analyse complexe introduction

Universit´ e Sultan Moulay Slimane Faculté des sciences et techniques de Beni Mellal Ann´ ee universitaire : 2010/2011 ...

Author: A.BOUARICH

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Universit´ e Sultan Moulay Slimane Faculté des sciences et techniques de Beni Mellal Ann´ ee universitaire : 2010/2011

Introduction ` a l’analyse complexe Abdesselam BOUARICH Première version : 15/06/2011

A. Bouarich

2

A. Bouarich

Introduction ` a l’analyse complexe

Table des mati` eres

1 Fonctions d’une variable complexe holomorphes 1.1

5

Au tours du plan complexe C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.1.1

Représentation des nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.1.2

Topologie de la droite complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.2

Limite et continuité des fonctions ` a une variable complexe . . . . . . . . . . .

9

1.3

C-Différentiabilité des fonctions ` a une variable complexe . . . . . . . . . . . .

12

1.3.1

Applications C-linéaires de C dans C . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.3.2

Fonctions holomorphes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

1.3.3

Conditions de Cauchy-Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

1.3.4

C-différentiablité d’ordre supérieur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

1.3.5

Fonctions harmoniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

1.3.6

Dérivations complexes symboliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

Exemples de fonctions élémentaires complexes holomorphes . . . . . . . . . .

27

1.4

1.4.1 1.4.2 1.4.3 1.4.4 1.4.5 1.4.6

L’exponentielle complexe z 7−→ ez

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

Logarithmes complexes z 7−→ Log(z) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

Les puissances complexes z 7−→ z a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . √ Fonctions inverses des puissances z 7−→ a z . . . . . . . . . . . . . . .

Les fonctions trigonométriques z 7−→ cos(z), sin(z), tg(z), cotg(z) . . .

Les fonctions hyperboliques z 7−→ Ch(z), Sh(z), th(z), coth(z) . . . . .

2 Int´ egration complexe : Le th´ eor` eme des r´ esidus et ses applications 2.1

2.2

32 33 34 35

36

Les courbes et les domaines du plan complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36

2.1.1

Les chemins et les courbes du plan complexe . . . . . . . . . . . . . .

36

2.1.2

Les domaines du plan complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

Intégration des fonctions complexes ` a une variable complexe . . . . . . . . . .

41

2.2.1

41

Construction de l’intégrale curviligne complexe . . . . . . . . . . . . .

2.3

2.4

2.2.2

Calcul et propriétés de l’intégrale complexe . . . . . . . . . . . . . . .

42

2.2.3

Théorème de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

2.2.4

Primitive d’une fonction holomorphe . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

49

2.2.5

Formules intégrales de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

53

2.2.6

Applications intéressantes du théorème de dérivation . . . . . . . . . .

61

Le théorème des résidus et ses applications

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

64

2.3.1

Séries de Laurent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

64

2.3.2

Classification des singularités isolées . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

69

2.3.3

Résidu d’un point singulier isolé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

69

Calcul des intégrales simples généralisées par la méthode des résidus . Z 2π R(cos(t), sin(t))dt . . 2.4.1 Calcul des intégrales définies de type Z +∞0 P(x) 2.4.2 Calcul des intégrales généralisées dx . . . . . . . . . −∞ Q(x) Z +∞ P(x) iαx e dx . . . . . . . 2.4.3 Calcul des intégrales généralisées Q(x) −∞ Z +∞ P(x) eiαx 2.4.4 Calcul des intégrales généralisées dx . . . . . . −∞ Q(x) x Z +∞ P(x) dx, −1 < α < 0 2.4.5 Calcul des intégrales généralisées xα Q(x) 0

. . . .

74

. . . .

75

. . . .

77

. . . .

79

. . . .

80

. . . .

84

Chapitre Premier

Fonctions d’une variable complexe holomorphes

Dans ce chapitre, on va introduire le calcul différentiel pour les fonctions complexes ` a une variable complexe. Plus précisément, on va y examiner les notions classiques de limite, de continuité et de la C-dérivabilité pour les fonctions ` a variable complexe. Le résultat fondamental qu’on va démontrer dans de chapitre est que la C-dérivabilité d’une fonction ` a variable complexe f (z) entraˆıne la différentiabilité au sens des parties réelle et imaginaire de f (z) et que ces derniers vérifient les conditions de Cauchy-Riemann. Les conditions de Cauchy-Riemann vont nous permettre de déduire que les parties réelle et imaginaire d’une fonction C-dérivable sont harmoniques, donc solutions de l’équation de Laplace. La dernière section de ca chapitre sera consacrée ` a l’étude de certaines fonctions élémentaires complexes comme par exemple : l’exponentielle, le logarithme, les puissances, les fonctions trigonométriques et les fonctions hyperboliques.

1.1 1.1.1

Au tours du plan complexe C Repr´ esentation des nombres complexes

Rappelons qu’un nombre complexe z ∈ C possède deux composantes ; une partie réelle ℜe(z) ∈ R et une partie imaginaire ℑm(z) ∈ R et s’écrit donc sous la forme z = ℜe(z) + iℑm(z) o` u i s’appelle l’imaginaire complexe caractérisé par son carré (i)2 = −1.

Le fait que chaque nombre complexe possède une partie réelle et une partie imaginaire nous permet d’identifier les éléments de C avec les points du plan cartésien R2 en associant ` a 2 z = x + iy ∈ C le couple (x, y) ∈ R i.e. : Ψ:

A. Bouarich

C −→ R2 x + iy 7−→ (x, y) Introduction ` a l’analyse complexe

6


Ci-dessous, grˆ ace ` a l’application d’identification Ψ : C → R2 on donnera une interprétation géométrique de certaines opérations classiques sur les nombres complexes. Rappelons que tout point (x, y) ∈ R2 peut être défini par un système de coordonées polaires centré ` a l’origine ( x = r cos(θ) y = r sin(θ) p o` u r = x2 + y 2 et θ ∈ [0, 2π[ est la mesure de l’angle que fait l’axe Ox et la droite qui passe par l’origine (0, 0) et le point (x, y).

r sin(θ)

b

M

b

θ b

r cos(θ) En utilisant l’identification Ψ on déduit que tout nombre complexe z ∈ C peut être défini en fonction des coordonnées polaires par la formule suivante, z =| z | (cos(θ) + i sin(θ)) dite présentation du nombre complexe z en coordonnées polaires. Dans le reste de chapitre l’angle θ sera noté arg(z) ∈ [0, 2π[ et sera appelé argument du nombre complexe z. Notons aussi que l’expression polaire d’un nombre complexe z peut être écrire sous forme exponentielle comme suit z =| z | ei.arg(z)

o` u

ei.arg(z) = cos(arg(z)) + i sin(arg(z))

et dont la justification sera faite dans la section 6.4 de ce chapitre. Sur l’ensemble des nombres complexes C on définit une loi de composition interne additive, ∀a + ib, x + iy ∈ C,

(a + ib) + (x + iy) = (a + x) + i(b + y)

et on définit aussi une loi interne multiplicative par l’expression ∀a + ib, x + iy ∈ C,

(a + ib) · (x + iy) = (ax − by) + i(ay + bx)

Il est clair que l’addition des nombres complexes s’interprète dans le plan R2 comme l’addition ordiaire des vecteurs. Pour comprendre la signification géométrique de la multiplication de deux nombres complexes a = α + iβ et z = x + iy appliquons l’identification Ψ sur le produit a·z : ! ! α −β x Ψ(a · z) = (αx − βy, αy + βx) ⇐⇒ Ψ(a · z) = · β α y Ainsi, ` a partir de cette expression matricielle du produit a · z ∈ C on déduit que le point Ψ(a · z) s’obtient ` a partir du point Ψ(z) moyennant la simulitude qui est composée par la p β rotation dirècte d’angle θ = arctg( ) et de l’homotétie de rapport λ = α2 + β 2 . α A. Bouarich


Au tours du plan complexe C

7

b

b

a·z

a z b

L’addition et la multiplication des nombres complexes induisent sur l’ensemble des nombres complexes C la structure algébrique de corps commutatif o` u le nombre complexe nul est neutre pour l’addition tandis que le nombre complexe 1 = 1 + i0 est neutre pour la multiplication. Tout nombre complexe non nul, x + iy ∈ C∗ , possède un inverse relativement ` a la multiplmication donné par l’expression (x + iy)−1 =

x2

x y −i 2 2 +y x + y2

Rappelons aussi que ` a chaque nombre complexe z ∈ C on associe un nombre complexe conjugué définit par l’expression z ∈ C 7−→ z¯ = ℜe(z) − iℑm(z) On vérifie facilement que la conjugaison des nombres complexes possède les propriétés suivantes : 1. ∀z ∈ C,

z¯ = z ;

2. ∀z1 , z2 ∈ C,

z1 + z2 = z¯1 + z¯2 ;

3. ∀z1 , z2 ∈ C,

z¯1 · z¯2 = z1 · z 2 ;

z¯ · z ∈ R+ ; z¯ 5. z ∈ C∗ , z −1 = ; z · z¯ 6. z ∈ R ⇐⇒ z¯ = z ; 1 1 7. ∀z ∈ C, ℜe(z) = (z + z¯) et ℑm(z) = (z − z¯). 2 2i 4. ∀z ∈ C,

1.1.2

Topologie de la droite complexe

Dans ce paragraphe, on va transporter les éléments de la topologie euclidiènne de R2 sur le plan complexe C via l’identification Ψ : C → R2 . D´ efinition 1. Soit z ∈ C. Le nombre réel positif définit par l’expression | z |:=

√

z · z¯ =

s’appelle module du nombre complexe z. A. Bouarich

p

(ℜe(z))2 + (ℑm(z))2


8


Il est facile de vérifier que la fonction, | · |: C → R+ , possède les propriétés suivantes : 1. ∀z ∈ C,

| ℜe(z) |6| z | et | ℑm(z) |6| z | ;

2. ∀z ∈ C,

| z¯ |=| z | ;

3. | z |= 0

⇐⇒

z = 0;

4. ∀z1 , z2 ∈ C,

| z1 · z2 |=| z1 | · | z2 | ;

5. ∀z1 , z2 ∈ C,

| z1 + z2 |6| z1 | + | z2 |.

Notons que les propriétés 3), 4) et 5) montrent que la fonction | · |: C → R+ définit une norme sur le plan complexe C vu comme espace vectoriel réel. Donc, ` a la norme | · | on peut associer une distance en posant pour tous les éléments z = x + iy et ω = α + iβ ∈ C, p d(z, ω) :=| z − ω |= (x − α)2 + (y − β)2 En effet, en utilisant l’identification d’identification Ψ : C → R2 on voit que la distance d(z, ω) n’est autre que la distance enclidiènne de R2 qui mesure la distance euclidienne entre les points Ψ(z) et Ψ(ω). En particulier, on déduit que la norme | z |= d(z, 0) (le module) n’est autre que la distance euclidiènne séparant l’origine Ψ(0) du point Ψ(z). Avec la distance d : C × C → R+ on redéfinit sur le plan complexe C quelques éléments topologiques déj` a définis en analyse II sur les espaces euclidiens Rm . 1. Le disque ouvert de centre z0 ∈ C et de rayon R > 0 est défini dans C par D(z0 , R) = {z ∈ C ; | z − z0 |< R} 2. Le disque fermé de centre z0 ∈ C et de rayon R > 0 est défini dans C par D(z0 , R) = {z ∈ C ; | z − z0 |6 R} 3. On dira qu’une suite de nombres complexes zn ∈ C converge vers a ∈ C si (∀ε > 0)(∃n0 ∈ N)(∀n ∈ N),

n > n0

=⇒

| zn − a |< ε

Le nombre complexe a s’appelle la limite de la suite de nombres complexes zn . La limite de zn quand il existe elle est unique et se note a = lim zn . n→+∞

4. On dira qu’une partie non vide F ⊆ C est fermée dans (C, | · |) si toute suite d’éléments zn ∈ F qui converge vers a ∈ C implique que a ∈ F. 5. On dira qu’une partie non vide U ⊆ C est ouverte dans (C, | · |) si son complémentaire C \ U est fermé dans (C, | · |). 6. On dira que la partie non vide V ⊆ C est un voisinage du point z0 ∈ V s’il existe un réel r > 0 tel que le disque ouvert D(z0 , r) ⊆ V. 7. On dira qu’une partie Ω ⊆ C est connexe si Ω ne peut pas être contenu dans la réunion disjointe de deux ouverts de C. C’est-` a-dire, si U1 et U2 sont deux ouverts de C tels que U1 ∩ U2 = ∅ et Ω ⊆ U1 ∪ U2 =⇒ U1 = ∅ ou U2 = ∅ Autrement dit, on aura l’une des deux possibilités suivantes :

A. Bouarich


Limite et continuité des fonctions ` a une variable complexe

9

– soit que Ω ⊆ U1 et Ω ∩ U2 = ∅ ; – ou soit que Ω ⊆ U2 et Ω ∩ U1 = ∅. Exemple 1. Le plan complexe C, les disques ouverts (ou fermés), les rectangles, les segments de droites et les droites sont connexes dans le plan complexe C. Par contre, la réunion de deux droites parallèles, la réusion de disques disjoints, la réunion disjoints de deux cercles concentriques ne sont pas connexe dans C. Exercice 1. Pour toute partie non vide A ⊆ C on pose c(A) = {¯ z ∈ C ; z ∈ A}.

1) Démontrer qu’une partie A ⊆ C est fermée (resp. ouverte) si et seulement si c(A) est fermée (resp. ouverte). 2) Démontrer que si A ⊆ C est un voisinage de z0 ∈ A alors la partie c(A) est un voisinage du conjugué z¯0 . 3) Démontrer qu’une partie A ⊆ C est connexe si et seulement si c(A) est connexe.

1.2

Limite et continuit´ e des fonctions ` a une variable complexe

´ Soit Ω ⊆ C un sous-ensemble non vide. Etant donnée une fonction f : Ω → C on lui associe deux fonctions réelles en posant u := ℜe(f ) : Ω −→ R

et

v := ℑm(f ) : Ω −→ R

appelée respectivement la partie réelle et la partie imaginaire de f (z). Donc, une fonction à valeur complexe qui dépend d’une seule variable complexe peut être vue comme étant une application définie sur Ω ` a valeur dans R2 qui dépend de deux variables réelles comme il est illustré par le diagramme commutatif suivant, (u,v)

Ψ(Ω) −→ R2 Ψ−1 ↓ ↓ Ψ−1 Ω

f

−→

C

o` u Ψ : C −→ R2 désigne l’application d’identification. Le diagramme commutatif précédent est équivalent ` a l’expression suivante : ∀z ∈ Ω,

f (ℜe(z) + iℑm(z)) = u(ℜe(z), ℑm(z)) + iv(ℜe(z), ℑm(z))

Dans le reste de ce paragraphe, on va examiner les questions de limite et de continuité pour les fonctions complexes ` a une variable complexe et on comparera ces notions avec le cas des applications qui dépendent de deux variables réelles. Quant ` a la question de dérivabilité des fonctions à une variable complexe elle sera étudée dans la prochaine section. D´ efinition 2. Soient Ω ⊆ C un ouvert non vide et f : Ω → C une fonction. On dira que f (z) tend vers un nombre complexe L ∈ C quand z ∈ Ω tend vers z0 ∈ C si, (∀ε > 0)(∃η > 0)(∀z ∈ Ω), A. Bouarich

| z − z0 |< η

=⇒

| f (z) − L |< ε.


10


Comme pour le cas des fonctions réelles ` a une ou plusieurs variables réelles on vérifie que la limite de f (z) quand il existe au point z0 elle est unique et se note lim f (z) = L. z→z0

Proposition 1. La fonction f (z) tend vers le nombre complexe L = a + ib au point z0 = x0 + iy0 si et seulement, si les parties réelle et imaginaire de f (z) tendent respectivement vers a et b au point (x0 , y0 ). Démonstration. Observer que si z = x+iy et f (z) = u(x, y)+iv(x, y) on obtient les inégalités : | u(x, y) − a |6| f (z) − L | et | v(x, y) − b |6| f (z) − L |. Si les limites lim f (z) et lim g(z) existent dans C on vérifie qu’on a les formules suivantes, z→z0

z→z0

1. lim (f (z) + g(z)) = lim f (z) + lim g(z) ; z→z0 z→z0 z→z0 2. lim f (z)g(z) = lim f (z) lim g(z) ; z→z0

z→z0

3. si lim g(z) 6= 0 alors lim z→z0

z→z0

z→z0

lim f (z) f (z) z→z0 = . g(z) lim g(z) z→z0

Proposition 2. Soit Ω ⊆ C un ouvert non vide et f : Ω → C une fonction. La fonction f (z) possède une limite L ∈ C au point a ∈ C si et seulement, si pour toute suite zn ∈ C qui converge vers le point a, lim f (zn ) = L. n→+∞

Exercice 2. Démontrer la proposition. z n’a pas de limite au point a = 0 parce que si z¯ 1 pour tout réel θ ∈ [0, 2π] fixé on considère la suite de nombres complexes, zn = eiθ , on aura n zn lim zn = 0 tandis que la limite lim f (zn ) = lim = e2iθ dépend de θ. n→+∞ n→+∞ n→+∞ z ¯n Exemple 2. La fonction z ∈ C∗ 7−→ f (z) =

D´ efinition 3. Soit Ω ⊆ C un ouvert non vide et f : Ω → C une fonction. On dira que f (z) est continue au point z0 ∈ Ω si la limite lim f (z) = f (z0 ) ie. : z→z0

(∀ε > 0)(∃η > 0)(∀z ∈ Ω),

| z − z0 |< η

=⇒

| f (z) − f (z0 ) |< ε.

Proposition 3. La fonction f (z) est continue au point z0 = x0 + iy0 si et seulement si ses parties réelle et imaginaire sont continues au point (x0 , y0 ). Démonstration. Observer que si pour tout z = x + iy on écrit f (z) = u(x, y) + iv(x, y) on obtient, | u(x, y) − u(x0 , y0 ) |6| f (z) − f (z0 ) | et | v(x, y) − v(x0 , y0 ) |6| f (z) − f (z0 ) |. En appliquant les formules de calcul des limites des fonctions complexes ` a une variable complexe on déduit que si les fonctions f et g : Ω → C sont continues alors leur somme f + g, f leur produit f g et leur quotient sont continues sur leurs domaines de définition respectif. g Exemple 3. Les fonctions suivantes sont continues sur leurs domaines de défiition : 1. z 7−→ z¯ = x − iy, z 7−→ z n = (x + iy)n ; 1 z¯ x y 2. z 7−→ = = 2 −i 2 ; 2 2 z |z| x +y x + y2 A. Bouarich


Limite et continuité des fonctions ` a une variable complexe

3. z 7−→

11

1 z x y = = 2 +i 2 . 2 2 z¯ |z| x +y x + y2

parce que leurs parties réelles et imaginaires sont continues sur leurs domaines de définition respectifs. Proposition 4. Soit Ω ⊆ C un ouvert non vide et f : Ω → C une fonction. Alors, pour tout point a ∈ Ω les propositions suivantes sont équivalentes : 1. La fonction f (z) est continue au point a ∈ Ω. 2. Si zn ∈ Ω est une suite qui converge vers a ∈ Ω alors la suite image f (zn ) converge vers f (a). Proposition 5. Pour qu’une fonction f : C → C soit continue il faut et il suffit que l’image inverse par f (z) de tout ouvert (resp. fermé) de C soit un ouvert (resp. fermé) de C. Exercice 3. Démontrer les deux propositions précédentes. Proposition 6. Soit Ω ⊆ C un ouvert non vide et f : Ω → C une fonction continue. Si une partie non vide Ω′ ⊆ Ω est connexe alors son image f (Ω′ ) est connexe dans C. Démonstration. Soit U et U′ deux ouverts de C tels que U ∩ U′ = ∅ et f (Ω′ ) ⊆ U ∪ U′ .

