加工の力学入門―塑性変形・破壊・機械加工 (理工学講座)

加 工 の 力 学入 門 塑性 変 形 ・破 壊 ・機械 加 工

臼井

英治

白樫

高洋

共著

東京電機大学出版局

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序

 塑 性 加 工,切

削 加 工,砥 粒 加 工 な ど,す べ て の機 械 的 加 工 に共 通 な 力 学 的 基

礎 は,塑 性 変 形 と破 壊 の 力 学 で あ る とい っ て よ い.本 書 は,こ

の視 点 に 立 っ て

書 か れ た教 科 書 で あ る.大 学 ２年 次 か ら ３年 次 程 度 の 学 生,工

業 短 大 お よび 高

専 の学 生 を対 象 と し,塑 性 力 学,破 壊 の 力 学 の 基 礎 的事 項 と各 種 機 械 加 工 の 力 学 的 特 性 の 要 点 を学 べ るよ うに で き て い る.  著 者 の 経 験 で は,こ

の段 階 の 学 生 は,応 力 や ひ ず み の 概 念 を は っ き りつ か ん

で い な い場 合 が 多 い.そ

こ で 冗 長 さ を承 知 で 応 力,ひ

ず み の概 念 か ら平 易 に 説

き始 め る こ とに した.  第 １章 は こ れ を含 め た 「基 礎 と な る諸 量 と関 係 」 の 導 入 で あ る.第 「塑 性 変 形 と破 壊 の 法 則 」 で あ り,塑 性 変 形 に つ い て はLevy-Mises型

２章 は の ひず

み 増分 理 論 の 大 要 を述 べ,破 壊 に つ い て は破 壊 力 学 の 詳 しい 紹 介 はや め て,加 工 の 問 題 に 直 ち に実 用 で き る よ うな 諸 法 則,特 説 明 を行 っ て い る.第

に 破 壊 の 統 計 的性 格 を重 視 す る

３章 は 「各 種 機 械 加 工 の 近 似 的解 析 〕 で あ るが,話

をや

さ し くす る た め に 曲 げ加 工 の よ うな 弾 塑 性 問題 や 加 工 硬 化 の 導 入 は 避 け,主 して 剛 完 全 塑 性 体 で の静 定 問 題 に して解 説 した.物 足 らぬ 感 もあ るが,応

と

力場

や 加 工 力 を理 解 させ るに は これ で十 分 と思 っ て い る.ま た破 壊 の 問題 も適 宜 織 り込 ん で あ る.第

４章 は 「す べ り線 理 論 とそ の 応 用 」 で あ り,前 章 で 省 略 した

塑 性 ひ ず み や 塑 性 流 れ の状 態 が 実 感 と して 理 解 ・把 握 で き る よ うに 配 慮 して あ る.第

５章 は 「上 界,下

界 定 理 とそ の 応 用 」 で あ り,実 用 的 に有 用 な 上 界 接 近

法 を解 説 した.最 後 の 第 ６章 は 「加 工 過 程 の 数 値 解 析 」 で あ り,弾 塑 性 有 限 要 素 解 析 法 の 大 略 を述 べ て い る.加 工 硬 化,温

度 や ひ ず み 速 度 の 効 果,延 性 破 断

条 件,工 具 面 摩 擦 の 応 力 特 性 を導 入 した厳 密 な解 を得 るの が い か に 困 難 か,し

か し コ ン ピュ ー タ な らそ れ が で き る,と い う こ とを切 削加 工 を題 材 に して 平 易 に 説 い たつ も りで あ る.  本 書 の 構 成 で は,第

３章 の 初 め まで に 基 礎 理 論 の 提 示 を終 え て い るの で,以

後 は適 当 な題 材 の選 択 で １学期(２ 単 位)の 講 義 が 可 能 で あ る と思 わ れ る.  本 書 の 大 き な特 徴 は,塑 性 力 学,破

壊 の 力 学 を共 通 の 基 礎 と して,一

つ の視

野 の な か で 各 種 加 工 法 の 力 学 を学 べ る よ うに した こ とで あ る.こ れ ま で の 大 学 の カ リキ ュ ラム で は,多

くの 場 合,塑

性 理 論 ― 塑 性 加 工,切

削理論 一切 削加工,

砥 粒 加 工 理 論 ―砥 粒 加 工 とい っ た 対 応 で別 々 の 講 義 が な され て きた が,コ ュ ー タ技 術 や 自動 化,シ

ス テ ム化 の 講 義 が 増 さ ざ る を得 な い 昨 今,こ

ンピ

れ では と

て も カ リキ ュ ラ ム は 組 め な い の で あ る.特 に い わ ゆ る大 学 設 置 基 準 の 大 綱 化 や 18歳 人 口の 減 少 か ら,カ

リキ ユ ラ ム の 簡 素 化 が 叫 ば れ る私 立 大 学 で は な お さ ら

で あ る.著 者 の勤 務 す る機 械 工 学 科 で も ２年 次:機 械 製 作 法 概 論(２ 単 位),工 ３年 次:加 工 の 力 学(２ 単 位),機

作 実 習(２ 単 位)

械 加 工 学(２ 単 位)

４年 次:生 産 加 工 シス テ ム(２ 単 位) しか 加 工 関係 の 授 業 は許 され て い な い.い とに な る で あ ろ う し,そ

ず れ の 大 学,短 大,工

専 で も似 た こ

うな る と教 員 の 専 門 に よ っ て 自由 に 講 義 内容 が 設 定 で

き るの は 機 械 加 工 学 だ け,本 書 の 加 工 の 力 学 は,好 む と好 ま ざ る に か か わ らず 誰 か が 講 義 せ ね ば な ら な くな るわ け で あ る.こ れ が 浅 学 非 才 の 身 を省 りみ ず, 本 書 の 出 版 を志 した 直 接 の 動 機 で あ る.本 書 の性 格 上,専 を え ず,多

門外 の 記 述 をせ ざ る

くの 独 断 と誤 りを お か した と思 われ る が,大 方 の 御 叱 正 を ま っ て是

正 して い きた い と考 え て い る.  本 書 は拙 著,加

工 の 力 学(1974年,朝

倉 書 店)を 全 面 的 に 書 きか え,簡 素 化 し

た もの で あ る.出 版 の御 承 認 を頂 い た 朝 倉 書 店,非 常 な お 骨 折 り を頂 い た 東 京 電機 大 学 出版 局 植 村 入 潮 氏 に 厚 く御 礼 申 しあ げ る次 第 で あ る.  平 成 ８年 初 夏 著者

目

１.

次

基 礎 と な る 諸 量 と 関 係 

1.1応

１

力 と ひ ず み  1.1.1応

力,モ

1.1.2ひ

ず み,ひ

１

ー ル の 応 力 円  ず み 増 分 

１ 10

1.2非

圧

縮

性 

22

1.3平

衡

条

件 

23

1.4工 演

２.

具 面 摩 擦 の 応 力 特 性  習

問

題 

30

塑 性 変 形 と 破 壊 の 法 則 

2.1降

伏

2.2塑

条

31

件 

31

性 変 形 の 法 則 

37

2.2.1応

力 と ひ ず み,ひ

2.2.2加

工 硬 化 とdλ の 決 定 

41

2.2.3最

大 塑 性 仕 事 の 原 理 

46

2.3破

壊 2.3.1ぜ

の

法

習

問

則 

い 性

2.3.2延 演

26

性 題 

破 破

ず み 増 分 の 関 係 

38

49 壊 

50

壊 

66 70

3.

各 種 機 械 加 工 の 近 似 的 解 析  3.1平

面 ひ ず み 問 題 と 軸 対 称 問 題  3.1.1平

面 ひ ず み 問 題 

3.1.2軸 3.2完

全 塑

3.3塑

性

性

体 

78

工 

80

造

3.4切

削

延 絞 加

抜 き加 工  工 

103

り 加

工 

110 1l6

元 切

削 

116

3.4.2３

次

元 切

削 

132

粒

3.6加

加

工  削

加

144 工 

145

離 砥 粒 加 工 

155

工 硬 化 の 補 正  習

問

163

題 

164

す べ り 線 理 論 と そ の 応 用 

4.2す

91

次

3.5.2遊

4.1す

80

加

工 

3.5.1研

４.

工 

75

3.4.1２

3.5砥

演

加

出 し加 工,引

3.3.3圧 3.3.4深

72

称

3.3.1鍛 3.3.2押

72

対

加

問 題 

71

べ り 線 理 論 

167

167

4.1.1す

べ り 線 の 幾 何 学 的 性 質 と 応 力 場 

168

4.1.2す

べ り 線 速 度 の 場 と ホ ドグ ラ フ 

174

4.1.3す

べ り線 場 解 の 構 成 

179

べ り線 理 論 に よ る 解 析 例(剛 完 全 塑 性 体)  4.2.1鍛

造

加

工 

181 181

4.2.2引 4.2.3切 4.3格 演

５.

削

加

習

問

題 

上 界,

下 界 定 理 と そ の 応 用 

5.2上

界 定 理 の 応 用 例 

６.

問

187 193 201 207

界 定 理,下

習

工 

子 線 解 析 法(加 工 硬 化 材 料) 

5.1上

演

界 定 理 

208 208 211

題 

219

加 工 過 程 の 数 値 解 析 

220

6.1有

限 要 素 解 析 法 の 定 式化 

220

6.2流

動 応 力 特 性 と摩 擦 応 力 特 性 

226

6.3計

算 の 流 れ の 大 略 

228

6.4数

値 解 析 の 諸 結 果 

232

演

付

抜 き お よび 押 出 し加 工 

習

問

題 

録 

237

238

演 習 問 題 の 答 と ヒ ン ト 

242

索

252

引 

１.基

礎 とな る諸 量 と関係

1.1応 1.1.1応

力 と ひ ず み

力,モ ー ル の 応 力 円

  力 を受 け る物 体 は 重 力 や 慣 性 力 な どの 体 積 力 も含 め て考 え る と必 ず つ り合 い の 状 態 に あ り,物 体 の 任 意 断 面 の 両 側 に は,方 向 が 反 対 で大 き さ の 等 しい 力 が 作 用 し て い る.簡 単 な 例 と して,断 Ａ)に,図1.1(a)に

面 が 一 様 な 細 長 い 物 体(密 度 ρ,断 面 積

示 す よ うに 平 衡 す る 力 Ｆ が作 用 し て い る場 合 を考 え よ う.

剛 体 は工 学 的 材 料 で な いか ら,物 体 は 変 形 す る一般 の 連 続 固体(変 形 体)と す る. 物 体 は変 形 し て外 力 に 抵 抗 し,静 止 の 状 態 が え られ た とす る と,任 意 位 置 ｘ の軸 断 面 で 物 体 を二 分 し て考 え れ ば,断

面 に は 上 下 の 物 体 か ら力 Ｆ が 等 し く

作 用 して い る.外 力 に は物 体 表 面 に作 用 す る力 の ほ か,重 物 体 要 素 に 直 接 に作 用 す る体 積 力 が あ るが,た

力や遠 心力 の ように

と えば 物 体 の 自重 を考 慮 す る と

同 図(ｂ)の よ うに な る.棒 の 両 端 面 の 力 は 等 し くな い が,任

意軸 断面 の上 下 の

物 体 が相 互 に 及 ぼ す 力 は必 ず 平 衡 す る.以 上 は 外 力 が 平 衡 す る場 合 で あ るが, 次 に不 平 衡 力 が 同 図(ｃ)の よ うに 作 用 す る場 合 を考 え て み る.物 体 が 剛 体 な ら ば 力 は 直 ち に伝 達 され て物 体 は 一 様 な 加 速 度 を え るが,変 は伝 達 され な い.ま

形体 では力が 直 ちに

た工 学 的 問 題 で は 力 が 瞬 間 に 一 定 値 と し て与 え ら れ る こ と

は な く,多 か れ少 な か れ 同 図(ｄ)の よ うに 時 間 的 に 変 化 す る か た ち で 与 え ら れ る.し

た が っ て端 面 の 力 が Ｆ に な っ た と き を考 え る と,物 体 内 に は た とえ ば

同 図(ｃ)の よ う な 加 速 度 υの 場 が 生 ず る.力 〓 ρAυdxで あ る.い

の 伝 達 域 を ｌ′と す れ ば,F=

ま ダ ラ ン ベ ー ル の 原 理 に よ り右 辺 を慣 性 力 と考 え れ ば,

(ａ)

(ｂ)

(ａ)

(ｂ)

図1.2微

小 面素 に作 用 す る力

(ｄ)

(ｃ)

図1.1断

面 に作 用 す る力 の 平衡

これ は 体 積 力 で あ り,同 図(ｂ)の例 と同様 に物 体 は 平 衡 状 態 に あ る と して 任 意 断 面 の 力 を図 示 の よ うに求 め う る.一 般 の 形 状 の物 体 に 多 くの 力 が,い な 時刻 に い ろ い ろ な 速 さ で作 用 す る場 合 は,は は 図1.1の

ろいろ

な は だ 複 雑 で あ るが,原 理 的 に

諸 例 の 組 合 せ で あ り,物 体 力 を考 えれ ば 平 衡 状 態 の 問 題 と して 処

理 し う る. さて 以 上 を念 頭 に,体 積 力 を含 む 多数 の 力 を受 け る図1.2の

物 体(一 般 の 連

続 変 形 体)を 考 え よ う.図 示 の 断 面 Ｓ で も,Ｓ 中 の微 小 な面 積 δSで も同 様 な の で δSを 考 え る と,δSの

左 側 に は物 体 の Ａ 部 分 か らの 力 δPAが,右

側 には

Ｂ 部 分 か ら の 力 δPBが 働 く.慣 性 力 を考 え れ ば 物 体 は 平 衡 状 態 に あ る か ら δPAと δPBは つ り合 っ て い る.す な わ ち δPA=δPB  い ま,δP=δPA=δPBと

書 く と き,

(1.1)

(1.2) は 面 素 δSに お け る合 応 力(resultant

stress)と

よ ば れ る.

さ ら に δPを 同 図(ｂ)の よ う に 面 素 に 対 す る 垂 直 成 分 δN,接

線 成 分 δTに

わけ る と き

(1.3) で 定 義 さ れ る σ,τ は,そ せ ん 断 応 力(shear

れ ぞ れ 面 素 δSに 対 す る 垂 直 応 力(normal

stress)と

以 上 の 定 義 と 式(1.1)の

よ ば れ る. 性 質 か ら 応 力 は 考 え て い る 面 素 に 対 し,図1.3(a)

に 示 す よ う な 「対 」 を 必 ず 形 成 す る こ と が わ か る.し 方 形 要 素 を 同 図(ｂ)の よ う に 考 え る と,同

体 内 の あ る 地 点 の 応 力 状 態 を 示 す に は,そ よ う に 考 え,図

たが っ て 寸 法 が 無 限小 の

図(ａ)に お け る ２つ の 場 合 の 組 合 せ

と し て 応 力 状 態 は 図 示 の よ う に 示 さ れ る.こ

つ 立 方 体 を 図1.4の

stress),

の 考 え を さ ら に 一 般 化 す る と,物

の 点 を 中 心 と して無 限 小 の 寸 法 を も

示 の各 面 の 応 力 値 を示 せ ば よ い こ とが 理

(ａ)

(ｂ) 図1.3応

力のなす

「対 」

図1.4応

力 の座 標 軸 成 分

解 で き よ う*.す

なわ ち

(1.4)

の ９個 の 成 分 に よ っ て そ の 点 の 応 力 状 態 は 定 ま る.τijの ｉは ｉ軸 に 垂 直 な 面 に 作 用 す る こ と を示 し,ｊ は ｊ軸 方 向 の 応 力 で あ る こ と を示 して い る.ま た 図 示 の 矢 印 の 方 向 の 応 力 を正 と約 束 し よ う.た

と え ば ｚ軸 に 垂 直 な 断 面 を と る

と

で あ る.こ

の 応 力 の 正 値 は 後 述 の ひ ず み の 正 値 と 対 応 す る .応

め て 定 義 さ れ て お り,物 あ り,モ

体 は 平 衡 状 態 に あ る か ら 図1.4の

力 は慣 性 力 を含

要 素 も平 衡 状 態 に

ー メ ン トの 平 衡 か ら τxy=τyx,τyz=τzy,τzx=τxz 

で あ る.し

た が っ て,せ

ん 断 応 力 の 場 合,た

(1.5)

と え ば τxyと τyxは 独 立 に は 考 え

られ ず

の よ う に ４個 の ベ ク トル を 常 に １組 と し て 考 え る こ と に な る .ま よ り,１

た 式(1.5)に

点 の 応 力 状 態 を 定 め る に は ６個 の 応 力 成 分 σx,σy,σz,τxy,τyz,τzxを示

せ ば よ い. 上 述 の 論 議 に よ れ ば,図1.2に

お け る よ う な物 体 内 の任 意 の 面 素 の 応 力 を

符 号 を も 含 め て 正 し く指 定 す る に は,面

素 に 対 す る 座 標 軸 を新 た に 設 定 し な け

れ ば な ら な い こ と に な る.図1.5(a)に

示 す よ う に,た

*こ

とえ ば 面 素 の 法 線 方 向

の 立 方体 内 に体 積 力 を考 え る必 要 は な い.面 素 δSの 無 限 小 に 対 し,体 積 は次 数 の 高 い無 限小 に な る.

(ａ)

図1.6斜

面上の応力

(ｂ)

図1.5面

素 に作 用 す るせ ん断 応 力 とそ の正 負

をx′ 軸 と し,こ

れ に 垂 直 にy′,z′ 軸 を 選 べ ば,σx′,τx′y′,τx′z′ と して 面 素 の 応 力

が 指 定 さ れ る.垂

直 応 力 は 引 張 応 力 を 正,圧

縮 応 力 を 負 と考 え て お け ば よ い が,

せ ん 断 応 力 は 同 図(ｂ)に 示 す よ う に 座 標 軸 の 選 び 方 で 正 負 が 逆 に な る こ と を 注 意 し な け れ ば な ら な い.面

素 の 位 置 で の 応 力 のx,y,z成

分(式(1.4))が

既 知

の 場 合 に は 応 力 の 座 標 変 換 に よ っ て σx′,τx′y′,τx′z′ を 計 算 す れ ば よ い が,一 な 取 扱 い は 他 書 に ゆ ず り,こ

こ で は ２次 元 の 場 合 を 述 べ て お く.

ｚ方 向 の 応 力 成 分 σz,τzx,τzyが０の 平 面 応 力 状 態,あ が 存 在 し,τzx=τzy=0で

あ る 平 面 ひ ず み 状 態(3.1.1項

着 目 す べ き 無 限 小 の 応 力 要 素 は 図1.6で τを 用 い て い る.ｙ こ の た め に は,斜

あ る.た

軸 と θ の 角 を な す 斜 面AB上 面ABをx′

る い は ｚ 方 向 に σzの み 参 照)を 想 定 し よ う.

だ し τ=τxy=τyxと

して 記 号

の 応 力 σn,τnを 求 め て み よ う.

軸 あ る い はy′ 軸 と し て 応 力 を 定 義 し な け れ ば な

ら な い.い

ず れ を 選 ぶ か は 任 意 で あ る が,本

と す る.し

た が っ て,図

*図1.6で

般 的

書 で は 図 示 の よ う にABをx′

示 の σn,τnが 正 で あ る.三

角 形AOBの

軸

平 衡 か ら*

は無 限 小 の要 素 を考 え て い るか ら体 積 力 を考 慮 す る必要 は な い.体 積 力 が,

た とえ ば ｙ軸 方 向 に 働 くと考 え る と対 向面 の σyは等 し くな い か ら,応 力 状 態 の変 化 が あ る有 限要 素 を考 え る こ とに な って しま う.

(1.6) した が って

(1.7)

を用 い る と

(1.8)

な る変 換 公 式 が え られ る. 次 に上 式 の 両 辺 を ２乗 して加 え れ ば θ が 消 去 で きて

(1.9) こ の 式 は σn,τnを変 数 と し た 場 合,図1 中 心 位 置(σx+σy)/2の stress

.7の

円 を 表 し て い る.こ

circle)と い う.図1.6の

よ う に 半 径, の 円 を モ ー ル の 応 力 円(Mohr′s

任 意 の角 θの 斜 面 上 の 応 力 は す べ て こ の 円 上

に プ ロ ッ トさ れ る わ け で あ る.と こ ろ で 図1.6の

斜 面ABは

θの

如 何 に よ ら ず 常 にx′ 軸 で あ り, 図 示 の 時 計 回 り の せ ん 断 応 力 τn を 正 と し て 式(1.8)が

導 か れて い

る こ と を 注 意 し よ う.図1.7の

モ

ー ル円 は σ n,τnの プ ロ ッ トで あ る か ら,モ

ー ル 円 に 関 す る 限 り既 述

とは 異 な る定 義

「時 計 回 り の せ ん

図1.7モ

ー ル の応 力 円

断 応 力 を 正 と す る 」が 採 用 さ れ て い る こ と に な る*.た

と え ば 式(1.8)に

よ る と

図1.4

で あ る.AO,AC面 ACで

の 応 力 状 態 は そ れ ぞ れ 図1.7の

示 さ れ る こ と は 容 易 に 理 解 で き よ う .次

図 の 点ABで

表 さ れ る こ と を示 す.モ

れ ら は 式(1.8)に

点 との 間 に は

に 斜 面AB上

・Rcosδ-sin2θ

一 致 す る.し

た が っ て,実

図 よ り

・Rsinδ)=

体 の 面 とモ ー ル 円 上 の

「２倍 角 の 法 則 」 と よ ば れ る 次 の 対 応 が あ り,こ

面 上 の 応 力 状 態 を 式(1.8)に

,

の応 力状 態が 同

ー ル 円 の 半 径 を Ｒ と す れ ば,同

τn=-Rcos(2θ+δ)=-(cos2θ

で あ り,こ

モ ー ル 円 上 の 点AO

れ に よ っ て任 意

よ る よ り も 直 観 的 に 把 握 す る こ と が で き る.

  「実 体 の あ る面 の 応 力 状 態 を 表 す 点 が モ ー ル 円上 で定 ま る と,そ の 面 か ら θ だ け 傾 い た面 の 応 力 状 態 は モ ー ル 円 上 で は,同

じ方 向 に 中心

角2θ だ け 回転 した 点 で 与 え ら れ る」 な お読 者 は 図1.8の

対 応 に 習 熟 して お く と便 利 で あ ろ う.た だ し同 図 で は ｘ

軸(ｙ 軸)に 垂 直 な 面 はX(Y)と  図1.8(b)の

記 され て い る.

σ1,σ2方向 が ２次 元 の 場 合 の 例 で あ る が,一

般 にあ る地 点 のせ

ん 断 応 力 防 が ０ と な る よ う に 座 標 軸 を 選 ぶ こ と が 常 に 可 能 で あ り,そ に 選 ば れ た 直 交 ３ 軸 を 主 軸(principal direction)と

い う.主

を 主 応 力(principal

*定

axis),そ

の方 向

の 方 向 を 主 方 向(principal

方 向 に 垂 直 な面 素 上 の 応 力 は 垂 直 応 力 の み で あ り stress)と

よ び,代

,こ

れ

数 的 に 大 な る 順 に σ1,σ2,σ3で 表 す .主

軸

義 が 違 っ て い るの で は な く,斜 面 の 法 線 を常 にy′軸 と したせ ん 断 応 力 が プ ロ ッ ト され て い るの だ と考 えて も勿 論 よい.

図1.8モ

ー ルの 応 力 円 と実 体 との対 応

は １つ の 地 点 に １組 しか 存 在 し な い.し た が っ て主 方 向 は そ の 地 点 に 固 有 な ３ 方 向 で あ り,主 応 力 も その 地 点 に 固有 な 量 で あ る.外 力 が 指 定 され る と物体 内 の 一 地 点 の 応 力 状 態 は 物 理 的 に 確 定 す るが,式(1.4)の

応 力 成 分 は座 標 軸 の 選

び 方 で変 化 す る.こ れ に 対 して 主 軸,主 応 力 は その 応 力状 態 に対 し て個 有 に 定 ま る もの で あ る.   次 に 平 均 垂 直 応 力(mean

normal

stress)を

次 式 に よ っ て 定 義 し よ う.  (1.10)

ｐ は座 標 軸 の選 び方 に よ っ て そ の値 を変 え な い不 変 量(invariant)で あ る こ とが 後 述 され る.し た が っ て 主 軸 を座 標 軸 に 選 べ ば  (1.11)

３つ の垂 直 応 力 の 平均 値 で あ る こ と,座 標 軸 を どの よ うに選 ん で もそ の 値 が 変 わ らぬ こ とは,周

*ｐ

囲 か ら静 水 圧 的*に 働 い て い る応 力 に ｐが 相 当 す る こ と を 意

が圧 縮 で あ れば 静 水 圧 に 相 当 す るが,引 張 りで あれ ば この 表 現 は 適 当で な い.し か し本 書 で は ｐの 正 負 に か か わ らず,比 喩 的 な意 味 で 「静 水 圧 的 応 力 」,「静 水 圧 的 成 分 」 な る言 葉 を常 用 す る.

味 す る.塑

性 変 形 を 扱 う に は 静 水 圧 的 な 応 力,す

考 え る の が 便 利 で あ り,次

の 偏 差 応 力(stress

なわ ち Ｐを除 いた応 力 系 を

deviation,reduced

stress)が

用

い ら れ る.

(1.12)

偏 差 応 力 系 は 式(1.4)の 応 力系 か ら静 水 圧 的 成 分 を 除 い た だ け で あ るか ら両 応 力系 の 主 軸 は一 致 す る*.偏 差 応 力 系 の 主 応 力 は  (1.13) で あ り,式(1.10),(1.11)か

ら   (1.14)

と な る.

  次 に 主 軸 の う ち の1つ,た と,こ

と え ば σ3軸 を 含 む 図1.9の

よ うな 面 素 を考 え る

の 面 素 に 働 くせ ん 断 応 力 は σ1∼σ2面 内 に あ る が,そ

と る 面 素 は σ1軸 と σ2軸 の 間 の 角(90度)を

図1.9主

*図1.6で

せ ん 断 応 力の 作 用 面

σx=σy=p,τ=0の

面 に も等 し く働 き,せ

場 合,式(1・8)よ

２ 等 分 す る 図 示 の 位 置 に あ る.こ

図1.10主

の

せ ん断 応 力 の作 用 面

り σn=p ,τn=0で

ん 断 応 力 を 生 じ な い こ とが わ か る.し

を 除 い て も主 方 向 は 変 ら な い.

れが 最大 絶 対値 を

あ り,ｐ

た が っ て,応

はい ず れ の 力系か らｐ

面 素 は 図 示 の よ うに 直 交 す る ２枚 が あ り,両 面 のせ ん 断 応 力 は 式(1.5)に て相 等 しい.こ

よっ

の せ ん 断 応 力 を 主せ ん 断 応 力(principal shear stress)と い う.

他 に σ1軸あ る い は σ2軸 を含 む 面 素 を考 え る場 合 が あ るか ら,結 局 同 図 の 各 座 標 面 内 の せ ん 断 応 力 が最 大 絶 対 値 を と る面 素 は ６種 類 あ る こ とに な り,立 体 的 に 図示 す れ ば 図1.10の

状 況 とな る.主 せ ん 断 応 力 の絶 対 値 は 次 式 で 与 え られ

る.

(1.15)

図1.8に

お け る Ｉ,Ⅱ 面 は 主 せ ん 断 応 力 の 働 く 面 の 例 で あ る.

1.1.2ひ

ず み,ひ

ずみ増分

 物 体(連 続 変 形 体)が 外 力 の も とで 運 動 す る場 合,各

部 分 に は相 互 の 距 離 を変

え る よ うな変 位 と同 時 に,剛 体 的 な 変 位(併 進 と回転)が 生 ず る.こ の う ち前 者 の み が 応 力 と直 接 に 対 応 す るの で,こ れ を と りだ す た め に ひ ず み の 概 念 が 用 い られ る.  い ま 図1.11に

示 す よ う に 物 体 内 にx,y,z座

く近 傍 の 点 Ｐ の 座 標 をx+δx,y+δy,z+δzと が そ れ ぞ れ 点O′,P′

に 移 動 し た と し,変

お よ びu′,ν ′,ω ′と す る.ま

標 系 を と り,点 す る.物

位 のx,y,z成

Ｏ(x,y,z)の

体 が 変 位 し て 点 Ｏ,Ｐ 分 を そ れ ぞ れ ｕ,υ,ω

た こ れ ら の 変 位 は 十 分 小 な る も の と し よ う.変

は 初 め の 位 置 の 関 数 で あ り*,位

ご

位

置 に 対 し て 連 続 的 に 変 化 す る も の と す る と,

テ ー ラー の展 開 定 理

*変

位 は初 め の位 置 の 関数 と もみ うる し,変 位 後 の位 置 の 関 数 と もみ う る.前 者 の 立 場 に よ るひ ず み の 表 現 をLagrange的

で あ る と い い,後 者 の 立場 に お け る それ をEuler

的 で あ る とい う.本 書 では 一 貫 して 前 者 の立 場 を とる.

図1.11近

傍 の ２点O,Pの

変位

を用 い て

とな るが,上 式 の ２次 以 上 の項 を省 略 で き る ほ ど変位 が 小 で あ れ ば,併 い た相 対 変 位 は

進 を除

(1.16)

い ま δy=8z=0,す

な わ ちOPがx軸

と 平 行 な と き 式(1.16)の

第1式

を考 え

れば ′u 一 勿

au ax

8x

で あ り,右 辺 は 碑 由方 向 の垂 直 ひず み ε。と よば れ る・ 同 様 にOPがy,z軸 平行 な場 合 の 第2,第3式

と

を考 え れ ば Es=

au ax

ぴ

av ay

(1.17)

aw Ez=一

次 に 図1.12に OQの

お い てxz,yz座

標 面 と そ れ ぞ れ 平 行 な2つ

は さ む 角 の 変 形 後 の 変 化 を 考 え よ う.式(1.16)よ

(υ′ 一 の/8x=∂

υ/∂x,同 様 にOQの

め に 直 角 で あ っ たOP,OQ間 る ・ こ の 減 少 量 はxy平 yxyと

az

よ ば れ る ・yz,zx平

の 微 小 面 素OP,

りOPの

角 変 化 量 は(u′ ′ ・u)/δy=∂u/∂yで の 角 は 変 形 に よ っ て ∂u/∂y+∂v/axだ

角 変 化 量 は あ り,初 け減 少 す

面 のせ ん 断 ひ ず み 面 のせ ん 断 ひ

ず み を もあ わせ て

(i.is)

で あ る が,本 書 で は

図1・12

せ ん 断 ひず み の 定義

(1.19)

を も っ て せ ん 断 ひ ず み を 定 義 す る こ と に す る.式(1.17),(1.19)の 式(1.16)を

ひず み は

次 式 で 表 し た 場 合 の εijに 相 当 し て い る.

(1.20)

εijは

=[εx  γxy  γxz

 γyx  εy γzx

で あ り,ひ

] tensor)と

 (1.21)

よ ば れ る.ま

ωijδxjは 相 対 変 位 の 剛 体 回 転 成 分,す

た ωijは 回 転(rotaな わ ち 図1.11の

剛 体 運 動 を す る場 合 の 点 Ｐ の 点 ０ の ま わ ワの 回 転,を

示 し う る(章 末 の 問 題 参 照).し れ な ど,２

εz

ず み テ ン ソ ル(strain

tion)と よ ば れ る が,Σ 直 線OPが

γzy

γyz

た が っ て,併

表す こ とを

進 と 回 転 を 除 い た 物 体 の 伸 縮,ず

点 間 の 距 離 を 変 え る よ う な 相 対 変 位 はdu′i=Σ

εijδxjと し て εij(εx,

εy,εz,γxy,γyz,γzx)な る ６個 の ひ ず み 成 分 を 用 い て 記 述 し う る こ と に な る.な

お,

ひ ず み の 正 負 は座 標 の正 負 に 応 じて定 義 さ れ,た

で あ る.も ち ろ んx,y軸

を入 替 え れ ば,同

とえ ばxy平

面 では

じ変 形 に対 してせ ん 断 ひ ず み の 正

負 は 反転 す る.こ の ひ ず み の正 負 は 既 述 の 応 力 の 正 負 と対 応 して い るこ とに 注 意 され た い.ま

た 式(1.19)か

ら わ か る よ う に,同

じ γxyの値 に 対 し て 上 図 の

よ うな 多 くの 状 態 が 存 在 し う るが,全 体 を剛 体 的 に 回転 させ れ ば い ず れ も 同 じ 場 合 に 帰 一 す る.つ ま り実 際 に 生 ず る変 形 に は ωijに相 当 す る剛 体 と して の 回 転 が 含 まれ て い るわ け で あ る.後 述 の よ う に応 力 の 値 に対 して ひ ず み は 定 ま る が,剛 体 的 変 位(併 進 と回 転)を 含 む 全 変 形 は問 題 の 境 界 条件 が 与 え られ なけ れ ば 定 ま ら な い. 前 項 の 図1.5に

お い て,任 意 の 面 素 の 応 力 は そ の 面 素 の 法 線 方 向 を １つ の

座 標 軸 とす る新 座 標 系 を設 定 す れ ば 表 示 で き る こ と を述 べ た.こ の 場 合,ひ

ず

み もこ の 新 座 標 系 に 対 す る もの に 変 換 して お け ば 応 力 との対 応 が つ い て 便 利 で あ る.モ ー ル の 応 力 円 と比 較 しな が ら,２ 次 元 の場 合 に つ い て これ を簡 単 に 述 べ て お こ う.  図1.6に

対 応 させ る た め,図1.13に

示 す よ うにx′,y′ 軸 を 応 力 を考 え る斜

面 の 接 線 お よ び 法 線 方 向 に と る.直 交 要 素OP,OQが

変 形 後O′P′,O'Q′ に 移

る と き,εx,εy,γxyは い ず れ も正 で あ る とす れ ば,εy′,γx′y′ は若干の計 算の の ち

(1.22)

図1.13座 と書 け る*.こ

標 変 換 とひ ずみ

の 関 係 は 応 力 に 関 す る 式(1.7)と

同 一 で あ り,εy,γx′ ｙ′を 両 軸

に とれ ば ひ ず み に つ い て も モ ー ル 円 が 成 り立 つ こ と が わ か る.し に 対 す る も の と し て εy′を と り,τnに

対 す る も の と し て γx′y′ を と れ ば,応

の モ ー ル 円 と ひ ず み の モ ー ル 円 は 図1.14に

理 的 に は 同 じ せ ん 断 ひ ず み で も,θ=π/2のx′y′

0,θ=0のx′y′

系 で は γx′y′ ＜0に

計 算 さ れ る.こ

図1.14応

*証

と え ば γxy＞0の

系 で は γx′y′=γxy＞

れ ら が そ れ ぞ れ 図1.14(b)の

(ｂ)

(ａ)

力 の モー ル 円 とひず み の モー ル 円 との対 応

明 は 巻 末 の付 録 を参 照 され たい.

力

示 す よ う に 対 応 す る も の と な る.

γx′y′ は 斜 面 の 法 線 をy′ 軸 と す る せ ん 断 ひ ず み で あ る か ら,た 場 合,物

た が っ て,σn

Ｙ 点,Ｘ

点 の 場 合 で あ る.Ｙ

点

は ｙ 軸 に 垂 直 な 面(ｘ 軸)を 表 す か ら,そ

れ に 対 す るy′ 軸 は ｙ 軸 と

一 致 し

,同

様 に Ｘ 点 に 対 す るy′

軸 は ｘ 軸 と な る わ け で あ る.0＜ θ＜ π/2のx′y′

系 で はY′

点 の (ａ)γx′y′＞0

(ｂ)γx′y′

＜O

γx′y′ は θに 応 じ て 値 と正 負 が 変 図1.15せ

ん断 ひ ずみ の モ ー ル 円的 解 釈

化 す る.   便 宜 的 な 解 釈 で あ る が,次 図1.15に

の よ う に 考 え る と応 力 円 と の 対 応 が つ か み や す い.

お い て 実 線 の よ う に 要 素 が 変 形 さ れ た と す る.い

て 図 示 の 点 線 の よ う に,１

辺 がx′ 軸 あ る い はy′ 軸 に 平 行 に な る よ う に す る と,

た と え ば γx′y′ ＞0の 場 合,y′

軸 方 向 に は 反 時 計 回 転 の せ ん 断,x′

時 計 回 転 の せ ん 断 と み る こ とが で き る.そ せ ん 断 が 正,反

ま こ れ を回 転 させ

軸方 向に は

こでひずみモール 円では時計 回転 の

時 計 回 転 の せ ん 断 が 負 に 定 義 さ れ て い る と 考 え る の で あ る.こ

の よ う に 考 え る と,図1.14(a)の

点Y′ はy′ 軸 方 向 の 垂 直 応 力 σnとy′ 軸 に 垂

直 な 面 素 の せ ん 断 応 力 τn(時 計 回 転)を 表 す の に 対 し,同

図(ｂ)の 点Y′

はy′ 軸

方 向 の 垂 直 ひ ず み εy′,y′軸 に 垂 直 方 向 の せ ん 断 ひ ず み γx′y′(時 計 回 転)を 表 す と 対 応 づ け ら れ る.図1.14(b)の

点X,Yに

つ い て も 同 様 に 考 え て い け る,

  応 力 の 場 合 と 同 様 に ひ ず み に も 直 交 す る ３つ の 主 方 向 が あ り,そ 標 軸 を 選 べ ば せ ん 断 ひ ず み は ０ と な る.図1.14(b)で る.図1.14で

は(a),(b)両

図 の 角 度2α

は 点M′,Mの

つ く も の で あ る.平

anisotropy)の

衡 状 態 で 材 料 が 等 方 性 で あ る 限 り,弾

れ をSaint-Venantの

性 状 態,塑

か し,材

性 状態 を

料 強 さに異方 性

い に 直 交 す る ３ つ の 対 称 面 を も つ 直 交 異 方 性(orthogonal 場 合 に は こ の 法 則 は 成 り立 た な い.

  主 方 向 の ひ ず み,す

な

図 の 完 全 な角 度 関 係 の 対 応 は この 法 則 に も と

問 わ ず こ の 法 則 が 広 く成 り立 つ こ とが 後 述 さ れ る.し が あ り,互

方 向 であ

が 同 じ 大 き さ に 描 か れ て い る.す

わ ち 応 力 の 主 軸 と ひ ず み の 主 軸 は 一 致 す る の で あ り,こ 法 則 と い う(章 末 の 問 題 参 照).同

の方 向 に座

な わ ち 主 ひ ず み を ε1,ε2,ε3と 書 く.

 (1.23)

を平 均 垂 直 ひ ず み とい い,平 均 垂 直 応 力 ｐ と 同 じ く不 変 量 で あ る.ま た 応 力 の 場 合 と 同様

 (1.24)

で 偏 差 ひ ず み(strain

deviation)を

定 義 す る.偏

差 ひ ず み 系 の 主 ひ ず み は

e1=ε1-e,e2=ε2-e,e3=ε3-e  ま た 式(1.23)よ

(1.25)

り ex+ey+ez=e1+e2+e3=0 

(1.26)

で あ る.   弾 性 状 態 を 考 え る と,次

式 のHookeの

法 則 が 成 り 立 つ.

(1.27)

た だ し Ｅ は ヤ ン グ 率,υ

は ボ ア ッ ソ ン 比,Ｇ

は 剛 性 率 で あ る.

  い ま上 式 で 応 力 の 静 水 圧 成 分 ｐ の み が 作 用 す る 系 を 考 え る と σi=p,τij=Oで あ る か ら,

 (1.28)

す な わ ち ｅは ｐに 対 応 し,変 形 の う ちの 相 似 的 な 膨 張 あ る い は 収 縮 の 成 分 に 対 応 す る ひ ず み で あ る こ とが わ か る.し た が っ て,式(1.24)の 式(1.12)の

偏 差 応 力 に対 応 し,相 似 成 分 を除 い た 形 の み の 変 化 に 対 応 す る*.

こ れ らの 対 応 を ま とめ れ ば 次 式 の よ う に な るわ け で あ る.

*偏

偏 差 ひず み は

差 応 力 と偏差 ひず み の具 体 的 関係 は 後 述 の 式(2.21)を み よ.

弾性 ひ ず み=相

応 力=応

似 的 膨 張 ・収 縮(ｅ)+形

の 変 化(偏 差 ひ ず み)

力 の 静 水 圧 成 分(ｐ)+偏

差応 力

 主 軸 を座 標 軸 に と る場 合,各 座 標 面 内 でせ ん 断 ひ ず み が最 大 とな る方 向(新 座 標 軸 方 向)が 図1.9に

対 応 し て 存 在 す る.図1.14(b)で

は 点I,Ⅱ

の方 向 で

あ る.こ の場 合 の せ ん 断 ひず み を主 せ ん 断 ひ ず み とい う.主 せ ん 断 ひ ず み の 絶 対値 は

(1.29)

であ る.  さ て こ こ で 式(1.16)の

導 出 をふ りか え る と,微 分 は初 め の 状 態 に つ い て の

もの で あ り,変 位 後 の 状 態 に 関 す る もの で な い こ と,変 位 は微 小 と して い る こ とが 指 摘 され る.し た が っ て,こ れ ま で の 記 述 はす べ て 「初 め の 状 態 を基 準 に した微 小 ひず み の 論 理 」 で あ る.も ち ろ ん,ひ ず み が微 小 で あ れ ば こ れ ま で の 記 述 は 弾 性 状 態,塑 性 状 態 を 問 わ ず 適 用 で き る.し か し機 械 加 工 に お け る ひ ず み(塑 性 ひ ず み)は 著 し く大 き く,式(1.17),(1.19)を

形 式的 に適 用 すれ ば物

理 的 意 味 に 乏 しい もの とな る.断 面 が 一 様 な丸 棒 を 引張 り,ま た は 圧 縮 に よ っ て 塑性 変 形 させ る場 合 に つ い て こ の こ と を考 え て み よ う.標 点 距 離l0の 部 分 が 一 様 に伸 び て ｌに な っ た とす る.式(1.17)に

よれ ば ひ ず み は

(1.30) で あ る.ε=1と

す れ ば棒 は ２倍 の 長 さ に伸 び,一 方 ε=-1と

す れば棒 は長 さ

０に縮 ん だ こ とに な る.後 者 の 方 が 明 らか に 激 しい変 化 で あ り,同

じ く絶 対 値

１の 垂 直 ひ ず み で あ りなが ら物 理 的 内容 は 全 く異 な る こ とが 明 らか で あ ろ う. と こ ろ で 式(1.30)は

微 小 ひ ず みdl/l0を 積 分 した 形 と な って い る が,い

ま棒 の

原 長l0(初

め の 状 態)で な く,変

に と っ てdl/lを

考 え,こ

形 中 の あ る 瞬 間 の 長 さl(変

れ を ひ ず み 増 分(strain

形 中 の 状 態)を 基 準

increment

,incremental

strain)と 二 名づ け れ ば

(1.31) な る 新 た な ひ ず み を 定 義 す る こ と が で き る.こ ithmic

strain)と

よ ば れ,大

の ひ ず み は 対 数 ひ ず み(logar-

変 形 の 解 析 に 利 用 さ れ る .対

数 ひ ず み に よれ ば

で あ り,物 理 的 内容 に 合 致 した 表 示 を行 うこ とが で き る* .  さ てdl/l0とdl/lの

相 違 に 着 目 し よ う.前 者 は 変 形 前 の状 態 を 基 準 とす る微

小 ひず み で あ る の に対 し,後 者 は 変 形 中 の あ る瞬 間 の状 態 を基 準 に し,そ の 状 態 か らの微 小 な ひ ず み の 増 分 を示 して い る.  この 考 え 方 を一 般 の ひ ず み 成 分 の場 合 に拡 張 し,変 形 の あ る段 階 に お い て そ の段 階 の 状 態 を基 準 と し,微 小 時 間 後 の 変 形 に 対 し て 式(1 .17),(1.19)で

定

義 した 微 小 ひ ず み を ひ ず み 増分 とよ ぶ こ とに す る.混 乱 を避 け る ため ひ ず み 増 分 に は 記 号 ｄ をつ け,dεx,dγxy,… … と書 く.２ 次 元 変 形 に つ い て 示 せ ば,図 1.16に

お け る よ うに 途 中 の 段 階 で 変 形 した 要 素 中 に 各 辺 が 座 標 軸 に 平 行 な 点

線 の 新 要 素 を考 え,こ の 新 要 素 の 次 の 微 小 時 間 後 の 変 形 か ら 式(1.17),(1,

図1.16ひ

*ε

＜0.1(10%)で

ずみ 増 分 の 意 味

は ε と εlの 数 値 的 な 差 は ほ と ん ど な い .

19)に よ っ て ひ ず み を求 め た も の が そ の 段 階 に お け る ひ ず み 増 分 で あ る.ひ ず み 増 分 は 基 準 とす る段 階 を除 け ば通 常 の 微 小 ひ ず み と異 な る と こ ろ は な い か ら,モ ー ル 円 な どの 既 述 の微 小 ひ ず み に 関 す る事 項 は そ の ま ま適 用 で き る.  物 体 の一 点 に 着 目 した ひ ず み 増 分 を積 分 す れ ば εij=〓dεijの よ う に ひ ず み が え ら

れ るが,こ

れ ら の ひ ず み は物 体 要 素 の 形状 図1・17単

純せ ん 断変 形

の 変 化 と一 般 に は 対 応 しな い.図1.16に 示 した よ うに,変

形 の 各 段 階 で物 体 要 素 の 変 形 した形 に か か わ りな く次 々 に 新

要 素 を 設 定 して ゆ く操 作 か ら明 らか で あ ろ う.対 応 が あ る の は,応 が 一 定 比 を保 っ て 増 大 す る比 例 負 荷(proportional 間 固定 座 標 系,物

力の各成分

loading)の 場 合(主 方 向 は 空

体 固定 座 標 系 の い ず れ に対 し て も変 化 し な い),あ

るいは剛

体 的 回転 が あ っ て も物 体 固 定 座 標 系 に対 して は主 方 向 が 変 化 し な い場 合 で あ る. こ れ らの 場 合,主

方 向 の微 小 繊 維 は 引 張 りま た は圧 縮 の み を受 け るか ら,前 者

で は 固 定 主 軸,後

者 で は 物体 と と もに 方 向 を変 え る主 軸 を常 に 座 標 軸 と して ひ

ず み 増分 を考 え 楓

εii=〓dεiiは微 構

維 の 対 数 ひず み とな っ て 形 状 変 化 に

対 応 す る.こ れ らの 場 合 に は 主 方 向 に 平行 な面 を もつ 方 形 要 素 は変 形 中常 に方 形 を保 ち,平 行 変 形(parallel deformation)と

よば れ る,ひ

ずみ 増分 の積 分 が

形 状 変化 と対 応 す る他 の例 外 は単 純 せ ん 断 の 場 合 で あ る.図1.17に を考 え る とひ ず み 増 分 はdγxy=(1/2)(∂ υ/∂x)￨dS/2aの

示 す場合

み で あ り,ひ ず み 増

分 の 主 方 向 が 物 体 固 定 座 標 系 に 対 して変 化 す る に もか か わ らず(章 末 の 問 題 参 照)

は 形 状 変 化 と対 応 して い る.  図1.16の

一 般 変 形 の 場 合,物 体 の あ る点 の 主 ひ ず み 増 分dεi,主

せ ん断 ひ

 ず み 増 分dγiの 積 分 は 要 素 の 形 状 変 化 とは対 応 しな いが,そ

の点 のひず み履歴

を代 表 し うる こ とが あ り,加 工 硬 化 の解 析 に 利 用 さ れ る.具 体 的 な例 は 後 述 の 4.3節

で示 さ れ よ う.な お 物 体 中 の １点 に 着 目せ ず,空

間 固 定 点 に 着 目 した ひ

ず み 増分 の 積 分 は 物 理 的 意 味 を もた な い.一 様 な変 形 の場 合 を 除 け ば,着

目点

の物 体 要 素 は次 々 に 入 替 るか らで あ る.   上 述 の ひ ず み 増 分 に 対 し,ひ

ず み が 大 き い 場 合 に も物 体 要 素 の 初 め の 形 状 と

変 形 後 の 形 状 の み に 着 目 し て,式(1.17),(1.19)を

そ の ま ま適 用 し て 形 式 的

に 求 め た ひ ず み を全 ひ ず み(total

の 方 法 で は 最 初 と最 後 の

寸 法 形 状 し か 着 目 さ れ ず,途 ら,加

strain)と

い う*.こ

中 で い か な る変 形 が 生 じよ う と も考 慮 され な い か

工 硬 化 の よ う な 性 質 の 変 化 を考 え る 場 合 に は 実 情 に 沿 わ ぬ も の と な る .

な お 本 書 で は 巨 視 的 ひ ず み を 微 小 ひ ず み,ひ (finite

strain)と

よ び,塑

ずみ 増分 に対 して有 限 ひ ず み

性 変 形 に つ い て も微 小 変 形(infinitisimal

tion)に 対 し て 有 限 変 形(finite

deformation)と

deforma

い う言葉 を用 い る.

 最 後 に ひ ず み 速 度 を定 義 して お こ う.全 ひ ず み をそ の 所 要 時 間 で 除 し た値 は 平 均 的 ひ ず み 速 度 に な るが,物 理 的 内容 に 乏 しい.本 書 では ひ ず み 増 分 を そ れ を考 え た微 小 時 間 で 除 し た もの,す

な わ ち微 分 を そ の 変 形 段 階 で の ひ ず み 速 度

と して 用 い る.す な わ ち

(1.32)

た だ しu,v,wは

*実

考 え て い る位 置,瞬

間 に お け る変 位 速 度 の 成 分 で あ る.

際 に は 主 軸 方 向 が 変化 し ない と仮 定 して 対 数 主 ひ ず み を と っ た もの が 用 い られ る (2.2.2項

参 照).

1.2非

圧

縮

性

物 体 は微 小 せ ん 断 ひ ず み γijおよ びせ ん 断 ひ ず み 増 分dγijに よ っ て体 積 を変 え な い こ と を証 明 す る こ とが で き る.直 観 的 に も “ず れ ” が 体 積 を変 え な い こ と は 容 易 に 理 解 で き よ う.し

たが っ て垂 直 ひ

ず み に よ る 体 積 変 化 を 考 え れ ば よ い.図1. 18に

お い て,εx,εy,εzに

よ る各 辺 の 変 位 は

δu=εxδa,δ υ=εyδb,δw=εzδcで

あ る か ら,

体積 の増加 は (1+εx)(1+εy)(1+εz)δaδbδc-δaδbδc

(1.33) と な る.微

小 ひ ず み で あ れ ば εx,εy,εzの２乗

以 上 の 項 を 無 視 で き る か ら,上 +εz)× δaδbδcと な り,単

図1.18垂

位 体 積 あ た りの変 化 ⊿ は ⊿=εx+εy+εz

こ れ を 体 積 変 化 率(cubical

直 ひず み に よ る体 積 変化

式 は(εx+εy

dilatation)と

(1.34)

い う.

