解析入門30講 (数学30講シリーズ)

は

し

が

き

 微 分 ・積 分 を 高 等学 校 で学 ん だ あ とで,何 か 少 し物 足 りな い感 じが 残 って,こ れ に 続 く も う少 し進 んだ 事 柄 も知 りた い と思 う人 は,案

外 多 い の では な か ろ う

か.高 等 学 校 で の微 分 ・積分 に続 くこ ととい えば,ふ つ う 「解析 教 程」 とか 「解 析 概 論」 とい った 題 名 の 本 の中 に 盛 られ て い るテ ー マを 指 す こ とにな る.そ こに あ るの は,実 数 の連 続 性 や,微 分 ・積 分 の一 層立 ち 入 った 議 論や,多 変数 の微 積 分 とい う項 目に含 まれ る偏 微分 や 重 積分 の取 扱 いが 主 な もの とな っ てい る.確 か に こ こまで 到達 す れば,高 等学 校 の 微 積分 よ りは るか に立 脚 点 も高 くな って,視 野 も広 が るが,こ

こに達 す る まで の山道 は,か な り努 力を 要 す る上 り道 で あ る.

  努 力を 要 す るの は,や は り 「解 析 教 程」 に は取 り上 げ るべ き題 材が 多 す ぎ,そ れ らが 読 者 の 目の 前 に,次 か ら次 へ と現 われ る こ とに も よって い る.実 際,ニ ー トン,ラ イ プ ニ ッツの微 積 分 の発 見 以 来,300年

ュ

の 間 に,解 析 学 とい う学 問 は ,

ど うして これ ほ どまで に 深 く広 い 世 界 を形 成 した の か と不 思議 に 思 うほ どで あ る.解 析 学 の応 用 と適 応 性 の 広 さを 考 え る と,こ の 豊 富 な題 材 の 中 か ら,「 解 析 教 程 」 の 中 に何 を 盛 り,何 を 捨 て るべ きか とい うこ とは いつ も難 しい 問題 とな る の で あ って,結 局,素 材 は増 え る傾 向を 辿 って,読 者 を 当 惑 させ るの で あ る.   また 「解 析 教程 」 を難 し くして い る別 の要 因 もあ る.こ こで は厳 密 な極 限 概念 に基 づ く解 析学 の 建設 を 目指 す か ら,ど うして も教 育 的な 色 彩 よ りは,厳 密 な論 証 を重 んず る数学 の 専 門書 の趣 きを とっ て くる.こ の こ とは,数 学 に関心 は あ る が,数 学 者 と異 な る道 を 歩 も う とす る人 に と って,「解 析 教 程 」 を近 づ きに く くし て い る よ うで あ る.   この 『解 析 入 門30講 』 を執 筆 す るに当 って も,同

じ問題 が 生 じて きた.し

か

し この シ リー ズ の趣 旨か らい って,専 門 書,ま たは 教 科 書 として の形 態 を で きる だけ と らな い よ うに心 が け た.そ の た め題 材 の 配 列 に も多 少 工 夫を 凝 ら して み た し,ま た 日常 的 な例 を 引 い て説 明を試 み た と ころ もあ る.数 学 とい って も,数 学

の勉 強 に 何 か特 別 な セン スが 要 る とは じめ か ら考 えて か か る のは,何 か お か しい よ うな気 が して い る.日 常 の ご くふ つ うの 感性 と,い わ ば ふつ うの 本 を読 む と き の 読解 力 とで もい うべ き もので,十

分理 解 で きる 数学 は あ る と思 っ てい る し,

「解 析 入 門 」 もそ の適 用 の 広 さか らい え ば,や

は り,そ の よ うな数 学 の形 を と る

こ とが 望 ま しい と思 ってい る.  応 用 面 に 触 れ得 なか った のは,30講

とい う紙 数 の 制 約 もあ った し,ま た そ れ

は 別 の 主題 に した 方 がか え って近 づ きや す い ので は な いか と考 えた こ とに もよ っ てい る.   終 りに,本

書 の み な らず,こ

の シ リ ー ズ の 出 版 に 際 し,い

に な っ て い る 朝 倉 書 店 の 方 々 に,心

ろい ろ な面 で お 世話

か らお 礼 申 し上 げ ま す.

1988年10月 著

者

目

次

第1講

  数直 線 の 生 い立 ち 

第2講  第3講

実 数 の連 続 性    上 限,下 限,コ ー シ ー列 

第4講 

1 8 17

実 数 の 相 

26

  関数 の極 限 値 

34

連 続 関 数 

42

第7講

 微 分 と導 関 数 

51

第8講

  平 均値 の定 理 

59

第5講 第6講 

第9講 

微

分

法 

66

第10講   テ イ ラー の定 理 

72

第11講 

テ イ ラー展 開 

79

第12講 

ベ キ 級 数 

85

第13講   ベ キ級 数 で表 わ され る関 数 

92

第14講 

不 定 積 分 

100

第15講 

不 定 積分 を求 め る 

108

第16講   不 定積 分 か ら微 分方 程 式 へ 

115

第17講   線 形 微分 方 程 式 

123

第18講 

定 数係 数 の線 形微 分 方 程 式 

130

第19講 

面

積 

138

第20講 

定

分 

146

積

第21 講

積分 と微分 

155

第22講  微 分方程 式 の解 の存 在 

163

第23講   指 数 関数 再 考 

173

第24講

182

  2変 数 の関 数 と偏 微 分 

第25講   2変 数 関数 の微 分 可 能 性 

191

第26講  Cr-級 の関 数 

199

第27講 C1-写

208

像 

第28講  逆 写 像定 理 

217

第29講   2変 数 関 数 の積 分 

227

第30講 

236

積分 と写像 

問題 の解答 

245

索

247

引 

第1講 数 直線 の 生 い立 ち テー マ

◆ 解 析 入 門 のは じめ に ◆ 数 直 線 の成 立 の 由 来:た

とえ話―

杉 並 木 か ら高 速道 路 が で き上 る

まで ◆ 数 直線 上 で の 数 の 表現 ◆ 数 直線 上 の点 と しては,数 の もつ そ れ ぞれ の個 性 は表 現 され な いが, そ のか わ り,数 の 間の 近 さの 感覚 が 生 ず る. ◆ 有 理点 ◆ 有 理点 の近 づ く先 は必 ず し も有 理 点 で は ない. ◆ 有理 点 と無 理 点 を合 わ せ て 数直 線 が 完成 す る.

門 の 前 で   解 析 入 門 とい って も,門 構 え の方 は 誰 に も見 え るが,門 を くぐって 中 に入 る と, そ こ には どんな 広 々 と した 景 色 が広 が り,ど れ ほ どの奥行 きが あ る のか とい うこ とは,専 門家 で もなか な か 察 知 しが た い ので あ る.門 の 中 にあ る解 析 の領 域 は, 果 て し もな いほ ど広 いの だ と もい え る し,い や,微 分 ・積 分 とい う2本 の大き な 木 の つ くる,長 い影 に〓 わ れ てい る にす ぎな い の だ,と い うい い方 もで きるの か も しれ な い.   解 析 とい う言葉 か ら受 け る漠 然 と した 広 が りを もつ包 括 的 な感 じは,解 析 学 の 中 に あ る際 限 の ない よ うな 問題 設 定 の要 求 か ら くる もので あ ろ う.こ の問 題 設 定 とは,時 間 ・空 間 の 中 に生 ず る さま ざ まな 現 象の 連続 的 な 微小 なゆ らぎ と,こ れ らの現 象 の 長時 間 にわ た る変 化 の様 相 を,で き るだ け数 学 的 に正 確 に捉 えた い と い うこ とで あ る.   また 一 方,解 析 学 は結 局 の と ころ微 分 ・積分 の光 と影 の 中 に あ る と思 うのは, この よ うな 現 象の 解 析 に は,実 数 を座 標 とす る空 間上 の,関 数 表 現 に よる数 式 モ

デ ル が 必 要 で あ り,一 度 モ デ ル 化 さ れ た こ の 関 数 を 調 べ る 手 段 と し て は,微 積 分 と い う方 法 が,歴

史 的 な 発 展 過 程 の 中 で,ほ

分 ・

と ん ど絶 対 的 な も の と感 じ られ

る よ う に な っ て き た こ と に よ る の だ ろ う.   '解析 入 門'を

どの よ う に か き始 め た ら よい の か,な

私 自身 の 観 点 が,こ

か な か 決 ま ら な い の は,

の 二 つ の 見 方 の 中 を 揺 れ 動 い て い る か ら だ ろ う.た だ は っ き

り し て い る こ とは,微

分 ・積 分 とい う方 法 が,実

係 し合 っ て お り,方 法 と 表 現 と が,実

数 の数 直 線上 の 表現 と密接 に 関

数 と い う体 系 の 中 で ほ とん ど一 体 化 して い

る と い う こ とで あ る.だ

か ら まず 数 直 線 の こ とか ら 話 を 始 め て い く こ と は,自

な こ と か も しれ な い.し

か し,数 直 線 に つ い て は,こ

の30講

』 や 『位 相 へ の30講

て,ご

く日 常 的 な 話 の 仕 方 か ら ス タ ー トし て み よ う.

然

の シ リー ズ で も,『 集 合 へ

』 で も繰 り返 し 述 べ て き た.こ

こ で は 少 し趣 を 変 え

高 速 道 路 が で き るま で

  数 直 線 上 の1点 を 想 像 し,こ

に 立 っ て,左

右 に 限 りな く延 び て い る数 直 線 を 眺 め て い る状 況

れ を ま っす ぐ に ど こ ま で も延 び て い く高 速 道 路 を,歩

道橋 の上 か ら

眺 め て い る 人 に な ぞ ら え て 話 し て み よ う.   高 速 道 路 を 軽 快 に 流 れ る車 の 列 を 見 下 し な が ら,こ

の 人 は 往 時 を 振 り返 り,こ

ん な こ とを 思 って い る.昔 は こ こ も道 ら しい道 もな く,た だ等 間 隔 に杉 の 木 が植 え られ て,1本1本 の杉 は,空 に 向か って延 び る美 し い 姿を 示 してい た.や が て,こ の 杉 並木 に沿 って,等 間隔 に敷 石 が 敷 かれ て細 い一 直 線 の道 ら しい も の がで きて きた.   これ が 一直線 に つ なが ってい く 立 派 な道 に な る と知 ってか ら,ま ず 杉 は切 り倒 され,切 株だ けが 残 されて,こ れは 等 間 隔 の長 さを 示

図1

す 基準 点 と して の道 標 の役 目を果 た す こ とにな った.道 幅 は広 げ られ,敷 石 は し だ い に細 か い もの にお きか え られ て い った.と び とびの 敷石 の間 に は,次 々 と細 か く砕 か れ た 敷石 が お かれ,最 後 は細 かい 細 か い砂 で道 は敷 きつ め られ て,ひ と まず ど こ まで も一 直 線 に延 び て い く道 は完 成 した.   こ の細 か い 砂 の粒 子 で〓 わ れた 道 は,あ る基 準 点 か ら別 の基 準 点 ま で,同 じ歩 幅 で歩 い て い く旅 人 に とって は,何 の支 障 もな く歩 け る快 適 な道 で あ った.ま た 歩 数 か らい つ で も歩 い た距 離 が算 出で きた.   と ころ が,自 転 車 に乗 った 人が この 道 を進 も うとす る と,砂 の粒 子 の隙 間 に車 輪 が 引 っか か っ て うま く進 め ない の で あ る.   そ こで最 後 に,砂 の上 に ロー ラー を かけ,コ

ン ク リー トで舗 装 して,道 幅を 広

げ,い ま の 高速 道 路 をつ くった ので あ る.こ の 高速 道 路 で は,自 動車 は 連続 的 に どん どん走 ってい く.道 路 を見 て い て生 じた 回想 はい つ しか消 えて,こ の車 の流 れ に眼 が移 っ て くる.追 い越 した り,追 い越 され た りす る こ の 車 の多様 な動 き を,ど の よ うにい い表 わ した らよい のだ ろ うか.

