablen
481
,
Fig. 6.13: Richlungsableilung (Ja !(xo) = ( - - + - = 0 . ap iJT iJp dT aT
O~
Da V konstant ist, dp/dT durch iJp/I1T erselzbar und man erhält
av
I1p
av
(6.46)
--+-=0. fJp JT iJT Daraus folgt mit den Definitionen von a,
I(
und ß sofort die behauptete Gleichung a = pßK.
Die obige Argumentation ist wegen der genannten Annahme nicht präzise. Bei einem exaklen Beweis von (6.44) gehen wir daher so vor: Wir setzen f) = g(T. V) in V = f(p. T) ein: V
~
[(g(T. V). T)
486
6 Differentialrechnung mehrerer r..-eller Variabler
und halten nun V = Vo konstant: Vo
~
l(g(1'. Vo). T).
Rechts steht eine Funktion von T. die nach Kettenrcgel (Folg. 6.5, Abschn. 6.3.3) abgeleitet werden kann. Die linke Seite hat die Ableitung 0, da Vo konstant ist. Also folgt durch Differentiation nach T:
öl oS vi cl1' 0=--+---. 8/) 8T
(6.47)
8T dT
wobei die Variablenbezeichnungen weggelassen wurden. Weg"
cl1'
8i
av
8p
8p' aT
ag
dT = I ist die GI. (6.45) aber mit (6.46) identisch. Damit ist (6.44) bewiesen.
Bemerkung: (a) Die beschriebene Herleitung von a = pßK ist fur das Vorgehen in Naturwissenschaft und Technik typisch; Zuerst wird aus einer plausiblen vereinfachenden Annahme, die die Exaktheit nur geringfligig stört, eine Gleichung gewonnen (hier (6.45». Gerade das vollständige Differential eignet sich flir solches plausibles Schließen gut. In einem zweiten Schritt wird dann eine exakte Hcrleitung »nachgeliefert«. Solche mehrstufige Herleitung und Präzisierung ist ein gängiges und erfolgreiches VerFahren. Der berühmte Physiker E. Schrödinger hat das einmal so beschrieben: Es dauert fünF Minuten, die Idee einer neuen Theorie zu entwickeln. Nach einer Stunde hat man die Gleichungen aufgestellt. Eine Woche dauert es, bis die Dimensionen aller Größen zusammenpassen, einen Monat, bis die Vorzeichen stimmen. Und nach einern Jahr entdeckt man, daß noch ein Faktor! Fehlt. Übung 6.21: (Vereinfaehle angenäherte Rechnung) Berechne Ilähcrungsweise 2.02 3.01 . Führe dazu die Funk· tion f(x.y) = x>' ein (x > O. y > 0) und enniltle f(2.02. 3.01) näherungsweise aus f(2.3) + df. wobei
öl
vi
(Ix
ily
df=-dt+-dy.
(dx=0.02. dy=O.OI).
Die partiellen Ableitungen werden für.t = 2 und Y = 3 gebildet.
6.3.5
Höhere partielle Ableitungen
Jede partielle Ableitung Bi einer Abbildung f; D -+ IR'" (D (lXi
c
IR") ist wieder eine Abbildung
von D in IR'" . Es entsteht dadurch eine zweite partielle Ableitllng, für die folgende Schreibweisen üblich sind:
63 Differen'!ierbarc Abbildungen von mehreren Variablen
487
Existiert diese Ableilllng in jedem inneren Punkt von D und ist abermals ableitbar. etwa nach x j. so entsteht entsprechend eine drirre partielle Abteil/mg
Auf diese Weise fahrt man fort und gelangt zu beliebig hohen Ableitungen IXilxi2 ...xip' Wir erwähnen noch, daß man bei mehrmaligem Ableiten nach einer Variablen Xi abkürzend schreibt:
iJ"'I
amI
axi"
ÖXiÖXi ... ÖXi
Wird f durch eine Funktionsgleichung beschrieben, z.B. y partiellen Ableitungen auch durch
iJ2 y
f
(x), so werden die höhercn
usw.
-" aXj"
ausgedrückt. Diese Schreibweise wird in Natun'lissenschaft und Technik viel benutzt, da man der abhängigen Variablen (hier y) häufig ansieht. welche physikalische Größe sie darstellt. Beispiel 6.20: I(XI, X2) = Xf.l"2. Es folgt: lXI (XI, X2)
=
IX2X, (XI. X2) =
2XIX2,
O.
f Q (XI.X2)=X? lXIX, (XI. X2)
=
IXI X2(XI.X2)=
IX2XI (Xl, X2)
=
2x I,
2Xl .
Bei den folgenden Beispielen lassen wir der bessercn Übersicht wegen die Variablenallgabe bei dcn Ablcitungsfunktionen links wcg. Bcispiel 6.21: I(x. Y) = x 3 +e 0 Hir alle z
I
fur alle
+ z) =
I(xo)
+1
i= 0, Z E IR: an. Nach der Taylorformel gilt für 1/1
"+! (Xo)z
fj mit
z i= 0, Z E IR".
I
I(xo
E
2"
o
(I - s)(z . '\I) 2 I(xo
+ sz)ds,
= 1
6.4 Gleichungssystcmc. Extrcmalprob1cme, Anwendungen
wegen !'(xo) = 0 also
f(xo
+ z) -
503
,
f(xo) =
~
f
(I - sHz' \7)2 f(xo
+ sz) ds.
(6.67)
o
Aufgrund der Stetigkeit der zweiten paniellen Ableitung gibt es eine Kugelumgebung U C D von Xo mit
(z· V)2f(xo+sz) > 0
flirxo+sz E V.z i::-O,O:::: s:::: l.
Wählt man Z dabei fest, so nimmt (z ,\7)2 f(xo + 5l) für ein 5 E [0, I [sein Minimum c > 0 an (da s ~ (l' \7)2 f(xo + sz) eine sletige Funktion auf [0, 1[ist), also gilt
,
(l· \7tf(xo+~'z) ~ c > O.
Damit gewinnt man aus (6.67)
flir alle s E [0.11.
,
'J
f(xo+z)-f(xo)~2
(l-s)cds=4">O, C
o
also f(xo + z) > f(xo) flir jedes Xo + z E V, z t- o. xo ist damit ci ne echte Minimalstelle. Durch Übergang von f zu - f erhält man die entsprechende Aussage ftir echte MaximalstelIen, 0 womit alles bewiesen ist. Bemerkung: Der Ausdruck (z· \7)2 f(xo) in Satz 6.18 kann mit Hilfe der Matrix
I",., (xo) /,,(xo) ,~
Z
~
[
: ['nYI (xo)
I''''''.,(X O)]
sowie
fXnYn (xo)
[:,]
-"
in der Form (z· \7)2f(xo) = ZT !"(xo)z =
L"
zifxi. 0 fUr z f- 0 ZU prüfen. Das Kriterium ist für die Anwendung in Satz 6.18 Hir große 11 sehr wenig griffig. Für kleine 11 (/I = 2,3.4) ist es aber gUi zu gebrauchen. FUr 11 = 2 ergibt sich daraus
Folgerung 6.6:
Ist die reellwertige Funktion f(x. y) zweimal stetig differenzierbar auf D C 1R2, so folgt: Ein Punkt
Xo = [x)'0o] E D mit
8f ox(xo,)'o) =0.
8f
oy (xo, JO)
= 0
;" [xo] (6.69)
""d
)'0
ist eine echte Maxima/stelle,
wenn fu(xo. JO) < 0 ist,
echte Minima/stelle,
wenn fu(xo. JO) > 0 ist.
Dieses Kriterium ist fUr Funktionen von zwei Variablen sehr nützlich.
Übung 6.25: Berechne die Extremalstellen der durch f( ..... y) = .... 2 +
i
definierten Funktion f Minima handelt.
6.4.4
+ .(y -
2x
+ 3)' + 7.
x = [;.] E IR2 .
IR -.. IR und entscheide. ob es sich um echle Maxima oder echle
Extremaiprobleme mit Nebenbedingungen
Oft ist nach den Extrema eine Funktion J gefragt, wobei noch eine Nebenbedingung h(x) = 0
erfUllt sein muß. Präziser geht es um folgende
6.4 Gleichungssystcmc. Extrcmalprob1cme, Anwendungen
Problemstellung: Gegeben sind zwei stetig differenzierbare Abbildungen I h : 0 --?' HF auf einer offenen Menge 0 C IR", 11 > p. Gesuch/ sind die MinimalstelIen der Einschränkung 11M von I auf M := Ix E 0 IIl(x) =
Eine Maximalstelle Xo von gibt mit I(x)
~
I(xo)
01
:
0
--?'
50S
IR und und
Maximal~
(6.70)
CO.
11M ist dabei ein Punkt aus
ftir alle XE U
M, zu dem es eine Umgebung U
C
0
n M.
