Vibrations des structures. Interactions avec les fluides, sources d'excitation aléatoires

COLLECTION DE LA DIRECTION DES ÉTUDES ET RECHERCHES D'ÉLECTRICITÉ DE FRANCE Interactions d flu·ides al ib Professeur...

Author: René-Jean Gibert

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COLLECTION DE LA DIRECTION DES ÉTUDES ET RECHERCHES D'ÉLECTRICITÉ DE FRANCE

Interactions d

flu·ides al ib

Professeur à l'Institut National des Sciences et Techniques Nucléaires

Préface de

ÉDITIONS EYROLLES 61. Bd Saint-Germain Paris sc.

NOTE AU LECTEUR Les cours de l'Ecole d'Eté d'Analyse Numérique CEA-EDF-INRIA sur la dynamique des structures, qui s'est tenue en Juillet 1986, ont été édités en deux volumes dans la Collection de la Direction des Etudes et Recherches: • un premier volume contient le cours de M. R. J. Gibert et s'intitule: Vibrations des structures - Interactions avec les fluides, sources d'excitation aléatoires » ; «

• un deuxième volume contient les cours et conférences de MM. J. Donéa, H. Laval, R. P. Shaw et Y. Bamberger et J. Planchard respectivement; ce volume s'intitule: « Aspects théoriques et numériques de la dynamique des structures ».

ISSN 0399-4198

© 1988 DIRECnON DES ÉTUDES ET RECHERCHES D'ÉLECTRlClTÉ DE FRANCE Ln loi du 11 mars 1957 n'autorisant, aux termcs des alinéas 2 ct 3 de l'Article 41, d'une part que les "copies ou reproductions strictement réservées il l'usage privé du copiste ct non destinées il une utilisation collective,. ct, d'autre part, que les analyses et les courtes citations dans un but d'cxemple el d'illustration, il toute représentation ou reproduction intégrale ou partielle, faite sans le consentement de l'auteur ou de ses ayants droit ou ayants cause, est illicite » (alinéa 1er de l'Article 40). Cette représentation ou reproduction. pnr quelque procédé que ce soit, constituerait donc une contrefaGon sanctionnée par les Articles 425 et suivants du Code Pénal.

PRÉFACE Ce livre est consacré à Pun des cours de l'Ecole d'Eté d'Analyse Numérique CEA-EDF-INRIA qui s'est tenue au BREAU-SANS-NAPPE (Yvelines) du 10 juin au 4 juillet 1986. Le sujet était « Dynamique des Structures n. Le présent ouvrage porte sur les vibrations et est J'œuvre de R. J. Gibert. Monsieur R. J. Gibert, du Centre d'Etudes Nucléaires de Saclay, est Chef de Service à la Division d'Etudes et de Développement des l'Réucteurs de l'Institut de Recherche Technologique et de Développement Industriel du Commissariat il l'Energie Atomique et Professeur à l'INSTN (J nstitut National des Sciences et Techniques Nucléaires). Il a bien voulu consacrer une partie de son temps très chargé d'ingénieur réalisateur à un cours qui fait le point le plus récent de cette discipline. Cet ouvrage comprend trois volets: 1) Vibrations des structures mécaniques. 2) Interactions fluide-structure. 3) Sources d'excitation aléatoires. L'ouvrage s'appuie sur l'expérience considérable ilccumulée par R. J. Gibert et ses collègues dans l'étude des réacteurs nucléaires. Cette expérience a été concrétisée par l'élaborution du programme français électronucléaire réalisé par EDF et les industriels concernés, en liuison pour les études avec l'équipe de R. J. Gibert. Un niveau d'excellence internationale, en pointe parmi les meil1eurs du monde, caractérise R. J. Gibert. Le lecteur y trouvera le point de vue concret, toujours adapté aux problèmes il traiter et les outils mathématiques el numériques pour résoudre complètement les problèmes réels de la technique. Le succès a couronné jusqu'à maintenu nt cet effort technologique et scientifique exceptionnel dans J'histoire technologique de la France, mené conjoîntement par le CEA, EDF et les industriels. Robert DAUTRA y Membre de l'Académie des Sciences

AVANT-PROPOS

1. JUSTIFICATION DES ÉTUDES DE VIDRATION On désigne couramment par « vibration» les petits mouvements d'un système mécanique, autour d'une position d'équilibre ou d'un mbuvement permanenL Ces petits mouvements induisent généralement: - de pelites variations des contraintes au sein du matériau qui peuvent occasionner des ruptures en fatigue, - des frottements qui peuvent occasionner des usures du matériau, - des chocs qui peuvent détériorer localement le matériau, des bruits qui sont émis à l'extérieur et qui posent parfois des problèmes importants d'environnement. Mais dans certains cas très particuliers, des mouvements de forte amplitude peuvent apparaître, entraînant la ruine rapide des structures. Ces mouvements ont pour origine des mécanismes d'instabilité. Les vibrations touchent toutes les branches de l'industrie: aéronautiquechemin de fer - automobile - industrie pétrolière etc. L'industrie nucléaire n'échappe pas à cette règle du fait de la grande taille des installations et des vitesses élevées des écoulements de fluide qui les parcourent. Un aspect particulier de l'industrie nucléaire réside dans les impératifs très stricts des règles de sécurité. La prévision des risques vibratoires en fonctionnement doit donc être effectuée avec un soin particulier. De plus ces règles imposent d'envisager un certain nombre de situations accidentelles qui consistent généralement en transitoires dynamiques (séismesruptures brutales - impact de projectiles, etc.). Bien que ces transitoires aient un caractère non linéaire marqué, les méthodes développées dans cet ouvrage fourniront une base très utile pour estimer les marges de sûreté qu'ont les installations dans chacune de ces situations. Signalons enfin que les vibrations sont un domaine de recherche largement ouvert et les méthodes de prévision actuelles demandent encore de nombreux perfectionnements.

X

2.

VIBRATIONS DES STRUcrURES

ANALYSE PHÉNOMÉNOLOGIQUE DES DIFFÉRENTS MÉCANISMES INTERVENANT DANS LE DOMAINE DES VIBRATIONS

L'étude des vibrations fait intervenir de nombreux aspects de la mécanique: mécanique des structures complexes, mécanique des fluides, acoustique. Ces différents aspects sont dans la plupart des problèmes très liés les uns aux autres. Nous allons lenter d'analyser les différents mécanismes qui interviennent: 1) Sources d'excitation. Réponse des struclltres

Les structures mécaniques sont sollicitées par les fluctuations locales de pression induites par les écoulements perturbés, par les ondes sismiques, par les machines tournantes, etc. Il faut donc tout d'abord connaître les caractéristiques de ces différentes sollicitations qui sont complexes (instationnarités liées aux écoulements perturbés - ondes sismiques de surface, etc.). II faut ensuite caractériser les structures, du point de vue de leur réponse à ces sollicitations. Comme, en général, les mouvements vibratoires sont petits, les équations de la mécanique linéarisées autour de la position d'équilibre du système, suffisent dans la plupart des cas. La structure considérée comme un système répondeur linéaire peut alors être caractérisée indépendamment des sollicitations qui s'exercent sur elle. 2) Existellce de couplages entre fluide et structures

Le schéma précédent serait parfaitement clair si l'on avait affaire par exemple à une structure dans le vide excitée par des forces extérieures. En fait dans la plupart des cas, les structures contiennent ou baÎgnent dans un f1uidc dont la masse volumique peut être non négligeable par rapport à celle des matériaux. Fluide et structure sont alors très couplés entre eux et le système répondeur à considérer est un système acoustique-mécanique (car les petits mouvements du fluide peuvent être décrits généralement par les équations linéaires de l'acoustique). Ce système est souvent compliqué par le faÎl que le fluide est en écoulement permanent. La linéarisation des équations du fluide autour de cet écoulement permanent, suffit en général pour représenter correctement les phénomènes. Elle met en évidence par rapport au système structure-fluide au repos, des termes supplémentaires qui dans certains cas, peuvent modifier d'une façon importante, les caractéristiques du système, parfois conduire à des instabilités. 3) Limites du schéma linéaire

Dans certains cas, touLefois assez rares, le schéma linéaire rend mal compte des phénomènes: Les non-linéarités les plus courantes sont les chocs et les frottements. Un

AV ANT-l'ROPOS

XI

modèle linéaire équivalent est souvent suffisant, mais cela n'est pas toujours vrai en particulier en ce qui concerne les chocs dus à des mouvements sismiques, dont l'amplitude peut être importante. En ce qui concerne les écoulements perturbés, la linéarisation autour d'un régime permanent est parfois difficile. On peut en particulier observer des mécanismes complexes de couplage cntre le mouvement vibratoire de la structure et l'écoulement perturbé qui J'excite ou également des couplages de même type entre les ondes acoustiques se propageant dans le circuit et l'écoulement perturbé. Ces mécanismes nécessitent une approche non linéaire.

3. PLAN DE L'OUVRAGE L'ouvrage est organisé de la façon suivante: a) La première partie concerne la théorie générale des vibrations des systèmes mécaniques:

Les premiers chapitres sont l'exposé assez synthétique des méthodes générales d'analyse des systèmes dynamiques linéaires (modes propres, ondes) et de leur application à des structures courantes simples (poutres droites, plaques, coques cylindriques). - Viennent ensuite des chapitres plus spécialisés concernant les méthodes de synthèse modale et les mécanismes non conservatifs (amortissements, instabilités). b) Dans une deuxième partie un développement assez important est effectué à propos de l'interaction fluide-structure.

e) Dans une troisième partie, on examine les caractéristiques de certaines sources d'excitation aléatoire (dues aux écoulements perturbés et aux ondes sismiques). Les exemples concernent généralement les structures de l'industrie nucléaire. II faut d'ailleurs noter il ce propos que cel ouvrage n'a pas la prétention d'être exhaustif et que l'éclairage qu'il donne sur l'analyse vibratoire est bien sûr sensiblement marqué par les problèmes que pose ce type de structure.

SOMMAIRE Avnnt-propos ........................................................................................... 1. Justificalioll des élI/des dc vibratiol/ 2. A1Ialyse pllél1011Iénologique

IX

IX X

XI

3. Plan de l'mll'mge

PREMIÈRE PARTIE VIBRATION DES SYSTÈMES MÉCANIQUES A. MÉTHODES GÉNÉRALES DE L'ANALYSE VIBRATOIRE

Chnpitre 1

Oscillateur à un degré de liberté ..... ".........................................

1.1. Déjini/iolls

3

........................ ............................................................

3

1.2. Etude du IUOlIl'el1lClIt ............................... ,......................................

5

1.2.1. Réponse à un transitoire .. .................. ... ................................... 1.2.1.1. Rappels sur la transformée de Laplace ................................ 1.2.1.2. Notion de fonction de transfert du système ......................... 1.2.1.3 Réponse de l'oscillateur .... ...... ..................... ............ ..........

5 5 10 11

1.2.2. Réponse harmonique établie . .................. ......... ... ...................... 1.2.2.1. Réponse à une sollicitation harmonique ..................... ,......... 1.2.2.2. Analyse de l'amplitude complexe ...... ......... ...... ......... .........

]4 ]4 ]5

1.3. Considéra/ions énergétiqlles ..................................................... , ....... '

16

1.3.1. Oscillation libre ..................................... , ........ ,....................... 1.3.2. Oscillation de régime harmonique ....... .......................................

16 17

1.4. DélermimuÎol1 expérimct1fnle des gra"deurs caractérisliques ....................

18

1.4.1. Analyse d'un transitoire ........................................................... 1.4.2. Analyse par excitation harmonique ............................................

19 19

Conlplé,ucll/s el exercices ....................................... , .. , .............................

]9

Systèmes conservaHrs il plusieurs degrés de liberté. Théorie des modes propres ..................................................................................

31

2.1. Introductio1l.' Exemple de 2 oscillateurs couplés ..................................

31

2.1.1. Couplage pur raideur et par inertie ........................................... 2.1.2. Le couplage dépend du choix des variables .................................

31 32

Chapitre 2

........ .... .................. ............. ........ ............

33

Variables de déplacement - hypothèse des petits mouvements ........ Notion de liaisons .,................................................................. Conditions aux limites .................... ...... ................................... Notion de degré de liberté .. .............................................. ....... Espace vectoriel des degrés de liberté ........... ................... ..........

33 34 35 35 35

2.3. Energie pote1lfielle de déJormarioll. Opêratcllr de midcur ."...................

36

2.2. Notion de degré de liberté

2.2.1. 2.2.2. 2.2.3. 2.2.4. 2.2.5.

XIV

vmHATIONS DES STRUcrURES

2.4. Energie cinétiqlle. Opérateur de masse ................. ............. .......... ....... 2.5. Equations dynan'llq/lcs

41

............. ......... ...... ........................................

43

2.6. Modes propres (/'l/1I système il plusiellrs degrés de liberté ........... ...........

46

2.6.1. Introduction ...... ...................... ............... ...... ...................... ..... 2.6.2. Modes propres d'un système à N degrés de liberté ....................... 2.6.3. Extension aux systèmes continus ......... ................... .................... 2.6.3.]. Poutre discritisée ............................................... ............... 2.6.3.2. Passage du système discret au système continu ........ .............

46 46 48 48 50

2.6.4. Notions de masse et de raideur généralisées .. ........................ ......

52 53

2.6.5. Projection sur la base des modes propres ............... ............ ........

2.7. Réponse fi

transÎtoire ..... ......... ...... ......... ............................ .........

54

2.7.1. Fonction de transfert du système ............................................... 2.7.1.1. Notion d'impulsion unÎté localisée ...................................... 2.7.1.2. Projection de l'impulsion sur le mode propre .......................

54 54 55

2.7.2 .. Réponse i'l un transitoire quelconque ......................................... 2.7.2.1. Systèmes il N degrés de liberté .......................................... 2.7.2.2. Systèmes continus .............................................................

57 57 57

2.8. Réponse forcée ci une sollicitatioll harmonique .....................................

58

2.9. Propriétés des modes propres des structl/res symétriques par rapport il 1111 plnn (P) ...............................................................................................

59

Chapitre 3

1.(11

l'cUts mOllvements d'un solide déformable tridimensionnel massif homogène et isotrope. Notions de propagation des ondes .. '" ......... .

3.1. Equations dyltal11ÎlJUcs

61

................................................................ _...

61

3.2. Notions de propagation d'olldes ...................................................... ..

63

3.2.1. Ondes de compression el de cisaillement .................................. .. 3.2.2. Ondes planes .............................................

63 64

3.3. Réflexi01I des çmdes planes entretenues sur /ln demi-plan infini ............. ..

65

3.3.1. Cos d'une onde P incidente ..................................................... . 3.3.2. Cas d'une onde SV incidente ................................................... . 3.3.3. Cas d'une onde SB incidente .................................................. ..

67 68

3.4" Ondes de !iurface .......................................................................... ..

68

3.5. Ondes dans wU! plaque pinne 3.6. Equation de dispersion. Vitesse de phase et vitesse de groupe .............. ..

70 73

3.7. Allalyse du diagramme de dispersion 011 l'oisillage de l'origine: ol/des de flexioll ........................................................................................ ..

74

3.8. Analyse pllrticulière des ondes de flexion: cas de la polltre rectiligne

76

H

.......................... .

65

B. ANALYSE VIBRATOIRE DE DJVERS SYSTÈMES MÉCANJ(2UES EXERCICES ET PROBLÈMES Chapitre 4

Petits mouvements des corps solides indéformables sur appuis souples

4.1. Equations dynanlÏq/{es 4.1.1. 4.1.2. 4.1.3. 4.1.4.

89

....................................................................

89

Energie potentielle. matrice de raideur ............................... ,....... Energie cinétique, matrice de masse ...... ...... ......... ..................... Travail des forces extérieures ........................ ...... ........ .............. Equations d'équilibre ...............................................................

90 90 91 92

SOMMAIRE

XV

4.2. Exeolplcs ......................................................................................

92

4.2.1. Premier exemple (solide sur appuis souples) ............................... 4.2.2. Deuxième exemple (pendule) ...................................................

92 97

Cbapitre 5

~

compression des poutres droites .. ...

101

5.1. Rappel des équalÎo1ls ct des conditio1lS aux limites ...............................

101

5.2. Anolyse d'lIl1e pOl/tre libre il ses extrémités .........................................

102

5.3. Impact d'unc polltre slIr Illle paroi rigide ...........................................

106

5.4. Utilisation t1'lIl1e base modale troflquéc pOlir le calcul de l'impact. Notion de raideur de choc ........................ ... ..................................................

109

Chnpîtrc 6

Petits mouvements de traction

Petits mouvements de flexion des poutres droites ... ... ....................

6.1. Equations et cmulitions mL'\: limites

. . ... ... .. ......................... ...... ... .......

115 115

6.2. Exemples de calclll des modes propres ................... ............................

119

6.2.1. Poutre rotulée-rotulëe ....................................?........................ 6.2.2. Poutre avec masse localisée ......................................................

119 121

6.3. Impact latéral d'Ilne pOWre sur /lire b7l1ée. ......................... '" ...... .........

124

6.3.1. rmpact d'une poutre de longueur infinie .................................... 6.3.2. Nature physique du choc en flexion ............ ............ .... ..... ......... 6.3.3. Filtrage basse fréquence, raideur de choc ........................ ...........

124 126 126

6.4. Exercices

problè,ne.ç . ....................................................................

131

6.4.1. Fréquences et modes propres d'une poutre multî-appuyée ...... ... .... 6.4.2. Faisceau de poutres encastrées sur un disque ..............................

131 133

6.5. FOr/nlllaire ................................................................. ...................

136

Chapitre 7

e/

Petits mouvements de Ilexion des ploques planes .. ...... ..................

7.1. Equatiot/s et condi/iOlls aux limÎtes

141

............ ..................... ......... .........

141

7.2. Cas des plaques rectallgulaires ..........................................................

145

7.3. Cas des plaques circulaires ...... ................................. .......... ... ...........

146

7.4. FOr1llulaire .. , ... ... ... ........................................................................

150

Chnpitre 8

Petits mouvements des coques minces cylindriques ........................

153

8.1. Energies potentielle et CÊnétique .... .............................. ............... ........

153

8.1.1. Energie potentielle de déformation ............................................ 8.1.2. Energie cinétique ............................................................. .......

154 155

8.2. Théorie simplifiée pour l'étude des modes propres ........ .......................

155

C. ANALYSE PAR SOUS-STRUCTURATION

Chapitre 9

Principe des méthodes d'analyse par synthèse modale. Exemples

9. 1. II/troduction

.................... , .................. , .. , ... ... . .. . .. . .. . .. . .. ... ... ... ... ... . ..

9.2. Défil/ition d'lIt/e sOUS-strllcmre

el

de ses liaisons .... .......... ...... ......... .....

165 165 165

9.3. Projectiol! sur une base de modes propres ct de solutions statiques

167

9.4. Raccordelneut des SOlls-structure .............................. , .. ,.......................

170

9.5. Exan/e11 des cas extrèl1les .................................................................

171

XVI

VIBRATIONS DES STRUCTURES

9.5.1. Procédure des '1 sous-structures bloquées» .................................. 9.5.2. Procédure des" sous-structures libres}) ....................................... 9.5.3. Procédure classique des sous-structures libres .... ..........................

171 172

174

9.6. Discussion ................... ........................... ................... ....................

175

9.7. E:rel11ples ......................................................................................

176

9.7.1. Raccordement de poutres en traction-compression ........................ 9.7.1.1. Méthode par liaisons bloquées ........................................... 9.7.1.2. Méthode par liaisons libres ................................................

176 176 179

9.7.2. Problcmc ...............................................................................

183

D. SYSTÈMES NON CONSERVATIFS Chapitre 10

Amortissement des systèmes mécnniques .................. ........... .......

191

10.1. Les différents types d'amortissement .................................................

191

10.1.1. Amortissement visqueux ......................................................... 10.1.2. Amortissement hyslérétique ................................... ........... ....... 10.1.3. Etudes de certains modèles non linéaires d'amortissement ..... ....... 10.1.3.1. Frottement sec ................................................................ 10.1.3.2. Amortissement dû à la plasticité ........................ ............... 10.1.3.3. Amortissement dû il de petits chocs ......... .........................

191 192 193 193 196 198

JO.2. Systemes il plusiellrs degrés dl' liberté amortis ....................... .............

198

10.3. Exelnplcs .. ...................... ......................... ............ ........................

201

10.3.1. Systëmes discrets ................................................................... 10.3.2. Effet d'un amortissement localisé sur un système continu ..... ....... 10.3.3. Caracterisation par une combinaison des opérateurs de raideur et de masse .................................................................................. 10.3.4. Amortissement équivalent d'une barre en flexion avec chocs .... ....

201

10.4. Exercices et problèllles .......... ......... .................................. ..............

208

Chapitre 11

203 204 205

Etude des systèmes vibrant autour d'une posiUon d'équilibre statique avec chump d'eITorts permanents ou autour d'un mouvement perma~ nent ....................................................................................

223

11.1., Système l'ibrant outour d'ufle position d'équilibre avec champ d'efforts pCnnallèllts ........................ ,.................. .................. ............ .........

223

11.1.1. Formulation générale ............................................................. II.1.2. Exemples d'application ........................................................... 11.1.2.1. Flexion d'une poutre droite avec traction-compression ....... ... 11.1.2.2. Coque cylindrique mince avec pression permanente ...... .......

223 225 225 229

11.2. Syslème vibrant autour d'ull mouvement permanent ........ ....................

232

11.2.1. Petits mouvements d'un corps solide tournant autour de son axe.. 11.2.2. Application il une poutre droite en flexion ....... .........................

232 235

Chapitre 12

Notions sur les systèmes linéaires instables .................................

12.1. Alodé!isQtÊoll des systèmcs illstables

239

....................................... ...........

239

12.1.1. Système à 1 degré de liberté .................................................. 12.1.2. Système il plusieurs degrés de liberté . ............................ ..........

240 241

12.2. Critères de stabilité ........................................................................

242

Il.3. EXC11lples ...... ............... ............. ..................... ......... .....................

245

XVII

SOMMAIRE

12.4. Instabilités paralnétriques

.............. ... ..............................................

249

12.4.1. Equations du problème .................... ... ... ................................ 12.4.2. Recherche des domaines de stabilité ....................... .................. 12.4.3. Discussion .................... 00.......................................................

249 250 255

DEUXIÈME PARTIE INTERACTION FLUIDE-STRUCTURE Chapitre 13

Petits mouvements d'un nuide non visqueux sans écoulement

261

13.1. Equations de l'acoustique et fonctionnelles associées ............................

261

Energie potentielle de déformation ..................................... 0. .... Energie cinétique ....................... Travail des forces extérieures ............................. H..... ............... Equation des petits mouvements du nuide .. ............ ......... ......... Equations de l'acoustique ct conditions aux limite;? ............. ........ Fonctionnelle associée fI l'équation de l'acoustique .......... ........... Equation des ondes entretenues Fonctionnelle associée ...........

261 262 262 262 263 263 265

13.2. Exemple Împortallf: déterminatioll des modes propres acollstique d'ulle call1Ié fluide cylindrique ..................................................................

266

13.3. Vile application importa1l1e : le comportement acoustiqu.e il basse fréquence des lignes de tIIyameries. Théorie des ondes planes ............................

168

13.1.1. 13.1.2. 13.1.3. 13.1.4. 13.1.5. 13.1.6. 13.1.7.

13.3.1. 13.3.2. 13.3.3. 13.3.4. 13.3.5.

0 ........... 0

.............................. 0

Justification de la théorie des ondes planes ........ ...... .... ......... ..... Résolution de l'équation des ondes planes ............ ...... .............. Conditions aux limites, notion d'impédance . .............................. Nature des sources ...................................... ,......................... Assemblage de tubes ..................... ............... .......... ........ .......

13.4. Formulation i11tégrale associée à l'éqllation de l'acoustique ..... .......... .... 13.4.1. 13.4.2. 13.4.3. 13.4.4.

Solution singulière tridimensionnelle ....... ...... ............... ....... ...... Formulation intégrale en milieu infini ............ ......... .................. Variantes ............................ ..... ........................... .................. Exemple d'utilisation de la formation intégrale ............ ..............

13.5. Ondes de surface libre d'un fluide illcompressible soumis à la pesanteur

268 269 270 271 273 278 278 279 280 281

284

13.5.1. 13.5.2. 13.5.3. 13.5.4.

Condition aux IimiLes linéarisée au niveau d'une surface libre ...... Equation d'un réservoir à parois fixes Fonclionnelle associée Cas particulier d'un réservoir à fond horizontal....... ................... Exemple: ballottement d'un réservoir cylindrique .... ....... ............

284 285 286 288

Chapitre 14

Petits mouvements d'une structure en présence d'un nuidc non visqueux sans écoulement .......................................................

291

14.1. Eq/lations du système fluide-structure. Formulations CIl variables de déplaccUlent et en variables de pression .... ...... ............... .............................

291

14.1.1. Formulation en variables de déplacement .................................. 14.1.2. Formulation en variables de pression .. ...................................... 14.1.3. Fonctionnelle associée .................. ,.. ........ .... ... ... ......... ..... ... ....

291 293 293

14.2. Les deux m..pects de l'effet d'lI11 fluide dense sur tille structllre l'ibmnte..

296

14.2.1. Piston mobile couplé il un résonateur d'Helmholtz ........ ...... ........ 14,2.2. Piston mobile couplé à un tube ouvert ...................................... 14.2.3. Cavité nuide fermée par deux pistons ................... ...................

296 299 301

XVIII

VIBRATIONS DES STRUcrURES

14.2.4. Règles générales .......... ...................... .................................... 14.2.5. Exemples pratiques ..... ... ....... ..... ....... ...... ...... ...... .... ..... ..........

303 303

14.3. Emde particulière de l'effet d'jllenie ............................... ............. .....

305

14.3.1. Mise en évidence d'une matrice de masse ajoutée ...................... 14.3.2. Exemple d'illustration ...................................................... _......

305 307

14.4. Quelques exemples de caic/ii de masses ajoutées .................................

309

14.4.1. Cas particulier usuel: poutre rectiligne ........... .......................... 14.4.1.1. Justification de l'hypothèse

Grandeurs caractérisant les mouvements x(t) vecteur des DDL fonction du temps (x; = composante i) x(r, t) champ des déplacements

x et .i

champ des vitesses et des accélérations x(r,t) champ des vecteurs déplacement (de composantes x, y, _ ou v, IV en semi-polaire).

Il,

Grandeurs caractérisant les efforts fer)

f (r, t)

ou f (r,

F(/) ou F(t) ,AL (t) ou .At (t ) F(t) et ..At(t)

1)

vecteur des forces extérieures (fi = composante i) champ des densités de forces extérieures forces localisées aux limites moments localisés aux limites résultante générale et moment résultant.

Grandeurs mécanÎques k et

111

K et M E

raideur et masse opérateurs de raideur et d'inertie (matrice ou opérateur différentiel) énergie totale

XXIV

VlBRATrONS DES STRUcrURES

U :H C W,. Wi , W e Ë,i'f

p, E,

IJ

c

fonctionnelle énergie interne fonctionnelle de raideur fonctÎonnelle énergie cinétique travail des forces de raideur, d'inertie et extérieures tenseurs des déformations et des contraintes masse volumique, module d'Young et coefficient de Poisson du matériau célérité des ondes.

Transformées de Laplace

el

de FourÎer

x (P),

F (p ) X (w ). F Cw ) w et f

transformées de Laplace transformés de Fourier ou amplitudes complexes pulsation et fréquence il pulsation adîmensionnelle f.L (t) et Y (t) ( fonctions» impulsion et échelon 5 (r) distribution de Dirac H(P) ou B(r, r{),p) fonctions de transfert G(w) ou G(r, ro, w) fonctions de transfert (exprimés en w) (A(w) amplitude; ip (w) = phase) G(l) ou G(r, rOI t) fonctions de Green.

Gra1ldeurs modales vecteur propre

w,. et fil kil et 111 '1 KG et MG E,.

an(1) et Fn(l)

a(t) et F(t)

matrice des vecteurs propres pulsation et fréquence de résonance raideur et masse généralisées matrices diagonales des raideurs et masses généralisées amortissement modal (par rnpport à l'amortissement critique) composantes modales du déplacement et force généralisée vecteurs des composantes modales et des forces généra1isées.

Grandeurs spécifiques aux fluides

V (r) (composantes Vi)

PCl" ) ver, t) (composantes per, t) P f et p (r, t) IL

et

S

g (.rd 9

JJ

Vi)

champ des vitesses de l'écoulement permanent champ des pressions permanentes champ des vitesses fluctuantes champ des pressions fJuctuantes. masses volumiques moyennes et fluctuantes viscosité dynamique et cinématique notion de passage d'une tuyauterie impédance acoustique surface libre d'un fluide pesant accélération de la pesanteur

PRINCIPALES

NOTATION~

xxv

nombre de Reynolds nombre de Strouhal nombre de ~( Froude vibratoire» (L = longueur caractéristique).

Grandeurs associées aux processus aléatoires variable aléatoire, x réalisation de cette variable processus aléatoire temporel, x(t) réalisation de ce processus fonction de répartition et densité de probabilité de X F(x) et p(x) E( ) espérance mathématique (E(X) = J.L = moyenne) cr écart type (ou valeur quadratique moyenne) fonction d'autocorrélation P (t 1, 1:!) ou P (T) densité spectrale de puissance (DS}» S(/) S;ry(/) ou S(x, y, f) densité spectrale de puissance d'interaction (DSPI) Xo(s)ets DSP adimensionnelle et fréquence adimensionnelle (nombre de Strouhal). ' X

X(t)

PREMIÈRE PARTIE

VIBRATION DES SYSTÈMES lVIÉCANIQUES

- A -

MÉTHODES GÉNÉRALES DE L'ANALYSE VIBRATOIRE

CHAPITRE 1

ÉTUDE DE L'OSCILLATEUR HARMONIQUE À UN DEGRÉ DE LIBERTÉ

1.1. DÉFINITIONS Le système mécanique vibrant le plus simple est constitué par une masse ponctuelle M, assujettie il se déplacer sans frottement sUl un axe Ox. L'unique force exercée sur cette masse est celle d'un ressort de raideur K el de masse négligeable, qui la relie au point fixe O.

K

M

o ~ooooo~oou1m

... X

Figure 1.1.

Ce système est dit ci 1 degré de liberté car la position de la masse M est repérée au cours du temps par une unique variable x (t), qui est la variation de l'abscisse de M par rapport à sa position d'équilibre. L'équation du mouvement de la masse est: Mf + Kx

=0

(1.1)

Cette équation comporte 2 termes: -

Iln terme d'inertie Mf où intervient la m 0 avec p = 'Y + Îw. XCp) est la transformée de Laplace de x(t) (on nole généralement t(x(t»). Remarque: X(P) s'appelle aussi image de xU).

b) Principales propriétés -

Linéarité: nous avons

t (x (t) + y (1 » = X (P) + y (p ) {L(kX(I» = kX(P) (le Cte) -

Dérivation: nous avons (si .t(t) existe Vt:> 0) C(.i(t» = pX(P) -x(O+)

x (0+ ) est la limite de x(t) quand -

(-Jo

0 par valeurs positives.

Image d'llll produit de cOllvollllioll

c(, JorXU-T)Y(T)dT)

XCp).Y(P)

c) Fonction échelon et impulsion

-

La fonction échelon unité Y (t) est définie par:

y (t) = 0 si t 0 (Y (0) est par exemple pris égale à 1/2). Sa transformée de Laplace est: 1

C(Y(c» = p

- L'impulsion unité fL (t) peut être définie de la façon suivante: Soit une fonction fAr{t) telle que: f!J.r (t) = 0 si t ~ 0 ou 1 ~ â T { fAT(t) = liâT si 0 0)

Mwo

-

Réponse à

lUI

lâcher

On exerce sur le système une force permanente ! = K..x o, à l'instant t = 0 on lâche le système en le laissant osciller librement.

--o

-- -- -Figure 1.8.

- --

14

VIBRATION DES SYSTÈMES MÉCANIQUES

Si l'on se place dans le système lié à l'état d'équilibre pour t 00. 2K8 La phase 4> (w) de G (w) part, pour w 0, de zéro avec une pente égale à 2e . 1T d d w -1> 00. - - , passe a - - pour w Wo et ten vers 1T quan Wo 2 Nous voyons donc que la pulsation de résonance Wo s'interprète comme étant la valeur de w donnant le maximum d'amplification, ou comme étant la valeur de w telle que le déplacemelll de l'oscilla/eur soit en quadrature avec la force d'excita/Îon. L'amortÎssemelll réduit e s'interprète comme étant la demi-largeur relative du

16

VIBRATION DES SYSTÈMES MÉCANrQUES

pic de résonance

«

à mi-hauteur» .'

(1.8)

étant tel que si

,,(ÀW

A;I~X

A 1

L.l.W

= 1W 2: -

L'amortissement Am ...

W

E

W

1

ct w: sont les racines de l'équation A( W

f

=

Q

=

JI)· est lié égatement au «facteur de surtension

j)

A(O) Q =

1.3. 1.3.1.

1

1

(1.9)

CONSIDÉRATIONS ÉNERGÉTIQUES Oscillation libre

Considérons la réponse imputsionnelle G(t) de l'oscillateur. A l'instant l'énergie du système est donnée par: E(t) :::: 1/2 Mx:! + 1/2 Kx 2

Au premier ordre en E:

E(t) = 2 ~ (1 -

E

sin 2 will)

CWllf

'~u départ (f = 0), E(O) = 2 ~ : c'est l'énergie communiquée au système par la force impulsionnelle. On peut calculer directement cette énergie en considérant une force en forme de créneau:

F=1/T

o

T Figure 1.]0.

t

OSCILLATEUR HARMONIQUE À UN DEGRJ':: DE, LIBERTE

Si

7'

(T ~ ~ ) , f

est très petit

17

est grand devant les forces internes de

w[)

l'oscillateur, donc pour 0

-
dE

=-

7TA

fT cos wl sin

fT cos wl sin

ï fr

== 2w7T

(1/2

wt dl -1- sin cJ)

+ (p) dt

1. cos~ 1 wt dt

(w) sin cJ)

Calculons maintenant l'énergie moyenne

E=

(wt

E du

système pendant une période:

M.{~ + 1/2 KX2) dt

[12" Mw '~ A-'( w )f sm"( wt + cP) dl + 1 , A-(w) 2" Mw!) 1

T

x

fT cos 2(wt +

cP) dt

1

18

VIBRATTON DES SYSTÈMES MÉCANIQUES

On a: AE

- 4

sin cf>

7T

Ë sin cf) = partie imaginaire de G (w ) A(w) A(w)2 AE 8 -=

')

=_1TEW O W

7TEWO W

E

AE est maximal à la résonance :

Ë (

= 4 1rE

AE )

E

w

Wu

(On retrouve évidemment la valeur trouvée précédemment pour une oscillation libre.)

8E/Ë

4n e:

t - - - - - . . . ! ' I '__

Figure 1.11.

Exercice: Vérifier que l'énergie dissipée par cycle par l'amortisseur est opposée à l'énergie fournie par f (1).

1.4. DÉTERMINATION EXPÉRIMENTALE DES GRANDEURS CARACTÉRISTIQUES DE VOSCn.LATEUR: M, K, lt)Ot E On utilise deux types de méthode expérimentale correspondant aux deux types de sollicitation étudiés précédemment:

19

OSCILLATEUR HARMONIQUE À UN DEGRÉ DE LIBERTÉ

1.4.1.

Analyse d'un transitoire

Si l'on considère par exemple J'essai par lâcher, la pulsation des oscillations libres donne WO, la force f nécessaire il écarter le système de XI) par rapport à sa

~,d'où M = K') .

position d'équilibre donne K

•\()

Le décrément logarithmique

fj

wii

des oscillations donne e:

(j E.

= 7T

1.4.2.

Analyse pnr excitation harmonique

A l'aide d'un excitateur fournissant une force harmonique de fréquence réglable, d'amplitude F, on excite le système ct "on mesure pour la pulsation w l'amplification A( w ) et le déphasage cP (w ) de la réponse établie par rapport à la force. La pulsation correspondant au maximum de A (w··) ou au passage en quadrature de cP (w) donne wo. Le niveau ft basse fréquence de A (w ) dOflne I/K. La largeur à mi-hauteur du pic ou son coefficiem de surtension permettent d'obtenir ê.

Remarque: Pour obtenir un régime établi correctement, on doit attendre entre deux points de mesure (correspondant à 2 fréquences différentes) un certain 1 temps de l'ordre de eW(l

COMPLÉMENTS ET EXERCICES SUR LE CHAPITRE 1 I.C.l.

Démonstrntilln des propriétés de la transformation de LuplllCC

a) Loi de (JérÎ\'(/liotl C(.r(r» =

lco ~x c- Pl dl Il

t

lx c-PI]O' -1- p

rco x c-

Jo

P1

dt

(en intégrant pur partie)

- x (0+ ) + pX (p ) b) Couvo/wiol/ L(

l

fctJ

.t(t - T) y( T) dT )

Jo

e-Jll

dt

On effectue le changement de variables (;) -

c(Ix(r-ï)Y(T)dT) ==

1: i:

rI x(t _ ï) y(.) dT

Jo

(,:) avec

ri = f -

e-plx(u)Y(T)dTd/l

ra:.> c-PU.t(lt)dul

:;-;- 11T

tI-iro

e P1 F(P) m(p

2,

+2

EWoP

2

+ w()

dp

Pour t ~ T: La méthode du paragraphe 5 s'applique également et x (t) est donné par le résidu des 2 pôles P = wo( - e ± i) (E ~ 1). Nous ûvons :

x(t)

e (-tWo+iWO)I F• ( -

EW O

') +IWo

el-cIIJO-illJll)1

2m

2m Wo

.

F(-

F(- ew o +IW o)

fT

e(''''o-lal O)l

lJJ

EW U

-iw

o

)

o

f(t) dt

{)

F( - EW O + w o) est un nombre complexe: si Ar( e, wo) et cPF( E, w o) sont son module et sa phase. On a

d'où

Cas particuliers:

- Si l'excitation est courte pûr rapport à la période de l'oscillateur, c'cst-àdire si:

- rWOI =:>.'1:(1) = _c__ 11IW o

[I

T

0

f(r)dl ] sin wot

27

OSCILLATEUR HARMONIQUE À UN DEGRÈ DE LIBERTÉ

C'est uniquement l'intégrale de la force qui intervient et on obtient un résultat 'r

f

équivalent à la réponse à une impulsion d'intensité

f(r) dt.

Il

-

Si l'excitatÎon est une sinusoïde tronquée comportant N périodes ct dont la

plllsation est celle de l'oscillatellr.: C"'JIII

f\ [\ f\ f\

2Nn/w.

OV .\J'\J\J t 2n/ w

Figure 1.19.

=- Si

E

~

1

AF

t

= _e~_rN_rr_ _ l

(/Jr;=

EW()

'Ir

/2

D'où C-e(ùlOl-2N'It)

C- lWIJI

x(t) = - --------.,.--- cos wnl 2

Le débattement maximal de l'oscillateur est obtenu pour (

=

2 N

71' :

Wo

2

Si "on rapporte 1x mn % 1 à la réponse statique de l'oscillateur, on peut définir un coefficient de surtension équivalent ou un amortissement équivalent E':

l_e- c1N ' I t , 2 E =- E

ê

1 _ e- N == 8

1.C.7.

et

El

1

=

Autre exercice sur les systèmes à 1 degré de liberté

Soit un oscillateur harmonique amorti constitué d'une masse Irl fixée au sol par l'intermédiaire d'un ressort ct d'un amortisseur.

F m

Figure 1.21.

On exerce une force harmonique d'amplitude F ct de pulsation w. La réponse établie de l'oscillateur est donnée (en amplitude complexe) par:

29

OSCILLATEUR HARMONIQUE À UN DEGRÉ DE LIBERTÉ

en ln rapportant à ln déflexion statique: X(cû)

q = X(O)

r on il:

ct en posant l

q(r, E)

+2ier a) Trouver l'équation du lieu des maxima de l'amplitude 1q 1 quand (on fie fait pas l'hypothèse e

0 (quelque soit i)

Nous disons donc que 111 est un opérateur défini-positif. c;.IHVIt;;: Si nous reprenons l'exemple de la poutre (supposée uniforme) discrétisée avec les mêmes hypothèses que dans le paragraphe précédent, nous avons: .L.I ...

l

C

;;-

fL pSrdz .'" =

-

0

1

1 -rypS

N + 1- Xi L-1 fil? [Xi. +x --

-

1=1

j

0

N-l

=> C = (; p S tlz

L (Xi + l + .i, ' Ci + 1 + if)

i =l

ou C

~ (i, Mi)

M

avec

2 1

1 (5 pS tlz

(

1 4

~ ! ~~).

~~

Remarque: Pour la discrétisation de l'énergie cinétique, on n'est pas obligé de choisir la mème forme du déplacement dans l'élément que celle utilisée pour l'énergie potentielle. Dans de nombreux programmes de calcul on se contente généralement d'une forme plus simple: x (z, 1)

On a alors C =

~

Ci + 112) tlZ + 1/2) tlz (XI/J' MX,J

0

0

Si toutes les valeurs propres sont distinctes les X" forment une base orthogonale. Si deux valeurs propres sont confondues, il existe un ( plan» de vecteurs propres ct l'on peut montrer que l'on peut également construire une base orthogonale. On aura donc toujours: (X"" MX,.) = 0 pour Il =f: m On a également, d'après KX'I { (X , KX ) = 0 pour Il =f: ni m II

=

À'I

MX II :

(2.12)

En conclusion, nous avons donc trouvé N solutions au problème: 2

(Mp + K) X

=0

ce sont les XII qui forment une base orthogonale. Les Pli associés sont donnés par:

P/~ =

À'I

S'il existe un À Il négatif, il existe donc un Pn réel positif. Ceci correspond pour la réponse en temps du système à une solution du type e lll (a >- 0) (cf. Chap. 1).

48

VIBRATION DES SYSTÈMES MÉCANIOUES

Le système est dit statiquement instable (autrement dit l'équilibre autour duquel on a linéarisé est instable). Pour les systèmes stables tous les À sont positifs (K est alors une matrice définie positive) ct les Pli sont imaginaires purs. Nous posons: /1

(2.13)

P'I = ± iW'1

Par analogie avec l'oscillateur il 1 degré de liberté les W II sont appelés pulsations propres du système, que nous classons par valeurs croissantes. Les pulsations propres sont donc les racines de l'équation en w:

1

2.6.3.

det (I< - '" ' M)

=0

(2.14)

Extension aux systèmes continus

On peut montrer que pour des systèmes continus stables il existe iUle suite infinie de pulsaliolls propres avec des fonctions propres XII (r) vérifiant les relations d'orthogonalités (X mt MX,,) = 0 avec Il:l= l'ti, et formant une base complète pour les fonctions X(r) de la variété (9.). Nous n'en ferons pas la démonstration ici. Mais nous allons illustrer cc fail par l'exemple de la poutre en traction-compression. 2.6.3.1.

