Handbook - RDM, Mecanique Des Fluides, Thermodynamique

P. Agati · N. Mattera

DEUG TI • IUT • STS

Mécanique appliquée Résistance des matériaux Mécanique des fluides Thermodynamique

DUNOD

CHEZ LE MÊME ÉDITEUR Mécanique

Mécanique du solide, P. Agali, Y. BrémontetG. Delville. Liaisons et mécanismes, P. Agati et M. Rosseto. Technologie

Construction mécanique. Transmission de puissance. 1. Principes, F. Esnault Construction mécanique. Transmission de puissance. 2. Applications micaniques. F. Esnault. Construction mécanique. 3. Transmission de puissance par liensflexibles, F. Esnault. Éledronique

TMorie du signal et composants, F. Manneville et J. Esquieu. Systèmes bouclés linéaires de communication et defi/trage, F. Manneville etJ. Esquieu Informatique

Transmissions et réseaux, S. Lohier et D. Présent.

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© DUNOD. PariS. 1996

ISBN 2 10 003217 8 iD Bordas, Paris, 199Opout la Ire édition Toute l'lIpl'6Hntation ou reproduction intégrale ou p8l'\II!Ille tale .ana le OOI\&eI'Itement .... l'auteur ou de ses ayants droit ou ayarm, CIllllle iI!IlII iIiac. ..Ion le Code de la pn:JprijWJ intellectuelle (Art L 122-4) et conatit:1lfl Ul'lll contreftl9O" par 1& Code p6na1.• Seules sont autori.... (Art l 122-5) lM c:q:lieI ou repmdUdion strictement r'servfMle .. l'uNge priv6 du copiste et non deet:inée& • une utihation coIlectiYe, ainsi que 1. analy... et court. citations justifiées par 1& Clll'al:Üre critique, P'dagogique ou d'informalion de l'œuvre à e11. aonl inOC)l'))Ofiel., ,oua réeenIe, tcuteIoêl, du reepect dM dispositionl des article& l 122·10 à L 122·12 du Code, relalNe. .. la reproduclioft par reprOfilRll)hie.

.mée

a.qu.""

marne

A la suite du cours de Mécanique du solide de P. Agati, Y. Brémont et G. Delville, il était normal de réunir dans un même ouvrage l'ensemble de la Mécanique appliquée, nécessaire aussi bien aux étudiants de BTS que ceux d'IUT. • La première partie de ce livre concerne la Résistance des Matériaux. Les connaissances acquises en terminale y sont approfondies et complétées, notamment par des notions d'élasticité plane. Le chapitre 10 concerne la mise en œuvre de logiciels de Résistance des Matériaux et leur utilisation à travers trois exemples simples. • La deuxième partie concerne la mécanique des fluides et la thermodynamique appliquées. Les automatismes hydrauliques ou pneumatiques sont suffisamment utilisés industriellement pour qu'un technicien, quelle que soit sa spécialité en ait quelques notions. Nous avons cherché à éviter les développements mathématiques trop abondants et pas toujours correctement maîtrisés à ce niveau. Nous avons par contre insisté très largement sur les applications industrielles: Dimensionnement et commande des vérins; fonctionnement des compresseurs, etc. • De nombreux exercices, tous avec réponse permettront aux étudiants de tester l'avancement de leurs connaissances. • Nous serons très honorés de recevoir les critiques et les suggestions, aussi bien de nos collègues que des étudiants qui auront utilisé cet ouvrage.

PREMIÈRE PARTIE

MODÉLISATION, RÉSISTANCE J)ES MATÉRIAUX, NOTIONS D'ÉLASTICITÉ Chapitre 1. Modélisation des liaisons et des actions mécaniques de liaison Chapitre 2. Axes principaux d'une section Chapitre 3. Notion de contrainte. Loi de Hooke Chapitre 4. Extension compression Chapitre 5. Cisaillement simple Chapitre 6. Torsion simple Chapitre 7. Flexion plane simple Chapitre 8. Sollicitations composées Chapitre 9. Le flambage Chapitre 10. Utilisation de logiciels en résistance des matériaux. DEUXIÈME PARTIE

HYDRAULIQUE ET THERMODYNAMIQUE APPLIQUÉES Chapitre 1. Mécanique des fluides, rappels d'hydrostatiques, écoulement des fluides réels Chapitre 2. Notion de quantité de chaleur. Principe de l'éqùivalence Chapitre 3. Transformations thermodynamiques. Principe de Carnot. Applications

,

MODELISATION RÉSISTANCE DES MATÉRIAUX NOTIONS D'ÉLASTICITÉ

modélisation des liaisons et des actions mécaniques de 1iaison Une liaison mécanique entre deux pièces (ou deux groupes de pièces) est un ensemble de dispositions constructives permettant à ces deux pièces d'avoir -l'une par rapport à l'autre, certaines libertés de mouvement et de permettre la transmission de certains efforts. Nous savons que pour réaliser une liaison, au sens cinématique, il est en général nécessaire d'associer un certain nombre de liaisons mécaniques élémentaires. Nous savons également, nous l'avons vu en technologie, que pour réaliser une liaison, plusieurs solutions, c'est-à-dire plusieurs systèmes de liaisons mécaniques élémentaires sont possibles.

1.2.

1.1. REMARQUE PRÉLIMINAIRE La poutre dont on étudie la résistance ou la déformation est en contact avec le milieu extérieur. Ce contact peut se réaliser de différentes façons; exempie: soudure, roulement à billes, emmanchement forcé, clavetage etc... Il convient d'analyser correctement chaque contact en vue d'en donner un modèle qui, tout en étant simple, ne s'éloigne pas trop de la réalité. Notons qu'en résistance des matériaux, le calcul des contraintes et des déformations n'a de sens que si on place la coupure fictive assez loin des forces concentrées. Notons également qu'en résistance des matériaux, le principe de calcul des déformations exclut la possibilité de modéliser une action mécanique répartie par les éléments de réduction d'un torseur. Suivant le but poursuivi, il est donc évident que la modélisation des actions mécaniques de liaison prendra une forme différente et il faudra faire preuve de discernement avant d'entreprendre ce travail.

8

DIFFÉRENTS TYPES DE CONTACT

Dans ce paragraphe, les deux solides en contact sont supposés indéformables. La géométrie des contacts ne peut se décrire facilement qu'en utilisant un repère local associé au contact.

Pour chaque cas particulier, ce repère :R(A, X, y, z) sera défini très clairement. Notons que :R n'est lié à aucun des deux solides en présence. Le choix de :R va dépendre des caractéristiques géométriques du contact: - L'origine A de :R est le centre géométrique du contact. Quand les deux surfaces de contact ont un centre de symétrie, ce point sera le centre A du repère local associé. - La base locale associée est en général construite à partir d'un vecteur unitaire x qui constitue le vecteur sera toucaractéristique du contact de la liaison. jours porté par la normale au plan tangent commun ou par l'axe de symétrie de la liaison. - Notons que la base $(x, y, z) sera toujours orthonormée directe. - Si une seconde direction privilégiée existe, normale à elle sera repérée par y.

x

x,

Modélisation des liaisons et des actions mécaniques de liaison

1.2.1.

L'arc de cercle de contact appartient au plan

Contact ponctuel

(A, ji,

Deux solides 1 et 2 sont en contact au point A s'ils sont indéfonnables et si en A, et quel que soit le plan de coupe passant par A, ils ont un rayon de courbure différent. Soit P (A, ji, z) le plan tangent commun en A et (A, x) la noimale en A à ce plan P (fig. 1.1). Notons qu'au contact en x 2 A, l'effort de contact de 1 sur 2 noté A(1 -+ 2) s'exerce au seul nécessairement point A. Un tel contact est .- une vision purement théorique puisque cet effort provoquerait une pression de contact théoriquement infinie et donc un écrasement local autour du point A, Fig. 1.1. qui doit nécessairement conduire à considérer une surface de contact finie, même si celle-ci est très petite.

1.2.2.

Contact linéique

On se limitera à deux types de ligne de contact - contact linéique rectiligne (fig. 1.2) - contact linéique circulaire (fig. 1.3).

Contact linéique rectiligne

z).

Notons que l'effort de contact de 1 -+ 2 est dans les deux cas réparti sur la «ligne de contact». La modélisation ne peut se faire que si l'on connaît la densité linéique de force et la façon dont elle est répartie. Comme dans le cas du contact ponctuel, un contact linéique est une vision purement théorique puisqu'il engendrerait un écrasement local autour de la ligne de contact.

1.2.3. Contact surfacique Si nous supposons qu'autour du point A, il existe pour les solides 1 et 2 deux surfaces SI et S2 qui ont la même fonne géométrique et qui coïncident parfaitement, alors on peut dire que le contact 1-2 est surfacique (fig. 1.4). Pratiquement, ces surfaces de contact ont une fonne qui peut être générée par des outils: - surfaces planes; - surfaces cylindriques ou coniques de révolution; - surfaces sphériques; - surfaces hélicoïdales (filets). La définition du repère associé à ces contacts obéit à la règle énoncée au paragraphe 1.2. L'effort de contact de 1 -+ 2 est réparti sur la surface de contact (S) (fig. 1.4).

(/J) est la génératrice de contact A est le milieu de la ligne de contact. (A, x) est la nonnaie au plan tangent commun. (A, ji) est l'axe porté par la génératrice (.s).

z

Fig. 1.2.

Fig. 1.4.

Contact linéique circulaire On se limitera géométriquement au cas du contact d'une bille sphérique de centre 0 dans une gorge cylindrique droite de même rayon. L'arc de cercle de contact appartient au plan nonnai en 0 à l'axe de la gorge. A est confondu avec le centre 0 de la bille. (A, x) est porté par l'axe de la gorge cylindrique.

z

Au point P E S, notons d](1 -+ 2) l'effort élémentaire de contact qui s'exerce sur la surface élémentaire ds qui entoure P :

.s~(1-+ 2)

=

d](1-+ 2)

ds

est la densité surfacique de force au point P lorsque ds -+ o. S'il est possible d; connaître dans :R(A, ji, z) les composaRtes de .s (1 -+ 2) en tout point P E S, alors la modélisation de l'action mécanique de contact est possible. Notons qu'en général, un cas de contact surfacique ne peut se modéliser que si 11 8(1 -+ 2) Il = Cte ou répartie linéairement et si la surface de contact (S) présente des axes ou des plans de symétrie.

x,

2

y

Fig. 1.3.

9

Modélisation, résistance des matériaux, notions d'élasticité Nota: Quant le nombre de degrés de liberté est égal à zéro, les deux pièces sont en liaison complète; on dit: liaison d'encastrement. Quand le nombre de degrés de liberté est égal à six, les deux pièces n'ont aucune liaison; on dit: liaison libre (ce cas ne sera pas étudié).

2.1.

DÉFINITION D'UNE LIAISON PARFAITE

Une liaison parfaite est une liaison telle que: - les possibilités de mouvement relatif sont obtenues à partir de surfaces de contact, géométriquement parfaites, qui ont entre elles un jeu de fonctionnement supposé nul, - le contact de ces surfaces est supposé sans adhérence. Une liaison parfaite est donc une liaison théorique, tant du point de vue géométrique que du point de vue de la nature pbysique du contact.

2.2.

NOTION DE DEGRÉS DE LIBERTÉ

Considérons deux pièces 1 et 2 liées, sans que soit précisée la nature de cette liaison. Soit :R(A, X, y, z) le repère local associé à cette liaison (voir paragraphe 1.2). Nous pouvons dans :R définir les possibilités de mouvement relatif de 1/2 (ou de 2/1) de la façon suivante (fig. 1.5).

2.3.

PARAMÉTRAGE DES LIAISONS

Si l'on veut analyser plus finement les mouvements, ou les possibilités de mouvement, de l'une des pièces constituant la liaison par rapport à l'autre, il faut pouvoir repérer la position de cette pièce par rapport au repère local associé :R. Si 1 est la pièce dont on se préoccupe, on associe à 1 un repère :RI(B, XI' YI' zl) et l'on définit la position relative de :RI par rapport à :R. :RI est défini par son origine B et par sa base (xI' YI' zl)' Dans le cas général, on montre que la position relative de :RI par rapport à :R dépend de six paramètres qui sont - les trois coordonnées dans :R de l'origine B, - les trois angles appelés «angles d'Euler» qui permettent d'orienter la base de :RI par rapport à la base de :R. Les liaisons que nous allons étudier sont des liaisons dites simples, pour lesquelles beaucoup de ces paramètres de configuration sont nuls. Nous traiterons donc ce problème uniquement sur les cas particuliers.

z

Rz Tz

t

:fA -

Ty Y

Ry x

Rx Fig. 1.5.

• T x définit une liberté de mouvement de translation d'axe (A, x) de 1/2 et réciproquement de 2/1. • R x définit une liberté de mouvement de rotation d'axe (A, x) de 1/2 et réciproquement de 2/1. • De la même façon on définit: Ty , Tz' Ry , R z•

Définition Le nombre de degrés de liberté d'une liaison est le . nombre des mouvements relatifs indépendants que la liaison autorise entre les deux pièces considérées.

I

Ce nombre est au plus égal à six.

10

Il Ya Il liaisons usuelles entre solides (cette liste n'est évidemment pas limitative). La définition de celles-ci a fait l'objet de normes: NF E04-015 et ISO 3952. Pour chaque modèle de liaison qui est une référence théorique, nous donnerons: - la définition; - la forme des surfaces de liaison; - le paramétrage; - la schématisation; - le torseur d'action mécanique de liaison; - les cas particuliers de symétrie.

3.1.

LIAISON ENCASTREMENT

Définition Considérons un repère st associé à la liaison des solides 1 et 2. On appelle liaison encastrement 1-2 .• toute liaison dont les degrés de liberté dans st sont nuls.

1

Modélisation des liaisons et des actions mécaniques de liaison

Forme des surfaces de liaison

Le torseur d'action mécanique de liaison en A comporte donc six inconnues algébriques dans :R. Notons que la connaissance de ces six inconnues ne nous renseig~ne en rien sur la répartition de la densité surfacique .5(1 -+ 2). La forme particulière de ce torseur est conservée en tout point de l'espace.

Les surfaces de liaison sont quelconques. y 1

Cas particulier

x,

Si le plan (A, Ji), par exemple, est plan de symétrie aussi bien pour les surfaces de liaison que pour le sy~me des forces extérieures appliquées à 2, alors les d/(l -+ 2) sont réparties symétriquement par rapport à ce plan et:

~

df(1-->2)

Fig. 1.6.

1(1 -+ 2) est parallèle à ce plan (A, X, Y)

Paramétrage

MA (I-+2)estportépar

Le repère local associé :R(A, X, Ji, z) n'a pas de position particulière, toutefois, quand il y a (et c'est le cas le plus souvent) une section plane de liaison (S), on choisit A au centre de cette surface et (A, x) perpendiculaire à (S).

Schématisation normalisée

x,

Alors, dans le repère local :R(A, Ji, z) on obtient pour les composantes du torseur d'action mécanique de liaison: {1J(I -+ 2)}

= A

• Plane (fig. 1.7 a) . • Perspective (fig. 1.7 b).

(A, i).

X(I-+2) Y(1 -+ 2) 0

j

0 0

) .

N(I-+2) (x,y,n

La forme particulière de ce torseur n'est conservée que pour tout point E (A, Ji).

x,

/

f

(a)

* S'il n'y a pas d'ambiguité

3.2. LIAISON PIVOT

(b)

Définition Fig. 1.7.

Considérons un repère :Il associé à la liaison des solides 1 et 2. On appelle liaison pivot 1-2 toute liaison dont le degré de liberté dans :Il est:

Torseur d'action mécanique de liaison

Rx

(fig. 1.8).

L'ensemble des dj(l -+ 2), voir figure 1.6, est quelconque. Les densités surfaciques

ne sont, en général, pas connues. On peut exprimer en A les éléments de réduction du torseur d'action mécanique de liaison:

z

x A

y

Fig. 1.8.

Dans :R(A,

x, Ji, z) on peut écrire:

{1J(I -+ 2)}

= A

X(I-+2) Y(I -+ 2) 2(1-+2)

j

Exemple de surfaces de liaison directe

L(I-+2)]

M(I -+ 2) N(I-+2)

. (x,y,;)

Soient deux surfaces de révolution, non cylindriques en contact. Le repère local :R(A, Ji, z) associé à

,

x,

11

Modélisation, résistance des matériaux, notions d'élasticité cette liaison 1-2 est tel que (A, x) soit confondu avec l'axe de révolution de ces surfaces (fig. 1.9).

Cas particulier Si le plan (A, y, z), voir figure 1.9, est plan de symétrie aussi bien pour les surfaces de liaison que pour le système des forces extérieures appliquées à 2, alors les -+ 2) sont réparties symétriquement par rapport à ce plan et :

ëij(l

A(1

x

-+

2)..l X

MA (I-+ 2) = Ô Fig. 1.9.

Paramétrage

x,

Alors, dans le repère local :R(A, y, Z) on obtient pour les composantes du torseur d'action mécanique de liaison-:

z

supposons que :R soit lié à 1; définissons:R 2 lié à 2 tel que son origine soit confondue avec A et que 2 = (fig. 1.10). L'angle orienté a = (y, Y2) permet de définir la position de :R2 /:R et donc de 211.

z2

{1l(1

-+

2)}

l~(l

=

2) Z(1-+2)

A

x x

-+

0)

o

o

. (x,y, z)

La forme particulière de ce torseur n'est conservée qu'au point A. A

@

y

x

Fig. 1.10.

Schématisation normalisée

3.3.

LIAISON GLISSIÈRE

Définition

• Plane (fig. 1.11 a). • Perspective (fig. 1.11 b).

Considérons un repère ~ associé à la liaison des solides 1 et 2. On appelle liaison glissère 1-2 toute 'liaison dont le degré de liberté dans st est: Tx (fig. 1.12).

(a)

z (b)

Fig. 1.11.

Les ëij(1 -+ 2) sont sécantes avec l'axe (A, x) où voir figure 1.9,' leur moment par rapport à, (A, x) est donc nul. Par conséquent, la résultante  (1 -+ 2) est quelconque et le moment résultant en A, MA (1 -+ 2) est perpendiculaire à

1/ à

x,

x

y

A

Torseur d'action mécanique de liaison

Fig. 1.12.

x

Exemple de surfaces de liaison directe 1

Soient deux surfaces cylindriques, non de révolution, en contact. (Surfaces engendrées par une droite

z

Dans :R(A,

x, y, Z) on peut écrire: 2) Y(1 -+ 2) Z(I-+2)

X(1

{1l(1

-+

2)} = A

1

-+

0 ) M(1 -+ 2) . N(1-+2) (x,y,n

Le torseur d'action mécanique de liaison en A comporte donc 5 inconnues algébriques dans :R. La forme particulière de ce torseur est conservée en tout point de (A, x).

12

y

Fig. 1.13.

Modélisation des liaisons et des actions mécaniques de liaison génératrice qui s'appuie sur une courbe quelconque (fig. 1.J3). L'axe (A, x) de .'R est parallèle aux génératrices.

Paramétrage

x,

Le repère local associé .'R (A, y, i) est tel que (A, x) soit parallèle à une génératrice de la surface cylindrique. Supposons que .'R soit lié à 1, définissons :Jt2 d'origine B lié à 2 tel que BE (A, x) et que X2 = x, Y2 = Y et z2 = z (fig. 1.12). L'abscisse XB de l'origine B de .'R 2 pennet de définir la position de .'R 2/.'R et donc de 2/1. z

Le torseur d'action mécanique de liaison en A comporte donc cinq inconnues algébriques dans .'R. La fonne particulière de ce torseur est conservée pour tout point de l'espace,

Cas particulier Si le plan (A, x, z), voir figure 1.13, est plan de symétrie aussi bien pour les surfaces de liaison que pour le sY$ème des forces extérieures appliquées à 2, alors les d/(l ...... 2), qui sont déjà perpendiculaires à X, sont réparties symétriquement par rapport à ce plan et:

A(l

2) est parallèle à (A, z)

MA (l

y)

Dans le repère local .'R(A, x, y, z) on obtient pour les composantes du torseur d'action mécanique de liaison:

y

A

2) est porté par (A,

{bel ...... 2)}

= A

X,! Z, -->

·Z

AJ-

--L

.Z

Fig. 1.28.

y

Exemple de surfaces de liaison directe Soient deux surfaces planes en contact. Le repère local :R(A, X, y, z) associé à cette liaison 1-2 est tel que (A, x) soit perpendiculaire au plan de contact (7T) (fig. 1.29). x

--> Z

2 -->-->

Y,Y2

Fig. 1.26.

Schématisation normalisée Plane et perspective (fig. 1.27)

X

Z

Fig. 1.27.

Torseur d'action mécanique de liaison Soit 'b(1 --+ 2) le torseur associé à la liaison sphérique à doigt 1-2. Exprimons ses éléments de réduction en A, centre de la liaison: {'b(1--+2)}

= A

16

1~(l--+2)). M A (1 --+ 2)

Fig. 1.29.

Paramétrage Supposons que :R soit lié à 1 ; définissons :R 2 lié à 2 tel que son origine BE (A, y, z) et que X2 = X (fig. 1.30). Les coordonnées YB et zB de l'origine B dans :R ainsi que l'angle orienté a = (y, Y2) permettent de définir la position de :R 2/:R et donc de 2/1.

Modélisation des liaisons et des actions mécaniques de liaison forces extérieures appliquées cl 2 (voir fig. 1.29), alors les d] (1 -+ 2) sont réparties symétriquement par rapport à ce plan et le moment résultant en A: MA (l -+ 2) est porté par (A, Ji) et:

x

1 (l

A ~-----I---il~

z

-+ 2)/1 X

MA (l -+ 2) porté par (A, Ji) .

1

Dans le repère local :R(A, x, ji, z) on obtient pour les composantes du torseur d'action mécanique de liaison:

y

y

Fig. 1.30.

{~(l

-+ 2)} = A

Schématisation normalisée

X(l -+ 2) 0 0

j

0 ) M(l -+ 2) 0

. (x,y,ï)

Il existe un point J particulier du plan (TT) pour lequel MAI -+ 2) = O. La forme particulière de ce torseur est conservée pour tout point de (1, Z).

• Plane (fig. 1.31 a). • Perspective (fig. 1.31 b).

x,

(a)

3.8. LIAISON SPHÉRIQUE (OU ROTULE) (b)

Définition

Fig. 1.31.

Considérons un repère associé à la liaison des solides 1 et 2. On appelle liaison sphérique 1-2 toute liaison dont les degrés de liberté dans :Il sont: R~ R y et R z (fig. 1.32).

Torseur d'action mécanique de liaison En tout po.m.t P de la surface plane de liaison (voir fig. 1.29), df(I-+2) est parallèle à (A, x). Par conséquent, la résultante 1 (l -+ 2) est parallèle à (A, x) et le moment résultant en A : MA (1 -+ 2) est perpendiculaire à (A, x).

{~(l-+2)}= 1 (l

avec

{~(l

x, Ji, z)

-+ 2)} = A

y

(!(l-+2)j MA(l -+ 2)

Fig. 1.32.

-+ 2)/lx

MA(l

Dans :R(A,

A

z

-+ 2) 1.. (A, x)

Exemple de surfaces de liaison directe

on peut écrire: X(l-+2) 0 0 M(l -+ 2) (0 N(l-+2)

1

.

Soient deux surfaces sphériques de même centre o et de même rayon. L'origine A du repère local :R(A, x, ji, z) associé à la liaison est confondue avec le centre 0 de la sphère de contact (fig. 1.33).

(x,y,i)

Le torseur d'action mécanique de liaison en A comporte donc 3 inconnues algébriques dans :R. La forme particulière de ce torseur est conservée pour tout point de l'espace.

Cas particulier Si le plan (A, x, z) est plan de symétrie, aussi bien pour les surfaces de liaison que pour le système des

z

--7

df(1--+2)

@ x

y

Fig. 1.33.

17

Modélisation, résistance des matériaux, notions d'élasticité

Paramétrage Le paramétrage de cette liaison fait intervenir les trois paramètres indépendants, "', (), If! qui sont les angles d'Euler. Nous n'aurons pas à les utiliser dans le cadre de cet ouvrage.

Schématisation normalisée Plane et perspective (fig. 1.34).

1-2 toute liaison dont les degrés de liberté dans ~ sont R~ R" Tyet Tz (fig. 1.35). x

~

z

Fig. 1.34.

Torseur d'action mécanique de liaison En tout point P de la surface sphérique de liaison, (voir fig. 1.33), d](l -+ 2) passe par A. Par conséquent la résultante A(1 -+ 2) est quelconque et le moment résultant en A : MA (l -+ 2) est nul. {1'J(1 -+ 2)}

=

I~(l

-+ 2) ) A MA(l -+ 2)

MA (l-+2) = O.

avec Dans :R(A, i,

y, z)

{1'J(l -+ 2)}

on peut écrire:

= A

l

X(l -+ 2) Y(l -+ 2) Z(l-+ 2)

0)0

y

Fig. 1.35.

Exemple de surfaces de liaison directe Soient deux surfaces en contact suivant une droite (..::1) qui reste située dans un plan tangent commun (1T). Par exemple: contact théorique entre une surface cylindrique et une surface plane (fig. 1.36). L'origine A du repère :R est au milieu du segment de contact appartenant à (..::1). (A, x) est perpendiculaire à (1T). (A, y) est porté par (..::1). x

~

dt (1-+2)

.

0 (x,y,n

Le torseur d'action mécanique de liaison en A comporte donc 3 inconnues algébriques dans :R. La forme particulière de ce torseur n'est conservée qu'au point A.

z

Cas particulier Si le plan (A, i, y) est plan de symétrie, aussi bien pour les surfaces de liaison que pour le système des forces extérieures appliquées à 2, alors les d](l -+ 2) sont réparties symétriquement par rapport à ce plan et la résultante A(l -+ 2) est parallèle à (A, i, y). A(l-+2)..lz.

Dans le repère local :R(A, i, y, z) on obtient pour les composantes du torseur d'action mécanique de liaison: X(l -+ 2) . {1'J(l-+ 2)} = Y(l -+ 2) o o (x, y, E) A 0

I

Paramétrage Supposons que :R soit lié à 1 ; définissons :R2 lié à 2 tel que son origine BE (A, y, z). Une rotation d'angle orienté al = (y, Y2) autour de (B, i) permet de définir (B, Y2) E (1T). Une rotation d'angle orienté a2 = (z, z2) autour de (B, y) permet de définir z2 (fig. 1.37). x

0)

3.9. LIAISON LlNÉIQUE RECTILIGNE

Définition

1

Considérons un repère associé à la liaison des solides 1 et 2. On appelle liaison Iinéique rectiligne

18

Fig. 1.37.

Modélisation des liaisons et des actions mécaniques de liaison

Les coordonnées YB' ZB de l'origine B dans :R ainsi que les deux angles orientés al et a2 permettent de définir la position de :R 2 par rapport à :R et donc de 2/1. Notons que la position de la génératrice de contact est donnée par (B, Y2)'

Dans le repère local :R(A, x, y, z) on obtient pour les composantes du torseur d'action mécanique de liaison:

0l

X(1 -+ 2) 0 0 . (0 0 (x. y, Z)

{'l'>(1-+2)} A

Schématisation normalisée

La forme particulière de ce torseur n'est conservée que pour tout point de (A, x) .

• Plane (fig. 1.38 a) . • Perspective (fig. 1.38 b).

(a)

3.10. LIAISON LlNÉIQUE CIRCULAIRE (OU LINÉAIRE ANNULAIRE)

(b)

Définition Considérons un repère associé à la liaison des solides 1 et 2. On appelle liaison Iinéïque circulaire 1-2 toute liaison dont les degrés de liberté dans ~ sont: T., R., R y et R z (fig. 1.39).

Fig. 1.38.

Torseur d'action mécanique de liaison z

En tout point P dUJegment de contact porté par (J), (voir fig. 1.36), df(l -+ 2) est située dans le plan (A, X, y) et est parallèle à (A, x). Par conséquent, la résultante A(I-+2) est parallèle à (A, x) et le moment résultant en A: MA (1 -+ 2) est porté par (A,

z).

y

{'b(l-+2)}= A

A(1

avec

x

MA(I -+ 2)

Fig. 1.39.

-+ 2)//x

MA (1

Dans :R(A,

1~(I-+2)1

-+ 2) porté par (A, z) .

Exemple de surfaces de liaison directe

x, y, Z) on peut écrire: X(1 -+ 2)

{'b(l -+ 2)} = A

0 0

l

0 0 N (1 -+ 2)

1

.

(x, ;, i)

Le torseur d'action mécanique de liaison en A comporte donc 2 inconnues algébriques dans :R. La forme particulière de ce torseur est conservée j). pour tout point de (A,

Soient deux surfaces en contact suivant un arc de cercle. Par exemple, une surface cylindrique de révolution et une sphère de même rayon dont le centre décrit l'axe du cylindre (fig. 1.40). L'origine A du repère :R est le centre de la sphère et (A, x) est porté par l'axe du cylindre. z

x,

Cas particulier Si le plan (A, X, Z) est plan de symétrie, aussi bien pour les surfaces de liaison que pour le système des forces extérieures appliquées à 2 (voir fig. 1.36), alors MA (1 -+ 2) est nul et:

A(I

lM

y

-+ 2)//x

A (1-+2)

=

o.

Fig. 1.40.

19

Modélisation, résistance des matériaux, notions d'élasticité

Paramétrage

Exemple de surfaces de liaison directe

Supposons que :R soit lié à 1, définissons :R z lié à 2. L'origine B de :R z appartient à (A, x) donc l'abscisse X B de B dans :R est un paramètre. Les trois autres paramètres qui définissent l'orientation de :Rz/:R sont les trois angles d'Euler f/1, (), rp. Nous n'aurons pas à les utiliser.

Soient deux surfaces qui admettent, théoriquement un seul point commun A et un plan tangent commun ('TT) au point de contact A. Par exemple, une bille sur un plan. L'origine du repère associé :R est le point de contact A et (A, x) est la normale en A au plan ('TT) (fig. 1.43).

Schématisation normalisée

x

• Plane (fig. 1.41 a) . • Perspective (fig. 1.41 b).

(a)

1 (b)

Fig. 1.43.

Paramétrage

Fig. 1.41.

Torseur d'action mécanique de liaison

Supposons que :R soit lié à 1, définissons :R z lié à 2. L'or~ine B de :R z appartient au plan de contact (A, y, z). Les coordonnées YB et ZB de B dans :R sont des paramètres. Les trois autres paramètres qui définissent l'orientation de :Rz/:R sont les trois angles d'Euler: f/1, (), rp; nous n'aurons pas à les utiliser.

En tout po1l!t P de l'arc de cercle de contact, (voir fig. 1.40), df(1 -+ 2) passe par le centre A et est perpendiculaire à (A, x). Par conséquent la résultante  (1 -+ 2) est perpendiculaire à (A, x) et le moment résultant en A : MA (1 -+ 2) est nul. {'D(I-+2)}=

Schématisation normalisée

(!(I-+2)! A

MA(I-+

• Plane (fig. 1.44 a) • Perspective (fig. 1.44 b)

2)

Â(1-+2)-.LX

avec

1MA (1-+2) =

O'

(a)

Dans :R(A, X, ji, z) on peut écrire:

J~(1-+2) o0)

{'D(1-+2)} = A

1Z(I-+2)

o

. (x,

(b)

y, Z)

Le torseur d'action mécanique de liaison en A, comporte donc 2 inconnues algéb.r:iques dans :R. La forme particulière de ce torseur n'est conservée . que pour le point A.

Torseur d'action mécanique de liaison La force de contact de 1 sur 2 est localisée en A et, le contact se faisant sans adhérence, cette force est perpendiculaire à ('TT).

3.11. LIAISON PONCTUELLE

{'D(1-+2)} =

Définition Considérons un repère associé à la liaison des solides 1 et 2. On appelle liaison ponctuelle 1-2 toute liaison dont les degrés de liberté :Il sont dans Rx' Rr Tl' R z et Tz (fig. 1.42).

20

Fig. 1.44.

A

x

 (1

avec

z y

-+

MA (1

Dans :R(A, {'D(I

x, ji, Z) -+

2)}

1~(1-+2)! MA

(1 -+ 2)

2)//x

-+ 2) = 0 .

on peut écrire:

= A

X(I-+2) 0 0

j

010 0

. (x, y,"i)

Modélisation des liaisons et des actions mécaniques de liaison

Le torseur d'action mécanique de liaison en A comporte donc une seule inconnue algébrique dans :/t.

4.1.1. 1 er cas: V(P

E

211) #= Ô

(fig. 1.46)

La forme particulière de ce torseur est conservée pour tout point de (A, x).

Fig. 1.46.

Il Y a glissement relatif de 2 sur 1 en P.

4.1. RAPPEL DES LOIS DE COULOMB SUR LE FROTTEMENT ET L'ADHÉRENCE Considérons deux solides 1 et 2 en contact suivant une certaine surface (s), un point P de la surface de contact et d}(1 -+ 2) la force élémentaire de contact en P qu'exerce 1 sur 2. Nous admettons l'existence en P d'un plan tangent commun (7T) défini par sa normale (P, ri) (fig. 1.45).

Alor~e support de la force. élémentaire de contact, [P, df(l-+ 2)] appartient au plan [P, ri, V(P E 2/1)] ; ce support est incliné de l'angle cp par rapport à la normale (P, ri) au plan (7T), du côté opposé à V(P E 2/1) d'où:

d}(1-+ 2). V(P

E

2/1)



Z
OC.

39

Modélisation, résistance des matériaux, notions d'élasticité On remarque alors que:

J JH2 + HA 2 =

R= on

oc

= OJ + R = /(0, = OJ - R = / (

0

,

~) [1(0,

~ /(0, ;) + ~

x)

x) + / ( 0 , y) -

x) - /(0, ji')]2 + 4/(0, X, ;)2 )[/(0, x) - /(0,

!)

2

2

I max

= on

et 1 min

x) - / (0, ji') f + 4 / ( 0, x, Y? .

[1 (0,

D'après les relations (1) paragraphe 8, on en déduit que:

y)f + 4/(0, x, ;)2

La figure 2.10 représente le cas /(0, y):> /(0, x). Sur cette figure on note:

= OC.

(JH,

où

JA) = (JÉ, JE) = 2 CPI •

Sur le cercle de M6hr l'angle 2 cp 1 est défini par:

Dans une section (S) on connait les directions Y) ainsi que 1(0, i) 1 max et principales (0, 1(0, Y) 1 min et on recherche pour les axes (0, y) définis par

x,

d'où les directions principales: (Ox, OK) = CPI

~

~

(Ox, 0 Y) = cp 1 +

et

7T

2" .

x,

--.

A I(D,x)

y

1-1

--.--.

(D,x,y)

=

=

les valeurs de 1(0,

=~

(i,

x)

x),

1(0, Y) et 1(0,

x, Y).

Nota: Ce deuxième cas se rencontre lorsque l'un des axes (0, X) ou (0, :f) est axe de symétrie de la section.

B

Les relations (2), (4) et (5) du paragraphe 6 permettent d'exprimer /(0, x), /(0, ji') et /(0, x,;) à condition de :

--. l'(D,Y) --.--.

1(D,x,y)

-

Fig. 2.10.

L'angle ~I est orienté: Le sens positif sur le cercle de M6hr est défini par (Ox, 0 y) = + ~.

~

/(0,

/(0, x) =

~

/ (0, y)

K) + /(0, Y) K) + /(0, Y) 2

/(0 , x, ~ ~) y =

40

. +

2

/(0, =

permuter la désignation des axes:

; ..... Y;

/(0

,

/(0,

d'écrire que (K, x) = cp ; d'écrire que /(0, K, Y) = O.

-

On obtient:

K) -

/(0,

-

K) -

2

K) -

2

/(0,

2

/(0

/(0,

Y) Y)

cos 2 cp

(1)

cos 2 cp

(2)

Y)

'. sm 2 cp.

(3)

x ..... K

et

Axes principaux d'une section Sur l'axe (0,

X)

D'après les relations (1), (2) et (3) paragraphe 9 on en déduit que:

construisons (fig. 2.]])

OD =/(O,X)=/ max

OC

=

Y)

1(0,

l

=

= OH, 1(0, j) = OE, 1 (0, x, j) = HA .

l

mio

_ 1(0, X) + 1(0, Y) OJ = ----=-2---

1(0, x)

(J est le milieu de CD). y

La figure 2.12 représente la section d'une cornière. On se propose de déterminer la position des axes principaux et la valeur des moments quadratiques maximal et minimal relatifs à cette section. y

y

Fig. 2.11. S1

Construisons le cercle de centre J et de rayon 1(0, X) - 1(0, Y) R=JD=---"""'2--- .

0

G1

~

• 12!?.