Notons que puisque la fonction f (z) est continue il s’ensuit que f −1 (U) et f −1 (U′ ) sont ouverts dans C et sont disjoints parce que U ∩ U′ = ∅

=⇒

f −1 (U) ∩ f −1 (U′ ) = ∅

Ainsi, comme la partie Ω′ est connexe et telle que Ω′ ⊆ f −1 (f (Ω′ )) ⊆ f −1 (U) ∪ f −1 (U′ ) on aura par exemple

Ω′ ⊆ f −1 (U)

et

Ω′ ∩ f −1 (U′ ) = ∅

=⇒

f (Ω′ ) ⊆ U

et

f (Ω′ ) ∩ U′ = ∅

Par consésquent, la partie image f (Ω′ ) est connexe dans C. Exercice 4. Démontrer que si f : C → C est une fonction continue alors le sous-ensemble Ω = {z ∈ C ; f (z) 6= 0} est un ouvert. Exercice 5. Soit Ω ⊆ C un ouvert non vide et f : Ω → C une fonction continue. Démontrer que si au point z0 ∈ Ω, f (z0 ) 6= 0 alors il existe un réel r > 0 tel que le disque ouvert | f (z0 ) | D(z0 , r) ⊆ Ω et pour tout z ∈ D(z0 , r) on a | f (z) |> . 2 Exercice 6. Soit Ω ⊆ C un ouvert non vide et f : Ω → C une fonction continue. Démontrer que les fonctions suivantes sont continues, z ∈ Ω 7−→ f (z), A. Bouarich

z ∈ Ω 7−→ f (¯ z ),

z ∈ Ω 7−→ f (¯ z) Introduction ` a l’analyse complexe

12


1.3 1.3.1

C-Diff´ erentiabilit´ e des fonctions ` a une variable complexe Applications C-lin´ eaires de C dans C

Rappelons que le corps des nombres complexes C on peut le voir soit comme un espace vectoriel sur R de dimension deux, ou soit comme un espace vectoriel sur C lui même dans ce cas sa dimension complexe ezst égale ` a un ie. : dimR C = 2

et

dimC C = 1

Lorsque le corps C est vu comme un R-espace vectoriel sa base canonique est constituée par les nombres complexes {1, i}. Donc, grˆ ace ` a la base canonique {1, i} qu’on pourra décomposer tout nombre complexe z ∈ C en partie réelle et partie imaginaire z = x × 1 + y × i.

Lorsque C est vu comme un C-espace vectoriel dans ce cas sa base canonique est constituée par l’élément neutre de la multiplication {1}. Ceci se traduit par le fait que chaque nombre complexe z ∈ C s’écrit z = z × 1. Le fait de voir le corps des nombres complexes C soit comme un R-espace vectoriel ou soit comme un C-espace vectoriel divise l’esnemble des applications linéaires A:C→C en deux classes d’applications : 1. Applications R-linéaires : – ∀z1 , z2 ∈ C, A(z1 + z2 ) = A(z1 ) + A(z2 ) ; – ∀z ∈ C, ∀λ ∈ R, A(λ · z) = λA(z). 2. Applications C-linéaires : – ∀z1 , z2 ∈ C, A(z1 + z2 ) = A(z1 ) + A(z2 ) ; – ∀z ∈ C, ∀λ ∈ C, A(λ · z) = λA(z). Notons que puisque R ⊂ C il en résulte que toute application C-linéaire A : C → C est R-linéaire et on a z ∈ C,

A(z) = A(z × 1) = zA(1)

o` u

A(1) ∈ C

Ainsi, si on pose a = A(1) on voit que l’application C-linéaire A : C → C a pour expression, z ∈ C,

A(z) = a · z

Maintenant, si on regarde l’application C-linéaire A : C → C comme étant R-linéaire alors en munissant le plan complexe C par sa base canonique {1, i} on conclut que pour tout nombre complexe z = x + iy on obtient : A(x + iy) = a · z = (α + iβ) · (x + iy) = αx − βy + i(xβ + αy) ! ! α −β x = · β α y A. Bouarich


C-Différentiabilité des fonctions ` a une variable complexe

13

Donc, relativement ` a base canonique {1, i} du plan complexe C la matrice réelle d’une application C-linéaire A : C → C est donnée par ! α −β o` u α + iβ = A(1) = a β α Inversement, considérons une application R-linéaire A : C → R et munissons le plan complexe C par sa base canonique {1, i}. Donc, les colonnes de la matrice de l’application R-linéaire relativement ` a la base {1, i} sont égales aux vecteurs A(1) et A(i). Autrement dit, si on pose A(1) = α + iβ et A(i) = γ + iλ on aura ! α γ β λ Ainsi, si on veut que l’application A : C → R soit C-linéaire on aura en particulier A(i) = iA(1)

=⇒

γ + iλ = i(α + iβ)

=⇒

γ = −β

et

λ=α

Par conséquent, pour qu’une application R-linéaire A : C → C soit C-linéaire il faut et il suffut que sa matrice réelle relativement ` a la base canonique {1, i} soit de la forme ! ! α γ α −β = o` u α + iβ = A(1) β λ β α Proposition 7. Soit A : C → C une application C-linéaire. Relativement ` a la base canonique {1, i} du corps des nombres complexes C on a les propriétés suivantes : ! α −β 1. La matrice réelle de l’application A est égale ` a o` u α + iβ = A(1). β α 2. Le déterminant de la matrice réelle de l’application A est égal ` a | A(1) |2 = α2 + β 2 > 0.

3. L’application A est inversible si et seulement si A(1) 6= 0.

En conséquence, l’ensemble des matrices des applications C-linéaires A : C → C est un corps en bijection canonique avec le corps des nombres complexes C ie. : ! α −β { ; α + iβ ∈ C} ≃ C β α Exemple 4. Considérons l’application définie par A: C → C z 7−→ i¯ z ¯ z¯) = λA(z), l’application A est donc R-linéaire. Puisque pour tout réel λ on a A(λz) = i(λ ∗ Mais, puisque pour tout z ∈ C on a : A(iz) = i(¯i z¯) = z¯

et

iA(z) = i(i¯ z ) = −¯ z

=⇒

A(iz) 6= iA(z)

on en déduit que l’application A n’est pas C-linéaire. Notons aussi que si on munit le plan complexe C par la base canonique {1, i} on voit que ! 0 1 la matrice réelle de l’application R-linéaire A est égale ` a et que son déterminant 1 0 Dét(A) = −1. Cette remarque nous donne une confirmation matricielle du fait que A n’est pas C-linéaire. A. Bouarich


14


1.3.2

Fonctions holomorphes

D´ efinition 4. Soient Ω ⊆ C un ouvert non vide et f : Ω → C une fonction. On dira que f (z) f (z) − f (z0 ) est C-dérivable au point z0 ∈ Ω si le taux d’accroissement admet une limite z − z0 dans C quand z ∈ Ω \ {z0 } tend vers z0 . La limite lim

z→z0 z6=z0

f (z) − f (z0 ) z − z0

quand il existe elle est unique, elle s’appelle dérivée de la fonction f (z) au point z0 et se note df (z0 ). f ′ (z0 ) ou dz Proposition 8. Si la fonction f : Ω → C est dérivable au point z0 ∈ Ω alors elle est continue au point z0 . Démonstration. Remarquer que pour tout nombre complexe z ∈ Ω \ {z0 } on peut écrire f (z) − f (z0 ) =

f (z) − f (z0 ) × (z − z0 ) z − z0

f (z) − f (z0 ) tend vers f ′ (z0 ) quand z − z0 tend vers z − z0 zéro on aura lim f (z) = f (z0 ). Donc, f (z) est continue au point z0 . et ainsi comme le taux d’acroissement z→z0

Dans la suite de ce chapitre s’il n’y a pas un risque de confusion nous dirons dérivable pour désigner une fonction qui est C-dérivable. D´ efinition 5. On dira que la fonction f : Ω → C est holomorphe au point z0 ∈ Ω si f est dérivable sur un voisinage V ⊆ Ω de z0 . Notons que si f : Ω → C est une fonction holomorphe on lui associe une fonction dérivée f ′ : Ω → C qui envoit z ∈ Ω sur la dérivée f ′ (z).

Comme pour le cas des fonctions ` a une variable réelle on vérifie que si f et g sont holomorphes sur un ouvert non vide Ω ⊆ C on aura les formules de dérivations suivantes, 1. (f + g)′ = f ′ + g′ , 2. (f g)′ = f ′ g + f g′ , f ′ f ′ g − f g ′ 3. = , g (g)2 4. (f ◦ g)′ = (f ′ ◦ g)g′ ,

5. si g est holomorphe sur un ouvert non vide Ω′ tel que g(Ω′ ) ⊆ Ω alors la fonction composée f ◦ g est holomorphe sur Ω′ et sa fonction dérivée (f ◦ g)′ = (f ′ ◦ g)g′ . Proposition 9. Soient Ω ⊆ C un ouvert non vide et f : Ω → C une fonction. Alors les applications suivantes sont équivalentes, 1. La fonction f est dérivable au point z0 ∈ Ω. 2. Il existe un nombre complexe λ ∈ C qui satisfait ` a la propriété suivante : (∀ε > 0)(∃η > 0)(∀z ∈ Ω), | z − z0 |< η =⇒ | f (z)− f (z0 )− f ′ (z0 )·(z − z0 ) |< ε | z − z0 | A. Bouarich



15

3. Il existe une application A : C → C qui est C-linéaire et telle que (∀ε > 0)(∃η > 0)(∀z ∈ Ω), | z − z0 |< η =⇒ | f (z) − f (z0 ) − A(z − z0 ) |< ε | z − z0 | Démonstration. 1) =⇒ 2) Il suffit qu’on écrive la définition de la limite pour lim z→z

0 z6=z0

f (z) − f (z0 ) =λ z − z0

tout en utilisant les quantificateurs universels logiques. 2) =⇒ 3) Remarquer que si pour tout z ∈ C on pose A(z) = f ′ (z0 ) · z on obtient une application C-linéaire et ainsi on pourra réecrire 2) en utilisant l’application A(z). 3) =⇒ 1) Observer que puisque l’application A : C → C est C-linéaire on aura pour tout z ∈ C, A(z) = A(1)z, donc en portant A(z) dans la proposition 3) on en déduit que la dérivée a A(1) = f ′ (z0 ). de f (z) au point z0 est égale ` D´ efinition 6. Soient Ω ⊆ C un ouvert non vide et f : Ω → C une fonction dérivable au point z0 ∈ Ω. L’application C-linéaire df (z0 ) : C −→ C ′ u 7−→ f (z0 ) · u s’appelle différentielle de f (z) au point z0 . Notons que puisque l’application identique z 7−→ z est holomorphe et sa fonction dérivée est égale ` a la constante un donc sa différentielle dz est l’application identique ie. : dz : C −→ C u 7−→ u Ainsi, suite ` a cette remarque on pourra exprimer la différentielle de toute fonction holomorphe f (z) par l’expression classique rencontrée au niveau des fonctions réelles ` a une seule variable réelle, df (z) = f ′ (z) · dz

⇐⇒

∀u ∈ C,

df (z)(u) = f ′ (z)dz(u) = f ′ (z)u

Observons que si on pose f ′ (z0 ) = a+ib ∈ C on déduit que la matrice réelle de la différentielle df (z0 ) : C → C est donnée par l’expression a −b b a

!

Exemple 5. 1) La fonction g(z) =| z |2 est continue sur C et elle est dérivable au point z0 = 0 parce que g(z) − g(0) z¯ z lim = lim = lim z¯ = 0 = g′ (0) z→0 z→0 z z→0 z z6=0

A. Bouarich

z6=0


16


Observons que pour tous z ∈ C et a ∈ C∗ tels que z 6= a le taux d’acroissement g(z) − g(a) z−a

z¯ z − a¯ a z−a (z − a)¯ z + a(¯ z−a ¯) = z−a z¯ − a ¯ = z¯ + a z−a =

1 Donc, si on prend la suite de nombres complexes zn = a + eiθ avec n ∈ N∗ on obtient la n limite suivante g(zn ) − g(a) 1 lim = lim a ¯ + e−iθ + ae−2iθ = a ¯ + ae−2iθ n→+∞ n→+∞ zn − a n qui dépend de l’angle θ, or ceci implique que pour tout a ∈ C∗ la fonction g(z) = z¯ z n’est pas dérivable au point a 6= 0.

2) Pour tout entier n > 0 la fonction f (z) = z n est holomorphe sur C et sa dérivée au point z0 ∈ C est donnée par f ′ (z0 ) = =

lim z→z

0 z6=z0

z n − (z0 )n z − z0

lim (z n−1 + z n−2 z0 + · · · + z(z0 )n−2 + (z0 )n−1 )

z→z0

= n(z0 )n−1 Maintenant, puisque on sait que les monˆ omes z 7−→ z n sont holomorphes sur C on déduit que toutes les fonctions polynˆ omiales complexes P(z) ∈ C[z] sont holomorphes sur C. De même, P(z) on conclut que toute fraction polynˆ omiale ∈ C(z) est holomorphe sur son domaine Q(z) définition qui est égal ` a l’ouvert U = {z ∈ C ; Q(z) 6= 0}. Exercice 7 (La régle de l’Hospital). Soit Ω ⊆ C un ouvert non vide, et soient f et g : Ω → C deux fonctions dérivables au point z0 ∈ Ω telles que f (z0 ) = g(z0 ) = 0. Démontrer que si la f ′ (z) limite z→z lim ′ existe alors on a 0 g (z) z6=z 0

lim z→z

0 z6=z0

f (z) f ′ (z) = z→z lim ′ 0 g (z) g(z) z6=z 0

Th´ eor` eme 1 (Inverse local). Soit Ω ⊆ C un ouvert non vide et f : Ω → C une fonction holomorphe. Si au point z0 ∈ Ω la dérivée f ′ (z0 ) 6= 0 alors il existe un réel tel que le disque ouvert D(z0 , r) ⊆ Ω de sorte que la restriction f| : D(z0 , r) → C soit injective et sa fonction inverse f|−1 : f (D(z0 , r)) → C est holomorphe. Démonstration. Admise.

1.3.3

Conditions de Cauchy-Riemann

Th´ eor` eme 2 (Conditions de Cauchy-Riemann). Soit Ω ⊆ C un ouvert non vide et f : Ω → C une fonction. Pour que f (z) soit C-dérivable au point z0 ∈ Ω il faut et il suffit que la partie A. Bouarich



17

réelle u(x, y) et la partie imaginaire v(x, y) de f (z) soient différentiables au point (x0 , y0 ) et que leurs dérivées partielles au point (x0 , y0 ) vérifient les conditions suivantes dites de Cauchy-Riemann : ∂u ∂v (x0 , y0 ) = (x0 , y0 ) ∂x ∂y

et

∂u ∂v (x0 , y0 ) = − (x0 , y0 ) ∂y ∂x

Démonstration. 1) Supposons que f est C-dérivable au point z0 ∈ Ω. Donc, par définition de la dérivée on peut écrire (∀ε > 0)(∃η > 0)(∀z ∈ Ω), | z − z0 |< η =⇒ | f (z) − f (z0 ) − (z − z0 )f ′ (z0 ) |< ε | z − z0 | Observons que si on pose z = x + iy, z0 = x0 + iy0 et f ′ (z0 ) = a + ib ∈ C on voit que la partie réelle et la partie imaginaire du nombre complexe, E(z, z0 ) = f (z) − f (z0 ) − (z − z0 )f ′ (z0 ) sont données par les expressions suivantes, ( ℜe(E(z, z0 )) = u(x, y) − u(x0 , y0 ) − [(x − x0 )a − (y − y0 )b] ℑm(E(z, z0 )) = v(x, y) − v(x0 , y0 ) − [(x − x0 )b + (y − y0 )a] Ainsi, puisque | ℜe(E(z, z0 )) |6| E(z, z0 ) | et | ℑm(E(z, z0 )) |6| E(z, z0 ) | de la définition de dérivabilité de f au point z0 on voit que dès que le nombre complexe z ∈ Ω vérifie | z −z0 |< η on aura les deux inégalités :

et

p | u(x, y) − u(x0 , y0 ) − [(x − x0 )a − (y − y0 )b] |6 ε (x − x0 )2 + (y − y0 )2 p | v(x, y) − v(x0 , y0 ) − [(x − x0 )b + (y − y0 )a] |6 ε (x − x0 )2 + (y − y0 )2

qui impliquent que u(x, y) et v(x, y) sont différentiables au point (x0 , y0 ) et que leurs dérivées partielles respectives sont données au point (x0 , y0 ) par les expressions,   ∂u ∂v     (x0 , y0 ) = a (x0 , y0 ) = b ∂x ∂x et ∂u ∂v     (x0 , y0 ) = −b (x0 , y0 ) = a ∂y ∂y

Ainsi, en comparant les lignes de ces deux systèmes on déduit que u(x, y) et v(x, y) vérifient les conditions de Cauchy-Riemann au point (x0 , y0 ) ie. : ∂u ∂v (x0 , y0 ) = (x0 , y0 ) ∂x ∂y ∂u ∂v (x0 , y0 ) = − (x0 , y0 ) ∂y ∂x 2) La réciproque est évidente. Il suffit qu’on écrive la définition de différentiabilité au point (x0 , y0 ) pour la partie réelle u(x, y) et la partie imaginaire v(x0 , y0 ) et grˆ ace au conditions de Cauchy-Riemann on en déduira la C-dérivabilité de la fonction ` a variable complexe f (z). A. Bouarich


