CHEZ LE MiME EDITEUR
Ouvrages de fa meme collection (Maitrise de mathematiques pures): voir page 4 de couverture. Collection Mathematlques app/iquees pour fa Maitrise sous la direction de Ph. CiARLET et J. LIoNs: INTRODUCTION A L'ANALYSE NUMERIQUE MATRICIELLE ET A L'OPTIMISATION, par Ph. CiARLET. 1988, 3" tirage, 292 pages. EXERCICES D'ANALYSE NUMERIQUE MATRICIELLE ET D'OPTIMISATION, avec solutions, par Ph. CiARLET, B. MIARA et J. M. THOMAS. 1987, 2" edition, 192 pages. ANALYSE NUMERIQUE DES EQUATIONS DIFFERENTIELLES, par M. CROUZEIX et A. L. MIGNOT. 1989, 2" edition, 192 pages. EXERCICES D'ANALYSE NUMERIQUE DES EQUATIONS DIFFERENTIELLES, par M. CROUZEIX et A. L. MIGNOT. 1986, 192 pages. INTRODUCTION A L' ANALYSE NUMERIQUE DES EQUATIONS AUX DERIVERS PARTIELLES, par P. A. RAVIART et J. M. THOMAS. 1988, 2" tirage 224 pages. EXERCICES D'ANALYSE NUMERIQUE DES EQUATIONS AUX DERIVEES PARTIELLES, par P. RABIER et J. M. THOMAS. 1985, 208 pages. ANALYSE FONC1IONNELLE. Theorie et applications, par H. BREZIS. 1987, 2" tirage, 248 pages.
Autres ouvrages ANALYSE REELLE ET COMPLEXE, par W. RUDIN. 1987, 4· tirage, 408 pages. MATHEMATIQUES POUR LA LICENCE, Second cycle des Universites et ecoles d'ingenieurs. Variable complexe, calcul differentiel et tensoriel, espaces normes et calcul integral, analyse de Fourier, par J. P. FERRIER. 1984, 232 pages ALGEBRE ET GEOMETRIE. PROBLEMES DE MATHEMATIQUES, Ecrit du CAPES, avec rappels de cours. Annee 1979-1987, Concours interne 1987, par A.Ltvy-.BRUHL, P. LEVy-BRUHL, C. PIQUET, C. SERVIEN et J. VAUTHIER. ,.!988, 2· edition, 224 pages. ANALYSE. PROBLEMES bE MATHEMATIQUES, Ecrit du CAPES, avec rappe1s de cours. Aimee 1980-1987, par A. LEVy-BRUHL, P. LEVy-BRUHL, C. PIQUET, c. SE~YIEN et J. VAUTHIER. 1988,2" edition, 248 pages.
Collection Maitrise de mathematiques pures sous Ia direction de J. DIEUDONNE et P. MALLIAVIN de l'Institut
P.DOLBEAULT Pro/esseur a I'Universite Pierre et Marie Curie
ANALYSE COMPLEXE Ouvrage publie avec Ie concours du Ministere de la Recherche et de la Technologie (DIST).
MASSON Paris Milan Barcelone Mexico 1990
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Masson, Paris, 1990 ISBN: 2-225-81425-2 ISSN : 0339-879 X
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INTRODUCTION AU COURS D'ANALYSE
L'ANALYSE MATHEMATIQUE donne un ensemble de regles gouvernant la manipulation des limites et des infiniment petits: regles de changement de variables, regles d'interversion de limites, regles de derivation so us Ie signe integrale, etc. On ne peut toutefois reduire I'Analyse a cette gymnastique formeJle sans perdre de vue ses objets principaux et Ie sens meme de sa demarche. Des Ie xvm e siecle les series ont ete utilisees pour definir des fonctions nouvelles. Dans un langage moderne, l'Analyse demontre des theoremes d'exlSfence en formulant les problerres dans des espaces complets convenables. Lorsqu'un resultat d'existence est precise par un theoreme d'unicite, alors, et seulement alors, la notion de solution approchee a un sens ; Ies algorithmes numeriques de caIcul des solutions approchees proviendront souvent de la demarche anterieure de l'Analyste. L'evolution des systemes mecaniques est gouvernee par Ie prinCipe du minimum d'action. Plus generalement I'Analyse permet de definir des fonctions remarquables : celles qui realisent Ie minimum de fonctionnelles nature lies. Les proprietes de ces fonctions extrrJmales pourront etre deduites alors des equations aux variations de la fonctionnelle associee. Les lois elementaires de conservation de la Physique ne permettent pas de decrire un phenomene complexe. Toutefois la formulation infinitesimale de ces lois peut conduire a des equations aux derivees partielles. L' Analyse, en etablissant I'existence globale des solutions de ces equations, ainsi que leurs proprietes, apportera un outil pour passer de I'infinitesimal au global. Le caIcul des probabilites sur un nombre fini n d'evenements, est souvent equivalent a des problemes de combinatoire. Lorsque n tend vers I'infini, des lois limites simples apparaissent. La Oll l'on ne trouvait que Ie contingent et l'enchevetrement d'enumerations fastidieuses, Ie passage a la limite fera apparaitre des fonctions regulieres justiciables des methodes de caIcul de I' Analyse. Ces points de vue seront mis en evidence dans ce cours, destine a des etudiants de licence ou de maitrise, et qui comportera quatre volumes de 100 a 200 pages chacun : - Topologie et Analyse fonctionneJle ; - Integration, Probabilites, Analyse de Fourier et Analyse Spectrale ; - Calcul differentiel ; - Analyse complexe. Chaque volume sera ecrit de teJle sorte qu'i! puisse etre lu de fa90n independante. P. MALLIAVIN
INTRODUCTION AU COURS D'ALGEBRE L'Algebre n'est pas vraiment une discipline independante, mais un fondement et un outil pour I'ensemble des mathematiques, et son developpement rapide dans les dernieres annees a ete en fait suscite et dirige par les besoins d'autres disciplines mathematiques. L. KRONECKER (1861),
Math. Werke, vol. Y, p. 387.
L'OPINION DE KRONECKER (I'un des plus illustres algebristes de tous les temps) peut paraitre en opposition avec Ie phenomene bien connu de la preponderance de plus en plus grande de I' Algebre dans les mathematiques actuelles, ce qu'on a pu appeler 1'« algebrisation» de l'Analyse, de la Geometrie et de la Topologie. En realite, cette preponderance est due au fait que les algebristes ont su inflechir leurs recherches sous I'influence des parties des mathematiques ou elles pouvaient apporter un appui decisif. Un exemple historique typiqlle est l'evolution de l'Algebre lineaire et muItilineaire, qui, pour devenir un outil fondamental en Analyse fonctionnelle, a dCt commencer par se debarrasser dll fatras des calculs de determinants et de matrices qui I'encombraient inutilement au XIXe siede. De meme, on sait que l'AIgebre commutative est nee, d'une part avec les demonstrations, par Dedekind et Weber, des theoremes fondamentaux de la Theorie des nombres et de la Theorie des courbes algebriques, et de l'autre avec les decouvertes de Hilbert sortant la Theorie des invariants des interminables calculs ou elle s'enlisait. Et son essor a partir de 1920 est concomitant avec I'essor simultane, a partir de la meme epoque, de la Geometrie algebriqlle et de la Geometrie analytique, dont elle forme la base. C'est donc dans I'esprit de Kronecker qu'est redige ce Cours d' Algebre ; il ne comprend pas une seule definition ni un seul resuItat d'Algebre pure qui n'ait une application dans une autre partie des mathematiques, et on a veille a ce que les etudiants s'en rendent compte dans toute la mesure du possible. Pour Ie premier volume, consacre a l'AIgebre lineaire et multilineaire, cela ne posait pas de probleme, car il s'agit la de ce que I'on peut appeler Ie « pain quotidien» de tout mathematicien, qu'il s'occupe d'Arithmetique, d'Analyse fonctionnelle, de Geometrie differentielle, de Topologie algebrique ou de Mecanique qllantique. Les deux autres volumes sont divises en trois chapitres, dont deux, consacres respectivement a la Theorie des groupes et a la Theorie des nombres algebriques, sont deja essentiellement des chapitres d'applications de I'Algebre. Le troisieme, qui traite des parties elementaires de l'Algebre commutative, a pour domaines principaux d'applications la Theorie des nombres et la Geometrie algebrique. Le niveau plus eleve de cette derniere n'a pas permis d'en indure une partie appreciable dans Ie texte ni dans les exercices ; mais on a essaye de signaler a quoi correspondent « geometriquement » de nombreuses notions purement algebriques de cette theorie, !orsque cela n'exigeait pas l'introduction d'un trop grand nombre de notions nouvelles. J. DIEUDONNE
TABLE DES MATIERES
ATant-propos ...................................................................... . 1. Fonctions holomorphes ; theoremes de Cauchy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1. Fonctions holomorphes ........................................................ 2. Formes differentielles de degre 1 et 2, chaines differentiables de dimension 0, 1 et 2 ; formule de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Theoreme de Cauchy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 4. Indice d'un cycle de dimension 1 ................................................ 5. Formule integrale de Cauchy ................................................... 6. Surfaces de Riemann. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
2. Proprietes des fonctions holomorphes ................................................
o.
Series entieres convergentes ..................................................... 1. Developpement en serie de Taylor d'une fonction holomorphe ...................... 2. Application : theoreme d'identite ; inegalitSs de Cluchy ; theoreme de Liouville ; probleme du d" dans un disque ouvert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 3. Principe du maximum; lemme de Schwarz ....................................... 4. Developpement en serie de Laurent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 5. Residus; theoreme des residus.... .................... ... ........................ 6. Applications : zeros et poles d'une fonction meromorphe ; calculs d'integrales par la methode des residus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. Espace des fonctions holomorphes sur un ouvert de C,
trar.~fcrm:!tio!:s
ccnformes
1. Convergence d'une suite de fonctions holomorphes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 2. Suite exhaustive de compacts d'un ouvert D de R2 ; theoreme de Stieljes-Vitali-Montel 3. Topologie de I'espace des fonctions continues sur un ouvert D de C ; espace des fonctions holomorphes sur D. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 4. Series et produits infinis dans tJ'1 ouvert D de C. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 5. Applications holomorphes, tr.msformations con formes ............................. 6. Representation conforme ....................................................... 4. Approximation des fonctions holo:norp!Je:; sur un compact. Construction de fonctions meromorphes it singularites donnees. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 1. 2. 3. 4.
12 23 27 28
34 39 39 42
43 47 49 54 58 65 65 68 69 72 79 82 88
Theoreme de Runge ........................................................... Probleme du d" dans un ouvert D de C .......................................... Theoreme de Mittag-Leffler dans un ouvert de C ................................. Theoreme de Weierstrass d:n3 U:1 ouvert D de C ..................................
88 93 94 95
S. Surfaces de Riemann etalees .......................................................
99
Homeomorphismes locaux ; revetements topologiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Morphismes de surfaces de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Faisceaux................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Prolongement analytique ........................................................ Groupe fondamental ; revetement universel ....................•. _................ Surface de Riemann d'une fonction algebrique ....................................
99 105 110 115 118 126
1. 2. 3. 4. 5. 6.
VIII
TABLE DES MATIERES
6. Surfaces de Riemann compactes .............................•........•..•...•..•... 134 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.
Cohomologie it valeur dans un faisceau .......................................... de finitude ..................................................... '" . " Tbeoreme de Riemann-Roch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Fonctions harmoniques dans un ouvert D de C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Formes diff~rentielIes harmoniques sur une surface de Riemann ..................... Formes differentielIes abc!liennes ; tbeoreme d'Abel ............................ " ... Fibres holomorphes en droites .................................................. Dualite de Serre et applications ................................................ "
Th~oreme
135 142 147 152 157 164 171 175
7. Fonctions holomorphes de plusieurs Tariables ......................................... 184 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.
Preliminaires..... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . " Fonctions holomorphes sur Q ................................................... Formule integrale de Cauchy ................................................... Series entieres convergentes ..................................................... Applications de la formule de Cauchy ............................................ Introduction au probleme du d" . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Espace des fonctions holomorphes ............................................... Singularites apparentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..
184 185 187 189 194 199 203 205
8. Etude locale des fonctions et des ensembles analytiques .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 209 O. Introduction: fonctions analytiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 1. Theoreme de division; theoreme de preparation de Weierstrass ...................... 2. Algebres analytiques ; noetherianite .............................................. 3. Factorialite de K{X} ........................................................... 4. Germes de fonctions et d'ensembles analytiques en un point ........................ 5. Proprietes des algebres analytiques ............................................... 6. Structure locale d'un ensemble analytique ........................................ 7. Point, singuliers et dimension d'un ensemble analytique ............................. 8. Cas des ensembles analytiques complexes (K = C) .................................. 9. Theoreme des zeros de Hilbert (K = C) ...........................................
209 210 211 213 214 215 218 220 222 223
Appendice : Varietes differentielles ; formes differentielles ; chaines differentiables ......... 224 1. Varietes differentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 224
2. 3. 4. 5.
Differentielles en un point ..................................................... " Fibre cotangent; formes differentielles de degre I .................................. Formes differentielles sur X . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Varietes orientables ; varietes orientees ; integrale d'une forme differentielle de degre maximum .................................................................... 6. Image reciproque par une application differentiable; differentielle exterieure ; chaines differentiables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..
226 227 229 231 233
Bibliographie ....................................................................... 237 Index alphabetique des matieres ..................... ,. . .... ....................... 239
AVANT-PROPOS
L'Analyse complexe etudie les fonctions holomorphes d'une ou plusieurs variables complexes localement ou globalement, ainsi que d'autres notions connexes. Localement, c'est-a-dire au voisinage d'un point de en (nEN*), ces fonctions sont des sommes de series entieres convergentes ; globalement, meme s'il s'agit de fonctions sur un ouvert de C, des procedes de topologie algebrique ou differentielle doivent etre utilises. On se propose d'introduire, pour une variable complexe des methodes et des resultats generalisables, moyennant une plus grande elaboration, pour plusieurs variables; deux courts chapitres sur les fonctions de plusieurs variables comprennent l'un, apres des generalisations faciles, l'apparition de phenomenes specifiques, l'autre, une etude locale preliminaire indispensable au developpement ulterieur de la theorie. Les fonctions holomorphes d'une variable complexe z sont definies comme les fonctions differentiables au sens complexe ou encore comme les fonctions differentiables de deux variables reelles (les parties reelle et imaginaire de z), satisfaisant a la condition de Cauchy-Riemann fJ!/fJz=O. L'expose est base sur l'analyse des fonctions differentiables de deux variables reeIIes et emploie les notions de fonction indefiniment differentiable a support compact et de partition de l'unite ; les formes differentielles de degre 0, I, 2 seront definies et la formule de Stokes pour les chaines differentiables etablie. La formule de Cauchy non homogene (formule C) sera obtenue a partir de la formule de Stokes : c'est la formule integrale, pour les fonctions continument differentiables, relative au noyau de Cauchy. II en resulte deux types de proprietes selon qu'elle est appliquee a une fonction holomorphe ou a une fonction differentiable a support compact: 1. Developpement d'une fonction holomorphe en serie de Taylor dans un disque, en serie de Laurent dans un disque prive de son centre, d'ou Ie principe du prolongement analytique ; formule de la moyenne qui permet, par ailleurs, de caracteriser les fonctions harmoniques, intimement liees aux fonctions holomorphes ; principe"'du maximum et lemme de Schwarz. Le developpement de Laurent permet " des points singuliers isoles ; Ie tbeoreme des residus, deduit de la formule l'etude de Stokes, generalise la formule de Cauchy et a de nombreuses applications.
2
AVANT·PROPOS
2. La formule C fournit la base de I'etude topologique de I'espace (I}(D) des fonctions holomorphes sur un ouvert D de C ; Ie theoreme de la representation conforme d'un domaine simplement connexe est demontre a partir d'une propriete de (I) (D) et du lemme de Schwarz par I'intermediaire des automorphismes du disque. La formule C permet de resoudre, en u, I'equation (ou/oz)=g, oil g est une fonction continument differentiable, d'abord pour g a support compact, puis par un procede d'approximation des fonctions holomorphes, dans Ie disque ouvert et plus generalement, moyennant Ie theoreme d'approximation de Runge, dans un ouvert de C, d'ou les theoremes de Mittag-LefHer et de Weierstrass dans D qui montrent I'existence de fonctions meromorphes a singularites donnees. La notion de surface de Riemann, i.e. de variete analytique complexe de dimension un, est utilisee des Ie chapitre 2 dans Ie cas particulier de la droite projective complexe ou sphere de Riemann ; eIle est systematiquement etudiee dans les chapitres 5 et 6. Le chapitre 5 concerne principalement Ie prolongement analytique d'un germe de fonction holomorphe sur une surface de Riemann ; ceIa necessite I'emploi des arcs continus, de I'homotopie, des faisceaux et des revetements. Le chapitre 6 groupe, outre quelques resuItats sur les surfaces de Riemann queIconques, plusieurs theoremes fondamentaux sur les surfaces de Riemann compactes deduits d'un theoreme de finitude de cohomologie, en suivant, pour I'essentiel, un plan du a J.-P. Serre. Le chapitre 7 etend facilement des proprietes des fonctions holomorphes a un ouvert de en et a une variete analytique complexe, puis met en evidence Ie phenomene de Hartogs pour n;;,.2 sur l'extension des fonctions holomorphes a certains ensembles d'interieur non vide. Le chapitre 8 contient les resuItats locaux sur les fonctions holomorphes et les ensembles analytiques complexes indispensables a I'analyse complexe globale a plusieurs variables. Les varietes differentieIIes, I'algebre exterieure, les formes differentieIIes de degre queIconque et leur integration sur des chaines differentiables sont decrites sommairement dans l'Appendice. Les chapitres 1 a 3, eventueIIement 4, constituent un enseignement de licence ; les chapitres suivants peuvent fournir la matiere d'options d'Analyse complexe en maitrise. Sont utilisees sans reference des notions elementaires de topologie generale dans Rn ou dans un espace metrique ; Ie theoreme d'Ascoli intervient dans la demonstra-
tion de 2.2 du chapitre 3 ; les proprietes utiIisees des fonctions c~ a support compact sont etablies dans Ie livre de P. MaIIiavin de la meme collection en 3.2.0 et 3.4.2.
AVANT-PROPOS
3
Parmi les nombreux ouvrages publies sur l'AnaIyse complexe, plusieurs ont ete largement utilises dans cette redaction, c'est Ie cas, notamment, de ceux de L. Hormander [8], H. Cartan [3] et O. Forster [4] ; des references plus precises sont indiquees dans la bibliographie. Des notes polycopiees de licence de J. COMBES, R.-M. HERVE et H. SKODA ont aussi ete utilisees ; la mise au point du texte final et la correction des epreuves ont ete faites avec l'aide de S. DOLBEAULT-LEMOINE.
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Diagramme d'implication des differents paragraphes
1
FONCTIONS HOLOMORPHES ; THEOREMES DE CAUCHY
Les fonctions holomorphes sur un ouvert D de C sont les fonctions differentiables au sens complexe en tout point de D ; elles sont caracterisees a I'aide d'operateurs differentiels particuliers %z, d", d'ou leurs proprietes elementaires ; une premiere etude de la fonction logarithme complexe est alors possible. L'integration des formes differentielles est essentielle pour la suite: les formes differentielles de degre 1 et 2 sur un ouvert de C sont definies, ainsi que les ensembles sur lesquels on les integre (chaines differentiables) et la formule fondamentale de Stokes est etablie ; la notion de 1-forme differentielle fermee est ensuite generalisee. Le theoreme de Cauchy s'enonce alors : f holomorphe dans D entraine : f dz est fermee dans D. La notion topologique d'indice d'un cycle par rapport a un point est introduite dans Ie cas differentiable ; compte tenu de la formule de Stokes, on obtient une formule integrale de Cauchy homologique non homogene assez generale ; la solution de I'equation d" g=w s'en deduit pour une don nee a support compact. L'integrale d'une 1-forme differentielle continue fermee sur des arcs continus est definie, d'ou la formule integrale de Cauchy homotopique, consequence du theoreme de Cauchy. Les notions de variete differentielle de dimensions 1 et 2 et celie de surface de Riemann sont introduites en vue d'etudes ulterieures : Ie cas particulier de la sphere de Riemann sera employe des Ie chapitre 2 ; les surfaces de Riemann etalees seront utilisees implicitement au chapitre 2, localement au chapitre 3, puis, en general au chapitre 5, enfin les surfaces de Riemann ouvertes ou compactes seront etudiees au chapitre 6.
1. Fonctions holomorphes On designe par z un element du corps des complexes C ; on pose z=x+iy, a R2 par l'isomorphisme de R-espaces vectoriels : C_R2. z .....(x, y) L'ensemble C sera muni de la topologie definie par la norme z ..... JzJ = =(X2+y2)1/2 compatible avec la structure de corps et de R-espace vectoriel de C. On considerera des fonctions definies sur un ouvert D de C a valeurs dans C ou plus generalement dans un espace de Banach complexe. xE R, yE R et on identifie C
6
FONCTIONS HOLOMORPHES ; THEOREMES DE CAUCHY
1.1. Fonctions C-differentiables en un point 1.1.1. Dne fonction f : D--C est dite C-diffhentiable en zoED s'il existe une forme C-lineaire !'(zo) sur C telle que (1.1)
ou o(z-zo) est negligeable par rapport a Iz-zol c'est-a-dire telle que
o(Z-Zo)
--0 Iz-zol quand z-zo--O. La forme C-lineaire !'(zo) est appelee la dhivee de f au sens compfexe en Zoo
1.1.2. /'(zo) definit une application R-lineaire l'(zo) pour la structure reelle de C it valeurs dans R2 telle que l'(zo)((x-xo), (y- Yo)) = f'(zo)(z- zo)
qui satisfait a : (1.2)
autrement dit f est differentiable en Zo pour la structure reelle de C ; en outre les of , of derivees partielles defpar rapport a x et y satisfont a : ox (zo)=! (zo) ; oy (zo)= =i]'(zo) : eUes sont donc liees par la relation (1.3)
Reciproquement, si f est differentiable en Zo et si ses derivees partielles par rapport a x et a y satisfont a (1.3), alors, d'apres la definition de la differentiabilite en zo, la forme C-lineaire (z- zo) ....... f'(zo)(z- zo) avec !'(zo) = :~ (zo) = -i
~~ (zo)
satisfait a (I.1), i.e. fest C-differentiable en zoo
La condition (1.3) est appelee fa condition de Cauchy ou de Cauchy-Riemann. 1.1.3. La fonction f: D--C s'ecrit f=P+iQ ou P et Q sont des fonctions a
. II I I d" d ChoP va Ieurs ree es, a ors a con 1t10n e auc y ox
. + /. oQ ox = -/
en egalant les parties reelles et imaginaires respectivement
(1.4)
oP ox
oQ oy
oQ ox
oP - OJ!
oP oy
+ oQ oy
,. . s ecnt,
7
FONCTIONS HOLOMORPHES
()
0
1.2. Les operateurs oz' oz' d', d" On va retrouver et interpreter la condition de Cauchy d'une autre far;on. 1.2.1. Pour toute fonction j: D-+C differentiable au point zo, on a
of of df= ox dx+ oy dy.
(1.5)
Les fonctions z=x+iy et z=x-iy sont differentiables en tout point de C et 1 i dz=dx+idy ; dz=dx-idy, d'ou dX=2"(dz+dz); dY=2"(dz-dz) ; alors 1 of i of df=--o (dz+dz)+--o (dz-dz). 2 x 2 y
On definit les deux operateurs differentiels
o_
(0
~ oz
et
~ oz
par
~=2. (~-i~) . oz 2 ox oy'
0) ; alors (1.5) s'ecrit
1 +i oz -2" ox oy (1.6)
of ofdf = oz dz+ oz dz.
Si fest C-differentiable en zo, d'apres (l.l), on a : df=f'(zo) dE, d'ou (1.7)
et (1.8)
o
La relation (1.7) exprime que, sijest C-differentiable en zo, OZ est la derivation complexe ; la relation (1.8) est la condition de Cauchy (1.3). Dans Ie cas ou fest seulement differentiable (au sens reel), pas la derivation partielle par rapport
~
(resp. :z) n'est
a la variable complexe z (resp. z).
, of of 1.2.2. On pose df= OZ dz et d"j= oz dz ; les conditions (1.7) et (1.8) peuvent s'enoncer comme suit: 1.2.3. Proposition. - Soit / : D -+C une /onction R-differentiable en un point de D ; alors les trois conditions suivantes sont equivalentes : (i) / est C-differentiable en Zo ; (ii) en zo' on a : d'/=d/ ; (iii) en zo, on a : d"/=O. 0
40
8
FONCTIONS HOLOMORPHES ; THEOREMES DE CAUCHY
1.3. Fonction holomorphe sur un ouvert de C 1.3.1. Soit Dun ouvert de C, on dit que la fonction D si elle est C-differentiable en tout point de D.
I:
D--C est holomorphe dans
1.3.2. Proposition. - Soit I : D--C ,. alors les trois conditions suivantes sont equivalentes : (i) I est holomorphe dans D ,. (ii) d/=d'f sur D ,. (iii) d"I=O sur D. DEMONSTRATION. -
Resulte immediatement de 1.2.3 appliquee en tout point de D. D
1.3.3. Exemple de lonction holomorphe sur un ouvert de C Toute serie entiere convergente au voisinage de 0 dans C est holomorphe dans son disque de convergence : sa derivee au sens complexe est obtenue par derivation terme a terme. ZR
Exemple de serie convergente : la serie
LnEN n!
est convergente dans C, on Ia
note exp z=e Z ; on l'appelle l'exponentielle eomplexe ; elle est egale a sa derivee ; cette propriete et la condition que sa valeur en 0 est 1 Ia caracterisent. 1.3.4. On appelle primitive d'une lonetion I holomorphe sur un ouvert D de C toute fonction holomorphe F sur D dont la derivee au sens complexe est egale at Exemple : e Z + C ou cE C est une primitive de e Z •
1.4. Proprietes elementaires de l'ensemble des fonctions holomorphes dans D 1.4.1. Proposition. - L'ensemble des lonctions holomorphes sur un ouvert D de C est une C-algebre unitaire qu'on notera (!)(D). 1.4.2. Proposition. - Si I est une lonction holomorphe, sans zero sur D, alors 1 - est holomorphe sur D.