~

Ce cercle est le cercle de Mohr. Construisons le point A (x) sur le cercle de Mohr tel que:

(CD, CA)

=

lp .

Soit H la projection orthogonale de A sur (0, X). Soit E le symétrique de H par rapport à J. Sur la figure 2.11 on remarque que:

x

G

S2. G 2

1

1

0

~1 x

80 Fig. 2.12.

JH = R cos 2lp

1(0,

= OH

X) -

Y)

1(0,

2

= OJ+ 1(0,

cos 2 lp

Détenniner le centre de surface G de la section S.

JH

X) + 1(0, Y) 2

+

1(0,

RÉPONSE

X) - 1(0, Y) 2

cos2lp

X) + 1(0, Y) 2

1(0,

HA

X) -

1(0,

2

Y)

1(0,

S2 = 60 x 20

= 1 200 mm 2

S . = SI + S2

=

10 G 1 170

X) -

2

1(0,

2

4000 mm 2 .

Les coordonnées de Giet G 2 dans (0,

cos 2 lp

= R sin 2 lp =

On peut décomposer la section S en deux surfaces Sl etS2 : SI = 140 x 20 = 2800 mm

OE = OJ + JE

1(0,

QUESTION 1

Y) .

sm2lp.

x,.Ji) sont:

50 G 2 1 10'

Le centre de surface G de S est défini par la relation:

Modélisation, résistance des matériaux, notions d'élasticité La relation (2) paragraphe 5 permet d'écrire: .

En projection sur x on obtient:

I)(G, x, ji) = I)(G), x, ji) + S, x G) YG,

10 x 2 800 + 50 x 1 200 4000

I](G, x, ji)

x G =22mm.

YG\ S) + YGz Sz S

-

604 800 mm'

I Z(G 2, x, ji) + S2XGZYGZ = 0 + 1 200(50 - 22)(10 - 52) Iz(G, x, ji) = - 1411200 mm' Iz(G, x, ji)

En projection sur y on obtient: YG =

= 0 + 2 800(10 - 22)(70 - 52)

x, ji) =

I)(G,

=

Iz(G, x, ji)

70 x 2 800 + 10 x 1 200 4000 d'où:

YG= 52mm.

I(G, I(G,

QUESTION 2

x, ji) = x, j) = -

604800 - 1411200 2 016 000 mm'.

Pour fa section (S) déterminer les moments quadratiques I(G, x) et I(G, j) et le moment produit I(G, X, j).

QUESTION 3

RÉPONSE

Déterminer par la méthode algébrique la position des axes principaux au centre de surface G de la section (S) et la valeur des moments quadratiques maximal et minimal correspondants.

On désigne par I](G, x) et Iz(G, x) les moments quadratiques de S, et Sz par rapport à l'axe (G, x). On peut écrire que:

RÉPONSE Les directions principales au centre de surface G de la section (S) sont définies à partir de la relation (1) paragraphe 7, d'où:

La relation (2) paragraphe 2 permet d'écrire:

I,(G, x)

= 20 ~;403 + 2 800

- 2 I(G,

tan 2 'P

I)(G, x) = I)(G), x) + S) dr x (70 - 52i

I)(G, x) = 5480533,3 mm'

tan 2 'P

= 60 ~2203 + 1 200 x (52 _ lO)z

Iz(G, x)

= 2 156800 mm'

~I

= (X, X) = 17,31'

et ~2

= (x,

Ï)

= 107,31'

Les moments quadratiques maximal et minimal au centre de surface G de la section (S) sont définis par les relations (1) paragraphe 8, d'où:

d'où: I(G, x) = 5480533,3 + 2156800 I(G, x) = 7637333,3 mm'.

= I(G, x) + I(G, ji)

1

2

max

+ ~ J[I(G, x) - I(G, ji)]z+ 4 I(G, x, ji)z.

De la même façon on définit

= I)(G, ji) + Iz(G, ji).

La relation (2) paragraphe 2 permet d'écrire: 1 . = I(G, x)

I)(G, ji)

3

+

2800

x

(22

~

Iz(G, ji)

=

1 300800 mm'

d'où: I( G, ji) = 4965333,3

-~J[I(G,

lO)z

l, (G, ji) = 496 533,3 mm' 3 1 z(G ,y4) = 20 X1260 + 1 200 x (50 _ 22)z

+ 1 300800

I(G, j) = 1 7'Y7 333,3 mm'.

On désigne par I,(G, x,ji) et Iz(G, x,ji) les moments produits de S) et Sz par rapport aux axes (G, x, ji). On peut écrire que: I(G, x, ji) = I)(G, x, ji) + Iz(G, x, ji).

+ I(G, ji) 2

mm

= I)(G), ji) + S) dr

X 20 1 1 (G ' Y-) -- 140 12

42

= 0,6904 ,

d'où;

Iz(G, x)

I(G, ji)

x, ji)

I(G, x) - I(G, ji) - 2( - 2016000) 7 637 333,3 - 1 797 333,3

On obtient:

x)-/(G, ji)]z+4/(G, x,ji)z.

I mm = 1169001,9 mm 4 •

QUESTION 4 Déterminer par la méthode graphique de Mohr la position des axes principaux au centre de surface G de la section (S) et la valeur des moments quadratiques maximal et minimal correspondants.

RÉPONSE Dans le repère (G, x, ji) et en fonction de l'échelle choisie sur l'axe (G, x) on porte (fig. 2.13) :

GH

=

I(G, x) = 7637333 mm'

GE

=

I(G, ji) = 1797333 mm' .

Axes principaux d'une section y

On note J le milieu de EH. Parallèlement à (G, y) on porte :

-->

A(X)I/(G,X~-->

HA

-/ (G,x,y) 1

= -/(G, X, y) = 2016000 mm4 .

On trace le cercle de M6hr de centre J et de rayon JA. Ce cercle coupe l'axe (G, x) en Cet D. On trace CA et on mesure:

1 1

o

x

Echelle: 10 6 mm 4 t----
(4--+1)}=

Par conséquent:

l

A

li =N.

i + T y • Y+ Tz • i

MG =Mf' i

(1)

Â(4--+1)} { M A (4--+ 1)

tel que dans le repère 3io :

+ Mfy . Y + Mfz . i

{T:>(4--+1)} =

{

A

N, Ty , Tz , M"

- 625 0 0

- 24} 0 0 (:'o,?o. 10)

Mf et Mf, sont les composantes y

-+

~

-+

algébriques de R et Mc dans (:R,). Ce sont des fonctions de l'abscisse x du centre de surface G de

(ces efforts sont les efforts réciproques des efforts de coupe).

(S). • L'arbre 1 est guidé en rotation dans le carter 0 l'intermédiaire de deux roulements à billes:

2.3. APPLICATION

Le choix de ces roulements et le type de montage utilisé ont permis de modéliser les actions de liaison par les torseurs : {T:>(5--+ l)} et {T:>(6--+ l)}. C(5 --+ l)}

Cet arbre reçoit la puissance par un engrenage 2-3 à denture droite. Les actions de liaison de (3 --+ 2) sont modélisables en D par le torseur {T:> (3 --+ 2)} : {T:>(3 --+ 2)} =

D

DO {Ô

tel que dans le repère 3io : {T:>(3 --+ 2)} =

D

en C :12BC02 en B :15BE32 .

5 6

Une unité d'usinage est équipée d'une tête multibroche. La figure 3.6 représente à échelle réduite une de ces broches et plus particulièrement la commande et le guidage de l'arbre porte-mandrin 1. Unités utilisées: longueurs en mètres, forces en newtons.

{T:>(5 --+ I)} = c { Ô tel que dans 3io :

--+ 2)}

0 {T:>(5 --+ l)}

L~go ~

- 85 c { 240

et L'0'?0'10)

B(6 --+ 1) }

{T:>(6--+1)} B

unités: newtons et mètres.

{

MB (6 --+ 1)

Yo 2

5

6

A··-··-··ll-· .' : :l ~. ---H#t-j~ .;;~~--~ . Y~

Fig. 3.6.

48

par

Notion de contrainte loi de Hooke

~I A

Fig. 3.7

L'équilibre de (El) entraîne qu'en G:

tel que dans :Il.o : {1>(6-+1)}

{~~5 ~,2

= B

40

-

R=-[D(3-+2)+ë(6-+1))

}

(xo. Jo.

0,075

{

10)

unités: newtons et mètres. On donne à la figure 3.7 le schéma de 1, la modélisation de son guidage et les cotes.

MG

=-[GDIID(3-+2)+Gëllë(6-+1))

(Notons que Mc (6 -+ 1) Avec dans (:Il.) = (:Il. o) :

=

ë(6-+1)1-~5

QUESTION

0).

;

Gë

240

Définir ie torseur des forces de cohésion dans les sections droites de 1 entre 0 et A et construire les diagrammes des composantes algébriques des éléments de réduction en G des efforts de cohésion dans 1.

0,015-X 0

o

1

Donc dans (:Il.):

R= { MG =

x + 20 . ji -

0.

40 . Z

-2,4. x+ (-40x+3,6)ji+ (-20x+ 1,275)Z.

RÉPONSE Considérons une section droite (S) de 1 et soit G d'ahscissc x dans (:Il ll ) le centre de surface de (S). Considérons le repère :Il.(G, x, ji, z) de définition des sollicitations et soit (El) le tronçon de 1 compris entre 0 et G.

Etude de la zone OC: 0.,. Unités: newtons et mètres.

X

-->

C(M,n) I~!IF---+-""_-->

-->

n

RÉCIPROCITÉ DES CONTRAINTES TANGENTIELLES. THÉORÈME DE CAUCHY

cr

Dans une poutre sollicitée de façon quelconque, considérons un prisme droit élémentaire de centre M, (fig. 3.12).

Fig.3.11.

t

Supposons (fig. 3.11) que désigne-le vecteur unitaire de la direction sur laquelle est projetée T. On peut alors écrire : ë(M, li) =

0' •

Ii + 'T.

t

1

(2)

(J' et T sont alors les composantes algébriques de la contrainte ë(M,n) dans le repère (M,n, t).

Propriété

Fig. 3.12.

En statique, nous avons mis en évidence le théorème des actions réciproques. Si 1 exerce sur 2 en Aun effort noté Â (1 -+ 2), alors réciproquement, 2 exerce sur 1 en A un effort noté Â (2 -+ 1). Ces deux efforts sont tels que:

 (1

-+

2) = - Â (2

-+

1) .

En résistance des matériaux on peut écire en M centre de la facette orientée par (voir fig. 3.10) :

n

Les facettes de ce prisme droit sont rectangulaires et on définit pour chacune d'elles un centre et un vecteur unitaire de normale extérieure. Exemple: facette de centre Ml de normale nI de surface dSI = dl 2 X d1 3• Si dl l , d1 2, dl 3 tendent vers zéro, on peut écrire: ë(MI , nI) ë(M;, - nI)

=

ë(M, ni)

= ë(M, -

nI)

et d'après la relation (3) ci-dessus: On écrirait de la même façon en M centre de la facette orientée par -

n:

Si nous appliquons le théorème des actions réciproques:

Considérons les éléments de réduction en M du torseur {bl coh} des forces de cohésion qui s'exercent sur la facette de centre Ml :

II II

ë (M, ni) ds

dSI

soit en simplifiant par dS: ë(M, n)

=-

M

ë(M, - n)

ou bien

ë(M, - i)

52

=-

(;(M, li)

(3)

MMI/\ ë(M, ni) ds dS]

On peut écrire les six torseurs de la même façon. • Le prisme de centre M est en équilibre, on peut donc écrire que la somme en M des six torseurs de cohésion qui s'exercent sur les six facettes est un torseur nul. {b!coh} + {b2coh} + ... = {Ô} .

Notion de contrainte 101 ae HOOKe

Ecrivons seulement l'équation des moments en groupant deux à deux les termes relatifs aux facettes opposées; en effet: ds] = dsi

fJ

[MMi /1 C(M, n]) ds + MMi /1 C(M, - nI) ds]

Dans les facettes de surface dSI et dS2, les contraintes C(M, n]) et C(M, n2) sont constantes

C(M,n]).n2fJ

+ ...

=

0

dllds dS,

dSj

(3 termes)

- C(M, n2)' n]

IJ

soit d'après la relation (3) :

IJ

[MM]

C(M, ni) ds - MÀfi

/1

/1

C(M, ni) ds]

On peut en désignant par dV le volume du prisme élémentaire écrire que:

dS]

+ ... =

0

(3 termes)

on peut mettre C(M, n]) en facteur:

dl 2 ds = O. dS2

IJ

dl] ds = dSI

fJ

dl 2 ds = d V d~

et donc: (3 termes) (4)

Considérons la projection des trois vecteurs de cette somme sur n3 par exemple:

IJ

(MiM]

/1

ou que:

C(M, n]) ds). n3

dSI

+

ft~ (M2M2

+

fJ

Cette relation traduit le théorème de Cauchy. /1

C(M, n2) ds). n3

(M]M3 /1 C(M, n3) ds). n3

=

O.

dS3

En un point M d'une poutre, si on considère deux facettes perpendiculaires dont les sections sont orientées par les normales extérieures ni et z auxquelles correspondent les contraintes

n

°

et ê(M, nz), la projection de ê(M, 1 ) sur nz est égale à la projection de ê(M, oz) sur ê(M,

Utilisons la propriété de permutation du produit mixte:

nd

n

p

Notons que ces contraintes tangentielles doivent être disposées symétriquement par rapport à l'arête des facettes (fig. 3.13).

On peut donc écrire:

IJ

(n3

/1

MiM]) .

,, ê(M';2)

C(M, ni) ds

dS]

+

ft~ (n3

+

fL

~2~ /1

ê(M,;1)

'-->

"MfM2)' C(M, n2) ds

.!:===+--

't21

(n3/1 "lJiM3)' C(M, n3) ds = O. SJ

Les trois produits vectoriels s'expriment simplement: n~3

/1

M'" IMI = dl] n2

-

n3/1 MfM2 ~

n3 /1

dl 2 n]

= ~

M]M3 = O.

Donc:

IJ

dSj

dll ds C(M, ni)' n2

-ft~

dl 2ds C(M, n2) • ni = O.

Fig. 3.13.

53

Modélisation, résistance des matériaux, notions d'élasticité Les trois facettes S, Sx, Sy sont infiniment petites et on voit que: Sx

4.1. LIMITES DE L'ÉTUDE L'élasticité plane concerne théoriquement les corps à deux dimensions; plaques minces soumises à des forces extérieures situées dans leur plan. Ce cas limite peut être étendu à des corps dont les déformations s'effectuent parallèlement à un plan. Soit (0, X, y) ce plan. On conçoit que les contraintes et les déformations en M(x, y, z) sont indépendantes de z. L'étude se fait alors sur un corps d'épaisseur unité suivant z (fig. 3.14).

= S cos

lp

et S y = S sin

lp .

Soit M le centre de surface de la facette S orientée par la normale n. Exprimons la contrainte C(M, n) en fonction de l'angle lp orientant la facette et des contraintes C(M, - x) et C(M, - y) sur les deux facettes perpendiculaires. Soit (E) le prisme en équilibre. Traduisons cet équilibre par:

Soit pour la résultante: C(M, n) S + C(M, - x) Sx

+ C(M, -

y) Sy =

Ô. (1)

z

Convention de signe pour les contraintes

dx

Nous allons adopter pour les contraintes normales et tangentielles une convention d'indice et de signe qui permet de respecter le théorème de Cauchy (fig. 3.16).

x

Fig. 3.14.

4.2.

EXPRESSION DE LA CONTRAINTE EN FONCTION DE L'ORIENTATION DE LA FACETTE

Considérons un prisme droit (E) dont la section est un triangle rectangle élémentaire et dont l'épaisseur parallèlement à (0, z) vaut l'unité (fig. 3.15). Fig. 3.16.

Sur les deux facettes perpendiculaires au point M, construisons les deux contraintes C(M, x) et C(M, y), et y orientent les deux facettes. On peut écrire:

x

ë(M,-Y)

54

Fig. 3.15.

avec pour convention d'indice: 1Te indice = le vecteur unitaire de la normale extérieure à la facette. 2e indice = le vecteur unitaire de l'axe sur lequel est projetée la contrainte. Pour les contraintes normales, les deux indices sont toujours identiques, on n'en met qu'un seul.

Notion de contrainte loi de Hooke Pour les contraintes tangentielles, les deux indices sont toujours différents. -; xy signifie: contrainte tangentiel1e relative à la facette orientée par (premier indice) et projetée sur y (2e indice). On écrira donc (fig. 3.15) :

x

C(M, - x)

= u -xx + T -xyY,

D'après le théorème de Cauchy: -xy

ET CONTRAINTES PRINCIPALES Une contrainte est dite principale lorsque sa direction est normale au plan de la facette. Sur la figure 3.15, la condition pour que C(M, ri) soit contrainte principale est que Tnt = O. Cette condition permet de définir l'angle q; pour qu'il en soit ainsi. Soit q; 1 cette valeur particulière de q;. D'après (3) :

Demême:

T

4.3. DIRECTIONS PRINCIPALES

= T -yx' (4)

Nous avons vu au paragraphe 3.4 et d'après le théorème des actions réciproques que C(M, - ri)

=-

C(M, ri).

L'équation (4) donne les deux directions principales Ces deux directions perpendiculaires q; 1 et q; 1 +

T'

On pourra donc écrire:

=

définissent le repère principal :RI que: q;1 = (x, X).

(M,

X, Y)

tel

et donc pour l'équation (1) ci-dessus: (u. ri +

Tnt

t) S -

(u x x + T xy y) Sx - (u y y + T yx x) Sy

=0.

Projetons les vecteurs de cette équation sur les axes et y de (:R o) en remarquant que:

x

ri

=

x + sin q; y sin q; x + cos q; y

cos 2 q; 1

Sx = S cos q; Sy

= S sin q;

. 2

.

T .t T .1

sin q; - u x cos q; - T yx sin q; cos q; - T xy cos q; - u y sin q;

l + tan 2 q; 1

(u x

-

U

y)2 + 4 T';y

4 T~y

tan 2 q; 1

= ------;;--2

l + tan 2 q; 1

On trouve successivement:

=0 =0

(2)

Pour calculer u. et T nt composantes, dans le repère :R = (M, ri, t) lié à la facette (S), de la contrainte ë(M, ri), on peut résoudre le système (2). Notons qu'il est commode d'utiliser les lignes trigonométriques de l'arc 2 q;. Posons T yx = T xy Exprimons C(M, ri) dans (:R):

ë(M, ïi) dans (9\)

1 = ------;;--2 2

sm 2 q;1

On obtient alors: u. cos q; { u. sin q; +

Remplaçons sin 2 q; et cos 2 q; en fonction de leur valeur dans les expressions (3) et en fonction de (4) : 2

cos q;

t =-

Calcul des contraintes principales

On montre également que u x et u y sont les extremums de la fonction u. ; pour cela il suffit d'écrire

du.

que -d q;

=

0, ce qui donne tan 2 q; 1

2T~

= ---'---

ux

-

uy

(3)

55

Modélisation, résistance des matériaux, notions d'élasticité

On remarque alors que:

4.4. CONSTRUCTIONS GRAPHIQUES DE MOHR Deux problèmes se posent successivement; pour chacun d'eux, nous indiquerons: le procédé de calcul; la construction graphique qui conduit plus rapidement au résultat.

donc:

POS =

2 lp

l'

D'où le repère principal en M: 3t 1 = (M, X, Y). D'autre part, construisons le cercle de Môhr de centre 0 et de rayon R = OS:

4.4.1. Premier problème Dans un repère initial qui n'a en général rien de particulier 3to = (M, X, y) on connaît l'état de contrainte a X' a y et T xy Déterminer les directions principales et les contramtes principales.

Procédé de calcul D'après les relations (3), (4) et (5) ci-dessus, on trouve:

soit Soit AB le diamètre du cercle de Môhr pris sur (M, x). On remarque que: MA = MO + R,

lp 1 =

3t 1 = (M,

X, Y)

(x, X).

MB = MO - R,

soit

est le repère en M des directions

-MA

=

ax+a y

2

IJ(a x -

+2

a y)

2

2

+ 4 T xy = a x

principales. Les contraintes principales a x et a y s'expriment alors par:

4.4.2. Deuxième problème

Construction de Môhr(fig.

3.17)

Supposons maintenant qu'au point M on connaisse les contraintes principales a x et a y; par définition on sait que T XY = O. Déterminer pour une facette orientée par n tel que (X, n) = lp les contraintes an et Tnt correspon.dantes.

Sur (M, x) construisons

On aura donc:

ax - ay OP = 2 .

Parallèlement à (M,

y)

construisons PS =

x y

T xy

Procédé de calcul Utilisons les relations (3) pour exprimer ë (M, n) dans le repère 3t = (M, ï). Les contraintes connues sont alors a x et a y et l'angle lp vaut alors (X, ri) = lp. Exprimons ë(M, n) dans (3t):

n,

(6) Fig. 3.17.

56

Notion de contrainte loi de Hooke Contrainte tangentielle maximale D'après les relations (6), 1 Tnt 1 est maximale quand . 2 cp = lSOIt ' pour cp = "4 'TT sm '

alors

l 'T nt 1max

= I UX-Uyl 2

•

Notons sur la figure 3.18 que sur (M, X) les contraintes normales a sont algébriques et que sur (M, Y) on lit les contraintes tan~entielles (changées de signe).

4.5.

Construction du cercle de Mohr Notons a priori que dans les relations (5) : a x > a y. Sur l'axe principal (M, X) construisons (fig. 3.18) : MA

APPLICATION

Dans un repère initial :Ro = (M, X, ji) on connaît les valeurs des contraintes normales et tangentielles sur les facettes orientées par et ji (voir fig. 3.15). On donne: a x = l, a y = 1, T xy = 2.

x

Nota: Ces valeurs ont été choisies dans le but de simplifier les calculs.

MB

QUESTION 1 Soit en M une facette orientée par fi tel que (i, fi) = f('. Exprimer la contrainte ê(M, fi) par ses composantes u. et T.t dans le repère associé :Il = (M, fi, t).

RÉPONSE D'après les relations (3) : é(M, fi) { un = 1 + 2 sin 2 cp . (:Il, ) 7 nt = 2 cos 2 cp

QUESTION 2 Déterminer le repère :Il. = (M, X, Y) des directions principales et calculer les contraintes principales u x et u y .

Fig. 3.18.

RÉPONSE Le cercle de centre 0 et de diamètre AB a un rayon égal à:

D'après la relation (4) tan 2 cp 1 =

Soit en M une facette orientée par ri tel que (X, il) = cp. Construisons par B la parallèle à ri et soit C son intersection, avec le cercle de M6hr. Soit H la projection de C sur (M, X). Calculons M H: MH= MO+ OH a x + a y ax- a y

---- + 2

2

cos 2 cp

= an'

donc

00,

2 cp

1

=

'11' 2" + k'1l'

.

Directions principales Contraintes principales D'après les relations (5) :

U X =3 { u y = -

. 1

QUESTION 3 Calculer la contrainte ê (M, fi) pour une facette orientée par fi tel que eX, fi) = f(' = - ~ .

RÉPONSE

Calculons HC:

D'après les relations (6) : -.

HC

=

aX-ay

2

.

. sm 2 cp = -

é(M, fi){U n = 1 (:Il,) 7.,=2

Tnt·

Le cercle de M6hr permet de lire directement: an {

Tnt

= MH = - HC

QUESTION 4 Retrouvons le résultat précédent en utilisant la construction graphique de Môhr.

57

Modélisation, résistance des matériaux, notions d'élasticité RÉPONSE (fig. 3.19)

-->

t

Le repère .'Jt l = (M, X, Y) est connu ainsi que les contraintes principales correspondantes. Sur l'axe (M, X) construisons:

y

X(R 1 )

Fig. 3.20.

Pour cela posons:

--> -->

1t

4"

(X,n ) =

Calculer les composantes normales et tangentielles de la contrainte en M sur une facette orientée par la normale n telle que: (X, n) 'P. Dans les deux cas:

X

=

'P

1

= 60', normale nI;

'P z = - 30' ,normale Bz •

Fig. 3.28.

RÉPONSE D'après les relations (6) du paragraphe 4.4, on peut calculer les composants de ë (M, n) dans le repère :Jt = (M, n, t) lié à la Facette lorsqu'on connaît les contraintes principales. Pour (X, n) = 'Pi = 60' : _ C(M,

n,)

U

-->

M ~'--_----r_-+_-1_ _-Ix~

li.!

RI'

" d"fi' ~ T li.! D ans une d Irechon e Illie par x:

=

Soit un point M de la surface extérieure non chargée de la pièce et soit (M, z) la normale extérieure à la surface, (M, z) est une direction principale: (M, z) = (M,

Fig. 3.31.

Ex'

Z).

Sur une telle surface, non chargée, il est possible de coller des extensomètres et de faire une étude plane des contraintes à la surface. Les paramètres qu'il faut déterminer sont: l'angle Ip des directions principales; les contraintes principales u x et u y. Pour déterminer ces trois inconnues (Ip, u x' u y) il est nécessaire d'avoir trois mesures suivant trois directions connues et d'exploiter les résultats. On utilise industriellement des « rosettes ». Une « rosette» est un ensemble de trois extensomètres dont les directions de mesure sont définies. On rencontre ainsi des rosettes à 120" ou des rosettes à 45" par exemple (fig. 3.30).

Nous avons vu qu'une contrainte normale u x peut s'exprimer en fonction des contraintes principales u x ' uyet de l'angle Ip = (X, x) (6)

• Pour la direction (M,

y)

avec l'angle

Ip

+ ~, on

notera en tenant compte que cos 2 (

Ip

+~ )

= -

cos 2

Ip :

ux- Uy

2

cos 2

• Pour la direction (M, u) avec l'angle

Ip •

Ip

+

(7)

i' on

notera en tenant compte que Supposons qu'une rosette à 45" soit collée à la surface d'une pièce et que la lecture du résultat d'extensométrie dans les directions (M, x); (M, y); (M, u) donne EX' E y ' Eu' A partir de ces trois résultats de mesure nous devons déterminer: les directions princi-

cos 2 (

Ip

+ U

ll

i) =

= -

sin 2

Ip :

u x - Uy .

2

sm21p.

(8)

63

Modélisation, résistance des matériaux, notions d'élasticité Les relations contrainte-déformations (loi de Hooke) permettent d'écrire: a

x

a y

E =--2(cX +vc y ); I-v E = - - - 2 (cy + v c x) .

6.1.

1- v

E a x =--2(cX+ vc y); 1- v E a Y =--2(cy+ vc x)' 1- v

Dans les équations (6), (7) et (8) ci-dessus, remplaçons a x' a Y' a x et a y en fonction des relations ci-dessus. On obtient: Cx

cx+cy

cX-cy

2 cx+ cy

2 cx- cy

= - - - + - - - cos 2 IF

c y = - - - - - - - cos 2 IF 2 2 cx+ cy cx- cy . CU = - - 2 - - - - 2 - sm 2 IF .

(9) (10)

CONDITIONS THÉORIQUES DE RÉSISTANCE

La résistance des matériaux permet, après avoir pris en compte un certain nombre d'hypothèses simplificatrices de calculer les contraintes nominales maximales a max ou T max que peuvent subir les pièces, tout en restant dans le domaine des déformations élastiques.

Critère de Rankine La contrainte normale a en tout point du matériau doit être inférieure ou égale à la contrainte limite élastique à l'extension a e (ou à la compression, lorsque c'est le cas et que celles-ci sont différentes) :

(lI)

Les équations (9), (l0) et (lI) ci-dessus constituent un système de trois équations à trois inconnues ( IF, c x' c y).

En additionnant membre à membre (9) et (l0) on remarque que:

puis en soustrayant membre à membre (9) et (l0) on remarque que:

Critère de Guest La contrainte tangentielle T en tout point du matériau doit être inférieure ou égale à la contrainte limite élastique au glissement Te' déterminée par l'essai de torsion T

~

Te

Ces deux remarques permettent de simplifier grandement les calculs. . Les résultats de ceux-ci sont:

6.2. COEFFICIENT DE SÉCURITÉ

tan 2 IF Cx -

cy

cx+c y cx-c y c x = --2- + 2 cos 2 IF cx+c y

cy

= --2- -

cx-c y 2 cos 2 IF .

Pour tenir compte d'un certain nombre d'incertitudes; incertitudes relatives à la composition réelle du matériau, à ses propriétés mécaniques, à la conformité de la forme de la pièce avec les hypothèses de la résistance des matériaux, ou même aux états de surface de la pièce ainsi qu'à son vieillissement; les concepteurs sont conduits à adopter un certain coefficient de sécurité s qui s'exprime par:

REMARQUE Aujourd'hui, un programme de calcul existe pour résoudre ces problèmes, mieux, le calculateur est le plus souvent couplé à la chaîne de mesure et donne directement le résultat.

1 64

ou et 7" p sont appelées contraintes pratiques alors que et Te sont les limites élastiques. En construction mécanique: 1,2.,;; s .,;; 5 en général. CT pe

ae

Notion de contrainte loi de Hooke Pour une pièce travaillant en extension

6.3. CONDITIONS RÉELLES DE RÉSISTANCE Les limites de contrainte que nous venons d'évoquer sont en fait théoriques et il existe bien des cas où les critères de résistance définis ainsi sont insuffisamment contraignants. Nous allons examiner successivement deux paramètres qui viennent restreindre sensiblement ces conditions. - Les modifications brusques de section des pièces qui conduisent à adopter un coefficient k de concentration de contraintes. ~ _ - Les sollicitations périodiques qui introduisent la notion de fatigue du matériau et qui conduisent à utiliser une limite dite d'endurance (J' D'

6.4. CONCENTRATION DE CONTRAINTES Lorsqu'une pièce mécanique présente un accident de forme: congé, filetage, trou de goupille, etc., la contrainte réelle, mesurée par photoélasticimétrie ou calculée en utilisant une modélisation basée sur les éléments finis est sensiblement plus grande que la contrainte nominale. Dès lors, on convient, pour une contrainte normale par exemple, d'écrire:

k

=

(J' max réelle

(k> 1) .

U max nominale

k désigne alors le facteur théorique de concentration de contrainte. Précisons que ce facteur théorique ou coefficient, ne peut s'appliquer que si les charges sont statiques et si (J'max réelle reste plus faible que la limite élastique. Notons également que pour une même pièce, présentant le même accident de section, k est différent suivant le type de sollicitation que supporte la pièce. Nous en prendrons un exemple (fig. 3.32).

~ 0,1 0,2 0,5 1

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

2,3 1,8 1,4 1,2

2,X 2 1,5 1,3

2,9 2,2 1,7 1,4

3,1 2,4 1,8 1,5

3,3 2,6 2 1,6

Pour une pièce travaillant en flexion

~ 0,1 0,2 0,5 1

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

1,9 l,55 1,3 1,15

2,1 1,7 1,35 1,2

2,4 1,9 1,5 1,3

2,6 2,1 1,6 1,4

3 2,3 1,8 1,5

Pour une pièce travaillant en torsion

~ 0,1 0,2 0,5 1

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

1,5 1,3 1,15 1,1

1,6 1,4 1,2 1,1

1,75 1,5 1,25 1,15

2 1,65 1,35 1,2

2,3 1,85 1,5 1,3

Nota: Les trois tableaux ci-dessus ne sont donnés qu'à titre d'exemple. Il existe des procédés de calcul, des abaques, etc. Tout bureau d'études doit posséder cette documentation.

r

Cl

O-d

t=-2-

Fig. 3.32.

Connaissant pour une forme donnée et une sollicitation donnée le coefficient de concentration de contraine k, on écrira, pour une contrainte normale par exemple:

(J' max réelle avec

U max

= k(J' max

= U max nominale"

6.5. RÉSISTANCE

À LA FATIGUE OU ENDURANCE

Nous savons que les essais statiques (extension, torsion, etc.) permettent de définir deux zones de déformation pour un matériau: - la zone élastique qui permet la définition de la limite élastique «(J' e ou Te); - la zone plastique qui permet la définÏtion de la limite de rupture «(J', ou T,).

65

Modélisation, résistance des matériaux, notions d'élasticité Supposons qu'une pièce mécanique supporte des sollicitations variables provoquant des contraintes périodiques (extension-compression alternées par exemple). On peut montrer expérimentalement, à condition que l'amplitude, la fréquence et le nombre de sollicitations périodiques soient suffisants, que la rupture de la pièce intervient bien avant la limite statique de rupture et même que la limite statique d'élasticité. Un certain nombre d'essais caractéristiques ont été définis: -- essai de flexion plane; - essai de flexion rotative; - essai de torsion; - essais divers sous contraintes combinées. Dans tous ces essais, trois paramètres sont pris en compte: - amplitude de la déformation; fréquence d'application des charges; - nombre de sollicitation (nombre de cycles).

EXEMPLE Essai d'endurance sous amplitude constante. Courbe de W6hler (fig. 3.33).

a

+

300

Sur la courbe de Wôhler on peut distinguer deux zones. Zone 1 dite « zone de fatigue» où la rupture est atteinte après un nombre limité de cycles. Exemple: Pour une sollicitation périodique à contrainte maximale a = 300 MPa, la rupture se produit (avec une probabilité correcte) à N = 2 X 10 5 cycles. Zone II dite « zone d'endurance illimitée» où la rupture n'est pas atteinte avant un nombre très élevé de cycle, 108 le plus souvent. Dans de nombreux cas on peut tracer une asymptote à la courbe de Wôhler. Cette asymptote permet alors de connaître la limite d'endurance aD' Suivant le matériau essayé, le passage de la zone 1 à la zone II est plus ou moins marqué. Exemples: - pour l'aluminium, la courbe de Wôhler ne présente pas de coude marqué et on ne distingue pas toujours une asymptote; - pour l'acier, la courbe de W6hler présente un coude très marqué et l'asymptote est très visible dès 106 ou 107 cycles. Présentons quelques résultats expérimentaux qui permettent de calculer (J" D en fonction des caractéristiques des matériaux. Pour les aciers:

(MPa)

Acier XC 10

+

350

Citons ici l'essai le plus simple: Une éprouvette à section circulaire est soumise à des cycles d'efforts périodiques, d'amplitude et de fréquence constantes et on note le nombre de cycles N provoquant la rupture.

+ = rupture d'une éprouvette

+

I---------i

~+

+1'; + hot.... +

aD 250

avec:

+ +

N 10 5

10 6

10 7

1

10 8 \1

(nombre de cycles)

(J"

D =

(J"

D

0,40

= 0,32

(J"

e

(J" ,

+ 0,25 + 121

= limite d'élasticité a, = limite de rupture (J" D = limite de fatigue (J" e

(Rogers) (Brand)

(J" ,

(MPa) (MPa) (MPa).

Condition de résistance à la fatigue Dans les conditions données d'amplitude, de fréquence, de nombre de cycles: 0' max ~ U D

Fig. 3.33.

66

Notion de contrainte loi de Hooke

EXERCICES AVEC RÉPONSES

rn

Une poutre droite 1 est modélisée à la figure 3.34 par sa ligne moyenne AB. y

ë (4 -+ 1) = - 100 x + 600 y-50 Z. avec Unités: newtons et mètres.

7

G

A X

B

~2

QUESTIONS

~

1

1

1= 2m

x

1 Calculer dans (x, y, i) les composantes des torseurs d'action mécanique associés aux liaisons 2-1 et 3-1.

Fig. 3.34.

r Pour une section droite repérée par son centre de surface G tel que AG 1,5 X, exprimer les composantes dans (X, y, i) du torseur des forces de cohésion.

1 est encastrée en B dans un bâti 2, elle supporte en A une action mécanique extérieure de 3 -+ 1 modélisable en A par un torseur {"b(3 -+ I)} tel que: {"b(3 -+ I)} =

A

Â(3-+1)} {0

= - 200

=

RÉPONSES

r

avec  (3 -+ 1) = 200 x- 800 y. 1 est également soumise à son poids, modélisé par une densité linéique de force i telle que:

i

0

{"b(2 -+ I)} =

{"b(3-+1)}= B

y.

I

N

2'

Unités: newtons et mètres.

=

QUESTIONS 0

1 Exprimer en G défini par son abscisse x, les composantes du torseur des forces de cohésion dans :R( G, X, y, i). , r Exprimer en B les composantes du torseur d'encastrement {ü(2 -+ 1)} dans :R(B, x, y, i).

20

l

N=-200

0

Ty = 800 + 200 x, Tz = 0

2

0

{"b(2 -+ I)} =

{B

l

M,=

y. z)

(x.y,l)

0

Mfy = - 10

(

. (x,

.

