は
し
が
き
微 分 ・積 分 を 高 等学 校 で学 ん だ あ とで,何 か 少 し物 足 りな い感 じが 残 って,こ れ に 続 く も う少 し進 んだ 事 柄 も知 りた い と思 う人 は,案
外 多 い の...
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は
し
が
き
微 分 ・積 分 を 高 等学 校 で学 ん だ あ とで,何 か 少 し物 足 りな い感 じが 残 って,こ れ に 続 く も う少 し進 んだ 事 柄 も知 りた い と思 う人 は,案
外 多 い の では な か ろ う
か.高 等 学 校 で の微 分 ・積分 に続 くこ ととい えば,ふ つ う 「解析 教 程」 とか 「解 析 概 論」 とい った 題 名 の 本 の中 に 盛 られ て い るテ ー マを 指 す こ とにな る.そ こに あ るの は,実 数 の連 続 性 や,微 分 ・積 分 の一 層立 ち 入 った 議 論や,多 変数 の微 積 分 とい う項 目に含 まれ る偏 微分 や 重 積分 の取 扱 いが 主 な もの とな っ てい る.確 か に こ こまで 到達 す れば,高 等学 校 の 微 積分 よ りは るか に立 脚 点 も高 くな って,視 野 も広 が るが,こ
こに達 す る まで の山道 は,か な り努 力を 要 す る上 り道 で あ る.
努 力を 要 す るの は,や は り 「解 析 教 程」 に は取 り上 げ るべ き題 材が 多 す ぎ,そ れ らが 読 者 の 目の 前 に,次 か ら次 へ と現 われ る こ とに も よって い る.実 際,ニ ー トン,ラ イ プ ニ ッツの微 積 分 の発 見 以 来,300年
ュ
の 間 に,解 析 学 とい う学 問 は ,
ど うして これ ほ どまで に 深 く広 い 世 界 を形 成 した の か と不 思議 に 思 うほ どで あ る.解 析 学 の応 用 と適 応 性 の 広 さを 考 え る と,こ の 豊 富 な題 材 の 中 か ら,「 解 析 教 程 」 の 中 に何 を 盛 り,何 を 捨 て るべ きか とい うこ とは いつ も難 しい 問題 とな る の で あ って,結 局,素 材 は増 え る傾 向を 辿 って,読 者 を 当 惑 させ るの で あ る. また 「解 析 教程 」 を難 し くして い る別 の要 因 もあ る.こ こで は厳 密 な極 限 概念 に基 づ く解 析学 の 建設 を 目指 す か ら,ど うして も教 育 的な 色 彩 よ りは,厳 密 な論 証 を重 んず る数学 の 専 門書 の趣 きを とっ て くる.こ の こ とは,数 学 に関心 は あ る が,数 学 者 と異 な る道 を 歩 も う とす る人 に と って,「解 析 教 程 」 を近 づ きに く くし て い る よ うで あ る. この 『解 析 入 門30講 』 を執 筆 す るに当 って も,同
じ問題 が 生 じて きた.し
か
し この シ リー ズ の趣 旨か らい って,専 門 書,ま たは 教 科 書 として の形 態 を で きる だけ と らな い よ うに心 が け た.そ の た め題 材 の 配 列 に も多 少 工 夫を 凝 ら して み た し,ま た 日常 的 な例 を 引 い て説 明を試 み た と ころ もあ る.数 学 とい って も,数 学
の勉 強 に 何 か特 別 な セン スが 要 る とは じめ か ら考 えて か か る のは,何 か お か しい よ うな気 が して い る.日 常 の ご くふ つ うの 感性 と,い わ ば ふつ うの 本 を読 む と き の 読解 力 とで もい うべ き もので,十
分理 解 で きる 数学 は あ る と思 っ てい る し,
「解 析 入 門 」 もそ の適 用 の 広 さか らい え ば,や
は り,そ の よ うな数 学 の形 を と る
こ とが 望 ま しい と思 ってい る. 応 用 面 に 触 れ得 なか った のは,30講
とい う紙 数 の 制 約 もあ った し,ま た そ れ
は 別 の 主題 に した 方 がか え って近 づ きや す い ので は な いか と考 えた こ とに もよ っ てい る. 終 りに,本
書 の み な らず,こ
の シ リ ー ズ の 出 版 に 際 し,い
に な っ て い る 朝 倉 書 店 の 方 々 に,心
ろい ろ な面 で お 世話
か らお 礼 申 し上 げ ま す.
1988年10月 著
者
目
次
第1講
数直 線 の 生 い立 ち
第2講 第3講
実 数 の連 続 性 上 限,下 限,コ ー シ ー列
第4講
1 8 17
実 数 の 相
26
関数 の極 限 値
34
連 続 関 数
42
第7講
微 分 と導 関 数
51
第8講
平 均値 の定 理
59
第5講 第6講
第9講
微
分
法
66
第10講 テ イ ラー の定 理
72
第11講
テ イ ラー展 開
79
第12講
ベ キ 級 数
85
第13講 ベ キ級 数 で表 わ され る関 数
92
第14講
不 定 積 分
100
第15講
不 定 積分 を求 め る
108
第16講 不 定積 分 か ら微 分方 程 式 へ
115
第17講 線 形 微分 方 程 式
123
第18講
定 数係 数 の線 形微 分 方 程 式
130
第19講
面
積
138
第20講
定
分
146
積
第21 講
積分 と微分
155
第22講 微 分方程 式 の解 の存 在
163
第23講 指 数 関数 再 考
173
第24講
182
2変 数 の関 数 と偏 微 分
第25講 2変 数 関数 の微 分 可 能 性
191
第26講 Cr-級 の関 数
199
第27講 C1-写
208
像
第28講 逆 写 像定 理
217
第29講 2変 数 関 数 の積 分
227
第30講
236
積分 と写像
問題 の解答
245
索
247
引
第1講 数 直線 の 生 い立 ち テー マ
◆ 解 析 入 門 のは じめ に ◆ 数 直 線 の成 立 の 由 来:た
とえ話―
杉 並 木 か ら高 速道 路 が で き上 る
まで ◆ 数 直線 上 で の 数 の 表現 ◆ 数 直線 上 の点 と しては,数 の もつ そ れ ぞれ の個 性 は表 現 され な いが, そ のか わ り,数 の 間の 近 さの 感覚 が 生 ず る. ◆ 有 理点 ◆ 有 理点 の近 づ く先 は必 ず し も有 理 点 で は ない. ◆ 有理 点 と無 理 点 を合 わ せ て 数直 線 が 完成 す る.
門 の 前 で 解 析 入 門 とい って も,門 構 え の方 は 誰 に も見 え るが,門 を くぐって 中 に入 る と, そ こ には どんな 広 々 と した 景 色 が広 が り,ど れ ほ どの奥行 きが あ る のか とい うこ とは,専 門家 で もなか な か 察 知 しが た い ので あ る.門 の 中 にあ る解 析 の領 域 は, 果 て し もな いほ ど広 いの だ と もい え る し,い や,微 分 ・積 分 とい う2本 の大き な 木 の つ くる,長 い影 に〓 わ れ てい る にす ぎな い の だ,と い うい い方 もで きるの か も しれ な い. 解 析 とい う言葉 か ら受 け る漠 然 と した 広 が りを もつ包 括 的 な感 じは,解 析 学 の 中 に あ る際 限 の ない よ うな 問題 設 定 の要 求 か ら くる もので あ ろ う.こ の問 題 設 定 とは,時 間 ・空 間 の 中 に生 ず る さま ざ まな 現 象の 連続 的 な 微小 なゆ らぎ と,こ れ らの現 象 の 長時 間 にわ た る変 化 の様 相 を,で き るだ け数 学 的 に正 確 に捉 えた い と い うこ とで あ る. また 一 方,解 析 学 は結 局 の と ころ微 分 ・積分 の光 と影 の 中 に あ る と思 うのは, この よ うな 現 象の 解 析 に は,実 数 を座 標 とす る空 間上 の,関 数 表 現 に よる数 式 モ
デ ル が 必 要 で あ り,一 度 モ デ ル 化 さ れ た こ の 関 数 を 調 べ る 手 段 と し て は,微 積 分 と い う方 法 が,歴
史 的 な 発 展 過 程 の 中 で,ほ
分 ・
と ん ど絶 対 的 な も の と感 じ られ
る よ う に な っ て き た こ と に よ る の だ ろ う. '解析 入 門'を
どの よ う に か き始 め た ら よい の か,な
私 自身 の 観 点 が,こ
か な か 決 ま ら な い の は,
の 二 つ の 見 方 の 中 を 揺 れ 動 い て い る か ら だ ろ う.た だ は っ き
り し て い る こ とは,微
分 ・積 分 とい う方 法 が,実
係 し合 っ て お り,方 法 と 表 現 と が,実
数 の数 直 線上 の 表現 と密接 に 関
数 と い う体 系 の 中 で ほ とん ど一 体 化 して い
る と い う こ とで あ る.だ
か ら まず 数 直 線 の こ とか ら 話 を 始 め て い く こ と は,自
な こ と か も しれ な い.し
か し,数 直 線 に つ い て は,こ
の30講
』 や 『位 相 へ の30講
て,ご
く日 常 的 な 話 の 仕 方 か ら ス タ ー トし て み よ う.
然
の シ リー ズ で も,『 集 合 へ
』 で も繰 り返 し 述 べ て き た.こ
こ で は 少 し趣 を 変 え
高 速 道 路 が で き るま で
数 直 線 上 の1点 を 想 像 し,こ
に 立 っ て,左
右 に 限 りな く延 び て い る数 直 線 を 眺 め て い る状 況
れ を ま っす ぐ に ど こ ま で も延 び て い く高 速 道 路 を,歩
道橋 の上 か ら
眺 め て い る 人 に な ぞ ら え て 話 し て み よ う. 高 速 道 路 を 軽 快 に 流 れ る車 の 列 を 見 下 し な が ら,こ
の 人 は 往 時 を 振 り返 り,こ
ん な こ とを 思 って い る.昔 は こ こ も道 ら しい道 もな く,た だ等 間 隔 に杉 の 木 が植 え られ て,1本1本 の杉 は,空 に 向か って延 び る美 し い 姿を 示 してい た.や が て,こ の 杉 並木 に沿 って,等 間隔 に敷 石 が 敷 かれ て細 い一 直 線 の道 ら しい も の がで きて きた. これ が 一直線 に つ なが ってい く 立 派 な道 に な る と知 ってか ら,ま ず 杉 は切 り倒 され,切 株だ けが 残 されて,こ れは 等 間 隔 の長 さを 示
図1
す 基準 点 と して の道 標 の役 目を果 た す こ とにな った.道 幅 は広 げ られ,敷 石 は し だ い に細 か い もの にお きか え られ て い った.と び とびの 敷石 の間 に は,次 々 と細 か く砕 か れ た 敷石 が お かれ,最 後 は細 かい 細 か い砂 で道 は敷 きつ め られ て,ひ と まず ど こ まで も一 直 線 に延 び て い く道 は完 成 した. こ の細 か い 砂 の粒 子 で〓 わ れた 道 は,あ る基 準 点 か ら別 の基 準 点 ま で,同 じ歩 幅 で歩 い て い く旅 人 に とって は,何 の支 障 もな く歩 け る快 適 な道 で あ った.ま た 歩 数 か らい つ で も歩 い た距 離 が算 出で きた. と ころ が,自 転 車 に乗 った 人が この 道 を進 も うとす る と,砂 の粒 子 の隙 間 に車 輪 が 引 っか か っ て うま く進 め ない の で あ る. そ こで最 後 に,砂 の上 に ロー ラー を かけ,コ
ン ク リー トで舗 装 して,道 幅を 広
げ,い ま の 高速 道 路 をつ くった ので あ る.こ の 高速 道 路 で は,自 動車 は 連続 的 に どん どん走 ってい く.道 路 を見 て い て生 じた 回想 はい つ しか消 えて,こ の車 の流 れ に眼 が移 っ て くる.追 い越 した り,追 い越 され た りす る こ の 車 の多様 な動 き を,ど の よ うにい い表 わ した らよい のだ ろ うか.