I
1.4.3. Proposition. - Si I est holomorphe sur D et si g est holomorphe sur un ouvert D' de C contenant I(D), alors gol est holomorphe sur D. Les trois propositions resultent immediatement des proprietes correspondantes et connues des fonctions derivables au sens complexe. D 1.4.4. Proposition. - Si D est un ouvert connexe de C et I une lonction holomorphe: D--C, les deux conditions suivantes sont equivalentes : (i) I est constante sur D ,. (ii) f' =0 sur D.
FONCTIONS HOLOMORPHES
9
DEMONSTRATION. -
(i)=>(ii) : evident ; (ii)=>(i) : f etant C-differentiable, on a, pour tout point zoED,
d'apres Ia condition de Cauchy. En particulier les derivees partielles de f par rapport a x et a y sont continues et nulles sur D, donc fest R-ditIerentiable sur D et sa R-derivee est nulIe, alors, (consequence du theoreme des accroissements finis) f est constante. 0 1.4.5. Proposition. - Soit I : D~C une lonction holomorphe sur un ouvert connexe de C. Alors les proprietes suivantes sont equivalentes : (i) I est constante sur D ; (ii) P=[1J/el est constante sur D ; (iii) Q=Jml est constante sur D ; (iv) III est constante sur D ; (v) i est holomorphe sur D. DEMONSTRATION. -
.oQ +1 ox (x, y) ;
f
etant
holomorphe, oP
oQ
ox
ox
(i)~I'(z)=O~-=O=-
on
a,
of oP I'(Z) = ox (z)= ox (x, y)+
; d'apres la condition de Cauchy
oQ oP -=0= ce qui equivaut a (ci-dessus, preuve de 1.4.4) : les derivees au sens oy oy reel de P et Q sont nulles donc P et Q sont constantes ; cela equivaut a (iv) car IfI2=P2+Q 2. Enfin si f et j sont holomorphes, d'apres la condition de Cauchy pour f et pour j, Ies 4 derivees partielles de P et Q sont nulles donc (i)~(v). 0
1.4.6. Remarque. -
Si fE(!)(D), jest dite antiholomorphe sur D.
1.5. La fonction log z
1.5.1. Proprietes de lalonction exponentielle exp w (a) additivite : pour tout couple (WI' w2)E C2, on a :
f(w)=e w + w , e- w a pour derivee eW+w , e- w _ew + w , e- w =0, done est egale a la eonstante f(O)=e w , ; done eW+ w , e- W= eW'. 0 DEMONSTRATION. -
(b) periodicite : exp west periodique, de periode 2ni. w=x+iy ; (x,y)ER 2 ; d'apres (a), eW=tr·e iy ; en outre, e iy = y2P y2Q +1 = L in - = L i 2p _ _ + L i 2HI ear la serie exp west absolumeot n=O n! p=o (2p)! Q=O (2q+ I)!
DEMONSTRATION. 00
yn
00
00
10
FONCTIONS HOLOMORPHES ; THEOREMES DE CAUCHY
convergente ; mais Ie dernier membre est egal
a
donc eiy est periodique de periode 2re et eW est periodique, de periode 2ire. (c) Pour y reel leiYI = I ; lexp wi =eX
;
eiy
expw lexpwl
0
; [' exponentielle ne s' annule
pas dans C. DEMONSTRATION. -
leiYI = Icosy+isinYI = (cos 2 y+sin 2y)1/2 = 1.
0
1.5.2. Determination continue de l'argument Soient Q un ouvert de C* et (J : Q - Rune fonction continue. On dit que (J est une determination continue de ['argument sur Q si, pour tout wEQ, (J(w) est un
w
argument de w, i.e. exp i(J(w)=-. Iwl Deux determinations continues de l'argument definies sur un ouvert connexe different d'un multiple entier de 2re. 1.5.3. Proposition et definition. - Soit Q=C,,-R_ ; l'application Q- )-re, rei definie par w>-+(J(w) est continue; on l'appelle determination principale de l'argument et on la note Arg w. DEMONSTRATION. -
pour x = PAe w :> 0, on a : (J(w) = Arc sin Jm
1:1 ;
w
pour y =..fm w:> 0, (J(w) = Arccos PAeiWI; pour y = Jm w 0 ; z F* w ne depend donc que de la 2-chaine elementaire r ; alors par definition, l'integrale de w sur rest r W= z F*w. Pour une 2-chaine differentiable r, on definit r w par linearite.
f
f
f
f
2.7. Formule de Stokes 2.7.1. Soient D un ouvert de R2 et (Vp)PEB un recouvrement ouvert de D. Alors, il existe une famille (1/I1Z)IZEA de fonctions CP (p?E.l) positives, a supports compacts telle que: 1) pour tout ctEA, i1 existe PEB avec spt 1/IacVp; 2) (1/Ia)aEA est localement finie, i.e. telle que tout point xED ait un voisinage ne rencontrant qu'un nombre fini d'ensembles spt 1/Ia; 3) la somme L 1/1 a , finie en tout point xED, est egale a 1 sur D. aEA On dit que (1/Ia)I%EA est une partition differentiable de ['unite subordonnee a (Vp)pEB 2.7.2. On utilisera aussi la variante suivante du nO 2.7.1 : (~)I%EA etant un recouvrement ouvert de I'ouvert D de R2, il existe une famille (1/I1%)aEA de fonctions CP (p~ 1) positives, avec spt 1/II%C ~ pour tout ctEA, localement finie, possedant la propriete suivante : la somme I 1/11% est egale a 1 sur D. La famille (1/I1%)I%EA sera aEA appelee une partition differentiable de ['unite subordonnee a (~)I%EA' On remarque les differences suivantes avec 2.7.1 : Ie support de 1/1(1. n'est pas necessairement compact, mais la famiIIe (1/11%) et Ie recouvrement (~) sont indexes par Ie me me ensemble A et spt 1/II%C~. Le contexte montrera, sans ambigulte, celIe des deux notions qui sera utilisee. 2.7.3. Soient r=(Z, F) un representant d'une 2-chaine differentiable elementaire r pour laquelle Z et F sont de classe C1 et cp une I-forme differentielle de classe C1 sur D. Soit V un voisinage de Z dans R2 sur lequel Fest definie. Soit (Vp)PEB un recouvrement ouvert de V tel que, pour tout Vpnz, il existe un diffeomorphisme hp de Vpnz sur un ouvert de R2, d'un demi-espace, ou d'un quadrant. Soit (1/I1%)I%EA une partition differentiable de I'unite subordonnee a (Vp) ; alors I 1/11%= I. Pour I%EA tout ctEA, on a : spt(1/II%F*cp)cVp
L d(1/II%F*cp) = d((I 1/I1%)F*cp) = dF*cp = F*dcp.
I%EA
1%
Supposons que Ie compact a bord Z possede la propriete suivante : tout point du bord de Z a un voisinage ouvert diffeomorphe a un ouvert d'un demi-espace ona: (2.9) ou bien VpnbZ=0, alors Ie second membre de (2.9) est nul d'apres Ie theoreme 2.5.4, ou bien VpnbZ~0 ; alors pour des coordonnees (Xl' X2) convenables
FORMES DIFFERENTIELLES DE DEGRE 1 ET 2, FORMULE DE STOKES
21
(voir 2.6.4) dans hp(Vp), on a : hi l*(I/J a. F* q» =al dX 1 +a2 dX 2 et
J
d(hpl*(I/Ja.F*q»)
h~(V~nZ)
=
JOx,=-= J+= ~a2 dX1dX2; x.=-= UXI
mais
donc
d'ou, en sommant sur exEA, ~ Jv nbz'I'a. ./, F* q> = JbZ F* q> = Jbrq>· Jr dq> = a.EA L...,
~
Le cas ou Z a des points ayant un voisinage diffeomorphe a un quadrant se traite de la meme fa~on. Pour une I-chaine quelconque r, on a, de meme, par linearite (2.10)
c'est la formule de Stokes qui a exactement la meme forme que (2.8) pour q>=f de degre 0 ; (2.8) sera aussi appelee formule de Stokes.
2.S. Formes differentielles fermees
Soit D un ouvert de R2. 2.8.1. Si, pour tout couple (a, b) de points de D, il existe un arc differentiable par morceaux joignant a et b, on dit que D est connexe par arcs differentiables par morceaux. 2.8.2. Proposition. - Tout ouvert D de R2 connexe est connexe par arcs differentiables par morceaux. DEMONSTRATION. Tout point xED est centre d'un disque ouvert U contenu dans D. Tout point de U est joint a x par un segment de droite contenu dans U. Soient a un point de D et E= {yED ; il existe un arc differentiable par morceaux joignant a a y} ; E est ouvert non vide d'apres ce qui precede. Soit zEE; tout dis que ouvert U contenu dans D, centre en z, rencontre E, il existe un segment de droite joignant tout xE unE a z dans U, donc un arc differentiable par morceaux joignant a a z, i.e. E est ferme ; D etant connexe, E=D. 0
2.8.3. Soit co une I-forme differentielle Co sur D ; une fonction F de classe C1 sur D est dite primitive de co si dF=co. 2.8.4. Lemme de Poincare. - Soit co une I-forme differentielle CI dans un disque ouvert D de R2, alors les deux conditions suivantes sont equivalentes : (i) dco=O; (ii) co a une primitive F, C2 dans D.
22
FONCTIONS HOLOMORPHES ; THEOREMES DE CAUCHY
DEMONSTRATION. - (ii)=>(i) ; w=dF est de classe CI et dw=ddF=O. (i)=>(ii) ; Soient (x, y) les coordonnees dans R2 ; supposons D centre en (xo, Yo) ; pour tout point (x, y)ED, soit Y un cycle de R2 dont l'image r est Ie bord du rectangle, it cotes paralleles aux axes, de sommets opposes (xo, Yo) et (x, y). Soit A l'interieur du rectangle ; JeD et J est un compact it bord de R2 ; L1 est oriente par l'orientation canonique de R2 et y est oriente comme bord de L1 ; l'injection canonique appliquee it J definit la 2-chaine differentiable 8 de bord M =y. D'apres la formule de Stokes f y w = f ~ dw, (i) entraine (2.11) On a Y=YI-Y2 ou YI et Y2 sont deux arcs joignant (x o, Yo) it (x, y) traine
(2.11) en-
J w = J w = F(x, y). Y,
y.
Posons w=Pdx+Qdy ; soit hER assez petit pour que (x+h,y)ED
on a
aF ( ) _ I. F(x+h, y)-F(x, y) _ I· ~JX+h _ 'l x, Y - h-O 1m h - 1m h wuX h-O x . I JX+h = h-O hmh x pee, y)de = P(x, y),
aF
de meme ; Q(x, Y)=ay(x, y) ; Pet Q etant C\ Fest C2 et dF=w.
o
2.8.5. Corollaire. - Toute I-forme differentielle Ct, d-fermee dans un ouvert D de C admet une primitive localement, i.e. au voisinage de tout point de D. DEMONSTRATION. - Tout point (xo, Yo) de D est centre d'un disque ouvert dans Iequel 2.8.4 est valide. 0 2.8.6. Proposition. - Soit w une I-forme differentielle de classe Co sur un ouvert connexe D de R2, alors les deux conditions suivantes sont equivalentes : (i) w admet une primitive dans D ; (ii) pour tout I-cycle Y de D, on a : fyw=O. DEMONSTRATION. - (i)=>(ii) ; w=dF ou Fest une fonction de classe CI sur D, soit Y un arc differentiable de D joignant IX it p, alors f y dF = F(P) - F(IX) (formule de Stokes); si Y est un I-cycle, pour tout IXEspty, on a ; fydF=F(IX)-F(IX)=O. (ii)=>(i) ; Soit zo=(xo, yo)ED ; pour tout z=(x, y)ED, d'apres 2.8.2, il existe un arc differentiable par morceaux 8 joignant Zo it z ; soit w=Pdx+Q dy ; alors F(z) = f ~ west independant du choix de 8 d'apres (ii) ; de plus, pour hE R assez petit, F(x+h, y))-F(x, y))=.r;+h p(e, y)) d~, donc egal it P(x, y)
aF a; (x, y))
existe et est
aF
de meme : a-(x, y))=Q(x, y)), donc dF=w. y .
[J
FORMES DIFFERENTIELLES DE DEGRE 1 ET 2, FOR MULE DE STOKES
23
2.8.7. Generalisation Vne I-forme w de classe Co sur un ouvert D de C est dite jermee si, au voisinage de tout point zED, il existe une fonction Fz de classe CI teIIe que dF,,=w. 2.8.8. Lemme. -
Soit w une 1-forme differentielle Co sur un ouvert D de R2, alors les deux conditions suivantes sont equivalentes : (i) west fermee ; (ii) tout point zoE D est centre d'un disque Uz o tel que, pour tout 1-cycle '}' de D ayant pour image Ie bord r d'un rectangle A a cates paralleles aux axes Ox, Oyavec Jc UZo ' on ait Jy w=O.
DEMONSTRATION. - (i)==>(ii): il existe une fonction F. o teIIe que w=dFz 0 sur un disque Uzo centre en zo, contenu dans D ; alors y w = 0, d'apres 2.8.6. (ii)==>(i) : soit z=(x, y) un point de U z o ; z et Zo sont les sommets opposes d'un rectangle A a cotes paralleles aux axes et contenu dans Uz o ; Ie bord r de A porte deux arcs differentiables par morceaux YI et Y2 d'extremites Zo et z ; alors Jy. W= =Jy,w=F(z) ; comme dans Ia preuve de 2.8.6, pour w=Pdx+Qdy on trouve 8F 8F &;=P; ay=Q. 0
J
3. Theoreme de Cauchy 3.1. Theoreme. - Si fest une fonction holomorphe dans un ouvert D de C, alors la forme differentielle f(z) dz est fermee dans D. Par definition (1.3.1), jest C-differentiable en tout point de D. On va d'abord demontrer la proposition suivante qui entraine 3.1 lorsque jest CI.
3.1.1. Proposition. - Si fest une fonction CI sur un ouvert D de C, alors les deux conditions suivantes sont equivalentes : (a) fest holomorphe sur D ; (b) f(z) dz est une 1-forme differentielle d-fermee sur D. DEMONSTRATION. -
w=j(z) dz est de classe C l
;
dw = d(jdz) = (WjI8z) dz+(8jI8z) dz)l\dz = (f)!If)z) dzl\dz. La condition de Cauchy (1.8) 8jlf)z=0 sur D equivaut donc
a dw=O
sur D.
0
DEMONSTRATION de 3.1. - D'apres 2.8.8, il suffit de prouver que pour tout I-cycle y, bord d'un rectangle A a cotes paralIe1es aux axes Ox, Oy, tel que JeD, on a JJdz=O. Soit A un tel rectangle, on subdivise chaque cote en 2k parties egales kEN*, ce qui determine 4k rectangles homothetiques a A, qu'un note .1~ ; jEll, ... , 4k] et ' 4k
tels que
U .1~=.1 j
; soit Y~ Ie bord de .1~, on a Y= "
J
L
,/=1
J
Y~. J
24
FONCTIONS HOLOMORPHES ; THEOREMES DE CAUCHY 4k
Posons f
k
j(z) dz=a~ ; alors f1j(Z) dz=a=
YJ
Soient A(k) l'un des rectangles
L a~. j=1
AJ~ pour lequel la~1J :;;._1_ lal 22k
; y(k) =bA(k) et C k Ie
centre de A(k) ; on suppose, ce qui est possible, les A(k) emboiUs A(k+l)cA(k) ; la suite (Ck ) est une suite de Cauchy; elle converge vers zoEJcD. Par definition de la derivee au sens complexe en zo, on a :
JyO, soit A. Ie rectangle deduit de A par remplacement du cote b par b±ie, Ie signe etant choisi pour que A.nA=O. Alors, a cause de la continuite de f,
J b,j Jdz
= limJ Jdz = 0 .-0 b,j,
d·apres (a).
(c) Si AnAr"O, on a J=J 1 UJ 2 OU Al et .12 sont des rectangles dans la situation (b) par rapport it A.
J b,j Jdz = J b,j, Jdz+ J b,j. Jdz = 0, d'apres (b). (d) La derniere assertion resulte de la premiere et du fait que la famille (AJiEI est 10calement finie. 0 3.2. Lemme. -
Toutefonction holomorphefsur un ouvert D de C est de classe O.
DEMONSTRATION. -
Soit (ED, considerons la fonction
(3.1)
g,(z) = {
J(Z)-J-
k(V)
est de classe CP en tant qu'application d'un ouvert de Rn dans un ouvert de Rn' (n, n' --+Xj(x) les fonctions coordonmies, ou les coordonnees locales de X, sur V detinies par la carte
(h, V). Dans la suite du nO 6.4, on suppose n=2. 6.4.4. Soitfune [onction CP sur un ouvert V de la carte h de X, alors, pour xE V f(x)
sera notee f(x l , x 2) carte h.
= foh-I((XI(X), x 2 (x))
cette [onction definie sur l'ouvert h(V) de R n depend de la
6.4.5. So it X une variete differentieIIe ; une carte (h, V) de X teIIe que xE Vest dite une carte de X en x. Comme dans 2.1, pour xE X, soit ~ l'espace vectoriel des [onctions CI au voisinage de X ; si j; gE ~, il existe un voisinage ouvert V de X contenu dans Ie domaine V d'une carte h en X sur lequel f et g sont CI. On considere la relation [Jl dans ~ : ff!ltg signifie (6.1) (h, V) etant choisie il est clair que f!It est une relation d'equivalence. [Jl ne depend pas de la carte (h, V) ; en effet (k, V') etant une autre carte de X en x, quitte a retrecir Vet V', on peut supposer V' = V. Alors
hok- l etant un diffeomorphisme : k(V)~h(V), (hok- l ), est un isomorphisme R2~ R2
alors la relation (6.1) equivaut
a
38
FONCTIONS HOLOMORPHES ; THEOREMES DE CAUCHY
6.4.6. La situation de 2.1 est celle dans laquelle la carte h est l'identite. On montre, comme en 2.1, que ff./f!It est un C-espace vectoriel de dimension 2, qu'on notera ~*(X) et appellera l'espace cotangent complexe a x en x ; pour fEff. on note d/=dx / la cIasse de / dans Tx*(X) et on appelIe differentielIes en x les elements de Tx*(X). L'application
e:
x :
T; (X) = ff./f!It - 2(R2 ; C)
d/ t--+- (foh- l ), est un C-isomorphisme. Si (Xl' X2) sont des coordonnees locales en X (i.e. sur un voisinage de x), les differentielles en x s'ecrivent de fa(,(on unique 2
qJ
=
L Aj dXj ; AjEC. j=l
6.4.7. On considere, comme en 2.2, l'ensemble T*(X)=
U Tx*(X), reunion disxEX
jointe et l'application projection
TC = TCx: T*(X) - X T;(X)3qJ
t--+-
x.
Pour tout ouvert W de X, soit qJ : W -T*(X) une application telle que TCOqJ= =id w , alors si (Xl' X2) sont des coordonnees locales sur un voisinage U d'un point de W, pour xEWn U, qJ(x)=al(x) dX I +a2 (x) dX 2 ou aj est une application:
wnu-c, j=I,2. L'application qJ est appelee une I-forme differentielle sur W. On dira que qJ est e si les aj sont e. Avec la convention de 6.4.4, on a (6.3)
Si (h, U), (k, U) sont deux cartes de X definissant les coordonnees locales (Xl' X2 ), respectivement, koh- l : h(U)-k(U) est un diffeomorphisme et I'expression de qJ it l'aide des coordonnees locales (~l' ~2) est, d'apres (6.3) (~l' ~2)
(6.4)
2
PROPRIETES DES FONCTIONS HOLOMORPHES
Par application de la formule integrale de Cauchy sur Ie bord d'un disque, puis sur Ie bord d'une couronne, on obtient Ie developpement (de Taylor) en serie entiere en Z-Zo d'une fonction holomorphe au voisinage d'un point Zo et Ie developpement en serie de Laurent d'une fonction holomorphe dans un disque prive de son centre. Un grand nombre de theoremes fondamentaux en decoulent tres simplement : theoreme d'identite (ou principe du prolongement analytique), inegalites de Cauchy, theoreme de Liouville, principe du maximum, lemme de Schwarz. Le developpement de Taylor d'une fonction holomorphe dans un disque permet I'approximation d'une fonction holomorphe par des polynomes holomorphes, d'ou une solution du probleme du d" dans Ie disque ouvert. Le developpement de Laurent permet I'etude des points singuliers, en particulier des poles, des fonctions holomorphes dans Ie complementaire d'un ensemble discret, et I'introduction des residus d'une 1-forme differentielle, d'ou Ie theoreme des residus qui generalise la formule integrale de Cauchy. Ce dernier theoreme permet une etude des zeros et des poles d'une fonction meromorphe et Ie calcul d'integrales de fonctions de variable reelle par la methode des residus. Un paragraphe preliminaire rappelle des resultats sur les series de fonctions et les series entieres convergentes.
o.
Series entieres convergentes
0.1. Series de fonctions Soit E une partie de C ; on considere les fonctions / sur E a valeur dans C. Pour l'espace vectoriel f!4 des fonctions bornees dans Eon appelle norme de la convergence uniforme la fonction :
/t-+- II/liE =
sup 1/(z)l. zEE
On rappelle les definitions suivantes : on dit que fa sirie de /onctions
L In
con-
nEN
verge (a) simpfement sur E si, pour tout zEE, la serie numerique
L In(z) n
vergente;
est con-
40
PROPRIETES DES FONCTIONS HOLOMORPHES
(b) uniformement sur E si elle converge simplement vers une fonction f et SI, pour tout e>O, il existe un entier N(e) tel que, pour tout p~N(e), pour tout zEE, on ait p
If(z)-
L in (z)1
O, il existe un en tier N(e) tel que, pour tout p~N(e), pour tout zEE, on ait
In=p L in (z)1 < (c) normalement sur E si la serie
a termes
e;
positifs
L Ilj~IIE
converge.
nEN
La convergence normale entraine la convergence absolue en tout point de E et la convergence uniforme sur E.
0.2. Series entieres 0.2.1. Soit (an)nEN une suite de nombres complexes, la sene de fonctions (anz n) est appelee la serie entiere en z de coefficients (all) et est notee L anzn. liEN
0.2.2. Theoreme. -
II existe un nombre reel (2E (0, = I unique tel que
(a) pour tout 0< r< (2, fa serie
L all zn
est normalement convergente sur Ie
nEN
disqueferme R(O, r)={zEC ; Izl Q, la serie all Z" diverge, la suite (an zn) etant non bornee.
L n
Le theon:me resulte du 0.2.3. Lemme d' Abel. - Le nombre Q qui figure dans 0.2.2 est la borne superieure des r~O tels que la suite (Ialll rn) soit bornee.
de 0.2.3. - Soit Q=sup {r~O, (lanlrn)nEN bornee}. Soit rO tel que, pour tout nEN, lalllr~<M. Alors, pour Izl0, ce qu'on suppose desormais. Igl possedant un maximum relatif en zo, pour r;;;.. 0 assez petit et 8E R, on a :
(3.3)
0 -
L
fez) =
(4.1)
anzn ;
nEZ
la serie du second membre de (4.1) est appelee une serie de Laurent dans C(!?l'!?2)' sa convergence est normale dans C(r1' r2 ) avec !?2
-1
r
2n •
2"
0
·.·n e-'Puf(re'") dO
= ,,1 f..J n EZ
2n
J
2"
0
'(}n anr"e,n-p"dO =a r P P
les coefficients du developpement de Laurent sont determines par f
;
50
PROPRIETES DES FONCTlONS HOLOMORPHES
4.2. Developpement de Laurent d'une fonction holomorphe dans une couronne 4.2.1. Theoreme. - Toute fonction f(z) holomorphe dans une couronne C(QH Q;) est developpable en serie de Laurent dans cette couronne. DEMONSTRATION. - On va construire une serie de Laurent dans C(Ql, (2) qui converge versfnormaIement dans C(rl' r2) pour Q2O et ro>O tels que, pour Odg Q, un zero si dg PO} dans C et S un ensemble fini de U disjoint de I'axe reel, alors si lim F(z)
(6.2)
zEH
= 0,
Izl-+oo
on a (6.3)
lim
,_+00
J'-, f(x)e
iX
dx
= 21ti sEsnH I, Ress F(z)e'" dz.
62
PROPRIETES DES FONCTIONS HOLOMORPHES
Lemme B. - Soient V un voisinage ouvert de (1'(0 1 , O2) dans C, pour 0..;;;01"'< lim F(z) =0, alors Dans les hypotheses de la Proposition 6.4.3 et si f(x)e ix es integrable sur R, on a :
6.4.3'. Corollaire. -
J+OO f(x)e
iX
6.4.4. Voici un cas ou
L
dx = 211:i
iz
Res, F(z)e dz.
0
sESnH
-co
s n spt l' r= O.
Lemme C. - Soient U un voisinage ouvert de H = {zE C ; ..?"m z ~O} dans C, F une fonction holomorphe sur U~S oil S est un ensemble fini de U tel que Sn{zEC ,. ..?"m z=O}={O}, 0 etant un pole simple de F ,. 1'. : (0,1I:J-H avec &>0 et 1'.(e)=&e i8 , alors lim
£-0
J
I'e
F(z) dz
=
1I:i Reso F dz. a
Au voisinage de 0, on a F(z)=-+h(z) ou aEC et ou h z est holomorphe au voisin age de 0, alors fr,F(z)dz=af~ id()+fr, h(z) dz ; h etant continue en 0, quand &-0, son integrale sur 1'. tend vers en outre a=Res o Fdz. 0 DEMONSTRATION. -
°;
EXEMPLE. -
1=
sin x f:oo--dx x
1 = -1 2
a un sens ; on a:
J+oo sinx - dx = -00
x
2i
ix dx+ J+eo -eix dx ] .,
.-0 [J-- -e
- 1 I'1m
-eo
X
+. x
CALCULS D'INTEGRALES PAR LA METHODE DES RESIDUS
63
compte tenu des lemmes B et C et du theon:me des n!sidus, I I = -2; lim
e ._co J -z
iz
y.
n dz = -2.