 弾 性 ひ ず み に 対 して は ⊿ が ０で な く,応 力 の 静 水 圧 的 成 分 ｐ を用 い てK= p/⊿ に よ っ て 体 積 弾 性 率 が定 義 され る.し か し “塑 性 ひ ず み が 体 積 あ る い は 密 度 を変 え な い ” こ とは,均 質 連 続 体 につ い て き わ め て 厳 密 に 成 り立 ち,こ れ を 非 圧 縮 性(incompressibility)と

よん で い る.し た が っ て,塑 性 ひ ず み に 対 し て

弾 性 ひ ず み が 無 視 で き る よ うな大 変 形 に お い て は,材

料 は変 形 に 際 して体 積,

密 度 を変 え な い と近 似 され る.弾 性 ひず み を無視 した 場 合,非 圧 縮 性 を εx+εy＋

と書 くの は 適 当 で な い.こ ず み に 対 し て は,式(1.33)よ

εz=0 

の 式 は 微 小 ひ ず み に 対 す る も の だ か ら で あ る.大 り (1+εx)(1+εy)(1+εz)=1 

で あ り,式(1.31)の

(1.35)

対 数 ひ ず み を用 い て (1+εx)(1+εy)(1+εz)=eεlx+εly+εlz=1

(1.36)

ひ

した が って εｌx+εly+εlz=0 

(1.37)

と書 く こ とが で き る.し か しこ の 式 は 平 行 変 形 に 対 す る もの で あ り,主 軸 が 変 化 す る場 合 に は 用 い られ な い不 便 さが あ る.も

っ と便 利 な の は ひ ず み 増 分 を用

い る表 現 で あ り,ひ ず み 増 分 は微 小 ひ ず み の 一 種 で あ る か ら式(1 .35)に な ら って dεx+dεy+dεz=0 

(1.38)

とす る こ とが で き る.こ の 式 は 微 小 ひ ず み と して の性 格 を もち な が ら任 意 の大 変 形 に 対 して も適 用 す る こ とが で き る. な お,式(1.23),(1.34)よ

りe=⊿/3で

収 縮 の な い 偏 差 ひ ず み で あ る.し

あ り,塑

た が っ て,18ペ

性 ひず み は相 似 的膨 張 ・

ー ジ に 述 べ た 対 応 か ら,塑

性

ひ ず み は 偏 差 応 力 と 関 係 づ け ら れ る べ き も の で あ る こ と が わ か る.

1.3平 1.3

平

衡 衡

条 条

件 件

応 力 の 定 義 は物 体 の変 形 状 態 と無 関係 で あ るか ら,応 力 の平 衡 条 件 も物 体 の 弾 性 変 形,塑 性 変 形 にか か わ りな い.一 般 に 応 力 は物 体 内 の位 置 に応 じて 連 続 的 に変 化 す るか ら,有 限 寸 法 の 微 小 物 体 要 素 を図1.19の と体 積 力*が 含 ま れ る と と もに,対 の 図1.4の

よ うに 物 体 内 に とる

向す る各 面 の 応 力 は 異 な る こ とに な る.先

要 素 は 寸 法 が 無 限 小 で あ る こ と に注 意 され た い.図1.19に

x方 向 の 平 衡 を考 え る と,座 標 原 点 が 要 素 の 中心 に あ る と して

*電

磁 力 の作 用 下 では体 積 モー メ ン トが 同 時 に生 ず るが,こ の場 合 は 省 略 す る.

お いて

図1.19有

限要 素 の ｘ方 向の 平衡

した が っ て

とな る.た だ し Ｘ は単 位 体 積 あ た りの 体 積 力 の ｘ 方 向成 分 で あ る.同 図 に は ｘ 方 向 の 平 衡 に 関 与 す る 応 力 成 分,体

積 力 成 分 しか 図 示 され て い な い が,y,z

方 向 の 平 衡 も同 様 で あ り

(1.39)

と な る.ま

た 体 積 力 は モ ー メ ン ト を つ く ら な い か ら,図

示 の要素 につ いてモー

メ ン トの 平 衡 を 考 え る と τxy=τyx,τyz=τzy,τzx=τxz 

が え ら れ る.式(1.39),(1.40)が 体 積 力 は 慣 性 力,重 問 題 に な る.衝

(1.40)

一 般 の 動 的 平 衡 条 件 式 で あ る.

力 な ど で あ る が,通

常 の 機 械 加 工 で は 慣 性 力 が 主 と し てｘ

撃 的 に 荷 重 が 加 え ら れ れ ば 物 体 要 素 は 加 速 度 を も ち,こ

間 と と も に 変 化 す る.式(1.39)の

体 積 力 は た と え ばX=−

度)で あ り,σx=Eεx=E(∂u/∂x),τyx=τzx=0と

れが時

ρ(∂2u/∂t2)(ρは 密

す れ ば,式(1.39)の

第 １式 は

−x方 向 に 弾 性 応 力 波 が伝 播 す る過 渡 状 態 を示 す 微 分 方程 式 とな る

.ま た 定 常 的

な加 工 過 程 で も変 形 域 内 の各 部 の 速 度 差 が きわ め て大 きけ れ ば,こ れ に よ る慣 性 力 が 時 間 と と もに 変 化 しな い体 積 力 と して考 慮 さ れ ね ば な らな い.し

か し通

常 の機 械 加 工 で は これ ら の慣 性 力 は 物 体 の変 形 抵 抗 力 よ りは る か に 小 さ く,多 くの 場 合,重

力 と同様 に無 視 で き る.

こ こ で,衝 撃 性 が 少 な く,重 力 な どの 体 積 力 が 無 視 で き る通 常 の機 械 加 工 で は,加 工 中 に 常 に静 的 平 衡 条 件 式

(1.41)

が 満 た され て い る こ と を強 調 して お こ う.図1.20(a)に

示 す よ うに,２ 本 の

工 具 が 工 作 物 に対 して進 行 して くる場 合 を考 え る.工 作 物 は適 当 な台 上 に あ る もの とす る.工 具 の 先 端 が工 作 物 に 食 い込 み 始 め る ま での 工 作 物 の 運 動 は 機 械 加 工 に とっ て 大 きな興 味 で な い. 同 図(b)の よ うに,食

い込み が始 まる

(ａ)

(ｂ)

と工 作 物 の 変 形 抵 抗 は 大 きい か ら,工 作 物 の 運 動 は 両 先 端 で 拘 束 され,両 先 端 の 力 は 急 激 に増 大 す る.し た が っx 衝 撃 とな り,両 先 端 か ら応 力波 が工 作 物 中 を伝 播,往

復 す る.し か し通 常 の

加 工 速 度(両 工 具 の 相 対 速 度)は 応 力 波 の伝 播 速 度 よ りは るか に遅 い か ら,応 力 波 は 急 速 に鎮 静(stabilize)し,両

工

(ｃ)

図1.20静

(ｄ)

的 平衡 状 態 の 推移

具 か らの 力(加 工 力)は 工 作 物 を介 して 静 的 に 平衡 す る.工 具 が さ らに 進 行 す れ ば工 作 物 は 回 転 し,同 図(ｃ)の よ うに 工 具 と工 作 物 の接 触 面 積 が 増 大 す る と と もに加 工 力 も増 大 す る.こ の 加 工 力 の 増 大 に対 して も,応 力 波 は常 に 発 生 して い る が,食

い込 み 時 の 力 の 増 大 よ り さ ら に緩 慢 な ため 波 動 は 小 さ く,各 瞬 間 で

直 ち に鎮 静 す る と考 えて よ い.ま

た応 力 波 が な くて も工 作 物 は 非 定 常 に 動 い て

い るか ら,こ の 加 速 度 に よ る慣 性 力 が 存 在 す るが,こ の 力 は微 々 た る もの で あ り,結 局 加 工 中 に は常 に 静 的 平衡 が 保 た れ た ま まで推 移 す る と考 え て よ い.工 具 が さ ら に 進 行 す れ ば 同 図(ｃ)の塑 性 変 形 域 は拡 大 し,同 図(ｄ)の よ う に 加 工 域 全 体 で 塑性 変 形 が 生 ず る よ うに な る が,静 的 平 衡 条 件 式(1.41)は 常 に 満 た さ れ て い る.な お 両 工 具 が 非 常 に 高 速 で動 く場 合 に は加 工 中 の 変 形域 内 に 常 に大 きな 応 力 波 が あ る衝 撃 加 工 とな るが,詳 細 は 省 略 す る.

1.4  工 具 面 摩 擦 の 応 力 特 性  機 械 加 工 で は,高 強 度 の加 工 用 工 具 を工 作 物 材 料 に 押 しつ け,所 要 の 塑 性 変 形 や 破 壊 を与 え る.し た が って,工 具 面 の 摩 擦 は機 械 加 工 の 力 学 的 問 題 を解 く ため の 境 界 条 件 と して,常

に 重 要 で あ る.

 一 般 に,接 触 面 の 摩 擦 の 状 態 に は 図1.21に

示 す ３種 の 場 合 が あ る.同

図

(ａ）の 完 全 潤 滑 は,２ 表 面 間 に 介 在 す る油 剤 あ るい は 固体 潤 滑 剤 の 層 が,両

表

面 相 互 の 直 接 接 触 を 完 全 に さ また げ る場 合 で あ る.同 図(ｂ)の境 界 潤 滑 は,潤

滑層 が存 在 す る

もの の,接 触 面 荷 重 が 大 き い た め,両 表 面 の 直 (ａ)完 全 潤 滑

接 接 触 も部 分 的 に 生 ず る場 合 で あ り,直 接 接 触 が 特 に 顕 著 な 状 態 は 極 圧 境 界 潤 滑(extreme pressure boundary

lubrication)と よば れ る.ま

(ｂ)境 界 潤 滑

た 同 図(ｃ)の乾 燥 摩 擦 で は 潤 滑 層 が な く,直 接 接 触 の み が行 わ れ る.機 械 加 工 の 工 具 面 で は, 接 触 面荷 重 が 著 し く大 き い の で,極 圧 境界 潤 滑

(ｃ)乾 燥摩 擦 図1.21摩

擦 接 触 の ３形 態

図1.22 

乾燥 摩 擦 の ２表 面 接 触状 態

と乾燥 摩 擦 の 場 合 の み が 対 象 で あ る.  乾 燥 摩 擦 の 場 合 を主 と し て論 議 を進 め よ う.ま ず工 業 的 な 寸 法 の,凹

凸の な

い完 全 な 平 面 は 製 造 で きな い こ と,し たが って 平 滑 と思 わ れ る ２平 面 を軽 荷 重 で接 触 させ れ ば,真

の接 触 は 表 面 あ ら さの 凸部 ど う しの わず か な 部分 で しか 生

じな い こ とを知 っ てお く必要 が あ る.  た とえ ば,念

入 りに 研 磨 した １平 方 イ ン チ の鋼 板 を10ポ ン ドの垂 直 荷 重 で接

触 させ た場 合,み

か け の 接 触 面 積Ap=1in2に

対 して,真 実 接 触 面 積Aγ はAγ

≦10-4in2程 度 に しか な らな い の で あ る.こ れ は 図1.22に

示 す よ う に,接 触

す るあ ら さの 凸部 が圧 壊 して荷 重 を支 え る た め で あ る.摩 擦 に 際 して は,こ 真 実 接 触 部 に 凝 着(adhesion)ま

た は 溶 着(welding)が

の

生 じ,凝 着 部 の 破 断 抵 抗

が 摩 擦 力 を形 成 す る.図 示 の 凝 着 部 の せ ん 断 破 壊 強 さ を τ,圧 縮 強 さ を Ｈ と す る と,摩 擦 力 Ｆ,垂 直荷 重 Ｎ は (1 .42)

と な る.た 42)よ

だ し τt,σtは そ れ ぞ れ み か け の 摩 擦 応 力,垂

り摩 擦 係 数 μ は,Aγ

直 応 力 で あ る .式(1.

に関係 な く

(1.43) とな る.軽 荷 重 でAγ/Apが

十 分 に 小 な 場 合 に は τ,Ｈ は あ ら さの 微 小 な 先 端

に 固有 な量 とな り,μ が 荷 重 や 摩 擦 速 度 に よ らず ほ ぼ 一 定 と な る クー ロ ン の 法 則 が 実 現 す る.た

とえ ば,一 定 のApに

対 してNが

大 と なれ ば,Aγ

が増大 し

図1.23摩

擦 面の 応 力特 性

て Ｆ は 大 と な る が μ は 変 わ ら な い.こ

れ が 図1.23の

す べ り摩 擦(ク ー ロ ン 摩

擦)の 状 態 で あ る.   極 圧 境 界 潤 滑 の 場 合 は,潤 滑 剤 の τ,Ｈ

滑 剤 が 荷 重 を 支 え て い る部 分 の 面 積 を(Aγ)0,潤

を そ れ ぞ れ τ0,H0,金

属 接 触 部 の そ れ ら を(Aγ)m,τm,Hmと

す

る と,式(1.42)は

(1.44) と な る が,τ0《

τmに 対 し てH0はHmに

で 潤 滑 効 果 が 生 ず る.し

近 く な る か ら,μ

は 乾 燥 摩 擦 よ り小

か し 垂 直 荷 重 Ｎ が 増 す と(Aγ)0/(Aγ)m,,H0は

変化 す

る か ら μ が 一 定 の ク ー ロ ン 法 則 は 実 現 し な い.

 乾 燥 摩 擦 の 場 合 も一 定 のApに

対 し て Ｎ が 増 大 す る と,や が て クー ロ ン の

法 則 が 成 り立 た ず,μ は 減 少 し始 め る.こ れ は 単 にAγ が 増 大 す る だ け で な く, τ,Ｈ が あ ら さ の先 端 に 特 有 な量 か ら,次 第 に 軟金 属 側 の 接 触 表 面 層 の 巨 視 的 強 度 に 影 響 さ れ る 量 に 転 化 す る か ら で あ る.た

と え ば,極

限 の場 合 と して

Aγ/Ap〓1の 状 態 を考 え る と,τ 〓 τtは軟 金 属 側 表 層 の バ ル ク な せ ん 断 破 壊 強 度 な い しせ ん 断 流動 応 力 に一 致 す る もの とな る で あ ろ う.そ

う な れ ば,τ=τt

は 塑 性 域 の 境 界 応 力 と し て 次 章 の 降 伏 条 件 に 支 配 さ れ る か ら,一 定 値 ｋ を越 え られ な い.こ

れ が 図1.23の

付 着 摩 擦 の 状 態 で あ る.

 実 際 に は,図 示 の 両 点 線 をつ な ぐ実 線 の 応 力特 性 と な る の で,こ に 表 示 し て み る.上

述 の よ う に 式(1.42)の

れ を数 式 的

τ,Ｈ は ｋに 影 響 さ れ,一

Aγ/Aｐ を介 して σtに も影 響 され る は ず で あ るか ら,

方

τt=

σt/

=F(k

Hτ

,σt) 

(1.45)

と 考 え て み る.

関 数 Ｆ が満 た す べ き条 件 と して, (１)σt→

∞ の 完 全 接 触 で は τt→kと な ら ね ば な ら な い.

(２)σt→0でAr/Aｐ

→0で

あ り,ク

ー ロ ン の 法 則 に 従 わ ね ば な ら な い.

が 要 請 さ れ る.

この 要 請 を満 たす 関数 の 一 例 と し て,

zt=k(1-e-avtik) が 考 え ら れ る*１.λ は 特 性 を 表 す 定 数 で あ る.σt→ た さ れ る の は 直 ち に 明 ら か で あ り,σt→0の

(1.46) ∞ の 場 合 に 第 １の 要 請 が 満

場合

(1.47) で あ る か ら 第 ２ の 要 請 も 満 た さ れ る.λ 式(1.46)に

は クー ロ ン 摩 擦 の 摩 擦 係 数 に 相 当 す る .

か えて τt=ktanh(λ

σt/k) 

(1.48)

と す る 表 現 も 可 能 で あ る*２.

 なお,以

上 の 説 明 は摩 擦 の 凝 着 説 に よ っ た もの で あ る が,工 具 の 表 面(硬 金

属 側 表 面)が 著 し くあ らい 場 合 を考 え る と,荷 重 が 小 で も あ ら さ の 突 部 は軟 金 属 面 に 突 き さ さ り,こ れ が軟 金 属 表 面 を 引掻 く(掘 りお こす)た め に摩 擦 抵 抗 が 生 ず る(摩 擦 力 のploughing

termと

よ ば れ る).こ

の効 果 が 強 く,軟 金 属 の 親

和 性 が 高 い場 合 に は,低 荷 重 で も容 易 に全 面 凝 着 の 状 態 とな り,τt〓kの 付 着 摩 擦 に な る.  本 書 で は 簡 単 の た め,す べ り摩 擦(ク ー ロ ン摩 擦)と 付 着 摩 擦 の い ず れ か と し て解 析 を行 うこ とに し,第

密 機 械,39巻,９

６章 に お い て 式(1.46)を

*１

著 者:精

*２ *2岩

岩 田 田ほ ほ か:Tγaps.ASME,J.Engg.Mat.Tech.,106(1984)132 か:TrapsとASME, ノ【.Engg.Mat-T「'e('h.,,

号(昭48-９)966

導 入 した解 析 法 を示 す .

.

106(1984)132, .

演 １.式(1.20)の ２.弾 ３.平 -0

.08が

習

問

題

Σ ωijδxjは相 対 変 位 の 剛 体 回転 成 分 を表 す こ と を示 せ.

性 変 形 の 場 合 にSaint-Venantの

法 則 を 証 明 せ よ.

面 ひ ず み 塑 性 変 形(dεz=4γyz=dγzx=0)に 測 定 さ れ た.dεyの

値 を 求 め よ,ま

お い て,dεx=0.02,dγxy=

た正 の主 ひず み増分 の方 向 は ｘ軸か ら

何 度 の 位 置 に あ る か.

４.図1.24に

示 す よ うに,剛

様 な 応 力 域 △ABCが 面DA,CBは 面ACの

あ る.面ABに

性 壁 に 接 し て ２次 元 の 一 は 応 力 が 作 用 せ ず,

主 せ ん 断 応 力 面 で あ る.角

度 ηを用 い て 壁

摩 擦 係 数 を求 め よ.

５.純

粋 せ ん 断 変 形 と単 純 せ ん 断 変 形 の 相 違 を述 べ よ.

６.２

次 元 の 加 工 の 問 題 で,工

具 面 に 沿 っ て 増 大 す る摩

擦 応 力 τtの分 布 を境 界 条 件 と し,応 力 の 平 衡 な ど の 力 学 的 条 件 を 満 た す 解 を得 た.解 す る で あ ろ う か.

図1.24

の 与 え る 工 具 面 垂 直 応 力 σtは τtの増 大 方 向 に 必 ず 増 大

２.塑

性 変 形 と破 壊 の 法則

2.1降  物 体 に荷 重 を加 え て い く と図1.20に

伏

条

件

示 した よ うに 最 初 は 弾 性 変 形 が 生 じ,

次 い で応 力 の 大 きい位 置 か ら材 料 は降 伏 して 塑 性 変 形 が 広 が っ て い く.本 節 で は こ の降 伏(yielding),す

な わ ち弾 性 変 形 が終 っ て塑 性 変 形 が 発 生 す る現 象 を

扱 うが,機 械 加 工 の 主 た る対 象 で あ る延 性 金 属 材 料 の場 合 に論 議 を 限 り,ぜ い 性 材 料 の 降伏 は2.3.1項

で破 壊 と一 括 して述 べ る こ とにす る.

 材 料 内 の あ る地 点 で 降 伏 の 生 ず る条 件(降 伏 条 件)は 変 位,ひ らず,そ

ず み の如 何 に よ

の地 点 の 応 力 の み の 関数 と して 表 す こ とが で き る とさ れ て い る.す な

わち f(σx,σy,σz,τxy,τyz,τzx)=0 

(2.1)

で あ る,以 後 取 扱 う金 属 材 料 は す べ て 等 方 性 を もつ もの と し よ う.材 料 は焼 鈍 状 態 で もあ らか じめ 塑 性 変 形 を受 け て硬 化(加 工 硬 化(strain hardening)と い う)し た 状 態 で も よ い が,方

向によ

る性 質 の相 違 は な い もの とす る.し た が っ て式(2.1)の

関

ｆは 座 標 軸 の と

りか た で値 が 変 わ る よ う なパ ラ メー タ を含 ん で は な ら な い.ま

た,式(2.1)

は 応 力 状 態 が あ る状 態 に 達 した と き降

図2.1斜

面上の応力

伏 が 生 ず る とす る もの で あ る が,降 伏 は物 理 現 象 で あ るか ら,そ の 応 力 状 態 は

座 標 軸 の 選 択 とは 無 関 係 に 物 理 的 に 定 ま る状 態 の は ず で あ る.し たが っ て,そ の 状 態 を規 定 す る関 らな い.さ

ｆ は 応 力 の 不 変 量 か 主 応 力 に 関 す る もの で な け れ ば な

ら に,静 水 圧 的 応 力 の も と で は 降 伏 が 生 じ な い事 実 は よ く知 られ て

い る か ら,降 伏 条 件 は偏 差 応 力 の み に 依 存 し,応 力 の 静 水 圧 的 成 分 ｐ(式(1. 10)参 照)に よ らな い こ とが 要 求 され る*1.以 上 の 要 求 を満 たす 関

ｆ を見 出 す

た め,以 下 に 若 干 の予 備 的 解 析 を行 う.  い ま 図1.4の

各 応 力 成 分 が 与 え られ て い る と き,図2.1の

合 応 力 をP,Pの

座 標 軸 成 分 をPx,Py,Pzと

斜 面ABC上

の

す る.図 示 の 三 角 錐 の 平 衡 を考

えると

(2.2)

た だ し,l,m,nは

斜 面ABCの

法 線 の 方 向 余 弦 で あ る.い

つ σ で あ る場 合 を考 え る と,Px=σl,Py=σm,Pz=σnで

ま Ｐ が主応 力の １

あるか ら

(2.3)

で あ り,方

向 余 弦l,m,nを

消 去すれば

(2.4) が え られ る.上 式 の ３根 σ1,σ2,σ3が 主 応 力 で あ る.主 応 力 は そ の 地 点 の 固 有 量 で あ るか ら,上 式 の 係 数 は座 標 軸 の選 定 に よ り値 を変 え な い不 変 量 で なけ れ ば な ら な い*2.す

なわ ち

*１

ｐの み で は降 伏 が 生 じな いか ら,塑 性 ひ ず み で は相 似 的 膨 張 ・収 縮 が 生 じな い.し

*２

座 標 軸 の 変換

た が ってde=0で

あ り,塑 性 ひず み は 非圧 縮 性 な の で あ る. に よ って 形 を変 えな い 応 力 の 関f(σij)が 応 力 テ ン ソ

ル の 不 変 量 で あ る.も 0に

な る が,０

ち ろ ん 値 も変 換 に よ っ て 変 わ ら な い.主

な る τijが存 在 す る と 考 え れ ば 形 は 変 わ ら な い.

軸 を と る 場 合,τij=

(2.5)

で あ る.上 式 の 第 １式 よ り式(1.10)の わか る.し た が っ て,式(1.13)の

平 均 垂 直 応 力 ｐは 不 変 量 で あ る こ とが

偏差 応力 の主 応力 もその地 点 の 固有 量 であ

り,偏 差 応 力 系 につ い て上 述 の 論 議 を反 復 して え られ る 式(2 .4)の 係 数 も ま た 不 変 量 で な け れ ば な ら な い.す

なわち (2.6) (2.7) (2.8)

は不 変 量 で あ る.  さ て最 初 に 述 べ た よ うに 降 伏 条 件 は 偏 差 応 力 の 主 応 力 か,偏 に 関 す る もの で な け れ ば な ら な いが,こ

差 応力の不変 量

の 要 求 を満 た す １つ の 降 伏 条 件 は次 式

であ る. (2.9)

す な わ ち,不 あ り,von =0で

変 量J2が Misesの

あ る か ら,こ

あ る 一 定 値 に 達 す る と きに 降 伏 が 生 ず る とす る もの で

降 伏 条 件 と よ ば れ て い る.式(1.14)よ

り(Sx+Sy+Sz)2/2

れ を 式(2 .9)に 加 え る と

(2.10)

ま た 式(1.12),(1.10)を

上 式 に代 入 す る と

(2.11)

特 に主軸 を座 標軸 に選 んだ場合 には (2.12)

と な る.式(2.11),(2.12)が

通 常 応 力 に よ るMisesの

垂 直 応 力 は 差 の 形 で 入 っ て い る か ら,静 次 に 式(2.11),(2.12)の

降 伏 条 件 の 表 示 で あ る.

水 圧 的 応 力 ｐは 降 伏 に 関 係 し な い.

物 理 的 意 味 を 明 ら か に し よ う.図2.2に

示 す よ う に,

主 軸 方 向 に位 置 の座 標 軸 を選 ん で 微 小 な正 入 面 体(octahedron)を

空 間 に 考 え る と,図

斜 線 を ほ ど こ し た 面 は 図2.1の し,l=m=n=1/√3な 図2.1の

示 の

斜 面 に対 応

る 特 別 な 場 合 と な る.

場 合,斜

面 の 垂 直 応 力,せ

力 を そ れ ぞ れPn,Psと

ん断 応

す ると

(2.13)

で あ る か ら,図2.2の

図2.2主

軸 を座標 軸 とす る 正八面体

場 合 に は 斜 線 面 の 垂 直 応 力 σoct,せ ん 断 応 力 τoctはそ れ

ぞれ

 (2.14)

とな る.正 八 面 体 の 斜 面 に は 平 均 垂 直 応 力 ｐが働 い て い る.ま

た 式(2.12)の

降 伏 条 件 は入 面体 せ ん 断 応 力 τoctの 絶 対 値*が 特 定 値 に 達 す る と き降 伏 が 生 ず る と して い る こ とが わか る.￨Zxt￨=const。 はA.Nadaiの な おMisesの

降 伏 条 件 と よ ば れ る.

降 伏 条 件 は,「 そ の地 点 の 単 位 体 積 あ た りの せ ん 断 ひ ず み エ ネ ル

ギー が 特 定 値 に 達 し た と きに 降伏 が 生 ず る」 と して い る と も解 釈 で き る(章 末 の 問題 参 照).  さ て 式(2.11),(2.12)の

右 辺 の 定 数 は 材 料 に よ る特 性 値 で あ るが,簡

応 力 系 で の 降 伏 応 力 で 表 して お くの が 便 利 で あ る.式(2.12)を 単 軸 引 張 りの 場 合 に 適 用 して み る.図2.3を

単な

単 純 せ ん 断,

参 照 す れ ば 降伏 の 発 生 時 に

単純せ ん 断 単軸 引張 り

*斜

面 に対 す る座標 軸 を指 定 して い ない か ら正 負 は 決 まら ない.

た だ し ｋ は 降 伏 せ ん 断 応 力 の 絶 対 値,Ｙ 式(2.11),(2.12)の Y2/3に

は 降 伏 引 張 応 力 で あ る .し

定 数 は 同 じ 材 料 を 単 純 せ ん 断,単

等 し い.し

た が っ て 今 後,Misesの

たが って

軸 引 張 りす る と き のk2,

降伏条件 を

(σx-σy)2+(σy-σz)2+(σz-σx)2+6(τyz2+τzx2+τxy2)=6k2=2Y2  (2.15) または (σ1-σ2)2+(σ2-σ3)2+(σ3-σ1)2=6k2=2Y2  と 書 く こ と に す る.Misesの

(2.16)

降 伏 条 件 は機 械 加 工 の 主 対 象 で あ る延 性 金 属 材

料 に よ く適 合 す る.   主 応 力 で し か 表 示 で き な い 不 便 さ が あ る が,延 る他 の 降 伏 条 件 にTrescaの が あ る.こ

性 金 属 材 料 に対 して 常 用 され

降伏条 件

の 条 件 は代 数 的 に最 大 な 主

応 力 σmaxと 最 小 な 主 応 力 σminの 差 が 特 定 値 に 達 す る と降 伏 が お こ る とす る も の で あ る.す

なわち

σmax-σmin=const. 

(ａ)単 純 せ ん 断

(2.17)

単 純 せ ん 断 と単 軸 引 張 り の 場 合 を 考 え れ ば, σmax-σmin=2k=Y 

(2.18)

と な る こ と が 容 易 に 理 解 で き よ う. Trescaの

降 伏 条 件 も静 水 圧 的 応 力 ｐ

に 無 関 係 で あ る. さ てMisesの 降 伏 条 件 をY,kに

(ｂ)単 軸 引張 り

降 伏 条 件 とTrescaの ついて比較す ると

図2.3単

純せ ん 断 と単 軸 引張 りの応 力

 (2.19)

で あ り,Ｙ

が 既 知 の材 料 に 対 して両 者 は 異 な る ｋの 値 を 予 測 す る こ とに な る.

しか し,こ の例 か らみ て両 条 件 の 相 違 は わ ず か な こ とが 予 想 され る.簡 単 な例

と し て 平 面 応 力 の 場 合 を 考 え よ う.σ3=0と

す れ ばMisesの

降 伏 条 件 式(2 .

16)は σ12-σ1σ2+σ22=Y2 

と な り,こ

れ は 図2.4に

(2.20)

示 す 楕 円 を 表 し て い る.こ

条 件 は 図 示 の 六 角 形 を つ く る 折 線 と な る.な

れ に 対 し てTrescaの

降伏

ぜ な ら

領 域 〔Ｉ〕:σ3=0,σ1,σ2＞0 σ1＞

σ2な

ら

σmax-σmin=σ1-σ3=σ1=Y…

…BC

σ2＞ σ1な

ら

σmax-σmin=σ2-σ3=σ2=Y…

…AB

領 域 〔IV〕:σ3=0,σ1＜0,σ2＞0 した が っ て

σ2=σmax,σ1=σmin

σmax-σmin=σ2-σ1=Y

σ2=σ1+Y…

…AF

だ か らで あ る.両 降 伏 条 件 の 差 違 は わ ず か な こ とが 同 図 よ り理 解 で き よ う.な お 同 図 の 線 の 内側 は 弾 性 域,外 明 され た もの で は な い.し

側 は塑 性 域 で あ る.降 伏 条 件 は 仮 説 で あ っ て証

た が っ て他 の 降 伏 条 件 も当 然考 え られ,多

くの 条 件

が 提 案 され て い る.し か し実 験 と よ く一 致 し,数 学 的 に も取 扱 い が 容 易 な 形 と い う制 約 を考 え る とMisesま

た はTrescaの

条 件 が 代 表 的 な もの と な る.

 最 後 に 降伏 条 件 は塑 性 変 形 の進 行 中 に も適 用 され る こ と を注 意 して お こ う. 後 述 の 図2.5に

示 さ れ て い る よ うに,材

料 に 荷 重 を加 え て 塑 性 変 形 させ て か ら,い っ た ん 除 荷 して再 び 荷 重 を加 え る と,除 荷 時 の 応 力 の とこ ろで 降 伏 が 生 ず る.本 項 の 初 め に 述 べ た よ うに,材 料 が 加 工 硬 化 して い て も既 述 の 降 伏 条 件 は 成 り立 つ か ら,同 図 の 再 降 伏 に 際 し て もY,kが

増大す る

の み で成 り立 つ は ず で あ る.し た が っ て, 降 伏 条 件 は 変 形 の 進 行 中 に も常 に 成 立 して い る と考 え て よ い.塑 性 変 形 の進 行 は刻 々

図2・4平

面 応 力 状 態(σ3=0)に Misesの 降伏 条 件

おけ る

降 伏 条 件 とTrescaの

の 降 伏 の 連 続 とみ う るわ け で あ る*１.な お 式(2.15),(2.16),(2.18)の のk,Yは

左 辺 で考 え て い る変 形 過 程 の 環 境(温 度,変

右辺

形 速 度)と 同 じ環 境 の

試 験 で え た 値 で あ る こ とを忘 れ て は な ら な い.温 度 や 変 形 速 度 が 変 わ れ ば 第 ６ 章 で述 べ る よ うにk,Yの

値 は 変 化 す る.し か し左 辺 の 関 数 形 は 変 わ ら な い

の で あ る.

2.2塑

性 変 形 の法 則

い ま まで の とこ ろ,本 書 で は 弾 性 変 形 と塑 性 変 形,弾 性 ひ ず み と塑 性 ひ ず み とい っ た 言 葉 を十 分 に 吟 味 しな い で 使 用 して きた.読 者 は一 応 の 概 念 を持 ち あ わせ て い る と考 え た か らで あ る.本 節 で は ま ず こ れ らの 言葉 の 意 味 を は っ き り させ よ う.静 的 な単 軸 引 張 試 験 で え られ る応 力-ひ ず み 曲 線(以 後 塑 性 曲 線 と い う)の 例 を 図2.5(ａ)に ば,延

示 す.軟

鋼 の よ うな 特 例 を 除 け

性 金 属 材 料 の 降 伏 点(yield

point)は

れ ほ ど は っ き り し た も の で は な い.応 す と 比 例 限 度(proportional

力が増

limit)σpま

ず み*２ は 比 例 し て 増 加 し,さ

で ひ

ら に応 力 を増

す と ひ ず み は 応 力 に 比 例 し な く な る.し 弾 性 限 度(elastic

limit)σeま

か し

(ａ)

での応 力で は除

荷 す る と ひ ず み は ０ に も ど る.こ 形 が 弾 性 変 形(elastic

そ

こ ま で の変

deformation)で

あ る.

応 力 が σeを 越 え る と 除 荷 し て も ひ ず み は 回 復 し な い で 永 久 変 形 が 残 り,材 と い わ れ る.こ tic deformation)で

料 は 降 伏 した

の 永 久 変 形 が 塑 性 変 形(plasあ る.し

た が っ て,厳

に は 弾 性 限 度 が 降 伏 点 で あ る が,実

際 には こ

*１

変 形 過 程 で の 降 伏 応 力 を 流 動 応 力(flow

*２

弾 性 範 囲 で は 式(1.30)で

も 式(1.31)で

(ｂ)

密

stress)と

図2.5塑

い う.

も 差 異 は ほ と ん ど な い.

性 曲 線 の単 純 化

の 位 置 が は っ き り しな い た め,指

定%(通

常0 .2%)の 塑 性 ひ ず み を生 ず る応 力

を も っ て 降 伏 応 力 Ｙ と して い る.こ の Ｙ を耐 力(proof stress)と い う.応 力 を Ｙ 以 上 に 増 せ ば ひ ず み は さ らに 増 大 す る が*１,い ま 同 図(ａ)の 応 力 σで 除 荷 す る と,応 力-ひ ず み 曲線 は ま ず 直 線 Ｏ-σpに平 行 に さ が り,次 い で わ ず か に わ ん 曲 し て 点 Ａ に 達 す る.こ の 状 態 か ら再 び 負荷 す る と除 荷 時 と逆 に ,最 初 Ｏ-σpに 平 行,次

い で わ ん 曲 して再 び σに達 して 降 伏 を生 ず る.し

応 力 σに 対 す るひ ず みOBは

塑 性 ひ ず みOAと

弾 性 ひ ず みABか

たが って

ら な る*２.

 以 上 が実 際 に生 ず る変 化 で あ るが,一 般 の 応 力 状 態 に つ い て こ の よ うな 詳 細 を考 慮 す る理 論 は 複 雑 に す ぎ て実 用 的 で な い.そ

こ で 本 書 で は 同 図(ｂ)の よ

うに 単 純 化 して 考 え る こ とに す る.降 伏 応 力 Ｙ ま で は フ ッ ク(Hooke)の が 成 立 す る 弾 性 状 態,応 らず,OYに

法則

力 σで の 負 荷 除 荷 曲 線 は ヒ ス テ リシ ス ル ー プ を つ く

平 行 な 直 線 で あ る.単 軸 引 張 りに か ぎ らず,一 般 の 応 力 状 態 で も

こ の よ うに 近 似 して 考 え る もの とす る.前 節 の 降 伏 条 件 も この 程 度 の 近 似 で考 え る もの と理 解 さ れ た い.な

お 同 図(ａ)で も同 様 で あ る が,同

図(ｂ)で は εe

＞εe′ で あ る こ と に 注 意 し な け れ ば な ら な い.塑 性 変 形 が 生 じて い る状 態 で も 応 力 が 増 せ ば,弾 性 ひず み も増 す の で あ る.

2.2.1応  ａ.弾

力 と ひ ず み,ひ 性 ひ ず み,弾

ず み 増 分 の 関係

性 ひずみ増分

 ま ず 応 力 状 態 が 降 伏 点 ま で の 弾 性 域 を 考 え る と 式(1 .27)が れ か ら 偏 差 応 力,偏 と 式(1.23),(1.24)よ

で あ り,式(1.27)の

*１ *２

差 ひ ず み 間 の 関 係 を 求 め る .弾

成 り 立 つ が,こ

性 を示 す 添 字 ｅ を 用 い る

り

左 の 群 を代 入 し て 整 理 す る と,

ひず み が増 せ ば加 工硬 化(ひ ず み硬 化)に よっ て応 力 が増 す と考 え た ほ うが よい . 先 に 述べ た塑 性 変 形 は,塑 性 ひ ずみ に対 応 す るが,弾 性 ひ ず み を 同時 に含 む変 形 を 塑性 変 形 と言 って い る こ とが 多 い.

し か る に,式(1,10),(1.12)よ

りsx=(2σx-σy-σz)/3で

数 間 の 関 係2G=E/(1+ν)を

と な る.eye,ezeに

あ る か ら,弾

性 係

代 入 す る と,

つ い て も 同 様 で あ り,結

局

(2.21) で あ る. し た が っ て,式(2.21),(1.28)を

用 い れ ば,式(1.27)は

次 式 に 書 き直 せ る

こ と に な る.

(2.22)

次 に,応 力 状 態 が 降伏 点 を越 え て塑 性 域 に 入 り,塑 性 の あ る応 力状 態 か ら さ らに 微 小 な 応 力 増 分 が 生 ず る場 合 を考 え る.既 述 の よ う に,こ の 応 力 増 分 に 対 し て は,塑 性 ひず み だ け で な く弾 性 ひ ず み も増 す か ら,た

と え ば η方

向 の単 軸 引 張 りの 場 合,dσ ηに 対 す る ひ ず み 増 分dε ηは 図2.6の

よう

に dε η=dε

ηe+dε

=deηe+dee+dε

と な る.添

ηp

ηp

字 ｐ は 塑 性 を 示 す.し

た が っ て,一

般 の応 力 増分 に対 して

は 式(2.22)を

用 い

図2.6ひ

ず み増 分 の 弾 性成 分 と塑 性 成 分

(2.23)

Kroneckerの

デ ル タ δij(i=jの

と き δij=1,i〓jの

と き δij=0)を

用 い て 一 般

的 に 書 け ば,

(2.24) と な

る.た

dτxyな

だ

ど で あ

ｂ.塑

しi,j=x,y,zで

あ

り,dεii=dεx,dσ

′jj=dSy,dεij=dγxy,dσ

′ij=

る.

性 ひずみ増分

  次 に 塑 性 ひ ず み 増 分dεijpを tia1)を 定 義 す る.弾

求 め る た め に 塑 性 ポ テ ン シ ャ ル(plastic

poten-

性 ポ テ ン シ ャ ル(応 力 関 数)と 同 様 に

(2.25) な る 関 係 が 成 り立 つ 関 数f(σij)を 数 で あ る.な

塑 性 ポ テ ン シ ャ ル と い う.た

お σij=σjiで あ る が,σijな

の とす る.dεijpに

つ い て も 同 様 で あ る.い

だ し,dλ ″は 定

る表 示 で は両 者 を 区 別 し て考 え る も ま,式(2.15)のMisesの

降伏 条 件

を用 い f(σij)=(σx-σy)2+(σy=σz)2+(σz-σx)2 +3(τy2+τzy2+τzx2+τxz2+τxy2+τyx2)-6k2=0 

(2.26)

と考 え る と,式(2.25)は

(2.27)

と な る.上

式 に 式(1.10),(1.12)を

考 慮 し,dλ

″=dλ/6と

お く と,

(2.28) と な る.上

式 はLevy-Misesの

塑 性 流 動 法 則(plastic

式(2.28)と

対 比 す る た め,式(2.21)を

flow

rule)と

よ ば れ る.

増 分 を 用 い て 書 け ば,

(2.29) で あ り,両 い る.ま

式 の 形 は 類 似 な る も,塑

性 と弾 性 で は 次 の ２点 が ま っ た く相 違 し て

ず 弾 性 の 偏 差 ひ ず み 増 分 は,偏

差 応 力 の 増 分 に 比 例 す る の に 対 し,塑

性 の そ れ は 偏 差 応 力 そ の も の に 比 例 し て い る.ま 応 力 場 全 体 に 共 通 な1/2Gな

の に 対 し,塑

の 状 態 と そ の 変 化 に よ っ て 異 な り,塑   な お 式(2.28)よ

性 のdλ は 後 述 の よ う に 考 え る 地 点

性 領 域 全 体 に 共 通 な 定 数 で は な い.

りdεxp+dεyp+dεzp=dλ(Sx+Sy+Sz)で

よ り右 辺 は ０ で あ る か ら,流 dεiip=deiipで

た 比 例 定 数 は 弾 性 で は考 え る

あ る.す

動 法 則 は 式(1.38)の

あ る が,式(1.14) 非 圧 縮 性 条 件 を 含 ん で お り,

な わ ち 塑 性 ひ ず み は 偏 差 ひ ず み で あ り,式(2.28)は18

ペ ー ジ に 述 べ た よ う に 偏 差 ひ ず み が 偏 差 応 力 と対 応 す る 関 係 に な っ て い る.ま た,弾

性 状 態 で も,塑

24)に 式(2.28)を

性 状 態 で も 式(1.8),(1.22)は

代 入 し て 用 い る と,τnを

は 等 し い こ と が 導 け る.す

な わ ち,塑

変 わ ら な い か ら,式(2.

０ と す る θ とdγx′y′を ０ と す る θ

性 状 態 で もSaint-Venantの

法 則は成 立

し て い る.

2.2.2加

工 硬 化 とdλの 決 定

  式(2.28)の

定 数dλ を具 体 化 す る ため 材料 の 加 工 硬 化 性 を 導 入 す る.一 般 の

金 属 材 料 で は,た

とえ ば 図2.5に

示 す よ う に,降 伏 点 を 越 え て も塑 性 変 形 に

要 す る応 力(流 動 応 力)は ひ ず み と と も に増 大 す る.こ れ が ひ ず み 硬 化(strain hardening)あ

る い は加 工 硬 化(work

hardening)で

あ る.加 工 硬 化 に つ い て最

も広 く用 い られ て い る仮 説 は, “加 工 硬 化 の 程 度 は 塑 性 ひ ず み の 経 路 に よ らず

,な さ れ た 塑 性 仕

事 量 の み で 決 ま る.す な わ ち塑 性 仕 事 量 に よ って 等 価 的 に 比べ ら れ る”

と す る も の で あ り,こ

れ を 塑 性 仕 事 の 等 価 性(equivalence

of plastic

work)の

仮 定 と い う.   ま ず,次

式 に よ っ て 相 当 応 力(equivalent

stress)σ

を 定 義 し,こ

れ を加 工 硬

化 を 代 表 す る 量 と考 え る.

(2.30) 式(2.10),(2.15)に

よ っ て σ=√3J2=Y=√3kで

あ るか ら,σ

は座 標 軸 の 選

択 と無 縁 な不 変 量 で あ り,σ が 大 き くな る ほ ど降 伏 に大 応 力 を 要 す る か ら, 材 料 は 加 工 硬 化 し て い る とみ る こ とが で き る,σ 関 係 で あ り,ｐ は 流 動 法 則 式(2.28)に

は 応 力 の 静 水 圧 成 分 ｐに 無

よ っ て 塑 性 仕 事 を しな い か ら,こ の 意

味 で も妥 当 で あ る.ま た σ が 不 変 量 な こ とは加 工 硬 化 が 等 方 的 に 生 ず る こ と を意 味 し,加 工 硬 化 が ひず み経 路 に よ らな い と した こ とに符 合 す る.経 路 に よ る とす れ ば 硬 化 は 等 方 的 で な く,材 料 内 に 強 度 の 異 方 性 が生 ず るか らで あ る. さ て 上 述 の 仮 定 に よ って σ は 単 位 体 積 あ た りの 塑 性 仕 事 量Wpの

み の関 数 で

あ るか ら  (2.31)

ま たdWpは

(2.32) で あ る が,次 dεpを

式 の 相 当 塑 性 ひ ず み 増 分(equivalent

plastic

strain

increment)

用 い る と,

(2.33) 若 干 の 計 算 の の ち(章 末 の 問 題 を み よ),   (2.34)

と書 く こ とが で き る.し

た が っ て,式(2.31)は σ=F(Wp)=F(〓

で あ り,σ

は 〓dεpの

み の 関 数 と な る.す

σdεp) 

(2.35)

なわ ち

σ=H(〓dεp)  で あ る.σ

(2.36)

は 塑 性 仕 事 量 の み の 関 数 で あ る と し て 式(2.35),(2.36)は

て い る か ら,関

ず で あ る.す

数F,Hは

材 料 に 個 有 で あ り,ひ

導か れ

ず み経路 に よ らず一定 の は

な わ ち,２ つ の 異 な る ひ ず み 経 路 にお い て 〓dεpが 同 一 な ら σ

も 同 一 に な る.

(ａ)

単軸引張 り

図2.7単

(ｂ)円

管の捩 り

軸 引 張 り と円 管ね じ りの応 力 系

  単 軸 引 張 試 験 と薄 肉 円 管 の ね じ り 試 験 の 結 果 を,上

述 の 論 議 に も とつ い て 比

較 し て み よ う.弾

参 照 して

性 ひ ず み を 無 視 す る と き,図2.7を

  引 張 り試 験: σ1=Y,σ2=σ3=0,ま あ る.し

た 対 称 性 と 非 圧 縮 性 か らdε2p=dε3p=-dε1p/2で

たが って σ=Y,dεp=dl/l(lは

試 験 片 長 さ)

ね じ り 試 験: σ1=-σ3,σ2=0,ま

た 流 動 法 則 よ りdε1p=-dε3p,dε2p=0で

あ る.し

た

関 数 Ｈ は 両 試 験 に 共 通 で あ る か ら,l0を

試験 片 の原長 と

が っ て

で あ る.式(2.36)の して

Y=√3k,ln(l/l0)=tanφ/√3  な る 換 算 が 可 能 と な る.室

温,低

(2.37)

ひ ず み 速 度 で の 実 験 で は 異 方 性 の 発 達 の た め,

εp=〓dεp＞0.2以 上 で ね じ り試 験 の σ は引 張 り試 験 の そ れ よ り若 干 小 と な る が,一

致 は か な り 良 好 で あ る.実

曲 線(σ=Y=√3kと

施 が 容 易 な 引 張 り試 験 ま た は 圧 縮 試 験 で 塑 性

εp=ln(l/l0)の

測 定 し て 式(2.37)と

関 係)を 求 め て お き,塑

同 様 な 換 算 か ら,対

性 加 工 で の εpを

応 す る Ｙ『ま た は ｋ を 求 め る こ と は よ

く行 わ れ る.   さ て 次 に,式(2.36)の 用 し て 式(2.28)の

関 係 が ひ ず み 経 路 に よ ら ず,材

定 数dλ

を 具 体 化 す る.式(2.33)のdεpを

法 則 を 用 い て 書 き な お す と,Si-Sj=σi-σjで

料 に個 有 な こ と を 利 式(2.28)の

流 動

あ るか ら

(2.38) し た が っ て,式(2.30)の

σ と の 比 を と れ ば, dλ=3/2

と な る.ま

た 式(2.36)を

dεp /σ

 (2.39)

用 いれば

(2.40) 式(2.40)を

式(2.39)に

代 入 して 3/ 2

dλ=

dσ σH′

 (2.41)

と な る.た

だ しH′ は 塑 性 曲 線 の 傾 き で あ る*.式(2.28),(2.41)を

式(2.24)

に代 入 す れ ば,完 全 な応 力-ひ ず み 関係 式 は,

(2.42) とな る.こ の 式 はPrandtl-Reussの

関 係 式 と よ ば れ て い る.式(2.42)に

よれ

ば塑 性 変 形 の あ る段 階(あ る応 力 状 態)か ら応 力 の 微 小 増分 が 生 じた と き,そ れ に対 応 す る ひ ず み 増 分 が 計 算 で き るわ け で あ る.   な お 式(2.42)を

逆 に解 き,ひ ず み 増 分dεijが 与 え ら れ る と きの 応 力 増分 を

求 め られ る表 式 を え るこ と も で き る.有 限要 素 法 に よ る弾 塑 性 解 析 で は,そ の 表 式 が 使 わ れ るが,詳 細 は 第 ６章 で 述 べ る.ま た上 述 で は加 工 硬 化 の み を考 慮 して 式(2.42)を

求 め た が,変

形 応 力 は 温 度 や ひ ず み 速 度,さ

らに は そ れ らの

履 歴 に よ っ て も変 化 す る.こ れ らの 影 響 も含 め た い っ そ うの 一 般 化 も第 ６章 に お い て な さ れ る.   以 上 は 応 力 と ひ ず み 増 分 と を関 係 づ け た も の で あ り,ひ ず み 増 分 理 論(incremental

strain theory)と よ ば れ る が,こ

れ に対 し て 応 力 と全 ひ ず み と を関

係 づ け よ う とす る立 場 が あ り,全 ひ ず み 理 論 と よば れ る.こ の 理 論 に 属 す もの に は 多 くが あ るが,一 例 を示 せ ば

(2.43) で あ る.偏 差 応 力 の 主 応 力,偏 差 ひ ず み の 主 ひ ず み で 書 か れ て い る が,塑 性 流 動 法 則 と して

(2.44) を 考 え て い る こ と が 理 解 で き よ う.式(2.43)を 係 を 書 け ば,式(1.12),(1.27)を

*引

とIn(l/l0)の

確 に はH0と

関 係 曲線 の 傾 きで 実 用 上 十分 で

弾 性 も含 ん だ ひ ず み で あ る か ら厳 密 で は な い.そ

る と,dε=dσ/H0=dεe+dεp=dσ/E+dσ/H′,し る.正

Ｅ を 知 っ て,こ

ひず みの関

参 照 して

張 り 試 験 の 結 果 を 用 い る と す る と,Ｙ あ る が,ln(l/l0)は

用 い て 主 応 力,主

の 式 か らH′

の 傾 き をH0と

た が っ て1/Ho=1/E+1/H′ を求 め ね ば な ら な い.

す で あ

(2.45)

で あ る.式(2.44),(2.45)は で あ る が,大

微 小 ひ ず み に 対 し て は 式(2.28),(2.42)と

ひ ず み に 対 し て は 弾 性 を 省 略 し,式(2.44)の

表 し て 使 用 す る.1.1.2項

で 指 摘 し た よ う に,対

行 変 形 の 場 合 に し か 意 味 が な い か ら,全 の 場 合 に は 適 用 で き な い.ま

ひ ず み 理 論 は 主 軸 の 変 化 す る一 般 変 形

た 除 荷 を 伴 な う 変 形 過 程 に も 適 用 で き な い.た

塑 性 ひ ず み を 加 え た と す れ ば,全

縮)に 転 じ て お り,式(2.44)の

荷 の 後,単

と

軸圧 縮 に よっ

ひ ず み は 正 な の に 応 力 は 負(圧

定 数 λ の 符 号 が 変 化 し て し ま う か ら で あ る.こ

の よ う な 欠 点 に も か か わ ら ず,全 す る 便 利 さ が あ り,除

εipを 対 数 ひ ず み で

数 主 ひず み は比例 負荷 か平

え ば 単 軸 引 張 りに よ っ て εxpの 塑 性 ひ ず み を 与 え,除 て-εxp/2の

同等

ひ ず み 理 論 に は 応 力 と ひ ず み が １対 １に 対 応

荷 を伴 わ ぬ 比 例 負 荷,平

行 変 形 に 近 い場 合 に は 利 用 され

る こ と が あ る.

2.2.3最

大 塑性 仕 事 の 原 理

  式(2.25)の

塑 性 ポ テ ン シ ャ ルf(σij） と し て 降 伏 条 件 を 用 い,流

ら れ る と き,降 Trescaの

伏 条 件 が 流 動 法 則 に 適 合 す る と い う.あ

動法 則 が え

ま り使 わ れ な い が,

降 伏 条 件 が 適 合 す る 流 動 法 則 を 求 め る こ と も で き る(章 末 の 問 題 参

照).Misesの

降 伏 条 件 を 塑 性 ポ テ ン シ ャ ル とす る 場 合 に つ い て,式(2.25)の

幾 何 学 的 意 味 を 考 え て み よ う.簡

単 の た め に 主 応 力 系 で 考 え る と,式(2.26)

は f(σij)=(σ1-σ2)2+(σ2-σ3)2+(σ3-σ1)2-6k2=0  で あ る.い OH上

ま 応 力 状 態 を 図2.8の

へ の 投 影 をONと

つ 直 線 で あ る.