M fz = - 120

rn

-+ F

~:~

M fz = - 800 x - 100 x 2

î~~o

0

o o

Un ressort est modélisable par sa ligne moyenne qui a la forme d'un cercle de rayon R. Ce cercle est ouvert en A, B. En A et B, ce ressort supporte deux actions mécaniques radiales ft et - ft (fig. 3.36),

RÉPONSES 1

O}

100 - 360 30

{-~40g} 20 0

0

Ty = - 240 , Tz =

{ A

g } - 2000 (x, y, 1)

[l]un arbre de machine 1 est modélisé à la figure 3.35 par sa ligne moyenne AB.

B x

Fig. 3.35. 1 est guidé en rotation par deux roulements que l'on peut modéliser en A et B par deux liaisons: - en A : liaison 2-1, sphérique de centre A ; - en B: liaison 3-1, linéique circulaire d'axe (B, x) ; - en C, l'arbre supporte une action mécanique extérieure modélisable par un torseur {"b(4 -+ I)} tel que:

Fig. 3.36,

QUESTIONS l' Soit une section droite (s.) de centre GI qui définit le repère :RI = (GI, XI' YI' il)' Exprimer dans :RI les composantes du torseur des actions de cohésion dans (S.).

67

Modélisation, résistance des matériaux, notions d'élasticité

-->

ZO Soit une section droite (~) de centre G2 qui définit le repère :Il 2 = (G2, x 2, Y2' z2)' Exprimer dans :Il 2 les composantes du torseur des actions de cohésion dans (~). 3° Dans quelle section droite a-t-on théoriquement une sollicitation de cisaillement simple?

RÉPONSES

t

IIFII

1° {bcoh}

(SI)

=

c,

0

0 0

0

IIFII

~ II F II ~ II F II

2° {bcoh}

(.\2) =

t

-->

X ~--+---

Fig. 3.37.

.L,."""

QUESTIONS

0

0

IIFIIRf

0

G2

y

-->

(X2,:>'2. '2)

3° Dans une section droite diamétralement opposée à l'ouverture A, B.

1 ° En un point 1W quelconque, soit une facette orientée par (M, n) et le repère :Il = (M, ii, t) correspondant. En posant (X, n) =~, exprimer les composantes u. et 'T., de è(M, n).

ZO Calculer la valeur particulière de l'angle ~ pour que la contrainte tangentielle l 'T ' f 1 soit maximale ( ~ 0 N < 0

extension compression.

On notera:

{T:>(1---+E)}

A

{:(1---+E)}

{T:>(2

B

{:(2

---+

E)} =

---+

E)}

et, puisque la poutre (E) est un équilibre:

1.2. ÉLÉMENTS DE RÉDUCTION EN G DU TORSEUR DES FORCES DE COHÉSION

1.1. DÉFINITION On dit qu'une poutre (E) travaille en extension simple quand les torseurs associés aux actions mécaniques de liaison, auxquelles sont soumises chacune de ses extrémités, se réduisent au centre de surface de ses sections extrêmes à une résultante axiale qui tend à l'allonger (fig. 4.1).

r:: Â(1k-~--~~E~

:Ja._-_?-L_--~

x

(a)

(b)

i

•

Limite de l'étude

..

i

Effectuons une section droite (S) de la poutre (E) et repérons le centre de surface G de cette par son abscisse x dans section droite :Ro(A, o, Yo, zo) lié à la poutre. Considérons le repère :R(G, X, y, z) de définition des sollicitations (fig. 4.2).

x

('1{.)

Yo

(1()

y

--+

A (1 --+E)

--+

A G - ( E 1 )-

x

N (5)

Fig. 4.2.

La poutre est soumise à l'extension simple si le torseur des efforts de cohésion

)

Fig. 4.1.

69

Modélisation, résistance des matériaux, notions d'élasticité

est tel que

\~

D'après la loi de Hooke, CT x = E. E X' il est alors évident que les contraintes normales u x sont les mêmes en tout point de la section droite (S). Nous avons vu au chapitre 3 que la déformation unitaire d'extension Ex n'est pas la seule et que dans le plan d'une section droite il existe une contraction notée E y telle que: E y = - liE x (V; E section droite) Il est le coefficient de Poisson (pour les métaux, Il ... 0,3). En général, dans les calculs de résistance ou de déformation, on néglige la variation de la section droite.

(N >0)

MG par conséquent:

1.3.

HYPOTHÈSE

1.6. Dans la plupart des applications, de l'extension (et de la compression) le poids de la poutre peut être négligé. Quand cela n'est plus possible, deux cas peuvent se produire: - la fibre moyenne de la poutre, repérée le plus souvent par l'axe (A, xo) est verticale; nous traiterons ce cas au paragraphe 3.4 ; - la fibre moyenne (A, xo) n'est pas verticale, la poutre est alors soumise à une sollicitation composée d'extension-flexion; nous traiterons ce cas au chapitre 8.

CONTRAINTE DANS UNE SECTION DROITE (S)

Considérons une section droite (S), de centre de surface G, d'une poutre tendue. Etudions l'équilibre du tronçon (El) (fig. 4.3). ('JU ~

A (1...~..E_)_----IrA-,--

y

(El) G (S) 1-------1- -

HYPOTHÈSE DE BARRÉ DE SAINT-VENANT

Les résultats de la résistance des matériaux ne s'appliquent valablement qu'à une certaine distance de la région d'application des charges concen, trées.

I

En tout état de cause, et pour l'étude des contraintes, seule une zone éloignée des perturbations causées par les charges concentrées sera prise en considération (fig. 4.1 b).

1.5.

___ X

1 1

x

1.4.

(~

~ ~ _crds

Xo

Fig. 4.3.

Les actions mécaniques extérieures à (El) sont modélisées par les deux torseurs : Torseur des actions de liaison 1 - E que nous avons déjà analysé au paragraphe 1.1.

Torseur des actions de cohésion que (E 2 ) exerce sur (El) à travers (S) {lJcoh } =

DÉFORMATIONS

G

\~MG j.

L'équilibre de (El) entraîne que:

Rappel de l'hypothèse de Navier et Bernoulli

I

{lJcoh } + {lJ(I

Les sections planes, normales aux fibres avant déformation, demeurent planes et normales aux fibres après.

Cette hypothèse, fondamentale pour la résistance des matériaux élémentaire, est très bien vérifiée par les mesures de laboratoire dans les sollicitations simples, donc en extension. Si l'allongement âx est le même pour tous les points d'une section droite (S), il s'ensuit que l'allongement âx est 1e meme en tout pomt de . . umtalre Ex = A

x

(S).

70

•

soit:

{lJcoh } = - {lJ(I

-+ -+

E)}

{a}

E)}

et par conséquent (relation 4 du paragraphe 1.3 du chapitre 3) :

Par conséquent, dans :R(G,

x,;, z) :

Extension compression Nous savons par ailleurs que (fig. 4.3) :

iI

R=

• Calcul de 1 an 1

(S)

a dS.

(1)

D'après l'hypothèse de Navier et Bernoulli: (a = Cte dans S) et en projetant les vecteurs de la relation (1) sur (G, x): N = aS. Nous écrirons donc:

a=~

1

max

et

1 T Dt 1

~x

Alors Rappelons que a x est la contrainte principale. 1T ni 1 est maximale quand 1sin 2 ({) 1 = l, soit pour TT

±4' alors:

1·

En extension: N :> 0, a:> O. Unités: N en newton, S en mm 2, a en MPa.

Montrons que

CONTRAINTE DANS UNE SECTION OBLIQUE (fig. 4.4)

ë (M, fi) est parallèle à X quelque soit

({).

Dans .'R on peut écrire que:

ë (M, fi)

1.7.

D

O.

({) =

({) =

1

1u

est maximale quand cos 2 ({) = 1 soit pour

avec:

a n fi +

=

T ni

î

fi = cos ({) X + sin ({)

î

Y

= - sin ({) X + cos (() Y

par conséquent: L'axe de la poutre est une direction principale. Dans une poutre soumise à une sollicitation simple d'extension, seule la contrainte principale a x est non nulle. Donc quels que soient Y et i du plan de la section droite: ax:>O, ay=O, az=O. ('lt o )

t

Ya ('lU

-.

Ux

C(M, fi) = T

-(1 + cos 2 ({) )(cos ({)X + sin (() Y) Ux - Tsin 2 ({) (- sin ({)X + cos(() Y)

soit: n

ê(M, li)

= u xcos ~X.

-->

A (1-->E)

A Conséquence Fig. 4.4.

Effectuons une section oblique (s) orientée par sa normale extérieure (G, fi) et soit (X, fi) = ({). Soit M un point quelconque de (S). Exprimons la contrainte ë (M, fi) dans le repère :R,(M, fi, î). Nous avons vu au chapitre 3 paragraphe 4.4.2, relations 6.

Il n'y a extension pure que pour les sections normales à la direction des forces extérieures (a est maxi pour (() = 0). Pour toute autre section, il existe en tout point ME (S) une contrainte tangentielle. Celle-ci est maximale en valeur absolue pour ({) = 45°.

1.8. CONDITION DE RÉSISTANCE Compte tenu de l'existence éventuelle d'un coefficient de concentration de contrainte k et si on adopte un coefficient de sécurité s, la condition de résistance pour une contrainte normale d'extension peut s'écrire:

avec ici

a y

= O.

ë(M,fi) (.'R)

ax an=T(I+cos2({) ax Tnl=-Tsin2({).

U max ~ U pe

avec

amax=k

N

S

(Je

et

a

pe =

s· 71

Modélisation, résistance des matériaux, notions d'élasticité

1.9.

D'après la loi de Hooke a x = Ee x N I1L avec a x = set. ex = L' on I1L !!...=E.

S

2.2.

RELATION ENTRE L'ALLONGEMENT J1L ET L'EFFORT NORMAL N

peut

écrire:

4.L

= NL

Effectuons une section droite (S) de la poutre (E) . et repérons le centre de surface G de cette abscisse x dans section droite par son :Ro(A, o, Yo, =0) lié à la poutre. Considérons le repère :R(G, X, y, z) de définition des sollicitations (fig. 4.6).

x

L

soit

ÉLÉMENTS DE RÉDUCTION EN G DU TORSEUR DES FORCES DE COHÉSION

f

ES

En extension:

a x:>

Nota: L'écriture

0, EX

N

:>

0,

('R...J y

Yo

--------'

I1L

:>

O.

....

= ~ suppose que l'allongement

A

est également réparti sur toute la longueur de la poutre.

-----

....

N

A (1 ....E)

G

x

(El)

Xo

(S)

X

Fig. 4.6.

La poutre est soumise à la compression simple si le torseur des efforts de cohésion

2.1.

DÉFINITION G

On dit qu'une poutre (E) travaille en compression simple quand les torseurs associés aux actions mécaniques de liaison, auxquelles sont soumises chacune de ses extrémités, se réduisent au centre de surface de ses sections extrèmes à une résultante axiale qui tend à la raccourcir (tï.g. 4.5).

est tel que:

R ( MG

=

Nx

=

Ô =0 Mfy = O.

MI

1

1

~_

A'-foo,oj'o+-I'

!Â(1 ....E) (b)

!

I~

_-=. -~""~i-";o.+_,,B,---

-- -__

B(2.... E)!

Limite de l'étude

{T>(l-+E)} {T>(2-+E)}

=

XO

l,

~I

On notera: A

{;(l-+E)};

B

{:(2-+E)};

et, puisque la poutre (E) est en équilibre:

72

M fz = 0

2.3.

Yo

Fig. 4.5.

(N 2 ~_ _ ~;~ (a)

(~J

HYPOTHÈSES

• La longueur L de la poutre doit être inférieure à 5 à 8 fois la dimension transversale la plus faible a: L < 8 a. La section de la poutre ne doit pas présenter une dimension trop petite a par rapport à la plus grande b: a ~ b ~ 1,5 a. Si ces deux conditions ne sont pas satisfaites, la poutre peut alors être soumise au flambage (ce cas sera étudié au chapitre 9). • Dans la plupart des applications de la compression, le poids de la poutre peut être négligé. Quand cela n'est pas possible, deux cas peuvent se produire: - la fibre moyenne de la poutre (A, xo) est verticale; nous traiterons ce cas au paragraphe 3.4 ; - la fibre moyenne (A, xo) n'est pas verticale, la poutre est alors soumise à une sollicitation composée de compression-flexion; nous traiterons ce cas au chapitre 8.

• Pour la compression, comme pour l'extension, les hypothèses de Barré de Saint-Venant ainsi que de Navier et Bernoulli seront vérifiées. Nous ne les rappèlerons pas mais nous en donnerons la conclusion: Les contraintes normales ü de compression sont les mêmes en tout point d'une section droite, pourvu que celle-ci soit suffisamment éloignée des points d'application des charges concentrées.

Nous savons par ailleurs que:

ff

R=

D'après l'hypothèse de Navier et Bernoulli: = Cte dans S) et en projetant les vecteurs de la relation (1) sur (G, x): N = ITS. Nous écrirons donc:

u=~.

1

SECTION DROITE (S)

A

....-

..

Â(1--.E) âds

(El):

x

En compression: N (I..-+E)} soit:

{1'>coh}

= -

{D}

Fig. 4.8.

Effectuons une section oblique (S) orientée par sa normale extérieure (G, ri) et soit (X, ri) = 'P. Soit M un point quelconque de (S). Exprimons la contrainte ê (M, li) dans le repère :R(M, li, î). Nous avons vu au chapitre 3, paragraphe 4.4.2. relations 6 ; ITx+lTy

{1'>(1..-+E)}

- - c=---

2

et par conséquent (relation 4 du paragraphe 1.3 du chapitre 3) : Avec ici

Soit dans :R(G, X,

y, Z):

lT y =

+

ITx-lT y

2

cos 2 'P

°

ê(M, li)

(:R)

IT x

Tnt = -

Tsin 2 'P

73

Modélisation, résistance des matériaux, notions d'élasticité • Calcul de 1u Il 1max et 11' lit 1max • 1u Il 1 est maximale quand cos 2 rp rp = O.

= 1 soit pour

Alors

3.1. ENVELOPPES MINCES

Rappelons que u x est la contrainte principale 1 Til/lest maximale quand 1sin 2 rp 1 = 1 soit pour TT

rp=±4" alors Conséquence Il n'y a compression pure que pour les sections normales à la direction des forces extérieures (1 u 1 est maxi pour rp = 0). Pour toute autre section, il existe en tout point ME (8) une contrainte tangentielle; celle-ci est maximale en valeur absolue pour rp = 45·.

2.6. CONDITION DE RÉSISTANCE Compte tenu de l'existence éventuelle d'un coefficient de concentration de contrainte k et si on adopte un coefficient de sécurité s, la condition de résistance pour une contrainte normale de compression peut s'écrire;

avec: l u max 1 = kINI ·S-

ue

et

u

= s'

pc

Une enveloppe mince est un organe capable de contenir un fluide sous pression et dont l'épaisseur est faible par rapport aux autres dimensions (tubes utilisés dans les transmissions hydrauliques, réservoirs de gaz comprimé etc...). Nous noterons P la pression effective et nous supposerons que P = Pint - Pext' la pression extérieure est le plus souvent la pression atmosphérique Po = 0,1 MPa.

Hypothèse Nous ne considérerons que le cas d'enveloppes possédant un plan de symétrie, (cylindre) ou un centre de symétrie, (sphère). Cette hypothèse permet en effet d'admettre que la répartition des contraintes normales dans l'enveloppe est uniforme.

Cas d'une enveloppe cylindrique Soit un réservoir cylindrique (E) de diamètre intérieur d, de longueur 1 et d'épaisseur e. Soit P la pression effective. Effectuons une coupure fictive par un plan de symétrie. Soit :R(G, X, Y ,Z) le repère de définition des sollicitations. Soit S l'aire de la section fictive: S = 2 el. Soit (S') la surface intérieure du demi réservoir (El) (fig. 4.9).

y.

(~)

2.7. RELATION ENTRE LE RACCOURCISSEMENT AL ET L'EFFORT NORMAL N D'après la loi de Hooke u x = E. avec u x

N

= -

S

on peut ecnre: ..

et N S

EX

=

x

EX'

-~

= -t:.L .

L Et:..L .

T

soit

Fig. 4.9.

En compression: u x




-->

F = r,~F

Fig. 5.6.

(P)

Considérons le tronçon (E]) de (E) (fig. 5.7).

Ya ('1l a )

B (E 1)

A

2.3. RIVETS

G

-~

~----

-----x

( S)

(S')

(fig. 5.4)

La section (S) du rivet est principalement sollicitée au cisaillement. Le moment résultant MG du torseur de cohésion {lJcoh } n'est pas nul, il en résulte une flexion du rivet (fig. 5.5) dans le cas de glissement des tôles et s'il existe un jeu entre le rivet et son logement.

y

('1l) ~x

xa

Fig. 5.7.

-->

-->

F= UF

La réduction au centre de surface G de (S) du torseur des forces de cohésion s'écrit:

I

R

G

MG

= -

--

i

= - GD "F

En projection dans le repère :R = (G, section (S) on obtient: Fig. 5.4.

N =0

)

x, ;, z) lié à la

M1=0

llill;

Mfy = 0

Ty = Tz = 0

M fz

= -

Ilili .ix

soit Fig. 5.5.

11;11

G

(1)

10

83

Modélisation, résistance des matériaux, notions d'élasticité Pour que cette modélisation soit conforme à la définition de sollicitation au cisaillement de la section (S), il est nécessaire que .1x soit nul, ce qui n'est pas possible. On peut par contre réaliser l'essai avec un .1x très petit, alors on peut négliger M fz = O.

La valeur de k varie avec les dimensions de l'éprouvette. On constate qu'avec: -

en abscisse, le rapport .1y

.1x

appelé glissement

relatif ou déviation y en un point de la section droite (sans unité) ;

3.2.

RÉSULTATS De: L'ESSAI

-

Au cours de l'essai, la section droite (S') (fig. 5.8) glisse transversalement de .1y par rapport à (S). On admet que ce glissement se fait sans déformation interne de (S) et (S').

en ordonnées, le rapport

Il ~ Il

appelé effort

unitaire de cisaillement (en MPa). Nous obtenons des courbes identiques qui ne dépendent que du matériau de l'éprouvette. On note:

(1) (S) (S')

Eprouvette

1

G est le module d'élasticité transversale ou module de Coulomb. y est le glissement relatif ou déviation.

-iG-------

A

(E 2 )

1

=

/ -->

-->

F='LI1F

/

Fig. 5.8.

La courbe enregistrée (fig. 5.9) au cours de l'essai donne la relation entre l'intensité de la force ft et le glissement transversal .1y de la section (S') par rapport à (S). F(N) B

c

i:

Unités: Il ft Il (en newton); S (en millimètre carré); .1y et .1x (en millimètre) ; G (en mégapascal). Donnons les valeurs moyennes de G pour certains matériaux: Aluminium: AS13; AU4G: Fontes: Cuivre: Aciers: Tungstène:

28000 MPa 32000 MPa 40000 MPa 48000 MPa 80000 MPa 160000 MPa

l1y(mm)

o

Fig. 5.9.

Sur la courbe figure 5.9 on distingue deux zones: - la zone DA des déformations élastiques ou domaine élastique; - la zone ABC des déformations permanentes ou domaine plastique.

5.1. CONTRAINTE MOYENNE DE CISAILLEMENT Considérons l'équilibre du tronçon (El) (fig. 5.10). y

Dans la zone des déformations élastiques il y a proportionnalité entre le glissement transversal .1y et l'effort de cisaillement Il ft II·

---x

xo

Fig. 5.10.

84

x

:R.o = (A, o, Yo, zo) est le repère lié à la poutre. :R. = (G, X, y, z) est le repère lié à la section

tangentielle moyenne limite élastique

"~;

(S).

Nous avons vu au paragraphe 3.1 ci-dessus que la réduction du torseur des efforts de cohésion au centre de surface G de la section (S) s'exprime par:

l

T.

(2)

1

De la même façon on détermine la charge maximale F max et la contrainte tangentielle moyenne de rupture 'T,..

~

d'où:

Mf.y

Soit

= 0;

5.3. CONTRAINTE PRATIQUE DE

di

l'effort de cohésion que (E 2 ) exerce sur (El) en un point M de la section (S). Si on admet que .ax est très petit et qu'en conséquence Mf. = 0 on se trouve alors dans les conditions du cisaillêment simple. Dans ce cas théQ!jque nous admettrons que les efforts de cohésion d! sont uniformément répartis dans la section (S) et parallèles à 1'. On en déduit que: CT x =

-.

et

-.

C (M, x)

0

di

-. .

= dS = T xy y

di

Si est uniformément réparti dans (S) il en résulte que T x est uniformément répartie dans la section droite (S). Cette hypothèse n'étant qu'approximative et pour éviter toute confusion avec la vraie valeur de la contrainte tangentielle en un point M de (S), nous noterons:

(1)

REMARGUE

1

CISAILLEMENT Elle est définie par :

l

"(gaz .... I)}=

o

3

4

A

_ 1:)

___

x

• Si on néglige les actions dynamiques sur la bielle 2 celle-ci est en équilibre sous l'action de deux glisseurs dont les résultantes ont pour support l'axe de la bielle. On en déduit que dan~ la position de la figure, le torseur des actions de contact du coussinet 3 sur l'axe 4 est modélisable en A par un glisseur:

{A~3 . . ~)}

{T:>(3 .... 4)} = A

{T:>(3 .... 4)} = A

1= 1Ad Fig. 5.11.

Le plan (A, y, z) est un plan de symétrie pour le mécanisme et pour les charges qui lui sont appliquées. Le diamètre du piston est D = 56 mm et la pression effective maximale qui s'exerce sur le piston est Pl = 0,7 MPa (= 7 bar) lorsque l'axe de la bielle est confondu avec celui du piston. Le but poursuivi est le calcul du diamètre de l'axe 4. Le principe de ce calcul est le suivant: - détermination directe des dimensions de l'axe 4 d'après la condition de graissage (la condition de non matage étant moins contraignante ne sera pas prise en compte). La pression admissible au contact 3-4 est: P3

~4MPa;

{-~724~} . 0 0 (x,y.z,

MA

tel que dans (x,

y, i)

=0

{~(3"" 4)

O}

o o

0

. (x, y,1)

• La liaison du piston 1 avec le cylindre 0 est modélisable par une liaison pivot glissant sans adhérence. L'action du cylindre sur le piston est donc modélisable en A par le torseur: X(O""

{T:>(O .... I)}= A

1)

0 { Z(o .... l)

L(O ....

I)}

0 N(O-.l)

. (x,Y.n

L'équilibre de E = {l, 4} se traduit par:

ce qui permet d'écrire en A et dans (x,

- 1 724 +

y, i) :

X(O .... 1) =0 Y(3 -.4) = 0

Z(O -. 1) = 0 L(O .... I) =0

d'où

N(O-.I)=O Y(3 -.4) = 1 724 (N)

soit

- vérification des dimensions trouvées ci-dessus en calculant la contrainte moyenne de cisaillement dans l'axe. Le matériau de celui-ci est de l'acier doux XCl8 pour lequel U e = 265 MPa.

A

o {01724

O} 0 0

. (1,y, Z')

QUESTION 1 Déterminer les éléments de réduction en A du torseur des actions mécaniques { 'G (3 -. 4 )} .

QUESTION 2

RÉPONSE

En admettant que la pression moyenne sur le coussinet 3 a pour expression:

On considère l'équilibre de l'ensemble E = {l, 4}. • L'action de pression des gaz sur le piston 1 est modélisable en A par le glisseur:

F

p""'Y = Id et en adoptant pour la largeur 1 du coussinet la valeur 1 = 1,4 d déterminer le diamètre extérieur d de l'axe 4 en fonction de la pression au graissage entre 3 et 4.

86

RÉPONSE L'expression de la pression moyenne entre 3 et 4 permet d'écrire:

P moy

=

RÉPONSE

Il  (3

soit

-->

4)

Il

La contrainte tangentielle limite élastique XCI8 a pour valeur approximative:

1,4 P moy

d

Mf, dans les sections (8) et (8') qui dans cette hypothèse sont sollicitées uniquement au cisaillement. On choisit un coefficient de sécurité s = 5. Déterminer le diamètre intérieur di de l'axe 4.

=17,5mm.

1" e

= 0,5

1" e

de l'acier doux

= 0,5 x 265 = 132,5 MPa .

U e

On en déduit la contrainte pratique de cisaillement dans les sections (8) et (8')

QUESTION 3 On se propose de vérifier l'axe 4 de diamètre d = 17,5 mm au cisaiUement simple. On adopte pour cette construction un coefficient de sécurité s = 5.

1"

p

=~ = 132,5 = 26 ' 5 MPa . s 5

La condition de résistance au cisaillement a pour expres-

RÉPONSE

sion:

La contrainte moyenne de cisaillement dans une section (8) a pour expression:

ITI

1

~T",;

1"p

soit

(1)

l1"moy\ = 8 ·

Il y a deux sections (8) et (8') sollicitées au cisaillement. Pour chacune d'elles l'effort tranchant a pour valeur:

d2_

di ",;

41 TI

=

175 2

TT 1" p

ITI =

Il  (3 -.4) Il = 1 724 = 862 N 2

di"';

2

la relation (1) s'écrit:

,

_

4 x 862 TT

x 26,5

16,2 mm.

QUESTION 5

862 x 4 11" moy 1 = 2 = 3,58 MPa . TTx17,5

En Conction du résultat du 4' la rigidité de l'axe 4 vous paraîteUe convenable? conclusion.

La contrainte pratique au cisaillement a pour expression:

RÉPONSE L'épaisseur de l'axe 4 est très faible Pour l'acier doux XCI8 on peut admettre que d'où:

= 0,5

1" p

s

u e

1" e

= 0,5

U

e

= 0,5 x 265 = 26,5 MPa 5

1U mOl 1 est très inférieur à 1" p' on peut donc admettre sans calcu plus précis que l'axe 4 est largement vérifié au cisaillement simple.

QUESTION 4 Compte tenu de la trés Caible contrainte tangentieUe moyenne dans la section (8) on décide d'évider l'axe 4. Dans une première approche on néglige le moment de ftexion

e = d- di = 17,5 -16,2 = 0 65mm. 2 2 ' Nous savons que le moment de flexion Mf, dans les sections (8) et (8') n'est pas nul. Il en résulte une déformation en flexion de l'axe 4. Il faudra donc augmenter l'épaisseur de l'axe 4 et en déterminer le diamètre intérieur par un calcul de rigidité en flexion. A priori un diamètre intérieur di = 12,5 mm semble plus convenable, ce qui correspond à une épaisseur e = 2,5 mm pour l'axe 4. En conclusion de cette étude, dans le cas d'un axe d'articulation avec mouvement relatif au contact de l'axe, la condition de graissage est prépondérante par rapport à celle de résistance au cisaillement.

87

Modélisation, résistance des matériaux, notions d'élasticité

EXERCICES AVEC SOLUTIONS

l1J

La figure 5.12 représente la liaison pivot de la barre 1 avec le support 2 par l'intermédiaire de l'axe 3. L'axe 3 est en acier E28 pour lequel U e = 250 MPa et Te = 125 MPa.

poulie. Cette clavette est en acier E24 pour lequel U e = 215 MPa et Te = 108 MPa. On adopte un coefficient de sécurité s = 3. La pression maximale admissible au matage sur le flanc AB du contact poulie-clavette est supposée uniforme et a pour valeur p = 30 MPa. On donne AB = 4 mm. On admet que la résultante F des actions de contact sur le flanc de la clavette est perpendiculaire à la surface de contact et que son support est situé à la distance ïd de l'axe de l'arbre 1.

QUESTIONS l' Déterminer la norme de

F.

2' A partir de la condition de non-matage du flanc de la clavette, déterminer la longueur minimale J de ceUe-ci. 3' Vérifier la longueur de la davette à partir de la condition de résistance au cisaillement de ceUe-ci.

RÉPONSES

....

F

l'

IIFII

= 4062,5 N .

2' 1 ~ 33,85 mm. 3' 1 ~ 11,28 mm.

Fig. 5.12.

Il Il

L'effort maximal sur 1 est F = 3000 N. Pour cette construction on adopte un coefficient de sécurité s = 2,5.

QUESTION Déterminer l'effort tranchant dans la section de l'axe 3 sollicitée au cisaillement et le diamètre d de cet axe.

[J]

La figure 5.14 représente un plancher 3 en appui plan parfait sur une plaque 2 en acier. Cette plaque est soudée sur un poteau 1 en tube d'acier de diamètre extérieur d = 300 mm. La liaison 1-2 est obtenue par deux cordons de soudure continus de largeur 6 mm. L'action du plancher 3 sur la plaque 2 est modélisable en A par un glisseur d'axe CA, x) tel que:

RÉPONSE"

ITI

=3000N;

d~8,74mm.

œ

La figure 5.13 représente la section d'un arbre cylindrique en acier XCI8 pour lequel u e = 265 MPa. Le couple transmis par cet arbre a pour valeur M = 65 Nm. Un calcul préalable de résistance a permis de déterminer le diamètre d = 32 mm de cet arbre.

3 2

1 d 1

------~-------

QUESTIONS l' Déterminer la surface de la section sollicitée au cisaillement pour l'ensemble des deux cordons de soudure. l' Détenniner la contrainte moyenne de cisaillement dans chaque cordon de soudure.

Fig. 5.13. On se propose de déterminer la longueur d'une clavette parallèle, forme B Cà bout plat), de section 10 x 8 destinée à la liaison en rotation de cet arbre avec une

88

RÉPONSES l' s= 11309,7mm2• 2' T moy = 5,3 MPa.

[!J p~~r p~~;~~~~ l~-chai~; cinématique U'illle machine

on utilise au niveau de la liaison des arbres 1 et 2 (fig. 5.15) un dispositif de sécurité qui comprend un manchon 3 et deux goupilles 4 et 5.

On se propose de déterminer le diamètre d de l'axe 13. La figure 5.16 b précise le repère jl, = (D, X, ji, i) lié à l'axe 13. Unités: longueur en millimètres, force en newton. Les actions mécaniques sur l'axe 13 des paliers 14 et 15 et du levier oscillant 5 sont modélisables respectivement en A, B, C par les glisseurs:

tel que:

A(l4-+13)=-3600ji {'b(l5 -+ 13)} =

tel que:

B

{:(l5 -+ 13)}

B(l5 -+ 13) = - 3 600 ji

Fig. 5.15. {'b(5 -+ 13)} = c {;(5 -+ 13)} Le diamètre des arbres 1 et 2 est de 20 mm. On fixe la valeur maximale du moment du couple à transmettre à Pl(l -+ 2) Il = 60 Nm. Les goupilles 4 et 5 ont le même diamètre d, elles sont en acier A33 pour lequel fT, = 330 MPa et T, = 150 MPa.

QUESTIONS 1° Déterminer l'effort tranchant sollicitées au cisaillement.

1

TI

dans les sections

2° Déterminer le diamètre d des goupilles.

tel que :

ë (5 -+

13)

=

7 200 ji.

La figure 5.16 a montre d'une part que l'axe 13 présente deux sections (S,) et (S2) sollicitées au cisaillement et d'autre part qu'un graissage est prévu pour la liaison pivot 5-13 entre les sections (SI) et (S2). La pression admissible de graissage a pour valeur p = 15 MPa. L'axe 13 est en acier XC 18 pour lequel fT e = 265 MPa et Te = 150 MPa. On adopte un coefficient de sécurité s = 3.

RÉPONSES 1° ITI = 3000N. 2° d= 5 mm.

QUESTIONS

~Lafigure 5.16 représente en coupe la liaison pivot du levier oscillant 5 avec le bâti d'une presse pneumatique. Cette liaison pivot est obtenue à partir de l'axe 13 et des paliers 14 et 15 liés au bâti o.

1° Déterminer le diamètre d de l'axe 13 à partir de la condition de graissage.

r Déterminer T p et vérifier l'axe 13 à partir de la condition de résistance au cisaillement.

D ,

-->

A (14-->13)

(Sd

"

B (15-->13)

" MA la déformation devient plus importante et en partie permanente. L'essai se termine en B par la rupture de l'éprouvette. a

92

Fig. 6.5.

Torsion simple

Dans le repère M(x, YI' 2 1 ) on peut écrire que: T ", • il est la composante algébrique sur il du vecteur XE, contrainte ê(M, x). _ ~ df Par définition: C(M, x) = d8'

ê(M, x) =

T

x

on en déduit que:

ii1 = T

XE

1

x

(4)

dS. il

Fig. 6.7.

3.2.

L'effort de cohésion en M a pour expression:

LOI DE HOOKE

d7 =

Si nous considérons (fig.6.6) un petit élément de longueur .:1x d'une fibre avant et après déformation, on constate que celui-ci a subi une déviation 'Y M tout à fait comparable à celle que nous avons observé dans l'étude du cisaillement simple. La loi de Hooke pour les contraintes tangentielles s'exprime par:

T xZI

dS . il .

Dans la zone des déformations élastiques, y M est très petit d'où: arc Mo M

= ap

= y MX.

La déviation y M s'exprime alors par: TM =

Gy

(5)

1·

M

G est le module d'élasticité transversale ou module de

d'après (2) on obtient:

Coulomb. 'YM= fJp.

y

La relation (5) s'écrit alors: M1

-.......t.

Mo M

(6)

-

--r....

~ - - - - - ~--

x

!'J.x

Fig. 6.6.

T XZ]

est la composante algébrique sur 2 1 de la

contrainte ë (M, x). G est le module d'élasticité transversale ou module de Coulomb. p est la distance du point M au centre de surface G de (S). () est la valeur algébrique de l'angle unitaire de torsion. Unités:

Unités: TM en mégapascals, G en mégapascals, y M en radians.

3.3. RÉPARTITION DES

T XZI

en MPa, G en MPa, () en rad/mm,

p en mm.

Dans l'expression (6) G est constant pour un matériau donné et () est constant tout le long de la poutre, donc la valeur absolue de T XZI est proportionnelle à p d'où la répartition de T xzl (fig. 6.8).

CONTRAINTES DANS UNE SECTION DROITE (S) Considérons une section droite (S) distante de xde (S1) (fig. 6.7). Soit Mo un point de (S) situé à la distance p de G. Après déformation Mo vient en M tel que (GAia, GAi) = a

et

(A1;Mo, A1;M)

=

Y M'

Fig. 6.8.

93

Modélisation, résistance des matériaux, notions d'élasticité La contrainte en un point de nulle. La ligne moyenne est appelée La contrainte est maximale éloigné de la fibre neutre. On Pmax

la ligne moyenne est fibre neutre. au point M le plus pose généralement:

fréquence d'utilisation. Pour assurer une rigidité convenable de la transmission, on impose une limite à l'angle unitaire de torsion: (8)

1·

B ,.:; B limite

= Il.

On adopte généralement: Blimite

soit

= 0,5' /m

B'imite =

TT 0,5 x 180 x

10

- 3

ra d/mm.

4.1. ÉQUATION DE DÉFORMATION ÉLASTIQUE Dans une section droite (S) le moment en G du torseur des efforts de cohésion a pour expression (fig. 6.7) :

5.1. d'après la relation (4) du paragraphe 3.1 on peut écrire que: --+ MG

- Il = $(S)PYl

---> MG = $

(S) pT xZI

T xz1

EXPRESSION DE LA CONTRAINTE DE TORSION EN FONCTION DE Mt

dSz- j Nous avons vu au paragraphe 3.3 que dans une section droite, la contrainte en un point M situé à la distance P de la fibre neutre s'exprime par la relation:

dS x- .

Le moment de torsion en G a pour expression:

soit

T XZ1

---> Mt=M G • X Ml = $(s) pT xZI dS.

= GBp.

Nous avons vu au paragraphe 4.1 que le moment de torsion Ml au centre de surface G d'une section droite Mt = GBJ o. s'exprime par la relation: En éliminant l'angle unitaire de torsion B entre ces deux expressions on obtient:

D'après la relation (6) on peut écrire alors que:

Mt = $(S) GBp 2dS = GB$(S)p 2 dS. Nous avons vu au chapitre 2 que $ (S) P 2 dS est le moment quadratique polaire Jo de (S) par rapport à l'axe (0, x), d'où:

~ = GfJl o 1.

(1)

(7)

Unités: Ml en Nmm, G en MPa, B en rad/mm, Jo en mm4 . Nota: Dans la relation (7) MI et 0 sont algébriques.

Dans cette relation (1) : T xZI est algébrique (T M =

T XZj •

z,) ;

-+

Ml est algébrique (MI = Mt x) ; P est positif (distance entre G et M) ; Jo est positif.

4.2. CONDITION DE RIGIDITÉ

Unités: Mt en Nmm, Jo en mm4 ; P en mm, T XZ, en MPa.

Dans les applications où l'arbre de transmission tourne relativement vite (N:> 750 tr/min) on doit limiter les déformations de torsion de l'arbre pour éviter les vibrations importantes et surtout pour éloigner les fréquences critiques de rotation de la

Dans certains cas Mt n'est pas constant tout le long de la poutre (arbre soumis à trois torseurs couples). Désignons par 1Mil max le moment de torsion maximal dans la poutre. Désignons par v la valeur maximale de p (dans le cas de notre étude v = R, rayon de l'arbre cylindrique de révolution).