6.4.5. Remarque. - Les resultats de 6.4.3 it 6.4.4 se generalisent au cas oil Ie facteur eix est remplace par e- ixy , yE R et lorsque !(x)e- ixy est integrable en x sur R ; iIs donnent des moyens de caIcul de la transformee de Fourier
2~ J~: !(x)e- ixy dx
def 6.4.6. Integrales de fonctions ayant en facteur x-a ,. aE ]0, 1 [
Soit R(z)E C(z) sans pole sur y=o ; x;;;..o avec R(x)-O quand x-= ; alors x-a R(x) est integrable sur R+ ; il s'agit de caIculer 1= x_a R(x) dx. Pour toute determination fez) de log z, on a la determination e-al(z) de z-a.
J:co
Soit V = C",R_, on a les determinations principales Arg z et Log z = log Izl + +Arg z (ch. 1, 1.5 et 1.6). Sur V, on a egalement la determination continue Log z+2in. Notons qu'une determination continue de log z sur un ouvert simplement connexe (ch. 1,5.4) de C* est determinee par sa valeur en un point. Soit aEV, Jm a>O ; considerons la determination continue 11 (z) de log z sur Ji = C".R+ teIIe que 11(a)=Log a ; on a 11(a)=log lal +i(2n-Arg a). Soit 12(Z) la determination continue de log z sur V teIIe que 12(a)=/l(a) ; alors pour xER+, on a : f2 (x)=logx+2in. Considerons les ouverts simplement connexes de C* ~
= { zE C;
~ = {ZE C;
n -"4 -< arg z
-
5;
5n} -< 4""
-< arg z -< :}.
Soit A1(Z) la determination continue de log z sur
Ui
qui cOIncide avec Log z
n
5n pour ---<arg z-0,!z(x)=e- 2inah(x).
U= 1,2). h et !z coincident sur
D'apres Ie theoreme des H!sidus appliques aux fonctions on a: J . jj dz = 2ni L Res jj ;
h et 12 respectivemem,
sEFinz
1)
les residus de z-aR(z) dependent de la determination continue choisie de z-a. J jjdz-+O quand r-++ oo • J ~
.jjdz-+O quand
~J
J y1 h dz+J Y' !z dz
-+
d'ou, quand ret
8-+0,
(l_e- 2ina ) 1= 2ni
8- 1 -+
+00,
L Ress z-a R(z).
sEZ
6.4.7. Integrales de fonctions ayant log x en facteur
°
Soit R(z)E C(z) sans pole sur y=O ; x;;;. telle que lim xR(x)=O, alors R(x) log x x-+oo est integrable sur R+ ; il s'agit de calculer l'integrale 1= J;= R(x) log x dx. On utilise Ie meme cycle d'integration qu'en 6.4.6 et on integre la fonction R(z)(log Z)2 ; on obtient, pour r et 8- 1 -+ +00, 0 R (x) (log x+ 2ni)2 dx ; J o+= R(x) (log X)2 dx- J+=
d'ou (6.4)
-2 J +CO R(x)logxdx-2ni J+ co R(x)dx o
0
J:oo
=
"L,., sEZ
Res s [R(z)(logz)2].
Si 1'on sait calculer J = R(x) dx (cf. 6.4.2), la formule (6.4) fournit I ; en outre si R(x) est it valeurs reelles it en est de meme de I et de Jet (6.4) donne let J par separation des parties rt~elle et imaginaire du second membre.
3
ESPACE DES FONCTIONS HOLOMORPHES SUR UN OUVERT DE C, TRANSFORMATIONS CONFORMES
Soit D un ouvert de C ; on munit I'espace I'6'(D) des fonctions continues sur D de la topologie de la convergence uniforme sur tout compact (ou topologie de la convergence compacte) et I'espace (I) (D) des fonctions holomorphes, de la topologie induite. A I'aide de la formule de Cauchy non homogene sur D, pour tout compact K de D, on majore Ie module de la derivee j-ieme d'une fonction uE(I)(D) sur K, par Ie produit, par une constante universelle cj , de la norme U de u sur un compact a bord contenant K dans son interieur. II en resulte : (1) toute suite de (I)(D) convergente dans I'6'(D) converge dans (I)(D) ; (2) toute suite de (I)(D) uniformement bornee sur tout compact possede une sous-suite convergente dans (I)(D). (1) entraine que (I)(D) est un espace de Frechet et (2) que toute partie bornee fermee de (I)(D) est compacte. (1) permet I'etude des series de fonctions meromorphes et des produits infinis de fonctions holomorphes avec des exemples classiques dont la fonction ret les theoremes de Mittag-Leffler et de Weierstrass dans C qui seront generalises au chapitre 4. On etudie ensuite, localement, les applications holomorphes, d'ol! : toute application holomorphe non constante sur un ouvert connexe est ouverte; toute application holomorphe au voisinage d'un pOint regulier est une transformation conforme, i.e. conserve les angles. Enfin, Ie theoreme de representation conforme Ie plus simple est etabli : tout ouvert simplement connexe de C, distinct de C, est isomorphe au disque unite; cela resulte de la consequence de (2) ci-dessus et de I'etude exhaustive des automorphismes du disque unite.
1. Convergence d'une suite de fonctions holomorphes 1.1. Rappel
Soient D un ouvert de C et A un compact a bord de D de bord y, alors, pour tout point (E A"spt y et pour toute fonction u Cl dans un voisinage de A, (1.1)
u(o = _1_. [J u(z) dz+J (ou/oz)(z) dzi\dz] 2m
1
z-(
A
z-(
c'est un cas particulier de la formule (5.1) du chapitre 1. Pour toute fonction u continue dans un voisinage de A, on pose lIull A = A lui dx dy ; la fonction u...... lluli A est une semi-nOl·me sur l'espace vectoriel des fonctions continues au voisinage de A.
J
66
ESPACE DES FONCTIONS HOLOMORPHES
1.2. Theoreme. - Soit D un ouvert de C, pour tout compact K de D, pour tout compact a bord A de D tel que K cA·, il existe des constantes cj (jEN) telles que, pour tout uE(!J(D), on ait sup lu(j)ml .,,;;;
Cj
IIuli A
'EK
ou uu) est la j-ieme C-derivee de u. Soit !/J une fonction C= a support compact dans A et egaIe a 1 sur un voisinage de K ; pour toute uE (I) (D), !/Ju est C= a support compact dans A ; la formuIe (I. I) entraine
DEMONSTRATION. -
1. !/J(Ou(O = -2
(1.2)
7rl
I
u(z)(o!/J/~Z)(Z) dz!\dz. z-
A
On a o!/J/oz=O au voisinage de K, done il existe 11>0 tel que (o!/J/oz)(z).,r.O entraine Iz-(I >11 pour (EK. Pour (EK, Ie premier membre de (1.2) est egaI a u(O et dZ!\dZI ~ sup 10 (!/J/oz) WI I II U(z)(o!/J/~Z)(z) z11
2Iu(z)1 dx!\dy
-
O tel que K=E(x, r)cD, alors pour tout (m, n)EN2, pour tout yEK IUn(y)- Um(y)-(U,,(x)- Um(x»)I..-;;;
Ily-xll sup IU~(z)- U~(z)1 zEK
d'apres Ie theoreme des accroissements finis. Comme la suite (U:) converge uniformement sur K, il existe n2 tel que n, m~n2 entraine : sup IU~(z)-U~(z)1 ..;; e, zEK
done (1.4)
ju(y)- Um(y)-(U(x)- Um(x»)1 = ju(y)- U(x)-(Um(y)- Um(x»)I..-.;; ..;; elly-xll·
Pour m fixe ~nl' n2 , par definition de U~(x), il existe r tel que lIy-xll.,.;;r entraine
IUm(y)- Um(x)- U~(x)(y-x)l..-.;; elly-xll
(1.5) Alors
IU(y)- U(x)-V(x)(y-x)1 ..;; IU(y)- U(x)-( Um(y)- Um(x»)I+
+ IUm(y)- Um(x)- U~(x)(y-x)1 + I(U~(x)-V(x»)(y-x)1 ..;; 3elly-xll, d'apres (1.3), (1.4), (1.5). Cela prouve l'existence de U'(x) et U'(x) = Vex), pour tout xEK.
0
DEMONSTRATION DE 1.3. - Soit K un compact de D ; pour tout compact a bord A deD tel que KeA, lIu-unllr"O quand n-=, done la suite lIunli A estunesuite de Cauchy, alors d'apres 1.2, la suite «(Jun/(Jz) est de Cauchy pour la norme sup I I, K
i.e. elIe converge vers une fonction v uniformement sur K, de plus (Jun/(Jz=O puis que Un est holomorphe done, pour z=x+iy, (x, y)E R et U,,(x, y)=u,,(x+iy), (JUn/(Jx et (JUn/(Jy convergent uniformement sur K. D'apres 1.3.1, (Ju/(Jz et (Ju/(Jz existent, (Ju/(Jz= n_oo lim (Jun/(Jz et (Ju/fJZ= n_oo lim (Jun/(Jz=O, donc u est holomorphe et, d'apres
1.3.1,
u~
converge vers u' uniformement sur K.
0
1.4. Theoreme. - Soit D un ouvert connexe de C. Soit (un}nEN une suite defonctions holomorphes, sans zero dans D, qui converge uniformement, sur tout compact de D, vers lafonction holomorphe u, alors, ou bien u=O, ou bien u est sans zero dans D. DEMONSTRATION. - Supposons u~O et soit Zo un zero de u ; D etant connexe, Zo est isole, de multiplicite k>O ; si B(zo, r)cD est assez petit, B*(zo,2r) ne contient pas de zero de u et k = 21 . 1[1
J
1
u'«z» dz
u
Z
y
ou
= bB(zo, r),
d'apres ch. 2, 6.1.
D'apres 1.3, l'integrale ci-dessus est la limite des integrales
11-=, dO:1c
k=O, contradiction.
0
f
u~(z)
- - d z quand 1
u,,(z)
68
ESPACE DES FONCTIONS HOLOMORPHES
1.5. Corollaire. - Soit D un ouvert de C ; soit (un)nEN une suite de /onctions holomorphes, injectives : D-C qui converge uniformement sur tout compact de D, alors, ou bien la /onction limite u est constante, ou bien elle est injective. DEMONSTRATION. - Soient Zl' z 2ED, Zl~Z2' tels que U(Zl)=u(z2)=a, U n'etant pas constante ; soient B 1 , B2 deux disques ouverts disjoints contenus dans D et centres en Zl' Z2 respectivement. Alors u(z)-a a pour zero Zl dans Bl et Z2 dans B 2. D'apres 1.4, pour n assez grand, un-a a un zero dans Bl et un zero dans B 2, ce qui contredit I'hypothese. 0 1.6. Theoreme. -
Soit
=
/= L
n=O
Vn une serie de /onctions holomorphes sur I'ouvert
D de C. Si f converge uniformement (resp. normalement) sur tout compact de D, alors fest holomorphe et L v~ converge uniformement (resp. normalement) sur tout compact vers /'. p
DEMONSTRATION. -
(a) Soit Up(Z)=
L VII(Z),
Ia conclusion pour Ia convergence
11=0
uniforme resuIte de 1.3 applique a Ia suite (up). (b) Si (up(z») converge normalement sur tout compact de D, d'apres 1.2 et la demonstration de 1.3, la suite (u~) converge normalement sur tout compact ; Ia convergence normale sur une partie impliquant Ia convergence uniforme sur Ia =
meme partie, d'apres (a), on a :
L
v~=f'.
0
11=0
2. Suite exhaustive de compacts d'un ouvert D de R 2 , the ore me de Stie!jes-Vitali-Monte! 2.1. Theoreme. - Pour tout ouvert D de R2, if existe une suite croissante de compacts (Kn), (i.e. KncKn+l), de D telle que tout compact K de D soit contenu dans l'un des Kn " en outre U Kn=D. n
Voe telle suite (Kn) est dite exhaustive. DEMONSTRATION. - Considerons les disques fermes contenus dans D dont les coordonnees du centre et Ie rayon sont rationnels ; ils forment un ensemble denombrable II
que ron range en une suite (Bn)nEN ; pour tout n, Kn= UBi' reunion finie de i=O
compacts est compact et KncKn + 1 • Les interieurs B j des disques forment un recouvrement ouvert de D, done tout compact K de D est contenu dans une reunion finie de B j ' done dans un Kn. Pour tout zED, {z} est compact, done il existe n tel que zEKn , d'ou la derniere assertion. 0 2.2. Theoreme de Stieltjes-Vitali-Mootel. - Si (un) est une suite de /onctions holomorphes dans un ouvert D de C et si cette suite est uniformement bornee sur
TOPOLOGIE DE L'ESPACE DES FONCTIONS HOLOMORPHES
69
tout compact de D, alors if existe une so us-suite (un.> convergeant uniformement sur tout compact de D vers une limite u qui est holomorphe dans D. )
DEMONSTRATION. (a) Soit K un compact de D et soit A un compact it bord de D tel que KcA ; (un) etant uniformement bornee sur Ie compact A, la suite Ilunll A
est bornee ; d'apres 1.2, la suite des derivees premieres (u~) est uniformement bornee sur K ; il en resulte, d'apres Ie theoreme des accroissements finis, que la suite (un) est equicontinue sur K (i.e. pour tout e>O, il existe I] >0 tel que, pour tout nEN, pour tout couple (z,OEK2 satisfaisant it IZ-"O, soit semble {W.J ; eE R+} satisfait aux axiomes d'un systeme fondamental de voisinages de f dans une topologie bien determinee de C(D). Pour toute hEC(D), on 0 = V(K, e) est transa : qK(f+h, g+h)=qK(f, g), donc, par la translation h, h forme en : la topologie ci-dessus est invariante par translation. La continuite de l'addition et celIe de l'homothetie se verifient immediatement. 0
w.
w.
w.
3.2. Proposition. - K decrivant lafamille des compacts de D et e decrivant R~, C(D) est muni d'une topologie unique " invariante par translation, dans laquelle les parties V(K, e) constituent un systeme fondamental de voisinages de 0 et pour laquelle l'addition et l'homothetie sont continues.
'K
DEMONSTRATION. La topologie , est la borne superieure des topologies quand K decrit la famille des compacts de D ; alors un systeme fondamental de voisinages de est forme des parties V(Kj' ej), oil (KJo)Jou est n'importe quelle famille
°
n
jU
finie de compacts de D ; mais V(Kl,el)nV(K2,e2)~V(KIUK2' inf(e 1 ,e2») ; les V(K, e), avec K compact et eE R~, constituent donc un systeme fondamental de voisin ages de 0. 0 3.3. Proposition. par translation.
La topologie , peut etre definie par une distance invariante
Soit (K;) une suite exhaustive de compacts de D, on pose Pi=PKI ; pour toute fEC(D), DEMONSTRATION. -
b(f) =
L 2-; inf(l, p;(f»);
L 2-; =
(b(f)..:;
i~l
I) ;
i=1
pour j,gEC(D), d(j,g)=b(f-g). On montre que d est une distance invariante par translation qui definit la topologie , ; ce dernier point se verifie ainsi : I) tout V(K, e), avec eno
nsno
uniformement (resp. normalement) convergente sur tout compact de U, done est holomorphe sur U d'apres 1.6. Alors I est une fonction meromorphe sur U independante du choix de no. 4.1.3. Theoreme. -
Soit
I In
une serie de lonctions meromorphes sur D ; si
nEN
e/le converge uniformement (resp. normalement) sur tout compact de D, sa somme
I est meromorphe sur D. La serie
I I;
converge uniformement (resp. normalement) sur tout compact
nEN
de D et sa somme est fa lonction meromorphe /'. DEMONSTRATION. - D'apres 4.1.2, I est meromorphe sur tout ouvert relativement compact de D, done au voisinage de tout point de D, i.e. sur D. Soit U un ouvert relativement compact de D ; soit no=no(U), alors dans l'expression (4.0) de J, la serie I In est uniformement (resp. normalement) conn>no
vergente sur tout compact de U ; d'apres 1.6, il en est de meme de
I I;,
done
n>no
II;.
d'apres la definition 4.1.1, de la serie de fonctions meromorphes Tout compact de D etant contenu dans un ouvert U eeD, la convergence a lieu sur tout compact de D. 0
SERIES ET PRODUITS INFINIS DANS UN OUVERT D DE C 4.1.4. Remarque. -
pour nEN*, les series deD. EXEMPLE. -
I /" de
Ce qui precede du nO 4.1 est val ide pour la somme
deux series de fonctions meromorphes
4.2.
73
I
I
gn et
Serie (4.1)
I
I
nEN
gn'
I
nEZ
hn ou go=fo; gn=/", hn=f-n
nEN*
hn convergeant normalement sur tout compact
(z-n)-2.
nEZ
4.2.1. Lemme., -
La sirie (4.1) converge normalement sur tout compact de C.
Soit x=f!le z, alors tout compact K est contenu dans une bande P(xo, Xl) : XO<X<XI de C ; I'intervalle [xo, Xl] contient un nombre fini d'entiers ; soit zEP(xo, Xl), pour n<xo, l(z-n)-21 est majore par (x o-n)-2 ; pour n>xl , l(z-n)-21 est majore par (x l -n)-2, donc la serie (4.2) I (z-n)-2 DEMONSTRATION. -
nEZ,,[xO'X1]
converge normalement dans P(xo, Xl) ; les termes de (4.1) omis dans (4.2) sont meromorphes, it poles dans P(xo, Xl) et en nombre fini, donc (4.1) converge normalement dans P(xo, Xl) et a fortiori dans K. 0 4.2.2. Proprietes de (4.1.) : (a) La somme fez) de (4.1) est meromorphe dans C, d'apres 4.1.3, et admet la periode 1 : f(z+ l)=f(z) ; (b) Les poles sont les en tiers rationnels, sont doubles et de residu nul, car au voisin age de nEZ, fez) est egale it (z-n)-2 it l'addition pres d'une fonction holo-
morphe. (c) Soit y=.fo"mz, alors quand y-+-=,f(z) tend vers 0, uniformement en x. A cause de la periodicite de J, il suffit de verifier (c) dans une ban de P(xo, Xl) de largeur superieure it 1. Dans P(xo, Xl)' la serie (4.1) est normalement convergente ; quand Iyl-+-=, chaque terme (z-n)-2 tend vers 0 uniformement en X, donc fez) tend vers 0 uniformement en x. 4.2.3. Proposition. -
On a :
fez) =
I
(z-n)-2 = ( .
nEZ
Lemme. -
g(Z)=
(~)2
1! )2
SID 1!Z
possede les propriitis (a), (b), (c) ci-dessus.
SID 1!Z
DEMONSTRATION. -
(a) g est meromorphe de periode 1 : evident;
(b) it cause de la periodicite, il suffit d'etudier Ie pole z=O ; voisinage de 0 ; (c) Isin 1!zI2=sin 2 1!x+sh 2 1!Y.
(_._1!_)2 ~ ~ au SIll1!Z Z2
0
DEMONSTRATION de 4.2.3. : Considerons h=f-g ; h est une fonction entiere ; h est bornee : il suffit de Ie verifier dans une bande P(xo, Xl) de largeur 1 ; soit Yo>O ; pour IylYo, Ih(z)1 est borne; alors, d'apres Ie theoreme de Liouville (ch. 2, 2.4.2), h estconstante. En outre, h(z) tend vers 0 quand Iyl-+-=, donc h=O. 0
74
ESPACE DES FONCTIONS HOLOMORPHES
4.2.4. Application k(z)= (_._n_)2 _ ~= sm nz Z2 =2
L (z-n)-2
est holomorphe au voisinage de
nEZ
°; k(O)=
L n- 2 ; d'autrepart,~:voiSinage de 0, (_._n_)2_~= ~ (1 + n 26z 2 + ... )2_ sm nz Z2 n Z2
nEN*
1 n2 n2 -2'" quand Izi est infiniment petit, donc k(O)=-;
z
3
3
L
n2 n- 2 = - .
nEN*
6
4.3. Theoreme de Mittag-Leffler dans C 4.3.1. Soit June fonction meromorphe non nulle sur un ouvert connexe U de C les poles de f etant isoles (ch. 2,4.3.4), au voisin age de tout point zoE U, iI existe un developpement de Laurent de f 1
J(z) =
L a·_k(z-zo)-k+g(z-zo) k=p
oil g est une serie entiere convergente au voisinage de zo, donc une fonction holomorphe. 1
P=
(4.3)
L
a_k(z-zo)-k
k=p
est un polynome en (Z-zo)-l sans terme constant qui est appele la partie principale de J en Zo : tout polynome (4.3) sera appele une partie principale de Jonction meromorphe, de pole Zo. 4.3.2. Soit Z un ensemble discret de points de C ; la topologie de C etant a base denombrable, l'ensemble Zest denombrable ; on peut l'ordonner en une suite (zn) telle que (lznD soit croissante ; en outre si Zest l'ensemble des poles de fEA(C), (zn) n'a pas de valeur d'adherence dans C, car une telle valeur d'adherence serait un pole non isole de J, donc, si Zest infini, IZnl-+oo quand n tend vers l'infini.
Soient (Zn) une suite comme dans 4.3.2 et (Pn) une suite de parties principales de pOles Zn. II existe une infinite de fonctions meromorphes sur C, ayant pour pOles les Zn et, pour tout n, la partie principale Pn • 4.3.3. Theoreme. -
DEMONSTRATION. - Deux fonctions meromorphes satisfaisant a la conclusion different d'une fonction entiere. Si znr!O, hn(z)=P"(z-zn)-l) est holomorphe dans B(O, IZnD et somme d'une serie entiere uniformement convergente sur Ie dis que B
(0, ~ IZnl)
; il existe un polynome Qn(z) obtenu
Taylor de h n en prend Qo=O.
° tel que
a partir du developpement de
Ih n (z)-Qn(z)Ino. Alors
I' , -=~+ L I g n>no
n>no
(Log/,,)'; la seriedusecondmembreconvergenorma-
lement sur tout compact de U vers (Log
TI /,,)',
d'apres 1.6.
0
n>no
4.5. ExempJe de produit infini : expression de
1t- 1 Z-l
sin 1tZ
4.5.1. Proposition. -
DEMONSTRATION. -
Le produit infini (4.4) f(z)=z
TI
(l-n- 2 z 2) converge nor-
nEN'
malement sur tout compact de C d'apres 4.4.2 car il en est ainsi de la serie
L
n- 2 z 2•
nEN'
Donc, d'apres 4.4.4, fez) est holomorphe dans C ; ses zeros sont les entiers rationnels et sont simples. D'apres 4.4.5, la derivee logarithmique de fest la serie normalement convergente sur tout compact de C (4.5) 1t
La somme F(z) de la serie du second memhre de (4.5) est - - .
4.5.2. Lemme. -
tg1tZ
DEMONSTRATION. -
1 F(z)=-+ Z
1 L L (1 + -n1) =-+ Z- n z nEZ'
nEZ'
z n(z- n)
.
." La sene L...
z converge normalement sur tout compact de C ; sa somme n(z-n) est une fonction meromorphe sur C d'apres 4.1.3 ; il en est de meme de F(z). En outre nEZ'
(4.6)
F'(z) = -Z-2-
L
(z-n)-2 = _(_._1t_)2
sm1tz
nEZ'
d'apres 4.2.3. Mais Ie dernier membre de (4.6) est etant une fonction impaire constante est nulle.
0
~ (_1t_), dz
tg 1tZ
donc F(z) __1t_ tg 1tZ
SERIES ET PRODUITS INFINIS DANS UN OUVERT D DE C
77
4.5.3. Fin de la demonstration de 4.5.1. D'apres 4.5.2, on a : I'(z) eos 1tZ --=1t-fez) sin 1tZ ' done f(z)=c sin 1tZ ou cE C. Quand z--.O, fez) tend vers 1, d'apres (4.4) et z sin 1tZ 1 sin 1tZ fez) tend vers 1t done c=-, d'ou - - = - - . 0 Z 1t Z Z
4.6. La fonction
r
On va definir une fonction meromorphe r(z) te1le que, pour nEN, r(n+ 1)=n!.
4.6.1. Pour nEN*, soit gn(z)
(4.7)
=
z(l + z)(1 + 2- 1 z) ... (1 + n- 1z) n- z
=
-2, z(z+ 1)(z+2) ... (z+n)nn.
z•
Pour n>2, on a :
Pour 1-+, et de l'application ,>-+w=,P, pEN*,,{I} (5.2), l'image du disque "IO en B.