す る.OＨ

(2.46)

σ1,σ2,σ3空間 の １ 点 Ｐ で 表 し,OPの は 各 軸 と等 し い 傾 き(方 向 余 弦1/√3)を

直 線 も

(2.47)

で あ る か ら,ONは

平 均 垂 直 応 力 ｐ の 合 ベ ク トル,NPは

ル を 表 し て い る.ま 2k(√2/3Y)の

た 式(2.46)と

図 示 の 円 筒 面 がMisesの

ｐは 降 伏 に 関 係 し な い か ら,原 で 降 伏 を 考 え れ ば よ く,紙

第 ２ 式 を 比 較 す れ ば,半

√

降 伏 条 件 を 表 す こ と が わ か る.な

お

点 を 通 りOHに

伏 曲 面 は 六 角 柱 面 で あ る(章 末 の 問 題 を み よ)*.さ

dε1,dε2,dε3軸 を考 え る と,式(2.25)に

降 伏 曲 面,降

降 伏 条件

て応 力の主 軸 と

σ1,σ2,σ3軸に 対 し て そ れ ぞ れ

伏曲線

平 面 内 のMisesの Trescaの

σ3=0の

の平

よ り

図2.9〓

*図2．4は

な る.こ

円 に 内 接 す る 六 角 形 はTrescaの

ひ ず み 増 分 の 主 軸 は 一 致 す る か ら,図2.8の

図2.8Misesの

垂 直 な 平 面(σ1+σ2+σ3=0)内

面 に 平 行 に こ の 面 を 示 す と 図2.9と

面 は 〓 平 面 と よ ば れ る.Misesの で あ り,降

式(2.47)の

偏 差応 力 のベ ク ト

平 面 に よ る 円 筒,六

角 柱 の 切 断 面 で あ る.

降 伏 曲線

降伏 曲線 と

(2.48) で あ り,ひ ず み 増 分 ベ ク トル は 応 力 座 標(σ1,σ2,σ3)の 位 置 に お い てMisesの 伏 曲 面 に立 て た図 示 の 外 向 き法 線 の 方 向 を もつ.こ

降

れ が 「降 伏 条 件 が 流 動 法 則

に適 合 す る 」 こ との幾 何 学 的 意 味 で あ る.既 述 の よ うに,降

伏条件 は塑性変形

の進 行 中 に も常 に 成 立 し,塑 性 変 形 の 進 行 は 刻 々 の 降伏 の 連 続 とみ なせ る こ と を想 起 され た い.  次 に 単 位 体 積 あ た りの 塑 性 仕 事 の 増 分dWpを

考 え る と,式(2.32)に

よ って

dWp=S1dεlp+S2dε2p+S3dε3p で あ り,流 動 法 則 に 適 合 す るMisesの

降 伏 条 件 の 場 合,図2.10(a)に

示す 偏

差 応 力ベ ク トル Ｓ と ひず み 増分 ベ ク トルdεpと の 内 積 で あ る.こ れ に 対 して 降 伏 曲 線 上 あ るい は 降 伏 曲 線 の 内側 の 他 の 点P*を 力 ベ ク トル をS*と

す る と,明

考 え,こ れ に 対 す る偏 差 応

らか に

(2.49)

(ａ)

(ｂ)

図2.10最

で あ る.す

な わ ち ひ ず み 増 分dεpが

大 塑性 仕 事 の 原 理

与 え られ た場 合,こ

れ と式(2.48)に

よっ

て結 ば れ る応 力 σ あ る い は 偏 差 応 力 Ｓ が 最 大 の 塑 性 仕 事 を な す.Misesの 降 伏 条 件,Levy-Misesの

流 動 法 則 を と る場 合,与

え られ た 応 力 に 対 して塑 性

仕 事 が 最 大 に な る よ うに 塑 性 ひ ず み が 生 ず る とい う こ とで あ る.

  論 議 を 一 般 化 し よ う.f(σij)=0は 伏 曲 面 と 考 え る.dεijpに

９個 の 応 力 成 分6ijを

座 標 とす る空 間 の 降

つ い て も 同 じ座 標 系 を と る と,こ

法 則 に 適 合 す る と き,式(2.25)は

の 降伏 条 件 が流 動

ひ ず み 増 分 ベ ク トル が 降 伏 曲 面 上 の σijを 表

す 点 に 立 て た 法 線 方 向 を 向 く こ と を 意 味 す る.し

た が っ て 図2.10(b)の

に 降 伏 曲 面 が 原 点 に 対 し て 常 に 凹 で あ れ ば,(σ-σ*)・dεp≧0で

よ う

あ り

(2.50) と書 くこ とが で き る.す

な わ ち与 え られ たdεijpと 式(2.25)で

なす 塑 性 仕 事 は,f(σij*)≦0と

結 ば れ る σijが

な る他 の σij*がdεijpとな す 塑 性 仕 事 よ り常 に

小 で な い.こ れ を最 大 塑 性 仕 事 の 原理(principle of maximum

plastic work)

とい う.

2.3破 Misesの

降伏 条 件 やTrescaの

壊

の

法 則

降 伏 条 件 の よ う な単 一 の 法 則 が,破

あ らゆ る場合 に共 通 し て成 り立 て ば便 利 で あ るが,そ

壊 発生 の

うは い か な い,破 壊 の 様

相 は材 料 に よ っ て著 し く異 な り,単 一 の 力 学 的 条件 だけ で は 律 し きれ な い か ら で あ る.大 ざ っ ぱ に い っ て も,ガ

ラス や チ ョー クに み る よ うな ほ とん ど塑 性 変

形 な しに お こ るぜ い 性 破 壊(brittle fracture)と 焼 な ま され た ア ル ミニ ウ ムや 銅 にみ る よ うな大 き な塑 性 変 形 を経 て お こ る延 性 破 壊(ductile fracture)が あ る. しか も,実 際 に は 両 者 の 中 間 の よ うな 破 壊 が お こ る材 料 も多 く,さ ら に は 同 一 材 料 で も温 度 や 静 水 圧,変

形 速 度 に よ っ てぜ い性 破 壊 か ら延 性 破 壊 に 遷 移 した

りす るの で あ る.こ の よ うに 複 雑 な破 壊 の 発 生 を説 明 し予 測 す る た め に は,き 裂 の発 生,成

長 の 力 学 的 条 件 と物 性 を明 らか に して い く以外 に な く,破 壊 力 学

の 問題 と して 多 くの研 究 が行 わ れ て き た.  しか し なが ら,ぜ い 性 破 壊 の 条 件 に つ い て は,線 形 破 壊 力 学 の 骨 組 が 近 年 完 成 し,基 本 的 な 問題 が 明 らか に な って い る もの の,延 性 破 壊 に つ い て の 信 頼 し うる破 壊 条 件 は まだ 知 ら れ て い な い.一 方,機 械 加 工 は 材 料 を破 壊 し な い よ う

に 制 御 しつ つ 塑 性 変 形 させ る,あ

るい は 局 所 的 に制 御 され た破 壊 を生 じ させ る

もの で あ るか ら,破 壊 の 力 学 に 関 す る知 見 は い ま直 ち に 欲 しい の で あ る.破 壊 を主 とす るぜ い性 材 料 の加 工 の み な らず,一 般 の 機 械 加 工 に お け る材 料 の被 加 工 性,加

工 限 界 の 問 題 な ど も破 壊 を ぬ きに は論 じ られ な い.そ

こ で本 節 で は破

壊 力 学 の研 究 現 状 の 紹 介 で は な く,不 完 全 なが ら も機 械 加 工 で実 用 に供 し う る と思 わ れ る い くつ か の 法 則,知

2.3.1ぜ ａ.線

見 を と りあ げ て概 説 す る こ と にす る.

い 性 破 壊 形破壊 力学

 ぜ い性 破 壊 で は き裂 の 周 辺 に塑 性 変 形 が ほ とん ど生 ぜ ず,き 裂 に着 目 し た破 壊 過 程 を弾 性 力 学 の 問 題 と して 扱 う こ とが で き るた め, こ れ を 線 形 破 壊 力 学(linear mechanics)と

fracture

よ ん で い る.ぜ い 性 破 壊 に お

け る き裂 の 不 安 定 伝 播 を最 初 に 扱 っ た の は A.A.Griffithで あ り,現 在 の線 形 破 壊 力 学 は 本 質 に お い て 彼 の 理 論 と同 一 で あ る とい って よ い.図2.11に

示 す よ うに,長

さ2aの

つ 単 位 厚 さ の板 状 試 片 を考 え る.た

図2.11偏

平楕 円 孔 を もつ 平 板

きわ め て 平 た い楕 円 形 貫 通 き裂 を も

だ し板 厚 は2aに

対 して 十 分 薄 く,試 片 は

平 面 応 力 状 態 に あ り,ま た 試 片 の 高 さ と幅 は大 き く,無 限 板 と考 え うる もの と す る.ま

た 試 片 は 一 様 な 応 力 σで 引 張 られ て お り,そ の 状 態 で 変 位 が 固 定 さ

れ て い る とす る.こ の 場 合,試

片 の 弾 性 ひ ず み エ ネ ル ギ は き裂 の な い場 合 よ り WE

=π

a2σ2

/ E

だ け 少 な い こ と を示 す こ とが で き る.す な わ ちWEは

 (2.51)

き裂 の 発 生 に伴 い 解 放

され た弾 性 ひ ず み エ ネ ル ギ に相 当 す る.一 方,き 裂 の な い 状 態 か ら図示 の 状 態 に達 す る まで に,き 裂 は 表 面 エ ネ ル ギ と して Ws=4aγ 

(2.52)

を 吸 収 し て い る は ず で あ る.γ は 単 位 面 積 当 りの 表 面 エ ネ ル ギ で あ る. Griffithは 図示 の 状 態 か ら き裂 が さ ら に 拡 大 す る場 合,弾 解 放 量 が 表 面 エ ネ ル ギ と して の 吸 収 量 を上 ま わ る な ら,す

性 ひ ず み エ ネ ル ギの なわ ち

(2.53) な ら ば,き

裂 が 自 発 伝 播 し て ぜ い 性 破 壊 が 生 ず る と 考 え た.式(2.51),(2.

52)を 式(2.53)に

代 入す れば

(2.54) で あ る.式(2.53),(2.54)はGriffithの

  (2.53)のGriffithの

ぜ い 性 破 壊 条 件 と よ ば れ る.

条件 は他 の

応 力 系 の場 合 に も拡 張 で き るが,表 面 エ ネ ル ギ γ を基 礎 とす る エ ネ ル ギ 的 な表 現 で は 実 用 上 不 便 で あ る.そ こ で G.R.Irwinは

き裂 先 端 の 応 力 場 を用

い て 破 壊 条件 を表 現 す る こ と を試 み, この 表 現 がGriffithの そ れ と 同 等 な こ と を示 して 線 形 破 壊 力 学 の基 礎 をつ く

図2.12き

裂 先 端付 近 の 座 標 系 の 応 力

った.

(開 口 型) モー ド Ⅰ

図2.13き

 図2.12に (x,y,z)お

(面 内せ ん 断型) モー ドⅡ

(面外 せ ん 断 型) モー ドⅢ

裂 先 端 で の ３種 の基 本 的 変 形様 式

示 す よ う に き裂 の 前 縁 上 の 任 意 の 点 Ｏ を 原 点 と し て 図 示 の 座 標 系 よ び(γ,θ,z)を

と り,点

Ｏ の 近 傍 の 微 小 部 分 の 変 形 を 考 え る と,

き裂 の 上 下 面 の 相 対 変 位 は 図2.13に

示 した ３種 の 基 本 的 様 式(mode)に

られ る.実 際 の 状 態 は こ れ ら の基 本 の モー ドの 複 合 と考 え て よ い.そ モ ー ド Ⅰ(開 口型 変 形),モ

ー ドⅡ(面 内 せ ん 断 型 変 形),モ

わけ

れぞれ は

ー ドⅢ(面 外 せ ん 断

型 変 形)と よ ば れ る.弾 性 力 学 の 解 析 に よれ ば,き 裂 先 端 付 近 の 応 力 成 分 σij は各 モ ー ドの そ れ ぞ れ につ い て

の よ うに

の 級 数 に 展 開 で き る こ とが知 られ て い る.特

に γが き裂 の 寸 法

ａ よ り十 分 小 な る範 囲 で は 第 ２項 以 下 が 省 略 で き,応 力 と変 位 は そ れ ぞ れ の モ ー ドに対 して 次 式 で 与 え られ る. モ ー ド Ⅰ(開 口型 変 形)

(2.55)

モ ー ドⅡ(面 内せ ん 断 型 変 形)

(2.56)

モー ドⅢ(面 外 せ ん 断 型 変 形)

(2.57)

ただ し 3-4ν

x=

… … 平 面 ひ ず み 状 態*

{

 (2.58)

(3-ν)/(1+ν)…

…平面 応力状 態

で あ る.   上 記 以 外 の 応 力 成 分 は い ず れ も ０で あ る が,モ 合 の み σz=ν(σx+σy)が 率,ポ

存 在 す る.な

ア ソ ン 比 で あ る.さ

お,E,G,ν

て 式(2.55)∼(2.57)に

ー ド Ⅰ,Ⅱ

は そ れ ぞ れ ヤ ン グ 率,剛

ー ドⅠ ,モ

ー ドⅡ お よ び モ ー ド Ⅲ の 応 力 拡 大 係 数(stress

の 積 と して 表 現 さ れ る こ と で あ り,KI∼ は 無 関 係 に,全

intensity

れ ぞれ モ factor)と

重 要 な 意 義 は 応 力 場 の 強 さ(応 力 の 大 き さ)が,

外 力 と 形 状 寸 法 の み に 依 存 す る 部 分(KⅠ

裂 の 形 状,外

体 や き裂 の 寸 法 に よ

じ 形 状 寸 法 に 対 し て は 外 力 に 比 例 す る も の で あ る .そ

よ ば れ る.式(2.55)∼(2.57)の

性

現 れ る 係 数KⅠ,KⅡ,KⅢ

は 長 さ の 平 方 根 と 応 力 と の 積 の 次 元 を も つ 係 数 で あ り,物 っ て 変 化 し,同

の平 面 ひず み の場

体 的 に 支 配 し て い る.ま

∼Ⅲ)と 座 標(γ,θ)の

み に依 存 す る部 分

Ⅲは き裂 先 端 の 応 力 場 の 強 さ を座 標 と たKⅠ

∼Ⅲ の 値 が 同 じ な ら,物

体 とき

力 の 状 態 が 異 な っ て も き裂 前 縁 付 近 の 応 力場 は完 全 に 同 等 な もの

に な る わ け で あ る.KⅠ,KⅡ,KⅢ と し て き裂 前 縁 の 応 力,変

の 値 が わ か れ ば,式(2

.55)∼(2.57)の

位 の 分 布 が 確 定 す る か ら,KＩ,KⅡ,KⅢ

和

は き裂 前

縁 の 力 学 的 環 境 を代 表 す る も の と い っ て よ い.  図2.14に

数 例 を示 す が,す

で に 各 種 の き裂 形 状,負

大 係 数 の 値 が 求 め ら れ て お り,複

*平

荷 状 態 に 対 して 応 力 拡

雑 な 形 状 に 対 し て は 第 ６章 に 述 べ る 有 限 要 素

面 ひ ず み状 態 とは ｚ方 向 に 変位 の変 化 が な く,ま た 変 位 の ｚ成分 Ｗ が ０の 場 合 で あ る(3.1.1項

参 照).

(ａ)一様 な引 張応 力 を受 け る 無 限板 中の き裂

(ｂ)無限板 中 の一 直 線上 に あ る き裂 の 列

(ｅ)円孔 か ら出 た き裂

(ｆ)無限板 中 の 円弧 形 き裂

(ｃ)半無 限 き裂 を もつ 無 限板

(ｇ)円板 形 き裂 を含 む物 体 (軸対称 負荷)

(ｄ)一直 線上 に あ る ２個 の半 無 限 き裂 を もつ 無 限 板

(ｈ)半径 方 向 の き裂 を もつ 丸軸のね じり

図2.14応

力拡 大 係数 が 求 め られ てい る諸 例

法 に よ る数 値 解 析 も行 わ れ て い る.近 い 将 来 に十 分 な 資 料 が完 備 す る で あ ろ う. こ こ で は最 も簡 単 な 図2.15の

無 限 板,貫

通 き裂,一

様応 力の 場合 の応 力拡 大

係 数 を示 して お く.

(2.59) σy∞,τyx∞,τyz∞ は き 裂 か ら 十 分 離 れ た 位 置 の 一 様 応 力 で あ る.  さ て 線 形 破 壊 力 学 で は ぜ い 性 破 壊 の 条 件 と し て,応

力拡 大係

Ｋ が 限界値

Kcを 越 え る 場 合 に 破 壊 が 生 ず る と考 え る.す な わ ち K≧Kc 

(2.60)

が,ぜ

い 性 破 壊 の 条 件 で あ る.

Kcは

破 壊

じ ん 性(fracture

toughness)と

よ ば れ,降

件 のk,Yと

同 様 な 材 料 定 数

で あ る.Kcの

値 は 変 形 速 度,

温 度,板

伏 条 モー ド Ⅰ

モー ドⅡ

モー ドⅢ

(ａ)

(ｂ)

(ｃ)

図2.15無

限 板 の貫 通 き裂 と周辺 の 応 力

厚 な どによって変化す

る の で,あ

ら か じめ 適 当 な 条 件 で の 材 料 試 験(切 欠 き 部 に 適 当 な 疲 れ き裂 を い

れ た 試 験 片 を 用 い る)に よ り,図2.13の な ら な い.こ

各 モ ー ドに つ い て 実 測 し て お か ね ば

の 試 験 法 も標 準 化 さ れ て い る.線

を 受 け る 場 合 に も 図2.13の

形 破 壊 力 学 で は き 裂 が ３軸 応 力

３種 の モ ー ド を 考 え,KⅠ,KⅡ,KⅢ

が 臨 界 値 を 越 え る 場 合 に 破 壊 が 生 ず る と す る が*,通 み 条 件 で の 破 壊 じ ん 性KⅠcが

最 も低 く,こ

平 面 ひ ず み 破 壊 じ ん 性(plane

strain

く.例

と し て,同

一 き裂 を 含 み,応

造 物)を 考 え て み よ う.寸

常 は モ ー ド Ｉの 平 面 ひ ず

の 値 が 特 に 重 要 視 さ れ る.KⅠcは

fracture

60)の 破 壊 条 件 は 破 壊 の 寸 法 効 果(size

の いず れ か

toughness)と

effect)を

よ ば れ る.式(2.

含 ん で い る こ と を注 意 し て お

力 分 布 と形 状 が 相 似 な 大 小 ２個 の 試 片(構

法 比 はn:1と

す る.式(2.55)∼(2.57)に

裂 前 縁 で の 応 力 は1/√ γ に 比 例 す る か ら,き

よれ ば き

裂 か ら同一 距 離 は な れ た点 に つ い

て 両 者 の 応 力 を 比 較 す れ ば,[σij(γ,θ)]n=√nσij(γ,θ)の

関 係 が あ る.し

たが

っ て 両 者 の 応 力拡 大 係 数 に つ い て は [KⅠ ∼Ⅲ]n=√nKⅠ

*ぜ

∼Ⅲ

 (2.61)

い 性 材料 の 圧 縮 強 さ は引 張 り強 さの数 倍 か ら数 十 倍 で あ る.単 軸 圧 縮 の よ うな 場合 を考 え る と,き 裂 が どの よ うな位 置,方 向 に あ ろ う と もき裂 面 は 必 ず 圧 縮 され る.こ うした場 合 の破 壊 は簡 単 で な く,現 在 の線 形 破 壊 力 学 で 扱 え る の は き裂 面 が押 しつ ぶ され な い場 合 の み で あ る.し か し構 造物 で も,加 工 の 問題 で も圧 縮 応 力 の み で の破 壊 が 問題 に な る こ とはほ とん どな い.

で あ り,大 型 試 片(構 造 物)の ほ うがぜ い 性 破 壊 を生 じや す い こ とに な る.こ の よ うな 寸 法 効 果 は 塑 性 変 形 の 力 学 に は み られ な か っ た もの で あ る.  さ て これ ま で の解 析 は 応 力 とひ ず み の 線 形 関 係 を 前 提 とす る弾 性 解 析, す な わ ち線 形 破 壊 力 学 で あ っ た.し か し 式(2.55)∼(2.57)に

よれば き

裂 の 先 端 付 近 の 応 力 は1/√ γ に 比 例 す るか ら,実 際 に は き裂 先 端 の 材 料 は 降 伏 して 塑 性 域 が 生 じて い る はず で あ る.モ ー ド Ｉ,平 面 応 力 の 貫 通 き裂 の 場 合,図2.16の

塑性 域 の ｘ

軸 上 の 広 が り ωpは 次 の よ うに求 め 図2.16き

ら れ る.ｘ 軸 上 の σx,σyは 式(2. 55)よ

り主 応 力 で あ,(σx)y=0=(σy)y=0で

(2.16),(2.18)よ (2.55)よ

あ る か ら,完

り塑 性 域 内 で は(σy)y=0=Yで

り(σy)y=0=KI/√2πxで

裂 先 端 の 塑性 域

あ り,境

全 弾 塑 性 体 とみ れ ば 式

あ る.一

界 で は(σy)y=0=Yで

方 弾性 域 内で は式 あ るか ら

(2.62) が 一 応 の 塑 性 域 と して 求 ま る.し か し こ れ で は 外 力 に 対 す る 図 示 の 斜 線 域 Ａ の荷 重 負担 分 が 消 え て しま うか ら,外 力 を支 え る た め 塑 性 域 を ωpま で拡 張 し, 斜 線 域 Ｂ に よ っ て外 力 を支 え させ る.こ の 場 合,塑 仮 想 き裂 長 さa*に

性域 外 の 応力分 布 は あ る

対 す る弾 性 解 で与 え られ る もの とす る. a*=a+γp 

(2.63)

ωp=2γp 

(2.64)

の と き 両 斜 線 域 の 面 積 が ほ ぼ 一 致 す る.ωpの り 立 つ 応 力 域 に 比 べ て 十 分 小 な る 場 合,小 あ る と い わ れ,応

力 拡 大 係 数 をa+γp*の

と が 行 わ れ る.す

なわ ち

値 が 近 似 式(2.55)∼(2.57)の 規 模 降 伏(small

scale

成

yielding)で

き裂 長 さ に 対 す る 弾 性 解 で 与 え る こ

(2.65) を解 い て え られ るKI*を

応 力 拡 大 係 数 とす れ ば よ い.

  適 当 な き裂 が 存 在 して も容 易 に は ぜ い性 破 壊 が 生 じな い場 合,き 性 域 は拡 大 し,上 述 のKI*は

裂 先端 の塑

も ち ろ ん,弾 性 的 な応 力 拡 大 係 数 の概 念 に よ る

破 壊 条 件 そ の もの も意 味 を な さ な くな る.ま た 塑 性 域 が さ らに 拡 大 し,き 裂 の 周 辺 で 有 限 変 形 が行 わ れ る よ うに な れ ば 破 壊 の性 格 は延 性 破 壊 の そ れ に近 づ い て い く.こ れ らの 詳 細 につ い て は破 壊 力 学 の専 門 書 を参 照 さ れ た い.   以上 の 論 議 か ら明 らか な よ うに,ぜ か じめ き裂 が存 在 して い るか,わ ば な ら な い.ガ

ラ ス で はKcが

い性 破 壊 が 生 ず る ため に は 材 料 中 に あ ら

ず か の 変 形 の後 に き裂 が 出現 す るか し な け れ

小 で あ り,表 面 に 存 在 す る微 小 き裂(10-3cm程

度)に よ っ て容 易 にぜ い性 破 壊 が 生 ず る.鋳 鉄 は そ の 粗 組 織 の た め 若 干 の 変 形 に よ りぜ い性 破 壊 に 十 分 な き裂 が 生 ず る例 で あ る.   ぜ い 性 材 料 の セ ラ ミッ クの 切 削 加 工 での 切 屑 生 成 を模 式 的 に 示 す と 図2.17 の よ うで あ る,刃 先 か ら斜 め 下 方(最 小 主 応 力 方 向)に モ ー ド Ｉの 主 き裂 が 伸 び (同図(ａ)),こ れ が停 留 す る場 合(同 図(ｂ))に は 第 ２き裂 が 発 生 し(同 図(ｃ)), 小 切 屑 片 が 生 成 さ れ る.し た が っ て,切 削 仕 上 面 に は 大 き な残 留 き裂 が 生 じ, 製 品価 値 が 著 し く低 下 して し ま う.図2.18は

ど の程 度 の大 き さ の 残 留 き裂 が

生 ず るか を,線 形破 壊 力 学 に よ っ て 解 析 す る例 で あ る*.主 は わ か っ て い る の で(同 図 の 条 件 で は θ=-30ﾟ),そ

き裂 の 伸 び る方 向

の 方 向 に き裂 を想 定 し て

図 示 の有 限 要 素 分 割 を行 う.工 具 を押 しつ け て荷 重 を 与 え る と同 図 の 領 域 内の ひず み エ ネ ル ギ Ｗ が,第

６章 の 有 限要 素 法 で 計 算 で き る.き 裂 の 長 さ を ａ と

す る と,こ の 状 態 か らの き裂 の進 展 に伴 うひ ず み エ ネ ル ギ の解 放 率 G=は き裂 先 端 の 応 力 拡 大 係 数KIと

*上

田 ほ か:精

∂W/ ∂a

次 式 の 関 係 に あ る.

密 機 械,51巻,10号(1985)1940.

 (2.66)

(ａ)主

(ｃ)第

き裂 の 生 成

(ｂ)主 き裂 の停 留

２き裂の 生成 図2.17切

(ｄ)主 き裂 の 残 留(残 留 き裂)

屑 生 成 の モ デ ル 化(上

田)

(2.67) た だ し,平 面 ひ ず み の 場 合 で あ る.し たが って,初 め の 工 具 荷 重 を保 っ た ま ま き裂 の 長 さ を変 え て Ｗ を計 算 す れ ばC,KIが く過 程 でG,KIが

破 壊 じん 性Gc,KIcよ

計 算 で き る.き 裂 が 伸 び て い

り小 に な れ ば き裂 は 停 留 す る か ら,

そ の と き の き裂 長 さ ａが 残 留 き裂 の 大 き さ とな る わ け で あ る.な お 主 き裂 が 伸 び る過 程 の 途 中 で上 向 きに 方 向 を変 え,自 由 面(工 作 物 上 面)に 達 す る ため に 大 型 の 切 屑 片 が 生 成 され る こ と も実 際 に は 多 い.破 壊 の動 力 学 の 問題 で あ ろ う. ｂ.巨

視 的 応 力 に よ る破 壊 条 件

  前 項 の 論 議 は,要 す るに １個 の 卓越 き裂 に 着 目す る もの で あ り,大 型 の 部 材 や 構 造 物 の破 壊 を考 え るに は 確 か に有 用 で あ る.し か し,卓 越 した き裂 が 存 在 しな いぜ い性 材 料 の 多数 の 部 品の 平 均 的 強 度 を考 え た り,卓 越 き裂 の な い小 規 模 破 壊 が 継 続 して い く加 工 を考 え た りす るに は,明

らか に不 便 で あ る.そ

こ で,

図2.18有

限要 素分 割 の代 表 的例(上

田)

き裂 先 端 の微 視 的 応 力 で は な く,こ れ まで の 本 書 に お け る と同様 の 巨視 的 な応 力 を用 い て,ぜ

い性 破 壊 条 件 を考 え る試 み が 昔 か ら行 わ れ て きた.古

くか ら あ

る最 大 主 応 力 説(σ1＞σ2＞σ3とす る と き,最 大 主 応 力 σ1が臨 界値 σcに達 す る と 壊 れ る)な どが これ で あ る.し か し,こ こ で は も う少 し突 込 ん だ 論 議 に も とづ くPaulの 破 壊 条 件 とFisherの   B.Paulら

破 壊 条 件 を紹 介 す る.

は 一 様 応 力 の作 用 す る 弾性 体 内 に存 在 す る極 扁 平 楕 円 体 状 の 欠 陥

(空隙)の 表 面 応 力 を解 析 し,ぜ い性 材 料 で は 欠 陥 表 面 の 最 大 引 張 り応 力 が 一 定 値 に達 す る と破 壊 が 始 ま る と し た.さ

らに 同 氏 らは,ぜ

い性 材 料 内 に は 平 均 と

して 同一 な 形状 と寸 法 の 欠 陥 が ラ ン ダ ム な 方位 に 十 分 多数 存 在 し,与 え ら れ た 外 応 力 状 態 に対 して最 も危 険 な 方 位 の 欠 陥 が 常 に 存 在 す る と して,次 式 の 破 壊

応 力 条 件 を導 い た.

(2.68)

た だ し,σ1,σ3は そ れ ぞ れ 代 数 的 に 最 大 お よ び 最 小 な 主 応 力 で あ り,Stは 軸 引 張 りに お け る破 壊 応 力 で あ る.ま た,N1は ソ ン比 で 決 ま る定 数 で あ る.式(2.68)に 元 的 な もの で あ るが,欠

欠 陥 の 形 状,寸

明 らか な よ う に,Paulの

単

法 お よび ポア 条 件 は ２次

陥 は ３次 元 的 に分 布 して い る の で ３軸 の 主 応 力 空 間 で

表 示 す れ ば,主 応 力 の 大 小 の組 合 せ に 応 じて 図2.19に

示 す ６個 の 同 じ曲 面 で

構 成 され る破 壊 応 力 曲 面 とな る.し か し,実 際 の 試 験 片 で は外 応 力 に対 し て最 も危 険 な 方位 の 欠 陥 が常 に存 在 す る とは 限 らず,欠

陥 の 形 状,寸

あ る た め 試 験 片 に よ っ て破 壊 強 度 に ば らつ き が 生 ず る.し

法 に も分 布 が

た が っ て,Paulの

破 壊 条 件 お よ びStの 値 は破 壊 を生 ず る最 低 の 応 力 状 態 を規 定 す る もの と解 す べ きで あ ろ う.  J.C.Fisherも

同様 な 破 壊 応 力 条 件 を 導 い て い る.同 氏 は ね ず み 鋳 鉄 の 場 合

を想 定 し,グ ラ フ ァ イ トが つ ま っ た偏 平 回転 楕 円 体 の 欠 陥 を考 え た.そ

図2.19Paulの

破 壊応 力 曲面

して 楕

円体 の 周 縁 に 生 ず る応 力 集 中 を考 慮 して,式(2.16)のMisesの

降 伏 条 件 を適

用 し,塑 性 変 形 の 開 始 に よ り直 ち にぜ い 性 破 壊 が 生 ず る と して 次 式 を提 案 した 。 σ1が楕 円体 の 回 転 軸 方 向 に あ る ２軸 応 力 状 態 に 対 し,

(2.69)

た だ し,Ｋ

は 応 力 集 中係 数,Ｙ

力 空 間 で は 図2.19と ｃ.ぜ

は 材 料 定 数 で あ る.し た が っ て,３ 軸 の 主 応

類 似 な破 壊 応 力 曲面 とな る.

い 性 破 壊 の 統 計 的性 格

 前 項 で指 摘 した よ うに,ぜ い 性 破 壊 の 破 壊 応 力 は 一 定 値 を と らず,通 常 はか な りば らつ きを 生 ず る.そ

こで この ば らつ き を処 理 し,平 均 の 破 壊 強 度 を評 価

す る ため 確 率 論 的 な取 扱 い を導 入 す る.  き裂 は 材 料 の 単 位 体 積 あ た り μ個(期 待 値)の 密 度 を も ち,無 秩 序 に 分 布 し て い る と考 え る.こ の 材 料 か ら体 積 υ,す な わ ちN=μ

υの き裂 を含 む 試 片 を

と りだ し,一 様 引 張 り応 力 σ を加 え てぜ い 性 破 壊 させ る もの とす る.き 裂 は 応 力 σに 対 してf(σ)な る破 壊 の確 率 密 度 関 数 を もつ とす る と,応 力 σ をか け た とき に き裂 が ぜ い 性 破 壊 をお こす 確 率,す

な わ ち累 積 分 布 関 数 は  (2.70)

で あ る.次

に 試 片 の き 裂 数 Ｎ の う ち 最 弱 の も の が σ で 破 壊 を お こ し,他

の が そ れ 以 上 の 強 度 を もつ 確 率 密 度g(σ)を 強 度 σ∼ σ+dσ

を も つ 確 率 はNf(σ)dσ,他

確 率 は{1-F(σ)}N-1で

考 え て み る*.N個 のN-1個

の も

の う ち １個 が

が σ∼ ∞ の 強 度 を も つ

あ るか ら  (2.71)

し たが っ て,累 積 分 布 関 数 は

*統

計 学 で は,f(x)の

確 率 密 度 関 数 を もつ 母 集 団 か ら Ｎ 個 の 標 本 を と りだ す と きの極

値分 布 の問 題 とい う.

G(σ)=〓g(σ)dσ=1-{1-F(σ)}N=1-exp[-υ1n{1-F(σ)}-μ] 

と な る.試

(2・72)

片 中 の 最 弱 欠 陥 か らぜ い 性 破 壊 が 生 ず る と,そ

た こ と に な る か ら,G(σ)は

応 力 σ で 試 片 が 破 壊 し て し ま う確 率 で あ る.こ

考 え 方 を 最 弱 リ ン ク 理 論(weakest

link theory)と

つ か 提 案 さ れ て い る が,W.Weibullに れ て い る.す

の試 片全体 が破壊 し

い う.G(σ)の

の

関数 形 はい く

よ る 次 式 が よ く実 際 に 適 合 す る と い わ

なわ ち

(2.73) パ ラ メー タ σu,σ0,mは

実 験 か ら定 め られ る定 数 で あ り,そ れ ぞ れ し き い値,

尺 度 の パ ラ メ ー タ,形 状 の パ ラ メー タ な ど と よ ば れ て い る.引

張 り応 力 σが

試 片 内 で一様 で な い 場 合 に は,一 様 とみ な さ れ る微 小 体 積 ⊿υiにつ い て 式(2. 72)が 成 り立 つ か ら,体 積 ⊿υiの リン クが 直 列 に結 合 し,そ の 一 部 が 破 壊 す る と き全 体 が壊 れ た とみ なせ ば よい.あ

る参 照 応 力 σm(た と えば 試 片 の 最 大 応 力 ，

あ る い は荷 重 で もよ い)に 対 す る 試 片 各 部 の 応 力 を σiとす る と,体 積 ⊿υiの部 分 が 壊 れ な い確 率 は{1-F(σi)}Niで

あ るか ら,応 力 σmで 試 片 が 壊 れ る確 率

(ど こ か で 破 壊 が起 こ る確 率)は

(2.74) し た が っ て,式(2.72),(2.73)と

比 較 す る と

(2.75)

と な る.Weibull分

布 の パ ラ メ ー タ σu,σ0,mが

(∂/∂ σ)G(σm)は 容 易 に 求 ま り,破

壊 応 力 の期 待 値

〓=〓

σmg(σm)dσm

既 知 で あ れ ばg(σm)=

〓は

 (2.76)

と し て求 め られ る.ぜ い 性 材 料 で は試 片 の 寸 法 が 小 な るほ ど危 険 な大 き裂 が 含 まれ る確 率 は 減 少 す るの で,ぜ

い 性 破 壊 強 度 は 増 大 す る こ とが 知 ら れ て い るが,

体 積 υ を 含 む 式(2.73),(2.75)の

ワ イ ブ ル分 布 は こ の 寸 法 効 果 を含 む もの に

な っ て い る.

 した が っ て,確 率G(σ)が

い くらか をい う と き に は,体 積 が い く らの 場 合 の

確 率 か 付 言 す る の を忘 れ て は な ら な い.ま

た最 弱 リン ク理 論 の 性 格 か ら,ワ イ

ブ ル 分 布 は 欠 陥 の 拡 大 開 始 が 直 ち に 破 断 に 結 び つ く場 合,す

な わ ち σが 引 張

り応 力 の場 合 に の み 本 来 は 適 合 すべ き もの で あ る.し か し,単 軸 圧 縮 の破 壊 試 験 結 果 を ワ イ ブ ル分 布 で整 理 で き る と した 報 告 は 多 い し,装 置 の 故 障 率 と い っ た 材 料 強 度 と は無 縁 な 問 題 を こ の分 布 関 数 で扱 う こ と も行 わ れ るか ら,あ ま り 厳 格 に 考 え ず に実 用 上 便 利 な分 布 関 数 と して 使 え ば よ い よ うに 思 わ れ る.な お, 式(2.73)の

第 １式 は 変 形 す る と

(2.77) とな り,左 辺 をY,log(σ-σu)を

Ｘ とお け ば 直 線 の方 程 式 で あ る.縦 軸 を Ｙ

の 目盛 り,横 軸 を Ｘ の 目盛 り と し た ワ イ ブ ル 確 率 紙 が 市 販 され て お り,こ れ に よ っ て 実 験 で得 られ るG(σ),σ-σuを イ ブ ル分 布 が 適 合 す る こ と に な る.た りの破 壊 試 験 を行 い,得

プ ロ ッ トす る と き,直 線 と な れ ば ワ とえば Ｎ 本 の試験 片 につ いて単軸 引張

られ た破 壊 応 力 値 を小 か ら大 の順 に並 べ た と き,ｉ 番

目の 試 験 片 の 破 壊 確 率 はGi(σ)=i/(N+1)で

あ る.σuは プ ロ ッ トが ワ イ ブ ル

確 率 紙 上 で 直 線 に な る よ うに 設 定 す れ ば よい.  前 項 のPau1の

破 壊 条 件 に,ワ

る こ と も で き る*.求

め 方 の 詳 細 は 省 略 す る が,図2.20は

確 率 的 破 壊 条 件 で あ り,図2.19の 曲 線V,R,Uは

イ ブ ル 分 布 を 重 ね た 確 率 的破 壊 応 力 条 件 を え

σ1∼σ3断面 で の状 況 を示 して い る.図 示 の

そ れ ぞ れ 破 壊 確 率90%,50%,0.1〓0%(し

あ り,い ず れ も体 積1mm3に (2.68)に 対 応 す る.ま

超 硬合 金 の場 合 の

き い値)の 場 合 で

対 す る確 率 で あ る.曲 線 Ｕ が 既 述 の 理 由 で 式

た,σ3/St軸 上 の確 率 分 布 は単 軸 圧 縮 の 場 合 で あ る が,

破 壊 強 度 の し き い値 は 単 軸 引 張 りの ８倍 に も達 して い る.  図2.21は *著

者:精

応 用 例 で あ る.超 硬 合 金 製 の 切 削 工 具(す くい角 ０度)を 用 い,同 密 機 械,46巻,４

号(1980)429,8号(1980)983.

図(ａ)の断 続 旋 削 を行 う と切 刃 の 食 い つ き時 にぜ い 性 欠 損 が 生 ず る.食 時 の 工 具 面 の 荷 重 分 布 か ら工 具 内 の 応 力分 布 を求 め,図2.20を

いつ き

適 用 す る と,

切 刃 の ど こが どの 程 度 欠 損 しや す いか 知 る こ とが で き る わ け で あ る.同 図(ｂ) は最 も破 壊確 率 の 高 い(破 壊 の起 点 を生 じや す い)工 具 面 表 層 に つ い て破 壊 確 率 の 分 布 を示 した もの で あ る.被 削 材 は 炭 素 鋼 の 焼 入 材 お よ び 焼 な ま し材 で あ る. 図示 の破 壊 確 率 は 著 し く小 で あ るが,工 具 面 表 層 の 体 積0.0005mm3の

有 限要

素 の破 壊 確 率 の 等 高 線 を示 して あ るか ら で あ る.切 れ 刃 円弧 部 の小 欠 損 か,食 いつ き時 の 切 屑 接 触 域 の 背 後 が起 点 に な る大 欠 損 が 生 じや す い の が わか り,実 験 結 果 と一 致 す る.  ぜ い 性 破 壊 は 通 常 時 間遅 れ を伴 う こ とが 知 られ て い る。 た とえ ば,ガ どで は 荷 重 を か け る と直 ち に全 試 片 が 破 壊 せ ず,あ す る試 片 が で て くる.す

る時 間 が 経 過 し て か ら破 壊

な わ ち 時 間 に 対 す る破 壊 確 率 が あ り,こ

(ａ)P20(単

(ｂ)K10(単

図2.20超

ラスな

位 体 積1mm3)

位 体 積1mm3)

硬 合 金 の確率 的 破 壊 応 力条件(室 温)

う した破 壊 過

(ａ)断 続 旋削 の 方 式

(ｂ)工 具 す くい面 上 の破 壊確 率 分 布 図2.21確 程 は 確 率 過 程(stochastic

process)と

に 破 壊 が 生 ず る 確 率 をm(t),時 と,時

率 的 破 壊応 力 条件 の応 用

あ る.こ

意 時 刻 ｔに お い て 単 位 時 間

刻 ｔ ま で 破 壊 が 生 じ な い 確 率 をP(t)と

刻 ｔま で 破 壊 が 発 生 せ ず,次

はPmdtで

よ ば れ る.任

のdt時

す る

間 に は じめ て破 壊 が 発 生 す る確 率

れ は ま た(∂/∂t){1−P(t)}dt=-dPに

等 しく

Pmdt=-dP

 (2.78)

した が って

m=-d/dt(lnP) と な る.試

片 の 数 を Ｎ と す る とNPは

で あ り,-d(lnNP)/dt=-d(lnP)/dt=mで

 (2.79)

時 刻 ｔま で 破 壊 し な い で 残 っ た 試 片 数 あ る か ら,lnNPと

を プ ロ ッ ト し て 傾 斜 を 求 め れ ば ｍ が え ら れ る.図2.22は 実 験 例 で あ り,確

率 ｍ は 一 定 で あ る.一

ｔと の 関 係

ガ ラ スにつ いて の

般 に は ｍ は 時 間 の 関 数 と な る.ま

た

同 図 の 場 合,ｍ

は 応 力 σに 対

して m=Aexp(Bσ) 

(2.80)

の 関 係 に あ る.た

だ しA,B

は 定 数 で あ る.し

た が って 式

(2.80)を

式(2.79)に

代 入 して

積 分す れば P=exp{-Atexp(Bσ)}  (2.81)

図2.22破

壊 しな い 試 片数 と荷 重 時 聞 と の 関 係(平 田)

と な る。

2.3.2延

性

破

壊

 延 性 破 壊 の 発 生 条 件,破

断 ひず み に 関 して 非 常 に 多 くの研 究 が こ れ ま で に な

され て きた が,現 在 の とこ ろ一 般 的 な 応 用 性 を もち,信 頼 し う る理 論 は 存 在 し な い.そ

こ で 本 項 で は 延 性 破 壊 の 定 性 的性 格,重

要 な い くつ か の 特 性,実

用的

な破 断 条 件 式 に つ い て 簡 単 に 述 べ て お く.  延 性 材 料 の 引 張 り試 験 の 破 断 面 な ど,延 性 破 壊 が 生 じた面 を電 子顕 微 鏡 で 観 察 す る と,延 性 破 壊 の 場 合 に も微 小 き裂 の発 生 が 出発 点 とな って い る こ とが わ か る.こ の き裂 核 の発 生 は微 視 的 に は転 位(dislocation)の 累積 や 合 体 と して 説 明 され るが,こ

こ で は も う少 し大 ざ っ ぱ に,材 料 中 の各 種 欠 陥や 介 在 物 の 周 辺

の 変 形 の 不 整 か ら生 ず る と して お こ う.た

とえ ば 介 在 物 の 破 壊,介

在 物 と母 金

属 との は く離 な ど に際 して 母 金 属 に 微 小 き裂 が 生 ず る と考 え れ ば よ い.延 性 材 料 の特 徴 は こ う し た微 小 き裂 が 鋭 い ま ま で大 型化 せ ず,塑

性変 形 によってその

先 端 が 鈍 化 し て し ま う こ と で あ る.こ の た め き裂 は 鈍 化 し た 空 洞,ボ (void)に 転 化 す る.そ

イ ド

して こ の ボ イ ドが 母 金 属 の 塑 性 変 形 と と もに しだ い に 成

長 し,ま た 互 い に合 体 して 大 型 化 し,遂 に破 断 が 生 ず る の が 延 性 破 壊 の過 程 で あ る.し た が っ て延 性 破 壊 の 研 究 課 題 は ボ イ ドの発 生 ま で の 問 題 と ボ イ ドの 成 長 合 体,破

断 条 件 の 問 題 とに わ か れ るが,後 者 が破 断 ひ ず み を決 定 し,延 性 破

壊 を特 徴 づ け る た め に 主 と して 研 究 され て い る.電 子 顕 微 鏡 に よ る破 壊 面 の 観 察 に よ れ ば,ボ

イ ドの 成 長 や 最 終 的 な破 断 分 離 は 引 張 りに よ る開 口で は な く,

いず れ もせ ん 断 機 構 に よ っ て い る よ うに 思 わ れ る.た プ ーコー ン(cup

とえば 引 張 り試 験 の カ ッ

and cone)破 壊 面 の カ ップ 部 で も破 壊 は 引 張 り型 で な く,図2.

23の 模 式 図 の よ う なせ ん 断 型 で あ る。 ボ イ ドの 成 長 や 合 体 と破 断 ひ ず み との 関 係 を塑 性 学 的 に論 ず る に は,図2.24に

示 す よ うな ボ イ ドを も っ た 材 料 模 型

が 使 用 され て い る.外 応 力 の も とで これ らの ボ イ ドが どの よ うに 成 長,合

体 し,

破 断 を生 じ させ る か を適 当 な仮 定 を お い て解 析 して い け ば よ く,延 性 破 壊 の特 徴 を説 明 で き る よ うな い くつ か の解 析 結 果 が す で に え られ て い る.し か し,一 般 的 な法 則 と な る よ う な もの は ま だ知 られ て い な い よ うで あ る.  延 性 破 壊 を抑 止 す る もの と し て応 力 の 静 水 圧 成 分 は 実 用 上 重 要 で あ る.一 般 に金 属 材 料 は大 き な静 水 圧 の なか で塑 性 変 形 させ られ る と破 断 ひ ず み が 著 し く増 大 す る こ と が 知 られ て い る.Bridgman効 る.図2.25(ａ)は 試 験,同

果 とよばれ

静 水 圧 下 で の鋼 の 引 張 り

図(ｂ)は 白 墨(チ ョー ク)の ね じ り

試 験 の 結 果 で あ り,ぜ い 性 材 料 に お い て も (ａ)McClintockの

(ｂ)Thomasonの

図2.23引

張 り試験 片 の破 断 面

図2.24延

模型

模型

性 破 壊 の ボ イ ド模 型

著 し く破 断 ひ ず み が 増 す の が わ か る.等 方 圧 縮 応 力 に よ り,ボ イ ドあ る い は き 裂 の 拡 大 が た え ず 抑 制 さ れ る ため と考 え られ る 。 な お延 性 金 属 の場 合,破

断ひ

ず み の 増 大 に 比 べ て 流 動 応 力 の 増 大 は 通 常 僅 か で あ り,著 し い場 合 で も 同 図 (ｃ)の状 況 と考 え て よ い.第

１章 で 述 べ た よ う に 平 均 垂 直 応 力p=(σx+σy

+σz)/3が 負 とな っ た もの が 応 力 の 静 水 圧 成 分 で あ るが,通

常 の 塑 性 変 形 で遭

遇 す る程 度 の ｐの 値 に 対 し ｘ は破 断 ひず み の 増 大 の み が 生 じ,ｐ に 無 関 係 な 降

(ａ)鋼(焼

(ｂ)白 墨(チ

ョー ク)の

準 パ ー ラ イ ト)の 引 張 り(Bridgman)

捩 り(佐 藤,青木)

図2.25塑

(ｃ)金 属 の場 合 の 一 般 的傾 向

性 曲線,破 断 ひ ず み にお け る静 水圧 の 影 響

伏 条 件,流

動 法 則 あ る い は加 工

硬 化 法 則 が 成 立 す るわ け で あ る. 延 性 破 壊 の 発 生 を避 け た い成 形 加 工(塑 性 加 工),特

に もろ い材

料 の成 形 加 工 で は加 工 応 力 に適 当 な静 水 圧 を重 畳 させ る こ とが 行 わ れ る.具 体 的 な例 は 次 章 で

(ａ)

(ｂ) 圧縮加工における せ ん断 破 壊

曲 げ加 工 に お け る 引 張破 壊 図2.26延

示 さ れ よ う.

性 破 壊 の ２型 式

 最 後 に,不 完 全 で は あ るが,延 性 破 壊 の 巨視 的 性 格 を つ か む の に 便 利 な破 断 条件 式 を述 べ て お く.図2.26に 角な場 合(同 図(ａ)),最

示 す よ うに 量 終 破 断 面 が 最 大 主 応 力 σ1に直

大 せ ん 断 応 力￨τ￨maxに平 行 な 場 合(同 図(ｂ))が 多 い よ

うで あ る.そ こ で 温 度 や ひ ず み 速 度 が 一 定 の 場 合,破 σ1≧Cσ

と し,臨

界 値Cσ,Cτ

断条 件 を

ま た は￨τ￨max≧Cτ

 (2.82)

を

 (2.83)

とお け ば一 応 の 破 断 条 件 とな る.上 式 の 第 ２項 は 応 力 の 静 水 圧 的 成 分 に 依 存 し, 第 ３項 は相 当 ひ ず み εに 依 存 す る加 工 硬 化 の 項 で あ る.a,b,cお B,Cは

材 料 定 数 で あ る.式(2.82),(2.83)の

よ びA,

破 断 条 件 は,σ1,￨τ￨maxの うち,

先 に 臨 界 値 に達 した もの に よ り破 断 の様 式 が きま る とす る もの で あ る.た だ し, 上 述 は 一 応 の 指 針 で あ り,現 状 で は 機 械 加 工 の 種 類 と形 態 に応 じて独 自の 破 断 条 件 を設 定 して 解 析 を行 うの が 現 実 的 で あ ろ う.た -4Vの

とえ ば チ タ ン合 金Ti-6A1

切 削加 工 で は

 (2.84)

が適 当 で あ り,こ の破 断 条 件 の 導 入 に よ り,こ の合 金 に特 有 な鋸 歯 状 切 屑 の生 成 を よ くシ ミュ レー トで き る こ とが 第 ６章 で示 さ れ る.た だ し,εpは

相 当ひ

ず み 速 度,θ

は 温 度(℃)で

あ り,max[]は

と る こ と を示 し て い る.ま (2.84)は

式(2.83)の

た εp≦100で

括 弧 内 の 量 の うち 大 な る もの を は ひ ず み 速 度 は 影 響 し な い と す る.式

第 ２ 式 の 形 式 で あ り,温

度 が 高 い ほ ど破 断 が 生 じ に く く,

ひ ず み 速 度 が 大 な る ほ ど破 断 が 生 じ や す い こ と を 補 正 し た も の で あ る.

演

習

問

１.直 径 ｄ,肉 厚 ｔの 薄 肉 円 筒 に 内 圧p0と 伏 せ ん 断 応 力 を ｋ と し てMisesの ２.前

題 モ ー メ ン ト Ｍ の ね じ り を加 え た.降

降 伏 条 件,Trescaの

降 伏 条 件 を書 け.

問 の 降 伏 時 に お け る 名塑 性 ひ ず み 増 分 の 比 を 求 め よ.

３.Misesの

降 伏 条 件 は 単 位 体 積 当 りの せ ん 断 ひ ず み エ ネ ル ギ が 特 定 値 に 達 し

た と き降 伏 が 生 ず る と して い る と解 釈 さ れ る.こ ４.式(2.34)を

れ を示 せ.