Man nennt einen solchen Punkt Xo eine Maximals/e/le rOll I lI11te,. der Nebenbedillglillg 11 (x) = O. EtlIsprechendes vereinbart man fLir MinimalstelIen. In beiden Fällen spricht man von Extremals/el/ell 1'011 I IIII/e,. de,. Nebeilbedillgullg h (x) = O. Alles in allem treten bei den Anwendungen Extrcmalprobleme mit Nebenbedingungen viel häufiger auf als »reine« Extremalprobleme ohne Nebenbedingungen. Schon bei einfachsten geometrischen Fragestellungen ist dies der Fall. Beispiel 6.29: Will man dasjenige Rechteck bestimmen, das unter allen Rechtecken gleichcn Umfangs 1/0 dcn größten Flächeninhalt hat. so ist I(x) = X1X2 zu maximieren, wobei Xl, X2 die Seitenlängen des Rechtecks bedeuten. Wegen XI 2: 0, X2 2: 0 ist
o~
![::] Ix,.
X2
x= [x,] dabei ein Punkt aus X2
~ 0)
Die Nebenbedingung lautet 110 = 2(xl h : 0 --?' IR.
+ X2),
d.h. h(x) = 0 mit hex) = 110 - 2(xl
+ X2),
Die Lösung ist in diesem Falle sehr einfach zu gewinnen: Man löst hex) = 0 nach X2 auf: X2 = 110/2 - Xl, setzt dies in I(x) = X1X2 ein und erhält eine Funktion, die nur noch von Xl abhängt: F(xd := XI (110/2 - xd. Aus F'(xl) = 110/2 - 2xI = 0 berechnet man die Lösung XI = 110/4, wobei F"(xil = -2 < 0 zeigt, daß ein Maximum vorliegt. Wie nicht anders zu erwarten, ist das gesuchte Rechteck mit maximalem Inhalt ein Quadrat.
In vorstehendem Beispiel konnte hex) = 0 nach einer Komponente von x aufgelöst werden und damit das Problem auf eine Extremalaufgabe ohne Nebenbedingungen zurückgeführt werden, die mit bekannten Methoden von Abschn. 3.2.7 gelöst werden konnte. Häufig ist das jedoch nicht ohne weiteres möglich. Folgendes Beispiel macht dies deutlich:
506
6 Differentialreehnung mehrerer r..-eller Variabler
Beispiel 6.30: Es soll der kürzeste Abstand zweier implizit durch G (x, y) = 0, H (g, 1/) = 0 bestimmter Kurven der Ebene ermittelt werden, Es ist also
zu minimieren, unter der Nebenbedingung
I(
IX
)~[G(X·J')]~o H(g,'J) .
Auch hier könnte man zunächst versuchen, G(x. y) = 0 und H(~. 'I) = 0 nach y bzw", aufzulösen und die entstehenden Ausdrücke fLir y und '1 in (x - 0 2 + (y - 11)2 einzusetzen, um so eine von Nebcnbedingungen freie Funktion der Variablen x und 'I zu minimieren. Bei ctwas komplizieneren Gleichungen G(x. y) = 0 und H (g. 1/) = 0 ist das allerdings nicht mehr ohnc weiteres durchführbar, schon allein deswegen, weil)' bzw. 'I im allgemeinen nicht eindeutig von x bzw. gabhängen. Es muß daher nach eincr Methodc gesucht werden, dic ohne cxplizitcs Auflöscn von h(x) = 0 nach einem Teil der Komponenten von x auskommt. Ein solches Verfahren ist das dcr LagralIgesehen Multiplikatoren. das auf folgendem Salz beruht. Satz 6.19:
f : D -+ IR und h : D -+ IRP seien stctig differenzierbare Abbildungen auf einer offenen Menge D C IR". 11 > p, wobei die Matrix h'(x) fLir jedes XE D den Rang pl4 hat. Damit folgt: Ist Xo E Deine Extremahtel/e 1'0/1 f IlIIler der Nebenbedingullg h(x) = 0, so existiert dazu eine Zeilenmatrix L = [Al, A2 .... , Apl mit
J' (xo) + Lh' (xo)
= O.
(6.71)
Die Zahlcn Al. A2 .... , A" hcißen dabei Lagra"gesche Multiplikatoren.
Das Lösungsverfahren für Extremalprob1eme mit Nebenbedingungen beruht nun, gestützt auf Satz 6.19 auf folgenden Überlegung: Jeder Extremalpunkt Xo von f unter der Nebenbedingung h(x) = 0 ist unter der Voraussetzung von Satz 6, 19 eine Lösung der Gleichungen f'(x)
+ Llt'(x) =
0
und
h(x) = O.
(6.72)
14 D.h. /I' (x) enlhiih rur jedes x E Deine rcguliire (quadratische) p-reihige Teilmalrix. (Eine Teihnalrix entSlehl aus einer Matrix durch Herausstreichen von Sp.1lten und/oder Zci Icn.)
6.4 Gleichungssystcmc. Extrcmalprob1cme, Anwendungen
507
Mit den Komponentendarstellungen
;;] [
X=.
X~,
/,
~ [::;]
.
L=[Al.A2 ..... A,,1
(6.73)
11"
erhalten die Gleichungen in (6.72) die explizite Gestalt
L>k-.
(jf "(jhk -(x)+ (x) =0
flirallei = 1, .. .,11,
(6.74)
hdx) =0
fLir alle k = I ..... p.
(6.75)
(lXi
k=1
und
(lXi
Es liegen damit 11 + P reelle Gleichungen rur die 11 + P reellen Unbekannten XI. X2 • ... ,X,,, AI. A2, ... , A" vor, deren Lösbarkeit zu bestimmen ist. Unter den aus dieser Lösullgsgesamtheit gewonnenen Punkten x = [XI, X2 • ... , x"J T sind alle Extremalpunkte mit den Nebenbedingungen II(X) = 0 zu linden. Natürlich braucht nicht jeder dieser Lösungspunkte x ein Extremalpunkt zu sein, Da bleibt im einzelncn stets zu untersuchen. Gelten die Voraussetzungen von Satz 6.19, so heißt jeder Lösungspunkt x, der sich aus (6.74), (6.75) ergibt. ein stationärer Pllnkt FOII f lIIi1er Nebenbedillgllllgen 1J (x) = O. Bei physikalischen Untersuchungen sind diese Punkte auch dann inleressanl, wenn sie keine Extremalpunkte sind. Wir skizzieren dies kurt.: in folgendem Beispiel. Beispiel 6.31: Eine grundlegende Anwendung der Lllgrangescllen Militiplikatorelllllelhode steht im Zusammenhang mit dem d'Afembertscllen l5 Prinzip in der Mechanik. Betrachtet man nämlich ein System von Massenpunkten in einem Kraflpotentialfeld. so sind die Massenpunkte häufig geometrischen Bindungen unterworfen. (Abstände zwischen Massenpunkten sind konstant, die Massenpunkte befinden sich auf gewissen vorgeschriebenen Kurven oder Flächen usw.) Die geometrischen Bindungen schlagen sich dabei in Nebenbedingungen nieder, während das Kraftpotential eine Funktion liefert, deren stationäre Punkte unter Nebenbedingungen zu berechncn sind. Die stationären Punkte besdHeiben dann Gleichgewichtslagen des Massenpunktsystems. Echte Minima ergeben dabei stabiles Gleichgewicht. während in den übrigen stationären Punkten labiles oder indifferentes Gleichgewicht herrscht. Für einen ausfLihrlichen Beweis des Satzes 6.19 sei auf [561, Satz 6.23. S. 305 - 308, verwiesen. Wir wollen den Sachverhalt hier am Falle zweier Dimensionen anschaulich und plausibel machen. Für diesen Fall fonnulieren wir Satz 6.19 nochmal: Folgerung 6.7: (Zweidimemiollaler felll der Lagrangescllen M IIl1iplikalorellmelllOde) Durch 11 = fex. y) und v = hex. y) seien zwei reellwenige Funktionen auf einer 15 Jcan-Bapliste lc Rond.gcnanm cl' A1cmbcn (1717 - 1783). fmnzösischer Mathcmatikcr. Physiker und Philosoph
508
6 Differentialreehnung mehrerer r..- eller Variabler
offenen Menge 0 C IR2 beschrieben. Dabei sei gradh(x) cf 0 für alle x E 0. 16 Damit folgt: Ist Xo E Deine Extremalstelte von 1 unter der Nebenbedingung hex) = 0, so gilt grad I(xo)
+ A grad h(xo) =
(6.76)
0
mit einer reellen Zahl A. Veranschaulichung: In Fig. 6.20 ist der Graph von 1 über seinem Definitionsbereich 0 skizziert. In f) ist die durch h(x) = 0 bestimmte Kurve zu sehen. Zum besseren Verständnis sind Höhenlinien und Fallinien in 0 eingezeichnet. wie auch ihre Entsprechungen auf dem Graphen von I. Wir erkennen: Das Maximum I(xo) von 1 über der Kurve h(.1'o) = 0 hat die Eigenschaft, daß die Kurve h(x) = 0 in der Maximalstelle Xo rechtwinklig eine Fallillie sc/meidet. Skizziert man grad I(x) und gradh(x) als Pfeile mit schwarLcroder weißer Spitze, so liegen sie im Maximalpunkl Xo parallel (denn der Vektor gradh(x) steht in jedem Kurvenpunkt x senkrecht auf der Kurve h(x) = 0, und grad I(x) liegt stels in Richtung der Fallinien.) Parallelilät von grad I(xo) und grad h(xo) bedeutet aber grad/(xo)
+ Agrad h(xo) =0
fürein,l" E IR.