Soit la poutre discritisée décrite dans les paragraphes précédents.

tH X2

Xl 1 1

X3

Cd

Xi

Xi+1

1

L

0 Figure 2.5.

L'équation matricielle du problème (sans source) est: Kt + M.r

0

le problème aux valeurs propres à résoudre est:

avec

K=

ES (

1 sym

z

SYSTÈMES CONSERVATlfS À PLUSIEURS DEGRJ::S DE LIBERTÉ

et

M

1(2 ~O)

= pS ilz

1

sym

nous posons

49

l

0 1/2

01.

Le système dont il faut trouver les du vecteur X) (2 -

..

1(2 Si l'on pose 2 - a

singuliers est (les Xi étant les composantes

Xl - 2 Xl = 0

01. )

(2 - a) Xi - Xi _ 1 ",.

llJ

01.)

XN

-

2 XN

Î~N-l

2

0

1

= 2 cos cp (0 ~ cp X1

o

Xi + 1

-

.

""."""

~ 1T) (ou

01.

= 4- sin 2 cp /2) on a :

= Xl cos 01.

X J = 2 X 1 cos cp - X 1

XI cos 2 cp

etc ... :=>

Xi

= Xl cos Ci

1) cp

l~i ~N

Pour obtenir ce résultat toutes les équations du système ont été utilisées sauf la dernière qui donne: XI cos (N -1) tp cos cp

Xl cos (N -2) cp

Pour que le système ait une solution non triviale il faut que: cos (N - 1 ) cp cos cp - cos (N

2) cp = 0

sin (N - 1 ) cp sin cp d'où N valenrs de

tp

0

satisfaisant à cette condition: (Il - 1)

tp Il

= N=-1 7T

(1

Il

Les pulsations de résonance sont données par:

_ = " \jlE 1 pilz

lI) /1

.!.

. Sin

N)

50

VIORATION DES SYSTÈMES MÉCANIQUES

A chaque Il correspond une déformée modale définie par le vecteur de composantes: cos ( t. - 1) (n

1) N -1

11"

Remarque: Poser 2 - il: = 2 cos cp est valable pour Il: ~ 4. Pour Il: :> 4 on vérifie aisément qu'il n'y a pas de solution. Ce qui est normal puisque l'on a trouvé les N résonances du système pour 0 ~ il: ~ 4.

2.6.3.2.

Passage du système discret :m système continu

Si l'on fait tendre .6.z vers zéro, N

1 = 1 tend vers l'infini. Pour un mode

11

donné:

L'abscisse du i-ième nœud sur la poutre est: z

d'où la déformée modale:

(i - l).6.z

X Il ( Z )

(n 1) N -1

_ -

Z

11"

COS ----:::-::----::--

.6.z

On remarque également que quand N -> CIJ le nombre des modes tend vers l'infini et les Ct) Il forment une suite dénombrable. L'erreur commise du fail de la discrétisation du problème, sur la pulsation propre dépend de l'ordre du mode considéré:

W,l -

. (n 1)11" sm 2(N 1) - (11 - 1)

2

WJI

(Il - 1)

11"

~

11"

1

--

p L

Pour que cette précision SOil convenable il faut que 11 soit petit devant N. Dans ce cas un développement au premier ordre de l'expression précédente donne:

Aw 1

Il

w II

1

= 1

[(Il

N

~)

11" ]

2

1

Par exemple la première pulsation propre non nulle (Il = 2) d'une poutre librelibre en traction-compression est estimée à 1,6 % près par une discrétisation en 5 éléments (N - 1 = 5). Mais l'erreur faite sur la pulsation propre suivante sera 4 fois supérieure.

SYSTÈMES CONSERVATIFS À PLUSIEURS DEGRÉS DE LIBERTÉ

5]

Les caractéristiques modales de la poutre continue libre-libre peuvent être trouvées directement en résolvant le problème homogène différentiel en espace:

a (ESax) ., -w-pSX=O 8z

--

az

avec

1

aX ] [ -az

0

= [ -aX ]

az

0

L

La solution générale de l'équation différentielle est de la forme:

x = A cos \jE fi w z + B sin

Je..E w z

Les conditions aux limites conduisent à un système de 2 équations homogènes à 2 inconnues A et B :

B

j

=

0

-Asin

dont Ic déterminant doit être triviale.

J~WL+BCàS ~L=O 11111

pour que le problème ait une solution non

sin~WL=O

d'où:

J~p

Ceci est vérifié pour w"

est: X,(z) = cos

J~ w" z

(n LI)

'Il"

n entier ~ 1 le XI! correspondant

d'où: X!l(z) = cos (n

Remarques

a) La première pulsation propre est nulle. La déformée XI (z) est constante sur l'ensemble de la poutre. On dît qu'il s'agit d'un mode de corps solide (dans notre eas: translation uniforme de la poutre). Ce type de mode à fréquence nulle est systématiquement obtenu pour tout système libre dans l'espace.

b) On voit que les Xn(z) vérifient la relation d'orthogonalité: (X m , MX n ) =

JL XI!(z) Xm(z) pS dz Cl

0

pour n =F m

52


En effet:

f

cos (Il

1) 7r

Lz cos

;;1 pS -

(m - 1) 7T

JL cos (Il +

ni

1)

ll+m-2::>0} l1-m=l=O

=>(X"" MX,J =

Lz

si

pS dz

Z

2)7r-dz+ 1 pS L 2

Il =-1=

JL cos (n-m)7T-dz z L

0

m puisque n ~ 1 et m

~

1

~

pS sin (n +m - 2) 7T + ~~sin (11- 111) 7r 21l+m-2 2n-m

o 1)

On sait également que la base des cos (n fonctions dont la dérivée est nulle en z

2.6.4.

=

"Z

est complète pour les

0 et z = L (série de Fourier).

Notions de masse ct de raideur généralisées

Les modes propres X,. sont définis à un facteur multiplicatif près. On a coutume, en mécanique, de les normer en imposant que le maximum de 1X" 1 qnand r décrit (V) ,mit égal à 1. On peut alors définÎr la quantité: (2.15) que l'on appelle masse généralisée du mode

11,

ainsi que la quantité: (2.16)

que l'on appelle raideur gé/léralisée du mode

Il

mil ct k'i sont reliés par la relation

(2.17) L'ensemble des relations (2.12), (2.15) et (2.16) peut s'écrire sous la forme synthétique:

XTMX= MG

XT KX

= KG

(2.18)

X représente la matrice des vecteurs propres, MG ct KG les matrices diagonales des masses et raideurs généralisées, qui sont les nouvelJes matrices de masse et de raideur dans le système des modes propres.


2.6.5.

53

Projection sur la base des modes propres

La base des X'I étant complète 1 tout vecteur x (1) ou toute fonction x{r, 1) de la variété (CU) peut être représentée sur cette base: Pour les systèmes à N degrés de liberté nous aurons: N

L

X(/)

Il

a/l(t) X n

1

Pour les systèmes continus nous aurons; x(r, t) =

L 11

an(/) X/1 er)

(x

E

(CU»

1

Les an caractérisent J'état du système à l'instant t. Ce sont les IIOtll'emiX degrés de liberté, au nombre de N pour les systèmes à N degrés d,e liberté, en nombre infini pour les systèmes continus. L'utilisation de ces nouvelles variables est très intéressante comme nous allons le voir: Remplaçons x (f) dans l'équation générale du système: Mf + Kt

=

f

qui devient:

L (ii m MX

m

+ am

KXIIJ) =

f

nt

Formons le produit scalaire:

(X'I' L (am MX

m

+ am KXI/I»)

=

(XII' f)

III

(quel que soit Il). Les relations d'orthogonalités conduisent à :

(quel que soit Il)

(2.19)

Nous obtenons donc un système découplé d'équations sur les an' Le vecteur de composantes (XII' f) s'appelle vecteur des forces gélléralisées (dans le cas des systèmes continus il contient la partie inhomogène des conditions aux limites qui sont les efforts exercés aux limites). L'énergie cinétique devient: C

(2.20)

54


L'énergie potentielle devient: U =

1

~

1

2 ~~, K:r) = 2: 2 k

Remarque: En fait l'expression U

~ (x,

TI

a;,

(2.21)

Kx) ne représente l'énergie poten-

tielle interne telle qu'on l'a définÎe, que pour les systèmes discrets ou les systèmes continus libres à limites libres. Dans le cas général, comme les modes propres tiennent compte des conditions aux limites du système

2: i k a; représentera n

/1

l'énergie potentielle globale du système (énergie potentielle interne + effet des conditions aux limites) ou fonctiollnelle de raideur. Exemple: Si l'on reprend l'exemple de la poutre

1'1111 =

IL pS cos

2

libre~libre,

nous avons:

(Il

()

=

r~: ~ pSL

e

l

U =

2.7.

Il>1

pSL ( ..,

2

1

tl:)

., )

aï+2T1~2 a~

LES~( t.... Il l, !OI2

-

1 )'., ~ a,~

RÉPONSE D'UN SYSTÈME À PLUSIEURS DEGRÉS DE LmERTÉ À UN TRANSITOIRE

2.7.1. 2.7.1.1.

Fonction de transfert du système Notion d'impulsion unité localisée

Pour un système à N degrés de liberté, nous appelons impulsion unité localisée au nivcau du degré de liberté i un vecteur force de composantes nulles sauf la


55

composante i qui est une impulsion unité:

Pour un système continu par exemple tridimensionnel nous considérons la distribution ô (r - r() f.L (1). 0 (r - ro) est une distribution de Dirac dans l'espace à 3 dimensions. ô (r ro) peut être considérée comme étant la limite quand Ar -+ a des fonctions f fAr) telles que:

Elle vérifie la relation fondamentale:

f

j)

(r - ro) g(r)dv

= g(ro}

(2.22)

(V)

f(r, t) 2.7.1.2.

ô (r - ro) J.L (1) est une impulsion unité localisée en r(J'

Projection de l'impulsion localisée sur Je mode propre X n

Dans le eas des systèmes à N degrés de liberté:

«XII); = iième composante du vecteur X n)

Dans le cas des systèmes continus:

(X IJ ,

1) =

f.L

(1)

J

Xn(r)

j)

(r - r(J) dv

=

XII (rI)

f.L

(t)

(V)

2.7.1.3.

Fonction de transfert

La fOllctioll de trall.~fert du système est la transjormée de Laplace de .'la répol1se en un poim à une impulsioll ullité localisée ell lm allIre point. En utilisant le système d'équations projeté sur les modes propres:

56


Nous avons en transformant par Laplace : ( mllp 2+ k!!) AI/CP) = (X'.)i = XjJ(ro)

(N degré de liberté) (continu)

(pour tous les Il). On peut donc expliciter les Ali (P) et obtenir X (P) par recombinaison modale:

Pour les systèmes à N degré de liberté, si "on appelle Hij(P) la réponse du jième degré de liberté à l'impulsion unité exercée au i~ième degré de liberté, nous avons:

i 11=

(X/Ji (Xrr)j 1

m,,(p2 + w/;)

(2.23)

Pour les systèmes continus, si l'on appelle H (r, r o, p) la réponse du système en r à l'impulsion unité exercée en r ll , nous avons:

(2.24)

Les fonctions Hi/(p) et H (r, r o, p) sont les fonctions de transfert cherchées. La fonction dc transfert du système se présente donc sous la forme d'une combinaison de fonctions de transfert d'oscillateurs harmoniques conserva tifs. Nous retrouvons ainsi comme pôle de cette fonction les Pli = ± Îw Il correspon~ dant à l'ensemble des pulsations propres du système. La jOllctioll de Green du système ou réponse temporelle à une impulsion unité localisée est l'original de Laplace de la fonction H :

(2.25)

Cette fonction caractérisant la réponse libre du système se présente sous la forme d'une somme de sinusoïdes de pulsation WII' d'où l'appellation de plllsm;ons de résonance pour les w /1"

SYSTÈMES CONSERVATJFS À l'LUSIEURS DEGRl~S DE LInERTÊ

2.7.2.

2.7.2.1.

57

Réponse à un transitoire quelcollCluc

Systèmes

Jj

N deb'Tés de liberté

D'après ce qui a été dit dans le chapitre sur l'oscillateur harmonique, la réponse en j à une force fi (t) en i est:

fI

Xj(t)

Gij(l

10)

fj(/o) dt o

()

Le vecteur x (t) caractérisant la réponse du système à un vecteur force quelconque J(t) est donc:

x (t) =

f'

Il G (1 -

10 )

Il

J(t o) d/ o

(2.26)

()

(II G(t) 1/ désignant la matrÎce des Gij(I) nous remarquons que cette matrice est symétrique. 2.7.2.2.

Systèmes continus

Soit fer, t) une densité de forces quelconque s'exerçant sur le système. Si l'on transforme par Laplace les équations du système dans la base des modes propres:

nous avons:

(F(r,p) étant la transformée de Laplace de J(r,!». La réponse X(r, p) du système est donc:

or

f If

(X n , F)

Xn(ro) F(r(},p) duo

=:

(V)

X(r,p)

n",-I

(V)

Xn(ro)Xn(r)F(ro,p)dvo m n (p2+ w;)

58


L'original de Laplace de ce produit de fonction de p est donc:

(2.27)

Physiquement la force répartie peut être décomposée en un ensemble de petites forces localisées f(r i , 10 ) Av j , en découpant le domaine (V) en petits éléments de volumes Av; centrées sur ri' L'intégrale sur (V) de la formule précédente exprime la somme des réponses du système à cet ensemble de forces. On a approximativement: x(rj' t)

=:

rI L G(r

Jn

j,

ri' t - to) f(rj. (0 ) Av:,

Î

on retrouve ainsi la forme matricielle des systèmes à N degrés de liberté.

Remarque générale: Nous venons de montrer comment à partir de la connaissance des modes propres, on pouvait obtenir la réponse en temps du système à une sollicitation transitoire quelconque. Dans la pratique on a toujours le choix entre cette méthode et la méthode consistant à intégrer directement ell temps les équations de la dynamique à J'aide d'algorithmes numériques appropriés. Les critères de ce choix sont liés aux caractéristiques temporelles du problème à traiter: Si on s'intéresse à l'évolution détaillée d'un système à une sollicitation transitoire rapide, c'est-à-dire si le pas de temps d'analyse AT est tel que 1 Ilim = AT est largement supérieure aux premières fréquences propres du système, il faudra pour représenter correctement cette évolution utiliser un grand nombre de modes propres, alors que le nombre de pas de temps peut ne pas être très "élevé. Dans ce cas on aura donc intérêt à choisir l'intégration directe des équations. Dans le cas contraire (sollicitatîon lente, évolution analysée avec un pas de temps tel que llirn soit de l'ordre de grandeur des premières fréquences propres), on choisira la méthode modale nécessitant uniquement le calcul des premiers modes.

2.8.

RÉPONSE FORCÉE À UNE SOLLICITATION HARMONIQUE

Le système considéré dans ce chapitre étant conservatif, il n'existe pas de régime établi à une sollicitation harmonique. On peut cependant analyser la réponse forcée: c'est-à-dire la solution harmonique de pulsation w à une sollicitation harmonique unité de pulsation w. Nous avons vu dans le chapitre sur l'oscillateur harmonique, que cette solution


59

peut être représentée par une amplification A et un déphasage 'P par rapport à la sollicitation, c'est-à-dire par l'amplitude complexe G (w ) A é'o. Nous avons vu également que G(w)=H(iw) Pour les systèmes à plusieurs degrés de liberté, nous pouvons définir des fonctions G ii (w ) ou G (r, fo, w ) correspondant à la réponse en j ou r du système à une sollicitation harmonique exercée en i ou fo' Nous avons:

(2.28)

Nous étudierons en détail l'allure de ces fonctions dans le chapitre consacré aux amortissements.

2.9.

PROPRIÉTÉS DES MODES PROPRES DES STIlUCTURES SYMÉTRIQUES PAR RAPPORT À UN PLAN CP)

Soît X,,(r) un mode propre d'une structure tridimenSÎonnelie symétrique par rapport à un plan (P). Xn vérifie l'équation (1< M) XII = 0 dans le domaine (V) et les conditions

w;

aux limites eXil 0 sur la frontière (X). On considère le champ de déplacement symétrique X~ de Xn par rapport il (P). Du fait de la symétrie de (V), de (..l') ct des carm::téristiques des opérateurs K, M ct e, X~ est également solution du problème:

{

(K-W;M)X~=O

!.:X~

0

dans (V)

sur (X)

XIl et X~ sont deux modes propres correspondant il la même valeur propre, ils sont donc colinéaires:

x~ de même 1 : X~ = X n , Le mode X n est sym~triqul: par rapport Li (P).

Cas

À =

Cas

À = -

1 : X~

- X n , Le modl: Xn

l.:!tl

antisymétrique pnr mpport il (P).

Une structure symétrique par rapport il un plan (P) 11 donc 2 familIes de modes: les modes symétriques ct antisymétriques pur rapport il (P). Pour calculer ces modes il suffira de ne considérer qu'une moitié de la

60

VIBRATION DES SYSTI~MES MÉCANIOUES

structure, en introdUÎsant sur la nouvelle frontière délimitée por le plan de symétrie: -

* >1
8W r = (A +J.L)J

+J.L

JI.

grad (divx).8xdv

(V)

A 2 (x).8xdv-

f Cl')

rrn·8xdl:

63

PETITS MOUVEMENTS D'UN SOUDE DÉFORMABLE

* 8W >1
0 et dans la direction des x -< O.

PETITS MOUVEMENTS D'UN SOLIDE DÉFORMABLE

65

Si l'on considère un problème d'ondes entretenues en régime harmonique (pulsation w), on pourra par. transformation de Fourier représenter les solu tians sous la forme : iw

et

3.3.

e

+- (X+CI)

(3.13)

C

RÉFLEXION DES ONDES PLANES ENTRETENUES SUR UN DEMIPLAN INFINI

Soit un demi-espace limité par le plan z O. Considérons une onde plane incidente (direction a). Pour assurer la condition de contrainte nulle à ]a frontière z 0, on est amené à considérer une onde réfléchie qui se compose d'une onde P de direction f3 et d'une onde SV (onde de cisaillement dans le plan vertical xOz) de direction y (a, (3 et y compris entre 0 et 7T /2).

z

x

Figure 3.1.

La condition de contrainte nulle s'écrit: ;:; . n = 0

z=

pour

0

c'est-à-dire:

l

A (

a~

ax + az ) ax az +2J.L-=az

o pour

i1x + az = 0 az i1x

3.3.1.

Cas d'une onde P incidente

L'onde incidente est donnée par:

-

--

i",

A sin a e

, (XSIll

Îw

,

- ; - (XSIII

J= A cos Cf

e

il

+ z cm

Il -

C III)

Cp

P

a + ."CDS a - Cp t)

z=o

66


z

x

Figure 3.2.

Les ondes réfléchies sont données par:

X

= C cos 'Y e

~ ( uÎn y

-~(dny

ondes S; C sin l' e

Z =

"co, y -

Cl

t)

Cl

!Cosy-cst)

Cs

Les conditions de réflexion donnent alors: A À

- [

.~

B

- -Îw X i > ,," 11'

sinl

Œ

e

Cp

_

-

~

sin 2 f3 e

C

iw , --X~lnfJ Cp

-

-

~

'''' , ] --Xsllly

sin 'Y cos l' e

C

+ _ sin

Cf

-iw Hm , y]

o

'Y cos l' e C,

C5

A - - sin

iw --,<sin Œ

cos

Œ

e

CI

C"

Cp

A __ sin cp

B

+ - sin f3 cos f3 e

iw . -xsm fJ Cp

+ - cos:!

Cp iLl.

IX

cos

Œ

e

,

--xsma Cp

B

+ - sin f3 cos f3 e cp

iw . -Hm y

C

'Y e

Cl

Cs iw

.

--xsln{j Cp _

C -

Cs

iw

sin 2 l' e

.

--xsmy Cs

= 0

67


La vérification de ces conditions quel que soit x impose:

f3

et

a

Cs

sin 'Y

,

sm a

-

cp

B et C sont donnés par les relations:

(A + B)(À + /-L + /-L cos 2 a ) - 2 /-LC sin a

·...t. (A - B) sm

1

C

ct. -

À

+

J~

-

2

/-L sin a = 0 1..+ 2/-L

cos 2 a -- 0

+

(3.14) 3.3.2.

Cas d'une onde SV incidente

L'onde incidente est donnée par: -

j

- A cos a e

~ (xsÎn a .;. zco~ a Cs

c JI)

,

_!!! (xsÎn" + :C05a -csr)

,_X,=,,'

= A sin a e

ex

z

)(

Figure 3.3.

De la même façon :

'Y = a et sin f3

CI' -sin a Cf

B et C sont donnés par les relations: (A - C) sin 2 œ + B

(A + C) cos 2

a -

JA

+1'2 l' cos 2 a

. J

2 B sm

a

"J -

~0

1..+2 /-L

," a = 0 sm-

(3.15)

68


3.3.3.

Cas d'une onde SH incidente

(Onde de cisaillement dont le mouvement est orthogonal au plan xOz) : L'onde incidente est donnée par; -!!!(xsina +ZCOSa

y= Ae i)

-l:l

1)

(x

J

C

2 =

0)

existe une seule onde réfléchîe (SH) : iw

- -

Y= Be

,

(nm

fJ +

;? C05

fJ -

f J

t)

(x

Ci

=

z = 0)

La condîtion de contrainte nulle sur z = 0 s'écrit: 8y = 0 8z

a

{3 {

(3.16)

B=A

z

x

Figure 3.4.

3.4.

ONDES DE SURF ACE

Soit comme précédemment un milieu semÎ-Înfini homogène (z

0), c étant une vitesse de propagation à déterminer.

On écrit qu'elles vérifient les équations du mouvement:

d'où:

Pour qu'il y ait une solution non triviale au problème le déterminant de ce système en A et B doit être nul :

o d'où deux solutions réelles positives pour ex si c avec

Bp

A = 8(s/2)3fl

=>H(X,s)=

1 Jf2 e- fs72I .\'1 (cos 8(s/2) -

(Js/2Ixl)+sin (Js/2Ixl»

(3.25)

78


L'original de Laplace de sH (X, s) est:

2

1 J1271" J0

(

X2 . X2) cos-+sm40 40

d'où

~ ~ cos ( x:1 _ '!!.. )

aG (X, 0 ) =

ao

G(X, 0)

2

J Jo

4 ()

1T

4

= Jl_J'COS(X2/~O - .. /4) dO 2

71"

0

0

)

(3.26)

)

On peut calculer G (X, 0) d'une autre façon en transformant (3.24) par Fourier:

+co

if(~! s) =

R(X, s) cos gx dX

J

-ct)

(puisque H (X, s) est symétrique en X). On

Cl :

(g4 + s2) if == 1

=;>H= L'original de Laplace de

if (g, s)

1

est:

D'où G (X, 0) par transformée de Fourier inverse: G(X, 0)

1 I+CIJ -::;sin 1 = -2 ~2 () cos gx dg -co

1T

g-

ou:

G (X, () )

1

= ::;- ~f

f+co -::; 1 sin -co

L. 1T

({J'

g-

(g 2 0 - g 1xl) d~

= partie principale)

(3.27)

Cette écriture montre que G (X; 0) est constituée d'une somme d'ondes .J' .. ___ ~; •. ~~

rI.,.

+t"."" '"

-î, ( I.v 1 _!..' I l . en Dosant: 0 )

79


!:.... = ~

(c étant une vitesse de phase)

Co

ç

a aussi le sens d'un nombre d'onde adimensionnel. On peut poser:

On retrouve ainsi des formules analogues à celles du paragraphe précédent: C

~=

2ç

et

Co

(relation de dispersion)

(vitesse de groupe)

~

La formule (3.27) montre que pour 0 G(x,

Si ()

~

OC)

J

e)~ 27T 8 ~ G(O, e)

0 on peut faire un développement limité: G(X, 0)

?

(} 312

= J---~ cos 7TX-

(X- 2 + -7T) 4(}

4

X Remarque: cos ( 4 ; ) peut être écrit cos ( 2X() )

sens d'une pulsation instantanée en

ç-, =

il =>

(J.

+ eO J12

2 (}.

il

= (

2XO )

1

a le

D'après l'équation de dispersion on a :

ç = -X 2

(J

~

X

Co

(J

=> - = -

On retrouve ainsi le fait que la vitesse de parcours

Co

K de l'énergie vibratoire est ()

bien la vitesse de groupe co' Les figures 3.10 monttent bien la progression plus rapide des ondes à plus haute fréquence. Les allures asymptotiques en sont dues en revanche aux ondes basse fréquence dont la vitesse de propagation tend vers zéro. On remarque, d'autre part, qu'il n'y a pas de temps de retard pour l'arrivé'e de l'onde en X. Ceci est dû au fait que la vitesse des ondes tend vers l'infini quand la fréquence augmente. En réalité pour les hautes fréquences, l'équation de flexion n'est plus valable et comme nous l'avons vu au paragraphe précédent, la propagation s'effectue avec une vitesse inférieure ou égale à cp' Dans la pratique l'analyse des mouvements de flexion sera faite en filtrant les hautes fréquences, ce qui entraîne une petite oscillation à la fréquence de coupure haute. Pour certaines applications on peut être également amené à filtrer les basses fréquences, on fait alors apparaître également une oscillation parasite à la fréquence de coupure basse.

Jo

80

VIBRATION DES SYSTÈMES MÊCANTQUES

uaaJ~

Figure 3.lOa.

PETITS MOUVEMENTS D'UN SOUDE DÉFORMABLE

uaaJ~ Figure 3.l0b.

81

82

VIB RATION DES SYSTEMES MÉCANIQUES

.:Go y, tout mouvement couplé de translation-rotation (dans le plan EG o ..1) satisfaisant li des équations du type @) ou @) est un mouvement propre, avec les pulsations propres w xy! ct w xy2' Ceci découle directement des propriétés de symétrie du système. Applicarion numérique:

H= 2m D = 1m { e 0,02 m

~ k l = 4 x lOs N/m

lk'!. = 10

5

N/m

p

Cl

=

-J ff -

/cl

111

=-

4.2.2.

flz

6,4 Hz

frz

3,2 Hz

= (H/Di

1+

Cl

+ f3 /2 -+

1/2 +

Cl

/3

!xyt "'" 1,65 Hz

J(

1+

ct

!KY:'!

Cl + (3/2 1/2 + a /3

)! ---'---,-2 {3 112 + a /3

== 6,4 Hz

Deuxième exemple (Pendule)

Soit un demi-cylindre plein. indéformable. de densité uniforme dans un champ de pesanteur (accélération g) qui peut rouler sans glisser sur un plan fixe (Po). Soit R son rayon. Calculer la pulsation propre de ses petits mouvements autour de la position d'équilibre.

x Figure 4.5.

98


Solution: On considère ici les mouvements dans le plan d'une scction droite du cylindre. Ils sont repérés par 3 variables (2 translations "G dans le plnn xO[]z ct une rotation OG j portée par l'axe perpendiculaire au plan).

x Figure 4.6.

Cependant la condition de roulement sans glissement impose deux relations. Ainsi le mouvement du centre de gravÎté peut s'c:xprimer en fonction de (JG' On a:

(4.3)

~R) 3rT

avc:c

Le système est donc fi

lm

degré de liberté ((}G)

EI/ergie potemielle: La variation d'énergie potentielle par rapport à l'ctat d'équilibre, dans [e champ de pesanteur est donnée par la variation de la position . verticale du centre de gravité, donc par la projection "G • k de KG sur l'axe des z: U ::; mg (l'lG • k)

(Si

lU

est la masse du solide) .

Comme nous l'avons vu précédemment, cette variation est: KG •

!,

= (] -

cos (} G ) a

Puisque l'on considère des petits mouvements on peut développer au 1" ordre en (JG' On obtient pour U la forme quadratique recherchée:

u EI/ergie cil/étique :

C

1

.1

1

.~

1" mxû + 1" I G °G

PETITS MOUVEMENTS DES CORPS SOLIDES INDÉFORMABLES

99

la est le moment d'inertÎe de rotation par rapport il Go:

Pour obtenir 00

.tG

= xa . Î il suffit de développer (4.3) au premier ordre en

f (t) = 3

li (t)

+ -3-

mv o c

'r

-(-7T-"..:.....C-)-2"':"--~

T

+3p-

"1T . (21rt) sm J3-:;:-

= -).

r{JT/:'

Jo -

2

+ -C- 3-

2L c En dehors de cet intervalle I(t) De plus:

(avec

(.,1re)

I(t) dt =

5

'3 mv() =

O.

quantité de mouvement associée à 1 (t)

Avec raideur de cltoc :

( -L)2 L aJ

2

1rC

]

.2

=> F(P)

-...::.--- + 2 - - - ' - - - p2+

., (7Te) .2

:c -

p-+ T ) --.2------~.,~-'----'--------~

11H10

(

~

( =

=> J(t)

mvo

[

--r-

T1Wo C [

_ 2 ) p'!

0,2] ., ) ( pL 1rC

+ (0,50?

1rt

+ ( ~- + 1 ) ( ~c

+ ----'----- ] ( 7Tt

1 ,3 sin -:;- + sin 3,5 -;:

1re

J

) + (1,75)2 O~t

0,97

) .2

pl +

(

:c ) 4

J 12


De plus: 0.'J

1

T

f(t) dl "'" 1 ,96

IllV()

quantité de mouvement associée à

o

f

(t)

Rappelons que la solution exacte de f (1) est un créneau de niveau mv c o et de durée T et que la quantité de mouvement associée est 2 17lV o• Le graphique 5.8 montre la comparnison des différentes solutions:

2 : ~ Sans raideur

r

de choc

1

1 1 1 1

1 1 11~4-----~~-----4~------~----~

\

Solution exacte

\ \ \

\

\

\

o

\

\

t/T

0,5 Figure 5.8.

Remarques: 1) Si )'on choisit une raideur de choc Kc trop grande (par rapport à KN). la force de choc l (t) se compose essentiellement d'une oscillation à haute fréquence

(W K=

~)

:

PETITS MOUVEMENTS DE TRACTION-COMPRESSION

113

En effet pour les [ très petits: F(p)

pour

t:>

'1(

7T Wl{

l(t) 0)

]20

VIBRATION DES SYSTÈMES Ml~CANIQUES

Les modes propres sont donnés par les solutions du système singulier (définis ù un facteur près). Ici:

B

=

1

d'où: X Il

. = SIO

k

'n

LZ

ou

.

Xn =

SIO

I17TZ

L

La masse généralisée est:

fL pSX~

nf/l

dz=

fJ~L

Il

-

Renwrqrtes: Les fréquences de résonance ne sont plus, comme pour la traction-compression, des multiples d'un fondamental mais sont proportionnelles ml carré d'un nombre entier. La fonction de transfert peUL être exprimée également de deux façons: par projection sllr les mode propres:

011

directement:

On écrit pour cela [a solution pour 0::..; z< .2ô qui est de la forme:

. kz B slOT

D sh kz L

compte tcnu des conditions de rotule cn

k = L

J

pou r

{A+C =0 B+D o

Les conditions aux limÎtes en z = L s'expriment d'une part en écrivant que le moment de flexion est nu1, d'autre part cn écrivant l'équilibre de la masse III dans son mouvement de translation en x :

en

il:" - 0

z~ L

•, -mw-x

1 d'où: A(cosk+chk)+C(sinlc+shk)

0

et - mw 2[A(cos k - ch k)

+ C(sin k - sh k}] = El ( -[)

Soit

À

J

[A(sînk-shk)-C(cosk+chk)1

le paramètre adimensionncl, tel que:

., kÀ

mw-

El (

=> À

k )

À

EIL

3

L

=

mw 2

L)4 111 ( k = pSL

masse nt masse de ta poutre

Les deux dernières conditions aux IimÎtes deviennent: \ A (cos k + eh k) + C(sin k + sh k) fA[sînk-shk+kÀ(cosk

=0

chk)] +C[- (cosk+chk)+kA(sink-shk)] =0

Les fréquences propres sont données par l'annulation du déterminant de ce système: - (cosk+chk)2- (sin 2 k shIk) + kA [(cos k + ch k) (sin k - sh k) - (cos k - ch k) (sin k

+ sh k)]

0

123

PETITS MOUVEMENTS DE FLEXION DES POlITRES

ou:

(1

+ cos le ch k) + kÀ (cos li. sil k -

sin k ch k) = 0

dont les racines sont une suite de valeurs k n (11 propres:

~

1), d'où les fréquences

1k~ JEI

f= n

-pS

1T

Les déformées modales sont données par: Xn(Z)

(sin kil

+ sh kil) (cos k n

l

ch k n

t)

- (cos kIl + ch kil)' ( sin k n

t-

sh k n

Î)

Examinons deux cas parlÎculicrs : À 'G

= 0,

()G

= 0)

0, YG

1.

J"ES ML

1er mode de flexion (quasi-translation en Y du disque: xG

0G = 0)

pulsntion propre:

ct!

Il

2C mode de flexion (quasi-rotation du disque:

ES

xCi

=

0, YG ::::: 0, 0G

1)

,

TL)'; puls 10, a.=[(a/lll1-a/llr1l2 (k13I-114

"1

2 1-- hO, a.=[(a/1ll1-a/llr'3/r.!>..13rlll,

f=[cx 2I2nIJ IEII ~S)\1I121

À=m/{lSI

f=fa.2 /2nl/IEllpSIl1l121 ~=m/\'lSL

Enrastré-enras ~ré avec masse décentrée

1 5~""'--1:I' 0 5

À

"1 (f-F b...l 1....

I-~..

10

0

m

l

":i

0

c:;

"'1

;;;:l

rn ~

Rotulé-ratulé ave:t masse décentrée:

5

À

10

1-'

UJ

\0

1-' ~

4ïi-----------------------.----------------------~--------~

o

FREQUENCES PROPRES D'UNE POUTRE AVEC MASSE LOCALISEE [ABAQUES) [X

(1er mode)

3 Il'• \(

. . . . . 1 a DX portant sur uX et -:

an

Equation d'équilibre: DÀ (ax) + ph.Y =

f

(7.3)

Conditions al/X limites sur (l:) :

j

-

D [grad (Ax)· n +_(1 - >.) grad (11'0).11

F - grad MN' t

(7.4)

D [I! Àx + (l - v) nTo] = - MT

Remarque: Comme pour les poutres en flexion, la forme la plus générale des conditions aux limites sera une combinaison linéaire des efforts tranchants, moments de flexion, déplacements et rotations.

PETITS MOUVEMENTS DE FLEXION DES PLAQUES PLANES

7.2.

CAS DES PLAQUES RECTANGULAIRES

On utilise le système des coordonnées cartésiennes Ox et Oy: L'équation d'équilibre devient: D

0

ù2

(

2

-~+-"l

ax-

) ::!

ay-

••

f

x+phx

y bl----

o

a

x

Figure 7.4.

Les conditions aux limites deviennent:

_D +

a [a2x - .. +

iJx

a2x (2 - lI) -.,

a2x

]

ay-

àx-

ô2x ]

/ax1+ D [ -,+1

1

ély-

aM N

= F '+ - -

ay

MT

en

x=

{Z

en

x

{~

en

y

{~

en

y=

{~

Types de conditions aux limites simples (pour un bord parallèle à 0 y) : encastré: x = 0

or = ax

a:r

appuyé : x = 0 - 2+ ax Il'bre

..

0 a~\: JI -

ay2

=

0

a:r') + v a x, -_ 0 a:r + (?_ 2

ax-

ay-

~

ax-

JI

)

a:r = 0

145

146


Exemple: Calcul des fréquences et modes propres d'une plaque rectangulaire appuyée sur ses bords: Ce cas se résout facilement car la solution factorisée sin k 1 ~ sin /c 2 ~ peut satisfaire aux conditions aux limites d'appui si : et

sin le:! = 0 (Il et m entier:> 0)

L'équation d'équilibre dynamique (transformée par Fourier) :

a~ a D ( -.,+-" ax- iJy2

) :!

"

X-phw-X=O

est vérifiée pour des w tels que:

a

D [ ( kl )

2

(k-l) li ~]

+

2

-

1

phw - = 0

D'où les fréquences de résonance: 1T

(7.5)

4

et les déformées modales associées •

Il1TX

•

m7Ty

(7.6)

X J11II = sin -a- sm -b-

On remarque en particulier que les fréquences de résonance som proportiollnelles à l'épaisseur de la plaque.

7.3.

CAS DES PLAQUES CIRCULAIRES

On utilise le système des coordonnées polaires r, O. L'équation d'équilibre devient: D

Le tenseur

2 a:! ] a -;-., 1 a ( -ar-, + -r r+ a 0-

T s'exprime

)1

x

.

+ plix

=

f

dans le repère local (u, v) par:

a\ ar-

( sym

a=:t

iJX)

ra~.aO-r2ao

iJ-x lJx + ao r

147


..... V

Figure 7.5.

Pour une frontière définie par la circonférence r

!

tTn=~=

a\:

D'où les conditions aux lîmites (r D [ -a ar

ax ao

l' al' ao

nT n =

R:

2 (a:'\:" - + -1 -ax+ -1 a x) + or:! rar ,.2ao

R): (1

)

a (

-ll--

r{Jf)

a:r

raraH

ilx

ao

) ]

=F-D

[

à:r +--+ aX

aMI'! riJ(J

JI

r al'

IJ

Modes propres d'une plaque circulaire: La plaque circulaire est une structure de révolution par rapport à l'axe Oz perpendiculaire à son plan. Comme pour toutes les structures de rél'o/lliion les modes propres se factorisent par rapport à lu coordonnée () et aux autres coordonnées (l', z), c'est-à-dire que les modes propres se mettent sous la forme du produit d'une fonction de e seul qui IlC peUT être que du type cos nO ou sin nO, Il étant UI1 entier positifolll1UI, et d'une fonction de r et

z. Dans notre cas particulier de la plaque circulaire les modes propres sont donc du type: cos nO Xllm(r) ou sin 11 f)

" 1

On se ramène donc à un problème â une dimension (r). Exemple: Calcul des modes Il = 0 d'ullc plaque circulaire encastrée li son bord: L'équation d'équi1ibre (transformée de Fourier) devient: d:! 1 d ) D ( ----;+-dr r dr

2

~

X-p/tw-X

o

148


Figure 7.6.

les conditions aux limites sont en r = R

x

dX

0,

o

La solution générale (finie en r = 0) de l'équation différentielle est:

X(r) = AJ o ( kr R ) R ) + BIo ( kr

en posant

( -Rk )

-l __

PID'w 2

(Jo' 10 étant les fonctions de Bessel d'ordre 0 de 1re espèce normale et modifiée), les conditions aux limites donnent: AJo(l') + BIo (k) = 0 { AJ~(k)+BIMk) 0

ou

-AJ](k)+BI)(k)

0

les k om propres sont données par les solutions de l'équation

les pulsations propres sont données par:

(7.7)

Les modes propres sont donnés par:

les premières valeurs de k om sont: k OI = 3,2 ; kO'1.

=:

6,3 ; k03

=

9,45 etc ...

Exercice: Trouver la fréquence de résonance d'une plaque circulaire encastrée à son bord et comportant en son centre une masse M grande par rapport à la masse de ta plaque.


149

Réponse: La raideur de la plaque (rapport entre la force exercée au centre et le déplacement correspondant au centre) est

La fréquence de résonance est donc: 1

!= 27T

Eh J 47T 3 M R:: (1 - t J ::)

Même exercice avec une plaque rotulée à son bord 1

! =27T -

2 7T Eh] 3 M R 2 (l - 1,)(3 + Il)

~

FLEXION DES PLAQ.UES

f..

'. GRANDEURS MECANIQ.UES ET GEOMETRIQUES ~l Encastrement

Equation d'équilibre: D61/lXI+phX=f lavet D=Eh31t211-\l2n

~ Appui

lJ"t 0

~

0

Conditions aux limites X: déplacement normal

1-'

~

a: e

masse volumique du matériau E: module d'Young du matériau \1: [Oefficient de Poisson h: épaisseur de la plaque ÇI:

1 Libre

~ ~ ~

~

~

1UNITES MKS 1

a< ;:l

FREQUENCES PROPRES D'UNE PLAQUE [ARREE UNIFORME ([d LlM. VARIEES) N° mode

1 1,01

Il

"Ti

rr.i· 1::

~

U!)ne5 modales

10,40

;~~~res

~tt

Il

2,01

6,96

ta

T] 5,94

Lignes modales

D

4,07

0 : 'Cl 0 .,'

)-

,

! 6,20 \

~B

ct

'-...l

~

fD

2 2,47

DJ

31,29

21,21

4 7,94

5 9,01

,[]

~EI

~~; - - ' ",'

38,01,

38,22

Ne mode

b 1, 7,73 ~'" 1-

~ 0 r.I

VI

~

V;

VI

c:

Eh Çla4!1-v2 )

FREQUENCES PROPRES D'UNE PLAQUE CIRCULAIRE DE MASSE NEGLIGEABLE AVEC MASSE LOCALISEE AU CENTRE Entastré aux bords

m 3:

r.I

mill_v2,

Eh) mtlZll-v1l3+v1 ---

FLEXION DES PLAQUES ISUITE) FREUUENCES PROPRES' DE PLAQUES RECTANGULAIRES UNIFORMES IC d LlM. VARIEES) VALEUR DE

No~b

liQJ '_a ;

.J

/[J i[::TI

Il

112

1

2

Il

1,013

1,009

1,002

0,996

3

~;

~

--

r

~:

\ (~ ! ','T1

~.

~

(')

;-J

rn

;

-~-

::

4,310

10,0)

5,189/

5,236

6,212

1..

~ ~

,-,,-- /

l

-'

CHAPITRE 8

PETITS MOUVEMENTS DES COQUES MINCES CYLINDRIQUES

8.1.

ÉNERGIES POTENTIELLE ET CINÉTIQUE

La coque est définie par son rayon moyen R, sa hauteur H et son épaisseur h. h est supposée constante et petite par rapport à R. Le mouvement d'un point M de la coque de coordonnées semî-polaires (R, 0, z) est noté x de coordonnées IV, v, li dans le repère local (M, r, 0, z) (voir figure 8.1) : 1I', v, li sont fonctions de z et O.

h

Z

H

'"'----1

f~ == ==::: ~

f

"":::=:::::==::::::::: Figure 8.1.

On suppose pour simplifier que les caractéristiques du matériau sont constantes.

154 8.1.1.

VlBRATION DES SYSTÈMES MÉCANIQUES

Energie potentielle de déformation

Comme pour les plaques on fait l'hypothèse que la déformation varie linéairement dans l'épaisseur et l'on néglige les déformations de cisaillement hors du plan tangent (P) (MO z) à la coque. L'expression du tenseur des déformations dans le repère local est un peu plus compliquée que celle des plaques planes. En effet on a toujours:

Mais on ne peut plus séparer les effets des mouvements dans le plan (P) de ceux dans la direction normale. Ainsi dans l'expression de ep interviennent des termes de « membrane)l et des termes de « flexion ». Les déformations de membrane sont constantes dans l'épaisseur:

~2 ( az av +~)) R ae au az Comme pour les plaques, les déformations de flexion sont linéaires dans l'épaisseur (on les suppose nulles au milieu de l'épaisseur). Leur expressÎon compliquée par des termes dus à la courbure est du même type que celle des plaques,

-

(

(

sym

..!.~+~ RaO

OU

+

R

-au

sym

oZ

av ) _!.- a,v ) iiz

r

Ra

az

a'11 (8.1 )

Cette expression correspond à la théorie simplifiée dite parfois de Domlell. Comme pour les plaques le tenseur des contraintes est de la forme: = (1":::::::

(0 o

o

)


155

On en déduit de même la relation entre EIJ = =---..,0pI

1-

E 1+

=

+--Ep

l' -

l'

(8.2) (J';:o

=

E

(j

Oz

--E02 1 l'

+

L'énergie potentielle de déformation est donnée par:

Nous n'écrirons pas ici son expression assez compliquée. Remarquons que U se met sous la forme d'une somme de deux termes: U U I + U:.!. U J correspond à l'intégration dans l'épaisseur de la coque des termes indépendants de r dans l'expression de U :

U 2 correspond à l'intégration dans l'épaisseur de la coque des termes en r 2 de U :

Eh] ., U 2 = ?1 -12(1-J'-)

f

F2 (v, w) d_'Ç

(o!)