6.4.2. Automorphismes du demi-plan superieur P (y>O) Considerons les homographies (6.1) it coefficients reels, telles que lad-bel = I : ce sont les homographies qui conservent l'axe reel. Pour qu'une telle homographie conserve P il faut et il suffit que ad-be = I. Si e,c 0 cela resulte de la decomposition de 6.4.1 et de (6.3) ; si e=O, w=ad-1z+bd-I, alors ad=1. Ces homographies constituent un sous-groupe G de r(p) tel que G soit transitif dans P ; nous allons montrer que Ie sous-groupe d'isotropie du point i dans r(p) est contenu dans G ; cela resultera du lemme 6.4.4 et du fait que l'image de i par l'application (6.4) est Ie centre 0 du disque unite. Alors, du lemme 6.3.3, resultera : 6.4.3. Proposition. - Le groupe r(p) des automorphismes de P est Ie groupe des homographies (6.1) a coefficients reels, telles que ad - bc = 1. 0 6.4.4. Lemme. - Le sous-groupe d'isotropie de 0 dans r(B) est Ie groupe des rotations z ..... ze i9 ; (JE R. Soit z ...../(z) un automorphisme de B laissant 0 fixe, alors, d'apn::s Ie lemme de Schwarz (ch. 2,3.5) applique it I et it I-I, on a I/(z)1 = Izl, puis f(z)=e iO z pour (JE R fixe. 0 DEMONSTRATION. -
6.4.5. Theoreme. -
r(B) est Ie groupe des homographies w=e i8
z+zo l+zoz
;
(JER ;
IZol< 1. D'apn:s 6.4.1, l'isomorphisme (6.4) applique P sur B morphisme reciproque est i(w+ I) z =--..,.(6.5) -w+l·
DEMONSTRATION. -
Tout element de reB) est compose des applications
z' Z
W -
-
i(z+ I)
-z+1
" - I. •
z"+i '
z"
=
az'+b ez'+d
avec
a, b, e, dER et
ad-be
c'est w
,·n
= e'
z+zo I+zoz
avec
eiO
=
e-b+(a+d)i -(e-b)+(a+d)i
=
I ;
l'iso-
86
ESPACE DES FONCTIONS HOLOMORPHES
et 8ER ; Zo
Alors /ZO/2=
=
(b+ C)2 +(a+d)2 -4ad 2
2
(b+c) +(a+d) -4bc -ad=-bc-lO ; la fonction h : Zl-+
I
. g(z)- g(zo)- 2m est holomorphe, injective et bornee sur D ; d'apres Ie Corollaire 5.3.4, elle definit un isomorphisme D-+D1=h(D) oil D1 est contenu dans B(O, r- 1). 0
6.5.5. Pour demontrer 6.5.1, on peut supposer D borne; plus precisement, apres homothetie et translation convenables, on suppose zo=OED et DcB=B(O, I). 6.5.6. Lemme. - Soit A={/E(9(D) ; I injective; 1(0)=0 ; Alors les deux proprietes suivantes sont equivalentes : (i) lEA; D' =/(D)=B=B(O, 1) ; (ii) lEA; /1'(0)/ est maximum.
/I(z)/sup 1/(01. 'EK
DEMONSTRATION. - D'apn!s 1.1, toute fonction entiere est limite uniforme de polynames sur Ie compact K : alors (a) et (c) traduisent (a) et (c) du theoreme 1.2, dans Ie cas D=C. (b) est Ie cas particulier de (b) de 1.2 dans lequel D = C, alors C"K est connexe et infini, i.e. toute composante connexe H de K est telle que tout arc continu ferme de H est homotope a un point, sans quoi C"K aurait une compos ante connexe relativement compacte. 1.4. DEMONSTRATION
DE
1.2.
1.4.1. non (b)=>non (c) : supposons que D"K ait une composante connexe B dont l'adherence 13 dans D soit compacte. Alors la frontiere Fr B de Best une partie de K et, d'apres Ie principe du maximum (ch. 2, 3.2), on a: pour toutjE: (I) (D), sup 1/(z)l< sup I/(~)I, donc zEB
(1.1)
~EFrB
V/E(I) (D), sup I/(z) I < sup 1/(01, zEB
'EK
ce qui est la condition non (c). 1.4.2. non (b) et (a) sont contradictoires. Soit/une fonction holomorphe dans un voisinage de K et soit (f,,) une suite d'elements de (I)(D) convergeant vers/uniformement sur K. Dans les notations de 1.4.1, (1.1) appliquee a f,,-j;" montre que la suite U~IB) est de Cauchy, dans B, pour la norme de la convergence uniforme, donc a une limite continue F ; de plus F=/ sur Kn B, donc sur Fr B. B est un ouvert de D, en elfet, soit zoEB, alors il existe un disque ouvert b de C centre en zo, contenu dans D et ne rencontrant pas Ie ferme K ; or best connexe et Bnb",o0. donc BUb est connexe, mais Best une compos ante connexe de D"K : c'est la composante connexe de zo, d'oiI beB ; Best donc ouvert dans C et dans D. (f,,) converge uniformement sur 13, donc sur tout compact de B, vers F, alors, d'apres ch. 3, 1.3, Fest hoIomorphe dans I'ouvert B. Soit (EB ; prenons j(z)= =(Z-O-l ; on a F(z)=/(z) sur Fr B, d'ou (z-O F(z) = 1 sur Fr B, donc, d'apres Ie principe du maximum applique a la fonction holomorphe (z-O F(z)-l, ona: (z-OF(z)=l dansB; aIorsFn'estpashoIomorpheaupoint(deB: contradiction.
9U
APPROXIMATION DES FONCTIONS HOLOMORPHES
1.4.3. (b)=(a) : pn!/iminaire. Une mesure 11 dans Ie compact K est nne forme C-Jineaire continue sur I'espace CoCK ; C) des fonctions continues sur K, a valeurs dans C, muni de la norme de la convergence uniforme. On pose :
E = {jECo(K ; C) ;
:=3
un voisinage OJ de K, :=3iE(9(OJ), ilK = f}
F = {jECo(K ; C) ; :=3hE(9(D), hlK = fl. On a : FcEcCo(K; C) et (a) equivaut 1.4.4. Lemme. - (a) equivaut a (a') toute mesure dans K orthogonale
a:
(F)E=E.
a Fest orthogonale a E.
On rappelle que, si AcCo(K ; C), la mesure 11 est dite orthogonale tout (a), done Ia fonetion egale it 0 dans un voisinage de K et it 1 dans un voisinage de b peut-etre approehee uniformement par des fonetions de @(D), aIors 1 1 1 ilexistefE@(D) telleque Ifl- X une application continue. Si gl' g2 : Z - Y sont deux reli!vements de f tels que, pour un point zoEZ, gl(ZO)=g2(ZO)' alors gl =g2' DEMONSTRATION. - Soit T={zEZ; gl(Z)=g2(Z)}. Zetantconnexe, ilsuffitdemontrer que T est non vide, ouvert et ferme. Tr'0 car zoET. Soit L1 la diagonale de Yx Y ; Y etant separe, L1 est ferme et (gl' g2) etant continue, T=(gl, g2)-I(L1) est fer me. Soit zET, on pose y=gl(Z)=g2(Z). Comme P est un homeomorphisme local, il existe un voisinage V de y tel que pjV : V -U=p(V) soit un homeomorphisme sur un voisinage de p(y)=j(z) ; gl et g2 etant continues, il existe un voisinage W de z tel que gj(W)e V ; j= 1,2, 4' =(plV)-1 est un homeomorphisme U - V ; pogj=J entraine g,IW=cpo(fIW) ; j= 1,2, alors gIIW=g2IW, i.e. WeT, donc Test ouvert. 0 1.1.5. Theoreme (relevement d'arcs). - Soit p : Y -X un homeomorphisme local d'espaces topologiques separes. Soient a, hEX; aEp-l(a) ; r : lxI-X une application continue telle que r(O, s)=a ; r(l, s)=h; sEl,. on pose Ys(t)=r(t, s). Si tout arc Ys peut etre releve en un arc Ys d'origine a, alors Yo et Yl ont meme extremite et sont homotopes. DEMONSTRATION. 1.1.6. Lemme. -
On pose t : IxI-Y telle que t(t, s)=ys(t). t est continue sur IX I.
r=pot ; r({I}xI)={b}, donc t({I}xI)ep-l(b) ; {l}XI elant connexe et t continue, t({l}xI) est connexe ; p-l(b) est discret, donc t({I}XI) est un seul point bEp-l(b) : les arcs Ys ont meme extremite b et Yo et Yl sont homotopes. 0
1.1.7. DEMONSTRATION DU LEMME. (i) Soit V un voisinage de a tel que pjV : V- U =p(V) soit un homeomorphisme d'inverse cp : U-V. Puisque r({O}xI)={a} et que r est continue, il existe Bo>O tel que r([O, Bo[xI)eU. Par Ie theoreme d'unicite du re1evement (1.1.4), pour tout sO : on a: Ysl[O, Bo[ = 4'o(Ysl[O, BoO· Donc t=4'Or sur [0, Bo[XI ce qui implique la continuite de t sur l'ouvert [0, Bo[XI de lXI. (ii) Montrons que est continue sur lXI. Soit (to, (1)EIXI un point en lequel t n'est pas continue et soit 'r=inf [t non continue en (t, (1)], on a : 'r>Bo•
t
tEl
HOMEOMORPHISMES LOCAUX
101
Posons x=r(r, u) ; x=f(r, u)=y,,(r). II existe un voisinage V de x tel que plV : V --+U=p(V) soit un homeomorphisme ; U est un voisinage de x ; soit q> : U --+ V I'homeomorphisme inverse de plV. L'application r etant continue, il existe des intervaIIes I.(r) et Ie(u) centres en r et en u respectivement, de longueur 2e, tels que r(Ie(r)XIe(u))cU ; en particuIier, on a y,,(Ie(r))cU et, par unicite du relevement des arcs (I.I )
So it rIEIe(r) ; rI0YsIIE(r), done f=q>or sur Ie(r) X Ib(u), alors fest continu au point (r, u) ce qui contredit la definition de r, done I'existence de to, i.e. f est continue sur Ixl. 0
1.2. Revetements topologiques
1.2.1. Dne application continue p : Y --+X d'espaces topologiques est appelee un revetement si la condition suivante est realisee : pour tout xEX, iI existe un voisinage ouvert U de x tel que p-I(U)= U Tj ou les Tj sont des ouverts disjoints de Y tels jEJ
que, pour tout jEJ, plTj--+U soit un homeomorphisme. En particulier, p est un homeomorphisme local. On designe parfois Ie revetement p par Ie triplet (Y, p, X).
1.2.2. Exemples de revetements topologiques (a) Soient
kEN*
et p: C* --+ C*
p est un homeomorphisme local : pour bE C* et a=p(b), il existe des voisinages ouverts Vo de b et U de a tels que plVo : Vo --+ U soit un homeomorphisme. Soit w une racine k-ieme primitive de I'unite, alors k-I
p-l(U)=UTj
avec
Tj=wjVo •
j=O
Si zETj. n Tj., on a w i1 - i. = I, ce qui implique ji =j2' done les Tj (j=O, ... , p-l) sont disjoints ; ils sont homeomorphes a U par p. (b) Considerons I'application exponentieIIe exp : C--+C* ; soit a=exp b ; exp est un homeomorphisme local, done il existe un voisinage ouvert Vo de b et un voi-
102
SURFACES DE RIEMANN ETALEES
sinage ouvert U de a tels que explVo : Vo ->- U soit un homeomorphisme. Alors exp-l (U) =
U v" avec
Vn = 2nin+Vo
nEZ
et on verifie, com me en (a), que les v" sont disjoints deux a deux. (c) Soient WI' W2.E C deux elements R-lineairernent independants, alors r =wIZ+ +w 2 Z est un sous-groupe discret, ferme du groupe topologique additif C. On considere Ie groupe topologique quotient T=Clr et la projection (continue) II : C ->- T. r etant ferme, Clr est separe, en outre c'est l'image, par l'application II du compact {AWl +,uW 2 ; A, ,uE[O, I]} de C, donc T est compact. Soit aET et bEII-I(a), considerons l'ouvert V de C egal a
{b+A1W1+A zW2
;
-
~
-k(V) cOIncident sur l'ouvert non vide h(UnG), donc sur I'ouvert connexe h(U) de C d'apn!s (ch. 2,2.1.2), d'OUhIU=/2IU et bEG. L'ensemble G non vide, ouvert et ferme de X connexe, est ega1
a x.
D
2.1.3. Corollaire. -
Soient X une surface de Riemann connexe et f1'f2 : X->-Y deux morphismes qui coi"ncident sur une partie A de X ayant un point limite x o' alors It et h coi"ncident sur X.
DEMONSTRATION. - II suffit de montrer que h et j; cOIncident sur un voisinage assez petit U de Xo dans X, done, en prenant des cartes, pour U ouvert connexe de C,1t et/2 fonctions holomorphes sur U ; h etj; etant continues, on a h(Xo)=
106
SURFACES DE RIEMANN ETA LEES
=j;(xo), alors (A U{xo}) n U est non discret et contenu dans l'ensemble des zeros de j~ -f2 sur U, d'ou : It -h=O sur U, d'apres (ch. 2,2.2.2). 0
2.1.4. Theoreme de prolongement. - Soient U un ouvert d'une surface de Riemann, aE U et fE(!J (U"'-{ a}) une fonction hornee au voisinage de a. A lors fa une
extension unique holomorphe sur U. DEMONSTRATION. - II suffit d'etablir Ie theoreme dans Ie cas ou U est Ie domaine d'une carte h ; Ie theoreme est connu pour l'ouvert h(U) de C et Ia fonction foh-1 holomorphe sur h(U)",-h(a) (ch. 2,4.3.3). 0
Soit f : X- Y un morphisme non constant de surfaces de Riemann. Pour tout aEX, if existe une carte (h, U) de X centree en a, une carte (k, V) de Y centree en h=f(a), avecf(U)cV et un entier n;;;.l tel que I'application F=kofoh- 1 : h(U)-k(V) soit z>--+F(z)=z".
2.1.5. Theoreme. -
DEMONSTRATION. - Soient (h', U'), (k, V) deux cartes centrees en a et b resp. telles que j(U')cV et soit (Ia coordonnee dans Ia carte h'. Alors G
= kofoh'-l : h'(U') - k(V)
est telle que G(O)=O. D'apres 5.2 du chapitre 3, il existe nEN* et une fonction A holomorphe, sans zero, sur un voisinage ouvert W' de 0 dans h'(U') tels que : G(O=CAn(O ; I'application ex : W'-W=IX(W') (>--+Z=(A(O est un isomorphisme. Posons U=h'-l(W') et h=lXoh' ; alors F=kofoh-1=kofoh'-lOIX- 1 : h(U)-k(V) z>--+z"
cherchee.
est
Ia
fonction
0
Soient X une surface de Riemann connexe et f: X-Y un morphisme non constant. Alors fest une application ouverte. 0
2.1.6. Corollaire. -
2.1.7. Corollaire. - Soit f : X- Y un morphisme injectif. A lors f est un isomorphisme de X sur f(X). DEMONSTRATION. - f injectif entraine, par 2.1.5, que n= I en tout point de X. Alors fest biholomorphe de X sur f(X). 0 2.1.8. Corollaire (principe du maximum). - Soient X une surface de Riemann connexe et f: X -C une fonction holomorphe non constante. Alors If I n'atteint pas
son maximum. DEMONSTRATION. - Soit aEX en lequel Ij(x)1 atteint son maximum M. Alors f(X)cK={zEC; Izl<M} ; j(X) etant ouvert (2.1.6), f(X)cK ; d'apres Ie choix de K, f(a)EK",-i, contradiction. 0
Soit f : X- Y un morphisme non constant de surfaces de Riemann connexes. Alors, si X est compacte, Y est aussi compacte etf est surjectif.
2.1.9. Theoreme. -
101
MORPHISMES DE SURFACES DE RIEMANN
DEMONSTRATION. - J(X) est ouvert (2.1.6), ferme car J(X) est compact non vide Y etant connexe, J(X) = Y compact. 0
2.1.10. Corollaire. - Toutefonction holomorphe sur une surface de Riemann compacte connexe est constante. DEMONSTRATION. 2.1.11. Corollaire. est rationnelle.
C n'etant pas compact, Jest constante d'apres 2.1.9.
Toute fonction meromorphe f dijferente de
00
0
sur pI = pI (C)
DEMONSTRATION. - j a un nombre fini de poles, sinon pI etant compact, l'ensemble des poles aurait un point d'accumulation a ; a serait un pole non isole, done J=oo au voisinage de a ; pI etant connexe, d'apres 2.1.3, J=oo sur pl. On suppose que n'est pas un pole de j; sinon on considere II}: Soient PI' ... ,Pn les poles de 00
-1
j; PI' ···,PnEc. Soit hv=
L
CVj(Z-PY lapartieprincipaledeJenpv; d'apres
j=-k v
4.4.3 du chapitre 2, hv s'etend en une fonction meromorphe sur pI ; alors J-
n
L hv v=l
est holomorphe sur PI, done constante d'apres 2.1.10.
0
2.2. Morphismes non ramifies Dans la suite, les surfaces de Riemann considerees sont supposees connexes. 2.2.1. Theoreme. - Soit p : Y -->-X un morphisme non constant de surfaces de Riemann. Alors pest ouvert et discret. DEMONSTRATION. - pest ouvert (2.1.6). Si pour aEX, p-I(a) n'est pas discret, alors p-I(a) a un point d'accumulation, d'apres Ie theoreme d'identite (2.1.3), P est l'application constante : Y -->-{a}. 0 2.2.2. Si P : Y -->- X est un morphisme non constant, Y est appelee un domaine ( etale) au-dessus de X. 2.2.3. Soit P : Y -->-X un morphisme non constant de surfaces de Riemann, un point yE Y est dit point de ramification de P s'il n'existe pas de voisinage V de y tel que pJV soit injectif ; pest alors dit ramifie. Un morphisme sans point de ramification est dit non ramifie. 2.2.4. Theoreme. - Soit p : Y -->- X un morphisme non constant de surfaces de Riemann ; alors les deux conditions suivantes sont equivalentes : (a) p est non ramifie ; (b) p est un homeomorphisme local. DEMONSTRATION. - (a)=>(b) : soit yEY, alors il existe un voisinage V de y tel que pJV soit injectif ; puisque pest continu et ouvert, pJV est un homeomorphisme de V sur l'ouvert p(V).
108
SURFACES DE RIEMANN ETALEES
(b )=>(a) pour tout yE Y, il existe un voisinage ouvert V de y tel que plV soit un homeomorphisme : V --p(V), ouvert de X ; en particulier, plV est injectif donc y n'est pas un point de ramification. 0
2.2.5.
EXEMPlES.
(1) Domaine Yau dessus de X : (a) So it Y=C ; X=C* ; p=exp : C ...... C* ; pour tout uoEC*, dans tout disque
z . . . . . ez U o et contenu dans C*, considerons une determination de log u, on a pour u=e z , log U=Z. Alors I'identite Y --C composee avec I'inverse locale log de pest une fonction X ...... C a plusieurs determinations.
B de C centre en
C = Y~C
ex
p!
pit
/
/Iog
C*=X
(b) Plus generalement, pour tout domaine etale Y 2...... X, toute fonction holomorphe ou meromorphe f sur Y definit, par composition avec I'inverse locale de p, une fonction holomorphe ou meromorphe sur X a plusieurs determinations. (2) Considerons un morphisme f: X -- Y et Ie nombre n du theoreme 2.1.5, pour un point aEX. Pour tout voisinage Uo de a, il existe un voisinage ouvert U de a contenu dans Uo et un voisinage ouvert W=j(U) de b=f(a) tel que, pour tout xE~{a}, la partie f-I(X) ait exactement n points: on dit quefa la multip/icire n en a. D'apres cette definition, pour to ute application holomorphe non con stante p : Y -- X, yE Y est un point de ramification de p, si et seulement si p ala multiplicite au moins egale a 2 en y. D'apres Ie theoreme 2.1.5, Ie comportement local de p est Ie meme que celui de l'application C-C.
(3) L'application exp de (1) est un morphisme non ramifie car elle est injective sur tout ouvert V de C qui ne contient pas deux nombres complexes congrus modulo 2ni. (4) La projection II : C ...... T (1.2.2. (c») est non ramifiee. 2.2.6. Theoreme. - Soient X une surface de Riemann, Y un espace topologique separe et p : y ...... X un homeomorphisme local. Alors Y porte une structure complexe unique telle que p soit holomorphe.
DEMONSTRATION. - Pour tout yEY, soient x=p(y), (hI' UI ) une carte holomorphe de X en x ; il existe un voisinage ouvert J-i de y tel que plJ-i : J-i . . . p(J-i) soit un homeomorphisme. Soient u=p(J-i)nUICUI et h=hIIU ; alors (h, U) est une carte de Xet si v=J-inp-I(U), (V,hop) est une carte holomorphe de Y. Les cartes holomorphes (V, k) avec k=hop sont compatibles et constituent un
MORPHISMES DE SURFACES DE RIEMANN
109
atlas analytique complexe m de Y tel que p soit une application holomorphe : Y-X. Soit m' un autre atlas analytique complexe de Y tel que p soit holomorphe, alors p : (Y, m')-X est un isomorphisme local, de sorte que l'identite (Y, 'll)--(Y, '1(') est un isomorphisme local, donc un isomorphisme : les atlas m et m' sont equivalents. 0 2.2.7. Theoreme. - Soient X, Y, Z des sur/aces de Riemann, p : Y - X un morphisme non ramifi-i et /: Z - X un morphisme. Alors tout relevement g : Z -+ y est un morphisme. DEMONSTRATION. - Soient cEZ, b=g(c), a=f(c) ; on a p(b)=a. Alors il existe des voisinages ouverts V de b et U de a tels que plV : V -+ U soit biholomorphe (2.1.7), de morphisme inverse cp ; g etant continu, il existe un voisin age ouvert W de c tel que g(W)cV ; alors gIW=(cplf(W»)o(fIW) est holomorphe, done g est un morphisme. 0
2.2.8.
EXEMPLE.
Logarithme d'une fonction.
So it X une surface de Riemann simplement connexe et f : X -+ C*. On cherche une fonction holomorphe F: X -C telle que exp F=J, i.e. telle que F soit un relevement de f a c, par rapport a expo Soit xoE X et cE C tel que eC =f(x o), alors (1.2.9) il existe un relevement F: X -C tel que F(xo)=c. D'apres 2.2.7, Fest holomorphe. Toute autre solution differe de F par l'addition de 2rrin, nEZ. Par definition F=logf Si fest l'injection canonique, logf est une determination continue de la fonction log sur X.
2.3. Revetements hoiomorphes ramifies 2.3.1. Soit f: X- Y un morphisme non constant, propre, de surfaces de Riemann. f etant propre f(X) est ferme, f(X) est ouvert (2. I .6), non vide, Y est connexe, done fest surjectif. D'apres Ie comportement local d'un morphisme (2.1.5), I'ensemble A des points de ramification de f possede les proprietes suivantes : tout point a de A possede un voisinage ouvert Ua tel que UanA={a}. Alors A est discret, ferme. L'ensemble B=f(A)c Y est appele l'ensemble des valeurs critiques de f Soient Y'=Y"-.B ; X' = XV-I (B) c %"-.A, alors fiX' : X'-Y' est un morphisme non ramifie ; d'apres 2.2.4, c'est un homeomorphisme local ; comme fiX' est propre, d'apres 1.2.11, c'est un revetement, a nombre fini de feuillets (1.2.6) d'apres 1.2.12 (i). Y' est connexe par arcs ; d'apres 1.2.6, Ie nombre de feuillets du revetement fiX' est determine, soit n, i.e. pour tout cE Y', f prend la valeur c exactement n fois.
IlO
SURFACES DE RIEMANN ETALEES
Pour tout xEX, soit /l(f, x) la multiplicite de I en x au sens de 2.2.5 (2). On dira que I prend m lois la valeur cE Y, compte tenu des multiplicites si
m
=
L
/l(f, x).
xEp-'(c)
2.3.2. Theoreme. - Soit f : X -+ Y un morphisme non constant, propre de surfaces de Riemann. Alors, it existe nEN* tel que f prend toute valeur cEY n fois. Dans les notations de 2.3.1, il suffit de verifier que, pour toute valeur critique Co, m=n. Soient p-I(cO)=(XI , ... , x r ) ; kj=/l(f, x) ; d'apres 2.1.5 et 2.2.5 (2), il existe des voisinages disjoints Uj de Xj U= I, ... , r) et des voisinages ~ de Co tels que, pour cE~"{co}, :It(p-l(c)n UJ=kj,j= I, ... , r. D'apn~s Ie lemme 1.2.12 (ii), il existe un voisinage V c v;: n ... n v,: de Co tel que p-l (V)c U1 U ... U U,. Mais, pour tout cEVn Y', on a : DEMONSTRATION. -
:ltp-l(C) = kl + ... +kr = n,
d'ou
m = n.
0
2.3.3. Tout morphisme I de surfaces de Riemann, non constant, propre sera appele un revetement holomorphe a n jeuillets ou nest defini en 2.3.2. Sil n'est pas ramijie, c'est un revetement topologique, on l'appelle un revetement (holomorphe) non ramifie ; sinon, on dit que c'est un revetement (holomOlphe) ramifie. 2.3.4. Remarque. - Sur toute surface de Riemann compacte X, pour toute fonction miromorphe J, Ie nomhre de pOles est igal au nomhre de ziros (comptis avec leurs multiplicitis) ,. en eifet, ce nombre est egal au nombre de feuillets du revetement, en general ramifie, I: X -+pl.
3. Faisceaux 3.1. Preraisceaux 3.1.1. Definition; exemples. - Soit ~ la categorie des ensembles ; les objets de ~ sont les ensembles ; les morphismes de ~ sont les applications. On considerera des sous-categories dont les objets ont des structures algebriques et dont les morphismes sont compatibles avec ces structures. categorie des groupes (abeliens) avec les morphismes de groupes. Soient X un espace topologique, C(f une categorie d'ensembles, un prejaisceau A sur X, a valeurs dans C(f, est une fonction definie sur l'ensemble des ouverts de X, it valeur dans C(f, U-+A(U), ou U est un ouvert de X, A(U)EC(f, possedant les proprietes suivantes : si Vest un ouvert de X, tel que U c V, il existe un morphisme Q~ : A(V)-+A(U) tel que (i) pour tout ouvert U de X, Q~ est l'identite : A(U)-+A(U) ; (ii) si U, V, W sont des ouverts de X tels que U c V c W, alors EXEMPLE:
111
FAISCEAUX
On note souvent un prefaisceau A par (A(U), aD ou u, v designent des ouverts tels que UeV. Ex. : Soit C(U) l'anneau des fonctions continues sur l'ouvert U, alors
at : C(V)
-+
C(U)
est l'homomorphisme d'anneaux defini par restriction a U des fonctions continues sur V ; C est un prefaisceau d'anneaux. Ex. : Prefaisceau d'anneaux des fonctions c= sur une varihe differentielle C= (voir Appendice). A chaque fois que A (U) est un ensemble de fonctions, on a un prefaisceau dans Jequel les morphismes a~ sont definis par restriction des fonctions sur V aU; a cause de cela, on appelle souvent a~ un morphisme de restriction et, pour sEA(V), on pose a~(s)=sIU.