数 と数 直 線 上 の 点   上 に述 べ た こ とを,も

う少 し数学 的 にい い直 してみ よ う.杉 の木 が 等 間隔 に並

べ られ てい る とか いた の は,も ち ろ ん数 直線 上 の整 数 点 の こ とで あ る.す なわ ち 直 線上 に基 準 点O,単

位 点Eを

とって,Oに0,Eに1と

目盛 りを 与 えて 決 ま る,

この直 線 上 の 整数 目盛 り …,−3,−2,−1,0,1,2,3,… を もつ 点 の こ とで あ る.自 然 数{1,2,3,…}は

古 くか ら知 られ てい た が,0や

の数 が 一 般 的 に用 い られ る よ うに な った の は15∼16世

負

紀 以 後 の こ と だ か ら,比

較 的 新 しい こ と とい って よい.だ が,い まはそ の よ うは数 学 史 的 な こ とは もち ろ ん 問 題 と して い ない.数 直 線 の考 えの 原型 は,ユ ー ク リッ ドの 『原 論 』 の 中の 比 例 論 の 中 で,線 分比 と して す で に見 出せ る とい う見 方 もあ るか も しれ ない が,そ こで の'通 約 量'と い う考 え は,上 の話 では,整 数 の基 準 点―

杉 の 木―

の間

に,等 間 隔 に敷 石 を 敷 い てい く考え に対 応 して い る.   デ カル ト以 後,数 直線 の 考 えが しだい に明 確 に な り,私 た ちは い ま で は この 考

え に,十 分 な れ親 しむ よ うにな って きてい る.し か し,数 を 数 直線 上 の点 と して 表 わ す 観点 は,一 つ一 つ の 数 の もつ 個 性 を消 して,ど の数 も数 直線 上 の一 つ の点 と して均 質 化 して み る見 方 を導 入 した こ とにな った.ギ 性 に関 心が あ って,た  

リシ ャで は,数 の もつ個

とえば

28=1+2+4+7+14(右

辺 は28の 約 数 の和:た だ し28は 含 ま な い)

は完 全 数 で あ る とい う よ うな こ とに興 味 を もった の で あ るが,数 直 線上 の点 と し て28を 表 わ せ ば,こ

の点 は この よ うな 性質 を 何 も物 語 ってい な い.個

々の数 の

もつ 性質 は 消え て しま った.こ の事情 を 上 の話 で は,杉 の木 は切 り倒 され,そ れ ぞ れ の杉 の木 の もつ 姿 は 消 えて,切 株 だ け が残 った とか い た の で あ る. 近づいて い く   数 が数 直線 上 の点 と して表 現 され る ことに よって,数 の もつ 一つ 一 つ の 特徴 あ る相 は消 え て し ま った.数 直 線 上 に おげ る整 数 点 の 役 目は,長 さ1の 等 分 点 と し て の,長 さの規 準 を 与 え る こと にあ って,こ の間 をm等 分 して い くこ とに よって, 有 理n/mを表わす数

直線上 の点が決 ま って くる.

  数 直 線上 へ の 表 現 に よっ て,数 は そ の もつ 個 性を 失 ったが,そ の代 り,数 直線 とい う一 つ の実 体 に よ って,数 のつ な が り,ま た は数 の 間 の近 さ とい う感 じが前 面 に で て きて,一 つ の 統 一 された 総 合 体系 として認 識 され る よ うにな って きた.   そ うす る と,点 を 伝 って 数直 線 上 の あ る場 所 に近 づ い て い くとい う考 えが 生 じ て くる.と ころ が,こ の よ うに'近 づ い てい く'と い う性 質 を数 に賦与 してみ る と,有 理 数 を座 標 に もつ 点 だ け では 具 合 が悪 い の で あ る.有 理 数 を 座 標 に もつ 点 は,整 数 の基 準 点 の間 を 等 分 して得 られ る点 か らな り,そ れ らの点 は 一 見 した と こ ろ隙 間 のな い よ うに見 え るほ ど多 くあ って,数 直線 上 に互 い に詰 め 合 って入 っ て い る.だ

が,実

際 は隙 間だ らけ で あ って,'近 づ いて い く'と い う性 質を こ こ

で は 考 え に くい の であ る.こ の こ とを 上 のた とえ では,細 か い細 か い 砂 粒 で〓 わ れ て い る と形 容 した の で あ る.

実数 の誕生   隙 間 の場 所 を 占 め てい るの は,無 理 数 を座 標 に もつ点 であ る.た とえば 

1.4142…

は 無 理 数 だ か ら,1と2の

間 に い く ら等 分 点 を 増 や し て み て も,け

て こ の 等 分 点 の ど れ か と一 致 す る とい う こ とは な い.し   1.4 

(1と2の

間 を10等

  1.41 

(1と2の

間 を100等

  1.414  (1と2の

と い う,1と2の

分 した と き,左

か ら4番

分 した と き,左

間 を1000等

か し, 

は

目の 点)

か ら41番

分 し た と き,左

っし

目 の 点)

か ら414番

目 の 点)

間 の 等 分 点 の 近 づ く先 と な っ て い る.

  す な わ ち,有

理 点 だ け で は,こ

の よ うに 有 理 点 の 近 づ く先 が,も

は や有 理 点 で

は な くな る こ と が あ っ て,こ

の 場 合 有 理 点 の 中 だ け で 考 え る と,近

づ く先 を 見 失

う の で あ る.上

転 車 の 車 輪 が, 

の 話 で は,自

とい う隙 間 に 落 ち て 動 か な くな

っ た こ と に 対 応 す る.   そ の た め,こ

の よ うな 有 理 点 が 近 づ く先 に す べ て 座 標 を 与 え て,数

な もの に して お か な くて は な ら な い.そ て い く状 況 を,数

う しな い と,点

に よ っ て 表 現 で き な い の で あ る.こ

直線 を完 全

が 連 続 的 に 動 き,近

の よ うに し て,有

づい

理点 にさ

ら に 無 理 点 を つ け 加 え る こ と に よ っ て 数 直 線 が 完 成 し,有 理 数 と無 理 数 か らな る 実 数 が 誕 生 した.実 る.こ

数 は,座

標 を 通 して,数

直 線 上 の 点 と完 全 に1対1に

対応す

の こ と を 前 の 話 で は コ ン ク リー トで 完 全 に舗 装 し た こ と で た と え て み た.

実 数 の 連 続 性

  さ て,こ 自動 車 は,数

の よ う に数 直 線 を 完 全 な も の に し て お く と,高 速 道 路 を 滑 らか に 走 る 直 線 上 の 実 数 に よ っ て記 述 す る こ と が で き る.す

走 る 自動 車 の 走 っ て い く様 子 は,起

点 か ら 出 発 し てt分

な わ ち 高速道 路 を

後 にxm走

った と して

x=f(t) と 表 わ さ れ る こ と に な る.時

間tも 数 直 線 上 を 動 く変 数 で あ り,走

た 数 直 線 上 を 動 く変 数 で あ る.こ つ の つ な が りを も った 数― に,最

の よ うに し て,数

実 数―

が,さ

行 距離xも

ま

直 線 上 へ の 表 現 を 通 し て,1

ま ざ ま な 運 動 の流 れ を 表 現す るの

も 適 した 形 を と る の で あ る.

  つ な が りを も っ た 数 とい うい い 方 は,何

か ま だ 納 得 で き な い か も しれ な い.ふ

つ う実 数 の 連 続 性 と よば れ て い る こ の 性 質 を,ど

の よ うに 数 学 的 に い い 表 わ した

ら よ い か と い う こ と は,次

の 講 の テ ーマ と し よ う.こ

こ で の 話 か らは,実

う も の が 時 間 ・空 間 の 中 に あ る 連 続 的 な 感 覚 を 表 現 す る の に,最

数 とい

も適 した もので

あ る と い う こ とを 感 じ と っ て も ら え ば よ い の で あ る.

Tea

Time

有理数と無理数   有 理 数 とは分 数n/m(m,nは

整 数 でm≠0)と

表 わ され る数 の ことで あ る.し

か し,も し有 理 数 の表 示 の仕 方 が これ しか な か った な らば,有 理数 でな い 数 とし て 定 義 した無 理 数 の表 示 の 仕方 を 改 め て考 えな け れ ば な らなか った ろ う.だ が幸 い な こ とに,有 理 数 も無理 数 も小 数 展 開 に よ って 表わ す こ とが で きる.有 理 数 の 中 には 2/5=0

.4,3/25=0.12

の よ うに有 限小 数 で表 わ され る もの もあ るが, 1/6=0

.1666…,7/11=0.636363…

の よ うに 無 限 小 数 で 表 わ され る も の も あ る.し で あ る.す

な わ ち1/6では,小数点2位

は,0.63が

一 つ の 循 環 節 と な っ て い る.

  こ れ に 反 し,無

理 数 は,決

か し これ ら の 無 限 小 数 は 循 環 小 数

以 下 か ら6が繰り

返 さ れ て い る し,7/11

し て 循 環 し な い 無 限 小 数 に よ っ て 表 わ さ れ て い る.

ま た こ の 性 質 が 無 理 数 を 特 性 づ け て い る.任

意 に1つ

無 理 数 ωを と っ て,そ

れ を

ω=0.α1α2α3…αn… と無 限 小 数 で 表 わ し た と き,ω は,有

理数列

0.α1,0.α1α2,0.α1α2α3,… の 近 づ く先 と な っ て い る.無

理 数 は 有 理 数 に よ っ て,い

とが で き る.こ

理 数 は 実 数 の 中 で 稠 密 で あ る と い う.

の 性 質 を,有

く ら で も近 似 して い く こ

質 問   解析 学 とい うの は,数 学 の非 常 に広 い分 野 を 包 括 して い る名 称 で あ る と聞

き ま した が,た

とえば どん な 分 野を 含 ん でい るの で し ょ うか.

答   思 い 出 す ま ま に,解 析学 とい う名 前 で包 括 され る分 野 を か き出 してみ よ う. 微 分,積 分,測 度 論,フ ー リエ級 数,直 交関 数 論,ポ テ ンシ ャ ル論,変 分法,調 和 解 析,こ のほ か 複素 数 上 の解 析 学 と して,一 変数 関 数 論,多 変数 関数 論 の大 き な理 論 が あ る.ま た常 微 分方 程 式 や 偏微 分 方 程 式 の研 究 を進 め る関数 方程 式 の分 野 や,ま た この よ うな研究 に統 一 的 視野 を与 え てい るい ろい ろな 関数 空間 を調 べ る理 論 も,関 数 解析 学 と して,20世 紀 に な って 急速 に進 歩 した.ま た 確率 論 や 整 数 論 や幾 何 学 の 研究 に も,解 析 的 な方 法 を用 い る ことは本 質 的 な もの とな っ てい る.そ の意 味 で は,解 析学 は,数 学 の 中 にあ って底 知 れ ぬ広 い海 とい う感 じ なの で あ る.