証 明 せ よ.

５.Trescaの

降 伏 条 件 に 適 合 す る流 動 法 則 を 導 け.

６.Trescaの

降 伏 曲 面 はMisesの

降 伏 円 筒 に 内 接 す る 図2.9の

六 角柱 の 面 で あ

る こ と を示 せ. ７.体

積 υの 物 体 に 荷 重 を加 え る と き,物 体 内 に き裂 が １個 で も存 在 す る とぜ

い 性 破 壊 す る とす れ ば,破

壊 が 生 ず る確 率 は

で 与 え ら れ る こ と を 示 せ(式(2.72)参 ８.図2.21(ｂ)の

照).

破 壊 確 率 は 有 限 要 素 に つ い て の も の で あ る.こ

れ をGiと

と図 示 の 領 域 の “ど こか で ” 破 壊 が 生 ず る確 率 は どの よ うに 計 算 さ れ る か.

す る

３.

各種機械加工 の近似 的解析

 前 章 ま で で機 械 加 工 の 力 学 的 問題 を解 くの に 必 要 な 諸 準 備 を ひ と まず 終 っ た. 解 析 に 必 要 な 諸 式 を再 録 す れ ば,式(1.39),(1.41)の (2.16),(2.18)の 68),(2.82)な

降 伏 条 件,式(2.28),(2.42)の

平 衡 条 件,(2.15), 流 動 法 則,式(2.60),(2.

どの 破 壊 条 件 で あ る.塑 性 変 形 を対 象 とす る問 題 で は,応 力 お

よ び変 位 の 境 界 条 件,平 衡 条 件,降 伏 条 件,流 動 法 則 を満 た す よ うに 応 力 とひ ず み 増 分 の 場 を求 め れ ば よい*.加

工 力 は工 具 面 の 応 力 分 布 を積 分 す れ ば よ く,

工 作 物 の 変 形 は ひず み増 分 の 場 と変 位 の 境 界 条 件 を勘 案 して 求 め られ る.し か しなが ら こ の よ う な解 を解 析 的 に え るた め の 一 般 的 な手 法 は な く,一 般 の ３次 元 問題 で解 を え る こ とは きわ め て 困難 で あ る.し か し幸 い な こ とに,機 械 加 工 で遭 遇 す る 問題 の 多 くは 平 面 ひ ず み 問題 か 軸 対 称 問 題 で あ り,こ れ らの場 合 の 取 扱 い は 比 較 的容 易 で あ る.ま た塑 性 ひ ず み に対 して 弾 性 ひ ず み を無 視 し,材 料 の 加 工 硬 化 性 も無 視 す れ ば 解 析 は さ らに 容 易 に な る.特 に加 工 硬 化 性 を無 視 した場 合 に は 降伏 条 件 は ひ ず み 状 態 と無 縁 に な り,問 題 の 境 界 条 件 が 応 力 で与 え られ れ ば,平

面 ひ ず み 問題 で は応 力 に 関 し て静 定(statically determinate)な

問 題 とな る.ま

た軸 対 称 問題 で も適 当 な仮 定 を導 入 す れ ば,問

こ とが で き る.し

題 を静 定 化 す る

たが っ て,ひ ず み 状 態 とは 無 縁 に 応 力 場 を求 め,加 工 力 を計

算 す る こ とが で き る わけ で あ り,本 章 で は この よ うな 問 題 を 主 と して 扱 う.な お この 解 法 で え られ る応 力場 に 対 応 す るひ ず み と塑 性 変 形 が変 位 の 境 界 条 件 を *こ

れ まで の とこ ろ,降 伏 応 力k,Yの

温度,ひ ず み速 度 に よ る変 化 を扱 う方 法 を導 入

して い な いか ら,本 文 の説 明 は必 ず し も適 当 で な い.し か し問題 の未 知 数 は ６個 の 応 力 成分,３ 個 の 変位 成 分,１ 個 の 降伏 応力 で あ り,こ れ に 対 して ３個 の平 衡 条 件 式, １個 の 降伏 条 件 式,６ 個 の 流動 法 則 式(式(2.42))が

あ るか ら,加 工硬 化 の み の 場 合 な

ら現在 までの 知 識 で 原理 的 に は問 題 が解 け る こ とに な る.

満 た す と は 限 ら な い か ら,解 動 的 可 容(kinematically

は 静 的 可 容(statically

admissible)と

admissible)で

は 限 ら ぬ と い わ れ る.し

の み あ り, た が っ て,本

章 の 解 は 多 く の 場 合 不 完 全 近 似 解 で あ る.

3.1平 3.1.1平

面 ひ ず み 問 題 と軸 対 称 問 題

面 ひ ず み 問題

  本 章 で は 特 に 断 わ ら な い 限 り,弾 dεijPな る 区 別 を 廃 し て 単 にdsijと わ りに,平

面 塑 性 流 れ(plane

性 ひ ず み は 無 視 し う る も の と し,dεije, 書 く こ と に す る.ま

plastic

平 面 塑 性 流 れ で は 流 れ の 平 面 をxy平

(１)xy平

flow)と

た 平 面 ひ ず み とい う か

い う 用 語 を 用 い る こ と に す る,

面 とす る と き

面 に平 行 に す べ て の 塑 性 流 れ が 生 ず る.

(２)塑 性 流 れ は ｚ座 標 に 無 関係 で あ る. が 成 り 立 つ.式(1.17),(1.19)よ

り直 ち に dεz=dγyz=dγzx=0

で あ り,式(1.38)の

 (3.1)

非圧縮 性条件 は dεx=-dεy

 (3.2)

と な る.し た が っ て 平 面 塑 性 流 れ に お け る ひず み 増分 ま た は ひ ず み 速 度 の モー ル 円 は 図3.1に

示 す よ うに 原 点 を中 心 とす る もの に な る. dε1=-dε2

 (3.3)

は 同 図 よ り 直 ち に 明 ら か で あ ろ う.   次 に 式(3.1)を

式(2.28)の

流 動 法 則 に用 い れ ば τyz=τzx=0

で あ り,σzは

主 応 力 と な る こ と が わ か る.ま Sz=σz-

∴

と な る.し

た が って

 (3.4)

たdεz=0で

あ るか ら

1/ 3

(σx+σy+σz)=0

σz=

1/ (σx+σy) 2

 (3.5)

図3.1平

面 塑 性 流 れ にお け る ひず み増 分, ひず み 速度 の モー ル 円

(3.6) で あ る.ま

た σz=σ3と 書 け ば*pは 1 /3

Sz=σ3-

不 変 量 で あ るか ら

(σ1+σ2+σ3)=0,∴

1

p= /3 で あ り,結

(σ1+σ2+σ3)=

σ3=

1 (σ1+σ2) /2

1 (σ1+σ2) /2

 (3.7)

  (3.8)

局

σz=σ3=p=

1 /2 (σ1+σ2)=

1 /2

(σx+σy)

  (3.9)

とな る.平 面 塑 性 流 れ で は 流 れ の 面 に 垂 直 な 応 力 σzは応 力 の 静 水 圧 的 成 分 に 等 し く,中 間 主 応 力 で あ り,ま た流 れ の 面 内 の 垂 直 応 力 の 平 均 値 に 等 し い とい うわ け で あ る.図3.2は 力 成 分 で あ る. *平

平面塑性流れの応 図3.2平

面塑 性 流 れ にお け る応 力成 分

面 塑性 流れ で は 流れ の 平 面 に垂 直 な主 応 力 を σ3と書 くの が習慣 で あ る.

平 面 塑 性 流 れ の 流 動 法 則 は 式(2.28)に

お い て 式(3.1)を

考 慮 して

(3.10) さ ら に 式(3.9)を

代 入 して

(3.11)

と な る.上

式 よ りdεx=-dεyで

あ り,流

動 法 則 は 式(3.2)の

非圧 縮 性 条件 を

含 む こ とが わ か る.   平 衡 条 件 は 式(3.4)を

式(1.41)に

代 入 し

(3.12)

で あ る.第

３ 式 は σzが ｚ 方 向 に 変 化 し な い こ と を 示 す が,平

義 か ら 当 然 で あ る.ま

た σx,σyが 求 ま れ ば 式(3.9)よ

面 塑性 流れ の定

り σzは 直 ち に え ら れ る

か ら 第 ３式 は 省 略 し て よ い.   次 に 平 面 塑 性 流 れ の 降 伏 条 件 を 考 え る.式(3.4),(3.5)を す れ ば,Misesの

式(2.15)に

代 入

降伏条件 は

(3.13) 主応 力で書け ば (3.14) 一方

,式(2.18)のTrescaの

降伏 条 件 は  (3.15)

で あ り,平 面 塑 性 流 れ の場 合,両

降 伏 条 件 は 単 純 せ ん 断 に お け る降 伏 せ ん 断 応

力 の 絶 対 値 Ｋ を 用 い る 限 り一 致 す る こ とに な る.な お 平 面 塑 性 流 れ の 面 内 で の モー ル の 応 力 円 は 図3.3で

あ る か ら,両 降

伏 条件 は モー ル 円 の 半 径 す な わ ち 主 せ ん 断 応 力 τmaxが一 定 値 Ｋ に達 す る と降 伏 が 生 ず る こ と を意 味 して い る.

図3.3平

  式(3.4),(3.5)よ よ う.こ

り 応 力 の 未 知 数 は σx,σy,τxyの

れ に 対 し て 式(3.12),(3.13)の

料)で あ り,問

面 塑性 流れ に お け るモ ー ル の応 力 円 み とな る こ とを注 意 し

３式 が あ る か ら,ｋ

が 一 定(非 硬 化 材

題 の 境 界 条 件 が 応 力 で 与 え られ れ ば 問 題 は 応 力 に 関 して 静 定 と

な る.

3.1.2軸

対

称

 円 筒 座 標 γ,θ,ｚ

問

題 を 用 い る場 合 の ひ ず み 増 分 は 次 式 で 与 え ら れ る*1 .

(3.16)

た だ しuγ,uθ,uzは

そ れ ぞ れ γ,θ,ｚ 方 向 の 変 位 成 分 で あ り,微 分 は 変 形

の 考 え て い る段 階 に お け る も の で あ る.い 軸 対 称 に な る よ うな 問題,た

ま ｚ軸 を対 称 軸 と して 応 力 分 布 が

とえ ば 丸 棒 の ダ イに よ る 引抜 きの よ う な 問題 を考

え る と,対 称 性 か ら θ方 向 の 変 位uθ は 存 在 し な い*2ま

たuγ,uzの

す る微 分 も ０で あ る.し た が っ て 軸 対 称 問 題 で の ひず み 増 分 は

*1巻

末 の 付 録 ２ を参 照 さ れ た い .

*2円

柱 の ね じ り(uθ 〓0)の 応 力 分 布 は 軸 対 称 で な い .

θに関

(3.17)

で あ り,dγrθ=dγ dεθ〓0な

θz=0で

あ る.子

午 面(z-γ

面)内 で 平 面 ひ ず み 的 で あ る が,

る こ と に 注 意 し な け れ ば な ら な い.

円 筒 座 標 系 で の 流 動 法 則 は 式(2.28)のx,y,zをr,θ,zに

お きか え た

もの を考 えれ ば よ く

(3.18) で あ る.し

た が っ て 軸 対 称 問 題 で は τrθ=τ θz=0で

σθは 主 応 力 と な る こ と が わ か る,軸 +σz)/3を

用 い て 式(3.18)か

あ り,図3.4を

参照 す れ ば

対 称 問 題 で の 流 動 法 則 はp=(σr+σ

θ

ら

(3.19)

と な る.ま

た非圧縮性条 件は dεr+dε θ+dεz=0

で あ り,こ れ が 式(3.18)の

流動 法 則 に 含 まれ る こ とは 式(2.28)の

(3.20) 場 合 と同 様

で あ る.く わ し い説 明 は 省 略 す るが,円 筒 座 標 系(直 交 曲 線座 標 系 の １つ)で の

(ａ)円 筒 座 標 系 の応 力 図3.4軸

(ｂ)軸 対称 問題 の 応 力 対 称 問 題 の 応 力系

応 力 や ひ ず み は 直 交 直 線 座 標 系 に お け る そ れ ら を座 標 変 換 して え られ る もの で あ るか ら,両 者 の 基 本 的 な性 質 に は相 違 が な く,モ ー ル 円 の 諸 性 質,塑

性 流動

法 則,降 伏 条 件 な ど は 円 筒座 標 系 で も その ま ま成 り立 つ の で あ る. 同 筒 座 標 系 に お け る平 衡 条 件 は γ方 向 θ方 向

(3.21)

ｚ方 向 で 与 え ら れ る*.軸

対称 問題 では τ γ θ=τθz=0で

あ るか ら

(3.22)

と な る.な

お θ 方 向 の 平 衡 式 か ら え ら れ る ∂σθ/∂ θ=0は

対称 性 か ら当然 であ

る. Misesの

降 伏 条 件 は 式(2.15)のx,y,zを

γ,θ,zに

書 き か え,τrθ=τ θz=0

とお け ば (σr-σ

θ)2+(σ θ-σz)2+(σz-σr)2+6τzr2=6k2=2Y2

と な る.σ θは 主 応 力 で あ る か ら,子

午 面(z-r面)内

 (3.23)

の 主 軸 と θ軸 を座 標 軸 に

選べ ば  (3.24)

(σ1-σ2)2+(σ2-σ3)2+(σ3-σ1)2=6k2=2Y2

と な る.ま

た 子 午 面 内 の 平 均 の 垂 直 応 力 をp′=(σr+σz)/2と

主 せ ん 断 応 力 の 絶 対 値 を τmaxと 書 け ば,図3.5を σ=p′

± τmax

書 き,子

午面 内の

参 照 して面 内 の 主 応 力 は  (3.25)

とな る.し た が っ て,座 標 軸 を ２つ の 主 せ ん 断 応 力 の 方 向 と θ軸 方 向 に選 べ ば 式(3.23)は

*巻

末 の付 録 ２を参照 され たい.

(p′-σ θ)2+(σ θ-p′)2+6τmax2=6k2=2Y2 ∴1/3(σ

Y2 /3

θ-p′)2+τmax2=k2=

  (3.26) と な る.Trescaの

降 伏 条 件 は σθが 中 間 主

応 力 の 場 合,式(2.18)よ

り

σ1-σ2=(p′+τmax)-(p′-τmax) =2k=Y 図3.5子 ∴

τmax=k=

Y /2

午 面(z-γ

面)内

のモー

ル応 力 円

 (3.27)

と な る.す な わ ちz-γ 面 内 の 主 せ ん 断 応 力 の 大 き さが 一 定 値kに

達す る と降

伏 が 生 ず る. 軸 対 称 問 題 で は式(3.19)の

流 動 法 則,式(3.22)の

平 衡 条 件,式(3.23)の

伏 条 件 が 基 礎 方 程 式 で あ り,こ れ ら は ７個 の 未知 数,す (σr,σ θ,σz,τrz),２ 個 の 変 位 成 分(ur,uz),１

降

な わ ち ４個 の 応 力 成 分

個 の 降 伏 応 力(Ｙ)に 対 す る ７個

の 式 を与 え る.し か し応 力 の み を含 む 式 は ３個 で あ る か ら,材 料 の加 工 硬 化 を 無 視 してkを

一 定 と し て も,適 当 な 仮 定 を 導 入 し な い 限 り問 題 は 静 定 に な ら

な い*.

3.2完

全

塑

性

体

延 性 金 属 材 料 の常 温 に お け る静 的 な単 軸 引 張 りま た は 単 軸 圧 縮 の 塑 性 曲 線 は 図3.6の

実 線 の よ うに な る.応 力 は ひ ず み の 増 大 と と も に 増 し,両 者 の 関 係

は 次 式 で 近 似 で き る こ とが 多 い. σ=Cεn

(3.28)

た だ し σ は真 応 力(荷 重 を試 験 片 の 原 断 面 積 で は な く,変 形 時 の 断面 積 で 除 し

*式(3.19)か

らur,uz,dλ を消去 す れ ば 応 力 のみ を含 む 第 ４の 式 が え られ るが,高 階 の

微 分 方 程 式 で あ り,境 界 条 件 が応 力 の 導 関数 で与 え られ ぬ 限 り利 用 価 値 は な い.

た値)*,ε

は 対 数 ひ ず み で あ り,C,nは

値 の 数 例 を 表3.1に

材 料 に 固 有 な定 数 で あ る.C,nの

示 し た.し か しな が ら 第 ６章 で 示 され る よ うに,こ

のよ

うな加 工 硬 化 を考 慮 して 厳 密 に 問題 を解 く こ と は甚 だ 面 倒 で あ り,広 い応 用 の 分 野 で役 に 立 つ 解 析 を行 うに は思 い 切 っ た簡 易 化 が 望 まれ る. 完 全 塑 性 体(perfectly plastic solid)は 加 工 硬 化 を示 す こ とな く塑 性 的 に流 れ る理 想 材 料(仮 想 材 料)で あ る.加 工 硬 化 が な い か ら 降 伏 条 件 式 の 定 数k,Y は一 定 で あ り,単 軸 引 張 り ま た は圧 縮 の 場 合 の 塑 性 曲 線 は 図3 .6の 点 線 の よ うに な る.ま

た 弾 性 率E,Gが

無 限大 で あ り,図 示 の 一 点 鎖 線 の よ う に 弾 性

域 が 存 在 し な い材 料 を剛 完 全 塑 性 体(rigid-perfectly

plastic solid)と い う.剛

完 全 塑 性 体 は 実 在 材 料 に対 し,一 見 縁 遠 い理 想 化 に み え るが,た ひ ず み 範 囲 が あ らか じめ 想 定 で き る場 合,そ

とえ ば 問題 の

の 範 囲 で実 際 の塑 性 曲 線 を一 点 鎖

線 の よ う に平 均 化 した と考 え れ ば,剛 完 全 塑 性 体 を仮 定 す る解 析 が 悪 くな い 近 似 を与 え る こ とを理 解 で き よ う(3.6 節 参 照). 剛 完 全 塑 性 体 で は 応 力 とひ ず み(全 ひ ず み)が 全 く対 応 しな い か ら,全 ひ ず み 理 論 は 適 用 で きず,ひ

ずみ増分理

図3.6実

論 に よ っ て の み 解 析 が 可 能 とな る.単 軸 引 張 りの場 合,剛

完全塑性体 では降

伏 応 力 Ｙ に 対 して 任 意 の ひ ず み が 可

在材 料,完 全 塑性 体 の 塑性 曲 線(弾 性 域 を誇 張 して描 い て あ る)

表3.1丸

棒 材 料 の 引 張 り塑 性 曲線 に対 す る Ｃ と ｎの値(福 井,工 藤)

能 で あ り,変 形 状 態 は 定 ま らな い.し た が っ て,一 般 の 問題 で も任 意 の大 き さの 変 形 が 可 能 で 解 は え られ ぬ よ うに 思 え る が,そ

うで は な い.実 際 に は 式

(2.28)の 流 動 法 則 に 加 え て 外 部 か ら *引

張 り試験 では 「くびれ 」 部 の最 小 断面 積 を と るが,単 軸 応 力状 態 とな らな い の で補 正計 算 が必 要 であ る.

の 拘 束 とか,材 料 の 隣 接 要 素 に よ る束 縛 とか の他 の 条 件 が あ り,塑 性 ひ ず み の 大 き さは これ らに よ っ て決 定 され るの で あ る.具 体 的 な諸 例 は 第 ４章 で示 され る.

3.3塑

性

加

工

本 節 で の解 析 は 主 と して完 全 塑 性 体 を対 象 とす る.ま た塑 性 変 形 や ひ ず み の 詳 細 を問 題 に せ ず に 静 的 可 容 な解 を求 め る が,解 析 に 際 して は 次 の ２通 りの 手 法 が 用 い られ る.第

１は 初 等 解 析 法 と よば れ る もの で あ り,塑 性 流 れ に 垂 直 な

平 面 に作 用 す る応 力 を一 様 分 布 の 主 応 力 と仮 定 し,近 接 す る この ２平 面 に は さ まれ る要 素 の 平 衡 条件 式 を 降 伏 条 件,応 力,加 工 力 を求 め る方 法 で あ る.第

力 の境 界 条 件 の 助 け の も とに解 い て 応

５章 に 述 べ る下 界 定 理 に よれ ば,こ

で見 積 も られ る加 工 力 は 仮 定 の 精 度 が 十 分 な場 合,正 い.第

の方法

しい加 工 力 よ り常 に小 さ

２は 理 想 塑 性 変 形 エ ネ ル ギ解 法 と よ ば れ る もの で あ り,工 作 物 の 最 初 の

形 状 か ら最 後 の形 状 に 至 る変 形 を何 らか の 変 形 モ デ ル で近 似 し,こ の 間 の塑 性 仕 事 量(通 常,摩

擦 仕 事 は 無 視 す る)を 計 算 す る.そ して 工 具 に よ る外 部 仕 事 を

これ に 等 し い とお い て 加 工 力 を求 め る方 法 で あ る.第 変 形 モ デ ル が 変 位 の 境 界 条 件,連

続 の 条 件 を満 た す 場 合,こ

力 は正 し い加 工 力 よ り常 に大 きい.本

3.3.1鍛

造

加

５章 の上 界 定 理 に よ れ ば, の 方 法 に よ る加 工

節 で は両 方 法 を問 題 に応 じて使 い わ け る

工

鋳 造 され た金 属 塊(イ ン ゴ ッ ト)の不 均 一 な粗 組 織 を改 善 す る 目的 で 熱 間鍛 造 (hot forging)が 行 わ れ る.再 結 晶 温 度 以 上 の 高 温 で鋳 塊 を打 圧 ま た は 静 圧 縮 し,粗 大 な樹 枝 状 結 晶 を破 砕 す る と と も に微 小 粒 に再 結 晶 し た繊 維 状 組 織(鍛 流 線)を 材 料 の 流 動 方 向 に 生 じ させ る.鍛 造 さ れ た 鋼 塊 か ら,さ あ る い は 冷 間 鍛 造(cold

forging)に よ って 半 製 品,製

らに 熱 間 鍛 造

品 が つ くら れ る.冷

間鍛

造 は室 温 で の 鍛 造 で あ り,再 結 晶 と焼 な ま し軟 化 を生 じさせ る こ とな く,加 工 硬 化 に よ っ て 製 品 強 度 を増 加 させ る.図3.7は

各 種 の 鍛 造 方 式 で あ る.鍛

造

(ａ)す

(ｂ)延

え 込 み

伸

(ｃ)回 転 ス エ ー ジ 鍛 造

(ｄ)入 れ子 鍛 造

(ｅ)押 出 しす え込 み

図3.7各

種の鍛造方式

に は 本 項 で 述 べ る静 的 な解 析 の ほ か,高

速鍛 造 の よ うに衝 撃 的,動

的な解析 を

要 す る場 合 が あ るが,こ れ に つ い て は省 略 す る. a.平 行 型 間 の す え 込 み  基 本 と な る の は 平行 型 間 の す え 込 み(up-setting)で 場 合 か ら解 析 して み る.図3.8(ａ)に

お い て 幅dxの

え る.型 面 に 摩 擦 が な け れ ばx,y,z方

あ り,平 面 ひ ず み状 態 の 要 素 の ｘ 方 向 の 平 衡 を考

向 が 主 応 力 方 向 で あ る が,摩 擦 が あ

る場 合 に は ｚ方 向 の み が 主 応 力 方 向 とな る.し か し こ こ で は 摩 擦 の あ る場 合 で もx,y方

向 が 主 応 力 方 向 で あ る と近 似 し よ う.要 素 に は 圧 縮 応 力 ρyと 摩

擦 応 力pfが

型 面 で 作 用 す る が,引

張 り応 力 を正 とす る た め,同

応 力 が 要 素 に働 く と考 え る.σxは0≦y≦h/2で 向の平衡 の式 は

図(ｂ)に 示 す

の 平 均 値 を と る とす れ ば ｘ 方

(3.29) た だ し μ は 型 面 の 摩 擦 係 数 で あ る*.仮 定 に よ っ て σx,σyは

主 応 力 で あ り,σx

＞ σz＞σyは 明 ら か で あ る か ら,式(3. 14),(3.15)に

よ る降 伏 条件 は σx-σy=2k 

(3.30) (ａ)

とな る.材 料 を 完 全 塑 性 体 とす れ ば 式 (3･30)は す え 込 み の 任 意 段 階(任 意 の w/h)に 対 して 成 り立 つ か ら,式(3.29) に代 入 して

(3.31) 境 界 条 件 はx=w/2の

自 由 面 で σx=0,

し た が っ て 式(3.30)よ る か ら,積

り σy=-2Kで

あ

(ｂ)

図3.8平

分 して

行 型 間 の 平面 ひず み す え込 み

(3.32) (3.33) を え る.図3.9は,-σy,−

σxの 分 布 で あ り,-σyは

か っ て 大 と な っ て い る.こ hill)と よ ば れ る.型 (σx+σy)/2=-Kで

の-σyの

端 面 で2kで

中心 に 向

分 布 は 丘 陵 形 で あ る た め 摩 擦 丘(friction

面 に 摩 擦 が な い 場 合 は も ち ろ ん σy=−2K,σx=0,σz= あ る.す

え 込 み に 要 す る荷 重 Ｐ は

(3.34) 平均 の型面圧力 ｐは

*式(3,29)は 図4.16参

式(3.12)の 照).

第 １式 と 同 じ で あ る .y=0の

面 は 主 応 力 面 で あ る(第4章

の

(3.35) で あ る.摩

擦 が 大 き く,素

材 が 偏 平(w/h

が 大)な ほ ど 型 面 圧 力 ｐ は 大 と な る.  さ て 型 面 の 摩 擦 応 力 は μσyで あ る が, 図3.9に

み る よ う に￨σy￨は

中心 に 向か っ

て 増 大 す る か ら,式(3.32)で な る 場 合 に は￨μ σy￨＞kと ｘ の 値x0よ

μw/hが

な る領 域 が あ る

り 内 側 で 生 ず る.摩

擦 応力 は

せ ん 断 応 力 で あ る か ら,図3.3よ

x0は 式(3.32)よ

図3.9-σy,-σxの

型 面 に そ う分布

り 明 ら か な よ う に こ の 絶 対 値 がkを

こ と は 降 伏 条 件 よ りあ り え な い.し 擦 で あ り,￨μ σy￨≧Kの

大

範 囲0≦x≦x0で

た が っ て￨μ σy｜＜kの は￨μ σy￨=kと

え る

範 囲 で は クー ロ ン摩 し て 扱 わ ね ば な ら な い.

り

(3.36) 0≦x≦x0で

は 式(3.31)の

か わ りに

(3.37) と し,x=xoで

σy=k/μ,を

境 界 条 件 と して 解 け ば よ く

(3.38) と な る.平

均 の 型 面 圧 力 は 式(3.32),(3.38)を

よ く,0＜xo＜w/2に

用 い て 積 分 平 均 値 を求 め れ ば

対 して

(3.39) と な る.な お け ば,μ

お 型 面 全 体 で￨μ σｙ｜=kと ≧0.5で

あ る.ま

な る 場 合 の μ は 式(3.36)でx0=w/2と

た こ の 場 合 の 平 均 型 面 圧 力 は 式(3 .39)よ

り

(3.40) と な る.￨μ

σy｜=kの

摩 擦 状 態 を クー ロ ン 摩 擦 に 対 し て 付 着 摩 擦 と よ ん で い る

(1.4参

照).図3.10は

式(3.35),(3.39),(3.40)の

数 値 計 算 例 で あ る.

  次 に 平 行 型 間 の 軸 対 称 す え 込 み を考 え る.図3.11に の 平 衡 を 考 え よ う.型

面 に 摩 擦 が な い 場 合 に は σγ=τzγ=0で

の 第 １式 か ら σθ=σγ=0,ま が っ て γ,θ,z方

示 す 微 小 要 素 の γ方 向

た 式(3.19)よ

りdε θ=dε γ=-dεz/2と

向 が 主 方 向 で あ り,式(3.24)のMisesの

式(3.27)のTrescaの

あ り,式(3.22) な る.し

た

降伏条件 あ るいは

降伏条件 か ら

(3.41) と な る.型 面 に 摩 擦 が あ る場 合 に は γ 方 向 の 平 衡 の 式 は 図 示 の 記 号 を用 い て 式(3.22)の

第 １式 よ り

(3.42) た だ し σγ,σ θは0≦z≦h/2で

の 平 均 値 で あ る.摩

擦 が あ る場 合 で も近 似 的 に

(3.43) が 成 り立 つ と し よ う.し 24),(3.27)よ

た が っ て γ,θ,z方

向 は 依 然 主 方 向 と な り,式(3.

り降 伏 条 件 は

(3.44) と な る.式(3.43),(3.44)を

式(3,42)に

代 入 し

(3.45)

図3.10平

均 す え込 み圧 力 ｐ の w/hに よ る変化(Bishop)

図3.11平

行 型 間 の 軸 対称 す え込 み

γ=Rで

σz=-Yを

境 界 条 件 と し て積 分 す れ ば,平

面 ひ ず み の 場 合 と同 様 な

式 (3.46) とな る.付 着 摩 擦 とな る半 径 γ0は

で あ り,Misesの

降 伏 条 件 を とれ ば

(3.47) で あ る.0≦ ば よ く,平

γ≦ γ0の 付 着 摩 擦 域 で は 式(3.45)に

か え てdσz/dγ=2k/hを

考 えれ

面 ひ ず み の場 合 と同様 に

(3.48) が え られ る.平 均 の 型 面圧 力 は

(3.49)

(3.50) と な る.型

面 全 面 で 付 着 摩 擦 と な る 場 合 の μ は 式(3.47)よ

μ=1/√3=0.577(Trescaの 圧 力 は 式(3.50)よ

降 伏 条 件 な ら μ=0.5)で

あ り,こ

り,γ0=Rと

して

の場 合 の平均 型 面

り

(3.51) とな る.以 上 の 解 析 を通 観 す れ ば,平

面 ひず み の場 合 と軸 対 称 の 場 合 に 明 らか

な類 似 性 が あ る の に 気 づ くで あ ろ う.図3.12は

式(3.49),(3.50),(3.51)

に よ る理 論 結 果(実 線)と 実 験 結 果 との 比 較 で あ り,図 中のh0は さ を示 す.か

試料 の初期 高

な り よい 一 致 が え られ て い る.な お 塑 性 加 工 の 摩 擦 係 数 は潤 滑 状

図3.12平

均 す え込 み 圧 力 の理 論 値 と実験 値 の 比 較 (MacDonald)

態 の よ い 冷 間 加 工 の 場 合,0.05程 滑 が不 十 分 で も0.1∼0.15程

度 で あ るか ら

付 着 摩 擦 の状 態 は生 じに くいが,無 場 合,熱

度,潤

潤滑 の

間 加 工 の 場 合 に は 摩 擦 係 数 は0.2

以 上 で あ り,付 着 摩 擦 の状 態 が 容 易 に 生 ず る.  次 に 平 面 ひ ず み の場 合 につ い て 同 じ問 題 を理 想 塑 性 変 形 エ ネ ル ギ解 法 で 扱 って み よ う.こ の 場 合 に は 図3.13に

示 す よ うに,応

図3.13平

行 型 間 のす え込み に お け る理 想 塑 性 変形 エ ネル ギ解 法

力 記 号 を実 際 に 作 用 して い る 方 向

に 約 束 し た 方 が 便 利 で あ る.ｐ,τ

を そ れ ぞ れ 平 均 の 垂 直 応 力,摩 擦 応 力 と し,

平 面 ひ ず み 圧 縮 の 降伏 応 力 が2kで

あ る こ とに 注 意 す る と,外 部 仕 事 が 内部 仕

事 に 等 し い とお い て

(3.52) これに非圧縮 性条件 (3.53)

を代入す れば (3.54) で あ り,全 面 付 着 摩 擦 の場 合 に は

(3.55) とな っ て初 等 解 析 法 に よ る式(3.40)と に用 い れ ば 式(3.51)を

一 致 す る.同 様 の 手 法 を軸 対 称 の 場 合

え るの は容 易 で あ る.な お 理 想 塑 性 変 形 エ ネ ル ギ解 法

で求 ま るの は荷 重 お よび 平 均 圧 力 の み で あ り,型 面 の圧 力分 布 を求 め る こ と は で き な い. ｂ.コ イ ン ニ ン グ

 上 述 の解 法 は も っ と複 雑 な問 題 に 応 用 で き る. 例 と して 図3.14の

平 面 ひ ず み す え 込 み を解 い

て み よ う.す え 込 まれ た材 料 の 中央 部 に 突 起 が 生 ず るが,こ

の よ うに 材 料 の 表 面 に 凹 凸 をつ け

るす え 込 み を圧 印 加 工(coining)と

い う.貨 幣 (ａ)

の 表 面 の文 字,文 様 の 浮 出 し をつ く るの は典 型 的例 で あ り,こ の ためcoiningの 図(ｂ)は材 料 の 最 初 の 高 さhoがhに

名 が あ る.同 圧 縮 さ れ,

型 穴 の 直 下 の 材 料 が 非 変 形 域 と して 残 っ て い る 場 合 で あ る.型 穴 の外 側 は 型面 で 押 しつ ぶ され (ｂ)

るか ら変 形 域 で あ る が,図 示 の 点 線 が 非 変 形 域 と変 形 域 の 境 界 と理 想化 す る と,境 界 に は 図 示 の 向 きにせ ん 断 応 力 が作 用 す る こ と に な る.次 章 で証 明 す る よ う に,平 面 ひず み の 有 限 変 形 で は非 変 形域 と変 形 域 の境 界 は 主 せ ん 断 応 力 面 で なけ れ ば な ら な い か ら,こ れ ら のせ ん 断 応 力 の 絶 対 値 は ｋで あ る.型 面 の 摩 擦 は 付 着 摩 擦 と

(ｃ)

図3.14コ

イニ ン グの解 法

す る と,非 変 形 域 が な い 場 合 の平 均 型 面 圧 力 ｐ は式(3.55)よ

り

(3.56) で 与 え られ るか ら,上 述 の 境 界 面せ ん 断 応 力 に よ る ｐ の 増 分 を加 え れ ば よ い. 境 界 で の材 料 の 各 点 の ｙ方 向移 動 量dυ は

(3.57) こ れ は 境 界 の 両 側 の材 料 の 相 対 ず れ 量 で あ る.し た が って,境 に よ る塑 性 仕 事 の 増 分dWsはbを

界面せ ん断応力

ｚ方 向 の 工 作 物 幅 と して

こ れ に 対 す る ｐ の 増分 ⊿Ｐ は

(3.58) と な る.式(3.58)を

式(3.56)に

加 え,同

図(ｂ)の 場 合 の 平 均 型 面 圧 力 は

(3.59) と な る.

し か し,境 (Ⅲ-IV位

界 線 位 置 の 型 面 圧 力 が 大 き く な る と 状 況 は 一 変 す る.そ

置)の 型 面 圧 力 は,式(3.37)を

境 界 条 件x=w/2で

の位 置

σy=-2Kの

も と

に 解 け ば よ く,

(3.60) で あ る.し

た が っ て,そ

の 位 置 の 平 均 の ｘ 方 向 圧 縮 応 カ-σxは

式(3.30)の

降

伏条件 か ら

(3.61) と な る.こ

の 圧 縮 応 力 が 十 分 大 き け れ ば 同 図(ｂ)の 非 変 形 域

壊 す る こ と に な る.圧 て

Ⅰ-Ⅱ-Ⅲ-Ⅳ

壊 に 要 す る 平 均 圧 力 ｐ′は 式(3.55),(3.59)を

は圧 参 照 し

材 料 が 型 穴 に は い る ま え,

(3.62) 材 料 が 型 穴 に は い っ て か ら, で あ り,(-σx)Ⅲ-IVが

こ れ ら の 値 よ り大 な る 場 合 に は 圧 壊 が 生 じて 型 穴 内 の 材

料 は 最 初 の 高 さho以

上 に 盛 り 上 が る.図3.14(ｃ)は

こ の 状 態 で あ る.一

部 材 は 型 穴 内 に 盛 り上 が ろ う と し て 内 側 に 向 か っ て 動 き,外 外 側 に 向 か っ て 動 くか ら,材

料 が 不 動 な 位 置N-Nが

面 に 対 す る 材 料 の す べ り が な く,点

無 す べ り点 の 位 置 は 次 の よ う に 求 め ら れ る.無 逆 方 向 に 作 用 す る こ と,境 を 考 慮 す れ ば,式(3.37)よ N-Nの

界 Ⅲ-IVの

縁 側 の材 料 は 逆 に

生 ず る.こ

Ｎ は 無 す べ り点(no

部の

の位 置 で は 型

slip point)と

よ ば れ る.

す べ り点 の 両 側 で 摩 擦 が 互 い に

σxは 式(3.62)か

ら σx=-Ｐ

′で あ る こ と

り 右 側:

境 界V-VI

(3.63) N-Nの

左 側: 境 界 Ⅲ −Ⅳ で σy=σx-2k=-(p′+2k)

で あ る.境

界N-Nで

σyは連 続 で あ る か ら,上 式 か らN-Nの

め,σyの 値 が 一 致 す る ｘ の値xnを 力-σyの

両 側 の解 を求

求 め れ ば 無 す べ り点 の位 置 とな る.型 面圧

分 布 を概 念 的 に示 せ ば 同 図(ｃ)の よ う で あ り,無 す べ り点 で-σyは

最 も大 と な る.こ の分 布 か ら平 均 の 型 面 圧 力 が 求 ま るの は も ち ろ ん で あ る. ｃ.傾 斜 型 間 の す え込 み  図3.15に

示 す傾 斜 型 間 の 平 面 ひず み す え 込 み を考 え よ う.型 面 の傾 斜 角 を

ａ とす る.型 面 の 摩 擦 係 数 が μ≧tanα の 場 合 に の み 工 作 物 は 飛 出 さず,す 込 み が 可 能 で あ る.す

え

え込 まれ た材 料 は 無 す べ り点 を 中心 に 左右 に流 れ る.無

す べ り点 の 右 側 で 既 述 と同様 な 図示 の微 小 要 素 を と り,ｘ 方 向 の平 衡 を考 え る. (h+dh)(σx+dσx)+2μ

dx=(dh/2)cotα

を 代 入 し,２

σｎdx sec

α cos

α=hσx+2σndx

次 の微 小 項 を省 略 す れ ば

sec

α sin

α

(3.64) 例 に よ っ て近 似 的 降 伏 条 件

(3.65) を考 え,式(3.64)に

代 入す れば

(3.66) 図3.15傾

が え ら れ る.こ れ を積 分 した

斜 型 聞 の平 面 ひず み す え 込み

(3.67) に 対 し て 境 界 条 件,h=h1で

σn=-2Kよ

り定 数 Ｃ を 定 め る と

(3.68) で あ る.無 す べ り点 よ り左 側 で は μが 負 と考 え れ ば よ く

(3.69) と な る.無

す べ り 点 の 位 置(材 料 の 高 さhn)は

ば 求 ま り,摩

式(3.68)と

式(3.69)を

等置 すれ

擦 が大 き い と きに は近 似 的 に  (3.70)

と な る.μ

＞tanα

の た め,型

面 圧 力-σnの

分 布 は 図 示 の よ う に な り,図3.

14(ｃ)と 同 様 に無 す べ り点 で 最 も大 と な る.後 述 の 圧 延 加 工 な どに お い て も無 す べ り点 で 型 面 圧 力 は 最 も大 で あ る.す 荷 重 は-σnと-μ

え込 み

σnの 垂 直 方

向 成分 を型 面 に 沿 っ て積 分 す れ ば よい. 図3.16の

よ うな傾 斜 型 に よ

図3.16傾

斜 型 に よ る鍛 造

(ａ)中実材 の 前 方 押 出 し( テー パ ダ イ)

(ｄ)管 材の 前 方押 出 し( テー パ ダ イ)

(ｂ)中実材 の 前 方押 出 し

(ｅ)管材 の前 方 押 出 し

(ｃ)中実材 の 後方 押出 し

(ｆ)管材 の 後 方押 出 し (せん孔)

図3.7各

種 の押 出 し加工

る鍛 造 に も上 述の 解 酸 を 利 用 す る こ と が で き る.い 位 置 ま 中 央 で あ り,可

図 （ ａ)の 右 測 で は 式(3.68).同

６9)が 成 り 立 つ こ と が 容 易 に 理 解 で き る.た れ ば な ら な い,な

3.3.2押

ず 托 の 場 合 も無 す べ り点 の 図(ｂ)の 右側

だ し 式(3.69)のh2はh1と

で は 式(3. しな け

お 付 着 摩 際 の 苛 題 は 平 行 型 苛 の ず え 込 み の 場 合 と 可 様 で あ る.

出 し加 工,引

抜 き加 工

  押 出 し 加 工(extrusion)は

叉3.17に

示 す よ う に,型

穴 を も つ ダ イ(die)ま

た

は ダ イ ス と よ ば 托 る 工 具 か ら 材 料 を 押 出 し て 所 要 の 形 状 を 之 る 加 工 蔽 で あ る. 型 穴 を も っ 部 分 と 素 材 〔ビ レ ッ ト,billet)*の

*塑

収 容 部 が 分 離 し う る 場 合 に は前

性 加 工 で は い ろ い う な 杉 状 の 素 材 が 用 い られ る が,大 鋼 片 を ビ レ ット(billet),偏 sheet

bar),鋼

用 され て い る、

平 鋼 片 を ス ラ ブ(slab),さ

板 を プ ラ ン ク(blank)と

よ び,鋼

鋼 片 を ブル

ー ム(bloom),小

ら に 偏 平 な 鋼 片 を シ ー トバ ー

以 外 の 素 材 に 吋 し て も 同 じ名 称 が 慣

者 を ダ イ,後 と い う.一

者 を コ ン テ ナ(container)

体 の 場 合 に は 両 者 を あ わせ て

ダ イ と い う.せ

ん孔 用 の 棒 状 工 具 を ポ ン

チ(punch),前

方 押 出 しの 場 合 に 材 料 を

押 す 板 を 加 圧 板(pressurepad),加

圧板

を動 か す 機 械 部 分 を ラ ム(ram),管

材 の

場 合 に 挿 入 さ れ る 棒 を マ ン ド レ ル(mandreI)と い う.ま

(a)組 合 せ 冷 間押 出 し

た加 圧 方 向に 材料 が押

出 さ れ る 場 合 を 前 方 押 出 し(forward extrusion),逆

方 向 に 押 出 さ れ る場 合 を

後 方 押 出 し(backwardextrusion)と う.摩

擦 力 の 方 向 が 異 な る こ とに 注 意 さ

れ た い.ま

た 図3I18(a)に

方 押 出 し,後

方 押 出 し,す

示 す よ うに 前 え込 み を兼 ね

た加 工 も可 能 で あ る.製 品 も丸 棒,円 平板 に 限 らず,同 様,押

い

管,

(b)押 出 し製 品 の 断 面 例 図3,18

組 合 せ 押 出 し,押 出 し製 品例

図(b)に 示 す 各 種 断 面 の もの が 製 造 で き る・ 鍛 造 の場 合 と同

出 し加 工 は鋳 造 組 織 の 材 料 の鍛 練(熱 間 加 工),鍛

の加 工,に

練 され た 材 料 の 製 品 へ

大 別 さ れ る.後 者 の 加 工 で は 冷 間加 工 が 主 で あ る.押 出 し加 工 の 精

度,仕 上 面 品 位 は 良 好 で あ り,材 料 損 失 が 少 な い こ と,生 産 費 が安 い こ とな ど もあ っ て しだ い に切 削 加 工 に 匹敵 す る もの に発 達 しつ つ あ る. 引 抜 き加 工(drawing)は

図3.19に

示 す よ う に,材 料(鍛 練 ず み)を ダ イ を 通

して 引 抜 い て 所 要 の 形 状 をえ る加 工 法 で あ る.丸 棒,円 図3.18(b)の

よ う な 多様 な 断 面 は 製 造 で き な い∴ 直 径5mm程

棒 の 引 抜 き を線 引 き(wiredrawing)と で あ る が,タ

管 の 製 造 が 主 で あ り,

い う.引 抜 き加 工 の 多 くは 冷 間 引 抜 き

ン グ ス テ ン や モ リブ デ ン な どに は 高 温 引 抜 きが 行 わ れ る.図3.

19(b)の 管 材 の 空 引 き は 外 径 の 減 少 が 目的 で あ り,内 径,肉 が,同

度以 下 の細 い

厚 を制 御 で き な い

図(c)で は こ れ が 可 能 で あ る.同 図(d)の 玉 引 き で は 管 材 の 内 面 も摩 擦

され る た め,内

面 の 仕 上 が りが よ い.同 図(e)は プ ラ グ形 状 を 調 整 して加 工 中

(ａ)中 実 材 の 引抜 き

(ｂ)空

引

(ｄ)玉

(ｃ)心 金 引 き

(ｆ)押

は 管 材 の 内 径 変 化 が な く,薄

て よ い.式(3.17)でdε

出 し加 工,引

流 出 す る た め,塑

(steady

plastic flow),定

性 流 れ の 状 態 が 刻 々 に 変 化 す るの に 対

flow),非

図3.19(a)の

者 は 非 定 常 塑 性 流 れ(non-

定 常 変 形 加 工 で あ る の に 対 し,後

者 は定 常 塑 性 流 れ

常 変 形 加 工 で あ る.

  ａ.直 線 ダ イ に よ る 中 実 材 の 押 出 し,引

die)も あ る が,簡

肉管 で あ れ ば 平 面 ひ ず み 状 態 とみ

性 流 れ の 状 態 が 変 わ ら な い.前

plastic

イ(straight-line

尺 物 の 引 抜 き に 適 し て い る.

抜 き加 工 で は 材 料 要 素 が 一 定 の 変 形 域 を通 過 し て 定 常 的 に

steady

 図3.17(a)と

き

θ〓0と み れ る か ら で あ る.

  前 項 の 鍛 造 加 工 で は 工 作 物 の 形 状,塑 し,押

抜

種 の 引抜 き加 工

に 自 動 的 に プ ラ グ に 平 衡 を と ら せ る も の で あ り,長 同 図(ｄ),(ｆ)で

き

(ｅ)浮 動玉 引 き

き

図3.19各

引

抜 き

場 合 を 扱 っ て み よ う,ダ

die)と は 限 ら ず,ラ

ッ パ 形 の 断 面 を も つ 曲 線 ダ イ(curved

単 の た め 直 線 ダ イ に 限 定 す る.ま

製 造 さ れ る 場 合 を考 え る と,図3.15の

イ は 図示 の よ う な直 線 ダ

ず 平 面 ひず み 状 態 で 平 板 が

微 小 要 素 に よ る微 分 方 程 式(3.66)で

μ

が 負 と な っ た も の を使 え ば よ い こ とが 直 ち に わ か る.図3.20に 入 口 高 さ をh1,出

口 高 さ をh2と

す れ ば,ク

お いて ダイの

ー ロ ン 摩 擦 が 働 く場 合,式(3.69)

か ら   押 出 し加 工 境 界 条 件:h=h2で

σx=0,σn=-2k}

σx=2k+σn

 (3.71)

引抜 き加工 境 界 条 件:h=h1で

た だ し σe,σdは

σx=0,σn=-2k

そ れ ぞ れ 押 出 し 応 力,引

抜 き 応 力 で あ る.μ=tanα

例 と し て と る と,σe=-4k{(h1-h2)/h2},σd=4k{(h1-h2)/h1}で ￨σd￨と な っ て い る.こ

れ は(-σn)e＞(-σn)dの

大 き い か ら で あ る.μ=0の

場 合 は,式(3.66)で

の場合 を あ り,￨σe￨＞

ため 押 出 しの ほ うが摩 擦 抵 抗 が μ=0と

し た も の を積 分 す れ

ば よ く h1/ ,σd=2k1n h2

σe=-2k1n

が容 易 に確 か め られ る.￨σe￨=￨σd￨で

h1/ h2

 (3.72)

あ る.

 次 に 軸 対 称 の 場 合 を考 え よ う.図3. 21(a)に 示 す よ う に 塑 性 域 の 入 口は 半 径 γ1,中 心 角2α の 球 面,出

口 は 半 径r2,

中 心 角2α の球 面 で あ る と考 え る.そ

し

て塑性 域 内 で要 素 は中心 Ｏに 向 か って 流 れ,点

Ｏ を極 と す る半 径 流 を 形 成 す

る と考 え る.応 力 状 態 は球 対 称,す

なわ

図3.20平

面 ひ ずみ 押 出 し加 工, 引抜 き加工

ち は 図示 の よ うに一 様 分 布 と し,ダ

イ面 の摩 擦 は 加 工 力 の み

に影 響 して 主 軸 方 向 に変 化 を与 え な い と 仮 定 す る.図

示 の球殻

要 素 の 軸 方 向 の 平 衡 は,σ 。を 6zと 書 き 直 し た 同 図(b)の

円板

(a)

要 素 の平 衡 に お きか え て考 え て よ い か ら*

(b) (3.73) こ こ で 同 図(a)に

図3・21

軸 対 称 押 出 し加 工,引 抜 き加 工

つ い て 降 伏 条 件 を 考 え る と,Misesの

降 伏 条 件 は 式(2.16)よ

を考 慮 して

り,

ま たTrescaの

降 伏 条 件 は 式(2.18)よ

り

(3.74) と な っ てY『 を 用 い れ ば 両 降 伏 条 件 は 一 致 す る ・ 式(3.74)を

式(3.73)に

代 入す

れば

(3.75)

が え ら れ る.こ

*材

れ ら の 式 はSachsの

方程 式 とよば れ る・

料 力 学 の 内圧,外 圧 を受 け る球殻 の問 題 と同 じで あ る.