18


Corollaire 1. Si la fonction f (z) = u(x, y) + iv(x, y) est dérivable au point z0 = x0 + iy0 par rapport ` a z alors sa dérivée est donnée par les expressions suivantes ∂u ∂u ∂v ∂v (x0 , y0 ) + i (x0 , y0 ) = −i (x0 , y0 ) + i (x0 , y0 ) f ′ (z0 ) = ∂x ∂x ∂y ∂y ∂u ∂u ∂v ∂v (x0 , y0 ) − i (x0 , y0 ) = (x0 , y0 ) + i (x0 , y0 ) = ∂x ∂y ∂y ∂x

Proposition 10. Soit Ω ⊆ C un ouvert non vide et f : Ω → C une fonction dont les partie ∂u ∂u réelle et imaginaire sont notées u(x, y) et v(x, y). Si les quatre dérivées partielles , , ∂x ∂y ∂v ∂v et sont continues au point (x0 , y0 ) et vérifient les conditions de Cauchy-Riemann ∂x ∂y ∂v ∂u (x0 , y0 ) = (x0 , y0 ) ∂x ∂y

et

∂u ∂v (x0 , y0 ) = − (x0 , y0 ) ∂y ∂x

alors la fonction f (z) est dérivable au point z0 = x0 + iy0 . Démonstration. Remarquer que la continuité des dérivées partielles de u(x, y) et v(x, y) implique qu’elles sont différentiables au point (x0 , y0 ), et puis appliquer le théorème précédent. Exemple 6. 1) La fonction f (z) = z¯ est continue sur C mais puisque la partie réelle et la partie imaginaire de f (z) sont égales ` a ( u(x, y) = x ∂v ∂u (x, y) = 1 6= (x, y) = −1 =⇒ ∂x ∂y v(x, y) = −y on en déduit que la fonction f (z) = z¯ n’est pas dérivable sur les points de C. 2) On définit l’exponentielle d’un nombre complexe z = x + iy ∈ C par l’expression, ez = ex+iy = ex (cos(y) + i sin(y)) La fonction z 7−→ ez est holomorphe sur C car ses parties réelles et imaginaires sont de classe C ∞ et vérifient les conditions de Cauchy-Riemann  ∂ ∂ (   (u(x, y)) = ex cos(y) = (v(x, y)) x u(x, y) = e cos(y) ∂x ∂y =⇒ ∂ ∂  v(x, y) = ex sin(y)  (u(x, y)) = −ex sin(y) = − (v(x, y)) ∂y ∂x

3) Les conditions de Cauchy-Riemann ne sont pas suffisantes pour assurer la dérivabilité d’une fonction ` a une variable complexe. Par exemple, si on considère la fonction  2  z si z 6= 0 f (z) = z¯  0 si z = 0

on obtient une fonction non dérivable au point z0 = 0 parce que pour tout z 6= 0 le taux f (z) − f (0) z d’acroissement = n’a pas de limite quand z ∈ C∗ tend vers zéro. Ce pendant, z−0 z¯ puisque la partie réelle u(x, y) et la partie imaginaire v(x, y) de f (z) sont égales ` a:  3 2  x − 3xy si (x, y) 6= (0, 0) u(x, y) = x2 + y 2  0 si (x, y) = (0, 0) A. Bouarich


C-Différentiabilité des fonctions ` a une variable complexe et

 2 3  3x y − y v(x, y) = x2 + y 2  0

19

si

(x, y) 6= (0, 0)

si

(x, y) = (0, 0)

on voit que leurs dérivées partielles sont données par  ∂u   (0, 0) =   ∂x et

 ∂u    ∂y (0, 0) =  ∂v   (0, 0) =   ∂x

∂v     ∂y (0, 0) =

lim

x→0 x6=0

lim

x→0 x6=0

u(x, 0) − u(0, 0) =1 x u(0, y) − u(0, 0) =0 y

v(x, 0) − v(0, 0) =0 x

lim

x→0 x6=0

lim

x→0 x6=0

v(0, y) − v(0, 0) = −1 y

et donc elles vérifient les conditions de Cauchy-Riemann au point (0, 0), ∂v ∂u (0, 0) = − (0, 0) = 1 ∂x ∂y

∂u ∂v (0, 0) = (0, 0) = 0 ∂y ∂x

et

malgré que f (z) n’est pas dérivable au point z0 = 0. Notons qu’en effet la partie réelle e de f (z) n’est pas différentiable au point (0, 0) parce que si dans le rapport, ∂u ∂u u(x, y) − u(0, 0) − x (0, 0) − yx (0, 0) −4xy 2 ∂x p ∂x U(x, y) = = 2 (x + y 2 )3/2 x2 + y 2

on passe aux coordonnées polaires on obtient l’expression

U(r cos(θ), r sin(θ)) = −4 cos(θ) sin2 (θ) qui prouve que U(x, y) n’a pas de limite quand (x, y) tend vers (0, 0). L’exemple précédent nous montre que dans le théorème 1, ` a cˆ oté des conditions de CauchyRiemann, l’hypothèse de différentiabilité des parties réelle et imaginaire de f (z) est essentielle pour assurer la dérivabilité de f (z). Exercice 8. Sur le plan complexe C on définit une fonction ` a valeur complexe par :

f (z) =

 

0 z5  | z |4

si

z=0

si

z 6= 0

1) Montrer que la fonction f : C → C vérifie les conditions de Cauchy-Riemann au point (0, 0). 2) La fonction f : C → C est-elle C-différentiable au point (0, 0) ? A. Bouarich


20


Exercice 9. Soient Ω ⊆ C un ouvert non vide et f : Ω → C une fonction dérivable.

1) Montrer que la matrice et le déterminant jacobiens de l’application f (x, y) = u(x, y) + iv(x, y) sont donnés au point (x0 , y0 ) ∈ Ω par, ∂u (x , y )  ∂x 0 0 J(f, (x0 , y0 )) =  ∂u − (x0 , y0 ) ∂y 

 ∂u (x0 , y0 )  ∂y  ∂u (x0 , y0 ) ∂x

et

Det J(f, (x0 , y0 )) =| f ′ (z0 ) |2

2) Montrer qu’en coordonnées polaires les conditions de Cuachy-Riemann s’écrivent sous la forme, 1 ∂v ∂v 1 ∂u ∂u = et =− ∂r r ∂θ ∂r r ∂θ Exercice 10. Soit Ω ⊆ C un ouvert convexe non vide et f : Ω → C une fonction holomorphe. Démontrer que si l’une des fonctions suivantes u(x, y) = ℜe(f (z)), r(x, y) = | f (z) |,

v(x, y) = ℑm(f (z)), θ(x, y) = arg(f (z))

est contante alors f (z) est constante sur Ω.

1.3.4

C-diff´ erentiablit´ e d’ordre sup´ erieur

Les fonctions dérivées d’ordre suppérieur ` a n > 1 d’une fonction holomorphes f : Ω → C se définient en utilisant la formule de récurrence, ∀z ∈ Ω,

′ f (n+1) (z) = f (n) (z)

Dans la section 3, on démontrera que toute fonction holomorphe est indéfiniment dérivable en tant que fonction ` a variable complexe. De plus, on démontrera que toute fonction holomorphe se développe en une série entière au voisinage de chaque point de son domaine d’holomorphie. Ce résultat marque la différence fondamentale entre les fonctions ` a une variable complexe holomorphes (ie. C-dérivables) et les applications réelles ` a plusieurs variables réelles R-dérivables. X Th´ eor` eme 3. Soit an (z − z0 )n une série entière de rayon de convergence R > 0. La n>0

fonction f (z) définie sur le disque ouvert D(z0 , R) par la série entière z 7−→ f (z) :=

X

n>0

an (z − z0 )n

est holomorphe et sa dérivée est donnée première est donnée par la série entière z 7−→ f ′ (z) :=

X n>1

nan (z − z0 )n−1

En effet, la fonction f (z) est indéfinement C-dérivable et on a f (n) (z0 ) = n!an , ∀n ∈ N. A. Bouarich



21

Démonstration. Il suffit qu’on donne une preuve pour le cas des séries entières centrées au X X an z n et nan z n−1 ont le même point z0 = 0. Notons aussi que les deux séries entières n>0

n>1

rayon de convergence R > 0, donc pour tout réel 0 < r < R ces deux séries entiès convergent X normalement sur le disque fermé D(0, r), de plus la série numérique n | an | r n−1 converge. n>1

Observons que si pour z1 ∈ D(0, R) on calcul la différence f (z) − f (z1 ) lorsque le nombre complexe z ∈ D(0, R) \ {z1 } on obtient f (z) − f (z1 ) z − z1

1 X an (z n − (z1 )n ) z − z1 n>0 X = an z n−1 + z n−2 z1 + · · · z(z1 )n−2 + (z1 )n−1 =

n>1

Ainsi, puisque pour | z |< r et | z1 |< r on a la mojoration an (z n−1 + z n−2 z1 + · · · z(z1 )n−2 + (z1 )n−1 ) < n | an | r n−1

et puisque la série numérique

X n>1

F(z) =

X n>1

n | an | r n−1 converge on en déduit que la fonction

an z n−1 + z n−2 z1 + · · · z(z1 )n−2 + (z1 )n−1

converge normalement sur le disque fermé D(0, r), donc la limite lim z→z

1 z6=z1

X f (z) − f (z1 ) = lim F(z) = nan (z1 )n−1 = f ′ (z1 ) z→z1 z − z1 n>1

Par conséquent, la fonction f (z) est holomorphe sur le disque D(0, R).

1.3.5

Fonctions harmoniques

D´ efinition 7. Soit Ω ⊆ R2 un ouvert non vide. On dira que la fonction u : Ω → R est harmonique si elle est solution de l’équation de Laplace : ∆u =

∂2u ∂2u + 2 =0 ∂x2 ∂y

Proposition 11. Soient Ω ⊆ R2 un ouvert non vide et f : Ω → C une fonction holomorphe. Si les parties réelle et imagiaire de la fonction f (z) sont de classe C 2 sur Ω alors elles sont harmoniques. Démonstration. Notons que puisque f (z) = u(x, y) + iv(x, y) est holomorphe sur Ω les fonctions u(x, y) et v(x, y) vérifient les conditions de Cauchy-Riemann i.e. : ∀(x, y) ∈ Ω, A. Bouarich

∂u ∂v = ∂x ∂y

et

∂u ∂v =− ∂y ∂x Introduction ` a l’analyse complexe

22


Ainsi, comme les fonctions u et v sont de classe C 2 on pourra écrire ∀(x, y) ∈ Ω : ∂2u ∂x2 ∂2v ∂x2

= =

∂ ∂u = ∂x ∂x ∂ ∂v = ∂x ∂x

∂ ∂v ∂ ∂v ∂ ∂u = = − =⇒ ∆u = 0 ∂x ∂y ∂y ∂x ∂y ∂y ∂ ∂u ∂ ∂u ∂ ∂v − = − = − − =⇒ ∆v = 0 ∂x ∂y ∂y ∂x ∂y ∂y

Donc, la partie réelle et la partie imaginaire de f (z) sont harmoniques sur Ω. D´ efinition 8. Soient Ω ⊆ R2 un ouvert non vide et u : Ω → R une fonction harmonique. Toute fonction v : Ω → R tel que le couple (u, v) vérifie les conditions de Cauchy-Riemann s’appelle conjuguée harmonique de la fonction u. Proposition 12. Soient Ω ⊆ R2 un ouvert non vide et u : Ω → R une fonction harmonique. Au voisinage de chaque point z0 ∈ Ω la fonction u possède une conjuguée harmonique qui est unique ` a une constante près. Démonstration. Observons que si pour tout (x, y) ∈ Ω on pose P = obtient une forme différentielle sur Ω : ω = Pdx + Qdy =

∂u ∂u dx − dy ∂y ∂x

∂u ∂u et Q = − on ∂y ∂x

∂P ∂2u ∂2u ∂Q = = − = ∂y ∂y 2 ∂x2 ∂x

=⇒

qui est donc fermée. Donc, d’après le théorème de H. Poincaré, pour tous (x0 , y0 ) ∈ Ω et r > 0 très petit tel que le disque ouvert D((x0 , y0 ), r) ⊆ Ω la forme différentielle ω = Pdx + Qdy est exacte sur D((x0 , y0 ), r) (car le disque est convexe). Autrement dit, il existe une fonction v(x, y) qui est de classe C 2 sur D((x0 , y0 ), r), unique ` a une constante près et dont la différentielle totale ∂v ∂v dv = dx + dy = ω ∂x ∂y

=⇒

 ∂v   ∂x ∂v   ∂y

∂u ∂y ∂u = Q = − ∂x = P =

Notons que le couple de fonctions (u, v) vérifient les conditions de Cauchy-Riemann et que les derivées partielles secondes de v(x, y) sont données par :  2 ∂ v    ∂x ∂2v    ∂y 2

∂2u ∂x∂y ∂2u = − ∂y∂x

=

=⇒

∆v = 0

Par conséquent, sur le disque ouvert D((x0 , y0 ), r) ⊂ Ω la fonction v(x, y) est une conjuguée harmonique de la fonction u(x, y). Corollaire 2. Soit Ω ⊆ C un ouvert non vide. Une fonction u(x, y) de classe C 2 est harmonique si et seulement si elle est la partie réelle (ou imagiaire) d’une certaine fonction holomorphe sur un ouvert non vide Ω′ ⊆ Ω. A. Bouarich


C-Différentiabilité des fonctions ` a une variable complexe Exemple 7. Vérifions que la fonction u(x, y) =

23

x est harmonique sur R2 \ {(0, 0)} et x2 + y 2

cherchons sa conjuguée harmonique v(x, y). En effet, puisque pour tout (x, y) 6= (0, 0) on a ∂u y 2 − x2 = 2 ∂x (x + y 2 )2

=⇒

et ∂u −2xy = 2 ∂y (x + y 2 )2

=⇒

∂2u −2x(x2 + y 2 ) − 4x(x2 − y 2 ) −2x(3y 2 − x2 ) = = ∂x2 (x2 + y 2 )3 (x2 + y 2 )3 ∂2u −2x(x2 + y 2 ) + 8xy 2 −2x(−3y 2 + x2 ) = = ∂y 2 (x2 + y 2 )3 (x2 + y 2 )3

x est harmonique sur son domaine de définition. x2 + y 2 Cherchons une fonction harmonique v(x, y) qui soit solution du système des équations aux dérivées partielles suivant :   y ∂v ∂u y 2 − x2    + ϕ(x)   v = − 2 = = 2 2 2 x + y2 ∂y ∂x (x + y ) =⇒ ∂v 2xy ∂v ∂u 2xy     = + ϕ′ (x) = − = 2  2 2 2 ∂x (x + y 2 )2 ∂x ∂y (x + y ) on conclut que la fonction u(x, y) =

y Ainsi, comme ϕ′ (x) = 0 on conclut que la fonction v(x, y) = − 2 +Cte est une conjuguée x + y2 x . harmonique de la fonction harmonique u(x, y) = 2 x + y2 Notons aussi que pour tout z = x + iy 6= 0 on peut écrire que u(x, y) + iv(x, y) = = =

x −y +i 2 + iCte 2 +y x + y2 z¯ + iCte | z |2 1 + iCte z x2

Exercice 11. Soit f (z) une fonction holomorphe sur un ouvert non vide Ω ⊆ C.

1) Montrer que sur Ω on a les formules de dérivations suivantes, h∂ 2 i2 h ∂ i2 1. + = | f ′ (z) | ; | f (z) | | f (z) | ∂x ∂y 2 2 ∂ ∂ 2. | f (z) | + | f (z) | = 4 | f ′ (z) |2 . ∂x2 ∂y 2 2) En déduire que sur l’ouvert {z ∈ Ω f (z) 6= 0} la fonction Log | f (z) | est harmonique. 3) Montrer que la fonction arg(f (z)) est harmonique sur son domaine de définition.

4) En appliquant les formules établies dans 1) démontrer que toute fonction homolomorphe sur Ω qui vérifie | f (z) |=| z |2 +c2 est constante. Exercice 12. Vérifier que les fonctions suivantes sont harmoniques et trouver leurs fonctions harmoniques conjuguées, ex sin(y), A. Bouarich

Log(x2 + y 2 ),

x3 − 3xy 2 + x2 − y 2 − xy + x + y Introduction ` a l’analyse complexe

24

1.3.6


D´ erivations complexes symboliques

Soit Ω ⊆ R2 un ouvert non vide et f : Ω → R une fonction de classe C 1 . Notons que si on pose z = x + iy ∈ C on pourra écrire ∀(x, y) ∈ Ω,

f (x, y) = f (

z + z¯ z − z¯ , ) 2 2i

Ainsi, si pour tout point (x, y) ∈ Ω ⊆ C on pose F(z, z¯) := f (

z + z¯ z − z¯ , ) 2 2i

alors en interprétant z et z¯ comme étant des variables indépendants les régle de dérivation d’une fonction composée qui dépend de plusieurs variables nous permet de déduire que les dérivées partielles de la fonction F(z, z¯) sont données par les expressions suivantes : ∂ (F(z, z¯)) = ∂z

∂f z + z¯ z − z¯ ∂ z + z¯ ∂f z + z¯ z − z¯ ∂ z − z¯ ( , ) ( )+ ( , ) ( ) ∂x 2 2i ∂z 2 ∂y 2 2i ∂z 2i 1 ∂f ∂f (x, y) − i (x, y) 2 ∂x ∂y 1 ∂ ∂ −i (f (x, y)) 2 ∂x ∂y ∂ 1 ∂ −i (F(z, z¯)) 2 ∂x ∂y

= = =

De la même fa¸con on trouve que ∂ (F(z, z¯))) = ∂ z¯ = = =

∂f z + z¯ z − z¯ ∂ z + z¯ ∂f z + z¯ z − z¯ ∂ z − z¯ ( , ) ( )+ ( , ) ( ) ∂x 2 2i ∂ z¯ 2 ∂y 2 2i ∂ z¯ 2i 1 ∂f ∂f (x, y) + i (x, y) 2 ∂x ∂y ∂ 1 ∂ +i (f (x, y)) 2 ∂x ∂y 1 ∂ ∂ +i (F(z, z¯)) 2 ∂x ∂y

Suite ` a ces calculs on déduit que les dérivées partielles par rapport aux variables complexes indépendants z et z¯ sont reliées aux dérivées partielles par rapport aux variables réelles indépendantes x et y par les formules suivantes : ∂ 1 ∂ ∂ = −i ∂z 2 ∂x ∂y

et

∂ 1 ∂ ∂ = +i ∂ z¯ 2 ∂x ∂y

Si maintenant f (x, y) = u(x, y) + iv(x, y) est une fonction dont les composantes sont de classe C 1 on pourra alors définir ses dérivées partielles par rapport aux variables complexes z et z¯ par les expressions suivantes : ∂f ∂u ∂v = +i ∂z ∂z ∂z

et

∂f ∂u ∂v = +i ∂ z¯ ∂ z¯ ∂ z¯

Proposition 13. Soit Ω ⊆ C un ouvert non vide et f : Ω → C une fonction holomorphe. Si u(x, y) = ℜe(f (z)) et v(x, y) = ℑm(f (z)) alors on a les formules suivantes, A. Bouarich



25

∂u 1 ∂u 1 = f ′ (z) et = f ′ (z) ; ∂z 2 ∂ z¯ 2 ∂v ∂v i ′ i = − f (z) et = f ′ (z) ; 2. ∂z 2 ∂ z¯ 2 1.