第2講 実 数 の連 続 性 テー マ

◆ 実数 列 の収 束 ◆lim

xn=a

◆ 閉 区 間,開 区 間,半 開 区 間 ◆ 実 数 の連 続 性:有 界 な単 調増 加 数 列 は収 束 す る. ◆ 無 限小 数 展 開 と実数 の連 続性 ◆ 区 間縮 小 法

数 列 の 収 束

  こ れ か ら は,実

数 と数 直 線 上 の 点 と は 区 別 し な い で 考 え る こ とに す る.し

って 実 数 列x1,x2,…,xn,…

が,nが

数 直 線 上 でx1,x2,…,xn,…

大き くな る と きaに

を 表 わ す 点 列 が,aを

たが

近 づ く と い う こ と は,

表 わ す 点 に 近 づ く こ とを 意 味

し て い る(図2).

図2   図 を 見 れば 一 目 瞭 然 の この こ と を,も う.nが

大 き くな る と きxnがaに

近 づ く と い う こ と は,図

nが 大 き くな る に つ れ,xnがaの して い く よ う な 状 況 で あ る.た お く と,あ

る 番 号,た

と い う こ と で あ る.ま 番 号n2を

足 下(!)に とえば,aを中心

と え ばn1か た,aを

う少 し数 学 的 に 述 べ る こ と を 考 え て み よ

ら先 のxnが,す

ど ん ど ん 凝 集 し,ど こ し て1/1000の範

こ ま で も密 集 囲 を か いて

べ て そ の 範 囲 内 に 入 っ て くる

中 心 に し て1/100000の範囲

ず っ と 大き く と って お く と,n≧n2の

か ら 明 らか な よ うに,

と きxnは

を か い て お い て も, こ の範 囲 に入 って く

る.す

なわ ち

の よ うな 状 況 が お き て い る.  aを

中 心 に し て,ど

逆 に,こ

ん な 小 さ い 範 囲 を と っ て も こ の よ うな こ とが お き て い る.

の よ うな 状 況 に な っ て い れ ば,数

っ て よ い だ ろ う.そ

こ で,こ

対 し て,あ

列{xn}(n=1,2,…)1)はaに

  ど ん な 正 数 εを と っ て も,あ

  記号⇒

は,'な

ら ば'と

はaに

近 づ くとい

存 在 し て,次

の 性 質 をみ

れ を 定 義 と して 採 用 し よ う.

【定 義 】 数 列{x1,x2,…,xn,…}に た す と き,数

列x1, x2,…,xn,…

る 数aが

近 づ く,ま

る 番 号Nが

た はaに

収 束 す る と い う:

存 在 して

読 ん で お く と よ い.数

列{xn}(n=1,2,…)がaに

近 づ くと き

と 表 わ し,数

列{xn}の

で あ る.n→∞

極 限 値 はaで

と か い て あ る の は,nが

あ る とい う.limは

英 語limitの

頭 の3字

ど ん ど ん 大 き くな る こ と を 示 す,一

種の

動 詞 で あ る.   こ の 定 義 の 中 で,数 で,近

と し て,'ど うな,あ

直 線 は ひ と ま ず 表 面 か ら は 姿 を 消 し て,数

の世 界 の 中だ け

づ く と い う状 況 が 述 べ られ て い る こ と に 注 意 を 払 う必 要 が あ る.そ ん な 正 数 εを と っ て も'と

か,'あ

る 番 号Nが

る 不 定 さ が 残 る 表 現 を 用 い る こ と に な っ て い る.こ

あ る 数 に 近 づ く近 づ き 方 の,多

い うよ

の 不 定 さ は,数

列が

様 さ を 示 し て い る と もい え る だ ろ う.

閉 区 間,開

  二 つ の 実 数a,b(a0の

とき には

と な り,ま 頂 きanに達

たx=aでsin1/xが

山 の 頂 き1に

達 す る な ら ばxnsin1/xも

す る こ と な どが わ か る.x=bでsin1/xが−1に

xnsin1/xは−bnと

また 山 の

な る な ら ば,そ

こで

な る.

  こ の こ と か ら私 た ち はy=xn

Sin1/xの

グ ラ フ は,y=xnとy=−xnの

グラ フ

の 間 に は さ まれ な が ら,無 と 推 論 で き る.n=1,2の

限 に 振 動 を 繰 り返 し て,原 場 合 だ け 図27で

点 へ と近 づ く グ ラ フ に な る

か い て お い た.

図27 こ の グ ラ フ の 形 か ら もわ か る よ う にx=0の

と定 義 す る と,φn(x)は   n≧2の

と き,y=xn

お く こ とに よ り

連 続 関 数 と な る. sin1/xは,

と評 価 さ れ る か ら,x→0の φn(x)はx=0で

と き に はy=0と

と き,xよ

り高 位 の 無 限 小 と な る.し

も 微 分 可 能 で あ っ て,φn′(0)=0と

  これ に 反 し てn=1の

は 存 在 し な い(+1と−1の

た が っ て,

な る.

ときに は

間 を 無 限 に 振 動 す る!).し

た が っ て φ1(x)はx=0

で 微 分 可 能 で な い.   この 例 か ら もわ か る よ うに,微 察 す る こ と は,な

質 問f(x)がaで

分 が で き る か,で

きな い か を グ ラ フ の 形 か ら推

か な か 難 し い 場 合 も あ る の で あ る.

微 分 で き る と い う こ と は,aか

ら ご く僅 か に 変 化 した と き の

fの 値f(a+h)が,大

体hに

比 例 す る 変 化 の 仕 方 を と る と い う こ とで す が,日

常

的 な 例 で こ の 感 じ を 教 え て い た だ け ま せ ん か. 答   高 速 道 路 を 走 る 自 動 車 の 出 発 か ら の 時 間 をt,走 y=f(t)が

得 られ る.こ

席 の 前 に あ る 速 度 計 で 与 え ら れ る.速 は,変

は,時

間tに

す る と,関

数

の バ ロ メ ー タ ー は,運

転

度 計 の 針 が 短 時間 に大 き く揺 れ 動 くと き

化 の 状 態 が 激 し い と き で あ る.急

た りす る と そ の よ うな こ とに な る.高 る と き に は,速

行 距 離 をyと

の 関 数 の 変 化 の 模 様 を 示 す1つ

に ア ク セ ル を 踏 ん だ り,ブ

速 道 路 が す い て い て,一

度 計 の 針 は 一 個 所 に 止 ま っ て 動 か な い.こ

比 例 し て い る.し

か し,速

レー キを かけ

定 の ス ピ ー ドで 走

の と き,走

行 距 離y

度 計 の 針 が 激 し く動 い て い る と き で も,

ご く短 い 時 間 に 限 れ ば,速 度 計 の 針 は,ほ ぼ あ る 目盛 りを 指 し 示 して い る だ ろ う. ふ つ うは,こ

の 速 度 を,`そ

ご く短 い 時 間 に 限 れ ば,自 て い る.い

の と き の 速 さ は …'と

の こ とは

動 車 は ほ ぼ 定 速 度 で 走 っ て い る と見 て よ い こ と を 示 し

い か え れ ば,y=f(t)は,各

の 仕 方 で,大

い う よ う で あ る.こ

点tの

ご く近 く で は,tに

体 近 似 で き る よ うな 動 き 方 を し て い る.

比 例 した 変 化

第8講 平均 値 の定 理 テー マ

◆ 閉 区間[a,b]に

おけ る連続 関数 は 最 大値,最

小 値 を と る.こ

の事

実 は可 微 分 関数 に対 して,ど の よ うな結 果 を 導 くか. ◆ ロル の定 理 ◆ 平均 値 の定 理 ◆ 前講 の問 題 の解 決 ◆ 端点 にお け る微 分 可能 性 ◆ 単調 増 加,単 調 減 少

最 大 値,最 小 値 の 存 在 と微 分   第6講

で 証 明 し た 定 理`閉

区 間[a,b]上

値 μ,最 小 値 νを と る'を,特

にf(x)が

で 定 義 さ れ た 連 続 関 数f(x)は,最

大

微 分 可 能 の 場 合 に 適 用 す る こ と に よ り,

重 要 な 結 論 を そ こか ら 導 き 出 そ う.   関 数f(x)に

対 す る 仮 定 は,以

下 で の 応 用 上 の 便 宜 さ も あ っ て,次

の よ うに し

て お く.   (#)  f(x)は

閉 区 間[a,b]上

で 定 義 さ れ た 連 続 関 数 で あ っ て,

 ⅰ)  f(a)=f(b)  ⅱ)  f(x)は   こ こ で,端 る.た

開 区 間(a,b)で

点a,bで

と え ばa=0,b=1/π

微分可能

の 微 分 可 能 性 を 仮 定 し て い な い こ と に 注 意 を 払 う必 要 が あ と お き,区

間[0,1/π]上

の連続 関数

を 考 え る と,φ1(0)=φ1(1/π)=0で あ っ て,ま た(0,1/π]で は微 分 可能 であ る.し た が っ てⅰ),ⅱ)の

性 質 を み た し て い る.し

か し,前

講 のTea

Timeで

示 した よ

うに,φ1(x)は,左

の 端 点x=0で

bで 微 分 可 能 で な い よ うな,複

微 分 可 能 で は な い.こ

雑 な 状 況 が 関 数fに

た し て い れ ば よ い と い う の が,条   さ て,条

件(#)を

(=f(b))に

件(#)の

の 例 の よ うに,端

お き て い て も,連

点a,

続 性 さえみ

述 べ て い る こ と で あ る.

み た す 関 数f(x)を1つ

と る.も

等 し く定 数 の と き に は,(a,b)に f′(x)=0 

し,f(x)が

恒 等 的 にf(a)

属 す る ど の 点xを

とって も

(1)

とな る.   次 にf(x)が

定 数 で な い と き を 考 え よ う.こ の と き,(a,b)の

存 在 し て,f(x)〉.f(の

と な る か,f(x)〈f(の

様 だ か ら,f(x)>f(a)と

な る点xが

が 成 り立 つ.い

の と き μ>f(a)(=f(b))で

最 大 値 μ を と る点x0は,(a,b)の

中 に あ る:a<x00と

し て,こ

の 両 辺 をhで

割 っ てh→0と

す ると

f′(x0)≦0  (右 か ら の 微 係 数) ま た,h0と て,x<x′

す る.平

均 値 の 定 理 か ら,区

間 内 の2点x,x′

に対 し

の とき f(x′)−f(x)=(x′−x)f′(x+θ(x′

と な る.x′−x>0,f′(x+θ(x′−x))>0に f(x)0と い まi=0,1,…,n−1に

と お く.こ の と き

対 して

す る.分

点a=x0<x1<x20と

と お く と,fの

し て お こ う.

連 続 性 か ら,h→0の

とき

(2) と な る. 一 方,上

に 述 べ た'準

備 的 な 注 意'か ら

で あ る.   し た が っ て(1)か

と な る.こ

ら

こ でh→0と

す る と,(2)に

が 成 り立 つ こ と が わ か る(h0と

で 連 続 と し,さ

す る.関

数f(x,y)の

は長 方 形

ら に リプ シ ッ ツ条 件

(4) を み た し て い る とす る.こ

こ でLは

正 の 定 数 で あ る.

  この とき微 分方 程 式

の 解 で,y(a)=bを

み た す も の が,aの

近 くで た だ1つ

存 在 す る.

図58 リ プ シッ ツ 条 件 とは,y1→yの

と き,f(x,y1)がf(x,y)に

近 づ く速 さ が,1

位 の 無 限 小 か,あ

る い は そ れ よ り速 い と い う こ とを,D全

体 に わ た っ て一様 に 保

証 し て い る 条 件 で あ る.   この定 理 を 見 て,改 め て前 の例を 見 直 す と,  とい う関 数 は,y→0の は る か に ゆ っ く りと0に 近 づ くので,リ

とき,yに

プシ ッツ条 件が み た され て いな くて,こ

比べて の定 理 を

適用 で き る範 囲 で な か った ので あ る.