(Les termes en r s'éliminant dans l'intégration) U 1 correspond il l'énergie de déformatÎon de membrane { U 2 correspond à l'énergie de déformation de flexion.

8.1.2.

Energie cinétique

c= ~ -

8.2.

f

(.!)

ph

(xf d.I

?1 -

f

.'" + v. .., + 11'. ') d ..!, ..... p 11 ( Lr

(.!)

FORMULATION SIMPLIFIÉE POUR L'ÉTUDE DES MODES PROPRES D'UNE COQUE CYLINDRIQUE MINCE

La remarque faite pour les plaques circulaires, concerne les modes propres des structures de révolution en généraL Les modes propres des coques cylindriques

156

VJBRATrON DES SYSTÈMES MÉCANIQUES

sont donc de la forme: Wnm (z)

X nm (z, 0) =

V /lm ( Z ) { unm(z)

cos nO sin Il 0 cos nO

H'nm( z) sin nO - vnm (z) cos IlO II nm (z) sin nO

j

ou

Comme nous le verrons par la suite les fréquences de résonance les plus basses correspondent généralement, pour les coques très minces, à des modes m = 1 et Il relativement élevés. On peut alors estimer ces fréquences de résonance à l'aide d'une méthode approchée. L'hypothèse de base que nous faisons est que pour le mode considéré, la distance entre deux nœuds de la déformée modale en z est grande par rapport il la distance entre deux nœuds de la déformée modale en O. Ceci est donc en particulier vrai pour des coques de rapport H/R de l'ordre de grandeur de t'unité et pour des modes m = 1, n grand. a) On peut alors pour estimer la partie U l de l'énergie potentielle de déformation, appliquer une théorie de type ({ poutre ») : c'est-à-dire que l'on peut écrire que l'énergie de défonnation vient essentiellement des contraintes et

déformations

U zz

et Ezz. avec la relation

U zz

En écrivant que les termes indépendants de en déduit:

EEzz

---'l'

1-

r

de

JJ-

Eno

et

EzlJ

sont quasi nuls, on

on a alors: R a=)v

E Il

=--

Il ~

d'où: Eh U l = -1 ---~ 2 1 J' -

! 7T 2

f"10;' d.! = -1 Eh f2""" cos- nO R d e fH., Ez~( z) d z 2

(1")

EIz~3

(1- v-)n 4

0

IH ( a'''(,2) ) 0

0 2

dz

ôZ-

En ce qui concerne la partie U z de l'énergie potentielle de déformation, le terme le plus important est :

157


On néglige les autres termes. =:::>

U, """ ! Eh - 2 12(1

3 JI

f

(Il '2 -; 1 w)

1

2

_ 1 (n _1)2 Eh 3 _, - 2 R ]2(1

=!

3

1

7T

2 12(1 -

Eh

'2d.r

R

(l')

2

fil

J'

()

11'2

r.

cos 2 1I8R dO

lB w (z) 2

()

dz

(z) dz

()

(8.3)

Dans l'expression de l'énergie cinétique on néglige les termes en

12 cos nOR dO fil plui./!. ) fIl dz = ?11TphR (1 1+

1 C ==? -

'Ir

2

0

1 dz +?

0

li,2

2

-

Il

-

]'2

11'

siil~ nOR dO

0

li :

1 B

plliP dz

0

,

()

En appliquant le principe des travaux virtuels, on obtient l'équation d'équilibre:

transformée par Fourier pour la résolution d'un problème aux modes propres, elle peut être mise sous la forme adimensionnelle :

a4

_ _w _...,. - 1(1, HI

a

=0

(8.4)

avec WO IJ

Les conditions aux limites sont du même type que celles de la théorie des poutres, et l'on utilise la même méthode pour déterminer les km valeurs de k rendant le problème singulier. Les km dépendent uniquement des conditions aux limites en z = 0 et z = H (par exemple km = T1l7T pour des conditions de rotule), m est l'ordre du mode « axial ». Les pulsations de résonance sont données par:

.,

~

..,

w;, = W iin + w;lIn l'II

.!.(!)2

E

avec p

1) (1 +

(1 -

., R 1'-)

H

(8.5)

158


La déformée modale correspondante est de la forme: (8.6) (la forme de W m ne dépendant que des conditions aux limites et de l'indice 111). Considérons par exemple la première famille de modes m = 1, pour une coque non libre à ses extrémités (k, =F 0) et analysons l'évolution de Cl) 111 en fonction de 11:

Evolution

en n2

n Figure 8.2.

Si la coque est suffisamment mince (lz/R ~ 1 ) et pas trop haute par rapport à son diamètre (R/H 1), nous avons les propriétés suivantes: Pour des Il pas trop grands, Wnl == W: I1I , l'évolution se fait en ] /n2 et W nI dépend des conditions aux limites et est proportionnel au carré du rapport R/H. "mais est indépendant de l'épaisseur (h/R): les modes correspondants seront dits de « type poutre »). Pour des /1 très grands, Cl),11 (ù On' l'évolution se fait en Il:! et W II , ne dépend pas des conditions aux limites, ni du rapport R/H mais est proportionnel au rapport h/R: les modes correspondants seront dits de «type coque ». Dans la zone des n intermédiaires, on obtient les modes de plus basses fréquences de résonance et les raideurs de « type poutre )} et de « type coque» interviennent. On peut estimer le Il correspondant à la plus basse fréquence (Il min ) et la pulsation propre correspondante par:

[, J 11 01in

== k~

(~)2.~

l

wlllin

k114

3

p (1

E

1 ( 1,2) H

~) la

159


Exemple: Coque rotuléc-rotulée avec: B/R = 1 It/R n!in W

.

mm

3

10

=

=.!.

R

J§

si R = 10m E =:2 On a:

p

X

10- 3

JJ

= 0,3

=- ll min = 13 71'

1 10- 31:.'. (1-0,09) l n

lJJ mill

1-

10 11 Pa cl p

1 =0, 077 -R

JE -p

10) kg/m 3 ,

lJJmil\

Imi!!

= :2

71'

17,3 Hz

Les abaques des figures 8.3 à 5 montrent l'évolution des fréquences de résonance Jn\ en fonction des paramètres Il, Il/R, H/R et de différents types de conditions aux limites. Elles ont été obtenues à partir des rèsultats d'un programme de calcul aux éléments finis. On pourra vérifier que les .formules approchées précédentes donnent des résultats satisfaisants pourvu que 11 ne soit pas trop petit. En effet pour les premières valeurs de Il non nulles, les effets de cisaillement sur les modes de « type poutre »), négligés dans notre calcul, sont importants.

i-1

0\

H/O=O,S

o

(O=2R) IX

e/O=O.OOS

e/O=O,005

'-l

6 z

Cl

[11

V)

'Tl

tê'

V)

-< V)

~

'-l

[11.

00

s:[11

~

en

s:m, ()

10

fn.,=a.10-3(1I2nRI/D'9 Iv:O ,3)

10

11 1

l

,,1 10

n

>z i5 ~ V)

H/D=1,5 IX

104 1:=

/e/D=O,05

.«

10 4 1-

/

~

-l

~

1-

e/D=O,005

/e/O=O,005

/

CIl

~

0

c: 103

/

:(Kdî 1 + Az B. (Kdï 1

=

0

(9.11) peut se mettre sous la forme:

l

Al (rdl

=

A2(rdl

lA1Cldl + A:,>:(tLh On peut donc éliminer sans changer la structure de (9.13) la moitié des variables de liaison (par exemple (rLh). On dit qu'il y a une adaptation d'impédance entre les deux sous-structures reliées.

9.5. 9.5.1.

EXAMEN DES CAS EXTRÊMES Procédure des «sous-structures bloquées»)

Considérons une sous-structure (S) et supposons qu'on l'isole du reste du système en bloquant les points de liaison. On est donc dans le cas : A

1,

B=O

172


d'où d'après (9,3) :

- Les modes propres de (S) sont calculés avec une condition de blocage au niveau des liaisons (XL = 0). La nouvelle matrice de raideur de (S) est: (9.14) Les réaCliollS modales aux liaisons sont données par:

(9.15) - Les solutions statiques U sont obtenues en imposant des déplacements unité aux liaisons: (9.16) La matrice (9.17) représente l'ensemble des réactions SlatiqlWS aux liaÎsollS ; (G;j = réaction à la liaison i due à un mouvement imposé à la liaison Le système (9.9) devient:

KG (l + Mo il + n Fn

!

li

l

FI'

XT J~

=

+ UT MU,f L - GXL

= -

fL + UT

Je

D.

(9.1B)

La l'ariabie de liaison est dOIlC le déplacemelll XL' L'ensemble des équations (9.14) à (9.18) montre que la procédure de SOllSslrucwre bloquée consiste à illc/lIre les raideurs de liaisons K L dans ta SOllSstrucûtre. Physiquement la raideur de liaison caractérise le comportement local de la sous-structure el des pièces de raccordement au voisinage de la liaison. Elle est en fait implicitement déterminée quand on calcule les U. On vérifie d'ailleurs que la détermination des grandeurs K', F et G intervenant dans (9.1B) n'impose pas une explicitation de Kv

9.5.2. Procédure des

«

sous-structures libres

>~

Considérons une sous-structure (S) et supposons qu'on l'isole du reste du système en libérant ses points de liaison. On est donc dans le cas A

O.

B=1

PRINCIPE DES MÉTHODES D'ANALYSE PAR SYNTI-Il:SE MODALE

173

d'où d'après (9.3) :

- Les modes propres de (S) sont calculés avec une condition de force nulle au niveau des liaisons. La matrice de raideur K n'est pas modifiée. Les

«

réactions

liaison XL

= PX

II

modales

F sont en fait maintenant liées au déplacement de

:

- Les solutions statiques U sont obtenues en imposant des forces aux liaisons:

La matrice G est donnée par:

Le

(9.9) devient:

que l'on peut simplifier en :

KG a

+ MG li

-

n -J(PX)T 11.

pxn- 1 1i+u,'I'MU' lL

5(T fe (Ki: 1

(9.19)

PU')fL=xL+u,T!c

en utilisant )a solution statique U de : 1

KU'

+ pT = 0

U

U' correspond à la réponse statique li des forces unité exercées aux différentes liaisons.

La variable de liaiso1l est donc l'effort f L' La raideur de liaison n'intervient dans le c'U, où l'on considère l'intégralité de la raideur K L • Ceci revient en d'autres termes, à insérer partiellement dans (S) la raideur de liaison KL' le « complément de raideur n intelVenant extérieurement dans les équations de liaison entre sous-structures. Rappelons qu'en fait la raideur de liaison comprend la raideur locale de (S) au niveau des liaisons, ainsi que d'éventuelles connexions extérieures (ressorts, poutres~ etc.) qui peuvent être des données que l'on veut paramétrer. D'un point de vue pratique, on a intérêt à choisir pour (8) la base modale qui représentera le mieux son mouvement au sein de la structure assemblée. Comme on ne connaît pas a priori ce mouvement, il est difficile « d'ajuster une impédance », on peut cependant dans de nombreux cas se rendre compte s'il vaut mieux utiliser des conditions libres ou des conditions bloquées. Un programme de calcul ayant uniquement la possibilité de liaisons libres ou bloquées semble donc, de ce point de vue, suffisant. On pourra toujours à l'aide d'une sous-structure annexe ne comportant que des termes de raideur réaliser les (II 0)

182


Figure 9.10.

Les solutions de (9.27) sont des approximations des premiers Tp qui tendent vers les TJI quand N -+ co. L'erreur relative e(p, N) effectuée sur la p-ième pulsation de résonance est donnée par le graphique (9.11) :

E

Assemblage de poutres en traction-compression

el

Evolution de l'erreur relative commise sur la fréquence de résonance des modes de la structure assemblée en fonction du rapport h entre la fréquence du dernier mode de sous-structure pris en compte et la fréquence du mode de la structure assemblée

Qj

\\ !II!..

~ 80

Liaison bloquée: + 1er mode 0 2Î!me mode 0 }Î!ml! mode ô 4Î!me mode

Liaison libre: x 1er mode • 2ème mode Il 3ème mode Il 4 ème mode

À

10 Figure 9.11.

On remarque que l'évolution de E est, comme en 9.7.1.1, conditionnée par le . N --1/2 " 1e rapport d cs frcqucnces ' - qUI. representc propres d li parametrc A=p

mode N des sous-structures ct du mode de la structure assemblée.

PRINCIPE DES MÉTHODES D'ANALYSE PAR SYNTHÈSE MODALE

183

Remarqlle: Comme en 9.7.1.1 on peut effectuer un dêvcloppcment [imité nu premier ordre de (9.27) au voisinage de rI' = p, qui permet d'obtenir:

1

E(p,N)=ï

9.7.2.

Problème

Elloneé : Soit un disque plot homogène indéformable de masse M el de moment

d'inertie J pDr rapport à un diamètre. En son centre ct de chaque côté sont encastrées perpendiculairement fI son plan, deux demi-poutres de longueur L grande devant l'épaisseur du disque. Le système disque-poutre est appuyé à ses extrémités comme le montre la figure 9.12.

L

L

Poutre Disque--~' Figure 9.12. Soit E, l, p, S le module d'Young, le moment d'inertie, la masse volumique ct la section de ln poutre. Ces grandeurs sont constantes le long de la poutre. Le système vibre en flexion. 1) Trouver les équations en k donnant les pulsations propres w n du système. On pose:

pS

El

et

M 2 pSL J

1

2 pSL' ExamÎner le cas (A

il>

1, J.L

il>

1).

2) En utilisant la base des modes propres de [n poutre de longueur 2 L appuyée-appuyée (système étudié moins le disque), écrire d'autres équations en k donnant les pulsations propres W n du système complet. Montrer que dans le cas (A il> 1, J.L il> 1 ), on obtient une bonne approximation des deux premiers modes du système assemblé en n'utilisant que le premier mode de la poutre.

]84

VIBRATION DES SYSTÈMES Mt, ~NIQUES

Solution l rc qllestion: Le système admet une symétrie géométrique par rapport au milieu du disque que l'on choisira comme point d'abscisse z = O. Ses modes propres sc divÎsent donc en deux familles: Ics modes symétriques et les modes antisymétriques par rapport ft z = O. 11 suffit de traiter, par exemple, la partie droite de la poutre pour les deux familles de modes avec des conditions aux limites adéquates à l'extrémité

z=O. La déformée de la demi-poutre droite est de la forme: x(z)

A cos Icz/L + B sin kz/L + C ch kZ/L + D sh kz/L

avec:

o

z

Figure 9.13. - Conditions aux limites en La condition d'appui donne: x(~)

a-r

2

= L:

= 0 :::;;. A cos k + B sin k + C ch k + D sh k

. (L)

0 :::;;. - A cos k

= 0

B sin k + C ch k + D sh k = 0

\ -

Conditions aux limites en z

0:

a) Modes symétriques:

La deuxième conditÎon est obtenue en écrivant l'équilibre dynamique en translation du disque: L'effort exercé par la demi-poutre droite est par symétrie égal à l'effort exercé par la demi-poutre gauche sur le disque et est donné par:

PRINCIPE DES METHODES D'ANALYSE PAR SYNTHÈSE MODALE

185

d'où;

Nous obtenons donc un système de 4 équations à 4 inconnues qui peut se mettre sous la forme:

l

B +D 0 -B+D=Àk(A+C) C ch k + D sh k = 0 A cos k + B sin k == 0

L'annulation du déterminant de ce système conduir ù une équation en k donnant les pulsations propres des modes symétriques:

2 cos k ch k + À k (cos k sh k

sin k fh k) = 0

(9.28)

b) Modes antisymétriques: x(O)=O::>A+C=O

La deuxième condition est obtenue en écrivant l'équilibre dynamique en rotatÎon du disque: Le moment exercé par la demi-poutre droite est par antisymétrie égal au moment exercé par la demi-poutre gauche sur le disque ct est donné par:

d'où: _w 2 J a:

at:.

(O)=2EJ

a~(O) dZ-

Nous obtenons 2 nouvelles équations qui, jointes aux 2 équations correspondant aux conditions aux limites en z= L, donnent le syslème : A +C = 0 A -C J-Lk 3 (B + D) Ceh k+ D sh k 0 A cos k + B sin k = 0

t

L'annulation du déterminant de ce système conduit il une équation en Ir donnant les pulsations propres des modes anti-symétriques : 2 sin le sh k

+ J-LkJ(cos k sh Ir - sin k ch k)

0

(9.29)

Cas particulier À ~ 1 et J.L ~ 1: I1 existe alors pour chaque équation en k, une solution k ~ 1. Ces deux solutions sont obtenues en développant au premier

186


ordre en k, liA ct 111-'-:

L'inertie est alors uniquement le fait du disque et la raideur le fait de la poutre (correspondant il un calcul statique). Les autres modes sont donnés approximativement par l'équation: th k = tg k qui correspond à une poutre de longueur L appuyée-encastrée. 2 e question: La méthode choisie est une méthode de « liaisons libres », Les modes propres de la poutre appuyée-appuyée de longueur 2 L sc divisent en: modes symétriques:

X;!p - 1(z)

1

modes antisymétriques: X 2p (z)

cos (2 p l ) ;

= sinp7T

~

f

Les pulsations propres correspondantes sont:

Les masses généralisées sont toutes égales il pSL.

Equation Cil Je des modes symétriques du système: On utilise pour représenter la solution, la base des modes symétriques de la poutre ct la solution statique correspondant lIU champ de déplacements créé par une force ( - 1) localisée au centre de la poutre. Pour la sous-structure poutre, on écrit d'après (9.19) :

(9.30) avec:

U'(z) ==

_~ [( 12 El

E)3 -3 (~ )2 +2] L L

L3

PU'

- 6 El

U,T MU

2

fI.() pSU ,2(Z) dz = 136 L 7 pS (

+- ) LEI

2

D'autre part l'équation en translation du disque est:

(9.31)

PRINCIPE DES MÉTHODES D'ANALYSE PAR SYNTHÈSE MODALE

187

L'annulation du déterminant du système (9.30) ct (9.31) conduit il une équation en w donnant les pulsations de résonance de l'ensemble poutre-disque. Cette équation peut être écrite cn utilîsant la variable k. On obtÎent tout calcul fait:

o

lÀ

(9.32)

(N étant le nombre des modes symétriques choisis).

Equntioll en k des modes wltisymétriques du sy. . tème : On utilise maintenant la base des modes antisymétriques de la poutre cl la solution stntique correspondanl nu champ de déplacements créé par un moment (- 1) exercé au centre de la poutre. 1Pour la sous-structure poutre. on écrit d'après (9.19)

[kaJ ( sym.

U,TMU (9.33)

ici

PX

ml

ct IJ L sont les moments ct rotation il la liaison).

Avec:

D'autre part J'équation cn rotation du disque est: (9.34) De la même façon l'annulation du déterminant du syslème (9.33) et (9.34) conduit à l'équntion en le: N

1

P~lp6[p4_ ( ~ )4J

+

'7T HI

6

(

1

"J

+ 3-15 k 4

) -

'7T III -12

2 p..k

= 0

(9.35)

188

VIBRATION DES SYSTÈMES MECANIQUES

Cas particulier

À ~

1 ou

IL ~

1:

- Modes symétriques: On sait que le 1cr mode est tel que k développement limité de (9.32) donne: 7T 12 _ _1_

6

2

À

:::::;>

( ~ )

12

~

1. Un

0

le

k4 = 3

A

ce qui correspond exactement à la solution trouvée à la I"! question. Ccci s'explique du fait que ce 1cr mode est caractérisé par la raideur statique rapport entre une force exercée au milieu de la poutre et la déflexion correspondante: cette solution statique Il été utilisée comme base de projection dans l'approche par sous-structure. La pulsation de résonance associée au 2c mode est, pour À ~ 1, donnée par k 5 7T /4 (lef mode de la demi-poutre rotuléc-encastréc). En utilisant un seul mode de la poutre l'équation (9.32) devient, en négligeant le tcrme en 1/ À :

:::::;>

k = 1,30

7T

(erreur par rapport ft la valeur exacte de l'ordre de 4 %). Modes flmisymérriqucs; Le lor mode est également tel que k développement limité de (9.35) donne:

~

1. Un

'1I'1Il

6

--= 0 12

2 ILk

:::::;>e=~ IL

ce qui correspond exactement à la solution trouvée il la 1ft! question. (Mêmcs raisons que pour les modes symétriques). Le deuxième mode, pour IL ~ 1, correspond également au 1er mode de la demi-poutre rotuléc-encastrée (k 5 7T /4). En utilisant un seul mode de la poutre (9.35) devient en négligeant le terme en 1/IL :

o

+1 =>

k = 1,2527T

(erreur par rapport ft la valeur exacte de l'ordre de 2 %0).

o

- D SYSTÈMES NON CONSERVATIFS

CHAPITRE X

AMORTISSEMENT DES SYSTÈMES MÉCANIQUES

10.1.

LES DIFFÉRENTS TYPES D'AMORTISSEMENT

Comme nous l'avons déjà noté dans le chapitre consacré à l'oscillateur harmonique, l'amortissement est l'image des phénomènes de dissipation d'énergie se produisant au sein d'une structure en mouvement vibratoire. Ces phénomènes sont nombreux (viscosité et plasticité des matériaux, chocs et frottements au niveau des liaisons entre structures, etc.) et souvent mal connus. Dans les calculs vibratoires on se contente de modèles simples généralement linéaires dont nous allons étudier les deux principaux, sur l'exemple du système à un degré de liberté. 10.1.1.

Amortissement visqueux (rappels)

La force de viscosité s'exerçant sur la masse en mouvement est proportionnelle à la vitesse de cette masse et de signe opposé. L'équation de l'oscillateur à un

degré de liberté est alors :

mx + a.Y + lex

f (t )

(10.1 )

Nous avons étudié cette équation au chapitre 1. Cette étude a montré que du point de vue de la réponse en transitoire comme de la réponse harmonique de l'oscillateur, l'amortissement pouvait être caractérisé par le paramètre E' (amortissement réduit). Dans le cas où les forces d'amortissement sonl petites devant les forces d'inertie et de raideur (e ~ 1), le paramètre ê possède les significations mathématîques et physiques suivantes: - Si Wo est la pulsation de résonance, - EW() représente la partie réelle des pôles de la fonction de transfert H(P) de l'oscillateur (EW(J est aussi la partie imaginaire de la pulsation propre complexe il) ; 2 7r e est le décrément logarithmique d'une vibration libre de l'oscillateur; - 2 E est la largeur relative à mi-hauteur du pic de résonance de l'oscillateur lors d'un balayage en pulsation (le facteur de surtension de ce pic est l

Q

=

E

);

- 4 7Të est la dissipation relative d'énergie lors d'une période d'oscillation à la fréquence de résonance.

192


10.1.2.

Amortissement hystérétiquc

Lorsqu'on applique à l'oscillateur une force j(t) harmonique de très basse fréquence (telle que l'on puisse négliger les effets d'inertie), on suppose, dans le modèle hystérétique. qu'il en résulte un déplacement x(t) tel que dans le diagramme j(t), x(t). le cycle soit représenté par une ellipse: X = {

a cos

wl

f = ka cos wt

-

lta sin wt

f

x

Figure 10.1.

Ce cycle ne dépend pas de la vitesse avec laquelle il est parcouru (k et h indépendants de w, positifs). L'équation en régime harmonique établi de l'oscillateur hystérétique est donc: - mw 2 X

+ (k + 1h) X

F

(10.2)

(X et F étant les amplitudes complexes du déplacement et de la force extérieure appliquée). La fonction G(w) de J'oscillateur (amplitude complexe de la réponse établie à une force harmonique unité) est: G(w) = - - , - - -mw-+ k + ih

L'al1ure du module et de la phase de G (w ) en fonction de west légèrement différente de celle obtenue dans le cas de l'amortissement visqueux. Cependant si Il 1k ~ 1, on peut caractériser G ( w ) par les mêmes paramètres: 1G

(w ) 1 comporte essentiellement un pic de pulsation Wo =

1~:

\jm

(k repré-

sente donc la raideur de l'oscillateur) et de largeur à mi-hauteur: hile (le coefficient de surtension est Q = hl le). On peut donc associer à l'oscillateur un

193


coefficient

E

caractéristique de l'amortissement

Il

E:=

L'énergie dissipée lors du cycle est égale à raire de l'ellipse: 2IT

dY f-dt = o dt

f

T

a "1.

f

(Ii: cos 0 - h sin 0 ) sin 0 dO

Il

L'énergie totale du système moyennée sur un cycle est: E =

, fT

a? -

T

,

'

, . ,

a-

,

(k cos- wt + mw - SID- wt) dt = - (k + mw-)

4

0

A la pulsation de résonance a'1 k

E=

AE

=>E

En conclusion, pour les faibles amortissements, le modèle visqueux et le modèle hystéritique donnent le même comportement. On peut le vérifier d'ailleurs directement en écrivant l'équation de l'oscillateur hystéritique sous la forme: 1

- mw - X +

•

lW -

Il

Wo

,

X + ,eX = F

forme valable au premier ordre au voisinage de la résonance, unique zone où l'amortissement joue un rôle. 10.1.3. 10.1.3.1.

Etudes de certains modèles non linéaires d'amortissement FrottemelJt sec

Le frottement sec introduit une force indépendante de l'amplitude de la vibration et de signe opposé il la vitesse. D'où pour l'oscillateur harmonique une équation du type:

.i + A W I~ sign (.q + w ~ X

=

f / nt

(À::>

0)

- Réponse à lin lâcher: Si l'on écarte Je système de sa position d'équilibre d'une distance xo. sa réponse est: si

1I1T

-~l~ W()

X(I)=XO[l-

(1l+])7f( J1~ 0) Wo

(2n+])~J '\0

coswot+ (-ltA

194


xo -4À À

t

a

-À

Figure 10.2.

Le mouvement s'arrête au bout d'un temps fini, quand l'amplitude devient inférieure à À. S 1·

0:

Il

' ) 'Itu d e pour 1 = 2 1l1r est 1 amp - , nous avons: Wo

Xo

(1 - 4 ~ Il

Xo

)

La courbe Log 0: If = f (n) qui était une droite, dans le cas de l'amortissement visqueux (de pente - 2 1rE), est une courbe à concavité vers le bas.

Log

Xo

n Figure 10.3.

AMORTISSEMENT DES SYSTEMES Ml~CAN1QUES

À

Si l'on suppose que -

El (- A +C)

= ( -k )

iJx )

az

= (

L

~

o

L

1

El (- A cos le - B sin k + C ch k.

(- A sin k + B cos k + C sh k + D ch k ) = 0

209


En posant a =

k;s

le système devient:

L ElpS

+ B sin k + C ch k +

A cos li.

J) sh

k = 0

A + ÎakB - C + iakD = 0 A (cos li.

+ ia k sÎn k) +

B (sin k - ia k cos k ) - C (ch k + i a k sh k) - D{sh k + iakeh k)

0

Les k correspondant aux valeurs propres sont les racines de réquatÎon :

iak (cos k sh k - sin le ch k) -

sin k sh k

(akYZ

~ (1 -

cos li: ch k)

= ()

Si a k On =: 1Ir. les Akll associés sont obtenus en annulant Je (erme du 1er ordre;

En développant au 1cr ordre la relation

2

Ak n

Ail n

= --

(~) 4

=

~~

il '!. on a :

avec

(u'l

=:>

an

ri

=

2 ia w 11

Cl

L'amortissement modal pour le mode

Il

est donc:

On retrouve ainsi le résultat du parugraphc précédent.

Si a ll:> 1 on peut également effectuer un développement limité au premier ordre par rapport fi 1/ cr : cos

"0 ch kil + (cos ko sh kil - sin ko eh kn) (

Ak

.,. +...:...:.. ak

)=

0

n

En annulant les termes d'ordre zéro, on trouve les solutions propres de la poutre encastrée-encastrée (les k On sont solutions de 1 cos ko ch ko 0).

210


Les Akn associés sont obtenus en annulant le terme d'ordre l :

Ak = 2î Il akoll

En ::=

4 ak 2 on

(En décroît avec

Il )

Pour lcs valeur.ç Î1Itermédiaires de a, J'obtention des racines de l'équatîon en " est difficile. L'allure de la variation de w n ct en cn fonction de 0:: est donnée par ln figure 10.15 :

Encastré -encastré Rotulé -rotulé Cl

a

Figure 10.15.

Cet exercice montre donc que, quand on a des amortissements importants dans un système, les fréquences de résonance peuvent être modifiées par rapport au systêmc non amortÎ : ici ln présence d'un moment amortisseur très important n tendance à fixer la rotation aux extrémités de la poutre et donc à créer une condition d'encnstrement ; la dissipation d'énergie (çaraçtérisée par les En) est alors faible puisque la rotation est petite (le produit ,J'LO aux limites tend vers zéro dès que a __ 00).

Problème: E1101lcé: Soit une poutre rectiligne, de masse volumique p uniforme, de section S uniforme ct de longueur 2 L. Cette poutre est suspendue à ses extrémités pnr deux ensembles identiques ressort-amortisseur visqueux. Si m 2 pSL désigne la masse de la poutre, si K désîgne la raideur d'un ressort et sÎ A désigne le coefficient d'un amortisseur visqueux, nous poserons 2 K = mw;; ct 2 A = 2 mw o E. On suppose que E ~

1.

A l'équilibre la poutre est horizontale. Soit alors Go z l'axe de la poutre (l'origine des abscisses z est prise au milieu Go de ln poutre). Nous allons nous intéresser ici aux petits mouvements de ln poutre dans le plan vertical xGo zpar rapport à l'étal d'équilibre. Les effets de la pesanteur sont 1lpoliopc:.

211


x

Figure 10.16.

1te partie: La porure est supposée parfaiteme1/t rigidc. On désigne pur x A (/). xn(t), .foU) respectivement les dép];.lccments de l'extrémité A. de l'extrémité B, du centre de gravité G cl par (J (1) l'angle de la poutre avec Oz.

x

XB X(j

XA

z

Ao

Bo

Go Figure 10.17.

1 rc question: Quel est le nombre de degrés de liberté du système ainsi défini? Ecrire ses équations du mouvement. Déterminer ses modes propres. Pour c\u:que mode calculer la pulsation propre W n , la masse généralisée 11l n , l'nmortissement généralisé En' Le système vérifie-t-i1 l'hypothcse de Basile? 2c qucstioll: On exerce sur la poutre

il

l'abscisse

~l

une force harmonique

unité de pulsiltion w. Déterminer l'amplitude complexe G (z. zn' W ) du déplacement étubli d'un point d'abscisse z de lu poutre. Vérifier que G(z.z{). w) = G(zu.z. w). On exerce sur la poutre à l'abscisse zn une impulsion unité. DétermÎner le déplacement G (z. zn. 1) d'un point d'abscisse z de la poutre. Vérifier que G (z , ZOo 1) = G (zo, Z. t).

VIBRATION DES SYST'~MES MÉCANIQUES

212

ze partie: La pOllfre est supposée flexible. Soit E le module d'Young du matériau el soit 1 te moment d'Înertie en nexion d'une section droite de la poutre, E ct 1 sont uniformes 1c long dc la poutre. On désigne par X(2, t) le déplacement d'un point M d'abscisse z de la poutre.

Figure 10.18.

3" qllestion: Ouelle est If! nature du nouveau système uînsi définÎ ? Ruppcler brièvement comment s'établit l'équation aux dérivées partielles 1

El

r

4

x +

il l

pS --.:;;

() ft laquelle satisfait x(z, 1), en cxpliqmmt le sens physique

ilr ilx

des dérivées partielles -

(ÎZ

,

iJ:'x

a\

. J' ilZ-

Ecrire les conditions aux extrémités de la poutre. 4 è question: Transformer le système par Laplace, en posant la variable de Laplace p i n . (12 = « pulsation complexe»). Montrer que la solution générule de l'équation différentielle obtenue est du type; x(Z, n)

A cos k !;. + B sin k .!... + C ch le ~ + D sh k ~ L L L L

avec:

En utilisant les conditions aux limites, écrire l'équation transcendante en k donnanl les pulsalions propres complexes du système. On posera pour simplifier l'écriture: ct

JL

SC qlli:.\'ti 0/1 : On considère le système non amorti (ë = 0). Mettre en évidence des modes symétriques et antisymétriques par rapport il Go- Montrer graphiquement que l'équation transcendante ri une infinité dénombrable de racines réelles ± kfl (k n :> 0) donc que le système a une infinité dénombmblc de pulsations propres w n• Donner l'expression des modes propres X n ( z) cn fonction de

k n• si

6" question: Montrer, en utilisant l'équation transcendante (avec E .,p 0), que DI ct IL sont petits devant 1, les deux premiers modes du système

213

AMORTISSEMENT DES SYSTÈMES MECANIQUES

correspondent à ceux du système de la 1 te partie ct retrouver au premier ordre les pulsations propres et les amortissements généralisés correspondants. Donner la signification physique de l'hypothèse Il: ct J.! petÎts devant 1. 7e question: On s'intéresse maintenant aux modes 1/ ~ 3, toujours cn utilisant l'équation tnmsccndantc ct en supposant Il: et J.! petits devant 1, donner Aw

J'expression de l'écart rclatif --" de la pulsation propre

ClIn

du système avec la

wOn

pulsation correspondante WOil de la poutre en " libre-libre «(l = J.! = 0) ainsi que l'expression de l'amortissement géncralîsé en' introduit par la suspension. 1)

Solll1iOI1 :

1re question: Le système est à 2 degrés de liberté. En utilisant les variables .ta ct fJ les équations du système sc découplent. Les modes propres sont:

rG~l

ou

avec

X\(z) = 1

0=0

ml

{'d'

XG

t =:

r

ou

Xz(z) = z/L

avec

W/)

E

El

E,

111 2

0=[

lU

w,fiJ:3 E

== ml3

2C qllestioll : G(Z, Zn' (ù) =

!

,

G(z.Zo.t)

1

=--e mw o

., + 3ZZ,u

,1

m(wo + 2 If'WO -

CuJO 1

W

-

mf-

W -)

!3 ZZ smwj)t+---; •

0

I1lW

o

c-

+ 6 iEW O W

3

-

w

r::; SIn..;3w o t

CUJO 1 .

3 e questioll: Conditions aux limites du système: 2

El (

ax

az:!

) 2=-1.

o

Remarqlle: Le système étant symétrique par rapport il Go on peut également en distinguant dès maintemmt les solutions symétriques ct antisymétriques. écrire uniquement des conditions sur la demi-poutre (cf. pamgraphc 2.9). 4 C question: Par la même méthode que pour l'exercice précédent, on obtient :

--

sin k ch k + cos li: sh k

[

«(l

--

+ if! ) cos k ch k

~

]

solutions symétriques sin le ch k - cos k sh k

x

[

__

((l

+ ÎJ.! ) sin k sh k]

-...."r

solutions antisymétriques

----

o

214


SC question: Modes symétriques:

X,,(Z)

= ch k n cos kil z/L + cos k n ch kil

Z/L

Les kil élant solution de l'équation: tg k + th k

(les

W

Il

0:

sont donnés par:

Le graphique 10.19 montre la position relative des différentes racines kil'

Figure 10.19.

Modes antisymétriques:

Les kJl étant solution de J'équation: cotg k - coth k

Figure 10.20.

- ex

215


Le graphique 10.20 montre la position des différentes racines k n • Les racines s'intercalent entre les précédentes. En classant les modes par ordre de fréquences croissantes, les modes symétrÎques sont de rang impair, les modes antisymétriques de rang pair. 6e qllestion: Le développement, au voisinage de k 0, des 2 équations en k permet de montrer qu'il existe pour chacune une racine k 4! 1 et de retrouver les 2 équations de la poutre traitée en corps solide écrÎte dans la 1 le panic (équation de translation pour le mode pair, équation de rotation pour le mode impair). L'hypothèse Cl petit devant 1 veut dire physiquement que la raideur de la poutre est grande par rapport à celle de sa suspension. '. L'hypothèse iL petit devant 1 découle du fait que l'amortissement /'; est petit devant L 7 c question: Par une méthode analogue fi celle de l'exercice précédent, on trouve pour les modes symétriques comme pour les modes antisymétriques;

Ces expressions permettent d'apprécier l'erreur introduite par une suspension dans la recherche expérimentale des caractérÎstiques modales d'une structure libre. On remarque que si la suspension est suffisamment souple,

(~)

4!

l,

WOn

l'erreur sur la fréquence de résonance est faible. Mais l'amortissement parasite introduit pnr la suspension peut être non négligeable par rapport il l'amortissement intrinsèque de la structure.

Problème: Enoncé: Soit deux oscillateurs harmoniques identiques, caractérisés chacun par une masse m, un resson de raideur K = mw~et un dispositif amortisseur de type visqueux de coefficient A = 2 mwo E, avec E ~ 1. Ces deux oscillateurs sont couplés entre eux par l'intermédiaire d'une structure (C), comme le montre la figure 10.21. On considère les petits mouvements dans la direction Ox autour de l'état d'équilibre. Soit XI et X2 les déplacements de chacune des masses, XI cl X~ les déplacements des points de fixation AI et A 2 de chaque système ressortamortisseur sur la structure (C), FI et F 2 les forces exercées en AI ct A 2 par ces derniers sur (C). La structure (C) est caractérisée. pour des fluctuations harmoniques de pulsation w, par une matrice de couplage reliant les forces FI et F~ aux déplacements XI et X 2 :

Les coefficients de celle matrice sont rapportés à la raideur mWI~ d'un

216

VJBRATrON DES SYSTÈMES MÈCANIOUES

x

CD

CD a

o (C)

Figure 10,21. oscillateur, A ct 'B sont alors des terme~' adimcllsiollllcis que deI'Cmr J, ct éventuellement fonctions de w.

l'Oll

suppose petiTs

Prcmière question:

0) Calculer les pulsations propres et les modes propres du système formé par les deux oscillateurs couplés, au voisinage de WI)' (On suppose que A ct fi sont lentement variables cn w, ce qui veut dire que (C) n'a pas de résonance dans cette zone). b) Calculer l'amplitude complexe de la réponse établie des masses m à une sollicitation harmonique unité exercée sur l'une d'elles (fonctÎons de transfert GIl(w) cl G I2 (w». Tracer l'allure de / G II (lJJ) / et de / G 12 ( w >1 pour ItJ vOÎsin de w() ct discuter en fonction du paramètre caractéristique BlE; tracer l'évolution du rapport des maxima des modules de Gll(w) et G1:!(w) en fonction de Ble: r(B 1 E)

/0

12 / ma~

1G Ill.1Iax

c) Calculer la réponse en fonction du temps des masses 111 à une impulsion unité exercée sur l'une d'elles (fonctions de Grecn GIl(t) ct G 12 (/». Tracer l'allure de Gu(t) cl G 12 (1) (A et B constants).

Deuxième qllcstion (Application): La structure (C) est constituée par un massif quasi indéformable (pour w voisin de wo) posé sur des ressorts fixés euxmêmes au sol, de telle sorte que les modes de cet ensemb1c aient une pulsation propre petite devant wo' On ne considérera que les mouvements de translation parallèles à Ox et de rotation d'axe perpendiculaire au plan xOz de la figure 10,22. Soit L lu longueur du massif et M sa masse. Le massif est de section rectangulaire ('fi) ct constitué d'un matériau uniforme.

217

AMORTISSEMENT DES SYSTÈMES MÊCANIQUES

L

z

Figure 1.0.22. Les oscillateurs sont fixés sur le massif aux absciss~s f ct L (f

l

= -

W1 =

dv

CV)

f f II If tdW. - - ' dA = dA

Il

- ? -

fil

(V)

® -ct Et V -

(V)

-

2

{V)

(en négligeant les termes d'ordre 3). ,

Travail des efforts externes:

n (À ) ct.! A. est le vecteur normal à la surface limitant la structure dans la configumtion ÀX. Au premier ordre:

n) étant la petite variation du vecteur normal dans les configurations déformées x par rapport à celle à l'état d'équilibre (no). d.! est l'élément d'aire à l'état d'équilibre

=;>

We =

l

(V)

fo . x dv

+

l

(S)

Po no . x d.!

+~ -

f

(S)

Po nI . x ct.!

ÉTUDE DES SYSTÈMES VIBRANT AUTOUR D'UNE POSITION D'I~OUILTBRE

225

Finalement l'énergie potentielle est: U

Wc

- Wi

+~ -

f

(Jo

®

(V)

a=\ ® e\

dv

(V)

-}J -

f

=

+~ -

~\ dv - f

J

Cn ·

x

du -

f

Pli no' x dI

(!")

(Vl

li() ® E2 dv

(V)

Pli nI . x d.!

(r)

Cette expression comporte un terme du premier ordre :

œ El dv

f

~)' x dv -

{V)

J

Po no x d.Y

(1')

qui est nul puisque la position de référence pour notre linéarisation est une position d'équilibre. L'expression du 2c ordre homogène cherchée pour l'énergie potentielle est donc:

(11.1)

Le premier terme de cette dernière expression est le terme considéré au chapitre 2. A ce terme est associée l'opérateur de raideur K classique de la structure. Les deux autres termes sont des termes supplémentaires fonctions du champ d'efforts permanents s'exerçant sur la structure à l'équilibre. Il leur est associé également un opérateur de raideur: Ku KI" En utilisant les méthodes générales du chapitre 2 l'équation caractéristique des petits mouvements du système est alors du type: 1

(K +

KIT -

Ki!)

X

+ Mx

= ()

1

(1l.2)

Remarqlle: on peut vérifier le caractère symétrique des opérateurs KIT et

Kp. Dans le cas de Kp ceci est fait dans la deuxième partie (Chap. 14) à propos de l'interaction structure-fluide.

11.1.2.

Il.1.2.1.

Exemples d'application

Petits mmn'ements de flexion d'une poutre droite 80umÎse ;i un effort perm:went F{) de traction ou de compressÎon

Soient E, l, p, S le module d'Young, le moment d'inertie de flexion, la masse volumique el la section droite de la poutre.

226


r

-Eo lIIIIiI

o

z

L Figure 11.1.