数 と数 直 線 上 の 点 上 に述 べ た こ とを,も
う少 し数学 的 にい い直 してみ よ う.杉 の木 が 等 間隔 に並
べ られ てい る とか いた の は,も ち ろ ん数 直線 上 の整 数 点 の こ とで あ る.す なわ ち 直 線上 に基 準 点O,単
位 点Eを
とって,Oに0,Eに1と
目盛 りを 与 えて 決 ま る,
この直 線 上 の 整数 目盛 り …,−3,−2,−1,0,1,2,3,… を もつ 点 の こ とで あ る.自 然 数{1,2,3,…}は
古 くか ら知 られ てい た が,0や
の数 が 一 般 的 に用 い られ る よ うに な った の は15∼16世
負
紀 以 後 の こ と だ か ら,比
較 的 新 しい こ と とい って よい.だ が,い まはそ の よ うは数 学 史 的 な こ とは もち ろ ん 問 題 と して い ない.数 直 線 の考 えの 原型 は,ユ ー ク リッ ドの 『原 論 』 の 中の 比 例 論 の 中 で,線 分比 と して す で に見 出せ る とい う見 方 もあ るか も しれ ない が,そ こで の'通 約 量'と い う考 え は,上 の話 では,整 数 の基 準 点―
杉 の 木―
の間
に,等 間 隔 に敷 石 を 敷 い てい く考え に対 応 して い る. デ カル ト以 後,数 直線 の 考 えが しだい に明 確 に な り,私 た ちは い ま で は この 考
え に,十 分 な れ親 しむ よ うにな って きてい る.し か し,数 を 数 直線 上 の点 と して 表 わ す 観点 は,一 つ一 つ の 数 の もつ 個 性 を消 して,ど の数 も数 直線 上 の一 つ の点 と して均 質 化 して み る見 方 を導 入 した こ とにな った.ギ 性 に関 心が あ って,た
リシ ャで は,数 の もつ個
とえば
28=1+2+4+7+14(右
辺 は28の 約 数 の和:た だ し28は 含 ま な い)
は完 全 数 で あ る とい う よ うな こ とに興 味 を もった の で あ るが,数 直 線上 の点 と し て28を 表 わ せ ば,こ
の点 は この よ うな 性質 を 何 も物 語 ってい な い.個
々の数 の
もつ 性質 は 消え て しま った.こ の事情 を 上 の話 で は,杉 の木 は切 り倒 され,そ れ ぞ れ の杉 の木 の もつ 姿 は 消 えて,切 株 だ け が残 った とか い た の で あ る. 近づいて い く 数 が数 直線 上 の点 と して表 現 され る ことに よって,数 の もつ 一つ 一 つ の 特徴 あ る相 は消 え て し ま った.数 直 線 上 に おげ る整 数 点 の 役 目は,長 さ1の 等 分 点 と し て の,長 さの規 準 を 与 え る こと にあ って,こ の間 をm等 分 して い くこ とに よって, 有 理n/mを表わす数
直線上 の点が決 ま って くる.
数 直 線上 へ の 表 現 に よっ て,数 は そ の もつ 個 性を 失 ったが,そ の代 り,数 直線 とい う一 つ の実 体 に よ って,数 のつ な が り,ま た は数 の 間 の近 さ とい う感 じが前 面 に で て きて,一 つ の 統 一 された 総 合 体系 として認 識 され る よ うにな って きた. そ うす る と,点 を 伝 って 数直 線 上 の あ る場 所 に近 づ い て い くとい う考 えが 生 じ て くる.と ころ が,こ の よ うに'近 づ い てい く'と い う性 質 を数 に賦与 してみ る と,有 理 数 を座 標 に もつ 点 だ け では 具 合 が悪 い の で あ る.有 理 数 を 座 標 に もつ 点 は,整 数 の基 準 点 の間 を 等 分 して得 られ る点 か らな り,そ れ らの点 は 一 見 した と こ ろ隙 間 のな い よ うに見 え るほ ど多 くあ って,数 直線 上 に互 い に詰 め 合 って入 っ て い る.だ
が,実
際 は隙 間だ らけ で あ って,'近 づ いて い く'と い う性 質を こ こ
で は 考 え に くい の であ る.こ の こ とを 上 のた とえ では,細 か い細 か い 砂 粒 で〓 わ れ て い る と形 容 した の で あ る.
実数 の誕生 隙 間 の場 所 を 占 め てい るの は,無 理 数 を座 標 に もつ点 であ る.た とえば
1.4142…
は 無 理 数 だ か ら,1と2の
間 に い く ら等 分 点 を 増 や し て み て も,け
て こ の 等 分 点 の ど れ か と一 致 す る とい う こ とは な い.し 1.4
(1と2の
間 を10等
1.41
(1と2の
間 を100等
1.414 (1と2の
と い う,1と2の
分 した と き,左
か ら4番
分 した と き,左
間 を1000等
か し,
は
目の 点)
か ら41番
分 し た と き,左
っし
目 の 点)
か ら414番
目 の 点)
間 の 等 分 点 の 近 づ く先 と な っ て い る.
す な わ ち,有
理 点 だ け で は,こ
の よ うに 有 理 点 の 近 づ く先 が,も
は や有 理 点 で
は な くな る こ と が あ っ て,こ
の 場 合 有 理 点 の 中 だ け で 考 え る と,近
づ く先 を 見 失
う の で あ る.上
転 車 の 車 輪 が,
の 話 で は,自
とい う隙 間 に 落 ち て 動 か な くな
っ た こ と に 対 応 す る. そ の た め,こ
の よ うな 有 理 点 が 近 づ く先 に す べ て 座 標 を 与 え て,数
な もの に して お か な くて は な ら な い.そ て い く状 況 を,数
う しな い と,点
に よ っ て 表 現 で き な い の で あ る.こ
直線 を完 全
が 連 続 的 に 動 き,近
の よ うに し て,有
づい
理点 にさ
ら に 無 理 点 を つ け 加 え る こ と に よ っ て 数 直 線 が 完 成 し,有 理 数 と無 理 数 か らな る 実 数 が 誕 生 した.実 る.こ
数 は,座
標 を 通 して,数
直 線 上 の 点 と完 全 に1対1に
対応す
の こ と を 前 の 話 で は コ ン ク リー トで 完 全 に舗 装 し た こ と で た と え て み た.
実 数 の 連 続 性
さ て,こ 自動 車 は,数
の よ う に数 直 線 を 完 全 な も の に し て お く と,高 速 道 路 を 滑 らか に 走 る 直 線 上 の 実 数 に よ っ て記 述 す る こ と が で き る.す
走 る 自動 車 の 走 っ て い く様 子 は,起
点 か ら 出 発 し てt分
な わ ち 高速道 路 を
後 にxm走
った と して
x=f(t) と 表 わ さ れ る こ と に な る.時
間tも 数 直 線 上 を 動 く変 数 で あ り,走
た 数 直 線 上 を 動 く変 数 で あ る.こ つ の つ な が りを も った 数― に,最
の よ うに し て,数
実 数―
が,さ
行 距離xも
ま
直 線 上 へ の 表 現 を 通 し て,1
ま ざ ま な 運 動 の流 れ を 表 現す るの
も 適 した 形 を と る の で あ る.
つ な が りを も っ た 数 とい うい い 方 は,何
か ま だ 納 得 で き な い か も しれ な い.ふ
つ う実 数 の 連 続 性 と よば れ て い る こ の 性 質 を,ど
の よ うに 数 学 的 に い い 表 わ した
ら よ い か と い う こ と は,次
の 講 の テ ーマ と し よ う.こ
こ で の 話 か らは,実
う も の が 時 間 ・空 間 の 中 に あ る 連 続 的 な 感 覚 を 表 現 す る の に,最
数 とい
も適 した もので
あ る と い う こ とを 感 じ と っ て も ら え ば よ い の で あ る.
Tea
Time
有理数と無理数 有 理 数 とは分 数n/m(m,nは
整 数 でm≠0)と
表 わ され る数 の ことで あ る.し
か し,も し有 理 数 の表 示 の仕 方 が これ しか な か った な らば,有 理数 でな い 数 とし て 定 義 した無 理 数 の表 示 の 仕方 を 改 め て考 えな け れ ば な らなか った ろ う.だ が幸 い な こ とに,有 理 数 も無理 数 も小 数 展 開 に よ って 表わ す こ とが で きる.有 理 数 の 中 には 2/5=0
.4,3/25=0.12
の よ うに有 限小 数 で表 わ され る もの もあ るが, 1/6=0
.1666…,7/11=0.636363…
の よ うに 無 限 小 数 で 表 わ され る も の も あ る.し で あ る.す
な わ ち1/6では,小数点2位
は,0.63が
一 つ の 循 環 節 と な っ て い る.
こ れ に 反 し,無
理 数 は,決
か し これ ら の 無 限 小 数 は 循 環 小 数
以 下 か ら6が繰り
返 さ れ て い る し,7/11
し て 循 環 し な い 無 限 小 数 に よ っ て 表 わ さ れ て い る.
ま た こ の 性 質 が 無 理 数 を 特 性 づ け て い る.任
意 に1つ
無 理 数 ωを と っ て,そ
れ を
ω=0.α1α2α3…αn… と無 限 小 数 で 表 わ し た と き,ω は,有
理数列
0.α1,0.α1α2,0.α1α2α3,… の 近 づ く先 と な っ て い る.無
理 数 は 有 理 数 に よ っ て,い
とが で き る.こ
理 数 は 実 数 の 中 で 稠 密 で あ る と い う.
の 性 質 を,有
く ら で も近 似 して い く こ
質 問 解析 学 とい うの は,数 学 の非 常 に広 い分 野 を 包 括 して い る名 称 で あ る と聞
き ま した が,た
とえば どん な 分 野を 含 ん でい るの で し ょ うか.
答 思 い 出 す ま ま に,解 析学 とい う名 前 で包 括 され る分 野 を か き出 してみ よ う. 微 分,積 分,測 度 論,フ ー リエ級 数,直 交関 数 論,ポ テ ンシ ャ ル論,変 分法,調 和 解 析,こ のほ か 複素 数 上 の解 析 学 と して,一 変数 関 数 論,多 変数 関数 論 の大 き な理 論 が あ る.ま た常 微 分方 程 式 や 偏微 分 方 程 式 の研 究 を進 め る関数 方程 式 の分 野 や,ま た この よ うな研究 に統 一 的 視野 を与 え てい るい ろい ろな 関数 空間 を調 べ る理 論 も,関 数 解析 学 と して,20世 紀 に な って 急速 に進 歩 した.ま た 確率 論 や 整 数 論 や幾 何 学 の 研究 に も,解 析 的 な方 法 を用 い る ことは本 質 的 な もの とな っ てい る.そ の意 味 で は,解 析学 は,数 学 の 中 にあ って底 知 れ ぬ広 い海 とい う感 じ なの で あ る.