94

Torsion simple La contrainte maximale de torsion s'exprime alors par:

5.3. CONDITION RÉELLE DE RÉSISTANCE A LA TORSION

(2)

Unités: 1T xz1 1max en MPa, mm4, ven mm.

IM,I max

en Nmm, Jo en

Nota: Dans le cas de notre étude, la section droite est

circulaire de diamètre d. Le rapport

(~

) quelque-

fois appelé module de toniÏon a pour expression: 10

7Td 3

v=16'

RÉSISTANCE A LA TORSION

Contrainte limite élastiqueT e C'est la contrainte correspondant au point MA (fig. 6.4J qui limite dans l'essai de torsion simple la plage des déformations élastiques:

MA =

(~)

Les relations précédentes ont été établies dans le cas d'une poutre cylindrique de section circulaire constante. Dans la réalité, pour transmettre un couple il est nécessaire de monter sur l'arbre, des poulies, des roues dentées, etc. La liaison en rotation de ces organes de transmission du couple est obtenue généralement par l'intermédiaire de clavettes, de cannelures ou de goupilles. La liaison axiale de ces organes de transmission du couple, les conditions d'usinage des portées cylindriques pour ces organes et pour les paliers de guidage en rotation de l'arbre, nécessitent des dégagements et épaulements divers. Pour toutes ces raisons la section de l'arbre n'est pas constante tout le long de l'arbre.

Concentration de contraintes

5.2. CONDITION THÉORIQUE DE

Te

Validité de l'hypothèse initiale sur le solide

.

Les variations de section dues aux rainures de clavettes, épaulements, etc., provoquent localement des concentrations de contraintes. La contrainte théorique doit donc être multipliée par le coefficient k de concentration de contrainte qui dépend essentiellement des proportions et du type de variation de la section. Exemples - Variation de diamètre pour épaulement et congé (fig. 6.9 J.

Nota: Cette contrainte limite élastique est sensiblement la même que cellé trouvée lors de l'essai de cisaillement.

Fig. 6.9.

~

Contrainte limite pratique Tp

0,1

0,05

0,02

1,09

1,3

1.5

1,7

1,2

1,5

1,7

2,5

1,5

1,7

2,2

2,7

Dld

C'est le rapport de la contrainte limite élastique par un certain coefficient de sécurité s:

(3)

-

Rainures de clavetage (fig. 6.10 J.

Le coefficient s dépend du type de construction réalisée.

Fig. 6.10.

Condition de résistance Elle s'exprime par la relation:

(4)

rie

0,5

0,3

0,2

0,1

k

2,1

2,7

3.5

5,4

95

Modélisation, résistance des matériaux, notions d'élasticité

Condition réelle de résistance à la torsion Elle s'exprime alors par: kiT xz 1

lmax "" T

(5)

p

k est le coefficient de concentration de contrainte de torsion, déterminé par l'usage de tableaux ou d'abaques appropriés.

5.4.

z,

CAS PARTICULIER DES MATÉRIAUX POUR LESQUELS

C'est le cas de la fonte pour laquelle la contrainte limite de résistance à l'extension est inférieure à la contrainte limite de résistance au cisaillement. Dans le cas d'un cylindre de révolution, la sollicitation de torsion correspond à un état de cisaillement pur (fig. 6.11).

Fig. 6.12.

L'état de cisaillement pur suivant les axes (M, X) et (M, Y) permet d'écrire que (chapitre 3, paragraphe 5.4) :

La construction graphique de M6hr (chapitre 3, paragraphe 4.4.2) permet d'évaluer T xZl au point M. Sur l'axe (M,

X)

on porte (fig. 6.13) :

MA = u x avec MB

---

=

u

X
(6_1)} =

ft = -"2

D {:}

= -

2S0 2

tel que dans:Jl.:

ft = S002.

On se propose de déterminer MA et M B · Exprimons tous ces torseurs au point C :

On considère une barre de torsion 1 en acier, constituée par un cylindre de révolution de diamètre d = 20 mm encastré à ses extrémités A et B dans deux supports fixes 2 et 3 supposés indéformables (fig. 6.14). y

{T>(2 _ I)}

=

{T>(4_1)}

6

a~D

a

{T>(S _ I)}

3

x

{T>(6_1)} =

{ c

ft~}.

cDl\F

Le principe fondamental de la statique permet d'écrire en C:

ft

ft

-"2 -"2 + ft = 6

Fig. 6.14. 0x

..,...,+-MA + M B + CE

1\ -

(1)

ft~ ftcD4~ "2 + C l i 1\ - "2 + C 1\ F = 0 .

(2)

z

Une tige rigide CD perpendiculaire à AB permet par une liaison rotule 6-1 d'exercer en D une force F perpendiculaire à CD et située dans le plan de section droite passant par C. E et H sont les centres de deux roulements à billes dont l'angle de rotulage est suffisant pour assimiler ces deux liaisons à deux liaisons linéiques circulaires. E et H sont disposés symétriquement à la distance a de C. On note: :R = (A, X, y, z). On donne: AC = /1 = 0,30 m; C B = /2 = 0,40 m ; d= 20 mm ; CD = b = 0,20 m; EC = CH = a = 0,02 m; = 500 N; G = 8.10 4 MPa.

La relation (1) ne comporte pas d'inconnue. Ecrivons dans (A, X, y, 2) les équations de projection relatives à (2) : MA + Mn- a

Il; Il

+ a Il; Il + b Il ft Il

=

0.

(3)

L'équation (3) comporte deux inconnues MA et M B • Le système de forces est donc hyperstatique d'ordre 1. On obtient une deuxième équation à partir de l'étude des déformations. Soit a 1 la déformation angulaire de la section C par rapport à la section A. Soit a2 la déformation angulaire de la section C par rapport à la section B. Entre les sections fixes A et B on obtient:

Ilfll

97

Modélisation, résistance des matériaux, notions d'élasticité Nous avons vu au paragraphe 2.2 que:

d'où (4)

D'après la relation (7) du paragraphe 4.1 on peut écrire: M'2

Mil

fJ'=ill

et fJ 2 =ill' o 0 Dans la relation (4) exprimons fJ 1 et fJ 2 et simplifions par Gl 0' on obtient:

On considère un arbre cylindrique creux de diamètre intérieur d = 20 mm. Sa longueur utile entre les sections A et B est 1 = 600 mm. Le diamètre extérieur D est à déterminer. Cet arbre est en acier pour lequel: Te

= 130 MPa

=8x

et G

10 4 MPa .

La valeur maximale du couple à transmettre est de 50Nm. La variation de section entre A et B provoque une concentration de contrainte de valeur k = 1,7. On s'impose pour cette construction un coefficient de sécurité s = 3.

Pour le tronçon AC, on peut écrire

Pour le tronçon CB, on peut écrire

Détermination de D à partir de la condition de résistance

d'où (5)

La relation (5) du paragraphe 5.3 exprime la condition de résistance en tenant compte du coefficient k de concentration de contrainte:

Les relations (3) et (5) permettent de déterminer MA et

kiT xz 1 1max ,,;; Tp

Ms'

(1)

'

Les relations (2) et (3) du paragraphe 5 nous permettent d'écrire: MA = - 42,857 (Nm); Ms = - 57,143 (Nm). Exprimons le moment de torsion le long de la poutre AB: - entre A et C : Mil

-

= -

MA = 42,857 (Nm) ;

et

La relation (1) s'écrit alors: klMtl max v

entre C et B:

La relation (2) du paragraphe 5.1 permet de déterminer la contrainte maximale de torsion : 1

T

"'\

max

avec:

~

x 16 1T203

)

d

4)

32

10 =

;

16klM,I max D

T

1T (D 4 _

d 4)

S 4

L'angle dont a tourné la section C par rapport à la section fixe A est défini par la relation (7) du paragraphe 4.1.

= GfJ 1 ID avec

e

--~-~-";;-.

l 'T XZJ 1max = 36,3 MPa .

Mil

7T (D

4_

d'où

= IM,l max = 57143 (

s

10

M '2 = Ms = - 57,143 (Nm) .

I

Te

,,;;-

-~;---

al

fJ,

=T

.. t 16 x 1,7 X 5.10 D N umenquemen : 4 4 7T(D - 20 )

130 7T(D 4 _ 20 4 )

-

3

X

16

X

1,7

X

130 3

,,;; -

•

5.10 4 D ~O

408,4 D 4 - 408.10 4 D - 6534,5127 .10 4 ~ O.

1

d'où

98

M'l'l GI o

al

1Td 4

avec

10 =

32

42857 x 300 x 32 = 0,01 rad 8.104 x 1T X 20 4

al

=

al

= 0,586 degré.

Notons f(D) = 408,4 D 4 - 408.10 4 D - 6534,5127.10 4 .

Donnons à D différentes valeurs: a, b, etc. Sif(a).f(b) .f la flèche élémentaire axiale relative à l'élément de longueur M du ressort: D t>.f"""2t>.a.

T ult

=:::

Te

D'après (7) : t>.f avec

8 PultD T ult

=

7Td

= ~ . () . M. 4

3'

D'après (5) et en posant /0

7Td = 32 : 2

t>.f=8PD • M . 7TGd 4

Limite élastique de l'acier à ressort Les aciers à ressort ont des caractéristiques élastiques élevées. Citons par exemple l'acier au chrome vanadium 50CV4: G = 82.10 3 MPa , Te = 560 MPa , ( T p "" 300 MPa (par exemple) .

(8)

La flèche totale f est la somme des t>.f pour toute la longueur du ressort. En prenant pour longueur approximative de celui-ci: I t>.l "" n7T D, où n est le nombre de spires utiles, on trouve d'après (8) :

(9)

Avec d'autres aciers plus élaborés on peut atteindre Te = 800 MPa.

8.5.

ÉTUDE DE LA DÉFORMATION

Isolons un tronçon de ressort, de longueur M très petite (fig. 6.19). Sur cette longueur, le ressort peut être assimilé à une poutre droite AB soumise au moment de torsion:

f

: mm,

P D n G d

: : : : :

N, mm, sans unité, MPa, mm.

Expression de la ridigité On sait que: k et donc d'après (9) :

=]:

Gd 4 8IYn

(5)

' " do

"",0"1

7~,;e.:;~_.J~cx

k=--.

REMARQUE

'~

Le nombre de paramètres de définition d'un ressort hélicoïdal à fil rond est de quatre: D, d, n, ho. On dispose pour leur détermination des trois relations:

8 Pm•• D

Tmax::S:::T p

avec

T max

T ult ~ Te

avec

T ult

=

7Td 3 8 Pu1tD = 7Td 3

'

Fig. 6.19.

D'après l'équation de déformation élastique: (6)

102

Une condition supplémentaire d'encombrement, de proportion ou autre est donc nécessaire.

Torsion simple

8.6.

on prendra le nombre normal

EXEMPLE DE CALCUL D'UN RESSORT

Déterminer les caractéristiques d'un ressort de compression hélicoïdal à fil rond dont le cahier des charges précise : 1° Le ressort doit être guidé dans un tube de 0 52. r Charge maximale en fonctionnement normal: P max 500N. 3° Rigidité approximative: k = 18 N/mm. 4° Caractéristiques de l'acier de construction utilisé :

=

G

=84.10 3 MPa; 'T e =600 MPa; 'T = 400 MPa . p

Solution • Condition d'encombrement Pour assurer une certaine liberté dans le tube de 0 52, nous prendrons:

D + d= 50.

1

d = 5,5 mm.

1

• Méthode ntilisant nn programme de calcul rédigé en BASIC -- Principe de la résolution de

Posons d =

V

Trd 3 + 10 d - 500 "" O.

500 -:. 10 d .

Notons: X valeur de d à substituer dans le membre de droite. On rentrera X = 5 (même justification que précédemment). y valeur de d correspondante dans le membre de gauche. r compteur d'itération qui augmentera d'une unité à chaque itération. N nombre maximal d'itérations autorisées. Remarqne: La connaissance de d à 0,01 près est très. suffisante. Nous limiterons également le nombre d'itérations à N = 10. - Organigramme de résolution: (fig. 6.20).

(10)

• Condition de résistance pratique

(II)

soit • Condition de déformation f =

8 PD 3 n

GT

Gd 4 avec P = kf donc k = 8 D J n ' l2D 3 n=7.IO J d 4 •

soit

(12)

Le système (10), (11) permet la détermination des deux inconnues D et d. Le calcul doit nécessairement commencer par d car c'est un nombre normal. Après élimination de D on obtient:

Pour résoudre une telle inéquation on peut utiliser une méthode graphique; on peut également utiliser un programme ou alors procéder par approximations successives. • Méthode par approximations successives Notons f(d) = 'TT'd 3 + 10 d - 500. Le calcul de la fonction dérivée: j'Cd) = 3 Trd 2 + 10, montre que j' (d) :> 0, quel que soit d. La fonctionf(d) est donc: définie quel que soit d, continue, monotone, croissante. Elle admet donc une seule racine réelle. Donnons à d différentes valeurs: a, b, etc. si

f(a).f(b)

Fig. 7.8.

(b)

3.4.

A (2-->1)

Compte tenu des hypothèses générales du paragraphe 3.1, les actions mécaniques de liaison de 2 sur 1 peuvent être modélisées en A par le glisseur :

{'G(2 -+ I)}

=

A

{;(2 -+ I)}

.

Dans notre cas de figure et dans le repère :R, on obtient:

{'G(2 -+ I)}

=

(-

IIÂ(~ 0

A

-+

1)11 o01 o

118(2 -+ 1) Il y.

-

118(2 -+ 1) Il

est constant entre

LIAISON LlNÉIQUE CIRCULAIRE D'AXE (A, x) (fig. 7.10)

Supposons que le guidage en rotation de 1 par rapport à 2 soit obtenu à partir de roulements à billes de type BC ou BS et que ces roulements possèdent un angle de rotulage suffisant pour compenser la déformation de flexion de 1 (fig. 7.10 a). 2

y ~ ~ ~ (x, y, z)

2e cas : la longueur du contact est grande (fig. 7.9)

o

X

(a)

y

2 y

o

2

x

o

X

(a)

y

(b)

C

dx

A

0


1)

--> A (2-->1)

(b)

Compte tenu des hypothèses générales du paragraphe 3.1, les actions mécaniques de liaison de 2 sur 1 sont modélisables par une charge répartie le long du segment CD situé dans le plan de symétrie (0, X, y) de la poutre.

o

A

X

Fig. 7.10.

(c)

Dans ce cas la liaison 2-1 est modélisable par une liaison linéique circulaire d'axe (A, x) (fig. 7.10 b). Compte tenu des hypothèses générales du paragra-

109

Modélisation, résistance des matériaux, notions d'élasticité phe 3.1, les actions mécaniques de liaison de 2 sur 1 sont modélisables en A par le glisseur (fig. 7.10 c) :

3.6.

LIAISON PIVOT D'AXE (A, z) (fig. 7.12)

Dans notre cas de figure et dans le repère :R, on peut écrire:

3.5.

Compte tenu des hypothèses générales du paragraphe 3.1, les actions mécaniques de liaison de 2 sur 1 sont modélisables en A par le glisseur:

LIAISON ENCASTREMENT

l)}

{TJ(2 ...... 1)} =

A

{l«2 _I)}

,(;'

MG

(51)

G2 x

(52)

F

y, z) :

J~ ~fyl . lT ° cu.;)

(a) Ty

z

Dans une section droite (S}) de la poutre on peut écrire: MG

La figure 7.22 a représente une poutre sollicitée en flexion plane simple. Soient (S}) et (52) deux sections droites très voisines d'abscisses XI et -Xi. Les diagrammes de l'effort tranchant Ty et du moment de flexion M fz sont donnés à la figure 7.22 b et c.

1~ 1

ont pour composantes dans (G, X,

= T yx'

A

B

x

,

a x tJ.Sx) + 2'(SI)(GM "T xz tJ.SZ) .

Dans le re~ (G, X, y, z) on détermine les composantes de GM(O, 0, z). En projection sur (G, y) l'équation ci-dessus s'écrit alors:

, , :C ,, (51)' , (52) ,,

(b)

Mfz

Mfy = 2'(S,) za x tJ.S

a x est proportionnel à la coordonnée z du point ax

114

AlC-------L.----!--+------==~---;-

(52)

M

= kz

B

x

(c)

Fig. 7.22.

En G) et G 2 on obtient:

On en déduit que:

T y, = TY2 > 0

Mfz'

>

T yx

0; M f z2 > 0 et M fz'

>

I; y J1S

=

b/(G, Z)

M fz2 '

quand J1x tend vers zéro, on peut écrire: Considérons le tronçon G)G 2 (fig. 7.23) et soit (S) une section parallèle au plan neutre (G, X, z) passant par M d'ordonnée Y. L'équilibre du tronçon G) G 2 permet d'écrire:

I;(u_ x J1Sx + u x J1Sx + T _ xy J1Sy + T Xy J1Sy) + I;:( T yx J1S' x) = O. (14) Dans le repère (G, ment:

U

x =

M fz2

M frl

-

J1x

dMfz dx = - T y

=

(chapitre 3, paragraphe 2.4).

I; y J1S représente le moment statique par rapport à l'axe (G, z) de la portion de section droite comprise entre v et Y, on note:

x, y, z) on peut écrire successiveREMARQUE

M fz2 -y [(G, Z)

Les bornes du moment statique doivent toujours être prises par valeur croissante. La relation précédente correspond au cas de la figure 7.23 pour laquelle:

M fz' U_x=Y /(G, z)

y < 0

Le changement de signe pour u _ x est dû au fait que

x,

(G), y, Z) n'est pas le repère de définition des sollicitations pour (SI)' J1x étant infiniment petit on peut supposer que la contrainte T yx est constante sur la facette supérieure de surface I~ J1S' = b J1x, donc dans la relation

donc

v


0, on obtient y < v. Dans ce cas, on écrira donc:

Compte tenu du calcul et des conventions précédentes on peut écrire en M de coordonnée Y:

(14) :

T W

'T

En projection sur (G), x) la relation (14) permet d'écrire: 1 (Mf - Mf ) /(G, z) rI r2

I;y J1S + Tyxb J1x = O. y

(15)

avec

Dans la relation ci-dessus Ty , WGz et ques.

T yx

sont algébri-

y

/ 1 1 1

z

Gz y =- ---::..--yx bI(G, z)

\

-->

\

't..,AS.y

\ \

x

v

Fig. 7.23.

115

Modélisation, résistance des matériaux, notions d'élasticité Rappel: T yx = T xy (théorème de Cauchy, chapitre 3, paragraphe 3.5) . Unités: T yx en MPa; Ty en N; WGz en mm 3 ; b en mm; J(G, z) en mm4 .

5.4.1. Condition de résistance aux contraintes normales

REMARQUE IMPORTANTE b définit la largeur de la poutre dans la section (M, X, Z) parallèle au plan neutre et d'ordonnée Y. Dans le cas d'une section droite rectangulaire b est constant lorsque Y varie. Dans les autres cas b est une fonction de Y.

Psr exemple: - pour des sections en T, J, H, U, ..., b est une fonction discontinue de Y; - pour une section circulaire de rayon R, b est une fonction continue de Y, dans ce cas:

b = 2 JR

2

y

-

5.4. CONDITIONS DE RÉSISTANCE

2 •

La contrainte normale a x doit rester inférieure à sa valeur limite élastique a e. On définit la limite pratique a p. de la contrainte normale admissible dans une section droite par:

s est appelé coefficient de sécurité. La condition de résistance aux contraintes normales s'écrit:

APPLICA TION Considérons une section rectangulaire de hauteur h et de largeur b. On peut écrire que:

5.4.2. Condition de résistance aux contraintes tangentielles

3

[(G , i)=bh 12 .

En posant !!iS

= b

!!iy on trouve

La contrainte tangentielle T xy doit rester inférieure à sa valeur limite élastique Te. On définit la limite pratique T p de la contrainte tangentielle admissible dans une section droite par:

d'où: T

yx

Pour Y = ± Pour Y

=

~

3T 2 2 = - _.-y (4 Y - h ). 2 bh 3

on obtient:

T yx

=

o.

s est appelé coefficient de sécurité.

0 on obtient;

31 Tyl

2"S"" .

1 T yx 1max =

Ecrivons que;

T un;fonne

=

(16)

1Tyl

-S .

Une telle valeur de T unifonne ne peut évidemment être utilisée qu'à titre tout à fait indicatif. Il serait faux de calculer la section d'une poutre d'après cette relation. Notons que cette valeur T unifonne ne représente pas la contrainte tangentielle moyenne dans la section; il existe en effet de nombreux cas (section évidée) pour lesquels T unifonne est supérieure à T max calculée à partir de la relation (15), ce qui n'aurait aucun sens pour une valeur moyenne. Dans le cas d'une section rectangulaire pleine, à partir de (16) on peut donc écrire que: 3

1 T yx 1max. =

'2 T uniforme·

Nous venons d'indiquer ci-dessus que cette dernière relation ne doit pas être utilisée dans le cas d'une section rectangulaire évidée.

116

La condition de résistance aux contraintes tangentielles s'écrit :

6.1. DÉFINITION DE LA DÉFORMÉE On considère une poutre reposant sur deux appuis sans adhérence repérés 2 et 3 et situés respectivement en A et B (fig. 7.24 a).

Flexion plane simple

c

actions mécaniques extérieures qui lui sont appliquées. On choisit le repère (A, X, y, z) tel que (A, x) soit y) porté par la ligne moyenne et que le plan (A, soit le plan de' symétrie de la poutre. Les charges sont situées dans ce plan et sont perpendiculaires à (A, x). Ces actions mécaniques extérieures provoquent la flexion de la poutre 1. La ligne moyenne se déforme et la courbe ainsi obtenue est appelée courbe déformée (fig. 7.24 c). On se propose de déterminer l'équation y = f(x) de la courbe déformée dans le plan (A, y).

x,

+-__....-J,.B

A'~

ê(4-->1)

(a)

J'

x,

--> B (3-->1) -->

A (2-+1)

6.2. ÉQUATION DE LA COURBE

c A (!)

DÉFORMÉE

z

B

Entre A et C on considère deux sections droites (SI) et (Sz) de centre de surface Giet G 2 distants de .ix très petit (fig. 7.25).

Fibre moyenne de 1

-->

C (4-->1)

...

(h)

--> B (3-->1)

-->

A (2-+1)

c A (!)

B

z déformée y = I(x)

(e)

--> B (3-->1)

--> A (2-->1)

--> C (4-->1)

Fig. 7.24.

A

\

/'

..

(St!

{'lJ(2-+1)}

A

B

(5,)

--> C (4-->1)

La poutre 1 est soumise à une action mécanique modélisable en C par le glisseur:

Les actions mécaniques de liaison de 2 -+ 1 et de 3 -+ 1 sont modélisables respectivement en A et B par les glisseurs :

r ...-___

(!)~~~

Fig. 7.25.

Soit 1 le centre de courbure de la ligne moyenne en Giet R = G JI le rayon de courbure algébrique correspondant. En géométrie analytique on démontre que:

{;(2-+1)}

R=

(1 + y'2)3/2 " Y

y et y" sont les valeurs en Gide la dérivée première et de la dérivée seconde de la fonction y = f(x). Les déformations élastiques sont toujours très faibles, on admettra donc que (1 + y'2)3/2 = l, d'où: 1

et

{'lJ(3 -+ l)}

=

B

{:(3 -+ I)} .

La figure 7.24 b représente la modélisation de la poutre 1 par sa ligne moyenne et la modélisation des

1 R=/i' Y

(1)

117

Modélisation, résistance des matériaux, notions d'élasticité

Nous avons admis dans le paragraphe 2 qu'au cours de la déformation, les sections droites restent planes et perpendiculaires à la ligne moyenne (fig. 7.26).

D'après (1) et (4) : " 1 J1({J Y =]i-/1x'

(5)

D'après (2), (5) et (3) : EI(G,i)y"=M,.(x)

l,

(6)

Nota: M fr est une fonction de l'abscisse x de G. On note Mfr(x). - Dans (2) et (3), y désigne l'ordonnée de la fibre -

considérée. - Dans (1) et (6) la primitive y de y" désigne la fonction y = J(x) définissant la courbe déformée. Avec un minimum d'attention, la confusion entre les deux y doit être évitée.

6.3. CONDITIONS AUX LIMITES DE ZONES

Fig. 7.26.

Tout ce passe comme si (S2) avait tourné d'un angle très petit !:Hp autour de l'axe (G 2, z). Considérons la fibre m 1m2 d'ordonnée y. Cette fibre s'est raccourcie et est devenue m 1m 2, sa déformation unitaire s'exprime par: ~

Pour chaque zone d'étude, la fonction Mf/X) prend une forme différente, il existe donc autant d'équations de la déformée qu'il existe de zones d'étude dans la poutre. S'il y a continuité de la fonction M fr (x) en limite de zone, en C par exemple (fig. 7.27), on peut écrire:

Y; à gauche = y; à droite {Ycà gauche = Y cà droite.

m~2

Sx==' mlm2

La loi de Hooke u x = Es x appliquée à la fibre m 1m 2 permet d'écrire: m~2

ux=E=

(ici u

x -
1)

A'

x

CID

----------

-+ 1)].

En projection sur l'axe (A, ji) on obtient: Ye =YdC(4-+ 1)] +Ydi3(5-+ 1)] YD = YD[ê(4 -+ 1)]

-->

+ i D[i3(5

1)]

+ YD[i3(5

-+ 1)] .

B" (3-->1)

ê(4-->1)

-->

iD = i D[ê(4 -+ 1)]

id i3 (5 -+

--

D(5-->1)

B

La déformation au milieu 1 de la poutre 1 (fig. 7.30) a pour expression:

(d)

Fig. 7.30.

La poutre 1 est soumise à deux actions mécaniques modélisables: - l'une en C par le glisseur:

Cette méthode permet de ramener l'étude d'une poutre supportant n forces perpendiculaires à la ligne moyenne au cas élémentaire où une seule force agit sur la poutre, en appliquant n fois la formule correspondant à chacune des n forces agissant séparément (voir fig. 7.29).

APPLICA TION On considère figure 7.31 une poutre 1 reposant sur deux appuis sans adhérence repérés 2 et 3 et situés respectivement en A et B.

Modélisation, résistance des matériaux, notions d'élasticité y

Pour simplifier l'écriture on notera:

d'où

c

6" (pes -+ 1)

x

l-------+-----~B ~

1/2

=

tel que

C(4-+ 1) = -

c

{f(4-+1)}

IIC(4-+ 1)11

y.

(a)

y

-->

B (3-->1)

Â(2--> 1)

x

p

Etude de la déformation de 1 sous l'effet de la pesanteur Lafigure 7.32 représente la modélisation de la poutre 1 et de l'action de la pesanteur. Les actions mécaniques de liaison en A et B sont modélisables par :

112

{1J 1 (2

ê (4-->1) tel que

Â1 (2

-+

ln

-+ 1) =

=

A

Fig. 7.31.

{1J 1(3 tel que

Le plan (A, X, Ji) est un plan de symétrie pour la poutre 1 et pour les forces qui lui sont appliquées. Le point B est situé sur (A, x) et C est le milieu de AB. Les actions mécaniques associées aux liaisons 2 -+ 1 et 3 -+ 1 sont modélisables respectivement en A et B par les glisseurs :

=

{'b(2-+ I)}

A

{~(2 ..... 1)}

A(2 -+ 1) = Il A (2 .....

1)

Il y

--+

ln =

B1(3 -+.1)

=

1: 1:

1

(2

--+

1)1

Il  1(2 --+ 1) Il y

(b) B

1

(3

--+

1)1

I B1(3 --+ 1)11 y.

y

x

p

1----------=-----Fig. 7.32.

et {'b(J -+ I)} =

B

{:(J -+ I)}

II B(3-+

B(3 ..... 1) =

1)11

Ji.

L'action de la pesanteur sur la poutre 1 est assimilée à une charge uniformément répartie tout le long de la poutre et modélisable par une densité linéique de force (voir relation (1) paragraphe 3.7)

8(pes -+ 1 ) =

122

.

3 {'b(4-+1)}

tel que

p Ji

La poutre 1 est soumise à une action mécanique modélisable en C par le glisseur:

--> C (4-->1)

tel que

= -

-

Il 6" (pes -+ 1) Il y.

Par raison de symétrie on peut écrire que :

Entre A et B, au centre de surface G d'une section droite (S) de 1 nous pouvons écrire:

Flexion plane simple y

Soit :

fi =

MG

-

= -

li (2 -+ 1) - l i (pes -+ 1) dx

l Md i(pes -+ 1) 1

GA " li (2 -+ 1) -

= plx 2

z

_ px

-.

~ B 2(3 -.1)

G A

avec i(pes -+ 1) = - py. La composante M fz de MG sur (G, z) s'écrit: Mf

(S)

-.

A 2(2-.1)

C

B

x

x

1/2

2 •

2

-.

C (4-.1)

L'équation de la dérivée seconde de la déformée s'écrit:

1

Fig. 7.33.

= Mfz(x)

EI(G, z) y"

2 EI(G, z) " 2 1 -----'-----' y = - x + x.

soit

p

Les actions mécaniques de liaisons en A et B sont modélisahies par:

L'équation primitive de y" s'écrit: 2 EI~G, z) y' = _

Au point C: x =

~ + 1;2 + KI'

~

et

y; = 0,

f",(2_1)} ~ ,1:,(2_ 0 )

on en déduit que:

1 2(2 -+ 1) = 1112(2 -+ 1) Il y

tel que 13

KI

= -

{r;,(3 -o} ~ 1:,(3 _1»)

TI'

B

L'équation primitive de yi s'écrit alors: 2 EI(G, z) P

x4

Ix 3

Y = - 12 + 6

-12 + K

4

Y = 2 El (G, Z)

(X

Ix

3

- 12 + 6

La déformation YI c en C pour x =

X )

-12

~2

.

a pour expres-

=- 384EI(G, i)·

(1)

Etude de la déformation de 1 sous l'effet de ë(4 -+ 1) Lafigure 7.33 représente la modélisation de la poutre 1 et de l'action en C de 4 -+ 1 telle que -+

1)

Il B2 (3 -+ 1) Il y.

3

1

Entre A et C, au centre de surface G d'une section droite (S) de 1 nous pouvons écrire: G

c(4

1) =

Par raison de symétrie on peut écrire que:

sion: YIC

-+

2.

Au point A : x = 0 et y A = 0, donc K 2 = O. L'équation de la déformée entre A et B s"écrit : p

B2 (3

tel que

13 X

= - Il c(4 -+ 1) Il y .

{tJ coh } = - G{tJ 2 (2

-+

R = - 1 2 (2 -+ 1) MG = - GA " 12(2 -+ 1) . La composante M fz de MG sur (G,

l)}

soit

z) s'écrit:

L'équation de la dérivée seconde de la déformée s'écrit: EI(G, z)y" = M fz

soit

2EI(G,z) " _ y C(4 -+ 1)

Il

Il

=

x.

123

Modélisation, résistance des matériaux, notions d'élasticité L'équation primitive de yU s'écrit: 2 E/ (G, Z)

----'---'-y

Il ë\ 4

-+

1)

,

Il

x2

=-+

K

Nous avons vu au paragraphe 5.2 que dans une section droite la contrainte normale maximale est obtenue pour 1y 1max = v. On peut donc écrire:

3'

2

IMfzl

/ Au point C: x = - et Ye = 0, on en déduit que: 2

l a x 1max = /(G, z) =Cte. V

' 1 te que 1e mo d u1e d e fl' . Il en resu eXlOn /(G, Z) varie V

L'équation primitive de y' s'écrit alors:

de la même façon que 1M fz (x) 1 le long de la poutre. La section de la poutre est donc variable. Dans une telle poutre, le matériau travaille dans toutes les sections au maximum de ses possibilités, d'où une construction plus légère. La déformation d'une telle poutre sera plus grande d'où son utilisation dans le cas des ressorts de flexion.

Au point A : x = 0 et y A = 0, donc K 4 = O. L'équation de la déformée entre A et C s'écrit : =

Y

Il ë\ 4 -+ 1) Il (~_ ~ x) 2E/(G, Z)

6

.

8

La déformation Yz c en C pour x =

7.2.

~

a pour expres-

sion:

POUTRE REPOSANT SUR DEUX APPUIS ET SUPPORTANT UNE CHARGE CONCENTRÉE AU MILIEU

3

Y2 C

11(7(4-+1)11/ =- -"----"-48 EI(G, z)

(2)

On considère figure 7.34 une poutre 1 reposant sur deux appuis sans adhérence repérés 2 et 3 et situés respectivement en A et B.

Déformation au point C sous l'effet des deux charges

y

Le principe de superposition des déformations permet d'écrire au point C :

A(2--+1)

(5)

G

YC=YIC+Y2C soit d'après (1) et (2)

yc

/3 =- 48 EI(G, _ z)

x ( 5 p/ -8

_

+ Il CC4 -+ 1) Il

)

.

(3) Fig. 7.34.

Le plan (A, X, y) est un plan de symétrie pour la poutre 1 et pour les forces qui lui sont appliquées. Le point B est situé sur (A, x) et C est le milieu de AB. Les actions mécaniques de liaison en A et B sont modélisables par: {TJ(2 -+ I)}

7.1.

A { : (2

-+ 1) }

A(2 -+ 1) = Il A(2 -+ 1) Il y

tel que: On appelle poutre d'égale résistance à la flexion simple, une poutre pour laquelle la contrainte normale maximale dans une section droite de centre G a la même valeur quelle que soit la position de G.

124

=

DÉFINITION

{TJ(3 -+ I)} tel que:

= B

{;(3 -+ I)}

H(3 -+ 1) =

Il H(3 -+ 1) Il y.

Flexion plane simple Par raison de symétrie on peut écrire que:

• En A: x = 0 d'où b = O. En A, le moment de flexion est nul et l'effort tranchant a pour valeur:

Cette symétrie permet de limiter l'étude de la poutre 1 à la zone AC. Entre A et C, aU..$ntre de surface G d'une section droite (S) tel que AG = on peut écrire:

xx,

d'G coh }

= -

d'G(2

-+

(3)

Aux extrémités A et B la section sera déterminée à partir d'un calcul de résistance relatif aux contraintes tangentielles (voir paragraphe 5.4).

I)} 1 T xy 1 max

soit

R MG

1

= -

A(2 -+ 1)

= -

GA A(2 -+ 1) .

MG

(4)

TP .

Dans le cas d'une section rectangulaire pleine, la relation (16) paragraphe 5.3 permet d'écrire:

1\

La composante M fz de

~

sur (G, Z) s'écrit:

3 1 Tyl

1 T xy 1

(1)

max

(5)

= "2 bh .

A partir de (3), (4) et (5) on obtient:

D'après la relation (12) du paragraphe 5.2.2 la contrainte normale dans une section droite (S) s'exprime par:

(6)

- Mf/x) ux

=

Sa valeur maximale est obtenue pour 1y 1max d'où Soit avec

1 MfJx) 1 IUxl max = [(G, z)

1U

xl max =

U p

• En C:

[(G, z) y.

x

=-

"

d ou b

=

311 ë (4 -+ 2

1)

Il 1 .

2 2h u p Une forme possible de la poutre admettant (A, X, comme plan de symétrie est indiquée en vue de dessus (fig. 7.35).

,n

= V

V.

(voir paragraphe 5.4) x

A

z Compte tenu de la relation (1) :

(hauteur h = ete)

Fig. 7.35.

(2)

Ce type de poutre est très déformable, il peut être utilisé dans le cas des ressorts de flexion.

Dans ce cas d'étude, le module de flexion est une fonction linéaire de x.

2e cas: section rectangulaire de largeur b constante

rr

La relation (2) s'écrit alors:

cas: section rectangulaire de hauteur h constante La relation (2) s'écrit alors:

d'où

La largeur b est une fonction linéaire de x.

Dans ce cas la hauteur h varie paraboliquement. x = 0 d'où h = O. • En A: La condition de résistance aux contraintes tangentielles est déterminée par les relations (3), (4) et (5), d'où:

125

Modélisation, résistance des matériaux, notions d'élasticité 311 ê (4 -.1 ) 4 bT

Il

• En C:

R = - 1 (3 --+ 1) MG = .... GA ,,1 (3 --+ 1) . La composante Mf. de MG sur (G,

Une forme possible de la poutre est indiquée

D'après la relation (12) du paragraphe 5.2.2 la contrainte normale dans une section droite (S) s'exprime par:

h min =

(7)

.

P

soit

1

z) s'écrit:

figure 7.36. .... Mf.(x) y

x U

= [(G,

Z) Y

sa valeur maximale est obtenue par 1y 1max =

x

(largeur b= c te )

V

d'où: soit avec 1U x 1max =

UP

(voir paragraphe 5.4),

Fig. 7.36. (8)

Ce type de poutre est peu déformable.