3.1.2. Prefaisceau constant Soit G un groupe (un anneau, ... ) et supposons que, pour tout ouvert U de X, A(U)=G et, pour tout ouvert V contenant U, a~=idG' Le prefaisceau ainsi defini e--classe de f modulo ~' quand U decrit l'ensemble des ouverts de X contenant x et on ecrit Fx= lim G(U). xEU
Ex. : Si X est une variete differentielle (voir Appendice) et G Ie prefaisceau des fonctions c= sur X, alors Fx est I'ensemble (ici I'anneau) des germes de fonctions indefiniment differentiables en X. On va mettre une topologie sur la reunion disjointe F des Fx (xE X) telle que p : F ---X definie par piFx : Fx---{x} soit un homeomorphisme local. Pour tout ouvert U de X, pour tout ~EG(U), soit s~: U --- F
x --- g~(O. On met, sur F, la topologie la plus fine telle que les s~ soient continus, i.e. la topologie engendree par Ies s~(U) pour U ouvert de X et ~EG(U), autrement dit, les ouverts de F sont les reunions d'intersections finies des s~(U). Alors, on verifie que pest continue et est un homeomorphisme local, done (F, p) est un espace etale au-dessus de X, qu'on notera LG. On veri fie que tout morphisme h : G---G' de prefaisceaux definit un morphisme Lh : LG---LG' d'espaces etales et que L est un foncteur PF---E. 3.3.3. Remarque. - Si G est un prefaisceau et (E,p)=LG, alors il existe un morphisme h : G---rcE). Si G satisfait a (F 1), alors lz est injectif ; si G satisfait a (F 1) et (F2) h est surjectif. 3.3.4. Soit G un prefaisceau, on appelle r LG Ie faisceau engendre par G et on verifie (a) si G est unfaisceau, alors rLG est isomorphe a G, (b) si F est un espace hale, alors Lr Fest egal a F.
114
SURFACES DE RIEMANN ETALEES
Cela etablit l'equivalence des categories F et E, en outre on verifie que lesfoncleurs ret L sont adjoints, i.e. qu'il existe une bijection: MorF (G, r F) -+-MorE (LG, F). 3.3.5. Remarques. - 1. Un faisceau A est completement determine quand les A(U) sont donnes sur les ouverts U d'une base de la topologie de X ; en particulier, les U peuvent etre supposes connexes. 2. Dans la pratique et suivant les questions traitees, on considerera un faisceau selon la definition 3.2.1 ou comme un espace etale (3.2.4).
3.4. Faisceaux de groupes, d'anneaux Nous allons traduire, en termes d'espaces etales, la notion de faisceau a valeurs dans une sous-categorie de la categorie des ensembles dont les objets et les morphismes ont une structure algebrique. Pour fixer les idees, on considerera surtout la categorie des anneaux. Soient (F,p), (F',p') deux espaces etales au-dessus de X, on considere Ie sousespace de FX F' suivant, appele Ie produit fibre de F et F' au-dessus de X : FXxF'
= {(x, x')EFXF' ; px = p'x'}.
Des conditions necessaires et suffisantes pour qu'un espace etale soit defini par un faisceau d'anneaux sont les suivantes : I) pour tout xEX, la fibre Fx est un anneau, 2) les applications FX x F -+- F definies par les lois de composition sur chaque fibre sont continues. 3) La section 0 et, si les anneaux Fx sont unitaires, la section I, sont continues. Fest alors dit espace elate en anneaux. Alors les foncteurs L et r sont des isomorphismes fonctoriels entre la sous-categorie des faisceaux d'anneaux et ceIle des espaces etales en anneaux.
3.5. Faisceaux satisfaisant au theoreme d'identite 3.5.1. On dit qu'un prefaisceau F sur un espace topologiqlle X salisfail au theoreme d'identite si, pour tout ouvert connexe YcX et tout couple/; g d'elements de F(Y) teIs que Q~f=Q~g en un point xEY, on a f=g. 3.5.2. EXEMPLE. - Soient X une surface de Riemann et, pour tout ouvert U de X, (l)(U) l'anneau des fonctions holomorphes sur U, aIors si pour tout couple U, V d'ouverts de X, avec UcV, Q~ designe I'homomorphisme restriction : (l)(V) ..... -+- (l) (U), ((l) (U), Q~) est un faisceau (l) dit faisceau des fonctions holomorphes sur X ; en outre pour tout xEX, (l)x est isomorphe a l'anneau des series entieres convergentes en une coordonnee locale holomorphe quelconque z centree en x. Soient YunouvertconnexedeX, xEY,j,gE(l)(Y) telsque (2~f=(2~g; alors,pardefinition de (l)x, il existe un voisinage ouvert W de x tel que flW =glW et, d'apres Ie theoreme d'identite (2.1.2) f=g sur Y.
PROLONGEMENT ANALYTIQUE
115
On definit de Ia meme fac;on Ie faisceau .;/( des fonctions meromorphes sur X (cf. ch. 2, 4.3.4 et 4.4.l). 3.5.3. Theoreme. - Soient X un espace topologique separe et F un prefaisceau sur X qui satisfait au thioreme d'identite. Alors l'espace etale LF est separe. Soient ({JI' ({J2E LF ; ({JI -,c({J2 ; il s'agit d'exhiber deux voisinages disjoints de ({JI et de ({J2 dans LF. (a) Si P(({JI)=X-,cY=P(({J2), puisque X est separe, il existe deux voisinages V de x et V de Y disjoints, alors p-I(V) et p-I(V) sont des voisinages disjoints de CPl et ({J2 respectivement. (b) Si P(({JI)=P(({J2)=X ; pour j=l, 2, soit fjEF(V) un representant de ({Jj' Soient V un voisinage ouvert connexe de x tel que V C VI n V 2 et
DEMONSTRATION. -
Sfj:
V-LF Z
J-->-
jjz =
()~ j
jj ;
par definition de la topologie de LF, Sf. (V) est un voisinage ouvert de ({J j ' SupJ posons qu'il existe t/JEs f1 (V)ns f ,(V) et soit p(t/J)=y/EV, alors t/Jq=i~q=fzq ; F satisfaisant au theoreme d'identite, on a : iIiU=i;IV, d'ou ({JI =(P2' contradiction. 0
4. Prolongement analytique 4.1. Prolongement analytique Ie long d'un arc 4.1.1. Soient X une surface de Riemann, (1) Ie faisceau des fonctions holomorphes sur X, y : [0, I]-X un arc de X d'origine a, d'extremite b ; ({JE(1)a un germe de fonction holomorphe en a. Si rE[O, I] et ((JrE(1),(r)' il existe un voisinage ouvert Vr de y(r) dans X et une fonction holomorphe irE (1) (Vr) telle (}~~)f=({Jr ; y etant continu, il existe un voisinage ouvert ~ de r dans [0, I] tel que y(w.)c Vr • Un germe t/JE(1)b est dit prolongement analytique de ({J Ie long de y si la condition suivante est realisee : il existe une famille (({Jt)t qQ,I] ou ({JtE (1)y(t) telle que : I) ({JQ=({J et ({Jl =1/1
2) pour tout rE[O, I], pour tout tEW., on a (}~hfr=({Jt. 4.1.2. Lemme. - Soient X une surface de Riemann, y un arc d'origine a, d'extremite b et ({JE (9a. Alors les deux conditions suivantes sont equivalentes : (i) t/JE (9b est Ie prolongement analytique de ({JE (9a Ie long de y ; (ii) if existe un relevement y : (O,l)-L(9 de y tel que y(O)=({J et Y(l)=t/J.
(i)=>(ii) : dans les notations de 4.1.1, [O,I]-L(1), est une tl-+({Jt application continue, d'apres la definition de la topologie de L(1) : c'est un relevement y de y satisfaisant a (ii). DEMONSTRATION. -
116
SURFACES DE RIEMANN ETALEES
(ii)==>(i) : on pose CPt=y(t)EllJy(t) ; alors CPo=CP, CPl =t/J ; soient TE[O,1] et V = {e ~f ; xE U} un voisinage de CPt dans LllJ, pour un voisinage ouvert U de I' (T) dans X et une [onction fE (!)(U). Alors il existe un voisinage I¥. de T dans [0, 1] tel que y(l¥.)cV; celaentraine I'(I¥.)cU et cpt=e~t)fpourtout tEl¥.. 0 Si Ie prolongement analytique d'un germe de fonction holomorphe cP Ie long d'un arc I' existe, alors if est determine de faron unique.
4.1.3. Proposition. -
DEMONSTRATION. - D'apres 4.1.2, I' a un relevement y d'origine cpo D'apres 3.5.3 L(!) est separe, donc Ie relevement y est unique (I. 1.4) et Ie prolongement analytique de cP est determine par y. 0
Soient X une surface de Riemann,
4.1.4. Theoreme de monodromie. -
1'0' 1'1 : (0, I)
--+-
X
a
deux arcs homotopes joignant a h. Soient (')'s)sE[O,ll une deformation df> 1'0 en 1'1 et cpE(!Ja un germe ayant un prolongement analytique Ie long de tout arc I's. Alors les prolongements analytiques de cP Ie long de 1'0 et de 1'1 coincident. DEMONSTRATION. - D'apres 4.1.2, pour tout sE[O, 1], il existe un relevement ys de I's tel que 9(0) = cpo L(!) est separe (3.5.3), la conclusion resulte du theoreme de relevement d'arcs homotopes (1.1.5) et de 4.1.2. 4.1.5. Corollaire. - Soient X une surface de Riemann simplement connexe, a un point de X, cpE(!Ja un germe admettant un prolongement analytique Ie long de tout arc d'origine a. Alors if existe unefonction unique fE(!J(X) telle que f=cp.
e;
DEMONSTRATION. - Tous les arcs joignant a a xEX sont homotopes ; cP a Ie meme prolongement analytique t/J x Ie long de tous ces arcs (4.1.4). D'apres 4.1.1, f: X--+-C telle que f(x)=t/Jx(x) est une fonction holomorphe sur X. Si gE(!)(X) sat is fait a e; g=cP, g=f d'apres Ie theoreme d'identite (2.1.2). 0
4.2. Prolongement analytique 4.2.1. Soient X une surface de Riemann, aEX, cpE(!)a, 1'0 et 1'1 deux arcs d'origine a et d'extremite b ; deux prolongements analytiques de cp en b, Ie long de 1'0 et de 1'1' peuvent etre differents. Ex. : a, bE R: c C* avec a. DEMONSTRATION. Pour tE[O, I], soit CPt=P*(QJ(tlf)E(I)poo(t)=(I)y(t). Alors CPo=Cp et CPl =P*(.!.v) = t/!. Si 10E[0, I], puisque p : Y -X est un morphisme non ramifie, il existe des voisinages ouverts V de f>(to) et U de po8(to) resp. tels que plV : V - U soit biholomorphe ; soient q : U-V l'inverse de plV et g=q*(fIV)E(I)(U). Alors, pour tout I'/EV, on a p*(Q:f)=Q~(q)g. II existe un voisinage Uj'o de to dans [0,1] tel que f>(Uj')cV, donc y(Uj')cU. Pour tEUj'o' on a Q~t)g= =P*(QJ(t)f)=cpp i.e. t/! est un prolongement analytique de cp Ie long de y. 0
4.2.4. Theoreme. - Soient X une surface de Riemann, aEX, cpE (90' Alors if existe un prolongement analytique maximal (Y,p,f, b) de cpo DEMONSTRATION. (a) Soient Y la composante connexe de L(I) contenant cp ; p la restriction a Y de la projection L(I) - X, c'est un homeomorphisme local. Alors L(I) etant separe (3.5.3), Yest munie d'une structure complexe telle que p soit holomorphe (2.2.6). On definit f: Y -C com me suit: on sait que tout IJE Y est un germe de fonction holomorphe en p(lJ) et on pose f(IJ)=IJ(p(IJ»). Montrons que f est holomorphe sur Y ; tout 1J0E Y a un representant gE (I) (U) OU U est un voisinage ouvert de p(l'/o) ; alors V = {Q~ (g) ; xE U} est un voisinage ouvert de 1'/0 dans Y tel que Q~(qo)g=lJo et flV=go(plV) est holomorphe : fholomorphe au voisinage de tout point de Y est holomorphe sur Y. Soit b=cp considere comme point de Y, alors (Y,p,f, b) est un prolongement analytique de cpo
118
SURFACES DE RIEMANN ETALEES
(b) (Y, p,J, b) ci-dessus est maximal: soit (Z, q, g, c) un autre prolongement analytique de <po Definissons un morphisme fibre F: Z -+ Y. Pour 'EZ soit x=q(O ; d'apn!s Ie Lemme 4.2.3, Ie germe y/=q*(Q~(g»)E@x est Ie prolongement analytique de
", D* A
D*
commute, avec Pk(Z)=Zk. exp : H ..... D* est Ie revetement universeI, donc il existe un morphisme I/J : H ..... X tel que exp=/oI/J. So it GcRev (HjD*)~Z Ie sous-groupe defini par 1 (theoreme 5.6.2). Alors (i) si G={O}, I/J est biholomorphe et q>=I/J-r, (ii) si G~{O}, il est isomorphe it un sous-groupe propre non reduit it {OJ de Z, donc de Ia forme Zk avec kEN* ; soit g : H ..... D* I'application : zr--.exp (zjk) ; mais z=:z' (mod G) signifie z' -z=2nink ; nEN, donc il existe une bijection q> : X ..... D* telle que Ie diagramme suivant soit commutatif
DEMONSTRATION. -
X-'P-+D*
fl "Z
19
D * +exp -"-H I/J et g etant Iocalement biholomorphes, q> est biholomorphe. g est localement inversible en 'r--.Iog,k ; par composition avec exp : H ..... D*, on obtient D* ..... D*, i.e.h. 0
,..... ,k
Soient X une sur/ace de Riemann connexe, D Ie disque unite et /: X ..... D un morphisme propre non constant qui est non ramijie au-dessus de D*=D"'-{O}. Alors iI existe un entier k et une application biholomorphe q>: X ..... D telle que Ie diagramme suivant soit commutatif :
5.6.5. Theoreme. -
(a) So it X* = 1- 1 (D*), alors IIX* : X* ..... D* est un revetement holomorphe non ramifie it un nombre fini k de feuillets puisque 1 est propre et D* connexe, donc d'apres 5.6.4, il existe un diagramme commutatif DEMONSTRATION. -
oil q>* est biholomorphe.
126
SURFACES DE RIEMANN ETALEES
(b) f-l(O) est forme d'un seul point, sinon f-l(O)={b l , ... , bn }, n-;;a.2 et il existe des voisinages Ji, ... , v,; de bl , ... , bn respectivement, disjoints, et r>O tels que D(r)=B(O, r) soit contenu dans D et
(5.1)
f-l(D(r») c VlU ... UVn
f-l(D*(r») est homeomorphe a p;;l(D*(r»)=D*(rl/k) qui est connexe. Mais bj est un point d'accumulation de f-l(D*(r»), pour j= I, ... , n, i.e. tout voisinage V de bJ rencontre f-l(D*(r»), doncf(V), voisinage ouvert de 0 car fest ouverte, rencontre D*(r), alors bj appartient a l'adherence de f-l(D*(r») qui est connexe, pour j= I, ... , n, ce qui contredit (5.1) si n~2, i.e. f-l(O)=b point unique de X ; (ii) : ",=n*zEt!J(V) et s'annule aux points b" 1=1, ... , m, done it existe kEN* tel que ",k fE t!J(V) ; les fonetions symetriques elementaires de ",kf, soient ZkJ cJ
a
sur U".{a} ont, d'apres (a) une extension holomorphe U, done cJ (j=I, ... , n) a une extension meromorphe U. (ii)=>(i) : II existe kEN* tel que, ZkJ cJ ait une extension holomorphe a U, done ",kf a une extent ion holomorphe a v, car
a
(",kf(y»)" + Zk C1 (X) (",kf(y»)n-l + ... + zkncn(x) d'apres (a), d'ou f a une extension meromorphe
a V.
= 0,
0
6.3. Extension d'un revetement holomorphe non ramifie 6.3.1. Theoreme. - Soient X une surface de Riemann, A un fermi discret de X et X' =X".A. Soient Y' une autre surface de Riemann et n' : Y' - X' un revetement holomorphe non ramijii propre. Alors, n' a une extension en un revetement holomorphe ramijii de X, i.e. if existe une surface de Riemann Y, un morphisme holomorphe propre n : Y -X et une application fihrie hiholomorphe
cp: Y".n-1(A) _ y'. DEMONSTRATION. - On va construire un ensemble Y, reunion disjointe de Y' et d'un ensemble de points, une application n : Y -X, mettre sur Y une topologie telle que n prolonge n' et soit propre, finalement, mettre sur Y une structure de surface de Riemann pour que n soit un morphisme holomorphe propre. (a) Pour tout aEA, soit (za' Ua) une carte de X, centree en a, UaCC X, telle que za(Ua) soit Ie disque unite D de C et que UanA={a} ; soit Ua*=Ua".{a} ; n' etant propre ll'(U:) a un nombre fini, n(a), de composantes conn exes v"t ; 1= I, ... , n(a) ; v"t etant un ouvert de Y', mv"t : v"r-~U: est un revetement non ramifie propre a kal feuillets. D'ap[(!s 5.6.4, il existe une application biholomorphe (al: D* ,
v:.;-
11'1
(6.1)
l 1 Pk al
telle que Ie diagramme (6.1) commute. On considere la reunion disjointe
Y
=
Y'LJ {qal; aEA; I = I, ... , n(a)}
ou les qal sont des points. (b) II existe une topologie unique sur l'ensemble Y telle que, si (~)iEI est un systeme fondamental de voisinages de a dans X, {qal}U {ll'-l(~)nv:.nEI
soit un systeme fondamental de voisinages de qal' aEA et que, pour tout point
Y'E Y', un systeme fondamentaI de voisinages de y' dans Y soit un systeme fondamental de voisinagcs dans Y'.
SURFACE DE RIEMANN D'UNE FONCTION ALGEBRIQUg (c) Alors
n:
129
Y-X y - II'(y)
SI
yEY',
qaz-a est une application continue propre. III Y' est une application holomorphe, en eifet : soient v.;z = v.;7 U {qa} et (aZ Ie prolongement v.;z-D de (a/ : v.;7-D* avec ~a/(qa/)=O ; ~a/ est holomorphe et definit une carte de domaine v.;/ compati ble avec Ies cartes holomorphes de Y', d'ou une structure de surface de Riemr..nn sur Y telle que II soit holomorphe ; en prenant -+X
D'apres 6.4.2, pour tout xEX', il existe un voisinage ouvert U de x dans X' et des n
fonctionsjjE(!)(U),j=I, ... ,n telles que P(T)IU=TI(T-jj), alors n'-I(U)= j~l
n
=
U
[U,jJ] ou [U,jJ]={jJy, yE U} est un ouvert de L(!) et n'I[U,jJ] ; [U,jJ]-U
j~l
est un homeomorphisme, d'apres 3.3.2 et la notation de la demonstration de 3.5.3 ; Y' est une surface de Riemann non necessairement connexe, et c'est un revetement holomorphe non ramifie de X'. Soit j ; Y' -C defini par j(cp)=cp(n'(cp») ; c'est une fonction holomorphe sur Y' satisfaisant, pour tout yE Y', a
D'apres 6.3.1, Ie revetement n' peut etre etendu en un revetement holomorphe ramifie n ; Y-X de X pour lequel Y'=n-I(X'). Les Cj sont definies sur X tout entier ; d'apres 6.2.2,ja une extension FEA(X) telle que 6.5.3. Y est connexe. Ya un nombre fini de compos antes connexes Y;, 1= 1, ... , k pour lesquelles illY; ; Y;-X est un revetement a nl feuillets avec nl=n. En utilisant les fonctions symetriques elementaires de FlY;, on obtient des polynomes P'(T)EA(X) [T] de degre nl tels que;
L
k
peT) =
TI P1(T), 1=1
mais peT) etant irreductible, on a k = I. 6.5.4. L'unicite resulte de 6.3.4.
0
6.6. EXEMPLE So it j(z)=(z-al) ... (z-an ) un polynome a zeros distincts ajEC ; jest une foncLe polynome P(T)=T2-j tion meromorphe sur PI(C) dont Ie seul pole est est irreductible sur A(PI) et definit la fonction algebrique notee Yf(z) dont la 00.
t32
SURFACES DE RIEMANN EtALEES
surface de Riemann Y est definie dans Ie theoreme 6.1.1 avec Ie revetement ramifie II : Y _pl. Soient A={al , ... , an}U{oo} ; X'=PI"A ; Y'=I1- I (X') ; 11'= =111 Y' : Y' -X' est un revetement hoIomorphe non ramifie a 2 feuiIIets. (a) Pour jE[I, ... , n], soit UJ={zEC ; Iz-ak::r} tel que UjnA={aj} ; sur Uj, on a f=(z-a j )h2 (z) ou h(z) est holomorphe sans zero. Posons ,=aj+(}ei8 , (}E]O, r[, alors, d'apres Ie Lemme 6.4.1, pour tout 'E Uj, il existe un germe cp,E(!), I
'8
tel que cp~=f, done (6.2) cp,(O=(}2 e'2 h(O ; soient UJ=Uj,,{aj } et ~*= =11- I (U1), llITj* : ~* - Uj* est un revetement connexe a 2 feuillets, sinon Tj* se decompose en deux composantes conn exes isomorphes a UJ et cp,(aj + (}ei(8 + 2lt»= = cp,(aj + (}e i8 ), ce qui contredit (6.2). (b) Etude au voisinage de 00. Posons '=Z-I et U*={zEC ; Izl>r}= ={O,r'EC, 1'I 1.8.6. Theoreme de de Rham pour d". -
Sur une surface de Riemann X, on a un
isomorphisme canonique HI(X, (9) ~ HI(r(X,
=
8°,*») =
{I-formes Coo de type (0, 1), d"-fermees}/d" {fonctions Coo}
DEMONSTRATION. -
= HO,I(X, C).
La suite de morphismes
(1.13) 00 i est l'inclusion, est exacte parce que les fonctions Coo d"-fermees sont holomorphes et it cause du Lemme du d" (ch. 1, 5.3.2) : (l.I3) est une resolution du faisceau (!J. D'apres 1.8.4, l'homomorphisme j de (l.I0), pour la resolution (1.13), est un isomorphisme. 0
2. Theoreme de finitude 2.1. Theoreme. - Soient X une surface de Riemann et YccX un ouvert. Alors dim HI(Y, (9)-+ nj
X"- U {aJ
>-+
(jEJ)
0.
jEl
L'addition des diviseurs etant definie par l'addition des coefficients, l'ensemble des diviseurs est un groupe additif commutatif Div X qui est ordonne par la relation suivante : si D, D'EDiv X, ou D est defini par (3.1) et D' par n~aj' D",;;;,D'
L
JEJ J
signifie, pour tout jEJ,
nj",;;;,n~.
3.1.2. On a defini Ie diviseur d'une fonction meromorphe sur un ouvert Y de X (ch. 4, 4) ; cela implique la notion suivante : soit fE.A(Y), pour tout aEY, on appelle ordre de f en a, ord a (f) Ie nombre suivant : si f(a)7"'-O, ex> ; k si a est un zero (d'ordre) de muItiplicite k ; -k si a est un pole de muItiplicite k def; ex> si fa est Ie germe nul. Alors, pour fE.A*(X) (ch. 4, 4), Ie diviseur de fest (f)= = L ordx (f)x.
°
xEX
fest dit multiple du diviseur D si (f»D. Tout diviseur d'une fonction meromorphe est dit diviseur principal. Deux diviseurs D et D' sont dits lineairement equivalents si D-D' est principal.
148
SURFACES DE RIEMANN COMPACTES
3.1.3. Diviseur d'une I-forme meromorphe Les I-formes differentieIIes meromorphes (ch. 2, 4.4.2) sur I'ouvert Y constituent un groupe et meme un C-espace vectoriel Jtl(Y) ; pour toute forme w qui n'est ic1 ~n tiquement nuIIe sur aucune composante connexe de Y, pour tout aE Y, pour une carte (z, U) centree en a, wlU=fdz ou fEJt*(U) ; ord a (/) est in dependant de la carte et, par definition, ord a w=orda (f), on appeIIe diviseur de w, Ie divlseur (w) = L (ordx w)x. xEY
Les relations suivantes resultent immediatement des definitions : sur une surface de Riemann connexe X, pour f, gEJt(X)",,-{O} et wE Jtl(X)",,-{O}, on a :
(fg)
=
(f) + (g) ; (f-l)
=
-(f), (fw)
=
(f) + (w).
3.1.4. Degre d'un diviseur
U {aj }(ii) : d'apres 3.5.2 il existe une fonction meromorphe f sur X et, d'apres 6.1.1 du chapitre 5, X est la surface de Riemann de f ; en outre fest la fonction alg6brique definie par un polynome irreductible a coefficients rationnels sur PI(C) de degre inferieur ou egal a g+ 1. 0 3.5.4. Corollaire. morphe a PI(C).
Toute surface de Riemann connexe X, de genre 0, est iso-
DEMONSTRATION. - D'apres 3.5.2, X est un revetement de PI(C) a un seu! feuiIlet, alors Ie revetement est un isomorphisme. 0
152
SURFACES DE RIEMANN COMPACTES
4. Fonctions harmoniques dans un ouvert D de C 4.1. Fonctions harmoniques 4.1.1. Soient x, y les coordonnees reelles dans C et z=x+iy la coordonnee complexe. L'operateur differentiel A =fJ2/fJx2 +f)2ffJy 2 est appele Ie lapladen. Une fonction u : D----C est dite harmonique si elle est C2 et sat is fait a
Au = 0.
