Алгебра, и логика, 39, N 2 (2000), 134-144
УДК 512.54.05
Е Щ Е Р А З О В О П Р О С Е ХИГМАНА*)
А. С. М О Р О З О В Юр...
6 downloads
163 Views
969KB Size
Report
This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form
Алгебра, и логика, 39, N 2 (2000), 134-144
УДК 512.54.05
Е Щ Е Р А З О В О П Р О С Е ХИГМАНА*)
А. С. М О Р О З О В Юрию Леонидовичу Ершову ко дню 60-летия
К сожалению, недавно стало ясно, что предыдущая работа автора [1], в которой сообщается о решении вопроса Хигмана, содержит неиспра вимую ошибку (см. добавление). Напомним вопрос Хигмана. Легко убедиться в том, что если конеч но-порожденная группа представима рекурсивными перестановками, то ее проблема равенства слов коперечислима. Г. Хигман интересовался истин ностью обратного утверждения: верно ли, что каждая
конечно-порож
денная группа с коперечислимой проблемой равенства представима ре курсивными
перестановками?
В настоящей работе мы решаем этот вопрос, а именно: строим двупорожденную группу с коперечислимой проблемой равенства, не вложимую в группу всех рекурсивных перестановок. В неверном примере из [1] было 4 порождающих. Вопрос о существо вании подобной группы с двумя порождающими оставался открытым и несколько раз ставился автором, например, в [2]. Таким образом, в данной работе также решается вопрос о минимальном возможном числе порожда ющих. Этот результат был получен автором во время работы в универси тете г. Хайдельберга (Германия) в качестве научного стипендиата фон** Работа выполнена при финансовой поддержке фонда Александра фон Гумбольд та.
©
Сибирский фонд алгебры и логики, 2000
Еще раз о вопросе Хягмана
135
да Александра фон Гумбольдта. Автор выражает глубокую благодар ность проф. К. Амбош-Спису за поддержку и гостеприимство, а так же благодарит А. Ниса за моральную поддержку и ценные замечания, О.В.Богопольского и анонимного рецензента за устранение ряда неточ ностей в изложении. Предполагаем, что для любого конечного или бесконечного набора порождающих со, c i , . . . зафиксирована такая нумерация групповых тер мов от этих порождающих (т. е. всевозможных произведений этих поро ждающих и обратных к ним), что с помощью некоторых алгоритмических процедур можно переходить от номеров к словам и наоборот. В силу это го, выражения типа "перечислимое" или "коперечислимое семейство слов", "П^-предикаты на словах" и им подобные имеют вполне ясный смысл. Бу дем говорить, что группа С с заданным (может быть неявно) счетным или конечным множеством порождающих со,Ci,... является П-группой, если ее проблема равенства слов над со, c i , . . . коперечислима.*) В дальнейшем используем сокращения р. п. (для рекурсивно пере числимых) и ко-р. п. (для коперечислимых семейств). Т Е О Р Е М А . Существует двупорожденная U-группа, не вложимая в группу всех рекурсивных перестановок. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Очертим общую структуру доказательства. Вначале дадим некоторую общую характеризацию П-групп. При этом вы яснится, что класс П-групп состоит в точности из групп, порожденных вычислимыми семействами автоморфизмов негативных нумераций (опре деление нумерации см. ниже). Затем построим вычислимое семейство ав томорфизмов (zi)i М. Взаимно однозначное отображение (р : М —)• М называется автоморфизмом
нуме
рации и, если найдутся рекурсивные функции / и д такие, что ""1i/ = r/gr. Пусть / будет либо множеством всех натуральных чисел, ли бо его начальным отрезком. Индексированное семейство функций ( Л ) ^ / назовем вычислимым, если значение функции /,(ж) равномерно вычисля ется по данному индексу г £ / и аргументу х, или, что эквивалентно, семейство {(x,y,i)
| г € J & /;(я) = у} является р.п. Семейство авто
морфизмов (ро, (pi,.., нумерации и назовем вычислимым, если существуют вычислимые семейства /о, Л , . . . и г/} является ко-р. п. Приступим к изложению первой части доказательства. В следующей лемме П-группы охарактеризованы в терминах автоморфизмов негатив ных нумераций. Л Е М М А 1. 1. Пусть G = gr (#сь ф{ определяет изо
морфное вложение. 2. Пусть v — негативная нумерация и фо,ф\,... мейство ее автоморфизмов. Тогда G = gr (фо,ф\,..)
— вычислимое се является
П-груп-
пой. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. 1. Пусть и(п) — элемент группы G, представ ленный групповым словом с номером п. Если w — групповой терм, будем обозначать через [w] элемент группы, представленный этим термом. Для каждого i