式(3.75)を

積 分 して

(3.76)

積 分定数 Ｃ を境 界条件 か ら定め ると 押 出 し加工 境 界 条 件:R=R2で

σz=0,σn=-Y

σz=Y+σn

 (3.77)

引 抜 き加 工 境 界 条 件 ：R=R1で

と な る.σe,σdは

そ れ ぞ れ 押 出 し 応 力,引

ひ ず み の 場 合 の 式(3,71)と (3.77)に tanα

σz=0,σn=-Y

抜 き 応 力 で あ る.式(3.77)を

比 較 す れ ば 明 ら か な 類 似 が あ る こ と が わ か る.式

つ い て 押 出 し 加 工 と 引 抜 き 加 工 を 比 較 し て み よ う.簡

と す る.R2/R

1=O.5と

る 曲 線 が え ら れ る.横 を 表 し て い る.σe=-6Yで

す る と 図3.22の

軸 はR/R,で

あ り,R/R1=1が

あ り,コ

出 口

あ り,こ

条 件 に よ っ て-σe＜

ン テ ナ を用 い る場 合 に は そ の 壁 面

で の 摩 擦 抵 抗 が 押 出 し 力 に 加 算 さ れ る か ら,実 抜 き 応 力 は σd=1.5Yで

入 口,R/R1=0.5が

ン テ ナ が な け れ ば 材 料 は ダ イの 入 口 に 達

な る 場 合 に は コ ン テ ナ は 必 要 な い.コ

な る.引

単 の た め μ=

「押 出 し(１)」,「 引 抜 き(１)」 な

す る 以 前 に 圧 壊 し て し ま う の が わ か る.μ,α,R2/R1の Yと

平 面

際 の 押 出 し応 力 は-σe＞6Yと

れ も 降 伏 条 件 を お か し て い る.す

わ ち 出 口 の 材 料 を つ か ん で 引 張 れ ば(単 軸 引 張 り),ち

な

ぎ れ て し ま う わ け で あ り,

図3.22変

形 域 内 の 応 力分 布 μ=tanα,R2/R1=0.5

R2/Rl=0.5で

は 引 抜 け な い.引

う にR2/R1=0.72で

も ち ろ ん 引 抜 き 可 能 で あ り,σd＜Yで

り 明 ら か な よ う に,応 あ り,引

抜 き 加 工 で はp＞0の

制 約 か らR2/R1を

ば￨σd￨＜￨σe￨で

た同 図 よ

つ い て は￨p￨e》￨

部 分 も 生 ず る の で 破 断 が 生 じ や す い .鋳

複 雑 断 面 の 製 造 に 適 さ な い ゆ え ん で あ る .ま 小 に で き な い 不 便 さ も あ る .し

あ り,R2＜R1で

た ダ イ の 面 圧 も 低 い か ら,ダ

対 す る もの で

あ る.ま

力 の 静 水 圧 成 分p=(σz+2σn)/3＜0に

造 組 織 の 鍛 練 や 図3.18(ｂ)の σd＜Yの

限度 は 図か ら明 らか な よ

あ り,「 押 出 し(２)」 な る 曲 線 は 同 じR2/R1に

あ る.R2/R1=O.8は

p￨dで

抜 き 可 能 なR2/R1の

た

か し同 じ条 件 な ら

も あ る か ら 加 工 力 は は る か に 小 で す む* .ま イ の 強 度 や 摩 耗 の 点 で も有 利 で あ る .押

は こ れ ら の 諸 点 で 逆 の 特 性 を も ち,ダ

イ,コ

ン テ ナ の 耐 圧 力,加

出 し加 工

工 機 の 出 力,

ダ イ の 摩 耗 な ど が 実 際 上 の 制 約 と な る.  引 抜 き加 工 の 際 に,ダ す る 目 的 で 図3.23(ａ)の

*所

イ の 面 圧 を 下 げ て 摩 擦 応 力 を 減 じ,ダ よ う に 逆 張 力(back

要 動 力 の 比 はPd/Pe=￨σd￨/￨σe￨で

あ る.

tension)を

イ の摩 耗 を 防止

か け る こ と が あ る .式

(3.76)の

積 分 定 数 を,R=R1で

σz=σb,σn=σb-Yと

して定 め れ ば よ く

(3.78)

と な る.σbは

逆 張 力 の 応 力 で あ る.式(3.77)と

加 項 と し て 現 れ る こ と が わ か る.逆 図3.22のR2/R1=O.8の 0.44Yで

あ る.脆

場 合 で は い 材 料(マ

大 と す る た め,図3.23(ｂ)の R2/R,=0.8の り,逆

場合 では

圧 力-σpは

比較す れ ば逆張 力の影 響 は付

張 力 の 付 与 は σd≦Yの

範 囲 で 可 能 で あ り,

「引 抜 き(２)」 な る 曲 線 が 限 度 で,σb≦

グ ネ シ ウ ム な ど)の 押 出 し で は 応 力 の 静 水 圧 成 分 を よ う に 逆 圧 力 を か け る こ と も あ る.図3.22の

「押 出 し(２)」,「 押 出 し(１)」 な る 曲 線 が そ の 場 合 で あ

そ れ ぞ れ-0.45Y,-3.1Yで

あ る.押

出 し圧 力,型

面圧 力

は も ち ろ ん 増 大 す る.   式(3.77)に

よ れ ばR2/R1が

一 定 の 場 合,押

角 α が 大 な る ほ ど小 さ く な る.α

出 し,引

抜 きの加工 力 は ダ イ ス

が 大 な る ほ ど材 料 と ダ イ と の 接 触 面 積 が 減 じ,

摩 擦 抵 抗 が 小 と な る か ら で あ る.し

か し実 際 に は 角 度 α に 最 適 値 が あ り,こ

れ を越 え れ ば 加 工 力 が 再 び増 大 す るこ とが 実 験 か ら知 られ て い る.上 述 の 解 析 で は 図3. 21(ａ)の塑 性 域 入 口 お よ び 出 口 に お け る塑 性 流 れ 方 向 の 変 化,す

な わ ち方 向 変 化 に伴 うせ (ａ)逆 張 力 引抜 き

ん 断 仕 事 が考 慮 さ れ て い な い の が 不 一 致 の 大 き な理 由 と考 え ら れ る.同 図 に お い て,塑 性 域 入 口 で の 方 向 変 化 量 を角 度 φ(2γzrに相 当 す る)と す れ ば,単 位 体 積 あ た りの せ ん 断 仕 事 はkφ で あ り*,l0の 長 さ の 素 材 に 対 し て せ ん 断 仕 事Wsは

αが 大 で な い と して

(ｂ)逆 圧 力押 出 し 図3.23逆

張 力 引 抜 き,逆 圧 力 押 出し

*平

面 ひず み で は ない が,方 向 変 化 す な わ ち速度 変 化 が 不 連 続 的 に 生 ず る と考 え て い る か ら,せ ん 断 ひず み 速度 は無 限 大 で あ り,流 動 法 則 か らせ ん 断 応 力 は最 大 値 ｋ とな る.

一方

,こ

の 仕 事 に よ る 付 加 的 軸 応 力 を ⊿σ とす れ ば Ws=⊿

両 式 よ り ⊿σ=(2/3)kα =(4/3)kα

σπR12lO=⊿ σπR22l1〓 ⊿σπγ12α2l0

と な る.塑

性 域 出 口 に つ い て も 同 様 で あ り,結

が 付 加 的 軸 応 力 と な る.し

た が っ てMisesの

(+:引 を 付 加 項 と し て 式(3.77)の Korber-Eichinger効

抜 き,-:押

σd,σeに

降 伏 条 件 を とれ ば 出 し)

 (3.79)

加 え れ ば よ い.式(3.79)の

果 と よ ば れ て い る.こ

付 加 項 は

の 項 の 付 加 に よ り σd,σeは

イ ス 角 α に 対 し て 極 値 を も つ よ う に な る.   b.直

線 ダ イ に よ る管 材 の 引 抜 き

  図3.24に

示 す管材 の 引抜 きを考 え

よ う.同

図(ａ)は 空 引 き(hollow

sink-

ing),同

図(ｂ)は 玉 引 き(plug

draw-

ing)と

よ ば れ る.管

十 分 に 薄 く,塑

厚 は 直径 に 比 べ て

性曲げや管厚 方向の応

力 の 変 化 は 無 視 で き る も の と す る.ま た空 引 きの 場 合 に は 管 厚 の変 化 は 生 じ な い も の と仮 定 す る.ダ

イ の 母 線 方 向,

ダ イ 壁 に 垂 直 な 方 向,円

周方 向 の 垂 直

応 力 を そ れ ぞ れ σ1,σ2,σ3と

に は クー ロ ン 摩 擦 が 働 く が,既

(ａ)空

引

き

し,近

似 的 に 主 応 力 で あ る と考 え る.ダ

イ壁

述 と同

様 に 摩 擦 は 加 工 力 の み に 影 響 し,主

軸

方 向 に は 変 化 を 与 え な い とす る.同

図 (ｂ)玉

引

き

の 応 力 要 素 の σ2の 方 向 の 平 衡 を 考 え る

と

局2⊿6

図3.24管

材 の 引抜 き

あ るダ

空 引 き の場 合

玉 引 きの 場合

(3.80) (3.80) と な る.実

際 に は σ2,σ3は 圧 縮 応 力 で あ る が,空

引 き の 場 合 に は￨σ2￨≪￨σ3￨

玉 引 き の 場 合 に は σ2〓σ3で あ る こ と が わ か る*.次

に σ1方 向 の 平 衡 を 考 え る

と

空 引 き の 場合

玉 引 きの場 合

(3.81) 式(3.80)を

(3.81)

式(3.81)に

代入 すれば

と な る.

Trescaの

降 伏 条 件 σ1-σ3=Y『

=(r/sinα)sin(δ-α)を

を 代 入 し,玉

使用 す ると

空 引 きの 場 合

,次

引 き の 場 合 に は 幾 何 学 的 関 係t

式 の 微 分 方 程 式 が え.ら れ る.

玉 引 きの 場 合

(3.82) (3.82) 境 界 条 件:入

*空

口(γ=γ0)で

σ1=0を

用 い て積 分 す れ ば

引 きの 場合,管 厚 が 小 だ と σ3によ って座 屈 が生 じ,管 に縦 方 向 の しわ が 生 ず る こ とが あ る.

(3.83)

が え ら れ る.引

抜 き荷 重Pdは

(3.83)

出 口(γ=γ1)で

の σ1の値 を 求 め

Pd=2πr1t1(σ1)γ=γ1・cosα  と す れ ば よ い.た   c.直

出 口 で の 管 の 厚 さ で あ る.

角 ダ イ に よ る平 面 ひ ず み 押 出 し

 図3.25に う.理

だ しt1は

(3.84)

示 す 直 角 ダ イ(square

die)に

よ る平 面 ひ ず み 前 方 押 出 し を考 え よ

想 塑 性 変 形 エ ネ ル ギ 解 法 を 用 い る こ と に す る.塑

性 変 形 域 を 同 図(ａ)の

領 域(Ⅱ)お よび(Ⅲ)と し,生 ず る塑 性 変 形 を次 の よ うに理 想 化 す る.押 出 し加 圧 板 が 距 離dU行

す る と,領 域(Ⅱ)内 の 材 料

は領 域(Ⅰ)(素 材)か ら侵 入 した材 料 に よ っ て 一 様 に 圧 縮 され,同

図(ｂ)に 点 線 で 示 す

よ うに 領 域(Ⅲ)に はみ 出 す.こ

の 際,領 域

(Ⅱ)で は 図 示 の ｙ方 向 の 変 位 成 分dυ Ⅱが 生 ず るか ら,領 域(Ⅰ)と の 間 にせ ん 断 が お こ るは ず で あ るが,境

界 線2-4に

沿 っての

み 不 連 続 的 にせ ん 断 変 形 が 生 ず る と考 え る. (ａ)

こ れに対 す るせ ん 断応 力 の絶 対値 は ｋで あ る.領 域(Ⅲ)に あ っ た 材 料 は領 域(Ⅱ)か らは み 出 した 材 料 に よ って 一 様 に圧 縮 さ れ る と同 時 に,境 界4-6を

越 えて 領 域(Ⅰ)か

ら侵 入 し た 材 料 に よ っ てdUだ

け上 方 に

一 様 に 押 上 げ られ ,同 図(ｂ)の 点 線 の 形 に 変 形 す る.こ の 際,境

界4-6,3-5,3-4に

浴 って 上 述 と同 様 なせ ん 断 が 生 ず る と考 え

(ｂ)

図3.25直

角 ダ イに よる平 面 ひず み 押 出 しの 理 想塑 性 変 形 エ ネ ル ギ解 法

る.境 界4-6と3-5に

沿 うせ ん 断 は 同 じ大 き さ で あ る.ま た これ らに 対 す るせ

ん 断 応 力 の 絶 対 値 は いず れ も ｋ で あ る*.  結 局,領

域(Ⅱ),(Ⅲ)内

の 平行 圧 縮 変 形 と,境 界 で のせ ん 断 変 形 に要 す る塑

性 仕 事 を考 えれ ば よい わ け で あ る.紙 面 に垂 直 な厚 さ を １ と して こ れ ら を計 算 す る. 領 域(Ⅱ)内 の圧 縮 仕 事 dWⅡ=2k(b-a)dU 領 域(Ⅲ)内 の圧 縮 仕 事

領 域(Ⅰ),(Ⅱ)間

の 境 界せ ん 断 仕 事

領 域(Ⅱ),(Ⅲ)間

の境 界 せ ん 断仕 事

領 域(Ⅱ),(Ⅲ)間

の 境 界せ ん 断 仕 事

領 域(Ⅲ),(Ⅳ)間

の 境 界 せ ん 断仕 事 dWⅢ-Ⅳ=dWⅠ-Ⅲ

*図3.14の

説 明 お よび 図3 .21に つ い て の脚 注(p.98)で 述 べ た よ う に,平 面 ひず み で

は変 形 域-非 変 形 域 の境 界 は速 度 不 連 続 の有 無 に よ らず 主 せ ん断 応 力面 で あ り,ま た 速 度不 連 続 面 は 平 面 ひ ずみ で な くて も常 に主せ ん断 応 力 面 で あ る(第 ４章参 照).

以 上 よ り壁 面 に摩 擦 が な い 場 合 の全 塑 性 仕 事 は 図3.25(ａ)の 左 半 分 に つ い て

(3.85) とな る.平 均 押 出 し圧 力peは 外 力 の仕 事 を塑 性 仕事 に 等 しい とお い て pe=

1 dW /b / dU

 (3.86)

と な る が,変 形 域 の 高 さ ｈが まだ きめ られ て い な い.第 理 に よ れ ば,式(3.85)のdWが で,d(dW)/dh=0を

５章 で 述 べ る上 界 定

極 小 に な る場 合 のpeが 最 も正 解 圧 力 に 近 い の

解 け ば 最 適 な ｈが

(3.87) と求 ま る.た

だ し Ｒ は 断 面 減 少 率R=1-a/bで

あ る.し

たが って平 均 押 出 し

圧 力peは

(3.88) とな る.壁 面 に摩 擦 が あれ ば これ に よ る摩 擦 仕 事 をせ ん 断 仕 事 と 同様 に 計 算 し てdWに

3.3.3圧

加 え れ ば よ い.

延

加

工

 圧 延 加 工(rolling)は 回転 す る ロー ル の 間 に素 材 を とお して そ の 断 面 積 を 減 少 させ る加 工 法 で あ り,各 種 の ロー ル 断 面 形 状,圧 丸 棒,管

延 方 法 を組 合 せ て板 材,形

材,

材 な ど を製 造 す る こ とが で き る.圧 延 は鍛 造 を連 続 的 に 行 う発 想 か ら

発 展 し た もの で あ り,鍛 造 の 場 合 と同 じ く,鋳 造 組 織 の 鍛 練,分 形 を 目 的 とす る １次 加 工(熱 間 加 工),製

塊,粗

形 の成

品 を え る た め の ２次 加 工(冷 間 お よび

熱 間加 工)に わ け ら れ る.し か し通 常 は 製 造 工 程 が 連 続 して い る た め,こ

の区

分 は は っ き り しな い こ とが 多 い.圧 延 加 工 の大 略 の 工 程 を示 せ ば 次 の よ うで あ る.ま ず 鋳 造 され た イ ン ゴ ッ ト(ingot)は 図3.26に 下 の ロー ル 間 で分 塊 圧 延 され,小

示 す よ うな断面 形状 の上

わ け に さ れ る.丸 鋼,形 鋼 の 場 合 に は,こ れ

を図3.27に

示 す 順 序 で繰 返 し圧 延 して最 終 断 面 形 状 を え る.円 管 の 場 合 は,

図3.26分

図3.28に

塊 ロー ルの 孔 形例

示 す 方 法 で 丸 鋼 に 熱 間 せ ん 孔 し,

次 い で 熱 間 で 図3.29に り圧 廷 を 行 う.冷

示 す 延 伸 圧 廷,絞

間 加 工 して 製 品 と す る 場

合 に は 冷 間 引 抜 き が 一 般 的 で あ る が,図 3.29と

類似 の方 法 で冷 間圧延 す るこ と も

で き る.こ

れ ら の方 法 で 製 造 さ れ る継 目無

し鋼 管 の ほ か,図3.30に

示 す よ うに板 材

を 成 形 圧 延(roll forming)し,継

目 を 鍛 接,

溶 接 し て 管 と す る こ と も行 わ れ る.電

気溶

接 に よ る も の は 電 縫 管 と よ ば れ る.  以 上 の 圧 延 加 工 で 基本 と な る もの は 平板 の 圧 延 で あ り,従 い る.し 延,マ

来 多 くの 研 究 が な さ れ て

か し他 の 断 面 形 状 を もつ 材 料 の 圧 ン ネ ス マ ン型 せ ん 孔 に つ い て の解 析

は 十 分 で な く,実

験 式 的 な も の が 多 い.そ

こ で 以 下 の 記 述 で は対 象 を平 板 の圧 延 の み に 限 る こ と に す る.図3.31の 係 か ら 始 め よ う.素 h1-h2は

age

材 と製 品 の 高 さの 差

圧 下 量(rolling

-h2)/h1}×100%は

reduction),{(hl

圧 下 率(draft

reduction)と

の 差b2-b1は

幾何 学 的関

よ ば れ,製

,percent-

品 と材 料 の 幅

幅 広 が り(width

spread)と

図3.27鋼

材 の 圧 延 用 孔 形,(ａ)丸 (ｂ)み ぞ 形 鋼,(ｃ)Ⅰ

形鋼

鋼,

(ａ)マ ン ネ スマ ン 型(ｂ)コ

ー ン 型(ｃ)デ

図3.28マ

ン ネ ス マ ン型 せ ん 孔 方 式

(ａ)延

伸 圧廷

(ｂ)絞

り圧 延

図3.29円

図3.30鍛

管

の

圧 延

接鋼 管 の 製造 法

ィス ク型

よ ば れ る.b1/h1＞20な ど 無 視 で き,平

ら幅 広 が りは ほ とん

面 ひ ず み 状 態 と考 え て よ い.

以 後 の 解 析 で は 常 に 平 面 ひ ず み 状 態 と す る. 図 示 の 角 α を 接 触 角(contact

angle)と

通 常 の 圧 延 で は ロ ー ル が 回 転 し,素 的 に ロ ー ル 間 に 引 込 ま れ る が,こ 摩 擦 が 必 要 で あ る.材

い う.

材 は 自動

の ために は

料 の 入 口お よ び 出 口の

速 度 を そ れ ぞ れ υ1,υ2と す る と,平

面 ひ ず 図3.31圧

み,非

延 の 速 度,摩

圧 縮 性 の 条 件 よ り υ2＞υ1で あ る が,

擦 力,

無 すべ り点

ロー ル の 周 速 を Ｖ と した場 合 V＞

υ1,V＜

の と き摩 擦 力 の 方 向 は 図 示 の 状 態 と な り,素 ち,接

触 面 内 の ど こ か にV=υiの

υ2 

(3.89)

材 の 引 込 み が 可 能 と な る.す

無 す べ り点 が 表 れ る 場 合 で あ る.こ

は 相 対 的 に ロ ー ル を 止 め て 考 え て み れ ば す ぐに わ か る.ロ 出 口 速 度=υ2-V＞0,入

口 速 度=υ1-V＜0で

あ り,こ

slip),無

angle)と

の こ と

ー ル を 止 め た 場 合, の 場 合 に の み 図3.15

の 傾 斜 す え 込 み が 可 能 と な る か ら で あ る.{(υ2-V)/V}×100%は ward

な わ

先 進 率(for-

す べ り点 の 位 置 を 示 す 同 図 の 角 ψnは 無 す べ り角(no

よ ば れ る.ψnが

slip

定 ま れ ば υ1h1=υ2h2=Vhn,hn=h2+2R(1-cosψn)

であ るか ら

(3.90) と な っ て素 材,圧 延 材 の 速 度 が 求 め ら れ る.   クー ロ ン摩 擦 を 前提 と して 図3.32の 図3.15の

微 小 要 素 の 軸 方 向 の 平 衡 を考 え る と,

場合 と 同様 に

(3.91) と な る.要

素 が 無 す べ り点 よ り 出 口側(先 進 側)に あ る 場 合 に は 複 号 の(-)を

る.式(3.91)を

書 き直 し

と

図3.32圧

延 の応 力 要 素

(3.91)′

と した もの はvon (遅 れ 側),(+)は

Karmanの

圧 延 方 程 式 と よ ば れ る*1.複 号 の(-)は

入 口側

出 口側(先 進 側)で あ る.さ て圧 延 前 に圧 延 方 向 に垂 直 で あ っ

た横 断 面 は 圧 延 後 も平 面 を保 つ と仮 定 す る と,x,y方

向 が 主 軸 と近 似 され ,

接 触 角 αが 冷 間圧 延 の 場 合 の よ うに 小 とす れ ば (3 .92)

式(3.92)を

式(3.91)に

代 入 す れ ば,式(3.66)と

同様 に

(3.93) が え ら れ る.し か し ψ は ｈの 関 数 で あ るか ら この ま ま で は 積 分 で き ず,若 干 の 変 換 を要 す る.ロ ー ル 面 の 形 状 を完 全 な 円 弧 とす る と*2,ψ は 小 と して

(3.94) ここで *１

式(3.91),(3,91)′ れ て い る.以

イ に よ る 押 出 し,引

*２

を 厳 密 に 解 く の は 困 難 で あ り,い

下 の 解 法 はNadaiに

よ る.ま

ろ い ろ な近 似 解 法 が 提 案 さ

た こ れ らの 式 は 任 意 断 面 形 の 曲 線 ダ

抜 き に 対 し て 成 り立 つ こ と に 注 意 さ れ た い .

実 際 に は ロー ルは 面圧 の ため 弾性 変 形 し,偏 平化 す る.

(3.95)

な る新 変 数 ψ を導 入 す る と,式(3.94)は (3.96)

とな り,こ れ を微 分 す れ ば (3 .97)

と な る.dσn={(dσn/dψ)・(dψ/dh)}dhと

考 え,式(3.93)に

式(3.96),(3.97)

を代 入 す れ ば

とお き,さ

らに 積 分 の 解 析 的 表 示 を可 能 とす る た めtanψ 〓 ψ と

お くと (3.98)

が え られ る.こ れ は 線 形 微 分 方程 式 で あ るか ら,一 般 解 は

(3.99) ψ と ｘ と の 関 係 は,式(3.95)よ

り

(3.100) で あ る か ら,入

口(x=x1),出

口(x=0)に

の 積 分 定 数 Ｃ を 定 め れ ば よ い.入

口 側 で は 複 号 の(-),出

っ た 式 を 用 い る の は も ち ろ ん で あ る.通 =-2kで

あ る が,図3

口 に 前 方 張 力(front

.32に tension)を

口 側 で は(+)を

口 に 後 方 張 力(back

tension),出

与 え て 張 力 圧 延 す る こ と が 行 わ れ る の で,境

積 分 定 数 を定 め る と

と

常 の 圧 延 で は(σn)x=x1=-2k,(σn)x=0

示 す よ う に,入

条件 を

と し て 式(3.99)の

お け る 境 界 条 件 を 与 え て 式(3.99)

界

入 口側(遅 れ側):

(3.101) 出 口側(先 進 側):

と な る.無 すべ り点 の 位 置 は両 側 で の σnが等 し くな る位 置 と して 定 ま る.図 3.33は

式(3.101)の

数 値 計 算 例 で あ り,各 曲 線 の 交 点 が そ の 条 件 で の 無 す べ

り点 位 置 で あ る.出

口 と入 口に 等 し い張 力 を与 え れ ば 無 すべ り点 は 図示 の 点 線

の よ うに移 動 す る.ま た後 方 張 力 の み を与 え る と無 す べ り点 は 出 口 に近 づ き, 遂 に は ロー ル の外 に 出て しま う.こ の状 態 で は材 料 が 常 に ロ ー ル の周 速 よ り遅 く,空 す べ りの 状 態 に な っ て し ま う.一 方,前 方 張 力 の み を 増 せ ば 無 す べ り点 は 入 口 に近 づ くが,入

口か ら出 る こ とは あ りえ な い.ロ ー ル の 引 込 み作 用 は な

くな る し,そ れ 以 前 に σfが 出 口 材 料 の 降 伏 引 張 り応 力2kを ら で あ る.ま

越 え て し ま うか

た 同 図 か ら,張 力 圧 延 を行 え ば ロー ル 面 圧 力 ー σnが減 少 す る の

が わか る.張 力 圧 延 の 目的 は ロー ル 面 圧 力 を減 じ,ロ ー ル の 弾 性 変 形 に よ る偏

図3.33変

形域 内の 応 力分 布(Nadai)

2R=16″,h2=0.1″,圧

下 率=20%,μ=0.224

平 化 を 防 止 す る こ と に あ る*.な

お 以 上 の 状 況 は 図3.22の

押 出 し,引

抜 きの

場 合 と よ く似 て い る.

ロー ル の単 位 幅 当 りの 圧 下 力 Ｐ お よ び トル ク Ｔ は 次 式 で 計 算 され る.

(3.102)

先 進 側 で は 摩 擦 が トル ク を 減 ず る 方 向 に 働 く こ と を 注 意 さ れ た い.薄 圧 延 な ど で は １≫ μtanψ,cosψ

〓1で あ り,式(3.102)は

板 の冷 間

次 式 と な る.

(3.103)

3.3.4深

絞

り 加

  深 絞 り加 工(deep

工

drawing)は

板 材 の 成 形 加 工 の 一 種 で あ り,平 板 か ら継 目

の な い 底 付 き容 器 を成 形 す る方 法 で あ る.な べ,さ

らの よ う な 日用 品 か ら,計

器 部 品,電 気 部 品,自 動 車 や 航 空機 の ボデ ィ な ど,小 型 製 品 か ら大 型 製 品 の 製 造 まで 広 く利 用 され て い る.   図3.34は り,深

円 板 素 材(ブ ラ ン ク,blank)か

絞 り の 最 も 基 本 的 な 場 合 で あ る.肩

ダ イ 上 に ブ ラ ン クが 置 か れ,同 ン チ(punch)に あ る か ら,円

に,半

*加

部(ダ イ ラ ジ ャ ス 部)に 丸 味 を つ け た

じ く肩 部(ポ ン チ ラ ジ ャ ス 部)に 丸 味 を つ け た

よ っ て ブ ラ ン ク は ダ イ 孔 内 に 絞 り込 ま れ る.ブ 周 方 向 の 圧 縮 力 に よ っ て フ ラ ン ジ(flange)部

の よ う な し わ(wrinkle)が (blank

ら円 筒 容 器 を絞 る作 業 の 要 領 で あ

holder)が

生 じ や す い.こ

用 い ら れ る.フ

ポ

ラ ン クは 薄 板 で

が 座 屈 し,同

図(ａ)

れ を防 止 す る ため に しわ 押 え板

ラ ン ジ部 の材 料 は 水 が 排 水 孔 に 流 れ 込 む よ う

径 を収 縮 し つ つ ダ イ 孔 に 絞 り込 ま れ る た め

“絞 り” の 名 が あ る.

工硬 化 した薄 板 の圧 延 では,圧 延 荷 重 を増 して も ロー ル の 弾性 変 形 と接 触 面 積 の 増 大 の み が生 じ,ロ ー ル面 圧 力 は 増大 せ ず,そ の た め に板 厚 が 減少 し ない と い っ た事 態 が 生 ず る.張 力 圧 延 は低 い ロー ル面 圧 力 の もとで 材料 が 降伏 し う る よ うに 応 力 状 態 を 変 えて い るわけ であ る.

(ａ)

(ｂ)

図3.34円

筒 容 器 の深 絞 り加 工

 深 絞 り加 工 は 各 種 の容 器 につ い て 行 わ れ るが,基 本 と な る 円 筒容 器 の 場 合 を 解 析 し て み よ う.ま ず 図3.34(ｂ)の

フ ラ ン ジ部 分 か ら始 め る.図 示 の 要 素 の

半径 方 向 の平 衡 を考 え る と,式(3.22)を

修 正 して(付 録 ２参 照)

(3.104) と な る.σzは し わ 押 え に よ る垂 直 応 力 で あ る が,後

述 の よ うに 板 厚 ｔは外 周

で 最 も大 き い た め σzは外 周 に しか働 か な い と考 え て よ い.す

なわ ちフ ラ ンジ

部 は σz=0の の で,ｔ

平 面 応 力 状 態 で あ る.ま

た 板 厚 ｔの 変 化 は 実 際 に は わ ず か で あ る

の 変 化 も 無 視 す る こ と に し よ う* .し

た が っ て 式(3.104)は

式(3.22)

と同様 に dσr / dr と な る.一

方

τrθ=τθz=τzr=0で

+

1 /γ

(σr-σ

あ るか

(3.105)

θ)=0

ら σr,σ θは 主 応 力 で あ り,Trescaの

降 伏 条 件 を とれ ば

(3.106)

σr-σ θ=Y

式(3.106)を

式(3.105)に

代 入すれば dσr / dr

=- Y /r

(3.107)

積 分 して σｒ=-Y1nr+C と な る.し

(3.108)

わ 押 え 力 Ｈ を 外 周 に の み 働 く と す る と,こ

は 外 周 に お い て2μH/2π

れ に よ る 摩 擦 力2μH

γ0tな る σrを 与 え て い る と み る こ と が で き る.し

たが

って (σr)r=r0=

μH/ πγ0t

   (3.109)

を境 界 条 件 と して積 分 定 数 Ｃ を定 め れ ば,式(3.108)は

(3.110) とな る.こ の 式 は 半 径r1の 位 置 まで 適 用 で き る.ダ

イ ス の 肩 部b-cで

類 の仕 事 が な され る.す な わ ち,絞

性 曲 げ の仕 事 お よ び摩 擦

りの 継 続 仕 事,塑

仕 事 で あ る.こ の 仕 事 に 対 す る σrの増 分 を加 算 して い く.絞 (3.110)が 半 径r2ま

は ３種

りに つ い て は 式

で適 用 で き る と し

(3.111) 摩 擦 に つ い て は ベ ル トの 張 力 と 同 じ よ う に 考 え る.す の 平 衡 か らdσ=μ

σdφ,φ=0で

σ=(σr)r=r2と

な わ ち,図3.35の

要素

して積 分 す れ ば

  *  ｔの変 化 が無 視 し う るほ どわ ず か で も,σzが 外 周 に の み働 くこ とに 変 わ りはな い.

(3.112) ま た塑 性 曲 げ に つ い て は,単 位 幅,厚

さｔ

の剛完 全 塑性 体 の板 を中心 角 φの 円弧 に 曲 げ る仕 事 がdW=(t2φ/4)Yで

(ａ)肩 部 の 形 状

あ る か ら,

距 離 γdφ進 む 間 に こ の 仕 事 が な さ れ た と 考え

(3.113) ま た 位 置 ｃで の 曲 げ も ど し で も 同 じ仕 事 dWが

な さ れ る か ら,結

式(3.112)に

(ｂ)応 力 要 素

局,2(σd)″r=r2を

加 算 す れ ば よ い.す

図3.35ダ

な わ ち,

イス肩 部 での 摩 擦 の 効果

位 置 ｃ で の 絞 り込 み 応 力(σd)r=r2は

(3.114) とな る.深 絞 りに 要 す る荷 重 は P=2π

γ2t(σd)r=r2・sinφ

(3.115)

で あ る. さ て 式(3.114),(3.115)を

用 い て 深 絞 り荷 重 を 計 算 す る に は 変 形 中 の フ ラ

ン ジ 外 周 半 径 γ0を 知 ら ね ば な ら な い .γ0が さ れ る な ら ば,Ｓ

と Ｐ と の 関 係,す

な わ ち ポ ン チ の 進 行 と と も に 深 絞 り荷 重

が 変 化 す る状 況 を 知 る こ と が で き る,こ 図3.36の

ポ ン チ の ス トロ ー ク Ｓ に よ っ て 表

の た め Ｓ と γ0の 関 係 を 求 め て み る .

幾何 学的関係 か ら S=(γp+γd+t)(1-cosφ)+(γ2-γ3)tanφ(3

.116)

γ2=Rd-

t sinφ /2

 (3.117)

γs=Rp+

t sinφ /2

 (3.118)

式(3.117),(3.118)を

式(3.116)

に代 入 し

Ｓ=(γp+γd+t)(1-cosφ) +(Rd-Rp-tsinφ)tanφ

(3.119) ま た板 厚 ｔを不 変 とす れ ば,変 形 の 前 後 で板 厚 中 央 の 面 積 は不 変 で あ り

図3.36深

絞 りの 幾 何学 的 関 係

(3.120) 式(3.119),(3.120)よ 37は

り,φ

を 媒 介 と し て Ｓ と γ0の 関 係 が え ら れ る.図3.

深 絞 り荷 重 と ポ ン チ ス ト ロ ー ク の 関 係 で あ り,ス

に 最 大 値 が 生 ず る.た

トロ ー ク の 途 中 で 荷 重

だ し 同 図 の 計 算 結 果 は 加 工 硬 化 に 対 す る補 正 を し た も の

で あ る.

最 後 に フ ラ ン ジ部 の板 厚 が 外 周 で 最 も大 き くな る こ とを示 して お こ う.簡 単

図3.37ポ

ン チ 荷 重 に 関 す る計 算 値 と 実 測 値 の 比 較(S.Y.Chungな

ど)

の た め 摩 擦 は 無 視 す る.流

動 法 則 式(3.19)に

よって

(3.121) 時 間 と と も に 変 化 す る フ ラ ン ジ の 半 径 γ0を 時 間 尺 度 と し て 用 い,こ 度 で 測 っ た 各 要 素 の 半 径 方 向 速 度 を υ と す る と,上 (3.106)を

の 時間尺

式 は 式(3.17),(3.110),

用 いて

(3.122) r0を

一 定 と して 積 分

し,境

界 条 件

γ=γ0で

υ=(dγ/dγ0)r=r0=1を

与 え る と

(3.123) 1≫(1/2)1n(γ0/γ)と

考 え て よ い か ら,1/(1-x)3〓(1+x)/(1-2x)を

用 い て

(3.124) 積 分 して 初 期 条 件 γ0=R0で

γ=Rを

与 えれ ば

(3.125) こ の 式 は “フ ラ ン ジ外 周 半 径 がR0で が,外

あ っ た と きに半 径 Ｒ の 位 置 に あ っ た要 素

周 半 径 が γ0にな っ た と きに 占め る γ座 標 ” を与 え る.非 圧 縮 性 の 条 件

はt0を 初 期 厚 さ と して

trdr=t0RdR(3.126) で あ る か ら,式(3.125)を

微 分 し て代

入すれば

(3.127) と な る.図3.38は r0/R0=1.0,… みt/t0-1の

…,0.5に

深 絞 りの 各 段 階 お け る板 厚 ひ ず

分 布 を 実 線 で 示 し て い る. 図3.38深

外 周 に 近 づ くほ ど板 厚 は 大 で あ り,絞

絞 りの 各段 階 の フ ラ ン ジ部 の厚 さ変化(Hill)

りの進 行 と と もに板 厚 が 増 す こ とが わ か る.な お 図 中 の 点 線 は最 初R/R0に

あ

っ た要 素 が た ど る変 化 を示 して い る.

3.4切

削

加

工

前 節 まで に 述 べ た種 々 の成 形 加 工 は 材 料 内 に破 断 を生 じ させ る こ とな く,高 度 の 塑 性 変 形 を加 え て所 要 の 寸 法 形 状 の 製 品 を え る方 法 で あ っ た.し

たが って

加 工 機 構 の 主 体 は塑 性 変 形 で あ り,破 断 は 極 力 防 が ね ば な らな か っ た.こ れ に 対 して本 節 で 述 べ る切 削 加 工 は,切 削 工 具 の 刃 先 で材 料 内 に制 御 さ れ た破 断 を 生 じさせ,切 図3.39は

屑 を素 材 か ら分 離 させ て製 品 を え る加 工 法 で あ る. 各種 の 切 削加 工 の 形 式 で あ る.同 図 の よ うに 切 削 加 工 の 形 式,切

削工 具 の 形状 は 多様 で あ るが,工 作 用 に は 違 い が な い.そ

具 切 刃 が 切 屑 を排 出 しな が ら “削 る ” と い う

こ で本 節 では 工 具,工

合 の 特 殊 性 に 多 くは触 れ ず,切

作 物 の運 動 機 構 や そ れ ぞ れ の 場

削 の機 構 を中 心 に 基 本 的 な 場 合 の み を述 べ る こ

とに す る.

3.4.1 

a.切

２ 次

元

切

削

屑 形態 と塑 性 変 形 の モ ー ド

切 削 加 工 の最 も簡 単 な場 合 は 図3.40に

示 す ２次 元 切 削 で あ る.切 屑 が 接 触

す る工 具 面(す くい 面,rake  face)は 単 一 平 面,切 刃 は 直 線 で あ り,ま た 切 刃 は切 削 方 向 に 直 角 に お か れ,切

削 厚 さt1は 切 刃 に 沿 っ て 一 様 で あ る.い

ま切

削 幅 ｂが 切 削 厚 さt1に 比 べ て十 分 大 で あ り,な め らか な切 屑 生 成 が 行 わ れ て い る場 合 を考 え る と,切 刃 に 垂 直 な各 断 面 内 の 変 形 状 態 は切 刃 に 沿 って ほ ぼ 一 様 と な る.す な わ ち切 削 幅 の 端 近 く を除 け ば平 面 ひ ず み 状 態 で あ り,こ の 意 味 で こ の 切 削 形 式 を ２次 元 切 削 とい う.こ の よ うな切 削 形 式 が実 際 の 切 削 加 工 で と られ る こ とは まれ で あ るが,解 析 が 簡 単 で切 削過 程 の 理 解 に 便 利 で あ り,３ 次 元 切 削 の 解 析 も この 場 合 の知 見 に も とつ い て な し う るの で,２ 次 元切 削 を ま ず と りあ げ る こ とに す る.

(ａ)形

(ｃ)平

フ ラ イス削 り

(ｆ)ね

じ旋 削

削 り

(ｂ)平

(ｄ)正

(ｇ)ボ

削 り

(ｅ)外

面 フ ラ イ ス削 り

ー リ ング

(ｈ)ド

(ｊ)リ

(ｋ)歯

ー マ切 削

図3.39各

周旋 削

車切 削

種 の 切 削加 工 形 式

リル 切 削

(Ｉ)タ

ッピ ン グ

  2次 元 切 削 の 形 式 で 切 削 を行 っ て も切 削 状 態 は決 して 単 一 で な く,各 種 の 切 屑 形 態 が 生 ず る.多

くの 中 間 的 な場 合 が あ るが,図3.41の

よ う な4種

類 の場

合 に 大 別 す る こ とが で き る.同 図(a)の 流 れ型(flow type)は 正 常 な切 削 条 件 の も と で 最 も 多 く発 生 す る 型 で あ り,切 状 態 は 安 定 で 良 い 仕 上 面(finished  face)が

え ら れ る.ま

も 少 な く,こ

sur-

た工作 機 械 の 振動

う し た切 削 状 態 と な る よ う

に 切 削 条 件 を選 ぶ こ と が 望 ま し い,同 (b)の せ ん 断 型(shear  type)は も ろ く,せ

削

図

い くぶ ん

ん 断 す べ り破 壊 を お こ し や す

い 金 属 材 料(た

と え ば4-6黄

銅,ホ

ワ イ

ト メ タ ル)の 切 削 に み ら れ る 形 態 で あ る. また通 常 は 流 れ 型 に な る材 料 で も切 削 条 図3.40 

(a)流 れ 型切 削

(c)む しれ 型切 削 図3.41切

(ｂ)せ

ん

2次 元切 削

断型

切

削

(d)き 裂 型 切 削 屑 生 成 の4基 本形 態(大 越)

件 に よ っ て はせ ん 断 型 と な り, 特 に 切 削系(工 具 と工 作 機 械)の 剛 性 が 弱 い場 合 に はせ ん 断 型 と な りや す い.同

図(ｃ)の む し れ

型(tear type)は 延 性 の 非 常 に 大 き な材 料(た と えば ゴ ム,鉛, 焼 な ま さ れ た 純 ア ル ミニ ウ ムや 図3.42構

純 銅)で 工 具 す くい 面 に 切 屑 が 溶 着 しや す い状 態 の場 合 に 生 ず

0.13%炭

素 鋼,超

削 厚 さ0.3mm,切

成

刃

硬 工 具,す

先

く い 角15°,切

削 速 度17m/min,乾

切 削

る.切 削 形 式 は ２次 元切 削 で も 切 屑 生 成 過 程 は 不 規 則 な ３次 元 塑 性 変 形 で あ る.同 図(ｄ)の き裂 型(crack で 述 べ た セ ラ ミッ ク,普 通 鋳 鉄,硬

type)は ぜ い 性 材 料(た と え ば2.3.1

質 の プ ラ ス チ ッ ク)に み られ る形 態 で あ る.

刃 先 か ら工 作 物 表 面 ま で 瞬 間 的 にぜ い性 き裂 が 発 生 し,切 屑 は ほ とん ど塑 性 変 形 を受 け な い.た

だ し純 粋 の き裂 型 切 屑 とな る例 は実 際 に は 非 常 に 少 な く,普

通 鋳 鉄 の 場 合 で も 多 くはせ ん 断 型 の極 端 な例 とみ る ほ うが 正 しい よ う で あ る. 以 上 の ４種 類 の ほ か,鋼

類 の 切 削 に 特 有 な も の と し て 図3.42の

構 成刃先

(built-up edge)を 含 む 型 が あ る.構 成 刃 先 は 切 屑 本 体 か ら そ の 一 部 が 分 離 し て す くい面 上 に 堆 積 した もの で あ り,強 い加 工 硬 化 を受 け て 高 硬 度 で あ る.し た が っ て こ れ が 切 刃 を お お う と き,実 際 の 切 削 は こ の構 成 刃 先 に よ っ て行 わ れ る.塑 性 学 的 に は 第 ４章 に 諸 例 が み られ る死 材 域(dead る.構 成 刃 先 は ア ル ミニ ウ ム 合 金,4-6黄

metal

zone)に 相 当 す

銅 に も と きに は み られ るが,主

て鋼 類,高 級 鋳 鉄 に 固有 の もの で あ る と考 え て よ い,ま た鈍 金 属,非

とし

金 属 の切

削 で は 巨視 的 な もの は発 生 し な い よ うで あ る.以 上 の よ うに 各 種 の切 屑 形 態, す な わ ち各 種 の 塑 性 変 形,破

壊 の モ ー ドが 存 在 し うる の は,変 形 に対 す る拘 束

が 切 削 加 工 で は とぼ しい た め で あ る.塑 性 加 工 で は塑 性 変 形域 が ダ イ ス 壁,ポ ン チ,コ

ン テ ナ,ロ ー ル な どで 厳 し く拘 束 さ れ,塑 性 変 形 の モ ー ドは 限 ら れ た

もの に な る の に 対 し,切 削加 工 で は 片側 に 工 具 す くい面 が あ るの み で 反 対 側 は

(ａ)  図3.43低 4-6黄

銅,高

(ｂ)

速 流 れ 型 切 削 に お け る 格 子 線 変 形 と主 せ ん 断 ひ ず み 速 度 線 場

速 度 鋼 工 具,す

くい 角25°,切

削 厚 さ0.8mm,切

削 速 度13mm/min,乾

切削

ま っ た くの 自由 面 で あ る.し た が っ て,材 料 特 性 や加 工 条 件 の 影 響 が 現 れ や す く,各 種 の 切 屑 形 態 が 生 じ うる.簡 単 な加 工 形 式 で あ る に もか か わ らず,切

削

加 工 に 多 くの 問 題 が 存 在 す る ゆ え ん で あ る.  上 述 の ５種 類 の 切 屑 形 態 の うち,む ぞ れ切 削 油 剤 の使 用,切

しれ 型,構

成 刃 先 型 は 多 くの場 合,そ

れ

削 速 度 の増 大 に よ っ て 流 れ 型 に変 え る こ とが で き,き

裂 型 の例 は少 な い か ら,実 際 の切 削加 工 で遭 遇 す る切 屑 形 態 は,流 れ 型 お よ び せ ん 断 型 が 大 多 数 とい う こ とに な る*.そ

こ で 次 に 両 者 を代 表 例 と して と りあ

げ,ど の よ うな 機 構 で切 屑 生 成 が行 わ れ るか 考 え て み る.図3.43(a)は

流 れ型

の 場 合 に,横 線 が 切 削 速 度 に平 行 に お か れ た直 交 格 子 線 が 切 削 過 程 で どの よ う な変 形 を受 け るか を示 した もの で あ る.変 形 した格 子 横 線 は 切 削 過 程 での 流 線 に相 当 す る.同 図(ｂ)は この 格 子 線 変 形 か ら4.3節 っ て求 め た変 位 増分,主

に 述 べ る格 子 線 解 析 法 に よ

せ ん 断 ひ ず み速 度 線 場(太 い実 線)を 示 した もの で あ り,

要 す るに 図 示 の 直 交 曲 線場 が 塑 性 変 形域 であ る.工 具 が 静 止 し,工 作 物 が こ れ に対 して 動 く場 合 で 考 え る と,材 料 要 素 は 格 子 横 線 に 沿 っ て 工 具 に接 近 し,刃 先 か ら工 作 物 上 面 に 向 か って 広 が る領 域(せ ん 断域(shear *切

zone)と い う)で 方 向

削 加工 の種 類 に よ って は工 具材 質,工 作物 寸法,工 作 機 械 の 性 能,加 工 目的 な どの 制 約 か ら,構 成 刃 先 の発 生 す る切 削 条件 で加 工せ ざる を えな い場 合 も 多い.

を変 え ら れ,ほ ぼ す くい面 に平 行 に切 屑 と して 流 出 す る.こ の 方 向変 化 は切 屑 全 体 と して み れ ば 反 時 計 方 向 の せ ん 断 と 曲 げ で あ るが,主

た る変 形 は せ ん

断 で あ る.な お 工 具 す くい面 に 沿 う変 形 域(第

２ 変 形 域(secondary

flow

zone)と い う)は す くい 面 の 摩 擦 に よ

(ａ)

る もの で あ り,こ の 領 域 内 で切 屑 は 同 図(ａ)の格 子 縦 線 に み る よ う な ２次 的 塑 性 変 形(時 計 方 向 の せ ん 断)を 受 け る. さて 流 れ 型 切 屑 の せ ん 断域 は一 般 に は 図3・43(b)の

よ う な 広 が りを も つ が,

切 削 速 度 が 大 とな る と,こ の 領 域 の 広

(ｂ) 図3.44高

の 狭小 化

が りは 縮 小 す るこ とが 知 られ て い る. 図3.44(a)は

炭素鋼 の高速 切削 におけ

る例 で あ り,格 子 線 変 形 の代 りに腐 食

速切 削 に お け るせ ん 断 域

0.25%炭

素 鋼,超

切 削 厚 さ0.3mm,切

硬 工 具,す

くい 角0°,

削 速 度90m/min,

乾切 削

顕 微 鏡 写 真 に よ っ て 結 晶組 織 の 流 れ を示 した もの で あ る.こ の程 度 の 切 削 速 度 で す で にせ ん 断 域 は 同 図(ｂ)の よ う な狭 い 帯 状 域 に 転 化 し て お り,格 子 横 線 は こ の領 域 で ほ とん ど不 連 続 的 に方 向 を 変 え る.ま

た 同 図(ａ)にみ る よ う に,す

くい 面 の 第 ２変 形 域 も著 し く退 化 して い る.そ こ で 帯 状 せ ん 断域 を速 度 不 連 続 面 とみ な し,第

２変 形 域 を 無視 して理 想 化 され た変 形 を考 え れ ば 図3.45と

る.い ま同 図(ａ)にお い て 速 度 不 連 続 面 を通 過 す る １格 子 を考 え れ ば,三

な 角形

cdaは 単 純 せ ん 断 に よ り三 角 形cd′aの よ う に 変 形 され る.ま た 見 方 を変 え, 同 図(ｂ)に示 す よ うに 変 形 前 に 平 行 四 辺 形abcdで

あ っ た 部 分 を考 え れ ば,変

形 後 に はabc′d′に 変 わ る こ と に な る.図(ａ)の 三 角 形add′ と 図(ｂ)の 三 角 形 add′は 同 じ意 味 を もつ.こ た場 合,こ

の よ う にせ ん 断 域 を理 想 化 して １つ の 平 面 と考 え

れ をせ ん 断 面(shear

の傾 き角 φ をせ ん 断 角(shear

plane)と よび,切

削 速 度 方 向 に対 す る こ の 面

angle)と い う.こ の よ う な理 想 化 は 必 ず し も適

当 で な い が,簡

単 のため本書 ではこ

の 切 削 模 型(せ ん 断 面 切 削 模 型 と い う)を 中 心 に 論 議 を す す め る.な 図3.45に

お

お け る 法 線 とす くい 面 の

な す 角 α を す く い 角(rake い い,ま

angle)と

た 同 図の 仕 上 面 と逃 げ 面

(clearance

face)の

角(clearanc

eangle)と

(ａ)

な す 角 ε を逃 げ い う.

 次 にせ ん 断 型 切 屑 の 場 合 を考 え て み よ う.図3.46は

せ ん断型切 屑 生

成 の １サ イ ク ル 間 の 格 子 線 変 形 を 1.2秒 は0.6秒

お き(た だ し 最 初 の ３ 枚 の み お き)に 連 続 写 真 撮 影 し た

も の で あ る.変

(ｂ)

図3.45せ

形の過程 は流れ型切

ん断 面切 削模 型 に よ る ２次 元 切 削 の 変 形機 構

屑 の場 合 よ りは るか に複 雑 で あ り,大 別 して(１)切刃 が 前 の 破 断 面 に 食 い込 ん で い く初 期 状 態,(２)切 屑 が 盛 上 が って くる 中 間 的 状 態,(３)刃 先 ク ラ ッ クの 発 生 か ら全 破 断 に 至 る最 終 状 態 の ３種 の 段 階 が あ る こ とが わ か る.ま た同 図 の 格 子 線 変 形 も 図3.43(a)の

そ れ とは ま っ た く相 違 して い る.し か し,せ ん 断 型 切

屑 の 生 成 は 非 定 常 過程 で あ り,変 形 域 は刻 々 に 変 化 して い くこ とに 注 意 しな け れ ば な ら な い.図3.46の

格 子 線 変 形 は,各 瞬 間 で の 変 位 の 増 分 が 非 定 常 過 程

を通 じて積 分 さ れ た 結 果 で あ るか ら,図3.43(a)の

定 常 過程 の 格 子 線変 形 と著

し く異 な るの は 当 然 で あ る.し た が って 格 子 線 変 形 で な く,各 瞬 間 で の 変 形 域 と応 力 場,変

位 の生 じ方(各 点 の 動 き)こ そ流 れ 型 切 屑 と比較 され るべ きで あ る.

詳 細 は 省 略 す るが,せ

ん 断 型 と流 れ 型 で は これ らの 諸 点 に 強 い 類 似 が あ り,同

様 な 機 構 で切 屑 生 成 が行 わ れ る こ とが確 か め られ て い る.さ て,せ 屑 生 成 を厳 密 に 扱 うこ とは 避 け,こ

ん断型の切

こ で はせ ん 断 面 切 削 模 型 と同 様 な模 型 的 な

み か た を して お こ う.初 期 状 態 を終 え て切 屑 ら し く材 料 が 盛 上 が って き て か ら 以 後 の 変 形 を考 え る と,図3.47の

よ うな模 型 化 が 可 能 で あ る.す な わ ち切 屑

図3.46せ ん 断 型切 屑 生成 の １サ イ クル 中 の格 子 線 変 形 4-6黄 銅,高 速度 鋼 工具,す くい角15゜,切 削 厚 さ0.9mm,切 削 速 度13mm/min の 盛 上 が り と と も に,す

く い 面 と 切 屑 間 の 接 触 長 さ ｌが 増 し,こ

ん 断 角 φ は 減 少 し て い く.図3.45の ず み(式(1.19)の

れ に 応 じて せ

模 型 に よ れ ばせ ん 断 面 の 工 学 的 せ ん 断 ひ

２倍)γsは  (3.128)

で あ り,通 常 の φ,α の 値 に 対 して は φが 減 少 す る ほ ど γsは大 と な る.し が って 図3.47の

た

φの 変 化 に 対 して材 料 は 耐 え られ な くな り,最 後 に す べ り破

壊 が 生 ず る の で あ る.こ の 破 壊 は 図3.46の

終 段 の ３枚 の 写 真 を 比 較 す れ ば 明

らか な よ うに,強

いせ ん 断 ひ ず み の 集 中 の 結 果 生 ず る延 性 破 壊 で あ り,ぜ い 性

型 の それ で は な い.既 述 の き裂 型 切 屑 が 後 者 の 場 合 で あ る.  ｂ.２ 次 元切 削 の 力 学 的 関 係  せ ん 断 面切 削 模 型 に よ る ２次 元 切 削 の 力 学 的 諸 関 係 を ま と め て お く.せ ん 断 角 φ は 切 屑 厚 さt2の 測 定 値 か ら計 算 さ れ る. す な わ ち 図3.48の

幾何 学的関係 よ り

(3.129) これ を φ に 関 して解 け ば

(3.130) で あ る.γc=t1/t2は ま た はchip-thickness

切 削 比(cutting

ratio)と よ ば れ る.

