Еще раз о вопросе Хигмана

Алгебра, и логика, 39, N 2 (2000), 134-144

УДК 512.54.05

Е Щ Е Р А З О В О П Р О С Е ХИГМАНА*)

А. С. М О Р О З О В Юрию Леонидовичу Ершову ко дню 60-летия

К сожалению, недавно стало ясно, что предыдущая работа автора [1], в которой сообщается о решении вопроса Хигмана, содержит неиспра­ вимую ошибку (см. добавление). Напомним вопрос Хигмана. Легко убедиться в том, что если конеч­ но-порожденная группа представима рекурсивными перестановками, то ее проблема равенства слов коперечислима. Г. Хигман интересовался истин­ ностью обратного утверждения: верно ли, что каждая

конечно-порож­

денная группа с коперечислимой проблемой равенства представима ре­ курсивными

перестановками?

В настоящей работе мы решаем этот вопрос, а именно: строим двупорожденную группу с коперечислимой проблемой равенства, не вложимую в группу всех рекурсивных перестановок. В неверном примере из [1] было 4 порождающих. Вопрос о существо­ вании подобной группы с двумя порождающими оставался открытым и несколько раз ставился автором, например, в [2]. Таким образом, в данной работе также решается вопрос о минимальном возможном числе порожда­ ющих. Этот результат был получен автором во время работы в универси­ тете г. Хайдельберга (Германия) в качестве научного стипендиата фон** Работа выполнена при финансовой поддержке фонда Александра фон Гумбольд­ та.

©

Сибирский фонд алгебры и логики, 2000

Еще раз о вопросе Хягмана

135

да Александра фон Гумбольдта. Автор выражает глубокую благодар­ ность проф. К. Амбош-Спису за поддержку и гостеприимство, а так­ же благодарит А. Ниса за моральную поддержку и ценные замечания, О.В.Богопольского и анонимного рецензента за устранение ряда неточ­ ностей в изложении. Предполагаем, что для любого конечного или бесконечного набора порождающих со, c i , . . . зафиксирована такая нумерация групповых тер­ мов от этих порождающих (т. е. всевозможных произведений этих поро­ ждающих и обратных к ним), что с помощью некоторых алгоритмических процедур можно переходить от номеров к словам и наоборот. В силу это­ го, выражения типа "перечислимое" или "коперечислимое семейство слов", "П^-предикаты на словах" и им подобные имеют вполне ясный смысл. Бу­ дем говорить, что группа С с заданным (может быть неявно) счетным или конечным множеством порождающих со,Ci,... является П-группой, если ее проблема равенства слов над со, c i , . . . коперечислима.*) В дальнейшем используем сокращения р. п. (для рекурсивно пере­ числимых) и ко-р. п. (для коперечислимых семейств). Т Е О Р Е М А . Существует двупорожденная U-группа, не вложимая в группу всех рекурсивных перестановок. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Очертим общую структуру доказательства. Вначале дадим некоторую общую характеризацию П-групп. При этом вы­ яснится, что класс П-групп состоит в точности из групп, порожденных вычислимыми семействами автоморфизмов негативных нумераций (опре­ деление нумерации см. ниже). Затем построим вычислимое семейство ав­ томорфизмов (zi)i М. Взаимно­ однозначное отображение (р : М —)• М называется автоморфизмом

нуме­

рации и, если найдутся рекурсивные функции / и д такие, что ""1i/ = r/gr. Пусть / будет либо множеством всех натуральных чисел, ли­ бо его начальным отрезком. Индексированное семейство функций ( Л ) ^ / назовем вычислимым, если значение функции /,(ж) равномерно вычисля­ ется по данному индексу г £ / и аргументу х, или, что эквивалентно, семейство {(x,y,i)

| г € J & /;(я) = у} является р.п. Семейство авто­

морфизмов (ро, (pi,.., нумерации и назовем вычислимым, если существуют вычислимые семейства /о, Л , . . . и г/} является ко-р. п. Приступим к изложению первой части доказательства. В следующей лемме П-группы охарактеризованы в терминах автоморфизмов негатив­ ных нумераций. Л Е М М А 1. 1. Пусть G = gr (#сь ф{ определяет изо­

морфное вложение. 2. Пусть v — негативная нумерация и фо,ф\,... мейство ее автоморфизмов. Тогда G = gr (фо,ф\,..)

— вычислимое се­ является

П-груп-

пой. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. 1. Пусть и(п) — элемент группы G, представ­ ленный групповым словом с номером п. Если w — групповой терм, будем обозначать через [w] элемент группы, представленный этим термом. Для каждого i