第2講 実 数 の連 続 性 テー マ
◆ 実数 列 の収 束 ◆lim
xn=a
◆ 閉 区 間,開 区 間,半 開 区 間 ◆ 実 数 の連 続 性:有 界 な単 調増 加 数 列 は収 束 す る. ◆ 無 限小 数 展 開 と実数 の連 続性 ◆ 区 間縮 小 法
数 列 の 収 束
こ れ か ら は,実
数 と数 直 線 上 の 点 と は 区 別 し な い で 考 え る こ とに す る.し
って 実 数 列x1,x2,…,xn,…
が,nが
数 直 線 上 でx1,x2,…,xn,…
大き くな る と きaに
を 表 わ す 点 列 が,aを
たが
近 づ く と い う こ と は,
表 わ す 点 に 近 づ く こ とを 意 味
し て い る(図2).
図2 図 を 見 れば 一 目 瞭 然 の この こ と を,も う.nが
大 き くな る と きxnがaに
近 づ く と い う こ と は,図
nが 大 き くな る に つ れ,xnがaの して い く よ う な 状 況 で あ る.た お く と,あ
る 番 号,た
と い う こ と で あ る.ま 番 号n2を
足 下(!)に とえば,aを中心
と え ばn1か た,aを
う少 し数 学 的 に 述 べ る こ と を 考 え て み よ
ら先 のxnが,す
ど ん ど ん 凝 集 し,ど こ し て1/1000の範
こ ま で も密 集 囲 を か いて
べ て そ の 範 囲 内 に 入 っ て くる
中 心 に し て1/100000の範囲
ず っ と 大き く と って お く と,n≧n2の
か ら 明 らか な よ うに,
と きxnは
を か い て お い て も, こ の範 囲 に入 って く
る.す
なわ ち
の よ うな 状 況 が お き て い る. aを
中 心 に し て,ど
逆 に,こ
ん な 小 さ い 範 囲 を と っ て も こ の よ うな こ とが お き て い る.
の よ うな 状 況 に な っ て い れ ば,数
っ て よ い だ ろ う.そ
こ で,こ
対 し て,あ
列{xn}(n=1,2,…)1)はaに
ど ん な 正 数 εを と っ て も,あ
記号⇒
は,'な
ら ば'と
はaに
近 づ くとい
存 在 し て,次
の 性 質 をみ
れ を 定 義 と して 採 用 し よ う.
【定 義 】 数 列{x1,x2,…,xn,…}に た す と き,数
列x1, x2,…,xn,…
る 数aが
近 づ く,ま
る 番 号Nが
た はaに
収 束 す る と い う:
存 在 して
読 ん で お く と よ い.数
列{xn}(n=1,2,…)がaに
近 づ くと き
と 表 わ し,数
列{xn}の
で あ る.n→∞
極 限 値 はaで
と か い て あ る の は,nが
あ る とい う.limは
英 語limitの
頭 の3字
ど ん ど ん 大 き くな る こ と を 示 す,一
種の
動 詞 で あ る. こ の 定 義 の 中 で,数 で,近
と し て,'ど うな,あ
直 線 は ひ と ま ず 表 面 か ら は 姿 を 消 し て,数
の世 界 の 中だ け
づ く と い う状 況 が 述 べ られ て い る こ と に 注 意 を 払 う必 要 が あ る.そ ん な 正 数 εを と っ て も'と
か,'あ
る 番 号Nが
る 不 定 さ が 残 る 表 現 を 用 い る こ と に な っ て い る.こ
あ る 数 に 近 づ く近 づ き 方 の,多
い うよ
の 不 定 さ は,数
列が
様 さ を 示 し て い る と もい え る だ ろ う.
閉 区 間,開
二 つ の 実 数a,b(a0の
とき には
と な り,ま 頂 きanに達
たx=aでsin1/xが
山 の 頂 き1に
達 す る な ら ばxnsin1/xも
す る こ と な どが わ か る.x=bでsin1/xが−1に
xnsin1/xは−bnと
また 山 の
な る な ら ば,そ
こで
な る.
こ の こ と か ら私 た ち はy=xn
Sin1/xの
グ ラ フ は,y=xnとy=−xnの
グラ フ
の 間 に は さ まれ な が ら,無 と 推 論 で き る.n=1,2の
限 に 振 動 を 繰 り返 し て,原 場 合 だ け 図27で
点 へ と近 づ く グ ラ フ に な る
か い て お い た.
図27 こ の グ ラ フ の 形 か ら もわ か る よ う にx=0の
と定 義 す る と,φn(x)は n≧2の
と き,y=xn
お く こ とに よ り
連 続 関 数 と な る. sin1/xは,
と評 価 さ れ る か ら,x→0の φn(x)はx=0で
と き に はy=0と
と き,xよ
り高 位 の 無 限 小 と な る.し
も 微 分 可 能 で あ っ て,φn′(0)=0と
これ に 反 し てn=1の
は 存 在 し な い(+1と−1の
た が っ て,
な る.
ときに は
間 を 無 限 に 振 動 す る!).し
た が っ て φ1(x)はx=0
で 微 分 可 能 で な い. この 例 か ら もわ か る よ うに,微 察 す る こ と は,な
質 問f(x)がaで
分 が で き る か,で
きな い か を グ ラ フ の 形 か ら推
か な か 難 し い 場 合 も あ る の で あ る.
微 分 で き る と い う こ と は,aか
ら ご く僅 か に 変 化 した と き の
fの 値f(a+h)が,大
体hに
比 例 す る 変 化 の 仕 方 を と る と い う こ とで す が,日
常
的 な 例 で こ の 感 じ を 教 え て い た だ け ま せ ん か. 答 高 速 道 路 を 走 る 自 動 車 の 出 発 か ら の 時 間 をt,走 y=f(t)が
得 られ る.こ
席 の 前 に あ る 速 度 計 で 与 え ら れ る.速 は,変
は,時
間tに
す る と,関
数
の バ ロ メ ー タ ー は,運
転
度 計 の 針 が 短 時間 に大 き く揺 れ 動 くと き
化 の 状 態 が 激 し い と き で あ る.急
た りす る と そ の よ うな こ とに な る.高 る と き に は,速
行 距 離 をyと
の 関 数 の 変 化 の 模 様 を 示 す1つ
に ア ク セ ル を 踏 ん だ り,ブ
速 道 路 が す い て い て,一
度 計 の 針 は 一 個 所 に 止 ま っ て 動 か な い.こ
比 例 し て い る.し
か し,速
レー キを かけ
定 の ス ピ ー ドで 走
の と き,走
行 距 離y
度 計 の 針 が 激 し く動 い て い る と き で も,
ご く短 い 時 間 に 限 れ ば,速 度 計 の 針 は,ほ ぼ あ る 目盛 りを 指 し 示 して い る だ ろ う. ふ つ うは,こ
の 速 度 を,`そ
ご く短 い 時 間 に 限 れ ば,自 て い る.い
の と き の 速 さ は …'と
の こ とは
動 車 は ほ ぼ 定 速 度 で 走 っ て い る と見 て よ い こ と を 示 し
い か え れ ば,y=f(t)は,各
の 仕 方 で,大
い う よ う で あ る.こ
点tの
ご く近 く で は,tに
体 近 似 で き る よ うな 動 き 方 を し て い る.
比 例 した 変 化
第8講 平均 値 の定 理 テー マ
◆ 閉 区間[a,b]に
おけ る連続 関数 は 最 大値,最
小 値 を と る.こ
の事
実 は可 微 分 関数 に対 して,ど の よ うな結 果 を 導 くか. ◆ ロル の定 理 ◆ 平均 値 の定 理 ◆ 前講 の問 題 の解 決 ◆ 端点 にお け る微 分 可能 性 ◆ 単調 増 加,単 調 減 少
最 大 値,最 小 値 の 存 在 と微 分 第6講
で 証 明 し た 定 理`閉
区 間[a,b]上
値 μ,最 小 値 νを と る'を,特
にf(x)が
で 定 義 さ れ た 連 続 関 数f(x)は,最
大
微 分 可 能 の 場 合 に 適 用 す る こ と に よ り,
重 要 な 結 論 を そ こか ら 導 き 出 そ う. 関 数f(x)に
対 す る 仮 定 は,以
下 で の 応 用 上 の 便 宜 さ も あ っ て,次
の よ うに し
て お く. (#) f(x)は
閉 区 間[a,b]上
で 定 義 さ れ た 連 続 関 数 で あ っ て,
ⅰ) f(a)=f(b) ⅱ) f(x)は こ こ で,端 る.た
開 区 間(a,b)で
点a,bで
と え ばa=0,b=1/π
微分可能
の 微 分 可 能 性 を 仮 定 し て い な い こ と に 注 意 を 払 う必 要 が あ と お き,区
間[0,1/π]上
の連続 関数
を 考 え る と,φ1(0)=φ1(1/π)=0で あ っ て,ま た(0,1/π]で は微 分 可能 であ る.し た が っ てⅰ),ⅱ)の
性 質 を み た し て い る.し
か し,前
講 のTea
Timeで
示 した よ
うに,φ1(x)は,左
の 端 点x=0で
bで 微 分 可 能 で な い よ うな,複
微 分 可 能 で は な い.こ
雑 な 状 況 が 関 数fに
た し て い れ ば よ い と い う の が,条 さ て,条
件(#)を
(=f(b))に
件(#)の
の 例 の よ うに,端
お き て い て も,連
点a,
続 性 さえみ
述 べ て い る こ と で あ る.
み た す 関 数f(x)を1つ
と る.も
等 し く定 数 の と き に は,(a,b)に f′(x)=0
し,f(x)が
恒 等 的 にf(a)
属 す る ど の 点xを
とって も
(1)
とな る. 次 にf(x)が
定 数 で な い と き を 考 え よ う.こ の と き,(a,b)の
存 在 し て,f(x)〉.f(の
と な る か,f(x)〈f(の
様 だ か ら,f(x)>f(a)と
な る点xが
が 成 り立 つ.い
の と き μ>f(a)(=f(b))で
最 大 値 μ を と る点x0は,(a,b)の
中 に あ る:a<x00と
し て,こ
の 両 辺 をhで
割 っ てh→0と
す ると
f′(x0)≦0 (右 か ら の 微 係 数) ま た,h0と て,x<x′
す る.平
均 値 の 定 理 か ら,区
間 内 の2点x,x′
に対 し
の とき f(x′)−f(x)=(x′−x)f′(x+θ(x′
と な る.x′−x>0,f′(x+θ(x′−x))>0に f(x)0と い まi=0,1,…,n−1に
と お く.こ の と き
対 して
す る.分
点a=x0<x1<x20と
と お く と,fの
し て お こ う.
連 続 性 か ら,h→0の
とき
(2) と な る. 一 方,上
に 述 べ た'準
備 的 な 注 意'か ら
で あ る. し た が っ て(1)か
と な る.こ
ら
こ でh→0と
す る と,(2)に
が 成 り立 つ こ と が わ か る(h0と
で 連 続 と し,さ
す る.関
数f(x,y)の
は長 方 形
ら に リプ シ ッ ツ条 件
(4) を み た し て い る とす る.こ
こ でLは
正 の 定 数 で あ る.
この とき微 分方 程 式
の 解 で,y(a)=bを
み た す も の が,aの
近 くで た だ1つ
存 在 す る.
図58 リ プ シッ ツ 条 件 とは,y1→yの
と き,f(x,y1)がf(x,y)に
近 づ く速 さ が,1
位 の 無 限 小 か,あ
る い は そ れ よ り速 い と い う こ とを,D全
体 に わ た っ て一様 に 保
証 し て い る 条 件 で あ る. この定 理 を 見 て,改 め て前 の例を 見 直 す と, とい う関 数 は,y→0の は る か に ゆ っ く りと0に 近 づ くので,リ
とき,yに
プシ ッツ条 件が み た され て いな くて,こ
比べて の定 理 を
適用 で き る範 囲 で な か った ので あ る.