せ ん 断 面 切 削 模 型 で は 図3.49に の 速 度 成 分,切 せ ん 断 速 度Vsが

ratio

削 速 度 Ｖ,切 あ り,非

示 す ３つ 屑 速 度Vc,

圧 縮 性(せ

面 で の 垂 直 速 度 の 連 続 性(4.1.２

ん断

項 参 照))

か ら こ れ ら は 閉 じ た 三 角 形 を 形 成 す る.し

図3.47接

たが って

図3.48せ

ん 断 角 φと 切 屑 厚 さt2

図3.49 

触 長 さの 増 大,せ ん 断 角 の 減 少,せ ん 断 ひ ず み の増 大,切 屑 破 断

２次 元切 削 の 速度 関係

(3.131) (3.132) で あ る.次 ら,せ

に せ ん 断 の ひ ず み 速 度 γsを 考 え る.γsは

γsの 時 間 微 分 で あ る か

ん 断 面 切 削 模 型 で は γsは 無 限 大 と な っ て し ま う*１.こ の 点 が こ の 模 型

の 欠 点 で あ り,や ね ば な ら な い.い

は り図3.43,3.49の ま 図3.49の

よ うに 広 が り を もっ たせ ん 断 域 を考 え

せ ん 断 域 の 幅 を ⊿yと す る と,材

を通 過 す る 時 間 ⊿tは ⊿y/Vsinφ

で あ る か ら,式(3.132)よ

料 要 素 が ⊿y

り

(3.133) と な り,せ ん 断 域 の 厚 み ⊿yが 求 まれ ば γsを え る こ とが で き る*２ 切 削 速 度 は 成 形 加 工 の 速 度 よ り一 般 に 大 で あ り*３,ま た 既 述 の よ うに ⊿yは 非 常 に 狭 い か ら,γsは104∼106/secに

も 達 す る.通 常 の 引 張 り 試 験 の ひ ず み 速 度 は

10-3/sec程 度 で あ るか ら,き わ め て 高 い ひ ず み 速 度 で あ る.第

６章 で述 べ る

よ うに,金 属 の 変 形 応 力 は こ の よ う な高 ひ ず み 速 度 の も とで は静 的 変 形 の そ れ と著 し く異 な る.   次 に切 削 抵 抗 に つ いて 考 え る.せ ん 断 面 でせ ん 断 変 形 を生 じ させ る力 は工 具 す くい面 か ら伝 達 され ね ば な らな い.こ

の伝 達 は 切 屑 を介 して な され,切 屑 は

速 度Vcで

く い面 で の 摩 擦 条 件 を満 た す よ う に切

す くい 面 を擦 過 す るか ら,す

削 力 が働 くは ず で あ る.し

たが って,す

で の 変 形 に 要 す る力R′ は 図3.50(a)に

くい 面 摩 擦 に 要 す る 力 Ｒ とせ ん 断 面 示 す よ うに 平 衡 し,同

じ作 用 線 上 に な

け れ ば な らな い.   これ らの切 削 力 は 図 示 の各 成分 に分 解 で き *１  ひず み速 度 無 限大,す な わ ち速 度不 連 続 線 は 剛完 全 塑性 体 の場 合 の み 可能 で あ り, 加 工 硬 化 の あ る一 般 金 属材 料 では 実現 しな い(4.1.２ 項参 照). *２   ⊿yの値 は,図3.44(a)の

よ うな腐 食顕 微 鏡 写真 を作 製 し,せ ん断 域 付 近 を拡 大 して

せ ん断 変 形 の 開始 位 置,終 了位 置 を見 い だ し,そ れ らの 間 隔 を 測定 す れ ば え られ る. *３   高 速 度鋼 切 削 工 具:60∼120m/min,超 具:200∼350m/min

硬 工 具:100∼250m/min,セ

ラ ミ ッ ク工

(3.134)

ま た工 具 す くい面 の平 均 摩 擦 角 β は

(3.135) ま たす くい 面,せ

ん断面の平均 応力 は

(3.136)

(3.137)

た だ し τt,σtは す く い 面 の 摩 擦 お よ び 垂 直 応 力,τs,σsは お よ び 垂 直 応 力 で あ り*1,ｂ る*2.上

は 切 削 幅,ｌ

述 の 各 式 が 水 平 分 力FH,垂

せ ん 断面 のせ ん 断

は す くい面 と切 屑 間 の 接 触 長 さで あ

直 分 力FVを

用 い て 書 か れ て い る の は,

切 削 動 力 計 に よ り通 常 こ の ２分 力 が 実 測 さ れ る た め で あ る.な (3.137)の

応 力 は 平 均 応 力 で あ り,実

い*3.図3.50(ａ)の を 刃 先 に 選 ぶ と,同

際 に は,こ

お 式(3.136),

れ らの 応 力 は均 一 分 布 で は な

切 削 力 の 着 力 点 は 応 力 分 布 に よ っ て き ま る が,仮

に 着力 点

図(ｂ)の よ う に 簡 単 な ダ イ ヤ グ ラ ム に ま と ま り,各

分 力 の

換 算 に 便 利 で あ る.

*1 

本 節の 論議 で は切 削理 論 の通 常 の 形 式 に したが い,特 に 必要 とす る場合 以 外,応 力

*2 

せ ん断 面 切 削模 型 で は切 屑 はす くい面 全 面 に 接 触 す るこ とに な る が,実 際 に は 切 屑

の符 号 を問題 とせ ず に絶 対 値 で 扱 う.

カ ール(chip curl)が 存在 し,刃 先 か らあ る長 さ ｌしか す くい 面 に 接 触 し な い(4.2. 3項 参 照). *3 

降伏 せ ん 断応 力 ｋに 相 当す る τsの 分 布 の み は ほぼ均 一 分 布 で あ る.

  さ て,２

次元 流れ型切削 は平面 ひずみ

状 態 で あ る こ と に 注 意 し よ う.降 式(3.13)お

伏条件

よ び 変 形 域-非 変 形 域 境 界 が

主 せ ん 断 応 力 面(4.1.2項

参 照)で あ る

こ と か ら,式(3.137)の

第 １ 式 の τsは

最 大 せ ん 断 応 力 で あ る と 同 時 に,降

伏 応

力 ｋ に 一 致 し な け れ ば な ら な い.τs=k と し て 図3.50(ａ)の

関 係 か ら切 削 力 を ｋ

で表す と (ａ)

(3.138)

と な る。 ま た 図3.3の

モ ー ル 円 よ り,

主 せ ん 断 応 力 面 に は 平 均 垂 直 応 力 ｐ,す な わ ち 応 力 の 静 水 圧 的 成 分 に等 しい 垂 直 応 力 が 働 い て い る か ら,式(3.137)の は ｐ で あ る.図3.50(ａ)よ

σs (ｂ)

り明 ら か な 図3.50 

切 削 力の 平衡 系

よ う に 切 削 の 力 系 で は ｐ は 圧 縮 で あ り, 2.3.2に

述 べ た よ う に,こ

算 さ れ る 切 削 の γsは3∼4程

れ が 破 断 に 対 す る 抑 制 効 果 を も つ.式(3.128)で 度 に も 達 す る 巨 大 な ひ ず み で あ る の に,破

生 じ な い の は こ の た め で あ る.せ 用 で き る.図3.47の 式(3.128),(3.137)で い,異

計 断が

ん 断 型 切 屑 の 生 成 に つ い て も 同 じ考 え 方 が 適

模 型 が 近 似 的 に 適 用 で き る と し,破 計 算 す る.図3.51は

断 面 の γs,τs,σsを

各 種 の 切 削 剤(cutting  fluid)を 用

な る す く い 角 で ２次 元 切 削 す る と き の σs/rsと γsの 関 係 で あ る.同

○ 印 は 流 れ 型 刃 屑,× 印 は せ ん 断 型 切 屑 で あ る こ と を 示 し て い る.同

図の

図 に示 す

よ う に 両 切 屑 形 態 の 境 界 は 材 料 試 験 の 結 果 と と も に １本 の 曲 線 上 に あ り,σs

が 圧 縮 側 に 大 な るほ ど大せ ん 断 ひ ず み に 耐 え る こ とが わか る.   ｃ.せ ん 断 角 関 係 式   式(3.138)に

着 目 し よ う.ｋ,φ,

βが 知 られ て い れ ば 切 削 力 は 計 算 で き る.第

６章 で 述 べ る よ うに,ｋ を

独 立 な材 料 試 験 か ら求 め る こ とは 容 易 で な い し,工 具 す くい面 の摩 擦 が 付 着 摩 擦 と クー ロ ン摩 擦 の 両 者 を含 む こ とか ら β を 適 当 な 摩 擦 試 験 で 予 測 す る こ と も簡 単 で は な い.し し,ｋ,β

か

は工 作物 の材料 特 性 で あ

図3.51せ SAE 

ん 断 型切 屑 の 発 生 条件(Shaw)

B1112鋼,切

速 度1in/min,切

るか ら,何 らか の 方 法 で予 測 が 可 能 で あ る とす る と,残

２エ タ ノ/ル,３

削 厚 さ0.003in,切 削 油 剤:１ 空 気,４

削

四 塩 化 炭 素, ベ ンゼ ン

る は φで あ る.

そこでい ま

(3.139) の よ う な 関 数 関 係 が 解 析 的 に 求 め ら れ る と,φ 用 い て 式(3.138)か か ら 式(3.139)は

の予 測値 を

ら 計 算 の み で 切 削 力 を 求 め う る こ と に な る.こ せ ん 断 角 関 係 式 と よ ば れ,こ

く提 出 さ れ て き た.し な く,第

が 計 算 で き,ｋ,β

うした意味

の 関 係 を求 め る理 論 が 従 来 数 多

か し現 在 の 研 究 の 主 流 は,せ

ん 断角 関 係 式 に よ っ て で は

６章 の 有 限 要 素 法 シ ミュ レ ー シ ョ ン に よ っ て 切 削 状 態 を 予 測 す る 方 向

に あ る か ら,本

書 で は 以 下 に よ く知 ら れ た ２例 の み を あ げ て お く.

  ２次 元 切 削 の 切 削 動 力 はU=FH・Vで

与 え ら れ る が,M.E.Merchantは

ん 断 面 は Ｕ を 極 小 に す る 方 向 に 生 ず る と考 え た*.図3.50と

せ

式(3.134)の

２式 を 参 照 し て (3と140)

*  この考 え方 は 第 ５章 に述 べ る上 界定 理 の 応用 とみ る こ とが で きる.

第

(3.141)

で あ る か ら,式(3.140)は

(3.142) い ま β の あ る 値 が 与 え ら れ た と き,U→minと

な る よ うに φが 決 定 さ れ る と

す る と

(3.143) を え る*.こ

れ がMerchantの

  同 氏 は 式(3.143)の

第 １の せ ん 断 角 関 係 式 で あ る.

実 験 と の 一 致 が 良 好 で な か っ た た め,τsは

影 響 さ れ る と考 え た.す

σsに よ っ て

なわ ち τs=τo+Kσs 

た だ し τ0は σs=0の

と き の τs,Ｋ

す る摩 擦 法 則 に 類 似 の た め,内 式(3.134)の

は 定 数 で あ る.こ

(3.144) の 形 式 は Ｋ を摩 擦 係 数 と

部 摩 擦 説 と よ ば れ て い る.

第 ２ 式 よ り σs=τstan(φ+β-α)で

あ る か ら,こ

れ を 式(3.

144)に 代 入 す る と

(3.145) 式(3.145)を

式(3.142)に

代 入 し,再

び(∂U/∂ φ)β=0を 解 け ば

2φ=cot-1K-β+α  が え ら れ る.こ

れ がMerchantの

(3.146)

第 ２ の せ ん 断 角 関 係 式 で あ る.K=0な

式(3.143)に

一 致 す る.し

式(3.144)は

降 伏 条 件 が 応 力 の 静 水 圧 成 分 に 影 響 さ れ る こ と を 意 味 し,Mises,

*  Merchantの あ る が,中 は6.2節

か し 先 に 述 べ た よ う に τs=k,σs=pで

らば

解 析 は 剛 完 全 塑 性 体 を 仮 定 し て い な い か ら,τsはV,t1,α,φ 高 速 域 の 流 れ 型 切 削 で は τsの 変 化 は 少 な い と して よ い.も を 参 照 さ れ た い.

あ る か ら,

の関数で っ と厳 密 な 論 議

Trescaの 145)の

降 伏 条 件 を 採 用 す る 本 書 の 論 理 で は 認 め が た い.実 Ｋ の 値 は き わ め て 小 な る こ と を2.3.2項

(3.146)は   E.H.Leeお

で 指 摘 し た.し

際 に も 式(3. た が っ て,式

意 義 に とぼ し い. よ びB．W.shafferは

工 作 物 を 剛 完 全 塑 性 体 と み な し,第

４章

に 述 べ る す べ り線 理 論 に よ っ て 別 の せ ん 断 角 関 係 式 を 導 い て い る.こ

こではす

べ り線 理 論 を 用 い ず に 説 明 し よ う .図3.52(ａ)の

あ る が,

切 削 模 型 で τs=kで

点 Ｂ は 応 力 の 特 異 点(せ ん 断 面 は 工 作 物 上 面(自 由 面)と45° の で σsは 境 界 条 件 か ら は 定 ま ら な い.そ

こ でLee‐Shafferは

(ａ)

(ｂ) 図3.52 

Lee-Shafferの

せ ん 断角 関 係 式 の誘 導

で 交 差 し な い)な 切 削 域(三 角 形

ABC)の BCよ

応 力 状 態 は 一 様 で,図 示 の 面BC上

の 応 力 は ０で あ る と仮 定 し た.面

り上 方 の 切 屑 は 応 力 の 働 か な い 自 由体 で あ るか ら,面BCは

続 面 と な っ て い る.三 角 形ABC内

応 力の 不連

の 応 力分 布 は 一 様 と した か ら応 力 状 態 は 単

一 の モー ル 円 で 表 現 で き,同 図(ｂ)と な る.た

と えば η を面ABの

法 線CDと

す くい面 の な す 角 と して 面AB:τs=σs=k 面AC:τt=kcos2η,σt=k(1+sin2η) cos2η μ:tanβ=

で あ る.ま

た,こ

/1+sin2η

の モー ル 円 上 の 関係 と して 2β+2η=π/2 

(3.147)

が 成 り立 ち,同 図(ａ)の幾 何 学 的 関 係 η+α=φ 

(3.148)

を代 入 して ηを消 去 す れ ば

図3,53Merchantお

よ びLee-Shafferの

せん

断 角 関 係 式 と実 験 結 果 の 対 応 (Merchant,Lapsleyの

デ ー タ に よ る)

図3.54主

切 刃 と前切 刃 の 同 時切 削

φ=π/4-β+α 

と な る.こ

れ がLee-Shafferの

  図3.53の

(3.149)

せ ん 断 角 関 係 式 で あ る.

２本 の 直 線 はMerchantの

式(3.143)お

よ びLee-Shafferの

式(3.

149)を 示 し,同

図 の ・印 は 炭 素 鋼 の 中 ・高 速 切 削 の 実 験 結 果 を 示 す.両

も に φ=45ﾟか

ら 出 発 す る がMerchantラ

ラ イ ン の そ れ は −1で こ とが わ か る.な そ の 後,加 れ,現

あ る.ま

イ ン の 傾 斜 は −1/2,Lee-Shaffer

た 同 図 よ り両 式 と も 実 験 を 十 分 に 説 明 で き な い

おMerchant,Lee-Shafferら

工 硬 化 や 温 度,ひ

式 は と

の 解 析 は む し ろ 古 典 で あ っ て,

ず み 速 度 の影 響 な ど を考 慮 す る詳 細 な解 析 が 行 わ

在 は も っ と よ く実 験 結 果 を 説 明 で き る よ う に な っ て い る.第

６章 を 参 照

さ れ た い.

3.4.2３

次

元

切

削

 実 際 の 切 削 加 工 で 行 わ れ る ３次 元切 削 で は,図3.54に CDに

相 当 す る主 切 刃 とCBに

示 す よ うに,図

示の

相 当 す る前 切 刃 が 同 時 に 切 削 し て い る.ま た 主

切 刃 は 切 削 速 度 に 垂 直 で な く,角 度 αb傾 い て 置 か れ て い る。 した が っ て,生 ず る塑 性 流 れ は平 面 ひず みや 軸 対 象 の そ れ で は な く,一 般 の ３次 元 有 限 変 形 で あ る.こ の 種 の ３次 元 問 題 で厳 密 な解 をえ るの は,手 数 の か か る第 ６章 の 有 限 要 素 法 数 値 解 析 以 外 に は 難 か しい の で,以 下 で は まず 前 切 刃 の作 用 を含 め た 切 削模 型 を考 え,そ れ に ２次 元 切 削 の 知 見 を適 用 して 解 く近 似 的解 析 法 を 展 開 す る.  ａ.切 屑 生 成 過 程 の モ デル 化  図3.55(ａ)に

示 す よ う に,被 削 材 の 端 を す く い角0度

の工 具 が正 方 形断 面

(t1=b)の

切 削 を行 って Ｖ 型 溝 をつ くる場 合 を考 え る.同 図(ｂ)の よ うに 全 体

を45ﾟ回

して 考 え る と,問 題 の 対称 性 か ら切 屑 は真 上 に 流 出 し,切 れ 刃 の 各 部

で は せ ん 断角 φeが 一 定 で切 削 厚 さの 異 な る ２次 元 切 削 が行 わ れ て い る とみ る こ とが で き る.た だ し,変 形 の 類 似 性 を述 べ て い るだ け で あ り,も ち ろ ん 平 面 ひ ず み 状 態 で は な い.実 際 の せ ん 断 面 は 同 図(ｃ)の三 角 形ACDとBCDで

あ

(ａ)

(ｂ)

(ｃ)

図3.55

り,こ れ ら は 切 削 速 度 Ｖ と切 屑 速 度Vcを

含 む 面 に 垂 直 で は な い.同

で切 削 幅ｂ が 切 削 厚 さt1よ り大 に な っ た場 合 を考 え る と 図3.56(ｄ)と この 場 合,す あ るが,Ｖ

じ問 題 な る.

くい 面 内 で切 刃 に垂 直 な 方 向 か ら測 っ た 切 屑 流 出角 は ηc

場 合 に は 解 は 別 形 式 の も の に 転 化 し な け れ ば な ら ず,図4.16に

の と な る.同 い け る.型

図(ａ)の す べ り 線 場 で 点14ま

で は 図4 .14(ａ)と

面 の 摩 擦 応 力 は 主 せ ん 断 応 力 で あ り,す

平 行 で あ る か ら,点

８か ら ｙ 軸 と(15+0)/2=7.5°

９ の 位 置 が 定 ま る,点12,15,18はHenckyの

示す も

同 じ要 領 で 描 い て

べ り線 は 型 面 に 直 交 ま た は の 角 を なす 直 線 を ひ け ば 点

定 理 に よ り 求 め ら れ る.す

べ

り 線13-16-19-21,17-20-22-Cを 型 面 は 図4.5(ｃ)の pで

描 く に は 同 様 の 手 続 き を 繰 り 返 せ ば よ い.

限 界 線 に な る わ け で あ る.型

あ り,Henckyの

方 程 式(4.4)を

面の垂 直応 力 は平均垂 直 応力

用 い て 求 め ら れ る.平

行 直 線 場1,2,1'

は 既 述 の よ う に 一 様 応 力 場 で あ り,P=-kで

あ る.扇

す べ り 線 が 直 線 の 有 心 扇 形 で あ り,式(4.4)に

よ っ て ｐ は φ の み の 関 数 で あ る.

図4.17を

形 域1,2,3,4,5は

参 照 す れ ば 扇 形 角 θ の 第 １す べ り線 上 の ｐ は 式(4.4)の Pθ+2kφ

第 １

第 ２式 よ り

θ=-k+2kφ2=C2

∴pθ=-k{1+2(φ

θ-φ2)}=‐k(1+2θ) 

(4 .19)

と な る.式(4.4)に

よ る ｐ の 計 算 で は こ の よ う に φ の 差 の み が 常 に 問 題 で あ り,

し た が っ てx,y軸

は ど の よ う に 設 定 し て も 差 支 え な い.式(4.19)よ

-5の 垂 直 応 力 は 一 様 分 布 で あ り

,p1-5=-k(1+π/2)=-2.571kで

の ρ9はp5→p8(第

１す べ り 線),p8→p9(第

返 せ ば よ い.剛

性 く さ び 部 の 型 面(17-D)の

ｐ が 求 ま る か ら,合

ら

応 力

べ り線17-20-22-C上

の

応 力 の ｙ 成 分 を こ の す べ り線

に 沿 っ て 積 分 す れ ば 型 面17-D上

の垂 直荷 重 が え

均 の 型 面 垂 直 応 力 が 求 め ら れ る.図4.

16(ａ)の 上 部 に 示 し た 実 線 の 型 面 垂 直 応 力 分 布 は 以 上 の 計 算 に よ る も の で あ り,点 3.3.1項

*曲

９

求 め る に は 同様 の 計 算 を繰 り

分 布 は え ら れ な い が,す

ら れ*,平

あ る.点

２ す べ り 線)の 経 路 で 求 め ら れ る.

す べ り線 場 は15°の 等 角 網 で あ る か ら,式(4.4)か

と な る.P13,P17を

り 型 面1

の 近 似 解 法 に お け る 式(3.37)に

線17-C-D-17は

図4.17Henckyの

線 の分 布 は

よ る も の で あ る.図4.16(ｂ)の

平 衡 す る物体 内 の 閉 曲線 で あ り,C-D上

力が働 か な い.図4.14の

方程式に

よ るPθ の 計 算

ホ ドグ

には 対 称 性 か らせ ん 断 応

場合 の圧 縮荷 重 もこの 方法 で 計算 で き る.

ラ フ は 図4.14(ｂ)と

同 様 で あ り,容 易 に 理 解 で き よ う.両 図 の 場 合 と も工 作

物 の 端 面 は 平 面 の ま ま外 側 に運 動 し,端 面 が ふ くれ 出 す こ とは な い.

4.2.2引

抜 き お よ び 押 出 し加 工

摩 擦 の な い く さ び 角2α

の 直 線 ダ イ に よ る 引 抜 き を ま ず 考 え よ う.断

r=(h1−h2)/hl=2sinα/(1+2sinα)の

面減 少

場 合 に 図4 .18(ａ)の 解 が え ら れ る.

引 抜 か れ た 材 料 に は 一 様 な 引 抜 き 応 力 σdの み が 作 用 す る こ と を 考 え る と,第 ２す べ り 線1-Cは

直 線 で あ り,軸

線 と45°の 傾 斜 を な す .一

が な い こ と か ら 平 行 直 線 場1,2,3が

定 ま り,扇

イ面 に摩 擦

形 角 は α と な る.ホ

フ に つ い て は 前 項 の 諸 例 と 同 様 に 工 作 物 を 静 止 させ,ダ よ い が,定

方,ダ

ドグ ラ

イ を動 か して考 え て も

常 塑 性 流 れ な の で ダ イ を 静 止 さ せ た 方 が は る か に 考 え や す い.す

(ａ)r=

(ｂ)r＞

(ｃ)r＜

図4.18潤

2sinα /1+2sinα

2sinα /1+2sinα

2sinα /1+2sinα

滑 され たダ イに よ る 引抜 き,押 出 しの すべ り線 場

べ

り線3-2-C,C-1が

速 度 不 連 続 線 で あ る.工 作 物 の ダ イ に対 す る速 度 はdbで

あ り,す べ り線3-2に 入 射 した 要 素 は3-2方 向 の 不 連 続 速 度 を え て ダ イ面 に 平 行 に動 く.こ の 条 件 か ら 点3R,2Aが

決 ま る.す べ り線3-2-C上

の速 度 不 連続 量

は一 定(法 則 Ｅ)で あ り,不 連 続 速 度 の 方 向 は す べ り線 の 接 線 方 向 で あ るか ら点 Ｃ の 直上 の 速 度 はdCAと 18)参 照).す CACRを

べ り線1-Cに

な る.扇 形 域 内 の 速 度 は 弧2RCAで

えてdeの

代 表 さ れ る(式(4.

到 達 し たす べ て の要 素 は再 び 接 線 方 向 の 不 連 続 速 度

流 出 速 度 と な る.

断 面 減 少 率 がr=2sinα/(1+2sinα)よ

り 大 き い 場 合 に は,同

に す べ り線 場 を 拡 張 す れ ば よ い.図

示 の 角 度 ψ を 適 当 に 選 び,す

5-6が

中 心 軸 と45°を な し,同

ち ょ う ど 終 る よ う に す る.こ

(ａ)２

(ｂ)平

時 に5-6-7-8が

図(ｂ)の よ う べ り線4-5,

ダ イ と工 作 物 の 接 触 開 始 点 ８で

の す べ り 線 場 で は 第 １す べ り 線5-6-7-8,第

有 心 扇 形 す べ り線 場

頭 ポ ンチの 押 込 み 図4,19

(ｃ)直

(ｄ)テ

角 ダ イ に よ る押 出 し

２す

ー パ ダ イ に よ る 引 抜 き,押 出 し

２有 心扇 形 すべ り線場 の 応 用

べ り線5-4-1が

速 度 不 連 続 線 と な る .速

始 点 ８ で 始 ま り,接

度 不 連 続 線 は 太 線 で示 す よ うに 接 触 開

触 終 了 点 １で 終 る こ と を 注 意 し て お こ う.ホ

成 は 同 図(ａ)と 同 様 に 点 ８の 速 度 か ら 出 発 す る.8L8Rは り,ホ

ドグ ラ フ の 点3,2の

な 速 度 を も つ こ と と,す る こ と か ら 定 ま る.速 続 速 度 で あ り,同

点 ８の 不 連 続 速 度 で あ

位 置 は す べ り 線 場 の 領 域1,2,3が べ り 線7-3,6-2と

度5A5Rは

ドグ ラ フ の 構

ダ イ面 に平行

ホ ドグ ラ フ 線7R,6R-3,2が

点 ５に お け る 速 度 不 連 続 線5-4-1方

じ大 き さ の 不 連 続 が 点 ４に つ い て も4A,L4R,Bと

直交す 向 の不連

して 現 れ て い

る. 断 面 減 少 率 がr＜2sinα/(1+2sinα),す

な わ ち 図4.18(ａ)よ

に は す べ り線 場 を 同 図(ｃ)の よ う に 拡 張 で き る.最 描 き,こ

れ に 扇 形 角 λ,ψの 有 心 扇 形3,2,9お

後 の 拡 張 は,図4.14,4.16な

初 に 平 行 直 線 場1,2,3を よ び1,2,4を

ど と 同 様 で あ る.角

Cと1-4-5-Cが

中 心 軸 上 の 一 点 Ｃ で 会 し,軸

ま る.α=ψ-λ

の 関 係 が あ る.こ

つ ぎ た す.以

度 λ,ψ は す べ り 線3-9-7-

線 と45° を な す と い う 条 件 か ら 定

の す べ り線 揚 は,図4.19(ａ)に

扇 形 す べ り線 場 が 基 本 と な っ て お り,同

り小 な る 場 合

示 す ２有 心

図 の 例 の よ う に そ の 一 部 を利 用 して

色 々 な 塑 性 加 工 の す べ り線場 解 を つ く る こ と が で き る.図4.18(ｃ)の

ホ

ド グ ラ フ は 容 易 に 理 解 で き よ う.図 4.20は

ダ イ面 に一 定 の摩 擦 係 数 μ

=kcos2β/pが

あ る 場 合 に 図4 .

18(ｃ)に 相 当 す る 解 を 構 成 し た も の で あ る.こ

の 場 合,ψ-λ=(π/4)

+α-β

の 関 係 が あ る.μ

が一 定 値

(〓0)の

場 合 に 図4.18(ａ),(ｂ)に

相 当 す る解 の 構 成 を 試 み ら れ た い. 次 に 応 力 解 析 で あ る が,図4.16 の 場 合 と 異 な り,図4.18の 加 工 で は 式(4.4)に

引抜 き

よ る平 均 垂 直 応

(ａ)す べ り線 場

図4.20ダ

(ｂ)ホ

ドグ ラ フ

イ面 に 一様 な摩擦 応 力 が働 く場 合 の 引 抜 き,押 出 しの すべ り線場 解

力 ｐ の 計 算 を 開 始 で き る 自 由 面 が な い.し な い か ら,入

か し,入

口側 に は 引 張 り力 が 働 か

口 す べ り線 上 の 応 力 分 布 の 合 成 力 の 水 平 成 分 が ０ に な る こ と を 境

界 条 件 と し て 用 い る こ と が で き る.た

と え ば 同 図(ａ)の 場 合,す

べ り 線3-2が

垂 直 方 向 と な す 角 は(π/4)-α,ま

た す べ り線3-2の

し い か ら,入

に 作 用 す る 合 成 力 の 水 平 成 分FHは,3-2上

の ｐ をp1と

口 す べ り線3-2-C上 書 い て 式(4.4)を

長 さ Ｌ は1-2の

そ れ と等

用 い ると

(4.20) とな る.こ れ よ りp1を 求 め れ ば 若 干 の 計 算 の の ち =-1/2+α-sinα/

p1/ 2k が え ら れ る.ダ

イ 面 圧 力 ｐ はp=p1-kで p/ 2k

ま た 引 抜 き応 力 σdは,ダ

 (4.21)

1+2sinα

あ り =−1+α  (4.22)

/1+2sinα

イ 面 の 長 さ3-1がh1/(1+2sinα)で

あ るか ら

(4.23) とな る.図4.18の

他 の例 につ い て も同様 で あ り,式(4.20)に

す べ り線 場 内 の い ず れ か １点 の 平 均 垂 直 応 力 ｐ をFH=0の ば,他

の 諸 点 の 応 力 状 態 は 式(4.4),(4.1)に

図4.18の

示 した よ うに, 条 件 か ら決 定 す れ

よ っ て 求 め る こ とが で きる.

解 は そ の ま ま押 出 し加 工 の 場 合 に転 用 す る こ とが で き る.す べ り

線 場 内 の 応 力 状 態 は 引抜 き時 の そ れ に 引 抜 き応 力 σdに 等 しい 圧 縮 の 平 均 垂 直 応 力 を重 畳 す れ ば え ら れ る.こ れ に よ っ て 押 出 さ れ た板 に作 用 す る合 力 は ０ と な り,無 摩 擦(ダ イ 面 お よ び コン テ ナ 壁 面)の 場 合,押

出 し応 力 は 引 抜 き応 力 に

等 し くな る.た だ し,押 出 し力 お よび ダ イ面 圧 力 は 引 抜 きの 場 合 のh1/h2倍

と

な る. 図4.21に

直 角 ダ イ(α=π/2)に

よ る 押 出 し の す べ り線 場 解 の 数 例 を 示 し た.

既 出 の 諸 例 を参 照 す れ ば 容 易 に 理 解 し う る と思 わ れ る.さ て こ れ ま で の 諸 例 で は ホ ドグ ラ フ に よ っ て 速 度 場 を示 して きた が,こ れ で は 塑 性 変 形 の 状 況 を直 観 的 に つ か み に くい.そ

こ で 同 図 の ホ ドグ ラフ を用 い て塑 性 変 形 の状 況 を直 交 格

子線 の変 形 と して 求 め て み る.図4.22(ｂ)の 同 図(ａ)は対 応 す る ホ ドグ ラ フ で あ る.い

点 線 は す べ り線 場 の 略 示 で あ り, ま工 作 物 の 側 面 に は 同 図(ｂ)の よ う

に格 子 横 線 が 押 出 し速 度 に 平 行 に お か れ た 直交 格 子 網 が 刻 まれ て い る もの とす る と,変 形過 程 中 に 変 化 した 格 子 横 線 は 流 線 を示 す こ とに な る.ま ず 流 線 の 形

(ａ)r=50%,潤

(ｃ)r50%,潤

(ｄ)r=50%,付

角 ダイ に よ る押 出 しの す べ り線 場

滑

着摩擦

(ｄ) (ａ)

(ｂ)

(ｃ)

(ｅ)

図4.22格

を 求 め よ う.同

図(ｂ)の 経 路 ４ に つ い て 考 え る と,点

(ａ)の不 連 続 速 度 ｂ,D-0を

え て,ｄ,D-0な

上 の 速 度 は す べ てd,D-0で 素 が 第 ２す べ り 線E-0に 同 図(ｂ)の 点D,E′ か らDE′ に は,点E′

Ｄ に達 し た 要 素 は 同 図

る 速 度 に な る.第

あ る(γ 座 標 に 無 関 係)こ

達 し た と き の 速 度 は ｄ,E-0で

間 で は 平 均 的 に 同 図(ａ)の 速 度DE′

か ら速 度E′F′ に 平 行 な 直 線 を 引 き,第

２ す べ り線D-0

と に 注 意 し よ う.ま あ る.し

た が っ て,

の交 点

略 の 経 路 を求 め

し て 最 後 に 全 体 を 眺 め な が ら 滑 ら か な 曲 線 に 修 正 し て い け ば よ い.次

え る と,変

刻t=0に

お い てx=0に

Ｄ

の 位 置 を定 め る

２す べ り 線F-0と

経 路 に つ い て も 同 様 な 操 作 を 繰 り 返 し,大

格 子 縦 線 の 変 化 を 求 め る.時

た要

で 動 く も の と し,点

に 平 行 な 直 線 を 引 い て 点E′ の 位 置 を 定 め る.点F′

を 求 め れ ば よ い.各 る.そ

子 線 変 形 の 導 出法(工 藤)

に

あ る縦 線 上 の １点 を考

形過程 でのこの点の速度 の ｘ方 向成分 ｕ は流線 に沿 って ｘの関 数

と し て ホ ドグ ラ フ か ら定 ま る か ら,dx/dt=uよ

り

t=

1

〓/u dx

 (4.24)

が 経 過 時 間 と ｘ座 標 との 関 係 を与 え る.図4.22(ｃ)は

同 図(ｂ)の 各 経 路 に つ い

て ｕ と ｘ の 関 係 を 同 図(ａ)か ら求 め た もの で あ り,ラ ム の 速 度 を １と して い る.同 図(ｄ)は1/uと

ｘ の 関 係 で あ る.ま た 同 図(ｅ)は未 変 形 格 子 の １縦 線 間

隔 を単 位 時 間 に 動 く速 度 を もっ て 単 位 速 度(u=1)と ｘ との 関 係 を示 した もの で あ る.変 形 域,未

し,式(4.24)に

よ る ｔと

変 形 域 を 問 わ ず,単 位 時 間 の 経 過

に よ っ て 格 子 点 に あ った 要 素 は 隣接 の 格 子 点位 置 に動 くか ら,同 図 に 示 す よ う に単 位 時 間 ご とに 横 軸 に 平 行 な 直 線 を 引 き,各 経 路 の 経 過 曲 線 との 交 点 の ｘ 座 標 を求 め る.そ

して 同 図(ｂ)の各 経 路 の 流 線 上 で こ の ｘ 座 標 を もつ 点 を求 め,

同一 経 過 時 間 に お け る諸 点 を滑 らか な曲 線 で 連 結 す れ ば,変 が え られ る.同

4.2.3切

削

図(ｂ)は こ の よ うに し て え られ た格 子 線 変 形 で あ る.

加

図4.23はE.H.Leeお 図(ａ)は3.4.1項

形 した縦 線 の 形 状

工

よびB.W.Shafferに

よ るす べ り線 場 解 で あ る.同

ｃ.に述 べ た場 合 で あ り,一 様 応 力 場,一

は容 易 に 理 解 で き よ う.ま た 図 示 のAC面

様速 度場 とな るこ と

は 主 応 力 面 で あ り,切 〓 は 自 由 体

で あ る か ら,こ の 面 上 の 主 応 力 は ０で あ る.し か しACに 〓 内 で ０,す べ り線 場 内 で-2kで

あ るか ら,面ACは

平 行 な主 応力 は切

応 力 の 不 連 続 面 で あ る.

同 図(ｂ)は工 具 切 刃 近 傍 に 小 形 の構 成 刃 先 が 存 在 す る場 合 で あ り,構 成 刃 先 の す くい 面 は 円 弧 状 で,主 せ ん 断 応 力 に等 しい 摩 擦 応 力 が 働 い て い る.こ の 解 は 同 図(ａ)のす べ り線 場 に 第 ２す べ り線 が 直 線 の 有 心 扇 形 を付 加 した もの で あ り, 平 行 直 線 場 内 の 応 力 状 態 はO1を

原 点 とす る モ ー ル 円,扇

形 域 で は 各 第 ２す べ

り線上 の 応 力 状 態 が 一 様 で あ っ て,角 度 δの位 置 で はO2を 円 に よ っ て 応 力 状 態 が 表 示 で き る.式(4.4)を 図4.23の

解 を 一 般 化 す る と 図4.24が

原 点 とす る モ ー ル

用 い て確 か め られ た い.

え ら れ る.同 図 の 模 型 〔１〕は 図4.

23(ａ)の す べ り線 場 を 曲 線 すべ り線 場 と し た もの で あ り,す べ り線C0-C1,C0C2は 等 し い 円 弧 で あ る.ま た点 線 は 塑 性 域 境 界 を な す 応 力 不 連 続 面 で あ る が,

(ａ)構

成 刃先 の な い場 合 図4.23Lee-Shafferの

(ｂ)構 す べ り線 場 解

成 刃先 の あ る場 合

(ａ)

(ｂ)

模型

〔１〕

模 型 〔２〕

(ｂ)

(ａ)

模型

〔３〕

模型

〔４〕

(ａ)

図4.24

(ｂ)

２次 元切 削 の 各種 す べ り線場 解(工 藤)

そ の 正 確 な 形 状 は 指 定 で き な い.模

型 〔２〕は 模 型 〔１〕の す べ り線 場 の 下 側 に 曲

線 有 心 扇 形 域 を 付 加 し た も の で あ る.ま C1,C0-C2を

直 線 と し た も の で あ り,図4.23(ｂ)の

き か え た も の に な っ て い る.模

を 扱 っ て い な い か ら,模 を 構 成 す る に はPragerの お い て,斜

ま ま で に 摩 擦 応 力 が 一 様 分 布 で な い解

極(pole)の

の解

性 質 を 知 っ て お く と 便 利 で あ る.図4.

面 Ａ お よ び 面 Ｘ の 応 力 状 態 が モ ー ル 円 上 の 点A,Xで

れ て い る とす る.い

ま,点

だ し σ,τ 軸 は そ れ ぞ れx,y軸

Ａ に 平 行 で あ る.面

そ れ

に平行 におか

Ｘ を 通 り σ 軸 に 垂 線 を 立 て て 円 周 と の 交 点 をP′ と

ｙ 軸 に 平 行 で あ る.ま

た ∠XP′A=α

素 Ａ は 任 意 に 選 ん で い る か ら,一

で あ る か らP′Aは 般 に,面

面 素

素 の応 力状 態

を 表 す モ ー ル 円 上 の 点 と点P′ を 結 ぶ 直 線 は そ の 面 素 に 平 行 と な る.た 直 線P′I,P′

具 す くい

型 〔１〕,〔 ２〕の 具 体 的 構 成 法 を 述 べ て お こ う.こ

ぞ れ 与 え ら れ る も の と す る.た

す る と,P′Xは

構 成 刃 先 をす べ り線 場 に お

型 〔４〕は 模 型 〔３〕の 特 殊 例 で あ り,工

面 の 摩 擦 応 力 は 全 面 で ｋ に 等 し い.い

25に

た 模 型 〔３〕は 模 型 〔１〕の す べ り線C0-

とえば

点P′ がPragerの

Ⅱ は そ れ ぞ れ 点 Ｐ の 第 １お よ び 第 ２す べ り線 方 向 で あ る.こ 極 で あ る.図4.24の

の

模 型 〔１〕の 解 を ま ず 構 成 す る.図4.

26(ａ)に お い て (１)工

具 す く い 面 を ｙ 軸 と し,τ 軸 を こ れ に 平 行 に お く.点C1は

自由 面

上 の 点 で あ る か ら モ ー ル 円(半 径 は 適 当 で よ い)の 原 点 は 図 示 の 点 Ｏ で あ る.

図4.25Pragerの

極

(ａ)手

続 き(１)∼(４)ま

で

(ｂ)手

続 き(５)∼(７)ま

で

図4.26模

点C1の

型 〔１〕の 構 成 法

摩 擦 応 力(τt)c1を 適 当 に 設 定 し て 点C1′ を 定 め る*.点P′

極 で あ り,P′1が

点C1の

第 １す べ り線 方 向 で あ る,こ

がPragerの

の 方 向 が ｙ軸 と な す角

を θ と す る. (２)次

に ホ ドグ ラ フ を 描 き 始 め る.こ

を 設 定 す る(た と え ば(τt)E=k).刃 明 で あ る が,応 *Pragerの

の た め に 刃 先 に お け る 摩 擦 応 力(τt)E

先 の 応 力 状 態 の モー ル 円 の 原 点 の位 置 は不

力 状 態 を あ ら わ す 点 がC1′ と 同 じ 象 限 に あ る こ と は 明 ら か で あ 極 の 利 用 で 必 要 な の は 角 度 関 係 の み で あ る .し

だ モ ー ル 円 の 半 径 に 対 す る長 さ で 考 え れ ば よ い.

た が っ て(τt)C1は 任 意 に 選 ん

る か ら,(τt)Eの PE′ Ⅱ(第

値 が 設 定 さ れ れ ば 刃 先 を 通 る 第 ２す べ り線 の 方 向 は 図 示 の

１す べ り 線 方 向 はPE′

と な す 角 を σEと す る.す

Ⅰ)と し て 定 ま る.こ

べ り 線C2-C0-Eは

す く い 面 の 速 度 は ホ ド グ ラ フ の 点E″ り,す

べ り線C2-C0-Eに

はWE″

の 方 向 が 切 削 速 度TW

速 度 不 連 続 線 で あ り,刃

で 与 え ら れ る.WE″

と 逆 転 し て い る か ら,ホ (３)既

は不 連続 速 度 であ

沿 っ て 一 定 で あ る か ら,C2-C0-Eは

を半 径 とす る円 弧E″C2″C0″ と な る.弧C0C2の ド グ ラ フ で は 点C2″ が 点C0″

述 の よ う に す べ り 線C0-C1とC0-C2は

ホ ドグ ラ フ 上 で

曲 率 は弧EC0の

の と き,す

等 し い 円 弧 で あ る か ら,ホ

べ り 線 場 と の 直 交 性 か ら,図

め た θ と一 致 し な け れ ば な ら な い.角

それ

よ り下 側 に あ る.

グ フ フ の 扇 形 角 β を 調 節 し てC0″ の 位 置 を 定 め,弧C0″Cl〝,C0″C2″ 描 い て み る.こ

先直上 の

ド

を等 し く

示 の 角 θ′は(１)項 で 求

β を 調 節 し てC0″ の 位 置 を 変 え,θ ′=θ

と な る よ う に す る. (４)次

に す べ り線 場 を 描 き 始 め る.ホ

C0C1,C0C2の 発 し,適

中 心 角 と 一 致 し な け れ ば な ら な い か ら,点C1か

当 な 半 径R′

要 で あ る.次

成 さ せ る に は 図4.26(ｂ)の

操 作 が 必

に こ れ に つ い て 説 明 す る.

べ り線C1-C0の

れ て い る か ら,す し,(1),(2)項

ら角 度 θ で 出

で 中 心 角 γ を もつ 直 交 円 弧 を 描 け ば よ い.

以 上 で 大 略 の 解 の 形 が 決 ま っ た が,完

(５)す

ド グ ラ フ の 角 度 γ は す べ り線 の 弧

形 が 決 ま り,刃

べ り 線C0-Eの

先 Ｅ で の 第 ２す べ り 線 方 向 も 設 定 さ

形 は 見 当 が つ く.そ

で 設 定 し た(τt)C1,(τt)Eを

こ で 点 Ｅ の 位 置 を予 想

図 示 し て 点C1,Ｅ

間 の τt分 布 の 見

当 を つ け る. (６)す

べ り 線C1-C0を

何 等 分(図 は ４等 分)か

し,ま

の 位 置 と そ こ で の 第 ２ す べ り 線 方 向 を 選 定 す る .こ

ず 点 ａに 対 向 す る 点 ｈ

の と き(τt)hの 値 が 図 示 の

直 線 分 布 の 値 よ り若 干 低 く な る よ う に す る と都 合 が よ い.点 で の 第 ２す べ り線 方 向 が 定 ま る と,Henckyの が 定 ま る.ま

定 理 に よ っ て 点e,f,gの

た 直 交 性 に よ っ て ホ ドグ ラ フ の 点h″,e″,f″,g″

点g″ がE″,C0″ 上 に 正 し く乗 り,g″WがE″C0″

ｈの 位 置 と そ こ 位 置

が 定 ま るが ,

と 直 交 す る こ と が 必 要 で あ る.

こ の 条 件 が 満 た さ れ な け れ ば 点 ｈ に 帰 っ て 調 整 す る .(τt)hの

値 につ い ての上

(ｂ)

(ａ)

図4.27扇

模

型 〔１〕

模

型 〔２〕

図4.28図4.24の

形領 域 の付 加

模

模

型 〔３〕

型 〔４〕

解 に よ る格 子 線 変 形

述 の注 意 は こ の繰 り返 し を減 らす た め で あ る. (７)点

ｉに つ い て 同 じ操 作 を繰 り返 し,刃 先 Ｅ ま で 同 じ要 領 で 解 を 完 成 さ

せ て い く.も ち ろん(５)項 で予 測 した 点 Ｅ の位 置 は 解 の それ と一 致 しな くて よ い. 図4.24の

模 型 〔２〕は 上 述 の 解 に 扇 形 域 を つ ぎ た す 操 作 で え ら れ る.図4.

27(ａ)の 点 線 で 示 さ れ た 部 分 は 上 述 の す べ り線 場 で あ り,点C2に 角 ψ を 指 定 す れ ば 点15ま

でHenckyの

の 摩 擦 応 力(図 で は(τt)E1=k)を の ホ ドグ ラ フ に つ い て は,第

定 理 に よ っ て 描 け る.ま

指 定 す れ ば15-E1の ２す べ り 線C2-12-E1が

お い て扇 形 た 刃 先E1で

部 分 も 描 け る.同

図(ｂ)

速 度 不 連 続 線 で あ り,ホ

(ａ)切 〓接触 面 を拘束す る工 具

(ａ)乾

切削

(ｂ)切 削油剤の使用 図4.29す

くい面 潤滑 に よ る切 〓 生 成 状 態 の変 化

(ｂ)第

図4.30 

２す くい面 に も切 〓 が接 触 す る工 具

２段 の す くい面 を もつ工 具 に よる切 削 の す べ り綿 場 と格 子 線変 形

ドグ ラ フ で は 直 交 す る位 置 に 円 弧 と して 現 れ る こ と を考 慮 し,図 示 の 角 度 関係 を満 た す 中心W1を

求 め れ ば よ い こ と に な る.な お 図4.27は

工 具 に つ い て構 成 され て い るが,他 た とえ ばT′W1を

す くい 角 ０度 の

の工 具 す くい角 の場 合 に 直 ち に転 用 で き る.

切 削 速 度 とす れ ば こ れ に対 応 して す くい 角 αが 生 じ,す べ

り線 場 も図示 の よ うに す くい角 α を もつ場 合 と考 え れ ば よ い.  図4.28に

図4.24の

解 の 格 子 線 変 形 を示 した.い づ れ も 図4.22の

方法に

よ る もの で あ る.な お模 型 〔1〕,〔2〕 の解 で は 切 屑 カー ル(chip curl)が 生 ず る が,図4.29に 径,切

示 す よ うに工 具 す くい 面 の 摩 擦 応 力 分 布 の 与 え か た で カー ル 半

屑 生 成 状 況 は 著 し く変 化 す る.

 図4.30に

２段 の す くい面 を もつ 切 削 工 具 の場 合 の す べ り線 場 と格 子 線 変 形

を示 した.同

図(ａ)は第 １段 の す くい 面 に しか 切 屑 が 接 触 し な い よ うに 拘 束 さ

れ た場 合,同

図(ｂ)は 第 ２段 の す くい 面 に も接 触 が 生 ず る場 合 で あ る.い

ずれ

も第 １すべ り線 の有 心 扇 形 が す くい 面 に 生 じて い る.

  4.3 

格 子 線 解 析 法(加 工 硬 化 材 料)

 塑 性 変 形 域 内 の 質 点 速 度 の分 布 を実 測 し,こ れ か らひ ず み 速 度 分 布 を求 め, 応 力 分 布 を計 算 す る方 法 が あ り,格 子 線 解 析 法(visioplasticity method)と

よ

ば れ て い る.対 象 とな る塑 性 変 形 は 平 面 ひ ず み 変 形 お よ び 軸 対 称 変 形 で あ り, ２次 元 切 削 と軸 対 称 押 出 し を例 と して 説 明 す る.図4.31に

示 す よ うに,切

削

で は切 削 幅 の 中 央 で ２つ 割 り,押 出 しで は子 午 面 で ２つ 割 りに した素 材 の 片 方 の 断 面 に 直 交 格 子 線 を 引 い て か ら両 者 を合 わせ て 切 削,押 格 子線 の 片 方 の 群 が 切 削 速 度,押

出 し速 度 に平 行 に 引 い て あ れ ば,そ

子 線 は変 形 過 程 で の 流 線 に な っ て い る.切 削,押 分 割 す れ ば 図4.31の

出 し を行 う.こ の 際, の 群 の格

出 し を急 停 止 し,材 料 を再 び

格 子 線 変 形 が え られ る.図4.22に

関 して 述 べ た よ うに,

各 流 線 に 沿 って 質 点 が 一 格 子 間 隔 だ け移 動 す る時 間 は 変 形 の 有 無 に か か わ らず 一 定 で なけ れ ば な ら な い

.こ の 条 件 よ り,図4.31の

状 態 か ら微 小 時 間 ⊿t経

過 後 の格 子 点位 置 を求 め る こ と が で き る.し た が っ て,⊿tの

前 後 の格 子 点 位

(ａ)  切 削加 工 図4.31 

(ｂ)  押 出 し加 工 切 削 お よび押 出 し加 工 にお け る格 子 線 変 形

置 を 比 較 す れ ば ⊿t時 間 内 の 変 位 の 増 分 が え ら れ,合 (図4.32(ａ)参

照).速

度 成 分(切 削:u,υ,押

は 容 易 で あ り,式(1.32),(3.17)よ

切

速 度 の 分 布 が 求 め られ る

出 し:ur,uz)を

求 め る こ と

り

削 (4.25)

押出 し が ひ ず み 速 度 と して え られ る*.定 常 過 程 で は上 述 の よ うに １枚 の 格 子 線 変 形 写 真 か ら求 め られ るが,非

定 常 過 程 で は 格 子 線 変 形 の変 化 を連 続 的 に 写 真 撮 影

し,微 小 時 間 ⊿tの 前後 の 写 真 の 比較 か ら速 度 場 を 求 め な け れ ば な ら な い.図 3.46は

こ の 目的 の た め に 撮 影 され たせ ん 断 型 切 屑 生 成 の 格 子 線 変 形 の 変 化 で

あ る.  次 に格 子 線 変 形 の 面 内 で の 主 せ ん 断 ひ ず み 速 度 の 方 向 を求 め て み よ う.切 削 の 場 合 に は 平 面 ひ ず み で あ るか ら￨εx｜=￨εy￨であ り,ひ ず み 速 度 の モ ー ル 円 は 図3.1の

よ うに 原 点 を中 心 とす る もの に な る.い

ま 同 図 に お い て,Ⅰ,Ⅱ

点

で 表 さ れ る方 向 をそ れ ぞ れ 第 １お よ び 第 ２主 せ ん 断 ひず み 速 度 方 向 と定 義 し, ｘ軸 か ら第 １主 せ ん 断 ひ ず み 速 度 方 向 ま で 反 時 計 ま わ りに 測 っ た 角 を φ と す

*  弾 性 ひ ず み の検 出 は実 験 精 度上 困難 で あ り,格 子 線 解 析 法 で は 塑 性 ひ ず み の み が 対 象 であ る.し たが って 剛塑 性体 と して の解 析 とな る.