Le champ de contrainte résultant de l'effort Fil est

U

o=

F()

S

(contrainte de

traction-compression uniforme dans la poutre). Nous avons:

u

=

~ -

f

(fI

®

(V)

~l dv 21

f

®

(V)

E~ dv

en faisant l'hypothèse de la flexion pure et si x(z) est le mouvement de flexion (déplacement transverse de la fibre neutre) nous avons:

J

~ -

Ey 2 (

(V)

r El (

~

L

- Jo

,l

~

f tf-o ® -e2 dv = .,1 (V)

'J'Igeant y ( en neg

::::>

-

a2

U

f (ax )

d evant - il

az

-21

u0

-

az

(V)

2

a~ ) 2 dv

az

a~ ) 2 dz

az

dv = .,1

-

IL Fu (()x) az

0

dz

) ce qUI. est . vrai pour une poutre 1 ongue

rI. El ( a\ ) dz + ~- Jo Fo ( axaz ) dz az

Jo

2

2

fL

2

(11.3)

Appliquons le principe des travaux virtuels pour obtenir l'équation dynamique de la poutre, ainsi que les conditions aux limites. Nous supposons que l'on exerce un moment de flexion M et un effort tranchant F extérieur aux extrémités de la poutre, ainsi qu'un effort tranchant réparti de densité f

ÉTUDE DES SYSTÈMES VIBRAl'IT AUTOUR D'UNE POSITION D'ÉQUILIBRE

BU+BW i +i5W c

r

L

_ BU = _

Jo

al,

_ [El ôW i

-

a2.~)

(El

lIZ-

Bxdz

+

oZ-

227

0

r Fu a:r Bxdz L

Jo

a\)

a~ a(ôx)]L + [~ (El ar az 0 az az-

Bx _

Fil

axaz ôxJL 0

fL pS.i ôx dt

Jo

8W c = [F ôx lo + [F ôx lL +

[M a ÔX] + [M aoZÔX] àz

0

+ L

JofL f

8x dz

D'où l'équation d'équilibre:

-

F(j a;' + p S"x

=. f

(11.4)

et les conditions aux limites: moment eXerCé) par la droite sur la gauche effort tranchant} exercé par la droite sur la gauche

=

éJ~ EI -= + M az:!. -

en

{OL

a (El a~) + F0 éJx - az az

= ±

F en {L 0

Remarque: Si la poutre est très peu raide (El négligeable) (11.4) devient:

a='x S" - Fo-~+p x= f f)Z-

C'est l'équation des cordes vibrantes: la raideur ne provient que de la tension de corde Fo. Elle est du 2c ordre et a la même forme mathématique que l'équation de traction-compression des poutres. Toutes les considérations que nous avons développées à ce propos concernant les propagations d'onde sont donc applicables ici. Les conditions aux limites sont du type: œFo

ax +f3x az

F

( ax = 0: condition libre, x = 0: condition fixée).

az

Exemple d'une poutre uniforme rotulée à ses extrémités: calcul des fréquences propres el modes propres.

Nous avons:

228


avec:

en

=

Z

{~

Les solutions non triviales sont encore de la forme: •

sm ce qui impose pour les

Si

( l w 0 Il =

Fc

W n

El (

Il'TrZ

Il

entier:> 0

propres de vérifier l'équation:

/l11' ) ~ + Fo (

1l1T

).2

.F 11';J/Et ps = pu)' satton propre SI 0

1l1T ) 2

El (

pS

~= 0

W

=

0

L )

Nous avons:

Par exemple pour la première pulsation suivante:

-1

propre~

nous avons J'évolution

o Figure 11.2.

Lorsque Fo - Fc (compression) le système est à la limite de l'instabilité (w 1 = 0). Fc est la charge de flambage d'Euler. D'une façon générale on peut dire que si les charges appliquées à une structure sont petÎtes devallf les charges de flambage, leurs effets sur les caractéristiques l'ibralOires SOI11 négligeables.

ÉTUDE DES SYSTI~MES VIBRANT AUTOUR D'UNE POSITION D'ÉQUILIBRE

11.].2.2.

229

Coque cylilldrique mince infinie soumise il une pressîon permnnente

On suppose ici que les déplacements axiaux sont nuls et que les autres grandeurs ne dépendent pas de la variation nxiale z. On se ramène donc à un problème bidimensionnel dans une tranche (nous appellerons H la hauteur arbitraire de cette tranche). En reprenant les notations du chnpitre 8, la déformation qui nous intéresse ici est la composante EllO du tenseur E. El1e comprend une partie constante dans l'épaisseur de la coque (membrane) donnée au 1er ordre par:

et une pnrtÎe linéaire (nulle sur la fibre neutre) dans l'épaisseur (flexion) donnée au premier ordre par:

aa

r Ci

étant l'angle de rotation d'une section droite de la tranche Ci=

On a dOlle:

av

ao Pour des modes de flexion (n ceci impose : li' (

0) =

li'

=1=

0), rallongement de la fibre moyenne est nul

cos Il 0

et

v ( () )

Il'

.

--SInIlO Il

rl\'

~

--:;- (Ir - 1 ) cos nO R~

Le terme du 2e ordre du

F 00

est à peu près, pour une coque mince:

Ca/cul de l'énergie potentielle associée à lin mode u

~ -

f

(V)

al

® El dv + ~ -

J

(V)

alJ

® E2 dv -

Il :

kf -

(~)

]JO"I' x d.!

230


U" =

~J -

fio ®

(V)

~:! dv = ~ -

~ (o-oa)()

(

112/~ 1

)

f

'1 (

(UfI(/)O (E III,):!

dv

(V)

~ ):2 7TRhH

(a oo)() est la contrainte de membrane due à la pression:

~Po

étalll la différence entre la pression inteme et la pression externe à la coque =>

U

tT

(11-1--1 ):! AFII Hw-.,

1 7T

= ?_

n

les composantes dans le système polaire de la variation de la normale extérieure sont:

n,

Figure 11.3.

n,

=

iJv IV ) Dn+ -+( R ae R

av ) -+ IV ( -+w ao R 1

(

(V-

R

dW)

-R ae

aH' ) -v = ao R

1)--

1l

2

-1 w

t(J 11

2

-

] ",2 . .,

-sm-nO R

..,

- 7T • --,- ~Po Hw2

Finalement: U

=!

7TEH 2 12(J - l'

(11.5)

ÉTUDE DES SYSTÈMES VIBRANT AUTOUR D'UNE POSITION D'ÉQUTLIBRE

231

Appliquons le principe des travaux virtuels pour obtenir l'équation dynamique de la structure: -8U+8W i

0

C = Energie cinétique

=~

8U

f:

1T

phH

(Ji,2 cos::! nO +

:~~ sin 2nO )

__ 1T_E_H_::- (112 _ 1? (

~)

R dO

1 n 2 +1 .-' - phH'lTR - -2u r ·.2 11

8H' + 1T (n:!

3 li'

] ) f),.po Hw 8w

D'où l'équation d'équilibre.

En appelant

12 (1

Il

n:!

E

WOn

1,2) P

J

1 R 1 +---:j

2

(pulsation propre associée

n-

au mode n de coque en l'absence de pression permanente) et : E Apc = 4(1 _ ,,2)

(")3 R

La pulsation propre avec pression permanente est alors:

par exempte pour n = 2 :

-1

o Figure 11.4.

232


Apc est la pression critique de flambage de la coque sous pression externe. Les remarques de l'exemple précédent s'appliquent à ce cas de la même façon.

11.2.

SYSTÈME VIBRANT AUTOUR D'UN MOUVEMENT PERMANENT

Nous examinons ici le cas d'un corps animé d'un mouvement permanent que nous restreignons au cas d'un mouvement de corps solide. Par rapport à ce mouvement, le corps peut avoir des petits mouvements impliquant ou non des déformations. Il est facile de voir qu'un mouvement de translation uniforme n'a pas d'incidence sur les caractéristiques des petits mouvements du système. En revanche un mouvement de rotation permanent peut modifier ces caractéristiques. Nous allons .étudier ces modifications à titre d'exemple dans le cas où les petits mouvements, du système sont également du type ~< corps solide») selon les définitions données au chapitre 4. Nous étendrons ensuite les résultats obtenus aux petits mouvements de flexion d'une poutre rectiligne tournant autour de son axe. 11.2.1.

Petits mouvements d'un corps solide de révolution tournant uniformément autour de son axe

Le problème est de trouver les nouvelles expressions des termes d'inertie dans les équations d'équilibre des petits mouvements du corps solide. L'énergie cinétique est donnée par (cf. Chap. 4) :

Yo

Figure 11.5.

ÉTUDE DES SYSTÈMES VIBRANT AUTOUR D'UNE POSITION D'ÉQUILIBRE

233

Cette expression montre que seuls les termes associés aux rotations peuvent subir une modification.

z y

v ~~~---------yo

} - - - - - - - - I.....

Yo

u Figure 11.6.

La position du solide au cours du temps (définie par les axes principaux d'inertieG xyz) peut être repérée par rapport aux axes principaux d'inertie Gz{) Yo Z() à la position d'équilibre à l'aide des angles d'Euler (cf. figure 11.6). Les composantes de la vitesse de rotation dans le repère Gxyz sont données par:

nx=

!

iJ cos if' + ~I sin () sin if'

fl y = - fj c~s cp

!J.z =

cp + '" cos

+ ej, sin () cos

cp

(J

L'énergie cinétique (partie correspondant à la rotation) est:

Ix = Iy et Il" étant les moments principaux d'inertie du solide. 1

.~

. .,.,

1

'2 lA 0- + ~r sin- (J) + 2: Ii cP

+

.

~I

., cos (})-

Considérons maintenant des petits mouvements de l'axe Gz par rapport à Gzo repérés par les angles 0 x et 0 y rotations respectivement dans le plan Gyo Zn et G..\() Z(): 0r~ 1, Oj'~ 1. Considérons d'autre part une rotation uniforme n du solide autour de Gz().

234

VrBRATJON DES SYSTÈMES MÊCANIQUES

Les angles d'Euler sont tels que: ~1

1)

et

tP + rfo

=

il

D'autre part, au premier ordre, on a : 0 cos

{}x

tp

(11.6)

lh= {} sin !JI

{

Développons CH au deuxième ordre:

(11.7) D'autre part en dérivant (11.6) par rapport au temps on a:

~x = ~ cos ~/

1Oy

= ()

0 ~~ sin II' sin Ip + o!JI cos I/J

d'où:

(1] .7) devient donc: (11.8)

Ln partie quadratique homogène Cl correspond à l'énergie cinétique associée aux petits mouvements. On peut en déduire les termes d'inertie dans les équations d'équilibre associés il .{) x et (j Y' en appliquant le théorème de Lagrange: d (

-

dl

ae l ) --=Ix Je l .. . O x+ 1zilO y aé x J8 x

-

~ ( Je l dt aéy

)

_

Je,

ao y

(11.9)

Iyëy

Izilé x

Remarque: (11.9) s'obtient également à partir du théorème du moment cinétique en remarquant que la projection de ce dernier dans le plan Xo G Yo se compose au premier ordre des termes dus aux vitesses de rotation iJ x et Oy et des termes dus aux projections du moment cinétique CG associé à la rotation uniforme il: Ca = 1x Ôx il)

+ 1y il y j{) + 1z il ( 0 y in

0 x jo)

ÉTUDE DES SYSTÈMES VIBRANT AUTOUR D'UNE POSITION O'ÉQUlLIllRE

235

d'où: dC G dt

Nous mettons ainsi en évidence deux termes supplémentaires proportionnels à la vitesse de rotation n, couplant les deux 'équations des rotations d'axe perpendiculaire à celui de la rotation n. Ces termes sont proportionnels aux vitesses angulaires des petits mouvements. On les appelle termes gyroscopiques. 11.2.2.

Application à une poutre droite vibrant en flexion et tournant autour de son axe

Pratiquement cet exemple correspond au cas courant des arbres ùes machines tournantes.

)(

Q

z

o

L

Figure 11.7.

Les notations sont celles du chapitre 6. Iz est le moment d'inertie par unité de longueur de la poutre par rapport à l'axe Oz. En appelant x et y les petits mouvements de flexion dans les plans xOz ct yOz, nous avons:

~

u

=

C

= -21

IL

El [ (

iL ." {}

a~ ) 2 + (

)~]

pS(.r + li-) dz +?1 •

_

dz

Il ( Il

lzn

av iJi - ox a)', ) dz -"-éJz jJz iiZ az

L'expression de C est obtenue à partir de l'expression de Cl du paragraphe précédent en négligeant les termes d'inertie en rotation des sections droites (Ix li; et Iy é~) et en explicitant les rotations des sections droites Ox et Oy fonction de x et y : j)x

az

iJz

236

vmnATION DES SYSTÈMES MÉCANIQUES

Pour un déplacement virtuel ôx, ô y nous avons:

_ ôW, = ôu =

Jor

L [

.d1~

i1z-

2

(El a;' ) ôx +

8 ,

oZ-

(El a1: ) ôyJ dz az-

+ (termes aux limites

IL [ as'az

- -il_81" .-

ai -_-" a ôv ]

En appliquant le théorème des travaux virtuels: 8W e deux équations de flexion de la poutre:

+ 8W j = 0

- 8W î

=

L

I

()

pS(.f OX

+ Ji

8y) dz

+

lzn

az

Il

a (1 Z n éJv + p S" x - az a~ +P

(1.:..

dz

on obtient les

) =0

SJJ. + -:::-a (1 n azai ) -_ 0 (J,:

:z

{ LO)

(11.10)

-

Exemple: Modes propres et fréquences propres de flexion d'un arbre tournant (n ) zmifol'me, mllllé à ses extrémités.

Le système dont on doit trouver les solutions singulières est:

El

a,IX

pSw""X

.

a:Y = 0

•

i)

twlll z - . ,

az-

,

pSw - y +

Iw 111z

2

X

=0

avec:

Le système peut se mettre sous la forme: 8 +iY - w nI! al(X +, iY) - P S w 2(X EI --'---:----'-

az-

EI (1'!(X , iY) +w nl l al"

a2 (X

1

az-

iY) -p s W 2(X

+ 1'Y) = 0 'Y)-O -

-}

ËTUDE DES SYSTÈMES VIBRANT AUTOUR D'UNE POSITION D'ÉQUILIBRE 237

avec: X + iY = X - iY = 0 a 2(X - iY) = 0 a:!(X + iY) 1 az (Iz 2

1

en

{~

On obtient donc deux familles de modes propres: a) Xl

iY J = sin ll7TZ

(~)

avec

W()J'

b)

x~

-

+ iY,

=

-

= sin 117TZ

avec

L

(W

n

=

J

À '2.

+] -

À

1

)

Won

~ =

en posant: Won

= pulsation propre sans rotation

c"r r $f

1 À

=

nI;

2: ,,/ElpS

1

o Figure Il,8.

Le mode a de fréquence propre hl plus basse correspond à un mouvement de flexion de la poutre s'effectuant sous la forme d'une rotation dans le sens opposé à la rotation imposée n, C'est le mode rétrograde, Le mode b de fréquence propre la plus élevée correspond à un mouvement de flexion dans le même sens que la rotation imposée. C'est le mode direct (qui est le seul excité par la force due à un balourd de l'arbre). Renwrqlle: On appelle l'ifeSSe critique d'un arbre, la vitesse de rotation correspondant à la coïncidence entre la première fréquence de résonance du mode direct et la fréquence d'excitation du balourd: Cùl =

n

238


Il existe des arbres sous-critiques pour lesquels on fonctionne toujours en dessous de fl c et des arbres hypercritiques pour lesquels le passage des vitesses critiques doit se faire suffisamment rapidement pour ne pas atteindre des niveaux vibratoires dangereux.

1

1 1

1 1

1

..........................

o Figure 11.9.

1

...., .......

--

CHAPITRE 12

NOTIONS SUR LES SYSTÈMES LINÉAIRES INSTABLES

Les systèmes que nous avons analysés précédemment sont différents de ceux des chapitres 2 à 8 (systèmes conservatifs) et du chapitre 10 (systèmes dissipatifs). En effet, les termes supplémentaires que nous avons mis en évidence dans les équations ne se ramènent pas toujours à une raideur positive ou un amortissement. Dans le cas des systèmes du paragraphe 11.1, la raideur peut devenir nulle, voire négative, dans le cas des systèm~s du paragraphe 11.2, les termes proportionnels aux vitesses ne se ramènent pas à des termes d'amortissement classiques. D'une façon générale ces systèmes appartiennent à la classe des systèmes vibrants pouvant tirer de l'énergie d'un « réservoir d'énergie») extérieur et pouvant ainsi devenir « instables ».

12.1.

MODÉLISATION DES SYSTÈMES INSTABLES

On distingue deux types d'instabilité: - L'i11stabilité statique: un système est statiquement instable si sa fonction de transfert possède au moins un pôle réel positif (les autres pôles étant à partie réelle négative). Le système excité par un transitoire quelconque a une évolution temporelle du type e UI (a. > 0) divergente. L'instabilité statique est caractéristique des systèmes dont on étudie les petits mouvements autour d'un équilibre instable. C'est le cas des systèmes étudiés au paragraphe 11.1 quand 011 dépasse la charge de j7ambage. - L'instabilité dynamique.' un système est dynamiquement instable s'il possède au moins un pôle à partie réelle positive et à partie imaginaire non nulle. Le système excité par un transitoire, a une évolution temporelle du type e cwl cos wt, oscîllante divergente. Modélisation de l'i1lstabilité dynamique pour les systèmes à 1 et plusieurs degrés de liberté: Comme nous l'avons déjà dit un système dynamiquement instable prend à chaque oscillation un peu d'énergie au réservoir d'énergie auquel il est couplé. Ce couplage s'exprime dans les équations des systèmes par des termes non conservatifs dont nous allons étudier les caractéristiques.

240

12.1.1.

VIBRATION DES SYSTI~MES MÉCANIOUES

Système il 1 degré de liberté

Un système àl degré de liberté ne peut présenter d'instabilité dynamique que s'il existe un phénomène produisant un effet d'amortÎsse11lellf négatif. L'équation du système est alors: m(.i'-2EW O·Y+wrfX)=O

avec

8:::>0

La réponse fi une impulsion d'un tel système est: G (1 )

1 rr~()I. =-e sm ln/ut)

will

A chaque cycle la force d'amortissement négatif fournît au système: ~E

=4

7fE

Figure 12.1.

(E étant l'énergie moyenne du système au cours du cycle). La réponse forcée du système à une sollîcitation sinusoïdale

é"' est donnée

par: G(W)=--~--~-----

- 2

iFW()

w)

Par rapport à un système stable la courbe des amplitudes n'est pas modifiée, la courbe des phases est inversée au niveau de la résonance. Remarque: Le pôle du système est: PH

=

EW(I

± iW(J'

NOTIONS SUR LES SYSTÈMES UNÊAIRES INSTABLES

12.1.2.

241

Systèmes il plusieurs degrés de liberté

Pour un système à 2 degrés de liberté et plus, l'existence d'un amortissement négatif n'est plus une condition nécessaire d'instabilité. Soit par exemple un système à 2 degrés de liberté défini par:

l '~l + 1 +

W

f Xl + n l~ x::: =

x::!

Xz

+ fl:!1 XI

0 0

(12.2)

Les fréquences propres complexes sont données par:

si l'on pose fl 12

n 21

= li. w {~

avec li. =

:!:: ],

il yient :

(12.3)

Traçons le graphique

f1

f (li. wo) :

o

-J Iw? -wll/2

Figure 12.2.

Si

1

1W

,fi

f

W

i 1 ~ li.

W Il

~

J

W 1 W2

l'expression de fl::! est réelle posi~

tive, fl est donc réel: Je système est stable. Si li. W 0 >W 1 W 2 l'une des racines devient négatÎve, Je système est statiquement instable.

J

J

Si lI.w{)

=>

12.4.

Wu JI! 11

INSTABILITÉS PARAMÉTRIQUES

Nous avons étudié jusqu'à présent des systèmes linéaires caractérisés par des équations différentielles à coefficients constants, donc à caractéristiques physiques constantes dans le temps. En mécanique vibratoire, il existe une classe de systèmes dont les caractéristiques varient périodiquement dans le temps: C'est par exemple le cas des systèmes qui subissent un chargement périodique ou qui vibrent autour d'un mouvement périodique principal: les machines tournantes déséquilibrées (

,2 _

J-L 2 + 4

ê 1.

= 0

(*) La prise en compte des autres termes de la matrice conduit à des termes d'ordre supérieur.

253

NOTIONS SUR LES SYSTÈMES LINÉAIRES INSTABLES

n 4

3

Instable

2

"'-

~

1

2/3

1frrrrrrmmnrr,

1/3

0

-

~

1/2 2/5

--

~

~

rLimite de flambage d'Euler (w=O)

0,5

1

1

1

1

1,5

2

~

254


a

q

=2

ILmin

(q min = 2 e)

e

Figure 12.9.

-

pour la deuxième zone (n=2): -r-2IL2

.1 2 (*)

===

-2e

2E

-J,L

0

0

-J,L

~ (3 r

+ 5 J,L 2) (3 r -

0

-3 -2E J,L

oût

=0

E

-3

+ 36 e 2 = 0

r,\/

----""" ffe ""G'" 1 ..........

1

--~--

~,~;.

'..t (0

\

a: ,t(t. /

/:

r;;:-~

. \\e. ç 1. \)~ \t~'Y /'

-4E/3

2)

2

a

r

0

0 -IL

-IL

-r

/.

4+E/3 ~

4

./

,,/ --~---

,.,'"

{fi

---_

1

12

1

\

::r;:.or'..oo. \ ~~ ~

IL min =

q

::::1,. ... q2/- .........

Instable

~ \

,~

.j"2";

(qmin

Figure 12.10.

/

/'1

Iv. tt 0). Cependant plus Il est grand, plus les zones d'instabilité sont étroites. Pour un système amorti, la valeur critique de l'amplitude du chargement (J.L min) est d'autant plus grande que n est grand. L'Înstabilité se produira donc préférellliellement pour n';'" W / w () = 2 (chargement au double de la fréquence de résonance) ou éventuellement pour n = 1 (chargement à la fréquence de résonance), le mouvement s'effectuant avec une période de respectivement 2 7r / Wo et 4 7T / Wu' On remarque qu'alors l'amplitude du chargement entraînant l'instabilité est petite (J.L ;> 2 e pour n = 2), beaucoup plus petite que l'amplitude critique du chargement statique (J.L = 0,5). Wo

Exemple: Pour

E

=

10- 2

chargement critique dyn. (n = 2) chargement critique stat./25 chargement critique dyn. (n 1) = chargement critique stat./3,5

DEUXIÈME PARTIE

INTERACTION FLUIDE-STRUCTURE

INTRODUCTION La première partie a introduit les méthodes générales de l'analyse vibratoire et a illustré ces méthodes par des exemples de structures vibrant théoriquement dans le vide. Or, dans la pratique, les structures sont plongées ou contiennent des milieux fluides. Si les résultats obtenus sont généralement applicables dans le cas de fluides très peu denses tels que J'air atmosphérique, il en va tout autrement dans le cas de fluides denses tels que les liquides. On doit alors considérer globalement le système couplé fluide·structure et lui appliquer les méthodes générales de l'analyse, vibratoire. Compte tenu du caractère particulier du milieu fluide et de l'importance pratique du problème, des méthodes spécifiques ont été développées. L'objet de cette deuxième partie est de décrire ces méthodes. Les deux premiers chapitres seront consacrés à l'étude du problème conservatif des petits mouvements d'un système fluide-structure par rapport à l'état d'équilibre (système au repos, efforts pennanents s'exerçant sur lui négligés). Ceci implique en particulier que le fluide soit sans écoulement permanent et qu'il soit non visqueux. Le premier chapitre sera consacré aux petits mouvements dans Je fluide régis par les équations de l'acoustique (un développement particulier sera fait concernant l'acoustique des tuyauteries et Ja théorie des ondes planes), le deuxième chapitre traitera de l'interaction fluide-structure proprement dite. Les troisième et quatrième chapitres seront consacrés aux effets non conservatifs dus aux fluides: rayonnement dans les milieux fluides infinis, viscosité et enfin effet de couplage avec un écoulement permanent.

CHAPITRE 13

PETITS MOUVEMENTS D'UN FLUIDE NON VISQUEUX SANS ÉCOULEMENT

13.1.

EQUATIONS DE V ACOUSTIQUE ET FONCTIONNELLES ASSOCIÉES

Un tel milieu fluide est un cas particulier des structures tridimensionnelles élastiques massives étudiées au paragraphe 3.1. L'état du système est définÎ par le vecteur --déplacement xf{r, 1). 13.1.1.

Energie potentielle de dérormation (compressibilité)

Le fluide n'étant pas visqueux, le tenseur des contri.lintes est scalaire:

cr = -pl p est la pression fluctuante au sein du fluide au point r. Le produit généralisé cr ® est alors:

e

rr ®

E= - P

L En

- pO

- P div xI

La déformation du fluide est caractérisée par la trace 0 qui représente la variation relatÎve de volume. Le comportement élastique du fluide est caractérisé par une relation contrninte-déformation de type Lamé sans terme de cisaillement: p =

À

div XI

On utilise la loi adiabatique linéarisée liant les fluctuations de pression et de volume, car les constantes de temps associées aux fluctuations sont toujours faibles par rapport à celles liées aux échanges de chaleur: (13.1) c est la célérité du son, PIla masse volumique du fluide au repos.

Cette loi caractérise la compressibilité du fluide.

262

INTERACfrON FLUIDE-STRUCfURE

L'énergie potentielle de déformation est alors:

ou: 1 = '7 -

13.1.2.

Energie cinétique

13.1.3.

Travail des forces extérieures

fI " --~p-dv (VI)

Pf c-

Supposons que l'on exerce uniquement une pression (1') limitant le volume fluide:

W~ = 13.1.4.

-

J p"xf" n d:!

P~

sur la surface

(n = normale extérieure)

(Il

Equation des petits mouvements du fluide

L'application du principe des travaux virtuels donne pour un déplacement SXf arbitraire:

9 vec :

-ôW r =8U f =

l

2

Pfc (divxf)(div8Xf)dv

(Vr)

=

f

(~)

2

Pfc divx f 8x f -nd.!-

f

2

grad (pfc divxf)' 8x f dv

(Vr)

8W j =

f l

Pfxr Sxfdv

(Vr)

8W e =

c.r)

PIn.ùxfd:!

D'où en identifiant à zéro le terme de volume et de surface dans l'équation 8W r + 8W j + 8W e = 0, on obtient l'équation d'équilibre dynamique:

PETITS MOUVEMENTS D'UN FLUIDE NON VISQUEUX

263

ou: grad p + P f Xf = 0

(13.2)

et les conditions aux limites sur (2:) : p:! =

13.1.5.

PIC:' div x f

Equations de l'acoustique et conditions aux limites

L'ensemble des équations (1) et (2) montre qu'il est plus simple de caractériser l'état du fluide par la variable scalaire p (variable duale). En éliminant \ 1 entre (13.1) et (13.2) on obtient:

d) 1.. 0 " d· (1-gra p ---:.p PI Pfc IV

Si P f est constant en espace, on obtient l'éqüation classique de l'acoustique (ou équation de propagation des ondes) : 1.. 0 /).p - --;p =

(13.3)

c-

avec la condition aux limites p = pJ'. sur (I). Comme nous l'avons déjà remarqué dans la première partie, cette forme de condition aux limites n'est pas générale. Par exemple, dans le cas qui nous interessera par la suite, d'un fluide limité par une paroi vibrante, on imposera sur (2:') une accélération normale XI n (puisque le fluide est non visqueux). On aura donc plus généralement une relation linéaire du type:

ou : 1 cr -

•

(grad p ) . n + {3 P

l'

(13.4)

Pr

13.1.6.

Fonctionnelle associée à l'équation de l'acoustique

Dans les paragraphes précédents, nous avons utilisé en application des notions générales développées dans la première partie, les variables de déplacement pour caractériser l'état du système. Rappelons que la fonctionnelle associée est alors constituée (dans le cas de conditions aux limites de type ( forces imposées ») par les termes U f' Cf' Wc et sa minimisation correspond à l'application du principe des travaux virtuels.

264

INTERACTION FLUIDE·STRUCrU RE

Quand on utilise la variable de pression p, une autre fonctÎonneHe peut être associée il l'équation des ondes (13.3) et aux conditions aux limites (13.4) : Cette fonctionnelle est rendue minimum quand la variable p est solution du problème (13.3) + (13.4). Il est intéressant d'expliciter cette fonctionnelle car elle sert de base à la discrétisation par la méthode des éléments finis utilisée dans les programmes de calcul quand le fluide est défini par une variable de pression, Nous considérerons, pour établir son expression, des conditions aux limites de type" accélération normale des parois imposée » (ceci nous servira par la suite pour l'interaction fluide-structure) : -

l

(gradp)·n

(sur (I»

-XI"n

PI

que l'on peut écrire également:

1 iJp --=-1'" P r éJn

(sur

(~»

(13.5)

Le problème ainsi posé n'est autre que l'extrapolation au cas tridimensionnel, du problème monodimensÎonnel des ondes planes traité dans la première partie lors de l'étude de la traction-compression des poutres rectilignes. On retrouvera donc une forme analogue pour la fonctionnelle:

[ =

~ -

J

(V f)

J.Pf

(grad p yz dv +

~ -

f

~ p::! dv + Pf

(V f)

C

J

1'11 P d1.'

(13.6)

(1')

On peut vérifier que la valeur de p rendant minimale [ correspond à lu solution du problème:

DL =

J(v/IPr J.- gradp. grad DP dv +

r .' (V f)

[-div...!.-gradP+~p] Pf

Pf

f

~P 5p dv +

(Vf)Pfc

f

1'" 5p dl:

(I)

5pdv

C

+

f

(.!)

[..!.. (gradp)· n + YII] Pf

pour une variation 5p arbitraire. d'où: ]., = 0 , -gra 1 d p - --,p d IV Pr

l rlp

--+1',,=0 P f iJll

dans (V f)

PIC

sur (1.')

ôp d1.'

265


13.1.7.

Equation des ondes en"trctcnues -

Fonctionnelle associée

Comme nous l'avons vu dans la première partie, dans la plupart des problèmes vibratoires (recherche de modes propres, réponse établie il une sollicitation harmonique) on utilise les équations «transformées par Fourier» en temps, c'est-à-dire, où l'opérateur de dérivation en temps est remplacé par l'opérateur multiplicatif iw (pour les problèmes de transitoires on utilise la transformation de Laplace ce qui revient au même). En acoustique on obtient ainsi l'équation des ondes entretenues:

div

Cf

gradp )

1 op

avec

- = P f 0/1

(t)

+ p~>

0 (13,7)

., . -X,. . n = - l' ~

sur (.!)

Il

La fonctionnelle associée est alors:

-

1 --~ 2

f

- 1 ( grad p )'- d v + :::j1 ~

cv fI P f

Iù -

f

1 --~

(V fI (J f

p 'd - v+

C

f

X .! ,np d'\;' -

(.rI

( 13.8)

Physiquement la signification des différents termes est la suivante, quand les variables p ct X f vérifient les équations de la mécallique : 1 --.,

2

w -

f (V 1)

1 (grad p )-., dv = Pf

Ce terme représente donc l'énergie cinétique du fluide Crdv

représente l'énergie potentielle de compressibilité du fluide U f'

f

X,r' np

d~

(.!)

représente le travail des forces il la frontière

(~).

266

13.2.

INTERACTlON FLUJDE-STRUcnJRE

EXEMPLE IMPORTANT: DÉTERMINATION DES MODES PROPRES ACOUSTIQUES D'UNE CAVITÉ FLUIDE CYLINDRIQUE

Considérons une cavité cylindrique contenant un fluide homogène. Les parois de la cavité sont fixes. Il s'agit donc de trouver les solutions singulières du problème homogène spatial: dans (13.9)

L'équation (13.9) en coordonnées semi-polaires devient: (13.10)

les conditions aux limites sont: sur les bases du cylindre (13.11) sur sa surface latérale

z

H

Figure 13.1.


267

Les fonctions propres de J'opérateur - L1 muni des conditions aux limites cidessus sont du type: p(r, 0, z)

A(r)B(O)C(z)

avec:

d'où: C = cos ( 7T1 d:!B

-

d0

2

~

+ n- B

= 0

f.)

avec 1 entier positif ou nul

et B périodique de période 2

7T

d'où: èos nO

B= { sin nO

avec n entier positif ou nul

d'où:

(0' Il.m étant la m-îème zéro de la dérivée première de la fonction de Bessel Jn )· De plus la relation: (

:

) 2 _

(

;: ) 2

=

( 0'

~m

) 2

doit être vérifiée

Les fonctions propres de l'opérateur - L1 sont donc du type:

Pl.m.n(r, O.z) = J n (

O'nRm

r )

{~~: ; : }

cos 7Tl

~

la pulsation propre correspondante est:

"",.,m

c

J("~m

)' + (

7: )'

avec m entier positif. 1 et Il entiers positifs ou nuls.

(13.12)

268

13.3.

INTERACfION FLUIDE-STRUCTURE

UNE APPLICATION IMPORTANTE: LE COMPORTEMENT ACOUSTIQUE À BASSE FRÉQUENCE DES LIGNES DE TUYAUTERIES. THÉORIE DES ONDES PLANES

Le fluide contenu dans les tuyauteries est l'un des « milieux acoustiques}) les plus couramment rencontrés dans l'industrie. La grande longueur de ces réseaux de tuyauterie y privilégie les phénomènes de résonance acoustique. D'autre part, la géométrie de ce milieu est particulière puisque les dimensions transverses sont très petites par rapport aux dimensions longitudinales (D ~ L ). Dans la plupart des applications (vibrations induites par les écoulements, problèmes de propagation d'ondes transitoires: .. ), la gamme de fréquence d'excitation des sources (irrégularité d'écoulement - bruit d'une machine tournante - transitoire d'un organe de réglage) est telle que les longueurs d'onde acoustiques associées sont grandes par rapport aux dimensions transversales: wD c

--~]

(13.13)

Le mode de propagation des ondes acoustiques se simplifie comme nous allons l'examiner maintenant. Nous supposerons dans cette étude que les parois solll immobiles, l'interaction avec les parois étant abordée au chapitre suivant. Les résultats obtenus sont donc directement applicables à des tuyauteries véhiculant un fluide peu dense (gaz). 13.3.1.

Justification de la théorie des ondes planes

Résolvons le problème de la réponse acoustique d'un tube droit excité par une sollicitation harmonique localisée en espace.

Source

i o

z Figure 13.2.

Pour cela projetons J'équation de l'acoustique tridimensionnelle sur les modes propres transverses, mis en évidence au paragraphe précédent: _"

P (r, 0, L) =

t...

n.m

À n, 111 (z)

J 11

(

(!i Il, tri r ) -R--

{COS Il 0 } sin Il 0


269

An.rn(z) vérifie l'équation: d'A n, m + [ ( : )'

(a '.

k '. m B (z)

m ) ' ] À '", m

(û (z) = distribution de Dirac)

Le facteur le n , 1/1 résulte de la projection de la source sur les modes transversaux. Si l'on suppose que le tube est suffisamment long de part et d'autre de la source, À Il. III est de la [orme (indépendamment des conditions aux limites en z) : An lez) .

(puisque a 0,1

ltJZ

.

wZ

= A OI cos - c + BOl smc

0)

et : (puisque wcR

~ 1

fI) =

/rr

' liIongueur lL' n est pas trop grande: par

SI

roL

exemple si L - D Cl [ - il on a -;- -

JrID

~ 1 (D Cl

_. ,

li elanl le dmmclrc du

grund et du petit tube). On vérifie également que:

Ccci revient à dire que la cavité peut être représentée par la matrice

1 (0

rùV

l

) ' la pression est donc constante dans la cavité, le débit il la sortie est : la cavité joue donc par sa compressibilité.

Le pClil lubc au conlraire pcul ëlre rcprëscnlé par la ,"a"iec ( s

~)

son effct de compressibilité est négligeable mnis il crée un effet d'inertie

~ l}l s

engcndrunt une différence de pression 6.p =

il ses extrémités.

Nous voyons donc que le résonateur d'Helmholtz pour les très basses fréquences représente l'analogie acoustique de l'oscillateur hurmonique.

Effet d'llIl résonatellr II/omé en paraJJèJc dalls

1111

circuit:

On a:

CJ (_ qI

WV)

1

iwl

-

1_

(~) ic~

,~

Figure 13.9.

(d!l

1

(

0 Pr )

278


Le résonateur crée donc dans le circuit une discontinuité de débit wV 1 "1' dl' " 1 ", 1" .. = -. -~ ~PJ 1 Joue one e mcrne ro e que a caVite p ncce en sene lc-l-(w/wlJ)avec un paramètrc A caractéristique: t:Js

wV

l

A=-

,

Sc 1- (W/lùot

La plage d'efficacité d'un résonateur est centrée autour de sa fréquence de résonance 10' Cette plage est d'autant plus large que le rapport s /S est grand ct que V est grand. L'intérêt du résonateur. pnr rapport au volume cn série, est Ic fait qu'il soit en parallèle sur le circuit (faibles pertes de charge, pose plus facile, ... ) et qu'à volume V égal, il puisse atténuer de très basses fréquences (en contrepartie sa plage d'efficacité est alors assez réduite). Le dispositif atténuateur idéal est donc constitué par une batterÎe de résonateurs couvrant une large plage en fréquence.

13.4.

FORMULATION L'ACOUSTIQUE

INTÉGRALE

ASSOCIÉE

À

L'ÉQUATION

DE

Pour résoudre numériquement un problème d'acoustique, on peut discrétiser (par la méthode des éléments finis par exemple) l'équation des ondes entretenues: Ap +

(~ ) 2 P = S c

(ou l'équation de propagation Ap

-';p = S). c-

Cette méthode est difficile à utiliser pour les problèmes de milieu infini (on crée en effet artificieUement à la limite du maillage des réflexions parasites que l'on peut atténuer par l'utilisation d'éléments « absorbants ») . • L'uti1isation de la formulation intégrale permet de s'affranchir d'un maillage volumique du fluide et de ses conditions aux limites.

13.4.1.

Solution singulière tridimensionnelle ~

Soit la fonction h (r) =

~,r r

étant la distance positive entre un point M de

l'espace et l'origine Mo (r = 0). On vérifie que Il (r) et sa conjuguée Ir;l: (r) satisfont à l'équation des ondes entretenues dans tout l'espace en excluant le point Mo où la fonction est singulière. Physiquement Ir (r) représente la pression induite dans J'espace fluide par une source rnonopolaire localisée en Mo engendrant des ondes sphériques divergentes (h*(r) correspond à des ondes sphériques convergentes).

279


13.4.2.

Formulation intégrale pour lin problème en milieu infini

Considérons un milieu fluide (V f) comportant l'infini et limité par une frontière (..r). C'est par exemple un corps immergé dans un fluide infini;

Figure 13.10.

Supposons qu'il n'y ait pas de source intérieure à (V f ). Soit p (M) la pression en un point M de (V f)' Choisissons de plus la fonction h (r) vérifiant la condition de non réflexion des ondes à l'infini. Appliquons la formule de Green au domaine (V f) en excluant une petite boule (b) de rayon ê autour d'un point quelconque Mo interne à (V f) et en utilisant les fonctions de l'espace p(M) et h(r) avec r = Mo M :

f

(p âh - " âp ) dv

J

(V/)-(h)

(p grad h - Il grad p ) n d-S

(X) + (.Yb)

». pet h vérifiant l'équation des ondes le premier

(n = normale extérieure à (Vf membre de la formule est nul.

Explicitons le second membre:

(P(M) étant continu en Mo)

-41Tp(M() e ... O

f

h(grad p)

ft

d-S

(Xh)

(grad p (M) étant continu en Mo)

grad p (Mo)

J

(.rh)

Jz (r) n d2:

-0 /: .....{J

280

TNTERACTION FLUIDE-STRUCTURE

iwr(PM()

f -f

471'p(Mo)=

e

(.!)

c

r(PM u}

gradp(P)·n(P)dS p (13.20)

iwr(I' Mo)

p(P)grad

(e--

r -

)n(p)d1:

r(PM o)

(!)

r

(P étant un point courant de la frontière (X».

Remarque: Si Mo appartient à (.!) et n'est pas un point singulier de (.!), on applique la méthode en excluant une demi-boucle autour de .Mo- On obtient un résultat analogue en remplaçant 4 TI' par 2 TI' dans la formule (13.20) : formule (13.20'). La formule (13.20) permet donc d'exprimer la solution du problème acoustique dans le volume (V f) en fonction de la pression p et du flux àp â la frontière

ail

(.:!) du domaine. Par exemple, si l'on se donne un mouvement de la paroi (2:), ce qui revient il. imposer àp par la relation àp = + P J ct,):! X,!· n la relation (13.20') constitue une 011

iJn

équation intégrale avec second membre sur la pression à la paroi p (P) que l'on peut résoudre numériquement en utilisant un maillage uniquement de la paroi ( .!). L'obtention de pep) permet de calculer les efforts s'exerçant sur (.!) et donc comme nous le verrons plus loin, de résoudre le problème de l'interaction f1uidestructure. De plus (13.20) fournit à partir des données sur (.!) la pression dans tout le volume fluide. 13.4.3. Variantes

• Lorsque J'on a affaire il. un problème intérieur fini, il faut adjoindre à (13.20) uné formule analogue bâtie il. partir de Il:1: (r). (13.20) se met alors sous la forme:

4 TI'p(M() =

rur cosC_gradp. n d.! -

f __ (.!)

III

r

f

wr cosp grad _ _c_ n dS

(.!)

r

Lorsqu'on s'intéresse il une gamme de fréquence telle que ruL

c

~

l si L est la

dimension caractéristique de (V f)' on peut utiJiser le développement fi l'ordre 0 de (13.20) ou (13.20') en ~ c'est-à-dire la formulation intégrale associée fi c l'équation de Laplace ilp = O. P (Mo) ::::: J ~ grad p . {; 7r} TI' ( ~

(Si Mo

E

(2:) S/

.!) 1

fi

d.!' -

f

(!' )

p grad ! . n d.! r

.!' - vois. (Mo), si Mo ~ (S) SI = 2:.)

(13.21) } { (13.21')


281

ID L'équation intégrale (13.20) est la transfonnée de Fourier de l'équation de Kirchhoff correspondant à la formulation intégrale de l'équation de propagation des ondes:

f {!

r

(.!)

[Pl grad! +! [

[gradp] -

r

cr

iJp éJf

Jgrad r}

n d.! (13.22)

Les quantités entre crochets sont des fonctions du temps prises à l'instant ro - rie (valeurs retardées) .

t =

• Si les équations comportent un second membre correspondant à une densité de source répartie f (M, w ) ou f (M, t) on a un terme supplémentaire au second membre des formules précédentes:

-f

(Vr)

13.4.4.

jllir

f

(M) e

C

,.

dv

ou

-f

(V,)

[~] r

dv

Un exemple d'utilisation de )a formulation intégrnle : estimation d'une correction pour tenir compte des effets tridimensionnels nu niveau d'un changement. de section de tuyauterie

Comme nous l'avons dit précédemment, localement au niveau d'un accident de la tuyauterie les ondes ne peuvcnt plus être considérées comme plLlnes, ceci dans une zone dont les dimensions sont de l'ordre de grandeur du diamètre des tuyauteries. Cecî occasionne, quand on applique le schéma des ondes planes sans précautions une erreur, généralement faible quand on il de grandes longueurs de tuyau:

-~/î (Sl} (S2) Figure 13.11.