定 理 の 証 明 の考 え 方(Ⅰ)   こ こで この定 理 の 証 明が どの よ うに行 なわ れ るか,そ の 考 え方 だけ を 説 明 して お こ う.基 本 とな るの は,次 の2つ の 事柄 であ る.   (ⅰ)  関数y(x)が,

(5) を み た す と い う こ と と,y(x)が

(6) を み た す と い う こ と は 同 値 で あ る.   (ⅱ)  閉 区 間[α,β]で C[α,β]に

とお く.こ

定 義 さ れ た 連 続 関 数 全 体 の 集 合 をC[α,β]と

し,f,g∈

対 して

の と き,も

を み た し て い れ ば,必

しC[α,β]の

中 の 関 数 列{fn}が,コ

ず あ るf∈C[α,β]が

ー シ ー列 の条 件

存 在 し て, 

とな

る.   (ⅰ)に つ い て は 微 分 方 程 式 の 中 か ら微 分 が 消 え て,積 こ と に,驚

き の 目 が 向 け ら れ る か も しれ な い.こ

りつ す る'解   実 際(ⅰ)が

分 へ と移 行 して し ま っ た

れ も微 分 と積 分 の 間 を 行 きつ 戻

析 の 世 界'の 一 つ の 風 景 と 思 って み る と よ い. 成 り立 つ こ と を 見 る に は,も  と な り,ま

しy(x)が(6)を

みた して い る と

た 微 分 す る とdy/dx=f(x,y)と

なって

い る こ とか ら,y(x)は す 解y(x)が

求 め る 解 と な っ て い る こ とが わ か る.逆

あ る と,積

分 す る と(6)に

  (ⅱ)  は,C[a,β]は,'距

みた

な る.

離'‖f−g‖

性 質 で あ る.‖fn−f‖0で

の カッ コ の 中 の3つ

の 数 の 中 で,最

あ る.C

[a− μ,a+μ]に

属 す るφ で,さ

を み たす もの全 体 をSと す る.

らに

小 な も の を 示 す).も

ち

φ∈Sに

対 し て,新

で 定 義 す る.Φ(φ)は

し い 関 数Φ(φ)を

区 間[a−

μ,a+μ]上

でxの

連 続 関 数 で あ る が,さ

らに

このことは,

a) を 示 し て い る.さ

ら に,φ,ψ ∈Sに 対 して

b) が 成 り立 つ.   実 際,

((4)に

  b)で,ま

ず 右 辺 は1/2‖φ−ψ‖よ り 大 き くな る こ と は な い.し

xを ど の よ うに 動 か して も こ の 値 で 押 え られ る こ と に な る.こ と,結

局b)か

よ る)

た が っ て 左 辺は, の こ とに注 意 す る

ら

c) とい う関 係が 導 か れ た.  さて,帰 納 的 に 順次 φ0

と定 義 す る.こ

=b(定

数),

の よ うに 定 義 し て も よ い こ とはa)に

よ っ て い る.こ

の と きc)は

図60

(7) が 成 り立 つ こ と を 示 し て い る.こ りや す い.図60で,関

の 式 の 意 味 して い る も の は,図

数 の 集 りSは,集

点 の よ う に 表 わ し て あ る.そ

の と き(7)は,φnに

は 次 の よ う に 翻 訳 さ れ る.φn−1はΦ 径 で,φn中

心 の 円 を 画 く と,次

い).前

項 の(ⅱ)か

るy(x)∈C[a−

でφnへ 移 る.φn−1とφnの

μ,a+μ]に

長 さ の半分 の半

ら も わ か る よ うに,φ0,φ1,…,φn,…

μ,a+μ]は'完

は しだ

の数 学 的 証 明 は特 に 述べ な

備'だ

収 束 す る.￨y(x)−b￨≦

の図 で

ず こ の 円 の 中 に あ る.

な わ ち コ ー シ ー 列 を つ くる(こ らC[a−

数φ0,φ1,φ2,… は

注 目 し て 眺 め る と,こ

に 移 るφn+1は,必

  こ の 状 況 が お き て い れ ば,図60か い に 密 集 し て く る.す

合 の よ うに 表 わ し,関

で見 た 方 がわ か

か ら こ の コ ー シ ー 列 は,あ ρを み た し て い る こ と も 明 ら

か で あ る.

でn→∞

と す る と,左

辺 はyに

近 づ き,右

辺 もb)か

らyに

近 づ くことが わ か

微 分 方 程 式(5)の

解を与えること

り,結 局 y=Φ(y) が 得 ら れ た.  Φ の 定 義 と(6)を

見 る と,こ

れ で,yが

がわか っ た.   解 の 存 在 は こ の よ う に 示 さ れ た が,一

意 性 は 次 の よ う に 簡 単 に 示 さ れ る.い

ま

y,y1を

微 分 方 程 式(5)の

解 と す る.こ

が 成 り立 つ こ と と 同 じ で あ る.こ

と な り,y=y1が

の こ と は,上

の と きc)か

の議 論 か ら

ら

導 か れ る.

  こ の よ うに し て,リ の 解 が た だ1つ

プ シ ッ ツ 条 件 を み た す と き,aの

存 在 す る こ とが 示 され て,定

Tea

近 くで,微

Time

質 問   微 分 方 程 式 の 解 の 存 在 と一 意 性 の 定 理 の 証 明 は,い い た 世 界 が 急 に 一 度 に 広 が っ た よ うで,本 で は 解 はaの

分 方 程 式(5)

理 が 証 明 さ れ た の で あ る.

まま で解 析 を勉 強 して

当 に 面 白 い と思 い ま した.た

近 くに しか な い よ う に い っ て い ま す が,ず

だ,定

理

っ と先 の 方 で は ど うな っ

て い る の で す か. 答   よ い 所 に 気 が つ い た と 思 う.定 理 で,解

はaの

い た の は,証

曲 線 が ど ん ど ん 延 び てDの

明 に 合 わ す た め で も あ る し,解

よ う とす る 限 界 を,適 は,Dの

当 に 表 現 す る 仕 方 が 難 し か っ た か ら で あ る.実

中 に あ る 限 り,ど

ん どん 一 意 的 に 延 び て い く.そ

近 くに 存 在 し て い る 解 曲 線 上 の,x=a+μ る と よ い の で あ る.そ と が わ か る.解 し て い る.こ

うす る と,こ

の 一 意 性 か ら,こ の よ うに し てDか

こ と が わ か る だ ろ う.同 か る の で あ る.

近 くに存 在 し て た だ1つ

の 点 で,も

とか

外へ 出 際 は,解

れ を 見 る に は,aの

う一 度 上 の 定 理 を 使 っ て み

の 点 を 通 る 解 が こ の 近 くに は 存 在 し て い る こ の 解 は,a+μ

の 左 側 で は す で に あ る 解 と一 致

ら は み 出 さ な い 限 り,解

じ よ うに し て,左

は 右 の方 へ 延 び て い く

の 方 へ も ど ん ど ん 延 び て い くこ と が わ

第23講 指数関数 再 考 テー マ

◆ 指数関数― 指数法則 ◆ 指数法則から直接に微分可能性 を導 く. ◆ 指数関数の微分方程式 による定義 ◆ 指数関数のベキ級数による定義 ◆ 指数関数の定積分に よる定義 ◆eの 定義から出発す る指数関数の導入法

指 数 関 数―   次 講 か らは,多

加 法 の相 か ら乗 法 の 相へ

変 数 の 微 積 分 に つ い て 述 べ て い こ う と思 っ て い る の で,こ

は 少 しい ま ま で の 話 を 振 り返 っ て み た い.振 と し て,解

り返 っ て み る の に ふ さ わ し い テ ー マ

析 学 の 交 差 点 に い つ で も立 っ て い る よ う な,指

に つ い て,再

こで

数 関数

考 して み る こ と に す る.

  正 数a(≠1)を

底 と す る 一 般 の 指 数 関 数y=axは,指

た して い る が,逆

数 法 則ax1+x2=ax1ax2を

に 指 数 関 数 は こ の 性 質 で 特 性 づ け られ て い る.す

な わ ち,実

み 数

の 加 法 を 乗 法 へ と 移 す 連 続 写 像φ で

を み た す も の は,指 帯 条 件φ(0)≠0に,さ

数 関数y=axに

限 る(第4講,Tea

ら に こ こ で はφ(1)≠1も

  こ の よ う に 一 般 の 指 数 関 数y=axは,実 も つ 乗 法 の 相 へ と移 す,非

数Rの

Time参

照:そ

こ で の付

加 え て あ る). も つ 加 法 の 相 を 正 の 実 数R+の

常 に 特徴 的 な 性 質 を も つ 関 数 と な っ て い る.

指数関数の微分可能性 『微 分 ・積 分30講

』 を 読 まれ た 方 は,y=axの

とを 仮 定 した 上 で,解

グ ラ フ に 接 線 が 引 け る とい う こ

析 学 に お け る最 も 基 本 的 な 数(自

然 対 数 の 底)

e=2.71828182845… を 導 き 出 し た こ と を 覚 え て お られ る か も しれ な い.そ 関 数 の 中 で,特

にx=0の

と き の 接 線 の 傾 き が1と

の 導き 方 は,y=axと

な る も の,す

い う

なわ ち

(1) を み た す 数 と し て,eを

導 い た の で あ っ た.

  し か し 改 め て 考 え 直 し て み る と,グ 'y=axの

ラ フ を 見 る 限 り ま っ た く 自 明 と 思 え る仮 定

グ ラ フ に 接 線 が 引 け る'を 厳 密 に 証 明 す る に は,ど

うか と い う こ とが 問 題 に な っ て く る.い に 示 す の か,と

る.実 際(1)を

も,微

い か え れ ば,y=axの

微分 可能 性 を いか

い う こ とが 数 学 的 に は 問 題 に な る の で あ る.

  この問 題 は,(1)の

と な っ て,exは

う した ら よ い の だ ろ

右辺 の 極限 が存 在 す るか とい う こと と,実 は 同値 なの で あ

仮 定す る と

至 る 所 微 分 可 能 な 関 数 と な る こ とが わ か る.し

分 可 能 な 関 数 と な る(な

お,こ

たが って また

の 等 式 が 成 り立 つ こ と は 両 辺 の 対 数 を と っ

て み る と わ か る).

指数法則と連続性から可微分性を導 く  指 数 関 数 は指 数 法 則 をみ たす 関 数 として特 性 づけ られ て い るの だか ら,そ れで は,指 数 法 則 を用 いて,直 接y=axの

微分 可 能性 を証 明 す る こ とがで き そ うであ

る.し か し,こ の種 の証 明 は,私 が い まま で見 て きた 解 析 の教科 書 には 載せ られ て い なか った.本 書 の執 筆 に 当 って,私 自身 この証 明 を試 み た の だが 成功 しなか っ たの で あ る.た また ま,東 京 工業 大 学教 授 の 藤原 大 輔 さん にお 会い す る機 会が

あ っ て,こ

の 問 題 を お 話 し し た と ころ,藤

原 さ ん は 即 日,こ

の 解 答 を 見 出 さ れ,

私 に 書 き送 っ て 下 さ っ た.   以 下 で,指

数 法 則 か ら,指

数 関 数y=axの

微 分 可 能 性 を 示 す,藤

原 教授 の エ レ

ガ ン トな 証 明 を 述 べ て お く.   指 数 関 数y=ax(a>0,a≠1)の

は,微

連 続 性 は 既 知 と す る.こ

分 可 能 な 関 数 で あ る(第21講).こ

か 成 り立 つ.実

際,指

の とき

のとき

数 法 則 に よ って

(積分 の定義) (指数 法 則!)