Zum Verständnis ein simples Demonstrationsbeispiel. Beispiel 6.32: Gesucht sind die ExtremalsteIlen von f(x.y) =x 2
+i +3.
x.y E R.
(6.77)
unter der Nebenbedingung h(x. y) = x 2 + Y - 2 = O.
x. Y ER.
(6.78)
Mit gradf(x.y) = [2x.2yl T .
ergibt grad 1
gradh(x.y) = [2x,11 T
+ )" grad h = 0 und h (x, y) = 0 das Gleichungssystem
2x = -,l,,2x .
2y = -,l" .
,
y=2-x~.
Die ersle Gleichung ist Z.B. flir x = 0 erfLillt. Die übrigen Gleichungen liefern dann y = 2, A = -4 und 1(0,2) = 7. Im Falle x cf 0 ergibt die erste Gleichung nach Herauskürzen von x: A = -I. Damit ist nach der zweiten Gleichung y 1/2 und nach der dritten: x = ±.J6/2. Damit: 1(±.J6/2. 1/2) 4.75.
=
,
16 ZurErinncrung:gradh(x) = 1, (x)T =
=
[Ob alJ ]T . -.-(x). -.-(x) Xl MinimalstelIen. Übung 6.26: Bestimme mit der Lagrangesehcn Multiplikatorenmclhode dic Extrenmlwcnc von f(x. y) = xy (x. Y E IR) unter der Nebenbedingungx l + yl - I = O. Zeichne ein Höhenbild dazu.
7
Integralrechnung mehrerer reeller Variabler
Ausgangspunkt der Integralrechnung mehrerer Veränderlicher ist das Problem, Rauminhalte mehrdimensionaler Bereiche zu ermitteln - analog zur Integralrechnung einer reellen Variablen, die von Flächcninhaltsbercchnungcn ausgeht. Die Integralrechnung einer reellen Variablen ist im Mehrdimensionalen Richtschnur und Hilfsrnincl. Wir gelangen so zur Berechnung von Massen dreidimensionaler Körper. Schwerpunkten, Trägheitsmomenten, Zirkulationen, elektromagnetischen Feldenergien und vielem anderen mehr.
7.1
Integration bei zwei Variablen
Die Grundgedanken der mehrdimensionalen Integration werden zunächst um Fall zweier reeller Variabler erklärt. Alles Wesentliche wird dabei sichtbar, versländlich und einprägsam.
7.1.1
Anschauliche Einführung des Integrals zweier reeller Variabler
Gestützt auf amcllllll/iche VorstellIIngen \'on Rtllllll- lind Fliicheninhall werden in diesem Abschnitt Integrale zweier Variabler eingefilhrt und berechnet. Wir beginnen unsere Betrachtungen mit eincr reellwcrtigen stctigcn Funktion f auf cinem kompakten zweidimensionalen Bereich B C 1R2. f sei nicht negativ, d.h. [{X,Y)2:0
füralle
[~:]EB.
und 8 hahcn cincn wohlbestimmten Flächcninhalt F. Der Graph [ und der Bereich B bilden »Deckel« und »Boden« einer dreidimensionalen Menge
(7.1)
(s. Fig. 7.1). Der Raulllinhall V dicser Mcngc M wird das 1I1legrall'oll [ iiber dem Bereich B gcnannt und durch
v~
ff
f(x.y)dxdy
B
K. Burg et al., Höhere Mathematik für Ingenieure, DOI 10.1007/ 978-3-8348-9929-3_7, © Vieweg+Teubner Verlag I Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2011
(7.2)
512
7 Inlegraln:chnung mehrerer reeller Variabler
,
M
I
,
y
B
Fig. 7.1: Integral als Rauminhall von M
beschrieben. Es sind auch folgende Schreibweisen dafür gebräuchlich:
v~
ff f(xy)dF~ ff 8
fdF
8
oder mit nur einem Integralzeichen
v~
f f(x.y)dxdy~ f f(x.y)dF~ f B
8
Mit der Vektorschrcibweise x =
f
fdF.
B
[~J schreibt man das [niegral auch in der Fonn
fix) dx
B
(Doppelte Integralzeichen betonen das Zweidimensionale von H, einfache Inlegralzeichen weisen mehr auf die allgemeine Theorie hin.) Bemerkung: Bei den Begriffen »Rauminhalt« und »Flächeninhalt« appellieren wir hier an anschauliche Vorstellungen des Lesers. Auf diese Weise können die Grundideen übersichtlich vermittelt werden. Die analytische Präzisierung folgt in den nächsten beiden Abschnitten. Zur Beantwonung nehmen wir zunächsl B als ein achsenparalleles Rechteck an,
und belfachteneine beliebige Zerlegung Z = 11)'0. )'11. [YI. nl..... [Yn-I. )',,1} von [c.lll. Durch die Zerlegungspunkle )'i lege man zur x-z-Ebene parallele Ebenen. die die Menge M in »Scheiben zerschneiden«, wie es die Fig. 7.2 zeigt. Das Volumen LlVi einer solchen Scheibe zwischen den Ebenen durch)'i und )';-1 ist etwa
7.1 Integration bei zwei Variablen
513
, y
• Fig. 7,2: Zur Volurnenberechnung
gleich dem Produkt aus der Scheibenbreite Ll)'; ._ rechten Schniufläche bei )'i, d.h.
)'i ~
)'i-t und dem Flächeninhalt der senk-
b
LlV;
~
LlYi'! !(x,)'i)dx.
" Summation über alle Scheiben liefert näherungweise den gesuchten Rauminhalt V von M
Für 11 --+ 00. wobei max LlYi gegen Null geht, strebt die rechte Seite gegen das Integral ;
Die Klammer um das innere Integral wird auch weggclassen, da kein Imum dadurch entstehcn kann. Der Wert dieses »Doppclintegrals« entspricht zweifellos unserer Vorstellung vom Volumen V der Menge M. d.h.
ff f(x.y)dxdy~ f f d
v~
b
f(x.y)dxdy.
(7.3)
c "
8
Da unsere Anschauung vom Rauminhalt sicherlich ergibt. daß es gleichgültig ist. in welcher
J b
1 Die Funktion,.,(y):=
f(x. y)l1r ist stetig in y. wie in Abschn. 7.3.1 gezeigt wird.
"
514
7 Inlcgraln:chnung mehrerer reeller Variabler
Achsenrichtung man die Menge M in Scheiben schneidet, können x und y auch ihre Rollen tauschen, d.h. es gilt: d
h
1 1
, "
II , ,
iI
b
f(x,y)dxdy~
(7.4)
f(x,y)dydx.
Diese VertallsclulIIgsformei wird spliter als Satz \'011 FlIbilli allgemeiner erörtert (s. Abschn. 7.1.3, Satz 7.3). Beispiel 7.): Für f(x,Y) = 2 -xyauf
B
~
![:,] I ~ 0
x
~ 1 , 0 ~ y ~ 21
erhalten wir 2
I
2
V~ 11(2-XY)dx'dY~ 1 1(2-XY)dXdY~ 1[2x0 0
IJ
x
0
/1 dy~ 1(2-DdY~3 2
1
2
0
(s. Fig. 7.3).
, 2
, v
,J
,
tI.
-r-I
Fig. 7.3: Zu Beispiel 7.1
,
~
, g
,
,
,
b
Fig. 7.4: Normalbcrcich
Der Leser rechne nach, daß bei Vertauschung von x und)' dasselbe herauskommt, also ,
V=!
o
1
!(2~X)')d)'dX=3. 0
7.1 Integration bei zwei Variablen
515
Wir wollen im Folgenden anstelle von Rechtecken allgemeinere. krummlinig berandete Bereiche B betrachten, und zwar solche, die »zwischen« den Graphen zweier stetiger Funktionen h : la. b] ~ IR und g : la. bl ~ IR (mit h ~ g) liegen, d.h. B = { [;,]
Ia .::: x .::: bund g(x) .::: y .::: h(X)}.
s. Fig. 7.4.