Démonstration. Utiliser les conditions de Cauchy-Riemann. Corollaire 3. Soit Ω ⊆ C un ouvert non vide et f : Ω → C une fonction dont la partie réelle u(x, y) et la partie imaginaire v(x, y) sont différentiables sur Ω. Alors, la fonction f (z) est ∂f holomorphe si et seulement si sa dérivée partielle = 0. ∂ z¯ Proposition 14. Soit Ω ⊆ C un ouvert non vide et f : Ω → C une fonction dont les parties réelle et imaginaire sont de classe C 2 . Alors, le Laplacien de la fonction f (z) est donné par la formule ∂2f ∂2f =4 ∆(f ) = 4 ∂z∂ z¯ ∂ z¯∂z Démonstration. Notons que si u(x, y) est une fonction réelle de classe C 2 on aura 4

∂2u ∂ ∂u ∂u = 2 +i ∂z∂ z¯ ∂z ∂x ∂y ∂ ∂ ∂u ∂u = −i +i ∂x ∂y ∂x ∂y 2 2 2 ∂ u ∂ u ∂2u ∂ u + i − i + = ∂x2 ∂x∂y ∂y∂x ∂y 2 = ∆(u)

Donc, si les parties réelle et imaginaire de la fonction f (z) = u(x, y) + iv(x, y) sont de classe ∂2f ∂2u ∂2v ∂2f C 2 on aura, 4 =4 + 4i . D’o` u, 4 = ∆(u) + i∆(v) = ∆(f ). ∂z∂ z¯ ∂z∂ z¯ ∂z∂ z¯ ∂z∂ z¯ Corollaire 4. Une fonction réelle u(x, y) de classe C 2 est harmonique si et seulement si elle ∂2u est solution de l’équation aux dérivées partielles, = 0. ∂z∂ z¯ ´ Corollaire 5 (Equation de Laplace). La solution générale de l’équation de Laplace ∆(u(x, y)) = 0 s’écrit sous la forme, u(x, y) = F(z) + G(¯ z ), o` u F et G sont deux fonctions ` a deux variables 2 réelles de classe C . ´ Corollaire 6 (Equation de Poisson). Soit ρ(x, y) une fonction continue. La solution générale de l’équation de Poisson, ∆(u(x, y)) = ρ(x, y) est égale ` a la somme u0 (x, y) + u(x, y) avec u0 (x, y) est une solution particulière de l’équation de Poisson et u(x, y) est une fonction harmonique arbitraire (ie. solution de l’équation de Laplace). A. Bouarich


26


Démonstration. Observer que si u0 et u sont des solutions de l’équation de Poisson on aura, ∆(u0 ) = ∆(u) = ρ, donc ∆(u − u0 ) = 0. Donc, la solution générale de l’équation de Poisson est la somme d’une solution particulière et d’une fonction harmonique. Exemple 8. 1) D’après le résultat du corollaire on voit que pour tout entier n > 1 le polynˆ ome de degré deux ` a deux variables, 1 [(x + iy)n + (x − iy)n ] 2 k=n k X π k n−k = cos((n − k) ) nx y 2

Hn (x, y) =

C

k=0

est une fonction harmonique. 2) Cherchons la solution générale de l’équation de Poisson : ∆(u) = x + y Pour chercher une solution particulière u0 (x, y) de l’équation de Poisson ∆(u) = x + y il suffit qu’on remplace les coordonnées cartésiènnes x et y par les variables complexes z et z¯ ie. : ∆(u) = x + y

⇐⇒

4

∂2u 1 1 1 1 = (z + z¯) + (z − z¯) = (1 − i)z + (1 + i)¯ z) ∂z∂ z¯ 2 2i 2 2

Ainsi, par intégration par rapport ` a z et z¯ on trouve qu’une solution particulère de l’équation de Poisson ∆(u) = x + y est donnée par la fonction u0 (x, y) = =

1 1 (1 − i)z 2 z¯ + (1 + i)(¯ z )2 z 16 16 1 3 (x + x2 y + xy 2 + y 3 ) 8

Donc, la solution générale de l’équation de Poisson ∆(u) = x + y est la somme 1 u(x, y) + (x3 + x2 y + xy 2 + y 3 ) 8 avec u(x, y) est une fonction harmonique arbitraire. Exercice 13. Soit Ω ⊆ C un ouvert non vide et f : Ω → C une fonction dont les parties réelle et imaginaire sont de classe C 1 . Démontrer que ∂ ∂ 1. (f (z)) = (f (z)) ; ∂z ∂ z¯ ∂ ∂ 2. (f (z)) = (f (z)) ; ∂ z¯ ∂z 3. ∆(f (z)) = ∆(f (z)). Exercice 14. Montrer que si f (z) est holomorphe sur l’ouvert Ω ⊆ C alors la fonction g(z) = f (¯ z ),

∀z ∈ Ω = {¯ z ∈ C ; ∀z ∈ Ω}

est holomorphe. A. Bouarich


Exemples de fonctions élémentaires complexes holomorphes

Exercice 15. Trouver la dérivée seconde mixte 4 | z |p ,

ep|z| ,

∂2 = ∆ des fonctions suivantes : ∂z∂ z¯

Log(1+ | z |2 ),

Log | z − a |,

27

arctg(

1+ | z | ) 1− | z |

o` u p ∈ R et a ∈ C sont des constantes. Exercice 16. Resoudre les équations équations de Poisson suivantes : 1. ∆(u) = x3 + y 3 ; 2. ∆(u) = xy 2 ; 3. ∆(u) = sin(x + y) ;

1.4 1.4.1

Exemples de fonctions ´ el´ ementaires complexes holomorphes L’exponentielle complexe z 7−→ ez

D´ efinition 9. On définit l’exponentielle d’un nombre complexe z ∈ C par l’expression z = x + iy 7−→ z z := ex (cos(y) + i sin(y)) Si on désigne par u(x, y) = ex cos(y) la partie réelle et par v(x, y) = ex sin(y) la partie imaginaire de l’exponentielle complexe ez on obtient deux fonctions de classe C ∞ sur R2 , de plus, comme en tout point de R2 on a les conditions de Cauchy-Riemann, ∂u ∂v = ∂x ∂y

∂u ∂v =− ∂y ∂x

et

on déduit alors que la fonction exponentielle z 7−→ ez est holomorphe sur C.

La proposition suivante nous donnera le dérveloppement de l’exponentielle complexe en série entière. Proposition 15. L’exponentielle de tout nombre complexe z ∈ C est égal ` a la somme de la série entière : z2 z3 zn ez = 1 + z + + + ··· + + ··· 2! 3! n! Démonstration. 1) Notons que d’près la règle de D’Alembert le rayon de convergence de la z2 z3 zn série entière 1 + z + + + · · · + + · · · est infini, donc sa somme f (z) définie une fonction 2! 3! n! holomorphe sur le plan comlplexe C dont la fonction dérivée vérifie la relation ∀z ∈ C,

f ′ (z) = f (z)

2) Notons aussi que si on porte le nombre complexe z = x+ iy dans l’expression de la fonction f (z) on obtient une application F : R2 → C définie par une série ` a deux variables, F(x, y) = f (x + iy) =

X 1 (x + iy)n n! n>0

A. Bouarich


28


L’application F(x, y) est différentiable sur le plan réel R2 et ses dérivées partielles premières vérifient en chaque point (x, y) ∈ R2 , ∂F (x, y) = F(x, y) ∂x

et

∂F (x, y) = iF(x, y) ∂y

Ainsi, on remarque que si pour tout x et y ∈ R on a pose, G(x, y) = F(x, y)e−x e−iy on obtient une application, G : R2 → C qui est différentiable et dont les dérivées partielles premières sont nulles : ∂G (x, y) = ∂x ∂G (x, y) = ∂y

∂F (x, y)e−x e−iy − F(x, y)e−x e−iy = 0 ∂x ∂F (x, y)e−x e−iy − iF(x, y)e−x e−iy = 0 ∂y

Donc, puisque le plan R2 est convexe la fonction G(x, y) est constante, et comme on a G(0, 0) = 1 on en déduit que pour tout (x, y) ∈ R2 , F(x, y) = ex eiy . Autrement dit, pour tout X zn nombre complexe z = x + iy ∈ C la somme f (z) = = ex eiy = ez . n! n>0 La définition de l’exponentielle complexe et la proposition précédente permettent de déduire qu’on a les propriétés suivantes : dez = ez ; dz 2. exp(C) := {ez ; ∀z ∈ C} = C∗ ; 1. ∀z ∈ C,

′

3. ∀z, z ′ ∈ C, ez+z = ez ez ′ ; 1 4. ∀z ∈ C, e−z = z ; e 5. ∀k ∈ Z, ∀z ∈ C, ez+2kπi = ez ;

1.4.2

Logarithmes complexes z 7−→ Log(z)

Au paragraphe précédent on a vu que l’exponentielle complexe z 7−→ ez est holomorphe sur C, 2πi-périodique, non injective et son image exp(C) = C∗ . Donc, pour tout nombre complexe z ∈ C∗ il existe au moins un nombre complexe u(z) ∈ C solution de l’équation eX = z. D´ efinition 10. Soient z ∈ C∗ et u ∈ C. Si l’exponentielle complexe eu = z on dira que le nombre complexe u ∈ C est un logarithme de z ∈ C∗ . Il est facille de vérifier que pour tout nombres complexes z ∈ C∗ si on utilise l’expression de l’exponentielle complexe (i.e. ex+iy = ex eiy ) on pourra trouver un logarithme complexe u = x + iy ∈ C de z tel que u = Log(| z |) + iarg(z) A. Bouarich

o` u

0 6 arg(z) < 2π Introduction ` a l’analyse complexe


29

Notons que si pour tout nombre complexe z ∈ C∗ on définit suppose que son argument arg(z) ∈ [0, 2π[ on obtient une correspondance C∗ −→ C z 7−→ Log(| z |) + iarg(z) dont la partie réelle Log(| z |) est différentielle sur C∗ tandis que la partie imaginaire arg(z) n’est pas continue sur la demi-droite réelle R∗+ . Pour confirmer ce fait observons que si pour ε > 0 fixé on considérons une application continue γ :] − ε, ε[→ C∗ telle que γ(0) = 1

et

∀t > 0, ℑm(γ(t)) > 0 resp.

∀t < 0, ℑm(γ(t)) < 0

(voir la figure) on voit que les deux limites suivantes sont différentes : lim (Log(| γ(t) |) + iarg(γ(t))) = 0

et

t→0

lim (Log(| γ(t) |) + iarg(γ(t))) = 2πi

t→0

t>0

t 0} avec 0 < θ < 2π on pourra définir une détermination du logarithme complexe, notée Logθ , qui prolongent le logarithme népérien de R∗+ sur le complémentaire Uθ = C\∆θ et ` a valeur dans l’ouvert Dθ,k = {x+iy ; x ∈ R et θ < y < θ + 2kπ} avec k ∈ Z est fixé. Plus précisément, on a ∀z ∈ Uθ ,

Logθ (z) = Log(| z |) + iarg(z) ∈ Dθ,0

ie.

θ < arg(z) < θ + 2π

Remarquons que pour tout réel θ 6= π la détermination du logarithme complexe, Logθ : Uθ → Dθ,k , nous fournit un prolongement du logarithme népérien de R∗+ sur la droite réelle R. C’esta-dire, grˆ ` ace ` a la déterminantion Logθ on pourra maintenant calculer le logarithme complexe Logθ (x) de tout nombre réel trictement négatif. A. Bouarich


32


Exemple 10. Pour tout réel θ ∈ [0, 2π[\{π} la détermination du logarithme complexe Logθ : Uθ → Dθ,0 nous donne ∀x ∈ R∗+ ,

Logθ (−x) = Log(x) + πi ∈ Dθ,0 ⊂ C

En particulier, on aura Logθ (−1) = πi 6∈ R.

1.4.3

Les puissances complexes z 7−→ z a

Soit a ∈ C. On définit la puisance d’exposant a d’un nombre complexe z ∈ C∗ par l’expression z a := eaLogk (z) o` u Logk (z) : Uπ → Dk désigne une détermination du logarithme complexe. De l’expression exponentielle de la puissance complexe on voit que :

1. si l’exposant a ∈ Z (entier) la puissance z a prend une seule valeur ; p ∈ Q (rationnel) la puissance z a prend un nombre fini de valeurs 2. si l’exposant a = q complexes car pour tout z 6= 0 on a l’expression p 2kπp )] z a := eaLogk (z) = exp[ Log(| z |) + i(arg(z) + q q qui montre que la puissance complexe z a prend ses valeurs dans l’ensemble {eaLogk (z) = p 2kπp exp[ Log(| z |) + i(arg(z) + )] ; 0 6 k 6 q − 1}. q q 3. si l’exposant a 6∈ Q la puissance complexe z a possède une infinité de déterminations.

Donc, pour tout a ∈ C \ Z la puissance z a est une fonction multiforme et sa déterminantion principale est donnée par la fonction wa : Uπ −→ C a Log (z) z −→ e qui est holomorphe et sa dérivée est donnée en tout point z ∈ Uπ par l’expression d a (z ) = az a−1 dz Les puissances complexes vérifient les propriétés suivantes : 1. z a · z b = z a+b ;

2. (z · w)a = z a · wa · e2πika o` u k = ±1 ou 0 ;

3. (z a )b = z ab e2πkib o` u k ∈ Z;

4. Log(z a ) = aLog(z) + 2πki o` u k ∈ Z; Exemple 11. En utilisant la détermination principale du logarithme complexe calculons les puissances complexes suivantes : i

(i) , A. Bouarich

i

(−1 + i)

et

i i · (−1 + i) Introduction ` a l’analyse complexe


33

(i)i = eiLog(i) = ei(iπ/2) = e−π/2 √

(−1 + i)i = eiLog(−1+i) = ei(Log(

2)+i3π/4)

√

= e−3π/4+iLog(

2)

i √ √ i · (−1 + i) = (−1 − i)i = eiLog(−1−i) = ei(Log( 2)−i3π/4) = e3π/4 eiLog( 2)

Notons que puisque le produit des puissances complexes √

√

(i)i · (−1 + i)i = e−π/2 e−3π/4+iLog( 2) = e−5π/4 eiLog( i on déduit que (i)i · (−1 + i)i 6= i · (−1 + i) et qu’en fait on a

2)

i (i)i · (−1 + i)i = i · (−1 + i) e(2πi)·i

1.4.4

Fonctions inverses des puissances z 7−→

√ a

z

On va discuter la construction de la fonction inverse de la puissance complexe que pour le cas des exposants entiers n > 2, ωn (z) = z n , ∀z ∈ C. d Il est clair que la fonction z 7−→ z n est homolomorphe sur C et sa fonction dérivée (ωn (z)) = dz nz n−1 se n’annule qu’au point z = 0, donc tout point z 6= 0 possède un voisinage sur lequel la fonction ωn (z) possède un inverse holomorphe. En effet, puisque pour tout entier 0 6 k 6 n − 1 la restriction de la fonction ωn (z) sur l’ouvert 2kπ (2k + 2)π Dk = {z ∈ C∗ ; < arg(z) < } est injective et on a ωk (Dk ) = U0 = C \ R+ n n on déduit que l’inverse de la fonction ωn (z) est multiforme qui possède n déterminantions holomorphes ωn−1 : U0 → Dk avec 6 k 6 n − 1. La déterminantion principale de la fonction inverse de ωn est définie de U0 dans D0 par √ l’expression z 7−→ n z. Cette expression signifie que si z ∈ U0 alors en écrivant p z =| z | eiarg(z) 7−→ n | z |eiarg(z)/n Les autres déterminantions de l’inverse de ωn (z) s’obtiennent en multipliant la déterminantion 2kπi principale par l’exponentielle complexe exp[ ] avec 0 6 k 6 n − 1. n

D1 D0 Dn−1

A. Bouarich


34


Par exemple, la fonction inverse de la fonction ω2 (z) = z 2 possède deux déterminantions définies respectivement sur l’ouvert U0 par z 7−→

1.4.5

√

z ∈ D0 = {z ∈ C ; ℑm(z) > 0}

et

√ z 7−→ − z ∈ D1 = {z ∈ C ; ℑm(z) < 0}

Les fonctions trigonom´ etriques z 7−→ cos(z), sin(z), tg(z), cotg(z)

Rappelons que pour tout réel θ l’exponentielle complexe de iθ est donnée en coordonnées polaires par l’expression, eiθ = cos(θ) + i sin(θ) Donc, le cosinus et le sinus de tout réel θ on peut les exprimer par des exponentielles complexes par les formules, cos(θ) =

eiθ + e−iθ 2

et

sin(θ) =

eiθ − e−iθ 2i

En effet, ces deux expressions de cosinus et sinus réels nous suggèrent de les prlonger sur le plan complexes en posant pour tout nombre complexe z ∈ C, cos(z) =

eiz + e−iz 2

et

sin(z) =

eiz − e−iz 2i

Notons que puisque l’exponentielle complexe est holomorphe sur C et 2πi-périodique on en déduit que les fonctions cosinus et sinus complexes sont holopériodiques sur C, elles sont de 2π-périodes et elles gardent toutes les propriétés de leurs sœurs réelles. De plus, en utilisant le développement en série entière de l’exponentielle complexe on voit que pour tout nombre complexe z ∈ C on a, cos(z) =

X (−1)n

n>0

(2n)!

z 2n

et

sin(z) =

X (−1)n z 2n+1 (2n + 1)! n>0

Enfin, notons que comme dans le cas des fonctions trigonométriques réelles on définit la fonction tangente complexe et la cotangente complexe en posant : tg(z)

=

cotg(z) =

1 − e2iz sin(z) =i , cos(z) 1 + e2iz cos(z) e2iz + 1 = i 2iz , sin(z) e −1

si

∀z 6= nπ + π/2

si

∀z 6= nπ.

Exercice 17. Montrer que les fonctions trigonométriques complexe vérfient les relations classiques suivantes : 1. cos2 (z) + sin2 (z) = 1 ; 2. cos(z + u) = cos(z) cos(u) − sin(z) sin(u) ; 3. cos(z − u) = cos(z) cos(u) + sin(z) sin(u) ; 4. sin(z + u) = sin(z) cos(u) + cos(z) sin(u) ; 5. sin(z − u) = sin(z) cos(u) − cos(z) sin(u) ; 6. sin(2z) = 2 sin(z) cos(z) ; A. Bouarich



35

7. cos(2z) = cos2 (z) − sin2 (z) ; u−z u+z ) sin( ); 8. sin(z) + sin(u) = 2 cos( 2 2 u−z u+z ) cos( ); 9. cos(z) + cos(u) = 2 cos( 2 2 tg(z) + tg(u) 10. tg(z + u) = . 1 − tg(z)tg(u) Exercice 18. Montrer que pour tout réel y ∈ R on a cos(iy) = Ch(y)

et

sin(iy) = i Sh(y)

En déduire que les fonctions cosinus et sinus complexe ne sont pas bornées sur C.