定 理 の 証 明 の考 え 方(Ⅰ) こ こで この定 理 の 証 明が どの よ うに行 なわ れ るか,そ の 考 え方 だけ を 説 明 して お こ う.基 本 とな るの は,次 の2つ の 事柄 であ る. (ⅰ) 関数y(x)が,
(5) を み た す と い う こ と と,y(x)が
(6) を み た す と い う こ と は 同 値 で あ る. (ⅱ) 閉 区 間[α,β]で C[α,β]に
とお く.こ
定 義 さ れ た 連 続 関 数 全 体 の 集 合 をC[α,β]と
し,f,g∈
対 して
の と き,も
を み た し て い れ ば,必
しC[α,β]の
中 の 関 数 列{fn}が,コ
ず あ るf∈C[α,β]が
ー シ ー列 の条 件
存 在 し て,
とな
る. (ⅰ)に つ い て は 微 分 方 程 式 の 中 か ら微 分 が 消 え て,積 こ と に,驚
き の 目 が 向 け ら れ る か も しれ な い.こ
りつ す る'解 実 際(ⅰ)が
分 へ と移 行 して し ま っ た
れ も微 分 と積 分 の 間 を 行 きつ 戻
析 の 世 界'の 一 つ の 風 景 と 思 って み る と よ い. 成 り立 つ こ と を 見 る に は,も と な り,ま
しy(x)が(6)を
みた して い る と
た 微 分 す る とdy/dx=f(x,y)と
なって
い る こ とか ら,y(x)は す 解y(x)が
求 め る 解 と な っ て い る こ とが わ か る.逆
あ る と,積
分 す る と(6)に
(ⅱ) は,C[a,β]は,'距
みた
な る.
離'‖f−g‖
性 質 で あ る.‖fn−f‖0で
の カッ コ の 中 の3つ
の 数 の 中 で,最
あ る.C
[a− μ,a+μ]に
属 す るφ で,さ
を み たす もの全 体 をSと す る.
らに
小 な も の を 示 す).も
ち
φ∈Sに
対 し て,新
で 定 義 す る.Φ(φ)は
し い 関 数Φ(φ)を
区 間[a−
μ,a+μ]上
でxの
連 続 関 数 で あ る が,さ
らに
このことは,
a) を 示 し て い る.さ
ら に,φ,ψ ∈Sに 対 して
b) が 成 り立 つ. 実 際,
((4)に
b)で,ま
ず 右 辺 は1/2‖φ−ψ‖よ り 大 き くな る こ と は な い.し
xを ど の よ うに 動 か して も こ の 値 で 押 え られ る こ と に な る.こ と,結
局b)か
よ る)
た が っ て 左 辺は, の こ とに注 意 す る
ら
c) とい う関 係が 導 か れ た. さて,帰 納 的 に 順次 φ0
と定 義 す る.こ
=b(定
数),
の よ うに 定 義 し て も よ い こ とはa)に
よ っ て い る.こ
の と きc)は
図60
(7) が 成 り立 つ こ と を 示 し て い る.こ りや す い.図60で,関
の 式 の 意 味 して い る も の は,図
数 の 集 りSは,集
点 の よ う に 表 わ し て あ る.そ
の と き(7)は,φnに
は 次 の よ う に 翻 訳 さ れ る.φn−1はΦ 径 で,φn中
心 の 円 を 画 く と,次
い).前
項 の(ⅱ)か
るy(x)∈C[a−
でφnへ 移 る.φn−1とφnの
μ,a+μ]に
長 さ の半分 の半
ら も わ か る よ うに,φ0,φ1,…,φn,…
μ,a+μ]は'完
は しだ
の数 学 的 証 明 は特 に 述べ な
備'だ
収 束 す る.│y(x)−b│≦
の図 で
ず こ の 円 の 中 に あ る.
な わ ち コ ー シ ー 列 を つ くる(こ らC[a−
数φ0,φ1,φ2,… は
注 目 し て 眺 め る と,こ
に 移 るφn+1は,必
こ の 状 況 が お き て い れ ば,図60か い に 密 集 し て く る.す
合 の よ うに 表 わ し,関
で見 た 方 がわ か
か ら こ の コ ー シ ー 列 は,あ ρを み た し て い る こ と も 明 ら
か で あ る.
でn→∞
と す る と,左
辺 はyに
近 づ き,右
辺 もb)か
らyに
近 づ くことが わ か
微 分 方 程 式(5)の
解を与えること
り,結 局 y=Φ(y) が 得 ら れ た. Φ の 定 義 と(6)を
見 る と,こ
れ で,yが
がわか っ た. 解 の 存 在 は こ の よ う に 示 さ れ た が,一
意 性 は 次 の よ う に 簡 単 に 示 さ れ る.い
ま
y,y1を
微 分 方 程 式(5)の
解 と す る.こ
が 成 り立 つ こ と と 同 じ で あ る.こ
と な り,y=y1が
の こ と は,上
の と きc)か
の議 論 か ら
ら
導 か れ る.
こ の よ うに し て,リ の 解 が た だ1つ
プ シ ッ ツ 条 件 を み た す と き,aの
存 在 す る こ とが 示 され て,定
Tea
近 くで,微
Time
質 問 微 分 方 程 式 の 解 の 存 在 と一 意 性 の 定 理 の 証 明 は,い い た 世 界 が 急 に 一 度 に 広 が っ た よ うで,本 で は 解 はaの
分 方 程 式(5)
理 が 証 明 さ れ た の で あ る.
まま で解 析 を勉 強 して
当 に 面 白 い と思 い ま した.た
近 くに しか な い よ う に い っ て い ま す が,ず
だ,定
理
っ と先 の 方 で は ど うな っ
て い る の で す か. 答 よ い 所 に 気 が つ い た と 思 う.定 理 で,解
はaの
い た の は,証
曲 線 が ど ん ど ん 延 び てDの
明 に 合 わ す た め で も あ る し,解
よ う とす る 限 界 を,適 は,Dの
当 に 表 現 す る 仕 方 が 難 し か っ た か ら で あ る.実
中 に あ る 限 り,ど
ん どん 一 意 的 に 延 び て い く.そ
近 くに 存 在 し て い る 解 曲 線 上 の,x=a+μ る と よ い の で あ る.そ と が わ か る.解 し て い る.こ
うす る と,こ
の 一 意 性 か ら,こ の よ うに し てDか
こ と が わ か る だ ろ う.同 か る の で あ る.
近 くに存 在 し て た だ1つ
の 点 で,も
とか
外へ 出 際 は,解
れ を 見 る に は,aの
う一 度 上 の 定 理 を 使 っ て み
の 点 を 通 る 解 が こ の 近 くに は 存 在 し て い る こ の 解 は,a+μ
の 左 側 で は す で に あ る 解 と一 致
ら は み 出 さ な い 限 り,解
じ よ うに し て,左
は 右 の方 へ 延 び て い く
の 方 へ も ど ん ど ん 延 び て い くこ と が わ
第23講 指数関数 再 考 テー マ
◆ 指数関数― 指数法則 ◆ 指数法則から直接に微分可能性 を導 く. ◆ 指数関数の微分方程式 による定義 ◆ 指数関数のベキ級数による定義 ◆ 指数関数の定積分に よる定義 ◆eの 定義から出発す る指数関数の導入法
指 数 関 数― 次 講 か らは,多
加 法 の相 か ら乗 法 の 相へ
変 数 の 微 積 分 に つ い て 述 べ て い こ う と思 っ て い る の で,こ
は 少 しい ま ま で の 話 を 振 り返 っ て み た い.振 と し て,解
り返 っ て み る の に ふ さ わ し い テ ー マ
析 学 の 交 差 点 に い つ で も立 っ て い る よ う な,指
に つ い て,再
こで
数 関数
考 して み る こ と に す る.
正 数a(≠1)を
底 と す る 一 般 の 指 数 関 数y=axは,指
た して い る が,逆
数 法 則ax1+x2=ax1ax2を
に 指 数 関 数 は こ の 性 質 で 特 性 づ け られ て い る.す
な わ ち,実
み 数
の 加 法 を 乗 法 へ と 移 す 連 続 写 像φ で
を み た す も の は,指 帯 条 件φ(0)≠0に,さ
数 関数y=axに
限 る(第4講,Tea
ら に こ こ で はφ(1)≠1も
こ の よ う に 一 般 の 指 数 関 数y=axは,実 も つ 乗 法 の 相 へ と移 す,非
数Rの
Time参
照:そ
こ で の付
加 え て あ る). も つ 加 法 の 相 を 正 の 実 数R+の
常 に 特徴 的 な 性 質 を も つ 関 数 と な っ て い る.
指数関数の微分可能性 『微 分 ・積 分30講
』 を 読 まれ た 方 は,y=axの
とを 仮 定 した 上 で,解
グ ラ フ に 接 線 が 引 け る とい う こ
析 学 に お け る最 も 基 本 的 な 数(自
然 対 数 の 底)
e=2.71828182845… を 導 き 出 し た こ と を 覚 え て お られ る か も しれ な い.そ 関 数 の 中 で,特
にx=0の
と き の 接 線 の 傾 き が1と
の 導き 方 は,y=axと
な る も の,す
い う
なわ ち
(1) を み た す 数 と し て,eを
導 い た の で あ っ た.
し か し 改 め て 考 え 直 し て み る と,グ 'y=axの
ラ フ を 見 る 限 り ま っ た く 自 明 と 思 え る仮 定
グ ラ フ に 接 線 が 引 け る'を 厳 密 に 証 明 す る に は,ど
うか と い う こ とが 問 題 に な っ て く る.い に 示 す の か,と
る.実 際(1)を
も,微
い か え れ ば,y=axの
微分 可能 性 を いか
い う こ とが 数 学 的 に は 問 題 に な る の で あ る.
この問 題 は,(1)の
と な っ て,exは
う した ら よ い の だ ろ
右辺 の 極限 が存 在 す るか とい う こと と,実 は 同値 なの で あ
仮 定す る と
至 る 所 微 分 可 能 な 関 数 と な る こ とが わ か る.し
分 可 能 な 関 数 と な る(な
お,こ
たが って また
の 等 式 が 成 り立 つ こ と は 両 辺 の 対 数 を と っ
て み る と わ か る).
指数法則と連続性から可微分性を導 く 指 数 関 数 は指 数 法 則 をみ たす 関 数 として特 性 づけ られ て い るの だか ら,そ れで は,指 数 法 則 を用 いて,直 接y=axの
微分 可 能性 を証 明 す る こ とがで き そ うであ
る.し か し,こ の種 の証 明 は,私 が い まま で見 て きた 解 析 の教科 書 には 載せ られ て い なか った.本 書 の執 筆 に 当 って,私 自身 この証 明 を試 み た の だが 成功 しなか っ たの で あ る.た また ま,東 京 工業 大 学教 授 の 藤原 大 輔 さん にお 会い す る機 会が
あ っ て,こ
の 問 題 を お 話 し し た と ころ,藤
原 さ ん は 即 日,こ
の 解 答 を 見 出 さ れ,
私 に 書 き送 っ て 下 さ っ た. 以 下 で,指
数 法 則 か ら,指
数 関 数y=axの
微 分 可 能 性 を 示 す,藤
原 教授 の エ レ
ガ ン トな 証 明 を 述 べ て お く. 指 数 関 数y=ax(a>0,a≠1)の
は,微
連 続 性 は 既 知 と す る.こ
分 可 能 な 関 数 で あ る(第21講).こ
か 成 り立 つ.実
際,指
の とき
のとき
数 法 則 に よ って
(積分 の定義) (指数 法 則!)