した が って

とな る.S(x)は 関数y=axの

微 分可 能 な 関数 だ った か ら,axも

微 分可 能 であ る.こ れ で指 数

微 分可 能 性 が証 明 された.

微分方程式による指数関数の定義   指数 法 則 か ら,指 数 関 数 を 導入 す る の とは別 に,指 数 関数 を 全 く別 の流 儀 で 定 義 す る方 法 も あ る.そ の1つ の方 法 は微 分 方程 式 を 用 い る もの で あ る.す なわ ち

の 解 で,y(0)=1と

な る も の をy=exで

表 わ す.

 この定 義 に は多 少 の コ メント が必 要 で あ る.微 分 方程 式dy/dx=yの yは,全

右 辺 の関数

平 面 で明 らか に リプシ ヅツの条 件 を み た し てい る.し た が っ て,前 講 の

定 理(Tea

Timeも

参 照)か

を み た す も の が た だ1つ

ら,す

べ て のxに

存 在 す る.そ

れ をexと

  こ の よ う に し て 定 義 し た 関 数exは,何 C∞-級 の 関 数 で あ る.第11講 を そ の ま ま 適 用 し て,テ

対 し て 定 義 され た 解 で,y(0)=1 お こ う と い う の で あ る.

度 微 分 し て もexで

あ り,し

た が って

で の 指 数 関 数 が テ イ ラ ー展 開 可 能 で あ る こ と の 証 明

イ ラー展 開

が すべ ての 実数xに 対 し て成 り立 つ こ とがわ か る.   この ベキ級 数 展 開 を 用 いて,指 数 法 則

を示 す こ とが で きる.し た が って この よ うに微分 方 程 式 を経 由 して得 られ た 関数 exは ,ふ つ うの指 数 関 数 と一致 して い る.

ベ キ級 数 に よ る定 義 指 数 関数 を は じめか らベ キ級 数 で 定義 して進 む 道 もあ る.す なわ ち ベ キ級 数

の 表 わ す 関 数 をexと

定 義 す る.

  この 定義 の 仕方 は最 も簡 明 で あ るが,こ

のベ キ級 数 の 収束 域 がR全

体である

ことや,ベ キ級 数 は収 束 域 の 中 では 微分 可 能 な関 数 を表 わ して い る こと な どは, あ らか じめ 証 明 し てお か な くて はな らない.

定 積 分 に よ る定 義 定 積分 を 用 いて 指 数 関数 を定 義す る方 法 もあ る.そ れ に は,関 数

の 定積 分 を用 い るの で あ る.指 数 関数 とそ の 微分 を知 って いれ ば,逆 関 数 で あ る 対 数 関数 の性 質 もわ か って

は,よ

く知 られ た公 式 とな るの で あ るが,私 た ち の立 場 では,指 数 関数 は まだ定

義 され て い ない の だ か ら, は

どの よ うな関数 とな るか はわ か ってい ない.

  しか し

は わ か る.  た とえば2番目 の 式 は まず がxに

つ い て単 調増 加 の こ とに注意 す る.次 に 図61

から

(2) で あ る が,一

方

図61 を用 い る と,(2)の

右 辺 が→+∞

とな る こ とがわ か るか らで あ る.

  そ こで

と お く こ と に よ り,関 数φ(x)を

がわ か りやす い.関 数φ(x)は

定 義 す る.こ

の 定 義 の 意 味 は,図62を

見た方

す

べ て の実数xに 対 して 定義 され て い て,さ らに単 調 増 加 で あ る.x が どん どん大 き くな る と き,1か らxまで の1/tの グ ラ フ の つ くる 図62

面 積 の増 加 の 割合 は 急 速 に減 少 し て くる.こ

の こ と は,た

φ(100)か らφ(101)ま

と え ば,xが100か

ら101ま

で 動 くが,φ(100)とφ(101)の

で 動 く と き,φ(x)の 長 さ は,恐

き な 数 に な っ て い る こ と を 予 想 さ せ る.   任 意 に2つ

の 実 数x1,x2を

と る と,こ

のφに 対 し て'指

数 法 則'

方 は,

ろ し い ほ ど大

が 成 り立 つ.

【証 明 】

(s=φ(x1)t変

この 右辺 は定 義 か ら 

数 変 換!)

で あ る.し た が っ てφ(x1+x2)=φ(x1)φ(x2)が

成 り立 つ.  φ(x)が

連 続 で あ る こ とは 容 易 に わ か る.し

た が っ てφ(x)は,あ

る数 を底 と

す る 指 数 関 数 と な っ て い る の で あ る.

φ(x)=exと

定 義 す る.

  こ の 定 義 が 妥 当 な も の で あ る こ とを 見 る た め に は,φ(x)が φ′(x)=φ(x)が

成 り立 つ こ と を 示 せ ば よ い.こ

こ こで,簡単の た めh>0と

し,第21講'準

の 証 明 は 次 の よ う に す る.

備的な 注意'を 参 照 して,1/tが単調

減 少 の ことに注 意 す る と,

この真 中 の 式 がhに 等 しい の だか ら,少 し式 を 変形 す る と

が 得 られ る.φ は 連 続 だ か ら,こ

が 示 さ れ た.

こ でh→0と

微 分 可 能 で あ っ て,

す る と

  こ の 定 義 は,定

積 分 を 知 っ て い れ ば,指

も の か も し れ な い.1/tと

数 関 数 を 導 入 す る の に,比

い う関 数 を,時間tに

お け る 自動車の速度を表

え れ ば,φ(x)と

い う関 数 は,t=1か

ら 出 発 し た 自 動 車 が,距

要 し た 時 間 をxの

関 数 と し て 示 し て い る も の で あ る.東

離xだ

速90kmで

km)な

ら何 時 間 か か る か と考え る こ と は 日常 的 な こ と だ か ら,そ

な お,こ

導 入 の 仕 方 も,常

の定義 で は,y=1/tと

わ すと考 け進 む のに

京 か ら 京 都 ま で(480

km),時

れ ば,φ(x)の

車 を 走 らす と き,何

較 的 自然 な

時 間 か か る か,東

京 か ら大 阪 ま で(520 の よ うに 考 え

識 的 な 範 囲 に あ る と い っ て よ い だ ろ う. い う 関 数(反

比 例!)の中に,実

数 の乗 法 的な

相 が 隠 さ れ て い る の で あ る.

eと い う数 の 導 入   この よ うな 指数 関 数 の導 入 の 仕方 は,そ れ ぞれ には っき りした意 味 を もっ てい るが,こ の よ うな定 義 では 微 分方 程 式 か,ベ キ級 数 か,定 積 分 か,い ず れ か の こ とを 知 らな い うちは,指 数 関 数を 導 入 で きない こ とに な る.  ふ つ う解 析 入門 に お いて は 指数 関 数 を いか に直 接 的 に導 入 す るか,す

なわ ちe

とい う数 を いか に 直接 的 に 導 入す るか とい う問 題 か ら出発す る.そ のた め,ふ つ うは 何 の 説 明 もな い ま ま ま った くや み くもに,実数eを

(3) と定 義 して,読

者 を 当 惑 さ せ る の で あ る.こ

い る こ とに 注 意 し て ほ し い.た

だ こ こ で は,極

う に 完 成 さ れ た 形 式 の 中 で は な くて,い 析 入 門'の 第1章   (3)の

限概 念 が 微分 方 程 式 や定 積 分 の よ

わ ば そ の ま ま の 形 で 入 っ て い る の で'解

に お く こ とが で き る の で あ ろ う.

右 辺 の極 限値 が 存 在 す る ことは 次 の よ うに してわ か る.二 項 定理 に よ り

と な る が,こ る.し

の 定 義 に もす で に 極 限 概 念 が 入 っ て

こ でnの

た が って

代 りにn+1を

お く と,各

項 は 大 き くな っ て,さ

ら に 項 数 が1つ

増 え

(n=1,2,…)

と な る.ゆ

えに

と お く と,a10と で あ り,f′(x)は

点 の 近 くで も,f′(x)>0が

単 調 増 加 で あ る.ゆ   これ が,1変 い よ う に,表

え に,逆

形

写

成 り立 つ.し

関 数f−1(逆

写 像!)が

た が っ て こ の 範 囲 でf(x)は 原 点 の 近 くで 存 在 す る.

数 の 場 合 に 逆 写 像 定 理 に 対 応 す る こ と で あ る.こ

の対 比 を見 や す

に か い て お こ う. 1変

線

図79

連続だ

像

数 の と き

2変

数 の と き

y=axでa≠0

で

1対1

が正則行列 Φ は1対1 一 般 のC1-写 像

y=f(x),f(0)=0でf′(0)≠0

逆写像定理

原点 の近 くで1対1で,し たが ってそ こでf−1が 存 在 す る

逆 写 像 定 理 の証 明 の 考 え 方(Ⅰ)   逆 写 像 定 理 を 示 す た め に は,対 に,単

にJ(Φ)(0,0)が

応 す る1変

正 則 で あ る と い う仮 定 を 用 い る だ け で な くて,点(x,y)

が 原 点 に 十 分 近 い と き に は,J(Φ)(x,y)は ら か の 形 で 用 い な くて は な ら な い(こ ら の 帰 結 で あ る).し

た が って,証

や は り正 則 な 行 列 と な る こ と を,何 の こ と 自 身 は,Φ

な わ ちRnか

らRnへ

がC1-写

像 で あ る こ とか

明 は 多 少 細 か い 配 慮 が 必 要 と な る.

  こ れ か ら 述 べ る 証 明 の 考 え方 は,2変 の 場 合,す

数 の場 合 を 見 て も推 察 で き る よ う

のC1-写

数 の 場 合 だ け で は な くて,一

般 にn変

数

像 に 対 し て も適 用 さ れ る 考 え で あ る.

ま た 証 明 の 背 景 に あ る ア イ デ ア は,第22講 と き の,微 る.こ

で 述 べ た,リ

プ シ ッ ツ条 件 を み た す

分 方 程 式 の 解 の 存 在 と一 意 性 を 与 え る証 明 と,類 似 の も の を 含 ん で い

の点 も ま た 読 者 の 興 味 を よぶ の で は な い か と思 う.

 い ま A=J(Φ)(0,0)

とお くと,仮 定 か らAは 正 則 行列 で あ り,し た が って逆 行 列A−1が 存 在す る. 合 成写 像

を 考 え る と,ΦoA−1はC1-写

像 で,ま

た 前 講 の 結 果 か ら,原

点 に お け る ヤ コ ビ行

列 を考 え る と

(1) と な る.   私 た ち は,Φ

の 代 りに,ΦoA−1に

に対 して 定 理 が 成 り立 つ な ら ば,R2の

は1対1と

な る.し

対 し て 定 理 の 証 明 を 試 み よ う.も 原 点 を 含 む 領 域U,Vが

た が っ てU=A−1(U),V=Vと

し,ΦoA−1

存 在 して

お く と,U,Vは

や は り原 点

を 含む 領域 で

は1対1写 (=V)上

像 と な る.V上 でC1-写

  し た が って,Φ

で ΦoA−1の 逆 写 像 がC1-写

像 な ら ば,Φ の 逆 写 像 もV

像 と な る こ とは す ぐ にわ か る. の 代 りに ΦoA−1に 対 し て 定 理 が 成 り立 つ こ とを 示 す と よ い.

逆 写 像 定理 の証 明 の考 え方(Ⅱ)   い ま 述 べ た こ とは,(1)を

見 る と,定 理 の 仮 定 の 中 のⅱ)の

強 い仮 定

(2) を お い て 証 明 し て も よ い とい う こ とで あ る.