Einen solchen Bereich B nennen wir kurz einen NOnlwlbereich. J : B ~ IR sei wieder stetig und nicht negativ. Durch analoge »Scheibenzerlegungen« wie im Rechteckfall erhalten wir das Volumen V von M wiederum als Doppelintegral (s. Fig. 7.5).
II j(x.y)dxdy~ I I
b h(.• )
8
(7.5)
j(x.y)dydx.
" g(..-)
/~!II/(
I
".n :1
M
~
r
,
,
I Fig. 7.6: Zum Volumen der Pyramide
Fig. 7.5: Zum Integral iiber einen Normalberekh
Beispiel 7.2: Die in Fig. 7.6 skizzierte schiefe Pyramide P ist die Menge aller Punkte
0.::: x.::: mit
H.
O.:::y.:::x·a/H. O':::l..:::x·b/H.
Mit f(x.y):= x ·b/H und B = {[;] I O.:::x < H undO.::: y':::x .a/H} ist das Volumen der Pyramide damit
V =
!!
!
!/ ,\',"11/
f(x.y)dxdy =
"
~! 0
0
b IN []"'''I" ba I" x xy dx = H2
= H
0
o
xdydx
0
2
ba [.
Jf
f
(x. y) d F.
Q
ogibt es eilleZerlegullg Z =
Sj(Z) > 1-10
und
IQI ..... Qml von Q mit
Sj(Z) < 1 +10. 5
Die Zerlegung Z wird durch zwei Zerlegungen
a = Xo < XI < ... < x" = b.
527
(7.19) Z~
und Zy mit den Teilungspunklen
c =)"0< Yl < .. _ < Yq = d
erzeugt. Wir wollen die Teilrechtecke von Z daher mit Qik:= [Xi_i.x;1 x [Yk-I.Ykl.
i = I. .... p. k = I. .... q
bezeichnen und die Suprema und Intima darauf mit Mik = sup f(x).
lII;k
=
XEQ,l
inf f(x).
XEQ,l
Nun beginnt der eigentliche Beweis: Für alle gilt
Y E [Yk-l.}'k I
und ein beliebiges
Si E [Xi_I. Xi
I
nach Integration über IYk-l. Yk J also
f f(~ioy)dy::,:: )"t
lI1ik(Yk - Yk-l)::'::
MidYk - Yk-I).
J't-l
Multiplikation mit (x; - Xi_I) und Summation über i und k liefert
f
d
Mit F(x) =
jorll/alioll von C* auf C. In Fig. 7.26 ist eine Transformation T : C* ...... C(u E C*, XE C) bildlich dargestellt. Die konstant und v konstant sind in der u-v-Ebene achsenparallele Geraden; in der Linien /I x·y-Ebclle ergeben sie ein krummliniges Netz, das den Bildbcreich G überLieht. Zur Veranselwu/idlllllg der FUllktiollafdetermillante betrachten wir das schraffierte Rechteck LlC* in Fig. 7.26a. Seine Kantcnliingen seicn .1/1 und Llv, und der linkc unterc Eckpunkt habe die Koordinaten (110, vo). Die vier Eckpunkte des Rechtccks LlG* sind damit
=
1l0=
vo ' ["0]
=
EIl
=
[
"0
+ ",,] "0
,
/12
=
[ VO
"0 ] + Llv
.
1I3
=
[
"0 "0
+ ",,]
+" "
Durch T wird unscr Rechtcck .1C* auf den schrafficrtcn Bereich .1C in Fig. 7.26b abgebildct . .1C hat nahezu Parallelogramm-Gestalt, wenn .111 und Llv klcin genug sind. Dieses »Parallelogramm« wird aufgespannt von den Vektoren
tO Unter einer [)elcnninanlc einer 2 x 2-Matrix A = [:.
:;] verstehl man die Zahl deI A := (1(1 - be.
II Eine offene Menge heißI zusammenhängend.....·enn sie sieh nicht in zwei offene Mengen zerlegen läßt.
7.1 Integration bei zwei Variablen
543
o
v
0"
"-
v,
(
\
......
,
.0'
.v
"'
.v
"'
./
,
v
Fig. 7.26: Zur Transformation T : C· ...,. G. Die lineare Algebra lehrt, daß der Flächeninhalt dieses Parallelogramms gleich dem Absolutbetrag der Determinante det(tl7'l, tl1' 2) ist, deren Spalten die Vektoren tl1' 1 und tl7'2 sind. Für den Flächeninhalt tlF des Bereiches tlC folgt damit tJ.F~ldet(tJ.1'I.tJ.1'ÜI~
aT aT )1 tJ./ItJ.v. det -(uo),-(vo) lJv 1 ( au
(7.46)
Die rechtsstehende Determinante ist die Funktionaldeterminallte von 1', also (7.47)
tJ.F ~ Idet 1"(uo)ltllltlv
",llJ(X,y)1
J(II, v) uo
tllltJ.v. 12
(7.48)
Dividieren wir durch den Flächeninhalt t!JF· = tlutlu des Rechteckes tlC· im Urbildbereich, so folgt !>F tlP
~
1 a(x.
y) 1 J(u, v) uo
(7.49)
Schließlich lassen wir den Durchmesser D(.t!JF*) := und erhalten .
D(l~"rI)--->o
!>F tlP =
J tJ.1I 2 + t!Jv 2 von tJ. F* gegen Null streben
1"(x,y)1 a(u, v)
"0 .
(7.50)
Den exakten Beweis dieser plausiblen Formel übergehen wir hier. (Die Formel folgt aus der allgemeineren Transformalionsformel Hir Integrale, s, niichster Abschnitt.) Formel (7.50) kann anschaulich so interpretiert werden: 12 Die Abh:lngigkeil von 110 wird bei O.b>O.
ist
FE
=!!
dxdy.
E
Zur bequemen Auswertung des Integrals benutzt man der Ellipse angepaßte A. t. definiert durch die Transformation
X =aAcos/.
Y = bAsill/.
(7.57)
Für A = I und 0 :::: f :::: 2Jr beschreibt dies gerade den Rand der Ellipsennächc. Die Funktionaldeterminante dazu ist [Ix
[Ix
JA Jy JA
Jr _I{lcost Jy - b sin f ar
-{lA sin 11 = {IbA . bA eos 1
7.1 Integration bei zwei Variablen
549
Die Transformationsformel (7.54) ergibt ftjr die Ellipsenfläche den Inhalt 1 211"
FE
=/ / o
I
abI.. dl dA
= ab2T! /
0
= abT! .
I.. dA
0
Entsprechend wird das Trägheitsmoment eines elliptischen Zylinders berechnet. Ja,fiir die meisten Illtegrale
!!
f(x.y)
E
auf tier Effipsfnjliic;he ist tlie Transformation auf (he Koordil/(l/ell (7.57) oder elliptische Koordinaten (s. Abschn. 7. I.6, Üb. 7.12) zweckmäßig.
Beispiel 7.14: Das Gaußsche Feltlerimegral 00
I = /
e-
x2
dx
-00
kann mit der zweidimensionalen Integrationstechnik elegant berechnet werden. (Mit Illtcgrationsmethoden einer reellen Variablen ist es analytisch nicht berechenbar!) Das Integral wird als Grenzwert I
=
!im I",
"_00
mit
I"
=!
"
e-
x2
d.\",
-"
00
geschrieben, (Der Grenzwert existiert, da
e~x2
ist, und /
e- I.rl dx =
-00 00
2/ e- x d.\" = 2 existiert.) Der "Pfiff« besteht darin.
I';
zu untersuchen und die Integrationsva-
o
riable einmal x und einmal y zu nennen:
I; = /
"
e-
x2
"
dr· / e-
y2
" "
dy = / / e-(x
Dies ist ein Doppelintcgral auf dem Quadrat
2
+)'Zj
drdy.
550
7 Inlegraln:chnung mehrerer reeller Variabler
Wir vergleichen es mit den entsprechenden Integralen über den Kreisscheiben K" und K../2" um
o mit den Radien" bzw. ./2,,: Wegen K"
ff
2
e-<x +J
2
j
ff
dxdy SI; S
kw
C Q" C K../2" (s. Fig. 7.29) gilt
e-(x
2
+l) dxdy.
K.["2n
Nun werden die beiden Integrale links und rechts auf Polarkoordinaten transformiert: x = r cosI{J. y=rSIllI{J.
00
,
f
00
Fig. 7.29: Zum Fchlerintcgral
t2 e-· dx
-00
Es folgt
-
,
er rdrdop.
Eine Stammfunktion von r ~ e-
r2
r ist offenbar r .......
I
,
'2 c- r
Damit lassen sich die Doppelinte-
grale rechts und links analytisch berechnen: 2
lT(1-e-'I) S
I;;
~
S lT(l·
Rechte und linke Seitc streben mit also nach Wurzelziehen:
f
') 2
_e-~'I).