した が って
とな る.S(x)は 関数y=axの
微 分可 能 な 関数 だ った か ら,axも
微 分可 能 であ る.こ れ で指 数
微 分可 能 性 が証 明 された.
微分方程式による指数関数の定義 指数 法 則 か ら,指 数 関 数 を 導入 す る の とは別 に,指 数 関数 を 全 く別 の流 儀 で 定 義 す る方 法 も あ る.そ の1つ の方 法 は微 分 方程 式 を 用 い る もの で あ る.す なわ ち
の 解 で,y(0)=1と
な る も の をy=exで
表 わ す.
この定 義 に は多 少 の コ メント が必 要 で あ る.微 分 方程 式dy/dx=yの yは,全
右 辺 の関数
平 面 で明 らか に リプシ ヅツの条 件 を み た し てい る.し た が っ て,前 講 の
定 理(Tea
Timeも
参 照)か
を み た す も の が た だ1つ
ら,す
べ て のxに
存 在 す る.そ
れ をexと
こ の よ う に し て 定 義 し た 関 数exは,何 C∞-級 の 関 数 で あ る.第11講 を そ の ま ま 適 用 し て,テ
対 し て 定 義 され た 解 で,y(0)=1 お こ う と い う の で あ る.
度 微 分 し て もexで
あ り,し
た が って
で の 指 数 関 数 が テ イ ラ ー展 開 可 能 で あ る こ と の 証 明
イ ラー展 開
が すべ ての 実数xに 対 し て成 り立 つ こ とがわ か る. この ベキ級 数 展 開 を 用 いて,指 数 法 則
を示 す こ とが で きる.し た が って この よ うに微分 方 程 式 を経 由 して得 られ た 関数 exは ,ふ つ うの指 数 関 数 と一致 して い る.
ベ キ級 数 に よ る定 義 指 数 関数 を は じめか らベ キ級 数 で 定義 して進 む 道 もあ る.す なわ ち ベ キ級 数
の 表 わ す 関 数 をexと
定 義 す る.
この 定義 の 仕方 は最 も簡 明 で あ るが,こ
のベ キ級 数 の 収束 域 がR全
体である
ことや,ベ キ級 数 は収 束 域 の 中 では 微分 可 能 な関 数 を表 わ して い る こと な どは, あ らか じめ 証 明 し てお か な くて はな らない.
定 積 分 に よ る定 義 定 積分 を 用 いて 指 数 関数 を定 義す る方 法 もあ る.そ れ に は,関 数
の 定積 分 を用 い るの で あ る.指 数 関数 とそ の 微分 を知 って いれ ば,逆 関 数 で あ る 対 数 関数 の性 質 もわ か って
は,よ
く知 られ た公 式 とな るの で あ るが,私 た ち の立 場 では,指 数 関数 は まだ定
義 され て い ない の だ か ら, は
どの よ うな関数 とな るか はわ か ってい ない.
しか し
は わ か る. た とえば2番目 の 式 は まず がxに
つ い て単 調増 加 の こ とに注意 す る.次 に 図61
から
(2) で あ る が,一
方
図61 を用 い る と,(2)の
右 辺 が→+∞
とな る こ とがわ か るか らで あ る.
そ こで
と お く こ と に よ り,関 数φ(x)を
がわ か りやす い.関 数φ(x)は
定 義 す る.こ
の 定 義 の 意 味 は,図62を
見た方
す
べ て の実数xに 対 して 定義 され て い て,さ らに単 調 増 加 で あ る.x が どん どん大 き くな る と き,1か らxまで の1/tの グ ラ フ の つ くる 図62
面 積 の増 加 の 割合 は 急 速 に減 少 し て くる.こ
の こ と は,た
φ(100)か らφ(101)ま
と え ば,xが100か
ら101ま
で 動 くが,φ(100)とφ(101)の
で 動 く と き,φ(x)の 長 さ は,恐
き な 数 に な っ て い る こ と を 予 想 さ せ る. 任 意 に2つ
の 実 数x1,x2を
と る と,こ
のφに 対 し て'指
数 法 則'
方 は,
ろ し い ほ ど大
が 成 り立 つ.
【証 明 】
(s=φ(x1)t変
この 右辺 は定 義 か ら
数 変 換!)
で あ る.し た が っ てφ(x1+x2)=φ(x1)φ(x2)が
成 り立 つ. φ(x)が
連 続 で あ る こ とは 容 易 に わ か る.し
た が っ てφ(x)は,あ
る数 を底 と
す る 指 数 関 数 と な っ て い る の で あ る.
φ(x)=exと
定 義 す る.
こ の 定 義 が 妥 当 な も の で あ る こ とを 見 る た め に は,φ(x)が φ′(x)=φ(x)が
成 り立 つ こ と を 示 せ ば よ い.こ
こ こで,簡単の た めh>0と
し,第21講'準
の 証 明 は 次 の よ う に す る.
備的な 注意'を 参 照 して,1/tが単調
減 少 の ことに注 意 す る と,
この真 中 の 式 がhに 等 しい の だか ら,少 し式 を 変形 す る と
が 得 られ る.φ は 連 続 だ か ら,こ
が 示 さ れ た.
こ でh→0と
微 分 可 能 で あ っ て,
す る と
こ の 定 義 は,定
積 分 を 知 っ て い れ ば,指
も の か も し れ な い.1/tと
数 関 数 を 導 入 す る の に,比
い う関 数 を,時間tに
お け る 自動車の速度を表
え れ ば,φ(x)と
い う関 数 は,t=1か
ら 出 発 し た 自 動 車 が,距
要 し た 時 間 をxの
関 数 と し て 示 し て い る も の で あ る.東
離xだ
速90kmで
km)な
ら何 時 間 か か る か と考え る こ と は 日常 的 な こ と だ か ら,そ
な お,こ
導 入 の 仕 方 も,常
の定義 で は,y=1/tと
わ すと考 け進 む のに
京 か ら 京 都 ま で(480
km),時
れ ば,φ(x)の
車 を 走 らす と き,何
較 的 自然 な
時 間 か か る か,東
京 か ら大 阪 ま で(520 の よ うに 考 え
識 的 な 範 囲 に あ る と い っ て よ い だ ろ う. い う 関 数(反
比 例!)の中に,実
数 の乗 法 的な
相 が 隠 さ れ て い る の で あ る.
eと い う数 の 導 入 この よ うな 指数 関 数 の導 入 の 仕方 は,そ れ ぞれ には っき りした意 味 を もっ てい るが,こ の よ うな定 義 では 微 分方 程 式 か,ベ キ級 数 か,定 積 分 か,い ず れ か の こ とを 知 らな い うちは,指 数 関 数を 導 入 で きない こ とに な る. ふ つ う解 析 入門 に お いて は 指数 関 数 を いか に直 接 的 に導 入 す るか,す
なわ ちe
とい う数 を いか に 直接 的 に 導 入す るか とい う問 題 か ら出発す る.そ のた め,ふ つ うは 何 の 説 明 もな い ま ま ま った くや み くもに,実数eを
(3) と定 義 して,読
者 を 当 惑 さ せ る の で あ る.こ
い る こ とに 注 意 し て ほ し い.た
だ こ こ で は,極
う に 完 成 さ れ た 形 式 の 中 で は な くて,い 析 入 門'の 第1章 (3)の
限概 念 が 微分 方 程 式 や定 積 分 の よ
わ ば そ の ま ま の 形 で 入 っ て い る の で'解
に お く こ とが で き る の で あ ろ う.
右 辺 の極 限値 が 存 在 す る ことは 次 の よ うに してわ か る.二 項 定理 に よ り
と な る が,こ る.し
の 定 義 に もす で に 極 限 概 念 が 入 っ て
こ でnの
た が って
代 りにn+1を
お く と,各
項 は 大 き くな っ て,さ
ら に 項 数 が1つ
増 え
(n=1,2,…)
と な る.ゆ
えに
と お く と,a10と で あ り,f′(x)は
点 の 近 くで も,f′(x)>0が
単 調 増 加 で あ る.ゆ これ が,1変 い よ う に,表
え に,逆
形
写
成 り立 つ.し
関 数f−1(逆
写 像!)が
た が っ て こ の 範 囲 でf(x)は 原 点 の 近 くで 存 在 す る.
数 の 場 合 に 逆 写 像 定 理 に 対 応 す る こ と で あ る.こ
の対 比 を見 や す
に か い て お こ う. 1変
線
図79
連続だ
像
数 の と き
2変
数 の と き
y=axでa≠0
で
1対1
が正則行列 Φ は1対1 一 般 のC1-写 像
y=f(x),f(0)=0でf′(0)≠0
逆写像定理
原点 の近 くで1対1で,し たが ってそ こでf−1が 存 在 す る
逆 写 像 定 理 の証 明 の 考 え 方(Ⅰ) 逆 写 像 定 理 を 示 す た め に は,対 に,単
にJ(Φ)(0,0)が
応 す る1変
正 則 で あ る と い う仮 定 を 用 い る だ け で な くて,点(x,y)
が 原 点 に 十 分 近 い と き に は,J(Φ)(x,y)は ら か の 形 で 用 い な くて は な ら な い(こ ら の 帰 結 で あ る).し
た が って,証
や は り正 則 な 行 列 と な る こ と を,何 の こ と 自 身 は,Φ
な わ ちRnか
らRnへ
がC1-写
像 で あ る こ とか
明 は 多 少 細 か い 配 慮 が 必 要 と な る.
こ れ か ら 述 べ る 証 明 の 考 え方 は,2変 の 場 合,す
数 の場 合 を 見 て も推 察 で き る よ う
のC1-写
数 の 場 合 だ け で は な くて,一
般 にn変
数
像 に 対 し て も適 用 さ れ る 考 え で あ る.
ま た 証 明 の 背 景 に あ る ア イ デ ア は,第22講 と き の,微 る.こ
で 述 べ た,リ
プ シ ッ ツ条 件 を み た す
分 方 程 式 の 解 の 存 在 と一 意 性 を 与 え る証 明 と,類 似 の も の を 含 ん で い
の点 も ま た 読 者 の 興 味 を よぶ の で は な い か と思 う.
い ま A=J(Φ)(0,0)
とお くと,仮 定 か らAは 正 則 行列 で あ り,し た が って逆 行 列A−1が 存 在す る. 合 成写 像
を 考 え る と,ΦoA−1はC1-写
像 で,ま
た 前 講 の 結 果 か ら,原
点 に お け る ヤ コ ビ行
列 を考 え る と
(1) と な る. 私 た ち は,Φ
の 代 りに,ΦoA−1に
に対 して 定 理 が 成 り立 つ な ら ば,R2の
は1対1と
な る.し
対 し て 定 理 の 証 明 を 試 み よ う.も 原 点 を 含 む 領 域U,Vが
た が っ てU=A−1(U),V=Vと
し,ΦoA−1
存 在 して
お く と,U,Vは
や は り原 点
を 含む 領域 で
は1対1写 (=V)上
像 と な る.V上 でC1-写
し た が って,Φ
で ΦoA−1の 逆 写 像 がC1-写
像 な ら ば,Φ の 逆 写 像 もV
像 と な る こ とは す ぐ にわ か る. の 代 りに ΦoA−1に 対 し て 定 理 が 成 り立 つ こ とを 示 す と よ い.
逆 写 像 定理 の証 明 の考 え方(Ⅱ) い ま 述 べ た こ とは,(1)を
見 る と,定 理 の 仮 定 の 中 のⅱ)の
強 い仮 定
(2) を お い て 証 明 し て も よ い とい う こ とで あ る.