代 りに,も

っと

記 号 を 簡 単 に す る た め に,P=(x,y)と

お き,ま

た

とお く.ま た 正 数 εに 対 し て

と お く(図80).記

と表 わ し,こ

号 を整 理 す る ため

れ に 対 し て,Ψ

図80

を

(3) す なわ ち

と 定 義 す る.そ   (2)か

で あ り,し

し て こ の 右 辺 を そ れ ぞ れ,u=Ψ1(x,y),v=Ψ2(x,y)と

表 わ す.

ら

た が っ て,Ψ1とΨ2の

  Ψ1,Ψ2はC1-級

原 点 に お け る偏 微 係 数 は す べ て0と

な る.

で あ り,し た が っ て 正 数 εを 十 分 小 さ く と る と,U(ε)上

が 成 り立 つ よ う に で き る.こ

の こ とか ら,U(ε)上

で

(4) が 成 り立 つ こ と が わ か る. 【(4)の 証 明】 平均 値 の 定 理(第25講,Tea

Time)か

ら

で

｜Ψ2(P)−Ψ2(P′)￨に対 して も同 様 の 式が 成 り立 ち,こ の こ とか ら,(4)が  特 にP′ と し て,原

点Oを

と る と,Ψ(O)=Oだ

示 され る.

か ら

とな る. Q∈U(ε/2)を1つ

と っ て 固 定 す る.こ

の と き私 た ち の 示 し た い こ とは,原点

まわ りの領 域 を適 当 に と る と, Φ(P)=Q と な るPが,こ

の領 域 の 中 に た だ1つ

存 在 す る とい う こ と で あ る(図81).

図81

それ を示 す た め に

(5) と お く.Q=(q1,q2)と

お く と,ΨQ(P)=(q1−Ψ1(x,y),q2−

Ψ2(x,y))で

あ る.

また

(6) の こ と を 注 意 し て お こ う.   ΨQ(P)はC1-級 U(ε)に

の 写 像 で,U(ε)をU(ε)の

中 に 写 像 して い る.実

対 して

ま た,(4)を

参照 す る と

(7)

際,P∈

の

  この状 況 は,第22講

の定理 の証 明 に現 われ た 状況 と ま った く同様 で あ る と い

って よい.し た が って そ の と きの考 えがそ のま ま適用 で きて

一 般 に ,帰 納 的 に

(8) と お く.こ

の と き 点 列{Pn}は,U(ε)の

し た が っ て{Pn}は1点Pに

中 の コ ー シ ー列 と な る こ とが わ か る.

収 束 す る(実

数 の 連 続 性か ら各座 標成 分 が 収 束 す

る).   (8)でn→∞

とす る と,ΨQは

連続だか ら

(9) と な る.   (9)か

ら,ま

ずP∈U(ε)が

得 ら れ る.実

際,(7)でP′=Oと

お い て(6)

を用 い る と

によ り

ま た(5)と(3)を

用 い て(9)を

か き直す と

す なわ ち

と な り,点Qへ に よれ ば,こ

Φ に よ っ て 移 さ れ るP∈U(ε)の の よ うなPは,写

像 ΨQの 不 動 点(!)と

し た が っ て こ の こ とか ら,  む 領 域 で あ っ て,Φ

はWか

存 在 が 示 さ れ た の で あ る.(9) し て 得 られ て い る. と お く と,Wは

ら 

原点 を 含

の上へ の写 像を 与 え てい る こ と が わ か っ

た(図82).   さ らに Φ はWか Φ(P')と

へ の1対1写

ら 

す る と(9)か

ら

像 と な っ て い る.実

際,Q=Φ(P)=

図82 とな る.し

た が っ て(7)か

  こ の よ うに し て Φ は,写

と して,1対1の,上

ら,P=P′

が 結 論 され る か ら で あ る.

像

へ の 写 像 を 与 え て い る こ と が わ か っ た.

  こ の 逆 写 像 Φ−1がC1-写   こ の よ う に し て,少

像 と な る 証 明 は,こ

し長 くな っ た が,逆

Tea

こ で は 省 略 し よ う.

写 像 定 理 が 証 明 さ れ る の で あ る.

Time

n次 の 正方 行 列 とC1-写 像 線 形 代 数 で,n次

は,n次

の正方 行 列

元 ベ ク トル空 間Rnか

らRnへ

の 線 形 写 像 を表 わ す とい うこ とは聞 いた

こ とが あ るだ ろ う.実 際,こ の行 列 の 表わ す 線 形 写 像は

で 与え ら れ る.こ る.そ

の 一 般 化 と し て,Rnか

らRnへ

のC1-写

像 を考 える ことが で き

れは

の 形 を し たRnか

らRnへ

の 写 像 で あ る.こ

こ で 各fi(i=1,2,…,n)は,変

数x1,

…,xnに

つ い て 偏 微 分 可 能 な 関 数 で あ っ て,各

で あ る.こ も,ヤ

の 講 で 取 り扱 っ た の は,n=2の

列 な らば,逆 ら,容

場 合 で あ る.こ

コ ビ行 列 を 考 え る こ とが で き て,逆

と が で き る.こ

偏 導 関数 が 連 続 とな ってい る もの

写 像 定 理 は,同

の よ うな 一 般 化 が 可 能 な こ とは,n次 行 列,し

の 一 般 のnの

と きに

じ よ うな形 で述 べ る こ

の 行 列 の 場 合 で も,正

則行

た が っ て 逆 写 像 が 存 在 す る と い う事 実 が 成 り立 つ こ とか

易 に 推 測 さ れ る こ と で あ る.こ

の 場 合 の 証 明 も,こ

こで述 べ た証 明 と同様

に で き る.

質 問   陰 関 数 定 理 と い うの を 聞 い た こ とが あ りま す が,そ

れ は ど ん な もの か,こ

こ で 説 明 し て い た だ く こ と が で き ま す か. 答  逆 写 像 定 理 と陰 関 数 定 理 は,密

接 に 関 係 し合 っ て い る の で,こ

こで述べ る こ

と が で き る.   関 数 は,ふ

つ うはy=f(x)の

形 で 表 わ さ れ て い る.し

な 形 で 与 え ら れ て い な い と き もあ る.た 例 で あ る.こ

の と き で も,y≧0の

と え ば,円

範 囲 で は,こ

か し,関

数 が この よ う

の 方 程 式x2+y2=r2は

の 式 は,実

と い う 関 数 を 表 わ し て い る と考 え る こ とが で き る.こ

そ の

質 的 に は, 

の よ う に,関

数が

F(x,y)=0 と い う 関 係 を み た す もの と し て 与 え られ て い る と き に,陰

関 数 と い う.

  し か し注 意 す る こ とは,F(x,y)=0と

い う関 係 でyがxの

に 決 ま る と い う保 証 は な い の で あ る.上

の 円 の 方 程 式 で も,y≧0と

け れ ば,yはxの

関 数 と し て は 一 意 的 に は 決 ま ら な い.別

は,y=−xと, 

と い う3つ

  ど の よ うな と き,F(x,y)=0と ま る か,と

関 数 と して 一 意 的 してお か な

の 例 と して は,

の 関 数 を 与 え て い る.

い う関 係 か らyがxの

い う条 件 を 述 べ る の が 陰 関 数 定 理 で あ る.そ

関 数 と して 一 意 的 に 決 れ は 次 の よ うに 述 べ ら れ

る:  'F(x,y)はC1-関

数 で,F(0,0)=0,Fy(0,0)≠0が

近 くで,F(x,φ(x))=0を   こ の 定 理 は,見

み た す 関数y=φ(x)が

成 り立 つ な ら ば,原 た だ1つ

点の

存 在 す る'

か け は 逆 写 像 定 理 と無 関 係 の よ うで あ る が,C1-写

像 Φ:(x,y)

→(x,F(x,y))を の と き,ヤ

考 え る こ と に よ っ て 逆 写 像 定 理 と結 び つ くの で あ る.実

際 こ

コ ビ行 列 は

と な り,仮 定Fy(0,0)≠0に

よ り,正 則 行 列 と な る.し

た が っ て,原

点 の 近 くで

Φ の 逆 写 像 Φ−1が存 在 す る.

とお く と,こ

の 両辺 に Φを 適 用 して

し た が っ てy座

標 を 見 比 べ てF(x,φ(x))=0と

が 存 在 す る こ とか ら の 結 論 と な る.

な る.φ の 一 意 性 は,Φ

の逆 写 像

第29講 2変 数関数の積分 テーマ

◆1変

数関数 の積分 と2変 数関数の積分

◆ 面積確定 の領域上での積分 ◆2変

数連続関数の積分 の定義

◆ 積分の基本性質 ◆ 累次積分

1変 数 関 数 の積 分 と2変 数 関 数 の 積 分   2変 数 の関 数f(x,y)に

つ い て,い

ま までは 微分 の立 場 で 取 り扱 って きた が,

今度 は 積分 の立 場 で 見 てみ よ う.   2変 数 の連 続 関 数f(x,y)に

対 して,重 積 分 とも よばれ る'2変

数 関数 と して

の定 積分'

(1) を導 入 した い の で あ る.   しか しこ こで も また 微 分 の 場合 と 同様 に,1変

数 関数f(x)の

定 積分

(2) の 場 合 に は あ ま り触 れ な か っ た 事 柄 に つ い て,新 し い 注 意 が 必 要 と な る.そ 1変 数 関 数 の 場 合 に は,定 あ っ た.こ

積 分 の 範 囲 は ふ つ うは(2)の

の 閉 区 間[a,b]は,長

基 本 的 な 集 合 で あ っ て,実

際,私

れ は,

よ うに 閉 区 間[a,b]で

さ を 測 る とい う観 点 に 立 っ て み た と き,最 た ち が 長 さb−aを

もつ 集 合 と い え ば,ま

も

ず こ

の よ うな 閉 区 間 を 考 え る.   こ の 閉 区 間[a,b]に え ば,一

辺 が[a,b],他

対 応 す る,2次 の 辺 が[c,d]で

元(平

面!)に

お け る基 本 的 な 集 合 と い

与 え られ る 長 方 形

で あ ろ う.し た が って(2)に

対 応 す る2変 数 の 定 積分 と して

(3) を 考 え る こ と は,ひ

と まず 自 然 な 拡 張 と い っ て も よ か っ た の で あ る.

面積確定の領域上での積分   しか し 実 際 は,平 の 場 合 に は,定

面 上 の 図 形 の 中 で,長

積 分 の 範 囲 と し て 閉 区 間[a,b]を

抗 も感 じ な か っ た が,2次 ら,何

方 形 は あ ま り に も特 殊 す ぎ る.1次

元 の 場 合,長

か 妙 な 感 じが す る だ ろ う.こ

と る こ と に,私

元

た ちは 何 の抵

方 形 の 上 だけ で積分 を考 え る とい った

こ に1次

元 と2次

元 の積分 を考 え る ときの違

い が 生 じ て くる.   した が っ て'重

積 分'(1)を

考え る と き,積

の を と る の が 適 当 か と い う こ と に な る.Dと う こ と は,ま

して,平

し て ど の よ うな も

面 の有 界 な集 合 を と る とい

ず 前 提 と し て お こ う.