11 -+ 00
gcgen
Jr,
folglich auch I,;. Somit ergibt sich 12 =
Jr,
00
e-
x2
dr =
../ii.
-00
Diese Formel spielt insbesondere in der Wahrscheinlichkeitslehre eine wichtige Rolle.
(7.58)
7,2 Allgemeinfall: Integration bei mehreren Variablen
Übung 7.14: Berechne
ff d + x2
y2 dr dy auf der Einheitskreisscheibe K C
551
a 2. An/eillmg: Transformiere
K
auf Polarkoordinaten.
Übung 7.15: Berechne das Trägheitsmoment eines elliptischen Zylinders bezüglich seiner Mittelachse. W~ih le dabei die Bezeichnungen aus Beisp. 7.9 in Abschll. 7.1.5. Hinweis: Benutze die Transfornmtion auf elliptische Koordinaten (7.57).
Übung 7.16: Zeige. daß der Schwerpunkt Xo einer ebenen Plane bei linearer Transfonnation x = Au rniltransformiert wird. also Xo = Auo (uo = Schwerpunkt nach Transformation).
7.2
Allgemeinfall: Integration bei mehreren Variablen
Die Behandlung von Integralen bei drei und mehr Variablen verläuft völlig analog zu dem beschriebenen zweidimensionalcn Fall. 7.2.1
Riemannsches Integral im IR"
Die Definition von Integralen mehrerer Variabler folgt nahezu wörtlich derjenigen, die in Abschn. 7.1.2 rur zwei Variable gegeben wurdc. Sie stützt sich lediglich auf Quadcr, den Analoga zu Rechtecken im Höherdimensionllien. ",---",'
,"---
---Y
Fig. 7.30: Quader
Definition 7.4: (a) Einc Menge der Form
heißt ein I/-dimensiol/aler Quader. Dabei sind aj • . . . • a", b t ••••• b" beliebige reelle Zahlen mit {/; < b; flir alle i. Man beschreibt den Quader auch als
552
7 Inlegraln:chnung mehrerer reeller Variabler kartesisches Produkt von Intervallen in der Form
(7.59) (b) Die Zahl
heißt l/l/wlr odcr Volumen des Quadcrs Q. Faßt man die (li bzw. die b,. in zwci Vektoren a = [al ..... (I" JT, b = fbl ..... billT zusammcn, so ist
'Q
,~
Ib - 01
(7.60)
der Durchmesser des Quaders Q (s. Fig. 7.30). (e) Für jedes Intcrvall
[(li.
bi I in der Darstcllung
Q = fal.bll x ... x [all.b,,1
des Quaders sei eine Zerlegung Z; mit Teilungspunkten
gegeben. Daraus werden alle möglichen Teilquader der Form (I) (I) (2) (2) [Xtl_l.Xtl 1 x [xt2 _ I .Xt , I
x ... x
(,,) (,,) [Xtn_I.Xtn I
gebildet. Diese werden in irgendeiner Reihenfolge durchnumeriert und mit QI, Q2, ... , Q", bezeichnet. Die Menge Z = {QI, Q2,···. Q",I heißt eine Zerlegullg von Q.
Damit übertragen wir die Definition des (Riemann-) Integrals auf den li-dimensionalen Fall völlig entsprechend wie in Definition 7. I:
Definition 7.5: (Riemaflllsches lIlIegral im IR")
(I) Es sei
f
eine reelle beschriinktc Funktion auf eincm n-dimensionalen Quader Q.
Z = {QI ..... Q",l sei eine beliebige Zerlegung von Q in Teilquader. Die Inhalte der Teilquader Q; werden mit VQ/ bezeichnet.
7,2 Allgemeinfall: Integration bei mehreren Variablen
553
(11) Mit
Mi := sup f(x),
mi := inf f(x)
(7.61 )
X'EQ;
XEQ;
bildet man S[(2) :=
L'" M; VQ;'
genannt Oberslllllllle von
f
genannt Ullfersllmme von
f bezüglich Z 13 und
bezüglich Z,
;=1
S[(Z) :=
L'"
11I; VQ;,
;=1
f
7[
:= i~f S[(Z) ,
genannt Oberillfegraf von
l.[
:= SUPS[(Z).
genannt Umerilllegral von
z
auf Q,
f
auf Q.
Infirnurn und Suprernurn werden dabei bezüglich s[imtlicher denkbarer Zcrlegungen Z von Q gebildet. (111) Stimmen Ober- und Unterintegral von f auf Q überein, so heißt f (Riemallll-)imegrierbal' auf Q. In diesem Falle heißt der gemeinsame Wert I [ = l.[ das (Riemallllsche) Imegral von f auf Q, beschrieben durch
f
f(x)dx.
Q
Auch andere Schreibweisen, wie
J!.,.!
f(Xl,X2"
.. ,x,,)dx] dt2 ... dr" =
-----.Q
J
fdV
(7.62)
Q
usw, sind üblich. Für beliebige kompakte Integrationsbcreiche von f wird das Integral auf den Quader-Fall wie folgt zurückgeführt (völlig analog zu Ocr. 7.2 in Abschn. 7.1.2). Definition 7.6: Es sei f : B -+ IR beschränkt und B C IR" kompakt. Ferner sei QB der kleinste Quader in R", der B urnfaßt. f wird auf Q 8 erweitert zu
j'(x)
~ If(X).
13 Jede Obersummc "on
o.
rtirxEB,
rur XE
QB \ B.
f ist :::: jedcr Umcrsumme "on f. wie man sich leicht überlegt.
554
7 Inlegraln:chnung mehrerer reeller Variabler
f
heißt integrierbar auf 8, wenn
f
f(x)dx:=
f
r
integrierbar ist auf QB und man setzt
j*(x)dx.
Q,
H
Auch hier sind andere Schreibweisen. wie in Abschn. 7.1.2. geläufig. Insbesondere im Falle dreier Variabler schreibt man die Variablen gern als x. y, z. Integrale in drei Variablen werden daher vielfach in der Form
III
f(x.y.,)d.
61.1'1
Einschub: Zur Berecllllllllg einer Determinante (/11
(l12
(/1"
(/21
(/22
(/2"
D~
detA
(mit A = [(/;klll.,,)
(/""
(/,12
(/" I
=:
kann man für kleine 11 die expliziten Fortne/n benutzen, d.h, ftir /l
= 2 und J1 = 3:
(/121={/11{/22~(/12{/21'
(/11
(7.75)
(/n
1(/21
(/11
(/12
(/21
1122
(/13 (/23
(/31
(/32
(/33
= all (/22113J
+ a 12(/2J1l31 + (/13(/21 (lJ2
(7.76)
- {/11{/231132 - {/12{/211133 - {/13{/221131,
Für beliebiges 11 gilt allgemein:
L
D=
sign(kl,k2, ... ,k"){/lkl(12k2··,a,,kn·
(7.77)
(kl,···,k.)
Summiert wird dabei über alle Permutationen (kl ..• '. k,,) des II-Tupels (I. 2.... ,11). und es ist
.
slgn(k l "
.. ,
k,,) =
11.
-I.
wenn (k l ,
k'l) gerade Permutation,
wenn (kl,
k'l) ullgenule Permutation.
Eine Permutation (k l • •..• k'l) heißt gerade, wenn sie durch eine gerade Anwh' 11011 VeYUwscIlImgen zweier Elemente aus (I. 2..... 11) hervorgeht; andernfalls heißt sie ungerade. Für 11 ~ 4 berechnet man Determinanten allerdings zweckmäßiger mit dem »Gaußschen Algorithmus«, s. BurglHaflWilie (Lineare Algebra) 191Übungen: Berechne die Funktionaldeterminanten der folgenden Transformationen auf krumm linige Koordinaten im N.3. Übung 7.17: (Parabolische Z)'/inderkoordinalen)
,~_~(,,2 y
=/IV,
Z
= z,
_"2).\
(lI.v.zeR).
7.2 AlIgemcinfaJ1: Integration bei mehreren Vllriablen
Übung 7.18: (Ro1(ltiOlI.~/J(lrabofisehe
Koorr!i/laIeIl)
X=IIVCOStp.
Y=llVsintp.
(11, V
E IR,
tp
E [O,2rrl).
I, 2 Z="2(II--V),
Übung 7.19: (Elliptische Zylinderkoor(/inll/ell) (e > 0 konstant)
x=eeoshlleOSV,!
Y = csinhll sin v,
(11. Z E IR, I! E [O.2;r]).
z = z,
Übung 7.20: (Roul/iollselfilJtische Koordinaten)
Ce
> 0 konstant)
(a) (Geslm:kt·rotmiollseliiptischj
~ ,)1,,2 _
x
1)(1 _ ,,2),",. '\
(Illl
Y = cJ(l/2 - 1)(1 - v2)sintp. Z
=
~
1. Ivi ::: 1. 0 konstant) x = eJ(l/2
+ 1)(1
- v2)costp,
y = cJ(l/2
+ 1)(1
- v2)sin 0 nochmals. und zwar mit dem Satz des Cavalieri (im Hinweis: Die Fonnel rur den Flächeninhalt eines Kreises darf als bekannt vorausgesetzt werden.