Dans ce cas d'étude, le module de flexion est une fonction linéaire de x.

7.3.

POUTRE ENCASTRÉE A UNE EXTRÉMITÉ ET SUPPORTANT UNE CHARGE CONCENTRÉE A L'AUTRE EXTRÉMITÉ

1er cas: section rectangulaire de largeur b constante La relation (8) s'écrit alors:

On considère figure 7.37, une poutre AB repérée 1, encastrée en B par rapport à 2. y

x

La hauteur h varie paraboliquement • En A: x = 0 d'où h = O. En A l'effort tranchant s'exprime par:

A

-t A (3-t1)

(9)

Fig. 7.37.

Le plan (A, X, y) est un plan de symétrie pour la poutre 1 et pour les forces qui lui sont appliquées. Par hypothèse l'action mécanique en A est modélisable par: {1J(3-.1)} =

tel que:

A

{~(3--+1)}

hmin • En B:

o{1Jcoh }

=-

d'où,

=

Il

311 1 (3 --+ 1) 2 bT p '

(10)

x =1

1(3 --+ 1) = - 111(3 --+ 1)11;.

Entre A et B, au centre de surface G d'une section droite (S) on peut écrire:

126

avec les relations (4), (5) et (9) on obtient en A:

"mm

~ l"Â(~~ 1)11 '.

Une forme possible de la poutre est indiquée G

{1J(3 --+ l)}

figure 7.38.

Flexion plane simple y

y B x x (Largeur b =ete)

4

Fig. 7.38.

Ce type de poutre est peu déformable, il peut être utilisé dans le cas des consoles.

2e cas: section rectangulaire de hauteur h constante La relation (8) s'écrit:

Fig. 7.40.

repérés 2, 3 et 4 et situés respectivement en A, B et C tels que A, B et C soient alignés et B au milieu de AC. Le plan (A, X, y) est un plan de symétrie pour la poutre 1 et pour les forces qui lui sont appliquées. La poutre 1 est soumise à une action de 5-+1 qui est assimilée à une charge uniformément répartie sur toute sa longueur et modélisable par une densité linéique de force (voir relation (1) paragraphe 3.7) :

La largeur b est une fonction linéaire de x. • En A: x = 0 d'où b = O. Avec les relations (4), (5) et (9) on obtient en A:

• En B:

d'où

x

=,

2 hr p

-

116(5 -+ 1)11 y .

Pour simplifier l'écriture, on notera:

3111(3 -+ 1)11 bnùn =

6(5 -+ 1) =

•

(11)

d'où

6111(3 -+ 1)11' . b=

-

6(5-+l)=-pY.

Les actions mécaniques associées aux liaisons 2 -+ 1,

h2 a p

Une forme possible de la poutre admettant (A, X, y) comme plan de symétrie est indiquée en vue de dessus à la figure 7.39.

3 -+ 1 et 4 -+ 1 sont modélisables respectivement en A, B et C par trois glisseurs:

{l'>(2 -+ ln tel que:

=

A

{t(2 -+ l)}

1 (2 -+ 1) = 1 1 (2 -+ 1) Il y;

{l'>(3 -+ ln =

B

{:(3 -+ l)}

x

telque:

z

B(3-+ 1) = IIB(3-+

{l'>(4-+ ln (Hauteur h = ete)

=

c

1)11 y;

{~(4-+ l)}

Fig. 7.39.

Ce type de poutre est très déformable, il peut être utilisé dans le cas des ressorts de flexion.

tel que:

ê (4 -+ 1) = Il ê (4 -+ 1) Il y;

L'équilibre de la poutre 1 permet d'écrire

Soit en B: Considérons figure 7.40 une poutre 1 de section constante reposant sur trois appuis sans adhérence

R(l-+l)

MB(1 -+ 1)

=0 = O. 127

Modélisation, résistance des matériaux, notions d'élasticité En projection sur d'écrire:

y,

la première équation permet

La déformation au milieu B s'exprime par (relation (2) paragraphe 6.6) :

IIÀ(2~1)II-Lpdx+ IIB(3~1)1I

+

Ce cas a déja été étudié au paragaphe 6.6.

Il ë (4 ~ l ) Il = o.

Il B(3 ~ l ) 11

(1) Y2 B

On dispose de deux équations algébriques (1) et (2) qui comportent trois inconnues. Le système est donc hyperstatique d'ordre l. Pour résoudre ce système, il faut une autre équation qui peut être fournie par l'étude des déformations de la poutre 1. Le principe de superposition des déformations permet de trouver rapidement cette troisième équation. • Si on supprime l'appui au milieu B (fig. 7.41), la poutre 1 est en équilibre isostatique sous les actions de 2 ~ l, 4 ~ 1 et 5 ~ 1. y

(4)

48 EI(G, "i)

En projection sur "i la deuxième équation permet d'écrire: (2)

/3

= -"------"--

Le principe de superposition des déformations permet d'écrire: YB

= YI B + Y2B-

(5)

Les appuis A, B et C étant de niveau: YB = D'après (3), (4) et (5) on obtient: 5pl4 384 EI(G,"i)

+ IIB(3~

o.

1)11 /3 = 0

48 EI(G, Z)

d'où: (6)

A partir de (1), (2) et (6) on obtient alors

x 4 Fig. 7.41.

Les actions extérieures étant connues on peut déterminer les équations du moment de flexion. La symétrie par rapport à (B, y) permet de n'étudier que la zone AB. Entre A et B:

Ce cas a déja été étudié au paragraphe 6.6. La déformation au milieu B s'exprime par (relation (1) paragraphe 6.6) :

YlB --

5 pl4 -

(3)

384 EI(G, Z).

La figure 7.43 donne la variation de Mf, (x) entre A et C .

• Si on supprime la charge répartie (fig. 7.42), la poutre 1 est en équilibre isostatique sous les actions de 2 ~ l, 3 ~ 1 et 4 ~ 1. y

c

1/2

1/2

1

y~- -

B

-->

c

x

B(3-->1}

Fig. 7.42.

128

Fig. 7.43.

x

Flexion plane simple

EXERCICES AVEC RÉPONSES

m

On considère figure 7.44 une poutre 1 de section constante reposant sur deux appuis sans adhérence repérés 2 et 3 et situés respectivement en A et B.

mOn considère, figure 7.45, une poutre 1 de section constante en liaison encastrement en C avec le bâti 2.

y

800

y

2000

-->

x ê(4-->1)

B

A

2000

A (3-->1)

3

Fig. 7.44.

Le plan (A, X, y) est un plan de symétrie pour la poutre 1 et pour les forces qui lui sont appliquées. Unités: forces en newtons, longueurs en millimètres.

Le plan (A, X, Ji) est un plan de symétrie pour la poutre 1 et pour les forces qui lui sont appliquées. Unités: forces en newton, longueur en millimètres. 1 a une section rectangulaire de largeur b = 30 mm et de hauteur h = 60 mm. La poutre 1 est soumise aux actions mécaniques extérieures suivantes:

-

La poutre 1 a une section rectangulaire de largeur b = 25 mm et de hauteur h = 100 mm. Cette poutre est soumise aux actions mécaniques extérieures suivantes: - l'action de 3 --+ 1 est modélisable en A par: {TI(3 --+ l)}

A

U(3 --+ I)}

l'action de 4 --+ 1 qui est modélisable en C par: tel que:

ë(4--+ 1)

tel que:

=

-1200y;

- l'action de 5 --+ 1 qui est assimilée à une charge uniformément répartie entre A et C et modélisable par une densité linéique de force :

5(5 --+ 1) = - py

-

À(3--+I)=-800y;

l'action de 4 --+ 1 est modélisable en B par:

{TI(4 --+ I)}

=

B

{:(4 --+ 1)}

li (4 --+

tel que:

1)

=-

1 000

Y.

tel que p = 0,8 N/mm .

QUESTIONS 0

1 Déterminer les éléments de

QUESTIONS

en

C

de

0

1 Déterminer  (2 --+ 1) et B(3 --+ 1 ). Déterminer les équations de l'effort tranchant T y et du moment de flexion M fz le long de la poutre AB et construire les diagrammes correspondants. Détenniner la valeur et la position de 1 Ty 1max et de 0

r

IMf,l

réduction

{~(2--+1)}.

2 Détenniner les équations de l'effort tranchant T y et du moment de flexion M fz le long de la poutre AC et construire les diagrammes correspondants. Détenniner la valeur et la position de 1 Ty 1 max et de

IM

fz 1mIXa

3

0

Déterminer les contraintes 1U

. / max

et l 'T .y 1max

•

mu '

RÉPONSES 0

1

RÉPONSES 1 À (2 --+ 1) = 1 800 y; li (3 --+ 1) 2 1 T y 1ma. = 1 800 N en A ; 0

= 1 000 Y.

ë (2 --+

1)

Mc (2 --+

1) = - 2,8

1T y 1ma.

= 1 800 N entre B et C ;

0

2

0

= 1 800 Y ;

1Mf, 1ma. = 2,8

3 1T xy 1ma.

= 1,5 MPa.

0

X

X

10 6 Z.

6

10 Nmm en C.

1 U xl ma.

= 67,2 MPa;

1 T xy 1 max

= 1,08 MPa.

129

Modélisation, résistance des matériaux, notions d'élasticité

rn

y+

On considère, figure 7.46, une poutre 1 de section constante reposant sur deux appuis sans adhérence repérés 2 et 3 et situés respectivement en A et

G

y

1000

500

2

3

Fig. 7.46. Le plan (A, X, ji) est un plan de symétrie pour la poutre 1 et pour les forces qui lui sont appliquées. Unités: forces en newton, longueurs en millimètres. La poutre 1 est un profilé à section tubulaire rectangle d'épaisseur e = 3 mm, de longueur b = 50 mm et de hauteur h = 125 mm. Cette poutre est soumise aux actions mécaniques extérieures suivantes; - l'action de 4 ..... 1 est modélisable en B par:

{T>(4 ..... I)} tel que:

~ (')

"(3 ..... I)} = tel que -

A(3 ..... 1)

A

{î(3 . . . I)}

= - 500 ji;

l'action de 4 ..... 1 modélisable en B par:

{T> (4 ..... I)}

=

B {: (

4

..... I)}

tel que 8(4 ..... 1) = - 250 ji.

8(4 ..... 1)=-2100ji;

- l'action de S ..... 1 est assimilée à une charge uniformément répartie entre A et C et modélisable par une densité linéique de force : 8(5 ..... 1)=-pji avec p=I,2N/mm.

QUESTIONS

QUESTIONS l' Déterminer les {~(2

éléments de

réduction

en

C

de

..... 1)}.

2" Déterminer les équations de l'effort tranchant T r et du

moment de flexion Mf. le long de la poutre AC et construire les diagrammes correspondants. Déterminer la valeur de la position de 1Tr 1.... et de

l' Déterminer A(2 ..... 1) et D(3 ..... 1 ).

1Mf,I ....·

2" Déterminer les équations de l'effort tranchant Tr et du

3' Déterminer DG définissant la position du centre de surface G d'une section droite (S) et le moment quadratique 1 (G, i) de cette section.

moment de flexion Mf. le long de la poutre AD et construire les diagrammes correspondants. Déterminer la valeur et la position de 1Tr 1max et de

IMf.I ....·

Déterminer les contraintes 1u z 1.... et l 'T zr 1.....

RÉPONSES l' 2'

A(2 ..... 1) = 2 175 ji; 15(3 ..... 1) = l 725 ji. 1 Tyl

m.. =2l75NenA; 3 1M fz 1max = 1575 X 10 Nmm enB.

3' 1Uxl max "" 50,25 MPa; 1T xy 1max"" 3,65 MPa.

~On considère figure 7.47 une poutre 1 de section constante en liaison encastrement en C avec le bâti 2. Le plan (A, X, ji) est un plan de symétrie pour la poutre 1 et pour les forces qui lui sont appliquées. (A, x) est porté par la ligne moyenne de la poutre. Unités: forces en newtons, longueurs en millimètres.

130

1 1....

4' Déterminer les contraintes ux dans la zone tendue, 1u z 1.... dans la zone comprimée.

S' Déterminer le moment statique Wc. de la partie de la section (S) située en dessous de (G, i) et calculer au point G où elle est maximale l 'T zr 1....·

RÉPONSES l'ë(2 ..... 1)=750ji; Mc (2 ..... 1)=-67x 103 z. 2' ITylmax=750NenC; 1M fz 1max = 67 3' DG

=

X

3 10 N mm en C.

7,9 mm ;

[(G, z) = 7 284,65 mm 4 .

4' Dans la zone tendue, en D,lux 1 x = 72,66 MPa. Dans la zone comprimée, en E, 1U xl m:: = 138,88 MPa. 5' Waz = - 456,02 (mm 3) ; 1T xyl max = 11,73 MPa (en G).

Flexion plane simple

[]Jan considère, figure 7.48. une poutre l à section constante reposant sur deux appuis sans adhérence repérés 2 et 3 et situés respectivement en A et

-

l'action de 4 -+ l modélisable en C par:

y

tel que

2000 1300

Il}

{T>(4-+

B.

-

ê (4 -+

1)

= -

=

Il}

2 000 Y;

{T>(5-+1)}

3

{;(4-+

l'action de 5 -+ l modélisable en D par:

C-----> C (4-->1)

C

tel que D(5 -+ 1)

=

D

{~(5-+1)}

3000 ji.

= -

Fig.7.48. Le plan (A, X, y) est un plan de symétrie pour la poutre l et pour les forces qui lui sont appliquées. Unités: Forces en Newtons, longueurs en millimètres. La poutre l a une section rectangulaire tubulaire de . largeur b = 30 mm, de hauteur h = 60 mm et d'épaisseur e = 3 mm, elle est en acier pour lequel E = 2 X 10 5 MPa. La poutre l est soumise à une action mécanique de 4 -+ l modélisable en C par:

tel que

ê (4 -+ 1)

= -

1° Déterminer le moment quadratique [( G, i) de la section. 2° Déterminer la valeur de y' en A. En déduire l'angle ip A de la déformée en A. 3° Déterminer la déformation Y, au milieu [ de AB.

RÉPONSES

r [(G, i) = 1 517 309 mm 4• 2° YA = - 5,14 X 10- 3 ; cp A 3° YI = - 4 (mm).

C{;(4-+1)}

{T>(4 -+ I)}

QUESTIONS

r Déterminer le moment quadratique [( G, i) de la section. 2° Déterminer la valeur de y' en A. En déduire l'angle ip A de la défonnée en A. 3° Déterminer la déformation Y, au milieu [ de AB.

r7lun quai de chargement d'un magasin d'atelier est· Jtss'ervi par un palan électrique 3 qui se déplace sur un monorail 1. La figure 7.50 représente le monorail l en liaison encastrement avec le mur 2 du bâtiment en B.

y

2000

~

RÉPONSES

l.

lA

1° [(G, z) = 225072mm4 • 2° YA = - 5,46.10- 3 ; cp A 3° YI = - 3,9 mm.

~

=-

0,31 degré.

1000

1200

~

~

~

T

;....-. X

p

2

Fig. 7.50.

Le plan (A, X, y) est un plan de symétrie pour la poutre l et pour' les forces qui lui sont appliquées. (A, x) est porté par la ligne moyenne de la poutre 1. Unités: forces en newtons, longueurs en millimètres. Cette poutre est soumise aux actions mécaniques extérieures suivantes:

800

o L+---+-+-----......----l~ Fig. 7.49.

B ~

-->

-

C

--> C(4-->1)

~

A (3-->1)

[!Jan considère, figure 7.49, une poutre l de section constante reposant sur deux appuis sans adhérence repérés 2 et 3 et situés respectivement en A et B.

l---+t-..L

0,29 degré.

1 200 y.

QUESTIONS

y

=-

l'action du palan 3 et de sa charge modélisable en

A par:

x {T>(3-+ I)}

--> 0(5-->1)

Le plan (A, X, y) est un plan de symétrie pour la poutre l et pour les forces qui lui sont appliquées. Unités: forces en newtons, longueurs en millimètres. La poutre l est constituée par un IPE 100, NF A 45-205 en acier pour lequel E = 2 X 10 5 MPa. La poutre l est soumise aux actions mécaniques extérieures suivantes:

tel que A(3 -+ 1)

=

_10 4

=

{;(3-+

Il}

y;

- l'action de la pesanteur est assimilée à une charge uniformément répartie entre A et B et modélisable par une densité linéique de force :

8 (pes -+ 1)

= -

py

avecp = 0,6 N/mm.

La poutre l est constituée par un IPN en acier pour lequel E = 2 X 10 5 MPa, U e = 320 MPa, T, = 160 MPa.

131

Modélisation, résistance des matériaux, notions d'élasticité

Le tableau figure 7.51, extrait des normes, donne les caractéristiques des IPN compris entre 220 et 300. Pour cette construction on adopte un coefficient de sécurité s = 4 et on limite la déformation de la poutre 1 à IYA

y

l ""

220

240

260

280

300

~Hmm

B

98

106

113

119

125

E

8,1

8,7

9,4

10,1

10,8

S

39,6

46,1

53,4

61,1

69,1

31,1

36,2

41,9

48

54,2

--+

Section (cm 2) Masse linéique : (kg/m)

1G ,

Module de flexion: (cm')

!!!....

3060 4250 5740 7590 9800

v

278

354

442

542

653

Fig.7.51.

QUESTIONS 0

1 Déterminer

les

éléments de' réduction

en

B

porté par la ligne moyenne de la poutre et B, C et D sont situés sur (A, x). Unités: forces en newtons, longueurs en millimètres. L'action mécanique sur 1 du palan 5 et de sa charge est modélisable en D par:

tel que D(5

de

Déterminer les équations de l'effort tranchant T y et du moment de flexion M fz le long de la poutre AB et construire les diagrammes correspondants. Déterminer la valeur et la position de 1 T y 1max et de

,z l'msx"

0

3 A partir de la condition de résistance déterminer la valeur minimale du module de flexion [( G, i) . Il 0

4 A partir de la condition de déformation déterminer la valeur minimale du moment quadratique [(G, i).

50 Choisir l'IPN qui convient dans le tableau extrait des normes figure 7.51, et préciser la condition qui a conduit à ce choix.

cr p

2

0

3

{~(5

--+

I)}

10 4 y.

X

= 90 MPa;

= 45 MPa ;

7" p

0

1 En appliquant le pnnclpe de superposition et en utilisant les relations sur les déformations données dans le tableau figure 7.29, déterminer les actions mécaniques de liaison .4(2 --+ 1), B(3 --+ 1) et ê(4 --+ 1). 0

2 Déterminer les équations de l'effort tranchant T y et du moment de flexion M fz le long de la poutre AB et construire les diagrammes correspondants. Déterminer la valeur et la position de 1 T y 1max et de 1M fz 1max' 0

3 A partir de la condition de résistance déterminer la valeur minimale du module de flexion [( G, i) . Il

4 A partir de la condition de déformation limite en D déterminer la valeur minimale du moment quadratique [(G, i).

y;

1 T y 1max =

Il 200 N en B ; =

21,2

1(G, z) ;;. 265

X

X

6

RÉPONSES

10 N mm en B.

10 3 mm 3. 10 4 mm4 .

4 I( G, z) ;;. 3 482,5 X 50 IPN 240 pour vérifier la condition de déformation.

ŒJUn atelier est desservi par un palan électrique 5 qui se déplace sur un monorail 1. Lafigure 7.52 représente le monorail 1 reposant sur trois appuis doubles sans adhérence repérés 2, 3 et 4 et situés respectivement en A, B et C. Le plan (A, X, y) est un plan de symétrie pour la poutre et pour les forces qui lui sont appliquées. (A, x) est

132

0

50 Dans le tableau extrait des normes (fig. 7.51), choisir l'IPN qui convient et préciser la condition déterminante.

v

0

1) = - 5

=

0

1) = Il 200

1M fz 1ma< 0

ln

QUESTIONS

RÉPONSES --+

--+

--+

On néglige le poids de la poutre qui est constituée par un IPN en acier pour lequel E = 2 X 10 5 MPa. Le tableau figure 7.51, extrait des normes, donne les caractéristiques des IPN compris entre 220 et 300. Pour cette construction on adopte les limites suivantes pour les contraintes et pour la déformation en D :

{"G(2 --+1)},

r

Fig. 7.52.

0(5--+1)

{'b(5

Moment quadratique: (cm 4 )

B(2

3

1

r----c..----~--

500· H

r

4

1

Dimensions :

)M

3000

3000 2

1) = 20312,5

B(3

--+

1) = - 4 687,5

ê(4

--+

1) = 343755'.

0

2

y;

.4(2 --+

1Ty 1max

=

29 687,5 N en D ;

1M fz 1max = 30468,75

3

0

0

y;

X

3 10 N mm en D.

1(G, z);;. 338,541 x 103 mm 3.

v

4 1(G, z);;. 2 525 x 104 mm 4. 50 IPN 240 pour vérifier la condition de résistance.

soli icitations composées Dans les chapitres 4, 5, 6 et 7 nous avons étudié les contraintes et les déformations dans une poutre soumise à une sollicitation simple telle que l'extension, la compression, le cisaillement simple, la torsion, la flexion plane simple. Nous avons observé que les conditions théoriques correspondant aux sollicitations simples ne se rencontrent qu'exceptionnellement. Pratiquement on admet qu'une poutre est soumise à une sollicitation simple lorsqu'on peut négliger les autres sollicitations.

2 •.F Si la poutre est soumise à plusieurs sollicitations simples qu'on ne peut pas négliger on se trouve dans le cas de sollicitations composées. Pour étudier les sollicitations composées on utilise le principe de superposition:

Si une poutre est soumise à plusieurs sollicitations simples telles que l'extension, la compression, le cisaillement simple, la torsion ou la flexion plane simple, les vecteurs contraintes et les vecteurs déformations qui en résultent sont respectivement les sommes géométriques des vecteurs contraintes et des vecteurs déformations dus à chaque sollicitation simple agissant séparément et telles que les contraintes maximales résultantes restent inférieures à la limite élastique.

2.1. DÉFINITION Une poutre de section circulaire constante dont la ligne moyenne est droite et portée par (A, X) est sollicitée en flexion-torsion lorsque: - la flexion prise séparément est plane simple; - la torsion prise séparément est simple et telle que 1 Mt 1 est du même ordre de grandeur que

IM,lmaxi" Soit (A, X, y) le plan de la flexion plane simple. Considérons une section droite (S). Les éléments de réduction en G, centre de surface de (S), du torseur des forces de cohésion:

ont pour composantes dans (G, X,

I

G

Les contraintes maximales ne se trouvent pas nécessairement dans les sections droites des sollicitations simples correspondantes.

Dans ce chapitre nous étudierons les trois cas de sollicitations composées que l'on rencontre le plus souvent: flexion plane simple et torsion; flexion plane simple et extension (ou compression) ; flexion déviée.

(fig. 8.1) :

Mt) 0

0

Ty

REMARQUE IMPORTANTE

y, Z)

j0

M fz

(x,

y, z)

y ->

R

x

z

Fig. 8.1.

133

Modélisation, résistance des matériaux, notions d'élasticité

2.2. ANALYSE DES CONTRAINTES Dans le but ultérieurement d'appliquer le principe de superposition, nous al10ns définir toutes les contraintes dues à Ty , M fz ' Mt·

Lafigure 8.3 représente la répartition de la contrainte u x dans le plan de section droite (S) pour lequel 1M fz 1 est maximal. La seçtion est un cercle de diamètre d. y

l

2.2.1. Contrainte tangentielle de flexion

Zone

comprimée

Nous avons vu au chapitre 7, paragraphe 5.3, relation (15), qu'en un point M de (S) d'oroonnée Y (fig. 8.2) :

avec

= -_.:...-_-

T

bI(G, ï)

xy

_Q.

y

T y WGz

W Gz

=

B

2

~>~S

UBx

l

Zone x tendue

(S)

Fig. 8.3.

Dans une section circulaire de diamètre d, on sait que cette contrainte est nul1e pour Y = ± ~ et qu'el1e est

Les valeurs maximales de 1u x 1 sont obtenues en A et B d'ordonnées

~

et -

~.

maximale pour Y = 0 (fig. 8.2). y

y

x

+Q.

A

2

U Bx

>G

d

= I(G, i) x "2'

2.2.3. Contrainte tangentielle de torsion simple -Q.

'-----lB

2

l'txyl

G

x

d

Mf,

l'txyl

y

M

Mf,

I(G, i)

=----X-,

UA

2

(S)

Fig. 8.2.

En général 1T xy 1max est faible comparée aux deux autres contraintes que nous al10ns rencontrer. En A et B, là où les deux autres contraintes sont maximales T xy = O. Nous négligerons donc cette contrainte.

On considère une section droite (S) de centre de surface G et un point M de (S) situé à la distance p de G (fig. 8.4). On note (G, X, YI' 2 1) le repère direct tel que: ---+

~

GM=py,.

2.2.2. Contrainte normale de flexion Nous avons vu au chapitre 7, paragraphe 5.2.2, relation (12), qu'en un point M de (S) de coordonnées

z

M(y, z): Mf,

u

= x

I(G, z)

y

Cette contrainte est à calculer dans la section droite (S) pour laquelle 1Mf, 1 est maximal. 1u x 1 est donc maximale pour: 1 Mfzl

134

max

et

IYlmax = v.

Fig. 8.4.

Nous avons vu au chapitre 6, paragraphe 5.1 que la contrainte tangentielle de torsion au point M s'exprime par:

Sollicitations composées Cette contrainte est à calculer dans la section droite (S) pour laquelle 1Mil est maxima!. 1T xz, 1 est donc maximal pour :

- la facette de normale (A, x) est un plan de section droite pour lequel : (due à la flexion) ë(A, x)

(due à la torsion)

2.2.4. Zones à contraintes maximales Si on néglige la contrainte tangentielle T xy due à l'effort tranchant Ty , l'analyse des contraintes montre que les contraintes normales u x sont maximales en A et B sur l'axe (G, y) de la section droite (S), pour laquelle 1Mf, 1 est maxima!. D'autre part, les contraintes tangentielles de torsion T xz sont maximadl les pour tous les points tels que p = "2 et donc en A et B.

Nous ferons l'étude des contraintes en A et B.

- la facette de normale (A, z) est dans le plan de section longitudinal, qui est également plan de symétrie pour les forces extérieures appliquées en flexion et pour lequel : UAz

ë (A, -

z)

=

0

T Azx = T Axz

1

(théorème de Cauchy, chapi tre 3, paragraphe 3.5)

la facette de normale (A, ri) dans l'état plan

(A, Z, x) est telle que:

(i, ïi)

2.3. ÉTUDE DES CONTRAINTES MAXIMALES

= f(' •

La relation (3) du paragraphe 4.2 du chapitre 3 permet d'écrire en A dans l'état plan (A, Z, x) avec uAz=O:

Si on considère en A un plan de section de la poutre perpendiculaire à y (fig. 8.5), la contrainte normale U Ay due à la flexion et à la torsion est nulle. Cette situation correspond à un état plan de contrainte en A dans le plan (A, z, x).

_ -1

U An

=

C (A, n)

~ U Ax CI 1

T Ani =

COS

2

Ip )

+ T Azx sin 2 Ip

.

(1)

"2 U Ax sm 2 Ip + T Azx cos 2 Ip

•

y

2.3.1. Contrainte normale , maximale Soient i et X les directions principales dans le plan (A, Z, x) des contraintes normales U au point A. On note: Fig. 8.5.

Considérons un élément de poutre en A compris entre deux sections très voisines normales à y et les trois facettes suivantes (fig. 8.6) :

La relation (4) du paragraphe 4.2 du chapitre 3 permet d'écrire avec U Az = 0 : - 2T Azx

tan21p = - - -

(2)

U Ax

x

Les relations (5) du paragraphe 4.2 du chapitre 3 permettent de déterminer les contraintes normales principales U AZ et U AX au point A. Avec U Az = 0 on obtient:

n

z

(3)

Fig. 8.6.

135

Modélisation, résistance des matériaux, notions d'élasticité La construction graphique de M6hr (fig. 8.7) permet de déterminer rapidement les directions principales Z et X et les valeurs de a AZ et a AX'

X

p

x

/ l

:

/

1

1 1

(TAz

IJ

(TAX_

o

e

____

z Fig. 8.8.

-.....z

En effet, en B :

a Bx T Bzx

==-

a Ax T Azx .

Fig. 8.7.

La relation (2) du paragraphe 2.3.1 montre que les directions principales en A et B sont identiques. Dans le cas de la figure 8.8 on note que:

Dans le repère direct (A, Z, x), sur l'axe (A, Z) on porte (fig. 8.7) :

(OC, DS') = cp .

-

On trace (A,

AH=aAxz

HS

=-

-

T AzxX,

--

tan (JH, JS) =

et (A,

(z,

Soit J le milieu de AH. Le cercle de M6hr des contraintes au point A est le cercle de centre J et de rayon R = JS. Ce cercle coupe (A, z) en Cet D ; on note C le point proche de A et D le point proche de H. Sur le cercle de M6hr on observe que: -+-

i)

tels que:

i) = (x, i) = cp

.

L'axe (A, z) représente les variations de la contrainte normale a A au point A. Sur le cercle de M6hr figure 8.7 ou figure 8.8 on observe que 1 a A 1 est maximale en D défini par:

= AJ + JD

AD

1AJ = 2 AH

HS = = -- . JH a T Azx

Ax

JD

2 JS

D'après la relation (2), on peut écrire: tan

i)

(JH, ÏS) = tan 2 cp

2

=

2 T Azx

JD

l

2 a Ax ;

=

= R = JS

1 +4 a

=R

2 Ax

= l

2

= 4l( a

J

2 a Ax

2 Ax

) + 4T2 Azx

2 + 4 T Azx .

• Dans le cas où a Ax:> 0, la figure 8.7 montre que: d'où Dans le cas de la figure 8.7 qui correspond à a Ax '?" 0 et T Azx :> 0 on note que:

(CD, CS) = cp On trace (A,

i)

et (A,

(z,

i)

JD = + R d'où, l AD = AJ + JD = 2 a

l

+ 2V

/24 2 a Ax + T Azx'

D'après les relations (3) paragraphe 2.3 on sait que: • a AZ

tels que:

i) = (x, i) = cp

donc

=

AD

l

2a

Ax

=

a AZ

.

On en déduit que: La figure 8.8 correspond au cas où a Ax

/T2M

(1)

d'où:

M

• dans la zone tendue, en N : x

x

(TNx=(T1N+(T2N

d'où:

-->

/T1

Iul max

-->

/T2N

(S)

(a)

y

-->

-->

't xy

G

y

/TM

M

7" Nxy

M Zone comprimée

maxi

x

x

-->

/T

N

N

(S)

(S)

(d)

(c)

Fig. 8.12.

-->

/TN

0

=

N

Mf,

= I S- I(G,z)YN

1

.

(2)

Entre M et N, 7" x)' varie et sa valeur maximale reste faible comparée à (T x max' on peut donc négliger 7" xy dans le calcul de la contrainte normale principale (T (voir relation (4) paragraphe 2.3.1). Il en résulte que la répartition des contraintes normales (T entre M et N est déterminée avec une bonne approximation à partir de la relation de superposition des contraintes normales (T x dans le plan de section droite (S) (fig. 8.12 d)

Zone tendue

(Tx = (Tl

soit:

N

+ (T2 M fz

ux=S- I(G,z/"

(3)

Cette relation (3) permet de déterminer l'ordonnée y de la fibre neutre pour laquelle (T x = o.

141

Modélisation, résistance des matériaux, notions d'élasticité

3.2.

QUESTION 2

APPLICATION

x,

La figure 8.13 représente une poutre 1 en liaison encastrement en B avec le support 2.

y

....

RÉPONSE

1=2000

A (3....1)

~

X

"-

•

G

A

• • •df(4....1)

~

Déterminer les composantes dans (G, y, i) des éléments de réduction en G du torseur des forces de cobésion. En déduire le type de sollicitation auquel est soumis la poutre 1.

~

~

~

B ~

--t

Dans la zone AB pour laquelle 0 "" x "" 2 000, on considère la section droite (S) de centre de surface G telle que AG = xX (fig. 8.13). Si on considère le tronçon à gauche de (S), on peut écrire que:

~

(S)

Fig. 8.13. avec x

Le plan (A, X, ji) est un plan de symétrie pour la poutre 1 et pour les forces qui lui sont appliquées. (A, x) est porté par la ligne moyenne de 1.

Unités: forces en newton, longueurs en millimètres. La poutre 1 est soumise aux actions mécaniques suivantes: - l'action de 3 .... 1 est modélisable en A par: {"G(3-+I)} =

A (3

tel que

A (3 A

-+

0

{

-+ 1) = - 5000

fi

x

MG

=

-

Md A(3

La première relation s'écrit: x

R=

-

A(3

R=

5 000

-+ 1) - I dJ( 4 -+ 1) fi

soit

x + 2000 ji

avecp

= 3 N/mm.

La poutre a une section rectangulaire de largeur = 30 mm et de hauteur h = 60 mm. Elle est en acier pour lequel E = 2.10 5 MPa et u e = 380 MPa. On considère une section droite (S) de centre de surface G tel que AG = xx.

d'où:

x-

soit

MG

=

il ~~ ~~+3X

MG

=

-

[GA "A (3 -+

1)] -

[

0: "-

pxji ]

2000 xZ - 1,5 x 2 Z

MG

QUESTION 1

M,=O Mf, = 0 M

RÉPONSE

xy

La deuxième relation s'écrit:

d'où:

Déterminer les éléments de réduction en B de l'action mécanique de 2 -+ 1.

2 000 ji + 3

T, = O.

b

fz

= 2000x-l,5x 2 •

Il en résulte que la poutre 1 est soumise entre A et B à une sollicitation composée de flexion plane simple et d'extension.

QUESTION 3

L'équilibre de 1 entraîne que: {T:>(1 -+ I)} La réduction en B permet d'écrire: R(I-+!)

-+ 1)]- I M dd::i(4 .... 1)]. fi

I)}

- l'action de 4 -+ 1 est modélisable par une densité linéïque de force constante entre A et B et telle que: dj(4-+ 1) = -pdxji

R= -A(3-+1)-Id::i(4-+1)

{Ô}. Déterminer les équations et les diagrammes de l'effort normal N, de l'effort trancbant T, et du moment de flexion Mf, le long de la poutre AB.

=Â(3-+1) 1

+ I dj(4 -+ 1) + B(2 -+ 1) = Ô fi

MB(I -+ 1)

RÉPONSE

M B[Â(3 -+ 1)] 1

+

I M [dj(4 -+ 1)] + M (2 -+ 1) = o

B

B

B(2 -+ 1 ) = 5 000

142

Entre A et B pour 0 "" X

___ 1(:....G..:....,z-=)+----=:...,.+--:~_+_,__~~~~_r_...:....-;:lI...\G

D

z

y 1=2000

-->

--> B (3-->1)

A(2-->1) lA

B

C

G.

1

x

--> C(4-->1)

Fig. 8.19. Fig. 8.20.

Sur l'axe (G, i), on porte à l'échelle choisie: GH=/(G,i)i et

Parallèlement à (G, échelle:

HA = -

/(G,

n,

y, Z)y

Il en résulte que dans (G, tels que:

GE=/(G,Y)i.

on porte avec la même et

ER = /(G, y, Z)y.

y, Z) les points A et B sont

GA = I(G, i) i - I(G, y, i ) j { G1J = I(G, y) i + 1 (G,y, i ) j ' Le cercle de Môhr est le cercle de diamètre AB, son centre J est le milieu de HE, son rayon est R = JA = JB. Ce cercle coupe l'axe (G, Z) en deux points Cet D. On note D le point proche de H et Cie point proche de E. Au chapitre 2, paragraphe 9 nous avons établi que: GD = I(G,

146

i)

et

Ge = I(G, Y).

L'axe (A, x) est porté par la ligne moyenne de la poutre 1 et B et C sont situés sur (A, x). Les forces appliquées à la poutre 1 sont perpendiculaires à (A, x) et admettent (A, x, y) comme plan de symétrie. La poutre 1 est une cornière à aile inégale 90 x 70 x 8 NF A 45-009 dont la section droite (S) est définie figure 8.21. Les axes (G, y) et (G, z) ne sont pas les axes principaux de la section droite (S). Unités: les longueurs en millimètres, les forces en newtons.

y z z

y

70

1

0

1

1

1

1

·G,

col

_o.

G

~. 8 Fig. 8.21.

0 Cl

G2

L'action mécanique de 4 milieu de AB par: {'b(4

-+

I)}

= C

tel que

ë (4

-+

1)

{

-+

1 est modélisahle en C

Les composantes de

R

ë(40'_ I)}

R et

MG dans (G, X, ji, i) sont: Ml

N =0 Ty=IOOO; T, = 0

MG Mfy

I

=0 =

0

Mf, = - 1000 x

+ 2 x 10 6

2 000 ji .