Ainsi au niveau du raccordement de deux tubes de sectÎon différente (voir figure 13.11) écrire l'égalité dcs pressions acoustiques moyennées sur la sectÎon droitc en (SI) ct (S2) n'cst pas tout fi fail correct. Celte erreur peut être considérable dans certains cas particuliers: ainsi si l'on considère un résonateur d'Helmoltz constitué par un volume fermé percé d'un petit trou, J'estimation des effets d'inertie au niveau de ce trou dépend fortement

282


des phénomènes tridimensionnels locaux (en particulier si l'épaisseur de la paroi percée est petite devant le dÎamètre du trou).

Figure 13.12. Nous allons utiliser la formulation intégrale incompressible (13.21) (puisque l'hypothèse wD c

~1

est vérifiée) pour estimer les effets tridimensionnels:

(SL'

(SLJ

1

11

1

1

:(Sl')

(V f )

1

1

Mot (52)

~

1

i

1 1

1 1

M; f(S,)

1(51')

1 1

1 1

l2)

(1) Figure 13.13.

Du point de vue du raccordement des deux tubes, les effcl!\ Inertiels tridimensionnels doivent s'exprimer sous la forme d'une différence entre la pressÎon moyenne P2 dans la section rétrécie (52) au nÎveau du changement de section et la pression moyenne PI que l'on auraÎt à l'abscisse du changement de section si on négligeait l'effet de celui-ci (calcul en onde plane). D'où l'idée d'estimer ceUe différence en appliquant (13.21) dans la zone (V 1) des effets tridimensionnels (on suppose que l'onde est plane cn Si) dans les domaines définis respectivement par les schémas (1) et (2) de la figure 13.13. Nous avons ainsi:

283


Bien qu'au vOlsmage immédiat du changement de section sur (SL) les pressions diffèrent selon les cas (1) et (2) on peuL négliger ceUe différence car le 1 terme grod - . n -lt O. r

On peut donc supposer quc les seconds membres de (1) et (2) sont identiques, En moyennant (1) ct (2) sur 5:! on obtient:

On peuL également supposer qu'à l'cntrée du tube de section 52

.

~~

est à

. l ' dp1

peu pres constant cl cga a

cn posanl :

' que S 2 dP:! et S 1 dZ dPI sont re l"les a. 1a fi uctuatlon . d c d e'b'Il

D e p lus, on

Salt

ql au niveau du changement de seclion par:

(q ne subit pas de discontinuité puisque l'on néglige les effets de compressibilité dans la zone des effets tridimensionnels).

::::;.. p! - PI = - iwql [ ( ~

!r )

~

( !) ] r n

(13.23)

Application il la caviré percée d'un petit troll: Soit d le diamètre du trou de communication avec l'atmosphère. En appliquant (13.23) 2 fois ct cn négligeant

( ~) r

devant 12

(~) r

: :!2

Pa!m -

P(:ill/

iw = - -:;;q

(ï) -;.

q élant le débit fluctuant dans le trou:

( lr ) =! S

ff (l)

(l)

l d.! d.!' r

(s élant la section du trou)

284

TNTERACT10N FLUJDE-STRUcruRE

Cavité d Atmosphère

Figure 13.14.

On peut noter que pour un trou circulaire (

~

)

= 3 3~d ; le trou peut ètre

représenté par un petit tube de section s et de longueur équivalente iwÎ i telle que PDlm - Pcav --s-q:

i

=

8 d 'TT

La fréquence de résonance du résonateur est donnée alors par (en négligeant l'épaisseur de la paroi devant i) :

Jo

13.5.

ONDES DE SURFACE LIBRE D'UN FLUIDE INCOMPRESSIBLE SOUMIS A LA PESANTEUR

Bien qu'il s'agisse ici d'un cas où l'on considère les efforts permanents s'çxerçant sur le système, nous choisissons de traiter dans ce chapitre le problème des ondes de surface libre d'un fluide pesant car il s'agit d'un problème conservatif (analogue aux problèmes de pendules) et, dans de nombreux cas, intervenant d'une façon assez indépendante de l'interaction fluide-structure (cf. Chap. 14). 13.5.1.

Condition aux limites linéarisée au niveau d'une surface libre

Surface libre

1 Fluide Figure 13.15.


285

Nous considérons une surface (.rI) horizontale limitant un fluide dense et un fluide peu dense. Si on considère des petits mouvements verticaux, XI' n de la surface libre, on peut, en première approximation, écrire qu'il leur correspond des petites fluctuations de pression

(13.24)

(si g est l'accélération de la pesanteur prise

:>

0).

Pour obtenir une condition aux limites homogène sur la pression p, il faut adjoindre à (13.24) la condition sur (.!/): .. -iJp + P [x!" n iJz

=

0

d'où: iJp

..

g az + p

0

(13.25)

Si l'on néglige la pesanteur on écrira plus simplement: p = O. 13.5.2.

Equation d'un réservoir à parois fixes avec surface libre. Fonctionnelle associée

Le fluide étant incompressible on a dans (V [) :

sur les parois (1):

ou

iJp .. 0 g-+p= iJz

Pour exprimer la fonctionnelle associée on a coutume d'adjoindre à )a variable de pression, le déplacement vertical z ::::: Xj' n sur (.rI)' Ce qui donne pour un problème harmonique:

(13.26)

286

-

INTERAcrION FLUIDE-STRUcrURE

_1_~ J 2w-

~ (gradp f

dv, comme nous l'avons vu, est l'énergie cinétique du

(Vf)Pf

fluide

l (

pZ -

~ Pf

gZ2) d.! l'énergie potentielle de gravité

(!,)

La forme LI w 2 L2 de L montre que l'on a affaire à un problème ( résonnant H, et que le système possède un ensemble de modes propres (analogues aux modes propres acoustiques). 13.5.3.

Cas particulier d'un réservoir à fond horizontal

z

__t_..&..-...-+IrH Figure 13.16.

Soit H la profondeur du réservoir. Le problème peut alors se factoriser:

y) fez) a2p a2p ) ô.p = 0 =:> ( - . , + -., ax- ay-

p

= p(x,

d"f dr

f (z) + p -., = 0

avec les conditions aux limites:

t df

w 2

dz

f + 9 :~ = 0

= 0

en

Z

=H

en z = 0

et ap = 0 sur les parois latérales du réservoir.

an

On recherchera donc une solution pour

ce qui donne:

f = A ch li. z + B sh li. z.

f tel que:


287

Les conditions aux limites en z= 0 et z= H imposant:

B

=0

et

-

w 1 ch

ÀH + Àg sh ÀH=::O

Hw:!

:::;:.ÀH = --coth ÀH g

la solution

À;t

de cette équation sera fonction de :F =

Hw

qui a la

signification de J'inverse du carré d'un nombre de Froude.

Figure 13.]7.

Le problème se ramène donc au problème bidimensionnel:

a2p

!

éJ2p ay-

2

-~+-~+À.1P=O

ax-

avec op

an

(13.27) 0 sur la surface latérale.

Si l'on suppose en outre que l'on s'intéresse à une gamme de fréquence suffisamment basse telle que :F ~ l, on a : 1 :F

-

c:g

1

(À H c:g 1 veut dire également que les longueurs d'onde du phénomène sont grandes par rapport à H). L'équation du problème devient donc:

C'est une équation d'ondes entretenues; la vitesse de propagation associée est donnée par:

ë

JgH

288


Remarque: On utilise cette analogie avec les ondes acoustiques pour représen~ ter expérimentalement des écoulements hypersoniques. En effet pour un réservoir d'eau peu profond (pour H = 5 cm) on a ë = 0,7 mIs, un écoulement de l'ordre de quelques mIs est donc suffisant. 13.5.4.

Exemple: fréquences et modes propres de ballottement d'un réservoir cylindrique

Les fonctions:

obtenues en 13.2 vérifient (13.27) avec: À;I

=

a. n,TIl

H

Figure 13.18.

Le problème homogène (13.27) a donc une solution sÎ w vérifie l'équation: O'/II I1

Hw 2 --cath 9

H

R

Œnm

H

d'où les pulsations propres: 9

a/J/n

H

Rannrth~

W",m =

Les modes propres associés sont:

p

( /1.1'11

r,

0

)

,Z =

J ( a 11111 r ) n

{C?S Il 0 } ch a Z sm 110 R IIIIl


289

Remarque: Plus l'ordre du mode .est élevé, plus œ nm est grand, donc plus la hauteur de fluide au voisinage de la surface libre affectée par le phénomène de ballottement est faible. Ainsi la gamme des premières fréquences de résonance acoustique d'un réservoir pas trop plat (R H) correspond à une zone de modes de ballottement d'ordre très élevé puisque CP c. De même le nombre :F associé est très petit devant 1 dans cette gamme de fréquence. Ceci veut donc dire que l'effet de la pesanteur est négligeable dans les calculs acoustiques du réservoir et que la condition aux limites sur la surface libre est quasiment p = o. Inversement la compressibilité du fluide est tout à fait négligeable pour le calcul des premiers modes de ballottement.

CHAPITRE 14

PETITS MOUVEMENTS D'UNE STRUCTURE EN PRÉSENCE D'UN FLUIDE NON VISQUEUX SANS ÉCOULEMENT '.

14.1.

ÉQUATIONS DU SYSTÈME FLUIDE-STRUCTURE. FORMULATIONS EN VARIABLES DE DÉPLACEMENT ET EN VARIABLES DE PRESSION

Soit une structure définie dans un domaine (Vs) et un fluide défini dans un domaine (V J)' soit (.!) la surface commune à CV,.) et (VI) où se fait l'interaction fluide-structure. Les petits mouvements de la structure sont définis par les degrés de liberté de déplacement Xl (r,I). Comme nous l'avons vu au chapitre 13, le fluide peut être défini soit par des variables de déplacements xI' soit par des variables de pression p. 14.1.1.

Formulation cn variables de déplacement

Le système couplé d'équations se compose;

a) De l'équation des petits mouvements de la structure, sous l'effet d'un champ de pression p s'exerçant sur (2:):

Mx.! + KX avec:

un =

- pn

=

j

0

(14.1 )

sur (.!)

».

(n : normale unitaire extérieure à (V J M et K sont les opérateurs de masse et de raideur de la structure, e; est le tenseur des contraintes dans la structure.

Remarque: Le 21! membre nul indique simplement que l'on n'a pas considéré de force volumique extérieure s'exerçant sur la structure. b) De l'équation des petits mouvements du fluide sous l'effet d'un mouvement Xr

de la paroi CS)

fp =

Pf

Cl

div XI

l grad p + P 1 xf

=

0

(14.2)

292

INTERACTION FLUIDE-STRUcrURE

Le raccordement s'effectuant en écrivant sur (I); (14.3) (p est ici une variable auxiliaire que l'on peut éliminer à l'aide de p = - Pl Cl div x f)' La fonctionnelle associée au système (14.1) et (14.2) est formée de la somme des énergies potentielles et cinétiques de la structure et du fluide, à laquelle il faut ajouter un terme supplémentaire pour tenÎr compte de la relation (14.3). Ce terme est:

p, multiplicateur de Lagrange associé à la relation (14.3) est en faÎt la pression sur (1').

D'où la fonctionnelle: L

Us+cJ+uf+c/+J P(xf-xJ.nd1.' (1:)

La formulation en variables de déplacement pour le fluide présente l'inconvénient de contenir les solutions singulières:

et :

X.f = 0, P xI' fi = 0 sur

o , xl = (~)

0,

div x f

=

0

.

Xf est donc indépendant du temps, le problème spatial div Xl = 0 avec n = 0 sur (1'), est celui des écoulements permanents incompressibles autour de structures fixes. Ces solutions singulières sans intérêt du point de vue de l'interaction lluidestructure, peuvent engendrer un « bruit numérique» très gênant dans les prôgrammes de résolution par ordinateur au bout d'un certain temps de calcul. On les atténue parfois à l'aide d'une viscosité artificielle. En revanche. le formalisme en variables de déplacement crée une homogénéité entre les variahles du lluide et celles de la structure. L'utilisation de ces variables rend aisé l'emploi des algorithmes de calcul ( explicites» (sans Înversion matricielle du fait du caractère diagonal de l'opérateur d'inertie) en fonction du temps, bien adaptés au traitement des transitoires en linéaire et surtout en non linéaire. Ainsi cette formulation est très utilisée dans des programmes de calcul de l'interaction fluide-structure lors d'explosions, dépressurisations brutales et tout autre phénomène à caractère non linéaire très marqué. En ce qui concerne J'interaction fluide-structure linéaire «< acoustico-mécanique») et en particulier le calcul des résonances, des régimes établis, etc., on préfère la formulation en varîables de pression pour le fluide que nous allons étudier maintenant. *f'

293

PETITS MOUVEMENTS D'UNE STRUCfURE EN PRÉSENCE D'UN FLUIDE

En effet, cette dernière ne comporte pas l'inconvénient mentionné précédemment, mais possède celui de « compliquer » l'opérateur d'inertie, ceci n'est pas gênant dans ce cas car on est de toute façon obligé d'inverser un système. Dans l'exposé des différents aspects physiques de J'interaction fluide-structure nous conserverons par la suite la formulation en variables de pression.

]4.1.2.

Formulation en variables de pression

Les petits mouvements du fluide sont ainsi définis par la variable p (r, 1 ). A l'équation (14.1) de la structure (inchangée) :

Mxs + Kxs

a

avec

crn

=-

pn sur (.!')

on adjoint l'équation du fluide (14.4) :

ft = a

avec

.. -op ail + P f x S . n =

a

sur (,) ....

Remarque: En dehors de la surface de contact (X) nous pouvons avoir aux limites de (VJ et (V f) des conditions variées. L'ensemble (14.1 )-(14.4) + les conditions aux limites constitue un système homogène (si les conditions aux limites sont elle-mêmes homogènes). On peut lui adjoindre un second membre sous forme de forces exercées sur la structure ou de sources au sein du fluide. Comme pour tous les systèmes vibratoires on utilisera pour les problèmes de reèherche des modes propres le système homogène transformé par Fourier:

(K ifn

Mw 2) X = 0 pn sur (.1') j

partie

«

structure )' (14.5)

partie

14.1.3.

«

fluide

»)

Fonctionnelle associée nu système (14.5)

Il est intéressant d'expliciter la fonctionnelle aSSOClee à la formulation en variables de pression. D'abord, comme nous l'avons déjà dit, elle sert de base à la discrétisation par la méthode des éléments finis utilisés dans les programmes de calcul. D'autre part, d'un point de vue physique, elle nous montre d'une façon très claire, les différentes grandeurs énergétiques du problème et en particulier les termes caractéristiques du couplage fluide-structure.

294

INTERACTION FLUlDE-STRUcrURE

a) Rappel de la fonctionnelle associée à l'équation de la structure (cf. chap.2).

Ls=~f -

u®

EdV-~w2J

(Vs)

Ps(X:rfdv-

~ énergie potentielle de déformation

f

--------------- ---------(V.. )

pXs·ndI

(1')

énergie cinétique de la structure

travail des pressions externes imposées à ta structure

On suppose qu'il n'y a pas de conditions aux limites de type « déplacement imposé »). Ecrire la stationnarité de Ls par rapport à une variation arbitraire de X:r (application du principe des travaux virtuels) conduit à la partie ({ structure » du système (14.5). b) Rappel de la fonctionnelle associée à l'équation du fluide (cf. Chap. 13)

1 1 - --;1:, = - --') 2w-

w-

J

(VI)

- 1 (gradp)-') dv Pr

11

1 ., --"p-dv +

+-

2

(V f)

P, c

J

pXs ' n dI

(1')

~~~

énergie c.inétique du riuide

énergie potenlicHe de compressibilité

travail de pressÎon sur (l:)

Ecrire la stationnarité de L, par rapport à une variation arbitraire de p conduit à la partie « fluide» du système (14.5). c) Fonctionnelle du. système couplé La fonctionnelle t du ::;y,stème couplé doit être telle que l'écriture de la stationnarité de C par rapport il une variation arbitraire de X s et de p conduise au système (14.5). Ceci est réalisé si l'on considère l: formée en associant t s et l: r de façon à faire

~oïncider

le terme de couplage:

f

pX!· n dl; :

(I)

L

=!

2

J

(Vs)

u®

ï' dv

_! w 2 2

J p.I(x~f J dv -

(V,)

1f

+ --.,

pXs' n d);

(l')

] ( ') If 1 ")

-

2 w ~ CV f) P,

grad p)~ dv - -

2

CV 1)

--"p- dv P, c-

Pour obtenir la forme classique L/ = CI w 2 C2 on est amené à associer à la variable de pression une nouvelle variable supplémentaire :

! 7r=-P/W'!

(14.6)

Remarque: 7T a la signification (à un facteur près) du potentiel des déplacements du fluide.

PETITS MOUVEMENTS D'UNE STRUcrURE EN PRÉSENCE D'UN FLUIDE

295

en effet W 2 XI + grad p = O} ~ 'P XI = grad 'P

- Pf

=~= P1 w

_ !!... P1

La fonctionnelle L'associée au système: (K - Mw 2) Xs

/Tn =

div (

w

2

sur (2:)

7Tn

J..... grad PI

W

l

=0

7T) - ~

P= 0

(14.7)

Pfc

7T+P=O

a7T -+PIX an

j

sur (I)

.n=O

issu de (14.5) et (14.6) est alors:

(14.8)

Les deux premÎers termes représentent l'énergie potentielle de déformation de la structure et du fluide (compressibilité). Le 3c terme l'énergÎe cinétique de la structure. On peut vérifier que si les variables vérifient (14.7), les 3 derniers termes représentent l'énergie cinétique du fluide (la complexité du terme inertiel associé au fluide vient du fait que "on utilise pour le définir les variables «( duales » p et 7T).

Remarque: Dans le cas d'un fluide incompressible, les termes en..!, disparaisc-

sent:

1 r.:'=~ -

f -

-d v ii®E

(V,)

-w2[~J -

(Vs)

pj(XJ2 dv-.!.f J....(grad7T 2 (VIl P f

La variable 7T suffit alors à décrire le fluide. On remarque que si les variables vérifient: ( (K - Mw 2) XI

=

) /Tn =

sur (.Y)

w:1

7Tn

0

diV ( ; r grad 7T ) = 0 ft

( -...!!.. + P 1 X s • n = 0

an

sur (X)

Ydv-J 7Tx (!")

j

.nd.Y]

296

INTERACTION FLUIDE-STRUITURE.

Je terme:

~ w~ -

f

~

?TXs ' n d2:' = -

(.!)

W 2

-?1

=

~ (grad ?T r du

J"

(Vf)P,

-

~

ùJ -

-

f

P t(X,)-~ dv

(Vf)

représente J'énergie cinétique du fluide. Ce terme, qui s'écrit également?1

f

-

X n d"" . Pt' _, represente aussI. }" energlc

(.!)

communiquée au fluide sur sa paroi (2:').

14.2.

LES DEUX ASPECTS DE L'EFFET D!UN FLUIDE DENSE SUR UNE STRUCTURE VIBRANTE

Revenons maintenant à l'aspect ( physique )' de l'interaction fluide-structure: nous nous intéressons ici à la façon dont les caractéristiques vibratoires de la structure sont modifiées par la présence du fluide, donc essentiellement au champ de pression induit à la paroi par le fluide vibrant du fait du mouvement de cette paroi. Nous avons déjà mis en évidence dans les équations et les fonctionnelles associées des termes d'inertie et des termes de compressibilité pour le fluide. Examinons sur des exemples simples, l'importance relative de ces deux aspects du fluide quant à l'effet sur la structure vibrante: 14.2.1.

Le cas le plus simple: piston mobile couplé à un résonateur d'Helmholtz

Soit un piston de section S vibrant harmoniquement à l'extrémité gauche d'un tube rempli d'un fluide (volume V, longueur L). L'extrémité droite du tube communique avec l'espace libre par un petit tube "(longueur 1, section s): l'

~/

/

S- +",~

Fluide ___ {:_)_ _ _..

~:: s 1 Espace libre (p=O)

Figure 14,1.

PETITS MOUVEMENTS D'UNE STRUCTURE EN PRÉSENCE D'UN FLUIDE

297

Soit X l'amplitude du déplacement du piston, qui impose donc un débit masse; Îwp 1 SX. Le système fluide est un résonateur d'Helmholtz dont le fond est constitué par le piston. Ce système, nous ,'avons vu, peut être assimilé à un système à 1 degré de liberté (pourvu que les longueurs d'onde acoustique des mouvements envisagés soient grandes par rapport aux dimensions de la cavité). En utilisant la matrice de transfert du résonateur, déterminée au chapitre précédent, on a :

qe

( _

i~1 s

wV 1-

t:,r

)

~ 1. c (w Il étant la pulsation propre du résonateur.) d'où: dans l'hypothèse où

wL

Pc

La force exercée par le fluide sur le piston est donc:

a) Si w

1; il n'existe pas de résonance telle que : ~.c:g 1, les deux W(J

résonances dépendent de la compressibilité du volume 14.2.2.

~uide.

Un exemple un peu plus compliqué: piston mobile couplé il un tube ouvert il son autre extrémité

m

......- Espace libre p=O L Figure 14.3.

Le système fluide est maintenant un système continu monodimensionnel (ondes planes). Le système mécanique est toujours un système masse-ressort de résonance:

W 1

=

/k quand il n'est pas couplé au fluide.

~m

Ecrivons l'équation dynamique du piston (en régime harmonique, sans sol1icitation extérieure): 2

mw +k)X

-Pc S

(Pe étant la pression du fluide sur le piston). Ecrivons ensuite l'équation du fluide contenu dans le tube en utilisant les matrices de transfert définies au chapitre précédent: wL

(

cose ie . wL

- sStn c

WL) kSlnw~ (!:) S .

cose

300


Le piston impose un débit qr = iwp f SX, d'où:

Pe

wp f eX tg

=

wL c

et l'équation homogène en X : (

Sp f

mw:'

Cw

tg wcL + le ) X

=0

L'analyse de ses solutions singulières conduit aux modes propres du système couplé fluide-structure. Comme dans l'exemple précédent, définissons les paramètres adimensionnels du problème : J.L =

. rapport entre la masse du p1ston et la masse du fluide

11l ----sL =

pf

kL

=

rapport entre 1a ra!"d eur d u ressort et la raideur associée à la compressibilité de volume Ouide

=

rapport entre la dimension caractéristique du volume fluide et la longueur d'onde acoustique associée à la pulsation w considérée.

S

wL c

Les

À

associés aux fréquences de résonance du système sont donnés par:

avec: J.L - 1 ou

!

a'p, dz f

=;.-

d!B

g

f

=

A

P,CCO)

g2(y)dy

A(X)f(Y)dXf ~)

111 Y

l~ C(Z)dZ)

=J!..

=- di

PIC(O)

=1 (À À

f

~)

B(y)g(y)dy

f

(14.16)

{!{x)dx

(.ri

(y}

Considérons maÎntenant le problème tridimensionnel à résoudre;

+

= 0

-1-

En intégrant sur Z on

(a~)

avec

aL.

_

.. ~O

= f(x) g(y)

Il:

1 ft)

ô],

-,dZ

o ax-

+

fm -,dZ a?p = {J

ay-

fg

Utilisons maintenant la solution approchée constituée à partir des fonctions A, B, C précédentes:

fi

aA(x) B(y) C(z)

En remplaçant p par

Ji

(a étant une constante)

on obtient:

d'où la relation:

a(BI + Ag)

= 10

318

INTERACTION FLUIDE-STRUCTURE ~(en

Ecrivons que cette relatÎon est vérifiée

moyenne )) sur la plaque:

d'où:

J

ex =

Af dx

l

J

f/ dy +

BO dy

(Yl

(y)

(x)

f

f2 dx

(x)

La masse généralisée associée au problème tridimensionnel est approchée par: Ill,

exp f C(O)

fJ (.\')

=exP/C(O)f

ABfg dx dy

(y)

AfdXJ

(x)

= P f C(O)

(J f

Bgdy

(y)

Af dx

(x)

f

(J

g2 d Y)

(y)

Afdxf

(x)

g2 dY

lU

f

= -

1

f2 dy )

(y)

Bgdyf

f'1dY

(x)

(y)

1

+-

(d'après 14-16)

'-nx lny

ni,

Une valeur approchée de

+f

(y)

=- -1

Bg dy

(y)

est donc:

iil

1

1

ml(

Illy

-+-

Il est bien évîdent que l'assimilation de la solution du problème tridimensionnelle il une solution factorisée utilisant les éléments des solutions elles-mêmes factorÎsées des deux problèmes bidimensionnels, est très approchée et que la formule proposée qui en découle, ne peut donner qu'une approximation grossière de la masse ajoutée. Nous allons juger de cette approximation sur deux exemples: a) Coque de rél'olu/Îon « libre-libre .. e" présence d'une lame fluide (exemple 2 du paragraphe précédent). 3

pour Il = 1 m exact Calcul de

1T P f

li] R

R H [ 1 - -R lh -

e

H

nlopproct,,! :

ml( pour une tranche perpendiculaire à J'axe du cylindre; nl x=

R3 H 1Tp f - e

(d'après 14.16)


nLy

319

pour une tranche méridienne:

d p _ pw X 1 pw X (~ dz~ - -e-=>P = Z-e- Z 2

F

2

=

I

f!

o

P dz

12.". cos

'Tf

I·e R

=-111)' =

= ,.,

2

~

()

2

(J

H2) 'Tf

R dO

= -

3

Pf

W 2

X

---

e

3

H R

3"Pf-e-

"p /

~

H [ 1+3 (

~

) , ]

p=O

x

dp/dz=O Figure 14.15.

----m/mo

0,5

o

2

3

4 Figure 14.16.

5

6

320

JNTERACfION FLUIDE-STRUCfURE

b) Plaque rectal/gulaire sc trmlslalalll perpclldicullliremCIll il La solution approchée est:

.'iOIt

plan:

l

---+---

,71

X. exact (Blevins)

b/a

O.5~~--~--~~--~~~~--~~--~--~

3

2

1

Figure 14.17.

14.4.4.

Remarl(UeS concernant les programmes de calcul numérique des effets d'inertie

Souvent les structures réelles ont une forme compliquée, de plus elles sont déformables et l'on ne connaît pas a priori les déformées modales. Une estimation grossière des effets d'inertie peut être faite à l'aide des considérations analytiques précédentes ou en utilisant des formulaires et en recherchant des formes simples ~< équivalentes» pour les parois. Dès que l'on veut un résultat plus précis, on est obligé de recourir à des programmes de calcul par ordinateur. Ces programmes s'appuient:

-

soit sur des méthodes intégrales utiHsant : 2 7rp(Mo) =

f

(!)

! grad p. n d2:' r

f

(.! _

p grad vois (Mo»

~ n d2:' r

(14.17)

PETITS MOUVEMENTS D'UNE STRUCTURE EN PRÈSENCE D'UN FLUIDE

321

Ces méthodes sont bien adaptées à des problèmes en fluide infini ou comportant de grands volumes fluides tridimensionnels; elles évitent les maillages de fluide tridimensionnels conduisant à un trop grand nombre de degré de liberté.

p - FLuide Figure 14.18.

Si l'on connaît à priori le mouvement x(r, t) des parois (c'est le cas des problèmes de corps solide)

f

le terme;

(!)

est le terme ({ source» = -

f

C!)

~ grnd pn dI r

~ px(r, t) . n dI r

La résolution de (14.17) donne le champ de pression sur la paroi que l'on intègre pour obtenir les coefficients de masse ajoutée. Si l'on a affaire à un problème de structure déformable, certains programmes couplent la résolution de (14.17) avec la résolution des équations de la structure par éléments finis. On peut alors obtenir directement les fréquences et modes propres du système fluide-structure. - soit sur une discrétisation par élémcnts finis des espaces fluidcs, utilisant les fonctionnelles décrites au 1cr paragraphe de ce chapitre. Généralement, les programmes utilisant cette méthode calculent également les effets de la compressibilité. Cette méthode est bien adaptée fi des problèmes à espaces tluides finis et en particulier quand ces espaces sont des lames fluides séparées par des coques ou dans le cas des tuyauteries contenant un fluide. En effet, dans ces cas les méthodes intégrales conduiraient à des matrices ({ pleines ) sans gain appréciable sur le nombre de degré de liberté. Citons également les méthodes de condensation s'appuyant sur les éléments finis mais comportant l'élimination des degrés de liberté liés au fluide et les méthodes de sous-structuration (cf. Chap. 9) où l'on découpe le problème en

322

INTERACflON FLUIDE-STRUCTURE

sous-structures définies par leurs modes propres ; certaines zones fluides peuvent alors être caractérisées par des matrices de masse ajoutées connectant les différents modes des différentes sous-structures. Le calcul de ces matrices est effectué à part. Ces dernières méthodes sont indispensables pour traiter des problèmes tridimensionnels extrêmement complexes car elles permettent une grande économie de temps de calcul et d'encombrement par rapport à une méthode utilisant une discrétisation tridimensionnelle sans précautions particulières. On pourra pour plus de détails sur les méthodes de calcul consulter les références ]4, 15 et 16.

14.4.5.

Formulaire succinct

Nous présentons ici quelques résultats utiles en ce qui concerne: - les sections droites de poutres simples et les corps solides simples (plaques et massifs) vibrant en fluide infini (tiré de l'ouvrage de B/evins, référence [13], qui donne d'ailleurs un formulaire très complet), - des exemples d'effet de confinement sont présentés pour des cylindres (bidimensionnel) vibrant à côté ou à l'intérieur d'un autre cylindre d'axe parallèle (tiré de la référence [12]).


Cercle

8

prrrf

a

(l1r;

ri (a'!-'b f

t

"HG 1: ! J..

Moment d'inerlio aioulé/unil~ de longueur (centre de rolation 0)

M!lsse ûjouhi-elunité de longu!ltlr (direction du mouveml!nt ....l

Goomélrie

2

Il

O

Cl i5

z

t!l

c:

a

t11

!Î:l -1 ;::1

c:

2 ~ m

1

a

a

~ (tg o'j3!2

~

11

bla

bla

.1 t«a

l'ETITS MOUVEMENTS D'UNE STRUcrURE EN PRÉSENCE D'UN FLU1DE

Masse njout&!

Géom~trie

apa2 1J

Parallélépipède

b~

bla

-

0.5 0.6

0.8 1.0

1.2 1.6 2,0 2A 2.11

36 aprrFf L

Cylindre circulaire

(]! ~ Sp/u'!rc

0 Figure 14.21. -

(ml.L axe du

cylindre

L/2R

-

1.2

2Ji 5.0 90 lX]

a

-

1.32 1.15 0.!J6 0.70 0.57 0.45 0.35 0.30 0.2ii 0.22

...

- "

0.62 0.71) 0.90 0.96 1.00

~ rrpf?l

t

Masse ajoutée de solides tridimensionnels.

325

W N

CYLINDRE' VIBRANT A L'INTERIEUR D'UN AUTRE CYLINDRE NON CENTRE m'/m~

r 2.5

=masse

ajoutée/masse ajoutée pour cylindres concentriques

r=5 ························· ······ ............. .

ï .-.-.=-.-,.......,'"""-_.

- - - - - - - - - - 10

--

".

""-..-:::::.:::. __ .

15 -- ... ~"" ~ ..~-

""'---

. "'=---

2

~ ~

.............

"11

~.

. •....

.......... ................ .............. . .•. ".

... ---.

100 ---........................

;t;: l-.J ~v

~

..~'>,.,., .... .",.'

10-3

10-2

10-1

e= jeu relatif

~ ~

o

Z

"l'I

t

8 ~

m

ê

~

@

PETlTS MOUVEMENTS D'UNE STRUCTURE EN PRÉSENCE D'UN FLUIDE

327

m'/ma

CYLINDRE/CYLINDRE

1,4

exact ~~~

~~r.

2

1,2 1 2

QR

3

4

X 6

5

m'/ma

CYLINDRE/PLAN

1.8

exact ~2P.E.J

1,6

~~~r.

2

',4 1,2 1 2

3

4

5 X::2/H

m'/m~

1,B

SPHERE/PLAN normal Qarall.

1,6

1,4

,

',2

2

3

Figure 14.23.

4

5 X=2/H

v,) tv

00

m;1/m~ =masse

ajoutée du cylindre 1/masse ajoutée du cylindre 1 isolé

2,5

z rrl ~

2

q

f):;

C ""1

r.

~ 1,.) f-

oz

r=R 2 /R 1 e=d/R1

::::1

":')

t-

e

am

2 1,5

en

-l ft!

C

q C

;;;l

m

m~=masse ajoutée

1 seul m~=T(9f RfL 1~____~~__~~~~~____~__~~~~~~____~__~~~~~~~

10-1

1 e

329

PETITS MOUVEMENTS D'UNE STRUCrURE EN PRÉSENCE D'UN FLUlDE

QJ

OJ

.....e.r... OJ

OJ CI

ra

ï5.

::::l C uN OJ .....

-cOJ QJ"""" 'QJ .....

::::l

C

1/)

ru r...

'--, "'t:J

ra.!:

ru:;::' 1/)

u

1/)

II)

ra OJ E_ Il N

é

N

1

o..-

jT\

1

o 0"-

N

Figure 14.2..').

330

14.5.

14.5.1.


EFFET SUR UNE STRUCTURE D'UN FLUIDE INCOMPRESSmLE AVEC SURFACE LIDRE DANS UN CHAMP DE PESANTEUR Fonctionnelle du problème

Comme nous l'avons vu au paragraphe 13.5, la présence d'un champ de pesanteur modifie la condition au niveau des surfaces libres ~, du fluide. On a vu également que la façon la plus simple de tenir compte de cette nouvelle condition dans la fonctionnelle du problème, était d'introduire la variable z de déplacement vertical du fluide de la surface libre et d'écrire les terme~ supplémentaires: dans la partie « raideur» dans la partie

et:

~(

masse

»

Cependant ce n'est pas là l'unique effet de ]a pesanteur, pour notre problème couplé fluide-structure. Sur l'ensemble des parois (I) des structures en contact avec le fluide s'exerce du fait de la pesanteur une pression permanente P f gz, z étant l'abscisse du point de (1:) dans la direction verticale (on suppose z = 0 sur la surface libre (X,) à l'équilibre).

--r-+z - - - - - - - { ri) 1

Fluide

---n Figure 14.26.

Le point M de (X) est animé d'un petit mouvement x" Du fait de ce petit mouvement, l'élément infinitésimal de surface dl: = n dX varie et donc l'effort dû à la pression permanente varie. Cet effet a été analysé au paragraphe 11.1. Il est responsable d'un terme supplémentaire dit de « flambage ») dans la fonctionneUe de raideur de la structure. En 11.1, on s'était placé dans l'optique d'une pression constante dans le fluide.


331

Dans notre cas présent, s'ajoute un effet de variation de la pression dû à la composante verticale du mouvement de (..S) XS • k. En ajoutant l'ensemble de ces effets, la variation .Ilf de la force s'exerçant sur d~ est:

En posant: .1x.! ( dI.) et :

= dI.

L1x.!(Z) =

Xs '

dI.

1 -

II.

on a synthétiquement:

Le travail des forces - .Ilf, dans le passage de l'état de référence (.,l:) à l'état déformé (.l') est:

(14.18)

W correspond au terme de la fonctionnelle de la structure (partie raideur) décrivant l'ensemble de ces effets. Il convient de vérifier la symétrie de ce terme. Explicitons L1x.! (z dI. ) : Soient:

Soient li et v les composantes de Xl! sur les directions principales CI et de courbure de (2:) (rayons de courbure RI et R:!, positifs si n est dirigée à l'opposé du centre de courbure). Le trièdre CI' c:!. n est direct

C2

L1x.!(d:I) = [(diV,! xs;) n - grad,!xsll + ;,

Cl

+ ~2 C2 + ( ] + ~2

)

X SII

n] d.!

div! et grnd! étant la div et le grad pris ( sur la surface (.I») (*) où

.

(*)

au

dIV"X." = + -.cJx)

Figure 14.27.

332 Xs


est défini (et non sur l'espace à 3 dimensions) : .1:r.S R). Remarqlle: Pour des modes du type cos nil la condition sera H

~~. 11

D'une façon générale, l'ensemble des termes dus à la pesanteur sera négligeable si le nombre [F est lei que:

(l4.20)

L étant la dimension caractéristique du volume fluide, w la gamme de fréquence des modes propres du système fluide-structure (*) que l'ail analyse (on aboutit il la même conclusion qu'au chapitre précédent pour le calcul des modes acoustiques) . •1' représente également le rapport entre la première fréquence de ballottement du réservoir et les fréquences du système fluide-structure. Si la 1te fréquence de ballotlemetll est très inférieure à la gamme de fréquclIce étudiée 011 négligera la pesanteur. (>II) Nous pouvons distinguer duns ce cas les modes de ballottement qui nc font pas ÎntervenÎr le mouvement des structures et les modes fluide-structure proprement dits.

w

W 0\

5

m(wl=9fnR2H RI ef1-IR/HHw 2RI gl/lw2R/g cath H/R-1IJ

4 H/R=3

3 ~ m~9fnR2 HRI el1-{R/Hlth H/RJ H/R=10

t'Tl

1

">q

o z

""lj

ri.i" t::

;!J

r3

.... .;.. ;...J

?

Z

-l

2

0

1

c::

a tT!

H/R=O

~

-l

"q c:

-1

c::;::l

Fig. 1 - Effet d'un fluide incompressible avec surface libre et pesanteur, sur l'une des parois d'une cavité annulaire

-2 -3

-4

10-1

10

102 w2R/g

tT1


337

Exemple: Réservoir cylindrique encastré-libre. Hauteur 15 m. Diamètre 10 m. Epaisscur 1 cm ; rempli d'cau. - La pulsation du l or mode fluide-structure du chapitre 8 : 0,36

J

pE,.,

1 est donnée par les abaques

Il

avec ici

E = module d'Young du matériau. (On considère pour simplifier un calcul de masse ajoutée par tranche qui minore la fréquence w.) Lc nombre :J caractéristique est: 1 Pf(}D 2 x(O,36)" Be ------:-~

2

-x 10- 3

_'J

Ln pesanteur est donc négligeable. -

La pulsation pour n = 3 (mode de fréquence minimum) est donnée pnr: W

:F

=0,09

JpE",

_0_ = 0,3 w2R 2 x (0,09)~

Même conclusion. Cet exemple montre que dans la majorité des cas, la pesallteur sera tout à fait négligeable dans les calculs des fréquences de résonance des systèmes fluidestructure de type résen'oir. Réciproquemellt les calculs des fréquences propres de ballottemellt pourront s'effeelller en sllpposam les parois fixes (cf. Chap.13). Ceci Ile l'ellf évidemment pas dire que le ballottement ne conduira pas à des efforts importants sur les structures, en particulier le 1er mode, si la gamme de fréquences des excitations est favorable.

Remarque: Les mouvements d'ensemble des corps flottants (coques de bateau, elc.) constituent un cas particulier où III pesanteur joue un rôle important, du fait des très basses fréquences considérées.

14.6.

COUPLAGE FLUIDE-STRUCTURE DANS LES TUYAUTERIES

Comme nous l'avons déjà dit (§ 14.2.5) les premiers modes des systèmes de wD tuyauteries se situent dans une gamme de fréquence telle que - - ~ 1. c

De plus ils correspondent à des mouvements de type ({ poutre transversales ne se déformant donc pas (*).

»),

les sections

(*) Ceci n'cst pas tout à fait vrai: nous verrons par la suite que l'on tÎcnt compte d'une raideur de gonflement de la tuyauterie (mode 0).

338


Ceci a pour conséquence que, transversalement le mOllvement du fluide est identique à celui de la stmcture. Longitudinalement se développe dans le fluide un système d'ondes planes qui, comme nous allons le voir, se couple aux mouvements de poutre de la tuyauterie au niveau des « accidents» (coudes, changements de section ... ). 14.6.1.

Fonctionnelle et équation du système couplé

Pour analyser ce système couplé on peut par exemple reprendre la fonctionnelle générale des systèmes fluide~structure et l'appliquer à notre cas particulier:

Nous n'insisterons pas sur la simplification au cas des poutres des termes liés à la structure (cf. l TC partie). Pour simplifier les termes liés au fluide, nous considérons la pression p sous la forme de la somme de deux termes : p = Ji + p' . p est la pression moyennée sur une section droite (composante sur les modes d'onde plane), p' correspond à la contribution des modes transverses (comme nous l'avons dit, cette contribution se ramène ici à une simple translation d'ensemble pour une tranche du fluide. L'ensemble des termes de la fonctionnelle où intervient p' se ramène au terme d'inertie:

x~

étant la composante transverse du déplacement de la structure.

Les termes correspondant à p deviennent (en abandonnant le symbole -)

If 1 If 1 2

(Vf)Pf

-

2

(V f)

.,

(grad 1T y dv

--p7T dv 2 Pf c

If

-+ -

2

-

If S ~-

-+ -

2

(1:)

S(ihr)2 ru -

(c)Pf

Pf c

2

p1T

as

ru

(S étant la section de passage du fluide à l'abscisse curviligne s).


339

s

moyenne [:Xl Figure 14.31.

La transfonnation du dernier terme est un peu plus délicate:

f

7TX s ' n d.!

(I)

f

7TX s ' t S ru

(C)

-

f

dS 7TX s ·1ds

(C)

ds

1 étant le vecteur unitaire tangent à la fibre moyenne de la poutre, t le vecteur unitaire transversal situé dans son plan osculateur orienté de l'intérieur vers l'extérieur, R son rayon de courbure (posÎtif). La fonctionnelle devient donc :

(14.21 )

(Ss est la section de la paroi de la tuyauterie).

340

INTERACfION FLUIDE-STRUCfURE

Ce qui correspond au système:

KXs -

(LI 2

[p s Ss X s + P f SX~. -

7r

~ t+ R

7r

dS 1] =0 ds

S S dS -a ( S -a7T ) +--"p+-Xr,t--Xs,1 P J c-

P J iJs

as

R

ds

o

P+W:!7T=O (K est l'opérateur de raideur des poutres). Soit en éliminant

'TT

et en revenant au système fonction du temps:

P

R St + p

Kxs + P s SJ Xs + P J Sx:

a ( S (Js

(ip)

dS

ds 1 = 0

_S_ft _ ~ x . t + dS x .1

c 2 Pf

P f as

R

ds

S

( 14.22)

= 0

S

La première équation de ce système correspond à l'équilibre dynamique de la structure; la deuxième à l'équation des ondes planes dans le fJuide, Ces équations sont çOllplées ml niveau des parties coudées ou des par/les à

. , (i1e sectIOn . dIl Clrcwl . "( -:::1=lOd l'anatlOll ou S -

ru

R

:::l=-

0)

Dans l'équation d'équilibre de la structure, les termes

E. St R

et

dS 1

P ds

représentent des efforts par unité de longueur. Inversement dans l'équation des ondes planes les termes -

~ xs ' t

et

dS"Xs • 1 sont l'les • .a un « d e'b"It source ») par uTIlte " • d e 1ongueur. Dans les par/les droites du cîrcuit, il n'y a pas de couplage entre les mouvements de poutre de la structure et les ondes planes. Le fluide est uniquement caractérisé par une masse ajoutée liée aux déplacements transverses (Qexion).