1.4.6

Les fonctions hyperboliques z 7−→ Ch(z), Sh(z), th(z), coth(z)

Pour définir le sinus et le cosinus hyperboliques complexes on étend leurs expressions réelles sur la droite complexe C : Sh(z) =

ez − e−z 2

et

Ch(z) =

ez + e−z , 2

∀z ∈ C.

(1.1)

Puisque les fonctions hyperboliques Sh et Ch sont définies ` a partir de l’exponentille complexe sont donc holomorphes. Le lecteur pourra vérifier ` a titre d’exercice que leur fonctions dérivées sont données par les expressions, d Sh(z) = Ch(z) dz

et

d Ch(z) = Sh(z), dz

∀z ∈ C.

De même, on définit la tangente et la cotangente hyperbolique complexe comme dans le cas réelles par,  Sh(z) ez − e−z   , si ∀z 6= i(nπ + π/2) = z  th(z) = Ch(z) e + e−z Ch(z) ez + e−z   = z , si ∀z 6= inπ.  coth(z) = Sh(z) e − e−z

A. Bouarich


Chapitre Deux

Int´ egration complexe : Le th´ eor` eme des r´ esidus et ses applications

Ce chapitre sera consacré au calcul intégrale des fonctions complexe ` a une variable complexe. Après voir construit l’intégrale simple complexe on va donner ses propriétés élmentaires. ´ Ensuite, on va démontrer les formules intégrales de Cauchy qui vont nous permet de démontrer plusieurs résultats qui caractérisent les fonctions holomorphes. Par exemple, grˆ ace aux formule intégrales de Cauchy on va démontrer que toute fonction holomorphe sur un ouvert on vide est indéfinement dérivable et qu’elle est développable en série entière au voisinage de chaque point de son domaine de définition. La notion la plus importante qu’on va introduire dans ce chapitre est la notion de résidu d’une singularité isolée d’une fonction holomorphe. La notion de résidu est très puissante vis-` a-vis calcul des intégrales complexe, car comme on va le voir avec le théorème des résidus, l’intégrale complexe d’une fonction holomorphe sur un domaine qui est limité par un contour fermé s’exprime par la somme des résidus de ses singularités isolées qui sont ` a l’intérieur du contour fermé.

2.1 2.1.1

Les courbes et les domaines du plan complexe Les chemins et les courbes du plan complexe

D´ efinition 12. Une application continue γ : [a, b] → C s’appelle chemin. 1. On dira que le chemin γ est de classe C 1 par morceaux s’il existe un nombre fini de points a < t1 < t2 < · · · < tm < b tels que l’application γ(t) possède des dérivées ` a γ| gauche et ` a droite de chaque points tj et toutes ses restrictions ]tj , tj+1 [−→ C sont de 1 classe C . 2. Le point γ(a) s’appelle l’origine du chemin γ et le point γ(b) l’extrémité du chemin γ. 3. Lorque γ(a) = γ(b) on dira que le chemin γ est fermé. A. Bouarich


Les courbes et les domaines du plan complexe

37

4. Si la restriction de l’application γ(t) sur l’intervalle ouvert ]a, b[ est injective on dira que le chemin γ est simple ou qu’il est sans points doubles. 5. L’image Γ = {γ(t) ; t ∈ [a, b]} s’appelle courbe paramétrée dans le plan complexe par l’application γ. 6. Soient γ1 : [a, b] → C et γ2 : [c, d] → C deux paramétrisations d’une courbe Γ. On dira que γ1 et γ2 sont équivalentes s’il existe une bijection continue θ : [a, b] → [c, d] ayant un inverse θ −1 continue et telle que γ2 ◦ θ(t) = γ1 (t), ∀t ∈ [a, b]. b

Figure 2.1 – Exemples de chemins du plan complexe Notons que si on utilise la bijection θ : [0, 1] → [a, b] définie par l’expression t 7−→ θ(t) = t(b − a) + a on déduit que les chemins du plan complexe peuvent être définis ` a partir des applications continues sur le segment [0, 1] dans le plan C. En particulier, le segment du plan complexe d’origine z ∈ C et d’extrémité u ∈ C peut être paramétré par l’application t ∈ [0, 1] 7−→ γ(t) = (1 − t)z + tu ∈ C dont l’image sera notée [z, u] = {(1 − t)z + tu ∈ C ; t ∈ [0, 1]}. D´ efinition 13. Soit γ : [a, b] → C un chemin. L’application continue γ − : [a, b] → C définie par γ − (t) = γ(a + b − t) s’appelle chemin opposée ou chemin inverse du chemin γ. Avec cette définition on voit que toute courbe paramétrée Γ = {γ(t) ; t ∈ [a, b]} pourra être parcourue suivant deux sens : soit de γ(a) = A vers γ(1) = b ou bien de γ(b) = B vers γ(a) = B. Le parcourt du point A vers le point B s’appelle orientation positive et se y

note Γ+ = {γ(t) ; t ∈ [a, b]} ou AB tandis que la traversée opposée de B vers A s’appelle y

orientation négative et se note Γ− = {γ − (t) ; t ∈ [a, b]} ou BA.

Par exemple, le cercle de centre z0 ∈ C et de rayon R > 0 on peut le parcourir soit dans le sens horaire ou soit dans le sens trigonométrique. Par convention le sens trigonométrique paramétré par l’application t ∈ [0, 1] 7−→ z(t) := z0 + Re2πit A. Bouarich


Intégration complexe : Le théorème des résidus et ses applications

38

est considéré comme une orientation positive du cercle. L’orientation négative du cercle peut obtenue ` a partir de la paramétration : t ∈ [0, 1] 7−→ z − (t) := z0 + Re−2πit .

z1 b

z2 b

Figure 2.2 – Le cercle de centre z1 est orienté positivement tandis que le cercle de centre z2 est orienté négativement.

D´ efinition 14. Soient γ1 et γ2 : [0, 1] → C deux chemins tels que γ1 (1) = γ2 (0). L’application continue γ1 ⋆ γ2 : [0, 1] → C définie par les expressions suivantes, ( si t ∈ [0, 1/2] γ1 (2t) γ1 ⋆ γ2 (t) = γ2 (2t − 1) si t ∈ [1/2, 1] s’appelle chemin composée de γ1 et γ2 . Par récurrence on pourra définir la composition d’une famille de n chemins γ1 , · · · , γn si pour a l’origine du chemin γj+1 (t) (ie. tout j ∈ {0, · · · , n − 1} l’extrémité du chemin γj (t) est égale ` γj (1) = γj+1 (0)).

Figure 2.3 – Trois chemins composés

Par exemple, le bord d’un triangle T de sommets z1 , z2 et z3 ∈ C est un chemin fermé composé par trois chemins qui matérialisent les arrêtes [z1 , z2 ], [z2 , z3 ] et [z3 , z1 ] du triangle T, on peut le paramétré par le systèmes suivant :   z1 + 3t(z2 − z1 ) si t ∈ [0, 1/3]  γ(t) = z2 + (3t − 1)(z3 − z2 ) si t ∈ [1/3, 2/3]   z3 + (3t − 2)(z1 − z3 ) si t ∈ [2/3, 1]

2.1.2

Les domaines du plan complexe

D´ efinition 15. Soit Ω ⊆ C une partie non vide. 1. On dira que la partie Ω est un domaine s’il est ouvert et connexe. A. Bouarich


Les courbes et les domaines du plan complexe

39

2. On dira que la partie Ω est convexe si pour tout couple de points z1 et z2 ∈ Ω le segment [z1 , z2 ] = {(1 − t)z1 + tz2 ∈ C, ∀t ∈ [0, 1]} ⊆ Ω. 3. On dira que la partie Ω est étoilée s’il existe un point z0 ∈ Ω tel que pour tout z ∈ Ω le segment [z0 , z] ⊆ Ω. z1 z5 z2 b

b

b

z3

b

z4 Figure 2.4 – Une partie polygonale convexe b

Il est clair que toute partie convexe est étoilée, et que l’intérieur de toute partie étoilée est un domaine (ie. est ouvert et connexe). D´ efinition 16. Soit Ω ⊆ C une partie non vide. Soient γ1 et γ2 : [0, 1] → Ω deux chemins qui ont les mêmes extrémités ie. : a = γ1 (0) = γ2 (0)

et

b = γ1 (1) = γ2 (1)

On dira que le chemin γ1 se déforme continument sur le chemin γ2 s’il existe une application continue H : [0, 1] × [0, 1] → Ω telle que H(t, 0) = γ1 (t),

H(t, 1) = γ2 (t),

H(0, s) = a

et

H(1, s) = b

L’application H(t, s) s’appelle une déformation continue de γ1 sur γ2 . b

b

γ1 a b

γs γ2

Figure 2.5 – Le chemin γ1 se déforme continument sur γ2 et γs un chemin intermédiaire

Notons que si H : [0, 1] × [0, 1] → Ω est une déformation continue de γ1 sur γ2 alors pour tout s ∈ [0, 1] fixée l’application partielle t ∈ [0, 1] 7−→ γs (t) := H(t, s) ∈ Ω est un chemin d’origine H(0, s) = a et d’extrémité H(1, s) = b. Notons aussi que l’application H′ (t, 1 − s) permet de déformer continument le chemin γ2 sur le chemin γ1 . D´ efinition 17. Soit Ω ⊆ C une partie non vide. Si tout chemin fermé de Ω peut être déformé continument en un point on dira que Ω est simplement connexe. Et, si Ω n’est pas simplement connexe on dira qu’il est multiplement connexe. A. Bouarich



40

Proposition 17. Toute partie étoilée non vide Ω ⊂ C est simplement connexe. Démonstration. Pour démontrer cette affirmation supposons que pour le point a ∈ Ω on a pour tout z ∈ Ω le segment [a, z] ⊂ Ω. Puis, observons que pour tout chemin fermé γ : [0, 1] → Ω tel que γ(0) = γ(1) = a si on pose ∀t, s ∈ [0, 1],

H(t, s) = (1 − s)γ(t) + sa

on obtient une application continue qui déforme le chemin fermé γ sur le point a ; car pour tout t ∈ [0, 1], H(t, 0) = γ(t) et H(t, 1) = a. Proposition 18. Soit Ω ⊆ C une partie non vide, bornée et ayant un intérieur non vide. Pour que Ω soit simplement connexe il faut et il suffit que sa frontière ∂Ω soit constituée par une seule courbe fermée. Démonstration. Admise. Exemple 12. 1) Les triangles, les rectangles, les polygones, les disques ouverts ou fermés, les demi-plans de C sont simplement connexes. 2) Si on se donne une partie Ω qui est simplement connexe alors en fixant un nombre fini de points {x1 , x2 , · · · , xn } ⊂ Ω le complémentaire Ω1 = Ω \ {x1 , x2 , · · · , xn } est multiplement connexe. De même, si on enlève de Ω un nombre fini de disques D(x1 , r1 ), · · · , D(xn , rn ) ⊆ Ω on obtient un domaine multiplement connexe [ [ Ω2 = Ω \ D(x1 , r1 ) · · · D(xn , rn ) b

b

b

Figure 2.6 – Domaine multiplement connexe Donc, en particulier, pour tout les réels 0 < r < R la couronne circulaire C(r, R) = {z ∈ C ; r 6| z |6 R} est multiplement connexe car sa frontière est constituée par deux cercles concentriques de rayons respectifs r et R. A. Bouarich


Intégration des fonctions complexes a` une variable complexe

41

Les discussions de ce paragraphe peuvent être résumées en deux points : i) Un domaine Ω ⊆ C sans trous est simplement connexe mais s’il possède au moins un seul trou dans ce cas il est multiplement connexe. ii) Si le domaine Ω ⊂ C est borné et multiplement connexe alors sa frontière est constituée par un nombre fini de courbes simples fermées.

2.2

2.2.1

Int´ egration des fonctions complexes ` a une variable complexe Construction de l’int´ egrale curviligne complexe

Soit Ω ⊆ C un domaine non vide. Considérons un chemin γ : [a, b] → Ω de classe C 1 par morceaux et fixons m-points a = t0 < t1 < · · · < tm−1 = b. γ(tm−1 ) γ(tm−2 ) b

b

b b

γ(t1 )

b

b

b

γ(t0 ) b

b

b

Figure 2.7 – Chemin subdivisé en m-portions de chemins

De plus, considérons une fonction bornée f : Ω → C et pour tout entier 0 6 j 6 m − 1 choisissons dans la portion de chemin γ([tj , tj+1 ]) un point ζj . D´ efinition 18. La somme suivante s’appelle somme de Riemann de longueur m ∈ N associée a la fonction f (z) et au chemin γ subdivisé en m-portions de chemins pointées par les ζj ∈ ` γ([tj , tj+1 ]) : j=m−2 X R(f, γ, m, ζj ) = f (ζj )(γ(tj+1 ) − γ(tj )) j=0

La limite de la suite des sommes de Riemann lim

tj+1 −tj →0 m→+∞

R(f, γ, m, ζj ) =

lim

tj+1 −tj →0 m→+∞

j=m−2 X j=0

f (ζj )(γ(tj+1 ) − γ(tj ))

s’appelle intégrale curviligne de la fonction f (z) le long du chemin γ et se note Z Z f (z)dz ou bien f (z)dz o` u Γ = γ([a, b]) γ

Γ

Lorsque la courbe Γ est fermée on utilise l’une des notations suivantes : I I f (z)dz ou f (z)dz γ

A. Bouarich

Γ



42

Comme le module | γ(tj+1 ) − γ(tj ) | mesure la longueur du segment [γ(tj ), γ(tj+1 )] on déduit que la somme de Rieman associée ` a la constante f (z) = 1, j=m−2 X j=0

| γ(tj+1 ) − γ(tj ) |

peut être considérée comme étant une valeur approchée de la longueur de la courbe Γ = γ([0, 1]). Donc, si on passe ` a la limite suivante lim

tj+1 −tj →0 m→+∞

j=m−2 X j=0

| γ(tj+1 ) − γ(tj ) |

on obtient la valeur exacte de la longueur de la courbe Γ = γ([a, b]) et on la désigne par Z ℓong(Γ) = | dz | Γ

Observons que si on suppose le chemin γ(t) est de classe C 1 on pourra alors approcher la ˙ j ), donc en passant ` a la limite différence γ(tj+1 ) − γ(tj ) par le nombre complexe (tj+1 − tj )γ(t ´ on dduit que la longueur de la courbe Γ = γ([a, b]) est égale ` a l’intégrale simple définie : Z Z b ℓong(Γ) = | dz |= | γ(t) ˙ | dt Γ

a

Exemple 13. Calculons la longueur de l’arc Γ paramétré par l’application γ(t) = z0 + Reit avec t ∈ [θ0 , θ1 ]. b

z0 Figure 2.8 – Un arc de cercle de centre z0 et de rayon R > 0.

ℓong(Γ) =

Z

| dz |=

γ

=

Z

θ1

θ0

Z

θ1 θ0

| γ(t) ˙ | dt

| iReit | dt

= R(θ1 − θ0 ) Par conséquent, si on prend θ0 = 0 et θ1 = 2π on déduit que la longueur d’un cercle entier de centre z0 et de rayon R > 0 est égale ` a 2πR.

2.2.2

Calcul et propri´ et´ es de l’int´ egrale complexe

Soit Ω ⊆ C un ouvert non vide et f : Ω → C une fonction continue dont les parties réelle et imaginaire sont désignées respectivement par u(x, y) et v(x, y). Considérons un chemin γ : [a, b] → Ω de classe C 1 par morceaux et pour tout t ∈ [a, b] posons γ(t) = x(t) + iy(t). A. Bouarich



43

Donc, avec ces données une somme de Riemann de longueur m ∈ N pourra être écrite sous la forme, R(f, γ, m, ζj ) = =

j=m−2 X j=0

j=m−2 X j=0

=

f (ζj )(γ(tj+1 ) − γ(tj ))

[u(ζj ) + iv(ζj )][(x(tj+1 ) − x(tj )) + i(y(tj+1 ) − y(tj ))]

j=m−2 X j=0

+ i

[u(ζj )(x(tj+1 ) − x(tj )) − v(ζj )(y(tj+1 ur) − y(tj ))]

j=m−2 X j=0

[v(ζj )(x(tj+1 ) − x(tj )) + u(ζj )(y(tj+1 ) − y(tj ))]

˙ j ) et y(tj+1 )−y(tj ) D’autre part, observons que si on approche x(tj+1 )−x(tj ) par (tj+1 −tj )x(t par (tj+1 − tj )y(t ˙ j ) on voit que la somme de Riemann R(f, γ, m, ζj ) peut être approchée par la somme j=m−2 X j=0

[u(ζj )x(t ˙ j ) − v(ζj )y(t ˙ j )](tj+1 − tj ) + i

j=m−2 X j=0

[v(ζj )x(t ˙ j ) + u(ζj )y(t ˙ j )](tj+1 − tj )

Par conséquent, si dans cette nouvelle expression de la somme de Riemann R(f, γ, m, ζj ) on fait tendre m vers l’infini et tj+1 − tj vers zéro on obtient la formule suivante : Z Z b Z b f (z)dz = (u(γ(t))x(t) ˙ − v(γ(t))y(t))dt ˙ +i (v(γ(t))x(t) ˙ + u(γ(t))y)dt ˙ Γ a Za Z = (udx − vdy) + i (vdx + udy) Γ

Γ

Proposition 19. Soit Ω ⊆ C un ouvert non vide et f : Ω → C une fonction continue. Si γ : [a, b] → Ω est une courbe de classe C 1 alors l’intégrale curviligne Z Z b f (z)dz = f (γ(t))γ(t)dt ˙ Γ

a

Démonstration. 1) Pour démontrer la formule de la proposition on va appliquer la définition de l’intégrale curviligne d’une forme différentielle réelle le long d’une courbe Γ paramétrée par l’application γ(t) = x(t) + iy(t), ∀t ∈ [a, b]. Z Z Z f (z)dz = (udx − vdy) + i (udy + vdx) Γ Γ Γ Z b Z b = [u(γ(t))x(t) ˙ − v(γ(t))y(t)]dt ˙ +i [v(γ(t))x(t) ˙ + u(γ(t))y(t)]dt ˙ a a Z b = [u(γ(t))x(t) ˙ − v(γ(t))y(t)] ˙ + i[v(γ(t))x(t) ˙ + u(γ(t))y(t)] ˙ dt a Z b = [u(γ(t)) + iv(γ(t))] · [x(t) ˙ + iy(t)]dt ˙ a Z b = f (γ(t))γ(t)dt ˙ a

A. Bouarich



44

Corollaire 7. Soit Ω ⊆ C un ouvert non vide et f : Ω → C une fonction continue. Si γ : [a, b] → Ω est un chemin de classe C 1 alors pour toute fonction θ : [c, d] → [a, b] qui est bijective et croissante on a, Z Z f (z)dz) = f (z)dz γ◦θ

γ

Les propriétés des intégrales complexes curvilignes énumérées ci-dessous se démontrent à partir des sommes de Riemann. Z Z Z 1. (f (z) + g(z))dz = f (z)dz + g(z)dz. Γ Γ Γ Z Z 2. ∀λ ∈ C, λ · f (z)dz = λ · f (z)dz. Γ ΓZ Z Z 3. f (z)dz = f (z)dz + f (z)dz. Γ1 ⋆Γ2 Γ1 Γ2 Z Z 4. f (z)dz = − f (z)dz. Γ− Γ Z Z 5. f (z)dz 6 | f (z) | · | dz |6 sup{| f (z) | ; z ∈ Γ}ℓong(Γ). Γ

Γ

Exemple 14. Soient m ∈ Z et a ∈ C fixé. Calculons l’intégrale curviligne de la fonction (z − a)m le long du cercle Γ de centre a et de rayon R = 1 paramétré par l’application γ(t) = a + eit ,

Z

Γ

(z − a)m dz =

Z

t ∈ [0, 2π] 2π

eimt (ieit )dt

0

Z

2π

= i (0 =

ei(m+1)t dt

0 2πi

si si

m 6= −1 m = −1

Exercice 19. Calculer les intégrales curviligne suivantes Z Z Z ℜe(z)dz, ℑm(z)dz, [a,b]

[a,b]

(¯ z )n dz

C(0,r)

Exercice 20. Soient a et b ∈ C tels que 0 0 tel que ∀u ∈ D(z, r),

| f (u) − f (z) |< ε

D’autre part, considérons une courbe Γ ⊂ Ω d’origine a et d’extrimété z et pour tout h ∈ D(0, r) désignons par Γz,h ⊂ D(z, r) le segment d’origine z et d’extrémité z + h ∈ D(z, r) (voir la figure)

z b

z+h

Γ b

b

a

Figure 2.13 – Le chemin composé Γ ⋆ Γz,h .