= -

La figure 8.22 donne les diagrammes de T y et Mf,' Il en résulte que la poutre 1 est soumise à une sollicitation de flexion mais, (G, ji) n'étant pas un axe principal de la section droite (S), cette sollicitation est une flexion déviée.

QUESTION 1 Détenniner les équations et les diagrammes de l'effort tranchant Tyet du moment de flexion Mf. QueUe est le type de sollicitation auquel est soumise la poutre

QUESTION 2

1?

Détenniner le centre de surface G de la section droite (8).

RÉPONSE

RÉPONSE

Par raison de symétrie

On peut décomposer la section (S) en deux surfaces SI et Sz de centre de surface G I et G 2 (fig. 8.21)

À(2

1) = B(3

-+

-+

1) = 1 OOOji.

SI = 70 x 8 = 560 mm 2 S2 = 82 x 8 = 656 mm 2

Soit G le centre de surface d'une section droite (S) située entre A et C. Les éléments de réduction en G du torseur des forces de cohésion

{'bcoh }

G{~G}

=

sont tels quel

J"? =

R et

MI

Ty=-IOOO;

I

T,

EnA:

EnC:

=

1) .

MG dans (G, X, ji, i) sont:

N =0

R

00 1 = 002 =

-+ ~I)

G1 "A (2 -+

MG = -

Les composantes de

Les centres de surface G I et G 2 sont définis dans (0, X, ji, i) par:

À (2

-

= SI + S2 = 1 216 mm 2 .

S

MG Mfy

0

=0 = 0

-

4 ji + 35 i

- 49 ji + 4 i.

Les coordonnées du centre de surface G de (S) dans (0, X, ji, i) s'expriment alors par: YGI

SI + YG2 S2 S

zGI

SI + S

YG =

Mf, = 1000 x

x=O; x=IOOO;

yG

Mf, = O. 6

Mf, = 10 (N mm).

zG

=

ZG2

IMG

= - 28,276 (mm) • 35 x 560 + 4 x 656 1 216

S2

zG

Entre C et B les éléments de réduction en G du torseur des forces de cohésion peuvent s'écrire:

R

- 4 x 560 - 49 x 656 1216

= 18,276 (mm) •

QUESTION 3 =B(3-+1) =

GÊ" B(3

-+

Détenniner les moments quadratiques [(G, y), [(G, i) et le moment prOdW~[(G']' i) de!a section droite (8). Détermi(J, Y) = (i, Z) des directions principales de ner l'angle il' la section.

1).

1000

RÉPONSE

A

Cl

x -1000

On désigne par /I(G, ji) et /2(G, ji) les moments quadratiques de SI et S2 par rapport à l'axe (G. On peut écrire:

,n.

La relation (2) paragraphe 2 du chapitre 2 permet d'écrire: /1(G,ji)=/I(Gj,ji)+Sjd! ~

/I(G, y)

B Fig. 8.22.

x

8 x 70

avec

Id"

= IZG-zGII

3

= -1-2- + 560 x

16,724 2

= 385294,29 mm'

/2(G,ji)=/2(G2,ji)+S2d~ avec Id2 1 = IZG-zG21 ~ 82 x 8 3 /2(G, y) = -1-2- + 656

x 14,276 2

=

137194,21 mm'

147

Modélisation, résistance des matériaux, notions d'élasticité

y) = 385294,29 + 137 194,21 I(G, J) = 522488,5 mm 4.

d'où

Sur le cercle de Môhr on obtient:

I(G,

(JÎl, JA) = (JÊ, JÈ) = 2

'P .

De la même façon on définit: Sur la figure 8.23 on observe que: 'P = (i, cA). On mesure: I(J = 30,5° . On construit (G, Z) parallèle à CA et (G, h parallèle à C B et orientés de telle façon que

I(G, z) = II(G, z) + 12(G, z)

avec 1dll

Ij(G, z) = l, (G j , z) + SI d;2

_) l, ( G, z

70 X 8 3 ? = --12+ 560 x 24,276=

12(G, z) = 12(G 2,z)+s2 d!} 12(G, z)

=

8

~~23 + 656 x

h

(y,

333008,21 mm 4 avec

Idil

!YG- Yc 21

= (z,

Z)

= 'P .

Sur l'axe (G, i) on obtient:

= GC =27 x 10 4 mm 4

I(G, Y)

20,724 2

I(G, Z) = GD= 123 x 10 4 mm 4 •

= 649320,29 mm 4 • I(G, z) = 333008,21 + 649 320,29 I(G, i) = 982328,5 mm 4.

d'où

y

Soient lj (G, y, z) et 12( G, y, z) les moments produits de S, et 52 par rapport aux axes (G, y, z). On peut écrire: I(G,

y,

= 1,(G,

z)

(G,r:Zi

1

y, z) + 12(G, y, z).

OM

La relation (2) paragraphe 5 du chapitre 2 permet d'écrire: -+

1,(G, l, (G, l, (G,

12(G, 12(G, 12(G,

y, z) y, z) y, z) y, i) y, i) y, i)

= Ij(G j, =

ZCj'

0 + 560[ - 4 - (- 28,276 )][35 - 18,276] ,

= 227 355,42 mm 4

I(G,Z)

z

0

.

y, i) + S2Yc2 ZC2'

=

12(G 2,

=

0 + 656 [- 49 - (- 28,276)][4 - 18,276] ,

=

194081,42 mm 4

1 (G, I(G,

D'où:

y, z) + SI Yc,

y, i)

=

y, i)

=

-1

(G,;Zi

•

N

Fig. 8.23.

227355,42 + 194081,42 421436,84mm 4.

QUESTION 5 QUESTION 4 Déterminer par la méthode graphique de Miihr la position des axes principaux au centre de surface G de la section droite (S) et la valeur des moments quadratiques maximal et minimal correspondants.

RÉPONSE Dans le repère (G, y, z) et en fonction de l'échelle choisie sur l'axe (G, i) on porte (fig. 8.23): GE = I(G,

y) =

GH = I(G,

i)

522488 mm

4

GE

J!lJ

= I(G,

y, z) =

On note:

148

-

-

(Y, Z) =

421436 mm

'P

= (y,

'TT 2"'

h

=

(i, Z).

I(G,

y) i + I(G, y, z)y.

(y, li) = a

= -421 436mm 4 , 4

•

On trace le cercle de Môhr de centre J et de rayon JA. Ce cercle coupe l'axe (G, i) en Cet D. On note C le point proche de E et D le point proc_he de H. On désigne par (G, Y) et (G, Z) les axes principaux en G tels que

=

Sur lafigure 8.23, par construction, le point B vérifie cette condition. L'axe neutre est donc défini par GE. Sur cette figure on mesure:

= 982328 mm4 •

y, z)

RÉPONSE On a vu au paragraphe 4.2.4 que dans le repère (G, y, z) l'axe neutre (G, fi) a pour support â1i, le point B étant défini par: ~

,

On note J le milieu de EH. Parallèlement à (G, y) on porte:

HA = - I(G,

Déterminer par la méthode graphique l'axe neutre (G, li) de la section droite (S) et en déduire les coordonnées y et z des points M et N de la section (S) les plus éloignés de l'axe neutre.

= 51°

.

La figure 8.23 montre que les points les plus éloignés de l'axe neutre (G, fi) sont les points repérés Met N. Dans le repère (G, y, i) on détermine (graphiquement ou géométriquement) les coordonnées des points M et N:

M

YM

= 28,27

ZM

= -18,27

I

N 1YN = - 61,73 zN = -10,27

QUESTION 6

-

Dans la section droite (S) la plus sollicitée, déterminer les contraintes normales maximales tr. dans la zone tendue et dans la zone comprimée.

U Mx

pour le point M: 106

+ 18,27 x 421436] tr M. = - 67,66 (MPa) (zone comprimée) ; pour le point N:

-

RÉPONSE Les diagrammes de la figure 8.22 montrent que la section droite la plus sollicitée est située en C pour laquelle: Mf. = 106 (N mm). Da~s le repère (G, y, z) la relation (II) du paragraphe 4.2.3 permet alors d'écrire:

= - 27. 104 X 123. ] 0 4 [28,27 x 522 488

U Nx

106

=-

4 41-61,73 x 522488 27. 10 x 123. 10 + 10,27 x 421 436]

tr N.

= 84,08 (MPa)

(zone tendue) .

EXERCICES AVEC RÉPONSES [!J

La figure 8.24 représente la modélisation d'un arbre intermédiaire de réducteur. Cet arbre 1 de section constante et circulaire est guidé en rotation dans les paliers 2 et 3 et il transmet un moment entre les roues à denture droite 4 et 5. Le repère :il. = (A, X, y, z) est tel que (A, x) est porté par la ligne moyenne de l'arbre 1.

tel que dans :il. :

D(5 ..... 1)

50

100

z

e 1-

."':

o

c

~

x

\

4

La liaison 2-1 est une liaison pivot courte d'axe

{'b(2 ..... I)} =

À(2 ..... 1)} A

0

{

tel que dans :il. :

Fig. 8.24.

Unités: les longueurs en millimètres, les forces en newton. - L'action mécanique de la roue 4 sur l'arbre 1 est modélisable en C par:

- La liaison 3-1 est une liaison pivot glissant cou~te d'axe (D, x) admettant un léger rotulage. L'action mécanique de 3 ..... 1 est modélisable en D par: {'b(3 ..... 1)}

c

{ Mc (4 -.1)

B(3 ..... 000 ;

D

{B(30~ _

I)}

I)I~B; ZB

- L'action mécanique de la roue 5 sur l'arbre 1 est modélisable en D par: {'b(5 ..... 1)} =

B

tel que dans :il. :

tel que dans :il. :

1- ~

-

ë(4 ..... 1)}

{'b(4 ..... 1)}=

ë (4 ..... 1)

000;

(A, x) admettant un léger rotulage. L'action mécanique de 2 ..... 1 est modélisable en A par:

y 50

1- ~

{~(5""'1)} M (5 ..... 1) D

Cet arbre est en acier XC 38 pour lequel: U e

= 335 MPa

et

Te

= 235 MPa .

On adopte pour cette construction un coefficient de sécurité s = 3.

149

Modélisation, résistance des matériaux, notions d'élasticité

QUESTIONS

- L'action mécanique de la roue 2 sur l'arbre 1 est modélisable en A par:

l' Déterminer les actions mécaniques en A et B.

r Déterminer les équations de l'effort tranchant T,. du moment de flexion Mf. et du moment de torsion JW; le long de l'arbre AB et construire les diagrammes correspondants. En déduire la valeur de 1 Ty 1mu' de 1Mf.! ....' de 1JW; 1mu et la position des sections droites correspondantes. 3' Dans la section droite la plus sollicitée, déterminer le diamètre minimal de l'arbre pour que la condition limite relative aux contraintes normales soit vérifiée. 4' Dans la section droite la plus sollicitée, déterminer le diamètre minimal de l'arbre pour que la condition limite relative aux contraintes tangentieUes soit vérifiée. S' A partir des résultats du 3' et du 4', en déduire le diamètre minimal de l'arbre 1 pour que celui-ci résiste en toute sécurité aux solliciations qui lui sont appliquées.

{"G(2-+1)}=

tel que dans :JI. Â(2 -+

l)1! soo;

- L'action mécanique de la roue 4 sur l'arbre 1 est modélisable en C par: {"G(4-+1)}=

tel que dans :JI.

C(4 -+ 1 ) RÉPONSES l' X A = 0;

YA = 1 250 (N);

Z

A

1 7S0 (N);

Z

B =

YB =

1- ~ soo ;

- La liaison 3-1 est une liaison pivot glissant courte d'axe (B, x) admettant un léger rotulage. L'action mécanique de 3 -+ 1 est modélisable en B par:

= O.

O. {"G(3 -+ I)}

2'

1 Ty 1max = 1 7S0 N 1Mf, 1max

en D ; B(3 -+

4

1 M, 1max = 6 X 10 N mm

B(3 -+ B

Ô

{

I)}

tel que dans :JI.

entre D et B;

= 87 SOO N mm

=

entre C et D .

3' d;;" 20,6 mm.

I)I~B; ZB

- La liaison 5-1 est une liaison pivot courte d'axe (D, x) admettant un léger rotulage. L'action mécanique de S -+ 1 est modélisable en D par:

4' d;;" 19 mm.

S' d;;" 20,6 mm.

{"G(S -+ l)}

m

Lafigure 8.25 représente la modélisation d'un arbre 1 de section constante et circulaire. Cet arbre est guidé

=

D

{

D(S-+I)} Ô

tel que dans :JI.

en rotation dans les paliers 3 et S et il transmet un moment entre les roues à denture droite 2 et 4. Le repère :JI. = (A, X, ji, z) est tel que (A, x) est porté par la ligne moyenne de l'arbre 1. Cet arbre est en acier 18 CD 4 pour lequel:

y

fT e

40

. A

f 2

30

et

Te

= 680 MPa .

On adopte pour cette construction un coefficient de sécurité s = 2,S.

B

.1

t

D

C

" .~

4 Fig. 8.25.

~

x

Unités: les longueurs en millimètres, les forces en newtons.

150

= 880 MPa

30

QUESTIONS l' Déterminer les actions mécaniques en B et D. 2' Déterminer les équations de l'effort tranchant T,. du moment de flexion Mf. et du moment de torsion JW; le long de l'arbre AD et construire les diagrammes correspondants. En déduire la valeur de 1 Tylmu' de 1Mf.I ...., de 1Mt 1mu et la position des sections droites correspondantes.

Sollicitations composées

3° Dans la section droite la plus sollicitée, détenniner le diamètre mioimal de l'arbre pour que la condition limite relative aux contraintes nonnales soit vérifiée. 4° Dans la section droite la plus sollicitée, détenniner le diamètre minimal de l'arbre pour que la condition limite relative aux contraintes tangentielles soit vérifiée. SO A partir des résultats du 3° et du 4°, en déduire le diamètre minimal de l'arbre 1 pour que celui-ci résiste en toute sécurité aux sollicitations qui lui sont appliquées.

= -

Yo

=

3 250 (N).

1Mf, 1max

3 250 (N)

=

entre C et D ; 3

97,5 x 10 (N mm)

=

1M, 1max = 25 x 10' (N mm) 3°

d~

17,4 mm.

~

17,1 mm.

d~

17,4 mm.

4° d

5°

en C; entre B et C .

[l]

La figure 8.26 représente la modélisation d'un levier 1 de section rectangulaire. On note :Il. = (A, X, y, z). L'axe (A, x) est porté par la ligne moyenne du levier 1. Le plan (A, x, y) est un plan de symétrie pour le levier 1 et pour les forces extérieures qui lui sont appliquées. Unités: les longueurs en millimètres, les forces en newtons.

~B

Y1

~;

40

{"G(4-+ I)}

=

c {

ë(4-+1)} Ô

tel que dans :Il.: ë (4 -+ 1)

=

x- 400 y.

990

1° Détenniner les équations de l'effort nonnal N, de l'effort tranchant T~ du moment de flexion Mf. le long du levier 1 et construire les diagrammes correspondants. En déduire la valeur de 1NI, de 1Ty l ' de 1Mf. 1max et la position des section:"droites corresj;ndantes. 2° Déterminer la répartition des contraintes nonnales dans la section droite (S) la plus sollicitée et construire les diagrammes correspondants. En déduire la contrainte nonnale maximale dans la zone tendue et dans la zone comprimée. 3° Détenniner la contrainte tangentielle maximale dans la section droite ~B.

250 (N)

1 Ty 1max

2°

L'action de 4 -+ 1 est modélisable en C par:

QUESTIONS

RÉPONSES 1" YB

-

h_OO.~ ~rj

RÉPONSES 1°

entre A et C ;

1N 1ma, = 990 (N)

entre A et B ;

1T y 1max = 800 (N)

1Mf, 1ma,

=

32

X

3

10 (N mm)

en B .

2° La section B-B est la plus sollicitée u = 15 + 16,117 y

pour y l'our y

=

8

= -

8

u = 144 (MPa), zone tendue; U = - 114 (MPa), zone comprimée.

Fig. 8.26.

Le levier 1 est soumis aux actions mécaniques extérieures suivantes: - L'action de 2 -+ 1 est modélisable en A par: {"G(2-+ I)}

tel que dans :Il.: -

=

A

A (2 -+

{

A(2 -+ Ô

l)}

y

=

B

{

50

50

1)

= -

990

x- 800 Y.

L'action de 3 -+ 1 est modélisable en B par: {"G(3 -+ I)}

[±)La figure 8.27 représente une poutr~ 1 en liaison encastrement en C avec le support 2. On note :Il. = (A, x, y, z). L'axe (A, x) est porté par la ligne moyenne de la poutre 1.

B(3

tel que dans :Il.: B(3 -+ 1)

=

-+

Ô

l)}

1 200 y.

lA -+ A (3-+1)

C

B

J

-+

B 4-+1)

x

\.!

Fig. 8.27.

151

Modélisation, résistance des matériaux, notions d'élasticité

Le plan (A, X, Yl est un plan de symétrie pour la poutre 1 et pour les forces extérieures qui lui sont appliquées. La poutre 1 a une section rectangulaire constante et elle est en acier E28 pour lequel: u,=255MPa

et

T e

rnLafigure 8.28 représente la section droite (S) d'un profilé en alliage d'aluminium utilisé dans la construction des voitures du métro.

=130MPa.

On adopte pour cette construction un coefficient de sécurité s = 2,5. Unités: les longueurs en millimètres, les forces en newtons.

La poutre 1 est soumise aux actions mécaniques extérieures suivantes: -

l'action de 3 -+ 1 est modélisable en A par: {'G(3-+1)} =

tel que dans :JI. : -

A(3-+I)} A

A (3

Ô

{

-+ 1) = - 1 200

x- 400 y;

l'action de 4 -+ 1 est modélisable en B par: {'G(4-+1)}=B {

tel que dans :JI.:

B(4 -+

B( 4 -+

Ô

I)}

1) = - 200 y.

Fig. 8.28. La section droite (S) a les caractéristiques suivantes: - surface: S = 833,5 mm 2 • - centre de surface G: = 7,48 Y- 8,79 (en mm dans (0, y, z)); - axes principaux d'inertie en G: (G, Y) et (G, Z) tels que:

ot

QUESTIONS 0

1 Déterminer les composantes dans :il des éléments de réduction en C du torseur des actions mécaniques de liaison de 2 -+ 1. r Déterminer les équations de l'effort normal N, de l'effort tranchant Ty> du moment de flexion Mf? le long de la poutre 1 et construire les diagrammes correspondants. En déduire la valeur de 1NI, de 1 Ty 1 ' de 1Mfz 1max et la position des section;"droites corresj:'ndantes. 3' Dans la section droite la plus sollicitée et à partir de la condition de résistance relative aux contraintes normales, déterminer les valeurs minimales de b et h dans le cas où

=

h 2b. 4' Déterminer la contrainte tangentieUe maximale dans la section droite la plus sollicitée.

'P =

-

moments quadratiques [(G, [(G, [(G,

1) = - 5 X 10 4 Z 1max = 1200 (N) entre A et C; entre B et C ;

IMfzimax=5xI04(Nmm) 3' b = 9,25; h = 18,5. 4' 1T xy 1max = 5,26 MPa.

152

[(G, Z):

Y) = 42,13 X 10 4 mm4 ; Z) = 21,46 x 104 mm4.

On désigne par (G, fi) l'axe neutre de la section (S). La position de l'axe neutre (G, fi) par rapport à l'axe (G, Y) est déterminée par l'angle: (Y,fi)=I/J.

Mc (2 -+

1 T y 1max = 600 (N)

Y) et

On donne les composantes dans (G, x, y, z) des éléments de réduction en G des forces de cohésion dans la section droite (S):

l'ë(2-+1)=1200x+600y

IN

(y, Y) = (l, Z) = - 18,42' ;

Unités: les longueurs en millimètres, les forces en newtons.

RÉPONSES

2'

z

R

N =0 Ty =2000; I Tz = 0

MG

M,=O =0

M Jy M fz

=4

X

10 5

enC. Ce profilé est en alliage d'aluminium corroyé 7020 pour lequel: E = 72 000 MPa; u, = 380 MPa; u, = 240 MPa.

Sollicitations composées

QUESTIONS

-

axes principaux d'inertie en G : Y) et (G, Z) tels que: (G,

1 Détenniner algébriquement la position de l'axe neutre (G, Ji) de la section droite (S) en calculant tan 1/1 (relation (3) paragraphe 4.2.Z). 0

2 Déterminer graphiquement la position de l'axe neutre (G, Ji) et comparer avec le résultat du r.

= (l,

Z)

moments quadratiques /(G,

Y)

cp = (y,

Y)

=

38

0

0

-

3 Détenniner graphiquement sur la figure 8.28 les coordonnées Y et Z dans (G, Y, Z) des points M et N de la section droite (S) les plus éloignés de l'axe neutre (G, Ji). M est situé au dessus de l'axe (G, Ji).

et /(G,

Z) :

0

4 Dans la section droite (S) déterminer les contraintes normales maximales u. dans la zone tendue et dans la zone comprimée. En déduire la valeur du coefficient de sécurité dont on dispose. 0

RÉPONSES

r 3

4

0

0

/(G,

profilé. Unités: les longueurs en millimètres, les forces en newtons. La section droite (S) a les caractéristiques suivantes:

=

173,13 x 104 mm 4;

"

4

4

/(G, Z) = 62,18 x 10 mm.

On désigne par (G, fi) l'axe neutre de la section droite (S). La position de l'axe neutre (G, fi) par rapport à l'axe (G, Y) est déterminée par J'angle: (Y, il) = 1jJ. On donne les composantes dans (G, X, y, l) des éléments de réduction en G des forces de cohésion dans la section droite (S) :

tan ljJ = - 5,8946; ljJ = (Y, fi) = - 80,3T. YM ",,52mm; ZM",,-8,5mm; YN "" - 37 mm; ZN'" - 3 mm. En M: u, = - 89,4 (MPa), zone comprimée. En N: u, = 64,5 (MPa), zone tendue. s = 2.68.

[!]La/igure 8.29 représente la section droite (S) d'un

Y)

M,=O

N =0

R

Ty = 3200 ; I T, = 0

MG

Mfy = 0 Mf, = 10

6

Ce profilé est en alliage d'aluminium corroyé 5086 pour lequel: E = 72 000 MPa; u, = 310 MPa; u e = 230 MPa.

QUESTIONS 1 Déterminer algébriquement la position de l'axe neutre (G, Ji) de la section droite (S) en calculant tan 1/1 (relation (3) paragraphe 4.2.Z). r Détenniner graphiquement la position de l'axe neutre (G, Ji) et comparer avec le résultat du r. 3 Déterminer graphiquement sur la figure 8.29 les coordonnées Y et Z dans (G, Y, Z) des points M et N de la section droite (S) les plus éloignés de l'axe neutre (G, Ji). M est situé au dessus de l'axe (G, Ji). 0

y

y

0

0

z

4 Dans la section droite (S) détenniner les contraintes normales maximales u. dans la zone tendue et dans la zone comprimée. En déduire la valeur du coefficient de sécurité dont on dispose.

z RÉPONSES Fig. 8.29.

0

1 tan ljJ = 3,5638; ljJ = (Y, fi) = 74,3 3 YM ",,37; ZM",,-55; YN "" - 40; ZN "" - 8. 4 En M: u x = - 66,4 (MPa), zone compnmee. En N: u x = 47,8 (MPa), zone tendue. s = 3,46. 0

•

-- centre de surface G :

DG

=

26,55 Y + 29,88 Z

dans (O,y,l);

0

0

153

o

le flambage

Le flambage est en fait une sollicitation composée de compression et de flexion. Comme telle, elle aurait pu être traitée au chapitre précédent. Nous avons choisi d'en faire un chapitre à part, non pas pour y apporter plus d'attention mais simplement parce que les méthodes de son étude sont un peu particulières.

Lorsqu'une pièce en forme de poutre rectiligne suffisamment longue subit un effort axial croissant tendant à la raccourcir, on observe successivement deux types de sollicitation. x - Pour une charge axiale F inférieure à une limite --> F notée Fe (charge critique), 3 la poutre est comprimée, elle reste rectiligne et se raccourcit. - Lorsque la charge axiale F atteint F et la poutre fléchit brusquement et se rompt très vite; On observe que la flexion se produit dans le plan perpendiculaire à la direction principale de plus faible moment quadratique de la section droite de la poutre. Figure 9.1 par exemple, la flexion se produit dans le plan (A, i, y) pery / 2 pendiculaire à (G, .ï).

ment, et sur le plan expérimental, comme la flexion se produit dans le plan (A, i, y), les liaisons sphériques en A et B sont remplacées par des liaisons pivot d'axe parallèle à z, plus faciles à réaliser. • Considérons le repère 5to = (A, X, y, z), il est tel que, (fig. 9.1) : (A, x) est porté par la ligne moyenne de la poutre avant déformation. • Dans un plan (G, y, z) de section droite, (G, y) et (G, z) sont axes principaux et /(G, .ï) Fe: la flèche augmente jusqu'à la rupture.

155

Modélisation, résistance des matériaux, notions d'élasticité

1.3. CAS D'UNE POUTRE DONT

L'étude de l'équilibre de la poutre 1 conduit à écrire que:

LES EXTRÉMITÉS A ET B SONT PARFAITEMENT ENCASTRÉES (fig. 9.3) Nous étudierons ce cas qui est en fait beaucoup plus proche des cas réels et qui pennet de définir la notion de « longueur libre de flambage ». Modélisons les actions des deux liaisons encastrement aux extrémités A et B. La réalisation expérimentale introduit un plan de symétrie des charges, (A, i, y). La liaison 3-1 est telle que la résultante du torseur de liaison est parallèle à (B, i).

(inconnu) . Exprimons en G centre de surface d'une section droite telle que G (x, y), le torseur des forces de cohésion:

Avec: R=B(3-+l)=-Fi ( MG = M (3 -+ 1) + GE fi B(3 B

x

-+

1)

soit: MG = (- Fy + p., ) z. MG est donc un moment de flexion suivant Z. On connaît l'expression de la « défonnée» dans une sollicitation de flexion: EI(G, z) y" = Mf,' __ ~'!(_}__ ...o,G"-+--+-_---.--

y

Donc ici: El (G, Z) y" que l'on peut écrire:

Fy + p.,

= -

EI(G, Z)" p., F y +Y=P'

(6)

L'équation (6) est une équation différentielle du second ordre, linéaire, à coefficients constants, avec second membre, dont la solution générale est:

y Fig. 9.3.

y = A cos wx + B sin wx + ~

• Liaison encastrement 3-1 {"G(3

-+

l)} = B

(~(3

1) M B (3 -+ 1) -+

1

que nous exprimerons plus simplement par: B(3 (

-+

1) = - Fi

• en B

L'équilibre de la poutre 1 et la symétrie des liaisons implique que: Liaison encastrement 2-1 : -+

I)}

(~(2

= A

-+

1)

M A (2-+1)

1

A(2 -+ 1) = ( MA (2 -+ 1) = 156

Fi

MA '=

-

MA

z.

(7)

EI(G, Z)

{xy == 0' O. {x = 0 yi = 0 {xY == 0' 1. {x = 1 yi = O.

Notons que compte tenu de la symétrie de la figure, ces quatre conditions ne sont pas indépendantes. Ecrivons que: y yi

que nous exprimerons plus simplement par:

F

2

w =

Notons que l'unité de w 2 est le mm- 2. Les trois inconnues A, B, p., peuvent se calculer avec les conditions aux limites: • en A

MB (3 -+ 1) = MB = M B Z .

{"G(2

avec

=

A cos wx + B sin wx +

= _

!::. F

Aw sin wx + Bw cos wx

pour

{xy == 00 =

0

= A + !::.

(8)

~= = 00 =

0

=B

(9)

pour {

y

F

Le flambage pour

X {

- 1

-

y = 0

=

avec B

=

Reprenons l'équation de la déformée (7) et remplaçons A par - ~ :

0;

0= A cos wl + ~

pour { x = 1 y' = 0

=

(10)

avec B = 0; 0 = -Aw sin wl. (11)

En comparant (8) et (10) il vient que cos wl = 1 et donc que: wl = 2 k7f. La valeur choisie pour k doit satisfaire (11). Notons que (11) est vérifiée 'If k. Pour k = 1 : w 1 = 2 7f, comme w 2 = F El (G, z)

y = ~ (1 - cos w x) .

La flèche y est maximale lorsque cos wx = - l, c'està-dire pour wx = 7f, soit pour x = ~ ce qui était prévisible. Alors: (13)

Notons que /L, donc A est indéfini.

On obtient:

1 .5. On peut garder la même relation (4) pour définir la charge critique d'Euler, à condition toutefois d'écrire celle-ci:

=

F c

2 17

EI(G, i)

DOMAINE D'EMPLOI DU FLAMBAGE. ÉLANCEMENT

Nous venons de voir qu'en flambage, la détermination de la charge critique d'Euler F c se fait dans tous les cas de figure en employant la relation

(12)

L2

=

F

L désigne alors la longueur libre de flambage et dépend de la nature des liaisons aux extrémités.

1 .4.

LONGUEUR LIBRE DE FLAMBAGE

• Pour une poutre articulée (liaisons pivot) à ses deux extrémités: L = 1 (paragraphe 1.2). • Pour une poutre encastrée (parfaitement) à ses deux extremltes .. , : L = 2 1 (vOir " CIdessus) . • Pour une poutre encastrée à une extrémité et en liaison pivot à l'autre: L = 0,7 1. • Pour une poutre encastrée à une extrémité et libre à l'autre: L = 2/. etc. Sur le modèle du paragraphe 1.3, le lecteur pourra retrouver ces deux dernières valeurs de la longueur libre de flambage. Les équations (8), (9), (10), (11) ci-dessus n'étant pas indépendantes ne permettent pas le calcul de A, et /L. On sait seulement que: A = - ~ et B = 0, et que pour F

=

F c' alors wl = 2

7f.

EI(G, i) L2

c

Dans le cas de notre étude qui correspond à un encastrement parfait aux deux extrémités il suffit de , . L 1 preciser que: = 2'

2 17

à condition de définir L non pas comme la longueur de la poutre mais comme la longueur libre de flambage. D'autre part, nous avons vu que la sollicitation de flambage, suit et se combine à une sollicitation de compression. La question qui se pose est la suivante: Quand la poutre doit-elle être calculée simplement en compression? Quand doit-elle être calculée en flambage? En effet, on conçoit qu'une poutre courte et trapue doit être calculée en compression alors qu'une poutre longue et élancée doit être calculée en flambage. On définit donc pour une poutre l'élancement.

[]J.

(14)

L est la longueur libre de flambage, p est le rayon de giration de la section: p =

J1(G~ z),

avec moment quadratique minimal de la section suivant l'axe principal perpendiculaire au plan de la déformation de flambage. S aire de la section droite. Unités: I(G, z): mm4 ; S: mm2 ; p: mm; L: mm; À : sans unité.

I(G, z)

157

Modélisation, résistance des matériaux, notions d'élasticité soit

1.6. CALCUL DE RÉSISTANCE AU FLAMBAGE (EULER)

1 .6.1.

Coefficient de sécurité

(17)

Dans (17), remplaçons la charge critique d'Euler 'TT' 2 El (G, z) 1 Il F c par sa va leur L2 dans aque e on

fait

apparaître

l'élancement

La charge critique d'Euler F c représente une limite qui ne doit être atteinte en aucun cas. Soit F la charge axiale limite que l'on peut adopter

Fc

k=F

représente un coefficient de sécurité qui en principe dépend, des conditions d'utilisation, du type de la construction etc... On prend en général pour k le double du coefficient de sécurité habituel s,

p

avec

'TT'2E -2-=u e

,

A

Cette relation fait apparaître la notion d'élancement critique Ac, élancement à partir duquel la poutre devra être calculée au flambage.

(18)

Notons que cette valeur de l'élancement critique ne dépend que des caractéristiques mécaniques du matériau.

avec contrainte limite élastique contrainte pratique de compression. On écrira donc: U e

u pc

L A = -

=

Pour l'acier A33 : E = 2 X 10 5 MPa, Pour l'acier 45SCD6 : E = 2 x 10 5 Mpa,

U e

= 155 Mpa

A c = 113.

U e = 1 370 MPa Ac = 38. Les valeurs moyennes adoptées sont en général:

et par conséquent:

1 .6.2.

(15)

Elancement critique

- Lorsque Mf =0, il s'ensuit que: y" = 0; ce qui définit les points d'inflexion de la déformée. En ces points, seule la contrainte normale de compression est à prendre en compte. On notera celle-ci: F

S·

=

Ac

=

60 70

1 .6.3.

pour les profilés acier pour les poteaux en fonte pour les poteaux en bois

Condition de résistance au flambage (Euler)

Calculons par exemple la force F admissible d'après 'TT'2EI(G, z) Euler, en rentrant F c = 2 dans l'expresL

sion (15) ci-dessus: 'TT'2 EI(G, z) _ u pc F -2u x L2 e

(16)

- Lorsque Mf est maximum, on admet pratiquement que la c~ntrainte normale totale atteindra le double de la contrainte de compression, ceci est un fait expérimental. Cette contrainte maximale 2 U comp doit alors être égale à la contrainte pratique de compression u pc '

2F

Ac

(ces valeurs ne représentent que des ordres de grandeur).

Àc

Dans l'expression de la déformée sous sa forme difTérentielle :

u comp =

A c =100

.

' . 2 'TT'2 E E n ecnvant que Ac = - - et ue

Il vient après simplification:

' S = u pc '

Soit d'après (15) :

158

Euler:

(19)

Sous cette forme, l'expression de la charge limite admissible (selon Euler) est intéressante à plus d'un titre: - le numérateur a pc S représente la force axiale que l'on pourrait appliquer en compression simple; - le dénominateur apparaît alors comme un terme correctif tenant compte de l'élancement À de la poutre.

1er cas: LI

=

270 mm.

Calculons l'élancement

À

L p

avec

JI(G~ Z).

p =

270.' À = 17. = 15 ,8 mm; À -- 158 Pour À = 17, la poutr~ doit être calculée en compresp

sion simple:

1.7. RÉCAPITULATION DES

FI

CRITÈRES DE RÉSISTANCE

r Suivant la valeur de 'l'élancement À, il est d'usage d'employer l'une des trois relations suivantes. On notera que pour des élancements croissants, la charge limite décroît.

=40 X 10 3 N.

= 900 mm 900 À = 57. 15,8 Pour À = 57, la poutre doit être calculée d'après la formule de Rankine: cas: L 2

alors

À

= --;

Poutres courtes: A < 20 (acier) Calcul en compression simple: \. F

=q

pc

S

1

compression.

F

= 40

X

10 3 x 0,75

3" cas: L 3

Poutres moyennes: 20 < A < 100 (acier) On utilisera la formule expérimentale de Rankine:

= 2 000 mm 2000 alors À = --8 ; À = 126. 15, Pour À = 126, la poutre doit être calculée d'après la formule d'Euler:

Rankine.

F 3 = 40 x 10 3 x 0,3

F

3

= 12 X 10 3 N.

Poutres élancées A > 100 (acier) Calcul au flambage d'Euler:

Euler. Evidemment, tous les cas de figure possibles peuvent se présenter, pour lesquels les hypothèses d'Euler ne sont pas vérifiées. Nous allons traiter deux cas classiques en précisant bien que seule la méthode utilisée offre un intérêt.

1 .8.

APPLICATION

Considérons une poutre de section S = 400 mm2 et de moment quadratique 1 (G, Z) = 105 mm4 en acier de contrainte pratique de compression a pc = 100 MPa. Soit À c = 100 l'élancement critique pour l'acier utilisé. Etudions successivement trois cas, correspondant à trois valeurs très différentes de longueur libre de L : LI = 270 mm ; L 2 = 900 mm ; flambage L 3 = 2 000 mm.

2.1. POUTRE EN LIAISON PIVOT À SES DEUX EXTRÉMITÉS ET POSSÉDANT UNE DÉFORMATION INITIALE Nous avons vu au paragraphe 1.2 relation (5) que l'équation de la déformée est de la forme: y =

B sm . -[-. 7TX

159

Modélisation, résistance des matériaux, notions d'élasticité Supposons que, la poutre n'étant pas chargée, la ligne moyenne ait pour équation: .

Exprimons la déformation de flexion: EI(G, z) y"

7TX

Mf,

=

Yo = a sm -1-' soit: avec a = ordonnée au milieu C de la poutre (fig. 9.4) :

y" +

F

EI(G, z)

y

F.

= --

7TX

a sm - . 1

EI(G, z)

(1)

en C: La solution complète de l'équation différentielle (1) • 2 F est en posant toujours w = : El (G, z)

x y

=

(:1

B

---('l{.)