14.6.2.

Cas particulier des singularités brusques

On désigne par là les coudes ou changements de section dont la longueur caractéristique est petite par rapport aux longueurs d'onde acoustiques et mécaniques; on peut alors supposer que p et X.r sont peu variables le long de la singularité. Les termes de couplage ont alors une forme simplifiée qui met peut-être mieux en évidence leur signification « physique ») que la forme générale (14.22). a) Coude bmsquc (à section constante) Si 11 et 12 sont les vecteurs unitaires longitudinaux des tubes amont et aval et pla pression dans le coude, les ondes planes exercent sur le coude une force; F

pS

f

coude

~ds R


ou

F

f

pS

dl =>

F = - pS (12 - l] )

341

(14.23)

wlIllc

Figure 14.32.

Inversement un mouvement Xs de la partie coudée, crée pour les ondes planes ' tITIUlte ' " d e -S -ap ega , 1e a. : une d Iscon P f as

:f [(~~ )

2-

(

~~

J

)

ce qui correspond à une discontinuité du

débit~masse

acoustique:

(14.24)

b) Changement de section brusque: Force exercée par le fluide sur la structure :

F= =>

F

pl

f~

- P (S2

Figure 14.33.

ds SI) 1

( 14.25)

342


Discontinuité du débit masse acoustique: (14.26)

14.6.3. Prise en considération du gonflement de la tuyauterie La fluctuation de la pression moyenne dans une section droite excite les mouvements en mode 0 (gonflement) de la tuyauterie. Pour les gammes de fréquence qui nous intéressent ici, nous nous situons largement en deçà des fréquences de résonance associées à ces modes, on peut donc considérer que la tuyauterie engendre une souplesse supplémentaire lors du passage des ondes planes qui vient s'ajouter à la compressibiHté du fluide. Cet effet peut être représenté par l'introduction d'une vitesse du son modifiée. Soit une variation de pression p s'exerçant dans un tronçon de longueur dz de tuyauterie d'épaisseur e, de diamètre D et de module d'Young E. La variation dv de volume associée est due d'une part au déplacement x f du fluide le long du tube et au déplacement de la paroi:

1I"D 2

ax f

du = S -

dz + - 2

az

é

dz

e étant la déformation en membrane du tube:

pD 2eE

E=--

=>

~ Sdz

=

(

ax f +!!.. D ) az E e

Figure 14.34.

qui représente la variation relative de volume du fluide et qui est liée à la variation de pression par la relation d'état: ') du p = - P fC- Sdz


343

d'où:

Cette dernière relation est la relation d'élasticité pour les ondes planes dans la tuyauterie souple. on peut l'écrire:

avec': c

è

(14.27)

è est une vitesse du son équivalente.

Exemple: Tuyauterie d'acier (c = 1 500 mIs, P f = 103 kglm 3). ë

14.6.4.

de

e = 2 mm

1 500

et

D = 20 cm

en

eau

1030 mIs

Application aux effets de masse ajoutée dons les tuyauteries

Dans certains cas les premiers modes de la tuyauterie sont tels que wL ~ 1 (L étant sa longueur), le fluide peut être alors considéré comme c incompressible el son effet est purement inertiel. Souvent dans les calculs courants on se contente de supposer le fluide solidaire de la tuyauterie ct donc de considérer une masse linéique ajoutée, P f S.

TL i

Figure 14.35.

p=O

344

TNTERAcnON FLUIDE-STRUCTURE

Le fait qu'il puisse y avoir des mouvements relatifs longitudinaux du Ouide et de la paroi des tubes peuL entraîner des erreurs grossières dans l'estimation des effets de masse ajoutée avec l'hypothèse précédente. L'exemple suivant permet de s'en convaincre: Soit une tuyauterie remplie de fluide constituée de 2 parties droites identiques et d'un coude brusque d'angle cr. (figure 14.35). Cette tuyauterie est connectée souplement à deux cavités imposant à ses extrémités une condition p = O. Calculons la masse ajoutée du fluide pour des mouvements de translation de la tuyauterie suivant Ox et Dy. TranslatÎo1l suil'Gll1

Ox

Effort f, dû il la composante transversale du mouvement des parties droites de

la tuyauterie:

+ (Î . (2 )

f, = - P f S Li [ (i . t 1) t 1 = -PfSLi[ = -

t2]

-sin~tl +sin~t1J

- . , cr. •

2. P f SL X

Sln-

"2 1

Effort fc dû il la pression dans le coude: D'après (14.24) le mouvement induit au niveau du coude une discontinuité fluctuante de débit flq = P f Sii . (12 - Il) = O. La pression d'onde plane p est nulle puisqu'il n'y 11 pas d'autre source, ct l'effort ft" est également nul. La masse ajoutée due au Ouide est donc:

Translation suivant Oy Effort f, dû à la composante transversale du mouvement des parties droites: f, = - P fSLY[(j .ll) l, = -

-

+ (j. tJ lz]

,0'.

2 P f SLJI cos- "2 J

Effort dû il la pression dans le coude: La discontinuité du débit dans le coude est, d'après (14.24) : flq = P f Syj . (12 - Il) = - 2. P f S.(J sin

~

La pression moyenne dans une section droite est, le long de la tuyauterie, en résolvant l'équation des ondes planes: p(s) = - P f Ly sin

cr. S

"2 L

2"

= - P f Ly sin cr. (

(0

1-

~

s :s L)

s) L

au niveau du coude on a :

- . cr. p = - P f L Y Sin "2

(L:ss~2L)


345

p -9 f LYsimx./2

t Coude Figure 14.36. La force exercée sur le coude eSl d'après (14.23) : fe

= -pS(I~-II)

= -2PfSLysin2}j

f/+fr=-2PfSLyj

La masse ajoutée duc au fluide esL done : m y =2p f

SL

Pour les mouvements suivant Ox il y fi un déplacement relatif longitudinal du fluide de la tuyauterie: le fluide ne " suit}} pas complètement la tuyauterie, la masse njoutée est inférieure ii celle du fluide. Pour les mouvements suivant 'Oy, il n'y .Il pas de déplacement relatif: le fluide " suit ;; la tuyauterie; la masse ajoutée est égale il celle du fluide. On voit donc sur cet exemple que la seule façon d'estimer correctement l'effet inertiel du fluide dans une tuyauterie cn déplacement est de considérer le couplé, décrit par (14.22), en éliminant Je terme de compressibilîté:

14.6.5.

Exercices

E.tercice J. Culmler les fréquences de rêSOlUl1Ice d'un système il 2 degrés de liberté constitué par deux tubes fermés indéformables de masse négligeable, liés par des ressorts et contenant un fluide incompressible tel que l'indique lu figure:

..z Figure 14.37.

346

INTERAcrroN FLUiDE-STRUcrURE

(on négligera les effets tridimensionnels au niveau des changements de section dans le fluide}. Soit Xl le mouvement du cylindre externe ct x 2 celui du cylindre interne; PI et Pl la pression aux extrémités du cylindre extérieur, P3 et Pol la pression aux extrémités du cylindre Înterne. Equations du mouvement des cylindres, compte tenu de l'inertie du fluide interne au petit cylindre: (Pl - Pl) S - k. XI + k 2 (X 2 - Xl) 0 { (P3 - Pol) s - k 1 (X2 - XI) = 2 p ,sIX;. Equations pour le fluide intermédiaire divisé en 3 tronçons: • tronçon de section S :

(P;l-PI)+P,(L-l).t 1

0

• tronçon de section S - s :

• tronçon de section S :

(P2 - P4) + p ,(L - 1) XI

0

En éliminant les pressions on trouve:

1

2PIS~::;:XJ

0

2p/sll_sjs+k2(x2

xI)=O

On trouve un premier mode d'ensemble (XI = x 2 ) où seul le ressort k l travnîlle et de masse généralisée, la masse totale du fluide. Ceci est un résultat général dû au fait que la structure interne noyée dans le fluide n'a pas de masse. La pulsntion de ,';sonnnee est: "',

=

Ji P:'SL .

Le deuxième mode est un mouvement du cylindre interne La pulsation de résonance est:

W

2

(Xl

0).

k2 2pf'dj(1-sjS) .

La masse ajoutée du fluide est d'autant plus grande que les sections S et s sont voisines (effet de confinement).

Exercice 2: Soit un tube très long, de longueur 2 L ct de section S contenant un fluide incompressible de masse volumique PI' Il communique en son milieu avec une grande cavité par l'intermédiaire d'un petit tube de longueur 1 et de section s, également rempli de fluide. Le cylindre est limité à chacune de ses clitrémités par un piston mobile sans

("') Le terme d'inertÎc est calculé en déduisant la vitesse v du fluide dans le 2c tronçon de la conservation des débits entre les 1er et 2c tronçons: (S - s) v SiJ - si;!_


347

frottement et sans masse. Un ressort de raideur k exerce sur chaque piston une force de rappel proportionnelle ù son déplacement (voir figure 14.38).

Grande cavité

__-_ --_-_ - ___

~""'W"'lI'l"\t"",IIS=--_--

L

L Figure 14.38.

En négligeant les effets tridimensionnels de fluide au voisinage des extrémités du pelit tube et en considérant une condition de fluctuation de pression nulle au niveau de la grande cavité, déterminer les' fréquences et modes propres des petits mouvements du système autour de sa position d'équilibre.

Réponse: -

mode

«

pistons en opposition de phase)} :

-

mode

«

pistons en phase )) :

Exercice 3: Soit un tube de section S et de longueur 2 L contenant un fluide compressible (vitesse du son c) de masse volumique P f'

z

l

s

p.:::O

1.

.1.

\s

L

._-.....1:

1

Figure 14.39. Ce tube est ouvert aux deux extrémités (condi!ion de fluctuation de pression nulle). En son milieu, on adapte un tube très court de sectÎon s dans lequel se déplace un piston snns masse fixé par l'intermédiaire d'un ressort de raideur k. - Effectuer Je calcul des modes propres acoustiques de ce dispositif (fréquences de résonance et déformées modales) de deux façons différentes (cn

348


supposant uniquement un régime d'ondes planes dans le tube) : 1) Directement, en utilisant Ics matrices de transfcrt acoustique ,des tubes. 2) En utilisant la base des modes propres du tube seul ouvert llUX deux extrémités; PrIez)

= sin ~~ z; on écrira en particulier les équations liant les

composantes an sur les Pn de III pression dllns le tube cngendrée par une discontinuité q du débit acoustique localisée llU milieu du tube.

Remarque: Par la prcmière méthode, les fréquences propres seront données par une équlltion transcendante. Par la deuxième méthode, on obtiendra une équation llyant la forme d'une série infinie. On étudiera le premier mode propre en particulier dans le cas où l'on peuL considérer que le fluide est très peu compressible. Répollse: Le système étant symétrique on a deux familles de modes. - Les modes pairs (ou antisymétriques en pression). Ces modes sont tels que la pression au nivellu du piston est nulle, ainsi que son mouvement. Ce sont donc les modes du tuyau ouvert aux deux extrémités:

p7T L

- Les modes impairs (ou symétriques cn pression). Ces modcs sont tels que ln pression au nivcllu du piston n'cst pas nulle. 1) Leur pulsation propre est donnée par la relation: wL wL 2kSL -tg-=-c c p fC'!. s~

Si w L c

.:g

1 la 1re pulsatÎon propre cst :

ùJ

1

=

J~ m

avec

p fsL s m=~S

qui représente la mûsse ajoutée due au nuide. 2) Cette question se rapproche des exercices du chapitre 9. Equation donnant les pulsations propres des modes impairs:

~ (2p Si fi

.:g

avec

1 la l'c pulsation propre est donnée par: Fl

kSL

_

L 1/(2p -1 f

Pf

p

J~m

. . 1a O n retrouve amsi

2 wL 'fT

HI-

d'où:

fi

Vil

~)vec

m

--:r-

l eur prece ' 'd ente: P f sL S s.

C

CHAPITRE 15

SYSTÈMES FLUIDE-STRUCTURE NON CONSERV ATIFS (FLUIDE SANS ÉCOULEMENT)

Comme tous les systèmes vibratoires, les systèmes couplés fluide-structure réels ne sont pas conservatifs. Dans la plupart des cas, ces effets non conservatifs sont faibles. Comme nous l'avons vu dans la première partie, on peut alors utiliser la base des modes propres du système conservatif associé pour projeter les efforts non conservatifs el déduire ainsi des amortissements modaux. Dans ce chapitre, nous étudierons les effets 11011 cOflsenJatijs dlls au fiuide, et ceci dans le cas où le fluide est sans écou/emelll. La dissipation d'énergie peut alors venir: - soit d'une dissipation des ondes à l'infini pour les systèmes en milieu fluide «ouvert» ; - soit des effets de viscosité ; - soit, enfin, si l'amplitude des mouvements est suffisamment grande, d'une dissipation par génération de turbulence. Le cas où le fluide est ell éCOilleme1ll sera traité au chapitre suivant: La formulation est alors plus complexe et traduit les échanges d'énergie entre le système vibrant et l'écoulement qui joue le rôle d'un réservoir d'énergie. Le système peut alors être soit dissipatif, soil instable.

15.1.

AMORTISSEMENT DÛ À LA DISSIPATION DES ONDES

A L'INFINI

Le système fluide-structure est caractérisé par les mêmes équations qu'au chapitre précédent. L'aspect non conservatif du système se traduit par une condition de « non retour des ondes )1 à l'infini. Nous examinons ici deux types d'onde: - les ondes acoustiques liées à la cornpressibilité du milieu fluide; - les ondes associées à une surface libre en présence de pesanteur (on considère alors que le fluide est incompressible, cf. paragraphe 13.5).

350

15.1.1.

INTERACTION FLUIDE-STRUCTU RE

Dissipation des ondes acoustiques

Comme nous l'avons vu au chapitre 13, la solution élémentaire singulière dans l'espace à trois dimensions est du type: .... iwr

e-

C

p(r) = r

pour un milieu acoustique homogène en

«

ondes entretenues» (pulsation w).

Mo (singularité) Figure 15.1. iwr

La solution

e

C

r

correspond à des ondes divergentes et réalise donc la

condition de non-retour à l'infini. D'une façon générale, pour un problème mono-bi ou tridimensionnel, la solution à l'infini, c'est-à-dire loin de la structure vibrante (distance r grande) devra être de la forme (en coordonnées sphériques) : illlr

p(r,B,cp)

f(r)e

g(B,cp)

C

(Les fonctions f (r) et g (B, cp) dépendant de la nature mono-bi-tridimensionnelle du problème et du mode vibration de la structure). Nous allons illustrer ceci par un exemple bidimensionnel: a) Dissipation à [,inJlll; pour une coque cylindrique vibrante

Considérons, comme au chapitre précédent, une coque cylindrique circulaire de rayon R couplée à un fluide dont nous négligerons les mouvements longitudinaux. Ses mouvements propres normaux à sa surface sont de la forme cos nO ou sin nO. Ici, nous considérons un milieu fluide compressible infini baignant la face externe de la coque. La solution de l'équation des ondes entretenues: Âp + ( ; ) 2 P = 0 en coordonnées polaires bidimensionnelles est de la forme: p(r, B)

[ AJ" ( :r ) + BYn

(

:r )

J cos n8

(ln et Y/J étant les fonctions de Bessel d'ordre n de première et deuxième espèce).

351

SYSTÈMES FLUlDE-STRUcrURE NON CONSERV ATIFS

M x

Fluide Figure 15,1.

Asymptotiquement p(r, 0) est de la forme:

~

-? -wr

[A 'B e -

1

-i{ll+ 1/2)17/1

~ _lUIT] A + lB -i(n ... ll:!)17/~ c 0 +-- e e cos Il 2 (

i"'r.

e

c

1r-

e

Pour respecter la condition de non·retour fi l'infini, on doit avoir: A =iB ==> p

(r, 8) = A

[J

n (

:r )

-iY

n (

:r ) ] cos nO

Pour résoudre complètement le problème, écrivons la condition aux limites à la parai de la coque: ) ( -ap an

Wc r

A

R

[J

n' (

wcR)

-1'Y'n

( -c wR ) ] cos 118

= Pf

w ")- cos n8

qui nous donne A, d'où la solution:

Jn ( p (r, 8 ) = P f c w

J~ (

:r )_ :r ) :r )_ ~ :r ) iV /1

(

cos Il 0

(15.1)

iY (

La force généralisée exercée par le fluide sur la coque pour le made cos 110 est (pour une longueur arbitraire L de la coque) : Fn =

J211" p(r, 8) cos nORL dO ()

J,,(~)-iYII(~) ==> Fn = - -rrp fcwRL J' ( wR ) _'V' ( wR ) /1

C

1

/1

C

352


Fn a une partie réelle qui correspond à un terme conselVatif et une partie imaginaire qui correspond à un terme dissipatif. • wR . ord re 1es D ans 1e cas f'requent ou. : - ~ 1 ,on peut d'eve 1opper au premter

c

deux termes:

Fnr est alors une force inertielle~ la masse associée correspond à la masse ajoutée due au tluide (cf. 14.3.2) : m

= 7rII Pf R"- L

1

De l'expression de Flli' on peut déduire un amortissement. S;, par exemple, la masse de la coque peut être négligée devant m'et si l'on considère un mode du système coque-fluide de pulsation wo. l'amortissement modal associé sera:

- Fni(w(}) 2 m' Wo w

1J7r ') (

(Il!)-

nR ) 2c

W

2n

(15.2)

L'amortissement d'une structure par rayonnement acoustique croît avec la fréquence et devient réel1ement important quand les longueurs d'onde des fluctuations approchent l'ordre de grandeur des dimensions de la structure. Il décroît rapidement avec l'ordre Il du mode.

Exemple: Pour une structure immergée dans l'eau de 10 m de diamètre, on aura un amortissement par rayonnement de 10- 2 pour une fréquence de 4 Hz en mode Il = 1. b) Cas particulier des ondes planes Dans une tuyauterie parcourue par des ondes planes, la condition de nonréOexion à gauche impose qu'il n'y a pas d'onde venant de la gauche; d'où (en ondes entretenues) la solution: iwz

p(z)=e

C

z

I5

----tIII>-

Figure 15.3.

SYSTÈMES FLUIDE-STRUcrURE NON CONSERVATJFS

353

Cette solution correspond à une impédance adimensionnelle : p(z)

(q étant le débit masse acoustique)

ie ( ) --qz

s

_ ~ p(z) => - c àp (z)

g= _ i

iJZ

(De même, la non-réflexion à droite conduit à g = i). Cette impédance est dite « impédance itérative }). Dans la pratique, il n'existe pas de tuyauterie de longueur infinie et il y a généralement une réflexion partielle à une extrémité. L'impédance associée est alors un nombre complexe dont Ja partie imaginaire correspond à un phénomène non conselVatif engendrant u~n amortissement des résonances du système acoustique ou du système couplé fluide-structure.

t

t

Ç"

~2 Figure 15.4.

Considérons ainsi le fluide interne à un tuyau droit de longueur L, comportant deux impédances g1 et Ç-:. à ses extrémités, que l'on suppose imaginaires, puis on pose:

F' l

=

Ç2 =

~'k,

= - tg" 1

lk).

= tg

Les fréquences complexes de résonance données par: sin

k l et k 2 réels> 0 .

ex '1

(ilcL _

ll' 1 -

n

Il

de ce système acoustique sont

ex.,) = 0 -

Il

ex 1 +

Ci

2

entier

est un nombre complexe. al

Etudions l'évolution de : a

ou en fonction de k =

Jll'2

354

TNTERACfION FLUIDE-STRUCTURE

Si nous posons: a = À

À

(À et ft réels) .

+ift

et ft varient en fonction de k de la façon suivante;

~=11/2)Logl(1+k)/('-kll

n/2

o

o

k

1

J Impedance

Nœud de débit

Nœud de

k

itéri:ltive

Figure 15.5.

- Si le 1 ~ la condition aux limites est un nœud de débit (À 'fT /2). Ceci correspond à la partie « conservative »). Du point de vue des termes d'amortissement proprement dits, on observe un maximum pour k 1 (ft = co) qui correspond à l'impédance itérative. Les fréquences complexes n n sont données par:

Les amortissements modaux sont donnés par:

c'est-il-dire : Si À 1 Àl

0 ou

À1

= À 2 = 7T /2 (système en demi-onde) :

en =

avec Si

Il

entier

~

= 0,

À1

À 1

7T

/2 ou l'inverse (système en quart d'onde) :

= Il

Il

entier

1

l.

E

avec

1 1 (1 + k})(l + k l ) --Log 2 !l'fT (1 - k l )(1 - k l )

1.

1 (2 Il

-

1)

Log 7T

1

(1 + ",)(1 + k.;.) (1 - k, -

1

355

SYSTÈMES FLUIDE-STRUCTURE NON CONSERV ATIFS

En particulier pour k l et k z ~ 1, on aura:

7l1T

Exemple: Atténllation d'une onde plane, due à la dispersioll au IIh'ealt dit débouché dans U1le gra/lde capacité. Soit une tuyauterie de section S débouchant dans une grande cavité simulée par un espace fluide semi-infini.

~##/#ffffu/Î

Grande cavité

M~ 1 1

Tuyau. terie

-+

n

Figure 15.6.

On suppose que la propagation sc fait en ondes planes dans la tuyauterie:

(si d est le diamètre de la tuyauterie). Au paragraphe 13.4.4, nous avons décrit une méthode (s'appuyant sur l'utilisation de la formulation intégmle en incompressible) qui, appliquée au présent problème, permet de déterminer une impédance d'entrée pour les ondes planes entretenues, au niveau du débouché dans la cavité;

iwq p~ = - 211" t

(ï) r -

avec

=

(

~

)

= 3

3~d

(P. ct q~ étant la pression moyenne ct le débit masse Il l'entrée du tuyau). Cc qui correspond à une impédance adimensionnelle :

4 wd

Cette impédance réelle correspond à un effet conservatif (inertie) faible par rapport à l'effet du reste du circuit (ç 0 avec ta même convention que dans les chapitres précédents). b) On écrit les équations du fluide (15.10) en imposant à la paroi le déplacement de la structure:

15.2.4.

Exemple: amortissement de deux plaques vibrantes séparées p11r une lame fluide visqueuse

Soient deux plaques planes indéfinies vibrant harmoniquement (pulsation w) en flexÎon, en opposition de phase l'une par rapport à l'autre, selon une déformée du type XI! cos Àz/e.

370

INTERAcrroN FLUIDE-STRUcrURE

~y - - 0- - - -e -

-

-

Fluide

-

-

- -

-e

-

--

z

-

Figure 15.17.

Les deux plaques sont séparées par une lame de fluide visqueux incompressible d'épaisseur 2 e. a) Résolvons l'équation du mouvement du fluide:

-. p 1 w XI + grad p - ip. w ..1 1 XI = o. 2

2

XI

=

°

(15.12)

dIV

En posant, pour les composantes parallèle et perpendiculaire aux plaques de XI: X {li(Y) sin (Azle) 1 vey) cos (Azle)

et pour la pression p = P Iq(y)cos (Azle).

Figure 15.18.

Le système (15.12) devient:

A dv -ll+-=O e

dy

~ )'J ::~ ~ q ~ 0 A) 2J V - ddlv ] + dq iw [ [iw + v ( ~ dy = 0 iw [ [iw

H

(

U -

l'

]

-

2

II

avec les conditions aux limites:

li: 0, { li - 0,

v:

V -

Xu - Xo

en y= e en y = - e

(15.13)

371

SYSTÈMES FLUIDE-STRUCTURE NON CONSERVATIFS

En éliminant u et q dans le système (15.13), on obtient:

iw [d2~ JI

dy-

( ~e ):1. v]

= O.

(15.14)

Compte tenu de la structure des conditions aux limites. on recherche les solutions antisymétriques pour v(y) de la forme:

v(y)=Ash

il!

À

y+Bsh-y e

e

avec: (15.15)

Les conditions en y = e, s'écrivent:

v

Xo

0

dv

1 dy => {A sh À

À A ch

+ B sh œ - X o = 0 À + il! B ch il! = 0

dont on déduit A et B. Finalement, on

il :

_ X il! ch œ sh (À y / e) - À ch À sh (œ y / e) v ( y) o-----il!--sh~À~c~h-il!~--À-c-h--À-s~h-œ~~-

D'après la deuxième équation du système (15.13) : 2

q(e) = q(- e)

À -

œ JI X o (

.

:!

œ -

= -lw 2 w Xo e =---

À

3

. -., ve ( d 3v =lw

)

dy

À 2)

y

=l!

ch il! ch À il! sh À ch œ À ch À sh œ

œ œ th À - À th il!

b) Calculons la force généralisée (par ullité de surface), exercée par le fluide sur les plaques dans leur mouvement de flexion

Le déplacement tangentiel des plaques étant nul nous avons: F~

À

-2-

Tfe

J.2 0

'!'Il!/À

[f" (e, z ) + f n ( - e, z ) Jcos

À Z/

e dZ

372

INTERACfrON FLUIDE-STRUCfURE

D'après 15.11 : F.!

A = -27re

1

A

27ft /

P f[q(e) + q(- e)] cos'!. Azje dz

0

iWAI2T1e/A[(dV) -

- 2 J.L - 2 7re

dy

0

=Pfq(e)-2iwJ.L

e

+

(dV) ] cos-'} À zj e d z dy_(

(~~)e =Pfq(e) ajÀ

'J

F.! = Pfew-Xo----=------Ci th A - À th Ci

(15.16)

Du fait du paramètre complexe a, F! comporte une partie réelle et une partie imaginaire, correspondant à une force en phase et une force en quadrature de phase avec le mouvement. Leur expression en fonction de west compliquée. c) Examinons le cas où la lame n'est pas trop mince

C'est-à-dire:

On suppose cependant que la longueur d'onde du mouvement vibratoire des plaques est grande par rapport à l'épaisseur de la lame: À c:::g

1

On a alors:

et :

d'où: Partie réelle Partie imaginaire

1 (F.!),

e

-- - Pf w2X À o

2

représente la masse ajoutée par unité de surface caractérisant

J'effet inertiel du fluide.

373


(F!)i est caractéristique de l'effet dissipntif lié à la viscosité du fluide. Ce tenue est petit devant le terme précédent:

~ «Ë l représente un nombre de Stokes associé à la lame visqueuse.

weRemarquons que l'expression de (F;!;)i n'est pas proportionnelle à la pulsation w, donc que l'effet du fluide visqueux sur la plaque n'est pas proportionnel à la vitesse du mouvement de la plaque. Considérons maintenant un mode de résonance du système couplé fluideplaques dont la déformée correspond à celle considérée précédemment. Supposons en outre que l'effet d'inertie du fluide est prépondérant dans le calcul de la masse généralisée de ce mode. Soit Wo la pulsation de résonance, l'effet de viscosité du fluide conduit à un amortissement caractérisé par le facleur réduit:

(13.17)

Application Ilumenque: Lame d'eau (l' fréquence de résonance: 10 Hz. => EO =

1,8

X

=

10- 6 m:/s) d'épaisseur 5 mm,

10- 2

Remarque générale: Les résultats précédents obtenus dans le cas particulier d'une lame mince plane d'épaisseur uniforme se généralisent au cas d'une lame de forme quelconque et d'épaisseur variable. ;

Les hypothèses we- ~ 1 et

À «Ë

1 permettent en effet de considérer, au premier

)1

ordre, que les déplacements se font essentiellement dans le plan de la lame el sont de la forme :

avec:

Figure 15.19.

374


Xf étant un vecteur du plan de la lame, fonction des coordonnées curvilignes et S2 d'un point M(s}. $2' y) ; 0: et e étant fonction de sJ et S2' Le déplacement moyen de la lame est alors:

SI

Xr(Sl' 52) = X r (5}, S2) ( 1 -.; th

0: )

= X(5 1 • S2) ( 1 -.; )

En intégrant les êquatîons (15.12) transformées par Fourier sur un petit élément de lame incluant une surface 88 de paroi, il vient:

Parois ~"'V/J~ AS Figure 15.20.

d'où l'on tire: - Pr

w

2

2 e 8S ir(Sl' S2)

+ 2 e 8S grad fi

-ilJ)JL [ ( aXf(Sl' S2' y) )

ay

_ ( aXr(SI' 52'

éJy

y =e

_~]

y»)

8S

=

0

y.

div [2 e Xf(sp S2)] 88 + li 88 = 0 en négligeant les effets de viscosité dus aux gradients de vitesse dans les directions et S2 devant ceux de la direction normale et en supposant que p est quasi constante (P) dans l'épaisseur de la lame (hypothèse À ~ 1). li représente la petite variation d'épaisseur de la lame due aux mouvements normaux des parois. Le système devient :

S1

j

P f w:2 X f ( 1 -

2 div [ e ( 1 -

~

! )+

grad p +iw JL

~ XI o

) X f ] + li = 0 .

ou en éliminant X,: div [ ( 1

-J +

1) e grad p ;-

2

P, w li = 0 -2-

(15.18)

375

SYSTÈMES FLUrDE-STRUCTURE NON CONSERVATIFS

L'effort exercé sur une paroi par unité de surface se déduit des équations (15.11) :

fn= P -

li.

2 ôe P - p[ w --1 = P

IL -Iw =

e

0:

':"grndp = 0 a

avec les mêmes hypothèses simplificatrices. Si J'on considère, par exemple. le cas particulier où e est constant (donc a)t l'équation en fi devient:

L'effet d'inertie dû à la lame est calculé à partîr de : t:.j5 + l'

P, w

1

li = O. Soit

ma la masse ajoutée généralisée caractérisant cet effet pour un mode propre donné du système structure-lame fluide. La force généralisée pour le fluide non visqueux sur la structure est alors: Fn~ ma X, pour un déplacement modal d'amplitude X. De même la force généralisée exercée par le fluide supposé visqueux est :

w5

La partie imaginaire de FI1 changée de signe correspond à un effet d'amortissement. L'amortissement modal associé est donné par: 2t(m

avec m

+ma)w~= -maw~Jm( ~

)

masse généralisée de la structure

(15.19)

d) Cas d'une lame très mince ..,

~<Si 1 JI

2 ew )(O =>l a l<Sil=>F.r=p,--..,À-

.

F.r

ew :! XI) 3

JI

3 '!

3 IL .

- IP f - - , - - , = - -.,À-

we-

..,

a--À-

À -

e

lWX o

(d'après (15.16»

376


La force exercée par le fluide, proportionnelle à la vitesse des plaques, est due essentiellement à la viscosité. Remarque: On peut retrouver directement ce résultat à partir de l'équation de Reynold,s utilisée pour les calculs des paliers fluides de machines tournantes (cL § 16.6).

Les hypothèses utilisées pour tirer cette équation des équations de Na"éer~ Stokes sont que les forces d'inertie sont négligeables devant les forces de viscosité et que l'écoulement est laminaire dans le film fluide (profil parabolique). Cette équation s'écrit, pour un fluide au repos à l'état d'équilibre:

e3 grad jï ) div ( -;

3 .

-l)

2

dans le plan développé du film fluide. jj représente la vitesse de variation de l'épaisseur du film, p la pression moyenne fluctuante dans le film. Dans notre cas, l'équation devient: ~e- = 3'lW X 0 - À --p

IL

(15.20)

15.3. 15.3.1.

AMORTISSEMENT PAR TURBULENCE Généralités

Les équations écrites précédemment ne sont valables que pour les petits mouvements d'un fluide par rapport au repos. Lorsque l'amplitude de la vibration des parois devient importante, l'hypothèse des petits mouvements n'est plus applicable, l'écoulement fluide qui en résulte est régi par les équations de Navier-Stokes où interviennent des termes d'entraînement non linéaires proportionnels au carré de la vitesse d'écoulement. On sait que les efforts exercés par de tels écoulements sur les parois peuvent être caractérisés, en régime permanent par des coefficients de traînée C f{)nction d'un nombre de Reynolds. Ainsi, pour un obstacle dans un écoulement' parallèle de vitesse V (ou pour un corps indéformable en translation uniforme), on a:

Pour les ReYllolds suffisamment grands, l'écoulement est turbulent et C x dépend assez peu de R(.

377


Ecoulement --0--

Dl Figure 15.21.

L'application de cette notion de coefficient de traînée à un corps déformable ou non, animé d'un mouvement vibratoire de forte amplitude n'est pas évidente, puisque J'écoulement engendré par la vibration n'est pas permanent. Tout ce que l'on peut dire, a priori, est que les forces exercées par le fluide sont une fonction compliquée de la vÎtesse de l'écoulement et donc de celle des parois et que seule une résolution (très complexe) des équations de Navier~Stokes couplées aux mouvements des structures peut donner une réponse. D'autre part, les données expérimentales sont dans ce domaine assez rares. Cependant, on peut penser que dans certaines conditions, l'hypothèse ~< quasipermanente » pourra être appliquée (par exemple, dans le cas d'un corps animé d'un mouvement d'amplitude plus grande ou de l'ordre de grandeur de ses propres dimensions). Le coefficient de traînée sera alors considéré comme une constante (déterminée par un calcul d'écoulement permanent ou expérimentalement) dans une large plage du nombre de Reynolds associé à l'écoulement. Ainsi, pour un système représenté par un seul degré de liberté x, la traînée sera de la forme:

-

_0

si

X 0)

et l'équation de l'oscillateur harmonique associé sera :

f (t) Remarque: En fait, l'hypothèse quasi-permanente n'est appliquée que pour estimer la partie non inertielle de l'effet du fluide. Il convient donc d'ajouter une force de type ma i. Un tel oscillateur est non linéaire. Si, le terme de force quasi permanente:

est relativement petit devant les termes d'inertie et de raideur, on peut lui associer un coefficient d'amortissement E équivalent (cf. Chap. 10). e peut être déterminé par une analyse harmonique.

378

INTERACI'ION FLUIDE-STRUCTURE

Si l'on considère le régime périodique établi résultant d'une excitation harmonique à la pulsation de résonance Wu et si l'on ne considère que la composante fondamentale de Fourier du déplacement x(t) (X cos iLlo t), les composantes fondamentales de Fourier de i(/) et fo(t) sont du type Ai sin iLlo t et Fa sin iLI 0 t avec : Ai = Fa

iLlOX

Wo f2'lT/"'0

=-

7T

fa(t) sin Wo t dt

0

Fa peut être interprété en terme de taux d'amortissement par:

(15. 2]) avec:

(L, étant une longueur caractéristique liée au système).

15.3.2.

Exemple 1: «Plaque plane vibrante dans un fluide incompressible au voisinage d'une paroÎ fixe»

On suppose que la plaque est indéformable et se déplace en translation (Ox) par l'intermédiaire d'un ressort (figure 15.22). Soit x(t) l'épaisseur de la lame fonction du temps du fait du mouvement de la

plaque. Nous ferons l'hypothèse que le profilllormalisé de la composante suivant Oz des l'itesses de l'écoulement dans la lame est invariant et de la forme

tp (

suppose de plus que les mouvements se font dans le plan xOz) avec:

s: cp (x) symétrique par rapport à X

cp

(X) dX

=1

= 1/2 et cp (0)

= tp

(1)

= O.

~) (on

379

SYSTÈMES FLUlDE-STRUcrURE NON CONSERVATIFS

2L

OJ

"'t:I

"5 LL

x Figure 15.22.

La composante w de la vitesse suivant z s'écrit donc: = 'P (

11'

~

) V (z, t)

L'équation de continuité intégrée dans l'épaisseur de la lame donne:

~ f.t 'P ( ~

Jo

oZ

aV

::::;> -

az

x

) V dx

=- x -::::;> V(z, x

+.i == 0 t)

puisque le problème est symétrique par rapport au centre de la lame. L'équation des quantités de mouvement projetée sur Oz s'écrit:

(en négligeant les effets de viscosité liés aux gradients de vitesse w suivant la direction Oz). En intégrant sur l'épaisseur de la lame: PI

::::;> -

Pf

"X

aw

IX

0

at az Jo -dx+PfX[ - X Xl cp (X)

f

1

o

+ 2 Pf

-

x

.,

lV-dx+Pf[uw]~+

0

J% -dx-IL ap [ -aU' JX =0 0

+ X cp x

(X) x

- il 2 cp X

az

ax ()

(X,] - 1 z dx Xi

] il z + fI -iJp dx + IL x z( cp (1) [J cp (X ) dx' az x

Il

2

X

1

0

'P 1 (0» = 0

380


En posant:

a

rI cp 2(U) du

et p(z, t)

Jo

pression moyenne dans la lame

=

on obtient:

=x

az

A ce stade, nous effectuons une deuxième hypothèse concernant les conditions aux limites sur la pression en z= ± L :

Cette hypothèse' est une façon globale de tenir compte de l'expansion de l'écoulement issu de la lame dans le grand volume (ou de l'inverse si l'écoulement rentre dans la lame) ; elle néglige en particulier les effets d'inertie associés par rapport à ceux internes à la Jarne (ceci est valable si ~ ~ 1). L

Si b e Si b

e

0 on a l'hypothèse de jet turbulent. 1 on considère un écoulement sans décollement (Bernoulli).

La pression s'écrit alors:

La force

f (t) exercée par le fluide sur la lame est donc: f

(1)

2

fL p(z, t) dz= - ~ KI L:1 -

~O

3

bp f V 2(L) L

(15,22) D'une façon générale, les coefficients a, b, cp (0) sont fonction du nombre de Reynolds associé à l'écoulement dans la lame (x.il Jf) : 1

f(t)

- -2 P f L 3

J

[x + ,/1 ( ~xx ) -ix X

l'

2

2

]

(15.23)

Examinons maintenant les différentes phases d'un mouvement harmonique de la plaque à sa pulsation de résonance Wo, autour d'une épaisseur moyenne XI) de la lame fluide et d'amplitude

X (avec: X Xr

relativement petit devant 1).

Nous allons associer à chacun des termes non conservatifs liés à l'effet fluide un

SYSTEMES FLUIDE-STRUCTURE NON CONSERVATIFS

38]

coefficient d'amortissement équivalent selon la méthode du paragraphe précédent. En ce qui concerne la viscosité, nous supposons que l'épaisseur de la lame au cours du mouvement reste suffisante pour que: w()x

2

--~1 li

Comme nous l'avons vu au paragraphe 15.2.4.c, l'effet de la viscosité est petit et peut être caractérisé au premier ordre par le profil: cp

(x) = 1 _ ch a (x - 1/2 ) ch a/2

avec

a

2 Il

Ce profil conduit à une force harmonique fI (t) exercée par le fluide sur la plaque dont l'amplitude complexe FI est d'après l'expression 15.22:

2)

? ) wrX FI ='::PfL --

3

( L+-

Xo

a

Fl inclut les effets d'inertie et de viscosité, exprimés au premier ordre en

X Xo '

La force associée aux effets non linéaires:

s'exprime différemment selon que l'on considère la phase de rapprochement de la Jarne ou sa phase d'éloignement.

- Phase de rapprochement (i

8

LI

) 2

ll+

1

2 Log u

= - - li li

La force exercée par le fluide sur le projectile est donnée par: /(t) =

Mv 2

1

J

Î

- Li

_0

(u

+1

386

INTERAcrJON FLUlDE-STRUcrURE

Le projectile se ralentit progressivement en s'approchant indéfiniment de la paroi rigide. La force f (1) est maximum pour li = 3/2 et vaut alors: fm!!~

MV5

= 0,07--

l

Les graphiques 15.26 à 29, tirés de la référence [19] que l'on pourra consulter pour plus de détails, montre l'allure du déplacement, de la vitesse et de l'accélération du projectile ainsi que celle de la force exercée par le fluide pour les deux cas extrêmes a et b. 15.3.4. Exemple 2bis : Choc d'un projectile très dérormable sur un phm fixe, en présence du fluide

Figure 15.25. On examine ici le cas inverse du cas précédent: le temps T d'aller ct retour des ondes (que l'on supposera planes scion la direction Ox) est grand par rapport au temps d'application des efforts dus 6U fluide. On considère îci uniqucment le cas Re}:> L L'cxercice du paragrnphe 3.4.3 nous donne l'cxpression de la vitesse du fond du projectile cn fonction de la force exercée par Ic fluide (id: force par unité de longueur) : - Va +..E... [[ (t) + 2 [(t - T) + ... ]

EL

c étant la vitesse de propagation des ondes dans le projectile, E le module d'Young du matériau qui le constitue. D'autre part : f(t) = a) 0"", t

:E T

2c x. + va + 3E - - Pf L

2(.fx

On mel cette équation sous forme adimensionnclle, en posant:

JU(O: 3',~

l

tr

[as al

a) Déplacement du projectile 46

rf" CI

-Masse du pro jer::tile

38

M=25kg 9=103kg/m3 2L=200mm v=10-6m2 /s e=50mm Vo=10- 3m/s

-Hasse volumique du fluide

"X - 30

-Largeur de la surface portante

§

-Viscosité r::inématique. - Je.u initial -Vitesse initiale

~22 111

~ 14

CIl

~

-1

m·

~ r:1 en

u

l'D

ï5..

~111

0

1=3.33mm

Re:3,33

E

6 0

20

40

60

."

BO 100 120 Temps (51

140

160

sr:1

180

~

:= c

!i5' c

q

@

......

i-.J ?"

_

10

O. •

Z

en

r:1

'III

..... -12 .§. •

4

.~

E :;: 2

"E '-S

.§.

~

. -2

~

r::: -16

III III

'111

u

oC(

0

Z

o z (j o

-0,8

6

QI

• ......

~ -04

...!5. N

~

.....

:::0 r:1

on

.:;-- 8 ~ Ü;

C

cl Accélération du projectile

hl Vitesse du pro jedile

VI

20

40

60

60 100 Temps Is)

120

140

160

180

-2,4 -2,8

~

1

0

1

20

40

1

60

1

80 100 Temps (5)

1

120

140 160

180 UJ

00

....,J

w

0 -1

of" x

- -2 Z :; -3

~

-f' CI

x

0

.g 18 ~

-8 -4 III

III

"'CI

-s

III

:.-:: r...

u

III

Éi -6

u..

-7

":1

30

- 24

0 III "'CI

co co

e) Force d'inertie du fluide

d) Force total,e du fluide

.S

u..: 0

Q:i"

20

40

60

60

100

120

140

160

180

12

4L!, 0

20

40

,

1

60

80

1

1

,

1

.

1

140 160

120

100

180

~

m

::0

)-

B 0 z

Temps (5)

Temps Is)

1:

~,

j

(3

':l'1

rC

P-

u.