Donc, avec les notations ci-dessus on déduit que pour tout h ∈ D(0, r) on a F(z + h) = = =

Z Z Z

f (u)du Γ⋆Γz,h

f (u)du + Γ z

Z

f (u)du Γz,h

Z

z+h

f (u)du + f (u)du a z Z z+h = F(z) + f (u)du z

A. Bouarich



52

Ainsi, comme hf (z) = que

Z

z+h

f (z)du et pour tout u ∈ D(z, r) on a | f (u)− f (z) |< ε on déduit

z

Z z+h Z z+h + h) − F(z) − hf (z) = f (u)du − f (z)du F(z z z Z z+h = (f (u) − f (z))du < ε | h | z

Par conséquent, la fonction F(z) est holomorphe sur l’ouvert Ω et sa fonction dérivée F′ (z) = f (z), ∀z ∈ Ω. Donc, F(z) est une primitive de f (z) sur l’ouvert Ω. Corollaire 10. Si Ω ⊆ C est un ouvert simplement connexe non vide alors toute fonction holomorphe f : Ω → C possède une primitive sur Ω. 1 sur l’ouvert simplement connexe Exemple 17. 1) La restriction de la fonction z 7−→ z − Uπ = C \ R possède la déterminantion principale du logarithme complexe ∀z ∈ Uπ ,

Log(z) := Log(| z |) + iarg(z)

o` u

arg(z) ∈] − π, π[

comme primitive holomorphe telle que Log(1) = 0. Les autres primitives holomorphes de la 1 fonction sur Uπ sont égales ` a Log(z) + 2kπi avec k ∈ Z. z 1 2) Calculons l’intégrale curviligne de la fonction g(z) = 2 le long le cercle Γ paramétré z −1 par l’application γ(θ) = 1 + eiθ avec θ ∈ [0, 2π]. I

Γ

dz 2 z −1

1 2

=

I

Γ

dz 1 − z−1 2

I

Γ

dz z+1

1 Notons que puisque ` a l’intérieur du cercle Γ la fonction est holomorphe le théorème de z+1 I dz Cauchy-Goursat implique = 0. Donc, on obtient Γ z+1 I

Γ

dz 2 z −1

=

1 2

I

Γ

dz 1 = z−1 2

Z

0

2π

ieiθ dθ = πi eiθ

1 n’a pas de primitive holomorphe −1 1 sur l’ouvert C \ {−1, 1}. Cependant, si on restreint g(z) = 2 sur le demi-plan supérieur z −1 H = {z ∈ C ; ℑm(z) > 0} on vérifie que la fonction

En conséquence de ce calcul on déduit que la fonction

z2

1 1 G(z) = Log(z − 1) − Log(z + 1) 2 2 est une primitive holomorphe de g(z) sur H telle que G(i) = A. Bouarich

π . 2



2.2.5

53

Formules int´ egrales de Cauchy

Dans ce paragraphe, on va démontrer les célèbres formules intégrales de Cauchy. Ces formules vont nous permettre de démontrer que toute fonction holomorphe est indéfinement C-dérivable. Th´ eor` eme 8 (Seconde formule de Cauchy). Soit Ω ⊆ C un ouvert non vide et f : Ω → C une fonction holomorphe. Si Γ ⊂ Ω est une courbe simple fermée qui borde un domaine simplement connexe D ⊆ Ω (ie. Γ = ∂D) alors pour tout point z0 qui appartient ` a l’intérieur de D on a I 1 f (z) f (z0 ) = dz 2πi Γ z − z0

Γ b

z0

Figure 2.14 – La courbe Γ borde un domaine simplement connexe.

Démonstration. Soit z0 un point qui appartient ` a l’intérieur du domaine D limité par la courbe simple fermée Γ. Donc, puisque la fonction f (z) est holomorphe sur Ω en fixant un réel ε > 0 on peut trouver un réel r > 0 tel que le disque fermé D(z0 , r) ⊂ D et on a ∀z ∈ D(z0 , r) =⇒ f (z) − f (z0 ) − f ′ (z0 )(z − z0 ) < ε | z − z0 | Notons aussi que si on applique la formule de Cauchy-Goursat sur la couronne D \ D(z0 , r) orientée positivement (voir la figure) dont le bord est constitué par Γ et le cercle C(z0 , r) centré au point z0 et de rayon r on déduit que I I f (z) f (z) dz = dz Γ z − z0 C(z0 ,r) z − z0 Ainsi, si on intègre l’inégalité précédente le long du cercle C(z0 , r) on obtient I I I I f (z) f (z0 ) ′ dz − dz − f (z0 )dz < ε | dz | C(z0 ,r) z − z0 C(z0 ,r) z − z0 C(z0 ,r) C(z0 ,r) I f (z) dz − 2πif (z0 ) < 2πrε C(z0 ,r) z − z0

Par conséquent, en faisant tendre le réel ε > 0 vers zéro on obtient la formule intégrale de I 1 f (z) Cauchy f (z0 ) = dz. 2πi C(z0 ,r) z − z0 A. Bouarich



54

Corollaire 11 (Formule de la moyenne de Gauss). Soit Ω ⊆ C un ouvert non vide et f : Ω → C une fonction holomorphe. Pour tout point z0 ∈ Ω et pour tout réel r > 0 tel que le disque fermée D(z0 , r) ⊂ Ω on a la formule de la moyenne Z 2π 1 f (z0 ) = f (z0 + reiθ )dθ 2π 0

Démonstration. Remarquer que si on applique la formule de Cauchy ` a la fonction holomorphe f (z) sur le cercle C(z0 , r) = ∂D(z0 , r) on obtient I 1 f (z) f (z0 ) = dz 2πi C(z0 ,r) z − z0 Puis, observer que si on paramétrise le cercle C(z0 , r) par l’application γ(θ) = z0 + reiθ avec θ ∈ [0, 2π] on déduit que I Z 2π 1 f (z) 1 f (z0 + reiθ ) iθ dz = ire dθ f (z0 ) = 2πi C(z0 ,r) z − z0 2πi 0 reiθ Z 2π 1 f (z0 + reiθ )dθ. Donc, f (z0 ) = 2π 0 Dans les exemples ci-dessous on va appliquer la formule intégrale de Cauchy pour calculer des intégrales curvilignes. Exemple 18. 1) On désigne par Γ le cercle de centre z = 0 et de rayon r = 2. Calculons les intégrales curvilignes suivantes en appliquant la formule de Cauchy : I 5 I ez z + 10z + 4 dz et dz Γ (z − 1)(z + 3) Γ z(z − 4i) ez z 5 + 10z + 4 Puisque les fonctions f (z) = et g(z) = sont holomorphes sur le disque z+3 z − 4i centré ` a l’origine et de rayon deux la formule de Cauchy nous permet de déduit que I I I 1 ez f (z) ez 1 eπi dz = dz = f (1) =⇒ dz = 2πi Γ (z − 1)(z + 3) 2πi Γ z − 1 2 Γ (z − 1)(z + 3) 1 2πi

I

Γ

Γ′

z 5 + 10z + 4 1 dz = z(z − 4i) 2πi

I

Γ

g(z) dz = g(0) z

=⇒

I

Γ

z 5 + 10z + 4 dz = −2π z(z − 4i)

⊂ C une courbe simple fermée, donc elle borde un domaine simplement connexe 2) Soit D ⊂ C. Notons que si on applique la formule de Cauchy ` a la fonction f (z) = 1 sur D on déduit que ( I 0 si z 6∈ D 1 du = 2πi Γ′ u − z 1 si z ∈ Int(D) Exercice 27. Soit f (z) une fonction holomorphe sur le disque D(0, R). Pour tout réel 0 < r < R on désigne par C(0, r) le cercle paramétré par γ(t) = reit avec t ∈ [0, 2π]. Selon la position de a et b ∈ C \ C(0, r) par rapport au cercle C(0, r) calculer l’intégrale I f (z) dz C(0,r) (z − a)(z − b)

Indication : Décomposer la fraction A. Bouarich

1 et appliquer la formule de Cauchy. (z − a)(z − b) Introduction ` a l’analyse complexe


55

Exercice 28. Soit Ω ⊆ C un ouvert non vide et f : Ω → C une fonction continue. Démontrer que si Γ et Γ′ ⊂ Ω sont deux courbes simples fermées qui limitent une couronne C ⊂ Ω sur laquelle la fonction f (z) est holomorphe alors pour tout point z qui appartient ` a l’intérieur de C on a I I 1 f (w)dw f (w)dw 1 f (z) = − 2πi Γ′ w − z 2πi Γ w − z o` u Γ′ (resp. Γ) est la composante extéieure (resp. intérieure) de la frontière ∂C.

Th´ eor` eme 9 (Principe du maximum). Soit Ω ⊂ C un ouvert connexe non vide et soit f : Ω → C une fonction holomorphe. S’il existe un point z0 ∈ Ω tel que | f (z) |6| f (z0 ) |

∀z ∈ Ω, alors la fonction f (z) est constante sur Ω.

Démonstration. Posons F = {z ∈ Ω ; f (z) = f (z0 )}. La partie F est fermée non vide (car z0 ∈ F) et montrons qu’elle est aussi F ouverte.

Pour un u ∈ F fixé prenons un réel r > 0 tel que le disque fermé D(u, r) ⊂ Ω. Donc, puisq f (z) est holomorphe on déduit que pour tout réel ρ 6 r la formule de la moyenne de Gauss implique que Z 2π 1 f (u) = f (u + ρeiθ )dθ 2π 0 Donc, puisque le module | f (u) |=| f (z0 ) | et | f (u + ρeiθ ) |6| f (z0 ) | on en déduit que 1 | f (u) |=| f (z0 ) |6 2π

Z

0

2π

| f (u + ρeiθ ) | dθ 6| f (z0 ) |

Ainsi, puisque la fonction positive θ ∈ [0, 2π] 7−→| f (z0 ) | − | f (u + ρeiθ ) | est continue et son intégale définie,

Z

2π 0

| f (z0 ) | − | f (u + ρeiθ ) |

dθ, est nulle on en

déduit que pour tous θ ∈ [0, 2π] et ρ ∈ [0, r] on a | f (u + ρeiθ ) |=| f (z0 ) |. Donc, la fonction holomorphe f (z) est constante sur le disque D(u, r) car son mudule de f est constant sur D(u, r). Par conséquent, comme le disque D(u, r) ⊆ F on conclut que F est voisinage de chacun de ses points, donc c’est un ouvert. Enfin, notons que puisque F et C \ F sont des ouverts disjoints tels que Ω ⊆ F ∪ C \ F la connexité de Ω implique que Ω ⊆ F. Donc, F = Ω et f (z) est constante sur Ω. Le résultat du principe du maximum nous informe que si une fonction holomorphe f (z) n’est pas constante sur un ouvert connexe Ω et si elle est continue sur le bord ∂Ω alors la valeur maximale de son module | f (z) | est atteinte sur le bord de Ω ie. : sup{| f (z) | ; ∀z ∈ Ω} = sup{| f (z) | ; ∀z ∈ ∂Ω} A. Bouarich



56

Par exemple, pour une fonction f (z) qui est holomorphe sur un disque ouvert D(0, r) et continue sur le cercle C(0, r) on aura sup{| f (z) | ; | z |< r} = sup{| f (z) | ; | z |= r} Th´ eor` eme 10 (Formule de dérivation de Cauchy). Soit Ω ⊆ C un ouvert non vide et f : Ω → C une fonction holomorphe. Alors, la fonction f (z) est indéfinement dérivable et sa dérivée d’ordre n > 1 est donnée en tout point intérieur z0 ∈ Ω par la formule I n! f (z)dz (n) f (z0 ) = 2πi Γ (z − z0 )n+1 o` u Γ ⊂ Ω désigne une courbe fermée simple qui borde un domaine simplement connexe D ⊆ Ω (ie. Γ = ∂D) et qui contient le point z0 dans son intérieur.

Γ b

z0

Figure 2.15 – La courbe Γ borde un domaine simplement connexe.

Démonstration. Notons d’abord que puisque z0 appartient ` a l’intérieur du domaine D limité par Γ il existe un réel r > 0 tel que D(z0 , r) ⊂ D. Notons aussi que puisque pour tout entier f (z) est holomorphe sur la couronne C = D \ D(z0 , r), donc après n > 0 la fonction (z − z0 )n+1 orientation positive de la couronne C, la formule de Cauchy-Goursat permet de déduire que I I I f (z) f (z) f (z) dz = 0 =⇒ dz = dz n+1 n+1 (z − z ) (z − z ) (z − z0 )n+1 0 0 ∂C Γ C(z0 ,r) En conséquence de cette égalité on conclut que pour démontrer la formule de dérivation de Cauchy il suffit qu’on la vérifie sur le cercle C(z0 , r). 1) Démontrons la formule pour n = 1. Pour tout h ∈ C tel que | h |< r/2 la formule de Cauchy nous permet d’écrire que I h f (z) f (z0 + h) − f (z0 ) 1 f (z) i = − dz h 2πhi C(z0 ,r) z − z0 − h z − z0 I 1 f (z) = dz 2πi C(z0 ,r) (z − z0 )(z − z0 − h) I I 1 f (z) 1 hf (z) = dz + dz 2 2πi C(z0 ,r) (z − z0 ) 2πi C(z0 ,r) (z − z0 )2 (z − z0 − h) A. Bouarich



57

Maintenant, observons que puisque pour tout z ∈ C(z0 , r) et | h |< r/2 on a | z − z0 |= r

et

| z − z0 − h |>| z − z0 | − | h |> r − r/2 = r/2

et puisque la fonction f (z) est bornée sur le cercle C(z0 , r) donc la borne supérieure sup{| f (z) | ; ∀z ∈ C(z0 , r)} = M(r) < +∞ on déduit que I

C(z0 ,r)

| h | M(r) I 4π | h | M(r) hf (z) | dz |= dz 6 (z − z0 )2 (z − z0 − h) r 3 /2 r2 C(z0 ,r)

Ainsi, comme pour tout h ∈ C tel que | h |< r/2 on obtient la majoration I f (z + h) − f (z ) 4πM(r) | h | f (z) 1 0 0 − dz 6 h 2πi C(z0 ,r) (z − z0 )2 r2

I 1 f (z) qui implique que si h tend vers zéro on obtient = dz. 2πi C(z0 ,r) (z − z0 )2 2) Démontrons la formule pour n = 2. Comme dans 1) pour tout h ∈ C tel que | h |< r/2 la formule de Cauchy démontrée pour n = 1 nous permet d’écrire que I h f ′ (z0 + h) − f ′ (z0 ) 1 f (z) i f (z) = − dz h 2πhi C(z0 ,r) (z − z0 − h)2 (z − z0 )2 I f (z)(2(z − z0 ) − h) 1 dz = 2πi C(z0 ,r) (z − z0 )2 (z − z0 − h)2 I 1 (z − z0 )(2(z − z0 − h) + h) = f (z) dz 2πi C(z0 ,r) (z − z0 )3 (z − z0 − h)2 I I 1 2f (z) h f (z)(3(z − z0 ) − 2h) = dz + 3 2πi C(z0 ,r) (z − z0 ) 2πi C(z0 ,r) (z − z0 )3 (z − z0 − h)2 f ′ (z0 )

Ainsi, comme dans 1) en observant que sur le cercle C(z0 , r) on a | z − z0 |= r et pour | h |< r/2 on a | z − z0 − h |> r/2 on déduit que I f ′ (z + h) − f ′ (z ) 2! f (z) | h | M(3r + 2(r/2) 0 0 − dz (2πr) 6 3 h 2πi C(z0 ,r) (z − z0 ) r 3 (r/2)2 ) 32M 6 |h| r3 Par conséquent, si on fait tendre h vers zéro on déduit que la dérivée seconde I 2! f (z) dz f (2) (z0 ) = 2πi C(z0 ,r) (z − z0 )3 3) En supposant que pour tout 0 6 p 6 n − 1 la dérivée f (p) (z0 ) est existe et qu’elle est donnée par la formule intégrale I p! f (z) (p) f (z0 ) = dz 2πi C(z0 ,r) (z − z0 )p+1 A. Bouarich



58

on démontre comme ci-dessus que le taux d’accroissement I h f (z) f (z) i f (n−1) (z0 + h) − f (n−1) (z0 ) (n − 1)! − dz = n h 2πhi (z − z0 )n C(z0 ,r) (z − z0 − h) I n! f (z) tend vers dz = f (n) (z0 ) quand h tend vers zéro. 2πi C(z0 ,r) (z − z0 )n+1 Th´ eor` eme 11 (Morera 1886). Soient Ω ⊆ C un ouvert non vide etIf : Ω → C une fonction continue. Si pour toute courbe fermée Γ ⊂ Ω l’intégrale curviligne f (z)dz est nulle alors Γ

la fonction f (z) est holomorphe sur Ω.