 1次 元 の 場 合, で,特 [a,b]の

分 の 範 囲Dと

長 さb−aに

の 値 は,Dの

にf(x)≡1の

な る.同

と き に は,こ

じ よ う に(1)で,f(x,y)≡1の

面 積 と な る こ と が 望 ま し い.し

の 積分 は 閉 区 間 ときに は

か し そ うな る た め に は,Dに

面積

と い う概 念 が 確 定 し て い な くて は な ら な い.   こ の よ うな 考 察 か ら,2変   (A) 

Dは

  (B) 

f(x,y)は

数 の 場 合,定

積 分(1)を

導 入 す る 出 発 点 と して

面 積確 定 の 平面 の有 界領 域 閉 領 域Dで

連続 な関 数

を 仮 定 して お く こ と に す る.   もち ろ ん,1変 (B)よ

数 関数 の 定積 分 の定 義(第20講)の

よ うに,f(x,y)に

つ い て の仮 定 は

りも っ と弱い 所 か ら始 め て もよ い.し か し,そ うす る と話 が 少 し細 か くな る ので,

こ こで は は じめ か らfに 連続 性 を仮 定 し た ので あ る.

2変 数 の 積 分 の 定 義 そ こ で(A),(B)を

仮 定 し た 上 で,D上

のfの

定積分

を 定 義 し た い.ま

ず,仮

定(B)か

ら,第24講

た 定 理 を 参 照 す る と,f(x,y)はDで   第19講

の 中 の'連

続 関 数'の

項 で述 ベ

有 界 で あ る こ と を 注 意 し て お こ う.

と 同 様 の 考 察 を 繰 り返 す こ と と して,Dは

の 中 に 含 ま れ る と し て,[a,b],[c,d]の

長方形

分 点

を と り,

と お く.長 あ る.ま

方 形Jijは,第19講

たJijの

で は,し

ば し ばgタ

イル と して 引 用 し た も の で

面積を

と か く.   さ て,こ

れ ら のJijの

中で

(4) と な る も の に 注 目 し,こ と る.そ

の よ う なJijに

対 し,Jij∩Dの

中 か ら1点(xij,yij)を

して和

(5) を 考 え る.こ

こ で Σ′ とか い た の は,和

は(4)を

み た す(i,j)に

つ い て だけ と

ら れ て い る こ とを 意 味 し て い る.   こ の と き,Dが

面 積 確 定 で あ る と い う こ と と,f(x,y)がDで一様

う性 質 を も つ こ と か ら1),gの

分 点 の 最 大 幅Max(xi+1−xi),Max(yj+1−yj)を

0に 近 づ け る と,(5)は(xij,yij)の こ と が 証 明 で き る(こ

と り方に よ らず 一 定 の 極 限 値 に 収 束 す る

の 証 明 の 考え 方 は,第20講

で1変

積 分 可 能 で あ る こ と を 示 し た 考 え 方 と 同 様 で あ る).こ

数 の 場 合,連

数 の場 合 の 定義 も容 易 に 類 推 で き る だろ う.

続 関数 は

の 極 限 値 を,f(x,y)のD

  1)  2変 数 関 数 の 場 合,一 様 連 続性 の定 義 は 特 に 与 え なか った が,読 者 は,第20講 場 合 の 定義 か ら,2変

連 続 とい

で与 え た1変 数 の

上 の定 積 分 と定 義 す るの であ る.す なわ ち 【定義 】 分 点gの

最 大 幅 を0に 近 づけ た と き

の 極 限値 を

と 表 わ し,f(x,y)のD上

の 定 積 分,あ

る い は 単 にD上

の 積 分 と い う.

積分の基本性質  この よ うに 積 分を 定 義 す れ ば,1変

数 の と き と同 じ よ うに,次 の 基 本性 質 が成

り立 つ. f(x,y),g(x,y)をD上

で 連 続 な 関 数 とす る と,定

数 α,βに 対 し

  また1つ の領 域 に対 して 与 えた 上 の積 分 の 定義 は,D1,D2,…,Dnが な い,面 積 確定 の領 域 の とき には,和 集 合 

共通 点 の

上 の積分 の定 義 に ま で 自

然 に拡 張 で き て

が 成 り立 つ.

累 次積 分  積 分 の定 義 は これ で 済 んだ が,面

積 確定 の 領 域Dと,連

続 関数f(x,y)が

与

え られ た とき,

を 具 体 的 に ど の よ うに 計算 した らよい か とい う方 法 につ い て は,上 の定 義 は直 接

図83

には 何 も教 え て くれ な い.ふ つ うは この積 分 の値 は1変 数 の場 合 に 帰着 させ て計 算 す る.   い ま簡単 の ため,領 域Dが

図83で 与 え られ て い る よ うな 場 合 を考 え よ う.す

な わ ち この領 域 の左 端 と右端 はx=a,x=bで

限 られ,上 下 は 連 続 関数φ2(x)と

φ1(x)の グラ フ y=φ2(x),y=φ1(x)

で 限 られて い る とす る.こ の ときDは

面 積確 定 であ る.

  この とき次 の 命題 が成 り立 つ:

  こ の 右 辺 の 意 味 は 次 の よ うな こ とで あ る.xを て,φ1(x)か

ら φ2(x)ま

と め てf(x,y)をyの

関 数 とみ

で 積分 した結 果 を

(6) と お く.F(x)はxの し た 値 が,左

関 数 と し て 連 続 と な る.こ

辺 に 等 し い と い うの で あ る.す

を 二 度 繰 り返 した こ と に な っ て い る.こ 【証 明 】 命 題 を 示 す た め に,再 る.い

まiを

とめ て 積 分

びJij∩D≠

のF(x)をaか

らbま

な わ ち 右 辺 は,1変

で 積分

数 の関 数 の積 分

の 右 辺 を 累 次 積 分 と い う. φ を み た すJijだ

け考 え る こ とに す

を 考 え る.こ っ てy方

の 積 分 は,図84を

向 にf(xi,y)を

み て も わ か る よ うにPjか

らPj+1ま

で実 線 に沿

積 分 し た こ と に な っ て い る.

図84

とお くと,積 分 に 関す る不 等式(第21講'準

が 成 り立 つ.こ

とな る.こ   実 際 は,こ

の 式 をjに

こ で Σ′は,前

と 同 じ よ うに,Jij∩D≠

れ ら の 不 等 式 は,JijがDの

φ と な るjだ け を 加 え て い る.

境 界 と交 わ る と ころ で,多

れ らの 補 正 は,こ

こ の 不 等 号 の 真 中 に 挾 ま れ た 式 は,F(xi)に

少 の補 正 を

れ か らの極 限操 作 で 結局 は消 え る

の 点 に つ い て 細 か い 議 論 を 避 け て し ま っ た の で あ る.(6)を

  こ の 不 等 式 にxi+1−xiを

ら

ついて加えると

した 上 で 成 り立 つ の だ が,こ の で,そ

備 的 な注 意'の 項)か

用 い る と,

等 し い こ と に 注 意 し よ う.

かけ て加 え る と

が得 られ る.こ の不 等 式 の 両側 の式 は 

に近 づ く.し た が っ て真 中 に挾 まれ た式 の極 限値

の と き,と

もに

は,こ

のf(x,y)の

くて は な ら な い.こ

積 分 に 等 し くな ら な れ は 証 明す べ き式 で

あ っ た. 【例 】 図85の

よ うに,x=π/4からx=π/2

の 間 で,y=sinxとy=cosxの で 挾 ま れ た 領 域 をDと

グラ フ し,

図85 を 求 め て み よ う.

こ こで 最後 の 式へ 移 る と き,不 定 積分

を 求 め る必 要 が あ っ た が,こ

の 不 定 積 分 は,cosx=tと

お く こ と に よ り,容

易に

求 め ら れ る.

Tea

Time

累次積分で積分の順番をかえてみ る   累 次積 分 を す る順 序 は,ま ずyに つ い て積 分 して 次 にxの 積 分 に移 るか,あ る い は この逆 に,ま ずxに つ い て積 分 して次 にyの 積 分 に移 るか の2通 りが あ る

が,ど ち らを選 ん で も もち ろん 同 じ結 果 に到 達 す る.し か し,実 際計 算 の過 程 で は,順

番 を と りか え る と,ま

た 式 が で て き て,慣

っ た く違 っ

れ な い と,間

違 った

の だ ろ うか と不 安 に な る こ と さ え あ る.   こ の こ と を,す

ぐ上 の 例

で 見 て み よ う.今

度 は,xに

分 を 最 初 に 行 な い,次 と い う順 序 で,累 う.図86を

にyの

つ い て の積 積 分 に移 る 図86

次積 分 を 行 な って み よ

参 照 し て み る と,こ

の 累 次 積 分 は2つ

の 積分 の和 と し て 表わ され る

こ と が わ か る.

こ の よ う に 積 分 が2つ Dの

に わ か れ た の は,yの

境 界 を つ く る グ ラ フ がx=cos−1yか

方 か ら見 た と き, 

らx=sin−1yへ

の と き,

と変 わ るか ら で あ る.こ

の計 算 を 行 な うと

とな り,当

然 の こ と な が ら 前 の 結 果 と一 致 す る.

質 問  1変 数 関 数 の積 分 の ときに は,a0と の 長 方 形 が,Φ

の Φ に よ る 像 Φ(I)は,曲

し て い る)の

と線 形 写 像J(Φ)で

左 の 図 は,点(x,y)を 長 方 形Iを

画 い て い る.

移 され た 状 況 を 画 い て い る.I

線 で 囲 ま れ た 図 形 で あ り,J(Φ)に

よ る 像J(Φ)(I)

は,点(f(x,y),g(x,y))を1つ

の 頂 点 とす る 平 行 四 辺 形 で あ る.図89で

で あ る こ と を 注 意 し て お こ う.   こ の と き上 に 述 べ た こ と は,曲 形 の 面 積￨J(Φ)(I)￨と

は,高

線 に 囲 ま れ た 部 分 の 面 積￨Φ(I)￨と,平

位 の 無 限 小 を 無 視 す れ ば,'ほ ぼ'等

行 四辺

し い とい うこ

と で あ る. 一方

,Iの

面 積￨I￨と,￨J(Φ)(I)￨の

で 与 え ら れ て い た.し

が 成 り立 っ て,こ

関係 は

た が っ て,近

似式

の 近 似 式 の 精 度 は,h,k→0の

と き ど ん どん よ くな っ て く る だ

ろ う.   こ の 意 味 で,￨detJ(Φ)(x,y)￨は,無

限 小 の レベ ル で の,Φ

に よる面積 の増 加

率 を 表 わ し て い る と 考 え られ る.   さ て,こ る.こ

こ で 命 題 の 式(5)を

改 め て 眺 め て み よ う.左 辺 は Φ(D)の

の 面 積 を 求 め る の に,ま

ずDの

こ の 正 方 タ イ ル の そ れ ぞ れ を Φ で 移 し て ,Φ(D)の 各 の 正 方 タ イ ル の 面 積 は,そ 率 と し て,Φ

  し た が っ て,正 て,極

に

値 を近似 的 な倍

方 へ 移 さ れ て い る.

方 タ イ ル の 大 き さ を,ど

限 へ 移 る な らば,す

,次

面 積 を 求 め よ う と考 え る.各

の 点 に お け る￨detJ(Φ)(x,y)￨の

に よ っ て Φ(D)の

面 積 であ

方 を細 か い正 方 タイ ルで お お って

ん どん 小 さ い も の に し て,和

べ て は 積 分 記 号 の 中 に 包 括 さ れ,(5)が

を とっ

成 り立 つ だ

ろ う と予 測 す る の は 自 然 な こ と で あ る.   しか し,こ (図89の

の 点 を 厳 密 に 証 明 し よ う と す る と き,微

右 図 で,曲

小 部 分 にお け る面 積 の誤 差

線 に 囲 まれ た 部 分 の 面 積 と平 行 四 辺 形 と の 面 積 の 差)を,各

タ イ ル に わ た っ て よせ 集 め た と き,こ

の 誤 差 の 影 響 が ,積

響 す る か 見 積 ら な け れ ば な らな い.実

際 は,こ

て 積 分 の 中 に 吸 収 さ れ て,(5)が か い 証 明 の 筋 道 は,こ

の 誤 差 は,極

成 り立 つ の で あ る が,こ

こ で は 省 略 し よ う.