1..

f)

;.J

~~~r\

0 ~

8

16

'III

==

-3

~

-4

al

-5

'S;

al

32

"'CI

T'

i

1

Ù'l

1

'~

J: -7 0

20

40

60

60

100

Temps ts)

120

140

160

180

0

20

40

60

60

100

Temps (s)

-l

ë ~ C ::0

en

:::r... -6

40

u.:

III

1

0

24 "'CI

a l:l1

g) Force de viscosité

Force de perte de charge

120

140

160

180

[as bl

al Déplacement du projectile 50

-Masse du projectile -Masse volumique du fluide -largeur de la surface portante -Viscosité cinématique -Jeu initial - Vitesse Înîtiale

,;;-

~ 40 ~

§ 30 ...... c::

~ 20 aJ

u

l'II

1=3,33mm

~ 10

M=2Skg 9=10 3kg/m3 2L=200mm v=10- 6m2 /s e=50mm Vo=1m/s

tIl

-
l, on ') 'T r

II Il ~

1 ct u' voisÎn de L

=

2

T

ou

SYSTÈMES FLUIDE-STRUcrURE NON CONSERVATlfS

393

Le travail de la force exercée par le fluide sur le projectile est approximDtivement:

"lct:l 4T

()

(

-III'! 2

-u" ) du Il

(On néglige en particulier la partie de la trajectoire correspondant 1/'

r.

U emin

1,5 (

111

= 1 => À =

~ ) 1I~ ( ~

) 7/8

et

~. "min

= 0,9 (

~

)

112 (

~

r/'I

Cette expression dépend bien entendu fortement des conditions aux limites choisies pour la coque puisque l'instabilité se fait sur le mode 111 = 1. Dans les cas pratiques, les conditions sont plus complexes (coque encastrée, libre, appuyée. articulée, etc ... ) elle peut cependant donner un ordre de grandeur: Exemple:

*

= 1

~=

0,02

Il min

=3

ou 4 U emill

0,03

Autres remarques: Des instabilités dynamiques (à w =F 0) sont également possibles pour les coques en écoulement.


415

De nombreuses études théoriques et expérimentales ont été consacrées à ce sujet pour M. P. Paidoussis et D. S. Weaver, pour plus d'informations on se reportera aux références [26] à [28]. 16.5.

EXEMPLE 3: ÉCOULEMENTS TOURNANTS AUTOUR DES ARBRES DE POMPE

Considérons une poutre droite longue pouvant vibrer en flexion et plongeant dans un fluide. Si la poutre est animée d'un mouvement de rotation autour de son axe (de vitesse angulaire il), il se produit du fait de la viscosité (même si cette dernière est faible) un mouvement de rotation du fluide caractérisé par un champ VII (r).

Soit RI le rayon de la paroi cylindrique limitant extérieurement le fluide, supposée fixe. L'allure du champ Vu(r) dépend de J'importance de la viscosité. Deux cas extrêmes sont à considérer:

Vo(r)

Figure 16.13.

ilR(R I R) • R C = - - -p - -

3 x 10 6

le Sillage retrouve une cerlüine p€ltodicilé régime • super-crilique •

~

~'--"~ ~"--/~ . ' ) y-~l)

~ -

.-

-

426

INTERACTION FLl:JIDE-STRUCTURE

Dans la pratique, le régime « sous-critique}) est celui que l'on rencontre le plus fréquemment dans les circuits industriels (obstacles divers, faisceaux des tubes d'échangeurs, etc ... ). Les régimes transcritiques et supercritiques sont rencontrés pour les obstacles de grandes tailles (cheminées dans le vent, etc ... ) ou pour les écoulements de très grande vitesse. Nous nOlis limiterons ici au régime « sOlls-critique » qui est également le mieux connu. Nous anticipons un peu ici sur la 3e partie consacrée aux sources vibratoires induites par les écoulements: Rappelons brièvement que les fluctuations de pression sont caractérisées par une « densité-spectrale de puissance )) Sp(f) qui définit leur contenu fréquentieL Spatialement, on introduit une ou plusieurs longueurs de corrélation A qui caractérisent le degré de « cohérence statistique » entre deux mesures effectuées en deux points différents: très schématiquement, si les deux points sont distants de moins de A, les deux signaux sont bien corrélés, s'Hs sont distants de plus de A, ils sont statistiquement indépendants. Les densités spectrales de puissance des fluctuations de la pression à la paroi d'un cylindre en écoulement transverse présentent trois zones particulières: - la zone à large bande à basse fréquence, - un pic étroit à une fréquence f K correspondant à la période moyenne du détachement tourbillonnaire, - un pic étroit à la fréquence 2 fI{. L'importance relative de ces zones varie en fonction de l'azimut 8 (8 point d'arrêt) (voir figure 16.20).

o

30

60

90

120

150

0 au

180

e (degrés) 0,3

0,2 0,1

0,03

Ecart type de la pression et de ses 3 composants en fonction de l'azimut e Figure 16.20.

427


c '-"

o

30

60

90

120

150

180

210

El (degrés)

Longueur de corrélation longitudinale de la pression pour différents niveaux de turbulence amont (SURRY 1972) Figure 16.11.

428

INTERACTION FLUlDE-STRUCrURE

On peut définir une fréquence adimensionnelle par s =

~

= nombre de

Strolllwl. Le détachement tourbilJonnaire est alors caractérisé par un nombre de StrOldwl SK = 0,2 environ en régime sous-critique. Du point de vue des corrélations: - azimutalement, les fluctuations sont très bien corrélées au niveau du pic de Karman (on remarque une opposition de phase de part el d'autre du point d'nrrét), - longitudinalement, la figure ]6.21 montre l'évolution de la longueur de corrélation en fonction de l'azimut, cette longueur est d'environ 4 D dans la zone du maximum des fluctuations de pression.

Remarque: La turbulence amont a tendance à atténuer les phénomènes de détachement tourbillonnaire et à diminuer la corrélation des fluctuations. 16.7.2.

Efforts fluctuants de portance et de traînée locaux

La grandeur la plus intéressante du point de vue de l'hydro-aéro-élûsticité est l'effort fluctuant exercé par le fluide sur une tranche de tube. Cet effort est caractérisé par une composante perpendiculaire à l'écoulement amont (portance) et une composante parallèle ft l'écoulement amont (traînée). Ces deux composantes rapportées à 1/2 P f V'!. D conduisent à deux fonctions du temps caractérisées chacune par une densité spectrale adimensionnelle dont l'allure est donnée par la figure 16.22. Les valeurs quadratiques moyennes de ces fonctions s'appellent respectivement coefficient de portance (TL et coefficient de traînée {T D' On remarque que la portance est plus importante que la traînée et qu'ene possède un pic fi la fréquence de Karman plus détaché encore que pour les fluctuations de pression (du fait des effets de corrélation). Lu figure 16.23 donne l'évolution de u L en fonction du nombre de Reynolds, qui est d'environ 0,5 dans une large plage. 16.7.3.

Analyse de J'effet d'un petit mouvement harmonique imposé du cylindre. Mise en évidence d'un effet destabilisant

Si l'on impose maintenant au tube un mouvement harmonique. de fréquence

Ir et d'amplitude X dans la direction

transversale à l'écoulement amont, une raie il la fréquence fe vient se superposer à la densité spectrale des efforts de portance dus à l'écoulement, pourvu que X ne soit pas trop grand (X/D "Cl loi-

Il

lI'I ...0

e

QJ

'QJ

.S: ru t...

...1-

OJ

-c CI CI

Ln 0

0

Ln

...lQJ

OJ

w

C

-.:t

ru

Il OJ

...1-

t...

0

0::

Cl..

...:t'

e

OJ

-c 1/) 0I-

e

QJ

w loiloi-

lT'l.. 0

ru

0 L.J

II)

OJ

-c OJ

N 0

ru t... ...1W

ru

Cl.. II)

'ru ...lII)

..0

Figure 16.22.

e ru

0

~

w

o

0,9

Di. O,B 0,7

~

0,6

m

~

0,5

9 o

0,4

r-

"Tl

Z

If-i"

!:; r.

.....

"':1

e:

a

0\

1'-'

[Tl

~

en

03

;d

0)

~::0

e:

1

tri

0,1 0 104

105

Nbre de REYNOLDS

Coefficient de portance en fonction du nombre de REYNOLDS - !Ecart typel

SYSTÈMES FLU1DE-STRUCI'URE NON CONSERVATrFS

431

Densité spectrale IN/m)2/Hz

10-5 ~_...I..-_.....I-_-L-_---'-_--L-_---J.._----L_ _IH_z) o 10 20 30 40 50 60 70 Figure: 16.24.

Nous considérons la portance fluctuante locale sous forme adimensionnelle :

2

1/2 P f V X

(F L et CL sont ici des nombres complexes fonctions de

f~).

On peut penser estimer cette portance fluctuante à partir de la traînée permanente liée au cylindre: En effet, si l'on se place dans le repère lié au cylindre, la vitesse amont de J'écoulement est: Vi +.ij

Figure 16.25.

432

INTERACfION FLUJDE-STRUCfURE

Si l'on extrapole à cet écoulement variable les observations effectuées pour le régime permanent on peut écrire qu'il s'exerce sur le cylindre la force:

CD~PfIVi +ijl (Vi +.tj)D (CD étant le coefficient de traînée permanente).

La partie fluctuante transversale de cette force est au premier ordre: FL

CD~ P f V.i:

d'où le coefficient de portance fluctuante, en régime harmonique:

En fait cette express}on est valable pour les mouvements « lents )~ du cylindre ~ l ), mais est complètement fausse quand JI:! Jk est vOÎsin de 1, c'est-à dire quand la fréquence d'excitation se rapproche de la gamme de sensibilité de l'écoulement instationnaire. Nous -avons représenté sur les deux graphiques 16.26, l'évolution de la partie en phase et en quadrature de CL à la fréquence du mouvement, en fonction du rapport Ici fk . Les courbes sont valables quel que soit X dans la gamme étudiée 10- J -

~I

Cl

~I

® >-

'e

® N

>

"

Cl

~

\4-

Il

~

li)

...:t

(1""1.

0

0

N 0

Figure 16.29.

..0

c:;:J

-

439

SYSTÈMES FLUIDE-STRUCTURE NON CONSERV ATIFS

La valeur quadratique moyenne de la portance et de la traînée s'exprime en adîmensionnel à l'aide des coefficients aL et aD définis par:

avec: V = vitesse intertube moyenne dans une rangée, D diamètre des tubes. aL et aD dépendent du pas du faisceau. On note également une influence du nombre de Reynolds. Dans la gamme 104 , 105 , un majorant de 0,5 peut être pris pour aL (valeur trouvée pour le tube isolé) bien que certains auteurs mettent en évidence des valeurs plus grandes pour les faisceaux quinconcés. Quand le pas devient plus serré (TL décroît comme le montrent les abaques ] 6.30 tirées de la référence [36]. ;

Faisceau en ligne

0,5

0,4

XT=3

0,3

XT=2,4 XT=2

0,2

XT=1,S Xl

0,1 0

1

2

3

4

Figure 16.30.

Le coefficient

lT D

peut être pris de J'ordre de 0,2 il 0,4 (voir réf. l36]).

c) Corrélatioll longitudinale De rares mesures de la corrélation le long de l'axe Oz des tubes ont été effectuées dans les faisceaux. L'étude des corrélations des fluctuations de la vitesse à J'aval d'un tube (réf. [38]), montre que, pour les pas larges, la longueur de corrélation longitudinale AD est telle que À = 3 à 4 (comme pour le tube isolé). Pour les pas serrés A devient nettement plus grand. Pour les efforts fluctuants, on peut prendre en première approximation le coefficient À et considérer qu'ils sont en phase le long des tubes.

440

16.8.2.

INTERAO"lON FLUJDE-STRUO"URE

Accrochage et instabilité de flottement

Comme pour le tube isolé, un mouvement vibratoire des tubes d'un faisceau modifie les forçes fluctuantes exercées sur eux par l'écoulement. Ceci conduit à des phénomènes d'i{lstabilités que les auteurs ont traditionnellement l'habitude de classer en phénomène d'accrochage et instabilité de flollement. a) Le phéllomèlle d'accrochage, par analogie avec le tube isolé, est caractérisé par une ou plusieurs plages, lors d'un balayage en vitesse d'écoulement, où les niveaux vibratoires des tubes sont intenses. Ces plages correspondent plus ou moins à une coïncidence entre la fréquence des résonances Jo des tubes et une fréquence de détachement tourbillonnaire. La modélisation du phénomène est calquée sur celle du tube isolé. Cependant, ce phénomène est beaucoup moins net pour les faisceaux il pas serré que pour les rangées uniques et qu'à fortiori pour le tube isolé. On peut cependant déterminer une zone instable dans le diagramme des V ma . paramètres adimensionnels: V R = -r D et An = - - , (avec les memes notaJO P J Dtions que pour le tube isolé). A titre indicatif, pour un faisceau à pas triangulaire réduit de ] ,5, en écoulement d'air, on observe des accrochages pour 1 1> \ 1> IJ OD CI 1> \

li!

•

\f

.~lI!g

.

Eh

0\*.

\ \

t1I

000

~

\ \

0:

>

0

~

r: r.... ru :::J C .~ en "'- :.= c 0 r:

1> 1> 1>00\

\

0

1.1)

\ * \. Saper 11980) -i fa

c:

2§ z z

0

A

A-

j

r

t-

1 10-1

CIl

1

10

102

Îl

0

zVI

m ;:tt

-< ~ ~

AR t

\0

.;:.. t.n 0

102 VR

~

...

0 l:1 'il

1> "Tl

05" c:

a

.......

0\

10

w 0\

~

O)

(À )'1

(-1)1I-~Il.

/1

(pour -

(r) =

(avec

OC) 1TO l, le processus ainsi défini est stationnaire. Comme précédemment l'indépendance des tirages Yk fait que, pour le calcul de la corrélation p (T), seul intervient la contribution de la même impulsion aux témps , et t + T.

474

SOURCES D'EXCITATION ALÉATOIRES

On a ainsi:

: y2 p(yd dYI

J::

peT)

À

let) l(t + T)

À

dt

f::I(t)I(t+T)dt

(17.18)

(C'est Je théorème de Campbelf). La densité spectrale de puissance est :

Si .J (f) est la transformée de Fourier de l (t), on a :

Exemple: Si l Ct) est un créneau unité de durée T" on a : S(f)

t

f

Figure 17.4.

d) Processus «N-Poissonnien »). Comme en a) considérons un signal X (t) pouvant prendre les valeurs 1 et 1. la transition s'effectuant il des inslants llléatoires t k tels que N événements poissonniens doivent se produire entre t"_1 et II;' Déterminons la probabilité PN. y(n) qu'il y ait" changements de signe dans l'intervalle de temps (0, T). Soit À = 2 fo N le paramètre de la loi de Poisson. fo représente la fréquence maye n nc du processus X (t ).

475

NOTIONS GÊNÉRALES SUR LES PROCESSUS ALÉATOIRES

La probabilité pour qu'il y ait eu

e événements

pOÎssonniens (0"", eN)

entre la derniëre transition du processus ct l'instant / La probabilité si

e, qu'il y ait

Il

=

trnnsÎtÎons jusqu'au temps

" f NT)"N,~m-f foNT ( - 1)

N-I

L m

~

0 est

si

+ m - r)!

(uN

~()

si

11

ï

11

. est:

or!: 0

=0

d'où:

N -1

L

(N-l)

1 le 1

(1 ! ) N

(2 f" N ï )nN + k

J..:.::..L) N

(!lN + k)!

(2 fo NT )k' si k!

si

/1

~O

Il = 0

La fonction de corrélation de X (t) s'écrit:

en posant

1') :=

nN + k on a : li

(avec 0 "'" k

P (x) ......

1

,j2; e

-~ -

b) V nriables conjointement gallssie1lnes X et Y sont conjointement gaussienne si leur densité de probabilité conjointe est: p(x, y)

=

] "-

1T0' x (J'y "

/1 -

exp { - ] 2 (l -

r:! .

2

x [(X-/-L --

r )

2 r(x - /-L.r)(Y - /-Lv)

--------------~.~

)2

O',t

+

(17.21)

480

SOURCES D'EXCITATrON ALÉATOIRES

J.L;r, J.L y '

,. =

CT;, CT; sont respectivement les moyennes et variances de X et Y.

E [(X - CT x)(Y -------~-

représente le coefficient de corrélation de X et Y (toujours inférieur à 1). c) Processus aléatoire gaussien Un processus aléatoire X(t) est gaussien si les variables aléatoires associées aux différentes valeurs du paramètre 1 sont conjointement gaussiennes. On montre alors que le processus est complètement définÎ par sa moye1lne J.L (t) el sa fonctÎon d'autocorrélation p (t l ' t 2 ). Une propriété importante de ces processus est que toute transformation linéaire d'un tel processus conduit à un autre processus gaussien. En particulier la réponse d'ull système linéaire à une source gaussienne sera gaussienne.

17 .3.

PROCESSUS SIGNAL

DISCRÉTISÉS.

NOTIONS

DE

TRAITEMENT

DU

On est souvent amené à effectuer des opérations numériques sur les processus aléatoires: - A partir d'enregistrements analogiques de signaux expérimentaux, on veut appliquer des algorithmes numériques pour en obtenir les caractéristiques. - On peut vouloir également fabriquer des processus à l'aide d'autres algorithmes. On a ~ecours alors à la discrétisation qui consiste à remplacer le processus temporel continu x(t) par l'ensemble des valeurs discrètes XII qu'il prend aux instants tll" Cette opération ne doit pas être effectuée sans précaution comme nous allons le voir.

17.3.1.

Problème de l'échantillonnage

Soit un signal x(t) de transformée de Fourier X(f). Formons:

X(f)

l

m=-ct)

'i

étant un intervalle de temps donné.

X(f+:;)

(17.22)

NOTIONS GÉNÉRALES SUR LES PROCESSUS AU~AT01RES

481

XC!) est une fonction périodique de période! (si elle existe). Elle se met donc T

sous la forme : ct)

L

X(f)

avec:

ÀI1

=T

À" e-2i1TIIT{

-!Xl

Il

Jorl/~ XC!) e:!irrll~/ df

(d'après (17.16»

En remplaçant X(f) par son expression (17.22) on À" =

T

I

m~a:J

IIT

X

l-T-

(f + 7 )

e'2i7rWT{

m+1

= T

:; 171

"-' -00

+a:>

=T

f

-00

X(!)

e2i7t1ITf

fi :

df

df

~

JI!

-

T

X(f)e 2i1t1l"r/ af=TX(IlT)

d'où: + a:!

X(f)

=

L

T

n

(17.23)

X(IlT) e-'2i7rIlT/

-<Xl

X(!) pellt dOlic être considéré comme la transformée de Fourier de.:r(t) discrétÎsée avec la période T.

t

Figure 17.9.

On peut distinguer deux cas : a) Si X(f)

=0

pour

Dans J'intervalle (-

1

JI:> 1 .

2\' '2

T

1 T

)

X (f)

coïncide avec X (f)·

Dans l'intervalle de fréquence choisi du fait de la discrétisation, le contenu fréquentiel du signal est bien restitué.

482


.' 1/21'

-1/21'

f

3/21'

Figure 17.10.

b) Si X(f) =F 0 pour

IJI ~ _1 , 2,-

D ans l"ln terva Ile (

] ,_1 2,2,- )

XT(f) ne coine1'd e pas avec X (f) ,11 Y a

repliement de ,spectre.

X(f)

f

-3/21'

-1/21' 0 1/21'

3/2T

Figure l7.11.

Pour éviter ce phénomène qui modifie le contenu fréquentiel du signal discrétisé par rapport au signal réel, il est nécessaire de filtrer préalablement ce dernier à la fréquence 1 ,c'est-li-dire à la moitié de la fréquence de Ilumérisatioll ,choisie. C'est le théorème de Shanl1oll. Dans la pratique on utilise un filtrage analogique de fréquence de coupure nettement inférieure à 1 , la pente d'atténuation des filtres n'étant pas infinie.

,-

Remarque: Le phénomène de repliement du spectre est facilement mis en évidence sur un sinusoïdal de fréquence Jo:

483

NOTIONS GÉNÉRALES SUR LES PROCESSUS ALÉATOIRES

• • • êchl1ntillonnage à une fréquence [supérieure il 2 In. { o 0 0 échantillonnage à une fréquence [inférieure il 2 In. Figure 17.12.

Dans ce dernier cas le signal discrétisé a l'allure d'une sinusoïde de fréquence (si Jo S(A, E, d) = E d sl}[F(A) Ce système caractéristique de la zone

(18.9)

CD, doit se raccorder à celui de la zone

@ qui ne dépend que de E, de la viscosité et de l' échelle dl A. Ceci impose en particulier que S ne dépendent pas explicitement de la dimension géométrique caractéristique d.

CARACTÉ.RISTIQUES DES SOURCES VIBRATOIRES ASSOCIÉES

517

La fonction :F (À) doit donc être, d'après (18.9) de la forme:

:F (À ) (de telle sorte que S

=

:!IJ E'

(

= À - 5/3

(18.10)

li ) 5/3 ). A

Remarque: Si l'on suppose qu'à une échelle de turbulence donnée dl À correspond une gamme de fréquence étroite centrée autour de 1 telle que: s

= 2

11'

Id . .

À

V

la densité spectrale adimensionnelle :F (r, s) sur un point r donné aUn:l également une évolution en s-513. Cette hypothèse correspond il l'image du tourbillon animée d'une vitesse V et de rayon dl À.

10- 5 ""0 tri

>

N-

O-

"

"'-

i7) 10-6

10- 9 L---_ _ _----IL--_ _ _ 10- 1 10

o_----I

---L_ _ _

102 fd/V

Figure 18.3.

518

SOURCES D'EXCITATfON ALÉATOIRES

A titre d'illustration fa figure 18.3 montre la densité spectrale des fluctuations de la pression à la paroi d'un tube de diamètre d parcouru par un écoulement de vitesse moyenne V pour des Reynolds de l'ordre de 106 (réf. [57]). La DSP est tracée en coordonnées adimensionnel1es ; les points expérimentaux associés ù plusieurs vitesses d'écoulement suivent la même courbe, ce qui montre que le phénomène turbulent dépend peu de Re' donc de la viscosité. La pente en 5/3 est assez bien vérifiée dans la partie intermédiaire du spectre. 18.1.6.

Mise en évidence des zones d'écoulement très perturbées

Au sein d'un écoulement turbulent, les fluctuations n'ont pas partout la même intensité. La figure 18.4 montre les densités spectrales des tluctuations de pression de paroi observées pour différentes configurations géométriques rencontrées dans les circuits. On remarquera tout de suite la grande différence entre les configurations singulières l, 2 et 3 caractérisées par un très fort niveau dans les basses fréquences (

t.::

ri r j 3 r

[

a1'jj ] ~

ar

d~

(ri étant la composante du vecteur MP sur l'axe de référence i).

CARACTÉRISTIQUES DES SOURCES VIBRATOIRES ASSOCIÉES

525

Lightlzill montre que ce terme a le comportement acoustique d'un champ quadripolaire. Il est à rapprocher du terme 1 du paragraphe précédent. b) Le terme de surface :

[PI] grad -1 + r

[aPI grad - ]-r J . ndI iJl

cr

P

Si nous supposons toujours que grad PI' n = 0 sur la paroi, son expression se . au premIer . ord re en -1 il: re'd Ult r

ce qui correspond à un rayo11nemelll dipolaire. Ce terme est à rapprocher du terme (2) du paragraphe précédent.

CONCLUSIONS L'expression (18.14) a une structure assez compliquée. Dans la pratique on a tendance à en appliquer des formes simplifiées qui correspondent en fait à des cas particuliers de modes propres de systèm'e fluide-structure. a) L'hypothèse la plus souvent utilisée consiste à négliger la compressibilité du fluide (donc le ] cr terme de (18.14) et également les effets à « longue distance » dus à l'interaction fluide-structure (donc le 2c terme de (18.14) puisque Pt et v seront supposés nuls en dehors de la zone excitée). On a alors:

F=

f

PI X s ' n d.!'

(18.16)

(.!I)

Cette hypothèse est vérifiée dans le cas de structures souples en présence d'un fluide très peu compressible, si l'on considère des modes de vibration « locaux », c'est-à-dire possédant quelques longueurs d'onde en déformation dans la zone excitée. C'est le cas par exemple de plaques ou coques minces soumises à un écoulement d'eau, de tubes d'échangeurs en écoulement parallèle ou transversal, etc ... On peut alors, si l'on connait les caractéristiques du champ des pressions à la paroi de la structure, calculer la DSP de F et donc de la réponse du système fluide-structure à l'aide des formules générales du paragraphe 17.4.3. En particulier la formule (17.49) appliquée à (18.16) nous donne, pour la DSP de F à la résonance considérée :

526

SOURCES D'EXCITATION ALf:ATOIRES

Dans les hypothèses effectuées, on obtient souvent une précision convenable sur l, à raide d'une modélisation relativement simple de la' densité spectrale d'interaction, Spl(rOj ' ro:!, l) tellc que celle de la formule (17.42). Les DSP, longueurs de corrélation et vitesses de transport peuvent être obtenues expérimentalement à l'aide de capteurs de pression de paroi situés dans la zone perturbée de l'écoulement (nous donnerons des exemples aù chapitre 19 en ce qui concerne les singularités des circuits). b) Dans le cas de problèmes d'acoustique, où l'on considère essentiellement des modes purement liés au fluide compressible, on fait l'hypothèse inverse de celle du a). En effet, l'excitation de la paroi est souvent ici un phénomène secondaire et l'on considère soit les formules de Liglzthill si l'on a affaire à un problème de rayonnement en espace infini. soit les deux premiers termes de (18.14) si l'on a affaire il un problème de résonance acoustique de circuit.

c) Il est enfin à remarquer, que pour le calcul de l'excitation des premiers modes de circuits parcourus par un fluide, même si celui-ci est très peu compressible "hypothèse a) ne peut être appliquée car on ne peut pas négliger les effets à longue distance qu'implique le couplage flexion de la tuyauteriemouvement en ,1 onde plane» du fluide. D'autre part, la dimension des zones perturbées est généralement petite devant les longueurs d'onde de ces modes. Ainsi il nous a paru intéressant de consacrer un chapitre spécial à ce cas particulier: -

il illustre d'une part les considérations générales précédentes, - il est d'autre part d'une application pratique courante et les données théoriques et expérimentales que nous allons présenter forment un ensemble suffisamment important pour servir de base à un formulaire pour estimer les niveaux vibratoires des circuits industriels sous écoulement.

CHAPITRE ]9

APPLICATION AU CAS PARTICULIER DES VIBRATIONS À BASSE FRÉQUENCE DES LIGNES DE TUYAUTERIE SOUS ÉCOULEMENT

L'écoulement des fluides dans une tuyauterie industrielle est généralement turbulent. Cependant, comme nous l'illustrerons par la suite, les fluctuations sont très nettement plus intenses en un certain nombre de zones que J'on appelle singularités. Ce sont par exemple les variations plus ou moins brutales de la section de passage ou de la direction de l'écoulement, des obstacles dans l'écoulement (ailettes, vannes il demi-fermées, etc.) ou les machines tournantes qui assurent la circulation du fluide. Ce sont ces fluctuations que nous retiendrons comme source d'excÎtation. Si nous considérons leur densité spectrale que ce soit à la lumière des considérations théoriques sur la turbulence du chapitre précédent, on à l'aide de données expérimentales, nous remarquons que c'est la gamme des basses fréquences qui est la plus énergétique. Cette gamme est celle des nombres de Strouhal s

~l

(si d est le diamètre de la tuyauterie et V la vitesse moyenne de

l'écoulement) dont l'ordre de grandeur est inférieur il l'unité. En ce qui concerne les phénomènes acoustiques qui peuvent se développer dans la tuyauterie du fait de ces fluctuations, on peut alors remarquer que les longueurs d'onde associées rapportées au diamètre de la tuyauterie sont telles que: c 2

'TT"

c

1

f d=2

'TT"S

1

V = 2 7TsM

Ce rapport bn'ersement proportionnel au nombre de Mach M de l'écoulement, est généralement grand del'flllt l'llIlité. La propagation dans les tuyauteries se fait donc par ondes planes. En ce qui concerne les vibrations de la tuyauterie elle-même, les mouvements de flexion d'ensemble sont les plus excités. Ce sont donc les premÎers modes propres couplés acoustique-mécanique tels que nous les avons caractérisés dans la 2c partie (§ 14.6), qui nous serviront de base de projection pour le champ instationnaîre associé aux singularités d'écoulement.

528


Ceci nous conduira à expliciter la source d'excitation sous une fonne plus simple, en particulier en ce qui concerne l'aspect spatial du champ instationnaire.

Remarques : a) Ce que nous venons de dire n'exclut pas l'excitation possible des modes de fréquence plus élevée ou de structures plus souples dans la zone des basses fréquences, dont le caractère est plus local. C'est par exemple le cas où la tuyauterie est très mince (modes de coque à basse fréquence) ou sÎ l'on a des obstacles souples (tubes, ailettes, clapets, etc.). Dans ce cas les développements qui suivent ne s'appliquent pas et il faudra donc pour calculer la réponse des structures, utiliser la formulation générale (18.14) qui implique une caractérisation complète du champ aléatoire instationnaire. b) A l'inverse, si l'on applique la formulation générale à la projection du champ instationnaire sur Jes modes « basse fréquence» des tuyauteries, que nous avons définis précédemment, il faut être prudent. En effet, le champ instationnaire, généralement très complexe, est caractérisé d'une façon approximative, par un nombre réduit de paramètres (par exemple on simplifie les lois de dépendance du spectre en fonction de l'espace, on caractérise les « interspectres» à l'aide d'une ou deux longueurs de corrélation, etc.). Cette méthode, tout il fait admissible pour calculer la réponse sur des modes élevés, peut se révéler très fausse en ce qui concerne les modes basses fréquences, car le champ aléatoire ainsi caractérisé n'a aucune raison de vérifier un certain nombre « d'intégrales» liées aux équations de Navier-Stokes et qui jouent un rôle particulièrement important dans la projection sur ce type de mode, comme nous allons le voir.

19.1.

19.1.1.

PROJECTION MODALE DU CHAMP FLUCTUANT ASSOCIÉ À UNE SINGULARITÉ Hypothèses particulières aux ondes planes

Rappelons tout d'abord certains résultats de la 2c partie (§ 14.6). Les longueurs d'onde associées à la déformation modale mécanique de la tuyauterie sont grandes devant le diamètre de cette tuyauterie. Comme les zones d'écoulement instationnaire occupent, quel que soit les singularités, une zone aval de l'ordre de quelques diamètres (avant de s'atténuer), on pourra considérer que le déplacement modal X s de la tuyauterie est constant dans le volume d'intégration de la formule (18.14). En appliquant Je même raisonnement à l'aspect acoustique de la déformée modale, la variable de pression acoustique 11' sera considérée également comme constante. Le gradient de 7T' subit quant à lui une discontinuité du fait du mouvement

529

VIBRATIONS À BASSES FRÉQUENCES DES LIGNES DE TUYAUTERIE

Zone perturbée

Figure 19.1.

X s de la tuyauterie. Entre l'amont (indice 1) et l'aval (indice 2) nous avons:

La force généralisée associée à un tel mode couplé donnée par la formule (18.16) :

[P,] 1 ct 2 et ( av ) (J[

acoustique~mécanique

est

représentent la moyenne de la pression turbulente et de 1 Cl 2

l'accélération turbulente sur les sections droites (Sd et (S2) amont et aval de la zone perturbée. On remarque que du fait de l'incompressibilité supposée pour le calcul du

av s'annule. al

champ v, l'ensemble des termes en -

«

De plus on peut définir une variable modale Q, caractérisant le mouvement acoustique») du fluide au niveau de la singularité par: Q

S.,

= ---=. PI

SI

(grad

11"

h- . 1.,- + S~- Xs • 1.,- = -P,

(grad

11")1 •

11

+ SI Xs • Il

on obtient alors: F = -

wJ 211"

P,c

f

(VIl

Pt dv - Q [CP,)2 -

CP,)d -

Xs •

f

(.1"(+S)

p, n d.r

(19.1)

530

SOURCES D'EXCITATION ALÉATOIIŒS

On remarque que, d'après l'équation des quantités de mouvements des fluctuations turbulentes incompressibles:

la contribution des termes quadratiques étant nulle aux 1imites (.If) et (S) de (V f)' FIL est la résultante générale des forces de viscosité s'exerçant dans le volume fluide (V f ). Du fait des grands nombres de Reynolds des écoulements considérés on peut négliger les effets de viscosité devant les effets ({ turbulents») (cf. éq. (18.15)). D'autre part le terme X s

J

Pf

(Vi)

av dv ol

est lié à un débit fluctuant dans

l'ensemble de la tuyauterie. Ce terme n'est pas forcément nul mais est toujours petit devant le terme Q (rJr ), car 1eur rapport est de l'ordre de grandeur du quotient de la masse du fluide de (V f ) et de ce1le contenue dans l'ensemble de la tuyauterie. (19.1) devient alors:

F=

19.1.2.

(19.2)

Mise en évidence d'une discontinuité de la pression ct du débit acoustique

L'expression (19.2) montre que la force généralisée F se réduit à deux termes: "u) le terme -

w~

1T

f

Pf

Pt du correspond à la projection sur la déformée

(Vfl

modale 1T d'une fonction J(t) localisée sur une section droite au niveau de la singularité. On peut montrer qu'il lui est associée une discontinuité de débit acoustique ilq dans le circuit. En effet, la projection sur la déformée modale 1T d'une telle discontinuité est:

1 d Âq dt

----1T

Pf

D'autre part, la fonction

7T:

JC/) peut s'écrire d'après la forme de sa projection sur

VIBRATIONS

A BASSES

FRI~QUENCES DES LIGNES DE TUYAUTERIE

531

En identifiant, on peut donc associer, à la singularité, la discollti1luité du déMt acollstiqlle : 1 d'

-:J p c2dt (\'fl

ilq =

(19.3)

dv 1

b) le terme - Q [(PI):\ - (P,)\ j correspond i't la projection sur la déformée modale 1T d'une dÎsconlimûlé de la pression acoustique dalls le circllit :

(19.4)

On peut donner d'autres expressions de ilp en utilisant l'équation des quantités de mouvements des fluctuations turbulentes incompressibles avec les mêmes hypothèses simplificatrices que précédemment. On obtient alors:

d'où par exemple:

f

[PI - (iJ/)d n d}; + Sl I1[(iJr)1 -

VJt)tl

= 0

(.rf)

==>

(19.5)

Ap =

Cette dernière expression montre que la discontinuité de pression acoustique locllies .\' de pression lllrbuJellte fi la paroi de fa singularité. Ap est fonction des flllclUatiolls

19.1.3.

(1'

Généralisation à une singularité il plusieurs sorties

Les expressions du paragraphe précédent se généralisent simplement. Si li est le vecteur unitaire sortant de la singularité associé il l'entrée i de section Sî' on pose: Qj

Si -Pf (grad 1T ) .• J. + S X . 1· ' l l.r J

On a alors: LQi =0 i

(19.6)

532

SOURCES D'EXCITATION ALI~ATÜIRES

Figure 19.2.

et l'expressîon de la force généralisée devient:

(19.7)

)j étant la moyenne sur la section (Si) de la fluctuation de pression turbulente. On pourra ainsi définir comme précédemment une discontinuité du débit acoustique: dq

=

telle que, si "on appelle CJî les débits acoustiques sortant de chaque communication, on ait: (19.8)

On peuL également généraliser (19.5) en écrivant:

(19.9)

19.2.

DENSITÉS SPECTRALES DES DISCONTINUITÉS ASSOCIÉES À UNE SING ULARITÉ

Nous analysons dans ce paragraphe l'allure des densités spectrales des fonctions Âp (t) et dq (t) définies précédemment. Pour cela il est intéressant

VIBRATIONS À BASSES FRI~OUENCES DES LIGNES DE TUYAUTERIE

533

d'effectuer une analyse dimensionnelle et de définir un certain nombre de grandeurs physiques caractérisant l'écoulement dans les singularités.

19.2.1.

Analyse dimensionnelle et grandeurs physiques caractéristiques

Si nous considérons pour l'écoulement dans la singularité, une vitesse de référence V o, une masse volumique de référence PI et une longueur de référence L, on peut réécrire les équations de Navier-Stokes en variables adimensionnelles. En particulier les fluctuations instationnaires sont caractérisées par des vitesses adimensionnelles v /V o et des pressions adimensionnelles ~, qui sont PI Vii fonctions d'une variable d'espace adimensionnelle -[ et d'une variable de temps adimensionnelle

Vol

L

.

Deux paramètres interviennent alors dans le problème: le nombre de VoL Vf) Reynolds; R = P f et le nombre de Mach M caractérisant lu C J.t C viscosité et la compressibilité du fluide. Comme nous l'avons montré dans les chapitres précédents, les fluctuations instationnaires locales de l'écoulement dans la singularité sont généralement peu dépendantes de Re et M, du moins en ce qui concerne la partie « basse fréquence» de ces fluctuations.

19.2.2.

Densités spectrales ndimensionnelles

Le champ des fluctuations locales dans la singularité peut être caractérisé par une densité spectrale d'interaction S{r l • r2' f) (cf. § 18.6). Si l'on considère par exemple les fluctunlions PI de la pression, on peut définÎr la densité spectrale d'interaction adimcnsiol1l1ellc.SI'l (rI'

Tl'

f) V()

(p f v~i!

avec s = nombre de Stroulral =

~L

(19.10)

.

()

:F sera peu dépendant des nombres de Reynolds et de Mach. La discontinuité de la fluctuation de la pression acoustique ilp (t) et du débit acoustique ilq (t) sont des fonctions linéaires du champ PI (r, 1 ) dans les formules du paragraphe précédent. Leurs densités spectrales SAI' (f) et Bâll (f) peuvent donc s'exprimer à l'aide de la densité spectrale d'interaction S"I:

534

SOURCES D'EXCITATJON ALI~ATOJRES

soit en adirncnsionnel :

Comme nous l'illustrerons plus loin, l'allure des spectres :J fil et :J p; est de type '( turbulent ), : c'est-a-dire décroissant en fréquence à large bande, Les intégrales

l

(.rf)

J

et

(.!(l

f f (\'I)

ont la même allure.

(Vf>

tF d/'(s) et :F .li} (s) ont donc l'allure indiquée à la figure 19.3 :

Log

':r'

Figure 19.3.

:FdP(S) et :J dl/(s)/M 2 sont peu dépendants des nombres de ReYllolds et de Mach. En particulier pour les écoulements de fluides peu compressibles tels que l'eau, seul :J Ap (s) sera à considérer. Pour des écoulements de fluides compressibles, tels que la plupart des gaz, et à partir d'un M >- 0,1 à 0,2 il faudra tenir compte de :F Aq surtout dans la gamme des moyennes fréquences, L'analyse que nous venons d'effectuer montre également que le niveau des sources associées aux instationnarités (écart~type de D.p(t) et D.q(i» évolue en V~ aux basses vitesses (M

....

'.

','

0,8

'

.',

. ..

"

0.7

,

0,6

cl Capteurs à l'aval de la singularité (llx/O:::2)

1 ._.............. " .., ........

••••• ::' ~ •• : ••••••••: ••:~ •• ::~.: ...

•:a: • ",

..

~

.. .

...:.:.:: ..:.:.: .....1':..

..

':: ..

Fréquence (Hz)

o 50 300 100 150 200 250 Elargissement brusque ID=O,04m]: mise en évidence par intercorrélation du phénomène acoustique Figure 19.8.

Le choix de ces grandeurs de référence est en fait dicté par une représentation imagée que l'on peut se faire de l'instationarité. En effet la recompression ~p représente ( l'amplitude maximale moyenne)) que peuvent avoir les fluctuations: variation entre les conditions dans le jet et les conditions aval. Comme nous l'avons vu dans l'analyse du régime permanent, D - d semble être une bonne longueur caractéristique. Elle donne l'échelle de la poche

540


décollée. Il est également assez naturel de choisir la vitesse de jet comme référence en ce qui concerne l'aspect fréquentiel des tourbillons. On vérifie ainsi expérimentalement que les grandeurs adîmensionnelles caractéristiques des fluctuations de la pression locale de paroi sont: - indépendantes des nombres de Reynolds et de Mach (dans la plage étudiée qq 104 /d ce qui correspond à une longueur de corrélation longitudinale l'oisi1le de d. En ce qui concerne la phase, les courbes ont l'allure de droite passant par J'origine, dans la zone du plateau de cohérence. Ceci est la signature d'un effet de transport des fluctuations. Les courbes représentant la phase en fonction de

Si =

f ~x font apparaître


cu L.J

c

cu ''cu

' t ' {Ad/D:O,S AVil 1 Imm!!'doIii t dI! 1il smgu l~rI e t:. d/0=O,71 0

0,8 _

o--rr-0-o

..c.

8 0,7 as

"'[J

c

0,6

0

:.:: u 0

o

0._0_

1

", , . "

0

{ • d/0=O.5

0'

smgularlte {

0

0

d/O=O 71 , x/0;25

/O=~

• le

-

0

·.-.3.~ç· o·. . d'" '.

0,3

I~

'

m~lelmum

fiK /d:O,O fix/d=O,8 fix /d=O.7 fix/d=O,7 fix /d=O,5 fix/d=O,95

(Courbes ind6pendantes de la vitessel

00

"",

'-c y

"

Zone elolgnee de Id/D=O,711

\

\\ o

A

0

0

A

"-

,1:. t:. ., "", '.,, ", A,.

.

0,2

0,1

o

Zon!! d e l,'ecar t t ype

0

O~

,

• ",

c

u..

0

543

0,1

.

0,3

0,2

0,4

0,5

0,6 s= f(D-dl/V

Figure 19.11.

une vitesse de transport VI (pente des droites) telle que: 0,6

~

V/V

~

0,7 .

On note une perturbation de ce schéma dans la zone des très basses fréquences, en particulier pour les capteurs de la zone a). c.2. Corrélatioll circonférc1lcielle

Les fonctions de cohérence de deux capteurs situés sur une même section droite du tuyau aval ont à peu près les mêmes caractéristiques, On peut définir une longueur de corrélation circoniérencîelle de l'ordre de D /3 (angle = 40"). La phase est toujours nulle. d) Conclllsion sur la structure de la zone Îllstatiollllaire locale

A l'aval d'un élargissement brusque on peut donc distinguer trois zones caractéristiques: - à l'aval immédiat (zone a)), dans la poche d'écoulement décollé les fluctuations de pressions sont il très basse fréquence (sc = 0,01 ) et relativement peu intenses. - un peu plus à l'aval, on entre dans la zone de « recollement ») du jet, on observe alors les fluctuations les plus intenses (12 % ~P) dans une gamme de fréquence un peu supérieure (sc = 0,2). La cohérence dépend peu de s (plateau), - en s'éloignant encore plus les niveaux diminuent et l'on retrouve les caractéristiques de la turbulence établie dans une tuyauterie (x = la D).

544


o 'cP. "Cr

~

~

,~en ~

c.:

~

~. q ,,,

90

\

~

',~~

D~~

..

~~ ~~~ "J~

"OJ

~

~:-"III:b

~"l&~1~

~ 180--- -------~~~;~:D.6--OJ

r....

Vt/V=O,7"~ .,,~

~

w

ru

~

Cl. Vl

::J '"t:J

"'&.

270

ru Vl

l'tl

.r:. Cl.

. 360

,

'd

Aval Imme iat

d

.

l 't'

e la smgu arl e

0

Vt /V=O.,65 0

{~d/D=O,S IIX/d~ A. d/0=O,71 t.x/d=O,a

" . Zone de 1ecart type maximum

{ .. d/O=O,S t.x/d=O,7 0 d/0=O,71 t.x/d=O,7 110=25 t.x/d=O.5 Zone elolgnee de la smgularlte .IID=4 t.x/d=O,95 Id/0=O,71) __ ~ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

.. .

o

0,1

. . , {O

0,2

0,3

s':fflx/V Figure 19.12.

0,4

0,5

545


al

u

c:

ru

L-

'al

.c 0

u

• d/D=O.5 • d/D:::O,625 A d/D=O,71

al

"t:I

III al .0

'-

::J

8 III

a..r

-c ru

0,5

w

c:

al ::J

c::r

'OJ

....

"'-

c: ru

•

::J l'tl

ru

•

01-

l'tl

c.. ::J

-c ::1 ttI

ru >

0,1

:z

0

0,4

0,8

1,2 llx/d

1,6

2

Figure 19.13.

19.3.4.

Analyse acoustique

a) Considérations sur les conditions expérimentales

Nous avons vu qu'en se plaçant à l'amont ou au loin à l'aval de la singularité on mesure des fluctuations de pression de nature acoustique (en ondes planes). Ces fluctuations sont en fait la réponse du circuit aux sources créées par les singularités d'écoulement. On peut penser utiliser ces mesures pour déterminer expérimentalement ces sources. Il faut cependant pour cela un certain nombre de conditions: • La singularité li étudier doit être runique source du système Dans l'absolu ceci est impossible, il y a en effet dans tout circuit un ensemble d'accidents qui sont autant de sources potentielles. On peut toutefois. s'arranger pour que la singularité à étudier soit largement la source la plus intense; ce qui est le cas quand les vitesses d'écoulement y sont les plus élevées. • La fOllction de transfert acoustique du système doit être bien connue Il vaut mieux qu'elle ne soit pas trop complexe (résonances trop denses, amortissements et conditions aux limites mal connues, etc.). A ce titre les circuits en air sont plus faciles à exploiter que les circuits en eau. En effet la densité de l'air étant faible, on peut facîlement s'affranchir du

546

SOURCES D'EXCITATION AU::ATOIRES

mouvement des parois. Il est plus facile de réaliser des conditions aux limites bien définies: Par exemple: aspiration atmosphérique par convergent, cols soniques. En eau on utilisera des bidons avec niveau libre d'air. D'une façon générale, il faudra disposer d'un programme de calcul pour déterminer cette fonction de transfert, les points délicats étant recalés sur l'expérience (par exemple les impédances aux limites); soit effectuer une expérience annexe d'excitation par haut-parleur ou pot vibrant. ce qui pose un problème car on doit procéder en écoulement, les amortissements acoustiques y étant généralement très sensibles. Le plus simple est d'utiliser certaines mesures de la réponse du circuit ù l'excitation due il la singularité ou à une singularité étalon, comme nous l'illustrerons plus loin . • Il faut vérifier que la source associée il la si1lgularité n'est pas l1/odifiée par le circuit lui-mêmc :

Il faut d'abord s'assurer qu'il y a une longueur droite suffisante de tuyauterie à l'aval (=10 à 20 D). Il faut analyser l'effet de la turbulence amont. Il faut vérifier qu'il n'y a pas de phénomène d'instabilité particulier (modification possible de l'écoulement instationnaire du fait des ondes acoustiques en général au voisinage d'une résonance du circuit).

Cet ensemble de conditions étant rempli on peut à partir des densités spectrales des fluctuations de pression acoustique à l'amont et loin à l'uval ainsi que des phases des intercorrélations, déterminer les densités spectrales 8!J.p(f) et 8t.q (f) des deux discontinuités Ap (t) et i1q (t) mises en évidence théoriquement en 19.1.2. Il faudra pour cela admettre que ces deux fonctions sont stlltistiquement indépendantes, ce qui est une hypothèse tout ù fait raisonnable compte tenu du fait que chacune d'elles résulte d'uf'.e intégration radicalement différente du champ perturbé à l'aval de la singularité. b) Exploitation des phases des dcnsités spectrales de puissance d'interaction (DSPl)

Considérons le montage expérimental de la figure 19.14 :

r--

L1

t ~

CV j

r

r'

J---

1©1

L2

{~)

t'

Zand

Aspiration atmosphérique

.....

!

Zone c

1

Singularité

Cot Figure 19.14.

1

~aniqUe


547

Nous y avons représenté les positions de 4 capteurs de pression de paroi dans les zones c et d. On peut penser exploiter tout d'abord leurs densités spectrales de puissance d'interaction. En fait, intéressant est l'évolution de la phase avec la fréquence, puisque la cohérence est égale à 1 quasiment sur l'ensemble du domaine fréquentiel étudié.

• Si /'on considère deux captcurs situés du même côté de la SOl/rce : Leur déphasage !p est caractéristique de l'impédance il la limite du circuit opposé â la source, comme l'indique la figure 19.15 :

X2

1:r~

Xl

1 1

®

--.

Source

...

Condition aux limites (impédance ç) Figure 19.15.

Le graphique 19.16 montre l'évolution du déphasage de deux capteurs amont (1-2) et met ainsi en évidence l'effet du nombre de kIC/cll sur l'impédance d'entrée du circuit (aspiration atmosphérique). En trait plein figurent les résultats d'un calcul acoustique tenant compte de l'effet de l'écoulement permanent sur la propagation des ondes acoustiques (cf. le partie, § 16.9). Le graphique montre également le déphasage de deux capteurs aval (3-4). On remarque que la réflexion au niveau du col sonique se fait sans perte d'énergie (condition quasi-idéale de fluctuation de débit nulle), pour une large plage de fréquence . • Si

/'011

considère deux capteurs sitIlés de part ct d'alllre de la SOl/J'ce

L'évolution du déphasage en fonction de la fréquence se fait différemment selon que la source se comporte comme une discontinuité de pression acoustique ou de débit acoustique.

SOURCES D'EXCITATION ALI~ATOIRES

548

d/D=O,5

+180° Déphasage de deux capteurs situés à l'amont

~ \°0 \\

Déphasage de deux capteurs situés à l'aval

_~~~~~.~7 __ _ Courbe calculée Points expérimentaux

•

0

Â

(O=200mm)

o

50

100

150

200

Fréquence (Hz) Figure 11).16.

On peut donc utiliser cette particularité pour déterminer expérimentalement la nature de la source associée à une singularité d'écoulement. La figure 19.18 montre, pour deux configurations de circuit et pour différents nombres de Mach, l'évolution de la phase:

VIBRATIONS À BASSES PRÊQUENCES DES LIGNES DE TUY AUTERJE

549

®

,

f

Source Figure )1:1.17.

+

180 0 d/D=O,S

(D=200mm) - - Courbes calculées avec ['hypothèse d'un saut de débit

-180 0

o Figure 19.1811. -

50

100

150 200 Fréquence (Hz)

Configurution a) (veine d'essai courte L1 /D = 10).

550


-90 0 (ourbe calculée pour

Points expérimentaux .,

un saut de débit bq +180°r----4----~----~--~+_--~r_--~~

\

\

\

'.......

--

M=O,34

-,

\

\

-90 0 +180or----+-----r----+---~-----+-----r~

----,

____--L-. (D=40mm) \ \

-90

\

0

\

\

\

-180

0 '---~---'-_---'-_ _--'--_..Jo__"__ _"___

o

200

400

____L___l

600

Fréquence (Hz) Figure 19.181>. -

Configuration fJ) (veine d'essai longue L;!/D

30).

VIBRATrONS À BASSES FRÉQUENCES DES LIGNES DE TUYAUTERIE

551

On remarque nettement sur ces graphiques, que pour les très basses fréquences, la singularité se comporte comme une discontinuité de la pression acoustique (la phase suit les courbes calculées dans cette hypothèse), et qu'aux fréquences plus élevées, la singularité se comporte comme une discontinuité de débit acoustique (la phase rejoint alors les courbes calculées correspondantes). Ce résultat est tout à fait en accord avec les considérations théoriques des paragraphes précédents. c) Détermination des densités spectrales associées à la source acoustique

Connaissant la nature de la source pour chaque gamme de fréquence, on peut utiliser les densités spectrales de puissance des fluctuations de pression, mesurées à l'amont ou bien à l'aval pour obtenir les densités spectrales des discontinuités associées à la singularité (SAp(f)) et (St.q(f)). Pour cela il faut connaître les fonctions de transfert acoustiques correspondantes Gap(x, f) et Gaq(x, f).

Source (llp ou llql

! 0

....x

f

Mesure lx} Figure 19.19.

Selon la gamme de fréquences on aura:

On vérifiera en particulier que tous les capteurs de fluctuation acoustique conduisent bien aux mêmes spectres SAP(f) et Sall(f). Pour cela il est important de bien connaître les fonctions de transfert G. Il faut donc un programme de calcul des ondes planes stationnaires dans les circuits tenant compte de principaux effets; en particulier: -

l'effet d'entraînement 'des fluctuations du fait de l'écoulement permanent. l'effet des conditions aux limites fonction également de l'écoulement dans le circuit, que l'on peut ajuster sur les résultats des mesures comme nous l'avons vu précédemment.

Remarque: n convient aussi de considérer une éventuelle impédance acoustique associée à la zone singulière, Par exemple, dans le cas de l'élargissement brusque, les effets tridimensionnels associés au changement de section de tuyauteries font que l'on ne peut pas égaler les pressions acoustiques moyennes Pl et P2 à l'extrémité de chaque tuyau (Hg. 19.20).

552


(s)

(S1 1

1f

Pl P2

Figure 19.20.

On tient compte de cet effet en introduisant une impédance:

selon la formule (13.23) du chapitre 13 de la 2e partie. Il faut également tenir compte de l'effet d'écoulement (cf. 2e partie, § 16. 9). Les figures 19.21 et 19.22 illustrent l'ajustement du spectre SAlI(f) pour deux capteurs de pression acoustique et pour deux valeurs du nombre de Mach dans la configuration a), ainsi que l'ajustement des DSP SAP(f) et SAq(f) pour une valeur du nombre de Mach (0,55) (diD = 0,75) dans la configuration b) : Sur ces graphiques figurent: - les densités spectrales des sources SAp (f) et SArJ (f) ajustées. - les densités spectrales de deux capteurs (amont et aval) obtenues en effectuant l'opération:

- les points expérimentaux, qui doivent suivre les courbes précédentes si l'ajustement est correct. On remarque l'anure décroissante de SAP(f) et le plateau caractéristique de SAq(f). Il est intéressant d'uti1iser une représentation adimensionnelle du type (19.12) : r.; (,) J,lp S r.;

() ,j tJ.q S

I

SAP(f)_v_ ., D d âP-

= StJ.q(f) (

,",p-.,

E.S ) 2 ~ D- d

(19.]4)


d/D=O,S M=O,51

553

(O=200mm)

o • Spectres expérimentaux - - Courbes calculées de la pression correspondant à une discontinuité du dêbit au niveau de la singularité de. spectre ~àq constant en frequence ~àq/ Ap2=O,6~10-14 IMKSAI

~

rI

N

:::c Q.J

u

c:

o

ru

tII tII ::l CJ..

~. [apleur situé à l'amont

\ 0 0

~

rf

'b Capteur situé loin

0° co

à

l'aval

o

ru '"'C

-~---------I--I-----il--I-------l

Plages où la cohérence entre tes deux capteurs est >0,9

10-8~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

o

50

100 Fréquence (Hz) Figure 19.210.

150

200

SOURCES D'EXCITATION ALl~ATOlRES

554

10- 4 (O=200mm)

d/O=O,S M=O.29

{ $JAq/ fip2=O,3Sl:C10- 14 1

N

c..

Il

>< ro E cr

2

M{

10-5

M


557

Les graphiques de 19.24 font la synthèse des résultats obtenus dans les diagrammes (s,

[F Ap)

et

(s, ~1

[F Aq ) ,

qui alors, ne dépendent plus des nombres

de Reynolds nÎ de Mach. Les courbes obtenues expérimentalement par la méthode qui vient d'être décrite sont représentées en tirets.

ru ::J

c-

VJ ::J

'O. . ~

t.Cl 01-

a.~

~~ ru

-

10- 2

U)

V!

Qj's, e: te: ru

'\.

o"ru .u):.... c ru ru E"'C

:.sa.. rtI<J ru '-'

c c 0 rtl-V! V! ._

ru

10-3

V! V! ru

E

0 '-'

'"ru .1.rtI U) --"

ru,rtI

Cl

ru

'ru -'t-

a

Cl..

\

\

\

Spectre des fluduations de pression sur la parai perpendir::ulaire au jet . (courbe expérimentale \~dépendante de d/Ol

\

\

\

\

\

\

Spectre expérimentale \ FâP de la source \ acoustique pour d/O=O,75 \

ru

c.::

"

\

::J '0.0. '"0

d/D=O,Sd/D=O,625 d/O=O.71_ d/D=O.7S-

10- 4

\

}

\ \ \ \

0.

\

ro

f-

s=f(D-d)/V Figure 19.24a.

Spectres de la source ar::oustique Fàp (saut de pression) calculés à partir de la r::ourbe en pointillés et de la courbe de r::ohérente azimutale expilll! lia cohérence radiale a été supposée égale à 1l

558


- - - Courbe.s calculées à partir} des données locales /lIM2}F

Aq

- - - Courbes expérimentales

10-1 ru

Spectre de fluctuation de pression à la pëlfOÎ (écart type maximuml pris comme. spectre local pour le calcul à haute fréquence "

ru

. .. ~

,.

..... " .. .,

~

".

c: c:

".

'iïl c ru

Spedre de fluctuation de pression à la paroi là l'aval de la singulëlritél pris comme spectre tocal pour le calcul à basse fréquence

0

E

:arD ru rD

".

'.

10-2

LoiLJ

ru

Cl.

l.Il

'ru 01-

ïii c:

ru c::::l

10-3

s=f(D-d}/V Figure 19.24b.

II est également possible à partir des données sur les fluctuations locales décrites au paragraphe précédent et qui sont rappelées sur les graphiques par des courbes en pointîllés, d'estimer Œt.p(s) et :FAq(s). On utilise pour cela l'expression (19.12). Il faut remarquer que les mesures de fluctuations locales ont été effectuées uniquement il la paroi et en nombre relativement limité. On a donc fait certaines interpolations et hypothèses pour appliquer (19.12) (cf. réf. [60]).

VIBRATIONS A BASSES FRf::OUENCES DES LIGNES DE TUYAUTERIE

559

Les courbes (en trait plein) ainsi obtenues sont donc approximatives, mais montrent cependant la bonne concordance entre les deux types d'analyse.

Remarque: Pour plus de détails sur l'ensemble des techniques de caractérisation acoustique des singularités, le lecteur pourra consulter la référence [60].

19.4.

FORMULAIRE

Ce formulaire permet, pour un ensemble de singularités simples rencontrées couramment dans les circuits, de déterminer les caractéristiques spectrales el interspcctralcs du champ de pressions nuctuantes locales ct les caractéristiques spectrales des sources acoustiques d'ondes planes associées aux singularités. Les données expérimentales sont tirées principalemem d'études effectuées au CEA et décrÎtes il la référence [61). Pour chaque singularité, on trouve: - des formules ou des abaques permettant de calculer les grandeurs permanentes de référence utilisées par la suite; - des courbes d'évolution spatiale de ln valeur quadratique moyenne adimcnsionnelle, des spectres adimensÎonnels dans des zones caractéristiques, des longueurs de corrélation et des vitesses de transport, permettant de déterminer les fluctuations de pression de paroi locale; - des DSP adimensionnels permettant de carnclériser les fonctions de source acoustique Ap (t) el Aq (t) associées fi la singularité. DIFFUSEURS CONIQUES 1) Principales grandeurs permanentes de référence

(sI

d V

r-

du maximum

m·

» -l 0

11 0

x/(O-d)

2

1

1.,..

4

6

Graphique c

l

10-2

Graphique d Diffuseur 15°, fluctuations de pression locales

'\

'\

5=f(O-d)/V

;::i m Vl

)'(5) 10-1

< tri

;:0

~

oz CIl

)-,

0'/ AP (%1

tIl

d/D=O,31

10-2

)lJl CIl

m CIl

d/D=O.71

'"l1

~t e: trl z n[Tl

:n

Q':/

~

D

Q

10

...... \0

en

Spectres dans la zone

Î..,

-....1

C

du maximum

t":I

..;....

["Tl CIl

10-3

ï

ëi

z m en C

rn -1

t

c: -< >-

1

o

2

4

x/ID-dl , .... 6

5=f(O-dl/V

10-2

10-1

Graphique e Graphique f Diffuseur 30°, fluctuations de pression locales

e:

-1

rn

= en

V1

0\ V1

U1 0'\ 0'\

10-1

~ a/AP {a/a)

r.tl

o

~ :;0

n

tri

10-2

r.tl

."

d/D=O,S2

ù:j"

= a

o

m

x n

:j

..... !,,) \0

d/D=O.71

--.J

O':i

~

?"

10-3

~ oz >r' tri,

Spectres dans la zone

>-

du maximum

à ;;; t11

r.tl

0

s=f(O-d)/V

x/(O-dl

11

1

2

4 Graphique 9

1.,..

6

10-2

10-1 Graphique h

Diffuseur 45° , fluctuations de pression locales

1

VIBRATIONS À BASSES FRÉOUENCES DES LIGNES DE TUYAUTERIE

d/O=O,52 d/O=O.31

10-2

d/O=O,71

Graphique a Diffuseurs 7° et 15°, source acoustique Figure 19.28a.

567

V1 0\

):6p(S) 10-2 ~

00

)'6P(S)

10-1

c:n 0

c

"10- 2 1-

10-3~

'" '\

:n

~

ç::

rJ

.... l.t:'J

;:;:l (")

m

CIl

Cl

m

x

("l

=l

:> ....j

~

6 z

~

~ !""

10- 4

:>

r 10-5 1 10-3

..

10-3

a m CIl

~

s=f(O-d)/V

Il!

10-2

:>

-i

s=f(O-d)/V 1 .. 10-1

m·

d/D=O,31

10-2

Graphique b

Graphique c Diffuseur 30°, source acoustique

~)i'6pISI

')'âplsl

10-1

10-2~

-

...:t Cl

::::J

~

!l

5~

Cl

~/D=O,64

m !Il

Spectres dans ta zone des fluctuations maximum

!'I

c:Cl z

10-3

rn Cj

m -i

c -

t..n

>""> ru

-0

ru

Cl

ru

""-0

ru

,.." :::J

ru

C"

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c

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.e

ro

t-

c

0 "'-

0-

....

,

g ~

Ul

\

\

\

\

\

s=fd/v

.-..J.._ _---'-i......

o

o

m x

9 \

\

~D:=O,125

-

\

\

!

E1: h• 1- - -1

\

\

10- 2

//

,

Vl

\ d/D=O.5

\

1 - - Génér. du tube principal passant par

Ech. ( - - )

Vl

o c fi m

10-1 Graphique e Fluctuations de pression locales

-:P(s)

Zone 2