代 りに,も
っと
記 号 を 簡 単 に す る た め に,P=(x,y)と
お き,ま
た
とお く.ま た 正 数 εに 対 し て
と お く(図80).記
と表 わ し,こ
号 を整 理 す る ため
れ に 対 し て,Ψ
図80
を
(3) す なわ ち
と 定 義 す る.そ (2)か
で あ り,し
し て こ の 右 辺 を そ れ ぞ れ,u=Ψ1(x,y),v=Ψ2(x,y)と
表 わ す.
ら
た が っ て,Ψ1とΨ2の
Ψ1,Ψ2はC1-級
原 点 に お け る偏 微 係 数 は す べ て0と
な る.
で あ り,し た が っ て 正 数 εを 十 分 小 さ く と る と,U(ε)上
が 成 り立 つ よ う に で き る.こ
の こ とか ら,U(ε)上
で
(4) が 成 り立 つ こ と が わ か る. 【(4)の 証 明】 平均 値 の 定 理(第25講,Tea
Time)か
ら
で
|Ψ2(P)−Ψ2(P′)│に対 して も同 様 の 式が 成 り立 ち,こ の こ とか ら,(4)が 特 にP′ と し て,原
点Oを
と る と,Ψ(O)=Oだ
示 され る.
か ら
とな る. Q∈U(ε/2)を1つ
と っ て 固 定 す る.こ
の と き私 た ち の 示 し た い こ とは,原点
まわ りの領 域 を適 当 に と る と, Φ(P)=Q と な るPが,こ
の領 域 の 中 に た だ1つ
存 在 す る とい う こ と で あ る(図81).
図81
それ を示 す た め に
(5) と お く.Q=(q1,q2)と
お く と,ΨQ(P)=(q1−Ψ1(x,y),q2−
Ψ2(x,y))で
あ る.
また
(6) の こ と を 注 意 し て お こ う. ΨQ(P)はC1-級 U(ε)に
の 写 像 で,U(ε)をU(ε)の
中 に 写 像 して い る.実
対 して
ま た,(4)を
参照 す る と
(7)
際,P∈
の
この状 況 は,第22講
の定理 の証 明 に現 われ た 状況 と ま った く同様 で あ る と い
って よい.し た が って そ の と きの考 えがそ のま ま適用 で きて
一 般 に ,帰 納 的 に
(8) と お く.こ
の と き 点 列{Pn}は,U(ε)の
し た が っ て{Pn}は1点Pに
中 の コ ー シ ー列 と な る こ とが わ か る.
収 束 す る(実
数 の 連 続 性か ら各座 標成 分 が 収 束 す
る). (8)でn→∞
とす る と,ΨQは
連続だか ら
(9) と な る. (9)か
ら,ま
ずP∈U(ε)が
得 ら れ る.実
際,(7)でP′=Oと
お い て(6)
を用 い る と
によ り
ま た(5)と(3)を
用 い て(9)を
か き直す と
す なわ ち
と な り,点Qへ に よれ ば,こ
Φ に よ っ て 移 さ れ るP∈U(ε)の の よ うなPは,写
像 ΨQの 不 動 点(!)と
し た が っ て こ の こ とか ら, む 領 域 で あ っ て,Φ
はWか
存 在 が 示 さ れ た の で あ る.(9) し て 得 られ て い る. と お く と,Wは
ら
原点 を 含
の上へ の写 像を 与 え てい る こ と が わ か っ
た(図82). さ らに Φ はWか Φ(P')と
へ の1対1写
ら
す る と(9)か
ら
像 と な っ て い る.実
際,Q=Φ(P)=
図82 とな る.し
た が っ て(7)か
こ の よ うに し て Φ は,写
と して,1対1の,上
ら,P=P′
が 結 論 され る か ら で あ る.
像
へ の 写 像 を 与 え て い る こ と が わ か っ た.
こ の 逆 写 像 Φ−1がC1-写 こ の よ う に し て,少
像 と な る 証 明 は,こ
し長 くな っ た が,逆
Tea
こ で は 省 略 し よ う.
写 像 定 理 が 証 明 さ れ る の で あ る.
Time
n次 の 正方 行 列 とC1-写 像 線 形 代 数 で,n次
は,n次
の正方 行 列
元 ベ ク トル空 間Rnか
らRnへ
の 線 形 写 像 を表 わ す とい うこ とは聞 いた
こ とが あ るだ ろ う.実 際,こ の行 列 の 表わ す 線 形 写 像は
で 与え ら れ る.こ る.そ
の 一 般 化 と し て,Rnか
らRnへ
のC1-写
像 を考 える ことが で き
れは
の 形 を し たRnか
らRnへ
の 写 像 で あ る.こ
こ で 各fi(i=1,2,…,n)は,変
数x1,
…,xnに
つ い て 偏 微 分 可 能 な 関 数 で あ っ て,各
で あ る.こ も,ヤ
の 講 で 取 り扱 っ た の は,n=2の
列 な らば,逆 ら,容
場 合 で あ る.こ
コ ビ行 列 を 考 え る こ とが で き て,逆
と が で き る.こ
偏 導 関数 が 連 続 とな ってい る もの
写 像 定 理 は,同
の よ うな 一 般 化 が 可 能 な こ とは,n次 行 列,し
の 一 般 のnの
と きに
じ よ うな形 で述 べ る こ
の 行 列 の 場 合 で も,正
則行
た が っ て 逆 写 像 が 存 在 す る と い う事 実 が 成 り立 つ こ とか
易 に 推 測 さ れ る こ と で あ る.こ
の 場 合 の 証 明 も,こ
こで述 べ た証 明 と同様
に で き る.
質 問 陰 関 数 定 理 と い うの を 聞 い た こ とが あ りま す が,そ
れ は ど ん な もの か,こ
こ で 説 明 し て い た だ く こ と が で き ま す か. 答 逆 写 像 定 理 と陰 関 数 定 理 は,密
接 に 関 係 し合 っ て い る の で,こ
こで述べ る こ
と が で き る. 関 数 は,ふ
つ うはy=f(x)の
形 で 表 わ さ れ て い る.し
な 形 で 与 え ら れ て い な い と き もあ る.た 例 で あ る.こ
の と き で も,y≧0の
と え ば,円
範 囲 で は,こ
か し,関
数 が この よ う
の 方 程 式x2+y2=r2は
の 式 は,実
と い う 関 数 を 表 わ し て い る と考 え る こ とが で き る.こ
そ の
質 的 に は,
の よ う に,関
数が
F(x,y)=0 と い う 関 係 を み た す もの と し て 与 え られ て い る と き に,陰
関 数 と い う.
し か し注 意 す る こ とは,F(x,y)=0と
い う関 係 でyがxの
に 決 ま る と い う保 証 は な い の で あ る.上
の 円 の 方 程 式 で も,y≧0と
け れ ば,yはxの
関 数 と し て は 一 意 的 に は 決 ま ら な い.別
は,y=−xと,
と い う3つ
ど の よ うな と き,F(x,y)=0と ま る か,と
関 数 と して 一 意 的 してお か な
の 例 と して は,
の 関 数 を 与 え て い る.
い う関 係 か らyがxの
い う条 件 を 述 べ る の が 陰 関 数 定 理 で あ る.そ
関 数 と して 一 意 的 に 決 れ は 次 の よ うに 述 べ ら れ
る: 'F(x,y)はC1-関
数 で,F(0,0)=0,Fy(0,0)≠0が
近 くで,F(x,φ(x))=0を こ の 定 理 は,見
み た す 関数y=φ(x)が
成 り立 つ な ら ば,原 た だ1つ
点の
存 在 す る'
か け は 逆 写 像 定 理 と無 関 係 の よ うで あ る が,C1-写
像 Φ:(x,y)
→(x,F(x,y))を の と き,ヤ
考 え る こ と に よ っ て 逆 写 像 定 理 と結 び つ くの で あ る.実
際 こ
コ ビ行 列 は
と な り,仮 定Fy(0,0)≠0に
よ り,正 則 行 列 と な る.し
た が っ て,原
点 の 近 くで
Φ の 逆 写 像 Φ−1が存 在 す る.
とお く と,こ
の 両辺 に Φを 適 用 して
し た が っ てy座
標 を 見 比 べ てF(x,φ(x))=0と
が 存 在 す る こ とか ら の 結 論 と な る.
な る.φ の 一 意 性 は,Φ
の逆 写 像
第29講 2変 数関数の積分 テーマ
◆1変
数関数 の積分 と2変 数関数の積分
◆ 面積確定 の領域上での積分 ◆2変
数連続関数の積分 の定義
◆ 積分の基本性質 ◆ 累次積分
1変 数 関 数 の積 分 と2変 数 関 数 の 積 分 2変 数 の関 数f(x,y)に
つ い て,い
ま までは 微分 の立 場 で 取 り扱 って きた が,
今度 は 積分 の立 場 で 見 てみ よ う. 2変 数 の連 続 関 数f(x,y)に
対 して,重 積 分 とも よばれ る'2変
数 関数 と して
の定 積分'
(1) を導 入 した い の で あ る. しか しこ こで も また 微 分 の 場合 と 同様 に,1変
数 関数f(x)の
定 積分
(2) の 場 合 に は あ ま り触 れ な か っ た 事 柄 に つ い て,新 し い 注 意 が 必 要 と な る.そ 1変 数 関 数 の 場 合 に は,定 あ っ た.こ
積 分 の 範 囲 は ふ つ うは(2)の
の 閉 区 間[a,b]は,長
基 本 的 な 集 合 で あ っ て,実
際,私
れ は,
よ うに 閉 区 間[a,b]で
さ を 測 る とい う観 点 に 立 っ て み た と き,最 た ち が 長 さb−aを
もつ 集 合 と い え ば,ま
も
ず こ
の よ うな 閉 区 間 を 考 え る. こ の 閉 区 間[a,b]に え ば,一
辺 が[a,b],他
対 応 す る,2次 の 辺 が[c,d]で
元(平
面!)に
お け る基 本 的 な 集 合 と い
与 え られ る 長 方 形
で あ ろ う.し た が って(2)に
対 応 す る2変 数 の 定 積分 と して
(3) を 考 え る こ と は,ひ
と まず 自 然 な 拡 張 と い っ て も よ か っ た の で あ る.
面積確定の領域上での積分 しか し 実 際 は,平 の 場 合 に は,定
面 上 の 図 形 の 中 で,長
積 分 の 範 囲 と し て 閉 区 間[a,b]を
抗 も感 じ な か っ た が,2次 ら,何
方 形 は あ ま り に も特 殊 す ぎ る.1次
元 の 場 合,長
か 妙 な 感 じが す る だ ろ う.こ
と る こ と に,私
元
た ちは 何 の抵
方 形 の 上 だけ で積分 を考 え る とい った
こ に1次
元 と2次
元 の積分 を考 え る ときの違
い が 生 じ て くる. した が っ て'重
積 分'(1)を
考え る と き,積
の を と る の が 適 当 か と い う こ と に な る.Dと う こ と は,ま
して,平
し て ど の よ うな も
面 の有 界 な集 合 を と る とい
ず 前 提 と し て お こ う.