Rh.
,
,
y'" c.Ji~_-r\
,, ,, , +~ - , ,,: ,, ~
,
--
, b
Fig. 7.35: Rotalionskörper
7.2.5
h
,
, Fig. 7.36: Rotationsparaboloid
Rotationskörper
Rotationskörper kommen in der Technik besonders häufig vor. Sie lassen sich relativ einfach behandeln.
Definition 7.9: Es sei j : La, bJ -+ IR eine nirgends negative, stetig differenzierbare Funktion. Die Menge B aller Punkte Ix. y, Z]T E IR) mit x E La, bJ und y2 + Z2 .::: j(x)2 nennt man einen R01a1ionskörper (s. Fig. 7.35). j heißt die erzeugende Funktion des Rotationskörpers. Seine Mamefjläche ist die Menge M der Punkte des Rotationskörpers. die)l2 + Z2 = j(x)2 erfLil1cn. Das Volumen V des beschriebenen Rotationskörpers ergibt sich unter Verwendung der Tmnsformation y = r cos rp, z = r sin ({!. x = x aus der Transformationsformel:
566
7 Inlegraln:chnung mehrerer reeller Variabler
also
J b
V = rr
Volumen des Rotationskörpers:
[2 (x) dx .
(7.81)
" Beispiel 7.18: (Volume" eines Rotationsparabuloids der Liinge 11) (s. Fig. 7.36) ErLeugende Funktion ist
y = [(x) = c.;x .
(e > 0).
Damit ist das gefragte Volumen: V = rr
J"
e 2x dx =
~e2h2 .
o
Bemerkung: Man kann den Rauminhalt eines RO(.alionskörpers auch direkt mOlivieren durch Riemannsche Summen
S=
L" rr [(~k)2 LlXk . k=1
Die Summenglieder sind dabei die Volumina von (Aachen) Zylindern (»Scheiben«). in die man den Rotationskörper näherungsweise zcrschneidet. Dcr Fläcl1en/lI/wh der Mallfeljläche eine.l· Rotation.l·körper.r - erzcugt von [ : [a. bl -;. IR - wird durch folgende Formel berechnet: b
F~2rr
j !(x)jl+f'(x)2dx.
(7.82)
" Bemerkung: Die Formel wird motiviert durch Riemannsche Summen
S= k
L" 2rr[(~dj Llxl + Llyl·
k=1
die das Integral approximieren. Die Summanden sind dabei die elementargeometrischen Flächeninhalte der MantelRächen von Kegelstümpfen. in welche der Mantel sich (wie in dünne Ringe) zcrschneiden läßt. Eine exakte Begründung wird im Rahmen der Flächcninhaltsthcorie in Burg/HaflWille (Vcktoranalysis) 171, Abschn. 2.2.1. nachgeliefert. Beispiel 7.19: (Kugelobe/fläche) ErLeugende Funktion der Kugel K C IR) um 0 mit Radius r > 0 ist fex) = Jr 2 x 2, XE L-r. rJ. Damit ist der Flächeninhalt der Kugeloberfläche
, Fb
F = 2rrjJr 2 ~x2 -~
1+
Z
~ x ~ dx =
r-
~x-
'
2rrrj d,r = 4rrr 2 . -~
7,2 Allgemeinfall: Integration bei mehreren Variablen
567
Ist g eine reelle rotationssymmetrische Funktion auf einern Rotationskörper 8 (der von [a. bJ --7 R erzeugt wird), so kann man g in der Form
8(r 2) ,
mit
r2 =
f ;
z2 + i
schreiben. (8 kann eine Temperatur, eine Ladungsdichte oder ähnliches beschreiben). Das Integral
1= !!!s(z2+i)dxdYdZ 6
läßt sich stark vereinfachen und damit leichter berechnen, wenn man wieder die Transformation y r cos tp. z r sin tp. x x anwendet. Es folgt mit einer Stammfunktion G von s (d,h. G' g), die G (0) = 0 erfüllt;
=
=
=
=
also
! b
1
=
7f
G(/2(x» dx.
(7.83)
" Guldinschc Regeln: Für Volumen V und Mantelftächeninhalt FM eines Rotationskörpers gelten die folgenden Guldillschell 19 Rege/li: Ist f : [a. b] --7 R(/(x) ::: 0) die en:eugende Funktion des Rotationskörpers. so bezeichnet man die Fläche zwischen f und der x-Achse. d.h. A
~ 1[~] I a ~ x ~ b. 0 ~ y ~ [(x) I·
als die erzeugende Fläche des Rotationskörpers. [x•. YslT sei ihr Schwerpunkt. Der Graph von f heißt die erzeugende Kun'e des Rotationskörpers. Der Kurvenschwerpunkt sei l;s. '1sJ T. Damit erhalten wir: I. Guldillsche Regel (mr Rotationskörper): Das Volumen V eines Rotationskörpers erhält man als Produkt aus dem Flächeninhalt FA der erzeugenden Fläche und der Länge ihres Schwerpunktweges bei einer vollen Drehung. In Fonneln:
V=FA ·2JTYs. 19 Paul Guldin. ursprünglich Habakuk Guldin (1577 - 1643). österrcichischer Astronom und Mathematiker
568
7 Integraln:chnung mehrerer reeller Variabler
2. Guldillsche Regel (fur Rotationskörper): Der Mantelnächeninhalt F eines Rotationskörpers ist das Produkt aus der Länge L der erzeugenden Kurve und der Uinge ihres Schwerpunktweges bei einer vollen Drehung: F=L·2JrI/S·
Der Beweis der I. Guldinschen Regel folgt unmittelbar aus (7.81) und
(s. Abschn. 7.1.5, (7.37». Die 2. Guldinsche Regel ergibt sich aus (7.82) und
±I
b
I/ s =
!(X)/I
+ f'(x)2ctx
" (s. Abschn. 7.1.5, (7.40». Übung 7.24: Es sei K ein Kegelstumpf. erl.eugt von f<x) = 1 + 1/2.0::: x ::: I. Berechne
jjjrer2
drd)'dz.
milr=~.
K
Hinweis: Benutze (7.83).
Übung 7.25: Berechne den FHkheninhalt eines Parabolspiegels (Fahrradlampe). der als Manteltläche eines Rotationskörpers mit der Erzeugenden fex) = 6ft..( E 10.81. aufgefaßt werden kann.
Übung 7.26"': Berechne den Ralllllinlwll und Obeljfächellil/hall eil/es Toms, der durch Rotation einer Kreisscheibe um die x-Achse eo:eugt wird, wie es die Fig. 7.37 zeigt. (Hinweis: Benutze die Guldinschen Regeln.)
7.2.6
Anwendungen: Schwerpunkte, Trägheitsmomente
Schwerpunkte: Den Schwerpunkt s E IR3 eines realen Körpers errechnet man aus s=
~
III H
rp(r)dV.
(7.84)
7,2 Allgemeinfall: Integration bei mehreren Variablen
569
,
Fig. 7.37: Zum Volumen und Obcrnüeheninhah des Torus Dabei ist m die Masse des Körpers, B C 1R 3 der räumliche Bereich, den er einnimmt, und p(r) die Massendichte des Körpers an der Stelle r E 8. p sei als integrierbar vorausgesetzt. Die Motivation der Formel verläuft völlig entsprechend wie die Überlegungen in Abschn. 7.1.5. Das Integral (7.84) wird komponentenweise ausgewenet. Es beschreibt also eigentlich drei Bereichsi ntegr.\le: Xo = ,:,
/1/
xp(r)dV_
ß
mil s =
)"0
=
~
I/I
yp(r)dV,
8
Zo =
~
/1/
zp(r)dV, (7.85)
ß
Ixo, )"0- zolT Für die Masse 11I gilt dabei
Ist die Dichte p(r) = Po konstant und V das Volumen des Körpers, so folgt mit VAl = m die einfachere Formel (7.86)
Beispiel 7,20: Eine quadratische Pyramide mit der Grundseitenlänge a und der Höhe h sei so in ein räumliches Koordinatensyslcm eingebettet, wie es die Fig. 7.38 zeigt. Wir nehmen konstante Dichte an. Der Bereich B, den die Pyramide ausflillt, bestcht aus allen Punkten Ix. y. Z]T mit O~x~h_
ax
ax
-2"~Z~2h'
570
7 Inlegraln:chnung mehrerer reeller Variabler
,
Fig, 7.38: Schwerpunkt einer Pyramide
Sein Volumen ist bekanntlich V = a 2h/3. Damit gilt fLir die x~Komponente des Schwerpunktes
dx = 33 "
f"
x 3 dr :::::
o
~h . 4
Da aus Symmetriegründen y = z = 0 für die anderen Koordinaten des Schwerpunktes gilt, folgt
s ::::: 3
4"h
[~h .0.0]T. D.h.: Der Schwerpunkt der Pyramide liegt auf der Mittelachse in der Entfernung
von der Pyramidenspitze.