分 の中 に どの よ うに影 限 へ 移 る と き,すべ れ を示 す 解析 的 な細

積分の変数変換   面 積 に 対 し て 成 り立 つ(5)の   い ま,Φ

は 前 の よ うに,R2か

定 な 有 界 領 域 とす る と,Φ(D)も れ た 連 続 関 数 と す る.こ

関 係 は,連 らR2へ

続 関 数 の 積 分 に 対 し て も成 り立 つ.

の 正 則 なC1-写

像 とす る.Dを,面

同 じ性 質 を も つ.F(u,v)を

Φ(D)上

積確 で定義 さ

の と き次 の 定 理 が 成 り立 つ.

【定理 】

ここで

で あ る.

  こ の 定 理 の 証 明 は 省 略 し よ う.た だ,F(u,v)≡1の 面 積 と な り,上

と き に は,左 辺 は Φ(D)の

に 述 べ た 命 題 とな っ て い る こ と だ け を 注 意 し て お こ う.

Tea

Time

質 問  「解析 概 論」 とか,「 解析 入 門」 とい う本 が,大 きな書 店 の数 学 書 を並 べ た 所 に行 くと,た

くさ んあ ります が,も

う少 し勉強 した い と思 うと きには,ど の よ

うな 本を 選 ん だ らよい ので し ょうか. 答  この本 の 最初 に述べ た よ うに,解 析学 の奥行 きの深 さか ら,こ れ らの本 に は そ れ ぞれ の 特 色が あ って,重 点 を お く場所 や,テ ーマ の選 び方 が 少 しず つ違 うよ うであ る.た とえば,日 本 の数 学 書 の古典 として,い ま もな おみず みず しい感 触 を 保 ち続 け て い る,高 木 貞治 『解 析概 論 』(岩 波 書店)の 内容 の豊 富 さは群 を ぬ いて い るが,そ れ で も微分 方程 式 につ い ては 触 れ られ てい な い.多 変 数 の微 積 分

に つ い て の現 代 的 な立場 か らの 取 扱 い は,杉 浦 光 夫 『解 析 入 門』(東 京 大学 出版 会)のⅡ 巻 に詳 細 に 述べ られ て い る.微 分方 程 式 に重 点 を お いて かか れ た 解析 入 門 の本 と して は溝 畑 茂 『数 学 解析 』(朝 倉書 店)が あ る.   これ らの 本 の例 で も見 られ る 解析 入門 に おけ る テ ーマの 選択 の多様 性 と,構 成 の違 い は,外 国の 本 な どで は もっ と顕 著 に見 られ る傾 向で あ って,そ れ は結 局 は, 解 析 学 に 近づ くひ と りひ と りの数 学 者 の 関心 のあ りか と,個 性 の違 いを 反 映 して い る と考 え て よい もの であ る.   した が って,こ

の30講 を読 み 上 げ て,さ

らに も う少 し解 析学 を学 んで み た い

とい う読 者 は,図 書館 や 本屋 さ ん で この種 の本 を い ろい ろ眺 め て み て,自 分 に 関 心 のあ るテ ー マを重 点 的 に扱 っ てい る本 を選 んで み るの も,一 つ の選 択 の 方法 と な る.も

ち ろ ん,読 者 の理 解 の仕 方 も多様 な のだ か ら,あ ま り評判 に こだわ ら

ず,自 分 に な じみ やす い 形 でか か れ た 本 を選 ぶ とい う考 え もあ って よい か も しれ な い.   いず れ に して も,解 析 入 門 とい う門 を く ぐる くぐ り方 は,人 に よって い ろ い ろ あ る ので あ る.

問 題 の 解 答

第3講 問1 

数 列{xn}が

収 束 す れ ば,{xn}は

コ ー シ ー 列 で あ り,し

た が っ て 

が

成 り立 つ.   逆 に  の 性 質 を 見 る と,任

が 成 り立 っ た と し,こ 意 の 正 数 εに 対 し て,あ

の 値 をaと

す る.こ

を み た して い なけれ ば な らな い.す な わ ち

を みた してい な けれ ば な らな い.こ の ことは,limxn=aを

示す.

問2  講義 で述 べ た よ うに

と お く と,xn≦ynに

よ り,Xn≦Xn′,Yn≦Yn′.し

が 成 り立 つ.

第6講 問1  最 後 の ところ だ け示 して お こ う. ｜x−a￨<Min(δ1,δ2)の

し た が っ てf(x)g(x)は,x=aで

第10講 問1 した が って,帰 納 的 に

の と き,上

る 番 号 か ら 先 のxnは,す

と き

連 続 で あ る.

た が って

べて

極 限,下

極限

で あ る こ とが わ か る.

問2

第16講 問1 に 注 意す る と,ま ず

が 得 られ る.し たが って,講 義 の 中で 求め た 公式 を使 うと

第21講 問1

問2

索

引

Cr-級 の― ア

行

 204

C∞-級 の― 

72

e  179

2変 数 の―

  182

一 様 収 束   93

微 分可 能 な―

一 様 連 続 性   150

偏 微 分 可能 の―

1階 線 形 微 分方 程 式   123

完

  54,196   188

備   22

一 般 解   119,135 陰 関 数 定 理  225

逆 三 角 関数 の導 関数   69 逆 写像 定理   217

上 に 有 界  13,17

極 限値  9 極 小値   76

n階 線 形 微分 方 程式   118,127

極 大値  76 極

値   76,77

オ イ ラ ー の公 式  99

距

離   183

カ

行

区 間 縮 小 法  13 グラ フの つ くる図 形   146

解 曲線   165 開 区 間   10 解 の 存在 と一 意 性   166

原 始 関数   101

外部 面 積   143 下

界  20

高 階導 関数  72

下 極 限  23

合成 関数 の微 分  70

下

コ ーシ ー ・ア ダマ ール の定理   89

限  20

可 微 分 関 数  54

弧

加

コー シ ー列  21

法  29,32

度  68

加 法 公 式   69 関

サ

数   34 ― の 極 限値   34

最 小値  47

―

最 大値  46

の定 義 域   183

C1-級 の―

  196

C2-級 の―

  201

C3-級 の―

  203

三 角関 数   68 ―の導 関 数  68 Cr-級   162

行

―の関 数  204

積 分 す る  100 積 分 定 数  102

C1-級 ―

の関 数  196

積 分 の変 数 変 換  243

―

の写 像  209

接 空 間  216

C2-級 の 関数   201

接 線 の 式  53

C3-級 の関数   203

絶 対 収 束  87

C∞-級 の関 数  72

接 平 面 の方 程 式   195

C1-写 像   209

線 形 写 像  211,213

正 則 な―

  239

正 則 な―

 215,236

C1-写 像 と面 積   240

線 形 性  125

指 数 関 数  173 ― の導 関 数  69

線 形 微 分方 程 式

―

の微 分 可 能 性   174

―

定積 分 に よ る定 義  176

―

微 分方 程 式 に よる定 義   175

―

ベ キ級 数に よ る定義  176

斉 次 の―

  131

定 数 係数 の―

  130

相 似 写 像  27 タ

四 則演 算 の連 続 性   44 下 に有 界  13,20

対 数 関 数 の導 関 数  69

実

数  5

対 数 微 分  106

―の 連続 性   10

多項 式 の導 関 数   67

行

斜交 座 標  238

ダル ブー の定 理   144,149

収 束 域  88

単 調 減 少  64

収 束 す る  9

単 調 増 加  63

収束 半 径  88 上

界   17

近 づ く  9,183

上 極 限   23

置 換 積 分   105

上

限   18

乗

法   29,32

初期 値   121

定 義 域  42 関 数 の―

  183

定 数 係 数 の線 形 微 分 方程 式   130 数 直 線  5

定積 分   146,148 定 積 分 と不 定 積 分   158

正 規 形   165 斉 次 の線 形微 分 方 程 式   131 正 則なC1-写 像  239 正 則な 線形 写 像   215,236 積 分可 能  148

テ イラ ー展 開  81 ―が 可能 な関 数  81 ―の で きな い関 数  83 テ イラ ーの 定理  73,204

平 滑 化作 用   161

導 関 数  55 逆三 角 関 数 の―

  69

三角 関 数 の―

平均 値 の定理   62,198 閉 区 間  10

  68

平行 移 動   26

導 関数 指数 関 数 の―

 69

平面 の方 程式   191

対 数 関 数 の―

  69

閉 領域   184

多項 式 の―

ベ キ級 数  86

  67

有 理 関 数 の―

ベ キ級 数 とテ イラ ー展 開  97

  68

変 数 分 離型(微 分 方程 式)  127

特殊 解   119,135

変 数 変 換 の公 式   200 ナ

行

内部 面 積   143

偏微 分 可能  187 ― の関数   188 偏微 分 係数  188

2階 線 形 微 分方 程 式   136

偏 微分 す る  187

二 項 展 開  82 2変 数 関 数 ― の 極 小  205 ―

の 極大   205

―

の 積分   227

マ

行

マ ク ロー ラン の定 理

75

右 微 係 数  52

2変 数 の 関数   182 ∞  36 ハ

行

無 限 小  38 高 位 の―

半 開 区 間  10

  39

無 理 数  6 微 係 数  51 微 積 分 学 の基 本 公 式  159

面 ―

左 微 係 数  52 微 分 可 能  51,194 ― な関 数  54,196

積  142 の概 念   139

面 積 確定   143 面 積 比  239

微 分 作 用 素  115,125 ヤ

微 分 方程 式  165 微 分 法 の公 式  66

ヤ コ ビ行列   212

不 定 積 分  101

有

有 理関 数 の―

界  184

 111

上 に―

 13,17

不 定 積分 法 の公 式   104

下 に―

  13,20

部 分 積分   105

有 理 関数

行

―

の 導関 数   68

累 次積 分   230

―

の不 定 積 分   111

ルベ ー グ積 分  153 連

有理数 6

ラ

行

続  42

連 続 関 数  46,184 連続性

リプ シッ ツ 条 件   167

四則 演 算 の―

リ ー マ ン 積 分   153

実 数 の―

領

  44

  10

域  184

ロル の定 理  61

著 者 志

賀 浩 二 1930年  新潟市に生 まれ る 1955年 東京大学大学院数物系数学科修士課程修了 現 著

在 東京工業大学名誉教授   理学博士 書 『現代数学への招待― 多様体 とは何か』(岩波害店〉 『多様 体 論1 『お ーい!数

,皿,皿 』(岩 波講 座 「基 礎 数学 」;岩 波書 店) 学 』 『無 限 へ の一 歩 』(岩 波 ジSニ ア新 書;岩 波 書 店)

『 無 限 か ら の光 芒 ―

ボ ー ラ ン ド学 派 の数 学 者 た ち』(日 本 評論 社)

数学30講 シリー ズ5 解 析 入 門30講 1988年11月10日 2008年8月30日

 

定価 は カバー に 表示 初 版 第1刷   第16刷

著 者 志

賀

浩

二

発行者 朝

倉

邦

造

発行所  株式 会社  朝

倉

書

東 京 都 新 宿 区 新 小川 郵

便

電

話  03(3260)0141

番

店

町6-29

号 162-8707

FAX 03(3260)0180

〈検 印省 略 〉

http://www.asakura.co.jp

C1988〈 無断 複写 ・転載 を禁 ず〉 ISBN 

978-4-254-11480-5 

新 日本 印 刷 ・渡 辺 製 本 C3341

Printed

in Japan