~~~ f

'

d/D=O.5

"

1 Fluctuation=-=s m-ax-

-

(zone 11

tri i1P

((%)

10-1

1

"':"l

~.

/

Il 1

n

~

W

.:::.: !l

~

/

"".",/

II

//

l

--

,10 \

1

,;,~..... 1 \.

1

l '\ 1 "'\.

1

.

d/D=O 2S

1

l~

:

1

/

10- 2

...............

- - ......

",

1

>' o:l )tIl VJ

;::'l tIl

~

m·

a

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" . \lo. ,,\ \

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•

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tIl

\\ \\

t"'"

ë:i z

\ ~~ \\~

.............. ..............

m tIl

orrl

\\

d/O=O,25

\\

~=O,25

\\

\\\\

............. ........ d/O=O. 125

1

~ 6 ztIl

\

1

'{" . . . -- d/D::::O,S 1\ "

~~

10-3 ~

10- 2

d/D=D.5

r:i

x

"

/'

Q

~

:> -l Ô

z

>l' m· > -l

d/D:O,Z5

10-3

"-

ü

1-

/"

"

0

~ r:;

CIl

s=fd/v

10-3

10- 2

Graphique b

10-1

10- 2

Source acoustique, v IV j -4

10-1 Graphique c

~Âplsl

~ÂqlsllM2 d/D=O,5 ~

"""

/"

~

~

ô z

CIl

>"

10- 2

o:l

d/D=O,25

/

>-

CIl

----

CIl

rn CIl '"'T;

"71

:;;:

~

a

~.

m·

c

G

m

z

\0

li

W 00

m CIl

:::...

Û

!l ;.

m

CIl

10-3

r

a z [Tl CIl

Û

tn

d/D=O,125

C -
0,015. T

2) Fluctuations locales de pression de paroi Lu figure 19.41a représente l'évolution de l'écart-type des fluctuations de pression de paroi à l'aval de la grille. La figure 19.41b donne l'allure des spectres observés pour deux valeurs de x/D (x distance à la grille).


593

1,2

0,4 e Id

o

0,4

0,8

1,6

1,2

2

Figure 19.40.

Très près de la grille, les fluctuations ont un spectre fi nombre de Strollhal de coupure élevé qui caractérise un phénomène turbulent de dimension liée aux trous: (courbes en tirets) Dans l'ensemble de la zone perturbée existe un phénomène il nombre de Strollhal de coupure plus bas

(f~d

:::=

quelques 10- ~) donc à dimension

caractéristique plutôt liée au diamètre 0 du tube. Cc phénomène est responsable de l'essentiel de l'énergie. Son intensité semble évoluer rapidement avec les paramètres p et d/D (courbes en traÎt plcin). Pour des grilles finement percées le niveau reste faible (de l'ordre de 0,5 il l % de .ilP). La longueur de corrélation caractéristique des phénomènes il bas nombre de SlfOuhal est de l'ordre de D. 3) Source acoustique

La figure 19.41c donne la DSP des discontinuÎtés de pression acoustique associées, pour les quatre configurations étudiées, on observe une nette diminution d'intensité pour les grilles plus finement percées. (CT IJ.p/.::.\P est d'environ 0,4 il 0,7 % pour les grilles à gros trous, 0,1 % pour les grîlles à trous plus fins). En cc qui concerne la discontinuité t1q (/), les quelques mesures effectuées montre que le niv~au adimcnsÎonnel :F Aq(s)/M" est très faible par rnpport aux autres singularités (== 10- 4 ) :

'JI

\0 ~

'1{s)

- - Spectres pour x/O=O.8 - - - Spectres pour x/0=0,3

10-2

cr IllP

:n tr.:I c::

(i

r-

r-

(O/o)

i

10-

5

3

b 1

ï

..... \Q

;:: :::

!l ?"'

10d/D=O,037 p=2

""-

'>~

---

-....

- d/D=O,02 p=2,9

x/d

o

0,4

4

~

L 1

.JI.(n. D'après le chapitre 17 (éq. (17.46» la DSP de la réponse du système en un point r est donnée par; N

8(r,f)

l:

= i

/G(r,rJ,nl:!Sl>.pi(f)

(19.15)

1

Les fonctions de trnnsfert G peuvent être estimées à l'aide des caractéristiques modales:

m",

W,p X n sont calculés numériquement; le seul problème reste l'estimation de l'amortissement modal En'

Comme nous l'avons vu aux chapitres 15 et 16 de ta 2e partie, les Causes d'amortissement sont multiples (viscosité du fluide, interaction avec l'écoulement, mais aussi assemblages mécaniques imparfaits. etc.).

LEGENDE

SI

:..;:: ro ~

10

1-*---'--'---1-'-?(---'-~

QJ

Vl Vl QJ 01-

> o

~

::J

1 I~~----~-*-------~+-------~

QJ

Vl

0..

Figure 20.14.

(Tirée de la référence [70].)

EXCITATION SISMIQUE DES STRUcrURES

623

richesse en hautes fréquences des spectres de séismes plus proches comme l'indique la figure 20.15. c) SRO de dimensiollllement Un constructeur désirant concevoir une installation standard pouvant être implantée sur des sites divers, doit utiliser un spectre de dimensionnement unique constitué par une enveloppe de spectres associés à différents sites.

d) Relarions elllre les différents mouvements sismiques Toutes les méthodes qui ont été décrites précédemment s'appliquent au mouvement sismique horizontal en un point donné de la surface du sol. Le mouvement vertical est généralement plus faible que Je mouvement horizontaL Dans les études courantes on applique les mêmes règles maÎs avec un coefficient de réduction de 2/3. D'autre part, les structures répondent aux sollicitations horizontales et verticales exercées simultanément, on doit donc se poser le problème de la corrélarion entre les deux sollicitations. Dans la pratique on admettra une décorrélatioll complète.

~102~~----_-+~~~-----+~-------~ E u

QJ

>

:.i:: rD QJ

t-

10

QJ

Vl Vl QJ

..... > o

"C

:::l Q)

Vl

a..

10 Fréquence (Hz) Figure 20.1511. -


624


-~102~T---. ----T-~----.---+-*- E

u

QI

> :;:: rD QI

c....

ru

10

Ul Ul

ru

"'-

> o

-c

::J QJ Vl

0-

Fréquence {Hz} Figure 20.15b. -


Enfin les fondations d'une installation occupent une certaine surface de sol; on doit donc se poser le problème de la corrélation entre les 1110UIJemellts du sol en delix poillts distincts de Cette surface. Le critère d'appréciation s'effectue en considérant le rapport entre une longueur d'onde caractéristique des ondes sismiques et la dimension de la fondation. Ce rapport est généralement grand devant 1, on pourra alors supposer un 11I011llemefll identique du sol sur lOute la swface de la fondation. Dans le cas contraire, pour des fondations de l'ordre d'une centaine de mètres ou plus, il faudra considérer un mouvement différentiel entre les différents points du sol et une longueur de corrélation caractéristique (cf. réf. [70f1). 20.4.

MÉTHODE CLASSIQUE D~ ANALYSE DE LA RÉPONSE D'UNE STRUCTURE (MÉTHODE MODALE)

Soit un système linéaire défini, comme dans la première partÎe par les trois opérateurs d'inertie M, de raideur K et d'amortissement A.

625

EXCITATION SISMIQUE DES STRUCrURES

Ce système est solidaire du sol en un certain nombre de points {P}. Ce dernier impose son accélération l' (t) (nous verrons par la suite que cette hypothèse n'est pas toujours justifiée). Dans le système relatif au mouvement du sol, l'équation du mouvement du système s'écrit: M.i + A.t + Kx = - MU l' (t) { avec x 0 en {P}

(20.10)

U est le vecteur (ou la fonction) déplacement unité en tout point du système dans la direction de séisme considérée. Le problème (20.10) se résout li l'aide des méthodes générales de la r c partie. Soient XII (r) les solutions propres du problème conservatif associé:

w;

(K M) X n = 0 { avec X I1 0 en {P}

(20.11)

On peut utiliser les X n comme base de projection du champ des déplacements relatifs x : (20.12) En admettant que l'opérateur d'amortissement se diagonalise dans le système des X n (hypothèse de Basile), on obtient un systèrne découplé sur les nouveaux degrés de liberté an : (Tf Il )

(20.13)

avec: 111 11

= masse généralisée

wn

= pulsation de résonance

En

= amortissement réduit

qn = (X n , MU)

1 pour le mode

11

= facteur de participation

La donnée du séisme étant le SRO, en pseudo~accélération par exemple: Sy(w, 8), on obtient immédiatement le maximum atteint par la ,l (t)1 lors de l'excitation sismique: (20.14)

Le problème est maintenant d'estimer le maximum au cours du temps lie Ix(r, t)1 : xrnux(r).

La méthode classique fait pour cela l'hypothèse de l'indépendance statistique des fonctions an (t) et admet le fait que les lois statistiques régissant le maximum

626

SOURCES D'EXCITATION ALI~ATOIRES

diffèrent peu quand on passe d'lOl système à 1 DDL à un système à plusieurs DDL (le domaine de validité de ces hypothèses sera discuté ultérieurement). On montre alors que x max (r) est régi par la règle de la combinaison quadratique: (20.15)

La même règle peut bien sûr s'appliquer pour les autres grandeurs mécaniques (con traîntes-efforts-etc.). En ce qui concerne le calcul de l'accélération absolue YI/(r, t) (il! XII + yU, on utilise la relation approchée (au terme d'amortisse-

l

ment près) :

d'où en supposant l'indépendance statistîque de y (t) et des an(t) :

(20.16) Remarque: notion de «masse modale sismique

II

On pose:

Mn a la dimension d'une masse, elle caractérise l'importance de la contribution du mode Il à la réponse du système. En effet, la projection du champ des efforts d'inertie MyAr, J) sur la translation d'ensemble U se met sous la forme:

l

qn ail

WI~ + y [(Ut MU)

JI

(MI = (U, MU) est la masse totale du système).

On remarque que:

(20.17)

EXCITATION SISMIQUE DES STRUCrURl::s

627

Notion de troncature modale Il est important de remarquer que les formules (20.15) et (20.16) ne sont pas valables si l'on considère l'ensemble des modes propres du système. En effet, nous avons vu que lorsqu'on se situe en dehors de la gamme fréquentielle d'excitation sismique, ]a réponse d'un oscillateur harmonique était approximativement: w 2 X = - y (t )

1.f

pour w

:> W

y(t)=>x=-xso!(t)

~ pOUr(I) w; car les premiers modes des structures sont toujours tels W Il ::> WC' Pour tenir compte de la corrélation des réponses des modes élevés W Il ::> (J):, on procède de la façon suivante: On somme quadratiquement la contribution des modes de la gamme sismique (W 'I 0). On Il:

p (T, t) { S'(f,t) 1

= a 2(/) p (T)

(20.22)

a 2 (t)8(f)

P (T) et 8 (f) étant la fonction d'autocorrélation et la DSP de X(t).

Nous utiliserons ce type de représentation pour les signaux sismiques dans leur partÎe forte. Remarques: La réponse transitoire d'un système linéaire initialement au repos à une sollicitation aléatoire stationnaire F(t) constitue également un cas particulier de processus instatîonnaire que l'on peut ramener à l'étude d'un

processus stationnaire selon la méthode décrite au paragraphe 17.4 : En effet si G ( T) est la fonction de Green associée au système linéaire, on ,définit (formule 17.26) le processus stationnaire dépendant du paramètre (0 :

X(t,t n )

=

f

lO

G(T)F(/+/o-T)dT

[)

Une réalisation x(t, III) de X représente la réponse du système il un interval1e de temps (0 après le démarrage qui s'effectue il l'instant t. La fonction de corrélation P (0, ln) et la DSP 8(!, lo) sont données par: Ilol'oG(T\)G(T:!)PF(O+T 1

p(lJ,lO)

J()

Ju

T1)dT 1 dT z

2

8(f, lu)

I.:I) G (T) e- 1 i1Tf"r dT 1

=

1

=

IH(f,lll)I~8F(f)

(20.23)

8 F (f)

Pour caractériser complètement le processus X(t, t()) on peut calculer les fonctions d'intercorrélation et les DSPI entre les processus X (t, 10 ) et X (1. ln: ln) dT.,

- (20.24)

631

EXClTATION SISMIQUE DES STRUCTURES

En particulier la valeur moyenne du produit X (t , (0 ) X (t,

t~)

est donnée par:

On remarque que (T2(lo, IfJ) représente également la fonction de corrélation du processus Înstationnaire X(t,t n) définÎ à l'aide de (17.4): P (tn, lô) = E

{{Il

rIo dTl

Jo

G(Tl) F(tn - 'Tl) d'Tl

ID G(T

2)

F(t,) -

rt" G(Tt> G('TJ E {F(tn- TI) F(l n

Jo

'T 2 )

dT;!

":t)} d,,:!

On remarque enfin que si l'excitation est instationnaire de type séparable (20.21), on peut associer à la réponse, le processus stationnaire dépendant du paramètre t °:

T) F(t + 10

De la même façon que précédemment, la fonction de corrélation et la DSP de X (t, 10 ) sont données par:

p (8, to)

j

= {" {" G(T:) .a(to -

S(f, '0) =

1 Ha(f,

TI) G(T,) a(lo- T,) PF(8

+ TI

T,) dT I dT,

(0) 1 Sr(f)

(20.25) Si l'on considère un système à 1 DDL de pulsation propre Wo et d'amortisse~ ment réduit E, on peut définir pour Ha(f, (0 ) des coefficients « équivalents ») selon la méthode du paragraphe 17.4.3.

(20.26)

632


On obtient alors:

f

/O

-?

..,

- - cwu' 2( c alo -

T

) dT

o

r'O e -

CwUT

a (t()

- T) dT

jo

f

/O

A2(t o) =

e

-2eW()T

..,

a-(to - T) dT

()

(20.26bis)

---------2--~2--------

Wo

La variance de la réponse est donnée par une expression analogue à (17.36) :

~ 1.., c (to) lT-(t o) =? A-(to) Sf(fo) + ~ 2

-

m Wo

lT

., F

(20.27)

En conclusion, la caractérisation des processus instationnaires est nettement plus compliquée que celle des processus stationnaires. Elle implique évidemment l'identification d'un nombre beaucoup plus grand de paramètres. En ce qui concerne les mouvements sismiques du sol, une telle identification est donc illusoire, dans l'état actuelle des connaissances des mécanismes qui sont à l'origine de ces mouvements. En revanche il est nécessaire dans les modèles stochastiques simplifiés de représenter le caractère transitoire de l'excitation (durée finie T de la phase forte), qui conditionne directement les niveaux des réponses. C'est pour ces raisons que l'on a coutume de représenter les signaux sismiques à l'aide du modèle séparable a(t) F(t) décrit précédemment et de se ramener ainsi' à l'aide des formules (20.26) à une allalyse statio1lnaire. 20.5.3.

Considérations sur les maxima d'un processus

Les grandeurs qui vont être définies ci-après ne concernent pas exclusivement les processus stationnaires. Cependant pour en obtenir des expressions simples nous nous placerons toujours dans ce cas et de plus nous considèrerons souvent des processus gaussiens. Les formules ainsi obtenues pourront constituer des estimations approchées pour les processus sismiques qui nous intéressent. a) Nombre moyen de franchissements d'Lill seuil par unité de temps La fréquence moyenne de franchissement d'un seuil x m par un processus est donnée simplement à partir de la densité de probabilité conjointe p (x, .i, t) du processus (cf. réf. [54]).

633

EXCITATION SISMIQUE DES STRUCTURES

x(t)

t

Figure 20.16.

En fait il s'agit des franchissements à pente positive et négative. Pour un processus stationnaire un franchissement à pente positive sera accompagné toujours d'un franchissement à pente négative. La fréquence de dépassement du seuil sera donc:

D'autre part on considère généralement les dépassements d'un seuil en module. La fréquence moyenne correspondante est donnée pour un processus à moyenne nulle par: f(x m ) = 2 f+ (xm) = =

l.: (xm)

}+oo Iii p(Xm,x) di -00

x(tl Xm ~-----------&-------K------~-----

t

Figure 20.17.

634


Pour un processus Gaussien : 1.

----e

p(x,x)

-~- (~+~) Ir; aJ

7TfT1: fT i

D'après (17.12), a x et mn et m 2 • En posant r

fTi

s'expriment en fonction des moments spectraux on a:

(20.28)

En particulier le nombre de passages par zéro (nombre moyen de demi-cycles par ullité de temps) est:

f(O) = 2

J

l1h

--= mu

On retrouve ainsi la formule de Ricc (17.13). Remarqu.e: Dans le cas des processus à bande étroite, il est intéressant de considérer l'enveloppe (cf. § 17.5), on peut montrer d'une façon analogue à ce qui précède que la fréquence moyenne de dépassement de l'enveloppe est donnée par:

f,(r)

(20.29)

!far f(r)

8 étant la largeur de bande définie en (17.5) ô

(1 _ mi

)

If.!

mom'}.

t

Figure 20.18.

635


Nous avons vu qu'un processus en bande étroite ressemblait à une sinusoïde modulée à basse fréquence. Les dépassements du seuil qui sont directement liés aux maxima ont donc tendance à se grouper. Le rapport ff «r » = e

r

fi.~

\j-; 6r

représente approximativement le nombre moyen

de maxima par groupe situés au-dessus du seuil r. On peut remarquer cependant que pour les grandes valeurs de r, tous les franchissements de l'enveloppe ne sont pas accompagnés de franchissements du processus lui-même. On peut uti1îser pour 110 la formule plus correcte: IlO

lir

(20.30)

b) Maximum absolu atteilll par WI processus dans lUI i11lerl'alle de temps

C'est la grandeur statistique qui nous intéresse en analyse sismique. On peut introduire tout d'abord la probabilité de non-dépassement d'un seuil x m (en module) par le processus dans l'intervalle de temps T: Soit W(x,,1' T).

:~

représente la densité de probabilité de dépassement dans J'intervalle

(T, T + dT). aW

aXm

représente la densité de probabilité que le maximum absolu dans

l'intervalle T soit situé entre x m et x m + dx m• Nous nous intéresserons essentiellement ici au maximum moyen dans l'intervalle T qui est donné par:

Toutes ces définitions sont valables pour des processus instationnaires. Pour un processus stationnaire on définira le facteur de pic en rapportant xm à l'écart type u du processus :

-la;) r aW(r, T) dr

/-L (T) - - CT

0

dr

(20.31)

Différents auteurs ont proposé des formules approchées par W et /-L, obtenues il partir de modèles de processus stationnaires plus ou moins simples. Nous décrivons ici le plus simple qui a Je mérite de mettre en évidence les groupements paramétriques essentiels du problème.

Modèle pOiSSOllllÎCll On peut tout d'abord supposer que les différents dépassements d'un seuil par le processus sont des événements indépendaflls les uns des autres; ceci s'applique à peu près à des processus à bande large.

636


Le taux de dépassement peut alors être considéré comme un processus de Poisson. La probabilité de Il dépassements dans l'intervalle Test: P (Il)

=e

[f (xm ) n!

- !(Im)T

Tr

f(xm} est la fréquence moyenne de dépassement définie en a). La probabilité de non dépassement est donc: W(xm,T)

p(O)

e-!(Im}T

f

d'où en utilisant (4.27) et en posant N = cycles dans l'intervalle T:

(0) T

nombre moyen de demi-

=

W(r, N)

(20.32)

(Remarque: W _ e- N, si r _ 0, normalement on doit avoir W = 0 pour r

= 0:

en fait la formule (20.32) ne s'applique bien que pour N En posant À = (2 Log N )112 on obtient également:

~

1).

(20.33) On reconnaît la loi asymptotique de Gumbel. Le facteur de pic est donné par: IL

aw

r-dr

(À)

ar

On peut également calculer la variance u;(À) du maximum absolu (rapporté à u) :

u;"l( À) = On peut expliciter J.L et développement limité : IL (À)

Uni

=À

1 (en posant 2 u

ff+

+a:> d

-d (e-

CD

-00

= r2 -

À

aw dr ar

")

IL-

dans le cas asymptotique N

-co

u;') + IL -") =

fa:>") r o

C -u

( )

U + -:;

1

À-

li

d cl (e -

-II C

") )(

u

À-

~

1 donc

2 U ) -1

2À'

+ 2 u) du

~.

J.L

(À)

'Y = À +À

=>

u;=À 2 +2y

'YI 2À3 "1

J.L-

"Ir

- 6

2

À2

du

À ~

1, par un

EXCITATION SISMIQUE DES STRUCTU RES

637

avec: du = constante d'Euler

)

li

-co

et "YI =

u

u dd (e- C-

'}' = f+CO

+CO ., d

f-co I rd-Il (e-

C

-Il

)

du

Finalement au premier ordre:

j.t

(N) = (2 Log N )113

1 meN) 0"

=

;6

(2 Log

(20.34)

Nt 112

Si l'on considère maintenant un processus à bande étroite, on peut considérer comme des événements poissonniens indépendants les dépassements de l'enveloppe du processus. Ceci conduit à remplacer dans les expressions précédentes f(xm) par fe(xlIJ selon (20.29). d'où: -

W(r, N) = e

en posant

si

À ~

À

J

- ., 'ft'

-

')

ïNlirc-r / -

(20.35)

[2Log (ffNÔ) Jin on a:

l IL (À) = À au premier ordre d'où:

En fait, comme nous l'avons déjà mentionné, le dépassement de l'enveloppe n'implique pas forcément un dépassement du processus, d'où une sous-évaluation de W donné par la formule (20.35). Vanmarcke (réf. [71]) propose une formule plus élaborée et recalée sur des simulations numériques:

W(r,N)=

(1 -

_~LOg2)

e -

e

(20.36)

638


La figure 20.19 ci-dessous illustre la validité des différentes expressions présentées pour la fonction W (r, N).

Cl Cl

N

z

QJ

c.. c: c.. oVl ...... 0

.~o c: ~

N

Il

t...

a..QJ

co

N

Cl

Cl

Figure 20.19a.


w 0,8

639

N=200 Vanmarcke

_Poisson enveloppe

0,6

0,4

0,2

o~__~-=~~~~~~~~__~__~__~__~__~ s 1 1,8 3,4 2,6 4,2 r Figure 20.19h.

L'analyse est effectuée sur un signal de réponse d'un oscillateur harmonique d'amortissement E :::::: 0.01 ((5 = 0,11 ) à un bruit blanc. La figure 20.20 montre les résultats de simulations numériques en ce qui concerne le facteur de pic IL et l'écart type du maximum erm en fonction du nombre de demi-cycles N et de la largeur de bande S, toujours dans le cas du signal réponse d'un oscîllateur harmonique. Les courbes suivent sensiblement une loi: IL 2 = ILr;( D) + 2 Log N pour Nô ~ 1. La figure 20.21 précise la loi IL (ô) : On remarque que, pour N = quelques cycles et 8 ~ l, IL est de l'ordre de h, ce qui correspond au facteur de pic d'un signal sinusoïdal. L'évolution de l'écart type u 111 du maximum est représentée à la figure 20.22. er nt décroît lorsque ND augmente.

640

SOURCES D'EXCITATION AU~ATOIRES

II

0=0,36 6=0,25 0=0,16

3

0=0,11

2,6

6=0,08

2,2 1.B

N

1.4

102

10 Figure 20.20.

N=200

3,4

N=100

3 N=40

2,6 N=10

2,2 1,8

1,4

L-.....1--L.--L-L-l...-_ _' - - -____--'----'--------L-..L---fIiIII'-

10- 1

1 Figure 20.21.

641

EXCITATION SISMIQUE DES STRUcrURES

am

0,7 0,6

0=0,08

0,5

0=0,11

0,4

0=0,25

N

0,3

2

10

20

100 200

0,7 0,6 0,5

~-N=4 ---N=20

N=200

fi 0,3 L - - - L - - - - - - ' - - - - - - - - I J I I I I I I o o 0,05 0,2 0,5 0,1 Figure 20.22.

642

SOURCES J)'EXCITATION ALÉATOIRES

Remarque: Réponse d'ull oscillateur à 2 DDL

Les formules précédentes ont été établies à partir de modèles de processus fi large bande (bruit blanc) ou il bande étroite (réponse d'un oscillateur il 1 DDL). On peut se demander si elles s'appliquent correctement à des processus dont l'allure spectrale est notablement différente. Un cas typique d'un tel processus correspond à la réponse à un bruit blanc d'un système à 2 DDL en particulier quand les amortissements associés sont petits et quand les résonances sont éloignées rune de J'autre. La DSP est alors constituée de deux résonances étroites bien séparées de fréquences fI et l2' La largeur de bande est donnée dans le cas de deux oscillateurs de même amortissement ê et de même coefficient de participation, par:

(20.37)

8

(avec

a =

f~ - fI -ff

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