(4.1)
A=(~-i~)(~+i~)=4~~, fJx fJy fJx fJy fJz fJz La condition (4.1) est equivalente a Ona:
fJ2 donc A =40 avec 0 = fJz fJz .
fJ2 Ou = fJzfJz u = 0.
(4.2)
On designe par .1t'(D) I'ensemble des fonctions harmoniques dans D ; A etant C-lineaire .1t' (D) est un C-espace vectoriel.
Soit u une fonction C2 a valeur complexe dans D. Alors les deux conditions suivantes sont equivalentes : (i) u est harmonique ; (ii) P=r!Ile u et Q=..?"m u sont harmoniques.
4.1.2. Proposition. -
DEMONSTRATION. -
reelle.
Cela resulte du fait que la condition d'harmonicite (4.1) est
0
4.2. Relations avec les fonctions holomorphes 4.2.1. Proposition. DEMON~TRATION. -
4.2.2. Corollaire. -
To ute fonction holomorphe dans D est harmonique dans D. /E(!J(D) est C 2 et fJ//fJz=O, donc / satisfait
a (4.2).
0
Les parties reelle et imaginaire d'une fonction holomorphe
sont harmoniques. DEMONSTRATION. -
Resulte de 4.2.1 et de 4.1.2.
0
4.2.3. Proposition. - Toute fonction u: D----R harmonique est, au voisinage de chaque point de D, egale a la partie reelle d'une fonction holomorphe definie a une constante additive pres.
u est C2 et satisfait a (4.2), d'apn!s Ie theon!me de Schwarz, fJfJu '1'1) . .. fJz fJz =0, i.e. uu/uzE (!J(D ; alors tout pomt zoED a un vOIsmage sur lequel
DEMONSTRATION. -
2fJu/fJz a une primitive holomorphe conjugue, on a:
f
(ch. 1, 3.3.1). Par passage
dl = 2 (fJujfJz) dz,
a l'imaginaire
FONCTIONS HARMONIQUES DANS UN OUVERT D DE C
153
done..!.. d(f+f)=du, d'ou : u=alef+eonstante ; siJ;. est holomorphe au voisinage 2 de Zo et telle que u=aleJ;. +eonstante, alors pour h=f-J;., on a : ale h est eonstante, i.e.
ee qui implique oh/oz=O, done f-J;. =h est eonstante au voisinage de zoo 4.2.4. Corollaire. sur D. DEMONSTRATION. -
4.2.5. Proposition. -
0
Si D est simpfement connexe, / ci-dessus est hofomorphe
En effet,fest une primitive holomorphe globale (eh.l, 5.4.10). 0 Toute uE.Ye(D) possede fa propr;ete de fa moyenne.
II suffit de supposer u reelle ; u est la partie n~elIe d'une fonetion holomorphefau voisinage de tout disque ferme contenu dans D, d'apres 4.2.4 ; !possedant la propriete de la moyenne (ch. 2,3.1), il en est de meme de u. 0
DEMONSTRATION. -
4.2.6. Corollaire. -
Les elements de .Ye(D) satis/ont au principe du maximum.
DEMONSTRATION. -
D'apres 4.2.5, cela resulte de 3.2 du chapitre 2.
0
4.2.7. Proposition. - Toute uE .Ye(D) est devefoppabfe en serie entiere convergente en (x-x o), (y-yo) au voisinage de tout point zo=xo+iYoED.
°
Compte tenu de du chapitre 8, u etant la partie reelle d'une fonction holomorphe! au voisinage de Zo, la conclusion resulte du developpement en serie entiere de! en (z-zo) au voisinage de zoo 0 DEMONSTRATION. -
4.3. Formule et noyau de Poisson 4.3.1. Soient R(O, R) un disque ouvert de C, Zo un de ses points et u une fonction harmonique sur un voisinage ouvert de S(O, R). A partir de la propriete de la moyenne d'une fonction harmonique, on va etablir une formule integrale exprimant u(zo) a I'aide des valeurs de u sur spt bR(O, R). Considerons la eomposee S' des deux applications biholomorphes suivantes :
R(O, R)
-+
R(O, 1)
-+
R(O, 1)
Zo dont la seconde est un automorphisme de R(O, 1) transformant (o=Ji en
°;
Zo etant fixe, ces applications se prolongent en des applications biholomorphes de
154
SURFACES DE RIEMANN COMPACTES
voisinages ouverts des adherences des disques. L'application reciproque de S' est
S: B(O, 1) - B(O, R) w
>-+-
R(Rw+zo) R+wzo
z = ----:,,----"'-
°
et applique sur Zo ; en outre l'extension de S a Iwl = 1 applique ce cercle sur Ie cercle Izl =R. La fonction uos est harmonique sur un voisinage de B(O, 1), done elle satisfait a la propriete de la moyenne (4.2.5), en particuIier
(4.4)
u(zo)
=
uoS(O)
1
= -2n JbB(O, l) uoS(w) dw
dw ou w=arg w ; sur Ie cercle spt bE(O, I), on a dw= - i - car w=eiro w
de
meme si O=arg z, sur {zE C ; Izl = R}, on a dO= -i dz . z Pour Iwl = 1, dw= dw dO
z
Zo
.[I z zoz) --+ R2 zo] dz= (--+ _ dO Z-Zo -ZoZ Z-Zo zZ-ZoZ
-I
zz-zozo
R2_lzol2 ,,' . IZ-Zo 12 ' d OU, a partIr de (4.4)
1 u(zo) = -2 n
J
=--+-=--=-= IZ-Zo 12 Z-Zo Z-Zo
(4.5)
bB(O,R)
car Izl = R,
R2_lzol2 IZ-Zo"I" u(z) dO.
Soit u une jonctian harmollique dans B(O, R) et continue sur B(O, R). Alors, pour tout zoEB(O, R), on a
4.3.2. Theoreme. -
(4.6)
1 u(zo) = -2 n
R2_lzol2
J
bB(O,R)
IZ-Zo"I" u(z) dO.
Si u est harmonique au voisinage de B(O, R), la formuIe (4.5) donne la conclusion. Sinon, soit rE]O, 1[, aIors u(rz) est harmonique au voisinage de B(O, R) (4.5) entraine
DEMONSTRATION. -
(4.7)
1 u(rzo) = -2 n
J
bB(O, R)
R2_lzol2 1 z - Zo 12 u(rz) dO.
Mais u, continue sur B(O, R) est uniformement continue, done u(rz) converge uniformement vers u sur Izi = R, quand r tend vers 1, d' ou (4.6). 0
a vaIcurs reelles
R2 -l z ol2 Iz- z ol2 dans Ie compIementaire de la diagonale de C X C est appelee Ie noyau de Poisson.
4.3.3. (4.6) est appeIee laformule de Poisson; Ia fonction
a valeurs
Pour toute jonction UE$(B(O, R» tinue sur B(O, R), pour tout zEB(O, R), on a
4.3.4. Corollaire. -
(4.8)
(_ [1 -2 . J
u I,z) -
[ffle
7Cl
bB(O,R)
(
d(] .
+ z- lI(O. r-r .. -
Z
..
reelles, con-
FONCTIONS HARMONIQUES DANS UN OUVERT D DE C
155
Sur spt bB(O, R), on a
DEMONSTRATION. -
1 1 dz En outre - u(z) dO est reel et egal a - . u(z) 2n 2m z en rempla~ant z par' et zo par z, on obtient (4.8). 0
en portant dans (4.6) et
Posons B=B(O, R). Pour I" =R, Ia fonction [] de (4.8) est holomorphe en z, donc u(z) est la partie reelle de la fonction gE (I) (B(O, R»), ou g(z) = Qu(z) avec
1 Qu(z) = 2ni
J bB(O,R)
,+z d, '-z u(OT'
So it maintenant f une fonction hoIomorphe dans B et continue sur 13 ; prenons pour u Ia partie reelle de f : f= u +iv, u et v ni:elIes ; aIors f- g est hoIomorphe dans B, continue dans 13, donc f-g=iK ou K est une constante n~elIe. On a : -if= =v-iu et v=&le Qv(z) ; soit h=Qv(z), aIors &Ie h=v ; &Ie (-if-h)=O entraine -if-h=iH ou H est une constante n~elIe, aIors 2f(z)-g(z)-ih(z) = -H+ iK ; 2f(z) = Qf(z)-H+iK; 2f(0)
=
1. -2 1tl
J
bB
f~O ..
en outre, pour
d(-H+iK =f(O)-H+iK,
z = 0,
i.e. f(O) =-H+iK,
aIors 2f(z) = Qf(z) +f(O) , d'ou 4.3.5. Corollaire. -
Si fE(I) (B(O, R»n CO (B(O, R», aloys, dans B(O, R) 1
1
fez) = -2 f(0)+-4 . 1tl
J bB(O,R)
,+z
d(
-)"-fR sin ~
Iw-8ol0,
f
=
1 -2 n
J
19-901 >-q
(j(8)-f(e o»)P(Rei9 , z) d8. 8
etant continue, et d'apn!s (4.11), il existe '7 tel que 1111 est de degre 0, 0' q>=0 car 0' est de type (-1,0) si q> est de degre 1, on a : q> =
0(
= :z
si q> = dzl\dz, on a o'q>
dz+ Pdz et 0' q> =
(~)dZ.
Alors pour q> de degre 0, on a d" 0' q> =0=0' d" q> pour q> de degre 1,
d" o'q> =
.2.g uZ ~~
a cause du type,
~ (.2. o~) dz oz g oz
= -0' d" q>.
Done, dans tous les cas (d"o'+o'd")q>=O. Mais d'o"+o"d'=d"o'+o'd" et
0'=0. En outre, l'operateur
Ei
est reel, i.e. pour q> reelle, 1 02q>
_
0 q>
est reelle, en effet : si q>
est une fonction reelle 0 q> =0' d' q> =- - - _ ; g ozoz
si q>
est une I-forme reelle, q>=O(dz+adz, on a
Eiq>=~(~ O~)dZ+ oz g oz
0(100() +azOZ dz qui est reelle ;
g
_
02
si q>=dzl\dz, Dq>=d'o'q>= ozoz Alors Ei = 0
( est reelle.
et .1 = 20 .
5.4. Formes harmoniques
Sur une surface de Riemann X, munie d'une metrique hermitienne ds2 , on appelle forme harmonique to ute forme differentielle q> sur Xsatisfaisant a (5.3) Dq>=O, ce qui equivaut a .1q>=o. Toute forme satisfaisant a (5.4)
est harmonique.
d"q>=O ; 0"q>=0
161
FORMES DIFFERENTIELLES HARMONIQUES
5.5. Fonctions harmoniques 5.5.1. Lemme. -
Si fest une fonction Coo sur X, alors
(i) *d'f = id"j, *d"f = - id'j;
(ii)
d *df = 2i d' d"l.
(i) d'/ est une forme de type (1,0), d'apn!s 5.2.4,
DEMONSTRATION. =id' /=id"J;
(ii) d*d/= d*(d'j+d"j) = d(id"J-id'f),
d'apres 5.2.4,
= id' d" J - id" d' J = 2i d' d" J.
5.5.2. Lemme. -
Pour toute coordonnee holomorphe locale
0 Z
de X, on a :
az
2
Af=-~f. g uZuZ
DEMONSTRATION. et la definition de *.
*d'/=
i
A/=a d/= - *d *d/= -2i*d' d"J=( -2i) -
az
n n-
g uzuz
J, d'apres 5.2
0
5.5.3. Proposition. - Dans Ie cas ou X est C, muni de la coordonnee Z et de la metrique hermitienne dz dz, to ute fonction harmonique au sens de 5.4 est harmonique au sens de 4.1.1. DEMONSTRATION. g= 1 et
az 1 ( az/ A/=2 azaz/=2" axz
+ aayZ/ ) . o z
5.5.4. Remarque. - L'operateur A de 5.3.3 est egal a la moitie du laplaeien, note aussi A, defini en 4.1. Dans la suite du nO 5, on notera A l'operateur du nO 5.3.3 et on l'appeIlera lapladen. 5.6. Theoreme. - Dans ~·(X), les deux conditions suivantes sont equivalentes : (i) cp est harmonique, (ii) d"cp=O=a"cp. DEMONSTRATION. - (ii)=>(i) d'apres 5.4. (i)=>(ii): pourtoute cpE2)·(X), ona ((d"a"+a" d")cplcp)=(a"cpla"cp)+(d"cpld"cp), done 0 cp =0 impJique a" cp =O=d" cp, ear 2). (X) est prehilbertien pour (I). 0
5.6.1. Corollaire. satisfaisant a
Si X est compacte, les formes harmoniques sont les formes cp
(5.4)
d" cp = 0;
ou, ce qui est equivalent, (5.5)
a" cp =
0
a
dcp = 0; acp = 0 ou (5.6)
d' cp = 0; a' cp =
o.
0
162
SURFACES DE RIEMANN COMPACTES
5.7. Cas des I-formes differentielles 5.7.1. On note Q1(X) Ie C-espace vectoriel des I-formes differentielles holomorphes et par n1(X) celui des I-formes imaginaires conjuguees, dites antiholomorphes. 5.7.2. Theoreme. -
Soit q>E C1(X), alors leseonditions suivantes sont equivalentes:
(i)
dq> = 0 = oq> ;
(ii)
d' q>
(iii)
q> = 1/11 +1/12 OU I/IIEQl(X) et 1/12EQl(X);
= 0 = d" q> ;
(iv) tout point aEX a un voisinage U dans X sur lequel it existe une fonetion harmoniqueftelle que q> =df dans U.
DEMONSTRATION. - oq>=Oequivauta d*q>=O ; q>=q>1+q>2 ouq>lestdetype(l,O) et q>2 de type (0, I)
*q> = iip1-iip2; d*q> = id'ipl-id"ip2 = i(d"q>1-d'q>2) dq> = d"q>1 +d' q>2 donc (i}~(ii). Dans les notations ci-dessus q> = q>1 + q>2 (ii) equivaut a
d" q>1 =
°= d' q>2'
c'est-a-dire (iii).
(i)==>(iv) : pour tout aEX, d'apres Ie lemme de Poincare, dq> =0 entraine I'existence d'une fonction / sur un voisin age U de a telle que d/= q> ; aq> = equivaut a d/=O, i.e. / est harmonique. (iv)==>(i) q>=d/ sur U, avec / harmonique entraine dq>=O et aq>=a d/=O. 0
a
°
Toute I-forme differentielle reelle a telle que d" a =0 =a" a est la partie reelle d'une I-forme holomorphe bien determinee.
5.7.3. Theoreme. -
DEMONSTRATION. - a =1/11 +1fi2 ou 1/11,1/I2EQ1(X) d'apres 5.7.2 (iii) ; ii=1fi1 + +1/I2=a, donc 1/12=1/11 et a=1/I1 +1fi1 =2:Jlle (1/11)'
Unicite: Si I/IEQ1(X) et :Jlle (1/1)=0 ; localement, d'apres Ie Lemme de Poincare pour les I-formes holomorphes (ch. I, 3.3.1), il existe une fonction holomorphe / telleque I/I=d/; :Jlle (1/I)=P,le d/=d:Jlle/=O, donc :Jlle/ est constante; comme / est holomorphe, / est constante, d' ou 1/1 = 0. 0
5.8. Espace des formes harmoniques pour X compacte 5.8.1. Une fonction harmonique sur X satisfait au principe du maximum, donc elle est constante. 5.8.2. Soit q> une 2-forme harmonique sur X, alors il existe une fonction 1/1 sur X telle que q> = *1/1 ; q> etant harmonique, alors a" q> = 0, i.e. *d" 1/1 = la fonction 1/1 est holomorphc, donc harmonique, i.e. constante. L'operateur * est un iso-
°;
163
FORMES DlFFERENTIELLES HARMONIQUES
morphisme ; done l'espaee des 2-formes harmoniques, si X est connexe. el-ot isomorphe it C. 5.8.3. Soit #1(X) Ie C-espaee veetoriel des I-formes difTercnticlles cp tcllcs que d l cp=0=8"cp ; puisque X est compacte, c'est I'espace des I-formes harmoniqucs (5.4 et 5.5). 5.8.4. Theoreme. - Si X est compacte, de genre g, alors (5.8) .1{'l(X)=.Ql(X)ffi ffinl(X) ou la somme directe est orthogonale et dim.Yt'1(X)=2g. DEMONSTRATION. -
=H°ol(X,
(5.8) resulte de 5.7.2 (iii) ; en outre .Q1(X)=HO(X, n 1)"" lP) de dimension g d'apn!s 1.8.6. 0
C)~H1(X,
5.9. Decomposition orthogonaJe ; tbeoreme de Hodge 5.9.1. Lemme. - Si X est compacte, dC(X) et "dC(X) sont orthogonaux dans C1(X) et d8(X)ffi*d8(X)=d' C(X)ffid" C(X). DEMONSTRATION. -
Soient J, gEC=cff(X),
(djl*dg) = !xdjA **dg= - !xdjAdg= - Jxd(fdg) = 0 (ch.1,2.5.4). Soit dj+*dgEd0"ffi*d0", d'apres 5.5.1 (i), *d'g=id"g ; *d"g= -id' g, d'ou dj+ + *dg=d'(j-ig) + d"(f+ig). 0 5.9.2. Lemme. - Si X est compacte d" 8(X) et Co.l(X)=d" C(X)ffinl(X). Soient jEC(X) et I/JE.Q1, =-ijxI]iAd'J=ijxdUI]i)=O; d'apres 1.8.6,
DEMONSTRATION. -
Hl(X, lP) ~ HO.1(X, C)
nl(X) sont orthogonaux et alors
= C0. 1 (X)/d" C(X)
~
(1]iId"j)=jxI]iA*d"j= HO(X,
n1),
sous-espaee de 0"0.l(X). Alors Ia suite exacte O-+d"C(X)-+0"O.l(X).J" HO(X, 0 1)-+0, ou i est I'inclusion, est seindee ; done CO.l(X) ~d" cff(X)6JHO(X, nl).
0
5.9.3. Theorcme. - Si X est une surface de Riemann compacte, on a la somme directe orthogonale
DEMONSTRATION.
et Ie passage it I'imaginaire conjugue = d0"(X)ffi*d8(X)ffi#1(X), d'apres 5.9.1 et 5.8.4.
Mais 0"(X) =*8 2 (X)
5.9.4. Proposition. -
et *d0"(X)
=
*d *0"2 (X)
= 88 2 (X). 0
On a Zl(X)=Ker (Cl(X) ~... 82(X) )= Jffl(X) + d8(X).
164
SURFACES DE RIEMANN COMPACTES
DEMONSTRATION. - Z1(X):::JJlf1(X)+dO"(X) ; d'apres 5.9.3, il suffit de montrer que Z1(X) est orthogonal a 00"2(X) : soit cpEZ1(X), t/lE0"2(X), alors (cplot/l)= = (dcplt/l) =0. 0 5.9.5. Theoreme (Hodge). H1(X, C):::::::~1(X).
Sur une surface de Riemann compacte X, on a :
DEMONSTRATION. - D'apres Ie theoreme de de Rham (1.8.5) et 5.9.4, on a H1(X, C):::::::Z1(X)jdO"(X):::::::Jlf1(X). 0
5.9.6. b 1(X)=dim H1(X, C) est appele Ie premier nombre de Betti de X ; il est conserve par homeomorphisme, i.e. c'est un invariant topologique. D'apres 5.9.5, b1(X)=dim Jlf1 (X) =2g, d'apres 5.8.4. Done Ie genre d'une sUrface de Riemann compacte X est un invariant topologique ; en outre Ie premier nombre de Betti de X est pair.
5.9.7. Theoreme. - Sur une surface de Riemann compacte X, Ie theoreme de decomposition en somme directe orthogonale et Ie theoreme de Hodge sont valides en dimension 0 et 2 et s'enoncent ainsi : (i) @"O(X)=~O(X)EBO@"1(X) ; @"2(X)=~2(X)EBd @"1(X) (ii) HO(X, C):::::::~O(X) ; H2(X, C):::::::~2(X) ; si X est connexe, ces espaces sont isomorphes a c. DEMONSTRATION. -
L'application lineaire
.i : 0"0 (X) ----00"1 (X) est surjective, en
u>-+o du=L1u effet, si VE0"1(X), on a : v=h+dw+os ou h est harmonique, alors ov=o dw ; done on a la suite exacte scindee
ou i designe I'inclusion, d'ou (i) et (ii) pour Ia dimension 0, compte tenu du fait que ZO(X) est orthogonal a 00"1(X). On obtient Ies resultats en dimension 2 a l'aide de l'isomorphisme *. La derniere assertion resulte de 5.8.1 et 5.8.2. 0
6. Formes differentielles abeliennes ; theoreme d'Abel 6.1. Formes abeliennes Soit X une surface de Riemann compacte. Toute forme differentielle meromorphe de degre I sur X est appelee une forme differentielle abelienne.
165
FORMES DlFFERENTIELLES ABELIENNES
6.1.1. Le faisceau d Jt Tout element Ilx de Ax a un representant defini sur un voisinage ouvert connexe U de x de la forme f OU J, gE (r)(U). Dans U,""Z(g), fest holomorphe et g g
d (f) g
(6.1)
=
gdf-fdg
g2
est holomorphe dans U,""Z(g) ; d'autre part, Ie second membre de (6.1) est une I-forme meromorphe definissant un element de A; independant du representant
f
-
g
de Ilx' qu'on notera dllx ; il est clair que les germes de I-formes meromorphes
dll x ; IlxEAx ; xEX, constituent un sous-faisceau de Al et que d: A -dA est un morphisme de faisceau.
En outre si d
(~)
ci-dessus est nul sur U, la fonction
~
holomorphe dans
U,""Z(g) est constante et a un prolongement constant a U puis que Z(g) est discret. Autrement dit, Ie faisceau constant C sur X est un sous-faisceau de .$let, d'apres Ie raisonnement ci-dessus, la suite de morphismes de faisceaux (6.2)
o-
C - A ~ dA - 0,
OU la seconde fleche designe l'injection canonique, est exacte. 6.1.2. Toute forme wEAl(X) est d'-fermee, car elle est de type (1,0). En outre, en dehors de son ensemble polaire, elle est holomorphe, donc d-fermee. Soient a un pole de w et (z, U) une coordonnee holomorphe locale centree en dz a, alors on a vu (ch.2, 5.1.1) que, pour U assez petit, w/U=Res a w-+dg ou g z est une fonction meromorphe sur U, dont Ie seul pole est a. Les formes abeliennes sont dites de premiere espece si elles sont holomorphes de seconde espece si, localement, ce sont des differentielles de fonctions meromorphes ; de troisieme espece dans les autres cas. Les formes de premiere espece sont les sections de Ql ; celles de seconde espece les sections de dA ; les residus en leurs poles sont nuls, i.e. leurs poles sont d'ordre deux au moins. D'apres Ie lemme de Poincare, on a l'inclusion canonique Ql_dA. 6.1.3. Theoreme. -
II existe un isomorphisme canonique :
autrement dit, l'espace vectoriel des formes ahiliennes de seconde espece, modulo les differentielles de fonctions meromorphes, est isomorphe a Hl(X, C) ; en particlllier sa dimension est 2g, OU g est Ie genre de X.
166
SURFACES DE RIEMANN COMPACTES La suite exacte de cohomologie definie par (6.2) est
DEMONSTRATION. -
... -HO(X, JI)...!+ HO(X,dJl) - Hl(X, C) - Hl(X, JI) - .... D'apn:s Ie Corollaire 8.6.2 qui sera demontre independemment, on a HI (X, JI) =0 ; la derniere assertion resulte du theoreme de Hodge (5.9.5) et de 5.8.4. 0 6.1.4. Corollaire. - Sur Pl(C), to ute forme abelienne de seconde espece est la diffirentielle d'une fonction meromorphe glohale. Le genre de PI(C) est 0 (2.2.3), done, pour
DEMONSTRATION. -
X = PI(C), HO(X, d.$l)/dHO(X, A) = O. 6.1.5. Proposition. nulle.
0
Sur PI(C), toute forme abelienne de premiere espece est Pour X=p 1 (C), d'apres 8.5.1 ci-dessous, on a
DEMONSTRATION. -
HO(X, Ql)
=
Ql(X) ;: : : Hl(X, l!J)
dont la dimension est Ie genre de X, qui est nul.
0
6.2. Theoreme d' Abel
6.2.1. Donnees Soient X une surface de Riemann compacte, connexe, T=Pl(C), considere comme espace du parametre t, !: XXT-Pl(C) une application holomorphe au sens de 6.4.2 du chapitre 7 teIIe que, pour tout tET fixe, z>-+ft(z)=!(z, t) soit une application holomorphe non constante ; d'apres (ch. 2, 4.4), ft est une fonction meromorphe non constante sur X. Pour t fixe, ft : X - Pl(C) est un revetement ramifie a nt feuiIIets pour un certain ntEN* (ch. 5, 2.3.2). Soient AteX l'ensemble (fini) des points de ramification deft et 1'; = plVr (At). On considere une forme abelienne (J) sur X et un point fixe zoEX. Soient Zt(!)= =,~ + ... +,~, Ie diviseur des zeros de ft, chaque zero apparaissant un nombre de fois egal asa muItiplicite et Ct une I-chaine differentiable de X teIIe que bCt =Zt(!)-ntzO et que (spt ct"'-.spt bCt) ne rencontre pas AI' ni l'ensemble des poles de w. La fonction u( t) = c, (J) est definie a I'addition pres d'integrales de (J) sur des I-cycles de X, appelees periodes de (J) et qui sont independantes de t ; u(t) est appelee une somme abelienne, relative a la forme (J).
f
6.2.2. Trace de
(J)
On construit la forme differentielle at> appelee trace de (J) sur PI(C) comme suit. Pour tout yE 1';, il existe un voisinage ouvert connexe V de y dans 1'; tel que f,-I(V)
= UI U ... U Un. e X,
FORMES DIFFERENTIELLES ABELIENNES
167
ou les Uv (v= I, ... , nt ) sont des ouverts connexes, disjoints, de X et IrIUv est biholomorphe ; soit qJ; =(lrl Uv)-l : V ...... Uv' Par definition, sur V, (1't
Uv ...... V
= qJt1* ro+ ... + qJt'n* roo
6.2.3. Propriites
(I) La continuite de f en t entraine que Pl(C) ...... N* est localement constant t ........ nt Pl(C) etant connexe il existe nEN* tel que, pour tout t, nt=n. (2) Pour t fixe, les formes (1't relatives it des ouverts V differents, d'apn!s leur definition, se recollent en une I-forme meromorphe globale sur Y, notee aussi (1't. En outre, en utilisant les fonctions symetriques elementaires, par Ie raisonnement de (ch. 5, 6.2.2), on verifie que (1't a une extension meromorphe it PI(C) notee encore (1',. (3) Considerons la fonction
4J : XXTXPI(C) ...... C (z, t, w) ........ fez, t)-w it valeurs au voisinage de 0 ; il s'agit de trouver localement une fonction z(w, t) telle que 4J(z(w, t), t, w)=O, i.e. j(z(w, t), t)-w=O.