Démonstration. Rappelons que d’après le résultat du théorème 4 puisque les intégrales curviligne de f (z) sont Z nulle le long des courbes fermées contenues dans Ω il en résulte que la z

fonction F(z) =

f (u)du est bien définie et holomorphe sur Ω. Ainsi, comme la fonction

a

dérivée F′ (z) = f (z) le théorme ` de dérivation de Cauchy implique de f (z) est holomorphe sur Ω. Exemple 19. On désigne par Γ le cercle centré ` a l’origine et de rayon r = 1. Calculons les intégrales curvilignes I I dz e2z dz ∀n > 1, et n+1 (z − 2) 2 Γ z Γ (2z − 1) (2z + 1) 1 1) Observons que si on pose f (z) = on obtient une fonction holomorphe sur le disque z−2 centré ` a l’origine et de rayon r = 1. Donc, d’après la formule de dérivation de Cauchy la dérivée d’ordre n > 0 de f (z) au point z = 0 est égale ` a I I n! f (z) dz 2πi dn 1 f (n) (0) = dz =⇒ = ( ) n+1 (z − 2) 2πi Γ z n+1 n! dz n z − 2 z=0 Γ z Ainsi, puisque pour tout entier la dérivée I

Γ

dn 1 (−1)n n! ( ) = on en déduit que dz n z − 2 (z − 2)n+1

dz 2πi (−1)n n! πi = =− n n+1 n+1 z (z − 2) n! (−2) 2

e2z est holomorphe sur C ⊂ {−1/2, 1/2}. Donc, si (2z − 1)2 (2z + 1) pour 0 < r < 1/4 on oriente positivement le domaine D = D(0, 1) \ D(−1/2, r) ∪ D(1/2, r)

2) Notons que la fonction

la formule de Cauchy-Goursat appliquée ` a la fonction g(z) implique I I I e2z dz e2z dz e2z dz = + 2 2 2 C(0,1) (2z − 1) (2z + 1) C(−1/2,r) (2z − 1) (2z + 1) C(1/2,r) (2z − 1) (2z + 1)

Ainsi, si on applique la formule de dérivation aux deux intégrales curvilignes de droite on déduit qu’elles sont égales ` a I e2z dz e2z πi = 2πi = e−1 2 2 2(2z − 1) z=−1/2 4 C(−1/2,r) (2z − 1) (2z + 1) A. Bouarich



b

b

59

b

Figure 2.16 – Le domaine D orienté positivement

et I

C(1/2,r)

4e − 2e e2z dz d e2z πei = 2πi = 2πi = (2z − 1)2 (2z + 1) dz 4(2z + 1) z=1/2 4(4) 4

Donc, l’intégrale curviligne

I

C(0,1)

e2z dz πi = (e + e−1 ). (2z − 1)2 (2z + 1) 4

Exercice 29. Soit R > 1 et f : D(0, R) → C une fonction holomorphe. Démontrer que ∀n > 0,

f (n) (0) 1 = n! 2π

Z

2π

f (eiθ )e−inθ dθ

0

Exercice 30. Soit R > 1 et f : D(0, R) → C une fonction holomorphe.

1) Calculer les deux intégrales curvilignes suivantes le long du cercle C(0, 1) : I

C(0,1)

1 f (z) 2 − (z + ) dz z z

et

I

1 f (z) 2 + (z + ) dz z z C(0,1)

2) En déduire qu’on a les deux formules suivantes Z f ′ (0) 1 2π f (eit ) cos2 (t/2)dt = f (0) + π 0 2 Z 2π ′ 1 f (0) f (eit ) sin2 (t/2)dt = f (0) − π 0 2 Exercice 31. Soient f et g : D(0, 1) → C continues et holomorphe sur le disque ouvert D(0, 1). Démontrer que l’intégrale curviligne 1 2πi

I

|u|=1

  f (z) zg(u) + du = 1  g( ) u − z zu − 1 z

f (u)

si

| z |< 1

si

| z |> 1

Exercice 32. Calculer les intégrales curvilignes suivantes I

|z|=1

ez dz , zn

I

|z|=1

cos(z)dz , z 2 (z − 2)

I

|z|=2

(z 2 + 1)dz , z 3 (1 − z 2 )

I

|z−i|=1

zdz + 1)3

(z 2

Exercice 33. Calculer l’intégrale curviligne suivante pour r = 1 et r = 3 I ez dz 2 |z|=r z(z − 4)(z − 2) A. Bouarich



60

Exercice 34. Soient P(z) et Q(z) deux polynˆ omes tel que le degré deg(P) < deg(Q). 1) Démontrer que si Q(z) possède que des zéros simples z1 , z2 , · · ·, zm ∈ C alors k=m X P(zk ) 1 P(z) = Q(z) Q′ (zk ) z − zk k=1

2) En déduire que pour tout réel r > max(| zk | ; k = 1, · · · , m) l’intégrale curviligne I

|z|=r

k=m X P(zk ) P(z) zP(z) dz = 2πi = 2πi lim ′ z→∞ Q(z) Q(z) Q (zk ) k=1

3) Application : Calculer les intégrales curvilignes suivantes, I I (z 2 + 1)dz (z 3 + z)dz , , 2 2 2 |z|=3 (z − z − 2)z |z|=2 (z − z + 1)(z + z + 1)

I

|z|=3

(z − 1)dz z 3 − 4z − 3

Exercice 35. Soit Ω ⊆ C un ouvert non vide et z0 ∈ Ω. Considérons une fonction f : Ω → C qui est continue et holomorphe sur Ω \ {z0 }. 1) Démontrer que la fonction g(z) = (z − z0 )f (z) est holomorphe sur l’ouvert Ω. 2) En déduire que la fonction f (z) est holomorphe sur l’ouvert Ω.

Exercice 36. On désigne par Γ (resp. Γ∗ ) le demi-cercle supérieur (resp. inférieur) orienté dans le sens trigonométrique, centré ` a l’origine et de rayon un. ´ Etant donné un réel R > 1 et une fonction ϕ(z) continue sur le disque D(0, R), pour tout nombre complexe z ∈ C \ Γ on pose : Z ϕ(u)du f (z) = Γ u−z

et

g(z) =

Z

Γ∗

ϕ(u)du u−z

1) Montrer que la borne inférieur : inf{| z − u | ; ∀u ∈ Γ} =|| z | −1 |.

a Γ on a 2) Montrer que pour tout couple de points z 6= z0 qui n’appartiennent pas ` Z Z f (z) − f (z0 ) ϕ(u)du (z − z0 )ϕ(u)du − = 2 2 z − z0 Γ (u − z0 ) Γ (u − z0 ) (u − z) 3) On pose M = sup{| ϕ(u) | ; ∀u ∈ Γ}. Montrer que Z (z − z )ϕ(u)du πM | z − z0 | 0 6 2 (u − z) (u − z ) (| 1− | z0 |)2 | 1− | z || 0 Γ

4) En déduire que la fonction f (z) est holomorphe sur l’ouvert C \ Γ et que sa fonction déreivée est donnée par l’expression, Z ϕ(u)du ′ ∀z 6∈ Γ, f (z) = 2 Γ (u − z) 5) En procédant comme dans 2) et 3) démontrer que la fonction g(z) est holomorphe sur l’ouvert C \ Γ∗ . 6) Démontrer que si la fonction ϕ(z) est holomorphe sur le disque D(0, R) alors on a les relations suivantes ( ϕ(z) si | z |< 1 f (z) + g(z) = 0 si 1 1 x2 + y 2 6 1

est de classe C ∞ et s’annule sur l’ouvert R2 \ D(0, 1). Th´ eor` eme 14 (Inégalités de Cauchy). Soit Ω ⊆ C un ouvert non vide et f : Ω → C une fonction holomorphe. Si le point z0 ∈ Ω alors pour tout réel r > 0 tel que D(z0 , r) ⊆ Ω et pour tout entier n > 0 on a l’inégalité f (n) (z ) M(r) 0 6 n n! r

o` u M(r) = sup{| f (z) | ; ∀z ∈ D(z0 , r)}.

Démonstration. Rappelons que d’après l’expression intégrale des dérivées d’ordre supérieurs de f (z) au point z0 si on C(z0 , r) désigne le bord du disque fermé D(z0 , r) ⊆ Ω on aura f (n) (z0 ) 1 = n! 2πi

I

C(z0 ,r)

f (z)dz (z − z0 )n+1

=⇒

I f (n) (z ) 1 | f (z) || dz | 0 6 n! 2π C(z0 ,r) r n+1

Ainsi, on voit que l’inégalité de Cauchy s’obtient en remarquant que

I

C(z0 ,r)

en posant M(r) = sup{| f (z) | ; ∀z ∈ D(z0 , r)}.

| dz |= 2πr et

Th´ eor` eme 15 (Liouville). Toute fonction holomorphe et bornée sur le plan complexe C est constante. Démonstration. Remarquer que s’il existe un réel M > 0 tel que pour tout z ∈ C, | f (z) |6 M. Donc, d’après l’inégalité de Cauchy pour tous r > 0 et z ∈ D(0, r), | f ′ (z) |6

M(r) M 6 r r

Ainsi, si on fait tendre le réel r > 0 tend vers l’infini on déduit que la dérivée f ′ (z) = 0, et donc pour tout z ∈ C, f (z) = f (0). Th´ eor` eme 16 (Théorème fondamental de l’algèbre). Tout polynˆ ome de degré n > 1 ` a coeficient complexes possède au moins une racine dans C. Démonstration. Supposons que P(z) est une fonction polynˆ omiale de degré n > 1 qui ne 1 s’annule pas dans C. Donc, si pour tout z ∈ C on pose f (z) = on obtient une holomorphe P(z) 1 sur C. D’autre part, comme la limite lim = 0 on en déduit que la fonction f (z) z→∞ P(z) est bornée sur C. Ainsi, puisque le théorème de Liouville implique que la fonction f (z) est constante sur C il s’ensuit que le polynˆ ome P(z) est constant sur C ; or ceci est absurde. Donc, tout polynˆ ome P(z) de degré n > 1 s’annule sur C. A. Bouarich



64

2.3

Le th´ eor` eme des r´ esidus et ses applications

2.3.1

S´ eries de Laurent

D´ efinition 22. Une série des puissances de la forme X a−2 a−1 an (z − a)n = · · · + + + a0 + a1 (z − a) + a2 (z − a)2 + · · · 2 (z − a) z−a n∈Z

s’appelle série de Laurent centrée au point a ∈ C. X a−n 1. La série des puissances négatives s’appelle la partie principale. (z − a)n n>0 X 2. La série des puissances positives an (z − a)n s’appelle la partie régulière. n>0

3. On dira que la série de Laurent converge si ses parties principale et régulière convergent.

La proposition suivante est analogue au théorème de Hadamard pour les séries entières ; elle va nous donner les formules qui permettent de déterminer l’intérieur du domaine de convergence simple d’une série de Laurent et nous donnera aussi une formule qui permet de calculer les coefficients de la série de Laurent. X Proposition 22. Soit an (z − a)n une série Laurent centrée au point a ∈ C. On pose n∈Z

r = Lim-sup n→+∞

p n

| a−n |

et

R=

1 Lim-sup n→+∞

p n

| an |

1. Sur la couronne circulaire Cr,R (a) = {z ∈ C ; r 0

si on a

p | z − a | lim n | an | < 1 n→+∞ X a−n tandis que la partie principale converge si on a (z − a)n n>0 lim

n→+∞

p n

| a−n |

|z−a| A. Bouarich

0

f (w)dw f (w)dw et w 7−→ sont −n+1 (w − a) (w − a)n+1 holomorphes sur la couronne Cr1 ,R1 et comme pour tout réel r1 < ρ < R1 le cercle C(a, ρ) se déforme continument sur les deux cercles C(a, r1 ) et C(a, R1 ) on déduit que I I 1 f (w)dw 1 f (w)dw an = = 2πi C(a,R1 ) (w − a)n+1 2πi C(a,ρ) (w − a)n+1 Enfin, puisque pour tout n > 0 les fonctions w 7−→

et a−n

1 = 2πi

I

C(a,r1 )

f (w)dw 1 = (w − a)−n+1 2πi

I

C(a,ρ)

f (w)dw (w − a)−n+1

Noter que l’expression des coefficients an de la série de Laurent trouvée impliques que les an ne dépendent que de f (z) et donc ils sont uniques. Exemple 20. 1) Développons la fonction a = 0 valable sur C∗ .

sin(z) en série de Laurent centrées ` a l’origine z

Rappelons que la fonction sin(z) est holomorphe sur C et son développement en série entière centrée ` a l’origine est donnée pour tout z ∈ C sin(z) =

X

(−1)n

n>0

z 2n+1 (2n + 1)!

Donc, pour tout z ∈ C∗ on a la série de Laurent sin(z) z 2n z2 z4 =1− + + · · · + (−1)n + ··· z 3! 5! (2n + 1)! dont la partie principale est identiquement nulle. 1 en série de Laurent centrée ` a l’origine a = 0 valable 2) Développons la fonction 2 z (z − i) sur la couronne 0 0 on déduit que le développement de Laurent de la fonction donné par X 1 i 1 = + − i + (−1)n (i)n+1 z n , z 2 (z − i) z2 z n>1

1 au voisinage de zéro est − i)

z 2 (z

∀z ∈ C∗ ,

0 0 Donc, pour tout z ∈ C∗ on a la série de Laurent centré ` a l’origine X 1 1 e1/z = , ∀z ∈ C∗ n n! z n>0

Notons que la partie principale du développement de la fonction holomorphe e1/z en série de Laurent autour de zéro contient une infinité de termes. 1 4) Dans cet exemple, on va développer la fonction holomorphe f (z) = en série (z − 1)(z − 2) de Laurent dans plusieurs couronnes contenues dans l’ouvert C \ {1, 2}. a) Notons que pour tout 0 0

n>−1

b) De même, pour tout 0 0 n>−1 c) Notons aussi que puisque pour tout 1 0 2n z n>0 z n X X zn = − zn − 2n+1 n6−1

n>0

Exercice 37. Déterminer le développement en série de Laurent dans la couronne indiquée. 7z − 2 1. , {z ∈ C ; 0 1

Exercice 43. Calculer les intégrales simples suivantes par la méthode des résidus. Z 2π dt 1. o` u a > 1. a + cos(t) 0 Z 2π dt 2. o` u a > 1. (a + cos(t))2 0 Z 2π dt 3. o` u | a |6= 1. 1 − 2a cos(t) + a2 0 Z π cos2 (t)dt 4. . 0 5 − 3 cos(t) Z π 5. cos2n+1 (t)dt o` u n ∈ N. 0 Z π 6. cos2n (t)dt o` u n ∈ N. 0

Exercice 44. Pour tout réel | a |> 1 calculer les coefficients de Fourier de la fonction 2π-périodique 1 f (x) = , ∀x ∈ R (a + cos(x))2 A. Bouarich


Calcul des intégrales simples généralisées par la méthode des résidus

77

Exercice 45. Pour tout réel | a |6= 1 calculer les coefficients de Fourier de la fonction 2π-périodique 1 , ∀x ∈ R f (x) = 2 a + 1 − 2a cos(x)

2.4.2

Calcul des int´ egrales g´ en´ eralis´ ees

Z

+∞

−∞

P(x) dx Q(x)

Considérons une fonction x ∈ R 7−→ f (x) dont la fonction ` a variable complexe associée z 7−→ f (z) est holomorphe sur C sauf en un nombre fini de singularités isolées. On va désigne par {z1 , z2 , · · · , zn } les singularités de f (z) qui appartiennent au demi-plan supérieur H = {z ∈ C ; ℑm(z) > 0}.

b

z1

Γ

z2

z4 b

b

z3

b

b

b

−R

R

Figure 2.20 – La courbe Γ est simple fermée borde un domaine du demi-plan supérieur contenant certaines singularités de f (z).