1次 元 の 場 合, で,特 [a,b]の
分 の 範 囲Dと
長 さb−aに
の 値 は,Dの
にf(x)≡1の
な る.同
と き に は,こ
じ よ う に(1)で,f(x,y)≡1の
面 積 と な る こ と が 望 ま し い.し
の 積分 は 閉 区 間 ときに は
か し そ うな る た め に は,Dに
面積
と い う概 念 が 確 定 し て い な くて は な ら な い. こ の よ うな 考 察 か ら,2変 (A)
Dは
(B)
f(x,y)は
数 の 場 合,定
積 分(1)を
導 入 す る 出 発 点 と して
面 積確 定 の 平面 の有 界領 域 閉 領 域Dで
連続 な関 数
を 仮 定 して お く こ と に す る. もち ろ ん,1変 (B)よ
数 関数 の 定積 分 の定 義(第20講)の
よ うに,f(x,y)に
つ い て の仮 定 は
りも っ と弱い 所 か ら始 め て もよ い.し か し,そ うす る と話 が 少 し細 か くな る ので,
こ こで は は じめ か らfに 連続 性 を仮 定 し た ので あ る.
2変 数 の 積 分 の 定 義 そ こ で(A),(B)を
仮 定 し た 上 で,D上
のfの
定積分
を 定 義 し た い.ま
ず,仮
定(B)か
ら,第24講
た 定 理 を 参 照 す る と,f(x,y)はDで 第19講
の 中 の'連
続 関 数'の
項 で述 ベ
有 界 で あ る こ と を 注 意 し て お こ う.
と 同 様 の 考 察 を 繰 り返 す こ と と して,Dは
の 中 に 含 ま れ る と し て,[a,b],[c,d]の
長方形
分 点
を と り,
と お く.長 あ る.ま
方 形Jijは,第19講
たJijの
で は,し
ば し ばgタ
イル と して 引 用 し た も の で
面積を
と か く. さ て,こ
れ ら のJijの
中で
(4) と な る も の に 注 目 し,こ と る.そ
の よ う なJijに
対 し,Jij∩Dの
中 か ら1点(xij,yij)を
して和
(5) を 考 え る.こ
こ で Σ′ とか い た の は,和
は(4)を
み た す(i,j)に
つ い て だけ と
ら れ て い る こ とを 意 味 し て い る. こ の と き,Dが
面 積 確 定 で あ る と い う こ と と,f(x,y)がDで一様
う性 質 を も つ こ と か ら1),gの
分 点 の 最 大 幅Max(xi+1−xi),Max(yj+1−yj)を
0に 近 づ け る と,(5)は(xij,yij)の こ と が 証 明 で き る(こ
と り方に よ らず 一 定 の 極 限 値 に 収 束 す る
の 証 明 の 考え 方 は,第20講
で1変
積 分 可 能 で あ る こ と を 示 し た 考 え 方 と 同 様 で あ る).こ
数 の 場 合,連
数 の場 合 の 定義 も容 易 に 類 推 で き る だろ う.
続 関数 は
の 極 限 値 を,f(x,y)のD
1) 2変 数 関 数 の 場 合,一 様 連 続性 の定 義 は 特 に 与 え なか った が,読 者 は,第20講 場 合 の 定義 か ら,2変
連 続 とい
で与 え た1変 数 の
上 の定 積 分 と定 義 す るの であ る.す なわ ち 【定義 】 分 点gの
最 大 幅 を0に 近 づけ た と き
の 極 限値 を
と 表 わ し,f(x,y)のD上
の 定 積 分,あ
る い は 単 にD上
の 積 分 と い う.
積分の基本性質 この よ うに 積 分を 定 義 す れ ば,1変
数 の と き と同 じ よ うに,次 の 基 本性 質 が成
り立 つ. f(x,y),g(x,y)をD上
で 連 続 な 関 数 とす る と,定
数 α,βに 対 し
また1つ の領 域 に対 して 与 えた 上 の積 分 の 定義 は,D1,D2,…,Dnが な い,面 積 確定 の領 域 の とき には,和 集 合
共通 点 の
上 の積分 の定 義 に ま で 自
然 に拡 張 で き て
が 成 り立 つ.
累 次積 分 積 分 の定 義 は これ で 済 んだ が,面
積 確定 の 領 域Dと,連
続 関数f(x,y)が
与
え られ た とき,
を 具 体 的 に ど の よ うに 計算 した らよい か とい う方 法 につ い て は,上 の定 義 は直 接
図83
には 何 も教 え て くれ な い.ふ つ うは この積 分 の値 は1変 数 の場 合 に 帰着 させ て計 算 す る. い ま簡単 の ため,領 域Dが
図83で 与 え られ て い る よ うな 場 合 を考 え よ う.す
な わ ち この領 域 の左 端 と右端 はx=a,x=bで
限 られ,上 下 は 連 続 関数φ2(x)と
φ1(x)の グラ フ y=φ2(x),y=φ1(x)
で 限 られて い る とす る.こ の ときDは
面 積確 定 であ る.
この とき次 の 命題 が成 り立 つ:
こ の 右 辺 の 意 味 は 次 の よ うな こ とで あ る.xを て,φ1(x)か
ら φ2(x)ま
と め てf(x,y)をyの
関 数 とみ
で 積分 した結 果 を
(6) と お く.F(x)はxの し た 値 が,左
関 数 と し て 連 続 と な る.こ
辺 に 等 し い と い うの で あ る.す
を 二 度 繰 り返 した こ と に な っ て い る.こ 【証 明 】 命 題 を 示 す た め に,再 る.い
まiを
とめ て 積 分
びJij∩D≠
のF(x)をaか
らbま
な わ ち 右 辺 は,1変
で 積分
数 の関 数 の積 分
の 右 辺 を 累 次 積 分 と い う. φ を み た すJijだ
け考 え る こ とに す
を 考 え る.こ っ てy方
の 積 分 は,図84を
向 にf(xi,y)を
み て も わ か る よ うにPjか
らPj+1ま
で実 線 に沿
積 分 し た こ と に な っ て い る.
図84
とお くと,積 分 に 関す る不 等式(第21講'準
が 成 り立 つ.こ
とな る.こ 実 際 は,こ
の 式 をjに
こ で Σ′は,前
と 同 じ よ うに,Jij∩D≠
れ ら の 不 等 式 は,JijがDの
φ と な るjだ け を 加 え て い る.
境 界 と交 わ る と ころ で,多
れ らの 補 正 は,こ
こ の 不 等 号 の 真 中 に 挾 ま れ た 式 は,F(xi)に
少 の補 正 を
れ か らの極 限操 作 で 結局 は消 え る
の 点 に つ い て 細 か い 議 論 を 避 け て し ま っ た の で あ る.(6)を
こ の 不 等 式 にxi+1−xiを
ら
ついて加えると
した 上 で 成 り立 つ の だ が,こ の で,そ
備 的 な注 意'の 項)か
用 い る と,
等 し い こ と に 注 意 し よ う.
かけ て加 え る と
が得 られ る.こ の不 等 式 の 両側 の式 は
に近 づ く.し た が っ て真 中 に挾 まれ た式 の極 限値
の と き,と
もに
は,こ
のf(x,y)の
くて は な ら な い.こ
積 分 に 等 し くな ら な れ は 証 明す べ き式 で
あ っ た. 【例 】 図85の
よ うに,x=π/4からx=π/2
の 間 で,y=sinxとy=cosxの で 挾 ま れ た 領 域 をDと
グラ フ し,
図85 を 求 め て み よ う.
こ こで 最後 の 式へ 移 る と き,不 定 積分
を 求 め る必 要 が あ っ た が,こ
の 不 定 積 分 は,cosx=tと
お く こ と に よ り,容
易に
求 め ら れ る.
Tea
Time
累次積分で積分の順番をかえてみ る 累 次積 分 を す る順 序 は,ま ずyに つ い て積 分 して 次 にxの 積 分 に移 るか,あ る い は この逆 に,ま ずxに つ い て積 分 して次 にyの 積 分 に移 るか の2通 りが あ る
が,ど ち らを選 ん で も もち ろん 同 じ結 果 に到 達 す る.し か し,実 際計 算 の過 程 で は,順
番 を と りか え る と,ま
た 式 が で て き て,慣
っ た く違 っ
れ な い と,間
違 った
の だ ろ うか と不 安 に な る こ と さ え あ る. こ の こ と を,す
ぐ上 の 例
で 見 て み よ う.今
度 は,xに
分 を 最 初 に 行 な い,次 と い う順 序 で,累 う.図86を
にyの
つ い て の積 積 分 に移 る 図86
次積 分 を 行 な って み よ
参 照 し て み る と,こ
の 累 次 積 分 は2つ
の 積分 の和 と し て 表わ され る
こ と が わ か る.
こ の よ う に 積 分 が2つ Dの
に わ か れ た の は,yの
境 界 を つ く る グ ラ フ がx=cos−1yか
方 か ら見 た と き,
らx=sin−1yへ
の と き,
と変 わ るか ら で あ る.こ
の計 算 を 行 な うと
とな り,当
然 の こ と な が ら 前 の 結 果 と一 致 す る.
質 問 1変 数 関 数 の積 分 の ときに は,a0と の 長 方 形 が,Φ
の Φ に よ る 像 Φ(I)は,曲
し て い る)の
と線 形 写 像J(Φ)で
左 の 図 は,点(x,y)を 長 方 形Iを
画 い て い る.
移 され た 状 況 を 画 い て い る.I
線 で 囲 ま れ た 図 形 で あ り,J(Φ)に
よ る 像J(Φ)(I)
は,点(f(x,y),g(x,y))を1つ
の 頂 点 とす る 平 行 四 辺 形 で あ る.図89で
で あ る こ と を 注 意 し て お こ う. こ の と き上 に 述 べ た こ と は,曲 形 の 面 積│J(Φ)(I)│と
は,高
線 に 囲 ま れ た 部 分 の 面 積│Φ(I)│と,平
位 の 無 限 小 を 無 視 す れ ば,'ほ ぼ'等
行 四辺
し い とい うこ
と で あ る. 一方
,Iの
面 積│I│と,│J(Φ)(I)│の
で 与 え ら れ て い た.し
が 成 り立 っ て,こ
関係 は
た が っ て,近
似式
の 近 似 式 の 精 度 は,h,k→0の
と き ど ん どん よ くな っ て く る だ
ろ う. こ の 意 味 で,│detJ(Φ)(x,y)│は,無
限 小 の レベ ル で の,Φ
に よる面積 の増 加
率 を 表 わ し て い る と 考 え られ る. さ て,こ る.こ
こ で 命 題 の 式(5)を
改 め て 眺 め て み よ う.左 辺 は Φ(D)の
の 面 積 を 求 め る の に,ま
ずDの
こ の 正 方 タ イ ル の そ れ ぞ れ を Φ で 移 し て ,Φ(D)の 各 の 正 方 タ イ ル の 面 積 は,そ 率 と し て,Φ
し た が っ て,正 て,極
に
値 を近似 的 な倍
方 へ 移 さ れ て い る.
方 タ イ ル の 大 き さ を,ど
限 へ 移 る な らば,す
,次
面 積 を 求 め よ う と考 え る.各
の 点 に お け る│detJ(Φ)(x,y)│の
に よ っ て Φ(D)の
面 積 であ
方 を細 か い正 方 タイ ルで お お って
ん どん 小 さ い も の に し て,和
べ て は 積 分 記 号 の 中 に 包 括 さ れ,(5)が
を とっ
成 り立 つ だ
ろ う と予 測 す る の は 自 然 な こ と で あ る. しか し,こ (図89の
の 点 を 厳 密 に 証 明 し よ う と す る と き,微
右 図 で,曲
小 部 分 にお け る面 積 の誤 差
線 に 囲 まれ た 部 分 の 面 積 と平 行 四 辺 形 と の 面 積 の 差)を,各
タ イ ル に わ た っ て よせ 集 め た と き,こ
の 誤 差 の 影 響 が ,積
響 す る か 見 積 ら な け れ ば な らな い.実
際 は,こ
て 積 分 の 中 に 吸 収 さ れ て,(5)が か い 証 明 の 筋 道 は,こ
の 誤 差 は,極
成 り立 つ の で あ る が,こ
こ で は 省 略 し よ う.