Remarquons que (6.3)
~~
(z, t, w)=
:~ (z, t)
et que, pour t fixe, d'apres 6.2.1,
l'ensemble LIt des zeros de (6.3) est fini. D'apres Ie theoreme des fonctions implicites applique it 4J = 0, au voisinage de
:~ (zo, to):',oO,
(zo, to, wo) tel que f(zo, to)=wo et
il existe des voisinages ouverts
connexes A, B, C de zo, wo, to dans X, PI(C), T, respectivement et une fonction holomorphe qJ : BXC ...... A teIIe que f(qJ(w, t), t)=w. De plus, compte tenu de 6.2.1 et de (I), pour B et C assez petits, il existe des ouverts A. connexes, disjoints, de X, tels que f-I(BXC) = Al U ... UAv et que fIAvXC: A.XC ...... B soit une application holomorphe et il existe des applications holomorphes qJv: BXC ...... A.
satisfaisant it f(qJ'(w, t), t)-w=O dans BXC et, pour tout tEC fixe, qJV(w, t)=qJ; definie en 6.2.2. n
(4) La forme differentieIIe
L qJv*ro
est une I-forme meromorphe en w et v=l t, au sens du Chapitre 7, au voisinage de (wo, to). Comme en (2) ci-dessus pour (1'" les formes (1' definies localement se recollent en une forme notee encore
(1'
sur
(1'=
PI(C)X~{(W' t)
de plus, de fac;on analogue it (2) ci-dessus, differentielle meromorphe.
(1'
; :3zEX ; fez, t)=w ;
:~ (z, t)=o}
;
s'etend it PI(C)XT en une I-forme
168
SURFACES DE RIEMANN COMPACTES
6.2.4. Theoreme d' Abel differentiel. - Dans les notations de 6.2.1, du est une I-forme differentielle meromorphe sur T.
°
DEMONSTRATION. - Soit to qu'on peut supposer etre dans un domaine de carte de T. Dans les notations de 6.2.3, on designe par ZV une coordonnee locale hoIomorphe sur X centree en ,~ ; on a : ) • d z v -_ ocpv ( )d ocpv ( )d ow w, t w+Tt w, t t.
V(
v _
z - cp w, t ,
Au voisinage de alors (J
=
,~,
on a w=gv(ZV) dz v, oil gv est une fonction meromorphe
L cpv*w = L gv(cpV(w, t)) (0uW 'lCP n
v
v
(w, t)dw+
v=l
qui est une I-forme meromorphe en t.
0~
v
ut
)
(w, t) dt ;
D
6.2.5. Discussion suivant I'espece de w
(i) w de premiere espece : alors (J est une I-forme holomorphe et du est de premiere espece sur T, donc nulle, d'apres 6.1.5 : Ia somme abelienne u(t) est constante, aux periodes de w pres. (ii) w de seconde espece : alors, localement sur X, w = dh oil h est une fonction meromorphe en z, t, definie localement sur Xx T ; il en est de meme de (J et de dU=(J(O, t) ; alors du est une forme abelienne de seconde espece sur T( =pl(C)) ; d'apres (6.1.4), il existe gEA(T) telle que du=dg, oil g est une fonction meromorphe, donc rationnelle sur T ; u est une fonction rationnelle sur T, dejinie Ii l' addition pres des periodes de w. (iii) w de troisieme espece ; alors la forme abelienne du peut etre de troisieme espece sur T, i.e. avoir des poles a residus non nuls et u(t) est somme d'une jonction rationnelle et du logarithme (a plusieurs determinations) d'une fonction rationnelle, Ii l' addition pres des periodes de w. Les conclusions (i), (ii), (iii) constituent la forme integrale du theoreme d' Abel.
6.3. Reciproque du theoreme d' Abel pour les formes de
r e eSpfce
6.3.1. Theoreme (Abel). - Si D est Ie diviseur d'une fonction meromorphe g sur une surface de Riemann compacte X, alors if existe une I-chaine differentiable c sur X telle que bc=D et que, pour toute wE Ql (X), on ait !ew=O. DEMONSTRATION. -
1 Considerons la fonction f(., t)=(l-t)g+t- ; tEe g
on a
FORMES DIFFERENTIELLES ABELl ENNES
169
1 f(.,O)=g ; 1(.,1)=-, (g)=ZOU)-ZIU), D'apres 6.2.5 (i), fc o w- fc, W= g =f Co - C1 w=O ; mais b(cO-cI)=(g)=D, ce qui etablit 6.3.1. 0
6.3.2. Voici une demonstration directe de 6.3.1, dont l'avantage est de ne pas utiliser Ie parametre tE T. Dans les notations de 6.2.1 et 6.2.2, pour la fonction 1= g, n
independante de t, en designant par -(!JE' Pour toute CPE(!JE(U),j=cp!/J-IEA/(U) et (f)~ -DI U, doncj est surjectif. L'isomorphisme j exprime l'isomorphisme du fibre defini par D et de E. D DEMONSTRATION. -
DUALITE DE SERRE
175
7.5.5. Fibres duaux
Soit E un fibre holomorphe en droitcs sur une surface de Riemann V. de fonctions de transition (jjk) pour un recouvrement ouvert convenable '1Ji =( Uj}J( 1 de V. I! est clair que l'ensemble des formes lineaires des fibres de E est un fibre vectoricJ holomorphe dont les fonctions de transition sont (.0,/) ; on Ie designe par E' et on l'appelle (fibre) dual de E. Si X est compacte et si E est defini par Ie diviseur D de X, alol's E* est definipar -D. 7.5.6. Remarque. - Si X est compacte, tout thCoreme sur les diviseurs de X se traduit, d'apres 7.5.4, en un theoreme sur les fibres holomorphes en droites sur X et reciproquement. II en est ainsi du the ore me de Riemann-Roch (3.4).
8. Dualite de Serre et applications Dans ce numero on suppose que X est une surface de Riemann compacte.
8.1. La forme Res Soit j I'isomorphisme canonique HI(X, QI)-+HI.I(X, C) (1.8.6) ; par definition HI.I(X, C)=t&'I.I(X)jd" t&'1.O(X)=t&'2(X)jdt&'I.O(X). L'integrale sur X d'un element de dt&'I.O(X) est nulle (comme cela se deduit sans peine de 2.5.4 du chapitre 1), done, pour tout ~EHI. 1 (X, C), l'integrale sur X d'un representant W de ~, ne depend que de ~, on Ie notera f x ~ ; alors
J
1. Res = -2 oj: HI (X, Q1) -+ C m x est une forme C-lineaire.
8.2. La forme res 8.2.1. Soit flElJO(X, .${ljQ1) : pour un recouvrement ouvert 1f/!=(Uj)jEI assez fin de X, fl provient d'une O-cochaine (wj)ECO(If/!, .${1) telle que, sur uJn Uk 7"'0, Wj-Wk=ajkEQ1(UjnUk)' Soit aEUj un pole de Wj' de residu Resa(wj ) ; si aE ujn Uk' comme Wj-Wk est holomorphe sur ujn Uk' Res a (Wk) = Res a (Wj) on pose res a fl=Res a (Wj) et res (fl)
=
L resaCfl).
aEX
La definition de res (fl) est independante de If/! et res : HO(X, J{ljQl)-+C est une forme C-lineaire.
176
SURFACES DE RIEMANN COMPACTES
8.2.2. Theoreme. - Dans les notations ci-dessus, pour tout JlEHO(X, vltl/QI), en design ant par [-+
wi
induit un homomorphisme h: HO(X,
Q~D)XHI(X,
(fJD) _ Hl(X, QI)
comme suit: pour tout recouvrement ouvert "It=(Uj)jEJ de X, soit wEr(X, Q~D) et (~k) un representant de ~EHI(X, (fJD) ; (!jk)EZ 1 ("It, (fJD) est defini a un cobord pres (fj-jk)' alors Wjk=!jkW satisrait a Wjk+Wkl+Wlj=O et est defini au cobord
177
DUALITE DE SERRE
pres (fjro-hro), donc definit un element bien determine de H1(X, Q1) qui est h est une application C-bilineaire. L'application Resoh notee (ro, ~>. HO(X, Q~D)XH1(X, (f}D) -- C
h(ro,O par definition
est une forme C-bilineaire. Alors, pour ro fixee, C-lineaire, d'ou l'application C-lineaire
U(J) : ~>-+(ro, ~>
est une forme
lD : HO(X, Q~D) -- H1(X, (f}D)*
8.3.3. Lemme. -
lD est injective.
DEMONSTRATION. - So it O""roEHO(X, Q~D)' on va construire ~EHI(X, (!)D) tel que (ro, ~>""O. Soit aEX tel que D(a)=O et (UO, z) une carte centree en a telle que DIUo=O. Alors rolUo=/dz ou IE (!)(Uo)' Pour Uo assez petit, IIUo",,{a} n'a pas de zero. Posons U1=X",,{a} et OU=(Uo, U1). On choisit fJ=(/O.JI)ECO(OU, A) tel que /0 = (Z/)-l etj~ =0; alors rofJ =(Z-I dz, O)ECO(OU, AI) et res (rofJ) = 1 ; c5fJEZI(OU, (!)D)' Prenons ~ = [c5fJ]E HI(X, (!)D)' On a : ro~ =ro· [c5fJ] = [c5(rofJ)] et (ro, O=Res (wO= =Res ([c5(wfJ)])=res (WfJ) = 1. 0
8.3.4. Le diviseur d'une I-forme meromorphe on dit que c'est un diviseur canonique.
W "" 0
sur X a ete defini en 3.1.3,
Deux diviseurs canoniques sont lineairement equivalents.
8.3.5. Proposition. -
DEMONSTRATION. - Si WI' w 2 EA1(X)",,{0}, dans tout domaine, assez petit, U d'une carte z, on a roj=jj dz ou fjEA*(U), j= 1, 2 ; si (z', U') est une autre carte, wjIU'=ljdz' ; aIors sur UnU'",,0, on a fjdz=ljdz', j=I,2, donc fr' ·fr-1 =1; 'j2-1, d'ou fr' ·1;-1 =!r -J~-I. II existe IEA*(X) telle que IIU=!r ',h-r, donc (WI)-(W2)=(f)· 0
8.3.6. Corollaire. -
Les diviseurs canoniques de X ont tous Ie meme degre.
0
8.3.7. Soient wE Al (X)",,{O}, K Ie diviseur (canonique) de w, alors
1>-+Iw est un isomorphisme de faisceaux. Dans Ia suite, on notera dg D Ie degre du diviseur D. 8.3.8. Lemme. de X, on ait
II existe une constante koE Z telle que, pour tout diviseur D dimHO(X, Q1) ~ dg D+ko'
DEMONSTRATION. - Soient g Ie genre de X et K un diviseur canonique ; d'apres Ie theoreme de Riemann-Roch (3.4) et 8.3.7, on a dim HC(X, Q1) = dimHO(X, (f}D+K) = dimH1(X, (f}D+K)+I-g+dg(D+K) ~ dgD+ko,
avec ko=I-g+dgK.
0
178
SURFACES DE RIEMANN COMPACTES
8.3.9. Soient D, D' deux diviseurs de X tels que D' < D ; l'incIusion
°-
{!}D' - {!}D
induit la suite exacte HI (X, {!}D,)-HI(X, (!}D)-O, d'apn!s (3.3.6), d'ou Ie monomorphisme if; du diagramme commutatif de suites exactes
o .... HI(X, (!}D)*
ig,.... HI(X,
0- HO(X, Q~D)- HO(X, 8.3.10. Lemme. -
Pour tout AEHI(X, (DD)*
(!}D')*
Q~D.).
et pour wEHO(X, Q:'D')
tels que
ig,(A)=ID'(W), on a : wEHO(X, Q:'D) et A='D(W).
DEMONSTRATION. -
Exercice.
D
8.4. Theoreme de dualite de Serre. - Sur toute surface de Riemann compacte X, pour tout diviseur D de X, ['application lD: HO(X, Q~D) - HI (X, (DD)* est un isomorphisme de C-espaces vectoriels.
8.4.1. DEMONSTRATION. - Compte tenu de 8.3.3, iI suffit de montrer que tout AEHI(X, (!}D)* est dans I'image de 'D' Soit P un point de X ; pour tout nEN, on pose Dn=D-nP. Pour tout Ij;EHO(X, (!JnP), Ie morphisme de faisceau (!J Dn ..!!!..:.... (!JD
induit une application C-lineaire notee aussi Ij;. HI(X, (!JD)..!!!..: .... HI(X, (!JD)'
d'ou, par transposition, une application C-lineaire tlj;. : HI(X, (!JD)*-HI(X, (!}D)* ; par definition de Ij;., pour tout ~EHI(X, D II ), on a tlj;.Am=A(Ij;.~). n 8.4.2. Lemme. -
tlj;. est injective.
DEMONSTRATION DU LEMME. - (Ij;) etant Ie diviseur de Ij;, on a (Ij;);;;. -nP ; Ie morphisme de faisceau Ij;. se factorise en (!JDn ~ .... (!JD+(I/Ij.1.· (!}D ou j est un isomorphisme et k, induit par D-nP~D+(Ij;) est injectif ; aIors, d'apn!s 3.3.6, HI(X, (!JD)-HI(X, (!JD+(I/Ij) est surjectif ; iI en est de meme de Ij;. et tlj;. est injective. D 8.4.3. SUITE DE LA DEMONSTRATION DE 8.4. A
=
D'apres 8.4.2,
{tlj;.A ; Ij;EHO(X, (!}np)}
C
HI(X, (!}D)*
est isomorphe a HO(X, (!}nP) ; d'apres Ie theoreme de Riemann-Roch (3.4), g etant Ie genre de X, on a : dim A
= dimHO(X, {!}nP);;;"
l-g+n
179
DUALITE DE SERRE
ID etant injective (8.3.3), on a : dim Im (ID )=dim HO(X, Q~D »ko+n-dgD, d'~pres Ie lemme 8.3.8. n n Pour n:>dgD, on a dgD" -2g-2, on a HI(X, (9D)=O. DEMONSTRATION. - Soit K un diviseur eanonique, alors (8.3.7), Q~D~lPK-D et HI (X, lPD)*~HO(X, Q~D)~HO(X, lPK- D) d'apres 8.5.2. La condition dgD>-2g-2 entraine dg(K-D)-2g-2 tel que (/;j)EZ I (!l/t, lPD). D'apres 8.6.1, (/;) est un eobord du reeouvrement!l/t relatifa lPD' done a vii. 0
DEMONSTRATION. -
8.6.3. Indice de specialite On appelle indice de specialite du diviseur D Ie nombre i(D)=dim HI (X, (!JD) de sorte que Ie theoreme de Riemann-Roeh (3.4) s'eerit
8.6.4. Theoreme. (i)
L'indice de specialite ales proprietes suivantes :
i(D»O;
(ii)
si
dgD-
ooa:
2g-2,
00
i(D)=g-l-dgD; a
i(D) = O.
DEMONSTRATION. -
(ii) et (iii) resultent de 3.2.3 et de 8.6.1 respeetivement.
8.6.5. Theoreme. -
Soit D un diviseur de degre >2g sur une surface de Rie-
0
181
DUALITE DE SERRE
mann compacte X, de genre g. Alors, pour tout xEX, if existe /EHO(X, (!JD) tel que
(8.1)
DEMONSTRATION. -
La condition (8.l) equivaut a ordx(f) = -D(x).
(8.2)
Pour tout xEX, soit D' Ie diviseur defini par D'(y)
=
{
D(Y) ;
Y T'" x
D(y)-I;
y
=
x.
D'apres 8.6.4, i(D)=i(D')=O ; d'apres Ie theoreme de Riemann-Roch dim HO(X, l!JD)
dim (X, l!JD.)+ 1,
=
done il existe jEHO(X, l!JD)",HO(X, l!JD') ; alors ordx (f) = -D(x).
0
8.7. Plongement projectif d'une surface de Riemann compacte 8.7.1. Espace projectif complexe
On designe par Zo, Zl' ... , ZN Ies coordonnees dans CN+1 . Dans CN+1",{O} on considere la relation ~ suivante : (zo, ... , ZN)~(Z~, ... , z~) signifie : il existe AEC* tel que Z;=AZj' j=O, 1, ... , N ; ~ est une relation d'equivalence. On designe par pN=pN(C) l'espace topologique quotient CN+l",{O}/~; on note (zo:.,,:ZN) la classe d' equivalence de (zo,.'" ZN) ; comme dans Ie cas N = 1, pN est un espace separe compact muni d'un atlas analytique qui en fait une variete analytique complexe de dimension N (voir ch. 7,6.4). On pose Uj={(zo: ... :zN)Epn ; zjT"'O}. Soit ({Jj : Ur-CN /'--
(zo : ... : ZN) >---+ (zilzo, ... , zi 1Zj' .. . zi1zN) (({Jj)j=O ..... N est un atlas analytique de pN.
8.7.2. Soit X une surface de Riemann compacte, une application continue F : X -+ pN est dite analytique complexe ou morphisme si pour tout jE[O, ... , N], Fj
=
(Fjl' ... , F jN )
=
({JjoF: F-1(U)
-+
CN
ou Fjk est une fonction holomorphe definie sur l'ouvert F-l(Uj ) de X a valeurs dans C. Fest appelee une immersion si pour tout xEX, et pour j tel que xEF-l(Uj ), il existe kE [1, ... , N] tel que dFjk T'" alors d'apres Ie theoreme des fonctions implicites F(X) est, au voisinage de x, une sous-variete analytique complexe de dimension 1 de pN, c'est-a-dire l'ensemble des points annulant N -1 coordonnees locales holomorphes. Fest appele un plongement si c'est une immersion injective,
°;
182
SURFACES DE RIEMANN COMPACTES
8.7.3. La donnee de (N+ I) fonctions meromorphes ijEA(X),j=O, I, ... , N, defi-
nit un morphisme
F
=
(10 : h: ... : IN)
: X -.. pN
comme suit pour tout point xEX, soient (z, V) une carte holomorphe de X centree en x et k =. min ord x (I) ; alors J~ =Zk gj ou gj est holomorphe au voisiJE[O, ... , N] nage de x et l'un des gj(x) est non nul. Par definition F(x) = (go (x) : ... : gN(X)) ; F(x) ne depend pas du choix de la coordonnee locale. En outre si gj(x)~O, au . . dex, Fj = (go, vOIsmage gj
gj gj
gN) . gj
... , - , ... , -
8.7.4. Theoreme. - Si D est un diviseur de degre >2g+ 1 d'une surface de Riemann compacte X, de genre g et si /0, .. .,fN est une base de HO(X, (I)D)' Ie morphisme
est un plongement.
DEMONSTRATION. - (a) Fest injectif : Soient x o, D' Ie diviseur de X tel que :
Xl
deux points distincts de X et
D(X), x ~ Xo D'(x) - { - D(x)-I; X=X o dgD' ;;;;.2g entraine (8.6.5) : il existe IEHO(X, ordx1 (I)
(8.2)
(l)D')
tel que
= -D(xl )
ord xo (I) ;;;;. -D(xo) + 1
(8.3)
I appartient aussi
a
N
HO(X,
(l)D),
i.e. 1=
L Ajij j=O
; AjE C.
Soient (ZI' Vj) (/=0, I) deux cartes locales centrees en x o, Xl resp. et k , = = iqford x, (ij)= -D(x,), 1=0, I ; on a Jj=i;,lglj et l=z~lg, au voisinage de x, ; J g'j, g, etant holomorphes pour 1=0, I ; j=O, ... , N. Alors (8.7.3) N
F(x,)
= (glO(X,) : ... : g/N(x,») et
L Ajglj(X,) = g,(x,)
j=O
et d'apres (8.2) et (8.3), go(xo)~O et gl (Xl) = 0, d'ou F(XI)~F(xo)· (b) Fest une immersion. D'apres 8.6.5, il existe J'EHO(X, (l)D') tel que
J' appartient aussi
a HO(X, (l)D),
N
donc J' =
L A;Jj
j=O
Soit k=inford = -D(xo) x 0 (fJ.) j .
ij = ~gj;
f'
= ~g.
; A;E C.
DUALITE DE SERRE
183
Soit jo tel que gjo(xo)?,oO ; apres ehangement de numerotage, supposons jo=O. Alors, au voisinage de XO, Fo=%oF : F-l(UO)--C N (notations de 8.7.2) est
et
i
, N , gj g '. LNAjF oj = L Aj-=--Ao ' j=l
j=l
go
go
',' en dlfferentIant les deux membres, on a :
A; dFoj(xo)=d (~)(XO)=gol dg(xo) ""0, ear go(xo)""O et g a un zero d'ordre go I en Xo ; alors I'un des dFo/x o) ",,0, done Fest une immersion. 0
)=1
7
FONCTIONS HOLOMORPHES DE PLUSIEURS VARIABLES
Une fonction holomorphe dans un ouvert de en est definie comme une fonction con:inGment differentiable satisfaisant la condition de Cauchy pour chaque variable. Une formule integrale de Cauchy tres particuliere est alors etablie a partir de la formule en une variable pour Ie bord d'un disque ; elle permet immediatement de rem placer I'hypothese (1 par celie de continuite dans la definition d'une fonction holomorphe (nO 3). Comme dans Ie cas d'une variable, cette formule entraine que toute fonction holomorphe est developpable en serie entiere convergente de n variables complexes au voisinage de tout point de son domaine definition ; il en resulte les inegalites de Cauchy, Ie principe du prolongement analytique, Ie principe du module maximum, Ie lemme de Schwarz et un resultat sur la mesure de I'ensemble des zeros d'une fonction holomorphe, a I'aide de I'inegalite de Jensen (nO 5). Un lemme du d" est etabli pour les formes differentielles d"-fermees, par recurrence sur Ie nombre de variables; il en resulte Ie theoreme de de Rham pour d" sur une variete analytique complexe (nO 6). Par la technique du chapitre 3, on etablit que I'espace des fonctions holomorphes sur un ouvert de en muni de la topologie de la convergence uniforme sur tout compact, est un espace de Frechet et que, dans cet espace, toute partie bornee fermee est compacte (nO 7). Les proprietes precedentes ont la meme formulation que dans Ie cas d'une variable; iI en est de meme du theoreme d'extension de Riemann (nO 8) ; mais, pour n;;..2, il apparait des phenomenes entierement nouveaux : des theoremes d'Hartogs etablissent I'existence du prolongement de toute fonction holomorphe a certains ensembles d'interieur non vide: il existe en outre des theoremes d'extension certains fermes sans que la fonction holomorphe don nee soit supposee localement bornee. Un expose succinct sur les series entieres convergentes de plusieurs variables, contenant les preliminaires indispensables sur les families sommables, precede I'utilisation des series (nO 4).
a
a
1. Preliminaires On munit en des coordonnees zl' j= 1, ... , n ; on pose xj=Re Zj ; Yj=Im Zj ; alors zJ=xj+iYj, (x j ,Yj)ER2. L'isomorphisme de R-espace vectorie1 I:
en _ R 2n
185
FONCTIONS HOLOMORPHES SUR Q
permet d'identifier C" a RIn. On suppose R muni de la topologic hahituelk dcnnic par la valeur absolue, R211 muni de la topologie produit et en de la topolOfic tram.portee par 1-1. Soit Q un ouvert de C n considere aussi comme un ouvert de R2". on etudiera des fonctions : Q ..... C. Les fonctions coordonnees complexes Zj et leurs imaginaircs conjugccs zJ 0111 pour differentielles dans R2", dzJ=dxJ+i dy, ; dz,=dx,-i dy, ; alors
En tout point zEC", Ie C-espace vectoriel ~*(C") (voir Appendice) a pour base (dxj' dy)j=l ..... n' les differentielles (dzj , dZj)j=I ..... 1I constituent aussi une base, car la matrice de passage a pour determinant (-2i)". Toute forme differentielle sur Q s'ecrit done, de far;on unique, comme somme de formes differentielles W= aj, ... jpk .... kq dZJ,A ... Adz,/\dzk/,\ ... Adzkq homogenes par rapport aux dz j , dZk respectivement, de type (i.e. de bidegre par rapport aux dz j , dzk) (p, q). Soit UECI(Q) une fonction continfiment differentiable dans Q, on a
L
avec (1.1)
o
OZk
1(0.0) OXk -/ OYk ;
o
="2
II faut noter que
o
0
UZk
UZk
~, ~
(1.2) OZk
1(0.0) OXk +1 OYk .
="2
signifient seulement les operateurs differentiels definis
en (1.1) et (1.2) ; ce ne sont pas, en general, des derivations partielles par rapport
OU " L ~dZk ; d"u= L II
aux variables Zk' Zk' Alors du=d'u+d"u avec d'u=
k=1 UZk
OU
~_ dZk ;
k=1 UZk
les formes differentielles d' u et d" u sont respectivement de type (l, 0) et (0, I). On dit que les operateurs d' et d" sont de type respectif (l, 0) et (0, 1). Si west une forme differentielle, de c1asse CI, de type (p, q), alors d' w == d' aJ, .. jpk, ... kqAdzj,A .. . Adzkq est de type (p+ 1, q) et d" W= d" a" ... ,p k, ... kqA Adzj ,A ... Adzk est de type (p, q+l). Si west de c1asse C2, alors I'identite ddw=O entraine que les trois composantes de ddw, de types respectifs (p+2, q), (p, q+2), (p+ 1, q+ I) sont nulles, d'ou par linearite, les identites d' d' = 0 ; d" d" = 0 ; d' d" + d" d' = O.