Y

fi

x

->

G

e en B:

a 1

\

->

Fig. 9.4.

Appliquons aux points A et B les deux glisseurs dont les résultantes respectives sont:

B(3

-+

y

=1 => 0

=

O=Bsinwl soit B=O.

=

r-

a

(:1

1

1

=

2'

donc en C :

y

=

(

1) = -- Fi.

7T

Notons que nous connaissons w 2 =

y + Yo

(3)

) 2

-1

Exprimons la flèche maximale en C:

.. que 1a ch arge cntIque d'Euler Fe

GIX

le

=

Ye + a.

F ainsi EI(G, .2) 2 7T EI(G,.2)

= ----7---:-.....:.

/2

Exprimons le rapport F : Fe déformation de flexion, flèche initiale.

On obtient donc pour {bcoh}

= G

R=

-

I~

MG

1

et donc:

(4)

Fi

IMG = GJJ

1\ (--

F).

z:

Soit pour le moment de flexion suivant Mf,

160

a e

wl

Et exprimons au centre de surface G d'une section droite le torseur des efforts de cohésion. Notons que les coordonnées de G dans :R.o s'expriment par:

avec y Yo

. 7TX sm -1-'

Notons que y ne représente pas la flèche totale mais seulement la déformation élastique de flexion. 7T x 'd'ue pour . 1 pour sm . -1y est maXIma = I , ' c est-a-

x

Â(2-.I)=Fi

et

{X

y

F

A

y

(2)

Donc, équation de la déformation y :

x

('l{.,,)

1

1

Calculons A et B avec les conditions aux limites eenA: { X = 0 => O=A y = 0

-F

C

r-

. a . 7TX A cos wx + B sm wx + ---=---- sm - .

= --

F

(Y + a sin ~x )

.

Représentons graphiquement la variation de la flèche maximale le en C en fonction du rapport .!.... Fe (fig. 9.5). Notons que pour F = Fe la flèche est théoriquement infinie.

Le flambage 1(2 --+ 1)

avec:

-->

M A(2 --+ 1)

=

Fi

=

MA

-->

~

hpz .

= -

(k = coefficient de proportionnalité entre le moment MA et l'angle rp de pivotement de l'encastrement 2-1.)

{'b(3 --+ l)}

1~3--+ 1)

=

)

M B (3 --+ 1)

B

a --> M B (3

--+ 1)

= - Fi -->

=

MB

POUTRE SOUMISE À SES DEUX EXTRÉMITÉS À DES ENCASTREMENTS IMPARFAITS

Supposons que ces encastrements génèrent un moment s'opposant à la déformation et proportionnel à l'angle de celle-ci. Supposons qu'il n'y ait pas de Donnons deux figudéformation initiale. res (9.6 a et b) telles que: 9.6 a = configuration avant application de l'effort; 9.6 b = configuration en cours de flexion.

fi. -- - Fi ----... { ----. MG = M B + GB fi

avec:

krpz.

.....

~

soit: M fz

= -

F)

(-

Fy + krp.

L'équation différentielle de la déformée est alors:

soit:

EI(G, z) y"

=

EI(G, z) y"

=-

En posant toujours w 2 = x

=

Exprimons les éléments de réduction en G du torseur des forces de cohésion:

Fig. 9.5.

2.2.

B(3 --+ 1)

avec:

o

x

Mf, Fy

+ krp.

F EI(G, z)

y" krp -+y=-.

(5)

F

w2

3

L'équation (5) est une équation différentielle du second ordre, linéaire, à coefficients constants, avec second membre, dont la solution générale est:

B

_____ ..;:G=-+-+-_ _.-

y

y

y'

= A cos wx + B sin wx + Aw sin wx

= -

7

(6)

+ Bw cos wx .

(7)

Nous connaissons quatre conditions aux limites; compte tenu de la symétrie, elles ne sont pas indépendantes. k rp eEnA:{X=O ==>O=A+ F y = 0

y

2 {

(a)

(b)

Fig. 9.6.

X

y'

=0 = rp

==> rp

(8)

= Bw

(9)

(tan rp - rp ) e En B:

Définissons les torseurs de liaison en A et B (fig·9.6b) {'b(2--+l)}

= A

1 1 (2--+1)) (2 --+ 1)

MA

7

X = ! ==>O=Acosw!+Bsinw!+ (10) y = 0 X =! ==> - rp = - Aw sin w! + Bw cos w! . { y' = - rp (11 )

{

161

Modélisation, résistance des matériaux, notions d'élasticité kip

F ;

En résolvant ce système, remplaçons A = B =

!f., (10) s'écrit après simplification par w

y=O

donc: -

EnB:

{

B

=1

X

= ---.!!..-. FlJJ 2

=>

y=O

= 0 = A sin wl

d'où on tire:

= ---.!!..- x FlJJ 2

xx

R=B-F+p(l-x) ~ ---+ .... .... GB .... MG = GB Il (B - F) + TIIP(l- x).

_

EI(G, z)

A

Soit une section dr.QÜ.e repérée par le centre de et soit le repère de surface G tel que AG = définition des sollicitations :R = (G, x, y, z). Calculons les éléments de réduction en G du torseur des efforts de cohésion:

iF (X 2_IX_ :2)

y=Asinwx+Bcoswx+

= 88.

-

" p (2 1) Y+Y=2F x - x .

68 mm.

=!:-.. p

= M fz

1 - cos lJJ 1 . sin lJJI

L'équation de la déformée est donc:

y

p = -Fw -2

[1 - cos 1 .

wl .

smw

sm wx

+ cos wx +

~2 (x 2 _/~) _

1].

(2)

165

Modélisation, résistance des matériaux, notions d'élasticité

4.5.

EXPRESSION DU MOMENT DE FLEXION MAXIMAL ET DE LA CHARGE CRITIQUE D'EULER

Par hypothèse Mf max en C milieu de AB donc pour 1 z x ="2. On trouve alors d'après (1) :

M fe

P = - 2 x w

wl 2 2 1 wl + p 8" .

w

2

=

par

F

wl

ailleurs

7T

•

nous

L'élancement calculé À = 88 est supérieur à emploiera donc la relation d'Euler:

F

= 11 2 EI(G, i).

4.6.

=493 X 10

4.8.

Dans la relation (2) ci-dessus, donnant l'équation de la déformée, faisons x = ~ :

c

Fw2

(_1__ 1_

On se souvient que la «contrainte d'affaissement» s'exprime par:

cos

wl

W2 )

E.

2

166

=

EI(G, i)'

~

Ut -

J:;-

U eU c

.

(3)

S

T

U c

= 105 N par

avec

U 1

= U c + 1,3 U e·

• Calcul de la contrainte critique d'Euler

8

Pour une valeur inférieure à F c' F exemple, calculons Yc: On doit effectuer séparément: w

=

avec F c

2

1

r

CALCUL DE LA CONTRAINTE D'AFFAISSEMENT DE DUTHEIL ET DE LA CHARGE MAXI F max CORRESPONDANTE

N•

U

=L

Ue

s.

= 76 x 1940

2( ~~

EXPRESSION DE LA FLÈCHE MAXIMALE QUAND F -< Fe

y

=

on

Adoptons un coefficient de sécurité de 5 ; alors:

Résultat que nous connaissons bien. Numériquement: E = 2 X 10 5 MPa; I(G, z) = 9 X 106 mm 4 ; 1 = 6 X 10 3 mm; Fe

U pc

À c'

avions

12

donc

=72.

avec

il s'ensuit que:

3

CALCUL DE RÉSISTANCE AU FLAMBAGE

2

EI(G, z) Fe

4.7.

Ac

= 0, le moment de

= 0 entrame que 2"" = "2; SOIt w

Comme

alors d'après (3): Yc == 2,57 mm .

2

flexion en C est infini; cela se produit pour la charge critique d'Euler F c • A

p = 0,216 N/mm ;

coswl

wl

wl

T = 0,76;

Calculons l'élancement critique:

1 - cos -

On remarque que lorsque cos 2""

cos T

cos

alors:

=

493

X

Uc

103 N ;

= 1 940mm2 ;

= 254 MPa. U t

= 748 MPa ,

et

0'

= 166 MPa .

Avec le même coefficient de sécurité s obtient une charge limite: F = 64,4 x 10 3 N •

=

5, on

Le flambage

EXERCICES AVEC RÉPONSES

[l]

Un poteau vertical est réalisé avec un profilé IAP 200. Ses caractéristiques dimensionnelles principales sont: longueur: 1 = 6 m ; aire de la section droite: S = 3 315 mm2 ; moment quadratique minimal de la section: [(G, z) = 170 x 104 mm4; module d'élasticité de l'acier: E = 2 X 105 MPa ; contrainte limite élastique: U e = 280 MPa. Ce poteau est parfaitement encastré à ses deux extrémités et il supporte une charge axiale F = 65 X 103 N.

[J]

Une colonne creuse en fonte sert à supporter, partiellement, un plancher rapporté qui sert de plan de stockage pour des pièces détachées. Cette colonne a pour dimensions D = 180 mm, (J = 150 mm et sa hauteur est 1 = 3 m. A sa base, elle est encastrée dans un socle de béton et son extrémité supérieure est libre. On donne les caractéristiques de la fonte: E = 10 5 MPa U e(CDrop) = 350 MPa ; on choisit un coefficient de sécurité s = 7.

QUESTIONS

QUESTIONS 1° Calculer l'élancement critique A c pour l'acier utilisé. r Calculer l'élancement du poteau sachant que pour une poutre encastrée à ses deux extrénùtés la longueur libre 1 de flambage est L = 2 . 3° Le poteau doit-il etre calculé au flambage ou à la compression simple? 4° Calculer la charge critique d'Euler. Conclusion.

1° Calculer l'élancement critique pour la fonte utilisée.

r

Calculer l'élancement de la colonne et choisir la méthode de calcul: compression simple, Rankine, Euler? (On rappeHe qu'ici: L = 2/.) 3° Calculer la charge axiale limite que peut supporter la colonne. 4° Utiliser la méthode de Dutheil et calculer la contrainte d'affaissement. Calculer la charge limite que peut supporter la colonne avec le meme coefficient de sécurité.

RÉPONSES RÉPONSES

1 ° Ac = 84. 2° A = 132,5. 3' Au flambage.

3 X 10 N. La charge appliquée est très inférieure à la charge critique. Comme A > 100, on pourra calculer la contrainte soit avec la relation d'Euler, soit avec la méthode de Dutheil (voir exercice 2 suivant).

4° F c = 372,85

rn

1° Ac = 53,1. 2° A = 102,44 méthode d'Euler. 3' F = 52,03 X 10 3 N. 4' U = 68,5 MPa; F = 76 X 10 3 N. [!]Un treuil de chantier est suspendu en A à une potence articulée constituée de deux barres AB et AC en liaison pivot sans adhérence d'axe z en A, B et C (fig· 9.9).

On souhaite poursuivre le calcul commencé à l'exercice 1 auquel on se reportera pour les caractéristiques dimensionnelles du poteau et de l'acier qui le constitue. On pourra également utiliser comme données les réponses de l'exercice 1. On souhaite adopter un coefficient de sécurité de s = 2,5.

QUESTIONS 1° Calculer la charge limite par la relation d'Euler.

r

Par la méthode de Dutheil, calculer successivement la contrainte d'affaissement, puis avec un coefficient de sécurité s = 2,5 la charge limite.

AC est un tirant de diamètre d. La poutre AB est constituée de deux cornières assemblées dont on donne les dimensions en coupe AA (fig. 9.10).

RÉPONSES x 103N. = 79,3 MPa ;

l' F = 74,6

2°

U

Fig. 9.9.

F = 105,14

X

10 3 N.

Pour l'acier constituant ces cornières, on donne: E = 2 X 10 5 MPa et U e = 300 MPa.

167

Modélisation, résistance des matériaux, notions d'élasticité

r

y

A-A

Calculer la section S et le moment quadratique

l( G, z) de la section droite de la double cornière.

25

25

3° Calculer

pour l'acier

utilisé

l'élancement critique

Ac"

4° Calculer l'élancement A de la poutre AB et choisir la méthode de calcul de la poutre AB.

z

5° Avec un coefficient de sécurité s = 5, calculer la charge axiale limite supportée par la poutre AB: a) par la méthode d'Euler; b) par la méthode de Dutheil. 6° Quelle masse maximale peut-on suspendre au treuil en A? (On donne li = 9,81 m/s 2 .)

4 4

RÉPONSES Fig. 9.10.

QUESTIONS 1° Calculer la cote a définissant la position du centre de surface G de la section droite de la double cornière (fig. 9.10).

168

1° a = 26,2 mm. 2° S = 488 mm2 ; [(G, z) = 78584 mm 4 . 3° À c =81. 4° À = 236,4. Calcul au flambage. 5° a): F = 1719 N; b): F = 2593,6 N. 6° M = 101 kg.

utilisation de logiciels en résistance des matériaux Il existe dans le commerce de nombreux logiciels de reslstance des matériaux. Nous allons utiliser et commenter dans ce chapitre un logiciel, relativement simple d'utilisation mais tout de même suffisamment performant pour résoudre la plupart des problèmes posés par la résistance (et la déformation) de poutres rectilignes travaillant en flexion plane simple ainsi qu'en flexion et extension ou compression.

Le logiciel que nous utilisons ici a été développé par la société ATEMI, 7 bis, rue des Aulnes, 694JO à Champagne au Mont d'Or. Nous l'utilisons avec l'autorisation de cette société et il s'intitule:

Schéma

POUTRES 2D Etude de structures planes (version 5)

Ce logiciel permet de calculer des structures planes de forme quelconque, structures constituées par des poutres droites dont la déformation s'effectue dans un plan qui contient une direction principale des sections droites. La structure élémentaire est la poutre à 2 nœuds (fig. JO.1). 1

• Les appuis peuvent être choisis parmi sept types d'appuis. Ceux-ci sont définis et schématisés dans le tableau ci-dessous (fig. 10.2).

2

D------...;...------~D

Type d'appui

l>

Simple X

Ô.

Simple Y

')

Couple

.8.

Pivot

-

II

Glissière X

[::jl

Glissière Y

D-

Encastrement

Fig. 10.2.

Fig. 10.1.

du nœud origine 1 au nœud extrémité 2 • La structure calculée peut être isostatique ou hyperstatique, d'ordre quelconque. • Les charges appliquées peuvent être: - soit concentrées: glisseur ou couple - soit réparties, avec un taux de charge, c'est-à-dire une densité linéique de force, uniforme. • Poutre 1

La structure modélisée est présentée sur le listing par: FICHIER DE LA STRUCTURE: (Nom)

Les paramètres à définir sont:

169

Modélisation, résistance des matériaux, notions d'élasticité

2.1. UNITÉS

2.3. SECTION DROITE

• Unité de longueur: Elle est choisie par l'utilisateur parmi m, dm, cm, mm. Les caractéristiques des

La section droite d'une poutre peut être choisie dans une bibliothèque, fournie avec le logiciel et intégrée sur la disquette, qui contient les caractéristiques des profilés standards (1, H, U...). (+ / - ) choisit la position de (+ ) grande rigidité ou de (- ) grande rigidité. La section droite peut également être créée à la demande.

sections: S, I z ,

1

sont exprimées respectivement en v cm , cm , cm car c'est ainsi qu'elles sont fournies par les catalogues des constructeurs. Le logiciel fait automatiquement la conversion. • Unité de force: Elle est imposée par le logiciel; c'est le daN. 2

4

....:.-,

3

2.4. MATÉRIAU 2.2. NŒUDS ET POUTRES

La seule caractéristique utilisée dans le logiciel est le module de Young E. Il est défini en daN/cur.

Une poutre est une entité géométrique qui relie deux nœuds. Les nœuds sont les points de jonction des poutres. Toute charge concentrée crée un nœud en son point d'application. Toute charge répartie crée une poutre entre le nœud début de la charge et le nœud fin de la charge.

2.5. REPÈRES On utilise deux repères (fig. 10.5). y

EXEMPLE

y

Poutre: i j

Une poutre AD supportant une charge répartie entre A et B et une charge concentrée en C (fig. JO.3 1

-->

A

AIX; , Yi

F

-->

p

~-'-~~....r....1.-

"", 0

_ _....r...

c

z

X

Fig. 10.5.

Fig. 10.3. sera modélisée par une succession de 3 poutres numérotées 1, 2, 3 encastrées entre elles aux nœuds de liaison 1, 2, 3, 4. On choisit le nœud 1 en appui pivot et le nœud 4 en appui simple Y (fig. JO.4). La présence d'un appui pivot est nécessaire pour que le logiciel puisse calculer une structure en équilibre.

Le repère global (ou général) de base eX, Y, Z). Les repères locaux liés à chaque poutre. Par exemple (Ai' x, y, z) pour la poutre ij.

y -->

F

4

2

3

3

X

Fig. 10.4. Le concept liaison traduit la nature de la liaison entre 2 poutres (ex.: nœud 2 = encastrement poutre 1poutre 2). Le concept appui traduit la nature de la liaison d'un nœud avec le milieu extérieur (ex. : nœud 4 = appui simple Y avec le milieu extérieur).

170

Rentrer dans le menu ACQUISITION et indiquer: • l'unité de longueur; • les limites de la structure (encombrement) ; • les coordonnées des nœuds dans le repère général; • le type de poutre (s) utilisé; • la nature et la valeur des charges: - concentrées, - réparties; • la position et la nature des appuis; • la nature des liaisons entre poutres (par défaut ce sont toujours des encastrements).

Utilisation de logiciels en résistance des matériaux

Il comprend six options: • ACQUISITON: Permet de définir les données de la structure (voir paragraphe 3 ci-dessus). • CALCUL: Ordonne le calcul de la structure (déplacements, efforts, flèches, contraintes...). • RESULT.Nu: Permet l'affichage sous forme de tableaux des résultats calculés précédemment. • RESULT.Gr: Permet le dessin de la structure (déformée ou non) et des différents diagrammes

On donnera: - Dessin de la structure non déformée avec les charges. - Dessin de la structure déformée sans les charges. - Diagramme des rotations des sections. - Diagramme de l'effort tranchant. - Diagramme de l'effort normal (éventuellement). - Diagramme du moment de flexion. - Diagramme des contraintes normales maximales.

5.2.

REMARQUE

(N, TY' M fz "')'

• LISTE: Affiche à tout moment la liste complète des données (à l'écran ou sur imprimante). • DOS: Permet d'effectuer des opérations sur les fichiers (par exemple d'ajouter une section droite qui n'est pas en bibliothèque).

Dans le tableau de résultats des efforts intérieurs dans les poutres, on constate une alternance des signes (+ ) et (- ) pour les valeurs en un même nœud mais attribuées à deux poutres adjacentes. Ceci est dû au fait que ces résultats sont indiqués dans les repères locaux liés successivement à chaque poutre. Pour qu'il y ait concordance entre les tableaux de résultats et les diagrammes il faut donc changer le signe de chaque résultat pour le nœud origine de la poutre.

Exemple dans la structure N5

5.1.

PRÉSENTATION

Nous donnerons trois exemples de calcul: N8 : Poutre encastrée. N5 : Poutre en équilibre hyperstatique. NIO: Portique. Pour chaque exemple on trouvera dans l'ordre.

Poutre 2, nœud 2. Effort tranchant: lire + 1.850 E + 02 au lieu de - 1.850 E + 02. Moment de flexion: lire + 9.250 E -+- 04 au lieu de - 9.250 E + 04.

Fichier de la structure -

Nœuds Poutres Charges concentrées Charges réparties Appuis Liaisons.

6.1.

STRUCTURE N8: POUTRE ENCASTRÉE EN 1 (fig. 10.6)

y

-->

Résultats numériques du calcul de la structure - Déplacements des extrémités de poutres. Repère global. - Déplacements des extrémités de poutres. Repère local. - Charges extérieures appliquées aux nœuds. - Efforts intérieurs dans les poutres. - Flèches maximales. - Contraintes maximales.

Résultats graphiques Avec coefficient d'amplification au choix; avec ou sans représentation des charges.

F

2

x

1200 Fig. 10.6.

La poutre est un IPE 120, placée dans sa position de (+ ) grande rigidité c'est-à-dire pour son moment quadratique maximum noté lz. Le module de Young de l'acier est E = 2 X 10 6 daN/cur. La charge concentrée appliquée en 2 est:

ft

= -

200

Y

(daN) .

171

Modélisation, résistance des matériaux, notions d'élasticité

6.2.

STRUCTURE N5 : POUTRE EN éQUILIBRE HYPERSTATIQUE

6.3.

STRUCTURE N10: PORTIQUE (fig. 10.8)

(fig. JO.7) y

x 1000

1000

1000

Fig. 10.7.

Cette poutre de longueur 3 m repose sur 4 appuis de niveau équirépartis en 1, 3, 5, 7. El\e est constituée par un profilé IPN 80 placé dans sa position de (+ ) grande ri~idité. Le module de Young de l'acier est E = 2 x 10 daN/cm2 • Les charges appliquées à la poutre sont: - une charge uniformément répartie de densité linéique ft

ft -

= -

1

Y

Ce portique est constitué de trois poutres liées entre elles par soudure. Les poutres verticales 1 et 2 sont des IPE 120 placées dans la position de (+ ) grande rigidité. La poutre horizontale (3 et 4) est un PRCR 12 c'est-àdire un profil creux rectangulaire de hauteur 12 cm, de largeur 8 cm et d'épaisseur 1 cm. Ce profil a été créé pour cette application. Les poutres verticales 1 et 2 sont encastrées respectivement aux nœuds 1 et 5. Le module de Young pour l'acier est E = 2 X 10 6 daN/crtr. Cette structure supporte les charges suivantes: Pour les poutres verticales 1 et 2, une charge répartie horizontale (un fort vent par exemple) de densité linéique ft:

ft = 0,2

X

(daN/mm) .

La poutre horizontale supporte en son milieu (nœud 3) une charge concentrée:

F=-2000Y

(daN) .

(daN/mm);

Trois charges concentrées: en 2: en 4: en 6:

Y F2 = - 200 Y F3 = - 80 Y

FI = -

120

(daN) (daN) Tels qu'ils ont été affichés sur l'imprimante et dans l'ordre: N8; N5; NIO.

(daN)

y

-->

F

3

3

4

-->

-->

p

p

x

3000 Fig. 10.8.

172

o

8C\l

Utilisation de logiciels en résistance des matériaux Fichier de la structure: N8

Longueur maximale de la structure Hauteur maximale de la structure Elle comporte 2 l l 1

o

1500.000 1500.000

noeuds Poutres appuis charges concentrées charges réparties

NOEUDS ~ ------~ Unité: MM Noeud

Coordon. y

Coordon. X

1

0.00

750.00

2

1200.00

750.00

POUTRES

Unités: CM et daN N° Or Ex 1

1

Nom Dim. Pos IPE

2

+

120

Section

Iz

1.3200E+01

Iz/V

3.1800E+02

Young

5.3000E+01

2.0000E+06

CHARGES CONCENTREES Unité: MM et daN N°charg N°noeud 1

2

Force X

Force

O.OOOE+OO

Y

Moment Z

-2.000E+02

O.OOOE+OO

CHARGES REPARTIES

Il n'y a pas de charges réparties .. APPUIS

Unité: MM et degrés N°app N°noeud 1

Dép

O.OOOOOE+OO

1

Dép

X

Y

O.OOOOOE+OO

Dép

Z

O.OOOOOE+OO

Type appui Encastr

LIAISONS

poutr

Noeud

Type de liaison

1

ENCASTREMENT

2

ENCASTREMENT

1

173

Modélisation, résistance des matériaux, notions d'élasticité 1

RESULTATS du CALCUL de la structure:

N8

Déplacements des extrémités de Poutres:GLOBAL Unités: MM et degrés décimaux Poutre

Noeud

Déplacement X

Déplacement Y

Rotation Z

1

O.OOOE+OO

O.OOOE+OO

O.OOOE+QO

2

O.OOOE+OO

-1.811E+00

-1. 297E-01

1

Déplacements des extrémités de Poutres:LOCAL Les rotations sont en degrés décimaux Les déplacements linéaires sont en MM Poutre

Noeud 1

1

2

Déplacement X

Déplacement Y

Rotation Z

O.OOOE+OO

O.OOOE+OO

O.OOOE+OO

O.OOOE+OO

-1. 811E+00

-1.297E-01

Charges extérieures appliquées aux noeuds Les forces sont en daN Les moments sont en MM.daN Noeud

Effort

X

Effort

Y

Moment

Z

~

1

O.OOOE+OO

2.000E+02

2.400E+05

·2

O.OOOE+OO

-2.000E+02

O.OOOE+OO

Efforts intérieurs dans les Poutres Actions des noeuds sur les Poutres Les foroes sont en daN Les moments sont en MM.daN Poutre

Noeud

E·ffort normal

Effort tranch.

O.OOOE+OO

2.000E+02

2.40GE+05

2

O.OOOE+OO

-2.000E+02

O.OOOE+OO

1

Flèches maximales Les flèches sont en MM Poutre 1

Flèche maxima. 1. 811E+00

Contraintes maximales Les contraintes sont en daN/MM2 Poutre 1

174

Moment fléch.

1

Contrainte maxi 4.528E+00

Utilisation de logiciels en résistance des matériaux Struet:tt8

Structure non déformée

lOt DEFIHE

RlIduire Dihlt.....

[h- - - ·- ·- ·- - - - - - - - - - - -T- - - - - - - - - - - - - - - - - ~

Déformée

Struet:tt8

.... RESlR..TATS Str~ture

Couleurli

.._..._-------------------j""--_..

_- - - - - - - - - - - - _._~

Rot_S~tio

Eff_T ...anch EffJlof'NIl

I1o"J hlcl1 i Cont ...-"on.

AfLCharge ZOOI'I

ctIyoutres Pas; Quitte...

175

Modélisation, résistance des matériaux, notions d'élasticité lOtruct: NO

Rotation des sections

RESULTATS Structure Couleurli O'fon.....

Eff_Tranch EffJtorKaI

Ho"...Fllichi Contr..Nor"

AfLChilrge loDl'l Ch...Poutres Pilli Qui U .. r

stru~t:

118

Effort tranchant

RESULTATS Structure Couleurli D.. for".... Rot_Se~tio

Ho"...Fllichi ContrJtor"

AfLChilrge loo" Ch...Poutres Pilli Qui Uer

176

Utilisation de logiciels en résistance des matériaux stl"u~t:NB

Moment fléchissant

RESULTATS Stl"~tul"e

Couleul"5 Dëfonoee Rot_Se~tio

, ï····

ï·····

Eff_TI"MlCh

EffJlol"tlal

~ContrJton.

Aff_Chill"ge ZOOl'l

Ch...Poutl"es

Pil5 Quitter

Stl"u~t:N8

Contraintes normales

RESULTATS Stl"~tul"e

CouleuI"5 D.for...... Rot_Se~tio

"ï

"ï

.

Eff_Trancl>

2

EffJICIl"tlal Ho......Fhichi

Aff_Chill"ge Zoo..

Ch...Poutl"e5 Pi15 Qui tt..r

177

Modélisation, résistance des matériaux, notions d'élasticité Fichier de la structure: N5

Longueur maximale de la struc~ure Hauteur maximale de la structure Elle comporte 7 6 4 3 6

3000.000 3000.000

noeuds Poutres appuis charges concentrées charges réparties NOEUDS

Unité: MM Noeud

Coordon. X

Coordon. y

l

0.00

1500.00

2

500.00

1500.00

3

1000.00

1500.00

4

1500.00

1500.00

5

2000.00

1500.00

6

2500.00

1500.00

7

3000.00

1500.00

POUTRES

Unités: CM et daN N° Or Ex

Nom Dim. Pos

Section

Iz

Iz/V

1

1

2

IPN

80

7.5800E+00

7.7800E+01

1. 9500E+01

2.0000E+06

2

2

3

IPN

80

+

7.5800E+00

7.7800E+01

1. 9500E+01

2.0000E+06

3

3

4

IPN

80

+

7.5800E+00

7.7800E+01

1.9500E+01

2.0000E+06

4

4

5

IPN

80

+

7.5800E+00

7.7800E+01

1. 9500E+01

2.0000E+06

5

5

6

IPN

80

+

7.5800E+00

7.7800E+01

1.9500E+01

2.0000E+06

6

6

7

IPN

80

+

7.5800E+00

7.7800E+0"1

1.9500E+01

2.0000E+06

CHARGES CONCENTREES Unité: MM et daN N°charg N°noeud

178

Young

+

Force X

Force

Y

Moment Z

1

2

O.OOOE+OO

-1.200E+02

O.OOOE+OO

2

4

O.OOOE+OO

-2.000E+02

O.OOOE+OO

3

6

O.OOOE+OO

-8.000E+01

O.OOOE+OO

Utilisation de logiciels en résistance des matériaux CHARGES REPARTIES Unité: daN/MM N°poutre

Axes

Py

Px

1

Globaux

O.OOOOOE+OO -l.OOOOOE+OO

2

Globaux

O.OOOOOE+OO -1.00000E+OO

3

Globaux

O.OOOOOE+OO -l.OOOOOE+OO

4

Globaux

O.OOOOOE+OO -1. OOOOOE+OO

5

Globaux

O.OOOOOE+OO -l.OOOOOE+OO

6

Globaux

O.OOOOOE+OO -1. OOOOOE+OO

APPUIS

unité: MM et degrés N°app N°noeud

Dép

Dép

X.

O.OOOOOE+OO

y

Dép

Z

Type appui

O.OOOOOE+OO

Pivot

1

1

2

3

O.OOOOOE+OO

Simp.

y

3

5

O.OOOOOE+OO

Simp.

y

4

7

O.OOOOOE+OO

Simp.

y

LIAISONS

poutr

Noeud

Type de liaison

1

ENCASTREMENT

2

ENCASTREMENT

2

ENCASTREMENT

3

ENCASTREMENT

3

ENCASTREMENT

4

ENCASTREMENT

4

ENCASTREMENT

5

ENCASTREMENT

1

2

3

4 5

ENCASTREMENT

6

ENCASTREMENT

6

ENCASTREMENT

7

ENCASTREMENT

5

6

179

Modélisation, résistance des matériaux, notions d'élasticité 1 RESULTATS du CALCUL de la structure:

N5

Déplacements des extrémités de Poutres:GLOBAL Unités: MM et degrés décimaux Poutre

Noeud

Déplacement X

Déplacement Y

Rotation Z

l

O.OOOE+OO

O.OOOE+OO

-1.043E-Ol

2

O.OOOE+OO

-4.954E-Ol

1. 9l8E-02

2

O.OOOE+OO

-4.954E-Ol

1. 9l8E-02

3

O.OOOE+OO

O.OOOE+OO

2.762E-02

3

O.OOOE+OO

O.OOOE+OO

2.762E-02

4

O.OOOE+OO

-1.205E-OI

-7.671E-04

4

O.OOOE+OO

-1. 205E-Ol

-7.67lE-04

5

O.OOOE+OO

O.OOOE+OO

-2.455E-02

5

O.OOOE+OO

O.OOOE+OO

-2.455E-02

6

O.OOOE+OO

-4.6l9E-Ol

-1. 84lE-02

6

O.OOOE+OO

-4.6l9E-Ol

-1. 84lE-02

7

O.OOOE+OO

O.OOOE+OO

9.8l9E-02

l

2

3

4

5

6

Déplacements des extrémités de Poutres:LOCAL Les rotations sont en degrés décimaux Les déplacements linéaires sont en MM Poutre

Noeud

Déplacement X

Déplacement Y

Rotation Z

l

O.OOOE+OO

O.OOOE+OO

-1. 043E-Ol

2

O.OOOE+OO

-4.954E-Ol

1. 918E-02

2

O.OOOE+OO

-4.954E-Ol

1. 918E-02

3

O.OOOE+OO

O.OOOE+OO

2.762E-02

3

O.OOOE+OO

O.OOOE+OO

2.762E-02

4

O.OOOE+OO

-1.205E-Ol

-7.671E-04

4

O.OOOE+OO

-1.205E-Ol

-7.671E-04

5

O.OOOE+OO

O.OOOE+OO

-2.455E-02

5

O.OOOE+OO

O.OOOE+OO

-2.455E-02

6

O.OOOE+OO

-4.619E-Ol

-1.841E-02

6

O.OOOE+OO

-4.619E-Ol

-1. 841E-02

7

O.OOOE+OO

O.OOOE+OO

9.819E-02

1

2

3

4

5

6

180

Utilisation de logiciels en résistance des matériaux Charges extérieures appliquées aux noeuds Les forces sont en daN Les moments sont en MM.daN Noeud

Effort

1

X

Effort

Y

Moment

Z

O.OOOE+OO

4.3S0E+02

O.OOOE+OO

2

O.OOOE+OO

-l.200E+02

O.OOOE+OO

3

O.OOOE+OO

1. 290E+03

O.OOOE+OO

4

O.OOOE+OO

-2.000E+02

O.OOOE+OO

S

O.OOOE+OO

1.2SSE+03

O.OOOE+OO

6

O.OOOE+OO

-8.000E+Ol

O.OOOE+OO

7

O.OOOE+OO

4.200E+02

O.OOOE+OO

Efforts intérieurs dans les Poutres Actions des noeuds sur les Poutres Les forces sont en daN Les moments sont en MM.daN Poutre

Noeud

Effort normal

Effort tranch.

Moment fléch.

1

O.OOOE+OO

4.350E+02

O.OOOE+OO

2

O.OOOE+OO

6.S00E+Ol

9.2S0E+04

2

O.OOOE+OO

-1. 8S0E+02

-9.2S0E+04

3

O.OOOE+OO

6.8S0E+02

-l.2S0E+OS

3

O.OOOE+OO

6.0S0E+02

1. 2S0E+05

4

O.OOOE+OO

-1. OSOE+02

S.2S0E+04

4

O.OOOE+OO

-9.S00E+Ol

-S.2S0E+04

S

O.OOOE+OO

S.9S0E+02

-1. 200E+OS

S

O.OOOE+OO

6.600E+02

1. 200E+OS

6

O.OOOE+OO

-l.600E+02

8.S00E+04

6

O.OOOE+OO

8.000E+Ol

-8.S00E+04

7

O.OOOE+OO

4.200E+02

O.OOOE+OO

1

2

3

4

S

6

Modélisation, résistance des matériaux, notions d'élasticité Flèches maximales Les flèches sont en MM Poutre

Flèche maxima.

l

6.628E-Ol

2

3.280E-Ol

3

3.6l5E-Ol

4

3.347E-Ol

5

3.0l3E-Ol

6

6.226E-Ol

contraintes maximales Les contraintes sont en daN/MM2 Poutre l

182

Contrainte maxi -4.849E+OO

2

6.4l0E+OO

3

6.4l0E+OO

4

6.l54E+OO

5

6.l54E+OO

6

-4.522E+OO

Utilisationde logiciels en résistance des matériaux st~t:t16

Structure non déformée

lOt DEFOIltE

IWdutrll Dil.t...

Quitter

st~t:t16

Déformée

... RESULTATS St~ture

CuulllUr5

Rot_Sectlo

Eff_T ...nch EffJlorKal tIonJl.chi Corit .. Jto.... Aff_~r911

ZOOM ChJ'out 1"4!!5

pQuiU...

183

Modélisation, résistance des matériaux, notions d'élasticité str~t:tl6

Rotation des sections

RESIA.TATS Str~turl!

CQuhlUr:;; Doifo........

Eff_Tranch

Eff--"orKaI Iton....Fllichi Contr..Non.

Aff_Charge ZDDI'l

Ch...Poutrl!5 P~

Qui tter

st ruc t : Itli

Efforts tranchants

RESIA.TATS

Structurl! CoulilUr:;; Doifon.""

Rot_Sect io ,""~1'1i:_!: ""If,""~vvj'/," EffJlo,.nal

Iton....Fllichi Contr..Non.

V'

Vi

Aff_Charge Zoo..

Ch"'pout"l!s Pas Quitter

184

Utilisation de logiciels en résistance des matériaux Moment fléchissant

Stru~t:tl5

ReSULTATS Stru~ture

Couleurs. D.fo........ Rot_Sectio Eff_T..-anch Eff.Jtomal

Aff_Charge Zoo..

ChJ'outres PiilO Qui tt....-

struet:H5

Contraintes normales

RESULTATS Stru~ture

//\

Couleurs D.fo..-..... Rot_Se~tio

Eff_T..-anch Eff..J!orttal HottY hi ~h i Lc"''''c'''

ccc "''''cL

IcWU%fJUU'c

~

/

o

dP Fig. 1.2.

Fig. 1.1.