分 の中 に どの よ うに影 限 へ 移 る と き,すべ れ を示 す 解析 的 な細
積分の変数変換 面 積 に 対 し て 成 り立 つ(5)の い ま,Φ
は 前 の よ うに,R2か
定 な 有 界 領 域 とす る と,Φ(D)も れ た 連 続 関 数 と す る.こ
関 係 は,連 らR2へ
続 関 数 の 積 分 に 対 し て も成 り立 つ.
の 正 則 なC1-写
像 とす る.Dを,面
同 じ性 質 を も つ.F(u,v)を
Φ(D)上
積確 で定義 さ
の と き次 の 定 理 が 成 り立 つ.
【定理 】
ここで
で あ る.
こ の 定 理 の 証 明 は 省 略 し よ う.た だ,F(u,v)≡1の 面 積 と な り,上
と き に は,左 辺 は Φ(D)の
に 述 べ た 命 題 とな っ て い る こ と だ け を 注 意 し て お こ う.
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質 問 「解析 概 論」 とか,「 解析 入 門」 とい う本 が,大 きな書 店 の数 学 書 を並 べ た 所 に行 くと,た
くさ んあ ります が,も
う少 し勉強 した い と思 うと きには,ど の よ
うな 本を 選 ん だ らよい ので し ょうか. 答 この本 の 最初 に述べ た よ うに,解 析学 の奥行 きの深 さか ら,こ れ らの本 に は そ れ ぞれ の 特 色が あ って,重 点 を お く場所 や,テ ーマ の選 び方 が 少 しず つ違 うよ うであ る.た とえば,日 本 の数 学 書 の古典 として,い ま もな おみず みず しい感 触 を 保 ち続 け て い る,高 木 貞治 『解 析概 論 』(岩 波 書店)の 内容 の豊 富 さは群 を ぬ いて い るが,そ れ で も微分 方程 式 につ い ては 触 れ られ てい な い.多 変 数 の微 積 分
に つ い て の現 代 的 な立場 か らの 取 扱 い は,杉 浦 光 夫 『解 析 入 門』(東 京 大学 出版 会)のⅡ 巻 に詳 細 に 述べ られ て い る.微 分方 程 式 に重 点 を お いて かか れ た 解析 入 門 の本 と して は溝 畑 茂 『数 学 解析 』(朝 倉書 店)が あ る. これ らの 本 の例 で も見 られ る 解析 入門 に おけ る テ ーマの 選択 の多様 性 と,構 成 の違 い は,外 国の 本 な どで は もっ と顕 著 に見 られ る傾 向で あ って,そ れ は結 局 は, 解 析 学 に 近づ くひ と りひ と りの数 学 者 の 関心 のあ りか と,個 性 の違 いを 反 映 して い る と考 え て よい もの であ る. した が って,こ
の30講 を読 み 上 げ て,さ
らに も う少 し解 析学 を学 んで み た い
とい う読 者 は,図 書館 や 本屋 さ ん で この種 の本 を い ろい ろ眺 め て み て,自 分 に 関 心 のあ るテ ー マを重 点 的 に扱 っ てい る本 を選 んで み るの も,一 つ の選 択 の 方法 と な る.も
ち ろ ん,読 者 の理 解 の仕 方 も多様 な のだ か ら,あ ま り評判 に こだわ ら
ず,自 分 に な じみ やす い 形 でか か れ た 本 を選 ぶ とい う考 え もあ って よい か も しれ な い. いず れ に して も,解 析 入 門 とい う門 を く ぐる くぐ り方 は,人 に よって い ろ い ろ あ る ので あ る.
問 題 の 解 答
第3講 問1
数 列{xn}が
収 束 す れ ば,{xn}は
コ ー シ ー 列 で あ り,し
た が っ て
が
成 り立 つ. 逆 に の 性 質 を 見 る と,任
が 成 り立 っ た と し,こ 意 の 正 数 εに 対 し て,あ
の 値 をaと
す る.こ
を み た して い なけれ ば な らな い.す な わ ち
を みた してい な けれ ば な らな い.こ の ことは,limxn=aを
示す.
問2 講義 で述 べ た よ うに
と お く と,xn≦ynに
よ り,Xn≦Xn′,Yn≦Yn′.し
が 成 り立 つ.
第6講 問1 最 後 の ところ だ け示 して お こ う. |x−a│<Min(δ1,δ2)の
し た が っ てf(x)g(x)は,x=aで
第10講 問1 した が って,帰 納 的 に
の と き,上
る 番 号 か ら 先 のxnは,す
と き
連 続 で あ る.
た が って
べて
極 限,下
極限
で あ る こ とが わ か る.
問2
第16講 問1 に 注 意す る と,ま ず
が 得 られ る.し たが って,講 義 の 中で 求め た 公式 を使 うと
第21講 問1
問2
索
引
Cr-級 の― ア
行
204
C∞-級 の―
72
e 179
2変 数 の―
182
一 様 収 束 93
微 分可 能 な―
一 様 連 続 性 150
偏 微 分 可能 の―
1階 線 形 微 分方 程 式 123
完
54,196 188
備 22
一 般 解 119,135 陰 関 数 定 理 225
逆 三 角 関数 の導 関数 69 逆 写像 定理 217
上 に 有 界 13,17
極 限値 9 極 小値 76
n階 線 形 微分 方 程式 118,127
極 大値 76 極
値 76,77
オ イ ラ ー の公 式 99
距
離 183
カ
行
区 間 縮 小 法 13 グラ フの つ くる図 形 146
解 曲線 165 開 区 間 10 解 の 存在 と一 意 性 166
原 始 関数 101
外部 面 積 143 下
界 20
高 階導 関数 72
下 極 限 23
合成 関数 の微 分 70
下
コ ーシ ー ・ア ダマ ール の定理 89
限 20
可 微 分 関 数 54
弧
加
コー シ ー列 21
法 29,32
度 68
加 法 公 式 69 関
サ
数 34 ― の 極 限値 34
最 小値 47
―
最 大値 46
の定 義 域 183
C1-級 の―
196
C2-級 の―
201
C3-級 の―
203
三 角関 数 68 ―の導 関 数 68 Cr-級 162
行
―の関 数 204
積 分 す る 100 積 分 定 数 102
C1-級 ―
の関 数 196
積 分 の変 数 変 換 243
―
の写 像 209
接 空 間 216
C2-級 の 関数 201
接 線 の 式 53
C3-級 の関数 203
絶 対 収 束 87
C∞-級 の関 数 72
接 平 面 の方 程 式 195
C1-写 像 209
線 形 写 像 211,213
正 則 な―
239
正 則 な―
215,236
C1-写 像 と面 積 240
線 形 性 125
指 数 関 数 173 ― の導 関 数 69
線 形 微 分方 程 式
―
の微 分 可 能 性 174
―
定積 分 に よ る定 義 176
―
微 分方 程 式 に よる定 義 175
―
ベ キ級 数に よ る定義 176
斉 次 の―
131
定 数 係数 の―
130
相 似 写 像 27 タ
四 則演 算 の連 続 性 44 下 に有 界 13,20
対 数 関 数 の導 関 数 69
実
数 5
対 数 微 分 106
―の 連続 性 10
多項 式 の導 関 数 67
行
斜交 座 標 238
ダル ブー の定 理 144,149
収 束 域 88
単 調 減 少 64
収 束 す る 9
単 調 増 加 63
収束 半 径 88 上
界 17
近 づ く 9,183
上 極 限 23
置 換 積 分 105
上
限 18
乗
法 29,32
初期 値 121
定 義 域 42 関 数 の―
183
定 数 係 数 の線 形 微 分 方程 式 130 数 直 線 5
定積 分 146,148 定 積 分 と不 定 積 分 158
正 規 形 165 斉 次 の線 形微 分 方 程 式 131 正 則なC1-写 像 239 正 則な 線形 写 像 215,236 積 分可 能 148
テ イラ ー展 開 81 ―が 可能 な関 数 81 ―の で きな い関 数 83 テ イラ ーの 定理 73,204
平 滑 化作 用 161
導 関 数 55 逆三 角 関 数 の―
69
三角 関 数 の―
平均 値 の定理 62,198 閉 区 間 10
68
平行 移 動 26
導 関数 指数 関 数 の―
69
平面 の方 程式 191
対 数 関 数 の―
69
閉 領域 184
多項 式 の―
ベ キ級 数 86
67
有 理 関 数 の―
ベ キ級 数 とテ イラ ー展 開 97
68
変 数 分 離型(微 分 方程 式) 127
特殊 解 119,135
変 数 変 換 の公 式 200 ナ
行
内部 面 積 143
偏微 分 可能 187 ― の関数 188 偏微 分 係数 188
2階 線 形 微 分方 程 式 136
偏 微分 す る 187
二 項 展 開 82 2変 数 関 数 ― の 極 小 205 ―
の 極大 205
―
の 積分 227
マ
行
マ ク ロー ラン の定 理
75
右 微 係 数 52
2変 数 の 関数 182 ∞ 36 ハ
行
無 限 小 38 高 位 の―
半 開 区 間 10
39
無 理 数 6 微 係 数 51 微 積 分 学 の基 本 公 式 159
面 ―
左 微 係 数 52 微 分 可 能 51,194 ― な関 数 54,196
積 142 の概 念 139
面 積 確定 143 面 積 比 239
微 分 作 用 素 115,125 ヤ
微 分 方程 式 165 微 分 法 の公 式 66
ヤ コ ビ行列 212
不 定 積 分 101
有
有 理関 数 の―
界 184
111
上 に―
13,17
不 定 積分 法 の公 式 104
下 に―
13,20
部 分 積分 105
有 理 関数
行
―
の 導関 数 68
累 次積 分 230
―
の不 定 積 分 111
ルベ ー グ積 分 153 連
有理数 6
ラ
行
続 42
連 続 関 数 46,184 連続性
リプ シッ ツ 条 件 167
四則 演 算 の―
リ ー マ ン 積 分 153
実 数 の―
領
44
10
域 184
ロル の定 理 61
著 者 志
賀 浩 二 1930年 新潟市に生 まれ る 1955年 東京大学大学院数物系数学科修士課程修了 現 著
在 東京工業大学名誉教授 理学博士 書 『現代数学への招待― 多様体 とは何か』(岩波害店〉 『多様 体 論1 『お ーい!数
,皿,皿 』(岩 波講 座 「基 礎 数学 」;岩 波書 店) 学 』 『無 限 へ の一 歩 』(岩 波 ジSニ ア新 書;岩 波 書 店)
『 無 限 か ら の光 芒 ―
ボ ー ラ ン ド学 派 の数 学 者 た ち』(日 本 評論 社)
数学30講 シリー ズ5 解 析 入 門30講 1988年11月10日 2008年8月30日
定価 は カバー に 表示 初 版 第1刷 第16刷
著 者 志
賀
浩
二
発行者 朝
倉
邦
造
発行所 株式 会社 朝
倉
書
東 京 都 新 宿 区 新 小川 郵
便
電
話 03(3260)0141
番
店
町6-29
号 162-8707
FAX 03(3260)0180
〈検 印省 略 〉
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C1988〈 無断 複写 ・転載 を禁 ず〉 ISBN
978-4-254-11480-5
新 日本 印 刷 ・渡 辺 製 本 C3341
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in Japan