Donc, si pour tout réel R > max(| z1 |, | z2 |, · · · , | zn |) on intégre la fonction f (z) sur la courbe Γ parcourue dans le sens trigonométrique et qui est constituée par l’intérvalle [−R, R] et le demi-cercle CR de centre l’origine et de rayon R (voir la figure), le théorème des résidus implique que I Z R Z k=n X f (z)dz = f (x)dx + f (z)dz = 2πi Rés(f (z), zk ) Γ

−R

CR

k=1

Par conséquent, si on fait tendre le réel R > 0 vers l’infini on obtient l’expression suivante : Z +∞ Z k=n X f (x)dx = − lim f (z)dz + 2πi Rés(f (z), zk ) −∞

R→+∞ CR

k=1

Le lemme Z de Jordan suivant permet de calculer la valeur de la limite de l’integrale curviligne lim f (z)dz lorsque R tend vers l’infini pour certaines fonctions f (z). R→+∞ CR

Lemme 1 (Jordan). Soit S = {z ∈ C ; r deg(P(x)) + 2 la formule établie ci-dessus implique que l’intégrale simple généralisée Z

+∞

−∞

k=n

X P(x)dx = 2πi Rés f (z), zk Q(x) k=1

Exemple 27. 1) Pour tous 0 < a < b calculons l’intégrale simple généralisée Z +∞ x2 dx 2 2 2 2 −∞ (a + x )(b + x ) x2 Notons que cette intégrale converge car ` a l’infini la fonction 2 est équivalente 2 )(b2 + x2 ) (a + x Z +∞ 1 z2 dx a la fonction 2 et on a ` = 1 converge et que la fonction f (z) = x x2 (a2 + z 2 )(b2 + z 2 ) 1 est holomorphe sur le demi-plan supérieur sauf aux points ia et ib. Donc, puisque lim zf (z) = z→∞ 0 le lemme de Jordan combiné avec le théorème des résidus impliquent qu’on a Z +∞ h i x2 dx = 2πi R´ e s(f (z), ia) + R´ e s(f (z), ib) 2 2 2 2 −∞ (a + x )(b + x ) h i (ia)2 (ib)2 = 2πi + (2ia)(b2 − a2 ) (−b2 + a2 )(2ib) π = b+a A. Bouarich



79

2) Pour tout entier n > 0 et a > 0 calculons l’intégrale simple généralisée Z

+∞

0

dx (a2 + x2 )n+1

1 est holomorphe sur le demi-plan supérieur et n’a pas de racimes (a2 + z 2 )n+1 réelles, donc d’après le th´ orème des résidus on aura La fonction

Z

+∞ 0

dx 2 (a + x2 )n+1

= = = = =

1 2

+∞

dx + x2 )n+1 −∞ 1 πiRés , ia (a2 + z 2 )n+1 n 1 πi d n n+1 n! dz (z + ia) z=ia π(n + 1) · · · (2n + 1)i (−1)n n! (2ia)2n+1 (2n + 1)! π 2 (n!) (2a)2n+1 Z

(a2

Exercice 46. Calculer les intégrales simples suivantes par la méthode des résidus. Z +∞ tdt . 1. 2 2 −∞ (t − 2t + 2) Z +∞ tdt 2. . 4 t + t2 + 1 0 Z +∞ dt 3. o` u n ∈ N. 1 + t2n 0 Z +∞ m−1 t dt 4. o` u les entiers m et n vérifient 0 < m < n. 2n 1+t 0

2.4.3


Z

+∞

−∞

P(x) iαx e dx Q(x)

P(x) dont le dénominateur Q(x) ne possède pas des Q(x) racines réelles et son degré de Q(x) est supérieur ou égalZau degré de P(x) plus un (ie. +∞ P(x) iαx deg(Q(x)) > deg(P(x)) + 1). Le calcul de l’intégrale simple e dx sera fait selon −∞ Q(x) le signe du paramètre α. Considérons une fraction rationnelle

a) Le paramètre α > 0 : Dans ce cas on choisit un réel R > 0 strictement supérieur aux modules des racines {z1 , z2 , · · · , zn } de Q(z) qui appartiennent au demi-plan supérieur H et P(z) iαz puis on intègre la fonction e sur la courbe simple fermée ΓR constituée par l’intervalle Q(z) [−R, R] et le demi-cercle CR ⊂ H centré ` a l’origine et de rayon R. Donc, d’après le théorème des résidus on obtient I

ΓR

P(z) iαz e dz = Q(z)

A. Bouarich

Z

R −R

P(x) iαx e dz + Q(x)

Z

CR

k=n

X P(z) iαz P(z) iαz e dz = 2πi Rés( e , zk ) Q(z) Q(z) k=1



80

Notons que puisque deg(Q(x)) > deg(P(x)) + 1 il s’ensuit que

P(z) tend vers zéro quand z Q(z)

P(z) | ; z = Reiθ avec 0 6 θ 6 π} tend vers zéro Q(z) quand R tend vers +∞. Ainsi, puisque le module Z π Z P(z) iαz e dz 6 M(R) e−αR sin(θ) dθ CR Q(z) 0 Z π/2 6 2M(R) e−αR sin(θ) dθ tens l’infini, donc la fonction M(R) = sup{|

0

6 2M(R)

on en déduit que lim

6 Z

R→+∞ CR

Z

+∞ −∞

Z

π/2

e−2αRθ/π dθ

car sin(θ) > 2θ/π, ∀θ ∈ [0, π/2]

0

πM(R) [1 − e−αR ] αR P(z) iαz e dz = 0. Par conséquent, l’intégrale simple généralisée Q(z) k=n

X P(x) iαx P(z) iαz e dz = 2πi Rés( e , zk ) Q(x) Q(z) k=1

b) Le paramètre α < 0 : On désigne par {u1 , u2 , · · · , um } les racines de Q(x) qui appartiennet au demi-plan inférieur H− , puis pour tout réel R > max(| u1 |, | u2 |, · · · , | um |) on intégre P(z) iαz la fonction e sur la courbe fermée ΓR constituée par le demi-cercle CR = {Reiθ ; θ ∈ Q(z) [−π, π]} ⊂ H− et l’intervalle [−R, R] parcouru dans le sens opposé. Comme ci-dessus en appliquant le théorème des résidus sur ΓR on obtient I Z R Z k=n X P(z) iαz P(x) iαx P(z) iαz P(z) iαz Rés( e dz = − e dz + e dz = 2πi e , uk ) Q(z) ΓR Q(z) CR Q(z) −R Q(x) k=1

et ainsi le passage ` a la limite sur R vers l’infini implique que Z +∞ k=n X P(x) iαx P(z) iαz e dx = −2πi Rés( e , uk ) Q(z) −∞ Q(x) k=1 Z Exemple 28. Pour tous les réels a > 0 et b > 0 calculons l’intégrale

+∞ 0

cos(bx) dx x2 + a2

eibz D’après la méthode décrite ci-dessus en intégrant la fonction 2 sur la corube simple a + z2 fermée ΓR constituée par un demi-cercle CR contenu dans le demi-plan supérieur H centré a ` l’origine et de rayon R > a et l’intervalle [−R, R] on obtient lorsque R tend vers +∞ : Z +∞ ibx Z +∞ e dx eibz e−ba cos(bx) πe−ab = 2πiR´ e s( , ia) = 2πi =⇒ dx = 2 2 z 2 + a2 2ia x2 + a2 2a −∞ x + a 0

2.4.4


Z

+∞

−∞

P(x) eiαx dx Q(x) x

Dans ce paragraphe, on va adapter la méthode décrite au paragraphe précédent au cas des P(x) eiαx P(x) fonctions avec est une fraction rationnelle tel que le polynˆ ome Q(x) ne Q(x) x Q(x) possède pas des racines réelles et son degrés deg(Q(x)) > deg(P(x)). A. Bouarich



Notons que dans ces conditions pour calculer l’intégrale généralisée

Z

81 +∞

−∞

P(x) eiαx dx il suffit Q(x) x

P(z) eiαz qu’on intègre la fonction sur la courbe fermée Γε,R (voir la figure) constituée par le Q(z) z demi-cercle CR = {Reiθ ; θ ∈ [0, π]} (si α > 0 mais si α < 0 on prend θ ∈ [−π, 0]), l’intervalle I− = [−R, −ε], le demi-cercle Cε = {εeiθ ; θ ∈ [−π, 0]} et enfin l’intervalle I+ = [ε, R] et o` u r < min(| z1 |, | z2 |, · · · , | zn |) et R > max(| z1 |, | z2 |, · · · , | zn |).

b

z1

Γ

z4 b

b

z2

z3

b

b

b

b

−R

R

Figure 2.22 – La courbe Γ est simple fermée borde un domaine contenu dans le demi-plan P(z) tout en évitant l’origine. supérieur H contenant les singularités zk ∈ H de Q(z)

Donc, d’après le théorème des résidus on obtient I Z −r Z P(x) eiαx P(x) eiαx P(z) eiαz dx = dx + dz Q(z) z Γε,R Q(x) x C− −R Q(x) x r Z R Z P(x) eiαx P(z) eiαz + dx + dz CR Q(z) z r Q(x) x = 2πi

k=n X k=1

Rés(

P(x)eiαx , zk ) Q(x)

P(z) eiαz dz CR Q(z) z tend vers zéro quand le rayon R tend vers +∞. Pour calculer la limite de l’intergarle Z f (z)dz lorsque r tend vers zéro on va démontrer le deuxième lemme de Jordan suivant. Notons aussi que si on procède comme ci-dessus on vérifie que l’intergrale

Z

C− r

Lemme 2 (Jordan). Soit S = {z ∈ C ; r 0 x

sin(x) π dx = x 2 Introduction ` a l’analyse complexe


Exemple 30. Calculons l’intégrale simple généralisée

Z

0

+∞

83

1 − x2 sin(ax) dx o` u a > 0. 1 + x2 x

1 − z 2 eiaz Considérons la fonction f (z) = qui est holomorphe sur C \ {±i, 0} et pour laquelle 1 + z2 z les points ±i et 0 sont des pˆ oles simples. Donc, si on applique le théorème des résidus ` a f (z) sur la courbes fermées Γε,R (voir la figure 21) on obtient Z Z −ε Z Z R f (z)dz + f (z)dz + f (z)dz + f (z)dz = 2πiRés(f (z), i) CR

C− ε

−R

ε

Observons d’abord que l’intégrale simple Z −ε Z −ε Z R 1 − x2 eiax 1 − x2 e−iax f (z)dz = dx = − dx 2 x 2 x −R −R 1 + x ε 1+x Ceci permet de déduire que Z Z R Z h 2 e−a i 1 − x2 sin(ax) dx + 2i f (z)dz + f (z)dz = 2πi 2 x 2i i CR C− ε 1+x ε

et donc pour calculer l’intégrale donnée il suffit qu’on calcule les deux limites suivantes Z Z lim f (z)dz et lim f (z)dz ε→0 C− ε

R→+∞ CR

Notons que puisque lim εeiθ f (εeiθ ) = 1 la seconde lemme de Jordan implique ε→0

06θ6π

lim

Z

ε→0 C− ε

f (z)dz = −iπ

1 − z2 Dême, observons que puisque lim = 1 on déduit qu’il existe M > 0 et R0 > 0 tel que z→∞ 1 + z 2 1 − z2 pour R > R0 on a 6 M. Donc, si pour z ∈ CR on pose z = Reiθ avec 0 6 θ 6 π on 1 + z2 aura dz = izdθ et par suite en procédant comme dans l’exemple précédent on vérifie que Z π Z Z 2πM −aR sin(θ) −aR f (z)dz 6 M e dθ 6 (1 − e ) =⇒ lim f (z)dz = 0 R→+∞ CR aR CR 0 Maintenant, avec ces calculs on déduit que si R tend vers +∞ et r tend vers zéro on obtient Z +∞ Z +∞ 1 − x2 sin(ax) 1 − x2 sin(ax) π π −a 2i dx = πi − 2πe i =⇒ dx = − a 2 2 1+x x 1+x x 2 e 0 0 Exercice 47. Calculer les intégrales simples suivantes par la méthode des résidus. Z +∞ cos(bx) 1. dx o` u b > 0 et α ∈]0, π[. 2 −∞ x − 2 cos(α)x + 1 Z +∞ 3 t sin(t)dt 2. . (t2 + 1)2 0 Z +∞ 1 − cos(2t)dt 3. . (t2 + 1)2 0 Z +∞ x sin(x) 4. dx. 2 x +x+1 0 Z +∞ sin(x) 5. dx. 2 (x + 1)(x − π) 0 A. Bouarich



84

2.4.5


Z

+∞

xα

0

P(x) dx, −1 < α < 0 Q(x)

P(x) qui a que des pˆ oles non réels Q(x) et tel que le degré deg(Q(x)) > deg(Px)+1, on va décrire une méthode qui permet de calculer Z +∞ P(x) les intégrales généralisées de type xα dx avec −1 < α < 0. Q(x) 0 Z +∞ P(x) dx on effectue le changement xα Notons d’abord que si dans l’intégrale généralisée Q(x) 0 de variable x = et on obtient dx = et dt et que Z +∞ Z +∞ P(et ) α P(x) dx = dt x e(α+1)t Q(x) Q(et ) 0 −∞ Dans ce paragraphe, étant donnée une fraction rationnelle

Notons aussi que si u = Log(z) désigne la détermination principale du logarithme complexe P(z) alors le telle que arg(z) ∈]0, 2π[ on déduit que si z0 6= 0 est un pˆ ole de la fraction Q(z) u P(e ) nombre complexe u0 = Log(z0 ) est une singularité de la fonction . Q(eu ) Z +∞ P(x) Suite ` a ces remarques on déduit que pour calculer les intégrales généralisées de type xα dx Q(x) 0 P(eu ) il suffit qu’on applique le théorème des résidus ` a la fonction e(α+1)u sur le rectangle CR Q(eu ) indiqué sur la figure suivante :

2πi b

b

u1 b

u3

u2

u4

b

u5

b

−R

R

Figure 2.24 – La courbe ΓR est simple fermée et borde un rectangle du demi-plan supérieur P(ez ) qui contient les singularités de la fonction . Q(ez )

I I

(α+1)u

e

∂CR

k=n

e(α+1)u ∂CR

k=1

P(eu ) du = Q(eu ) + =

A. Bouarich

u X P(eu ) (α+1)u P(e ) du = 2πi R´ e s(e , uk ) Q(eu ) Q(eu )

Z Z

R

(α+1)x

e −R −R

P(ex ) dx + i Q(ex )

(α+1)(x+2πi)

e

Q(ex )

R

1 − e2π(α+1)i

P(ex )

Z

R

−R

Z

2π

e(α+1)(R+iy)

0

dx + i

e(α+1)x

Z

0

2π x P(e )

Q(ex )

P(eR+iy ) dy Q(eR+iy )

e(α+1)(−R+iy)

P(e−R+iy ) dy Q(e−R+iy )

dx +



i

Z

2π

(α+1)(R+iy)

e 0

P(eR+iy ) dy − i Q(eR+iy )

Z

2π

e(α+1)(−R+iy)

0

85 P(e−R+iy ) dy Q(e−R+iy )

Ainsi, puisque pour tout réel R > 0 assez grand on a | e(α+1)(R+iy)

P(eR+iy ) c |≃ e(α+1)R nR Q(eR+iy ) e

et

| e(α+1)(−R+iy)

P(e−R+iy ) |≃ R−(α+1)R c′ Q(e−R+iy )

o` u n ∈ N∗ on déduit que si R tend vers l’infini on obtient les deux expressions suivantes Z

+∞

xα

0

k=n P(x) πe−παi X P(z) Rés(z α dx = − , zk ) Q(x) sin(πα) Q(z) k=1

et Z

+∞

(α+1)x

e −∞

k=n u πe−παi X P(ex ) (α+1)u P(e ) dx = − , uk ) R´ e s(e Q(ex ) sin(πα) Q(eu ) k=1

+∞

eax dx x −∞ 1 + e Pour calculer cette intégrale nous considérons le rectange ΓR dont les cˆ otés sont [−R, R], [R, R + 2πi], [R + 2πi, −R + 2πi] et [−R + 2πi, −R] (voir la figure) et nous appliquerons le eaz théorème des résidus ` a la fonction f (z) = sur ΓR : 1 + ez Exemple 31. Pour tout 0 < a < 1 calculons l’intégrale

Z

2πi b

b

πi

−R

R

Figure 2.25 – La courbe ΓR est simple fermée et borde un rectangle du demi-plan supérieur qui contient le pˆ ole simple πi de f (z).

I

f (z)dz = 2πiRés(f (z), πi)

ΓR

(z − πi)eaz z→πi 1 + ez aπi e = 2πi πi = −2πieaπi e = 2πi lim

Observons que par définition d’une intégrale curviligne on peut écrire I Z R ax Z 2π a(R+iy) e dx ie dy f (z)dz = + x R+iy 1 + e 1 + e ΓR −R 0 Z −R a(x+2πi) Z 0 a(−R+iy) e dx ie dy + + −R+iy (x+2πi) 1+e R 2π 1 + e Z R eax dx Z 2π iea(R+iy) dy Z 2π iea(−R+iy) dy = 1 − e2πai + − x 1 + eR+iy 1 + e−R+iy −R 1 + e 0 0 A. Bouarich



86

Ainsi, puisque le paramètre 0 < a < 1 et pour tout réel y ∈ [0, 2π] on a

et

iea(R+iy) eaR 6 ≃+∞ e(a−1)R 1 + eR+iy eR − 1

iea(−R+iy) e−aR 6 ≃+∞ e−aR 1 + e−R+iy 1 − e−R

=⇒

=⇒

2π

lim

Z

iea(R+iy) dy =0 1 + eR+iy

2π

lim

Z

iea(R+iy) dy =0 1 + eR+iy

R→+∞ 0

R→+∞ 0

on en déduit que si R tend vers l’infini on obtient Z +∞ eax dx 1 − e2πai = −2πieaπi x 1 + e −∞ Par conséquent, pour tout réel 0 < a < 1 l’intégrale généralisée Z +∞ ax e dx π = x sin(πa) −∞ 1 + e Notons que si dans l’intégrale qu’on vient de calculer on effectue le changemenet de variable t = ex on aura dt = tdx et par suite Z +∞ ax Z +∞ a−1 e dx t π ∀a ∈]0, 1[, = dt = x 1 + e 1 + t sin(πa) −∞ 0 Exercice 48. Calculer l’intégrale généralisée suivante par la méthode des résidus Z +∞ ax e dx −1 0} \ z ∈ C ; | z |6 ε avec ℑm(z) > 0} puis faire tendre R vers +∞ et ε vers 0. A. Bouarich



87

iz

ee Exercice 52. Intégrer la fonction le long sur la courbe fermée ΓR,ε qui borde le domaine z DR,ε = {z ∈ C ; | z |6 R avec ℑm(z) > 0} \ z ∈ C ; | z |6 ε avec ℑm(z) > 0} puis faire tendre R vers +∞ et ε > 0 vers 0 pour déduire que Z

0

A. Bouarich

+∞

ecos(t) sin(sin(t)) π dt = (e − 1) t 2


Index

Formule de dérivation de Cauchy, 56 Formule de Green-Riemann complexe, 45 Calcul des intégrales simples par la méthode Formule de la moyenne de Gauss, 54 des résidus, 74 Chemin, 36 Inégalités de Cauchy, 63 Chemin opposé, 37 Intégrale curviligne complexe, 41 Chemains composés, 38 Inverse local, 16 Conditions de Cauchy-Riemann, 16 Le Laplacien d’une fonction, 25 Conjuguée harmonique, 22 Limite d’une fonction ` a variable complexe, 9 Coupure, 29 Logarithme complexe, 28 Courbe paramétrée, 37 Longueur d’une courbe, 42 Couronne circulaire, 40 Application C-linèaire , 12

Dérivations complexes simboliques, 24 Détermination principale du logarithme, 30 Disque fermé, 8 Disque ouvert, 8 Domaine, 38 Domaine multiplement connexe, 39 Domaine orienté positivement, 45 Domaine simplement connexe, 39 ´ Equation de Laplace, 21, 25 ´ Equation de Poisson, 25 Exponentielle complexe, 27 Fonction C-dérivable, 14 Fonction à variable complexe continue, 10 Fonction holomorphe, 14 fonction multiforme, 30 Fonctions harmoniques, 21 Fonctions hyperboliques complexes, 35 Fonctions trigonométriques complexes, 34 Formule de Cauchy-Goursat, 46 A. Bouarich

Partie connexe, 8 Partie convexe, 39 Partie étoilée, 39 Partie fermée, 8 Partie ouverte, 8 Point de branchement, 29 Pˆ ole d’ordre m > 1, 69 Première formule de Cauchy, 46 Primitive, 49 Principe des zéros isolés, 62 Principe du maximum, 55 Puissances complexes, 32 Règle de l’Hospital, 16 Résidu d’une singularité isolée, 70 Seconde formule de Cauchy, 53 Séries de Laurent, 64 Singularité isolée, 69 Singularité supprimable, 69 Singularité essentielle, 69 Introduction ` a l’analyse complexe

INDEX

89

Théor‘eme de Liouville, 63 Théorème d’inverse locale, 16 Théorème de Laurent, 65 Théorème de Morera, 58 Théorème des résidus, 72 Théorème fondamental de l’algèbre, 63 Voisinage d’un point, 8

A. Bouarich


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