Trägheitsmomente: Das Trägheitsmoment eines Massenpunktes bezüglich einer Achse 20 Lm Raum ist J = IIIr 2 . Dabei ist 111 die Masse des Massenpunktes und r sein Abstand von der Ach~ sc. Bei einem reaten (ausgedehnten) Körper geht man so vor, daß man ihn in kleine Teilkörper zerlegt denkt und jeden Teilkörper als Massenpunkt auffaßt. Die Summe der Trtigheitsmomente dieser Massenpunkte bezüglich einer Achse ist dann näherungsweise das Triigheitsmoment des Körpers. Durch verfeinerte Zerlegungen kommt man durch Grenzübergang wieder zu einem Integral. Dieses liefert das Trägheitsmoment des Körpers. Rechnerisch sieht dies so aus: Bezeichnet man mi t .1 111 i (i ::::: I, ... , 11) die Massen der Teilkörper und mit ri die zugehörigen Abstände von der Bezugsachse, so gilt fLir das Trägheitsmoment J des Körpers bezüglich der Achse:
'" r?.1/11i J:::: 0 ein 0 > 0 (0 < 0') mit
falls It - tol < 8.
l!t(x. Tx) - fr(x, /0)1 < E.',
(Denn dann ist auch IT x -
I
I(x.I)-I(x.,O) 1 - 10
101 < 0)
,(.
GI. (7,97) liefert daher
-jl.\,to
)1
<E.',
falls It -
101
I und Xt < x2. wobei Xt ..t2 nlliollal sind. Damit gilt ".Q /a xi = a X2 - XI > I (nach Abschn. 1.1.6. Folg. 1.9 und Übung 1.8b). Damit gilt (l X 2 > (lXI. Sind Zt. Z2 reell. alsoevtl. irrational. und gilt Z I > Z2, so gibt es rationale XI . X2 mit Z I < Xl < X2 < Z2. Nähert man Z I und Z2 durch rationale Zahlen beliebig genau an. so folgt durch Grenzübergang jedenfalls
also (/::1 < (/::2. was zu zeigen war. (Im Falle 0 < a < I betrachte man zunächst I/a x und schließe analog.) ..
Zu Ubung 2.28: (a) Mit
(I"
= 11/2" folgen man
(/11
= 2(11
11
I) ",,-I ~ 0,15(/n_1 flir 11 ~ 3. Das liefen
(induktiv) rur 11 ~ 3: (/" ~ (0.15)"-2(12 --l> 0 (flir 11 _ (0). (b) folgt wegen x/ e X < x/2 x (x > 0). (c) folgt mit)' = eX aus (b). (d). (e) klar! Zu Übullg 2.34: Benutze Def. 2.16. Zu Übung 2.36: Fasse die cos-Ausdrücke als Realteile komplexer Funktionen von I auf. wie in (2.149). Errechne damit A und I{I analog zum vorangehenden Tex!.
Zu Kapitel 3 Zu Übullg 3.1: Geschwindigkeit = c. Zu Übung 3.7: Beschleunigung
= g bzw. = 0,
Zu Übung 3.8: Es sei (x,,) eine Folge aus I mit XII --l> xo für 11 --l> 00. Man bildet il'l := (fer,,)I(xo»/(x" - xo). Gibt es nur endlich viele _r" .::: xo (bzw. XII > xo). so strebt il" offenbar gegen I'(xo+) (bzw. I'(xo-)). Gibl es sowohl unendlich viele XII .::: Xo wie auch unendlich viele .r" > xo. so fomlieren diese zwei Teilfolgen von (il,,). deren eine gegen I' (.to-) und deren andere gegen I' (xo+) mebt. Wegen I' (XO-) = I' (.rO+) strebt damit (il,,) auch gegen diesen gemeinsamen Wert. der somit J' (.rO) genannt werden darf. Zu Übung 3.13: Implizites Differenzieren liefert 2)')" - 2r = O. also )')" = .r. Für )" = I folgt)' = .r. Dies beschreibt die Winkelhalbierende der positiven Koordinatenachsen: usw. Zu Übung 3.16: Für beliebige Xl. x2 E I mit XI < x2 gilt nach dem Mittelwertsatz (Satz 3.5): I(X2) l(xl) = I'(~)(.rl - X2) mit einern ~ E (XI. xz). 1m Falle (a) ist die rechte Seite = O. im Falle (b) ist sie stets ~ 0 (bzw. > 0, ~ 0, < 0). Daruus folgen die Behauptungen. Zu Übung 3.21: Benutze Salz 3.14. I
Zu Übung 3.29: Verwende In - = -In (I.
"
Zu Übung 3.37: Uisungen.TJ ='= 0.80106931. X2 ='= 1.24143200. Zu Übung 3.38: Wende das Newtonverfahren uuf I(x) = .r 3 - a uno Zu Übung 3.40: Volumen V = x(50 - 2r)(80 - 2x). Suche das Maximum dieser Funktion von.e und zwar im Intervall [0. 50/21.
585
Zu Kapitel 4 Zu Übung 4.3: Es sei e :> 0 beliebig (klein) und Zeine Zerlegung von [0. rr I. deren erstes Teilinlervall In. [;/4) is!, und mrdie folgendes gilt: Die durch Z erzeugtcZerlegung Z' von [E/4. Jr ) sei so. daß Sj(Z')s/{2') < EI2 ist. (Das ISI erreichbar. da / auf [6/4, Jr ) stetig. also auch intcgricrbar ist) Für die Zerlcgung Z von 10. rr] ist aber sicherlich MI =
max !(x) = I.
IO.~/4J
,
1/'1 =
'('
min f(x) = -I.
[0.':/4)
also
' )="2+ ' Sj (Z)-Sj(Z) 0 beliebig (klein) ist. folgt
i~f S feZ)
Z
= sup~1(Z). d.h. fist intcgrierbar auf [0. 1r). Z
Zu Übung 4.14: (a). (e), Cd) existieren. (h) nicht.
,
Zu Übung 4.15: f(x)::
J
f
00
fCx)dr::
.,-1
f(x)dr -., 0
ruf.{ -.,
00.
x-I
f ~. f!.1 F-: I
Zu Übung 4.16: (b) konvergien. da
konvergieren.
0+ Mit dem Grenzwertkriterium (Salz 4.15) erkennt man: (a) konvergiert. da filJsin.r ~ I fUrx ~ 0+, (b) konvergicrt nicht. da
(~1)' 1
(coSh{f) - 1) -+ 2 fUr x -+
00/.
(c) konvergicrt nicht. da ei/x I(COSh{f)-I) -+ 2fUrx -+ 0+.
f I
(d) konvergiert. da (In x 1fi)lx-· 3/ 4 = x t / 4 lnx -+ 0 fur x -+ 0+. und da
x- 3/ 4 dx konvcrgiert.
0+ Zu Übung 4.17: Benutze Satz 4.15. Zu Übung 4,18: Benutze Satz 4.16.
Zu KapitelS Zu Übung 5.1: (a), (b) konvergieren g1cichmaßig, (c). (d) nicht. «c), (d) konvergieren aber punklweisc!) Zu Übung 5.6: Für jede Partialsumme s,,(.r) dcr rechten Seile gilt offenbar s,,(x) < arcsinx < arcsin I. falls lxi< I. Also folgt s,,(I) = lim I II (.r) :: aresin 1 fUr alle 11 E N. Die Folge s,,(1) ist also be.t-ol-
schränkt und 1110noton. folglich konvergcnt. ElltspTt.'Chclldcs gill fUr s,,(-I). Mil dCI11 Abelschcn Grcllzwertsat;o; (Satz 5.15) folgt damit die in der Aufgabe behauptete ReihendarsteIlung.
A Uisungen zu den Übungen
586
Zu Kapitel 6 Zu Übung 6.3: lim
k_oo
flk = [0']· k_oo lim bk=['/,']. lim q= k_oo
Zu Übung 6.4: A und C abgeschlossen. B olTen. D nichts dergleichen. Zu Übung 6.7: (B- 1A-1)AB = B- 1(A- I A)B = B- 1 EB = B- 18 = E => (8- 1A- 1) = (AB)-J. Zu Übung 6.13: Zur Beantwortung betrachte die Geraden im 1R.2. die durch die Gleichungen XI = O. .t2 = 0 bzw. xl = x2 gegeben sind. Untersuche lim j(x) auf jeder dieser Geraden! >-0 Zu Übung 6.20: (a) Man orientiere sich an Beispiel 6.17. aj aj ]. öj f (b) !,(x) = [ ::;-(x). - ( x ) = [e XI slllx2. e"'1 cos.Q] => - = f (O.O)a = (0. "XI iJx2 iJa
Zu Kapitel 7 Zu Übung 7.6:
f/<e.r+sinY)dXdY= f2['->/4 f (e·t+siny)dy] dt 8
0
",/4
,
2
f[le",y-cosYI1~/;t4dx= f[e"'-~e.r-cos(I-~)+COS~]dX
=
o
0
x]'
X x J = [ e -2"Ct-l)e +4Sin.t ( 1-4"' ) +4sin4" 0
I
2
.