L
L
.
2. Fonctions holomorphes sur
Q
2.1. Dne fonetion UECl(Q) est dite holomorphe dans Q si d"u=O dans Q. La condition d"u=O est dite condition de Cauchy (ou Cauchy-Riemann) ; elle equivaut
a : du=d'u.
L'ensemble des fonctions holomorphes sur Q sera designe par (!)(Q).
186
FONCTIONS HOLOMORPHES DE PLUSIEURS VARIABLES
2.2. Proposition. - L'ensemble (!.l(0) est une C-algebre pour l'addition, la multiplication des lonctions et la multiplication par les constantes complexes. Si IE(!.l(O) et si, pour tout zE,Q, l(z)~O, alors l/l=1- 1 E(!.l(0) ; si ,Q est connexe et si I est a valeurs reelles ou si III est constante, alors I est constante. DEMONSTRATION. d" est C-lineaire et est une derivation, i.e. si u, vECl(,Q), alors d"(uv) = v d"u+u d"v, d'ou la structure de C-algebre. Si, pour tout zE,Q,/(z)~O, II/ est continument differentiable et d"(ll/) = _/-2 d"/=O. Si / est reelIe, pour tout k= 1, ... , n, O/IOXk et O/IOYk sont reels; la condition de Cauchy entraine : ojloxk= -i(ojloYk)' done ojloxk=O=ajlaYk' i.e. / est constante sur l'ouvert connexe ,Q. Si 1/1=(1 constante, on a : /=(le i9 (z) avec d"/=(le i9 (z)id"e(z)=0, donc est holomorphe et reelle sur ,Q, alors, d'apres ce qui precede, est constante sur,Q. 0
e
e
2.3. Applications holomorphes
Soient ,Q, ,Q' deux ouverts de
c
n
et
c
m
respectivement.
2.3.1. Vne application g : ,Q ..... ,Q' est dite holomorphe s'il existe m fonctions holomorphes gl' ... , gm sur,Q telles que :
z' = g(z) = (gl(Z), ... ,gm(z»)E,Q'. 2.3.2. Proposition. - Sif est unefonction holomorphe sur,Q' et si g est une application holomorphe : ,Q ..... ,Q', alors fog est une fonction holomorphe sur ,Q. DEMONSTRATION. On verifie, a partir des definitions (1.1) et (1.2), que olazk et OI02k satisfont aux regles des derivations partielles ; alors
(ojazk)(j(g(z») =
m
m
1=1
1=1
L (of/az;) (agdoZk) + L (af/az;)(agdoZk);
k = 1, ... , n;
mais Ogt/02k=O et a/102; =0 pour k= I, ... , n et 1= 1, ... , m, donc d"(fog) =0, i.e. fog est holomorphe sur,Q. 0 2.3.3. Corollaire. morphe. 0 2.3.4. Proposition. -
La composee de deux applications holomorphes est holoSoient Jj:
cmxcn ..... C,
j=l, ... , m (w, z) ......fj(w, z) morphes dans un voisinage d'un point (WO, ZO) et telles que
(2.1)
(2.2)
des fonctions holo-
Jj(WO, ZO) = 0, j = 1, ... , m det
(aajj )m WI
(i) D'apres 4.4.2 ear E est complet. (i)=>(ii) : E est de dimension finie n sur R, done e'est R" muni d'une norme equivalente it
Ilxll = L" IxPI ou
x=(xI, ... , x")E R". D'apres 4.4.3, it cause de (iii),
p=l
l'absolue sommabilite d'une famille, pour une norme donnee, subsiste pour une norme equivalente ; alors il suffit d'etablir l'assertion pour Ia norme ci-dessus. La projection R"--R definie par x ....x P est lineaire continue; d'apres 4.2.2. si la famille (X;}iEl est sommable ; la famille (Xf)iEl ; pE[1, ... , n], est sommable ; d'apres 4.4.3, (lxmiEl est sommable, done aussi
(L" p=l
4.2.3.
D
IXfI)iEl=(llxill)iEl' d'apres
193
SERIES ENTIERES CONVERGENTES
4.5. Series entieres convergentes 4.5.1. Pour r=(rl' ... , rn)E(R+)", on associe, a chaque sene formelle terminees S(X)= a"X", Ia famille de nombrcs positifs
L
an
inde-
(4.1) On designe par r l'ensemble des points rE(R+)n tels que (4.1) soit sommable r contient {o}. Pour tout Z=(ZI' ... , zn)EC" tel que IZjlO. Alors
°. ; ;
J D (1/(w)I-I/COI) dVCO
=
V(D) I/(w)1
- J D I/COI dVCO ..;;; 0, d'apn!s 5.2.6 ; il en resuIte If(w)I-lf(z)1 =0 pour tout zED; d'apn!s 2.2, fest constante sur D, done f(z)=f(w) et, d'apn!s Ie theon!me d'identite (5.2.1), fest con stante sur Q. 0
5.3. Lemme de Schwarz 5.3.1. D'apn!s 5.1.2, to ute fonction holomorphe dans un polydisque ouvert D=D(w ; r) est egale a une serie entiere en (z-w) normalement convergente sur tout compact de D. Inversement, toute serie entiere en (z-w) dans D, absolument convergente sur 15' = 15(w ; r'), pour tout r' O telle que Ij(y)I..;;A pour tout YED y . 8.1.2. Theoreme. - Soient X un ensemble mince d'un domaine Q de en et f une fonction holomorphe sur Q",X, localement bornee dans Q. Alors, it existe une fonction unique j holomorphe sur Q qui prolonge f. Pour n= I, c'est 4.3.3 du chapitre 2. La demonstration utilise la notion et les lemmes suivants :
en
8.1.3. Une fonction holomorphe h sur un ouvert U de est dite reguliere d'ordre k en Zn au point w=(w I , ... , wn) si la fonction de Zn' h(WI' ... , Wn- I , zn), holomorphe en Zn' a un zero d'ordre k au point Zn=Wn' 8.1.4. Lemme. - Si hE(fJ(U) et est d'ordre k-+-
u(O, ... ,0, Xn).
Tout polynome hEK{X'}[Xn] unitaire, de degre pen Xn, tel que (J(h)=X: est appele un polynome distingue de degre p. 1.2.2. Theoreme. - Soit gEK{X} tel que p=w (g(O, ... ,0, X n»), alors iI existe un polynome distingue de degre p equivalent a g. DEMONSTRATION. - Appliquons 1.1.2 it I=X:, on a X:=gq+r, i.e. gq=X:-r ; reste it montrer que q est inversible et que (J(r)=O. On a (J(gq) = (J(g) . (J(q) = = X: - (J (r) ; com me Ie degre de r en Xn est strietement inferieur it p, on a : X:-(J(r)T"O, done (J(g)T"O ; mais w((J(g»)=p par hypothese; d'apres une propriete evidente de l'ordre d'une serie entiere, on a : d'autre part,
w((J(g). (J(q») = w(X,f - (J(r») {
- p
SI
p
SI
1 et supposons que K{X'} soit noetherien. Soient c:57"'(0) un ideal de K{X} et 07"'gEc:5. D'apres 8.1.4 du chapitre 7, apres un K-automorphisme eventuel de K{X}, on peut supposer g(O, ... ,0, Xn)7"'O. D'apres 2.3.1, Ie K{X'}module Best noetherien, donc l'ideal c:5'=c:5j(g) de B est Ie K{X'}-sous-module engendre par un nombre fini de generateurs til' ... , tiq OU til (/= 1, ... , q) est la c1asse modulo (g) d'un element U l de c:5 ; alors UI , .•. , uq , g engendrent l'ideal c:5, donc c:5 est de type fini et K{X} est noetherien. D 2.3.3. Remarque. - Compte-tenu de 2.3, la condition d'etre de type fini imposee a l'ideal m de K {X} dans la definition d'une algebre analytique (2.1) est satisfaite par tout ideal de K{X}.
FACTORIALITE DE K{X}
213
3. Factorialite de K{X} 3.1. Anneau factoriel 3.1./' Un anneau integre (ou d'integrite) est un anneau commutatif unitaire sans diviseurs de zeros. 3.1.2. Un anneau A est ditfactoriel s'il est integre et si tout element de A est egal it un produit de facteurs irreductibles, la factorisation etant unique it l'ordre pres et au produit pres par une unite, i.e. un element inversible de A. 3.2. Theoreme. -
L'anneau K{X} est factoriel.
La demonstration repose sur les trois lemmes suivants dans lesquels on pose R=K{X'} et A=K{X}=R{Xn}' 3.2.1 Lemme. - Si g est un poly nome distingue de R IXn], si fER IXn] est unitaire et si f divise g, alors fest distingue. DEMONSTRATION. - Si g est un polynome de degre p, on note : dgg=p. Soit g=ih ; si dgg=p, dgf=q, e etant l'homomorphisme de 1.2.1, on a (l(g)= =e(f)'e(h)=X:, d'ou e(f) = X:' doncfest distingue. 0 3.2.2. Lemme. - Si g est un polynome distingue de R IXn ] et si fER IXn ], alors I'identite du theoreme 1.1.2 est I'identite de division euclidienne dans R IXn ]. DEMONSTRATION. - L'identite de division euc1idienne existe dans R[Xnl puisque g est unitaire, alors eUe est realisee dans A ou eUe coincide avec ceUe de 1.1.2 it cause de I'unicite. 0 3.2.3. Lemme. - Si deux polynomes distingues f et g de R (Xn] sont equivalents dans A, Us sont egaux. DEMONSTRATION. - f=gq ou q est une unite de A, mais, d'apres 3.2.2, qER[Xnl et q-1ER[Xnl ; commefet g sont unitaires, on a : q=1. 0 3.2.4. DEMONSTRATION DE 3.2. Par recurrence sur n ; Ie theoreme est verifie pour n=O. On suppose Ie theoreme etabli pour n-I, i.e. que Rest factoriel. Soit fEA ; apres un eventuel K-automorphisme de A (ch. 7,8.1.4), f est equivalent it un polynome distingue f* appartenant it R[Xnl (1.2.2), i.e. f=uf* ou u est une unite de A. D'apres un resuItat dans les anneaux de polynomes on sait que, R etant factoriel, R[Xnl est facto riel. So it ft .. .fr* la factorisation (unique) de f* en facteurs irreductibles et unitaires dans R[Xnl, alors u J;.* .. .J,.* est une factorisation de f dans A et, d'apres 3.2.1, les polynomes ft (l = 1, ... , r) sont distingues. Chaque it (/= 1, ... , r) est irreductible dans A, sinon ft=glg2 ou gl' g2EA et ne sont pas des unites, mais gj (j= 1,2) est equivalent it un polynome distingue g; (j= 1,2), donc ft =g; g; dans R[Xnl, d'apres 3.2.3, ce qui contredit l'irreductibilite de ft dans R[Xnl.
214
ETUDE LOCALE DES FONCTIONS
Soit hI ... hs une decomposition de f en facteurs irreductibles dans A et soit h7 (I = I, ... , s) un polynome distingue de R[XnJ equivalent a hi dans A, alors h7 est irreductible dans R[XnJ sans quoi hi ne serait pas irreductible dans A et f*=hr .. h;, d'apn!s 3.2.3, donc s=r et il existe une permutation (J de {I, ... , r} telle que h7= =fnon (ii) ; §.a reductible signifie ; §.a=§.!U§.; ou §.! et ~ sont distincts de §.a ; il existe /; nul sur §.~ et non nul sur §.~ avec (i, j) = (1, 2), i ~ j ; alors h ·A s'annule sur §.a et nij~, niA ne s'annulent sur §.a' donc I n'est pas premier. non (ii)=>non (i) ; il existe j~,AEeJa tels que h 'AE!, hV et A~l. Soit V un voisinage ouvert de a sur lequel §.a, h, A ont des representants S, 11, 12' Soient sl=sn{xEv,ll(x)=O} et s2=sn{xEv,12(x)=O}. Alors §.a=§.!U§.! ; §.! et ~ sont distincts de §.a. 0 DEMONSTRATION. -
4.2.5. Proposition. - Tout germe analytique §.a en aE D est reunion de germes analytiques irreductibles §.va (v = 1, ... , k) dont aucun n'est contenu dans la reunion des autres. Cette decomposition est unique a l'ordre pres.
eJa etant noetherien, toute suite strictement croissante d'ideaux de eJa est finie (2.2.1 (a)) ; alors toute suite strictement decroissante de germes analytiques est finie ; comme toute composante irreductible d'un germe analytique reductible est strictement contenue dedans, Ie nombre de composantes irreductibles de §.a est fini ; on verifie l'unicite immediatement. 0 DEMONSTRATION. -
4.2.6. Les germes §.va de 4.2.5 sont appeles les composantes irreductibles de §.a.
5. Proprietes des algebres analytiques 5.1. Soit I un ideal de neJ tel que {O}~I~neJ. Soient Xl' ... , Xn les coordonnees de K n et peJ Ie sous-anneau de neJ forme des germes independants de x p+ l ' ... , x n. L'anneau neJ etant noetherien, I a un nombre fini de generateurs h, ... ,/q dont des representants 11' ... ,Jq sont des fonctions analytiques definies sur un ouvert U de K n contenant 0 ; ces fonctions definissent un ensemble analytique S={XEU ; Il(x)=o; "';]q(x)=O} de U, Ie germe §.O etant bien determine; on posera §.o=§.,(I) ; alors IcI(§.o). On considere l'algebre analytique A=neJ/1 et l'homomorphisme'1 ; peJ--+-neJ--+-A. Soient hI, ... , hsEneJ, on designera par (hI, ... , hs) l'ideal de neJ engendre par hI, ... , hs . 5.1.1. Proposition. - Apres un changement de coordonnees linea ire convenable dans Kn, il existe un entier pE (0, ... , n-l] tel que l'homomorphisme '1 : pl9--+-A ci-dessus soit injectif et munisse A d'une structure de pl9-module de type fini. On verra (7) que l'entier p est determine par I quand I est premier,
216
ETUDE LOCALE DES FONCTIONS
DEMONSTRATION. - SoitjE/, j¥-O; alors, apn!s une eventuelle transformation lineaire de coordonnees dans K n, on obtientj(O; xn)~O (ch. 7,8.1.4). Cette derniere condition est inchangee par transformation Iineaire dans Kn-l (coordonnees Xl' ... , Xn- l ). D'apres Ie theoreme de preparation de Weierstrass (1.2.2), il existe une unite u de /JJ et un polynome p" distingue en Xn tels que j=up" ; alors p"E/. Si In- l =Inn_llD={O}, on prend p=n- I ; sinon, soit O¥-/,.-lEln- l ; on opere alors sur /,.-1 comme ci-dessus sur J, i.e. /,.-1 =ul • P"-l OU ul est une unite de n-llD et P"-l un polynome distingue en Xn- l . Apres un nombre fini de pas, on arrive a un entier p tel que Ip=Inp(l)={O} et tel que, pour r>p, il existe un polynome P,.Er-llD[xr] avec p,.Elr=InrlD ; pest l'entier cherche ; en effet Ip={O} entraine que 1'/ : p(l)---A est injectif car on a Ie diagramme commutatif suivant ou to utes Ies suites sont exactes
{O}
=
o
0
t
t
plDnI --- I
t
o --- plD
t
--- nlD
t nlD/1
t O. Si qr est Ie degre du polynome P,., on a : qr- l
P,. = x;r +
Io
a~(xl' ... ' xr-l)x:
avec
a~(O) = 0
et, d'apres Ie theoreme de division par P,., on a successivement, pour tout gEnlD, qn- l
g
==
I !v (Xl , ... , Xn-l)X~
v=o
(mod P") ;
qn_l- 1
!v == I
/l=0
j/lv(Xl, ... , Xn -2)X:_l (mod P"-l) ;
de sorte que
.. (x1, g =_ "L... J",
... ,
X)X"'P+l (mod(Pp+l, ... , P») P p+l··· x"'n n n
"'rp, Ie polynome minimal P r de xr sur M est dans i!J [X), est distingue et P r(x r)E1. D'apn!s 5.1.2, on a L=M(x p+l , ... , xn)' pour un choix convenable de coordonnees ; Lest une extension finie de M, i.e. est un espace vectoriel sur M de dimension finie d'apres 5.1.1, done Lest une extension algebrique finie de M ; d'apres n
Ie theoreme de l'element primitif(5.2.l), il existe AjEK tel que Yp +1 =
L
AJXj soit
j=p+l
lineairement independant de Xl' ... , Xp et que L=M(Yp+I)' On fait un changement lineaire de coordonnees pour prendre Yp+l comme nouvel Xp+1' De plus A =i9/I est un p(f)-module de type fini (5.1.1) done, pour tout IE i9, /D[fl est de type fini, alors il m-l
L bv(XI' ... , Xp) XVEp(f) [X] tel que Q,(J)=O; ° la condition 1(0) = 0 entralne que Qf est disQ, de degre minimum; alors
existe un polynome Q,(x)=xm+ choisissons
m-l
fingu€!, en effet s'il existe fl tel que bl'(O)r"O, alors xm+
L bv(O)X'
possede en
° Xo , un zero d'ordre l<m et, d'apres Ie theoreme de preparation (1.2.2), on a Qf(X)=uQ(X) OU u est une unite et Q un polynome distingue de degre I, alors Q(f)=O et Qf n'est pas de degre minimum, contradiction. Appliquons ce resllltat aux fonctions coordonnees x p+ 1 , ... , Xn qui s'annulent en 0 et designons par P, Ie polynome Q", ; par construction P,.(x,)=O donc P"(xr)EI. 0
218
ETUDE LOCALE DES FONCTIONS
6. Structure locale d'un ensemble analytique 6.1. Dans tout Ie §6, I est un ideal premier de n~ et les coordonnees sont choisies pour que 5.3.1 s'applique. Soient q Ie degre ~+1 et (j Ie discriminant du polynome ~+l (i.e. (j est Ie resultant des polynomes, en x p+1 , ~+1 et O~+l OXp+l)' Alors pour q;;;..2, (j~O dans p~puisque ~+1 est Ie polynome minimal de Xp+l sur p~; (jV puisque Ip=Inp~={O}, d'apft!s Ie choix de p. 6.2. Lemme. - Pour tout fEi!), if existe un polynome R f E/9 (X] tel que (jf-Rf (x p+1)EI, en particulier, if existe des polynomes QrE/9 (X] tels que, pour r;;..p+l, on ait (jxr - Qr(x p+1)Ef. DEMONSTRATION. - Pour r=p+I, prendre Qp+l=(jXp+1' Dans Ia suite de Ia demonstration on suppose r;;..p+ 1. A est Ia cloture integrale de p~ dans L d'apft!s 5.3.1 ; d'apft!s 5.2.2 applique situation de 5.3.1, il existe QE/D[X]
a Ia
Jp;+1(x P+1) = Q(xP+1)
(6.1)
oil P;+1 =()~+l/()XP+l et dg Q I et si n et n' sont des entiers associes aux cartes h et h', comme la derivee D(h'oh-1)(x) pour xEh(U) est une bijection lineaire : Rn-+Rn', on a : n=n'. Si q=O, on a aussi n=n' d'apres Ie theoreme de Brouwer. c) Deux cartes (h, U) et (h', U') sont dites compatibles si ou bien U' =0 ; ou bien si hi U' et h'l U' sont compatibles au sens de a).
un
un
un
1.3. Atlas Un atlas de X. de cIasse cq, est un ensemble de cartes deux it deux compatibles, dont les domaines constituent un recouvrement ouvert de X. Deux atlas de cIasse C q sont dits compatibles si leur reunion est un atlas de cIasse cq ; on verifie que la compatibilite est une relation d'equivalence dans l'ensemble des atlas de cIasse cq de X.
vARIETES
225
DIFFERENTIELLES
1.4. Variete differentielle
c
On appelle varit?te differentielle de classe q un espace topologique separe, reunion denombrable de compacts, muni d'une classe d'equivalence d'atlas de classe C q • 1.5. Pour tout xE X, il existe une carte (h, U) de X avec xE U ; h : U _ R n ; d'apn!s 1.2b, l'entier n ne depend que de x, c'est la dimension de X en x ; il est clair que n est fixe sur chacune des composantes connexes de X; nest appele la dimension de la composante connexe. Une variete differentielle, dont toutes les compos antes connexes sont de dimension n, sera dite de dimension n. Une variete differentielle de classe cro est dite analytique reel/e.
1.6. Applications differentiables Soient X et Y deux varietes differentielles de classe C q • Une application I : X- Y est dite p-fois continument differentiable ou (de classe) C P (pE N U {ex> }U {w} ; P}), on dit que la I-forme differentielle west (de c1asse) cr.
4. Formes differentielles sur X 4.1. Produit tensoriel de deux K-espaces vectoriels (K=R ou C)
Soient E et F deux K-espaces vectoriels et Z(E, F) Ie Z-module Iibre engendre par l'ensemble des elements (x, y) de EXF ; c'est I'ensemble des combinaisons lineaires formelles (finies) a coefficients entiers rationnels des elements de EXF muni de l'addition et de la multiplication par les entiers. On designe par Y(E, F) Ie sous-module de Z(E, F) engendre par les elements
I
(XI +X2, Y)-(XI' Y)-(X2' y)
(4)
(x, YI +Y2) - (x, YI) - (x, Y2) (Ax, y)-(x, AY)
OU x, Xl' x 2EE ; y, YI' y 2EF ; AEK. Le Z-module quotient Z(E, F)/Y(E, F) est appele Ie produit tensoriel de E et de F sur K et est note E@KF ; la projection canonique Z(E, F)--E@KF envoie (x, y) sur x@y (par definition de cette derniere notation). Pour tout kEK, on considere l'homomorphisme de Z-module Z(E, F) -- E@KF
qui applique tout element (x, y) de Z(E, F) (xEE, yEF) sur (kx)@y. Cet homomorphisme est nul sur Y(E, F), car il s'annule sur les elements de la forme (4), donc il definit un Z-homomorphisme de E@KF dans lui-meme, i.e. une loi de composition KX(E@KF) -- E@KF
qui, avec l'addition, munit E@KF d'une structure de K-espace vectoriel que l'on utilisera desormais.
4.2. Algebre tensorielle ; aJgebre exterieure E etant un espace vectoriel sur K, par recurrence sur Ie nombre de facteurs, on definit Ie produit tensoriel de m exemplaires de E, qu'on note @mE, par @mE= =E@K@m-IE ; on pose @oE=K; on a : @IE=E et on pose: @E= EB @PE. P~O
230
APPENDICE
On definit, sur @E, une multiplication distributive par rapport it I'addition, notee @, par:
La multiplication @ est appelee Ie produit tensoriel dans E. L'addition, la multiplication par des elerr:ents de K et Ie produit tensoriel @ definissent, sur @E, urre structure de K-algebre ; @E muni de cette structure d'algebre est appelee /' algebre tensorielle de E. On appelle algebre exterieure du K-espace vectoriel E et on note A' E la K-algebre quotient de @E par I'ideal bilatere I engendre par les elements x@x (xEE). La multiplication deduite de @ par passage au quotient est notee A et est appelee la multiplication exterieure. Si x, yEE, on a xAy= -yAx ; on dit que la multiplication A est anticommutative. On pose I p= @PEnI ; AP E= @PE/Ip alors, on a : A' E= EEl APE. P~O
On dit que les elements de APE sont de degre p ; A' E est une K-algebre graduee ; en particulier, la multiplication exterieure envoie APEx Aq E dans APH E. 4.3. Soit A' T* (X) Ie fibre vectoriel sur X construit it partir de I'algebre exterieure A'Tx*(X) (xEX) par Ie procede utilise pour construire T*(X) it partir de Tx*(X). Par definition, les formes difJerentielles sur un ouvert U de X sont les section&. au-dessus de U, du fibre A' T* (X). Une pjorme difJerentielle, ou forme difJerentielle de degre pest une section du fibre APT*(X). Au-dessus de I'ouvert U d'une carte sur lequel les fonctions coordonnees sont Xl' ... ' x n ' une telle p-forme co s'ecrit, compte tenu de I'anticom-
mutativite de A (5)
co =
L
ah ... ipdxhA ... Adxip
i 1 1
.>r
Page 79 ligne 6. i Page 116 ligne 16 t Page 125 ligne 14 i
+gO/) 10 Y
,i.e. T: Z ..... au lieu de i.e. : ZT ......
Ys (0) au lieu de Y(0) D*
au lieu de
ig H
D*
tg H
Page 157 ligne 5
i hermitienne dZj dZj de C au lieu de hermitienne de dZ j dZj C
Page 163 ligne 14
i
=
Page 170 ligne 11 t
-
Page Page Page Page Page
174 193 216 217 218
ligne ligne ligne ligne ligne
i
Ix d
L
if"') au lieu de i
d ... au lieu de -
f
Ix d ...
i (fJD ::.r au lieu de (fJD ~ i convergentes au lieu de convergente i pO,L au lieu de pOL 5 i o au lieu de Xo 4 t 8Pp+t!8xp+1 au lieu de 8Pp+ 1 8xp+1 3 7 3
INDEX Page Page Page Page Page Page
239 Bord (d'une chaine) Ajouter: 17 239 Cartes compatibles Supprimer 110 239 ajouter: Categorie 110 240 Domaine ... 205 au lieu de 250 241 Noetherien (anneau, module) au lieu de anneau-module 241 Ordre ... ajouter ... d'une serie formelle, 190 Page 241 Representation conforme 82 au lieu de 175 et supprimer res Page 241 Res,res 175 Page 242 Silov (frontiere de) 187, au lieu de 189
Collection Maitrise de mathematiques pures dirigee par J D IEU DO NNE et P M A LLIAV IN