る.図1.14(ｂ)の

ひ ず み モー ル 円 の 性 質 か ら

(4.26)

(4.27)

と して φ は計 算 さ れ る.押 い て,γxyの

出 しの 場 合 も同様 で あ り,式(4.26),(4.27)に

か わ りに γzr,εyの か わ りに(εr-εz)/2を

せ ん 断 ひ ず み 速 度 の 方 向 が 求 ま る.子 +εz)/2だ か らで あ る.図4.32の

お

とれ ば 子 午 面 内 の 主

午 面 内 の 平 均 垂 直 ひ ず み 速 度 は(εr

×印 は こ の よ うに し て求 め た 主 せ ん 断 ひ ず

み 速 度 方 向 で あ り,× 印 の 方 向 を 滑 らか に 結 ん で 主 せ ん 断 ひ ず み 速 度 線 場 が え られ る.等 方性 を仮 定 す れ ば 流 動 法 則 は加 工 硬 化 の あ る任 意 の 変 形 過 程 で も成

(ａ)  4-6黄 銅,す

２次 元 切 削

くい 角25°,切

切 削 速 度13mm/min,乾

(ｂ) 

削 厚 さ0.8mm,

軸 対 称 押 出 し(Thomsen) ア ル

ミ ニ ウ ム,D1=4.3in,

D2=1.5in

切 削

図4.32 

主 せ ん 断 ひず み 速度 方 向 とすべ り線場

り立 つ か ら,主 せ ん 断 ひ ず み 速 度 方 向 は 主 せ ん 断 応 力 方 向 で あ り,図4.32は 加 工 硬 化 の あ る場合 のす べ り線 場 と な る.  平 面 ひず み の 場 合 に 応 力 解 析 を行 う一 方 法 は加 工 硬 化 の あ る場 合 のHencky の方程式

(4.3)

に よ る もの で あ る.上 式 を 用 い るに は す べ り線 に 沿 う ｋお よ び ｋの 変 化 率 ∂k/∂S1,∂k/∂S2を 知 らね ば な ら な い が,ｋ の 値 は 塑 性 仕 事 の 等 価 性 を 用 い て 次 の よ うに え られ る.図4.31(ａ)の

格 子 線 変 形 は ひ ず み速 度 や 温 度 が 問 題 に な ら

な い低 切 削 速 度 で え られ た も の とす る と,こ の 変 形 過 程 で の 相 当応 力 σ と相 当 ひ ず み ε との 関 係 は静 的 な 引 張 試 験 に お け る もの と同 一 で あ る.平 面 ひ ず み に お け る相 当 ひ ず み 増 分 はdε=(2/√3)dε1で

あ り,相 当 ひ ず み は

(4.28) た だ し,dγmaxは

主 せ ん 断 ひ ず み 増 分,γmaxは

γmaxは 図3.1か

ら容 易 に わ か る よ う に

主 せ ん 断 ひ ず み 速 度 で あ る.

(4.29) で 計 算 さ れ,εy,γxyは

式(4.25)の

第 １式 で す で に 計 算 さ れ て い る.図4.

31(ａ)の 変 形 過 程 で は 流 線 に 沿 う γmaxの 値 を 用 い,塑 の 曲 線IJ)か 図3.46の

ら 着 目位 置 に 達 す る ま で の 時 間,式(4.28)の

性 域 の 入 口(図4.32(ａ) 積 分 を 行 え ば よ い.

非 定 常 過 程 で は 変 形 の 各 段 階 で γmaxを 計 算 し,着

γmaxを 時 間 積 分 す る こ と に な る.平 9)を 代 入 し,Misesの

目 す る要 素 の

面 ひ ず み の 相 当 応 力 は 式(2.30)に

式(3.

降 伏 条 件 を用 い れ ば

(4.30) とな る.し た が っ て 引 張 り試 験 の塑 性 曲 線 を用 い て

(ａ)  計 算順 路(点 Ａ また は Ｉが 起 点)

(ｂ)  応 力分 布,切 削 力 の計 算 結 果 図4.33 

格 子 線解 析 法 に よ るす べ り線上 の 応 力 分 布, 合 成 切 削 力,す くい 面応 力 分布 の 計算 結 果

(4.31) な る 換 算 を 行 え ば ｋ が 求 め ら れ る わ け で あ る.塑 ま れ ば,各 (4.3)の c2を

性 域 内 の 各 点 で ｋの 値 が 求

す べ り 線 に つ い て ∂k/∂S1,∂k/∂S2の 値 は 図 式 的 に 求 め ら れ る.式

∂φ/∂S1,∂φ/∂S2はす べ り線 が 描 か れ て い る か ら 既 知 で あ り,定

自 由 面(た

と え ば 図4.33の

点A,I)で

塑 性 体 す べ り 線 理 論 に お け る と 同 様 に,塑 で き る.図4.33は

の 境 界 条 件 か ら 定 め れ ば,剛

完全

性 域 内 の 応 力分 布 を計 算 す る こ とが

こ の 方 法 に よ る 応 力 分 布 の 計 算 例 で あ る.

  す べ り線 理 論 に よ ら な い 方 法 も ま た 可 能 で あ る.軸 と る と,式(3.19)よ

数c1,

り

対 称 押 出 しの 場 合 を例 に

εz-εr=dλ(σz-σr) εr-ε

θ=dλ(σr-σ

θ)

}

(4.32)

第 １式 を ｒ で微 分 して

(4.33) 式(3.22)の

第 １式 を代 入 し,式(4.32)の

式(2.39)を

代 入 して

第 ２式 を 用 い れ ば

(4.34) εr,ε

θ,εzは 式(4.25)の

第 ２ 式 で 既 知 で あ り,ε

で 考 え てx,y,zをr,θ,zに

変 え,γrθ=γ

た σ は 式(2.30)のx,y,zをr,θ,zに Misesの

は 式(2.33)を

θz=0と す れ ば 計 算 さ れ る.ま

変 え,τrθ=τ θz=0と

降 伏 条 件 を と れ ば σ=Yで

す れ ば よ い.

あ る か ら塑 性 仕 事 の 等 価 性 か ら既 述 と 同

様 に σ は ε=〓 εdtに 対 し て 計 算 で き る.し

算 で き る量 で あ る.し た が っ て,あ

ひす み 速度

た が っ て,式(4.34)の

右 辺 は計

る半 径 線 につ い て

(4.35) を考 え る と,σz0(r=0に

お け る σzの値)が わ か れ ば σzが求 ま る こ と に な る.

コ ン テ ナ 壁 面 の 摩 擦 応 力 が 無視 で きれ ば 軸 方 向 荷 重 Ｐ は 全 塑 性 領 域 に つ い て の 次 式 の体 積 積 分 か ら求 ま る.

(4.36) た だ し,U0は

ラ ム の 速 度 で あ る.し

た が っ て,コ

ンテ ナ の 直径 を Ｄ とす れ ば

(4.37) か ら σz0を 決 め,式(4.35)か 成 分 は 式(4.32),(3.19)よ

ら σzを 計 算 す れ ば よ い.σzが り容 易 に 計 算 さ れ る.

求 まれ ば 他 の 応 力

   演 １.図4.4の

習

す べ り線 上 の 任 意 点,例

曲 率 半 径 を そ れ ぞ れR1,R2と

=-1

す べ り線 場 解 は 接 触 面 を 拘 束 しな い 通 常 の 工 具 に対 して は 適 用

の 理 由 を 述 べ よ.

３.図4.30(ａ)の 導 け.た

=-1

/∂s1

第 ２定 理 と よ ば れ る.

２.図4.30(ａ)の で き な い.そ

２す べ り線 の

式 が 成 り立 つ こ と を示 せ.

 ∂R2

∂s2

題

え ば 点 Ｄ に お け る 第 １,第

す る と き,次 ∂R1/

上 式 はHenckyの

問

扇 形 域 内 の 速 度 場 を式(4.18)に

よ っ て 求 め,流

線 を表 す 式 を

だ し工 具 す くい 角 α を0°とせ よ.

４.図4.34の

す べ り線 場 解 に お け る 誤 り を指 摘 せ よ.

５.図4,18の

す べ り線 場 解 で,押

出 しの ダ イ 面 圧 力 は 引 抜 きの そ れ のh1/h2倍

と な る こ と を 示 せ.

図4.34

６.図4.24の ７.図3.17(ｆ)の

図4.35

す べ り線 場 解 の模 型 〔1〕,〔2〕 で は な ぜ 切 屑 カ ー ル が 生 ず るか. 後 方 押 出 し を 平 面 ひ ず み 状 態 で 行 う と き,r=50%と

り線 場 解 を構 成 し,平 均 押 出 し圧 力 ｐ を求 め よ.た

してすべ

だ し,壁 面 は 完 全 潤 滑 あ る い

は付 着 摩 擦 状 態 と す る. ８.図4.35の

す べ り線 場 に 対 す る ホ ドグ ラ フ を 描 き,流 線 の 形 状 を示 せ.

５.上

界,下

界 定 理 とその応 用

 前 章 で は,す べ り線 理 論 に よ っ て 応 力,加 工 力,塑 性 変 形 を厳 密 に 求 め る方 法 を示 した.主

と して 剛 完 全 塑 性 体 が 対 象 で あ っ た が,問 題 の 応 力場 や 塑 性 流

れ の 場 の構 造 を体 験 的 に 理 解 し,物 理 的 に把 握 す るの に便 利 な ため,多

くの 紙

数 を さ い た.し か し,正 解 な す べ り線場 解 を求 め るに は 多大 の 労 力 を要 す る し, 軸 対 称 問題 に これ を適 用 す る こ と も厳 密 に は で きな か っ た.そ

こ で,本 章 で は

同 じ く剛 完 全 塑 性 体 の 場 合 に,上 界 定 理 を利 用 して加 工 力,塑

性変 形の近似解

を求 め る方 法 を示 す.こ り も容 易 に加 工 力,塑

の 方 法 で は,応 力 場 は え られ な い が,す べ り線 場 法 よ

性 変 形 を求 め る こ とが で き,軸 対 称 問題 に こ の 方 法 を適

用 す る こ と もで き る.な お 第 ３章 で述 べ た理 想 塑 性 変 形 エ ネ ル ギ解 法 は,本

章

の 方 法 を簡 略化 した もの で あ る.

5.1 

上 界 定 理,下

界定 理

 剛 完 全 塑 性 体 の み を対 象 と して 話 をす す め よ う.ま た降 伏 条 件 は 流 動 法 則 に 適 合 し,式(2.50)の

最 大 塑 性 仕 事 の 原 理 が 成 り立 つ も の とす る.前 章 で 述 べ

た よ うに,外 力 の 境 界 条 件,降 伏 条 件,平 衡 条 件 を満 た す 応 力 を静 的 可容 応 力 と い い,変 位 の 境 界 条 件,非

圧 縮 性 条 件,適

た す 変 位 増 分 を動 的 可 容 変 位 増 分 と よ ぶ.ま

合 条 件(式(1.17),(1.19))を た 両 者 が 式(2.25)で

満

結 ばれ る と

き,正 解 応 力,正 解 変 位 増 分 と よぶ こ とに す る.  一 般 に塑 性 問題 の 境 界 条 件 に は 変 位(速 度)と 力(応 力)の ２種 類 が あ るが 5.1に 示 す よ うに,物 体 の 表 面SU上 の 表 面SF上

で は 外 応 力Fiが

で は 表 面 変 位 増 分duiが

,図

与 え ら れ,残

り

与 え られ る もの とす る.静 止 す る工 具 に 固 着 す

る 表 面 はdui=0が

与 え ら れ るSu面

で あ り,物 体 の 自 由 面 はFi=0の 応 力 が 与 え ら れ るSF面

外

で あ る.仮 想

仕 事 の 原理 に よ れ ば 平衡 状 態 に あ る任 意 の 力 系 に 対 し,拘 束 条 件 を満 たす 任 意 の 仮 想 変 位 を与 え た とき の仮 想 仕 事 は ０で あ る.仮 想 変 位 と して任 意 の 動 的 可 容 変 位 増 分 δui*を と り,こ れ に よ る仮 想 ひ ず み 増 分dεij*を 考 え る. 一 方 ,力 系 と して は任 意 の 静 的 可 容 応 力 σij*とこれ に対 す る外 応 力Fi*を

図5.1 

与 え られ る変 位 増分 と 外応 力 の境 界 条 件

とれ ば仮 想 仕 事 の 原理 は

(5.1) と な る.物 体 内 に動 的 可 容 な変 位 増 分 の 不 連 続 面(速 度 の 不 連 続 面)SDが

存在

す る場 合 に は,変 位 増 分 の 不 連 続 量(接 線 方 向)を ⊿δuT*,⊿ δuT*方 向 の 静 的 可容 せ ん 断 応 力 を τ*と す れ ば

(5.2) で あ る.   次 に 仮 想 変 位 と し て 正 解 変 位 増 分 δui,⊿ δuT,正 た 場 合 を 考 え る と,Fi*,σij*,τ*と

正 解Fi,σij,kに

解 ひ ず み 増 分dεijを

とっ

対 して そ れ ぞ れ

(5.3)

で あ る が,SF上

で はFi*=Fiで

あ る か ら,両

式 の 差 を とる と

(5.4) と な る.し ≦kで

か る に 左 辺 の 第 １項 は 式(2.50)に

あ る か ら 同 様 で あ る.し

よ っ て 正 ま た は ０,第

２項 も τ*

た が って

(5.5) が え られ る.す な わ ち表 面SUで

真 の外 力 が 表 面 変 位 増 分 に 対 して な す 仕 事 増

分 は 静 的 可 容 応 力 に つ り合 う外 力 が な す仕 事 増 分 よ り小 で な い.こ 理(lower

bound

theorem)と

い う.表 面SUは

れ を下 界 定

工 具 と工 作 物 との 接 触 面 の よ う

に変 位 の み が 与 え ら れ て お り,解 に よ っ て荷 重(外 力)を 求 め るべ き面 で あ る. 下 界 定 理 は こ の場 合,“ 静 的 可 容 応 力場 か ら見 積 られ る荷 重*１が 正 解 荷 重 よ り 大 き くな りえ な い ” こ と を示 して い る.こ の 意 味 で静 的 可 容 な解 に よ る荷 重 は 下 界 な の で あ る.第

３章 の 塑 性 加 工 の 初 等 解 析 法 で え られ た加 工 力 は い ず れ も

下 界 荷 重 に相 当す る*２.  次 に動 的 可 容 な δui*,⊿ δuT*,dεij*と 正 解 の σij,k,Fiを

と っ た場 合 の 式

(5.2)を 考 え る と

で あ る.い

まdεij*と

は 平 衡 条 件,境

式(2.25)に

よ っ て 結 ば れ る 応 力 を σij**と す る と,σij**

界 条 件 を 満 た す と は 限 ら ぬ が,式(2.50)に

よって

(5.7)

Σ Σ(σij**-σij)dεij*≧0

は 成 り 立 つ.表

面SU上

で は δui*=δuiな

る こ と を 考 慮 し,式(5.7)を

式(5.

6)に 代 入 す れ ば

*１ 

Fi*は

面SUの

法 線 の 単 位 ベ ク トル を ｎ と す る と,Fi*=∑σij*njに

よ っ て求 め ら

れ る. *２  近 似解 法 であ り,摩 擦 の あ る場合 に は正 当 な 降伏 条 件 を使 用 して い な い か ら,正 し く下 界荷 重 を計 算 した わ け では な い.

(5.8) を え る.す

な わ ち 表 面SUで

真 の外 力 が 表 面 変位 増 分 に 対 して な す 仕 事 増 分 は

動 的 可 容 変 位 に よ っ て 見 積 ら れ る 仕 事 増 分 よ り 大 で な い.こ (upper 10に

bound

theorem)と

い う.Misesの

れ を上 界 定 理

降 伏 条 件 に し た が う 材 料 で は 図2.

示 し た よ う に Ｓ とdε が 同 一 方 向 に あ る か ら,式(2.32),(2

.47)よ

り

(5.9) また 平 面 ひ ず み で は

(5.10) とな る.な お 塑 性 変 形 が 変 位 増 分 の 不 連 続 線 に よ る機 構 の み で 生 じ,ま た 表 面 SFが

自由 表 面 の み の 場 合 に は,式(5

.8)は 次 式 の よ う に簡 単 に な る.

(5.11)

5.2上 上 界 定 理,下

界 定 理 は物 体 の 形 状,境

そ の状 態 か らの微 小 変 位 増 分,ひ 注 意 し よ う.た

界 定 理 の応用 例 界条 件 が あ らか じめ 指 定 され て い て ,

ず み 増 分 を考 え る場 合 に の み 成 り立 つ こ とに

とえ ば 上 界 定 理 を考 え る場 合,図5.2(ａ)の

加 工 で は工 作 物 の外 形,境

よ う な定 常 押 出 し

界条 件 が 完 全 に 指 定 され て お り,こ の 内部 で 任 意 の

動 的 可 容 変 位 増 分 の 場 を考 え れ ば よい の に 対 し,同 図(ｂ)の切 削 加 工 で は 切 屑 の 外 形 は指 定 され て お らず,想 定 す る動 的 可 容 変 位 増 分 に 応 じて切 屑 の状 態 が 変 化 して し ま う.す な わ ち,上 例 の 押 出 し加 工 で は上 界定 理 の 応 用 が 可 能 なの に対 し,切 削加 工 で は切 屑 の 形 状 自体 も解 と して 求 め るべ き もの で あ るか ら, 上 界定 理 の 厳 密 な 応 用 は で き な い の で あ る. さ て 下 界 定 理 の 応 用 は 格 別 の 実 用 性 が な い の で 省 略 し,上 界 定 理 の 応 用 を述

図5.2速

べ る.多

くの 問 題 で はSFは

出 し加工

(ｂ)切

削加 工

度 不 連 続線 に よる動 的 可 容速 度 場

自由 面 の み で あ るか ら,こ の 場 合 に 変 位 増 分 の 不

連 続 面 の み で 変 形 を生 じ させ,荷 11)を 速 度ui,速

(ａ)押

重 の 上 界 を 求 め る こ と を考 え よ う.式(5.

度 不 連 続 量 ⊿uT*を 用 い て 書 く と

(5.12) で あ る が,表 Ui,UiのUiに

面SUは

図5.2の

よ う な 問 題 で は 工 具 面 で あ り,工

対 す る 相 対 速 度 を ⊿uiと

具 の 速度 を

す れば

ｕi=Ui-⊿ui 

(5.13)

とな る.工 具 面 の 垂 直 速 度 の 連 続 性 を考 慮 す れ ば ⊿uiは 工 具 面 で の 相 対 す べ り速 度 で あ る.工 具 に よ っ て 表 面 速 度uiが

与 え られ る場 合 に はUiの

が 既 知 で あ る こ と を 注 意 す る と*,式(5.13)を

み 式 (ａ)

(5.12)に 代 入 して

(5.14) また 工 具 が 剛 体 で あ り,工 具 面 の 摩 擦 応 力 が τt,

(ｂ)

すべ り速 度 が ⊿usの 場 合 に は

(5.15) と し て平 均 の加 工 力 Ｐ の 上 界 が 計 算 さ れ る こ と に な る.τtは

正 解 応 力 で あ る か ら,厳

(ｃ)

密 に は工具 面

に 摩 擦 の な い 場 合 し か 上 式 を 利 用 で き な い が,τt を τt=αk(α=0∼1)と

し て 近 似 的 に 評価 で き る 場 合

に は 上 式 に よ っ て 上 界 を 求 め ら れ る.   具 体 的 例 と して 図4.21(ａ)の 考 え よ う.図5.3(ａ)は

こ の 場 合 の す べ り線 場 とホ

ドグ ラ フ の 再 録 で あ る.ま 2,…

…,６

平面 ひずみ押 出 しを

の 剛 性 三 角 形 に 分 割 し,各

一様速度場 と し

,変

(ｄ)

た 同 図(ｂ)は 扇 形 域 を1, 三角形 内は

形 は 三 角 形 の 各 辺 に 沿 う速 度 不

連 続 に よ っ て 生 ず る と し た も の で あ る.同

図(ｃ),

(ｄ),(ｅ)は 分 割 を し だ い に 粗 く し て い っ た も の で

*式(5.6)は

下 界 定 理 で はSU上

で δuiが 与 え ら れ て い る こ と を 前

提 に し て い る た め,式(5.8)で

δui*=δuiと

し た.Ui

の み が 与 え ら れ て い る 場 合,式(5.13)はui*=Ui -⊿ui*と

(ｅ)

動 的 可 容 変 位 増 分 に 対 す る も の で あ る.上

して用 いね ば な らな い.

図5.3す

べ り線 場 解 か ら 上 界 解へ の推 移

(ａ)剛 図5.4速

性 三角 形

(ｂ)ホ

ドグ ラフ

度 不 連 続線 に よ る直角 ダイ 押 出 しの 動 的 可容 速 度場

あ る.こ れ らの 速 度 場 は いず れ も境 界 条 件 を満 た して い る か ら動 的 可 容 で あ り, こ の 速 度 場 に つ い て 式(5.15)を

計 算 す れ ば 加 工 力 の 上 界 が 求 め ら れ る.２ 個

の 剛 性 三 角 形 の 場 合 に つ い て計 算 して み よ う.図5.4に 形 の 形 状 を定 め る に は ３個 の 変 数,角 な らな い.上 ば,こ

示 す よ うに 剛 性 三 角

度 α,β お よ び 長 さ ｘ を決 定 し なけ れ ば

界 定 理 の 性 質 上,式(5.15)の

右 辺 が極 小 に な る ように決定 す れ

の 速 度 場 で の 上 界値 が 最 も正 解 値 に近 づ くこ とに な る.簡 単 の ため,紙

面 に 垂 直 な 材 料 の 厚 さ を １,コ ン テ ナ の 半 幅 を ２,U0は た領 域 〔４〕は死 材 域 と し,AO面

単 位 速 度 とす る.ま

で は τt=kの 摩 擦 応 力 が 働 く と考 え る.各 領

域 の 境 界 線 の 長 さ と これ に 沿 う不 連 続 速 度 を領 域 を表 す 添 字 をつ け て示 す と, 速 度 場 とホ ドグ ラ フの 相 似 性 よ り

(5.16)

で あ る か ら,式(5.15)に P= と な る.Ｐ

/x(4x2 2k

よ っ て 押 出 し荷 重 の 上 界 を求 め る と -3xcotα-3xcotβ+2cosec2α+2cosec2β)

 (5.17)

を 極 小 と す る た め ∂P/∂x=∂P/∂ α=∂P/∂ β=0を

解 けば

(5.18)

と各 変 数 が定 ま り,平 均 押 出 し圧 力 の 上 界値 は

(5.19) 表5.1図5.3の

すべ り線場,剛 性三 角 形 場 か ら計 算 され る押 出 し圧

力 の 上 界値(工 藤)

とな る.図5.3(ａ)の

す べ り線 場 解 に よ る正 解 圧 力 はp/2k=1.29で

あ り,２

個 の 三 角 形 に よ る 速 度 場 で も十 分 正 解 に近 い平 均 押 出 し圧 力 が え られ る こ とが わか る.表5.1は

図5.3の

各 図 の 速 度 場 を用 い る場 合 のp/2kの

比較 で あ り*,

剛 性 三 角 形 の 数 を増 す ほ ど上 界 値 は 正 解 に 近 づ くの が わ か る.な お 同 図(ｄ)程 度 の 粗 い 速 度 場 で も格 子 線 変 形 は 図4.22(ｂ)の

そ れ に か な り近 い.以 上 の よ

うに 上 界 定理 に よ る解 法 で は,応 力 の 平衡 条 件,境

界 条 件 な どの 応 力場 に 関 す

る問 題 を 不 問 の ま まに,可 容 速 度 場 の み を用 い て解 い て い け るの が 特 徴 で あ り, 便 利 な点 で あ る.ま

た速 度 場 を改 良す れ ば 上 例 の よ うに 正 解 に 近 づ け て い くこ

とが で き,こ の 意 味 で上 述 の解 法 は上 界接 近 法(upper れ る.た

bound

approach)と

だ し速 度 場 を複 雑 に す る ほ ど決 定 す べ き変 数(図5.4の

よば

α,β,x)が

増 し,計 算 は 面 倒 に な る.  図5.2(ａ)は 簡 単 な他 の 例 で あ る.ダ イ面 が 完 全 に 潤 滑 され て い る とす れ ば,

*扇

形 域 を分 割 し た ま ま の 速 度 場 を 用 い て お り,図5.4の

よ う な 最 適 化 を 行 っ て い な い.

(ｃ)前 (ａ)直

後方向の同時押 出 し

角 ダ イ に よ る押 出 し

(ｂ)平 行型 間のすえ込 み 図5.5可

(ｄ)密

閉 型 に よ る鍛 造

容 速度 場 とホ ドグラ フの数 例

式(5.15)に

よ る押 出 し荷 重 の上 界値 は P=2k{l1,2(⊿uT)1,2+l2,3(⊿uT)2,3}/U0

 (5.20)

とな る.速 度 場 の 形 状 は角 度 θの み を変 数 と し て 定 ま る か ら,θ を変 え て速 度 場 と ホ ドグ ラ フ を描 き,Ｐ

が 極 小 と な っ た値 を採 用 す れ ば よ い.傾 角 α=

40°の ダ イ,断 面 減 少 率r=0.57の =P/2kh1=1

場 合,θ 〓40° で

Ｐ は 極 小 値 を と り,p/2k

.01が え ら れ る.こ れ に 対 し図4.18(ａ)の す べ り線 場 解 に よ る正

解 圧 力 はp/2k=0.95で

あ る.図5.5に

可 容 速 度場 とホ ドグ ラ フ の 数 例 を示 し

た. 軸 対 称 問 題 に お け る上 界 接 近 法 は 平 面 ひず み 問題 に お け る ほ ど簡 単 では な い. 軸 対 称 問 題 で は 円 周 方 向 の 速 度uθ は 存 在 しな い が,式(3.17)か うに半 径 方 向速 度urが

ら明 らか な よ

存 在 す れ ば,そ れ が 一 様 速 度 で あ っ て も円 周 方 向 の 垂

直 ひ ず み 速 度 εθが 生 ず る.し た が っ て式(3.20)の

非 圧 縮 性 条 件 か ら平 面 ひ ず

み 問 題 に お け る よ う な 剛 性 三 角 形 速 度 場 は 存 在 し え な い.図5.3の 対 称 押 出 し と し て考 え よ う.図5.6に △ABCお

よ び △ACDを

問 題 を軸

示 す よ うに 断 面 が 三 角 形 の 環 状 領 域,

考 え,塑 性 変 形 は こ

の ２個 の 環 状 領 域 内 で の み 生 ず る もの とす る. 各 辺AB,BC,CA,CD,DAで

は速 度 不 連

続 が 生 じ,最 大 せ ん 断 応 力 ｋが 働 く.こ の 設 定 は 図5.4に

お け る もの と 同 様 で あ る が,三

角 形 内 は 一 様 速 度 場 で な く,各 辺 の 速 度 不 連 続 量 も一 様 分 布 で な い こ とが 異 な る,可 容 速 度 場 を簡 単 に え る た め に,速

度urは

ｚ座 標 に 無 関

係 で ｒ座 標 の み の 関 数 と 仮 定 す る.ま

ず△

ABEの

垂直

部 分 の 速 度 場 を考 え る.面BEの

速 度 は 一 様 速 度V0で 20)の 非 圧 縮 性 条 件 は

あ る と仮 定 す る.式(3. 図5.6軸

対 称 押 出 しの上 界 計 算 用 速度 場

(5.21) 積 分 して

z=0でuz=V0で

あ るか ら

(5.22) 一 方

,面ABで

材 域),す

は 垂 直 速 度 の 連 続 性 か らuzcosθ+ursinθ=0(△ABFは

死

なわち tanθ=-

で あ り,面ABは

uz/ ur

(5.23)

コ ン テナ の半 径 を １とす れ ば (1-γ)tanθ=z 

式(5.23),(5.24)を

式(5.22)に

(5.24)

代 入 す れ ば,面ABで

の み 成 り立 つ 微 分 方 程

式 と して

(5.25) が え ら れ る.urは

ｚ に 無 関 係 だ か ら,こ

=1でur=-V0cotθ

の 解 は 全 域 に 対 す る も の と な る.γ

か ら 積 分 定 数 をC=(-V0cotθ)/2と

決 定 す れ ば ,速

度場 は

(5.26)

と な る.三 角 形CBEの

部 分 で の 計 算 も 同様 で あ り,面CBの

cosψ とな る点 の み が 異 な る.角 度 ψ を調 節 して 面BEの 面CEの ACDに

垂 直速 度urが

面AEの

速 度 が 連 続 と な り,

そ れ と等 し くな る よ うに す れ ば よ い.三 角 形

つ い て も同様 な計 算 を行 う.結 局,各

部 で は 式(5.21)が

垂 直 速 度 がU0

満 た され る 三 角 形ABC,ACDの

辺 で垂 直 速 度 が 連 続 で あ り.内 形 状 と速 度 場 を 決 定 す る.

環 状 領 域 の全 表 面 と体 積 につ い て行 う塑 性 仕 事 率 の 計 算 で は,式(5.15)の 辺 に 式(5.9)に

右

相 当す る項

(5.27) が 加 わ る の は も ち ろ ん で あ る.式(5.26)の み 速 度 成 分 を 計 算 す る.ε はz-γ

速 度 場 か ら 式(3.17)に

θは 主 ひ ず み 速 度 で あ り,他

面 内 の ひ ず み 速 度 モ ー ル 円 か ら 求 め れ ば よ い.可

角 形ABC,ACDの

形 状 は い ろ い ろ あ る か ら,塑

よって ひず

の ２個 の 主 ひ ず み 速 度 容 速 度 場 を与 え る 三

性 仕 事 率 が 最 も小 とな る も

の を 選 択 し て 押 出 し荷 重 の 上 界 を 求 め る こ と に な る .   読 者 は 第 ３章 の 諸 解 析 の な か に,上

界接 近 法 に相 当す る もの が 幾 つ か あ っ た

こ と に 気 づ く で あ ろ う.図3.25,3.53,3.58に あ る.し

関 し て 述 べ た解 析 が そ れ で

か し本 節 の初 め に 述 べ た よ うに切 削 に 関 す る もの は 上 界 接 近 法 で は な

く,「 エ ネ ル ギ 消 費 率 が 最 小 の も の が 実 現 す る 」 と考 え る 点 が 類 似 す る だ け で あ る.し

た が っ て こ れ ら の 解 析 法 は 「エ ネ ル ギ 法 」と の み よ ば れ る べ き も の で あ

る.３

次 元 切 削 の エ ネ ル ギ 解 析 法 が 成 功 し た の は,式(3

162)の

２次 元 切 削 特 性 の 導 入 が 物 体 の 外 形 を 指 定 し た の と 同 等 の 拘 束 を 与 え て

.157),(3.158),(3.

い る た め と考 え ら れ る .

演 １.図4.16(ａ)の

点 線 の-σy分

線 場 解(正 解)の-σyよ ２.図5.2(ｂ)で

問

題

布 は 下 界 圧 力 と思 え る に も か か わ ら ず,す

べ り

り大 と な っ て い る.な ぜ か. φ1=10ﾟ,φ2=45ﾟ,φ3=25ﾟ,∠CAB=10ﾟ,∠CAD=15ﾟ,α=

10ﾟ,AB=1.0mm,t1=0.5mm,τt=kと ３.図5.5の

習

し,上 界 接 近 法 の 手 法 でFH/kを

諸 例 に つ い て 適 当 に 条 件 を 設 定 し,上

求 め よ.

界 荷 重 の 計 算 を試 み よ.

６.加

工過程 の数値解 析

第 ３章 の は じめ に 述 べ た よ うに,一 般 の 弾 塑性 大 変 形 問題 につ い て平 衡 条 件, 降 伏 条 件,流 動 法 則,破 壊 条 件 を満 たす 厳 密 な解 を数 式 的 に え るの は きわ め て 困 難 で あ る.特 に 降 伏 応 力(相 当 応 力)が 加 工 硬 化 の み で な く,温 度 や ひ ず み 速 度 の 影 響 を受 け る と し,工 具 面 の 摩 擦 に つ い て も式(1.46)の

応 力特 性 を導入

す る とす れ ば,数 式 解 をえ るの は ほ とん ど不 可 能 とい っ て よ い.こ の た め,こ れ まで に 各 種 の近 似 的 解 析 法 を展 開 して きた の で あ るが,数

値 解 析 で よ け れ ば,

十 分 に 厳 密 な解 が え ら れ るの で あ る.数 値 解 析 は,所 詮 は数 値 解 の “一 事 例 ” を え るだ け で あ り,数 式 解 の よ う な広 い有 用 性 を も た な い が,ひ

ずみ増分 理論

に よ る数 値 解 析 は 加 工 過 程 の シ ミュ レー シ ョ ンに な っ て お り,現 今 の コ ン ピ ュ ー タ能 力 と利 用 技 術 の 急速 な発 達 ・普 及 を考 え る と,近 い 将 来,工

業 的,実 用

的 に は 魅 力 の大 き い解 析 法 に な って い く と思 わ れ る. しか し な が ら,こ の 数 値 解 析 に は 多 くの 手 法 が あ り,そ の 定 式 化 も甚 だ 難 解 で 多 くの 説 明 を必 要 とす る.ま た 弾 塑 性 計 算 とは 別 に温 度 分 布 の 数 値 解 析 を 必 要 とす る な ど,本 書 の レベ ル,許

され た紙 数 で は 到 底 処 理 で きな い.そ

こで 詳

細 は専 門書 に ゆ ず る こ とに し,本 章 で は 入 門 的 な三 角 形 要 素 に よ る有 限 要 素 解 析 法 の 定 式 化,数

値 解 析 の 流 れ,計

算 結 果 の 数例,を

切 削加 工 の 場 合 に概 説 し,

主 と し て “考 え 方 ” の 理 解 が え られ る よ うに 努 め る.

6.1有 式(2.42)は

限要 素 解析 法 の定 式化

応 力増 分 が 与 え られ た と き,ひ ず み 増 分 が 計 算 で き る式 で あ る.

しか し実 際 の加 工 過 程 を ひず み 増 分 理 論 で シ ミュ レー シ ョ ン 的 に 解 くに は,工

具 が 前 進 し て 変 位 増 分,ひ さ れ る よ う に 式(2.42)を べ た よ う に,塑

ず み 増 分 が 与 え られ,そ

れ に 応 じて 応 力 増 分 が 計 算

解 き 直 す 必 要 が あ る.図2.6,式(2

性 域 で は ひ ず み 増 分 が 弾 性 成 分{dεe}と

.23)に

関 して 述

塑 性 成 分{dεp}か

らな

り, {dε}={dεe}+{dεp}  で あ る.た

だ し{}は

式(1.21),(1.24)な

(6.1)

ど と 同 様 な マ ト リ ッ ク ス を 表 し,

今 後 は 応 力 に 関 し て も 同 様 な 記 法 を 用 い る こ と に す る.し

た が っ て,

{dσ}=〔De〕{dε-dεP}  で あ り,弾

性 マ ト リ ッ ク ス 〔De〕は,式(1

.27)を

(6.2)

応 力 に 関 し て解 け ば 次 式 と な

る.

(6.3) た だ し,E,ν

は そ れ ぞ れ ヤ ン グ 率,ポ

相 当 応 力 σ を 式(2.25)の は 式(2.41)を

ア ソ ン 比 で あ る .ま

塑 性 ポ テ ン シ ャ ルf(σij)に

用 い てdλ ″=dσ/H′

た,式(2.30)の

と れ ば,式(2

.25)のdλ

と な る こ と に 注 意 す る と,

(6.4) で あ り,式(6.2)に

代 入す れば

(6.5)

″

ま た,行

マ トリ ッ ク ス 〓 」 を用 い て ∂f

〓/∂σ ｣ {dσ}

df= で あ り,式(6.5)を

代 入 し てdfに

 (6.6)

つ いて解け ば

(6.7) 上 式 を式(6.5)に 代 入 す れ ば

(6.8) が え ら れ る.上

式 の マ ト リ ッ ク ス 積 を 計 算 す る と,剛

性 率G=E/{2(1+ν)}を

用 いて

で あ る か ら,式(6.8)の[DP]は

(6.9) と な る.た

だ し 有 限 要 素 法 で の 慣 用 に し た が い,工

2dγijが え ら れ る よ う に,τijと

学 的 せ ん 断 ひ ず み増 分

τjiを区 別 し な い 式(2.30)を

ひ ず み の 場 合 はdεz=dγyz=dγzx=0で

用 い て い る.平

あ る か ら,式(6.3),(6.9)でdσz,

面

dτyz,dτzxに

対 応 し た 部 分 を 除 去 す れ ば よ い.式(6.8)が

式(2.42)を

応 力増分

に 関 し て 解 き 直 し た も の で あ る.

図6.1有

限要 素 分 割

  ２次 元 問 題 の 有 限要 素 法 解 析 で は,連 続 体 を 図6.1の 形 要 素 に分 割 し,各 要 素 内 の 応 力,ひ は 節 点(node)と

よ ば れ,１

よ う に有 限個 の 三 角

ず み は 一 様 と仮 定 す る.各 三 角 形 の 頂 点

節 点 は 複 数 の 隣 接 三 角 形 に 共 有 さ れ て い る.し

た

が って,全 体 が 剛体 運 動 を起 こ さ な い よ うに 一 部 の 節 点 を固 定 し,外 荷 重 に相 当 す る節 点 外 力 ま た は節 点変 位 を他 の 一 部 の 節 点 に与 え る と,全 節 点 に わ た っ て 節 点 変 位 あ るい は 節 点 反 力 が 生 じて 連 続 体 は 変 形 す る.そ

して 平 衡 す る と同

時 に,各 三 角 形 要 素 に は節 点 変 位 に 応 じた ひ ず み と応 力 が 誘 起 され る.し た が っ て,全 節 点 に つ い て節 点 力 と節 点 変位 の 関 係 を次 式 のマ ト リッ クス 方 程 式 で 表 示 で きれ ば,こ の 多元 連 立 １次 方 程 式 を解 い て 未 知 の 節 点変 位,節 求 め,連

続 体 内 の ひず み 分 布,応

力 分 布,外

{F}=[K]{δ}ま {F}と{dF}は

点反 力 を

荷 重 を計 算 す る こ とが で き る.

た は{dF}=[K]{dδ} 

(6.10)

そ れ ぞ れ 節 点 力,節 点 力 増 分 の マ トリ ッ ク ス,{δ}と{dδ}は

れ ぞ れ 節 点 変 位,節

点 変 位 増 分 の マ ト リッ クス で あ り,[Ｋ]は

ス(stiffness matrix)と

よば れ る.第

そ

剛性 マ トリ ッ ク

２式 は 後 述 の 増 分 型 計 算 の た め の もの で

あ る.以 上 が 有 限 要 素 解 析 法 の 原 理 で あ るが,コ

ン ピュ ー タ に よ る計 算,特

に

増分 型 計 算 の繰 り返 し に よ る過 渡 状 態 の シ ミュ レー シ ョ ン に適 して い る こ とが 特 徴 で あ る.切 削 の場 合 に は,工 具 の 進 行 に 応 じて す くい 面 に接 す る節 点 に 変 位 増分 を与 え,こ 域 内 の 応 力,ひ

の節 点 反 力 か らす くい面 応 力分 布,内 部 節 点 の 変 位 か ら変 形

ず み 分 布 を求 め る こ とに な る.そ

力 σtの分 布 と式(1.46)の 算 を 繰 り返 す.定

し て え られ たす くい面 垂 直 応

応 力 特 性 か ら摩 擦 応 力 τtの分 布 を修 正 し,増 分 計

常 状 態 が え ら れ た と き に は,σt,τtの 分 布 と変 形 の 状 態 が

定 ま って い る か ら,結 局 平 均 の 摩 擦 角 β や せ ん 断 角 φな ど す べ て の 諸 量 が 同 時 に決 定 され る わ け で あ る.  弾 塑 性 増 分 計 算 の 場 合 を扱 い,式(6.10)の を求 め る.最 初 に 図6.1の

要 素ijmに

第 ２式 の 剛 性 マ ト リ ッ ク ス[Ｋ]

つ い て[K]ijmを

求 め,次

に 全 要 素 を含

む よ う に こ の マ ト リ ッ ク ス を拡 大 す る.[K]ijmを

求 め る 手 順 は,節

の 変位 増 分{dδ}か ら要 素 内 の ひ ず み 増 分{dε},次

い で こ れ か ら 応 力 増 分{dσ}

を求 め,仮

想 仕 事 の 原 理 を用 い て 節 点 力 増 分{dF}と{dδ}を

で あ る.ま ず 要 素 内部(x,y)の

点i,j,m

関 係 づ け る もの

変 位 増 分 を線 形 の 関 数

(6.11)

で 与 え る と,節

点i,j,mの

(dδ)i,j,m=(du,dν)i,j,mか

６ 個 の 座 標 値(x,y)i ら α1∼ α6が 求 め ら れ,こ

,j,mと

６個 の 変 位 増 分 成 分

れ を 用 い る と上 式 は

(6.12)

た だ し,

(6.13) (6.14)

ま た,Ｉ

は 単 位 マ ト リ ッ ク ス,⊿

は 三 角 形ijmの

位 関 数 ま た は 形 状 関 数 と よ ば れ る.要

面 積 で あ る.[N(x,y)]は

変

素 内 の ひ ず み 増 分 はdεx=∂(du)/∂x,

dεy=∂(dν)/∂y,dγxy=∂(du)/∂y+∂(dν)/∂x(工

学 的 せ ん 断 ひ ず み 増 分)と

{dε}=[B]{dδ}=〓Bi,Bj,Bm」{dδ} 

して

(6.15)

た だ し，

(6.16)

と与 え ら れ,要

素 内 の ひ ず み 増 分 は 一 定 と な る.次

関 係 を 式(6.3),(6.9)を

用 いて

弾 性 域:{dσ}=[De]{dε}塑 と書 く と,式(6.15)を

性 域:{dσ}=[Dp]{dε} 

(6.17)

性 域:{dσ}=[Dp][B][dδ] 

(6.18)

用 いて

弾 性 域:{dσ}=[De][B][dδ]塑 と な る.こ

に 応 力 増分 とひ ず み 増分 の

こ で 仮 想 仕 事 の 原 理 を 用 い る と,仮

外 部 仕 事 と 内 部 仕 事 は 等 し い か ら,ｔ

想 節 点 変 位 増 分{dδ*}に

を要 素 の厚 さ と して

{dδ*}T{dF}={dδ*}T[B]T･{dσ}･t⊿  し た が っ て,式(6.18)を

た は{dF}=t⊿[B]T[Dp][B]{dδ} 

(6.20)

た は[Kp]=t⊿[B]T[DP][B] 

(6.21)

比較 す れ ば

[Ke]=t⊿[B]T[De][B]ま で あ る.な

お,[B]Tは[B]の

  式(6.21)の

(6.19)

用 いて

{dF}=t⊿[B]T[De][B]{dδ}ま と な る.式(6.10)と

対 す る

転 置 マ ト リ ッ ク ス で あ る.

剛 性 マ ト リ ッ ク ス は[K]ijm,す

い て の も の で あ り,式(6.10)の[K]を

な わ ち 図6.1の

１要 素ijmに

つ

え る に は 各 要 素 の 剛 性 マ ト リ ッ ク ス(６

行 ６列)を 合 成 し て 全 体 の 剛 性 マ ト リ ッ ク ス(節 点 数 が ｎ 個 な ら2n行2n列) を え な け れ ば な ら な い.各 れ ば よ く,た

要 素 の 剛 性 マ トリ ッ ク ス を順 次 拡 張 して 加 え合 わ せ

と え ば 次 の よ う に な る.

(6.22)  以 上 の 定 式化 は 塑 性 ひ ず み が大 き く,そ の 勾 配 が 急 峻 な場 合 に は 不 十 分 で あ る.理 由 は仮 想 仕 事 の 原 理 の 表 現 が厳 密 で な い こ と,三 角 形 要 素 の 変 形 の 自由 度 が 乏 し く,実 際 に近 い 変 形 を生 じな い場 合 が あ る こ とで あ り,前 者 に つ い て は幾 何 学 的 非 線 形 の 考 慮,後

者 に つ い て は複 合 三 角 形 要 素 を用 い るRiceの

方

法 や 多角 形 の ア イ ソパ ラ メ トリ ッ ク要 素 を用 い る方 法 の使 用 な ど,い ろ い ろ な 改 良 が 行 われ て い る.

6.2流

  式(6.21)の

動 応 力 特 性 と摩 擦 応 力 特 性

剛 性 マ ト リ ッ ク ス を 用 い る に は,式(6.9)の[Dp]中

なわ ち式(2.40)の 相 当 応 力 σ=H

塑 性 曲 線 の 傾 きdH(

(〓dεp)はdεpに

や ひ ず み 速 度,そ

〓dεp)/dεpを

知 ら な け れ ば な ら な い.

よ る加 工 硬 化 の み で は な く,実 際 に は 温 度

れ らの 履 歴 に よ っ て影 響 され る か ら,考 え る時 点 で そ れ ら を

考 慮 し たH′=∂ σ/∂ εpを 求 め な け れ ば な ら な い.通 常,σ な るほ ど大,ま 度,温

のH′,す

は ひずみ速 度 が大

た 温 度 が 大 な るほ ど小 とな るが,金 属 切 削 の場 合 に は ひ ず み 速

度 と も著 し く高 いの で そ の 影 響 は顕 著 で あ る.

 詳 細 は 省 略 す る が,各 種 の 材 料 に つ い て σ の 特 性 が 実 験 的 に 求 め られ て お り,数 例 を示 せ ば 次 の よ うで あ る.い ず れ も高 温,高 累積 型 単 軸 圧 縮 試 験 に よ る もの で あ る.  低 炭 素 鋼S15C(熱

間 鍛 造,焼

な ら し材):

ひ ず み 速 度 の ひず み 増分

(6.23)

ア ル ミニ ウ ム(焼 な ま し 材):

(6.24) チ タ ン合 金(Ti-6A1-4V):

(6.25)

単 位 はkg/m㎡,s-1,℃

で あ る.式

歴 効 果 を 示 し,θ,εp≡h(εp)は い る こ と,積

分 は そ の ひ ず み 経 路 に 沿 っ て な さ れ る こ と を 示 し て い る.積

あ る.炭

素 鋼 の 場 合 に は,青

な お,い

ず れ も 実 験 式 で あ り,切

23)∼(6.25)を

通 常 の 加 工 硬 化 の 実 験 式(3.28)の

equation)と

摩 擦 応 力 特 性 に つ い て は,工 適 用 し,σ=√3kか

流動 応力特性

よ ば れ て い る. 具 面 の 考 え る 地 点 に つ い て 式(6.

ら ｋ を 求 め て 使 用 す る.特

具 面 の 各 地 点 で τt,σtを 実 測 し,上

τt/kと σt/kの 関 係 を 片 対 数 尺 上 に プ ロ ッ トす る と 図6.2の の 傾 き が λ に な る.同

形 で

削 加 工 の 研 究 の た め に 求 め ら れ て い るか ら

の 適 用 範 囲 が あ る が 省 略 す る.式(6.23)∼(6.25)は

よ う に 求 め ら れ る.工

分 の

熱 ぜ い 性 効 果 が あ る の で 複 雑 な 式 に な っ て い る.

あ る い は 構 成 方 程 式(constitutive 式(1.46)の

εpの 履

θ,εpが ひ ず み εpの 経 路 に 沿 っ て 指 定 さ れ て

結 果 は εpで あ り,σ=σ0(θ,εp)εpnは

εp,εp,θ

中 の積 分 は 温 度 θ とひ ず み 速 度

性 定 数 λは 次 の

記 の ｋ を 用 い て1直 線 が え ら れ,そ

図 は ２次 元 切 削 の 工 具 す く い 面 摩 擦 に 式(1.46)が

よ く

適 合 す る こ と を示 し て お り,λ は 図 示 の よ う に1∼1.6程

(ａ)炭

素 鋼S15C

(ｃ)7-3黄

図6.2工

6.3計

度 に な る.

銅

具 す くい 面の 摩擦 応 力特 性

算の 流 れの 大 略

流 れ 形 切 屑 を生 ず る定 常 ２次 元切 削 の 場 合 に つ い て 話 を進 め る.計 算 の収 束

を速 め,要

素 の過 大 な変 形 を押 え るた め,実 現 しそ うなせ ん 断 角 を選 定 して切

屑 の外 形 と流 線 を 図6.3の

よ うに 想 定 して し ま う.そ

して こ の 流 線 に 沿 っ て

全 体 を 図示 の よ うに 有 限要 素分 割 す る.図 示 して な いが,工

作 物 の 両 側 端 と下

端 は 固定 節 点 とな っ て お り,工 具 は こ の 半 生 成 切 屑 に あ て が わ れ て水 平 に移 動 す る.こ の 状 態 で は もち ろん 切 屑 は 室 温,無

図6.3反

ひ ず み,未

降伏 で あ る.

復収 束 法 にお け る半 生 成切 屑 と有 限 要素 分割

次 に 工 具 を与 え られ た切 削速 度 で,材 料 内 に 部分 的 降 伏 が 生 ず る ま で,微 小 距 離 進 行 させ る.そ

して こ の 際 の ひ ず み 増 分 と応 力 の 分 布 を有 限 要 素 法 で解 く.

弾 性 域 の 要 素 に つ い て は 式(6.3)の

[De],

式(3.13)に

よ る判 定 で 降 伏 が 生 じ

た 要 素 に つ い て は 式(6,9)の のH′,σ 用 い る.工

[Dp]

を 用 い る 式(6.20)の

お よ び 式(1.46)のk=σ/√3は

室 温 の静 的 塑 性 曲線 の 降 伏 点 で の 値 を

具 す く い 面 で の 境 界 条 件 に は 式(1.46)の

与 え れ ば よ い.す

な わ ち,式(1.46)を

特 性 を摩 擦 係 数 μ の 形 で

微 分 して

μ=λexp(-λ で あ り,図6.4を

計 算 に な る.式(6.9)

σt/k) 

(6.26)

参 照 す る と 工 具 の 水 平 移 動 距 離 Ｓ が 与 え ら れ て い る か ら,

節 点 ｉに つ い て は

図6.4工

具 す くい 面 上 の節 点 力,節 点 変位

(6.27)

と して 処 理 す れ ば よ い.節 点 変 位 成 分 と節 点 力 成 分 の 片 方 ず つ が 与 え られ て い る こ とに な る.な お,計 算 の 初 め で は μ〓λ(1-λσt/k)〓λとす れ ば よ い. 次 にH′ の 値 は そ の ま ま に し,σ

の 値 を え られ た 応 力 値 を用 い て,式(2.