1
.
3
=-e +8sm--4~ml--. 222 Zu Übung 7.26: Torus: Volumen V L· 2rrR = 2nr· 2rrR = 4rHrr 2.
= FA· 2nR = r 2n . 21TR
= 2r 2 R1T 2. Obcr1l:kheninhalt F =
Zu Übung 7.27: Benutze Formel (7.88) mit j(x) = R + Jr 2 _x 2 und g(x) berechne:
r -
J,.2
,
Jx =
IPO /
-,
[f4(x) - g4(x)]dx.
Es ergibt sich
Mit der Masse m = POV =
PO .2n 2 Rr 2 erhält man das T,.iigheitslllomelll des Torus in der Form
_x
2. d.h.
Z" Üb"". =
7.2' J, =
1/ICh")d'd)'d'
I 2 30 [gcm ].
=
587
![t[ 'rh "ld'] d),] d,
.
Zu Ubung 7.29: R Radius der Halbkugel. Der Schwerpunkt liegt auf der Symmclricachse,
UlIl
'38 R
vorn
Kugelrniuclpunkl entfernt. in der Halbkugel. Zu Übung 7.31: 1+/ 2
F'(tj =
I
J sin(xr) sin«l +/2)1) sinr 2 - - - dx+2r - i .-{Jr
x
~
cQs(.n)
I
+ (2
t
=> F
I
1+31 2
3
2
2
(1)= --,-sin(l+f )--sint . t t t
+
Symbole Einige Zeichen, die öfters verwendet werden. sind hier zusammengestellt. A
=>
ß
A .::> 8 .t :=
auS A folgl 8 A gill gcnau dann. wenn B gilt x ist dclinitionsgcm;m gleich
€ M .T f. M
.• ist Element der Menge At. kur1-: .• ist niehl Element der Menge At
Menge der
Menge der ganzen Zahlen Menge der mtionalcn Zahlen Menge der reellen Zahlen
Q
Zur I\lengcnschreibwcisc S. Absdm. 1.1.4 .t
N Z
~x
allS
M~
lx]. x2 . .... x,,) Menge der Elcmeme XI. X2 . .. ". XII Ix I x hai die Eigenschaft EI Menge aller Elemente.< mit Eigenschaft E Ix E N I x hai die Eigcll>ehaft EI Menge aller Elemente x E N mit Eigenschaft E M C N. N :J M Mist Teilmenge von N (d.h. x E M =>
R R+
Vcrcinigungslllcngc von Mund N Schnillrncngc von Mund N Rcslmcngc von A in M leere Menge canesisches Produkt t
1.1.7
,~
1.1.7
(;) f :
1.1.7
A ....,. B 1.3.2. 1.3.5 /-I,fog 1.3.4
(che Funktion. 139 - in expliziter D,trslellullg. 143 ~lgebr.ti'Che Gleichung w I. 139 ~lIgemeille
- Expone11lialfunktion. 228 - Potenzfunktion. 228 - Pyramide, 563 - Zcrlegung, 531 alternierende Reihe, 81 Amplitude, 165 Anfangsnähen.lllg, 258 Anzahl. I Approximatiollssatz - Weiersmlß'scher. 388 - Weicrsw.tß'scher rur (algebraische) Polynome. 388 - Weiersmlß'schcr Hir periodische Funktionen. 393 Approximationslhcorie, 388 Archimedisches Axiom. 10 Areu'. 162 Arcu_'Cosinus. 152. 161 Arcu>COlangens, 161 Arcussinus. 161 Arcustangens, 161 Arcafunktionen, 180 Argumenl,44 Argumenl einer komplexen Zahl. 193 arilhmeli$Ches Minel, 254 ASS01.iativgesclz - der Addition komplexer Zahlen, 186 - der Addition reeller Zahlen, 5 - der Multiplikation komplexer Zahlen. 186
K. Burg et al., Höhere Mathematik für Ingenieure, DOI 10.1007/ 978-3-8348-9929-3, © Vieweg+Teubner Verlag I Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2011
596
$tichwQr1\'eraichnis
- dtr Multiplikation redkT Zahlen. 5 Astroidc. 220 ASymplOI:e. 138 - der Hyperbel. 144 - einer l1Iuionalen Funktion. 267 uialcs Aächmmommt. 537
•
B:u.:tcrienl.:uhur - Wachstum einer. 279 Balken - Biegefesligkeit eines. 285 Banachschcr Fixpunklsat7.. 72 b;lromelrischc Höhenfonnel. 281 Bausparkassc. 19 bedingt konn:rgente Reihe. 84 Berechnung - der Nullsldlen eines Polynoms. 197 - der Null,lellen \'on Polynomen. 259 - des Aächeninhalls l'inl'r eben..n PunklIlIenge. 524 - einer Dclenninante. 560 - eIncs Interpolalioospolyooms. 396 - I'one, 241 - \'On ./ä. 22 - \'Ol1 Integralen über Stammfunl.:tionen. 305 -\"Ql1ln(1.244 - \"Ql1 LogarilhlTl('n mit der Taylorrcihc. 244 - \"Ql1 J'f. 249 - \'011 PoIynom\\'cnen. 128 - \"Ql1 Quadr:uwundn. 260 - \"Ql1 Wcchsdspannungen. 361 - \'011 Wechsdströmen. 361 lkmoullische - Ungleichung. 21 - Zahlen. 249 Bcmstein-PolyOOITl('.390 Beschleunigung. 210 - Darstellung :tls Vektor. 449 - eines Masscnpunl.:tes. 274 beschrankle - Folge, 66 - Funktion. 100 - Menge. 454 beschrlinktl's Inlervall. 13 Belmg - der Aiehkmfl, 275 - einer komplexen Zahl. 187 Bl'wl'gung - einer Kugel in einer zähen Aüssig!«'i!. 201 - eines :tufwäns ge"..orfellCl1 Körpers. 121. 124.275 -eines Fcdcrpcndels. 157 - eines Masscnpunl.:tes. 116.201.210 - eillC:'! MasscnpunklCS auf einer Kreisbahn. 274 -eines MßSCnpunktes im Rl. 273 - eillC:'! Punktcs auf einer Ellipsenbahn. 144 -eillC:'!Radc:s.157
- eillC:'! Steines. 201 -eiIlC:'!Zugcs.1l8 ßcwq;ungsglc:iclwng. 121 Ba..cis - durch 1'OIIst.5ndigc Induktion. 18 - konsuul.:ti\'u. 9J BelUg~.360
Biq;efestigkcit - eines Balkens. 285 Bicgemomcnl. 580 Biegung - eines Balkens. 579 bijcklivc Funklion. 52 Bildpunkl. 44, 55 Binom. 29 Binomialkoeffizient, 26 binomische - DiITercmialionsrcgel. 213 - Fonnel. 26. 27. 244. 389 - Reihe. 244, 245 Blindwiderstand, 361 Bogenlänge. 147 Bogenmaß, 152 Boyle·MariOlleschc's Gesctz. 136. 281 Brcnnschlußgcschwindigteit - einer Rakete. 281 Bruch. I
C cartesisc~
- Blatt. 220 - Produkt. 16 Cauchy·Bcdingung.70 - für uncigemlichc Integrale. 340 Caudly-Krilcrium ffir Reihen. 81 Cauchyschc Restglicdformel. 239 COIuchyschcr Haupl\\'ert. 345 COluchysc~ ~ KOI1\'crgen~.krilcrium.
-
Kon\·erg.::n~.krilcrium
-
Kon\'ergcn~.kritcrium
68 fUr gleichmäßig.:: Konwrgen1..
372
für uncigemliche Imegmlc. 340 Ciwalierischcs Prinlip, 563 chemische Reaklion. 280 Cosinus, 154 Cosinushypcrbolicus. 181. 182 COIangens.158 COIangens hyperbolieus. 181
D d' Alcmbcnsches Prin6p. 507 DämpfungsfakllW, 273 DetinilionsbeTcich. 44. 5S De\'ialionsmomcnt.537 Dezimalbruch. I
Stichwortverlcichnis
- abbrechender. 2 ~ Periode des. 2 Dezimalzahl. I Diagramm. 46 DilTeremi