1.3. FORCE DE PRESSION

(fig. 1.1)

Sur la facette de centre A, d'aire dS, orientée par sa normale ---txtérieure n, la force de pression élémentaire dF s'exprime par:

Soit G I d'altitude z\ et G z d'altitude Zz, les centres de surface des sections droites extrêmes. Etudions l'équilibre du cylindre élémentaire; celui-ci est soumis aux: - actions à distance: son poids:

dP -

1.4. UNITÉ DE PRESSION L'unité légale de presion est le pascal (Pa) :

1 Pa

=

1 N/mz :

Cette unité est très petite, on utilise le plus souvent ses multiples; en construction mécanique, résistance des matériaux, etc., l'unité utilisée est le mégapascal : 1 MPa = 1 N/mnr .

= - ml

dS

z.

(1)

actions de contact:

forces d~ression s'exerçant sur la surface latérale, notons dF j l'une d'elles; forces de pression s'exerçant sur les deux surfaces planes extrêmes. Soient PI et Pz les pressions du fluide respectivement en G I et en G z :

dF\ = - Pl dS( - il) = PI dS il , -dF z

= -

~ Pz d Su.

(2) (3)

Le cylindre élémentaire étant en équilibre dans le fluide, écrivons que la résultante des forces extérieures qui lui sont appliquées est nulle: (4)

195

Hydraulique et thermodynamique appliquées

En projection sur l'axe de symétrie (G, û) du cylindre, - 1IT1 dS cos a

+ Pl dS - P2 dS = O.

Exprimons la différence de pression PI - P2 après avoir divisé par dSet remarqué que 1 cos a = z2 - ZI (5)

Unités: Pl et P2 en pascals, 1IT en newtons par mètre

cube,

Zl

et

Z2

1.6.

POUSSÉE D'UN FLUIDE SUR UNE PAROI VERTICALE

Hypothèses La paroi verticale possède un axe de symétrie (G, y) ; G est son centre de surface. D'un côté de la paroi il y a un fluide de poids volumique 1IT, de l'autre côté, il y a de l'air à la pression atmosphérique Po' On désigne par PG la pression effective au centre de surface G (fig. 1.3).

en mètres.

Autre forme plus générale de la relation (5)

En divisant les deux membres de (5) par 1IT :

~

dF

Comme G l et G 2 ont été choisis de façon arbitraire à l'intérieur d'un fluide de poids volumique 1IT, on peut écrire en un point quelconque d'altitude z, où règne la pression P :

1

~+z=Cte

1·

x

(6) Fig. 1.3.

Supposons qu'au point G 2 (fig. 1.2), intervienne une variation de pression telle que celle-ci devienne (P2 + flp 2), flP2 étant un nombre algébrique. Calculons la variation de pression flPl qui en résulte en G,. Appliquons la relation fondamentale de l'hydrostatique (5) :

Recherchons les éléments de réduction en G du torseur associé aux forces de pression sur la paroi.

Compte tenu de l'existence de l'axe de symétrie vertical (G, y) désignons par ME (G, J) le centre d'une facette d'aire dS. En M la pression relative s'exprime par (voir relation (5)) :

(5)

Entre GIet G 2 , avec le nouvel état de pression: avec dans le repère (G, X, = 0 et YM = y, donc

y, z) défini à la figure 1.3 :

YG

soit et d'après (5): flp, - flP2 = 0

PM=PG- 1ITY·

Exprimons la force de pression relative en M:

ëi7 = (PG -

ou

1ITY) dS X.

SOI't {"P "poussée } le torseur associé aux forces de pression relative:

Théorème de Pascal Dans un fluide incompressible en équilibre, toute "ariation de pression en un point entraîne la même "ariation de pression en tout point.

196

R

=f

(S)

{bpoussée}

MG = G

f (S)

M, GM AM

Mécanique des fluides, rappels d'hydrostatique, écoulement des fluides réels

il:

Calcul de la poussée

f

R=

Existe-t-iJ un point Go où le moment résultant des forces de pression est nul?

(PG - 'lITy) dS

x,

(S)

Compte tenu de l'hypothèse de symétrie, si ce point existe il appartient à l'axe (G, y) et il est tel que:

que l'on peut écrire en mettant en facteur les termes constants:

R= On note que

[h

IrS) dS -

f

dS

=

'lIT

IrS) y dS] x.

S (aire de la paroi),

Ecrivons alors que:

GGoAR = MG' Avec les résultats précédents, on obtient:

(S) /

YoY Ah

f

ydS = YG S = 0

Sx =

'lIT/(G, Z) i,

ce qui conduit à

(S)

(moment statique de la surface S par rapport à l'axe (G, :1) passant par le centre de surface G), donc Calcul du moment au centre de surface G des forces de pression

MG:

MG ->

f- -

Il Il

(S)

avec dans le repère (G, hypothèses de symétrie:

GM

=

y.

donc

MG

=

y

-

et

f

dF

[y.

x, y,:1) =

et d'après les

(PG - 'lITy) dS x~ ,

y A (PG -

G.

Applications numériques

GM AdF,

=

Go existe, il s'appelle «le centre de poussée» de la paroi, il est toujours au-dessous du centre de surface

'lITy) dS x] .

Nous allons calculer la résultante R des forces de pression et la position Yo du centre de poussée Go pour deux parois très différentes par leurs dimensions et par les pressions qu'elles subissent.

APPLICATION 1 Un barrage peut être assimilé à une paroi de 200 m de long et de 60 m de hauteur. Le poids volumique de l'eau est 3 3 1:lT = 9,81.10 N/m (fig. 1.4).

(S)

Notons que

MG

=

yA X=

[PG

f

-

:1:

y

y dS - 'lIT

(S)

f

A

y2 dS] . (- i) .

(5)

(S)

E

On note que

y dS

=

0 :

dt

dt

1 q,

= dV dt

1

qv est le volume de fluide par unité de temps qui

traverse une section droite quelconque de la conduite. qm est la masse de fluide par unité de temps qui traverse une section droite quelconque de la conduite.

Unités:

d Ven mètres c~bes (m 3) ; dt en secondes (s) ; q v en mètres cubes par secondes (m

dm en kil10grammes (kg) ; dt en secondes (s) ; qm en kilogrammes par seconde (kg/s).

Exprimons le débit massique d'après la relation (1) : dm

qm ==

dt

dx]

== pSI

dt

dX2

== p S 2 dt'

Unités:

(2)

D'après la relation (3) et en notant que d V peut écrire également que qv

avec:

~~l ==

VI

==

Il VIII:

q v == Sv == Cte

p

1.

dm on p

soit

(4)

vitesse moyenne d'écoulement

Soit, dans une section droite quelconque S de la veine fluide à travers laquel1e le fluide s'écoule à la vitesse moyenne v: 1 q m == p Sv == Cte 1·

Unités: débit volumique en mètres cubes par seconde (m 3/s) ; S section de la veine fluide en mètres carrés (m 2) ; v vitesse moyenne du fluide à travers (S) en mètres par seconde (m/s). qv

de la veine fluide à travers S2 ; D'après (2) :

200

== qm

==

vitesse moyenne d'écoulement

de la veine fluide à travers S] ;

~7 == V 2 == Il V2 11:

3/S).

(3)

REMARQUE La vitesse moyenne d'écoulement est définie par (4) :

1

qv

v==S'

Mécanique des fluides, rappels d'hydrostatique, écoulement des fluides réels

2.3. THÉORÈME DE BERNOULLI

Ici pour une masse m de 1 kg :

~

POUR UN ÉCOULEMENT PERMANENT D'UN FLUIDE PARFAIT INCOMPRESSIBLE Considérons dans une conduite parfaitement lisse le déplacement d'un certain volume d'un fluide parfait incompressible (fig. 1.9). Supposons que la masse fluide comprise entre les sections SI et S2 se soit écoulée jusqu'en S; et Sl de telle façon qu'entre SI et S; d'une part, .52 et S2 d'autre par la masse du fluide écoulé soit de 1 kg. Tout se passe comme si cette masse de fluide de 1 kg était passée de la position 1 à la position 2 (fig. 1.9).

z

(1)

L:2J'

avec E cin en joules par kilogrammes et v en mètres par seconde.

Energie potentielle de pression Cette énergie s'exprime comme le travail des forces de pression à travers la section Spour un déplacement ~x (voir fig. 1.9): E pres

= p •

S.

~x

;

notons que S . ~x est le volume occupé par la masse de fluide de 1 kg, c'est-à-dire le volume massique. Si p est la masse volumique du fluide:

m=1 kg

et l'énergie potentielle de pression pour une masse de 1 kg: (2)

avec Ep'res en joules par kilogramme, p en pascals, en kilogrammes par mètre cube.

p

Fig. 1.9.

Energie potentielle de pesanteur Si aucune énergie n'est échangée entre le fluide et le milieu extérieur pendant le trajet de celui-ci, de la position 1 à la position 2 (pas de frottement, pas d'échange de chaleur etc.) nous savons que l'énergie mécanique de la masse de 1 kg de fluide est invariable. Nous allons exprimer cette énergie mécanique. Pour un fluide incompressible, l'énergie mécanique peut prendre trois formes: - énergie cinétique (E cin ), - énergie potentielle de pression (Epres )' - énergie potentielle de pesanteur (Epes )'

Cette énergie s'exprime comme le travail possible des forces de pesanteur. Soit g la valeur de l'accélération de la pesanteur du lieu considéré: Epes =

mgz,

avec z = altitude du centre de masse de la masse (m = 1 kg) du fluide considéré: 1

Epes =

gz

1,

(3)

avec E pes en joules par kilogramme, g en mètres par seconde carrée, z en mètres. D'où l'équation de Bernoulli pour une masse de fluide de 1 kg :

Energie cinétique Soit V le vecteur vitesse de l'écoulement à travers la section S. Il VIl = v (vitesse moyenne de l'écoulement à travers S): E cin

=

1

2 mv

2

,,2

P

2

p

- + - + gz= ete

(4)

l'unité de chaque terme de la relation (4) est le joule par kilogramme (Jjkg).

201

Hydraulique et thermodynamique appliquées

2.4.

2.6. PUISSANCE D'UNE MACHINE

CAS D'UN ÉCOULEMENT 1 _ 2 SANS ÉCHANGE DE TRAVAIL

HYDRAULIQUE NOTION DE RENDEMENT

Ce cas se rencontre lorsque, entre les positions 1 et 2 du fluide, il n'y a aucune machine, ni réceptrice, ni motrice (fig. 1.9). D'après la relation (4) on peut alors écrire:

v~

Pz

vi

Puissance nette : P n La puissance nette d'une machine hydraulique est le travail par unité de temps qu'elle échange avec le fluide qui la traverse. Soient A et B respectivement, les sections d'entrée et de sortie de la machine.

Pl

2" + P + gzz = 2" + P + gZI'

La puissance nette s'exprime par:

ou bien:

1 p n = dW" 1 dt

(5)

Dans le premier membre de cette relation (5) on voit apparaître pour 1 kg de fluide, la variation de l'énergie mécanique totale du fluide entre les positions 1 et

2: iJ..E tot = IJ.E ciu

Unités: P n en watts, d WAB en joules, dt en secondes. Soit qm le débit massique entre A et B et WAB le travail échangé par 1 kg de fluide.

Alors en une seconde:

+ IJ.E pres + IJ.Epes = 0 .

(7)

Dans ce cas particulier, cette variation est nulle. Unités: P n en watts; WAB en joules par kilogramme; qm en kilogrammes par seconde.

2.5.

CAS D'UN ÉCOULEMENT 1 _ 2 AVEC ÉCHANGE DE TRAVAIL

Convention de signe Lorsque le fluide traverse une machine (pompe, turbine ) il « échange» de l'énergie avec cette machine donc du travail mécanique. Soit fJlz ce travail. Nous conviendrons que: • W 1Z > 0 si le travail est reçu par le fluide (exemple: pompes) . • W 1Z q l' soit ici q = 2,10 - m (s ; la hmltatlOn du deblt utile se fait alors par un limiteur de pression en sortie de pompe, taré à Po = P, = 130 bars. Le débit excédentaire qex = q - q 1 est évacué par ce limiteur. Un distributeur 4/3 permet d'assurer le fonctionnement du système en aller et retour (fig. 1.31),

Mécanique des fluides, rappels d'hydrostatique, écoulement des fluides réels

Fig. 1.31. Données numériques: v = 0,5m/s; = 12.10 3 N; SI = 1,8.1O- 3 m 2 ; S2= 1O- 3 m 2 ; 5 Po = PI = 130.10 Pa (pressions relatives);

Ilili

0

7 En gardant Po = PI = 130 bars et en modifiant le réglage qz, à quelle vitesse maximale le vérin pourrait-il déplacer la même charge? 0

= =

8 On garde Po PI 130 bars. Pour déplacer la même charge ft = 12.10 3 N et pour la nouvelle vitesse de déplacement v = 1,11 mIs, quelle serait alors, la pression Pz, le débit qz ?

Il Il

QUESTIONS 0

1 A quelle valeur doit-on régler le débit qz ?

RÉPONSES

2

0

Quel doit être alors le débit ql ?

r

3

0

Quel est le débit excédentaire q.x?

0

2 ql = 0,9.10- 3 m 3/s.

4

Calculer la pression Pz,

3 qex = 1,1.1O- 3 m 3/s.

50 Quelle est la puissance utile au niveau du vérin? 0

6 Etude du circuit d'aspiration de la pompe. Entre les sections repérées 3 et 4 (voir fig. 1.31) on néglige: la variation d'énergie cinétique du fluide, la variation d'énergie potentielle de pesanteur, les pertes de charge singulières et linéaires. Calculer la puissance nette de la pompe.

q2=0,5.1O- 3 m 3/s. 0

0

4 P2 = 114.10 5 Pa. 0

y 6

Pu = 6 kW. 0

P n = 26 kW.

T vmax 0

8 P2

=

l,II rn/s.

= 114.10 5 Pa;

q2

= 1,11.10- 3 m 3/s.

217

notion de quantité de chaleur principe de l'équivalence

o

Nous savons que les « machines» prises au sens large sont capables, soit de transformer une certaine forme de l'énergie en travail mécanique (moteur à explosion), soit de transformer un certain travail mécanique en énergie (compresseur). La Thermodynamique est l'étude des transformations réciproques : chaleur-travail. Dans les deux chapitres suivants, nous nous limiterons à une étude simplifiée ne nécessitant pas d'outil mathématique important mais permettant tout de même à un technicien d'avoir une idée suffisante de l'évolution d'un fluide compressible dans une machine et de comprendre les notions essentielles d'échange et de rendement.

référence pour lesquelles x prend les valeurs xI et En fait, la relation (1) peut être représentée par une droite dont il suffit de connaître deux points. ~.

1 .1.

QU'EST-CE QUE LA TEMPÉRATURE?

1.2.1 Echelle Celsius (ou centésimale)

La première notion de température est physiologique et on conçoit aisément que le repérage d'une température ne puisse être laissé à l'appréciation de nos sens. Certaines grandeurs physiques (résistance électrique, volume d'une masse donnée d'un liquide, ...) varient en fonction de la température. On utilise ces variations pour élaborer une échelle des températures. La grandeur physique utilisée est alors appelée grandeur thermométrique.

1 .2.

A la pression atmosphérique normale, la température d'équilibre entre la glace et l'eau saturée d'air caractérise l'état d'équilibre 0 1 = O. Pour () 1 = 0, la grandeur thermométrique x prend la valeur 4l (x o est par exemple la hauteur atteinte par la colonne de mercure pour () 1 = 0). A la pression atmosphérique normale, la température d'équilibre entre l'eau pure et sa vapeur caractérise l'état d'équilibre (}2 = 100. Pour (}2 = 100, la grandeur thermométrique x prend la valeur xlOo (x lOO est par exemple la hauteur atteinte par la colonne de mercure pour (}2 = 100) (fig. 2.1).

x

ÉCHELLES DE TEMPÉRATURE 100 °G

Soit x la grandeur thermométrique choisie et () la température. Toute bijection x = J( (}) définit une échelle des températures. Pour une raison de simplicité, la relation adoptée est linéaire et on peut écrire: x

=

a + b(}

(1)

a et b sont deux constantes dont la détermination dépend des valeurs (}I et (}2 des deux températures de

218

_

~oo

x OOG

a e Fig. 2.1.

100

e

Notion de quantité de chaleur, principe de l'équivalence

Autres formes de la relation (1) Calculons a et b : pour () 1 = 0 => pour (}2 = 100 => d'où:

x=-'1J+

ou

x

=

D'après (5) on écrira: ()

-'1J = a , X IOO

=a +bx

XIOO -

Xo

100

100 -

p -

Po

(6)

PIOO - Po

100,

()

xo(1 + a () )

(2)"

Le degré légal est la J'ariation de température qui produit, à J'Dlume constant, une J'ariation de la pression d'une masse quelconque de gaz parfait égale à un centième de la J'ariation obtenue quand la température passe de 0 à 100.

(3)

1.2.3. Échelle des températures absolues XIOO -

en posant

Xo

a = --,-"..".--

D'après (5) on peut écrire

IOO-'1J

(a est appelé coefficient thermométrique). On peut exprimer également la température ():

() 100

x--'1J

= x lOO -

Xo

p=pof30(;o+(}) On peut définir alors: T (4)

= ()

+ -1 f30

et donc Cette relation (4) permet d'énoncer la définition du degré Celsius. Le degré Celsius est la J'ariation de température qui produit une J'ariation de la grandeur thermométrique égale à un centième de la J'ariation obtenue quand la température passe de 0 à 100.

(7)

T est la température absolue, elle est toujours positive. Son zéro: T = 0 correspond à la température Celsius de () + -.!.... = 0, soit () = - 273,15 oc.

f3 0

L'unité de température absolue est le kelvin (K).

REMARQUE Notons qu'une telle échelle définit une grandeur 1 repérable mais non mesurablé.

2.1. TEMPÉRATURE ET CHALEUR

1 .2.2.

Echelle des gaz parfaits

Si on plonge un corps chaud dans un bac contenant de l'eau froide «() *" 0 C), on constate que la température de l'eau s'est élevée et que, par contre, la température du corps chaud a diminué. Le système a évolué vers un équilibre thermique et on dit que le corps chaud a cédé de la chaleur au corps froid (ici l'eau). Si par contre, on plonge le même corps chaud dans un bac contenant un mélange d'eau et de glace à () = 0 C, on constate que la température du mélange n'évolue pas; la température de l'équilibre thermique reste () = 0 C, on a seulement provoqué la fusion d'une partie de la glace. Dans les deux cas, le corps chaud a cédé de la chaleur. Dans le premier cas, cet échange a provoqué une variation de température, mais pas dans le deuxième cas. 0

Aux pressions suffisamment basses, tous les gaz possèdent la même loi de variation de la pression en fonction de la température (à volume constant). Quand la pression p tend vers zéro, tous les gaz réels tendent vers un même état limite appelé «état parfait». On peut donc utiliser la pression d'un gaz parfait comme grandeur thermométrique et écrire d'après (3) :

0

0

(5)

1 Pour tous les gaz, f3 0 = 273 15 . , C'est cette échelle qui donne la définition légale de la température.

Température et chaleur sont deux grandeurs différentes.

219

Hydraulique et thermodynamique appliquées

2.2. QUANTITÉ DE CHALEUR Tout comme le travail mécanique, la chaleur est une forme de l'énergie. Un système matériel peut recevoir ou céder de la chaleur comme il peut recevoir ou céder une énergie mécanique. La chaleur est donc une forme d'énergie et comme telle, elle peut s'exprimer en joules (1).

3.1.

La convention de signe utilisée en thermodynamique est la suivante: L'énergie reçue par un système matériel (travail mécanique ou chaleur) est positive. L'énergie fournie par un système au milieu extérieur est négative.

2.3. CHALEUR MASSIQUE Soit un système matériel S (par exemple un solide de masse m). On l'échauffe de 8 1 à 8 2 de telle façon qu'entre ces deux températures n'intervienne aucune réaction chimique. On appelle chaleur massique moyenne entre 8 1 et 8 2 la grandeur définie par:

(Q est la quantité de chaleur qu'il faut fournir à S pour élever sa température de 8] à 8 2), Si 8 2 tend vers 8], C I ,2 tend vers une limite appelée chaleur massique vraie pour 8] : 1 dQ C=_·m d8'

= Cmdtl 1.

(1)

Dans cette relation (1) : dQ est en joules (J) ; C est en joules par kilogrammes par degré Celsius (J.kg-]. oC- 1) ; m est en kilogrammes (kg) ; d8 est en degrés Celsius (ou en kelvins).

2.4.

CONDUCTION

Dans un matériau, la chaleur peut se transmettre de proche en proche; cette transmission s'effectue toujours du point dont la température est la plus élevée vers le point où la température est la plus basse. C'est un phénomène continu. Les matériaux sont plus ou moins propices à ce genre d'échange, on dit qu'ils ont une plus ou moins bonne conductibilité thermique À.

Considérons une paroi plane d'épaisseur 1; soit S la surface de paroi à travers laquelle on considère l'échange. Cette paroi divise le milieu extérieur en deux parties 1 et 2 dont les températures sont différentes 8 1 > 8 2 (fig. 2.2).

UNITÉS DE QUANTITÉ DE CHALEUR

Dans le système international d'unités (MKSA) l'unité d'énergie est le joule, l'unité de quantité de chaleur est donc le joule (J). D'autres unités employées depuis très longtemps sont également utilisées: la calorie et ses multiples, kilocalorie et thermie. Equivalences: 1 cal 1 kcal 1 thermie

220

Prenons l'exemple d'un électro-frein: l'électro-frein est le système S. Il reçoit de l'énergie mécanique du milieu extérieur (sous forme d'énergie cinétique), alors Ecin > O. Il cède une certaine quantité de chaleur au milieu extérieur: Q 0 : le système reçoit de la chaleur; Q < 0 : le système fournit de la chaleur.

(2)

Cet échange de chaleur suppose évidemment que la frontière entre le système et le milieu extérieur est une paroi conductrice de la chaleur. Nous désignerons par l'indice A, l'état initial du système et par l'indice B son état final. Ces deux états peuvent être différents ou identiques (cas d'un cycle). Nous désignerons par l'indice 1, 2, ... les transformations thermodynamiques qui permettent de passer de l'état A à l'état B (fig. 2.3).

-2 • A -+ B (état initial A, état final B, « chemin inverse de 2 ») :

2

• B

-+

A (état initial B, état final A, « chemin 2 »)

1

(4)

O;~~ 3

1

Fig. 2.3.

• Cycle A

-+

2 B

-+

A (état initial A, état final A)

[W + Q]cycle = [W + Q]~

4.2. PRINCIPE DE L'ÉQUIVALENCE

(fig. 2.3).

soit:

222

[W +

Q2

= W3 +

[W + Q]~.

+

W2 + Q2'

D'après (2) et (4) :

Dans toute transformation thermodynamique, la somme algébrique des quantités de chaleur et de travail échangées par le système matériel ne dépend que de l'état initial et de l'état final du système WI + QI = W 2 +

+

Q3

Q]~ = Cte 1.

[W + Q]cycle

=

W I + QI

En comparant (2) et (3) on voit que WL+ QI = - (W2 + Q2)'

il s'ensuit que:

= ... (1)

[W+Q]CYCI.=O

J.

(5)

Notion de quantité de chaleur, principe de l'équivalence

• Principe de l'équivalence Lorsqu'un système matériel décrit un cycle thermodynamique, ~ s'il reçoit du travail (W;;> 0), il fournit de la chaleur (Q -< 0) ; ~ s'il fournit du travail (W -< 0), il reçoit de la chaleur (Q ;;> 0). Les échanges de travail et de chaleur du système avec le milieu extérieur sont égaux et de signe contraire. Lorsqu'un système décrit un cycle, le bilan thermodynamique de ses échanges nec le milieu extérieur est nul.

4.3.

ÉNERGIE INTERNE

Reprenons l'expression du principe de l'équivalence (relation 1) [W + Ql~ = cte .

Pour passer de l'état A à l'état B, la somme algébrique du travail mécanique W et de la quantité de chaleur Q échangés avec le milieu extérieur est indépendante du « chemin suivi ». Cette constante est appelée variation de l'énergie interne du système pour passer de l'état A à l'état B et on note:

5.1.

TRANSfORMATIONS RÉVERSIBLES ET IRRÉVERSIBLES MÉCANIQUEMENT

Distinguer la réversibilité mécanique et la réversibilité thermique n'a pas beaucoup de sens, puisque nous venons de voir que travail mécanique et quantité de chaleur sont « équivalents» (voir paragraphe 4.2). On définit habituellement une transformation comme « mécaniquement réversible» si on peut négliger tous les frottements, aussi bien solides que visqueux et si l'évolution du système peut être considérée comme une succession d'états d'équilibre, (ce qui revient à négliger les effets de l'inertie). Dans ce cours, nous supposerons que toutes les transformations étudiées sont mécaniquement réversibles. Au chapitre suivant, tout en continuant à supposer que les transformations étudiées sont mécaniquement réversibles, nous verrons que la réversibilité thermodynamique ne peut que constituer la limite vers laquelle peut tendre une transformation réelle opérée avec beaucoup de soins. On se reportera avec profit au paragraphe 3.4 du chapitre 3 pour approfondir cette notion.

(6)

5.2. ou bien sous forme différentielle pour une variation infiniment petite: dU: dW+dQ

1.

(7)

Unité: L'unité d'énergie interne est la même que l'unité de travail ou de quantité de chaleur: le joule (1).

• Cas d'un cycle Lorsque l'état final B est confondu avec l'état initial A, la relation (6) permet d'écrire: [W +

Q]cycle =

TRAVAIL ÉLÉMENTAIRE ÉCHANGÉ ENTRE LE SYSTÈME ET LE MILIEU EXTÉRIEUR. DIAGRAMME DE CLAPEYRON

Considérons un système constitué par une certaine masse de gaz enfermée dans un cylindre. Supposons que le piston qui ferme le cylindre réalise une étanchéité parfaite et qu'il n'y ait pas de frottement entre le cylindre et le piston. On mesure bien ici la difficulté qu'il y a à réaliser une transformation mécaniquement réversible! Evaluons le travail reçu par le système dans la transformation 1-2 (fig. 2.5). On sait avec notre convention de signe que W1Z ;;> O.

o.

S 1

Lorsqu'un système parcourt un cycle, la variation d'énergie interne est nulle.

P

Il Il

V

Il Il

-+

Po

F

1 1

Pour un cycle 1-2-3-1 par exemple, on peut écrire la variation d'énergie interne totale:

~ dx ~

x

0

Fig. 2.5.

223

Hydraulique et thermodynamique appliquées p

Le travail reçu par le système est le travail des forces extérieures appliquées au système. Pour un déplacement élémentaire dx du piston:

(Pa)

2

p Algébriquement: Etudions l'équilibre du piston:

ft + Po Si -

pSi =

v

6.

Algébriquement:

o

3

(m /kg)

(2)

Fig. 2.6.

La relation (l) peut donc s'écrire: -

dW =pSdx.

Nous pouvons poser: S dx = - dv, où dv est la variation de volume du système gazeux considéré. Le signe moins s'explique par le fait que si dx :> 0 le volume v décroît et si dx < 0 le volume v croît. v peut donc être considéré comme un nombre algébrique si l'on prend la précaution d'introduire ce signe moins. (3) s'écrit alors:

W I2 =

'l '

- P dv

"1

Graphiquement, le travail échangé W l2 se mesurera donc par l'aire comprise entre l'arc 1-2 et l'axe des v.

(4)

dW= - pdll

Si le système isolé est ramené (comme c'est l'usage) à un kilogramme de gaz, les unités utilisées pour la relation (4) sont:

dWen J/kg; p en Pa;

Entre les états 1 et 2 :

(3)

dv en m 3/kg.

5.3.

EXPRESSION DU TRAVAIL ÉCHANGÉ AU COURS D'UN CYCLE

Notons que pour le kilogramme de gaz enfermé dans le cylindre, les quantités:

Un cycle, nous l'avons vu au paragraphe 4.2 peut être considéré comme une suite de transformations telles que l'état final du système soit le même que l'état initial.

= pression; v = volume massique; T = température absolue;

Considérons par exemple le diagramme de Clapeyron d'un cycle 1.2.3.1 (fig. 2.7).

p

ne sont pas indépendantes. 11 est donc impossible d'exploiter la relation (4) pour faire un bilan de l'état 1 à l'état 2 par exemple si on ne connait pas la loi de variation de p, v ou T. Supposons connue la loi de variation p = f (v) entre les états 1 et 2. Le diagramme représentatif de cette fonction est très utilisé en thermodynamique; c'est le diagramme de Clapeyron. Dans le plan de ce diagramme, le sens positif est celui qui va de l'axe des volumes (v) à celui des pressions (P) (fig. 2.6).

p (Pa)

P2

2

1 1 1

- r 1

1

1

- Le travail élémentaire échangé entre le système (l kg de gaz) et le milieu extérieur :

1

1 1

---------1 1

dW= -pdv

v

1

v, est représenté par la mesure algébrique de l'aire du rectangle hachuré.

224

Fig. 2.7.

3

(m /kg)

Notion de quantité de chaleur, principe de l'équivalence Le travail échangé au cours d'un cycle entre le système et le milieu extérieur est égal à la somme algébrique des travaux échangés au cours des transformations qui le composent:

QUESTION 1 Calculer Il z et tracer le diagramme de Clapeyron de cette transformation.

RÉPONSE On observe que ces travaux ont des signes différents:

I I I

V2

=

-

p dv;

dv

0

=W

-

p dv;

dv > 0

=W




0;

23
0

=

= 0,2 ml/kg.

La courbe 1 -+ 2 du diagramme de Clapeyron est une portion d'hyperbole (fig. 2.9).

V2

VI

IlZ

W31 < 0 . p (Pa)

Si nous faisons la somme algébrique des aires, W1231 est mesuré par l'aire 1-2-3 affectée du signe moins. On peut convenir de désigner par «Cycle moteur» un tel cycle, puisque c'est le système qui fournit du travail mécanique au milieu extérieur. On notera, et la règle est très simple à retenir que lorsqu'un cycle est parcouru dans le sens négatif, le travail échangé entre le système et le milieu extérieur est négatif et que lorsqu'un cycle est parcouru dans le sens positif, le travail échangé est positif (fig. 2.8). Cette règle permet de reconnaitre rapidement un cycle moteur et un cycle récepteur.

4,5.10

5 1

1 1

1 1 1 1

10 5

--t-------1

v

1

o

0,2

0,9

3

(m /kg)

Fig. 2.9.

QUESTION 2 Calculer le travail échangé Wu au cours de cette transformation.

Cycle moteur

Cycle récepteur

RÉPONSE On sait que:

Fig. 2.8.

f

'2

W l2 =

-pdv.

'1

Comme PI

pv = Cte,

on

peut

écrire:

pv = PI

VI'

soit

VI

p=--. V

Le travail W I2 prend alors la forme:

5.4.

APPLICATION

Une masse d'air de 1 kg subit la transformation ouverte 1 -+ 2 suivante:

Etat initial 1 : Etat final 2:

soit

PI = 10 5 Pa (atmosphérique), {

VI =

0,9 ml/kg; soit encore

Pl = 4,5. 10 5 Pa ; { vl = ?

Numériquement: W I2 Cette transformation pv = Cte.

1 -+ 2 est

telle que

le

=

135367 J/kg ou plutôt:

produit Wu = 135,3 kJ/kg .

225

Hydraulique et thermodynamique appliquées

EXERCICES AVEC RÉPONSES

WUnesuivant masse de gaz de 4 kg subit une transformation la loi Cte :

1 --+ 2

pv =

Etat 1 : Etat 2 :

RÉPONSES

= 60 kJ/kg. = - 8,36 kJ/kg. 4" U 2 - U I = 51,64 kJ/kg. 2' WI2

3'

PI = 105 Pa, { VI = 0,88 m '/kg;

P2 =? { v = 0,22 m'/kg. 2

QI2

~ Au cours du cycle 1 --+ 2 --+ 3 --+ 1 défini par le diagramme de Clapeyron (fig. 2.10), une masse d'air de 1 kg a échangé du travail et une certaine quantité de chaleur avec le milieu extérieur.

QUESTIONS l' Calculer P2 et tracer le diagramme de Clapeyron de cette transformation 1 --+ 2. r Quel travail W\2 cette masse de gaz a-t-elle échangé avec le milieu extérieur au cours de cette transformation?

p (Pa)

4.10 5

RÉPONSES l' P2

=

4. 105 Pa.

2' Wl2 = 488 kJ.

l1J Un kilogramme de gaz est chauffé volume constant et reçoit une quantité de chaleur de 8 000 calories

2

à

CI

cal = 4,18 J).

v

o

0,2

0,8

(m3 /kg)

QUESTIONS Fig. 2.10. l' Calculer le travail W\2 échangé.

r

Exprimer la quantité de chaleur Q'2 échangée. 3' Exprimer la variation d'énergie interne du gaz.

RÉPONSES

r

W I2

2"

QI2

Etat 1:

= O. = 33,44 kJ/kg. 3' U 2 - U I = 33,44 kJ/kg.

Etat 2:

Etat 3 : mUn fluide subit une transformation ouverte 1 --+ 2 à pression constante: 5

Etat 1 :

Etat 2:

PI = 2.10 Pa, { VI = 0,4 m'/kg;

P2

=

P2 { V2

=

105 Pa,

= 0,2 ml/kg.

p, = 4.10 5 Pa, { V,

= 0,2 m'/kg.

Dans la transformation 1 --+ 2 les pertes de chaleur se sont chiffrées à 210 kJ/kg. Dans la transformation 2 --+ 3 on a fourni au système une quantité de chaleur de 150 kJ /kg.

2.10 5 Pa;

{ v 2 = 0,1 m'/kg.

Pendant cette transformation, les pertes de chaleur sont évaluées- à 2 000 calories par kilogramme de fluide (1 cal = 4,18 J).

QUESTIONS l' Tracer le diagramme de Clapeyron de la transformation ouverte 1 --+ 2. r Calculer le travail W\2 échangé. 3' Exprimer la quantité de chaleur Q'2 échangée. 4' Exprimer la variation d'énergie interne du fluide.

226

PI = 105 Pa, { VI = 0,8 m'/kg;

QUESTIONS l' Caractériser la transfonnation 1 --+ 2, exprimer pour celle-ci: W ,2 , Q12' V 2 - V" r Caractériser la transformation 2 --+ 3, exprimer pour celle-ci: W 23 , On, V 3 - V 2 • 3' Calculer le travail échangé W31 au cours de la transformation 3 --+ 1. Calculer U, - V 3, puis ~I' 4' Effectuer le bilan mécanique et thermique de ce cycle. Ce cycle est-il moteur ou récepteur?

Notion de quantité de chaleur, principe de l'équivalence

RÉPONSES

p

1° 1 --+ 2: à pression constante (isobare); W I2

(Pa)

= 60 kJjkg;

QI2=-210kJjkg; V 2 -- VI = - 150 kJjkg .

2° 2

--+

3: à volume constant (isochore) ;

V3

3°

-

W 23 =0; Q23 = 150 kJjkg; V 2 = 150 kJjkg. W 31 = - 110,9 kJjkg;

V 1 - VJ = 0; Q31 = 110,9 kJjkg .

v 0,8

W I231 = - 50,9 kJjkg ;

QI231 = 50.9 kJjkg; W 1231 _ 1.

C O = dQ ('8 d_T__ L - __ _ 1

avec W12 = travail mécanique échangé entre le système (gaz) et le milieu extérieur (eau). Ici Wu O. QIZ = Quantité de chaleur échangée entre le système (gaz) et le milieu extérieur (eau). Ici, nous avons vu que tz = t,; la température de l'eau (et de gaz) n'ayant pas changé il est nécessaire que les échanges de chaleur soient nuls donc Q12=O, et:

=

Evaluons la vanatlOn d'énergie interne du gaz au cours de cette transformation. Nous avons défini cette variation entre les états 1 et 2

ou si nous considérons les états 1 et 2 comme infiniment voisins: dV=dW+dQ. Dans les conditions de l'expérience :

Le volume du gaz a changé: vz :> v, . La pression du gaz a changé: Pz

O.

v

Le cycle fonctionne entre deux sources: Source froide: température T définie l'isotherme 1-2. Source chaude: température T' définie l'isotherme 3-4.

par par

241

Hydraulique et thermodynamique appliquées Considérons le cycle comme moteur, c'est-à-dire, que le système le parcourt dans le sens 1-2-3-4-1 et faisons le bilan mécanique et thermique de ce cycle.

Transformation 1.2 isotherme à la température T

Transformation 3.4 isotherme à la température T' dT =

Sachant que dU = dW + dQ

O}

"2

f",

-

O}

dU = dWT=dU>O,

T< T' =dU O} dQ = dW>O.

et

et

Le système reçoit du travail du milieu extérieur: W23

= U3 -

U2

1

= -'Y -

1

(P3

v3 -

P2

d'après l'équation des gaz parfaits: P3

v3

= rT' et

P 2 V2