30)か ら計 算 して修 正 す る.ま た μ の 値 も修 正 す る.そ 工 具 を前 進 させ,有

して 再 び微 小 距 離 だ け

限 要 素 計 算 を行 う.こ の よ うにH′ の値 は変 え ず に σ,μ

の み を補 正 し なが ら計 算 を繰 り返 し,工 具 を一 定 の小 距 離 だ け 前 進 させ る.さ

て,こ

こ まで で 各 要 素 は そ れ ぞ れ の 変 形 を 示 す か ら,式(6.15),(6.16)に

っ て この 間 の 平 均 ひ ず み 速 度 が 求 め ら れ,式(6.23)∼(6.25)の

よ

εpが 計 算 で

きる.同 式 中 の 温 度 θに つ い て は,こ れ まで の 各 段 階 で各 要 素 に ひず み 増 分, した が っ て仕 事 増 分 が 生 ず るか ら,そ れ を 熱 源 と して 熱 伝 導,熱 た温 度 分 布 の 数 値 解 析 を別 に行 い,え

移 流 を考 慮 し

られ た過 渡 温 度分 布 か ら各 要 素 の 温度 を

求 め れ ば よ い.温 度 分 布 の 数 値 解 析 に もい ろ い ろ な 方 法 が あ るが,い ず れ の 方 法 で も説 明 は 長 くな る の で省 略 す る.同 式 中 の θ,εpの 履 歴 項 に つ い て は, そ れ まで に各 要 素 が経 験 した θ,εpを 積 分 す る こ とに な る. か く して θ,εpを 考 慮 した σ,H′ の 修 正 が 可 能 と な るが*,各

要素 の平衡

は修 正 ま え の σ と そ れ に 対 応 す る 応 力 で 成 り立 っ て い る か ら,大 き く修 正 さ れ た σ,H′ で は 変 化 が 大 きす ぎて 計 算 が 続 行 で き な い.そ

こ で 各 要 素 ご とに

新 σ,H′ で次 の θ,εpを 考 慮 す る修 正 ま で 変 形 を続 け た と き,σ く らに な るか を評 価 す る.そ き,い

の値 を σ*と し,次 に は 旧 σ で 計 算 を進 め る と

く らのH′ を用 い れ ば 次 の修 正 時 に σ*に 到 達 で き る か を評 価 す る.こ

の よ うに し て え られ たH′ をH′*と す る と,次 の 計 算 は 式(6.9)の

図6.5刃

*弾

の値 が い

先 節 点 の計 算 処理

性 係 数 の 温度 変 化 も考 慮 す べ きで あ ろ うが,省 略 して も大 過 は な い.

σ と偏 差

応 力 に は 旧 の値 を用 い,H′ を崩 さず に す む.そ

の み をH′*に 変 更 して 出 発 す れ ば,各 要 素 の 平 衡

して 前段 と同 じ く,H′*は

固 定 して σ の 値 を え られ た 応

力値 で修 正 す る計 算 を所 定 の 工 具 移 動 量 まで繰 り返 す の で あ る.以 下 は 同 じ手 順 の繰 り返 しで あ る. 計 算過 程 で厄 介 なの は工 具 刃 先 で の 節 点 分 割 の処 理 で あ る.刃 先 で は被 削 材 の 破 断 が行 われ るが,何

らか の 延 性 破 壊 条 件 を も ち込 む よ り,す べ り線 解 析 の

場 合 と同 じ く,刃 先 に 接 近 した 節 点 は 無 条 件 で分 割 され る と し たほ うが 簡 単 で あ る.図6.5の

要 領 で あ るが,三 角 形 要 素 に よ る既 述 の 定 式 化 で は 刃 先 が 節

点 に 達 して か らの 分 割 は 無 理 で あ り,実 際 に は か な りの 工 夫 が 必 要 で あ る. 以 上 の 諸 計 算 は 塑 性 流 れ と温 度 分 布 が 定 常 的 に な っ た 時 点 で 打 ち 切 れ ば よ い. な お,図6.3の

切 屑 外 形,せ

ん 断 角,流

線 は有 限要 素分 割 の ため の初期 設定

で あ り,計 算 過 程 で順 次 修 正 さ れ て い く.図6.6は

以上 の数 値解 析 の フロー

チ ャ ー トで あ る.

6.4数 図6.7は

式(6.23)の

値解 析 の 諸結果

流 動 応 力 特 性,摩

素 鋼 切 削 の 数 値 解 析 結 果 で あ る.同 の 方 法 で求 め た 格 子 線 変 形,節

擦 特 性 定 数 λ=1.6を 用 い る場 合 の 炭

図(ａ)は節 点 速 度 分 布 か ら第 ４章 図4 .22

点 力 分 布 か らえ られ る工 具 す くい 面 の 応 力 分 布 ,

ま た降 伏 の判 定 か ら え られ る塑 性 域 の 形 状 を示 して い る.す

くい 面 の 応 力分 布

は 実 測 さ れ る もの と よ く一 致 して い る.同 図(ｂ)は 主 せ ん 断 ひ ず み γmと 主 せ ん 断 ひ ず み 速 度 γmの 分 布 で あ り,せ ん 断 面 と通 常 よば れ る あ た りに γmの 著 しい集 中 が 生 ず る こ とが わ か る.ま た 同 図(ｃ)は流 動 応 力 ｋ と 温 度 θ の分 布 で あ り,せ ん 断 面 せ ん 断 応 力 τsは550∼600MPaで せ ん断 面 温 度 は す くい 面 温 度 よ り低 く,す

ほ ぼ 均 一 分 布 とな る こ と,

くい面 の最 高 温 度 は刃 先 か ら離 れ た

位 置 に あ る こ とな ど,従 来 の切 削工 学 の知 見 を裏 づ け る結 果 に な っ て い る. この よ うに,有 限 要 素 法 解 析 で 多 くの知 見 が 同 時 に え られ る こ とは,切 学 に と っ て 重 要 で あ る.た

と え ば,第

削工

３章 の せ ん 断 角 関 係 式(3.143),(3.

図6.6有

限 要素 法 解析 の 概 略

(ａ)格 子 線変 形模 様,す

くい 面垂 直応 力 σtおよび

摩 擦 応 力 τtの分 布

(ｂ)主 せ ん 断 ひ ず み γm,主 せ ん 断 ひ ず み 速 度 γm の 分布

(ｃ)流 動 応 力 Ｋ,温 度 θ の 分 布 図6.7炭

素 鋼(S15C)切 超 硬 工 具P20,す

削の 数値 解 析 結 果 くい 角10ﾟ,切 削 厚 さ0.3mm,切

削 速 度75m/min,乾

切 削(λ=1.6)

149)を 考 え る と,図6.7(ａ)の

よ う に工 具 す くい 面 応 力 が 式(1.46)に

したが う

分 布 な らば,平 均 の 摩 擦 角 β を 適 当 な 摩 擦 試 験 で予 測 す る こ とは 不 可 能 で あ る.同 様 に せ ん 断 面 せ ん 断 応 力 τs=kも 式(6.23)∼(6.25)の

よ う に θや εp

の 影 響 を受 け る な ら,材 料 試 験 で あ らか じめ 求 め てお くこ と も,実 は で きな い の で あ る.こ れ が せ ん 断 角 関 係 式 に関 す る研 究 が す たれ て し ま っ た 原 因 で あ る. これ に対 し有 限要 素 法解 析 で は,基 礎 とな る諸 式,す 弾 塑 性 の 応 力-ひ

な わ ち応 力 の 平 衡 条 件 式,

ず み 増分 関 係 式,熱 移 動 方 程 式,温 度 とひ ず み,ひ

の効 果 を含 ん だ 流 動 応 力特 性 式,す

くい面 摩 擦 の 応 力 特 性 式,を

程 式 の 形 で解 い て い るか ら,図6.7の の 塑 性 変 形 か ら φが,す

ずみ速度

すべ て連立 方

よ うに 諸 量 が 同 時 に 決 定 で き る.同

図

くい面 応 力 分 布 か ら β が,せ ん 断 域 の 流 動 応 力 ｋ の

分 布 か ら τsが同 時 決 定 さ れ るわ け で あ る. 図6.8は

式(6.25)の

流 動 応 力 特 性 と λ=0.6を 用 い,さ

断条 件 も導 入 してTi合 金(Ti-6Al-4V)の

ら に 式(2.84)の

破

鋸 歯 状 切 屑 生 成 を シ ミュ レー ト し た

結 果 で あ る.せ ん 断 面 方 向 を予 想 して並 べ た ア イ ソパ ラ メ ト リッ ク要 素 を変 形 域 用 に使 用 して い る.詳 細 は省 略 す る が,破 断 の 導 入 は 要 素 境 界 に 沿 っ て の 要 素 の分 離 で しか行 え な い の で,図 示 の よ うな要 素 の重 な りや 空 隙 の 発 生 は避 け

図6.8

計 算 さ れ たTi合

金(Ti-6Al-4V)の

超 硬 工 具P20,す 切 削 速 度30m/min,乾

くい 角20°,切

鋸 歯状 切 屑 生成 と温度 分 布 削 厚 さ0.25mm,

切 削(λ=0.6),lは

切 削 距離

(2)L=0.40mm

(1)L=0.08mm

(3)L=0.62mm

(4)L=1.02mm

図6.9切 図6.9

(5)L=1.39mm

切 刃食 い つ き時 の過 渡 状態 を示 す有 限 要素 変 形 〔工 具(0,0,6,6,0,0,0),切

込 み1.Omm,切 み1.0mm,切

削 幅0.3mm,

乾 切 削〕

られ な い.し か し重 な り と空 隙 が 打 ち 消 しあ っ て非 圧 縮 性 の 条 件 は ほ ぼ 満 た さ れ て い る.ま た 要 素 の 大 き さ を極 微 に で きな い こ とが 幸 い して,鋸 ピ ッチ は 一 定 せ ず,実 のTi合

歯状 切 屑 の

際 に近 い 見 事 な シ ミュ レー シ ョ ン結 果 と な っ て い る.こ

金 は 難 削 材 料 と し て知 られ て い るが,図

示 の よ う に 最 高 温 部 が 図6.

7(ｃ)と違 っ て 刃 先 に 近 接 して お り,刃 先 損 傷 が 著 しい と い う実 際 の 経 験 を裏 づ け て い る.  図6.9は

３次 元 の ア イ ソパ ラ メ ト リッ ク要 素 を用 い る切 刃 の 喰 いつ き過 程

の シ ミュ レー シ ョン の例 で あ る.こ れ ま で 述べ なか っ た が,ひ

ずみ増分 法に よ

る有 限要 素 解 析 に は 莫 大 な労 力,計 算 時 間,費 用 が か か るの で あ る.２ 次 元 の 場 合 で も相 当 な努 力,経

験 を要 す るが,３

次 元 で は 困難 さ は さ らに 一 挙 に 増 す.

同 図 の場 合 で も,定 常 切 削 状 態 まで 計 算 を続 け るの は,ほ

とん ど非 現 実 的 な 話

に な るの で あ る.一 般 技 術 者 が 気 軽 に ３次 元 切 削 の シ ミュ レー シ ョン解 析 を行 え る の は まだ ま だ 先 の 話 で あ り,現 時 点 で は3.4.2項 利 用 す るの が 現 実 的 で あ る.

に述 べ た近 似 的 解 析 法 を

演 １.σ

が 式(6.23)∼(6.25)の

第 ２章 の 式(2.37)の

習

問

よ う に 温 度,ひ

題 ず み 速 度 の 影 響 を 受 け る とす る と,

よ う な塑 性 仕 事 の 等 価 性 に よ る換 算 は どの よ う に 考 え れ ば よ い

の か. ２.図6.10の

よ う な 剛 体 壁 に と りつ け ら れ た

平 面 ト ラ ス 構 造 物 の 節 点1,4に 接 し て い る.い

剛体 ブ ロ ッ クが

ま剛 体 ブ ロ ッ ク を 右 側 へ δ だ け

移 動 し,こ の 構 造 物 を 圧 縮 す る と き,構 剛 性 マ ト リ ッ ク ス[Ｋ]を 表 面 に 作 用 す る 力,各 導 け,た

だ し,ブ

求 め,つ

造物の

い でブ ロ ッ ク

節 点 の 変 位 を求 め る 式 を

ロ ッ ク 表 面 の 摩 擦 係 数 を μ,

変 形 は 弾 性 変 形 と し,各 ヤ ン グ率 を Ｅ とせ よ.

トラ ス の 断 面 積 を Ａ,

図6.10

付

録

１.ひ ず み成 分 の 座標 変 換 図1.13に

お い て θ 方 向 の 垂 直 ひ ず み εy′は εy′ 〓(δS′-δS)/δSと

ず δS′を 計 算 す る.図

δS′2=(δx+u′-u)2+(δy+ν 式(1.16)を

し て よ い.ま

示 の関係 か ら ′-ν)2 

(１)

用 い る と (２)

であ るか ら

上 式 に δS2=δx2+δy2,δx/δS=cosθ,δy/δS=sinθ

を代 入 す る と

(３) と な る.

を用 い れ ば (４)

と な り,式(1.22)の

第 １式 で あ る.

 次 に γx′y′=(dθ-dθ ′)/2を 計 算 す る.図

示 の 関係 か ら

(５)

式(２),(４)を 代 入 す れ ば

(1+εy′)-1〓1-εy′

と し,ひ

ず み の 自乗 項 を省 略 す れ ば (６)

と な る.dθ

に つ い て は上 式 の θ を-(π/2-θ)と

した もの を考 え れ ば よ く (７)

した が っ て γx′y′=1/2(dθ-dθ ′)=1/2{-εy(cotθ+tanθ)+εx′cotθ+εy′tanθ}  εx′は 式(４)の

θ の か わ り に-(π/2-θ)を

(８)

とれ ば

εx′=εxsin2θ+εycos2θ-2γxysinθcosθ 式(４),(９)を

γx′y′=(εx-εy)sinθcosθ+γxy(sin2θ-cos2θ)  と な り,式(1,22)の

２.円 2.1ひ x,y,z系

 (９)

式(８)に 代 入 し て (10)

第 ２ 式 で あ る.

筒 座 標 系 の ひ ず み 増 分,応

力の平 衡 条 件

ず み 増 分 か ら の 座 標 変 換 に よ ら ず,直

く こ と に す る.ま

観 的な手法で導

ずdε θを 考 え る.図1(ａ)に

伸 び を 考 え る とuθ に よ る 伸 び とurに

お い てDBの

よ る伸 び とが あ り,

そ れ ぞ れ に よ るひ ず み は

で あ る.し

(ａ)

(ｂ)

たが っ て

と な る. 次 にdγrθ=(1/2)[∠ABDの

(ｃ) 減 少 量]を

同 図(ｂ)に

つ いて 考

図 １

え る.uθ

に よ る角 度 変 化 とurに

よ る角 度 変 化 が あ り

  uθ:⊿uθ に よ る もの

(uθ)A=(uθ)Bで

も生 ず る 変 化(δ θ′〓 δθ)

ur:

で あ る.δ

θ′は 負 の 角 度 変 化 で あ る こ と を 考 慮 す れ ば,dγrθ={(∂uθ/∂

+(1/γ)(∂uγ/∂ θ)}/2と

な る.

dγ θzに つ い て も 同 様 で あ り,同

で あ る.し

ら

た が っ てdγ θz=(1/2){∂uθ/∂z+(1/γ)(∂uz/∂

他 の 成 分 は θ に 関 係 せ ず,x,y,z系

2.2応

図(ｃ)か

θ)}と な る.

の 場 合 と 同 様 に 導 け る.

力の 平衡 条件

図 ２の 応 力 要 素 の つ り合 い を考 え れ ば よ い. γ方 向の平 衡

図 ２

θ方 向 の平衡

γ)-(uθ/γ)

=σ θdγdzcos

dθ/ +τ γθγdθdz+τzθ γdθdγ 2

ｚ方 向の 平衡

以 上 の 諸 式 を展 開 し,cos(dθ/2)〓1,sin(dθ/2)〓dθ/2と すれば γ 方 向: θ 方 向: ｚ方 向: と な る.こ

れ ら の 式 は 本 文 の 式(3.21)で

あ る.

し,４

次 の 微 小 量 を省 略

演 習 問題 の 答 とヒ ン ト

第 １章   １.式(1.20)に

よ っ て ωijの与 え る相 対 変 位 ベ ク トル を求 め る と

(１)

と 書 く こ と が で き る.い

ま

θ=iθx+jθy+kθzと

定

義 す れ ば 式(１)は δS=[θ

・

δa]≡ θ・ δa・sinζ な るベ ク ト ル 外 積 を意 味 し て い る.図

１

の 関 係 よ り δsは 剛 体 的 回 転 を 表 し,ωijは

回転 角 ベ ク ト

ル 万 の 分 値 で あるこ とが わ か る.  ２.τn,γx′y′

位 角

が

０ と な

図 １

る 方

図 ２

θ を そ れ ぞ れ θτ,θ γと す る と き,θ τ=θ γと な る こ と を 示 せ ば よ い.式(1

(1.22)と

式(1.27)を

用 い,弾

性 係 数 間 の 関 係2G=E/(1+υ)を

.7),

考 慮 す れ ば え られ

る,

 ３.非

圧 縮 性 条 件(式(1.38))よ

を描 け ば 図 ２の よ う に な る.点

り ｄεy=-0.02で Ｙ は ｘ 軸 を表 し,点

(負 の 主 ひ ず み 増 分 に 垂 直 な 面)を 表 す か ら,正 時 計 回 りに φ/2=(1/2)tan-1(0.08/0.02)〓38ﾟの  ４.△ABC内

は 一 様 応 力 状 態 で あ り,単

の 応 力 を 表 示 で き る.こ

 ５.い

あ る,ひ

ず み 増分 の モ ー ル 円

Ｍ は正 の主 ひず み増分 の 方向

の 主 ひ ずみ 増 分 の 方 向 は ｘ軸 か ら 方 向 で あ る.

一 の モ ー ル 円(原

れ か ら μ=τAC/σAC=cos2η/(1+sin2η)と

ず れ もせ ん 断 応 力 の み の 作 用 で 生 ず る が,純

点 に 接 す る)で す べ て な る.

粋せ ん断変 形 では主 軸方 向 が

空 間 固 定 座 標 軸 に 対 して も物 体 固 定 座 標 軸 に 対 し て も 変 化 し な い.し (a)に 示 す 変 形 とな る.こ

た が っ て 図3

の 変 形 は モ ー ル 円 か ら容 易 に わ か る よ う に,同

図(ｂ)に

(ａ)純

(ｂ)平

粋 せ ん断

行変形

(ｃ)単

純 せん断

図 ３ お け る ２軸 応 力 に よ る 変 形 と同 等 で あ る.同 図(ｃ)の 単 純 せ ん 断 変 形 で は 物 体 の 剛 体 的 回 転 が 重 畳 さ れ る た め,主

軸 方 向 は 物 体 固 定 軸(x′,y′軸)に 対 して 変 化 す る.

た だ し 空 間 固 定 軸 に対 して は 不 変 で あ る.  ６.擦

の 特 性 は 弾 塑 性 力 学 の 論 理 とは 無 縁 な も の で あ る.し

減 少 す る 場 合 が 生 じ う る.具 体 的 に は 第 ４章 図4.29が を考 慮 し て 問 題 を解 くに は,摩

た が っ て,σtは

そ の 例 で あ る.摩

擦 係 数 μ=一 定 を与 え る か,式(1.46)を

し,σt分 布 も 同 時 に 境 界 条 件 と し て与 え ね ば な ら な い.

第 ２章   １.半 γ,θ,zと 〓0と

径 方 向,円 す る.薄

周 方 向,軸

方 向 をそれ ぞれ

肉 で あ る か ら σγ=τ γ θ=τγz

考 え て よ い(図3.4参

照).し

た が って応

力 状 態 は 図 ４ に 示 す 平 面 応 力 状 態 で あ る.σ θ= p0d/2t,σz=p0d/4t,τ

θz=2M/πd2tで

力 は 図 示 の モ ー ル 円(x,y,z系

あ り,主

ー ル 円 が 成 り 立 つ 理 由 を 考 え て み よ)か

式(2.15),(2.18)を

Misesの

条件

応

で な くて も モ ら

用 い て

図 ４

擦 の特 性 用 い るか

Trescaの

 ２.平

条 件:

均 垂 直 応 力 はp=(σ θ+σz)/3で あ り,偏 差 応 力 は

と な る.式(2.28)か

ら dεγ:dε

で あ り,前

 ３.全

θ:dεz:dγ

θz=Sγ:Sθ:Sz:τ

θz

問 の σθ,σz,τ θzを 用 い て 偏 差 応 力 比 を 計 算 す れ ば よ い .

ひ ず み エ ネ ル ギ か ら相 似 的 膨 張(収 縮)に 伴 う ひ ず み エ ネ ル ギ を 除 い た もの

をせ ん 断 ひ ず み エ ネ ル ギ(shearing energy)と

strain energy)ま

い う.本 文 に 述 べ た よ う に,相

垂 直 応 力 に よ る.し

た は 変 容 エ ネ ル ギ(distortional

似 的 膨 張(収 縮)は 平 均 垂 直 ひ ず み と 平 均

た が っ て 単 位 体 積 のせ ん 断 ひ ず み エ ネ ル ギU1は

偏 差 ひず み と

偏 差 応力 に よ り

式(1.11),(1.23)お

よ び 式(2.21)を

と書 く こ と が で き る.括

用 いれ ば上 式は

弧 内 はMisesの

降 伏 条 件 式(2.16)の

左 辺 で あ る.な

お相

似 的 膨 張(収 縮)の ひ ず み エ ネ ル ギ は U2=(pe+pe+pe)/2=3pe/2で

あ る が,U1+U2はU=(σ1ε1+σ2ε2+σ3ε3)/2

とな る こ と を証 明 し て み よ.  ４.式(2.28)の

流 動 法 則 を用 い る とdWpは (２)

と 書 け る.一

方,σ

は 式(2.30)を

偏 差 応 力 で 書 い て(Sx+Sy+Sz)2/2=0を

根 号 内

に加 え る と (３) と な る.ま

たdεpに

つ い て は 式(2.33)に(dεxρ+dεyp+dεzp)2=0を{}内

に 加 え,

さ ら に 流 動 法 則 を用 い る と (４) と な る.式(３),(４)よ

り δdε ρ を 求 め れ ば 式(２)と

な る に し た が っ てdWp=σdεp

が 証 明 さ れ た.  ５.図

５ に つ い て 考 え る と,dξ,dη,dζ

CB:σ2＞

を 負 で な い 定 数 と し て 式(2.25)か

σ1＞σ3,f(σij)=σ2-σ3-2K,dε1=0,dε2=dξ,dε3=-dξ

ら

と な る.他 つ  ６.図

の 辺,頂

点 に つ い て も同 様 の 式 が 成 り 立

５に お い て σ3=0の 場 合 を 考 え る と,

CB,BAは

そ れ ぞ れ 図2.4のAB,BCに

対応

す る.同

じ よ う に σ1=0の 場 合,σ2=0の

考 え れ ば 図 ５の 六 角 形 が え られ る.こ

場 合 を

れ に応力 の

静 水 圧 的 成 分 を 重 畳 させ れ ば よ い か ら,六 角 柱 面 がTrescaの

降 伏 曲 面 で あ る.な

(OE,OA)が

お 同 図 のOC

と な る こ とは 容 易

に 証 明 で き よ う.し

たが って Ｙ を用 い る表 示 で

な け れ ば 六 角 柱 はMisesの  ７.体

図 ５

円 筒 に 内 接 し な い.

積 υに 接 続 して い る別 の 体 積 υ1を図 ６の よ うに 考 え るに 体 積

υお よ び υ1がそ れ ぞ れ き裂 を含 ま な い 確 率 をP*(υ),P*(ν1)と

す る と,

体 積 υ+υ1が き裂 を含 ま な い確 率P*(υ+υ1)は (５)

で あ る.式(５)を

υ で微 分 す る と

図 ６ 上 式 を 式(５)で 除 せ ば (６)

υ1のい か ん に よ らず 式(６)が 成 り立 つ か ら,両

辺 の 値 は 定 数 で な け れ ば な らな い.

一 方 υが ０ま た は ∞ の 極 限 で は (７)

式(６),(７)を 満 た すP*の

関数形 は (８)

で あ り,破

 ８.Ｎ

壊 が 生 ず る 確 率 はP=1-P*(υ)=1-exp(-Cυ)と

を考 え る領 域 の 全 要 素 数 と し

を計 算 す れ ば よ い.

なるに

第 ３章  1.平

面 塑 性 流 れ と純 粋 せ ん 断 に つ い て,偏

差 応 力,塑

性 ひず み増分 のモ ー ル円

を比 較 して み れ ば 理 解 で き る.   ２.uz≠0で (3.5)は

あ る か ら 平 面 塑 性 流 れ で は な い.し

成 り 立 つ.式(3.5)を

式(2.15)に

∂σz/∂z=∂ τyz/∂z=∂ τzx/∂z=0を

式(1.41)に

か し ∂uz/∂z=0で

あ る か ら式

代 入 す れ ば 第 １ の 式 が え ら れ る.ま 代 入 し,え

た

られ る平衡 条 件 式 の差 を とれ

ば 第 ２の 式 と な る.

 ３.次

の ２式 を 連 立 し て解 け ば よ い.

 ４.押

出 し:h1→h2へ

の 平 面 ひ ず み 圧 縮(無 摩 擦),引

ず み 引 張 り と考 え れ ば容 易 に 求 め られ る.荷

抜 き:h1→h2へ

の平面ひ

重 と垂 直 方 向 の ひ ず み 増 分 は 仕 事 を 消

費 しな い.  ５.式(3.46)を

用 いて

が 摩 擦 丘 の 形 状 を 与 え る.両 式 の σzが一 致 す る位 置 が 無 す べ り点 で,b-c=ｃ-a よ りc=(a+b)/2と  ６.圧

な る.

延 に お け る 出 口側(先 進 側)の 状 態 が 全 域 に お よ ん だ もの が 引 抜 き,押

で あ るか ら,式(3.99)で(+)を

と っ た も の を考 え れ ば よ い.σx=2k+σnで

出 入 口 で の 境 界 条 件 を 与 え て 積 分 定 数 Ｃ を 定 め れ ば よ い.

通 常 引抜 き:

通 常押 出 し:

上 式 の[],{}内 抜 き限 界,自

が １ とな る 場 合 が そ れ ぞ れ 引 由 押 出 し限 界 を与 え る.な

よ れ ば 上 述 の 条 件 で は,σb=0.25×2Kの

お 図 ７に 逆張 力

図 ７

出し

あ り,

引 抜 きが 可 能 で あ り,σp=0.5×2kの  ７.入

前 方 張 力 に よ り 自 由 押 出 しが 可 能 と な る.

口側 で は 後 方 張 力 の な い 解,出

な る.ロ

ー ル は 自 由 回 転 ゆ え トル ク が ０ が 条 件 で あ る.式(3.103)を

33の-σn曲

線 下 の 面 積 が 無 す べ り点 の 左 右 で 等 し い と き,こ

こ と が わ か る.そ  ８.い

口側 で は 前 方 張 力(引 抜 き 応 力)の あ る解 と

の よ うに 出 口側 曲 線 を 選 べ ば σd〓0.15×2kと

ず れ の 場 合 も 図3.24(ａ)の

な る.

空 引 き の 解 析 と 同 類 で あ る.図(ａ)の

界 条 件 が 相 違 す るの み で あ る が,図(ｂ)の で あ る こ と に 注 意 を要 す る.な

み る と 図3.

の条 件 が満 た され る

場合 は境

場 合 は要 素 に 対す る摩擦 応 力 の方 向が 逆

お 図(ｂ)で μ≦tanα,σ1＜

σ3の場 合 は ど う な るか 考

え て み よ. 図(ａ) 図(ｂ)  ９.落

下 刃 がdS1+dS2進

行 した 状 態 を 相 対 的 に 考 え る と,両 刃 は 図 の 点 線 位

置 に移 動 し た と し て よ い(鋏 と同 様).こ

の 間に切 断 され た部分 は 図の斜 線域 であ る

から

ま た 板 材 が 逃 げ ず に 切 断 で き る の は 図 示 の つ り合 い か ら,tan(α/2)=F/P≦ 合 で あ る.両 下.な

刃 と 板 材 間 に 相 対 す べ り が 生 じ な い こ と に 注 意.α

μの 場

の 値 は 通 常10°

以

お 板 材 が 静 止 刃 に 沿 っ て 固 定 さ れ て い る 場 合 を 考 え て み よ.

 10.式(3.128)よ り β=45°-φ=30°

り γs=2/sin2φ=4.し と な る.ま

-α)}/bt1=FHtanβtanφ/bt1で

 11.運

あ る か ら ,数

動 量 変 化 の た め の 力FMは

ば え ら れ る.す

た が っ て φ=15°

た 式(3.131),(3.135)よ

と な り,式(3.149)よ りuf=F{sinφ/cos(φ

値 をいれ て

せ ん 断 面 に お け る運 動 量 と力 積 の 関 係 を書 け

な わ ち,単 位 時 間 に つ い て FM=ρ(Vbt1){Vcosφ+Vcsin(φ-α)}

で あ る か ら,式(3,131),(3.128)を (3.132)を

代 入 し てFM=ρV2bt1γssinφ,し

用 い て 単 位 切 削容 積 あ た りの エ ネ ル ギ 消 費uMは

たが って 式

と な る.全 消 費 エ ネ ル ギ ｕ に 比 べ てuMは

著 し く小 さ い こ と が 計 算 す れ ば わ か る

は ず で あ る.余 程 の 高 速 切 削 で な け れ ば 動 力 学 的 要 因 は 問 題 に な ら な い と い う こ と で あ る(第 １章 図1.20の  12.対

説 明 参 照).

称 性 か ら切 屑 は 直 上 に 流 出 し,式(3.155)でA1=A2=A/2,Ａ

は 次式 で

与 え ら れ る.

ま た 式(3.164)は の に な る.切

同 式 で αs=αe,αb=0と 刃 の ノー ズ半 角

な り,Fp=365Nと り,溝

な る.ま

お いた も

δ=63.1ﾟ,β=60ﾟと たFp/Fp′=1.06と

な

切 削 の ほ う が 切 削 力 が 大 き い.

 13.図

図 ８

８ に 示 す よ う に 砥 粒 の 接 触 角 を ψ0と す る と な る.ま

-cosψ0(2+sin2ψ0,)}/sin3ψ

たt/n=(π/4){2

。で あ り,ψ0が 小 す な わ ち ｇ が 小 と な れ ばt/nは

近 づ く.摩 滅 し た砥 石 面 を 用 い て 微 小 砥 石 切 込 み の 研 削 を行 う場 合,研 線 分 力Fnは

著 し く大(Ft/Fnは

る.な お 円錐 砥 粒 で はt/nは  14.式(2.81)よ

０に

削 抵抗 の法

小)と な る か ら,球 状 砥 粒 模 型 は 摩 滅 砥 粒 に 対 応 す ｇ に よ らず 一 定 で あ る.

り時 刻 ｔま で に 破 壊 が 生 ず る 確 率PfはPf=1-P=1-exp

(-AtexpBσ),あ

る い はln1/(1-Pf)=AtexpBσ

と考 え て よ い か ら,Pf〓AtexpBσ

と 書 け る.本

問 の 場 合Pf≪

１

とす る.結 合 剤 が硬 ぜ い な ビ ト リ フ ァ イ ド砥

石 の場合

砥粒 破 砕:

Pfg=AgtexpBgk1fg

砥粒 脱 落(結 合剤 破砕): が 確 率 過 程 な ら成 り立 つ は ず で あ る.た 研 削 抵 抗,Vbは

Pfb=Abt exp(Bbk2fg/Vb)

だ しk1,k2は

定 数,fgは

砥 粒 １個 当 り の

結 合 剤 率 で あ り,ｔ は 砥 粒 の 接 触 弧 通 過 時 間 の 積 算 値 で あ る.上

式 の 妥 当性 は 実 験 か ら確 か め ら れ て い る. 15.砥

粒 が 加 工 面 か ら側 方 に 押 出 さ れ,作

用 砥 粒 数 が 減 少 す る た め とす る説,

砥 粒 が 破 砕 して 作 用 砥 粒 数 が 減 少(破 砕 片 は 作 用 し な い)す る た め とす る 説,切 属 が 砥 粒 をつ つ み,砥  16.R=R1(入

粒 の 切 味 が 低 下 す る た め とす る説,の

口)でY=Y0,σ2=0を

  17.式(3.35),(3.39),(3.40)に

(h0/h)}とす れ ば よ い.

３説 が あ る.

境 界 条 件 と して 解 け ば よ い . お

い

て

k=Y/√3=(1/√3){Y0+(2/√3)ln

屑金

  18.式(3.66)に で σn=-2kを

σx=σn+2k,k=1/√3{Y0+(2/√3)ln(ho/h)}を

代

境 界 条 件 と し て 解 け ば σnの 分 布 が 求 ま る.-σn,-μ

を 型 面 に 沿 っ てhnか

らh1ま

で 積 分 し,(1/2)(h1-hn)cotα

入

し,h=h1

σnの 垂 直 成 分

で 除 せ ば ｐ が 求 ま る.

第 ４章   １.図4.4の

す べ り線 の 長 さ が 十 分 小 な る 場 合 を 考 え,弧DA,CB,DCを

れ ぞ れ ⊿S2,⊿S2′,⊿S1と

す る と,⊿S2′=⊿S2+{∂(⊿S2)/∂S1}⊿S1で

R2βAD,⊿S′2=(R2+⊿R2)βBC,∂(⊿S2)/∂S1〓-βAD,βAD=βBC(第 れ.ば ∂R2/∂S1=-1が -1に

１ 定 理)を

代 入 す

え ら れ る.∂R1/∂S2=

つ い て も 同様

  ２.ホ

そ あ る.⊿S2=

.

ドグ ラ フ を描 い て み よ,切 屑 は 工

具 内 に 突 入 す る こ と に な っ て し ま う.し た が っ て 動 的 に 不 可 容.   ３.図

９に 示 す γ,ψ 座 標 を用 い る と,

式(4.18)に

相 当す る式は

υr=-f(ψ),υ

ψ=〓f(ψ)dψ+g(γ) 

と な る.面DEで

(９)

図 ９

の 垂 直 速 度 の連 続 性 よ り υγ=-f(ψ)=-U0sin(ψ+η), υψ=-U0COS(ψ+η)+g(γ)

一方

,三 角 形ABE内

の 一 様 速 度 場 は,面BE,BAで

=U0sinη,υ2=U0sinηtanη

  (10)

の 垂 直 速 度 の 連 続 性 よ り υ1

で あ る か ら,式(10)のg(γ)を

面AEで

の 垂 直 速度

の 連 続 性 か ら定 め る と υγ=-U0sin(ψ+η),υ

ψ=-U0cos(ψ+η)+U0sinηtanη+U0cosη

 

(11)

で扇 形域 内の 速度 場が 与 え られ る.扇 形域 内 の流線 の微 分 方程式 は (12) 積 分 し てlnγ=-ln{cosη+sinηtanη-cos(ψ+η)}+const.が 積 分 定 数 は 入 射 点 の γ,ψ

座 標 か ら 定 ま る.

流 線 の 式 と な る.

 ４.す

べ り線 場,ホ

ドグ ラ フ と も問 題 な くみ え る が,工

具 面 の材料 流 れ の方 向 と

摩 擦 応 力 の 方 向 が 逆 に な っ て い る.塑 性 仕 事 が 負 とな る個 所 の あ る例 .  ５.￨σd￨=￨σe￨と

な る理 由 を 考 え よ.￨σd￨=￨σe￨な ら ば 押 出 し 力 はh1/h2倍

同 じ ダ イ で あ るか ら ダ イ 面 圧 力 はh1/h2倍

で あ る.図4.18(ａ)の

(1+α)/(1+2sinα)=(h2/h1)(1+α),(p/2k)e=1+α  ６.点C0,C2は

滑),p/2k=3.41(付

な る.図10は

 ８.図11の

場 合,(p/2k)d=

と な る.

ホ ド グ ラ フ で は 工 具 面(T-E-C1)上

 ７.p/2k=2.57(潤 擦)と

で あ り,

に な い こ と に 着 目せ よ.

着摩

す べ り 線 場.

よ う に な る.

(ｂ)付 着摩擦

(ａ)完 全 潤 滑

図11

図10

第 ５章   １.点 線 の 一 σy分 布 を え る の に 近 似 的 な 降 伏 条 件 を 使 用 し て い る(3 .3.1項 参 照).し

ａ.

た が っ て 正 し い 下 界 圧 力 で は な い か らで あ る.

 ２.2.31  ３.各

自試 み られ た い.な

お 対 応 す るす べ り線 場 も考 え て み よ.

第 ６章   １.相

当応 力

σが

εpに

よ る 加 工 硬 化 だ け で な く,θ

に 変 化 し よ う と も 式(2.34)は (2.35),(2.36)も =H(θ,εp,εp)と り,同

変 ら な い.ま

変 ら ず,塑

εpnの

  ２.ト

式 に よ っ て θ,εp,εpが ラ スi-jの

剛性 マ

際,式(6.23)∼(6.25)の

形 に な っ て い る.し

線 に 相 当 す る も の が 式(6.23)∼(6.25)で い.同

や

εpの 影 響 を 受 け て 刻 々

σ が 塑 性 仕 事 の み の 関 数 と考 え る 式

性 仕 事 の 等 価 性 の 概 念 に 変 更 は な い.式(2.36)が

な る だ け で あ る .実

式 は σ=f(θ,εp)・

た

あ り,こ

積 分 項 は

た が っ て,式(2.36)の

σ εpで

あ

塑 性 曲

れ らが 材 料 に 固 有 と考 え れ ば よ

異 な る ２つ の 経 路 は 等 価 的 に 比 べ ら れ る の で あ る.

ト リ ッ ク ス[Kij]はxi,yiを

そ れ ぞ れx,y方

向 の変 位

とす れ ば

と な る.こ 3が

れ よ り全 体 の 剛 性 マ ト リ ッ ク ス10行10列

固 定 よ りx3=y3=x5=y5=0.節

-y1cotθ=x4-y4cotθ Ｎi,摩

擦 力Fiの

点1,4が

.Xi,Yiをx,y方

を 導 け.境

界 条 件 は ， 節 点5,

ブ ロ ッ ク に 接 す る こ と よ り δ=x1 向 の 力 と す れ ば,ブ

ロ ッ ク面 の垂 直 力

間に は

Ni＝Yicosθ

−Xisinθ,Fi=Yisinθ+Xicosθ=μNi

が 成 立 し,Yi=-Xi(cosθ+μsinθ)/(sinθ-μcosθ)=-μ'Xiの

関係 が あ る.

索      引

         あ   行 ア イ ソパ ラ メ トリ ック要 素   226,235 Auerbachの

法 則  162

圧 印加 工   87 圧 延 加 工   103 圧 下 率   104

応 力成 分   ４

逆 張 力 引 抜 き  98

応 力波  24,25

境 界 潤 滑  26

応 力-ひ ず み 曲線  37 応 力不 連 続 面  131 押 出 し加 工  91,187,211,   217          か   行

凝   着   27   摩 擦 の＿ 説  29 極 圧 境 界 潤 滑  26 鋸 歯 状 切屑  235 切 屑 流 出角   133,135 切刃

圧 下 量   104

加 圧 板   92 開 口型 変 形(モ ー ドI)  52,

イ ン ゴ ッ ト  80,103

  161 Geiringerの 方程 式   175

永 久 変 形   37

下 界荷 重  210

  横＿ 角   142 切 刃傾 斜 角  134

液 体 ホー ニ ング  155 エネルギ

下 界定 理  210

切 刃 の 欠損   64

  せ ん断 ひ ず み＿

  34

確 率 過程(破 壊 の)  65,166 確 率 密 度 関数(破 壊 の)  61

  主＿132   前＿132   前＿ 角   142

き  裂

   弾性 ひ ず み＿  50,162   比研 削＿   154   比せ ん 断  154

確 率 的破 壊 応 力 条件   63

 ＿ の上 下 面 の 相対 変 位   52

加 工 硬化  31,41,79,163 仮 想 仕事 の原 理   209,225

 ＿ の不 安 定 伝 播  50 き裂 型切 屑  119

  表 面＿  50,162 エ ネ ルギ解 析 法   135

仮 想 ひず み増 分   209

キ ャ ビテー シ ョ ン  144

延 伸 圧 延  104

仮 想 変位  209 カ ップ ーコー ン(引 張試 験 の)   67

円錐 割 れ   158,160

可 容 速 度場   215

Kroneckerの デ ル タ  40 クー ロ ンの 法 則  27

延 性 破 壊  49,66

空 引 き  99 Karmanの 圧延 方程 式

  27

エ ネル ギ解 放 率   57

グ リ ッ ドブ ラ ス ト  155

クー ロ ン摩 擦(す べ り摩 擦)

応力

  107

 ＿ の特 異 点   130,     177,182

完 全解   181

傾 斜 切 削   134

完 全 潤 滑  26

形状 関 数   225

  主＿

完 全 塑性 体   79 乾 燥摩 擦   26

欠 陥 の平 均 間 隔   154 K〓rber-Eichinger効 果   99

期 待値(破 壊 応 力 の)  62,

限界 線(す べ り線 の)  173,   186

  7,32

  主 せ ん 断＿   10,167   垂 直＿   ３   せ ん 断＿   ３   平 均垂 直＿   8,17   偏 差＿   9,41 応 力 拡 大係 数   53

  162 逆 圧 力押 出 し  98 逆 張 力  97

コイ ンニ ン グ  87 高温 引 抜 き  92

剛完全塑性体

小規模降伏

せん 断角

工具 す くい 面

シ ョッ トピー ニ ン グ

格子線解析法 格子線変形 構成刃先 構成方程式

初等解析法

有効 せん断角関係式

しわ押 え板 心金引 き

剛性 マ ト リック ス

剛性率 高速鍛造 剛体 回転成分

Merchantの

第1

Merchantの

第2

㎎

真応力

1垂 直 ひず み Lee・Shafferの

せ ん断型切削

砂吹 き す くい角

抗張力

せ ん断 ひ ず み

垂直横 平行上 有効

降伏曲線 降伏曲面 降伏条件

せ ん断 ひ ず み エ ネ ル ギ せ ん断 面

せん断面切 削模型 線 引き

Trescaの

すべ り線 すべ り線 揚

A.Nadaiの

すべ り摩 擦

全 ひずみ理論

Misesの

ス ラブ

前方押出 し

降伏点

全 ひず み

寸法効果

後方押出 し

相

コンテ ナ

さ

行

再結晶 最 弱 リン ク理論

最大塑性仕事の原理 最 大砥 粒 切 込 み深 さ Sachsの

方程 式

三角 形要素

正解応力 正解荷重 正解速度 正解変位増分 成形圧延 静水圧 ぜ い性破壊 の最大主応力説 の統計的性格 のPaulの

の節点変位 3次 元 切 削 Sain・Venantの

三角形有限要素 軸対称問題 死材域 シ ー

当

下F解

ト

絞 り圧延

主 軸 主方向 上界接近法 上界定理

のFisherの

条件

応力 ひず み ひず み 増分

速度不連続線 塑性 曲線 塑性仕事の等価性 塑性 ひず み

塑性変形 塑 性 ポテ ン シャ ル

塑性流動法則

条件

た

の Griffithの 条 件 法 則

ダ イ,ダ

静 定 静的可容 静的可容応力 青 熱ぜ い性

切削断面 切削比 接触角 繊維状組織 線形破壊力学 先進 率(圧 延 の) せ ん断 域(切 削の)

行

イス

対 数 ひず み

体積弾性率 体積変化率 体積力 第2変 形域(切 削 の)

耐

力

玉引 き ダ ラ ンベ ー ル の 原理

単軸圧縮 圏 単軸引張試験 単純せ ん断

八 面体 せ ん断 応 力  34

平 衡 条 件   23 平 衡 条 件 式   24,77

弾 性 ひず み  38

幅 広 が り  104 バ レル加 工   144

弾 性 変 形  37

ハ ンマー リン グ  144

平 面 応 力 状 態   53

中間 主 応 力  73,78,171

非 圧縮 性   22

平 面 ひ ず み 状 態   72,106,

超 音 波加 工   144 超 仕 上   144

引抜 き加 工   91,187 比 研 削 エ ネル ギ  154

  116,167,211

張 力 圧延   108 直 交 曲 線網   168

比 研 削抵 抗   151 ヒ ステ リシ スルー プ  38

  157

ひず み  10

ベ ル ト研 削   144

定 常 塑性 流 れ  93

 ＿

適 合 条件   208 転  位   66

  垂 直＿

同 時研 削砥 粒 数   152

  平均 垂直＿  

動 的 可容   72,180 動 的 可容 変 位 増分   208

  偏差＿   17   有 限＿   21 ひず み増 分   19

  102,176

  主＿ 

ポ ア の ソ ン 比  17

弾 性 限 度   37 弾 性 波  24

平 行 変 形   20 平 面 塑 性 流 れ   72

の モー ル 円  15   12

  全＿   21   せ ん 断＿ 

動 的硬 度(砥 石 の)  148 等 方 的加 工 硬 化   42 砥 粒加 工   144 砥 粒 の平 均 切 込 み 深 さ  148 Treseaの 降伏 条 件  35,47          な  行 内 部摩 擦 説   129 流 れ 型切 削   118 Nadai,A.の 降伏 条 件   34

平 面 ひ ず み 破 壊 じん 性   55 Hertz,H.の

弾性 接触 理 論

Henckyの

定 理   172

Henckyの

方 程 式   169,

  171,204

12

Hencky-Prandt網 

17

168

変 形-非 変 形 域 境 界   87, 変 位 関 数   225

20

  主せ ん断＿  20 ひ ず み増 分 理論   45

ボ イ ド  66 ホ ドグ ラ フ   178

ひず み速 度  21

ホ ー ニ ン グ  144

ひ ず み テ ン ソル   13

ポ ン チ   92,110

非 定常 塑 性 流 れ  93 比例 負荷   20

          ま  行

ビ レ ッ ト  91

摩 擦 丘   82 摩 擦 の 応 力 特 性   28,227

深絞 り加 工   110

摩 擦 の 凝 着 説   29

逃 げ角   122 ２次 元切 削   116

負荷 除荷 曲 線  38

Merchantの

２倍角 の法 則   ７

付 着摩 擦   28,83 不変 量   8,17,32 Pragerの 極   196

Merchantの

プ ラグ  92

マ ン ネ ス マ ン 型 せ ん 孔   104

Bridgman効 果   67 ブ ラン ク  91,110

Misesの

不 完全解   181

熱 間鍛 造   80 ノー ズ半 径   135,142         は   行 Haar-Karmanの Ⅱ平 面  47

仮 定  171

破壊 確 率   61,63,162

第 １せ ん 断 角 関

係   129 第 ２せ ん 断 角 関

係   129 マ ン ド レ ル   92

降 伏 条 件   33,47

フ ラ ン ジ  110 Prandtl-Reussの   45

関係式

む し れ 型 切 削   119 無 す べ り角   106

噴射 加 工   144,155

無 す べ り点   89,90,106

平 均 砥 粒 間 隔  150 平 均 砥 粒切 込 み 深 さ  148

目 こ ぼ れ   148

破壊 じん性   55 破壊 の時 間 遅 れ  64 破壊 の法 則  49

目 つ ぶ れ   148

目づ ま り

ら 行

面外 せ ん 断 型変 形(モ ー ドIII) Riceの

面外 せ ん 断 型変 形(モ ー ドII)

流動応力特性 履歴効果 臨 界砥 粒 切 込 み 深 さ

方法

リン グ ・ク ラ ッ ク

ラ ッピ ン グ ラム

累積 分 布 関数(破 壊 の) モー ルの 応 力 円

や

行

Lee・Shafferの

す べ り線 場 解

Lee・Shafferの

せ ん 断角 関係

冷間鍛造 冷 間 引抜 き Levi-Misesの

ヤ ング率

塑性流動法則

理 想 塑 性 変 形エ ネル ギ解 法

有限変形 有限要素解析 法

理 想 強 さ(無 欠 陥試 験 片 の)

連続切刃 連続切刃間隔

有 心扇 形(す べ り線 場)

わ

流線(格 子 線 の) Weibull分

溶着

流動法則

布

行

〈著 者 紹介 〉

臼 井 英 治 工 学博 士(1962年)

現 在

東 京 工 業 大学 名 誉 教授 東 京 電機 大 学 名 誉 教授

白樫 高 洋 現

在

工学博士(1973年) 東京工業大学名誉教授 東京電機大学工学部機械情報工学科教授

理 工学 講座 加工 の力学入 門 −塑性 変 形 ・破壊 ・機 械 加 工 − 1996年7月30日 2006年3月20日

 第 １版 １刷 発 行  第 １版 ４刷 発 行

著 者

臼井 英 治 白樫 高 洋 学校法人  東京電機大 学

発行所

東 京 電 機 大 学 出 版 局 代 表 者  加藤康太郎 〒101-8457 東 京 都 千 代 田 区 神 田 錦 町2-2 振 替 口 座   00160-5-71715 電 話(03)5280-3433(営 (03)5280-3422(編

印刷 三立工芸㈱ 製本 渡辺製本㈱

〓Usui

Eiji, Shirakashi

Printed 

in Japan

*無 断 で 転 載 す る こ と を 禁 じ ま す 。 *落 丁 ・乱 丁 本 は お 取 替 え い た し ま す 。 ISBN4-501-41320-4 

C3053

Takahiro

業 集)

1996

機械工学図書 基礎と演習 機 械 力学

入門流体力学 G.K.Batchelor著 橋本英典 他訳 A5判654頁

三船 博 史/一 瀬 謙 輔 共 著 A5判202頁 力学の 基礎 として静止物 体の力学,運 動す る物体 の 力学に っいて,初 等数学 の知 識で十分理解で きる。

世界中の研究者や学生に読み次がれ ている古典 的名 著。 流体,物 性,流 れの場合の運動学,流 体の運動 を支配す る方 程式,粘 性流体の流れ等 を解説 。

図解 機械材料 改訂版

理 工学 講座 教養

金属 材 料 か ら新 素 材 ま で

材 料 力 学 機 械 技 術者 の た め に

打越 二彌 著 A5判260頁 初めて機械材 料学 を学ぶ学生や技術者 のために,金 属材料 を中心に機 械材料 につ いて金属 物理的,材 料 強度学的,金 属組織学的 な視点か らできるだけ平易 に解説 した。

山本 善 之 編 著 浅 岡 照夫/松 原 典 宏/小 久 保 邦雄 A5判196頁 力学 ではモ ーメ ン ト,設計 では機械構 造の材料 の選 択 を中心に,SI単 位 と工学単位を併記 して解説 した。

基 礎 と演 習

基 礎 と演 習

流体力学

水 力 学

岩本 順 二 郎 著 A5判176頁

細井 豊 著 A5判160頁

豊富な例題 に詳 しい解説 を付 し,読 者が問題 を解 く ことに よって実力 がつ くように編集。

専門学科で学ぶ人 を対象 に,豊 富な例題 と問題 に よ り理解を深め るよ うに編集 したテ キス ト 。

教養

振動の解析

流 れ の 力 学(上/下) (上)流 れ の 力学 史(下)流

れ の科 学

細井 豊 著 B6判 上)154頁 下)196頁 本 書は,流 れの力学 にまつわ る歴 史的な話題や 日常 的 な現 象を通 じて,親 しみやす く解説。高校での学 習か ら大学での専門 分野の学習へ橋渡 しとな る。

三船 博 史 著 A5判216頁 大学の振動 学のテキス トとして執筆 したもので,随 所 にパソ コンを使 って シュミ レー シ ョン したグラフ とプ ログラム を示 し,各 種振動現象が把握 出来るよ うに配 慮 してあ る。

可視化情報学入門

計 算 法 シ リ-ズ

見 え な い もの を視 る

熱 力 学 の 計 算 法

可視 化情 報学 入 門 編集 委員 会 編 A5判228頁 可視化情報 学は,目 に見 えない情報 を可視化 技術や コンピュー タ を使 って,目 に見えるよ うに して新 し い情報 を取 り出 し現象 の解 明する学問である。 本書 は多岐 にわたる内容 を紹介 する入 門書である。

松 村 篤躬/越 後 雅 夫 共 著 A5判200頁 熱力 学の基礎的 な公式や数 式をわか りや す く説 明。 改訂 にあたって大 幅にSI単 位へ移行 した。

*定 価,図 書 目録のお問い合わせ ・ご要望 は出版局 までお願 い致 します.

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